Текст
Hauptinhaltsverzeichnis
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1.
2.
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5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Vorwort
Detaillierte Inhaltsverzeichnisse
Arithmetik
Funktionen und ihre Darstellung
Geometrie
Lineare Algebra
Algebra und diskrete Mathematik
Differentialrechnung
Unendliche Reihen
Integralrechnung
Differentialgleichungen
Variationsrechnung
Lineare Integralgleichungen
Funktionalanalysis
Vektoranalysis und Feldtheorie
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
●
●
●
Funktionentheorie
Integraltransformationen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Dynamische Systeme und Chaos
Optimierung
Numerische Mathematik
Computeralgebrasysteme
Tabellen
Literatur
Mathematische Zeichen
Themenübersicht
Arithmetik und Algebra
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Funktionen und ihre Darstellung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Geometrie
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Lineare Algebra
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Algebra und diskrete Mathematik
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Differentialrechnung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Unendliche Reihen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Integralrechnung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Differentialgleichungen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Variationsrechnung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Lineare Integralgleichungen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Funktionalanalysis
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Vektoranalysis und Feldtheorie
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Funktionentheorie
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Integraltransformationen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Dynamische Systeme und Chaos
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Optimierung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Numerische Mathematik
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Computeralgebrasysteme
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Stichwortverzeichnis
A B C
D E F G H I
J K L M
Q R S T U V W
X Y
Z
N O P
DeskTop Indexseiten: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Abbildung
Bäcker
bijektive
Mengen
Vektorräume
chaotische
eineindeutige
Mengen
geliftete
HÉNON
Hufeisen
injektive
Mengen
Vektorräume
Kern
komplexe Zahlenebene
beliebige
konforme
konforme
Differentialtransformation, affine
Exponentialfunktion
gebrochenlineare Funktion
Inversion
isometrisches Netz
Kreisverwandtschaft
lineare Funktion
lineare plus gebrochenlineare Funktion
Logarithmusfunktion
quadratische Funktion
Quadratwurzel
SCHWARZ-CHRISTOFFELsche
kontrahierende
lineare
Vektorräume I
Vektorräume II
logistische
Modulo
POINCARÉ
reguläre
Rotations
Shift
surjektive
Mengen
Vektorräume
topologisch konjugierte
Umkehrabbildung
Mengen
Zelt-Abbildung
zwischen Gruppen
Abbrechpunkt
ABEL
Satz
ABELsche Integralgleichung
Basissatz
Definition
direktes Produkt
Gruppentafel
Untergruppen
Abgeschlossenheitsrelation
Abhängigkeit
lineare
Gleichungen
Vektorräume
sensitive, dynamisches System
Ableitung
algebraische Summe
äußere
Bruch
Distribution
FRÉCHET-Ableitung
Funktion
elementare
Funktion in Parameterdarstellung
gemischte
höherer Ordnung
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
höherer Ordnung
inverse Funktion
Parameterdarstellung
implizite Funktion
innere
inverse Funktion
konstanter Faktor
linksseitige
logarithmische
mittelbare Funktion
n-te Ableitung
partielle
Produkt
räumliche
rechtsseitige
Richtungsableitung
Vektorfunktion
verallgemeinerte
Volumenableitung
Abschlag
Abschließung, Menge, metrischer Raum
Abschluß, transitiver
Abschreibung
arithmetisch-degressive
digitale
geometrisch-degressive
lineare
Abschreibungsgefälle
Absolutbetrag, Vektor
Absolutglieder
Absorptionsgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengen
Abstand
Ebenen
parallele
Gerade
HAMMING
kürzester
Geraden
metrischer Raum
Punkt-Ebene, Raum
Punkt-Gerade, Raum
sphärischer
Definition
Messung
zwei Punkte
Gerade
Raum
Abstieg
Abszisse, kartesische Koordinaten
Ebene
Raum
Abszissenachse
Abweichung
signifikante
Abwickelkurve
abzählbar unendlich
Adäquatheitstest
Addition
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Tensoren I
Tensoren II
Additionstheoreme
Areafunktionen
Hyperbelfunktionen
inverse trigonometrische Funktionen
trigonometrische Funktionen I
trigonometrische Funktionen II
Additivität, sigmaAdjazenz
Adjazenzmatrix
Adjunkte
Admittanzmatrix
Ähnlichkeit, ebene Figuren
Ähnlichkeitstransformation
Äquivalenz
Beweisführung
BOOLEsche Funktion
Wahrheitsfunktion
Äquivalenzklasse
Äquivalenzrelation
Algebra
BOOLEsche
endliche
Ordnung
Faktoralgebra
freie
kommutative
lineare
normierte
Omega-Algebra
Omega-Unteralgebra
Schaltalgebra
sigma-Algebra
Termalgebra
universelle
Algorithmus
AITKEN-NEVILLE
DANTZIG
EUKLIDischer
allgemein
Kettenbruch
Polynome
Satz zum
FORD und FULKERSON
GAUSSscher
Eliminationsverfahren I
Eliminationsverfahren II
Graphentheorie
KRUSKALMaximalstrom
QR-Algorithmus
RAYLEIGH-RITZ
REMES
Allquantor
alpha-Grenzmenge
Begriff
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
alpha-Schnitt
Alternantenpunkt
Alternantensatz
Altgradeinteilung
Amplitude
Sinuskurve
Amplitudenfunktion
Amplitudenspektrum
FOURIER-Transformation
Analyse
Multi-Skalen-Analyse
Analyse, harmonische
FOURIER-Koeffizienten
FOURIER-Summe
Gegenstand
Anfangsphase
Sinuskurve
Ankathete
Annuität
Annuitätentilgung
Annulator
ANOSOV-Diffeomorphismus
Ansatzverfahren
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Antikink-Soliton
Antisoliton
APOLLONIUS, Satz
Applikate
Approximation
Begriff
Bestapproximation, FOURIER-Reihe
delta-Funktion
gleichmäßige
im Mittel
diskrete Aufgabe
Einordnung
Fehlerquadratmethode
Methode der kleinsten Quadrate
stetige Aufgabe
sukzessive
BANACH-Raum
Differentialgleichung 1. Ordnung
FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
TSCHEBYSCHEFF-Approximation
diskrete
stetige
Approximationsproblem
Arbeit
allgemein
speziell
ARCHIMEDIsche Spirale
Areafunktion
Areakosinus
Areakotangens
Areasinus
Areatangens
Argument, Funktion
einer Veränderlichen
mehrerer Veränderlicher
ARNOLD-Zunge
Artikelnummer, europäische
ASCII
Assoziativgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Matrizen
Mengen
Tensoren
Vektoren
Vektormultiplikation
Astroide
Asymptote
Definition
Hyperbel
Kurve
Attraktor
chaotischer
FEIGENBAUM
fraktaler
HÉNON
chaotischer
SBR-Maß
hyperbolischer
LORENZ
seltsamer
Solenoid
chaotisches
Auflösung, Torus
Aufschlag
Aufzinsungsfaktor
Ausdruck
algebraischer
Manipulation
allgemeingültiger
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
analytischer
Definitionsbereich
explizite Darstellung
implizite Darstellung
Parameterdarstellung
Aussagenlogik
BOOLEscher
finiter
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
ganzrationaler
allgemein
Polynom
gebrochenrationaler
allgemein
Polynom
Interpretation
irrationaler
algebraischer
allgemein
nichtalgebraischer
Manipulation
Prädikatenkalkül
Prädikatenlogik
transzendenter, allgemein
vektoranalytischer, Komponenten
wertverlaufsgleicher
Ausgangsgrad
Ausgleichsaufgabe
lineare
mehrdimensionale
nichtlineare
GAUSS-NEWTON-Verfahren
Hinweis
verschiedene Bezeichnungen
Ausgleichsrechnung
Approximation im Mittel
Begriff
diskrete Aufgabe
mehrdimensionale Aufgabe
stetige Aufgabe
Ausgleichssplines
bikubische
kubische
Ausklammern
Auslöschung führender Nullen
Aussage
Algebra
duale
Aussagenlogik
Ausdruck
Grundgesetze
Aussagenvariable
Aussagenverbindung
extensionale
Austauschschema
Austauschschritt
Austauschverfahren
Anwendung
Begriff
Matchings
Autokorrelationsfunktion
Axialfeld
Axiome
abgeschlossene Menge
des Skalarproduktes
einer Algebra
geordneter Vektorraum
Halbnorm
metrischer Raum
normierter Raum
offene Menge, metrischer Raum
Vektorraum
Azimut
Azimutalgleichung
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Bahn, elementare
BAIREsche Kategorie
BAIRSTOW-Verfahren
BANACH
Raum
Verband
Bandstruktur
Basis
algebraische
Existenz
FOURIER-Reihe
kontravariante
kovariante
Logarithmus
Potenz
Vektorraum
Basissatz
Basisvektor
kontravarianter
kovarianter
Baum
binärer
Höhe
regulärer binärer
Wurzel
BAYES, Satz
B-B-Darstellung
Fläche
Bedingung
CARATHEODORY
DIRICHLETsche
KUHN-TUCKER
Beweis
globale
lokale
Beispiele
Wahrscheinlichkeiten
Belegung
Beobachtungswert
BERGEscher Satz
BERNOULLI-Shift
BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
BERNOULLIsche Zahlen
BERNSTEINsche Grundpolynome
Besetztheit, schwache
Besetzungszahl
BESSELsche
Differentialgleichung
Ungleichung
BESSEL-Funktion
0. Ordnung, LAPLACE-Transformation
1. Gattung
2. Gattung
imaginäre Variable
modifizierte
Tabelle
Bestapproximation, FOURIER-Reihe
Betafunktion
Beweis
direkter
durch Widerspruch
indirekter
Implikation
Prinzip
konstruktiver
Schluß von n auf n+1
vollständige Induktion
Bibliothek
Aachener-Bibliothek
IMSL-Bibliothek
NAG-Bibliothek
numerische Verfahren
SSL II-Bibliothek
Bidual
Bifurkation
Begriff
BOGDANOV-TAKENS-Bifurkation
Flip-Bifurkation
Gabel-Bifurkation
Periodenverdopplung
superkritische
globale
Begriff
homokline
Szenarien
HOPF-Bifurkation
superkritische
verallgemeinerte
zusammengesetzter Strudel
Kodimension
lokale
Begriff
nahe periodischer Orbit
Sattelknoten-Bifurkation
Spitzen-Bifurkation
transkritische
Bifurkationswert
Bild, Untervektorraum
Binomialkoeffizient
Binomialverteilung
Binormale, Raumkurve
Begriff
Gleichungen I
Gleichungen II
Bisektionsverfahren
Bit
Bitumkehr
Bogen, Graph
Kette
Länge
Bogendifferential
ebene Kurve
räumliche Kurve
Bogenelement
Definition
Kurve
ebene
räumliche
Bogenfolge
Bogenlänge
ebene Kurve, bestimmtes Integral
Ellipse, elliptisches Integral
Hyperbel
Kreissegment
Kurvenintegral 1. Art
räumliche Kurve
bestimmtes Integral
gekrümmte Fläche
Kurvenintegral 1. Art
Bogenmaß
Bogenschnitt
BOLZANO-WEIERSTRASS-Eigenschaft
BOOLEsche
Algebra
Analogie
Begriff
endliche
Ordnung
Ausdrücke
Funktion
Begriff
Wahrheitsfunktion
Variable
BOUSSINESC-Gleichung
Brachistochronenproblem
BREIT-WIGNER-Kurve
Bildfunktion
Breite, geographische
GAUSSsche Koordinaten
geographische Koordinaten
Brennpunkt
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Brennpunktseigenschaften
Ellipse
Hyperbel
Briefträgerproblem, chinesisches
Bruch
echter
unechter
BURGERS-Gleichung
Byte
</HTML
DeskTop-Hilfen
Hier finden Sie eine Übersicht über die verfügbaren Hilfen mit nützlichen Tips zum Umgang mit DeskTop
Bronstein. Hilfen gibt es zu den folgenden Themen:
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Erste Hilfe
Grundeinstellungen des Browsers
Navigationssymbole und Icons
Hauptinhaltsverzeichnis
Übersichtsseiten
Index
Unterstützung von JavaScript
Lizensierte Software
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CANTOR
Funktion
Menge
Definition
HAUSDORFF-Dimension
Selbstähnlichkeit
CARATHEODORY-Bedingung
CARDANOsche Formel
CARSON-Transformation
Übersicht
CASSINIsche Kurve
CAUCHY
Anwendungen
Folge
Funktion außerhalb Gebiet
Funktion innerhalb Gebiet
Integral
Prinzip
Gradientenverfahren
vollständiger metrischer Raum
CAUCHYscher Hauptwert
singuläre Integralgleichung I
uneigentliches Integral
CAUCHYsches Problem
CAYLEY, Satz
Gerüste
Gruppen
Chaos
eindimensionale Abbildungen
über Intermittenz
Übergänge zum Chaos
vom Torus zum Chaos
Wege zum Chaos
Chiffrierung
Chinesischer Restsatz
CHOLESKY
Verfahren
Quadratmittelproblem, Hinweis
symmetrische Koeffizientenmatrix
Zerlegung
CLAIRAUTsche Differentialgleichung
gewöhnliche 1. Ordnung
partielle 1. Ordnung
Code
ASCII
Public-Key
RSA
Computeralgebrasysteme
Anwendungen
Differential- und Integralrechnung
Elemente der linearen Algebra
Funktionen
Gleichungen und Gleichungssysteme
Graphik
Hauptstrukturelemente
Infix-Form
Listen
Manipulation algebraische Ausdrücke
Mengen
Objekte
Operatoren
Präfix-Form
Programmierung
Suffix-Schreibweise
Terme
Typen
Variable
Zahlen
Zielstellungen
Computernutzung
COULOMB-Feld (Punktladungen)
Vektorfeld
wirbelfreies
CRAMERsche Regel
</HTML
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D'ALEMBERTsche Formel
Dämpfung, Schwingungen
Dämpfungsparameter
Darstellungssatz
Datentyp
Dechiffrierung
Defekt
Ansatzverfahren
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Vektorraum
definit
positiv
Definitionsbereich
Funktion
eine unabhängige Variable
mehrere unabhängige Variable
Operator
Defuzzifizierung
Dekrement, logarithmisches
DELAMBREsche Gleichungen
delta-Funktion
Anwendungen
Approximationen
Definition
DIRACsche
LAPLACE-Transformation
nichtreguläre Distribution
Deltatensor
DE MORGANsche Regel
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengenalgebra
Derive
DESCARTESsche Regel
Determinante
Begriff
Berechnung
Differentiation
JACOBIsche
Multiplikation
Nullwerden
Rechenregeln
Spiegelung
WRONSKI
Fundamentalsystem von Lösungen
lineare Differentialgleichung
Deviationsmoment
Dezimalbruch
endlicher
unendlicher
Dezimal-Zahlensystem
Diagonalmatrix
Diagonalstrategie
Diagonalverfahren, MAXWELLsches
Dichtemittel, Meßwerterfassung
Diedergruppe
Diffeomorphismus
ANOSOV
Begriff
orientierungstreuer
Einheitskreisabbildung
Kreisabbildung
Differential
2. Ordnung, Funktion mehrerer Veränderl.
Begriff
Bogen
Haupteigenschaften
höherer Ordnung, Funkt. mehr. Veränderl.
Integrabilität
partielles
totales
vollständiges
2. Ordnung
Begriff
Fehlerrechnung
n-ter Ordnung
Differentialausdruck
Variablensubstitution
Differentialgleichung
1. Ordnung
allgemeine Lösung
allgemeines Integral
auf dem Torus
geliftete Abbildung
Stabilität
autonome
autonome lineare
BERNOULLIsche
BESSELsche
charakteristisches System
CLAIRAUTsche
gewöhnliche 1. Ordnung
partielle 1. Ordnung
definierende Gleichung
Eigenfunktion, Randwertproblem
Eigenwert, Randwertproblem
elliptischer Typ
Entwicklung nach Eigenfunktionen
EULERsche
Variationsrechnung
WEIERSTRASSsche Form
exakte
Existenzsatz
Fluß
FOURIER-Transformation
Fundamentalsystem
gewöhnliche
genäherte Integration
graphische Integration
höherer Ordnung
erstes Integral
Existenz einer Lösung
HAMILTONsche
generische Eigenschaften
Volumenerhaltung
HELMHOLTZsche
HERMITEsche
Definitionsgleichung 1
Definitionsgleichung 2
homogene
hyperbolischer Typ
hypergeometrische
implizite
Begriff
Lösung
Integral
Integralfläche
Integralkurven
Integration durch Reihenentwicklung
integrierender Faktor
konstante Koeffizienten
LAGRANGEsche
LAGUERREsche
LAPLACE-Transformation
konstante Koeffizienten
veränderliche Koeffizienten
LAPLACEsche
Feldtheorie
LEGENDREsche
lineare
1. Ordnung
2. Ordnung
Hauptsatz
homogene
inhomogene
mit periodischen Koeffizienten
n-ter Ordnung
lineare partielle, 1. Ordnung
Integration der homogenen Gleichung
Integration der inhomogenen Gleichung
lineare partielle, 2. Ordnung
allgemeine Form I
allgemeine Form II
elliptischer Typ
hyperbolischer Typ
Integrationsmethoden
Klassifikation I
Klassifikation II
mit konstanten Koeffizienten
parabolischer Typ
ultrahyperbolischer Typ
zwei unabhängige Veränderliche I
zwei unabhängige Veränderliche II
lineare, n-ter Ordnung
Erniedrigung der Ordnung I
Erniedrigung der Ordnung II
Lösung
Matrix-Differentialgleichung
Methode
schrittweise Näherung, PICARD
sukzessive Approximation
mit konstanten Koeffizienten
homogene
inhomogene
nichtlineare partielle, 1. Ordnung
vollständiges Integral
Normalform
numerische Integration
Operatorenschreibweise
Orthogonalitätsrelation
parabolischer Typ
partielle
1. Ordnung
1. Ordnung, linare
1. Ordnung, quasilineare
1. Ordnung, zwei unabhängige Veränderliche
FOURIER-Transformation
genäherte Integration
LAPLACE-Transformation
nichtlineare
partikuläre Lösung
POISSONsche
Feldtheorie
Randwertproblem
reduzierte
RICCATIsche
Richtungsfeld
SCHRÖDINGER-Gleichung
Eigenfunktion
Eigenwert
selbstadjungierte
steife
Symmetriebrechung
topologisch äquivalent
VAN-DER-POLsche
Variation der Konstanten
vollständig integrierbare
WEBERsche
Differentialgleichungen
CAUCHY-RIEMANNsche
Charakteristik des Systems
charakteristische Streifen
Feldtheorie
kanonisches System
lineare, n-ter Ordnung
Quadratur
Superpositionssatz
nichtlineare partielle, 1. Ordnung
kanonische Systeme
Normalform
Normalsystem
partielle
Anfangs- und Randbedingungen
inhomogene
inhomogene Bedingungen
Monte-Carlo-Methode
Problemstellungen
Randbedingungen
Systeme
Systeme linearer
konstante Koeffizienten
Systeme linearer, 1. Ordnung
homogene
inhomogene
Superpositionssatz
Systeme linearer, 2. Ordnung
Zerlegungssatz
Differentialoperationen
räumliche
Rechenregeln
Übersicht
Vektorkomponenten
Verknüpfungen
Differentialquotient
Differentialrechnung
Hauptsätze
Mittelwertsatz
gewöhnlicher
verallgemeinerter
Monotoniebedingungen
Differentiation
Faktorregel
Funktion einer Veränderlichen
Funktion in Parameterdarstellung
Funktion mehrerer Veränderlicher
implizite Funktionen
graphische
höherer Ordnung
inverse Funktion
Parameterdarstellung
implizite Funktion
inverse Funktion
Konstantenregel
logarithmische
mittelbare Funktionen
Produktregel
Quotientenregel
Summenregel
unter dem Integralzeichen
zusammengesetzte Funktion
Differentiationsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Funktion
einer Veränderlichen I
einer Veränderlichen II
mehrerer Veränderlicher
Tabelle
Vektoren
Differenz
Mengen
symmetrische
Differenzengleichung
2. Ordnung
Randwertaufgabe
2. Ordnung
Anfangswertaufgabe
lineare
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Randwerte
Z-Transformation
Differenzenquotient
Differenzenschema
arithmetische Reihe
Differenzenverfahren
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Differenzierbarkeit
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrer Veränderlicher
komplexe Funktion
Diffusionsgleichung
dreidimensionale I
dreidimensionale II
Diffusionskoeffizient
Dimension
auf invarianten Maßen
DOUADY-OESTERLÉ-Dimension
HAUSDORFF
Informationsdimension
Kapazitätsdimension
Korrelationsdimension
LYAPUNOV
metrische
obere punktweise
RÉNYI-Dimension
untere punktweise
Vektorräume I
Vektorräume II
verallgemeinerte
eines Maßes
Dimensionsformel, Vektorraum
DIRACsche Distribution
DIRACscher Satz
DIRICHLETsche Bedingung
DIRICHLETsches Problem
Beispiel
LAPLACEsche Differentialgleichung
POISSONsche Differentialgleichung
Variationsproblem
disjunkt
Disjunktion
Diskretisierungsfehler
globaler
lokaler
Diskretisierungsschrittweite
Diskriminante
Dispersion, Moment 2. Ordnung
Distanzmatrix
Distribution
Begriff
DIRACsche
Hinweis
nichtreguläre
reguläre
Distributionsableitung
Distributivgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Matrizen
Mengen
Ring, Körper
Tensoren
Vektormultiplikation
Divergenz
allgemeine Koordinaten
bestimmte
Definition
Reihe
unbestimmte
Vektorfeld
Vektorkomponenten
verschiedene Koordinaten
Volumenableitung
Zahlenfolge
Zentralfeld
Division
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Divisionsüberlauf
Dodekaeder
Tabelle I
Tabelle II
Doppelgerade
Doppelintegral
Anwendungen
Berechnung
kartesische Koodinaten
Polarkoodinaten
Definition
Existenzsatz
geometrische Bedeutung
Doppelpunkt, Kurve
Drehfehler
Drehspiegelung
Gruppen
Drehungsinvarianz
Begriff
Deltatensor
Drehungsmatrix
ebenes Koordinatensystem
orthogonale
räumliches Koordinatensystem
Drehungswinkel
Dreibein, begleitendes
Dreieck, ebenes
Bestimmungsgrößen
Eigenschaften
Flächeninhalt, analytische Geometrie
gleichschenkliges
gleichseitiges
Grundaufgaben
Höhe
Inkreis
Inkreisradius
Mittelinie
Mittelsenkrechte
Orthozentrum
rechtwinkliges
Bestimmungsstücke
Flächeninhalt
Trigonometrie
Sätze des EUKLID
schiefwinkliges
Flächeninhalt
Grundformeln
Strecken
Tangensformeln
Umkreisradius
Schwerpunkt
Seitenhalbierende
Begriff
Berechnung
Umkreis
vollständige Bestimmung
Winkelhalbierende
Winkelsumme
Dreieck, PASCALsches
Dreieck, sphärisches
Begriff
Berechnung
EULERsches
Grundaufgaben
rechtwinkliges
schiefwinkliges
Dreiecke, ebene
ähnliche
kongruente
Dreieckskoordinaten
Dreiecksmatrix
obere
untere
Dreiecksungleichung
für Normen
komplexe Zahlen
metrischer Raum
Normaxiome
reelle Zahlen
Vektoren
Dreieckszerlegung
Anwendungen
Einordnung
Prinzip
Dreifachintegral
Anwendungen
Berechnung
beliebige krummlinige Koordinaten
kartesische Koordinaten
Kugelkoordinaten
Zylinderkoordinaten
Definition
Existenzsatz
Dreikant
Dritter, ausgeschlossener
Druck
Schweredruck
Seitendruck
Dual
Dualisieren
Dualität
BOOLEschen Algebra
Optimierung
lineare
nichtlineare
Dualitätssatz, starker
Dualitätsprinzip
Dualraum
Dual-Zahlensystem
DUHAMELsche Formel
Durchmesser
Ellipse I
Ellipse II
Hyperbel
konjugierter
Ellipse
Hyperbel
Kreis
Parabel
Durchschnitt
Fuzzy-Mengen
Mengen
unscharfe Mengen
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Ebene
Raum
rektifizierende
Begriff
Bogenlänge
Gleichungen I
Gleichungen II
Stereometrie
Ebenen
Orthogonalitätsbedingung
parallele
Abstand
Parallelitätsbedingung
Ebenengleichung
Achsenabschnittsform
allgemeine, Raum
drei Punkte
HESSEsche Normalform
Punkt und parallele Geraden
Punkte und parallele Gerade
Punkte und senkrechte Gerade
Raum
Schnittline, von Ebenen
Vektorgleichung
Ecke
dreiseitige
konvexe
symmetrische
Eigenfunktion
FOURIER-Entwicklung
Integralgleichung
Normierung
Randwertproblem
SCHRÖDINGER-Gleichung
Eigenvektor
Begriff
Eigenwertproblem
Operator
Eigenwert
Integralgleichung
Operator
Randwertproblem
SCHRÖDINGER-Gleichung
Eigenwertproblem
allgemeines
spezielles
Eingangsgrad
Einheit, imaginäre
Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
Einheitsmatrix
Einheitsvektor
Einheitswurzel
Einhüllende
Einschrittverfahren
EINSTEINsche Summenkonvention
Einzahlung
einmalige
nachschüssige
regelmäßige
unterjährige
vorschüssige
Einzelschrittverfahren
lineare Gleichungssysteme
nichtlineare Gleichungssysteme
Einzielverfahren
Einzugsgebiet
Element
finites I
finites II
generisches
inverses
Menge
neutrales
positives, Vektorraum
singuläres
Elementardisjunktion
Elementarereignis
Elementarformel
Elementarkonjunktion
Elementbeziehung
Eliminationsprinzip, GAUSSsches
Eliminationsschritt, lineares Gleichungssystem
Ellipse
Bogenlänge, elliptisches Integral
Brennpunkt
Brennpunktseigenschaften
Durchmesser I
Durchmesser II
Eigenschaften
Flächeninhalt
Gleichung
Halbparameter
irrationale Funktion
konjugierter Durchmesser
Krümmungskreisradius
Leitlinie
Leitlinieneigenschaft
numerische Exzentrizität
Scheitel
Spezialfall der Hypozykloide
Tangente
Transformation
Umfang
elliptisches Integral
Ellipsoid
Fläche 2. Ordnung
imaginäres
Mittelpunktsfläche
Spezialfälle
Endomorphismus, Vektorraum
Endpunkt
Entartung
Entfernungsmatrix
Entropie
metrische
topologische
verallgemeinerte
Entwicklung
FOURIER-Reihe
LAURENT-Reihe
MACLAURINsche Reihe
TAYLOR-Reihe
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
zwei Veränderliche
Entwicklungskoeffizient
Entwicklungssatz
Fourier-Reihe
LAPLACEscher
Enveloppe
Epitrochoide
Epizykloide
verkürzte
verlängerte
Epsilontensor
Ereignis
Begriff
Elementarereignis
sicheres
unabhängiges
unmögliches
zufälliges
Ereignisart
Ereignismenge
Ereignissystem, vollständiges
Erfüllungsgrad
Erwartungswert
Definition
Synonyme
Erweiterungsprinzip
Erzeugende
geradlinige, Fläche
längs einer Leitkurve
Erzeugendensystem
EUKLIDischer
Algorithmus
allgemein
Kettenbruch
Polynome
Vektorraum
EUKLIDische Vektornorm I
EULER-HIERHOLZER-Satz
EULERsche
Differentialgleichung
Formel
FOURIER-Koeffizienten
Krümmung einer Fläche
Funktion
Konstante
Linie
Relation
komplexe Zahlen
Winkel
Zahlen
EULERscher Polyedersatz
EULERsches
1. Gattung
2. Gattung
Polygonzugverfahren
Evolute
einer gegebenen Kurve
Traktrix
Evolutionsfunktion
Evolutionsgleichung
Evolvente
des Kreises
oder Involute
Exponent
Exponentialfunktion
allgemeine
komplexe
reelle
natürliche
komplexe
komplexe, konforme Abbildung
reelle
Exponentialgleichung
Exponentialsumme
Exponentialverteilung
Extensionalitätsprinzip
Extrapolationsprinzip
Extremale
Krümmungsradius
Extremum, Integralausdruck
Extremwert, lokaler
Funktion einer Veränderlichen
Extremwert, relativer
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Extremwertbestimmung
Funktion einer Veränderlichen
allgemeine Regel
höhere Ableitung
Vorzeichenvergleich
Funktion mehrerer Veränderlicher
Nebenbedingungen
Funktion zweier Veränderlicher
globale Extremwerte
implizite Funktion
Exzeß, sphärischer
Exzentrizität, numerische
Ellipse
Hyperbel
Kurve 2. Ordnung
Parabel
</HTML
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Faktor
Graphen
integrierender
Polynome
Faktoralgebra
Faktorgruppe
Faktormenge
Faktorregel
Faktorring
Fakultät
Definition
Verallgemeinerung
FALKsches Schema
Falte, Spitzenbifurkation
Faltung
FOURIER-Transformation
LAPLACE-Transformation
Z-Transformation
Familie, alpha-Schnitte
Fehler
Abbruchfehler
absoluter
Begriff
Computerrechnen
Maximalfehler
Angabe
definierter Fehler
Vertrauensgrenzen
arithmetisches Mittel
Diskretisierungsfehler I
Diskretisierungsfehler II
Eingangsfehler
Einzelmessung
Genauigkeitsmaß
mittlerer
arithmetisches Mittel
einfacher
Einzelmessung
mittlerer quadratischer
arithmetisches Mittel
Begriff
Einzelmessung
Funktion
prozentualer
relativer
Begriff
Computerrechnen
Maximalfehler
Resultatfehler
Rundungsfehler
scheinbarer, Einzelmessung
Schranke
Standardabweichung
arithmetisches Mittel
Begriff
Einzelmessung
Verfahrensfehler
wahrer
Einzelmessung
wahrscheinlicher
arithmetische Mittel
Begriff
Einzelmessung
Zusammenhang zwischen Fehlerarten
Fehlerabschätzung
Fehleranalyse
differentielle
Meßergebnisse
Fehlerarten, numerische Verfahren
Fehlerfortpflanzung
Begriff
TAYLOR-Entwicklung
Fehlerfortpflanzungsgesetz
GAUSSsches
Begriff
Streuungsnäherung
Fehlerfunktion erf(x)
Fehlergleichung
Fehlerintegral, GAUSSsches
Error-Funktion erf(x)
normierte Normalverteilung
Reihenentwicklung
Fehlernormalverteilung
Fehlerorthogonalität
Fehlerquadratmethode
Approximation im Mittel
Ausgleichsrechnung
GAUSSsche, Einordnung
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Parameterbestimmung
Regressionsgerade
Fehlerquadratsumme
diskrete Aufgabe
notwendige Bedingung
Quadratmittelproblem
Fehlerrechnung
direkte Messung
gleiche Genauigkeit
ungleiche Genauigkeit
vollständiges Differential
Fehlerverteilungsdichte
FEIGENBAUM
Attraktor
Konstante
Feld
Axialfeld
COULOMB-Feld (Punktladungen)
Vektorfeld
wirbelfreies
Fluß
Gravitationsfeld (Punktmassen)
konservatives
Kreisfeld
Kugelfeld
NEWTONsches (Punktmassen)
Vektorfeld
wirbelfreies
Potentialfeld
Quellenfeld
Skalarfeld
Superposition
zentralsymmetrisches
zylindersymmetrisches
Feldfunktion
Feldlinie
Feldtheorie
Differentialgleichungen
Grundbegriffe
FEM
Fernpunkt
Festpunktzahl
Darstellung
Einordnung
FFT (schnelle FOURIER-Transformation)
FIBONACCI-Zahlen
explizite Darstellung
Folge
Iterationsvorschrift
Finanzmathematik
FISHER-Verteilung
Tabelle der Fraktile
FISHER-Verteilung
Fixpunkt
konforme Abbildung
Inversion
lineare Funktion
stabiler
Fixpunktgleichung
Fixpunktsatz
BANACH
nichtlineare Operatoren
vollständig metrischer Raum
BROUWER
SCHAUDER
Fläche
2. Ordnung
allgemeine Theorie
Gestalt
Gleichung
Invariantenvorzeichen
Mittelpunktsflächen
abwickelbare
B-B-Darstellung
Darstellung mit Splines
Differentialgeometrie
Fundamentalform
1. quadratische
2. quadratische
GAUSSsche Krümmung
geodätische Linie
geradlinige Erzeugende
abwickelbare Flächen
Begriff
Gleichung
Hauptkrümmungskreisradius
Hauptnormalschnitt
Kegelfläche
Krümmung
konstante
Kurve
mittlere
Krümmungslinie
Linienelement
Metrik
Minimalfläche
Normalenvektor
orientierte
Regelfläche
Rotationsfläche
Tangentialebene
Begriff
Gleichung
transversale
Zylinderfläche
Flächenelement
Differentialgeometrie
Integralrechnung
Tabelle, Ebene
Tabelle, Raum
Vektorkomponenten
Tabelle
Flächenformel, HERONische
Flächengleichung
allgemein
allgemeine Theorie
Normalform
Raum
Flächeninhalt
ähnlicher ebener Figuren
Doppelintegral
Dreieck, ebenes
analytische Geometrie
schiefwinkliges
Dreieck, sphärisches
sphärischer Exzess
ebene Flächen
Ellipse
Flächenstück
gekrümmtes Flächenstück
Hyperbel
Kreis
Kreisabschnitt
Kreisringteil
Kreissektor
krummlige Begrenzung
Kurvensektor
Parabel
Parallelogramm
Planimetrie
Vektoralgebra
Polyeder
Quadrat
Rechteck
Rhombus
Teilmenge
Vieleck
Flächennormale
Begriff
Gleichung
Flächenpunkt
elliptischer
hyperbolischer
Kreisfläche
Kreispunkt
Nabelpunkt
parabolischer
singulärer
Fluß
Skalarfeld
Vektorfeld
Skalarfluß
Vektorfluß
Folge
beschränkte
CAUCHY
finite
fundamentale
konvergente
metrischer Raum
metrischer Raum
Zahlenfolgen
zu Null konvergente
Form
quadratische
Formel
binomische
CARDANO
D'ALEMBERTsche
DUHAMELsche
EULERsche
FOURIER-Koeffizienten
Krümmung einer Fläche
FRENETsche
geschlossene
HERONische
KIRCHHOFFsche
LIOUVILLE
homogene lineare Differentialgleichung
inhomogene lineare Differentialgleichung
MOIVRE
Hyperbelfunktionen
komplexe Zahlen
trigonometrische Funktionen
PESINsche
Begriff
gültiger Fall
PLEMELJ, SOCHOZKI
POISSONsche
Rechteckformel
RIEMANNsche
SIMPSON-Formel
STIRLINGsche
TAYLORsche
m Veränderliche
zwei Veränderliche
Trapezformel
HERMITEsche
Formelmanipulation
Fortsetzung
analytische
linearer Funktionale
Fortsetzungssatz, lineare Funktionale
FOURIER-Analyse
FOURIER-Entwicklung
Begriff
Hinweise
Tabelle
periodische, rechteckförmige Funktionen
periodische, sägezahnförmige Funktionen
periodische, trapezförmige Funktionen
periodische, weitere Funktionen
periodische, wellenförmige Funktionen
FOURIER-Integral
äquivalente Darstellungen
Begriff
komplexe Darstellung
FOURIER-Koeffizienten
Begriff
harmonische Analyse
Hinweis
numerische Berechnung
numerischer Aufwand
FOURIER-Reihe
Begriff
HILBERT-Raum
komplexe Darstellung
Orthonormalsystem
FOURIER-Summe
Begriff
harmonische Analyse
komplexe Darstellung
FOURIER-Transformation
Additionssatz
Ähnlichkeitssatz
Begriff
Bildfunktion
bipolarer Rechteckimpuls
Exponentialfunktion I
Exponentialfunktion II
gedämpfte Schwingung
Dämpfungssatz
Definition
Differentialgleichung
gewöhnliche, lineare
partielle
Differentiation
Bildbereich
Originalbereich
diskrete komplexe
exponentielle
Begriff
Tabelle
Faltung
Integration
Bildbereich
Originalbereich
inverse
Kosinus-Transformation
Tabelle
Linearitätssatz
Rechenregeln
schnelle
Prinzip
Schema
Sinus-Transformation
Tabelle
Spektralinterpretation
spezielle Bildfunktionen
Tabellen
Hinweise
Transformierbarkeit
Übersicht
Vergleich mit LAPLACE-Transformation
Verschiebungssatz
Fraktal
Fraktil
Frames
FRÉCHET-Ableitung
FREDHOLMsche Integralgleichung 1. Art
Alternative
RIESZ-SCHAUDER-Theorie
Ansatzkoeffizienten
Approximation des Integrals
Aufgabenstellung
Eigenwerte, Eigenfunktionen
Iterationsverfahren
iteratives Verfahren
Kernapproximation
Kollokationsmethode
Kontraktionsprinzip
Lösung
Lösung der homogenen
Lösungsansatz
Lösungsansatz I
Lösungsansatz II
Lösungsmethode
lineares Gleichungssystem
NEUMANNsche Reihe
numerische Verfahren
NYSTRÖM-Verfahren
Orthonormaleigenschaft
Orthonormalsystem
gegebener Kern
Sätze
sukzessive Approximation
transponierte
zwei Orthonormalsysteme
Fremdpeilung
FRENETsche Formeln
Frequenz
Kreisfrequenz
Sinuskurve
Frequenzkopplung
Frequenzspektrum
diskretes
Funktion, FOURIER-Transformation
kontinuierliches
FRESNELsches Integral
Fundamentalform
1. quadratische der Fläche
2. quadratische der Fläche
Fundamentalmatrix
Fundamentalsatz
Algebra
elementare Zahlentheorie
Fundamentalsystem
Differentialgleichung
Funktion
abhängige
absolut integrierbare I
absolut integrierbare II
algebraische
analytische
Areafunktion
Arkusfunktion
Begriff
beschränkte
Funktionstyp
Raum
BESSELsche
Betafunktion
BOOLEsche
Wahrheitsfunktion
delta-Funktion
differenzierbare
diskrete
doppelperiodische
eigentlich monotone
einer Veränderlichen
elementare
elementare, transzendente
elliptische
Amplitudenfunktion
Arten
Begriff
Umkehrung des elliptischen Integrals
Zusammenhang mit elliptischem Integral
EULERsche
explizite Darstellung
Exponentialfunktion
elementare Funktion
Exponentialkurve
Fehlerfunktion
FOURIER-Entwicklung
Funktionenreihe
ganzrationale
1. Grades
2. Grades
3. Grades
n-ten Grades
gebrochenlineare
elementare
Kurvendiskussion
gebrochenrationale
elementare
Kurvendiskussion
gerade
GREENsche
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Grenzwert
im Unendlichen
iterierter
linksseitiger
rechtsseitiger
TAYLOR-Entwicklung
unendlicher
Grenzwertsätze
Größenordnung
Exponentialfunktion
Grad als Maß
Logarithmusfunktion
HAMILTON
klassisches System
volumenerhaltendes System
Zweikörperproblem
harmonische
HEAVISIDE
delta-Distribution
Korrelationsintegral
HERMITEsche
holomorphe
homogene
Begriff
Variationsaufgabe
Hyperbelfunktion
Zusammenhang mit trigonometrischen
hyperbolische, geometrische Definition
implizite Darstellung
integrierbare
bestimmtes Integral
meßbare
inverse
Ableitung
Ableitung höherer Ordnung
Existenz
inverse Hyperbelfunktion
Definitions- u. Wertebereiche
logarithmische Darstellung
inverse trigonometrische
Begriff
Definitions- u. Wertebereiche
logarithmische Darstellung
irrationale
Begriff
verschiedene Typen
JACOBI-Funktionen
Komplement
komplexe
algebraische
Begriff
beschränkte
Funktionentheorie
Veränderlicher
LAGRANGE
LAGUERREsche
LAPLACEsche
LEGENDREsche
lineare
ganzrationale
Polynom
logarithmische
Begriff
Eigenschaften
lokalsummierbare
MACDONALDsche
meßbare
Begriff
Eigenschaften
mehrerer Veränderlicher
Begriff
Definition
meromorphe
Begriff
JACOBIsche Funktionen
mittelbare
Ableitung
Zwischenveränderliche
Mittelwert
monoton
fallende
wachsende
nicht Fourier-transformierbare
Parameterdarstellung
Ableitung höherer Ordnung
periodische
LAPLACE-Transformation
p-fach integrierbare
Potenzfunktion
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
quadratisch summierbare
quadratische
quasiperiodische
reelle
reguläre
RIEMANNsche
simple
Stetigkeit
einseitige
im Intervall
stückweise
Stichprobenfunktion
streng monotone
Thetafunktion
transzendente
trigonometrische
alle Typen
Begriff
geometrische Definition
Reihendarstellung
Zusammenhang mit hyperbolischen
Umkehrfunktion
unabhängige
ungerade
Unstetigkeitsstelle
endlicher Sprung
hebbare Unstetigkeit
Verlauf ins Unendliche
verallgemeinerte
Begriff
Hinweis
Verteilungsfunktion
Wahrheitsfunktion I
Wahrheitsfunktion II
WEBERsche
WEIERSTRASS-Funktion
Wertebereich
Zufallsgrößen
zusammengesetzte
zyklometrische
Funktional
lineares
lineares stetiges
HILBERT-Raum
Lp-Raum
Funktionaldeterminante
Divergenz
Flächenelement in krummlinigen Koordinaten
Unabhängigkeit von Funktionen
Funktionen
System
orthogonales
orthonormiertes
Funktionentheorie
Funktionspapier
Begriff
doppelt logarithmisches
einfach logarithmisches
reziproke Skala
Fuzzy
Implikation
Inferenz
Linguistik
Logik
logisches Schließen
Regelung
Relation
Relationenprodukt
Relationsmatrix
System
Wertigkeit
Fuzzy-Menge
Ähnlichkeit
Durchschnitt
Höhe
Komplement
leere
normale
Schnitt
Darstellungssatz
subnormale
Teilmenge
Toleranz
Träger
universelle
Vereinigung
Verkettung
Verknüpfung
Verknüpfungsoperator
Fuzzy-Systeme
Anwendungen
Interpolation
</HTML
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GABOR-Transformation
GALERKIN-Verfahren
Gammafunktion
Definition
Eigenschaften
Tabelle
GAUSS
Schritt
Transformation
lineare Ausgleichsaufgabe
Normalgleichungssystem
Prinzip
GAUSS-NEWTON-Verfahren
ableitungsfreies
GAUSSsche
Fehlerquadratmethode
Ausgleichsrechnung
Einordnung
Glockenkurve
Definition
normierte Normalverteilung
Integralformel
Koordinaten
Krümmung, Fläche
Summensymbolik
Zahlenebene
GAUSSscher
Algorithmus
lineare Gleichungssysteme
numerische Lösungen
Integralsatz
GAUSSsches
Eliminationsprinzip
Eliminationsverfahren
Fehlerfortpflanzungsgesetz
Begriff
Streuungsnäherung
Fehlerintegral
Reihenentwicklung
GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Gebiet
abgeschlossenes
drei- und mehrdimensionales
einfach zusammenhängendes
mehrfach zusammenhängendes
nicht zusammenhängendes
offenes
zweidimensionales
zweifach zusammenhängendes
Gebietskollokation
Gebietsmethode
Gegenkathete
Gegenpunkt
Generalisator
Geometrie
analytische
Begriff
Ebene
Raum
Differentialgeometrie
Gerade
Begriff
Gleichung
Ebene
Raum
imaginäre
Raum
analytische Geometrie
Stereometrie
Vektorgleichung
Gerade und Ebene
Geraden
kreuzende
orthogonale
Begriff
Raum
parallele
Begriff
Ebene
Raum
Schnittpunkt, in der Ebene
senkrechte
Raum
windschiefe
Winkel zwischen
Geradenbüschel
Geradengleichung
Ebene
Achsenabschnittsform
allgemeine
durch einen Punkt
durch zwei Punkte
HESSEsche Normalform
Polarkoordinaten
projizierende Ebenen
Punkt
Richtungsvektor
senkrecht zur Ebene
Raum
Richtungskoeffizient, Ebene
Schnitt zweier Ebenen
zwei Punkte, Raum
Geradenpaar, Transformation
Gerüst
Gesamtschrittverfahren
lineare Gleichungssysteme
nichtlineare Gleichungssysteme
Gesetz der großen Zahlen
BERNOULLI
LINDEBERG-LEVY
Gewicht
Messung
Orthogonalität
Wahrscheinlichkeit
Gewichtsfaktor
GIRARD, Satz
Gitterpunkt
Splines
GIVENSsches Orthogonalisierungsverfahren
Glättungsparameter
Gleichheit
asymptotische
komplexe Zahlen
Matrizen
Mengen
Extensionalitätsprinzip
Teilmengen
Vektoren
Gleichheitsbeziehung
Identität
Gleichung
1. Grades
2. Grades
3. Grades
4. Grades
algebraische
Begriff
Eigenschaften
Grad
Lösung
Normalform
Systeme
Umformung
Wurzel
charakteristische
Differentialgleichung I
Differentialgleichung II
Eigenwertproblem
definierende
DIOPHANTische
lineare
Ebene
allgemein
im Raum
Ellipse
Fläche
2. Ordnung
allgemein
Normalform
Raum
Gerade
Ebene
Raum
Hyperbel
irrationale
KORTEWEG-DE VRIES
kubische
Normalform
Polynom
Kugel, Fläche
Kurve
2. Ordnung
algebraische, Ebene
Definitionen, Ebene
lineare
logarithmische
logistische
mit Hyperbelfunktion
n-ten Grades
nichtlineare, numerische Lösung
Operatorengleichung
PARSEVALsche
Entwicklung nach Eigenfunktionen
HILBERT-Raum
Konveregnz im Mittel
quadratische
Normalform
Polynom
Raumkurve
Definitionen
Schnitt von Flächen
Vektorform
Sinus- GORDON
Termalgebra
transzendente
trigonometrische
vektorielle
Gleichungen
DELAMBREsche
L'HUILIERsche
MOLLWEIDEsche
NEPERsche
Gleichungssystem, lineares
Austauschverfahren
Begriff
Darstellung
Fundamentalsystem
gestaffeltes
Eliminationsprinzip
numerische Lösung
homogenes
inhomogenes
Lösung
numerische Lösung
direktes Verfahren
Iterationsverfahren
triviale Lösung
überbestimmtes
lineare Ausgleichsaufgabe
numerische Lösung
unterbestimmtes
Gleichungssystem, nichtlineares
Einordnung
Iterationsverfahren
Gleitpunktzahl
Einordnung
halblogarithmische Form
IEEE-Standard
Maple
Mathematica
Glockenkurve
verallgemeinerte
Glockenkurve, GAUSSsche
gewöhnliche
verallgemeinerte
Goldener Schnitt
GORDON-sinh-Gleichung
Grad
algebraische Gleichung
s. Gradmaß
Gradient
Definition
Differentialausdrücke
Rechenregeln
Skalarfeld
Definition
verschiedene Koordinaten
Vektorkomponenten
verschiedene Koordinaten
Volumenableitung
Gradientenverfahren
Hinweis
nichtlineare Optimierung
Gradmaß
GRAEFFE-Verfahren
Graph
Baum
bewerteter
Bogen
ebener
planarer
spezielle Klasse
gemischter
gerichteter
Isomorpie
Kante
Knoten
Komponenten
Kreis
nichtplanarer
paarer
planarer
regulärer
schlichter
spezielle Klassen
stark zusammenhängender
Strom
Transportnetz
unendlicher
ungerichteter
Untergraph
Unterteilung
vollständig paarer
vollständiger
Zyklus
Graphentheorie, Algorithmen
Gravitationsfeld (Punktmassen)
GREENsche
Funktion
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Integralsätze
Methode
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Grenzpunkt
Grenzwert
Folge, metrischer Raum
Funktion
einer Veränderlichen
mehrerer Veränderlicher
iterierter
komplexe Funktion
Zahlenfolge
Grenzwertsätze
Funktionen
Zahlenfolgen
Grenzwertsatz von LINDEBERG-LEVY
Grenzzyklus
instabiler
stabiler
Großkreis
Begriff
Orthodrome
Größe
infinitesimale
Begriff
höhere Ordnung
Größenordnung
Funktion
größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Linearkombination
Polynome
Primfaktorenzerlegung
Grundaufgaben
ebene Trigonometrie
rechtwinklig sphärische Dreiecke
schiefwinklig sphärische Dreiecke
sphärische Trigonometrie
Grundgesamtheit
mathematische Statistik
zweistufige
Grundgesetze
Aussagenlogik
Mengenalgebra
Grundintegrale
Begriff
Tabelle
Grundvektor
kartesische Koordinaten
reziproker
affine Koordinaten
kartesische koordinaten
Gruppe
ABELsche
Basissatz
Definition
direktes Produkt
Gruppentafel
Untergruppen
Diedergruppe
Faktorgruppe
Homomorphiesatz
Permutationsgruppe
Tetraedergruppe
Untergruppe
zyklische
Begriff
direktes Produkt
Verallgemeinerung
Gruppen
Gruppenhomomorphismus
Gruppenisomorphismus
Gruppentafel
Gruppieren
</HTML
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Hakenintegral
Halbgruppe
Halbordnung
Vektorraum
Halbparameter
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Halbseitensatz
Halbwinkelsatz
Funktion der Seiten
Funktion des Winkels
sphärische Trigonometrie
HAMEL-Basis
HAMILTON
Differentialgleichung
Volumenerhaltung
Funktion
klassisches System
volumenerhaltendes System
Zweikörperproblem
Kreis
Operator (Quantenmechanik)
System
generische Eigenschaften
MELNIKOV-Methode
HAMMING-Abstand
HANKEL-Transformation
Übersicht
Harmonische Analyse
HASSE-Diagramm
Häufigkeit
absolute
Begriff
relative
Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Summenhäufigkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Häufigkeitsverteilung
Häufungspunkt, metrischer Raum
Hauptachsenrichtung
Hauptachsentransformation
reelle symmetrische Matrix
Tensor 2. Stufe
Hauptaufgabe
1., Triangulierung
2., Triangulierung
Hauptgröße
Hauptideal
Hauptkrümmungskreisradius, Fläche
Hauptnormale, Raumkurve
Begriff
Bogenlänge
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Hauptnormalschnitt, Fläche
Hauptsatz
Funktionentheorie
Integralrechnung
Anwendung
Definition
Hauptwert
Arkusfunktionen
CAUCHYscher
singuläre Integralgleichung I
uneigentliches Integral
Integral, uneigentliches
unbeschränkter Integrand
unendliche Integrationsgrenze
inverse Hyperbelfunktion, komplexe
inverse trigonometrische Funktion, komplexe
Logarithmus, komplexe Funktion
HAUSDORFF
Dimension
Maß
Satz
HEAVISIDE
Einheitsfunktion
Entwicklungssatz
Funktion
delta-Distribution
Korrelationsintegral
HELMHOLTZsche Differentialgleichung
HÉNON-Abbildung
Differenzengleichung
zeitdiskrete
HERMITEsche Polynome
HESSE-Matrix
HESSEsche Normalform
Ebenengleichung
Geradengleichung, Ebene
Hexadezimal-Zahlensystem
HILBERT-Raum
HIROTA-Gleichung
Histogramm
Hodograph, Vektorfunktion
Höhe
Dreieck
Kegelfiguren
Kugelteile
Polyederfiguren
Zylinderfiguren
Höhenlinie
Höhenwinkel
Hohlzylinder
HÖLDER
Stetigkeit
Ungleichung
Integrale
Reihen
HOLLADAY, Satz
Homogenitätsgrad
Homomorphiesatz
Gruppen
Ring
universelle Algebren
Homomorphismus
Algebren
universelle
Gruppen
natürlicher
Gruppen
Ringe
Ring
Vektorraum
Vektorverbände
Homöomorphismus
konjugierender
orientierungstreuer
HOPF-Bifurkation
HOPF-LANDAU-Modell der Turbulenz
HORNER-Schema
komplexe Argumentwerte
reelle Argumentwerte
zweizeiliges
HOUSEHOLDER
Orthogonalisierungsverfahren
Transformation
Tridiagonalisierung
Verfahren
diskrete Approximationsaufgabe
Quadratmittelproblem
Hufeisen-Abbildung
L'HUILIERsche Gleichungen
Hülle
abgeschlossene lineare
konvexe
lineare
transitive
Hyperbel
Asymptoten
Bogenlänge
Brennpunkt
Brennpunktseigenschaften
Durchmesser
Eigenschaften
Flächeninhalt
gleichseitige, analytische Geometrie
gleichseitige, umgekehrte Proportionalität
Gleichung
Halbparameter
irrationale Funktion
konjugierte
konjugierter Durchmesser
Krümmungskreisradius
Leitlinie
Leitlinieneigenschaft
numerische Exzentrizität
Scheitel
Tangente
Tangentenstück
Transformation
Hyperbelfunktion
Additionstheoreme
geometrische Definition
Hyperbelkosekans
Hyperbelkosinus
Hyperbelkotangens
Hyperbelsekans
Hyperbelsinus
Hyperbeltangens
inverse, logarithmische Darstellung
Reihendarstellung
Summen und Differenzen
wichtige Formeln
Zusammenhang mit trigonometrischen
Hyperbelsegment
Hyperboloid
einschaliges
geradlinige Erzeugende
Mittelpunktsfläche
hyperbolisches
zweischaliges
Mittelpunktsfläche
Hyperebene
Hyperfläche
Hyperteilraum
Hypotenuse
Hypotrochoide
Hypozykloide
verkürzte
verlängerte
</HTML
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Ideal
Begriff
Hauptideal
Idempotenzgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengen
identisch erfüllt
Identität
LAGRANGEsche
Identität
BOOLEsche Funktion
IEEE-Standard
Ikosaeder
Tabelle I
Tabelle II
Imaginärteil
Implikation
Aussagenlogik
Beweisführung
BOOLEsche Funktion
Fuzzy-Logik
Impulsfunktion
LAPLACE-Transformation
Index
Folge
Gruppenordnung
Menge
Individuenbereich
Induktionsschluß
Infimum
infinitesimal
Infixschreibweise
Inklusion
Inkommensurabilität
Inkreis
Inkreisradius
Inkrement
Innenprodukt
Instabilität
Rundungsfehler, numerische Rechnung
Integrabilität
Differential
Integrabilitätsbedingung
Integral
absolut konvergentes
Konvergenzkriterien I
Konvergenzkriterien II
EULERsches
2. Gattung
FOURIER-Integral II
FRESNELsches
gebrochenrationale Funktion
komplexe Funktion, meßbare
LEBESGUE-Integral
Eigenschaften
Vergleich mit RIEMANN-Integral
mit unbeschränktem Integranden
nichtelementare Funktion
Oberflächenintegral
Vektoranalysis
Parameterintegral
RIEMANNsches
Grenzwertbildung
Vergleich mit STIELTJES-Integral
singuläres
spezielles nichtelementares
Stammfunktion
STIELTJES-Integral
Begriff
Vergleich mit RIEMANN-Integral
Umlaufintegral
Integral, bestimmtes
Begriff
Definition
Differentiation
Existenz
Genauigkeit
Grundbegriffe
partielle Integration
Substitutionsregel
Tabelle
algebraische Funktionen
Exponentialfunktionen
logarithmische Funktionen
trigonometrische Funktionen
Vorzeichenregel
Integral, elliptisches
1. Gattung
mathematisches Pendel
Tabelle
2. Gattung
Tabelle
3. Gattung
bestimmtes
Integral nichtelementarer Funktion
Reihenentwicklung
Tabelle
unbestimmtes
unvollständiges
vollständiges
Tabelle
Integral, komplexes
Abschätzung
bestimmtes
Eigenschaften, Berechnung
geschlossener Integrationsweg
Parameterdarstellung
Unabängigkeit vom Integrationsweg
unbestimmtes
Vergleich mit Kurvenintegral 2. Art
Zusammenhang, bestimmtes-unbestimmtes
Integral, unbestimmtes
andere transzendente Funktionen
Tabelle
Begriff
elementare Funktionen
Tabelle
Exponentialfunktionen
Tabelle
Grundintegrale
Hyperbelfunktionen
Tabelle
inverse Hyperbelfunktionen
Tabelle
inverse trigonometrische Funktionen
Tabelle
irrationale Funktionen
Tabelle
Kosinusfunktionen
Tabelle
Kotangensfunktion
Tabelle
logarithmische Funktionen
Tabelle
rationale Funktionen
Sinus- und Kosinusfunktionen
Tabelle
Sinusfunktionen
Tabelle
Tabelle Grundintegrale
Tabellen
Tangensfunktion
Tabelle
trigonometrische Funktionen
Tabelle
Integral, uneigentliches
Begriff
Hinweis
unbeschränkter Integrand
divergentes
Hauptwert
konvergentes
unendliche Integrationsgrenze
Hauptwert
konvergentes
Integralausdruck
Extremum
Integrale, bestimmte
Tabelle wichtige Eigenschaften
Integralexponentialfunktion
Reihenentwicklung
Tabelle unbestimmte Integrale
Integralfläche
Integralformel
CAUCHY
GAUSS
Integralgleichung
Approximation des Integrals
Eigenfunktion
Eigenwert
FREDHOLMsche, 1. Art
Ansatzkoeffizienten
Approximation des Integrals
Aufgabenstellung
Behandlung
Eigenwerte, Eigenfunktionen
gegebener Kern
Iterationsverfahren
iteratives Verfahren
Kernapproximation
Kollokationsmethode
Kontraktionsprinzip
Lösung
Lösung der homogenen
Lösungsansatz
Lösungsansatz I
Lösungsansatz II
Lösungsmethoden
lineares Gleichungssystem
NEUMANNsche Reihe
numerische Verfahren
NYSTRÖM-Verfahren
Orthonormaleigenschaft
sukzessive Approximation
transponierte
zwei Orthonormalsysteme
homogene
inhomogene
Iterationsverfahren
Kern
ausgearteter
Begriff
iterierter I
iterierter II
Kernapproximation
Spline-Ansatz
Tensorprodukt-Approximation
Kollokationsmethode
lineare
Quadraturformel
semidiskretes Problem
Störfunktion
Träger
transponierte
VOLTERRAsche, 2. Art
Differentiation
Faltungstyp
Kontraktionsprinzip
Lösung durch Differentiation
Methode der Umwandlung
NEUMANNsche Reihe
numerische Behandlung
partielle Integration
Zusammenhang mit Differentialgleichung
Integralgleichung, singuläre
CAUCHY-Kern
ABELsche
Begriff
charakteristische
Existenz einer Lösung
Randwertproblem
transponierte
Integralkosinus
Definition
FRESNELscher, Definition
Reihenentwicklung
Integralkriterium, CAUCHYsches
Integralkurve
Differentialgleichung I
Differentialgleichung II
Integrallogarithmus
Integral nichtelementarer Funktion
Reihenentwicklung
Tabelle unbestimmte Integrale
Integralrechnung
Hauptsatz
Anwendung
Definition
Mittelwertsatz
Integralsatz
CAUCHY
mehrfach zusammenhängendes Gebiet
GAUSS
GREEN
STOKES
Integralsinus
Definition
FRESNELscher, Definition
komplexes Integral
Reihenentwicklung
Tabelle unbestimmte Integrale
Integraltransformation
Anwendung
Bildbereich
CARSON-Transformation
Übersicht
Definition
FOURIER-Transformationen
Übersicht
GABOR-Transformation
HANKEL-Transformation
Übersicht
Kern
LAPLACE-Transformation
Übersicht
Linearität
Mehrfach-Transformation
MELLIN-Transformation
Übersicht
Originalbereich
schnelle Wavelet-Transformation
spezielle
STIELTJES-Transformation
Umkehrtransformation
WALSH-Transformation
Integrand
Integraph
Integration
allgemeine Regeln
bestimmte Integrale
partielle Integration
Substitutionsregel
binomische Integranden
EULERsche Substitution
Funktion von hyperbolischen Funktionen
Funktion von trigonometrischen Funktionen
graphische
nichtelementare Funktion
im Komplexen
Methoden
reelle Integrale
Intervallregel
irrationale Funktion
Konstantenregel
lineare Transformation im Argument
logarithmische
logrithmische
nichtelementare Funktionen
Reihenentwicklung
numerische
Einfachintegral
Mehrfachintegral
partielle
partielle, LEBESGUE-Integral
rationale Funktionen
Reihenentwicklung
allgemeiner Fall
spezielle nichtelementare Funktion
Substitutionsmethode
Summenregel
Umformung des Integranden
Universalsubstitution
unter dem Integralzeichen
Vektorfelder
Vertauschungsregel
Volumen
Integrationsgrenze
obere
parameterabhängige
untere
Integrationsintervall
Integrationskonstante
Integrationsregeln
unbestimmte Integrale
Tabelle
Integrationsvariable
Begriff
bestimmtes Integral
Integrierbarkeit
Funktion
p-fache
quadratische
Intermittenz
Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Interpolation
AITKEN-NEVILLE
Fuzzy-Systeme I
Fuzzy-Systeme II
Spline, Hinweis
trigonometrische, Hinweis
wissensbasierte
Interpolationsbedingung
Interpolationsformel
LAGRANGEsche
NEWTONsche
Interpolationsquadratur
Interpolationssplines
bikubische
kubische
Interpretation, Ausdruck
Intervall
abgeschlossenes
halboffenes
Meßwerte
offenes
Statistik
Zahlen
Intervallregel
Invariante
erste quadratische Fundamentalform
Fläche 2. Ordnung
Kurve 2. Ordnung
skalare
Koordinatentransformation
Skalarprodukt
WEIERSTRASS-Funktion
Invarianz
Drehungsinvarianz
Transformationsinvarianz
Translationsinvarianz
Inverse, Vektorraum
Inverses, Gruppenelement
Inversion
Gruppen
kartesisches Koordinatensystem
konforme Abbildung
Raum
Involute
Involutivität
Inzidenzfunktion
Inzidenzmatrix
Irrationalität, algebraische
Irrfahrt
Irrfahrtsprozesse
Irrtumswahrscheinlichkeit
Chi-Quadrat-Anpassungstest
Isometrie
Isomorphie
Graphen
Vektorräume
Isomorphismus
BOOLEsche Algebra
Gruppen
Ring
universelle Algebren
Iteration
inverse
Prinzip
Iterationsverfahren
Anwendung des Kontraktionsprinzips
GAUSS-SEIDEL
gewöhnliches
Fixpunktform
Hinweis I
Hinweis II
JACOBI, Gesamtschrittverfahren
Prinzip
Relaxationsverfahren
JACOBI
Funktion
Matrix
Verfahren
Verfahren (Gesamtschrittverfahren)
Junktor
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KADOMZEV-PEDVIASHWILI-Gleichung
KAM-Theorem
Kante
Figur
Graph
Bewertung
Länge
Kantenfolge
Elementarkreis
geschlossene
Kreis
offene
Weg
Kantenwinkel
Kapazität, Bogen
Kardinalzahl
Menge
Anzahl der Elemente
Mächtigkeit
Kardioide
kartesisches Blatt
Kaskade
Periodenverdopplungen
Begriff
Toruszerstörung
Kategorie, BAIREsche
Katenoide
KDNF (kanonisch disjunktive Normalform)
Kegel
erzeugender
Fläche 2. Ordnung
geordneter Vektorraum
imaginärer
konvexer
Mittelpunktsfläche
normal
normierter Raum
regulär
solid
Stereometrie
Kegelfläche
Stereometrie
Kegelpunkt
Kegelschnitte
Kurven 2. Ordnung
Begriff
Gestalt
zerfallende
Kegelstumpf, gerader
Keil
Keilwinkel
Kennzahl
Kern
Homomorphismus
Integralgleichung
ausgearteter
iterierter I
iterierter II
lösender
Integraltransformation
Kongruenzrelation
Operator
Orthonormalsystem
Ring
Untervektorraum
Kernapproximation
Integralgleichungen
Kernmatrix
Kette
Graph
elementarer
Ordnungsrelation
Kettenbruch
Kettenlinie
Variationsaufgabe
Kettenregel
mittelbare Funktion
Vektorfunktion
Kink-Soliton
KIRCHHOFFsche Formel
KKNF (kanonisch konjunktive Normalform)
Klasse
gleichungsdefinierte
Meßwerte
Klassenmitte, Meßwerterfassung
Kleinkreis
Begriff
Bogenlänge
geometrischer Ort
Gleichung
Kurswinkel
Radius
ebener
sphärischer
Schnittpunkt
Breitenkreis
Meridian
KLEINsche Vierergruppe
kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Klotoide
Knick einer Kurve
Knickpunkt
Knoten
Abstand
dreifach zusammengesetzter
Graph
isolierter
Niveau
Phasenporträt
Quelle
Sattelknoten
Klassifizierung
Phasenporträt
Senke
Splines
stabiler
Knotenebene, SCHRÖDINGER-Gleichung
Knotengrad
Knotenpunkt
KOCHsche Kurve
Koeffizient
algebraische Gleichung
algebraischer Ausdruck
metrischer
Begriff
kartesische Koordinaten
Vektor
Koeffizientenmatrix
erweiterte I
erweiterte II
Gleichungssystem
Koeffizientenvergleich
Körper
Definition
Kollinearität, Vektoren
Kollokation
Gebietskollokation
Randkollokation
Kollokationsmethode
Integralgleichungen
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Kollokationsstelle
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Kombination
Begriff
Definition
Kombinatorik
Kommensurabilität
Kommutativgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
dyadisches Produkt von Vektoren
Matrizen
Mengen
Skalarprodukt zweier Vektoren
Vektormultiplikation
Komplement
algebraisches
Mengen
orthogonales
Annulator
HILBERT-Raum
SUGENO-Komplement
unscharfe Mengen
YAGER-Komplement
Komplementärmenge
Komplementfunktion, unscharfe
Komplementsätze
Komplementwinkel
Komplexifikation
Komplexifizierung
Komponente
kartesisches Produkt
Vektor
Konchoide
allgemeine
der Geraden
des Kreises
des NIKODEMES
Konditionszahl
Konfidenzbereich
Konfidenzintervall
Kongruenz
algebraische
ebene Figuren
Ecken
gleichsinnige
lineare
nichtgleichsinnige
Polynomkongruenz
quadratische
simultane lineare
System simultaner linearer
Kongruenzmethode
Kongruenzrelation
Kern
Kongruenzsätze
Kongruenztransformation
Konjunktion
konkav
Konklusion
Konsistenz
Begriff
Ordnung
Konstante
aussagenlogische
EULERsche
Konstanten, physikalische
Atom- und Kernphysik, Tabelle
COMPTON-Wellenlänge, Tabelle
elektrische Größen, Tabelle
Fundamentalkonstanten, Tabelle
magnetische Momente, Tabelle
Ruhmassen, Ruhenergien; Tabelle
thermodynamische, Tabelle
Wechselwirkungskonstanten, Tabelle
astronomische Größen, Tabelle
Konstantenregel
Kontonummernsystem, einheitl., EKONS
Kontradiktion
BOOLEsche Funktion
Kontraktionsprinzip
Anwendungen
Begriff
Kontrapositionsgesetz
Konvergenz
absolute
Potenzreihen
Reihen mit konstanten Gliedern
bedingte
reihen mit konstanten Gliedern
gleichmäßige
Funktionenreihe
metrischer Raum
Potenzreihe
im Mittel
Integralkriterium
Konvergenzsätze
numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen
Operatorenfolge
Ordnung
Quotientenkriterium
Reihe
allgemeine Sätze
komplexe Glieder
unendliche, komplexe Glieder
schwache
Vergleichskriterium
WEIERSTRASS-Kriterium
Wurzelkriterium
Zahlenfolge
komplexe Glieder
ungleichmäßige
Konvergenzbereich
Konvergenzintervall
Konvergenzkriterium
Anwendung auf Integrale
CAUCHY
eine Veränderliche
mehrere Veränderliche
Integralkriterium
CAUCHYsches
Hinweis
LEIBNIZ
Quotientenkriterium
Vergleichskriterium
Wurzelkriterium
Konvergenzradius
Konvergenzsätze, meßbare Funktionen
Konvertierung, Zahlensysteme
konvex
Koordinaten
affine
Begriff
Produkte
baryzentrische
DESCARTESsche
Dreieckskoordinaten
GAUSS-KRÜGER
GAUSSsche
gemischte
Geodäsie
geographische
kartesische
Ebene
Raum
Spezialfall der affinen
Übergang zu Polarkoordinaten
kontravariante
kovariante
krummlinige
auf einer Fläche
dreidimensionale
Tensoren
zweidimensionale
Kugelkoordinaten
Polarkoordinaten
ebene
räumliche
Punkt
Ebene
Raum
rein kontravariante
rein kovariante
SOLDNER
Vektor
Zylinderkoordinaten
Koordinatenachsen
Begriff
Drehung
Ebene
Raum
Koordinatenanfangspunkt
Ebene
Raum
Koordinatendarstellung
Skalarfelder
Vektorfelder
Koordinatenfläche
Begriff
Tensoren
Koordinatengleichung
ebene Kurve
Begriff
verschiedene Koordinaten
Parabel, Bogenlänge
Raumkurve
Bogenlänge I
Bogenlänge II
Raumkurve I
Raumkurve II
Koordinateninversion
Koordinatenlinie
Begriff
Tensoren
Koordinatensystem
doppelt logarithmisches
Drehung im Raum
Ebene
einfach logarithmisches
GAUSS-KRÜGER
kartesisches
dreidimensionales
zweidimensionales
Kugelkoordinaten
linkshändiges
orthogonales
orthonormiertes
Polarkoordinaten
Raum
rechtshändiges
SOLDNER
Transformation
Zylinderkoordinaten
Koordinatentransformation
kartesische
Drehung
Ebene
Parallelverschiebung
Polarkoordinaten
Raum
Kurvengleichungen 2. Ordnung
Mittelpunktskurven
parabolische Kurven
Matrixform
Vektorfelder
Koordinatenursprung
Ebene
Raum
Koordinatenvorzeichen
ebene kartesische Koordinaten
räumliche kartesische Koordinaten
Korrektor
Korrekturform, GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Korrelation, lineare
Korrelationsanalyse
Korrelationskoeffizient
Begriff
empirischer
KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
Kosekans
hyperbolischer
trigonometrischer
geometrische Definition
Kosekansfunktion
hyperbolische
trigonometrische
geometrische Definition
Kosinus
hyperbolischer
geometrische Definition
trigonometrischer
geometrische Definition
Kosinusfunktion
hyperbolische
geometrische Definition
trigonometrische
geometrische Definition
Kosinussatz
polarer
sphärischer
Kotangens
hyperbolischer
trigonometrischer
geometrische Definition
Kotangensfunktion
hyperbolische
trigonometrische
geometrische Definition
Kovarianz
Kredit
Kreis
apollonischer
Ebene
ebene Figur
gefährlicher
Gleichung
kartesische Koordinaten
Parameterdarstellung
Polarkoordinaten
Graph
Großkreis
Begriff
Orthodrome
HAMILTON
Kleinkreis
Begriff
geometrischer Ort
Spezialfall der logarithmischen Spirale
Kreisabschnitt
Kreisausschnitt
Kreisfeld
Kreisfiguren, ebene
Kreisflächenpunkt
Kreisfrequenz
Kreisfunktion, geometrische Definition
Kreiskegel
Kreispunkt
Kreisring
ebener
räumlicher
Kreissegment
Kreissektor
Kreistonnenkörper
Kreiszylinder
gerader
schräg abgeschnittener
Kriterien
Konvergenzkriterien
Teilbarkeitskriterien
KRONECKER-Produkt
KRONECKER-Symbol II
Krümmung
ebene Kurve
Fläche
Begriff
konstanter Krümmung
numerische Charakterisierung
GAUSSsche Fläche
Kurven auf einer Fläche
mittlere der Fläche
Raumkurve
Splines
minimale Gesamtkrümmung
Krümmungskreis
Krümmungskreismittelpunkt
Krümmungskreisradius
ebene Kurve
Ellipse
Extremale
Hyperbel
Kurven auf einer Fläche
Parabel
Raumkurve
Krümmungslinie, Fläche
Kryptoanalysis, klassische
Methoden
KASISKI-FRIEDMAN-Test
statistische Analyse
Kryptologie
Aufgabe
DES-Algorithmus
DIFFIE-HELLMAN-Konzept
Einwegfunktionen
IDEA-Algorithmus
Kryptosystem
mathematische Präzisierung
One-Time-Tape
RSA-Verfahren
Sicherheit von Kryptosystemen
Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
Verschlüsselung
kontextfreie
kontextsensitive
Kryptologie, klassische
Methoden
Matrixsubstitutionen
Tauschchiffren
VIGENERE-Chiffre
Substitution
monoalphabetische
monographische
polyalphabetische
polygraphische
Transposition
Kryptologie, klassische Methoden
HILL-Chiffre
KUAN
Kubikwurzel
Kugel
als Ellipsoid
Eigenschaften
metrischer Raum
Kugelabschnitt
Kugelausschnitt
Kugelfeld
Kugelflächenfunktion
Kugelfunktionen
1. Art
Definition
Eigenschaften
Tabelle
2. Art
Definition
Kugelkoordinaten
Grundlagen
Vektorfeld
Kugelschachtelungssatz
Kugelschicht
Kugelzweieck
KUHN-TUCKER-Bedingungen
Beweis
globale
lokale
KURATOWSKI-Satz
Kursgleiche
Kurswinkel
Kurve
2. Ordnung
Gleichung
Kegelschnitte
Mittelpunktskurve, Transformation I
Mittelpunktskurve, Transformation II
numerische Exzentrizität
Polargleichung
3. Ordnung
Typ I
Typ II
Typ III
4. Ordnung
Abbrechpunkt
algebraische
n-ter Ordnung
Ordnung n
algebraische, Gleichung
ARCHIMEDIsche Spirale
Areakosinus
Areakotangens
Areasinus
Areatangens
Astroide
Asymptote
asymptotischer Punkt
B-B-Darstellung
BREIT-WIGNER, Bildfunktion
CASSINIsche
Darstellung mit Splines
Definitionsformen
Ebene
Raum
Doppelpunkt
ebene
Bogenelement I
Bogenelement II
Normale
Richtung
Scheitelpunkt
Tangente
Winkel
empirische
Enveloppe
Epitrochoide
Epizykloide
Evolute
Evolvente
Evolvente des Kreises
Exponentialkurve
GAUSSsche Glockenkurve
Definition
normierte Normalverteilung
gedämpfte Schwingung
Gleichung
Ebene
komplexe Form
Raum
hyperbolische Spirale
hyperbolischer Typ
Potenzfunktion
reziproke Potenz
Hypotrochoide
Hypozykloide
Involute
isolierter Punkt
Kardioide
kartesisches Blatt
Katenoide
Klotoide
Knick
Knickpunkt
KOCHsche
Konchoide des NIKODEMES
konkave
konvexe
Kosekans
hyperbolischer
trigonometrischer
Kosinus
hyperbolischer
trigonometrischer
Kotangens
hyperbolischer
trigonometrischer
Krümmung
Krümmungskreisradius
Länge, Kurvenintegral 1. Art
Lemniskate
logarithmische
logarithmische Spirale
LORENTZ-Kurve, Bildfunktion
Mehrfachpunkt
n-ter Ordnung
algebraische
Grad I
Grad II
imaginäre
parabolischer Typ
PASCALsche Schnecke
räumliche
Bogenelement
Bogenlänge
Gleichung
Rückkehrpunkt
Raum
Schleifenserie
Sekans
hyperbolischer
trigonometrischer
Selbstberührungspunkt
semikubische Parabel
Sinus
hyperbolischer
trigonometrischer
sphärische
Berechnungen
Hodograph
sphärische Geometrie
Strophoide
Tangens
hyperbolischer
trigonometrischer
Traktrix
transzendente, Gleichung
Trochoide
Versiera der Agnesi
Wendepunkt
Zissoide
Zykloiden
Kurven
sphärische, Schnittpunkte
Spiralen
Kurvendiskussion, allgemeine
Kurvenelement
Kurve
ebene
räumliche
Kurvenintegral
1. Art
Anwendungen
Berechnung
Definition
Existenz
2. Art
Berechnung
Definition
Existenzsatz
Projektion auf die x-Achse
Projektion auf die y-Achse
Projektion auf die z-Achse
2. Gattung, allgemeiner Art
allgemeiner Art
Definition
Eigenschaften
Vektorfeld
Kurvenkonstruktion
explizit gegebene Funktion
implizit gegebene Funktion
Kurvenpunkt, ebene Kurve
Kurvenschar, Einhüllende
Kurvenuntersuchung, allgemeine
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Länge
Bogen
geographische
GAUSSsche Koordinaten
geographische Koordinaten
Intervall
Kurvenintegral 1. Art
reduzierte
Vektor
Längenverzerrung
LAGRANGE
Funktion
Satz
LAGRANGEsche
Funktionen
Identität
Interpolationsformel
Multiplikatorenmethode
LAGUERREsche Polynome II
Lambda-Operator
LANCZOS-Verfahren
LANDAU-Symbole
LAPLACE-Operator
Definition
in verschiedenen Koordinaten
Vektorkomponenten
LAPLACEsche Differentialgleichung
Feldtheorie
Potentialgleichung
LAPLACEsche Funktion
LAPLACEscher Entwicklungssatz
LAPLACE-Transformation
Ähnlichkeitssatz
Additionssatz
Bildbereich
Bildfunktion
Dämpfungssatz
Definition
Differentialgleichung
konstante Koeffizienten
partielle
veränderliche Koeffizienten
Differentiation
Bildbereich
nach einem Parameter
Originalbereich
diskrete
Divisionssatz
Faltung
Begriff
einseitige
komplexe
Impulsfunktion
Integration
Bildbereich
nach einem Parameter
Originalbereich
inverse
Begriff
verschiedene Möglichkeiten
Konvergenz
Linearitätssatz
Originalbereich
Originalfunktion
Partialbruchzerlegung
periodische Funktion
Periodisierungsfaktor
Rücktransformation mit Tabellen
Rechenregeln
Rechteckimpuls
Reihenentwicklung
Sprungfunktion
stückweise differenzierbare Funktion
Tabelle
Übersicht
Umkehrintegral
Vergleich mit FOURIER-Transformation
Vergleich mit Z-Transformation
Verschiebungssatz
LAURENT
Entwicklung, analytische Funktion
Reihe
analytische Funktion
Z-Transformation
LEBESGUE-Integral
Eigenschaften
Vergleich mit RIEMANN-Integral
LEGENDREsche
Differentialgleichung
Funktionen
assoziierte
Definition
zugeordnete
Polynome 1. Art
Definition
Eigenschaften
Nullstellen
Tabelle
LEGENDRE-Symbol
LEIBNIZsche Regel
Leistungsspektrum
Leitkurve
Leitlinie
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Traktrix
Leitlinieneigenschaft
Ellipse
Hyperbel
Kurven 2. Ordnung
Parabel
Lemma
JORDAN
Lemniskate
Doppelpunkt
Gleichung
Limes
Funktion
Reihe
superior
Zahlenfolge
linear
abhängig
unabhängig
Linearform
stetige
Vektorraum
Linearkombination
Vektoren
Begriff
Multiplikation
Linie
EULERsche
offene
geodätische
analytische Geometrie
Differentialgleichung
sphärische Geometrie
Linienelement
Fläche
Vektorkomponenten
Linienintegral
Linksdreiecksmatrix
Linksnebenklasse
Linkspol
Linksschraube
Linkssingulärvektor
Linkssystem
Linsenform, Ellipsoid
LIOUVILLE-Satz
analytische Funktion
homogene lineare Differentialgleichung
inhomogene lineare Differentialgleichung
Volumenerhaltung
LIPSCHITZ-Bedingung
Differentialgleichung 1. Ordnung
Differentialgleichung höherer Ordnung
Lösung
algebraische Gleichung
Differentialgleichung
Logarithmentafel
Logarithmieren
Logarithmus
BRIGGSscher
dekadischer
dualer
Hauptwert, komplexe Funktion
natürlicher
komplexe Funktion
reele Zahlen
NEPERscher
reelle positive Zahlen
Logik
Aussagenlogik
Fuzzy-Logik
Prädikatenlogik
logisch äquivalent
LORENTZ-Kurve
Bildfunktion
LORENZ-System
Beispiel 1, Turbulenz
Beispiel 2, Volumenerhaltung
dynamisches
Kaskade von Periodenverdopplungen
Lösungsmannigfaltigkeit
Lot, sphärisches
Loxodrome
Äquatorschnitt
Bogenlänge
Gleichung
Kurswinkel
Schnittpunkt
Äquator
Breitenkreis
Meridian
zwei Loxodromen
Lp-Raum
LR-Faktorisierung
LYAPUNOV-Exponenten
Berechnung
Definition
</HTML
DeskTop Indexseiten: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
MACDONALDsche Funktion
Mächtigkeit, Menge
MACLAURINsche Reihe
Macsyma
Majorante
Manipulation
algebraische Ausdrücke
nichtalgebraische Ausdrücke
Mannigfaltigkeit
instabile
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
stabile
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
Mantelfläche
Kegel
Kugel
Polyeder
Pyramide
Quader
Tonnenkörper
Torus
Würfel
Zylinder
Mantisse
Dezimalzahldarstellung
Logarithmus
Maple
algebraische Ausdrücke
Manipulation
Multiplikation
Attribute
Differentialgleichungen
Differentialoperatoren
Differentiation
Ein- und Ausgabe I
Ein- und Ausgabe II
Ein- und Ausgabe III
Elemente der linearen Algebra
Ergänzungen zur Syntax
Faktorenzerlegung, Polynome
feldartige Strukturen
Folgen
Formelmanipulation, Einführung
Funktionen
Gleichungen
eine Unbekannte
transzendente
Gleichungssysteme
Eigenwerte und Eigenvektoren
lineare
Gleitpunktzahlen, Konversion
Graphik
dreidimensionale
Einführung
zweidimensionale
Hauptstrukturelemente
Hilfe und Informationen
Integrale
bestimmte
Mehrfachintegrale
unbestimmte
Kontexte
Kurzcharakteristik
Listen
Manipulation, allgemeine Ausdrücke
Matrizen
numerische Berechnung, Einführung
Numerische Mathematik
Ausdrücke und Funktionen
Differentialgleichungen
Gleichungen
Integration
Objekte
Objektklassen
Operationen
auf Polynomen
wichtige
Operatoren
Funktionen
wichtige
Partialbruchzerlegung
Programmierung
Spezialpaket plots
Systembeschreibung
Tabellenstrukturen
Typen
Umgebungsvariable
Vektoren
Zahlenarten
Zahlenkonversion, verschiedene Basis
Masche, Splines
Maßstab
DIRAC
ergodisches
HAUSDORFF
invariantes
konzentriertes
LEBESGUE
natürliches
physikalisches
sigma-, endliches I
sigma-, endliches II
Träger
Wahrscheinlichkeitsmaß
Wahrscheinlichkeitsmaß, invariantes
SBR-Maß
Masse
Doppelintegral
Dreifachintegral
Kurvenintegral 1. Art
Massenmittelpunkt
Punkte der Ebene
Punkte im Raum
Maßstabsfaktor
Matching
gesättigtes
maximales
Begriff
Ermittlung
perfektes
Mathcad
Mathematica
3D-Graphik
algebraische Ausdrücke
Manipulation
Multiplikation
Apply
Attribute
Ausdrücke
Differential- und Integralrechnung
Differentialgleichungen
Differentialquotienten
Differentiation
Ein- und Ausgabe I
Ein- und Ausgabe II
Ein- und Ausgabe III
Elemente
Elemente der linearen Algebra
Faktorenzerlegung, Polynome
FixedPoint
FixedPointList
Flächen und Raumkurven
Formelmanipulation, Einführung
Funktionaloperationen
Funktionen
inverse
Gleichungen
Manipulation
transzendente
Gleichungssysteme
allgemeiner Fall
Eigenwerte und Eigenvektoren
Spezialfall
Gleitpunktzahlen, Konversion
Graphik
Einführung
Funktionen
Optionen
Primitive I
Primitive II
Hauptstrukturelemente
Integrale
bestimmte
Mehrfachintegrale
unbestimmte
Kontexte
Kopf
Kurven
Parameterdarstellung
zweidimensionale
Kurzcharakteristik
Listen
Manipulation von Matrizem
Manipulation von Vektoren
Map
Matrizen als Listen
Meldungen
Muster
Nest
NestList
numerische Berechnung, Einführung
Numerische Mathematik
Differentialgleichungen
Integration
Interpolation
Kurvenanpassung
Polynomgleichungen
Oberflächen
Objekte, dreidimensionale
Operationen, auf Polynomen
Operatoren, wichtige
Partialbruchzerlegung
Programmierung
Schreibweise
Syntax, Ergänzungen
Systembeschreibung
Vektoren als Listen
Zahlenarten
Mathematische Zeichen
Matrix
Adjazenz
adjungierte
Adjunkten
Begriff
antihermitesche
antisymmetrische
Begriff
block-tridiagonale
Diagonalmatrix
Drehungsmatrix, Koordinatensystem
Dreiecksmatrix
Dreieckszerlegung
Einheitsmatrix
Entfernungsmatrix
Exponentialfunktion
Hauptdiagonalelement
hermitesche
HESSE-Matrix
inverse
Adjunkten
Begriff
Invertierung
Inzidenz
komplexe
konjugiert komplexe
Monodromiematrix
diskrete dynamische Systeme
lineare Differentialgleichungen
normale
Nullmatrix
orthogonale
quadratische
Begriff
Eigenschaften
Rang
rechteckige
reelle
reziproke
schiefsymmetrische
schwach besetzte
selbstadjungierte
singuläre
Singulärwerte
Skalarmatrix
Spur
symmetrische
transponierte
unitäre
Valenz
Vollrang
Matrix-Gerüst-Satz
Matrixprodukt
skalares
Verschwinden
Matrizen
Addition
Assoziativgesetz, Addition
Distributivgesetz, Multiplikation mit einer Zahl
Eigenvektoren
Eigenwertaufgabe
Eigenwerte
Gleichheit
Kommutativgesetz
Addition
Multiplikation mit einer Zahl
Multiplikation zweier Matrizen
Multiplikation
mit einer Zahl
zweier Matrizen
Potenzieren
Rechenoperationen
Rechenregeln
skalares Matrixprodukt
Subtraktion
Maximum
absolutes
globales
relatives
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Maximum-Kriterium-Methode
max-min-Verknüpfung
MAXWELLsches Diagonalverfahren
Meßfehler
Meßfehlereinteilung
Meßfehlernormalverteilung
Meßfehlerverteilungsdichte
Meßprotokoll
Meßwert
Meßwerterfassung
Median
Meßwerterfassung
Stichprobenfunktionen
Mehrfachbogen
Mehrfachintegral
Begriff
Monte-Carlo-Methode
Mehrfach-Integraltransformation
Mehrfachkante
Mehrfachpunkt
Mehrschrittverfahren
Mehrzielmethode
MELLIN-Transformation
Übersicht
MELNIKOV-Methode
Membranschwingungsgleichung
Menge
abgeschlossene
Axiome
Abschließung, metrischer Raum
absorbierende
abzählbar unendliche
Begriff
beschränkte, metrischer Raum
BOREL-Menge
CANTOR-Menge
dichte
metrischer Raum
rationale Zahlen
reelle Zahlen
disjunkte
Element
Faktormenge
fundamentale
Fuzzy
ganze Zahlen
Gleichheit
Extensionalitätsprinzip
Teilmengen
gleichmächtige
invariante
chaotische
fraktale
stabile
irrationale Zahlen
kompakte
normierter Raum I
normierter Raum II
komplexe Zahlen
konvexe
Koordinaten (x,y)
leere
lineare
Mächtigkeit
meßbare
natürliche Zahlen
offene, metrischer Raum
Axiome
ordnungsbeschränkte
Potenzmenge
rationale Zahlen
reelle Zahlen
relativkompakte
Schranke
obere
untere
Teilmenge
überabzählbar unendliche
unendliche
unscharfe
Mengenalgebra, Grundgesetze
Mengenlehre
Mengenoperation
Differenz
Durchschnitt
kartesisches Produkt
Komplement
Schnitt
symmetrische Differenz
Vereinigung
Meridian
GAUSSsche Koordinaten
geographische Koordinaten
Meridiankonvergenz
Methode
BERNOULLIsche
der größten Fläche
der kleinsten Quadrate
Einordnung
der mittleren Ziffern von Quadraten
der statistischen Versuche
finite Differenzen
finite Elemente
Einordnung
Hinweis
Flächenhalbierung
GREENsche
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Integration durch Reihenentwicklung
kleinste Quadrate
MAMDANI
Maximum-Kriterium
Mean-of-Maximum
MELNIKOV
Monte-Carlo-Methode
parametrisierte Flächenhalbierung
RIEMANNsche
schrittweise Näherung, PICARD
SUGENO
sukzessive Approximation
BANACH-Raum
Differentialgleichung 1. Ordnung
FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
unbestimmte Koeffizienten
Variation der Konstanten
Metrik
Fläche
Raum
EUKLIDischer
metrischer
MEUSNIER, SATZ
Minimalfläche
Minimalgerüst
Minimum
absolutes
globales
relatives
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Mittel
arithmetisches
Begriff
Zufallsgrößen
geometrisches
gewogenes
Erwartungswert
goldenes
harmonisches
quadratisches
Mittellinie, Dreieck
Mittelpunkt
sphärischer
Strecke
Ebene
Raum
Mittelpunktsflächen
Mittelpunktskurve
Mittelpunktswinkel
Mittelsenkrechte, Dreieck
Mittelwert
Bildung
Funktion
gleichgewichteter
Stichprobenfunktionen
Zufallsgrößen
zweidimensionale Verteilung
Meßwerterfassung
Mittelwertformel
Mittelwertmethode, empirische Kurven
Mittelwertsatz
Differentialrechnung
gewöhnlicher
verallgemeinerter
Integralrechnung
verallgemeinerter
Modalwert, Meßwerterfassung
Modul
analytische Funktion
eines Elements
komplexe Zahl
Vektor
Modulo-Abbildung
MOIVREsche Formel
Hyperbelfunktionen
komplexe Zahlen
trigonometrische Funktionen
MOLLWEIDEsche Gleichungen
Moment
n-ter Ordnung
zentrales, n-ter Ordnung
Monodromie-Matrix
diskrete dynamische Systeme
lineare Differentialgleichungen
Monotonie
Funktion
Zahlenfolge
Monotoniebedingung, Differentialrechnung
Monte-Carlo-Methode
Anwendungen
gewöhnliche
Monte-Carlo-Simulation
Beispiel
Mittelwertsatz
relative Häufigkeit
MORSE-SMALE-Systeme
Multiindex
Multiplikation
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Tensoren I
Tensoren II
Multiplikationsunterlauf
Multiplikatoren
diskrete dynamische Systeme
lineare Differentialgleichungen
Multiplikatorenmethode, LAGRANGEsche
Multi-Skalen-Analyse
DeskTop Indexseiten: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Nabelpunkt
Nablaoperator
Definition
Rechenregeln
zweifache Anwendung
Näherung, asymptotische
Näherungsformeln
empirische Kurven
Reihenentwicklung
Näherungsgleichung
Näherungsmethoden
partielle Differentialgleichungen
NAND-Funktion
BOOLEsche Funktion
Nautik
Navigation
n-dimensionaler euklidischer Vektorraum Rn
Nebenbedingung
dynamische Optimierung
lineare Optimierung
Variationsrechnung
Begriff
Beispiel
Nebenwinkel
Negation
BOOLEsche Funktion
Neigungswinkel
NEPERsche Gleichungen
Neugrad
Einteilung
Geodäsie
NEUMANNsche Reihe
FREDHOLMsche Integralgleichung
Operatorenraum
VOLTERRAsche Integralgleichung
NEUMANNsches Problem
NEWTONsche Interpolationsformel
NEWTON-Verfahren
Iterationsverfahren
Korrekturform
modifiziertes
Funktionalanalysis
numerische Mathematik
nichtlineare Gleichungssysteme
nichtlineare Operatoren
nichtlineare Optimierung
Niveaufläche, Skalarfelder
Niveaulinie
Raumfläche
Skalarfelder
Nordrichtung
geodätische
geographische
NOR-Funktion
BOOLEsche Funktion
Norm
Axiome
lineare Algebra
Vektorraum
linearer Operator
Matrizennorm
Spaltensummennorm
Spektralnorm
Zeilensummennorm
zugeordnete Norm
Operator, Matrix
Restvektor
s-Norm
t-Norm
Vektornorm
Betragssummennorm
EUKLIDische Norm II
Matrizennorm
Normale
ebene Kurve
räumliche Kurve
Normalebene, Raumkurve
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Normalenabschnitt
Normalenvektor
Ebene
Fläche
Normalform
algebraisches Gleichungssystem
Ebenengleichung
Ellipsengleichung
Flächen 2. Ordnung
Geradengleichung
HESSEsche
Hyperbelgleichung
kanonisch disjunktive
kanonisch konjunktive
Kurven 2. Ordnung
Parabelgleichung
Normalgleichung
Approximation im Mittel
diskrete Aufgabe
stetige Aufgabe
Normalgleichungssystem
Approximation im Mittel
diskrete Aufgabe
Ausgleichsrechnung
stetige Aufgabe
Normalteiler
Normalverteilung
Begriff
logarithmische
normierte
Tabelle
Stichprobenmittelwerte
zweidimensionale
Normalverteilungsgesetz
Beobachtungsfehler
Normierungsbedingung, SCHRÖDINGER-Gleichung
Normierungsfaktor
Notation
Polnische
PostfixPräfixUmgekehrte Polnische
n-Tupel
Null (0)-Intervall
Nullmatrix
Nullpunkt
Nullpunktsschwingungsenergie
translationsenergie
Nullstelle, komplexe Funktion
Nullstellengleichung
Nullstellensatz, BOLZANO
Nullvektor
Numerik-Bibliothek
Numerus
Nutationswinkel
NYSTRÖM-Verfahren
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Obelisk
Oberfläche, Doppelintegral
Oberflächenintegral
1. Art
Anwendungen
Begriff
Berechnung
Definition
Existenzsatz
explizite Darstellung
Parameterdarstellung
2. Art
Begriff
Berechnung
Definition
Existenzsatz
allgemeiner Art
Definition
Eigenschaften
Berechnung
Fluß
Vektoranalysis
Volumen eines Körpers
Oberflächeninhalt
Kegel
Kugel
Polyeder
Pyramide
Quader
Tonnenkörper
Torus
Würfel
Zylinder
Oktaeder
Tabelle I
Tabelle II
Oktal-Zahlensystem
omega-Grenzmenge
Begriff
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
Operation
algebraische
arithmetische
assoziative
auf Mengen
äußere
binäre
kommutative
n-stellige
Operator
abgeschlossener
adjungierter
beschränkter Raum
normierter Raum
unbeschränkter Raum
beschränkter
demistetiger
differenzierbarer
Divergenz
endlichdimensionaler
Gamma-Operator
Gradient
HAMILTON-Operator
HAMMERSTEIN-Operator
idempotenter
inverser, Vektorraum
isotoner
Kern
koerzitiver
kompakter
kompensatorischer
kontrahierender
Lambda-Operator
LAPLACE-Operator
linearer
beschränkter
stetiger
monotoner
BANACH-Raum
positiver
Nablaoperator
NEMYTSKIJ-Operator
ODER-Operator
positiv definiter
positiver
Rotation
selbstadjungierter
singulärer
stetiger
inverser
streng monotoner
UND-Operator
URYSOHN-Operator
Vektorgradient
vollstetiger
Operatorenmethode
partielle Differentialgleichungen
Schema
Operatorenschreibweise
Differentialgleichung
Optimierung, dynamische
BELLMANNsche Funktionalgleichungen
BELLMANNsches Optimalitätsprinzip
diskrete
dynamische Nebenbedingung
Einkaufssproblem
Entscheidung
Entscheidungsvektoren
Funktionalgleichungen
Funktionalgleichungsmethode
kontinuierliche
Kostenfunktion
Minimumvertauschbarkeit
n-stufige Entscheidungsprozesse
optimale Einkaufspolitik
optimale Politik
Optimierungsprobleme
Rucksackproblem
Funktionalgleichungsmethode
Problemstellung
Separierbarkeit
statische Nebenbedingung
Zustandsvektoren
Optimierung, lineare
Basis der Ecke
Begriff
Dualität
Ecke
Eckpunkt
Eigenschaften
entartete Ecke
Formen
graphische Lösung
Grundbegriffe
Nebenbedingung
Normalform
Reihenfolgeproblem
Restriktion
revidiertes Simplexverfahren
Rundreiseproblem
Simplextableau
Simplextableau, Hilfsprogramm
Simplexverfahren
Einordnung
Prinzip
Transportproblem
Verteilungsproblem
Zuordnungsproblem
Optimierung, nichtlineare
Abstiegsverfahren
Barriereverfahren
Begriff
DFP-Verfahren
Dualität
Dualitätssatz, starker
Gradientenverfahren
projizierte Gradienten
Richtungssuchprogramm
Ungleichungsrestriktionen
zulässige Richtungen
KELLEY
konjugierte Gradienten
konvexe
Hinweis
Konvexität
KUHN-TUCKER-Bedingungen
Beweis
globale
lokale
NEWTON-Verfahren
Optimalitätsbedingung
Begriff
hinreichende
konvexe Optimierung
notwendige
und KUHN-TUCKER-Bedingungen
Prinzip der Strahlminimierung
quadratische
Regularitätsbedingung
Barriereverfahren
und KUHN-TUCKER-Bedingungen
Sattelpunkt
Schnittebenenverfahren
SLATER-Bedingung
stationärer Punkt
Strafverfahren
unrestringierten Aufgabe
Verfahren des steilsten Abstiegs
Optimierung, quadratische
FIBONACCI
Goldener Schnitt
HILDRETH- D'ESOPO
Lösungsverfahren
n-dimensionaler euklidischer Vektorraum
numerische Suchverfahren
WOLFE
Optimierungsaufgabe
duales Problem
lineare
Basisinverse
Basislösung
Basisvariable
kanonische Form
Nichtbasisvariable
Normalform
nichtlineare, konvexe
primales Problem
Optimierungsproblem, lineares
allgemeine Form
Ganzzahligkeitsforderung
Lösungspunkt
Maximalpunkt
Minimumaufgabe
Nordwestecken-Regel
Potentialmethode
Schlupfvariable
Vorzeichenfestlegung
zulässiger Bereich
Optimierungsproblem, nichtlineares
Minimalpunkt
globaler
lokaler
Problemstellung
Orbit
dynamisches System
heterokliner
homokliner
periodischer
Entstehung
hyperbolischer
sattelartiger
zweifach zusammengesetzter, periodischer
Ordinate, kartesische Koordinaten
Ebene
Raum
Ordinatenachse
Ordnung
Flächen 2. Ordnung
Kurven 2. Ordnung
Kurven n-ter Ordnung
lexikographische
partielle
Relation
vollständige
Wavelet
Ordnungsintervall
Ordnungsrelation
vollständige
OREscher Satz
Orientierung
Koordinatensystem
Zahlengerade
Ort
gegißter
geometrischer
der charakteristischen Punkte
Orthodrome
Begriff
Bogenlänge
Kurswinkel
nordpolnächster Punkt
Schnittpunkte
Breitenkreis
Meridian
Schnittpunkte zweier Orthodromen
Orthogonalisierungsverfahren
Begriff
GIVENSsches
GRAM-SCHMIDTsches
HILBERT-Raum
Hinweis
HOUSEHOLDERsches
Hinweis
lineare Quadratmittelaufgabe
lineare Ausgleichsaufgabe
lineare Quadratmittelaufgabe
Orthogonalität
beliebiger normierter Raum
Eigenschaften
Geraden
Gewicht
trigonometrischer Funktionen
Vektoren I
Vektoren II
Orthogonalitätsbedingung
Ebenen
Gerade-Ebene
Geraden im Raum
Orthogonalitätsrelation
Orthogonalpolynom
Orthogonalraum
Orthogonalsystem, vollständiges
Orthonormalsystem
FOURIER-Reihe
Orthonormierung
Zeilen- und Spaltenvektoren
Orthozentrum
Ortskoordinaten, Spiegelung
Ortskurventheorie
Oszillator, linearer harmonischer
</HTML
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Paar, geordnetes
Parabel
Bogenlänge
Brennpunkt
Eigenschaften
Flächeninhalt
ganzrationale Funktion
Gleichung
Halbparameter
irrationale Funktion
Krümmungsradius
Leitlinie
Leitlinieneigenschaft
n-ter Ordnung
numerische Exzentrizität
Paraboloid
Polynom 3. Grades
Scheitel
semikubische
Tangente
Transformation
Parabelachse
Parabeldurchmesser
Paraboloid
elliptisches
hyperbolisches
Mittelpunktsfläche
Invariantenvorzeichen
elliptisches
hyperbolisches
parabolisches
parabolisches
Rotationsparaboloid
Parallelepiped
Parallelitätsbedingung
Ebenen
Gerade-Ebene
Geraden im Raum
Parallelkreis
Parallelogramm
Parallelogrammgleichung
Parameter
allgemein
Hilfsveränderliche
statistischer
Parameterdarstellung
Funktion
Kreis
Parameterintegral
Parität
äußere
innere
PARSEVALsche Gleichung
Entwicklung nach Eigenfunktionen
Formel ( FOURIER-Transformation)
HILBERT-Raum
Konvergenz im Mittel
Partialbruchzerlegung
spezielle Fälle
Partialsumme, Reihe
Partikulärintegral
Partikularisator
PASCALsche Schnecke
Spezialfall der Hypozykloide
PASCALsches Dreieck
PEIRCE-Funktion
BOOLEsche Funktion
Pendel
FOUCAULTsches
mathematisches
Pendelgleichung
FOUCAULTsche
mathematisches Pendel
periodisch gestörte
Pentagramm
Periode
Sekans
Sinus, trigonometrischer
Sinuskurve
Tangens
Periodenverdopplungen
Flip-Bifurkation
Kaskade
logistische Abbildung
Szenarien
Periodisierungsfaktor, LAPLACE-Transformation
Peripheriewinkel
Permutation
Permutationsgruppe
Permutationsmatrix
PESINsche Formel
Begriff
gültiger Fall
Pfeildiagramm
Pharmazentralnummer
Phase
Sinuskurve
Phasenporträt
Phasenraum, dynamische Systeme
Phasenspektrum, FOURIER-Transformation
Phasenverschiebung
PICARDsches Iterationsverfahren
Pivot
Pivotelement
Austauschregeln
Simplextableau
Pivotspalte
Austauschregeln
Simplextableau
Pivotzeile
Austauschregeln
Simplextableau
Planimeter
Planimetrie
POINCARÉ-Abbildung
autonomische Differentialgleichung
nichtautonome Differentialgleichung
POISSONsche
Differentialgleichung
Feldtheorie
Formel
POISSONsches Integral
Beispiel I
Beispiel II
POISSON-Verteilung
Tabelle
Pol
analytische Funktion
auf der Kugel
Funktion
Koordinatenursprung
Polarkoordinaten, ebene
Radiusvektor
Ordnung m, komplexe Funktion
Polabstand
Polarachse
Polardreieck
Polare
Polargleichung
Kurve 2. Ordnung
Polarkoordinaten
ebene
Übergang zu kartesischen Koordinaten
räumliche
Polarnormalenabschnitt
Polarsubnormale
Polarsubtangente
Polartangentenabschnitt
Polarwinkel
Polyeder
konvexes
reguläres
Polyedersatz, EULERscher
Polygonierung
Polygonzugverfahren, EULERsches
Polynom
1. Grades
2. Grades
3. Grades
charakteristisches
Darstellung
ganzrationale Funktion
n-ten Grades
quadratisches
trigonometrisches
Polynome
BERNSTEINsche Grundpolynome
HERMITEsche
LAGUERREsche II
LEGENDREsche, 1. Art
Definition
Eigenschaften
Orthogonalsystem
Orthonormalsystem
Tabelle
TSCHEBYSCHEFFsche, Eigenschaften
Polynomgleichung
Nullstellen, numerisch
numerische Lösung
numerische Verfahren
Polynominterpolation
POSAscher Satz
positiv definit
Postfix-Notation
Potential
komplexes
Begriff
Dipol
homogenes Feld
Quelle-Senke-System
Quelle, Senke
Wirbel
konservatives Feld
retardiertes
Potentialfeld
Rotation
Potentialgleichung
Potenz
Begriff
reziproke
Potenzieren
komplexe Zahlen
reelle Zahlen
Potenzmenge
Potenzreihe
asymptotische
komplexe
komplexe Glieder
Ableitung
Integral
Konvergenz
Konvergenzkreis
Umkehrung
Potenzreihenentwicklung
analytische Funktion
LAURENT
TAYLOR
MACLAURIN
TAYLOR
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
Prä- HILBERT-Raum
Prädikat
n-stelliges
Prädikatenlogik
Präzessionswinkel
Prediktor
Prediktor-Korrektor-Verfahren
Primelemente
Primfaktorzerlegung
kanonische
Primzahl
Drillinge
Vierlinge
Zwillinge
Prinzip
CAUCHYsches
Gradientenverfahren
vollständiger metrischer Raum
der Zweiwertigkeit
kontrahierende Abbildung
NEUMANNsches
Strahlminimierung
Prisma
gerades
reguläres
Problem
CAUCHYsches
DIRICHLETsches
Begriff
Beispiel
homogenes, Wellengleichung
inhomogenes, Wellengleichung
isoperimetrisches, allgemeines
kürzester Weg
NEUMANNsches
regularisiertes
semidiskretes
STURM-LIOUVILLEsches
Problemstellung, korrekte
Produkt
direktes
Gruppen
n-faches
universelle Algebren
dyadisches
Tensoren
gemischtes (Spat-)
kartesisches
Definition
Fuzzy-Mengen
n-faches
KRONECKER-Produkt
mehrfaches, Vektoren
Produktzeichen
Rechenregeln
skalares
Matrizen
Vektoren
vektorielles
Produktansatz
Produktdarstellung
Produktkern
Produktregel
Programmierung
Computeralgebrasysteme
Maple
Mathematica
Projektionssatz
ebenes Dreieck
HILBERT-Raum
Projektor
Proportionalität
direkte
umgekehrte
Proportionen
Protokoll
Prozent
Prozentrechnung
Prüfziffer
Prüfverfahren
Chi-Quadrat-Test
Normalverteilung
Prinzip
Schätzwert
statistische
Pseudoskalar
Pseudotensor
axialer Vektor
Begriff
Pseudovektor
Punkt
asymptotischer
Berührungspunkt, metrischer Raum
der größten Annäherung
Häufungspunkt
innerer, metrischer Raum
isolierter
Kurve
metrischer Raum
Koordinaten
Ebene
Raum
n-dimensionaler Raum
nichtwandernder
rationaler
singulärer
Begriff
isolierter
Klassifizierung
stationärer
transversaler homokliner
Umgebung
uneigentlicher
Punktspektrum
Pyramide
gerade
n-seitige
reguläre
Pyramidenstumpf
PYTHAGORAS
Orthogonalität
rechtwinkliges Dreieck
schiefwinkliges Dreieck
</HTML
DeskTop Indexseiten: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
QR-Algorithmus
QR-Zerlegung
Quader
Quadrant
Quadrantenrelationen
Quadrat
Quadratmittelaufgabe
Gleichungssystem, überbestimmtes
nichtlineare, diskreter Fall
verschiedene Bezeichnungen
Quadratmittelproblem
lineares I
lineares II
lineares III
rangdefizienter Fall
Quadraturformel
Begriff
GAUSS-Typ
HERMITEsche
Integralgleichung
Interpolationsquadratur
LOBATTOsche
ROMBERG-Verfahren
Quadratwurzel
aus quadratischem Polynom
konforme Abbildung
natürliche Zahlen
Quantenzahl
Bahndrehimpuls-Quantenzahl
magnetische
Schwingungs-Quantenzahl
Quantifizierung, beschränkte
Quantil
Quantisierungsbedingung
Quantor
Quelle
diskrete dynamische Systeme
Knoten
kontinuierliche dynamische Systeme
Vektorfeld
Quellenfeld
reines
wirbelfreies
Quellenverteilung
diskrete
kontinuierliche
Quersumme
1. Stufe
2. Stufe
3. Stufe
alternierende
1. Stufe
2. Stufe
3. Stufe
Quotientenregel
</HTML
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Rabatt
Radialgleichung
Radiant
Radikal
Radikand
Radius
Kreis
Polarkoordinaten
Radiusvektor
Radizieren
komplexe Zahlen
Randbedingung
Differentialgleichung, lineare
homogene
inhomogene
Variationsrechnung
Randintegralgleichungsmethode
Randkollokation
Randmethode
Randverteilung
Randwertaufgabe
LAPLACEsche Differentialgleichung
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
POISSONsche Differentialgleichung
Randwertproblem
Eigenfunktion
Eigenwert
HILBERTsches
Begriff
homogene charakteristische Integralgleichung
homogenes
Index
inhomogene charakteristische Integralgleichung
inhomogenes
Lösung
homogenes
inhomogenes
lineares
singuläre Fälle
Rang
Matrix
Vektorraum
Rangabfall
Raum
adjungierter
bidualer
endlichdimensionaler
geordneter normierter
HILBERT
isometrischer
linearer
über einem Körper von Skalaren
Lp-Raum
mehrdimensionaler
metrischer
Abstand
Axiome
innerer Punkt
Kugel
Punkt
separabler
Teilraum
vollständiger
metrischer normierbarer
mit Skalarprodukt
Operatoren
reflexiver
RIESZscher
SOBOLEW
unitärer
Rauminversion
Skalarprodukt
Spatprodukt
Raumkurve
begleitendes Dreibein
Binormale
Begriff
Gleichungen I
Gleichungen II
Bogenlänge I
Bogenlänge II
Gleichung
Definitionen
verschiedene Formen
Hauptnormale
Begriff
Bogenlänge
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Krümmung
Krümmungskreisradius
Normalebene
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Richtung
Schmiegungsebene
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Tabelle Koordinatengleichungen I
Tabelle Koordinatengleichungen II
Tabelle Vektorgleichungen I
Tabelle Vektorgleichungen II
Tangente
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Vektorgleichung
Begriff
Vektorgleichung, Bogenlänge
Windung
Windungsradius
Raumrichtung
Vektor
Raumwinkel
RAYLEIGH-RITZ-Algorithmus
Reaktion, chemische, Konzentration
Realteil
Rechenregeln
BOOLEsche Algebra
Ereignisarten
FOURIER-Transformation
Gradient
LAPLACE-Transformation
Nablaoperator
Z-Transformation
Rechenschieber
logarithmische Skala
Prinzip
Rechnen, numerisches
Addition
Computer
Division
Genauigkeitsfragen
Grundoperationen
Multiplikation
Subtraktion
Rechteck
Rechteckformel
linksseitige
rechtsseitige
Rechteckimpuls
Anwendung des Lemmas von JORDAN
bipolarer
FOURIER-Transformation
unipolarer
FOURIER-Transformation
LAPLACE-Transformation
Rechtecksumme
Rechte-Hand-Regel
Flächenstück
Vektorprodukt
Rechtsdreiecksmatrix
Rechtsnebenklasse
Rechtspol
Rechtsschraube
Flächenstück
Schraubenlinie
Rechtssingulärvektor
Rechtssystem
Reduce
Reduktionsformeln
trigonometrische Funktionen
Regel
BERNOULLI-L'HOSPITALsche
CRAMERsche
DE MORGANsche
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengenalgebra
DESCARTESsche
1. GULDINsche
2. GULDINsche
LEIBNIZsche
linguistische
Mittelpunktsregel
NEPERsche
SARRUSsche
Regelfläche
Regeln
Teilbarkeitskriterien
Regression
lineare
mehrdimensionale
Normalgleichungssystem
Vektorschreibweise
Regressionsanalyse
Regressionsgerade
Regressionskoeffizient
Regula falsi
Regularisierungsparameter
Regularisierungsverfahren
Reihe
absolute Konvergenz
allgemeines Glied
alternierende
Konvergenzkriterium
arithmetische
1. Ordnung
k-ter Ordnung
BANACH-Raum
divergente
Divergenz
endliche
FOURIER-Reihe
Funktionenreihe
geometrische, endliche
geometrische, unendliche
Formel
Konvergenz
gleichmäßige Konvergenz
Funktionenreihe
Potenzreihe
harmonische
hypergeometrische
Integralkriterium
konstante Glieder
konvergente
Konvergenz
Integralkriterium
Quotientenkriterium
ungleichmäßige
Vergleichskriterium
Wurzelkriterium
Konvergenzbereich
Konvergenzsätze
MACLAURINsche
NEUMANNsche
FREDHOLMsche Integralgleichung
Operatorenraum
VOLTERRAsche Integralgleichung
Partialsumme
Potenzreihe
Quotientenkriterium
Restglied
Funktionenreihe
mit konstanten Gliedern
Summe
TAYLOR-Reihe
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
m Veränderliche
zwei Veränderliche
unendliche
Begriff
Kapitel
Vergleichskriterium
WEIERSTRASS-Kriterium
Wurzelkriterium
Reihenentwicklung
LAPLACE-Transformation
absolut konvergente Funktion
meromorphe Funktion
Reihenentwicklungen
algebraische Funktionen, Tabelle
Areafunktionen, Tabelle
binomische Reihe, Tabelle
negativer Exponent
positiver Exponent
Exponentialfunktionen, Tabelle
Hyperbelfunktionen, Tabelle
inverse trigonometrische Funktionen, Tabelle
logrithmische Funktionen, Tabelle
Potenzreihen, Tabelle
trigonometrische Funktionen, Tabelle
Reihenrest
Rektifizierung
Relation
antisymmetrische
Äquivalenzrelation
binäre
Fuzzy-wertige
inverse
irreflexive
Kongruenzrelation
lineare
n-stellige
Ordnungsrelation
reflexive
symmetrische
transitive
Relationenprodukt
Relationsmatrix
Relaxationsparameter
Relaxationsverfahren
Relief, analytische Funktion
REMES-Algorithmus
Rente
ewige
Begriff
Kontostand
nachschüssig konstante
Rentenbarwert
Rentenendwert
Rentenrechnung
Residualspektrum
Residuensatz
Anwendung
Prinzip
Residuum
Funktionentheorie
Gleichungssystem, überbestimmtes
lineares Quadratmittelproblem
Resolvente
Integralgleichung
Bestimmung
lösender Kern
Spektraltheorie
Resolventenmenge
Spektraltheorie
Resonanz-Torus
Rest, quadratischer modulo m
Restglied
Funktionenreihe
Reihe mit konstanten Gliedern
Restklasse
prime
primitive
Restklassenaddition
Restklassenmultiplikation
Restklassenring
Begriff
endlicher Ring
modulo m
Restspektrum
Rhombus
Richtung
ebene Kurve
Raum
Vektor
Raumkurve
vertikale
Richtungsableitung
Skalarfeld
Vektorfeld
Richtungsfeld
Richtungskoeffizient
Ebene
Tangentensteigung
Vektor
Richtungskosinus, Raum
Richtungstripel
Begriff
kartesische Koordinaten
Richtungswinkel
RIEMANN-Satz
Grenzwertbildung
Vergleich mit STIELTJES-Integral
Vergleich mit LEBESGUE-Integral
RIEMANNsche
Fläche, mehrblättrige
Formel
Funktion
Methode
RIESZ-SCHAUDER Theorie
Ring
Definition
Faktorring
Homomorphiesatz
mit Einselement
Unterring
Ringhomomorphismus
Ringisomorphismus
Risikotheorie
RITZ-Verfahren
numerische Lösung von Variationsaufgaben I
numerische Lösung von Variationsaufgaben II
Rn, n-dimensionaler euklidischer Vektorraum
ROMBERG-Verfahren
Algorithmus
Begriff
Extrapolationsprinzip
Rotation
Definition
Potentialfeld
Vektorfeld
Vektorkomponenten
verschiedene Koordinaten
Volumenableitung
Rotations-Abbildung
Rotationsfläche
Rotationsparaboloid
Rotator, raumfreier starrer
RSA-Code
Rückkehrpunkt
Rückversetzung, Winkel
Rückwärtseinschnitt
CASSINI
SNELLIUS
Rückwärtseinsetzen
lineares Gleichungssystem
RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario
Ruhelage
dynamisches System
hyperbolische
Quelle
Sattel
Senke
Rundungsfehler
RUNGE-KUTTA-Verfahren
</HTML
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Sägezahnimpuls
unipolarer
LAPLACE-Transformation
Saitenschwingungsgleichung
SARRUSsche Regel
Sattel
diskrete dynamische Systeme
kontinuierliche dynamische Systeme
Sattelpunkt
Optimierung, nichtlineare
Satz
ABEL
abgeschlossener Graph
AFRAIMOVICH-SHILNIKOV
ANDRONOV-HOPF
ANDRONOV-PONTRYAGIN
ANDRONOV-WITT
Klassifizierung periodischer Orbits
Stabilität periodischer Orbits
APOLLONIUS
ARZELA-ASCOLI
BAIRE (Kategoriensatz)
BANACH
BANACHscher Fixpunktsatz
BANACH-STEINHAUS
Basissatz
BAYES
BERGE
Beschränktheit
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
binomischer
BIRKHOFF
Ergodensatz
Omega-Algebren
BLOCK, GUCKENHEIMER, MISIURIEWICZ
BOLZANO
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
CAYLEY
Gerüste
Gruppen
Chinesischer Restsatz
DENJOY
DIRAC
DOUADY-OESTERLÉ
erste Näherung
diskrete Systeme
kontinuierliche dynamische Systeme
EUKLID (Sätze)
EUKLIDischer Algorithmus
EULER-HIERHOLZER
EULERscher Polyedersatz
FATOU
FERMAT
FERMAT-EULER
BROUWER
FLOQUET
GIRARD
GROBMAN-HARTMAN
topologische Äquivalenz
topologische Konjugiertheit
HADAMARD-PERRON
diskrete dynamische Systeme
HAHN-BANACH
analytische Form
geometrische Form
Hauptsatz der Funktionentheorie
HAUSDORFF
HELLINGER-TOEPLITZ
HILBERT-SCHMIDT
HOLLADAY
HURWITZ
Integralsatz, CAUCHY
Konstanz, analytische Funktion
KREIN-LOSANOWSKIJ
KURATOWSKI
LAGRANGE
LEBESGUE
LEIBNIZ
LERAY-SCHAUDER
LEVI, B.
LIOUVILLE
analytische Funktion
Volumenerhaltung
LYAPUNOV
Maximalwert, analytische Funktion
MEUSNIER
NEIMARK, SACKER
ORE
OSELEDEC
PALIS-SMALE
PICARD-LINDELÖF
Differentialgleichung
Integralgleichung
POINCARÉ-BENDIXSON
POSA
PYTHAGORAS
Orthogonalität
rechtwinkliges Dreieck
schiefwinkliges Dreieck
RADON-NIKODYM
RIEMANN
RIESZ
RIESZ-FISCHER
r-malige Differenzierbarkeit nach den Anfangsbedingungen
ROLLE
SCHAUDER
SCHWARZscher Vertauschungssatz
SHARKOVSKY
SHILNIKOV
SHINAI
SHGOSHITAISHVILI
SMALE
TAYLOR
eine Veränderliche
TSCHEBYSCHEFF
TUTTE
Variation der Konstanten
vollständige Wahrscheinlichkeit
WEIERSTRASS
Approximationssatz
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Konvergenz einer Reihe
WILSON
WINTNER-CONTI
Zentrumsmannigfaltigkeit
Abbildungen
Differentialgleichungen
Zerlegungssatz
Schaltalgebra
Schaltfunktion
Schaltwert
Schätzwert
SCHEFFER-Funktion
BOOLEsche Funktion
Scheitel
ebene Kurve
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Scheitelwinkel
Schema, FALKsches
Schießverfahren
einfaches
Schleifenfunktion
Schleppkurve
Schlinge, Graph
Schluß von n auf n+1
Schmiegkreis
Schmiegungsebene, Raumkurve
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Schnitt
Fuzzy-Menge
goldener
Menge
unscharfe Menge
Schnittebene
Schnittkreis
Schnittmenge
Fuzzy-Mengen
Schnittpunkt
drei Ebenen
Ebene und Gerade
Geraden im Raum
Geraden in der Ebene
vier Ebenen
Schnittwinkel
SCHOENFLIESS-Symbolik
Schranke
Funktion
Menge
unscharfe
Zahlenfolge
Schraubenlinie
Schrittweite
Schrittweitenparameter
Schrittweitensteuerung
SCHRÖDINGER-Gleichung
lineare
nichtlineare
Begriff
Lösung
Separationsansatz
zeitabhängige
zeitunabhängige
Schwankung, Funktion
SCHWARZ-CHRISTOFFELsche Formel
SCHWARZscher Vertauschungssatz
SCHWARZsches Spiegelungsprinzip
Schwerpunkt
beliebige ebene Figur
Bogenstück
Dreieck, ebenes
ebene Figuren
geschlossene Kurve
1. GULDINsche Regel
2. GULDINsche Regel
materielle Punkte der Ebene
materielle Punkte im Raum
Rotationskörper
Trapez
Schwerpunktkoordinaten
Doppelintegral
Dreifachintegral
Kurvenintegral 1. Art
Schwerpunktmethode
parametrisierte
verallgemeinerte
Schwingung, harmonische
Schwingungsdauer
mathematisches Pendel
Sinuskurve
Sehne
Sehnentangentenwinkel
Sehnenviereck
Sehnenwinkel
Seitenfläche
Seitenhalbierende, Dreieck
Begriff
Trigonometrie
Seitenkosinussatz
Sekans
hyperbolischer
trigonometrischer
geometrische Definition
Sekansfunktion
hyperbolische
trigonometrische
geometrische Definition
Sekante
Sekantentangentenwinkel
Sekantenwinkel
Sektorformel
Selbstähnlichkeit
Selbstberührungspunkt
Semiorbit, dynamisches System
Senke
diskrete dynamische Systeme
Knoten
kontinuierliche dynamische Systeme
Vektorfeld
Sensitivität bezüglich der Anfangswerte
Separabilität, metrischer Raum
Separationsansatz
Begriff
SCHRÖDINGER-Gleichung
Separationskonstante
SCHRÖDINGER-Gleichung
Separatrix
Sattel-Sattel-Separatrix, Auflösung
Separatrixfläche
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
Separatrixschleife
Begriff
Satz von SHILNIKOV
Sexagesimaleinteilung
Shift-Abbildung
Begriff
chaotisches Verhalten
Sicherheit, statistische
Chi-Quadrat-Anpassungstest
Stichprobenmittelwert
SIERPINSKI
Drachen
Teppich
sigma-Additivität
sigma-Algebra
BORELsche
Signal
Signalanalyse
Signatur, universelle Algebra
Signifikanz
Simplexmultiplikator
Simplexschritt, revidierter
Simplextableau
Hilfsprogramm
revidiertes
Simplexverfahren
Variable, künstliche
SIMPSON-Formel
Simulation
digitale
Monte-Carlo-Simulation
Singleton
Singulärwerte
Matrix
Singulärwertzerlegung
Singularität
analytische Funktion
außerwesentliche, komplexe Funktion
hebbare, analytische Funktion
isolierte, komplexe Funktion
wesentliche
analytische Funktion
komplexe Funktion
Sinus
hyperbolischer
geometrische Definition
trigonometrischer
geometrische Definition
Sinusfunktion
hyperbolische
geometrische Definition
trigonometrische
geometrische Definition
Sinus- GORDON-Gleichung
Begriff
Lösung
Sinus-Kosinussatz
gewöhnlicher
polarer
sinusoidale Größen
Sinussatz
ebene Trigonometrie
sphärische Trigonometrie
Skala
Begriff
einfach logarithmische
logarithmische
Skalar
Begriff
Drehinvarianzeigenschaft
Invarianz I
Invarianz II
Skalarfeld
Axialfeld
ebenes
Gradient
Definition
verschiedene Koordinaten
Koordinatendarstellung
Richtungsableitung
Zentralfeld
Skalarmatrix
Skalarprodukt
HILBERT-Raum
kartesische Koordinaten
Koordinatendarstellung
Normalgleichungssystem
Rauminversion
Tensor 0. Stufe
Vektoralgebra
Vektoren, Matrixform
Vektorraum, EUKLIDischer
Skalengleichung
SOBOLEW-Raum
Soliton
Antikink
Antisoliton
BOUSSINESC
BURGERS
HIROTA
KADOMZEV-PEDVIASHWILI
Kink
Kink-Antikink
Dublett
Kollision
Kink-Gitter
Kink-Kink-Kollision
KORTEWEG-DE VRIES
nichtlineares, SCHRÖDINGER
Solitonen
Wechselwirkung
SOR-Verfahren
Spaltenpivotisierung
Spaltensummenkriterium
Spaltenvektor
Spannungstensor
Spannweite
Meßwerterfassung
Stichprobenfunktionen
Spatprodukt
kartesische Koordinaten
Koordinatendarstellung
Pseudoskalar
Spektralradius
Spektrum
Funktion, FOURIER-Transformation
Funktionalanalysis
kontinuierliches
stetiges
lineare Operatoren
Spiegelsymmetrie, Ebene
Spiegelung
am Punkt
an der Geraden
Ortskoordinaten
Spiegelungsprinzip, SCHWARZsches
Spirale
ARCHIMEDIsche
hyperbolische
logarithmische
asymptotischer Punkt
Polarkoordinaten
Spiralen
Spline-Interpolation
Hinweis
Spline-Koeffizienten
Splines
Ausgleichssplines
B-B-Flächendarstellung
Basissplines
bikubische
bikubische Ausgleichssplines
bikubische Interpolationssplines
Gitterpunkt
Interpolationssplines
kubische
kubische Ausgleichssplines
kubische Interpolationssplines
Masche
natürliche
normalisierte B-Splines
periodische
Sprung, endlicher
Sprungfunktion
Anwendung des Lemmas von JORDAN
LAPLACE-Transformation
Spur, Matrix
Stabilität
absolut stabil
erste Näherung
LYAPUNOV
numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen
orbitale
Rundungsfehler, numerische Rechnung
Störung der Anfangswerte
strukturelle
Differentialgleichungen
disktere Systeme
Stabschwingungsgleichung
Stammfunktion
Standardabweichung
arithmetisches Mittel
Einzelmessung
Gewicht
arithmetisches Mittel
Einzelmessung
Gewichtseinheit
Moment 2. Ordnung
Startpunkt
Stationierung, freie
Statistik
beschreibende
mathematische
Begriff
Einordnung
Fehlertheorie
Schätzwert
Stichprobenfunktion
STEFFENSEN-Verfahren
Steigung, Tangente
Steradiant
Stereometrie
Stetigkeit
absolutstetig
elementare Funktionen
Exponentialfunktionen
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
ganzrationale Funktionen
gebrochenrationale Funktionen
HÖLDERsche
inverse trigonomtrische Funktionen
irrationale Funktionen
komplexe Funktion
logarithmische Funktionen
mittelbare Funktion
Polynome
trigonometrische Funktionen
zusammengesetzte elementare Funktionen
Stichprobe
Begriff
Umfang
zufällige
Stichprobenfunktion
STIELTJES-Integral
Begriff
Vergleich mit RIEMANN-Integral
STIELTJES-Transformation
STIRLINGsche Formel
Stochastik
STOKESscher Integralsatz
Störung
Strahl
Strahlpunkt
Strecke
Streifen, charakteristische
Streuung
Definition
Hinweis
Meßwerterfassung
Moment 2. Ordnung
Stichprobenfunktionen
Synonyme
zweidimensionale Verteilung
Strichliste
Strom, Bogen
Stromfunktion
Strophoide
Strudel
Einordnung
Phasenporträt
Sattelstrudel
Klassifizierung
Phasenporträt
zusammengesetzter
Strudelpunkt
Struktur
algebraische
klassische algebraische
Stufenwinkel
STURM-LIOUVILLEsches Problem
STURMsche
Funktion
Kette
Kette, Anwendung
Stützfunktional
Stützhyperebene
Stützpolygon
Stützstelle
äquidistante
Polynominterpolation
Subnormale
Substitution
binomischer Integrand
EULERsche
Integration
Funktion von hyperbolischen Funktionen
Funktion von trigonometrischen Funktionen
irrationale Funktion
Universalsubstitution
von Variablen
Differentialausdrücke
kartesische in Polarkoordinaten
Subtangente
Subtraktion
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Tensoren I
Tensoren II
Summe
Rechenregeln
Summenzeichen
Summenkonvention, EINSTEINsche
Summenregel
Summensymbolik, GAUSSsche
Superposition
Felder
komplexe Potentiale
nichtlineare
Schwingungen
Superpositionssatz, Differentialgleichungen
lineare, n-ter Ordnung
System, linearer inhomogener, 1. Ordnung
System, linearer inhomogener, n-ter Ordnung
Supplementsätze
Supplementwinkel
Supremum
Symbol
KRONECKER II
LANDAU
LEGENDRE
Symmetrie
axiale
Spiegelzentrale
Symmetriebrechung
Differentialgleichung
Symmetrieelement
Symmetriegruppe
Symmetrieoperation
Drehspiegelung
Drehung
ohne Fixpunkt
Spiegelung
System
Differentialgleichungen
Charakteristik
charakteristisches
kanonisches
lineare homogene
lineare inhomogene
lineare, konstante Koeffizienten
Zurückführung auf
kognitives
lineares
Normalgleichungen
orthogonales
orthonormiertes
trigonometrisches
vier Punkte
vollständiges
HILBERT-Raum
Wahrscheinlichkeitsrechnung
wissensbasierte Interpolation
System, dynamisches
Abbildung auf dem Einheitskreis
Bewegung
chaotisches
Fraktale
metrischer Raum
nach DEVANEY
Cr-glattes
dissipatives
ergodisches
invertierbares
konservatives
Kreisabbildung
Standardform I
Standardform II
Standardform III
laminare Phase
LORENZ
mischendes
Begriff
Diffeomorphismus
Rotationszahl
stetiges
turbulente Phase
Turbulenz
volumenerhaltendes
volumenschrumpfendes
Windungszahl
zeitdiskretes
zeitdynamisches
zeitkontinuierliches
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Tabelle mit doppeltem Eingang
Tangens
hyperbolischer
geometrische Definition
trigonometrischer
geometrische Definition
Tangensformeln
Tangensfunktion
hyperbolische
geometrische Definition
trigonometrische
geometrische Definition
Tangenssatz
Tangente
ebene Kurve
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Raumkurve
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Tangentenabschnitt
Tangentenneigungswinkel
Differentialgeometrie
Differentialquotient
Tangentensteigung
Tangentenstück
Hyperbel
Tangentenviereck
Tangentenwinkel
Tangentialebene
Begriff
Fläche
Begriff
Gleichungen
Gleichung
Kugel
vollständiges Differential
Tangiermeridian
Tautologie
Aussagenlogik
BOOLEsche Funktion
Prädikatenlogik
TAYLOR
Entwicklung
analytische Funktion
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
Grenzwertbildung
Vektorfunktion
zwei Veränderliche
Formel
eine Veränderliche
Reihe
eine Veränderliche I
m Veränderliche
zwei Veränderliche
Teilbarkeit
Teilbarkeitskriterien
Bezeichnungen
Regeln
Teilbarkeitsregeln, elementare
Teiler
größter gemeinsamer (ggT)
Linearkombination
Polynome
Primfaktorenzerlegung
positiver
teilerfremd
indirekter Beweis
Polynome
Teilgraph
Teilmenge
konvexe
Teilraum
affiner
Teilung
äußere
innere
stetige
Strecke
Ebene
Raum
Telegrafengleichung
Tensor
0. Stufe
1. Stufe
2. Stufe
Addition I
Addition II
antisymmetrischer
Definition
Deltatensor
dyadisches Produkt
Eigenwert
Epsilontensor
invarianter
Komponenten
Multiplikation I
Multiplikation II
n-ter Stufe
Rechenregeln I
Rechenregeln II
schiefsymmetrischer
bezgl. zweier Indizes
Spur
Subtraktion I
Subtraktion II
symmetrischer
bezgl. zweier Indizes
Verjüngung I
Verjüngung II
Tensoren
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Tensorinvariante
Tensorprodukt
Splines
Vektoren
Term
Termalgebra
Termersetzungssystem
Testaufgabe, lineare
Tetraeder
Stereometrie
System aus vier Punkten
Tetraedergruppe
Teufelstreppe
Theorem
KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER
STURMsches
Thetafunktion
Tilgung
Tilgungsrechnung
Toleranz
Tonnenkörper
parabolischer
topologisch
äquivalent
konjugiert
Torus
Abspaltung
AVRAIMOVICH-SHILNIKOV-Satz
Funktion des Bifurkationswertes
adäquater Phasenraum
Auflösung
Glattheitsverlust
invariante Menge
m-dimensionaler
eingebetteter
Resonanz-Torus
Stereometrie
Volltorus
vom Torus zum Chaos
Träger
kompakter
Träger
Funktion
Geradenbüschel
Zugehörigkeitsfunktion
Trägermenge
Trägheitsmoment
Doppelintegral
Kurvenintegral 1. Art
Trägheitstensor
Trajektorie, dynamisches System
Traktrix
Transformation
geometrische
HOPF-COLE
HOUSEHOLDER
lineare
Abbildung, Vektorräume
Koordinatensystem
rechtwinklige Koordinaten
Wavelet-Transformation
Transformationsdeterminante
Transformationsinvarianz
Transformationsverfahren
Eigenwertprobleme
Translationsinvarianz
Begriff
Deltatensor
Transportnetz
Trapez
Trapezformel
HERMITEsche
numerische Integration
Trapezimpuls
unipolarer
LAPLACE-Transformation
Trapezsumme
HERMITEsche
numerische Integration
Trennbarkeit, Mengen
Trennungssätze
Triangulierung
Geodäsie
Methode der finiten Elemente
Tridiagonalisierung
Triederecke
Trochoide
TSCHEBYSCHEFF-Satz
TSCHEBYSCHEFF-Approximation
Aufgabe
diskrete
Prinzip
stetige
Vorgehen
TSCHEBYSCHEFF-Polynom
Eigenschaften
Formel
TSCHEBYSCHEFF-Ungleichung, gewöhnliche
Turbulenz
HOPF-LANDAU-Modell
LORENZ-System
TUTTE-Satz
Typ, universelle Algebra
</HTML
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Überdeckung, offene
Überschiebung
Tensor I
Tensor II
Ultra-Fuzzy-Set
Umfang
Ellipse
Ellipse, elliptisches Integral
Kreis
Umformung, identische
Umgebung, Punkt
Umkehrfunktion
Hyperbelfunktionen
trigonometrische
Umkreis
Dreieck
Definition
Radius
Viereck
Umkreisradius
Umlaufintegral
Begriff
Hinweis
Vektorfeld
Verschwinden
Umlaufsinn, Figur
Unabhängigkeit, lineare
Gleichungen
Vektorräume
zweier Merkmale, Test
Unabhängigkeit
lineare, Vektorraum
unendlich
abzählbar unendlich
Begriff
überabzählbar unendlich
Ungleichung
1. Grades
2. Grades
allgemeiner Fall
Lösungen
arithmetisches und geometrisches Mittel
arithmetisches und quadratisches Mittel
Auflösung
BERNOULLIsche
BESSELsche
binomische
CAUCHY-SCHWARZsche
Dreiecksungleichung
HÖLDERsche
Integrale
Reihen
MINKOWSKIsche
Integrale
Reihen
reine
SCHWARZ-BUNJAKOWSKIsche
TSCHEBYSCHEFFsche
Erwartungswerte
verallgemeinerte
TSCHEBYSCHEFFsche
gewöhnliche
Typ I
Typ II
verschiedene Mittelwerte
Ungleichungen
gleichsinnige
spezielle
Transitivität
ungleichsinnige
Unsicherheit
absolute
Fuzzy-Logik
relative
Unstetigkeit, hebbare
Unstetigkeitsstelle
Unterdeterminante
Untergraph
induzierter
Untergruppe
triviale
zyklische
Untergruppenkriterium
Unterraum, des Vektorraumes
Unterraumkriterium
Unterring
Begriff
trivialer
Unterringkriterium
Untervektorraum
instabiler
diskrete Systeme
lineare Differentialgleichungen
stabiler
diskrete Systeme
lineare Differentialgleichungen
Urliste
Meßprotokoll I
Meßprotokoll II
Urnenmodell
</HTML
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Vagheit
Valenzmatrix
VAN-DER-POLsche Differentialgleichung
Variable
abhängige
Funktion
Spaltenvektor
Aussagenvariable
BOOLEsche
freie
gebundene
linguistische
unabhängige
Definition
Funktion
Spaltenvektor
Variablentrennung
Begriff
SCHRÖDINGER-Gleichung
Varianz
Moment 2. Ordnung
Variation
Begriff
Definition
Variation der Konstanten
Differentialgleichung n-ter Ordnung
Satz
Variationsaufgabe
allgemeinere
einfache
einfache, mehrere Veränderliche
Funktionen mehrerer Veränderlicher
höhere Ableitungen
mehrere Ableitungen
mit Nebenbedingungen
numerische Lösung
Parameterdarstellung
positiv homogene Funktion
RITZ-Verfahren I
Variationsgleichung
LYAPUNOV-Exponenten
Methode der finiten Elemente
Stabilität von Ruhelagen
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
Variationsproblem
1. Ordnung
Begriff
DIRICHLETsches
höherer Ordnung
Parameterdarstellung
Variationsrechnung
1. Variation
2. Variation
Anwendungen in der Physik
Ergänzungen
Varietät
Vektor
Absolutbetrag
axialer
Begriff
Spieglungsverhalten
Begriff
Differentiationsregeln
ebenes Flächenstück
Einheitsvektor
freier
Funktionalanalysis
gebundener
gemischtes Produkt
Grundvektor
kollinearer
komplanarer
Komponenten
konjugierter
Koordinaten
Länge
linienflüchtiger
linkssingulärer
Matrix
Modul
Multiplikation
Nullvektor
orthogonaler
polarer
Begriff
Spiegelungsverhalten
Radiusvektor
rechtssingulärer
reziproker
reziproker Grundvektor
skalar invarianter
Spaltenvektor
Tensor 1. Stufe
Zeilenvektor
Zerlegung
Vektoralgebra
Vektoranalysis
Vektordiagramm, Schwingungen
Vektoren
Dreiecksungleichung
dyadisches Produkt
Kollinearität
Kommutativgesetz
dyadisches Produkt
Skalarprodukt
Skalarprodukt
Matrixform
Tensorprodukt
Winkel zwischen
zyklische Vertauschung
Vektorfeld
Divergenz
dynamisches System
kartesische Koordinaten
Komponenten
Koordinatendarstellung
Kreisfeld
Kugelkoordinaten
punktförmige Quellen
Quelle
Richtungsableitung
Rotation
Senke
sphärisches
Umlaufintegral
zentrales
Zylinderkoordinaten
zylindrisches
Vektorfunktion
Ableitung
Hodograph
lineare
skalare Variablen
TAYLOR-Entwicklung
Vektorgleichung
Ebene
Gerade
Raumkurve
Begriff
Tabelle I
Tabelle II
Raumkurve, Bogenlänge
Vektorgradient
Definition
Nablaoperator
Vektoriteration
Vektorpotential
Vektorprodukt
doppeltes
kartesische Koordinaten
Koordinatendarstellung
Multivektor
Vektoralgebra
Vektorraum
aller beschränkten Zahlenfolgen
aller finiten Zahlenfolgen
aller konvergenten Zahlenfolgen
aller zu 0 konvergierenden Folgen (Nullfolgen)
Axiome
B(T)
C([a,b])
C(k)([a,b])
EUKLIDischer
Folgen
F(T)
geordneter
Gesetze
Halbordnung
Inklusionen
Kn
komplexer
M(N)
n-dimensionaler
reeller
über einem Körper
über einem Körper von Skalaren
s aller Zahlenfolgen
unendlichdimensionaler
Vektorverband
geordneter Raum
homomorpher
normierter
Vektorzerlegung
kartesische Koordinaten
VENN-Diagramm
Verband
distributiver
Vereinigung
Mengen
unscharfe Mengen
Vereinigungsmenge
Verfahren
ADAMS-BASHFORTH
Ansatzverfahren
Austauschverfahren
BAIRSTOW
Bisektionsverfahren
CHOLESKY
Quadratmittelproblem, Hinweis
symmetrische Koeffizientenmatrix
GALERKIN-Verfahren
GAUSS-NEWTON
ableitungsfreies
GAUSS-SEIDEL
GRAEFFE
HOUSEHOLDER
diskrete Approximationsaufgabe
Quadratmittelproblem
Iterationsverfahren
JACOBI-Verfahren (Eigenwertbestimmung)
LANCZOS-Verfahren
MILNE
NEWTON
Iterationsverfahren
modifiziertes, numerische Mathematik
modifiziertes,Funktionalanalysis
nichtlineare Gleichungssysteme
Orthogonalisierung
GRAM-SCHMIDTsches
HOUSEHOLDER
Prediktor-Korrektor
RITZ-Verfahren
numerische Lösung von Variationsaufgaben I
numerische Lösung von Variationsaufgaben II
ROMBERG-Verfahren
RUNGE-KUTTA
SOR-Verfahren
STEFFENSEN
Transformationsverfahren, Eigenwertbestimmung
Vergleichsfunktion
eine Veränderliche
zwei Veränderliche
Verifizieren, Beweisführung
Verjüngung
Tensor I
Tensor II
Verkettung
Verknüpfung
max-average
max-min
max-prod
Verknüpfungsoperator
Verknüpfungsprodukt
Verknüpfungsregeln
Verschlüsselungsverfahren, RSA
Versicherungsmathematik
Versiera der Agnesi
Vertauschung, zyklische
Seiten und Winkel
Vektoren
Vertauschungssatz, SCHWARZscher
Verteilung
Binomialverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
Tabelle der Quantile
diskrete
Exponentialverteilung
FISHER-Verteilung
Häufigkeitsverteilung
hypergeometrische
logarithmische Normalverteilung
Normal-Verteilung
POISSON-Verteilung
stetige
Stichprobenmittelwerte
STUDENT-Verteilung
Tabelle der Quantile
t-Verteilung
Tabelle der Quantile
WEIBULL-Verteilung
Verteilungsdichte
Meßfehler
Verteilungsfunktion
diskrete Zufallsgrößen
Eigenschaften
stetige
kontinuierliche Zufallsgrößen
Vertrauensgrenze
Mittelwert
Begriff
bekannte Streuung
unbekannte Streuung
Regressionskoeffizient
Streuung
Vervollständigung
Vieleck
ähnliches
ebenes
Flächeninhalt
Inkreisradius
Innenwinkel
regelmäßiges
Seitenlänge
Umkreisradius
Zentriwinkel
Außenwinkel
Vielfaches
kleinstes gemeinsames (kgV)
Vielflach
Viereck
allgemeines
Definition
Vierergruppe, KLEINsche
VIETA, Wurzelsatz
Vollwinkel
ebener
räumlicher
VOLTERRAsche Integralgleichung 2. Art
Differentiation
Faltungstyp
Kontraktionsprinzip
Lösung durch Differentiation
Methode der Umwandlung
NEUMANNsche Reihe
numerische Behandlung
partielle Integration
theoretische Grundlagen
VOLTERRAscher Integraloperator
Volumen
Doppelintegral
Dreifachintegral
Hohlzylinder
Kegel
Keil
Kugel
Obelisk
Polyeder
Prisma
Pyramide
Quader
Teilmenge
Tetraeder
Tonnenkörper
Torus
Würfel
Zylinder
Volumenableitung
Divergenz
Gradient
Rotation
Volumenelement
beliebige Koordinaten
kartesische Koordinaten
Kugelkoordinaten
Tabelle
Vektorkomponenten
Zylinderkordinaten
Volumenintegral
Volumenskala
Vorwärtseinschnitt
auf der Kugel
durch zwei Strahlen
ohne Visier
Vorzeichenfunktion
vrai sup
</HTML
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Wahrheitsfunktion
Äquivalenz
BOOLEsche Funktion
Disjunktion
Implikation
Konjunktion
NANDNegation
NORWahrheitsfunktionen
Wahrheitstafel
Wahrheitswert
Wahrscheinlichkeit
bedingte
Definition
Flächeninterpretation
vollständige
Wahrscheinlichkeitsdichte
Wahrscheinlichkeitsintegral
Wahrscheinlichkeitsmaß
ergodisches
invariantes
Wahrscheinlichkeitspapier
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einordnung
WALSH-Funktionen
WALSH-Systeme
Wärmeleitungsgleichung
CAUCHY-Problem
eindimensionale
homogener Stab
LAPLACE-Transformation
Wavelet
DAUBECHIES-Wavelets
orthogonales
Wavelet-Transformation
diskrete
diskrete HAAR-Wavelet-Transformation
dyadische
schnelle
WEBERsche Funktion
Wechselwinkel
Wechselwirkung
Solitonen
Teilchen
Weg, Funktion der Geschwindigkeit
Weg, Graph
alternierender
zunehmender
WEIBULL-Verteilung
WEIERSTRASS
Funktion
Kriterium
Satz
Approximationssatz
Funktion einer Veränderlicher
Funktion mehrerer Veränderlicher
Welle, ebene
Wellenfunktion
klassische Wellen
Schrödingergleichung
Wärmeleitungsgleichung
Wellengleichung
eindimensionale, FOURIER-Transformation
Wellenlänge, Sinuskurve
Wendepunkt
Bestimmung
Funktion einer Veränderlichen
Kurvendiskussion
Regeln
Wendepunkte
Einordnung
WENN-DANN-Regel
Wert, wahrer
Wertebereich, Funktion
Wertesystem
wertverlaufsgleich
Windung, Raumkurve
Windungsradius, Raumkurve
Winkel
an Geraden
an Parallelen
Begriff
Bezeichnungen
Bogenmaß
ebene Kurven
Ebenen
ebener
entgegengesetzte
EULERsche
Gegenwinkel
Gerade und Ebene
Geraden, Raum
gestreckter
Raumwinkel
rechter
Rückversetzung
spitzer
Stufenwinkel
stumpfer
überstumpfer
zwischen
ebenen Kurven
Raumkurven
Vektoren
Gradmaß
Winkelhalbierende
Dreieck
Begriff
Berechnung
Winkelkosinussatz
Winkelsumme
ebenes Dreieck
sphärisches Dreieck
Wirbelfeld
quellenfreies
reines
Wirbellinien
Wirbelpunkt
Wort, Kodierung
Worthalbgruppe
WRONSKI-Determinante
Fundamentalsystem von Lösungen
lineare Differentialgleichung
Würfel
Wurzel
Begriff
Gleichung n-ten Grades
komplexe Zahl
reele Zahl
Wurzelbaum
Wurzelkriterium
Wurzelsatz, VIETAscher
Wurzelziehen
</HTML
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XOR-Funktion
BOOLEsche Funktion
Z-Transformation
Tabelle
Zahl pi
Zahlen
BERNOULLIsche
EULERsche
FIBONACCI-Zahlen
Iterationsvorschrift
ganze
imaginäre
irrationale
Entdeckung
Zahlengerade
komplexe
Addition
Argument
Division
Exponentialform
Hauptwert
Modul
Multiplikation
Potenzieren
Radizieren
Subtraktion
trigonometrische Form
konjugiert komplexe
natürliche
Primzahlen
rationale
reelle
transzendente
zusammengesetzte
Zahlendarstellung, interne
Zahlenebene
GAUSSsche
komplexe
beliebige Abbildung
konforme Abbildung
Zahlenfolge
Bildungsgesetz
Divergenz
finite
Glieder
Grenzwert
Konvergenz
monotone
Schranke
Zahlengerade
erweiterte
Zahlenintervall
Zahlensystem
Bildungsgesetz
Computer
Dezimalsystem
Dualsystem
Hexadezimalsystem
Oktalsystem
polyadisches
Zahlentheorie
Zeichen, mathematische
Zeichendarstellung, interne
Zeichenregel, kartesische
Zeilensummenkriterium
Zeilenvektor
Zeit-Frequenz-Analyse
Zelt-Abbildung
Zenit
Zenitwinkel
Zentralfeld
Zentralwert, Stichprobenfunktionen
Zentriwinkel
Begriff
Berechnung, Kreisabschnitt
Zentrum
Zentrumsmannigfaltigkeit
Abbildungen
Differentialgleichungen
Zerlegung
Äquivalenzklasse
CHOLESKY
orthogonale
Vektoren
Zerlegungssatz
Differentialgleichungen
Zielfunktion, lineare
Zielpunkt
Zigarrenform, Ellipsoid
Zinsen
Zinseszins
Zinseszinsrechnung
Zinssatz
Zissoide
Z-Transformation
Anwendungen
Bildfunktion
Dämpfung
Definition
Differentation
Differenzenbildung
Faltung
Faltungsatz
Integration
inverse
Name
Originalfolge
Rechenregeln
Summation
Translation
Vergleich mit LAPLACE-Transformation
Z-transformierbar
Zufallserscheinung
Zufallsgröße
Begriff
diskrete
kontinuierliche
stetige
unabhängige
Zufallsvektor
mathematische Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsveränderliche
Begriff
mehrdimensionale
unabhängige
Zufallszahlen
Erzeugung
gleichverteilte
Monte-Carlo-Simulation
Pseudozufallszahl
Tabelle
verschiedene Verteilungen
Zugehörigkeitsfunktion
Begriff
Beispiele
glockenförmige
trapezförmige
Zugehörigkeitsgrad
Zustand
entarteter
stationärer
Teilchen
Zuwachsfunktion
Zweieck, sphärisches
Zweifachintegral
Zweiflach
Zweikörperproblem
Zwischenveränderliche
Zwischenwertsatz
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Zykloide
Basis
gewöhnliche
kongruente
verkürzte
verlängerte
Zykloiden
Zyklus, Kette
Zylinder
elliptischer
Fläche 2. Ordnung
hyperbolischer
Invariantenvorzeichen
elliptischer
hyperbolischer
parabolischer
parabolischer
Stereometrie
Zylinderabschnitt
Zylinderfläche
Gleichung
Mantel
Zylinderfunktion
Tabelle
Zylinderhuf
Zylinderkoordinaten
Grundlagen
Vektorfeld
Dissipative Bäcker-Abbildung
Sei
ein Parameter und
das Einheitsquadrat. Die Abbildung
(17.49)
heißt dissipative Bäcker - Abbildung . Zwei Iterationen der Bäcker -Abbildung sind in der folgenden Abbildung zu
sehen.
Man erkennt die entstehende ,,Blätterteigstruktur ``. Die Menge
Punkte aus
werden von
Für das dynamische System
ist invariant unter
und alle
angezogen. Der Wert für die HAUSDORFF-Dimension ist
existiert auf
ein invariantes Maß
.
, verschieden vom LEBESGUE-Maß. In
den Punkten, wo die Ableitungen existieren, erhält man die JACOBI-Matrizen
Hieraus ergeben sich die Singulärwerte
und, demzufolge, die
LYAPUNOV-Exponenten (bezüglich des invarianten Maßes
. Damit gilt für die
LYAPUNOV-Dimension
. Die PESINsche Formel für die metrische Entropie stimmt hier, d.h., es gilt
.
Abbildungen
Eine Abbildung (oder Funktion)
von einer Menge
Zuordnungsvorschrift, die jedem Element
Abbildung
als zweistellige Relation zwischen
Abbildung von
nach
in eine Menge
eindeutig ein Element
und
(Bezeichnung
) ist eine
zuordnet. Man kann eine
auffassen:
heißt
falls gilt:
(5.82)
und
(5.83)
Die Funktion
heißt eineindeutig (oder injektiv ), falls zusätzlich gilt:
(5.84)
Während bei einer Abbildung nur verlangt wird, daß jedes Original nur ein Bild hat, bedeutet Injektivität, daß auch
jedes Bild nur ein Original besitzt.
Die Funktion
heißt Abbildung von
auf
(oder surjektiv ), falls gilt:
(5.85)
Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv . Für bijektive Abbildungen
ist die inverse
die sogenannte Umkehrabbildung von
Relation eine Abbildung
Das Relationenprodukt, auf Abbildungen angewandt, charakterisiert die Hintereinanderausführung von Abbildungen:
Sind
und
Abbildungen, so ist
eine Abbildung von
nach
und es gilt
(5.86)
Man beachte die Reihenfolge von
und
in dieser Gleichung (unterschiedliche Handhabung in der Literatur!).
Lineare Operatoren und Funktionale
●
●
●
Abbildungen
Homomorphismus und Endomorphismus
Isomorphe Vektorräume
Chaotisches System nach Devaney
Sei
ein dynamisches System im metrischen Raum
System
bzw. die Menge
mit kompakter invarianter Menge
heißt chaotisch im Sinne von DEVANEY, wenn gilt:
a)
ist topologisch transitiv auf
, d.h., es gibt einen positiven Semiorbit, der dicht in
b)
Die periodischen Orbits von
liegen dicht in
.
c)
ist auf
sensitiv bezüglich der Anfangswerte im Sinne von GUCKENHEIMER, d.h.,
liegt.
. Das
(17.51)
Beispiel
BERNOULLI-Shift-Abbildung: Gegeben sei der Raum der
Für zwei Folgen
Damit wird
und
-
-Folgen
sei der Abstand
ein vollständiger metrischer Raum, der außerdem kompakt ist. Die Abbildung
heißt BERNOULLI- Shift-Abbildung .
Die Shift-Abbildung ist chaotisch im Sinne von DEVANEY.
Unterabschnitte
●
●
Äquivalente und geliftete Abbildung
Rotationszahl:
Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
Äquivalente und geliftete Abbildung
Beim Glattheitsverlust und Zerfall eines Torus spielen die Eigenschaften invarianter Kurven der POINCARÉ-Abbildung
eine wichtige Rolle. Stellt man die POINCARÉ-Abbildung in Polarkoordinaten dar, so erhält man unter gewissen
Voraussetzungen losgekoppelte Abbildungen der Winkelvariablen als aussagefähige Hilfsabbildungen auf dem
Einheitskreis. Diese sind im Falle glatter invarianter Kurven (obere Abbildung) umkehrbar und im Falle nichtglatter
Kurven (untere Abbildung) nicht umkehrbar.
Eine Abbildung
mit
, die das dynamische System
(17.77)
erzeugt, heißt äquivariant . Jeder solcher Abbildungen läßt sich auch eine Abbildung auf dem Einheitskreis
mit
die Äquivalenzklasse
zuordnen. Dabei ist
die Beziehung
gilt. Man bezeichnet
, wenn für
als eine von f geliftete Abbildung .
Offenbar ist diese Zuordnung nicht eindeutig. Sei
(17.78)
das zu
gehörige dynamische System.
Beispiel
Sind
und
zwei Parameter, so sei die Abbildung
für alle
durch
definiert. Das zugeordnete dynamische System
(17.79)
läßt sich durch die Transformation
auf das System
(17.80)
mit
überführen. Mit
die die Standardform der Kreisabbildung erzeugt.
liegt eine äquivariante Abbildung vor,
Rotationszahl:
Der Orbit
ein
von (17.77) ist genau dann ein
-Zyklus von (17.77) ist, d.h., wenn eine ganze Zahl
Die Abbildung
, und dieser Grenzwert hängt nicht von
definiert werden. Ist
zwei von
geliftete Abbildung ist.
gibt, die
geliftete Abbildungen, so gilt
als
ab. Es kann deshalb der
ein Homöomorphismus und sind
, wobei
der letzten Eigenschaft läßt sich die Rotationszahl (oder Windungszahl )
Homöomorphismus
gilt.
aus (17.77) ein monoton wachsender Homöomorphismus, so existiert für jedes
der Grenzwert
sowie
, wenn er
existiert, so daß
heißt orientierungstreu , wenn es eine zugehörige geliftete Abbildung
monoton wachsend ist. Ist
Ausdruck
- periodischer Orbit von (17.78) in
eine ganze Zahl ist. Aufgrund
eines orientierungstreuen
definieren, wobei
eine beliebige von
Ist
in (17.78) ein orientierungstreuer Homöomorphismus, so hat die Rotationszahl folgende
Eigenschaften (s. Lit. 17.12):
a)
Hat (17.78) einen
-periodischen Orbit, so existiert eine ganze Zahl
, so daß
ist.
b)
Ist
, so hat (17.78) eine Ruhelage.
Ist
, wobei
(17.78) einen
-periodischen Orbit.
c)
, ganzzahlig und
eine natürliche Zahl ist (
und
teilerfremd), so hat
d)
ist genau dann irrational, wenn (17.78) weder einen periodischen Orbit noch eine Ruhelage besitzt.
Satz von DENJOY: Ist
irrational, so ist
ein orientierungstreuer
-Diffeomorphismus und ist die Rotationszahl
topologisch konjugiert zu einer reinen Drehung, deren geliftete Abbildung
lautet.
Satz von Hadamard und Perron für diskrete Systeme
Der Satz von HADAMARD und PERRON für diskrete Systeme in
beschreibt Eigenschaften der
Separatrixflächen:
Ist
eine hyperbolische Ruhelage von (17.3) vom Typ
verallgemeinerte
-glatte Flächen der Dimension
aussehen. Die Orbits von (17.3), die für
hinreichend kleine Umgebungen von
tangiert in
, so sind
bzw.
oder
für
oder
bzw. den instabilen Untervektorraum
Beispiel
, die lokal wie
nicht gegen
den stabilen Untervektorraum
.
und
-glatte Elementarflächen
streben, verlassen
. Die Fläche
bzw.
für
von
für
Betrachtung des folgenden zeitdiskreten dynamischen Systems
(17.23)
aus der Familie der HÉNON-Abbildungen. Die beiden hyperbolischen Ruhelagen von (17.23) sind
und
. Es sollen lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeiten von
bestimmt werden. Mit der Variablentransformation
mit der Ruhelage
System
der JACOBI-Matrix
, so daß
bzw.
geht (17.23) in das
über. Den Eigenwerten
entsprechen die Eigenvektoren
und
ist. In dem Ansatz
wird
gesucht. Aus
Potenzreihe
als
folgt
. Dies führt zu einer Bestimmungsgleichung für die Koeffizienten der Zerlegung
von
, wobei
ist. Der prinzipielle Verlauf der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit ist in der folgenden
Abbildung zu sehen (s. auch Lit. 17.6).
Hufeisen-Abbildung
Die Hufeisen-Abbildung
tritt in Verbindung mit POINCARÉ-Abbildungen auf, die transversale Schnitte von stabilen
und instabilen Mannigfaltigkeiten beinhalten.
Das Einheitsquadrat
wird zunächst in einer Koordinatenrichtung linear gestreckt und in der
anderen Richtung gestaucht. Anschließend wird das erhaltene Rechteck in der Mitte gebogen (s. Abbildung).
Wiederholt man diese Prozedur ständig, so entsteht eine Folge von Mengen
, für die
eine kompakte unter
Mit Ausnahme eines Punktes läßt sich
invariante Menge darstellt, die alle Punkte aus
lokal als Produkt ,,Linie
anzieht.
CANTOR-Menge`` beschreiben.
Homomorphismen und Isomorphismen
Zwischen algebraischen Strukturen werden nicht beliebige, sondern ,,strukturerhaltende`` Abbildungen betrachtet:
und
1. Gruppenhomomorphismus: Es seien
heißt Gruppenhomomorphismus , wenn für alle
Gruppen. Eine Abbildung
gilt:
(5.102)
Als Beispiel sei der Multiplikationssatz für Determinanten erwähnt:
(5.103)
Dabei ist auf der linken Seite der Gleichung die Multiplikation reeller Zahlen (ungleich Null) und auf der rechten Seite
die Multiplikation von regulären Matrizen gemeint.
2. Kern: Ist
ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge
die auf das neutrale Element von
erweist sich als Normalteiler von
.
abgebildet werden, Kern von
aller Elemente von
genannt. Der Kern von
3. Gruppenisomorphismus Ist ein Gruppenhomomorphismus
Gruppenisomorphismus , und die Gruppen
und
darüber hinaus bijektiv, so heißt
heißen zueinander isomorph (Bezeichnung:
). Es gilt: ker
Isomorphe Gruppen sind von gleicher Struktur, d.h., sie unterscheiden sich nur durch die Bezeichnung ihrer
Elemente.
Beispiel
Die symmetrische Gruppe
und die Diedergruppe
sind zueinander isomorphe Gruppen der
Ordnung 6 und beschreiben die Deckabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks.
Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene
Eine Funktion
(14.31a)
gilt als definiert, wenn die zwei Funktionen
sind. Die Funktion
Funktion
jeder Punkt
und
reeller Veränderlicher definiert und bekannt
braucht nicht analytisch zu sein, wie das bei der konformen Abbildung gefordert wird. Die
definiert eine neue komplexe Zahlenebene. Man sagt, sie bildet die
wird in einem ihm entsprechenden Punkt
-Ebene in die
-Ebene ab, d.h.,
abgebildet.
a) Transformation der Koordinatenlinien: Koordinatenlinien transformieren sich gemäß:
(14.31b)
b) Transformation geometrischer Gebilde: Geometrische Gebilde wie Kurven oder Gebiete der
-Ebene
transformieren sich zu Kurven oder Gebieten der
-Ebene, also zu gleichartigen geometrischen Gebilden:
(14.31c)
Mit
ist der Parameter bezeichnet.
Beispiel
Für
gehen die Geraden
also in die Geraden
. Die Geraden
(s. Abbildung).
über in
gehen über in die Geraden
,
Die schraffierte Fläche in der linken Abbildung wird auf die schraffierte Fläche in der rechten Abbildung
abgebildet.
c) RIEMANNsche Fläche: Ist die Funktion
mehrdeutig, wie z.B. die Funktionen
, so erfolgt die Abbildung auf eine entsprechende Anzahl übereinander liegender
Ebenen. Jedem Funktionswert der -Ebene entspricht ein Punkt auf einer dieser Ebenen. Die Ebenen sind
durch Kurven miteinander verbunden; ihre Gesamtheit wird mehrblättrige RIEMANNsche Fläche genannt
(s. Lit. 14.16).
Beispiel
: Überstreicht der Radiusvektor
die volle
, d.h.
dann überstreicht der zugehörige Radiusvektor
die obere
-Halbebene. Erst bei einem zweiten Durchlauf der
durchlaufen. Diese Zweideutigkeit von
-Ebene, d.h.
bezüglich
-Ebene wird die volle
,
, nur
-Ebene
wird dadurch behoben, daß man
zwei -Ebenen übereinanderlegt und längs der aufgeschnittenen negativen reellen Achse gemäß
der folgenden Abbildung miteinander verbindet.
Die so entstehende Fläche heißt RIEMANNsche Fläche der Funktion
Verzweigungspunkt. Der Wertevorrat von
zweiblättrigen RIEMANNschen Fläche ausgebreitet.
. Der Nullpunkt heißt
liegt in entsprechender Weise auf der
Konforme Abbildung
●
●
●
●
●
Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung
Einfachste konforme Abbildungen
Schwarzsches Spiegelungsprinzip
Komplexe Potentiale
Superpositionsprinzip
Konforme Abbildung durch affine Differentialtransformation
Die Zuordnung zwischen
und
geschieht durch die affine Differentialtransformation
(14.9a)
und in Matrizenschreibweise
(14.9b)
Wegen der CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen hat A die Gestalt der
Drehungs- Streckungsmatrix:
(14.10a)
(14.10b)
(14.10c)
(14.10d)
(14.10e)
Exponentialfunktion
Die konforme Abbildung in der Form der Exponentialfunktion
(14.18a)
lautet in Polarkoordinaten
(14.18b)
Mit
folgt:
(14.18c)
Wenn
bis
die Werte von
und
von
bis
bis
Ebene abgebildet (s. Abbildung).
durchläuft und
von
. Ein Parallelstreifen der Breite
bis
variiert, dann durchläuft
der
die Werte
-Ebene wird auf die gesamte
-
Gebrochenlineare Funktion
Für die konforme Abbildung in der Form der gebrochenlinearen Funktion
(14.13a)
kann die Transformation in drei Schritte zerlegt werden:
(14.13b)
(14.13c)
(14.13d)
Es werden wieder Kreise in Kreise überführt ( Kreisverwandtschaft ), wobei Geraden als Kreise mit
aufgefaßt werden. Fixpunkte dieser konformen Abbildung sind die beiden Punkte, die der quadratischen Gleichung
genügen. Sind die Punkte
und
Spiegelpunkte in bezug auf den Kreis
der
-Ebene,
dann sind ihre Bildpunkte
von
und
in der
-Ebene ebenfalls Spiegelpunkte in bezug auf den Bildkreis
. Das orthogonale Netz, das in das orthogonale kartesische Netz zurückführt, ist in der folgenden Abbildung
dargestellt.
Inversion
Bei der Inversion genannten konformen Abbildung
(14.12)
geht ein Punkt
Winkel
der
-Ebene mit dem Radius
in einen Winkel
in einen Punkt
der
-Ebene mit dem Radius
. Die orthogonalen Netze der Transformation zeigt die Abbildung.
über, ein
Daraus folgt, daß diese Transformation eine Spiegelung an einem Kreis mit dem Radius
Abbildung zeigt die Spiegelung am Einheitskreis.
bewirkt. Die folgende
Bei dieser Inversion geht ein Punkt
Punkt
mit dem Radius
innerhalb des Kreises mit dem Radius
über, der auf der Verlängerung des gleichen Radiusvektors
Abstand
Der Einheitskreis der
vom Mittelpunkt
in einen
außerhalb des Kreises liegt und den
hat.
-Ebene geht in den Einheitskreis der
-Ebene mit
über (s. Abbildung).
Allgemein gehen Kreise in Kreise über, wobei Geraden als Grenzfälle mit
zu den Kreisen gerechnet
werden. Punkte, die im Innern des Kreises liegen, werden zu äußeren Punkten und umgekehrt. Der Punkt
über, d.h., die Konformität ist hier gestört. Die Fixpunkte der konformen Abbildung sind
geht in
und
.
Einfachste konforme Abbildungen
In diesem Abschnitt werden neben den Transformationen und ihren wichtigsten Eigenschaften die Kurvenbilder
isometrischer Netze angegeben, d.h. solcher Netze, die in ein orthogonales kartesisches Netz übergehen. Dabei sind
die Ränder solcher
-Gebiete durch Schraffur gekennzeichnet, die auf die obere Hälfte der
werden. Schwarz dargestellte Gebiete gehen durch die konforme Abbildung in ein Quadrat der
Koordinateneckpunkten
●
Lineare Funktion:
und
über (s. Abbildung).
-Ebene abgebildet
-Ebene mit den
●
●
●
●
●
●
●
●
Inversion
Gebrochenlineare Funktion
Quadratische Funktion
Quadratwurzel
Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion
Logarithmus
Exponentialfunktion
Schwarz-Christoffelsche Formel
Lineare Funktion:
Für die konforme Abbildung in der Form der linearen Funktion
(14.11a)
kann die Transformation der
- in die
-Ebene in drei Schritten durchgeführt werden:
(14.11b)
(14.11c)
(14.11d)
Insgesamt geht dabei jede Figur in eine geometrisch ähnliche Figur über. Die Punkte
für
und
gehen in sich selbst über und heißen deshalb Fixpunkte . Die Abbildung zeigt das orthogonale
Netz, das in das orthogonale kartesische Netz übergeht.
Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion
Die konforme Abbildung
(14.16a)
kann mit Hilfe der Polarkoordinatendarstellung
und Trennung von Real- und Imaginärteil gemäß (14.8)
zu
(14.16b)
umgeformt werden. Kreise mit
der
-Ebene (s. linke Abbildung) gehen in die konfokalen
Ellipsen
(14.16c)
der
-Ebene (s. rechte Abbildung) über.
Brennpunkte sind die Punkte
der reellen Achse. Für den Einheitskreis mit
-Ebene in die zweifach durchlaufene Strecke
Äußere des Einheitskreises wird auf die volle
entartet die Ellipse der
der reellen Achse. Sowohl das Innere als auch das
-Ebene mit dem Schnitt
abgebildet, so daß die
Umkehrfunktion zweideutig ist:
(14.16d)
Die Geraden
der
-Ebene (s. die folgende linke Abbildung) werden in die konfokalen Hyperbeln
(14.16e)
mit den Brennpunkten
abgebildet (s. rechte Abbildung).
Die den Koordinatenhalbachsen der
Achse
-Ebene
und in die hin und zurück durchlaufenen Intervalle
entsprechenden Hyperbeln arten in die
der reellen Achse aus.
Logarithmus
Die konforme Abbildung in der Form der Logarithmusfunktion
(14.17a)
lautet in Polarkoordinaten
(14.17b)
Aus der Darstellung in Polarkoordinaten erkennt man, daß die Koordinatenlinien
aus den konzentrischen Kreisen um den Nullpunkt der
-Ebene verlaufen, hervorgehen.
und
-Ebene und aus den Strahlen, die durch den Nullpunkt der
Das isometrische Netz ist ein polares Netz.
Die Logarithmusfunktion
ist unendlich vieldeutig. Beschränkt man sich auf den Hauptwert von
, dann geht die gesamte
-Ebene in einen Streifen der
begrenzt wird, wobei die letztere mit eingeschlossen ist.
in
-Ebene über, der von den Geraden
Quadratische Funktion
Die konforme Abbildung mittels der quadratischen Funktion
(14.14a)
lautet in Polarkoordinaten
(14.14b)
und als Funktion von
und
(14.14c)
Aus der Darstellung (14.14b) in Polarkoordinaten ist ersichtlich, daß bereits die obere Hälfte der
volle
-Ebene abgebildet wird, d.h., die gesamte
-Ebene geht in die zweifach überdeckte
Die Darstellung in kartesischen Koordinaten zeigt, daß die Koordinaten der
aus den in der
hervorgehen (s. Abbildung).
-Ebene
-Ebene zueinander orthogonalen Hyperbelscharen
-Ebene auf die
-Ebene über.
und
und
Fixpunkte dieser konformen Abbildung sind
konform.
und
. An der Stelle
ist die Abbildung nicht
Quadratwurzel
Die konforme Abbildung
(14.15)
in der Form der Quadratwurzel aus
der
überführt die gesamte
-Ebene entweder in die obere oder untere Halbebene
-Ebene, d.h., die Funktion ist doppeldeutig. Die Koordinaten der
-Ebene gehen aus zwei zueinander
orthogonalen Scharen konfokaler Parabeln mit dem Brennpunkt im Nullpunkt der
bzw. negativen reellen Koordinatenhalbachse als Achse hervor (s. Abbildung).
-Ebene und mit der positiven
Fixpunkte der Abbildung sind
und
. Im Punkt
ist die Abbildung nicht konform.
Schwarz-Christoffelsche Formel
Durch die SCHWARZ-CHRISTOFFELsche Formel
(14.19a)
wird das Innere eines Polygons mit den
-Halbebene abgebildet (s. Abbildung).
Außenwinkeln
der
-Ebene auf die obere
Mit
sind die den Ecken des Polygons zugeordneten Punkte der reellen Achse der
-Ebene bezeichnet, mit
die Integrationsvariable. Der orientierte, also durch eine Richtung ausgezeichnete Rand des Polygons geht bei der
Abbildung in die orientierte reelle Achse der
-Ebene über. Für große Werte von
verhält sich der Integrand wie
und ist im Unendlichen regulär.
Da die Summe aller Außenwinkel eines
-Ecks gleich
ist, gilt:
(14.19b)
Die komplexen Konstanten
und
bewirken eine Drehstreckung und eine Verschiebung, hängen aber nicht
von der Form, sondern nur von Größe und Lage des Polygons in der
Drei Punkte der
-Ebene
dürfen frei drei beliebigen Punkten der
zugeordnet werden. Ordnet man einem Eckpunkt des Polygons in der
fernen Punkt der
-Ebene, also
-Ebene ab.
-Ebene
-Ebene, z.B.
zu, dann ist der Faktor
, einen unendlich
wegzulassen. Wenn das
Polygon ausartet, z.B. dadurch, daß sich ein Eckpunkt im Unendlichen befindet, dann ist der zugehörige
Außenwinkel gleich
, also
, d.h., das Polygon wird zum Halbstreifen.
Beispiel A
Für das in der linken Abbildung skizzierte Gebiet der
-Ebene wird die in der nachstehenden Tabelle für
angegebene Zuordnung dreier Punkte gewählt.
Die Abbildungsformel lautet:
.
Bei der Bestimmung von
ist
zu setzen:
d.h.,
Daß die Konstante
ist, geht aus der Zuordnung ,,
.
`` hervor.
Beispiel B
Abbildung eines Rechtecks. Eckpunkte des abzubildenden Rechtecks seien
. Die Punkte
und
sollen in die Punkte
der reellen Achse übergehen,
und
Punkte
und
und
sind Spiegelpunkte zu
bezüglich der imaginären Achse. Nach dem SCHWARZschen Spiegelungsprinzip müssen ihnen die
und
entsprechen (s. Abbildung).
Damit lautet die Abbildungsformel für ein Rechteck
der oben skizzierten Lage
.
Punkt
entspricht Punkt
und Punkt
Punkt
. Mit
wird
,
wobei die Substitution
verwendet wurde. Die Funktion
elliptische Integral 1. Gattung.
Daß die Konstante
ist, geht aus der Zuordnung ,,
`` hervor.
ist ein
BANACHscher Fixpunktsatz
Sei
eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes
ein kontraktiver Operator auf
, d.h., es existiert eine Konstante
. Sei
, so daß gilt
(12.56)
Dann gilt:
1.
ist das Iterationsverfahren
Für einen beliebigen Startpunkt
(12.57)
unbeschränkt ausführbar, d.h., für jedes
gilt
.
2.
Die Iterationsfolge
konvergiert gegen ein Element
.
3.
Es gilt
(12.58)
4.
Der einzige Fixpunkt von
in
ist
.
5.
Es gilt die Fehlerabschätzung
(12.59)
Im Zusammenhang mit dem BANACHschen Fixpunktsatz spricht man vom Prinzip der kontrahierenden Abbildung
oder dem Kontraktionsprinzip .
Lineare Abbildungen
Die mit der Struktur von Vektorräumen verträglichen Abbildungen werden lineare Abbildungen genannt.
heißt linear, wenn für alle
und alle
gilt:
(5.122)
Die linearen Abbildungen
beschrieben.
von
in
werden mittels Matrizen
vom Typ
durch
Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
Gegeben sei das System (17.53) mit
(17.53) bei
und
. Betrachtet wird ein periodischer Orbit
mit den Multiplikatoren
von
und
Bifurkationsverhalten der POINCARÉ-Abbildung nahe
. Das
wird durch die eindimensionale Abbildung (17.66) mit
beschrieben, von der die Normalform
(17.68)
angenommen werden soll. Die Ruhelage
Die zweite iterierte Abbildung
hat bei
von (17.68) ist für kleine
außer
, die keine Fixpunkte von
(17.68) sein.
stabil und für
instabil.
noch die beiden stabilen Fixpunkte
sind. Demzufolge müssen sie Punkte der Periode 2 von
Allgemein formuliert, kommt es in einer
-Abbildung (17.66) zur Entstehung eines zweiperiodischen Orbits bei
, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind (s. Lit. 17.2):
(17.69)
Da wegen
auch
ist, sind damit für die Abbildung
die Bedingungen
für eine Gabel-Bifurkation formuliert.
Die Eigenschaften der Abbildung (17.68) implizieren für die Differentialgleichung (17.53), daß sich bei
ein stabiler periodischer Orbit mit etwa doppelter Periode abspaltet ( Periodenverdopplung ), wobei
Stabilität verliert (s. Abbildung).
von
seine
Beispiel
ist für
Die logistische Abbildung
durch
,
d.h. durch das diskrete dynamische System
(17.70)
gegeben. Die Abbildung besitzt nach Lit. 17.10 folgendes Bifurkationsverhalten: Für
Ruhelage
mit dem Einzugsgebiet
stabile Ruhelage
. Für
besitzt (17.70) die instabile Ruhelage
, wobei letztere das Einzugsgebiet
besitzt. Bei
instabil und zerfällt in einen stabilen 2periodischen Orbit. Beim Wert
2periodische Orbit instabil und durch einen stabilen
hat (17.70) die
und die
wird die Ruhelage
wird auch der
-periodischen Orbit ersetzt. Die Periodenverdopplung setzt
sich fort, und es entstehen stabile
-periodische Orbits bei
die Konvergenz
Bei
. Numerische Untersuchungen belegen für
.
liegt ein Attraktor
vor, der FEIGENBAUM- Attraktor , der die Struktur einer CANTOR-ähnlichen
Menge hat. In beliebiger Nähe des Attraktors liegen Punkte, die nicht in den Attraktor, sondern auf instabile
periodische Orbits iteriert werden. Der Attraktor
hat dichte Orbits und eine HAUSDORFF-Dimension
. Andererseits liegt keine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen vor. Im
Bereich
existiert eine Parametermenge
mit positivem LEBESGUE-Maß, so daß für
System (17.70) einen chaotischen Attraktor positiven Maßes besitzt. Die Menge
denen Periodenverdopplung auftritt.
das
ist von Fenstern durchsetzt, in
Das Bifurkationsverhalten der logistischen Abbildung ist auch in einer Klasse von unimodalen Abbildungen , d.h. von
Abbildungen des Intervalls
Parameterwerte
in sich, die in
ein einfaches Maximum besitzen, zu finden. Obwohl die
, bei denen Periodenverdopplung auftritt, für verschiedene solche unimodale Abbildungen sich
voneinander unterscheiden, ist die Konvergenzrate, mit der diese Parameter gegen den jeweiligen Wert
streben, gleich:
, wobei
die FEIGENBAUM-Konstante ist (
der konkreten Abbildung ab). Gleich sind auch die HAUSDORFF-Dimensionen der Attraktoren
bei
hängt von
Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
Zum dynamischen System
ein Maß auf
invariant unter
auf
. Jede Abbildung
, wenn
System
die
-Algebra der BOREL-Mengen auf
wird als
für alle
und
-meßbar vorausgesetzt. Das Maß
und
heißt
gilt. Ist das dynamische
invertierbar, so läßt sich die Eigenschaft eines Maßes, invariant unter dem dynamischen System
zu sein, auch als
Menge
unter
sei
ausdrücken. Das Maß
konzentriert , wenn
invariantes Maß, so ist dieses auf
ist.
ist. Ist also
konzentriert, wenn
ein Attraktor von
heißt auf der BORELund
für jede BOREL-Menge
ein
mit
Der Träger eines Maßes
von
, auf der das Maß
, bezeichnet mit supp
, ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge
konzentriert ist.
Beispiel A
die Modulo-Abbildung (auch Shift-Abbildung)
Betrachtet wird auf
(17.28)
In diesem Fall ist
mit
Anhand der Definition sieht man, daß das LEBESGUE-Maß invariant unter der Modulo-Abbildung ist. Schreibt man
eine Zahl
als Dualzahl
, so kann man diese Darstellung mit
identifizieren. Das Ergebnis der Operation
mit
Ziffer fällt weg.
Beispiel B
d.h., alle Ziffern
läßt sich schreiben als
werden um eine Stelle nach links verschoben und die erste
Die Abbildung
mit
(17.29)
heißt Zelt-Abbildung und hat ebenfalls das LEBESGUE-Maß als invariantes Maß. Der Homöomorphismus
mit
Damit besitzt (17.5) bei
von (17.29) und
sofort
Beispiel C
überführt die Abbildung
aus (17.5) mit
in (17.29).
ebenfalls ein invariantes Maß, das absolut stetig ist. Für die Dichten
von (17.5) bei
.
gilt dabei
. Hieraus ergibt sich
Ist
ein stabiler Periodenpunkt der Periode
, so ist
das in
konzentrierte DIRAC-Maß.
des invertierbaren diskreten dynamischen Systems
ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß für
. Dabei ist
Poincaré-Abbildung
●
●
Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
Poincaré-Abbildung für nichtautonome zeitperiodische
Differentialgleichungen
Unterräume, Dimensionsformel
1. Unterraum: Es sei
Operationen aus
ein Vektorraum und
einen Vektorraum, so heißt
von
Eine nichtleere Teilmenge
auch
Bildet
bezüglich der
ein Unterraum von
ist genau dann Unterraum, wenn für alle
und
2. Kern, Bild: Es seien
eine Teilmenge von
in
liegen ( Unterraumkriterium ).
-Vektorräume. Ist
Unterräume Kern (Bezeichnung: ker
und alle
eine lineare Abbildung, so sind die
) und Bild (Bezeichnung: im
) wie folgt definiert:
(5.123)
So ist zum Beispiel die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems
durch die Koeffizientenmatrix
der Kern der
vermittelten linearen Abbildung.
3. Dimension: Die Dimension
bzw.
im
Zwischen diesen Dimensionen besteht der Zusammenhang
werden Defekt
bzw. Rang
genannt.
(5.124)
der Dimensionsformel genannt wird. Ist speziell Defekt
d.h.
injektiv und umgekehrt. Injektive lineare Abbildungen werden regulär genannt.
●
EUKLIDische Vektorräume, EUKLIDische Norm
dann ist die lineare Abbildung
Ergodische dynamische Systeme
Ein dynamisches System
auf
ist ergodisch), wenn für jede BOREL-Menge
mit invariantem Maß
mit
heißt ergodisch (man sagt auch, das Maß
entweder
oder
0 ist.
Ist
ein diskretes dynamisches System (17.3),
metrischer Raum, so existiert immer ein invariantes ergodisches Maß.
Beispiel A
ein Homöomorphismus,
ein kompakter
Gegeben sei die Rotationsabbildung des Kreises
(17.31)
mit
invariant unter
, definiert durch
. Ist
. Das LEBESGUE-Maß ist
irrational, so ist (17.31) ergodisch; ist
rational, so ist (17.31) nicht
ergodisch.
Beispiel B
Dynamische Systeme mit stabilen Ruhelagen oder stabilen periodischen Orbits als Attraktoren sind
bezüglich des natürlichen Maßes ergodisch.
Ergodensatz von BIRKHOFF: Das dynamische System
Wahrscheinlichkeitsmaßes
sei ergodisch bezüglich des invarianten
. Dann stimmen für jede integrierbare Funktion
entlang des positiven Semiorbits
, d.h.
die Zeitmittel
für Flüsse und
für diskrete Systeme, für
Raummittel
überein.
-fast alle Punkte
mit dem
Metrische Entropie
Sei
ein dynamisches System auf
Wahrscheinlichkeitsmaß
. Für beliebiges
mit dem Attraktor
und einem auf
seien
die Würfel der Form
mit
beliebiges
aus einem
wird der Semiorbit
für wachsende
werden jeweils
der Würfel notiert, in denen sich der Semiorbit befindet. Sei
Semiorbits zu den Zeitpunkten
konzentrierten invarianten
, für die
ist. Für
verfolgt. In Zeitabständen von
-mal hintereinander die Nummern
die Menge aller Startwerte nahe
, jeweils in
, deren
liegen und sei
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein (typischer) Startwert in
liegt. Die
Entropie gibt den Zuwachs an Information an, den ein Versuch im Mittel liefert, der anzeigt, welches Ereignis aus
einer endlichen Anzahl disjunkter Ereignisse wirklich eingetreten ist. In der vorliegenden Situation ist dies
(17.37)
wobei über alle Symbolfolgen
der Länge
summiert wird, die durch Orbits in der oben
beschriebenen Weise realisiert werden.
Die metrische Entropie oder KOLMOGOROV-SINAI- Entropie
des Attraktors
invarianten Maßes
. (Für diskrete Systeme entfällt der Grenzwert für
ist die Größe
.) Für die topologische Entropie
von
gilt
-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß auf
von
bezüglich des
. In vielen Fällen ist
.
Beispiel A
Sei
natürlichen Maß
Beispiel B
eine stabile Ruhelage von (17.1) als Attraktor, versehen mit dem in
. Bezüglich dieses Attraktors ist
.
konzentrierten
Für die Shift- oder Modulo-Abbildung (17.28) gilt
LEBESGUE-Maß sei.
, wobei
das invariante
Definition
Gegeben sei neben (17.3) ein weiteres diskretes System
(17.24)
mit
, wobei
eine beliebige Menge und
stetig ist (
und
metrische Räume sein). Die diskreten Systeme (17.3) und (17.24) (bzw. die Abbildungen
topologisch konjugiert , wenn ein Homöomorphismus ( konjugierender Homöomorphismus )
so daß
Homöomorphismus
können auch allgemein
und
) heißen
existiert,
ist. Sind (17.3) und (17.24) topologisch konjugiert, so überführt der konjugierende
die Orbits von (17.3) in Orbits von (17.24).
Abbildungen zwischen Gruppen
●
●
●
Homomorphismen und Isomorphismen
Satz von CAYLEY
Homomorphiesatz für Gruppen
Unterabschnitte
●
●
●
●
Arten singulärer Punkte:
Bestimmung von Selbstberührungs-, Knick- und Abbrechpunkten:
Bestimmung von Mehrfachpunkten (Fälle a) bis e) sowie i) und j)):
Algebraische Kurven, gegeben als Polynom in x und y:
Singulärer Punkt
Singulärer Punkt ist der allgemeine Begriff für verschiedene spezielle Kurvenpunkte.
Arten singulärer Punkte:
Die angegebenen singulären Punkte sind in den danach folgenden Abbildungen dargestellt.
a) Doppelpunkte: In Doppelpunkten schneidet sich die Kurve selbst (linke obere Abbildung).
b) Isolierte Punkte: Die isolierten Punkte genügen der Kurvengleichung; sie befinden sich aber außerhalb der
Kurve (mittlere obere Abbildung).
c), d) Rückkehrpunkte: In Rückkehrpunkten ändert sich der Durchlaufsinn; man unterscheidet je nach der Lage
der Tangente zu den Kurvenzweigen Rückkehrpunkte 1. und 2. Art (dritte obere und erste untere Abbildung).
e) Selbstberührungspunkte: In Selbstberührungspunkten berührt sich die Kurve selbst (rechte untere
Abbildung).
f) Knickpunkte: In Knickpunkten ändert die Kurve sprunghaft ihre Richtung, aber im Unterschied zum
Rückkehrpunkt gibt es zwei verschiedene Tangenten für die zwei Kurvenzweige (obere linke Abbildung).
g) Abbrechpunkte: In Abbrechpunkten bricht die Kurve ab (mittlere obere Abbildung).
h) Asymptotische Punkte: Um asymptotische Punkte windet sich die Kurve unendliche Male herum, wobei sie
sich ihm beliebig nähert (obere rechte Abbildung).
i), k) Mehrere Singularitäten: Es können auch zwei oder drei derartige Singularitäten in einem Punkt auftreten
(zwei untere Abbildungen).
Bestimmung von Selbstberührungs-, Knick- und Abbrechpunkten:
Singularitäten dieser Art treten nur bei Kurven transzendenter Funktionen auf.
Den Knickpunkten entspricht ein endlicher Sprung der Ableitung
Punkten, in denen die Kurve abbricht, entsprechen Unstetigkeitsstellen der Funktion
mit endlichem Sprung
oder ein direkter Abbruch.
Asymptotische Punkte lassen sich am einfachsten für Kurven bestimmen, die in Polarkoordinaten gemäß
gegeben sind. Wenn für
Punkt.
Beispiel A
oder
der Grenzwert
wird, ist der Pol ein asymptotischer
Der Koordinatenursprung ist für die Kurve
Beispiel B
ein Knickpunkt.
Die Punkte (1,0) und (1,1) der Funktion
sind Unstetigkeitsstellen.
Beispiel C
Die logarithmische Spirale
besitzt einen asymptotischen Punkt.
Bestimmung von Mehrfachpunkten (Fälle a) bis e) sowie i) und j)):
Doppelpunkte, Dreifachpunkte usw. werden unter der Bezeichnung Mehrfachpunkte zusammengefaßt. Zu ihrer
Bestimmung wird die Kurve ausgehend von der Gleichungsform
Koordinaten
untersucht. Ein Punkt
die gleichzeitig die drei Gleichungen
Doppelpunkt, wenn von den drei Ableitungen 2. Ordnung
und
und
mit den
erfüllen, ist ein
wenigstens eine nicht verschwindet.
Im entgegengesetzten Falle ist
ein Dreifachpunkt oder ein Punkt mit höherer Mehrfachheit.
Die Eigenschaften eines Doppelpunktes hängen vom Vorzeichen der Funktionaldeterminante ab:
(3.452)
1.
: Für
Tangenten in
schneidet sich die Kurve selbst im Punkt
die Richtungskoeffizienten der
ergeben sich als Wurzeln der Gleichung
(3.453)
2.
: Für
ist
ein isolierter Punkt.
: Für
ist
entweder ein Rückkehr- oder ein Selbstberührungspunkt; der
3.
Richtungskoeffizient der Tangente ist
(3.454)
Zur genaueren Untersuchung des Mehrfachpunktes empfiehlt es sich, das Koordinatensystem in den Punkt
zu
wird. Aus der Gestalt der Gleichung
verlegen und so zu drehen, daß die -Achse zur Kurventangente im Punkt
kann dann erkannt werden, ob es sich um einen Rückkehrpunkt 1. oder 2. Art handelt oder um einen
Selbstberührungspunkt.
Beispiel A
Untersuchung der Lemniskate mit
Das Gleichungssystem
der Bedingung
liefert die drei Lösungen
von denen nur die erste
genügt. Einsetzen von (0,0) in die 2. Ableitungen ergibt
d.h., im Koordinatenursprung schneidet sich
die Kurve selbst; die Richtungskoeffizienten der Tangenten ergeben sich zu
lauten
Beispiel B
ihre Gleichungen
von den Punkten
und
(0,0),
liegt nur der erste auf der Kurve. Weiter ist
d.h., der Koordinatenursprung ist ein isolierter
Punkt.
Beispiel C
Die Gleichungen
(0,0), die auch die Gleichung
erfüllt. Außerdem ist
liefern nur die eine Lösung
und
so daß der
Koordinatenursprung ein Rückkehrpunkt 2. Art ist, was auch aus der expliziten Form der Gleichung
erkannt werden kann. Für
beide
ist
nicht definiert, während für
-Werte positiv sind; im Koordinatenursprung verläuft die Tangente horizontal.
Algebraische Kurven, gegeben als Polynom in x und y:
Wenn die Gleichung keine konstanten Glieder und keine Glieder ersten Grades enthält, dann ist der
Koordinatenursprung ein Doppelpunkt. Die Gleichung zur Bestimmung der zugehörigen Tangenten erhält man durch
Nullsetzen der Summe der Glieder 2. Grades. Wenn die Gleichung auch keine quadratischen Glieder enthält, dann ist
der Koordinatenursprung ein Dreifachpunkt.
Beispiel
Für die Lemniskate z.B. ergibt sich die Gleichung
Gleichmäßige Konvergenz
Gleichmäßig konvergent ist eine Potenzreihe in jedem abgeschlossenen Teilgebiet
des
Konvergenzbereiches ( Satz von ABEL ).
Beispiel
Für die Reihe
(7.77)
Somit konvergiert die Reihe absolut in
für
ist sie bedingt konvergent (s. (7.33)) und
divergiert sie (s. harmonische Reihe (7.16)). Gemäß dem Satz von ABEL handelt es sich um eine
gleichmäßig konvergente Reihe in jedem Intervall
ist.
, für
, wobei
eine beliebige Zahl zwischen
und
Abelsche Integralgleichung
Eine der ersten Anwendungen von Integralgleichungen auf physikalische Probleme wurde von ABEL untersucht. In
einer vertikalen Ebene bewege sich ein Massenpunkt entlang einer gewissen Kurve nur unter dem Einfluß der
Schwerkraft vom Punkt
zum Punkt
(s. Abbildung).
Die Geschwindigkeit des Teilchens in einem Punkt der Kurve beträgt
(11.68)
Durch Integration ermittelt man die Fallzeit in Abhängigkeit von
:
(11.69a)
Stellt man
als Funktion von
durch
dar, so ist
(11.69b)
Es besteht nun die Aufgabe, zu gegebener Fallzeit die Gestalt der Kurve als Funktion von
zu bestimmen. Mit den
Ersetzungen
(11.69c)
erhält man, indem noch die Variable
in
umbenannt wird, die VOLTERRAsche Integralgleichung 1. Art
(11.69d)
Es soll die etwas allgemeinere Gleichung
(11.70)
behandelt werden. Der Kern dieser Gleichung ist für
in
und die Variable
in
nicht beschränkt. In (11.70) werden formal die Variable
umbenannt. Damit wird erreicht, daß sich die Lösung in der Form
ergibt. Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung (11.70) mit dem Term
Integration nach
in den Grenzen von
bis
und die anschließende
führt auf die Gleichung
(11.71a)
Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf der linken Seite dieser Gleichung ergibt
(11.71b)
Das innere Integral ist mit der Substitution
auswertbar:
(11.71c)
Der gewonnene Ausdruck wird in (11.71b) eingesetzt.
Die gesuchte Funktion
wird durch anschließende Differentiation nach
bestimmt:
(11.71d)
Beispiel
.
Unterabschnitte
●
●
Definition:
Basissatz für ABELsche Gruppen:
Direkte Produkte
Definition:
Es seien
und
Gruppen, deren Gruppenoperation (z.B. Addition oder Multiplikation) mit
Im kartesischen Produkt
bezeichnet sein soll.
(5.64a) kann man durch die folgende Vorschrift eine Operation
einführen:
(5.101a)
Damit wird
zu einer Gruppe, die das direkte Produkt von
und
genannt wird.
Mit
wird das Einselement von
bezeichnet, und
ist das inverse Element zu
.
gilt
Für endliche Gruppen
(5.101b)
Die Gruppen
bzw.
sind zu
bzw.
isomorphe
Normalteiler von
Das direkte Produkt ABELscher Gruppen ist wieder abelsch.
Für zyklische Gruppen gilt: Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen
ist genau dann zyklisch, wenn der
größte gemeinsame Teiler der Gruppenordnungen gleich 1 ist.
Beispiel A
Mit
und
wird
eine zu
u.a. von
Beispiel B
erzeugt wird.
isomorphe Gruppe, die
nicht zyklisch. Diese Gruppe der
Andererseits ist
Ordnung 4 wird auch KLEINsche Vierergruppe genannt und beschreibt die Deckabbildungen eines
Rechtecks.
Basissatz für ABELsche Gruppen:
Da die Bildung des direkten Produktes eine Konstruktion ist, mit der aus ,,kleineren`` Gruppen ,,größere`` gewonnen
werden, entsteht umgekehrt die Frage, wann lassen sich große Gruppen
darstellen, d.h., wann ist
isomorph zu
als direktes Produkt kleinerer Gruppen
? Für ABELsche Gruppen gibt darüber der sogenannte
Basissatz Auskunft:
Jede endliche ABELsche Gruppe ist als direktes Produkt zyklischer Gruppen von der Primzahlpotenzordnung
darstellbar.
Definition
Eine Menge
versehen mit einer binären Operation
●
assoziativ ist,
●
ein neutrales Element
●
zu jedem Element
heißt Gruppe , wenn
besitzt und
ein inverses Element
existiert, mit
(5.95)
Eine Gruppe ist also eine spezielle Halbgruppe.
Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Außerdem besitzt jedes Gruppenelement genau ein
kommutativ, so spricht man von einer ABELschen Gruppe .
Inverses. Ist die Operation
Ist die Gruppenoperation als Addition + geschrieben, so wird das neutrale Element mit 0 und das inverse Element
eines Elementes
mit
bezeichnet.
Gruppentafeln
Zur Darstellung endlicher Gruppen werden Gruppentafeln verwendet: Man notiert die Gruppenelemente als Zeilenund Spalteneingänge. An der Kreuzung der Zeile mit dem Eingang
und der Spalte mit dem Eingang
steht das
Gruppenelement
Ist
so bezeichnet man die symmetrische Gruppe
allen bijektiven Abbildungen (Permutationen) auf der Menge
auch mit
Die
und hat demzufolge
Permutationen werden meist zweizeilig notiert, indem man in die erste Zeile die Elemente von
jeweiligen Bildelemente schreibt. So erhält man die 6 Elemente der
besteht also aus
Elemente.
und darunter die
folgendermaßen:
(5.96)
Mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen erhält man daraus für
folgende Gruppentafel:
Gruppentafel für
(5.97)
●
Aus der Gruppentafel erkennt man, daß die identische Permutation
das neutrale Element der Gruppe ist.
In der Gruppentafel kommt jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor.
●
Das Inverse zu einem Gruppenelement ist aus der Tafel leicht ablesbar; so ist das Inverse zu
●
die Permutation
●
da an der Schnittstelle der
-Spalte das neutrale Element
Ist die Gruppenoperation kommutativ ( ABELsche Gruppe), so ist die Tafel symmetrisch bezüglich der
,,Hauptdiagonalen``; die
●
-Zeile mit der
in der
ist nicht kommutativ, da z.B.
Das Assoziativgesetz ist aus der Gruppentafel nicht ablesbar.
steht.
Normalteiler
Für Untergruppen
für alle
ist im allgemeinen
so heißt
verschieden von
Normalteiler von
(es gilt jedoch
. Diese speziellen Untergruppen sind die Grundlage
für die Bildung von Faktorgruppen.
In ABELschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler.
Beispiel A
bilden Untergruppen von
bezüglich der Multiplikation.
Beispiel B
Die geraden ganzen Zahlen bilden eine Untergruppe von
Beispiel C
). Ist aber
bezüglich der Addition.
Untergruppen der Gruppe
: Wegen des Satzes von LAGRANGE kann die 6-elementige Gruppe
(außer den trivialen Untergruppen) nur Untergruppen mit 2 oder 3 Elementen haben.
Tatsächlich hat die Gruppe
Die nichttrivialen Untergruppen
Primzahlen sind. Die
und
sind zyklisch, weil ihre Elementeanzahlen sämtlich
ist dagegen nicht zyklisch. Außer den trivialen Normalteilern hat die Gruppe
nur noch die Untergruppe
Übrigens ist jede Untergruppe
Alle symmetrischen Gruppen
Beispiel D
folgende Untergruppen:
als Normalteiler.
einer Gruppe
mit
Normalteiler von
und ihre Untergruppen werden Permutationsgruppen genannt.
Spezielle Untergruppen der Gruppe
aller regulären Matrizen vom Typ
bezüglich der
Matrizenmultiplikation:
Gruppe aller Matrizen
mit der Determinante 1,
Gruppe aller orthogonalen Matrizen,
Gruppe aller orthogonalen Matrizen mit der Determinante 1.
Die Gruppe
ist Normalteiler von
(s. Homomorphiesatz für Gruppen) und
Normalteiler von
Beispiel E
Als Untergruppen der Gruppe aller regulären komplexen Matrizen seien erwähnt:
Gruppe aller unitären Matrizen,
Gruppe aller unitären Matrizen mit der Determinante 1.
PARSEVALsche Gleichung, Satz von RIESZ-FISCHER
Die FOURIER-Reihe eines beliebigen Elements
konvergiert stets, und zwar zur Projektion des Elements
auf den Teilraum
. Hat ein Element
sind
. Ist
die FOURIER-Koeffizienten von
, dann existiert in
Zahlen
die Darstellung
, dann
eine beliebige Zahlenfolge mit der Eigenschaft
genau ein Element
, dessen FOURIER-Koeffizienten gerade die
sind und für das die Abgeschlossenheitsrelation oder PARSEVALsche Gleichung
(12.126)
gilt ( Satz von RIESZ-FISCHER ).
Ein orthonormales System
in
heißt vollständig, wenn es keinen vom Nullvektor verschiedenen Vektor
gibt, der zu allen Vektoren
orthogonal ist; es heißt Basis , wenn jeder Vektor
dargestellt werden kann, d.h.
Falle sagt man auch,
, und
als
ist gleich der Summe seiner FOURIER-Reihe. In letzterem
hat eine FOURIER-Entwicklung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
a)
ist eine fundamentale Menge in
.
b)
ist vollständig in
.
ist eine Basis in
.
c)
d)
Für
mit den entsprechenden FOURIER-Koeffizienten
gilt
(12.127)
e)
Für jeden Vektor
gilt die PARSEVALsche Gleichung (12.126).
Beispiel A
Das trigonometrische System (12.117) ist eine Basis im Raum
.
Beispiel B
Das System der normierten LEGENDREschen Polynome (12.120)
ist vollständig und bildet demzufolge eine Basis im Raum
.
Lineare Abhängigkeiten
Die Linearformen (4.104) sind genau dann linear unabhängig, wenn sich sämtliche
gegen unabhängige Variable
austauschen lassen. Die lineare Unabhängigkeit wird z.B. für die Rangbestimmung bei Matrizen benötigt.
Anderenfalls läßt sich die Abhängigkeitsbeziehung unmittelbar aus dem Schema ablesen.
Beispiel
Wegen
ist kein weiterer Austausch möglich, und man kann die Abhängigkeitsbeziehung
ablesen. Auch bei einer anderen Reihenfolge des Austausches wäre ein nicht
austauschbares Paar von Variablen übriggeblieben.
Lineare Abhängigkeit
Es sei
ein
-Vektorraum. Die Vektoren
heißen linear abhängig , falls es
gibt, die nicht alle gleich Null sind, so daß
gilt, und
andernfalls linear unabhängig . Lineare Abhängigkeit von Vektoren bedeutet also, daß sich ein Vektor durch die
anderen darstellen läßt.
Existiert eine Maximalzahl
linear unabhängiger Vektoren in
so heißt
n-dimensional . Diese Zahl
ist
linear unabhängige Vektoren in
bilden eine Basis .Gibt es
dann eindeutig bestimmt und heißt Dimension . Je
eine solche Maximalzahl nicht, so heißt der Vektorraum unendlichdimensional . Die Vektorräume aus den obigen
Beispielen sind in der angegebenen Reihenfolge
-,
- bzw. unendlichdimensional.
sind
Vektoren genau dann linear abhängig, wenn die Determinante der Matrix, die
Aus dem Vektorraum
diese Vektoren als Spalten bzw. Zeilen enthält, gleich 0 ist.
Ist
eindeutige Darstellung
eine Basis eines
-dimensionalen
-Vektorraumes, so besitzt jeder Vektor
mit
Jede Menge linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraumes läßt sich zu einer Basis dieses Vektorraumes
eine
ergänzen.
Chaotischer Attraktor
Sei
ein dynamisches System im metrischen Raum
. Der Attraktor
dieses Systems heißt
chaotisch , wenn auf
eine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen vorliegt.
Die Eigenschaft ,,sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen`` wird in unterschiedlicher Weise präzisiert. Sie
ist z.B. gegeben, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:
a)
Alle Bewegungen von
auf
sind in gewisser Weise instabil.
b)
Der größte LYAPUNOV-Exponent von
bezüglich eines auf
konzentrierten invarianten ergodischen
Wahrscheinlichkeitsmaßes ist positiv.
Beispiel
Sensitive Abhängigkeit im Sinne von a) liegt beim Solenoid vor. Die Eigenschaft b) ist z.B. beim HÉNONAttraktor zu finden.
Differentialquotient oder Ableitung einer Funktion
Die Ableitung einer Funktion
ist eine neue Funktion von
oder
, die mit den Symbolen
gekennzeichnet wird und die für jeden Wert von
Grenzwert des Quotienten aus dem Zuwachs der Funktion
und dem entsprechenden Zuwachs
gleich dem
für
ist:
(6.1)
Summenregel
Die Ableitung einer Summe oder Differenz von zwei oder mehrerer Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz
der Ableitungen dieser Funktionen:
(6.6a)
(6.6b)
Kettenregel
Die mittelbare Funktion
hat die Ableitung
(6.9)
wobei die Funktionen
und
darstellen. Man bezeichnet
als äußere und
Ableitung und
differenzierbare Funktionen bezüglich ihrer Argumente
als innere Funktion und dementsprechend
als äußere
als innere Ableitung .
Analog verfährt man, wenn die ,,Kette`` aus einer größeren Anzahl von Funktionen mit den entsprechenden
Zwischenveränderlichen besteht. So gilt z.B. für
:
(6.10)
Beispiel A
.
Beispiel B
Quotientenregel
Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen wird nach der Formel ( Quotientenregel )
(6.8)
unter der Voraussetzung
Beispiel
berechnet.
Ableitung einer Distribution
Ist
eine gegebene Distribution, dann heißt die Distribution
, definiert durch
(12.212)
die ( distributionelle ) Ableitung der Ordnung
Seien
.
eine stetig differenzierbare Funktion, etwa auf
Distribution auffaßbar),
gilt
von
(damit ist
ihre klassische Ableitung und
lokalsummierbar auf
als
ihre distributionelle Ableitung der Ordnung
, woraus durch partielle Integration
folgt.
und
. Dann
Im Falle einer regulären Distribution
erhält man wegen
die verallgemeinerte Ableitung der Funktion
im Sinne von SOBOLEW.
Beispiel A
Für die der offenbar lokalsummierbaren HEAVISIDE-Funktion
(12.213)
zugeordnete reguläre Distribution erhält man als Ableitung die nichtreguläre
Beispiel B
-Distribution.
Bei der mathematischen Modellierung von technischen und physikalischen Problemen treten häufig (in
gewisser Hinsicht idealisierte) auf einen Punkt konzentrierte Einwirkungen, wie ,,punktförmige`` Kräfte,
Nadelimpulse, Stoßvorgänge usw. auf, die mathematisch ihren Ausdruck in der Verwendung der
HEAVISIDE-Funktion finden, beispielsweise in der Form
eines Balkens der Länge
als Massendichte für eine im Punkt
konzentrierte Punktmasse
.
Die Bewegungsgleichung eines Feder-Masse-Systems, auf das zum Zeitpunkt
Kraft der Größe
einwirkt, hat die Form
ist
- oder
eine momentane äußere
. Mit den Anfangsbedingungen
die Lösung.
Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
Seien
BANACH-Räume,
differenzierbar im Punkt
eine offene Menge und
. Der Operator
, wenn ein (im allgemeinen von der Stelle
heißt FR´ECHET-
abhängiger, linearer stetiger) Operator
existiert, so daß
(12.192)
oder in äquivalenter Schreibweise
(12.193)
gilt, d.h.
impliziert. Der Operator
, so daß
die Ungleichung
, den man gewöhnlich mit
FRÉCHET-Ableitung des Operators
im Punkt
. Den Wert
oder
bezeichnet, heißt
nennt man FRÉCHET-
Differential des Operators
im Punkt
(für den Zuwachs
). In jedem Falle ist die Abhängigkeit des Operators
erkennbar, die letzteren Bezeichnungen ,,weisen den Platz für das Argument aus``, auf das der
von der Stelle
Operator angewendet werden kann. Aus der Differenzierbarkeit eines Operators in einem Punkt folgt seine Stetigkeit
in diesem Punkt. Ist
, also selbst bereits linear und stetig, dann ist
differenzierbar, und die Ableitung ist gleich
.
in jedem Punkt
Ableitungen elementarer Funktionen
Die elementaren Funktionen besitzen im gesamten Definitionsbereich eine Ableitung, ausgenommen einzelne
Punkte, in denen z.B. solche Punkte auftreten, wie sie in der folgenden Abbildung dargestellt sind:
Eine Zusammenstellung der Ableitungen elementarer Funktionen in Intervallen, in denen diese definiert und die
auftretenden Nenner von Null verschieden sind, enthält die Tabelle im nächsten Abschnitt.
Ableitung einer Funktion in Parameterdarstellung
Wenn die Funktion
Ableitung
in der Parameterform
gegeben ist, dann läßt sich ihre
nach der Formel
(6.17)
über die Ableitungen
Beispiel Polarkoordinatendarstellung
und
nach dem Parameter
berechnen, falls
gilt.
Ist eine Funktion in ihrer Polarkoordinatendarstellung
gegeben, dann lautet ihre
Parameterdarstellung
(6.18)
mit dem Winkel
als Parameter. Für die Tangentensteigung
der Kurve gilt dann wegen (6.17)
(6.19)
Hinweise:
1. Die Ableitungen
sind die Komponenten des Tangentenvektors im Punkt
der Kurve.
2. Häufig wird mit Vorteil die komplexe Zusammenfassung benutzt:
(6.20)
Beispiel Kreisbewegung
Der Tangentenvektor
läuft dem Ortsvektor um
phasenverschoben voraus.
Partielle Ableitung zweiter Ordnung
Die partielle Ableitung einer Funktion
kann sowohl nach der gleichen
Variablen gebildet werden, wie die erste Ableitung, d.h.
d.h.
Wert einer gemischten Ableitung
, als auch nach einer anderen Variablen,
. Im zweiten Falle spricht man von einer gemischten Ableitung. Der
ist für gegebene
und
unabhängig von der
Reihenfolge der Ableitungsbildung, wenn die gemischte Ableitung in dem betrachteten Punkt stetig ist. Man spricht
vom SCHWARZschen Vertauschungssatz .
Partielle Ableitungen höherer Ordnung, wie z.B.
sind analog definiert.
Definition der Ableitungen höherer Ordnung
Die Ableitung von
mit
also
oder
oder
wird als zweite Ableitung der Funktion
bezeichnet. Analog werden die Ableitungen höherer
Ordnung definiert. Bezeichnungen für die n-te Ableitung der Funktion
sind:
(6.21)
Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen
●
●
●
●
●
Partielle Ableitung zweiter Ordnung
Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen
Vollständiges Differential zweiter Ordnung
Vollständiges Differential n-ter Ordnung
Vollständiges Differential n-ter Ordnung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher
Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion
Wenn
Darstellungen
die inverse Funktion zur ursprünglichen Funktion
und
sind äquivalent. Unter der Voraussetzung
die Beziehung (6.15) zwischen den Ableitungen einer Funktion
Ableitungen (
ist, dann gilt: Die beiden
und ihrer Umkehrfunktion
besteht dann
. Für höhere
usw.) erhält man
(6.25)
Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
Wenn die Funktion
in der Parameterform
gegeben ist, dann lassen sich ihre
usw.) nach den folgenden Formeln berechnen, wobei
Ableitungen höherer Ordnung (
usw. die Ableitungen nach dem Parameter
bedeuten:
(6.24)
Voraussetzung ist, daß
gilt.
Ableitung einer impliziten Funktion
Eine Funktion
sei implizit durch die Gleichung
gegeben. Unter Beachtung der
Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Veränderlicher erhält man durch Differentiation nach
(6.16)
falls die partielle Ableitung
Beispiel
nicht von Null verschieden ist.
Die Gleichung
einer Ellipse mit den Halbachsen
geschrieben werden. Für die Steigung der Tangente im Ellipsenpunkt
und
kann in der Form
erhält man gemäß (6.16)
Ableitung der inversen Funktion
Wenn
Darstellungen
die inverse Funktion zur ursprünglichen Funktion
und
ist, dann gilt: Die beiden
sind äquivalent. Unter der Voraussetzung
die folgende Beziehung zwischen den Ableitungen einer Funktion
und ihrer Umkehrfunktion
besteht dann
:
(6.15)
Beispiel
ist für
Die Funktion
äquivalent. Aus (6.15) folgt dann
da
für
.
der Funktion
mit
Faktorregel
Ein konstanter Faktor
kann vor das Differentiationssymbol gezogen werden:
(6.5)
Links- und rechtsseitige Ableitung
Wenn für einen Wert
kein Grenzwert der Art
(6.2) existiert, dafür aber der links- bzw.
rechtsseitige Grenzwert, dann wird dieser Grenzwert links- bzw. rechtsseitige Ableitung genannt. Da die Kurve an der
Stelle zwei Tangenten
(6.3)
besitzt, kennzeichnen die beiden Ableitungen, geometrisch gesehen, einen Knick der Kurve (rechte Abbildung).
Beispiel
An der Stelle
existiert kein Grenzwert der Art
gibt es einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert
die Kurve besitzt hier einen Knick (linke Abbildung).
(6.2), jedoch
und
, d.h.,
Logarithmische Differentiation
Im Falle von
kann man zur Berechnung der Ableitung
von der Funktion
ausgehen, für
deren Ableitung (unter Berücksichtigung der Kettenregel) gilt:
(6.11)
Daraus folgt unmittelbar
(6.12)
Mit Hilfe der logarithmischen Differentiation lassen sich viele Differentiationsaufgaben wesentlich vereinfachen
bzw. überhaupt erst durchführen. Letzteres trifft z.B. auf Funktionen der Form
(6.13)
zu. Die logarithmische Differentiation dieser Gleichung ergibt gemäß (6.12)
(6.14)
Beispiel
Die logarithmische Differentiation wird häufig angewendet, wenn ein Produkt von Funktionen zu differenzieren ist.
Beispiel A
Beispiel B
.
Daraus folgt
Beispiel C
Daraus folgt
Man erhält die Quotientenregel (6.8).
. Man erhält die Produktregel (6.7a).
Partielle Ableitung einer Funktion
1. Definition:
Partielle Ableitung einer Funktion
z.B. nach
nach einer ihrer
Veränderlichen,
, heißt der durch
(6.35)
definierte Differentialquotient, der zum Ausdruck bringt, daß nur eine der
Variablen variiert, während die anderen
dabei als Konstante betrachtet werden.
2. Symbole:
Symbole für die partielle Ableitung sind
Von einer Funktion mit
Veränderlichen
können
partielle Ableitungen erster Ordnung gebildet werden:
.
3. Berechnung:
Die Berechnung der partiellen Ableitungen erfolgt nach den Regeln, die für die Differentiation von Funktionen
von einer Veränderlichen bekannt sind.
Beispiel
Produktregel
Für die Ableitung eines Produkts aus zwei, drei oder
Funktionen gilt:
a) Produktregel für zwei Funktionen:
(6.7a)
b) Produktregel für drei Funktionen:
(6.7b)
c) Produktregel für
Funktionen:
(6.7c)
Beispiel A
Beispiel B
Volumenableitung oder räumliche Ableitung
Als Volumenableitung eines Skalarfeldes
oder eines Vektorfeldes
in einem Punkt
werden drei Größen bezeichnet, die folgendermaßen gewonnen werden:
1.
Einhüllung eines Punktes
des Skalarfeldes
oder des Vektorfeldes
durch eine geschlossene Fläche
. Diese Fläche lasse sich vektoriell durch die Parameterdarstellung
beschreiben, so daß das zugehörige vektorielle
Flächenelement
(13.31a)
lautet.
2.
Integration über die geschlossene Fläche
betrachtet:
. Dabei werden die folgenden drei Typen von Integralen
(13.31b)
3.
Bestimmung der Grenzwerte
(13.31c)
Dabei wird mit
das Volumen des Raumteiles bezeichnet, der den Punkt
Oberfläche die geschlossene Fläche
im Innern enthält und dessen
ist.
Die Grenzwerte (13.31c) werden als Volumenableitungen bezeichnet und führen in der angegebenen Reihenfolge
auf die Begriffe Gradient eines Skalarfeldes sowie Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes.
Richtungs- und Volumenableitung
●
●
●
Richtungsableitung eines skalaren Feldes
Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes
Volumenableitung oder räumliche Ableitung
Ableitung einer Vektorfunktion
Die Ableitung der Vektorfunktion einer skalaren Variablen von
(13.1) nach
ist eine neue Vektorfunktion von
(13.2)
Die Ableitung
des Radiusvektors stellt geometrisch betrachtet einen Vektor dar, der in die Richtung der
Tangente des Hodographen im Punkt
weist (s. Abbildung).
:
Seine Länge hängt von der Wahl des Parameters
des Punktes
im Raum, während
ab. Wenn
die Zeit ist, dann beschreibt
die Bewegung
Größe und Richtung der Geschwindigkeit dieser Bewegung angibt. Ist
die Bogenlänge der Raumkurve, gemessen von einem bestimmten Kurvenpunkt an, dann gilt
.
Verallgemeinerte Ableitung
Sei
Multiindex
. Wenn es eine Funktion
aus
gibt, so daß für
bezüglich eines
die Gleichung
(12.208)
gilt, dann heißt
Ordnung
von
Im Vektorraum
verallgemeinerte Ableitung , Ableitung im Sinne von SOBOLEW oder Distributionsableitung der
, wofür man, wie im klassischen Falle,
definiert man die Konvergenz einer Folge
schreibt.
zu
wie folgt:
(12.209)
Die Menge
mit dieser Konvergenz von Folgen nennt man Grundraum, bezeichnet ihn mit
seine Elemente häufig Testfunktionen.
und nennt
Abschlag oder Rabatt
Werden
Rabatt auf einen Wert
gewährt, dann erhält man den erniedrigten Wert
(1.78)
Bezieht man den Abschlag
auf den neuen Wert
, dann sind
(1.79)
Prozent Rabatt gewährt worden.
Beispiel
Eine Ware habe einen Wert von 300.-DM. Bei 10
sind für den Käufer
Rabatt sind noch 270.-DM zu zahlen. In diesem Preis
Prozent Rabatt enthalten.
Abschließung
Jede Teilmenge
eines metrischen Raumes
kleinste abgeschlossene Menge, die
liegt in der abgeschlossenen Menge
. Es existiert immer eine
enthält, nämlich der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen aus
die
enthalten. Diese Menge heißt abgeschlossene Hülle oder Abschließung der Menge
mit
bezeichnet.
ist mit der Menge aller Berührungspunkte von
und wird gewöhnlich
identisch; man erhält
aus der Menge
, für die
durch Hinzufügen aller ihrer Häufungspunkte. Abgeschlossene Mengen sind gerade solche Mengen
gilt. Demzufolge erlauben sie eine Charakterisierung durch Folgen in folgender Weise:
abgeschlossen genau dann, wenn für eine beliebige Folge
einem Element
konvergiert, der Grenzwert
von Elementen aus
zu
gehört.
,
ist
die im Raum
zu
Eigenschaften binärer Relationen
Wichtige Eigenschaften einer binären Relation in einer Menge
:
heißt
(5.75)
(5.76)
(5.77)
(5.78)
(5.79)
(5.80)
gilt.
Diese Eigenschaften lassen sich auch mit Hilfe des Relationenprodukts beschreiben. So gilt z.B.: Eine binäre
Relation ist genau dann transititiv, wenn
gilt.
Von besonderem Interesse ist gelegentlich der transitive Abschluß ( transitive Hülle ) tra(
Darunter versteht man die kleinste transitive Relation, die
einer Relation
enthält. Es gilt:
(5.81)
wobei unter
das
-fache Relationenprodukt von
mit sich selbst zu verstehen ist.
Beispiel
Die binäre Relation
Bildet man
auf der Menge
sei durch die Relationsmatrix
gegeben:
, indem man bei der Matrizenmultiplikation 0 und 1 als Wahrheitswerte interpretiert und
anstelle von Multiplikation bzw. Addition die logischen Operationen Konjunktion bzw. Disjunktion verwendet,
so ist
die zu
gehörige Relationsmatrix. Entsprechend kann man auch die Relationsmatrizen von
usw. aufstellen.
Die zu
gehörige voranstehende Relationsmatrix erhält man, indem man die Matrizen
und
elementweise disjunktiv verknüpft. Da höhere Potenzen von
liefern, ist diese Matrix zugleich die zu tra
keine neuen Einträge
gehörige Relationsmatrix.
Die Relationsmatrix und das Relationenprodukt finden auch Anwendung zur Untersuchung von Weglängen in
Graphen.
Bei endlichen binären Relationen kann man die Eigenschaften (5.75) bis (5.80) größtenteils leicht aus den
Pfeildiagrammen bzw. Relationsmatrizen erkennen. So erkennt man z.B. Reflexivität durch ,,Schlingen ``im
Pfeildiagramm bzw. durch Einsen der Hauptdiagonalen der Relationsmatrix. Symmetrie äußert sich im Pfeildiagramm
dadurch, daß zu jedem Pfeil ein gegenläufiger gehört bzw. durch Symmetrie der Relationsmatrix. Aus dem
Pfeildiagramm oder der Relationsmatrix liest man ab, daß die Teilbarkeitsbeziehung
symmetrisch ist.
reflexiv, aber nicht
Abschreibungen
●
●
●
●
●
●
Abschreibungsarten
Lineare Abschreibung
Arithmetisch-degressive Abschreibung
Digitale Abschreibung
Geometrisch-degressive Abschreibung
Abschreibung mit verschiedenen Abschreibungsarten
Arithmetisch-degressive Abschreibung
Die Abschreibungen sind in diesem Falle nicht konstant. Sie nehmen jährlich um den gleichen
Betrag
das Abschreibungsgefälle , ab. Für die Abschreibungsrate im
-ten Jahr gilt:
(1.95)
Aus dieser Gleichung folgt unter Berücksichtigung der Beziehung
(1.96)
Für
ergibt sich als Spezialfall die lineare Abschreibung. Im Falle
folgt aus (1.96)
(1.97)
wobei
die Abschreibungsrate der linearen Abschreibung ist. Insgesamt muß die erste Abschreibungsrate
arithmetisch-degressiven Abschreibung der folgenden Ungleichung genügen:
(1.98)
Beispiel
Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000.-DM soll in 5 Jahren arithmetisch-degressiv auf 10 000.DM abgeschrieben werden. Dabei sollen im ersten Jahr 15 000.-DM abgeschrieben werden.
Der mit den angegebenen Formeln berechnete und in der Tabelle angegebene Abschreibungsplan zeigt,
daß die prozentuale Abschreibung, mit Ausnahme der letzten Rate, ausgeglichen ist.
Jahr
Anfangswert
Abschreibung
Restwert Abschreibung in
vom Anfangswert
1
50 000
15 000
35 000
30,0
2
35 000
11 500
23 500
32,9
3
23 500
8 000
15 500
34,0
4
15 500
4 500
11 000
29,0
5
11 000
1 000
10 000
9,1
der
Digitale Abschreibung
Die digitale Abschreibung ist ein Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung, indem gefordert wird, daß
die letzte Abschreibungsrate
mit dem Abschreibungsgefälle
übereinstimmt. Aus
folgt:
(1.99a)
(1.99b)
Beispiel
Der Anschaffungspreis einer Maschine sei
den Restwert
50 000.-DM. Diese Maschine soll in 5 Jahren digital auf
10 000.-DM abgeschrieben werden.
Der mit den angegebenen Formeln berechnete und in der Tabelle angegebene Abschreibungsplan zeigt
einen ausgeglichenen Verlauf der prozentualen Abschreibung.
Jahr
Anfangswert
Restwert Abschreibung in
Abschreibung
vom Anfangswert
1
50 000
13 335
36 665
26,7
2
36 665
10 668
25 997
29,1
3
25 997
8 001
17 996
30,8
4
17 996
5 334
12 662
29,6
5
12 662
2 667
9 995
21,1
Geometrisch-degressive Abschreibung
Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung werden in jedem Jahr
abgeschrieben. Für den Restwert
nach
vom jeweiligen Restwert des Vorjahres
Jahren gilt:
(1.100)
In der Regel ist
und
gegeben. Beträgt die Laufzeit
Jahre, dann können gemäß (1.100) von den Größen
zwei weitere vorgegeben und die dritte dazu bestimmt werden.
Beispiel A
Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000.-DM soll jährlich geometrisch-degressiv mit 10
abgeschrieben werden. Nach wieviel Jahren unterschreitet der Restwert erstmalig 10 000.-DM? Aus (1.100)
Jahre.
folgt
Beispiel B
An einem Anschaffungswert von
1000.-DM soll der Verlauf der Restwerte
für
Jahre bei a) linearer, b) arithmetisch-degressiver, c) geometrisch-degressiver
Abschreibung demonstriert werden. Das Ergebnis zeigt die folgende Abbildung.
Lineare Abschreibung
Die jährlichen Abschreibungen sind konstant, d.h., für die Abschreibungsraten
und den Restwert
nach
Jahren gilt:
(1.93)
(1.94)
Setzt man
abgeschrieben.
Beispiel
dann wird das Gut nach
Jahren auf den Wert Null gesetzt, also vollständig
Der Anschaffungspreis einer Maschine betrage
50 000.-DM. In 5 Jahren soll sie auf den Restwert
10 000.-DM abgeschrieben sein. Bei linearer Abschreibung ergibt sich gemäß (1.93) und (1.94) der
in der Tabelle angegebene Abschreibungsplan:
Jahr
Anfangswert
Abschreibung
Restwert Abschreibung in
vom Anfangswert
1
50 000
8000
42 000
16,0
2
42 000
8000
34 000
19,0
3
34 000
8000
26 000
23,5
4
26 000
8000
18 000
30,8
5
18 000
8000
10 000
44,4
Es ist ein starker Anstieg der prozentualen Abschreibung, bezogen auf den jeweiligen Anfangswert, zu
verzeichnen.
Modul (Absolutbetrag des Vektors) und Raumrichtung
Zur quantitativen Beschreibung von Vektoren
oder
dienen der Modul , d.h. der Absolutbetrag
der die Länge der Strecke angibt, sowie die Raumrichtung , die
durch einen Satz von Winkeln angegeben wird.
als Strecke zwischen Anfangs- und Endpunkt
bzw.
Lineares Gleichungssystem
Ein System von
linearen Gleichungen mit
Unbekannten
(4.107)
heißt ein lineares Gleichungssystem . Dabei bedeuten:
Je nachdem, ob der Spaltenvektor
verschwindet (
), oder nicht (
), spricht man von einem
homogenen bzw. inhomogenen Gleichungssystem .
Die Elemente
Komponenten
der sogenannten Koeffizientenmatrix
des Spaltenvektors
sind die Koeffizienten des Systems, während die
seine Absolutglieder sind.
Grundgesetze der Aussagenlogik
Zwei aussagenlogische Ausdrücke
und
heißen logisch äquivalent oder wertverlaufsgleich , in Zeichen:
wenn sie die gleiche Wahrheitsfunktion repräsentieren. Folglich kann man mit Hilfe von Wahrheitstafeln die logische
Äquivalenz aussagenlogischer Ausdrücke überprüfen. So gilt z.B.
,
d.h., der
Ausdruck
hängt von
explizit nicht ab, was man schon an der obigen Wahrheitstafel erkennt.
Insbesondere gelten folgende Grundgesetze der Aussagenlogik :
(1) Assoziativgesetze:
(5.8a)
(5.8b)
(2) Kommutativgesetze:
(5.9a)
(5.9b)
(3) Distributivgesetze:
(5.10a)
(5.10b)
(4) Absorptionsgesetze:
(5.11a)
(5.11b)
(5) Idempotenzgesetze:
(5.12a)
(5.12b)
(6) Ausgeschlossener Dritter:
(5.13a)
(5.13b)
(7) DE MORGANsche Regeln:
(5.14a)
(5.14b)
(8) Gesetze für W und F:
(5.15a)
(5.15b)
(5.15c)
(5.15d)
(5.15e)
(5.15f)
(9) Doppelte Negation:
(5.16)
Aus den Wahrheitstafeln für die Implikation und die Äquivalenz kann man erkennen, daß die Implikation und die Äquivalenz
mit Hilfe der anderen Junktoren durch die Gleichungen
(5.17a)
und
(5.17b)
ausgedrückt werden können. Diese Gesetze werden zur Umformung (Vereinfachung) aussagenlogischer Ausdrücke
verwendet.
Beispiel
Die Gleichung
kann wie folgt bewiesen werden:
Definition und Grundgesetze
Eine Menge
, versehen mit zwei binären Operationen
(,,Konjunktion``) und
(,,Disjunktion``), einer
einstelligen Operation (,,Negation``) und zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 aus
Algebra
heißt BOOLEsche
wenn folgende Gesetze gelten:
(1) Assoziativgesetze:
(5.200)
(5.201)
(2) Kommutativgesetze:
(5.202)
(5.203)
(3) Absorptionsgesetze:
(5.204)
(5.205)
(4) Distributivgesetze:
(5.206)
(5.207)
(5) Weitere Gesetze:
(5.208)
(5.209)
(5.210)
(5.211)
(5.212)
(5.213)
Eine Struktur, in der Assoziativ-, Kommutativ- und Absorptionsgesetze gelten, heißt Verband . Gelten darüber hinaus
die Distributivgesetze, so spricht man von einem distributiven Verband . So ist also eine BOOLEsche Algebra ein
spezieller distributiver Verband.
Hinweis Die für BOOLEsche Algebren verwendeten Bezeichnungen der Operationen sind nicht notwendigerweise
identisch mit den in der Aussagenlogik verwendeten Operationen mit gleicher Bezeichnung.
Grundgesetze der Mengenalgebra
Die eingeführten Mengenoperationen haben analoge Eigenschaften wie die aus der Aussagenlogik bekannten
Junktoren. Es gelten folgende Grundgesetze der Mengenalgebra :
(1) Assoziativgesetze:
(5.42)
(5.43)
(2) Kommutativgesetze:
(5.44)
(5.45)
(3) Distributivgesetze:
(5.46)
(5.47)
(4) Absorptionsgesetze:
(5.48)
(5.49)
(5) Idempotenzgesetze:
(5.50)
(5.51)
(6) DE MORGANsche Regeln:
(5.52)
(5.53)
(7) Weitere Gesetze der Mengenalgebra:
(5.54)
(5.55)
(5.56)
(5.57)
(5.58)
(5.59)
(5.60)
(5.61)
(5.62)
Diese Auflistung erhält man unmittelbar aus den Grundgesetzen der Aussagenlogik, wenn man folgende
Ersetzungen vornimmt:
durch
durch
W durch
und F durch
Auf diesen nicht zufälligen
Zusammenhang wird im Abschnitt BOOLEsche Algebren und Schaltalgebra genauer eingegangen.
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall:
Schnittpunkt dreier Ebenen:
Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen:
Schnittpunkt von vier Ebenen:
Abstand zweier paralleler Ebenen:
Zwei und mehr Ebenen im Raum
Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall:
Die Winkel zwischen zwei Ebenen, gegeben durch die zwei Gleichungen
und
werden berechnet nach der Formel
(3.382a)
Sind die Ebenen durch die Vektorgleichungen
und
gegeben, dann gilt:
(3.382b)
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung in
Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen.)
Schnittpunkt dreier Ebenen:
Die Koordinaten des Schnittpunktes dreier Ebenen, gegeben durch die drei Gleichungen
und
werden berechnet nach den Formeln
(3.383a)
mit
(3.383b)
Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, wenn
zweiter Ordnung
ist. Ist
und wenigstens eine Unterdeterminante
dann sind die Ebenen einer Geraden parallel; sind alle Unterdeterminanten
dann
gehen die Ebenen durch eine Gerade hindurch.
Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen:
1. Paralelitätsbedingung: Zwei Ebenen sind parallel, wenn gilt
(3.384)
2. Orthogonalitätsbedingung: Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn gilt
(3.385)
Schnittpunkt von vier Ebenen:
Die Koordinaten des Schnittpunktes von vier Ebenen, gegeben durch die vier Gleichungen
und
werden berechnet, indem zuerst der Schnittpunkt dreier beliebiger Ebenen
bestimmt wird. In diesem Falle
ist die vierte Gleichung eine Folge der übrigen drei Gleichungen.
Vier Ebenen gehen dann und nur dann durch einen Punkt, wenn gilt:
(3.386)
Abstand zweier paralleler Ebenen:
Wenn die Parallelitätsbedingung erfüllt ist und die Gleichungen der Ebenen gegeben sind durch die Gleichungen
(3.387)
dann beträgt der Abstand
(3.388)
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Man erhält den Abstand
eines Punktes
von einer Geraden aus der HESSEschen Normalform durch
Einsetzen der Koordinaten des gegebenen Punktes in die linke Seite von (3.298):
(3.307)
Wenn
und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen, ist
anderenfalls ist
Begriff des metrischen Raumes
Auf einer Menge
sei jedem Paar von Elementen
Elemente
eine reelle Zahl
zugeordnet, so daß für beliebige
die folgenden Eigenschaften, die Axiome des metrischen Raums , erfüllt sind:
(12.39)
(12.40)
(12.41)
mit den Eigenschaften (M1) bis (M3) heißt Metrik , Distanz oder Abstand auf der
Eine Funktion
Menge
, und das Paar
heißt metrischer Raum. Jede Teilmenge
eines metrischen Raumes
kann auf natürliche Weise in einen (selbständigen) metrischen Raum verwandelt werden, indem man die
Metrik
des Raumes
auf die Menge
heißt Teilraum des metrischen Raumes
einschränkt, d.h. nur auf der Menge
.
betrachtet. Der Raum
Beispiel A
Die Mengen
und
, versehen mit der euklidischen Metrik
(12.42)
, sind metrische Räume.
für zwei Punkte
Beispiel B
Hat man in der Menge
für einen Wert (d.h. Vektor)
einen Näherungswert, etwa den Vektor
, dann ist die Größe oder Abweichung
von Interesse. Diesen
Sachverhalt berücksichtigt die Metrik
(12.43)
Die Metriken (12.42) und (12.43) ergeben für den Fall
und
Beispiel C
der reellen bzw. der komplexen Zahlen.
jeweils den Absolutbetrag
in den Mengen
Endliche 0-1-Folgen, z.B. 1110 und 010110, nennt man in der Kodierung Wörter . Zählt man die Stellen, an
denen sich zwei gleich lange Wörter (der Länge
) unterscheiden, also
,
,
dann entsteht in der Menge aller Wörter der Länge
eine Metrik, der HAMMING-Abstand, z.B.
Beispiel D
In der Menge
und ihren Teilmengen
und
(s. (12.11)) definiert man eine Metrik durch
(12.44)
Beispiel E
In der Menge
der Folgen mit absolut konvergenter Reihe
betrachtet man die
folgende Metrik:
(12.45)
Beispiel F
In der Menge
betrachtet man die Metrik
(12.46)
Beispiel G
In der Menge
definiert man als Metrik:
(12.47)
Beispiel H
In der Menge
aller Äquivalenzklassen von fast überall auf einem beschränkten Gebiet
definierten LEBESGUE-meßbaren, zur
-ten Potenz summierbaren Funktionen (s. LEBESGUE-
Integral) ist eine Metrik definiert durch
(12.48)
●
●
●
●
Kugeln und Umgebungen
Konvergenz von Folgen im metrischen Raum
Abgeschlossene Mengen und Abschließung
Dichte Teilmengen und separable metrische Räume
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Gleichung einer Geraden im Raum, allgemeiner Fall:
Gleichung der Geraden in zwei projizierenden Ebenen:
Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und parallel zum Richtungsvektor:
Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte:
Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene:
Abstand eines Punktes von einer in Komponententarstellung gegebenen Geraden:
Kürzester Abstand zwischen zwei in Komponentendarstellung gegebenen Geraden:
Schnittpunkte von Ebenen und Geraden:
Schnittpunkt zweier Geraden:
Winkel zwischen zwei Geraden:
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:
Gleichungen für die Gerade im Raum
Gleichung einer Geraden im Raum, allgemeiner Fall:
Da eine Gerade im Raum als Schnitt zweier Ebenen definiert werden kann, ist sie analytisch durch ein System zweier
linearer Gleichungen darstellbar.
a) In Komponentenschreibweise:
(3.389a)
b) in Vektorschreibweise:
(3.389b)
Gleichung der Geraden in zwei projizierenden Ebenen:
Die zwei Gleichungen
(3.390)
definieren je eine Ebene, die durch die Gerade hindurchgehen und auf der
- bzw.
-Ebene senkrecht stehen.
Man nennt sie projizierende Ebenen. Auf Geraden, die parallel zur
-Ebene verlaufen, ist diese Form der Darstellung
nicht anwendbar, so daß hier die Projektionen auf ein anderes Koordinatenebenenpaar zu beziehen sind.
Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und parallel zum Richtungsvektor:
Die Gleichung einer Geraden durch einen Punkt
und parallel zu einem Richtungsvektor
ergibt sich
a) in Komponentendarstellung
(3.391a)
b) in Vektordarstellung
(3.391b)
c) in Parameterform
(3.391c)
d) in Vektorschreibweise
(3.391d)
Die Darstellung (3.391a) ergibt sich aus (3.389a) mit Hilfe von
(3.392a)
oder in Vektorschreibweise
(3.392b)
wobei die Zahlen
so gewählt werden, daß die Gleichungen (3.389a) erfüllt werden.
Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte:
Die Gleichung einer Geraden durch die zwei Punkte
und
lautet in
a) Komponentenschreibweise
(3.393a)
b) Vektorschreibweise
(3.393b)
(S. auch Produkte von Vektoren.)
Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene:
Der Punkt sei durch
die Ebene durch die Gleichung
oder
gegeben.
Die Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene lautet dann in
a) Komponentenschreibweise
(3.394a)
b) Vektorschreibweise
(3.394b)
(S. auch Produkte von Vektoren.)
Abstand eines Punktes von einer in Komponententarstellung gegebenen Geraden:
Der Abstand
des Punktes
von einer Geraden, die gemäß (3.391a) gegeben ist ergibt sich zu:
(3.395)
Kürzester Abstand zwischen zwei in Komponentendarstellung gegebenen Geraden:
Wenn die Geraden gemäß (3.391a) gegeben sind, beträgt ihr Abstand
(3.396)
Verschwindet die im Zähler stehende Determinante, dann ist die Bedingung dafür erfüllt, daß sich die beiden Geraden im
Raum schneiden.
Schnittpunkte von Ebenen und Geraden:
1. Geradengleichung in Komponentenform: Die Schnittpunkte einer Ebene, gegeben durch
und einer Geraden, gegeben durch
,
ergeben sich zu:
(3.397a)
mit
(3.397b)
Ist
dann ist die Gerade parallel zur der Ebene. Wenn außerdem
dann liegt die Gerade in der Ebene.
2. Geradengleichung in zwei projizierenden Ebenen: Die Schnittpunkte einer Ebene, gegeben durch
und einer Geraden, gegeben durch
und
,
ergeben sich zu
(3.398)
Ist
liegt die Gerade in der Ebene.
dann ist die Gerade parallel zur Ebene. Wenn außerdem
dann
Schnittpunkt zweier Geraden:
Die Geraden seien gegeben durch
Der Schnittpunkt der Geraden wird mit den folgenden Formeln berechnet:
(3.399a)
Einen Schnittpunkt liefern diese Formeln nur unter der Bedingung
(3.399b)
Im entgegengesetzten Falle schneiden die Geraden einander nicht.
Winkel zwischen zwei Geraden:
1. Allgemeiner Fall: Sind die Geraden durch die Gleichungen
und
und
oder vektoriell durch
gegeben, dann wird der Winkel gemäß
(3.400)
berechnet.
2. Parallelitätsbedingung: Die Parallelitätsbedingung für zwei Geraden lautet:
(3.401)
3. Orthogonalitätsbedingung: Die Orthogonalitätsbedingung für zwei Geraden lautet:
(3.402)
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:
Sind die Gerade und die Ebene gegeben durch die Gleichungen
oder vektoriell durch
bzw.
bzw.
dann wird der
Winkel zu
(3.403)
berechnet.
Parallelitätsbedingung: Die Parallelitätsbedingung für eine Gerade und eine Ebene lautet:
(3.404)
Orthogonalitätsbedingung: Die Ortogonalitätsbedingung für eine Gerade und eine Ebene lautet:
(3.405)
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Allgemeine Ebenengleichung:
HESSEsche Normalform der Ebenengleichung:
Achsenabschnittsform der Ebenengleichung:
Gleichung einer Ebene, durch drei Punkte:
Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden:
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden:
Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen:
Ebenengleichungen
Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Ebene, und umgekehrt ist die Gleichung jeder Ebene vom
ersten Grade.
Allgemeine Ebenengleichung:
Die allgemeine Ebenengleichung lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.373a)
b) in Vektorschreibweise
(3.373b)
senkrecht auf der Ebene steht. (In der Abbildung sind die Achsenabschnitte der
wobei der Vektor
Ebene
eingezeichnet.)
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen)
Man spricht vom Normalenvektor der Ebene . Seine Richtungskosinusse sind
(3.373c)
Wenn
dann geht die Ebene durch den Koordinatenursprung, für
die Ebene parallel zur
-Achse, bzw. zur
- oder
dann liegt die Ebene parallel zur
bzw.
-Achse. Wenn
-Ebene, bzw. zur
oder
bzw.
- oder
ist
oder
-Ebene.
HESSEsche Normalform der Ebenengleichung:
Die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.374a)
b) in Vektorschreibweise
(3.374b)
wobei
der Normaleneinheitsvektor der Ebene ist und
der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung. Die
HESSEsche Normalform geht aus der allgemeinen Gleichung (3.373a) durch Multiplikation mit dem Normierungsfaktor
(3.374c)
hervor. Dabei muß das Vorzeichen von
entgegengesetzt zu dem von
gewählt werden.
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen.)
Achsenabschnittsform der Ebenengleichung:
Mit den Strecken
die unter Berücksichtigung des Vorzeichens von der Ebene auf den Koordiantenachsen
abgeschnitten werden, gilt:
(3.375)
Gleichung einer Ebene, durch drei Punkte:
Die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte
lautet
a) in Komponentenschreibweise
geht,
(3.376a)
b) in Vektorschreibweise
(3.376b)
(s. gemischtes Produkt dreier Vektoren).
Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden:
Die Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte
Geraden mit dem Richtungsvektor
geht und parallel zu einer
liegt, lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.377a)
b) in Vektorschreibweise
(3.377b)
(S. auch gemischtes Produkt oder Spatprodukt dreier Vektoren.)
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:
Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt
Richtungsvektoren
und
geht und parallel zu zwei Geraden mit den
verläuft, lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.378a)
b) in Vektorschreibweise
(3.378b)
(S. auch gemischtes Produkt oder Spatprodukt dreier Vektoren.)
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden:
Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt
geht und senkrecht zu einer Geraden mit dem
Richtungsvektor
verläuft, lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.379a)
b) in Vektorschreibweise
(3.379b)
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten.)
Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Einsetzen der Koordinaten des Punktes
in die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung (3.374a)
(3.380a)
liefert
(3.380b)
Wenn
und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen, ist
entgegengesetzten Falle ist
Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen:
im
Die Gleichung einer Ebene, die durch die Schnittlinie zweier Ebenen mit den Gleichungen
und
verläuft, lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.381a)
b) in Vektorschreibweise
(3.381b)
ein reeller Parameter, so daß durch die Gleichungen (3.381a) und (3.381b) ein ganzes Ebenenbüschel
Dabei ist
beschrieben wird. Die folgende Abbildung zeigt den Fall eines Ebenenbüschels mit drei Ebenen.
Wenn
in den Gleichungen (3.381a) oder (3.381b) die Werte zwischen
Ebenen des Büschels. Für
und
durchläuft, erhält man alle
erhält man die Gleichungen der Ebenen, die die Winkel zwischen den beiden
gegebenen Ebenen halbieren, wenn deren Gleichungen in der Normalform gegeben sind.
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise (s. Vektorielle Gleichungen.)
Sphärischer Abstand
Durch zwei Punkte
und
der Kugeloberfläche, die keine Gegenpunkte, d.h. keine Endpunkte eines
Durchmessers sind, lassen sich unendlich viele Kleinkreise, aber nur ein Großkreis (mit der Großkreisebene g) legen.
In der folgenden Abbildung sind durch die Punkte
des durch
gehenden Großkreises geklappt.
und
die zwei Kleinkreise
gelegt und in die Ebene
Man sieht, daß der Großkreis den größten Radius und damit die kleinste Krümmung hat. Daher stellt der kleinere der
beiden Großkreisbögen durch
zwischen den Punkten
und
und
die kürzeste Verbindung beider Punkte dar. Er ist die kürzeste Verbindung
auf der Kugeloberfläche und wird sphärischer Abstand genannt.
Messung des sphärischen Abstandes
Der sphärische Abstand zweier Punkte kann im Längenmaß oder im Winkelmaß ausgedrückt werden.
Sphärischer Abstand im Winkelmaß ist der Winkel zwischen den Radien
und
, gemessen im
Kugelmittelpunkt
. Dieser Winkel ist dem sphärischen Abstand eindeutig zugeordnet und wird im folgenden
mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Die Bezeichnung kann am Kugelmittelpunkt oder auf dem
Großkreisbogen angegeben werden.
Sphärischer Abstand im Längenmaß ist die Länge des Großkreisbogens zwischen
und
. Sie wird im
folgenden mit
(Bogen
) bezeichnet.
Umrechnungen von Winkelmaß in Längenmaß und umgekehrt erfolgen gemäß
(3.161a)
(3.161b)
Dabei ist
der in Grad und arc
der in Radiant gemessene Winkel (s. Bogenmaß). Für den Umrechnungsfaktor
gilt
(3.161c)
Die Angaben im Längen- oder Winkelmaß sind gleichwertig, aber in der sphärischen Trigonometrie werden die
sphärischen Abstände in der Regel im Winkelmaß angegeben.
Beispiel A
Bei sphärischen Berechnungen auf der Erdoberfläche wird von einer Kugel ausgegangen, die das gleiche
Volumen wie das zweiachsige Referenzellipsoid von KRASSOWSKI hat. Dieser Erdkugelradius beträgt
km, woraus folgt
111,2 km,
1853,3 m = 1 alte Seemeile. Heute gilt: 1
Seemeile = 1852 m.
Beispiel B
Der sphärische Abstand zwischen Dresden und St. Petersburg beträgt
= 1433 km oder
Abstand zwischen zwei Punkten
Sind die Punkte in kartesischen Koordinaten
und
gegeben, dann ist
(3.291)
sind sie als
und
in Polarkoordinaten gegeben, dann gilt
(3.292)
Abstand zwischen zwei Punkten
Zwischen den Punkten
und
in der folgenden Abbildung beträgt der Abstand
(3.360a)
Die Richtungskosinusse der Strecke zwischen beiden Punkten berechnen sich gemäß
(3.360b)
Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren
Zur Lösung der Quadratmittelaufgabe (19.24) geht man im nichtlinearen Fall ( nichtlineare Ausgleichsaufgabe ) iterativ
wie folgt vor:
1.
approximiert man wie beim NEWTON-
Ausgehend von geeigneten Startnäherungen
Verfahren (dort gemäß (19.61)), die nichtlinearen Funktionen
durch lineare Näherungen
, die in jedem Iterationsschritt gemäß
(19.65)
berechnet werden.
2.
Man setzt in (19.65)
und ermittelt die Verbesserungen
nach der GAUSSschen
Fehlerquadratmethode, d.h. durch Lösung der linearen Quadratmittelaufgabe
(19.66)
z.B. mit Hilfe der Normalgleichungen (19.42), oder des HOUSEHOLDER-Verfahrens.
3.
Man erhält Näherungen für die gesuchte Lösung durch
(19.67a)
(19.67b)
wobei
ein Schrittweitenparameter wie beim NEWTON-Verfahren ist.
Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit
an Stelle von
erhält man das GAUSS-NEWTON- Verfahren
. Es liefert eine Folge von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der Startnäherungen abhängt.
Mit Hilfe des Schrittweitenparameters
läßt sich jedoch ein sogenannter Abstieg , d.h. eine Verkleinerung der
Fehlerquadratsumme, erzielen.
Wenn die Berechnung der partiellen Ableitungen
mit großem Aufwand verbunden ist, kann man die partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten sehr einfach
approximieren:
(19.68)
Die sogenannten Diskretisierungsschrittweiten
können in Abhängigkeit von Iterationsschritt und Variablen
speziell gewählt werden.
Verwendet man die Näherungen (19.68), dann müssen bei der Durchführung des GAUSS-NEWTON-Verfahrens nur
Funktionswerte
berechnet werden, d.h., das Verfahren ist dann ableitungsfrei .
Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten
Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten eines Punktes
sind die mit einem bestimmten Vorzeichen
behafteten und in einem bestimmten Maßstab angegebenen Entfernungen dieses Punktes von zwei senkrecht
aufeinander stehenden Koordinatenachsen .
Der Schnittpunkt 0 der Koordinatenachsen wird Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt genannt. Die
horizontale Koordinatenachse, meist die
Koordinatenachse, meist die
-Achse, wird gewöhnlich Abszissenachse genannt, die vertikale
-Achse, Ordinatenachse . Auf diesen Achsen wird die positive Richtung festgelegt: für
die
-Achse gewöhnlich nach rechts weisend, für die
Punktes
-Achse nach oben. Die Koordinatenvorzeichen eines
sind dann positiv oder negativ, je nachdem, auf welche Halbachse die Projektion des Punktes fällt.
Die Koordinaten
bzw.
werden die Abszisse bzw. die Ordinate des Punktes
wird ein Punkt mit der Abszisse
und der Ordinate
-Ebene in vier Quadranten I, II, III und IV zerlegt.
genannt. Mit der Schreibweise
angegeben. Durch die Koordinatenachsen wird die
Kartesische Koordinaten
1. Grundbegriffe:
werden die mit einem bestimmten Vorzeichen versehenen und in
Kartesische Koordinaten eines Punktes
einer bestimmten Maßeinheit angegebenen Abstände von drei rechtwinklig aufeinanderstehenden
Koordinatenebenen genannt. Sie stellen die Projektionen des Radiusvektors
rechtwinklig aufeinanderstehende Koordinatenachsen dar.
zum Punkt
auf drei
Der Schnittpunkt 0 der Koordinatenachsen wird Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt genannt.
Die Koordinaten
daß der Punkt
heißen Abszisse , Ordinate und Applikate . Die Schreibweise
die Koordinaten
nach dem Oktanten, in dem sich der Punkt
bedeutet,
hat. Die Vorzeichen der Koordinaten richten sich
befindet.
2. Koordinatenvorzeichen:
Die Koordinatenvorzeichen in den 8 Oktanten sind in der Tabelle angegeben.
Tabelle Koordinatenvorzeichen in den Oktanten
Oktant
3. Einheitsvektoren im Rechts- und Linkssystem:
Im rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem (linke Abbildung) gilt für die senkrecht
aufeinanderstehenden und in der Reihenfolge
genommenen Einheitsvektoren
(3.353a)
d.h., es gilt die Rechte-Hand-Regel.
Die drei Formeln gehen durch zyklische Vertauschung der Einheitsvektoren auseinander hervor.
Im linkshändigen kartesischen Koordinatensystem (rechte Abbildung) gilt
(3.353b)
Das negative Vorzeichen der Vektorprodukte ergibt sich aus der linkshändigen Reihenfolge der Einheitsvektoren, d.h.
ihrer Anordnung im Uhrzeigersinn.
Es ist zu beachten, daß in beiden Fällen gilt:
(3.353c)
Im allgemeinen werden, wie auch in diesem Buch, rechtshändige Koordinatensysteme verwendet; die Formeln sind
allerdings nicht von dieser Wahl abhängig.
Theorie der Meßfehler
Bei jeder wissenschaftlichen Messung -- unabhängig davon, wie sorgfältig sie durchgeführt wird -- sind
Beobachtungs- oder Meßwerte mit unvermeidlichen Meßfehlern behaftet. Nach DIN werden die Meßfehler, also alle
während einer Messung auftretenden Fehler, Abweichungen genannt. Unsicherheiten nennt man dagegen die Fehler
bei der Angabe von Meßergebnissen. Mit diesen beiden Begriffen kann man die Zielstellung der Theorie der
Meßfehler wie folgt formulieren:
1.
Die Abweichungen sind so klein wie möglich zu halten, d.h., für den Wert, der durch die Messung bestimmt
werden soll, ist eine möglichst gute Näherung zu ermitteln. Dafür eignet sich besonders die
Ausgleichsrechnung , die auf GAUSS zurückgeht und die im wesentlichen aus der Fehlerquadratmethode
besteht.
2.
Die Unsicherheit ist so gut wie möglich abzuschätzen oder zu berechnen, wozu die Methoden der
mathematischen Statistik eingesetzt werden.
●
●
Meßfehler und ihre Verteilung
Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse
Prinzip der Prüfverfahren
Ein statistisches Prüfverfahren hat grundsätzlich folgenden Aufbau:
1.
Es wird eine Hypothese
aufgestellt, daß die Stichprobe einer Grundgesamtheit von vorgegebenen
Eigenschaften angehört, z.B.
:
Grundgesamtheit ist normalverteilt mit den Parametern
und
oder
:
Für das unbekannte
wird ein Näherungswert
, in diesem Zusammenhang auch Schätzwert
genannt, eingesetzt, der z.B. durch Rundung des Stichprobenmittelwertes
gewonnen wird.
2.
(im allgemeinen mit Hilfe von
Man ermittelt in der angenommenen Grundgesamtheit ein Vertrauensintervall
Tabellen), in dem der Wert einer bestimmten Stichprobenfunktion mit einer vorgegebenen Sicherheit (z.B.
oder
3.
) liegt.
Man berechnet den Wert der Stichprobenfunktion und lehnt die Hypothese ab, wenn dieser Wert nicht in
liegt.
Beispiel
Prüfen des Mittelwertes mit der Hypothese
:
bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit
Gemäß Abschnitt Vertrauensgrenzen für den Mittelwert genügt die Zufallsgröße
-Verteilung mit
wenn
.
einer
Freiheitsgraden. Daraus folgt, daß man die Hypothese ablehnen muß,
nicht in dem durch (16.125) festgelegten Vertrauensintervall liegt, d.h., wenn sich
(16.130)
ergibt. Man sagt dann, es handelt sich um eine signifikante Abweichung und spricht von Signifikanz .
Weitere Angaben über die Durchführung von Prüfverfahren s. Lit. 16.23.
Unterabschnitte
●
Evolvente oder Involute
Evolute
Evolute einer gegebenen Kurve heißt eine zweite Kurve, die aus den Krümmungsmittelpunkten der ersten Kurve
besteht; sie ist gleichzeitig Einhüllende der Normalen dieser ersten Kurve. Die Einhüllende wird auch Enveloppe
genannt. Die Parameterform der Evolute erhält man aus der Gleichung (3.444) für die Krümmungsmittelpunkte, wenn
und
als laufende Koordinaten aufgefaßt werden. Wenn es gelingt, aus diesen Gleichungen den Parameter (
oder
) zu eliminieren, dann kann die Evolutengleichung in kartesischen Koordinaten hingeschrieben werden.
Beispiel
Es ist die Evolute der Parabel
zu bestimmen.
Aus
als laufende Koordinaten der Evolute
folgt mit
und
Evolvente oder Involute
Evolvente oder Involute einer Kurve
heißt eine Kurve
die für
der Evolvente eine Tangente an die Evolute, und die Bogenlänge
eine Evolute ist. Daher ist jede Normale
der Evolute ist gleich dem Zuwachs
des Krümmungsradius der Evolvente (linke Abbildung):
(3.460)
Diese Eigenschaften berechtigen für die Evolvente zu der Bezeichnung ,,Abwickelkurve `` der Kurve
da sie aus
durch Abwickeln eines gespannten Fadens erhalten werden kann (rechte Abbildung). Einer gegebenen Evolute
entspricht eine Schar von Evolventen, die jeweils durch die ursprüngliche Länge des gespannten Fadens bestimmt
werden.
Die Gleichung der Evolute ergibt sich durch Integration eines Systems von Differentialgleichungen, das die Gleichung
der Evolute darstellt (s. auch Kreisevolvente).
Beispiel
Die Katenoide ist die Evolute der Traktrix, die Traktrix die Evolvente der Katenoide.
Mächtigkeit, Kardinalzahl
1. Mächtigkeit, Kardinalzahl: Zwei Mengen
bijektive Abbildung gibt. Jeder Menge
heißen gleichmächtig , falls es zwischen ihnen eine
wird eine Kardinalzahl
oder
zugordnet, so daß
gleichmächtige Mengen die gleiche Kardinalzahl erhalten. Eine Menge ist zu ihrer Potenzmenge niemals
gleichmächtig, so daß es keine ,,größte`` Kardinalzahl gibt.
2. Unendliche Mengen: Unendliche Mengen sind dadurch charakterisiert, daß sie echte Teilmengen besitzen,
die zur Gesamtmenge gleichmächtig sind. Die ,,kleinste`` unendliche Kardinalzahl ist die Kardinalzahl der
Menge
der natürlichen Zahlen.
Eine Menge heißt abzählbar (unendlich), wenn sie zu
lassen sich durchnumerieren bzw. als unendliche Folge
gleichmächtig ist. Das bedeutet, ihre Elemente
schreiben.
Eine Menge heißt überabzählbar (unendlich), wenn sie unendlich, aber nicht gleichmächtig zu
Demzufolge ist jede nichtabzählbar (unendliche) Menge überabzählbar (unendlich).
ist.
Beispiel A
Die Menge
der ganzen Zahlen und die Menge
der rationalen Zahlen sind abzählbar
der reellen Zahlen und die Menge
der komplexen Zahlen sind überabzählbar
(unendlich).
Beispiel B
Die Menge
(unendlich).
Hinweise:
1.
Zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten hätte man auch von der Interpolationsbedingung
, d.h. von
(16.151)
ausgehen können. Im Falle
stellt (16.151) ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem dar, zu dessen
genäherter Lösung das HOUSEHOLDER-Verfahren verwendet werden kann. Der Übergang von (16.151), d.h.
Multiplikation von (16.151) mit
G linear unabhängig sind, also Rang
, wird auch als GAUSS-Transformation bezeichnet. Wenn die Spalten der Matrix
ist, dann hat das Normalgleichungssystem (16.147e) eine
eindeutige Lösung, die mit der nach HOUSEHOLDER ermittelten Näherungslösung von (16.151) übereinstimmt.
2.
Auch im mehrdimensionalen Fall lassen sich mit Hilfe der -Verteilung Vertrauensgrenzen für die
Regressionskoeffizienten analog zu (16.143a,b) angeben (s. Lit. 16.9).
3.
Mit Hilfe der
-Verteilung kann man einen sogenannten Adäquatheitstest für den Ansatz (16.147b)
durchführen. Dieser Test gibt Auskunft darüber, ob ein Ansatz der Form (16.147b), aber mit weniger Gliedern,
schon eine hinreichend gute Approximation der theoretischen Regressionsfunktion (16.144) liefert (s. Lit. 16.9).
Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion zweier oder mehrerer komplexer Zahlen sind in der algebraischen Schreibweise durch die
Formel
(1.138)
definiert. In der geometrischen Interpretation werden zur Summen- bzw. Differenzbildung die Vektoren der
betreffenden komplexen Zahlen addiert bzw. subtrahiert (s. Regeln der Vektorrechnung).
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
Resultatfehler:
Vermeidung der Auslöschung:
Grundoperationen des numerischen Rechnens
Jeder numerische Prozeß setzt sich letztlich aus einer Folge von Grundrechenoperationen zusammen. Probleme
ergeben sich insbesondere durch die endliche Stellenzahl bei der Gleitpunktarithmetik. Diese sollen kurz betrachtet
werden. Es sei vorausgesetzt, daß
einem Wert
und
normalisierte fehlerfreie Gleitkommazahlen gleichen Vorzeichens mit
sind.
(19.269a)
(19.269b)
(19.269c)
Addition:
Für
erfolgt der Exponentenangleich an
, da wegen der Normalisierung nur eine Linksverschiebung des
Punktes möglich ist. Die Mantissen werden addiert.
(19.270a)
(19.270b)
so erfolgt die Punktverschiebung um eine Stelle nach links bei gleichzeitiger Erhöhung des Exponenten um eins
(Additionsüberlauf).
Beispiel
.
Subtraktion:
Der Exponentenangleich erfolgt wie bei der Addition, die Mantissen werden subtrahiert. Ist
(19.271a)
und
(19.271b)
so erfolgt die Punktverschiebung um maximal
Stellen nach rechts mit entsprechender Erniedrigung des Exponenten.
Beispiel
.
Das Beispiel zeigt den kritischen Fall der Auslöschung führender Nullen. Durch die beschränkte Stellenzahl (hier 4)
werden außerdem von rechts Nullen eingeschleppt, die eine erhöhte Anzahl gültiger Ziffern vortäuschen.
Multiplikation:
Die Exponenten werden addiert und die Mantissen multipliziert. Ist
(19.272)
so wird der Dezimalpunkt bei gleichzeitiger Erniedrigung des Exponenten um eins um eine Stelle nach rechts
verschoben ( Multiplikationsunterlauf ).
Beispiel
.
Division:
Die Exponenten werden subtrahiert und die Mantissen dividiert. Ist
(19.273)
so wird der Dezimalpunkt bei gleichzeitiger Erhöhung des Exponenten um eins um eine Stelle nach links verschoben (
Divisionsüberlauf ).
Beispiel
.
Resultatfehler:
Der Resultatfehler bei den vier Grundrechenarten mit vorausgesetzten fehlerfreien Operanden resultiert dann lediglich
aus der Rundung. Für den relativen Fehler gilt mit der Stellenzahl
und der Basis
die Schranke
(19.274)
Vermeidung der Auslöschung:
Es ist ersichtlich, daß die Subtraktion nahezu gleich großer Gleitkommazahlen die kritische Operation ist. Wenn möglich,
sollte in solchen Fällen durch Prioritätenänderungen oder andere Anordnung der Operanden die Reihenfolge der
Operationen geändert werden.
Darstellung in Form eines Polynoms
Jeder ganzrationale Ausdruck kann mit Hilfe elementarer Umformungen, also durch Zusammenziehen gleichnamiger Glieder,
Addition, Subtraktion und Multiplikation von Monomen und Polynomen, in Form eines Polynoms dargestellt werden.
Beispiel
●
●
Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
Spezielle Formeln
Arithmetische Operationen
Die arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) mit zwei beliebigen rationalen
Zahlen sind stets möglich und liefern im Ergebnis wieder eine rationale Zahl. Eine Ausnahme davon ist die Division
durch Null , die unmöglich ist: Die Schreibweise
Zahl
gibt, die der Gleichung
mit
hat keinen bestimmten Sinn, da es keine bestimmte rationale
genügt. Für
kann
eine beliebige rationale Zahl
sein. Die oft verwendete Schreibweise
(unendlich) bedeutet nicht, daß diese Division möglich ist; es ist
lediglich eine Abkürzung für die Aussage: Wenn sich der Nenner Null nähert, wächst der Quotient absolut genommen
über alle Grenzen.
Rechenregeln
1. Elementare algebraische Operationen: Die Multiplikation eines Tensors mit einer Zahl und die Addition
und Subtraktion von Tensoren gleicher Stufe erfolgen komponentenweise analog zu den entsprechenden
Operationen bei Vektoren und Matrizen.
2. Tensorprodukt: Die Tensoren
bzw.
Dann bilden die
bzw.
mit den Komponenten
bzw.
seien von der Stufe
Skalare
(4.73a)
die Komponenten eines Tensors
von
und
der Stufe
Man schreibt
=
und spricht vom Tensorprodukt
. Es gelten Assioziativ- und Distributivgesetz:
(4.73b)
3. Dyadisches Produkt: Das Produkt zweier Tensoren 1. Stufe
ergibt einen Tensor 2. Stufe mit den Elementen
und
(4.74a)
d.h., das Tensorprodukt stellt die Matrix
(4.74b)
dar. Diese wird auch als dyadisches Produkt der beiden Vektoren
4. Verjüngung: Setzt man in einem Tensor der Stufe
sie, so erhält man einen Tensor der Stufe
und
bezeichnet.
zwei Indizes gleich und summiert über
und spricht von einer Verjüngung des Tensors.
Beispiel
Der 2stufige Tensor
von (4.74a) mit
und
der das Tensorprodukt der beiden Vektoren
darstellt, wird über die Indizes
und
verjüngt, so daß
man mit
(4.75)
einen Skalar, also einen Tensor nullter Stufe erhält. Er stellt das Skalarprodukt der Vektoren
dar.
und
Rechenregeln
Neben den bereits formulierten Rechenregeln gelten noch die folgenden Rechenregeln:
1. Addition und Subtraktion: Tensoren gleicher Stufe, deren einander entsprechende Indizes beide kovariant
oder beide kontravariant stehen, werden koordinatenweise addiert oder subtrahiert und liefern einen Tensor
der gleichen Stufe.
2. Multiplikation: Die Multiplikation der Koordinaten eines Tensors
-ter Stufe mit denen eines Tensors
-
ter Stufe ergibt stets einen Tensor der Stufe
3. Verjüngung: Setzt man in einem Tensor
-ter Stufe
einen kovariant und einen kontravariant
stehenden Index einander gleich und summiert entsprechend der EINSTEINschen Summenkonvention über
diesen Index, dann entsteht ein Tensor der Stufe
. Diese Operation heißt Verjüngung .
4. Überschiebung: Unter Überschiebung zweier Tensoren versteht man folgende Operation: Beide Tensoren
werden multipliziert, und anschließend wird eine Verjüngung des Ergebnisses derart vorgenommen, daß die
Indizes, nach denen verjüngt wird, verschiedenen Faktoren angehören.
5. Symmetrie: Ein Tensor heißt symmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier kontravariant stehender
Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung nicht ändert.
6. Schiefsymmetrie: Ein Tensor heißt schiefsymmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier kontravariant
stehender Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung mit
multipliziert.
Beispiel
Der Epsilontensor ist schiefsymmetrisch bezüglich zweier beliebiger kovarianter oder kontravarianter
Indizes.
Summen und Differenzen von Areafunktionen
(2.209)
(2.210)
(2.211)
Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme)
(2.172)
(2.173)
(2.174)
(2.175)
Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y
(2.145a)
(2.145b)
(2.145c)
(2.146a)
(2.146b)
(2.146c)
Trigonometrische Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel
(2.82)
(2.83)
(2.84)
(2.85)
(2.86)
(2.87)
Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
(2.107)
(2.108)
(2.109)
(2.110)
(2.111)
(2.112)
(2.113)
(2.114)
Sigma-Algebren und Maße
Ausgangspunkt für den Begriff eines Maßes ist eine Verallgemeinerung der Begriffe der Länge eines Intervalls in
,
des Flächeninhalts und des Volumens einiger Teilmengen aus
und
. Diese Verallgemeinerung wird benötigt,
um möglichst viele Mengen ,,messen``zu können und möglichst viele Funktionen ,,integrierbar zu machen``.
Beispielsweise hat das Volumen eines
-dimensionalen Quaders
den Wert
●
●
-Algebra
Maß
.
Adjazenz
Gilt
Startpunkt von
dann heißt der Knoten
adjazent , d.h. benachbart, zum Knoten
heißt Zielpunkt von
und
Der Knoten
heißt
heißen Endpunkte von
Entsprechend werden die Adjazenz in ungerichteten Graphen und die Endpunkte von ungerichteten Kanten definiert.
Adjazenzmatrix
Endliche Graphen kann man wie folgt durch eine Matrix beschreiben: Es sei
und
von
nach
ein Graph mit
Dabei bezeichne
die Anzahl der Kanten
Bei ungerichteten Graphen werden Schlingen doppelt gezählt; bei gerichteten Graphen zählt man
Schlingen einfach. Die Matrix
vom Typ
mit
wird Adjazenzmatrix genannt. Ist der
Graph zusätzlich schlicht, dann hat die Adjazenzmatrix die folgende Gestalt:
(5.233)
D.h. in der Matrix
steht in der
-ten Zeile und
-ten Spalte genau dann eine 1, wenn eine Kante von
verläuft.
Für ungerichtete Graphen ist die Adjazenzmatrix symmetrisch.
nach
Beispiel A
Neben der Abbildung ist die Adjazenzmatrix
Beispiel B
des gerichteten Graphen
gezeigt.
Neben der Abbildung ist die Adjazenzmatrix
des ungerichteten schlichten Graphen
gezeigt.
Determinante
Determinanten sind reelle oder komplexe Zahlen, die eindeutig quadratischen Matrizen zugeordnet werden. Eine
Determinante
-ter Ordnung, die der Matrix
vom Typ
zugeordnet ist,
(4.54)
wird mit Hilfe des LAPLACEschen Entwicklungssatzes rekursiv definiert:
(4.55a)
(4.55b)
Hierbei ist
die mit dem Vorzeichenfaktor
multiplizierte Unterdeterminante des Elements
Man nennt
Adjunkte oder algebraisches Komplement .
Matrix-Gerüst-Satz
Es sei
ein Graph mit
und
Durch
mit
(5.239a)
wird eine Matrix vom Typ
definiert, die auch Valenzmatrix genannt wird. Die Differenz von Valenzmatrix und
Adjazenzmatrix ist die Admittanzmatrix
von
:
(5.239b)
Aus
erhält man durch Streichen der
-ten Zeile und der
ist gleich der Anzahl der Gerüste im Graphen
-ten Spalte die Matrix
Die Determinante von
Beispiel
Die Adjazenzmatrix, die Valenzmatrix und die Admittanzmatrix zum Graphen in der Abbildung im Abschnitt
Gerüste lauten:
Wegen det
hat der Graph genau 5 Gerüste.
Ähnliche Dreiecke, Ähnlichkeitssätze
Unter Ähnlichkeit versteht man allgemein die völlige Übereinstimmung der Gestalt ebener Figuren, ohne daß ihre
Größe übereinstimmt. Ähnliche Figuren können durch geometrische Transformationen ineinander überführt werden,
derart, daß die Punkte der einen Figur umkehrbar eindeutig so auf die Punkte der anderen abgebildet werden, daß
jedem Winkel der einen Figur ein gleicher Winkel der anderen Figur entspricht. Gleichwertig mit dieser Erklärung ist
die Aussage: In ähnlichen Figuren sind einander entsprechende Strecken zueinander proportional.
Die Ähnlichkeit von Figuren erfordert entweder die Übereinstimmung aller Winkel oder die Übereinstimmung
aller entsprechenden Streckenverhältnisse.
Die Flächeninhalte ähnlicher ebener Figuren sind proportional zum Quadrat einander entsprechender linearer
Elemente, wie Seiten, Höhen, Diagonalen usw.
Die Ähnlichkeitssätze für das ebene Dreiecke besagen, daß Dreiecke ähnlich sind, wenn sie übereinstimmen
in
❍ zwei Seitenverhältnissen,
❍ zwei gleichliegenden Innenwinkeln,
❍ im Verhältnis zweier Seiten und in dem von diesen Seiten gebildeten Innenwinkel,
❍ im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Innenwinkel.
Da bei der Ähnlichkeit nur Seitenverhältnisse, nicht aber wie bei der Kongruenz Seitenlängen eine Rolle
spielen, enthalten die Ähnlichkeitssätze je ein Bestimmungsstück weniger als die entsprechenden
Kongruenzsätze.
Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
Wenn
und
homogene Funktionen gleichen Grades sind, dann kann in der Gleichung
(9.8)
die Trennung der Variablen durch die Substitution
Beispiel
erreicht werden.
.
Somit ist
.
Wie unter Trennung der Variablen für
Integralkurve.
oder
erwähnt wird, ist die Gerade
auch eine
Direkter Beweis
Es wird von einem bereits als richtig bewiesenen Satz (Voraussetzung
des zu beweisenden Satzes (Behauptung
) ausgegangen und daraus die Wahrheit
) abgeleitet. Bei der logischen Schlußfolgerung wird vorwiegend die
Implikation oder die Äquivalenz verwendet.
a) Direkter Beweis mit Hilfe der Implikation:
In der Implikation
folgt aus der Wahrheit der Voraussetzung die Wahrheit der Behauptung (s. 4. Zeile
der Wahrheitstafel ,,Implikation``).
Beispiel
für
Die Ungleichung
ist zu beweisen. Voraussetzung ist die als
richtig erkannte binomische Formel
folgt:
Durch Subtraktion von
und aus dieser Ungleichung erhält man unmittelbar
die Behauptung, wenn man sich beim Radizieren wegen
und
auf das positive
Vorzeichen beschränkt.
b) Direkter Beweis mit Hilfe der Äquivalenz:
Der Beweis wird durch Verifizieren , d.h. durch den Nachweis der Wahrheit, geführt. Man geht dabei von der
Wahrheit der Behauptung
Äquivalenz
aus und zeigt die Wahrheit der Behauptung
möglich ist. Praktisch bedeutet dies, daß alle Rechenoperationen, die
eindeutig umkehrbar sein müssen.
Beispiel
, was allerdings nur bei einer
in
überführen,
Die Ungleichung
Durch Multiplikation mit
Wegen
für
ist zu beweisen.
erhält man:
ist die entstandene Ungleichung richtig, und da die durchgeführten
Rechenoperationen eindeutig umkehrbar sind, ist auch die Ausgangsungleichung richtig.
BOOLEsche Funktionen
Es bezeichnet
Abbildung von
wieder die zweielementige BOOLEsche Algebra. Eine n-stellige BOOLEsche Funktion
in
Es gibt
-stellige BOOLEsche Funktionen. Die Menge
aller
ist eine
-stelligen
BOOLEschen Funktionen wird mit
(5.220)
(5.221)
(5.222)
zu einer BOOLEschen Algebra. Dabei ist
jeweils ein
-Tupel von Elementen aus
rechten Seite der Gleichungen werden die Operationen in
entsprechen den Funktionen
bzw.
und auf der
ausgeführt. Die ausgezeichneten Elemente 0 bzw. 1
mit
(5.223)
Beispiel A
Im Falle
, d.h. bei nur einer BOOLEschen Variablen
, gibt es die vier BOOLEschen Funktionen:
(5.224)
Beispiel B
Im Falle
, d.h. bei zwei BOOLEschen Variablen
und
, gibt es 16 verschiedene BOOLEschen
Funktionen, von denen die wichtigsten eigene Namen haben und durch eigene Symbole dargestellt werden.
Sie sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Einige BOOLEsche Funktionen mit zwei Variablen
Name der
Funktion
Verschiedene
Schreibweisen
SCHEFFER
bzw.
NAND
NAND
Verschiedene
Symbole
und
Wertetabelle für
PEIRCE
bzw.
NOR
NOR
Äquivalenz
bzw.
XOR
Äquivalenz
Implikation
Wahrheitstafeln
Faßt man
und
als Variable auf, die nur die Werte F und W annehmen können ( Aussagenvariable ), so
beschreiben die folgenden Wahrheitstafeln die den Junktoren entsprechenden Wahrheitsfunktionen :
Tabelle Wahrheitstafeln der Aussagenlogik
Äquivalenzklassen
Eine Äquivalenzrelation in einer Menge
Teilmengen, Äquivalenzklassen .
bewirkt eine Aufteilung von
in nichtleere paarweise disjunkte
(5.87)
heißt Äquivalenzklasse von
bezüglich
Für Äquivalenzklassen gilt:
(5.88)
Diese Äquivalenzklassen werden zu einer neuen Menge, der Faktormenge
zusammengefaßt:
(5.89)
Eine Teilmenge
der Potenzmenge
heißt Zerlegung von
, wenn
(5.90)
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Die wichtigsten Klassen binärer Relationen in einer Menge
●
●
●
●
Äquivalenzrelationen
Äquivalenzklassen, Zerlegungen
Ordnungsrelationen
HASSE-Diagramme
sind die Äquivalenz- und Ordnungsrelationen.
Boolesche Algebren und Schaltalgebra
Die bei der Darstellung der Grundgesetze der Mengenalgebra festgestellte Analogie zu den Grundgesetzen der
Aussagenlogik trifft auch auf die Rechenregeln für Operationen mit anderen mathematischen Objekten zu. Die
Untersuchung dieser Rechenregeln führt auf den Begriff der BOOLEschen Algebra.
●
●
●
●
●
●
●
Definition und Grundgesetze
Dualitätsprinzip
Endliche BOOLEsche Algebren
BOOLEsche Algebren als Ordnungen
BOOLEsche Funktionen, BOOLEsche Ausdrücke
Normalformen
Schaltalgebra
Endliche BOOLEsche Algebren
Alle endlichen BOOLEschen Algebren lassen sich bis auf ,,Isomorphie`` einfach angeben. Es seien
BOOLEsche Algebren und
eine bijektive Abbildung.
heißt Isomorphismus , falls gilt:
(5.219)
Jede endliche BOOLEsche Algebra ist isomorph zur BOOLEschen Algebra der Potenzmenge einer endlichen Menge.
Insbesondere hat jede endliche BOOLEsche Algebra
gleich vielen Elementen sind isomorph.
Im folgenden wird mit
Elemente, und je zwei endliche BOOLEsche Algebren mit
die zweielementige BOOLEsche Algebra
mit den folgenden Operationen
bezeichnet:
Tabelle Operationen der zweielementigen BOOLEschen Algebra
Erklärt man auf dem
und
-fachen kartesischen Produkt
komponentenweise, so wird
mit
die Operationen
und
Algebra. Man nennt
das -fache direkte Produkt von
Da
Weise alle endlichen BOOLEschen Algebren (bis auf Isomorphie).
zu einer BOOLEschen
Elemente enthält, erhält man auf diese
BOOLEsche Algebren als Ordnungen
Jeder BOOLEschen Algebra
läßt sich eine Ordnungsrelation in
zuordnen: Dabei wird
genau dann
gesetzt, wenn
gilt (oder gleichbedeutend dazu, wenn
gilt).
Somit läßt sich jede endliche BOOLEsche Algebra durch ein HASSE-Diagramm darstellen.
Beispiel
sei die Menge
der Teiler der Zahl 30. Als zweistellige Operationen
werden die Bildung des größten gemeinsamen Teilers bzw. des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
verwendet und als einstellige Operation die Bildung des Komplements. Die ausgezeichneten Elemente 0
bzw. 1 entsprechen den Zahlen 1 bzw. 30. Das zugehörige HASSE-Diagramm zeigt die folgende Abbildung.
Kongruenzrelationen, Faktoralgebren
Um Faktorstrukturen, wie im Falle der Gruppen und Ringe, für universelle Algebren konstruieren zu können, wird der
Begriff der Kongruenzrelation benötigt. Eine Kongruenzrelation ist eine mit der Struktur verträgliche
eine
Äquivalenzrelation: Es sei
heißt Kongruenzrelation in
-Algebra und
falls für alle
und alle
eine Äquivalenzrelation in
mit
gilt:
(5.192)
Die Menge der Äquivalenzklassen (Faktormenge) bezüglich einer Kongruenzrelation bildet bezüglich
repräsentantenweisem Rechnen wieder eine
eine Kongruenzrelation in
-Algebra: Es sei
Die Faktormenge
eine
-Algebra und
(s. Äquivalenz- und Ordnungsrelationen) wird bezüglich
folgender Operationen
mit
(5.193)
zu einer
-Algebra
der Faktoralgebra von
nach
Die Kongruenzrelationen von Gruppen bzw. Ringen lassen sich durch spezielle Teilstrukturen - Normalteiler bzw.
Ideale - beschreiben. Im allgemeinen, z.B. bei Halbgruppen, ist eine solche Beschreibung der Kongruenzrelationen
nicht möglich.
Termalgebren, freie Algebren
1. Termalgebren: Es sei
der
-Terme über
eine Signatur und
eine abzählbare Menge von Variablen. Die Menge
ist induktiv wie folgt definiert:
1.
(5.196)
2.
(5.197)
Die so definierte Menge
über
durch
wird Trägermenge einer
gemäß folgender Operationen: Ist
-Algebra, der Termalgebra
und
vom Typ
so ist
(5.198)
erklärt.
Freie Algebren: Termalgebren sind die ,,allgemeinsten`` Algebren in der Klasse aller
-Algebren, d.h., in
Termalgebren gelten keine ,,Gleichungen``. Solche Algebren werden freie Algebren genannt.
Eine Gleichung ist ein Paar
Eine
-Algebra
von
-Termen in den Variablen
erfüllt eine solche Gleichung, wenn für alle
gilt:
(5.199)
Eine gleichungsdefinierte Klasse von
-Algebren ist eine Klasse von
-Algebren, die eine vorgegebene Menge
von Gleichungen erfüllen.
Satz von BIRKHOFF: Die gleichungsdefinierten Klassen sind genau die Varietäten.
Beispiel
Varietäten sind zum Beispiel die Klasse aller Halbgruppen, die Klasse aller Gruppen, die Klasse aller
ABELschen Gruppen und die Klasse aller Ringe. Andererseits gilt zum Beispiel, daß das direkte Produkt von
zyklischen Gruppen keine zyklische Gruppe und das direkte Produkt von Körpern kein Körper ist. Deshalb
bilden die zyklischen Gruppen bzw. Körper keine Varietäten und können nicht durch Gleichungen definiert
werden.
Normierte Algebren
Ein Vektorraum
über
heißt eine Algebra , wenn zusätzlich zu den Operationen, die im Vektorraum
sind und den Axiomen (V1) bis (V7) (s. Vektorraumaxiome) genügen, für je zwei Elemente
oder in der vereinfachten Schreibweise,
, erklärt ist, so daß für beliebige
erklärt
ihr Produkt
und
die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(12.93)
(12.94)
(12.95)
(12.96)
Eine Algebra ist kommutativ , wenn stets
Ein linearer Operator
der Algebra
gilt.
in die Algebra
heißt Algebrenhomomorphismus , wenn für
alle
gilt:
(12.97)
heißt normierte Algebra bzw. eine BANACH-Algebra , wenn sie ein normierter Vektorraum bzw. ein
Eine Algebra
BANACH-Raum ist und die Norm die (zusätzliche) Eigenschaft
(12.98)
besitzt. In einer normierten Algebra sind alle Operationen stetig, d.h., außer (12.83) gilt für
auch noch
und
(s. Lit. 12.23).
Jede normierte Algebra kann zu einer BANACH-Algebra vervollständigt werden, indem man das Produkt auf ihre
Normvervollständigung unter Berücksichtigung von (12.98) fortsetzt.
Beispiel A
mit der Norm (12.87f) und der für stetige Funktionen üblichen (punktweisen) Multiplikation.
Beispiel B
Der Vektorraum
auf
aller in eine absolut konvergente FOURIER-Reihe zerlegbaren komplexen
stetigen Funktionen
, d.h.
(12.99)
mit der Norm
und der gewöhnlichen Multiplikation.
Beispiel C
Der Raum
aller beschränkten linearen Operatoren auf dem normierten Raum
Operatorennorm und den üblichen algebraischen Operationen, wobei unter dem Produkt
Operatoren die Nacheinanderausführung, also der durch
mit der
zweier
definierte
Operator verstanden wird.
Beispiel D
Der Raum
aller absolut summierbaren meßbaren Funktionen auf der reellen Achse
(s. Maß und LEBESGUE-Integral) mit der Norm
(12.100)
wenn man für die Multiplikation von zwei Funktionen die Faltung
verwendet.
Matrizen
●
●
●
●
●
●
Begriff der Matrix
Quadratische Matrizen
Vektoren
Rechenoperationen mit Matrizen
Rechenregeln für Matrizen
Vektor- und Matrizennorm
Definition
Es sei
eine Menge von Operationssymbolen, die in paarweise disjunkte Teilmengen
liegen die Konstanten, in
Typ oder Signatur . Ist
Operation
in
die
zerfällt. In
-stelligen Operationssymbole. Die Familie
eine Menge und ist jedem
-stelligen Operationssymbol
zugeordnet, so heißt
eine
eine
heißt
-stellige
- Algebra oder Algebra vom Typ
(oder der Signatur)
Ist
endlich,
Faßt man einen Ring als
so schreibt man für
auch
-Algebra auf, so zerfällt
wobei den Operationssymbolen
und Multiplikation zugeordnet sind.
die Konstante 0, Inversenbildung bezüglich Addition, Addition
Es seien
und
-Algebren.
die Einschränkungen der Operationen
heißt
-Unteralgebra von
falls
auf die Teilmenge
ist und die Operationen
sind.
Schaltalgebra
Eine typische Anwendung der BOOLEschen Algebra ist die Vereinfachung von Reihen-Parallel-Schaltungen (RPS).
Dazu wird einer RPS ein BOOLEscher Ausdruck zugeordnet (Transformation). Dieser Ausdruck wird mit den
Umformungsregeln der BOOLEschen Algebra ,,vereinfacht``. Anschließend wird diesem Ausdruck wieder eine RPS
zugeordnet (Rücktransformation). Im Ergebnis erhält man eine vereinfachte RPS, die das gleiche Schaltverhalten wie
die Ausgangsschaltung hat.
RPS bestehen aus Grundelementen, den Arbeits- und Ruhekontakten, mit jeweils zwei Zuständen (geöffnet oder
geschlossen). Die Symbolik ist, wie üblich, so zu verstehen: Wird die steuernde Schaltvorrichtung eingeschaltet, so
schließt der Arbeitskontakt (,,Schließer``) und der Ruhekontakt (,,Öffner``) öffnet sich. Den die Kontakte steuernden
Schaltvorrichtungen werden BOOLEsche Variable zugeordnet. Dem Zustand ,,aus`` bzw. ,,ein`` der Schaltvorrichtung
entspricht der Wert 0 bzw. 1 der BOOLEschen Variablen. Kontakte, die durch die gleichen Vorrichtungen geschaltet
werden, erhalten als Symbol die BOOLEsche Variable dieser Vorrichtung. Der Schaltwert einer RPS ist 0 bzw. 1,
wenn die Schaltung elektrisch leitend bzw. nichtleitend ist. Der Schaltwert ist abhängig von der Stellung der Kontakte
(Schaltfunktion) der den Schaltvorrichtungen zugeordneten Variablen. In der
und damit eine BOOLEsche Funktion
folgenden Abbildung sind Kontakte, Schaltungen, Symbole und die ihnen entsprechenden BOOLEschen Ausdrücke
dargestellt.
Die BOOLEschen Ausdrücke, die Schaltfunktionen von RPS repräsentieren, sind dadurch ausgezeichnet, daß das
Negationszeichen nur über Variablen (nicht über Teilausdrücken) stehen darf.
Beispiel
Die Reihen-Parallel-Schaltung aus der folgenden Abbildung ist zu vereinfachen.
Dieser Schaltung ist der BOOLEsche Ausdruck
(5.230)
als Schaltfunktion zugeordnet. Entsprechend den Umformungsregeln der BOOLEschen Algebra ergibt sich:
(5.231)
Dabei ergibt sich
aus
und
aus
Man erhält die in der Abbildung dargestellte vereinfachte
RPS.
Dieses Beispiel veranschaulicht, daß es nicht immer einfach ist, durch Umformung auf den ,,einfachsten``
BOOLEschen Ausdruck zu kommen. In der Literatur sind dazu Verfahren bereitgestellt.
Universelle Algebra
Eine (universelle) Algebra besteht aus einer Menge, der Trägermenge , und Operationen auf dieser Menge. Einfache
Beispiele sind Halbgruppen, Gruppen sowie Ringe und Körper.
Universelle Algebren (meist mehrsortig, d.h. mit mehreren Trägermengen) werden insbesondere in der theoretischen
Informatik betrachtet. Sie dienen dort als Grundlage für die (algebraische) Spezifikation abstrakter Datentypen und
für Termersetzungssysteme .
●
●
●
●
●
●
Definition
Kongruenzrelationen, Faktoralgebren
Homomorphismen
Homomorphiesatz
Varietäten
Termalgebren, freie Algebren
Interpolation nach Aitken-Neville
In vielen praktischen Fällen wird das Interpolationspolynom
explizit nicht benötigt, sondern nur sein Funktionswert an
einer vorgegebenen Stelle
des Interpolationsgebietes. Zur Berechnung dieses Funktionswertes kann man nach
AITKEN/NEVILLE rekursiv vorgehen. Dazu verwendet man zweckmäßigerweise die Bezeichnung
(19.161)
in der die Indizierung die verwendeten Stützstellen und damit auch den Grad des Interpolationspolynoms angibt. Es gilt
(19.162)
d.h., der Funktionswert
ergibt sich durch lineare Interpolation aus den Funktionswerten von
, zwei Interpolationspolynomen vom Grad
Schema, das für den Fall
angegeben werden soll:
und
. Die gezielte Anwendung von (19.162) führt auf ein
(19.163)
Die Elemente von (19.163) werden spaltenweise berechnet. Ein neuer Wert im Schema entsteht jeweils aus dem links daneben
stehenden und dem unmittelbar über diesem stehenden Wert, z.B.
(19.164a)
(19.164b)
(19.164c)
Für die Durchführung des Algorithmus von AITKEN/NEVILLE auf dem Computer braucht man nach Lit. 19.3 nur einen Vektor
mit
Komponenten, der nacheinander die einzelnen Spalten von (19.163) aufnimmt. Dazu wird vereinbart, daß der Wert
der
-ten Spalte die
-te Komponente
von
wird. Damit sind die Spalten
von (19.163) von oben nach unten zu berechnen, um die noch benötigten Werte zur Verfügung zu haben. Der Algorithmus
besteht dann aus folgenden zwei Schritten:
(19.165a)
(19.165b)
Nach Abschluß von (19.165b) stellt
den gesuchten Funktionswert von
an der Stelle
dar.
Algorithmus von DANTZIG
Es sei
ein bewerteter schlichter gerichteter Graph mit
folgende Algorithmus liefert alle von einem Knoten
Entfernungen von
von
für alle Bögen
. Der
aus erreichbaren Knoten zusammen mit ihren
:
a)
Der Knoten
erhält die Markierung
Es sei
b)
Die Menge der markierten Knoten sei
c)
Ist
d)
, dann beende man den Algorithmus.
Anderenfalls wähle man einen Bogen
markiere
und
, setze
aus, für den
minimal ist. Man
sowie
und wiederhole b)
mit
Sind alle Bögen mit 1 bewertet, dann kann man gemäß des Problemes des kürzesten Weges mit Hilfe der
Adjazenzmatrix die Länge einer kürzesten Bahn von einem Knoten
Wird dagegen ein Knoten
Wird
mit
von
markiert, dann ist
zu einem Knoten
nicht markiert, dann gibt es keine von
nach
des Graphen finden.
führende Bahn.
die Länge einer solchen Bahn. Eine kürzeste Bahn von
in dem von allen markierten Knoten und Bögen gebildeten Baum, dem Entfernungsbaum bezüglich
Beispiel
nach
liegt
Im Graphen der folgenden Abbildung bilden die grün gezeichneten Bögen einen Entfernungsbaum
bezüglich des Knotens
Die Längen der kürzesten Bahnen sind:
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
von
nach
Hinweis: Für den Fall, daß
Bögen mit negativen Längen besitzt, gibt es einen modifizierten
Algorithmus zur Ermittlung kürzester Bahnen (s. Lit. 5.32).
EUKLIDischer Algorithmus
Für zwei natürliche Zahlen
kann man den größten gemeinsamen Teiler mit dem EUKLIDischen Algorithmus
ohne Zuhilfenahme der Primfaktorenzerlegung ermitteln. Dazu ist nach dem folgenden Schema eine Kette von
Divisionen mit Rest auszuführen. Für
sei
Dann gilt:
(5.152a)
Der Divisionsalgorithmus endet nach endlich vielen Schritten, da die Folge
eine streng monoton
fallende Folge natürlicher Zahlen ist. Der letzte von 0 verschiedene Rest
ist der größte gemeinsame Teiler von
und
Benutzt man die Reduktionsvorschrift
(5.152b)
dann kann man durch wiederholte Anwendung des EUKLIDischen Algorithmus auch für
den größten gemeinsamen Teiler ermitteln.
(S. auch Satz zum EUKLIDischen Algorithmus.)
Beispiel A
Es gilt ggT(38, 105) = 1, denn
Beispiel B
ggT(150, 105, 56) = ggT(ggT(150, 105), 56) = ggT(15, 56) = 1.
natürliche Zahlen mit
Kettenbrüche
Kettenbrüche sind ineinandergeschachtelte Brüche, mit deren Hilfe rationale und irrationale Zahlen dargestellt
werden können. Kettenbrüche rationaler Zahlen sind endlich. Für positive rationale Zahlen größer Eins haben sie die
Form
(1.4)
wobei die Zahlen
mit Hilfe des EUKLIDischen Algorithmus wie folgt ermittelt werden
können:
(1.5a)
(1.5b)
(1.5c)
Dabei wird vorausgesetzt, daß die Zahlen
Kettenbrüche werden abkürzend durch die Angabe
natürliche Zahlen mit
symbolisch dargestellt, wobei die Forderung
erfüllt sein muß.
Kettenbrüche irrationaler Zahlen brechen nicht ab. Sie heißen daher unendliche Kettenbrüche.
Beispiel A
sind.
Beispiel B
Beispiel C
Im gleichmäßigen Fünfeck, dem Pentagramm , sei die Länge der Seiten mit
bezeichnet. Dann gilt
, die der Diagonalen mit
(1.6)
Man sieht, daß das Verhältnis
dem des Goldenen Schnittes entspricht.
Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
Zwei Polynome
vom Grade
und
vom Grade
mit
können gemeinsame
Polynomfaktoren haben. Das Produkt aller dieser Faktoren wird größter gemeinsamer Teiler der Polynome genannt.
Wenn
und
keine gemeinsamen Polynomfaktoren besitzen, dann nennt man sie teilerfremd . Ihr
größter gemeinsamer Teiler ist dann eine Konstante.
Der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome
und
kann mit Hilfe des EUKLIDischen Algorithmus
ohne Faktorenzerlegung ermittelt werden:
1.
Division von
durch
führt auf den Quotienten
und den Rest
:
(1.47a)
2.
Division von
durch
führt auf den Quotienten
und den Rest
:
(1.47b)
3.
Division von
durch
führt auf den Quotienten
und den Rest
usw:
Der größte gemeinsame Teiler der beiden Polynome ist dann der letzte von 0 verschiedene Rest
Die Methode ist als EUKLIDischer Algorithmus aus der Arithmetik mit natürlichen Zahlen bekannt.
Die Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers wird bei der Lösung von Gleichungen eingesetzt, z.B. bei der
Abspaltung mehrfacher Wurzeln, der Anwendung der STURMschen Methode sowie bei anderen Problemen.
Satz zum EUKLIDischen Algorithmus
Für natürliche Zahlen
Algorithmus und
mit
die Stellenzahl von
sei
die Anzahl der Divisionen mit Rest im EUKLIDischen
im dekadischen System. Dann gilt:
(5.159)
Maximalstrom-Algorithmus von FORD und FULKERSON
Mit dem Maximalstrom-Algorithmus ist feststellbar, ob ein vorgegebener Strom
Es sei
ein Transportnetz und
maximal ist.
ein mit den Kapazitäten verträglicher Strom der Stärke
Der Algorithmus
beinhaltet die folgenden Schritte zur Markierung von Knoten, nach deren Ausführung man ablesen kann, um welchen
Betrag die Stromstärke in Abhängigkeit von den ausgewählten Markierungsschritten verbessert werden kann.
a)
Man markiere
und setze
b)
Existiert ein Bogen
markiere man
und
anderenfalls folgt Schritt c).
c)
mit markiertem
setze
, nichtmarkiertem
und
dann
und wiederhole Schritt b),
Existiert ein Bogen
markiere man
mit nichtmarkiertem
und
markiertem
setze
und
dann
und führe, falls möglich, Schritt b) aus.
Anderenfalls beende man den Algorithmus.
Wird die Senke
von
markiert, dann läßt sich der Strom in
um
verbessern. Wird die Senke nicht
markiert, dann ist der Strom maximal.
Beispiel
Maximalstrom: Im Graphen der oberen Abbildung geben die Bewertungen der Kanten die Kapazitäten der
Kanten an. Im bewerteten Graphen der unteren Abbildung ist ein mit diesen Kapazitäten verträglicher Strom
der Stärke 13 dargestellt. Es handelt sich dabei um einen Maximalstrom.
Beispiel
Transportnetz: Ein Produkt wird von
Firmen
hergestellt. Es gibt
In einem bestimmten Zeitraum werden
Einheiten von
Einheiten von
Verbraucher
produziert und
benötigt.
In der vorgegebenen Zeit können
Einheiten von
nach
transportiert werden. Können in diesem
Zeitraum alle Bedarfswünsche erfüllt werden? Den zugehörigen Graphen zeigt die folgende Abbildung.
Gaußscher Algorithmus
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems
GAUSSsche Eliminationsprinzip angewendet werden.
●
●
●
GAUSSsches Eliminationsprinzip
GAUSS-Schritte
Lösungsverhalten
(4.107) von
Gleichungen mit
Unbekannten kann das
Prinzip des GAUSSschen Eliminationsverfahrens
Durch die elementaren Umformungen
1.
Vertauschen von Zeilen
2.
Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl
3.
Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
wird das System
(19.26) in ein sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem
(19.27)
überführt. Da dabei nur äquivalente Umformungen vorgenommen werden, besitzt
dieselbe Lösung wie
. Man erhält sie aus (19.27):
(19.28)
Die durch die Formel (19.28) angegebene Vorschrift nennt man Rückwärtseinsetzen , da die Gleichungen von
(19.27) in der umgekehrten Reihenfolge ihrer Entstehung benutzt werden.
Der Übergang von
zu
erfolgt in
sogenannten Eliminationsschritten , deren Durchführung am ersten
Schritt gezeigt werden soll. Dieser überführt die Matrix
in die Matrix
:
(19.29)
Dabei ist wie folgt vorzugehen:
1.
Man bestimme ein
. Falls kein solches existiert, stop:
ist singulär. Andernfalls heißt
Pivot .
2.
Man vertausche die 1. und die
-te Zeile von
. Das Ergebnis ist die Matrix
.
3.
Man subtrahiere für
Als Ergebnis erhält man die Matrix
das
-fache der 1. Zeile von der
und analog die neue rechte Seite
-ten Zeile der Matrix
.
mit folgenden Elementen:
(19.30)
Die in der Matrix
(19.29) eingerahmte Teilmatrix ist vom Typ
und wird analog zu
behandelt; usw. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als GAUSSsches Eliminationsverfahren oder GAUSSschen
Algorithmus.
Algorithmen der Graphentheorie
Unter den Teilgebieten der Diskreten Mathematik hat die Graphentheorie wesentliche Bedeutung für die Informatik
erlangt, z.B. bei der Darstellung von Datenstrukturen, endlichen Automaten, Kommunikationsnetzen, Ableitungen in
formalen Sprachen usw. Daneben gibt es auch Anwendungen in Physik, Chemie, Elektrotechnik, Biologie und
Psychologie. Darüber hinaus sind Flüsse in Transportnetzen und Netzplantechnik in Operations Research und
kombinatorischer Optimierung anwendbar.
●
●
●
●
●
●
●
Grundbegriffe und Bezeichnungen
Durchlaufungen von ungerichteten Graphen
Bäume und Gerüste
Matchings
Planare Graphen
Bahnen in gerichteten Graphen
Transportnetze
Minimalgerüste
Es sei
ein zusammenhängender bewerteter Graph. Ein Gerüst
wenn seine Gesamtlänge
von
heißt Minimalgerüst ,
minimal ist:
(5.240)
Minimalgerüste sucht man z.B. dann, wenn die Kantenbewertungen Kosten repräsentieren und man an minimalen
Gesamtkosten interessiert ist. Ein Verfahren zur Ermittlung von Minimalgerüsten ist der KRUSKAL-Algorithmus :
a)
Man wähle eine Kante mit kleinster Bewertung.
b)
Man füge solange wie möglich zu den bereits gewählten Kanten eine Kante mit kleinstmöglicher Bewertung
hinzu, die mit den schon gewählten Kanten keinen Kreis bildet.
Die Auswahl der in Schritt b) zulässigen Kanten kann durch den folgenden Markierungsalgorithmus erleichtert
werden:
●
●
●
Die Knoten des Graphen werden paarweise verschieden markiert.
Kanten dürfen in jedem Schritt nur dann hinzugefügt werden, wenn sie Knoten mit verschiedenen
Markierungen verbinden.
Nach Hinzufügen einer Kante wird den Knoten, die die größere der Markierungen ihrer Endpunkte tragen, die
kleinere der beiden Markierungen zugeordnet.
Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten
1. Die Eigenwerte könnten als Nullstellen der charakteristischen Gleichung (4.125b) berechnet werden
(s. Beispiel A und Beispiel B. Dazu müssen die Koeffizienten
des
charakteristischen Polynoms der Matrix A bestimmt werden. Diese Vorgehensweise sollte aber vermieden
werden, da sie einen außerordentlich instabilen Algorithmus darstellt, d.h., kleine Änderungen in den
Koeffizienten
führen zu sehr großen Änderungen der Nullstellen
2. Für die numerische Lösung des symmetrischen Eigenwertproblems sind zahlreiche Algorithmen entwickelt
worden. Man unterscheidet zwei Verfahrensklassen (s. Lit. 4.8):
a) Transformationsverfahren, z.B. JACOBI-Verfahren, HOUSEHOLDER-Tridiagonalisierung, QRAlgorithmus;
b) Iterationsverfahren, z.B. Vektoriteration, RAYLEIGH- RITZ-Algorithmus, Inverse Iteration, LANCZOSVerfahren, Bisektionsverfahren.
Remes-Algorithmus
●
●
Folgerungen aus dem Alternantensatz
Bestimmung der Minimallösung nach REMES
Quantoren
Charakteristisch für die Prädikatenlogik ist die Verwendung von Quantoren , dem Allquantor (Generalisator)
dem Existenzquantor (Partikularisator)
gilt
`` mit
Ist
ein einstelliges Prädikat, so wird die Aussage ,,Für jedes
und die Aussage ,,Es gibt ein
aus
für das
bezeichnet. Durch die Quantifizierung entsteht aus dem einstelligen Prädikat
Individuenbereich der natürlichen Zahlen und bezeichnet
eine falsche und
eine wahre Aussage.
aus
gilt`` mit
eine Aussage. Ist z.B.
das (einstellige) Prädikat ,,
und
der
ist eine Primzahl``, so ist
-und
Sei
-Grenzmenge, absorbierende Menge
ein dynamisches System auf
für alle
. Die Menge
ist, und positiv invariant unter
heißt invariant unter
, falls
für alle
, falls
aus
ist.
Für jedes
ist die
-Grenzmenge des Orbits durch
die Menge
(17.7)
Die Elemente von
heißt für jedes
heißen
-Grenzpunkte des Orbits. Liegt ein invertierbares dynamisches System vor, so
die Menge
(17.8)
-Grenzmenge des Orbits durch
; die Elemente von
heißen
-Grenzpunkte des Orbits.
Die lokale Eigenschaft des Volumenschrumpfens führt bei vielen Systemen zur Existenz einer beschränkten Menge
im Phasenraum, in die alle Orbits für wachsende Zeiten gelangen und dort verbleiben. Eine beschränkte, offene und
heißt absorbierend bezüglich
zusammenhängende Menge
positiven
aus
ist. (
ist die Abschließung von
, falls
für alle
.)
Beispiel
Gegeben sei in der Ebene das Differentialgleichungssystem
(17.9a)
Unter Verwendung von Polarkoordinaten
zur Zeit
läßt sich die Lösung von (17.9a) mit Anfang
in der Form
(17.9b)
schreiben. Aus dieser Lösungsdarstellung folgt, daß der Fluß von (17.9a) einen
dargestellt werden kann. Für die Grenzmengen der Orbits
als
durch
-periodischen Orbit besitzt, der
gilt
Jede offene Kugel
mit
ist eine absorbierende Menge für (17.9a).
Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
1. Eigenschaften von Grenzmengen: Die im Abschnitt Invariante Mengen definierten
Grenzmengen besitzen für den Fluß der Differentialgleichung (17.1) mit
Eigenschaften. Sei
- und
die folgenden
ein beliebiger Punkt. Dann gilt:
a)
Die Mengen
und
sind abgeschlossen.
b)
Ist
bzw.
bzw.
in diesem Fall invariant unter dem Fluß von (17.1) und zusammenhängend.
Beispiel
beschränkt, so ist
bzw.
. Außerdem ist
-
unbeschränkt, dann muß
Ist z. B.
nicht unbedingt zusammenhängend sein
(s. Abbildung).
2. Satz von POINCARÉ-BENDIXSON: Für eine ebene autonome Differentialgleichung (17.1) (d.h.
)
gilt der Satz von POINCARÉ-BENDIXSON:
Sei
eine nicht periodische Lösung von (17.1), für die
Ruhelagen von (17.1), so ist
beschränkt ist. Enthält
keine
ein periodischer Orbit von (17.1).
Für autonome Differentialgleichungen in der Ebene sind also Attraktoren, die komplizierter als eine Ruhelage
oder ein periodischer Orbit sind, nicht möglich.
3. Grenzzyklen: Ein periodischer Orbit
von (17.1) heißt Grenzzyklus , wenn es ein
gibt, so daß
entweder
Umgebung
oder
von
eine Umgebung
gilt. Ein Grenzzyklus heißt stabiler Grenzzyklus , wenn eine
existiert, so daß
von
existiert, so daß
für alle
für alle
ist, und instabiler Grenzzyklus , wenn
ist.
Beispiel A
Für den Fluß von (17.9a) gilt für den periodischen Orbit
Eigenschaft
, mit der
für alle
. Also ist
zum stabilen Grenzzyklus wird (s. Abbildung).
die
eine Umgebung von
Beispiel B
Für die lineare Differentialgleichung
ist dagegen
ein periodischer Orbit, aber kein Grenzzyklus
(s. Abbildung).
Eigenschaften der
Jede
-Grenzmenge
-Grenzmenge
der Semiorbit
gelten für
von (17.3) mit
beschränkt, so ist
ist abgeschlossen, und es gilt
und
ist invariant unter
. Ist
. Analoge Eigenschaften
-Grenzmengen.
Beispiel
Gegeben sei auf
Offenbar sind für
die Differenzengleichung
die Beziehungen
erfüllt. Zu beachten ist, daß
nicht zusammenhängend ist.
, mit
.
, und
, im Unterschied zum Differentialgleichungsfall,
Schnitt einer Fuzzy-Menge
1.
- und scharfer Schnitt: Der Schnitt einer Fuzzy-Menge
) heißt
- Schnitt
in der Höhe
(mit dem Zugehörigkeitsgrad
, falls gilt
(5.255a)
bzw. scharfer
-Schnitt
falls gilt
(5.255b)
2. Eigenschaften:
a)
Die
-Schnitte von Fuzzy-Mengen sind klassische scharfe Mengen.
b)
Der Träger supp
ist ein spezieller
-Schnitt: Es gilt
(5.255c)
c)
Der scharfe 1-Schnitt
(5.255d)
heißt Toleranz von
.
3. Darstellungssatz: Jeder unscharfen Menge
und
Die
-Schnitte und scharfen
ihrer
über
lassen sich eindeutig die Familien
-Schnitte und scharfen
-Schnitte zuordnen.
-Schnitte sind monotone Familien von Teilmengen über
für die gilt:
(5.255e)
Existieren umgekehrt monotone Familien
entspricht diesen je genau eine unscharfe Menge
oder
bzw.
von Teilmengen über
über
, so daß stets
, so
und
gilt und
(5.255f)
Aufgabenstellung und Alternantensatz
●
●
Prinzip der TSCHEBYSCHEFF-Approximation
Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome
Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß
Gradmaß: Das in der Geometrie verwendete Gradmaß zur Messung von Winkeln beruht auf der Einteilung
des ebenen Vollwinkels in 360 gleiche Teile oder
(Grad). Das ist die sogenannte Altgradeinteilung . Die
(Minuten),
weitere Unterteilung erfolgt häufig nicht dezimal, sondern sexagesimal:
(Sekunden). Man spricht auch von Sexagesimaleinteilung .
Bogenmaß: Neben dem Gradmaß wird auch das Bogenmaß zur quantitativen Angabe von Winkeln
verwendet. Die Größe des Mittelpunkts- oder Zentriwinkels
Verhältnis des zugehörigen Kreisbogens
zum Radius
in einem beliebigen Kreis wird hierbei durch das
des Kreises angegeben:
(3.1)
Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), d.h. der Zentriwinkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist.
Umrechnung Gradmaß-Bogenmaß: Ist
der in Grad und
für die Umrechnung von einer Maßeinheit in die andere
der in Radiant gemessene Winkel, dann gilt
(3.2)
Insbesondere ist
usw. Mit (3.2) erhält man ein
dezimalisiertes Ergebnis. Aus der Tabelle können einige konkrete Umrechnungsbeziehungen entnommen werden.
Tabelle Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß
Beispiel A
Umrechnung eines Winkels im Gradmaß in das Bogenmaß rad:
rad.
Beispiel B
Umrechnung eines Winkels im Bogenmaß in einen Winkel im Gradmaß:
rad
Entstanden aus:
5,645 : 0,017453 = 323+0,007611
0,007611 : 0,000291 = 26+0,000025
0,000025 : 0,000005 = 5.
Die Bezeichnung rad wird in der Regel weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang hervorgeht, daß es
sich um das Bogenmaß eines Winkels handelt.
Neugrade: In der Geodäsie wird der Vollwinkel in 400 gleiche Teile oder 400 gon (Gon) eingeteilt. Das ist die
sogenannte Neugradeinteilung . Ein rechter Winkel entspricht dann 100 gon. Das gon wird in 1000 mgon
unterteilt.
Auf Taschenrechnern findet man die Bezeichnungen DEG für Grad (Altgrad), GRAD für Gon (Neugrad) und
RAD für Radiant (Bogenmaß). Zur Umrechnung der verschiedenen Maße kann die folgende Tabelle benutzt
werden:
Tabelle Umrechnung Altgrade-Bogenmaß-Neugrade I
Wegen der Neugradeinteilung s. auch Winkel in der Geodäsie.
Sinus
1. Gewöhnliche Sinusfunktion: Die gewöhnliche Sinusfunktion
(2.64a)
ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Es ist eine stetige, periodische Kurve mit der Periode
Die Schnittpunkte
gewöhnlichen Sinuskurve mit der
mit
-Achse sind die Wendepunkte der Kurve. Der Neigungswinkel der
der
Kurventangenten gegenüber der
-Achse beträgt hier
mit
Die Extremwerte befinden sich bei
2. Allgemeine Sinusfunktion: Die allgemeine Sinusfunktion
(2.64b)
mit der Amplitude
der Frequenz
und der Anfangsphase
Gegenüber der gewöhnlichen Sinuskurve mit
und
ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
ist die allgemeine Sinuskurve in
-
Richtung um den Faktor
gedehnt, in
-Richtung um den Faktor
zusammengedrückt und um die Strecke
nach links verschoben. Die Periode ist
Die Schnittpunkte mit der
-Achse liegen bei
, die Extrema bei
.
Problemstellung
In der Technik und der Physik kommen oft zeitabhängige Größen der Form
(2.128)
vor. Sie werden manchmal auch sinusoidale Größen genannt. Ihre zeitabhängige Änderung beschreibt eine
harmonische Schwingung . Die graphische Darstellung dieser Gleichung liefert eine allgemeine Sinuskurve , wie sie
die folgende Abbildung zeigt.
Die allgemeine Sinuskurve unterscheidet sich von der gewöhnlichen
:
a) durch die Amplitude
b) durch die Periode
d.h. die größte Auslenkung von der Zeitachse
, die der Wellenlänge entspricht (mit
als Schwingungsfrequenz , die in der
Schwingungslehre Kreisfrequenz genannt wird);
c) durch die Anfangsphase oder Phasenverschiebung mit dem Anfangswinkel
Die Größe
kann auch in der Form
(2.129)
dargestellt werden, mit
und
Die Größen
und
lassen sich in
Übereinstimmung mit der folgenden Abbildung als Bestimmungsstücke eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen.
Definition
Aus der Darstellung (8.22a) für das elliptische Integral 1. Gattung
folgt für
(14.101)
d.h.,
ist bezüglich
streng monoton, so daß die zu
(14.102a)
inverse Funktion
(14.102b)
existiert. Sie wird als Amplitudenfunktion bezeichnet. Mit ihrer Hilfe werden die sogenannten JACOBIschen
Funktionen wie folgt definiert:
(14.103a)
(14.103b)
(14.103c)
Spektralinterpretation der FOURIER-Transformation
In Analogie zur FOURIER-Reihe einer periodischen Funktion erfährt das FOURIER-Integral für eine nichtperiodische
Funktion eine einfache physikalische Interpretation.
1. Darstellung: Eine Funktion
, für die das FOURIER-Integral existiert, kann gemäß (15.68) und (15.69)
als Summe sinusoidaler Schwingungen mit der sich stetig ändernden Frequenz
in der Form
(15.80a)
(15.80b)
dargestellt werden.
2. Interpretation: Der Ausdruck
gibt die Amplitude der Teilschwingungen an und
deren Phasen. Für die komplexe Schreibweise trifft die gleiche Interpretation zu:
Die Funktion
ist eine Summe (Integral) von
abhängigen Summanden des Typs
und
(15.81)
wobei die Größe
sowohl die Amplitude als auch die Phase aller Teilvorgänge festlegt.
3. Anwendungen: Diese spektrale Interpretation des FOURIER-Integrals und der FOURIER-Transformation
bedeutet einen großen Vorteil für die Anwendung in Physik und Technik. Die Bildfunktion
(15.82a)
nennt man Spektrum oder Frequenzspektrum der Funktion
, die Größe
(15.82b)
das Amplitudenspektrum und
Spektrum
bzw.
das Phasenspektrum der Funktion
. Zwischen dem
und den Koeffizienten (15.67b,c) besteht die Beziehung
(15.83)
woraus sich die folgenden Aussagen ergeben:
1.
Ist
eine reelle Funktion, dann ist das Amplitudenspektrum
Phasenspektrum eine ungerade Funktion von
2.
.
eine gerade und das
Ist
eine reelle und gerade Funktion, dann ist ihr Spektrum
dann ist das Spektrum
reell, ist
reell und ungerade,
imaginär.
Beispiel
Setzt man das Ergebnis (A.2) für den unipolaren Rechteckimpuls in (15.83) ein, dann ergibt sich für die
Bildfunktion
und für das Amplitudenspektrum
Die Berührungspunkte des Amplitudenspektrums
(s. Abbildung)
mit der Hyperbel
Schnelle Wavelet-Transformation
Man kann davon ausgehen, daß die Integraldarstellung (15.151b) hochgradig redundant ist und somit das
Doppelintegral ohne Informationsverlust durch eine Doppelsumme ersetzt werden kann. Das wird bei der konkreten
Anwendung der Wavelet-Transformation berücksichtigt. Man benötigt dazu:
1.
eine effiziente Berechnung der Transformation, was auf das Konzept der Multi-Skalen-Analyse führt sowie
2.
eine effiziente Berechnung der Rücktransformation, d.h. eine effiziente Rekonstruktion von Signalen aus ihrer
Wavelet-Transformation, was auf das Konzept der Frames führt.
Für beide Konzepte muß auf die Literatur verwiesen werden (s. Lit. 15.11, 15.2).
Hinweis: Der große Erfolg der Wavelets in den verschiedenen Anwendungsgebieten, z.B.
●
●
●
bei der Berechnung physikalischer Größen aus Meßreihen,
bei der Bild- oder Spracherkennung sowie
bei der Datenkompression im Rahmen der Nachrichtenübertragung, beruht auf seinen ,,schnellen
Algorithmen``.
Analog zur FFT (Fast FOURIER-Transformation), spricht man hier von FWT (Fast Wavelet-Transformation).
Formeln für die FOURIER-Koeffizienten
Da das Funktionensystem
bezüglich des Intervalls
und bezüglich der
Gewichtsfunktion
orthogonal ist, erhält man durch Anwendung der Fehlerquadratmethode im stetigen Fall gemäß
(19.169) für die Ansatzkoeffizienten die Formeln
(19.208)
Die Koeffizienten
, die nach der Formel (19.208) berechnet werden, heißen
FOURIER-Koeffizienten der periodischen Funktion
.
Lassen sich die in (19.208) auftretenden Integrale nicht mehr elementar oder nur mit großem Rechenaufwand integrieren
oder ist die Funktion
nur punktweise bekannt, dann kann man die FOURIER-Koeffizienten näherungsweise durch
numerische Integration ermitteln.
Durch die Anwendung der Trapezformel mit den gleichabständigen
Stützstellen
(19.209)
erhält man die Näherungsformeln
(19.210)
Im vorliegenden Fall periodischer Funktionen ist die Trapezformel in die sehr einfache Rechteckregel übergegangen. Diese
ist hier von großer Genauigkeit, denn es gilt:
Ist
periodisch und
.
-mal stetig differenzierbar, dann hat die Trapezformel die Fehlerordnung
Harmonische Analyse
Eine formelmäßig oder empirisch gegebene periodische Funktion
mit der Periode
ist durch ein
trigonometrisches Polynom oder eine FOURIER-Summe der Form
(19.207)
wobei die Koeffizienten
und
reell sein sollen, zu approximieren. Die Bestimmung der
Ansatzkoeffizienten ist Gegenstand der harmonischen Analyse .
●
●
Formeln zur trigonometrischen Interpolation
Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
Definition am Einheitskreis
Die trigonometrischen Funktionen eines Winkels
werden entweder am Einheitskreis mit dem Radius
oder für spitze Winkel am rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der Bestimmungsstücke Ankathete
und Hypotenuse
definiert.
Gegenkathete
Am Einheitskreis erfolgt die Messung des Winkels von einem festen Radius
beweglichen Radius
der Länge 1 bis zu einem
im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers (positive Richtung):
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Tilgung
Unter Tilgung versteht man die Rückzahlung von Krediten. Dabei soll vorausgesetzt werden:
●
Für eine Schuld
●
Nach
werden vom Schuldner jeweils am Ende einer Zinsperiode
Zinsen verlangt.
Zinsperioden sei die Schuld vollständig getilgt.
Die Belastung eines Schuldners pro Zinsperiode setzt sich somit aus Zinsen und Tilgungsrate zusammen. Falls die
Zinsperiode 1 Jahr beträgt, bezeichnet man den finanziellen Aufwand des Schuldners in dem betreffenden Jahr als
Annuität .
Für die Tilgung einer Schuld gibt es verschiedene Möglichkeiten. So können z.B. die Rückzahlungen zu den
Verzinsungszeitpunkten oder dazwischen erfolgen, die Rückzahlungsbeträge verschieden hoch oder während der
gesamten Laufzeit konstant sein. Folgende Fälle werden betrachtet:
Gleiche Annuitäten
Bei gleichbleibenden Tilgungsraten
nehmen die zusätzlich anfallenden Zinsen im Laufe der Zeit ab
(s. voranstehendes Beispiel). Bei der Annuitätentilgung wird dagegen zu jedem Zinstermin die gleiche Annuität
d.h. der gleiche Betrag für Zinsen + Tilgung erhoben. Damit ist die Belastung des Schuldners im gesamten
Tilgungszeitraum konstant.
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Schuld (Verzinsung mit
pro Zinsperiode),
Annuität pro Zinsperiode
Tilgungsrate bei
Tilgungen pro Zinsperiode
Aufzinsungsfaktor.
,
,
Als Restschuld
nach
Zinsperioden ergibt sich:
(1.87)
Dabei beschreibt der Term
den Wert der Schuld
Term gibt den Wert der unterjährigen Tilgungsraten
Annuität gilt:
nach
Zinsperioden mit Zinseszins (s. (1.81)), der zweite
mit Zinseszins wieder (s. (1.85b) mit
). Für die
(1.88)
Dabei entspricht die einmalige Zahlung von
nach
den
Ratenzahlungen
Zinsperioden die Schuld getilgt sein soll, folgt aus (1.87) für
Aus der Gleichung folgt
Da
unter Beachtung von (1.88):
(1.89)
Zur Lösung von Aufgaben der finanzmathematischen Praxis kann diese Gleichung nach einer der Größen
oder
aufgelöst werden, wenn die übrigen Größen bekannt sind.
Beispiel A
Eine Annuitätenschuld über 60 000.-DM werde jährlich mit
Wie hoch sind jährliche Annuität
verzinst und soll in 5 Jahren getilgt sein.
und monatliche Tilgungsrate
? Aus (1.89) bzw. (1.88) erhält man:
15027,39 DM,
1207,99 DM.
Beispiel B
Ein Kredit in Höhe von
100 000.-DM soll durch Annuitätentilgung in
Jahren bei 7,5
Jahreszinsen abgezahlt werden. An jedem Jahresende soll zusätzlich eine Tilgung von 5000.-DM erfolgen.
Wie hoch ist die monatliche Tilgungsrate? Als Annuität
pro Jahr ergibt sich gemäß (1.89)
DM. Da sich
aus 12 Tilgungsraten
pro Jahr und die
zusätzlichen Zahlungen von 5000.-DM am Jahresende zusammensetzt, gilt unter Beachtung von (1.88)
Die monatliche Belastung beträgt somit
972,62.- DM.
Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz
Im HILBERT-Raum
definiert jedes Element
. Andererseits, ist
Norm
mittels
ein lineares stetiges Funktional mit der
ein lineares stetiges Funktional auf
, dann existiert genau ein Element
, so daß gilt:
(12.160)
Die Räume
und
sind nach diesem Satz isomorph, weshalb man sie identifiziert.
Der Satz von RIESZ enthält einen Hinweis darauf, wie man die Orthogonalität in einem beliebigen normierten Raum
einführen kann. Seien
und
. Dann nennt man die Mengen
(12.161)
jeweils das orthogonale Komplement oder den Annulator zu
bzw.
.
Fraktale und seltsame Attraktoren
Ein Attraktor
von
heißt fraktal , wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine stückweise
differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise differenzierbaren
Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt seltsam , wenn er chaotisch, fraktal oder beides ist. Die Begriffe
chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die keine Attraktoren sind, analog benutzt.
Ein dynamisches System heißt chaotisch , wenn es eine kompakte invariante chaotische Menge besitzt.
Beispiel
Im Einheitsquadrat wird die Abbildung
(17.50)
( ANOSOV- Diffeomorphismus ) betrachtet. Das System ist in Wirklichkeit auf dem Torus
als adäquater
Phasenraum definiert. Es ist konservativ, besitzt das LEBESGUE-Maß als invariantes Maß, hat abzählbar unendlich
viele periodische Orbits, deren Vereinigung dicht liegt, und ist mischend. Andererseits ist
Menge mit ganzzahliger Dimension 2.
eine invariante
Ansatzverfahren
Als Näherungslösung für die Randwertaufgabe (19.118) wird eine Linearkombination geeignet gewählter Funktionen
verwendet, die einzeln die Randbedingungen erfüllen und linear unabhängig sind:
(19.121)
Setzt man
in die Differentialgleichung von (19.118) ein, dann wird ein Fehler, der sogenannte Defekt
(19.122)
auftreten. Die Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
1. Kollokationsmethode: Der Defekt soll an
Bedingungen
kann nach folgenden Prinzipien erfolgen:
Stellen
, den Kollokationsstellen , verschwinden. Die
(19.123)
liefern ein lineares Gleichungssystem für die Ansatzkoeffizienten.
2. Fehlerquadratmethode:Man fordert, daß das Integral
(19.124)
in Abhängigkeit von den Koeffizienten minimal wird. Die notwendigen Bedingungen
(19.125)
ergeben ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten
.
3. GALERKIN-Verfahren: Man fordert die sogenannte Fehlerorthogonalität , d.h., es muß
(19.126)
gelten, und erhält auch auf diese Weise ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten.
4. RITZ-Verfahren:Bei vielen Randwertaufgaben hat die Lösung
sogenannten Variationsaufgabe zu sein, d.h.,
die Eigenschaft, auch Lösung einer
macht ein Integral der Form
(19.127)
zum Minimum (s. (10.4)). Kennt man die Funktion
näherungsweise durch
und macht
, so ersetzt man
gemäß (19.121)
zum Minimum. Die dafür notwendigen
Bedingungen
(19.128)
liefern
Gleichungen für die Koeffizienten
.
Beispiel
Unter bestimmten Voraussetzungen an die Funktionen
und
sind die Randwertaufgabe
(19.129)
und die Variationsaufgabe
(19.130)
äquivalent, so daß man für Randwertaufgaben der Form (19.129) die Funktion
aus (19.130)
unmittelbar ablesen kann.
An Stelle des Ansatzes (19.121) wird häufig auch
(19.131)
verwendet, wobei
die Randbedingungen erfüllt und die Funktionen
den Bedingungen
(19.132)
genügen müssen. So kann z.B. im Falle der Randwertaufgabe (19.118)
(19.133)
gewählt werden.
Hinweis: Bei linearen Randwertaufgaben führen die Ansätze (19.121) und (19.131) auf lineare Gleichungssysteme
zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten. Im Falle nichtlinearer Randwertaufgaben erhält man nichtlineare
Gleichungssysteme, die nach den im Abschnitt Nichtlineare Gleichungssysteme angegebenen Verfahren zu lösen
sind.
Ansatzverfahren
Man macht für die gesuchte Lösung
einen Näherungsansatz der Art
(19.139)
Dabei soll z.B.
1.
die vorgelegte inhomogene Differentialgleichung erfüllen, und alle übrigen Ansatzfunktionen
sollen die zugehörige homogene Differentialgleichung erfüllen (
Randmethode ) oder
2.
den inhomogenen Randbedingungen genügen, und alle übrigen
sollen den homogenen Randbedingungen genügen ( Gebietsmethode ).
Setzt man die Näherungsfunktion
gemäß (19.139) im ersten Fall in die Randbedingungen, im zweiten Fall
in die Differentialgleichung ein, so wird in beiden Fällen ein Fehler, der sogenannte Defekt
(19.140)
auftreten. Zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
●
●
Kollokationsmethode
Fehlerquadratmethode
kann man nach folgenden Prinzipien verfahren:
Auftreten
Die SG-Gleichung entsteht aus der BLOCH-Gleichung für räumlich inhomogene quantenmechanische 2-NiveauSysteme. Sie beschreibt die Ausbreitung
●
ultrakurzer Impulse in resonanten Lasermedien (selbstinduzierte Transparenz),
des magnetischen Flusses in großflächigen JOSEPHSON-Kontakten, d.h. in Tunnelkontakten zwischen zwei
Supraleitern und
●
von Spinwellen in supraleitendem Helium-3
●
.
Die Solitonlösungen der SG-Gleichung können durch ein aus Pendeln und Federn bestehendes mechanisches
Modell veranschaulicht werden. In der Nähe eines Punktes geht die Evolutionsfunktion stetig von 0 in einen
konstanten
Wert über. Ausgehend vom englischen Wort kink für Stufe, nennt man daher die SG-Solitonen meist
Kink-Solitonen . Wenn umgekehrt die Evolutionsfunktion von dem konstanten Wert nach 0 übergeht, werden
sogenannte Antikink-Solitonen beschrieben. Mit Hilfe derartiger Lösungen können auch Domänenwände beschrieben
werden.
Gleichung und Lösungen
Die KdV-Gleichung für die Evolutionsfunktion
lautet
(9.127)
Sie hat die Soliton-Lösung
(9.128)
Dieses KdV-Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter
und
eindeutig bestimmt. In der
Abbildung ist
gewählt. Ein typisch nichtlinearer Effekt besteht darin, daß die Solitongeschwindigkeit
Amplitude und die Breite des Solitons bestimmt: KdV-Solitonen mit größerer Amplitude und geringerer Breite
bewegen sich schneller als solche mit kleinerer Amplitude und größerer Breite. Die Solitonphase
beschreibt die
Lage des Maximums des Solitons zur Zeit
Die Gleichung (9.127) besitzt auch
-Solitonenlösungen. Eine solche
die
-Solitonenlösung läßt sich für
asymptotisch durch lineare Überlagerung von Ein-Solitonlösungen darstellen:
(9.129)
Dabei ist jede Evolutionsfunktion
Die Anfangsphasen
nach dem Stoß
durch eine Geschwindigkeit
und eine Phase
gekennzeichnet.
vor der Wechselwirkung oder dem Stoßprozeß unterscheiden sich von den Endphasen
, während die Geschwindigkeiten
keine Änderung erfahren, d.h., es handelt
sich um eine elastische Wechselwirkung.
Für
besitzt (9.127) eine 2-Solitonenlösung. Sie läßt sich für endliche Zeiten nicht durch lineare
Überlagerung darstellen und lautet mit
und
:
(9.130)
Diese Gleichung (9.130) beschreibt asymptotisch zwei für
Geschwindigkeiten
und
nicht wechselwirkende Solitonen mit den
, die nach einem Wechselwirkungsprozeß für
wieder
asymptotisch in zwei nichtwechselwirkende Solitonen mit denselben Geschwindigkeiten übergehen.
Die nichtlineare Evolutionsgleichung
(9.131a)
hat mit
a)
für
(9.131b)
eine Solitonlösung und
b)
für
(9.131c)
eine 2-Solitonenlösung. Mit
ergibt sich aus (9.131a) die KdV-Gleichung (9.127). Die Gleichung (9.130)
und der sich mit (9.131c) ergebende Ausdruck für
Ersetzt man in (9.127) den Term
sind Beispiele für eine nichtlineare Superposition.
durch
multiplizieren. Man spricht dann auch von einem Antisoliton .
so muß man die rechte Seite von (9.128) mit
Durchmesser der Ellipse
Durchmesser der Ellipse werden diejenigen Sehnen genannt, die durch den Ellipsenmittelpunkt gehen und von
diesem halbiert werden.
Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Sehnen, die zu einem Ellipsendurchmesser parallel sind, ist wieder ein
Durchmesser, ein konjugierter Durchmesser zum ersten. Für
konjugierter Durchmesser gilt
und
als Richtungskoeffizienten zweier
(3.321)
Wenn
und
die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und
sowie
die spitzen Winkel
zwischen den Durchmessern und der großen Achse, wobei
und
ist, dann gilt der
Satz des APOLLONIUS in der Form
(3.322)
Approximation, Ausgleichsrechnung,
Harmonische
Analyse
●
●
●
●
Polynominterpolation
Approximation im Mittel
Tschebyscheff-Approximation
Harmonische Analyse
Bestapproximation
Seien jetzt
ein separabler HILBERT-Raum und
(12.122)
ein fixiertes orthonormales System in
Koeffizienten des Elements
. Für ein Element
heißen die Zahlen
FOURIER-
bezüglich des Systems (12.122). Die (formale) Reihe
(12.123)
nennt man FOURIER-Reihe des Elements
Reihe eines Elements
Vektoren aus
bezüglich des Systems (12.122). Die
-te Partialsumme der FOURIER-
besitzt die Eigenschaft der Bestapproximation , d.h., bei festem
die
ergibt unter allen
-te Partialsumme der FOURIER-Reihe, also das Element
(12.124)
den kleinsten Wert für
ist orthogonal zu
, und es gilt die BESSELsche Ungleichung
(12.125)
●
PARSEVALsche Gleichung, Satz von RIESZ-FISCHER
Approximationen der
-Funktion
Analog zu (15.28) kann die Impulsfunktion
durch einen Rechteckimpuls der Breite
und der Höhe
approximiert werden:
(15.33a)
Weitere Beispiele für die Approximation von
sind Glockenkurven und LORENTZ-Funktionen:
(15.33b)
(15.33c)
Allen diesen Funktionen sind die folgenden Eigenschaften gemeinsam:
(15.34a)
(15.34b)
(15.34c)
Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
●
●
Methode der kleinste Quadrate
Matrizenschreibweise
Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
Die notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, daß die Funktion
Wertesystem
für ein
ein Extremum besitzt, besteht darin, daß das Wertesystem die
Gleichungen
(6.69)
erfüllt. Im allgemeinen Falle sind die hinreichenden Bedingungen von komplizierter Art. Damit man die Frage, ob die
Funktion für ein Lösungssystem
der Gleichung (6.69) ein Extremum besitzt oder nicht,
effektiv beantworten kann, untersucht man solche Werte der Funktion, die nahe bei
liegen.
Mit Hilfe der Extremwertbestimmung bei Funktionen von mehreren Veränderlichen lassen sich viele
Approximationsaufgaben, die vor allem unter dem Namen Ausgleichsaufgaben oder Quadratmittelaufgaben bekannt
sind, lösen. Dazu gehören:
●
●
Bestimmung von FOURIER-Koeffizienten (s. auch Formeln für die FOURIER-Koeffizienten),
Bestimmung der Ansatzkoeffizienten und Parameter von Näherungsfunktionen durch
Approximation im Mittel,
●
Bestimmung einer Näherungslösung für überbestimmte lineare Gleichungssysteme.
Für die Lösungsmethode sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:
●
●
●
●
GAUSSsche Fehlerquadratmethode,
Methode der kleinsten Quadrate,
Approximation im Mittel (stetig und diskret),
Ausgleichsrechnung und Regression.
Approximation im Mittel
Das Prinzip der Approximation im Mittel, bei dem zwischen stetigen und diskreten Aufgaben unterschieden werden
soll, wird auch als GAUSSsche Fehlerquadratmethode bezeichnet oder unter dem Begriff Ausgleichsrechnung
zusammengefaßt.
●
●
●
●
Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
Mehrdimensionale Aufgaben
Nichtlineare Quadratmittelaufgaben
Methode der kleinste Quadrate
Es seien
Funktion
Wertepaare
, z.B. durch Messung gefundene Werte, vorgegeben. Gesucht wird eine
, deren Funktionswerte
von den gegebenen Werten
in dem Sinne möglichst wenig
abweichen, daß der quadratische Ausdruck
(19.176)
minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion
enthält. Die Formel (19.176)
stellt die klassische Fehlerquadratsumme dar. Die Minimierung der Fehlerquadratsumme mit Hilfe der notwendigen
Bedingungen für ein relatives Extremum wird auch als als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Mit dem
Ansatz (19.167) und den notwendigen Bedingungen
für ein relatives Minimum von
(19.176) erhält man zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das lineare Gleichungssystem der Normalgleichungen
(19.177)
im diskreten Fall. Dabei werden in Anlehnung an die GAUSSsche Summensymbolik die folgenden Abkürzungen
verwendet:
(19.178a)
(19.178b)
In der Regel gilt
.
Beispiel
Für den Polynomansatz
lauten die Normalgleichungen
mit
.
Die Koeffizientenmatrix des Normalgleichungssystems (19.177) ist symmetrisch, so daß für die numerische
Lösung das CHOLESKY-Verfahren in Frage kommt.
Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
Eine Funktion
ist über dem Intervall
durch eine Funktion
in dem Sinne zu approximieren, daß
der Ausdruck
(19.166)
minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion
gegebene Gewichtsfunktion bezeichnet, für die
Macht man für die Näherungsfunktion
enthält. Mit
ist eine
im Integrationsintervall gelten soll.
den Ansatz
(19.167)
mit geeigneten, linear unabhängigen Funktionen
, dann führen die notwendigen
Bedingungen
(19.168)
für ein relatives Minimum von (19.166) auf das sogenannte Normalgleichungssystem
(19.169)
zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
. Dabei werden die Abkürzungen
(19.170a)
und
(19.170b)
die auch als Skalarprodukte der betreffenden zwei Funktionen bezeichnet werden, verwendet.
Das System der Normalgleichungen ist eindeutig lösbar, da für die Ansatzfunktionen
,
lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt war. Die Koeffizientenmatrix des Systems (19.169) ist symmetrisch, so daß zur
Lösung das CHOLESKY-Verfahren verwendet werden sollte.
Die Ansatzkoeffizienten
können direkt berechnet werden, ohne Lösung eines Gleichungssystems, wenn das
System der Ansatzfunktionen orthogonal ist, d.h. wenn gilt:
(19.171)
Darüber hinaus spricht man von einem orthonormierten System, wenn gilt:
(19.172)
Mit (19.172) vereinfachen sich die Normalgleichungen (19.169) zu
(19.173)
Linear unabhängige Funktionensysteme können orthogonalisiert werden. Aus den Potenzfunktionen
erhält man je nach Wahl der Gewichtsfunktion und des Integrationsintervalls die
folgenden Orthogonalpolynome :
Tabelle Orthogonalpolynome
(19.174)
Mit dieser Auswahl können die wichtigsten Anwendungsfälle berücksichtigt werden:
1.
endliches Approximationsintervall,
2.
einseitig unendliches Approximationsintervall, z.B. bei zeitabhängigen Problemen,
3.
zweiseitig unendliches Approximationsintervall, z.B. bei Strömungsproblemen.
Man beachte, daß jedes endliche Intervall
durch die Substitution
(19.175)
auf das Intervall
, für das viele Ansatzfunktionen definiert sind, transformiert werden kann.
Methode der sukzessiven Approximation
Die Methode der sukzessiven Approximation eignet sich zur Lösung einer Gleichung der Form
(12.145)
mit einem stetigen linearen Operator
von einer beliebigen Anfangsnäherung
im BANACH-Raum
bei vorgegebenem
, eine Folge
. Sie besteht darin, ausgehend
von Näherungslösungen nach der Vorschrift
(12.146)
zu erzeugen, die in
zur Lösung
von (12.145) konvergiert. Die Konvergenz der Methode, also
basiert auf der Konvergenz der Reihe (12.140) mit
Sei
a)
.
, dann gelten die folgenden Aussagen:
Der Operator
besitzt einen stetigen Inversen mit
(12.145) hat genau eine Lösung für beliebiges
, und die Gleichung
.
b)
Die Reihe (12.140) konvergiert, und ihre Summe ist der Operator
.
c)
Das Verfahren (12.146) konvergiert für einen beliebigen Anfangswert
zur eindeutigen Lösung
der
Gleichung (12.145), falls die Reihe (12.140) konvergiert. Dabei gilt die Abschätzung
(12.147)
Analog (s. Lineare Integralglweichungen und Lit. 12.9) behandelt man Gleichungen der Typen
(12.148)
Methode der sukzessivem Approximation nach PICARD
Die Integration der Differentialgleichung
(9.20a)
mit der Anfangsbedingung
für
liefert
(9.20b)
Wird in die rechte Seite dieser Gleichung (9.20b) anstelle von
eingesetzt, dann ergibt sich eine neue Funktion
bereits eine Lösung von (9.20a) ist. Nach Einsetzen von
man eine Funktion
eine angemessen ausgewählte Funktion
, die sich von
unterscheidet, wenn nicht
in die rechte Seite von (9.20b) anstelle von
. Die durch Fortsetzen des Verfahrens gewonnene Funktionenfolge
erhält
konvergiert gegen die gesuchte Lösung in einem gewissen, den Punkt
enthaltenden Intervall, wenn die
Bedingungen des Existenzsatzes erfüllt sind. Diese PICARDsche Methode der sukzessiven ( schrittweisen )
Approximation ist ein Iterationsverfahren.
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
für die Anfangsbedingung
für
zu lösen.
Umschreibung in die Integralform und Anwendung der sukzessiven Approximation, beginnend mit
liefert:
usw.
Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe
●
●
Iterationsverfahren
Konvergenz der NEUMANNschen Reihe
Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung
Von der stetigen TSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe
(19.202)
kommt man zur zugehörigen diskreten Aufgabe, indem man
mit der Eigenschaft
Stützstellen
;
wählt und
(19.203)
fordert. Substituiert man
(19.204)
dann folgt daraus unmittelbar
(19.205)
Durch Auflösen der Beträge in (19.205) erhält man ein System von linearen Ungleichungen für die Koeffizienten
und
, so daß aus (19.203) die lineare Optimierungsaufgabe
(19.206)
wird. Die Gleichung (19.206) besitzt eine Minimallösung mit
. Für eine hinreichend große Anzahl
von
Stützstellen kann unter bestimmten Bedingungen die Lösung der diskreten Aufgabe als Näherung für die Lösung der
stetigen Aufgabe angesehen werden.
Verwendet man an Stelle der linearen Näherungsfunktion
eine Näherungsfunktion
, die nichtlinear von den Parametern
abhängt, dann erhält man
in analoger Weise eine Optimierungsaufgabe, und zwar eine nichtlineare Optimierungsaufgabe, die in der Regel
schon bei einfachen nichtlinearen Ansätzen nicht konvex ist. Das ist eine wesentliche Einschränkung im Hinblick auf
die Wahl numerischer Lösungsverfahren für
nichtlineare Optimierungsaufgaben.
Tschebyscheff-Approximation
●
●
●
Aufgabenstellung und Alternantensatz
Remes-Algorithmus
Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung
Eigenschaften der Orthogonalität
Der Nullvektor ist zu jedem Vektor aus
orthogonal. Es gilt:
a)
und
impliziert
.
b)
und
Aus
folgt
c)
genau dann, wenn
wobei
die abgeschlossene lineare Hülle der Menge
bezeichnet.
d)
Ist
e)
und
eine fundamentale Menge, d.h.,
ist überall dicht in
, dann ist
.
Satz des PYTHAGORAS: Sind die Elemente
paarweise orthogonal, also
für
,
dann ist
(12.113)
f)
Projektionssatz: Ist
ein Teilraum von
, dann ist jeder Vektor
eindeutig in der Form
(12.114)
darstellbar.
g)
Approximationsproblem: Weiter gilt
, so daß
(12.115)
in
mit
eindeutig lösbar ist.
aus
ersetzt werden. Das Element
von
(zu
), und der Raum
kann dabei sogar durch eine konvexe, abgeschlossene nichtleere Teilmenge
heißt Projektion des Elements
ist orthogonal zerlegbar:
auf
, besitzt den kleinsten Abstand
Dreidimensionaler Fall
Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals
(8.128)
vom Integrationsweg (s. Abbildung) lautet in Analogie zum zweidimensionalen Fall:
1. Es wird die Existenz einer Stammfunktion
gefordert, für die gilt
(8.129a)
und damit
(8.129b)
2. Die Integrabilitätsbedingung besteht in diesem Falle aus den drei gleichzeitig zu erfüllenden Gleichungen
(8.129c)
für die partiellen Ableitungen, die ihrerseits stetig sein müssen.
Beispiel
Die Arbeit
ist als Skalarprodukt aus Kraft
Arbeit nur vom Ort
grad
und
und Weg
ab, nicht aber von der Geschwindigkeit
definiert. Im konservativen Feld hängt die
. Mit
sind somit für das Potential
die Beziehungen (8.129a),
(8.129b) erfüllt, und es gilt (8.129c). Unabhängig vom Weg zwischen den Punkten
und
erhält man:
(8.130)
Arbeit
Die Arbeit bei Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld ist infolge des eingehenden Skalarproduktes
richtungsabhängig. Sind Kraft- und Bewegungsrichtung konstant und fallen beide zusammen, dann kann die
Achse in die Kraft- bzw. Bewegungsrichtung gelegt werden. Ist der Betrag der Kraft
, dann erhält man für die Arbeit
Punkt
zum Punkt
-
veränderlich, d.h. gilt
, die zur Verschiebung eines Körpers längs der
-Achse vom
notwendig ist:
(8.65)
Im allgemeinen Fall, wenn Kraft- und Bewegungsrichtung nicht übeinstimmen, wird die Arbeit als Kurvenintegral über
das Skalarprodukt aus Kraft und Weg in jedem Punkt
längs des vorgegebenen Weges berechnet.
ARCHIMEDische Spirale
ARCHIMEDische Spirale heißt eine Kurve, die durch Bewegung eines Punktes mit konstanter Geschwindigkeit
einem Strahl entsteht, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
den Koordinatenursprung umkreist.
Die Gleichung der archimedischen Spirale lautet in Polarkoordinaten
auf
(2.237)
Die Kurve besitzt zwei Zweige, die symmetrisch zur
den Punkten
Die Länge des Bogens
-Achse verlaufen. Jeder Strahl
die voneinander den Abstand
ist
haben.
wobei für große
gegen 1 geht.
Der Flächeninhalt des Sektors
Der Krümmungsradius ist
schneidet die Kurve in
beträgt
und im Koordinatenursprung
der Ausdruck
Areafunktionen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Definitions- und Wertebereiche
Areasinus
Areakosinus
Areatangens
Areakotangens
Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus
Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen
Summen und Differenzen von Areafunktionen
Formeln für negative Argumente
Areakosinus
Die Funktionen
(2.198a)
und
(2.198b)
oder
stellen Funktionen dar, die nur für
definiert sind.
Der Funktionsverlauf beginnt im Punkt
monoton.
mit einer senkrechten Tangente und wächst bzw. fällt dann streng
Areakotangens
Die Funktion
(2.200)
oder
ist eine ungerade und nur für
definierte Funktion.
Für
von
fällt sie streng monoton von 0 bis
auf 0 ab. Sie besitzt drei Asymptoten, und zwar bei
ab; für
und
fällt sie streng monoton
.
Areasinus
Die Funktion
(2.197)
ist eine ungerade, streng monoton wachsende Funktion.
Die Schreibweise ist gleichbedeutend mit
Wendepunkt mit dem Steigungswinkel
Die Funktion besitzt im Koordinatenursprung einen
Areatangens
Die Funktion
(2.199)
oder
ist eine ungerade und nur für
definierte Funktion.
Der Koordinatenursprung ist gleichzeitig Wendepunkt mit dem Steigungswinkel
Die Asymptoten liegen bei
Definition der Funktion
1. Funktion:Wenn
und
zwei variable Größen sind und wenn sich einem gegebenen
-Wert zuordnen läßt, dann nennt man
eine Funktion von
-Wert genau ein
und schreibt
(2.1)
Die veränderliche Größe
heißt unabhängige Variable oder Argument der Funktion
-Werte zuordnen lassen, bilden den Definitionsbereich
abhängige Variable ; alle
-Werte bilden den Wertebereich
der Funktion
der Funktion
. Alle
-Werte, denen sich
. Die veränderliche Größe
.
2. Reelle Funktion: Wenn Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, dann nennt man
eine reelle Funktion einer reellen Veränderlichen .
Beispiel A
heißt
mit
Beispiel B
mit
3. Funktion von mehreren Veränderlichen: Hängt die Variable
von mehreren unabhängigen Variablen
ab, dann bezeichnet man
(2.2)
als Funktion von mehreren Veränderlichen.
4. Komplexe Funktion Wenn die unabhängige Variable eine komplexe Zahl
ist, dann wird durch
eine komplexe Funktion einer komplexen Veränderlichen beschrieben, zu deren Behandlung die
Funktionentheorie benötigt wird.
Definition
Eine veränderliche Größe
wird eine Funktion von
unabhängigen Variablen
genannt, wenn
für gegebene Werte der unabhängigen Veränderlichen einen eindeutig bestimmten Wert annimmt. Je nachdem,
ob es sich um eine Funktion von zwei, drei oder
veränderlichen Größen handelt, schreibt man
(2.265)
Setzt man für die
unabhängigen Variablen feste Zahlen ein, dann entsteht ein Wertesystem der Variablen, das als
Punkt des -dimensionalen Raumes (auch mehrdimensionaler Raum ) interpretiert werden kann. Die einzelnen
unabhängigen Variablen werden auch Argumente genannt; manchmal nennt man zusammenfassend das gesamte
-Tupel der unabhängigen Variablen das Argument der Funktion.
Beispiel A
besitzt für das Wertesystem
den Wert
Beispiel B
nimmt für das Wertesystem
Wert
an.
den
Unterabschnitte
●
●
●
Standardform:
Teufelstreppe und ARNOLD-Zunge:
Goldenes Mittel, FIBONACCI-Zahlen:
Standardform einer Kreisabbildung
Standardform:
Die Abbildung
aus (17.80) ist für
ist. Bei
Homöomorphismus, während für
ein orientierungstreuer Diffeomorphismus, da
ist
kein Diffeomorphismus mehr, aber noch ein
die Abbildung nicht mehr invertierbar und damit auch kein
Homöomorphismus mehr ist. Im Parameterbereich
definiert. Sei
ist für
die Rotationszahl
fixiert. Dann hat
auf [0,1] folgende
Eigenschaften:
a)
Die Funktion
ist nicht fallend, stetig, aber nicht differenzierbar.
b)
Für jede rationale Zahl
für alle
existiert ein Intervall
, dessen Inneres nicht leer ist und für das
gilt.
c)
Für jede irrationale Zahl
gibt es genau ein
mit
.
Teufelstreppe und ARNOLD-Zunge:
Für jedes
ist
also eine CANTOR-Funktion. Der Graph von
Abbildung gezeigt ist, heißt Teufelstreppe (devil's staircase) .
, der auf der rechten
Das Bifurkationsdiagramm von (17.80) ist auf der linken Abbildung zu sehen. Von jeder rationalen Zahl auf der
Achse geht ein schnabelförmiges Gebiet ( ARNOLD- Zunge ) mit nicht leerem Inneren aus, in dem die Rotationszahl
konstant und gleich der rationalen Zahl ist. Ursache für das Entstehen der Zungen ist eine Synchronisation der
Frequenzen ( Frequenzkopplung (frequency locking)).
Für
überlappen sich diese Gebiete nicht. Von jeder irrationalen Zahl auf der
stetige Kurve aus, die immer die Gerade
erreicht. In der ersten ARNOLD-Zunge mit
-Achse geht eine
hat das
fixiert und wächst
an, so verschmelzen auf dem Rand der ersten
dynamische System (17.80) Ruhelagen. Ist
ARNOLD-Zunge zwei dieser Ruhelagen und heben sich dabei gleichzeitig auf. Im Ergebnis einer solchen SattelknotenBifurkation entsteht ein auf
ARNOLD-Zungen beobachten.
Für
dichter Orbit. Ähnliche Erscheinungen lassen sich beim Verlassen der anderen
ist die Theorie der Rotationszahlen nicht mehr anwendbar. Die Dynamik wird komplizierter, und es
findet ein Übergang zum Chaos statt. Dabei treten, ähnlich wie im Falle der FEIGENBAUM-Konstante, weitere
Konstanten auf, die für bestimmte Klassen von Abbildungen, zu denen auch die Standardkreisabbildung gehört,
gleich sind. Eine davon wird im folgenden beschrieben.
Goldenes Mittel, FIBONACCI-Zahlen:
Die irrationale Zahl
heißt Goldenes Mittel und besitzt die einfache Kettenbruchdarstellung
(17.84)
Durch sukzessives Abschneiden des Kettenbruches erhält man eine Folge
konvergiert. Die Zahlen
lassen sich in der Form
von rationalen Zahlen, die gegen
darstellen, wobei
FIBONACCI-
Zahlen sind, die sich durch die Iterationsvorschrift
(17.85)
mit den Startwerten
und
bestimmen lassen. Sei nun
der Parameterwert von (17.80), für
den
ist und sei jeweils
der
am nächsten liegende Wert, für den
ist. Eine numerische Analyse ergibt den Grenzwert
.
Europäische Artikelnummer EAN
EAN ist eine Abkürzung für ,,Europäische Artikelnummer ``, die man auf sehr vielen Artikeln in Form eines
Strichcodes bzw. als 13- oder 8-stellige Ziffernfolge findet. Mit Hilfe von Scannern kann der Strichcode an
Computerkassen eingelesen werden.
Bei der 13-stelligen Nummer geben die ersten beiden Ziffern das Herstellungsland an, z.B. 40, 41, 42, 43 oder 44 für
Deutschland. Die nächsten 5 Ziffern stehen für den Hersteller, und eine weitere Gruppe von 5 Ziffern für das
entsprechende Produkt. Die letzte Ziffer ist die Prüfziffer
Man erhält die Prüfziffer, wenn man die ersten 12 Ziffern abwechselnd von links beginnend mit 1 bzw. 3 multipliziert
und die Summe dieser Produkte durch Addition der Prüfziffer
gilt für die Artikelnummer
zur nächsten durch 10 teilbaren Zahl ergänzt. Somit
mit der Prüfziffer
(5.187)
Durch dieses Prüfziffernverfahren werden an der EAN Fehler durch Verwechslung einer Ziffer immer aufgedeckt und
Fehler durch Vertauschung zweier benachbarter Ziffern in den meisten Fällen erkannt. Oft nicht aufgedeckt werden
Drehfehler durch Vertauschen nicht benachbarter Ziffern und Verwechslungen zweier Ziffern.
Interne Zeichendarstellung
Computer sind zeichenverarbeitende Maschinen. Die Interpretation und Verarbeitung dieser Zeichen wird durch die
verwendete Software (Programme) festgelegt und gesteuert. Die externen Zeichen, Buchstaben, Ziffern und
Sonderzeichen werden intern im Binärcode in Form von Bitfolgen dargestellt. Ein Bit (Binary Digit) ist die kleinste
darstellbare Informationseinheit mit den Werten 0 und 1. Acht Bit werden zur nächsthöheren Einheit, dem Byte ,
zusammengefaßt. In einem Byte können
Bitkombinationen erzeugt werden, die ihrerseits 256 Zeichen
zugeordnet werden können. Eine solche Zuordnung bezeichnet man als Code . Es gibt verschiedene Codes, einer
der weit verbreiteten ist der erweiterte ASCII (
●
●
Zahlensysteme
Interne Zahlendarstellung
merican
tandard
ode for
nformation
nterchange).
Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion von Matrizen ist möglich, wenn sie vom gleichen Typ sind. Die Addition bzw. Subtraktion
erfolgt elementweise für jeweils gleichgestellte Elemente:
(4.21a)
Beispiel
Es gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz der Matrizenaddition:
(4.21b)
(4.21c)
Linearkombinationen von Vektoren
a) Die Summe zweier Vektoren
und
ist ein Vektor
der die Diagonale
des Parallelogramms
bildet. Die wichtigsten Eigenschaften der Summe zweier Vektoren sind das
Kommutativgesetz der Addition und die Dreiecksungleichung:
(3.241a)
(3.241b)
b) Die Summe mehrerer Vektoren
den die Vektoren
bis
bilden. Für
ist ein Vektor
Vektoren
der den Polygonzug schließt,
gilt:
(3.241c)
Zu den Eigenschaften der Summe mehrer Vektoren gehören das Kommutativgesetz der Addition und das
Assoziativgesetz. Für drei Vektoren z.B gilt:
(3.241d)
(3.241e)
c) Die Differenz zweier Vektoren
kann als Summe der Vektoren
und
aufgefaßt werden, so
daß
(3.241f)
die Diagonale in der rechten Abbildung ergibt.
Die wichtigsten Eigenschaften der Differenz zweier Vektoren sind:
(3.241g)
Eigenschaften der Produkte von Vektoren
a) Das Skalarprodukt genügt dem Kommutativgesetz:
(3.253)
b) Das Vektorprodukt ändert beim Vertauschen der Faktoren das Vorzeichen:
(3.254)
c) Die Multiplikation mit einem Skalar genügt dem Assoziativgesetz:
(3.255a)
(3.255b)
d) Das Assoziativgesetz gilt nicht für das doppelte Skalar-und Vektorprodukt:
(3.256a)
(3.256b)
e) Das Distributivgesetz gilt:
(3.257a)
(3.257b)
f) Orthogonalität zweier Vektoren
liegt vor, wenn gilt:
(3.258)
g) Kollinearität zweier Vektoren
liegt vor, wenn gilt:
(3.259)
h) Multiplikation gleicher Vektoren:
(3.260)
i) Multiplikationen von Linearkombinationen von Vektoren können auf die gleiche Art durchgeführt werden wie bei
skalaren Polynomen, allerdings ist dabei zu beachten, daß bei der vektoriellen Multiplikation Faktorenvertauschungen,
z.B. beim Zusammenziehen gleichnamiger Glieder, Vorzeichenänderungen zur Folge haben.
Beispiel A
Beispiel B
j) Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems den gleichen Wert
behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante.
Beispiel A
Die Komponenten eines Vektors
sind keine skalaren Invarianten, da sie in verschiedenen
Koordinatensystemen unterschiedliche Werte annehmen können.
Beispiel B
Die Länge eines Vektors
d.h. die Größe
sie in verschiedenen Koordinatensystemen den gleichen Wert besitzt.
Beispiel C
ist eine skalare Invariante, da
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante, d.h.
da
.
Hypozykloide und Astroide
Hypozykloide und Astroide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird,
wenn dieser, ohne zu gleiten, auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt.
Die Gleichung der Hypozykloide, die Koordinaten der Scheitel- und Rückkehrpunkte, die Formeln für die
Bogenlängen, die Flächeninhalte und die Krümmungsradien entsprechen denen der Epizykloide, es ist jedoch ,,
`` durch ,,
`` zu ersetzen. Die Anzahl der Rückkehrpunkte entspricht für
ganzzahlig, rational oder
) der von der Epizykloide bekannten.
irrational (stets ist
Fall
Für
entartet die Kurve in den Durchmesser des unbeweglichen Kreises.
Fall
Für
besitzt die Hypozykloide drei Zweige mit der Gleichung
(2.235a)
Es gilt
.
Fall
Für
besitzt die Hypozykloide vier Zweige und wird Astroide genannt. Ihre Gleichung
lautet in kartesischen Koordinaten und in Parameterform:
(2.235b)
(2.235c)
Es gilt
.
Unterabschnitte
●
●
●
●
Definition:
Vorgabe der Funktion in Parameterform:
Vorgabe der Funktion in expliziter Form:
Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form:
Asymptoten
Definition:
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom
Koordinatenursprung unbegrenzt nähert. Dabei kann die Annäherung von einer Seite her erfolgen (linke Abbildung), oder
die Kurve schneidet die Gerade dauernd (rechte Abbildung).
Nicht jede sich unbegrenzt vom Koordinatenursprung entfernende Kurve (unendlicher Kurvenzweig) muß eine Asymptote
besitzen. So bezeichnet man z.B. bei unecht gebrochenrationalen Funktionen den ganzrationalen Anteil als asymptotische
Näherung.
Vorgabe der Funktion in Parameterform:
Zur Bestimmung der Asymptotengleichung sind die Werte zu ermitteln, für die bei
oder
entweder
geht.
Folgende Fälle sind zu unterscheiden:
a) Die Asymptote ist eine horizontale Gerade:
(3.455a)
b) Die Asymptote ist eine vertikale Gerade:
(3.455b)
c) Die Asymptote ist eine Gerade mit
gehen, dann sind die Grenzwerte
: Wenn sowohl
als auch
und
gegen unendlich
zu bilden. Existieren sie
beide, dann liefern sie die Konstanten für die Geradengleichung der Asymptote:
(3.455c)
Vorgabe der Funktion in expliziter Form:
Die vertikalen Asymptoten werden als Unstetigkeitspunkte beim unendlichem Sprung der Funktion
ermittelt, die
horizontalen und geneigten Asymptoten als Gerade mit den entsprechenden Grenzwerten:
(3.456)
Beispiel
Für die zweite Asymptote usw. erhält man
in Analogie dazu
Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form:
Die Funktion
ist ein Polynom in
und
. Für horizontale und vertikale Asymptoten einerseits und geneigte
Asymptoten andererseits ist je ein anderes Verfahren notwendig.
1. Horizontale und vertikale Asymtoten: Zur Bestimmung der horizontalen und vertikalen Asymptoten werden
von dem vorliegenden Polynom in
und
abgespaltet und nach
die Glieder mit dem höchsten Grad
und
ausgewählt, als Funktion
aufgelöst:
(3.457)
Die Werte
für
ergeben die horizontalen Asymptoten
die Werte
für
die
vertikalen
2. Asymptoten mit der Geradengleichung
die Geradengleichung
: Zur Bestimmung der geneigten Asymptoten wird in
eingesetzt und das so gewonnene Polynom nach Potenzen von
geordnet:
(3.458)
Die Parameter
und
ergeben sich, falls sie existieren, aus den Gleichungen
(3.459)
Beispiel
Betrachtung des kartesischen Blattes mit
Aus den Gleichungen
ergeben sich die Lösungen
zu
ergibt.
und
so daß sich die Gleichung der Asymptote
Asymptoten der Hyperbel
Asymptoten der Hyperbel sind Geraden, die sich den Hyperbelzweigen für
(s. Definition der Asymptoten).
unbegrenzt nähern
Der Richtungskoeffizient der Asymptoten ist
Die Gleichungen der Asymptoten lauten
(3.333)
Die Asymptoten bilden gemeinsam mit der Tangente an die Hyperbel in einem Punkt
Hyperbel , d.h. die Strecke
Das Tangentenstück wird durch den Berührungspunkt
ist. Den Flächeninhalt des Dreiecks
berechnet man für jeden Berührungspunkt
das Tangentenstück der
halbiert, so daß
zwischen der Tangente und beiden Asymptoten
gemäß
(3.334)
Der Flächeninhalt des Parallelogramms
das von den Asymptoten und zwei zu ihnen vom Punkt
ausgehenden Parallelen gebildet wird, beträgt
(3.335)
Unterabschnitte
●
●
Explizite Definitionsform der Kurve
Andere Definitionsformen
Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung
Wendepunkte sind Kurvenpunkte, in denen die Krümmung der Kurve das Vorzeichen ändert.
Dabei liegt die Kurve in einer kleinen Umgebung dieses Punktes nicht auf einer Seite der Tangente, sondern wird von
dieser durchsetzt. Im Wendepunkt ist
und
Explizite Definitionsform der Kurve
Die explizite Definitionsform sei durch die Gleichung
(3.425) gegeben.
a) Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist das Verschwinden der 2. Ableitung
(3.448)
im Wendepunkt, falls sie existiert (den Fall nicht existierender 2. Ableitung s. b) Hinreichende Bedingung). Die
Bestimmung der Wendepunkte für den Fall existierender 2. Ableitungen erfordert das Aufsuchen aller Lösungen der
Gleichung
mit den Werten
wobei jeder Wert
nacheinander in die
darauffolgenden Ableitungen einzusetzen ist. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die erste an der Stelle
nicht
verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist. Wenn der betrachtete Punkt kein Wendepunkt ist, weil sich
die erste nicht verschwindende Ableitung
-ter Ordnung für geradzahliges
mit der konkaven Seite nach oben; für
ergibt, dann weist die Kurve für
nach unten.
b) Hinreichende Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist die Änderung des Vorzeichens der
2. Ableitung
beim Übergang von der links- zur rechtsseitigen Umgebung des Punktes
kann die Frage, ob ein gefundener
. Daher
-Wert Abszisse eines Wendepunktes ist, aus der Betrachtung des
Vorzeichens der 2. Ableitung beim Durchgang durch den zugehörigen Punkt ermittelt werden: Wenn sich das
Vorzeichen bei diesem Durchgang ändert, liegt ein Wendepunkt vor. Dieses Verfahren ist auch für den Fall
anwendbar.
Hinweis: Wenn in der Praxis aus dem Kurvenverlauf folgt, daß ein Wendepunkt vorhanden sein muß, z.B.
beim Übergang von einem Minimum zu einem Maximum bei einer Kurve mit stetiger Ableitung, dann
beschränkt man sich auf die Bestimmung der
Beispiel A
Wendepunkte
und
gibt es bei
Beispiel B
Wendepunkte sind nicht vorhanden.
Beispiel C
und läßt die Untersuchung der höheren Ableitungen weg.
für
ist
Beim Übergang von negativen zu positiven
-Werten wechselt die 2. Ableitung das Vorzeichen von
,,
einen Wendepunkt besitzt.
``zu ,,
``, so daß die Kurve bei
Andere Definitionsformen
Die notwendige Bedingung
über die Definitionsform
(3.448) für die Existenz eines Wendepunktes im Falle der Kurvenvorgabe
(3.425) wird bei Vorgaben mit den anderen Formen durch die folgenden
analytischen Formulierungen der notwendigen Bedingung ersetzt:
1. Definition in Parameterform gemäß (3.426):
(3.449)
2. Definition als Polargleichung gemäß (3.427):
(3.450)
3. Definition in impliziter Form gemäß (3.424):
(3.451)
In diesen Fällen liefert das Lösungssystem die Koordinaten der möglichen Wendepunkte.
Beispiel A
Betrachtung der verkürzten Zykloide
:
Die Kurve hat unendlich viele Wendepunkte für die Parameterwerte
Beispiel B
Der Wendepunkt liegt
bei dem Winkel
Beispiel C
Betrachtung der Hyperbel
Die Gleichungen
keinen Wendepunkt besitzt.
und
widersprechen einander, so daß die Hyperbel
Attraktor, Einzugsgebiet
Sei
ein dynamisches System auf
und
Einzugsgebiet von
Eine kompakte Menge
eine offene Umgebung
heißt Attraktor von
von
gibt, so daß
eine unter
invariante Menge. Dann heißt
.
auf
, wenn
invariant unter
ist und es
für fast alle (im Sinne des LEBESGUE-Maßes)
gilt.
Beispiel
ist ein Attraktor des Flusses von (17.9a). Dabei ist
.
Für manche dynamischen Systeme ist ein allgemeinerer Attraktorbegriff sinnvoll. So gibt es invariante Mengen
,
die in jeder Umgebung periodische Orbits besitzen, die nicht von
Attraktor). Die Menge
Eine kompakte Menge
angezogen werden (z.B. der FEIGENBAUM-
muß auch nicht unbedingt durch eine einzige
heißt Attraktor im Sinne von MILNOR von
ist und das Einzugsgebiet von
-Grenzmenge aufgespannt werden.
auf
, wenn
eine Menge mit positivem LEBESGUE-Maß enthält.
invariant unter
Lyapunov-Dimension
Sei
auf
ein glattes dynamisches System auf
mit Attraktor
(bzw. invarianter Menge) und mit
konzentriertem invariantem ergodischem Wahrscheinlichkeitsmaß. Sind
LYAPUNOV-Exponenten bezüglich
und ist
der größte Index, für den
die
und
ist, so
heißt die Größe
(17.47)
LYAPUNOV- Dimension des Maßes
Ist
, so wird
.
gesetzt; ist
, wird
definiert.
Satz von LEDRAPPIER: Es seien
ein diskretes System (17.3) auf
, wie oben, ein auf dem Attraktor
Dann gilt
von
mit einer
-Funktion
konzentriertes invariantes ergodisches Wahrscheinlichkeitsmaß.
.
Beispiel A
eines glatten dynamischen Systems
Der Attraktor
Seitenlänge
das
überdeckt. Es seien
erhält man sofort
Quadraten der
. Dann gilt für
. Aus jedem Quadrat der Seitenlänge
näherungsweise ein Parallelogramm mit
Überdeckungen aus Rhomben mit der Seitenlänge
werde mit
die gemittelten Singulärwerte von
-dimensionale Volumen des Attraktors
entsteht unter
und
, so ist
und
als Seitenlänge. Nimmt man
. Aus der Beziehung
. Diese heuristischen
Überlegungen geben also einen Hinweis auf die Herkunft der Formel für die LYAPUNOV-Dimension.
Beispiel B
Gegeben sei das HÉNON-System(17.6) mit
diesen Parametern einen Attraktor
und
. Das System (17.6) besitzt bei
( H´ENON- Attraktor ) mit komplizierter Struktur. Die numerisch
bestimmte Kapazitätsdimension ist
. Für den H´ENON-Attraktor
Maß nachweisen. Für die LYAPUNOV-Exponenten
und
läßt sich ein SBR-
gilt
. Mit dem numerisch ermittelten Wert
ergibt sich
. Damit ist
.
Solenoid oder Solenoid-Attraktor
Gegeben sei ein Volltorus
mit den lokalen Koordinaten
, wie er in der folgenden Abbildung zu sehen
ist.
Eine Abbildung
mit einem Parameter
wird durch
erklärt. Das Bild
, zusammen mit den Schnitten
und
, ist in den folgenden zwei Abbildungen zu sehen.
Im Ergebnis der Iterationen entsteht die Menge
, die Solenoid heißt. Der Attraktor
Längsrichtung aus einem Kontinuum von Kurven, von denen jede dicht in
von
ist und die alle instabil sind. Der Schnitt
transversal zu diesen Kurven ist eine CANTOR-Menge. Für die HAUSDORFF-Dimension gilt
. Die Menge
besitzt eine ganze Umgebung als Einzugsgebiet. Außerdem ist der Attraktor
strukturstabil, d.h., die oben formulierten qualitativen Eigenschaften ändern sich nicht bei
von
besteht in
. Das Solenoid ist ein Beispiel für einen hyperbolischen Attraktor .
-kleinen Störungen
Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé
Sei
ein glattes dynamisches System auf
werde fixiert und
und
eine kompakte invariante Menge. Ein beliebiges
gesetzt.
1. Satz von DOUADY und OESTERLÉ: Seien
eine Zahl in der Darstellung
die Singulärwerte von
mit
und
, so gilt
Ist
und sei
.
2. Spezielle Version für Differentialgleichungen: Seien
der Fluß von (17.1),
eine kompakte
die Eigenwerte der symmetrisierten JACOBI-Matrix
invariante Menge und seien
in einem beliebigen Punkt
.
. Ist
eine Zahl in der Form
mit
sowie
und gilt
, so ist
.
Die Größe
(17.48)
wobei
Punkt
gilt dann
Beispiel
beliebig ist und
den ganzzahligen Anteil von
bedeutet, heißt DOUADY-OESTERLÉ- Dimension im
. Unter den Voraussetzungen des oben formulierten Satzes von DOUADY-OESTERLÉ für Differentialgleichungen
.
Das LORENZ-System (17.2) besitzt für
Attraktor , mit numerisch ermittelter Dimension
einen Attraktor
(s. Abbildung).
, den LORENZ-
(Die Abbildung wurde mit Mathematica erzeugt.)
Mit dem Satz von DOUADY-OESTERLÉ erhält man für beliebige
und
die Abschätzung
mit
.
Auflösung eines Torus
●
●
●
●
Vom Torus zum Chaos
Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
Differentialgleichungen auf dem Torus
Standardform einer Kreisabbildung
Aufschlag
Werden
auf
aufgeschlagen, dann erhält man den erhöhten Wert
(1.76)
Bezieht man den Aufschlag
auf den neuen Wert
, dann sind in
auf Grund der Proportion
(1.77)
Prozent Aufschlag enthalten.
Beispiel
Bei einem Warenwert von 200.-DM ergeben 15 % Aufschlag einen Endpreis von 230.-DM. In diesem Preis
sind für den Verbraucher
Prozent Aufschlag enthalten.
Einmalige Einzahlung
Bei jährlichem Zinszuschlag wächst ein Kapital
nach
Jahren auf den Endwert
Am Ende des
-ten
Jahres gilt:
(1.81)
Zur Abkürzung setzt man
und bezeichnet
Man spricht von unterjähriger Verzinsung , wenn das Jahr in
Zinsen bereits nach jeder dieser Zinsperioden dem Kapital
Zinsperiode beträgt dann
als Aufzinsungsfaktor .
gleich lange Zinsperioden unterteilt wird und die
zugeschlagen werden. Der Zinszuschlag pro
und das Kapital wächst nach
Jahren mit je
Zinsperioden auf
(1.82)
an.
Beispiel
Ein Kapital von 5000.-DM, das mit 7,2
a) bei jährlicher Verzinsung auf
b) bei monatlicher Verzinsung auf
pro Jahr verzinst wird, wächst in 6 Jahren
DM an,
DM.
Algebraische Ausdrücke
●
●
Definitionen
Einteilung der algebraischen Ausdrücke
Manipulation algebraischer Ausdrücke
In der Praxis treten häufig algebraische Ausdrücke auf, die für die weitere Arbeit, wie z.B. Differentiation, Integration,
Reihendarstellung, Grenzwertbildung oder numerische Auswertung, umzuformen sind. In der Regel werden diese
Ausdrücke als über dem Ring der ganzen oder dem Körper der rationalen Zahlen gebildet verstanden. Es sei aber
betont, daß Computeralgebrasysteme z.B. auch mit Polynomen über endlichen Körpern bzw. über
Erweiterungskörpern der gebrochen rationalen Zahlen umgehen können. Für Interessenten muß dazu auf die
Spezialliteratur verwiesen werden. Eine besondere Rolle spielen algebraische Operationen auf Polynomen über dem
Körper der rationalen Zahlen.
●
●
Mathematica
Maple
Tautologien, mathematische Schlußweisen
Ein aussagenlogischer Ausdruck heißt allgemeingültig oder Tautologie , wenn er die Wahrheitsfunktion identisch W
repräsentiert. Folglich sind zwei Ausdrücke
und
genau dann logisch äquivalent, wenn der Ausdruck
eine Tautologie ist. Mathematische Schlußweisen folgen aussagenlogischen Gesetzen. Als Beispiel sei
das Kontrapositionsgesetz genannt, d.h. der allgemeingültige Ausdruck
(5.19a)
Dieses Gesetz, das auch in der Form
(5.19b)
notiert werden kann, läßt sich wie folgt interpretieren: Um zu zeigen, daß
daß
aus
folgt. Der indirekte Beweis beruht auf folgendem Prinzip: Um
aus
folgt, kann man auch zeigen,
aus
zu folgern, nimmt man
richtig ist - einen Widerspruch her. Formal läßt sich
als falsch an und leitet daraus - unter der Voraussetzung, daß
dieses Prinzip auf verschiedene Weise durch aussagenlogische Gesetze beschreiben:
(5.20a)
oder
(5.20b)
oder
(5.20c)
Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke
Eine Interpretation eines Ausdrucks der Prädikatenlogik besteht aus
1. einer Menge (Individuenbereich) und
2. einer Zuordnung, die jeder
-stelligen Prädikatenvariablen ein
-stelliges Prädikat zuweist.
Die Interpretation einer geschlossenen Formel liefert somit eine Aussage. Enthält ein Ausdruck der Prädikatenlogik
freie Variable, so repräsentiert eine Interpretation dieses Ausdrucks eine Relation (s.
Individuenbereich.
Beispiel
-stellige Relationen) im
das zweistellige Prädikat, das im Individuenbereich
Sei
der natürlichen Zahlen die Beziehung
beschreibt, so charakterisiert
die Menge aller Paare
●
);
(zweistellige Relation in
sind freie Variable;
die Teilmenge von
●
freie,
natürlicher Zahlen mit
(einstellige Relation), die nur aus der Zahl 0 besteht;
ist
gebundene Variable;
die Aussage ,,Es gibt eine kleinste natürliche Zahl``;
●
und
sind gebundene
Variable.
Ein Ausdruck der Prädikatenlogik heißt wahr für eine gegebene Interpretation, wenn für jede Ersetzung der freien
Variablen durch Elemente aus dem Individuenbereich eine wahre Aussage entsteht. Ein Ausdruck der
Prädikatenlogik heißt allgemeingültig oder Tautologie , wenn er für alle Interpretationen wahr ist.
Angabe einer Funktion
Man kann eine Funktion auf unterschiedliche Weise angeben oder definieren, z.B. durch eine Wertetabelle, eine
graphische Darstellung oder Kurve, eine Formel, auch analytischer Ausdruck genannt, oder abschnittsweise durch
verschiedene Formeln. In den Definitionsbereich eines analytischen Ausdrucks können nur solche Werte des
Arguments einbezogen werden, für die die Funktion einen Sinn ergibt, d.h. eindeutig bestimmte endliche reelle Werte
annimmt.
Die folgenden Beispiele stellen abschnittsweise gegebene Funktionen dar.
Beispiel A
ganz.
Beispiel B
Beispiel C
Mit
lies ,,Signum
``, ist die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Die Funktion
bzw.
lies ,,entier ``, gibt die größte ganze Zahl kleiner gleich
an. Die folgenden drei Abbildungen zeigen die
dazugehörigen graphischen Darstellungen, wobei die Pfeilspitzen darauf hinweisen sollen, daß ihre
Endpunkte nicht zum Kurvenbild gehören.
Analytische Darstellung reeller Funktionen
In der Regel werden die folgenden drei Formen genutzt:
1. Explizite Darstellung:
(2.3)
Beispiel
. Hierbei handelt es sich um die obere Hälfte des
Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
2. Implizite Darstellung:
(2.4)
falls sich diese Gleichung eindeutig nach
Beispiel
auflösen läßt.
. Hierbei handelt es sich ebenfalls um die obere Hälfte des
Einheitskreises. Man beachte, daß mit
keine reelle Funktion definiert wird.
3. Parameterdarstellung:
(2.5)
Die Werte von
Die Funktionen
und
werden als Funktion einer Hilfsveränderlichen
und
angegeben, die Parameter genannt wird.
müssen denselben Definitionsbereich haben.
Beispiel
mit
und
Hierbei handelt es
sich abermals um die Darstellung der oberen Hälfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im
Koordinatenursprung.
Ausdrücke der Aussagenlogik
Mit diesen einstelligen (Negation) und zweistelligen (Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz) Verknüpfungen können aus
gegebenen Aussagenvariablen kompliziertere Ausdrücke der Aussagenlogik aufgebaut werden. Diese Ausdrücke werden induktiv
definiert:
(5.6)
(5.7)
Zur Vereinfachung der Schreibweise solcher Ausdrücke werden Außenklammern weggelassen und Vorrangregeln (Prioritäten)
festgelegt. In der folgenden Reihenfolge bindet jeder Junktor stärker als der folgende:
Häufig wird anstelle von ,,
z.B. den Ausdruck
`` auch
geschrieben und der Junktor
ganz weggelassen. Durch diese Einsparungen kann man
kürzer so notieren:
Differenzenverfahren
Man unterteilt das Intervall
durch gleichabständige Stützstellen
und ersetzt in der für die inneren Stützstellen angegebenen Differentialgleichung
(19.119)
die Werte der Ableitungen durch sogenannte finite Ausdrücke , z.B.:
(19.120a)
(19.120b)
Man erhält auf diese Weise
des Integrationsintervalls
lineare Gleichungen für die
, wenn man
und
Näherungswerte
im Inneren
beachtet. Enthalten die Randbedingungen
Ableitungen, dann werden diese ebenfalls durch finite Ausdrücke ersetzt.
Eigenwertprobleme bei Differentialgleichungen werden ganz analog behandelt. Die Anwendung des
Differenzenverfahrens , beschrieben durch (19.119) und (19.120a,b), führt dann auf ein
Matrizeneigenwertproblem.
Beispiel
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung
mit den Randbedingungen
führt auf ein Eigenwertproblem. Das Differenzenverfahren überführt die
Differentialgleichung in die Differenzengleichung
drei innere Punkte, also
unter Beachtung von
. Wählt man
, dann erhält man das Gleichungssystem
. Dieses homogene System ist nur bei
verschwindender Koeffizientendeterminante lösbar. Aus dieser Bedingung erhält man die Eigenwerte
und
, von denen allerdings nur der kleinste dem ihm
entsprechenden wahren Wert 9,87 nahekommt.
Hinweis: Die Genauigkeit des Differenzenverfahrens kann erhöht werden durch:
1.
Verkleinerung der Schrittweite
,
2.
Verwendung finiter Ausdrücke höherer Approximation (die Näherungen (19.120a,b) haben die Fehlerordnung
),
3.
Anwendung des Mehrschrittverfahrens.
Ist eine nichtlineare Randwertaufgabe zu lösen, dann führt das Differenzenverfahren auf ein System nichtlinearer
Gleichungen für die unbekannten Näherungswerte
(s. Abschnitt Nichtlineare Gleichungssysteme).
Differenzenverfahren
Das Integrationsgebiet wird durch ausgewählte Punkte
gitterförmig unterteilt. Gewöhnlich wird das Gitter rechteckig
gewählt:
(19.136)
Für
erhält man ein quadratisches Gitter. Bezeichnet man die gesuchte Lösung mit
, dann werden die in der
Differentialgleichung und in den Rand- bzw. Anfangsbedingungen auftretenden partiellen Ableitungen durch finite Ausdrücke der
folgenden Art ersetzt, wobei unter
ein Näherungswert für den Funktionswert
zu verstehen ist:
(19.137)
In (19.137) ist die Fehlerordnung mit Hilfe des LANDAU-Symbols
angegeben worden.
In manchen Fällen ist es günstiger, die Näherung
(19.138)
mit einem festen Parameter
zu verwenden. Die Formel (19.138) stellt eine Konvexkombination zweier finiter
Ausdrücke dar, die aus der entsprechenden Formel von (19.137) für die Werte
und
enstanden sind.
Mit den Formeln (19.137) kann eine partielle Differentialgleichung für jeden inneren Gitterpunkt in eine Differenzengleichung
übergeführt werden, wobei die Rand- und Anfangsbedingungen zu beachten sind. Das so entstehende Gleichungssystem für die
Näherungswerte
, das für kleine Schrittweiten
und
von großer Dimension ist, muß in der Regel iterativ gelöst werden
(s. Abschnitt Iteration in Gesamt- und Einzelschritten).
Beispiel A
erfülle die Differentialgleichung
Die Funktion
für alle Punkte
, d.h. im Innern eines Rechtecks, und genüge der Randbedingung
für
mit
und
. Die der Differentialgleichung entsprechende Differenzengleichung für ein quadratisches Gitter mit der
Schrittweite
lautet:
.
Die Schrittweite
(s. Abbildung)
liefert eine erste grobe Näherung für die Funktionswerte in den drei inneren Gitterpunkten:
Man erhält:
Beispiel B
.
Die Gleichungssysteme, die bei der Anwendung des Differenzenverfahrens auf partielle Differentialgleichungen
entstehen, haben in der Regel eine sehr spezielle Struktur. Das soll am Beispiel der folgenden, etwas allgemeineren
Randwertaufgabe gezeigt werden. Integrationsgebiet sei das Quadrat
Gesucht ist eine Funktion
auf dem Rand von
. Die Funktionen
Differenzengleichung lautet für
Im Falle
mit
.
im Innern von
und
sind gegeben. Die zu dieser Differentialgleichung gehörende
:
hat die linke Seite dieses Differenzengleichungssystems für die Näherungswerte
in den
inneren Punkten die folgende Gestalt, wenn man das Gitter zeilenweise von links nach rechts durchläuft und
dabei beachtet, daß die Funktionswerte auf dem Rand bekannt sind:
Man sieht: Die Koeffizientenmatrix ist symmetrisch und schwach besetzt . Ihre Gestalt wird als block-tridiagonal
bezeichnet. Man beachte aber, daß die Gestalt der Koeffizientenmatrix davon abhängig ist, wie die Gitterpunkte
durchlaufen werden.
Für die verschiedenen Aufgabenklassen bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung, insbesondere bei elliptischen,
parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen, ist eine Vielzahl angepaßter Differenzenverfahren entwickelt und auf
Konvergenz und Stabilität hin untersucht worden. Die Spezialliteratur dazu ist umfangreich, Standardwerke s. Lit. 19.25, 19.27.
Einteilung der algebraischen Ausdrücke
1. Hauptgrößen
werden die allgemeinen Zahlen (Buchstabensymbole) genannt, nach denen die algebraischen Ausdrücke
klassifiziert werden; sie sind in jedem Einzelfall festzulegen. Im Falle von Funktionen sind die unabhängigen
Variablen die Hauptgrößen . Die übrigen noch nicht durch Zahlen festgelegten Größen sind die Parameter des
Ausdrucks. In manchen Ausdrücken werden die Parameter Koeffizienten genannt.
Beispiel
Koeffizienten treten z.B. in Polynomen, FOURIER-Reihen und linearen Differentialgleichungen auf.
Ein Ausdruck gehört zu der einen oder anderen Klasse in Abhängigkeit davon, welche Operationen an seinen
Hauptgrößen auszuführen sind. Im allgemeinen werden die Hauptgrößen meist mit den letzten Buchstaben
des Alphabets
Buchstaben
bezeichnet, die Parameter mit den ersten Buchstaben
Die
verwendet man meist für ganzzahlige positive Parameterwerte, z.B. für Indizes bei
Summationen und Iterationen.
2. Ganzrationale Ausdrücke
zeichnen sich dadurch aus, daß in ihnen Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen der Hauptgrößen
vorgenommen werden, wobei das Potenzieren mit ganzzahligen positiven Exponenten eingeschlossen ist.
3. Gebrochenrationale Ausdrücke
enthalten neben den für ganzrationale Ausdrücke genannten Operationen noch Divisionen durch Hauptgrößen,
einschließlich des Potenzierens mit negativen ganzzahligen Exponenten, sowie gegebenenfalls Divisionen
durch ganzrationale Ausdrücke in den Hauptgrößen.
4. Irrationale Ausdrücke
zeichnen sich durch das Radizieren, also das Potenzieren mit gebrochenen Exponenten aus, d.h. durch das
Radizieren ganz- oder gebrochenrationaler Ausdrücke, die ihrerseits aus Hauptgrößen bestehen.
5. Transzendente Ausdrücke
, d.h. Exponentialausdrücke, logarithmische und trigonometrische Ausdrücke, enthalten algebraische
Ausdrücke mit Hauptgrößen im Exponenten, unter dem Logarithmuszeichen oder als Argument von
Winkelfunktionen.
Ganzrationale Ausdrücke
●
●
●
Darstellung in Form eines Polynoms
Binomischer Satz
Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
Gebrochenrationale Ausdrücke
●
●
●
Rückführung auf die einfachste Form
Bestimmung des ganzrationalen Anteils
Umformung von Proportionen
Irrationale Ausdrücke
Jeder irrationale Ausdruck kann in der Regel auf eine einfachere Form gebracht werden, und zwar durch
●
●
●
Kürzen des Exponenten,
Vorziehen vor das Wurzelzeichen und
Beseitigen der Irrationalität im Nenner.
1. Kürzen des Exponenten: Eine Kürzung des Exponenten wird erreicht, indem der Radikand in Faktoren zerlegt wird und danach der
Wurzelexponent sowie die Exponenten aller Faktoren im Radikanden durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt werden.
Beispiel
2. Beseitigung der Irrationalität: Zur Beseitigung der Irrationalität im Nenner gibt es verschiedene Methoden.
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Beispiel D
3. Einfachste Form von Potenzen und Wurzeln: Auch Potenzen und Wurzeln werden meist auf die einfachste Form gebracht.
Beispiel A
Beispiel B
Manipulation nichtpolynomialer Ausdrücke
Mit dem Befehl
können oft komplizierte Ausdrücke, die nicht polynomialer Natur zu sein brauchen, vereinfacht
werden. Mathematica wird immer versuchen, algebraische Ausdrücke unabhängig von der Natur der symbolischen Größen zu
manipulieren. Dabei verwendet es eingebaute Kenntnisse. So kennt Mathematica z.B. Regeln der Potenzrechnung:
(20.56)
Mit der Option
können die Anweisungen
und
Potenzen von trigonometrischen
Funktionen durch die trigonometrischen Funktionen mit mehrfachen Argumenten ausdrücken und umgekehrt.
Beispiel
Einige trigonometrische Formeln lassen sich mit folgender Eingabe erzeugen:
Ab Version 2.2 von Mathematica ist die Option
für eine Vielzahl von Befehlen aus dem zuladbaren Paket
über den Befehl
direkt erreichbar. Das gilt
.
Schließlich sei darauf hingewiesen, daß der Befehl
während
Beispiel
reelle Variable
von komplexen Variablen
ausgeht.
voraussetzt,
Ausdrücke des Prädikatenkalküls
Allgemein werden die Ausdrücke des Prädikatenkalküls wieder induktiv definiert:
1. Sind
Individuenvariable und
eine
-stellige Prädikatenvariable, so ist
(5.21a)
2. Sind
und
Ausdrücke, so sind es auch
(5.21b)
Betrachtet man Aussagenvariable als nullstellige Prädikatenvariable, so erkennt man die Aussagenlogik als Teil der
Prädikatenlogik. Eine Individuenvariable
Quantors
kommt in einem Ausdruck gebunden vor, wenn
ist oder im Wirkungsbereich eines Quantors liegt; andernfalls kommt
Variable eines
in diesem Ausdruck frei
vor. Ein Ausdruck der Prädikatenlogik, der keine freien Variablen enthält, heißt geschlossene Formel .
Ausdrücke der Prädikatenlogik
Zur logischen Grundlegung der Mathematik wird eine ausdrucksstärkere Logik als die Aussagenlogik benötigt. Um
Eigenschaften von und Beziehungen zwischen (mathematischen) Objekten beschreiben zu können, bedient man sich
der Prädikatenlogik.
●
●
●
●
●
●
Prädikate
Quantoren
Ausdrücke des Prädikatenkalküls
Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke
Tautologien der Prädikatenlogik
Beschränkte Quantifizierung
Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
Tabelle Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Wertverlaufsgleiche BOOLEsche Ausdrücke
BOOLEsche Ausdrücke
und
heißen wertverlaufsgleich , wenn sie die gleiche BOOLEsche Funktion
repräsentieren. BOOLEsche Ausdrücke sind genau dann gleich, wenn sie durch ,,Umformungen`` entsprechend den
Axiomen einer BOOLEschen Algebra ineinander überführbar sind.
Bei der Umformung BOOLEscher Ausdrücke stehen zwei Aspekte im Vordergrund:
a)
Umformung in einen möglichst ,,einfachen`` Ausdruck (s. Schaltagebra),
b)
Umformung in eine ,,Normalform`` .
Knotengrade
Als Grad
eines Knotens
bezeichnet man die Anzahl der mit
inzidierenden Kanten. Schlingen werden
doppelt gezählt. Knoten vom Grad 0 heißen isolierte Knoten .
Für jeden Knoten
eines gerichteten Graphen
unterscheidet man Ausgangsgrad
und Eingangsgrad
(5.232a)
(5.232b)
Lineare Ausgleichsaufgaben
Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem
(19.37)
in Matrixschreibweise
(19.38)
Die Koeffizientenmatrix
, die vom Typ
ist, habe den Maximalrang
, d.h., ihre Spalten sind
linear unabhängig. Da ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem in der Regel keine Lösung hat, geht man von
(19.37) zu den sogenannten Fehlergleichungen
(19.39)
mit den Residuen
über und verlangt, daß die Summe der Quadrate der Residuen minimal wird:
(19.40)
Die Aufgabe (19.40) wird als lineare Ausgleichsaufgabe oder lineares Quadratmittelproblem bezeichnet. Die
notwendigen Bedingungen dafür, daß die Fehlerquadratsumme
ein relatives Minimum
annimmt, lauten
(19.41)
und führen auf das lineare Gleichungssystem
(19.42)
Der Übergang von (19.38) zu (19.42) wird als GAUSS-Transformation bezeichnet, da das System (19.42) durch
Anwendung der GAUSSschen Fehlerquadratmethode aus (19.38) entstanden ist. Da für A Maximalrang
vorausgesetzt wurde, ist
eine positiv definite Matrix vom Typ
, und die sogenannten
Normalgleichungen (19.42) können mit Hilfe des CHOLESKY-Verfahrens numerisch gelöst werden.
Bei der Lösung des Normalgleichungssystems (19.42) können numerische Probleme auftreten, wenn die
Konditionszahl (s. Lit. 19.27) der Matrix
sehr groß ist. Die Lösung
kann dann große relative Fehler haben.
Deshalb ist es numerisch günstiger, zur Lösung linearer Ausgleichsaufgaben Orthogonalisierungsverfahren zu
verwenden.
Mehrdimensionale Aufgaben
1. Ausgleichsaufgabe: Es soll die folgende diskrete mehrdimensionale Ausgleichsaufgabe behandelt werden:
Eine Funktion
bekannt, aber es seien
der
Funktionswerte
unabhängigen Variablen
sei formelmäßig nicht
, im allgemeinen Meßwerte, in einer Wertetabelle gegeben:
(19.181)
Die Schreibweise wird übersichtlicher und die Analogie zur eindimensionalen Ausgleichsaufgabe deutlicher, wenn man
folgende Vektoren einführt:
Zur Approximation von
werde ein Ansatz der Form
(19.182)
verwendet. Dabei sind die
Funktionen
geeignet gewählte Ansatzfunktionen.
Beispiel A
Linearer Ansatz in
Variablen:
.
Beispiel B
Vollständiger quadratischer Ansatz in 3 Variablen:
.
Die Ansatzkoeffizienten sind so zu bestimmen, daß
gilt.
2. Normalgleichungssystem: Bildet man analog zu (19.179b) die Matrix G, indem man formal die Stützstellen
durch die vektoriellen Stützstellen
ersetzt, dann kann man auch im vorliegenden
mehrdimensionalen Fall zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das Normalgleichungssystem
(19.183)
oder das überbestimmte lineare Gleichungssystem
(19.184)
verwenden.
Beispiel
Ein Beispiel findet man bei der mehrdimensionalen Regression.
Fehlerquadratmethode
Die Fehlerquadratmethode führt in den Fällen, in denen in der Näherungsformel gewisse Parameter nichtlinear
auftreten, auf nichtlineare Ausgleichsaufgaben , deren Lösung einen erhöhten numerischen Aufwand sowie gute
Startnäherungen erfordert. Letztere können durch Rektifizierung und Mittelwertmethode bestimmt werden.
Ausgleichssplines
In der Praxis sind die gegebenen Werte
häufig Meßwerte, also fehlerbehaftet. In diesem Fall ist die
Interpolationsforderung unzweckmäßig. Man führt deshalb den kubischen Ausgleichsspline ein. Er entsteht, wenn
man beim kubischen Interpolationsspline die Interpolationsforderung durch
(19.237)
ersetzt. Die Forderung nach Stetigkeit von
und
bleibt erhalten, so daß sich zur Bestimmung der Spline-
Koeffizienten eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen in Gleichungsform ergibt. Die Lösung erfolgt mit Hilfe
einer LAGRANGE-Funktion. Einzelheiten s. Lit. 19.30, 19.31.
In (19.237) stellt
einen Glättungsparameter dar, der vorgegeben werden muß. Für
ergibt sich
als Spezialfall der kubische Interpolationsspline, für ,,große``
erhält man eine glatte Näherungskurve, die dafür
aber die Meßpunkte nur ungenau wiedergibt, und für
ergibt sich schließlich als weiterer Spezialfall die
Ausgleichsgerade. Eine geeignete Wahl von
Die Parameter
Meßwerte
kann am Computer im Bildschirmdialog erfolgen.
in (19.237) stellen die Standardabweichungen der Meßfehler dar, mit denen die
evtl. behaftet sind.
Bei den bisher betrachteten kubischen Interpolations- und Ausgleichssplines waren die Abszissen der Interpolationsder Spline
bzw. Meßpunkte identisch mit den Knoten der Spline-Funktion. Das hat zur Folge, daß bei großem
aus einer sehr großen Anzahl von kubischen Ansatzfunktionen (19.231) besteht. Es liegt nahe, Anzahl und Lage der
Knotenpunkte frei zu wählen, da man in der Praxis meist mit wesentlich weniger Spline-Stücken auskommt. Darüber
hinaus ist es numerisch günstiger, an Stelle des Ansatzes (19.231) Splines in der Form
(19.238)
anzusetzen. Dabei ist
die Anzahl der frei gewählten Knoten, und mit
werden die sogenannten
normalisierten
-Splines ( Basis-Splines ) der Ordnung 4, d.h. vom Polynomgrad 3, zum
Ausführungen dazu s. Lit. 19.4.
-ten Knoten bezeichnet.
Bikubische Ausgleichssplines
Der eindimensionale kubische Ausgleichsspline wird im wesentlichen durch die Extremalforderung (19.237)
charakterisiert. Für den zweidimensionalen Fall könnte eine ganze Reihe entsprechender Extremalforderungen
aufgestellt werden, aber nur ganz bestimmte ermöglichen die eindeutige Existenz einer Lösung.
Geeignete Extremalforderungen und Algorithmen zur Lösung von Ausgleichsaufgaben mit bikubischen B-Splines
s. Lit. 19.21, 19.20.
Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
Polynome lassen sich in vielen Fällen als Produkte von Monomen und Polynomen darstellen. Als Hilfsmittel stehen
hierzu das Ausklammern und Gruppieren , spezielle Formeln sowie die allgemeinen Eigenschaften von Gleichungen
zur Verfügung.
Beispiel A
Ausklammern:
Beispiel B
Gruppieren:
Beispiel C
Anwendung von Gleichungseigenschaften:
a)
Ausklammern von
b)
und
Feststellung, daß
Wurzeln der Gleichung
sind.
c)
Division von
durch
liefert als Quotienten
Dieser Ausdruck läßt sich nicht weiter in reelle Faktoren zerlegen, da
so daß man erhält:
Aussagen
Eine Aussage ist die gedankliche Widerspiegelung eines Sachverhalts in Form eines Satzes einer natürlichen oder
künstlichen Sprache. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch: Prinzip der Zweiwertigkeit (s. auch mehrwertige
oder Fuzzy-Logik). Man nennt ,,wahr`` bzw. ,,falsch`` den Wahrheitswert der Aussage und bezeichnet ihn mit W
(oder 1) bzw. F (oder 0). Die Wahrheitswerte werden auch als aussagenlogische Konstanten bezeichnet.
Dualitätsprinzip
1. Dualisieren:
In den im vorhergehenden Abschnitt betrachteten ,,Axiomen`` einer BOOLEschen Algebra erkennt man
folgende Dualität: Ersetzt man in einem Axiom
durch
durch
, 0 durch 1 und 1 durch 0, dann
erhält man das jeweils andere Axiom. Man sagt, diese beiden Axiome sind zueinander dual und nennt den
Ersetzungsprozeß Dualisieren . Durch Dualisieren erhält man aus einer Aussage über BOOLEsche Algebren
die dazu duale Aussage .
2. Dualitätsprinzip für BOOLEsche Algebren:
Die duale Aussage zu einer wahren Aussage über BOOLEsche Algebren ist wieder eine wahre Aussage über
BOOLEsche Algebren, d.h., mit jeder bewiesenen Aussage ist gleichzeitig auch die dazu duale Aussage
bewiesen.
Aus den Axiomen folgen z.B. folgende Eigenschaften für BOOLEsche Algebren:
(E1) Die Operationen
und
sind idempotent:
(5.214)
(5.215)
(E2) DE MORGANsche Regeln:
(5.216)
(5.217)
(E3) Eine weitere Eigenschaft:
(5.218)
Es genügt auch hier, von jeweils untereinanderstehenden (dualen) Aussagen nur eine zu beweisen, während die
dritte Aussage zu sich selbst dual ist.
Aussagenlogik
●
●
●
●
●
●
●
●
Aussagen
Aussagenverbindungen
Wahrheitstafeln
Ausdrücke der Aussagenlogik
Wahrheitsfunktionen
Grundgesetze der Aussagenlogik
Weitere Grundgesetze
Tautologien, mathematische Schlußweisen
Aussagenverbindungen
Die Aussagenlogik untersucht den Wahrheitswert von Aussagenverbindungen in Abhängigkeit von den
Wahrheitswerten der einzelnen Aussagen. Dabei werden ausschließlich extensionale Aussagenverbindungen
betrachtet, d.h., der Wahrheitswert der Aussagenverbindung hängt nur von den Wahrheitswerten der Teilaussagen
und den verbindenden Junktoren ab. Dabei wird der Wahrheitswert der Verbindung durch die klassischen Junktoren
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
bestimmt. Dabei ist das ,,logische oder`` immer als ,,einschließendes oder`` zu verstehen. Im Falle der Implikation
sind für
auch die folgenden Sprechweisen üblich:
Austauschschema
Wenn in (4.104) ein Element
Variable
von Null verschieden ist, dann kann in einem sogenannten Austauschschritt die
zur unabhängigen und die Variable
zur abhängigen Variablen gemacht werden. Der
Austauschschritt ist das Grundelement des Austauschverfahrens, mit dessen Hilfe z.B. lineare Gleichungssysteme
und lineare Optimierungsaufgaben gelöst werden können. Der Austauschschritt wird mit Hilfe der Schemata
(4.105)
durchgeführt, wobei das linke Schema dem System (4.104) entspricht.
Anwendung des Austauschverfahrens
●
●
●
Zuordnung eines Systems linearer Funktionen
Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Alternierende Wege, Satz von BERGE
1. Alternierende Wege: Es sei
genannt, wenn in
ein Graph mit einem Matching
auf jede Kante
mit
(bzw.
. Ein Weg
in
wird alternierend
) eine Kante
mit
(bzw.
) folgt.
Ein offener alternierender Weg wird zunehmend genannt, wenn kein Endpunkt des Weges mit einer Kante aus
inzidiert.
2. Satz von BERGE:
a)
in einem Graphen
Ein Matching
alternierenden Weg gibt.
ist genau dann maximal, wenn es in
keinen zunehmenden
b)
Ist
ein zunehmender alternierender Weg in
Kanten, dann bildet
mit zugehöriger Menge
ein Matching in
durchlaufener
mit
.
Man spricht in diesem Zusammenhang von einem Austauschverfahren .
Beispiel
Im Graphen der folgenden Abbildung ist
bezüglich des Matchings
ein zunehmender alternierender Weg
Mit dem Austauschverfahren erhält man daraus das Matching
Autokorrelationsfunktion
Das dynamische System
auf
beliebige stetige Funktion,
mit invariantem Maß
ein beliebiger Semiorbit und das räumliche Mittel
zeitliche Mittel, d.h. durch
eine
sei ersetzt durch das
im zeitkontinuierlichen Fall und durch
im zeitdiskreten Fall. Bezüglich
Semiorbits
sei ergodisch. Es seien
zu einem Zeitpunkt
wird die Autokorrelationsfunktion längs des
für einen Fluß durch
(17.34a)
und für ein diskretes System durch
(17.34b)
definiert. Die Autokorrelationsfunktion wird auch für negative Zeiten erklärt, indem
bzw.
als gerade Funktion auf
aufgefaßt wird.
Periodische oder quasiperiodische Orbits führen zu einem periodischen bzw. quasiperiodischen Verhalten von
Ein schneller Abfall von
hin. Fällt
für wachsende
mischendes Verhalten.
für wachsende
und beliebiger Testfunktion
deutet auf chaotisches Verhalten
sogar mit exponentieller Geschwindigkeit, so ist dies ein Anzeichen für
.
Wichtige Fälle skalarer Felder
1. Ebenes Feld wird ein Feld genannt, das ausschließlich für die Punkte einer Ebene im Raum definiert ist.
2. Zentralfeld Wenn eine Funktion in allen Punkten
gleichen Abstandes von einem Mittelpunkt
,
dem Feldpol, gleiche Werte annimmt, dann spricht man von einem zentralsymmetrischen Feld oder auch
Zentral- bzw. Kugelfeld . Die Funktion
hängt dann lediglich vom Abstand
ab:
(13.7a)
Beispiel
Das Feld der Intensität einer punktförmigen Strahlungsquelle, z.B. das Feld der Lichtstärke, wird mit
als Abstand von der Strahlungsquelle beschrieben durch
(13.7b)
3. Axialfeld Wenn eine Funktion in allen Punkten gleichen Abstandes von einer Geraden, der Feldachse, den
gleichen Wert besitzt, dann spricht man von einem zylindersymmetrischen bzw. axialsymmetrischen Feld ,
oder kurz von einem Axialfeld .
Abgeschlossene Mengen
Eine Teilmenge
eines metrischen Raumes
heißt abgeschlossen , wenn
eine offene Menge ist. Jede
abgeschlossene Kugel in einem metrischen Raum, insbesondere jedes Intervall der Typen
in
, ist eine abgeschlossene Menge.
Dual zu den Axiomen der offenen Mengen erfüllt die Gesamtheit aller abgeschlossenen Mengen eines metrischen
Raumes folgende Eigenschaften:
●
Sind
●
Sind
für
abgeschlossen, dann ist auch die Menge
beliebig endlich viele abgeschlossene Mengen, dann ist auch die Menge
abgeschlossen.
●
Die leere Menge
abgeschlossen.
ist vereinbarungsgemäß abgeschlossen.
Die Mengen
und
sind sowohl offen als auch abgeschlossen. Ein Punkt
des metrischen Raumes
heißt
wenn für jede Umgebung
Berührungspunkt der Menge
(12.53)
gilt. Besteht dieser Durchschnitt darüber hinaus jeweils nicht nur aus dem einen Punkt
Häufungspunkt der Menge
Ein Häufungspunkt von
zur Menge
. Ein Berührungspunkt, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt.
muß somit nicht unbedingt zur Menge
gehören muß, z.B. der Punkt
, während ein isolierter Punkt notwendigerweise zur Menge
ist genau dann Berührungspunkt der Menge
gibt, die zu
, dann heißt
konvergiert, wobei
, wenn es eine Folge
im Verhältnis
gehören muß. Ein Punkt
von Elementen
im Falle eines isolierten Punktes
aus
gesetzt wird.
Skalarprodukt
Ein Vektorraum
über dem Körper
(meistens wird
betrachtet) heißt Raum mit Skalarprodukt oder
Innenproduktraum oder Prä- HILBERT-Raum , wenn jedem Paar von Elementen
Skalarprodukt von
und
, zugeordnet ist, so daß für beliebige Elemente
eine Zahl
, das
und beliebiges
die
folgenden Bedingungen, die Axiome des Skalarprodukts , erfüllt sind:
(12.101)
(12.102)
(12.103)
(12.104)
Hier bedeutet
die zu
konjugiert komplexe Zahl (in (1.137b) wurde diese mit
bezeichnet).
, also eines reellen Vektorraums, ist (H4) einfach die Kommutativitätsforderung für das
Im Falle von
Skalarprodukt. Aus den Axiomen ergeben sich sofort zusätzlich noch die Eigenschaften
(12.105)
Halbordnung
Bereits am Beispiel des mit dem ersten Quadranten als Kegel
geordneten Vektorraumes
wird eine
typische Erscheinung in geordneten Vektorräumen ersichtlich, auf die mit den Begriffen ,,Halbordnung`` oder
,,teilweise`` bereits hingewiesen wurde, nämlich, daß nicht beliebige zwei Vektoren vergleichbar sein müssen. Die
aus den Vektoren
und
und
, liegen nicht in
gebildeten Differenzen, also die Vektoren
, so daß weder
noch
gilt. Die durch einen Kegel in
einem Vektorraum eingeführte Ordnung ist also lediglich eine teilweise oder partielle. Es läßt sich zeigen, daß die
Relation
die folgenden Eigenschaften besitzt:
(12.25)
(12.26)
(12.27)
(12.28)
Man nennt diese Gleichungen Axiome des geordneten Vektorraumes. Umgekehrt, ist ein Vektorraum
mit einer
Ordnungsrelation versehen, d.h. für gewisse Paare seiner Elemente ist eine binäre Operation
erklärt, die den
Axiomen (O1) bis (O4) genügt, dann setzt man
(12.29)
und kann zeigen, daß
vorhandenen Ordnung
ein Kegel ist. Die jetzt durch
in
einführbare Ordnung
ist identisch mit der
; folglich sind die beiden aufgezeigten Möglichkeiten der Einführung einer Ordnung in
einem Vektorraum äquivalent.
Ein Kegel
heißt erzeugend, wenn jedes Element
werden kann. Man schreibt dafür auch
Beispiel A
Die Ordnung im Raum
-
als
mit
dargestellt
.
wird durch den Kegel
(12.30)
(s. Beispiel C) eingeführt. In den Folgenräumen, betrachtet man die natürliche koordinatenweise Ordnung. Sie ergibt
sich mit Hilfe des Kegels, den man in einem solchen Raum als Durchschnitt von
(s. (12.30)) mit dem jeweiligen
Raum erhält. Die positiven Elemente in diesen geordneten Vektorräumen sind dann jeweils die Folgen mit
nichtnegativen Gliedern. Selbstverständlich können auch andere Kegel und damit auch von der natürlichen
Halbordnung verschiedene Ordnungen in diesen Räumen betrachtet werden (s. Lit. 12.20, 12.22).
Beispiel B
In den reellen Funktionenräumen
und
zwei Funktionen
bzw.
der
und
durch
gerade für eine auf
überall nichtnegative Funktion
bezeichnet man üblicherweise wieder mit
erklärt man
die natürliche Ordnung, in
steht. Die entsprechenden Kegel
usw. Es ist also beispielsweise
.
für
Halbnorm
Eine Abbildung
eines Vektorraumes
heißt Halbnorm, wenn sie die folgenden Eigenschaften
besitzt:
(12.164)
(12.165)
(12.166)
Ein Vergleich mit den Axiomen des normierten Raumes zeigt, daß eine Halbnorm genau dann eine Norm ist, wenn
nur für
gilt.
Sowohl für theoretische innermathematische Fragestellungen als auch für praktische Belange in vielen
Anwendungen der Mathematik hat sich das Problem der Erweiterung eines auf einem linearen Teilraum
gegebenen linearen Funktionals auf den gesamten Raum - um triviale und uninteressante Fälle auszuschließen unter Beibehaltung gewisser ,,guter`` Eigenschaften als eines der fundamentalsten Ergebnisse herauskristallisiert.
Die Lösung dieses Problems wird durch den Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH garantiert.
●
Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH (analytische Form)
Axiome des normierten Raumes
Sei
ein Vektorraum über dem Körper
Vektorraum
und das Paar
und beliebiges
Eine Funktion
normierter Raum über dem Körper
heißt Norm auf dem
wenn für beliebige Elemente
die folgenden Eigenschaften, die Axiome des normierten Raumes , erfüllt sind:
(12.76)
(12.77)
(12.78)
Mit Hilfe der Festlegung
(12.79)
kann jeder normierte Raum in einen metrischen so umgewandelt werden, daß die Metrik (12.79) zusätzlich noch die
mit der Struktur des Vektorraums verträglichen Eigenschaften
(12.80a)
(12.80b)
besitzt. Somit stehen in einem normierten Raum sowohl die Eigenschaften eines Vektorraums als auch die eines
metrischen Raumes - durch (12.80a) und (12.80b) verträglich aufeinander abgestimmt - zur Verfügung. Daraus
ergeben sich einerseits, daß man die meisten lokalen auf einen Punkt bezogenen Untersuchungen mit den
Einheitskugeln
(12.81)
vornehmen kann, da sich
(12.82)
ergibt und andererseits die Stetigkeit der Operationen des zugrunde liegenden Vektorraumes, d.h., aus
(12.83)
Für konvergente Folgen schreibt man anstelle von (12.51) in normierten Räumen
(12.84)
Kugeln und Umgebungen
In einem metrischen Raum
und einen fixierten Punkt
, dessen Elemente auch Punkte heißen, nennt man für eine reelle Zahl
die Mengen
(12.49)
(12.50)
offene bzw. abgeschlossene Kugel mit dem Radius
den Metriken (12.42) und (12.43) für
dargestellten Mengen.
und
und dem Zentrum
. Im Vektorraum
ergeben sich mit
als Kugeln die in den folgenden zwei Abbildungen
Eine Teilmenge
eines metrischen Raumes
einer ganzen offenen Kugel zu
Punktes
gehört, also es
bezeichnet man auch mit
heißt Umgebung des Punktes
, so daß
, wenn
gilt. Eine Umgebung
mit
des
. Offenbar ist jede Kugel auch Umgebung ihres Zentrums; eine offene
Kugel ist sogar Umgebung jedes ihrer Punkte. Man nennt einen Punkt
inneren Punkt einer Menge
wenn
mit einer Umgebung zu
gehört, also es existiert eine Umgebung
von
mit
Schließlich heißt eine Teilmenge eines metrischen Raumes offen , wenn alle ihre Punkte innere Punkte sind. Die
(bisher nur so benannten) offenen Kugeln in jedem beliebigen metrischen Raum, insbesondere alle offenen Intervalle
, sind die Prototypen offener Mengen. Die Gesamtheit aller offenen Mengen genügt den folgenden Axiomen
aus
der offenen Mengen :
●
Sind
für
●
Sind
●
Die leere Menge
offen, dann ist auch die Menge
beliebig endlich viele offene Mengen, dann ist auch die Menge
liegt, wofür man auch
offen.
ist vereinbarungsgemäß offen.
Man nennt eine Teilmenge
unbedingt der Menge
offen.
eines metrischen Raumes beschränkt , wenn für ein gewisses Element
angehören muß) und eine gewisse Zahl
schreibt.
die Menge
in der Kugel
(das nicht
Begriff des Vektorraumes
Eine nichtleere Menge
heißt Vektorraum oder linearer Raum über dem Körper
der Skalaren, wenn auf
beiden Operationen - Addition der Elemente und Vielfachenbildung mit Koeffizienten aus
1. Für je zwei Elemente
2. für jedes
und dem Skalar
gibt es ein Element
und jeden Skalar (Zahl)
(oder besser, das
-Vielfache des Elements
- wie folgt erklärt sind:
, ihre Summe ,
gibt es ein Element
, das Produkt aus
),
so daß die folgenden Eigenschaften, die Vektorraumaxiome , für beliebige Elemente
die
und Skalare
erfüllt sind:
(12.1)
(12.2)
(12.3)
(12.4)
(12.5)
(12.6)
(12.7)
heißt reeller bzw. komplexer Vektorraum, je nachdem, ob
der Körper
der reellen bzw.
der komplexen
nennt man Punkte oder, in Anlehnung an die Lineare Algebra, auch Vektoren ,
Zahlen ist. Die Elemente von
wobei in der Funktionalanalysis, ohne die Verständlichkeit oder die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen, auf die
Kennzeichnung
oder
In einem Vektorraum
verzichtet wird.
gibt es zu jedem
, so daß
gilt, indem man
zweier beliebiger Vektoren
Lösbarkeit der Gleichung
ein eindeutig bestimmtes ,,gegenüberliegendes`` Element
setzt. Somit ist auf
als
für vorgegebene Elemente
erklärt. Daraus ergibt sich die eindeutige
und
. Die Lösung ist dann gleich
. Aus den Axiomen (V1) bis (V7) ergeben sich die folgenden Eigenschaften:
●
Das Nullelement ist eindeutig definiert,
auch die Differenz
●
falls
und
, dann
,
●
falls
und
, dann
,
●
.
Schnittwinkel, Kurswinkel und Azimut
Schnittwinkel und Kurswinkel: Unter dem Schnittwinkel zweier sphärischer Kurven versteht man den
Winkel, den ihre Tangenten im Kurvenschnittpunkt
wird der Schnittwinkel der nördlich von
bilden. Ist eine der beiden Kurven ein Meridian, dann
gelegenen Kurvenabschnitte in der Navigation Kurswinkel
genannt. Zur Beschreibung der östlichen und westlichen Neigung der Kurve ordnet man dem Kurswinkel
gemäß Teil a) und b) der Abbildung ein Vorzeichen zu und beschränkt ihn auf das Intervall
Kurswinkel und Azimut: Der Kurswinkel ist ein orientierter, d.h. mit einem Vorzeichen versehener Winkel. Er
ist unabhängig von der Orientierung der Kurve - das ist ihr Durchlaufsinn.
Die Orientierung der Kurve von
nach
gemäß Teil c) der Abbildung wird durch das Azimut
beschrieben: Es ist der Schnittwinkel zwischen dem durch den Kurvenschnittpunkt
Norden weisenden Meridian und dem von
nach
verlaufenden und nach
verlaufenden Kurvenabschnitt. Man beschränkt das
Azimut auf das Intervall
Hinweis: In der Navigation werden die Ortskoordinaten meist in sexagesimalen Altgraden, sphärische
Abstände sowie Kurswinkel und Azimute dagegen in dezimalen Altgraden angegeben.
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●
Problemstellung:
Lösungsansätze:
Lösung der Radialgleichung:
Lösung der Polargleichung:
Lösung der Azimutalgleichung:
Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit:
Parität:
Teilchenbewegung im radialsymmetrischen Zentralfeld
Problemstellung:
Das betrachtete Teilchen wird durch ein radialsymmetrisches Potential
gezwungen, sich ausschließlich auf
Kugeloberflächenbahnen mit dem konstantem Radius
zu bewegen. Dieses Modell reproduziert die
Bewegung eines Elektrons unter der elektrostatischen Anziehung eines positiv geladenen Kerns. Da es sich um ein
kugelsymmetrisches Problem handelt, ist die Benutzung von Kugelkoordinaten zweckmäßig (s. Abbildung).
Es gelten dann die Beziehungen
(9.111a)
wobei
der Radiusvektor ist,
der Winkel zwischen Radiusvektor und
zwischen der Projektion des Radiusvektors auf die
-Ebene und der
-Achse (Polarwinkel) und
der Winkel
-Achse (Azimutalwinkel). Für den LAPLACE-
Operator ergibt sich
(9.111b)
so daß die zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung dieses raumfreien starren Rotators lautet:
(9.111c)
Lösungsansätze:
Eine Lösung wird mit dem Ansatz
(9.112a)
angestrebt, in dem
die nur vom Radius
abhängige radiale Wellenfunktion ist und
beiden Winkeln abhängige Wellenfunktion. Einsetzen von (9.112a) in (9.111c) liefert
eine nur von den
(9.112b)
Division durch
und Multiplikation mit
ergibt
(9.112c)
Diese Gleichung (9.112c) kann nur erfüllt werden, wenn eine unabhängige Variation der Radiuskoordinate
linken Seite der Gleichung und der Winkelkoordinaten
auf der
auf der rechten dieselbe Separationskonstante ergeben,
d.h., wenn die Seiten unabhängig voneinander sind und den gleichen konstanten Wert ergeben. Aus der partiellen
Differentialgleichung ergeben sich dann eine gewöhnliche und eine partielle Differentialgleichung. Wird die
Separationskonstante praktischerweise gleich
gesetzt, dann erhält man die nur von
und vom Potential
abhängige sogenannte Radialgleichung :
(9.112d)
Der winkelabhängige Anteil wird mit Hilfe des Ansatzes
(9.112e)
ebenfalls separiert. Einsetzen von (9.112e) in (9.112c) liefert
(9.112f)
Bezeichnet man die Separationskonstante zweckmäßigerweise mit
, dann lautet die sogenannte Polargleichung
(9.112g)
und die Azimutalgleichung
(9.112h)
Beide Gleichungen sind potentialunabhängig, gelten also für jedes zentralsymmetrische Potential.
An die Lösung (9.112a) sind drei Forderungen zu stellen: Sie soll für
eindeutig sein und sich quadratisch integrieren lassen.
verschwinden, auf der Kugeloberfläche
Lösung der Radialgleichung:
Die Radialgleichung (9.112d) enthält neben dem Potential
noch die Separationskonstante
. Man
schreibt deshalb
und substituiert
(9.113a)
weil das Quadrat der Funktion
die letztlich gesuchte Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Teilchens in einer Kugelschale zwischen
und
angibt. Die Substitution führt auf die eindimensionale
SCHRÖDINGER-Gleichung
(9.113b)
Diese enthält das effektive Potential
(9.113c)
das aus zwei Anteilen besteht. Die Rotationsenergie
(9.113d)
wird Zentrifugalpotential genannt.
Die physikalische Bedeutung von
als Bahndrehimpuls-Quantenzahl ergibt sich aus der Analogiebetrachtung zur
klassischen Rotationsenergie
(9.113e)
eines rotierenden Teilchens mit dem Trägheitsmoment
und dem Bahndrehimpuls
:
(9.113f)
Lösung der Polargleichung:
Die Polargleichung (9.112g), die beide Separationskonstanten
Differentialgleichung. Ihre Lösung wird mit
enthält, ist eine LEGENDREsche
bezeichnet und kann durch einen Potenzreihenansatz ermittelt
werden. Endliche, eindeutige und stetige Lösungen ergeben sich nur für
und
und
. Daher gilt für
:
(9.114a)
Somit kann
insgesamt die
Werte
(9.114b)
durchlaufen.
Für
ergeben sich die zugeordneten LEGENDREschen Polynome, die wie folgt definiert sind:
(9.114c)
Als Spezialfall (
)erhält man die LEGENDREschen Polynome 1. Art
(9.57b)
(s. auch Tabelle LEGENDREsche Polynome 1. Art). Die Normierung führt auf
(9.114d)
Lösung der Azimutalgleichung:
Da die Teilchenbewegung auf der Kugeloberfläche auch im Falle der physikalischen Auszeichnung einer Raumrichtung,
z.B. durch ein Magnetfeld, unabhängig vom Azimutalwinkel ist, spezifiziert man die allgemeine Lösung
durch die Festlegung
(9.115a)
für die
unabhängig von
ist. Aus der Forderung nach Eindeutigkeit
(9.115b)
folgt, daß
nur die Werte
annehmen darf.
Aus der Normierung
(9.115c)
folgt
(9.115d)
Die Quantenzahl
wird magnetische Quantenzahl genannt.
Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit:
In Übereinstimmung mit (9.112e) sind die Lösungen für die Polar- und die Azimutalgleichungen miteinander zu
multiplizieren:
(9.116a)
Die Funktionen
Wenn der Radiusvektor
sind die sogenannten Kugelflächenfunktionen .
am Koordinatenursprung gespiegelt wird
, so daß sich das Vorzeichen von
ändern kann:
, geht
in
über und
in
(9.116b)
Daraus ergibt sich die Parität der betrachteten Wellenfunktion zu:
(9.117a)
Parität:
Die Eigenschaft Parität dient der Charakterisierung des Verhaltens der Wellenfunktion bei Rauminversion
Diese Operation wird mit dem Inversions- oder Paritätsoperator P durchgeführt:
man den Eigenwert des Operators mit
, dann muß eine zweimalige Anwendung von P, d.h.
.
. Bezeichnet
auf
führen, also auf die ursprüngliche Wellenfunktion. Daraus folgt:
(9.117b)
Man spricht von gerader Wellenfunktion , wenn sie bei Rauminversion ihr Vorzeichen nicht ändert, von ungerader
Wellenfunktion , wenn sie es ändert.
Die Parität setzt sich aus zwei Faktoren zusammen, der inneren Parität und der äußeren Parität . Letztere hängt vom
Drehimpuls des beschriebenen Teilchens oder Systems gemäß (9.117a) ab.
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Die Summe (1.56) wird geometrische Reihe genannt, wenn der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden
Gliedern konstant ist, d.h. wenn gilt:
(1.59a)
gut lesbar sind.
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❍
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❍
bei Netscape in der Version 4 im Menüpunkt "Edit - Preferences - Advanced",
❍
beim Internet Explorer 3 im Menüpunkt "Ansicht - Optionen - Sicherheit - Aktive Inhalte (ActiveXScripte)".
Beim Internet Explorer 4 ist die ActiveX-Steuerung immer aktiviert, wenn nicht unter dem Menüpunkt
"Ansicht - Internet-Optionen - Sicherheit" für die lokale Intranetzone die Modi "Hohe Sicherheit" bzw.
"Angepaßte Sicherheit" eingetragen sind; im Modus "Angepaßte Sicherheit" kann die ActiveXUnterstützung in einem Menü gezielt eingestellt werden.
●
●
Unter den Betriebssystemen Windows 95/NT und Unix/LINUX kann es beim Browser Netscape Navigator
(Version 3) zu Fehlern bei der Darstellung von Tabellen kommen, die Text und Abbildungen oder Formeln
enthalten, wenn die JavaScript-Unterstützung eingeschaltet ist! Wenn Sie JavaScript aussschalten, und die
Seite neu anzeigen, ist die Darstellung in Ordnung.
Dieses Problem tritt mit dem Netscape Communicator (Version 4) nicht mehr auf.
Wenn Sie über keinen JavaScript-fähigen Browser verfügen, finden Sie auf dieser CD-ROM lizensierte
Versionen der Browser Netscape Navigator und Communicator für die Betriebssysteme MacOS, Windows
95/NT und Linux sowie Internet Explorer 4 für Windows 95/NT. Einzelheiten finden Sie auf der Seite zur
lizensierten Software.
Lizensierte Software
DeskTop Bronstein ist als HTML-Nachschlagewerk für JavaScript-fähige Browser konzipiert.
Browser mit diesen Eigenschaften sind zum Beispiel der Netscape Navigator der Firma Netscape ab Version 3
sowie der Internet Explorer der Firma Microsoft ab Version 3. Lizensierte Versionen der aktuellen Browser beider
Firmen sind auf dieser CD-ROM enthalten. Sie sollten aber beachten, daß die Browser der Version 4 hohe
Anforderungen an die Ausstattung Ihres Rechners stellen, wenn sie flüssig funktionieren sollen; ein Hauptspeicher
von mindestens 24 MB ist zu empfehlen!
DeskTop Bronstein wurde mit dem Navigator der Firma Netscape in der Version 4 konzipiert. Dieser Browser
reicht aus, um alle Eigenschaften von DeskTop Bronstein voll zu nutzen.
Die folgenden Erläuterungen enthalten daher zum Teil Verweise auf Daten außerhalb von DeskTop Bronstein, auf
die Sie nur dann zugreifen können, wenn Sie einen Internet-Zugang haben. Sollte eine der angegebenen Adressen
nicht mehr gültig sein, können Sie auf der Homepage des Verlages Harri Deutsch Verweise mit aktualisierten
Adressen finden (voraussichtlich ab Oktober 1998).
●
Netscape
Netscape Navigator und Netscape Communicator sind Produkte der Firma Netscape
Communications Corp.
Auf dieser CD-ROM sind lizensierte Versionen von Netscape Navigator 3.04 und Netscape
Communicator 4.04 für die Betriebssysteme Windows 95/NT, MacOS (68k und PowerPC) sowie Linux
enthalten. Es handelt sich um exakt gespiegelte Daten des Angebots der Internetseite von Netscape. Die
folgenden Verweise führen Sie zu Seiten, in denen Sie genauer erfahren, was Sie zur Installation der
Programme tun müssen.
Zuvor sollten Sie die Lizenzbestimmungen der Firma Netscape durchlesen.
Der Netscape Navigator 3.04 ist vorhanden für die Betriebssysteme
❍
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❍
Windows 95/NT
MacOS
Linux (ELF)
Der Netscape Communicator 4.04 ist vorhanden für die Betriebssysteme
❍
❍
❍
❍
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Windows 95/NT
MacOS (68k)
MacOS (PowerPC)
Linux (ELF)
Internet Explorer
Der Internet Explorer ist ein Produkt der Firma Microsoft Corp.
Auf dieser CD-ROM sind lizensierte Versionen des Internet Explorer 4.01 für die Betriebssystem Windows
95 und Windows NT enthalten. Die folgenden Verweise führen Sie zu Seiten, in denen Sie genauer
erfahren, was Sie zur Installation der Programme tun müssen.
❍
Windows 95/NT
Zum Arbeiten mit DeskTop Bronstein reicht es völlig aus, wenn Sie den Internet Explorer 4.01 mit den
Optionen "nur Browser / keine Channels" installieren. Andernfalls kann die Oberfläche Ihres Arbeitsplatzes
verändert werden.
Bogenfolgen
1. Kette:
In gerichteten Graphen wird eine Folge
wenn
keinen Bogen zweimal enthält und für
Endpunkte mit dem Bogen
und den anderen mit
von Bögen Kette der Länge
jeder Bogen
genannt,
einen seiner
gemeinsam hat.
2. Bahn:
Eine Kette heißt Bahn, wenn für
Bogens
der Zielpunkt des Bogens
mit dem Startpunkt des
übereinstimmt.
3. Elementare Bahn:
Ketten bzw. Bahnen, die jeden Knoten des Graphen höchstens einmal durchlaufen, sind elementare Ketten
bzw. elementare Bahnen .
4. Zyklus:
Eine geschlossene Kette wird Zyklus genannt.
5. Kreis:
Eine geschlossene Bahn, in der jeder Knoten Endpunkt genau zweier Bögen ist, heißt Kreis .
Beispiel
In den folgenden Abbildungen sind Beispiele für die verschiedenen Bogenfolgen dargestellt.
Definition
Eine Eigenschaft von Elementen eines metrischen Raumes
Gesamtheit der Elemente
d.h. darstellbar ist als
von
heißt generisch (oder typisch ), wenn die
mit dieser Eigenschaft eine Menge der zweiten BAIREschen Kategorie bildet,
, wobei jede Menge
offen und dicht in
ist.
Beispiel A
Die Mengen
und
(irrationale Zahlen) sind Mengen der zweiten BAIREschen Kategorie,
dagegen nicht.
Beispiel B
Dichtheit allein als Merkmal des ,,Typischen`` reicht nicht aus:
können aber nicht gleichzeitig typisch sein.
und
sind beide dicht,
Beispiel C
Zwischen LEBESGUE-Maß
einer Menge aus
und der BAIREschen Kategorie dieser Menge besteht
kein Zusammenhang. So ist (s. Lit. 17.7) die Menge
wobei
Andererseits gilt wegen
die rationalen Zahlen darstellt, eine Menge der zweiten BAIREschen Kategorie.
und
auch
Spezielle Verfahren
Das BAIRSTOW-Verfahren ist ein Iterationsverfahren zur Bestimmung von Wurzelpaaren, auch konjugiert komplexen.
Es geht von der Abspaltung eines quadratischen Faktors vom gegebenen Polynom wie beim HORNER-Schema
(19.18a-d) aus und hat die Ermittlung von Koeffizienten
und
zum Ziel, die die Restkoeffizienten
und
Null machen (s. Lit. 19.37, 19.11, 19.38).
Falls nur die betragsgrößte oder betragskleinste reelle Wurzel gesucht ist, so kann diese nach der Methode von
BERNOULLI recht einfach ermittelt werden (s. Lit. 19.37).
Aus historischer Sicht sei noch das GRAEFFE-Verfahren erwähnt, das alle Wurzeln gleichzeitig liefert, auch die
komplexen, aber mit erheblichem Rechenaufwand (s. Lit. 19.11, 19.38).
zu
Banach-Räume
Ein vollständiger normierter Raum heißt BANACH-Raum . Jeder normierte Raum
kann zu einem BANACH-Raum
auf der Grundlage der Prozedur der Vervollständigung und der natürlichen Fortsetzung seiner algebraischen
Operationen und der Norm auf
●
●
●
vervollständigt werden.
Reihen in normierten Räumen
Beispiele von Banach-Räumen
Sobolew-Räume
Normierte Vektorverbände und Banach-Verbände
Sei
ein Vektorverband, der gleichzeitig ein normierter Raum ist,
heißt normierter Verband oder normierter
Vektorverband (s. Lit. 12.18, 12.22, 12.25, 12.26), wenn die Norm der Bedingung
(12.92)
genügt. Ein vollständiger (bezüglich der Norm) normierter Verband heißt BANACH-Verband .
Beispiel
Die Räume
sind BANACH-Verbände.
Orthogonalisierungsverfahren
Grundlage der folgenden Orthogonalisierungsverfahren zur Lösung der linearen Ausgleichsaufgabe (19.40) sind die
folgenden Aussagen:
1.
Die Länge eines Vektors bleibt unter orthogonalen Transformationen invariant, d.h., die Vektoren
und
mit
(19.43)
haben dieselbe Länge.
2.
Zu jeder Matrix
vom Typ
vom Typ
, so daß gilt:
mit Maximalrang
existiert eine orthogonale Matrix
(19.44)
mit
(19.45)
Dabei ist R eine Rechtsdreiecksmatrix vom Typ
, und O ist eine Nullmatrix vom Typ
. Die
Faktorisierung (19.43) der Matrix A heißt QR-Zerlegung . Damit können die Fehlergleichungen (19.39) in das
äquivalente System
(19.46)
überführt werden, ohne daß dabei die Summe der Quadrate der Residuen verändert wird. Aus (19.46) folgt, daß
minimal wird und der Minimalwert gleich der Summe der
diese Quadratsumme für
Quadrate von
bis
ist. Die gesuchte Lösung
erhält man durch Rückwärtseinsetzen aus
(19.47)
wobei
der Vektor ist, der aus den Werten
aus (19.46) gebildet wird.
Zur schrittweisen Überführung von (19.39) in (19.46) werden vor allem zwei Methoden verwendet:
1.
GIVENS-Transformation,
2.
HOUSEHOLDER-Transformation.
Die erste erzeugt eine QR-Zerlegung der Matrix A durch Drehungen , die zweite durch Spiegelungen . Die
numerischen Realisierungen findet man in Lit. 19.26.
Praktische Aufgaben der linearen Quadratmittelapproximation werden vorwiegend mit der HOUSEHOLDERTransformation gelöst, wobei man in vielen Fällen noch die spezielle Struktur der Koeffizientenmatrix A wie
Bandstruktur oder schwache Besetztheit ausnutzen kann.
Basis und Dimension eines Vektorraumes
Eine linear unabhängige Teilmenge
aus
, die den gesamten Raum
erzeugt, d.h. für die
gilt, nennt man (algebraische) Basis oder HAMELsche Basis des Vektorraumes
genau dann eine Basis von
wobei die Koeffizienten
, wenn sich jeder Vektor
in der Form
darstellen läßt,
eindeutig bestimmt sind und lediglich eine endliche (von
ihnen von Null verschieden ist. Jeder nichttriviale Vektorraum
algebraische Basis, und zu jeder linear unabhängigen Teilmenge
, die
. Also ist
(d.h.
aus
abhängige) Anzahl von
) besitzt wenigstens eine
gibt es eine algebraische Basis von
enthält.
Ein Vektorraum
heißt m-dimensional oder von der Dimension
gibt. Das bedeutet, es existieren in
ist linear abhängig.
, wenn es in ihm eine Basis aus
linear unabhängige Vektoren, und jedes System von
Vektoren
Vektoren
Ein Vektorraum heißt unendlichdimensional , wenn er keine endliche Basis besitzt, d.h., wenn es für jede natürliche
Zahl
in
stets
Bis auf den Raum
linear unabhängige Vektoren gibt.
, dessen Dimension gleich
ist, sind alle anderen Vektorräume in den BeispielenB bis G
und in den BeispielenA bis E unendlichdimensional. Der Teilraum
ist
dreidimensional. Wie im endlichdimensionalen Falle haben auch in einem unendlichdimensionalen Vektorraum
zwei Basen stets die gleiche Mächtigkeit (Kardinalzahl), die man mit
bezeichnet. Die Dimension ist somit
eine Invariante des Vektorraumes, hängt also nicht von der konkreten Auswahl einer algebraischen Basis ab.
Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume
In jedem separablen HILBERT-Raum existiert eine Basis. Daraus ergibt sich, daß jedes orthonormale System zu einer
Basis ergänzt werden kann.
Zwei HILBERT-Räume
mit der Eigenschaft
und
heißen isomorph , wenn es eine lineare, bijektive Abbildung
(also Skalarprodukt erhaltend) gibt. Es gilt, zwei beliebige
unendlichdimensionale separable HILBERT-Räume sind isomorph, also insbesondere ist jeder solche Raum isomorph
zu dem Raum
.
Kontravariante Basis
Die drei Vektoren
(4.83a)
mit der Funktionaldeterminante
(4.83b)
stehen im betrachteten Flächenelement jeweils auf einer der Koordinatenflächen senkrecht und bilden die
sogenannte kontravariante Basis des krummlinigen Koordinatensystems.
Hinweis: In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, für die
(4.84)
gilt, fallen die Richtungen der kovarianten und kontravarianten Basis zusammen.
Kovariante Basis
Durch den variablen Ortsvektor
(4.82a)
werden allgemeine krummlinige Koordinaten
Koordinatenflächen erhält man, indem man in
eingeführt. Die zu diesem System gehörenden
jeweils eine der unabhängigen Variablen
festhält. Durch jeden Punkt des in Frage kommenden Raumteils gehen drei Koordinatenflächen, je zwei schneiden
sich in Koordinatenlinien, die durch den betrachteten Punkt hindurchgehen. Die drei Vektoren
(4.82b)
zeigen in die Richtungen der Koordinatenlinien im betrachteten Punkt. Sie bilden die kovariante Basis des
krummlinigen Koordinatensystems.
Logarithmen
●
●
●
●
●
Definition
Einige Eigenschaften der Logarithmen
Spezielle Logarithmen
Logarithmentafeln
Rechenschieber
Potenzen
Die Schreibweise
,
als Exponent und
●
●
Definitionen
Rechenregeln
wird für die algebraische Operation des Potenzierens verwendet. Man bezeichnet
als Potenz .
als Basis
Bäume
Ein ungerichteter zusammenhängender Graph, in dem kein Kreis existiert, wird Baum genannt. Jeder Baum mit
mindestens zwei Knoten enthält mindestens zwei Knoten vom Grad 1. Jeder Baum mit der Knotenzahl
Kanten.
Ein gerichteter Graph heißt Baum, wenn
(s. Bahnen in gerichteten Graphen.)
Beispiel
zusammenhängend ist und keinen Zyklus enthält.
hat genau
In den folgenden zwei Abbildungen sind zwei nichtisomorphe Bäume mit der Knotenzahl 14 dargestellt. Sie
zeigen die chemischen Strukturformeln von Butan bzw. Isobutan.
Geordnete binäre Bäume
Arithmetische Ausdrücke kann man durch binäre Bäume graphisch darstellen. Dabei werden Zahlen und Variablen
Knoten vom Grad 1 zugeordnet, den Operationen
entsprechen Knoten vom Grad
und der
linke bzw. rechte Teilbaum repräsentiert den ersten bzw. zweiten Operanden, der im allgemeinen wieder ein Ausdruck
ist. Man spricht auch von geordneten binären Bäumen . In der folgenden Abbildung ist ein Beispiel dargestellt.
Das Durchlaufen von geordneten binären Bäumen kann auf drei verschiedene Arten erfolgen, die rekursiv
beschreibbar sind:
Inorder-Durchlauf :
linken Teilbaum der Wurzel (nach Inorder) durchlaufen,
Wurzel durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Inorder) durchlaufen.
Preorder-Durchlauf :
Wurzel durchlaufen,
linken Teilbaum der Wurzel (nach Preorder) durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Preorder) durchlaufen.
Postorder-Durchlauf : linken Teilbaum der Wurzel (nach Postorder) durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Postorder) durchlaufen,
Wurzel durchlaufen.
Beim Inorder-Durchlauf ändert sich die Reihenfolge gegenüber dem Ausgangsterm nicht. Die sich aus dem PostorderDurchlauf ergebende Schreibweise wird Postfix-Notation, PN oder Polnische Notation genannt. Analog ergibt sich aus
dem Preorder-Durchlauf die Präfix-Notation oder Umgekehrte Polnische Notation UPN .
Zur Implementierung von Bäumen kann man ausnutzen, daß Präfix- und Postfix-Ausdrücke den Baum eindeutig
beschreiben.
Beispiel
In der obigen Abbildung ist der Term
Inorder-Durchlauf
durch einen Graphen dargestellt. Man erhält im
im Preorder-Durchlauf
und im Postorder-Durchlauf
Reguläre binäre Bäume
Hat ein Baum genau einen Knoten vom Grad 2 und sonst nur Knoten vom Grad 1 oder 3, dann wird er regulärer
binärer Baum genannt.
Die Knotenzahl in regulären binären Bäumen ist ungerade. Reguläre Bäume mit der Knotenzahl
haben
Knoten vom Grad 1. Das Niveau eines Knotens ist sein Abstand von der Wurzel. Das maximale
auftretende Niveau wird Höhe des Baumes genannt. Für reguläre binäre Wurzelbäume gibt es die verschiedensten
Anwendungsmöglichkeiten, z.B. in der Informatik.
Wurzelbäume
Ein Baum mit einem ausgezeichneten Knoten wird Wurzelbaum genannt, und der ausgezeichnete Knoten heißt
Wurzel . Im Bild eines Wurzelbaumes wird die Wurzel in der Regel oben angeordnet, und die Wege werden wie in
der folgenden Abbildung von der Wurzel weggerichtet betrachtet.
Wurzelbäume dienen zur graphischen Darstellung hierarchischer Strukturen, wie z.B. Befehlsflüsse in Betrieben,
Stammbäume, grammatikalische Strukturen.
Beispiel
Die obige Abbildung zeigt den Stammbaum einer Familie in der Form eines Wurzelbaumes. Die Wurzel ist
hier der dem Vater zugeordnete Knoten.
Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Wenn A eine Ereignismenge und die Ereignisse
mit
vollständiges Ereignissystem bilden, dann gelten für jedes Ereignis
ein
die folgenden Sätze:
1. Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit:
(16.40)
2. Satz von BAYES:
(16.41)
Dabei sind
und
bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Bernstein-Bézier-Darstellung von Kurven und Flächen
Die BERNSTEIN-BÉZIER-Darstellung (kurz B-B-Darstellung) von Kurven und Flächen verwendet die BERNSTEINschen
Grundpolynome
(19.247)
und nutzt vor allem die folgenden Eigenschaften aus:
(19.248)
(19.249)
Die Formel (19.249) folgt unmittelbar aus dem binomischen Satz.
Im folgenden werde eine Raumkurve, deren Parameterdarstellung
vektoriell durch
lautet,
(19.250)
beschrieben. Dabei ist
der Kurvenparameter. Die entsprechende Darstellung für eine Fläche lautet
(19.251)
Dabei sind
●
●
und
die Flächenparameter.
Prinzip der B-B-Kurvendarstellung
B-B-Flächendarstellung
Nemytskij-Operator
Seien
Variablen
eine meßbare Teilmenge aus
, die bezüglich
(s. Sigma-Algebren) und
für fast alle
Bedingungen). Der nichtlineare Operator
stetig und bezüglich
eine Funktion von zwei
für alle
meßbar ist ( CARATHEODORY-
auf
(12.186)
heißt NEMYTSKIJ-Operator . Er ist stetig und beschränkt, falls er aus
in
mit
abbildet.
Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn
(12.187)
gilt oder
stetig ist, gilt. Nur in Ausnahmefällen ist der Operator
kompakt.
DIRICHLETsche Bedingungen
Wenn die Funktion
die DIRICHLETschen Bedingungen erfüllt, d.h. wenn
a)
das Definitionsintervall in endlich viele Intervalle zerlegt werden kann, in denen die Funktion
stetig und
monoton ist, und
b)
an jeder Unstetigkeitsstelle von
die Werte
und
definiert sind,
dann konvergiert die FOURIER-Reihe dieser Funktion. Der Summenwert der Reihe ist dort, wo
, in den Unstetigkeitsstellen gleich
.
stetig ist, gleich
Trennung konvexer Mengen
Man nennt zwei Teilmengen
ein Funktional
eines reellen normierten Raumes
durch eine Hyperebene trennbar , wenn
existiert, so daß gilt:
(12.170)
ist die trennende Hyperebene, was nichts anderes besagt, als daß die Mengen in
den verschiedenen Halbräumen
(12.171)
liegen. In der folgenden Abbildung sind zwei Fälle der Trennung durch eine Hyperebene dargestellt.
Entscheidend für die Trennung zweier Mengen ist weniger ihre Disjunktheit. In der nächsten Abbildung sind zwei
und
dargestellt, die nicht trennbar sind, obwohl
und
disjunkt sind und
konvex. Vielmehr
Mengen
ist die Konvexität der Mengen von Bedeutung, da nicht ausgeschlossen ist, daß beide zu trennenden Mengen
gemeinsame Punkte besitzen, durch die die Hyperebene verläuft.
Es gilt: Ist
eine konvexe Menge eines normierten Raumes
, dann sind
eine nichtleere konvexe Menge mit
heißt Stützfunktional an die Menge
Funktional
und
gibt, für die
an
. Für eine konvexe Menge
mit nichtleerem Inneren
im Punkt
gilt.
und
und
trennbar. Ein (reelles lineares)
, wenn es eine solche Zahl
heißt dann Stützhyperebene im Punkt
mit nichtleerem Inneren existiert in jedem ihrer Randpunkte ein
Stützfunktional.
Auf der Trennbarkeit konvexer Mengen beruht der Beweis der KUHN-TUCKER-Bedingungen, aus denen sich
praktische Verfahren zur Bestimmung des Minimums eines konvexen Optimierungsproblems herleiten lassen
(s. Lit. 12.5).
Globale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ein Punkt
existiert, so daß
genügt den globalen KUHN- TUCKER-Bedingungen, wenn ein
ein Sattelpunkt von
, d.h. ein
ist.
Wegen des Beweises der KUHN- TUCKER-Bedingungen s. Abschnitt Trennung konvexer Mengen.
Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ein Punkt
genügt den lokalen KUHN- TUCKER-Bedingungen, wenn Zahlen
,
existieren, für die gilt
(18.39a)
(18.39b)
die Indexmenge der in
Der Punkt
Punkt
heißt dann auch KUHN- TUCKER-Punkt oder stationärer Punkt . Geometrisch betrachtet erfüllt ein
die lokalen KUHN- TUCKER-Bedingungen, wenn der negative Gradient
die Gradienten der in
(s. Abbildung).
aktiven Restriktionen ist.
aktiven Nebenbedingungen
in dem durch
, aufgespannten Kegel liegt
Oft wird die folgende äquivalente Formulierung für (18.39a,b) verwendet:
TUCKER-Bedingungen, wenn ein
genügt den lokalen KUHN-
existiert, so daß gilt
(18.40a)
(18.40b)
(18.40c)
Beispiele für Wahrscheinlichkeiten
Beispiel A
Für die Wahrscheinlichkeit
, mit einem idealen Würfel eine 2 zu würfeln, gilt:
.
Beispiel B
Wie groß ist die Chance, beim Zahlenlotto ,,6 aus 49`` vier richtige zu tippen?
Es gibt
Möglichkeiten für 4 richtige von 6 gezogenen Zahlen. Dann bleiben noch
Möglichkeiten für die falschen Zahlen. Insgesamt können
Somit erhält man für die Wahrscheinlichkeit
verschiedene Tips abgegeben werden.
, einen Vierer zu tippen:
Analog erhält man für die Wahrscheinlickeit
, 6 Richtige zu treffen:
Beispiel C
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß unter
Personen 2 am gleichen Tag Geburtstag
haben, wobei die Geburtsjahre nicht übereinstimmen müssen ?
Man betrchtet zunächst
: Alle
Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag. Es gilt:
Daraus folgt:
Numerische Auswertung dieser Formel:
k
10
20
23
30
60
P(A) 0,117 0,411 0,507 0,706 0,994
Man sieht, ab 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, daß davon 2 am gleichen Tag Gebutstag haben,
größer als
.
Wahrheitsfunktionen
Ordnet man jeder Aussagenvariablen eines Ausdrucks einen Wahrheitswert zu, so spricht man von einer Belegung
der Variablen. Mit Hilfe der Wahrheitstafeln für die Junktoren kann man einem Ausdruck für jede Belegung einen
Wahrheitswert zuordnen. Der im vorigen Abschnitt angegebene Ausdruck
somit eine dreistellige Wahrheitsfunktion, eine
( BOOLEsche Funktion). In der folgenden Tabelle ist eine Belegung der Variablen angegeben.
Tabelle Wahrheitstafel mit Belegungen
repräsentiert
Beispiel
Jeder aussagenlogische Ausdruck repräsentiert auf diese Weise eine
-stellige Wahrheitsfunktion, d.h. eine
Funktion, die jedem -Tupel von Wahrheitswerten wieder einen Wahrheitswert zuordnet. Es gibt
Wahrheitsfunktionen, insbesondere 16 zweistellige.
-stellige
Satz von Smale
Die invarianten Mannigfaltigkeiten der POINCARÉ-Abbildung einer Differentialgleichung (17.53) im
periodischen Orbit
seien wie in der folgenden Abbildung aus Abschnitt
Transversale homokline Punkte.
nahe dem
Die transversalen homoklinen Punkte
korrespondieren mit einem bezüglich
homoklinen Orbit von
(17.53). Die Existenz eines solchen homoklinen Orbits in (17.53) führt zu einer sensitiven Abhängigkeit von den
Anfangswerten. In Verbindung mit der betrachteten POINCARÉ-Abbildung lassen sich die auf SMALE zurückgehenden
Hufeisen-Abbildungen konstruieren, die zu folgenden Aussagen führen:
Satz von SMALE: In jeder Umgebung eines transversalen homoklinen Punktes der POINCARÉ-Abbildung (17.66)
existiert ein periodischer Punkt dieser Abbildung. Darüber hinaus existiert in jeder Umgebung eines transversalen
homoklinen Punktes eine für
von
auf
invariante Menge
, die vom CANTOR-Typ ist. Die Einschränkung
ist topologisch konjugiert zu einem BERNOULLI-Shift, d.h. zu einem mischenden System.
Die invariante Menge der Differentialgleichung (17.53) nahe des homoklinen Orbits sieht aus wie das Produkt einer
CANTOR-Menge mit dem Einheitskreis. Ist diese invariante Menge anziehend, dann stellt sie für (17.53) einen
seltsamen Attraktor dar.
BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
Treten unbestimmte Ausdrücke der Form
auf, dann wird die
BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel verwendet, die oft kurz L'HOSPITALsche Regel genannt wird.
Unbestimmte Ausdrücke der Form
Wenn für
1.
folgendes gilt:
oder
:
und
(unbestimmter Ausdruck
und
oder
(unbestimmter Ausdruck
,
2.
die Funktionen
und
sind in einem Intervall, das den Punkt
enthält, definiert (im Punkt
selbst brauchen diese Funktionen nicht definiert zu sein) und differenzierbar mit
.
Dann gilt
(2.27)
falls dieser Grenzwert existiert (Regel von BERNOULLI-L'HOSPITAL). Sollte der Ausdruck
unbestimmten Ausdruck der Form
Beispiel
oder
ergeben, dann wird das Verfahren wiederholt.
wieder einen
Unbestimmte Ausdrücke der Form
:
Wenn unter gleichen Bedingungen wie im Falle
oder
gilt
und
auf die Form
den Fall
Beispiel
oder
zurückgeführt ist.
oder
sowie
, dann wird der Grenzwert
gebracht, so daß die Berechnung des Grenzwertes auf
Unbestimmte Ausdrücke der Form
Wenn unter den gleichen Bedingungen wie im Falle
sowie
Differenz auf die Form
Beispiel
:
oder
gilt
, dann wird zur Berechnung des Grenzwertes
oder
und
die
gebracht, was auf verschiedene Weise erreicht werden kann, z.B. ist
Zweimalige Anwendung der
L'HOSPITALschen Regel führt auf
Unbestimmte Ausdrücke der Form
Wenn
und
Beispiel
sowie
berechnet, der die Form
des Ausdrucks
Analog wird in den Fällen
:
und
verfahren.
, dann wird zunächst der Grenzwert
hat, und dann
d.h.,
also
und somit
Erste Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Die BERNOULLIschen Zahlen
treten bei Potenzreihenentwicklungen spezieller Funktionen auf, z.B. bei den
,
trigonometrischen Funktionen
und
und
und den hyperbolischen Funktionen
,
. Die BERNOULLIschen Zahlen können wie folgt definiert
(7.60a)
und durch Koeffizientenvergleich bezüglich der Potenzen von
der folgenden Tabelle angegeben.
ermittelt werden. Die so gewonnenen Werte sind in
Tabelle Erste BERNOULLIsche Zahlen
1
4
7
10
2
5
8
3
6
9
11
Statistische Erfassung gegebener Meßwerte
Um eine Eigenschaft eines Elements statistisch zu untersuchen, ist diese durch eine Zufallsgröße
charakterisieren. In der Regel bilden dann
Meß- oder Beobachtungsparameter
zu
des Merkmals
den
Ausgangspunkt für eine statistische Untersuchung, die vor allem darin besteht, Angaben über die Verteilung von
zu machen.
Jede Meßreihe vom Umfang
kann in diesem Zusammenhang als eine zufällige Stichprobe aus einer unendlichen
Grundgesamtheit aufgefaßt werden, die entsteht, wenn der Versuch oder die Messung unter gleichen Bedingungen
unendlich oft wiederholt würde.
Da der Umfang
einer Meßreihe sehr groß sein kann, geht man zur statistischen Erfassung der Daten wie folgt vor:
1. Protokoll, Urliste: Protokollierung der Meß- oder Beobachtungswerte
, die eine Stichprobe oder
Meßreihe darstellen, in einem Meßprotokoll, der Urliste .
2. Intervalle oder Klassen: Einteilung der gegebenen
Intervalle, auch Klassen genannt, der Breite
Meßwerte
in
. Man wählt ca. 10 bis 20 Klassen und ordnet die
Meßwerte
in diese Klassen ein. Es entsteht die Strichliste .
3. Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilung: Eintragen der absoluten Häufigkeiten
, d.h. der Anzahl
Meßintervall
von Meßwerten (Besetzungszahl), die auf ein bestimmtes
entfällt und Bestimmung der relativen Häufigkeiten
(in %). Werden die Werte
als Rechtecke über den Klassen aufgetragen, dann ergibt die graphische Darstellung der so
entstehenden Häufigkeitsverteilung ein Histogramm (s. linke Abbildung).
Die Werte
können als empirische Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte
interpretiert werden.
4. Summenhäufigkeiten: Durch Summation der absoluten bzw. relativen Häufigkeiten erhält man die
absoluten bzw. relativen Summenhäufigkeiten
(16.110)
Werden die Werte
in den oberen Klassengrenzen aufgetragen und als Parallele nach rechts fortgesetzt, dann
ergibt sich eine graphische Darstellung für die empirische Verteilungsfunktion, die als Näherung für die unbekannte
Verteilungsfunktion
aufgefaßt werden kann (s. rechte Abbildung).
Beispiel
Bei einem Versuch wurden
Messungen durchgeführt. Die Meßergebnisse streuten über den
Bereich 50 bis 270, so daß sich eine Einteilung in
Klassen der Breite
erwies. Es ergab sich die folgende Häufigkeitstabelle .
Häufigkeitstabelle
(%)
Klasse
50 bis 70
1
0,8
0,8
71 bis 90
1
0,8
1,6
91 bis 110
2
1,6
3,2
als zweckmäßig
111 bis 130
9
7,2
10,4
131 bis 150
15
12,0
22,4
151 bis 170
22
17,6
40,0
171 bis 190
30
24,0
64,0
191 bis 210
27
21,6
85,6
211 bis 230
9
7,2
92,8
231 bis 250
6
4,8
97,6
251 bis 270
3
2,4
100,0
Unterabschnitte
●
Definierende Gleichung:
BESSEL- oder Zylinderfunktionen:
BESSEL-Funktionen mit imaginären Variablen:
●
Formeln für BESSEL-Funktionen
●
●
BESSELsche Differentialgleichung
(9.52a)
Definierende Gleichung:
Die Definierende Gleichung ist in diesem Falle
(9.52b)
Daraus folgt
. Einsetzen von
(9.52c)
in diese Gleichung liefert für den zu Null gesetzten Koeffizienten
die Bestimmungsgleichung
(9.52d)
Für
erhält man
. Für die Werte
von
ergibt sich
(9.52e)
BESSEL- oder Zylinderfunktionen:
Die für
(
s. Gammafunktion) entstandene Reihe ist eine partikuläre Lösung der
BESSELschen Differentialgleichung (9.52a) für ganzzahlige
Ordnung erster Gattung
. Sie definiert die BESSEL- oder Zylinderfunktion
-ter
(9.53a)
Die Kurvenbilder der Funktionen
und
zeigt die folgende Abbildung.
Die allgemeine Lösung der BESSELschen Differentialgleichung für nicht ganzzahlige
hat die Form
(9.53b)
wobei
eine Reihe darstellt, die aus der Reihe für
ganzzahliges
gilt
durch Ersetzen von
durch
folgt. Für
. In der allgemeinen Lösung ist in diesem Falle
durch
die BESSELsche Funktion zweiter Gattung
(9.53c)
auch WEBERsche Funktion genannt, zu ersetzen. Zur Reihenentwicklung von
Kurvenbilder der Funktionen
und
zeigt die folgende Abbildung.
s. z.B. Lit. 9.26. Die
BESSEL-Funktionen mit imaginären Variablen:
In manchen Anwendungen treten BESSEL-Funktionen mit einer rein imaginären Variablen auf. Dabei werden
gewöhnlich die Produkte
betrachtet, die mit
bezeichnet werden:
(9.54a)
Hierbei handelt es sich um Lösungen der Differentialgleichung
(9.54b)
Eine zweite Lösung dieser Differentialgleichung ist die MACDONALDsche Funktion
(9.54c)
Wenn
gegen eine ganze Zahl konvergiert, strebt dieser Ausdruck einem Grenzwert zu.
Die Funktionen
und
Die Kurvenbilder der Funktionen
werden auch modifizierte BESSEL- Funktionen genannt.
und
zeigt die folgende linke Abbildung, die der Funktionen
und
die rechte Abbildung.
Werte der Funktionen
enthalten die
Tabellen ,, BESSELsche Funktionen (Zylinderfunktionen)``.
Formeln für BESSEL-Funktionen
(9.55a)
Die gleichen Formeln gelten auch für die WEBER-Funktionen
(9.55b)
(9.55c)
Für ganzzahliges
gilt
(9.55d)
(9.55e)
oder, in komplexer Form,
(9.55f)
Die
können durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Insbesondere gilt
(9.56a)
(9.56b)
Durch sukzessive Anwendung der Rekursionsformeln (9.55a) bis (9.55f) können die Ausdrücke für
beliebige ganzzahlige
aufgeschrieben werden. Für große Werte von
asymptotischen Formeln:
für
ergeben sich die folgenden
(9.57a)
(9.57b)
(9.57c)
(9.57d)
Der Ausdruck
(s. LANDAU-Symbole) bedeutet eine infinitesimale Größe der gleichen Ordnung wie
Weitere Angaben über BESSEL-Funktionen s. Lit. 21.1.
.
- eine absolut konvergente Reihe
Wenn
in eine für
absolut konvergente Reihe der Form
(15.43)
entwickelt werden kann, wobei die
eine beliebig aufsteigende Zahlenfolge
bilden, so ist eine gliedweise Rücktransformation möglich:
(15.44)
Mit
ist die Gammafunktion bezeichnet. Speziell erhält man für
, d.h.
, die
Reihe
der Form
, die für alle reellen und komplexen
konvergiert. Außerdem ist eine Abschätzung in
) möglich.
Beispiel
.
Nach gliedweiser Transformation in den Oberbereich erhält man
( BESSEL-Funktion 0. Ordnung).
Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil I
0, 0
+1, 0000
+0, 0000
0, 1
0, 9975
0, 0499
, 5342
, 4590
0, 2
0, 9900
0, 0995
1, 0181
0, 3
0, 9776
0, 1483
0, 4
0, 9604
0, 5
0, 6
+1, 000
0, 0000
1, 003 +0, 0501 2, 4271
9, 8538
3, 3238
1, 010
0, 1005 1, 7527
4, 7760
0, 8073
2, 2931
1, 023
0, 1517 1, 3725
3, 0560
0, 1960
0, 6060
1, 7809
1, 040
0, 2040 1, 1145
2, 1844
+0, 9385
+0, 2423
, 4445
, 4715
1, 063
0, 2579 0, 9244
1, 6564
0, 9120
0, 2867
0, 3085
1, 2604
1, 092
0, 3137 0, 7775
1, 3028
0, 7
0, 8812
0, 3290
0, 1907
1, 1032
1, 126
0, 3719 0, 6605
1, 0503
0, 8
0, 8463
0, 3688
, 0868
0, 9781
1, 167
0, 4329 0, 5653
0, 8618
0, 9
0, 8075
0, 4059
+0, 0056
0, 8731
1, 213
0, 4971 0, 4867
0, 7165
1, 0
+0, 7652
+0, 4401
+0, 0883
, 7812
1, 266
0, 5652 0, 4210
0, 6019
1, 1
0, 7196
0, 4709
0, 1622
0, 6981
1, 326
0, 6375 0, 3656
0, 5098
1, 2
0, 6711
0, 4983
0, 2281
0, 6211
1, 394
0, 7147 0, 3185
0, 4346
1, 3
0, 6201
0, 5220
0, 2865
0, 5485
1, 469
0, 7973 0, 2782
0, 3725
1, 4
0, 5669
0, 5419
0, 3379
0, 4791
1, 553
0, 8861 0, 2437
0, 3208
1, 5
+0, 5118
+0, 5579
+0, 3824
, 4123
1, 647
0, 9817 0, 2138
0, 2774
1, 6
0, 4554
0, 5699
0, 4204
0, 3476
1, 750
1, 085
0, 1880
0, 2406
1, 7
0, 3980
0, 5778
0, 4520
0, 2847
1, 864
1, 196
0, 1655
0, 2094
1, 8
0, 3400
0, 5815
0, 4774
0, 2237
1, 990
1, 317
0, 1459
0, 1826
1, 9
0, 2818
0, 5812
0, 4968
0, 1644
2, 128
1, 448
0, 1288
0, 1597
2, 0
+0, 2239
+0, 5767
+0, 5104
, 1070
2, 280
1, 591
0, 1139
0, 1399
2, 1
0, 1666
0, 5683
0, 5183
, 0517
2, 446
1, 745
0, 1008
0, 1227
2, 2
0, 1104
0, 5560
0, 5208
+0, 0015
2, 629
1, 914
0, 08927
0, 1079
2, 3
0, 0555
0, 5399
0, 5181
0, 0523
2, 830
2, 098
0, 07914
0, 09498
2, 4
0, 0025
0, 5202
0, 5104
0, 1005
3, 049
2, 298
0, 07022
0, 08372
2, 5
, 0484
+0, 4971
+0, 4981
+0, 1459
3, 290
2, 517
0, 06235
0, 07389
2, 6
0, 0968
0, 4708
0, 4813
0, 1884
3, 553
2, 755
0, 05540
0, 06528
2, 7
0, 1424
0, 4416
0, 2605
0, 2276
3, 842
3, 016
0, 04926
0, 05774
2, 8
0, 1850
0, 4097
0, 4359
0, 2635
4, 157
3, 301
0, 04382
0, 05111
2, 9
0, 2243
0, 3754
0, 4079
0, 2959
4, 503
3, 613
0, 03901
0, 04529
3, 0
, 2601
+0, 3391
+0, 3769
+0, 3247
4, 881
3, 953
0, 03474
0, 04016
3, 1
0, 2921
0, 3009
0, 3431
0, 3496
5, 294
4, 326
0, 03095
0, 03563
3, 2
0, 3202
0, 2613
0, 3070
0, 3707
5, 747
4, 734
0, 02759
0, 03164
3, 3
0, 3443
0, 2207
0, 2691
0, 3879
6, 243
5, 181
0, 02461
0, 02812
3, 4
0, 3643
0, 1792
0, 2296
0, 4010
6, 785
5, 670
0, 02196
0, 02500
3, 5
, 3801
+0, 1374
+0, 1890
+0, 4102
7, 378
6, 206
0, 01960
0, 02224
3, 6
0, 3918
0, 0955
0, 1477
0, 4154
8, 028
6, 793
0, 01750
0, 01979
3, 7
0, 3992
0, 0538
0, 1061
0, 4167
8, 739
7, 436
0, 01563
0, 01763
3, 8
0, 4026
+0, 0128
0, 0645
0, 4141
9, 517
8, 140
0, 01397
0, 01571
3, 9
0, 4018
, 0272
+0, 0234
0, 4078 10, 37
8, 913
0, 01248
0, 01400
4, 0
, 3971
, 0660
, 0169
+0, 3979 11, 30
9, 759
0, 01116
0, 01248
4, 1
0, 3887
0, 1033
0, 0561
0, 3846 12, 32
10, 69
0, 009980 0, 01114
4, 2
0, 3766
0, 1386
0, 0938
0, 3680 13, 44
11, 71
0, 008927 0, 009938
4, 3
0, 3610
0, 1719
0, 1296
0, 3484 14, 67
12, 82
0, 007988 0, 008872
4, 4
0, 3423
0, 2028
0, 1633
0, 3260 16, 01
14, 05
0, 007149 0, 007923
4, 5
, 3205
, 2311
, 1947
+0, 3010 17, 48
15, 39
0, 006400 0, 007078
4, 6
0, 2961
0, 2566
0, 2235
0, 2737 19, 09
16, 86
0, 005730 0, 006325
4, 7
0, 2693
0, 2791
0, 2494
0, 2445 20, 86
18, 48
0, 005132 0, 005654
4, 8
0, 2404
0, 2985
0, 2723
0, 2136 22, 79
20, 25
0, 004597 0, 005055
4, 9
0, 2097
0, 3147
0, 2921
0, 1812 24, 91
22, 20
0, 004119 0, 004521
Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen
Für natürliche Zahlen
gilt:
(21.20)
(21.21)
(21.22)
(21.23)
(21.24)
(21.25)
(21.26a)
Mit
ist die Betafunktion oder das EULERsche Integral erster Gattung bezeichnet, mit
Gammafunktion oder das EULERsche Integral zweiter Gattung.
Diese Formel gilt für beliebige
Für
und
; man verwendet sie z.B. zur Bestimmung der Integrale
ganzzahlig und positiv ergibt sich:
die
(21.26b)
(21.27)
(21.28)
(21.29)
(21.30)
(21.31)
(21.32)
(21.33)
(21.34)
(21.35)
(21.36)
(21.37)
(21.38)
(21.39)
In diesem und dem folgenden Integral sind E und K vollständige elliptische Integrale:
(s. auch Tabelle Elliptische Integrale).
(21.40)
(21.41)
Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
Um die Behauptung
d.h.
zu beweisen, geht man von der Negation
. Dann muß aber auch
aus und schließt von
auf eine falsche Aussage
falsch sein, da man bei der Implikation nur von einer falschen
Voraussetzung zu einer falschen Behauptung kommt (s. 1. Zeile der Wahrheitstafel für die Implikation). Wenn aber
falsch ist, muß
Beispiel
wahr sein.
Es ist zu beweisen, daß die Zahl
mit ganzen Zahlen
keine rationale Zahl ist. Angenommen,
und
besitzen keinen gemeinsamen Teiler. Man erhält
eine gerade Zahl, was nur dann möglich ist, wenn
auch
Voraussetzung, daß
und
Die Zahlen
sei rational. Dann gilt
sind dabei teilerfremd , d.h., sie
oder
, d.h.,
eine gerade Zahl ist. Es müßte dann wegen
eine gerade Zahl sein. Das ist offensichtlich ein Widerspruch zur
teilerfremd sind.
wäre
Konstruktiver Beweis
In der Approximationstheorie z.B. wird der Beweis eines Existenzsatzes als konstruktiv bezeichnet, wenn er bei
seiner Durchführung bereits Berechnungsvorschriften für ein Element liefert, das die Voraussetzungen des
Existenzsatzes erfüllt.
Beispiel
Die Existenz einer natürlichen kubischen Interpolations-Spline-Funktion kann wie folgt nachgewiesen
werden: Man zeigt, daß die Berechnung der Spline-Koeffizienten aus den Voraussetzungen des
Existenzsatzes auf ein tridiagonales lineares Gleichungssystem führt, das eindeutig lösbar ist.
Vollständige Induktion
Mit dieser Beweismethode werden Sätze oder Formeln bewiesen, die von natürlichen Zahlen
Prinzip der vollständigen Induktion lautet:
Ist eine Aussage für eine natürliche Zahl
wahr, und folgt aus der Wahrheit der Aussage für eine natürliche Zahl
die Wahrheit der Aussage für
dann ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen
Danach erfolgt der Beweis in folgenden Schritten:
1. Induktionsanfang:
Die Wahrheit der Aussage wird für
gezeigt. Meist kann man
2. Induktionsannahme:
Die Aussage sei für
wahr (Voraussetzung
).
3. Induktionsbehauptung:
Die Aussage sei für
4. Beweis der Implikation
abhängen. Das
wahr (Behauptung
).
wählen.
gültig.
Die Schritte 3. und 4. werden zusammengefaßt als Induktionschluß oder Schluß von
auf
bezeichnet.
Beispiel
zu beweisen.
Es ist die Formel
Die einzelnen Schritte des Induktionsbeweises sind:
1.
ist offensichtlich richtig.
2.
sei wahr für
3.
Unter der Voraussetzung von 2. ist zu zeigen:
4.
Beweis:
Aachener Bibliothek
Die Aachener Bibliothek basiert auf der Formelsammlung zur Numerischen Mathematik von G. ENGELN -MÜLLGES
(Fachhochschule Aachen) und F. REUTTER (Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen). Sie existiert in
den Programmiersprachen BASIC, Turbo BASIC, FORTRAN 77, PL/1, APL, C, MODULA 2 und TURBO PASCAL.
Hier ein Inhaltsüberblick:
1.
Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer und speziell algebraischer Gleichungen
2.
Direkte und iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
3.
Systeme nichtlinearer Gleichungen
4.
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
5.
Lineare und nichtlineare Approximation
6.
Polynomiale und rationale Interpolation sowie Polynomsplines
7.
Numerische Differentiation
8.
Numerische Quadratur
9.
Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
10. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
IMSL-Bibliothek
Die IMSL-Bibliothek (International Mathematical and Statistical Library) besteht aus drei aufeinander abgestimmten
Teilen:
IMSL MATH/LIBRARY für allgemeine mathematische Verfahren,
IMSL STAT/LIBRARY für statistische Probleme,
IMSL SFUN/LIBRARY für spezielle Funktionen.
Die Teilbibliotheken enthalten Funktionen und Subroutinen in der Sprache FORTRAN 77. Hier eine Inhaltsübersicht:
MATH/LIBRARY
1. Lineare Systeme
6.
Transformationen
2. Eigenwerte
7.
Nichtlineare Gleichungen
3. Interpolation und Approximation 8.
Optimierung
4. Integration und Differentiation
9.
Vektor- und Matrixoperationen
5. Differentialgleichungen
10. Hilfsfunktionen
STAT/LIBRARY
1.
Grundlegende Kennzahlen
12. Stichprobenerhebung
2.
Regression
13. Lebensdauerverteilgn. und Zuverlässigkt.
3.
Korrelation
14. Mehrdimensionale Skalierung
4.
Varianzanalyse
15. Schätzung der Dichte- und Hasard- bzw.
5.
Kategoriale und diskrete Datenanalyse
6.
Nichtparametrische Statistik
7.
Anpassungstests u. Test auf Zufälligkt. 17. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
8.
Zeitreihenanalyse und Vorhersage
18. Zufallszahlen-Generatoren
9.
Kovarianz- und Faktoranalyse
19. Hilfsalgorithmen
Risikofunktion
16. Zeilendrucker-Graphik
10. Diskriminanz-Analyse
20. Mathematische Hilfsmittel
11. Cluster-Analyse
SFUN/LIBRARY
1. Elementare Funktionen
6.
Bessel-Funktionen
2. Trigonometrische und hyperbolische 7.
Kelvin-Funktionen
Funktionen
8.
3. Exponentialfunktion und verwandte 9.
Funktionen
4. Gamma-Funktionen und verwandte
Funktionen
5. Fehler-Funktionen und verwandte
Funktionen
Bessel-Funktionen gebrochener Ordnung
Elliptische Integrale
10. Elliptische Funktionen, Funktionen von
WEIERSTRASS und verwandte Funktn.
11. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
12. Verschiedene Funktionen
NAG-Bibliothek
Die NAG-Bibliothek (
umerical
lgorithms
roup) ist eine umfangreiche Sammlung numerischer Verfahren in
Form von Funktionen und Subroutinen/Prozeduren in den Programmiersprachen PASCAL, ADA, ALGOL 68 und
FORTRAN 77. Hier ein Inhaltsüberblick:
1.
Komplexe Arithmetik
14. Eigenwerte und Eigenvektoren
2.
Nullstellen von Polynomen
15. Determinanten
3.
Wurzeln transzendenter Gleichungen
16. Simultane lineare Gleichungen
4.
Reihen
17. Orthogonalisierung
5.
Integration
18. Lineare Algebra
6.
Gewöhnliche Differentialgleichungen
19. Einfache Berechng. von statist. Daten
7.
Partielle Differentialgleichungen
20. Korrelation und Regressionsanalyse
8.
Numerische Differentiation
21. Zufallszahlengeneratoren
9.
Integralgleichungen
22. Nichtparametrische Statistik
10. Interpolation
23. Zeitreihenanalyse
11. Approxim. v. Daten d. Kurven und Flächen 24. Operationsforschung
12. Minima/Maxima einer Funktion
25. Spezielle Funktionen
13. Matrixoperationen, Inversion
26. Mathem. und Maschinenkonstanten
Bibliotheken numerischer Verfahren
Im Laufe der Zeit sind unabhängig voneinander Bibliotheken von Funktionen und Prozeduren für numerische
Verfahren in unterschiedlichen Programmiersprachen entwickelt worden. Bei ihrer Entwicklung wurden umfangreiche
Computererfahrungen berücksichtigt, so daß bei der Lösung praktischer numerischer Aufgaben unbedingt die
Programme einer solchen Bibliothek genutzt werden sollten. Sie stehen meist für alle Rechnerklassen zur Verfügung
und sind bei Einhaltung bestimmter Konventionen mehr oder weniger einfach zu nutzen.
Die Anwendung von Verfahren aus Programmbibliotheken entbindet den Nutzer nicht, sich Gedanken über die zu
erwartende Lösung seines Problems zu machen. Darin ist auch der Hinweis eingeschlossen, sich gegebenenfalls
über Schwächen und Stärken des verwendeten mathematischen Verfahrens näher zu informieren (s. auch Lit. 19.7).
●
●
●
●
NAG-Bibliothek
IMSL-Bibliothek
FORTRAN SSL II
Aachener Bibliothek
FORTRAN SSL II
Die SSL II-Bibliothek (
cientific
ubroutine
ibrary II) enthält Unterprogramme in der Sprache FORTRAN 77.
Hier eine Inhaltsübersicht:
1. Lineare Algebra
6.
Transformationen
2. Eigenwerte und Eigenvektoren
7.
Numer. Differentiation und Integration
3. Nichtlineare Gleichungen
8.
Differentialgleichungen
4. Extremwerte
9.
Spezielle Funktionen
5. Interpolation und Approximation 10. Pseudozufallszahlen
Bidualer Raum und reflexive Räume
Der duale Raum
eines normierten Raums
Raum, so daß
ist mit
ebenfalls ein normierter
, der Bidual oder der zweite adjungierte zu
betrachtet werden kann. Die
kanonische Einbettung
(12.172)
erweist sich als Normisomorphie, weswegen
mit dem Teilraum
identifiziert wird. Ein BANACH-
gilt, die kanonische Einbettung also eine surjektive Normisomorphie ist.
Raum heißt reflexiv , wenn
Beispiel
Alle endlichdimensionalen BANACH-Räume und alle HILBERT-Räume sind reflexiv, ebenso die Räume
, während
Beispiele nichtreflexiver Räume sind.
Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen
Gegeben sei auf
System
ein von einer Differentialgleichung oder einer Abbildung erzeugtes dynamisches
, das zusätzlich von einem Parameter
abhängt. Jede Änderung der
topologischen Struktur des Phasenporträts des dynamischen Systems bei kleiner Änderung des Parameters heißt
Bifurkation . Der Parameter
heißt Bifurkationswert , wenn in jeder Umgebung von
existieren, so daß die dynamischen Systeme
und
auf
Parameterwerte
topologisch nicht äquivalent bzw.
nicht konjugiert sind. Die kleinste Dimension eines Parameterraumes, bei der eine Bifurkation beobachtbar ist, heißt
Kodimension der Bifurkation.
Man unterscheidet lokale Bifurkationen, die nahe einzelner Orbits des dynamischen Systems ablaufen, und globale
Bifurkationen, die sofort einen großen Teil des Phasenraumes betreffen.
●
●
Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
●
Globale Bifurkationen
Unterabschnitte
●
●
●
Spitzen-Bifurkation
Bogdanov-Takens-Bifurkation
Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation
Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
Spitzen-Bifurkation
Gegeben sei die Differentialgleichung (17.53) mit
Eigenwert
gelte
und
Eigenwerte
und
mit Re
und
. Die JACOBI-Matrix
habe den
. Für die reduzierte Differentialgleichung (17.55)
. Die TAYLOR-Zerlegung von
nahe
führt auf die verkürzte Normalform (ohne Glieder höherer Ordnung, s. Lit. 17.1)
(17.62)
mit den Parametern
und
. Die Menge
stellt im
erweiterten Phasenraum eine Fläche dar und wird Falte genannt (s. Abbildung).
Im weiteren sei
. Die nicht hyperbolischen Ruhelagen von (17.62) werden durch das Gleichungssystem
definiert und liegen auf den Kurven
und
, die durch die Menge
bestimmt werden und zusammen eine Spitze ( cusp ) bilden (s. linke
Abbildung.).
Bei
ist die Ruhelage
und
und für
ist für
von (17.62) stabil. Das Phasenporträt von (17.53) nahe
, z.B. für
ein dreifach zusammengesetzter Knoten (s. mittlere Abbildung)
ein dreifach zusammengesetzter Sattel (s. rechte Abbildung) (s. auch Lit. 17.13).
Beim Übergang von
in das Innere des Gebietes 1 (s. linke Abbildung) spaltet sich die nicht
hyperbolische Ruhelage
von (17.53) vom Typ eines zusammengesetzten Knotens in drei hyperbolische
Ruhelagen (zwei stabile Knoten und ein Sattel) auf ( superkritische Gabel-Bifurkation ). Im Falle des
zweidimensionalen Phasenraumes von (17.53) sind die Phasenporträts in der mittleren und rechten Abbildung zu
sehen.
Beim Durchqueren des Parameterpaares von
aus 1 in 2 bildet sich eine zweifach
zusammengesetzte Ruhelage vom Sattelknoten-Typ, die sich anschließend aufhebt. Eine stabile hyperbolische
Ruhelage verbleibt.
Bogdanov-Takens-Bifurkation
Für (17.53) gelte
, und die Matrix
und
Eigenwerte
mit Re
habe die beiden Eigenwerte
. Die reduzierte zweidimensionale
Differentialgleichung (17.55) sei topologisch äquivalent zum ebenen System
(17.63)
Dann findet auf der Kurve
eine Sattelknoten-Bifurkation statt. Auf
entsteht beim Übergang aus dem Gebiet
in das Gebiet
durch eine HOPF-Bifurkation ein stabiler Grenzzyklus und auf
existiert für das Ausgangssystem eine
Separatrixschleife (s. Abbildung), die im Gebiet 3 in einen stabilen Grenzzyklus bifurkiert (s. Lit. 17.1, 17.17).
Diese Bifurkation ist von globaler Natur und wird als Entstehung eines einzigen periodischen Orbits aus dem
homoklinen Orbit eines Sattels oder Auflösung einer Separatrixschleife bezeichnet.
Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation
Für (17.53) seien die Voraussetzungen der HOPF-Bifurkation mit
erfüllt und die zweidimensionale reduzierte
Differentialgleichung habe nach einer Koordinatentransformation in Polarkoordinaten die Normalform
. Das Bifurkationsdiagramm (s. Abbildung) dieses Systems
enthält die Linie
, deren Punkte HOPF-Bifurkationen repräsentieren
(s. Lit. 17.1).
Im Gebiet 3 existieren zwei periodische Orbits, von denen einer stabil, der andere instabil ist. Auf der Kurve
verschmelzen diese beiden nicht hyperbolischen Zyklen in einen
zusammengesetzten Zyklus, der im Gebiet 2 verschwindet.
Globale homokline Bifurkationen
●
●
●
Satz von Smale
Satz von Shilnikov
Melnikov-Methode
Globale Bifurkationen
Neben der Entstehung eines periodischen Orbits durch Auflösung einer Separatrixschleife kann es in (17.53) zu
weiteren globalen Bifurkationen kommen. Zwei davon sollen am Beispiel erläutert werden (s. Lit. 17.12).
●
●
Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines
Sattelknotens
Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene
Abspaltung eines Torus
Gegeben sei (17.53) mit
und
. Die Multiplikatoren von
und
. Für alle
seien
nahe
habe (17.53) einen periodischen Orbit
mit
mit
.
Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit ergibt sich in der vorliegenden Situation eine zweidimensionale
reduzierte
-Abbildung
(17.71)
mit
für
Hat die JACOBI-Matrix
nahe
.
für alle
nahe
die konjugiert komplexen Eigenwerte
und
mit
, ist
und ist
läßt sich (17.61) durch eine glatte
für
keine
-te Wurzel aus
, so
-abhängige Koordinatentransformation auf die Form
bringen (
LANDAU-Symbol), wobei
in Polarkoordinaten durch
(17.72)
gegeben ist. Dabei sind
von (17.72) für alle
und
differenzierbare Funktionen. Sei
asymptotisch stabil und für
. Dann ist die Ruhelage
instabil. Außerdem existiert bei
der Kreis
, der invariant unter der Abbildung (17.72) und asymptotisch stabil ist (s. linke Abbildung).
Satz von NEIMARK und SACKER: Der Satz von NEIMARK und SACKER (s. Lit. 17.18, 17.3) sagt aus, daß das
Bifurkationsverhalten von (17.72) auch auf
zutrifft ( superkritische HOPF- Bifurkation für Abbildungen ).
Beispiel
In der Abbildung (17.71), gegeben durch
findet bei
eine superkritische HOPF-Bifurkation statt.
Bezogen auf die Differentialgleichung (17.53) bedeutet die Existenz einer geschlossenen invarianten Kurve der
Abbildung (17.71), daß bei
der periodische Orbit
(17.53) invarianter stabiler Torus abspaltet (s. Abbildung).
instabil wird und sich bei
ein bezüglich
Hopf-Bifurkation
Gegeben sei (17.53) mit
und
. Für alle
gelte
Eigenwerte
mit
und
mit
. Die JACOBI-Matrix
Eigenwerte
mit Re
habe die
. Nach dem Satz über die
Zentrumsmannigfaltigkeit wird die Bifurkation durch eine zweidimensionale reduzierte Differentialgleichung (17.55) in
der Form
(17.57)
beschrieben, wobei
und
differenzierbare Funktionen sind und
sowie
gilt.
läßt
Durch eine nichtlineare Koordinatentransformation im Komplexen und Einführung von Polarkoordinaten
sich (17.57) auf die Normalform
(17.58)
bringen, in der mit Punkten die Glieder höherer Ordnung angedeutet werden. Die TAYLOR-Entwicklung der
Koeffizientenfunktionen von (17.58) führt auf die verkürzte Normalform
(17.59)
Der Satz von ANDRONOV und HOPF garantiert, daß (17.59) die Bifurkationen von (17.58) nahe der Ruhelage bei
beschreibt.
Unter der Annahme
1.
a)
ergeben sich für (17.59) folgende Fälle:
(s. Abbildung).
:
Stabiler Grenzzyklus und instabile Ruhelage.
b)
c)
:
Zyklus und Ruhelage verschmelzen in eine Ruhelage, die stabil wird.
:
Alle Orbits nahe (0,0) streben wie in b) für
spiralartig gegen die Ruhelage (0,0).
2.
a)
(s. Abbildung).
:
Instabiler Grenzzyklus.
b)
c)
:
Zyklus und Ruhelage verschmelzen in eine instabile Ruhelage.
:
Spiralartige instabile Ruhelage wie in b).
Die Interpretation der obigen Fälle für das Ausgangssystem (17.53) zeigt die Bifurkation eines Grenzzyklus aus einer
zusammengesetzten Ruhelage ( zusammengesetzter Strudel der Vielfachheit 1 ), die HOPF- Bifurkation (oder auch
ANDRONOV- HOPF- Bifurkation ) genannt wird. Der Fall
subkritisch (unter der Annahme
heißt dabei superkritisch , der Fall
. Für
und
ist die Situation auf der nächsten Abbildung zu sehen.
HOPF-Bifurkationen sind generisch und gehören zu den Kodimension-1-Bifurkationen. Die angeführten
Fallunterscheidungen illustrieren die Tatsache, daß eine superkritische HOPF-Bifurkation unter den oben formulierten
Voraussetzungen anhand der Stabilität eines Strudels erkannt werden kann:
Die Eigenwerte
und
der JACOBI-Matrix der rechten Seite von (17.53) in
bei
seien rein
imaginär, und für die restlichen Eigenwerte
gelte Re
ein asymptotisch stabiler Strudel für (17.53) bei
Bifurkation statt.
. Sei weiter
und sei
. Dann findet in (17.53) bei
eine superkritische HOPF-
Beispiel
Die VAN-DER-POLsche Differentialgleichung
mit dem Parameter
kann als
ebene Differentialgleichung
(17.60)
geschrieben werden. Bei
geht (17.60) in die Gleichung des harmonischen Oszillators über und hat deshalb
nur periodische Lösungen und eine Ruhelage, die stabil, aber nicht asymptotisch stabil ist. Mit der Transformation
für
geht (17.60) in die ebene Differentialgleichung
(17.61)
über. Für die Eigenwerte der JACOBI-Matrix in der Ruhelage
von (17.61) gilt
und damit
sowie
asymptotisch stabile Ruhelage von (17.61) bei
und
mit
ist für kleine
wächst.
. Wie im Beispiel gezeigt wurde, ist
. Bei
eine
findet eine superkritische HOPF-Bifurkation statt,
ein instabiler Strudel, der von einem Grenzzyklus umgeben ist, dessen Amplitude
Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
●
●
●
●
Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits
Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
Abspaltung eines Torus
Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
Gegeben sei (17.53) mit
Eigenwert
und
, wobei
mindestens zweimal stetig differenzierbar ist und
Eigenwerte
mit Re
den
habe.
Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit werden in diesem Fall alle Bifurkationen von (17.53) nahe
durch eine eindimensionale reduzierte Differentialgleichung (17.55) beschrieben. Offenbar ist dabei
. Wird zusätzlich
und
vorausgesetzt und die
rechte Seite von (17.55) nach der TAYLOR-Formel entwickelt, so läßt sich diese Darstellung nach Lit. 17.13 durch
Koordinatentransformation umformen zur Normalform
(17.56)
(bei
) bzw.
(bei
), wobei
eine
differenzierbare Funktion mit
(17.56) nahe
diese zur Ruhelage
ist und die Punkte Terme höherer Ordnung bedeuten. Für
zwei Ruhelagen, von denen eine stabil, die andere instabil ist. Bei
, die instabil ist. Für
verschmelzen
hat (17.56) keine Ruhelage nahe 0 (s. Abbildung).
Die Übertragung auf den mehrdimensionalen Fall liefert eine Sattelknoten-Bifurkation nahe
und
hat
in (17.53). Für
ist diese Bifurkation in der folgenden Abbildung zu sehen.
Die Darstellung der Sattelknoten-Bifurkation im erweiterten Phasenraum ist in der nächsten Abbildung dargestellt.
Für hinreichend glatte Vektorfelder (17.53) sind Sattelknoten-Bifurkationen generisch.
Wird in den Bedingungen an
für eine Sattelknoten-Bifurkation die Voraussetzung
Forderungen
und
Normalform (ohne Glieder höherer Ordnung)
durch die
ersetzt, so ergibt sich aus (17.55) die verkürzte
einer transkritischen Bifurkation . Für
und
ist die transkritische Bifurkation, zusammen mit dem Bifurkationsdiagramm, in der folgenden Abbildung
gezeigt.
Sattelknoten- und transkritische Bifurkation gehören zu den Kodimension-1-Bifurkationen.
Binomischer Satz
Die Formel
(1.36a)
und reell und
positiv und ganz sind. Zur Verkürzung der
wird Binomischer Satz genannt, wobei
Schreibweise sind spezielle Koeffizienten , die Binomialkoeffizienten , eingeführt worden:
(1.36b)
bzw.
(1.36c)
●
●
●
●
●
Binomialkoeffizienten
Berechnung der Binomialkoeffizienten
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
Potenz einer Differenz
Verallgemeinerung für eine beliebige Potenz
Binomialverteilung
Sind bei einem Versuch nur die beiden Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
und
und
möglich und sind die dazuzugehörigen
, so ist
(16.60)
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei -maliger Wiederholung des Versuches das Ereignis
Bei jedem Ziehen eines Elements aus der Grundgesamtheit gilt
genau
-mal eintritt.
(16.61)
Die Wahrscheinlichkeit, bei den ersten
darauffolgenden
Ziehungen ein Element mit der Eigenschaft
ein Element mit der Eigenschaft
, ist
Ziehung der Elemente ohne Bedeutung, da die Kombinationen
zu ziehen und bei den
. Dabei ist die Reihenfolge der
(16.62)
die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und auch zu einer Stichprobe mit dem Umfang
Eigenschaft
führen. Eine Zufallsveränderliche
binomialverteilt mit den Parametern
, bei der
mit
Elementen der
ist, heißt
. Es gilt:
1. Erwartungswert und Streuung:
(16.63a)
(16.63b)
2. Ist
binomialverteilt, so ist
(16.63c)
Demnach läßt sich die Binomialverteilung für große
näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den
Parametern
ersetzen. Dies ist mit im allgemeinen ausreichender
Genauigkeit möglich, wenn
und
und
ist.
3. Rekursionsformel: Für praktische Rechnungen ist die folgende Rekursionsformel der Binomialverteilung
nützlich:
(16.63d)
4. Sind
und
die Zufallsveränderliche
mit den Parametern
bzw.
binomialverteilte Zufallsveränderliche, so ist
ebenfalls binomialverteilt, und zwar mit den Parametern
.
In der folgenden Abbildung sind drei Binomialverteilungen für die Fälle
und
dargestellt.
Die Abbildung zeigt auch, daß sich in Übereinstimmung mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten für
eine Symmetrie der Binomialverteilung ergibt. Mit der Entfernung des Wertes
diese Symmetrie ab.
von
nimmt
Definitionen
In jedem Punkt
einer Raumkurve, mit Ausnahme der singulären Punkte, können drei Geraden und drei Ebenen
definiert werden, die sich im Punkt
schneiden und senkrecht aufeinander stehen:
1. Tangente
ist die Grenzlage der Sekante
für
.
2. Normalebene
ist eine Ebene, die senkrecht auf der Tangente steht. Alle durch
liegenden Geraden werden die Normalen der Kurve im Punkt
3. Schmiegungsebene
verlaufenden und in dieser Ebene
genannt.
wird die Grenzlage einer Ebene genannt, die durch drei benachbarte Kurvenpunkte
und
verläuft,
für die
und
geht. In der Schmiegungsebene befindet sich die Kurventangente.
4. Hauptnormale
nennt man die Schnittgerade von Normalen- und Schmiegungsebene, d.h., es ist die Normale, die in der
Schmiegungsebene liegt.
5. Binormale
wird die Senkrechte auf die Schmiegungsebene genannt.
6. Rektifizierende Ebene
heißt die von der Tangente und der Binormalen aufgespannte Ebene. Die positiven Richtungen werden auf
den drei Geraden (1.), (4.) und (5.) folgendermaßen festgelegt:
a) Auf der Tangente ist es die positive Richtung der Kurve, die durch den Tangenteneinheitsvektor
festliegt.
b) Auf der Hauptnormalen ist es die Richtung der Kurvenkrümmung, festgelegt durch den
Normaleneinheitsvektor
c) Auf der Binormalen ist sie durch den Einheitsvektor
(3.468)
definiert, wobei die drei Vektoren
und
ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden, das
begleitendes Dreibein der Raumkurve genannt wird.
Unterabschnitte
●
●
●
Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen:
Definition der Kurve als Funktion eines Parameters t in der Parameterform und als Vektorgleichung:
Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge s in der Parameterform und als Vektorgleichung:
Gleichungen der Elemente des begleitenden Dreibeins
Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen:
Die Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen erfolgt in der Form
(3.463).
(3.469)
(3.470)
Dabei sind
die Koordinaten des Kurvenpunktes
und
die laufenden Koordinaten der
Tangente bzw. der Normalebene; die partiellen Ableitungen beziehen sich auf den Punkt
.
Tabelle Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen
Vektorgleichung
Koordinatengleichung
Tangente:
Normalebene:
Schmiegungsebene:
Binormale:
rektifizierende Ebene:
wo
Hauptnormale:
-Ortsvektor der Raumkurve,
-Ortsvektor der Raumkurvengröße
Definition der Kurve als Funktion eines Parameters t in der Parameterform und als
Vektorgleichung:
Die Definition der Kurve als Funktion eines Parameters
gemäß
in der Parameterform und als Vektorgleichung erfolgt
(3.464) und
wobei
(3.466).
Die Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen des Punktes
folgenden Tabelle zusammengefaßt. Dabei sind
und
eines Dreibeinelements. Die Ableitungen nach dem Parameter
mit
sowie
sind in der
die laufenden Koordinaten und der Radiusvektor
beziehen sich auf den Punkt
.
Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge s in der Parameterform und als
Vektorgleichung:
Die Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge
(3.465a) und
in der Parameterform und als Vektorgleichung erfolgt gemäß
wobei
(3.467).
Wenn als Parameter die Bogenlänge
gewählt wird, dann gelten für die Tangente und die Binormale sowie für die
Normal- und Schmiegungsebene dieselben Gleichungen wie im Falle des vorhergehenden Abschnittes; es ist
lediglich
durch
zu ersetzen. Die Gleichungen der Hauptnormalen und der rektifizierenden Ebene werden
einfacher, wie aus der folgenden Tabelle zu ersehen ist.
Tabelle Vektor- und Koordinatengleichungen von
Raumkurvengrößen als Funktion von der Bogenlänge
Element des
Dreibeins
Vektorgleichung
Koordinatengleichung
Hauptnormale
Rektifizierende
Ebene
-Ortsvektor der Raumkurve,
-Ortsvektor der Raumkurvengröße
Schemata zur FFT
Für den speziellen Fall
sollen die dazugehörigen 3 Reduktionsschritte der FFT gemäß (19.223) und (19.225) im
folgenden Schema 1 zusammengestellt werden:
Schema 1:
Die Zuordnung der gesuchten komplexen FOURIER-Koeffizienten zu den
-Werten des 3. Schrittes erkennt man, wenn man sich
überlegt, wie in jedem Reduktionsschritt jeweils die Berechnung der Koeffizienten mit geraden und ungeraden Indizes erfolgt. In
dem folgenden Schema 2 ist diese Verfahrensweise schematisch dargestellt.
Schema 2:
(19.228)
Schreibt man in Schema 1 die Koeffizienten
auf und gibt man die Dualdarstellung ihrer Indizes vor dem ersten und nach dem
dritten Reduktionsschritt an, dann erkennt man, daß die Reihenfolge der gesuchten Koeffizienten durch sogenannte Bitumkehr auf
besonders einfache Weise ermittelt werden kann, wie in dem folgenden Schema 3 dargestellt ist.
Beispiel
Für die Funktion
, die periodisch mit der Periode
die diskrete FOURIER-Transformation durchgeführt. Man wähle
sein soll, werde mit Hilfe der FFT
. Mit
,
erhält man das folgende Schema 4:
Aus dem dritten (letzten) Reduktionsschritt erhält man die nachstehend aufgeführten gesuchten reellen FOURIER-Koeffizienten
gemäß (19.220):
In diesem Beispiel kann man auch die allgemeine Eigenschaft
(19.229)
der diskreten komplexen FOURIER-Koeffizienten überprüfen.
Für
sieht man, daß gilt:
.
Ungerichtete und gerichtete Graphen
Ein Graph
ist ein geordnetes Paar
aus einer Menge
von Knoten und einer Menge
ist eine Abbildung ( Inzidenzfunktion ) erklärt, die jedem Element von
Paar (nicht notwendig verschiedener) Elemente von
zugeordnet, dann wird
von Kanten . Auf
eindeutig ein geordnetes oder ungeordnetes
zuordnet. Ist jedem Element von
ein ungeordnetes Paar
ein ungerichteter Graph genannt (linke Abbildung).
Ist dagegen jedem Element von
ein geordnetes Paar zugeordnet, dann spricht man von einem gerichteten Graphen
(rechte Abbildung). Die Elemente von
gemischte Graphen genannt.
heißen dann auch Bögen oder gerichtete Kanten . Alle anderen Graphen werden
In der graphischen Darstellung erscheinen die Knoten der Graphen als Punkte, die gerichteten Kanten als Pfeile und die
ungerichteten Kanten als ungerichtete Linien.
Beispiel A
Für den Graphen
gilt:
in der Abbildung
Beispiel B
Für den Graphen
gilt:
Beispiel C
in der Abbildung
Für den Graphen
gilt:
in der Abbildung
Bewertete Graphen
Ist
ein Graph und
ein bewerteter Graph und
eine Abbildung, die jeder Kante eine reelle Zahl zuordnet, so heißt
die Bewertung oder Länge der Kante
In vielen Anwendungsfällen repräsentieren die Bewertungen der Kanten Kosten, die durch den Bau, die
Aufrechterhaltung oder die Benutzung der Verbindungen zustandekommen.
Differential des Bogens
Eine Fläche sei in der expliziten Form
(3.483) oder in der Vektorform
(3.484) gegeben. Auf der Fläche seien
und
ein in der Nähe von
bzw.
ein beliebiger Punkt
liegender zweiter Punkt. Die Länge des Bogens
auf
der Fläche läßt sich dann angenähert durch das Differential des Bogens oder das Linienelement der Fläche mit der
Formel
(3.490a)
berechnen, wobei die drei Koeffizienten
(3.490b)
zu bilden sind. Die rechte Seite der ersten Formel (3.490a) wird erste quadratische
für den Punkt
Fundamentalform der Fläche genannt.
Beispiel A
(3.485c) ergibt sich:
Für die Kugel gemäß
(3.491)
Beispiel B
Für eine explizit durch
(3.482) gegebene Fläche ergibt sich:
(3.492)
Kurvenelemente
Ebene Kurve in
der
Kartesische Koordinaten
-
Ebene
Polarkoordinaten
Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten
Raumkurve
Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten
Bogenelement
Wenn
Zuwachs
werden:
die Länge der Kurve von einem festen Punkt
bis zum Punkt
angenähert durch das Differential
ist, dann kann der infinitesimale
der Bogenlänge, das Bogenelement , ausgedrückt
für die explizite Definition der Kurve (3.425)
(3.428)
für die Definition der Kurve in der Parameterform (3.426)
(3.429)
für die Definition der Kurve in der Polarkoordinatenform (3.427)
(3.430)
Beispiel A
.
Beispiel B
.
Beispiel C
.
Bogenlängen ebener Kurven
1. Bogenlänge einer Kurve zwischen den Punkten
oder in Parameterform (
,
und
, die explizit (
bzw.
)
) gegeben ist (s. linke Abbildung):
(8.60a)
Mit dem Differential der Bogenlänge
ergibt sich
(8.60b)
Beispiel
Ellipsenumfang gemäß (8.60a): Mit den Substitutionen
erhält man
, wobei
die numerische Exzentrizität der Ellipse ist.
Mit den Integrationsgrenzen für den 1. Quadranten
gemäß
bzw.
gilt
Ermittlung des Integralwertes
mit
. Die
aus der Tabelle Elliptische Integrale (s. Beispiel Umfang der
Ellipse).
2. Bogenlänge einer Kurve zwischen den Punkten
und
, gegeben in Polarkoordinaten (
)
(s. rechte Abbildung):
(8.60c)
Mit dem Differential der Bogenlänge
ergibt sich
(8.60d)
Hyperbelbogen
Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten
der Hyperbel läßt sich nicht elementar berechnen, wie es für die
Parabel möglich ist, sondern mit Hilfe eines unvollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung
zur Bogenlänge der Ellipse.
in Analogie
Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
Kenngrößen sind Radius
und Zentriwinkel
Zu berechnende Größen sind:
(3.57)
(3.58)
(3.59)
(3.60a)
(3.60b)
(3.61)
(3.62a)
(3.62b)
Anwendungen des Kurvenintegrals erster Art
Länge eines Kurvenstückes
Masse eines inhom. Kurvenstücks
Schwerpunktkoordinaten
Dichtefunktion)
Trägheitsmomente einer ebenen
Kurve in der
-Ebene
Trägheitsmomente einer Raumkurve
bezüglich der Koordinatenachsen
Im Falle homogener Kurven ist in den obigen Formeln
einzusetzen.
Koordinatengleichungen
Zur Definition einer Raumkurve gibt es die folgenden Möglichkeiten:
1. Schnitt zweier Flächen:
(3.463)
2. Parameterform mit dem beliebigen Parameter
:
(3.464)
mit
als beliebigem Parameter, wobei ist
3. Parameterform mit der Bogenlänge
oder
sein kann.
als Parameter:
(3.465a)
mit der Bogenlänge
zwischen einem festen Punkt
und dem laufenden Punkt
:
(3.465b)
Messungen auf der Fläche
1. Länge des Bogens:
Die Länge einer Kurve
auf der Fläche wird für
über
(3.493)
berechnet.
2. Der Winkel zwischen zwei Kurven:
Der Winkel zwischen zwei Kurven, d.h. zwischen ihren Tangenten, die sich im Punkt
diesem Punkt die durch die Vektoren
der Formel
und
schneiden und in
vorgegebene Richtung haben, wird mit
(3.494)
berechnet.
Die Koeffizienten
und
sind für den Punkt
zu bestimmen. Wenn der Zähler von (3.494) verschwindet,
stehen beide Kurven senkrecht aufeinander. Die Orthogonalitätsbedingung für die Koordinatenlinien
und
für
lautet
3. Der Flächeninhalt eines Flächenstückes:
Der Flächeninhalt eines Flächenstückes
begrenzt wird, kann über das Doppelintegral
das von einer beliebigen, auf der Fläche liegenden Kurve
für
(3.495a)
mit
(3.495b)
Flächenelement .
berechnet werden. Man nennt
Die Berechnung von Längen, Winkeln und Flächeninhalten auf Flächen ist mit Hilfe der Formeln (3.493, 3.494,
3.495a,b) möglich, wenn die Koeffizienten
und
der ersten quadratischen Fundamentalform bekannt sind.
Somit definiert die erste quadratische Fundamentalform die Metrik auf der Fläche .
Bogenschnitt
Der Neupunkt
zwei Punkte
ergibt sich als Schnittpunkt zweier Bögen mit den gemessenen Radien
und
mit bekannten Koordinaten.
und
um die
Berechnet wird die unbekannte Länge
und aus den nun bekannten drei Seiten im Dreieck
die Winkel.
Eine zweite hier nicht betrachtete Lösung geht von einer Zerlegung des schiefwinkligen Dreieckes in zwei
rechtwinklige Dreiecke aus.
Gegeben:
Gemessen:
Gesucht:
Lösung:
(3.100a)
(3.100b)
(3.100c)
(3.100d)
(3.100e)
(3.100f)
(3.100g)
(3.100h)
(3.100i)
(3.100j)
(3.100k)
Kompakte Teilmengen in normierten Räumen
Eine Teilmenge
●
●
eines normierten Raumes
heißt
kompakt , wenn jede Folge von Elementen aus
liegt,
eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzwert in
relativkompakt oder präkompakt , wenn ihre Abschließung kompakt ist, d.h., jede Folge von Elementen aus
enthält eine (nicht unbedingt zu einem Element aus
) konvergente Teilfolge.
Dabei genügt es für die eingeführten Begriffe,
als metrischen (oder noch allgemeineren) Raum vorauszusetzen.
Diese Allgemeinheit wird im weiteren aber nicht erforderlich sein.
In der Analysis ist dies gerade der Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS, weshalb man sagt, eine solche Menge besitze
die BOLZANO-WEIERSTRASS-Eigenschaft .
Jede kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Umgekehrt, ist der Raum
endlichdimensional, dann ist
jede solche Menge auch kompakt. Die abgeschlossene Einheitskugel im normierten Raum
kompakt, wenn
ist genau dann
endlichdimensional ist. Zur Charakterisierung von relativkompakten Mengen in metrischen
Räumen (Satz von HAUSDORFF über die Existenz eines endlichen
ARZELA-ASCOLI) und
s. Lit. 12.18.
-Netzes) sowie in den Räumen
(Satz von
Rechenregeln
Es gelten die folgenden Rechenregeln; sie sind analog zu den Rechenregeln der BOOLEschen Schaltalgebra:
(16.8)
(16.9)
(16.10)
(16.11)
(16.12)
(16.13)
(16.14)
(16.15)
(16.16)
(16.17)
(16.18)
(16.19)
(16.20)
(16.21)
(16.22)
(16.23)
(16.24)
(16.25)
(16.26)
11. Vollständiges System: Ein System von
Ereignissen
heißt vollständig, wenn gilt:
(16.27)
Beispiel A
Für das Werfen zweier Münzen ergibt sich die folgende Tabelle der möglichen Elementarereignisse:
Zahl
Wappen
1. Münze
2. Münze
Beispiele für zusammengesetzte Ereignisse:
1.
Erste Münze zeigt Zahl oder Wappen:
.
2.
Gleichzeitiges Auftreten von Zahl und Wappen bei der ersten Münze:
3.
Erste Münze Zahl, zweite Münze Wappen:
Beispiel B
.
.
Bestimmung der Brenndauer von Glühlampen.
Elementarereignis
: Die Brenndauer
Zusammengesetztes Ereignis
genügt der Ungleichung
: Die Brenndauer ist höchstens gleich
, d.h.
.
BOOLEsche Ausdrücke
BOOLEsche Ausdrücke werden induktiv definiert: Sei
Werte aus
eine (abzählbare) Menge BOOLEscher Variabler (die nur
annehmen können):
(5.225)
(5.226)
Enthält ein BOOLEscher Ausdruck die Variablen
eine ,,Belegung`` der BOOLEschen Variablen
Definition werden den Ausdrücken
so repräsentiert er eine
d.h.
-stellige BOOLEsche Funktion
: Es sei
Unter Beachtung der induktiven
wie folgt BOOLEsche Funktionen zugeordnet:
(5.227a)
(5.227b)
(5.227c)
(5.227d)
Umgekehrt läßt sich jede BOOLEsche Funktion
durch einen BOOLEschen Ausdruck
darstellen (s. Normalformen).
Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen
Modifizierte KdV-Gleichung
(9.144)
Die noch allgemeinere Gleichung
(9.145)
hat das Soliton
(9.146)
als Lösung.
sinh- GORDON-Gleichung
(9.147)
BOUSSINESQ-Gleichung
(9.148)
Sie tritt bei der Beschreibung nichtlinearer elektrischer Netzwerke als Kontinuumsnäherung der Ladungs-SpannungsBeziehung auf.
HIROTA-Gleichung
(9.149)
BURGERS-Gleichung
(9.150)
Sie tritt bei der modellmäßigen Beschreibung der Turbulenz auf. Mit der HOPF-COLE-Transformation wird sie in die
Diffusionsgleichung, also eine lineare Differentialgleichung, überführt.
KADOMZEV-PEDVIASHWILI-Gleichung
Die Gleichung
(9.151a)
hat das Soliton
(9.151b)
zur Lösung. Die Gleichung (9.151a) ist ein Beispiel für Solitonengleichungen mit einer größeren Zahl unabhängiger
Variabler, z.B. zweier Ortsvariabler.
Brachistochronenproblem
Das Brachistochronenproblem wurde 1696 von J. BERNOULLI formuliert und beinhaltet die folgende Aufgabe: Der in
einer vertikalen
-Ebene liegende Punkt
soll mit dem Koordinatenursprung durch eine Kurve
so verbunden werden, daß ein längs dieser Kurve sich bewegender Massepunkt allein unter dem
Einfluß der Schwerkraft in der kürzesten Zeit von
zum Ursprung gelangt (s. Abbildung).
Mit der Formel für die Fallzeit
ergibt sich die folgende mathematische Formulierung: Man bestimme eine einmal
stetig differenzierbare Kurve
, für die
(10.9)
gilt (
Fallbeschleunigung) und die die Randbedingungen
(10.10)
erfüllt. Man beachte, daß in (10.9) für
eine Singularität auftritt.
Versiera der Agnesi
Die Gleichung
(2.216a)
liefert die in der folgenden Abbildung dargestellte Versiera der Agnesi .
Sie besitzt eine Asymptote mit der Gleichung
ein Maximum
bei
der dazugehörige
Krümmungsradius beträgt
. Die Wendepunkte
Tangentenneigungswinkel sind dort gegeben durch
Asymptote beträgt
mit der Gleichung
und
befinden sich bei
, die
. Die Fläche zwischen der Kurve und der
Die Versiera der Agnesi ist ein Spezialfall der LORENTZ- oder BREIT-WIGNER-Kurve
(2.216b)
Beispiel
Als Bildfunktion der gedämpften Schwingung bezüglich der FOURIER-Transformation ergibt sich die
LORENTZ- oder BREIT-WIGNER-Kurve.
Bildfunktion zur gedämpften Schwingung
Bildfunktion einer gedämpften Schwingung: Die in der folgenden linken Abbildung dargestellte gedämpfte
Schwingung wird durch die Funktion
(15.100a)
beschrieben.
Zur Vereinfachung der Rechnung wird die FOURIER-Transformation der komplexen Funktion
ermittelt. Es gilt
.
Die FOURIER-Transformation liefert:
(15.100b)
Das Ergebnis ist die LORENTZ- oder BREIT-WIGNER-Kurve
(15.100c)
die in der rechten Abbildung dargestellt ist.
Einer gedämpften Schwingung im Zeitbereich entspricht ein einziger Peak im Frequenzbereich.
Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche
Für eine in der Parameterform
(3.483) oder Vektorform
bzw.
Variieren des Parameters
(3.484) gegebene Fläche erhält man durch
bei gleichzeitigem Festhalten von
auf der Fläche. Werden für
die Punkte
einer Kurve
nacheinander verschiedene, aber feste Werte
eingesetzt, dann ergibt sich eine Kurvenschar auf der Fläche. Da bei der
Bewegung längs einer solchen Kurve mit
nur
geändert wird, nennt man diese Kurven die
-Linien .
In Analogie dazu erhält man beim Variieren von
und gleichzeitigem Festhalten von
eine zweite Kurvenschar und spricht von
für
-Linien . Auf diese Weise kann man auf der Fläche
(3.483) ein Netz von Koordinatenlinien entstehen lassen, in dem zwei feste Zahlen
und
die
sind.
krummlinigen oder GAUSSschen Koordinaten des Flächenpunktes
Wenn eine Fläche in der Form (3.482) gegeben ist, stellen die Koordinaten Schnitte der Fläche mit den Ebenen
und
Parametergleichungen
beschrieben.
Beispiel
dar. Mit Gleichungen der impliziten Form
und
oder mit den
zwischen diesen Koordinaten werden Kurven auf der Fläche
Die Parametergleichungen der Kugel (3.485b,c) ergeben für
und
Meridiane
die geographische Länge eines Punktes
seinen Polabstand oder seine geographische Breite . Die
die
-Linien die Parallelkreise
-Linien sind hier die
Geographische Koordinaten
Zur Bestimmung von Punkten
auf der Erdoberfläche werden geographische Koordinaten benutzt, d.h.
Kugelkoordinaten mit dem Radius der Erdkugel, der geographischen Länge
und der geographischen Breite
.
Längengradeinteilung: Zur Längengradzählung ist die Erdoberfläche in halbe, vom Nordpol zum Südpol
verlaufende Großkreise, die Meridiane , eingeteilt. Der Nullmeridian verläuft durch die Sternwarte Greenwich .
Von ihm aus erfolgt die Zählung mit Hilfe von 180 ganzzahligen Meridianen östlicher Länge (ö. L.) und 180
ganzzahligen Meridianen westlicher Länge (w. L.), die am Äquator einen gegenseitigen Abstand von 111 km
haben. Östliche Längen werden positiv, westliche Längen negativ angegeben. Somit gilt
Breitengradeinteilung: Zur Breitengradzählung ist die Erdoberfläche in parallel zum Äquator verlaufende
Kleinkreise, die Breitengrade, eingeteilt. Vom Äquator aus, einem Großkreis, zählt man 90 ganzzahlige
Breitengrade nördlicher Breite (n. Br.) und 90 südlicher Breite (s. Br.). Nördliche Breiten werden positiv,
südliche Breiten negativ angegeben. Somit gilt
Elemente der Ellipse
In der folgenden Abbildung sind
Scheitel ,
die große Achse ,
die Brennpunkte mit dem Abstand
die numerische Exzentrizität und
die kleine Achse ,
die
auf beiden Seiten des Mittelpunktes,
der Halbparameter , d.h. die halbe Länge der durch
einen Brennpunkt parallel zur kleinen Achse gezogenen Sehne.
Elemente der Hyperbel
In der Abbildung sind
die reelle Achse;
die Scheitel ; 0 der Mittelpunkt;
und
die
Brennpunkte im Abstand
auf der reellen Achse zu beiden Seiten vom Mittelpunkt;
die imaginäre Achse ;
der Halbparameter der Hyperbel , d.h. die halbe
Länge der durch einen der Brennpunkte senkrecht zur rellen Achse gelegten Sehne;
Exzentrizität .
die numerische
Elemente der Parabel
In der folgenden Abbildung ist die
-Achse mit der Parabelachse identisch, 0 ist der Scheitel der Parabel ,
Brennpunkt der Parabel , der sich im Abstand
Halbparameter der Parabel genannt wird.
vom Koordinatenursprung auf der
der
-Achse befindet, wobei
Mit
Abstand
ist die Leitlinie bezeichnet, d.h. eine Gerade, die senkrecht auf der Parabelachse steht und diese im
auf der dem Brennpunkt entgegengesetzten Seite schneidet. Somit ist der Halbparameter auch gleich
der halben Länge der Sehne, die im Brennpunkt senkrecht auf der Achse steht. Die numerische Exzentrizität der
Parabel ist gleich eins.
(S. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)
Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse
Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen festen
Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich
ist. Jeder dieser Abstände, die auch Brennpunktradiusvektoren
eines Ellipsenpunktes genannt werden, berechnet sich als Funktion von der Abszissenkoordinate
gemäß
(3.319)
In dieser und in den weiteren Formeln mit kartesischen Koordinaten wird angenommen, daß die Ellipse in der
Normalform gegeben ist.
Brennpunktseigenschaften der Hyperbel, Definition der Hyperbel
Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei gegebenen festen
Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich
ist. Punkte mit
gehören einem Zweig an (in der
Abbildung dem linken), andere mit
dem zweiten (in der Abbildung dem rechten). Jeder dieser
Abstände, die auch Brennpunktradiusvektoren genannt werden, berechnet sich aus
(3.329)
wobei das obere Vorzeichen für den linken, das untere für den rechten Zweig gilt. In diesen und den folgenden
Hyperbelformeln, mit kartesischen Koordinaten, wird angenommen, daß die Hyperbel in der Normalform angegeben
ist.
Chinesisches Briefträgerproblem
Das Problem, daß ein Briefträger jede Straße seines Zustellbereiches mindestens einmal durchläuft, zum
Ausgangspunkt zurückkehrt und insgesamt einen möglichst kurzen Weg durchlaufen will, läßt sich
graphentheoretisch wie folgt formulieren: Es sei
Kanten
Gesucht wird eine Kantenfolge
ein bewerteter Graph mit
für alle
mit minimaler Gesamtlänge
(5.238)
Die Bezeichnung des Problems erinnert an den chinesischen Mathematiker KUAN, der sich als erster mit dem
Problem beschäftigt hat. Zur Lösung sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1.
ist ein EULERscher Graph - dann ist jede geschlossene EULERsche Linie optimal - und
2.
besitzt keine EULERsche Linie.
Einen effektiven Algorithmus zur Lösung des Problems haben EDMONDS und JOHNSON angegeben (s. Lit.5.30).
Bestimmung des ganzrationalen Anteils
Ein Quotient zweier Polynome mit gemeinsamer Hauptgröße
wird ein echter Bruch genannt, wenn das Polynom im Zähler
von niedrigerem Grade ist als das Polynom im Nenner. Im entgegengesetzten Falle spricht man von einem unechten Bruch .
Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einem echten Bruch und einem Polynom zerlegt werden, indem das
Zählerpolynom durch das Nennerpolynom dividiert, d.h. der ganzrationale Anteil abgespalten wird.
Beispiel
Bestimmung des ganzrationalen Anteils von
Der ganzrationale Anteil einer unecht gebrochenrationalen Funktion
bezeichnet, weil sich
●
●
●
●
●
für große Werte von
Partialbruchzerlegung, allgemeiner Fall
Partialbruchzerlegung, Fall 1
Partialbruchzerlegung, Fall 2
Partialbruchzerlegung, Fall 3
Partialbruchzerlegung, Fall 4
wird auch als asymptotische Näherung für
wie dieser Polynomanteil verhält.
Fraktale
Attraktoren oder andere invariante Mengen von dynamischen Systemen können geometrisch komplizierter als Punkt,
Linie oder Torus aufgebaut sein. Fraktale sind, auch unabhängig von einer Dynamik, Mengen, die sich durch eines
oder mehrere Merkmale wie Ausfransung, Porösität, Komplexität, Selbstähnlichkeit auszeichnen. Da der übliche
Dimensionsbegriff, wie er für glatte Flächen und Kurven gebraucht wird, für Fraktale nicht anwendbar ist, müssen
verallgemeinerte Definitionen der Dimension herangezogen werden. Eine ausführlichere Darstellung der
Dimensionstheorie s. Lit. 17.9, 17.5.
Beispiel
Das Intervall
wird in drei Teilintervalle gleicher Länge geteilt und das mittlere offene Drittel
entfernt, so daß die Menge
entsteht. Dann werden von den beiden Teilintervallen von
die jeweils mittleren offenen Drittel entfernt,
so daß die Menge
entsteht. Diese Prozedur wird mit
fortgesetzt, indem aus jedem Teilintervall von
das mittlere
offene Drittel entfernt wird. Dadurch entsteht eine Folge von Mengen
wobei jedes
aus
Intervallen der Länge
Menge aller der Punkte, die allen
besteht. Die CANTOR-Menge
ist definiert als
angehören, d.h.,
Die Menge
ist kompakt, überabzählbar, hat das LEBESGUE-Maß Null und ist perfekt. D.h.,
ist
abgeschlossen, und jeder Punkt ist Häufungspunkt. Die CANTOR-Menge kann als Beispiel für ein Fraktal
dienen.
Hausdorff-Dimension
Die Motivation für diese Dimension ergibt sich aus der Volumenberechnung durch das LEBESGUE-Maß. Wird eine
beschränkte Menge
mit einer Überdeckung aus einer endlichen Anzahl Kugeln
versehen, so daß also
gilt, erhält man für
alle endlichen Überdeckungen von
durch Kugeln mit Radius
und läßt
gegen Null gehen, so ergibt sich das äußere LEBESGUE-Maß
mit dem Volumen vol
Es seien
das ,,Rohvolumen``
mit Radius
. Bildet man nun über
die Größe
von
, das für meßbare Mengen
übereinstimmt.
der EUKLIDische Raum
oder, allgemeiner, ein separabler metrischer Raum mit Metrik
eine Teilmenge. Für beliebige Parameter
und
wird die Größe
und
(17.40a)
gebildet, wobei
beliebige Teilmengen mit Durchmesser diam
sind. Das äußere
HAUSDORFF- Maß zur Dimension d von A wird durch
(17.40b)
definiert und kann endlich oder unendlich sein. Die HAUSDORFF- Dimension
der Menge
ist dann der
(einzige) kritische Wert des HAUSDORFF-Maßes:
(17.40c)
Bemerkung: Die Größen
oder, im Falle des
können auch mit Hilfe von Überdeckungen aus Kugeln vom Radius
, aus Würfeln der Kantenlänge
Wichtige Eigenschaften der HAUSDORFF-Dimension:
(HD1)
.
gebildet werden.
(HD2)
Ist
, so gilt
Aus
folgt
.
(HD3)
.
(HD4)
Ist
, so gilt
.
(HD5)
Ist
endlich oder abzählbar, so ist
.
(HD6)
Ist
LIPSCHITZ-stetig (d.h. existiert eine Konstante
, so gilt
Abbildung
Beispiel
und ist diese ebenfalls LIPSCHITZ-stetig, so ist sogar
mit
. Existiert die inverse
.
Für die Menge
aller rationalen Zahlen gilt wegen (HD5)
. Für die CANTOR-Menge
ist
Selbstähnlichkeit
Einer Reihe geometrischer Figuren, die man selbstähnlich nennt, liegt folgende Entstehungsprozedur zugrunde: Eine
Ausgangsfigur wird durch eine neue Figur ersetzt, die aus
Ausgangsfigur besteht. Alle im
ersten Schritt behandelt.
-ten Schritt vorhandenen
mit dem Faktor
-fach skalierten Ausgangsfiguren werden jeweils wie im
Für die in den folgenden Beispielen A bis D genannten Mengen gilt
Beispiel A
CANTOR-Menge:
Beispiel B
.
linear skalierten Kopien der
.
KOCHsche Kurve:
. Die ersten 3 Schritte sind in der folgenden Abbildung zu sehen.
Beispiel C
SIERPINSKI-Drachen:
Dreiecke werden jeweils entfernt.
Beispiel D
. Die ersten 3 Schritte zeigt die folgende Abbildung. Die weißen
SIERPINSKI-Teppich:
Quadrate werden entfernt.
. Die ersten 3 Schritte zeigt die folgende Abbildung. Die weißen
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 2, Anwendung der Formel von
CARDANO
Durch die Substitution
geht (1.156b) in
(1.160a)
über. Diese Gleichung ist sicher dann erfüllt,wenn
(1.160b)
gilt. Schreibt man diese Gleichungen in der Form
(1.160c)
und
Summe und Produkt bekannt, so daß sie auf Grund des
dann sind von den beiden unbekannten Größen
VIETAschen Wurzelsatzes bzw. wegen (1.152) und (1.150b) als Lösungen der quadratischen Gleichung
(1.160d)
aufgefaßt werden können. Man erhält
(1.160e)
so daß sich für die Lösungen
der Gleichung (1.156b) die CARDANOsche Formel
(1.160f)
ergibt. Wegen der Dreideutigkeit jeder 3. Wurzel wären neun verschiedene Fälle möglich, die sich wegen
auf die folgenden drei Lösungen reduzieren:
(1.160g)
(1.160h)
(1.160i)
Beispiel
mit
Die reelle Wurzel ist
die komplexen Wurzeln sind
und
Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen
Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen, Übersicht
CASSINIsche Kurven
CASSINIsche Kurven nennt man den geometrischen Ort aller Punkte
festen Punkten
und
bei
bzw.
, für die das Produkt der Abstände von zwei
, den Fixpunkten, konstant gleich
ist:
(2.228)
Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten:
(2.229a)
(2.229b)
Die Form der Kurve hängt von den Größen
und
ab:
1. Fall
Für
Die Schnittpunkte
und
mit der
ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval.
mit der
-Achse liegen bei
, die Schnittpunkte
und
-Achse bei
Für den Fall
2. Fall
und
und
bei
ergibt sich eine Kurve des gleichen Typs mit
wobei die Krümmung in den Punkten
und
und
bei
gleich 0 ist,
d.h., es gibt eine enge Berührung mit den Geraden
3. Fall
Für
ist die Kurve ein eingedrücktes Oval.
ebenso das Maximum und das Minimum
Die Achsenschnitte sind dieselben wie im Falle
während die weiteren Extrema
bei
liegen und die vier
Wendepunkte
bei
mit
4. Fall
Für
ergibt sich die Lemniskate.
5. Fall
Für
ergeben sich zwei Ovale.
Die Schnittpunkte
und
bei
Der Krümmungsradius beträgt
mit der
-Achse liegen bei
die Maxima und Minima
die Schnittpunkte
und
und
bei
wobei
der Polarkoordinatendarstellung genügt.
Anwendung der Cauchyschen Integralformeln
Mit Hilfe der CAUCHYschen Integralformel
(14.56)
kann man die Werte einiger bestimmter Integrale bestimmen.
Beispiel
Die Funktion
wobei der Integrationsweg
, die in der gesamten
-Ebene analytisch ist, wird gemäß CAUCHYscher Integralformel (14.56) dargestellt,
ein Kreis mit dem Mittelpunkt in
und dem Radius
sein soll. Die Kreisgleichung lautet
.
Man erhält gemäß (14.56)
,
so daß
Da der Imaginärteil gleich Null ist, ergibt sich
.
Cauchy-Folge
Sei
ein metrischer Raum. Die Folge
mit
fundamentale Folge oder manchmal auch noch konvergent in sich , wenn es für
gibt, so daß
heißt CAUCHY- Folge ,
einen Index
die Ungleichung
(12.54)
gilt. Jede CAUCHY-Folge ist eine beschränkte Menge. Weiter gilt, daß jede konvergente Folge eine CAUCHY-Folge ist.
Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel
die Metrik (12.44) des Raumes
Betrachtet man im Raum
in
sowie die offensichtlich für alle
liegenden Elemente
dann ist die Folge
eine CAUCHY-Folge in diesem Raum.
Würde die Folge
konvergieren, dann müßte sie auch koordinatenweise, und zwar zu dem Element
, konvergieren. Die harmonische Reihe
nicht in
.
liegt aber wegen
Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes
Wenn eine Funktion
im gesamten Teil der Ebene außerhalb des geschlossenen Integrationsweges
analytisch ist, dann werden die Werte der Funktion
und ihrer Ableitungen in einem Punkt
dieses Gebietes
mit Hilfe der gleichen CAUCHYschen Formeln (14.42, 14.43) dargestellt, aber die Kurve des geschlossenen
Integrationsweges
ist nunmehr im Uhrzeigersinn zu durchlaufen (s. Abbildung).
Mit Hilfe der CAUCHYschen Integralformeln können die Werte einiger reeller bestimmter Integrale berechnet werden.
Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes
Ist
auf einer geschlossenen Kurve
und in dem von ihr umschlossenen einfach zusammenhängenden
Gebiet analytisch, dann gilt für jeden inneren Punkt
dieses Gebietes (s. Abbildung) die Darstellung
(14.42)
wenn
die Kurve
im Gegenuhrzeigersinn durchläuft.
Somit lassen sich die Funktionswerte einer analytischen Funktion im Innern eines Gebietes durch die Funktionswerte
auf dem Rande des Gebietes ausdrücken.
Aus (14.42) ergeben sich Existenz und Integraldarstellung der
analytischen Funktion:
-ten Ableitung einer in einem Gebiet
(14.43)
Eine analytische Funktion ist demnach beliebig oft differenzierbar. Im Unterschied dazu folgt im Reellen aus der
einmaligen Differenzierbarkeit nicht die wiederholte Differenzierbarkeit.
Die Gleichungen (14.42) und (14.43) werden CAUCHYsche Integralformeln genannt.
Eigenschaften des Cauchy-Integrals
Die Funktion
(11.76a)
heißt CAUCHY-Integral über
. Für
existiert das Integral im gewöhnlichen Sinne und stellt eine
. Für
holomorphe Funktion dar. Es gilt
sei unter (11.76a) der CAUCHYsche Hauptwert
(11.76b)
verstanden. Das CAUCHY-Integral
Annäherung von
und SOCHOZKI:
an
ist von
werden mit
bzw.
bzw.
stetig auf
fortsetzbar. Die Grenzwerte bei
bezeichnet. Es gelten die Formeln von PLEMELJ
(11.76c)
Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)
Ausgehend vom aktuellen Punkt
, wird
als Richtung des lokal steilsten Abstieges festgelegt durch
(18.74a)
Es ist also
(18.74b)
Eine schematische Darstellung des Gradientenverfahrens mit den Niveaulinien
Abbildung.
zeigt die folgende
Die Schrittweite
wird nach dem CAUCHY-Prinzip, auch Prinzip der Strahlminimierung genannt, ermittelt, d.h.,
löst die eindimensionale Aufgabe
(18.75)
Dazu können Verfahren aus Abschnitt Numerische Suchverfahren herangezogen werden. Das Gradientenverfahren
(18.74ab) konvergiert relativ langsam. Für jeden Häufungspunkt
quadratische Zielfunktion, d.h.
der Folge
gilt
. Für eine
, besitzt das Verfahren die Form:
(18.76a)
(18.76b)
Vollständiger metrischer Raum
Ein metrischer Raum heißt vollständig , wenn in ihm jede CAUCHY-Folge konvergiert. Die vollständigen metrischen
Räume sind also gerade diejenigen, in denen das von den reellen Zahlen her bekannte CAUCHYsche Prinzip gilt:
Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine CAUCHY-Folge ist. Jeder abgeschlossene Teilraum eines
vollständigen metrischen Raumes ist (als selbständiger metrischer Raum aufgefaßt) vollständig. In gewisser Weise
gilt die Umkehrung: Ist ein Teilraum
vollständig, so ist die Menge
in
eines (nicht notwendigerweise vollständigen) metrischen Raumes
abgeschlossen.
Beispiel
,
Beispiele vollständiger metrischer Räume sind
,
.
,
,
Formulierung der Aufgabe
Gegeben ist die Integralgleichung
(11.72)
Hier ist
ein System endlich vieler glatter, doppelpunktfreier, geschlossener Kurven in der komplexen Ebene, die
ein zusammenhängendes Innengebiet
Durchlauf zur Linken von
mit
und ein Außengebiet
bilden. Dabei liegt
beim
. Für die Betrachtung von Kurvensystemen, bestehend aus stückweise glatten, offenen
oder geschlossenen Kurven (s. Lit. 11.2). Eine Funktion
ist auf
HÖLDER-stetig, falls für beliebige Paare
gilt:
(11.73)
Die Funktionen
und
werden als HÖLDER-stetig mit dem Exponenten
bezüglich beider Argumente HÖLDER-stetig mit dem Exponenten
und
angenommen. Der Kern
hat für
Hauptwert. Mit
eine starke Singularität. Das Integral existiert aber als CAUCHYscher
und
ergibt sich (11.72) in der
Form
(11.74a)
Der Ausdruck
beschreibt in verkürzter Form die linke Seite der Integralgleichung.
Operator. Die Kernfunktion
ist ein singulärer
ist nur schwach singulär. Es gelte zusätzlich die Normalitätsbedingung
. Die Gleichung
(11.74b)
ist die zu (11.74a) zugeordnete charakteristische Gleichung . Der Operator
Operators
. Die zu (11.74a) transponierte Integralgleichung lautet:
ist der charakteristische Teil des
(11.74c)
Integrale mit unbeschränktem Integranden
Es sind drei verschiedene Fälle zu betrachten, für die eigene Definitionen eingeführt werden.
●
●
●
●
Definitionen
Geometrische Bedeutung
Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung
Hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals mit unbeschränktem Integranden
CAUCHYsches Problem
Gegeben sind
Funktionen von
unabhängigen Variablen
:
(9.72a)
Das CAUCHYsche Problem für die Differentialgleichung (9.68a) besteht darin, eine Lösung
(9.72b)
zu bestimmen, die beim Einsetzen von (9.72a) eine vorgegebene Funktion
ergibt:
(9.72c)
Im Falle zweier Variabler reduziert sich das Problem auf das Aufsuchen einer Integralfläche, die durch eine gegebene
Kurve verläuft. Wenn diese Kurve eine stetige Tangente hat und in keinem Punkt eine Charakteristik berührt, dann
besitzt das CAUCHYsche Problem in einer gewissen Umgebung dieser Kurve stets eine eindeutige Lösung. Dabei
besteht die Integralfläche aus der Menge aller der Charakteristiken, die die gegebene Kurve schneiden. Eine exaktere
Formulierung des Satzes über die Existenz der Lösung des CAUCHYschen Problems s. Lit. 9.26.
Beispiel A
Für die lineare inhomogene partielle Differentialgleichung erster Ordnung
lauten die Gleichungen der Charakteristiken
.
Die Integrale dieses Systems lauten
.
Als Charakteristiken ergeben sich Kreise, deren Mittelpunkte auf einer durch den Koordinatenursprung
verlaufenden Geraden liegen, die zu
proportionale Richtungskosinusse besitzt. Die Integralflächen
sind Rotationsflächen mit dieser Geraden als Achse.
Beispiel B
Es sind die Integralflächen der linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung
zu bestimmen, die durch die Kurve
verläuft. Die Gleichungen der Charakteristiken lauten
.
Die durch den Punkt
verlaufenden Charakteristiken sind
.
Als Parameterdarstellung der gesuchten Integralfläche findet man
,
wenn
gesetzt wird. Die Elimination von
führt auf
.
Gerüste, Satz von CAYLEY
1. Gerüst:
Ein Baum, der Teilgraph eines ungerichteten Graphen
zusammenhängende endliche Graph
Enthält
ist, wird ein Gerüst von
enthält ein Gerüst
einen Kreis, dann löscht man in
:
eine Kante dieses Kreises. Der entstandene Graph
wieder zusammenhängend und kann durch Löschen einer Kante eines Kreises von
existiert, in einen zusammenhängenden Graphen
man ein Gerüst von
Beispiel
genannt. Jeder
ist
falls eine solche
überführt werden. Nach endlich vielen Schritten erhält
Die rechte Abbildung zeigt ein Gerüst
des in der linken Abbildung dargestellten Graphen
2. Satz von CAYLEY:
Jeder vollständige Graph mit
Knoten
hat genau
Gerüste.
Satz von CAYLEY
Der Satz von CAYLEY beinhaltet, daß durch die Permutationsgruppenalle Gruppen strukturell beschrieben werden
können:
Jede Gruppe ist zu einer Permutationsgruppe isomorph.
Eine zu
isomorphe Permutationsgruppe
abbilden, bestehende Untergruppe der
gegeben.
ist die aus den Permutationen
Dabei ist ein zugehöriger Isomorphismus
die
auf
durch
Seltsame Attraktoren und Chaos
●
●
●
Chaotischer Attraktor
Fraktale und seltsame Attraktoren
Chaotisches System nach Devaney
Chaos in eindimensionalen Abbildungen
Für stetige Abbildungen eines kompakten Intervalls in sich gibt es zahlreiche hinreichende Bedingungen für die
Existenz chaotischer invarianter Mengen. Drei Beispiele sollen genannt werden.
1. Satz von SHINAI:
Sei
eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls
System
auf
, d.h.
auf
(z.B.
) in sich. Dann ist das
genau dann chaotisch im Sinne von DEVANEY, wenn die topologische Entropie von
, positiv ist.
2. Satz von SHARKOVSKY:
Die positiven ganzen Zahlen seien folgendermaßen geordnet:
(17.52)
Sei
eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls in sich und habe
periodischen Orbit. Dann hat
auch einen
-periodischen Orbit, wenn
auf
einen
-
ist.
3. Satz von BLOCK, GUCKENHEIMER und MISIURIEWICZ:
Sei
eine stetige Abbildung des kompakten Intervalls
periodischen Orbit (
, ungerade) besitzt. Dann ist
in sich, so daß
.
einen
-
Unterabschnitte
●
Hopf-Landau-Modell der Turbulenz:
RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario:
●
Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus
●
:
Vom Torus zum Chaos
Hopf-Landau-Modell der Turbulenz:
Die Frage des Übergangs von einem regulären laminaren Verhalten zu einem irregulären turbulenten Verhalten ist
besonders für Systeme mit verteilten Parametern, die z.B. durch partielle Differentialgleichungen beschrieben
werden, von Interesse. Aus dieser Sicht läßt sich Chaos als zeitlich irreguläres, aber räumlich geordnetes Verhalten
interpretieren. Turbulenz dagegen ist ein Systemverhalten, das sowohl zeitlich als auch räumlich irregulär ist. Das
HOPF- LANDAU-Modell erklärt die Entstehung der Turbulenz über eine unendliche Kaskade von HOPF-Bifurkationen:
Bei
entsteht aus einer Ruhelage ein Grenzzyklus, der bei
instabil wird und zu einem Torus
führt. Bei der -ten Bifurkation entsteht ein -dimensionaler Torus, der durch nicht geschlossene Orbits
aufgewickelt wird. Das HOPF- LANDAU-Modell führt i. allg. nicht zu einem Attraktor, der durch sensitive Abhängigkeit
von den Anfangsbedingungen und Durchmischung gekennzeichnet ist.
RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario:
Im System (17.53) sei
Periodischer Orbit
Der auf
und
Torus
. Bei Änderung des Parameters
Torus
sei die Bifurkationssequenz Ruhelage
über drei aufeinander folgende HOPF-Bifurkationen realisiert.
gegebene quasiperiodische Fluß sei strukturell instabil. Dann können schon bestimmte kleine Störungen
von (17.53) zum Zerfall von
und zur Bildung eines seltsamen Attraktors führen, der strukturell stabil ist.
Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus
Gegeben sei das hinreichend glatte System (17.53) bei
(17.53) einen anziehenden glatten Torus
, einen sattelartigen periodischen Orbit
und
:
. Beim Parameterwert
habe System
der aufgespannt wird durch einen stabilen periodischen Orbit
und dessen instabile Mannigfaltigkeit
( Resonanz-Torus ).
Die invarianten Mannigfaltigkeiten der Ruhelagen der POINCARÉ-Abbildung bezüglich einer Fläche, die transversal
zur Längsrichtung den Torus schneidet, sind in der folgenden Abbildung zu sehen.
Der Multiplikator
von
, der dem Einheitskreis am nächsten liegt, sei reell und einfach. Es sei weiter
eine beliebige stetige Kurve im Parameterraum, für die
(17.53) bei
keinen invarianten Resonanz-Torus besitzt. Dann gelten folgende Aussagen:
a) Es existiert ein Wert
Multiplikator
und für die das System
, bei dem
seine Glattheit verliert . Dabei wird entweder der
komplex, oder die instabile Mannigfaltigkeit
b) Es existiert ein weiterer Parameterwert
verliert ihre Glattheit nahe
, so daß das System (17.53) für
keinen resonanten Torus besitzt. Der Torus zerfällt dabei nach einem der folgenden Szenarien:
)
.
Der periodische Orbit
verliert seine Stabilität bei
. Es kommt zu einer lokalen
Bifurkation wie der Periodenverdopplung oder der Abspaltung eines Torus.
)
Die periodischen Orbits
und
fallen bei
zusammen (Sattelknoten-Bifurkation) und
heben sich dabei auf.
)
Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von
schneiden sich bei
nicht
transversal (s. Bifurkationsdiagramm in der folgenden Abbildung).
Die Punkte auf der schnabelförmigen Kurve
(Sattelknoten-Bifurkation). Die Schnabelspitze
Torus entspricht.
entsprechen dem Verschmelzen von
liegt auf einer Kurve
und
, die der Abspaltung eines
Auf der Kurve
liegen die Parameterpunkte, bei denen ein Glattheitsverlust eintritt, während die Punkte auf
die Auflösung eines
-Torus charakterisieren. Auf
instabile Mannigfaltigkeiten von
nicht transversal schneiden. Sei
so daß bei diesem Parameterwert ein Resonanz-Torus
dem Fall
liegen die Parameterpunkte, für die sich stabile und
des Satzes. Wird dabei auf
ein beliebiger Punkt in der Schnabelspitze,
vorliegt. Der Übergang von
der Multiplikator
zu
nach
entspricht
, so findet eine Periodenverdopplung statt.
Eine sich anschließende Kaskade von weiteren Periodenverdopplungen kann zum Entstehen eines seltsamen
Attraktors führen. Trifft beim Überqueren von
ein Paar konjugiert komplexer Multiplikatoren
auf den
Einheitskreis, dann kann es zur Abspaltung eines weiteren Torus kommen, für den der Satz von AFRAIMOVICH und
SHILNIKOV erneut anwendbar ist.
Der Übergang von
Überqueren von
nach
repräsentiert den Fall
des Satzes: Der Torus verliert die Glattheit, und beim
findet eine Sattelknoten-Bifurkation statt. Der Torus zerfällt, und ein Übergang zum Chaos über
Intermittenz kann stattfinden.
Der Übergang von
Überqueren von
nach
schließlich entspricht Fall
eine nicht robuste homokline Kurve. Der stabile Zyklus
nicht anziehende hyperbolische Menge. Wenn
entstehen.
: Nach dem Verlust der Glattheit bildet sich beim
bleibt, und es entsteht eine zunächst
verschwindet, kann aus dieser Menge ein seltsamer Attraktor
Übergänge zum Chaos
Ein seltsamer Attraktor entsteht häufig nicht abrupt, sondern im Ergebnis einer Reihe von Bifurkationen, von denen
die typischen im Abschnitt Bifurkationen in MORSE-SMALE-Systemen dargestellt wurden. Die wichtigsten Wege zur
Bildung seltsamer Attraktoren bzw. seltsamer invarianter Mengen sollen im weiteren beschrieben werden.
●
●
●
●
Kaskade von Periodenverdopplungen
Intermittenz
Globale homokline Bifurkationen
Auflösung eines Torus
Bifurkationstheorie, Wege zum Chaos
●
●
Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen
Übergänge zum Chaos
RSA-Codes
Auf der Grundlage des Satzes von EULER-FERMAT haben R. RIVEST, A. SHAMIR und L. ADLEMAN 1978 (s. Lit.5.21)
ein Verschlüsselungsverfahren ( Chiffrierverfahren ) für geheime Nachrichten entwickelt, das nach dem ersten
Buchstaben ihrer Nachnamen RSA-Verschlüsselungsverfahren genannt wird. Man spricht in diesem Zusammenhang
auch von Public-Key-Codes , weil ein Teil des zur Dechiffrierung benötigten Schlüssels ,,öffentlich`` bekanntgegeben
werden kann, ohne die Geheimhaltung der Nachricht zu gefährden.
Beim RSA-Verfahren wählt der Empfänger B zunächst zwei sehr große Primzahlen
sucht eine zu
teilerfremde Zahl
mit
und
bildet
und
Die Zahlen
und
gibt
B öffentlich bekannt, weil sie zur Verschlüsselung benötigt werden.
Will der Absender A eine geheime Nachricht an den Empfänger B übermitteln, dann wird zunächst der Text der
Nachricht in eine Ziffernfolge, bestehend aus gleichlangen Blöcken
umgewandelt. Dann berechnet A den Rest
von
mit jeweils weniger als 100 Stellen,
bei Division durch
:
(5.183a)
Der Absender A sendet die Zahl
an B, und zwar für jeden der aus dem Originaltext entstandenen Ziffernblöcke
Der Empfänger kann die Nachricht
dechiffrieren, wenn er eine Lösung der linearen Kongruenz
kennt. Die Zahl
ist der Rest von
bei Division durch
(5.183b)
Dabei wird der Satz von EULER-FERMAT benutzt, nach dem
gilt. Falls erforderlich, wandelt B nun
noch die Ziffernfolge in Text um.
Beispiel
Ein Empfänger B erwartet vom Absender A eine geheime Nachricht, wählt die Primzahlen
(für die praktische Nutzung zu klein), berechnet
und wählt
übermittelt an A nur
(es gilt
(dafür gilt ggT
). B
und
A will B die geheime Nachricht
zu
Kongruenz
und
zukommen lassen, verschlüsselt sie durch
und sendet an B nur die Nachricht
erhält als Lösung
. B löst die
und kann damit
ermitteln.
Hinweis: Die Sicherheit des RSA-Codes hängt von der Zeit ab, in der Unberechtigte eine Primfaktorenzerlegung von
finden können. Bei der heute erreichten Schnelligkeit von Computern benötigt der Anwender des RSA-Codes
zwei mindestens 100-stellige Primzahlen
und
um für Unberechtigte einen Entschlüsselungsaufwand von etwa
74 Jahren zu verursachen. Für den Anwender ist es dagegen ein rechentechnisch vergleichsweise geringer
Aufwand, eine zu
teilerfremde Zahl
zu finden.
Simultane lineare Kongruenzen
Sind endlich viele Kongruenzen
(5.173)
vorgegeben, dann spricht man von einem System simultaner linearer Kongruenzen . Eine Aussage über die
Lösungsmenge macht der Chinesische Restsatz : Es sei ein System
so vorgegeben, daß
paarweise
teilerfremd sind. Setzt man
(5.174a)
und wählt
so, daß
für
gilt, dann ist
(5.174b)
eine Lösung des Systems. Das System ist bis auf Kongruenz modulo
diejenigen Elemente
weitere Lösungen, für die gilt
eindeutig lösbar, d.h., mit
sind genau
Beispiel
zu lösen, wobei 2, 3, 5 paarweise
Es ist das System
teilerfremd sind. Es gilt
Die Kongruenzen
haben die speziellen Lösungen
. Das gegebene System ist eindeutig lösbar mit
.
Hinweis: Systeme simultaner linearer Kongruenzen kann man benutzen, um die Lösung von nichtlinearen
Kongruenzen mit dem Modul
sind.
auf die Lösung von Kongruenzen zurückzuführen, deren Modul Primzahlpotenzen
CHOLESKY-Verfahren
Wegen der Symmetrie und positiven Definitheit von
im Falle des Vollranges von
bietet sich zur Lösung
des Normalgleichungssystems das CHOLESKY-Verfahren an. Leider handelt es sich dabei um einen numerisch
instabilen Algorithmus, der sich jedoch bei Problemen mit ,,großem`` Residuum
numerisch gutartig verhält.
und ,,kleiner`` Lösung
Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
In vielen Fällen ist in (19.26) die Koeffizientenmatrix
die zugehörige quadratische Form
nicht nur symmetrisch, sondern auch positiv definit , d.h., für
gilt:
(19.34)
für alle
. Da es zu jeder symmetrischen positiv definiten Matrix
eine eindeutige
Dreieckszerlegung
(19.35)
mit
(19.36a)
(19.36b)
(19.36c)
gibt, kann die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems
nach dem CHOLESKY- Verfahren in
folgenden Schritten durchgeführt werden:
1.
: Ermittlung der sogenannten CHOLESKY-Zerlegung und Substitution
2.
: Bestimmung des Hilfsvektors
3.
durch Vorwärtseinsetzen.
.
: Bestimmung der Lösung
Für große Werte von
gemäß (19.31).
durch Rückwärtseinsetzen.
ist der Aufwand beim CHOLESKY-Verfahren etwa halb so groß wie bei der LR-Zerlegung
CLAIRAUTsche Differentialgleichung
CLAIRAUTsche Differentialgleichung heißt der Spezialfall der LAGRANGEschen Differentialgleichung, der sich für
(9.16a)
ergibt, und der stets auf die Form
(9.16b)
gebracht werden kann. Die allgemeine Lösung lautet
(9.16c)
Neben der allgemeinen Lösung besitzt die CLAIRAUTsche Differentialgleichung ein singuläres Integral, das man durch
Elimination der Konstanten
aus den Gleichungen
(9.16d)
(9.16e)
erhält, wobei die zweite Gleichung aus der ersten durch Differentiation nach
gewonnen wird. Die geometrische
Bedeutung der singulären Lösung besteht darin, daß sie die Einhüllende der lösenden Geradenschar darstellt
(s. Abbildung).
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
zu lösen. Das allgemeine Integral ist
das singuläre wird unter Zuhilfenahme der Gleichung
berechnet. Die Abbildung zeigt diesen Fall.
zur Elimination von
,
zu
CLAIRAUTsche Differentialgleichung
Wenn die gegebene Differentialgleichung auf die Form
(9.75a)
gebracht werden kann, man spricht dann von CLAIRAUTscher Differentialgleichung, gestaltet sich die Bestimmung
des vollständigen Integrals recht einfach, denn ein vollständiges Integral mit den frei wählbaren Parametern
ist
(9.75b)
Beispiel Zweikörperproblem
mit HAMILTON-Funktion : Die Bewegung zweier materieller Punkte, die der NEWTONschen
Gravitationswechselwirkung unterliegen sollen, erfolgt in einer Ebene. Daher ist es vorteilhaft, einen der
beiden Punkte in den Koordinatenursprung zu legen, so daß die Bewegungsgleichung die Form
(9.76a)
annimmt. Führt man die HAMILTON-Funktion
(9.76b)
ein, dann geht das System (9.76a) in das Normalsystem
(9.76c)
mit
(9.76d)
über. Die Differentialgleichung lautet nunmehr
(9.76e)
Bei Einführung von Polarkoordinaten
geht (9.76e) in eine neue Differentialgleichung über, deren
Lösung in der Form
(9.76f)
mit den Parametern
dargestellt werden kann. Die allgemeine Lösung des Systems (9.76c) ergibt
sich aus den Gleichungen
(9.76g)
Codes
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RSA-Codes
Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Pharmazentralnummer
Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
Europäische Artikelnummer EAN
Anwendungen von Computeralgebrasystemen
In diesem Abschnitt wird die Behandlung mathematischer Problemkreise mit Computeralgebrasystemen vorgestellt.
Die Auswahl der betrachteten Problemkreise wurde sowohl nach ihrer Häufigkeit in Praxis und Ausbildung als auch
nach den Möglichkeiten für ihre Bearbeitung mit Computeralgebrasystemen getroffen. Es werden Funktionen,
Anweisungen, Operationen und ergänzende Syntaxhinweise für das jeweilige Computeralgebrasystem angegeben
sowie Beispiele behandelt. Wo nötig, werden zugehörige Spezialpakete kurz erläutert.
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Manipulation algebraischer Ausdrücke
Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen
Elemente der linearen Algebra
Differential- und Integralrechnung
Differential- und Integralrechnung
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Mathematica
Maple
Elemente der linearen Algebra
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Mathematica
Maple
Terme und Funktionen
Unter dem Begriff Term wird eine Anordnung von Objekten verstanden, die durch mathematische Operatoren, in der
Regel in der Infix-Form, verknüpft sind, also Basiselemente, die in der Mathematik ständig auftreten. Ein
Grundanliegen von Computeralgebrasystemen ist die Umformung von Termen sowie die Lösung von Gleichungen.
Beispiel
Die folgende Sequenz
(20.5)
ist z.B. ein Term, in welchem
eine Variable ist.
Computeralgebrasysteme kennen die üblichen elementaren Funktionen wie Exponentialfunktion,
Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen sowie eine Reihe spezieller
Funktionen. Diese Funktionen lassen sich anstelle von Variablen in Terme einbauen. Auf diese Weise werden neue,
komplizierte Terme oder Funktionen erzeugt.
Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen
Computeralgebrasysteme kennen Befehlsroutinen zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen. Sofern
Gleichungen im Bereich der algebraischen Zahlen explizit lösbar sind, werden die Lösungen mit Hilfe von
Wurzelausdrücken dargestellt. Ist es nicht möglich, Lösungen in geschlossener Form anzugeben, so lassen sich
zumindest numerische Lösungen im Rahmen festlegbarer Genauigkeit finden. Im folgenden werden einige
Grundbefehle vorgestellt. Der Lösung linearer Gleichungssysteme ist ein spezieller Abschnitt gewidmet.
●
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Mathematica
Maple
Graphik in Computeralgebrasytemen
Mit der Bereitstellung von Routinen für die graphische Darstellung mathematischer Zusammenhänge in Form von
Funktionsgraphen, räumlichen Kurven und räumlichen Flächen bieten moderne Computeralgebrasysteme
vielschichtige Möglichkeiten zur Kombination von Formelmanipulationen, speziell im Bereich der Analysis und
Vektorrechnung bis zur Differentialgeometrie, und graphischen Darstellungen. Graphik ist eine besondere Stärke von
Mathematica.
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Graphik mit Mathematica
Graphik mit Maple
Hauptstrukturelemente
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Objekttypen
Zahlen
Variable und Zuweisungsoperatoren
Operatoren
Terme und Funktionen
Listen und Mengen
Operatoren
Alle Systeme verfügen über einen Grundvorrat von Operatoren . Dazu gehören die für die Mathematik üblichen
Operatoren
, für die die bekannte Rangordnung bei der Abarbeitung
gilt. Stehen die Operatoren zwischen den Operanden, so bezeichnet man diese Schreibweise als Infix-Form .
Die Palette der Operatoren, die in Präfix-Form vorliegen -- in diesem Falle steht der Operator vor den Operanden -ist in allen Systemen beträchtlich. Hierzu gehören in der Regel Operatoren, die auf spezielle Objektklassen wie z.B.
Zahlen, Polynome, Mengen, Listen, Matrizen, Gleichungssysteme wirken und auch Funktionaloperatoren wie
Differentiation, Integration usw. Darüber hinaus sind in der Regel Operatoren für die Gestaltung der
Ausgaberesultate, die Manipulation von Zeichenketten und weiteren dem System bekannten Objekten vorhanden.
Manche Systeme gestatten die Darstellung einiger Operatoren in Suffix-Schreibweise , d.h., der Operator steht hinter
den Operanden. Häufig benutzen Operatoren optionale Argumente, die spezielle Anwendungssituationen steuern.
Listen und Mengen
Alle Computeralgebrasysteme kennen die Objektklasse Liste , die als Aneinanderreihung von Objekten verstanden
wird. Mit speziellen Operatoren kann auf die Elemente einer Liste zugegriffen werden. In der Regel sind Listen als
Elemente von Listen zulässig. So entstehen verschachtelte Listen , die zur Konstruktion spezieller Objekttypen wie
Matrizen und Tensoren benutzt werden können; alle Systeme bieten hierfür spezielle Objektklassen an. Hieraus
ergibt sich die Möglichkeit, symbolisch in Vektorräumen Objekte wie Vektoren und Tensoren zu manipulieren und
lineare Algebra zu betreiben.
Auch der Begriff Menge ist den Computeralgebrasystemen bekannt. Die Operatoren der Mengenlehre sind definiert.
In den folgenden Abschnitten werden die Hauptstrukturelemente und ihre Syntax für die beiden ausgewählten
Computeralgebrasysteme Mathematica 2.2 und Maple V erläutert.
Programmierung in Computeralgebrasystemen
Alle Systeme bieten Möglichkeiten für den Aufbau eigener Programmblöcke zur Lösung spezieller Aufgaben. Es
handelt sich dabei einerseits um die bekannten Handwerkzeuge für den Aufbau von Prozeduren wie
Schleifenkonstruktionen und Kontrollstrukturen, z.B. DO, IF - THEN, WHILE, FOR usw., andererseits um mehr oder
weniger ausgeprägte Methoden der funktionalen Programmierung, die für viele Probleme elegante Lösungen
anbieten.
Selbsterstellte Programmblöcke können den bestehenden Bibliotheken hinzugefügt und bei Bedarf jederzeit
zugeladen werden.
Variable und Zuweisungsoperatoren
Variable haben einen Namen, werden in der Regel also durch ein vom Nutzer bestimmtes Symbol repräsentiert. Vom
System vergebene Namen, d.h. reservierte Begriffe, sind dabei verboten. Solange der Variablen kein Wert
zugewiesen ist, steht das jeweilige Symbol für die Variable selbst.
Variablen können mit Hilfe spezieller Zuweisungsoperatoren Werte zugewiesen werden. Werte von Variablen dürfen
sowohl Zahlen, andere Variable als auch spezielle Sequenzen von Objekten, oft Ausdrücke genannt, sein. In der
Regel existieren mehrere Zuweisungsoperatoren, die sich insbesondere durch den Zeitpunkt ihrer Auswertung, d.h
sofort bei Eingabe der Zuweisung oder erst beim späteren Aufruf der Variablen, unterscheiden.
Zahlen
Die Computeralgebrasysteme kennen in der Regel die Zahlentypen ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen
(Gleitpunktzahlen), komplexe Zahlen , manche Systeme algebraische Zahlen, Wurzelzahlen und weitere.
Mit einer Vielzahl von Typprüfoperationen können Eigenschaften konkreter Zahlen, wie nichtnegativ, Primzahl usw.,
festgestellt werden.
Gleitpunktzahlen können mit beliebiger Präzision genutzt werden. In der Regel arbeiten die Systeme mit einer
Voreinstellung für die Präzision, die nach Bedarf verändert werden kann.
Die Systeme kennen spezielle Zahlen, die für die Mathematik von fundamentaler Bedeutung sind wie,
,
. Sie gehen mit diesen Zahlen symbolisch um, können sie jedoch für numerische Berechnungen auch in
beliebiger Präzision verwenden.
und
Allgemeine Zielstellungen für Computeralgebrasysteme
In der mathematischen Praxis werden zunehmend sogenannte Computeralgebrasysteme - Softwaresysteme, die
,,Mathematik machen können``- eingesetzt. Solche Systeme wie Macsyma, Reduce, Derive, Maple, Mathcad,
Mathematica gestatten auch auf relativ kleinen Rechnern (PC) die Lösung mathematischer Aufgaben wie z.B. die
Umformung komplizierter Ausdrücke, die Bestimmung von Ableitungen und Integralen, die Lösung von Gleichungen
und Gleichungssystemen, die grafische Darstellung von Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher und vieles
andere mehr. Mit ihrer Hilfe können mathematische Ausdrücke manipuliert , d.h. nach mathematischen Regeln
umgeformt oder vereinfacht werden, sofern dies in geschlossener Form möglich ist. Auch numerische Lösungen
können mit der geforderten Genauigkeit berechnet und funktionale Zusammenhänge grafisch dargestellt werden.
Sphärisches Vektorfeld
Das sphärische Vektorfeld ist der Spezialfall des zentralen Vektorfeldes, in dem die Länge des Vektors
Abstand
abhängt (s. Abbildung).
nur vom
Beispiele sind das NEWTONsche und das COULOMBsche Kraftfeld einer Punktmasse bzw. einer elektrischen
Punktladung:
(13.14)
Der Spezialfall eines ebenen sphärischen Vektorfeldes wird Kreisfeld genannt.
Coulomb-Feld der Punktladung
Das COULOMB-Feld ist ein wichtiges Beispiel für ein wirbelfreies Feld, das überall, ausgenommen den Ort der
Punktladung, den Quellort, auch solenoid, d.h. quellenfrei ist (s. Abbildung).
Die COULOMB-Kraft
Vorzeichen.
wirkt anziehend für Ladungen
mit ungleichem Vorzeichen, abstoßend für gleiche
Die Feld- und die Potentialgleichungen lauten:
(13.128a)
Der skalare Fluß ist
bzw. 0, je nachdem, ob die Fläche
eine Quelle
einschließt oder nicht:
(13.128b)
Die Größe
wird Ergiebigkeit oder Intensität der Quelle genannt.
Cramersche Regel
In dem wichtigen Spezialfall, in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen des Systems
(4.114a)
übereinstimmt und die Koeffizientendeterminante D = detA nicht verschwindet, d.h.
(4.114b)
kann die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems (4.114a) explizit und eindeutig angegeben werden:
(4.114c)
Mit
wird die Determinante bezeichnet, die aus D dadurch entsteht, daß die Elemente
der
-ten Spalte
von D durch die Absolutglieder
ersetzt werden, z.B.
(4.114d)
Ist
für alle
und sind nicht alle
d.h.
aber nicht eindeutig (s. Hinweis).
Beispiel
dann ist das System (4.114a) unlösbar. Im Falle
und alle
und
sind gleich null, ist es möglich, daß eine Lösung existiert. Diese ist
Das System hat die eindeutige Lösung
Hinweis: Für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen höherer Dimensionen ist die CRAMERsche
Regel nicht geeignet. Der Rechenaufwand übersteigt mit wachsender Dimension sehr schnell alle Vorstellungen.
Deshalb verwendet man zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme den GAUSSschen Algorithmus
bzw. das Austauschverfahren oder iterative Methoden.
Homogenes Problem
Die Lösung des homogenen Problems mit
und den Anfangsbedingungen
(9.98)
wird für die Fälle
a)
bis
durch die folgenden Integrale beschrieben.
( KIRCHHOFFsche Formel):
(9.99a)
wobei die Integration über die Kugeloberfläche
erfolgt, die mit
angesetzt wird.
b)
( POISSONsche Formel):
(9.99b)
wobei die Integration über den Kreis
c)
erfolgt, der mit
angesetzt wird.
( D'ALEMBERTsche Formel):
(9.99c)
Dämpfung von Schwingungen
Die Funktion
(2.132)
liefert die Kurve einer gedämpften Schwingung .
Die Schwingung erfolgt um die
-Achse, wobei sich die Kurve asymptotisch der
Sinuskurve von den beiden Exponentialkurven
berühren. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind
-Achse nähert. Dabei wird die
eingehüllt, indem sie diese in den Punkten
;
die Extrema
liegen bei
die Wendepunkte
Als logarithmisches Dekrement der Dämpfung wird
Ordinaten zweier benachbarter Extrema.
bei
mit
bezeichnet;
.
und
sind die
Newton-Verfahren
Das NEWTON-Verfahren geht von der Nullstellenaufgabe (19.55) aus. Nach Vorgabe von geschätzten
Näherungswerten
Variablen
werden die Funktionen
als Funktionen von
unabhängigen
nach TAYLOR entwickelt. Durch Abbruch dieser Entwicklungen nach den linearen
Gliedern erhält man aus (19.55) ein lineares Gleichungssystem, mit dessen Hilfe man iterativ Verbesserungen nach
folgender Vorschrift ermitteln kann:
(19.61)
Die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (19.61), das in jedem Iterationsschritt zu lösen ist, lautet
(19.62)
und wird als JACOBI-Matrix bezeichnet. Das NEWTON-Verfahren ist lokal quadratisch konvergent, d.h., seine schnelle
Konvergenz ist wesentlich von der Güte der Startnäherungen abhängig. Setzt man in (19.61)
, dann kann das NEWTON-Verfahren in der Korrekturform
(19.63)
geschrieben werden. Zur Herabsetzung der Startwertempfindlichkeit kann man dann analog zum
Relaxationsverfahren einen sogenannten Dämpfungs- oder Schrittweitenparameter
einführen:
(19.64)
Angaben zur Bestimmung von
findet man in Lit. 19.27.
Definition
Eine reelle quadratische Form
in den Variablen
hat die Gestalt
(4.131)
Dabei ist
der Vektor der Variablen, und
ist eine reelle symmetrische
Matrix.
Die Form
heißt positiv definit oder negativ definit , wenn sie nur positive bzw. nur negative Werte annehmen kann
und den Wert Null nur für das einzige Wertesystem
Die Form
annimmt.
heißt positiv oder negativ semidefinit , wenn sie nur Werte desselben Vorzeichens, den Wert Null aber
auch für ein nicht durchweg verschwindendes Wertesystem annehmen kann.
Entsprechend dem Verhalten von
wird auch die zugehörige reelle symmetrische Matrix A als positiv oder negativ
definit bzw. semidefinit bezeichnet.
Definitionsbereich einer Funktion
Definitionsbereich einer Funktion wird die Menge der Wertesysteme oder Punkte genannt, die bei der betrachteten
Funktion von den Variablen des Arguments durchlaufen werden können. Die sich so ergebenden Definitionsbereiche
können sehr unterschiedlich sein. Meistens treten beschränkte oder unbeschränkte zusammenhängende
Punktmengen auf. In Abhängigkeit davon, ob der Rand mit zum Definitionsbereich gehört oder nicht, ist dieser
abgeschlossen oder offen. Eine offene zusammenhängende Punktmenge wird Gebiet genannt. Wenn der Rand in
ein Gebiet einbezogen ist, dann handelt es sich um ein abgeschlossenes Gebiet , ist dies nicht der Fall, und soll der
Anschluß des Randes besonders betont werden, dann wird vom offenen Gebiet gesprochen.
Defuzzifizierungsmethoden
Zur Berechnung einer scharfen Ausgangsgröße ist eine Defuzzifizierung der Fuzzy-Menge am Ausgang erforderlich.
Man bedient sich verschiedener Methoden.
1. Maximum-Kriterium-Methode:Aus dem Bereich, innerhalb dessen die Fuzzy-Menge
den maximalen Zugehörigkeitsgrad besitzt, wird ein beliebiger Wert
ausgewählt.
2. Mean-of-Maximum-Methode (MOM): Als Ausgabewert wird der Mittelwert über die maximalen
Zugehörigkeitswerte genommen:
(5.298)
Wenn die Menge
, die ein Intervall darstellt, nicht leer ist, dann ergibt sich:
(5.299)
3. Schwerpunktmethode (S):Bei der Schwerpunktmethode wird die Abszisse des Schwerpunktes einer
Fläche mit gedachter homogener Dichtebelegung vom Werte 1 berechnet.
(5.300)
4. Parametrisierte Schwerpunktmethode (PS): Die parametrische Methode geht von
aus.
(5.301)
Aus dieser Formel folgt für
und für
5. Verallgemeinerte Schwerpunktmethode (VS): Wird der Exponent
Defuzzifizierungsmethode als Funktion von
bei der parametrischen
angesehen, dann folgt daraus unmittelbar
(5.302)
Die VS-Methode ist eine Verallgemeinerung der PS-Methode. Sie ist von Interesse, wenn
besonderes, von
selbst ein
abhängiges Gewicht erhalten soll.
6. Methode der Flächenhalbierung (FH): Die Position einer Geraden parallel zur Ordinate wird so berechnet,
daß die linke und die rechte Seite der Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion gleich groß ist.
(5.303)
7. Methode der parametrisierten Flächenhalbierenden (PF):
(5.304)
8. Methode der größten Fläche (GF): Es wird die signifikante Teilmenge aus der Gesamtmenge ausgewählt,
die dann mit bekannten Methoden, wie z.B. der Schwerpunktsmethode (S) oder der Bestimmung der
Flächenhalbierenden (FH) ausgewertet wird.
DELAMBREsche Gleichungen
In Analogie zu den MOLLWEIDEschen Formeln der ebenen Trigonometrie sind von DELAMBRE die entsprechenden
Formeln für sphärische Dreiecke angegeben worden.
(3.183a)
(3.183b)
(3.183c)
(3.183d)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Da bei Anwendung der zyklischen Vertauschung jede Gleichung zwei weitere ergibt, sind insgesamt 12
DELAMBREsche Gleichungen möglich.
Eigenschaften der
-Funktion
Wichtige Eigenschaften der
-Funktion im Hinblick auf ihre Anwendung sind:
(15.35)
(15.36)
(15.37)
Dabei sind sämtliche Nullstellen von
4.
-te Ableitung der
Nach
zu berücksichtigen.
-Funktion:
-maliger partieller Integration erhält man aus
(15.38a)
eine Vorschrift für die
-te Ableitung der
-Funktion:
(15.38b)
5. FOURIER-Transformation der
-Funktion:
Die FOURIER-Transformation der
-Funktion lautet
(15.39a)
Die Rücktransformation liefert für die
-Funktion eine weitere Darstellung; und zwar in Form eines uneigentlichen Integrals:
(15.39b)
Diracsche
-Funktion und Distributionen
●
Verallgemeinerte Funktionen
●
Approximationen der
●
Eigenschaften der
-Funktion
-Funktion
Impulsfunktion
Die Impulsfunktion oder DIRACsche
der Breite
und der Höhe
-Funktion
an der Stelle
ist anschaulich als Grenzfall eines Rechteckimpulses
interpretierbar (s. Abbildung)
(15.28)
Für eine stetige Funktion
gilt:
(15.29)
Beziehungen der Art
(15.30)
werden im allgemeineren Sinne in der Distributionstheorie untersucht (s. auch DIRACsche
Distributionen).
-Funktion und
Distribution
Ein lineares Funktional
auf
, das im folgenden Sinne stetig ist:
(12.210)
heißt verallgemeinerte Funktion oder Distribution .
Beispiel A
Ist
, dann ist
(12.211)
eine Distribution. Derartige mit Hilfe von lokalsummierbaren Funktionen gemäß (12.211) erzeugte Distributionen
nennt man regulär .
Zwei reguläre Distributionen sind genau dann gleich, d.h.
, wenn
f.ü. bezüglich
.
Beispiel B
Sei
ein beliebig fixierter Punkt. Dann ist
stetiges Funktional auf
-Funktion nennt. Da
ebenfalls ein lineares
, also eine Distribution, die man DIRACsche Distribution,
-Distribution oder
von keiner lokalsummierbaren Funktion erzeugt werden kann (s. Lit. 12.12,
12.28), stellt sie ein Beispiel einer nichtregulären Distribution dar.
Die Gesamtheit aller Distributionen bezeichnet man mit
Funktionale angedeuteten Dualitätstheorie ergibt sich
wäre also
Funktionen aus
zu schreiben. Im Raum
. Aus einer allgemeineren als der in Stetige lineare
als der Dualraum von
. Streng genommen
lassen sich viele Operationen unter seinen Elementen und mit
definieren, u.a. die Ableitung einer Distribution oder die Faltung zweier Distributionen, die
ihn nicht nur für theoretische Untersuchungen, sondern vor allem auch für viele Anwendungen aus Elektrotechnik,
Mechanik usw. prädestinieren. Wegen eines Überblicks und einfacher Beispiele für zahlreiche
Verwendungsmöglichkeiten verallgemeinerter Funktionen s. Lit. 12.12, 12.28. Hier wird lediglich der Begriff der
Ableitung einer verallgemeinerten Funktion betrachtet.
Deltatensor
Wählt man als Elemente
eines 2stufigen Tensors das KRONECKER-Symbol, d.h.
(4.78a)
dann folgt aus dem Transformationsgesetz (4.70b) im Falle einer Drehung des Koordinatensystems unter Beachtung
von (4.67c)
(4.78b)
d.h., die Elemente sind drehungsinvariant . Paßt man sie so in ein Koordinatensystem ein, daß sie unabhängig von
der Wahl des Ursprungs, also auch translationsinvariant sind, dann bilden die Zahlen
2. Stufe, den sogenannten Deltatensor .
einen invarianten Tensor
Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen
●
●
●
●
Allgemeine Zielstellungen für Computeralgebrasysteme
Spezielle Möglichkeiten der Arbeit mit Computeralgebrasystemen
Beschränkung auf Mathematica und Maple
Ein- und Ausgabe bei Mathematica und Maple
Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten
Aus den Darlegungen zu (1.169) folgt, daß jede Gleichung ungeraden Grades mindestens eine reelle Wurzel besitzt.
Die Anzahl weiterer reeller Wurzeln der Gleichung (1.166a) zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen
wobei
und
ist, kann mit Hilfe der in den nächsten vier Abschnitten dargestellten Methoden bestimmt werden:
a) Abspalten der mehrfachen Wurzeln: Zuerst werden die mehrfachen Wurzeln von
abgespalten, so daß sich eine Gleichung ergibt, die alle Wurzeln, aber nur noch mit der Vielfachheit 1 enthält.
Dazu kann, wie beim Fundamentalsatz der Algebra erläutert, verfahren werden. Praktischer ist es jedoch,
gleich nach der STURMschen Methode mit der Bestimmung der STURMschen Kette (der STURMschen
Funktionen ) zu beginnen. Wenn
nicht konstant ist, dann besitzt
abzuspalten sind. Auf jeden Fall ist danach
mehrfache Wurzeln, die
eine Gleichung ohne Mehrfachwurzeln.
b) Bildung der Folge der STURMschen Funktionen:
(1.171)
Hier ist
die linke Seite der gegebenen Funktion,
Rest der Division von
durch
ist die erste Ableitung von
,
, aber genommen mit entgegengesetztem Vorzeichen,
durch
ebenfalls mit entgegengesetztem Vorzeichen genommene Rest der Division von
der
der
usw.;
ist der letzte, aber konstante Rest. Zur Vereinfachung der Rechnung kann man die gefundenen
Reste mit konstanten positiven Faktoren multiplizieren, ohne daß sich das Ergebnis ändert.
c) Theorem von STURM: Wenn
`` nach ,,
die Anzahl der Vorzeichenwechsel, d.h. die Anzahl der Übergänge von ,,
`` und umgekehrt in der Folge (1.171) für
Vorzeichenwechsel in der Folge (1.171) für
reellen Wurzeln der Gleichung
ist und
die Anzahl der
, dann ist die Differenz
im Intervall
. Sind in der Zahlenfolge einige Zahlen gleich
Null, dann werden diese bei der Abzählung der Vorzeichenwechsel ausgelassen.
Beispiel
gleich der Anzahl der
Für die Gleichung
ist die Anzahl der Wurzeln im Intervall [0,2] zu
bestimmen.
Die Berechnung der STURMschen Funktion ergibt:
Einsetzen von
von
liefert die Folge
liefert
mit zwei Wechseln, Einsetzen
mit einem Wechsel, so daß
d.h., zwischen 0 und 2 liegt eine Wurzel.
d) DESCARTESsche Regel: Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung
die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge des Polynoms
nur um eine gerade Zahl unterscheiden.
Beispiel
ist nicht größer als
und kann sich von dieser
ausgesagt werden?
Was kann über die Wurzeln der Gleichung
Die Koeffizienten der Gleichung haben nacheinander die Vorzeichen
d.h., das
Vorzeichen wechselt dreimal.
Die Gleichung besitzt in Übereinstimmung mit der Regel von DESCARTES entweder eine oder drei
positive Wurzeln.
Da beim Ersetzen von
bei der Substitution von
durch
die Wurzeln der Gleichung ihre Vorzeichen ändern, sich aber
durch
um
verringern, kann gemäß der Regel von DESCARTES
auch die Anzahl der negativen Wurzeln sowie die Anzahl der Wurzeln, die größer sind als
abgeschätzt werden.
Im vorliegenden Beispiel führt das Ersetzen von
durch
,
auf die Gleichung
d.h., die Gleichung besitzt eine negative Wurzel. Substituiert
man
durch
dann ergibt sich
positiven Wurzeln der Gleichung (eine oder drei) sind kleiner als 1.
d.h., alle
Berechnung von Determinanten
1. Wert einer Determinante zweiter Ordnung:
(4.63)
2. Wert einer Determinante dritter Ordnung: Nach der Regel von SARRUS , die nur für Determinanten dritter
Ordnung gilt, erfolgt die Berechnung mit Hilfe des Schemas
(4.64)
Die ersten beiden Spalten werden rechts von der Determinante noch einmal hingeschrieben. Dann wird die
Summe der Produkte aller auf den ausgezogenen Schrägzeilen stehenden Elemente gebildet. Davon wird die
Summe der Produkte aller auf den gestrichelten Schrägzeilen stehenden Elemente abgezogen.
3. Wert einer Determinante
-ter Ordnung: Die Determinante
-ter Ordnung wird mit Hilfe des
Entwicklungssatzes auf
Determinanten (
)-ter Ordnung zurückgeführt. Zweckmäßigerweise werden
die einzelnen Determinanten mit Hilfe der Rechenregeln für Determinanten so umgeformt, daß möglichst viele
ihrer Elemente zu Null werden.
Beispiel
Hinweis: Besonders günstig kann eine Determinante -ter Ordnung berechnet werden, wenn sie in Analogie zur
Rangbestimmung von Matrizen so umgeformt wird, daß alle Elemente, die unterhalb der Diagonalen
stehen, zu Null werden. Der Wert der Determinante ist dann gleich dem Produkt der Elemente
auf der Hauptdiagonalen der umgeformten Determinante.
Rechenregeln für Determinanten
Wegen des LAPLACEschen Entwicklungssatzes gelten die im folgenden für Zeilen formulierten Aussagen in gleicher
Weise für Spalten.
1. Unabhängigkeit des Wertes einer Determinante: Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der
Auswahl der Entwicklungszeile.
2. Ersetzen von Adjunkten:Ersetzt man bei der Entwicklung einer Determinante nach einer ihrer Zeilen die
zugehörigen Adjunkten durch die Adjunkten einer anderen Zeile, so ergibt sich Null:
(4.56)
Diese Beziehung und der Entwicklungssatz ergeben zusammengefaßt
(4.57)
Daraus erhält man für die inverse Matrix
(4.58)
wobei als adjungierte Matrix
der Matrix
die aus den Adjunkten der Elemente von
anschließend transponierte Matrix bezeichnet wird. Diese Matrix
adjungierten Matrix
gebildete und
darf nicht mit der zu einer komplexen Matrix
(4.4) verwechselt werden.
3. Nullwerden einer Determinante:Eine Determinante ist gleich Null, wenn
a)
eine Zeile aus lauter Nullen besteht oder
b)
zwei Zeilen einander gleich sind oder
c)
eine Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen ist.
4. Vertauschungen und Additionen: Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn
a)
in ihr die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden. Man spricht dann von Spiegelung an der
Hauptdiagonale , d.h., es gilt
(4.59)
b)
zu irgendeiner Zeile eine andere Zeile addiert bzw. subtrahiert wird,
c)
zu irgendeiner Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert bzw. subtrahiert wird oder
d)
zu irgendeiner Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addiert bzw. subtrahiert wird.
5. Vorzeichen bei Zeilenvertauschung: Bei Vertauschung zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen einer
Determinante.
multipliziert,
6. Multiplikation einer Determinante mit einer Zahl: Eine Determinante wird mit einer Zahl
indem die Elemente einer einzigen Zeile mit dieser Zahl multipliziert werden. Der Unterschied gegenüber der
Multiplikation einer Matrix
vom Typ
mit einer Zahl
kommt in der Formel
(4.60)
zum Ausdruck.
7. Multiplikation zweier Determinanten:Die Multiplikation zweier Determinanten wird auf die Multiplikation
ihrer Matrizen zurückgeführt:
(4.61)
Wegen
(s. (4.59)) gilt
(4.62)
d.h., es können entweder Zeilen mit Spalten oder Zeilen mit Zeilen oder Spalten mit Zeilen oder Spalten mit Spalten
skalar multipliziert werden.
8. Differentiation einer Determinante: Eine Determinante
-ter Ordnung, deren Elemente differenzierbare
Funktionen eines Parameters
sind, d.h.
Zeile differenziert und die so entstehenden
wird nach
Determinanten addiert.
Beispiel
Für eine Determinante vom Typ
erhält man:
differenziert, indem man jeweils eine
Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
(13.50a)
mit
(13.50b)
(13.50c)
und
(13.50d)
(13.50e)
Hierbei ist D die JACOBIsche Determinante oder Funktionaldeterminante .
Fundamentalsystem von Lösungen
Ein System von
Lösungen
einer homogenen linearen Differentialgleichung wird
Fundamentalsystem genannt, falls diese Funktionen in dem betrachteten Intervall linear unabhängig sind, also ihre
Linearkombination
für
Die Lösungen
für kein Wertesystem der
, identisch verschwindet, d.h. für alle
, ausgenommen
-Werte in dem betreffenden Intervall.
einer linearen homogenen Differentialgleichung bilden genau dann ein
Fundamentalsystem, wenn ihre WRONSKI-Determinante
(9.34)
von Null verschieden ist. Für jedes Lösungssystem einer homogenen linearen Differentialgleichung gilt die Formel
von LIOUVILLE :
(9.35)
Aus dieser Gleichung folgt, daß die WRONSKI-Determinante nur identisch verschwinden kann. Das bedeutet: Die
der homogenen linearen Differentialgleichung sind genau dann linear abhängig, wenn
Lösungen
nur an einer einzigen Stelle
des betrachteten Intervalls
gilt. Wenn dagegen die Lösungen
ein Fundamentalsystem von Lösungen bilden, dann lautet die allgemeine Lösung der linearen
homogenen Differentialgleichung (9.33)
(9.36)
Hauptsätze
Es sei
eine Matrix-Funktion auf
, wobei jede Komponente
eine stetige Vektorfunktion auf
Funktion vorausgesetzt wird, und es sei
als stetige
. Dann heißt
(17.13a)
inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung im
und
(17.13b)
die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung .
1. Hauptsatz über homogene lineare Differentialgleichungen: Jede Lösung von (17.13a) existiert auf ganz
. Die Gesamtheit aller Lösungen von (17.13b) bildet einen
-glatten Vektorfunktionen über
-dimensionalen Untervektorraum
.
2. Hauptsatz über inhomogene lineare Differentialgleichungen: Die Gesamtheit aller Lösungen
(17.13a) ist ein
der
-dimensionaler affiner Unterraum der
-glatten Vektorfunktionen über
von
in der Form
, wobei
eine beliebige Lösung von (17.13a) ist.
beliebige Lösungen von (17.13b) und
Seien
Dann genügt
auf
der Matrix-Differentialgleichung
eine Basis von
Lösungen
die zugehörige Lösungsmatrix .
Bezüglich einer Lösungsmatrix
, wobei
, so heißt
von (17.13b) ist
ist. Bilden die
Fundamentalmatrix von (17.13b).
die WRONSKI-Determinante . Für sie gilt die
Formel von LIOUVILLE :
(17.13c)
Für eine Lösungsmatrix ist
also genau dann eine Basis von
auf
von (17.13a) mit Anfang
für alle
, wenn
Satz über die Variation der Konstanten: Sei
Lösung
oder
zur Zeit
. Das System
für ein
ist
(und damit für alle) ist.
eine beliebige Fundamentalmatrix von (17.13b). Dann läßt sich die
in der Form
(17.13d)
darstellen.
Tensor 2. Stufe
Im Falle
hat der Tensor
9 Komponenten
die sich in der Matrixform
(4.70a)
anordnen lassen. Das Transformationsgesetz (4.69) lautet dann:
(4.70b)
Damit läßt sich jeder Tensor 2. Stufe als Matrix darstellen.
Beispiel A
Das Trägheitsmoment
den Richtungsvektor
eines Körpers bezüglich einer Geraden
die durch den Nullpunkt geht und
hat, läßt sich in der Form
(4.71a)
darstellen, wenn man mit
(4.71b)
den sogenannten Trägheitstensor einführt. Dabei sind
der Koordinatenachsen und
Koordinatenachsen.
Beispiel B
und
und
die Trägheitsmomente bezüglich
die Deviationsmomente bezüglich der
Der Belastungszustand eines elastisch verformten Körpers wird durch den Spannungstensor
(4.72)
beschrieben. Die Elemente
werden wie folgt erklärt: In einem Punkt
des
elastischen Körpers wählt man ein kleines ebenes Flächenelement, dessen Normale in Richtung der
Achse eines rechtwinklig kartesischen Koordinatensystems zeigt. Die Kraft pro Flächeneinheit auf dieses
Element, die vom Material abhängt, ist ein Vektor mit den Koordinaten
werden die Komponenten bezüglich der übrigen zwei Achsenrichtungen erklärt.
und
Analog
-
Darstellung der rationalen Zahlen
1. Dezimalbruch und Kettenbruch: Jede rationale Zahl
kann in der Form eines endlichen oder
unendlichen periodischen Dezimalbruches oder auch in der Form eines Kettenbruches dargestellt werden.
2. Geometrische Darstellung: Wenn auf einer Geraden ein Anfangspunkt 0 ( Nullpunkt ), eine positive
Richtung ( Orientierung ) und eine Längeneinheit
entspricht jeder rationalen Zahl
( Maßstab ), (s. auch Skala) festgelegt worden sind, dann
ein bestimmter Punkt dieser Geraden.
Er hat die Koordinate
und ist ein sogenannter rationaler Punkt . Die Gerade wird Zahlengerade genannt. Da
die Menge der rationalen Zahlen überall dicht ist, gibt es zwischen je zwei beliebigen rationalen Punkten
unendlich viele weitere rationale Punkte.
Bildungsgesetz
Zahlen werden in Computern in mehreren aufeinanderfolgenden Bytes dargestellt. Basis für die interne Darstellung
bildet das Dualsystem, welches, wie auch das Dezimalsystem, zu den polyadischen Zahlensystemen gehört.
Das Bildungsgesetz für polyadische Zahlensysteme lautet
(19.254)
mit
als Basis und
bilden den ganzen, die mit
als zugelassene Ziffern des Zahlensystems. Die Ziffern mit
den gebrochenen Teil der Zahl.
Im Zusammenhang mit der Nutzung von Computern sind die in der folgenden Tabelle aufgeführten Zahlensysteme
gebräuchlich.
Tabelle Zahlensysteme
Zahlensystem
Basis zulässige Ziffern
Dualsystem
2
Oktalsystem
8
Hexadezimalsystem
(Sedezimalsystem)
16
Dezimalsystem
10
(Die Buchstaben A-F stehen für die Werte 10-15)
Diagonalmatrizen
Diagonalmatrizen sind quadratische Matrizen D, in denen alle außerhalb der Hauptdiagonale liegenden Elemente
gleich Null sind:
(4.7)
Wahl der Pivots
Bei der Durchführung des
ersten Spalte der Matrix
-ten Eliminationsschrittes kommt jedes von Null verschiedene Element
der
als Pivot in Frage. Im Hinblick auf die Genauigkeit der berechneten Lösung sind
jedoch die folgenden Strategien zweckmäßig.
1. Diagonalstrategie:
Als Pivots werden sukzessive die Diagonalelemente gewählt, d.h., es werden keine Zeilenvertauschungen
vorgenommen. Diese Pivotwahl ist in der Regel nur dann sinnvoll, wenn die Elemente der Hauptdiagonalen
gegenüber den übrigen Elementen der betreffenden Zeile betragsmäßig sehr groß sind.
2. Spaltenpivotisierung:
Vor Ausführung des
-ten Eliminationsschrittes wird ein Zeilenindex
so bestimmt, daß gilt:
(19.33)
Falls
ist, dann werden die
-te und die
-te Zeile vertauscht. Es läßt sich zeigen, daß durch diese
Strategie die Fortpflanzung von Rundungsfehlern gedämpft wird.
Unterabschnitte
●
●
Erzeugung durch Integration
Erzeugung mit dem Maxwellschen Diagonalverfahren
Erzeugung neuer Felder
Erzeugung durch Integration
Die Erzeugung neuer Felder aus den komplexen Grundpotentialen kann außer durch Addition auch durch Integration
mit Hilfe von Belegungsfunktionen erfolgen.
Beispiel
Auf einem Linienstück
sei eine Wirbelbelegung mit der Dichte
vorgegeben. Für die Ableitung des
komplexen Potentials ergibt sich dann ein Integral vom CAUCHYschen Typ:
(14.30)
die komplexe Parameterdarstellung der Kurve
wobei
mit der Bogenlänge
als Parameter ist.
Erzeugung mit dem Maxwellschen Diagonalverfahren
Sind zwei Felder mit den Potentialen
und
zu überlagern, dann zeichnet man ihre Potentiallinienbilder
derart, daß von einer Potentiallinie zur nächsten der Wert des Potentials in beiden Systemen um
denselben Wert
von
und
und
Potentiallinienbild
springt, und orientiert die Linien so, daß die höheren
-Werte jeweils zur Linken liegen. In dem
gebildeten Netz ergeben die Linien, die im Zuge der Maschendiagonalen verlaufen, das
eines Feldes, dessen Potential
oder
ist. Das Bild
erhält man, wenn die orientierten Maschenseiten gemäß der linken Abbildung wie Vektoren addiert
werden, das Bild
, wenn sie wie Vektoren subtrahiert werden (rechte Abbildung).
Im zusammengesetzten Bild springt der Wert des Potentials beim Übergang von einer Potentiallinie zur nächsten um
den Wert
( Stufenwert ).
Beispiel
Feld- und Potentiallinienbild einer Quelle und einer Senke mit dem Intensitätsverhältnis
(s. Abbildung).
Statistische Parameter
Nachdem die Meßwerte gemäß Abschnitt Statistische Erfassung gegebener Meßwerte bearbeitet worden sind,
können die folgenden Parameter zur Charakterisierung der Verteilung, die den Meßwerten zu Grunde liegt, bestimmt
werden:
1. Mittelwert: Wenn sämtliche Meßwerte unmittelbar berücksichtigt werden, gilt
(16.111a)
Wenn die Mittelwerte
und Häufigkeiten
der Klassen
benutzt werden, gilt
(16.111b)
2. Streuung: Wenn sämtliche Meßwerte unmittelbar berücksichtigt werden, gilt
(16.112a)
Wenn die Mittelwerte
und Häufigkeiten
der Klassen
benutzt werden, gilt
(16.112b)
Häufig wird auch die Klassenmitte
3. Median: Dieser Parameter
an Stelle von
benutzt.
ist definiert durch
(16.113a)
und wird im diskreten Falle durch
(16.113b)
bestimmt.
4. Spannweite:
(16.114)
5. Modalwert oder Dichtemittel: heißt der Meßwert, der in einer Häufigkeitsverteilung am häufigsten auftritt.
Er wird mit
bezeichnet.
Beispiele für Gruppen
Beispiel A
Zahlenbereiche (außer
) bezüglich Addition.
Beispiel B
und
bezüglich Multiplikation.
Beispiel C
bijektiv
(symmetrische Gruppe).
Beispiel D
bezüglich Hintereinanderausführung von Abbildungen
aller Deckabbildungen eines regelmäßigen
Man betrachte die Menge
-Ecks in der Ebene. Dabei
beschreibt eine Deckabbildung den Übergang zwischen zwei Symmetrielagen des
Bewegung des
-Ecks in eine deckungsgleiche Lage. Werden mit
die Spiegelung an einer Achse bezeichnet, so hat
eine Drehung um
und mit
Elemente:
Bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen bildet
Dabei gilt
-Ecks, d.h. die
eine Gruppe, die Diedergruppe .
und
Der Name ,,Diedergruppe`` erklärt sich daraus, daß man das
zwei ebenen Flächenstücken (``Di-eder``) begrenzt wird.
-Eck als starren Körper auffaßt, der von
Beispiel E
Alle regulären Matrizen über den reellen bzw. komplexen Zahlen bezüglich Multiplikation.
Hinweis: Matrizen spielen in Anwendungen eine besondere Rolle, insbesondere zur Darstellung linearer
Transformationen. Lineare Transformationen lassen sich durch Matrizengruppen klassifizieren.
Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme
Das invertierbare dynamische System
auf
volumenerhaltend oder konservativ , wenn für jede Menge
Volumen vol
gilt.
Beispiel A
und jedes
die Beziehung vol(
heißt volumenschrumpfend oder dissipativ bzw.
mit einem positiven
vol
-dimensionalen
bzw. vol
vol
Sei
in (17.3) ein
und
sind
-Diffeomorphismus , d.h.,
-glatte Abbildungen, und sei
ist invertierbar,
die JACOBI-Matrix von
das diskrete System (17.3) dissipativ, falls
in
falls
für alle
offen,
in
. Dann ist
ist, und konservativ,
ist.
Beispiel B
Für das System (17.6) ist
(17.6) dissipativ, falls
und damit
, und konservativ, falls
. Also ist
.
Die HÉNON-Abbildung läßt sich aus drei Teilabbildungen zusammensetzen (s. Abbildung): Zunächst wird
der Ausgangsbereich (linkes Bild) durch die Abbildung
gedehnt und gebogen (2. Bild). Dann wird durch
kontrahiert (3. Bild) und abschließend durch die Abbildung
Geraden
gespiegelt (rechtes Bild).
flächenerhaltend
in Richtung der
-Achse bei
an der
Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen
Das Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen
mit dem Symbol
wird als Differential des ersten Differentials gebildet:
(6.45)
Diese Symbole sind allerdings nur geeignet, wenn
z.B. in der Form
eine unabhängige Veränderliche ist, und nicht geeignet, wenn
gegeben ist.
Die Differentiale höherer Ordnung werden in analoger Weise definiert.
Wenn die Variablen
kompliziertere Formeln.
selbst Funktionen anderer Veränderlicher sind, ergeben sich
Begriff des Differentials
Für jede der Variablen
läßt sich ein Differential
bilden. Die
Definition fällt unterschiedlich aus, je nachdem, ob es sich um das Differential einer unabhängigen Variablen oder um
das einer Funktion handelt:
1. Differential einer unabhängigen Variablen
nennt man den beliebigen Zuwachs der Größe
gemäß
(6.37a)
Dabei kann man
einen beliebigen Wert beimessen.
2. Differential einer Funktion
nennt man für einen gegebenen
einer Veränderlichen
-Wert und einen gegebenen Wert des Differentials
das Produkt
(6.37b)
3. Geometrische Bedeutung des Differentials:
Wenn die Funktion durch eine Kurve in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt ist, dann ist
der
Zuwachs, den die Ordinate der Kurventangente im Punkt
für einen gegebenen Zuwachs
erfährt.
Haupteigenschaften des Differentials
1. Invarianz:
Unabhängig davon, ob
gilt
eine unabhängige Variable oder eine Funktion von einer weiteren Variablen
ist,
(6.38)
2. Größenordnung:
Wenn
eine beliebig kleine Größe ist, dann sind auch
und
beliebig kleine, aber äquivalente Größen, d.h.
.
Infolgedessen ist die Differenz zwischen ihnen ebenfalls eine beliebig kleine Größe, aber von höherer Ordnung
als
und
Daraus ergibt sich die Beziehung
(6.39)
die es gestattet, die Berechnung kleiner Inkremente auf die Berechnung ihres Differentials zurückzuführen.
Bei näherungsweisen Berechnungen, z.B. gemäß Mittelwertsatz der Differentialrechnung oder mit
Fehlerfortpflanzungsgesetz wird davon Gebrauch gemacht.
Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg
Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg wird auch Integrabilität des
vollständigen Differentials genannt.
●
●
●
●
Zweidimensionaler Fall
Dreidimensionaler Fall
Berechnung der Stammfunktion
Verschwinden des Umlaufintegrals
Partielles Differential
Von einer Funktion von mehreren Veränderlichen
dieser Veränderlichen, z.B. nach
kann das partielle Differential nach einer
gebildet werden, was durch die Gleichung
(6.40)
definiert ist.
Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
Differenzierbarkeit
Man nennt eine Funktion von mehreren Veränderlichen
im Punkt
differenzierbar, wenn sich der vollständige
Zuwachs der Funktion
(6.41a)
beim Übergang zu einem beliebig nahe benachbarten Punkt
mit den beliebig kleinen Größen
von der Summe der partiellen Differentiale der Funktion nach allen Variablen
(6.41b)
um eine beliebig kleine Größe höherer Ordnung unterscheidet als der Abstand
(6.41c)
Differenzierbar ist jede stetige Funktion von mehreren Variablen, die stetige partielle Ableitungen nach allen ihren
Variablen besitzt. Umgekehrt folgt die Differenzierbarkeit einer Funktion nicht aus der bloßen Existenz der partiellen
Ableitungen.
●
Differenzierbarkeit
Vollständiges Differential zweiter Ordnung
Vollständiges Differential zweiter Ordnung einer Funktion zweier Veränderlicher
(6.46a)
bzw. symbolisch
(6.46b)
Vollständiges Differential
1. Definition:
eine differenzierbare Funktion ist, wird die Summe (6.41b) das vollständige Differential der Funktion
Wenn
genannt:
(6.42a)
Mit Hilfe der Vektoren
(6.42b)
(6.42c)
läßt sich das totale Differential als Skalarprodukt
(6.42d)
unabhängigen Variablen.
darstellen. In der zweiten Gleichung handelt es sich um den Gradienten für den Fall von
2. Haupteigenschaft des vollständigen Differentials
wird in Analogie zum Differential einer Funktion von einer Veränderlichen die in (6.38) formulierte Invarianz in
bezug auf die enthaltenen Variablen genannt.
3. Anwendung in der Fehlerrechnung:
Im Rahmen der Fehlerrechnung, z.B. bei der Betrachtung der Fehlerfortpflanzung, wird das totale Differential
zur Schätzung des Fehlers
(s. (6.41a)) verwendet. Aus der TAYLORschen Formel folgt
(6.43)
d.h., der absolute Fehler
Approximation für
kann in erster Näherung durch
ersetzt werden. Damit ist
eine lineare
Vollständiges Differential n-ter Ordnung
Das vollständige Differential
-ter Ordnung einer Funktion zweier Veränderlicher ergibt sich zu
(6.47)
Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen
●
●
Funktion von einer Veränderlichen
Funktion von zwei Veränderlichen
Kapitel 9:
Differentialgleichungen
1. Differentialgleichung wird eine Gleichung genannt, in der neben einer oder mehreren unabhängigen
Veränderlichen und einer oder mehreren Funktionen dieser Veränderlichen auch noch die Ableitungen dieser
Funktionen nach den unabhängigen Veränderlichen auftreten. Die Ordnung einer Differentialgleichung ist
gleich der Ordnung der höchsten in ihr auftretenden Ableitung.
2. Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen unterscheiden sich nach der Anzahl der in ihnen
enthaltenen unabhängigen Veränderlichen; im ersten Falle tritt nur eine auf, im zweiten mehrere.
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
●
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●
●
Existenzsatz, Richtungsfeld
Wichtige Integrationsmethoden
Implizite Differentialgleichungen
Singuläre Integrale und singuläre Punkte
Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Allgemeine gewöhnliche Differentialgleichung
Differentialgleichung
-ter Ordnung Allgemeine gewöhnliche
-ter Ordnung in impliziter Form nennt man die Gleichung
(9.1)
Ist diese Gleichung nach
Differentialgleichung
aufgelöst, dann hat man die explizite Form einer gewöhnlichen
-ter Ordnung.
2. Lösung oder Integral einer Differentialgleichung ist jede Funktion, die ihr in einem Intervall
das auch unendlich sein kann, genügt. Eine Lösung, die
willkürliche Konstanten
zusätzliche Bedingungen auferlegt werden können, heißt allgemeine Lösung oder
so daß ihr noch
allgemeines Integral . Erteilt man jeder dieser Konstanten einen festen Zahlenwert, so erhält man ein
partikuläres Integral oder eine partikuläre Lösung .
,
enthält,
Beispiel
Die Differentialgleichung
hat die allgemeine Lösung
. Für
●
●
●
ergibt sich die partikuläre Lösung
Differentialgleichungen 1. Ordnung
Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen
Randwertprobleme
.
Allgemeines Integral
Die Gesamtheit aller Integralkurven hängt von einem Parameter ab und kann durch die Gleichung
(9.5a)
, die willkürliche Konstante,
der zugehörigen einparametrigen Kurvenschar beschrieben werden. Der Parameter
ist frei wählbar und unbedingter Bestandteil des allgemeinen Integrals jeder Differentialgleichung erster Ordnung.
Ein partikuläres Integral
, das der Bedingung
Integral (9.5a) gewonnen werden, indem
genügt, kann aus dem allgemeinen
aus der Gleichung
(9.5b)
bestimmt wird.
Differentialgleichungen auf dem Torus
Sei
(17.81)
eine ebene Differentialgleichung, in der
und
differenzierbare und 1periodische Funktionen in beiden
Argumenten sind. In diesem Fall definiert (17.81) einen Fluß, der auch als Fluß auf dem Torus
bezüglich
und
interpretiert werden kann. Ist
für alle
, so besitzt (17.81)
keine Ruhelage und ist äquivalent zur skalaren Differentialgleichung 1. Ordnung
(17.82)
Mit den Bezeichnungen
Differentialgleichung
und
läßt sich (17.82) als nichtautonome
(17.83)
schreiben, deren rechte Seite 1periodisch bezüglich
Anfang
zur Zeit
und
ist. Es sei
die Lösung von (17.83) mit
. Damit kann man (17.83) eine Abbildung
Abbildung einer Abbildung
zuordnen, die als geliftete
gelten kann.
Beispiel
Seien
die für
Konstanten und
eine Differentialgleichung auf dem Torus,
der skalaren Differentialgleichung
und
äquivalent ist. Damit ist
.
Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
Betrachtet wird die nichtautonome Differentialgleichung (17.11). Die Lösung
von (17.11) heißt
LYAPUNOV-stabil , wenn gilt:
(17.16a)
Die Lösung
heißt asymptotisch stabil im Sinne von LYAPUNOV, wenn sie stabil ist und gilt:
(17.16b)
Für die autonome Differentialgleichung (17.1) läßt sich neben der LYAPUNOV-Stabilität der Lösungen auch die orbitale
Stabilität betrachten. Die Lösung
von (17.1) heißt orbital stabil ( asymptotisch orbital stabil ), wenn der Orbit
stabil (asymptotisch stabil) im Sinne einer invarianten Menge ist. Eine Lösung von
(17.1), die eine Ruhelage repräsentiert, ist genau dann LYAPUNOV-stabil, wenn sie orbital stabil ist. Schon für
periodische Lösungen von (17.1) können sich beide Stabilitätsarten unterscheiden.
Beispiel
Gegeben sei ein Fluß in
, der den Torus
Winkelkoordinaten der Fluß beschrieben durch
als invariante Menge besitzt. Lokal sei in
, wobei
-periodische glatte Funktion sei, für die gilt:
Eine beliebige Lösung mit Anfang
auf dem Torus ist gegeben durch
An dieser Darstellung erkennt man, daß jede Lösung orbital stabil ist, aber nicht LYAPUNOV-stabil
(s. Abbildung).
eine
Fortsetzbarkeit der Lösungen
Neben der Differentialgleichung (17.1), die wir autonom nennen, treten auch Differentialgleichungen auf, deren rechte
Seite explizit von der Zeit abhängt und die deshalb nichtautonom heißen:
(17.11)
Dabei sei
mit
eine
-Abbildung. Durch die neue Variable
sich (17.11) als autonome Differentialgleichung
(17.11) mit Anfang
zur Zeit
wird mit
läßt
interpretieren. Die Lösung von
bezeichnet.
Um die globale Existenz der Lösungen und damit die Existenz eines Flusses von (17.1) zu zeigen, sind folgende
Sätze oft hilfreich.
1. Kriterium von WINTNER und CONTI: Ist in (17.1)
, so daß
und existiert eine stetige Funktion
für alle
gilt und ist
, so läßt sich jede Lösung von (17.1) auf ganz
fortsetzen.
Beispiel
Für das Kriterium von WINTNER und CONTI sind folgende Funktionen geeignet:
und
, wobei
eine Konstante ist.
2. Fortsetzungsprinzip: Bleibt eine Lösung von (17.1) für wachsende Zeiten beschränkt, so existiert sie für
alle positiven Zeiten und damit auf ganz
.
Voraussetzung: Im weiteren wird stets die Existenz eines Flusses
von (17.1) vorausgesetzt.
Autonome lineare Differentialgleichungen
Gegeben sei im
die Differentialgleichung
(17.14)
wobei
eine konstante Matrix vom Typ
Die Operator-Norm einer Matrix
für die Vektoren des
Seien
und
ist durch
gegeben, wobei
wieder die EUKLIDische Norm vereinbart sei.
zwei beliebige Matrizen vom Typ
a)
.
b)
ist.
. Dann gilt:
.
c)
.
d)
.
e)
, wobei
Die Fundamentalmatrix mit Anfang
der größte Eigenwert von
zur Zeit
ist.
von (17.14) ist die Matrix-Exponentialfunktion
(17.15)
mit folgenden Eigenschaften:
a)
Die Reihe für
jedes
b)
absolut.
konvergiert bezüglich
auf einem beliebigen kompakten Zeitintervall gleichmäßig und für
.
c)
.
d)
.
e)
ist für alle
regulär und
.
f)
Sind
und
und
kommutative Matrizen vom Typ
, d.h. gilt
, so ist
.
g)
Sind
und
Matrizen vom Typ
und ist
regulär, so ist
.
BERNOULLIsche Differentialgleichung
BERNOULLIsche Differentialgleichung wird die Gleichung
(9.12)
genannt, die sich mittels Division durch
und Einführung der neuen Variablen
auf eine lineare
Differentialgleichung zurückführen läßt.
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
Division durch
zu integrieren. Da
und Einführung der neuen Variablen
, erhält man mittels
die Gleichung
.
Nach der Formel für die Lösung einer linearen Differentialgleichung ist
und
.
Somit ergibt sich
.
Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
Die Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung ist der Integration des sogenannten
charakteristischen Systems
(9.69a)
äquivalent. Zur Lösung dieses Systems können zwei Wege eingeschlagen werden:
1.
Man kann als unabhängige Variable ein beliebiges
auswählen, für das
gilt, so daß das System
in die Form
(9.69b)
übergeht.
2.
Bequemer ist es, unter Beibehaltung der Symmetrie eine neue unabhängige Variable
einzuführen, indem
(9.69c)
gesetzt wird.
Jedes erste Integral des Systems (9.69a) ist eine Lösung der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung
(9.68b) und umgekehrt, jede Lösung von (9.68b) ist ein erstes Integral von (9.68a) (s. Allgemeine Lösung). Wenn
hierbei
erste Integrale
(9.69d)
unabhängig sind (s. Fundamentalsystem von Lösungen), dann gilt
(9.69e)
Dabei ist
eine beliebige Funktion der
Argumente
und eine allgemeine Lösung von (9.68b).
Allgemeine Methoden
Die Differentialgleichung
(9.49a)
1. Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung, d.h.
, lautet
(9.49b)
Dabei sind
Lösung
und
zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen dieser Gleichung. Wenn eine partikuläre
bekannt ist, dann kann die zweite
mit der aus der Formel (9.35) von LIOUVILLE folgenden Gleichung
(9.49c)
beliebig wählbar ist.
bestimmt werden, wobei
2. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung kann mit Hilfe der Formel
(9.49d)
gewonnen werden, wobei
und
zwei partikuläre Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung
sind.
3. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung kann auch mit Hilfe der Methode der
Variation der Konstanten bestimmt werden.
Die Differentialgleichung
(9.50a)
enthalte Funktionen
und
Gebiet in konvergente Reihen nach Potenzen von
, die Polynome sind oder Funktionen, die in einem gewissen
entwickelt werden können, wobei
muß. Die Lösungen dieser Differentialgleichung können dann ebenfalls nach Potenzen von
sein
in Reihen
entwickelt werden, die in demselben Gebiet konvergieren. Ihre Bestimmung erfolgt mit Hilfe der Methode der
unbestimmten Koeffizienten: Die gesuchte Lösung wird als Reihe der Form
(9.50b)
angesetzt und in die Differentialgleichung (9.50a) eingesetzt. Gleichsetzen der Koeffizienten gleicher Potenzen von
liefert Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten
.
Beispiel
Zur Lösung der Differentialgleichung
wird
und
gesetzt. Man erhält
. Die Lösung dieser Gleichungen liefert
,
so daß sich als Lösung ergibt:
.
Die Differentialgleichung
(9.51a)
kann für den Fall, daß sich die Funktionen
und
in konvergente Reihen von
entwickeln lassen, mit
Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten gelöst werden. Die Lösungen haben die Form
(9.51b)
deren Exponenten
aus der definierenden Gleichung
(9.51c)
bestimmt werden. Wenn die Wurzeln dieser Gleichung verschieden sind und ihre Differenz nicht ganzzahlig ist, dann
ergeben sich zwei unabhängige Lösungen von (9.51a). Anderenfalls liefert die Methode der unbestimmten
Koeffizienten nur eine Lösung. Dann kann mit Hilfe von (9.49b) eine zweite Lösung ermittelt werden oder wenigstens
eine Form gesucht werden, aus der eine Lösung mittels der Methode der unbestimmten Koeffizienten gewonnen
werden kann.
Beispiel
Für die BESSELsche Differentialgleichung (9.52a) erhält man mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten
nur eine Lösung der Form
übereinstimmt. Als zweite Lösung findet man wegen
, die bis auf einen konstanten Faktor mit
mit der Formel (9.49c)
Die Bestimmung der Koeffizienten
und
aus den
gestaltet sich schwierig. Man kann jedoch den
letzten Ausdruck benutzen, um die Lösung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten zu ermitteln.
Offensichtlich ist diese Form eine Reihenentwicklung der Funktion
(9.53c).
STURM- LIOUVILLEsches Problem
Für einen festen Wert des Parameters
gibt es zwei Fälle:
1.
Das inhomogene Randwertproblem besitzt eine eindeutige Lösung bei beliebigem
, während das
zugehörige homogene Problem lediglich die triviale, identisch verschwindende Lösung besitzt, oder
2.
das zugehörige homogene Problem besitzt nichttriviale, d.h. nicht verschwindende Lösungen. Dann ist das
inhomogene Problem nicht für beliebige rechte Seiten lösbar; im Falle der Existenz einer Lösung ist diese nicht
eindeutig bestimmt.
, für die der zweite Fall eintritt, d.h. das homogene Problem eine nichttriviale Lösung
Die Werte des Parameters
hat, werden Eigenwerte des Randwertproblems genannt, die zugehörigen nichttrivialen Lösungen seine
Eigenfunktionen . Die Aufgabe, die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Differentialgleichung (9.64a) zu bestimmen,
nennt man das STURM- LIOUVILLEsche Problem .
Allgemeine Form
Allgemeine Form einer linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen
und einer unbekannten Funktion
heißt eine Gleichung der Gestalt
(9.79a)
wobei die Koeffizienten
und das freie Glied
bekannte Funktionen von
und
sind.
Die Form der Lösung dieser Differentialgleichung hängt vom Vorzeichen der Diskriminante
(9.79b)
in einem betrachteten Gebiet ab. Man unterscheidet die folgenden Formen:
1.
: Hyperbolischer Typ.
2.
: Parabolischer Typ.
3.
: Elliptischer Typ.
4.
ändert sein Vorzeichen: Gemischter Typ.
Eine wichtige Eigenschaft der Diskriminante
besteht darin, daß ihr Vorzeichen invariant ist gegen beliebige
Transformationen der unabhängigen Variablen, z.B. bei der Einführung neuer Koordinaten in der
-Ebene. Somit
ist auch der Typ der Differentialgleichung eine Invariante bezüglich der Wahl der unabhängigen Variablen.
Entwicklung nach Eigenfunktionen
●
●
Nichtsinguläre Fälle
Singuläre Fälle
Unterabschnitte
●
●
●
1. Fall
2. Fall
EULERsche Differentialgleichung:
Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten können durch Variation der
Konstanten, mit der Methode von CAUCHY oder mit Hilfe der Operatorenmethode ermittelt werden. Eine partikuläre
Lösung kann sehr schnell gefunden werden, wenn die rechte Seite von (9.12) eine spezielle Form hat.
1. Fall
(9.43a)
Eine partikuläre Lösung ist
(9.43b)
Wenn
eine
-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, d.h. wenn gilt
(9.43c)
dann ist
eine partikuläre Lösung. Diese Formeln können durch Anwendung des Zerlegungssatzes
auch verwendet werden, wenn
(9.43d)
ist. Die zugehörigen partikulären Lösungen ergeben sich als Real- bzw. Imaginärteil der Lösung derselben
Differentialgleichung für
(9.43e)
auf der rechten Seite.
Beispiel A
ergeben sich die Polynome
Für die Differentialgleichung
und
so daß die Lösung lautet
.
,
Beispiel B
führt auf die Gleichung
Die Differentialgleichung
. Aus ihrer Lösung
erhält man eine partikuläre Lösung
der Differentialgleichung. Dabei ist
der Imaginärteil von
.
2. Fall
,
ist ein Polynom
-ten Grades:
Eine partikuläre Lösung kann immer in der gleichen Form gefunden werden, d.h. als Ausdruck
ist ein mit
multipliziertes Polynom
-ten Grades, wenn
eine
.
-fache Wurzel der
charakteristischen Gleichung ist. Geht man von einem Lösungsansatz mit unbestimmten Koeffizienten des Polynoms
aus und fordert man, daß er der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung genügt, dann können die
unbekannten Koeffizienten aus einem Satz linearer algebraischer Gleichungen bestimmt werden. Die Methode ist
für
besonders in den Fällen
für
und
oder
anwendbar. Hier wird eine Lösung der Form
gesucht.
Beispiel
gehörenden
Die Wurzeln der zur Differentialgleichung
charakteristischen Gleichung sind
. Da der Superpositionssatz gilt,
können die partiellen Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für die einzelnen Summanden der
rechten Seite der Reihe nach gesucht werden. Für den ersten Summanden liefert das Einsetzen des
Ansatzes
in die rechte Seite
, woraus folgt:
. Für den zweiten Summanden liefert das gleiche Vorgehen
. Die Koeffizientenbestimmung ergibt
, also
und
. Die allgemeine Lösung lautet folglich
.
EULERsche Differentialgleichung:
Die EULERsche Differentialgleichung
(9.44a)
kann mit Hilfe der Substitution
(9.44b)
auf eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zurückgeführt werden.
Beispiel
Die Differentialgleichung
Differentialgleichung für
ist ein Spezialfall der EULERschen
. Sie kann mit Hilfe der Substitution
in die in einem
vorangegangen Beispiel untersuchte lineare Differentialgleichung
übergeführt
werden. Die allgemeine Lösung ergibt sich zu
.
Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
Für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe erhält man eine notwendige Bedingung auf folgende Weise: Zur
Extremalen
, die durch (10.12) charakterisiert ist, konstruiert man sogenannte Vergleichsfunktionen
(10.13)
mit einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
genügt. Mit
erhält man an Stelle des Funktionals
, die den speziellen Randbedingungen
wird ein reeller Parameter bezeichnet. Setzt man (10.13) in (10.11) ein, dann
die von
abhängige Funktion
(10.14)
und die Forderung, daß
das Funktional
zu einem Extremum macht, geht in die Bedingung über, daß
als Funktion von
für
einen Extremwert hat. Aus einer Variationsaufgabe wird dadurch eine
Extremwertaufgabe, für die die notwendige Bedingung
(10.15)
gelten muß.
als Funktion von drei unabhängigen Variablen entsprechend oft
Unter der Voraussetzung, daß der Integrand
differenzierbar ist, erhält man mit Hilfe seiner TAYLOR-Entwicklung
(10.16)
Die notwendige Bedingung (10.15) führt auf
(10.17)
und daraus folgt durch partielle Integration und Berücksichtigung der Randbedingungen für
:
(10.18)
Aus Stetigkeitsgründen und da das Integral in (10.18) für jede der in Frage kommenden Funktionen
verschwinden soll, muß
(10.19)
gelten. Die Gleichung (10.19) stellt eine notwendige Bedingung für die einfache Variationsaufgabe dar und heißt
EULERsche Differentialgleichung der Variationsrechnung . Die Differentialgleichung (10.19) kann man auch in der
Form
(10.20)
schreiben. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, wenn
ist.
Die EULERsche Differentialgleichung vereinfacht sich in folgenden Spezialfällen:
1.
, d.h.,
und
treten nicht auf. Dann erhält man an Stelle von (10.19)
(10.21a)
und
(10.21b)
2.
, d.h.,
tritt nicht auf. Man betrachtet
(10.22a)
und erhält wegen (10.19)
(10.22b)
d.h.
(10.22c)
als notwendige Bedingung für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe im Falle
.
Beispiel A
Für die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte
gelten:
und
in der
-Ebene muß
(10.23a)
Aus (10.22b) folgt für
(10.23b)
also
, d.h., die kürzeste Verbindungslinie ist die Gerade.
Beispiel B
Läßt man einen Kurvenbogen
, der die Punkte
und
verbindet, um die
-
Achse rotieren, dann entsteht eine Mantelfläche mit dem Flächeninhalt
(10.24a)
Für welche Kurve
ist der Flächeninhalt am kleinsten? Mit
folgt aus
(10.22c):
oder
mit
. Diese Differentialgleichung läßt sich
durch Trennung der Variablen lösen, und man erhält
(10.24b)
die Gleichung der sogenannten Kettenlinie.
Die Konstanten
und
sind mit Hilfe der Randbedingungen
und
zu bestimmen. Das
erfordert die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems, für dessen Lösbarkeit weitere Untersuchungen
notwendig sind.
Variationsaufgaben in Parameterdarstellung
Bei manchen Variationsaufgaben ist es zweckmäßig, die Extremale nicht in der expliziten Form
anzugeben, sondern von deren Parameterdarstellung
(10.38)
auszugehen, wobei
und
die den Punkten
und
entsprechenden Parameterwerte sein sollen.
Die einfache Variationsaufgabe lautet dann
(10.39a)
mit den Randbedingungen
(10.39b)
Mit
und
bezeichnet.
werden, wie bei Parameterdarstellung üblich, die Ableitungen von
und
nach dem Parameter
Das Variationsproblem (10.39a) ist nur dann sinnvoll, wenn der Wert des Integrals von der Parameterdarstellung der
Extremale unabhängig ist. Es gilt: Damit das Integral in (10.39a) von der Parameterdarstellung der Kurve, die die
Punkte
und
verbindet, unabhängig ist, muß
eine positiv homogene Funktion sein, d.h., es muß
(10.40)
gelten.
Da die Variationsaufgabe (10.39a) als Spezialfall von (10.34) aufgefaßt werden kann, lauten die zugehörigen
EULERschen Differentialgleichungen
(10.41)
Diese sind nicht unabhängig voneinander, sondern äquivalent der sogenannten WEIERSTRASSschen Form der
EULERschen Differentialgleichung:
(10.42a)
mit
(10.42b)
Ausgehend von der Berechnung des Krümmungskreisradius
einer in Parameterdarstellung gegebenen Kurve,
erfolgt die Berechnung des Krümmungskreisradius der Extremalen unter Berücksichtigung von (10.42a) gemäß
(10.42c)
Beispiel
Das isoperimetrische Problem (10.8a bis 10.8c) lautet in Parameterdarstellung
(10.43a)
mit
(10.43b)
Diese Variationsaufgabe mit Nebenbedingung geht gemäß (10.26) mit
(10.43c)
in eine Variationsaufgabe ohne Nebenbedingung über. Man sieht, das
positiv homogene Funktion vom Grade 1 ist. Weiterhin gilt
die Bedingung (10.40) erfüllt, also eine
(10.43d)
so daß man aus (10.42c) für den Krümmungskreisradius
Kreise.
erhält. Da
konstant ist, sind die Extremalen
Exakte Differentialgleichung
Exakte Differentialgleichung wird eine Gleichung der Form
(9.9a)
genannt, wenn eine Funktion
existiert, die der Gleichung
(9.9b)
genügt, d.h. wenn die linke Seite von (9.9a) das totale Differential einer Funktion
ist. Die notwendige und
hinreichende Bedingung dafür, daß die Gleichung (9.9a) eine exakte Differentialgleichung ist, besteht darin, daß die
Funktionen
und
sowie ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung in einem einfach
zusammenhängenden Gebiet stetig sind und die Bedingung
(9.9c)
erfüllen. Das allgemeine Integral von (9.9a) ist in diesem Falle die Funktion
(9.9d)
die gemäß Berechnung der Stammfunktion (8.132b) als Integral
(9.9e)
berechnet werden kann, wobei
und
beliebig gewählt werden können.
Existenz einer Lösung, LIPSCHITZ-Bedingung
1. Nach dem Existenzsatz von CAUCHY existiert für die Differentialgleichung
(9.2)
den Wert
wenigstens eine Lösung, die an der Stelle
definiert und stetig ist, wenn die Funktion
und
annimmt und in einem gewissen Intervall um
in einer Umgebung
des Punktes
, die durch
festgelegt ist, stetig ist.
2. LIPSCHITZ-Bedingung bezüglich
nennt man die Forderung
(9.3)
für alle
aus
, wobei
nicht von
Lösung von (9.2) eindeutig und eine stetige Funktion von
und
abhängen darf. Ist sie erfüllt, dann ist die
. Die Erfüllung der LIPSCHITZ-Bedingung ist stets dann
gegeben, wenn
in dem betrachteten Gebiet eine beschränkte partielle Ableitung
besitzt. Im
Abschnitt Singuläre Integrale und singuläre Punkte sind Fälle angeführt, in denen die Voraussetzungen des
CAUCHYschen Existenzsatzes nicht erfüllt sind.
Fluß einer Differentialgleichung
Gegeben sei eine gewöhnliche Differentialgleichung
(17.1)
wobei
offene Teilmenge des
(Vektorfeld) eine
-mal stetig differenzierbare Abbildung ist und
darstellt. Im weiteren wird im
ist
beliebiges
Schreibt man die Abbildung
in Komponenten als
skalaren Differentialgleichungen
stets die EUKLIDische Norm
oder eine
benutzt, d.h., für
.
, so ist (17.1) das System aus den
.
Die Sätze über die lokal eindeutige Lösbarkeit von PICARD-LINDELÖF und über die
-malige Differenzierbarkeit nach
den Anfangsbedingungen (s. Lit. 17.6) garantieren, daß für jedes
aus
eine Zahl
, eine Kugel
und eine Abbildung
existieren,
so daß gilt:
1.
ist
-mal stetig differenzierbar bezüglich des ersten Arguments (Zeit) und
-mal stetig
differenzierbar bezüglich des zweiten Arguments (Ortsvariable).
2.
ist für jedes fixierte $xB_(x_0)eine lokal eindeutige Lösung von (17.1) auf dem Zeitintervall
mit Anfang
zur Zeit
, d.h., es gilt
für alle
, und jede andere Lösung mit Anfang
Zeiten
mit
stimmt für kleine
überein.
Alle lokalen Lösungen von (17.1) seien eindeutig auf ganz
(17.1) eine Abbildung
zur Zeit
fortsetzbar. Dann gibt es zu jeder Differentialgleichung
mit folgenden Eigenschaften:
1.
.
2.
.
3.
ist bezüglich des ersten Arguments
-mal und bezüglich des zweiten Arguments
-mal
stetig differenzierbar.
4.
ist für jedes fixierte
Der zu (17.1) gehörige
Bewegungen
eine Lösung von (17.1) auf ganz
.
-glatte Fluß läßt sich dann durch die Beziehung
definieren. Die
eines Flusses von (17.1) heißen Integralkurven .
In dem folgenden Beispiel wird das LORENZ-System betrachtet.
Beispiel
Das System
(17.2)
heißt LORENZ-Systemder konvektiven Turbulenz . Dabei sind
LORENZ-System entspricht ein
-Fluß in
.
und
Parameter. Dem
Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der FourierTransformation
Ein wichtiger Anwendungsbereich der FOURIER-Transformation ist analog zur LAPLACE-Transformation die Lösung
von Differentialgleichungen, weil diese durch die genannten Integraltransformationen eine einfache Form erhalten. Im
Falle von gewöhnlichen Differentialgleichungen entstehen algebraische Gleichungen, im Falle von partiellen
Differentialgleichungen gewöhnliche.
●
●
Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen
Genäherte Integration von gewöhnlichen
Differentialgleichungen
In vielen Fällen ist die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung nicht mehr durch einen geschlossenen
Formelausdruck, der bekannte elementare und höhere Funktionen enthält, darstellbar. Die dennoch unter sehr
allgemeinen Voraussetzungen vorhandene Lösung muß dann durch numerische Verfahren bestimmt werden. Diese
liefern nur partikuläre Lösungen, ermöglichen aber eine sehr hohe Genauigkeit. Da man bei Differentialgleichungen
von höherer als 1. Ordnung zwischen Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben unterscheidet, sind für diese
beiden Aufgabenklassen auch unterschiedliche Verfahren entwickelt worden.
●
●
Anfangswertaufgaben
Randwertaufgaben
Graphische Integration von Differentialgleichungen
Die Graphische Integration von Differentialgleichungen ist ein Verfahren, das vom Begriff des
Richtungsfeldes ausgeht. Die Integralkurve wird durch einen vom gegebenen Anfangspunkt ausgehenden
Polygonzug dargestellt (s. Abbildung), der aus kurzen Teilstrecken zusammengesetzt wird.
Die Richtungen der Teilstrecken stimmen jeweils mit der Richtung des Richtungsfeldes im Anfangspunkt der
Teilstrecke überein. Dieser ist seinerseits zugleich Endpunkt der vorhergehenden Teilstrecke.
Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen
●
●
●
●
●
●
Grundlegende Betrachtungen
Erniedrigung der Ordnung
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Unterabschnitte
●
●
Konstanten und geometrische Bedeutung:
Berechnung eines ersten Integrals:
Allgemeine Lösung
Konstanten und geometrische Bedeutung:
1. Konstanten: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (9.4) enthält
Konstanten:
unabhängige willkürliche
(9.26a)
2. Geometrische Bedeutung: Geometrisch betrachtet, wird durch die Gleichung (9.26a) eine -parametrige
Schar von Integralkurven definiert. Jede einzelne dieser Integralkurven, d.h. das Kurvenbild der
entsprechenden partikulären Lösung, kann durch spezielle Wahl der willkürlichen Konstanten
erhalten werden. Wenn das partikuläre Integral den oben angegebenen
Anfangsbedingungen genügen soll, dann müssen die Werte
aus den folgenden
Gleichungen ermittelt werden:
(9.26b)
Sollten diese Gleichungen für die willkürlichen Anfangswerte in einem bestimmten Gebiet einander widersprechen,
dann ist die Lösung in diesem Gebiet nicht allgemein, d.h., die willkürlichen Konstanten sind nicht voneinander linear
unabhängig.
Berechnung eines ersten Integrals:
Auch die allgemeine Lösung des Systems (9.23a) enthält
willkürliche Konstanten. Diese allgemeine Lösung läßt
sich auf zweierlei Weise darstellen, entweder aufgelöst nach den unbekannten Funktionen
(9.27a)
oder aufgelöst nach den willkürlichen Konstanten
(9.27b)
Im Falle von (9.26b) ist jede Beziehung der Art
(9.27c)
ein erstes Integral des Systems (9.23a). Das erste Integral kann unabhängig vom allgemeinen Integral als Beziehung
der Art (9.27c) definiert werden. Dabei wird davon ausgegangen, daß (9.27c) zur Identität wird, wenn anstelle der
irgendeine partikuläre Lösung des gegebenen Systems mit einer durch diese partikuläre Lösung
bestimmten willkürlichen Konstanten
ist, dann genügt die Funktion
eingesetzt wird. Wenn irgendein erstes Integral der Form (9.27c) bekannt
der partiellen Differentialgleichung
(9.27d)
Umgekehrt, jede Lösung
der Differentialgleichung (9.27d) liefert ein erstes Integral des
Systems (9.23a) in der Form (9.27c). Das allgemeine Integral des Systems (9.27a) kann aus einem System von
ersten Integralen des Systems (9.23a) gebildet werden, für die die zugehörigen Funktionen
linear unabhängig sind.
Unterabschnitte
●
●
●
Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:
Existenz eines Lösungssystems:
LIPSCHITZ-Bedingung:
Existenz einer Lösung
Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:
Jede explizite Differentialgleichung
-ter Ordnung
(9.22a)
kann durch Einführung der neuen Variablen
(9.22b)
auf ein System von
Differentialgleichungen 1. Ordnung
(9.22c)
zurückgeführt werden.
Existenz eines Lösungssystems:
Das im Vergleich zu (9.22c) allgemeinere System von
Differentialgleichungen
(9.23a)
besitzt ein eindeutig bestimmtes Lösungssystem
(9.23b)
das in einem Intervall
definiert und stetig ist und für
die vorgegebenen
annimmt, wenn die Funktionen
Anfangswerte
bezüglich aller Variablen stetig sind und die folgende LIPSCHITZ-Bedingung erfüllen.
LIPSCHITZ-Bedingung:
Die Funktionen
müssen für die Werte
und
der gegebenen Anfangswerte liegen, den Ungleichungen
, die in einem gewissen Intervall in der Umgebung
(9.24)
mit einer gemeinsamen Konstanten
genügen (s. auch LIPSCHITZ-Bedingung für Differentialgleichungen
1. Ordnung). Daraus folgt, vorausgesetzt die Funktion
ist stetig und erfüllt die LIPSCHITZ-
Bedingung (9.24), daß auch die Gleichung
(9.25)
eine eindeutige Lösung besitzt, die die Anfangsbedingungen
erfüllt und zusammen mit ihren Ableitungen bis einschließlich der
für
-ten Ordnung stetig ist.
Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
Für ebene Differentialgleichungen ist die Menge aller strukturstabilen Systeme aus
offen und dicht in
. Strukturstabile Systeme sind für die Ebene also typisch. Typisch ist also auch, daß jeder Orbit eines
ebenen Systems aus
für wachsende Zeiten gegen eine endliche Anzahl von Ruhelagen und periodischer
Orbits geht. Quasiperiodische Orbits sind nicht typisch. Unter bestimmten Voraussetzungen bleiben aber bei
HAMILTON-Systemen quasiperiodische Orbits bei kleinen Störungen der Differentialgleichung erhalten. HAMILTONSysteme sind also keine typischen Systeme.
Beispiel
Gegeben sei im
das HAMILTON-System (in Winkel-Wirkungsvariablen)
wobei die HAMILTON-Funktion
mit Konstanten
analytisch ist. Offenbar hat dieses System die Lösungen
, wobei
und
von
definiert einen invarianten Torus
und
abhängen können. Die Beziehung
. Es wird nun anstelle von
die gestörte
HAMILTON-Funktion
betrachtet, wobei
analytisch und
ein kleiner Parameter sei.
Das Theorem von KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER (KAM- Theorem ) sagt in dieser Situation aus, daß, falls
nichtdegeniert ist, d.h.
gilt, für hinreichend kleine
im gestörten HAMILTON-
System die Mehrzahl der invarianten nichtresonanten Tori nicht verschwindet, sondern nur leicht deformiert
wird. Mehrzahl ist in dem Sinne zu verstehen, daß das LEBESGUE-Maß der bezüglich der Tori gebildeten
Komplementmenge gegen Null geht, wenn
durch
und
gegen
geht. Ein oben definierter Torus, charakterisiert
, heißt nichtresonant, wenn es eine Konstante
gibt, so daß für alle positiven
ganzen Zahlen
und
die Ungleichung
gilt.
Satz von Liouville
Seien
der Fluß von (17.1),
eine beliebige beschränkte und meßbare Menge,
das
-dimensionale Volumen von
(s. Abbildung).
Dann gilt für beliebiges
die Beziehung
. Für
lautet der Satz von
LIOUVILLE:
(17.12)
Folgerung: Gilt für (17.1) div
in
Beispiel A
in
, so ist der Fluß von (17.1) volumenschrumpfend. Gilt div
, so ist der Fluß von (17.1) volumenerhaltend.
Für das LORENZ-System (17.2) ist
offenbar
ist
.
lautet die Lösung
Für die lineare Differentialgleichung
, so daß
Beispiel B
und
. Mit dem Satz von LIOUVILLE folgt für eine beliebige beschränkte und meßbare
also
Menge
. Wegen
für
folgt.
Sei
eine offene Teilmenge und
eine
-Funktion. Dann heißt
HAMILTONsche Differentialgleichung
. Die Funktion
heißt HAMILTON- Funktion des Systems. Bezeichnet
Differentialgleichung, so gilt offenbar
HAMILTONsche Differentialgleichungen sind also volumenerhaltend.
die rechte Seite dieser
.
Zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Wenn das Potential
und die Wellenfunktion
nicht von der Zeit abhängen, d.h.
,
, dann genügt zur Beschreibung der Zustände die einfachere zeitunabhängige
SCHRÖDINGER-Gleichung. Man kann sie aus der zeitabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung (9.104a) mit dem Ansatz
(9.105b) herleiten und erhält
(9.106a)
In diesem ebenfalls nichtrelativistischen Fall ist
(9.106b)
die Energie des Teilchens. Die Wellenfunktionen
, die diese Differentialgleichung erfüllen, sind ihre
, die sich für das betrachtete Problem aus
Eigenfunktionen ; sie existieren nur für bestimmte Energieeigenwerte
seinen spezifischen Anfangs- und Randbedingungen ergeben. Die Gesamtheit der Eigenwerte bildet das
eine monotone Funktion ist, die im Unendlichen verschwindet, dann bilden
Energiespektrum der Teilchen. Wenn
die Eigenwerte ein diskretes Spektrum .
Ist das betrachtete Gebiet der gesamte Raum, dann kann als Randbedingung gefordert werden, daß
im
LEBESGUEschen Sinne (s. auch Lit. 8.11) im gesamten Raum quadratisch integrabel sein muß. Ist das Gebiet
endlich, z.B. eine Kugel oder ein Zylinder, dann kann als erste Randwertaufgabe z.B.
gefordert werden.
In dem speziellen Fall
für den Rand
ergibt sich die HELMHOLTZsche Differentialgleichung
(9.107a)
mit dem Eigenwert
(9.107b)
am Rande gefordert. In einem endlichen Gebiet stellt (9.107a) die
Als Randbedingung wird hier oft
mathematische Ausgangsgleichung für akustische Schwingungen in gegebenen räumlichen Begrenzungen dar.
HERMITEsche Differentialgleichung
In der Literatur sind zwei Definitionsgleichungen der HERMITEschen Differentialgleichung gebräuchlich:
Definitionsgleichung zu Variante 1:
(9.63a)
Definitionsgleichung zu Variante 2:
(9.63b)
Partikuläre Lösungen sind die HERMITEschen Polynome , die entsprechend in zwei Varianten auftreten, als
zu Definitionsgleichung 1 und als
zu Definitionsgleichung 2.
HERMITEschen Polynome zu Definitionsgleichung 1:
(9.63c)
Für
gelten die folgenden Rekursionsformeln:
(9.63d)
(9.63e)
Die Orthogonalitätsrelation lautet:
(9.63f)
HERMITEschen Polynome zu Definitionsgleichung 2:
(9.63g)
Bezüglich der ersten Glieder s. Physikalische Lösungen. Der Zusammenhang mit den HERMITEschen Polynomen zur
1. Definitionsgleichung lautet:
(9.63h)
Zur Orthogonalität s.auch Orthogonale Systeme.
Hypergeometrische Differentialgleichung
Hypergeometrische Differentialgleichung heißt die Gleichung
(9.61a)
in der die
und
Parameter sind. Sie beinhaltet eine große Zahl wichtiger Spezialfälle.
a)
Für
und
ergibt sich die LEGENDREsche
Differentialgleichung.
b)
Für
Reihe:
oder
keine ganze negative Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die hypergeometrische
(9.61b)
die für
absolut konvergiert. Die Konvergenz der hypergeometrischen Reihe hängt für
ab. Für
Zahl
ergibt
absolute Konvergenz,
konvergiert sie, falls
ist, für
bedingte Konvergenz und
von der
divergiert sie. Für
Divergenz.
c)
Für
oder ungleich einer ganzen negativen Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die Funktion
(9.61c)
d)
In einigen Fällen wird die hypergeometrische Reihe zu einer elementaren Funktion, z.B.:
(9.61d)
(9.61e)
(9.61f)
(9.61g)
(9.61h)
Implizite Differentialgleichungen
●
●
●
Lösung in Parameterform
LAGRANGEsche Differentialgleichung
CLAIRAUTsche Differentialgleichung
Geometrische Darstellung und Charakteristik des Systems
Im Falle zweier unabhängiger Veränderlicher
und
mit
(9.71a)
eine Fläche im
ist die Lösung
-Raum, die Integralfläche der Differentialgleichung genannt
wird. Die Gleichung (9.71a) bedeutet, daß in jedem Punkt der Integralfläche
orthogonal zu dem in diesem Punkt gegebenen Vektor
der Normalenvektor
ist. Dabei nimmt das
System (9.70b) die Form
(9.71b)
an. Daraus folgt (s. Feldlinien eines Vektorfeldes), daß die Integralkurven des Systems , die auch die Charakteristika
des Systems genannt werden, die Vektoren
Integralfläche
berühren. Daher liegt eine Charakteristik, die mit der
einen Punkt gemeinsam hat, ganz in dieser Fläche. Unter der Bedingung, daß der
Existenzsatz gilt, verläuft durch jeden Punkt des Raumes eine Integralkurve des charakteristischen Systems, so daß
die Integralkurven aus Charakteristiken bestehen.
Richtungsfeld, Vertikale Richtungen
1. Richtungsfeld: Wenn durch den Punkt
Differentialgleichung
die Kurve einer Lösung
geht, dann kann der Richtungsfaktor
der
der Tangente an die
Kurve in diesem Punkt unmittelbar aus der Differentialgleichung bestimmt werden. Damit definiert die
Differentialgleichung in jedem Punkt die Richtung der Tangente an eine Lösungskurve. Die Gesamtheit dieser
Richtungen bildet das Richtungsfeld (s. Abbildung).
Als Element des Richtungsfeldes bezeichnet man einen Punkt zusammen mit der in ihm gegebenen Richtung.
Geometrisch betrachtet bedeutet die Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung somit die
Verbindung der Elemente des Richtungsfeldes zu Integralkurven , deren Tangenten in jedem Punkt eine
Richtung besitzen, die mit der des Richtungsfeldes in dem betreffenden Punkt übereinstimmt.
2. Vertikale Richtungen: Wenn in einem Feld vertikale Richtungen auftreten, d.h. wenn die Funktion
einen Pol besitzt, vertauscht man die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen und faßt
die Differentialgleichung
(9.4)
als äquivalent zur vorgegebenen Differentialgleichung (9.2) auf. In den Gebieten, in denen die Bedingungen des
Existenzsatzes für die Differentialgleichungen (9.2) oder (9.4) erfüllt sind, geht durch jeden Punkt
eindeutig bestimmte Integralkurve (s. Abbildung).
eine
Integration durch Reihenentwicklung
Die TAYLORsche Reihenentwicklung der Lösung einer Differentialgleichung ist in der Form
(9.21)
darstellbar, wenn die Werte
aller Ableitungen der Lösungsfunktion für den Anfangswert
der
unabhängigen Variablen bekannt sind. Man kann sie durch sukzessives Differenzieren der Differentialgleichung und Einsetzen der
Anfangsbedingung bestimmen. Wenn die Differentiation der Differentialgleichung beliebig oft möglich ist, konvergiert die so gewonnene
Reihe in einer gewissen Umgebung des Anfangswertes der unabhängigen Variablen. Man kann diese Methode auch bei der Lösung
von Differentialgleichungen -ter Ordnung einsetzen.
Häufig ist es vorteilhaft, die Lösung in der Form einer Reihe mit unbestimmten Koeffizienten anzusetzen, die mit Hilfe der Bedingung
bestimmt werden, daß die Gleichung erfüllt wird, wenn man die Reihe einsetzt.
Beispiel A
mit
Zur Lösung der Differentialgleichung
für
kann
gesetzt werden. Einsetzen in die Gleichung liefert unter
Berücksichtigung von
gemäß (7.80)
usw.
Hieraus folgt durch Koeffizientenvergleich
Sukzessive Lösung dieser Gleichungen und Einsetzen der gefundenen Koeffizienten in die Reihe liefert
.
Beispiel B
Die gleiche Differentialgleichung mit der gleichen Anfangsbedingung kann auch folgendermaßen gelöst werden:
Man setzt in der Differentialgleichung
und erhält
. Außerdem ergibt sich
.
Gemäß dem Satz von TAYLOR folgt
.
Integrierender Faktor
Integrierender Faktor wird eine Funktion
genannt, wenn die Gleichung
(9.10a)
durch Multiplikation mit
in eine exakte Differentialgleichung übergeht. Der integrierende Faktor genügt der
Differentialgleichung
(9.10b)
Jede beliebige partikuläre Lösung dieser Gleichung ist ein integrierender Faktor. In vielen Fällen ist der integrierende
Faktor
Beispiel
von der speziellen Form
oder
.
Es ist die Differentialgleichung
zu lösen. Die Gleichung für den integrierenden
Faktor lautet
ist, ergibt sich aus
liefert
. Ein integrierender Faktor, der von
zu
unabhängig
. Multiplikation der gegebenen Differentialgleichung mit
. Das allgemeine Integral für
oder
lautet dann:
.
Klassifizierungen
Eine Differentialgleichung der Form
(9.33)
heißt lineare Differentialgleichung
-ter Ordnung. Dabei sind
und die
Funktionen von
, die in einem
konstant sind, spricht man von einer
gewissen Intervall stetig sein sollen. Wenn die
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten . Eine homogene lineare Differentialgleichung zeichnet sich durch
aus, eine inhomogene durch
.
LAGRANGEsche Differentialgleichung
LAGRANGEsche Differentialgleichung wird die Gleichung
(9.15a)
genannt. Ihre Lösung kann stets durch die oben angegebene Methode berechnet werden. Wenn für
(9.15b)
gilt, dann ist
(9.15c)
ein singuläres Integral.
LAGUERREsche Differentialgleichung
Bei Beschränkung auf ganzzahlige Parameter
und reelle Veränderliche hat die LAGUERREsche
Differentialgleichung die Form
(9.62a)
Als partikuläre Lösungen ergeben sich die LAGUERREschen Polynome
(9.62b)
Die Rekursionsformel für
lautet:
(9.62c)
(9.62d)
Als Orthogonalitätsrelation gilt für
:
(9.62e)
Mit
ist die Gammafunktion bezeichnet. Zur Orthogonalität s. auch Orthogonale Systeme.
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
●
●
●
●
Prinzip
Differentialgleichung 1. Ordnung
Differentialgleichung 2. Ordnung
Differentialgleichung n-ter Ordnung
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten
Differentialgleichungen, deren Koeffizienten Polynome in sind, eignen sich besonders für die Anwendung der LAPLACETransformation. Nach Anwendung der Gleichung (15.16) erhält man zwar im Bildbereich wieder eine
Differentialgleichung, ihre Ordnung kann jedoch niedriger sein.
Sind speziell die Koeffizienten Polynome 1. Grades, dann ist die Differentialgleichung im Bildbereich von 1. Ordnung und
dadurch meist leicht lösbar.
Beispiel
BESSELsche Differentialgleichung 0-ter Ordnung (
):
.
Die Transformation im Bildbereich ergibt
.
Trennung der Veränderlichen und Integration liefert
,
(s. auch Beispiel) zur absolut
konvergenten Reihe).
Laplacesche Differentialgleichung
Die Aufgabe der Bestimmung des Potentials
enthalten sind, führt gemäß (13.125) mit
eines Vektorfeldes
, in dem keine Quellen
auf
(13.130a)
d.h. auf die LAPLACEsche Differentialgleichung . In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.130b)
Alle Funktionen, die dieser Differentialgleichung genügen, stetig sind und stetige partielle Ableitungen erster und
zweiter Ordnung besitzen, werden LAPLACEsche oder harmonische Funktionen genannt.
Es werden drei grundlegende Fälle von Randwertaufgaben unterschieden:
1.
Randwertaqufgabe (für das Innengebiet) oder DIRICHLETsches Problem :Gesucht wird eine Funktion
, die im Inneren eines gegebenen räumlichen bzw. ebenen Gebietes harmonisch ist und auf dem
Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt.
2.
Randwertaufgabe (für das Innengebiet) oder NEUMANNsches Problem : Gesucht wird eine Funktion
, die im Inneren eines gegebenen Gebietes harmonisch ist und deren Normalenableitung
auf dem Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt.
3.
Randwertaufgabe (für das Innengebiet): Gesucht wird eine Funktion
, die im Inneren eines
Gebietes harmonisch ist, wobei auf dem Rand des Gebietes der Ausdruck
vorgegebene Werte annimmt.
Unterabschnitte
●
●
●
LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art:
Eigenschaften der LEGENDREschen Polynome 1. Art:
LEGENDREsche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art:
LEGENDREsche Differentialgleichung
Bei Beschränkung auf den Fall reeller Veränderlicher und ganzzahliger Parameter
, hat die
LEGENDREsche Differentialgleichung die Gestalt
(9.58a)
LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art:
LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art heißen die partikulären Lösungen der LEGENDREschen
Differentialgleichung für ganzzahlige
, die sich über den Potenzreihenansatz
ermitteln lassen:
a) Definitionsgleichung:
(9.58b)
Dabei gilt
.
b) Darstellung als Polynome: Ausgangspunkt ist die Gleichung
(9.58c)
wobei mit
die hypergeometrische Reihe bezeichnet wird. Die ersten acht Polynome haben die einfache Form:
(9.58d)
(9.58e)
(9.58f)
(9.58g)
(9.58h)
(9.58i)
(9.58j)
(9.58k)
Die Kurvenbilder von
für Werte von
bis
sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Zahlenwerte können leicht mit dem Taschenrechner berechnet bzw. in der Tabelle ,, LEGENDREsche Polynome
(Kugelfunktionen)`` nachgesehen werden.
Eigenschaften der LEGENDREschen Polynome 1. Art:
a) Definition:
(9.59a)
Das Vorzeichen kann in beiden Gleichungen beliebig genommen werden.
b) Rekursionsformel:
(9.59b)
(9.59c)
c) Orthogonalitätsrelation:
(9.59d)
Zur Orthogonalität s. auch Orthogonale Systeme.
d) Nullstellensatz: Alle
Nullstellen von
sind reell und einfach und liegen im Intervall
.
e) Erzeugende Funktion: Die LEGENDREschen Polynome 1. Art können auch als Reihenentwicklung der
Funktion
(9.59e)
erzeugt werden.
Weitere Angaben über die LEGENDREschen Polynome 1. Art s. Lit. 21.1.
LEGENDREsche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art:
Eine zweite partikuläre, von
linear unabhängige Lösung
erhält man für
durch die
Potenzreihenentwicklung
(9.60a)
Die für
gültige Darstellung von
lautet;
(9.60b)
Man bezeichnet die Kugelfunktionen 1. und 2. Art auch als zugeordnete oder assoziierte LEGENDREsche Funktionen
(s. auch Lösung der Polargleichung).
Lineare Differentialgleichungen
●
●
●
Hauptsätze
Autonome lineare Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung wird eine Gleichung der Form
(9.11a)
genannt, in der die unbekannte Funktion und ihre Ableitung nur in der ersten Potenz, d.h. linear auftreten. Der
integrierende Faktor ist hier
(9.11b)
das allgemeine Integral ergibt sich gemäß
(9.11c)
Wenn in dieser Formel das unbestimmte Integral überall durch das bestimmte Integral in den Grenzen
ersetzt wird, dann gilt für die Lösung gemäß Hauptsatz der Integralrechnung
. Ist
und
irgendeine
partikuläre Lösung der Differentialgleichung, dann ergibt sich die allgemeine Lösung nach der Formel
(9.11d)
Sind zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen
und
bekannt, dann erhält man die allgemeine
Lösung ohne Integration gemäß
(9.11e)
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
zu integrieren. Man berechnet
mit der Anfangsbedingung
und erhält gemäß (9.11c) die Lösung
für
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Zu dieser Klasse von Differentialgleichungen gehören viele spezielle Differentialgleichungen, die in den
Anwendungen vorkommen und in in diesem Abschnitt behandelt werden. Ausführliche Darstellungen der
Eigenschaften dieser Differentialgleichungen und ihrer Lösungsfunktionen s. Lit. 9.26.
●
●
●
●
●
●
Allgemeine Methoden
BESSELsche Differentialgleichung
LEGENDREsche Differentialgleichung
Hypergeometrische Differentialgleichung
LAGUERREsche Differentialgleichung
HERMITEsche Differentialgleichung
Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
Betrachtet wird die homogene lineare Differentialgleichung (17.13b), wobei
eine T. In diesem
periodische Matrix-Funktion ist, d.h., es gilt
Falle nennt man (17.13b) eine lineare T-periodische Differentialgleichung . Dann läßt sich jede Fundamentalmatrix
von (17.13b) in der Form
Matrix-Funktion ist und
Sei
die bei
(17.13b) und
darstellen, wobei
eine konstante Matrix vom Typ
eine glatte, reguläre
-periodische
darstellt ( Satz von FLOQUET).
normierte Fundamentalmatrix
der
-periodischen Differentialgleichung
eine Darstellung laut Satz von FLOQUET. Die Matrix
Monodromie-Matrix von (17.13b); die Eigenwerte
von
heißt
sind die Multiplikatoren von (17.13b). Eine Zahl
ist genau dann Multiplikator von (17.13b), wenn es eine Lösung
von (17.13b) gibt, so daß
gilt.
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
●
●
●
●
●
●
Klassifizierungen
Fundamentalsystem von Lösungen
Erniedrigung der Ordnung
Superpositionssatz
Zerlegungssatz
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mittels Quadraturen
Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen
Differentialgleichung
Zur Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung (9.68a) wird die
Lösung
in der impliziten Form
homogenen linearen Differentialgleichung mit
gesucht. Die Funktion
ist eine Lösung der
unabhängigen Veränderlichen
(9.70a)
deren charakteristisches System
(9.70b)
charakteristisches System der ursprünglichen Gleichung (9.68a) genannt wird.
Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
●
●
●
Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
Allgemeine Form
Eine Differentialgleichung dieser Art hat die Gestalt
(9.83a)
wobei die
gegebene Funktionen der unabhängigen Variablen sind und die Punkte in (9.83a) Glieder bedeuten,
in denen keine Ableitungen zweiter Ordnung der unbekannten Funktionen enthalten sind.
Im allgemeinen kann die Differentialgleichung (9.83a) nicht durch Transformationen der unabhängigen Variablen auf
eine einfache Normalform gebracht werden.
Es gibt aber eine wichtige Klassifikation, die der für Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen
Veränderlichen eingeführten Klassifikation ähnlich ist (s. Lit. 9.6).
Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Wenn die Koeffizienten
in (9.83a) konstant sind, dann ist durch eine lineare homogene Transformation der
unabhängigen Variablen eine Transformation auf die einfachere Normalform
(9.83b)
möglich, in der sämtliche Koeffizienten
gleich
oder
sind. Man kann mehrere charakteristische Fälle
unterscheiden:
1.
Alle Koeffizienten
sind von Null verschieden und haben dasselbe Vorzeichen: Dann handelt es sich um
eine elliptische Differentialgleichung .
2.
Alle Koeffizienten
sind von Null verschieden, aber einer hat ein zu allen übrigen entgegengesetztes
Vorzeichen: Dann handelt es sich um eine hyperbolische Differentialgleichung . Treten darüber hinaus von
jeder Vorzeichenart wenigstens zwei auf, dann ist es eine ultrahyperbolische Differentialgleichung .
3.
Einer der Koeffizienten
verschwindet, die übrigen sind verschieden von Null und haben gleiches
Vorzeichen: Dann handelt es sich um eine parabolische Differentialgleichung .
4.
Ein relativ einfach zu lösender Fall liegt vor, wenn nicht nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen der
unbekannten Funktionen konstant sind, sondern auch die der ersten Ableitungen. Man kann dann die Glieder
mit den ersten Ableitungen durch eine Variablensubstitution eliminieren, für die
ist. Dazu setzt man
(9.83c)
wobei
der Koeffizient von
in (9.83b) ist und die Summation über alle
zu erfolgen hat.
Auf diese Weise können alle elliptischen und hyperbolischen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf
eine einfache Form gebracht werden:
a) Elliptischer Fall:
(9.83d)
b) Hyperbolischer Fall:
(9.83e)
Mit
wird der LAPLACEsche Operator
(9.83f)
bezeichnet.
Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Methode der Variablentrennung
Lösung der Saitenschwingungsgleichung
Lösung der Stabschwingungsgleichung
Lösung der Membranschwingungsgleichung
Lösung des Dirichletschen Problems
Lösung der Wärmeleitungsgleichung
RIEMANNsche Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems der hyperbolischen Differentialgleichung
GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische Differentialgleichungen mit zwei
unabhängigen Variablen
GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei
unabhängigen Variablen
Vergleich der RIEMANNschen und der GREENschen Methode
Operatorenmethoden
Näherungsmethoden
Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
●
●
●
●
Allgemeine Form
Charakteristiken
Normalform oder kanonische Form
Verallgemeinerung:
Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
●
●
Allgemeine Form
Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Erniedrigung der Ordnung
Eine der wichtigsten Methoden zur Integration von Differentialgleichungen
-ter Ordnung
(9.28)
ist die Substitution der Variablen, die auf einfachere Differentialgleichungen, insbesondere auf solche mit niedrigerer
Ordnung führt. Man kann mehrere Fälle unterscheiden.
●
●
●
●
Fall 1
Fall 2
Fall 3
Fall 4
Erniedrigung der Ordnung
Wenn eine partikuläre Lösung
einer homogenen Differentialgleichung bekannt ist, dann können die weiteren
Lösungen durch den Ansatz
(9.37)
aus einer homogenen linearen Differentialgleichung der Ordnung
für
bestimmt werden.
Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung (9.40a) mit
, d.h.
(9.41a)
der sogenannten charakteristischen Gleichung
erfordert die Bestimmung der Wurzeln
(9.41b)
Jede Wurzel
liefert eine Lösung
auf, dann sind
der Gleichung
. Tritt eine Wurzel
mit der Vielfachheit
ebenfalls Lösungen. Die Linearkombination dieser aller
Lösungen ergibt die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung:
(9.41c)
Wenn die Koeffizienten
reell sind, können komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung nur paarweise
konjugiert komplex auftreten. In diesem Falle sind z.B. für
und
in den betreffenden
Gliedern der allgemeinen Lösungen die Funktionen
und
durch
ersetzen. Die dabei entstehenden Ausdrücke der Form
mit den Konstanten
und
und
zu
können auch in der Form
dargestellt werden.
Beispiel
gehört die charakteristische Gleichung
Zur Differentialgleichung
mit den Wurzeln
allgemeine Lösung kann in zwei Formen angegeben werden:
. Die
Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung wird die implizite Gleichung
(9.73a)
genannt.
1. Vollständiges Integral heißt die Lösung
(9.73b)
die von
von
Parametern
abhängt und für deren Funktionaldeterminante mit den betrachteten Werten
gelten muß
(9.73c)
2. Charakteristische Streifen:Die Integration von (9.73a) wird auf die Integration des charakteristischen
Systems
(9.73d)
mit
(9.73e)
zurückgeführt. Die Lösungen des charakteristischen Systems, die die zusätzliche Bedingung
(9.73f)
erfüllen, heißen charakteristische Streifen .
Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
Betrachtet wird eine parameterabhängige Differentialgleichung
(17.53)
mit
, wobei
und
offene Mengen darstellen und
als
-mal stetig
differenzierbar vorausgesetzt wird. Die Gleichung (17.53) läßt sich als parameterfreie Differentialgleichung
im Phasenraum
interpretieren. Aus dem Satz von PICARD - LINDELÖF und dem
Satz über die
Differenzierbarkeit nach den Anfangswerten folgt, daß (17.53) für beliebige
eindeutige Lösung
mit Anfang
zur Zeit
differenzierbar ist. Alle Lösungen mögen auf ganz
Es wird weiter vorausgesetzt, daß System (17.53) bei
besitzt, die bezüglich
und
und
eine lokal
dann
-mal stetig
existieren.
die Ruhelage
besitzt, d.h., es gelte
. Es seien
die Eigenwerte von
. Außerdem habe
genau
mit Re
Eigenwerte mit negativem und
Eigenwerte
mit positivem Realteil.
Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen ( Satz von SHOSHITAISHVILI)
(s. Lit. 17.12) ist die Differentialgleichung (17.53) für
mit hinreichend kleiner Norm
in einer Umgebung von
topologisch äquivalent zu einem System
(17.54)
und
mit
hat, und
eine
-Funktion mit
, wobei
eine Matrix vom Typ
sowie
ist, die
als Eigenwerte
darstellt.
Aus der Darstellung (17.54) folgt, daß Bifurkationen von (17.53) in einer Umgebung von
Differentialgleichung
ausschließlich durch die
(17.55)
beschrieben werden. Die Gleichung (17.55) stellt die auf die lokale Zentrumsmannigfaltigkeit
von (17.54) reduzierte Differentialgleichung dar.
Die reduzierte Differentialgleichung (17.55) kann oft durch eine nichtlineare parameterabhängige
Koordinatentransformation, die die topologische Struktur ihres Phasenporträts nahe der untersuchten Ruhelage nicht
ändert, auf eine relativ einfache Form (z.B. mit Polynomen auf der rechten Seite) gebracht werden, die Normalform
heißt. Eine Normalform läßt sich nicht eindeutig bestimmen; in der Regel wird eine Bifurkation durch unterschiedliche
Normalformen äquivalent beschrieben.
Numerische Integration
Die numerische Integration von Differentialgleichungen wird in Abschnitt ,,Genäherte Integration von gewöhnlichen
Differentialgleichungen`` ausführlich behandelt. Auf die numerische Integration der Differentialgleichung
ist man vor allem dann angewiesen, wenn sie nicht in den Spezialfällen enthalten ist, deren
analytische Lösung in den vorausgehenden Abschnitten beschrieben worden ist, oder wenn
ist. Das wird insbesondere dann der Fall sein, wenn
nichtlinear von
abhängt.
zu kompliziert
Operatorenschreibweise
Die Differentialgleichung (9.33) kann symbolisch in der Form
(9.40a)
geschrieben werden, wobei
ein Differentialoperator ist:
(9.40b)
Wenn die Koeffizienten
des Operators
.
konstant sind, dann ist
ein gewöhnliches Polynom
-ten Grades hinsichtlich
Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
1.
Die Eigenwerte eines Randwertproblems bilden eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen
(9.65a)
die gegen unendlich strebt.
2.
Die Eigenfunktion, die zum Eigenwert
gehört, besitzt im Intervall
genau
Nullstellen.
3.
Sind
und
zwei Eigenfunktionen, die zu demselben Eigenwert
sie sich nur durch einen konstanten Faktor
gehören, dann unterscheiden
, d.h., es gilt
(9.65b)
4.
Für zwei Eigenfunktionen
und
entsprechen, gilt die Orthogonalitätsrelation
, die den verschiedenen Eigenwerten
und
(9.65c)
wobei
das Gewicht der Orthogonalität genannt wird.
5.
Wenn in (9.64a) die Koeffizienten
und
durch
werden, dann werden die Eigenwerte nicht kleiner, sondern es gilt
und
, wobei
ersetzt
und
Eigenwerte der geänderten bzw. ungeänderten Gleichung sind. Wenn jedoch der Koeffizient
ersetzt wird, dann werden die Eigenwerte nicht größer, sondern es gilt
die
durch
. Der
Eigenwert hängt hierbei stetig von den Koeffizienten der Gleichung ab, d.h., daß hinreichend kleinen
Änderungen der Koeffizienten entsprechen beliebig kleine Änderungen des
-ten Eigenwertes.
6.
Verkleinerungen des Intervalls
ziehen keine Verkleinerung der Eigenwerte nach sich.
-ten
-te
Partielle Differentialgleichungen
●
●
●
●
Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft
und Technik
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
Die Gleichung
(9.68a)
heißt lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung . Mit
Variablen
bezeichnet, und die
Wenn die Funktionen
auch noch von
wird eine unbekannte Funktion der unabhängigen
sind vorgegebene Funktionen dieser Variablen.
abhängen, spricht man von einer quasilinearen partiellen
Differentialgleichung . Im Falle
(9.68b)
heißt die Gleichung homogen.
Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Für
kann der charakteristische Streifen geometrisch als Kurve gedeutet
werden, die sich dadurch auszeichnet, daß in jedem ihrer Punkte
ihre Tangentialebene
definiert ist. Dadurch kann die Aufgabe, die Integralfläche der Gleichung
(9.77)
zu bestimmen, die durch eine gegebene Kurve hindurchgeht, also das CAUCHYsche Problem zu lösen, auf eine
andere Aufgabe zurückgeführt werden: Durch die Punkte der Anfangskurve sind die charakteristischen Streifen
hindurchzulegen, deren zugehörige Ebene diese Kurve tangiert. Man gewinnt die Werte
der Anfangskurve aus den Beziehungen
und
und
in den Punkten
, die im Falle
nichtlinearer Differentialgleichungen im allgemeinen mehrere Lösungen besitzen. Damit sich bei Stellung des
CAUCHYschen Problems eindeutige Lösungen ergeben, sind entlang der Anfangskurve zwei stetige Funktionen
und
festzulegen, die den beiden Beziehungen genügen.
Die Existenzbedingungen für die Lösung des CAUCHYschen Problems s. Lit. 9.26.
Beispiel A
und die Anfangskurve
Für die partielle Differentialgleichung
der Kurve
und
kann entlang
gesetzt werden. Das charakteristische System besitzt die Form
Der charakteristische Streifen mit den Anfangswerten
und
für
. Für den
Gleichungen
Fall
lautet die Gleichung der zum charakteristischen Streifen gehörenden Kurve,
der Anfangskurve verläuft,
die durch den Punkt
Elimination der Parameter
genügt den
und
liefert
. Für andere zulässige Werte von
der Anfangskurve hätte sich eine andere Lösung ergeben.
und
längs
Die Einhüllende einer einparametrigen Integralflächenschar ist ebenfalls eine Integralfläche. Unter
Beachtung dieses Umstandes kann das CAUCHYsche Problem mit Hilfe des vollständigen Integrals gelöst
werden. Dazu wird eine einparametrige Schar von Lösungen gesucht, die die Ebenen berühren, die in den
Punkten der Anfangskurve gegebenen sind. Dann ist noch die Einhüllende dieser Schar zu bestimmen.
Beispiel B
Für die CLAIRAUTsche Differentialgleichung
werden, die durch die Kurve
lautet
Bedingung
erhält man
soll die Integralfläche bestimmt
verläuft. Das vollständige Integral der Differentialgleichung
. Da entlang der Anfangskurve
gilt, bestimmt man mit der
die erforderliche einparametrige Integralflächenschar. Nach Ermittlung der Einhüllenden
.
Partielle Differentialgleichungen
●
●
Allgemeine Vorgehensweise
Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium
Genäherte Integration von partiellen
Differentialgleichungen
Im folgenden wird nur das Prinzip der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen am Beispiel linearer
partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen unter passenden Rand- oder/und
Anfangsbedingungen gezeigt.
●
●
●
Differenzenverfahren
Ansatzverfahren
Methode der finiten Elemente (FEM)
Partielle Differentialgleichungen
●
●
Allgemeine Vorgehensweise
Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
●
●
●
●
●
Physikalisch-mathematische Problemstellung
KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
Nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung
Sinus- GORDON-Gleichung
Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen
Potentialgleichung
Potentialgleichung oder POISSONsche Differentialgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung zweiter
Ordnung
(9.103a)
genannt, die die Bestimmung des Potentials
erzeugt wird, wobei
Lösung, das Potential
für die Koordinaten
im Punkt
eines skalaren Feldes ermöglicht, das von einer Punktfunktion
steht und
der LAPLACE-Operator ist. Die
, wird im Abschnitt Differentialgleichungen der Feldtheorie
behandelt.
Für die homogene Differentialgleichung mit
ergibt sich die LAPLACEsche Differentialgleichung
(9.103b)
Die Differentialgleichungen (9.103a) und (9.103b) sind vom elliptischen Typ.
Poissonsche Differentialgleichung
Die Aufgabe der Bestimmung des Potentials
sind, führt gemäß (13.127a) mit
eines Vektorfeldes
, in dem Quellen enthalten
auf
(13.131a)
d.h. auf die POISSONsche Differentialgleichung . In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.131b)
Die LAPLACEsche Differentiagleichung (13.130b) ist somit ein Spezialfall der POISSONschen Differentialgleichung
(13.131b).
Lösungen sind das NEWTON-Potential (für Punktmassen) oder das COULOMB-Potential (für Punktladungen)
(13.131c)
deren Potential
für größer werdende
-Werte hinreichend stark gegen Null strebt.
Zur POISSONschen Differentialgleichung können die gleichen drei Randwertbedingungen wie für die Lösung der
LAPLACEschen Differentialgleichung formuliert werden. Die erste und dritte Randwertaufgabe sind eindeutig lösbar,
an die zweite müssen noch spezielle Bedingungen gestellt werden (s. Lit. 9.6).
Randwertprobleme
●
●
●
Problemstellung
Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
Entwicklung nach Eigenfunktionen
RICCATIsche Differentialgleichung
RICCATIsche Differentialgleichung heißt die Gleichung
(9.13a)
die im allgemeinen nicht durch Quadraturen gelöst werden kann, d.h. nicht durch endlich viele aufeinander folgende
Integrationen. Ist aber eine partikuläre Lösung
der RICCATIschen Differentialgleichung bekannt, dann läßt sich
diese durch die Substitution
(9.13b)
auf eine lineare Differentialgleichung für
zurückführen. Kennt man noch eine zweite Lösung
, so ist
(9.13c)
eine partikuläre Lösung der linearen Differentialgleichung für die Variable
Sollten sogar drei Lösungen
und
, so daß sich ihre Integration vereinfacht.
bekannt sein, dann lautet das allgemeine Integral der RICCATIschen
Differentialgleichung
(9.13d)
Durch die Substitution
(9.13e)
läßt sich die RICCATIsche Differentialgleichung stets in die Normalform
(9.13f)
überführen. Mit der Substitution
(9.13g)
ergibt sich aus (9.13a) eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
(9.13h)
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
zu lösen. Man setzt
substituiert und erhält für den Koeffizienten der ersten Potenz von
Man sucht partikuläre Lösungen der Form
d.h. zwei partikuläre Lösungen
, der zum
setzt.
Verschwinden gebracht wird, indem man
Somit ergibt sich
den Ausdruck
,
.
und findet durch Einsetzen
.
,
Die Substitution
liefert
.
ergibt sich die allgemeine Lösung
Durch Einsetzen der partikulären Lösung
und hiermit
.
Existenzsatz, Richtungsfeld
●
●
●
Existenz einer Lösung, LIPSCHITZ-Bedingung
Richtungsfeld, Vertikale Richtungen
Allgemeines Integral
Unterabschnitte
●
●
●
●
Problemstellung:
Lösungsansatz:
Lösungen:
Spezialfall Würfel, Entartung:
Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
Problemstellung:
Ein Teilchen mit der Masse
Kantenlänge
bewege sich kräftefrei in einem Quader mit undurchlässigen Wänden der
, so daß es sich in einem Potentialkasten befindet, der in alle drei Raumrichtungen wegen
seiner Undurchlässigkeit unendlich hoch ist, d.h., die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens und damit die
Wellenfunktion
verschwinden außerhalb des Kastens. Die SCHRÖDINGER-Gleichung und die Randbedingungen
lauten für dieses Problem
(9.108a)
(9.108b)
Lösungsansatz:
Mit dem Separationsansatz
(9.109a)
zur Variablentrennung ergibt sich nach Einsetzen in (9.108a)
(9.109b)
Jedes der drei Glieder auf der linken Seite hängt nur von einer unabhängigen Variablen ab. Ihre Summe kann für
beliebige
nur dann konstant gleich
sein, wenn jedes einzelne Glied für sich konstant ist. In diesem
Falle kann die partielle Differentialgleichung in drei gewöhnliche Differentialgleichungen aufgespalten werden:
(9.109c)
Zwischen den Separationskonstanten
besteht der Zusammenhang
(9.109d)
womit folgt
(9.109e)
Lösungen:
Lösungen der drei Gleichungen (9.109c) sind die Funktionen
(9.110a)
mit den Konstanten
. Damit erfüllt
. Um die Bedingung
die Randbedingungen
auch für
und
für
und
zu erfüllen, muß
(9.110b)
gelten, d.h., es müssen die Beziehungen
(9.110c)
erfüllt sein, in denen
und
ganze Zahlen sind.
Für die Gesamtenergie erhält man damit
(9.110d)
woraus folgt, daß Energieänderungen des Teilchens durch Austausch mit der Umgebung nicht kontinuierlich,
sondern lediglich in Quanten möglich sind. Die Zahlen
und
, die zu den Eigenwerten der Energie
gehören, werden Quantenzahlen genannt.
Nach der Berechnung des Konstantenprodukts
aus der Normierungsbedingung
(9.110e)
ergeben sich die vollständigen Eigenfunktionen des durch die drei Quantenzahlen charakterisierten Zustandes zu
(9.110f)
Die Eigenfunktionen verschwinden an den Wänden, wenn eine der drei Sinusfunktionen gleich Null ist. Außer an den
Wänden ist das immer dann der Fall, wenn die Beziehungen
(9.110g)
bzw.
erfüllt sind. Somit gibt es
in denen
bzw.
Ebenen senkrecht zur
- bzw.
- bzw.
-Achse,
verschwindet. Diese Ebenen heißen Knotenebenen .
Spezialfall Würfel, Entartung:
Im Spezialfalle des Würfels mit
kann sich ein Teilchen gleichzeitig in mehreren Zuständen befinden, die
durch unterschiedliche linear unabhängige Eigenfunktionen beschrieben werden und die gleiche Energie besitzen.
Das ist der Fall, wenn die Summe
in verschiedenen Zuständen den gleichen Wert hat. Man
spricht dann von entarteten Zuständen , und wenn es
.
Zustände mit gleicher Energie sind, von
Die Quantenzahlen
und
-facher Entartung
können alle ganzen Zahlen durchlaufen, außer der Null. Letzteres würde
bedeuten, daß die Wellenfunktion identisch Null ist, d.h., das Teilchen an keinem Ort innerhalb des Kastens existiert.
Somit muß die Teilchenenergie endlich bleiben, selbst wenn die Temperatur des absoluten Nullpunktes erreicht ist.
Diese Nullpunktstranslationsenergie beträgt für den Quader
(9.110h)
Selbstadjungierte Differentialgleichung
Selbstadjungierte Differentialgleichung wird die folgende wichtige Form der Differentialgleichungen 2. Ordnung
genannt:
(9.64a)
Als lineare Randbedingungen werden die homogenen Bedingungen
(9.64b)
vorgegeben. Die Funktionen
und
sollen in dem endlichen Intervall
stetig sein. Im Falle eines unendlichen Intervalls ändern sich die Ergebnisse ganz wesentlich
(s. Lit. 9.6). Außerdem wird verlangt, daß
der Differentialgleichung, ist konstant. Für
gilt. Die Größe
, ein Parameter
ergibt sich zum inhomogenen Randwertproblem das zugehörige
homogene Randwertproblem .
Jede Differentialgleichung 2. Ordnung
(9.64c)
kann, falls in
ist, durch Multiplikation mit
auf die selbstadjungierte Form (9.64a) gebracht
werden. Dazu sind die Substitutionen
(9.64d)
erforderlich.
Um eine Lösung zu finden, die den inhomogenen Bedingungen
(9.64e)
genügt, geht man auf eine Aufgabe mit homogenen Bedingungen durch Änderung der rechten Seite zurück, indem
man die unbekannte Funktion mit Hilfe der Substitution
ersetzt. Dabei ist
differenzierbare Funktion, die die inhomogenen Randbedingungen erfüllt, während
Funktion ist, die die zugehörigen homogenen Randbedingungen erfüllt.
eine beliebige, zweimal
eine neue unbekannte
Steife Differentialgleichungen
Bei vielen Anwendungen, z.B. in der chemischen Kinetik, führen mathematische Modelle auf Differentialgleichungen,
deren Lösungen sich aus verschieden stark exponentiell abklingenden Anteilen zusammensetzen. Solche
Differentialgleichungen werden als steif bezeichnet. In dem Beispiel
(19.117)
mit
und
leistet für den Fall
der zu
gehörende Term keinen Beitrag zur Lösung, er beeinflußt aber ganz wesentlich die Wahl der Schrittweite
eines
Näherungsverfahrens, so daß der Einfluß der Rundungsfehler sehr stark anwächst. Dann ist die Auswahl geeigneter
Näherungsverfahren unbedingt notwendig (s. Lit. 19.26).
Symmetriebrechung
Manche Differentialgleichungen (17.53) besitzen Symmetrien im folgenden Sinne: Es existiert eine lineare
Transformation
und
(oder sogar eine Gruppe von Transformationen), so daß
ist. Ein Orbit
von (17.53) heißt symmetrisch bezüglich T , falls
Von einer symmetriebrechenden Bifurkation bei
spricht man z.B. in (17.53) (bei
eine stabile Ruhelage oder ein stabiler Grenzzyklus vorliegt, die jeweils symmetrisch bezüglich
für alle
ist.
), wenn für
sind, und bei
zwei weitere stabile Ruhelagen oder Grenzzyklen entstehen, die nicht mehr symmetrisch bezüglich
Beispiel
sind.
Für System (17.53) mit
definiert
. Bei
gibt es neben
symmetrisch sind.
eine Symmetrie, denn
ist
die beiden anderen Ruhelagen
eine stabile Ruhelage. Bei
, die beide nicht
Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen
●
●
Definition
Satz von Grobman und Hartman
Unterabschnitte
●
●
Methode der Variation der Konstanten:
Methode von CAUCHY:
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mittels Quadraturen
Wenn das Fundamentalsystem von Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bekannt ist, stehen
die folgenden zwei Lösungsverfahren zur Verfügung:
Methode der Variation der Konstanten:
Die gesuchte Lösung wird in der Form
(9.38a)
aufgeschrieben. Die
werden nicht als Konstanten aufgefaßt, sondern als Funktionen von
Danach wird die Erfüllung der Gleichungen
.
(9.38b)
gefordert. Einsetzen von
in (9.33) ergibt
(9.38c)
Darauf folgt die Lösung des linearen Gleichungssystems (9.38b) und (9.38c) zur Bestimmung der
deren Integrale die
Beispiel
liefern.
.
In den Intervallen
bzw.
sind alle Voraussetzungen über die Koeffizienten erfüllt. Zuerst wird die
homogene Gleichung
Ansatz
gelöst. Eine partikuläre Lösung ist
ergibt für
die Differentialgleichung
Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist
.
, und somit ist
. Damit ergibt sich die zweite Lösung
allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist daher
ergibt jetzt:
also
. Der
. Die
. Variation der Konstanten
Damit ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:
Methode von CAUCHY:
In der allgemeinen Lösung
(9.39a)
der zu (9.33) gehörenden homogenen Differentialgleichung werden die Konstanten derart bestimmt, daß für den
beliebigen Parameter
die Gleichungen
erfüllt sind.
Auf diese Weise erhält man eine spezielle Lösung der homogenen Differentialgleichung, die mit
bezeichnet
werden soll, und
(9.39b)
ist dann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (9.33), die an der Stelle
mit ihren Ableitungen bis zur Ordnung
Beispiel
einschließlich verschwindet.
gemeinsam
Für die mit der Methode der Variation der Konstanten gelöste Differentialgleichung
folgt aus
,
so daß die partikuläre Lösung
der inhomogenen Differentialgleichung mit
lautet:
. Hieraus kann man auch
die allgemeine Lösung
der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen.
Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in vollständigen
Differentialen
Gleichungen dieser Art haben die Gestalt
(9.78a)
wobei die
gegebene Funktionen der Variablen
sind. Man spricht von einer
vollständig integrierbaren Differentialgleichung , wenn sich eine eindeutige Beziehung zwischen den
angeben läßt, die einen frei wählbaren konstanten Faktor enthält, und die auf die Gleichung
(9.78a) führt. Dann existiert eine eindeutige Lösung
Anfangswerte
für
von (9.78a), die für die
der unabhängigen Veränderlichen einen vorgegebenen Wert
ergibt. Daraus folgt
, daß durch jeden Raumpunkt eine und nur eine Integralfläche verläuft.
Vollständige Integrabilität gibt es für die Differentialgleichung (9.78a) dann und nur dann, wenn die
Beziehungen
(9.78b)
in allen Variablen
identisch erfüllt sind.
Wenn die Differentialgleichung in der symmetrischen Gestalt
(9.78c)
gegeben ist, dann lautet die Bedingung für die vollständige Integrabilität für alle Kombinationen der Indizes
(9.78d)
Liegt vollständige Integrabilität vor, dann kann die Auflösung der Differentialgleichung (9.78a) auf die Integration einer
gewöhnlichen Differentialgleichung mit
Parametern zurückgeführt werden.
Unterabschnitte
●
●
●
Problemstellung
Lösungsansatz und Lösungsgang
Physikalische Lösungen:
Linearer harmonischer Oszillator
Problemstellung
Harmonische Schwingungen entstehen, wenn die rücktreibende Kraft im Oszillator dem HOOKEschen Gesetz
genügt. Für Schwingungsfrequenz, Schwingungskreisfrequenz und potentielle Energie ergeben sich:
(9.118a)
(9.118b)
(9.118c)
Durch Einsetzen in (9.107a) erhält die SCHRÖDINGER-Gleichung die Form:
(9.119a)
Mit Hilfe der Substitutionen
(9.119b)
(9.119c)
ein Parameter und nicht die Wellenlänge ist, kann (9.119a) in die einfachere Form der WEBERschen
wobei
Differentialgleichung
(9.119d)
überführt werden.
Lösungsansatz und Lösungsgang
Für die WEBERsche Differentialgleichung erhält man mit Hilfe des Ansatzes
(9.120a)
eine Lösung. Differentiation führt auf
(9.120b)
Einsetzen in die SCHRÖDINGER-Gleichung (9.119d) liefert
(9.120c)
Eine Lösung wird über den Reihenansatz
(9.121a)
bestimmt: Einsetzen von (9.121a) in (9.120c) ergibt
(9.121b)
Durch Vergleich der Koeffizienten von
erhält man die Rekursionsformel
(9.121c)
Die Koeffizienten
Potenzen auf
für gerade Potenzen von
. Damit sind
und
werden auf
frei wählbar.
zurückgeführt, die Koeffizienten für ungerade
Physikalische Lösungen:
Gesucht ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens in den verschiedenen Zuständen. Diese
wird mit Hilfe einer physikalisch sinnvollen, d.h. normierbaren, für große Werte von
Eigenfunktion und quadratisch integrierbaren Wellenfunktion
Die Exponentialfunktion
gegen Null gehenden
beschrieben.
im Ansatz (9.120a) sorgt dafür, daß die Lösung
gegen Null strebt, wenn die Funktion
beginnend von einem bestimmten
ein Polynom ist. Daher müssen die Koeffizienten
an, für alle
für
in (9.121a),
verschwinden:
. Mit
lautet die Rekursionsformel (9.121c) jetzt
(9.122a)
Für
kann sie nur erfüllt werden, wenn
(9.122b)
gesetzt wird. Somit verschwinden durch die angegebene Wahl von
die Koeffizienten
. Damit
auch die Koeffizienten
verschwinden, muß
Für die spezielle Wahl
sein.
erhält man die HERMITEschen Polynome der
2. Definitionsgleichung. Die ersten sechs lauten:
(9.122c)
Die Lösung
für die Schwingungsquantenzahl
ergibt sich zu
(9.123a)
wobei
der Normierungsfaktor ist. Man erhält ihn aus der Normierungsbedingung
zu
(9.123b)
Für die Eigenwerte der Schwingungsenergie ergibt sich als Quantisierungsbedingung aus der Bedingung für den
Abbruch der Reihe mit (9.119c)
(9.123c)
Das Spektrum der Energiezustände ist äquidistant. Der Summand
in der Klammer bedeutet, daß der
quantenmechanische Oszillator im Unterschied zum klassischen auch im tiefsten energetischen Zustand mit
Energie besitzt, die Nullpunktsschwingungsenergie .
Die folgende Abbildung zeigt eine graphische Darstellung des äquidistanten Spektrums der Energiezustände, die
zugehörigen Wellenfunktionen
bis
sowie die Funktion der potentiellen Energie (9.118c).
Die Punkte auf der Parabel der potentiellen Energie bezeichnen die Umkehrpunkte des klassischen Oszillators, die
als Amplitude
aus der Energie
Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall
berechnet werden. Die quantenmechanische
zu finden, ist durch
Sie ist auch außerhalb dieser Punkte von Null verschieden. So liefert z.B.
gegeben.
, also
, gemäß
, Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei
(9.123d)
Für den entsprechenden klassischen Oszillator ergibt sich
(9.123e)
Die quantenmechanische Verteilungsdichte nähert sich für große Werte der Quantenzahl
klassischen.
in ihrem Mittelwert der
RIEMANNsche Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems der hyperbolischen
Differentialgleichung
(9.90a)
1. RIEMANNsche Funktion heißt die Funktion
, wobei
und
als Parameter aufgefaßt werden,
die der zu (9.90a) konjugierten homogenen Differentialgleichung
(9.90b)
und den Bedingungen
(9.90c)
genügt. Allgemein haben lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung und die zu ihnen konjugierten
Differentialgleichungen die folgende Form:
(9.90d)
und
(9.90e)
2. RIEMANNsche Formel wird die Integralformel genannt, mit deren Hilfe die Funktion
die der gegebenen Differentialgleichung (9.90a) genügt und die auf einer vorgegebenen Kurve
bestimmt wird,
(s. Abbildung)
zusammen mit ihrer Ableitung nach der Richtung der Kurvennormalen vorgegebene Werte annimmt:
(9.90f)
Die glatte Kurve
darf keine zu den Koordinatenachsen parallelen Tangenten besitzen, d.h., sie darf die
Charakteristiken nicht berühren. Das Kurvenintegral in dieser Formel kann berechnet werden, da aus den Werten der
Funktion und ihrer Ableitung nach einer nichttangentialen Richtung längs des Kurvenbogens die Werte beider partieller
Ableitungen ermittelbar sind.
Oft werden beim CAUCHYschen Problem anstelle der Normalenableitung auf der Kurve die Werte einer partiellen
Ableitung der gesuchten Funktion vorgegeben, z.B.
. Dann wird eine andere Form der RIEMANNschen Formel
verwendet:
(9.90g)
Beispiel Telegrafengleichung
nennt man die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom hyperbolischen Typ
(9.91a)
mit den Konstanten
und
, die das Fließen des elektrischen Stromes in Leitungen beschreibt. Sie stellt
eine Verallgemeinerung der Saitenschwingungsgleichung dar.
Die unbekannte Funktion
wird durch die Substitution
ersetzt, so daß (9.91a) übergeht in
(9.91b)
Durch die Substitutionen der unabhängigen Variablen
(9.91c)
erhält man schließlich die Normalform
(9.91d)
der linearen partiellen Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ.
Dieser Differentialgleichung muß die RIEMANNsche Funktion
den Wert Eins annehmen. Wenn in
für
genügen und für
sowie
die Gestalt
(9.91e)
gewählt wird, dann ist
eine Lösung der Differentialgleichung
(9.91f)
mit der Anfangsbedingung
. Die Substitution
überführt diese Differentialgleichung in die
BESSELsche Differentialgleichung nullter Ordnung
(9.91g)
so daß die Lösung lautet
(9.91h)
Eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung (9.91a) mit den Anfangsbedingungen
(9.91i)
kann erhalten werden, indem man den gefundenen Wert von
ursprünglichen Variablen zurückkehrt:
in die RIEMANNsche Formel einsetzt und zu den
(9.91j)
Differentialgleichungen der Feldtheorie
●
●
Laplacesche Differentialgleichung
Poissonsche Differentialgleichung
Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
Manchmal ist es vorteilhafter, Differentialgleichungen zu betrachten, in denen die gesuchte Funktion
nicht explizit
enthalten ist. Der Übergang zu einer derartigen Funktion kann erreicht werden, indem eine zusätzliche unabhängige
Veränderliche
und eine unbekannte Funktion
eingeführt werden. Für diese
Funktion wird über die Gleichung
(9.74a)
die gesuchte Funktion
bestimmt. Dabei setzt man in (9.73a) anstelle von
die Funktion
ein. Dann wird die Differentialgleichung (9.73a) nach einer beliebigen
partiellen Ableitung von
aufgelöst. Die dazugehörige unabhängige Veränderliche wird nach entsprechender
Änderung der Numerierung der übrigen Variablen mit
die Form
bezeichnet. Schließlich bringt man die Gleichung (9.73a) in
(9.74b)
Das System der charakteristischen Differentialgleichungen geht so über in
(9.74c)
und
(9.74d)
Die Gleichungen (9.74c) stellen ein System von
Funktion
von
gewöhnlichen Differentialgleichungen dar, das einer beliebigen
Variablen entspricht. Man nennt es ein kanonisches
System oder ein Normalsystem von Differentialgleichungen . Viele Aufgaben der Mechanik und der theoretischen
Physik führen auf Systeme dieser Art. Bei Kenntnis eines vollständigen Integrals
(9.74e)
der Gleichung (9.74b) kann die allgemeine Lösung des Normalsystems (9.74c) bestimmt werden, denn die
Gleichungen
definieren eine
mit
-parametrige Lösung des Normalsystems (9.74c).
willkürlichen Parametern
und
Superpositionssatz
Wenn
und
zwei Lösungen der Differentialgleichung (9.33) für verschiedene rechte Seiten
dann ist ihre Summe
und
sind,
eine Lösung derselben Differentialgleichung mit der rechten Seite
. Daraus folgt, daß es zur Berechnung der allgemeinen Lösung einer inhomogenen
Differentialgleichung ausreicht, zu irgendeiner ihrer partikulären Lösungen die allgemeine Lösung der zugehörigen
homogenen Differentialgleichung zu addieren.
Normalform
Normalform nennt man den folgenden einfachen Fall eines Systems linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten:
(9.45a)
Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung eines derartigen Systems erfordert zuerst die Lösung der charakteristischen Gleichung
(9.45b)
Zu jeder einfachen Wurzel
dieser Gleichung gehört ein System partikulärer Lösungen
(9.45c)
deren Koeffizienten
aus dem System homogener linearer Gleichungen
(9.45d)
zu bestimmen sind.
Da auf diese Weise gemäß Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem nur die Verhältnisse
ist in dem so gewonnenen System partikulärer Lösungen für jedes
bestimmt werden können,
eine willkürliche Konstante enthalten. Wenn alle Wurzeln der
charakteristischen Gleichung verschieden sind, enthält die Summe aller dieser partikulären Lösungen
willkürliche Konstanten, so daß sich damit die allgemeine Lösung des Systems ergibt. Wenn irgendein
voneinander unabhängige
eine
-fache Wurzel
der charakteristischen Gleichung ist, dann entspricht dieser Wurzel ein System partikulärer Lösungen der Form
(9.45e)
in dem die
Polynome sind, die maximal den Grad
haben können. Diese Ausdrücke werden mit
unbestimmten Koeffizienten in das System von Differentialgleichungen eingesetzt. Danach erfolgt eine Division durch
die Koeffizienten gleicher Potenzen von
, und
auf der linken und der rechten Seite werden gleichgesetzt. Dadurch entstehen lineare
Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten, von denen
ausdrücken. Auf diese Weise entsteht ein Lösungsanteil mit
frei wählbar sind. Die anderen Koeffizienten lassen sich durch diese
beliebigen Konstanten. Der Grad der Polynome kann kleiner als
sein. Wenn speziell das System (9.45a) symmetrisch ist, d.h. wenn
gilt, dann reicht es aus, die
zu setzen. Für komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung können die betreffenden Glieder der
allgemeinen Lösung genau so auf eine reelle Form gebracht werden, wie es für den Fall einer Differentialgleichung mit konstanten
Koeffizienten gezeigt worden ist.
Beispiel
Für das System
lautet die
charakteristische Gleichung
Für die einfache Wurzel
erhält man
.
Daraus folgt
erhält man
. Für die mehrfache Wurzel
. Einsetzen in die
Gleichungen liefert
woraus folgt
.
Die allgemeine Lösung lautet somit:
.
Anfangs- und Randbedingungen
Die Lösung physikalischer, technischer und naturwissenschaftlicher Probleme erfordert gewöhnlich die Erfüllung
zweier grundsätzlicher Anforderungen:
1.
Die gesuchte Lösung hat nicht nur der Differentialgleichung zu genügen, sondern zusätzlich noch Anfangsbzw. Randbedingungen. Dabei können Probleme auftreten, bei denen nur Anfangsbedingungen, nur
Randbedingungen oder sowohl Anfangs- als auch Randbedingungen vorgegeben sind. Die Gesamtheit aller
Bedingungen muß die Lösung der Differentialgleichung eindeutig festlegen.
2.
Die gesuchte Lösung muß gegenüber kleinen Änderungen der Anfangs- und Randbedingungen stabil sein,
d.h. sich beliebig wenig ändern, wenn die Änderungen dieser Bedingungen, oft auch Störungen genannt,
hinreichend klein sind. Man sagt dann, daß eine korrekte Problemstellung vorliegt.
Erst wenn diese Bedingungen erfüllt sind, kann davon ausgegangen werden, daß das mathematische Modell des
gegebenen Problems zur Beschreibung realer Erscheinungen geeignet ist.
Bei den Differentialgleichungen des hyperbolischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von
Schwingungsvorgängen in kontinuierlichen Medien führen, ist z.B. das CAUCHYsche Problem korrekt gestellt. Dies
bedeutet, daß auf einer Anfangsmannigfaltigkeit, d.h. auf einer Kurve oder Fläche, Werte der zu bestimmenden
Funktion sowie ihrer Ableitungen in einer nichttangentialen, besonders der Normalenrichtung gegeben sind. Bei den
Differentialgleichungen des elliptischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von stationären Vorgängen und von
Gleichgewichtsproblemen in kontinuierlichen Medien führen, ist die Stellung des Randwertproblems, d.h. die Vorgabe
der Werte der zu bestimmenden Funktion auf dem Rande des betrachteten Variabilitätsgebiets der unabhängigen
Variablen, korrekt. Wenn das betrachtete Gebiet unbegrenzt ist, dann müssen von der zu bestimmenden Funktion
geeignete Verhaltenseigenschaften beim unbegrenzten Wachstum der unabhängigen Variablen gefordert werden.
Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
Die Lösung homogener oder inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen bei inhomogenen Anfangs- oder
Randbedingungen kann auf die Lösung einer Gleichung zurückgeführt werden, die sich von der gegebenen lediglich
durch das die unbekannte Funktion nicht mehr enthaltende freie Glied unterscheidet, jetzt aber bei homogenen
Bedingungen. Dazu reicht es aus, die zu bestimmende Funktion durch eine Differenz zwischen ihr und einer
beliebigen, zweimal differenzierbaren Funktion zu ersetzen, die die gegebenen inhomogenen Bedingungen erfüllt.
Generell wird von der Erkenntnis Gebrauch gemacht, daß sich die Lösung einer linearen inhomogenen partiellen
Differentialgleichung bei gegebenen inhomogenen Anfangs- oder Randbedingungen als Summe der Lösung der
gleichen Differentialgleichung bei Nullbedingungen und der Lösung der entsprechenden homogenen
Differentialgleichung bei den gegebenen Bedingungen darstellen läßt.
Zur Zurückführung der Lösung der linearen inhomogenen partiellen Differentialgleichung
(9.96a)
bei den homogenen Anfangsbedingungen
(9.96b)
auf die Lösung des CAUCHYschen Problems für die zugehörige homogene Differentialgleichung wird
(9.96c)
gesetzt. Dabei ist
die Lösung der Differentialgleichung
(9.96d)
die den Randbedingungen
(9.96e)
genügt. In diesen Gleichungen steht
dimensionalen Problems. Mit
symbolisch für die Gesamtheit der
Variablen
des
wird dabei ein linearer Differentialausdruck bezeichnet, der die Ableitung
enthalten darf, nicht aber höhere Ableitungen nach
.
-
Unterabschnitte
●
●
Methode der Irrfahrtsprozesse:
Lösungsprinzip:
Lösung partieller Differentialgleichungen
Methode der Irrfahrtsprozesse:
Mit Hilfe von Irrfahrtsprozessen wird die Monte-Carlo-Methode zur genäherten Lösung von partiellen
Differentialgleichungen realisiert. Als Beispiel wird die folgende Randwertaufgabe betrachtet:
(16.165a)
(16.165b)
Hierbei ist
ein einfach zusammenhängendes Gebiet der
-Ebene; mit
ist der Rand von
bezeichnet.
Wie bei den Differenzenmethoden im Abschnitt Differenzenverfahren wird
mit einem quadratischen Gitter
überzogen, bei dem ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Schrittweite
gewählt werden soll.
Auf diese Weise entstehen innere Gitterpunkte
und Randpunkte
. Von den Randpunkten
auch Gitterpunkte sind, wird zunächst zur Vereinfachung angenommen, daß sie tatsächlich auf dem Rand
liegen, d.h., es soll
, die
von
(16.166)
gelten (s. Abbildung).
Lösungsprinzip:
Man stellt sich vor, daß ein Teilchen von einem inneren Punkt
aus zu einer Irrfahrt startet. Das bedeutet:
1.
Das Teilchen bewegt sich von
aus zufällig zu einem der 4 Nachbarpunkte des Gitters. Jedem dieser
4 Gitterpunkte wird die Wahrscheinlichkeit
für eine Bewegung zu diesem Punkt zugeordnet.
2.
Erreicht das Teilchen einen Randpunkt
, dann endet dort die Irrfahrt mit der Wahrscheinlichkeit 1.
Es läßt sich zeigen, daß ein Teilchen nach endlich vielen Schritten von einem inneren Punkt
Randpunkt
aus einen
erreicht. Mit
(16.167)
wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß eine Irrfahrt vom Punkt
aus in dem Randpunkt
endet.
Dann gilt
(16.168)
und
(16.169)
Diese Gleichung (16.169) stellt eine Differenzengleichung für
aus durchgeführt, von denen
im Punkt
enden
dar. Werden
Irrfahrten vom Punkt
, dann gilt
(16.170)
Diese Gleichung (16.170) gibt eine Näherungslösung der Differentialgleichung (16.165a) unter der Bedingung
(16.166) an. Die Randbedingung (16.165b) wird dagegen berücksichtigt, indem man
(16.171)
setzt; denn wegen (16.169) gilt
Zur Berechnung von
Differenzengleichung für
.
wird (16.169) mit
:
multipliziert. Nach Summation erhält man die folgende
(16.172)
Werden
Irrfahrten vom inneren Punkt
aus durchgeführt, von denen
im Randpunkt
enden, dann erhält man durch
(16.173)
einen Näherungswert im Punkt
des Randwertproblems (16.165a,b).
Problemstellungen
Die Modellierung und mathematische Erfassung verschiedener physikalischer Erscheinungen im Rahmen der
klassischen theoretischen Physik, besonders in modellmäßig strukturlos oder kontinuierlich veränderlich
angenäherten Medien, also in Gasen, strukturlos angenommenen Flüssigkeiten sowie Festkörpern und besonders in
Feldern der klassischen Physik, führen auf partielle Differentialgleichungen, wie z.B. die Wellengleichung und die
Wärmeleitungsgleichung. Auch die nichtklassische theoretische Physik, die Quantenmechanik, die auf der Erkenntnis
aufbaut, daß Medien und Felder diskontinuierliche Erscheinungen sind, wird von einer partiellen Differentialgleichung
beherrscht, die geradezu eine dominierende Stellung einnimmt, von der SCHRÖDINGER-Gleichung. Besonders häufig
treten lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung auf, die auch in den modernen Ingenieur- und
Naturwissenschaften große Bedeutung erlangt haben.
Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
●
●
●
●
Normalform
Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
Systeme zweiter Ordnung
Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzen die
allgemeine Form
(9.46a)
Wenn die Determinante nicht verschwindet, d.h.
(9.46b)
dann läßt sich das System (9.46a) auf die Normalform (9.45a) bringen.
bedarf zusätzlicher Betrachtungen (s. Lit.9.26).
Der Fall
Die Lösung kann auch von der allgemeinen Form aus und nach der gleichen Methode ermittelt werden, die bei der
Normalform zur Anwendung kommt. Die charakteristische Gleichung hat dann die Form
(9.46c)
Die Koeffizienten
in der Lösung (9.45c), die der einfachen Wurzel
dem Gleichungssystem
entsprechen, werden in diesem Falle aus
(9.46d)
bestimmt. Ansonsten entspricht die Lösungsmethode derselben, die im Falle der Normalform angewendet wurde.
Beispiel
Die charakteristische Gleichung des Systems der zwei Differentialgleichungen
lautet
Die Koeffizienten
bzw.
Lösung lautet somit
und
für
. Für
erhält man aus
ergibt sich analog
. Die allgemeine
.
Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung haben die allgemeine Form
(9.47)
1. Superpositionssatz: Wenn
und
sind, die sich nur durch ihre rechten Seiten
Lösungen inhomogener Systeme
bzw.
unterscheiden, dann ist
auch eine Lösung dieses Systems, wobei aber für die rechten
Seiten
gilt. Somit reicht es zur Gewinnung der allgemeinen Lösung des
inhomogenen Systems aus, zur allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems eine partikuläre
Lösung des inhomogenen Systems zu addieren.
2. Variation der Konstanten: Die Variation der Konstanten kann z.B. benutzt werden, um eine partikuläre
Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems zu ermitteln. Dazu wird die allgemeine Lösung des
werden zu
homogenen Systems in das inhomogene System eingesetzt. Die Konstanten
den unbekannten Funktionen
. In den Ausdrücken für die Ableitungen
treten neue Glieder mit Ableitungen der neuen unbekannten Funktionen
auf. Beim Einsetzen in das
gegebene System bleiben auf der linken Seite nur diese zusätzlichen Glieder übrig, weil sich die anderen
gegenseitig kompensieren, denn die
sind voraussetzungsgemäß eine Lösung des
homogenen Systems. Man erhält also für die
ein inhomogenes System linearer algebraischer
Gleichungen, das es zu lösen gilt. Nach
Integrationen findet man die Funktionen
. Einsetzen in die Lösung des homogenen Systems anstelle der Konstanten
liefert die gesuchte partikuläre Lösung des inhomogenen Systems.
Beispiel
Für das System aus zwei inhomogenen Differentialgleichungen
lautet die allgemeine Lösung
des homogenen Systems
. Einsetzen in die
gegebenen Gleichungen und Auffassen von
und
als Funktionen von
ergibt
,
,
oder
. Daraus folgt
.
Da eine partikuläre Lösung gesucht ist, werden alle Konstanten gleich Null gesetzt, was auf
führt. Die allgemeine Lösung lautet somit
.
3. Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Methode der unbestimmten Koeffizienten ist besonders
dann mit Vorteil einsetzbar, wenn die rechten Seiten aus speziellen Funktionen der Form
bestehen. Die Anwendung erfolgt in Analogie zu dem beschriebenen Vorgehen für eine Differentialgleichung
-ter Ordnung.
Systeme zweiter Ordnung
Die angeführten Methoden können auch auf Systeme linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen
werden. Für das System
(9.48)
bestimmt werden. Dazu sind die
können insbesondere auch partikuläre Lösungen der Form
der charakteristischen Gleichung
homogenen algebraischen Gleichungen zu ermitteln.
und die
aus den zugehörigen linearen
aus
Zerlegungssatz
Hat die inhomogene Differentialgleichung (9.33) reelle Koeffizienten und hat ihre rechte Seite die komplexe Form
mit den reellen Funktionen
und
, dann ist auch die Lösung
Diese komplexe Lösung setzt sich aus den zwei reellen Lösungen
und
Differentialgleichungen (9.33) mit den zugehörigen rechten Seiten
und
der zwei inhomogenen
zusammen.
komplex.
Räumliche Differentialoperationen
●
●
●
●
●
●
●
Richtungs- und Volumenableitung
Gradient eines Skalarfeldes
Vektorgradient
Divergenz des Vektorfeldes
Rotation des Vektorfeldes
Nablaoperator, Laplace-Operator
Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen
Rechenregeln für Differentialoperatoren
(13.81)
(13.82)
(13.83)
(13.84)
(13.85)
(13.86)
(13.87)
(13.88)
(13.89)
(13.90)
(13.91)
(13.92)
(13.93)
(13.94)
(13.95)
Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen
●
●
●
Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse
Rechenregeln für Differentialoperatoren
Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse
Tabelle Prinzipielle Verknüpfungen bei den Differentialoperatoren
Operator
Symbol
Verknüpfung
Argument Ergebnis
Bedeutung
Gradient
Skalar
Vektor
maximaler Anstieg
Vektorgradient
Vektor
Tensor 2. Stufe
Divergenz
Vektor
Skalar
Quellen bzw. Senken
Rotation
Vektor
Vektor
Wirbel
LAPLACE-
Skalar
Skalar
Potentialfeld-
Operator
Vektor
Vektor
quellen
Differentialquotient
●
●
●
●
Differentialquotient oder Ableitung einer Funktion
Geometrische Bedeutung der Ableitung
Differenzierbarkeit
Links- und rechtsseitige Ableitung
Differentiation von Funktionen einer
Veränderlichen
●
●
●
●
●
Differentialquotient
Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlichen
Ableitungen höherer Ordnung
Hauptsätze der Differentialrechnung
Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten
Hauptsätze der Differentialrechnung
●
●
●
●
●
●
Monotoniebedingungen
Satz von FERMAT
Satz von ROLLE
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Satz von TAYLOR für Funktionen von einer Veränderlichen
Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wenn eine Funktion
in einem abgeschlossenen Intervall
besitzt, dann existiert zwischen
und
wenigstens eine Zahl
stetig ist und im Innern eine Ableitung
derart, daß gilt
(6.29a)
Setzt man
und bezeichnet mit
eine zwischen 0 und 1 liegende Zahl, dann lautet der Satz in anderer
Schreibweise
(6.29b)
Die geometrische Bedeutung des Satzes besteht darin, daß eine Funktion
und
die zwischen den Punkten
(s. Abbildung) stetig ist und in jedem Punkt eine Tangente besitzt, wenigstens einen Kurvenpunkt
in dem die Kurventangente parallel zur Sehne
liegt.
hat,
Es kann auch mehrere solcher Punkte geben. Daß die Forderung nach Stetigkeit der Funktion und Existenz ihrer
Ableitung wesentlich ist, kann an Hand von Beispielen gezeigt werden, die solche Kurvenverläufe ergeben, wie sie in
den folgenden Abbildungen dargestellt sind.
Anwendungen: Für den Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es vielfache Anwendungsmöglichkeiten.
Eine Anwendung betrifft die Abschätzung von Fehlern gemäß
(6.30)
wobei
eine für alle
in dem Intervall
gültige obere Grenze von
ist.
Beispiel
Mit welcher Genauigkeit kann
gerundete Wert
höchstens angegeben werden, wenn für
der
eingesetzt wird? Es gilt:
so daß
Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wenn zwei Funktionen
und
wenigstens im Innern Ableitungen besitzen, wobei
existiert zwischen
und
wenigstens eine Zahl
in einem abgeschlossenen Intervall
stetig sind und
an keiner Stelle des Intervalls verschwinden darf, dann
derart, daß die Gleichung gilt
(6.32)
Die geometrische Bedeutung des verallgemeinerten Mittelwertsatzes entspricht der des gewöhnlichen
Mittelwertsatzes.
Geht man z.B. davon aus, daß die Kurve in der Abbildung in der Parameterform
ist, wobei die Punkte
und
den Parameterwerten
bzw.
gegeben
entsprechen sollen, dann gilt für den
Punkt
(6.33)
Für
geht der verallgemeinerte Mittelwertsatz in den gewöhnlichen Mittelwertsatz über.
Monotoniebedingungen
Wenn eine Funktion
in einem zusammenhängenden Intervall definiert und stetig ist und wenn sie in allen
inneren Punkten dieses Intervalls eine Ableitung besitzt, dann ist für die Monotonie der Funktion die Bedingung
(6.26a)
(6.26b)
notwendig und hinreichend. Wird gefordert, daß die Funktion im strengen Sinne monoton wachsend oder fallend sein
soll, dann darf zusätzlich die Ableitung
in keinem Teilintervall des oben angegebenen Intervalls identisch
verschwinden. In der rechten Abbildung ist diese Bedingung auf der Strecke
nicht erfüllt.
Die geometrische Deutung der Monotoniebedingung ergibt sich daraus, daß die Kurve einer monoton wachsenden
Funktion mit wachsendem Argumentwert an keiner Stelle fällt, d.h., daß sie entweder steigt oder horizontal verläuft
(linke Abbildung). Daher bildet die Tangente in den einzelnen Kurvenpunkten mit der positiven -Achse entweder
einen spitzen Winkel, oder sie verläuft parallel zu ihr. Für die monoton fallenden Funktion (rechte Abbildung) gilt eine
analoge Aussage. Ist die Funktion im strengen Sinne monoton, dann kann die Tangente nur in einzelnen Punkten
parallel zur
-Achse verlaufen, z.B. im Punkt
in der rechten Abbildung.
in (linke Abbildung), jedoch nicht in einem ganzen Teilintervall, wie
Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
●
●
Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
Differentiation impliziter Funktionen
Differentiation impliziter Funktionen
●
●
●
●
●
●
Eine Funktion von einer Veränderlichen
Eine Funktion von mehreren Veränderlichen
Zwei Funktionen von einer Veränderlichen
n Funktionen von einer Veränderlichen
Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen
n Funktionen von m Veränderlichen, gegeben durch ein System von n Gleichungen
Graphische Differentiation
Wenn eine differenzierbare Funktion
durch ihre Kurve
dargestellt ist, kann die Kurve
in kartesischen Koordinaten in einem Intervall
ihrer Ableitung näherungsweise konstruiert werden. Die
Konstruktion einer Tangente in einem gegebenen Kurvenpunkt nach Augenmaß kann recht ungenau ausfallen. Wenn
aber die Richtung der Tangente
werden.
(s. Abbildung) bekannt ist, kann der Berührungspunkt
genauer ermittelt
a) Konstruktion des Berührungspunktes einer Tangente: Parallel zur gegebenen Tangentenrichtung
werden zwei Sehnen
und
so eingezeichnet, daß die Kurve in nicht weit voneinander
liegenden Punkten geschnitten wird. Danach werden die Mittelpunkte der Sehnen ermittelt und durch diese
eine Gerade
gezogen, die die Kurve im Punkt
vorgegebene Richtung
schneidet, in dem die Tangente näherungsweise die
hat. Um die Genauigkeit zu überprüfen, kann eine dritte Sehne in geringem
Abstand von den ersten beiden eingetragen werden, die von der Geraden
werden muß.
im Mittelpunkt geschnitten
b) Konstruktion der Kurve einer abgeleiteten Funktion:
1.
Vorgabe einiger Richtungen
, die den Tangentenrichtungen der Kurve
in
dem betrachteten Intervall entsprechen sollen (s. Abbildung), und Ermittlung der dazugehörigen
, wobei die Tangenten selbst nicht konstruiert werden müssen.
Berührungspunkte
2.
, eines ,,Pols``, auf der negativen
Wahl eines Punktes
so größer sein soll, je flacher die Kurve ist.
-Achse, wobei die Strecke
Einzeichnen von Geraden, die parallel zu den Richtungen
bzw.
um
3.
Pol
hindurchgehen und die
-Achse in den Punkten
bzw.
verlaufen, durch den
schneiden.
4.
Konstruktion horizontaler Geraden
von den Punkten
aus bis zu den Schnittpunkten
mit den aus den Punkten
gefällten Loten.
5.
Verbinden der Punkte
Gleichung
mit Hilfe eines Kurvenlineals durch eine Kurve, die der
genügt. Wenn die Strecke
so gewählt wird, daß sie der Längeneinheit auf
der
-Achse entspricht, ist die gewonnene Kurve die der gesuchten Ableitung. Ist das nicht der Fall,
dann sind die gefundenen Ordinaten
der Ableitung mit dem Faktor
multiplizieren. Die sich so ergebenden Punkte
der maßstabsgerechten Ableitungskurve
.
zu
in der rechten Abbildung liegen auf
Konstantenregel
Die Ableitung einer Konstanten
ist gleich Null:
(6.4)
Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
1. Mittelbare Funktion von einer unabhängigen Veränderlichen:
(6.49a)
(6.49b)
2. Mittelbare Funktion von mehreren unabhängigen Veränderlichen:
(6.50a)
(6.50b)
Differentiation unter dem Integralzeichen
1. Satz: Wenn die Funktion (8.90) im Intervall
definiert ist und die Funktion
stetig ist und eine partielle Ableitung nach
im Rechteck
besitzt, dann gilt bei beliebigem
Intervall
(8.92)
Man spricht vom Differenzieren unter dem Integralzeichen .
Beispiel
im
beliebig:
Für
.
Probe:
.
Für
ist die Stetigkeitsbedingung nicht erfüllt, so daß hier keine Ableitung existiert.
2. Verallgemeinerung auf parameterabhängige Integrationsgrenzen: Die Formel (8.92) kann verallgemeinert
werden, wenn die Funktionen
werden, im Intervall
und
unter den gleichen Bedingungen, die für (8.92) gefordert
definiert, stetig und differenzierbar sind und wenn die Kurven
das Rechteck
nicht verlassen:
(8.93)
Ableitungen höherer Ordnung
●
●
●
●
●
Definition der Ableitungen höherer Ordnung
Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
Leibnizsche Regel
Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion
Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlichen
●
●
●
●
Ableitungen elementarer Funktionen
Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen
Grundregeln für das Differenzieren
Tabelle Differentiationsregeln
Grundregeln für das Differenzieren
Im folgenden sind
und
Funktionen der unabhängigen Veränderlichen
Ableitungen dieser Funktionen nach
. Mit
und
, und
und
die
werden die Differentiale bezeichnet. Die
Grundregeln für das Differenzieren, die anschließend erläutert werden, findet man zusammengefaßt in der Tabelle
Differentiationsregeln.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Konstantenregel
Faktorregel
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Logarithmische Differentiation
Ableitung der inversen Funktion
Ableitung einer impliziten Funktion
Ableitung einer Funktion in Parameterdarstellung
Tabelle Differentiationsregeln
Regel
Konstantenregel
Faktorregel
Summenregel
Produktregel für
zwei Funktionen
Produktregel für
Funktionen
Formel für die Ableitung
(
const)
(
const)
Quotientenregel
Kettenregel für
zwei Funktionen
Kettenregel für
drei Funktionen
Potenzregel
Logarithmische
Differentiation
Differentiation der
Umkehrfunktion
Implizite
Differentiation
Ableitung in
Parameterdarstellung
Ableitung in
Polarkoordinaten
●
Graphische Differentiation
Differentiationsregeln für Vektoren
(13.3a)
(13.3b)
(13.3c)
(13.3d)
(13.3e)
Ist
, d.h.
, dann folgt aus (13.3c)
, d.h.
stehen senkrecht zueinander.
Beispiele für diesen Sachverhalt sind:
a)
Radius- und Tangentenvektor eines Kreises in der Ebene und
b)
Orts- und Tangentenvektor einer Kurve auf der Kugel. Der Hodograph ist dann eine sphärische Kurve .
und
Weitere Mengenoperationen
Außer den in den vorhergehenden Abschnittenen für zwei Mengen
werden noch die Differenzmenge oder Differenz
sowie das kartesische Produkt
eingeführten Mengenoperationen
die Diskrepanz oder symmetrische Differenz
erklärt.
1. Differenz zweier Mengen: Die Menge der Elemente von
oder Differenzmenge von
und
die nicht zu
gehören, heißt die Differenz
und
(5.63a)
Wird
durch die Eigenschaft
Elemente, die zwar die Eigenschaft
und
durch die Eigenschaft
nicht aber die Eigenschaft
beschrieben, dann liegen in
besitzen.
In der linken Abbildung ist die Differenz zweier Mengen schattiert dargestellt.
Beispiel
die
2. Symmetrische Differenz zweier Mengen: Die symmetrische Differenz
Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen
und
ist die Menge aller
gehören:
(5.63b)
Aus der Definition folgt, daß gilt
(5.63c)
d.h. die symmetrische Differenz enthält die Eelemente, die genau eine der beiden Eigenschaften
(zu
(zu
) und
) besitzen. In der rechten Abbildung ist die symmetrische Differenz schattiert dargestellt.
Beispiel
3. Kartesisches Produkt zweier Mengen:
(5.64a)
Die Elemente
von
heißen geordnete Paare und sind durch
(5.64b)
charakterisiert.
Die Anzahl der Elemente im kartesischen Produkt zweier endlicher Mengen beträgt
(5.65)
Beispiel
Für
und
ergibt sich
und
mit
.
Beispiel
Mit dem kartesischen Produkt
(
Menge der reellen Zahlen) kann man alle Punkte der
Ebene beschreiben.
Die Menge der Koordinaten (
) wird durch
dargestellt, denn es gilt:
-
3. Kartesisches Produkt aus
Mengen: Aus
Reihenfolge (1. Element, 2. Element,...,
Elementen werden durch Festlegung einer bestimmten
-tes Element) geordnete
die Elemente, dann notiert man das
-te Komponente genannt wird. Für
Das
-fache kartesische Produkt
-Tupel gebildet. Sind
-Tupel als
, wobei
spricht man von Tripel, Quadrupel und Quintupel .
ist dann die Menge aller geordneten
-Tupel
mit
(5.66a)
Sind alle
endliche Mengen, dann beträgt die Anzahl der geordneten Elemente
(5.66b)
Hinweis: Das
-fache kartesische Produkt einer Menge
mit sich selbst wird mit
bezeichnet.
Differenzengleichung zweiter Ordnung (Randwertaufgabe)
In den Anwendungen kommt es häufig vor, daß die Werte
der Differenzengleichung nur für endlich viele Indizes
gesucht sind. Im Falle einer Differenzengleichung zweiter Ordnung (15.137) werden dann in der
Regel die beiden sogenannten Randwerte
und
vorgegeben. Zur Lösung dieser Randwertaufgabe geht man
von der Lösung (15.140f) der entsprechenden Anfangswertaufgabe aus, wobei an Stelle des unbekannten Wertes
jetzt
und
einzuführen ist. Dazu setzt man in (15.140f)
, dann kann man
in Abhängigkeit von
ausrechnen:
(15.142a)
Man setzt diesen Wert in (15.140f) ein und erhält
(15.142b)
Die Lösung (15.142b) hat nur dann einen Sinn, wenn
gilt. Andernfalls hat das Randwertproblem
keine allgemeine Lösung, sondern es treten in Analogie zu den Randwertaufgaben bei Differentialgleichungen
Eigenwerte und Eigenfunktionen auf.
Differenzengleichung zweiter Ordnung (Anfangswertaufgabe)
Die Differenzengleichung zweiter Ordnung lautet:
(15.137)
Als Anfangswerte sind
und
gegeben.
Mit Hilfe des zweiten Verschiebungssatzes erhält man zu (15.137) die Bildgleichung
(15.138)
Setzt man
, dann lautet die Bildfunktion
(15.139)
Das Polynom
habe die Nullstellen
und
, für die
und
gelte, weil sonst
wäre und sich die Differenzengleichung auf eine solche erster Ordnung reduzieren würde. Durch
Partialbruchzerlegung und Anwendung der Tabelle Z-Transformationen ergibt sich aus
(15.140a)
Wegen
ist nach dem zweitem Verschiebungssatz
(15.140b)
und nach dem ersten Verschiebungssatz
(15.140c)
Dabei ist
zu setzen. Mit Hilfe des Faltungssatzes erhält man die Originalfolge mit
(15.140d)
Wegen
ergibt sich daraus mit (15.140a)
(15.140e)
und
Diese Form läßt sich noch wegen
(s. Wurzelsatz von VIETA) noch zu
(15.140f)
vereinfachen. Für
erhält man analog
(15.140g)
Bei der Differenzengleichung zweiter Ordnung läßt sich die Rücktransformation der Bildfunktion
auch ohne
Partialbruchzerlegung durchführen, wenn man Korrespondenzen wie z.B.
(15.141a)
benutzt und auch hier den zweiten Verschiebungssatz anwendet. Mit der Substitution
lautet die Originalfolge zu (15.139):
(15.141b)
Diese Formel ist günstig für eine numerische Auswertung besonders dann, wenn
Die hyperbolischen Funktionen sind auch für komplexe Argumente definiert.
und
komplexe Zahlen sind.
Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
Eine lineare Differenzengleichung
-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form
(15.134)
Dabei ist
eine natürliche Zahl. Die Koeffizienten
Zahlen und hängen nicht von
ab. Es gelte
sind gegebene reelle oder komplexe
und
. Die Folge
ist gegeben, die Folge
ist gesucht.
Zur Festlegung einer bestimmten Lösung von (15.134) werden die Werte
kann man aus (15.134) für
aus (15.134) für
den nächsten Wert
der Wert
der Z-Transformation läßt sich jedoch für
ausrechnen. Aus
. Auf diese Weise kann man alle Werte
vorgegeben. Dann
ergibt sich dann
rekursiv ausrechnen. Mit Hilfe
eine allgemeine Darstellung angeben. Dazu wendet man den zweiten
Verschiebungssatz (15.119) auf (15.134) an und erhält:
(15.135)
Dabei bedeutet
. Setzt man weiterhin
, so lautet die Lösung der sogenannten Bildgleichung (15.135)
(15.136)
Wie bei der Behandlung von linearen Differentialgleichungen mit der LAPLACE-Transformation hat man auch bei der
Z-Transformation den Vorteil, daß die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen und daher bei der Lösung
automatisch berücksichtigt werden. Aus (15.136) gewinnt man dann die gesuchte Lösung
durch Rücktransformation gemäß Abschnitt
Umkehrung der Z-Transformation.
Z-Transformation
In Natur und Technik kann man zwischen kontinuierlichen und diskreten Vorgängen unterscheiden. Während sich
von den kontinuierlichen Vorgängen viele durch Differentialgleichungen beschreiben lassen, führen diskrete
Vorgänge häufig auf Differenzengleichungen . Zur Lösung von Differentialgleichungen eignen sich besonders
FOURIER- und LAPLACE-Transformationen, zur Lösung von Differenzengleichungen wurden andere, angepaßte
Operatorenmethoden entwickelt. Die bekannteste ist die Z-Transformation, die in engem Zusammenhang mit der
LAPLACE-Transformation steht.
●
●
Eigenschaften der Z-Transformation
Anwendungen der Z-Transformation
Arithmetische Reihe
Arithmetische Reihe
-ter Ordnung
-ter Ordnung heißt eine Reihe, wenn die
-ten Differenzen
der Folge
konstant sind. Die Differenzen höherer Ordnung werden rekursiv durch
(1.58a)
gebildet. Sie ergeben sich bequem aus dem folgenden Differenzenschema :
(1.58b)
Es gilt dann für die Glieder und für die Summe
(1.58c)
(1.58d)
Näherungsmethoden
Zur Lösung konkreter Aufgaben mit Hilfe partieller Differentialgleichungen werden oft verschiedene
Näherungsverfahren eingesetzt. Dabei ist zwischen analytischen und numerischen Methoden zu unterscheiden.
1. Analytische Methoden: Die analytischen Methoden ermöglichen die Bestimmung angenäherter
analytischer Ausdrücke für die gesuchte Funktion.
2. Numerische Methoden: Die numerischen Methoden liefern Näherungswerte der gesuchten Funktion für
bestimmte Werte der unabhängigen Variablen. Dazu verwendet man folgende Methoden:
a) Methode der finiten Differenzen, kurz Differenzenverfahren genannt: Die Differentialquotienten
werden durch Differenzenquotienten ersetzt, so daß die Differentialgleichung einschließlich Anfangsund Randbedingungen in ein System von algebraischen Gleichungen umgewandelt wird. Eine lineare
Differentialgleichung mit linearen Anfangs- und Randbedingungen wird so zu einem System linearer
Gleichungen.
b) Methode der finiten Elemente, kurz FEM, für Randwertaufgaben: Der Randwertaufgabe wird eine
Variationsaufgabe zugeordnet. Die gesuchte Lösung wird durch einen Spline-Ansatz approximiert,
nachdem das Definitionsgebiet der Randwertaufgabe in regelmäßige Teilgebiete zerlegt worden ist. Die
Ansatzkoeffizienten werden durch Lösung einer Extremwertaufgabe bestimmt.
c) Randintegralgleichungsmethode für spezielle Randwertaufgaben: Die Randwertaufgabe wird als
äquivalentes Integralgleichungsproblem über dem Rand des Definitionsgebietes der Randwertaufgabe
formuliert. Dazu werden Integralsätze der Vektoranalysis, z.B. GREENsche Formeln, verwendet. Die
verbleibenden Randintegrale werden mit Hilfe geeigneter Quadraturformeln numerisch gelöst.
3. Numerische Lösungen: Numerische Lösungen von Differentialgleichungen können auch auf
experimentellem Wege ermittelt werden. Dabei macht man von der Tatsache Gebrauch, daß recht
unterschiedliche physikalische Erscheinungen mit ein und derselben Differentialgleichung beschrieben werden
können. Um ein gegebenes Problem auf diesem Wege zu lösen, wird ein technisches Modell konstruiert, mit
dessen Hilfe das gegebene Problem simuliert werden kann und an dem im Experiment Messungen
vorgenommen werden, deren Werte die gesuchte Funktion darstellen. Da solche Modelle oft bewußt so
konstruiert sind, daß die Parameter in weiten Grenzen eingestellt werden können, ist es möglich, auch die
Differentialgleichung in weiten Gebieten der unabhängigen Veränderlichen zu untersuchen.
Differenzierbarkeit
Die Existenz der Ableitung einer Funktion
für die Werte der Variablen
ist gegeben, wenn für diese Werte
1.
die Funktion definiert und stetig ist und
2.
der Differentialquotient
Existiert in einem Punkt
(6.2) einen endlichen Wert besitzt.
keine Ableitung, dann hat die Kurve in dem betreffenden Punkt entweder keine bestimmte
Tangente oder diese bildet mit der
-Achse einen rechten Winkel. Im zweiten Falle ist der Grenzwert
(6.2) unendlich. Man benutzt für diesen Sachverhalt die Schreibweise
.
Beispiel A
Im Punkt 0 geht die Ableitung gegen unendlich
(linke Abbildung), d.h., sie existiert nicht.
Beispiel B
An der Stelle
Abbildung).
existiert kein Grenzwert der Art
(6.2) (rechte
Differenzierbarkeit der komplexen Funktion
Eine Funktion
heißt an der Stelle
differenzierbar, wenn der Differenzenquotient
(14.3)
für
einem vom Annäherungsweg unabhängigen Grenzwert zustrebt. Dieser Grenzwert wird mit
genannt.
bezeichnet und Ableitung der Funktion
Beispiel
Die Funktion
den Punkt
ist im Punkt
längs einer Parallelen zur
nicht differenzierbar, denn bei Annäherung an
-Achse strebt der Differenzenquotient gegen den Wert Eins,
dagegen bei Annäherung längs einer Parallelen zur
-Achse gegen den Wert Null.
Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
●
●
Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
Dreidimensionale Diffusionsgleichung
Dreidimensionale Diffusionsgleichung
In Analogie zur Wärmeleitung wird die Ausbreitung einer Konzentration
in einem homogenen Medium durch die
gleiche lineare partielle Differentialgleichung (9.101a) bzw. (9.101d) beschrieben, wobei
Diffusionskoeffizienten
durch den
zu ersetzen ist. Die Diffusionsgleichung lautet:
(9.102)
Die Lösungen erhält man durch Austausch der Symbole in den Wellengleichungen (9.101b) und (9.101c).
Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
●
●
●
●
●
Dimension eines Maßes
Informationsdimension
Korrelationsdimension
Verallgemeinerte Dimension
Lyapunov-Dimension
Informationsdimension
Der Attraktor
der Seitenlänge
von
sei wie bei der Einführung der metrischen Entropie mit Würfeln
überdeckt. Sei
ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß auf
Die Entropie der Zerlegung
.
ist
(17.43)
Existiert der Grenzwert
, so hat diese Größe die Eigenschaft einer Dimension und wird
Informationsdimension genannt.
Satz II von YOUNG: Gilt für
-fast alle
die Beziehung
, so ist
.
Beispiel A
Das Maß
sei auf einer Ruhelage
von
konzentriert. Da für
immer
ist, gilt
Beispiel B
Das Maß
deshalb
sei auf einem Grenzzyklus von
.
konzentriert. Für
ist
und
Kapazitätsdimension
Sei
eine kompakte Menge des metrischen Raumes
vom Durchmesser
, die nötig ist, um
und sei
die minimale Anzahl von Mengen
zu überdecken. Die Größe
(17.41a)
heißt obere Kapazitätsdimension , die Größe
(17.41b)
heißt untere Kapazitätsdimension von
. Gilt
, so heißt
Kapazitätsdimension von
. Im
kann die Kapazitätsdimension auch für beschränkte Mengen betrachtet
werden, die nicht abgeschlossen sind.
Für eine beschränkte Menge
definiert werden: Der
kann für
kann in den obigen Definitionen die Zahl
wird mit einem Gitter aus
auch folgendermaßen
-dimensionalen Würfeln der Seitenlänge
die Anzahl der Würfel des Gitters, die
überdeckt. Dann
schneiden, genommen werden.
Wichtige Eigenschaften der Kapazitätsdimension:
(KD1)
Es gilt immer
.
(KD2)
Für
-dimensionale Flächen
ist
.
(KD3)
Mit der Abschließung
von
gilt
, während oft
ist.
(KD4)
Ist
Beispiel
so gilt für die Kapazitätsdimension im allgemeinen nicht
.
Sei
Ist
. Dann gilt
die Menge aller rationalen Punkte in
.
und
, so gilt wegen 2. und 3.
.
. Andererseits ist
Korrelationsdimension
Sei
eine Folge von Punkten des Attraktors
Wahrscheinlichkeitsmaß auf
dist
HEAVISIDE-Funktion
und sei
von
beliebig. Für Vektoren
, wobei
ein invariantes
sei der Abstand
die Euklidische Vektornorm ist, definiert. Wird mit
bezeichnet, so heißt der Ausdruck
(17.44a)
die
Korrelationsintegral . Die Größe
(17.44b)
falls diese existiert, ist die Korrelationsdimension .
Metrische Dimensionen
●
●
●
●
Fraktale
Hausdorff-Dimension
Kapazitätsdimension
Selbstähnlichkeit
Dimension eines Maßes
Sei
ein Wahrscheinlichkeitsmaß in
Kugel mit Radius
und Mittelpunkt
konzentriert auf
. Ist
ein beliebiger Punkt,
die
, so bezeichnen
(17.42a)
die obere und
(17.42b)
die untere punktweise Dimension .
Ist
Satz I von YOUNG: Gilt für
, so heißt
fast alle
Dimension des Maßes
die Beziehung
in
.
, so ist
. Die Größe
heißt HAUSDORFF- Dimension des Maßes
Beispiel
Es sei
, und es sei
die Einschränkung von
auf
eine kompakte Kugel mit dem LEBESGUE-Maß
gelte
. Dann ist
und
. Für
.
.
Verallgemeinerte Dimension
Der Attraktor
von
auf
mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß
metrischen Entropie mit Würfeln der Seitenlänge
wird wie bei der Einführung der
überdeckt. Für einen beliebigen Parameter
heißt
(17.45a)
verallgemeinerte Entropie -ter Ordnung bezüglich der Zerlegung
Die RÉNYI- Dimension
.
-ter Ordnung ist
(17.45b)
falls dieser Grenzwert existiert.
Sonderfälle der R´ENYI-Dimension:
(17.46a)
(17.46b)
(17.46c)
Hamilton-Kreise
1. HAMILTON-Kreis:Ein Elementarkreis in einem Graphen
HAMILTON-Kreis .
, der alle Knoten von
durchläuft, heißt
Beispiel
In der Abbildung bilden die grün gezeichneten Linien einen HAMILTON-Kreis.
Die Idee für ein Spiel, in dem man in dem abgebildeten Graphen eines Pentagondodekaeders HAMILTON-
Kreise auffinden soll, geht auf Sir W. HAMILTON zurück.
Hinweis: Die Frage nach der Charakterisierung der Graphen mit HAMILTON-Kreisen führt auf eins der
klassischen NP-vollständigen Probleme. Deshalb kann hier kein effizienter Algorithmus zur Ermittlung von
HAMILTON-Kreisen angegeben werden.
2. Satz von DIRAC:Enthält ein schlichter Graph
für jeden Knoten
von
mindestens 3 Knoten, und gilt
dann enthält
einen HAMILTON-Kreis. Diese hinreichende
Bedingung für die Existenz eines HAMILTON-Kreises ist aber nicht notwendig. Auch die folgenden Sätze mit
verallgemeinerten Voraussetzungen liefern nur hinreichende Bedingungen für die Existenz von HAMILTONKreisen.
Beispiel
In der Abbildung ist ein Graph gezeigt, der einen HAMILTON-Kreis besitzt, ohne die Voraussetzungen
des folgenden Satzes von ORE zu erfüllen.
3. Satz von ORE:Enthält ein schlichter Graph
mindestens 3 Knoten, und gilt
für je zwei nichtadjazente Knoten
dann enthält
einen HAMILTON-
Kreis.
4. Satz von POSA: Es sei
ein schlichter Graph mit mindestens 3 Knoten. Er besitzt einen
HAMILTON-Kreis, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1.
Für
gelte: Die Anzahl derjenigen Knoten, deren Grad höchstens
kleiner als
2.
Ist
ungerade, dann gelte zusätzlich: Die Anzahl derjenigen Knoten, deren Grad höchstens
ist, ist höchstens
ist, ist
Lösung des Dirichletschen Problems
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel D: DIRICHLETsches Problem für das Rechteck
Als Lösung der LAPLACEschen Differentialgleichung vom elliptischen Typ
(9.88a)
wird eine Funktion
gesucht, die auch die Randbedingungen
(9.88b)
erfüllt.
Als erster Schritt wird eine partikuläre Lösung für die Randbedingungen
bestimmt.
Einsetzen des Produktansatzes
(9.88c)
in (9.88a) ergibt die separierten Differentialgleichungen
(9.88d)
mit dem Eigenwert
in Analogie zu den oben betrachteten Aufgaben A bis C. Da
gilt,
ergibt sich
(9.88e)
Im zweiten Schritt wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
(9.88f)
in der Form
(9.88g)
hingeschrieben. Daraus ergibt sich für die Randbedingungen
eine partikuläre Lösung
von (9.88a) in der Form
(9.88h)
Im dritten Schritt wird die allgemeine Lösung als Summe
(9.88i)
angesetzt, so daß sich aus den Randbedingungen für
und
(9.88j)
mit den Koeffizienten
(9.88k)
ergibt.
In Analogie dazu wird die Aufgabe für die Randbedingungen
(9.88j) die allgemeine Lösung von (9.88a) und (9.88b) bildet.
gelöst, die in der Summe mit
Einfache Variationsaufgabe
Eine der einfachsten Aufgaben mit Funktion von mehreren Variablen stellt das folgende Variationsproblem für ein
Doppelintegral dar:
(10.44)
Dabei soll die gesuchte Funktion
auf dem Rand
des Bereiches
gegebene Werte annehmen.
Analog zum Abschnitt EULERsche Differentialgleichung werden Vergleichsfunktionen der Form
(10.45)
angesetzt, wobei
eine Lösung der Variationsaufgabe (10.44) ist und die vorgegebenen Randwerte
annimmt, während
die Bedingung
(10.46)
erfüllt und wie
Die Größe
entsprechend oft differenzierbar ist.
ist ein Parameter. Durch
benachbart ist. Mit (10.45) geht
wird eine Fläche beschrieben, die der Lösungsfläche
in
über, d.h., aus der Variationsaufgabe (10.44) wird eine
Extremwertaufgabe, die die notwendige Bedingung
(10.47)
erfüllen muß. Daraus folgt die EULERsche Differentialgleichung
(10.48)
als notwendige Bedingung für die Lösung der Variationsaufgabe (10.44).
Beispiel
Eine unbelastete Membran, die am Rand
eines Bereiches
der
-Ebene eingespannt ist,
überdeckt eine Fläche mit dem Inhalt
(10.49a)
Wird die Membran durch eine Belastung so deformiert, daß jeder Punkt eine Auslenkung
in
-
Richtung erfährt, dann wird ihr Flächeninhalt nach der Formel
(10.49b)
berechnet. Linearisiert man den Integranden in (10.49b) nach TAYLOR, dann erhält man die Beziehung
(10.49c)
Für die potentielle Energie
der deformierten Membran gilt
(10.49d)
wobei die Konstante
als Spannung der Membran bezeichnet wird. Auf diese Weise entsteht das sogenannte
DIRICHLETsche Variationsproblem: Die Funktion
ist so zu bestimmen, daß sie das Funktional
(10.49e)
zu einem Extremum macht und auf dem Rand
EULERsche Differentialgleichung lautet
des ebenen Gebietes
verschwindet. Die zugehörige
(10.49f)
Es handelt sich um die LAPLACEsche Differentialgleichung für Funktionen von zwei Variablen.
Vereinigung, Durchschnitt, Komplement
Durch Mengenoperationen werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet.
1. Vereinigung:
Seien
durch
und
Mengen. Die Vereinigungsmenge oder die Vereinigung (Bezeichnung
) ist definiert
(5.38)
Man liest ,,
Sind
und
vereinigt mit
``.
durch die Eigenschaften
bzw.
beschrieben, dann enthält die Vereinigungsmenge
die Elemente, die wenigstens eine der beiden Eigenschaften besitzen, also wenigstens zu einer der beiden
Mengen gehören.
In der linken Abbildung ist die Vereigungsmenge durch das schattiert gezeichnete Gebiet dargestellt.
Beispiel
2. Durchschnitt:
Seien
und
Mengen. Die Schnittmenge oder der Durchschnitt (Bezeichnung
) ist definiert durch
(5.39)
Man liest ,,
Sind
und
Eigenschaften
geschnitten mit
``.
durch die Eigenschaften
und
bzw.
beschrieben, dann enthält
die Elemente, die beide
besitzen.
In der mittleren Abbildung ist die Schnittmenge schattiert dargestellt.
Beispiel
Mit Hilfe des Durchschnitts der Teilermengen
und
zweier Zahlen
und
läßt sich der
größte gemeinsame Teiler (ggT) bestimmen.
Für
daß
und
ist
die Zahl ggT(12,18)=6 ergibt.
und
so
Disjunkte Mengen: Zwei beliebige Mengen
und
die kein gemeinsames Element besitzen, nennt man
elementfremd oder disjunkt ; für sie gilt
(5.40)
d.h., ihr Durchschnitt ist eine leere Menge.
Beispiel
Der Durchschnitt der Menge der ungeraden und der Menge der geraden Zahlen ist leer, d.h.
3. Komplement: Betrachtet man nur Teilmengen einer vorgegebenen Grundmenge
so besteht die Komplementärmenge oder das Komplement
allen Elementen von
die nicht zu
z.B. die Teilmenge
von
bezüglich
aus
gehören:
(5.41)
Man liest ,,Komplement von
Ist die Grundmenge
bezüglich
``.
aus dem Zusammenhang heraus offenbar, wird für die Bezeichnung der
Komplementärmenge auch das Symbol
dargestellt.
verwendet. In der rechten Abbildung ist das Komplement
schattiert
Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
Einschrittverfahren kann man allgemein in der folgenden Form darstellen:
(19.110)
Dabei wird
Zuwachsfunktion oder Fortschreitrichtung des Einschrittverfahrens genannt. Die durch
(19.110) gewonnene Näherungslösung hängt von der Schrittweite
werden. Ihre Abweichung von der exakten Lösung
Diskretisierungsfehler
Ordnung
, falls
ab und soll deshalb mit
bezeichnet
der Anfangswertaufgabe (19.93) ergibt den globalen
(19.111), und man sagt: Das Einschrittverfahren (19.110) ist konvergent mit der
die größte natürliche Zahl mit
(19.111)
ist. Die Formel (19.111) besagt, daß für jedes
aus dem Definitionsbereich der Anfangswertaufgabe die mit der
Schrittweite
die Lösung
bestimmte Näherung
für jede Verfeinerung der Einteilung mit
gegen
konvergiert.
Beispiel
Das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) hat die Konvergenzordnung
Verfahren (19.99) gilt
.
. Für das RUNGE-KUTTA-
Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
Die Konvergenzordnung gemäß (19.111) gibt an, wie gut die Näherungslösung
die exakte Lösung
die Ableitung
approximiert. Darüber hinaus ist die Frage interessant, wie gut die Zuwachsfunktion
annähert. Dazu führt man den sogenannten lokalen Diskretisierungsfehler
und sagt: Das Einschrittverfahren (19.110) ist konsistent mit der Ordnung
, falls
(19.112) ein
die größte natürliche Zahl mit
(19.112)
ist. Für ein konsistentes Einzelschrittverfahren folgt aus (19.112) unmittelbar
(19.113)
Beispiel
Das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) hat die Konsistenzordnung
Verfahren (19.99) die Konsistenzordnung
.
, das RUNGE -KUTTA-
Streuung und Standardabweichung
Speziell für
wurden die äquivalenten Ausdrücke Streuung , Varianz und Dispersion eingeführt:
(16.50)
Die Größe
wird Standardabweichung genannt. Es gelten die folgenden Beziehungen:
(16.51)
Problem des kürzesten Weges
Es sei
ein bewerteter schlichter Graph mit
von
wird ein kürzester Weg von
nach
für alle
gesucht, d.h. ein Weg von
Für zwei verschiedene Knoten
nach
, für den die Summe der
Bewertungen der Kanten bzw. Bögen minimal ist.
Zur Lösung des Problems wurde von DANTZIG ein effektiver Algorithmus vorgeschlagen, der für gerichtete Graphen
formuliert ist und entsprechend auf ungerichtete Graphen angewendet werden kann.
mit
Man kann für jeden bewerteten schlichten Graphen
Entfernungsmatrix oder Distanzmatrix
vom Typ
die
aufstellen:
(5.236)
Sind speziell alle Kanten mit 1 bewertet, d.h. der Abstand von
durchlaufen muß, um im Graphen von
Adjazenzmatrix ermitteln: Die Knoten von
nach
und
ist gleich der Mindestanzahl der Kanten, die man
zu gelangen, kann man den Abstand zweier Knoten aus der
seien
Die Adjazenzmatrix von
ist
und
die Potenzen der Adjazenzmatrix bezüglich der üblichen Multiplikation von Matrizen werden mit
bezeichnet.
Vom Knoten
zum Knoten
führt genau dann ein kürzester Weg der Länge
wenn gilt:
(5.237)
Beispiel A
Der in der Abbildung dargestellte bewertete Graph mit der Knotenzahl 6 besitzt die nebenstehend angegebene
Entfernungsmatrix.
Beispiel B
Der in der Abbildung gezeigte ungerichtete Graph hat die daneben angegebene Entfernungsmatrix (Adjazenzmatrix). Für
bzw.
erhält man die Matrizen
kann, die zwei Knoten des Graphen verbinden.
und
aus denen man die Länge der kürzesten Wege ablesen
Kürzeste Wege der Länge 2 verbinden die Knoten 1 und 3, 1 und 4, 1 und 5, 2 und 6, 3 und 4, 3 und 5 sowie 4 und 5.
Dagegen haben kürzeste Wege zwischen den Knoten 1 und 6, 3 und 6 bzw. 4 und 6 die Länge 3.
Distributionen
●
●
●
●
Formel der partiellen Integration
Verallgemeinerte Ableitung
Distribution
Ableitung einer Distribution
Verallgemeinerte Funktionen
Bei der Beschreibung gewisser technischer Systeme durch lineare Differentialgleichungen treten häufig
und
als Stör- oder Eingangsfunktion auf, obwohl die geforderten Voraussetzungen für die eindeutige Lösbarkeit
nicht erfüllt sind:
ist unstetig,
ist im Sinne der klassischen Analysis nicht definierbar.
Einen Ausweg liefert die Distributionstheorie durch die Einführung der sogenannten verallgemeinerten Funktionen
oder Distributionen, unter die sich z.B. die bekannten stetigen, reellen Funktionen sowie die Funktion
einordnen lassen, wobei die notwendigen Differenzierbarkeitseigenschaften gewährleistet sind. Die Distributionen
gestatten verschiedene Darstellungen. Zu den bekanntesten gehört die von L. SCHWARTZ eingeführte stetige reelle
Linearform (s. Lit. 12.14).
Den periodischen Distributionen lassen sich analog zu den reellen Funktionen FOURIER-Koeffizienten und FOURIERReihen eindeutig zuordnen.
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Eine Matrix
vom Typ
von
multipliziert wird:
mit
wird mit einer reellen oder komplexen Zahl
multipliziert, indem jedes Element
(4.22a)
Beispiel
Mit (4.22a) wird auch ausgesagt, daß ein konstanter Faktor, der in allen Elementen einer Matrix enthalten ist,
ausgeklammert werden kann.
Die Division einer Matrix durch einen Skalar wird als Multiplikation mit
durchgeführt, wobei
sein
muß.
Es gelten das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar:
(4.22b)
(4.22c)
(4.22d)
Definitionen
●
●
●
Ringe
Körper
Körpererweiterungen
Grenzwerte von Zahlenfolgen
1. Grenzwert einer Zahlenfolge: Eine unendliche Zahlenfolge (7.1) hat den Grenzwert
unbegrenzt wachsendem Index
die Differenz
formuliert bedeutet das: Zu jeder beliebig kleinen Zahl
alle
, wenn mit
dem Betrage nach beliebig klein wird. Genauer
läßt sich ein Index
so bestimmen, daß für
gilt
(7.5)
2. Konvergenz einer Zahlenfolge: Eine Zahlenfolge
die (7.5) erfüllt, heißt konvergent gegen
Man schreibt dann
(7.6)
Beispiel
.
Von den Folgen A bis J sind konvergent: C mit
E mit
F mit
G mit
.
3. Divergenz einer Zahlenfolge: Nichtkonvergente Zahlenfolgen heißen divergent . Man spricht von
bestimmter Divergenz , wenn
mit unbegrenzt wachsendem
nach der positiven oder negativen Seite
jede vorgegebene Zahl von beliebig großem Betrag überschreitet. Man schreibt dann:
(7.7)
Anderenfalls spricht man von unbestimmter Divergenz .
Beispiel A
Von den Folgen A bis J sind A und B gegen
bestimmt divergent.
Beispiel B
Von den Folgen A bis J ist D unbestimmt divergent.
4. Sätze über Grenzwerte von Zahlenfolgen:
a)
Wenn die Folgen
und
konvergieren, gilt
(7.8)
(7.9)
(7.10)
b)
gilt und wenigstens von einem Index
Wenn
ab stets
ist, dann gilt auch
(7.11)
c)
Eine monoton beschränkte Folge besitzt stets einen endlichen Grenzwert. Ist eine monoton wachsende
Folge
fallende nach unten, d.h.
größer als die obere Schranke
nach oben beschränkt, d.h.
für alle
für alle
bzw. eine monoton
so konvergiert sie gegen einen Grenzwert, der nicht
bzw. nicht kleiner als die untere Schranke
ist.
Definition der Divergenz
Zu einem Vektorfeld
läßt sich ein skalares Feld, das Feld seiner Divergenz , angeben. Im Punkt
ist die
Divergenz als Volumenableitung des Vektorfeldes definiert:
(13.46)
Man bezeichnet die Divergenz eines Vektorfeldes auch als spezifische Ergiebigkeit oder Quelldichte, denn sie gibt,
falls
ein Strömungsfeld beschreibt, die Flüssigkeitsmenge an, die in dem betreffenden Punkt des Feldes
Volumen- und Zeiteinheit neu entsteht. Im Fall
vom Vorhandensein einer Senke .
je
spricht man vom Vorhandensein einer Quelle , im Fall
Integralkriterium von Cauchy
1. Konvergenz: Eine Reihe mit dem allgemeinen Glied
monoton fallende Funktion ist und das uneigentliche Integral
2. Divergenz: Eine Reihe mit dem allgemeinen Glied
ist konvergent, wenn
eine
konvergiert.
ist divergent, wenn dieses Integral
divergiert.
Die untere Integrationsgrenze
ist zwar beliebig, sie ist jedoch so zu wählen, daß die Funktion
definiert und frei von Unstetigkeiten ist.
Beispiel
Die Reihe (7.27a) ist divergent wegen
für
(7.30)
Divergenz des Vektorfeldes
●
●
●
●
Definition der Divergenz
Divergenz in verschiedenen Koordinaten
Regeln zur Berechnung der Divergenz
Divergenz eines Zentralfeldes
Divergenz in verschiedenen Koordinaten
●
●
Divergenz in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Divergenz eines Zentralfeldes
(13.54a)
(13.54b)
Division
Die Division zweier komplexer Zahlen wird als die zur Multiplikation inverse Operation definiert. In algebraischer
Schreibweise ergibt sich
(1.140a)
Die trigonometrische Schreibweise lautet
(1.140b)
d.h., der Betrag des Quotienten ist gleich dem Quotienten aus den Beträgen des Dividenden und des Divisors,
während das Argument des Quotienten gleich der Differenz der beiden Argumente ist.
In der Exponentialform erhält man
(1.140c)
In der geometrischen Definition ergibt sich der Vektor, der den Quotienten
Zahl
darstellenden Vektors um den Winkel
darstellt, durch Drehung des die
im Uhrzeigersinn sowie durch Kontraktion dieses Vektors mit
dem Faktor
Hinweis: Eine Division durch Null ist nicht möglich.
Reguläre Polyeder und EULERscher Polyedersatz
1. Reguläre Polyeder zeichnen sich durch kongruente reguläre Vielecke als Begrenzungsflächen und
kongruente reguläre Ecken aus. Die fünf möglichen regulären Polyeder sind in den folgenden Abbildungen
dargestellt.
In der Tabelle sind Angaben dazu aufgeführt.
2. EULERscher Polyedersatz Wenn
die Anzahl der Ecken,
die Anzahl der Flächen und
die Anzahl
der Kanten sind, dann gilt für ein konvexes Polyeder oder ein Polyeder, das sich durch stetige Deformation in
ein konvexes Polyeder überführen läßt:
(3.122)
Beispiele sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Tabelle Elemente der regulären Polyeder mit der Kantenlänge
Gesamtfläche
Anzahl und Form der Anzahl der Kanten
Bezeichnung
Begrenzungsflächen Kanten Ecken
Volumen
Tetraeder
4 Dreiecke
6
4
Würfel
6 Quadrate
12
8
Oktaeder
8 Dreiecke
12
6
Dodekaeder
12 Fünfecke
30
20
Ikosaeder
20 Dreiecke
30
12
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Mittelpunktskurven
Tabelle Kurvengleichungen 2. Ordnung. Mittelpunktskurven
Größen
Gestalt der Kurve
und
Ellipse
a) für
reell
b) für
imaginär
Mittelpunktskurven
Ein Paar imaginäre Geraden
mit reellem Punkt
Hyperbel
Ein Paar sich schneidender Geraden
Notwendige Koordinatentransformation
Normalform der Gleichung
nach Transformation
1. Verschiebung des Koordinatenursprungs in
den Kurvenmittelpunkt, dessen Koordinaten
sind.
2. Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel
mit
Das Vorzeichen von
zeichen von
muß mit dem Vor-
übereinstimmen. Hierbei ist
der Richtungskoeffizient der neuen
-Achse
Mit
.
und
schen Gleichung
sind Wurzeln der quadratibezeichnet.
und
sind gemäß (3.351c) Zahlen.
Der Kurvengleichung entspricht eine imaginäre Kurve.
Anwendungen von Doppelintegralen
Allgemeine Formel
Kartesischen Koordinaten
1. Flächeninhalt einer ebenen Figur:
2. Oberfläche:
3. Volumen eines Zylinders:
Polarkoordinaten
4. Trägheitsmoment einer ebenen Figur, bezogen auf die
-Achse:
5. Trägheitsmoment einer ebenen Figur, bezogen auf den Pol 0:
6. Masse einer ebenen Figur mit der Dichtefunktion
:
7. Die Koordinaten des Schwerpunktes einer homogenen ebenen Figur:
Berechnung in kartesischen Koordinaten
Das Integrationsgebiet, das als Flächenstück aufgefaßt wird, teilt man mit Hilfe von Koordinatenlinien in infinitesimale
Rechtecke ein (s. linke Abbildung).
Darauf erfolgt eine Summation aller Differentiale
, beginnend mit allen Rechtecken längs jedes
vertikalen Streifens, danach längs jedes horizontalen Streifens. Die analytische Formulierung lautet:
(8.136a)
Dabei sind
und
die Gleichungen der oberen bzw. unteren Randkurve
des Flächenstückes
. Mit
bzw.
und
sind die Abszissen der am weitesten links bzw. rechts
liegenden Kurvenpunkte bezeichnet. Das Flächenelement in kartesischen Koordinaten berechnet sich gemäß
(8.136b)
konstant gehalten. Die eckigen Klammern in (8.136a) werden
Bei der Ausführung der ersten Integration wird
üblicherweise weggelassen, indem verabredungsgemäß das innere Integral der inneren Integrationsvariablen
zugeordnet wird, das äußere der an zweiter Stelle stehenden Integrationsvariablen. In (8.136a) stehen die
Differentialzeichen
und
am Ende des Integranden. Ebenso üblich ist es, diese Zeichen gleich hinter den
Integralzeichen vor die Funktionen des Integranden zu setzen.
Man kann die Berechnung in kartesischen Koordinaten (s. rechte Abbildung) auch in der umgekehrten Reihenfolge
ausführen:
(8.136c)
Beispiel
, wobei
der Abbildung ist.
die Fläche zwischen der Parabel
und der Geraden
in
oder
.
Berechnung in Polarkoordinaten
Das Integrationsgebiet, die Fläche, wird durch Koordinatenlinien in infinitesimale Flächenstücke aufgeteilt, die jeweils durch
zwei konzentrische Kreisbogen und zwei durch den Pol verlaufende Geraden begrenzt werden (s. Abbildung).
Mit einem Integranden in Polarkoordinaten gemäß
hat das Flächenelement in Polarkoordinaten die Form
(8.137a)
Summiert wird zuerst innerhalb jedes Kreissektors, dann über alle Sektoren:
(8.137b)
wobei
Fläche
und
sind und
die Gleichungen der inneren bzw. äußeren Randkurve
bzw.
bzw.
der
die Polarwinkel der Tangenten, die das Flächenstück an seinen Rändern berühren. Die
umgekehrte Integrationsreihenfolge wird selten verwendet.
Beispiel
, wobei
die Fläche des Halbkreises
ist (s. Abbildung):
.
Definition
Als Doppelintegral einer Funktion von zwei Veränderlichen
über einem ebenen Flächenstück
der Ausdruck
(8.134)
bezeichnet. Es handelt sich dabei um einen Zahlenwert, der auf die folgende Weise ermittelt wird (s. Abbildung):
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes
2. Auswahl eines beliebigen Punktes
in
Elementarflächenstücke.
im Innern oder auf dem Rande eines jeden
Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von
entsprechenden Elementarflächenstückes.
in diesem Punkt mit dem Inhalt
des
wird
4. Addition aller so gewonnenen Produkte
.
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
(8.135a)
für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke
gegen Null geht, also ihre Anzahl
gegen
.
solle gegen Null streben, allein nicht genügt. Es muß sichergestellt
Dabei ist zu beachten, daß die Forderung,
sein, daß auch der Abstand der beiden am weitesten voneinander entfernten Punkte, d.h. der Durchmesser des
Elementarflächenstückes , gegen Null geht, weil der Flächeninhalt eines Rechtecks auch zu Null wird, wenn eine
seiner Seiten Null gesetzt wird, der Durchmesser aber endlich bleibt.
Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes
sowie von der Wahl der Punkte
über dem Flächenstück
in Elementarflächenstücke
unabhängig ist, dann wird er Doppelintegral der Funktion
, das Integrationsgebiet, genannt, und man schreibt:
(8.135b)
Existenzsatz
Das Doppelintegral (8.135b) existiert, wenn die Funktion
seines Randes stetig ist.
im gesamten Integrationsgebiet einschließlich
Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung des Doppelintegrals liegt neben der Möglichkeit der Berechnung einer Fläche auch
darin, daß es die Berechnung des Rauminhaltes eines geraden Körpers ermöglicht, der vom Flächenstück
-Ebene,von einer Zylinderfläche, deren Erzeugende parallel zur
Fläche
begrenzt wird (s. Abbildung).
in der
-Achse verläuft, und von einem Teil der
Jedes Glied
Grundfläche
der Summe (8.135b) entspricht der Elementarzelle einer prismatischen Säule mit der
und der Höhe
nachdem, ob der betreffende Teil der Fläche
. Das Vorzeichen des Gesamtvolumens ist positiv bzw. negativ, je
über oder unter der
-Ebene liegt. Wenn er diese
Ebene schneidet, dann ist das Volumen eine algebraische Summe der einzelnen Teilvolumina.
Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Eine einfache Anwendung von Zahlenkongruenzen ist die Verwendung von Prüfziffern in der Internationalen
Standard-Buchnummer ISBN. Büchern wird eine 10-stellige Ziffernkombination der Form
(5.184a)
zugeordnet. Dabei ist
die Gruppennummer (
oder der Schweiz kommt),
bedeutet z.B., daß das Buch aus Deutschland, Östereich
ist die Verlagsnummer und
betreffenden Verlages. Als Prüfziffer ist
die Titelnummer für das einzelne Buch des
eingeführt, damit fehlerhafte Buchbestellungen erkannt und im
Zusammenhang damit stehende Unkosten minimiert werden können. Die Prüfziffer
ist die kleinste nichtnegative
Zahl, die die folgende Kongruenz erfüllt:
(5.184b)
Anstelle von 10 verwendet man als Prüfziffer auch das nichtnumerische Zeichen X.(s. auch Kontonummernsystem
EKONS).
Man kann nun für jede übermittelte ISBN-Nummer nachprüfen, ob die angegebene Prüfziffer mit der aus der
restlichen Ziffernkombination ermittelten Prüfziffer übereinstimmt. Bei Nichtübereinstimmung liegt mit Sicherheit ein
Fehler vor. Beim ISBN-Prüfziffernverfahren werden folgende Fehler stets aufgedeckt:
●
●
Verwechslung einer Ziffer und
Vertauschung zweier Ziffern (,,Drehfehler ``).
Statistische Untersuchungen ergaben, daß damit über 90% aller auftretenden Fehler aufgedeckt werden. Alle
weiteren beobachteten Fehlertypen haben eine relative Häufigkeit von unter 1%. In der Mehrheit der Fälle werden
das Verwechseln zweier Ziffern und die Vertauschung zweier kompletter Ziffernblöcke durch das beschriebene
Ziffernverfahren aufgedeckt.
Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente
Unter einer Symmetrieoperation
eines räumlichen Objekts versteht man eine Abbildung des gesamten Raumes in
sich, bei der die Streckenlängen unverändert bleiben und das Objekt mit sich zur Deckung kommt. Mit Fix
Menge aller Fixpunkte der Symmetrieoperation
wird die
bezeichnet, d.h. die Menge aller Punkte des Raumes, die bei
heißt das Symmetrieelement von . Zur Bezeichnung der Symmetrieoperation wird die in der
festbleiben. Fix
Chemie übliche SCHOENFLIESS-Symbolik verwendet (s. Lit. 5.15).
Man unterscheidet zwei Typen von Symmetrieoperationen, Operationen ohne Fixpunkt und Operationen mit
mindestens einem Fixpunkt.
1. Symmetrieoperationen ohne Fixpunkt, bei denen kein Punkt des Raumes fest bleibt, können bei
begrenzten räumlichen Objekten, und nur solche sollen hier betrachtet werden, nicht auftreten. Eine
Symmetrieoperation ohne Fixpunkt ist z.B. eine Parallelverschiebung.
2. Symmetrieoperationen mit mindestens einem Fixpunkt sind z.B. Drehungen und Spiegelungen. Zu
ihnen gehören folgende Operationen:
a) Drehungen bezüglich einer Achse um einen Winkel
die Drehachse als auch die Drehung selbst mit
: Für
Die Drehachse heißt dann
bezeichnet man sowohl
-zählig.
b) Spiegelungen an einer Ebene: Sowohl die Spiegelungsebene als auch die Spiegelung selbst
werden mit
bezeichnet. Ist zusätzlich eine Hauptdrehachse vorhanden, so zeichnet man diese
(h von
senkrecht und bezeichnet Spiegelungsebenen, die senkrecht auf dieser Achse stehen, mit
horizontal) und Spiegelungsebenen, die durch die Drehachse gehen, mit
(v von vertikal) oder
(d
von dihedral, wenn dadurch gewisse Winkel halbiert werden).
c) Drehspiegelungen: Eine Operation, die dadurch entsteht, daß nach einer Drehung
Spiegelung
erfolgt, heißt Drehspiegelung und wird mit
bezeichnet. Drehung und Spiegelung
sind dabei vertauschbar. Die Drehachse heißt dann Drehspiegelungsachse
ebenfalls mit
eine
-ter Ordnung und wird
bezeichnet. Diese Achse nennt man zugehöriges Symmetrieelement, obwohl bei der
Anwendung der Operation
nur das Symmetriezentrum fest bleibt. Für
Drehspiegelung auch Punktspiegelung oder Inversion und wird mit
bezeichnet.
heißt eine
Epsilontensor
Sind
und
die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems, dann
gilt für das Spatprodukt
(4.79a)
Elemente, die als Elemente eines 3stufigen Tensors aufgefaßt werden können. Im
Das sind insgesamt
Falle einer Drehung des Koordinatensystems folgt aus dem Transformationsgesetz (4.68)
(4.79b)
d.h., die Elemente sind drehungsinvariant . Paßt man sie so in ein Koordinatensystem ein, daß sie unabhängig von
der Wahl des Ursprungs, also auch translationsinvariant sind, dann bilden die Zahlen
3. Stufe, den sogenannten Epsilontensor .
einen invarianten Tensor
Definition
Ein kartesischer Tensor heißt invariant , wenn seine Komponenten in allen kartesischen Koordinatensystemen
identisch sind. Da physikalische Größen wie Skalare und Vektoren, die Spezialfälle von Tensoren sind, nicht vom
Koordinatensystem abhängen, in dem sie bestimmt werden, darf sich ihr Wert weder bei Verschiebung des
ändern. Man spricht von
Koordinatenursprunges noch bei Drehung eines Koordinatensystems
Translationsinvarianz und Drehungsinvarianz und allgemein von Transformationinvarianz .
Orthogonale Matrizen
Gilt für eine quadratische Matrix
die Beziehung
(4.30)
d.h., die Skalarprodukte je zweier verschiedener Spalten oder Zeilen sind gleich null und die Skalarprodukte jeder
Zeile oder Spalte mit sich selbst gleich eins, dann nennt man sie eine orthogonale Matrix .
Orthogonale Matrizen haben folgende Eigenschaften:
1. Die transponierte und die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix
sind auch orthogonal; weiterhin gilt
(4.31)
2. Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.
Beispiel
Die bei der Drehung eines Koordinatensystems verwendete Drehungsmatrix D mit den
Richtungskosinussen der neuen Achsenrichtungen ist orthogonal (s. Richtung im Raum).
●
Unitäre Matrix
Koordinatentransformationen
Beim Übergang von einem kartesischen Koordinatensystem zu einem anderen ändern sich die Koordinaten nach den
folgenden Regeln:
1. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen um den Abszissen- bzw. Ordinatenabschnitt
so daß für die Koordinaten
Koordinaten
vor der Verschiebung,
bzw.
,
nach der Verschiebung und für die
des neuen Koordinatenursprungs 0' im alten Koordinatensystem vor der Verschiebung gilt:
(3.288a)
(3.288b)
2. Drehung der Koordinatenachsen um den Winkel
so daß gilt:
(3.289a)
(3.289b)
Allgemein betrachtet läßt sich ein Übergang von einem Koordinatensystem in ein anderes durch eine Transformation
durchführen, die aus einer Translation und einer Rotation, d.h. einer Drehung der Koordinatenachsen besteht. Die
zum diesem System aus zwei Gleichungen gehörende Koeffizientenmatrix lautet:
(3.289c)
Sie wird Drehungsmatrix genannt.
Drehung des Koordinatensystems
Wenn das kartesische Koordinatensystem
Transformationsmatrix
Drehungsmatrix
aus
durch Drehung hervorgeht, dann gilt in (4.65) für die
Dabei ist
die orthogonale Drehungsmatrix . Die orthogonale
hat die Eigenschaft
(4.67a)
Elemente
von
sind die Richtungskosinusse der Winkel zwischen den alten und neuen Koordinatenachsen.
Aus der Orthogonalität der Drehungsmatrix
d.h. aus
(4.67b)
folgt für ihre Elemente:
(4.67c)
Diese Gleichungen besagen, daß die Zeilen- und Spaltenvektoren der Matrix
Die Elemente der
orthonormiert sind.
der Drehungsmatrix können auch mit Hilfe der EULERschen Winkel dargestellt werden
(s. auch Drehung der Ebene und Drehung im Raum).
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
Parallelverschiebung:
Drehung der Koordinatenachsen:
Eigenschaften der Transformationsdeterminante:
EULERsche Winkel:
Skalare Invariante:
Transformation rechtwinkliger Koordinaten
Parallelverschiebung:
Wenn die ursprünglichen Koordinaten
sind, die neuen
und
die Koordinaten des neuen
Koordinatenursprungs im ursprünglichen Koordinatensystem, dann gilt
(3.357)
Drehung der Koordinatenachsen:
Wenn die Richtungskosinusse der neuen Achsen in Übereinstimmung mit den Angaben in der folgenden Tabelle und
der Abbildung bezeichnet sind, dann gilt
(3.358a)
(3.358b)
Tabelle Bezeichnungen der Richtungskosinus bei Koordinatentransformation
Richtungskosinus
der neuen Achsen
In bezug auf die
alten Achsen
Die Koeffizientenmatrix des Systems (3.358a), Drehungsmatrix
genannt, und die Transformationsdeterminante
ergeben sich zu
(3.358c)
(3.358d)
Eigenschaften der Transformationsdeterminante:
Die Transformationsdeterminante besitzt die folgenden Eigenschaften:
a)
mit positivem Vorzeichen, wenn die Links- bzw. Rechtshändigkeit erhalten bleibt, mit
negativem Vorzeichen, wenn sich die Händigkeit ändert.
b) Die Summe der Quadrate einer Zeile oder einer Spalte ist immer gleich eins.
c) Die Summe der Produkte der entsprechenden Elemente zweier verschiedener Zeilen oder Spalten ist gleich
Null (s. orthogonale Matrizen).
d) Jedes Element ergibt sich als Produkt aus
und seiner Adjunkte (s. Determinanten).
EULERsche Winkel:
Die Lage des neuen Koordinatensystems relativ zum alten kann mit Hilfe von drei Winkeln, die EULER eingeführt hat,
vollständig bestimmt werden.
a) Nutationswinkel
wird der Winkel zwischen den positiven Richtungen der
- und der
-Achse genannt; er liegt in den
Grenzen
b) Präzessionswinkel
wird der Winkel zwischen der positiven Richtung der
-Achse und der Schnittgeraden
zwischen der
- und
-Achse sowie
- Ebene genannt. Die positive Richtung von
wird derart gewählt, daß die
-Achse, die
ein Richtungstripel mit der gleichen Orientierung bilden wie die Koordinatenachsen
(s. affine Koordinaten). Die Messung von
erfolgt von der
-Achse aus in Richtung
-Achse; die Grenzen
sind
c) Drehungswinkel
wird der Winkel zwischen der positiven
-Richtung und der Schnittgeraden
genannt; er liegt in den
Grenzen
Wenn anstelle der Winkelfunktionen zur Abkürzung gesetzt wird
(3.359a)
dann gilt
(3.359b)
Skalare Invariante:
Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems den gleichen Wert
behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante (s. auch Eigenschaften der Produkte von
Vektoren).
Beispiel A
Die Komponenten eines Vektors
sind keine skalaren Invarianten, da sie bei
Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems unterschiedliche Werte annehmen.
Beispiel B
Die Länge des Vektors
d.h. die Größe
Invariante.
Beispiel C
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante:
ist eine skalare
Begleitendes Dreibein
●
●
●
Definitionen
Lage der Kurve relativ zum begleitenden Dreibein
Gleichungen der Elemente des begleitenden Dreibeins
Aussagen zu ebenen Dreiecken
●
●
●
●
●
●
Summe zweier Seiten, Summe der Winkel
Vollständige Bestimmung des Dreiecks
Seitenhalbierende und Winkelhalbierende
Inkreis und Umkreis
Höhe und Mittellinie des Dreiecks
Arten von Dreiecken
Ebene Dreiecke
●
●
Aussagen zu ebenen Dreiecken
Symmetrie
Unterabschnitte
●
●
Flächeninhalt eines Dreiecks:
Flächeninhalt eines Vielecks:
Flächeninhalte
Flächeninhalt eines Dreiecks:
Sind die Eckpunkte durch
Flächeninhalt gemäß
und
gegeben, dann ergibt sich der
(3.296)
Drei Punkte liegen auf einer Geraden, wenn
(3.297)
Flächeninhalt eines Vielecks:
Sind die Eckpunkte durch
gegeben, dann ist
(3.298)
Die Formeln (3.296) und diese liefern einen positiven Flächeninhalt, wenn die Eckpunkte in einer Reihenfolge
durchnumeriert sind, die dem entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers entspricht. Anderenfalls ist der
Flächeninhalt negativ.
Arten von Dreiecken
Gleichschenkliges Dreieck: Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Dreieckseiten gleich lang. Höhe, Seitenund Winkelhalbierende der dritten Seite sind identisch. Für die Gleichschenkligkeit des Dreiecks ist die
Gleichheit je zweier dieser Seiten eine hinreichende Bedingung.
fallen die Mittelpunkte des In- und des
Gleichseitiges Dreieck: Im gleichseitigen Dreieck mit
Umkreises mit dem Schwerpunkt und dem Orthozentrum zusammen.
Rechtwinkliges Dreieck: Rechtwinkliges Dreieck wird ein Dreieck genannt, das sich durch einen Winkel von
in einer der Dreiecksecken auszeichnet.
Grundaufgaben zur Berechnung ebener schiefwinkliger Dreiecke
In Übereinstimmung mit den Kongruenzsätzen ist ein Dreieck durch drei voneinander unabhängige Stücke bestimmt,
unter denen sich mindestens eine Seite befinden muß. Daraus leiten sich die vier sogenannten Grundaufgaben im
schiefwinkligen Dreieck ab. Sind von 6 Bestimmungsgrößen eines schiefwinkligen Dreieckes (3 Winkel
die ihnen gegenüberliegenden 3 Seiten
und
) drei gegeben, dann lassen sich die übrigen drei
Bestimmungsgrößen mit Hilfe der in der Tabelle angegebenen Gleichungen berechnen.
Im Unterschied zur sphärischen Trigonometrie, läßt sich für das ebene schiefwinklige Dreieck aus der Kenntnis dreier
gegebener Winkel keine der Seiten berechnen.
(S. 2. Grundaufgabe der sphärischen Trigonometrie.)
Tabelle Bestimmungsgrößen ebener schiefwinkliger Dreiecke, Grundaufgaben
Gegeben
Formeln zur Berechnung der übrigen Größen
1.
1 Seite und
2 Winkel
2.
2 Seiten und der
eingeschlossene
Winkel
und
werden aus
und
berechnet,
3.
2 Seiten und der
einer von ihnen
gegenüberliegende
Für
Winkel
sind folgende Fälle möglich:
ist
und eindeutig bestimmt. Für
1.
hat für
zwei Werte
;
2.
hat genau einen Wert
für
;
3.
Für
ist eine Dreieckskonstruktion unmöglich
,
4.
3 Seiten
Höhe und Mittellinie des Dreiecks
Höhe des Dreiecks wird das Lot genannt, das vom Scheitelpunkt eines der drei Dreieckwinkel auf die
gegenüberliegende Seite gefällt wird. Die Höhen des Dreiecks schneiden sich im sogenannten Orthozentrum .
Mittellinie des Dreiecks wird eine Gerade genannt, die die Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten verbindet; sie
liegt parallel zur dritten Seite und ist halb so lang wie diese.
Inkreis und Umkreis
Inkreis wird der in das Dreieck einbeschriebene Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks.
Umkreis wird der das Dreieck umschreibende Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Strecken im Dreieck und Fläche
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;
- Flächeninhalt;
- Radius des Umkreises;
- halber Dreiecksumfang.
- Seiten;
- die ihnen gegenüberliegenden
- Radius des Inkreises;
Höhe der Seite
:
(3.82)
Seitenhalbierende der Seite
:
(3.83)
Winkelhalbierende des Winkels
:
(3.84)
Radius des Umkreises:
(3.85)
Radius des Inkreises:
(3.86)
(3.87)
Flächeninhalt:
(3.88)
Die Formel wird HERONische Flächenformel genannt.
Berechnung von Seiten und Winkeln im ebenen rechtwinkligen Dreieck
Verwendete Bezeichnungen:
gegenüberliegenden Winkel;
- Katheten;
- Höhe;
- Hypotenuse;
bzw.
- die den Seiten
- Hypotenusenabschnitte;
- Flächeninhalt.
bzw.
Im rechtwinkligen Dreieck ist von 6 Bestimmungsgrößen (3 Winkel
Seiten
) ein Winkel, in der Abbildung der Winkel
zu
und die ihnen gegenüberliegenden
festgelegt. Ein ebenes Dreieck ist durch drei
Bestimmungsstücke festgelegt, die aber nicht beliebig vorgegeben werden können, sondern in Übereinstimmung mit
den unter Vollständige Bestimmung des Dreiecks genannten Möglichkeiten. Somit können nur noch zwei Stücke
vorgegeben werden. Die übrigen drei lassen sich mit Hilfe der Gleichungen in der folgenden Tabelle sowie mit (3.69)
berechnen.
Tabelle Bestimmungsgrößen ebener rechtwinkliger Dreiecke
Gegeben
z.B
z.B.
z.B.
Formeln zur Ermittlung der übrigen Größen
z.B.
Grundformeln und Sätze
Verwendete Bezeichnungen:
gegenüberliegenden Winkel;
- Katheten;
- Höhe;
- Hypotenuse;
bzw.
- die den Seiten
- Hypotenusenabschnitte;
- Flächeninhalt.
bzw.
Winkelsumme:
(3.69)
Seitenberechnung:
(3.70)
Satz des PYTHAGORAS:
(3.71)
Sätze des EUKLID:
(3.72)
Flächeninhalt:
(3.73)
Rechtwinklige ebene Dreiecke
●
●
Grundformeln und Sätze
Berechnung von Seiten und Winkeln im ebenen rechtwinkligen Dreieck
Berechnungen in schiefwinkligen ebenen Dreiecken
●
●
Grundformeln und Sätze
Grundaufgaben zur Berechnung ebener schiefwinkliger Dreiecke
Weitere Beziehungen
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;
- Flächeninhalt;
- Radius des Umkreises;
- Seiten;
- die ihnen gegenüberliegenden
- Radius des Inkreises;
- halber Dreiecksumfang.
Tangensformeln:
(3.80)
Zusätzliche Beziehungen:
(3.81a)
(3.81b)
Seitenhalbierende und Winkelhalbierende
Seitenhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem
Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreieckseite verbindet. Die Seitenhalbierenden des Dreiecks schneiden
sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks, der sie vom Scheitel des Winkels aus gerechnet im
Verhältnis
teilt.
Winkelhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen der drei inneren Winkel des Dreiecks in
zwei gleiche Teile teilt.
Vollständige Bestimmung des Dreiecks
Ein Dreieck ist durch die folgenden Bestimmungsstücke vollständig bestimmt:
●
●
●
durch drei Seiten oder
durch zwei Seiten und den zwischen ihnen eingeschlossenen Winkel oder
durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel.
Wenn zwei Seiten gegeben sind sowie der einer Seite gegenüberliegende Winkel, dann können mittels dieser
Bestimmungsstücke entweder zwei, ein oder kein Dreieck konstruiert werden (s. Grundaufgaben der ebenen
Trigonometrie für das ebene rechtwinklige Dreieck und das ebene schiefwinklige Dreieck).
Summe zweier Seiten, Summe der Winkel
Die Summe zweier Seiten ist im ebenen Dreieck stets größer als die dritte Seite:
(3.16)
Die Summe der Winkel beträgt im ebenen Dreieck
(3.17)
Binomialkoeffizienten
Die Definition lautet mit
und
positiv und ganz
(1.37a)
Fakultät genannt wird.
(1.37b)
Die Werte der Binomialkoeffizienten können aus dem sogenannten PASCALschen Dreieck abgelesen werden:
wobei mit
(= n Fakutät) das Produkt der ganzen positiven Zahlen von 1 bis
Die erste und die letzte Zahl in jeder Zeile ist definitionsgemäß gleich Eins; jede andere Zahl eines Koeffizienten in
dem Schema ergibt sich als Summe der beiden links und rechts oberhalb von ihr stehenden Zahlen.
Sphärisches Dreieck
Es seien
und
drei Punkte auf einer Kugelfläche, die nicht auf einem Großkreis liegen. Werden jeweils
zwei dieser Punkte durch einen Großkreis verbunden, so entsteht das sphärische Dreieck
.
Als Seiten des sphärischen Dreiecks werden die sphärischen Abstände der Dreieckspunkte definiert, d.h., sie stellen
die im Kugelmittelpunkt gemessenen Winkel zwischen je zwei Radien
und
und
dar. Sie werden mit
bezeichnet und im folgenden im Winkelmaß angegeben, unabhängig davon, ob sie in der Zeichnung als
Winkel im Kugelmittelpunkt oder als Großkreisbogen auf der Kugelfläche eingetragen sind. Die Winkel des
sphärischen Dreiecks sind die Winkel zwischen je zwei der drei Großkreisebenen. Sie werden mit
und
bezeichnet.
Die Reihenfolge der Bezeichnung der Punkte, Seiten und Winkel des sphärischen Dreiecks erfolgt in Analogie zum
ebenen Dreieck. Ein sphärisches Dreieck, bei dem mindestens eine Seite
Es stellt eine Analogie zum rechtwinkligen Dreieck der Planimetrie dar.
beträgt, heißt rechtsseitiges Dreieck.
Berechnung sphärischer Dreiecke
●
●
●
●
●
●
●
●
Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen
Rechtwinklig sphärisches Dreieck
Schiefwinklig sphärisches Dreieck
Sphärische Kurven
Orthodrome
Kleinkreis
Loxodrome
Schnittpunkte sphärischer Kurven
Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke
Die Eckpunkte
des sphärischen Dreiecks teilen jeden Großkreis durch zwei Eckpunkte im allgemeinen in
zwei ungleiche Teile. Dadurch entstehen mehrere verschiedene sphärische Dreiecke, z.B. auch das sphärische
Dreieck mit den Seiten
und der in der folgenden linken Abbildung schattierten Fläche.
Gemäß einer Festsetzung von EULER werden für die Seiten des sphärischen Dreiecks nur die Großkreisbogen
sind. Das entspricht der Definition der Seiten als sphärische Abstände zwischen den
gewählt, die kleiner als
Dreieckspunkten. In diesem Zusammenhang bezeichnet man sphärische Dreiecke, bei denen jede Seite und jeder
ist, als EULERsche Dreiecke, anderenfalls als Nicht- EULERsche Dreiecke. Die rechte
Winkel kleiner als
Abbildung zeigt ein EULERsches und ein Nicht- EULERsches Dreieck.
Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen
Die verschiedenen Fälle, die bei der Berechnung sphärischer Dreiecke auftreten können, werden in sogenannte
Grundaufgaben eingeordnet. Für jede Grundaufgabe des schiefwinklig sphärischen Dreiecks sind mehrere
Lösungswege möglich, je nachdem, ob die Lösung nur mit den Grundformeln (3.172a) bis (3.176b) oder auch mit den
Formeln (3.177a) bis (3.186) erfolgt und ob nur eine Größe im Dreieck oder mehrere Größen gesucht sind.
Formeln, die die Tangensfunktion enthalten, liefern numerisch genauere Ergebnisse, besonders im Vergleich zur
Berechnung eines Bestimmungsstückes aus der Sinusfunktion, wenn dessen Wert in der Nähe von
liegt, und
oder
liegt. Für
aus der Kosinusfunktion, wenn der Wert des Bestimmungsstückes in der Nähe von
EULERsche Dreiecke ergeben sich außerdem die aus der Sinusfunktion berechneten Stücke zweideutig, da die
Sinusfunktion in den beiden ersten Quadranten positiv ist, während die aus den übrigen Funktionen berechneten
Stücke eindeutig erhalten werden.
Rechtwinklig sphärisches Dreieck
●
●
●
Spezielle Formeln
Grundaufgaben für rechtwinklig sphärische Dreiecke
NEPERsche Regel
Schiefwinklig sphärisches Dreieck
Bei 3 gegebenen Stücken unterscheidet man wie im Falle der rechtwinklig sphärischen Dreiecke 6 Grundaufgaben.
Die Bezeichnungen für die Winkel sind
und
für die ihnen gegenüberliegenden Seiten.
Mit welchen Formeln welche Bestimmungsstücke im Rahmen der 6 Grundaufgaben über verschiedene Lösungswege
bestimmt werden können ist in den folgenden Abschnitten zusammenfassend dargestellt.
Die Lösung der 3., 4., 5. und 6. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig
sphärischen Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden.
In der Überschrift für die jeweilige Grundaufgabe sind die gegebenen Seiten und Winkel mit S bzw. W
gekennzeichnet. So bedeutet z.B. SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
●
●
●
●
●
●
1. Grundaufgabe SSS
2. Grundaufgabe WWW
3. Grundaufgabe SWS
4. Grundaufgabe WSW
5. Grundaufgabe WWW
6. Grundaufgabe WWS
Unterabschnitte
●
●
Kongruenz:
Kongruenzsätze:
Kongruente Dreiecke, Kongruenzsätze
Kongruenz:
Unter Kongruenz ebener Figuren versteht man allgemein ihre Deckungsgleichheit, d.h. die völlige Übereinstimmung
in Größe und Gestalt. Kongruente Figuren können durch drei geometrische Transformationen ineinander überführt
werden, durch Schiebung , Drehung und Spiegelung bzw. durch ihre Kombination.
Man unterscheidet gleichsinnig kongruente und nichtgleichsinnig kongruente Figuren. Gleichsinnig kongruente
Figuren lassen sich durch Schiebung oder Drehung sowie durch ihre Kombination ineinander überführen.
Da sich nichtgleichsinnig kongruente Figuren durch entgegengesetzten Umlaufsinn auszeichnen, ist zu ihrer
Überführung zusätzlich noch die Spiegelung an einer Geraden erforderlich.
Beispiel
Spiegelsymmetrische Figuren sind nichtgleichsinnig kongruent. Zu ihrer Überführung ineinander sind alle
drei Transformationen erforderlich.
Kongruenzsätze:
Die Bedingungen für die Kongruenz von Dreiecken sind in den Kongruenzsätzen festgehalten. Zwei Dreiecke sind
kongruent, wenn sie übereinstimmen in
●
●
●
●
drei Seiten (SSS) oder
zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Innenwinkel (SWS) oder
einer Seite und den beiden anliegenden Innenwinkeln (WSW) oder
zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Innenwinkel (SSW).
Bemerkungen
1.
Sind die Ansatzkoeffizienten gemäß (19.155) bestimmt worden, dann stellt
explizite Näherungslösung dar, deren Werte für beliebige Punkte
aus
aus (19.147) eine
berechnet werden können.
2.
Muß das Integrationsgebiet mit einem beliebigen, unregelmäßigen Dreiecksnetz überzogen werden, dann ist
es zweckmäßig, sogenannte Dreieckskoordinaten (auch baryzentrische Koordinaten genannt) einzuführen.
Dadurch ist die Lage eines Punktes bezüglich des Dreiecksnetzes leicht feststellbar, und die Berechnung der
mehrdimensionalen Integrale analog zu (19.152) wird vereinfacht, weil jedes beliebige Dreieck besonders
einfach auf ein Einheitsdreieck transformiert werden kann.
3.
Soll die Genauigkeit der Näherungsfunktion erhöht oder ihre Differenzierbarkeit gewährleistet werden, dann
muß man zu stückweise quadratischen oder stückweise kubischen Ansatzfunktionen übergehen (s. z.
B. Lit 19.25).
4.
Bei der Lösung praktischer Probleme entstehen Aufgaben sehr großer Dimension. Deshalb wurden viele
spezielle Verfahren entwickelt, z.B. auch für eine automatische Triangulierung und für eine günstige
Numerierung der Elemente (davon hängt die Struktur der Gleichungssysteme ab, die gelöst werden müssen).
Eine ausführliche Darstellung der FEM s. Lit. 19.13, 19.9, 19.26.
Dreiecksmatrix
Rechte oder obere Dreiecksmatrix R (im Englischen U von upper) ist eine Matrix, in der alle Elemente
unterhalb der Hauptdiagonale den Wert Null besitzen:
(4.17)
Linke oder untere Dreiecksmatrix L (im Englischen L von lower) ist eine Matrix, in der alle Elemente
oberhalb der Hauptdiagonale den Wert Null besitzen:
(4.18)
Dreiecksungleichung für reelle und komplexe Zahlen
1. Dreiecksungleichung für reelle Zahlen: Für alle reellen Zahlen
gilt
(1.109)
Der Absolutbetrag der Summe zweier oder mehrerer reeller Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe der
Absolutbeträge der einzelnen Summanden. Das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn alle Summanden gleiches
Vorzeichen besitzen.
2. Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen: Für zwei komplexe Zahlen
gilt
(1.110a)
für
komplexe Zahlen
gilt
(1.110b)
Vektor- und Matrizennorm
Einem Vektor
und einer Matrix
kann man jeweils eine Zahl
( Norm
zuordnen. Diese Zahlen müssen die Normaxiome erfüllen. Für Vektoren
) bzw.
( Norm
)
lauten diese:
(4.44)
(4.45)
(4.46)
Normen für Vektoren und Matrizen können auf sehr verschiedene Art und Weise eingeführt werden. Es ist jedoch
zweckmäßig, zu einer Vektornorm
die Matrizennorm
so zu definieren, daß die Ungleichung
(4.47)
gilt. Diese Ungleichung ist für Fehlerabschätzungen sehr nützlich. Vektor- und Matrizennormen, die diese
Ungleichung erfüllen, werden als zueinander passend bezeichnet. Gibt es darüber hinaus zu jeder Matrix
Nichtnullvektor
so daß das Gleichheitszeichen gilt, dann heißt die Matrizennorm
zugeordnet .
●
●
Vektornormen
Matrizennormen
der Vektornorm
einen
Anwendung der Dreieckszerlegung
Mit Hilfe der Dreieckszerlegung kann die Lösung des linearen Gleichungssystems
(19.26) in 3 Schritten
beschrieben werden:
1.
: Durchführung der Dreieckszerlegung und Substitution
.
2.
: Bestimmung des Hilfsvektors
durch Vorwärtseinsetzen.
3.
: Bestimmung der Lösung
durch Rückwärtseinsetzen.
Wird zur Lösung eines linearen Gleichungssystems die erweiterte Koeffizientenmatrix
wie im obigen
Beispiel nach dem GAUSSschen Eliminationsverfahren behandelt, dann wird die Linksdreiecksmatrix
explizit nicht
benötigt. Sie wird aber besonders dann wirksam, wenn mehrere lineare Gleichungssysteme mit derselben
Koeffizientenmatrix, aber verschiedenen rechten Seiten gelöst werden müssen.
Dreieckszerlegung einer Matrix
●
●
●
●
Prinzip des GAUSSschen Eliminationsverfahrens
Dreieckszerlegung
Anwendung der Dreieckszerlegung
Wahl der Pivots
Dreieckszerlegung
Das Ergebnis des GAUSSschen Eliminationsverfahrens kann wie folgt formuliert werden: Zu jeder regulären Matrix
sogenannte Dreieckszerlegung oder LR-Faktorisierung der Form
existiert eine
(19.31)
(19.32)
heißt Rechtsdreiecksmatrix ,
Linksdreiecksmatrix und
ist eine sogenannte Permutationsmatrix . Sie ist eine
quadratische Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen enthält. Sie beschreibt die
Zeilenvertauschungen in der Matrix
Beispiel
, die sich durch die Pivotwahl in den Eliminationsschritten ergeben.
Das GAUSSsche Eliminationsverfahren soll auf das System
angewendet werden. In
einer schematischen Schreibweise, bei der die Koeffizientenmatrix und der Vektor der rechten Seite zu einer sogenannten
erweiterten Koeffizientenmatrix zusammengefaßt werden, erhält man:
,
d.h.
.
In den erweiterten Koeffizientenmatrizen sind die Matrizen
und
sowie die Pivots gekennzeichnet worden.
Dreifachintegral
Das Dreifachintegral ist eine Erweiterung des Integralbegriffs auf ein dreidimensionales Integrationsgebiet. Man
spricht daher auch vom Volumenintegral .
●
●
●
●
Begriff des Dreifachintegrals
Berechnung des Dreifachintegrals
Volumenelemente
Anwendungen von Dreifachintegralen
Anwendungen von Dreifachintegralen
Allgemeine
Kartesische
Formel
Koordinaten
Zylinderkoordinaten
1. Volumen eines Körpers
2. Trägheitsmoment eines Körpers, bezogen auf die
3. Masse eines Körpers mit der Dichtefunktion
-Achse
Kugelkoordinaten
4. Die Koordinaten des Schwerpunktes eines homogenen Körpers
Berechnung des Dreifachintegrals
Die Berechnung des Dreifachintegrals wird auf die nacheinanderfolgende Berechnung dreier Integrale zurückgeführt,
die je nach dem verwendeten Koordinatensystem unterschiedlich aussieht.
●
Berechnung in kartesischen Koordinaten
Berechnung in Zylinderkoordinaten
Berechnung in Kugelkoordinaten
●
Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
●
●
Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
Die beliebigen krummlinigen Koordinaten sind durch die Beziehungen
(8.146)
definiert. Das Integrationsgebiet wird durch die Koordinatenflächen
in
infinitesimale Volumenelemente in beliebigen Koordinaten eingeteilt:
(8.147a)
wobei
Integral:
die Funktionaldeterminante ist. Nach Ausdrücken des Integranden in den Koordinaten
lautet das
(8.147b)
Die Formeln (8.144b) und (8.145b) sind Spezialfälle von (8.147b). Für Zylinderkoordinaten ist
, für
Kugelkoordinaten ist
. Mit Vorteil werden immer die krummlinigen Koordinaten verwendet, die eine
möglichst einfache Berechnung der Grenzwerte des Integrals (8.147b) gestatten.
Berechnung in kartesischen Koordinaten
Das Integrationsgebiet, das hier als Volumen
aufgefaßt werden kann, teilt man mit Hilfe von Koordinatenflächen, die in
diesem Falle Ebenen sind, in infinitesimale Parallelepipede ein (s. Abbildung).
Dabei ist wie im Falle des Doppelintegrals zu bachten, daß der Durchmesser der Elementarzelle beim Grenzübergang
gegen Null geht. Auf die Zerlegung folgt die Summation aller Differentiale
Parallelepipeden längs einer vertikalen Säule, d.h. Summation über
Schichten, d.h. Summation über
, beginnend bei allen
, danach aller Säulen längs jeder der vertikalen
, und schließlich aller Schichten, d.h. Summation über
. Die analytische
Formulierung lautet:
(8.143a)
und
Dabei sind
, gerechnet von der Kurve
und
die
die Gleichungen der unteren und oberen Oberflächen des Volumens
aus;
heißt Volumenelement, hier in kartesischen Koordinaten. Mit
sind die Funktionen bezeichnet, die die Projektionen
-Ebene mit den Begrenzungspunkten
und
beschreiben.
An das Integrationsgebiet müssen die folgenden Forderungen gestellt werden:
der Kurvenanteile von
auf
●
Die Funktionen
und
sollen im Intervall
existieren, stetig sein und der Ungleichung
genügen.
●
Die Funktionen
und
sollen im Gebiet
definiert und
genügen.
stetig sein und der Ungleichung
Derart sind alle die Punkte
,
in
enthalten, die den Bedingungen
(8.143b)
genügen.
Beispiel
Berechnung des Integrals
für eine Pyramide, die von den Koordinatenebenen und der Ebene
begrenzt wird:
.
Berechnung in Kugelkoordinaten
Das Integrationsgebiet wird mit Hilfe der Koordinatenflächen
infinitesimale Elementarzellen eingeteilt (s. Abbildung).
in
Das Volumenelement in Kugelkoordinaten ist
(8.145a)
Nachdem der Integrand in Kugelkoordinaten als
dargestellt wurde, lautet das Integral:
(8.145b)
Beispiel
ist für einen Kegel zu berechnen, dessen Spitze sich im Ursprung des
Das Integral
Koordinatensystems befindet und der die
beträgt
, seine Höhe
(s. Abbildung).
-Achse zur Symmetrieachse hat. Der Winkel in der Spitze
.
.
Berechnung in Zylinderkoordinaten
Das Integrationsgebiet wird mit Hilfe der Koordinatenflächen
infinitesimale Elementarzellen eingeteilt (s. Abbildung).
in
Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ist
(8.144a)
Nach der Darstellung des Integranden
lautet das Integral:
(8.144b)
Beispiel
Das Integral
Ebene, der
ist für einen Körper zu berechnen (s. Abbildung), dessen Volumen von der
-Ebene, dem Zylinder
und der Kugel
-
begrenzt wird:
.
.
Wegen
ist das Integral gleich dem Rauminhalt des Körpers.
Definition
Die Definition des Dreifachintegrals einer Funktion
Bereich, z.B. den Raumteil
von drei Variablen über einen dreidimensionalen
, erfolgt in Analogie zur Definition des Doppelintegrals. Man schreibt
(8.141)
Das Volumen
wird in Elementarvolumina zerlegt, mit denen Produkte der Art
werden, wobei der Punkt
gebildet
im Innern oder auf dem Rande eines Elementarvolumens liegen kann.
Das Dreifachintegral ist dann der Grenzwert der Summe derartiger Produkte aller Elementarvolumina, in die das
Volumen
zerlegt wurde, und zwar für den Fall, daß der Rauminhalt jedes Elementarvolumens gegen Null geht,
. Dabei ist wie beim Doppelintegral zu beachten, daß der Durchmesser des
d.h. ihre Anzahl gegen
Elementarvolumens gegen Null strebt und nicht nur eine der möglichen Ausdehnungen. Es gilt dann
(8.142)
Existenzsatz
Der Existenzsatz für das Dreifachintegral ist ein vollständiges Analogon zum Existenzsatz für das Doppelintegral.
Dreikant
Dreikant oder Triederecke wird eine dreiseitige körperliche Ecke genannt, die von drei, von einem Scheitelpunkt 0
ausgehenden Strahlen
, den Kanten, gebildet wird (obere Abbildung).
Als Seiten des Dreikants definiert man die Winkel
und
, die von je zwei der Kanten eingeschlossen sind. Die
Gebiete zwischen zwei Kanten heißen Seitenflächen des Dreikants. Die Winkel des Dreikants sind die Keilwinkel
und
die von je zwei der drei Seitenflächen eingeschlossen werden. Ein Dreikant schneidet aus einer
Kugel um den Scheitelpunkt 0 ein sphärisches Dreieck aus (untere Abbildung). Die Seiten und Winkel des
sphärischen Dreiecks und des zu ihm gehörenden Dreikants sind einander gleich. Deshalb gelten Sätze, die für den
Dreikant hergeleitet wurden, auch für das zugehörige sphärische Dreieck und umgekehrt.
Druck
In einer ruhenden Flüssigkeit mit der Dichte
unterscheidet man den Schweredruck und den Seitendruck .
Letzteren übt die Flüssigkeit auf eine Seite einer Platte aus, die senkrecht in sie eingetaucht ist. Beide nehmen mit
der Tiefe zu.
1. Schweredruck
in einer Tiefe
:
(8.66)
wobei
die Fallbeschleunigung ist.
2. Seitendruck
Tiefenunterschied
z.B. auf den Deckel einer seitlichen Ausflußöffnung eines Flüssigkeitsbehälters mit dem
(s. Abbildung):
(8.67)
Mit den Funktionen
und
wird der linke bzw. rechte Rand des Deckels beschrieben.
Definition
Für
nennt man eine lineare Abbildung lineares Funktional oder Linearform . Im weiteren wird in einem
HILBERT-Raum der komplexe, in allen anderen Situationen fast ausschließlich der reelle Fall betrachtet. Der BANACHRaum
mit
aller stetigen linearen Funktionale heißt Dual , Dualraum oder adjungierter Raum von
(manchmal auch mit
einem Element
wird mit
) bezeichnet. Der Wert (aus
) eines linearen stetigen Funktionals
auf
, häufig aber auch - um den für die Dualitätstheorie ausschlaggebenden
Gedanken der bilinearen Verknüpfung von
und
hervorzuheben - mit
bezeichnet (s. auch Satz von
RIESZ über die linearen stetigen Funktionale im HILBERT-Raum).
Beispiel A
Seien
und wird
fixierte Punkte des Intervals
und
reelle Zahlen. Durch
(12.157)
ist ein lineares stetiges Funktional auf dem Raum
Spezialfall von (12.157) ist für ein fixiertes
mit der Norm
das
definiert. Ein
-Funktional
(12.158)
Beispiel B
Mit einer auf
summierbaren Funktion
ist
(12.159)
ein lineares stetiges Funktional auf
und auf
jeweils mit der Norm
.
Dualität in der linearen Optimierung
●
●
●
Zuordnung
Dualitätsaussagen
Einsatzgebiete der dualen Aufgabe
Dualität in der Optimierung
1. Duales Problem: Zu (18.31a,b) wird unter Verwendung der LAGRANGE-Funktion (18.37) das folgende duale
Problem gebildet:
(18.41a)
(18.41b)
2. Dualitätsaussagen: Sind
und
, dann gilt
a)
b)
Ist
von (18.41a,b).
, dann ist
Minimalpunkt von (18.31a,b) und
Maximalpunkt
Unterabschnitte
●
Optimalitätsbedingungen
Konvexe Aufgabe
Konvexe Aufgabe wird die Optimierungsaufgabe
(18.42)
genannt, wenn die Funktionen
und
konvex sind. Insbesondere können
und
lineare Funktionen sein.
Für konvexe Aufgaben gilt:
a)
Jedes lokale Minimum von
über
ist auch globales Minimum.
b)
Ist
c)
nicht leer und beschränkt, dann existiert mindestens eine Lösung von (18.42).
Ist
streng konvex, dann existiert höchstens eine Lösung von (18.42).
Optimalitätsbedingungen
a)
Ist
stetig partiell differenzierbar, dann ist
genau dann Lösung von (18.42), wenn gilt:
(18.43)
b)
Die SLATER-Bedingung ist eine Regularitätsbedingung für den zulässigen Bereich
mit
für alle nicht affin linearen Funktionen
. Sie ist erfüllt, wenn ein
existiert.
c)
Ist die SLATER-Bedingung erfüllt, dann ist
existiert, so daß
genau dann ein Minimalpunkt von (18.42), wenn ein
ein Sattelpunkt der LAGRANGE-Funktion ist. Sind darüber hinaus die Funktionen
differenzierbar, dann ist
genau dann eine Lösung von (18.42), wenn
den lokalen KUHN-
TUCKER-Bedingungen genügt.
d)
Für ein konvexes Optimierungsproblem mit differenzierbaren Funktionen
und
kann das duale Problem
(18.41a,b) einfacher formuliert werden:
(18.44a)
(18.44b)
Der Gradient von
wird hier nur bezüglich
gebildet.
e)
Für konvexe Optimierungsaufgaben gilt der starke Dualitätsatz :
Erfüllt
so daß
die SLATER-Bedingung und ist
eine Lösung von (18.42), dann existiert ein
,
eine Lösung des dualen Problems (18.44a,b) ist, und es gilt:
(18.45)
Differentialgleichung n-ter Ordnung
Die charakteristische Gleichung
dieser Differentialgleichung habe nur einfache Wurzeln
, von denen keine gleich Null ist. Für die Störfunktion
können zwei Fälle betrachtet werden.
1.
Ist die Störfunktion
gleich der in der Praxis häufig auftretenden Sprungfunktion
, dann lautet die
Lösung:
(15.55a)
(15.55b)
2.
Für eine allgemeine Störfunktion
erhält man die Lösung
aus (15.55b) mit Hilfe der
DUHAMELschen Formel:
(15.56)
Leitlinien der Ellipse
Leitlinien der Ellipse sind Geraden parallel zur kleinen Achse im Abstand
Jeder beliebige Ellipsenpunkt
unterliegt der Leitlinieneigenschaft der Ellipse
(3.320)
(s. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)
Durchmesser der Hyperbel
Durchmesser der Hyperbel werden diejenigen Sehnen zwischen den zwei Ästen einer Hyperbel genannt, die durch
den gemeinsamen Mittelpunkt verlaufen, der sie halbiert.
Zwei Durchmesser mit den Richtungskoeffizienten
gehören, werden konjugiert genannt, wenn
und
die zu einer Hyperbel und ihrer konjugierten Hyperbel
ist. Von jedem der beiden konjugierten Durchmesser
werden die Sehnen der gegebenen bzw. der zu ihr konjugierten Hyperbel, die parallel zu dem anderen Durchmesser
verlaufen, in zwei gleiche Teile geteilt. Von zwei konjugierten Durchmessern schneidet nur der mit
die
Hyperbel. Die dabei entstehende Sehne, ein Durchmesser im engeren Sinne des Wortes, wird im
Hyperbelmittelpunkt halbiert. Wenn
bzw.
die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und
bzw.
die spitzen Winkel, die diese Durchmesser mit der reellen Achse bilden, dann gilt
(3.337)
Strecken im Kreis
(3.50)
(3.51)
(3.52)
(3.53)
Durchmesser der Parabel
Durchmesser der Parabel wird eine Gerade genannt, die parallel zur Parabelachse liegt.
Ein Parabeldurchmesser halbiert die Sehnen, die zur Tangente im Endpunkt des Durchmessers parallel liegen. Mit
dem Richtungskoeffizienten
der Sehnen lautet die Gleichung des Durchmessers
(3.344)
Durchschnitt und Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen
1. Durchschnitt oder Schnittmenge:
Die Schnittmenge
(,,intersection``) zweier Fuzzy-Mengen
Minimumoperation min( . , . ) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen
und
ist definiert durch die
und
Auf Grund der
vorstehenden Überlegungen erhält man:
(5.266a)
wobei gilt:
(5.266b)
Der Schnittoperation entspricht die UND-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen (s. linke Abbildung). Die
Zugehörigkeitsfunktion
definiert den minimalen Wert, gebildet aus
und
2. Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen:
Die Vereinigung
(,,union``) zweier Fuzzy-Mengen ist definiert durch die Maximumoperation max(.,.)
bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen
und
Man erhält:
(5.267a)
wobei gilt:
(5.267b)
Die Vereinigung enstpricht der logischen ODER-Verknüpfung (rechte Abbildung). Die Darstellung zeigt
den maximalen Wert der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktionen
und
.
als
Beispiel
Die
-Norm
wird als Durchschnitt bezeichnet (linke Abbildung) und die
-Norm
als Vereinigung (rechte Abbildung).
3. Weitere Verknüpfungen:
Weitere Verknüpfungen zur Vereinigungsbildung sind die beschränkte, die algebraische und die drastische
Summe sowie die beschränkte Differenz, das algebraische und das drastische Produkt. Im nächsten Abschnitt
Tabelle der - und -Normen sind diese Verknüpfungen zusammengestellt.
Die algebraische Summe z.B. ist definiert durch
(5.268a)
Wie die Vereinigung (5.267a,b) gehören die genannten Summen zu den
-Normen. Sie sind in vereinfachter
Schreibweise in der rechten Spalte der Tabelle der - und -Normen zu finden.
In Analogie zum erweiterten Summenbegriff für die Vereinigungsbildung ergeben sich für die Durchschnittsbildung
mit Hilfe des beschränkten, des algebraischen und des drastischen Produktes entsprechende Erweiterungen. So ist
z.B. das algebraische Produkt wie folgt definiert:
(5.268b)
Es gehört wie die Durchschnittsbildung (5.266a,b) zu den
und
-Normen zu finden sind.
-Normen, die in der mittleren Spalte von Tabelle der
-
Verknüpfungen unscharfer Mengen
Fuzzy-Mengen lassen sich durch Operatoren auf Fuzzy-Mengen miteinander verknüpfen. Es gibt mehrere
Vorschläge zur Verallgemeinerung der Mengenoperation Vereinigung, Durchschnitt und Komplement bezüglich
unscharfer Mengen.
●
●
●
●
●
Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen
Kompensatorische Operatoren
Erweiterungsprinzip
Unscharfe Komplementfunktion
Gerade und Ebene im Raum
●
●
●
Ebenengleichungen
Zwei und mehr Ebenen im Raum
Gleichungen für die Gerade im Raum
Geraden und Ebenen im Raum
●
●
●
Zwei Geraden
Zwei Ebenen
Gerade und Ebene
Zwei Ebenen
Zwei Ebenen können sich entweder in einer Geraden schneiden, oder sie haben keinen gemeinsamen Punkt. Im
letzteren Falle sind sie parallel. Wenn zwei Ebenen senkrecht auf ein und derselben Geraden stehen, oder wenn es
auf jeder von ihnen je zwei sich schneidende Geraden gibt, die ihrerseits parallel zueinander sind, dann sind die
Ebenen parallel zueinander.
Vektorielle Gleichungen
Die einfachsten vektoriellen Gleichungen sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Darin sind
bekannten Vektoren,
der gesuchte Vektor,
die bekannten Skalare und
Tabelle Vektorielle Gleichungen
Gleichung
1.
2.
Lösung
die gesuchten.
die
3.
Die Gleichung ist unbestimmt; trägt man alle Vektoren
, die dieser Gleichung
genügen, von einem Punkt aus ab, so liegen ihre Endpunkte auf einer Ebene, die auf
senkrecht steht. Die Gleichung (3) nennt man die vektorielle
dem Vektor
Gleichung dieser Ebene .
4.
Die Gleichung ist unbestimmt; trägt man alle Vektoren
, die dieser Gleichung
genügen, von einem Punkt aus ab, so liegen ihre Endpunkte auf einer dem Vektor
parallelen Geraden. Die Gleichung (4) nennt man die vektorielle Gleichung dieser
Geraden .
5.
6.
wobei ,
Vektoren).
,
die zu
,
,
reziproken Vektoren sind (vgl. reziproke
7.
8.
Ecke
Eine Figur
, die von mehreren Ebenen, den Seitenflächen , gebildet wird, die ihrerseits einen
gemeinsamen Punkt, die Spitze 0, haben und sich von hier ausgehend in den Geraden
schneiden,
heißt Ecke oder Vielflach .
Zwei Geraden, die eine Seitenfläche der Ecke begrenzen, schließen einen ebenen Winkel ein, während zwei
benachbarte Seitenflächen eine Kante bilden. Ecken sind einander gleich, d.h., sie sind kongruent , wenn sie sich zur
Deckung bringen lassen. Dazu müssen die einander entsprechenden Elemente, d.h. die Kanten und ebenen Winkel
der Ecken, gleich sein. Wenn die einander entsprechenden Elemente von Ecken gleich, aber in umgekehrter
Reihenfolge angeordnet sind, dann lassen sich die Ecken zwar nicht zur Deckung bringen, sie werden aber
symmetrische Ecken genannt, weil sie in die in der folgenden Abbildung eingezeichnete symmetrische gegenseitige
Lage zueinander gebracht werden können.
Eine konvexe Ecke liegt vollständig auf einer Seite jeder ihrer Kanten. Die Summe der ebenen Winkel
(s. obere
Abbildung).
Dreiseitige Ecken
Dreiseitige Ecken sind kongruent, wenn sie in den folgenden Elementen übereinstimmen:
●
●
●
●
in zwei Seiten und dem zugehörigen Kantenwinkel,
in einer Seite und den beiden anliegenden Kantenwinkeln,
in drei einander entsprechenden und in der gleichen Reihenfolge angeordneten Seiten,
in drei einander entsprechenden und in der gleichen Reihenfolge angeordneten Kantenwinkeln.
Nichtsinguläre Fälle
1. Normierung der Eigenfunktion: Zu jedem
wird eine Eigenfunktion
derart gewählt, daß gilt
(9.66a)
Man spricht dann von einer normierten Eigenfunktion .
2. FOURIER-Entwicklung: Jeder im Intervall
definierten Funktion
kann ihre FOURIER-Reihe
(9.66b)
nach den Eigenwerten des zugehörigen Randwertproblems zugeordnet werden, sofern die Integrale in (9.66b)
sinnvoll sind.
3. Entwicklungssatz: Die FOURIER-Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig gegen
, wenn die
Funktion
eine stetige Ableitung besitzt und den Randbedingungen des zugehörigen Problems genügt.
4. PARSEVALsche Gleichung: Wenn das Integral auf der linken Seite einen Sinn hat, dann gilt stets
(9.66c)
Die FOURIER-Reihe der Funktion
konvergiert in diesem Falle im Mittel gegen
, d.h., es gilt
(9.66d)
Diskussion der Lösung, Eigenwerte und Eigenfunktionen
Aus der Theorie linearer Gleichungssysteme ist bekannt, daß (11.7d) genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung
für
besitzt, wenn die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet:
(11.8)
Offenbar ist
nicht identisch gleich Null, denn es gilt
. Für weitere Untersuchungen sind zwei Fälle zu unterscheiden.
mit
1.
. Darüber hinaus gibt es eine Zahl
:
Es existiert genau eine Lösung der Integralgleichung, die durch (11.6c) gegeben ist, wobei sich die
Koeffizienten
als Lösung des Gleichungssystems (11.7d) ergeben. Handelt es sich bei (11.4a)
um eine homogene Integralgleichung, d.h. ist
, dann ist
. Das dann
homogene Gleichungssystem (11.7d) hat nur die triviale Lösung
homogene Integralgleichung ist nur für
. Die
erfüllt.
:
2.
Die Koeffizientenmatrix
ist ein Polynom höchstens
Wurzeln. Für diese Werte von
-ten Grades und hat bekanntlich nicht mehr als
hat das homogene Gleichungssystem (11.7d) mit
außer der trivialen Lösung noch nicht verschwindende Lösungen, so daß auch
die homogene Integralgleichung neben der trivialen Lösung
hat. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Funktionen
Nullstellen von
noch weitere Lösungen der Form
ist
nicht identisch Null. Die
nennt man Eigenwerte der Integralgleichung. Die zugehörigen, nicht identisch
verschwindenden Lösungen der homogenen Integralgleichung heißen die Eigenfunktionen zum Eigenwert
. Zu
einem Eigenwert können mehrere linear unabhängige Eigenfunktionen gehören. Für Integralgleichungen mit
allgemeineren Kernen werden darüber hinaus alle diejenigen Zahlen
als Eigenwerte bezeichnet, für die die
homogene Integralgleichung nichttriviale Lösungen besitzt. In verschiedenen Arbeiten wird
charakteristische Zahl und
mit
als Eigenwert bezeichnet. Dies resultiert aus der Integralgleichungsform
.
als
Hauptachsentransformation
Zu einem symmetrischen Tensor
, d.h. für
gibt es stets eine orthogonale Transformation D, so daß
er nach der Transformation Diagonalform hat:
(4.77a)
Die Elemente
und
heißen Eigenwerte des Tensors
. Sie sind gleich den Wurzeln
und
der Gleichung 3. Grades in
(4.77b)
Die Spaltenvektoren
und
der Transformationsmatrix D heißen die zu den Eigenwerten gehörenden
Eigenvektoren und genügen den Gleichungen
(4.77c)
Ihre Richtungen bezeichnet man als Hauptachsenrichtungen , die Transformation von
Hauptachsentransformation .
auf die Diagonalform heißt
Allgemeines Eigenwertproblem
A und B seien zwei quadratische Matrizen vom Typ
sein. Die Aufgabe, Zahlen
Ihre Elemente können reelle oder komplexe Zahlen
und zugehörige Vektoren
mit
(4.123)
zu bestimmen, wird als allgemeines Eigenwertproblem bezeichnet. Die Zahl
Eigenvektor . Ein Eigenvektor ist lediglich bis auf einen Faktor bestimmt, da mit
Eigenvektor zu
ist. Der Spezialfall
wobei E eine
heißt Eigenwert , der Vektor
auch
-reihige Einheitsmatrix ist, d.h.
(4.124)
wird als spezielles Eigenwertproblem bezeichnet. Dieses tritt in vielen Anwendungen auf, vorwiegend mit
symmetrischer Matrix A, und wird im folgenden ausführlich dargestellt. Bezüglich des allgemeinen
Eigenwertproblems muß auf die Spezialliteratur verwiesen werden (s. Lit. 4.1).
Spektrum, Definition
Die Menge
heißt Spektrum des Operators
. Da
offenbar genau dann einen
stetigen Inversen (und demzufolge die Gleichung (12.149) immer eine Lösung, die stetig von der rechten Seite
abhängt) besitzt, wenn
, ist eine möglichst umfassende Kenntnis des Spektrums
erforderlich. Aus den Eigenschaften der Resolventenmenge folgt sofort, daß das Spektrum
abgeschlossene Teilmenge von
ist, die im Kreis
des Operators
eine
liegt, wobei in vielen Fällen
deutlich
kleiner als dieser Kreis ist. Für jeden linearen stetigen Operator auf einem komplexen BANACH-Raum ist das
Spektrum nicht leer, und es gilt die Formel
(12.155)
Genauere Angaben über das Spektrum sind für viele gebräuchliche Klassen von Operatoren möglich.
Ist
ein Operator in einem endlichdimensionalen Raum
und hat die Gleichung
nur die
triviale Lösung (d.h.,
ist injektiv), dann folgt bereits
(d.h.,
Gleichung in irgendeinem BANACH-Raum eine nichttriviale Lösung, dann ist der Operator
ist surjektiv). Hat diese
nicht injektiv und
ist im allgemeinen nicht definiert.
Die Zahl
heißt Eigenwert des linearen Operators
, wenn die Gleichung
Lösung besitzt. Alle diese Lösungen heißen Eigenvektoren oder, falls
Anwendungen offenbar zutrifft), Eigenfunktionen des Operators
heißt der Eigenraum zu
. Die Menge
zu
aller Eigenwerte von
eine nichttriviale
ein Funktionenraum ist (was in
. Der von ihnen aufgespannte Teilraum
heißt Punktspektrum des Operators
.
Imaginäre Einheit
Als imaginäre Einheit wird eine Zahl i eingeführt, deren Quadrat ,,-1`` ist. In der Elektrotechnik wird meist anstelle von
i der Buchstabe j verwendet, um Verwechslungen mit der Stromstärke i zu vermeiden. Die Einführung der imaginären
Einheit führt zu einer Verallgemeinerung des Zahlbegriffs , zu den komplexen Zahlen , die in der Algebra und
Analysis eine große Rolle spielen und in Geometrie und Physik eine Reihe konkreter Interpretationen bzw. neuer
Beschreibungsmöglichkeiten ergaben.
Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
EKONS ist die Abkürzung für ,,Einheitliches Kontonummernsystem ``, das bei Banken und Sparkassen verwendet
wird. Die Nummern sind maximal zehnstellig (je nach Geschäftsvolumen). Die ersten (maximal 4) Ziffern dienen der
Klassifikation der Konten. Die restlichen 6 Ziffern bilden die eigentliche Kontonummer einschließlich der Prüfziffer, die
an der letzten Stelle steht. Bei den einzelnen Banken und Sparkassen sind unterschiedliche Prüfziffernverfahren
üblich, z.B.:
a)
Die Ziffern werden abwechselnd, von rechts beginnend, mit 2 bzw. 1 multipliziert, und die Summe dieser
Produkte wird durch Addition der Prüfziffer
Kontonummer
zur nächsten durch 10 teilbaren Zahl ergänzt, d.h., für die
mit der Prüfziffer
gilt:
(5.186)
b)
Bei dem Verfahren a) wird anstelle der Produkte - falls die Produkte zweistellig sind - die Quersumme der
Produkte verwendet.
Bei Variante a) entdeckt man alle Fehler durch Vertauschung zweier benachbarter Ziffern und fast alle Fehler durch
Verwechslung einer Ziffer.
Bei Variante b) werden dagegen jeder Fehler durch Verwechslung einer Ziffer und fast alle Fehler durch
Vertauschung zweier benachbarter Ziffern erkannt. Drehfehler nicht benachbarter Ziffern und Verwechslungen zweier
Ziffern werden oft nicht aufgedeckt.
Daß man das leistungsfähigere Prüfziffernsystem zum Modul 11 nicht verwendet, hat außermathematische Gründe.
Das nichtnumerische Zeichen X anstelle der Prüfziffer 10 (s. ISBN-Buchnummern) erfordert eine Erweiterung der
Eingabetastatur. Dagegen hätte ein Verzicht auf Kontonummern mit der Prüfziffer 10 bei Umstellung auf das
einheitliche Nummernsystem in einer beträchtlichen Zahl von Fällen eine Erweiterung der ursprünglichen
Kontonummern nicht zugelassen.
Einheitsmatrix E
Einheitsmatrix heißt eine quadratische Matrix, in der jedes Hauptdiagonalelement den Wert Eins besitzt, während alle
anderen Elemente den Wert Null haben:
(4.16)
Das Zeichen
wird KRONECKER-Symbol genannt.
Spezielle Vektoren
a) Einheitsvektor
seiner Hilfe kann ein Vektor
wird ein Vektor genannt, dessen Länge oder Absolutbetrag gleich 1 ist. Mit
durch das Produkt aus Einheitsvektor und Modul gemäß
(3.240a)
angegeben werden. Zur Beschreibung der drei Koordinatenachsen in Richtung wachsender Koordinatenwerte
werden oft die Einheitsvektoren
oder
verwendet.
In der Abbildung bilden die durch die drei Einheitsvektoren festgelegten Richtungen ein senkrechtes Richtungstripel .
Außerdem bilden sie ein orthogonales Koordinatensystem , denn es gilt:
(3.240b)
Zudem gilt
(3.240c)
so daß man von einem orthonormierten Koordinatensystem spricht.
b) Nullvektor heißt ein Vektor mit dem Absolutbetrag
also mit zusammenfallendem Anfangs- und
Endpunkt sowie mit unbestimmter Richtung im Raum.
c) Radiusvektor
eines Punktes
Koordinatenursprung befindet.
wird ein Vektor
genannt, dessen Anfangspunkt sich im
In diesem Falle heißt der Koordinatenursprung Pol . Der Punkt
ist durch seinen Radiusvektor eindeutig
bestimmt.
d) Kollineare Vektoren verlaufen parallel zu ein und derselben Geraden.
e) Komplanare Vektoren verlaufen parallel zu ein und derselben Ebene.
Für sie gilt das Spatprodukt
(3.263).
Numerische Berechnung der komplexen FOURIER-Koeffizienten
Zur numerischen Bestimmung von
wendet man auf (19.218b) analog zu (19.209) und (19.210) die Trapezformel
an und erhält die diskreten komplexen FOURIER-Koeffizienten
:
(19.221a)
mit
(19.221b)
Der Zusammenhang (19.221a) unter Beachtung von (19.221b) wird dann als diskrete komplexe FOURIERTransformation der Länge
Die Potenzen
deshalb auch als
der Werte
bezeichnet.
genügen sämtlich der Gleichung
- te Einheitswurzel bezeichnet. Wegen
Sie werden
gilt:
(19.222)
Die effektive Berechnung der Summe (19.221a) ergibt sich aus der Tatsache, daß eine diskrete komplexe FOURIERTransformation der Länge
auf zwei Transformationen der Länge
in folgender Weise
zurückgeführt werden kann:
a) Für alle Koeffizienten
mit geradem Index, d.h.
, erhält man:
ist. Substituiert man
Dabei wurde beachtet, daß
(19.223)
und berücksichtigt man, daß
gilt, dann ist
(19.224)
die diskrete komplexe FOURIER-Transformation der Werte
.
mit der Länge
b) Für alle Koeffizienten
mit ungeradem Index, d.h. mit
, erhält man analog:
Substituiert man
(19.225)
und beachtet man, daß auch hier
gilt, dann ist
(19.226)
die diskrete komplexe FOURIER-Transformation der Werte
mit der Länge
.
Die Reduzierung gemäß a) und b), d.h. die Zurückführung einer diskreten komplexen FOURIER-Transformation auf
jeweils zwei diskrete komplexe FOURIER-Transformationen der halben Länge, läßt sich fortsetzen, wenn
Potenz von 2 ist, d.h. wenn
(
natürliche Zahl) gilt. Die
FFT bezeichnet. Da jeder Reduktionsschritt wegen (19.225)
eine
-malige Anwendung der Reduzierung wird als
komplexe Multiplikationen erfordert, ist der
Rechenaufwand bei der FFT von der Größenordnung
(19.227)
Einhüllende von Kurvenscharen
●
●
●
Charakteristische Punkte
Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar
Gleichung der Einhüllenden
Mehrschrittverfahren
Das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) und das RUNGE-KUTTA-Verfahren (19.99) stellen sogenannte
Einschrittverfahren dar, da sie bei der Berechnung von
nur auf das Ergebnis
des vorangegangenen
Schrittes zurückgreifen. Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren sind dagegen von der Form
(19.101)
mit geeignet gewählten Konstanten
und
-Schrittverfahren bezeichnet, falls
Werten
. Die Vorschrift (19.101) wird als
ist. Es heißt explizit , falls
ist, weil dann in den
der rechten Seite von (19.101) nur die bereits bekannten Näherungswerte
auftreten. Ist
, so heißt das Verfahren implizit , da dann der gesuchte neue
Wert
von
auf beiden Seiten von (19.101) auftritt. Bei der Anwendung eines
Startwerten
-Schrittverfahrens ist die Kenntnis
notwendig. Diese verschafft man sich z.B. mit Hilfe eines
Einschrittverfahrens.
Spezielle Mehrschrittverfahren zur Lösung der Anfangswertaufgabe (19.93) kann man dadurch gewinnen, daß man
in (19.93) die Ableitung
durch Differenzenformeln ersetzt oder in (19.95) das Integral durch
Quadraturformeln approximiert.
Beispiele für spezielle Mehrschrittverfahren sind:
1. Mittelpunktsregel: Die Ableitung
Stützstellen
und
in (19.93) wird durch die Sekantensteigung bezüglich der
ersetzt. Man erhält:
(19.102)
2. Verfahren von MILNE: Das Integral in (19.95) wird durch die SIMPSON-Formel approximiert. Man erhält:
(19.103)
3. Verfahren von ADAMS-BASHFORTH:Der Integrand in (19.95) wird durch das
Interpolationspolynom von LAGRANGE bezüglich der
Stützstellen
ersetzt. Man integriert zwischen
und
und erhält:
(19.104)
Das Verfahren (19.104) ist explizit bezüglich
. Zur Berechnung des Koeffizienten
s. Lit. 19.1.
EINSTEINsche Summenkonvention
Anstelle von (4.65) kann man auch
(4.66a)
oder abkürzend nach EINSTEIN
(4.66b)
schreiben, d.h., über den doppelt auftretenden Index
ist zu summieren und das Ergebnis für
aufzuschreiben. Die Summenkonvention legt allgemein fest: Tritt in einem Ausdruck ein Index zweimal auf, so wird
der Ausdruck über alle vorgesehenen Werte dieses Index summiert. Tritt ein Index in den Ausdrücken einer
Gleichung nur einmal auf, z.B.
in der Gleichung (4.66b), so bedeutet das, daß die betreffende Gleichung für alle
Werte gilt, die der Index durchlaufen kann.
Regelmäßige Einzahlungen
Es sollen Einzahlungen der gleichen Höhe
in gleichen Abständen geleistet werden. Diese Abschnitte sollen mit
der Zinsperiode übereinstimmen. Wird die Einzahlung jeweils zu Beginn bzw. am Ende einer Zinsperiode geleistet,
dann spricht man von einer vorschüssigen (praenumerando) bzw. einer nachschüssigen (postnumerando)
Einzahlung. Am Ende der
-ten Zinsperiode erhält man den Kontostand
, und zwar:
1. Bei vorschüssiger Einzahlung
(1.83a)
2. bei nachschüssiger Einzahlung
(1.83b)
Unterjährige Einzahlungen
Ein Jahr bzw. eine Zinsperiode wird in
gleich lange Abschnitte zerlegt. Zu Beginn bzw. am Ende eines jeden
Teilabschnittes wird der gleiche Betrag
eingezahlt und bis zum Jahresende verzinst. Nach einem Jahr erhält man
auf diese Weise den Kontostand
, und zwar:
1. Bei vorschüssiger Einzahlung
(1.84a)
2. bei nachschüssiger Einzahlung
(1.84b)
Im zweiten Jahr wird
voll verzinst, hinzu kommen noch die Einzahlungen und Zinsen wie im ersten Jahr, so daß
sich nach
Jahren für den Kontostand
bei unterjährigen Einzahlungen und jährlicher Verzinsung ergibt:
1. Bei vorschüssiger Einzahlung
(1.85a)
2. bei nachschüssiger Einzahlung
(1.85b)
Beispiel
Bei einem Jahreszinssatz von
zahlt ein Sparer monatlich nachschüssig 1000.-DM ein. Nach wie
vielen Jahren wird der Kontostand von 500 000.-DM erreicht? Aus (1.85b), d.h. aus
folgt
Jahre.
GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Hat man die 1. Komponente
der Berechnung von
nach dem JACOBI-Verfahren berechnet, dann liegt es nahe, diesen Wert bei
bereits zu verwenden. Geht man entsprechend bei der Berechnung aller übrigen
Komponenten vor, dann erhält man die Iterationsvorschrift
(19.51)
Die Vorschrift (19.51) wird als GAUSS-SEIDEL- Verfahren oder Einzelschrittverfahren bezeichnet. Das GAUSS-SEIDELVerfahren konvergiert im allgemeinen schneller als das JACOBI-Verfahren, sein Konvergenzsatz ist aber etwas
komplizierter.
Beispiel
Die dazugehörige Iterationsvorschrift gemäß (19.51) lautet:
Einige Näherungen und die Lösung findet man in der folgenden Zusammenstellung:
0
1,4
1,5053 1,5012 1,5
0
1,0077 0,9946 0,9989
1
0
1,0976 0,5059 0,5014 0,5
0
1,7861 1,9976 1,9995
2
Gewöhnliches Iterationsverfahren
Das gewöhnliche Iterationsverfahren geht davon aus, daß sich die Gleichungen (19.55) auf eine Fixpunktform
(19.56)
bringen lassen. Dann erhält man, von den geschätzten Näherungswerten
ausgehend,
verbesserte Werte durch
1. Iteration in Gesamtschritten:
(19.57)
2. Iteration in Einzelschritten:
(19.58)
Für die Güte der Konvergenz dieser Verfahren ist ausschlaggebend, daß die Funktionen
Lösung möglichst schwach von den Unbekannten abhängen, d.h., falls die
in der Umgebung einer
differenzierbar sind, müssen die
Beträge der partiellen Ableitungen möglichst klein sein. Als Konvergenzbedingung erhält man
(19.59)
Mit dieser Größe
gilt die Fehlerabschätzung
(19.60)
Dabei sind
die Komponenten der gesuchten Lösung,
ten Näherungen.
und
die zugehörigen
-ten und
-
Schießverfahren
Mit dem Schießverfahren wird die Lösung von Randwertaufgaben auf die Lösung von Anfangswertaufgaben
zurückgeführt. Das Prinzip soll am sogenannten einfachen Schießverfahren , auch Einzielverfahren genannt,
beschrieben werden.
1. Einzielverfahren Der Randwertaufgabe (19.118) wird die Anfangswertaufgabe
(19.134)
zugeordnet. Dabei ist
gilt
Parameter
ein Parameter, von dem die Lösung
. Die Funktion
ist so zu bestimmen, daß
der Anfangswertaufgabe (19.134) abhängt, d.h., es
erfüllt gemäß (19.134) die erste Randbedingung
auch die zweite Randbedingung
. Der
erfüllt. Dazu ist die
Gleichung
(19.135)
zweckmäßigerweise mit Hilfe der Regula falsi zu lösen. Diese benötigt nur Funktionswerte
, aber jede
Funktionswertberechnung erfordert die Lösung der Anfangswertaufgabe (19.134) nach einem der im Abschnitt
Anfangswertaufgaben angegebenen Verfahren bis
für den speziellen Parameterwert
2. Mehrzielmethode Bei der sogenannten Mehrzielmethode wird das Integrationsintervall
.
in
Teilintervalle zerlegt und auf jedem Teilintervall die Einzielmethode angewendet. Damit setzt sich die gesuchte
Lösung aus Teillösungen zusammen, deren stetiger Übergang an den Teilintervallgrenzen zu sichern ist. Diese
Forderung ergibt zusätzliche Bedingungen. Zur numerischen Realisierung der Mehrzielmethode, die vor allem
bei nichtlinearen Randwertaufgaben verwendet wird, s. Lit. 19.12.
Ansatz
Für die gesuchte Funktion
wird in jedem Dreieck ein Ansatz gemacht. Ein Dreieck mit zugehörigem Ansatz
wird als finites Element bezeichnet. Dafür eignen sich Polynome in
und
. In vielen Fällen reicht der lineare
Ansatz
(19.146)
aus. Die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Dreieck ins benachbarte zumindest stetig sein, damit
eine stetige Gesamtlösung entsteht.
Die Koeffizienten
und
in (19.146) lassen sich eindeutig durch die drei Funktionswerte
und
in den Eckpunkten des zugehörigen Dreiecks ausdrücken. Dadurch ist gleichzeitig der stetige Übergang in die
benachbarten Dreiecke gesichert. Der Ansatz (19.146) enthält damit als unbekannte Parameter die Näherungen
für die gesuchten Funktionswerte. Als Ansatz, der im gesamten Gebiet
Näherung verwendet wird, wählt man
für die gesuchte Lösung
als
(19.147)
Die Koeffizienten
sind noch geeignet zu bestimmen. Für die Funktionen
über jedem Dreieck von
soll gelten: Sie stellen
eine lineare Funktion gemäß (19.146) dar und erfüllen die folgenden Bedingungen:
(19.148a)
(19.148b)
Die Darstellung von
über
zeigt die folgende Abbildung:
Die Berechnung von
über
, d.h. über den Dreiecken 1 bis 6 in der Abbildung, soll für das Dreieck 1
gezeigt werden:
(19.149a)
(19.149b)
Aus (19.149b) folgt
, und man erhält für Dreieck 1:
(19.149c)
Analog berechnet man:
(19.150)
Elementbeziehung
1. Mengen und ihre Elemente: Der grundlegende Begriff der Mengenlehre ist die Elementbeziehung. Eine
Menge
ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte
unserer Anschauung oder
unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Für ,,
bzw. ,,
ist nicht Element von
`` schreibt man ,,
`` bzw. ,,
ist Element von
``. Mengen können beschrieben
werden durch Aufzählung aller ihrer Elemente in geschweiften Klammern, z.B.
oder
oder durch eine definierende Eigenschaft, die genau den Elementen der Menge
zukommt. Z.B. wird die Menge
wobei die Eigenschaft
der ungeraden natürlichen Zahlen durch
bedeutet:
ist eine ungerade natürliche Zahl, d.h.
ungerade natürliche Zahl}.
Für die Zahlenbereiche sind folgende Bezeichnungen üblich:
beschrieben,
ist eine
``
Menge der natürlichen Zahlen,
Menge der ganzen Zahlen,
Menge der rationalen Zahlen,
Menge der reellen Zahlen,
Menge der komplexen Zahlen.
2. Extensionalitätsprinzip für Mengen: Zwei Mengen
sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen
Elemente enthalten, d.h.
(5.35)
Beispiel
Die Mengen
und
sind gleich.
Eigenschaften binärer Operationen
Besonders wichtig ist der Fall
wobei man von binären Operationen spricht, z.B. Addition und Multiplikation
von Zahlen bzw. Matrizen oder Vereinigung und Durchschnitt von Mengen. Eine binäre Operation ist also eine
Abbildung
, wobei man anstelle von ,,
benutzt. Eine binäre Operation
in
`` in der Regel die Infixschreibweise ,,
``
heißt assoziativ , falls
(5.92)
und kommutativ , falls
(5.93)
jeweils für alle
Ein Element
gilt.
heißt neutrales Element bezüglich einer binären Operation
in
falls
(5.94)
gilt.
Kegel
Ist in einem reellen Vektorraum
ein Kegel
fixiert, so kann für gewisse Paare von Vektoren aus
mit
Ordnungsrelation eingeführt werden, indem man für
schreibt und sagt, daß
Paar
größer oder gleich
einen durch den Kegel
man dann positiv , wenn
bzw.
einfach
kleiner oder gleich
ist. Man nennt
eine
oder
oder genauer des
geordneten oder teilweise geordneten Vektorraum . Ein Element
oder, gleichbedeutend damit,
gilt. Außerdem ist
(12.24)
nennt
Singuläres Element und singuläres Integral
1. Singuläres Element: Ein Element
wird singuläres Element der Differentialgleichung
genannt, wenn es außer der Differentialgleichung
(9.17a)
auch der Gleichung
(9.17b)
genügt.
Singuläres Integral: Eine Integralkurve aus singulären Elementen heißt eine singuläre Integralkurve , die
Gleichung
(9.17c)
einer singulären Integralkurve wird ein singuläres Integral genannt. Die Einhüllenden der Integralkurven sind
singuläre Integralkurven (s. Abbildung); sie bestehen ihrerseits ebenfalls aus singulären Elementen.
Die Eindeutigkeit der Lösung (s. Existenzsatz) geht für alle Punkte einer singulären Integralkurve verloren.
Elementarkonjunktion, Elementardisjunktion
Es sei
eine BOOLEsche Algebra und
eine Menge BOOLEscher
Variabler. Jede Konjunktion bzw. Disjunktion, in der jede Variable oder ihre Negation genau einmal vorkommt, heißt
).
Elementarkonjunktion bzw. Elementardisjunktion (in den Variablen
Es sei
ein BOOLEscher Ausdruck. Eine Disjunktion
heißt kanonisch disjunktive Normalform (KDNF) von
von Elementarkonjunktionen mit
Eine Konjunktion
von Elementardisjunktionen mit
heißt kanonisch konjunktive Normalform (KKNF) von
Um zu zeigen, daß sich jede BOOLEsche Funktion
in der folgenden Tabelle gegebenen Funktion
durch einen BOOLEschen Ausdruck darstellen läßt, wird zu der
die KDNF konstruiert:
Tabelle KDNF zu einer BOOLEschen Funktion
Die KDNF zur BOOLEschen Funktion
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
besteht aus den Elementarkonjunktionen
Diese Elementarkonjunktionen gehören zu den Belegungen
Variablen, die bei
den Funktionswert 1 haben. Ist in
Elementarkonjunktion aufgenommen, andernfalls
eine Variable
mit 1 belegt, so wird
der
in die
Für das obige Beispiel lautet die KDNF:
(5.228)
Die ,,duale`` Form zur KDNF ist die KKNF: Die Elementardisjunktionen gehören zu den Belegungen
die bei
den Funktionswert 0 haben. Ist in
aufgenomen, andernfalls
eine Variable
mit 0 belegt, so wird
Somit lautet die KKNF für das obige Beispiel:
der Variablen,
in die Elementarkonjunktion
(5.229)
Die KDNF und die KKNF zu
sind eindeutig bestimmt, wenn man eine Reihenfolge der Variablen und eine
Reihenfolge der Belegungen vorgibt, z.B. wenn man die Belegungen als Dualzahlen auffaßt und der Größe nach
ordnet.
Ereignisarten
Alle Ergebnisse eines Versuches, bei dem bestimmte Bedingungen eingehalten werden und bei dessen Ablauf das
Resultat im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiß ist, werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als
Ereignisse bezeichnet und in der sogenannten EreignismengeA zusammengefaßt. Man unterscheidet das sichere ,
das unmögliche und das zufällige Ereignis . Das sichere Ereignis tritt bei jeder Wiederholung eines gegebenen
Versuches innerhalb einer Ereignismenge ein, das unmögliche bei keinem Versuch; das zufällige Ereignis kann
eintreten oder auch nicht. Alle möglichen einander ausschließenden Ausgänge eines Versuches heißen seine
Elementarereignisse . Bezeichnet man die Ereignisse innerhalb einer Ereignismenge A mit
insbesondere das sichere Ereignis mit
definierten Verknüpfungen.
, das unmögliche Ereignis mit
,
, so gelten die in der folgenden Tabelle
Tabelle Verknüpfungen zwischen Ereignissen
Bezeichnung
1. Entgegengesetztes Ereignis zu
Schreibweise
:
Bedeutung
tritt genau dann ein, wenn
nicht eintritt.
2. Summe der Ereignisse
und
:
tritt genau dann ein, wenn entweder
eintritt, oder wenn beide Ereignisse
oder
zusammen eintreten.
3. Produkt der Ereignisse
und
:
tritt genau dann ein, wenn sowohl
als auch
eintritt.
4. Differenz der Ereignisse
und
:
tritt genau dann ein, wenn
eintritt und
nicht einritt.
heißt, daß das Eintreten des Ereignisses
5. Aufeinander folgende Ereignisse:
das Eintreten des Ereignisses
läßt sich nicht als Summe
6. Elementares Ereignis:
und
7. Zusammengesetztes Ereignis
8. Gegenseitig ausschliessende Ereignisse
zur Folge hat.
mit
darstellen.
Das Ereignis ist nicht elementar.
und
:
Die Ereignisse
auftreten.
und
können nicht gemeinsam
Ellipse
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Elemente der Ellipse
Gleichung der Ellipse
Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse
Leitlinien der Ellipse
Durchmesser der Ellipse
Tangenten an die Ellipse
Krümmungskreisradius der Ellipse
Flächeninhalte der Ellipse
Ellipsenbogen und Ellipsenumfang
Flächeninhalte der Ellipse
a) Ellipse:
(3.326a)
b) Ellipsensektor
:
(3.326b)
c) Ellipsenabschnitt
:
(3.326c)
Gleichung der Ellipse
Die Ellipsengleichung lautet in der Normalform, d.h. für zusammenfallende Koordinaten- und Ellipsenachsen sowie in
der Parameterform
(3.318a)
(3.318b)
Die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.
Quadratwurzel aus einem linearen Binom
Die zwei Funktionen
(2.52)
beschreiben eine Parabel mit der
Parameter ist
-Achse als Symmetrieachse. Der Scheitel
liegt bei
. Definitionsbereich und Verlauf der Kurve hängen vom Vorzeichen von
, der
ab.
(Ausführlicher s. Parabel.)
Krümmungskreisradius der Ellipse
Mit
als Winkel zwischen der Tangente und dem Radiusvektor des Berührungspunktes
gilt
(3.325)
In den Scheiteln
und
sowie
und
(rechte Abbildung) ist
und
Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und
Hypotrochoide
Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und Hypotrochoide sind Kurven, die von einem entweder
außerhalb oder innerhalb eines Kreises befindlichen Punkt beschrieben werden, der sich auf einem vom
Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis an einem
anderen Kreis entweder außen (Epitrochoide) oder innen (Hypotrochoide) abrollt, ohne dabei zu gleiten.
Die Gleichung der Epitrochoide lautet in Parameterform
(2.236a)
wobei
der Radius des festen Kreises ist und
Für die Hypozykloide ist ,,
Über
handelt.
wird mit
`` durch ,,
bzw.
der des rollenden.
`` zu ersetzen.
bestimmt, ob es sich um die verkürzte oder verlängerte Kurve
Spezialfall Ellipse: Für
beliebige Zahl, wird die Hypozykloide mit der Gleichung
(2.236b)
zur Ellipse mit den Halbachsen
und
Spezialfall PASCALsche Schnecke: Für
wird die Hypozykloide zur PASCALschen Schnecke :
(2.236c)
Hinweis: Bei der Behandlung der PASCALschen Schnecke wurde mit
und mit
der Durchmesser
eine Größe bezeichnet, die hier
. Außerdem ist das Koordinatensystem geändert.
heißt,
Tangenten an die Ellipse
Die Tangenten an die Ellipse im Punkt
beschreibt die Gleichung
(3.323)
Normale und Tangente an die Ellipse sind jeweils Winkelhalbierende des inneren und äußeren Winkels zwischen den
von den Brennpunkten zum Berührungspunkt
weisenden Radiusvektoren.
Die Gerade
ist eine Tangente an die Ellipse, wenn die Gleichung
(3.324)
erfüllt ist.
Ellipsenbogen und Ellipsenumfang
Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten
der Ellipse läßt sich nicht elementar berechnen, wie es für die
Parabel möglich ist, sondern mit Hilfe eines unvollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung
.
Den Umfang der Ellipse berechnet man daher mit Hilfe des vollständigen Integrals 2. Gattung
mit der numerischen Exzentrizität
und
(für ein Viertel des
Umfanges) zu
(3.327a)
Setzt man
, dann ist
(3.327b)
und in Näherung
(3.327c)
Beispiel
Für
liefert diese Gleichung den Wert 7,93, während die genauere Rechnung mit Hilfe
des vollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung den Wert 7,98 ergibt.
Bestimmte elliptische Integrale
Die zu (8.22a, 8.22b, 8.22c) gehörigen bestimmten Integrale mit der unteren Integrationsgrenze Null haben die
folgenden Bezeichnungen erhalten:
(8.23a)
(8.23b)
(8.23c)
Man nennt diese Integrale unvollständige elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Gattung. Für
heißen die Integrale I und II vollständige elliptische Integrale , und man kennzeichnet sie durch
(8.24a)
(8.24b)
In den Tabellen ,,Elliptische Integrale``, Teile 1, 2, 3 sind für die unvollständigen und vollständigen elliptischen
Integrale erster und zweiter Gattung F, E sowie K und E Wertetabellen angegeben.
Beispiel
Die Berechnung des Umfanges der Ellipse führt auf ein vollständiges elliptisches Integral 2. Gattung als
Funktion der numerischen Exzentrizität
. Für
folgt
. Wegen
liest man aus der Tabelle ,,Elliptische Integrale``, Teil 3 ab:
, und
. Daraus folgt
. Die Berechnung mit der
Näherungsformel (3.327c) liefert den Wert 7,93.
d.h.,
Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen
Tabelle Gestalt der Flächen 2. Ordnung
(Mittelpunktsflächen)
und
nicht beide
Ellipsoid
Zweischaliges Hyperboloid
Imaginäres Ellipsoid
Einschaliges Hyperboloid
Imaginärer Kegel (mit reeller Spitze)
Die Größen
und
Kegel
sind Invariante einer Fläche 2. Ordnung
Ellipsoide
Mit den Halbachsen
lautet die Gleichung
(3.406)
Es werden die folgenden Spezialfälle unterschieden:
Zusammengedrücktes Rotationsellipsoid ( Linsenform , linke Abbildung),
Langgestrecktes Rotationsellipsoid ( Zigarrenform , rechte Abbildung),
Kugel mit der Gleichung
Die zwei Formen des Rotationsellipsoids entstehen durch Rotation einer Ellipse in der
-Ebene mit den Achsen
und um die -Achse, die Kugel durch Rotation eines Kreises um eine der Achsen. Die Schnittfigur einer durch
ein Ellipsoid gehenden Ebene ist eine Ellipse, im Spezialfall ein Kreis. Der Rauminhalt des Ellipsoids beträgt
(3.407)
Topologische Entropie
Sei
auf
ein kompakter metrischer Raum und
. Für beliebiges
ein stetiges dynamisches System mit diskreter Zeit
wird eine Abstandsfunktion
auf
durch
(17.36)
definiert. Sei weiter
Metrik
Abbildung
von
die größte Anzahl von Punkten aus
, die mindestens einen Abstand in der
zueinander haben. Die topologische Entropie des diskreten dynamischen Systems (17.3) bzw. der
ist
Komplexität der Abbildung. Sei
. Die topologische Entropie ist ein Maß für die
ein weiterer kompakter metrischer Raum und
stetige Abbildung. Sind dann die beiden Abbildungen
und
topologisch konjugiert, so stimmen ihre
eine
topologischen Entropien überein. Insbesondere hängt die topologische Entropie nicht von der Metrik ab. Für
beliebiges
gilt
. Ist
sogar ein Homöomorphismus, so gilt
. Aufgrund der letzten Eigenschaft definiert man für einen Fluß
von (17.1) auf
die topologische Entropie über
.
Formen der Entwicklung in eine FOURIER-Reihe
Jede Funktion
, die in einem Intervall
die DIRICHLETschen Bedingungen erfüllt, kann in diesem
Intervall in konvergente Reihen folgender Formen entwickelt werden:
(7.106a)
Die Periode der Funktion
.
ist
; im Intervall
ist
identisch mit der Funktion
In den Unstetigkeitsstellen wird
gesetzt. Die Entwicklungskoeffizienten
werden mit Hilfe der EULERschen Formeln (7.96a,b) für
bestimmt.
(7.106b)
Die Periode der Funktion
identisch mit
.
ist
; im Intervall
ist
von der Symmetrie S1Art und
Die Entwicklungskoeffizienten für
werden nach den Formeln für den Fall der Symmetrie 1. Art mit
bestimmt.
(7.106c)
Die Periode der Funktion
identisch mit
.
ist
, im Intervall
ist
von der Symmetrie 2. Art und
Die Entwicklungskoeffizienten werden mit den Formeln für den Fall der Symmetrie 2. Art (7.102) für
bestimmt.
Laurent-Entwicklung
Jede Funktion
und den Radien
, die im Innern eines Kreisringes zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit dem Mittelpunkt
und
analytisch ist, kann in eine verallgemeinerte Potenzreihe, die LAURENT-Reihe,
entwickelt werden:
(14.50a)
Die im allgemeinen komplexen Koeffizienten
sind eindeutig durch die Formel
(14.50b)
bestimmt. Mit
ist irgendein geschlossener Integrationsweg bezeichnet, der innerhalb des Kreisringgebiets
liegt und im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird (s. Abbildung).
Ist das Gebiet
der Funktion
Reihe der größte in
umfassender als der Kreisring, dann ist der Konvergenzbereich der LAURENT-
enthaltene Kreisring um
.
Beispiel
, die im Ringgebiet
Für die Funktion
analytisch ist, soll eine
Potenzreihenentwicklung angegeben werden. Dazu kann man die Funktion
Partialbruchzerlegung auf die Form
durch
bringen. Durch einfache Umformung
können diese beiden Terme als geometrische Reihen dargestellt werden, die gemeinsam in dem
Ringgebiet
konvergieren. Man erhält:
MACLAURINsche Reihe
MACLAURINsche Reihe wird die Entwicklung der Funktion
TAYLORschen Reihe für
nach Potenzen von
im Spezialfall der
genannt. Es ergibt sich
(7.89a)
mit dem Restglied
(7.89b)
(7.89c)
Die Konvergenz der TAYLORschen und MACLAURINschen Reihe ist entweder durch Untersuchung des Restgliedes
nachzuweisen oder durch Bestimmung des Konvergenzradius. Im zweiten Falle kann es vorkommen, daß die
Reihe zwar konvergiert, ihre Summe
aber ungleich
ist.
Satz von TAYLOR für Funktionen von einer Veränderlichen
Wenn eine Funktion
der Ordnung
im Intervall
stetig ist und dort stetige Ableitungen bis einschließlich
besitzt und wenn im Innern des Intervalls noch die
-te Ableitung existiert, dann gilt die
TAYLORsche Formel oder TAYLOR-Entwicklung
(6.31)
mit
. Die Größe
kann positiv oder negativ sein. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (6.29a)
ist ein Spezialfall dieser TAYLOR-Reihe für
.
Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe
Die Tabelle ,,Potenzreihenentwicklungen`` enthält eine Zusammenstellung der Potenzreihenentwicklungen der
wichtigsten elementaren Funktionen. Sie wurden in der Regel durch TAYLOR-Entwicklungen gewonnen.
●
TAYLORsche Reihe für Funktionen von einer Veränderlichen
MACLAURINsche Reihe
TAYLORsche Reihe für Funktionen von zwei Veränderlichen
●
TAYLORsche Reihe für Funktionen von
●
●
Veränderlichen
Unterabschnitte
●
●
Erste Form der Darstellung:
Zweite Form der Darstellung:
TAYLORsche Reihe für Funktionen von zwei Veränderlichen
Erste Form der Darstellung:
(7.90a)
Dabei ist
die Entwicklungsstelle und
das Restglied. Manchmal verwendet man an Stelle von z.B.
die kürzere Schreibweise
.
Die Terme höherer Ordnung in (7.90a) können mit Hilfe von Operatoren übersichtlich dargestellt werden:
(7.90b)
Diese symbolische Darstellung bedeutet, daß nach Anwendung des binomischen Satzes die Potenzen der
Differentialoperatoren
bzw.
als Differentiationsvorschrift höherer Ordnung für die Funktion
zu
interpretieren sind. Diese Ableitungen sind dann an der Stelle
zu nehmen.
Zweite Form der Darstellung:
(7.90c)
Der Ausdruck für das Restglied lautet
(7.90d)
Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient
Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient des Vektors
nennt man die Projektion von
auf
in Richtung oder entlang des Einheitsvektors
d.h. das Skalarprodukt
(3.250a)
wobei
der Winkel zwischen
und
ist.
Für den Richtungskoeffizienten des Vektors
entlang eines Vektors
gilt:
(3.250b)
Im kartesischen Koordinatensystem sind die Richtungskoeffizienten des Vektors
entlang der
Aussage nicht.
die Komponenten
Achse. In einem nicht-orthonormierten Koordinatensystem gilt diese
Epizykloide
Epizykloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn dieser,
ohne zu gleiten, auf der Außenseite eines anderen Kreises abrollt.
Die Gleichung der Epizykloide lautet in Parameterform mit
Kreises
als Radius des festen und
als Radius des rollenden
(2.234)
wobei
Für
gilt. Die Form der Kurve hängt vom Quotienten
erhält man die Kardioide.
ab.
1. Fall
ganzzahlig: Für
ganzzahlig besteht die Kurve aus
den feststehenden Kreis umgebenden
Kurvenzweigen.
liegen bei
Die Rückkehrpunkte
die Scheitelpunkte
2. Fall
gebrochenrational: Für
bewegende Punkt
gebrochenrational überdecken sich die Zweige gegenseitig, der sich
kehrt aber nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück.
irrational: Für
3. Fall
in die Anfangslage zurück.
Die Länge des Zweiges beträgt
Kurve
bei
irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich, und der Punkt
Bei ganzzahligem
kehrt nicht
ist die Länge der gesamten
Die Fläche des Sektors
Der Krümmungsradius ist
beträgt ohne den Sektor des festen Kreises
in den Scheiteln
Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse
und
sind unabhängig, wenn für die bedingten Wahrscheinlichkeiten die Beziehungen
(16.39a)
erfüllt sind. Für sie gilt
(16.39b)
Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation
1. Begriff:
Die Fuzzy-Inferenz oder -Implikation ist eine Anwendung der Fuzzy-Relationen mit dem Ziel des fuzzylogischen Schließens bezüglicher vager Informationen. Vage Information bedeutet hier unscharfe Information,
aber nicht unsichere Information. Die Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation besteht aus einer oder mehreren
Regeln, einem Faktum und einem Schluß. Das unscharfe Schließen (nach ZADEH approximate reasoning) ist
nicht mit der klassischen Logik beschreibbar.
2. WENN-DANN-Regel:
Die Fuzzy-Implikation besteht im einfachsten Falle aus einer WENN-DANN- Regel . Der WENN-Teil der Regel
wird als Prämisse bezeichnet und repräsentiert die Bedingung. Der DANN-Teil ist die Schlußfolgerung, auch
Konklusion genannt. Die Auswertung erfolgt mittels
Interpretation:
ist das Fuzzy-Inferenzbild von
und (5.296).
bezüglich der Fuzzy-Relation
Berechnungsvorschrift für WENN-DANN-Regeln bzw. für Gruppen von Regeln.
3. Verallgemeinertes Fuzzy-Inferenz-Schema:
Die Regel
, d.h. eine
mit
und die Zuhörigkeitsfunktion der Konklusion
wird beschrieben durch die
-stellige Relation
(5.297a)
Für das aktuelle Ereignis
mit den scharfen Werten
und
der Kenngrößen
gilt
(5.297b)
Anmerkung: Die Größe min
heißt Erfüllungsgrad der Regel , und die Größen
repräsentieren die fuzzy-wertigen Eingangsgrößen.
Beispiel
Bildung von Fuzzy-Relationen für einen Zusammenhang zwischen den Größen ,,mittlerer`` Druck und
,,hohe`` Temperatur (s. Abbildung aus vier Teilen):
1.
mit
ist eine zylindrische Erweiterung
(untere linke Abbildung) der Fuzzy-Menge mittlerer Druck (obere linke Abbildung).
2.
Analog ist
mit
eine zylindrische
Erweiterung (untere rechte Abbildung) der Fuzzy-Menge hohe Temperatur (obere linke Abbildung),
wobei
Die folgende Abbildung zeigt graphisch das Ergebnis der Bildung von Fuzzy-Relationen: In der linken
Abbildung ist das Ergebnis der Verknüpfung mittlerer Druck UND hohe Temperatur mit dem min-Operator
dargestellt. Die rechte Abbildung zeigt das Ergebnis der
Verknüpfung ODER mit dem max-Operator
Erwartungswert
Wenn
eine eindeutige Funktion der Zufallsveränderlichen
ist, so ist auch
eine
Zufallsveränderliche. Als ihr Erwartungswert oder Mittelwert wird definiert:
(16.47a)
(16.47b)
Voraussetzung ist dabei die Konvergenz der Reihe
Den Erwartungswert der Zufallsgröße
selbst erhält man mit
bzw. des Integrals
zu
.
(16.48a)
so daß wegen (16.47a,b) unter anderem auch gilt
(16.48b)
Erweiterungsprinzip
In den vorangegangenen Abschnitten wurden Möglichkeiten der Verallgemeinerung mengentheoretischer
Grundoperationen gewöhnlicher Mengen auf unscharfe Mengen diskutiert. Beim Erweiterungsprinzip geht es um die
Abbildung einer unscharfen Definitionsmenge. Grundlage bildet das Konzept des Akzeptanzgrades vager Aussagen.
In Analogie zur Abbildungsvorschrift der Funktion
die einem Punkt
den
zuordnet, läßt sich diese Zuordnung auf unscharfe Mengen
scharfen Funktionswert
übertragen. Die Abbildungsvorschrift ist
bezüglich
wobei die unscharfen Zugehörigkeitsfunktionen
dem unscharfen Funktionswert
zugeordnet werden.
Hinweis: In Analogie zur Summen- und Produktbildung existieren für alle
die Vereinigungsbildung und die Durchschnittsbildung.
entsprechende Erweiterungen für
Geradlinige Erzeugende einer Fläche
Geradlinige Erzeugende einer Fläche sind Geraden, die ganz in dieser Fläche liegen. Beispiele sind die
Erzeugenden der Kegel- und der Zylinderfläche.
1. Einschaliges Hyperboloid: Das einschalige Hyperboloid (linke Abbildung)
(3.415)
besitzt zwei Scharen geradliniger Erzeugender mit den Gleichungen
(3.416a)
(3.416b)
wobei
und
beliebige Größen sind.
2. Hyperbolisches Paraboloid: Das hyperbolische Hyperboloid (rechte Abbildung)
(3.417)
besitzt ebenfalls zwei Scharen von Erzeugenden mit den Gleichungen
(3.418a)
(3.418b)
Wieder sind
und
beliebige Größen. In beiden Fällen gehen durch jeden Flächenpunkt zwei Geraden, und zwar
von jeder Schar je eine Erzeugende, von denen in den beiden Abbildungen jeweils nur eine eingezeichnet ist.
Zylinderfläche
Zylinderfläche wird eine gekrümmte Fläche genannt, die durch Parallelverschiebung einer Geraden, der
Erzeugenden , längs einer Kurve, der Leitkurve , entsteht.
Unterabschnitte
●
●
●
●
Zyklische Untergruppen:
Verallgemeinerung:
Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen:
Satz von LAGRANGE:
Untergruppen
Es sei
eine Gruppe und
Ist
bezüglich
wieder eine Gruppe, so heißt
eine Untergruppe von
Eine nichtleere Teilmenge
auch
und
in
einer Gruppe
ist genau dann Untergruppe von
liegen (Untergruppenkriterium ).
wenn für alle
Zyklische Untergruppen:
Die Gruppe
selbst und
jedes Element
sind Untergruppen von
eine Untergruppe, die von
die trivialen Untergruppen . Außerdem bestimmt
erzeugte zyklische Untergruppe
(5.98)
Ist die Gruppenoperation eine Addition, so schreibt man statt der Potenzen
Verknüpfung von
sich selbst, d.h.
mit sich selbst ganzzahlige Vielfache
als Abkürzung für die
als Abkürzung für die
-fache
-fache Addition von
mit
(5.99)
Dabei ist
so heißt
die kleinste Untergruppe von
die
enthält. Gilt
für ein Element
aus
eine zyklische Gruppe .
Es gibt unendliche zyklische Gruppen, wie
Restklassenaddition in der Menge
bezüglich der Addition, und endliche zyklische Gruppen, wie die
der Restklassen modulo
.
Beispiel
Ist die Elementeanzahl einer endlichen Gruppe
Verallgemeinerung:
eine Primzahl, so ist
stets zyklisch.
Man kann den Begriff der zyklischen Gruppe wie folgt verallgemeinern: Ist
so wird mit
Gruppe
die Untergruppe von
eine nichtleere Teilmenge einer
bezeichnet, deren Elemente sich sämtlich als Produkt
von endlich vielen Elementen aus
und deren Inversen schreiben lassen. Die Teilmenge
Erzeugendensystem von
Besteht
nur aus einem Element, dann ist
heißt dann
zyklisch.
Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen:
In der Gruppentheorie wird die Elementenzahl einer endlichen Gruppe mit ord
Element
einer Gruppe erzeugte zyklische Untergruppe
bezeichnet. Ist die von einem
endlich, so heißt deren Ordnung auch Ordnung
des Elements a , d.h.
Ist
eine Untergruppe einer Gruppe
und
so heißen die Teilmengen
(5.100)
von
Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen von
jeweils eine Zerlegung von
Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden
.
Alle Links- oder Rechtsnebenklassen einer Untergruppe
Elementen, nämlich ord
in
in einer Gruppe
haben die gleiche Anzahl von
. Daraus ergibt sich, daß die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl der
Rechtsnebenklassen ist. Diese Zahl wird Index von
in
genannt. Aus den genannten Fakten ergibt sich der
Satz von LAGRANGE (s. nächten Abschnitt).
Satz von LAGRANGE:
Die Ordnung einer Untergruppe ist stets Teiler der Gruppenordnung.
Im allgemeinen ist es schwierig, alle Untergruppen einer Gruppe anzugeben. Im Falle endlicher Gruppen ist der Satz
von LAGRANGE als notwendige Bedingung für die Existenz von Untergruppen hilfreich.
EUKLIDische Vektorräume, EUKLIDische Norm
Um in abstrakten Vektorräumen Begriffe wie Länge, Winkel, Orthogonalität verwenden zu können, werden
EUKLIDische Vektorräume eingeführt.
1. EUKLIDischer Vektorraum: Es sei
ein reeller Vektorraum. Ist
folgenden Eigenschaften (statt
wird
eine Abbildung mit
geschrieben), dann gilt für alle
und für
alle
(5.125)
(5.126)
(5.127)
(5.128)
und
heißt Skalarprodukt auf
2. EUKLIDische Norm: Mit
. Ist auf
ein Skalarprodukt erklärt, so heißt
ein EUKLIDischer Vektorraum .
wird die EUKLIDische Norm (Länge) von
bezeichnet. Der
Winkel
zwischen
aus
wird über die Formel
(5.129)
erklärt. Ist
so werden
und
zueinander orthogonal genannt.
Beispiel
Im Zusammenhang mit FOURIER-Reihen werden Funktionen der Form
Diese Funktionen können als Elemente von
und
betrachtet.
aufgefaßt werden. Im Funktionenraum
wird durch
(5.130)
ein Skalarprodukt erklärt. Wegen
(5.131)
(5.132)
(5.133)
sind die Funktionen
und
für alle
paarweise zueinander orthogonal. Diese
Orthogonalität trigonometrischer Funktionen wird zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten bei der
harmonischen Analyse ausgenutzt.
EULERsche Linien, EULERsche Graphen
1. EULERsche Linie:
Ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen
enthält, heißt offene oder geschlossene EULERsche Linie
von
2. EULERscher Graph:
Ein zusammenhängender Graph, der eine geschlossene EULERsche Linie enthält, ist ein EULERscher Graph .
Beispiel
Der Graph
(linke Abbildung) hat keine EULERsche Linie. Der Graph
besitzt eine EULERsche Linie, ist aber kein EULERscher Graph. Der Graph
(zweite Abbildung)
(dritte Abbildung) hat
eine geschlossene EULERsche Linie und ist kein EULERscher Graph. Der Graph
Abbildung) ist ein EULERscher Graph.
(rechte
3. Satz von EULER-HIERHOLZER:
Ein Graph ist genau dann ein EULERscher Graph, wenn er zusammenhängend ist und jeder Knoten positiven
geraden Grad hat.
FOURIER-Darstellung periodischer Funktionen ( FOURIER-Analyse)
Oft ist es notwendig oder vorteilhaft, eine gegebene periodische Funktion
mit der Periode
exakt oder
angenähert durch eine Summe aus trigonometrischen Funktionen in der Form
(7.95)
darzustellen. Man spricht von FOURIER-Entwicklung . Dabei gilt für die Kreisfrequenz
ist
. Die beste Approximation von
. Im Falle
in dem unter ,,Wichtigste Eigenschaften von FOURIER-Reihen``
angegebenen Sinne erreicht man mit einer Näherungsfunktion
, wenn für die Koeffizienten
und
die FOURIER-Koeffizienten der gegebenen Funktion gewählt werden. Ihre Bestimmung
mit
geschieht analytisch mit Hilfe der EULERschen Formeln
(7.96a)
und
(7.96b)
oder näherungsweise mit Hilfe der Methode der harmonischen Analyse.
Krümmung von Kurven auf einer Fläche
Wenn durch einen Flächenpunkt
Krümmungskreisradien
im Punkt
verschiedene Kurven
auf dieser Fläche gezogen werden, dann stehen ihre
in den folgenden drei Beziehungen zueinander:
1. Krümmungskreisradius: Der Krümmungskreisradius
Krümmungskreisradius einer Kurve
im Punkt
einer Kurve
im Punkt
ist gleich dem
, die sich als Schnitt der Fläche mit der Schmiegungsebene der Kurve
ergibt (obere Abbildung).
2. Satz von MEUSNIER: Für jeden ebenen Schnitt
Krümmungskreisradius über
durch eine Fläche berechnet man den
(3.496)
Dabei ist
wie
der Krümmungskreisradius des Normalschnittes
sowie durch den Einheitsvektor
Einheitsvektor
Vorzeichen von
der durch die gleiche Tangente
der Flächennormalen;
der Hauptnormalen der Kurve
in (3.496) ist positiv, wenn
geht
ist der Winkel zwischen dem
und dem Einheitsvektor
der Flächennormalen. Das
auf der konkaven Seite der Kurve
liegt und negativ im
umgekehrten Falle.
3. EULERsche Formel: Die Krümmung einer Fläche im Punkt
kann für jeden Normalschnitt
mit
der Formel von EULER
(3.497)
berechnet werden, wobei
der Schnitte
und
und
die Hauptkrümmungsradien sind und
(untere Abbildung).
der Winkel zwischen den Ebenen
EULERsche Funktion
Für jede natürliche Zahl
mit
kann man die Anzahl der zu
angeben. Die zugehörige Funkion
ist die Anzahl der primen Restklassen modulo
Es gilt
usw. Allgemein gilt
Ist
teilerfremden Zahlen
mit
wird EULERsche Funktion genannt. Der Funktionswert
(s. Prime Restklassen).
für jede Primzahl
und
eine beliebige natürliche Zahl, dann kann man
für jede Primzahlpotenz
wie folgt berechnen:
(5.181a)
wobei das Produkt über alle Primteiler
von
zu erstrecken ist.
Beispiel
Außerdem gilt
(5.181b)
Gilt ggT
Beispiel
dann ist
Integralkosinus (
)
(8.96a)
(8.96b)
Exponentialform einer komplexen Zahl
Exponentialform einer komplexen Zahl wird die Darstellung
(1.136a)
genannt, wobei
der Modul und
das Argument sind. Es gilt die EULERsche Relation
(1.136b)
Beispiel
Darstellung einer komplexen Zahl in den drei Formen.
a)
(algebraische Form),
b)
(trigonometrische Form mit Beschränkung auf den Hauptwert),
c)
(Exponentialform mit Beschränkung auf den Hauptwert).
Ohne Beschränkung auf den Hauptwert gilt die Darstellung
.
Natürliche Exponentialfunktion
(14.69)
Die Reihe konvergiert in der gesamten
a) Rein imaginärer Exponent
-Ebene.
: Gemäß der EULERschen Relation gilt
(14.70)
:
b) Allgemeiner Fall
(14.71a)
(14.71b)
c) Exponentialform einer komplexen Zahl:
(14.72a)
Die Periode der Funktion
ist
:
(14.72b)
Speziell gilt:
(14.72c)
d) EULERsche Relation für komplexe Zahlen:
(14.73a)
(14.73b)
Erste Definition der EULERschen Zahlen
Die EULERschen Zahlen
trigonometrischen Funktion
folgt definiert
treten bei Potenzreihenentwicklungen spezieller Funktionen auf, z.B. bei der
und der hyperbolischen Funktion
. Die EULERschen Zahlen können wie
(7.61a)
und durch Koeffizientenvergleich bezüglich der Potenzen von
ermittelt werden.
Definition
Das bestimmte Integral
(8.90)
ist eine Funktion der Variablen
Funktion
, die in diesem Zusammenhang Parameter genannt wird. In vielen Fällen ist die
nicht mehr elementar. Das Integral (8.90) kann ein gewöhnliches oder ein uneigentliches Integral
mit unendlichen Integrationsgrenzen oder unbeschränkter Funktion
sein. Theoretische Betrachtungen zur
Konvergenz uneigentlicher Integrale, die von einem Parameter abhängen, s. z.B. Lit. 8.4.
Beispiel
Gammafunktion oder EULERsches Integral zweiter Gattung:
(8.91)
Eulersches Polygonzugverfahren
Durch Integration erhält man aus der Anfangswertaufgabe zu (19.93) die Integraldarstellung
(19.95)
Diese ist Ausgangspunkt für die Näherung
(19.96)
die zu der folgenden Vorschrift des EULERschen Polygonzugverfahrens verallgemeinert wird:
(19.97)
Zur geometrischen Interpretation (s. Abbildung). Vergleicht man (19.96) mit der TAYLORentwicklung
(19.98)
mit
der Größenordnung
, dann sieht man, daß die Näherung
für den exakten Wert
hat. Die Genauigkeit kann durch Verkleinerung der Schrittweite
Praktische Rechnungen zeigen, daß sich bei Halbierung der Schrittweite
einen Fehler von
erhöht werden.
auch der Fehler der Näherungen
etwa halbiert.
Mit Hilfe des EULERschen Polygonzugverfahrens kann man sich sehr schnell einen Überblick über den ungefähren
Verlauf der Lösungskurve verschaffen.
Kettenlinie oder Katenoide
Kettenlinie oder Katenoide nennt man eine Kurve, in der folgenden Abbildung blau gezeichnet, die von einem
homogenen, nicht dehnbaren und an beiden Enden aufgehängten Faden gebildet wird.
Die Gleichung der Katenoide lautet:
(2.242)
Der Parameter
bestimmt den Scheitelpunkt
Die Fläche
des Bogens
. Die Kurve verläuft symmetrisch zur
die in der Abbildung rot dargestellt ist.
zwar höher, als die Parabel
Die Länge
bei
beträgt
hat den Wert
.
.
Der Krümmungsradius beträgt
Die Katenoide ist die Evolute der Traktrix.
Die Traktrix ist ihrerseits die Evolvente der Katenoide mit dem Scheitelpunkt
bei
-Achse, und
Nichtlineare Evolutionsgleichungen
Unter einer Evolutionsgleichung versteht man eine Gleichung, die die zeitliche Entwicklung einer physikalischen
Größe beschreibt. Beispiele für lineare Evolutionsgleichungen sind die Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung
und die SCHRÖDINGER-Gleichung. Die Lösungen der Evolutionsgleichungen werden auch Evolutionsfunktionen
genannt.
Im Unterschied zu den linearen Evolutionsgleichungen enthalten die nichtlinearen Evolutionsgleichungen (9.124),
(9.125) und (9.126) die nichtlinearen Terme
bzw.
.
Evolvente des Kreises
Evolvente des Kreises heißt eine Kurve, die vom Endpunkt eines fest gespannten Fadens beschrieben wird, wenn
dieser von einem Kreis abgewickelt wird, so daß
.
Die Gleichung der Evolvente des Kreises lautet in Parameterform
(2.240)
wobei
der Radius des Kreises ist und
Der Rückkehrpunkt
Wurzeln der Gleichung
liegt bei
. Die Kurve besitzt zwei Zweige symmetrisch zur
die Schnittpunkte mit der
sind.
-Achse bei
, wobei
-Achse.
die
Die Länge des Bogens
Der Krümmungsradius ist
beträgt
.
Der Krümmungsmittelpunkt
liegt auf dem Kreis.
Allgemeine Exponentialfunktion
(14.75a)
ist
eine mehrdeutige periodische Funktion mit dem Hauptwert
(14.75b)
Exponentialfunktion
Die Funktion
(2.55)
liefert das graphische Bild der Exponentialkurve .
Für
ergibt sich die natürliche Exponentialkurve
(2.56)
Die Funktion besitzt nur positive Werte. Für
d.h. für
d.h. für
steigt sie monoton von 0 bis
nimmt sie um so schneller monoton von
verläuft durch den Punkt (0,1) und nähert sich asymptotisch der
bis 0 ab, je größer
-Achse für
an. Für
ist. Die Kurve
nach rechts und für
nach links, und zwar um so schneller, je größer
fällt für
.
ist. Die Funktion
wächst für
und
Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen können in den folgenden zwei Fällen auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden,
wenn die Unbekannte
oder ein Polynom
nur im Exponenten einiger Größen
steht:
1.
Sind die Potenzen
nicht durch Additionen oder Subtraktionen miteinander verbunden,
dann wird die Gleichung zu beliebiger Basis logarithmiert.
Beispiel
2.
Sind
ganze oder gebrochene Potenzen ein und derselben Zahl
d.h. ist
dann kann unter Umständen mit Hilfe des Ansatzes
algebraische Gleichung in
erhalten werden, nach deren Lösung
aus dem Verhältnis
zahlenmäßig zu bestimmen ist.
Beispiel
Substitution von
liefert
so daß daraus folgt
und
Weitere reelle Wurzeln gibt es nicht.
eine
Exponentialsumme
Die Funktion
(2.61)
ist in den folgenden vier Abbildungen für charakteristische Vorzeichen-Relationen dargestellt.
Die Konstruktion der Kurve erfolgt über die Addition der Ordinaten der Kurven der beiden Summanden
und
Die Funktion ist stetig. Wenn keine der Zahlen
gleich 0 ist, besitzt die Kurve eine der vier dargestellten
Formen. Die Kurvenbilder können in Abhängigkeit von den Vorzeichen der Parameter an den Koordinatenachsen
gespiegelt sein.
Die Schnittpunkte
und
mit der
- bzw.
das Extremum
-Achse liegen bei
bzw.
bei
und der Wendepunkt
soweit diese Punkte vorhanden sind.
Fall a) Die Parameter
und
bzw.
und
Vorzeichenwechsel; sie ändert sich von 0 bis
Wendepunkte gibt es keine; Asymptote ist die
besitzen gleiches Vorzeichen: Die Funktion erfährt keinen
bzw.
-Achse.
oder von
bzw.
bis 0.
bei
Fall b) Die Parameter
und
ohne Vorzeichenwechsel von
haben gleiche,
bis
und
verschiedene Vorzeichen: Die Funktion ändert sich
wobei sie ein Minimum durchläuft, bzw. von
, dabei ein Maximum durchlaufend. Wendepunkte gibt es keine.
bis
Fall c) Die Parameter
von 0 bis
ein Extremum
bzw.
und
haben verschiedene,
oder von
und einen Wendepunkt
bzw.
und
gleiche Vorzeichen: Die Funktion ändert sich
bis 0, wobei sie einmal ihr Vorzeichen wechselt und
durchläuft. Die
-Achse ist Asymptote.
Fall d) Die Parameter
sich monoton zwischen
einen Wendepunkt
und
und auch
und
und
besitzen unterschiedliche Vorzeichen: Die Funktion ändert
bzw. zwischen
und
. Sie besitzt keine Extrema, aber
Exponentialverteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion: Eine stetige Zufallsgröße
Parameter
genügt der Exponentialverteilung mit dem
, wenn sie die Dichte
(16.80)
(s. Abbildung) und damit die Verteilungsfunktion
(16.81)
hat.
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.82)
Angewendet wird die Exponentialverteilung zur Beschreibung folgender Vorgänge: Dauer von Telefongesprächen,
Lebensdauer des radioaktiven Zerfalls, Arbeitszeit einer Maschine zwischen zwei Stillständen, Lebensdauer von
Bauelementen oder Lebewesen.
Extrapolationsprinzip
Das ROMBERG-Verfahren stellt eine Anwendung des sogenannten Extrapolationsprinzips dar. Es soll an der
Herleitung der Formel (19.87) für den Fall
demonstriert werden. Mit
die zugehörige Trapezsumme (19.76) bezeichnet. Ist der Integrand von
werde das gesuchte Integral, mit
im Integrationsintervall
-mal stetig differenzierbar, dann läßt sich zeigen, daß für den Quadraturformelfehler
Trapezsumme eine asymptotische Entwicklung bezüglich
der
der Form
(19.89a)
oder
(19.89b)
gilt. Die Koeffizienten
Man bildet
und
sind von
unabhängige Konstanten.
gemäß (19.89b) und betrachtet die Linearkombination
(19.90)
Setzt man
und
, dann hat
die Fehlerordnung 4, während
und
beide nur die Fehlerordnung 2 haben. Es ergibt sich
(19.91)
Das ist die Formel (19.87) für
Näherung
. Fortgesetzte Wiederholung des eben beschriebenen Vorgehens führt auf die
gemäß (19.87), und es gilt
(19.92)
Beispiel
Für das bestimmte Integral
(Integralsinus), das sich nicht elementar integrieren läßt, sind
Näherungswerte zu ermitteln (8stellige Rechnung).
1. ROMBERG-Verfahren:
Für
liefert das ROMBERG-Verfahren den Näherungwert 0,94608307. Der auf 10 Stellen genaue Wert lautet
0,9460830704. Die Größenordnung
des Fehlers gemäß (19.92) wird bestätigt.
2. Trapez- und SIMPSON-Formel: Aus dem Schema zum ROMBERG-Verfahren liest man unmittelbar ab, daß
für
die Trapezformel den Näherungswert 0,94569086 und die SIMPSON-Formel den Wert
0,94608331 ergibt.
Die Verbesserung der Trapezformel nach HERMITE gemäß (19.77) liefert
.
3. GAUSS-Formel: Nach Formel (19.83) erhält man für
Man sieht, daß die GAUSS-Formel im Fall
, d.h. mit nur 4 Funktionswerten, einen auf 8 Dezimalen
genauen Näherungswert liefert. Diese Genauigkeit würde mit der Trapezsumme erst mit einer sehr hohen Zahl
(
) von Funktionswerten erreicht.
Hinweise:
1.
Eigenständige Bedeutung hat die Integration periodischer Funktionen im Zusammenhang mit der FOURIERAnalyse erlangt. Ihre numerische Realisierung findet man unter dem Stichwort Harmonische Analyse, die auf
dem Rechner mit Hilfe der sogenannten
Schnellen FOURIER-Transformation FFT (Fast FOURIER Transformation) durchgeführt wird.
2.
In vielen Fällen ist es zweckmäßig, bei der numerischen Integration spezielle Eigenschaften des Integranden
auszunutzen. Auf diese Weise sind neben den oben vorgestellten Quadraturformeln noch viele andere
entwickelt worden, und die Literatur zu Fragen der Konvergenz, der Abschätzung des Quadraturformelfehlers
oder zur Konstruktion optimaler Quadraturformeln ist sehr umfangreich (s. Lit. 19.3).
3.
Zur numerischen Integration mehrfacher Integrale muß auf die Literatur verwiesen werden (s. Lit. 19.30).
Einfache Variationsaufgabe und Extremale
Als einfache Variationsaufgabe soll die folgende Aufgabe bezeichnet werden:
Es sind Extremwerte von Integralausdrücken der Form
(10.11)
zu bestimmen, wenn
und
alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, die den Randbedingungen
genügen, durchläuft. Die Werte
und
sowie die Funktion
sind
gegeben.
Der Integralausdruck (10.11) ist ein Beispiel für ein sogenanntes Funktional , das dadurch gekennzeichnet ist, daß es
jeder Funktion
Nimmt das Funktional
aus einer bestimmten Funktionenklasse eine reelle Zahl zuordnet.
von (10.11) z.B. für die Funktion
ein relatives Maximum an, dann gilt
(10.12)
beim Vergleiche mit allen anderen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
genügen. Die Kurve
, die den Randbedingungen
wird als Extremale bezeichnet. Manchmal werden auch alle Lösungen der
EULERschen Differentialgleichung der Variationsrechnung als Extremalen bezeichnet.
Aufgabenstellung
1. Extremum eines Integralausdrucks In der Differentialrechnung besteht eine wichtige Aufgabe darin,
festzustellen, für welche
-Werte eine vorgegebene Funktion
einen Extremwert hat. In der
Variationsrechnung lautet die entsprechende Frage: Für welche Funktionen nimmt ein bestimmtes Integral,
dessen Integrand von dieser Funktion und deren Ableitungen abhängt, einen Extremwert an? In der
Variationsrechnung wird demzufolge ein ganzer Funktionsverlauf
gesucht, der einen Integralausdruck
der Form
(10.1)
zum Extremum macht, wenn
können für die Funktionen
eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse durchläuft. Dabei
und deren Ableitungen noch zusätzliche Bedingungen, sogenannte Rand - und
Nebenbedingungen , gestellt werden.
können in (10.1)
2. Integralausdrücke der Variationsrechnung An Stelle der unabhängigen Variablen
auch mehrere Variablen stehen. Die auftretenden Ableitungen sind dann partielle Ableitungen, und das Integral
in (10.1) entspricht einem mehrfachen Integral. Im wesentlichen werden in der Variationsrechnung Aufgaben
mit folgenden Integralausdrücken untersucht:
(10.2)
(10.3)
(10.4)
(10.5)
Die gesuchte Funktion ist
, und
stellt einen ebenen Integrationsbereich dar.
(10.6)
Die gesuchte Funktion ist
, und
stellt einen räumlichen Integrationsbereich dar.
Für die Lösungen eines Variationsproblems können zusätzliche Randbedingungen vorgegeben sein, die im
und bzw. auf dem Rand des Integrationsgebietes
im
eindimensionalen Fall an den Intervallrändern
zweidimensionalen Fall gelten sollen. Darüber hinaus können den Lösungen noch verschiedene Arten von
Nebenbedingungen , z.B. in Integralform oder als Differentialgleichung vorgeschrieben sein.
Ein Variationsproblem heißt von erster bzw. höherer Ordnung je nachdem, ob die Funktion
der Variationsaufgabe nur die erste Ableitung
oder höhere Ableitungen
im Integralausdruck
der Funktion
enthält.
3. Parameterdarstellung der Variationsaufgabe Ein Variationsproblem kann auch in Parameterdarstellung
vorliegen. Für die Kurvendarstellung
hat dann z.B. der
Integralausdruck (10.2) die Form
(10.7)
Maxima und Minima
Unter relativen oder lokalen Extremwerten versteht man die relativen Maxima und Minima einer Funktion. Relatives
Maximum (
) bzw. relatives Minimum (
) einer Funktion
werden solche Funktionswerte
genannt, die die Ungleichungen
(6.34a)
(6.34b)
erfüllen, wobei für
sind die Werte
beliebig kleine positive oder negative Werte eingesetzt werden können. Im relativen Maximum
größer als alle benachbarten Funktionswerte und entsprechend im Minimum kleiner. Den
größten bzw. kleinsten Wert, den eine Funktion in einem Intervall annehmen kann, bezeichnet man als ihr globales
oder absolutes Maximum bzw. globales oder absolutes Minimum in bezug auf dieses Intervall.
Definition
Eine Funktion
besitzt im Punkt
einen relativen Extremwert, wenn sich eine Zahl
derart angeben läßt,
daß das Gebiet
zum
Definitionsbereich der Funktion gehört und für jeden Punkt dieses Gebiets mit Ausnahme von
für ein Maximum
die Ungleichung
(6.66a)
und für ein Minimum die Ungleichung
(6.66b)
gilt. In der Sprache des Begriffs des mehrdimensionalen Raumes sind in den Punkten eines relativen Maximums
oder relativen Minimums die Funktionswerte größer oder kleiner als in den benachbarten Punkten.
Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion
1. Ermittlung der Extrempunkte:
Da diese die notwendige Bedingung
erfüllen, werden nach der Berechnung der Ableitung
alle reellen Wurzeln
ihnen, z.B.
der Gleichung
bestimmt und jede von
mit einer der folgenden Methoden untersucht.
2. Methode des Vorzeichenvergleichs:
Für je einen Wert
Ableitung
bzw.
, der etwas kleiner bzw. etwas größer als
festgestellt, wobei zwischen
liegen dürfen. Wenn beim Übergang von
,,
`` wechselt, dann befindet sich bei
wechselt es umgekehrt von ,,
`` nach ,,
und
zu
bzw.
ist, wird das Vorzeichen der
keine weiteren Nullstellen von
das Vorzeichen von
ein relatives Maximum der Funktion
von ,,
`` nach
(linke Abbildung);
``, dann liegt ein relatives Minimum vor (rechte Abbildung).
Gibt es keinen Vorzeichenwechsel der Ableitung (folgende linke und rechte Abbildung), dann besitzt die Kurve
bei
kein Extremum, sondern einen Wendepunkt mit einer zur
-Achse parallelen Tangente.
3. Methode der höheren Ableitungen:
Besitzt die Funktion an der Stelle
Ableitung
höhere Ableitungen, dann wird jede Wurzel
eingesetzt. Ist
dann gibt es an der Stelle
ein relatives Minimum, ist
dann wird
dann gibt es bei
eingesetzt. Ergibt sich dabei
Wendepunkt . Erhält man
in die zweite
ein relatives Maximum, ist
in die dritte Ableitung
kein Extremum, sondern einen
dann ist in die vierte Ableitung einzusetzen usw.
4. Bedingungen für Extremwerte und Wendepunkte:
Ist die Ordnung der Ableitung, die an der Stelle
erstmalig nicht verschwindet, gerade, dann besitzt
dort ein relatives Extremum: für einen negativen Wert ein relatives Maximum, für einen positiven ein
relatives Minimum. Ist die Ordnung dieser Ableitung ungerade, dann besitzt die Funktion an dieser Stelle
keinen Extremwert, sondern einen Wendepunkt . Die Methode des Vorzeichenvergleichs kann auch bei
nichtexistierender Ableitung wie in den drei folgenden Abbildungen eingesetzt werden.
Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen
Wenn das Extremum einer Funktion
mit
Veränderlichen bestimmt werden soll,
die voneinander abhängig und durch die Nebenbedingungen
(6.70a)
miteinander verknüpft sind, wobei die Anzahl dieser Verknüpfungen
Multiplikatorenmethode von LAGRANGE
unbestimmte Multiplikatoren
folgenden LAGRANGE-Funktionen der
sein muß, dann führt man gemäß der
ein und betrachtet die
Veränderlichen
:
(6.70b)
Die notwendige Bedingung für ein Extremum der Funktion
Unbekannten
ist ein System von
Gleichungen (6.69) mit den
in der Form
(6.70c)
Als notwendige Bedingung dafür, daß die Funktion
ein Extremum besitzen kann, muß das Wertesystem
diese Gleichungen erfüllen.
Beispiel
mit der Nebenbedingung
Die Extremwerte der Funktion
werden aus den
drei Gleichungen
(6.71)
mit den drei Unbekannten
bestimmt.
Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Veränderlichen
Wenn
gegeben ist, wird das Gleichungssystem
gelöst, damit die erhaltenen
in
Wertepaare
(6.67)
eingesetzt werden können. Durch Diskussion des Ausdrucks
(6.68)
bestimmt man die Art des Extremwertes:
1.
:
Im Falle
:
Im Falle
3.
für das Wertesystem
ein Minimum (hinreichende Bedingung).
mit
2.
besitzt die Funktion
hat
kein Extremum.
:
Im Falle
ist die Diskussion komplizierter.
mit
ein Maximum
Bestimmung der globalen Extremwerte
Das betreffende Intervall der unabhängigen Variablen wird in Teilintervalle zerlegt, in denen die Funktion
differenzierbar ist. Die globalen Extremwerte sind dann unter den relativen Extremwerten der Teilintervalle und den
Funktionswerten in den Randpunkten der Teilintervalle zu finden.
Beispiel A
Intervall
Größter Wert bei
(linke Abbildung).
Beispiel B
Intervall
Größter Wert bei
Intervall
Größter Wert
(rechtes Intervallende, rechte
Abbildung).
Beispiel C
Abbildung von links).
Beispiel D
Festlegung:
für
(dritte
Intervall
Ableitung).
Größter Wert bei
(rechte Abbildung, Maximum, unendliche
Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion
Wenn die Funktion in der impliziten Form
partiellen Ableitngen
gegeben ist und die Funktion
selbst sowie ihre
stetig sind, können die Maxima und Minima folgendermaßen bestimmt werden:
1. Lösung des Gleichungssystems
und Einsetzen der erhaltenen Werte
in
und
.
2. Vorzeichenvergleich
für
und
im Punkt
: Im Falle verschiedener Vorzeichen besitzt die Funktion
ein Minimum, im Falle gleicher Vorzeichen von
entweder
oder
in
und
besitzt sie ein Maximum bei
bei
. Wenn
verschwindet, dann ist die weitere Untersuchung komplizierter.
Winkel
Summe der Winkel: Die Summe der Winkel liegt zwischen
und
:
(3.169)
Spärischer Exzeß: Die Differenz
wird sphärischer Exzeß genannt.
Summe zweier Winkel: Die Summe zweier Winkel ist kleiner als der um
vergrößerte dritte Winkel, z.B.
(3.170)
Gegenüberliegende Seite und Winkel: Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber und
umgekehrt.
Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung
Der geometrische Ort aller Punkte
mit einem konstanten Verhältnis
der Abstände zu einem festen Punkt
dem Brennpunkt, und zu einer gegebenen Geraden, der Leitlinie, ist eine Kurve zweiter Ordnung mit der
numerischen Exzentrizität
Für
ergibt sich eine Ellipse, für
eine Parabel und für
eine Hyperbel.
Untergraphen, Faktoren
Ist
ein Graph, dann heißt ein Graph
Untergraph von
wenn
und
gilt.
Enthält
genau diejenigen Kanten aus
Untergraph von
Ein Untergraph
verbinden, dann heißt
der von
wird Teilgraph von
genannt.
induzierte
.
von
Unter einem Faktor F eines Graphen
enthält.
, die Knoten aus
mit
versteht man einen regulären Untergraphen von
, der alle Knoten von
Fundamentalsatz der Algebra
Jede Gleichung
-ten Grades, deren Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen sind, besitzt
komplexe Wurzeln, wobei die
-fachen Wurzeln
-mal gezählt werden. Wenn die Wurzeln von
bezeichnet werden und diese jeweils die Vielfachheiten
reelle oder
mit
besitzen, dann gilt die
Darstellung in Faktoren oder Produktdarstellung
(1.167a)
Die Lösung einer Gleichung
kann stets durch Zurückführen auf eine Gleichung vereinfacht werden, die
die gleichen Wurzeln wie die Ausgangsgleichung hat, aber jeweils nur noch mit der Vielfachheit 1. Dazu wird das
Polynom in zwei Faktoren derart zerlegt, daß
(1.167b)
(1.167c)
gilt. Man kann
als größten gemeinsamen Teiler der Polynome
bestimmen, da die mehrfachen Wurzeln von
man dann durch Division von
Vielfachheit 1.
durch
auch Wurzeln von
, und
und dessen Ableitung
sind. Das Polynom
hat dieselben Nullstellen wie
erhält
, aber mit der
Homomorphiesatz für Gruppen
Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers
in einer Gruppe
wird bezüglich der Operation
(5.104)
zu einer Gruppe, der Faktorgruppe von
nach
die mit
bezeichnet wird.
Der folgende Satz beschreibt einen Zusammenhang zwischen homomorphen Bildern und Faktorgruppen einer
Gruppe und wird deshalb Homomorphiesatz für Gruppen genannt:
Ein Gruppenhomomorphismus
bestimmt einen Normalteiler von
Die Faktorgruppe
ist isomorph zum homomorphen Bild
. Umgekehrt bestimmt jeder Normalteiler
mit
genannt.
Beispiel
Diese Abbildung
nämlich
von
eine homomorphe Abbildung
wird natürlicher Homomorphismus
ein Gruppenhomomorphismus mit dem
Weil die Determinantenbildung
Kern
ist, bildet
einen Normalteiler von
Homomorphiesatz):
Zahlen. Bezeichnungen s. Normalteiler.
und es gilt (nach dem
ist isomorph zur multiplikativen Gruppe
der reellen
Ringhomomorphismus und Ringisomorphismus
1. Ringhomomorphismus: Es seien
und
Ringe. Eine Abbildung
heißt Ringhomomorphismus , wenn für alle
gilt:
(5.110)
2. Kern: Der Kern von
ist die Menge aller Elemente aus
abgebildet werden, und wird mit
die bei
auf das neutrale Element 0 von
bezeichnet:
(5.111)
3. Ringisomorphismus: Ist
außerdem bijektiv, so heißt
heißen zueinander isomorph.
Ringisomorphismus , und die Ringe
und
4. Faktorring: Ist
ein Ideal eines Ringes
von
in der additiven Gruppe
so wird die Menge der Nebenklassen
des Ringes
bezüglich der Operationen
(s. Definition und Eigenschaften von Gruppen)
(5.112)
zu einem Ring, dem Faktorring von
Die Hauptideale
von
nach
der mit
bezeichnet wird.
liefern als Faktorringe gerade die Restklassenringe
(s. Beispiele für Ringe und Körper).
Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät
Der zunächst nur für ganzzahlige positive
definierte Begriff der Fakultät erfährt über die Funktion
(8.103a)
seine Erweiterung auf beliebige reelle Zahlen. Es gelten die folgenden Beziehungen:
Für ganzzahliges positives
(8.103b)
für
(8.103c)
für ganzzahliges negatives
(8.103d)
für
(8.103e)
für
(8.103f)
für
(8.103g)
Eine näherungsweise Berechnung der Fakultät für beliebig große Zahlen (
), auch gebrochene Zahlen
kann mit Hilfe der STIRLINGSCHEN Formel erfolgen:
(8.103h)
(8.103i)
Die Kurven der Funktionen
und
sind in der folgenden Abbildung dargestellt. In der Tabelle
,,Gammafunktion`` sind die Zahlenwerte angegeben.
,
FALKsches Schema
Für die praktische Durchführung der Matrixmultiplikation gemäß
Übersichtlichkeit halber das FALKsche Schema (obere Abbildung).
der Produktmatrix
Das Element
ten Spalte von
.
verwendet man der größeren
erscheint genau im Kreuzungspunkt der
-ten Zeile von
mit der
-
Beispiel
Die Multiplikation zweier Matrizen
Abbildung).
und
erfolgt mit Hilfe des FALKschen Schemas (untere
Faltung
Die zweiseitige Faltung
(15.94)
bezieht sich auf das Intervall (
in diesem Intervall
) und existiert unter der Voraussetzung, daß die Funktionen
absolut integrierbar sind. Wenn
und
und
beide für
verschwinden, dann ergibt sich aus (15.94) die einseitige Faltung
(15.95)
Diese ist somit ein Spezialfall der zweiseitigen Faltung. Während die FOURIER-Transformation die zweiseitige Faltung
benutzt, verwendet die LAPLACE-Transformation die einseitige Faltung.
Für die FOURIER-Transformation der zweiseitigen Faltung gilt
(15.96)
wenn die Integrale
(15.97)
existieren, d.h., die Funktionen und ihre Quadrate im Intervall
integrierbar sind.
Beispiel
Es ist die zweiseitige Faltung
für die Funktion des unipolaren Rechteckimpulses (A.1) (linke Abbildung) zu berechnen.
Da
gilt, ergibt sich
für
für
für
,
,
. Zusammengefaßt erhält man für diese Faltung (s. rechte Abbildung)
Für die FOURIER-Transformierte erhält man mit (A.1) vom Beisiel für den unipolaren Rechteckimpuls
und für das Amplitudenspektrum der Funktion
Unterabschnitte
●
●
Faltung im Originalbereich:
Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung):
Faltung
Faltung im Originalbereich:
Als Faltung zweier Funktionen
und
bezeichnet man das Integral
(15.21)
Die Gleichung (15.21) wird auch einseitige Faltung im Intervall
genannt.
Eine zweiseitige Faltung tritt bei der FOURIER-Transformation (Faltung im Intervall (
)) auf.
Die Faltung (15.21) besitzt die Eigenschaften
(15.22a)
(15.22b)
(15.22c)
Im Bildbereich entspricht der Faltung die gewöhnliche Multiplikation:
(15.23)
In der folgenden Abbildung ist die Faltung zweier Funktionen graphisch dargestellt.
Man kann den Faltungssatz zur Bestimmung der Originalfunktion wie folgt benutzen:
1.
Faktorisierung der Bildfunktion
.
2.
Ermittlung der Originalfunktionen
und
der Bildfunktionen
und
3.
Bildung der Originalfunktion durch Faltung von
mit
im Originalbereich gemäß
gemäß Tabelle.
, die zur gegebenen Bildfunktion
gehört.
Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung):
(15.24)
Die Integration erfolgt längs einer Parallelen zur imaginären Achse. Im ersten Integral müssen
werden, daß
in der Konvergenzhalbebene von
. Entsprechendes gilt für das zweite Integral.
liegt und
und
so gewählt
in der Konvergenzhalbebene von
Dämpfung und Faltung
1. Dämpfung: Für
, beliebig komplex,
gilt:
(15.123)
2. Faltung: Als Faltung zweier Folgen
und
bezeichnet man die Operation
(15.124)
Existieren die Z-Transformierten
für
und
für
, dann gilt
(15.125)
für
. Die Beziehung (15.125) wird auch als Faltungssatz der Z-Transformation
bezeichnet. Er entspricht der Vorschrift für die Multiplikation zweier Potenzreihen.
Unterabschnitte
●
●
●
Eingangsfehler
Verfahrensfehler:
Rundungsfehler:
Fehlerarten
Numerische Verfahren sind fehlerbehaftet. Es gibt die folgenden Fehlerarten, aus denen sich der akkumulierte Fehler
(Gesamtfehler) des Ergebnisses zusammensetzt:
Eingangsfehler
1. Begriff des Eingangsfehlers: Eingangsfehler heißt der Fehler des Ergebnisses, der durch fehlerbehaftete
Eingangsdaten verursacht wird. Die Bestimmung des Eingangsfehlers aus den Fehlern der Eingangsdaten
wird direkte Aufgabe der Fehlertheorie genannt. Als inverse Aufgabe wird jene bezeichnet, die untersucht,
welche Fehler die Eingangsdaten besitzen dürfen, damit ein zugelassener Eingangsfehler des Resultats nicht
überschritten wird. Die Abschätzung des Eingangsfehlers ist bei komplexeren Aufgaben sehr kompliziert und
kaum durchführbar.
Allgemein gilt für eine zu berechnende reellwertige Funktion
den absoluten Eingangsfehler
mit
für
(19.275)
wenn man für
Mit
die TAYLOR-Formel mit linearem Restglied verwendet.
werden dabei Zwischenstellen, mit
Näherungswerte für
bezeichnet. Unter den Näherungswerten sind hier die fehlerhaften Eingangswerte zu
verstehen. In diesem Zusammenhang ist auch das GAUSSsche Fehlerfortpflanzungsgesetz zu beachten.
2. Eingangsfehler für einfache arithmetische Operationen: Für einfache arithmetische Operationen sind die
Eingangsfehler bekannt. Mit den Bezeichnungen
(19.276)
erhält man für die vier Grundrechenoperationen:
(19.277)
(19.278)
(19.279)
(19.280)
(19.281)
(19.282)
Die Formeln zeigen: Kleine relative Fehler der Eingangsdaten bewirken bei Multiplikation und Division nur kleine
relative Fehler des Ergebnisses. Bei Addition und Subtraktion kann dagegen der relative Fehler von Summe und
Differenz groß werden, wenn
gilt. Dann besteht die Gefahr der Stellenauslöschung.
Verfahrensfehler:
1. Verfahrensfehler: Verfahrensfehler leiten sich aus der Notwendigkeit ab, daß Kontinuum und Grenzwert
numerisch approximiert werden müssen. Daraus ergeben sich Abbruchfehler bei Grenzprozessen (wie z.B. bei
Iterationsverfahren) und Diskretisierungsfehler bei der Approximation des Kontinuums durch ein endliches
diskretes System (wie z.B. bei der numerischen Integration). Verfahrensfehler existieren unabhängig von
Eingangs- und Rundungsfehlern; sie können deshalb nur im Zusammenhang mit dem verwendeten
Lösungsverfahren untersucht werden.
2. Verhalten bei bei Iterationsverfahren: Wird ein Iterationsverfahren zur Lösung eingesetzt, so muß man
sich bewußt sein, daß prinzipiell die beiden Fälle Ausgabe einer richtigen Lösung und Ausgabe einer falschen
Lösung möglich sind. Es kann jedoch auch der kritische Fall auftreten, daß keine Lösung gefunden wurde,
obwohl eine existiert.
Um Iterationsverfahren transparenter und sicherer zu machen, sollten folgende Empfehlungen beachtet
werden:
a)
Um ,,endlose`` Iterationen zu verhindern, sollte die Anzahl der Iterationsschritte gezählt und in die
Abbruchbedingung einbezogen werden (Abbruch nach einer bestimmten Anzahl von Iterationszyklen
auch dann, wenn die geforderte Genauigkeit noch nicht erreicht wurde).
b)
Verfolgung der Lösungsentwicklung auf dem Bildschirm durch die numerische oder graphische Ausgabe
von Zwischenergebnissen.
c)
Nutzung evtl. bekannter Eigenschaften der Problemlösung wie Gradient, Monotonie usw.
d)
Untersuchung der Möglichkeit der Skalierung von Variablen bzw. Funktionen.
e)
Durchführung mehrerer Tests durch Variation von Schrittweite, Abbruchbedingung, Startwerten usw.
Rundungsfehler:
Rundungsfehler entstehen dadurch, daß Zwischenergebnisse gerundet werden müssen. Sie sind demnach für die
Beurteilung eines mathematischen Verfahrens bezüglich der erzielbaren Genauigkeit der Resultate von wesentlicher
Bedeutung. Sie entscheiden neben den Eingangs- und Verfahrensfehlern darüber, ob ein numerisches Verfahren
stark stabil, schwach stabil oder instabil ist. Starke Stabilität und schwache Stabilität oder Instabilität liegen vor, wenn
der Gesamtfehler mit wachsender Schrittzahl abnimmt, von gleicher Größenordnung bleibt oder anwächst.
Bei der Instabilität unterscheidet man die Anfälligkeit gegen Rundungs- und Diskretisierungsfehler (numerische
Instabilität) und gegen Fehler in den Ausgangsdaten bei exakter Rechnung (natürliche Instabilität). Ein
Rechenprozeß ist dann sinnvoll, wenn die numerische Instabilität nicht größer als die natürliche Instabilität ist.
Für die lokale Fortpflanzung von Rundungsfehlern, d.h., es werden die Rundungsfehler betrachtet, die beim
Übergang von einem Rechenschritt zum nächsten auftreten, gelten dieselben Überlegungen und Abschätzungen, wie
sie für die Eingangsfehler angestellt worden sind.
Absoluter und relativer Fehler
1. Absolute Unsicherheit, absoluter Fehler: Die Unsicherheit eines Meßergebnisses, angegeben als Fehler
oder
bzw.
oder
, ist ein Maß für die Zuverlässigkeit der Messungen.
Der Begriff der absoluten Unsicherheit , angegeben als absoluter Fehler , steht für alle diese Fehlergrößen und
die ihnen entsprechenden Ergebnisse von Fehlerfortpflanzungsrechnungen. Sie zeichnen sich durch die
gleiche Dimension aus wie die zu messende Größe. Der absolute Fehler wurde eingeführt, um
Verwechslungen mit dem Begriff des relativen Fehlers zu vermeiden. Als Formelzeichen wird häufig
verwendet. Das Wort ,,absolut`` hat hier eine andere Bedeutung als im Begriff Absolutwert: Es
bzw.
bezieht sich lediglich auf den Zahlenwert der Meßgröße (z.B. Länge, Ladung, Energie), ohne auf ihr
Vorzeichen Bezug zu nehmen.
2. Relative Unsicherheit, relativer Fehler: Die relative Unsicherheit , angegeben durch den relativen Fehler ,
ist ein Maß für die Qualität der Messungen, bezogen auf den Zahlenwert der Meßgröße im oben definierten
Sinne. Im Unterschied zum absoluten Fehler ist der relative Fehler dimensionslos, weil er als Quotient aus dem
absoluten Fehler und dem Zahlenwert der Meßgröße gebildet wird. Ist letzterer nicht bekannt, dann setzt man
den Mittelwert der Meßgröße
ein:
(16.196a)
Der relative Fehler wird meist in Prozenten angegeben und heißt daher auch prozentualer Fehler :
(16.196b)
Einführung, Fehlerarten
Für das Rechnen auf Computern gelten zwar prinzipiell die gleichen Gesichtspunkte wie beim Rechnen von Hand,
jedoch werden diese durch die vorhandene begrenzte und feste Stellenzahl, durch die interne duale Darstellung der
Zahlen und durch die fehlende Kritikfähigkeit des Computers gegenüber Fehlern verstärkt. Hinzu kommt noch, daß
auf Computern im allgemeinen wesentlich umfangreichere Rechenprozesse ablaufen, als sie manuell möglich wären.
Daraus ergeben sich Fragen nach der Beurteilung und der Beeinflussung von Fehlern, nach der Auswahl des
numerisch günstigsten Verfahrens unter mathematisch gleichwertigen, aber auch nach den Abbruchbedingungen
eines Iterationsverfahrens.
In den folgenden Ausführungen werden für die Angabe von Fehlern die folgenden Bezeichnungen benutzt, wobei
der exakte Wert einer Größe ist, der häufig unbekannt ist, und
ist ein Näherungswert für
:
1. Absoluter Fehler:
(19.263)
2. Relativer Fehler:
(19.264)
Häufig werden auch die Bezeichnungen
(19.265)
verwendet.
Absoluter und relativer Maximalfehler
1. Absoluter Maximalfehler:Ist die zu bestimmende Größe eine Funktion der Meßgrößen, dann muß der
resultierende absolute Fehler unter Berücksichtigung dieser Funktion berechnet werden. Das geschieht
entweder mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes, wodurch ein Ausgleich der Messungen vorgenommen
wird, weil nach der Fehlerquadratmethode ein Minimum von
gesucht wird, oder man
verzichtet auf den Ausgleich der Meßwerte und berechnet lediglich eine obere Fehlerschranke, die absoluter
Maximalfehler
genannt wird. Für den Fall, daß es sich um
unabhängige Veränderliche
handelt, gilt:
(16.197)
wobei für die
der jeweilige Mittelwert
einzusetzen ist.
2. Relativer Maximalfehler: Der relative Maximalfehler wird gebildet, indem der absolute Maximalfehler durch
den Zahlenwert der Meßgröße (meist ist das der Mittelwert
) dividiert wird:
(16.198)
Angabe der definierten Fehler
Die Angabe des Meßergebnisses erfolgt für die Einzelmessung in der Form
(16.199a)
für den Mittelwert in der Form
(16.199b)
Dabei wurde für
aber auch
und
jeweils die mit Abstand am häufigsten verwendete Standardabweichung eingesetzt. Es können
benutzt werden.
Vorgabe beliebiger Vertrauensgrenzen
Die Größe
genügt gemäß (16.98) im Falle einer
Verteilung (16.99) mit dem Freiheitsgrad
statistische Sicherheit
Quantile
verteilten Grundgesamtheit der
. Für eine geforderte Irrtumswahrscheinlichkeit
ergeben sich für den unbekannten wahren Wert
-
oder
mit Hilfe der
-
die Vertrauensgrenzen
(16.200)
Somit liegt der wahre Wert
mit der statistischen Sicherheit
, d.h. mit der Wahrscheinlichkeit
, innerhalb dieses Intervalls mit den angegebenen Vertrauensgrenzen.
Meist ist man daran interessiert, den Meßreihenumfang
ist um so enger, je kleiner
so gering wie möglich zu halten. Das Vertrauensintervall
gewählt wird und je größer die Anzahl
der Messungen ist. Da
mit
abnimmt und die Quantile
mit
abnehmen (bei
von 5 bis 10 ebenfalls mit
(s. Tabelle STUDENT-Verteilung), verringert sich die Breite des Vertrauensintervalls hier mit
.
Fehler des arithmetischen Mittelwertes einer Meßreihe
Die Fehler des arithmetischen Mittelwertes
folgt definiert:
einer Meßreihe werden mit Hilfe der Fehler der Einzelmessung wie
1. Mittlerer quadratischer Fehler oder Standardabweichung:
(16.193)
2. Wahrscheinlicher Fehler:
(16.194)
3. Mittlerer Fehler:
(16.195)
4. Sättigung des erreichbaren Fehlerniveaus: Da die drei definierten Fehler (16.193-16.195) des
arithmetischen Mittels proportional zum entsprechenden Fehler der Einzelmessung (16.186, 16.189, 16.192)
und umgekehrt proportional zur Wurzel aus
sind, ist es nicht sinnvoll, mit der Anzahl der Einzelmessungen
über einen gewissen Wert hinauszugehen. Eine merkliche Verringerung des Fehlers kann nur durch
Verbesserung des Genauigkeitsmaßes
der Meßmethode (16.176) erreicht werden.
Unterabschnitte
●
●
●
●
1. Wahrer und scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
2. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der Einzelmessung:
3. Wahrscheinlicher Fehler:
4. Mittlerer Fehler:
Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
1. Wahrer und scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
1. Wahrer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe: wird die Abweichung des Meßergebnisses vom
wahren Wert
genannt. Da dieser meist unbekannt ist, bleibt auch der wahre Fehler
Messung mit dem Ergebnis
der
-ten
unbekannt:
(16.184a)
2. Scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe wird die Abweichung des Meßergebnisses
vom arithmetischen Mittelwert genannt:
(16.184b)
2. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der
Einzelmessung:
Da der Erwartungswert der Summe der wahren Fehler
Fehler
von
und der Erwartungswert der Summe der scheinbaren
Messungen einer Größe verschwindet, werden die verschiedenen Fehler mit Hilfe der
Fehlerquadratsummen berechnet:
(16.185a)
(16.185b)
Für die praktische Auswertung ist nur (16.185b) von Interesse, weil nur die Werte
ermittelt werden können. Deshalb definiert man
aus den Meßergebnissen
(16.186)
als mittleren quadratischen Fehler der Einzelmessung der Meßreihe. Der Wert
Standardabweichung
ist ein Näherungswert für die
der Fehlerverteilung.
Im Falle der Fehlernormalverteilung gilt für
:
(16.187)
Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, daß der wahre Fehler betragsmäßig den Wert
68 %.
nicht übersteigt, beträgt ca.
3. Wahrscheinlicher Fehler:
Wahrscheinlicher Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl
, für die gilt:
(16.188)
Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert
Abszissenwerte
nicht übersteigt, beträgt in diesem Falle 50 %. Die
teilen die linke und rechte Fläche unter der Dichtefunktion in je zwei gleich große Hälften (s.
Abbildung).
Im Falle der Fehlernormalverteilung besteht zwischen
und
der Zusammenhang
(16.189)
4. Mittlerer Fehler:
Mittlerer Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl
, die als Erwartungswert des absoluten Betrages des Fehlers
definiert wird:
(16.190)
Im Falle der Fehlernormalverteilung ergibt sich
. Auf Grund der Beziehung
(16.191)
folgt daraus: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert
Abszissenwerten
(s. Abbildung).
nicht übersteigt, beträgt ca. 57,6 %. Bei den
liegen die Schwerpunkte der rechten bzw. linken Fläche unter der Dichtefunktion
Im Falle der Fehlernormalverteilung gilt
(16.192)
Parameter zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung
Zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung werden außer der Streuung
Standardabweichung
Genauigkeitsmaß
bzw. der
, auch mittlerer quadratischer Fehler genannt, noch andere Parameter verwendet, wie das
, der mittlere Fehler
und der wahrscheinliche Fehler
.
1. Genauigkeitsmaß: Für das Genauigkeitsmaß oder die Genauigkeit als Maß der Breite der
Fehlernormalverteilung gilt:
(16.176)
Je schmaler die GAUSS-Kurve ist, desto größer ist die Genauigkeit (s. Abbildung).
Wenn für
die experimentell mit Hilfe von Meßwerten ermittelte Größe
bzw.
eingesetzt wird, charakterisiert
das Genauigkeitsmaß die Genauigkeit der Meßmethode.
2. Einfacher mittlerer Fehler
heißt der Erwartungswert des absoluten Betrages des Fehlers:
(16.177)
3. Wahrscheinlicher Fehler
nennt man eine Schranke für den absoluten Betrag des Fehlers mit der
Eigenschaft
(16.178a)
Daraus folgt
(16.178b)
wobei
die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung ist.
4. Vorgabe einer Fehlergrenze: Wenn eine obere Fehlergrenze
vorgegeben wird, die nicht
überschritten werden soll, dann kann mit der Formel
(16.179)
die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet werden, mit der der Fehler in das Intervall
fällt.
Mittlerer quadratischer Fehler einer Funktion
Wenn eine Funktion
durch eine trigonometrische Summe
(7.99a)
auch FOURIER-Summe genannt, angenähert wird, dann ist der mittlere quadratische Fehler mit einer minimalen
Fehlerquadratsumme
(7.99b)
am kleinsten, wenn für
benutzt werden.
und
die FOURIER-Koeffizienten (7.96a,b) der gegebenen Funktion zur Näherung
Zusammenhang zwischen Standartabweichung, mittlerem und wahrscheinlichem
Fehler sowie Genauigkeit
Im Falle der Fehlernormalverteilung gelten unter Benutzung des Zahlenfaktors
die folgenden
Zusammenhänge:
(16.180a)
(16.180b)
sowie
(16.181)
Fehleranalyse
Unter Fehleranalyse versteht man allgemein die Analyse der Fortpflanzung von Fehlern bei der Berechnung einer
Funktion
, wenn Größen höherer Ordnung vernachlässigt werden. Im Rahmen der Theorie der Fehleranalyse
wird mit Hilfe eines Algorithmus untersucht, wie sich ein Eingangsfehler
im Endergebnis
auswirkt.
Man spricht in diesem Zusammenhang auch von differentieller Fehleranalyse.
In der numerischen Mathematik versteht man unter Fehleranalyse die Untersuchung des Einflusses von Verfahrens-,
Rundungs- und Eingangsfehlern auf das Ergebnis (s. Lit. 19.27, 19.31).
Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse
Häufig gehen die gemessenen Größen über eine funktionale Abhängigkeit in ein Endresultat ein. Wenn die Fehler
klein sind, kann eine TAYLOR-Entwicklung nach den Fehlern durchgeführt werden, in der man die Glieder zweiter
Ordnung vernachlässigt. Man spricht dann von Fehlerfortpflanzung .
●
●
Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
Fehleranalyse
TAYLOR-Entwicklung
Da die Fehler relativ kleine Änderungen der unabhängigen Variablen darstellen, kann die Funktion
in der Nähe der Mittelwerte
Koeffizienten
durch den Linearanteil ihrer TAYLOR-Entwicklung mit den
angenähert werden, so daß für ihren Fehler
gilt:
(16.206a)
(16.206b)
wobei die partiellen Ableitungen
an der Stelle
zu nehmen sind.
Streuung und Standardabweichung der Funktion ergeben sich zu
(16.207)
Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
●
●
●
●
●
Problemstellung
TAYLOR-Entwicklung
Näherung für die Streuung
Spezialfälle
Unterschied zum Maximalfehler
Näherung für die Streuung
Da die Streuungen der unabhängigen Variablen
unbekannt sind, ersetzt man sie durch Streuungen ihrer
Mittelwerte, die aus den Meßwerten
der einzelnen Variablen wie folgt ermittelt werden:
(16.208)
Mit diesen Werten bildet man als Näherung für
:
(16.209)
Diese Formel (16.209) wird GAUSSsches Fehlerfortpflanzungsgesetz genannt.
GAUSSsches Fehlerintegral und Fehlerfunktion
Das GAUSSsche Fehlerintegral ist auf das Gebiet
beschränkt. Es gelten die folgenden Definitionen und
Beziehungen:
(8.99a)
(8.99b)
(8.99c)
Die Funktion
ist die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung und liegt tabelliert als Tabelle
,,Normierte Normalverteilung`` vor.
Die in der Statistik häufig verwendete Fehlerfunktion erf
GAUSSschen Fehlerintegral in einem engen Zusammenhang:
, auch Error-Funktion genannt, steht mit dem
(8.100a)
(8.100b)
(8.100c)
(8.100d)
(8.100e)
Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral
1. Verteilungsfunktion und Dichtefunktion: Aus (16.68) erhält man für
und
die
Verteilungsfunktion
(16.72a)
der normierten Normalverteilung . Ihre Dichtefunktion
(16.72b)
beschreibt die GAUSSsche Glockenkurve (s. Abbildung).
Die (
)-Normalverteilung
positive Argumente
liegt tabelliert vor (Tabelle Normierte Normalverteilung), und zwar hier nur für
, da für negative Argumente der Zusammenhang
(16.73)
genutzt werden kann.
2. Wahrscheinlichkeitsintegral: Das Integral
wird auch Wahrscheinlichkeitsintegral oder GAUSSsches
Fehlerintegral genannt. In der Literatur findet man dafür auch die folgenden Definitionen:
(16.74a)
(16.74b)
Fehlernormalverteilung
●
●
●
Dichte und Verteilungsfunktion
Parameter zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung
Zusammenhang zwischen Standartabweichung, mittlerem und wahrscheinlichem Fehler sowie Genauigkeit
Fehlerquadratmethode
Je nachdem, ob die Ansatzfunktion (19.139) die Differentialgleichung oder die Randbedingungen erfüllt, verlangt
man, daß
1.
das über den Rand
erstreckte Linienintegral
(19.142a)
wobei die Randkurve
durch die Parameterdarstellung
2.
das über den Bereich
erstreckte Doppelintegral
beschrieben wird, oder
(19.142b)
erhält man
minimal wird. Aus den dafür notwendigen Bedingungen
Bestimmungsgleichungen für die Parameter
.
Bestimmung der Regressionsgeraden
Wenn zwischen den Merkmalen
und
mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten eine Abhängigkeit festgestellt
wurde, dann besteht die nächste Aufgabe in der Ermittlung des funktionalen Zusammenhanges
. Im
einfachsten Falle der linearen Regression wird dabei vorausgesetzt, daß bei beliebigem, aber festem
Zufallsgröße
-Wert die
in der Grundgesamtheit normalverteilt ist mit dem Erwartungswert
(16.139)
und der von
von dem festen
unabhängigen Streuung
. Die Beziehung (16.139) bedeutet, daß die Zufallsgröße
-Wert linear abhängt. Für die in der Regel unbekannten Parameter
Grundgesamtheit werden mit Hilfe der Stichprobenwerte
und
im Mittel
der
Näherungswerte nach der
Fehlerquadratmethode bestimmt. Aus der Forderung
(16.140)
erhält man für
und
die Schätzwerte (Näherungswerte)
(16.141a)
mit
(16.141b)
und dem empirischen Korrelationskoeffizienten
Regressionskoeffizienten . Die Gerade
gemäß (16.138b). Die Koeffizienten
heißt Regressionsgerade .
und
nennt man
Lineares Quadratmittelproblem
Wenn (4.117) das mathematische Modell eines praktischen Vorganges darstellt (
und
reell), dann werden
auf Grund von Meßfehlern oder anderen Fehlern die einzelnen Gleichungen von (4.117) nicht exakt erfüllbar sein,
sondern es wird sich ein Restvektor
mit
(4.118)
ergeben. In diesem Falle wird man
so bestimmen, daß
(4.119)
gilt, d.h., daß die Fehlerquadratsumme minimal wird. Dieses Prinzip geht auf GAUSS zurück. Man bezeichnet (4.119)
auch als lineares Quadratmittelproblem . Die Norm
des Restvektors
heißt Residuum .
Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit
Bei direkten Messungen gleicher Genauigkeit, d.h., wenn für alle
Messungen die gleiche Streuung
realisiert
. In diesem Falle führt die Methode
werden kann, spricht man von Messungen mit gleicher Genauigkeit
der kleinsten Quadrate auf die in (16.186, 16.189, 16.191) angegebenen Fehlergrößen.
Beispiel
direkten Messungen gleicher
Es ist das Endergebnis für eine Meßreihe anzugeben, die aus
Genauigkeit (s. Tabelle) besteht.
1,592 1,581 1,574
1,566
1,603 1,580
1,591 1,583 1,571
1,559
12
1
6
14
23
0
11
3
9
21
144
1
36
196
529
0
121
9
81
441
;
Endergebnis:
.
Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit
●
●
●
Gewicht einer Messung
Standardabweichungen
Fehlerangabe
Meßfehlerverteilungsdichte
Spezielle Annahmen über die Eigenschaften der Meßfehler bedingen bestimmte Eigenschaften der Dichtefunktion
der Fehlerverteilung:
1. Stetige Dichtefunktion: Da zufällige Meßfehler beliebige Werte aus einem bestimmten Intervall annehmen
können, sind sie durch eine stetige Dichte
zu beschreiben.
2. Gerade Dichtefunktion: Wenn Meßfehler mit gleichem Absolutbetrag, aber verschiedenem Vorzeichen
gleichwahrscheinlich sind, muß die Dichtefunktion eine gerade Funktion sein:
.
3. Monoton fallende Dichtefunktion: Wenn Meßfehler mit großem Absolutbetrag weniger wahrscheinlich
sind als Fehler mit kleinem Absolutbetrag, muß
für
eine monoton fallende Funktion sein.
4. Endlicher Erwartungswert: Der Erwartungswert des Absolutbetrages des Fehlers muß eine endliche
Größe sein, d.h., es muß gelten:
(16.174)
Durch Zugrundelegung unterschiedlicher Fehlereigenschaften kommt man zu verschiedenen Fehlerdichtefunktionen.
Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern
1. Fluß eines skalaren Feldes
(13.110)
2. Skalarer Fluß eines Vektorfeldes
(13.111)
3. Vektorfluß eines Vektorfeldes
(13.112)
Gravitationsfeld der Punktmasse
Das Gravitationsfeld der Punktmasse ist ein zweites Beispiel für ein wirbelfreies und gleichzeitig überall, außer am
Ort der Punktmasse, solenoides Feld (s. Abbildung). Man spricht auch vom NEWTONschen Feld. Die NEWTON- Kraft
wirkt für Massen
immer anziehend. Alle Überlegungen, die für das COULOMB-Feld gelten,
sind analog auf das NEWTONsche Feld anwendbar.
Konservatives oder Potentialfeld
●
●
●
●
Definition
Potential eines konservativen Feldes
Zusammenhang zwischen Gradient, Kurvenintegral und Potential
Berechnung des Potentials eines konservativen Feldes
Reines Quellenfeld
Reines Quellenfeld oder wirbelfreies Quellenfeld wird ein Feld
Quelldichte
genannt, dessen Rotation überall Null ist. Ist die
, dann gilt:
(13.125)
In diesem Falle besitzt das Feld ein Potential
POISSONsche Differentialgleichung
, das in jedem beliebigen Punkt
bestimmt ist durch die
(13.126a)
(In der Physik gilt meist
.) Die Berechnung von
erfolgt über
(13.126b)
Die Integration erfaßt den gesamten Raum (s. Abbildung).
Die Divergenz von
muß differenzierbar sein und hinreichend schnell für sehr große Abstände abnehmen.
Skalarfelder
●
●
●
●
Skalares Feld oder skalare Punktfunktion
Wichtige Fälle skalarer Felder
Koordinatendarstellung von Skalarfeldern
Niveauflächen und Niveaulinien
Superposition von Feldern
●
●
●
Diskrete Quellenverteilung
Kontinuierliche Quellenverteilung
Zusammenfassung
Begriff des komplexen Potentials
Es wird ein Feld
und
in der
des Vektors
a) Quellenfreies Feld mit div
-Ebene mit den stetigen und differenzierbaren Komponenten
für den quellenfreien und den wirbelfreien Fall betrachtet.
, d.h.
.
Die Integrabilitätsbedingung lautet für diese Differentialgleichung mit der Feld - oder Stromfunktion
(14.20a)
und es gilt:
(14.20b)
Für zwei Punkte
des Feldes
eine Kurve, die die Punkte
und
b) Wirbelfreies Feld mit
ist die Differenz
ein Maß für den Vektorfluß durch
verbindet, falls diese Kurve ganz im Feld verläuft.
, d.h.
:
Die Integrabiltätsbedingung lautet für diese Differentialgleichung mit der Potentialfunktion
(14.21a)
und es gilt
(14.21b)
Die Funktionen
und
genügen den CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen und jede für sich erfüllt die
LAPLACEsche Differentialgleichung (
). Man faßt
und
zu der analytischen Funktion
(14.22)
zusammen und bezeichnet diese Funktion als komplexes Potential des Feldes
Potential des Vektorfeldes
. Danach ist
das
im Sinne der in der Physik und Elektrotechnik üblichen Bezeichnungsweise. Die Linien
und
bilden ein orthogonales Netz. Für die Ableitung des komplexen Potentials und den Feldvektor
die Beziehungen:
gelten
(14.23)
Feldlinien
Für das Vektorfeld
heißt eine Kurve
(s. Abbildung)
Feldlinie , wenn der Vektor
in jedem Kurvenpunkt
ein Tangentenvektor ist. Durch
jeden Punkt eines Feldes verläuft eine Feldlinie. Die Feldlinien schneiden einander nicht, ausgenommen solche
Punkte, in denen die Funktion
nicht definiert ist oder verschwindet. Die Differentialgleichungen der Feldlinien
eines Vektorfeldes
, das in kartesischen Koordinaten gegeben ist, lauten
(13.26a)
(13.26b)
Zur Lösung dieser Differentialgleichungen s. die Abschnitte Trennung der Variablen bzw.
Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung.
Beispiel A
Die Feldlinien eines Zentralfeldes sind Geraden, die vom Zentrum zum Feldpunkt verlaufen.
Beispiel B
Die Feldlinien des Vektorfeldes
sind Kreise, die in einer senkrecht auf dem Vektor
stehenden Ebene liegen. Ihr Mittelpunkt liegt auf einer zu
parallelen Achse.
Grundbegriffe der Feldtheorie
●
●
●
Vektorfunktion einer skalaren Variablen
Skalarfelder
Vektorfelder
Methode der finiten Elemente (FEM)
Seitdem leistungsfähige Computer zur Verfügung stehen, ist die FEM zur wichtigsten Methode für die numerische
Lösung partieller Differentialgleichungen geworden. Sie ermöglicht es, in vielen Anwendungsbereichen, über
Mechanik und Baustatik hinaus, anspruchsvollere und damit aussagekräftigere mathematische Modelle einzusetzen.
Entsprechend den vielfältigen Anwendungen wird die FEM ganz unterschiedlich realisiert, so daß hier nur ihre
Grundidee skizziert werden kann. Aus Analogiegründen sei auf das RITZ-Verfahren zur numerischen Lösung von
Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen und an die Splines erinnert.
Die Methode der finiten Elemente besteht aus den in den folgenden Abschnitten dargestellten Schritten
●
●
●
●
●
Aufstellung einer Variationsaufgabe
Triangulierung
Ansatz
Berechnung der Ansatzkoeffizienten
Bemerkungen
Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis:
Die Koordinaten des Punktes
mit dem Teilungsverhältnis
werden mit den Formeln
(3.294a)
(3.294b)
berechnet.
Für den Mittelpunkt der Strecke
erhält man wegen
(3.294c)
(3.294d)
Wenn den Strecken
und
ein positives oder negatives Vorzeichen in Abhängigkeit davon zugeordnet
wird, ob ihre Richtung mit der von
übereinstimmt oder nicht, dann können die Formeln (3.294a,b,c,d) für
zur Bestimmung eines Punktes dienen, der die Strecke
äußere Teilung ), d.h. außerhalb der Strecke
liegt. Liegt
im vorgegebenen Verhältnis äußerlich teilt (
innerhalb der Strecke
, dann spricht man
von innerer Teilung . Man definiert
a)
wenn
b)
c)
weit von
wenn
wenn
und
Fernpunkt oder uneigentlicher Punkt der Geraden g ist, d.h. wenn sich
auf g befindet. Den Verlauf von
zeigt die rechte Abbildung.
Beispiel
Für einen Punkt
für den
in der Mitte der Strecke
liegt, ist
unendlich
Festpunktzahlen
Der Wertebereich für Festpunktzahlen mit den angegebenen Parametern ergibt sich zu
(19.259)
Festpunktzahlen können in der folgenden Form dargestellt werden:
Interne Zahlendarstellung
Dualzahlen werden im Computer in einem oder in mehreren Bytes dargestellt. Man unterscheidet dabei zwei
Darstellungsformen, die Festpunktzahlen (Festkommazahlen) und die Gleitpunktzahlen (Gleitkommazahlen). Im
ersten Fall steht der Dezimalpunkt an einer festen Stelle (bei ganzen Zahlen also nach der Einerstelle), im zweiten
Fall ,,gleitet`` er mit der Änderung des Exponenten.
●
●
Festpunktzahlen
Gleitpunktzahlen
Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
●
●
●
●
Numerischer Aufwand bei der Berechnung der FOURIER-Koeffizienten
Komplexe Darstellung der FOURIER-Summe
Numerische Berechnung der komplexen FOURIER-Koeffizienten
Schemata zur FFT
FIBONACCI-Folge
Die Folge
(5.156)
wird FIBONACCI-Folge genannt. Sie beginnt mit den Elementen
Beispiel
Die Betrachtung dieser Folge geht auf die folgende, 1202 von FIBONACCI gestellte Frage zurück: Wieviele
Kaninchenpaare stammen am Ende eines Jahres von einem Kaninchenpaar ab, wenn jedes Paar jeden
Monat ein neues Paar als Nachkommen hat, das selbst vom zweiten Monat an Nachkommen-Paare
gebiert? Die Antwort ist
.
FIBONACCI-Rekursionsformel
Außer der rekursiven Definition (5.156) gibt es auch eine explizite Darstellung der FIBONACCI-Zahlen:
(5.157)
Einige wichtige Eigenschaften der FIBONACCI-Zahlen werden im folgenden aufgeführt.
Für alle
gilt:
(5.158a)
(5.158b)
(5.158c)
(5.158d)
(5.158e)
(5.158f)
(5.158g)
(5.158h)
(5.158i)
(5.158j)
(5.158k)
Beispiel
Der EUKLIDische Algorithmus (s. Formulierung 1 und Formulierung 2) zur Berechnung des ggT zweier
Zahlen hat besonders viele Rechenschritte, wenn es sich um benachbarte Zahlen aus der Folge der
FIBONACCI-Zahlen handelt. In der nachstehenden Rechnung ist ein Beispiel gegeben, in dem die
auftretenden Quotienten jeweils gleich 1 sind.
FIBONACCI-Zahlen
●
●
●
FIBONACCI-Folge
FIBONACCI-Rekursionsformel
Satz zum EUKLIDischen Algorithmus
Finanzmathematik
Die Finanzmathematik basiert auf Anwendungen der arithmetischen und geometrischen Reihen, also der Formeln
(1.57a) bis (1.57c) und (1.59a) bis (1.59d), aber diese Anwendungen sind im Bankwesen so vielfältig und speziell,
daß eine eigene Disziplin mit einer Vielzahl spezieller Begriffe entstanden ist. So wird in der Finanzmathematik nicht
nur die Veränderung eines Kapitals durch Zinseszinsen und Rentenzahlungen betrachtet, sondern sie umfaßt im
wesentlichen die Gebiete Zinsrechnung, Tilgungsrechnung, Raten- und Rentenrechnung, Abschreibungen, Kurs- und
Effektivzinsrechnung sowie Investitionsrechnung. Grundlegende Aufgabenstellungen und Lösungsformeln werden im
folgenden erläutert. Für das ganze Spektrum der Finanzmathematik muß auf die Literatur verwiesen werden
(s. Lit. 1.2, 1.11).
Versicherungsmathematik und Risikotheorie , die auf Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematischen Statistik beruhen, stellen selbständige Disziplinen dar und werden hier nicht behandelt (s. Lit. 1.3,
1.4).
●
●
●
●
●
Prozentrechnung
Zinseszinsrechnung
Tilgungsrechnung
Rentenrechnung
Abschreibungen
Fishersche F-Verteilung
●
●
Fishersche F-Verteilung, Teil I
Fishersche F-Verteilung, Teil II
Fisher-Verteilung
Sind
und
unabhängige,
-verteilte Zufallsveränderliche mit
bzw.
Freiheitsgraden, dann heißt die
Verteilung der Zufallsveränderlichen
(16.95)
FISHER- oder F-Verteilung mit den Freiheitsgraden
.
1. Dichtefunktion:
(16.96)
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.97a)
(16.97b)
3. Quantile: Die Quantile
finden.
der FISHER-Verteilung (s. Abbildung) sind in der entprechenden Tabelle zu
Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
Jede Gleichung mit einer Unbekannten läßt sich auf eine der beiden Normalformen bringen:
(19.1)
(19.2)
Die Gleichungen (19.1) und (19.2) seien lösbar. Lösungen sollen mit
ersten Näherung für
versucht man, die zu lösende Gleichung auf die Form
der der Verlauf der Kurven
Beispiel
bezeichnet werden. Zur Gewinnung einer
und
leicht zu übersehen ist.
zu bringen, bei
. Aus dem Kurvenverlauf von
ablesbar (s. Abbildung).
●
●
Iterationsverfahren
Lösung von Polynomgleichungen
und
ist
und
Nichtlineare Operatoren
In der Lösungstheorie nichtlinearer Operatorengleichungen zieht man im wesentlichen Methoden heran, die auf den
folgenden Prinzipien beruhen.
1. Prinzip der kontrahierenden Abbildung, BANACHscher Fixpunktsatz
(s. Fundamentale
Sätze in vollständigen metrischen Räumen und Anwendungen des Kontraktionsprinzips. Zu weiteren
Modifizierungen und Varianten dieses Prinzips s. Lit. 12.9, 12.12, 12.15, 12.21.
2. Verallgemeinerung des NEWTON-Verfahrens
auf den unendlichdimensionalen Fall (s. auch Verfahren für unrestringierte Aufgaben).
3. SCHAUDERsches Fixpunktprinzip
4. LERAY-SCHAUDER-Theorie
Mit Methoden, die auf den Prinzipien 1 und 2 basieren, ergeben sich umfassende Informationen über die Lösung, wie
Existenz, Eindeutigkeit, Konstruktivität u.a., während die Untersuchungsmethoden, die auf den Prinzipien 3 und 4
basieren, im allgemeinen ,,nur`` die qualitative Aussage der Existenz einer Lösung gestatten. Bei zusätzlichen
Eigenschaften des Operators s. jedoch Positive lineare Operatoren und Monotone Operatoren in BANACH-Räumen.
●
Beispiele nichtlinearer Operatoren
●
●
●
●
●
●
Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
Newton-Verfahren
Schaudersches Fixpunktprinzip
Leray-Schauder-Theorie
Positive nichtlineare Operatoren
Monotone Operatoren in Banach-Räumen
Schaudersches Fixpunktprinzip
Sei
ein nichtlinearer Operator, der auf einer Menge
eines BANACH-Raumes
definiert ist und in
abbildet. Die nichttriviale Frage nach der Existenz wenigstens einer Lösung der Gleichung
und
beantwortet: Ist
einen Fixpunkt in
. Ist
, dann hat bekanntlich jede stetige Funktion, die
ein beliebiger endlichdimensionaler normierter Raum (dim
wird wie folgt
in
abbildet,
), dann gilt der
BROUWERsche Fixpunktsatz.
BROUWERscher Fixpunktsatz: Sei
eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe Menge eines
endlichdimensionalen normierten Raumes. Ist
ein stetiger Operator, der
in sich abbildet, dann hat
.
(wenigstens) einen Fixpunkt in
Im Falle eines beliebigen unendlichdimensionalen BANACH-Raumes erhält man die Antwort über den
SCHAUDERschen Fixpunktsatz.
SCHAUDERscher Fixpunktsatz: Sei
BANACH-Raumes. Ist der Operator
eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe Menge eines
stetig und kompakt (also vollstetig) und bildet
in sich
ab, dann hat
(wenigstens) einen Fixpunkt in
.
Mit Hilfe dieses Satzes kann man beispielsweise zeigen, daß das Anfangswertproblem (12.68) für
immer noch eine lokale Lösung besitzt, wenn die rechte Seite lediglich als stetig vorausgesetzt wird.
Flächen zweiter Ordnung, allgemeine Theorie
1. Allgemeine Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung:
(3.422)
2. Invariante einer Fläche zweiter Ordnung:Setzt man die
dann gilt
(3.423a)
(3.423b)
(3.423c)
(3.423d)
Bei einer Verschiebung oder Drehung der Koordinatenachsen ändern sich diese Größen nicht.
3. Gestalt der Fläche zweiter Ordnung aufgrund ihrer Gleichung Man ermittelt die Gestalt einer Fläche
2. Ordnung bei bekannter Gleichung nach dem Vorzeichen ihrer Invarianten
und
. Unter
Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen sowie unter Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide,
Zylinder und Ebenenpaare ist eine tabellarische Zusammenfassung gegeben. Dort ist neben der Bezeichnung
der Fläche ihre Gleichung in der Normalform, auf die sich eine gegebene Gleichung umformen läßt,
angegeben. Mit den Gleichungen der sogenannten imaginären Flächen können für keinen reellen Punkt die
Koordinaten berechnet werden, mit Ausnahme der Spitze des imaginären Kegels und der Schnittgeraden
zweier imaginärer Ebenen.
●
●
Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen
Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare
Flächen zweiter Ordnung, Gleichungen in Normalform
●
●
●
●
●
●
●
Mittelpunktsflächen
Ellipsoide
Hyperboloide
Kegel
Paraboloide
Geradlinige Erzeugende einer Fläche
Zylinder
Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare
Tabelle Gestalt der Flächen 2. Ordnung
(hierbei
Elliptisches Paraboloid
(Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare)
)
(hierbei
Hyperbolisches Paraboloid
)
Zylinderfläche mit einer Kurve 2. Ordnung als Leitkurve,
deren Gestalt verschiedene Zylinder nach sich zieht:
Für
imaginäre elliptische,
für
hyperbolische und
parabolische Zylinder,
für
wenn die Fläche nicht in zwei reelle, imaginäre oder zusammenfallende
Ebenen zerfällt.
Die Bedingung für das Zerfallen lautet:
Die Größen
und
sind Invariante einer Fläche 2. Ordnung
Regelflächen und abwickelbare Flächen
1. Regelfläche: Eine Fläche heißt regelmäßig , geradlinig oder Regelfläche , wenn sie durch Bewegung einer
Geraden im Raum erzeugt werden kann (s. geradlinige Erzeugende).
2. Abwickelbare Fläche: Wenn eine Regelfläche auf eine Ebene abgewickelt werden kann, nennt man sie
abwickelbare Fläche . Nicht jede Regelfläche ist abwickelbar.
Charakteristisch für abwickelbare Flächen ist, daß
●
a) für alle Punkte die GAUSSsche Krümmung verschwinden muß und
●
b) bei Vorgabe der Fläche in der expliziten Form
die Abwickelbarkeitsbedingung erfüllt ist:
(3.504)
Die Bedeutung von
Beispiel A
und
entspricht (3.499b):
Kegel und Zylinder sind abwickelbare Flächen.
Beispiel B
Einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid sind zwar Regelflächen, können aber nicht auf
eine Ebene abgewickelt werden.
Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von
Splines
●
●
●
Kubische Splines
Bikubische Splines
Bernstein-Bézier-Darstellung von Kurven und Flächen
Flächen
●
●
●
●
●
●
Möglichkeiten, eine Fläche zu definieren
Tangentialebene und Flächennormale
Linienelement auf einer Fläche
Krümmung einer Fläche
Regelflächen und abwickelbare Flächen
Geodätische Linien auf einer Fläche
Hauptkrümmungskreisradien
Hauptkrümmungskreisradien sind die Radien einer Fläche mit dem Minimal- und dem Maximalwert. Sie können mit Hilfe
der Hauptnormalschnitte
und
ermittelt werden.
Die Ebenen von
und
stehen senkrecht aufeinander, ihre Richtungen sind durch den Wert von
festgelegt,
der über die quadratische Gleichung
(3.498)
bestimmt werden kann.
Wenn die Fläche in der expliziten Form
(3.482) gegeben ist, dann lassen sich
und
als Wurzeln
der quadratischen Gleichung
(3.499a)
mit
(3.499b)
berechnen. Die Vorzeichen von
und
werden nach der gleichen Regel wie in (3.496) bestimmt.
Wenn die Fläche in der Vektorform (3.484) gegeben ist, dann treten an die Stelle von (3.498) und (3.499a) die
Gleichungen
(3.500a)
(3.500b)
mit den Koeffizienten
der zweiten quadratischen Fundamentalform , die über die Gleichungen
(3.500c)
und
berechnet werden. Dabei sind die Vektoren
Radiusvektors
nach den Parametern
und
die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung des
In den Zählern stehen die Determinanten
(3.500d)
Der Ausdruck
(3.500e)
der die Krümmungseigenschaften der Fläche enthält, heißt zweite quadratische Fundamentalform .
Krümmungslinien nennt man die Linien auf der Fläche, die in jedem Punkt die Richtung der Hauptnormalschnitte haben.
Ihre Gleichungen ergeben sich durch Integration von (3.498) oder (3.500a).
Krümmung einer Fläche
Zur numerischen Charakterisierung der Krümmung einer Fläche werden hauptsächlich zwei Größen benutzt:
1. Mittlere Krümmung einer Fläche im Punkt
(3.502a)
2. GAUSSsche Krümmung einer Fläche im Punkt
(3.502b)
Beispiel A
Für den Kreiszylinder mit dem Radius
ist
und
Beispiel B
Für elliptische Punkte ist
für hyperbolische
und für parabolische
3. Berechnung von
und
, wenn die Fläche explizit gemäß
vorgegeben ist:
(3.503a)
(3.503b)
entspricht (3.499b):
Die Bedeutung von
4. Klassifizierung der Flächen nach ihrer Krümmung
a)Minimalflächen sind Flächen, deren mittlere Krümmung
in allen Punkten Null ist, d.h. für die
gilt.
b) Flächen konstanter Krümmung zeichnen sich durch konstante GAUSSsche Krümmung
aus.
Beispiel A
z.B. die Kugel.
Beispiel B
z.B. die Pseudosphäre (obere Abbildung), d.h. die Rotationsfläche der Traktrix (untere
Abbildung) bei Rotation um die Symmetrieachse.
Begriff der geodätischen Linien
Durch jeden Punkt einer Fläche
kann in jeder durch den Differentialquotienten
bestimmten Richtung
auf der Fläche eine gedachte Kurve verlaufen, die geodätische Linie genannt wird. Sie spielt auf der Fläche die
gleiche Rolle wie die Gerade auf der Ebene und zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus:
1. Die geodätischen Linien sind die Linien der kürzesten Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer Fläche.
2. Wenn ein materieller Punkt, der gezwungen ist, auf einer vorgegebenen Fläche zu bleiben, von einem
anderen auf der gleichen Fläche befindlichen materiellen Punkt angezogen wird, dann bewegt er sich in
Abwesenheit anderer äußerer Kräfte auf einer geodätischen Linie.
3. Wird ein elastischer Faden über eine vorgegebene Fläche gespannt, dann nimmt er die Form einer
geodätischen Linie an.
(S. auch geodätische Linie, sphärische Geometrie).
Unterabschnitte
●
●
Gleichung einer Zylinderfläche:
Gleichung einer Rotationsfläche:
Gleichung einer Fläche
Jeder Gleichung
(3.367)
dieser
entspricht eine Fläche, deren Eigenschaft es ist, daß die Koordinaten jedes beliebigen ihrer Punkte
Gleichung genügen. Umgekehrt ist jeder Punkt, dessen Koordinaten der Gleichung genügen, ein Punkt auf dieser
Fläche. Die Gleichung (3.367) wird die Gleichung dieser Fläche genannt.
Gleichung einer Zylinderfläche:
Die Gleichung einer Zylinderfläche (s. auch Zylinderfläche
), deren Erzeugende parallel zur
-Achse verlaufen,
enthält keine
-Koordinate:
Erzeugende parallel zur
- bzw. zur
Entsprechend enthalten die Gleichungen von Zylinderflächen, deren
-Achse verlaufen, keine
Die Gleichung
- bzw.
-Koordinate:
bzw.
beschreibt die Schnittkurve zwischen der Zylinderfläche und der
-Ebene. Wenn die Richtungskosinus oder ihnen proportionale Größen
der Erzeugenden einer
Zylinderfläche gegeben sind, dann hat die Gleichung die Form
(3.368)
Gleichung einer Rotationsfläche:
Die Gleichung einer Rotationsfläche, d.h. einer Fläche, die durch Rotation einer gegebenen Kurve in der
Ebene mit der Gleichung
-
erzeugt wird, ergibt sich allgemein zu
(3.369)
In Analogie dazu werden die Gleichungen von Flächen erhalten, die durch Rotation einer gegebenen Kurve um eine
andere Koordinate entstehen.
Die Gleichung einer Kegelfläche , deren Spitze im Koordinatenursprung liegt (s. Kegel), ist von der Gestalt
wobei
eine homogene Funktion der Koordinaten ist (s. homogene Funktion).
Linienelement auf einer Fläche
●
●
●
Differential des Bogens
Messungen auf der Fläche
Übereinanderlegen von Flächen bei Verbiegung
Definitionen
1. Tangentialebene: Wenn durch einen Flächenpunkt
alle auf dieser Fläche möglichen
Flächenkurven hindurchlaufen, dann liegen in der Regel alle zugehörigen Kurventangenten im Punkt
ein und derselben Ebene, der Tangentialebene der Fläche des Punktes
sogenannten Kegelpunkte.
Ausgenommem davon sind die
2. Flächennormale: Eine Gerade, die senkrecht auf der Tangentialebene steht und durch den Punkt
verläuft, heißt Flächennormale im Punkt
in
3. Normalenvektor: Die Tangentialebene wird von zwei Vektoren aufgespannt, den Tangentialvektoren
(3.486a)
der
- und der
-Linie. Das Vektorprodukt der beiden Tangentialvektoren
ist ein Vektor, der in die
Richtung der Flächennormalen weist. Sein Einheitsvektor
(3.486b)
wird Normalenvektor genannt. Seine Richtung nach der einen oder anderen Seite der Fläche ist dadurch festgelegt,
ob
oder
erste oder zweite Koordinate ist.
Begriff einer orientierten Fläche
Eine Fläche besitzt gewöhnlich zwei Seiten, von denen man willkührlich eine als Außenseite bezeichnen kann.
Nachdem die Außenseite gewählt ist, spricht man von einer orientierten Fläche . Flächen, für die sich nicht zwei
Seiten angeben lassen, werden hier nicht betrachtet (s. Lit. 8.14).
Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
Die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Tabelle Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
Gleichung der Tangentialebene und der Flächennormalen
Art der
Gleichung
(3.481)
(3.482)
Tangentialebene
Flächennormale
(3.483)
(3.484)
oder
oder
und
sind in dieser Tabelle die Koordinaten und der Radiusvektor des Kurvenpunktes
;
sind die laufenden Koordinaten und der Radiusvektor
des Punktes der Tangentialebene oder der Flächennormalen im Punkt
und
; außerdem ist
ist der Normalenvektor.
Beispiel A
Für die Kugel mit der Gleichung
(3.485a) ergibt sich
1. als Tangentialebene:
(3.487a)
2. als Flächennormale:
(3.487b)
Beispiel B
Für die Kugel mit der Gleichung
(3.485b)
ergibt sich
1. als Tangentialebene:
(3.487c)
2. als Flächennormale:
(3.487d)
Definition, Separatrixflächen
Sei
eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von (17.1). Die stabile
Mannigfaltigkeit
( instabile Mannigfaltigkeit
) von
ist die Menge aller der Punkte des
gegen
Phasenraumes, durch die Orbits verlaufen, die für
streben:
(17.18)
Stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeiten bezeichnet man auch als Separatrixflächen .
Beispiel
In der Ebene wird die Differentialgleichung
(17.19a)
betrachtet. Die Lösung von (17.19a) mit Anfang
zur Zeit
ist durch
(17.19b)
explizit gegeben. Für die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit der Ruhelage
(s. Abbildung).
von (17.19a) erhält man:
Es seien
durch
und
an
bzw.
zwei glatte Flächen des
. Die Flächen
und
und
bzw.
die entsprechenden Tangentialebenen
heißen transversal zueinander, wenn für alle
die Beziehung
gilt.
Beispiel
Für den in der folgenden Abbildung dargestellten Schnitt gilt
. Also ist der in der Abbildung dargestellte Schnitt transversal.
und
Ebene Flächenelemente in der
Koordinaten
-Ebene
Flächenelemente
Kartesische Koordinaten
Polarkoordinaten
Beliebige krummlinige Koordinaten
(
Funktionaldeterminante)
Flächenelemente gekrümmter Flächen
Koordinaten
Flächenelement
Kartesische Koordinaten
Zylindermantel
(konstanter Radius),
Koordinaten
Kugeloberfläche
Koordinaten
(konstanter Radius),
Beliebige krummlinige Koordinaten
(
s. Differential des Bogens)
Integration in Vektorfeldern
Integrationen in Vektorfeldern erfolgen meist in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten. Oft ist über Kurven, Flächen oder
Volumina zu integrieren. Die dazu erforderlichen Linien-, Flächen- und Volumenelemente sind in der folgenden Tabelle
zusammengestellt.
Tabelle Linien-, Flächen- und Volumenelemente in kartesischen, Zylinder-und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Die Indizes
und
stehen stellvertretend für
bzw.
bzw.
Für das Volumen wurde hier abweichend von der üblichen Praxis das Symbol
*)
um Verwechlungen mit dem Betrag des Potentials
●
●
●
Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld
Oberflächenintegrale
Integralsätze
gewählt,
zu vermeiden.
Mittelpunktsflächen
Die im folgenden angegebenen Gleichungen, auch Normalform der Gleichungen für die Flächen 2. Ordnung genannt,
ergeben sich aus der allgemeinen Gleichung der Flächen 2. Ordnung für den Fall, daß Mittelpunkt- und
Koordinatenursprung zusammenfallen. Dabei halbiert der Mittelpunkt die durch ihn verlaufenden Sehnen. Die
Koordinatenachsen liegen in den Symmetrieachsen der Flächen, so daß die Koordinatenebenen gleichzeitig
Symmetrieebenen sind.
Gleichung einer Fläche
Flächen können unterschiedlich definiert werden:
1. Implizite Form:
(3.481)
2. Explizite Form:
(3.482)
3. Parameterform:
(3.483)
4. Vektorform:
(3.484)
Wenn die Parameter
und
alle erlaubten Werte durchlaufen, ergeben sich über die vorletzte (3.483) und letzte
Gleichung (3.484) Koordinaten und Radiusvektoren aller Flächenpunkte. Elimination von
und
aus der
Parameterform der Definition (3.483) liefert die implizite Form (3.481). Die explizite Form (3.482) ist ein Spezialfall
der Parameterform für
und
Beispiel
Die Gleichung der Kugel in kartesischen Koordinaten, Parameterform und Vektorform:
(3.485a)
(3.485b)
(3.485c)
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt
Kugelradius
eines sphärischen Dreieckes kann mit Hilfe des sphärischen Exzesses
und dem
gemäß
(3.171a)
berechnet werden, wobei
der Umrechnungsfaktor
(3.161c) ist. Nach dem Satz von GIRARD gilt mit
als Kugeloberfläche
(3.171b)
Ist nicht der Exzeß bekannt, sondern die Seiten, dann kann
mit der Formel von L'HUILIER berechnet werden.
Flächeninhalte ebener Flächen
1. Flächeninhalt eines zwischen den Punkten
eines oben zwischen den Punkten
(
und
und
und
krummlinig begrenzten Trapezes: Der Flächeninhalt
krummlinig begrenzten Trapezes (s. linke Abbildung) bei explizit
) bzw. in Parameterform (
gegebener Kurvengleichung:
(8.59a)
2. Flächeninhalt eines seitlich zwischen den Punkten
Flächeninhalt eines seitlich zwischen den Punkten
Abbildung) bei explizit (
und
und
und
krummlinig begrenzten Trapezes: Der
krummlinig begrenzten Trapezes (s. rechte
) bzw. in Parameterform (
) gegebener Kurvengleichung:
(8.59b)
3. Flächeninhalt eines Kurvensektors: Der Flächeninhalt eines Kurvensektors (s. Abbildung), begrenzt durch
ein Kurvenstück zwischen den Punkten
und
, das mit einer in Polarkoordinaten gegebenen
Kurvengleichung (
,
) beschrieben wird:
(8.59c)
Flächeninhalte von komplizierteren Figuren werden mit Hilfe des Kurvenintegrals oder mit Hilfe des Doppelintegrals
berechnet. Allgemeine Formeln zur Berechnung von Flächen mit Hilfe von Doppelintegralen sind in der Tabelle
Anwendung von Doppelintegralen angegeben.
Anwendungen des Oberflächenintegrals erster Art
1. Flächeninhalt eines gekrümmten Flächenstücks
(8.154)
2. Masse eines inhomogenen gekrümmten Flächenstückes
Mit der koordinatenabhängigen Dichte
gilt:
(8.155)
Flächeninhalte in der Hyperbel
a) Hyperbelsegment
:
(3.339a)
b) Fläche
:
(3.339b)
Die Strecke
verläuft parallel zur unteren Asymptote,
ist der Brennpunktsabstand und
Umfang, Flächeninhalt, Zahl
(3.54)
(3.55)
(3.56)
Kreisring
Kenngrößen des Kreisringes: Äußerer Radius
innerer Radius
und Zentriwinkel
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
(3.67)
Flächeninhalt eines Ringteiles über
(in der Abbildung grau dargestellt):
(3.68)
Flächeninhalte in der Parabel
a) Parabelsegment
:
(3.349a)
b) Parabelfläche
:
(3.349b)
Parallelogramm
Parallelogramm wird ein Viereck genannt, das die folgenden Haupteigenschaften besitzt:
●
●
●
●
die einander gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang;
die einander gegenüberliegenden Seiten sind parallel;
die Diagonalen halbieren einander im Schnittpunkt;
einander gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Bei einem Viereck folgen aus dem Vorhandensein einer dieser Eigenschaften oder aus der Gleichheit und Parallelität
eines Paares gegenüberliegender Seiten alle anderen Eigenschaften.
Für den Zusammenhang zwischen Diagonalen und Seiten und für den Flächeninhalt gilt:
(3.18)
(3.19)
Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
In der folgenden Tabelle sind einige geometrische Anwendungen der Vektoralgebra aufgeführt. Andere
Anwendungen aus der analytischen Geometrie wie die Vektorgleichungen der Geraden und der Ebene s. unter
vektorielle Gleichungen und Gerade und Ebene im Raum.
Tabelle Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
Bezeichnung
Länge des Vektors
Flächeninhalt des von
und
den Vektoren
aufgespannten Parallelogramms
Vektorielle
Formel
Koordinatenformel (in rechtwinkligen
kartesischen Koordinaten)
Volumen des von den
Vektoren , ,
aufgespannten Parallelepipeds
Winkel zwischen den
Vektoren
und
Rechteck und Quadrat
Ein Parallelogramm ist ein Rechteck (linke Abbildung), wenn es:
●
●
nur rechte Winkel enthält oder
zwei gleich lange Diagonalen besitzt, wobei die eine Eigenschaft die andere zur Folge hat.
Der Flächeninhalt beträgt
(3.20)
Wenn
ist, wird ein Rechteck Quadrat genannt.
Es gelten dann die Formeln
(3.21)
(3.22)
(3.23)
Rhombus
Ein Rhombus ist ein Parallelogramm, in dem
●
●
●
alle Seiten gleich lang sind,
die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und
die Winkel des Parallelogramms von den Diagonalen halbiert werden.
Das Vorhandensein einer dieser Eigenschaften hat die zwei anderen zur Folge. Es gilt:
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
Klassifizierung der Flächenpunkte
1. Elliptischer und Kreis-Flächenpunkt: Besitzen die Hauptkrümmungsradien
und
im
gleiches Vorzeichen, dann liegen in der Umgebung von
alle Flächenpunkte auf einer
Flächenpunkt
Seite der Tangentialebene, und man spricht vom elliptischen Flächenpunkt (linke Abbildung).
Sein analytisches Merkmal ist die Bedingung
(3.501a)
2. Kreis- oder Nabelpunkt wird ein Flächenpunkt
Punkt die Bedingung
genannt, wenn die Hauptkrümmungsradien in diesem
(3.501b)
erfüllen. Seine Normalschnitte zeichnen sich durch
aus.
3. Hyperbolischer Flächenpunkt: Im Falle unterschiedlicher Vorzeichen der Hauptkrümmungsradien
und
weisen die konkaven Seiten der Hauptnormalenschnitte nach entgegengesetzten Richtungen. Die
Tangentialebene durchsetzt dann die Fläche, so daß diese in der Nähe des Punktes
sattelartig geformt
ist.
wird hyperbolischer Punkt genannt (rechte Abbildung). Sein analytisches Merkmal ist die Bedingung
(3.501c)
4. Parabolischer Flächenpunkt: Ist einer der beiden Hauptkrümmungsradien
oder
gleich
dann besitzt der eine Hauptnormalenschnitt entweder einen Wendepunkt oder er ist eine Gerade. Bei
handelt es sich dann um einen parabolischen Flächenpunkt (untere Abbildung) mit dem analytischen Merkmal
(3.501d)
Beispiel
Alle Punkte eines Ellipsoids sind elliptisch, eines einschaligen Hyperboloids hyperbolisch und eines
Zylinders parabolisch.
Singuläre Flächenpunkte (Kegelpunkte)
Wenn für einen Flächenpunkt mit den Koordinaten
und der Gleichung
(3.481) gleichzeitig die Beziehungen
(3.488)
erfüllt sind, d.h. wenn die Ableitungen 1. Ordnung verschwinden, dann ist der Punkt
ein singulärer
Punkt oder Kegelpunkt . Alle Tangenten, die durch ihn verlaufen, liegen nicht in einer Ebene, sondern bilden einen
Kegel zweiter Ordnung mit der Gleichung
(3.489)
zu bilden sind. Wenn auch alle Ableitungen 2. Ordnung verschwinden, dann
in der die Ableitungen im Punkt
handelt es sich um einen singulären Punkt von komplizierterer Art. Es liegt also ein Kegel dritter oder höherer
Ordnung vor.
Beispiele für Vektorräume von Folgen
Beispiel A: Vektorraum
Seien
eine fixierte natürliche Zahl und
die Menge aller
-Tupel, d.h. aller endlichen aus
. Die Operationen
bestehenden Folgen von Skalaren
seien komponenten- oder gliedweise erklärt, d.h., sind
und
zwei beliebige Elemente aus
, dann setzt man
und
Gliedern
ein beliebiger Skalar, d.h.
(12.10a)
(12.10b)
, insbesondere also für
die linearen Räume
Auf diese Weise erhält man den Vektorraum
Dieses Beispiel kann in zweierlei Hinsicht verallgemeinert werden (s. Beispiele B und C):
Beispiel B: Vektorraum
aller Zahlenfolgen
oder
.
Nimmt man als Elemente jetzt unendliche Folgen
und behält die gliedweise
erklärten Operationen gemäß (12.10a) und (12.10b) bei, so erhält man den Vektorraum
Zahlenfolgen.
Beispiel C: Vektorraum
(auch
aller
) aller finiten Zahlenfolgen
die Menge aller Elemente aus , die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder besitzen.
Es sei
Die Anzahl der von Null verschiedenen Glieder ist im allgemeinen individuell vom Element abhängig. Der so
entstehende - wieder mit den gliedweise erklärten Operationen versehene - Vektorraum wird mit
auch mit
bezeichnet und heißt Raum aller finiten Zahlenfolgen.
Beispiel D: Vektorraum
aller beschränkten Zahlenfolgen
gehört zu
Eine Folge
genau dann, wenn
. Man trifft häufig auch die Bezeichnung
Beispiel E: Vektorraum
mit
für diesen Vektorraum.
aller konvergenten Folgen
Es gilt
daß für
oder
genau dann, wenn es eine solche Zahl
ein Index
(s. Grenzwerte von Zahlenfolgen).
existiert, so daß für alle
gibt mit der Eigenschaft,
gilt
Beispiel F: Vektorraum
Raum
aller Nullfolgen
aller Nullfolgen, d.h. der Teilraum von
, der aus allen zu Null (
) konvergenten Folgen
besteht.
Beispiel G: Vektorraum
Raum
aller Folgen
Daß die Summe zweier Folgen aus
, für die die Reihe
wieder eine Folge aus
konvergiert.
ist, d.h. eine konvergente Reihe aus den
-ten Potenzen der Absolutbeträge ihrer Glieder besitzt, folgt aus der MINKOWSKIschen Ungleichung.
Hinweis: Für die in den Beispielen A bis G eingeführten Vektorräume von Folgen gelten die folgenden Inklusionen:
(12.11)
Konvergenz von Folgen im metrischen Raum
Seien
Elementen in
Die Folge
ein metrischer Raum,
ein Punkt und
eine Folge von
.
heißt zum Punkt
gibt, so daß
konvergent, wenn es zu jeder Umgebung
die Beziehung
einen Index
gilt. Man schreibt für diesen Sachverhalt
gewöhnlich
(12.51)
und nennt
den Grenzwert der Folge
. Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt. Anstelle
einer beliebigen (allgemeinen) Umgebung des Punktes
genügt es, lediglich offene Kugeln mit beliebig kleinem
Radius heranzuziehen, so daß (12.51) äquivalent zu Folgendem ist: Für
(man hat dabei sofort die offene
Kugel
im Sinn) gibt es einen Index
gilt. Damit bedeutet (12.51) genau
, so daß
die Ungleichung
.
Mit den eingeführten Begriffen hat man die Möglichkeit, in konkreten metrischen Räumen den Abstand zwischen zwei
Punkten anzugeben und die Konvergenz von Punktfolgen zu untersuchen, was etwa bei numerischen Verfahren oder
bei der Approximation von Funktionen durch solche einer bestimmten Klasse (s. etwa Approximation und
Ausgleichsrechnung) von Bedeutung ist. Im Raum
erweist sich die mittels einer der angegebenen Metriken
festgelegte Konvergenz gerade als die koordinatenweise Konvergenz. In den Räumen
und
ist
die durch (12.45) eingeführte Konvergenz genau die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge auf der Menge
. Im Raum
ergibt sich die Konvergenz im (quadratischen) Mittel, d.h.
genau dann, wenn
(12.52)
Zahlenfolgen
●
●
Eigenschaften von Zahlenfolgen
Grenzwerte von Zahlenfolgen
FRENETsche Formeln
Man kann die Ableitungen der Vektoren
und
nach dem Parameter
mit Hilfe der FRENETschen Formeln
ausdrücken:
(3.480)
Dabei ist
der Krümmungs- und
der Windungsradius.
Formel von MOIVRE für Hyperbelfunktionen
(2.180)
Potenzieren einer komplexen Zahl
Potenzieren einer komplexen Zahl in die
-te Potenz wird mit Hilfe der Formel von MOIVRE ausgeführt:
(1.142a)
d.h., der Betrag wird in die -te Potenz erhoben, während das Argument mit
berücksichtigen ist, daß gilt:
multipliziert wird. Besonders zu
(1.142b)
und allgemein
(1.142c)
Trigonometrische Funktionen für große Werte n der Winkelvielfachen
Für große Werte von
ermittelt man mit der Formel von MOIVRE
Unter Benutzung der Binomialkoeffizienten
und
.
ergibt sich:
(2.100)
woraus folgt
(2.101)
(2.102)
Metrische Entropie und LYAPUNOV-Exponenten
Ist
ein dynamisches System auf
ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaß
mit dem Attraktor
, so gilt für die metrische Entropie
und einem auf
die Ungleichung
konzentrierten
,
wobei die LYAPUNOV-Exponenten entsprechend ihrer Vielfachheit aufgeführt werden.
PESINsche Formel: Die Gleichheit
, die PESINsche Formel, gilt im allgemeinen nicht. Ist das Maß
allerdings absolut stetig bezüglich des LEBESGUE-Maßes und
die PESINsche Formel.
ein
-Diffeomorphismus, so gilt
Rechteckformel
Im Intervall
Stützstelle
wird
durch die konstante Funktion
ersetzt, die
an der
, also am linken Rand des Integrationsintervalles, interpoliert. Auf diese Weise erhält man die
linksseitige Rechteckformel
(19.73a)
Durch Summation ergibt sich die zusammengesetzte linksseitige Rechteckssumme
(19.73b)
Mit
wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für
bezeichnet.
Analog erhält man die rechtsseitige Rechtecksumme , wenn man in (19.73a)
durch
ersetzt. Die aufsummierte
Formel lautet dann:
(19.74)
Simpson-Formel
Im Intervall
wird
und
durch ein Polynom 2. Grades ersetzt, das
an den Stützstellen
interpoliert:
(19.79)
Für die zusammengesetzte SIMPSON-Formel muß
gerade sein. Man erhält:
(19.80)
Mit
wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für
bezeichnet.
Die zusammengesetzte SIMPSON-Formel hat die Fehlerordnung 4 und ist für Polynome bis zum Grad 3 exakt.
TAYLORsche Reihe für Funktionen von
Veränderlichen
Die analoge Darstellung mit Differentialoperatoren lautet
(7.91a)
wobei das Restglied mit Hilfe von
(7.91b)
berechnet wird.
Trapezformel
Im Intervall
und
wird
durch ein Polynom 1. Grades ersetzt, das
an den Stützstellen
interpoliert. Man erhält:
(19.75)
Durch Summation ergibt sich die sogenannte zusammengesetzte Trapezformel oder Trapezsumme :
(19.76)
Mit
wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für
Der Fehler der Trapezsumme verhält sich wie
bezeichnet.
, d.h., die Trapezsumme hat die Fehlerordnung 2. Daraus folgt für
(also
werden.
) ihre Konvergenz gegen das bestimmte Integral, wenn Rundungsfehler nicht berücksichtigt
Hermitesche Trapezformel
Im Intervall
und
wird
durch ein Polynom 3. Grades ersetzt, das
und
an den Stützstellen
interpoliert:
(19.77)
Durch Summation ergibt sich die HERMITEsche Trapezsumme :
(19.78)
Mit
wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für
bezeichnet.
Die HERMITEsche Trapezsumme hat die Fehlerordnung 4 und ist für Polynome bis zum Grade 3 exakt.
Formelmanipulation
Unter Formelmanipulation wird hier im weitesten Sinn die Umformung mathematischer Ausdrücke zwecks ihrer
Vereinfachung oder ihrer Darstellung in einer für weitere Manipulationen zweckmäßigen Form, die Lösung von
Gleichungen und Gleichungssystemen durch algebraische Ausdrücke, die Differentiation von Funktionen, die
Berechnung unbestimmter Integrale, die Lösung von Differentialgleichungen, die Bildung unendlicher Reihen usw.
verstanden.
Beispiel
Lösung der folgenden quadratischen Gleichung:
(20.2a)
In Mathematica wird eingegeben:
(20.2b)
Nach Betätigen des entsprechenden Eingabeabschlußbefehls (EINF oder SHIFT+ENTER) ersetzt Mathematica diese
Zeile durch
(20.2c)
und beginnt mit der Abarbeitung. Nach kurzer Zeit erscheint eine neue Zeile mit dem Inhalt
(20.2d)
Mathematica hat die Gleichung gelöst und die beiden Wurzeln in Form einer Liste aus zwei Unterlisten, die jeweils
eine Lösung enthalten, dargestellt. Dabei ist Sqrt das Symbol für die Quadratwurzel.
In Maple erfolgt die Eingabe in folgender Form:
(20.3a)
Wichtig ist hier das Semikolon nach dem letzten Symbol. Nach der Eingabebestätigung mit ENTER bearbeitet Maple
die Eingabe und liefert in der nächsten Zeile
(20.3b)
Das Ergebnis ist in Form einer Folge von zwei Ausdrücken, den beiden Lösungen, dargestellt.
Abgesehen von den speziellen Zeichen für das jeweilige Computeralgebrasystem, besteht vom grundsätzlichen
Aufbau her große Ähnlichkeit. Am Anfang steht ein Symbol , das vom System als Operator verstanden wird, der auf
einen in Klammern stehenden Operanden anzuwenden ist. Das Ergebnis wird als Liste oder Folge der Lösungen
wiedergegeben. Ähnlich werden viele Operationen der Formelmanipulation dargestellt.
Prinzip der analytischen Fortsetzung
Es wird der Fall betrachtet, daß die Konvergenzkreise
um
und
um
zweier Potenzreihen
(14.49a)
ein gewisses Gebiet gemeinsam haben (s. Abbildung) und daß in diesem gilt
(14.49b)
Dann sind die beiden Potenzreihen die zu den Punkten
derselben analytischen Funktion
definierten Funktion
Beispiel
. Die Funktion
in das Gebiet
hinein.
und
gehörenden TAYLOR-Entwicklungen ein- und
heißt analytische Fortsetzung der nur in
Die geometrischen Reihen
mit dem Konvergenzkreis
um
mit dem Konvergenzkreis
und
um
haben jede in ihrem Konvergenzkreis und in dem gemeisamen (in der Abbildung doppelt schraffierten)
Konvergenzgebiet dieselbe für
analytische Fortsetzung von
analytische Funktion
aus
in
als Summe. Daher ist
hinein (und umgekehrt).
Fortsetzung von linearen Funktionalen
●
Halbnorm
Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH (analytische Form)
Sei
ein Vektorraum über
und reeller, falls
falls
und
eine Halbnorm auf
) Teilraum von
) Funktional auf
und
. Seien
ein linearer (komplexer, falls
ein lineares (komplexwertiges, falls
und reellwertiges,
, welches der Bedingung
(12.167)
genügt. Dann existiert ein lineares Funktional
auf
mit folgenden Eigenschaften:
(12.168)
ist die Fortsetzung des Funktionals
auf den gesamten Raum
unter Beibehaltung der Abschätzung
(12.167).
Wenn
ein linearer Teilraum eines normierten Raumes
ist und
ein stetiges lineares Funktional auf
,
dann ist
eine Halbnorm auf
mit (12.167), so daß sich sofort die Variante des Satzes von
HAHN-BANACH über die Fortsetzung stetiger linearer Funktionale ergibt. Zwei wichtige Konsequenzen aus letzterem
sind die ,,Reichhaltigkeit`` des dualen zu einem normierten Raum: Für jedes Element
mit
und
und
, mit dem Abstand
gibt es ein Funktional
sowie den folgenden Sachverhalt: Für jeden linearen Teilraum
, gibt es ein
mit
(12.169)
Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen
In der Tabelle FOURIER-Entwicklungen sind die FOURIER-Entwicklungen einiger einfacher Funktionen angegeben, die
in einem bestimmten Intervall gegeben sind und darüber hinaus periodisch fortgesetzt werden. Der Kurvenverlauf ist
für eine Reihe der entwickelten Funktion graphisch dargestellt.
1. Anwendung von Koordinatentransformationen: Viele der einfachsten periodischen Funktionen können
auf die in der Tabelle FOURIER-Entwicklungen dargestellten Funktionen zurückgeführt werden, indem man
entweder den Maßstab auf den Koordinatenachsen ändert oder den Koordinatenursprung verschiebt.
Beispiel
Eine Funktion
, die durch die Bedingungen
(7.110a)
gegeben ist (s. Abbildung), kann auf die Form Nr. 5 in der Tabelle FOURIER-Entwicklungen gebracht werden, indem
gesetzt wird und die neuen Variablen
und
eingeführt werden.
Durch die Variablensubstitution in der Reihe Nr. 5 der Tabelle erhält man wegen
für die darzustellende Funktion (7.110a) den
Ausdruck
(7.110b)
2. Nutzung der Reihenentwicklung komplexer Funktionen: Viele der in der Tabelle
Fourier-Entwicklungen angegebenen Formeln für die Entwicklung von Funktionen in trigonometrische Reihen
können aus Potenzreihenentwicklungen für Funktionen einer komplexen Veränderlichen hergeleitet werden.
Beispiel
Die Entwicklung der Funktion
(7.111)
liefert für
(7.112)
nach der Trennung von Real- und Imaginärteil
(7.113)
Fourier-Entwicklungen
●
●
●
●
●
Sägezahnförmige periodische Funktionen
Rechteckimpulsförmige periodische Funktionen
Trapezförmige periodische Funktionen
Wellenförmige periodische Funktionen
Weitere periodische Funktionen
Rechteckimpulsförmige periodische Funktionen
(21.5)
(21.6)
Sägezahnförmige periodische Funktionen
(21.1)
(21.2)
(21.3)
(21.4)
Trapezförmige periodische Funktionen
(21.7a)
Insbesondere gilt für
:
(21.7b)
Weitere periodische Funktionen
(21.14)
(Mit
ist eine beliebige, jedoch nicht ganze Zahl bezeichnet.)
(21.15)
(Mit
ist eine beliebige, jedoch nicht ganze Zahl bezeichnet.)
(21.16)
(21.17)
(21.18)
(21.19)
Wellenförmige periodische Funktionen
(21.8)
(21.9)
(21.10)
(21.11)
(21.12)
(21.13)
Äquivalente Darstellungen des Fourier-Integrals
Andere äquivalente Formen der Darstellung des FOURIER-Integrals (15.65b) sind:
(15.66)
(15.67a)
mit den Koeffizienten
(15.67b)
(15.67c)
(15.68)
(15.69)
Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
(15.70a)
(15.70b)
(15.70c)
(15.70d)
(15.70e)
(15.70f)
Fourier-Reihe und Fourier-Integral
●
●
FOURIER-Integral
Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion
Fourier-Integral in komplexer Darstellung
Grundlage der FOURIER-Transformation ist das FOURIER-Integral, auch Integralformel von FOURIER genannt: Falls
eine nichtperiodische Funktion
in einem beliebigen endlichen Intervall den DIRICHLETschen Bedingungen
genügt und außerdem das Integral
(15.65a)
konvergiert, dann gilt
(15.65b)
in jedem Punkt, in dem die Funktion
stetig ist, und
(15.65c)
in den Unstetigkeitsstellen.
Numerischer Aufwand bei der Berechnung der FOURIER-Koeffizienten
Die Summen, die in den Formeln (19.210) auftreten, kommen auch im Zusammenhang mit der diskreten FOURIERTransformation, z.B. in der Elektrotechnik, in der Impuls- und vor allem in der Bildverarbeitung, vor. Dabei kann
sehr groß sein, so daß die betreffenden Summen äußerst rationell berechnet werden müssen, denn die Berechnung
der
Näherungswerte (19.210) für die FOURIER-Koeffizienten erfordert etwa
Für den Spezialfall
Additionen und Multiplikationen.
läßt sich jedoch mit Hilfe der sogenannten Schnellen FOURIER-TransformationFFT
(Fast Fourier-Transformation) die Anzahl der Multiplikationen von
auf
senken. Die
Größenordnung dieser Reduzierung erkennt man an dem folgenden Zahlenbeispiel:
(19.215)
Dadurch sinkt der Rechenaufwand und damit auch die Rechenzeit so stark ab, daß für einige wichtige
Anwendungsgebiete bereits der Einsatz kleinerer Computer ausreicht.
Die FFT nutzt die Eigenschaften der
-ten Einheitswurzel, d.h. der Lösungen der Gleichung
die Summanden in (19.210) sukzessiv zusammenzufassen.
, aus, um
FOURIER-Reihe
Wenn für ein System von
Grenzwert
-Werten die Funktion
strebt, dann gibt es für diese
beim Übergang
gegen einen bestimmten
eine konvergente FOURIER-Reihe der gegebenen Funktion. Sie
kann in der Form
(7.97a)
und auch in der Form
(7.97b)
dargestellt werden, wobei im zweiten Falle gilt:
(7.97c)
Fourier-Reihen im Hilbert-Raum
●
Bestapproximation
Komplexe Darstellung der FOURIER-Reihe
In vielen Fällen hat die komplexe Schreibweise Vorteile:
(7.98a)
(7.98b)
Fourier-Reihen
Ist
ein Orthonormalsystem und
, dann heißt die Reihe
(11.45a)
die FOURIER-Reihe von
bezüglich
, und die Zahlen
sind die zugehörigen FOURIER-
Koeffizienten. Für diese gilt auf Grund von (11.44b):
(11.45b)
Ist
vollständig, dann gilt die PARSEVALsche Gleichung
(11.45c)
Komplexe Darstellung der FOURIER-Summe
Um das Prinzip der FFT möglichst einfach beschreiben zu können, bringt man die FOURIER-Summe (19.207) mit Hilfe der
Formeln
(19.216)
auf die komplexe Form
(19.217)
Setzt man
(19.218a)
dann gilt wegen (19.208)
(19.218b)
und (19.217) geht in die komplexe Darstellung der FOURIER-Summe über:
(19.219)
Sind die komplexen Koeffizienten
ermittelt worden, dann erhält man daraus die gesuchten reellen FOURIER-
Koeffizienten auf folgende einfache Weise:
(19.220)
Additionssatz, Ähnlichkeitssatz
1. Additions- oder Linearitätssatz: Sind
und
zwei Koeffizienten aus
, dann gilt:
(15.85)
2. Ähnlichkeitssatz oder Maßstabsveränderung: Für
und reell gilt
(15.86)
Fourier-Transformation
●
●
Eigenschaften der Fourier-Transformation
Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-Transformation
Bildfunktion zum bipolaren Rechteckimpuls
Die FOURIER-Transformierte für den bipolaren Rechteckimpuls (s. Abbildung)
(15.99a)
ergibt sich unter Berücksichtigung der im Beispiel unipolarer Rechteckimpuls als (A.1) angegebene Gleichung für
. Durch die FOURIER-Transformation gemäß (15.87b), (15.87c) erhält man
(15.99b)
woraus mit (15.98a) folgt
(15.99c)
Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -a|t|
Bildfunktion zur Originalfunktion
(15.98a)
Unter Berücksichtigung von
für
und
für
findet man mit (15.73)
(15.98b)
Da
und
ist, existiert der Grenzwert für
, so daß sich ergibt
(15.98c)
Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -at
Bildfunktion zur Originalfunktion
:
Die Funktion ist nicht FOURIER-transformierbar, weil der Grenzwert
nicht existiert.
Dämpfungssatz
Für
, reell und
in
gilt
(15.88a)
oder
(15.88b)
Fourier-Transformation und Umkehrtransformation
●
●
●
●
●
Definition und Existenz der Fourier-Transformation
Fourier-Sinus- und Fourier-Kosinus-Transformation
Exponentielle Fourier-Transformation
Tabellen der Fourier-Transformation
Spektralinterpretation der FOURIER-Transformation
Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
Die Differentialgleichung
(15.101a)
d.h. mit der Funktion
der folgenden linken Abbildung, wird durch die FOURIER-Transformation
(15.101b)
in die algebraische Gleichung
(15.101c)
überführt, so daß sich
(15.101d)
ergibt.
Die Rücktransformation führt auf
(15.101e)
und
(15.101f)
Die Funktion (15.101f) ist in der rechten Abbildung graphisch dargestellt.
Differentiation im Bildbereich und im Originalbereich
1. Differentiation im Bildbereich: Ist
FOURIER-transformierbar, dann gilt
(15.89)
wobei mit
die
-te Ableitung von
bezeichnet ist.
2. Differentiation im Originalbereich:
a) Erste Ableitung:
Ist eine Funktion
stetig und absolut integrierbar in
und strebt sie für
gegen Null und existiert, ausgenommen gewisse Punkte, überall die Ableitung
, die in
absolut integrierbar sein muß, dann gilt
(15.90a)
b)
-te Ableitung:
Stellt man in der Verallgemeinerung des Satzes für die 1. Ableitung an alle weiteren Ableitungen bis zur
-ten
die gleichen Anforderungen, dann gilt
(15.90b)
Diese Differentiationsregeln werden bei der Lösung von Differentialgleichungen angewendet.
Exponentielle Fourier-Transformation
Im Unterschied zu
gemäß (15.73) wird
(15.78)
exponentielle FOURIER- Transformation genannt. Es gilt
(15.79)
Exponentielle Fourier-Transformationen
Obwohl
) gemäß (15.77a) durch
angegeben, für die
=2
und
darstellbar ist, sind hier noch einige Transformationen direkt
(s. (15.79)) gilt.
=
Nr.
1
,
0,
sonst
2
0
,
0,
3
sonst
,
0
,
0,
4
0,
,
0
,
Integration im Bildbereich
Wenn die Funktion
Funktion
in
absolut integrierbar ist, dann besitzt die FOURIER-Transformierte der
stetige Ableitungen, die mit Hilfe von
(15.91a)
bestimmt werden. Dabei ist
, und es gilt:
(15.91b)
Unter den gemachten Voraussetzungen folgt aus diesen Beziehungen
(15.91c)
Integration im Originalbereich und PARSEVALsche Formel
1. Integrationssatz: Wenn die Voraussetzung
(15.92a)
erfüllt ist, dann gilt
(15.92b)
2. PARSEVALsche Formel: Wenn die Funktion
sowie ihre Quadrate im Intervall
integrierbar ist, dann gilt
(15.93)
Fourier-Sinus- und Fourier-Kosinus-Transformation
In der FOURIER-Transformation (15.73) kann der Integrand in Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt werden. Dann
ergibt sich die Sinus- bzw. Kosinus - FOURIER- Transformation .
1. Fourier-Sinus-Transformation:
(15.76a)
2. Fourier-Kosinus-Transformation:
(15.76b)
3. Umrechnungsformeln: Zwischen der FOURIER-Sinus- (15.76a) und der FOURIER- Kosinus- Transformation
(15.76b) einerseits und der FOURIER- Transformation (15.73) andererseits bestehen die folgenden
Umrechnungsformeln:
(15.77a)
(15.77b)
(15.77c)
Für gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) ergibt sich die Darstellung
(15.77d)
(15.77e)
Kosinus-Fourier-Transformationen
●
●
●
●
●
●
●
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 7 von 7
Rechenregeln zur Fourier-Transformation
Wie bei der LAPLACE-Transformation bereits bemerkt, versteht man unter Rechenregeln im Zusammenhang mit
Integraltransformationen die Abbildung gewisser Operationen im Originalbereich auf andere Operationen im
Bildbereich. Wenn vorausgesetzt wird, daß die beiden Funktionen
und
im Intervall
absolut integrierbar sind und ihre FOURIER-Transformierten
(15.84)
gebildet werden können, dann gelten die im folgenden formulierten Regeln.
●
●
●
●
●
●
●
Additionssatz, Ähnlichkeitssatz
Verschiebungssatz
Dämpfungssatz
Differentiation im Bildbereich und im Originalbereich
Integration im Bildbereich
Integration im Originalbereich und PARSEVALsche Formel
Faltung
Sinus-Fourier-Transformationen
●
●
●
●
●
●
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 6
Bildfunktionen spezieller Funktionen
●
●
●
●
Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -a|t|
Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -at
Bildfunktion zum bipolaren Rechteckimpuls
Bildfunktion zur gedämpften Schwingung
Fourier-Transformationen
In den Tabellen vorkommende Symbole sind wie folgt definiert:
In der Tabelle vorkommende Abkürzungen für Funktionen entsprechen den in den Kapiteln eingeführten Definitionen.
●
●
●
Kosinus-Fourier-Transformationen
Sinus-Fourier-Transformationen
Exponentielle Fourier-Transformationen
Tabellen der Fourier-Transformation
Auf Grund der Formeln (15.77a,b,c) brauchen entweder keine speziellen Tabellen für Korrespondenzen der FOURIERSinus- und FOURIER-Kosinus-Transformation bereitgestellt zu werden, oder man tabelliert die FOURIER-Sinus- und
FOURIER-Kosinus-Transformationen und berechnet daraus mit Hilfe von (15.77a,b,c)
die FOURIER-Kosinus-Transformationen und die FOURIER-Sinus-Transformationen
einige Funktionen die
exponentiellen FOURIER-Transformationen
Beispiel
.
. In den Tabellen sind
und
tabelliert und für
Die Funktion des unipolaren Rechteckimpulses
(s. Abbildung) erfüllt die Voraussetzungen der Definition des FOURIER-Integrals (15.65a).
Man erhält für die Koeffizienten gemäß (15.67b,c)
und damit nach (15.67a)
Bei Berücksichtigung der Sprungstellen erhält man gemäß (15.65c)
Unterabschnitte
●
●
●
1. Definition der Fourier-Transformation:
2. Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion:
3. Nicht Fourier-transformierbare Funktionen:
Definition und Existenz der Fourier-Transformation
1. Definition der Fourier-Transformation:
Die FOURIER-Transformation ist eine Integraltransformation der Form (15.1a), die aus dem FOURIER-Integral (15.65b)
dadurch entsteht, daß man
(15.71)
substituiert. Damit erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen der reellen Originalfunktion
und der im
allgemeinen komplexen Bildfunktion
:
(15.72)
In der Kurzschreibweise verwendet man das Zeichen
:
(15.73)
2. Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion:
Die Originalfunktion
mit dem Parameter
heißt FOURIER-transformierbar, wenn das Integral (15.71), also ein uneigentliches Integral
existiert. Wenn das FOURIER-Integral nicht als gewöhnliches uneigentliches Integral existiert,
ist es als CAUCHYscher Hauptwert zu verstehen. Die Bildfunktion
sie ist beschränkt, stetig und strebt für
nennt man auch FOURIER-Transformierte ;
gegen Null:
(15.74)
Existenz und Beschränktheit von
folgen direkt aus der offensichtlich gültigen Ungleichung
(15.75)
Für die Stetigkeit von
und die Eigenschaft
für
ist die Existenz der FOURIER-
Transformierten eine hinreichende Bedingung. Diese Aussage wird häufig in folgender Form benutzt: Wenn die
Funktion
von
in
absolut integrierbar ist, dann ist ihre FOURIER-Transformierte eine stetige Funktion
, und es gilt (15.74).
3. Nicht Fourier-transformierbare Funktionen:
Folgende Funktionen sind nicht FOURIER-transformierbar: konstante Funktionen, beliebige periodische Funktionen
(z.B.
), Potenzfunktionen, Polynome, Exponentialfunktionen (z.B.
, Hyperbelfunktionen).
Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation
Zwischen FOURIER- und LAPLACE-Transformation besteht ein enger Zusammenhang, der dadurch gegeben ist, daß
sich die FOURIER-Transformation als Spezialfall der LAPLACE-Transformation für den Fall
ergibt. Daraus
folgt, daß jede FOURIER-transformierbare Funktion auch LAPLACE-transformierbar ist, während das Umgekehrte nur
für einen kleineren Kreis von Funktionen
möglich ist. Die folgende Tabelle enthält einen Vergleich einer Reihe
von Eigenschaften der beiden Integraltransformationen.
Tabelle Vergleich der Eigenschaften von FOURIER- und LAPLACE-Transformation
FOURIER-Transformation
ist reell, physikalisch deutbar, z.B. als Frequenz
Ein Verschiebungssatz
LAPLACE-Transformation
ist komplex,
Zwei Verschiebungssätze
Intervall:
Intervall:
Lösung von Differentialgleichungen,
die Probleme mit diesem
zweiseitigem Definitionsbereich beschreiben,
z.B. die Wellen-Gleichung
Lösung von Differentialgleichungen,
die Probleme mit diesem
einseitigen Definitionsbereich beschreiben,
z.B. die Wärmeleitungs-Gleichung
Differentiationssatz enthält keine Anfangswerte
Differentiationssatz enthält Anfangswerte
Konvergenz des FOURIER-Integrals hängt
Konvergenz des LAPLACE-Integrals wird durch
nur von
ab
Genügt der zweiseitigen Faltung
den Faktor
verbessert
Genügt der einseitigen Faltung
Verschiebungssatz
Für
, reell und
reell gilt
(15.87a)
oder
(15.87b)
Ersetzt man in (15.87b)
durch
, dann ergibt sich
(15.87c)
Flächeninterpretation der Wahrscheinlichkeit, Quantil
Durch die Einführung der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlickeitsdichte in (16.42) kann die Wahrscheinlichkeit
als Flächeninhalt interpretiert werden, und zwar als Inhalt der Fläche zwischen
Dichtefunktion
und der Abszisse im Intervall
Häufig wird eine Wahrscheinlichkeit
(s. linke Abbildung).
vorgegeben. Gilt
(16.46)
dann nennt man die zugehörige Abszisse
Quantil oder auch Fraktil der Verteilung (s. rechte Abbildung).
Das bedeutet: Der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion
allerdings auch die Fläche links von
rechts von
ist gleich
. In der Literatur wird
zur Definition des Quantils verwendet.
In der mathematischen Statistik wird für kleine Werte
(z.B.
oder
) manchmal der Begriff
Irrtumswahrscheinlichkeit verwendet. Die dazugehörigen Quantile sind für die wichtigsten praktischen Verteilungen
tabelliert worden (s. Tabelle POISSON-Verteilung bis Tabelle STUDENT-Verteilung).
Fredholmsche Sätze
Zur FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art
(11.21a)
ist durch
(11.21b)
eine zugehörige transponierte Integralgleichung gegeben. Zu diesem Paar von Integralgleichungen lassen sich
folgende Aussagen treffen (s. auch Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen).
1.
Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art besitzt nur abzählbar viele Eigenwerte, welche sich nur im
Unendlichen häufen können, d.h., es existieren für jede reelle Zahl
.
2.
nur endlich viele Eigenwerte
mit
Ist
kein Eigenwert von (11.21a), dann sind beide inhomogene Integralgleichungen für beliebige
Störfunktionen
bzw.
eindeutig lösbar, und die zugehörigen homogenen Integralgleichungen
besitzen nur die triviale Lösung.
3.
ein Eigenwert von (11.21a), dann ist
auch Eigenwert der transponierten Gleichung (11.21b). Beide
Ist
homogene Integralgleichungen haben dann nicht verschwindende Lösungen, und die Anzahl linear
unabhängiger Eigenfunktionen stimmt für beide Gleichungen überein.
4.
Eine inhomogene Integralgleichung ist genau dann lösbar, wenn die Störfunktion zu allen Lösungen der
homogenen transponierten Integralgleichung orthogonal ist, d.h. falls für alle Lösungen der Integralgleichung
(11.22a)
gilt
(11.22b)
Aus diesen Sätzen folgt der FREDHOLMsche Alternativsatz : Entweder die inhomogene Integralgleichung ist für
beliebige Störfunktion
lösbar oder die zugehörige homogene Gleichung besitzt nichttriviale Lösungen.
Fredholmsche Alternative
Sei
ein kompakter linearer Operator in einem BANACH-Raum
Art mit einem Parameter
. Es werden die folgenden Gleichungen zweiter
betrachtet:
(12.185a)
(12.185b)
Es gelten:
1.
dim
dim
, d.h., die homogenen Gleichungen haben stets dieselbe
endliche Anzahl von linear unabhängigen Lösungen.
2.
und
Orthogonalität im BANACH-Raum gemeint.)
3.
. (Hier ist die
genau dann, wenn
.
4.
Die FREDHOLMsche Alternative (auch RIESZ-SCHAUDER-Theorie genannt), d.h. entweder:
a) Die homogene Gleichung besitzt nur die triviale Lösung. In diesem Falle gilt
Operator
, der
ist beschränkt, und die inhomogene Gleichung besitzt genau eine Lösung
für beliebiges
, oder:
b) Die homogene Gleichung besitzt wenigstens eine nichttriviale Lösung. In diesem Falle gilt:
Eigenwert von
, also
, und die inhomogene Gleichung besitzt eine (nicht eindeutige)
Lösung genau dann, wenn die rechte Seite
inhomogenen Gleichung in der Form
Lineare Gleichungen der Gestalt
der Bedingung
für jede Lösung
der
genügt. In letzterem Fall erhält man jede Lösung der
adjungierten Gleichung
Gleichung und
ist ein
, wobei
eine feste Lösung der inhomogenen
ist.
mit kompaktem Operator
ist im allgemeinen etwas schwieriger (s. Lit. 12.12, 12.21).
nennt man von erster Art. Ihre Behandlung
Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
Die Koeffizienten
können auf folgende Weise bestimmt werden. Die Gleichung (11.6c) wird mit
multipliziert und anschließend bezüglich
in den Grenzen von
bis
integriert:
(11.7a)
Die linke Seite dieser Gleichung ist nach (11.6b) gleich
. Mit den Abkürzungen
(11.7b)
erhält man für
:
(11.7c)
Es ist möglich, daß die Integrale nicht exakt ausgewertet werden können. In diesem Fall muß man zur numerischen
Integration mit Hilfe einer Näherungsformel übergehen. Das lineare Gleichungssystem (11.7c) besteht aus
Gleichungen für die Unbekannten
:
(11.7d)
Approximation des Integrals
●
●
Semidiskretes Problem
NYSTRÖM-Verfahren
Formulierung der Aufgabe
Zur Behandlung der FREDHOLMschen Integralgleichung 1. Art mit ausgeartetem Kern
(11.38a)
werden wie beim im Abschnitt FREDHOLMsche Integralgleichungen 2. Art die Konstanten
(11.38b)
eingeführt. Die Gleichung (11.38a) besitzt die Darstellung
(11.38c)
d.h., nur wenn
eine Linearkombination der Funktionen
eine Lösung. Ist diese Bedingung erfüllt, dann sind die Konstanten
ist, hat die Integralgleichung
bekannt.
Iterationsverfahren
Ähnlich dem PICARDschen Iterationsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen soll eine Methode
zur iterativen Bestimmung der Lösung einer FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art angegeben werden.
Ausgehend von der Gleichung
(11.10)
wird sukzessiv eine Folge von Funktionen
. Alle folgenden
ermittelt. Als erste Iterierte setzt man
erhält man mittels der Vorschrift:
(11.11a)
Führt man die Schritte im einzelnen aus, so ist zunächst
(11.11b)
Nach der angegebenen Iterationsvorschrift ist dieser Ausdruck anstelle von
in die rechte Seite von (11.10)
einzusetzen. Zur Vermeidung von Verwechslungen soll in (11.11b) die Integrationsvariable
in
umbenannt
werden. Man erhält:
(11.11c)
(11.11d)
Führt man die Bezeichnungen
nennt
wieder
, so kann
und
geschrieben werden als
ein und
(11.11e)
Mit der Bezeichnung
(11.11f)
erhält man auf analoge Weise die Darstellung für die
-te Iterierte
:
(11.11g)
Der Ausdruck
wird als
- ter iterierter Kern von
bezeichnet.
Iteratives Verfahren
Zur Lösung der Integralgleichung
(11.54a)
bildet man mit
für
die Funktionen
(11.54b)
und
(11.54c)
Existiert eine quadratisch integrierbare Lösung
von (11.54a), dann gilt:
(11.54d)
Durch Orthogonalisierung und Normierung der nach (11.54b,c) ermittelten Funktionensysteme erhält man die
Orthonormalsysteme
und
verwendet, dann besitzt
die Darstellung
. Wird hierzu das SCHMIDTsche Orthogonalisierungsverfahren
(11.54e)
Es wird nun angenommen, daß die Lösung
der Gleichung (11.54a) die Reihendarstellung
(11.54f)
besitzt. In diesem Fall gilt für die Koeffizienten
unter Beachtung von (11.54d)
(11.54g)
Für die Existenz einer Lösungsdarstellung (11.54f) sind die folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend:
(11.55a)
(11.55b)
Kernapproximation
Man ersetzt den Kern
durch einen Kern
mit
für
,
. Diesen Kern wählt man so, daß die resultierende Integralgleichung
(11.30)
möglichst einfach zu lösen ist.
●
●
Tensorprodukt-Approximation
Spezieller Spline-Ansatz
Kollokationsmethode
Es werden
auf dem Intervall
linear unabhängige Funktionen
Funktionen bildet man eine Ansatzfunktion
für die Lösung
vorgegeben. Mit diesen
:
(11.37a)
Die Aufgabe besteht in der Bestimmung der Koeffizienten
im allgemeinen keine Werte
. Für eine so definierte Funktion
wird es
geben, so daß damit die exakte Lösung der Integralgleichung (11.23)
vorliegt. Deshalb gibt man sich im Integrationsintervall
Stützstellen
vor und fordert,
daß der Ansatz (11.37a) die Integralgleichung zumindest an diesen Stellen erfüllt:
(11.37b)
(11.37c)
Etwas umgeformt hat dieses Gleichungssystem die Gestalt:
(11.37d)
mit
.
Definiert man die Matrizen
(11.37e)
und die Vektoren
(11.37f)
dann kann das Gleichungssystem zur Bestimmung der Zahlen
in Matrizenform angegeben werden:
(11.37g)
Beispiel
.
Ansatz:
Stützstellen:
.
.
.
Das Gleichungssystem lautet:
Man erhält als Lösung dieses Systems
und somit
mit
.
Die exakte Lösung der Integralgleichung ist
mit
.
Soll in diesem Beispiel die Genauigkeit verbessert werden, empfiehlt es sich nicht, den Grad des
Polynomansatzes zu erhöhen, da Polynome höheren Grades numerisch instabil sind. Es sind vielmehr
verschiedene Spline-Funktionenansätze vorzuziehen, etwa der stückweise lineare Ansatz
mit den bereits unter Kernapproximation angeführten
Funktionen
Die Lösung
wird in diesem Fall durch einen Polygonzug
angenähert.
Hinweis: Die Wahl der Lage der Stützstellen für das Kollokationsverfahren ist prinzipiell ohne Beschränkung. Ist jedoch
bekannt, daß die Lösungsfunktion in einem Teilintervall stark oszilliert, dann sollten in diesem Intervall die Stützstellen
dichter gelegt werden.
FREDHOLMsche Integralgleichungen
Die FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
(12.64)
mit stetigem Kern und stetiger rechter Seite kann man iterativ lösen, indem sie mit Hilfe des Operators
, definiert durch
(12.65)
in ein Fixpunktproblem
im metrischen Raum
angewendet wird, vorausgesetzt, es gilt
als gleichmäßigen Grenzwert der Iterationsfolge
(s. Beispiel J) überführt und der Fixpunktsatz
. Die eindeutige Lösung erhält man
, beginnend mit einer beliebigen Funktion
.
Lösungen
Die Koeffizientenmatrix ist regulär, wenn die linere Unabhängigkeit der Funktionen
vorausgesetzt wird. Die so ermittelte Lösung (11.39a) ist jedoch nicht die einzige Lösung der Integralgleichung. Im
Gegensatz zur FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art mit ausgeartetem Kern ist die homogene Integralgleichung
immer lösbar. Ist
dann ist auch
eine solche Lösung der homogenen Gleichung und
eine Lösung von (11.38a),
eine Lösung von (11.38a).
Um alle Lösungen der homogenen Gleichung zu bestimmen, wird die Gleichung (11.38c) mit
Werden die Funktionen
betrachtet.
als linear unabhängig vorausgesetzt, dann ist die Gleichung genau
dann erfüllt, wenn gilt
(11.40)
d.h., jede zu allen Funktionen
orthogonale Funktion
löst die homogene Integralgleichung.
Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art
Sind
bzw.
beliebige Lösungen der inhomogenen bzw. homogenen Integralgleichungen
(11.48a)
bzw.
(11.48b)
dann ist auch die Summe
eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung. Deshalb sollen
zunächst alle Lösungen der homogenen Integralgleichung bestimmt werden. Diese Aufgabe ist identisch mit der
Ermittlung aller nichttrivialen Lösungen des linearen Gleichungssystems
(11.49)
Da dessen Auflösung mitunter schwierig ist, kann das folgende Verfahren zur Berechnung der homogenen Lösungen
herangezogen werden.
Liegt ein vollständiges Orthonormalsystem
vor, dann werden die Funktionen
(11.50a)
gebildet. Ist
eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung, d.h., es gilt
(11.50b)
dann ergibt sich nach Multiplikation dieser Gleichung mit
und anschließender Integration bezüglich
(11.50c)
d.h., eine beliebige Lösung
Wird das System
der homogenen Gleichung muß orthogonal zu allen Funktionen
durch das, mit Hilfe einer Orthonormnierung daraus hervorgehende System
ersetzt, dann lautet die Bedingung (11.50c) jetzt:
sein.
(11.50d)
Wird das System
zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzt, dann erfüllt offensichtlich jede
Linearkombination der ergänzten Funktionen die Bedingung (11.50d). Ist das Orthonormalsystem
vollständig, dann existiert nur die triviale Lösung
bereits
.
In ganz entsprechender Weise kann auch das Lösungssystem der folgenden transponierten homogenen
Integralgleichung bestimmt werden:
(11.50e)
Beispiel
.
Orthonormalsystem:
,
.
Zweimalige Anwendung von (11.47) ergibt
.
Das System
ist bereits orthonormiert. Die Funktion
System. Die homogene Gleichung besitzt also nur die Lösungen
vervollständigt dieses
.
Lösungsansatz im Falle von Produktkernen
Die Auflösung FREDHOLMscher Integralgleichungen 2. Art mit ausgearteten Kernen führt auf ein endlich
dimensionales lineares Gleichungssystem. Man betrachte die Integralgleichung
(11.4a)
mit
(11.4b)
Die Funktionen
und
stetig vorausgesetzt. Weiterhin sollen die Funktionen
seien in dem Intervall
definiert und dort als
voneinander linear unabhängig sein,
d.h., die Beziehung
(11.5)
mit konstanten Koeffizienten
ist nur mit
für alle
aus
erfüllt.
Aus (11.4a) und (11.4b) folgt:
(11.6a)
Die auftretenden Integrale hängen nicht mehr von der Variablen
ab, sind also gewisse konstante Werte, die mit
bezeichnet werden sollen:
(11.6b)
Die Lösungsfunktion
setzt sich, falls sie existiert, additiv aus der Störfunktion
Linearkombination der Funktionen
und einer
zusammen:
(11.6c)
Lösungsansatz
Der Lösungsansatz
(11.39a)
mit den unbekannten Koeffizienten
führt nach Einsetzen in (11.38b) auf die Beziehungen
(11.39b)
Nach Einführung der Bezeichnung
(11.39c)
ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten
:
(11.39d)
Lösungsansatz
Eine Reihe von Verfahren zur Lösung von FREDHOLMschen Integralgleichungen 1. Art
(11.41)
geht von einer Darstellung der Lösung
als Funktionenreihe bezüglich eines Funktionensystems
aus, d.h., es wird der Lösungsansatz
(11.42)
mit zunächst unbestimmten Koeffizienten
gewählt. Bei der Wahl des Funktionensystems
ist zu
beachten, daß durch diese Funktionen der gesamte Raum der Lösungen erfaßt wird und die Koeffizienten
geeignet dargestellt werden können.
Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden die nachfolgenden Ausführungen auf reellwertige Funktionen beschränkt.
Alle Aussagen sind aber auf komplexwertige Funktionen übertragbar. Für die Begründung der darzulegenden
Lösungsverfahren sind einige Forderungen an die Kernfunktion
zu stellen (s. Lit. 11.2, 11.10). Diese
Forderungen werden stets als erfüllt angesehen. Zunächst werden einige Hilfsmittel erläutert.
Fredholmsche Lösungsmethode
●
●
Näherungslösung durch Diskretisierung
Bestimmung der Resolvente
Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares
Gleichungssystem
●
Problemstellung
Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
Häufig wird eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
(11.23)
mit einem der bisher unter FREDHOLMsche Integralgleichungen 2. Art beschriebenen Verfahren entweder gar nicht
oder nur mit großem Aufwand exakt gelöst werden können. In einem solchen Fall müssen numerische
Näherungsmethoden herangezogen werden. Es sollen im folgenden drei Verfahrensklassen zur numerischen Lösung
von Integralgleichungen des Typs (11.23) vorgestellt werden.
●
●
●
Approximation des Integrals
Kernapproximation
Kollokationsmethode
NYSTRÖM-Verfahren
Beim sogenannten NYSTRÖM-Verfahren verwendet man zur Approximation des Integrals die GAUSSschen Quadraturformeln.
Zu deren Herleitung betrachte man das Integral
(11.27a)
Man ersetzt den Integranden durch ein Polynom
, welches die Funktion
in den Stützstellen
interpoliert:
(11.27b)
Für das so definierte Polynom
gilt:
(11.27c)
Die Ersetzung des Integranden
durch
liefert die Quadraturformel
(11.27d)
mit
(11.27e)
Für die GAUSSschen Quadraturformeln ist die Wahl der Stützstellen nicht willkürlich, sondern erfolgt nach der Vorschrift:
(11.28a)
Die
Zahlen
sind die
Nullstellen des LEGENDREschen Polynoms 1. Art
(11.28b)
Diese Nullstellen liegen alle im Intervall
ermittelt werden:
. Die Koeffizienten
können durch die Substitution
(11.29)
In der folgenden Tabelle sind für
die Nullstellen der LEGENDREschen Polynome sowie die Gewichte
angegeben.
Tabelle Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art
Beispiel
ist näherungsweise nach
Die Integralgleichung
dem NYSTRÖM-Verfahren für den Fall
zu lösen.
Das Gleichungssystem (11.25c) zur Ermittlung von
Lösung des Systems:
Lösung in den Stützstellen sind:
und
lautet:
. Die Werte der exakten
.
Problemstellung
Es soll ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten der Lösungsfunktion
Orthonormalsystems aufgestellt werden. Dazu wird ein vollständiges Orthonormalsystem
entsprechendes vollständiges Orthonormalsystem
besitzt die Funktion
möge auch für das Intervall
bezüglich eines
mit
gewählt. Ein
vorliegen. Bezüglich des Systems
die FOURIER-Reihe
(11.46a)
Die Multiplikation der Integralgleichung (11.41) mit
liefert:
und die anschließende Integration bezüglich
in den Grenzen von
bis
(11.46b)
Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist eine Funktion von
und möge die FOURIER-Darstellung
(11.46c)
besitzen. Mit dem FOURIER-Reihenansatz
(11.46d)
erhält man
(11.46e)
Auf Grund der Orthonormaleigenschaft (11.44b) ergibt sich das lineare Gleichungssystem
(11.46f)
Das ist ein System mit unendlich vielen Gleichungen zur Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten
. Die Koeffizientenmatrix
(11.46g)
wird als Kernmatrix bezeichnet. Die Zahlen
Orthonormalsysteme abhängig.
Beispiel
und
sind bekannte Größen, aber von der Wahl der
.
Das Integral ist dabei im Sinne des CAUCHYschen Hauptwertes zu verstehen. Als vollständige Orthogonalsysteme verwendet man:
.
1.
.
2.
Nach (11.46c) ergibt sich für die Koeffizienten der Kernmatrix
,
.
Für das innere Integral gilt die Beziehung
(11.47)
Daraus folgt
Die FOURIER-Koeffizienten von
lauten gemäß (11.46a)
.
Das Gleichungssystem lautet
Auf Grund der ersten Gleichung besitzt das System nur dann eine Lösung, wenn gilt
.
Es ist dann
, und
.
Algorithmus
Bestimmung einer normierten Funktion
, die zu allen Funktionen aus
orthogonal ist. Für
werden jeweils die folgenden Schritte durchlaufen:
1.
Berechnung der Funktion
sowie einer Zahl
aus
(11.51a)
(11.51b)
wobei
immer ungleich Null und so zu bestimmen ist, daß
Funktionen
normiert ist.
ist orthogonal zu allen
.
2.
Bestimmung der Funktion
sowie einer Zahl
aus
(11.51c)
Es können zwei Fälle eintreten:
a)
: Die Funktion
ist orthogonal zu allen Funktionen
.
: Die Funktion
ist nicht eindeutig bestimmt. Erneut werden zwei Fälle unterschieden:
b)
Das System
ist vollständig. Dann ist auch das System
vollständig, und das Verfahren ist beendet.
Das System
Funktionen orthogonale Funktion
ist nicht vollständig. Dann wird eine beliebige, zu diesen
gewählt.
Das Verfahren wird so lange wiederholt, bis die Orthonormalsysteme vollständig sind. Es ist möglich, daß im
Algorithmus von einem gewissen Schritt ab auch nach abzählbar unendlich vielen weiteren Schritten nicht der Fall b)
nicht vollständig,
eintritt. Ist die dabei erzeugte abzählbar unendliche Folge von Funktionen
dann kann mit einer zu allen diesen Funktionen orthogonalen Funktion
Werden die durch das Verfahren ermittelten Funktionen
das Verfahren neu gestartet werden.
sowie die Zahlen
geeignet
umbezeichnet, dann läßt sich die resultierende Kernmatrix K folgendermaßen darstellen:
(11.52)
Die Matrizen
sind endlich, wenn im Algorithmus nach endlich vielen Schritten der Fall
eintritt. Dagegen sind sie unendlich, wenn für abzählbar unendlich viele Schritte
gilt:
. Die
bzw.
Anzahl der Nullzeilen bzw. Nullspalten in K entspricht der Anzahl der Funktionen in den Systemen
. Ein besonders einfacher Fall liegt vor, wenn die Matrizen
nur eine Zahl
enthalten,
gleich Null sind.
also alle Zahlen
Mit den Bezeichnungen aus dem Abschnitt Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
ergibt sich für die Lösung des unendlichen Gleichungssystems unter der Voraussetzung von
für
:
(11.53)
Transponierte Integralgleichung
Es bleibt noch zu untersuchen, unter welchen Bedingungen im Fall
auch die inhomogene Integralgleichung eine
Lösung besitzt. Zu diesem Zweck führt man die zu (11.4a) transponierte Integralgleichung ein:
(11.9a)
Es sei
ein Eigenwert und
eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung (11.4a). Dann läßt sich zeigen, daß
auch Eigenwert der transponierten Gleichung ist. Man multipliziert beide Seiten von (11.4a) mit irgendeiner Lösung
homogenen transponierten Integralgleichung und integriert anschließend über
in den Grenzen von
bis
der
:
(11.9b)
Da
vorausgesetzt war, erhält man die Forderung
.
Insgesamt gilt also: Die inhomogene Integralgleichung (11.4a) ist für einen Eigenwert
genau dann lösbar, wenn die
orthogonal zu allen nichtverschwindenden Lösungen der homogenen transponierten Integralgleichung mit
Störfunktion
demselben
ist. Diese Aussage ist nicht auf Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen eingeschränkt, sondern gilt auch
für Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen.
Beispiel A
Die
sind linear abhängig. Man formt deshalb die Integralgleichung um:
.
Für diese Integralgleichung gilt:
Falls eine Lösung
existiert, hat sie die Darstellung
.
.
und
Damit lautet das System zur Bestimmung von
:
. Daraus ermittelt man
.
Beispiel B
und
, d.h.:
.
Das System (11.7d) lautet also
Lösung für alle
mit
. Es besitzt eine eindeutige
. Dann ist
, und die Integralgleichung hat die Lösung
Die Eigenwerte der Integralgleichung
sind
.
hat somit nichttriviale Lösungen der
Die homogene Integralgleichung
. Für
Form
beliebigen Konstanten
:
erhält man:
ist
, und mit einer
. Entsprechend ermittelt man für
mit einer beliebigen Konstanten
.
Hinweis: Das angegebene Lösungsverfahren ist besonders einfach, bleibt aber auf ausgeartete Kerne beschränkt. Die
Methode kann jedoch auch für Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen als Näherungsverfahren angewendet werden,
indem man den Kern durch einen ausgearteten Kern hinreichend gut approximiert.
Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem
gegebenen Kern
●
●
Prinzipielle Vorgehensweise
Algorithmus
6. Grundaufgabe WWS
Gegeben: 2 Winkel und die einem Winkel gegenüberliegende Seite, z.B.
Bedingungen: Siehe Fallunterscheidung.
Lösung: Gesucht beliebige fehlende Größe .
(3.207)
2 Werte
sind möglich. Es sei
spitz und
stumpf.
Fallunterscheidung:
1.
d.h. 0 Lösungen.
2.
d.h. 1 Lösung
3.
d.h. weitere Fallunterscheidungen sind notwendig:
3.1.
Weitere Fallunterscheidung:
3.1.1.
d.h. 1 Lösung
3.1.2.
.
d.h. 1 Lösung
3.2.
.
Weitere Fallunterscheidung:
3.2.1.
,
d.h. 2 Lösungen
3.2.2.
.
,
d.h. 0 Lösungen.
Fortführung: Weitere Berechnung mit einer Seite oder 2 Seiten
.
Hinweis Die Lösung der 6. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden, wobei die Seiten
und
auftreten.
Dazu wird von
das sphärische Lot auf
bis
gefällt.
Formeln zur 6. Grundaufgabe bei Zerlegung in zwei rechtwinklige sphärische Dreiecke:
1. Weg:
(3.208a)
(3.208b)
(3.208c)
(3.208d)
(3.208e)
(3.208f)
2. Weg:
(3.209a)
(3.209b)
Probe: Doppelte Berechnung von
Beispiel A Dreiseitige Pyramide
Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundfläche
und die Spitze
Die Seitenflächen
und
Kanten
und
und
und
schneiden sich unter
unter
und
unter
. Wie groß sind die Winkel, unter denen sich je zwei der
schneiden?
Lösung: Aus einer Kugelfläche um die Spitze
der Pyramide schneidet das Dreikant ein sphärisches
Dreieck mit den Seiten
aus. Die Winkel zwischen den Seitenflächen sind die Winkel des
sphärischen Dreiecks, die gesuchten Winkel zwischen den Kanten sind seine Seiten. Die Bestimmung der
Winkel
entspricht der 2. Grundaufgabe. Die 2. Lösung liefert:
Beispiel B Funkpeilung
Durch Funkpeilung von zwei festen Stationen
und
und
der von einem Schiff ausgesandten Funkwellen gepeilt.
wurden die Azimute
Gesucht sind die geographischen Koordinaten des Standortes
des Schiffes. Die in der Nautik unter
dem Namen Fremdpeilung bekannte Aufgabe stellt einen Vorwärtseinschnitt auf der Kugel dar und wird
ähnlich dem Vorwärtseinschnitt in der Ebene gelöst.
1. Berechnung im Dreieck
: Im Dreieck
sind die Seiten
und der Winkel
gegeben. Die Berechnung der Winkel
und der Strecke
erfolgt gemäß
3. Grundaufgabe.
2. Berechnung im Dreieck
die Seite
und
: Da
und die anliegenden Winkel
sind in
und
bekannt. Berechnung der Seiten
gemäß 4. Grundaufgabe, 3. Lösung. Die Koordinaten des Punktes
und der Entfernung gegen
oder
3. Berechnung im Dreieck
sind aus dem Azimut
, also doppelt berechenbar.
: Im Dreieck
sind die zwei Seiten
und der eingeschlossene Winkel
gegeben.
Nach der 3. Grundaufgabe, 1. Lösung, werden die Seiten
berechnet. Zur Kontrolle werden im Dreieck
und der Winkel
Breite
berechnet. Damit sind die Länge
des Punktes
bekannt.
und der Winkel
ein zweites Mal
und die
Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion
Die Formel (7.107a) kann als Grenzfall der Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion
trigonometrische Reihe im Intervall
für
aufgefaßt werden.
Mit Hilfe der FOURIERschen Reihenentwicklung wird eine periodische Funktion mit der Periode
harmonischer Schwingungen mit den Frequenzen
in eine
mit
als Summe
und den Amplituden
dargestellt. Diese Darstellung beruht somit auf einem diskreten Frequenzspektrum .
Im Unterschied dazu wird mit Hilfe des FOURIER-Integrals die nichtperiodische Funktion
vieler harmonischer Schwingungen mit stetig variierender Frequenz
eine Entwicklung der Funktion
die Dichte des Spekrums:
als Summe unendlich
dargestellt. Das FOURIER-Integral liefert somit
in ein kontinuierliches Frequenzspektrum . Hierbei entspricht der Frequenz
(7.107c)
Das FOURIER-Integral ist von einfacherer Form, wenn die Funktion
entweder a) eine gerade oder b) eine
ungerade Funktion ist:
(7.108a)
(7.108b)
Beispiel
Für die gerade Funktion
Darstellung der Funktion zu
ergeben sich die Dichte des Frequenzspektrums und die
(7.109a)
und
(7.109b)
Fresnelsche Integrale
Zur Herleitung der FRESNELschen Integrale
(14.62)
wird das Integral
untersucht.
mit dem in der folgenden Abbildung skizzierten geschlossenen Integrationsweg
Nach dem Integralsatz von CAUCHY gilt:
,
Abschätzung von
mit
,
: Unter Beachtung von
gilt:
Führt man den Grenzübergang
durch, dann lassen sich die Integrale
und
auswerten:
und durch Trennung von Real- und Imaginärteil erhält man die angegebenen
Formeln (14.62).
Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl
kann man als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis
auf die Reihenfolge der Faktoren. Man sagt, daß
genau eine Primfaktorenzerlegung besitzt.
Beispiel
Hinweis: Analog kann man ganze Zahlen (außer -1, 0, 1) eindeutig bis auf Vorzeichen und Reihenfolge der Faktoren
als Produkt von Primelementen darstellen.
Spezieller Fall zweier Funktionen
Zwei Funktionen zweier Veränderlicher
und
, die beide in demselben Gebiet definiert
sind, werden als abhängige Funktionen bezeichnet, wenn die eine durch die andere gemäß
ausgedrückt werden kann. Für jeden Punkt des Definitionsbereiches gilt dann die Identität
(2.270)
Existiert keine solche Funktion
oder
spricht man von unabhängigen Funktionen .
Beispiel
definiert im Gebiet
Funktionen, da
gilt.
sind abhängige
Hinreichende Konvergenzkriterien
Wenn sich die unmittelbare Berechnung der Grenzwerte (8.77), (8.78a) und (8.78b) schwierig gestaltet oder wenn
lediglich nach der Konvergenz oder Divergenz eines uneigentlichen Integrals gefragt ist, dann kann eines der
folgenden hinreichenden Kriterien benutzt werden. Hier wird lediglich das Integral (8.77) betrachtet. Das Integral
(8.78a) kann durch Substitution von
durch
auf das Integral vom Typ (8.77) zurückgeführt werden:
(8.79)
Das Integral vom Typ (8.78b) wird in eine Summe aus zwei Integralen vom Typ (8.77) und vom Typ (8.78a) zerlegt:
(8.80)
wobei
eine beliebige Zahl ist.
1. Kriterium: Wenn das Integral
(8.81)
existiert, dann existiert auch das Integral (8.77). Das Integral (8.77) heißt in diesem Falle absolut konvergent und die
Funktion
absolut integrierbar auf der Halbachse
2. Kriterium: Wenn für die Funktionen
und
.
mit
(8.82a)
die Bedingung
(8.82b)
gilt, dann darf von der Konvergenz des Integrals
(8.82c)
auf die Konvergenz des Integrals
(8.82d)
geschlossen werden und umgekehrt von der Divergenz des Integrals (8.82d) auf die Divergenz des Integrals (8.82c).
3. Kriterium: Wird
(8.83a)
gesetzt und dabei beachtet, daß
(8.83b)
für
konvergiert und für
hergeleitet werden:
divergiert, dann kann aus dem 2. Konvergenzkriterium ein weiteres
Wenn
in
eine positive Funktion ist und wenn eine Zahl
existiert, so daß für
hinreichend große
(8.83c)
gilt, dann konvergiert das Integral (8.77); wenn allerdings
positiv ist und eine Zahl
existiert, so daß
(8.83d)
von einer gewissen Stelle an gilt, dann divergiert das Integral (8.77).
Beispiel
. Setzt man
ist divergent.
, dann ergibt sich
. Das Integral
Hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals mit
unbeschränktem Integranden
1. Wenn das Integral
existiert, dann existiert auch das Integral
in diesem Falle vom absolut konvergenten Integral und von der absolut integrierbaren Funktion
. Man spricht
in dem
betreffenden Intervall.
2. Wenn die Funktion
daß für hinreichend nahe bei
in dem Intervall
gelegene
positiv ist, und wenn es eine Zahl
derart gibt,
-Werte gilt
(8.89a)
dann konvergiert das Integral (8.87a). Wenn jedoch
im Intervall
derart existiert, daß für hinreichend nahe bei
-Werte gilt
gelegene
positiv ist und eine Zahl
(8.89b)
dann divergiert das Integral (8.87a).
Algebraische Funktionen
Algebraische Funktionen zeichnen sich durch eine Verknüpfung des Arguments
mit der Funktion
über eine
algebraische Gleichung der Form
(2.37)
aus, wobei
Polynome in
sind.
Beispiel
d.h.
Wenn es gelingt, eine algebraische Gleichung algebraisch nach
folgenden Typen der einfachsten algebraischen Funktionen vor:
aufzulösen, dann liegt einer der
1. Ganzrationale Funktionen oder Polynome:
Das Argument
wird nur den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation unterworfen.
(2.38)
Insbesondere bezeichnet man
als Konstante ,
als lineare Funktion
als quadratische Funktion .
und
2. Gebrochenrationale Funktionen:
Die gebrochenrationale Funktion kann immer als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt
werden:
(2.39a)
Insbesondere bezeichnet man
(2.39b)
als gebrochenlineare Funktion .
3. Irrationale Funktionen:
Außer den bei den gebrochenrationalen Funktionen genannten Operationen tritt hier das Argument
zusätzlich unter dem Wurzelzeichen auf.
Beispiel A
Beispiel B
Definition der analytischen Funktion
Eine Funktion
heißt in einem Gebiet
differenzierbar ist. Randpunkte von
, in denen
nicht existiert, sind singuläre Punkte von
ist genau dann in
Die Funktion
Ableitungen nach
analytisch , regulär oder holomorph , wenn sie in allen Punkten von
und
in
differenzierbar, wenn
und
.
stetige partielle
besitzen und dort die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen gelten:
(14.4)
Real- und Imaginärteil einer analytischen Funktion genügen für sich der LAPLACEschen Differentialgleichung
(14.5a)
(14.5b)
Die Ableitungen der elementaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden nach den gleichen Formeln
berechnet wie die Ableitungen der entsprechenden Funktionen einer reellen Veränderlichen.
Beispiel A
Beispiel B
Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
Die zyklometrischen Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Sie werden auch
inverse trigonometrische und Arkusfunktionen genannt. Zu ihrer eindeutigen Definition wird der Definitionsbereich der
trigonometrischen Funktionen in Monotonieintervalle zerlegt, so daß für jedes Monotonieintervall eine
Umkehrfunktion erhalten wird. Diese wird entsprechend dem zugehörigen Monotonieintervall mit dem Index
gekennzeichnet.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Definition der zyklometrischen Funktionen
Tabelle der Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen
Zurückführung auf die Hauptwerte
Beziehungen zwischen den Hauptwerten
Formeln für negative Argumente
Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y
Summe und Differenz von arccos x und arccos y
Summe und Differenz von arctan x und arctan y
Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x
Funktionsbegriff
●
●
●
●
●
●
Definition der Funktion
Methoden zur Definition einer reellen Funktion
Einige Funktionstypen
Grenzwert von Funktionen
Größenordnung von Funktionen und LANDAU-Symbole
Stetigkeit einer Funktion
Beschränkte Funktionen
Funktionen heißen nach oben beschränkt , wenn ihre Werte eine bestimmte Zahl ( obere Schranke ) nicht
übertreffen, und nach unten beschränkt , wenn ihre Werte nicht kleiner als eine bestimmte Zahl ( untere Schranke )
sind. Ist eine Funktion nach oben und nach unten beschränkt, dann nennt man sie schlechthin beschränkt .
Beispiel A
ist nach oben beschränkt
Beispiel B
ist nach unten beschränkt
Beispiel C
ist beschränkt
Beispiel D
ist beschränkt
Beispiele für Vektorräume von Funktionen
Beispiel A: Vektorraum
Sei
die Menge aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einer Menge
die Operationen punktweise erklärt werden, d.h., sind
aus
und
ein beliebiger Skalar, d.h.
und
, wobei für Funktionen
zwei beliebige Elemente
, dann definiert man die Elemente
und
wie folgt:
(12.12a)
(12.12b)
Der auf diese Weise erhaltene Vektorraum wird mit
sind unter anderen die Räume in den folgenden Beispielen:
bezeichnet. Hinweis: Teilräume dieses Vektorraumes
Beispiel B: Vektorraum
oder
Häufig wird dieser Vektorraum auch mit
bezeichnet. Im Falle von
erhält man den Raum
aus Beispiel D.
Beispiel C: Vektorraum
Menge
aller auf dem Intervall
stetigen Funktionen, wobei hier
betrachtet
wurde.
Beispiel D: Vektorraum
Sei
. Die Menge
aller Funktionen, die auf dem Intervall
stetig differenzierbar sind (s. Differentialrechnung), ist ein Vektorraum. In den Randpunkten
Intervalls
-mal
und
des
sind die Ableitungen als rechts- bzw. linksseitige zu verstehen.
Hinweis: Für die in den Beispielen A bis D bereitgestellten Vektorräume gelten im Falle von
die
Teilraumbeziehungen
(12.13)
Beispiel E: Vektorraum
Für einen beliebig fixierten Punkt
linearen Teilraum von
.
bildet die Menge
einen
Diskrete Funktionen
Ist eine Funktion
nur für diskrete Argumente
bekannt, so setzt man
Folge
und bildet die
. Eine solche entsteht z.B. in der Elektrotechnik durch ,,Abtastung`` einer Funktion
diskreten Zeitpunkten
. Ihre Wiedergabe erfolgt dann häufig als Treppenfunktion (s. Abbildung).
in den
Die Folge
und die nur für diskrete Argumente definierte Funktion
bezeichnet wird, sind äquivalent. Für die Folge
wird keine Konvergenz für
, die als diskrete Funktion
gefordert.
Meromorphe und doppelperiodische Funktionen
Man kann die JACOBIschen Funktionen in die komplexe
und dn
-Ebene analytisch fortsetzen. Die Funktionen sn
, cn
sind dann meromorphe Funktionen, d.h., sie besitzen außer Polstellen keine weiteren Singularitäten.
Außerdem sind sie doppelperiodisch : Jede dieser Funktionen
hat genau 2 Perioden
und
mit
(14.104)
Dabei sind
und
zwei beliebige komplexe Zahlen, deren Quotient nicht reell ist. Aus (14.62) folgt die
allgemeine Formel
(14.105)
und
beliebige ganze Zahlen sind. Meromorphe doppelperiodische Funktionen heißen elliptische
wobei
Funktionen . Die Menge
(14.106)
mit beliebigen festen
heißt Periodenparallelogramm der elliptischen Funktion. Ist diese im
Periodenparallelogramm (s. Abbildung) beschränkt, dann ist sie eine Konstante.
Beispiel
Die JACOBIschen Funktionen (14.103a) und (14.103b) sind elliptische Funktionen. Die Amplitudenfunktion
(14.102b) ist keine elliptische Funktion.
Monotone Funktionen
Wenn eine Funktion im Definitionsbereich für beliebige Argumente
und
mit
der Bedingung
(2.6)
genügt, wird sie monoton wachsende Funktion genannt. Ist
(2.7)
spricht man von einer monoton fallenden Funktion .
Wenn diese Bedingung nicht für alle -Werte erfüllt ist, die dem Definitionsbereich angehören, sondern lediglich in
einem Teil desselben, z.B. in einem Intervall oder auf einer Halbachse, dann nennt man die Funktion monoton in
diesem Gebiet . Funktionen, die der Bedingung
(2.8)
genügen, d.h., das Gleichheitszeichen in (2.6) und (2.7) ist nicht zugelassen, nennt man eigentlich oder streng
monoton wachsend bzw. fallend .
In der ersten der beiden Abbildungen ist eine eigentlich monoton wachsende Funktion dargestellt, in der zweiten eine
monoton fallende Funktion, die zwischen
und
konstant ist.
Beispiel
ist streng monoton fallend,
ist streng monoton wachsend.
Elementare Funktionen
Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele Operationen mit der unabhängigen
Variablen sowie mit Konstanten vorschreiben. Unter Operationen versteht man hier die vier Grundrechenarten, das
Potenzieren und Radizieren, das Aufsuchen einer Exponential- oder Logarithmusfunktion sowie das Aufsuchen
trigonometrischer oder invers trigonometrischer Funktionen. Man teilt die elementaren Funktionen im wesentlichen in
algebraische und transzendente ein.
Im Unterschied zu den elementaren können auch Nichtelementare Funktionen definiert werden.
●
●
●
●
Algebraische Funktionen
Transzendente Funktionen
Hyperbelfunktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Zusammengesetzte Funktionen
Elementare transzendente Funktionen
Die komplexen transzendenten Funktionen werden ebenso wie die algebraischen Funktionen in Analogie zu den
entsprechenden reellen transzendenten Funktionen definiert. Eine ausführliche Darstellung findet man in Lit. 21.1
oder 21.10.
●
●
●
●
●
●
●
Natürliche Exponentialfunktion
Natürlicher Logarithmus
Allgemeine Exponentialfunktion
Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
Inverse trigonometrische Funktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Real- und Imaginärteile der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen
Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
Elliptische Funktionen
●
●
●
●
Zusammenhang mit elliptischen Integralen
Jacobi-Funktionen
Thetafunktionen
Weierstrasssche Funktionen
Elliptische Funktionen
Elliptische Funktionen sind doppeltperiodische Funktionen, deren einzige Singularitäten Pole sind, d.h., es sind
meromorphe Funktionen mit zwei unabhängigen Perioden. Sind die beiden Perioden
und
, die in einem
nichtreellen Verhältnis stehen, dann gilt
(14.53)
Der Wertevorrat von
liegt in einem Periodenparallelogramm mit den Punkten
.
Unbestimmte elliptische Integrale
Elliptische Integrale sind Integrale der Form
(8.20a)
(8.20b)
Sie lassen sich in der Regel nicht durch elementare Funktionen ausdrücken; wenn dies trotzdem gelingt, nennt man
sie pseudoelliptisch. Ausgangspunkt für die Bezeichnung war das erstmalige Auftreten eines derartigen Integrals bei
der Berechnung des Umfanges der Ellipse. Die Umkehrung der elliptischen Integrale sind die elliptischen Funktionen.
Integrale der Art (8.20a,b), die nicht elementar integrierbar sind, können durch eine Reihe von Umformungen auf
elementare Funktionen und auf Integrale der folgenden drei Typen zurückgeführt werden (s. Lit. 21.1, 21.2, 21.6):
(8.21a)
(8.21b)
(8.21c)
Bezüglich des Parameters
Mit Hilfe der Substitution
sind Fallunterscheidungen notwendig (s. Lit. 14.1).
können die Integrale (8.21a,b,c) auf die LEGENDREsche
Form gebracht werden:
(8.22a)
(8.22b)
(8.22c)
Zusammenhang mit elliptischen Integralen
Integrale der Form (8.20a,b), mit dem Integranden
nicht in geschlossener Form integrieren, wenn
, lassen sich, abgesehen von Ausnahmefällen,
ein Polynom dritten oder vierten Grades ist, sondern sind als
elliptische Integrale numerisch zu berechnen. Die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale sind die elliptischen
Funktionen . Sie sind den trigonometrischen Funktionen ähnlich und können als deren Verallgemeinerung angesehen
werden. Um das am speziellen Fall zu zeigen, wird
(14.98)
gesetzt und beachtet, daß
a)
zwischen der trigonometrischen Funktion
Zusammenhang
und dem Hauptwert ihrer Umkehrfunktion der
(14.99)
besteht und daß
b)
ist. Die Sinusfunktion kann somit als Umkehrfunktion des Integrals
das Integral (14.98) gleich
(14.98) aufgefaßt werden. Analoges gilt für die elliptischen Integrale.
Beispiel
Die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels mit der an einem masselosen nicht dehnbaren Faden
(s. Abbildung) kann mit Hilfe einer nichtlinearen Differentialgleichung
der Länge befestigten Masse
2. Ordnung, die sich als Bewegungsgleichung aus dem Gleichgewicht der an der Masse angreifenden
Kräfte ergibt, berechnet werden:
(14.100a)
Zwischen Pendellänge
und
und Auslenkung
aus der Ruhelage besteht der Zusammenhang
. Die an der Masse angreifende Kraft
spaltet, bezogen auf die Bahnkurve, in eine Normalkomponente
(s. obige Abbildung). Die Normalkomponente
, wobei
, also
die Fallbeschleunigung ist,
und eine Tangentialkomponente
auf
wird von der Fadenspannung im Gleichgewicht
gehalten. Da sie senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht, liefert sie keinen Beitrag zur Bewegungsgleichung. Die
Tangentialkomponente
steht mit der entgegengesetzt gleich großen Tangentialkraft im Gleichgewicht:
. Die Tangentialkomponente zeigt immer zur Ruhelage hin.
Durch Trennung der Variablen erhält man die Pendelgleichung
(14.100b)
Dabei bedeutet
Mit
die Zeit, bei der das Pendel zum ersten Mal durch die tiefste Lage geht, d.h., es gilt
ist die Integrationsvariable bezeichnet. Aus (14.100b) erhält man nach einigen Umformungen mit Hilfe der
Substitution
die Gleichung
Dabei ist
1. Gattung. Der Ausschlagwinkel
ein elliptisches Integral
ist eine periodische Funktion der Periode
mit
.
(14.100c)
wobei
ein vollständiges elliptisches Integral 1. Gattung darstellt (s. auch Tabelle). Mit
ist die
Schwingungsdauer des Pendels bezeichnet, d.h. die Zeit zwischen zwei Umkehrpunkten, für die
kleine Auslenkungen mit
wird
.
gilt. Für
Exponentialfunktionen
Bei den Exponentialfunktionen befindet sich das Argument
Exponenten.
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
oder eine algebraische Funktion von
im
Funktionenreihen
●
●
●
●
●
Definitionen
Gleichmäßige Konvergenz
Potenzreihen
Näherungsformeln
Asymptotische Potenzreihen
Lineare Funktion
Die lineare Funktion
(2.40)
ergibt graphisch dargestellt eine Gerade (linke Abbildung):
Für
wächst die Funktion monoton an, für
Achsenschnitte
und
liegen bei
nimmt sie monoton ab; für
und
ist sie konstant. Die
(s. auch Gleichung der Geraden). Mit
ergibt
sich die direkte Proportionalität
(2.41)
graphisch eine Gerade durch den Koordinatenursprung (rechte Abbildung).
Quadratisches Polynom
Die ganzrationale Funktion 2. Grades
(2.42)
liefert graphisch dargestellt als Kurve eine Parabel mit einer vertikalen Symmetrieachse bei
Die Funktion nimmt für
zunächst ab, erreicht ein Minimum und nimmt dann wieder zu. Für
an, erreicht ein Maximum und fällt danach wieder ab. Die Schnittpunkte
; der Schnittpunkt
mit der
-Achse liegt bei
mit der
steigt sie
-Achse liegen bei
Das Extremum
liegt bei
(Ausführlicher s. Parabel).
Polynom 3. Grades
Die ganzrationale Funktion 3. Grades
(2.43)
beschreibt in der graphischen Darstellung eine kubische Parabel .
Das Verhalten der Funktion hängt von
und der Diskriminante
linke und rechte Abbildung), dann nimmt die Funktion für
Die Funktion besitzt ein Maximum und ein Minimum, wenn
von
ab. Wenn
monoton zu, für
nimmt sie von
monoton ab.
ist (untere Abbildung): Für
bis zum Maximum zu, dann fällt sie bis zum Minimum ab, um danach bis
-Achse lassen sich als reelle Wurzeln von (2.43) für
reelle Wurzel geben, zwei (dann gibt es in einem Punkt eine Berührung) oder drei:
nimmt sie
anzusteigen; für
bis zum Minimum ab, steigt danach bis zum Maximum an, um schließlich bis
Die Schnittpunkte mit der
ist (obere
abzufallen.
berechnen. Es kann eine
Der Schnittpunkt
mit der
-Achse liegt bei
Der Wendepunkt
die Extrema
und
bei
der zugleich Symmetriepunkt der Kurve ist, liegt bei
Die Tangente besitzt in diesem Punkt den Richtungskoeffizienten
Polynom n-ten Grades
Die ganzrationale Funktion
-ten Grades
(2.44)
stellt eine Kurve
-ter Ordnung vom parabolischen Typ dar.
Fall 1:
ungerade Für
. Die
verläuft
stetig von
-Achse kann von der Kurve bis zu
bis
und für
von
bis
mal geschnitten bzw. berührt werden (s. auch Gleichung
-ten Grades und Polynomgleichungen). Die Funktion (2.44) besitzt entweder keine oder eine gerade Anzahl
von bis zu
Extremwerten, wobei Minima und Maxima einander abwechseln; die Zahl der
Wendepunkte ist ungerade und liegt zwischen 1 und
Fall 2:
gerade Für
von
hat
. Asymptoten oder singuläre Punkte gibt es nicht.
einen stetigen Verlauf von
über ein Maximum nach
über ein Minimum bis
Die Kurve schneidet oder berührt die
und für
-Achse
mal; Maxima und Minima wechseln einander ab; die Anzahl der Wendepunkte ist
entweder nicht oder 1 bis
gerade. Asymptoten oder singuläre Punkte existieren nicht.
Vor dem Zeichnen der Kurven empfiehlt es sich, zuerst Extremwerte, Wendepunkte und die Werte der ersten
Ableitung in diesen Punkten zu bestimmen, dann die Kurventangenten einzuzeichnen, um schließlich alle
diese Punkte stetig miteinander zu verbinden.
Gebrochen lineare Funktion
Die Funktion
(2.47)
liefert eine gleichseitige Hyperbel , deren Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
Der Mittelpunkt
Die Scheitelpunkte
liegt bei
und
Dem Parameter
in Gleichung (2.46) entspricht
der Hyperbel liegen bei
wobei für
mit
bzw.
gleiche Vorzeichen genommen werden, für
verschiedene.
Die Unstetigkeitsstelle liegt bei
ab. Für
Die Funktion nimmt für
wächst die Funktion von
bis
und von
von
bis
bis
und von
. Extrema gibt es keine.
bis
Gebrochenrationale Funktionen
●
●
●
●
●
●
Umgekehrte Proportionalität
Gebrochen lineare Funktion
Kurve 3. Ordnung, Typ I
Kurve 3. Ordnung, Typ II
Kurve 3. Ordnung, Typ III
Reziproke Potenz
Gerade Funktionen
Gerade Funktionen genügen der Bedingung
(2.9a)
Ist
der Definitionsbereich von
, dann gilt
(2.9b)
Beispiel A
Beispiel B
GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei
unabhängigen Variablen
Die Lösung der Differentialgleichung
(9.93a)
soll auf dem Rande des betrachteten Gebiets vorgegebene Werte annnehmen. Dazu wird im ersten Schritt wieder
die GREENschen Funktion konstruiert, aber mit dem Unterschied, daß sie nunmehr von den drei Parametern
abhängt. Die konjugierte Differentialgleichung, der die GREENsche Funktion genügt, ist von der Gestalt
(9.93b)
Als Bedingung 2 wird von
die Form
(9.93c)
mit
(9.93d)
gefordert. Die Lösung der Aufgabe lautet
(9.93e)
GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische
Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen
Diese Methode zeigt viel Ähnlichkeit mit der RIEMANNschen Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems für
hyperbolische Differentialgleichungen.
Bei der Lösung der Aufgabe, eine Funktion
zu finden, die in einem vorgegebenen Gebiet der linearen
partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typ
(9.92a)
genügt und auf dem Rande dieses Gebiets vorgegebene Werte annimmt, wird als erster Schritt die GREENsche
Funktion
für dieses Gebiet bestimmt, wobei
und
als Parameter aufgefaßt werden. Die
GREENsche Funktion muß die folgenden Bedingungen erfüllen:
1.
Die Funktion
genügt im gegebenen Gebiet überall, ausgenommen im Punkt
der homogenen konjugierten Differentialgleichung
(9.92b)
2.
Die Funktion
ist von der Form
(9.92c)
mit
(9.92d)
wobei
im Punkt
den Wert Eins hat und die Funktionen
und
im gesamten Gebiet
zusammen mit ihren Ableitungen bis zur zweiten Ordnung einschließlich stetig sein müssen.
3.
Die Funktion
wird auf dem Rande des betrachteten Gebiets gleich Null.
Der zweite Schritt ist die Lösung des Randwertproblems mit Hilfe der GREENschen Funktion nach der Formel
(9.92e)
wobei
das betrachtete Gebiet bedeutet,
dessen Rand, auf dem die Funktion gegeben ist, und
die
Ableitung nach der Richtung der Innennormalen des Randes.
Die Bedingung 3 hängt von der Art der zu lösenden Aufgabe ab. Wenn z.B. auf dem Rande des betrachteten Gebiets
nicht die gesuchte Funktion selbst gegeben ist, sondern ihre Ableitung nach der Randnormalen, dann muß in
Bedingung 3 die Forderung
(9.92f)
auf dem Rande erhoben werden. Mit
und
werden hierbei die Winkel bezeichnet, die die innere Normale des
Randes mit den Koordinatenachsen bildet. Die Lösung lautet in diesem Falle
(9.92g)
Definition
Die Funktion
besitzt an der Stelle
den Grenzwert oder den Limes
(2.15)
wenn sich die Funktion
bei unbegrenzter Annäherung von
braucht an der Stelle
den Wert
an
unbegrenzt an
nähert. Die Funktion
nicht anzunehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht
definiert zu sein.
Exakte Formulierung: Der Grenzwert (2.15) existiert, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl
eine zweite positive Zahl
derart finden läßt, daß für alle
mit
(2.16)
eventuell mit Ausnahme des Punktes
:
Wenn
Randpunkt eines zusammenhängenden Gebietes ist, reduziert sich die Ungleichung
einer der beiden einfachen Ungleichungen
oder
zu
Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich
a) Eine Zahl
(2.21a)
wird Grenzwert einer Funktion
Zahl
für
genannt, wenn sich nach Vorgabe einer positiven Zahl
derart angeben läßt, daß für beliebige
die zugehörigen Werte von
eine
im Intervall
liegen. In Analogie dazu ist
(2.21b)
der Grenzwert einer Funktion
Zahl
für
wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen Zahl
angeben läßt, derart, daß für beliebige
liegen.
die zugehörigen Werte von
eine
im Intervall
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
b) Wenn allerdings bei unbegrenztem Wachsen oder unbegrenztem Abnehmen von
genommen über alle Grenzen wächst, dann existiert für
bzw.
die Funktion absolut
kein Grenzwert. Dafür
schreibt man dann
(2.21c)
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Beispiel D
Iterierte Grenzwerte
Wenn für eine Funktion zweier Veränderlicher
konstantes
zuerst der Grenzwert für
d.h.
bestimmt wird und darauf von der so gewonnenen Funktion, die dann nur noch von
Grenzwert
für
abhängt, der
gebildet wird, dann heißt die gefundene Zahl
(2.275a)
ein iterierter Grenzwert . Eine Änderung der Reihenfolge liefert in der Regel einen anderen Grenzwert
(2.275b)
Im allgemeinen ist
auch wenn beide Grenzwerte existieren. Wenn jedoch die Funktion
einen
Grenzwert
besitzt, dann ist
Aus der Gleichheit der Grenzwerte
folgt noch nicht die Existenz des Grenzwertes
Beispiel
Die Funktion
.
liefert für
die Werte
und
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
Eine Funktion
unbegrenzt der Zahl
hat an der Stelle
nähernden
einen linksseitigen Grenzwert
-Werten unbegrenzt dem Wert
, wenn sie sich bei zunehmenden,
nähert:
(2.20a)
In Analogie dazu besitzt eine Funktion einen rechtsseitigen Grenzwert
unbegrenzt der Zahl
nähernden
-Werten unbegrenzt dem Wert
wenn sie sich bei abnehmenden, sich
nähert:
(2.20b)
Die Schreibweise
verlangt, daß der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen:
(2.20c)
Beispiel
Die Funktion
rechts:
geht für
gegen verschiedene Grenzwerte von links und von
TAYLOR-Entwicklung
Neben der L'HOSPITALschen Regel wird zur Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Ausdrücke auch die
Entwicklung in eine TAYLOR-Reihe verwendet.
Beispiel
Unendlicher Grenzwert einer Funktion
Das Symbol
(2.18)
nicht existiert, weil bei Annäherung von
bezeichnet den Fall, daß die Funktion an der Stelle
die Funktion
an die Stelle
über alle Grenzen wächst.
Exakte Formulierung: Diese Gleichung (2.18) gilt, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig großen positiven Zahl
eine positive Zahl
derart angeben läßt, daß für beliebige
-Werte im Intervall
(2.19a)
der entsprechende Wert von
größer ist als
:
(2.19b)
Wenn dabei alle Werte von
im Intervall
(2.19c)
positiv sind, dann schreibt man
(2.19d)
sind sie negativ, dann gilt
(2.19e)
Sätze über Grenzwerte von Funktionen
1. Grenzwert einer konstanten Größe: Der Grenzwert einer konstanten Größe ist dieser Größe selbst gleich:
(2.22)
2. Grenzwert einer Summe oder Differenz: Der Grenzwert einer Summe oder Differenz endlich vieler
Funktionen ist gleich der Summe bzw. Differenz der entsprechenden Grenzwerte dieser Funktionen, falls die
Einzelgrenzwerte existieren:
(2.23)
3. Grenzwert eines Produktes: Der Grenzwert eines Produktes aus endlich vielen Funktionen ist gleich dem
Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen, falls die Einzelgrenzwerte existieren:
(2.24)
4. Grenzwert eines Quotienten: Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten
der Grenzwerte dieser Funktionen:
(2.25)
wenn die Einzelgrenzwerte existieren und
ist.
5. Einschließung: Wenn die Werte einer Funktion
und
zwischen den Werten zweier anderer Funktionen
eingeschlossen sind, wenn also
sowie
ist, und wenn
gilt, dann ist auch
(2.26)
Größenordnung von Funktionen und LANDAU-Symbole
Beim Vergleich zweier Funktionen kommt es häufig auf ihr gegenseitiges Verhalten für bestimmte Argumente
an. Das hat zur Einführung des Begriffes der Größenordnung einer Funktion und der folgenden
Größenordnungsbeziehungen geführt.
●
●
●
●
●
●
●
Von höherer Ordnung unendlich groß
Von höherer Ordnung unendlich klein
Null oder unendlich von gleicher Größenordnung
LANDAU-Symbole
Polynome
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktion
Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion wird stärker unendlich als jede noch so hohe Potenz
(
- feste natürliche Zahl):
(2.29a)
Durch Anwendung der Regel von L'HOSPITAL ergibt sich nämlich
(2.29b)
Polynome
Die Größenordnung von ganzrationalen Funktionen kann durch den Grad der Funktion ausgedrückt werden. So hat
die Funktion
die Größenordnung 1, ein Polynom mit dem Grad
als ein Polynom mit dem Grad
hat eine um 1 höhere Ordnung
Allerdings gilt diese Regel nicht für alle elementaren Funktionen.
Logarithmusfunktion
Der Logarithmus wird schwächer unendlich als jede noch so niedrige positive Potenz
Zahl):
(
- feste natürliche
(2.30)
Der Beweis wird ebenfalls mit der Regel von L'HOSPITAL geführt.
Unterabschnitte
●
●
Bestimmung und Abhängigkeiten
Besonderheiten
Begriff der SCHRÖDINGER-Gleichung
Bestimmung und Abhängigkeiten
Die SCHRÖDINGER-Gleichung, deren Lösungen, die Wellenfunktionen
, die Eigenschaften eines
quantenmechanischen Systems beschreiben, also die Eigenschaften der Teilchenzustände zu berechnen gestatten,
ist eine partielle Differentialgleichung mit Ableitungen der Wellenfunktion 2. Ordnung für die Raumkoordinaten und
1. Ordnung für die Zeitkoordinate:
(9.104a)
(9.104b)
Hierbei sind
der LAPLACE-Operator,
der Nablaoperator. Zwischen dem Impuls
Materiewellenlänge
besteht die Beziehung
die reduzierte PLANCKsche Konstante, i die imaginäre Einheit und
des betrachteten Teilchens mit der Masse
und seiner
.
Besonderheiten
1.
In der Quantenmechanik werden allen meßbaren Größen Operatoren zugeordnet. Der in (9.104a) und
(9.104b) auftretende HAMILTON-Operator
(,,Hamiltonian ``) stellt die Gesamtenergie des Systems dar, die
ist der Operator für die kinetische
in kinetische und potentielle Energie aufgeteilt wird. Der erste Term in
Energie, der zweite der für die potentielle Energie.
In der Quantenmechanik tritt an die Stelle der HAMILTON-Funktion des klassischen mechanischen Systems der
HAMILTON-Operator.
2.
Die imaginäre Einheit tritt in der SCHRÖDINGER-Gleichung explizit auf. Daher sind die Wellenfunktionen
komplexe Funktionen. Für die Berechnung der beobachtbaren Größen sind die beiden reellen, in
enthaltenen Funktionen erforderlich. Das Quadrat
der Wellenfunktion, das die
des Teilchens in jedem beliebigen Raumelement
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Gebietes beschreibt, unterliegt speziellen zusätzlichen Bedingungen.
des betrachteten
3.
Jede spezielle Lösung hängt außer vom Potential der Wechselwirkung ( Kraft ) von den Anfangs- und
Randbedingungen des gegebenen Problems ab. Im allgemeinen handelt es sich um lineare
Randwertprobleme 2. Ordnung, deren Lösungen nur für die Eigenwerte physikalisch sinnvoll sind. Sinnvolle
Lösungen zeichnen sich dadurch aus, daß ihr Betragsquadrat überall eindeutig und regulär ist und im
Unendlichen verschwindet.
4.
Auf Grund des Welle-Teilchen-Dualismus besitzen die Mikroteilchen gleichzeitig Wellen- und
Teilcheneigenschaften, so daß die SCHRÖDINGER-Gleichung eine Wellengleichung für die DE-BROGLIEschen
Materie-Wellen ist.
5.
Die Einschränkung auf nichtrelativistische Probleme bedeutet, daß die Teilchengeschwindigkeit
kleiner sein muß als die Lichtgeschwindigkeit
sehr viel
.
Ausführliche Darstellungen der Anwendungen der SCHRÖDINGER-Gleichung sind in der Spezialliteratur der
theoretischen Physik dargestellt (s. z.B. Lit. 9.6, 9.8, 9.16, 22.17). In diesem Kapitel werden lediglich einige wichtige
Beispiele betrachtet.
Orthogonale Systeme
Eine Menge
von Vektoren aus
, also
enthält und
heißt orthogonales System , wenn es den Nullvektor nicht
gilt, wobei
(12.116)
das KRONECKER-Symbol bezeichnet. Ein orthogonales System heißt orthonormal oder orthonormiert , wenn auch
noch
gilt.
In einem separablen HILBERT-Raum kann ein orthogonales System aus höchstens abzählbar vielen Elementen
bestehen. Im weiteren ist daher stets
Beispiel A
.
Das System
(12.117)
im reellen Raum
und das System
(12.118)
im komplexen Raum
trigonometrisch .
Beispiel B
sind orthonormale Systeme. Diese beiden Systeme heißen
Die LEGENDREschen Polynome 1. Art
(12.119)
bilden ein orthogonales System von Elementen im Raum
. Das entsprechende
orthonormale System ist dann
(12.120)
Beispiel C
Die HERMITEsche Polynome gemäß der 2. Definition der HERMITEschen Differentialgleichung (9.63g)
(12.121)
bilden ein orthogonales System im Raum
Beispiel D
.
Im Raum
bilden die LAGUERREschen Funktionen ein orthogonales System.
Jedes orthogonale System ist linear unabhängig, denn der Nullvektor ist ausgeschlossen. Umgekehrt, hat
man ein System
von linear unabhängigen Elementen in einem HILBERT-Raum
dann existieren nach dem GRAM-SCHMIDTschen Orthogonalisierungsverfahren Vektoren
, die ein orthonormales System bilden und die bis auf einen Faktor mit Modul
eindeutig bestimmt sind.
,
Formen der analytischen Darstellung einer Funktion
Funktionen von mehreren Veränderlichen können ebenso wie Funktionen von einer Veränderlichen auf verschiedene
Weise angegeben werden.
1. Explizite Darstellung: Eine Funktion ist explizit dargestellt oder definiert, wenn sie durch ihre unabhängigen
Variablen ausgedrückt werden kann:
(2.266)
2. Implizite Darstellung: Eine Funktion ist implizit dargestellt oder definiert, wenn die Argumente und die
Funktion durch eine Gleichung der folgenden Art miteinander verknüpft sind:
(2.267)
3. Parameterdarstellung: Eine Funktion ist in Parameterform dargestellt, wenn die
Argumente und die
neue Veränderliche, die Parameter, explizit ausgedrückt sind, so daß für eine Funktion
Funktion durch
zweier Veränderlicher gilt
(2.268a)
für eine Funktion dreier Veränderlicher
(2.268b)
usw.
4. Homogene Funktion:Homogene Funktion wird eine Funktion
von mehreren
Veränderlichen genannt, wenn sie die Bedingung
(2.269)
für beliebige
erfüllt. Die Zahl
wird Homogenitätsgrad genannt.
Beispiel A
d.h. Homogenitätsgrad
Beispiel B
.
d.h. Homogenitätsgrad
.
Hyperbelfunktionen
●
●
●
Definition der Hyperbelfunktionen
Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen
Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen Funktionen mit
Hilfe komplexer Argumente
(2.189)
(2.190)
(2.191)
(2.192)
(2.193)
(2.194)
(2.195)
(2.196)
Jede Formel, die Hyperbelfunktionen von
oder
nicht aber von
der entsprechenden Formel, die die trigonometrischen Funktionen von
durch
und
durch
miteinander verbindet, läßt sich aus
miteinander verbindet, herleiten, indem
ersetzt wird.
Beispiel A
oder
Beispiel B
oder
Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen
In Analogie zur Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der Kreissektorfläche (s. (3.3), (3.4), (3.5)) wird
anstelle der Sektorfläche des Kreises mit der Gleichung
Hyperbel mit der Gleichung
die entsprechende Sektorfläche der
(rechter Zweig in der Abbildung) betrachtet.
Mit der Bezeichnung
Hyperbelfunktionen:
für diese Fläche
(schattiert gezeichnet), lauten die Definitionsgleichungen der
(3.9)
(3.10)
(3.11)
Berechnung der Fläche
durch Integration und Ausdrücken des Ergebnisses mit
und
liefert
(3.12)
so daß die Hyperbelfunktionen nunmehr mit Hilfe von Exponentialfunktionen darstellbar sind:
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Das sind die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen. Die Bezeichnung Hyperbelfunktionen ist offenkundig.
Existenz des bestimmten Integrals
Das bestimmte Integral einer im Intervall
stetigen Funktion ist stets definiert, d.h., der Grenzwert (8.37)
existiert und ist unabhängig von der Wahl der Zahlen
Intervall
und
. Auch für eine beschränkte Funktion, die im
endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist das bestimmte Integral definiert. Man nennt eine
Funktion, deren bestimmtes Integral in einem gegebenen Intervall existiert, eine in diesem Intervall integrierbare
Funktion .
Definition des Integrals
Sei
. Das Integral
(oder auch mit
bezeichnet) für meßbare Funktionen
wird
schrittweise wie folgt definiert:
1.
sei eine Elementarfunktion
, dann setzt man
(12.199)
2.
Ist
, dann setzt man
(12.200)
3.
Ist
und
positiver bzw. negativer Teil von
, dann setzt man
(12.201)
unter der Bedingung, daß wenigstens eines der Integrale auf der rechten Seite endlich ist, um den unbestimmten
Ausdruck
zu vermeiden.
4.
Für eine komplexwertige Funktion
setzt man, falls für die Funktionen
die nach (12.201)
definierten Integrale endlich sind,
(12.202)
5.
Kann für eine meßbare Menge
der Funktion
und eine Funktion
nach den angegebenen Festlegungen das Integral
definiert werden, dann setzt man
(12.203)
Das Integral einer meßbaren Funktion ist im allgemeinen eine Zahl aus
. Eine Funktion
nennt
man integrierbar oder summierbar über
bezüglich
, wenn sie meßbar ist und
gilt.
Inverse oder Umkehrfunktionen
Wenn die Funktion
mit dem Definitionsbereich
die für jedes Wertepaar
gibt es eine Funktion
Auflösung
und dem Wertebereich
streng monoton ist, dann
das der Bedingung
ermöglicht und für jedes Wertepaar, das der Bedingung
genügt, die
genügt, die Zuordnung
Die Funktionen
(2.13)
werden zueinander inverse oder Umkehrfunktionen genannt. Das Kurvenbild der inversen Funktion
entsteht durch Spiegelung der Kurve von
Beispiel A
an der Winkelhalbierenden
mit
mit
Beispiel B
mit
B:
mit
Beispiel C
mit
C:
mit
Um von einer Funktion
Gleichung
zur Umkehrfunktion zu gelangen, werden
nach
aufgelöst, so daß sich
und
vertauscht und die
ergibt. Die Darstellungen
und
sind äquivalent. Daraus folgen die beiden wichtigen Formeln
(2.14)
Existenz einer inversen Funktion
Wenn eine Funktion
in einem zusammenhängenden Gebiet I definiert und stetig ist und in diesem Gebiet
streng monoton wächst oder fällt, dann existiert eine zu dieser Funktion stetige, ebenfalls streng monoton wachsende
bzw. fallende inverse Funktion
werden, definiert ist.
, die im Gebiet II für die Werte, die von der Funktion
angenommen
Definitions- und Wertebereiche
Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen, also die inversen Hyperbelfunktionen . Die
Funktionen
und
Umkehrfunktion besitzt; anders die Funktion
sind streng monoton, so daß jede von ihnen genau eine
die zwei Monotonieintervalle besitzt und deshalb auch zwei
Umkehrfunktionen. Die Bezeichnung area (Fläche) hängt mit der geometrischen Definition der Funktion als Fläche
eines Hyperbelsektors zusammen. In der Tabelle sind die Definitions- und Wertebereiche angegeben.
Tabelle Definitions- und Wertebereiche der Areafunktionen
Areafunktion
Areasinus
Definitionsbereich
Wertebereich
Gleichbedeutende
Hyperbelfunktion
Areakosinus
Areatangens
Areakotangens
Inverse trigonometrische Funktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Diese Funktionen sind ebenso wie ihr reelles Analogon vieldeutig und können mit Hilfe des Logarithmus durch die
folgenden Formeln dargestellt werden:
(14.83a)
(14.83b)
(14.84a)
(14.84b)
(14.85a)
(14.85b)
(14.86a)
(14.86b)
Die Hauptwerte der inversen trigonometrischen und inversen Hyperbelfunktionen drückt man mit denselben Formeln
und mit Hilfe des Hauptwertes des Logarithmus
aus:
(14.87a)
(14.87b)
(14.88a)
(14.88b)
(14.89a)
(14.89b)
(14.90a)
(14.90b)
Inverse trigonometrische Funktionen
Bei den inversen trigonometrischen Funktionen befindet sich die Variable
im Argument des
Beispiel A
Beispiel B
usw.
oder eine algebraische Funktion von
Irrationale Funktionen
●
●
●
Quadratwurzel aus einem linearen Binom
Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Potenzfunktion
Jacobi-Funktionen
●
●
●
Definition
Meromorphe und doppelperiodische Funktionen
Eigenschaften der Jacobischen Funktionen
Unscharfe Komplementfunktion
Eine Funktion
heißt Komplementfunktion , falls sie die folgenden Eigenschaften
besitzt:
(EK1) Grenzbedingungen:
(5.274a)
(EK2) Monotonie:
(5.274b)
(EK3) Involutivität:
(5.274c)
(EK4) Stetigkeit:
(5.274d)
Beispiel A
Die am häufigsten untersuchte und angewandte Komplementfunktion (intuitive Definition) ist stetig und
involutiv:
(5.275)
Beispiel B
Andere stetige und involutive Komplemente sind das SUGENO-Komplement
mit
mit
und das YAGER-Komplement
.
Gegenüberstellung von Operationen der BOOLEschen und der Fuzzy-Logik
(vgl. Aussagenlogik)
Operator BOOLEsche Logik Fuzzy-Logik
UND
ODER
NICHT
Algebraische und elementare transzendente
Funktionen
●
●
●
Algebraische Funktionen
Elementare transzendente Funktionen
Beschreibung von Kurven in komplexer Form
Nullstellen, Beschränktheit, Maximalwert
1. Nullstellen: Da der Absolutbetrag einer Funktion positiv ist, liegt das Relief stets oberhalb der
ausgenommen alle Punkte, in denen
gilt, also
ist, die Nullstellen der Funktion
. Man nennt
-Ebene,
-Werte, für die
.
2. Beschränktheit: Eine Funktion heißt in einem gegebenen Gebiet beschränkt , wenn die Bedingung
erfüllt werden kann, wobei
Falle, wenn es keine derartige Zahl
3. Satz über den Maximalwert: Wenn
eine konstante positive Zahl
ist. Im entgegengesetzten
gibt, heißt die Funktion nicht beschränkt.
in einem abgeschlossenen Gebiet eine analytische
Funktion ist, dann liegt das Maximum ihres Betrages auf dem Rande.
4. Satz über die Konstanz oder Satz von LIOUVILLE: Wenn
und beschränkt ist, dann ist diese Funktion eine Konstante:
in der gesamten Ebene analytisch
.
Definition der komplexen Funktion
Analog zu den reellen Funktionen kann man komplexen Werten
zuordnen, wobei
Man schreibt
. Durch die Funktion
und
ebenfalls komplexe Werte
Funktionen zweier reeller Veränderlicher sind.
wird die komplexe
-Ebene in die komplexe
Ebene abgebildet.
Die Begriffe Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung einer Funktion
einer komplexen Veränderlichen
werden formal in Analogie zu den Funktionen einer reellen Veränderlichen definiert.
-
Funktionen einer komplexen Veränderlichen
●
●
●
●
Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Analytische Funktionen
Konforme Abbildung
Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene
Lagrange-Funktion und Sattelpunkt
Unter der Annahme von Zusatzvoraussetzungen soll die Optimalitätsbedingung (18.36a,b) auf eine für die praktische
Anwendung geeignete Form gebracht werden. Dazu wird entsprechend der LAGRANGEschen Multiplikatorenmethode
zur Ermittlung der Extremwerte von Funktionen unter Gleichheitsnebenbedingungen die LAGRANGE-Funktion
gebildet:
(18.37)
Ein Punkt
heißt Sattelpunkt von
, wenn gilt
(18.38)
Logarithmische Funktionen
Bei den logarithmischen Funktionen befindet sich das Argument
dem Logarithmuszeichen.
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
oder eine algebraische Funktion von
unter
Logarithmische Funktionen
Die Funktion
(2.57)
liefert die logarithmische Kurve .
Sie stellt die an der Winkelhalbierenden
des 1. Quadranten gespiegelte Exponentialkurve dar. Für
ergibt sich das Kurvenbild des natürlichen Logarithmus
(2.58)
Die logarithmische Funktion ist im Reellen nur für
monoton an, für
fällt sie von
auf
definiert. Für
wächst sie von
bis
monoton ab, und zwar beide Male um so schneller, je kleiner
ist. Die Kurve geht durch den Punkt (1,0) und nähert sich asymptotisch der
oben, und das wieder um so schneller, je größer
ist.
-Achse für
unten, für
Formel der partiellen Integration
Für ein beliebiges (offenes) Gebiet
differenzierbaren Funktionen
ist kompakt in
und liegt in
bezeichnet
die Menge aller in
mit kompaktem Träger, d.h. die Menge
, während mit
die Menge aller bezüglich des LEBESGUE-Maßes im
lokalsummierbaren Funktionen, d.h. aller (Klassen von äquivalenten) auf
für jedes beschränkte Gebiet
natürlichen algebraischen Operationen) Vektorräume. Es gilt
beschränktes
auch
beliebig oft
.
meßbaren Funktionen
mit
, bezeichnet wird. Die beiden Mengen sind (mit den
für
und für
Faßt man die Elemente aus
die Inklusion
Sinn) die Menge
als die von ihnen in
, wobei
dicht in
erzeugten Klassen auf, so gilt bei beschränktem
sogar dicht liegt. Ist
.
Die Formel der partiellen Integration hat für eine vorgegebene feste Funktion
wegen
Funktion
unbeschränkt, so liegt (in diesem
und eine beliebige
die Gestalt
(12.207)
für
mit
, die man als Ausgangspunkt für den Begriff der verallgemeinerten Ableitung einer Funktion
nehmen kann.
Meßbare Funktionen
●
●
Meßbare Funktion
Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen
Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen
Der Begriff der meßbaren Funktion erfordert kein Maß, sondern eine
Teilmengen der Menge
und
-Algebra. Seien
eine
-Algebra von
meßbare Funktionen. Dann sind auch die folgenden
Funktionen (s. Vektorverbände) meßbar:
a)
für jedes
.
b)
und
;
c)
, falls in keinem Punkt von
ein Ausdruck der Form
vorkommt.
d)
.
e)
der punktweise Grenzwert
Eine Funktion
disjunkten Mengen
wobei
, im Falle seiner Existenz.
heißt elementar oder simpel, wenn es eine (endliche) Anzahl von paarweise
und reelle Zahlen
die charakteristische Funktion der Menge
gibt, so daß
gilt,
bezeichnet. Offenbar ist jede charakteristische Funktion
einer meßbaren Menge und somit jede elementare Funktion meßbar. Interessant ist, daß jede meßbare Funktion
beliebig genau durch Elementarfunktionen approximiert werden kann: Für jede meßbare Funktion
eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen Elementarfunktionen, die punktweise zu
existiert
konvergiert.
Funktionen von mehreren Veränderlichen
●
●
●
●
●
Definition und Darstellung
Verschiedene ebene Definitionsbereiche
Grenzwerte
Stetigkeit
Eigenschaften stetiger Funktionen
- eine meromorphe Funktion
Ist
ist eine meromorphe Funktion , die sich als Quotient zweier ganzer, also in überall konvergente
Potenzreihen entwickelbare Funktionen ohne gemeinsame Nullstellen darstellen läßt, und die daher in eine Summe
aus einer ganzen Funktion und unendlich vielen Partialbrüchen zerlegbar ist, dann gilt der Zusammenhang
(15.45)
Dabei sind die
die
gewisse Ordinaten und
angedeuteten Art.
Pole 1. Ordnung der Funktion
, die
die zugehörigen Residuen,
gewisse Kurvenzüge, etwa Halbkreise in der in der folgenden Abbildung
Die Lösung
erhält man in der Form
(15.46)
für
strebt, was allerdings nicht immer leicht nachzuweisen ist. In manchen Fällen, wenn z.B. der rationale
Anteil der meromorphen Funktion
identisch Null ist, bedeutet das eben gewonnene Ergebnis eine formale
Übertragung des HEAVYSIDEschen Entwicklungssatzes auf meromorphe Funktionen.
Meromorphe Funktionen
Hat eine sonst holomorphe Funktion für endliche Werte von
nur Pole als singuläre Stellen, dann heißt sie
meromorph . Eine meromorphe Funktion läßt sich immer als Quotient analytischer Funktionen darstellen.
Beispiele für in der ganzen Ebene meromorphe Funktionen sind die rationalen Funktionen, die nur eine endliche Zahl
von Polen besitzen, sowie solche transzententen Funktionen, wie
und
.
Mittelwertsatz und verallgemeinerter Mittelwertsatz
1. Mittelwertsatz: Wenn eine Funktion
Intervalls mindestens einen Wert
im Intervall
derart, daß für
stetig ist, dann gibt es im Innern des
gilt:
(8.47)
Der geometrische Sinn dieses Satzes besteht darin, daß es zwischen den Punkten
den der Flächeninhalt der Figur
gleich dem des Rechtecks
und
einen Punkt
gibt, für
in der folgenden Abbildung ist.
Der Wert
(8.48)
heißt Mittelwert oder das arithmetische Mittel der Funktion
2. Verallgemeinerter Mittelwertsatz: Sind die Funktionen
stetig und ändert
im Intervall
und
.
im abgeschlossenen Intervall
in diesem Intervall sein Vorzeichen nicht, dann gilt:
(8.49)
Periodische Funktionen
Periodische Funktionen genügen der Bedingung
(2.12)
Die kleinste positive Zahl
, die dieser Bedingung genügt, heißt Periode .
Periodische Funktionen
Die Bildfunktion einer periodischen Funktion
Funktion
mit der Periode
, die durch periodische Fortsetzung einer
entsteht, ergibt sich aus der LAPLACE-Transformierten von
, multipliziert mit dem
Periodisierungsfaktor
(15.32)
Beispiel A
Die periodische Fortsetzung von
aus dem Beispiel B mit der Periode
.
Beispiel B
ergibt
mit
Die periodische Fortsetzung von
mit
aus dem Beispiel C mit der Periode
.
ergibt
-Räume
Sei
ein Maßraum und
eine reelle Zahl
. Für eine meßbare Funktion
ist
ebenfalls meßbar, so daß
(12.205)
definiert (und möglicherweise gleich
integrierbar ,
-fach integrierbar oder
) ist. Eine meßbare Funktion
-fach summierbar , wenn
heißt zur
-ten Potenz
gilt oder, äquivalent dazu, wenn
integrierbar ist.
Für jedes
mit
bezeichnet man mit
oder
oder ganz ausführlich mit
die Menge aller zur
-ten Potenz bezüglich
die vereinfachte Bezeichnung
auf
summierbaren Funktionen, wobei für
vereinbart wird und für
die Funktionen quadratisch
summierbar heißen.
Mit
bezeichnet man die Menge aller meßbaren
wesentliche Supremum einer Funktion
-f.ü. beschränkten Funktionen auf
und definiert das
als
(12.206)
Mit den üblichen Operationen für meßbare Funktionen und unter Berücksichtigung der Ungleichung von MINKOWSKI
für Integrale ist
Vereinbarung,
Funktionen
für alle
zu schreiben, wenn
-f.ü. gilt, wird
eine Halbnorm auf
. Mit der
sogar ein Vektorverband. Zwei
nennt man äquivalent (oder deklariert man als gleich), wenn
diese Weise werden Funktionen, die
der Menge
ein Vektorraum und
-f.ü. auf
. Auf
-f.ü. übereinstimmen, identifiziert. Somit gewinnt man (mittels Faktorisierung
nach dem linearen Teilraum
) eine Menge von Äquivalenzklassen, auf die kanonisch
die algebraischen Operationen und die Ordnung übertragen werden können, so daß sich wieder ein Vektorverband
ergibt, der jetzt mit
oder
(und entsprechend ausführlicher) bezeichnet wird. Seine Elemente
heißen nach wie vor Funktionen, obwohl sie in Wirklichkeit Klassen äquivalenter Funktionen sind.
auf
Von Bedeutung ist nun, daß
eine Norm ist (
hervorgegange Äquivalenzklasse, die im weiteren einfach wieder mit
für alle
mit
und Ordnung, bei
steht dabei für die aus der Funktion
bezeichnet wird), und
ein BANACH-Verband mit vielen guten Verträglichkeitsbedingungen zwischen Norm
mit
Häufig wird für eine meßbare Teilmenge
als Skalarprodukt sogar ein HILBERT-Raum wird (s. Lit. 12.15).
der Raum
betrachtet. Seine Definition bereitet wegen
Schritt 5 bei der Einführung des Integrals aber keine Schwierigkeiten.
Die Räume
ergeben sich auch als Vervollständigung (s. auch Abschnitt BANACH-Räume) des mit der
Integralnorm
aller stetigen Funktionen auf der Menge
(s. Lit. 12.21).
versehenen nichtvollständigen normierten Raumes
Sei
eine Menge von endlichem Maß, d.h.
, und gelte für
. Dann gelten
Konstanten
Norm des Raums
die Beziehung
und mit einer nicht von
für
bezeichnet.
die Abschätzung
abhängenden
, wobei
die
Potenzfunktion
Die Potenzfunktion
(2.54)
ist für
und
die Kurven für
negativem
a) Fall
getrennt zu betrachten. Dabei reicht eine Beschränkung auf den Fall
gegenüber der von
an der
in Richtung der
-Achse mit dem Faktor
aus, weil
gestreckt und bei
-Achse zu spiegeln sind.
Der Kurvenverlauf ist für vier charakteristische Fälle der Größen
in den folgenden Abbildungen dagestellt.
und
Die Kurve verläuft durch die Punkte (0,0) und (1,1). Für
berührt sie die
-Achse im
Koordinatenursprung (s. 4. Abbildung), für
3. Abbildung). Für
gerade zwei zur
gerade gibt es zwei zur
ebenfalls im Koordinatenursprung die
-Achse (s. 1. bis
-Achse symmetrische Zweige (1. und 4. Abbildung), für
-Achse symmetrische Zweige (2. und 3. Abbildung). Für
und
ungerade ist die Kurve
zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung (2. Abbildung). Die Kurve kann somit im Koordinatenursprung
einen Scheitel, einen Wendepunkt oder einen Rückkehrpunkt besitzen. Asymptoten hat sie keine.
b) Fall
Der Kurvenverlauf ist für drei charakteristische Fälle der Größen
in den folgenden Abbildungen dagestellt.
und
Die Kurve ist vom hyperbolischen Typ, wobei die Asymptoten mit den Koordinatenachsen zusammenfallen.
Die Unstetigkeitsstelle befindet sich bei
schneller und der
Die Kurve nähert sich der
-Achse um so langsamer, je größer
-Achse asymptotisch um so
ist. Der Kurvenverlauf und die Symmetrie
hinsichtlich der Koordinatenachsen bzw. des Koordinatenursprungs hängen wie im Falle
und
gerade oder ungerade sind. Extrema gibt es keine.
davon ab, ob
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
Die Funktion
(2.63)
wird hier nur für den Fall
betrachtet, da sich ihre Kurve zu
durch Spiegelung an der
-Achse
ergibt, und nur für den Fall positiver -Werte, so daß sie stets positiv bleibt. Die folgenden 8 Abbildungen zeigen,
daß durch geeignete Kombination der Parameter die unterschiedlichsten Kurvenverläufe dargestellt werden können.
Für
verläuft die Kurve durch den Koordinatenursprung. Tangente ist in diesem Punkt für
Achse, für
Für
die Winkelhalbierende
ist die
des ersten Quadranten und für
-Achse Asymptote. Für
wächst die Funktion mit
die
die
-
-Achse.
über alle Grenzen, für
geht
sie asymptotisch gegen 0.
Für verschiedene Vorzeichen von
und
besitzt die Funktion ein Extremum
besitzt entweder keinen, einen oder zwei Wendepunkte
und
bei
bei
Die Kurve
m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen
Eine Differentialgleichung (17.1) kann einen
Phasenraum
-dimensionalen Torus als invariante Menge besitzen. Ein in den
eingebetteter m-dimensionaler Torus
wird durch eine differenzierbare Abbildung
, die als Funktion
in jeder Koordinate
als
periodisch vorausgesetzt wird, definiert.
Beispiel
In einfachen Fällen läßt sich die Bewegung des Systems (17.1) auf dem Torus in Winkelkoordinaten durch
die Differentialgleichungen
mit Anfang
beschreiben. Die Lösung dieses Systems
zur Zeit
ist
.
-
Eine stetige Funktion
heißt quasiperiodisch , wenn
, wobei
wieder wie oben eine differenzierbare Funktion, die
in jeder Komponente ist, besitzt und die Frequenzen
gibt, so daß
eine Darstellung in der Form
-periodisch
inkommensurabel sind, d.h. es keine ganzen Zahlen
ist.
mit
Begriff der Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle
Die meisten Funktionen, die in den Anwendungen vorkommen, sind stetig, d.h., bei kleinen Änderungen des
Arguments
einer stetigen Funktion
ändert sich diese auch nur geringfügig. Die graphische Darstellung einer
solchen Funktion ergibt eine zusammenhängende Kurve. Ist dagegen die Kurve an verschiedenen Stellen
unterbrochen, dann heißt die zugehörige Funktion unstetig , und die Werte des Arguments, an denen die
Unterbrechung auftritt, heißen Unstetigkeitsstellen . In der folgenden Abbildung ist das Kurvenbild einer Funktion
dargestellt, die stückweise stetig ist.
Die Unstetigkeitsstellen befinden sich bei
Endpunkte nicht mehr zur Kurve gehören.
●
Definition
und
Die Pfeile stehen für die Aussage, daß ihre
Definition
Eine Funktion
1.
heißt an der Stelle
an der Stelle
2. der Grenzwert
stetig , wenn
definiert ist und
existiert und gleich
Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen
ist.
ein
gibt, so daß
(2.31)
gilt. Man spricht von einseitiger ( links - oder rechtsseitiger ) Stetigkeit , wenn anstelle von
einer der beiden Grenzwerte
ist.
oder
existiert und gleich
nur
oder
Wenn eine Funktion für alle Werte
in einem gegebenen Intervall von
bis stetig ist, dann wird die Funktion
stetig in diesem Intervall genannt, das als Zahlenintervall offen, halboffen oder abgeschlossen sein kann. Ist eine
Funktion für alle Punkte der Zahlengerade definiert und stetig, dann heißt sie überall stetig .
der sich im Inneren oder auf dem Rande des Definitionsbereiches
Eine Funktion besitzt für den Wert
befindet, eine Unstetigkeitsstelle , wenn dort die Funktion nicht definiert ist oder wenn
übereinstimmt bzw. dieser Grenzwert nicht existiert. Wenn die Funktion nur auf einer Seite
Grenzwert
von
nicht mit dem
definiert ist, z.B.
für
und
für
dann wird nicht von einer
Unstetigkeitsstelle, sondern von einem Abbrechen der Funktion gesprochen.
Eine Funktion
wird stückweise stetig genannt, wenn sie in allen Punkten eines Intervalls mit Ausnahme
endlich vieler einzelner Punkte stetig ist und in ihren Unstetigkeitsstellen endliche Sprünge besitzt.
Stichprobenfunktionen
So wie sich die konkreten Stichproben unterscheiden, sind auch die arithmetischen Mittel
von Stichprobe zu
Stichprobe zufallsbedingt unterschiedlich. Sie können als Realisierungen einer neuen Zufallsgröße aufgefaßt werden,
die mit
bezeichnet wird und von den Stichprobenvariablen
abhängt.
(16.105)
Mit
wird die Realisierung der
-ten Stichprobenvariablen in der
ten Stichprobe bezeichnet.
Eine Funktion des Zufallsvektors
ist wieder eine Zufallsgröße und heißt
Stichprobenfunktion . Die wichtigsten Stichprobenfunktionen sind Mittelwert, Streuung, Median und Spannweite.
-
●
●
●
●
Mittelwert
Streuung
Median (Zentralwert)
Spannweite
Thetafunktionen
Zur Berechnung der JACOBIschen Funktionen verwendet man die Thetafunktionen
(14.111a)
(14.111b)
(14.111c)
(14.111d)
Ist
(
Bei konstantem
komplex), dann konvergiern die Reihen (14.111a) bis (14.111d) für alle komplexen Argumente
verwendet man häufig die Abkürzungen
(14.112)
Damit haben die JACOBIschen Funktionen die folgenden Darstellungen:
(14.113a)
(14.113b)
(14.113c)
mit
.
(14.113d)
und
gemäß (14.107).
Transzendente Funktionen
Transzendente Funktionen können nicht durch eine algebraische Gleichung vom Typ
(vgl. (2.37)) beschrieben werden. Die einfachsten
elementaren transzendenten Funktionen werden im folgenden aufgeführt.
●
●
●
●
Exponentialfunktionen
Logarithmische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Inverse trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
●
●
●
Grundlagen
Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen
Beschreibung von Schwingungen
Trigonometrische Funktionen
Bei den trigonometrischen Funktionen befindet sich das Argument
dem Zeichen
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
oder
.
oder eine algebraische Funktion von
hinter
Dabei ist zu beachten, daß man allgemein betrachtet unter dem Argument einer trigonometrischen Funktion nicht
unmittelbar einen Winkel oder einen Kreisbogen, wie bei der geometrischen Definition, sondern eine beliebige Größe
versteht. Die trigonometrischen Funktionen können auch ohne Heranziehen geometrischer Vorstellungen rein
analytisch definiert werden. Das wird z.B. bei der Darstellung dieser Funktionen mit Hilfe einer Reihenentwicklung
deutlich oder bei der Lösung der Differentialgleichung
an der Stelle
mit den Anfangsbedingungen
. Das Argument der trigonometrischen Funktionen ist bei dieser Deutung
zahlenmäßig gleich dem Bogen in Einheiten des Radianten. Daher kann man bei der Berechnung der
trigonometrischen Funktionen vom Argument im Bogenmaß ausgehen.
und
Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
●
●
●
Definition am Einheitskreis
Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe einer Kreissektorfläche
Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
(14.76a)
(14.76b)
(14.77a)
(14.77b)
Alle vier Reihen konvergieren in der gesamten Ebene, alle vier Funktionen sind periodisch. Die Periode der
Funktionen (14.76a,b) ist
, die der Funktionen (14.77a,b)
.
Für rein imaginäres Argument lauten die Ausdrücke dieser Funktionen
(14.78a)
(14.78b)
(14.79a)
(14.79b)
Die Umrechnungsformeln für die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen einer reellen
Veränderlichen gelten auch für Funktionen einer komplexen Veränderlichen. So erfolgt die Berechnung der
Funktionen
und
für das Argument
und
mit Hilfe der Formeln
.
Als Beispiel sei genannt
(14.80)
Daraus folgt
(14.81a)
(14.81b)
Die Funktionen
und
werden mit Hilfe der folgenden Formeln bestimmt:
(14.82a)
(14.82b)
Ungerade Funktionen
Ungerade Funktionen genügen der Bedingung
(2.10a)
Ist
der Definitionsbereich von
dann gilt
(2.10b)
Beispiel A
Beispiel B
Endlicher Sprung:
Die Funktion
springt beim Durchlaufen des Punktes
endlichen Wert wie in den Punkten
von einem endlichen auf einen anderen
der folgenden Abbildung:
Der Wert der Funktion
er kann auch mit dem Wert
und
Beispiel A
für
braucht dabei nicht definiert zu sein, wie es für den Punkt
oder
verschieden sein (Punkt
übereinstimmen (Punkt
).
der Fall ist;
) oder aber sowohl von
Beispiel B
.
Beispiel C
Hebbare Unstetigkeit:
Es existiert der
nicht definiert oder es ist
d.h., es ist
aber die Funktion ist für
Ein Beispiel dafür ist Punkt
entweder
in der folgenden Abbildung:
Diese Unstetigkeit wird hebbar genannt, weil in dem Moment, da
die Funktion
für
den Wert
zugeordnet bekommt,
wieder stetig wird. Dem Kurvenbild wird gewissermaßen ein Punkt hinzugefügt, oder
der ,,abgesprungene`` Punkt
wird wieder auf die Kurve gebracht. Die verschiedenen unbestimmten Ausdrücke,
die mit der Regel von L'HOSPITAL oder mit anderen Methoden untersucht werden können und endliche Grenzwerte
liefern, sind Beispiele für hebbare Unstetigkeiten.
Beispiel
für
die Funktion
ergibt sich der unbestimmte Ausdruck
aber
wird dadurch stetig.
Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten
●
●
●
Funktionsverlauf ins Unendliche:
Endlicher Sprung:
Hebbare Unstetigkeit:
Verteilungsfunktion
●
●
●
Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften
Verteilungsfunktion bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen
Flächeninterpretation der Wahrscheinlichkeit, Quantil
Weierstrasssche Funktionen
Von WEIERSTRASS sind die Funktionen
(14.114a)
(14.114b)
(14.114c)
eingeführt worden, wobei
und
zwei beliebige komplexe Zahlen darstellen, deren Quotient nicht reell ist. Man
setzt
(14.115a)
wobei
und
beliebige ganze Zahlen sind, und definiert
(14.115b)
Dabei deutet der Strich am Summenzeichen an, daß das Wertepaar
ausgenommen ist. Die Funktion
hat folgende Eigenschaften:
und
1. Sie ist eine elliptische Funktion mit den Perioden
2. Die Reihe (14.115b) konvergiert für alle
3. Die Funktion
.
.
genügt der Differentialgleichung
(14.116a)
mit
(14.116b)
Die Größen
und
werden als Invarianten von
bezeichnet.
4. Die Funktion
ist die Umkehrfunktion zu dem Integral
(14.117)
5.
(14.118)
Die WEIERSTRASSschen Funktionen
(14.119a)
(14.119b)
sind nicht doppelperiodisch, also keine elliptischen Funktionen.
Es gelten folgende Beziehungen:
1.
(14.120)
2.
(14.121)
3.
(14.122)
4.
(14.123)
5. Jede elliptische Funktion ist eine rationale Funktion der WEIERSTRASSschen Funktionen
und
.
Zufallsgrößen, Verteilungsfunktionen
Um die Methoden der Analysis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen zu können, braucht man die Begriffe
Variable und Funktion.
●
●
●
●
Zufallsveränderliche
Verteilungsfunktion
Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
Mehrdimensionale Zufallsveränderliche
Zusammengesetzte Funktionen
Zusammengesetzte Funktionen entstehen durch alle möglichen Kombinationen der aufgeführten algebraischen und
transzendenten Funktionen, wenn eine Funktion als Argument einer anderen dient.
Solche Kombinationen elementarer Funktionen ergeben, endlich oft angewandt, wieder elementare Funktionen.
Beispiel A
Beispiel B
Stetige lineare Funktionale in
Sei
. Man nennt
Falle
den zu
konjugierten Exponenten , wenn
gilt, wobei man
im
setzt.
Beispiel
Aufgrund der HÖLDERschen Ungleichung für Integrale kann das Funktional (12.159) auch auf den Räumen
betrachtet werden, falls
ist. Seine
Norm ist dann
(12.162)
(bzgl. der Definition von
s. (12.206)). Zu jedem linearen stetigen Funktional
gibt es ein (bis auf seine Äquivalenzklasse) eindeutig bestimmtes Element
im Raum
, so daß
(12.163)
gelten. Für den Fall
s. Lit. 12.18.
Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
Die Koordinaten sind in Parameterform durch die Beziehungen
(8.138)
definiert. Das Flächenstück wird durch die Koordinatenlinien
= const und
= const in infinitesimale
Flächenelemente eingeteilt (s. Abbildung) und der Integrand in den Koordinaten
und
ausgedrückt.
Summiert wird zuerst längs eines Koordinatenstreifens, z.B. längs
= const, danach über alle Streifen:
(8.139)
Dabei sind
der Fläche
bzw.
. Mit
die Gleichungen der inneren bzw. äußeren Randkurve
und
und
werden die Koordinaten der beiden äußersten Linienbegrenzungen der
Fläche
beschrieben. Mit
ist der Absolutbetrag der Funktionaldeterminante
(8.140a)
bezeichnet, mit deren Hilfe das Flächenelement in krummlinigen Koordinaten beschrieben wird:
(8.140b)
Die Formel (8.137b) ist ein Spezialfall von Formel (8.139) für die Polarkoordinaten
Die Funktionaldeterminate ergibt sich hier zu
.
Man wählt die krummlinigen Koordinaten derart, daß die Grenzwerte des Integrals (8.139) möglichst einfach
berechnet werden können.
Beispiel
.
ist für den Fall zu berechnen, daß
(s. Abbildung).
der Flächeninhalt der Astroide ist, mit
Zuerst werden die krummlinigen Koordinaten
eingeführt, deren Koordinatenlinien
eine Schar ähnlicher Astroiden mit den Gleichungen
Koordinatenlinien
sind dann Strahlen mit der Gleichung
sich
,
.
und
darstellen. Die
, wobei
gilt. Damit ergibt
Analytische Bedingung für die Unabhängigkeit
Im Falle zweier Funktionen
und
darf ihre Funktionaldeterminante
(2.272a)
in dem betrachteten Gebiet nicht identisch verschwinden. Analog gilt im Fall von
Veränderlichen
Funktionen mit
(2.272b)
Wenn die Anzahl
der Funktionen
kleiner ist als die Anzahl der Veränderlichen
dann sind diese Funktionen unabhängig, sofern wenigstens eine Unterdeterminante
-ter
Ordnung der folgenden Matrix nicht verschwindet.
(2.272c)
Die Anzahl der unabhängigen Funktionen ist gleich dem Rang
dieser Matrix. Hierbei werden diejenigen
Funktionen unabhängig sein, deren Ableitung als Elemente in der nicht identisch verschwindenden
Unterdeterminante
Wenn
-ter Ordnung stehen.
ist, dann können von den gegebenen
Funktionen höchstens
unabhängig sein.
Funktionspapiere
Die gebräuchlichsten Funktionspapiere entstehen dadurch, daß die Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems
Skalen sind mit den Skalengleichungen
(2.259a)
Dabei sind
●
●
●
●
und
Maßstabsfaktoren;
und
Einfach-logarithmisches Funktionspapier
Doppelt-logarithmisches Funktionspapier
Funktionspapier mit einer reziproken Skala
Hinweis
sind die Anfangspunkte der Skalen.
Doppelt-logarithmisches Funktionspapier
Wenn beide Achsen eines rechtwinkligen
-Koordinatensystems logarithmisch unterteilt sind, dann spricht man
vom doppelt-logarithmischen Funktionspapier oder vom doppelt-logarithmischen Koordinatensystem .
Skalengleichungen: Die Skalengleichungen lauten
(2.262)
wobei
Maßstabsfaktoren sind und
Anfangspunkte.
Darstellung von Potenzfunktionen: In doppelt-logarithmischem Papaier, das analog zum einfachlogarithmischen Papier aufgebaut ist, aber eine logarithmisch unterteilte
Potenzfunktionen der Form
-Achse hat, werden
(2.263)
als Geraden dargestellt (s. Rektifizierung einer Potenzfunktion). Diese Eigenschaft wird in der gleichen Weise wie
beim einfach-logarithmischen Papier genutzt.
Einfach-logarithmisches Funktionspapier
Ist die
-Achse gleichabständig unterteilt, die
-Achse jedoch logarithmisch, dann spricht man vom einfach-
logarithmischen Funktionspapier oder vom einfach-logarithmischen Koordinatensystem .
Skalengleichungen:
(2.260)
Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für einfach-logarithmisches Papier.
Darstellung von Exponentialfunktionen: Auf einfach-logarithmischem Papier werden Exponentialfunktionen
der Form
(2.261)
als Geraden dargestellt (s. Rektifizierung). Diese Eigenschaft wird wie folgt ausgenutzt: Liegen Meßpunkte, wenn sie
in einfach-logarithmischem Papier eingetragen worden sind, annähernd auf einer Geraden, dann kann zwischen den
Variablen ein Zusammenhang der Form (2.261) angenommen werden. Mit Hilfe dieser Geraden, die nach Augenmaß
durch die Meßpunkte gelegt wird, kann man Näherungswerte für die Parameter
Liest man zwei Punkte
und
und
bestimmen:
auf dieser Geraden ab, dann erhält man
und z.B.
Funktionspapier mit einer reziproken Skala
Die Unterteilung der zu skalierenden Koordinatenachse erfolgt mit Hilfe der Gleichung (2.46) für die Funktion
Umgekehrte Proportionalität.
Skalengleichung: Es gilt
(2.264)
wobei
der Maßstabsfaktor ist und
der Anfangspunkt.
Beispiel Konzentration in einer chemische Reaktion
Bei einer chemischen Reaktion wurden für die Konzentration
wobei mit
die Zeit bezeichnet
ist, die folgenden Werte gemessen:
/min
5
10
20
40
/mol/l 15,53 11,26 7,27 4,25
Es wird angenommen, daß eine Reaktion 2. Ordnung vorliegt, d.h., es soll der Zusammenhang
gelten. Geht man zum Kehrwert dieser Gleichung über, dann erhält man
Zusammenhang
d.h., der
wird durch eine Gerade beschrieben, wenn in dem zugehörigen Funktionspapier die
-Achse reziprok und die
-Achse linear unterteilt ist. Die Skalengleichung für die
-Achse lautet z.B.:
cm.
Aus der zugehörigen Abbildung ist ersichtlich, daß die Meßpunkte annähernd auf einer Geraden liegen,
d.h., der Zusammenhang
kann bestätigt werden.
Darüber hinaus kann man mit Hilfe zweier Punkte der Geraden, z.B. liest man
ab, Näherungswerte für die beiden Parameter
(Anfangskonzentration) ermitteln:
und
(Reaktionsgeschwindigkeits-Konstante) und
Fuzzy-Linguistik
Nimmt eine Kenngröße linguistische Werte wie z.B. ,,niedrig``, ,,mittel`` oder ,,hoch`` an, so bezeichnet man sie als
linguistische Größe oder linguistische Variable. Jeder linguistische Wert ist durch eine Fuzzy-Menge beschreibbar,
beispielsweise durch einen Graphen mit einem bestimmten Träger. Die Anzahl der Fuzzy-Mengen (im Falle von
,,niedrig``, ,,mittel``, ,,hoch`` sind es drei) ist nicht probleminvariant.
bezeichnet. Beispielsweise steht
für Temperatur, Druck, Volumen,
In (E2) wird die linguistische Variable mit
Frequenz, Geschwindigkeit, Helligkeit, Alter, Abnutzungsgrad etc., aber auch für medizinische, elektrische,
chemische, ökologische etc. Variable.
Beispiel
Mit Hilfe der Zugehörigkeitsfunktion
kann man den Zugehörigkeitsgrad eines scharfen Wertes zu
einer unscharfen Menge bestimmen. Die Modellierung einer Prozeßgröße, z.B. der Temperatur, mit dem
linguistischen Wert ,,hoch`` durch eine unscharfe Menge in Form einer trapezförmigen Abhängigkeit, wie
sie die folgende Abbildung zeigt, liefert: Repräsentiert
bestimmte Temperatur, so gehört
die Temperatur und somit der Wert
mit dem Zugehörigkeitsgrad
eine
zu der unscharfen Menge ,,hoch``.
Grundlagen der Fuzzy-Logik
●
●
●
Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen)
Zugehörigkeitsfunktionen
Fuzzy-Mengen
Fuzzy-logisches Schließen
Das fuzzy-logische Schließen z.B. mit der WENN-DANN-Regel ist über die Verknüpfung
Die Fuzzy-Menge
möglich.
stellt dann die gesuchte Schlußfolgerung dar, die sich als Formel wie folgt darstellt:
(5.296)
mit
und
Methode MAMDANI
Für einen fuzzy-geregelten Prozeß werden folgende Entwurfsschritte verwendet:
1. Regelbasis:
Für die
-te Regel gelte z.B.
(5.305)
Hierbei charakterisiert
den Fehler,
die Änderung des Fehlers und
fuzzy-wertig). Alle Größen seien auf ihren Definitionsbereichen
Definitionsbereich sei
die Änderung des Ausgabewertes (nicht
und
definiert, und der gesamte
Über diesem Definitionsbereich werden die Größen Fehler und
Fehleränderung fuzzifiziert, d.h. mittels unscharfer Mengen dargestellt, wobei linguistische Beschreibungen benutzt
werden.
2. Fuzzifizierungsalgorithmus:
Im allgemeinen sind der Fehler
und dessen Änderung
nicht fuzzy-wertig, so daß sie über eine
linguistische Beschreibung fuzzifiziert werden müssen. Die Fuzzy-Werte werden mit den Prämissen der WENNDANN-Regeln aus der Regelbasis verglichen. Daraus folgt, welche Regeln aktiv sind und mit welchem Gewicht
eine Regel beteiligt ist.
3. Verknüpfungsmodul:
Die aktivierten Regeln mit ihrem unterschiedlichen Gewicht werden mit Hilfe einer Verknüpfungsoperation
zusammengefaßt und dem Defuzzifizierungsalgorithmus zugeführt.
4. Entscheidungsmodul:
Im Defuzzifizierungsprozeß soll ein scharfer Wert für die Stellgröße erhalten werden. Mit Hilfe einer
Defuzzifizierungsoperation wird aus der Menge der möglichen Werte eine nicht fuzzy-wertige Größe, d.h. eine
scharfe Größe, ermittelt. Diese Größe drückt aus, wie eine Einstellung des Systems vorzunehmen ist, so daß
die Regelabweichung gering bleibt.
Fuzzy-Regelung bedeutet, daß die Schritte 1. bis 4. wiederholt werden, bis das Ziel, geringste Regelabweichung
und deren Änderung
erreicht ist.
Modellierung fuzzy-wertiger Relationen
Unscharfe oder fuzzy-wertige Relationen wie beispielsweise ,,ungefähr gleich``, ,,im wesentlichen grösser`` oder ,,im
wesentlichen kleiner`` etc. spielen für die praktischen Anwendungen eine große Rolle. Sie werden als Relationen
zwischen Zahlen und demzufolge als Teilmengen im
erklärt. So läßt sich Gleichheit ,,=`` als Menge
(5.276)
erklären, d.h. durch eine Gerade
Zur Modellierung der Relation
im
.
,,ungefähr gleich`` kann angrenzend an ein scharfes Gebiet (hier beschrieben
durch die Gerade im
, allgemein im
, mit der Toleranz
) eine unscharfe Übergangszone zugelassen und
verlangt werden, daß die Zugehörigkeitsfunktion in einer gewünschten Art (linear oder quadratisch) mit abnehmender
Zugehörigkeit gegen Null geht. Eine lineare Abnahme kann wie folgt modelliert werden:
(5.277)
Zur Modellierung der Relation
,,im wesentlichen größer als`` ist es zweckmäßig, von der scharfen Relation ,,
`` auszugehen. Die zugehörige Wertemenge ist dann gegeben durch
(5.278)
Sie beschreibt das scharfe Gebiet oberhalb der Geraden
. Die Modellierung ,,im wesentlichen`` bedeutet,
daß geringe Unterschreitungen in ein Randgebiet unterhalb der Halbebene, gekennzeichnet durch die Gerade, noch
akzeptiert werden. Die Modellierung von
ergibt sich dann zu
(5.279)
Setzt man für eine der Variablen einen festen Wert ein, z.B.
Beschreibung unmittelbar, daß
dann folgt aus dieser modellmäßigen
als unscharfe Schranke bezüglich der anderen Variablen interpretiert werden
kann. Unscharfe Schranken besitzen im Bereich der unscharfen mathematischen Optimierung, der qualitativen
Datenanalyse und der Musterklassifikation praktische Bedeutung.
Die vorstehende Betrachtung zeigt, daß das Konzept der unscharfen Relationen, d.h. der unscharfen Beziehungen
zwischen mehreren Objekten, mit Hilfe unscharfer Mengen aufgebaut werden kann. Im folgenden werden
Grundtatsachen zweistelliger Relationen über einem Grundbereich behandelt, dessen Elemente geordnete Paare
sind.
Verkettung oder Fuzzy-Relationenprodukt
1. Definition: Es seien
mit
und
aber auch speziell
dann versteht man unter der Verkettung oder dem Fuzzy-Relationenprodukt
:
(5.287)
Verwendet man über endlichen Grundbereichen eine Matrixdarstellung analog (5.282b), so läßt sich die Verknüpfung
wie folgt motivieren: Es seien gegeben
und
sowie die Matrixdarstellung von
mit
in der Form
und
sowie
(5.288)
Wird für die Verknüpfung
die Matrixdarstellung
gewählt, dann ist
(5.289)
Als Ergebnis erhält man nicht die übliche Form der Matrixmultiplikation, da die Supremumbildung anstelle der
Summenbildung und die Minimumbildung anstelle der Produktbildung zur Anwendung kommen.
Beispiel
Mit den Darstellungen für
die zu
und
sowie mit Gleichung (5.287) kann die inverse Relation
transponierte Matrix
2. Interpretation: Sei
eine Relation von
durch
dargestellt werden.
nach
und
eine Relation von
nach
dann sind
folgende Verknüpfungen möglich:
a)
aus
und
als ein max-min-Produkt definiert, dann wird das
Wird die Verknüpfung
vorstehende Fuzzy-Verknüpfungsprodukt als max-min-Verknüpfung bezeichnet. Das Zeichen sup steht
für Supremum und bezeichnet den größten Wert, wenn kein Maximum vorliegt; es wird oft als maxOperation aufgefaßt.
b)
Wird die Produktbildung wie bei der bekannten Matrix-Multiplikation vorgenommen, dann erhält man die
max-prod-Verknüpfung.
c)
Bei der max-average-Verknüpfung wird die ,,Multiplikation`` durch eine Mittelwertbildung ersetzt.
-faches kartesisches Produkt
Eine Kreuzproduktmenge aus
ein
Grundmengen repräsentiert in Analogie zum oben definierten kartesischen Produkt
- faches kartesisches Produkt , d.h. eine
-stellige Fuzzy-Relation.
1. Folgerung:
Die bisher betrachteten Fuzzy-Mengen sind einstellige Fuzzy-Relationen, d.h. im Sinne der Analysis Kurven
über einer Grundmenge. Eine zweistellige Fuzzy-Relation kann als Fläche über der Grundmenge
werden. Eine zweistellige Fuzzy-Relation auf diskreten endlichen Grundmengen kann als FuzzyRelationsmatrix dargestellt werden.
aufgefaßt
Beispiel
Farbe-Reifegrad-Relation: Es wird der bekannte Zusammenhang zwischen Farbe
einer Frucht mit den möglichen Farben
und Reifegrad
{grün, gelb, rot} und dem Reifegrad
halbreif, reif} in Form einer binären Relationsmatrix mit den Elementen aus {0,1} modelliert.
Ausgangspunkt für die Relationsmatrix
{unreif,
(5.282a)
ist die Tabelle
unreif halbreif reif
grün 1
0
0
gelb 0
1
0
rot
0
1.
0
2. Interpretation der Relationsmatrix:
WENN eine Frucht grün ist, DANN ist sie unreif.
WENN eine Frucht gelb ist, DANN ist sie halbreif. WENN eine Frucht rot ist, DANN ist sie reif.
Grün ist eindeutig unreif zugeordnet, gelb halbreif und rot reif. Soll darüber hinaus noch formuliert werden, daß
eine grüne Frucht zu einem gewissen Prozentsatz durchaus als halbreif angesehen werden kann,
beispielsweise mit graduellen Zugehörigkeiten wie
(grün, unreif) = 1,0 ,
(grün, halbreif) = 0,5 ,
(grün, reif) = 0,0 ,
(gelb, unreif) = 0,25 ,
(gelb, halbreif) = 1,0 ,
(gelb, unreif) = 0,25 ,
(rot, unreif) = 0,0 ,
(rot, halbreif) = 0,5 ,
(rot, reif) = 1,0 ,
dann erhält man als neue Relationsmatrix
mit
(5.282b)
Wissensbasiertes Interpolationssystem
●
●
Interpolationsmechanismen
Einschränkung für den eindimensionalen Fall
Ähnlichkeit von Fuzzy-Mengen
und
1. Fuzzy-ähnliche Mengen:
Zwei Fuzzy-Mengen
und
Zahlen
mit
mit
heißen fuzzy-ähnlich, wenn es für jedes
gibt, so daß gilt:
(5.256)
2. Satz:
Zwei Fuzzy-Mengen
und
mit
sind fuzzy-ähnlich, wenn sie dieselbe Toleranz
(5.257a)
besitzen, da die Toleranz gerade gleich dem
-Schnitt einer Fuzzy-Menge in der Höhe 1 ist:
(5.257b)
3. Streng fuzzy-ähnliche Mengen:
Zwei Fuzzy-Mengen
und
mit
heißen streng fuzzy-ähnlich, wenn sie dieselbe
Toleranz und denselben Träger besitzen:
(5.258a)
(5.258b)
Leere, universelle, normale und subnormale Fuzzy-Mengen,
Fuzzy-Teilmengen
1. Leere Fuzzy-Menge: Eine Fuzzy-Menge
über
heißt leer , wenn gilt:
(5.252a)
2. Universelle Fuzzy-Menge: Eine Fuzzy-Menge
über
heißt universell , wenn gilt:
(5.252b)
3. Normale und subnormale Fuzzy-Menge: Ist
eine Fuzzy-Menge über
so ist die Höhe von
(5.253)
Man spricht von einer normalen Fuzzy-Menge , wenn
sonst von einer subnormalen .
Die dargestellten Begriffe und Methoden, die auf normale Fuzzy-Mengen beschränkt sind, lassen sich leicht auf
subnormale Fuzzy-Mengen erweitern.
4. Fuzzy-Teilmenge: Gilt
(Schreibweise:
so heißt
.)
eine Fuzzy-Teilmenge von
Toleranz einer Fuzzy-Menge
Ist
eine Fuzzy-Menge über
so heißt
(5.254)
Toleranz der Fuzzy-Menge
Beispiel A
.
In der Abbildung ist
die Toleranz.
Beispiel B
Für
entsteht eine dreieckförmige Zugehörigkeitsfunktion
Die zugehörige Fuzzy-Menge besitzt keine Toleranz. Ist zusätzlich
.
so entsteht ein
scharfer Wert, Singleton genannt. Ein Singleton besitzt keinen Träger und keine Toleranz.
Eigenschaften unscharfer Mengen
Aus der Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften:
(E1)
Scharfe Mengen können als unscharfe Mengen mit den Zugehörigkeitsgraden 0 und 1 interpretiert werden.
(E2)
Alle Argumentwerte
unscharfen Menge
für deren Zugehörigkeitsgrade
gilt, werden zum Träger (support) der
zusammengefaßt:
(5.244)
(E3)
Die Gleichheit zweier unscharfer Mengen
ihrer Zugehörigkeitsfunktionen gleich sind:
und
über der Grundmenge
ist gegeben, wenn die Werte
(5.245)
(E4)
Diskrete Darstellung oder Wertepaardarstellung: Im Falle endlicher Grundbereiche
d.h.
ist es zweckmäßig, die Zugehörigkeitsfunktionen unscharfer Mengen durch
Wertetabellen zu beschreiben:
Tabellarische Darstellung einer unscharfen Menge
Man schreibt dafür auch
(5.246)
In dieser Definition sind Bruchstriche und Summenzeichen rein symbolisch zu verstehen.
(E5)
Ultra-Fuzzy-Sets: Fuzzy-Mengen, deren Zugehörigkeitsgrade selbst wieder eine Fuzzy-Menge repräsentieren,
nennt man nach ZADEH Ultra-Fuzzy-Sets .
Rechenregeln
1.
Für die Verknüpfung von Fuzzy-Mengen, z.B.
und
auf
unterschiedlichen Grundmengen mit der UND-Verknüpfung, d.h. mit der min-Operation, gilt:
(5.283a)
mit
(5.283b)
Das Ergebnis der Verknüpfung ist eine Fuzzy-Relation
Fuzzy-Mengen)
mit
Sind
und
auf der Kreuzproduktmenge (kartesisches Produkt der
diskrete endliche Mengen und somit
als
Vektoren darstellbar, dann gilt:
(5.284)
Der Verknüpfungsoperator steht nicht für das übliche Matrizenprodukt, die Produktbildung wird durch die
komponentenweise min-Operation und die Addition durch die komponentenweise max-Operation ersetzt.
Der Grad des Zutreffens einer inversen Relation
Zutreffens von
auf die Objekte
ist also stets gleich dem Grad des
auf die Objekte
2.
Rechenregeln für die Verknüpfung von Fuzzy-Relationen auf derselben Produktmenge lassen sich wie folgt
angeben: Es seien zweistellige Fuzzy-Relationen
und
gegeben,
mit denen Rechenregeln aufgestellt werden können. Die Berechnungsvorschrift für eine UND-Verknüpfung
erfolgt über die min-Operation:
(5.285)
Eine entsprechende Berechnungsvorschrift für die ODER-Verknüpfung durch die max-Operation ist gegeben durch:
(5.286)
Wissensbasierte Fuzzy-Systeme
Mit Hilfe der mehrwertigen, auf dem Einheitsintervall basierenden Fuzzy-Logik ergeben sich vielseitige
Anwendungsmöglichkeiten im technischen und nichttechnischen Bereich. Das allgemeine Konzept besteht darin,
Größen oder Kennwerte zu fuzzifizieren, geeignet in einer Wissensbasis mit Operatoren zu verknüpfen und die
möglicherweise unscharfen Ergebnismengen gegebenenfalls zu defuzzifizieren.
●
●
●
●
Methode MAMDANI
Methode SUGENO
Kognitive Systeme
Wissensbasiertes Interpolationssystem
Interpolationsmechanismen
Mit Hilfe der Fuzzy-Logik lassen sich Interpolationsmechanismen aufbauen. Fuzzy-Systeme sind Systeme zur
Verarbeitung unscharfer Informationen, mit ihnen lassen sich Funktionen approximieren und interpolieren. Ein
einfaches Fuzzy-System, an dem diese Eigenschaften untersucht wurden, ist der SUGENO-Controller. Er besitzt
Eingangsvariable
und bestimmt den Wert der Ausgangsvariablen
durch Regeln
der
Form
(5.312)
Die Fuzzy-Sets
partitionieren dabei jeweils die Eingabenmenge
der Regeln sind Singletons, die von den Eingabevariablen
Die Konklusionen
abhängen können.
Durch die einfache Wahl der Konklusionen kann auf eine aufwendige Defuzzifizierung verzichtet werden und der
Ausgangswert
einer
als gewichtete Summe berechnet werden. Dazu berechnet der Controller für jede Regel
-Norm aus den Zugehörigkeitsgraden der einzelnen Eingaben einen Erfüllungsgrad
mit
und bestimmt den
Ausgangswert zu
(5.313)
Gabor-Transformation
Zeit-Frequenz-Analyse nennt man die Charakterisierung eines Signals bezüglich der in ihm enthaltenen Frequenzen
und der Zeitpunkte, zu denen diese Frequenzen auftreten. Dazu wird das Signal in zeitliche Abschnitte (Fenster)
aufgeteilt und anschließend nach FOURIER transformiert. Man spricht deshalb auch von einer ,,gefensterten FOURIERTransformation`` FWT(Windowed FOURIER-Transformation).
Die Fensterfunktion ist so zu wählen, daß sie ein Signal außerhalb eines Fensters ausblendet. Von GABOR wurde als
Fensterfunktion
(15.156)
verwendet (s. die folgende Abbildung)
Diese Wahl kann damit erklärt werden, daß
und die Fensterbreite als konstant (etwa
mit der ,,Gesamtmasse 1`` um den Punkt
konzentriert ist
) angesehen werden kann. Die GABOR-Transformation einer Funktion
ist dann von der Form
(15.157)
Sie gibt an, mit welcher komplexen Amplitude die Grundschwingung
in
vertreten ist, d.h. tritt die Frequenz
während des Zeitintervalls
in diesem Intervall auf, dann besitzt sie die Amplitude
.
Gammafunktion
●
●
●
Definition
Eigenschaften der Gammafunktion
Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät
Eigenschaften der Gammafunktion
(8.102a)
(8.102b)
(8.102c)
(8.102d)
(8.102e)
(8.102f)
Die gleichen Beziehungen gelten bei komplexem Argument
, aber nur für
.
Gammafunktion
1, 00 1,00000 1, 25 0,90640 1, 50 0,88623 1, 75 0,91906
01 0,99433
26 0,90440
51 0,88659
76 0,92137
02 0,98884
27 0,90250
52 0,88704
77 0,92376
03 0,98355
28 0,90072
53 0,88757
78 0,92623
04 0,97844
29 0,89904
54 0,88818
79 0,92877
1, 05 0,97350 1, 30 0,89747 1, 55 0,88887 1, 80 0,93138
06 0,96874
31 0,89600
56 0,88964
81 0,93408
07 0,96415
32 0,89464
57 0,89049
82 0,93685
08 0,95973
33 0,89338
58 0,89142
83 0,93969
09 0,95546
34 0,89222
59 0,89243
84 0,94261
1, 10 0,95135 1, 35 0,89115 1, 60 0,89352 1, 85 0,94561
11 0,94740
36 0,89018
61 0,89468
86 0,94869
12 0,94359
37 0,88931
62 0,89592
87 0,95184
13 0,93993
38 0,88854
63 0,89724
88 0,95507
14 0,93642
39 0,88785
64 0,89864
89 0,95838
1, 15 0,93304 1, 40 0,88726 1, 65 0,90012 1, 90 0,96177
16 0,92980
41 0,88676
66 0,90167
91 0,96523
17 0,92670
42 0,88636
67 0,90330
92 0,96877
18 0,92373
43 0,88604
68 0,90500
93 0,97240
19 0,92089
44 0,88581
69 0,90678
94 0,97610
1, 20 0,91817 1, 45 0,88566 1, 70 0,90864 1, 95 0,97988
21 0,91558
46 0,88560
71 0,91057
96 0,98374
22 0,91311
47 0,88563
72 0,91258
97 0,98768
23 0,91075
48 0,88575
73 0,91467
98 0,99171
24 0,90852
49 0,88592
74 0,91683
99 0,99581
1, 25 0,90640 1, 50 0,88623 1, 75 0,91906 2, 00 1,00000
und
Die Werte der Gammafunktion für
lassen sich mit Hilfe der folgenden
Formeln berechnen:
(21.71)
Beispiel A
.
Beispiel B
GAUSS-Schritte
Der erste GAUSS-Schritt wird an der erweiterten Koeffizientenmatrix
Es sei
demonstriert:
wenn nicht, dann werden entsprechende Gleichungen vertauscht. In der Matrix
(4.115a)
werden die Glieder der 1. Zeile der Reihe nach mit
zur 2., 3.,...,
-ten Zeile addiert. Die umgeformte Matrix hat dann die Form
multipliziert und die Ergebnisse
(4.115b)
Die
-malige Anwendung dieses GAUSS-Schrittes liefert
(4.116)
GAUSS-Schritte sind elementare Umformungen, durch die der Rang der Matrix
und das Lösungsverhalten des Systems nicht geändert werden.
und damit auch die Lösung
GAUSS-Transformation
Der Vektor
ist genau dann eine Lösung von (4.119), wenn der Restvektor
orthogonal zu allen Spalten von
ist. Das bedeutet:
(4.120)
Diese Gleichung stellt ein lineares Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix dar. Es wird als System
der Normalgleichungen bezeichnet. Seine Dimension ist
GAUSS-Transformation . Die Matrix
Hat die Matrix
den Rang
(wegen
Den Übergang von (4.117) zu (4.120) nennt man
ist symmetrisch.
spricht man in diesem Falle von Vollrang ), dann ist die Matrix
positiv definit und insbesondere regulär, d.h., das System der Normalgleichungen hat bei Vollrang von
eine eindeutige Lösung.
GAUSSsche Glockenkurve
Die Funktion
(2.59)
beschreibt die GAUSSsche Glockenkurve. Sie hat die
asymptotisch um so schneller, je größer
ist.
-Achse zur Symmetrieachse und nähert sich der
-Achse
Das Maximum
liegt bei (0,1). Die Wendepunkte
und
liegen bei
. Die zugehörigen
Tangentensteigungen ergeben sich zu
Eine wichtige Anwendung der GAUSSschen Glockenkurve ist die Beschreibung des Normalverteilungsgesetzes der
Beobachtungsfehler :
(2.60)
(Ausführlicher s. Normalverteilung.)
Integralformel von Gauß
Im ebenen Falle der Einschränkung auf die
-Ebene geht der Integralsatz von GAUSS in die Integralformel von
GAUSS über. Sie liefert den Zusammenhang zwischen einem Linienintegral und dem dazugehörigen Flächenintegral:
(13.118)
Mit
ist eine ebene Fläche bezeichnet, die die Berandung
stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung.
besitzt.
und
sind stetige Funktionen mit
Vektordarstellung
In Analogie zur Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden können die komplexen Zahlen als Punkte einer
Ebene, der sogenannten GAUSSschen Zahlenebene, dargestellt werden: Eine Zahl
mit der Abszisse
und der Ordinate
.
ist dann ein Punkt
Die reellen Zahlen liegen auf der Abszissenachse, die auch reelle Achse genannt wird, die imaginären auf der
Ordinatenachse, der imaginären Achse. In der so vorgegebenen Ebene ist jeder Punkt durch einen Radiusvektor
eindeutig bestimmt, so daß jeder komplexen Zahl ein bestimmter Vektor entspricht, der in dieser Ebene liegt und vom
Koordinatenursprung zu dem betreffenden Punkt führt.
Die komplexen Zahlen können also sowohl durch Punkte als auch durch Vektoren dargestellt werden.
Integralsatz von Gauß
Der Integralsatz von GAUSS liefert den Zusammenhang zwischen einem Volumenintegral über ein Volumen
von einem Feld
, das
durchsetzt ist, und einem Oberflächenintegral über die dieses Volumen umschließende Fläche
. Die Orientierung der Fläche sei so festgelegt, daß die Außenseite die positive Seite ist. Die vektorielle
Feldfunktion
soll stetig sein, ihre ersten partiellen Ableitungen sollen existieren und stetig sein.
(13.117a)
Der skalare Fluß des Feldes
über das von
durch die geschlossene Fläche
umschlossene Volumen
ist gleich dem Integral der Divergenz von
. In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.117b)
Drei- und mehrdimensionale Gebiete
Drei- und mehrdimensionale Gebiete werden analog zum zweidimensionalen Fall behandelt. Das betrifft auch die
Unterscheidung zwischen einfach und mehrfach zusammenhängenden Gebieten. Funktionen von mehr als drei
Veränderlichen werden in den entsprechenden
-dimensionalen Räumen geometrisch gedeutet.
Einfach zusammenhängende Gebiete
Die folgende Abbildung zeigt die einfachsten Fälle zusammenhängender Punktmengen mit zwei Veränderlichen.
Gebiete sind hier schraffiert dargestellt; abgeschlossene Gebiete, also Gebiete, deren Rand in die Punktmenge des
Definitionsbereiches einbezogen ist, sind durch ausgezogene blaue Kurven um das Gebiet gekennzeichnet, offene
Gebiete durch gestrichelt blau gezeichnete Kurven. Einschließlich der gesamten Ebene handelt es sich in allen
Fällen der Abbildung um einfach zusammenhängende Gebiete .
Oben: a) Gesamte Ebene, b) unbeschränktes abgeschlossenes Gebiet, c) unbeschränktes offenes Gebiet. Unten: d)
Beschränktes abgeschlossenes Gebiet, e) beschränktes offenes Gebiet.
Mehrfach zusammenhängende Gebiete
Mehrfach zusammenhängende Gebiete sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Von links nach rechts handelt es
sich um
a) ein dreifach zusammenhängendes Gebiet, b) ein vierfach zusammenhängendes Gebiet, c) ein mehrfach
zusammenhängendes Gebiet.
Nicht zusammenhängende Gebiete
Ein nicht zusammenhängendes Gebiet zeigt die folgende Abbildung:
Zweidimensionale Gebiete
●
●
●
●
Einfach zusammenhängende Gebiete
Zweifach zusammenhängende Gebiete
Mehrfach zusammenhängende Gebiete
Nicht zusammenhängende Gebiete
Zweifach zusammenhängende Gebiete
Wenn im Innern eines betrachteten Ebenenstücks ein Punkt oder eine beschränkte, einfach zusammenhängende
Punktmenge aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist, dann wird von einem zweifach zusammenhängenden
Gebiet gesprochen. Die Abbildung zeigt von links nach rechts
a) das Beispiel der gesamten Ebene mit Ausnahme des Punktes
, b) ein unbeschränktes zweifach
zusammenhängendes Gebiet, c) ein beschränktes zweifach zusammenhängendes Gebiet.
Kollokationsmethode
Der Defekt
wird in
möglichst günstig verteilten Punkten, den Kollokationsstellen
, zum Verschwinden gebracht:
(19.141)
Die Kollokationsstellen sind im 1. Fall Randpunkte (man spricht dann von Randkollokation ), im 2. Fall innere Punkte
des Integrationsgebietes (man spricht dann von Gebietskollokation ).
Gleichungen für die Koeffizienten. Die Randkollokation ist in der Regel der
Es ergeben sich aus (19.141)
Gebietskollokation vorzuziehen.
Beispiel
Für das im Abschnitt Differenzenverfahren behandelte Beispiel werde ein Ansatz verwendet, der bereits die
Differentialgleichung erfüllt:
.
Die Koeffizienten werden dadurch bestimmt, daß die Randbedingung in den Randpunkten
und
erfüllt ist (Randkollokation).
Man erhält das lineare Gleichungssystem
. Mit Hilfe der
mit der Lösung
Näherungsfunktion können Näherungswerte für die Lösung in beliebigen Punkten des Integrationsgebietes
berechnet werden.
Zum Vergleich mit dem Differenzenverfahren seien die Werte
angegeben.
und
Schnittpunkte zweier Orthodromen
Die betrachteten Orthodromen sollen die nordpolnächsten Punkte
gilt. Einsetzen des Schnittpunktes
besitzen, wobei
und
in beide Orthodromengleichungen
führt auf das Gleichungssystem
(3.233a)
(3.233b)
Elimination von
und die Anwendung der Additionstheoreme auf die Kosinusfunktionen ergeben:
(3.234)
Diese Gleichung liefert im Definitionsbereich
und
der geographischen Längen zwei Lösungen
Die dazugehörigen geographischen Breiten ergeben sich aus (3.233a):
(3.235)
Die Schnittpunkte
auseinander hervor.
und
sind Gegenpunkte , d.h., sie gehen durch eine Spiegelung am Kugelmittelpunkt
Planimetrie
●
●
●
●
●
●
Grundbegriffe
Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen
Ebene Dreiecke
Ebene Vierecke
Ebene Vielecke
Ebene Kreisfiguren
Vektoralgebra und analytische Geometrie
●
●
●
Vektoralgebra
Analytische Geometrie der Ebene
Analytische Geometrie des Raumes
Analytische Geometrie der Ebene
●
●
●
●
●
●
●
Grundlegende Begriffe und Formeln, ebene Koordinatensysteme
Gerade
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)
Analytische Geometrie des Raumes
●
●
●
●
Grundlegende Begriffe und Formeln, räumliche Koordinatensysteme
Gerade und Ebene im Raum
Flächen zweiter Ordnung, Gleichungen in Normalform
Flächen zweiter Ordnung, allgemeine Theorie
Differentialgeometrie
In der Differentialgeometrie werden ebene und räumliche Kurven und Flächen mit den Methoden der
Differentialrechnung untersucht. Daher wird von den Funktionen, die in die Kurven- bzw. Flächengleichungen
eingehen, vorausgesetzt, daß sie stetig sind und stetige Ableitungen bis zu der Ordnung besitzen, die gemäß dem
Charakter des zu untersuchenden Problems erforderlich ist. Nur in einzelnen Punkten der Kurve oder Fläche darf
diese Bedingung gestört sein. Man spricht dann von singulären Punkten .
Bei der Untersuchung geometrischer Gebilde auf der Grundlage ihrer Gleichungen wird zwischen solchen
Eigenschaften unterschieden, die von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, wie Schnittpunkte von Kurven
oder Flächen mit den Koordinatenachsen, Tangentensteigungen, Maxima und Minima, und solchen invarianten
Eigenschaften, die unabhängig sind von Koordinatentransformationen, wie Wendepunkte, Scheitel, Krümmungen.
Außerdem werden noch lokale Eigenschaften, die nur für sehr kleine Teile der Kurven oder Flächen zutreffen, wie
Krümmung und Linienelement von Flächen, von Eigenschaften unterschieden, die Kurven und Flächen im Ganzen
betreffen, wie die Anzahl der Scheitel oder die Länge einer geschlossenen Kurve.
●
●
●
Ebene Kurven
Raumkurven
Flächen
Punkt und Gerade
Punkt und Gerade werden in der modernen Mathematik nicht definiert. Man legt lediglich die Beziehungen zwischen
ihnen durch Axiome fest. Anschaulich kann die Gerade als Spur eines Punktes erklärt werden, der sich in einer
Ebene auf dem kürzesten Verbindungsweg zwischen zwei anderen Punkten bewegt und dabei nie die Richtung
ändert.
Unter einem Punkt versteht man die Schnittstelle zweier Geraden.
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●
Allgemeine Geradengleichung:
Geradengleichung mit Richtungskoeffizient:
Geradengleichung durch einen vorgegebenen Punkt:
Geradengleichung für zwei vorgegebene Punkte:
Geradengleichung in Achsenabschnittsform:
Normalform der Geradengleichung (auch HESSEsche Normalform ):
Geradengleichung in Polarkoordinaten:
Gleichung der Geraden
Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Gerade, und umgekehrt ist die Gleichung jeder beliebigen
Geraden eine lineare Gleichung ersten Grades.
Allgemeine Geradengleichung:
(3.299)
Für
ist die Gerade eine Parallele zur
-Achse, für
eine Parallele zur
-Achse, für
verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.
Geradengleichung mit Richtungskoeffizient:
Jede Gerade, die nicht parallel zur
-Achse verläuft, kann durch eine Gleichung der Form
(3.300)
dargestellt werden. Die Größe
wird Richtungskoeffizient der Geraden genannt; er ist gleich dem Tangens des
Winkels, den die Gerade mit der positiven Richtung der
-Achse einschließt.
Die Strecke
wird von der Geraden auf der
-Achse abgeschnitten. Sie kann ebenso wie der Tangens je nach
Lage unterschiedliches Vorzeichen besitzen.
Geradengleichung durch einen vorgegebenen Punkt:
Die Gleichung einer Geraden, welche durch einen vorgegebenen Punkt
in vorgegebener Richtung
verläuft, lautet
(3.301)
Geradengleichung für zwei vorgegebene Punkte:
Sind zwei Geradenpunkte
, und
vorgegeben, dann lautet die Geradengleichung
(3.302)
Geradengleichung in Achsenabschnittsform:
Wenn eine Gerade auf den Achsen jeweils die Strecken
berücksichtigen sind, dann lautet ihre Gleichung
und
abschneidet, wobei die Vorzeichen zu
(3.303)
Normalform der Geradengleichung (auch HESSEsche Normalform ):
Mit
als Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung und
als der Winkel, den die
Koordinatenursprung auf die Gerade gefällte Normale einschließen, mit
und
-Achse und die vom
lautet die
HESSEsche Normalform
(3.304)
Man kann die HESSEsche Normalform aus der allgemeinen Geradengleichung durch Multiplikation mit dem
Normierungsfaktor
(3.305)
herleiten. Das Vorzeichen von
muß entgegengesetzt zu dem von
gewählt werden.
Geradengleichung in Polarkoordinaten:
Mit
als Abstand vom Pol zur Geraden (Normalenstrecke vom Pol zur Geraden) und
Polarachse und der vom Pol auf die Gerade gefällten Normalen gilt
als Winkel zwischen
(3.306)
Gerade und Ebene
Eine Gerade kann gänzlich in einer gegebenen Ebene liegen, sie kann mit ihr einen gemeinsamen Punkt haben oder
gar keinen. Im letzten Fall ist die Gerade parallel zur Ebene. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
wird zwischen der Geraden und ihrer Orthogonalprojektion auf die Ebene gemessen.
Wenn eine Gerade senkrecht auf zwei in einer Ebene liegenden und sich schneidenden Geraden verläuft, dann steht
sie auf jeder beliebigen Geraden in dieser Ebene senkrecht, d.h., sie steht senkrecht zur Ebene.
Zwei Geraden
Zwei Geraden in ein und derselben Ebene haben entweder einen oder keinen gemeinsamen Punkt. Im letzteren
Falle sind sie parallel . Wenn sich durch zwei Geraden keine Ebene legen läßt, wird von windschiefen oder
kreuzenden Geraden gesprochen. Als Winkel zwischen zwei windschiefen Geraden wird der Winkel zwischen zwei
zu ihnen parallelen Geraden bezeichnet, die durch einen Punkt gehen.
Der Abstand zweier windschiefer Geraden voneinander ist definiert als die Strecke, die auf beiden Geraden
senkrecht steht.
Parallele und orthogonale Geraden
Parallele Geraden verlaufen in die gleiche Richtung, besitzen aber keinen gemeinsamen Punkt, d.h., sie nähern und
entfernen sich nicht voneinender und schneiden sich nicht. Die Parallelität wird für zwei parallele Geraden
und
in Zeichen dargestellt durch
Orthogonale Geraden bilden beim Schnitt miteinander rechte Winkel, d.h., sie stehen senkrecht aufeinander. Die
Orthogonalität zweier Geraden ist wie die Parallelität eine Lagebeziehung zweier Geraden zueinander.
Winkel zwischen zwei Geraden
1. Geradengleichungen in der allgemeinen Form:
Wenn die beiden Geradengleichungen in der allgemeinen Form
(3.310a)
gegeben sind, dann gilt
(3.310b)
(3.310c)
(3.310d)
Mit den Richtungskoeffizienten
und
ergibt sich
(3.310e)
(3.310f)
(3.310g)
Dabei wird der Winkel
von einer Geraden zur zweiten im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers gemessen.
2. Parallele Geraden:
Für parallele Geraden (linke Abbildung) ist
(3.311)
3. Senkrechte Geraden:
Für senkrechte Geraden (rechte Abbildung) ist
(3.312)
Unterabschnitte
●
●
Schnittpunkt zweier Geraden:
Geradenbüschel:
Schnittpunkt von Geraden
Schnittpunkt zweier Geraden:
Um die Koordinaten
des Schnittpunktes zweier Geraden zu berechnen, ist die Lösung des aus ihren
Gleichungen zu bildenden Gleichungssystems zu berechnen. Wenn die Geraden durch die Gleichungen
(3.308a)
gegeben sind, dann gilt
(3.308b)
Wenn
ist, dann sind die Geraden parallel. Ist
dann fallen die Geraden
zusammen.
Geradenbüschel:
Wenn eine dritte Gerade mit der Gleichung
(3.309a)
durch den Schnittpunkt der ersten beiden Geraden gehen soll, dann muß die Bedingung
(3.309b)
erfüllt sein.
Die Gleichung
(3.309c)
beschreibt alle Geraden die durch den Schnittpunkt
Durch (3.309c) wird ein Geradenbüschel mit dem Träger
der beiden Geraden (3.308a) hindurchgehen.
definiert. Wenn die Gleichungen der ersten
beiden Geraden in Normalform gegeben sind, dann erhält man für
Winkelhalbierenden der von den beiden Geraden eingeschlossenen Winkel.
die Gleichungen der
JACOBI-Verfahren
In der Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (19.25) seien sämtliche Diagonalelemente
von Null verschieden. Dann kann die
und man erhält unmittelbar die folgende Iterationsvorschrift, in der
-te Zeile nach der Unbekannten
aufgelöst werden,
der Iterationsindex ist:
(19.48)
Die Vorschrift (19.48) wird als JACOBI-Verfahren oder auch als Gesamtschrittverfahren bezeichnet, da sämtliche
Komponenten des neuen Vektors
allein aus den Komponenten von
Verfahren konvergiert für beliebige Startvektoren
, falls gilt:
berechnet werden. Das JACOBI-
(19.49)
oder
(19.50)
Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli
Bei beliebig vorgegebenen Zahlen
und
ist
(16.102a)
wenn
(16.102b)
Weitere Gesetze dieser Art s. Lit. 16.8, 16.20.
Beispiel
Wievielmal muß man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % darauf schließen zu
können, daß sich die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Augenzahl Sechs von der beobachteten
relativen Häufigkeit höchstens um den Betrag
Es ist
und
, also
BERNOULLIschen Gesetz der großen Zahlen
unterscheidet?
, und somit muß nach dem
sein. Diese Zahl ist sehr groß. Man kann
verkleinern, wenn man die Verteilungsfunktion kennt (s. Lit. 16.10).
Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy
Wenn die unabhängigen Zufallsveränderlichen
und der Streuung
derselben Verteilung mit dem Erwartungswert
genügen, dann strebt die Verteilungsfunktion
der zufälligen Veränderlichen
(16.103)
für
gegen eine (
)-Normalverteilung, d.h., es ist
(16.104)
Die Ersetzung von
durch die (
)-Normalverteilung ist praktisch für
Weitere Grenzwertsätze s. Lit. 16.8, 16.10, 16.20.
möglich (s. Lit. 16.1).
Beispiel
Einer laufenden Produktion von Widerständen werden 100 Stück entnommen. Es sei bekannt, daß
sämtliche Widerstandswerte unabhängig sind und derselben Verteilung mit der Streuung
genügen. Der Mittelwert der 100 Widerstände sei
Wahrscheinlichkeit von 99 % der Erwartungswert
Es ist
Zufallsveränderliche
. In welchem Bereich liegt mit einer
der Verteilung?
. Man kann annehmen (s. (16.103)), daß die
einer (
)-Normalverteilung genügt. Somit ist
und damit
.
. Aus der Tabelle
Diese Wahrscheinlichkeit soll 99 % sein. Damit gilt
für die normierte Normalverteilung entnimmt man
mit der Wahrscheinlichkeit 99 %:
. Wegen
gilt daher
Gewicht einer Messung
Wenn die direkten Meßergebnisse
aus verschiedenen Meßverfahren stammen oder Mittelwerte von
Einzelmessungen darstellen, die zu dem gleichen Mittelwert
mit verschiedenen Streuungen
gehören, setzt
man an die Stelle des gleichgewogenen Mittels das gewogene Mittel
(16.201)
und an die Stelle der Streuungen
die Streuungsverhältnisse
(16.202)
Für
steht ein beliebiger Wert
(meist der mit dem geringsten Fehler), der aus dem Zahlenbereich der
Meßwerte ausgewählt wird. Er dient als Standardabweichung der Gewichtseinheit, d.h., für
ist
.
Aus (16.200) folgt: Das Gewicht einer Messung ist um so größer, je kleiner ihr Fehler
ist.
Gewogenes und arithmetisches Mittel
Bei Anwendung auf den diskreten Fall ergibt sich als Erwartungswert das gewogene Mittel
(16.52)
der Werte
Gleichverteilung ist
mit den Wahrscheinlichkeiten
, Gewichte genannt. Bei
, und
wird zum arithmetischen Mittel der Werte
:
(16.53)
Bei Anwendung auf den kontinuierlichen Fall erhält man bei Gleichverteilung über dem endlichen Intervall
Dichtefunktion
(16.54)
und daraus folgt:
die
(16.55)
Wahrer Wert und seine Näherungen
Der wahre Wert
einer meßbaren Größe ist im allgemeinen unbekannt. Als Schätzwert für
wird man den
Erwartungswert der Zufallsvariablen wählen, deren Realisierung durch die Meßwerte
erfolgt. Demzufolge bieten sich als Näherungswerte für
die folgenden Mittelwerte an:
1. Gleichgewichteter Mittelwert:
(16.182)
wenn die Meßwerte in
Klassen mit den absoluten Häufigkeiten
eingeteilt worden sind.
und den Klassenmittelwerten
2. Gewichteter Mittelwert:
(16.183)
Dabei sind die einzelnen Meßwerte mit dem Gewichtsfaktor
gewichtet worden.
Eigenschaften
Bikubische Splines werden zur Lösung der folgenden Aufgabe verwendet:
Ein Rechtecksbereich
der
-Ebene, gegeben durch
, werde durch die
mit
Gitterpunkte
(19.239)
in die Maschen
zerlegt, wobei die Masche
aus den Punkten
mit
besteht. In den
Gitterpunkten seien von der Funktion
die Funktionswerte
(19.240)
gegeben. Gesucht ist eine möglichst einfache, glatte Fläche über
, welche die Punkte (19.240) approximiert.
Asymptotische Gleichheit
Zwei Funktionen
und
, die für
definiert sind, heißen asymptotisch gleich für
, wenn gilt:
(7.92a)
bzw.
(7.92b)
Dabei wird in
das LANDAU-Symbol ,,groß O`` verwendet. Wenn (7.92b) erfüllt ist, schreibt man auch
.
Beispiel A
.
Beispiel B
.
Beispiel C
.
Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind definitionsgemäß gleich, wenn ihre Realteile und Imaginärteile für sich einander gleich
sind. Geometrisch betrachtet sind zwei komplexe Zahlen gleich, wenn die zu ihrer Darstellung benötigten Vektoren
gleich sind. Im entgegengesetzten Falle sind die komplexen Zahlen ungleich. Die Begriffe ,,größer`` und ,,kleiner``
sind für komplexe Zahlen nicht definiert.
Gleichheit von Matrizen
Zwei Matrizen
und
sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und wenn ihre
gleichgestellten Elemente einander gleich sind:
(4.20)
Teilmengen
1. Teilmenge:
Sind
und
Mengen und gilt
(5.36)
dann heißt
Teilmenge von
wenn alle Elemente von
Gibt es für
und man schreibt
in
, und man schreibt:
auch zu
Mit anderen Worten:
ist Teilmenge von
gehören.
weitere Elemente, die nicht in
Die folgende Abbildung zeigt
vorkommen, so heißt
echte Teilmenge von
als echte Teilmenge der Menge
,
Beispiel
eine Menge gerader Zahlen und
Es seien
natürlicher Zahlen. Da die Menge
die ungeraden Zahlen nicht enthält, ist
eine Menge
eine echte Teilmenge von
2. Leere Menge:
Es erweist sich als sinnvoll, die leere Menge
die kein Element enthält, einzuführen. Wegen des
Extensionalitätsprinzips gibt es nur eine solche Menge.
Beispiel A
Die Menge
Beispiel B
ist leer.
Für jede Menge
gilt
d.h., die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
3. Gleichheit von Mengen:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:
(5.37)
Diese Tatsache wird häufig zum Beweis der Gleichheit zweier Mengen benutzt.
4. Potenzmenge:
Die Menge aller Teilmengen einer Menge
nennt man Potenzmenge von
und bezeichnet sie mit
d.h.
Beispiel
lautet die Potenzmenge
Für die Menge
Es gilt:
1.
Hat eine Menge
Elemente, so hat ihre Potenzmenge
Elemente.
2.
Für jede Menge
gilt
d.h. die leere Menge ist Potenzmenge jeder Menge
5. Kardinalzahl:
Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge
heißt Kardinalzahl von
und wird mit
oder
manchmal auch
bezeichnet.
Auch unendlichen Mengen werden Kardinalzahlen zugeordnet.
Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren
und
gelten als gleich, wenn ihre Beträge gleich sind und ihre Richtungen übereinstimmen, d.h.,
wenn sie parallel und gleich orientiert sind.
Entgegengesetzt gleiche Vektoren zeichnen sich durch gleiche Beträge, aber entgegengesetzte Richtungen aus:
(3.239)
Axiale Vektoren besitzen in diesem Falle entgegengesetzt gleichen Drehsinn.
Äquivalenzrelationen
Eine binäre Relation
in einer Menge
heißt Äquivalenzrelation , wenn
verwendet man in diesem Falle auch die Bezeichnung
Für
Äquivalenzrelation
aus dem Zusammenhang bekannt ist, und sagt,
reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
oder
, wenn die
ist äquivalent zu
(bzgl.
).
Beispiel A
Es gilt
genau dann, wenn
gleichen Rest lassen (Kongruenzrechnung modulo
Beispiel B
).
und
bei Division durch
den
Gleichheitsbeziehung in unterschiedlichen Bereichen, z.B. in der Menge
rationalen Zahlen:
definiert, während das zweite die Gleichheit in
der
wobei das erste Gleichheitszeichen die Gleichheit in
bezeichnet.
Beispiel C
Ähnlichkeit oder Kongruenz geometrischer Figuren.
Beispiel D
Logische Äquivalenz aussagenlogischer Ausdrücke.
Definitionen
1. Algebraischer Ausdruck
oder Term werden eine oder mehrere algebraische Größen, wie Zahlen oder Buchstabensymbole, genannt,
die durch Zeichen wie
usw. sowie verschiedene Arten von Klammern zur Festlegung
der Operationsfolge der algebraischen Operationen miteinander verknüpft sind.
2. Identität
ist eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei algebraischen Ausdrücken, die beim Einsetzen beliebiger
Zahlenwerte anstelle der darin aufgeführten Buchstabensymbole erhalten bleibt.
3. Gleichung
nennt man eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei algebraischen Ausdrücken, wenn sich im Unterschied zur
Identität nur einige spezielle Werte einsetzen lassen. So wird z.B. eine Gleichheitsbeziehung
(1.27)
zwischen zwei Funktionen ein und derselben Veränderlichen als Gleichung mit einer Unbekannten bezeichnet, wenn
sie nur für bestimmte Werte dieser Veränderlichen richtig ist. Bleibt die Gleichheitsbeziehung für beliebige Werte der
Variablen
erhalten, dann nennt man sie eine Identität bzw. man sagt, die Gleichung ist identisch erfüllt.
4. Identische Umformungen
werden durchgeführt, um einen algebraischen Ausdruck in einen anderen, ihm identisch gleichen zu
überführen. Solche Umformungen können je nach dem Ziel, das dabei verfolgt wird, verschieden aussehen.
Sie sind z.B. zur Gewinnung kürzerer Ausdrücke zweckmäßig, damit das Einsetzen von Zahlen oder weitere
Rechnungen bequemer werden. Außerdem sind oft Ausdrücke gewünscht, die besonders gut zur Lösung von
Gleichungen, zum Logarithmieren, zum Differenzieren, zum Integrieren usw. geeignet sind.
Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
1. Normalform:
(1.148)
2. Anzahl der Lösungen: Es existiert stets eine reelle Lösung
(1.149)
Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
●
●
●
Normalform und Anzahl der Lösungen
Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 1
Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 2
Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
●
●
●
●
Normalform und Anzahl der Lösungen
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 1
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 2, Anwendung der Formel von CARDANO
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 3, Verwendung von Hilfsgrößen
Gleichungen 4. Grades
1. Normalform:
(1.162)
Sind alle Koeffizienten dieser Gleichung reell, dann hat sie keine oder 2 oder 4 reelle Lösungen.
2. Spezielle Formen: Wenn
ist, dann können die Wurzeln von
(1.163a)
mit Hilfe der Formeln
(1.163b)
berechnet werden. Für
und
werden die Wurzeln der Gleichung
(1.163c)
mit Hilfe der Formeln
(1.163d)
berechnet.
Hinweis: Zur Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades werden in den nächsten beiden Abschnitten zwei
Methoden betrachtet. Eine dritte Lösungsmethode beruht auf Näherungsmethoden.
●
●
Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 1, Faktorenzerlegung
Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 2
Algebraische und transzendente Gleichungen
●
●
●
●
Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform
Gleichungen 1. bis 4. Grades
Gleichungen n-ten Grades
Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische
Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen
●
●
●
Wurzeln
Fundamentalsatz der Algebra
Wurzelsatz von VIETA
Definition
Die in der Gleichung
(1.144)
enthaltene Veränderliche
wird Unbekannte genannt, die speziellen Werte
der Veränderlichen,
für die die Gleichung erfüllt wird, sind die Wurzeln oder Lösungen der Gleichung. Zwei Gleichungen sind äquivalent,
wenn sie genau die gleichen Wurzeln besitzen.
Eine algebraische Gleichung liegt vor, wenn jede der darin enthaltenen Funktionen
und
algebraisch,
d.h. rational oder irrational ist; eine von ihnen kann auch eine Konstante sein. Jede algebraische Gleichung kann
durch algebraische Umformungen auf die Normalform
(1.145)
gebracht werden, die die gleichen Wurzeln wie die Ausgangsform besitzt, aber unter Umständen einige überzählige.
Der Koeffizient
wird oft auf den Wert 1 gebracht; im übrigen werden die Koeffizienten
hier und im
weiteren als reell vorausgesetzt, im entgegengesetzten Falle wird besonders darauf aufmerksam gemacht.
Der Exponent
wird der Grad der Gleichung genannt.
Beispiel
Gesucht ist die Normalform der Gleichung
Umformungen:
Das Ergebnis ist eine Gleichung vierten Grades in der Normalform.
Schrittweise
Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform
●
●
●
Definition
Systeme aus
algebraischen Gleichungen
Überzählige Wurzeln
Systeme aus
algebraischen Gleichungen
Jedes algebraische Gleichungssystem kann auf die Normalform, d.h. auf eine polynomiale Darstellung gebracht
werden:
(1.146)
sind Polynome in
Die
Beispiel
Gesucht ist die Normalform des Systems der Gleichungen:
Die Normalform lautet:
Unterabschnitte
●
●
Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite
Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten Seite
Singuläre Punkte einer Differentialgleichung
Singuläre Punkte einer Differentialgleichung sind Punkte, in denen die rechte Seite der Differentialgleichung
(9.18a)
nicht definiert ist. Diese Situation tritt z.B. in Differentialgleichungen der folgenden Formen auf:
Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite
(9.18b)
besitzt im Punkt
jedem beliebig nahe an
einen isolierten singulären Punkt , da die Bedingungen des Existenzsatzes lediglich in
gelegenen Punkt gelten, nicht aber in diesem selbst. Streng genommen sind die
genannten Bedingungen in diesem Falle für alle Punkte nicht erfüllt, für die
ist. Die Erfüllung der
Bedingungen kann dadurch erzwungen werden, daß die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen
vertauscht und die Gleichung
(9.18c)
betrachtet wird.
Das Verhalten der Integralkurven in der Nähe des singulären Punktes hängt von den Wurzeln der charakteristischen
Gleichung
(9.18d)
ab. Dabei können die folgenden Fälle unterschieden werden:
Fall 1: Wenn die Wurzeln reell sind und gleiches Vorzeichen besitzen, dann ist der singuläre Punkt ein
Knotenpunkt . In der Umgebung des singulären Punktes verlaufen alle Integralkurven durch ihn hindurch und
verfügen hier, sofern die Wurzeln nicht zusammenfallen, mit Ausnahme einer Integralkurve über eine
gemeinsame Tangente. Im Falle einer Doppelwurzel haben entweder alle Integralkurven eine gemeinsame
Tangente, oder durch den singulären Punkt verläuft in jeder Richtung eine eindeutige Kurve.
Beispiel A
Für die Differentialgleichung
lautet die charakteristische Gleichung
. Die Integralkurven gehorchen der Gleichung
(s. Abbildung).
Die Gerade
ist in der allgemeinen Lösung ebenfalls enthalten, was aus der Form
hervorgeht.
Beispiel B
Die charakteristische Gleichung für
Integralkurven sind
lautet
(s. Abbildung).
Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Knotenpunkt .
Beispiel C
.
Die charakteristische Gleichung für
Integralkurven sind
lautet
.
(s. Abbildung).
Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Strahlpunkt .
Fall 2: Wenn die Wurzeln reell sind und verschiedene Vorzeichen besitzen, ist der singuläre Punkt ein
Sattelpunkt , durch den zwei Integralkurven verlaufen.
Beispiel D
Die charakteristische Gleichung für
Integralkurven sind
Für
lautet
.
(s. Abbildung).
gibt es die partikulären Integrale
.
Fall 3: Wenn die Wurzeln konjugiert komplex sind, dann ist der singuläre Punkt ein Strudelpunkt , auf den sich
die Integralkurven in unendlich vielen Windungen aufwinden.
Beispiel E
Die charakteristische Gleichung für
ist
. Integralkurven in Polarkoordinaten sind
(s. Abbildung).
Fall 4: Wenn die Wurzeln rein imaginär sind, dann ist der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt , der von der Schar
geschlossener Integralkurven eingeschlossen wird.
Beispiel F
Die charakteristische Gleichung für
Integralkurven sind
ist
.
(s. Abbildung).
Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten
Seite
(9.19a)
besitzt singuläre Punkte für Werte der Variablen, für die
(9.19b)
gilt. Wenn
und
stetige Funktionen sind, die stetige partielle Ableitungen besitzen, dann kann (9.19a) in der
Form
(9.19c)
dargestellt werden. Dabei sind
und
die Koordinaten des singulären Punktes, und die Werte von
müssen infinitesimal von höherer Ordnung im Vergleich zum Abstand des Punktes
sowie
singulären Punkt
vom
sein. Unter diesen Voraussetzungen ist die Art der singulären Punkte der gegebenen
Differentialgleichung die gleiche wie für den singulären Punkt der Näherungsgleichung , die durch Weglassen von
und
entsteht. Dazu gibt es die folgenden Ausnahmen:
a)
Wenn der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt ist, dann ist der singuläre Punkt der Ausgangsgleichung entweder
ein Wirbelpunkt oder ein Strudelpunkt;
b)
wenn
, d.h.
oder
bzw.
ist, dann müssen, damit die Art
des singulären Punktes bestimmt werden kann, Glieder höherer Ordnung in die Betrachtung einbezogen
werden.
Charakteristisches Polynom
Die Eigenwertgleichung (4.124) stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar, das genau dann nichttriviale
Lösungen
besitzt, wenn gilt
(4.125a)
Durch Entwicklung von
ergibt sich
(4.125b)
Die Eigenwertbedingung entspricht somit einer Polynomgleichung. Sie wird charakteristische Gleichung genannt; das
Polynom
heißt charakteristisches Polynom . Seine Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix A. Damit gilt
für eine beliebige quadratische Matrix A vom Typ
1. Fall: Die Matrix
besitzt genau
Eigenwerte
denn ein Polynom vom Grade
hat
Nullstellen, wenn diese entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. Die Eigenwerte von
nichtsymmetrischen Matrizen können komplex sein.
2. Fall: Sind die
Eigenwerte der Matrix
unabhängige Eigenvektoren
3. Fall: Ist
ein
-facher Eigenwert und hat die Matrix
den Rang
dann ist die Zahl
gehören, gleich dem sogenannten Rangabfall
d.h., zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix
mindestens einen und höchstens
Beispiel A
linear
als Lösungen des Gleichungssystems (4.124) mit
der linear unabhängigen Eigenvektoren, die zu
Es gilt
sämtlich verschieden, dann existieren genau
reelle oder komplexe linear unabhängige Eigenvektoren.
gibt es
Die Eigenwerte sind
Die Eigenvektoren werden aus den zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystemen bestimmt.
Man erhält z.B. nach dem Austauschverfahren
beliebig,
Man wählt
Eigenvektor
wobei
und erhält den
eine beliebige Konstante ist.
Das zugehörige homogene System ergibt
beliebig,
Man wählt
wobei
und erhält den Eigenvektor
eine beliebige Konstante ist.
Das zugehörige homogene System ergibt
beliebig,
Man wählt
wobei
Beispiel B
eine beliebige Konstante ist.
und erhält den Eigenvektor
Die Eigenwerte sind
Man erhält
beliebig,
und wählt z.B.
wobei
erste Eigenvektor
Man erhält
ergeben sich z.B. für
beliebig,
eine beliebige Konstante ist.
Zwei linear unabhängige Eigenvektoren
und
wobei
sind.
Damit lautet der
beliebige Konstanten
DIOPHANTische Gleichungen und Lösbarkeit
1. Allgemeiner Fall: Eine Gleichung
Unbekannten genannt, wenn
wird DIOPHANTische Gleichung in
ein Polynom in
mit Koeffizienten aus
der Menge
der ganzen Zahlen und eine ganzzahlige Konstante ist und man sich ausschließlich für
ganzzahlige Lösungen interessiert. Die Bezeichnung ,, DIOPHANTisch`` erinnert an den griechischen
Mathematiker DIOPHANT, der um 250 lebte.
DIOPHANTische Gleichungen treten in der Praxis z.B. dann auf, wenn Beziehungen zwischen Stückzahlen
beschrieben werden.
Allgemein gelöst sind bisher nur die DIOPHANTischen Gleichungen bis zum zweiten Grad mit zwei Variablen.
Für die DIOPHANTischen Gleichungen höheren Grades sind nur in Spezialfällen Lösungen bekannt.
2. Lineare DIOPHANTische Gleichungen in
Unbekannten ist eine Gleichung der Form
Unbekannten: Eine lineare DIOPHANTische Gleichung in
(5.160)
für die nur die ganzzahligen Lösungen gesucht werden. Im weiteren wird ein Lösungsverfahren angegeben.
3. Lösbarkeitsbedingung: Unter der Bedingung, daß nicht alle
gleich 0 sind, ist die DIOPHANTische
Gleichung (5.160) genau dann lösbar, wenn der ggT
ein Teiler von
ist.
Beispiel
ist lösbar, denn ggT
Wenn eine lineare DIOPHANTische Gleichung in
Unbekannten (
) eine Lösung hat und
der
Variablengrundbereich ist, so hat die Gleichung unendlich viele Lösungen. In der Lösungsmenge treten dann
freie Parameter auf. Für Teilmengen von
gilt dies aber nicht.
Gleichung der Hyperbel
Die Hyperbelgleichung lautet in der Normalform , d.h. für zusammenfallende
Parameterform
- und reelle Achse sowie in der
(3.328a)
(3.328b)
Die Gleichung der Hyperbel in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.
Irrationale Gleichungen
Wenn in einer gegebenen Gleichung die Unbekannte auch in einem Radikanden auftritt, dann kann die zugehörige
Normalform Wurzeln enthalten, die der Ausgangsgleichung nicht genügen. Daher ist nach der Lösung der Gleichung
in Normalform eine Probe durch Einsetzen der gefundenen Wurzel in die Ausgangsgleichung erforderlich.
Beispiel
oder
oder
Die Lösungen von (2) sind
nicht.
Die Lösung
erfüllt (1), die Lösung
aber
KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
●
●
Auftreten
Gleichung und Lösungen
Allgemeine Gleichung der Kurven zweiter Ordnung
Mit der allgemeinen Gleichung der Kurven 2. Ordnung
(3.351a)
werden die Ellipse, ihr Spezialfall, der Kreis, die Hyperbel, die Parabel oder ein Geradenpaar als zerfallende Kurve
2. Ordnung definiert. Die Rückführung auf die Normalform kann mit Hilfe der in den Tabellen
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, Mittelpunktsgleichungen
und
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, parabolische Gleichungen
angegebenen Koordinatentransformationen erreicht werden. Die Koeffizienten in der obigen Gleichung (3.351a) sind
nicht identisch mit den Parametern der speziellen Kegelschnitte in den Gleichungen für die Ellipse, Hyperbel und
Parabel.
Gleichung einer Kurve
Jeder Gleichung
für die Koordinaten
und
entspricht eine Kurve, die die Eigenschaft hat, daß
die Koordinaten jedes beliebigen Kurvenpunktes
der Gleichung genügen und daß umgekehrt jeder Punkt, dessen
Koordinaten diese Gleichung erfüllen, auf der Kurve liegt. Die Menge dieser Punkte wird auch geometrischer Ort
genannt. Wenn die Gleichung
von keinem reellen Punkt der Ebene erfüllt wird, dann gibt es keine
reelle Kurve; man spricht von einer imaginären Kurve .
Man spricht von einer algebraischen Kurve
wenn
ein Polynom ist, und nennt seinen
Grad die Ordnung der Kurve. Wenn die Gleichung der Kurve nicht auf die Form
mit
als
Polynom gebracht werden kann, dann spricht man von einer transzendenten Kurve .
Die Gleichungen von Kurven in anderen Koordinatensystemen können in analoger Weise betrachtet werden. Im
weiteren werden aber, falls nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, nur die kartesischen Koordinaten verwendet.
Beispiel A
: algebraische Kurve,
Beispiel B
: transzendente Kurve.
Koordinatengleichungen
Eine ebene Kurve kann analytisch auf eine der folgenden Arten definiert werden.
1. In kartesischen Koordinaten:
(3.424)
(3.425)
(3.426)
2. In Polarkoordinaten:
(3.427)
Logarithmische Gleichungen
Logarithmische Gleichungen können in den folgenden zwei Fällen auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn die
Unbekannte
oder ein Polynom
nur unter dem Logarithmuszeichen vorkommt:
1.
Ist in der Gleichung nur der Logarithmus ein und desselben Ausdrucks enthalten, dann kann dieser als neue Unbekannte
eingeführt und die Gleichung nach ihr aufgelöst werden. Die ursprüngliche Unbekannte wird über den Logarithmus berechnet.
Beispiel
Die Substitution
Auflösung nach
ergibt für
liefert die Gleichung
die Gleichung
2.
Liegt die Gleichung in der Form einer Linearkombination von Logarithmen mit ganzzahligen Koeffizienten
gleichen Basis
von Ausdrücken vor, die ihrerseits Polynome von
sind, also in der Form
dann können beide Seiten der Gleichung, jede für sich, auf den
Logarithmus ein und desselben Ausdrucks zurückgeführt werden.
zur
Beispiel
Für
ergibt sich beim Einsetzen in die Ausgangsgleichung der Logarithmus einer negativen Zahl, d.h. eine
imaginäre Größe, die unberücksichtigt bleibt.
Diskrete dynamische Systeme
Gegeben sei die Differenzengleichung
(17.3)
die auch als Zuordnung
geschrieben werden kann. Dabei ist
mal stetig differenzierbare Abbildung, wobei im letzten Fall
sei. Ist
eine stetige oder
invertierbar, so definiert (17.3)
durch die Festlegung
(17.4)
ein invertierbares diskretes dynamisches System. Ist
nicht invertierbar, so sind die Abbildungen
erklärt.
In den folgenden Beispielen werden die logistische Gleichung und die HÉNON-Abbildung betrachtet.
nur für
-
Beispiel A
Die Differenzengleichung
(17.5)
mit einem Parameter
heißt logistische Gleichung . Hierbei ist
ist bei fixiertem
die Funktion
, und
. Offenbar ist
unendlich
oft differenzierbar, aber nicht umkehrbar. Also definiert (17.4) kein invertierbares dynamisches System.
Beispiel B
Die Differenzengleichung
(17.6)
mit den Parametern
und
heißt HÉNON- Abbildung (s. auch die Bilder dazu).
Die dieser Gleichung (17.6) entsprechende Abbildung
ist durch
definiert, unendlich oft differenzierbar und umkehrbar.
Gleichungen mit Hyperbelfunktionen
Gleichungen mit Hyperbelfunktionen können auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn die
Unbekannte
nur im Argument der Hyperbelfunktionen steht. Dazu werden die Hyperbelfunktionen durch
Exponentialausdrücke ersetzt und
ergibt. Nach deren Lösung ist noch
Beispiel
und
substituiert, so daß sich eine algebraische Gleichung für
zu berechnen.
.
Gleichungen n-ten Grades
●
●
Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen
Gleichungen mit reellen Koeffizienten
Konvergenz einer Funktion im Mittel
Die FOURIER-Reihe konvergiert im Mittel gegen die gegebene Funktion, d.h., es gilt
(7.100a)
wenn die Funktion beschränkt und im Intervall
stückweise stetig ist. Eine Folge der Konvergenz im
Mittel ist die PARSEVALsche Gleichung:
(7.100b)
Gleichung einer Raumkurve
Eine Raumkurve kann durch drei Parametergleichungen
(3.370)
festgelegt werden. Jedem Wert des Parameters
dem nicht immer eine unmittelbare geometrische Bedeutung
zugemessen werden kann, entspricht ein bestimmter Punkt der Kurve.
Eine andere Methode der Festlegung einer Raumkurve geht von der Angabe zweier Gleichungen aus:
(3.371)
Jede von ihnen definiert eine Fläche. Eine Raumkurve ergibt sich für alle die Punkte, die beiden Gleichungen
genügen, d.h., die Raumkurve ist die Schnittkurve der beiden Flächen. Allgemein liefert jede Gleichung der Form
(3.372)
für beliebiges
eine Fläche, die durch die betrachtete Kurve hindurchgeht, so daß sie eine der beiden Gleichungen
(3.371) ersetzen kann.
Vektorgleichungen
Mit
als Radiusvektor eines beliebigen Kurvenpunktes können die vom beliebigen Parameter
Gleichungen (3.464) in der Vektorform
abhängigen
(3.466)
geschrieben werden und die von der Bogenlänge
abhängigen Gleichungen (3.465a) in der Vektorform
(3.467)
Sinus- GORDON-Gleichung
●
●
Auftreten
Gleichung und Lösungen
Trigonometrische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen können auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn die Unbekannte
oder der Ausdruck
mit ganzzahligem
nur im Argument der trigonometrischen Funktionen steht.
Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln wird die Gleichung so umgeformt, daß sie nur noch eine einzige
Funktion von
enthält, die gleich
gesetzt wird. Nach der Lösung der so erhaltenen Gleichung wird
Zu beachten ist hierbei die Mehrdeutigkeit der Lösungen.
Beispiel
bestimmt.
oder
Substitution von
liefert
und
Die Lösung
ergibt
ergibt wegen
und
keine reellen Lösungen der Ausgangsgleichung;
.
L'HUILIERsche
Gleichungen
Die Berechnung der Fläche eines sphärischen Dreiecks kann mit Hilfe des Exzesses
(3.171a) aus den bekannten Winkeln
erfolgen. Dieser kann gemäß
berechnet werden oder, wenn die drei Seiten
bekannt sind,
gemäß (3.178a) bis (3.178e) über die berechenbaren Winkel. Die L'HUILIERsche Gleichung ermöglicht jedoch die
unmittelbare Berechnung von
aus den Seiten:
(3.186)
Diese Gleichung entspricht der HERONischen Flächenformel der ebenen Trigonometrie.
Sätze
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;
- Flächeninhalt;
- Radius des Umkreises;
- halber Dreiecksumfang.
- Seiten;
- die ihnen gegenüberliegenden
- Radius des Inkreises;
Sinussatz:
(3.74)
Projektionssatz:
(3.75)
Kosinussatz oder Satz des PYTHAGORAS im schiefwinkligen Dreieck:
(3.76)
MOLLWEIDEsche Gleichungen:
(3.77a)
(3.77b)
Tangenssatz:
(3.78)
Halbwinkelsatz:
(3.79)
NEPERsche Gleichungen und Tangenssatz
(3.184a)
(3.184b)
(3.184c)
(3.184d)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Diese Gleichungen heißen auch NEPERsche Analogien. Aus ihnen werden die zum Tangenssatz der ebenen
Trigonometrie analogen Formeln hergeleitet:
(3.185a)
(3.185b)
(3.185c)
Lineare Gleichungssysteme
●
●
●
Lineare Systeme, Austauschverfahren
Lösung linearer Gleichungssysteme
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
Numerische Lösung von Gleichungssystemen
Bei vielen praktischen Aufgaben werden für
unbekannte Größen
Bedingungen in
Gleichungsform gestellt:
(19.23)
Die Unbekannten
Regel ist
sind so zu bestimmen, daß sie eine Lösung des Gleichungssystems (19.23) darstellen. In der
, d.h., die Anzahl der Unbekannten stimmt mit der Anzahl der Gleichungen überein. Im Falle
bezeichnet man (19.23) als überbestimmtes System , im Falle
als unterbestimmtes System .
Überbestimmte Systeme haben in der Regel keine Lösung. Man formuliert deshalb die zu (19.23) gehörende
Quadratmittelaufgabe
(19.24)
als Ersatzaufgabe. Im unterbestimmten Fall können im allgemeinen
daß die Lösung von (19.23) von
Unbekannte frei gewählt werden, so
Parametern abhängt. Man spricht dann von einer
-
dimensionalen Lösungsmannigfaltigkeit .
Man unterscheidet lineare und nichtlineare Gleichungssysteme , je nachdem, ob in (19.23) die Unbekannten nur
linear oder auch nichtlinear auftreten.
●
●
Lineare Gleichungssysteme
Nichtlineare Gleichungssysteme
Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
Ein lineares Gleichungssystem heißt lösbar, wenn wenigstens ein Vektor
existiert, der (4.107) zu einer Identität
macht. Anderenfalls heißt das System unlösbar.
Das Lösungsverhalten hängt vom Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix
Komponenten des Vektors
als
-te Spalte zur Matrix
ab, die durch Hinzufügen der
entsteht.
Im Folgenden wird die Lösbarkeit inhomogener und homogener Systeme betrachtet.
1. Allgemeine Regel für das inhomogene System:Das inhomogene System
ist genau dann lösbar,
wenn
(4.108a)
ist. Für
gilt die folgende Fallunterscheidung:
(4.108b)
(4.108c)
d.h.,
Unbekannte können als Parameter frei gewählt werden.
Beispiel A
Die Matrix
hat den Rang 2, die erweiterte
Koeffizientenmatrix
d.h., das System ist unlösbar.
Beispiel B
den Rang 3,
Die Matrizen
und
Wegen
haben beide den Rang 3.
ist die Lösung eindeutig.
Sie lautet:
Beispiel C
Die Matrizen
und
haben beide den Rang 2.
Das System ist lösbar, aber wegen
Man kann
und erhält z.B.:
nicht eindeutig.
Unbekannte als freie Parameter wählen
Beispiel D
Die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der Unbekannten überein, aber das System ist wegen
unlösbar.
2. Triviale Lösung und Fundamentalsystem des homogenen Systems:
a) Das homogene Gleichungssystem
b) Besitzt es eine nichttriviale Lösung
mit
besitzt stets die sogenannte triviale Lösung
d.h.
, dann ist auch
beliebig und reell eine Lösung des homogenen Gleichungssystems. Besitzt es
nichttriviale, linear unabhängige Lösungen
...,
dann bilden diese ein sogenanntes
Fundamentalsystem, und die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems ist von der
Form
(4.109)
Gilt für den Rang der Koeffizientenmatrix
des homogenen Gleichungssystems
wobei
die Anzahl der
Unbekannten ist, dann besitzt das homogene Gleichungssystem ein Fundamentalsystem von Lösungen. Im Falle
hat das homogene System nur die Triviallösung.
Zur Bestimmung eines Fundamentalsystems im Falle
können
Unbekannte als freie Parameter
gewählt werden, und zwar derart, daß sich die übrigen Unbekannten durch diese ausdrücken lassen, d.h., die
entsprechende -reihige Unterdeterminante darf nicht Null sein. Man kann das durch Umordnen der Gleichungen
und Unbekannten erreichen. Erhält man z.B.
(4.110)
dann ergeben sich die Fundamentallösungen z.B. durch die folgende Wahl der freien Parameter:
(4.111)
Beispiel
. Der Rang der Matrix
ist gleich 2.
Das Gleichungssystem läßt sich nach
und
auflösen,
und man erhält:
.
Fundamentallösungen sind
und
.
GAUSSsches Eliminationsprinzip
Das GAUSSsche Eliminationsprinzip besteht darin, mit Hilfe einer Gleichung eine Unbekannte aus den restlichen
Gleichungen zu entfernen. Dadurch entsteht ein System von
Gleichungen und
Unbekannten.
Dieses Prinzip wird entsprechend oft angewendet, bis ein sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem entstanden
ist, aus dem dann die Lösung bzw. das Lösungsverhalten des Ausgangssystems einfach ermittelt bzw. abgelesen
werden kann.
Lösung linearer Gleichungssysteme
●
●
●
●
Definition und Lösbarkeit
Anwendung des Austauschverfahrens
Cramersche Regel
Gaußscher Algorithmus
Lineare Gleichungssysteme
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
(19.25)
Das System (19.25) lautet in Matrixschreibweise
(19.26)
Dabei bedeuten:
Die quadratische Matrix
sei regulär, so daß das System (19.25) eine
eindeutige Lösung besitzt. Bei der numerischen Lösung von (19.25) kann man im wesentlichen zwei
Verfahrensklassen unterscheiden:
1. Direkte Verfahren, die durch elementare Umformungen das Gleichungssystem auf eine Form bringen, aus
der die Lösungen unmittelbar abzulesen oder leicht zu bestimmen sind. Dazu gehören das
Austauschverfahren und die in den folgenden Abschnitten
Dreieckszerlegung einer Matrix, CHOLESKY-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
und Orthogonalisierungsverfahren beschriebenen Verfahren.
2. Iterationsverfahren, die von einer bekannten Startnäherung aus eine Folge von Näherungslösungen
erzeugen, welche gegen die Lösung von (19.25) konvergiert (s. Abschnitt
Iteration in Gesamt- und Einzelschritten).
●
●
●
●
Dreieckszerlegung einer Matrix
Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
Orthogonalisierungsverfahren
Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
●
●
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme
Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme
Nichtlineare Gleichungssysteme
Das System der
nichtlinearen Gleichungen
(19.55)
für die
Unbekannten
habe eine Lösung. Diese kann in der Regel nur numerisch mit Hilfe
von Iterationsverfahren bestimmt werden.
●
●
●
Gewöhnliches Iterationsverfahren
Newton-Verfahren
Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren
Unterabschnitte
●
●
Normalisierte halblogarithmische Form:
IEEE-Standard
Gleitpunktzahlen
Für die Darstellung von Gleitpunktzahlen sind prinzipiell zwei verschiedene Formen üblich, wobei die interne
Realisierung im Detail variieren kann.
Normalisierte halblogarithmische Form:
Bei der ersten Form werden die Vorzeichen für den Exponenten
und für die Mantisse
der Zahl
(19.260)
gesondert gespeichert. Dabei wird meist der Exponent
so gewählt, daß für die Mantisse die Bedingung
gilt. Man spricht dann von der normalisierten halblogarithmischen Form .
Mit den angegebenen Parametern ergibt sich folgender absoluter Wertebereich für die Gleitpunktzahlen:
(19.261)
IEEE-Standard
Die zweite (heute übliche) Form der Gleitpunktdarstellung entspricht dem 1985 verabschiedeten IEEE-Standard (
nstitute of
lectrical and
lectronics
ngineers). Dieser befaßt sich mit der Normung der Rechnerarithmetik
und enthält Festlegungen zu den Formaten, dem Rundungsverhalten, den arithmetischen Operatoren, der
Konvertierung von Zahlenwerten, zu Vergleichsoperatoren und zur Behandlung von Ausnahmefällen wie
Bereichsüberschreitungen. Dort wird für die Gleitpunktzahl folgende Form festgelegt:
Die Charakteristik
wird aus dem Exponenten
durch Addition einer geeigneten Konstanten
wird so gewählt, daß für die Charakteristik nur positive Werte auftreten. Die darstellbare Zahl lautet:
gebildet. Diese
(19.262)
Der Standard gibt zwei Basisformate (einfachgenaue und doppeltgenaue Gleitpunktzahlen) vor, läßt aber auch
erweiterte Formate zu. Die folgende Tabelle enthält die Parameter für die Basisformate des IEEE-Standards.
Tabelle Parameter für Basisformate
Parameter
Wortlänge in Bits
einfachgenau doppeltgenau
32
64
maximaler Exponent
+127
+1023
minimaler Exponent
-127
-1022
Konstante
+127
+1023
Anzahl Bits des Exponenten
8
11
Anzahl Bits der Mantisse
24
53
Gleitpunktzahlen
Der Befehl
wandelt rationale Zahlen oder zunächst symbolisch dargestellte Zahlen und
Ergebnisse von Berechnungen in Gleitpunktzahlen mit der voreingestellten Präzision um, d.h. in der Regel 20
Stellen.
Beispiel
Die Präzision wird in Maple durch die Umgebungsvariable Digits gesteuert. Ist die Voreinstellung für die konkrete
Aufgabe nicht geeignet, so läßt sich mit
(20.36)
eine Änderung herbeiführen. Diese gilt bis zur nächsten Neufestlegung.
Grundtypen von Zahlen in Mathematica
Mathematica kennt vier Arten von Zahlen, die in der folgenden Tabelle dargestellt sind.
Tabelle Zahlenarten in Mathematica
Zahlenart
Kopf
Charakteristik
Eingabe
Ganze Zahlen
exakte ganze Zahl beliebiger Länge
Rationale Zahlen
teilerfremder Bruch der Form
Reelle Zahlen
Gleitpunktzahl beliebiger spezifierter Präzision
Komplexe Zahlen
komplexe Zahl der Form zahl + zahl
Reelle Zahlen, d.h. Gleitpunktzahlen, dürfen beliebige Länge haben. Wird eine ganze Zahl
geschrieben, so faßt Mathematica sie als Gleitpunktzahl, also vom Typ
, auf.
in der Form
Mit
kann man den Typ einer Zahl
feststellen. So liefert
, während
ergibt. Die reellen und imaginären Komponenten einer komplexen Zahl können beliebigen Zahlentypen angehören.
wird Mathematica dem Typ Real zuordnen, während
Eine Zahl wie
Complex ist, da
vom Typ
als Gleitpunktzahl mit dem genäherten Wert 0 aufgefaßt wird.
Es gibt einige weitere Operationen, um Auskünfte über Zahlen zu erhalten. So liefert
(20.7a)
Anderenfalls ergibt sich Out[3] = False. Hier sind True und False die Symbole für die BOOLEschen Werte
,,Wahr`` und ,,Falsch``.
testet, ob
eine ganze Zahl ist, weshalb
(20.7b)
ergibt. Ähnliche Tests für Zahlen sind mit den Köpfen EvenQ, OddQ und PrimeQ durchführbar. Ihr Sinn ist
selbsterklärend. So ergibt
(20.7c)
während
(20.7d)
liefert.
Die zuletzt genannten Tests gehören zu einer ganzen Gruppe von Testoperatoren, die alle mit Q enden und jeweils
mit True oder False im Sinne eines logischen Tests antworten (u.a. Typprüfung).
Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
Die Kurve der Funktion
(2.62)
kann als Verallgemeinerung der GAUSSschen Glockenkurve
symmetrische Kurve zur vertikalen Geraden
Schnittpunkt
mit der
-Achse bei
dar, wobei die
liegt.
(2.59) aufgefaßt werden; sie stellt eine
-Achse nicht geschnitten wird und der
Der Verlauf der Funktion hängt von den Vorzeichen von
die Kurve zu
durch Spiegelung an der
a) Fall
Die Funktion nimmt von
und
ab. Hier wird nur der Fall
-Achse erhalten werden kann.
bis zum Minimum ab, um dann wieder bis
anzuwachsen. Dabei bleibt sie stets positiv. Das Minimum
liegt bei
betrachtet, da
Wendepunkte und Asymptoten gibt es nicht.
b) Fall
Die
Die Wendepunkte
-Achse ist Asymptote. Das Maximum
und
liegen bei
liegt bei
.
.
Goldener Schnitt:
Goldener Schnitt oder stetige Teilung einer Strecke
genannt, wenn sich die Teilstrecke
wird ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken
zur Gesamtstrecke
verhält wie die Teilstrecke
und
zur Teilstrecke
(3.295a)
In diesem Falle ist
das geometrische Mittel von
und
, und es gilt:
(3.295b)
(3.295c)
Die Teilstrecke
kann auch geometrisch mit Hilfe der in der folgenden Abbildung angegebenen Konstruktion
ermittelt werden.
:
Die Strecke
ist gleichzeitig die Seitenlänge eines regelmäßigen Zehnecks mit einem Umkreis vom Radius
Auf die Gleichung des Goldenen Schnittes führt auch die Aufgabe, von einem Rechteck mit dem Seitenverhältnis
(3.295a) ein Quadrat derart abzutrennen, daß auch für das verbleibende Rechteck (3.295c) gilt.
Definition des Gradienten
Gradient wird ein Vektor genannt, der jedem Punkt eines Skalarfeldes
Zeichen
zugeordnet werden kann (in
), und der die folgenden Eigenschaften hat:
1.
hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche
= const.
2.
ist in Richtung wachsender Funktionswerte von
orientiert.
3.
, d.h., der Betrag von
stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion
Normalenrichtung überein.
In den folgenden zwei Abschnitten werden zwei verschiedene Definitionen betrachtet.
in
Differentialausdrücke
1. Differential eines skalaren Feldes als totales Differential der Funktion
(13.42)
2. Ableitung einer Funktion
längs einer Raumkurve
(13.43)
3. Gradient des Zentralfeldes
(13.44a)
(13.44b)
Rechenregeln
Im folgenden wird angenommen, daß
und
konstant sind.
(13.38a)
(13.38b)
(13.38c)
(13.39a)
(13.39b)
(13.40)
(13.41)
Gradient eines Skalarfeldes
●
●
●
●
●
●
●
Definition des Gradienten
Gradient und Richtungsableitung
Gradient und Volumenableitung
Weitere Eigenschaften des Gradienten
Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten
Rechenregeln
Differentialausdrücke
Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten
●
●
Gradient in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Gradient in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Zur praktischen Lösung von Variationsproblemen werden im wesentlichen zwei Lösungswege verwendet.
1.
Lösung der EULERschen Differentialgleichung und Anpassung der gefundenen Lösung an die
Randbedingungen. Allerdings wird die exakte Lösung der EULERschen Differentialgleichung nur in den
einfachsten Fällen möglich sein, so daß man numerische Methoden zur Lösung von Randwertaufgaben bei
gewöhnlichen Differentialgleichungen bzw. partiellen Differentialgleichungen einsetzen muß (s. auch Kapitel
Computeralgebrasysteme).
2.
Direkte Methoden gehen unmittelbar von der Variationsaufgabe aus und verwenden nicht die EULERsche
Differentialgleichung. Das höchstwahrscheinlich älteste und bekannteste Verfahren dieser Art stellt das RITZVerfahren dar. Es gehört zu den sogenannten Ansatzverfahren, die zur genäherten Lösung von gewöhnlichen
Differentialgleichungen verwendet werden bzw. Ansatzverfahren zur Lösung von partiellen
Differentialgleichungen, und soll an dem folgenden einfachen Beispiel demonstriert werden.
Beispiel
Das isoperimetrische Problem
(10.52)
bei
(10.53)
ist numerisch zu lösen. Das zugehörige Variationsproblem ohne Integralnebenbedingung lautet gemäß
Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
(10.54)
Als Ansatz für die Näherungslösung wird
(10.55)
gewählt. Die beiden Ansatzfunktionen
und
sind linear unabhängig und erfüllen beide die
Randbedingungen. Mit (10.55) geht (10.54) in
(10.56)
über, und die notwendigen Bedingungen
ergeben das homogene lineare Gleichungssystem
(10.57)
Dieses System hat nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Daraus folgt:
(10.58)
Für
erhält man aus (10.57)
beliebig, so daß die zu
gehörende, normierte
Lösung lautet:
(10.59)
Zum Vergleich kann man die zur Variationsaufgabe (10.57) gehörende EULERsche Differentialgleichung aufstellen.
Man erhält die Randwertaufgabe
(10.60)
mit den Eigenwerten
, d.h.
und den Eigenlösungen
. Für den Fall
, ergibt sich die normierte Eigenlösung
(10.61)
deren Verlauf sich nur unwesentlich von dem der Näherungslösung (10.59) unterscheidet.
Hinweis: Beim heutigen Stand der Computer- und Software-Entwicklung sollte man zur numerischen Lösung von
Variationsproblemen vor allem die Methode der finiten Elemente (FEM) einsetzen.
Die Grundzüge der Methode der finiten Elemente werden bei der numerischen Behandlung von
Differentialgleichungen beschrieben. Dort wird der Zusammenhang zwischen Differential- und Variationsgleichungen,
der z.B. durch EULERsche Differentialgleichungen oder Bilinearformen gemäß (19.145a,b) vermittelt wird, ausgenutzt.
Auch die Gradientenverfahren, wie sie zur numerischen Behandlung von nichtlinearen Optimierungsaufgaben
verwendet werden, können zur numerischen Lösung von Variationsaufgaben eingesetzt werden.
Spezielle Klassen von Graphen
Endliche Graphen besitzen eine endliche Knotenmenge und eine endliche Kantenmenge. Anderenfalls werden die
Graphen unendlich genannt.
In regulären Graphen vom Grad r haben alle Knoten den Grad
Ein ungerichteter schlichter Graph mit der Knotenmenge
Knoten aus
heißt vollständiger Graph , wenn je zwei verschiedene
durch eine Kante verbunden sind. Ein vollständiger Graph mit
-elementiger Knotenmenge wird mit
bezeichnet.
Kann man die Knotenmenge eines ungerichteten schlichten Graphen
zerlegen, so daß jede Kante von
paarer Graph .
einen Knoten aus
in zwei disjunkte Klassen
mit einem Knoten aus
Ein paarer Graph wird vollständiger paarer Graph genannt, wenn jeder Knoten aus
durch eine Kante verbunden ist. Ist
Graph mit
Beispiel
bezeichnet.
eine
-elementige und
eine
und
verbindet, dann heißt
mit jedem Knoten aus
-elementige Menge, dann wird der
ein
Die linke Abbildung zeigt einen vollständigen Graphen mit 5 Knoten.
Beispiel
Die rechte Abbildung zeigt einen vollständigen paaren Graphen mit 2-elementiger Knotenmenge
und 3-
elementiger Knotenmenge
Weitere spezielle Klassen von Graphen sind ebene Graphen , Bäume und Transportnetze . Ihre Eigenschaften
werden jeweils in einem der folgenden Abschnitte angegeben.
Planare Graphen
In diesem Abschnitt kann man sich auf die Betrachtung ungerichteter Graphen beschränken, weil ein gerichteter
Graph genau dann planar ist, wenn der zugehörige ungerichtete Graph planar ist.
1. Ebener Graph und planarer Graph:
Ein ebener Graph ist ein derart in die Ebene gezeichneter Graph, daß die Schnittpunkte der Kanten stets in
Knoten des Graphen liegen.
Ein zu einem ebenen Graphen isomorpher Graph heißt planar . Die linke Abbildung zeigt einen ebenen
Graphen
Isomorphie zu
die rechte Abbildung einen zu
aber planar ist.
isomorphen Graphen
der nicht eben, wegen der
2. Nichtplanarer Graph:
Der vollständige Graph
und der vollständige paare Graph
sind nichtplanare Graphen.
3. Unterteilungen:
Man erhält eine Unterteilung eines Graphen
indem man auf Kanten von
Knoten vom Grad 2 einfügt.
Jeder Graph ist eine Unterteilung von sich selbst. In den folgenden beiden Abbildungen sind Unterteilungen
der Graphen
bzw.
dargestellt.
4. Satz von KURATOWSKI:
Ein Graph ist genau dann nichtplanar, wenn er eine Unterteilung des vollständigen paaren Graphen
oder eine Unterteilung des vollständigen Graphen
als Untergraph enthält.
Isomorphie von Graphen
Ein Graph
Abbildung
heißt isomorph zu einem Graphen
von
auf
und
die Endpunkte einer Kante bzw.
und
Die Abbildung
von
gibt, die verträglich mit der Inzidenzfunktion ist, d.h., sind
Startpunkt eines Bogens und
Endpunkte einer Kante bzw.
mit
auf
wenn es je eine bijektive
Startpunkt und
Zielpunkt dieses Bogens, dann sind
Zielpunkt eines Bogens.
ist ein Isomorphismus. Es ist sogar
jede bijektive Abbildung {1,2,3,4} auf {a,b,c,d} ein Isomorphismus, weil die Graphen vollständige Graphen mit gleicher
Knotenzahl sind.
Die folgenden Abbildungen zeigen zwei zueinander isomorphe Graphen.
Zusammenhängende Graphen, Komponenten
Man spricht von einem zusammenhängenden Graph
, wenn zu je zwei verschiedenen Knoten
mit
verbindet. Ist
nicht zusammenhängend, dann zerfällt
Weg existiert, der
zusammenhängende induzierte Untergraphen mit maximaler Knotenzahl.
in
ein
in Komponenten , d.h. in
Schlichte Graphen
Ist mehreren Kanten oder Bögen dasselbe ungeordnete oder geordnete Paar von Knoten zugeordnet, dann spricht
man von Mehrfachkanten . Eine Kante oder ein Bogen mit identischen Endpunkten heißt Schlinge . Graphen ohne
Schlingen und Mehrfachkanten bzw. Mehrfachbögen werden schlicht genannt.
Zusammenhängende und stark zusammenhängende Graphen
1. Zusammenhängender Graph:
heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten von
Ein gerichteter Graph
sind.
2. Stark zusammenhngender Graph:
Von einem stark zusammenhängenden Graphen
Bahn gibt, die
mit
verbindet.
spricht man, wenn es in
durch eine Kette verbunden
zu je zwei Knoten
eine
Transportnetz
Ein zusammenhängender gerichteter Graph heißt Transportnetz , wenn in ihm zwei Knoten als Quelle
bzw. Senke
ausgezeichnet sind und folgende Eigenschaften gelten:
a)
Es existiert ein Bogen
von
nach
einzige Bogen mit dem Zielknoten
wobei
der einzige Bogen mit dem Startknoten
und der
ist.
b)
Jedem von
Bogen
Eine Funktion
Gleichung
verschiedenen Bogen
ist eine reelle Zahl
seine Kapazität , zugeordnet. Der
hat die Kapazität
die jedem Bogen eine reelle Zahl zuordnet, heißt Strom auf
, wenn für jeden Knoten
die
(5.241a)
gilt. Die Summe
(5.241b)
heißt Stromstärke. Ein Strom
heißt mit den Kapazitäten verträglich , wenn für jeden Bogen
Beispiel
Transportnetz.
von
gilt:
Integralsätze von Green
Die GREENschen Integralsätze liefern Zusammenhänge zwischen jeweils einem Raum- und einem Flächenintegral. Sie ergeben sich aus
der Anwendung des GAUSSschen Satzes auf die Funktion
das von der Fläche
, wobei
und
skalare Feldfunktionen sind und
eingeschlossene Volumen.
(13.121)
(13.122)
Speziell für
gilt:
(13.123)
In kartesischen Koordinaten hat der 3. GREENsche Satz die folgende Form:
(13.124)
Beispiel A
mit
Berechnung des Linienintegrals:
und der Ebene
mit
Beispiel B
als Schnittkurve zwischen dem Zylinder
. Nach dem Satz von STOKES erhält man:
und der Kreisfläche
.
im Strömungsfeld
Gesucht ist der Fluß
durch die Oberfläche
der Kugel
. Der Satz von GAUSS liefert:
.
Beispiel C
Wärmeleitungsgleichung: Die zeitliche Änderung des Wärmeinhaltes
eines Raumteiles
, der keine Wärmequellen
enthalten soll, ergibt sich zu:
(
spezifische Wärmekapazität,
zeitliche Änderung des Wärmeflusses durch die Oberfläche
Dichte,
von
Temperatur), während die damit verbundene
durch
(
Wärmeleitzahl) angegeben wird. Anwendung des Satzes von GAUSS auf das Oberflächenintegral ergibt aus
die Wärmeleitungsgleichung
, die im Falle
eines homogenen Körpers (
Konstanten) die Gestalt
hat.
Charakteristische Punkte
Es sei eine einparametrige Kurvenschar durch die Gleichung
(3.461)
gegeben. Dann besitzen zwei unendlich benachbarte Kurven dieser Schar mit den Parameterwerten
und
Punkte K der größten Annäherung . Dabei handelt es sich entweder um Schnittpunkte der Kurven
und
oder um Punkte auf
infinitesimale Größe höherer Ordnung von
deren Abstand zu
ist.
gemessen auf der Normalen, eine
Für
strebt die Kurve
gegen die Kurve
einer Grenzlage, dem Grenzpunkt , nähern kann.
wobei sich in manchen Fällen der Punkt
Grenzwert von Funktionen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Definition
Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge
Konvergenzkriterium von CAUCHY
Unendlicher Grenzwert einer Funktion
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich
Sätze über Grenzwerte von Funktionen
Berechnung von Grenzwerten
TAYLOR-Entwicklung
Grenzwerte
Eine Funktion von zwei Veränderlichen
wenn sich die Funktion
dem Wert
besitzt einen Grenzwert
bei beliebiger Annäherung von
für das Wertesystem
gegen
und von
gegen
beliebig nähert. Man schreibt dann
(2.273)
Dabei braucht die Funktion für das Wertesystem
anzunehmen noch definiert zu sein.
●
●
●
Exakte Formulierung
Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche
Iterierte Grenzwerte
d.h. im Punkt
selbst, den Wert
weder
Grenzwert der komplexen Funktion
Grenzwert einer Funktion
heißt eine komplexe Zahl
, wenn für
gegen
die Funktion
gegen
strebt:
(14.1a)
Dazu ist erforderlich, daß sich eine beliebig kleine positive Zahl
derart gibt, daß für jede beliebige komplexe Zahl
angeben läßt, für die es eine reelle positive Zahl
, ausgenommen höchstens die Zahl
selbst, die
Ungleichungen
(14.1b)
(14.1c)
erfüllt sind. Die geometrische Bedeutung geht aus der folgenden Abbildung hervor:
Einem beliebigen Punkt
Mittelpunkt
Punkt
, ausgenommen höchstens den Punkt
und dem Radius
liegt, entspricht in der
, der in einem Kreis mit dem Mittelpunkt
selbst, der innerhalb eines Kreises mit dem
-Ebene, in die die Funktion
und dem Radius
Radien nennt man auch die beliebig kleinen Umgebungen
und
abbildet, ein
liegt. Die Flächen mit den beliebig kleinen
.
Sphärische Kurven, Großkreis und Kleinkreis
Kurven auf der Kugeloberfläche heißen sphärische Kurven . Wichtige sphärische Kurven sind Großkreise oder
Orthodromen und Kleinkreise. Sie entstehen als Schnittkreis einer durch eine Kugel verlaufenden Ebene,
Schnittebene genannt:
Wird eine Kugel mit dem Radius
hat, dann gilt für den Radius
von einer Ebene (K) geschnitten, die vom Kugelmittelpunkt 0 den Abstand
des Schnittkreises
(3.160)
Für
verläuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, und
entstehende Schnittkreis g in der Ebene
nimmt den größten Wert an. Der so
heißt Großkreis . Jeder andere Schnittkreis, für den dann
gilt, wird Kleinkreis genannt, z.B. der Kreis (k). Für
berührt die Ebene (K) die Kugel in einem
Punkt. Sie wird zu einer sogenannten Tangentialebene .
Beispiel
Auf der Erdkugel stellen der Äquator und die Meridiane mit ihren Gegenmeridianen - das sind ihre
Spiegelungen an der Erdachse - Großkreise dar. Die Breitenkreise sind Kleinkreise (s. auch geographische
Koordinaten).
Begriffsbestimmung
Die Geodätischen der Kugeloberfläche - das sind Kurven, die zwei Punkte
und
auf dem kürzesten Weg
miteinander verbinden - heißen Orthodromen oder Großkreise (s. auch geodätische Linie).
Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
Der Grenzwert, der zum bestimmten Integral führt, wird wie folgt gebildet (s. Abbildung)
1. Schritt: Das Intervall
wird durch
beliebige Teilpunkte
in
,,Elementarintervalle`` zerlegt, die so gewählt sind, daß einer der folgenden Fälle gilt:
(8.35a)
oder
(8.35b)
2. Schritt: Im Innern oder auf dem Rande jedes der Elementarintervalle wird in Übereinstimmung mit der
Abbildung eine Zahl
ausgewählt:
(8.35c)
3. Schritt: Die Werte
der Funktion
zugehörigen Differenz
in diesen ausgewählten Punkten werden mit der
, d.h. mit den Längen der Teilintervalle multipliziert, die im
Falle A mit positivem Vorzeichen, im Falle B mit negativem Vorzeichen zu nehmen sind. Auf diese Weise
entsteht für den Fall A das Bild der Abbildung, die bereits bei der Einführung des Begriffs ,,bestimmtes
Integral`` betrachtet wurde:
4. Schritt: Alle so gewonnenen
Produkte
werden addiert.
5. Schritt: Von der auf diese Weise entstehenden Zerlegungs- oder Zwischensumme
(8.36)
wird der Grenzwert für den Fall berechnet, daß die Länge der Elementarintervalle
demzufolge ihre Anzahl gegen
. Auf Grund dieser Eigenschaft wird
gegen Null strebt und
auch als infinitesimale Größe
bezeichnet.
Wenn dieser Grenzwert existiert und unabhängig ist von der Wahl der Zahlen
und
, heißt er das bestimmte
RIEMANNsche Integral der betreffenden Funktion in dem gegebenen Intervall. Man schreibt dafür
(8.37)
Die beiden Intervallgrenzen werden zu Integrationsgrenzen ; sie legen das Integrationsintervall fest. Man nennt
obere ,
die untere Integrationsgrenze ;
heißt Integrationsvariable ,
Integrand .
die
Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals
1. Zerlegung der zu berechnenden Größe in eine sehr große Anzahl hinreichend kleiner, d.h. inifinitesimaler
Größen:
(8.57)
durch eine Größe
2. Ersetzen jeder dieser infinitesimalen Größen
, die in ihrer Form nur wenig von
abweicht und deren Berechnung nach einer bekannten Formel möglich ist. Dabei soll der Fehler
gegenüber
3. Darstellung der Größe
die Gestalt
und
eine infinitesimale Größe höherer Ordnung sein.
durch eine Variable
und eine Funktion
, die so gewählt werden, daß
annimmt.
4. Berechnung der gesuchten Größe als Grenzwert der Summe
(8.58)
wobei
für alle
gelten muß. Mit
und
sind die Randwerte von
bezeichnet.
Beispiel
Berechnung des Rauminhalts einer Pyramide der Grundfläche
a) Zerlegung des zu berechnenden Rauminhaltes
und der Höhe
(s. linke Abbildung):
durch ebene Schnitte in Volumina dünner
Pyramidenstümpfe (s. mittlere Abbildung):
b) Ersetzen eines jeden Pyramidenstumpfes durch ein Prisma
.
mit der gleichen Höhe und einer
Grundfläche, die gleich der oberen Grundfläche des Pyramidenstumpfes ist (s. mittlere Abbildung).
Die Volumenabweichung ist eine infinitesimale Größe von höherer Ordnung als
c) Darstellung der Volumenformel
in der Form
, wobei
.
der Abstand der
oberen Fläche von der Pyramidenspitze ist. Wegen
.
d) Berechnung des Grenzwertes der Summe
kann man schreiben:
Größter gemeinsamer Teiler als Linearkombination
Aus dem EUKLIDischen Algorithmus folgt:
(5.153a)
Dabei sind
und
ganze Zahlen. Also ist ggT
als Linearkombination von
und
mit
ganzzahligen Koeffizienten darstellbar:
(5.153b)
Man kann auch ggT
als Linearkombination von
darstellen, denn:
(5.153c)
Beispiel
ggT(150, 105, 56) = ggT(ggT(150, 105), 56) = ggT(15, 56) =1 mit 15 = (-2)
also ggT(150, 105, 56) =
und
Größter gemeinsamer Teiler
Für ganze Zahlen
die nicht alle gleich 0 sind, wird die größte Zahl in der Menge der
gemeinsamen Teiler von
mit ggT
der größte gemeinsame Teiler von
genannt und
bezeichnet.
Für die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers reicht es aus, die positiven gemeinsamen Teiler zu
betrachten. Sind die kanonischen Primfaktorenzerlegungen
(5.151a)
von
gegeben, dann gilt
(5.151b)
Beispiel
Für die Zahlen
ist
der ggT
Grundaufgaben für rechtwinklig sphärische Dreiecke
Für Berechnungen in rechtwinklig sphärischen Dreiecken geht man im allgemeinen von 3 gegebenen Größen aus,
dem Winkel
und zwei weiteren Stücken.
Es ergeben sich dann 6 Grundaufgaben, die in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind.
Tabelle Bestimmungsgrößen sphärischer rechtwinkliger Dreiecke
Grund- Gegebene
aufgabe Bestimmungsgrößen
Nummern der Formeln zur Bestimmung der übrigen Größen
1.
Hypotenuse und eine
(3.187a),
(3.187e),
(3.187c)
(3.187g),
(3.187c)
Kathete
2.
Zwei Katheten
(3.187h),
3.
Hypotenuse und ein
(3.187a),
(3.187f),
(3.187d)
(3.187e),
(3.187j),
(3.187i)
(3.187h),
(3.187a),
(3.187i)
(3.187i),
(3.187j),
Winkel
4.
Kathete und der anliegende Winkel
5.
Kathete und der gegenüberliegende Winkel
6.
Zwei Winkel
(3.187d)
Grundgesamtheit
Grundgesamtheit nennt man eine Menge von Elementen, die auf gewisse Merkmale hin untersucht werden sollen.
Man kann darunter eine Gesamtheit gleichartiger Elemente verstehen, z.B. alle Stücke einer bestimmten Produktion
oder alle Meßwerte einer Meßreihe, die bei ständiger Wiederholung desselben Versuchs auftreten können. Die
Anzahl
der Elemente einer Grundgesamtheit kann sehr groß, sogar unendlich sein.
Zweistufige Grundgesamtheit und Urnenmodell
Handelt es sich um eine zweistufige Grundgesamtheit mit zwei Klassen von Elementen, von denen die eine Klasse
Elemente mit der Eigenschaft
enthält, die andere
Elemente, die die Eigenschaft
besitzen, dann lassen sich bei der Frage nach den Wahrscheinlichkeiten
und
Fälle der zufälligen Entnahme von Elementen betrachten, der eine mit Zurücklegen der
andere ohne Zurücklegen der gezogenen
Elemente. Die gezogenen
, werden Stichprobe genannt, wobei
Eigenschaft
mit Hilfe des Urnenmodells illustrieren.
nicht
zwei
gezogenen Elemente, der
Elemente, darunter
mit der
der Umfang der Stichprobe ist. Man kann diesen Sachverhalt
Integrale elementarer Funktionen
1. Grundintegrale:Die Grundintegrale können unmittelbar aus den Ableitungen bekannter elementarer
Funktionen gewonnen werden, da das unbestimmte Integrieren einer Funktion
Stammfunktion
das Aufsuchen einer
bedeutet.
Die in der Tabelle Grundintegrale zusammengestellten Integrale ergeben sich aus der Umkehrung der
wichtigsten Differentiationsformeln der Tabelle Ableitungen elementarer Funktionen. Die Integrationskonstente
ist weggelassen worden.
2. Allgemeiner Fall: Bei der Lösung von Integralen wird versucht, ein gegebenes Integral durch algebraische
und trigonometrische Umformungen bzw. durch Anwendung von Integrationsregeln auf die Grundintegrale
zurückzuführen. Die im Abschnitt Integrationsregeln angegebenen Integrationsmethoden ermöglichen die
Integration von Funktionen, die eine elementare Stammfunktion besitzen. Die Integrationsergebnisse sind in
der Tabelle Unbestimmte Integrale zusammengestellt. Folgende Hinweise sind bei der Benutzung zu
beachten:
a)
Die Integrationskonstante wurde meist weggelassen. Ausgenommen sind einige Integrale, die in
verschiedenen Formen mit verschiedenen beliebigen Konstanten darstellbar sind.
b)
Tritt in der Stammfunktion ein Ausdruck auf, der
enthält, dann ist darunter stets
zu verstehen.
c)
Wenn die Stammfunktion durch eine Potenzreihe dargestellt ist, kann die Funktion nicht elementar
integriert werden.
Eine ausführlichere Zusammenstellung enthalten die Tabellenwerke dieser Taschenbuchserie Lit. 8.1 und 8.3.
●
Tabelle der Grundintegrale
Tabelle der Grundintegrale
Die in der Tabelle Grundintegrale zusammengestellten Integrale ergeben sich aus der Umkehrung der wichtigsten
Differentiationsformeln der Tabelle Ableitungen elementarer Funktionen. Die Integrationskonstente
worden.
Tabelle Grundintegrale (Integrale der elementaren Funktionen)
Potenzen
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Hyperbelfunktionen
ist weggelassen
Gebrochenrationale Funktionen
Irrationale Funktionen
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren:
Anwendung auf kartesische Koordinaten:
Skalares Produkt in Koordinatendarstellung:
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:
Spatprodukt in Koordinatendarstellung:
Formeln für Produkte in affinen Koordinaten
Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren:
Wenn die affinen Koordinaten zweier Vektoren
und
im System
bekannt sind, so daß
(3.269)
gegeben sind, dann müssen zur Berechnung des skalaren Produkts
(3.270)
oder des Vektorprodukts
(3.271a)
letzteres mit
(3.271b)
die paarweisen Produkte der Koordinatenvektoren bekannt sein. Für das skalare Produkt sind das die sechs
metrischen Koeffizienten (Zahlen)
(3.272a)
(3.272b)
und für das Vektorprodukt die drei Vektoren
(3.273a)
genauer die drei reziproken Vektoren bezüglich
wobei der Koeffizient
(3.273b)
der gleich dem gemischten Produkt der Koordinatenvektoren ist, lediglich einer kürzeren Schreibweise in weiteren
Formeln dient. Mit Hilfe der folgenden Multiplikationstabellen für die Grundvektoren wird das Arbeiten mit den
Koeffizienten übersichtlicher.
Skalare Multiplikation
von Grundvektoren
Vektorielle Multiplikation
von Grundvektoren
Anwendung auf kartesische Koordinaten:
Die kartesischen Koordinaten sind ein Spezialfall der affinen Koordinaten. Aus den folgenden zwei Tabellen ergeben
sich für
die Grundvektoren
(3.274a)
die metrischen Koeffizienten
(3.274b)
und die reziproken Grundvektoren
(3.274c)
Somit stimmen die reziproken Grundvektoren mit den Grundvektoren des Koordinatensystems überein, oder anders
ausgedrückt, in kartesischen Koordinaten sind die Grundvektorensysteme zu sich selbst reziprok.
Skalare Multiplikation
von reziproken Grundvektoren
Vektorielle Multiplikation
von reziproken Grundvektoren
Skalares Produkt in Koordinatendarstellung:
(3.275)
Für kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.266) über.
Nach dem zweiten Gleichheitszeichen wurde die in der Tensorrechnung übliche abkürzende Schreibweise für
Summen verwendet: Anstelle der gesamten Summe wird nur ein typisches Glied hingeschrieben, so daß über alle
doppelt auftretenden Indizes dieses Gliedes zu summieren ist, d.h. über alle einmal unten und einmal oben
auftretenden Indizes. Manchmal werden die Summationsindizes mit griechischen Buchstaben bezeichnet; hier
durchlaufen sie die Zahlen 1 bis 3. Es gilt also
(3.276)
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:
In Übereinstimmung mit (3.271a) gilt
(3.277)
(3.278)
Für kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.267) über.
Spatprodukt in Koordinatendarstellung:
In Übereinstimmung mit (3.271a) ergibt sich
(3.279)
Für rechtwinklige kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.268) über.
Mehrere Drehachsen
Gibt es mehrere Drehachsen, so sind weitere Fallunterscheidungen zu treffen. Haben insbesondere mehrere
Drehachsen eine Ordnung
dann treten folgende Gruppen als zugehörige Symmetriegruppen auf:
a) Tetraedergruppe
: isomorph zu
b) Oktaedergruppe
: isomorph zu
c) Ikosaedergruppe
: ord
Diese Gruppen sind die Symmetriegruppen der regulären Polyeder.
Beispiel
Das Methan-Molekül hat als Symmetriegruppe die Tetraedergruppe
Die rot gezeichnete Linie ist die Verlängerung der Verbindung zwischen dem oberen H-Atom und dem CAtom auf das Basisdreieck.
Gruppen
●
●
●
Definition und grundlegende Eigenschaften
Untergruppen und direkte Produkte
Abbildungen zwischen Gruppen
Sprungfunktion
Unstetige reelle Funktionen kann man mit Hilfe komplexer Integrale, sogenannter Hakenintegrale nach der Form des
Integrationsweges darstellen. Die Sprungfunktion ist ein Beispiel.
(14.60)
Das Symbol
bezeichnet einen Integrationsweg längs der reellen Achse
Nullpunktes (s. Abbildung).
unter Umgehung des
Deutet man
über den Wert
als Zeit, dann stellt die Funktion
auf den Wert
eine Größe dar, die zur Zeit
von
springt.
Die Sprungfunktion oder auch HEAVISIDE-Funktion wird in der Elektrotechnik zur Darstellung plötzlich auftretender
Strom- oder Spannungsstöße verwendet (s. auch Sprungfunktion).
Halbgruppen
●
●
Definition
Beispiele für Halbgruppen
Ordnungsrelationen
Eine binäre Relation
in einer Menge
antisymmetrisch und transitiv ist. Ist
heißt Ordnung oder Ordnungsrelation , wenn
zusätzlich linear, so heißt
Ordnungsrelation oder Kette . Die Menge
heißt dann durch
vollständige Ordnung , vollständige
geordnet bzw. vollständig geordnet. In einer
vollständig geordneten Menge sind also je zwei Elemente vergleichbar. Statt
Bezeichnung
oder
wenn die Ordnungsrelation
reflexiv,
verwendet man auch die
aus dem Zusammenhang bekannt ist.
Anstelle von Ordnung ist auch die Bezeichnung Halbordnung oder partielle Ordnung üblich.
Beispiel A
Die Zahlenbereiche
sind durch die übliche Beziehung
Beispiel B
Die Teilmengenbeziehung ist eine Ordnung, die nicht vollständig ist.
Beispiel C
vollständig geordnet.
Die lexikographische Ordnung auf den Wörtern der deutschen Sprache ist eine Kette.
Halbseitensatz
Mit dem Halbseitensatz kann die Aufgabe, aus den drei Winkeln des sphärischen Dreiecks eine Seite oder alle drei
Seiten zu berechnen, gelöst werden:
(3.179a)
(3.179b)
(3.179c)
(3.179d)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Eine andere Formulierung lautet:
(3.180a)
(3.180b)
(3.180c)
mit
(3.180d)
(3.180e)
Für die Winkelsumme des sphärischen Dreiecks gilt gemäß
(3.169):
(3.181)
so daß stets
sein muß. Außerdem sind wegen der Festlegungen über EULERsche Dreiecke alle
vorkommenden Wurzeln reell.
Trigonometrische Funktionen des halben Winkels
In den folgenden Formeln (Halbwinkelsätze) ist vor dem Wurzelzeichen ein positives oder negatives Vorzeichen zu
setzen, je nachdem, in welchem Quadranten sich der Winkel befindet.
(2.103)
(2.104)
(2.105)
(2.106)
Halbwinkelsatz
Zur Berechnung eines Winkels eines sphärischen Dreiecks aus seinen drei Seiten kann der Seiten-Kosinussatz
verwendet werden. Der Halbwinkelsatz bietet in Analogie zum Halbwinkelsatz der ebenen Trigonometrie die
Möglichkeit, den Winkel aus der numerisch günstigeren Tangensfunktion zu berechnen.
(3.177a)
(3.177b)
(3.177c)
(3.177d)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Wenn aus drei Seiten eines sphärischen Dreiecks alle drei Winkel zu berechnen sind, kann die folgende Berechnung
günstiger sein:
(3.178a)
(3.178b)
(3.178c)
mit
(3.178d)
(3.178e)
Melnikov-Methode
Gegeben sei die ebene Differentialgleichung
(17.75)
wobei
ein kleiner Parameter ist. Für
und
sei (17.75) ein HAMILTON-System, d.h. für
, wobei
eine
Vektorfeld
sei zweimal stetig differenzierbar und
Arguments. Außerdem seien
und
bei
-Funktion sei. Das zeitabhängige
-periodisch bezüglich des ersten
beschränkt auf beschränkten Mengen. Bei
homokliner Orbit bezüglich des Sattelpunktes
. Der POINCARÉ-Schnitt
sehe aus wie in der folgenden Abbildung.
gelte
existiere in (17.75) ein
von (17.75) im Phasenraum
Die POINCARÉ-Abbildung
hat für kleine
invarianten Mannigfaltigkeiten
und
einen Sattel
mit den
. Ist der homokline Orbit des ungestörten Systems durch
gegeben, so läßt sich der Abstand der Mannigfaltigkeiten
der Geraden, die durch
nahe
verläuft und senkrecht auf
und
, gemessen entlang
steht, durch die Formel
(17.76a)
berechnen. Dabei ist
die MELNIKOV- Funktion , die durch
(17.76b)
definiert ist. Für
in
und
ist
eine einfache Nullstelle, d.h., gilt
Mannigfaltigkeiten
und
. Besitzt die MELNIKOV-Funktion
und
für genügend kleine
, dann schneiden sich die
transversal. Wenn
keine Nullstellen
, d.h., es gibt keine homoklinen Punkte.
besitzt, gilt
Bemerkung: Das ungestörte System (17.75) besitze einen heteroklinen Orbit, gegeben durch
einem Sattel
. Besitzt
für kleine
Beispiel
in einen Sattel
läuft. Seien
, berechnet wie oben, in
transversal.
und
die Sattel der POINCARE-Abbildung
eine einfache Nullstelle, so schneiden sich
, der aus
für kleine
und
, d.h. das System
Betrachtet wird die periodisch gestörte Pendelgleichung
in der
ein kleiner Parameter und
ein weiterer Parameter ist. Das ungestörte System
ist ein HAMILTON-System mit
heterokliner Orbits durch
. Das ungestörte System besitzt (u.a.) ein Paar
und
. Im zylindrischen Phasenraum
sind dies
homokline Orbits, gegeben durch
Die direkte Berechnung der MELNIKOV-Funktion liefert
Da
bei
für kleine
eine einfache Nullstelle besitzt, hat die POINCARÉ-Abbildung des gestörten Systems
transversale homokline Punkte.
HASSE-Diagramme
Endliche geordnete Mengen werden durch HASSE-Diagramme dargestellt: Auf einer endlichen Menge
Ordnungsrelation
zu
gegeben. Die Elemente von
oberhalb des Punktes zu
(man sagt,
und
sei eine
werden als Punkte in der Ebene dargestellt, wobei der Punkt
liegen soll, falls
sind benachbart ), so werden
gilt. Gibt es außerdem kein
und
mit
durch eine Strecke verbunden. Ein
HASSE-Diagramm ist also ein ,,abgerüstetes`` Pfeildiagramm, bei dem alle Schlingen, Pfeilspitzen und alle Pfeile, die
sich aus der Transitivität der Relation ergeben, weggelassen sind. In der linken Abbildung ist das Pfeildiagramm zur
Teilbarkeitsrelation
auf der Menge
angegeben. Die Teilbarkeitsrelation
Ordnungsrelation und wird durch das HASSE-Diagramm in der rechten Abbildung dargestellt.
ist eine
Häufigkeiten
Es sei
ein Ereignis der zu einem Versuch gehörenden Ereignismenge A. Tritt bei
Versuches das Ereignis
Ereignisses
-mal ein, so heißt
die Häufigkeit ,
-maliger Wiederholung des
die relative Häufigkeit des
. Die relative Häufigkeit genügt gewissen einfachen Gesetzmäßigkeiten, die man als Grundlage für
eine axiomatische Definition des Begriffes Wahrscheinlichkeit
benutzt. (Der Buchstabe
des Ereignisses
in der Ereignismenge A
steht für ,,probability``, das englische Wort für Wahrscheinlichkeit.)
Hauptachsentransformation, Ähnlichkeitstransformation
Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix U und eine Diagonalmatrix D mit
(4.127)
Dabei sind die Diagonalelemente von D die Eigenwerte von A, und die Spalten von U sind die dazugehörigen
normierten Eigenvektoren. Aus der Gleichung (4.127) folgt unmittelbar
(4.128)
Man bezeichnet diese Gleichung als Hauptachsentransformation . Auf diese Weise wird A in die Diagonalform
überführt.
Wird die quadratische Matrix A mit Hilfe der regulären quadratischen Matrix G nach der Vorschrift
(4.129)
transformiert, dann spricht man von einer Ähnlichkeitstransformation . Die Matrizen A und
gilt:
1. Die Matrizen A und
die Eigenwerte nicht.
heißen ähnlich, und es
haben dieselben Eigenwerte, d.h., bei einer Ähnlichkeitstransformation ändern sich
2. Ist A symmetrisch, dann ist auch
symmetrisch, falls G orthogonal ist:
(4.130)
Die Beziehung (4.130) heißt Ähnlichkeitstransformation . Bei ihr bleiben Eigenwerte und Symmetrie erhalten. In
diesem Zusammenhang besagt (4.128), daß eine symmetrische Matrix A orthogonal ähnlich auf die reelle
Diagonalform D transformiert werden kann.
Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen
Man spricht auch von der 1. Hauptaufgabe der Triangulierung . Dabei geht es um die Bestimmung eines Neupunktes
von zwei gegebenen Punkten
und
aus in einem Dreieck
Gegeben:
Gemessen:
möglichst auch
oder
gon
Gesucht:
Lösung:
(3.96a)
(3.96b)
(3.96c)
(3.96d)
(3.96e)
(3.96f)
(3.96g)
(3.96h)
SNELLIUSsche Aufgabe des Rückwärtseinschneidens
Nach SNELLIUS kann das Rückwärtseinschneiden eines Neupunktes
erfolgen. Man spricht auch von der 2. Hauptaufgabe der Triangulierung .
über drei gegebene Punkte
Gegeben:
Gemessen:
in
Gesucht:
Lösung:
(3.98a)
(3.98b)
(3.98c)
(3.98d)
(3.98e)
(3.98f)
(3.98g)
(3.98h)
(3.98i)
(3.98j)
(3.98k)
(3.98l)
(3.98m)
Unterringe, Ideale
1. Unterring: Es sei
ein Ring und
bezüglich
und
wieder ein Ring,
ein Unterring von
so heißt
Eine nichtleere Teilmenge
alle
Ist
eines Ringes
auch
2. Ideal: Ein Unterring
und
bildet genau dann einen Unterring von
in
heißt Ideal , wenn für alle
wenn für
liegen ( Unterringkriterium ).
und
sowohl
als auch
in
liegen. Diese speziellen Unterringe sind die Grundlage für die Bildung von Faktorringen.
Die trivialen Unterringe
und
sind auch stets Ideale von
3. Hauptideal: Sämtliche Ideale von
werden können. Sie werden in der Form
Körper haben nur triviale Ideale.
sind Hauptideale , d.h. Ideale, die von einem Ringelement ,,erzeugt``
geschrieben und mit
bezeichnet.
Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete
Wenn eine Funktion
in einem einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch ist, dann gelten die folgenden
zwei äquivalenten Aussagen:
a)
Das über eine geschlossene Kurve
erstreckte Integral ist gleich Null:
(14.40)
b)
Der Wert des Integrals
ist unabhängig von der die Punkte
und
verbindenden Kurve.
Dieser Sachverhalt wird Integralsatz von CAUCHY , auch Hauptsatz der Funktionentheorie genannt.
Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung
1. Warnung: Die Berechnung uneigentlicher Integrale vom Typ (8.87a) kann bei mechanischer Anwendung
der Formel
(8.88)
ohne Berücksichtigung der singulären Punkte im Innern des Intervalls
zu groben Fehlern führen.
Beispiel E
So erhält man durch formale Anwendung des Hauptsatzes auf Beispiel D
,
während dieses Integral in Wirklichkeit divergiert.
2. Allgemeine Regel: Der Hauptsatz der Integralrechnung darf auf den Fall (8.87a) nur angewendet werden,
wenn die Stammfunktion von
im singulären Punkt stetig ist.
Beispiel F
In Beispiel D ist die Funktion
für
unstetig, so daß diese Bedingung nicht
erfüllt ist. Hingegen ist in Beispiel C die Funktion
für
Hauptsatz auf Beispiel C angewendet werden kann:
.
stetig, so daß der
Hauptsatz der Integralrechnung
Hauptsatz der Integralrechnung wird die Beziehung
(8.38)
genannt, mit der die Berechnung eines bestimmten Integrals auf die Berechnung des zugehörigen unbestimmten
Integrals, d.h. auf die Ermittlung einer Stammfunktion zurückgeführt wird:
(8.39)
Zurückführung auf die Hauptwerte
Die Arkusfunktionen haben in den Definitions- und Wertebereichen für
ohne den Index
geschrieben wird, z.B.
Hauptwerte der Arkusfunktionen eingezeichnet.
ihren sogenannten Hauptwert , der
In der folgenden Abbildung sind die
Hinweis: Taschenrechner geben die Hauptwerte an. Die Zurückführung auf den Hauptwert erfolgt mit Hilfe der
folgenden Formeln:
(2.134a)
(2.134b)
(2.134c)
(2.134d)
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Definitionen
a) Wenn das Integrationsgebiet die abgeschlossene Halbachse
ist, und wenn der Integrand dort
definiert ist, dann gilt definitionsgemäß
(8.77)
Im Falle der Existenz des Grenzwertes spricht man von einem konvergenten uneigentlichen Integral . Im Falle der
Nichtexistenz des Grenzwertes wird (8.77) als divergentes Integral bezeichnet.
b) Wenn das Definitionsgebiet einer Funktion die abgeschlossene Halbachse
Zahlengerade
oder die gesamte
ist, dann definiert man analog
(8.78a)
(8.78b)
und
unabhängig voneinander gegen unendlich.
c) Beim Grenzübergang (8.78b) streben die Zahlen
Wenn der Grenzwert (8.78b) dabei nicht existiert, dafür jedoch der Grenzwert
(8.78c)
dann heißt dieser Grenzwert (8.78c) Hauptwert des uneigentlichen Integrals .
Natürlicher Logarithmus
(14.74a)
Wegen
kann man schreiben
(14.74b)
(14.74c)
Da
an:
eine mehrdeutige periodische Funktion ist, gibt man gewöhnlich nur den Hauptwert des Logarithmus
(14.74d)
Die Funktion
ist für alle komplexen Zahlen definiert, ausgenommen die Null.
Sprungfunktion
Der Einheitssprung bei
wird durch die Sprungfunktion (s. Abbildung),
auch HEAVISIDEsche Einheitsfunktion genannt, vermittelt:
(15.25)
Beispiel A
(s. linke
Abbildung).
Beispiel B
(s. rechte Abbildung).
Partialbruchzerlegung
1. Prinzip: Häufig treten in den Anwendungen Bildfunktionen der Form
ein Polynom in
darstellt. Hat man die Originalfunktionen zu
erhält man die gesuchten Originalfunktionen zu
2. Einfache reelle Nullstellen von
auf, wobei
und
gefunden, dann
durch Anwendung des Faltungssatzes.
: Hat die Bildfunktion
nur einfache Pole
, dann gilt für sie die Partialbruchzerlegung
(15.40)
Daher lautet die zugehörige Originalfunktion
(15.41)
3. HEAVYSIDEscher Entwicklungssatz: Ist die Zählerfunktion
niedrigerem Grade als
ebenfalls ein Polynom von
, dann erhält man die Originalfunktion zu
, aber von
mit Hilfe der nach HEAVYSIDE
benannten Formel
(15.42)
4. Komplexe Nullstellen: Treten komplexe Wurzeln im Nenner auf, dann kann man den HEAVYSIDEschen
Entwicklungssatz in der gleichen Weise anwenden. Man kann auch jeweils konjugiert komplexe Glieder, die im
Falle komplexer Nullstellen stets vorhanden sein müssen, zu einem quadratischen Ausdruck
zusammenfassen, dessen Rücktransformation wie auch im Falle mehrfacher Nullstellen von
der Tabelle der Korrespondenzen durchgeführt werden kann.
Beispiel
mit Hilfe
, d.h.
,
.
Die Pole
sind sämtlich einfach. Nach dem HEAVISIDEschen Satz
erhält man
oder durch Partialbruchzerlegung und Korrespondenztafel
.
Die beiden Ausdrücke für
sind identisch.
Anwendung des Newton-Verfahrens
Die Funktion
wird im aktuellen Näherungspunkt
durch eine quadratische Funktion approximiert:
(18.77)
Dabei ist
die HESSE-Matrix, d.h. die Matrix der zweiten partiellen Ableitung von
positiv definit, dann hat
an der Stelle
mit
im Punkt
. Ist
ein globales Minimum, und man
erhält für das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift
(18.78a)
(18.78b)
Das NEWTON-Verfahren hat eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit, der aber folgende Nachteile gegenüberstehen:
a)
Die Matrix
muß positiv definit sein.
b)
Das Verfahren konvergiert nur für hinreichend gute Startwerte.
c)
Es gibt keine Schrittweitensteuerung.
d)
Das Verfahren ist im allgemeinen kein Abstiegsverfahren.
e)
Der Aufwand zur Berechnung von
ist mitunter recht groß.
Einige Nachteile können durch die folgende Version eines gedämpften NEWTON-Verfahrens behoben werden:
(18.79)
Der Dämpfungsfaktor
kann unter anderem durch Strahlminimierung ermittelt werden.
Hilbert-Raum
Ein vollständiger unitärer Raum heißt HILBERT-Raum .
Als normierte Räume und BANACH-Räume besitzen die HILBERT-Räume auch deren Eigenschaften. Hinzu kommen
noch die eines unitären Raumes.
Unter einem Teilraum eines HILBERT-Raumes versteht man einen abgeschlossenen linearen Teilraum.
Beispiel A
und
mit den Skalarprodukten
(12.109)
Beispiel B
Der Raum
mit dem Skalarprodukt
(12.110)
Beispiel C
Sei
eine auf
meßbare und positive Funktion. Der komplexe Raum
meßbaren Funktionen, die auf
mit dem Gewicht
aller
quadratisch summierbar sind, wird ein HILBERT-
Raum, wenn das Skalarprodukt
(12.111)
betrachtet wird.
Definitionen
1. Vektorfunktion einer skalaren Variablen
Funktionen von
wird ein Vektor
genannt, wenn seine Komponenten
sind:
(13.1)
Die Begriffe Grenzwert, Stetigkeit und Differenzierbarkeit lassen sich von den Komponenten des Vektors
den Vektor selbst übertragen.
2. Hodograph einer Vektorfunktion Faßt man die Vektorfunktion
eines Punktes
(s. Abbildung).
als Orts- oder Radiusvektor
auf, dann beschreibt dieser bei Änderung von
eine Raumkurve
auf
Man bezeichnet diese Raumkurve auch als Hodograph der Vektorfunktion
.
Kegel
Kegel werden von einer Kegelfläche mit geschlossener Leitkurve und einer ebenen Grundfläche (Flächeninhalt
), die von der Kegelfläche ausgeschnitten wird, begrenzt.
Für beliebige Kegel gilt
(3.134)
Kugelausschnitt
(3.145)
(3.146)
Polyeder
Polyeder wird ein Körper genannt, der von Ebenen begrenzt wird. In diesem Abschnitt werden die folgenden
Bezeichnungen benutzt:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
- Volumen,
- Gesamtoberfläche,
Prisma
Parallelepiped
Quader
Würfel
Pyramide
Pyramidenstumpf
Tetraeder
Obelisk
Keil
Reguläre Polyeder und EULERscher Polyedersatz
- Mantelfläche,
- Höhe,
- Grundfläche.
Zylinder
Zylinder wird ein Körper genannt, der von einer Zylinderfläche mit geschlossener Leitkurve umgrenzt wird sowie von
zwei parallelen Grundflächen, die die Zylinderfläche aus zwei parallelen Ebenen ausschneidet.
Für jeden beliebigen Zylinder mit dem Grundflächenumfang
, dem Umfang des zur Erzeugenden senkrechten
Querschnitts
dessen Flächeninhalt
und der Länge
der Erzeugenden gilt:
(3.123)
(3.124)
Funktion u=f(x,y) zweier unabhängiger Variabler
Für die Darstellung einer Funktion zweier Veränderlicher
sind zwei Varianten gebräuchlich:
a) Raumfläche: Eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen läßt sich in Analogie zum ebenen
Kurvenbild einer Funktion von einer unabhängigen Veränderlichen als Fläche im Raum darstellen.
Dazu wird der Funktionswert
senkrecht über dem Punkt
des Definitionsbereiches
abgetragen. Die Endpunkte dieser Strecken bilden eine Fläche im dreidimensionalen Raum.
Beispiel A
Darstellung durch eine Ebene.
Beispiel B
Darstellung durch ein elliptisches Paraboloid.
Beispiel C
Darstellung durch eine Halbkugel mit dem Radius
b) Höhen- oder Niveaulinien: Das Bild der Funktion
kann auch mit Hilfe von Schnittkurven
ermittelt werden, die durch Schnitte parallel zu den Koordinatenebenen entstehen. Die Schnittkurven
werden auch Höhen- oder Niveaulinien genannt.
Beispiel
In den folgenden zwei Abbildungen sind die Höhenlinien konzentrische Kreise (nicht eingezeichnet).
Hinweis: Funktionen mit Argumenten aus drei oder mehr Variablen können nicht mehr im dreidimensionalen Raum
dargestellt werden. Ausgehend von der Fläche im dreidimensionalen Raum wird in Analogie dazu der Begriff der
Hyperfläche im
-dimensionalen Raum gebraucht.
Geodätische Polarkoordinaten
Im linkshändigen System ebener Polarkoordinaten der Geodäsie wird ein Punkt
durch den Richtungswinkel
sowie durch die Länge der Strecke
zwischen dem Punkt und dem
zwischen der Abszisse und der Strecke
Koordinatenursprung, Pol genannt, festgelegt. Die positive Richtung der Winkelangabe ist in der Geodäsie der
Uhrzeigersinn (linke Abbildung).
Zur Bestimmung von Höhen werden der Zenitwinkel
oder der Höhenwinkel bzw. der Neigungswinkel
verwendet.
Die Darstellung im rechtwinkligen dreidimensionalen linkshändigen Koordinatensystem zeigt, daß der Zenitwinkel
zwischen der Zenitachse
und der Strecke
ihrer senkrechten Projektion auf die
gemessen wird, der Neigungswinkel zwischen der Strecke
-Ebene.
und
Hohlzylinder
Mit den Bezeichnungen
Radiendifferenz und
für den äußeren Radius,
für den inneren Radius,
für die
für den mittleren Radius gilt:
(3.133)
HÖLDERsche Ungleichung
1. HÖLDERsche Ungleichung für Reihen: Wenn
und wenn
und
und
zwei reelle Zahlen sind, für die
beliebige
Zahlen
gilt
sind, dann gilt:
(1.123a)
Diese Ungleichung gilt auch für abzählbar unendlich viele Zahlenpaare:
(1.123b)
wobei aus der Konvergenz beider Reihen auf der rechten Seite die Konvergenz der Reihe auf der linken Seite folgt.
2. HÖLDERsche Ungleichung für Integrale: Wenn
Maßraum
zwei meßbare Funktionen auf dem
sind, dann gilt:
(1.123c)
Definition der kubischen Interpolationssplines
Es seien
Interpolationspunkte
gegeben. Der kubische Interpolationsspline
ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:
1.
erfüllt die Interpolationsbedingung
2.
ist in jedem Teilintervall
3.
ist 2mal stetig differenzierbar im gesamten Approximationsintervall
4.
erfüllt spezielle Randbedingungen:
.
ein Polynom vom Grad
a)
(man spricht dann von natürlichen Splines ) oder
b)
.
.
sind gegebene Werte) oder
c)
, falls
, und
sowie
(man
spricht dann von periodischen Splines ).
Aus diesen Eigenschaften folgt, daß
unter allen 2mal stetig differenzierbaren Funktionen
Interpolationsbedingung
, die die
erfüllen, dadurch ausgezeichnet ist, daß
(19.230)
gilt ( Satz von HOLLADAY ). Man sagt auf Grund von (19.230),
Krümmung
einer ebenen Kurve in erster Näherung
Darüber hinaus läßt sich zeigen: Legt man durch die Punkte
hat minimale Gesamtkrümmung , da für die
gilt (s. Abschnitt Krümmung und Krümmungskreis).
ein dünnes,
elastisches Lineal (engl. Spline), so wird seine Biegelinie durch den kubischen Interpolationsspline
beschrieben.
Homomorphiesatz für Ringe
Ersetzt man im Homomorphiesatz für Gruppen den Begriff Normalteiler durch Ideal, so erhält man den
Homomorphiesatz für Ringe : Ein Ringhomomorphismus
Der Faktorring
genannt.
, nämlich
ist isomorph zum homomorphen Bild
Umgekehrt bestimmt jedes Ideal
mit
bestimmt ein Ideal von
von
Diese Abbildung
eine homomorphe Abbildung
wird natürlicher Homomorphismus
Homomorphiesatz
Es seien
und
in
-Algebren und
Die Faktoralgebra
Umgekehrt bestimmt jede Kongruenzrelation
ein Homomorphismus.
bestimmt eine Kongruenzrelation
ist isomorph zum homomorphen Bild
eine homomorphe Abbildung
Die folgende Abbildung soll den Homomorphiesatz veranschaulichen.
mit
Homomorphismen
Wie bei den klassischen algebraischen Strukturen besteht auch hier über den Homomorphiesatz ein Zusammenhang
zwischen den Homomorphismen und den Kongruenzrelationen.
Es seien
und
und alle
-Algebren. Eine Abbildung
heißt Homomorphismus , wenn für jedes
gilt:
(5.194)
Ist
darüber hinaus bijektiv, so heißt
isomorph. Das homomorphe Bild
Homomorphismus
von
Isomorphismus ; die Algebren
einer
-Algebra
entspricht der Zerlegung von
und
erweist sich als
heißen dann zueinander
-Unteralgebra von
Bei einem
in bildgleiche Elemente eine Kongruenzrelation, die der Kern
genannt wird:
(5.195)
Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz
●
●
Ringhomomorphismus und Ringisomorphismus
Homomorphiesatz für Ringe
Vektorverband
Im Vektorraum
der reellen Zahlen sind die Begriffe
-Beschränktheit und Beschränktheit (im herkömmlichen
ihr Supremum - die
Sinne) identisch. Es ist bekannt, daß jede von oben beschränkte Menge reeller Zahlen in
kleinste aller oberen Schranken - besitzt. In einem allgemeinen Vektorraum kann die Existenz von Supremum und
Infimum i.allg. nicht einmal für endliche Teilmengen nachgewiesen, sondern muß per Axiom gefordert werden. Ein
heißt Vektorverband oder linearer Verband (in der englischsprachigen Literatur auch
geordneter Vektorraum
RIESZscher Raum bzw. und in der russischsprachigen Literatur auch K-Lineal ), wenn für zwei beliebige Elemente
ein Element
mit den folgenden Eigenschaften existiert:
1.
2.
ist
mit
und
dann gilt
.
Ein solches Element
ist eindeutig bestimmt, wird mit
(genauer: Supremum der aus den Elementen
existiert zu je zwei Elementen
und
und
bezeichnet und das Supremum von
und
bestehenden Menge) genannt. In einem Vektorverband
auch stets das Infimum, das mit
bezeichnet wird. Zu Anwendungen
positiver Operatoren in Vektorverbänden s.u.a. Lit. 12.3.
Beispiel A
Im Vektorverband
wird das Supremum von zwei Funktionen
punktweise nach der Formel
(12.33)
berechnet. Im Falle von
und
(s. Abbildung) ergibt sich für
(12.34)
Beispiel B
Die Räume
und
sind ebenfalls Vektorverbände, während der geordnete Raum
kein Vektorverband ist, da das Minimum oder Maximum zweier Funktionen im allgemeinen
eine Funktion sein kann, die nicht in jedem Punkt aus
Ein linearer Operator
des Vektorverbandes
differenzierbar zu sein braucht.
in einen Vektorverband
heißt
Vektorverbandshomomorphismus oder Homomorphismus der Vektorverbände, wenn für alle
gilt:
(12.35)
Definition
Gegeben sei neben (17.1) mit dem zugehörigen Fluß
eine weitere autonome Differentialgleichung
(17.22)
wobei
eine auf der offenen Menge
gegebene
-Abbildung ist. Der Fluß
von (17.22) möge ebenfalls existieren.
Die Differentialgleichungen (17.1) und (17.22) (bzw. deren Flüsse) heißen topologisch äquivalent , wenn es einen
(d.h.,
ist bijektiv,
und
sind stetig) gibt, der die Orbits von (17.1) in
Homöomorphismus
Orbits von (17.22) unter Beibehaltung der Orientierung, aber nicht unbedingt der Parametrisierung überführt. Die
Systeme (17.1) und (17.22) sind also topologisch äquivalent, wenn es neben dem Homöomorphismus
eine stetige Abbildung
wachsend ist,
auf
abbildet, für die
gibt, die bei jedem fixierten
für alle
streng monoton
ist und die der Beziehung
für alle
und
genügt.
Bei topologischer Äquivalenz gehen Ruhelagen von (17.1) in Ruhelagen von (17.22) und periodische Orbits von
(17.1) in periodische Orbits von (17.22) über, wobei die Perioden nicht unbedingt übereinstimmen. Sind also zwei
Systeme (17.1) und (17.22) topologisch äquivalent, so stimmt die topologische Struktur der Zerlegung des
Phasenraumes in Orbits überein. Sind zwei Systeme (17.1) und (17.22) topologisch äquivalent über den
Homöomorphismus
und erhält
sogar die Parametrisierung, d.h. gilt
so heißen (17.1) und (17.22) topologisch konjugiert .
Topologische Äquivalenz bzw. Konjugiertheit kann sich auch auf Teilmengen der Phasenräume
beziehen. Ist z.B. (17.1) auf
äquivalent zu (17.22) auf
von (17.1) mit
Beispiel A
und (17.22) auf
, wenn ein Homöomorphismus
in Schnitte der Orbits von (17.22) mit
definiert, so heißt (17.1) auf
und
topologisch
existiert, der die Schnitte der Orbits
unter Beibehaltung der Orientierung überführt.
Homöomorphismen für (17.1) und (17.22) sind Abbildungen, bei denen z.B. Strecken und Stauchen der
Orbits erlaubt ist, Aufschneiden und Schließen der Orbits dagegen nicht. Die zu den Phasenporträts der
folgenden linken und mittleren Abbildung gehörenden Flüsse sind topologisch äquivalent; die zur linken und
rechten Abbildung gehörenden Flüsse dagegen nicht.
Beispiel B
Gegeben seien die beiden linearen ebenen Differentialgleichungen (s. Lit. 17.19)
sind in der folgenden linken und rechten Abbildung zu
Die Phasenporträts dieser Systeme nahe
sehen.
Der Homöomorphismus
mit
, wobei
ist, und die
Funktion
mit
überführen die Orbits des ersten Systems in Orbits des
zweiten Systems, so daß eine topologische Äquivalenz vorliegt.
Komplexe Argumentwerte
Sind die Koeffizienten
in (19.11) reell, so kann die Berechnung von
ganz im Reellen ablaufen. Dazu wird
für komplexe Werte
wie folgt zerlegt:
(19.18a)
mit
(19.18b)
Es ist dann
(19.18c)
Zur Realisierung von (19.18a) kann man nach COLLATZ das folgende sogenannte zweizeilige HORNER-Schema
aufstellen:
(19.18d)
Beispiel
. Der Funktionswert für
ist zu berechnen.
Man liest ab:
.
, d.h.
und
,
Reelle Argumentwerte
Zur Berechnung des Funktionswertes
eines Polynoms
-ten Grades an der Stelle
aus seinen
Koeffizienten geht man von der Beziehung
(19.12)
aus, wobei
ein Polynom vom Grade
ist:
(19.13)
Durch Koeffizientenvergleich in (19.12) bezüglich
erhält man die Rekursionsformel
(19.14)
Auf diese Weise werden aus den Koeffizienten
gesuchte Funktionswert
wird das Polynom
von
die Koeffizienten
von
sowie der
bestimmt. Durch Wiederholung dieser Vorgehensweise, d.h., im nächsten Schritt
mit dem Polynom
gemäß
(19.15)
verknüpft usw., erhält man schließlich eine Folge von Polynomen
. Die
Berechnung der Koeffizienten und Funktionswerte dieser Polynome ist in (19.16) schematisch dargestellt:
(19.16)
Aus dem Schema (19.16) liest man
unmittelbar ab. Darüber hinaus gilt:
(19.17)
Beispiel
. Der Funktionswert und die Ableitungswerte von
Stelle
an der
sind gemäß (19.16) zu berechnen.
Hinweis: Das HORNER-Schema läßt sich auch für komplexe Koeffizienten
Koeffizienten eine reelle und eine imaginäre Spalte gemäß (19.16) berechnet.
durchführen, indem man für jeden
HOUSEHOLDER-Verfahren
Numerisch gutartige Verfahren zur Lösung linearer Quadratmittelprobleme stellen die Orthogonalisierungsverfahren
dar, die auf einer Faktorisierung
eine orthogonale Matrix vom Typ
beruhen. Zu empfehlen ist das HOUSEHOLDER-Verfahren , bei dem Q
und R eine Dreiecksmatrix vom Typ
ist.
Konvexe Mengen
Eine Teilmenge
eines reellen Vektorraumes
Vektoren der Form
heißt konvex , wenn für jedes Paar von Vektoren
ebenfalls zu
alle
gehören. Mit anderen Worten, die Menge
ist konvex, wenn sie mit je zwei Elementen die gesamte Verbindungsstrecke
(12.15)
auch Intervall genannt, zwischen
und
enthält. Beispiele konvexer Mengen in
bezeichneten Mengen in der folgenden Abbildung.
sind die mit
und
Siehe dazu auch Abschnitt Trennung konvexer Mengen.
Der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen ist wieder eine konvexe Menge, wobei vereinbarungsgemäß die
leere Menge als konvex angesehen wird. Demzufolge existiert zu jeder Teilmenge
Menge, die
enthält, nämlich der Durchschnitt aller konvexen und
konvexe Hülle der Menge
und wird mit
konvexen Linearkombinationen von Elementen aus
Form
Gleichung
, wobei
eine kleinste konvexe
enthaltenden Teilmengen von
bezeichnet. Die konvexe Hülle
identisch, d.h.,
beliebige Elemente aus
. Sie heißt
ist mit der Menge aller
besteht aus allen Elementen der
sind und
genügen. Lineare und affine Teilräume sind stets konvex.
der
Lineare Hülle
Der Durchschnitt einer beliebigen Anzahl linearer Teilräume in
existiert für jede nichtleere Teilmenge
ist wiederum ein linearer Teilraum. Demzufolge
ein kleinster linearer Teilraum
enthält, nämlich der Durchschnitt aller linearen Teilräume, in denen
lineare Hülle der Menge
oder
enthalten ist. Die Menge
in
, der
heißt
. Sie ist mit der Menge aller (endlichen) Linearkombinationen
(12.9)
die aus Elementen
und Skalaren
gebildet werden, identisch.
Hyperbel
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Elemente der Hyperbel
Gleichung der Hyperbel
Brennpunktseigenschaften der Hyperbel, Definition der Hyperbel
Leitlinien der Hyperbel
Tangenten an die Hyperbel
Asymptoten der Hyperbel
Konjugierte Hyperbeln
Durchmesser der Hyperbel
Krümmungskreisradius der Hyperbel
Flächeninhalte in der Hyperbel
Hyperbelbogen
Gleichseitige Hyperbeln
Gleichseitige Hyperbeln
Gleichseitige Hyperbeln zeichnen sich durch gleich große Achsen
aus, so daß ihre Gleichung lautet
(3.340a)
Die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel stehen senkrecht aufeinander. Wenn die Asymptoten mit den
Koordinatenachsen zusammenfallen, dann lautet die Gleichung
(3.340b)
Umgekehrte Proportionalität
Die Funktion
(2.46)
liefert eine gleichseitige Hyperbel , deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind.
Die Unstetigkeitsstelle mit
und von
bis
und von
liegt bei
Wenn
ist, dann nimmt die Funktion von 0 bis
bis 0 ab (blaue Kurve im 1. und 3. Quadranten). Ist
dann wächst die Funktion von 0
bis 0 (rote Kurve im 2. und 4. Quadranten). Die Scheitelpunkte
und
Vorzeichen für
Extrema gibt es keine. (Ausführlicher s. Hyperbel).
mit gleichen Vorzeichen für
und
liegen bei
und unterschiedlichen
Konjugierte Hyperbeln
Konjugierte Hyperbeln haben die Gleichungen
(3.336)
wobei die zweite Hyperbel in der Abbildung rot dargestellt ist. Sie besitzen gemeinsame Asymptoten derart, daß die
reelle Achse der einen die imaginäre Achse der anderen ist und umgekehrt.
Krümmungskreisradius der Hyperbel
Im Punkt
hat die Hyperbel den Krümmungkreissradius
(3.338a)
wobei
und
der Winkel zwischen der Tangente und dem Radiusvektor des Berührungspunktes ist. In den Scheiteln
gilt
(3.338b)
Leitlinien der Hyperbel
Leitlinien der Hyperbel sind senkrecht auf der reellen Achse im Abstand
Geraden.
vom Mittelpunkt stehende
Jeder beliebige Hyperbelpunkt
unterliegt der Leitlinieneigenschaft der Hyperbel
(3.330)
(s. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)
Tangenten an die Hyperbel
Tangenten an die Hyperbel im Punkt
beschreibt die Gleichung
(3.331)
Normale und Tangente an die Hyperbel sind jeweils Winkelhalbierende des inneren bzw. äußeren Winkels zwischen
den von den Brennpunkten zum Berührungspunkt
weisenden Radiusvektoren. Die Gerade
ist eine Tangente, wenn die Gleichung
(3.332)
erfüllt ist.
Definition der Hyperbelfunktionen
Hyperbelsinus , Hyperbelkosinus und Hyperbeltangens sind durch die folgenden Formeln definiert:
(2.156)
(2.157)
(2.158)
Die geometrische Definition ist eine Analogie zu den trigonometrischen Funktionen.
Hyperbelkotangens , Hyperbelsekans und Hyperbelkosekans sind als reziproke Werte der voranstehenden drei
Hyperbelfunktionen definiert:
(2.159)
(2.160)
(2.161)
In der folgenden Abbildung ist der Verlauf aller sechs Hyperbelfunktionen dargestellt.
Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen
(2.185)
(2.186)
(2.187)
(2.188)
Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen sind durch Formeln miteinander verknüpft, deren Analogon von den trigonometrischen
Funktionen bekannt ist. Daher lassen sie sich aus den entsprechenden trigonometrischen Formeln mit Hilfe der
Zusammenhänge (2.189) bis (2.196) herleiten.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Hyperbelfunktionen einer Variablen
Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes
Formeln für negative Argumente
Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente (Additionstheoreme)
Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
Formel von MOIVRE für Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen des halben Arguments
Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen
Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen Funktionen mit Hilfe komplexer
Argumente
Hyperboloide
1. Einschaliges Hyperboloid: Mit
und
als reelle und
als imaginäre Halbachsen gilt:
(3.408)
(S. auch geradlinige Erzeugende.)
2. Zweischaliges Hyperboloid: Mit
als reelle und
als imaginäre Halbachsen gilt:
(3.409)
Die Schnittfiguren von Ebenen parallel zur -Achse sind für beide Hyperboloide Hyperbeln. Im Falle des
einschaligen Hyperboloids können es auch zwei einander schneidende Geraden sein. Ebenenschnitte parallel zur
-Ebene sind Ellipsen.
kann das Hyperboloid durch Rotation einer Hyperbel mit den Halbachsen
und um die Achse
Für
erzeugt werden. Diese ist im Falle des einschaligen Hyperboloids imaginär, im Falle des zweischaligen reell.
Hyperebenen
Eine von
verschiedene lineare Teilmenge
Hyperebene durch
, wenn ein
des (reellen) Vektorraumes
existiert, mit dem
heißt Hyperteilraum oder
gilt. Mengen der Gestalt
sind affin-lineare Mannigfaltigkeiten (s. Lineare und affin lineare Teilmengen). Ist dabei
nennt man sie Hyperebenen .
ein Hyperteilraum, so
Es besteht der folgende enge Zusammenhang zwischen Hyperebenen und linearen Funktionalen: Einerseits ist der
Kern
jede Zahl
eines linearen Funktionals
existiert ein
existiert zu einem Hyperteilraum
lineares Funktional
auf
eines normierten Raums
mit
mit
auf
und
, einem
, und für
. Andererseits
und
und
ein Hyperteilraum in
stets ein eindeutig bestimmtes
. Die Abgeschlossenheit von
ist äquivalent zur Stetigkeit des Funktionals
.
im Falle
Formeln für mehrfache Produkte
(3.264a)
(3.264b)
Komplexe Zahlen
Die allgemeine Form einer komplexen Zahl lautet
(1.133a)
Wenn
und
alle möglichen reellen Werte durchlaufen, dann werden alle möglichen komplexen Zahlen
erzeugt. Die Zahl
wird Realteil , die Zahl
Imaginärteil der Zahl
genannt:
(1.133b)
Für
wird
, so daß die reellen Zahlen zum Spezialfall der komplexen Zahlen werden. Für
wird
eine ,,rein imaginäre Zahl``.
Die komplexen Zahlen bilden die Menge der komplexen Zahlen, die mit
Hinweis: Funktionen
der Funktionentheorie.
einer komplexen Variablen
bezeichnet wird.
sind Gegenstand der Betrachtung in
Prädikate
Dabei werden die betrachteten Objekte zu einem Individuenbereich
zusammengefaßt. Eigenschaften der Individuen, z.B. ,,
z.B. ,,
ist kleiner als
ist eine Abbildung
z.B. Menge
der natürlichen Zahlen,
ist eine Primzahl``, und Beziehungen zwischen Individuen,
``, werden als Prädikate bzeichnet. Ein
die jedem
-stelliges Prädikat über dem Individuenbereich
-Tupel von Individuen einen Wahrheitswert zuordnet.
So sind die oben angeführten Prädikate über den natürlichen Zahlen ein- bzw. zweistellig.
Kommensurabilität
Zwei Zahlen
und
einer dritten Zahl
heißen kommensurabel , d.h. mit gleichem Maß meßbar, wenn sie ganzzahlige Vielfache
sind. Aus
folgt dann
(1.7)
Im entgegengesetzten Falle sind
und
inkommensurabel .
Beispiel A
Im regelmäßigen Fünfeck, dem Pentagramm, sind die Seite und die Diagonale wegen (1.6)
inkommensurable Strecken. Man geht heute davon aus, daß HIPPASOS von Metapontum (450 v. u. Z.) an
diesem Beispiel die irrationalen Zahlen entdeckt hat.
Beispiel B
Die Länge einer Diagonale und die Seitenlänge eines Quadrates sind inkommensurabel, weil sie die
irrationale Zahl
zum Quotienten haben.
Zweidimensionaler Fall
1. Definition: Wenn das Kurvenintegral
(8.124)
mit den stetigen Funktionen
Anfangspunkt
und
, die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert sind, nur vom
und vom Endpunkt
(s. Abbildung), d.h. für beliebige
und
abhängen soll, nicht aber vom Integrationsweg, der beide Punkte verbindet
und beliebige Integrationswege
bzw.
die Gleichung
(8.125)
gelten soll, dann ist notwendig und hinreichend, daß eine Funktion
von zwei Veränderlichen existiert,
deren vollständiges Differential der Integrand des Kurvenintegrals ist:
(8.126a)
d.h., es gilt
(8.126b)
Die Funktion
ist dann eine Stammfunktion des vollständigen Differentials (8.126a).
In der Physik wird die Stammfunktion
als Potential in einem Vektorfeld gedeutet.
2. Existenz der Stammfunktion:Notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz der
Stammfunktion , die Integrabilitätsbedingung für den Ausdruck
, ist die Gleichheit der
partiellen Ableitungen
(8.127)
von denen gefordert werden muß, daß sie stetig sind.
Definition
Die Gammafunktion , das EULERsche Integral zweiter Gattung (8.91), ermöglicht eine Ausdehnung des Begriffs der
Fakultät auf beliebige Zahlen
, auch auf komplexe Zahlen. Sie kann auf zweierlei Weise definiert werden:
(8.101a)
(8.101b)
FOURIER-Integral
Wenn die Funktion
in einem beliebigen endlichen Intervall die DIRICHLETschen Bedingungen erfüllt und
außerdem das uneigentliche Integral
konvergiert, dann gilt für ihre Darstellung ( FOURIER-
Integral):
(7.107a)
In den Unstetigkeitsstellen setzt man
(7.107b)
Integrale gebrochenrationaler Funktionen
Integrale gebrochenrationaler Funktionen
, wobei
und
Polynome vom Grade
bzw.
sind, werden algebraisch auf eine leicht integrierbare Form gebracht. Dazu dient die folgende
Verfahrensweise:
1. Kürzung des Bruches bis
und
2. Abspaltung des ganzrationalen Teiles, wenn
keine gemeinsamen Teiler mehr enthalten.
ist, indem
durch
geteilt wird. Zu
integrieren verbleiben dann ein Polynom und ein echter Bruch.
3. Zerlegung des Nenners
in lineare und quadratische Faktoren:
(8.12a)
mit
(8.12b)
4. Vorziehen des konstanten Koeffizienten
vor das Integralzeichen.
5. Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen: Der so erhaltene echte Bruch, der nicht mehr gekürzt
werden kann und dessen Nenner in seine irreduziblen Faktoren zerlegt ist, wird in eine Summe von
Partialbrüchen zerlegt, die leicht integriert werden können.
Integration
●
●
●
●
Definition des Integrals
Einige Eigenschaften des Integrals
Konvergenzsätze
Satz von RADON-NIKODYM
Einige Eigenschaften des Integrals
Sei
ein Maßraum und seien
meßbare Funktionen und
.
1.
Ist
integrierbar, dann ist
fast überall endlich, d.h.
Ist
integrierbar, dann gilt
.
Ist
integrierbar und
.
2.
3.
, dann gilt
.
4.
Ist
auf
.
und
integrierbar, dann ist
integrierbar, und es gilt
5.
Sind
integrierbar, dann ist
integrierbar, und es gilt
.
6.
Sind
Ist
integrierbar auf
und
und
, dann gilt
das LEBESGUE-Maß, dann spricht man vom (
ist für jede stetige Funktion
als auch das LEBESGUE-Integral
eine auf
mit
auf
-f.ü. auf
.
-dimensionalen) LEBESGUE-Integral . Im Falle
sowohl das RIEMANN-Integral
definiert. Beide Werte sind endlich und stimmen überein. Mehr noch, ist
beschränkte RIEMANN-integrierbare Funktion, dann ist sie auch LEBESGUE-integrierbar
(integrierbar im LEBESGUEschen Sinne), wobei die Werte beider Integrale identisch sind (Natürlichkeit des LEBESGUEIntegrals). Die Menge der LEBESGUE-integrierbaren Funktionen ist aber wesentlich umfassender und besitzt eine
Reihe von Vorteilen, die sich insbesondere bei Grenzübergängen unter dem Integral zeigen.
Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
Der Begriff des bestimmten Integrals ist als RIEMANN-Integral unter der Voraussetzung einer beschränkten Funktion
und eines abgeschlossenen Integrationsintervalls
eingeführt worden. Diese beiden Voraussetzungen
waren Ansatzpunkte für Verallgemeinerungen des RIEMANNschen Integralbegriffs. Im Folgenden werden einige
genannt.
1. Uneigentliche Integrale stellen eine Erweiterung des Integralbegriffs auf unbeschränkte Funktionen und
auf unbeschränkte Integrationsintervalle dar. Sie werden in den anschließenden Abschnitten Integrale mit
unendlichen Integrationsgrenzen und
Integrale mit unbeschränktem Integranden behandelt.
2. STIELTJES-Integral für Funktionen einer Veränderlichen: Es wird von zwei endlichen Funktionen
und
ausgegangen, die auf dem endlichen Intervall
definiert sind. Wie beim RIEMANN-Integral
wird das Intervall in Elementarintervalle zerlegt, aber an Stelle der RIEMANNschen Zwischensumme (8.36) wird
(8.76)
gebildet. Wenn der Grenzwert von (8.76) für den Fall, daß die Länge der Elementarintervalle gegen Null strebt,
existiert und zwar unabhängig von der Wahl der Punkte
und
, dann wird dieser Grenzwert als bestimmtes
STIELTJES- Integral bezeichnet (s. Lit. 8.16, 8.18).
Beispiel
Für
geht das STIELTJES-Integral in das RIEMANN-Integral über.
3. LEBESGUE-Integral: Eine weitere Erweiterung des Integralbegriffs erfolgt im Zusammenhang mit der
Maßtheorie, in der das Maß einer Menge, Maßräume und meßbare Funktionen eingeführt werden. In der
Funktionalanalysis wird das LEBESGUE-Integral auf der Basis dieser Begriffe definiert (s. Lit. 8.12). Eine
Verallgemeinerung gegenüber dem RIEMANN-Integral besteht z.B. darin, daß der Integrationsbereich eine
Teilmenge des
sein kann und in meßbare Teilmengen zerlegt wird.
Die Bezeichnungen für die Verallgemeinerungen des Integralbegriffs sind nicht einheitlich
(s. Lit. 8.16).
Nichtelementarer Integrale
Integrale elementarer Funktionen sind nicht immer elementare Funktionen. Solche Integrale werden hauptsächlich
mit Hilfe der folgenden drei Methoden gelöst, wobei die Stammfunktion in einer bestimmten Näherung berechnet
wird:
1. Wertetabellen: Integrale von besonderem theoretischen oder praktischen Interesse, die sich nicht durch
elementare Funktionen ausdrücken lassen, können durch eine Wertetabelle dargestellt werden. Dabei wird die
Integrationskonstante durch Festlegung der unteren Integrationsgrenze bestimmt. Solchen speziellen
Funktionen werden meist besondere Namen und Zeichen zugeordnet. Beispiele sind:
a) Integrallogarithmus:
(8.9)
b) Elliptisches Integral erster Gattung:
(8.10)
2. Integration durch Reihenentwicklung: Der Integrand wird in eine Reihe entwickelt, die im Falle ihrer
gleichmäßigen Konvergenz gliedweise integriert werden kann.
3. Graphische Integration: Eine dritte Näherungsmethode ist die graphische Integration.
Oberflächenintegrale
●
●
●
Oberflächenintegrale erster Art
Oberflächenintegrale zweiter Art
Oberflächenintegral allgemeiner Art
Vektor eines ebenen Flächenstückes
Die vektorielle Darstellung des Oberflächenintegrals zweiter Gattung allgemeiner Art erfordert die Zuordnung eines
Vektors
zu einem Flächenstück
Flächeninhalt von
, der senkrecht auf dieser Fläche steht und dessen Betrag gleich dem
ist. Den Fall eines ebenen Flächenstückes zeigt die folgende Abbildung.
Die positive Richtung von
wird gemäß der Rechte-Hand-Regel (auch Rechtsschraube genannt) mit dem der
bei gegebenen Umlaufsinn festgelegt: Blickt man vom Vektorursprung in
geschlossenen Umrandungskurve
Richtung Vektorspitze, dann soll der Drehsinn der Umrandungskurve mit dem des Uhrzeigers übereinstimmen. Durch
diese Wahl des positiven Umlaufsinnes auf der Umrandungskurve wird gleichzeitig festgelegt, welche Fläche die
Außenseite ist, d.h. die Seite, von der aus der Vektor abgetragen wird. Diese Festlegungen können auf beliebig
gekrümmte Flächenstücke übertragen werden, die von einer geschlossenen Randkurve begrenzt werden
(s. Abbildung).
Singuläre Integrale und singuläre Punkte
●
●
●
Singuläres Element und singuläres Integral
Bestimmung singulärer Integrale
Singuläre Punkte einer Differentialgleichung
Integration durch Reihenentwicklung, spezielle
nichtelementare Funktionen
Es ist nicht immer möglich, Integrale durch elementare Funktionen auszudrücken, auch wenn der Integrand eine
elementare Funktion ist. In vielen Fällen lassen sich für solche nichtelementaren Integrale Reihenentwicklungen
angeben. Läßt sich der Integrand in eine im Intervall
gleichmäßig konvergierende Reihe entwickeln, so erhält
man aus dieser durch gliedweise Integration eine ebenfalls gleichmäßig konvergente Reihe für das bestimmte
Integral
.
●
Integralsinus (
●
Integralkosinus (
●
Integrallogarithmus (
)
)
, für
als CAUCHYscher Hauptwert)
●
●
●
●
Integralexponentialfunktion (
GAUSSsches Fehlerintegral und Fehlerfunktion
Gammafunktion
Elliptische Integrale
, für
als CAUCHYscher Hauptwert)
Stammfunktion oder Integral
●
●
●
●
Definition
Existenz
Unbestimmte Integrale
Integrale elementarer Funktionen
Uneigentliche Integrale, STIELTJES- und LEBESGUE-Integrale
●
●
●
Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen
Integrale mit unbeschränktem Integranden
Umlaufintegral
1. Begriff des Umlaufintegrals: Ein Umlaufintegral ist ein Kurvenintegral über einen geschlossenen
Integrationsweg
, d.h., der Anfangspunkt
ist mit dem Endpunkt
identisch. Man schreibt dafür:
(8.122)
Im allgemeinen ist das Umlaufintegral verschieden von Null. Das gilt jedoch nicht, wenn die Integrabilitätsbedingung
erfüllt ist oder wenn die Integration in einem konservativen Feld durchzuführen ist. Siehe auch Verschwinden des
Umlaufintegrals.
2. Berechnung des Flächeninhaltes einer ebenen Figur: Die Berechnung des Flächeninhaltes einer ebenen
Figur ist ein typisches Beispiel für die Anwendung des Umlaufintegrals in der Form
(8.123)
wobei
die Randkurve der ebenen Figur ist. Der Integrationsweg wird positiv gerechnet, wenn er entgegengesetzt
zum Drehsinn des Uhrzeigers verläuft.
Kapitel 8:
Integralrechnung
1. Integralrechnung und unbestimmtes Integral: Die Integralrechnung stellt im folgenden Sinne die
Umkehrung der Differentialrechnung dar: Während bei der Differentialrechnung zu einer gegebenen Funktion
die Ableitung
zu bestimmen ist, wird in der Integralrechnung zu einer gegebenen Ableitung
eine Funktion gesucht, deren Ableitung mit der vorgegebenen übereinstimmt. Dieser Prozeß ist nicht
eindeutig und führt auf den Begriff des unbestimmten Integrals .
2. Bestimmtes Integral:Geht man von der anschaulichen Aufgabenstellung der Integralrechnung aus, den
Inhalt der Fläche unter der Kurve
zu bestimmen, indem man diesen z.B. durch hinreichend
schmale Rechtecke approximiert (s. Abbildung), dann kommt man zum Begriff des bestimmten Integrals.
3. Zusammenhang zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral: Den Zusammenhang zwischen
den genannten Integralarten vermittelt der Hauptsatz der Integralrechnung.
●
Unbestimmtes Integral
Bestimmte Integrale
Kurvenintegrale
Mehrfachintegrale
Oberflächenintegrale
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
Definition
Das bestimmte Integral einer in einem abgeschlossenen Intervall
definierten und beschränkten Funktion
ist eine Zahl, die als Grenzwert einer Summe definiert wird, wobei entweder
(Fall A) oder
(Fall B) sein kann. Die Forderung nach Abgeschlossenheit des Intervalls bedeutet, daß auch das
Integrationsintervall beschränkt sein soll.
Bei einer Verallgemeinerung des Begriffs bestimmtes Integral werden auch Funktionen zugelassen, die in einem
beliebigen zusammenhängenden Gebiet definiert sind, wie z.B. das offene oder halboffene Intervall, die
Zahlenhalbachse oder die ganze Zahlengerade, oder aber auch in einem Gebiet, das nur stückweise
zusammenhängend ist, d.h.überall, außer in endlich vielen Punkten. Integrale dieser verallgemeinerten Definition
gehören zu den uneigentlichen Integralen.
Variable obere Integrationsgrenze
1. Partikulärintegral: Wenn die obere Grenze des Integrals variabel gelassen wird (s. Abbildung mit der
), dann ist die Fläche eine Funktion der oberen Grenze des Integrals, das dann
Fläche
Partikulärintegral genannt wird.
In diesem Falle eines variablen Flächeninhalts spricht man von einer Flächenfunktion in der Form
(8.41)
Um Verwechslungen mit der variablen Integrationsgrenze
Integranden die Integrationsvariable mit
zu vermeiden, wird hier bei der Darstellung des
bezeichnet.
2. Differentiation des bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze: Ein bestimmtes Integral mit
variabler oberer Integrationsgrenze
ist eine stetige Funktion
dieser Integrationsgrenze,
d.h. die Stammfunktion des Integranden.
(8.42)
Die geometrische Bedeutung dieses Satzes besteht darin, daß die Ableitung einer variablen Fläche
der variablen Endordinate
ist (s. Abbildung):
gleich
Dabei sind sowohl die Fläche als auch die Ordinate gemäß Vorzeichenregel mit Vorzeichen zu nehmen.
Integration durch Reihenentwicklung
Wenn der Integrand
im Integrationsintervall
in eine gleichmäßig konvergente Reihe
(8.52)
entwickelt werden kann, dann läßt sich das Integral in der Form
(8.53)
schreiben. Auf diese Weise kann das bestimmte Integral als konvergente numerische Reihe dargestellt werden:
(8.54)
Im Falle leicht zu integrierender Funktionen
, wenn z.B.
in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, die im
Intervall
gleichmäßig konvergiert, kann das Integral
mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden.
Beispiel
Das Integral
ist mit einer Genauigkeit von
zu berechnen. Die Reihe
konvergiert gemäß dem Satz von ABEL in jedem beliebigen endlichen
Intervall gleichmäßig, so daß
gilt.
Damit folgt
.
Um bei der Berechnung des Integrals eine Genauigkeit von
zu erreichen, genügt es, in Übereinstimmung mit
dem Satz von LEIBNIZ über alternierende Reihen die ersten vier Glieder der Reihenentwicklung zu berechnen:
.
Bestimmte Integrale
●
●
●
●
●
Grundbegriffe, Regeln und Sätze
Anwendungen bestimmter Integrale
Uneigentliche Integrale, STIELTJES- und LEBESGUE-Integrale
Parameterintegrale
Integration durch Reihenentwicklung, spezielle
nichtelementare Funktionen
Umformung bestimmter Integrale
Durch geeignete Umformung können bestimmte Integrale in vielen Fällen mittels der Substitutionsregel und der
Methode der partiellen Integration berechnet werden.
Beispiel A
Einsatz der Substitutionsregel für
.
1. Substitutionsvariante:
. Es ergibt sich
.
.
2. Substitutionsvariante:
Es ergibt sich
.
Beispiel B
Methode der partiellen Integration:
.
Bestimmte Integrale
●
●
●
●
Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen
Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen
Integrale logarithmischer Funktionen
Integrale algebraischer Funktionen
Integrale algebraischer Funktionen
(21.64)
Mit
ist die Betafunktion oder das EULERsche Integral erster Gattung bezeichnet, mit
die Gammafunktion oder das EULERsche Integral zweiter Gattung.
(21.65)
(21.66)
(21.67)
(21.68)
Mit
ist die Gammafunktion bezeichnet (s. auch Tabelle Gammafunktion).
(21.69)
(21.70)
Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen
(zum Teil kombiniert mit algebraischen, trigonometrischen und logarithmischen Funktionen)
(21.42a)
(21.42b)
Mit
ist in dieser und in der nächsten Formel die Gammafunktion bezeichnet;
(s. auch Tabelle Gammafunktion).
(21.43a)
(21.43b)
(21.43c)
(21.44)
(21.45)
(21.46)
(21.47)
(21.48)
(21.49)
(21.50)
Mit
ist die EULERsche Konstante bezeichnet.
Integrale logarithmischer Funktionen
(kombiniert mit algebraischen und trigonometrischen Funktionen)
(21.51)
Mit
ist die EULERsche Konstante bezeichnet.
(21.52)
(21.53)
(21.54)
(21.55)
(21.56)
Mit
ist die Gammafunktion bezeichnet (s. auch Tabelle Gammafunktion).
(21.57)
(21.58)
(21.59)
(21.60)
(21.61)
(21.62)
(21.63)
Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel
1. Fläche unter der Kurve: Für
in
sei
. Dann läßt sich die Summe (8.36) als
Gesamtinhalt von Rechtecken deuten, durch die die Fläche unter der Kurve
angenähert wird.
Demzufolge ergibt der Grenzwert dieser Summe und damit das bestimmte Integral den Inhalt der Fläche
,
die von der Kurve
, der
-Achse und den Parallelen
und
zur
-Achse
begrenzt wird:
(8.40)
2. Vorzeichen- oder Flächenregel: Wenn die Funktion
im Integrationsintervall abschnittsweise
positiv oder negativ ist, dann nehmen die Teilintegrale über den betreffenden Teilintervallen, also auch die
Teilflächen, positive oder negative Werte an, so daß die Integration über das gesamte Intervall eine
Flächendifferenz liefert.
In der folgenden Abbildung, bestehend aus vier Teilabbildungen, sind vier Fälle mit unterschiedlichen Möglichkeiten
der Flächen-Vorzeichenbildung dargestellt:
Beispiel A
(lies Integral von
bis
)
,
Beispiel B
(lies Integral von
bis
.
)
Elliptische Integrale 1. Art
0
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
10
0,1745 0,1746 0,1746 0,1748 0,1749 0,1751 0,1752 0,1753 0,1754 0,1754
20
0,3491 0,3493 0,3499 0,3508 0,3520 0,3533 0,3545 0,3555 0,3561 0,3564
30
0,5236 0,5243 0,5263 0,5294 0,5334 0,5379 0,5422 0,5459 0,5484 0,5493
40
0,6981 0,6997 0,7043 0,7116 0,7213 0,7323 0,7436 0,7535 0,7604 0,7629
50
0,8727 0,8756 0,8842 0,8982 0,9173 0,9401 0,9647 0,9876 1,0044 1,0107
60
1,0472 1,0519 1,0660 1,0896 1,1226 1,1643 1,2126 1,2619 1,3014 1,3170
70
1,2217 1,2286 1,2495 1,2853 1,3372 1,4068 1,4944 1,5959 1,6918 1,7354
80
1,3963 1,4056 1,4344 1,4846 1,5597 1,6660 1,8125 2,0119 2,2653 2,4362
90
1,5708 1,5828 1,6200 1,6858 1,7868 1,9356 2,1565 2,5046 3,1534
Elliptische Integrale 2. Art
0
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
10
0,1745 0,1745 0,1744 0,1743 0,1742 0,1740 0,1739 0,1738 0,1737 0,1736
20
0,3491 0,3489 0,3483 0,3473 0,3462 0,3450 0,3438 0,3429 0,3422 0,3420
30
0,5236 0,5229 0,5209 0,5179 0,5141 0,5100 0,5061 0,5029 0,5007 0,5000
40
0,6981 0,6966 0,6921 0,6851 0,6763 0,6667 0,6575 0,6497 0,6446 0,6428
50
0,8727 0,8698 0,8614 0,8483 0,8317 0,8134 0,7954 0,7801 0,7697 0,7660
60
1,0472 1,0426 1,0290 1,0076 0,9801 0,9493 0,9184 0,8914 0,8728 0,8660
70
1,2217 1,2149 1,1949 1,1632 1,1221 1,0750 1,0266 0,9830 0,9514 0,9397
80
1,3963 1,3870 1,3597 1,3161 1,2590 1,1926 1,1225 1,0565 1,0054 0,9848
90
1,5708 1,5589 1,5238 1,4675 1,3931 1,3055 1,2111 1,1184 1,0401 1,0000
Elliptische Integrale
Für die vollständigen elliptischen Integrale gelten die folgenden Reihenentwicklungen:
(8.104)
(8.105)
Zahlenwerte sind in der Tabelle ,,Elliptische Integrale`` angegeben.
Elliptische Integrale
●
●
●
Elliptische Integrale 1. Art
Elliptische Integrale 2. Art
Vollständige elliptische Integrale
Vollständige elliptische Integrale
K
E
K
E
K
E
0
1,5708 1,5708
30
1,6858 1,4675
60
2,1565 1,2111
1
1,5709 1,5707
31
1,6941 1,4608
61
2,1842 1,2015
2
1,5713 1,5703
32
1,7028 1,4539
62
2,2132 1,1920
3
1,5719 1,5697
33
1,7119 1,4469
63
2,2435 1,1826
4
1,5727 1,5689
34
1,7214 1,4397
64
2,2754 1,1732
5
1,5738 1,5678
35
1,7312 1,4323
65
2,3088 1,1638
6
1,5751 1,5665
36
1,7415 1,4248
66
2,3439 1,1545
7
1,5767 1,5649
37
1,7522 1,4171
67
2,3809 1,1453
8
1,5785 1,5632
38
1,7633 1,4092
68
2,4198 1,1362
9
1,5805 1,5611
39
1,7748 1,4013
69
2,4610 1,1272
10
1,5828 1,5589
40
1,7868 1,3931
70
2,5046 1,1184
11
1,5854 1,5564
41
1,7992 1,3849
71
2,5507 1,1096
12
1,5882 1,5537
42
1,8122 1,3765
72
2,5998 1,1011
13
1,5913 1,5507
43
1,8256 1,3680
73
2,6521 1,0927
14
1,5946 1,5476
44
1,8396 1,3594
74
2,7081 1,0844
15
1,5981 1,5442
45
1,8541 1,3506
75
2,7681 1,0764
16
1,6020 1,5405
46
1,8691 1,3418
76
2,8327 1,0686
17
1,6061 1,5367
47
1,8848 1,3329
77
2,9026 1,0611
18
1,6105 1,5326
48
1,9011 1,3238
78
2,9786 1,0538
19
1,6151 1,5283
49
1,9180 1,3147
79
3,0617 1,0468
20
1,6200 1,5238
50
1,9356 1,3055
80
3,1534 1,0401
21
1,6252 1,5191
51
1,9539 1,2963
81
3,2553 1,0338
22
1,6307 1,5141
52
1,9729 1,2870
82
3,3699 1,0278
23
1,6365 1,5090
53
1,9927 1,2776
83
3,5004 1,0223
24
1,6426 1,5037
54
2,0133 1,2681
84
3,6519 1,0172
25
1,6490 1,4981
55
2,0347 1,2587
85
3,8317 1,0127
26
1,6557 1,4924
56
2,0571 1,2492
86
4,0528 1,0080
27
1,6627 1,4864
57
2,0804 1,2397
87
4,3387 1,0053
28
1,6701 1,4803
58
2,1047 1,2301
88
4,7427 1,0026
29
1,6777 1,4740
59
2,1300 1,2206
89
5,4349 1,0008
90
1,0000
Abschätzung des Integralwertes
Wenn die Funktion
für die
-Werte des Integrationsweges
mit der Länge
eine positive Zahl
nicht übertrifft, dann gilt
(14.36)
Bestimmtes komplexes Integral
Die Funktion
Kurve
sei stetig in einem Gebiet
wird zwischen den Punkten
(s. Abbildung).
und
, in dem eine Kurve
die Punkte
durch beliebige Teilpunkte
in
und
verbinden soll. Die
Teilbogen zerlegt
Auf jedem Teilbogenstück greift man einen Punkt
heraus und bildet
(14.32a)
Existiert der Grenzwert
(14.32b)
für
und
unabhängig von der Wahl der Zwischenpunkte
, dann wird durch diesen
Grenzwert das bestimmte komplexe Integral
(14.33)
längs der Kurve
zwischen den Punkten
und
, dem Integrationsweg definiert.
Die Schreibweise
den Punkten
bzw.
bedeutet, daß das bestimmte komplexe Integral längs der Kurve
und
zu berechnen ist. Häufig wird für denselben Sachverhalt die Schreibweise
verwendet.
zwischen
Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale
●
●
●
●
●
Vergleich mit dem Kurvenintegral 2. Art
Abschätzung des Integralwertes
Berechnung komplexer Integrale in Parameterdarstellung
Unabhängigkeit vom Integrationsweg
Komplexes Integral über einen geschlossenen Weg
Komplexes Integral über einen geschlossenen Weg
Wenn die Integration einer Funktion
, die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch ist, über
einen geschlossenen Integrationsweg
erfolgt, der dieses Gebiet begrenzt, dann ist der Wert des Integrals gemäß
dem Integralsatz von CAUCHY gleich Null:
(14.39)
Enthält dieses Gebiet singuläre Punkte, dann ist der Wert des Integrals mit Hilfe des Residuensatzes zu berechnen.
Beispiel
Für die Funktion
mit einem singulären Punkt bei
ergibt sich der Wert des
Integrals für den geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg (s. Abbildung) zu
.
Berechnung komplexer Integrale in Parameterdarstellung
Sind der Integrationsweg
(oder die Kurve
) in der Form
(14.37)
und die
-Werte für den Anfangs- und den Endpunkt als
und
gegeben, dann kann das komplexe bestimmte Integral
über zwei reelle Kurvenintegrale berechnet werden. Dazu wird der Integrand in Real- und Imaginärteil aufgespaltet, und man
erhält:
(14.38a)
mit
(14.38b)
Beispiel
.
Die Kurve
sei ein Kreis mit dem Radius
um den Punkt
:
.
Dann gilt für alle Punkte
der Kurve
:
.
Durch Einsetzen dieser Werte und Umformung nach der Formel von MOIVRE erhält man:
Unabhängigkeit vom Integrationsweg
Das Integral (14.33) einer Funktion einer komplexen Veränderlichen, die in einem einfach zusammenhängenden
Gebiet definiert ist und die zwei feste Punkte
und
miteinander verbindet, kann unabhängig vom
Integrationsweg sein. Notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß die Funktion in diesem Gebiet
analytisch ist, d.h., daß sie den CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen genügt. Dann gilt (14.35). Ein einfach
zusammenhängendes Gebiet besitzt eine einzige geschlossene, doppelpunktfreie Randkurve.
Unbestimmtes komplexes Integral
Ist das bestimmte Integral vom Integrationsweg unabhängig, so gilt
(14.34)
Dabei ist
eine im allgemeinen komplexe Integrationskonstante. Die Funktion
wird unbestimmtes
komplexes Integral genannt.
Die unbestimmten Integrale der elementaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden nach den gleichen
Formeln berechnet wie die Integrale der entsprechenden Elementarfunktionen einer reellen Veränderlichen.
Beispiel A
.
Beispiel B
.
Vergleich mit dem Kurvenintegral 2. Art
Das bestimmte komplexe Integral besitzt die gleichen Eigenschaften wie das Kurvenintegral 2. Art:
a)
Umkehrung der Richtung des Integrationesweges führt zur Vorzeichenänderung des Integrals.
b)
Bei Zerlegung des Integrationsweges in mehrere Teilabschnitte ist der Wert des gesamten Integrals gleich der
Summe der Integralwerte über die einzelnen Teilwege.
Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem komplexen Integral
Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten und unbestimmten komplexen Integral wird durch die Formel
(14.35)
vermittelt.
Integrale anderer transzendenter Funktionen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 426 bis 431
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 432 bis 439
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 440 bis 446
Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 447 bis 455
Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 456 bis 464
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 465 bis 471
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 472 bis 479
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 480 bis 487
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 488 bis 495
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 496 bis 503
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 504 bis 511
Integrale mit inversen Hyperbelfunktion, Nr. 512 bis 515
Integrale rationaler Funktionen
●
Integrale mit
, Nr. 1 bis 8
●
Integrale mit
, Nr. 9 bis 16
●
Integrale mit
, Nr. 17 bis 24
●
Integrale mit
, Nr. 25 bis 30
●
Integrale mit
, Nr. 31 bis 39
●
Integrale mit
, Nr. 40 bis 48
●
Integrale mit
, Nr. 49 bis 56
●
Integrale mit
, Nr. 57 bis 69
●
Integrale mit
, Nr. 70 bis 82
●
Integrale mit
, Nr. 83 bis 96
●
Integrale mit
, Nr.97 bis 100
●
Integrale mit
, Nr. 101 bis 104
●
Einige Fälle der Partialbruchzerlegung, Nr. 105 bis 108
Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 447 bis 455
Das bestimmte Integral
nennt man Integralexponentialfunktion und bezeichnet es mit
. Für
divergiert dieses Integral im Punkt
uneigentlichen Integrals.
Mit
ist die EULERsche Konstante bezeichnet.
; in diesem Falle versteht man unter
den Hauptwert des
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 426 bis 431
Integrale mit inversen Hyperbelfunktion, Nr. 512 bis 515
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 488 bis 495
Integration irrationaler Funktionen
●
●
●
●
Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen
Substitutionen zur Rückführung auf Integrale rationaler Ausdrücke, die trigonometrische und
Hyperbelfunktionen enthalten
Integration binomischer Integranden
Elliptische Integrale
Integrale irrationaler Funktionen
●
Integrale mit
und
, Nr. 109 bis 116
●
Andere Integrale mit
●
Integrale mit
, Nr. 121 bis 132
●
Integrale mit
, Nr. 133 bis 145
●
Integrale mit
und
●
Integrale mit
, Nr. 157 bis 163
●
Integrale mit
, Nr. 164 bis 170
, Nr. 117 bis 120
, Nr. 146 bis 156
●
Integrale mit
, Nr. 171 bis 177
●
Integrale mit
, Nr. 178 bis 184
●
Integrale mit
, Nr. 185 bis 191
●
Integrale mit
, Nr. 192 bis 198
●
Integrale mit
, Nr. 199 bis 205
●
Integrale mit
, Nr. 206 bis 212
●
Integrale mit
, Nr. 213 bis 219
●
Integrale mit
, Nr. 220 bis 226
●
Integrale mit
, Nr. 227 bis 233
●
Integrale mit
, Nr. 234 bis 240
●
Integrale mit
, Nr. 241 bis 246
●
Integrale mit
, Nr. 247 bis 254
●
Integrale mit
, Nr. 255 bis 260
●
Integrale mit
, Nr. 261 bis 267
●
●
Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken, Nr. 268 bis 272
Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential, Nr. 273
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 313 bis 320
Integrale mit Kotangensfunktion, Nr. 418 bis 425
Mit
sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 465 bis 471
Das bestimmte Integral
nennt man Integrallogarithmus und bezeichnet es mit
. Für
divergiert dieses Integral im Punkt
. In diesem Fall versteht man unter
den Hauptwert des
uneigentlichen Integrals.
Der Integrallogarithmus hängt mit der Integralexponentialfunktion zusammen:
.
Integration rationaler Funktionen
Integrale rationaler Funktionen können stets durch elementare Funktionen ausgedrückt werden.
●
●
●
Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome)
Integrale gebrochenrationaler Funktionen
Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung:
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 354 bis 360
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 274 bis 281
Unbestimmte Integrale
Hinweise zur Nutzung der Tabellen s. Punkt Integrale elementarer Funktionen.
●
●
●
●
Integrale rationaler Funktionen
Integrale irrationaler Funktionen
Integrale trigonometrischer Funktionen
Integrale anderer transzendenter Funktionen
Integrale mit Tangensfunktion, Nr. 409 bis 417
Mit
sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.
Integrale trigonometrischer Funktionen
(Integrale von Funktionen, die neben Hyperbel- und Exponentialfunktionen auch die Funktionen
enthalten sind in den Tabellen Integrale anderer transzendenter Funktionen aufgeführt.)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 274 bis 281
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 282 bis 289
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 290 bis 296
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 297 bis 304
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 305 bis 312
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 313 bis 320
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 321 bis 328
Integrale Kosinusfunktion, Nr. 329 bis 336
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 337 bis 344
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 345 bis 353
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 354 bis 360
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 361 bis 368
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 369 bis 376
und
●
●
●
●
●
●
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 377 bis 384
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 385 bis 391
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 392 bis 399
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 400 bis 408
Integrale mit Tangensfunktion, Nr. 409 bis 417
Integrale mit Kotangensfunktion, Nr. 418 bis 425
Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
Eigenschaft
Hauptsatz der Integralrechnung
Vertauschungsregel
Formel
Gleiche Integrationsgrenzen
Intervallregel
Unabhängigkeit von der Bezeichnung der Integrationsvariablen
Differentiation nach
variabler oberer Grenze
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Integralexponentialfunktion (
, für
als CAUCHYscher
Hauptwert)
(8.98a)
(8.98b)
Integralformeln von Cauchy
●
●
Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes
Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes
Integralsatz und Integralformel von Gauß
●
●
●
Integralsatz von Gauß
Integralformel von Gauß
Sektorformel
Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
●
●
●
●
Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe
Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze
Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
Fredholmsche Integralgleichung 1. Art
●
●
●
●
●
●
Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
Begriffe, analytische Grundlagen
Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art
Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern
Iteratives Verfahren
Definitionen
Unter einer Integralgleichung versteht man eine Gleichung, bei der eine zu bestimmende Funktion auch im
Integranden eines Integrals auftritt. Für die Behandlung von Integralgleichungen gibt es keine einheitliche
Vorgehensweise. Lösungsverhalten sowie Lösungsverfahren hängen von der speziellen Gestalt der Integralgleichung
ab.
Ist die gesuchte Funktion in allen Termen nur linear enthalten, dann spricht man von einer linearen Integralgleichung
. Die allgemeine Form einer linearen Integralgleichung lautet:
(11.1)
Die Funktion
ist zu bestimmen, die Funktion
heißt Kern der Integralgleichung und
Störfunktion . Diese Funktionen können auch komplexe Werte annehmen. Verschwindet die Funktion
betrachteten Bereich, d.h., ist
inhomogene . Die Größe
, dann ist es eine homogene Integralgleichung , andernfalls eine
ist ein im allgemeinen komplexwertiger Parameter .
ihre
in dem
Zwei Spezialfälle von (11.1) haben besondere Bedeutung. Sind die Integrationsgrenzen unabhängig von
und
konstante Größen, d.h.
, also
, dann handelt es sich um eine FREDHOLMsche
Integralgleichung:
(11.2a)
(11.2b)
Ist
und
, so spricht man von einer VOLTERRAschen Integralgleichung:
(11.2c)
(11.2d)
Kommt die zu ermittelnde Funktion
nur unter dem Integral vor, d.h. ist
, dann liegt eine
Integralgleichung 1. Art vor (11.2a, 11.2c). Eine Integralgleichung 2. Art ist durch
gekennzeichnet
(11.2b,11.2d).
Hinweis: In diesem Kapitel werden nur Integralgleichungen 1. und 2. Art vom FREDHOLMschen und VOLTERRAschen
Typ betrachtet sowie einige singuläre Intgralgleichungen.
Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
Wenn der Kern
einer Integralgleichung eine Summe endlich vieler Produkte zweier Funktionen ist, wobei
jeweils die eine Funktion nur von
und die andere nur von
Kern oder einem Produktkern .
●
●
●
●
Lösungsansatz im Falle von Produktkernen
Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
Diskussion der Lösung, Eigenwerte und Eigenfunktionen
Transponierte Integralgleichung
abhängt, so spricht man von einem ausgearteten
Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art
Die Lösung einer VOLTERRAschen Integralgleichung 2. Art kann mittels der NEUMANNschen Reihe dargestellt
werden. Liegt die Gleichung
(11.61)
vor, so wird formal gesetzt
(11.62a)
Damit ist (11.61) identisch mit der FREDHOLMschen Integralgleichung
(11.62b)
wobei auch
gelten kann. Die Lösung besitzt die Darstellung
(11.62c)
Die iterierten Kerne
sind durch die folgenden Gleichungen definiert:
(11.62d)
und allgemein:
(11.62e)
Für die iterierten Kerne gilt ebenfalls
für
. Falls eine Lösung von (11.61)
existiert, konvergiert die NEUMANNsche Reihe, im Gegensatz zum Fall einer FREDHOLMschen Integralgleichung, für
beliebige Parameter
Beispiel
stets gegen diese Lösung.
.
.
Ermittlung der Resolvente:
.
Die angegebene Reihe konvergiert bekanntlich für alle Parameter
Man erhält
,
speziell für
.
Spezieller Spline-Ansatz
Für eine spezielle Kernapproximation auf dem Integrationsintervall
wird
(11.32)
gewählt. Die Funktion
Null (s. Abbildung).
ist nur in dem Intervall
, dem sogenannten Träger , ungleich
Zur Bestimmung der Koeffizienten
in (11.31a) betrachte man
an den Stellen
. Dann gilt
(11.33)
und folglich
. Aus diesem Grund setzt man
Gleichung (11.31a) hat damit die Form
. Die
(11.34)
Die Lösung von (11.31c) hat bekanntlich die Darstellung
(11.35)
Der Ausdruck
ist dabei ein Polygonzug, der an der Stelle
den Wert
annimmt. Bei der Lösung von (11.31c) nach dem Verfahren für ausgeartete Kerne ergibt sich ein lineares
Gleichungssystem für die Zahlen
:
(11.36a)
Dabei ist
(11.36b)
Für die Integrale ergibt sich
(11.36c)
Die Zahlen
in (11.36a) sind festgelegt durch
(11.36d)
Werden die Zahlen
zur Matrix
aus (11.36a) zur Matrix
, die Werte
zusammengefaßt, und wird aus den Zahlen
Zahlen
der Vektor
zur Matrix
der Vektor
und die Werte
und aus den gesuchten
gebildet, dann hat das Gleichungsystem (11.36a) in Matrizenschreibweise die
Form
(11.36e)
Falls die Matrix
regulär ist, hat dieses System eine eindeutige Lösung
.
Tensorprodukt-Approximation
Eine häufig verwendete Näherung für den Kern ist die Tensorprodukt-Approximation der Form
(11.31a)
mit linear unabhängigen Funktionen
vorgegeben, und die Koeffizienten
bzw.
. Diese Funktionen werden
können so bestimmt werden, daß die Doppelsumme den Kern in einem
gewissen Sinne gut approximiert. Umformung von (11.31a) mit ausgeartetem Kern ergibt:
(11.31b)
Somit kann das unter Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen vorgestellte Verfahren zur Lösung der
Integralgleichung
(11.31c)
zur Anwendung kommen. Bei der Auswahl der Funktionen
beachtet werden, daß die Zahlen
von (11.31c) gering bleibt.
bzw.
sollte
in (11.31a) einfach zu bestimmen sind und der Rechenaufwand zur Behandlung
Kapitel 11:
Lineare Integralgleichungen
●
Einführung und Klassifikation
Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
Fredholmsche Integralgleichung 1. Art
Volterrasche Integralgleichungen
Singuläre Integralgleichungen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
Semidiskretes Problem
Zur Bearbeitung der Integralgleichung (11.23) wird das Integral durch einen Näherungsausdruck ersetzt. Derartige
Näherungen bezeichnet man als Quadraturformeln . Sie haben die Form
(11.24)
d.h., anstelle des Integrals steht eine Summe mit Zahlen
Die
sind dabei (unabhängig von
gewichteter Funktionswerte an den Stützstellen
.
) geeignet gewählt. Damit kann (11.23) näherungsweise geschrieben werden:
(11.25a)
Die Quadraturformel
hängt dabei noch von der Variablen
ab. Der Punkt im Argument der
Funktion deutet an, daß die Quadraturformel bezüglich der unabhängigen Variablen
angewendet worden ist. Man
geht über zur Gleichung
(11.25b)
Die Funktion
bildet eine Approximation für die exakte Lösung
semidiskretes Problem , da bezüglich der Variablen
Variable
zu diskreten Werten übergegangen wurde, während die
noch beliebig wählbar ist.
Wenn für eine Funktion
Stützstellen
. Man bezeichnet (11.25b) als ein
die Gleichung (11.25b) für alle
gilt, ist diese natürlich auch an den
erfüllt:
(11.25c)
Dies ist ein lineares Gleichungssystem, bestehend aus
Gleichungen für die
Unbekannten
. Durch
Einsetzen dieser Lösungswerte in (11.25b) ist die Lösung des semidiskreten Problems gegeben. Die Genauigkeit
und der Rechenaufwand dieses Verfahrens hängen von der Güte der Quadraturformel ab. Benutzt man z.B. die
linksseitige Rechteckformel mit äquidistanten Stützstellen
:
(11.26a)
so erhält das System (11.25c) unter Verwendung der Bezeichnungen
(11.26b)
die Form:
(11.26c)
Genau dieses System wurde schon bei der Untersuchung der FREDHOLMschen Lösungsmethode hergeleitet. Da die
linksseitige Rechteckformel aber nicht sehr genau ist, müssen für eine gute Approximation des Integrals eine große
Anzahl von Stützstellen einbezogen werden, wodurch die Dimension des Gleichungssystems wächst. Es empfielt
sich daher, geeignetere Quadraturformeln heranzuziehen.
Umwandlung durch Differentiation
Setzt man
und
als stetig voraus, dann kann die Integralgleichung 1. Art
(11.58a)
durch Differentiation nach dem Parameter
überführt werden in
(11.58b)
Ist
für alle
Integralgleichung 2. Art entsteht.
, dann ist die Division der Gleichung durch
möglich, wodurch eine
Volterrasche Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp
Besitzt der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung die spezielle Form
(11.63a)
dann können zur Lösung der Gleichungen
(11.63b)
bzw.
(11.63c)
die Eigenschaften der LAPLACE-Transformation genutzt werden. Falls die LAPLACE-Transformierten
und
existieren, dann lauten die
transformierten Probleme unter Beachtung des Faltungssatzes
(11.64a)
bzw.
(11.64b)
Daraus folgt sofort:
(11.64c)
bzw.
(11.64d)
Die Rücktransformation liefert die Lösung
des Ausgangsproblems. Durch Umformung des Ausdrucks für die
LAPLACE-Transformierte der Lösung der Integralgleichung 2. Art gemäß
(11.64e)
ergibt sich, falls der Ausdruck
(11.64f)
die Transformierte einer Funktion
ist, die Lösungsdarstellung
(11.64g)
Die Funktion
ist der lösende Kern der Integralgleichung.
Beispiel
.
, d.h.
Die Rücktransformation liefert
sich die Lösungsdarstellung
. Aus
.
folgt
. Nach (11.64g) ergibt
.
VOLTERRAsche Integralgleichungen
Die VOLTERRAsche Integralgleichung
(12.66)
mit stetigem Kern und stetiger rechter Seite kann man mit Hilfe des VOLTERRAschen Integraloperators
(12.67)
und
als das Fixpunktproblem
Fixpunktsatzes behandeln.
im Raum
unter Anwendung des
Lösung durch Differentiation
Für einige Klassen VOLTERRAscher Integralgleichungen gelingt es, durch Differentiation der Gleichung nach dem
Parameter
das Integral zu beseitigen bzw. geeignet zu substituieren. Wird die Stetigkeit von
und
sowie im Fall einer Integralgleichung 2. Art die Differenzierbarkeit von
vorausgesetzt, so ergibt die Differentiation von
(11.60a)
(11.60b)
nach dem Parameter
:
(11.60c)
(11.60d)
Beispiel
Gesucht ist eine Funktion
für
als Lösung von
(I).
Zweimaliges Ableiten nach
liefert
(IIa),
(IIb).
Das in der letzten Zeile auftretende Integral entspricht der linken Seite der Integralgleichung (I). Das ergibt
und, da
für
, also
.
setzt man in (IIa)
Zur Bestimmung der Konstanten
Lösung von (I) lautet:
. Somit ist
, und die
.
Hinweis: Ist der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung ein Polynom, so gelingt es mit der Methode der
der Grad
Differentiation immer, die Integralgleichung in eine lineare Differentialgleichung zu überführen. Ist dabei
der höchsten im Kern auftretenden
-Potenz, so erhält man durch
Differentialgleichung der Ordnung
im Falle einer Integralgleichung 1. Art bzw. der Ordnung
Integralgleichung 2. Art. Dabei wird vorausgesetzt, daß sowohl
differenzierbar sind.
Beispiel
-maliges Differenzieren nach
als auch
für eine
entsprechend oft
eine
.
Dreimaliges Differenzieren nach
ergibt
(II'a),
(II'b),
(II'c).
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet:
.
Setzt man in (II'a) bzw. (II'b)
ein, so erhält man
und somit
Die Lösung der Integralgleichung (I') ist also
.
.
Methode der Umwandlung
Eine VOLTERRAsche Integralgleichung 2. Art hat die Gestalt
(11.56)
Die Lösungsfunktion
halboffenen Intervall
ist für Argumente
aus dem abgeschlossenen Intervall
gesucht. Man kann folgende Aussage über die Lösung der VOLTERRAschen
Integralgleichung 2. Art treffen. Sind die Funktionen
und
bzw. aus dem
für
und
als stetig vorausgesetzt, dann existiert genau eine , für
auf dem Dreiecksbereich
stetige Lösung
der
Integralgleichung. Für diese Lösung gilt:
(11.57)
In vielen Fällen können VOLTERRAsche Integralgleichungen 1. Art in Integralgleichungen 2. Art überführt werden. Die
Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gelten dann in modifizierter Form.
Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen
2. Art
Gesucht ist die Lösung der Gleichung
(11.65)
für
aus dem Intervall
. Numerische Lösungsansätze bestehen darin, das Integral durch eine
Quadraturformel zu approximieren:
(11.66a)
Das Integrationsintervall und somit die Quadraturformel sind von
abhängig. Das wird durch den Index
von
zum Ausdruck gebracht. Man erhält als Näherungsausdruck für (11.65)
(11.66b)
Die Funktion
ist eine Näherung für die Lösung von (11.65). Die Anzahl und Lage der Stützstellen der
Quadraturformel ist von
abhängig, wodurch deren Wahl stark eingeschränkt ist. Ist
, so müssen
und insbesondere
eine Auswertung der rechten Seite von (11.66b) für
eine Stützstelle von
bekannt sein. Dies erfordert aber zuvor
, was einer Quadratur über dem Intervall
entspricht.
Aus diesem Grund ist die Verwendung der häufig bevorzugten GAUSSschen Quadraturformeln nicht möglich. Man löst das
und verwendet Quadraturformeln
Problem durch die Wahl von Stützstellen
mit Stützstellen
. Die Funktionswerte in den Stützstellen werden abkürzend bezeichnet
durch
Für
erhält man (vgl. Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen)
(11.66c)
und damit:
(11.66d)
Dabei hat
die Stützstellen
und
und folglich die Gestalt
(11.66e)
mit geeigneten Koeffizienten
und
. Setzt man dieses Verfahren fort, kann man die
nacheinander aus der
allgemeinen Beziehung
(11.66f)
bestimmen. Die Quadraturformeln
haben folgende Form:
(11.66g)
Damit lautet (11.66f):
(11.66h)
Die einfachste Quadraturformel ist die linksseitige Rechteckformel. Dabei ist
(11.66i)
Man erhält damit das System
(11.67a)
und allgemein
(11.67b)
Eine etwas genauere Approximation des Integrals gewährleistet die Trapezformel. Die Stützstellen seien zur Vereinfachung
äquidistant,
(11.67c)
Angewandt auf (11.66f) ergibt das
(11.67d)
(11.67e)
Die jeweils zu berechnende Größe kommt dabei auch auf der rechten Seite vor. Die Gleichungen sind aber leicht nach den
gesuchten Funktionswerten umzustellen.
Hinweis: Mit der angeführten Methode können auch nichtlineare Integralgleichungen näherungsweise gelöst werden. In
diesem Fall wird bei Anwendung der Trapezformel zur Bestimmung der
jedesmal die Lösung einer nichtlinearen
Gleichung erforderlich sein. Dies kann man umgehen, wenn man die Trapezformel nur auf das Intervall
anwendet und das Intervall
mit der linksseitigen Rechteckformel behandelt. Ist
Quadraturfehler die Lösung nicht sehr beeinflussen.
Beispiel
genügend klein, wird dieser
Die Integralgleichung soll nach der Vorschrift (11.66f) mit der linksseitigen Rechteckformel näherungsweise gelöst
werden. Als Stützstellen werden die äquidistanten Werte
zugrunde gelegt, d.h.
.
In der folgenden Tabelle sind zum Vergleich die Werte der exakten Lösung sowie der Näherungslösungen, die mittels
linksseitiger Rechteckformel und Trapezformel ermittelt wurden, aufgeführt. Die Berechnung erfolgte mit der Schrittweite
exakt
Rechteckformel
Trapezformel
0,2
2,0401
2,0602
2,0401
0,4
2,1621
2,2030
2,1620
0,6
2,3709
2,4342
2,3706
0,8
2,6749
2,7629
2,6743
1,0
3,0862
3,2025
3,0852
Umwandlung durch partielle Integration
Unter der Voraussetzung der Stetigkeit von
und
kann das Integral in (11.58a) mittels
partieller Integration ausgewertet werden. Mit der Substitution
(11.59a)
ergibt sich
(11.59b)
Ist
für
, dann führt die Division durch
auf die Integralgleichung 2. Art
(11.59c)
aus deren Lösung
durch Differentiation die Lösung
von (11.58a) ermittelt werden kann.
Zusammenhang mit Differentialgleichungen
Es führen relativ wenige physikalische oder mechanische Aufgabenstellungen direkt auf eine Integralgleichung.
Häufiger sind derartige Probleme mittels Differentialgleichungen beschreibbar. Die Bedeutung der
Integralgleichungen ist in erster Linie darin zu sehen, daß sich eine Reihe von Differentialgleichungen einschließlich
der zugehörigen Rand- und Anfangsbedingungen in eine Integralgleichung überführen lassen.
Beispiel
Aus der Anfangswertaufgabe
Integration in den Grenzen von
mit
bis
und
entsteht durch
die Integralgleichung
(11.3)
Die gesuchte Funktion
tritt hier sowohl auf der linken Seite der Gleichung als auch im Integranden auf. Die
Integralgleichung (11.3) ist linear, wenn die Funktion
die Form
hat, d.h., die zugrundeliegende Differentialgleichung ist ebenfalls linear.
Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen
●
●
●
●
●
●
Formulierung der Aufgabe
Existenz einer Lösung
Eigenschaften des Cauchy-Integrals
Hilbertsches Randwertproblem
Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
Lösung der charakteristischen Integralgleichung
Singuläre Integralgleichungen
Eine singuläre Integralgleichung liegt vor, wenn der Integrationsbereich des die Gleichung bestimmenden Integrals
unbeschränkt ist oder der Kern Singularitäten innerhalb des Integrationsbereiches besitzt. Es wird vorausgesetzt, daß
die auftretenden Integrale als uneigentliche Integrale oder als CAUCHY-sche Hauptwerte existieren. Singuläre
Integralgleichungen unterscheiden sich in Eigenschaften und Lösungsverhalten stark von ,,gewöhnlichen``
Integralgleichungen. In den folgenden Abschnitten werden nur einige spezielle Problemstellungen betrachtet.
Umfassendere Darstellungen s. Lit. 11.2, 11.9.
●
●
Abelsche Integralgleichung
Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen
Existenz einer Lösung
Die Gleichung
besitzt genau dann eine Lösung
homogenen transponierten Gleichung
, wenn für alle Lösungen
der
die Orthogonalitätsbedingung
(11.75a)
genau dann eine Lösung, wenn
erfüllt ist. Entsprechend besitzt die transponierte Gleichung
für alle Lösungen
der homogenen Gleichung
gilt:
(11.75b)
Integrallogarithmus (
, für
als CAUCHYscher Hauptwert)
(8.97)
Integralsätze
●
●
●
Integralsatz und Integralformel von Gauß
Integralsatz von Stokes
Integralsätze von Green
Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie
●
●
Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete
Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete
Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete
Wenn
einfach geschlossene Kurven derart sind, daß die Kurve
einschließt, aber die
ferner
in einem Gebiet
alle
sich nicht gegenseitig einschließen oder schneiden, und wenn
analytisch ist, das alle
und das Gebiet zwischen
und den
enthält,
d.h. mindestens in dem in der folgenden Abbildung schraffiert gezeichneten Gebiet, dann gilt
(14.41)
falls die Kurven
werden.
sämtlich im gleichen Sinne, z.B. gegen den Uhrzeigersinn, durchlaufen
Dieser Satz dient zur Berechnung von Integralen über geschlossene Kurven
Funktion
Beispiel
einschließen (s. auch Residuensatz).
, die auch singuläre Punkte der
Das Integral
ist zu berechnen, wobei
eine den Nullpunkt und den Punkt
umschließende Kurve sein soll (s. Abbildung).
Nach dem Integralsatz von CAUCHY kann man zunächst das Integral über
und
den Punkt
ersetzen,wobei
durch die Summe der Integrale über
ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius
mit dem Radius
und
ein Kreis um
sein soll. Der Integrand läßt sich durch Partialbruchzerlegung
vereinfachen, und man erhält
.
(Zur Integration vergleiche man das Beispiel zur Berechnung eines komplexen Integrals in Parameterdarstellung)
Integralsatz von Stokes
Der Integralsatz von STOKES liefert den Zusammenhang zwischen einem Oberflächenintegral über die gekrümmte und
orientierte Fläche
der Fläche
, in der das Vektorfeld
. Der Umlaufsinn von
definiert ist, und dem Umlaufintegral über die Umrandungskurve
wird so gewählt, daß der Umlaufsinn der Berandung des Oberflächenelements
mit der Flächennormalen eine Rechtsschraube bildet. Die vektorielle Feldfunktion
partielle Ableitungen 1. Ordnung.
sei stetig und besitze stetige
(13.120a)
Der vektorielle Fluß der Rotation durch eine Fläche
dem Umlaufintegral des vektoriellen Feldes
In kartesischen Koordinaten gilt:
, die von der geschlossenen Kurve
über die Kurve
.
umrandet wird, ist gleich
(13.120b)
Im ebenen Falle geht der Integralsatz von STOKES ebenso wie der von GAUSS in die Integralformel (13.118) von GAUSS
über.
Integralsinus
Integralsinus nennt man das Integral
das komplexe Integral
, mit der Kurve
. Untersucht wird in Analogie zum vorangegangenen Beispiel
gemäß der folgenden Abbildung.
Der Integrand des komplexen Integrals hat an der Stelle
einen Pol 1. Ordnung, so daß
, also
.
Führt man die Grenzübergänge
bezüglich
durch, wobei der Integrand des zweiten Integrals für
gleichmäßig gegen 1 konvergiert (d.h., der Grenzübergang
kann unter dem Integralzeichen
vollzogen werden), dann erhält man unter Beachtung des Lemma von JORDAN
,
also
(14.59)
Integralsinus (
)
(8.95)
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 321 bis 328
Das bestimmte Integral
nennt man Integralkosinus und bezeichnet es mit
Reihenentwicklung ergibt sich:
Mit
ist die EULERsche Konstante bezeichnet.
. Als
Kapitel 15:
Integraltransformationen
●
Begriff der Integraltransformation
Laplace-Transformation
Fourier-Transformation
Z-Transformation
Wavelet-Transformation
WALSH-Funktionen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
●
Anwendungen der Integraltransformationen
●
●
Prinzipielle Bedeutung
Schema der Operatorenmethode
Allgemeine Definition der Integraltransformationen
Unter einer Integraltransformation versteht man einen Zusammenhang zwischen zwei Funktionen
und
der Form
(15.1a)
Die Funktion
heißt Originalfunktion , ihr Definitionsbereich Originalbereich . Die Funktion
nennt man
Bildfunktion , ihren Definitionsbereich Bildbereich .
heißt der Kern der Transformation. Während es sich bei
Die Funktion
handelt, ist
eine komplexe Variable.
Eine abgekürzte Schreibweise erhält man durch Einführung des Symbols
Kern
um eine reelle Veränderliche
:
für die Integraltransformation mit dem
(15.1b)
Man spricht kurz von
-Transformation.
Begriff der Integraltransformation
●
●
●
●
●
●
●
Allgemeine Definition der Integraltransformationen
Spezielle Integraltransformationen
Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen
Umkehrtransformationen
Linearität der Integraltransformationen
Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
Anwendungen der Integraltransformationen
Linearität der Integraltransformationen
Sind
und
transformierbare Funktionen, dann gilt
(15.3)
wobei
und
beliebige Zahlen sein können. Das bedeutet, daß eine Integraltransformation eine lineare
Operation auf der Menge
der
-transformierbaren Funktionen darstellt.
Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen werden auch MehrfachIntegraltransformationen genannt (s. Lit. 15.16). Am verbreitetsten sind die zweifache LAPLACE-Transformation, d.h.
die LAPLACE-Transformation für eine Funktion von zwei Veränderlichen, die zweifache LAPLACE-CARSONTransformation und die zweifache FOURIER-Transformation. Mit dem Symbol
lautet die Definitionsgleichung
für die LAPLACE-Transformation
(15.4)
Spezielle Integraltransformationen
Für unterschiedliche Kerne
und unterschiedliche Definitionsbereiche erhält man unterschiedliche
Integraltransformationen. Die verbreitetsten sind die LAPLACE-Transformation, die LAPLACE-CARSON-Transformation
sowie die FOURIER-Transformation. In der Tabelle ist ein Überblick über Integraltransformationen von Funktionen
einer Veränderlichen gegeben. Hinzu kommen heute vor allem bei der Bilderkennung oder bei der Charakterisierung
von Signalen noch weitere Transformationen wie die Wavelet-Transformation, die GABOR-Transformation und die
WALSH-Transformation .
Umkehrtransformationen
In den Anwendungen ist die Rücktransformation einer Bildfunktion in die Originalfunktion von unmittelbarem
Interesse. Man spricht auch von Umkehrtransformation oder inverser Transformation . Bei Benutzung des Symbols
schreibt sich die Umkehrung der Integraltransformation (15.1a) gemäß
(15.2a)
Der Operator
heißt der zu
inverse Operator , so daß gilt:
(15.2b)
Die Bestimmung der Umkehrtransformation bedeutet, die Lösung der Integralgleichung (15.1a) zu suchen, in der die
Funktion
gegeben ist und die Funktion
gesucht wird. Wenn eine Lösung existiert, kann sie in der Form
(15.2c)
geschrieben werden. Die explizite Bestimmung der inversen Operatoren für die verschiedenen
Integraltransformationen, d.h. für verschiedene Kerne
, gehört zu den grundlegenden Problemen der
Theorie der Integraltransformationen. Der Anwender benutzt zur Lösung seiner Probleme vor allem die in
entsprechenden Tabellen angegebenen Korrespondenzen von zusammengehörigen Bild- und Originalfunktionen
(Tabellen LAPLACE-Transformationen, FOURIER-Transformationen und Z-Transformationen).
WALSH-Systeme
Analog zu den trigonometrischen Funktionen werden periodische Treppenfunktionen betrachtet. Man verwendet das
Intervall
als Periodenintervall und unterteilt es in
gleichlange Teilintervalle. Sei
periodischen Treppenfunktionen mit der Periode 1 über einer solchen Intervallteilung. Die zu
die Menge der
gehörenden
Treppenfunktionen kann man als Vektoren eines endlichdimensionalen Vektorraumes auffassen, denn jede Funktion
wird durch ihre Werte
in den Teilintervallen bestimmt und kann demzufolge als
Vektor aufgefaßt werden:
(15.158)
Die zu
gehörenden WALSH-Funktionen bilden mit einem geeigneten Skalarprodukt eine orthogonale Basis in
diesem Raum. Die Basisvektoren können auf verschiedene Weise numeriert werden, so daß man sehr viele WALSHSysteme erhält, die aber alle dieselben Funktionen enthalten. Es zeigt sich aber, daß drei Systeme zu bevorzugen
sind: WALSH- KRONECKER-Funktionen, WALSH- KACZMARZ-Funktionen und WALSH- PALEY-Funktionen.
In Analogie zur FOURIER-Transformation wird die WALSH- Transformation aufgebaut, wobei die Rolle der
trigonometrischen Funktionen von den WALSH-Funktionen übernommen wird. Man erhält z.B. WALSH-Reihen,
WALSH-Polynome, WALSH-Sinus- und WALSH-Kosinus-Transformationen, WALSH-Integrale, und analog zur
schnellen FOURIER-Transfornmation gibt es die schnelle WALSH-Transformation. Eine Einführung in Theorie und
Anwendung der WALSH-Funktionen s. Lit. 15.7.
Unbestimmte Integrale
Das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion
ist der allgemeine Ausdruck
(8.2)
Die Funktion
unter dem Integralzeichen
heißt Integrand ,
ist die Integrationsvariable ,
Integrationskonstante . Es ist auch üblich, vor allem in der Physik, das Differential
Integralzeichen und damit vor
zu setzen.
die
unmittelbar hinter dem
Planimeter und Integraphen
Planimeter sind Geräte zur Ermittlung des Flächeninhaltes beliebiger geschlossener ebener Kurven, also auch des
bestimmten Integrals einer Funktion
, die durch ihre Kurve gegeben ist. Spezielle Planimeter
ermöglichen nicht nur die Berechnung des Integrals
, sondern auch der Integrale
und
.
Integraphen sind Geräte, mit deren Hilfe das Kurvenbild einer Stammfunktion
werden kann, wenn das Kurvenbild einer vorgegebenen Funktion
gezeichnet
bekannt ist (s. Lit. 19.36).
Integrationsregeln
Eine allgemeine Regel für die Berechnung eines Integrals mit einem Integranden aus beliebigen elementaren
Funktionen kann nicht angegeben werden. Durch Üben kann man sich eine gewisse Routine im Integrieren
aneignen. Heute setzt man zur Berechnung von Integralen meist Computer ein und verwendet
Computeralgebrasysteme.
Die wichtigsten Integrationsregeln für unbestimmte Integrale, die anschließend erläutert werden, findet man
zusammengefaßt in der Tabelle Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Integrand mit konstantem Faktor
Integration einer Summe oder Differenz
Umformung des Integranden
Lineare Transformation im Argument
Logarithmische Integration
Substitutionsmethode
Partielle Integration
Nichtelementarer Integrale
Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale
Integration binomischer Integranden
Binomischer Integrand wird ein Ausdruck der Form
(8.18)
genannt, in dem
und
beliebige reelle Zahlen sind und
beliebige positive oder negative rationale
Zahlen. Der Satz von TSCHEBYSCHEFF besagt, daß das Integral
(8.19)
nur in den folgenden drei Fällen durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden kann:
1. Fall:
ist eine ganze Zahl Wenn
eine ganze Zahl ist, kann der Ausdruck
nach dem
binomischen Lehrsatz entwickelt werden, so daß der Integrand nach Auflösen der Klammern eine Summe von
Gliedern der Form
darstellt, die sich leicht integrieren lassen.
2. Fall:
ist eine ganze Zahl Wenn
, wobei
Substitution
eine ganze Zahl ist, kann das Integral (8.19) durch die
der Nenner des Bruches
ist, auf ein Integral einer rationalen
Funktion zurückgeführt werden.
3. Fall:
ist eine ganze Zahl Wenn
(8.19) durch die Substitution
einer rationalen Funktion zurückgeführt werden.
Beispiel A
, wobei
eine ganze Zahl ist, kann das Integral
der Nenner des Bruches
ist, auf ein Integral
, (Fall 2):
Substitution
.
Beispiel B
.
Da keine der 3 Bedingungen erfüllt ist, kann das Integral keine elementare Funktion sein.
Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen
Irrationale Funktionen können nicht immer elementar integriert werden. Die Tabelle enthält eine ganze Reihe von
Integralen irrationaler Funktionen. In den einfachsten Fällen lassen sie sich durch Substitutionen, wie sie in der
folgenden Tabelle aufgeführt sind, auf Integrale rationaler Funktionen zurückführen.
Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen I
Integral
Substitution
wobei
das kleinste gemeinsame Vielfache
der Zahlen
ist.
Eine der drei EULERschen Substitutionen :
1. Für
2. Für
3. Falls das Polynom
ver-
schiedene reelle Wurzeln besitzt:
Das Symbol
bezeichnet eine rationale Funktion in den Ausdrücken, vor denen
es steht. Die Zahlen
sind ganz.
Ist
und hat das Polynom
grand für keinen Wert von
von
komplexe Wurzeln, so ist der Inte-
definiert, da dann
für alle reellen Werte
imaginär wird. In diesem Falle ist ein Integrieren nicht von Interesse.
Das Integral
kann auf eine der drei Formen
(8.17a)
(8.17b)
(8.17c)
gebracht werden, da sich das quadratische Polynom
Quadrate darstellen läßt.
stets als Summe oder Differenz zweier
Beispiel A
mit
.
Beispiel B
mit
.
Beispiel C
mit
.
Substitutionen zur Rückführung auf Integrale rationaler Ausdrücke, die
trigonometrische und Hyperbelfunktionen enthalten
Die in der folgenden Tabelle angegebenen Substitutionen führen auf Integrale rationaler Ausdrücke, die
trigonometrische Funktionen oder Hyperbelfunktionen enthalten.
Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen II
Integral
Substitution
oder
oder
oder
Graphische Integration
Graphische Integration ist eine graphische Verfahrensweise, um die als Kurve
Funktion
zu integrieren, d.h. das Integral
angibt, graphisch zu berechnen.
(s. Abbildung) gegebene
, das die Größe der Fläche
1. Das Kurvenstück
wird durch die Punkte
(8.55a)
in
ist.
gleiche Teile eingeteilt, wobei das Ergebnis um so genauer ausfällt, je größer die Anzahl der Teilungspunkte
2. In den Teilungspunkten
(8.55b)
werden Lote bis zum Schnitt mit der Kurve errichtet. Die Ordinatenwerte der Strecken
werden auf der
-Achse abgetragen.
-Achse wird eine Strecke
3. Auf der negativen
verbunden.
wird mit den Punkten
4. Durch den Punkt
Teilungspunkt
von beliebiger Länge abgetragen, und der Punkt
wird die Strecke
parallel zu
bis zum Schnitt mit der zum
gehörigen Ordinate gelegt, durch den Punkt
bis zum Schnitt mit der zum Teilungspunkt
die Strecke
parallel zu
gehörigen Ordinate usw., bis die letzte Ordinate im Punkt
erreicht ist.
und
Zahlenmäßig ist das zu berechnende Integral gleich dem Produkt aus den Längen der Strecken
:
(8.56)
Mit Hilfe der beliebig wählbaren Strecke
werden die Ausmaße der Zeichnung bestimmt; je kleiner die
zulässigen Abmessungen der Zeichnung sind, desto größer ist
, und der Polygonzug
zu wählen. Für
ergibt sich
entspricht angenähert dem Kurvenbild
der Stammfunktion von
, d.h. dem unbestimmten Integral
.
Integration im Komplexen
●
●
●
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie
Integralformeln von Cauchy
Berechnung reeller Integrale durch Integration im
Komplexen
●
●
●
Anwendung der Cauchyschen Integralformeln
Anwendung des Residuensatzes
Anwendungen des Lemmas von Jordan
Zerlegung des Integrationsintervalls
Das Integrationsintervall
kann in Teilintervalle zerlegt werden. Der Wert des bestimmten Integrals über das
gesamte Intervall wird dann gemäß
(8.43)
berechnet ( Intervallregel ).
Besitzt der Integrand eine endliche Zahl von Sprungstellen, dann wird das Intervall durch sie in Teilintervalle
aufgespaltet, in denen die Funktion stetig ist. Das Gesamtintegral kann mittels der Zerlegungsformel aus den
Integralen über die Teilintervalle zusammengesetzt werden.
Integrand mit konstantem Faktor
Ein konstanter Faktor
im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden ( Faktorregel ):
(8.3)
Lineare Transformation im Argument
Ist
bekannt, z.B. aus einer Integraltafel, dann gilt für
(8.5a)
(8.5b)
(8.5c)
Beispiel A
,
Beispiel B
,
Beispiel C
.
Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale
Regel
Integrationskonstante
Integration und
Differentiation
Faktorregel
Formel für die Integration
(
const)
Summenregel
Partielle Integration
Substitutionsregel
Spezielle Form des
Integranden
Integration der
Umkehrfunktion
Logarithmische Integration
Wenn der Integrand ein Bruch ist, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das Integral gleich dem
Logarithmus des Nenners:
(8.6)
Beispiel
.
Numerische Integration
●
●
●
●
Allgemeine Quadraturformel
Interpolationsquadraturen
Quadraturformeln vom Gauß-Typ
Verfahren von Romberg
Partielle Integration
(8.8)
wobei
und
stetige Ableitungen besitzen müssen.
Beispiel
Das Integral
setzt, was auf
kann durch partielle Integration gelöst werden, indem man
und
führt:
.
und
Substitutionsmethode
Ist
bzw.
die Umkehrfunktion zu
, dann gilt
(8.7)
Beispiel A
. Substitution
, danach Partialbruchzerlegung:
.
Beispiel B
Substitution
.
Integration einer Summe oder Differenz
Das Integral einer Summe oder Differenz kann auf die Integrale der einzelnen Terme zurückgeführt werden ( Summenregel ):
(8.4)
Die Variablen
sind Funktionen von
.
Beispiel
.
Umformung des Integranden
Die Integration eines komplizierten Integranden läßt sich durch algebraische oder trigonometrische Umformung auf
einfachere Integrale zurückführen.
Beispiel
.
Substitution
Mit Hilfe der Universalsubstitution
(8.25)
läßt sich ein Integral der Form
(8.26)
auf ein Integral einer rationalen Funktion zurückführen, wobei mit
eine rationale Funktion des Ausdrucks bezeichnet ist, vor
dem es steht. In einzelnen Fällen können einfachere Substitutionen eingesetzt werden. Wenn der Integrand in (8.26) nur gerade
Potenzen der Funktionen
und
enthält, kann er durch die Substitution
Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden.
Beispiel
wesentlich einfacher auf ein
Integration unter dem Integralzeichen
Wenn die Funktion (8.90) im Intervall
definiert und die Funktion
im Rechteck
stetig ist, dann gilt
(8.94)
Man spricht in diesem Falle von Integration unter dem Integralzeichen .
Beispiel A
über dem Rechteck
Integration der Funktion
ist bei
unstetig, für
. Die Funktion
ist sie stetig. Daher kann die Integrationsreihenfolge
vertauscht werden. Links erhält man
gemäß
, rechts
. Das unbestimmte Integral kann nicht durch
elementare Funktionen ausgedrückt werden. Das bestimmte Integral ist allerdings bekannt, so daß sich
ergibt
Beispiel B
.
Integration der Funktion
Funktion ist im Punkt
über dem Rechteck
. Die
unstetig, so daß die Formel (8.94) nicht anwendbar ist. Die Probe ergibt
;
.
Weitere Sätze über Integrationsgrenzen
1. Unabhängigkeit von der Bezeichnung der Integrationsvariablen: Der Wert eines bestimmten Integrals
ist unabhängig von der Bezeichnung der Integrationsvariablen:
(8.44)
2. Gleiche Integrationsgrenzen: Der Wert des bestimmten Integrals ist Null, wenn die Integrationsgrenzen
gleich sind:
(8.45)
3. Vertauschung der Integrationsgrenzen: Eine Vertauschung der Integrationsgrenzen ändert das
Vorzeichen des Integralwertes ( Vertauschungsregel ):
(8.46)
Volumina
Siehe auch Zweite GULDINsche Regel.
1. Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers bei Drehung um die
-Achse (s. linke Abbildung):
(8.62a)
2. Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers bei Drehung um die
-Achse (s. rechte Abbildung):
(8.62b)
3. Volumen eines Körpers, wenn der Flächeninhalt seines senkrecht zur
Funktion
-Achse gelegten Querschnitts eine
ist (s. Abbildung):
(8.63)
Die Berechnung des Volumens komplizierterer Körper ist mit Hilfe des Doppelintegrals oder mit Hilfe des
Dreifachintegrals möglich.
Formeln zur Berechnung von Volumina mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind in der Tabelle
Anwendung von Doppelintegralen und in der Tabelle Anwendung von Dreifachintegralen angegeben.
Quadratische Integrierbarkeit
Eine Funktion
heißt quadratisch integrierbar im Intervall
, falls gilt:
(11.43)
Insbesondere ist jede in
stetige Funktion auch quadratisch integrierbar. Der Funktionenraum aller in
quadratisch integrierbaren Funktionen wird mit
bezeichnet.
Intermittenz
Gegeben sei ein stabiler periodischer Orbit von (17.53), der bei
der Multiplikatoren, die innerhalb des Einheitskreises lagen, den Wert
seine Stabilität verliert, indem genau einer
annimmt. Nach dem Satz über die
Zentrumsmannigfaltigkeit läßt sich die entsprechende Sattelknoten-Bifurkation der POINCARÉ-Abbildung durch eine
eindimensionale Abbildung in der Normalform
beschreiben. Dabei ist
von
ein Parameter, für den
in der folgenden Abbildung zu sehen.
mit
gilt. Für positives
ist der Graph
Wie die Abbildung zeigt, verweilen für
die Iterierten von
relativ lange in der Tunnelzone. Für die
Differentialgleichung (17.53) bedeutet dies, daß die entsprechenden Orbits relativ lange in der Umgebung des
ursprünglichen periodischen Orbits bleiben. In dieser Zeit ist das Verhalten von (17.54) nahezu periodisch ( laminare
Phase ). Ist die Tunnelzone durchlaufen, entflieht der betrachtete Orbit, was zu irregulären Bewegungen führt (
turbulente Phase ). Nach einem gewissen Zeitraum wird der Orbit eingefangen und erneut eine laminare Phase
eingeleitet. Ein seltsamer Attraktor entsteht in der beschriebenen Situation dann, wenn der periodische Orbit
verschwindet und seine Stabilität an die chaotische Menge vererbt. Die Sattelknoten-Bifurkation ist nur eine der
generischen lokalen Bifurkationen, die im Intermittenz-Szenario eine Rolle spielen. Zwei weitere sind die
Periodenverdopplung und die Abspaltung eines Torus.
Polynominterpolation
Die Grundaufgabe der Interpolation besteht darin, durch eine Reihe von Punkten
eine geeignete Kurve hindurchzulegen. Graphisch geschieht das mit Hilfe eines Kurvenlineals, rechnerisch mit Hilfe
einer Funktion
, die an den Stellen
Funktionswerte annimmt, d.h.,
, den sogenannten Stützstellen , die gegebenen Werte
als
erfüllt die Interpolationsbedingung
(19.156)
Als Interpolationsfunktionen sind in erster Linie Polynome gebräuchlich bzw. bei periodischen Funktionen sogenannte
trigonometrische Polynome. Im letzteren Fall spricht man von trigonometrischer Interpolation. Werden
Stützstellen benutzt, so heißt
die Ordnung der Interpolation, und der Grad des Interpolationspolynoms ist dann
. Da mit zunehmendem Polynomgrad die Interpolationspolynome starke Oszillationen aufweisen,
höchstens gleich
die in der Regel unerwünscht sind, zerlegt man zweckmäßigerweise das Interpolationsintervall in Teilintervalle und
geht zur Spline-Interpolation über.
●
●
●
Newtonsche Interpolationsformel
Interpolationsformel nach Lagrange
Interpolation nach Aitken-Neville
Interpolationsformel nach Lagrange
Um durch
Punkte
ein Polynom vom Grade
hindurchzulegen, kann
man nach LAGRANGE den folgenden Ansatz benutzen:
(19.158)
Dabei werden mit
die LAGRANGEschen Grundpolynome bezeichnet. Der Ansatz
(19.158) erfüllt die Interpolationsbedingung (19.156), wenn gilt:
(19.159)
Dabei ist
das KRONECKER-Symbol. Aus der Bedingung (19.159) und der Forderung, daß die LAGRANGEschen
Grundpolynome vom Grad
sein sollen, ergibt sich die Darstellung
(19.160)
Beispiel
Die durch die Wertetabelle
x 0 1 3
y 1 3 2
gegebenen Punkte sollen mit Hilfe der LAGRANGEschen Interpolationsformel (19.158) interpoliert werden.
Man erhält:
Das LAGRANGEsche Interpolationspolynom hängt explizit und zwar linear von den gegebenen
Funktionswerten
ab. Das ist für theoretische Überlegungen von Bedeutung
(s. z.B. Verfahren von ADAMS-BASHFORTH). Für praktische Rechnungen ist die LAGRANGEsche
Interpolationsformel weniger geeignet.
Newtonsche Interpolationsformel
Zur Lösung der Interpolationsaufgabe (19.156) wird ein Polynom vom Grade
in der folgenden Form angesetzt:
(19.157)
Dieser Ansatz, auch NEWTONsche Interpolationsformel genannt, ermöglicht die einfache Berechnung der
Koeffizienten
lineares Gleichungssystem führt.
Beispiel
, da die Interpolationsbedingung (19.156) unmittelbar auf ein gestaffeltes
Für
erhält man aus (19.156) das folgende Gleichungssystem:
Das Interpolationspolynom
ist durch die Interpolationsbedingung (19.156) eindeutig bestimmt.
Die Berechnung von Funktionswerten kann in einfacher Weise mit Hilfe des HORNER- Schemas erfolgen.
Interpolationsquadraturen
Die folgenden Formeln stellen sogenannte Interpolationsquadraturen dar. Dabei wird der Integrand
einiger (möglichst weniger) Stützstellen durch ein Polynom
Integral über
wird durch das über
bezüglich
entsprechenden Grades interpoliert, und das
ersetzt. Die Formel für das Integral über das gesamte
Integrationsintervall ergibt sich dann durch Summation. Im folgenden werden nur die praktisch wichtigsten Formeln
für den Fall angegeben, daß die Stützstellen gleichabständig sind:
(19.72)
Zu jeder Quadraturformel wird eine obere Schranke für den Fehlerbetrag
eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für
angegeben. Dabei bedeutet
.
●
●
●
●
Rechteckformel
Trapezformel
Hermitesche Trapezformel
Simpson-Formel
Interpolationssplines
●
●
Definition der kubischen Interpolationssplines
Bestimmung der Spline-Koeffizienten
Bikubische Interpolationssplines
●
●
Eigenschaften
Tensorprodukt-Ansätze
Zahlenintervall
Eine zusammenhängende Menge reeller Zahlen mit den Endpunkten
und
gleich
und
, wobei
gesetzt werden kann, wird Zahlenintervall mit den Endpunkten
ist und
und
gleich
genannt. Wenn
der Endpunkt nicht selbst zum Intervall gehört, spricht man vom offenen Intervallende , im entgegengesetzten Falle
vom abgeschlossenen Intervallende .
und , indem diese in Klammern gesetzt
Die Angabe eines Zahlenintervalls erfolgt durch seine Endpunkte
werden. Eine eckige Klammer steht für ein geschlossenes Intervallende, eine runde für ein offenes. Es wird zwischen
beiderseits offenen Intervallen
, halboffenen Intervallen
bzw.
unterschieden. Für offene Intervalle findet man auch die Bezeichnung
an Stelle von
und abgeschlossenen Intervallen
an Stelle von
, analog
. In der graphischen Darstellung werden die Endpunkte eines offenen Intervalls durch
volle Pfeilspitzen, die eines abgeschlossenen Intervalls durch Punkte gekennzeichnet.
Übereinanderlegen von Flächen bei Verbiegung
Wenn eine Fläche ohne Zerrung oder Einschnitt verbogen wird, ändert sich ihre Gleichung, aber ihre Metrik bleibt
erhalten. Mit anderen Worten, die erste quadratische Fundamentalform ist bei solchen reinen Verbiegungen eine
Invariante. Daher können zwei unterschiedliche Flächen mit gleicher erster quadratischer Fundamentalform
aufeinander abgewickelt werden.
Invariante einer Kurve zweiter Ordnung
Invariante einer Kurve zweiter Ordnung sind die drei Größen
(3.351b)
Bei Drehungen des Koordinatensystems bleiben sie erhalten, d.h., wenn nach einer Koordinatentransformation die
Kurvengleichung die Form
(3.351c)
hat, dann liefert die Berechnung dieser drei Größen
Werte.
und
aus den neuen Konstanten die ursprünglichen
Geometrische Deutung
Die Realisierung der Rauminversion kann man sich in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem
geometrisch betrachtet, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, in zwei Schritten vorstellen:
1. Durch Spiegelung an einer Koordinatenebene, z.B. der
in das
-Ebene, geht das
-Koordinatensystem
-Koordinatensystem über.Ein rechtshändig orientiertes System wird dabei in ein linkshändig
orientiertes überführt.
2. Durch eine
-Drehung des
-Systems um die
Koordinatenursprung gespiegelte Koordinatensystem
-Achse entsteht das vollständig am
Es behält im Vergleich zum 1. Schritt seine
Linkshändigkeit bei.
Ergebnis: Bei Rauminversion ändert ein polarer Vektor seine Orientierung im Raum um
behält seinen Drehsinn bei.
, ein axialer Vektor
Unterabschnitte
●
●
Begriff der Rauminversion:
Transformationsmatrix:
Tensorverhalten bei Rauminversion
Begriff der Rauminversion:
Unter Koordinateninversion oder Rauminversion versteht man die Spiegelung der Ortskoordinaten von Raumpunkten
am Koordinatenursprung. In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem bedeutet Rauminversion eine
Umkehr der Vorzeichen der Koordinatenachsen:
(4.98)
Dadurch wird ein rechtshändiges in ein linkshändiges Koordinatensystem überführt. Analoges gilt für andere
Koordinatensysteme. In Kugelkoordinaten ergibt sich:
(4.99)
Bei Spiegelungen dieser Art bleiben die Längen von Vektoren und die Winkel zwischen ihnen unverändert. Der
Übergang wird durch eine lineare Transformation vermittelt.
Transformationsmatrix:
Die Transformationsmatrix
einer linearen Transformation im dreidimensionalen Raum gemäß (4.65)
hat bei Rauminversion die folgenden Eigenschaften:
(4.100a)
Für die Komponenten eines Tensors
-ter Stufe folgt damit aus (4.68)
(4.100b)
Das bedeutet: Unter einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung bleibt ein Tensor 0. Stufe, also ein Skalar,
ungeändert, ein Tensor 1. Stufe, also ein Vektor, ändert sein Vorzeichen, ein Tensor 2. Stufe bleibt ungeändert, usw.
Inzidenzmatrix
Für einen ungerichteten Graphen
wird die Matrix
vom Typ
mit
und
mit
(5.234)
Inzidenzmatrix genannt.
Für einen gerichteten Graphen
die Inzidenzmatrix
die durch
mit
und
ist
(5.235)
definierte Matrix vom Typ
Irrationale und transzendente Zahlen
1. Menge der irrationalen Zahlen: Für die Analysis reicht die Menge der rationalen Zahlen nicht aus.
Obgleich sie überall dicht ist, füllt sie nicht die gesamte Zahlengerade aus. Wenn man z.B. die Diagonale
des Einheitsquadrats um
keine rationale Koordinate.
dreht, so daß
in den Punkt
der Zahlengeraden übergeht, dann hat
Erst die Einführung der irrationalen Zahlen ermöglicht es, jedem Punkt der Zahlengeraden eine Zahl
zuzuordnen.
In den Lehrbüchern der Analysis wird eine exakte Definition der irrationalen Zahlen gegeben, z.B. durch
Intervallschachtelung. Für die Anschauung genügt die Feststellung, daß die irrationalen Zahlen auf der
Zahlengeraden die Punkte einnehmen, die als Lücken zwischen den rationalen Zahlen vorhanden sind, und
daß jede irrationale Zahl durch einen nichtperiodischen unendlichen Dezimalbruch dargestellt werden kann.
2. Algebraische Irrationalitäten: Zu den irrationalen Zahlen gehören insbesondere die nicht ganzzahligen
reellen Wurzeln der algebraischen Gleichungen der Form
mit
, ganz und ganzzahligen Koeffizienten. Ein Beispiel ist die Gleichung
Man nennt
solche Wurzeln algebraische Irrationalitäten . Einfachste Beispiele für algebraische Irrationalitäten sind reelle
Wurzeln der Gleichungen
also Zahlen der Form
wenn sie nicht rational sind.
Beispiel
sind algebraische Irrationalitäten.
3. Transzendente Zahlen: Irrationale Zahlen, die keine algebraischen Irrationalitäten sind, nennt man
transzendent .
Beispiel
.
Die dekadischen Logarithmen der ganzen Zahlen mit Ausnahme von Zahlen der Form
sowie
die meisten Werte der trigonometrischen Funktionen eines Winkels sind transzendente Zahlen.
Chi-Quadrat-Test
Es ist zu prüfen, ob eine Zufallsgröße
einer Normalverteilung genügt. Daher wird der Wertebereich von
Klassen eingeteilt und die obere Grenze der
,,theoretische`` Wahrscheinlichkeit, daß
-ten Klasse
in die
-te Klasse fällt, sei
mit
in
bezeichnet. Die
, d.h., es gilt
(16.117a)
wobei
die Verteilungsfunktion von
). Da
ist (
ist die untere Grenze der 1. Klasse mit
normalverteilt sein soll, muß
(16.117b)
sein. Mit
und
ist die Verteilungsfunktion der normierten GAUSSschen Normalverteilung bezeichnet. Die Parameter
der Grundgesamtheit sind in der Regel nicht bekannt. Deshalb werden
und
als Näherungswerte
einer Stichprobe verwendet.
) vom Umfang
Wurde der Grundgesamtheit eine Stichprobe (
Häufigkeit
entnommen und deren
bezüglich der oben festgelegten Klasseneinteilung ermittelt, dann genügt die Zufallsgröße
(16.117c)
näherungsweise einer
-Verteilung mit
Freiheitsgraden. Dazu ist notwendig, daß
gilt,
was durch Zusammenfassen einiger Klassen erreicht werden kann.
Die Prüfung auf Normalverteilung (man spricht auch von
Vorgabe einer statistischen Sicherheit
-Verteilung entnimmt, für das
-Anpassungstest ) besteht darin, daß man nach
oder Irrtumswahrscheinlichkeit
das Quantil
der Tabelle
gilt. Ergibt sich für den nach (16.117c) ermittelten
speziellen Wert
(16.117d)
dann besteht kein Widerspruch zu der Annahme, daß die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit stammt, die
normalverteilt ist.
Beispiel
Dem folgenden
-Test liegen die Zahlenwerte einer Stichprobe mit einem Umfang von
Messungen zu Grunde aus der der Mittelwert
und die Streuung
worden sind. Diese Werte werden als Schätzwerte für die unbekannten Parameter
Grundgesamtheit verwendet. Damit kann die Testgröße
und
der
gemäß (16.117c) unter Beachtung von (16.117a)
und (16.117b), wie in der folgenden, Tabelle dargestellt, ermittelt werden.
Tabelle Beispiel zum
ermittelt
-Test
15
Aus der letzten Spalte folgt
Klassen von
auf
beiden Schätzwerte
und
. Wegen der Forderung
. Da zur Berechnung der theoretischen Häufigkeit
der Stichprobe an Stelle von
und
werden, verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade der betreffenden
muß als kritischer Wert das Quantil
Tabelle
-Verteilung
reduziert sich die Anzahl der
verwendet werden. Für
, so daß wegen
besteht, daß die Grundgesamtheit normalverteilt ist.
die
der Grundgesamtheit verwendet
-Verteilung um weitere zwei. Damit
erhält man aus der
kein Widerspruch zu der Annahme
Isometrische Räume
Existiert für zwei metrische Räume
und
eine bijektive Abbildung
mit der
Eigenschaft
(12.75)
dann heißen die Räume
und
isometrisch und
eine Isometrie .
Isomorphe Vektorräume
Eine bijektive lineare Abbildung
heißt Isomorphismus der Vektorräume
nennt man im Falle der Existenz eines Isomorphismus isomorph.
und
. Die Räume
Iterationsverfahren
Das allgemeine Prinzip der iterativen Methoden zur genäherten Lösung von Gleichungen besteht darin, ausgehend
von bekannten Näherungswerten
für eine Lösung, schrittweise, also durch Iteration , eine
Folge von weiteren Näherungswerten zu erzeugen, die möglichst schnell gegen die betreffende Lösung der
gegebenen Gleichung konvergiert.
●
●
●
Gewöhnliches Iterationsverfahren
Newton-Verfahren
Regula falsi
Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Das gegebene lineare
-Gleichungssystem
(12.60a)
geht durch Umformung (s. Lineare Gleichungssysteme) gemäß (19.26)in das äquivalente Gleichungssystem
(12.60b)
über. Dieses läßt sich mit dem Operator
, definiert durch
(12.61)
in das Fixpunktproblem
(12.62)
überführen, das im metrischen Raum
Metrik (12.43) oder der Metrik
, versehen mit einer geeigneten Metrik, der euklidischen (12.42), der
(vgl. mit (12.45)), betrachtet wird. Ist eine der Zahlen
(12.63)
kleiner als 1, dann erweist sich
als kontrahierender Operator und besitzt genau einen Fixpunkt (s. BANACHscher
Fixpunktsatz), der der komponentenweise Grenzwert der Iterationsfolge mit beliebigem Startpunkt aus
ist.
Gewöhnliches Iterationsverfahren
Zur Lösung einer Gleichung, die auf die Fixpunktform
gebracht worden ist, verwendet man die
naheliegende Iterationsvorschrift
(19.3)
die als gewöhnliches Iterationsverfahren bezeichnet wird. Es konvergiert gegen eine Lösung
Umgebung von
, wenn es eine
(s. Abbildung) mit
(19.4)
gibt und die Ausgangsnäherung
in dieser Umgebung liegt.
Ist
differenzierbar, dann lautet die entsprechende Bedingung
(19.5)
Die Konvergenz des gewöhnlichen Iterationsverfahrens ist um so besser, je kleiner die Zahl
Beispiel
ist.
, d.h.
.
Hinweise:
1. Im Falle komplexer Lösungen setzt man
. Durch Trennung von Real- und Imaginärteil geht die zu
und
über.
lösende Gleichung in ein System zweier Gleichungen für die reellen Unbekannten
2. Die iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme wird in Abschnitt Nichtlineare Gleichungen behandelt.
Relaxationsverfahren
Die Iterationsvorschrift des GAUSS-SEIDEL-Verfahrens (19.51) läßt sich auch in der sogenannten Korrekturform
(19.52)
schreiben. Durch geeignete Wahl eines Relaxationsparameters
, so daß (19.52) in
(19.53)
übergeht, kann man versuchen, die Konvergenzeigenschaften des Einzelschrittverfahrens zu verbessern. Es läßt
sich zeigen, daß Konvergenz nur für
(19.54)
möglich ist. Für
erhält man das Einzelschrittverfahren. Im Fall
zugehörigen Iterationsverfahren werden als SOR-Verfahren (
uccessive
spricht man von Überrelaxation, die
ver
elaxation) bezeichnet. Die
Bestimmung optimaler Relaxationsparameter ist nur für einige spezielle Matrizentypen explizit möglich.
Die Anwendung iterativer Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist vor allem angebracht, wenn die
Hauptdiagonalelemente
der Koeffizientenmatrix gegenüber den übrigen Elementen
betragsmäßig stark überwiegen oder wenn durch Umstellung oder geeignete Kombination der einzelnen Gleichungen
eine solche Anordnung erreicht werden kann.
Kante
Eine Figur, die aus zwei, einer Geraden entspringenden Halbebenen gebildet wird, heißt Kante oder Zweiflach .
Im täglichen Sprachgebrauch versteht man im Unterschied zu dieser Definition unter einer Kante die Schnittgerade
zweier Halbebenen. Als Kantenmaß dient der ebene Kantenwinkel
den zwei im Innern der Ebenen
senkrecht auf die Schnittgerade
in den Punkt
gefällte Lote miteinander bilden.
Kantenfolgen
In einem ungerichteten Graphen
von Elementen aus
Ist
wird jede Folge
eine Kantenfolge der Länge
dann spricht man von einer geschlossenen Kantenfolge oder einem Kreis , anderenfalls von einer
offenen Kantenfolge . Eine Kantenfolge
heißt Weg , wenn
Ein geschlossener Weg ist ein Elementarkreis .
Beispiel
genannt.
paarweise verschiedene Knoten sind.
Im Graphen der nebenstehenden Abbildung ist
eine offene Kantenfolge der Länge 5,
eine geschlossene Kantenfolge der Länge 5,
ein Kantenzug,
ein Weg.
Ein Elementarkreis wird durch
dargestellt.
Kardioide
Die Kardioide kann auf zweierlei Weise definiert werden:
1. als Spezialfall der PASCALschen Schnecke mit
(2.226)
wobei
der Durchmesser des Kreises ist und
2. als Epizykloide mit gleich großem Durchmesser
des festen und des beweglichen Kreises.
Die Gleichung lautet in kartesischen Koordinaten, in Parameterform sowie in Polarkoordinaten:
(2.227a)
(2.227b)
(2.227c)
Der Koordinatenursprung ist ein Rückkehrpunkt. Der Scheitel
liegt bei
; Maximum
und Minimum
liegen bei
mit den Koordinaten
Der Flächeninhalt beträgt
Kurvenlänge ist
d.h. die sechsfache Fläche des Kreises mit dem Durchmesser
Die
Kartesisches Blatt
Die Gleichung
(2.217a)
oder in Parameterform
(2.217b)
ergibt graphisch dargestellt das kartesische Blatt .
Der Koordinatenursprung ist infolge zweier ihn durchlaufender Kurvenzweige ein Doppelpunkt, in dem beide
Koordinatenachsen Tangenten sind. Der Krümmungsradius ist für beide Kurvenzweige im Koordinatenursprung
Die Asymptote berechnet sich aus
Der Flächeninhalt der Schleife ist
den gleichen Wert.
der Scheitelpunkt
der Flächeninhalt
hat die Koordinaten
zwischen der Kurve und der Asymptote hat
Kaskade von Periodenverdopplungen
Analog zur logistischen Gleichung (17.70) kann es auch in zeitkontinuierlichen Systemen zu einer Kaskade von
Periodenverdopplungen nach folgendem Szenario kommen. Das System (17.53) besitzt für
periodischen Orbit
Orbit
für
Periode ab. Bei
stabiler Orbit
. Bei
findet nahe
den stabilen
eine Periodenverdopplung statt, bei der der periodische
seine Stabilität verliert. Von ihm spaltet sich ein periodischer Orbit
findet erneut eine Periodenverdopplung statt, wobei
mit etwa doppelter
seine Stabilität verliert und ein
mit nahezu doppelter Periode entsteht. Für wichtige Klassen von Systemen(17.53) setzt sich
dieser Prozeß der Periodenverdopplung fort, so daß eine Folge von Parameterwerten
entsteht. Numerische
Berechnungen für bestimmte Differentialgleichungen (17.53) (z.B. bei hydrodynamischen Differentialgleichungen wie
dem LORENZ-System) belegen die Existenz des Grenzwertes
FEIGENBAUM-Konstante ist. Bei
, wobei
die
verliert der Zyklus mit unendlicher Periode seine Stabilität, und es
kommt zur Bildung eines seltsamen Attraktors.
Der geometrische Hintergrund der Entstehung dieses seltsamen Attraktors in (17.53) durch eine Kaskade von
Periodenverdopplungen ist in der folgenden Abbildung zu sehen.
Der POINCARÉ-Schnitt zeigt dabei näherungsweise eine Bäcker-Abbildung, die auf die Entstehung einer CANTORMengen-ähnliche Struktur hindeutet.
Geordnete normierte Räume
●
●
Kegel im normierten Raum
Normierte Vektorverbände und Banach-Verbände
Kegel
Liegt die Spitze im Koordinatenursprung (linke Abbildung), dann gilt:
(3.410)
Als Leitkurve kommt eine Ellipse mit den Halbachsen
einer Entfernung
der Gleichung
und
in Betracht, deren Ebene senkrecht zur
-Achse in
vom Koordinatenursprung liegt. Der Kegel kann in dieser Darstellung als Asymptotenkegel mit
(3.411)
aufgefaßt werden, dessen Erzeugende sich beiden Hyperboloiden im Unendlichen unbegrenzt nähert (rechte
Abbildung). Für
ergibt sich ein gerader Kreiskegel.
Kegel
Eine nichtleere Teilmenge
eines (reellen) Vektorraums
folgenden Bedingungen genügt:
nennt man einen (konvexen) Kegel , wenn sie den
1.
ist eine konvexe Menge.
2.
Aus
und
Aus
und
folgt
.
3.
folgt
.
Ein Kegel ist auch durch 3. zusammen mit
(12.16)
charakterisiert.
Beispiel A
Die Menge
aller Vektoren
mit nichtnegativen Komponenten ist ein Kegel in
.
Beispiel B
Die Menge
Raum
aller reellen stetigen Funktionen auf
mit nichtnegativen Werten ist ein Kegel im
.
Beispiel C
Die Menge aller reellen Zahlenfolgen
mit nichtnegativen Gliedern (also
) ist ein
Kegel in . Analog ergeben sich Kegel in den Vektorräumen der Beispiele C bis G, wenn man jeweils die
Menge der nichtnegativen Folgen in diesen Räumen betrachtet.
Beispiel D
Die Menge
, bestehend aus allen Folgen
, für die
(12.17)
gilt, ist eine konvexe Menge in
, die offenbar kein Kegel ist.
Beispiel E
zeigt die folgende Abbildung: Links konvexe Menge, die kein Kegel ist, Mitte
Beispiele aus
nichtkonvexe Menge, rechts konvexe Hülle.
Kegel im normierten Raum
Sei
ein reeller normierter Raum mit der Norm
. Ein Kegel
heißt solid , wenn
(mit positivem Radius) enthält. Die üblichen Kegel in den Räumen
und
Ein Kegel
eine Kugel
sind solid, die in den Räumen
nicht.
heißt normal , wenn die Norm in
semimonoton ist, d.h., es existiert eine Konstante
, so
daß
(12.90)
gilt. Ist
ein mit Hilfe eines Kegels
normbeschränkt, wenn der Kegel
geordneter BANACH-Raum, dann ist jedes
-Intervall genau dann
normal ist. Die Kegel der Vektoren mit nichtnegativen Komponenten und der
nichtnegativen Funktionen in den Räumen
sind normal.
Ein Kegel heißt regulär , wenn jede monoton wachsende, von oben beschränkte Folge
(12.91)
eine CAUCHY-Folge in
ist. In einem BANACH-Raum ist jeder abgeschlossene reguläre Kegel normal. Die Kegel in
sind regulär, die in
und
nicht.
Kegelflächen
Kegelflächen entstehen durch die Bewegung einer Geraden, der Erzeugenden, die durch einen festen Punkt, die
Spitze, geht und längs einer Kurve, der Leitkurve, geführt wird.
Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)
●
●
●
●
●
●
●
●
Allgemeine Gleichung der Kurven zweiter Ordnung
Invariante einer Kurve zweiter Ordnung
Gestalt der Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung
Bestimmung der Kurve durch fünf Punkte
Polargleichung der Kurven zweiter Ordnung
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Mittelpunktskurven
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Parabolische Kurven
Gestalt der Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
Wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird, dann entsteht auf ihr ein Kegelschnitt. Geht die
schneidende Ebene nicht durch die Spitze, dann ergibt sich eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse in Abhängigkeit
davon, ob die Ebene parallel zu zwei, nur zu einer oder zu keiner Erzeugenden des Kegels verläuft. Geht die
Als Kegelschnitt
schneidende Ebene durch die Kegelspitze, dann entstehen zerfallende Kegelschnitte mit
eines in einen Zylinder entarteten Kegels , dessen Spitze sich im Unendlichen befindet, ergeben sich zwei parallele
Geraden. Der Bestimmung der Gestalt der Kegelschnitte dienen die Tabellen
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, Mittelpunktsgleichungen
und
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, parabolische Gleichungen.
Gerader Kreiskegelstumpf
(3.138)
(3.139)
(3.140)
(3.141)
Keil
Keil wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Rechteck, dessen Seitenflächen je zwei gegenüberliegende
gleichschenklige Dreiecke bzw. Trapeze sind.
Für das Volumen gilt
(3.121)
Sphärisches Zweieck
Durch die Endpunkte
Winkel
und
eines Kugeldurchmessers sollen zwei Ebenen
miteinander einschließen und zwei Großkreishälften
und
und
definieren.
verlaufen, die den
Der von zwei Großkreishälften begrenzte Teil der Kugeloberfläche wird sphärisches Zweieck oder Kugelzweieck
genannt. Als Seiten des sphärischen Zweiecks werden die sphärischen Abstände zwischen den Punkten
und
auf den Großkreisen definiert. Jede Seite beträgt daher
Als Winkel des sphärischen Zweiecks werden die Winkel zwischen den Tangenten an die Großkreise
den Punkten
und
definiert. Sie sind gleich und stimmen mit dem sogenannten Keilwinkel
und
zwischen den
in
Ebenen
und
überein. Sind
, dann kann der Winkel
und
die Halbierungspunkte der beiden Großkreisbogen durch
auch als sphärischer Abstand der Punkte
des Kugelzweiecks verhält sich zur Kugelfläche wie der Winkel
und
zu
und
aufgefaßt werden. Die Fläche
Daraus folgt
(3.164)
Logarithmentafeln
Die dekadischen und die natürlichen Logarithmen stehen in Logarithmentafeln zur Verfügung. Sie wurden früher mit
Vorteil bei der numerischen Bildung von Potenzen oder zur Vereinfachung numerischer Multiplikationen und
Divisionen verwendet. Am häufigsten wurden die dekadischen Logarithmen dazu benutzt. Heute sind die
Logarithmentafeln durch die Taschenrechner und Personalcomputer weitgehend aus der rechnerischen Praxis
verdrängt.
Jede Dezimalzahl, also jede reelle Zahl, in diesem Zusammenhang auch Numerus genannt, kann durch Vorziehen
einer Zehnerpotenz
mit ganzzahligem
in der Form
(1.26a)
halblogarithmisch dargestellt werden. Dabei ist
Größenordnung von
durch die Ziffernfolge von
bestimmt, während
die
angibt. Somit wird
(1.26b)
Man nennt
die Kennzahl und die Ziffernfolge hinter dem Komma von
die Mantisse . Letztere wird der
Logarithmentafel entnommen.
Beispiel
, also Kennzahl 2, Mantisse 5105. Für die durch Multiplikation oder Division mit
entstandenen Zahlen, z.B. 3240; 324000; 3,24; 0,0324, haben die Logarithmen die gleiche Mantisse, hier
5105, aber verschiedene Kennzahlen. Daher sind es die Mantissen, die in den Logarithmentafeln tabelliert
sind. Beim Ablesen der Mantisse braucht weder auf die Stelle des Kommas noch auf die links oder rechts
von der Zahl stehenden Nullen einschließlich der Null vor dem Komma geachtet zu werden. Diese gehen in
die Bestimmung der Kennzahl
für einen bestimmten Numerus
ein.
Konvergenz der NEUMANNschen Reihe
Zur Ermittlung der Lösung
ist die Potenzreihe bezüglich
(11.12)
die NEUMANNsche Reihe, auf Konvergenz zu untersuchen. Sind die Funktionen
und
beschränkt, d.h.,
es gelte
(11.13a)
so bildet die Reihe
(11.13b)
eine Majorante für die Potenzreihe (11.12). Diese geometrische Reihe konvergiert für
(11.13c)
Die NEUMANNsche Reihe konvergiert also ebenfalls absolut und gleichmäßig für alle , die (11.13c) erfüllen (s. auch
Raum linearer stetiger Operatoren). Durch eine schärfere Abschätzung der Glieder der NEUMANNschen Reihe kann das
Konvergenzintervall noch genauer angegeben werden. Danach konvergiert die NEUMANNsche Reihe für
(11.13d)
Diese Einschränkung an den Parameter
bedeutet nicht, daß für größere Werte von
generell keine Lösung
existieren würde, sondern nur, daß die Lösung unter Umständen nicht durch die NEUMANNsche Reihe angegeben
werden kann. Den Ausdruck
(11.14a)
bezeichnet man als Resolvente oder lösenden Kern der Integralgleichung. Die Resolvente ermöglicht eine
Lösungsdarstellung durch
(11.14b)
Beispiel
Für die inhomogene FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
und damit
wobei
Reihe, die sogar für
erhält man
. Mit der Schranke (11.13c) konvergiert die Reihe sicher für
ist. Die Resolvente
ist jedoch eine geometrische
konvergiert. Damit erhält man aus (11.14b)
.
Hinweis: Ist für ein konkretes
die Bedingung (11.13d) nicht erfüllt, so kann ein stetiger Kern in zwei stetige Kerne
,
zerlegt werden durch
und
, wobei
einen ausgearteten Kern darstellt
so klein ist, daß (11.13d) für diesen Kern erfüllt ist. Auf diese Weise läßt sich für alle
Eigenwerte sind, eine exakte Lösungsmethode herleiten.
, die keine
Bogenlänge
Die Bogenlänge
zwischen zwei Punkten
gemäß Abbildung aus den Beziehungen
und
auf einem Kleinkreis
läßt sich
und
gewinnen:
(3.221)
Beispiel
Für
wird der Kleinkreis zur Orthodrome, und aus (3.221) und (3.214b) folgt
Begriffsbestimmung
Die Definition von Kleinkreisen auf der Kugeloberfläche erfordert eine im Vergleich zu der eingangs gegebenen
Begriffsbildung detailliertere Fassung: Danach ist ein Kleinkreis der geometrische Ort aller Punkte, die von einem
festen Punkt
auf der Kugeloberfläche den sphärischen Abstand
haben.
Mit
wird der sphärische Mittelpunkt bezeichnet;
Grundfläche eines Kugelabschnitts mit der Höhe
heißt spärischer Kleinkreisradius . Die Kleinkreisebene ist die
Der sphärische Mittelpunkt
liegt oberhalb des
Kleinkreismittelpunktes in der Kleinkreisebene. Dort hat der Kreis den ebenen Kleinkreisradius
Breitenkreise sind damit spezielle Kleinkreise mit
Beispiel
Für
geht der Kleinkreis in eine Orthodrome über.
Kleinkreisgleichungen
Als Beschreibungsparameter lassen sich entweder
und
verwenden.
oder
oder der nordpolnächste Kleinkreispunkt
Ist der laufende Punkt auf dem Kleinkreis
so ergibt sich nach dem Seitenkosinussatz gemäß Abbildung
die Kleinkreisgleichung
(3.220a)
Daraus erhält man wegen
und
:
(3.220b)
Beispiel A
Für
ergeben sich aus (3.220a) wegen
Breitenkreise.
Beispiel B
Für
ergeben sich aus (3.220b) Orthodromen.
Kurswinkel
Gemäß Abbildung schneidet die Orthodrome durch
Radius
senkrecht.
und
den Kleinkreis mit dem
Für den Kurswinkel
der Orthodrome gilt nach (3.215):
(3.222a)
Damit ergibt sich für den gesuchten Kurswinkel
des Kleinkreises im Punkt
:
(3.222b)
Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Für die geographischen Längen der Schnittpunkte
Breitenkreis
und
des Kleinkreises mit dem
ergibt sich aus (3.220a):
(3.223)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
Schnittpunkte mit einem Meridian
Die Berechnung der geographischen Breiten der Schnittpunkte
und
des Kleinkreises
erfolgt gemäß (3.220a) mit den Gleichungen
mit dem Meridian
(3.225a)
wobei gilt:
(3.225b)
Für
gibt es im allgemeinen zwei verschiedene Lösungen, von denen jedoch eine entfällt, wenn
ein Pol im Kleinkreis liegt.
Gilt
und liegt keiner der Pole im Kleinkreis, dann berührt der Meridian den Kleinkreis in einem
Tangierpunkt mit der geographischen Breite
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Für ganze Zahlen
von denen keine gleich 0 ist, wird die kleinste Zahl in der Menge der positiven
gemeinsamen Vielfachen von
das kleinste gemeinsame Vielfache von
bezeichnet. Sind die kanonischen Primfaktorenzerlegungen (5.151a) von
genannt und mit kgV
gegeben, dann gilt:
(5.154)
Beispiel
Für die Zahlen
gilt
kgV
Klotoide
Klotoide heißt eine Kurve, die sich aus der umgekehrten Proportionalität ihres Krümmungsradius zur Länge des
Bogens ergibt:
(2.241a)
Die Gleichung der Klotoide lautet in Parameterform
(2.241b)
Die Integrale können nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden; sie lassen sich aber für jeden
Parameter
durch numerische Integration berechnen, so daß die Klotoide punktweise gezeichnet
werden kann. Wegen der Berechnung am Computer s. Lit. 3.12.
Die Kurve ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung, der gleichzeitig Wendepunkt ist. Im Wendepunkt ist die
-Achse Tangente. Bei
und
bzw.
hat die Kurve je einen asymptotischen Punkt mit den Koordinaten
.
Die Klotoide findet z.B. beim Straßenbau Anwendung, wo der Übergang von einer Geraden in eine Kreiskurve durch
einen Klotoidenabschnitt vermittelt wird (s. Lit. 3.12).
Abstand zweier Knoten
Der Abstand
zweier Knoten
eines ungerichteten Graphen ist die Länge eines
verbindenden Weges mit minimaler Kantenzahl. Existiert ein solcher Weg nicht, dann setzt man
mit
Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für
Die Differentialgleichung (17.1) mit der hyperbolischen Ruhelage
für
gelte
sei das charakteristische Polynom von
und
und
. Mit den Bezeichnungen
(Diskriminante des charakteristischen
Polynoms) sind die verschiedenen Ruhelagetypen im Folgenden aufgeführt. Die dazugehörigen Phasenporträts sind links
jeweils für die erste Zeile, rechts für die zweite Zeile dargestellt.
Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
Sei
eine Ruhelage von (17.1). Das lokale Verhalten der Orbits von (17.1) nahe
Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung
von
in
ist. Besitzt
keinen Eigenwert
. Die hyperbolische Ruhelage
Realteil und
heißt Senke , wenn
ist vom Typ
wird, unter gewissen
beschrieben, wobei
mit Re
, wenn
die JACOBI-Matrix
, so heißt die Ruhelage
genau
hyperbolisch
Eigenwerte mit negativem
Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt. Die hyperbolische Ruhelage vom Typ
ist, Quelle , wenn
ist, und Sattel , wenn
und
ist (s. die
folgenden Abbildungen).
Es gilt der folgende
Satz über Stabilität in der ersten Näherung für kontinuierliche dynamische Systeme: Eine Senke ist
asymptotisch stabil; Quellen und Sattel sind instabil.
Im Rahmen der drei topologischen Grundtypen von hyperbolischen Ruhelagen (Senke, Quelle und Sattelpunkte) sind
weitere algebraische Unterscheidungen üblich. So heißt eine Senke (Quelle) stabiler Knoten ( instabiler Knoten ),
wenn alle Eigenwerte der JACOBI-Matrix reell sind, und stabiler Strudel ( instabiler Strudel ), wenn Eigenwerte mit
nicht verschwindendem Imaginärteil vorliegen. Für
Sattelknoten und Sattelstrudel.
ergibt sich daraus eine Einteilung der Sattelpunkte im
In den folgenden Abbildungen sind für die drei toplogischen Grundtypen jeweils links die Eigenwerte der JACOBIMatrix und rechts das Phasenporträt dargestellt.
Senke:
Quelle:
Sattelpunkt:
Kubische Splines
Da Interpolations- und Ausgleichspolynome höheren Grades in der Regel unerwünschte Oszillationen zeigen, ist es
zweckmäßig, das Approximationsintervall durch sogenannte Knoten in Teilintervalle zu zerlegen und auf jedem
dieser Teilintervalle die Approximation durch relativ einfache Funktionen vorzunehmen. In der Praxis werden dazu
vor allem kubische Polynome verwendet. Bei dieser stückweisen Approximation ist ein glatter Übergang der
Teilfunktionen an den Knoten zu gewährleisten.
●
●
Interpolationssplines
Ausgleichssplines
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Produkte
und
sind gleich und kollinear zum Vektor
seine Richtung stimmt für
mit der von
Die Länge des Produktvektors, sein Betrag, ist
überein, für
ist sie entgegengesetzt. Die
wichtigsten Eigenschaften des Produkts eines Skalars mit einem Vektor sind:
(3.242a)
Eine Linearkombination der Vektoren
mit den Skalaren
ist ein Vektor der Form
(3.242b)
Partialbruchzerlegung, Fall 1
Die Gleichung
für das Nennerpolynom
besitzt nur einfache reelle Wurzeln
Die
Zerlegung hat dann die Form
(1.50a)
mit den Koeffizienten
(1.50b)
wobei in den Nennern die Werte der Ableitungen
für
Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der Koeffizienten
stehen.
auch in den folgenden Fällen bietet der
Koeffizientenvergleich , auch Methode der unbestimmten Koeffizienten genannt.
Beispiel A
und
und
Beispiel B
Gleichsetzen der Koeffizienten vor gleichen Potenzen von
im Zähler der linken und der rechten Seite der
Gleichung führt auf das Gleichungssystem
Lösung die gleichen Werte von
und
dessen
ergibt wie in Beispiel A.
Körper
Ein Ring wird Körper genannt, wenn
kommutativer Ring mit Einselement.
eine ABELsche Gruppe ist. Deshalb ist jeder Körper speziell ein
Kombinatorik
Aus den Elementen einer Menge lassen sich häufig auf eine bestimmte Weise neue Mengen zusammenstellen. Die
Art und Weise einer solchen Zusammenstellung führt auf die Begriffe Permutation (Anordnung), Kombination
(Auswahl) und Variation . Beim Begriff der Variation werden Anordnung und Auswahl vereinigt, indem bei der
Auswahl von Elementen auf deren Reihenfolge geachtet wird.
Die Grundaufgabe der Kombinatorik besteht darin, die Anzahl der Auswahl- oder Anordnungsmöglichkeiten zu
ermitteln.
●
●
●
●
Permutationen
Kombinationen
Variationen
Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Kombinationen
1. Definition: Kombination nennt man eine Auswahl von
Elementen aus
der Reihenfolge. Man spricht auch von einer Kombination
Kombinationen ohne und mit Wiederholung.
-ter Klasse und unterscheidet zwischen
2. Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung: Für die Anzahl
verschiedenen Elementen
Elementen ohne Beachtung
der Möglichkeiten, aus
Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, gilt
(16.4)
wobei jedes der
Elemente höchstens einmal in einer Kombination auftreten darf. Man spricht deshalb auch von
einer Kombination ohne Wiederholung.
Beispiel
Es gibt
Möglichkeiten, aus 30 Teilnehmern einer Wahlversammlung einen 4köpfigen
Wahlvorstand ohne Zuordnung der Funktionen zusammenzustellen.
3. Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung: Für die Anzahl der Möglichkeiten, aus
verschiedenen
Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge, aber bei Zulassung beliebig vieler Wiederholungen
Elementen
jedes der Elemente auszuwählen, gilt
(16.5)
Eine andere Formulierung lautet, daß die Anzahl der Möglichkeiten betrachtet wird, aus
je
zusammenzustellen, wobei die
verschiedenen Elementen
Elemente nicht verschieden zu sein brauchen.
Beispiel
Mit
Würfeln sind
verschiedene Würfe möglich. Für 2 Würfel gilt demzufolge
.
Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren
Für zwei Vektoren
und
die als einspaltige bzw. einzeilige Matrizen dargestellt werden können, gibt es bei der
Matrizenmultiplikation die folgenden zwei Möglichkeiten der Produktbildung:
Ist
vom Typ (1,n) und
vom Typ (n,1), dann ist das Produkt vom Typ (1,1), also eine Zahl. Man spricht dann
vom Skalarprodukt zweier Vektoren.
Ist dagegen
vom Typ (n,1) und
vom Typ
dann ist das Produkt vom Typ
, also eine Matrix.
Man spricht in diesem Falle vom dyadischen Produkt zweier Vektoren.
1. Skalarprodukt zweier Vektoren:
Unter dem Skalarprodukt eines Zeilenvektors
von je
Elementen versteht man die Zahl
mit einem Spaltenvektor
(4.24)
Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt hier im allgemeinen nicht. Daher ist die Reihenfolge von
exakt einzuhalten. Bei Vertauschung der Reihenfolge, also
und
würde sich ein dyadisches Produkt ergeben.
2. Dyadisches Produkt oder Tensorprodukt zweier Vektoren:
Unter dem dyadischen Produkt eines Spaltenvektors
Zeilenvektor
der Dimension
der Dimension
mit einem
versteht man die Matrix
(4.25)
vom Typ
Auch hier gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation im allgemeinen nicht.
Orthogonalität
Zwei Elemente
eines HILBERT-Raumes (die Begriffe dieses Abschnitts haben auch in Prä- HILBERT-Räumen
bzw. in unitären Räumen Sinn)
beliebige Teilmenge
heißen orthogonal (man schreibt dafür
), wenn
. Für eine
ist die Menge
(12.112)
aller Vektoren, die zu jedem Vektor aus
oder orthogonales Komplement von
heißt Orthogonalraum zu
und
●
●
orthogonal sind, ein (abgeschlossener linearer) Teilraum von
Eigenschaften der Orthogonalität
Orthogonale Systeme
gilt. Besteht
. Man schreibt
nur aus dem Element
und
, wenn
, dann schreibt man
.
Beliebige Winkel
Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind (Periode
beliebige Argumentwerte
Argument
mit
bzw.
), kann die Ermittlung der Funktionswerte für
nach den folgenden Regeln vereinfacht werden:
: Wenn der Winkel
größer als
Werte der trigonometrischen Funktionen auf Funktionswerte für Winkel
folgenden Regeln zurückgeführt (
(bzw. größer als
mit
) ist, dann werden die
(bzw.
) nach
ganzzahlig):
(2.70a)
(2.70b)
(2.70c)
(2.70d)
Argument
mit
: Wenn das Argument negativ ist (
), dann werden die Funktionen mit den
folgenden Formeln auf Funktionen mit positivem Argument zurückgeführt:
(2.71a)
(2.71b)
(2.71c)
(2.71d)
Argument
mit
: Wenn
ist, dann werden die Funktionen mit Hilfe der
Reduktionsformeln auf Funktionen eines spitzen Winkels
Funktionswerten von Winkeln, die sich um
oder
zurückgeführt. Man nennt die Beziehungen zwischen
unterscheiden bzw. zu
oder
ergänzen, Quadrantenrelationen .
Tabelle Reduktionsformeln oder Quadrantenrelationen der trigonometrischen Funktionen
Funktion
Aus der 1. und 2. Spalte ergeben sich die Formeln der Komplementsätze , aus der 1. und 3. die Formeln der
Supplementsätze . Da
der Komplementwinkel oder das Komplement von
ist, nennt man
Beziehungen der Art
(2.72a)
(2.72b)
Komplementsätze .
Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen für Supplementwinkel der Art
(2.73a)
(2.73b)
werden wegen
Supplementsätze genannt.
Argument
mit
: Wenn ein spitzer Winkel (
) vorliegt, dann wurden die
Funktionswerte früher Tabellen entnommen; heute werden sie vom Rechner abgefragt.
Beispiel
Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
Beim Schnitt zweier Geraden
einer Ebene treten vier verschiedene Winkel
auf.
Man unterscheidet Nebenwinkel und Scheitelwinkel, außerdem Komplementwinkel und Supplementwinkel.
Nebenwinkel: Nebenwinkel sind benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden mit einem
gemeinsamen Scheitel
und einem gemeinsamen Schenkel; die beiden nicht zusammenfallenden Schenkel
liegen auf ein und derselben Geraden, jedoch auf verschiedenen von
ausgehenden Strahlen, so daß sich
die Nebenwinkel zu
ergänzen.
Beispiel
und
In der Abbildung sind es die Winkelpaare
Scheitelwinkel: Scheitelwinkel sind an zwei sich schneidenden Geraden gegenüberliegende gleich große
Winkel mit gemeinsamem Scheitel
großen Nebenwinkel zu
, aber ohne gemeinsamen Schenkel. Sie werden durch einen gleich
ergänzt.
Beispiel
In der Abbildung sind
und
Scheitelwinkel.
Komplementwinkel: Komplementwinkel sind zwei sich zu
ergänzende Winkel.
Supplementwinkel: Supplementwinkel sind zwei sich zu
ergänzende Winkel.
Beispiel
In der Abbildung sind die Winkelpaare
oder
Supplementwinkel.
Komplexifikation reeller Vektorräume
Jeden reellen Vektorraum
allen Paaren
mit
kann man zu einem komplexen Vektorraum
erweitern. Die Menge
besteht aus
. Die Operationen (Addition und Vielfaches mit einer komplexen Zahl
) werden für diese Paare wie folgt festgelegt:
(12.22a)
(12.22b)
Da insbesondere
(12.23)
gilt, kann für das Paar
nun auch
geschrieben werden. Die Menge
ist damit ein komplexer
Vektorraum, in dem die Menge
als
oder als
mit dem linearen Teilraum
identifiziert wird, also
aufgefaßt wird.
Die beschriebene Prozedur nennt man Komplexifikation des Vektorraums
ist auch in
linear unabhängig. Gleiches gilt für eine Basis in
. Eine linear unabhängige Teilmenge in
, woraus sich
ergibt.
Allgemeine Konchoide
Die Konchoide des NIKOMEDES ist ein Spezialfall der allgemeinen Konchoide . Die Konchoide zu einer gegebenen
Kurve ergibt sich, wenn man den Radiusvektor zu jedem Punkt der gegebenen Kurve um eine konstante Strecke
verlängert. Wenn die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten
lautet, dann ist die Gleichung ihrer
Konchoide
(2.224)
Die Konchoide des NIKOMEDES ist dann die Konchoide der Geraden .
PASCALsche Schnecke
Einen weiteren Spezialfall der allgemeinen Konchoide, die Konchoide des Kreises , mit der Bedingung
(2.222), wobei der Koordinatenursprung auf dem Kreis liegt, nennt man PASCALsche Schnecke .
Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten sowie in Parameterform:
(2.225a)
(2.225b)
(2.225c)
Dabei ist
Die Scheitel
der Durchmesser des Kreises.
und
liegen bei
Die Form der Kurve hängt von den Größen
aus den drei Abbildungen für die Konchoide des Kreises erkennen kann.
und
ab, wie man
1. Extremwerte und Wendepunkte: Für
hat die Kurve vier Extremwerte
für
zwei; sie liegen bei
Für
existieren zwei Wendepunkte
2. Doppeltangenten: Für
und
gibt es in den Punkten
bei
und
bei
eine
Doppeltangente.
Der Koordinatenursprung ist ein singulärer Punkt: Für
Doppelpunkt mit den Tangentenrichtungen
. Für
ist er ein isolierter Punkt, für
ein
und dem Krümmungsradius
handelt es sich um einen Rückkehrpunkt; die Kurve nennt man Kardioide.
Der Flächeninhalt der Schnecke beträgt
Schleife nach dieser Formel doppelt gezählt wird.
wobei im Falle
der Flächeninhalt der inneren
Konchoide des NIKOMEDES
Konchoide des NIKOMEDES nennt man den geometrischen Ort aller Punkte
Verbindungslinie zwischen
und
mit der Asymptote
für die mit
als Schnittpunkt der
die Bedingung
(2.222)
erfüllt ist.
Das Vorzeichen ,,
`` gilt für den rechten und ,,
`` für den linken Kurvenzweig. Die Gleichung der Konchoide des
NIKOMEDES in kartesischen Koordinaten, in Parameterform und in Polarkoordinaten lautet:
(2.223a)
(2.223b)
(2.223c)
1. Rechter Zweig: Die Asymptote ist
haben als
; der Scheitelpunkt
liegt bei
-Wert die größte Wurzel der Gleichung
Die Fläche zwischen dem rechten Zweig und der Asymptote ist
.
; die Wendepunkte
2. Linker Zweig: Die Asymptote ist
ein singulärer Punkt, dessen Charakter von
a) Für
Wendepunkte
; der Scheitelpunkt
und
liegt bei
. Der Ursprung ist
abhängt:
ist es ein isolierter Punkt (obere linke Abbildung). Die Kurve hat dann zwei weitere
und
deren Abszisse sich als zweitgrößte Wurzel der Gleichung
ergibt.
b) Für
ist der Koordinatenursprung ein Knoten- bzw. Doppelpunkt (obere rechte Abbildung). Die
Kurve besitzt ein Maximum und ein Minimum an der Stelle
.
Die Tangentensteigung beträgt im Koordinatenursprung
Der Krümmungsradius ist hier
c) Für
wird der Koordinatenursprung zum Rückkehrpunkt (untere Abbildung).
Vertrauensgrenzen für den Regressionskoeffizienten
Nach der Bestimmung der Regressionskoeffizienten
theoretischen Parameter
und
und
erhebt sich die Frage, wie gut diese Schätzwerte die
wiedergeben. Dazu bildet man die Testgrößen
(16.142a)
mit
(16.142b)
Diese stellen die Realisierung von Zufallsgrößen dar, die einer
-Verteilung mit
genügen. Demzufolge kann man zu einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit
Tabelle für die STUDENT-Verteilung ablesen, und aus
Freiheitsgraden
das Quantil
folgt für
aus der
bzw.
:
(16.143a)
(16.143b)
Mit Hilfe der durch (16.143a,b) beschriebenen sogenannten Konfidenzintervalle für
Konfidenzbereich für die unbekannte Regressionsgerade
und
kann man auch einen
angeben (s. Lit. 16.4, 16.25).
Kongruenzen und Restklassen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Kongruenzen
Rechenregeln
Restklassen, Restklassenring
Prime Restklassen
Primitive Restklassen
Lineare Kongruenzen
Simultane lineare Kongruenzen
Quadratische Kongruenzen
Polynomkongruenzen
Zentrale Symmetrie
Ebene Figuren heißen zentralsymmetrisch , wenn deren Punkte durch eine ebene Drehung von
Zentralpunkt oder das Symmetriezentrum
um den
zur Deckung gebracht werden können. In der Abbildung deutet der mit
einem Pfeil versehene Halbkreis um den Punkt
diese Drehung an.
Da Größe und Gestalt der Figuren bei dieser Transformation erhalten bleiben, spricht man von
Kongruenztransformation . Auch der Umlaufsinn der ebenen Figuren bleibt bei dieser Transformation erhalten.
Wegen des gleichen Umlaufsinnes spricht man von gleichsinnig kongruenten Figuren .
Unter dem Umlaufsinn einer Figur versteht man das Durchlaufen des Randes einer Figur in einem Drehsinn: positiv
im mathematischen Drehsinn, also im Gegenuhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn.
Lineare Kongruenzen
1. Definition: Sind
und
ganze Zahlen, dann wird
(5.171)
lineare Kongruenz (in der Unbekannten x) genannt.
2. Lösungen: Eine ganze Zahl
, die die Bedingung
Kongruenz. Jede ganze Zahl, die zu
erfüllt, ist eine Lösung dieser
kongruent modulo
ist, ist ebenfalls eine Lösung. Will man alle
Lösungen von (5.171) angeben, dann genügt es also, die paarweise modulo
inkongruenten ganzen Zahlen
zu finden, die die Kongruenz erfüllen. Die Kongruenz (5.171) ist genau dann lösbar, wenn ggT
Teiler von
ist. Die Anzahl der Lösungen modulo
Ist insbesondere ggT
ein
ist dann gleich ggT
dann ist die Kongruenz modulo
eindeutig lösbar.
Lösungsverfahren: Es gibt verschiedene Lösungsverfahren für lineare Kongruenzen. Z.B. kann man die
Kongruenz
in die diophantische Gleichung
spezielle Lösung
umformen und zunächst eine
der linearen diophantischen Gleichung
ggT
ggT
ggT
ermitteln.
ist wegen ggT
Die Kongruenz
mit
modulo
eindeutig lösbar, und es gilt:
(5.172a)
Die Kongruenz
hat modulo
genau ggT
Lösungen:
(5.172b)
Beispiel
mod 315 ist lösbar, denn ggT
mod 105 ist eindeutig lösbar:
94, 199 und 304 die Lösungen von
ist Teiler von 6; es gibt 3 Lösungen modulo 315.
mod 105 (s. Lösungsverfahren für
mod 315.
). Also sind
Axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie
Ebene Figuren heißen axialsymmetrisch oder spiegelsymmetrisch , wenn einander entsprechende Punkte durch eine
räumliche Drehung von
um eine Gerade
zur Deckung gebracht werden können.
Die senkrechten Abstände einander zugeordneter Punkte von der Symmetrieachse, der Geraden
sind gleich
groß. Der Umlaufsinn der gedrehten Figur wird bei der Spiegelung an der Geraden
umgekehrt. Man spricht daher
von nichtgleichsinnig kongruenten Figuren . Man nennt diese Transformation Umklappung . Da Größe und Gestalt
der Figuren dabei erhalten bleiben, spricht man auch von nichtgleichsinniger Kongruenztransformation . Der
Umlaufsinn der ebenen Figuren wird bei dieser Transformation umgekehrt.
Hinweis: Für räumliche Figuren gelten analoge Aussagen.
Polynomkongruenzen
Sind
paarweise teilerfremde Zahlen, dann ist die Kongruenz
(5.179a)
dem System
(5.179b)
äquivalent. Ist
die Anzahl der Lösungen von
die Anzahl der Lösungen von
für
, dann ist
Man kann also die Lösung von Kongruenzen
(5.179c)
wobei
Primzahlen sind, auf die Lösung von Kongruenzen
wiederum lassen sich wie folgt auf Kongruenzen
a)
vom Primzahlmodul
zurückführen. Diese
zurückführen:
Jede Lösung von
ist auch Lösung von
b)
von
Jede Lösung
bestimmt unter der Bedingung, daß
nicht durch
teilbar ist, eine einzige Lösung modulo
Sei
Man setzt
und ermittelt die modulo
eindeutig bestimmte Lösung
der linearen Kongruenz
(5.180a)
Setzt man
modulo
in
eindeutig bestimmte Lösung
ein, dann erhält man
Man ermittelt nun die
der linearen Kongruenz
(5.180b)
und erhält durch Einsetzen von
in
Fortsetzung des Verfahrens erhält man die Lösung der Kongruenz
daß
gilt. Durch
Beispiel
zu lösen. Aus
Es ist die Kongruenz
folgt
und
d.h.
Wegen
ist zunächst die Lösung der Kongruenz
gesucht:
Weiter betrachtet man
d.h.
und erhält als Lösung
und
und
d.h.
. Also ist 22 die modulo 27 eindeutig bestimmte Lösung von
.
Quadratische Kongruenzen
●
●
●
Quadratische Reste modulo
Eigenschaften quadratischer Kongruenzen
Allgemeine Bedingungen zur Lösbarkeit
Gleichverteilte Zufallszahlen
1. Begriff der gleichverteilten Zufallszahl: Man versteht unter gleichverteilten Zufallszahlen die im Intervall
gleichverteilten Zufallszahlen, die als Realisierung einer Zufallsgröße
Dichtefunktion
und der folgenden Verteilungsfunktion
mit der folgenden
interpretiert werden:
(16.152)
2. Methode der mittleren Ziffern von Quadraten: Eine einfache Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen
wurde von J. V. NEUMANN vorgeschlagen. Sie wird auch Methode der mittleren Ziffern von Quadraten genannt
und geht von einer ganzen Zahl
ganze Zahl, die aus
daß man wieder eine
aus, die aus
und erhält eine
Ziffern besteht. Von dieser streicht man die ersten und die letzten
Ziffern weg, so
-ziffrige Zahl erhält. Diese Vorgehensweise wird wiederholt. Setzt man vor die so
ermittelten Zahlen ,,0,``, dann erhält man
können. Die Anzahl
Ziffern besteht. Dann bildet man
-stellige Dezimalzahlen, die als Zufallszahlen benutzt werden
richtet sich nach der Stellenzahl des zur Verfügung stehenden Computers. Man wählt
z.B.
. Dieser Algorithmus hat sich bei praktischen Anwendungen nicht bewährt. Er lieferte mehr
kleine Werte, als in der Regel gebraucht wurden. Deshalb wurden verschiedene andere Methoden entwickelt.
3. Kongruenzmethode: Stark verbreitet ist die Kongruenzmethode : Eine Folge ganzer Zahlen
wird nach der Rekursionsformel
(16.153)
berechnet. Dabei ist
eine beliebige positive Zahl;
sind ebenfalls ganze positive Zahlen, die geeignet
ist die kleinste nicht negative ganze Zahl zu nehmen, die der Kongruenz (16.153) genügt.
zu wählen sind. Für
Die Zahlen
und
liegen zwischen 0 und 1 und können als gleichverteilte Zufallszahlen dienen.
4. Hinweise:
a)
Man wählt
Zahl
, wobei
die Zahl der Bits eines Computerwortes darstellt, z.B.
ist in der Größenordnung von
. Die
zu wählen.
b)
Zahlen, welche nach einer bestimmten Formel gewonnen werden und die Werte einer Zufallsgröße
simulieren sollen, nennt man Pseudozufallszahlen .
c)
Zufallszahlen kann man schon mit dem Taschenrechner erzeugen, und zwar in der Regel unter dem
Befehl ,,ran``(Abkürzung für Zufall, Englisch random).
Konvexe und konkave Seite einer Kurve
Wenn eine Kurve in der expliziten Form
den Punkt
gegeben ist, dann kann für einen kleinen Teil der Kurve, der
enthält, angegeben werden, ob die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach oben oder nach unten zeigt.
Ausgenommen ist der Fall, daß
ein Wendepunkt oder ein singulärer Punkt ist (s. auch ausgezeichnete
Kurvenpunkte). Ist die zweite Ableitung
nach der positiven
-Richtung (Punkt
dann zeigt die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach oben, d.h.
in der folgenden Abbildung).
Ist
(Punkt
), dann ist die Kurve nach unten konkav. Im Falle
Betrachtung des Wendepunktes eingehender zu untersuchen.
Beispiel
ist das Problem bei der
Für
ist die Kurve konkav nach oben, für
konkav nach unten.
Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
●
●
●
●
Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte
Steife Differentialgleichungen
Konstanten der Atom- und Kernphysik
Atomhülle:
Atomkern:
COMPTON-Wellenlänge von Elementarteilchen
Spezielle elektrische Konstanten
Fundamentalkonstanten
Magnetische Momente von Elementarteilchen
Ruhemassen und Ruhenergien von Elementarteilchen
Ruhemasse:
Ruhenergie:
Thermodynamische Konstanten
Wechselwirkungskonstanten der Elementarteilchenphysik
Astronomische Größen
Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips
●
●
●
●
Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
FREDHOLMsche Integralgleichungen
VOLTERRAsche Integralgleichungen
Satz von PICARD-LINDELÖF
Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern
Eine Reihe
konvergiert gegen eine Zahl
, die Summe der Reihe, wenn gilt
(14.44)
Verbindet man die Punkte, die durch die Zahlen
in der
-Ebene gegeben sind,
durch einen Polygonzug miteinander, dann bedeutet Konvergenz der Reihe die Annäherung des Polygonzugendes
an die Zahl
.
Beispiel A
.
Beispiel B
(s. Abbildung).
Man spricht von absoluter Konvergenz (s. Beispiel B), wenn auch die Reihe der Absolutbeträge ihrer Glieder
konvergiert, von bedingter Konvergenz (s. Beispiel A), wenn die Reihe konvergiert, die
Reihe ihrer Absolutglieder jedoch divergiert.
Wenn die Glieder einer Reihe gemäß
(14.45)
variable Funktionen
die Reihe konvergiert.
sind, dann wird durch die Reihe für die
-Werte eine Funktion von
definiert, für die
Absolute Konvergenz und Konvergenzradius
Eine Potenzreihe konvergiert entweder nur für
oder für alle Werte von
den Konvergenzradius (s. Abbildung), so daß die Reihe für
, oder es gibt eine Zahl
absolut konvergiert und für
divergiert.
Der Konvergenzradius kann mittels
(7.76)
,
bestimmt werden, falls die Grenzwerte existieren. In den Endpunkten des Konvergenzintervalls
für die Reihe (7.75a) und
und
und
für die Reihe (7.75b) kann die Reihe
entweder konvergent oder divergent sein. Existieren diese Grenzwerte nicht, dann ist an Stelle des gewöhnlichen
Limes (
) der Limes superior
zu nehmen (s. Lit. 7.10, Bd. I).
Absolute und bedingte Konvergenz
●
●
●
Definition
Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
Alternierende Reihen
Gleichmäßige Konvergenz
●
●
Definition, Satz von Weierstrass
Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen
Allgemeine Konvergenzsätze
●
●
Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen
Konvergenz von Operatorenfolgen
1. Punktweise Konvergenz einer Folge von linearen stetigen Operatoren
zu einem Operator
liegt vor, wenn in
gilt:
(12.141)
2. Gleichmäßige Konvergenz Die übliche Norm-Konvergenz einer Operatorenfolge
zu
im Raum
, also
(12.142)
ist die gleichmäßige Konvergenz auf der Einheitskugel von
die Umkehrung im allgemeinen nicht gilt.
. Sie impliziert die punktweise Konvergenz, während
Anwendungen: Konvergenz von Quadraturformeln, wenn die Anzahl
Permanenzprinzip von Summations- und Limitierungsverfahren u.a.
der Stützstellen gegen
geht,
Quotientenkriterium von d'Alembert
Wenn für die Reihe
(7.25a)
von einem gewissen
an alle Quotienten
kleiner sind als eine Zahl
, dann ist die Reihe konvergent:
(7.25b)
Wenn diese Quotienten von einem gewissen
Daraus ergibt sich: Gilt
an größer sind als eine Zahl
, dann ist die Reihe divergent.
(7.25c)
konvergent und für
dann ist die Reihe für
divergent.
Beispiel A
Die Reihe
(7.26a)
konvergiert, denn es gilt
(7.26b)
Beispiel B
Für die Reihe
(7.27a)
liefert das Quotientenkriterium wegen
(7.27b)
keine Entscheidung über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe.
Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen
1. Weglassen von Anfangsgliedern: Werden endlich viele Anfangsglieder einer Reihe weggelassen oder
endlich viele Glieder einer Reihe hinzugefügt, dann ändert sich das Konvergenzverhalten der Reihe nicht.
2. Multiplikation aller Glieder: Werden alle Glieder einer konvergenten Reihe mit ein und demselben Faktor
multipliziert, dann bleibt die Konvergenz der Reihe ungestört; ihre Summe ist mit dem Faktor zu
multiplizieren.
3. Gliedweise Addition oder Subtraktion: Konvergente Reihen dürfen gliedweise addiert oder subtrahiert
werden. Aus der Konvergenz der Reihen
(7.20a)
(7.20b)
folgt die Konvergenz der folgenden Reihe mit der angegebenen Summe:
(7.20c)
4. Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe: Die Folge der Glieder einer konvergenten Reihe
muß gegen Null streben:
(7.21)
Hierbei handelt es sich um eine notwendige , nicht aber um eine hinreichende Bedingung .
Beispiel
Für die harmonische Reihe (7.16) ist
aber
Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern
●
●
●
Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern
Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern
Potenzreihen im Komplexen
Schwache Konvergenz von Elementen
Eine Folge
von Elementen des normierten Raumes
, wenn
die Beziehung
gilt (Schreibweise:
impliziert
Offenbar hat man:
heißt schwach konvergent zu einem Element
Ist
ein weiterer normierter Raum und
stetiger linearer Operator, dann gelten
a)
impliziert
,
b)
ist
Beispiel A
kompakt, dann impliziert
sogar
).
.
ein
Jeder endlichdimensionale Operator ist kompakt. Daraus folgt, daß der identische Operator in einem
unendlichdimensionalen Raum nie kompakt sein kann
(s. Kompakte Teilmengen in normierten Räumen).
Beispiel B
und
Sei
der durch die unendliche Matrix
(12.184)
gegebene Operator in
mit
. Gilt
, dann ist
ein kompakter Operator von
.
Beispiel C
Der Integraloperator (12.132) erweist sich als kompakter Operator in den Räumen
.
und
in
Vergleichskriterium
Wenn zwei Reihen
(7.22a)
(7.22b)
nur positive Glieder
besitzen und wenn von einem gewissen
an
ist, dann folgt
aus der Konvergenz der Reihe (7.22a) auch die Konvergenz der Reihe (7.22b). Umgekehrt folgt aus der Divergenz
der Reihe (7.22b) auch die Divergenz der Reihe (7.22a).
Beispiel A
Aus dem Vergleich der Glieder der Reihe
(7.23a)
mit denen der geometrischen Reihe (7.15) folgt die Konvergenz der Reihe (7.23a). Von
der Reihe (7.23a) kleiner als die der konvergenten Reihe (7.15):
an sind die Glieder
(7.23b)
Beispiel B
Aus dem Vergleich der Glieder der Reihe
(7.24a)
mit denen der harmonischen Reihe (7.16) folgt die Divergenz der Reihe (7.24a). Von
an sind die Glieder der
Reihe (7.24a) größer als die der divergenten Reihe (7.16):
(7.24b)
Definition, Satz von Weierstrass
In Übereinstimmung mit der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge und einer Reihe konvergiert die Reihe
(7.66) in einem gegebenen Gebiet, wenn für eine beliebige Zahl
werden kann, daß die Ungleichung
eine ganze Zahl
für alle
derart angegeben
erfüllt ist. Für Funktionenreihen
können dabei zwei Fälle unterschieden werden:
gefunden werden, die für alle
1. Gleichmäßig konvergente Reihe: Es kann eine derartige Zahl
im Konvergenzbereich der Reihe (7.66) gemeinsam gilt. Dann spricht man von einer gleichmäßig
konvergenten Reihe in dem betrachteten Gebiet.
2. Ungleichmäßig konvergente Reihe: Es kann keine derartige Zahl
-Werte
gefunden werden, die für alle
Werte im Konvergenzgebiet gilt. Es gibt dann aber im Konvergenzbereich der Reihe wenigstens eine Zahl
für die die Ungleichung
erfüllt ist, egal wie groß
diesem Falle von einer ungleichmäßig konvergenten Reihe .
Beispiel A
Die Reihe
gewählt ist. Man spricht in
,
(7.71a)
mit der Summe
konvergiert für alle Werte von
gleichmäßig, und es gilt für
. Die Konvergenz ist hier für jedes beliebige endliche Gebiet von
und unter Benutzung des Restgliedes nach der Formel von MACLAURIN für
die Reihe die Ungleichung
(7.71b)
Da
schneller als
großes
, das unabhängig von
wächst, wird der Ausdruck auf der rechten Seite der Ungleichung für hinreichend
ist, kleiner als
gleichmäßige Konvergenz: Wie groß man
daß
. Für die gesamte Zahlengerade gibt es hier allerdings keine
auch immer wählt, es wird sich stets eine Zahl
größer ist als ein beliebiges vorgegebenes
derart finden lassen,
.
Beispiel B
Für alle
-Werte im abgeschlossenen Intervall
konvergiert die Reihe
(7.72a)
da in Übereinstimmung mit der Schlußfolgerung aus dem Kriterium von D'ALEMBERT gilt:
(7.72b)
Die Konvergenz ist aber ungleichmäßig, weil
(7.72c)
gilt und, wie groß auch immer
beliebig nahe bei
gewählt wird, stets ein hinreichend kleines
liegt, d.h. nicht kleiner als
aber mit der Einschränkung
gefunden werden kann, für das
ist. Gleichmäßige Konvergenz liegt im Intervall
vor.
3. Kriterium von WEIERSTRASS für die gleichmäßige Konvergenz: In einem gegebenen Gebiet konvergiert
die Reihe
(7.73a)
gleichmäßig, wenn es eine konvergente Reihe mit konstanten Gliedern
(7.73b)
gibt, so daß für alle
-Werte in diesem Gebiet die Ungleichung
(7.73c)
erfüllt werden kann. Man nennt dann (7.73c) eine Majorante zur Reihe (7.73a).
Wurzelkriterium von Cauchy
Gilt für eine Reihe
(7.28a)
von einem gewissen
an für alle Zahlen
(7.28b)
dann ist die Reihe konvergent. Sind umgekehrt von einem gewissen
und ist
an alle Zahlen
größer als eine Zahl
, dann divergiert die Reihe. Daraus ergibt sich: Gilt
(7.28c)
dann ist die Reihe konvergent für
Konvergenzverhalten gemacht werden.
und divergent für
. Für
kann keine Aussage über das
Beispiel
Die Reihe
(7.29a)
ist konvergent wegen
(7.29b)
Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern
Eine unendliche Folge komplexer Zahlen
beginnend bei einem gewissen
, die Ungleichung
werden kann. D.h. von einem gewissen
eines Kreises mit dem Radius
Beispiel
hat den Grenzwert
für eine beliebig kleine positive Zahl
an liegen alle Punkte, die die Zahlen
und dem Mittelpunkt in
, wenn,
.
erfüllt
darstellen, innerhalb
Der Grenzwert
gilt für beliebiges
. Unter dem Ausdruck
Wert der Wurzel, der das kleinste Argument besitzt (s. Abbildung).
versteht man den
Definitionen
1. Funktionenreihe wird eine Reihe genannt, deren Glieder Funktionen ein und derselben Variablen
sind:
(7.66)
2. Konvergenzbereich der Funktionenreihe (7.66) werden sämtliche Werte
gemeinsamen Definitionsbereich aller Funktionen
genannt, die zum
gehören und für die die Reihen mit konstanten
Gliedern
(7.67)
konvergieren, d.h. für die der Grenzwert der Partialsummen
existiert:
(7.68)
3. Summe der Reihe (7.66) heißt die Funktion
Funktion
, und man sagt, die Reihe konvergiert gegen die
.
heißt die Summe der ersten
4. Partialsumme
Glieder der Reihe (7.66):
(7.69)
5. Restglied
heißt die Differenz zwischen der Summe
und ihrer Partialsumme
einer konvergenten Funktionenreihe
:
(7.70)
Zusammenhang zwischen uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen
Wenn
eine beliebige, unbegrenzt wachsende unendliche Folge ist, d.h. wenn gilt
(8.84a)
und wenn die Funktion
positiv für
ist, dann kann die Frage nach der Konvergenz des Integrals
(8.77) auf die Frage nach der Konvergenz der Reihe
(8.84b)
zurückgeführt werden. Wenn die Reihe (8.84b) konvergiert, dann konvergiert auch das Integral (8.77) und es ist dann
gleich der Summe der Reihe (8.84b). Divergiert die Reihe (8.84b), dann divergiert auch das Integral (8.77). Somit
können die Konvergenzkriterien für Reihen auch zur Konvergenzuntersuchung von Integralen eingesetzt werden.
Beim Integralkriterium für Reihen wird umgekehrt die Konvergenzuntersuchung der Reihen auf die Untersuchung der
Konvergenz eines uneigentlichen Integrals zurückgeführt.
Konvergenzkriterium von CAUCHY
Damit eine Funktion
sich die Funktionswerte
an der Stelle
und
einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß
für zwei beliebige Werte
zum Definitionsbereich gehören und in hinreichender Nähe von
Exakte Formulierung: Damit eine Funktion
an der Stelle
und
liegen, beliebig wenig voneinander unterscheiden.
einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig
und hinreichend, daß sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl
angeben läßt, so daß für zwei beliebige Werte
und
der unabhängigen Variablen, die
eine zweite positive Zahl
aus dem Definitionsbereich, die den Bedingungen
(2.17a)
genügen, die Ungleichung
(2.17b)
erfüllt ist.
Alternierende Reihen
1. LEIBNIZsches Konvergenzkriterium (Satz von LEIBNIZ):Hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der
alternierenden Reihe
(7.35a)
in der die
positive Zahlen sind, ist die Erfüllung der zwei Bedingungen
(7.35b)
Beispiel
Die Reihe (7.33) ist nach diesem Kriterium konvergent.
2. Abschätzung des Restgliedes der alternierenden Reihe: Wenn in einer konvergenten alternierenden
Reihe nur die ersten
Glieder berücksichtigt werden, dann stimmt das Vorzeichen des Restgliedes
dem des ersten weggelassenen Gliedes
überein, und
ist absolut genommen kleiner als
mit
:
(7.36a)
(7.36b)
Beispiel
Bei der Reihe
(7.37a)
gilt für das Restglied
(7.37b)
Konvergenzsätze
1. Satz von B. LEVI über die monotone Konvergenz: Sei
Folge nichtnegativer integrierbarer Funktionen mit Werten in
2. Satz von FATOU: Sei
eine Folge nichtnegativer
eine fast überall monoton wachsende
. Dann gilt
-wertiger meßbarer Funktionen. Dann gilt
.
3. Satz von LEBESGUE über dominante oder majorisierte Konvergenz: Sei
meßbaren Funktionen, die auf
eine Folge von
fast überall konvergiert. Wenn es eine solche integrierbare Funktion
fast überall gibt, dann ist
integrierbar und
.
mit
Unterabschnitte
●
●
●
1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen:
2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen:
3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:
Konvertierung von Zahlensystemen
Die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes wird als Konvertierung bezeichnet. Werden mehrere
Zahlensysteme gleichzeitig benutzt, so ist es zur Vermeidung von Irrtümern üblich, die Basis als Index anzuhängen.
Beispiel
Für die Konvertierung der Dezimalzahl
in das Dualsystem, Oktalsystem und
Hexadezimalsystem ergibt sich
1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen:
.
Die Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen ist einfach dadurch möglich, daß man vom
Punkt ausgehend nach links und rechts Gruppen von drei bzw. vier Bits bildet und den Wert derselben bestimmt.
Diese Werte sind dann die Ziffern des Oktal- bzw. Hexadezimalsystems.
2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen:
Für die Konvertierung vom Dezimal- in eines der anderen Systeme gelten für den ganzen und den gebrochenen Teil
der Dezimalzahl folgende Algorithmen:
a) Ganzer Teil: Ist
die ganze Zahl im Dezimalsystem, dann gilt für das Zahlensystem mit der Basis
bereits genannte Bildungsgesetz
das
(19.255)
Dividiert man
durch
, so erhält man einen ganzzahligen Teil (die Summe) und einen Rest:
(19.256)
Dabei nimmt
die Werte
an und ist die niederwertige Ziffer des Zahlensystems. Wendet man
das Verfahren jetzt auf die abgespaltete Summe wiederholt an, so ergeben sich die weiteren Ziffern.
b) Gebrochener Teil: Ist
Zahlensystem mit der Basis
ein echter Dezimalbruch, so lautet die Vorschrift für die Konvertierung in das
jetzt
(19.257)
Die wiederholte Anwendung auf die entstehenden Summen liefert die Werte
Beispiel A
Umwandlung der Dezimalzahl 139 in eine Dualzahl:
Beispiel B
Umwandlung des Dezimalbruchs 0.8125 in einen Dualbruch:
3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:
Der Algorithmus für die Umwandlung eines Wertes aus dem Dual-, Oktal- oder Hexadezimalsystem in das
Dezimalsystem lautet, wobei der Dezimalpunkt nach
einzufügen ist:
(19.258)
Die Auflösung erfolgt dabei zweckmäßig mit dem HORNER-Schema.
Beispiel
. Das zugehörige HORNER-Schema
lautet:
Affine Koordinaten
Affine Koordinaten sind eine Verallgemeinerung der kartesischen Koordinaten auf ein System aus drei linear
unabhängigen, also auch nicht mehr zwingend rechtwinklig aufeinander stehenden nichtkomplanaren Grundvektoren
mit drei Koeffizienten
sind. In Analogie zu (3.244a,b) ergibt sich
wobei die oberen Indizes keinesfalls als Exponenten aufzufassen
zu
(3.248a)
oder
(3.248b)
Diese Schreibweise ist insofern vorteilhaft, als die Skalare
Vektors sind. Für
die kontravarianten Koordinaten eines
gehen die Formeln (3.248a,b) in (3.244a,b) über. Für die
Linearkombination der Vektoren (3.242b) sowie für die Summe und die Differenz zweier Vektoren (3.246a,b) gelten in
Analogie zu (3.245) die Komponentengleichungen
(3.249a)
(3.249b)
GAUSS-KRÜGER-Koordinaten
Um Teile der gekrümmten Erdoberfläche winkeltreu (konform) auf eine Ebene abzubilden, geht man beim GAUSSKRÜGER-System von einer Einteilung in Meridianstreifen aus. Für Deutschland liegen die Mittelmeridiane bei
und
ö. L. (linke Abbildung).
Der Koordinatenursprung jedes Meridianstreifensystems ist der Schnittpunkt des Meridians mit dem Äquator. In der
Nord-Süd-Richtung gehen die Systeme über das gesamte Gebiet hinweg, in der Ost-West-Richtung sind die Gebiete
beidseitig auf
begrenzt. In Deutschland sind das etwa
km. Die Überlappung von etwa
entspricht hier ca. 20 km.
Der Dehnungsfaktor
in der Abszissenrichtung ist der gleiche wie im SOLDNER-System (3.162) (rechte Abbildung).
Damit die Abbildung winkeltreu bleibt, sind die Ordinaten an den Lotenden durch Addition eines Betrages
verlängern:
zu
(3.163)
Gemischte Koordinaten
Beim Übergang zu einem neuen Koordinatensystem geht (4.92a) in
(4.93a)
über. Dabei entsteht zwischen den Komponenten von
und
der Zusammenhang
(4.93b)
Man führt die Bezeichnung
(4.93c)
ein und spricht von gemischten Koordinaten des Tensors, weil der Index
kovariant steht. Für die Komponenten der Vektoren
und
für kontravariant, der Index
für
gilt dann
(4.93d)
Ersetzt man die kovariante Basis
durch die kontravariante Basis
dann erhält man analog zu (4.93b) und
(4.93c)
(4.94a)
und (4.93d) geht in
(4.94b)
über. Zwischen den gemischten Koordinaten
und
besteht der Zusammenhang
(4.94c)
Geodätische Koordinaten
Zur Bestimmung von Punkten werden in der Geometrie gewöhnlich rechtshändige Koordinatensysteme (linke
Abbildung) verwendet, seltener linkshändige (rechte Abbildung).
Näheres s. Rechts- und Linkssysteme.
Im Unterschied zur Geometrie sind in der Geodäsie linkshändige Koordinatensysteme üblich.
●
●
●
Geodätische rechtwinklige Koordinaten
Geodätische Polarkoordinaten
Maßstab
Ebene Koordinaten und ebene Koordinatensysteme
Die Lage jedes Punktes
einer Ebene kann mit Hilfe beliebiger Koordinatensysteme beschrieben werden. Die
Zahlen, die die Lage des Punktes bestimmen, heißen die Koordinaten . Meistens werden die kartesischen
Koordinaten und die Polarkoordinaten benutzt.
Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt
Der Übergang von kartesischen zu Polarkoordinaten und umgekehrt wird mit den folgenden Formeln vollzogen,
wobei Koordinatenursprung und Pol sowie Abszissenachse und Polarachse zusammenfallen sollen:
(3.290a)
(3.290b)
(3.290c)
Definitionen
Die affinen Koordinaten
eines Vektors
in einem System mit den Grundvektoren
definiert
durch die Formel
(3.280)
werden auch kontravariante Koordinaten dieses Vektors genannt. Im Gegensatz dazu entsprechen seine kovarianten
Koordinaten den Koeffizienten einer Vektorzerlegung zu den Grundvektoren
Grundvektoren von
(s. Lit.22.18, Bd. 11). Mit den kovarianten Koordinaten
d.h. zu den reziproken
des Vektors
ergibt sich
(3.281)
Im System der kartesischen Koordinaten stimmen die kovarianten Koordinaten eines Vektors mit seinen
kontravarianten Koordinaten überein.
Krummlinige dreidimensionale Koordinaten
Krummlinige dreidimensionale Koordinaten entstehen, wenn drei Scharen irgendwelcher Flächen derart vorgegeben
werden, daß durch jeden Raumpunkt genau eine Fläche jeder der drei Scharen verläuft. Die Position eines Punktes
wird in solchen Koordinatensystemen durch die Parameterwerte der drei durch diesen Punkt hindurchgehenden
Koordinatenflächen bestimmt. Zu den gebräuchlichsten krummlinigen Koordinatensystemen gehören die Zylinderund die Kugelkoordinaten.
Krummlinige Koordinaten
Krummlinige Koordinaten bestehen aus zwei einparametrigen Kurvenscharen in der Ebene, den KoordinatenlinienScharen.
Durch jeden Punkt der Ebene geht dabei jeweils nur eine Kurve jeder Schar hindurch, die sich in diesem Punkt
schneiden. Die Parameter, die diesem Punkt entsprechen, sind seine krummlinigen Koordinaten . In der Abbildung
besitzt der Punkt
die krummlinigen Koordinaten
und
. Im Unterschied zu den krummlinigen
Koordinaten sind im kartesischen Koordinatensystem die Koordinatenlinien Geraden, die parallel zu den
Koordinatenachsen liegen, im Polarkoordinatensystem sind es konzentrische Kreise um den Pol und die vom Pol
ausgehenden Strahlen.
Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten
Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten bestehen aus
●
der Länge
des Radius- oder Aufpunktvektors
●
dem Winkel
zwischen der
-Achse und dem Aufpunktvektor
●
dem Winkel
zwischen der
-Achse und der Projektion von
sowie
auf die
-Ebene.
Die positiven Richtungen weisen hier für
und für
von der
vom Koordinatenursprung zum Punkt
-Achse zur Projektion von
und
auf die
von der
-Ebene. Mit den Wertebereichen
werden alle Punkte des Raumes eindeutig erfaßt.
Koordinatenflächen sind
●
für
die Kugeln mit dem Pol 0 als Koordinatenursprung und dem Radius
-Achse nach
●
die Kegel mit
●
die von der
der Spitze im Koordinatenursprung und der
-Achse als Achse sowie
-Achse ausgehenden Halbebenen mit
Die Schnittlinien dieser Flächen sind die Koordinatenlinien.
Den Übergang zwischen den Kugelkoordinaten und den kartesischen Koordinaten liefern die folgenden Formeln
(s. auch die Tabelle):
(3.355a)
(3.355b)
Die notwendige Fallunterscheidung bezüglich
s. (3.290c). Analoges gilt bezüglich
Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
Polarkoordinaten
Die Polarkoordinaten eines Punktes
bestehen aus dem Radius
gegebenen Nullpunkt, dem Pol 0, und dem Polarwinkel
, d.h. dem Abstand des Punktes von einem
, d.h. dem Winkel zwischen der Geraden
und einem
gegebenen, durch den Pol hindurchgehenden orientierten Strahl, der Polarachse .
Der Nullpunkt kann auch Koordinatenursprung genannt werden. Der Polarwinkel ist positiv, wenn er im
entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers von der Polarachse aus gemessen wird; im entgegengesetzten Falle ist
er negativ.
Grundlegende Begriffe und Formeln, räumliche Koordinatensysteme
Jeder beliebige Punkt
im Raum kann mit Hilfe eines Koordinatensystems festgelegt werden. Die Richtungen der
Koordinatenlinien sind durch die Richtungen der Einheitsvektoren festgelegt.
In der Abbildung sind die Verhältnisse für ein kartesisches Koordinatensystem dargestellt. Man unterscheidet
rechtwinklige und schiefwinklige Koordinatensysteme. In ihnen stehen die Einheitsvektoren der Koordinatenlinien
senkrecht bzw. schiefwinklig aufeinander. Eine andere wichtige Unterscheidung ist die Rechts- oder Linkshändigkeit
eines Koordinatensystems.
Die gebräuchlichsten Koordinatensysteme sind kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Rechts- und Linkssysteme
Kartesische Koordinaten
Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
Krummlinige dreidimensionale Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten
Richtung im Raum
Transformation rechtwinkliger Koordinaten
Abstand zwischen zwei Punkten
Teilung einer Strecke
System aus vier Punkten
Gleichung einer Fläche
Gleichung einer Raumkurve
Rein kovariante und rein kontravariante Koordinaten
Setzt man in (4.94b) für
die Beziehung
ein, so ergibt sich
(4.95a)
wenn man
(4.95b)
setzt. Die
heißen rein kovariante Koordinaten des Tensors
, weil beide Indizes kovariant stehen. Analog
erhält man die rein kontravarianten Koordinaten
(4.96)
Explizite Darstellungen:
(4.97a)
(4.97b)
SOLDNER-Koordinaten
Für großräumige Vermessungen sind die rechtwinkligen SOLDNER-Koordinaten sowie die GAUSS- KRÜGERKoordinaten von Bedeutung. Um Teile der gekrümmten Erdoberfläche in Ordinatenrichtung längentreu auf ein
ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem abzubilden, legt man nach SOLDNER die
den Koordinatenursprung in einen gut vermessenen Zentralpunkt (linke Abbildung).
-Achse auf einen Meridian und
Die Ordinate
und die Abszisse
eines Punktes
sind durch die Strecken von den Fußpunkten der
sphärischen Lote auf den durch den Zentralpunkt verlaufenden Hauptmeridian und auf den durch den Zentralpunkt
verlaufenden Hauptbreitenkreis gegeben (rechte Abbildung).
Bei der Übertragung der sphärischen Abszissen und Ordinaten in das ebene Koordinatensystem werden Strecken
gedehnt und Richtungen verschwenkt. Der Dehnungsfaktor
in der Abszissenrichtung beträgt
(3.162)
Zur Begrenzung der Dehnung des Systems darf die Ausdehnung zu beiden Seiten des Hauptmeridians nicht größer
als 64 km betragen. Eine 1 km lange Strecke besitzt dann bei
= 64 km eine Dehnung von 0,05 m.
Koordinaten eines Vektors
●
●
●
Kartesische Koordinaten
Affine Koordinaten
Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient
Zylinderkoordinaten
Zylinderkoordinaten bestehen aus
●
den Polarkoordinaten
●
der Applikate
und
der Projektion des Punktes
auf die
des Punktes
Die Koordinatenflächen des Zylinderkoordinatensystems sind
●
die Zylinderflächen mit dem Radius
●
die von der
●
die zur
-Achse ausgehenden Halbebenen mit
-Achse senkrechten Ebenen mit
und
-Ebene und
Die Schnittlinien dieser Koordinatenebenen sind die Koordinatenlinien.
Den Übergang zwischen den Zylinderkoordinaten und den rechtwinkligen kartesischen Koordinaten vermitteln die
folgenden Formeln (s. auch die Tabelle):
(3.354a)
(3.354b)
Die notwendige Fallunterscheidung bezüglich
s. (3.290c).
Tabelle Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
Koordinatendarstellung von Skalarfeldern
Wenn die Punkte eines Raumteiles durch ihre Koordinaten gegeben werden, z.B. durch kartesische, Zylinder- oder
Kugelkoordinaten, dann erhält man zur Beschreibung des zugehörigen skalaren Feldes (13.6a) im allgemeinen eine
Funktion dreier Veränderlicher:
(13.8a)
Im Falle eines ebenen Feldes genügt eine Funktion zweier Veränderlicher. Für kartesische oder Polarkoordinaten hat
sie die Form:
(13.8b)
Es wird vorausgesetzt, daß die Funktionen in (13.8a) und (13.8b) im allgemeinen stetig sind, ausgenommen einige
Unstetigkeitspunkte, -kurven oder -flächen. Die Funktionen lauten
(13.9a)
(13.9b)
Die Untersuchung von zentralen Feldern führt man am besten unter Zuhilfenahme von Kugelkoordinaten durch, von
axialen Feldern mit Hilfe von Zylinderkoordinaten.
Koordinatendarstellung von Vektorfeldern
●
●
Vektorfeld in kartesischen Koordinaten
Vektorfeld in Zylinder- und Kugelkoordinaten
Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
Koordinatenflächen zeichnen sich durch eine konstant gehaltene Koordinate aus, so daß sie im System der
rechtwinkligen kartesischen Koordinaten parallel zu der von den zwei anderen Koordinatenachsen aufgespannten
Ebene liegen. Durch die drei Koordinatenflächen
Oktanten zerlegt.
bzw.
wird der dreidimensionale Raum in 8
Koordinatenlinien sind Kurven, auf denen sich nur eine Koordinate ändert, in kartesischen Koordinatensystemen also
Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die Koordinatenflächen schneiden einander in den
Koordinatenlinien.
Länge des Parabelbogens
Die Länge des Parabelbogens vom Scheitel 0 bis zum Punkt
beträgt
(3.350a)
(3.350b)
Für kleine Werte von
gilt näherungsweise
(3.350c)
Geodätische rechtwinklige Koordinaten
Im ebenen linkshändigen rechtwinkligen Koordinatensystem der Geodäsie ist die
Abszisse, die
Ein Punkt
-Achse die nach oben weisende
-Achse die nach rechts weisende Ordinate.
besitzt die Koordinaten
Die Ausrichtung der
-Achse erfolgt nach praktischen Erwägungen.
Bei Messungen über größere Distanzen, für die meist das SOLDNER-SYSTEM oder das GAUSS-KRÜGER-System
verwendet wird, zeigt die positive
-Achse nach Gitter-Nord , die nach rechts weisende
-Achse nach Osten. Die
Zählung der Quadranten erfolgt im Gegensatz zu der in der Geometrie sonst üblichen Praxis im Uhrzeigersinn.
Wenn neben der Punktlage in der Ebene auch Höhen anzugeben sind, kann ein dreidimensionales linkshändiges
rechtwinkliges Koordinatensystem
dargestellt, in den Zenit zeigt.
verwendet werden, in dem die
-Achse, wie in der Abbildung oben
Rechts- und Linkssysteme
In Abhängigkeit von der gegenseitigen Aufeinanderfolge der positiven Koordinatenrichtungen unterscheidet man
Rechtssysteme und Linkssysteme oder rechtshändige bzw. linkshändige Koordinatensysteme . Ein Rechtssystem
besitze z.B. drei in der alphabetischen Reihenfolge genommene und in drei verschiedenen Ebenen liegende
Einheitsvektoren
Die Rechtshändigkeit kommt dann dadurch zum Ausdruck, daß eine Drehung eines
der Vektoren um den gemeinsamen Koordinatenursprung auf den nächsten in der alphabetischen Reihenfolge bis
zur Überdeckung auf dem kürzesten Wege im Gegenuhrzeigersinn ausgeführt werden kann. Symbolisch stellt man
diesen Sachverhalt mit Hilfe der folgenden Abbildung dar.
Die hier eingezeichneten Seiten
sind durch die Indizes
zu ersetzen. Ein Linkssystem erfordert
Drehungen dieser Art im Uhrzeigersinn. Rechts- und Linkssysteme können durch Vektorvertauschung ineinander
überführt werden. Die Vertauschung zweier Vektoren ändert die Händigkeit des Systems, d.h. seine Orientierung:
Aus einem Rechtssystem wird ein Linkssystem und umgekehrt aus einem Linkssystem ein Rechtssystem.
Eine wichtige Art der Vektorvertauschung ist die zyklische Vertauschung , bei der die Orientierung erhalten bleibt.
Gemäß Abbildung erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Rechtssystem im Gegenuhrzeigersinn, d.h. nach dem
Schema
Im Linkssystem erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Uhrzeigersinn, d.h. nach dem Schema
Ein Rechtssystem kann mit keinem Linkssystem zur Deckung gebracht werden.
Die Spiegelung eines Rechtssystems am Koordinatenursprung führt auf ein Linkssystem.
Beispiel A und B
Linke Abbildung: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen
ist ein
Rechtssystem .
Rechte Abbildung: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen
Linkssystem .
Beispiel C
ist ein
Aus dem Rechtssystem
wird durch Vertauschung der Vektoren
und
das Linkssystem
.
Beispiel D
das Rechtssystem
Durch zyklische Vertauschung erhält man aus dem Rechtssystem
und aus diesem wieder das Rechtssystem
.
Transformation des Koordinatensystems
●
●
●
Lineare Transformation
EINSTEINsche Summenkonvention
Drehung des Koordinatensystems
Funktion von einer Veränderlichen
Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängige Variable, die Funktion und
deren Ableitungen enthält:
(6.56a)
(6.56b)
Die Ableitungen können dann bei der Substitution der Variablen auf die folgende Weise berechnet werden:
Fall 1a:
Die Variable
wird durch die Variable
ersetzt, die mit
gemäß
(6.57a)
verknüpft ist. Dann gilt
(6.57b)
(6.57c)
Fall 1b:
Wenn die Verknüpfung beider Variabler nicht in expliziter, sondern in der impliziten Form
(6.58)
gegeben ist, werden die Ableitungen
mit denselben Formeln berechnet, aber die Ableitungen
sind nach den Regeln für implizite Funktionen zu berechnen. In diesem Falle kann es
vorkommen, daß der Zusammenhang (6.56b) die Variable
(6.58) benutzt.
Fall 2:
Die Funktion
wird durch eine Funktion
enthält. Zur Eliminierung wird dann die Verknüpfung
ersetzt, die mit
gemäß
(6.59a)
verknüpft ist. Die Berechnung der Ableitungen kann dann mit den folgenden Formeln erfolgen:
(6.59b)
(6.59c)
Fall 3:
Die Variablen
und
werden durch die neuen Veränderlichen
und
ersetzt, die mittels der Formeln
(6.60a)
verknüpft sind. Zur Berechnung der Ableitungen können die folgenden Formeln verwendet werden:
(6.60b)
(6.60c)
(6.60d)
mit
(6.60e)
(6.60f)
Die Berechnung der dritten Ableitung
geschieht in analoger Weise.
Beispiel
Für die Transformation kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten gemäß
(6.61a)
berechnen sich die erste und zweite Ableitung wie folgt:
(6.61b)
(6.61c)
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Parabolische Kurven
Tabelle Kurvengleichungen 2. Ordnung. Parabolische Kurven
Größen
und
Gestalt der Kurve
Parabel
Geradenpaar
Parabolische Kurven
Parallele Geraden für
Doppelgerade für
Imaginäre Gerade für
Notwendige Koordinatentransformation
Normalform der Gleichung
nach Transformation
1. Verschiebung des Koordinatenursprungs in
den Scheitel der Parabel, dessen Koordinaten
und
durch die Gleichungen
und
definiert werden.
2. Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel
mit
das Vorzeichen von
von
entgegengesetzt sein.
;
muß dem Vorzeichen
ist auf die
Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel
mit
Form
das Vorzeichen von
von
muß dem Vorzeichen
transformierbar.
entgegengesetzt sein.
Im Falle
wird vorausgesetzt, daß keiner der Koeffizienten
verschwindet.
Der Kurvengleichung entspricht eine imaginäre Kurve.
Hinweis: Sind zwei Koeffizienten (
und
oder
und
so reduzieren sich die notwendigen
Koordinatentransformationen auf eine Verschiebung der Koordinatenachsen.
Die Gleichung
die Gleichung
erhält die Form
erhält die Form
Koordinatentransformation
In einem kartesischen Koordinatensystem mit den Basisvektoren
und
kann ein Tensor 2. Stufe
als
Matrix
(4.89)
dargestellt werden. Durch
(4.90)
werden krummlinige Koordinaten
eingeführt. Die neue Basis werde mit
und
bezeichnet. Es
gilt
(4.91)
Setzt man
dann können
und
als kovariante und kontravariante Basisvektoren aufgefaßt werden.
Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen
Hinweis 1: Eine Zusammenstellung der Zusammenhänge zwischen den Komponenten eines Vektors in
kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten enthält die Tabelle im nächsten Abschnitt.
Hinweis 2: Beim Übergang von einem Punkt zu einem anderen ändern zwar die Koordinatenvektoren ihre Richtung,
sie stehen aber stets senkrecht aufeinander.
●
●
●
Kartesische und Zylinderkoordinaten
Kartesische und Kugelkoordinaten
Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten und kartesische Koordinaten
Prediktor-Korrektor-Verfahren
In der Praxis sind implizite Mehrschrittverfahren gegenüber expliziten vorzuziehen, da sie bei gleicher Genauigkeit
wesentlich größere Schrittweiten erlauben. Dafür erfordert aber ein implizites Mehrschrittverfahren zur Berechnung
des Näherungswertes
die Lösung einer im allgemeinen nichtlinearen Gleichung. Diese folgt aus (19.101) und
ist von der Form:
(19.105)
Die Lösung von (19.105) erfolgt iterativ. Dabei geht man wie folgt vor: Ein Startwert
wird durch ein explizites
Mehrschrittverfahren, dem sogenannten Prediktor , bestimmt und anschließend durch die Iterationsvorschrift
(19.106)
dem sogenannten Korrektor , der aus dem impliziten Verfahren hervorgeht, verbessert. Spezielle Prediktor-KorrektorFormeln sind:
(19.107a)
(19.107b)
(19.108a)
(19.108b)
Die SIMPSON-Formel als Korrektor in (19.108b) ist numerisch instabil und kann z.B. durch
(19.109)
ersetzt werden.
Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen
●
●
Zweidimensionale Zufallsgrößen
Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale
Korrelation und Regression
Bei der Korrelationsanalyse geht es um die Feststellung von Abhängigkeiten zwischen zwei oder mehreren
Merkmalen einer Grundgesamtheit an Hand von Meßwerten. Mit Hilfe der Regressionsanalyse wird dann die Form
der Abhängigkeit zwischen diesen Merkmalen untersucht.
●
●
●
Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen
Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen
Mehrdimensionale Regression
Zweidimensionale Zufallsgrößen
Zwei Merkmale
und
sollen zu einer zweidimensionalen Zufallsgröße (
) mit folgenden
Verteilungsfunktionen zusammengefaßt werden:
(16.131a)
(16.131b)
Die Zufallsgrößen
und
heißen unabhängig voneinander , wenn
(16.132)
gilt. Die wichtigsten Parameter einer zweidimensionalen Verteilung sind:
1. Mittelwerte:
(16.133a)
(16.133b)
2. Streuungen:
(16.134a)
(16.134b)
3. Kovarianz:
(16.135)
4. Korrelationskoeffizient:
(16.136)
und
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Abhängigkeit von
genau dann mit der Wahrscheinlichkeit 1 auf einer Geraden, wenn
Zufallsveränderliche sind, dann ist
. Aus
, denn es gilt: Alle Punkte (
ist. Wenn
und
) liegen
unabhängige
kann man nur dann auf die Unabhängigkeit der
und
schließen, wenn diese einer zweidimensionalen Normalverteilung genügen, die durch die
Merkmale
folgende Dichtefunktion definiert ist:
(16.137)
Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale
Bei praktischen Aufgaben ist zu untersuchen, ob eine Stichprobe, die aus
Meßpunkten
besteht, aus einer zweidimensionalen, normalverteilten Grundgesamtheit mit dem
Korrelationskoeffizienten
stammt, so daß die beiden Zufallsgrößen
und
als unabhängig
angesehen werden können. Der Test läuft wie folgt ab:
1.
Aufstellen der Hypothese
:
.
2.
Vorgabe einer Irrtumswahrscheinlichkeit
Verteilung für
3.
Berechnung der Testgröße
.
und Ermittlung des Quantils
aus der Tabelle der
-
(16.138a)
mit
(16.138b)
4.
Ablehnung der Hypothese, falls
Die Größe
ist.
heißt empirischer Korrelationskoeffizient .
Begriff des Solitons
Solitonen -- man spricht auch von solitären Wellen -- sind physikalisch betrachtet impuls- oder auch stufenförmig
lokalisierte Störungen eines nichtlinearen Mediums oder Feldes; die betreffende Energie ist auf ein enges Gebiet
konzentriert. Sie treten auf:
●
●
●
●
●
in Festkörpern, z.B. in anharmonischen Gittern, in JOSEPHSON-Kontakten, in Glasfasern und in quasieindimensionalen Leitern,
in Flüssigkeiten als Oberflächenwellen oder Spinwellen,
in Plasmen als LANGMUIR-Solitonen,
in linearen Molekülen,
in der klassischen und Quantenfeldtheorie.
Solitonen haben sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften; sie sind zu jedem Zeitpunkt örtlich lokalisiert, und
der Bereich der Lokalisierung, bzw. der Punkt, um den herum die Welle lokalisiert ist, bewegt sich wie ein freies
Teilchen; insbesondere kann er auch ruhen. Ein Soliton besitzt eine permanente Ausbreitungsstruktur: Auf Grund
einer Balance zwischen Nichtlinearität und Dispersion ändern sich Form und Geschwindigkeit nicht.
Mathematisch betrachtet, sind Solitonen spezielle Lösungen bestimmter nichtlinearer partieller
Differentialgleichungen, die in Physik, Technik und angewandter Mathematik auftreten. Ihre Besonderheiten
bestehen im Fehlen jeglicher Dissipation sowie darin, daß die nichtlinearen Terme nicht störungstheoretisch
behandelt werden können.
Wichtige Beispiele dafür sind die:
a) KORTEWEG-DE-VRIES- (KdV)-Gleichung:
(9.124)
b) nichtlineare SCHRÖDINGER-(NLS)-Gleichung:
(9.125)
c) Sinus- GORDON- (SG)-Gleichung:
(9.126)
In diesen Gleichungen wird der eindimensionale Fall betrachtet, d.h., es gilt
Ortskoordinate und
wobei
die
die Zeit repräsentieren. Die Gleichungen sind in skalierter Form angegeben, d.h., die beiden
und sind hier dimensionslose Größen. Bei praktischen Anwendungen sind sie mit den
unabhängigen Variablen
für das jeweilige Problem charakteristischen, dimensionsbehafteten Größen zu multiplizieren. Analoges gilt für die
Geschwindigkeit
. Mit
bzw.
als Index werden partielle Ableitungen bezeichnet, z.B.
.
Kosekans
Die Kosekansfunktion
(2.69)
stellt graphisch eine um die Strecke
. Die Maxima liegen bei
mit
nach rechts verschobene Sekanskurve dar. Die Asymptoten sind
mit
und die Minima bei
Kosinus
1. Gewöhnliche Kosinusfunktion: Die gewöhnliche Kosinusfunktion
(2.65a)
hat ihre Schnittpunkte mit der
-Achse bei
sie sind zugleich die
Wendepunkte mit dem Tangentenneigungswinkel
Die Extrema befinden sich bei
2. Allgemeine Kosinusfunktion: Die allgemeine Kosinusfunktion
(2.65b)
läßt sich auch in der Form
(2.65c)
d.h. als allgemeine Sinusfunktion mit der Phasenverschiebung
schreiben.
Winkelkosinussatz oder polarer Kosinussatz
(3.175a)
(3.175b)
(3.175c)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Der Winkelkosinussatz enthält die drei Winkel des sphärischen Dreiecks und jeweils eine der drei Seiten. Mit ihm
können aus einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln der dritte Winkel bzw. aus den drei Winkeln eine Seite
des Dreiecks oder alle drei Seiten berechnet werden. Im Unterschied dazu ergibt sich beim ebenen Dreieck der dritte
. Aus drei gegebenen Winkeln läßt sich beim ebenen Dreieck keine Seite
Winkel aus der Winkelsumme von
berechnen, da sich damit unendlich viele, einander ähnliche Dreiecke ergeben.
Kosinussatz oder Seitenkosinussatz
(3.173a)
(3.173b)
(3.173c)
Der Seitenkosinussatz der sphärischen Trigonometrie entspricht dem Kosinussatz der ebenen Trigonometrie. Die
Bezeichnung Seitenkosinussatz bringt zum Ausdruck, daß dieser Satz die drei Seiten des sphärischen Dreiecks
enthält.
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Kotangens
Die Kotangensfunktion
(2.67)
ergibt eine an der
-Achse gespiegelte und um die Strecke
nach links verschobene Tangenskurve.
Die Asymptoten liegen bei
größere Werte von
. Wenn
von 0 bis
läuft, fällt
monoton von
wiederholt sich dieser Verlauf periodisch. Die Schnittpunkte mit der
mit
Tangentenneigungswinkel
bis
-Achse bei
sind zugleich Wendepunkte mit dem
für
Zinsen
Zinsen stellen entweder eine Gebühr dar, die für einen Kredit (Leihgeld) zu entrichten ist, oder einen Erlös, der von
, das während einer ganzen Zinsperiode (in der Regel 1 Jahr)
einem Guthaben erzielt wird. Für ein Kapital
angelegt ist, werden am Ende der Zinsperiode
(1.80)
Zinsen gezahlt. Dabei ist
gezahlt.
der Zinssatz pro Zinsperiode , und man sagt, es werden
Zinsen für das Kapital
Komplexes Potential eines Quelle-Senke-Systems
Für eine Quelle im Punkt
und eine Senke im Punkt
, beide mit gleicher Intensität, erhält man durch
Überlagerung das komplexe Potential
(14.27)
Die Potentiallinien
stellen Kreise durch
bilden Apollonische Kreise bezüglich
und
dar (s. Abbildung).
und
, die Feldlinien
Kreis
●
●
●
Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten
Parameterdarstellung des Kreises
Kreisgleichung in Polarkoordinaten
Kreis
Kreise werden mit dem Radius
dem Durchmesser
sowie mit einer Reihe von Winkeln beschrieben, die hier
nicht im Bogenmaß, sondern im Gradmaß des dazugehörigen Zentriwinkels
●
Winkel im Kreis
Strecken im Kreis
●
Umfang, Flächeninhalt, Zahl
●
(linke Abbildung) gemessen werden.
Rückwärtseinschneiden nach CASSINI
Bei diesem Rechenverfahren werden zwei Hilfspunkte
bzw.
und
verwendet, die je auf einem Hilfskreis durch
sowie beide auf einer Geraden durch den Neupunkt
liegen.
Gegeben:
Die Kreismittelpunkte
Verbindungslinien
(Peripheriewinkel).
Lösung:
Gemessen:
bzw.
bzw.
in
Gesucht:
sind die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von
Die in
gemessenen Winkel
bzw.
erscheinen wieder in
mit den
bzw.
(3.99a)
(3.99b)
(3.99c)
(3.99d)
(3.99e)
(3.99f)
(3.99g)
(3.99h)
Gefährlicher Kreis: Bei der Punktauswahl ist dafür zu sorgen, daß die vier betrachteten Punkte nicht auf einem
Kreis liegen, weil es dann keine Lösung gibt; man spricht vom gefährlichen Kreis . In dem Maße, in dem die Punkte in
die Nähe eines gefährlichen Kreises zu liegen kommen, nimmt die Genauigkeit des Verfahrens ab.
Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten
Die Gleichung des Kreises lautet in kartesischen Koordinaten für den in der linken Abbildung vorliegenden Fall, daß
der Kreismittelpunkt im Koordinatenursprung liegt,
(3.313a)
Liegt der Mittelpunkt im Punkt
(rechte Abbildung), dann ergibt sich
(3.313b)
Die allgemeine Gleichung zweiten Grades
(3.314a)
liefert dann und nur dann einen Kreis, wenn
Form
und
. Für diesen Fall kann die Gleichung stets auf die
(3.314b)
gebracht werden. Für den Radius und die Koordinaten des Mittelpunktes gilt dann
(3.315a)
(3.315b)
Für
liefert die Gleichung keine reelle Kurve, für
ergibt sich ein einziger Punkt
Parameterdarstellung des Kreises
(3.316)
wobei
der Winkel zwischen dem beweglichen Radius und der positiven Richtung der
-Achse ist.
Kreisgleichung in Polarkoordinaten
Die Kreisgleichung in Polarkoordinaten lautet ganz allgemein und in Übereinstimmung mit der linken Abbildung
(3.317a)
Wenn der Kreismittelpunkt auf der Polarachse liegt und der Kreis durch den Koordinatenursprung verläuft (rechte
Abbildung), dann vereinfacht sich die Gleichung zu
(3.317b)
Logarithmische Spirale
Logarithmische Spirale heißt eine Kurve, die alle Strahlen, die vom Koordinatenursprung 0 ausgehen, unter dem
gleichen Winkel
schneidet.
Die Gleichung der logarithmischen Spirale lautet in Polarkoordinaten
(2.239)
wobei
. Der Nullpunkt ist asymptotischer Punkt der Kurve. Die Länge des Bogens
der Grenzwert des Bogens
Der Krümmungsradius ist
Spezialfall Kreis: Für
berechnet vom Koordinatenursprung aus,
.
ist
beträgt
, und die Kurve wird zum Kreis.
Ebene Kreisfiguren
●
●
●
Kreis
Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
Kreisring
Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen
●
●
Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen
Gerade Kreiskegel
Gerade Kreiskegel zeichnen sich durch einen Kreis als Grundfläche und eine Spitze über dem Kreismittelpunkt aus.
Mit
als Länge der Mantellinie und
als Grundflächenradius gilt:
(3.135)
(3.136)
(3.137)
Torus oder Kreisring
Torus oder Kreisring wird ein Körper genannt, der durch die Drehung eines Kreises um eine in der Kreisebene
außerhalb des Kreises liegende Achse entsteht.
(3.156a)
(3.156b)
(3.157a)
(3.157b)
Tonnenkörper
Tonnenkörper enstehen durch Drehung einer Erzeugenden mit entsprechender Krümmung; Kreistonnenkörper durch
Drehung eines Kreisegments, parabolische Tonnenkörper durch Drehung eines Parabelausschnittes.
Kreistonnenkörper (näherungsweise):
(3.158a)
oder
(3.158b)
Parabolischer Tonnenkörper (näherungsweise):
(3.159)
Gerade Kreiszylinder
Gerade Kreiszylinder zeichnen sich durch einen Kreis als Grundfläche und senkrecht auf der Kreisebene stehende
Erzeugende aus.
Mit
als Grundflächenradius gilt:
(3.125)
(3.126)
(3.127)
Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
(3.128)
(3.129)
(3.130)
Kapitel 7:
Unendliche Reihen
●
Zahlenfolgen
Reihen mit konstanten Gliedern
Funktionenreihen
Fourier-Reihen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
Kriterien
Es gelten folgende Teilbarkeitskriterien:
(5.150a)
(5.150b)
(5.150c)
(5.150d)
(5.150e)
(5.150f)
(5.150g)
(5.150h)
(5.150i)
(5.150j)
(5.150k)
Beispiel A
ist durch 9 teilbar wegen
wegen
und
und
aber nicht durch 7 teilbar
.
Beispiel B
91619 ist durch 11 teilbar wegen
und
Beispiel C
99 994 096 ist durch
teilbar wegen
.
.
Rechenregeln für Matrizen
Die folgenden Regeln können nur angewendet werden, wenn die darin auftretenden Rechenoperationen
durchführbar sind.
1. Die Multiplikation einer Matrix mit der Einheitsmatrix wird wegen
(4.33)
auch identische Abbildung genannt.
2. Multiplikationen einer Matrix A mit der Skalarmatrix S oder mit der Einheitsmatrix E sind kommutativ:
(4.34a)
(4.34b)
3. Multiplikation einer Matrix A mit der Nullmatrix 0 ergibt die Nullmatrix:
(4.35)
Die Umkehrung dieser Regel gilt im allgemeinen nicht, d.h., aus
folgt nicht notwendig
oder
.
4. Verschwindendes Produkt zweier Matrizen Auch wenn weder
Produkt eine Nullmatrix ergeben:
noch
Nullmatrizen sind, kann ihr
(4.36)
Beispiel
5. Multiplikation dreier Matrizen:
(4.37)
6. Transposition von Summe und Produkt zweier Matrizen:
(4.38a)
Für quadratische Matrizen
gilt außerdem:
(4.38b)
7. Inverse eines Produkts aus zwei Matrizen:
(4.39)
8. Potenzieren von Matrizen:
(4.40a)
(4.40b)
(4.40c)
(4.40d)
9. KRONECKER-Produkt: Als Kronecker-Produkt zweier Matrizen
und
bezeichnet
man die Vorschrift
(4.41)
Bezüglich Transposition und Spur gelten die Regeln
(4.42)
(4.43)
Unterabschnitte
●
●
●
Krümmung einer Kurve:
Krümmungskreisradius einer Kurve:
Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius:
Krümmung und Krümmungskreisradius
Krümmung einer Kurve:
Die Krümmung
einer Kurve im Punkt
ist der Grenzwert des Verhältnisses des Winkels
positiven Tangentenrichtungen in den Punkten
und
zur Bogenlänge
zwischen den
für
(3.435)
Das Vorzeichen der Krümmung
oder negativen
gibt an, ob die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach der positiven
Seite der Kurvennormalen zeigt (s. Kurvennormale). Anders ausgedrückt liegt der
Krümmungsmittelpunkt für
Manchmal wird die Krümmung
Grenzwertes zu nehmen.
auf der positiven Seite der Kurvennormalen, für
auf der negativen.
prinzipiell als positive Größe aufgefaßt. Dann ist immer der Absolutbetrag des
Krümmungskreisradius einer Kurve:
Der Krümmungskreisradius
einer Kurve im Punkt
ist der reziproke Wert des Betrags der Krümmung:
(3.436)
Die Krümmung
ist in einem Punkt
um so größer, je kleiner der Krümmungskreisradius
ist.
Beispiel A
Für einen Kreis mit dem Radius
sind Krümmung
und Krümmungskreisradius
für
alle Punkte konstant.
Beispiel B
Für die Gerade ist
und
Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius:
Mit
und
gilt allgemein
(3.437)
Daraus ergeben sich für die unterschiedlichen Definitionsformen der Kurvengleichungen verschiedene Ausdrücke für
und
(3.438)
(3.439)
(3.440)
(3.441)
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Beispiel D
Krümmung einer Fläche
●
●
●
●
Krümmung von Kurven auf einer Fläche
Hauptkrümmungskreisradien
Klassifizierung der Flächenpunkte
Krümmung einer Fläche
Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie
Krümmung einer Kurve im Punkt
wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der unmittelbaren
Umgebung dieses Punktes von einer Geraden angibt. Die exakte Definition lautet:
(3.471)
1. Krümmungskreisradius Der Krümmungskreisradius ist der Kehrwert der Krümmung:
(3.472)
2. Formeln zur Berechnung von
und
a) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß
(3.465a):
(3.473)
wobei es sich um Ableitungen nach
handelt.
b) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß
(3.464):
(3.474)
Die Ableitungen sind hier nach vorzunehmen.
3. SchraubenlinieDie Gleichungen
(3.475)
beschreiben die sogenannte Schraubenlinie als Rechtsschraube .
Wenn ein Beobachter in die positive Richtung der
-Achse blickt, die gleichzeitig Schraubenachse sein soll, dann
windet sich die Schraube beim Steigen im Drehsinn des Uhrzeigers. Eine Schraubenlinie, die sich im
entgegengesetzten Drehsinn windet, wird Linksschraube genannt.
Beispiel
Es ist die Krümmung der Schraubenlinie
bestimmen. Wird der Parameter
(3.475) zu
durch
ersetzt, dann ergibt sich
und gemäß (3.473)
Beide Größen
und
sind konstant.
Ein anderer Weg ohne Parametertransformation über (3.474) hätte zu dem gleichen Ergebnis geführt.
Unterabschnitte
●
●
Krümmungskreis und Krümmungskreismittelpunkt:
Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes:
Krümmungskreis
Krümmungskreis und Krümmungskreismittelpunkt:
1. Krümmungskreis: Der Krümmungskreis im Punkt
durch
gehen.
und zwei benachbarte Punkte
und
wird die Grenzlage eines Kreises genannt, der
der Kurve geht, wenn
und
Er verläuft durch den betreffenden Kurvenpunkt und hat dort dieselbe 1. und 2. Ableitung wie die Kurve.
Demgemäß schmiegt er sich der Kurve im Berührungspunkt besonders gut an. Er wird Schmiegkreis oder
Krümmungskreis genannt. Sein Radius heißt Krümmungskreisradius . Es zeigt sich, daß er der Kehrwert des
Absolutbetrages der Kurvenkrümmung ist.
2. Krümmungskreismittelpunkt: Der Mittelpunkt
des Punktes
des Krümmungskreises ist der Krümmungsmittelpunkt
. Er liegt auf der konkaven Seite der Kurve und auf der zugehörigen Kurvennormalen.
Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes:
Die Berechnung der Koordinaten
des Krümmungskreismittelpunktes kann je nach der Definitionsform der
Kurvengleichung mit Hilfe der folgenden Formeln erfolgen. Definition gemäß (3.425):
(3.442)
Definition gemäß (3.426):
(3.443)
Definition gemäß (3.427):
(3.444)
Definition gemäß (3.424):
(3.445)
Diese Formeln können auch in der Form
(3.446)
(3.447)
hingeschrieben werden, wobei
gemäß (3.438) bis (3.441) berechnet wird.
Krümmungskreisradius der Parabel
Für den Krümmungskreisradius der Parabel im Punkt
mit
als Normalenlänge
gilt allgemein
(3.348a)
und speziell im Scheitel 0:
(3.348b)
Methoden der klassischen Kryptoanalysis
Das Ziel kryptoanalytischer Untersuchungen besteht darin, ohne Kenntnis des Schlüssels aus dem Schlüsseltext
möglichst viele Informationen über den zugehörigen Klartext abzuleiten. Solche Untersuchungen sind nicht nur für
unberechtigte ,,Lauscher`` von Interesse, sondern auch zur Beurteilung der Sicherheit von Kryptosystemen aus der
Sicht von deren Anwendern.
●
●
Statistische Analyse
KASISKI-FRIEDMAN-Test
KASISKI-FRIEDMAN-Test
Mit der kombinierten Methode von KASISKI und FRIEDMAN ist es möglich, VIGENERE-Chiffren zu brechen. Dabei wird
die Tatsache ausgenutzt, daß bei diesem Chiffrierverfahren das Schlüsselwort periodisch verwendet wird. Es treten
also Wiederholungen von Teilfolgen im Schlüsseltext auf, wenn gleiche Klartextfolgen mit gleichen Schlüsselfolgen
verschlüsselt worden sind. Der Abstand solcher übereinstimmender Teilfolgen mit der Länge
im Schlüsseltext
ist ein Vielfaches der Schlüssellänge. Gibt es mehrere sich wiederholende Schlüsseltextfolgen, dann muß die
Schlüssellänge den größten gemeinsamen Teiler der Abstände teilen. Diese Überlegung wird KASISKI-Text genannt.
Man muß aber die Möglichkeit in Betracht ziehen, daß solche Übereinstimmungen auch durch Zufall enstanden sein
könnten und damit das Ergebnis verfälschen würden.
Während der KASISKI-Text die Schlüsselwortlänge nur bis auf Vielfache und Teiler liefert, gibt der Friedman-Test die
Größenordnung der Schlüsselwortlänge an. Für die Schlüsselwortlänge
Klartextes in deutscher Sprache mit einem Schlüsseltext der Länge
eines VIGENERE-verschlüsselten
(Zeichenzahl) gilt
(5.190a)
Dabei ist
der Koinzidenzindex des Schlüsseltextes, der sich wie folgt aus den Anzahlen
der Buchstaben
des Schlüsseltextes berechnen läßt:
(5.190b)
Zur Ermittlung des Schlüsselwortes schreibt man den Schlüsseltext der Länge
in Spalten. Es genügt nun,
spaltenweise das Äquivalent der Buchstaben E zu finden, da die Spalten bei der VIGENERE-Chiffre durch eine
Verschiebechiffre entstanden sind. Ist z.B. V der häufigste Buchstabe in einer Spalte, dann findet man im VIGENERETableau
(5.190c)
den Buchstaben R des Schlüsselwortes.
Benutzt eine VIGENERE-Chiffre einen sehr langen Schlüssel (z.B. von der Länge des Klartextes), dann führen die hier
beschriebenen Methoden nicht zum Ziel. Man kann aber erkennen, ob die verwendete Chiffre monoalphabetisch,
polyalphabetisch mit kleiner Periode oder polyalphabetisch mit großer Periode ist.
Statistische Analyse
Für jede natürliche Sprache gibt es Verteilungen der Häufigkeiten von Einzelbuchstaben, Buchstabenpaaren, Worten
usw. Zum Beispiel ist in der deutschen Sprache E der häufigste Buchstabe.
Buchstaben
Gesamthäufigkeiten
E, N
27,18 %
I, S, R, A, T
34,48 %
D, H, U, L, C, G, M, O, B, W, F, K, Z 36,52 %
P, V, J, Y, X, Q
1,82 %
Für ausreichend lange Schlüsseltexte ist es unter Ausnutzung der Häufigkeitsverteilungen möglich,
monoalphabetische monographische Substitutionen zu brechen.
Kryptologie
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Aufgabe der Kryptologie
Kryptosysteme
Mathematische Präzisierung
Sicherheit von Kryptosystemen
Methoden der klassischen Kryptoanalysis
One-Time-Tape
Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
DES-Algorithmus (Data Encryption Standard)
IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm)
Aufgabe der Kryptologie
Kryptologie ist die Wissenschaft der Geheimhaltung von Informationen durch Transformation von Daten.
Die Idee, Daten vor unberechtigtem Lesen zu schützen, ist schon alt. Als selbstständiger Wissenszweig hat sich die
Kryptologie in den 70-er Jahren unseres Jahrhunderts mit der Einführung von Kryptosystemen mit öffentlichem
Schlüssel etabliert. Heute ist es Aufgabe kryptologischer Untersuchungen, Daten sowohl gegen unberechtigten
Zugriff als auch gegen unberechtigte Änderungen zu schützen.
Neben den ,,klassischen`` militärischen Anwendungen erlangen die Bedürfnisse der Informationsgesellschaft immer
mehr an Bedeutung. Beispielsweise geht es um die Gewährleistung der Sicherheit bei der Nachrichtenübermittlung
per e-mail, um den elektronischen Zahlungsverkehr (Home-Banking), PIN bei EC-Karten usw.
Unter dem Oberbegriff Kryptologie faßt man heute die beiden Teilgebiete Kryptographie und Kryptoanalysis
zusammen. Im Rahmen der Kryptographie werden Kryptosysteme entwickelt, deren kryptographische Stärke mit
Hilfe der Methoden der Kryptoanalysis zum Brechen von Kryptosystemen beurteilt werden kann.
DES-Algorithmus (Data Encryption Standard)
Das DES-Verfahren wurde 1976 vom National Bureau of Standards zum offiziellen US-Verschlüsselungsstandard
erklärt. Der Algorithmus gehört zu den symmetrischen Verschlüsselungsverfahren und spielt auch heute noch unter
den kryptologischen Verfahren eine überragende Rolle. Er eignet sich aber nicht zur Verschlüsselung von
Informationen höchsten Vertraulichkeitsgrades, da bei den inzwischen vorhandenen technischen Möglichkeiten ein
Angriff durch Ausprobieren aller Schlüssel nicht mehr ausgeschlossen werden kann.
Beim DES-Algorithmus werden Permutationen und nichtlineare Substitutionen hintereinander ausgeführt. Der
Algorithmus verwendet einen 56 Bit langen Schlüssel. Genauer, man benutzt einen 64-Bit-Schlüssel, in dem aber nur
56 Bit beliebig wählbar sind; die restlichen 8 Bit ergänzen Blöcke von 7-Bit-Zeichen auf ungerade Parität.
Der Klartext muß in Blöcke von je 64 Bit zerlegt werden. DES überführt dann jeweils einen Klartextblock von 64 Bit in
einen Geheimtextblock von 64 Bit.
Zunächst wird der Klartextblock einer Eingangspermutation unterworfen und anschließend in 16 schlüsselabhängigen
Runden verschlüsselt. Dazu werden aus den 56 Schlüssel-Bits 16 Teilschlüssel
gebildet und in
dieser Reihenfolge in den einzelnen Iterationsrunden zur Verschlüsselung eingesetzt.
Anschließend wendet man die zur Eingangspermutation inverse Permutation an und erhält so den zum Klartextblock
gehörenden Schlüsselblock.
Die Entschlüsselung erfolgt im wesentlichen auf die gleiche Weise, nur mit dem Unterschied, daß man die
Teilschlüssel in der umgekehrten Reihenfolge
anwenden muß.
Die Stärke des Chiffrierverfahrens liegt in der Konstruktion der Abbildungen, die in den einzelnen Iterationsrunden
angewendet werden. Man kann zeigen, daß jedes Bit des Schlüsseltextes von jedem Bit des zugehörigen Klartextes
und von jedem Bit des Schlüssels abhängig ist.
Obwohl der DES-Algorithmus bis ins Detail offengelegt wurde, ist bis heute keine Möglichkeit öffentlich bekannt
geworden, das Chiffrierverfahren zu brechen, ohne alle
Schlüssel durchzuprobieren.
Konzept von DIFFIE und HELLMAN
Das Konzept der Verfahren mit öffentlichem Schlüssel wurde 1976 von DIFFIE und HELLMAN entwickelt. Jeder
Teilnehmer verfügt über einen öffentlichen Schlüssel, der in einem allgemein zugänglichen Verzeichnis veröffentlicht
wird, und einen privaten Schlüssel, der nur dem jeweiligen Teilnehmer selbst bekannt ist und streng geheim gehalten
wird. Solche Verfahren nennt man
asymmetrische Chiffrierverfahren.
Der öffentliche Schlüssel des
-ten Teilnehmers bestimmt den Chiffrierschritt
-ten Teilnehmers bestimmt den Dechiffrierschritt
1.
2. Für
; der private Schlüssel
des
. Es müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
ist die identische Abbildung.
und
gibt es effiziente Realisierungen.
3. Der private Schlüssel
dem öffentlichen Schlüssel
kann mit den bis auf absehbare Zeit zur Verfügung stehenden Mitteln nicht aus
abgeleitet werden.
Gilt darüber hinaus noch
4.
ist die identische Abbildung.
dann handelt es sich um ein Signaturverfahren mit öffentlichem Schlüssel. Ein Signaturverfahren ermöglicht dem
Absender der Nachricht, diese mit einer unfälschbaren Unterschrift zu versehen.
eine Nachricht
Möchte
öffentlichen Schlüssel
verschlüsseln und an
von
sendet nun den Schlüsseltext
senden, dann entnimmt
aus dem Verzeichnis den
und legt damit die Verschlüsselungsfunktion
über das öffentliche Netz an
, und
.
kann den Klartext der Nachricht mit
bestimmen, der die Entschlüsselungsfunktion
Hilfe seines privaten Schlüssels
fest:
festlegt:
.
Um das Fälschen von Nachrichten zu verhindern, kann
seine Nachricht
gemäß
an
wie folgt signieren:
verschlüsselt den Klartext
mit seinem privaten Schlüssel
, fügt dem Text seine Unterschrift ,,A`` hinzu und verschlüsselt den unterschriebenen Text
mit dem öffentlichen Schlüssel von
von
in einem Signaturverfahren mit öffentlichem Schlüssel
an
:
geschickt.
Der Teilnehmer
entschüsselt den Text mit seinem privaten Schlüssel und erhält
. Der so signierte Text wird
. Aus diesem Text erkennt
den Text
mit dem öffentlichen Schlüssel von
entschlüsseln:
den Absender
und kann nun
.
Einwegfunktionen
Chiffrierfunktionen in Verfahren mit öffentlichem Schlüssel müssen Einwegfunktionen mit ,,Falltür`` sein. Unter Falltür
versteht man hier eine geheim zu haltende Zusatzinformation.
Eine injektive Funktion
heißt Einwegfunktion mit Falltür, falls die folgenden Bedingungen gelten:
1. Es gibt effiziente Verfahren zur Berechnung von
und
2. Das effiziente Verfahren zur Berechnung von
kann aus
.
nicht ohne eine geheim zu haltende
Zusatzinformation gewonnen werden.
Man kann nicht beweisen, daß es Einwegfunktionen gibt, kennt jedoch Funktionen, die als Kandidaten für
Einwegfunktionen in Frage kommen.
IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm)
Der IDEA-Algorithmus wurde 1991 von LAI und MASSAY zum Patent vorgelegt. Wie beim DES-Algorithmus handelt
es sich um ein symmetrisches Verschlüsselungsverfahren; IDEA ist ein potentieller Nachfolger für DES. Der
Algorithmus ist insbesondere als Bestandteil des bekannten Softwarepakets PGP (Pretty Good Privacy) zur
Verschlüsselung von e-mails bekannt geworden. Im Unterschied zu DES wurde nicht nur der Algorithmus
veröffentlicht, sondern auch seine Entwurfsgrundlagen. Ziel war die Verwendung möglichst einfacher Operationen
(Addition modulo 2, Addition modulo
, Multiplikation modulo
).
Mit IDEA kann man 64-Bit-Klartextblöcke verschlüsseln und bei Wahl der Teilschlüssel in umgekehrter Reihenfolge
wieder entschlüsseln. Zur Verschlüsselung wird jeder 64-Bit-Klartextblock in vier Teilblöcke von je 16 Bit aufgeteilt.
IDEA benutzt 128-Bit-Schlüssel, aus denen 52 Teilschlssel von je 16 Bit erzeugt werden. In 8
Verschlüsselungsrunden werden jeweils 6 dieser Teilschlüssel benötigt; die restlichen 4 Teilschlüssel werden in einer
Ausgabetransformation mit den vier Textblöcken verknüpft und abschließend zu einem 64-Bit-Schlüsseltextblock
zusammengesetzt.
IDEA ist etwa doppelt so schnell wie DES, in Hardware jedoch schwieriger zu implementieren. Öffentlich sind keine
erfolgreichen Angriffe gegen IDEA bekannt geworden. Angriffe durch Ausprobieren aller Schlüssel bleiben bei der
Schlüssellänge von 128 Bit wirkungslos.
Kryptosysteme
Ein abstraktes Kryptosystem besteht aus den folgenden Mengen: Nachrichtenraum
Schlüsselräume
und
Eine Nachricht
Schlüsseltext
, Funktionsräume
und
, Schlüsseltextraum
,
.
wird durch Anwendung einer Abbildung
mit einem Schlüssel
zu einem
verschlüsselt und über einen Kommunikationskanal übermittelt. Der Empfänger kann aus
die ursprüngliche Nachricht
passenden Schlüssel
reproduzieren, sofern er über eine geeignete Abbildung
und den dazu
verfügt.
Es gibt zwei Arten von Kryptosystemen:
1. Symmetrische Kryptosysteme: Beim klassischen symmetrischen Kryptosystem verwendet man den
gleichen Schlüssel
zum Verschlüsseln der Nachricht und zum Entschlüsseln des Schlüsseltextes.
Beim Erstellen von klassischen Kryptosystemen kann der Anwender seiner Phantasie freien Lauf lassen. Das
Verschlüsseln und Entschlüsseln darf aber nicht zu kompliziert werden. In jedem Fall ist die sichere
Übertragung zwischen beiden Kommunikationspartnern unabdingbar.
2. Asymmetrische Kryptosysteme: Beim asymmetrischen Kryptosystem verwendet man zwei Schlüssel,
einen privaten (streng geheimen) und einen öffentlichen Schlüssel. Der öffentliche Schlüssel kann auf dem
gleichen Weg wie der Schlüsseltext übertragen werden. Die Sicherheit der Kommunikation ist hierbei durch die
Verwendung sogenannter Einwegfunktionen gewährleistet, die es dem unbefugten Lauscher unmöglich
machen, den Klartext aus dem Schlüsseltext zu ermitteln.
Mathematische Präzisierung
Ein Alphabet
ist eine endliche nichtleere totalgeordnete Menge, deren Elemente
Buchstaben genannt werden. Die Länge des Alphabetes ist
, die aus Buchstaben von
Menge aller Wörter der Länge
. Eine Zeichenreihe
besteht, ist ein Wort der Länge
über
bezeichnet. Seien
der Länge
über dem Aplphabet
und
. Mit
Alphabete sowie
wird die
eine
endliche Menge.
Eine Kryptofunktion ist eine Abbildung
für jedes
, so daß die Abbildung
injektiv ist. Dabei werden
Verschlüsselungsfunktion bzw. Entschlüsselungsfunktion genannt,
und
ist der Klartext und
der Schlüsseltext.
Für eine Kryptofunktion ist die einparametrige Familie
findet Verwendung, wenn neben der Abbildung
Die Menge
wird
ein Kryptosystem
. Der Begriff Kryptosystem
auch Struktur und Größe der Schlüsselmenge von Bedeutung sind.
aller zu einem Kryptosystem gehörenden Schlüssel heißt Schlüsselraum. Für
und
(5.188)
Kryptosystem auf
Ist
genannt.
ein Kryptosystem auf
, dann heißt
kontinuierliche Chiffre, falls
ist; anderenfalls ist
eine
Blockchiffre.
Kryptofunktionen aus einem Kryptosystem auf
Man zerlegt dazu den Klartext in Blöcke der Länge
sind zum Verschlüsseln von Klartexten beliebiger Länge geignet.
und wendet die Funktion auf jeden der Blöcke einzeln an.
Gegebenenfalls müssen noch sogenannte Blender hinzugefügt werden, um den Klartext auf eine durch
Länge zu ergänzen. Blender dürfen den Klartext nicht stören.
teilbare
Man unterscheidet kontextfreie Verschlüsselung , bei der ein Schlüsseltextblock nur Funktion des zugehörigen
Klartextblocks und dessen Schlüssel ist, und kontextsensitive Verschlüsselung , bei der der Schlüsseltextblock auch
von anderen Blöcken der Nachricht abhängig ist. Im Idealfall hängt jede Schlüsseltextstelle von allen Klartextstellen
und allen Schlüsselstellen ab. Kleine Änderungen in Klartext oder Schlüssel bewirken dann große Änderungen im
Schlüsseltext ( Lawineneffekt ).
One-Time-Tape
Hierbei handelt es sich um die einzige, theoretisch als sicher geltende Chiffre. Die Verschlüsselung erfolgt nach dem
Prinzip der VIGENERE-Chiffre, jedoch verwendet man als Schlüssel eine Zufallsfolge von Buchstaben, deren Länge
mit der Länge des Klartextes übereinstimmt.
In der Regel werden one-time-tapes als binäre VIGENERE-Chiffren realisiert: Klartext und Schlüssel sind dann als
Dualzahlen dargestellt und werden modulo 2 addiert. Unter diesen Bedingungen ist die Chiffre involutorisch , d.h.,
das zweimalige Anwenden der Chiffre liefert wieder den Klartext. Die technische Ausführung von binären VIGENEREChiffren erfolgt durch Schieberegisterschaltungen . Darunter versteht man Schaltungen, die nach bestimmten Regeln
aus Speicherbausteinen, die die Zustände 0 oder 1 annehmen können, und Schaltern zusammengesetzt sind.
RSA-Verfahren
Das im Kapitel Zahlentheorie beschriebene RSA-Verfahren ist das populärste asymmetrische
Verschlüsselungsverfahren.
1. Voraussetzungen: Man wählt zwei große Primzahlen
gelten;
zischen
und
und
und
und
. Dabei soll
müssen sich als Dezimalzahlen in ihrer Länge um einige Stellen unterscheiden; die Differenz
darf aber auch nicht zu groß sein. Weiterhin sollen
enthalten, und der größte gemeinsame Teiler von
, das teilerfremd zu
. Dann bilden
und
ist, und berechne ein
und
und
große Primfaktoren
soll möglichst klein sein. Man wähle ein
mit
den öffentlichen Schlüssel und
modulo
den privaten Schlüssel.
2. Verschlüsselungsoperation:
(5.191a)
3. Entschlüsselungsoperation:
(5.191b)
Damit gilt
für jede Nachricht
Die zur Verschlüsselung verwendete Funktion ist für
.
ein Kandidat für eine
Einwegfunktion mit Falltür. Die Zusatzinformation liegt hier in der Kenntnis der Primfaktorenzerlegung von
diese Information ist es praktisch unmöglich, die Kongruenz
. Ohne
zu lösen.
Das RSA-Verfahren gilt weithin als praktisch sicher, sofern die oben genannten Bedingungen erfüllt sind. Als Nachteil
gegenüber anderen Verfahren sind die relativ große Schlüssellänge und die Tatsache zu beachten, daß RSA
gegenüber DES um etwa den Faktor 1000 langsamer ist.
Sicherheit von Kryptosystemen
In der Kryptoanalysis geht es um die Entwicklung von Methoden, mit denen man aus dem Schlüsseltext ohne
Kenntnis des Schlüssels möglichst viele Informationen über den Klartext gewinnen kann.
Nach A. KERCKHOFF liegt die Sicherheit eines Kryptosystems allein in der Schwierigkeit, den Schlüssel oder genauer
die Entschlüsselungsfunktion zu finden. Sie darf nicht auf der Geheimhaltung des Systems selbst beruhen.
Es gibt verschiedene Aspekte zur Beurteilung der Sicherheit von Kryptosystemen:
a) Absolut sichere Kryptosysteme: Es gibt nur ein absolut sicheres Kryptosystem, das one-time-tape . Der
Beweis dafür wurde von SHANNON im Rahmen der Informationstheorie erbracht.
b) Analytisch sichere Kryptosysteme: Es gibt kein Verfahren, mit dem dieses Kryptosystem systematisch
gebrochen werden kann. Der Beweis für die Nichtexistenz solcher Verfahren kann durch den Nachweis der
Nicht-Berechenbarkeit der Entschlüsselungsfunktion erfolgen.
c) Komplexitätstheoretisch sichere Kryptosysteme: Es gibt keinen Algorithmus, der das Kryptosystem in
Polynomzeit (bezüglich der Textlänge) brechen kann.
d) Praktisch sichere Kryptosysteme: Es ist kein Verfahren bekannt, das das Kryptosystem mit den
verfügbaren Ressourcen mit vertretbaren Kosten brechen kann.
Bei der Kryptoanalyse werden oft statistische Methoden (Häufigkeitsanalysen für Buchstaben und Wörter)
angewandt. Neben dem vollständigen Suchen und der Trial-and-Error-Methode ist auch eine Strukturanalyse des
Kryptosystems denkbar (Lösen von Gleichungssystemen).
Bei Angriffen auf Kryptosysteme kann man versuchen, einige häufig vorkommende Chiffrierfehler auszunutzen,
z.B.die Verwendung stereotyper Formulierungen, das wiederholte Senden wenig geänderter Klartexte, eine
ungeschickte vorhersehbare Schlüsselauswahl und die Verwendung von Füllzeichen.
●
●
●
●
Methoden der klassischen Kryptologie
Tauschchiffren
VIGENERE-Chiffre
Matrixsubstitutionen
Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
Obwohl die Verfahren der klassischen Kryptologie mit der heutigen Rechentechnik effizient realisierbar sind und auch
für zweiseitige Nachrichtenverbindungen nur ein Schlüssel erforderlich ist, gibt es auch eine Reihe von Nachteilen:
●
●
●
●
●
●
Die Chiffriersicherheit beruht allein auf der Geheimhaltung des Schlüssels.
Die Schlüssel müssen vor der Kommunikation auf einem hinreichend gesicherten Kanal ausgetauscht werden;
spontane Kommunikation ist nicht möglich.
Es ist darüber hinaus nicht möglich, Dritten gegenüber nachzuweisen, daß ein bestimmter Absender eine
bestimmte Nachricht geschickt hat.
Konzept von DIFFIE und HELLMAN
Einwegfunktionen
RSA-Verfahren
Methoden der klassischen Kryptologie
Außer durch Anwendung von Kryptofunktionen ist es auch möglich, einen Klartext durch kryptologische Codes zu
verschlüsseln. Darunter versteht man eine bijektive Abbildung von einer Teilmenge
der Menge aller Wörter über
auf eine Teilmenge
der Menge aller Wörter über einem Alphabet
einem Alphabet
Original-Bild-Paare dieser Abbildung heißt Codebuch.
. Die Menge aller
Beispiel
heute abend
0815
morgen abend 1113
Dem Vorteil, daß lange Klartexte durch kurze Nachrichten ersetzt werden können, steht der Nachteil gegenüber, daß
gleiche Klartextteile durch gleiche Schlüsseltextteile ersetzt werden und auch nur teilweise kompromittierte
Codebücher mit großem Aufwand komplett ausgetauscht werden müssen.
Im weiteren Text werden nur noch Verschlüsselungen mit Hilfe von Kryptofunktionen betrachtet. Diese haben den
zusätzlichen Vorteil, daß keine vorherige Absprache über den Inhalt der auszutauschenden Nachrichten erfolgen
muß.
Klassische Kryptooperationen sind Substitution und Transposition . Transpositionen sind in der Kryptologie spezielle,
über geometrische Figuren definierte Permutationen. Im weiteren sollen die Substitutionschiffren genauer vorgestellt
werden. Man unterscheidet monoalphabetische und polyalphabetische Substitutionen , je nachdem, ob ein Alphabet
oder mehrere Alphabete zur Abfassung des Schlüsseltextes herangezogen werden. Allgemeiner spricht man auch
von polyalphabetischen Substitutionen, wenn zwar nur ein Alphabet benutzt wird, jedoch die Verschlüsselung der
Klartextzeichen von deren Position im Text abhängig ist.
Außerdem ist eine Einteilung in monographische und polygraphische Substitutionen sinnvoll. Im ersten Fall werden
Einzelzeichen ersetzt, im zweiten Fall Zeichenfolgen einer festgesetzten Länge
.
Matrixsubstitutionen
Sei
ein Alphabet und
nichtsinguläre Matrix vom Typ
mit ggT(det
, eine
)
. Die Abbildung, die jedem Klartextblock
den Schlüsseltextblock mit der Indexfolge (die Rechnung wird modulo
ausgeführt)
(5.189)
zuordnet, heißt HILL-Chiffre. Es handelt sich dabei um eine monoalphabetische Matrixsubstitution.
Beispiel
Die Buchstaben des Alphabetes seien
. Wählt man als Klartext das
Wort ,,HERBST``, dann sind den Buchstabenfolgen HER, BST die Indexfolgen
zugeordnet. Man erhält
bzw.
und
. Nach Reduktion modulo 26 ergeben sich die Indexfolgen
und
sowie die zugehörigen Buchstabenfolgen ZGU bzw. HGG. Der Schlüsseltext
zum Klartext HERBST lautet also ZGUHGG.
Tauschchiffren
Ist
Permutation
Es gibt
und
, die jeden Buchstaben
mit dem ggT
auf
verschiedene Tauschchiffren auf
, dann wird die
abbildet, eine Tauschchiffre genannt.
.
Verschiebechiffren sind Tauschchiffren mit
. Die Verschiebechiffre mit
CAESAR (100 bis 44 v. Chr.) benutzt und heißt deshalb CAESAR-Chiffre.
wurde schon von JULIUS
VIGENERE-Chiffre
Die Verschlüsselung bei der VIGENERE-Chiffre basiert auf der periodischen Verwendung eines Schlüsselwortes,
dessen Buchstaben paarweise verschieden sind.
In einer Version dieser Chiffre nach L. CAROLL wird zum Ver- und Entschlüsseln das sogenannte VIGENERE-Tableau
benutzt:
Steht das Klartextzeichen in Zeile
und das Schlüsselzeichen in Spalte
des VIGENERE-Tableaus, dann wird das
Schlüsseltextzeichen im Schnittpunkt der beiden Reihen im Innern des Tableaus abgelesen. Die Entschlüsselung
erfolgt in umgekehrter Reihenfolge.
Beispiel
Als Schlüsselwort wird ,,Hut`` gewählt.
Klartext:
E S W A R E I N M A L
Schlüssel:
H U T H U T H U T H U
Schlüsseltext: L M P H L X P H F H F
Formal kann man die VIGENERE-Chiffre auch wie folgt schreiben: Ist
zugehörige Schlüsselbuchstabe, dann ist
der Klartextbuchstabe und
der Schklüsseltextbuchstabe genau dann, wenn
der
gilt.
Wurzeln
In Übereinstimmung mit der folgenden Tabelle ,,Definition der Potenzen`` wird als
Zahl
-te Wurzel aus
die positive
(1.17a)
bezeichnet. Man spricht bei der Berechnung dieser Zahl vom Radizieren oder Wurzelziehen und nennt
Radikanden und
genannt.
Basis
beliebig reell,
den
den Wurzelexponenten . Die 2. und die 3. Wurzel werden auch Quadratwurzel bzw. Kubikwurzel
Exponent
Potenz
rational:
positiv reell
(
,
ganz,
(
)
-te Wurzel aus
hoch
)
irrational:
positiv
Für die Lösung der Gleichung
(1.17b)
wird häufig auch die Schreibweise
verwendet, aber dann repräsentiert diese Darstellung
die im Falle eines negativen oder komplexen Wertes von
gemäß (1.143b) zu
berechnen sind.
Beispiel
Die Gleichung
hat die drei Wurzeln
Werte
und
Kugel
Die Kugel besitze den Radius
und den Durchmesser
.
Jeder ebene Kugelschnitt ergibt einen Kreis. Ein ebener Schnitt durch den Kugelmittelpunkt ergibt einen Großkreis
mit dem Radius
. Durch je zwei nicht diametral gegenüberliegende Kugeloberflächenpunkte kann immer nur ein
Großkreis gelegt werden. Die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei Kugeloberflächenpunkten auf der
Kugeloberfläche ist der Bogen des Großkreises.
Formeln für die Kugeloberfläche und das Kugelvolumen:
(3.142a)
(3.142b)
(3.142c)
(3.143a)
(3.143b)
(3.143c)
(3.144a)
(3.144b)
Kugelabschnitt
(3.147)
(3.148)
(3.149)
(3.150)
Legendresche Polynome (Kugelfunktionen)
Wegen der Definition s. Abschnitt LEGENDREsche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen), eine Tabelle der Nullstelllen s.
Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art.
0,00
0,0000
0,3750
0,0000
0,0000
0,05
0,3657
0,0927
0,10
0,3379
0,1788
0,15
0,2928
0,2523
0,20
0,2320
0,3075
0,25
0,1577
0,3397
0,30
0,3454
0,1292
0,35
0,3225
0,2225
0,40
0,2706
0,2926
0,45
0,1917
0,3290
0,50
0,3232
0,2231
0,55
0,2708
0,3007
0,60
0,1721
0,3226
0,2737
0,65
0,1338
0,70
0,2350
0,75
0,3438
0,80
0,4600
0,85
0,5838
0,2603
0,90
0,7150
0,4725
0,95
0,8538
0,7184
0,5541
1,00
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
Vektorfeld in Zylinder- und Kugelkoordinaten
Die Einheitsvektoren der Zylinder- und Kugelkoordinaten
(13.17a)
sind Tangenten an die Koordinatenlinien in jedem Punkt (s. die folgenden Abbildungen).
Sie bilden in der angegebenen Reihenfolge jeweils ein orthogonales Rechtssystem. Die Koeffizienten müssen dann
als Funktionen der entsprechenden Koordinaten gegeben sein:
(13.17b)
(13.17c)
Beim Übergang von einem Punkt zu einem anderen ändern zwar die Koordinatenvektoren ihre Richtung, sie stehen
aber stets senkrecht aufeinander.
Kugelschachtelungssatz
Sei
ein vollständiger metrischer Raum. Ist
(12.55)
eine Folge von ineinandergeschachtelten abgeschlossenen Kugeln mit
dieser Kugeln nichtleer und besteht nur aus einem einzigen Punkt.
Gilt dieser Satz in einem metrischen Raum, so ist dieser vollständig.
, dann ist der Durchschnitt aller
Kugelschicht
(3.151)
(3.152)
(3.153)
(3.154)
Wenn
das Volumen eines Kegelstumpfes ist, der in eine Kugelschicht einbeschrieben ist und
die Länge seiner
Mantellinie ist, dann gilt
(3.155)
Begriffsbestimmung
Eine sphärische Kurve, die alle Meridiane unter konstantem Kurswinkel schneidet, heißt Loxodrome oder Kursgleiche
. Breitenkreise
und Meridiane
sind damit spezielle Loxodromen.
Polargleichung der Kurven zweiter Ordnung
Alle Kurven 2. Ordnung werden mit der einen Polargleichung
(3.352)
beschrieben, wobei
der Halbparameter und
die Exzentrizität sind. Dabei liegt der Pol im Brennpunkt, während
die Polarachse vom Brennpunkt nach dem nächstgelegenen Scheitelpunkt hin gerichtet ist. Für die Hyperbel definiert
diese Gleichung nur einen Ast.
Kurven dritter Ordnung
Eine ebene Kurve heißt algebraische Kurve der Ordnung
in zwei Variablen vom Gesamtgrad
, wenn sie durch eine Polynomgleichnung der Form
beschrieben werden kann.
Beispiel A
Die Kardioide mit der Gleichung
Kurve 4. Ordnung.
Beispiel B
Die bekannten Kegelschnitte stellen Kurven 2. Ordnung dar.
●
●
●
Semikubische Parabel
Versiera der Agnesi
Kartesisches Blatt
, ist eine
●
●
Zissoide
Strophoide
Kurve 3. Ordnung, Typ I
Die Funktion
(2.48)
und
liefert eine Kurve 3. Ordnung . Sie hat die beiden Asymptoten
denen der eine einer monotonen Änderung von
zwischen
und
andere drei charakteristische Punkte durchläuft: einen Schnittpunkt
Extremum
bei
und einen Wendepunkt
dieser Äste gibt es vier Fälle, die von den Vorzeichen von
und
und besteht aus zwei Ästen, von
bzw.
entspricht, während der
mit der Asymptote bei
bei
abhängen.
ein
Für die Lage
Die Schnittpunkte
und
mit der
-Achse liegen bei
eins (Berührung) oder null betragen, je nachdem, ob für
geht für
in die Funktion
ihre Anzahl kann zwei,
gilt:
(s. Abbildung der reziproken Potenz)
oder
. Die Funktion (2.48)
und für
in die gebrochen lineare Funktion
, einen Spezialfall von (2.47), über.
Kurve 3. Ordnung, Typ II
Die Funktion
(2.49)
beschreibt eine Kurve 3. Ordnung , die symmetrisch zu der vertikalen Geraden bei
-Achse zur Asymptote hat.
verläuft und die die
Ihr Verhalten hängt von den Vorzeichen von
und
ab. Von den zwei Fällen
wird hier nur der erste betrachtet, da der zweite durch Spiegelung von
und
an der
-Achse erhalten werden kann.
a) Fall
Die Funktion ist für beliebiges
dann wieder gegen 0 zu fallen. Das Maximum
liegen bei
berechnen sich zu
positiv und stetig und wächst von 0 bis zum Maximum, um
liegt bei
die Wendepunkte
und
die zugehörigen Tangentensteigungen (Richtungskoeffizienten)
b) Fall
Die Funktion ist für beliebiges
eine Unstetigkeitsstelle mit
positiv, wächst von 0 bis
und nimmt von hier wieder auf 0 ab.
besitzt bei
c) Fall
Die Funktion wächst von 0 bis
hier über ein Maximum wieder nach
zu verlaufen, von wo es einen zweiten Sprung nach
den schließlich ein Abfall gegen 0 folgt. Das Maximum
liegen bei
springt an der Unstetigkeitsstelle auf
liegt bei
um von
gibt, auf
die Unstetigkeitsstellen
Kurve 3. Ordnung, Typ III
Die Funktion
(2.50)
beschreibt eine Kurve 3. Ordnung durch den Koordinatenursprung mit der
-Achse als Asymptote.
Der Verlauf der Funktion hängt von den Vorzeichen von
der Wurzeln
und
der Gleichung
ist. Von den zwei Fällen
Spiegelung der Kurve für
a) Fall
und von
ab, wenn
und
sowie von den Vorzeichen
ist, vom Vorzeichen von
wenn
wird hier nur der erste betrachtet, da sich der zweite durch
an der
-Achse ergibt.
Die Funktion verläuft stetig, nimmt von 0 bis zum Minimum ab, steigt dann bis zum Maximum
an, um danach wieder auf 0 abzufallen.
Die Extremwerte
b) Fall
❍
und
liegen bei
es gibt drei Wendepunkte.
Der Verlauf hängt vom Vorzeichen von
Die Funktion nimmt von 0 bis
ab:
ab, hat eine Unstetigkeitsstelle, nach der sie von
bis zum Maximum anwächst, um danach gegen 0 zu streben.
Das Maximum
❍
liegt bei
.
Die Funktion fällt von 0 bis zum Minimum ab, durchläuft danach den Koordinatenursprung,
steigt dann von 0 bis
, hat eine Unstetigkeitsstelle und fällt dann wieder von
auf 0 ab.
Das Minimum
liegt bei
.
Die Unstetigkeitsstellen liegen in beiden Fällen bei
beide Kurven besitzen je einen
Wendepunkt.
c) Fall
Die Funktion besitzt zwei Unstetigkeitsstellen bei
von den Vorzeichen von
und
ab.
und
ihr Verlauf hängt
❍
Die Vorzeichen von
und
nimmt wieder von
sind verschieden: Die Funktion nimmt von 0 bis
bis
erfährt einen zweiten Sprung nach
❍
Die Vorzeichen von
und
ab, springt auf
ab, wobei sie durch den Koordinatenursprung verläuft,
von wo sie gegen 0 abfällt. Extremwerte treten nicht auf.
sind beide negativ: Die Funktion nimmt von 0 bis
läuft von hier über ein Minimum wieder bis auf
springt abermals auf
bis zum Maximum an, um danach asymptotisch gegen 0 abzufallen.
ab, springt auf
steigt dann
Die Extremwerte
❍
und
werden nach den gleichen Formeln wie im Fall
Die Vorzeichen von
und
wächst dann auf
an, springt auf
springt auf
berechnet.
sind beide positiv: Die Funktion nimmt von 0 bis zum Minimum ab,
durchläuft ein Maximum, um wieder
und verläuft von hier gegen 0.
zu erreichen,
Die Extremwerte
und
werden nach den gleichen Formeln wie im Fall
In allen drei Fällen besitzt die Kurve einen Wendepunkt.
berechnet.
Kurven vierter Ordnung
●
●
●
●
●
●
Konchoide des NIKOMEDES
Allgemeine Konchoide
PASCALsche Schnecke
Kardioide
CASSINIsche Kurven
Lemniskate
Ebene Kurven
●
●
●
●
●
●
Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren
Lokale Elemente einer Kurve
Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten
Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
Evoluten und Evolventen
Einhüllende von Kurvenscharen
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
Tangente im Punkt M:
Gleichungen der Tangente und der Normalen:
Positive Richtung von Kurventangente und Kurvennormale:
Steigung der Tangente:
Abschnitte der Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale:
Winkel zwischen zwei Kurven:
Tangente und Normale
Tangente im Punkt M:
Tangente im Punkt
Punkt
wird die Sekante
senkrecht auf der Tangente steht.
in ihrer Grenzlage für
genannt, Normale eine Gerade, die im
Gleichungen der Tangente und der Normalen:
Die Gleichungen der Tangente und der Normalen sind in der folgenden Tabelle für die drei Fälle der impliziten (3.424),
expliziten (3.425) und Parameterform (3.426) angegeben. Dabei sind
die Koordinaten des Punktes
die Koordinaten der Tangenten- und Normalenpunkte. Die Werte der Ableitungen sind für den Punkt
Tabelle Tangenten- und Normalengleichungen
Art der
Gleichung
Gleichung der Tangente
Gleichung der Normale
und
zu berechnen.
(3.424)
(3.425)
(3.426)
Beispiel A
Kreis mit
und Punkt
:
a) Tangentengleichung:
oder
Unter Berücksichtigung der
Kreisgleichung im Punkt
b) Normalengleichung:
oder
im Punkt
Beispiel B
Sinuslinie
im Punkt 0(0,0):
a) Tangentengleichung:
oder
im Punkt
b) Normalengleichung:
oder
im Punkt
Beispiel C
Kurve mit
im Punkt
a) Tangentengleichung:
oder
im Punkt
b) Normalengleichung:
oder
im Punkt
Positive Richtung von Kurventangente und Kurvennormale:
Wenn die Kurve in der expliziten (3.425), Parameter- (3.426) oder Polarkoordinatenform (3.427) gegeben ist, dann sind die
positiven Richtungen auf der Tangente und der Normalen festgelegt. Die positive Richtung auf der Tangente stimmt mit
der positiven Richtung der Kurve im Berührungspunkt überein, während sich die positive Richtung auf der Normalen aus
der positiven Richtung der Tangente durch deren Drehung um den Punkt
des Uhrzeigers ergibt.
um
im entgegengesetzten Drehsinn
Die Tangente und die Normale werden durch den Punkt
jeweils in eine positive und eine negative Halbgerade geteilt.
Steigung der Tangente:
Die Steigung der Tangente wird bestimmt
a) durch den Tangentenneigungswinkel
Tangente oder,
zwischen den positiven Richtungen der Abszissenachse und der
b) wenn die Kurve in Polarkoordinaten gegeben ist, durch den Winkel
und der positiven Richtung der Tangente.
zwischen der Richtung des Radiusvektors
Für die Winkel
und
gelten die folgenden Formeln, wobei das Bogenelement
gemäß (3.428) bis (3.430)
berechnet wird:
(3.431a)
(3.431b)
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Abschnitte der Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale:
Man erhält in Anlehnung an die Abbildung die folgenden Formeln:
a) In kartesischen Koordinaten für eine Definition gemäß der expliziten (3.425) und der Parameterform (3.426):
(3.432a)
(3.432b)
(3.432c)
(3.432d)
b) In Polarkoordinaten für eine Definition gemäß der Polarkoordinatenform (3.427):
(3.433a)
(3.433b)
(3.433c)
(3.433d)
Beispiel A
Beispiel B
Winkel zwischen zwei Kurven:
Unter dem Winkel
zwischen zwei Kurven
Tangenten an diese Kurven im Punkt
und
verstanden.
die sich im Punkt
schneiden, wird der Winkel zwischen den
Die Berechnung des Winkels
ist damit auf die Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden mit den
Richtungskoeffizienten
(3.434a)
(3.434b)
zurückgeführt, wobei
Ableitungen für den Punkt
die Gleichung von
und
die Gleichung von
ist und die
zu berechnen sind.
Beispiel
Es ist der Winkel zwischen den Parabeln
und
im Punkt
zu bestimmen:
.
Positive Richtung auf einer Kurve
Wenn eine Kurve in der Parameterform
(3.426) gegeben ist, dann wird auf ihr als positiv die
Richtung definiert, in der sich ein Kurvenpunkt
für zunehmende Werte des Parameters
Ist die Kurve in der expliziten Form
bewegt.
(3.425) gegeben, dann kann die Abszisse
als Parameter aufgefaßt werden, so daß die positive Richtung die mit wachsender Abszisse ist. Für die Angabe in
Polarkoordinaten
(3.427) dient der Winkel
so daß die positive Richtung der Zunahme von
Beispiel A
Beispiel B
als Parameter,
entspricht, d.h. entgegengesetzt zum Drehsinn des Uhrzeigers.
Beispiel C
Scheitel
Scheitel sind Kurvenpunkte, in denen die Krümmung ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Die Ellipse hat z.B. die
vier Scheitel
(linke Abbildung), die Kurve des Logarithmus (rechte Abbildung) nur einen bei
Die Ermittlung der Scheitelpunkte wird auf die Bestimmung der Extremwerte von
auf die von
oder, wenn das einfacher ist,
zurückgeführt, die mit den Formeln (3.438) bis (3.441) berechnet werden können.
Aufstellung empirischer Kurven
●
●
Verfahrensweise
Gebräuchlichste empirische Formeln
Beschreibung von Kurven in komplexer Form
Eine komplexe Funktion von einer reellen Veränderlichen
kann auch in Parameterform dargestellt werden:
(14.91)
Bei Änderungen von
durchlaufen die Punkte
eine Kurve
.
Die Gleichungen für Gerade, Kreis, Hyperbel, Ellipse und logarithmische Spirale lauten:
1. Gerade
a) Gerade durch einen Punkt
, Winkel
mit der
-Achse:
(14.92a)
b) Gerade durch zwei Punkte
und
:
(14.92b)
2. Kreis
a) Kreis, Radius
, Mittelpunkt im Koordinatenursprung:
(14.93a)
b) Kreis, Radius
, Mittelpunkt im Punkt
:
(14.93b)
3. Hyperbel, Normalform
(14.94a)
oder
(14.94b)
wobei
und
konjugiert komplexe Zahlen sind:
(14.94c)
4. Ellipse
a) Ellipse, Normalform
:
(14.95a)
oder
(14.95b)
mit
(14.95c)
d.h.,
und
sind beliebige reelle Zahlen.
b) Ellipse, allgemeine Form: Der Mittelpunkt befindet sich im Punkt
, die Achsen sind um einen
Winkel gedreht.
(14.96)
sind beliebige komplexe Zahlen bezeichnet, die die Länge der Ellipsenachsen und ihre Drehung
Mit und
bestimmen.
5. Logarithmische Spirale
(14.97)
wobei
und
beliebige komplexe Zahlen sind.
Hyperbolische Spirale
Die Gleichung der hyperbolischen Spirale in Polarkoordinaten lautet:
(2.238)
Die Kurve der hyperbolischen Spirale besteht aus zwei Zweigen, die symmetrisch zur
-Achse verlaufen. Für beide
Zweige ist die Gerade
Der Flächeninhalt des Sektors
Der Krümmungsradius ist
Asymptote und der Koordinatenursprung asymptotischer Punkt.
beträgt
, wobei gilt:
.
Reziproke Potenz
Die Funktion
(2.51)
beschreibt eine Kurve vom hyperbolischen Typ mit den Koordinatenachsen als Asymptoten. Die Unstetigkeitsstelle
liegt bei
a) Fall
Für
wächst die Funktion bei geradem
abzufallen, wobei sie stets positiv bleibt. Bei ungeradem
von 0 bis
fällt sie von 0 auf
um dann auf 0
ab, springt auf
um dann wieder gegen 0 hin abzunehmen.
b) Fall
Für
fällt die Funktion bei geradem
streben, wobei sie stets negativ bleibt. Bei ungeradem
danach bis 0 anzusteigen.
von 0 auf
wächst sie von 0 bis
ab, um von hier gegen 0 zu
, springt auf
, um
Extrema hat die Funktion keine. Die Kurve nähert sich um so schneller asymptotisch der
langsamer der
-Achse, je größer
ist. Für gerades
ist sie symmetrisch zur
zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Abbildung zeigt die Fälle
-Achse und um so
-Achse, für ungerades
und
für
Hyperbelkosinus
Der Hyperbelkosinus
und für
von 1 bis
(2.157) ist eine gerade Funktion, die für
monoton wächst.
von
auf 1 monoton fällt
Das Minimum liegt bei
. Asymptoten gibt es keine. Die Kurve verläuft symmetrisch bezüglich der
und bleibt mit ihren Werten oberhalb der quadratischen Parabel
Funktion eine Kettenlinie beschreibt, nennt man die Kurve auch Katenoide.
-Achse
(schwarz gezeichnete Kurve). Da die
Hyperbelkotangens
Der Hyperbelkotangens
(2.159) ist eine ungerade Funktion mit einer Unstetigkeit bei
Für
fällt sie monoton von -1 auf
Wendepunkte gibt es nicht. Die Asymptoten liegen bei
für
von
und
auf +1. Extremwerte und
Lemniskate
Lemniskate nennt man den Spezialfall
der CASSINIschen Kurven , die der Bedingung genügen
(2.230)
wobei die Fixpunkte
bei
liegen. Die Gleichung lautet in kartesischen und in Polarkoordinaten
(2.231a)
(2.231b)
Der Koordinatenursprung ist Doppelpunkt und Wendepunkt zugleich, wobei die Tangenten
Die Schnittpunkte
bei
und
mit der
-Achse liegen bei
die Maxima und Minima
der Polarwinkel beträgt in diesen Punkten
Der Krümmungsradius ergibt sich zu
und der Flächeninhalt jeder Schleife zu
sind.
Raumkurven
●
●
●
Möglichkeiten, eine Raumkurve zu definieren
Begleitendes Dreibein
Krümmung und Windung
Unterabschnitte
●
●
●
Exponential- und Hyperbelfunktionen
BESSEL-Funktionen
Parameterdarstellung
Beispiele für zweidimensionale Graphiken
Die folgenden Graphiken wurden mit Maple erzeugt, danach mit Coreltrace vektorisiert und mit Coreldraw!
nachbearbeitet. Dies war notwendig, weil die unmittelbare Konversion einer Maple-Graphik in eine EPS-Datei nur
sehr kleine Liniendicken ergibt und damit unansehnliche Bilder liefert.
Exponential- und Hyperbelfunktionen
Mit der Konstruktion
(20.91a)
(20.91b)
erhält man die in der folgenden Abbildung dargestellten Exponentialfunktionen.
Ähnlich liefert der Befehl
die gemeinsame Darstellung der vier Hyperbelfunktionen:
Zusätzliche Strukturen, wie Beschriftungen, Achsenpfeile und anderes sind in Graphiken durch nachträgliche
Bearbeitung mit Hilfe von Graphikprogrammen einzufügen.
BESSEL-Funktionen
Mit den beiden Aufrufen
(20.92a)
und
(20.92b)
erhält man jeweils die ersten drei BESSEL-Funktionen
mit geradem
(erste Abbildung) und mit
ungeradem
(zweite Abbildung).
In ähnlicher Art und Weise lassen sich die anderen in Maple vordefinierten speziellen Funktionen darstellen.
Parameterdarstellung
Mit dem Aufruf
(20.93a)
erhält man die in der folgenden Abbildung dargestellte Kurve.
Auf die folgenden zwei Aufrufe liefert MAPLE eine trochoidenähnliche Schleifenfunktion
(vgl. verkürzte Trochoide) bzw. eine hyperbolische Spirale.
(20.93b)
(20.93c)
Durch die Einfügung der Option coords in die Anweisung interpretiert Maple die Parameterdarstellung als
Polarkoordinaten.
Sekans
Die Sekansfunktion
(2.68)
hat die Periode
mit
die Asymptoten sind
; stets gilt
die Minima bei
mit
. Die Maxima liegen bei
Semikubische Parabel
Die Gleichung
(2.215a)
oder in Parameterform
(2.215b)
liefert die semikubische Parabel .
Im Koordinatenursprung gibt es einen Rückkehrpunkt, Asymptoten gibt es keine. Die Krümmung
durchläuft alle Werte von
Koordinatenursprung und einem Punkt
die Länge
bis 0. Der Kurvenbogen hat zwischen dem
Hyperbelsinus
Der Hyperbelsinus
Funktion.
(2.156) ist eine ungerade, zwischen
und
monoton wachsende
Der Koordinatenursprung ist zugleich Symmetriemittel- und Wendepunkt mit dem Tangentenneigungswinkel
Asymptoten gibt es nicht.
Sphärische Kurven
Ein wichtiges Einsatzgebiet der sphärischen Trigonometrie ist die Navigation. Eine ihrer Aufgaben besteht in der
Wahl von Kurswinkeln, die optimale Wegstrecken ermöglichen. Andere Anwendungsgebiete sind das geodätische
Vermessungswesen (s. z.B. Lit. 3.12, Programme und Rechenbeispiele) sowie Roboter-Bewegungsabläufe.
Strophoide
Die Strophoide ist der geometrische Ort aller Punkte
liegen (
liegt auf der negativen
und
, die auf einem beliebigen Strahl durch den Punkt
-Achse) und für die gilt
(2.220)
Dabei ist
der Schnittpunkt des Strahles mit der
-Achse.
Die Gleichung der Strophoide in kartesischen und Polarkoordinaten sowie in Parameterform lautet:
(2.221a)
(2.221b)
(2.221c)
Der Koordinatenursprung ist ein Doppelpunkt mit den Tangenten
. Die Asymptote hat die Gleichung
, und der Scheitel
liegt bei
Der Flächeninhalt der Schleife beträgt
Asymptote
.
der Flächeninhalt zwischen der Kurve und der
Hyperbeltangens
Der Hyperbeltangens
(2.158) ist eine ungerade, für
von
bis
monoton von -1 auf +1
anwachsende Funktion.
Der Koordinatenursprung ist zugleich Symmetriemittel- und Wendepunkt mit dem Tangentenneigungswinkel
Die Asymptoten liegen bei
Tangens
Die Tangensfunktion
(2.66)
hat die Periode
und die Asymptoten
Die Funktion wächst für
von
im Intervall von
bis
monoton zwischen
wiederholt sich dieser Verlauf periodisch. Die Schnittpunkte mit der
bis
für größere Werte
-Achse bei
sind zugleich Wendepunkte mit dem Tangentenneigungswinkel
Schleppkurve oder Traktrix
Schleppkurve oder Traktrix nennt man den geometrischen Ort aller Punkte mit der Eigenschaft, daß das
Tangentenstück
einer Kurve zwischen Berührungspunkt
Leitlinie, hier mit der
-Achse, die konstante Länge
besitzt.
und Schnittpunkt der Tangente mit einer
In der Abbildung ist die Traktrix blau gezeichnet. Die Traktrix wird von einem Punkt
beschrieben, der an einem Ende eines nicht dehnbaren Fadens mit der Länge
entlang der Leitlinie, hier entlang der
Ende
Die Gleichung der Traktrix lautet
, Schleppunkt genannt,
befestigt ist, wenn das andere
-Achse, bewegt wird.
(2.243)
Die
-Achse ist Asymptote. Der Punkt
Achse.
ist ein Rückkehrpunkt. Die Kurve verläuft symmetrisch zur
-
Die Länge des Bogens
ist
Bei wachsender Länge des Bogens
dem Wert
Der Krümmungsradius ist
wobei
nähert sich die Differenz
hier die Abszisse des Punktes
Krümmungsradius
ist.
und Normalenabschnitt
sind
zueinander umgekehrt proportional:
Die Evolute der Traktrix, d.h., der geometrische Ort ihrer Krümmungskreismittelpunkte
dargestellt, ist die Katenoide mit der Gleichung
in der Abbildung rot
(2.242).
Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden
Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden werden von einem Punkt beschrieben, der sich 1. außerhalb
oder 2. innerhalb eines Kreises auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen
Strahl befindet, während der Kreis, ohne zu gleiten, auf einer Geraden abrollt.
Die Gleichung der Trochoiden in Parameterform lautet mit
als Radius des Kreises:
(2.233a)
(2.233b)
wobei
der Winkel
ist. Wegen
bestimmt
die verlängerte Zykloide und
die verkürzte.
Die Periode der Kurven ist
Die Maxima liegen bei
die Minima bei
Die verlängerte Zykloide besitzt bei
Doppelpunkte, wobei
die kleinste positive Wurzel der Gleichung
ist.
Die verkürzte Zykloide besitzt Wendepunkte bei
.
Die Länge eines Zyklus berechnet sich zu
Die in der Abbildung schraffiert gezeichnete Fläche beträgt
Für den Krümmungsradius erhält man
und in den Minima
in den Maxima
Zissoide
Die Gleichung der Zissoide
(2.218a)
in Parameterform
(2.218b)
und in Polarkoordinaten
(2.218c)
beschreibt den geometrischen Ort aller Punkte
, für die gilt
(2.219)
Dabei ist
Geraden
ein beliebiger Punkt auf dem erzeugenden Kreis mit dem Radius
mit der Asymptote
und
der Schnittpunkt der
.
Der Flächeninhalt zwischen der Kurve und Asymptote berechnet sich zu
.
Zykloiden
●
●
●
●
●
Gewöhnliche Zykloide
Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden
Epizykloide
Hypozykloide und Astroide
Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und Hypotrochoide
Schnittpunkte sphärischer Kurven
●
●
Schnittpunkte zweier Orthodromen
Schnittpunkte zweier Loxodromen
Spiralen
●
●
●
●
●
ARCHIMEDische Spirale
Hyperbolische Spirale
Logarithmische Spirale
Evolvente des Kreises
Klotoide
Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
Kurven, gegeben in der impliziten Form
Parameterform
(3.424), in der expliziten Form
(3.426) oder in der Polarkoordinatenform
meist mit dem Ziel untersucht, ihr Verhalten oder ihre Gestalt kennenzulernen.
●
●
Kurvenkonstruktion von explizit gegebenen Funktionen
Kurvenkonstruktion von implizit gegebenen Funktionen
(3.425), in der
(3.427), werden
Kurvenintegrale
Der Integralbegriff kann in verschiedene Richtungen verallgemeinert werden. Während das Integrationsgebiet des
gewöhnlichen bestimmten Integrals ein Intervall auf der Zahlengeraden ist, wird beim Kurvenintegral -, auch
Linienintegral genannt, ein Stück einer ebenen oder räumlichen Kurve als Integrationsgebiet gewählt, d.h., es werden
Grenzwerte von Summen betrachtet, deren Summanden von einer Kurve, dem Integrationsweg, abhängen. Ist die
Kurve, d.h. der Integrationsweg, geschlossen, dann wird das Kurvenintegral zum Umlaufintegral . Man unterscheidet
Kurvenintegrale erster, zweiter und allgemeiner Art.
●
●
●
●
Kurvenintegrale erster Art
Kurvenintegrale zweiter Art
Kurvenintegral allgemeiner Art
Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg
Berechnung des Kurvenintegrals erster Art
Die Berechnung des Kurvenintegrals erster Art erfolgt durch Zurückführung auf die Berechnung des bestimmten
Integrals.
1. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform: Lauten die Gleichungen eines
ebenen Integrationsweges
und
, dann gilt
(8.108a)
und im Falle eines räumlichen Integrationsweges mit
und
(8.108b)
wobei
der Wert des Parameters
im Punkt
werden so gewählt, daß die Bedingung
und
sein Wert für den Punkt
ist. Die Punkte
und
erfüllt ist.
2. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form: Man setzt
(8.108a) im ebenen Falle
und erhält aus
(8.109a)
und aus (8.108b) im räumlichen Falle
(8.109b)
Dabei sind
und
die Abszissen der Punkte
und
, wobei die Bedingung
erfüllt sein muß.
Außerdem wird angenommen, daß jedem Punkt der Projektion des Kurvenstückes
auf die -Achse dort
eindeutig ein Punkt entspricht, d.h., daß jeder Kurvenpunkt eindeutig durch einen Abszissenpunkt bestimmt wird.
Wenn das nicht der Fall ist, dann wird das Bogenstück in mehrere Teilintervalle zerlegt, von denen jedes die
genannte Eigenschaft besitzt. Das Kurvenintegral über das gesamte Kurvenstück ist dann gleich der Summe der
Kurvenintegrale über die Teilintervalle.
Definitionen
Kurvenintegral erster Art oder Integral über eine Bogenlänge wird das bestimmte Integral
(8.106)
genannt, wobei
eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte Funktion von zwei
Veränderlichen ist und die Integration über den Kurvenbogen
einer ebenen, durch ihre Gleichung
vorgegebenen Kurve durchgeführt wird. Das betreffende Bogenstück liegt in dem gleichen Gebiet und wird
Integrationsweg genannt. Der Zahlenwert des Kurvenintegrals erster Art wird auf die folgende Weise ermittelt
(s. Abbildung).
1. Zerlegung des Bogenstückes
in
Elemementarbogenstücke durch beliebig gewählte Punkte
, beginnend beim Anfangspunkt
bis zum Endpunkt
.
2. Auswahl beliebiger Punkte
mit den Koordinaten
im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elementarbogenstückes
und
.
3. Multiplikation der Funktionswerte
in den gewählten Punkten mit den positiv zu nehmenden
Bogenlängen
.
4. Addition aller so gewonnenen
Produkte
.
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
(8.107a)
für den Fall, daß die Länge jedes Elementarbogenstückes
gegen Null geht, also
gegen
.
Wenn der Grenzwert von (8.107a) existiert und unabhängig ist von der Wahl der Punkte
und
, so wird er
Kurvenintegral erster Art genannt, und man schreibt
(8.107b)
In Analogie dazu wird das Kurvenintegral erster Art für eine Funktion
definiert, dessen Integrationsweg das Bogenstück einer Raumkurve ist:
von drei Veränderlichen
(8.107c)
Existenzsatz
Das Kurvenintegral 1. Art (8.107b) bzw. (8.107c) existiert, wenn die Funktion
Kurve längs des Bogenstückes
bzw.
stetig sind und die Kurve dort eine stetige Tangente besitzt. Anders formuliert: Es
existieren in diesem Falle die genannten Grenzwerte, und sie sind unabhängig von der Wahl der Punkte
. Die Funktion
sowie die
heißt in diesem Falle längs der Kurve
integrierbar.
und
Berechnung der Kurvenintegrale zweiter Art
Die Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art erfolgt durch Zurückführung auf die Berechnung des bestimmten
Integrals. Es werden zwei Fälle unterschieden.
●
●
Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform:
Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form:
Definitionen
Kurvenintegral zweiter Art oder Integral über eine Projektion (auf die
-,
- oder
-Achse) wird das bestimmte
Integral
(8.110a)
oder
(8.110b)
genannt, wobei
bzw.
eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte Funktion von
zwei bzw. drei Veränderlichen ist und die Integration über die Projektion eines ebenen oder räumlichen durch seine
Gleichung vorgegebenen Kurvenbogens
auf die
-,
-, oder
-Achse durchgeführt wird. Der
Integrationsweg liegt in dem gleichen Gebiet. Das Kurvenintegral zweiter Art wird ebenso gewonnen wie das
Kurvenintegral erster Art, jedoch mit dem Unterschied, daß beim dritten Schritt die Funktionswerte
nicht mit den Längen der Elementarbogenstücke
Projektionen auf eine der Koordinatenachsen (s. Abbildung).
bzw.
multipliziert werden, sondern mit ihren
Existenzsatz
Das Kurvenintegral zweiter Art (8.112a), (8.113a), (8.112b), (8.113b) und (8.114) existiert, wenn die Funktion
bzw.
Tangente besitzt.
sowie die Kurve längs des Bogenstückes
stetig sind und die Kurve dort eine stetige
Projektion auf die x-Achse:
Mit
(8.111)
ergibt sich
(8.112a)
(8.112b)
Projektion auf die y-Achse:
(8.113a)
(8.113b)
Projektion auf die z-Achse:
(8.114)
Kurvenintegral als Kurvenintegral 2. Gattung allgemeiner Art
In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.101)
Definition
Kurvenintegral allgemeiner Art wird die Summe der Integrale 2. Art über alle Projektionen einer Kurve genannt. Wenn
entlang des vorgegebenen Kurvenstückes
oder drei Funktionen
zwei Funktionen
und
und
von zwei Veränderlichen
von drei Veränderlichen definiert sind und die
entsprechenden Kurvenintegrale 2. Art existieren, dann gilt:
1. Für eine ebene Kurve:
(8.118a)
2. Für eine Raumkurve:
(8.118b)
Die vektorielle Darstellung des Kurvenintegrals allgemeiner Art und eine Anwendung in der Mechanik wird im
Abschnitt ,,Kurvenintegral im Vektorfeld`` behandelt.
Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art
1. Die Zerlegung des Integrationsweges mittels eines Teilungspunktes
Bogenstückes
, der auf der Kurve außerhalb des
liegen kann (s. Abbildung), führt zur Aufteilung des Integrals in zwei Teilintegrale:
(8.119)
Für den Fall dreier Veränderlicher gelten analoge Formeln.
2. Die Umkehrung der Durchlaufrichtung des Integrationsweges führt zum Vorzeichenwechsel des
Integrals:
(8.120)
Für den Fall dreier Veränderlicher gelten analoge Formeln.
3. Wegabhängigkeit: Im allgemeinen hängt der Wert des Kurvenintegrals sowohl vom Anfangs- und Endpunkt
als auch vom Integrationsweg ab (s. Abbildung):
(8.121)
Für den Fall dreier Veränderlicher gelten analoge Formeln.
Beispiel A
, wobei
von
ein Gang der Schraubenlinie
bis
ist.
Beispiel B
, wobei
Punkten
und
ist:
ein Bogen der Parabel
zwischen den
.
Kurvenintegral im Vektorfeld
●
●
Definition
Berechnung des Kurvenintegrals in fünf Schritten
Kurvenkonstruktion von explizit gegebenen Funktionen
a) Ermittlung des Definitionsbereiches.
b) Ermittlung der Symmetrie der Kurve hinsichtlich des Koordinatenursprungs und der
-Achse aus der
Geradheit oder Ungeradheit der Funktion.
c) Ermittlung des Verhaltens der Funktion im Unendlichen durch Bestimmung der
Grenzwerte
und
d) Bestimmung der Unstetigkeitsstellen.
e) Bestimmung der Schnittpunkte mit der
-Achse bzw. mit der
-Achse durch Berechnung von
bzw. von
f) Bestimmung der Maxima und Minima und Ermittlung der Monotonieintervalle mit Zu- bzw. Abnahme der
Funktion.
g) Bestimmung der Wendepunkte und ihrer Tangentengleichungen.
Mit den so gefundenen Angaben kann die Kurve skizziert und, wo es nötig ist, durch Berechnung einzelner Punkte
präzisiert werden.
Beispiel
zu konstruieren:
Es ist die Kurve der Funktion
a)
Die Funktion ist für alle
-Werte außer für
definiert.
b)
Es gibt keinerlei Symmetrie.
c)
Für
strebt
zwar ebenfalls
sich für
so daß
Annäherung von unten bedeutet, während
ergibt, aber
Annäherung von oben
bedeutet.
d)
Bei
gibt es eine Unstetigkeitsstelle derart, daß die Kurve von links und von rechts nach
verläuft, da
für kleine
-Werte negativ ist.
e)
Da
ist, gibt es keinen Schnittpunkt mit der
-Achse, während
die Schnittpunkte mit der
-Achse bei
und
liefert.
f)
Ein Maximum liegt bei
und
g)
Ein Wendepunkt befindet sich bei
mit
h)
Nach der Skizzierung der Funktion auf Grund der gewonnenen Daten (s. Abbildung) wird der
Schnittpunkt der Kurve mit der Asymptote bei
und
berechnet.
Kurvenkonstruktion von implizit gegebenen Funktionen
Ist die Funktion impilzit gemäss
gegebene, dann ist die Angabe allgemeiner Regeln ist nicht zu
empfehlen, da sich damit oft umständliche Rechnungen ergeben. Nach Möglichkeit sollten die folgenden Elemente
ermittelt werden:
a) Bestimmung aller Schnittpunkte
mit den Koordinatenachsen.
b) Ermittlung der Symmetrien der Kurven,
indem
durch
und
durch
ersetzt wird.
c) Bestimmung der Extremwerte
bezüglich der
-Achse und nach Vertauschen von
und
auch bezüglich der
-Achse.
d) Bestimmung der Wendepunkte und der Tangentenneigungen.
e) Bestimmung der singulären Punkte.
f) Bestimmung der Scheitelpunkte
und der zuhörigen Krümmungskreise. Die Kurvenbogenstücke sind oft auf einem relativ großen Abschnitt nur
schwer von den Krümmungskreisabschnitten zu unterscheiden.
g) Bestimmung der Asymptotengleichungen
und der Lage der Kurvenzweige relativ zu den Asymptoten.
Winkel-Rückversetzung
Liegt eine berechnete geographische Länge
sich für
nicht im Definitionsbereich
die reduzierte geographische Länge
dann ergibt
zu
(3.211)
Man spricht in diesem Zusammenhang von Rückversetzung des Winkels in den Definitionsbereich.
NEPERsche Regel
Die NEPERsche Regel faßt die Gleichungen (3.187a) bis (3.187j) zusammen. Eine schematische Darstellung liefert
die folgende Abbildung.
Wenn die 5 Bestimmungsstücke eines rechtwinklig sphärischen Dreiecks ohne Berücksichtigung des rechten Winkels
in einem Kreis in der gleichen Reihenfolge angeordnet werden wie im Dreieck und wenn dabei die Katheten
durch ihre Komplementwinkel
und
ersetzt werden, dann gilt:
Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks ist gleich dem Produkt der Kotangensfunktionen seiner beiden
anliegenden Bestimmungsstücke.
Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks ist gleich dem Produkt aus den Sinus der nicht anliegenden
Bestimmungsstücke.
Beispiel A
(s.
(3.187a);
Beispiel B
(s.
(3.187f)).
Beispiel C
Das Gradnetz einer Kugel ist auf einen Zylinder abzubilden, der die Kugel in einem Meridian berührt. Der
Berührungsmeridian und der Äquator bilden die Achsen eines GAUSS-KRÜGER-Systems.
Lösung: Ein Punkt
der Kugeloberfläche wird zu
der Ebene. Der Großkreis g durch
zum Berührungsmeridian bildet sich als Gerade g' senkrecht zur
senkrecht
-Achse und der Kleinkreis
durch
parallel zum Berührungsmeridian als Gerade
parallel zur
als Bild keine Gerade, sondern eine Kurve
Die nach oben zeigende Richtung der Tangente von
in
-Achse ab. Der Meridian
gibt die geographische Nordrichtung an, die nach oben zeigende Richtung von
Nordrichtung . Der Winkel
durch
die geodätische
zwischen beiden Nordrichtungen heißt Meridiankonvergenz .
Im rechtwinklig sphärischen Dreieck
mit
und
hat
ergibt sich
aus
Nach der NEPERschen Regel ist
oder
Da
daraus
bei kleinen Abständen
ist. Man erhält
und
Die Längenverzerrung
gering, und es kann
meist klein sind, folgt mit
dieses Zylinderentwurfes ist
gesetzt werden, wobei
Die Umrechnung von
km eine Meridiankonvergenz von
der Rechtswert von
aus dem Bogen- ins Gradmaß ergibt für
bzw.
Kompensatorische Operatoren
Gelegentlich benötigt man Operatoren, die zwischen den - und -Normen liegen; sie werden kompensatorische
Operatoren genannt. Beispiele für kompensatorische Operatoren sind der Lambda- und der Gamma-Operator.
1. Lambda-Operator:
(5.270)
Fall
Die Gleichung (5.270) liefert eine Form, die als algebraische Summe bekannt ist (s. Tabelle der
Normen,
- und
-
-Normen); ihr ist der ODER-Operator zuzuordnen.
Fall
Die Gleichung (5.270) liefert eine Form, die als algebraisches Produkt bekannt ist (s. Tabelle der
- und
Normen, -Normen); ihr ist der UND-Operator zuzuordnen.
2. Gamma-Operator:
(5.271)
-
Fall
= 1:
liefert die Darstellung für die algebraische Summe.
Fall
= 0:
liefert die Darstellung für das algebraische Produkt.
Die Anwendung des Gamma-Operators auf beliebig viele unscharfe Mengen ist gegeben durch
(5.272)
und mit einer Wichtung
versehen ergibt sich:
(5.273)
LANDAU-Symbole
Das gegenseitige Verhalten zweier Funktionen bezüglich einer beliebigen Stelle
Symbole
(,,groß O``), bzw.
wird durch die LANDAU-
(,,klein o``) wie folgt beschrieben: Es bedeutet für
(2.28a)
und
(2.28b)
wobei
zugelassen ist. Die LANDAU-Symbole haben nur Sinn bei gleichzeitiger Vorgabe der
Bewegungsrichtung
Beispiel A
.
für
denn mit
und
verhält sich in der Umgebung von
d.h.,
gilt:
wie
Beispiel B
verschwindet von höherer Ordnung als
für
d.h.,
für
.
Beispiel C
und
verschwinden von gleicher Ordnung für
d.h.,
:
für
Definition
Das Skalarprodukt des Nablaoperators mit sich selbst wird LAPLACE-Operator genannt:
(13.72)
Der LAPLACE-Operator ist kein Vektor. Er schreibt die Summierung der zweiten partiellen Ableitungen vor und kann
sowohl auf skalare als auch auf vektorielle Funktionen angewandt werden. Der LAPLACE-Operator ist ein skalar
invarianter Vektor , d.h., seine Form bleibt bei Translation und/oder Rotation des Koordinatensystems unverändert.
Darstellung des Laplace-Operators in verschiedenen Koordinaten
In den folgenden Formeln erfolgt die Anwendung des LAPLACE-Operators auf die skalare Ortsfunktion
Ergebnis der Anwendung ist dann ein Skalar. Bei Anwendungen auf vektorielle Ortsfunktionen
Ergebnis der Anwendung
ein Vektor mit den Komponenten
. Das
ist das
.
1. LAPLACE-Operator in kartesischen Koordinaten
(13.73)
2. LAPLACE-Operator in Zylinderkoordinaten
(13.74)
3. LAPLACE-Operator in Kugelkoordinaten
(13.75)
4. LAPLACE-Operator in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
(13.76a)
mit
(13.76b)
(13.76c)
Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich
●
●
●
Definition der Laplace-Transformation
Konvergenz
Inverse Laplace-Transformation (Rücktransformation)
Additions- oder Linearitätssatz, Ähnlichkeitssätze
1. Additions- oder Linearitätssatz: Die LAPLACE-Transformation einer Summe ist gleich der Summe der
LAPLACE-Transformierten, wobei konstante Faktoren vor das LAPLACE-Integral gezogen werden können
:
(15.9)
2. Ähnlichkeitssätze: Die LAPLACE-Transformierte von
Transformierte, die gleich der Transformierten der durch
Argument
) ergibt eine LAPLACEdividierten Originalfunktion ist, aber mit dem
:
(15.10a)
In Analogie dazu gilt für die Rücktransformation
(15.10b)
Die folgende Abbildung zeigt die Anwendung des Ähnlichkeitssatzes am Beispiel einer Sinusfunktion.
Definition der Laplace-Transformation
Die LAPLACE-Transformation
(15.5)
ordnet einer gegebenen Funktion
Funktion
der reellen Veränderlichen
der komplexen Veränderlichen
die Originalfunktion
nicht stärker als
zu, die Bildfunktion genannt wird. Dabei wird vorausgesetzt, daß
in ihrem Definitionsbereich
mit
gegen
, Originalfunktion genannt, eine andere
, dem Originalbereich , stückweise glatt ist und für
strebt. Der Definitionsbereich der Bildfunktion
wird
Bildbereich genannt.
Häufig wird in der Literatur die LAPLACE-Transformierte auch in der WAGNERschen oder LAPLACE-CARSONschen
Form
(15.6)
eingeführt (s. Lit. 15.17).
Dämpfungssatz
Die LAPLACE-Transformierte einer mit dem Faktor
Transformierten mit dem Argument
gedämpften Originalfunktion ist gleich der LAPLACE:
(15.12)
Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation
Schon aus den Rechenregeln für die LAPLACE-Transformation ist zu erkennen, daß durch Anwendung der LAPLACETransformation komplizierte Operationen im Originalbereich wie Differentiation oder Integration durch einfache
algebraische Operationen im Bildbereich ersetzt werden können. Dabei müssen allerdings, z.B. bei der
Differentiation, noch Anfangsbedingungen berücksichtigt werden. Von dieser Tatsache macht man bei der Lösung
von Differentialgleichungen Gebrauch.
●
●
●
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten
Partielle Differentialgleichungen
Differentiation im Bildbereich
(15.15)
Die
-te Ableitung der Bildfunktion ist gleich der LAPLACE-Transformierten der mit
Originalfunktion
multiplizierten
:
(15.16)
Differentiation und Integration nach einem Parameter
(15.20a)
(15.20b)
Mit Hilfe dieser Formeln kann man manchmal LAPLACE-Integrale aus bereits bekannten berechnen.
Differentiation im Originalbereich
Wenn die Ableitungen
von
für
existieren und die höchste auftretende Ableitung
eine Bildfunktion besitzt, dann haben auch die niedrigeren Ableitungen einschließlich
eine
Bildfunktion, und es gilt:
(15.13)
Aus der Gleichung (15.13) ergibt sich die folgende Darstellung des LAPLACE-Integrals, die zur genäherten
Berechnung von LAPLACE-Integralen genutzt werden kann:
(15.14)
Zusammenhang mit der Laplace-Transformation
Beschreibt man eine diskrete Funktion
als Treppenfunktion, dann gilt:
(15.128)
Auf diese stückweise konstante Funktion läßt sich die LAPLACE-Transformation anwenden, und man erhält für
:
(15.129)
Die unendliche Reihe in (15.129) wird auch als diskrete LAPLACE-Transformation bezeichnet und mit dem Symbol
gekennzeichnet:
(15.130)
Setzt man in (15.130)
, dann stellt
sogenannte LAURENT-Reihe. Mit der Substitution
eine Reihe nach absteigenden Potenzen von
dar, eine
, die zu dem Namen Z-Transformation geführt hat, erhält
man schließlich aus (15.129) den folgenden Zusammenhang zwischen LAPLACE- und Z-Transformation im Falle von
Treppenfunktionen:
(15.131a)
bzw.
(15.131b)
Auf diese Weise lassen sich Korrespondenzen der Z-Transformation (Tabelle Z-Transformationen) in
Korrespondenzen der LAPLACE-Transformation (s. Tabelle LAPLACE-Transformation) für Treppenfunktionen
umrechnen und umgekehrt.
Divisionssatz
(15.19)
Damit das Integral existiert, muß der Grenzwert
existieren.
Integration im Bildbereich
(15.18a)
Diese Formel gilt nur, wenn
eine LAPLACE-Transformierte besitzt. Dazu muß
genügend stark gegen Null streben. Als Integrationsweg kann ein beliebiger, von
für
ausgehender Strahl gewählt
werden, der mit der reellen Achse einen spitzen Winkel bildet.
Im Spezialfall des gewöhnlichen einfachen Integrals gilt:
(15.18b)
Integration im Originalbereich
Die Bildfunktion eines Integrals über die Originalfunktion ist gleich der Bildfunktion der Originalfunktion, multipliziert mit
:
(15.17a)
Im Spezialfall des gewöhnlichen einfachen Integrals gilt:
(15.17b)
Im Originalbereich heben sich Differentiation und Integration gegenseitig auf, wenn die Anfangswerte verschwinden.
Inverse Laplace-Transformation (Rücktransformation)
Aus der Bildfunktion erhält man die Originalfunktion mit Hilfe der Umkehrformel
(15.8)
Der Integrationsweg dieses komplexen Integrals ist die Parallele
gilt. Ist die Stelle
den Mittelwert
an.
eine Sprungstelle, d.h. ist
zur imaginären Achse, wobei
, dann gibt das Integral dort
Rücktransformation in den Originalbereich
Für die Rücktransformation in den Originalbereich stehen folgende Wege zur Verfügung:
1.
Benutzung einer Tabelle zusammengehöriger Original- und Bildfunktionen, auch Korrespondenzen genannt
(s. Tabelle LAPLACE-Transformationen).
2.
Zurückführung auf bekannte Korrespondenzen durch Umformung (s. Abschnitt Partialbruchzerlegung und
Abschnitt Reihenentwicklungen).
3.
Auswertung der Umkehrformel (s. Abschnitt Umkehrintegral).
●
●
●
●
Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
Partialbruchzerlegung
Reihenentwicklungen
Umkehrintegral
Konvergenz
Das LAPLACE-Integral
konvergiert in der rechten Halbebene
(s. Abbildung).
Die Bildfunktion
ist dann dort eine analytische Funktion mit den Eigenschaften
(15.7a)
Jede Bildfunktion muß diese notwendige Bedingung erfüllen.
(15.7b)
falls die Originalfunktion
einen endlichen Grenzwert
besitzt.
Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
Die Benutzung der Tafeln wird hier an einem Beispiel aus der Tabelle LAPLACE-Transformationen demonstriert.
Weitere ausführliche Tafeln sind in Lit. 12.3 enthalten.
Beispiel
,
,
. Durch Anwendung des Faltungssatzes (15.23)
erhält man
.
Rechenregeln zur Laplace-Transformation
Unter Rechenregeln versteht man im Zusammenhang mit Integraltransformationen die Abbildung von Operationen im
Originalbereich auf andere Operationen im Bildbereich.
Im folgenden werden Originalfunktionen stets mit kleinen Buchstaben bezeichnet, die jeweils zugehörigen
Bildfunktionen mit den entsprechenden großen Buchstaben.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Additions- oder Linearitätssatz, Ähnlichkeitssätze
Verschiebungssätze
Dämpfungssatz
Differentiation im Originalbereich
Differentiation im Bildbereich
Integration im Originalbereich
Integration im Bildbereich
Divisionssatz
Differentiation und Integration nach einem Parameter
Faltung
Rechteckimpuls
Ein Rechteckimpuls der Höhe
Sprungfunktionen in der Form
und der Breite
(s. Abbildung) entsteht durch Überlagerung zweier
(15.26)
(15.27)
Reihenentwicklungen
Um
aus
zu gewinnen, versucht man bisweilen,
entwickeln, deren Glieder
bekannte Bildfunktionen sind, d.h.
●
- eine absolut konvergente Reihe
●
- eine meromorphe Funktion
in eine Reihe
zu
.
Stückweise differenzierbare Funktionen
Die Bildfunktionen stückweise differenzierbarer Funktionen lassen sich mit Hilfe der
Wenn
stückweise differenzierbar ist und an den Stellen
-Funktion leicht angeben:
die Sprünge
hat, dann
ist ihre erste Ableitung in der Form
(15.31)
darstellbar, wobei in den Bereichen, in denen
differenzierbar ist,
die gewöhnliche Ableitung von
bedeutet.
Wenn Sprünge erst in den Ableitungen auftreten, gelten für diese ganz entsprechende Formeln. Auf diese Weise
lassen sich die Bildfunktionen zu Kurvenzügen, die sich aus Parabelbögen beliebig hoher Ordnung zusammensetzen
(empirisch gefundene Kurven wird man meist durch solche einfachen Funktionen annähern), ohne großen
Rechenaufwand angeben. Bei formaler Anwendung von (15.13) sind im Falle einer Sprungstelle die Werte
gleich Null zu setzen.
Beispiel A Unipolarer Sägezahnimpuls
;
;
.
Beispiel B Unipolarer Dreieckimpuls, bipolarer Rechteckimpuls
(s. linke Abbildung);
(s. rechte Abbildung);
;
;
.
Beispiel C Unipolarer Trapezimpuls, bipolarer Rechteckimpuls
(s. linke Abbildung);
(s. rechte Abbildung);
;
.
Beispiel D Unipolarer Parabelimpuls, bipolarer Sägezahnimpuls
(s. linke Abbildung).
(s. rechte Abbildung).
;
;
.
Laplace-Transformationen
Die in der Tabelle auftretende Konstante
●
●
●
●
●
●
ist die EULERsche Konstante
Laplace-Transformationen, Seite 1 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 2 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 3 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 4 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 5 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 6 von 6
.
Umkehrintegral
Die Umkehrformel
(15.47)
stellt ein Integral mit komplexem Weg über eine in gewissen Gebieten analytische Funktion dar, auf das solche Methoden der
Integration im Komplexen wie die Residuenrechnung oder die Verformung des Integrationsweges nach dem Satz von CAUCHY
anwendbar sind.
Beispiel
ist wegen des Anteiles
gewählt (s. Abbildung):
doppeldeutig. Deshalb wird folgender Integrationsweg
Nach dem Lemma von JORDAN verschwinden die Integralteile über
(Radius
und
für
. Auf dem Kreisbogen
) bleibt der Integrand beschränkt, und die Länge des Integrationsweges konvergiert gegen Null für
;
daher verschwindet dieser Integralbeitrag. Es bleibt das Integral über die beiden horizontalen Strecken
untersuchen, wobei das obere
und untere
und
zu
Ufer der negativen reellen Achse zu berücksichtigen
sind:
.
Damit erhält man endgültig:
.
Verschiebungssätze
1. Verschiebung nach rechts: Die LAPLACE-Transformierte einer um
nach rechts
verschobenen Originalfunktion ist gleich der LAPLACE-Transformierten der nicht verschobenen
Originalfunktion, multipliziert mit dem Faktor
:
(15.11a)
2. Verschiebung nach links: Die LAPLACE-Transformierte einer um
Originalfunktion ist gleich der mit dem Faktor
nach links verschobenen
multiplizierten Differenz aus der LAPLACE-Transformierten
der nicht verschobenen Originalfunktion und dem Integral
:
(15.11b)
Die folgenden zwei Abbildungen zeigen die Rechtsverschiebung einer Kosinusfunktion und die Linksverschiebung
einer Geraden.
Quadratische Reste modulo
Man kann alle Kongruenzen
lösen, wenn man alle Kongruenzen
lösen
kann:
(5.175)
Man betrachtet zunächst quadratische Reste modulo
Die Zahl
Sei
und
heißt quadratischer Rest modulo m , wenn es ein
Ist die kanonische Primfaktorenzerlegung von
ggT
mit
gibt.
gegeben, d.h.
(5.176)
so ist
genau dann quadratischer Rest modulo
ist.
wenn
quadratischer Rest modulo
für
Ist
quadratischer Rest modulo einer Primzahl
quadratischer Rest modulo
dann schreibt man dafür auch kurz
dann schreibt man
Beispiel
Die Zahlen 1, 4, 7 sind quadratische Reste modulo 9.
( LEGENDRE-Symbol).
Ist
nicht
Leibnizsche Regel
Zur Berechnung der Ableitung
-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei Funktionen kann die LEIBNIZsche Regel
(6.22)
benutzt werden. Dabei ist
. Wenn
durch
und
durch
ersetzt werden, dann erhält man die
Formel, die in ihrer Struktur dem Binomischen Lehrsatz entspricht:
(6.23)
Beispiel A
: Setzt man
dann ergibt sich
Mit Ausnahme der ersten drei sind alle Summanden gleich 0, so daß
Beispiel B
.
Leistungsspektrum
Die FOURIER-Transformierte von
heißt Leistungsspektrum (s. auch Spektralinterpretation) und wird mit
bezeichnet. Im zeitkontinuierlichen Fall gilt unter der Voraussetzung
:
(17.35a)
Im zeitdiskreten Fall ist, falls
gilt:
(17.35b)
Liegt die absolute Integrierbarkeit bzw. Summierbarkeit von
nicht vor, kann in wichtigen Fällen
als
Distribution aufgefaßt werden. Periodischen Bewegungen eines dynamischen Systems entspricht ein
Leistungsspektrum, das durch äquidistante Impulse charakterisiert ist. Bei quasiperiodischen Bewegungen treten im
Leistungsspektrum Impulse auf, die sich aus ganzzahligen Linearkombinationen der Grundimpulse der
quasiperiodischen Bewegung ergeben. Ein ,,breitbandiges Spektrum mit einzelnen Spitzen`` kann dagegen als
Indikator für chaotisches Verhalten gelten.
Beispiel A
Seien
ein
-periodischer Orbit von (17.1),
Null ist, und habe
eine Testfunktion, so daß das zeitliche Mittel von
die FOURIER-Darstellung
. Dann ist
mit
und
, wobei
die
-Distribution bezeichnet.
Beispiel B
Seien
ein quasiperiodischer Orbit von (17.1),
Null ist, und habe
eine Testfunktion, so daß das zeitliche Mittel entlang
die Darstellung (zweifache FOURIER-Reihe)
.
Dann ist
und
.
Anwendungen des Lemmas von Jordan
●
●
●
Lemma von Jordan
Beispiele zum Lemma von Jordan
Fresnelsche Integrale
Konvergente und divergente Reihen
Man spricht von einer konvergenten Reihe (7.12), wenn die Folge
der Partialsummen konvergiert. Den
Grenzwert
(7.14)
nennt man die Summe und
das allgemeine Glied der Reihe. Wenn der Grenzwert (7.14) nicht existiert, spricht
man von einer divergenten Reihe . In diesem Falle können die Partialsummen unbegrenzt wachsen oder oszillieren.
Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird somit auf die Existenz eines Grenzwertes der Folge
zurückgeführt.
Beispiel A
Die geometrische Reihe
(7.15)
ist konvergent.
Beispiel B
Die harmonische Reihe
(7.16)
und die Reihen
(7.17)
und
(7.18)
sind divergent. Während für die Reihen (7.16) und (7.17)
ist, oszilliert (7.18).
Vektordiagramm für Schwingungen
Die allgemeine Sinusfunktion (2.128, 2.129) kann bequem mit den Polarkoordinaten
kartesischen Koordinaten
und den
in einer Ebene dargestellt werden. Die Summe zweier solcher Größen
ergibt sich dann als Summe der zwei Summandenvektoren (linke Abbildung).
Entsprechend liefert die Summe mehrerer solcher Vektoren die Linearkombination mehrerer allgemeiner
Sinusfunktionen. Diese Darstellung wird Vektordiagramm genannt.
Die Größe
werden:
kann im Vektordiagramm für einen gegebenen Zeitpunkt
Zuerst wird durch den Koordinatenursprung O die Zeitachse
Winkelgeschwindigkeit
an Hand der rechten Abbildung bestimmt
gelegt, die mit konstanter
um O im Uhrzeigersinn rotiert. Zum Anfangszeitpunkt
zusammen. Danach ist in jedem Zeitpunkt
Betrag der allgemeinen Sinusfunktion
die Projektion
des Vektors
Zur Zeit
fallen
- und
-Achse
auf die Zeitachse gleich dem
ist
die Projektion
auf die
-Achse.
Offene EULERsche Linien
Eine offene EULERsche Linie existiert in einem Graphen
genau dann, wenn es in
genau zwei Knoten
ungeraden Grades gibt. Die linke Abbildung zeigt einen Graphen, der keine geschlossene, sondern eine offene
EULERsche Linie besitzt. Die Kanten sind entlang einer EULERschen Linie fortlaufend numeriert. In der rechten
Abbildung ist ein Graph mit einer geschlossenen EULERschen Linie dargestellt.
Geodätische Linien auf einer Fläche
●
●
●
Begriff der geodätischen Linien
Definition
Gleichung der geodätischen Linie
Gleichung der geodätischen Linie
Wenn eine Fläche in der expliziten Form
(3.482) vorgegeben ist, dann lautet die Differentialgleichung
der geodätischen Linien
(3.505)
Ist die Fläche in der Parameterform
(3.483) vorgegeben, dann ist
die Differentialgleichung der geodätischen Linien von komplizierterer Art.
Die Bedeutung von
entspricht (3.499b):
.
Geodätische Linien
Geodätische Linien heißen diejenigen Kurven auf einer beliebigen Fläche, auf denen die kürzeste Verbindung
zwischen zwei Punkten der Fläche liegt (s. auch geodätische Linie).
Beispiel
In der Ebene sind die Geraden, auf der Kugel die Großkreise die geodätischen Linien.
Pole und Polare
Die Endpunkte
und
eines Kugeldurchmessers, der senkrecht zur Ebene eines Großkreises g, Polare
genannt, errichtet ist, werden Pole genannt.
Der sphärische Abstand von einem Pol bis zu einem beliebigen Punkt des Großkreises g beträgt stets
Die
Richtung der Polaren wird von außen festgelegt: Beim Durchlaufen der Polaren in der gewählten Richtung heißt der
links liegende Pol Linkspol , der rechts liegende Rechtspol .
Singulärwerte und Singulärwertvektoren
Wenn
eine reelle Matrix vom Typ
mit dem Rang
aus den Eigenwerten
zugehörigen Eigenvektoren
von
Eigenwerte
von
ist, dann heißen die positiven Wurzeln
der Matrix
Singulärwerte der Matrix A. Die
heißen Rechtssingulärvektoren von A, die zugehörigen Eigenvektoren
Linkssingulärvektoren . Dabei besitzt die Matrix
dieselben
von Null verschiedenen
wie die Matrix
(4.138a)
Außerdem besteht zwischen den Rechts- und Linkssingulärvektoren der Zusammenhang
(4.138b)
Es gilt: Eine Matrix
vom Typ
mit dem Rang
Dazu existieren
Linkssingulärvektoren
Rechtssingulärvektoren
besitzt
positive Singulärwerte
orthonormierte Rechtssingulärvektoren
Darüber hinaus existieren zum Singulärwert Null
und
Eine Matrix vom Typ
und
orthonormierte
orthonormierte
orthonormierte Linkssingulärvektoren
hat demzufolge
Rechtssingulärvektoren und
Linkssingulärvektoren, die man zu den orthogonalen Matrizen
(4.139)
zusammenfassen kann.
Definition
Unter dem Logarithmus einer Zahl
zur Basis
wird der Exponent der Potenz verstanden, in die
oder als Formel geschrieben
zu erheben ist, um die Zahl
zu erhalten.
Folglich ergibt sich aus der Gleichung
(1.18a)
die Gleichung
(1.18b)
und umgekehrt folgt aus der zweiten die erste Gleichung. Speziell gilt
(1.18c)
Zur Ausdehnung des Logarithmus auf negative Argumentwerte bedarf es der komplexen Zahlen.
Logarithmieren einer gegebenen Größe bedeutet das Aufsuchen ihres Logarithmus. Man versteht darunter auch die
Umwandlung logarithmischer Ausdrücke gemäß (1.19a, 1.19b). Das Aufsuchen einer Größe aus ihrem Logarithmus
wird Potenzieren genannt.
Spezielle Logarithmen
1. Logarithmen zur Basis
heißen dekadische oder BRIGGSsche Logarithmen . Man schreibt
(1.21)
2. Logarithmen zur Basis
heißen natürliche oder NEPERsche Logarithmen . Man schreibt
(1.22)
Der Modul zur Überführung der natürlichen in dekadische Logarithmen ist
(1.23)
der zur Überführung der dekadischen in natürliche
(1.24)
3. Logarithmen zur Basis 2 heißen Duallogarithmen . Man schreibt
(1.25)
Logik
●
●
Aussagenlogik
Ausdrücke der Prädikatenlogik
3. Grundaufgabe SWS
Gegeben: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel, z. B.
Bedingungen: Keine.
1. Lösung: Gesucht
bzw.
und
(3.194a)
(3.194b)
kann im I. oder II. Quadranten liegen. Zwei Entscheidungsmöglichkeiten:
❍ Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber oder
❍ Durchführung einer Kontrollrechnung:
(3.195)
2. Lösung: Gesucht
bzw.
und
(3.196a)
(3.196b)
(3.196c)
3. Lösung: Gesucht
und (oder)
(3.197a)
(3.197b)
(3.197c)
(3.197d)
4. Lösung: Gesucht
(3.198a)
(3.198b)
(3.198c)
(3.198d)
(3.198e)
(3.198f)
Probe: Doppelte Berechnung von
Hinweis: Die Lösung der 3. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden.
Dazu wird von
das sphärische Lot auf
bis
gefällt.
Schnittpunkt mit einem Breitenkreis
Der Schnittpunkt
Breitenkreis
einer Loxodrome mit dem Kurswinkel
durch den Punkt
mit dem
berechnet sich gemäß (3.226b) zu
(3.230)
Mit (3.230) läßt sich speziell der Äquatorschnittpunkt
berechnen:
(3.231)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
Bogenlänge
Aus der Abbildung erkennt man den differentiellen Zusammenhang
(3.227a)
Integration über
liefert für die Bogenlänge
des Bogenstücks mit den Endpunkten
und
:
(3.227b)
Ist
der Abfahrtsort und
aus (3.227b) zuerst
der Zielort ( gegißter Ort ), so lassen sich bei Vorgabe von
und danach gemäß (3.226b)
und
schrittweise
berechnen.
Näherungsformel: Gemäß der obigen Abbildung erhält man mit
und
nach einer Mittelung der
geographischen Breiten den Ansatz (3.228a) für eine Näherungsformel zur Berechnung der angenäherten
Bogenlänge
gemäß (3.228b):
(3.228a)
(3.228b)
Gleichung der Loxodrome
Die Abbildung zeigt eine Loxodrome mit dem Kurswinkel
infinitesimal benachbarten Punkt
durch den laufenden Punkt
und den
Das rechtwinklige sphärische Dreieck
kann wegen seiner differentiellen Ausmaße als ebenes Dreieck
angesehen werden. Dann gilt:
(3.226a)
Unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die Loxodrome durch den Punkt
verlaufen soll, ergibt
sich daraus durch Integration die Gleichung der Loxodrome:
(3.226b)
Ist
speziell der Schnittpunkt
der Loxodrome mit dem Äquator, so folgt daraus:
(3.226c)
Hinweis: Die Berechnung von
kann mit (3.231) erfolgen.
Kurswinkel
Für den Kurswinkel
der Loxodrome durch die Punkte
und ihren Äquatorschnittpunkt
und
bzw. durch
folgt gemäß (3.226b) und (3.226c):
(3.229a)
(3.229b)
Schnittpunkte mit einem Meridian
Loxodromen - ausgenommen Breitenkreise und Meridiane - wickeln sich spiralförmig-asymptotisch um die Pole.
Die unendlich vielen Schnittpunkte
verlaufenden Loxodrome mit dem Meridian
der durch
mit dem Kurswinkel
berechnen sich gemäß (3.226b) zu
(3.232a)
Ist
der Äquatorschnittpunkt
der Loxodrome, dann ergibt sich vereinfacht:
(3.232b)
Schnittpunkte zweier Loxodromen
Die betrachteten Loxodromen sollen die Äquatorschnittpunkte
Kurswinkel
und
und
haben. Einsetzen des Schnittpunktes
sowie die
in beide
Loxodromengleichungen führt auf das Gleichungssystem
(3.236a)
(3.236b)
Elimination von
und Auflösung nach
ergibt eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen:
(3.237)
Die dazugehörigen geographischen Längen
ergeben sich durch Einsetzen von
in (3.236a):
(3.238)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
Eine skalarwertige Funktion
heißt positiv definit in einer Umgebung
des Punktes
, wenn gilt:
1.
ist stetig.
2.
für alle
Sei
eine offene Teilmenge und
Funktion von (17.1) in
, falls
und
.
eine stetige Funktion. Die Funktion
nicht wächst, solange für die Lösung
heißt LYAPUNOVgilt.
Der Satz von LYAPUNOV über asymptotische Stabilität lautet:
Sei
Dann ist
eine LYAPUNOV-Funktion von (17.1) und sei
stabil. Gilt außerdem, daß aus
positiv definit in einer Umgebung
für eine Lösung
von
.
von (17.1) mit
immer
folgt, so ist die Ruhelage
sogar asymptotisch stabil.
Beispiel
Der Punkt
ist Ruhelage der ebenen Differentialgleichung
liegt eine Funktion vor, die positiv definit in jeder Umgebung von
für deren Ableitung entlang einer beliebigen Lösung
gilt. Also ist
asymptotisch stabil.
. Mit
ist und
für
Berechnung der Lyapunov-Exponenten
Die Formel
, wobei
Einheitskugel mit Mittelpunkt
durch Deformation mit
wieder als Halbachsenlängen eines aus der
hervorgegangenen Ellipsoids interpretiert werden
können, kann zur Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten benutzt werden, wenn außerdem noch
Reorthonormalisierungsverfahren, wie das von HOUSHOLDER, herangezogen werden. Die Funktion
ist Lösung der zum Semiorbit
Variationsgleichung mit Anfang
Variationsgleichung
darstellbar als
zur Zeit
. In der Tat, ist
des Flusses
der Fluß von (17.1), so lautet die
. Die Lösung dieser Gleichung mit Anfang
, wobei
die bei
gehörigen
zur Zeit
ist
normierte Fundamentalmatrix der
Variationsgleichung ist, die, nach dem Satz über die Differenzierbarkeit nach den Anfangszuständen, Lösung der
Matrix-Differentialgleichung
mit Anfang
ist.
Die Zahl
beschreibt das Verhalten der Orbits
, mit Anfang
bezüglich des Ausgangsorbits
, so heißt dies, daß in Richtung
dagegen
für wachsende
. Ist
eine Annäherung der Orbits stattfindet; ist
, so entfernen sich die Orbits (s. Abbildung).
Für die Summe aller LYAPUNOV-Exponenten von
invarianten Maß
in der Richtung
gilt für
-fast alle
mit dem Attraktor
im Falle eines Flusses von (17.1)
und dem dort konzentrierten
(17.39a)
und für ein diskretes System (17.3)
(17.39b)
In dissipativen Systemen gilt also
. Dies, zusammen mit der Tatsache, daß für Flüsse einer der
LYAPUNOV-Exponenten Null ist, falls der Attraktor keine Ruhelage ist, gestattet Vereinfachungen bei der Berechnung
der LYAPUNOV-Exponenten (s. Lit. 17.16).
Beispiel A
Sei
dem in
Beispiel B
eine Ruhelage des Flusses von (17.1) und seien
die Eigenwerte der JACOBI-Matrix in
konzentrierten Maß gilt für die LYAPUNOV-Exponenten
. Mit
.
ein
Sei
Multiplikatoren von
. Mit dem in
-periodischer Orbit von (17.1), und es seien
konzentrierten Maß gilt
die
Definition der Lyapunov-Exponenten
Sei
ein glattes dynamisches System auf
konzentrierten invarianten ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaß
, das einen Attraktor
hat. Für beliebige
die Singulärwerte der JACOBI-Matrix
eine Folge von Zahlen
-fast überall im Sinne von
( LYAPUNOV- Exponenten ), so daß
von
mit einem dort
und
im Punkt
seien
. Dann existiert
für
gilt.
Satz von OSELEDEC: Nach dem Satz von OSELEDEC existiert
-fast überall eine Folge von Teilräumen des
(17.38)
so daß für
Element
-fast alle
die Größe
strebt.
gleichmäßig bezüglich
gegen ein
Mächtigkeit von Mengen
Im Abschnitt Mengenbegriff, Teilmengen wurde die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge als Kardinalzahl
bezeichnet. Dieser Anzahlbegriff soll auf unendliche Mengen übertragen werden.
●
Mächtigkeit, Kardinalzahl
Abschätzung des Reihenrestes
1. Abschätzung mittels Majorante: Um festzustellen, mit welcher Genauigkeit die Summe einer Reihe durch
ihre
-te Teilsumme angenähert wird, versucht man, den Betrag des Restausdrucks
(7.63)
der Reihe
abzuschätzen. Dazu benutzt man als Majorante für
andere Reihe, die sich leicht summieren oder abschätzen läßt.
Beispiel
eine geometrische oder eine
Abschätzung des Restes der Reihe
aufeinanderfolgender Glieder dieser Reihe gilt mit
Für den Quotienten
zweier
:
Damit kann der Reihenrest
durch die geometrische Reihe (7.15) mit dem
Quotienten
und dem Anfangsglied
majorisiert werden, und es gilt:
(7.64)
2. Alternierende konvergente Reihen: Für eine konvergente alternierende Reihe, deren Glieder dem Betrage
nach monoton gegen Null streben, gibt es eine einfache Abschätzung des Reihenrestes:
(7.65)
3. Spezielle Reihen: Für einige besondere Reihen, z.B. TAYLOR-Reihen, gibt es bestimmte Formeln für den
Reihenrest.
Definition, Separatrixflächen
Sei
eine Ruhelage von (17.3). Dann heißt
Mannigfaltigkeit und
für
für
Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten heißen auch Separatrixflächen .
stabile
instabile Mannigfaltigkeit von
.
Pyramide
Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die
in einem Punkt, der Spitze, zusammenlaufen.
Pyramiden heißen gerade , wenn der Fußpunkt des Lotes von der Spitze auf die Grundfläche
deren Mittelpunkt
ist, regulär , wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist (linke Abbildung) und n-seitig , wenn die Grundfläche
ein
-Eck ist (rechte Abbildung). Zusammen mit der Grundfläche hat die Pyramide
Flächen. Für das
Volumen gilt
(3.113)
Wenn es sich um eine reguläre Pyramide handelt, dann ist die Mantelfläche
(3.114)
mit
als Umfang der Grundfläche und
als Höhe einer Seitenfläche.
Quader
Quader sind gerade Parallelepipede mit rechteckigen Grundflächen.
Im Quader sind die Raumdiagonalen gleich lang. Wenn
und
die Kantenlängen des Quaders sind und
Diagonallänge, dann gilt
(3.107)
(3.108)
die
(3.109)
wobei mit
bzw.
das Volumen bzw. die Gesamtoberfläche bezeichnet sind.
Würfel
Würfel sind Quader mit gleichen Kantenlängen
Für Diagonale, Volumen und Gesamtoberfläche gilt:
(3.110)
(3.111)
(3.112)
Normalisierte Dezimalzahlen
Jede reelle Zahl
läßt sich als Dezimalzahl in der Form
(19.266)
darstellen. Dabei wird
wird. Die Zahl
als Mantisse bezeichnet, die aus den Ziffern
gebildet
ist eine ganze Zahl, der sogenannte Exponent zur Basis 10. Wegen
bezeichnet man
(19.243) als normalisierte Dezimalzahl .
Da in einem realen Computer nur mit endlich vielen Ziffern gearbeitet werden kann, muß man sich auf eine feste Zahl
von Mantissenziffern und auf einen festen Wertebereich für den Exponenten
der Zahl
beschränken. Dadurch wird aus
gemäß (19.243) durch Rundung , wie sie beim praktischen Rechnen üblich ist, die Zahl
(19.267)
d.h., für den durch Rundung verursachten absoluten Fehler gilt:
(19.268)
Algebraische Ausdrücke
Mit Hilfe der arithmetischen Operatoren lassen sich aus Variablen (Symbolen) algebraische Ausdrücke konstruieren.
Sie alle haben den Typ algebraic, zu welchem die ,,Untertypen``
, fraction, float, string,
indexed, series, function, uneval sowie die arithmetischen Operatortypen und der Punktoperatortyp
gehören.
Man erkennt, daß eine einzelne Variable (ein String) auch vom Typ algebraic ist. Die Basiszahlentypen gehören
ebenfalls dazu, denn zu ihnen lassen sich algebraische Ausdrücke in der Regel mit dem Befehl subs auswerten.
Beispiel
Hier wird ein Ausdruck, in diesem Fall ein Polynom dritten Grades in
Substitutionsoperator subs kann man der Variablen
und die Auswertung veranlassen:
, definiert. Mit dem
im Polynom (Ausdruck) Werte (Zahlen) zuweisen
Der Operator op dient zur Extraktion von Unterausdrücken aus einem Ausdruck. Mit
(20.38)
erhält man die Folge der Teilausdrücke auf der ersten Ebene, also
(20.39)
In der Form
wird der
-te Term zurückgegeben, also liefert z.B.
Die Anzahl der Terme (Operanden) des Ausdrucks ermittelt man mit
den Term
.
.
Maple
Maple stellt die in der folgenden Tabelle dargestellten Operationen für die Umformung und Vereinfachung
algebraischer Ausdrücke bereit.
Tabelle Operationen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke
löst die Potenzen und Produkte in einem algebraischen Ausdruck
auf.
verhindern die weitergehende Auflösung der
Die optionalen Argumente
Unterausdrücke
faktorisiert den Ausdruck
.
ist ein optionales RootOf Argument
wendet eingebaute Vereinfachungsregeln auf
an. Bei Anwesenheit der
optionalen Argumente werden nur diese zur Anwendung gebracht
vereinfacht
stellt
bezüglich seiner Wurzelanteile
in der Normalform einer rationalen Funktion dar
sortiert die Glieder des Polynoms
nach fallenden Potenzen
liefert den Koeffizienten des Gliedes mit
faßt Glieder mit der Variablen
●
●
●
●
●
Multiplikation von Ausdrücken
Faktorzerlegung von Polynomen
Operationen auf Polynomen
Partialbruchzerlegung
Manipulation allgemeiner Ausdrücke
eines Polynoms mehrerer Veränderlicher zusammen
Multiplikation von Ausdrücken
Im einfachsten Fall zerlegt Maple den Ausdruck in eine Summe von Potenzen der Variablen:
Beispiel
Beispiel
Hier erkennt man das Vorgehen von Maple bei Ab- und Anwesenheit eines optionalen Arguments.
Der Ausdruck wird vollständig ausmultipliziert.
Maple hat den Ausdruck des optionalen Arguments unverändert beibehalten.
Beispiel
Dies demonstriert die Fähigkeiten von Maple:
Nutzung der Maple-Bibliothek
Neben den nach dem Start von Maple für den Nutzer uneingeschränkt verfügbaren Befehlen existieren sogenannte
vermischte Bibliotheksfunktionen und Befehle, die durch den Befehl
verfügbar gemacht werden
müssen. Eine Aufzählung und Kurzbeschreibung dieser Befehle ist in Lit. 20.10, Abschnitt 2.2 enthalten.
Maple besitzt eine umfangreiche Bibliothek von Spezialpaketen.
Die Zuladung eines Spezialpaketes erfolgt mit dem Befehl
(20.52)
Hier ist
der Name des jeweiligen Pakets, also etwa
für das Spezialpaket Lineare Algebra. Nach
dem Aufruf listet Maple alle Befehle des Spezialpakets auf und warnt, falls im Paket Neudefinitionen schon vorher
verfügbarer Befehle vorliegen.
Soll nur ein spezieller Befehl aus einem Bibliothekspaket genutzt werden, so erfolgt der Aufruf mit
(20.53)
Unterabschnitte
●
●
Allgemeine Lösung
Lösung mit Anfangsbedingungen
Lösung von Differentialgleichungen
Mit der Operation dsolve in ihren verschiedenen Formen bietet Maple die Möglichkeit, gewöhnliche
Differentialgleichungen und Systeme symbolisch zu lösen. Die Lösung kann entweder als allgemeine Lösung oder
als spezielle Lösung für vorgegebene Anfangsbedingungen erhalten werden. Die Lösung wird entweder explizit oder
implizit als Funktion eines Parameters angegeben. Der Operator dsolve erlaubt als letztes Argument die in der
folgende Tabelle dargestellten Optionen.
Tabelle Optionen der Operation dsolve
explicit liefert die Lösung, falls möglich, in expliziter Form
laplace
verwendet die Laplace-Transformation zur Lösung
series
benutzt die Zerlegung in Potenzreihen zur Lösung
numeric
liefert als Ergebnis eine Prozedur zur Berechnung numerischer
Lösungswerte
Allgemeine Lösung
(20.74a)
(20.74b)
Maple liefert die allgemeine Lösung mit einer Konstanten in expliziter Form. Im folgenden Beispiel wird die Lösung
implizit angegeben, da die Auflösung der definierenden Gleichung nach
nicht möglich ist. Die zusätzliche
Option explicit führt hier zu keinem Ergebnis.
(20.75a)
(20.75b)
Lösung mit Anfangsbedingungen
Es wird die Differentialgleichung
mit
betrachtet. Hier wird die Option series
eingesetzt. Dabei ist zu beachten, daß diese Option die Anfangsbedingungen bei
erwartet. Das gleiche gilt
für die Option
.
(20.76a)
(20.76b)
Man erkennt, daß Gleichung und Anfangsbedingungen in geschweifte Klammern einzuschließen sind. Das gleiche
gilt für die Behandlung von Systemen von Differentialgleichungen.
Differentialoperatoren
Der Operator der Differentiation lautet in Maple
entsprechend
bzw.
. Seine Anwendung erfolgt auf Funktionen in Operatorform
. Im ersten Fall wird die Ableitung einer Funktion von einer Variablen in
Operatorform bestimmt. Das Anhängen der geklammerten Variablen ergibt die Ableitung als Funktion. In anderer
schreiben. Höhere Ableitungen erhält man durch
Form läßt sich dies als
Mehrfachanwendung des Operators D, was sich vereinfacht als
die
-te ,,Potenz`` des Differentialoperators bedeutet.
Ist
eine Funktion mehrerer Variabler, so erzeugt
Variablen. Auch dieses Ergebnis ist wieder ein Operator. Mit
zweite partielle Ableitung nach der
-ten und
schreiben läßt, wobei
die partielle Ableitung von
erhält man
nach der
-ten
, d.h. die
-ten Variablen. Entsprechend kann man höhere Ableitungen bilden.
Für den Diffentialoperator D gelten die aus der Differentialrechnung bekannten Grundregeln, wobei
differenzierbare Funktionen sind.
und
(20.48a)
(20.48b)
(20.48c)
Differentiation
Im Unterkapitel Maple, Abschnitt Funktionen und Operatoren wird der Operator der Differentiation D eingeführt. Seine
Anwendung mit verschiedenen optionalen Argumenten gibt die Möglichkeit, Funktionen in Operatordarstellung zu
differenzieren.
Seine vollständige Syntax lautet:
(20.71a)
Hierdurch wird die partielle Ableitung der (Operator-) Funktion
ist wiederum eine Funktion in Operatordarstellung.
nach der
-ten Variablen bestimmt. Das Resultat
ist äquivalent zu
(20.71b)
Das Argument
ist dabei ein in Operatorform dargestellter Funktionsausdruck. Dieser kann neben vordefinierten
Funktionen auch selbstdefinierte Funktionsnamen, mit Pfeiloperatoren definierte Funktionen usw. enthalten.
Beispiel
Es sei
Dann wird
Neben dem Operator der Differentiation existiert die Operation
mit der Syntax
(20.72a)
Hier ist
ein algebraischer Ausdruck in den Variablen
. Wenn
des Ausdrucks nach den Variablen
Mehrfachanwendung der Operation
. Das Resultat ist die partielle Ableitung
ist, dann erhält man das gleiche Resultat durch
:
(20.72b)
Mehrfache Differentiation nach ein und demselben Argument kann mit dem Folgenoperator $ dargestellt werden.
Beispiel
Wenn die Funktion
zurück.
Beispiel
nicht definiert ist, liefert die Operation diff die auftretenden Ableitungen symbolisch mit
Maple
Das Computeralgebrasystem Maple ist in der Lage, eine Vielzahl von Aufgaben der numerischen Mathematik mit
Hilfe eingebauter Näherungsverfahren zu lösen. Dabei kann die Stellenzahl, mit der die Berechnung zu erfolgen hat,
durch die Einstellung der globalen Variablen Digits zu einem beliebigen
beachten, daß größere
●
●
●
●
vorgenommen werden. Es ist aber zu
als die Voreinstellung auf Kosten der Rechengeschwindigkeit gehen.
Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
Numerische Lösung von Gleichungen
Numerische Integration
Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Ein- und Ausgabe bei Mathematica und Maple
In dieser Darstellung wird die konkrete Einbindung des jeweiligen Computeralgebrasystems in das Betriebssystem
des Computers nicht behandelt. Es wird davon ausgegangen, daß das Computeralgebrasystem über ein Kommando
aus dem Betriebssystem heraus gestartet wird und danach über eine Kommandozeile oder auf einer Windowähnlichen Arbeitsoberfläche ansprechbar ist.
Die Darstellung von Ein- und Ausgaben erfolgt für Mathematica und Maple in jeweils abgesetzten Zeilen, um sie
deutlich von anderen Textpassagen abzuheben, etwa in der Form
(20.1)
Systemspezifische Symbole (Befehle, Typbezeichnungen und ähnliches) werden durch Darstellung in
Schreibmaschinenschrift hervorgehoben.
Aus Gründen der Platzersparnis werden zusammenhängende Ein- und Ausgaben oft durch Zusammenziehen in eine
Zeile (evtl. durch das Zeichen
getrennt) dargestellt.
Eingaben und Ausgaben
Im System Maple haben Eingaben die Form
(20.31)
Auch hier ist der erste Teil des Terms, d.h. der vor der öffnenden Klammer, in der Regel ein Operator, eine
Anweisung oder eine Funktion, die auf die in der Klammer stehenden Teile wirken. In bestimmten Fällen sind als
Argumente spezielle Optionen zulässig, die spezifische Anwendungen des Operators oder der Funktion steuern.
Wichtig ist das abschließende Semikolon; es teilt Maple mit, daß die Eingabe beendet ist. Wird die Eingabe mit
einem : beendet, so folgt daraus für Maple, daß die Eingabe zwar abzuarbeiten, das Ergebnis jedoch nicht
darzustellen ist.
Symbole , d.h. Namen in Maple, können aus Buchstaben, Zahlen und dem Blank (
) bestehen. An erster Stelle darf
keine Zahl stehen. Zwischen Groß- und Kleinbuchstaben wird immer unterschieden. Das Blank wird von Maple für
interne Symbole verwendet, es sollte deshalb in selbstdefinierten Symbolen vermieden werden.
Zeichenketten , d.h. Objekte vom Typ
, sind in Hochkommata gefaßt einzugeben:
(20.32)
Die Ausgabe erfolgt dann jedoch ohne Hochkomma, die Typprüfung mit
ergibt
.
Solange einem Symbol kein Wert zugewiesen ist, ist das Symbol vom Typ string bzw. name, d.h., die Typprüfung
(20.33)
ergibt true.
Ist dem Nutzer nicht bekannt, ob ein Symbol in Maple schon mit einem Wert belegt ist, so läßt sich das mit der
Eingabe
frei verfügbar.
erfragen. Antwortet Maple mit dem Hinweis, daß es diesen Namen nicht kennt, so ist das Symbol
Nachdem dem Symbol ein Wert mit dem Zuweisungsoperator
automatisch den Typ des zugewiesenen Wertes an.
Beispiel
zugewiesen wurde, nimmt das Symbol
Es sei
ein Symbol, das hier als Variable dienen soll. Gibt man ein
Wird nunmehr eine Wertzuweisung etwa mit einer ganzen Zahl vorgenommen:
und danach
eingegeben, so lautet die Antwort jetzt
.
Maple kennt je nach Version eine beträchtliche Anzahl von Anweisungen, Funktionen und Operatoren. Nicht alle sind
beim Start des Systems sofort aufrufbar. Eine Vielzahl spezieller Funktionen und Operationen ist in
Fachgebietspaketen in der Maple-Bibliothek vorhanden. Es gibt z.B. Pakete zur linearen Algebra, zur Statistik usw.
Diese Pakete müssen bei Bedarf mit dem Befehl
zugeladen werden (s. Ergänzungen
zur Syntax). Erst danach stehen ihre Operationen und Funktionen dem Nutzer in der üblichen Art zur Verfügung.
Maple
Die Maple-Bibliothek verfügt über das Spezialpaket
. Nach dem Befehl
(20.66)
stehen alle 100 Befehle und Operationen dieses Pakets für die Anwendung zur Verfügung. Bezüglich einer
vollständigen Auflistung und Beschreibung muß auf Lit. 20.6 verwiesen werden. Wichtig ist, daß bei Nutzung dieses
Pakets Matrizen und Vektoren mit den speziellen Anweisungen matrix und vector erzeugt werden sollten und
nicht mit den allgemeineren Strukturen
Mit
wird eine
.
-Matrix erzeugt. Fehlt
spezifiziert, können jedoch nachträglich durch Zuweisungen der Art
Funktion
, so sind die Elemente dieser Matrix nicht
festgelegt werden. Ist
der Indizes, so erzeugt Maple die Matrix mit diesen Elementen. Schließlich kann
Liste mit Listen der Elemente bzw. Vektoren sein. Die Definition von Vektoren erfolgt analog mit
eine
eine
.
Ein Vektor ist eine
-Matrix, wird jedoch als Spaltenvektor interpretiert.
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über einige wesentliche Operationen mit Matrizen und Vektoren.
Tabelle Matrizenoperationen
bestimmt die zu
transponierte Matrix
bestimmt die Determinante der quadratischen Matrix
bestimmt die zur quadratischen Matrix
inverse Matrix
bestimmt die zur quadratischen Matrix
Matrix, d.h.
adjungierte
.
multipliziert die
-Spalte der Matrix
multipliziert die
-te Zeile mit
mit
Für die Addition von Vektoren und Matrizen steht der Befehl
zur Verfügung. Er addiert die jeweils
mit
und skalar multiplizierten Matrizen oder Vektoren
und . Die optionalen Argumente
und
fehlen. Die Addition funktioniert nur, wenn die entsprechenden Matrizen arithmetisch verknüpfbar sind.
Die Matrizenmultiplikation wird mit
●
●
Lösung linearer Gleichungssysteme
Eigenwerte und Eigenvektoren
ausgeführt oder mit der Kurzform
können
als Infix-Operator.
Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe
●
●
●
Nutzung der Maple-Bibliothek
Umgebungsvariable
Informationen und Hilfe
Faktorzerlegung von Polynomen
Maple ist in der Lage Polynome über algebraischen Erweiterungskörpern zu zerlegen, sofern es prinzipiell möglich
ist.
Beispiel
Zunächst hat Maple eine Faktorzerlegung der beiden Polynome in irreduzible Faktoren bezüglich des
Körpers der rationalen Zahlen durchgeführt. Will man eine weitere Zerlegung über einem algebraischen
Erweiterungskörper, so ist folgendermaßen vorzugehen:
Beispiel
Maple hat den zweiten Faktor weiter zerlegt (in diesem Fall nach einer formalen Erweiterung des Körpers
mit
).
In der Regel weiß man nicht, ob eine solche Erweiterung möglich ist. Sind die Grade der gefundenen
Faktoren
, so ist dies immer möglich. Mit der Operation RootOf lassen sich dann die Wurzeln als
algebraische Ausdrücke darstellen.
Beispiel
Der Aufruf von
ergibt den konjugiert komplexen Wert von
.
Die in diesem Beispiel beschriebene Prozedur liefert im Falle eines Polynoms, das nur über dem Körper der
reellen oder komplexen Zahlen reduzibel ist, eine Folge der Wurzeln als Gleitpunktzahlen.
Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen
●
●
●
●
Tabellen- und feldartige Strukturen
Eindimensionale Felder
Zweidimensionale Felder
Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen
Folgen und Listen
Maple versteht unter einer Folge die Aneinanderreihung von Ausdrücken, die durch Kommas getrennt sind. Die
Reihenfolge der Elemente ist signifikant. Folgen mit gleichen Elementen in unterschiedlicher Reihenfolge sind
verschiedene Objekte. Die Folge ist ein Basistyp von Maple: exprseq.
Beispiel
(20.40a)
definiert eine Folge, denn
(20.40b)
Mit dem Befehl
(20.41)
erzeugt.
Beispiel
erhält man
Mit
.
definiert Laufbereiche von ganzzahligen Variablen, die in der Form
Die Bereichsfunktion
dargestellt werden, und bewirkt, daß die Indexvariable
annimmt. Der Typ dieser Struktur lautet
nacheinander die Werte
.
Eine äquivalente Form der Erzeugung von Folgen bietet die vereinfachte Schreibweise
(20.42)
die ebenfalls
erzeugt. Entsprechend liefert
und
die Folge mit
Gliedern
die Folge
.
Folgen können durch Anhängen weiterer Glieder ergänzt werden:
(20.43)
Klammert man eine Folge
in eckige Klammern, so entsteht eine Liste , die vom Typ list ist.
Beispiel
Mit dem schon bekannten Operator op erhält man über
die der Liste zugrundeliegende Folge zurück.
Um Listen zu erweitern, sind sie zunächst in Folgen umzuwandeln, diese dann entsprechend zu erweitern und mit
eckigen Klammern neu in Listen umzuwandeln.
Listen können als Elemente wiederum Listen enthalten, ihr Typ ist listlist. Strukturen dieser Art spielen bei der
Konstruktion von Matrizen eine Rolle.
Der Zugriff auf Elemente einer Liste erfolgt mit dem Befehl
Liste. Einfacher ist es, wenn der Liste ein Name gegeben wurde, etwa
. Dieser liefert das
, und dann
einer zweifachen Liste findet man die Elemente auf der unteren Ebene mit
gleichbedeutenden Aufruf
.
Es bereitet keine Schwierigkeit, Listen mit höherem Verschachtelungsgrad aufzubauen.
Beispiel
-te Element der
aufgerufen wird. Bei
oder mit dem
Erzeugung einer einfachen Liste:
Extraktion des 4. Elements dieser Liste:
Erzeugung einer zweifach verschachtelten Liste:
(Ausgabe unterdrückt!) Der Zugriff auf das 3. Element der 2. Unterliste:
Erzeugung einer dreifach verschachtelten Liste:
Funktionen
Maple enthält eine große Anzahl vordefinierter Funktionen, die beim Start des Systems sofort verfügbar sind bzw.
aus Spezialpaketen zugeladen werden können. Sie gehören zum Typ mathfunc. Eine Auflistung kann mit
?inifcns erhalten werden.
In den folgenden zwei Tabellen ist eine Übersicht über Standard- und spezielle Funktionen gegeben.
Tabelle Standardfunktionen
Exponentialfunktion
exp
Logarithmusfunktionen log, ln
Trigonom. Funktionen
sin, cos, tan, cot, sec, csc
Arcusfunktionen
arcsin, arccos, arctan, arccot,
Hyperbol. Funktionen
sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
Areafunktionen
arcsinh, arcsosh, arctanh, arccoth,
Tabelle spezieller Funktionen
BESSEL-Funktionen
und
BesselJ
, BesselY(v,z)
Modifizierte BESSEL-Funktionen
BesselI
, BesselK
Gamma-Funktion
Gamma
Integralexponentialfunktion
Ei
Unter den speziellen Funktionen sind auch die FRESNELschen Funktionen.
Das Paket für orthogonale Polynome enthält neben anderen HERMITEsche-, LAGUERRE-, LEGENDRE-, JACOBI- und
TSCHEBYSCHEFF-Polynome. Für Einzelheiten wird auf Lit. 20.6 verwiesen.
Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
Polynomgleichungen mit einer Unbekannten, für deren Grad
gilt, kann Maple symbolisch lösen.
Beispiel
Mit Maple kann man allgemeine Gleichung dritten Grades mit allgemeinen Koeffizienten in geschlossener Form
lösen.
Beispiel
Man erhält entsprechende Ausdrücke für
, die wegen ihrer Länge hier nicht explizit angegeben werden.
Auch die allgemeine Gleichung vierten Grades wird von Maple ohne Probleme gelöst.
Benutzt man in solve eine Gleichung, in der Koeffizienten als Gleitpunktzahlen geschrieben sind, so löst Maple die
Gleichung numerisch.
Beispiel
Maple kann auch Gleichungen lösen, die Wurzelausdrücke der Unbekannten enthalten. Allerdings ist hier Vorsicht
geboten, da Maple quadrieren muß, eventuell mehrfach, und dabei Gleichungen entstehen, deren Lösungen keine
Lösung der ursprünglichen Gleichung sind, sogenannte Scheinlösungen. Deshalb ist jede Lösung, die Maple
anbietet, zur Probe in die Ausgangsgleichung einzusetzen.
Beispiel
Die Lösung der Gleichung
soll bestimmt werden. Dazu wird
eingegeben
Mit
Durch
Lösung darstellt.
erhält man nach Aufruf von
und
die beiden Werte
überzeugt man sich, daß nur der Wert für
eine
Lösung transzendenter Gleichungen
Gleichungen, die transzendente Teile enthalten, lassen sich im allgemeinen nur numerisch lösen. Maple bietet für die
. Mit seiner Hilfe versucht Maple, reelle
numerische Lösung von Gleichungen beliebiger Art den Befehl
Wurzeln der untersuchten Gleichung zu finden. Dabei wird in der Regel nur eine Wurzel angegeben. Oft haben
als drittes Argument die
jedoch transzendente Gleichungen viele Wurzeln. Deshalb läßt der Befehl
optionale Angabe des zu betrachtenden Bereichs für die Suche nach einer Wurzel zu.
Beispiel
(20.59)
Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
Systeme von Gleichungen lassen sich mit denselben Befehlen solve und fsolve lösen. Dazu sind als erstes
Argument des Befehls alle Gleichungen in geschweifte Klammern zu fassen, als zweites Argument erwartet der
Befehl die Unbekannten, nach denen aufgelöst werden soll, ebenfalls in geschweiften Klammern:
(20.60)
Beispiel
(20.61)
Eigenwerte und Eigenvektoren
Maple stellt mit
und
spezielle Operatoren für die Bestimmung von Eigenwerten und
Eigenvektoren quadratischer Matrizen bereit. Dabei ist zu beachten, daß die Eigenwertgleichung bei Matrizen der
Ordnung
im allgemeinen nicht mehr geschlossen lösbar ist. Daher liefert Maple in diesem Fall die
Eigenwerte als genäherte Gleitpunktzahlen.
Beispiel
Es sind die Eigenwerte der 5-dimensionalen HILBERT-Matrix zu finden.
Im Paket linalg ist eine spezielle Anweisung zur Erzeugung
vorhanden. Sie lautet
angegeben, so setzt Maple automatisch
-dimensionaler HILBERT-Matrizen
. Ihre Matrixelemente sind
. Wird
. Die Aufgabe wird daher mit der Eingabe
gelöst. Maple antwortet mit
Mit allvalues kann man dies in eine Folge genäherter Eigenwerte umwandeln.
nicht
Lösung linearer Gleichungssysteme
Zur Behandlung linearer Gleichungssysteme stellt Maple spezielle Operationen bereit, die im Paket für linare Algebra
enthalten sind. Speziell handelt es sich um
. Das lineare Gleichungssystem liegt in der Form
(20.67)
vor, wobei
seine Matrix bezeichnet und
den Vektor der rechten Seite des Gleichungssystems.
Besitzt das System keine Lösung, dann wird die Null-Sequenz Null zurückgegeben. Hat das System mehrere linear
unabhängige Lösungen, so werden diese in Parameterdarstellung wiedergegeben.
Die Operation
findet eine Basis im Nullraum der Matrix
, der für eine singuläre Matrix von Null
verschieden ist.
Für die Lösung von Gleichungssystemen können auch die Operationen der Matrixmultiplikation und die Bestimmung
von inversen Matrizen benutzt werden.
Beispiel A
Es wird das Beispiel aus Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem des homogenen Systems
betrachtet, dessen Matrix singulär ist. Das dort untersuchte homogene System besitzt nichttriviale
Lösungen. Zur Lösung wird zunächst die Matrix
Mit
definiert:
kann man sich überzeugen, daß sie singulär ist, und über
kann die Liste zweier linear unabhängiger Vektoren bestimmt werden. Diese Vektoren bilden eine Basis im
zweidimensionalen Nullraum der Matrix
.
Für den allgemeinen Fall stellt Maple Operationen zur Anwendung des GAUSSschen Algorithmus zur Verfügung, die
in der folgenden Tabelle aufgeführt sind.
Tabelle Operationen des GAUSSschen Algorithmus
erzeugt aus
durch Addition von Vielfachen der
Zeile zu allen anderen Zeilen eine Matrix, deren
außer
-ten
-te Spalte
aus Nullen besteht
erzeugt die durch Zeilenpivotisierung entstehende GAUSSsche
Dreiecksmatrix. Die Matrixelemente müssen rationale Zahlen
sein
erzeugt eine Diagonalmatrix nach dem GAUSS-JORDANVerfahren, die Matrixelemente können Gleitpunktzahlen sein
erzeugt die Matrix, die durch Anfügen einer Spalte (gegeben
durch den Vektor
) aus
entsteht
Hat man ein Gleichungssystem mit gleicher Anzahl von Gleichungen und Unbekannten sowie nichtsingulärer Matrix,
so löst man das System mit linsolve.
Beispiel B
Es soll das System aus Kapitel Numerische Mathematik, Abschnitt GAUSS-SEIDEL-Verfahren
gelöst werden. Hier ist
Mit linsolve erhält man
Der GAUSS-Algorithmus wird mit
angewendet.
Beispiel C
Es soll das inhomogene Gleichungssystem des Beispiels B aus Abschnitt Allgemeine Regel für das
inhomogene System
gelöst werden. Dazu werden zunächst die zugehörige Matrix und der Vektor der rechten Seite definiert:
Das System ist überbestimmt. Um es zu lösen, kann linsolve nicht benutzt werden. Daher bestimmt man
Mit gaussjord kann die Matrix
in eine obere Dreiecksform gebracht werden:
Der Lösungsvektor ist unmittelbar aus
ablesbar.
Graphik mit Maple
●
●
Zweidimensionale Graphik
Dreidimensionale Graphik
Dreidimensionale Graphik
Für die Darstellung von Funktionen zweier unabhängiger Variablen als räumliche Flächen oder auch zur Darstellung
räumlicher Kurven stellt Maple den Befehl plot3d zur Verfügung. Die mit diesem Befehl erzeugten Objekte werden
von Maple ganz analog wie auch die zweidimensionalen in einem eigenen Fenster dargestellt. Die Anzahl der
Optionen zur Darstellung ist wesentlich größer, insbesondere sind zusätzliche Optionen zur Betrachtungsperspektive
von besonderer Bedeutung.
●
●
Syntax des plot3d-Befehls
Zusätzliche Operationen aus dem Paket plots
Graphische Darstellungen
Die meisten Computeralgebrasysteme gestatten die graphische Darstellung der eingebauten wie auch der
selbstdefinierten Funktionen. In der Regel betrifft dies die Darstellung von Funktionen einer Veränderlichen in
kartesischen und Polarkoordinaten, die Parameterdarstellung und die Darstellung impliziter Funktionen. Funktionen
von zwei Variablen lassen sich als räumliche Flächen darstellen; auch hier sind Parameterdarstellungen möglich. Es
können Kurven im dreidimensionalen Raum erzeugt werden. Darüber hinaus gibt es in den unterschiedlichen
Systemen weitere graphische Darstellungsmöglichkeiten von funktionalen Zusammenhängen, z.B. in Form von
Diagrammen. Alle Systeme verfügen über ein reichhaltiges Angebot von Darstellungsoptionen, die von Linienform
und -dicke über den Einbau zusätzlicher Graphikelemente wie z.B. von Vektoren bis zu Beschriftung und
Farbgestaltung reichen.
In der Regel lassen sich erzeugte Graphiken als Dateien in gängigen Formaten wie Postscript, Raster oder Plotter
exportieren und damit in andere Programme einbinden bzw. direkt auf Drucker und Plotter ausgeben.
Zweidimensionale Graphik
Maple kann über plot-Befehle mit einer Vielzahl von Optionen Funktionen graphisch darstellen. Als
Eingabefunktionen sind sowohl explizite Funktionen einer Variablen, Funktionen in Parameterdarstellung und Listen
von zweidimensionalen Punkten zugelassen. Maple berechnet aus der Eingabefunktion nach bestimmten internen
Algorithmen eine Wertetabelle, deren Punkte nach einem Spline-Verfahren zu einer glatten Kurve verbunden werden.
Mit Hilfe einer Reihe von Optionen kann die Gestaltung der Graphik beeinflußt werden. Die Graphik selbst wird in
einer eigenständigen Umgebung dargestellt und kann mit entsprechenden Systembefehlen in Arbeitsdokumente
eingebunden bzw. in entsprechenden Formaten auf Drucker oder Plotter ausgegeben werden. Die Ausgabe in
Dateien verschiedenen Formats einschließlich Postscript ist möglich.
●
●
●
Syntax zweidimensionaler Graphik
Beispiele für zweidimensionale Graphiken
Spezialpaket plots
Hauptstrukturelemente
●
●
Typen und Objekte
Eingaben und Ausgaben
Informationen und Hilfe
Hilfe zur Bedeutung von Befehlen und Schlüsselwörtern erhält man durch die Eingabe
(20.55)
Anstelle des Fragezeichens kann auch
verwendet werden. Es folgt ein Hilfsbildschirm, der die
entsprechenden Aussagen des Bibliothekshandbuches zum geforderten Begriff enthält.
Läuft Maple unter Windows, so offnet ein Aufruf von HELP ein sich jeweils nach rechts erweiterndes Menü, durch das
man sich durch Anklicken mit der Maus bis zur Erläuterung des gewünschten Begriffs auf dem Hilfsbildschirm
bewegen kann.
Unterabschnitte
●
●
Bestimmte Integrale
Mehrfachintegrale
Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Bestimmte Integrale
Zur Berechnung bestimmter Integrale ist der Befehl int mit dem zweiten Argument
ist
die Integrationsvariable, und
Beispiel A
zu verwenden. Hier
gibt die untere und obere Grenze des Integrationsbereiches an.
Beispiel B
Beispiel C
Wenn Maple das Integral symbolisch nicht lösen kann, gibt es die Eingabe zurück. In diesem Fall kann man
versuchen, eine numerische Integration durchzuführen.
Mehrfachintegrale
Auch Mehrfachintegrale können, soweit explizit möglich, mit Maple berechnet werden, indem man die Operation int
entsprechend oft (verschachtelt) anwendet.
Beispiel A
Beispiel B
Unterabschnitte
●
●
●
●
Integrale gebrochenrationaler Funktionen
Integrale von Wurzelfunktionen
Integrale mit trigonometrischen Funktionen
Hinweis:
Unbestimmte Integrale
Wenn zu einer gegebenen Funktion
die Stammfunktion
darstellbar ist, kann Maple diese nach dem Aufruf
als Ausdruck elementarer Funktionen
in der Regel finden. Die Integrationskonstante wird
nicht ausgegeben. Ist die Stammfunktion Maple in geschlossener Form nicht bekannt, so gibt es den Integranden
zurück. Anstelle des Operators int kann auch die Langform integrate benutzt werden.
Integrale gebrochenrationaler Funktionen
Beispiel A
Beispiel B
Integrale von Wurzelfunktionen
Mit Maple können die in den Tabellen Unbestimmte Integrale dargestellten Integrale entsprechend bestimmt werden.
Beispiel
Setzt man
so findet man
(20.73)
Integrale mit trigonometrischen Funktionen
Beispiel A
Beispiel B
Hinweis:
Im Falle nichtelementarer Integrale wird lediglich eine Umformung vorgenommen.
Beispiel
denn dieses Integral ist elementar nicht darstellbar.
Manipulation allgemeiner Ausdrücke
Die in der folgenden Tabelle aufgeführten Operationen erlauben die Umformung algebraischer und transzendenter
Ausdrücke mit rationalen und algebraischen Funktionen, die in Maple eingebaute oder selbstdefinierte Funktionen
enthalten. In der Regel lassen sich dabei optionale Argumente angeben, die die Umformung unter bestimmten
Bedingungen ausführen.
Der Befehl simplify kann hierfür exemplarisch eingesetzt werden. In der einfachen Form
versucht Maple eingebaute Vereinfachungsregeln auf den Ausdruck anzuwenden.
Beispiel
Entsprechend wird
Darüber hinaus existiert der Befehl
, der im gewissen Sinne die Umkehrung von expand ist.
Beispiel
Hier wurde combine mit der Option trig aufgerufen, die dafür sorgt, daß trigonometrische Grundregeln
angewendet werden. Benutzt man den Befehl simplify, so wird
Hier hat Maple die Tangensfunktion auf die Kosinusfunktion zurückgeführt.
Umformungen lassen sich auch mit Exponentialfunktionen, Logarithmus- und weiteren Funktionen durchführen.
Numerische Berechnungen
Computeralgebrasysteme besitzen umfangreiche Prozeduren zur Behandlung von Aufgaben der numerischen
Mathematik. Das betrifft sowohl die Lösung algebraischer Gleichungen, linearer Gleichungssysteme, die Lösung
transzendeter Gleichungen, aber auch die Berechnung bestimmter Integrale, die numerische Lösung von
Differentialgleichungen, Interpolationsprobleme und vieles andere mehr.
Beispiel
Gesucht: Lösungen der Gleichung
(20.4a)
Diese Gleichung 6. Grades ist geschlossen nicht lösbar; sie besitzt jedoch 6 reelle Lösungen, die numerisch zu
finden sind.
In Mathematica wird eingegeben:
(20.4b)
Als Antwort erhält man:
(20.4c)
Das ist eine Liste mit den 6 Lösungen mit einer bestimmten Genauigkeit, die später erläutert wird.
Die Eingabe in Maple lautet:
(20.4d)
Hier darf in der Eingabe ,,
`` fehlen, und die zusätzliche Angabe ,, `` wäre wegen der Eindeutigkeit auch nicht
nötig. Maple setzt den eingegebenen Ausdruck automatisch gleich Null. Als Ausgabe erhält man die Folge der 6
Lösungen. Die Benutzung des Befehls fsolve teilt Maple mit, daß Fließkommazahlen als Ergebnis erwartet werden.
Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
Nach dem Start von Maple wird das ,,Prompt``
angezeigt, das die Bereitschaft für die Eingabe angibt.
Zusammenhängende Ein- und Ausgaben werden oft in einer Zeile dargestellt, eventuell getrennt durch den
Pfeiloperator
.
1. Operator evalf:
Zahlenwerte von Ausdrücken, die ganz allgemein eingebaute und nutzerdefinierte Funktionen enthalten und
die zu einer reellen Zahl auswertbar sind, können mit Hilfe des Befehls
(19.289)
bestimmt werden. Mit
wird der numerisch auszuwertende Ausdruck bezeichnet; das optionale Argument
kann verwendet werden, um bei der jeweiligen Berechnung abweichend von der Einstellung Digits mit
Gleitpunktarithmetik zu arbeiten.
Beispiel
-stelliger
Anlegen einer Tabelle der Funktionswerte der Funktion
.
Zunächst wird die Funktion definiert, was mit dem Pfeiloperator erfolgen kann:
Danach sind die benötigten Funktionswerte mit dem Aufruf evalf(f(x)); , wobei für
Werte einzusetzen sind, zu bestimmen.
die numerischen
Eine Tabelle von Funktionswerten in Schritten von 0,2 zwischen 1 und 4 kann man mit
erzeugen. Hier wird z.B. gefordert, mit zwölf Ziffern zu arbeiten.
Maple gibt das Ergebnis in der Form einer einspaltigen Tabelle mit Eintragungen der Art
aus.
2. Operator evalhf:
Neben evalf existiert der Operator evalhf. Er kann auf ähnliche Art wie evalf angewendet werden. Sein
Argument sind ebenfalls Funktionen, die zu einer reellen Zahl auswertbar sind. Hier wird jedoch von Maple die
maschinenspezifische Gleitpunktzahlgenauigkeit genutzt, alle Rechnungen werden mit dieser durchgeführt und
abschließend wird das Ergebnis in das Maple-eigene Gleitpunktzahlsystem überführt. Bei der Nutzung dieses
Befehls kann ein beträchtlicher Zeitgewinn bei umfangreichen numerischen Rechnungen eintreten. Es ist
jedoch zu beachten, daß die im Abschnitt Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern beschriebenen
Probleme zu beträchtlichen Fehlern führen können.
Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Im Kapitel Computeralgebrasysteme, Lösung von Differentialgleichungen mit Maple wird die Lösung von
gewöhnlichen Differentialgleichungen mit der Operation dsolve behandelt. In den meisten Fällen ist es jedoch nicht
möglich, die Lösung in geschlossener Form anzugeben. In diesen Fällen kann man versuchen, die Gleichung
numerisch zu lösen, wobei entsprechende Anfangsbedingungen gegeben sein müssen.
Dafür wird der Befehl dsolve in der Form
(19.292)
mit der Option numeric als drittes Argument verwendet. Hier enthält das Argument
neben der eigentlichen
Differentialgleichung auch die Anfangsbedingungen. Das Resultat dieser Operation ist eine Prozedur, die, wenn man
sie z.B. mit
bezeichnet, durch den Aufruf
den Wert der Lösung für den Wert
der unabhängigen Variablen
berechnet.
Maple benutzt für diesen Prozeß das RUNGE-KUTTA-Verfahren. Die voreingestellte Genauigkeit für den relativen und
den absoluten Fehler beträgt
. Mit den globalen Symbolen
und
kann der
Nutzer diese Einstellungen ändern.
Treten bei der Berechnung Probleme auf, dann zeigt Maple dies durch verschiedenartige Meldungen an.
Beispiel
Behandlung des Beispiels zum RUNGE-KUTTA-Verfahren mit Maple. Man erhält
Mit
kann z.B. der Wert der Lösung im Punkt
bestimmt werden.
Numerische Lösung von Gleichungen
Wie im (Kapitel Computeralgebrasysteme) erwähnt, kann Maple in vielen Fällen Gleichungen und
Gleichungssysteme numerisch lösen. Das ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn es sich um transzendente
Gleichungen oder um algebraische Gleichungen handelt, die nur im Bereich der reellen Zahlen auflösbar sind.
Dafür wird der Befehl fsolve eingesetzt. Er ist in der Syntax
(19.290)
zu verwenden. In der Regel wird der Befehl für allgemeine Gleichungen eine einzelne Wurzel bestimmen. Für
Polynomgleichungen jedoch liefert er alle reellen Wurzeln. In der folgenden Tabelle sind die zur Verfügung
stehenden Optionen angegeben.
Tabelle von Optionen des Befehls fsolve
complex
bestimmt eine einzelne komplexe Wurzel (bzw. alle Wurzeln eines
Polynoms)
bestimmt zumindest
Wurzeln (gilt nur für Polynomgleichungen)
fulldigits
verhindert die Verkleinerung der Genauigkeit unter die
voreingestellte in Zwischenrechnungen
intervall
sucht nach Lösungen im angegebenen Intervall
Beispiel A
Bestimmung aller Lösungen der Polynomgleichung
. Mit
Maple hat nur die beiden reellen Wurzeln bestimmt. Mit der Option complex erhält man auch die
komplexen Wurzeln:
Beispiel B
Bestimmung der beiden Lösungen der transzendenten Gleichung
Nach der Festlegung
die positive Lösung. Mit
bestimmt Maple auch die zweite (negative) Wurzel.
.
Numerische Integration
Die Berechnung bestimmter Integrale ist oft nur numerisch möglich. Das ist der Fall, wenn der Integrand sehr
kompliziert aufgebaut ist bzw. wenn die Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen ausdrückbar ist. In Maple
wird dann der Befehl evalf dem Integrationsbefehl für die Berechnung des bestimmten Integrals vorangestellt:
(19.291)
Darauf wird das Integral mit der geforderten Genauigkeit von Maple unter Zuhilfenahme von Näherungsverfahren
bestimmt. In der Regel funktioniert diese Methode.
Beispiel
Berechnung des bestimmten Integrals
. Da die Stammfunktion nicht bekannt ist, wird
zunächst
angezeigt. Gibt man jedoch
ein, so erhält man
. Maple hat unter Benutzung des eingebauten
Näherungsverfahrens die numerische Integration auf 15 Ziffern genau vorgenommen.
In gewissen Fällen versagt diese Methode, insbesondere wenn über große Intervalle zu integrieren ist. Dann kann
man versuchen, mit dem Bibliotheksaufruf
eine andere Näherungsprozedur aufzurufen, die ein adaptives Newtonverfahren verwendet.
Beispiel
Die Eingabe
führt zu einer Fehlermeldung. Mit
erhält man das richtige Resultat. Hier ist das dritte Argument die Angabe der Genauigkeit und das letzte die
interne Bezeichnung des Näherungsverfahrens.
Typen und Objekte
In Maple haben alle Objekte einen Typ , der ihre Zugehörigkeit zu einer Objektklasse bestimmt. Ein Objekt kann
mehreren Typen zugeordnet sein, so z.B., wenn eine bestimmte Objektklasse eine durch zusätzliche Relationen
definierte Unterklasse enthält. Als Beispiel sei erwähnt, daß die Zahl 6 vom Typ integer und vom Typ posint ist.
Mit Hilfe der Typisierung und damit auch einer Hierarchisierung aller Objekte wird die widerspruchsfreie Formulierung
und Abarbeitung bestimmter Klassen von mathematischen Aufgaben garantiert.
Der Nutzer kann jederzeit den Typ eines Objektes mit der Anfrage
(20.30)
erfragen. Nach Abschluß der Eingabe ist unbedingt das Semikolon zu setzen. Die Rückgabe ist der Basistyp des
Objektes. Maple kennt folgende, in der folgenden Tabelle dargestellten Basistypen:
Tabelle Basistypen in Maple
exprseq
float
fraction
function
indexed
integer
list
procedure
series
set
string
table
uneval
Die weitergehende Typstruktur kann mit Abfragen der Art type(obj,typname), deren Werte die BOOLEschen
Funktionen true oder false sind, ermittelt werden. In der folgenden Tabelle sind alle Maple bekannten Typnamen
dargestellt.
Tabelle Typenübersicht
PLOT
.
..
PLOT3D
RootOf
algebraic
anything
array
biconnect bipartite
boolean
algext
algfun
algn
algnumext and
colourabl
connected constant cubic
digraph
equation
even
evenfunc
expanded
facint
float
fraction
function
graph
indexed
integer
intersect
laurent
linear
list
listlist
logical
mathfunc matrix
minus
monomial name
negative
negint
nonneg
nonnegint not
numeric
odd
oddfunc operator
or
planar
point
polynom
posint
positive
primeint procedure quadratic quartic
radext
radfun
radfunext
radical
radnum
radnumext range
rational
ratpoly
realcons
relation
scalar
series
set
sqrt
square
string
subgraph
tree
trig
type
undigraph uneval
symmfunc taylor
union
vector
Man erkennt, daß die Typprüffunktionen selbst einen Typ besitzen, nämlich type. Grob gesprochen, charakterisieren
die Basistypen Klassen von grundlegenden Datenstrukturen (Zahlenarten, strukturierte Datentypen) und
Basisoperatoren, während die übrigen tiefergehenden Klassifizierungen der Basistypen bzw. Sachverhalte
algebraischer Natur widerspiegeln bzw. mit bestimmten Prozeduren von Maple verknüpft sind.
Operationen auf Polynomen
Neben den schon bekannten Operationen sind vor allem die Operationen gcd und lcm von Bedeutung. Sie finden
den größten gemeinsamen Teiler (ggT) bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Polynome.
Entsprechend liefern
den Rest.
Beispiel
den ganzzahligen Anteil der Division der Polynome
und
und
Mit dem Befehl normal kann man den Quotienten zweier Polynome über dem Körper der rationalen Zahlen in
Normalform bringen, d.h. als Quotienten zweier gekürzter Polynome darstellen.
Beispiel
Mit den Polynomen des voranstehenden Beispiels wird
Mit numer und denom lassen sich Zähler und Nenner getrennt darstellen.
Wichtige Operationen
Die beiden grundsätzlichen Operationen zur symbolischen Lösung von Gleichungen in Maple sind solve und RootOf
bzw. roots. Mit ihnen und ihren möglichen Variationen durch bestimmte optionale Argumente gelingt es, eine Vielzahl
von Gleichungen, auch transzendente, zu lösen. Wenn eine Gleichung nicht in geschlossener Form lösbar ist, kann
Maple nur numerische Näherungslösungen anbieten.
Die Funktion RootOf ist das Symbol für alle Wurzeln einer Gleichung einer Variablen. Mit
(20.58)
versteht Maple unter
die Gesamtheit der Wurzeln der Gleichung
. Dabei wird der
eingegebene Ausdruck, wenn möglich, in eine einfache Form gebracht und mit der globalen Variablen
Der Aufruf
liefert eine Folge der Wurzeln.
Der Befehl solve liefert die Lösung einer Gleichung, sofern diese existiert.
dargestellt.
Beispiel
während
ergibt. Diese Gleichung besitzt im Bereich der rationalen Zahlen keine Lösungen. Mit allvalues erhält man
genäherte numerische Lösungen.
Operatoren
In Maple verhalten sich Funktionen wie die sogenannten -Funktionen in der Programmiersprache LISP. Etwas
vereinfacht heißt dies: der Name einer Funktion, sofern sie in Maple definiert ist, wird als Operator aufgefaßt. Mit
anderen Worten,
liefert true. Hängt man an den Operator das Argument oder auch
mehrere, sofern dies nötig ist, in runden Klammern an, so entsteht die entsprechende Funktion von der angegebenen
Variablen.
Beispiel
liefert
Setzt man als zu prüfendes Argument jedoch
und
liefert
.
ein, so liefert die Typprüfung genau die umgekehrte
Aussage.
Maple bietet die Möglichkeit, selbstdefinierte Funktionen in Form von Operatoren zu erzeugen. Dazu dient der
Erzeugungsoperator
. Mit
(20.47)
und mit mathausdr als algebraischer Ausdruck in der Variablen
, wird eine neue Funktion in Operatorform mit
festgelegt. Der algebraische Ausdruck kann dabei schon vorher definierte und/oder eingebaute
dem Namen
Funktionen enthalten. Hängt man an das so erzeugte Operatorsymbol eine unabhängige Variable in runden
Klammern an, so entsteht die zugehörige Funktion dieser unabhängigen Variablen.
Beispiel
Mit der Übergabe von Zahlenwerten (etwa als Gleitpunktzahlen) an dieses Argument, also durch Aufrufe
der Art
liefert Maple den Funktionswert für diesen Wert.
Umgekehrt erzeugt man aus einer Funktion (man denke etwa an ein Polynom in der Variablen
Operator mit der Anweisung
wieder der Operator mit dem Symbol
. So entsteht aus
.
mit
) den zugehörigen
Mit Operatoren kann man nach den üblichen Regeln arbeiten. Summe und Differenz zweier Operatoren sind wieder
Operatoren. Bei der Multiplikation ist zu beachten, daß darunter die Hintereinanderanwendung beider Operatoren zu
verstehen ist. Maple benutzt dafür das spezielle Multiplikationssymbol
nicht kommutativ.
. Diese Multiplikation ist im allgemeinen
Beispiel
Es sei
und
. Dann gilt
während
liefert.
Will man das Produkt zweier Funktionen bilden, die in Operatordarstellung gegeben sind, so benutzt man die
Schreibweise
, die
liefert.
Wichtige Operatoren in Maple
Wichtige Operatoren sind
als die bekannten arithmetischen Operationen;
als relationale Operatoren.
Von spezieller Bedeutung ist der cat-Operator, der abgekürzt in Infixform auch als Punktoperator `.` geschrieben
wird. Mit diesem Operator können zwei Symbole (Namen) miteinander verknüpft werden.
Beispiel
Anstelle der Eingabe
kann man schreiben
, das Resultat ist wieder
. Es
ist zu beachten, daß zu Beginn der Verknüpfung die leere Zeichenkette zu stehen hat, sonst löst Maple den ersten
Operanden nicht auf. Mit dieser Konstruktion kann man indizierte Variable sehr günstig bereitstellen.
Beispiel
Im Ergebnis hat man eine Folge indizierter Variablen.
Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung erfolgt in Maple mit dem Befehl convert, der mit der Option parfrac aufzurufen ist.
Beispiel
Unter Benutzung der Polynome
und
der voranstehenden Beispiele erhält man
Programmierung in Maple
Maple stellt für den Aufbau eigener Prozeduren und Programme die üblichen Kontroll- und Schleifenstrukturen in
spezifischer Form bereit.
Fallunterscheidungen werden mit dem if-Befehl vorgenommen. Seine Grundstruktur ist
(20.49)
Der else-Zweig kann fehlen.
Vor dem else-Zweig können beliebig viele weitere Zweige mit der Struktur
(20.50)
eingefügt werden.
Schleifen erzeugt man mit
verlangen.
bzw.
, die den Anweisungsteil in der Form
In der
-Schleife ist der Laufindex in der Form
zu schreiben, hier ist
gesetzt.
In der
die Schrittweite. Fehlen Anfangswert und Schrittweite, so werden diese automatisch auf 1
-Schleife lautet der erste Teil
Auch Schleifen können mehrfach ineinander verschachtelt werden.
Um in sich abgeschlossene Programme zu gestalten, benutzt man in Maple die Prozeduranweisung. Sie kann sich
über viele Zeilen erstrecken, entsprechend abgespeichert und unter ihrem Namen in die laufende Arbeit eingefügt
werden. Ihre Grundstruktur lautet
(20.51)
Die Anzahl der Argumente der Prozedur muß nicht mit der im eigentlichen Körper benutzten Anzahl übereinstimmen;
speziell kann die Angabe ganz fehlen. Alle mit local definierten Variablen sind nur intern bekannt.
Beispiel
Es soll eine Prozedur geschrieben werden, die die Summe der Quadratwurzeln aus den ersten
natürlichen Zahlen bestimmt:
Maple liefert die so definierte Prozedur zurück.
Dann wird die Prozedur über ihren Namen mit dem gewünschten Argument
aufgerufen:
Spezialpaket plots
In der Maple-Bibliothek findet man das Spezialpaket plots mit zusätzlichen graphischen Operationen. Im
zweidimensionalen Fall sind hier besonders die beiden Anweisungen conformal und
von Interesse.
Mit
(20.94)
können Kurven in Polarkoordinatenform gezeichnet werden. Mit
eingeschlossen) mehrerer Funktionen
kann eine Menge (in geschweifte Klammern
bezeichnet sein. Maple interpretiert die eingehende Variable
Winkel und zeichnet die Kurven im Bereich zwischen
als
, wenn nicht ein davon abweichender Bereich
explizit eingegeben wird.
Der Befehl
(20.95)
bildet mit Hilfe der komplexen Funktion
die Gitterlinien eines rechteckigen Gitters in ein Kurvengitter ab. Die
neuen Gitterlinien schneiden sich ebenfalls rechtwinklig. Mit dem Bereich
werden die ursprünglichen Gitterlinien
festgelegt. Er ist voreingestellt auf
. Der Bereich
legt die Größe des Fensters fest, in welchem
die Abbildung liegt. Hier werden als Voreinstellung die sich aus der Abbildung ergebenden Maxima und Minima
benutzt.
Maple
Das Computeralgebrasystem Maple wurde an der Waterloo-Universität (Ontario Canada) entwickelt. Es wird in der
Version Maple V, release 4 von Waterloo Maple Software vertrieben. Eine gute Einführung findet man neben den
Handbüchern in Lit. 20.6.
●
●
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●
●
Hauptstrukturelemente
Zahlenarten in Maple
Wichtige Operatoren in Maple
Algebraische Ausdrücke
Folgen und Listen
Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen
Funktionen und Operatoren
Programmierung in Maple
Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe
Umgebungsvariable
Die Ausgaben von Maple lassen sich mit einer Reihe von Umgebungsvariablen steuern. Bereits vorgestellt ist die
Variable
, mit der die Anzahl der auszugebenden Ziffern von Gleitpunktzahlen festgelegt werden kann.
Die allgemeine Art der Resultatausgabe wird durch
festgelegt. Voreinstellung ist hier
(20.54)
Diese sorgt für die zentrierte Ausgabe im mathematischen Druckstil. Setzt man diese Option auf
die Ausgabe am linken Rand und nutzt die Eingabeschreibweise.
, so beginnt
Zahlenarten in Maple
●
●
●
Grundtypen von Zahlen in Maple
Spezielle Zahlen
Darstellung und Konvertierung von Zahlen
Zahlen verschiedener Basis
Die Umwandlung von Zahlen im Zehnersystem in Zahlen einer anderen Basis erfolgt mit dem Befehl
seiner Grundform
. Dieser Befehl ist in
(20.37)
von spezieller Bedeutung, da er Ausdrücke von einer Form in eine andere umwandelt, sofern dies sinnvoll ist. Das Argument
kann einer der in der folgenden Tabelle aufgezählten Typen sein.
Tabelle Argumente der Funktion convert
degrees
diff
factorial float
D
array
base
double
eqnlist
fraction GAMMA
binary
confrac
decimal
equality exp
expln
expsincos
hex
horner
hostfile hypergeom
metric
lessthan
lessequal list
listlist ln
matrix
multiset
name
octal
parfrac
polar
polynom radians
radical
rational
ratpoly
RootOf
series
set
sincos
tan
sqrfree
mod2
vector
Die Tabelle zeigt, daß für die Umwandlung von Zahlen eine Vielzahl von Formfunktionen zur Verfügung stehen.
Beispiel
Beispiele für Formfunktionen:
Im letzten der 6 Beispiele ist die Hexadezimalzahl in Linksakzenten einzuschließen.
Mit dem Befehl
einzugeben ist, in eine Zahl zur Basis
erfolgt die Umwandlung einer Zahl zur Basis
, die in Listenform ausgegeben wird. Eingabe in Listenform heißt, daß die Zahl in der Form
zu schreiben ist und die Liste
Beispiel
Die Oktalzahl 153 soll in eine Hexadezimalzahl umgewandelt werden:
Die Ausgabe erfolgt als Liste.
, die in Listenform
einzugeben ist.
Maß
Eine auf einer
-Algebra
definierte Funktion
heißt Maß, wenn
a)
b)
c)
impliziert
Die Eigenschaft c) heißt
ist
- Additivität des Maßes. Ist
(Monotonie). Wenn
ein Maß auf
.
und sind
und
, dann
, dann
(Stetigkeit von unten).
Seien
eine
-Algebra von Teilmengen aus
Maßraum , und die Mengen aus
und
heißen meßbar oder
ein Maß auf
. Das Tripel
heißt
- meßbar .
Beispiel A
Seien
eine endliche Menge
sei jedem
die
eine nichtnegative Zahl
durch
Funktion ein Maß, das (wegen
sogenannte Zählmaß.
Beispiel B
-Algebra aller Teilmengen von
, und
zugeordnet. Dann ist die für jede Menge
auf
definierte
nur endliche Werte annehmende
DIRAC-Maß: Seien
aus
eine
-Algebra von Teilmengen einer Menge
und
ein beliebig fixierter Punkt
. Durch
ist auf
ein Maß definiert. Es heißt (auf
konzentrierte)
- Funktion . Offensichtlich gilt
(s. Stetige lineare Funktionale), wobei
der Menge
die charakteristische Funktion
bezeichnet.
Beispiel C
LEBESGUE-Maß: Seien
ein metrischer Raum und
, die alle offenen Mengen von
enthält.
die kleinste
existiert als der Durchschnitt aller
die Gesamtheit aller offenen Mengen enthalten, und heißt die BORELsche
Element aus
-Algebren, die
. Jedes
. Mit Hilfe einer
-Algebra und darauf ein Maß konstruieren, das auf der Menge aller
mit dem Volumen übereinstimmt. Genauer: Es existiert eine eindeutig bestimmte
Algebra
von Teilmengen aus
Eigenschaften:
a)
-Algebra von
heißt BOREL-Menge (s. Lit. 12.6). Sei jetzt
Erweiterungsprozedur kann man eine
Quader aus
-Algebra von Teilmengen aus
und ein eindeutig bestimmtes Maß
auf
-
mit den folgenden
Jede offene Menge aus
gehört zu
Aus
und
, mit anderen Worten:
.
b)
folgen
und
.
c)
Ist
ein Quader, dann ist
, und es gilt
.
d)
ist translationsinvariant, d.h. für jeden Vektor
und jede Menge
und
Die Elemente aus
LEBESGUE-Maß in
gelten
.
heißen LEBESGUE-meßbare Teilmengen von
.
ist das (
-dimensionale)
.
Hinweis: Man sagt in der Maß- und Integrationstheorie, daß eine Behauptung (Eigenschaft, Bedingung) bezüglich
eines Maßes
fast überall oder
- fast überall auf einer Menge
gilt, wenn die Menge, auf der sie nicht erfüllt
ist, das Maß Null hat. Man schreibt dafür auch die Abkürzung f.ü. bzw.
auf
, sind
zwei disjunkte Mengen mit
und ist
-f.ü. Also, ist etwa
eine Funktion auf
das LEBESGUE-Maß
mit
und
.
, dann ist
-f.ü. auf
genau dann, wenn
Natürliches Maß
Sei
ein Attraktor von
in
mit Einzugsgebiet
. Für eine beliebige BOREL-Menge
und
wird die Größe
einen beliebigen Punkt
(17.30)
gebildet, wobei
in der Menge
jeweils der Teil der Gesamtzeit
liegt. Wenn für
-fast alle
gesetzt. Da fast alle Orbits mit Anfang
Wahrscheinlichkeitsmaß, das auf
aus
für
konzentriert ist.
ist, in dem der Orbitabschnitt
sogar
ist, wird
gegen
streben, ist
ein
Physikalische oder SBR-Maße
Die Aussage des Ergodensatzes ist nur dann brauchbar, wenn der Träger des Maßes
eine stetige Abbildung,
möglichst groß ist. Seien
ein invariantes Maß. Man sagt (s. Lit. 17.9), daß
Maß ist (nach SINAI, BOWEN und RUELLE), wenn für jede stetige Funktion
ein SBR-
die Menge aller der Punkte
, für die
(17.32a)
gilt, ein positives LEBESGUE-Maß hat. Dafür ist ausreichend, daß die Folge der Maße
(17.32b)
für fast alle
schwach gegen
konvergiert, d.h. für jede stetige Funktion
für
gilt.
Beispiel
Für einige wichtige Attraktoren, so für den HÉNON-Attraktor, wurde die Existenz eines SBR-Maßes
nachgewiesen.
Satz von RADON-NIKODYM
1. Voraussetzungen: Seien
ein
, so daß
-endlicher Maßraum, d.h., es existiert eine Folge
und
- endlich . Es heißt endlich , wenn
Eine auf
, und Wahrscheinlichkeitsmaß , wenn
gegebene reelle Funktion
heißt absolutstetig bezüglich
impliziert. Die Bezeichnung dafür ist
Für eine integrierbare Funktion
absolutstetig bezüglich des Maßes
gilt. In diesem Falle heißt das Maß
ist die auf
gilt.
, wenn
die Gleichung
.
definierte Funktion
-additiv und
. Fundamental für viele theoretische Untersuchungen und praktische
Anwendungen ist die Umkehrung dieses Fakts:
2. Satz von RADON-NIKODYM:Seien eine
-additive Funktion
und ein Maß
auf einer
-Algebra
gegeben und sei
. Dann existiert eine
-integrierbare Funktion
so, daß für jede Menge
die Beziehung
(12.204)
gilt. Die Funktion
wenn
ist dabei bis auf ihre Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt, und
-f.ü.
ist nichtnegativ genau dann,
Koordinaten des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes)
Die Koordinaten
des Massenmittelpunktes eines Systems materieller Punkte
mit den Massen
werden mit den folgenden Formeln berechnet:
(3.293)
Teilung einer Strecke
Die Koordinaten eines Punktes
der eine Strecke zwischen den Punkten
und
im vorgegebenen Verhältnis
(3.361)
teilen soll, werden mit den Formeln
(3.362a)
(3.362b)
(3.362c)
bestimmt. Der Mittelpunkt der Strecke ergibt sich aus
(3.363)
Die Koordinaten des Massenmittelpunktes (oft unkorrekterweise Schwerpunkt genannt) eines Systems aus
materiellen Punkten mit den Massen
alle
von 1 bis
werden mit den folgenden Formeln berechnet, wobei die Summation über
zu erfolgen hat:
(3.364)
Berechnung von rechtwinkligen aus polaren Koordinaten beim polaren
Anhängen eines Punktes
Im rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Koordinaten eines Neupunktes
örtlichen System zu ermitteln.
durch Messungen im polaren
Gegeben:
Gemessen:
Gesucht:
Lösung:
(3.92a)
(3.92b)
(3.92c)
(3.92d)
Sollte auch
gemessen worden sein, dann wird der Unterschied zwischen der örtlich gemessenen Strecke und
der aus den Koordinaten berechneten Strecke mit dem Maßstabsfaktor
berücksichtigt:
(3.93a)
(3.93b)
(3.93c)
Matchings
●
●
●
Matchings, Satz von TUTTE
Alternierende Wege, Satz von BERGE
Ermittlung maximaler Matchings
Matchings, Satz von TUTTE
1. Matchings:
von Kanten eines Graphen
Eine Menge
je zwei verschiedene Kanten aus
a) Gesättigtes Matching:
von
Ein Matching
heißt Matching in
wenn
keine Schlingen enthält und
keinen gemeinsamen Endpunkt besitzen.
heißt gesättigt , wenn es in
kein Matching
mit
gibt.
b) Maximales Matching:
von
Ein Matching
nennt man maximal , wenn es in
kein Matching
mit
gibt.
c) Perfektes Matching:
Ist
ein Matching in
indiziert, dann wird
Beispiel
mit der Eigenschaft, daß jeder Knoten von
perfektes Matching genannt.
mit einer Kante aus
ein gesättigtes Matching
Im Graphen der folgenden Abbildung ist
ein maximales Matching, das außerdem perfekt ist.
und
d) Hinweis:
In Graphen mit ungerader Knotenzahl gibt es keine perfekten Matchings.
2. Satz von TUTTE:
a) Ein Graph
besitzt genau dann ein perfektes Matching, wenn
jede Teilmenge
der Knotenmenge
durch Löschen aller Knoten von
ist. Dabei ist
gerade ist und für
der Graph, der aus
und der mit diesen Knoten inzidierenden Kanten entsteht. Mit
wird die Anzahl der Komponenten von
mit ungerader Knotenzahl bezeichnet.
b)
Perfekte Matchings haben z.B. vollständige Graphen mit gerader Knotenzahl, vollständige paare
Graphen
und beliebige reguläre paare Graphen vom Regularitätsgrad
Ermittlung maximaler Matchings
Gegeben sei ein Graph
mit einem Matching
a)
Man bilde zu
ein gesättigtes Matching
Man wähle in
einen Knoten
mit
b)
der mit keiner Kante aus
zunehmenden alternierenden Weg, der in
inzidiert, und suche in
einen
beginnt.
c)
Existiert ein solcher Weg, dann liefert das oben beschriebene Austauschverfahren ein Matching
Existiert kein solcher Weg, dann lösche man in
den Knoten
und alle mit
inzidierenden Kanten und wiederhole Schritt b).
Es gibt einen kompliziert zu beschreibenden Algorithmus von EDMONDS, der sich zur effektiven Suche nach
maximalen Matchings eignet (s. Lit. 5.29).
mit
Optionen für 3D-Graphik
Die Zahl der Optionen für 3D-Graphik ist groß. In der folgenden Tabelle werden einige in aufgelistet, wobei Optionen,
die aus der 2D-Graphik bekannt sind, nicht aufgeführt werden. Sie lassen sich sinngemäß übertragen.
Tabelle Optionen zur 3D-Graphik
voreingestellt ist
, dies zeichnet einen dreidimensionalen
Rahmen um die Fläche
bestimmt die Undurchsichtigkeit der Oberfläche, voreingestellt ist
bestimmt den Punkt
im Raum, von dem aus die
Oberfläche betrachtet wird. Voreingestellt ist
voreingestellt ist
, damit wird die Oberfläche schattiert,
liefert weiße Oberflächen
ist hier für die Werte
,
,
wählbar. Voreinstellung
ist
Hier sei besonders auf die Option
hingewiesen, mit der sehr unterschiedliche Ansichtsperspektiven
für die jeweilige Oberfläche ausgewählt werden können.
Mathematica
Mathematica stellt die in der folgenden Tabelle dargestellten Funktionen und Operatoren für die Umformung
algebraischer Ausdrücke zur Verfügung.
Tabelle Anweisungen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke
löst die Potenzen und Produkte in einem Polynom
durch
Ausmultiplikation auf
multipliziert nur die Anteile in
aus, die
enthalten
löst auch Potenzen von Produkten und Potenzen von Potenzen
auf
faktorisiert ein Polynom vollständig
ordnet das Polynom nach Potenzen von
das gleiche wie vorstehend, nur mit mehreren Variablen
entwickelt nur den Zähler eines rationalen Ausdrucks
entwickelt nur den Nenner
multipliziert sowohl Zähler als auch Nenner vollständig aus
stellt den Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner dar
stellt den Ausdruck als Summe von Termen mit einfachen
Nennern dar (Partialbruchzerlegung)
kürzt gemeinsame Faktoren in den jeweiligen Termen
●
●
●
●
●
Multiplikation von Ausdrücken
Faktorzerlegung von Polynomen
Operationen auf Polynomen
Partialbruchzerlegung
Manipulation nichtpolynomialer Ausdrücke
Multiplikation von Ausdrücken
Diese Operation der Multiplikation algebraischer Ausdrücke ist in jedem Falle durchführbar. Dabei können
Koeffizienten auch unbestimmte Ausdrücke sein.
Beispiel
Entsprechend wird
Apply
Es sei
eine Funktion, die im Zusammenhang mit einer Liste
erklärt ist. Dann ergibt
(20.24)
Beispiel
Man erkennt hier gut das allgemeine Schema, wie Mathematica mit Ausdrücken von Ausdrük-kcken
umgeht. Dazu schreibt man die letzte Operation in FullForm:
Die Funktionaloperation Apply ersetzt offensichtlich den Kopf des zu behandelnden Ausdruckes Plus
durch den geforderten List.
Kontexte, Attribute
Mathematica muß mit einer Vielzahl von Symbolen umgehen, darüber hinaus lassen sich weitere Programmoduln je
nach Bedarf hinzuladen. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, bestehen die Namen von Symbolen in Mathematica
aus zwei Teilen, dem Kontext und dem Kurznamen.
Als Kurznamen bezeichnet man die Benennungen von Köpfen und Elementen der Ausdrücke. Darüber hinaus
benötigt Mathematica für die Benennung von Symbolen Angaben über die Zugehörigkeit des Symbols zum jeweiligen
Programmteil. Dies wird durch die Angabe des Kontext gewährleistet, der den entsprechenden Programmteil
benennt. Der vollständige Name eines Symbols besteht daher aus dem Kontext und dem Kurznamen, die durch ein '
verbunden werden.
Beim Start von Mathematica sind immer zwei Kontexte präsent: System' sowie Global' . Über die Verfügbarkeit
weiterer Programmoduln kann man sich mit dem Befehl
informieren lassen.
Alle in Mathematica eingebauten Funktionen laufen unter dem Kontext System' , während die vom Nutzer definierten
unter dem Kontext Global' abgelegt werden.
Ist ein gegebener Kontext aktuell, also der entsprechende Programmteil geladen, so können die Symbole mit ihrem
Kurznamen angesprochen werden.
Beim Einlesen eines weiteren Mathematica-Programmoduls mit
werden die dazugehörigen
Kontexte geöffnet und der schon vorhandenen Liste vorn hinzugefügt. Es kann vorkommen, daß vor dem Zuladen
des neuen Moduls ein Symbol mit einem Namen eingeführt wurde, der jetzt in dem neu eröffneten Kontext unter
einer anderen Definition ebenfalls vorhanden ist. In diesem Falle informiert Mathematica in einer Meldung darüber.
Dann ist entweder der vorher definierte Name mit
zu löschen, oder aber man
verwendet für das zugeladene Symbol den vollständigen Namen.
Neben den Eigenschaften, die Symbole per Definition besitzen und die in der Regel spezieller Natur sind, kann man
ihnen allgemeinere Eigenschaften, nämlich Attribute wie Orderless, d.h. ungeordnet, kommutativ, Protected,
d.h., Werte können nicht geändert werden, oder Locked, d.h, Attribute können nicht geändert werden u.a. zuordnen.
Auskunft über die für das jeweilige Objekt zutreffenden Attribute erhält man mit
Eigene Symbole können mit
.
geschützt werden, so daß keine anderen
Definitionen für diese Symbol eingeführt werden können. Mit Unprotect kann das Attribut wieder entfernt werden.
Haupstrukturelemente
Im System Mathematica werden die Hauptstrukturelemente einheitlich Ausdrücke genannt. Ihre Syntax lautet (es sei
nochmals betont, daß die jeweiligen Objekte durch ihr zugehöriges Symbol, also ihren Namen, anzugeben sind):
(20.6)
Man bezeichnet
als Kopf (
) des Audruckes; ihm ist die Nummer 0 zugeordnet. Die Teile
sind die Elemente des Ausdrucks und unter ihren Nummern
aufrufbar.
In vielen Fällen ist der Kopf des Ausdrucks ein Operator oder eine Funktion, die Elemente sind die Operanden oder
die Variablen, auf die der Kopf wirkt.
Sowohl Kopf als auch Elemente eines Ausdrucks können wieder Ausdrücke sein. Eckige Klammern sind in
Mathematica für die Darstellung von Ausdrücken reserviert, sie dürfen nur in diesem Zusammenhang verwendet
werden.
Beispiel
Der Term
, der in Mathematica auch in dieser Infix-Form eingegeben werden darf, hat
die vollständige Form (FullForm)
ist also ebenfalls ein Ausdruck. Mit Plus, Power und Times werden die die entsprechenden
arithmetischen Operatoren bezeichnet.
Man erkennt an dem Beispiel, daß alle einfachen mathematischen Operatoren in der Präfix-Form existieren und daß
die Schreibweise als Term in Mathematica nur eine Vereinfachung ist.
Teile von Ausdrücken können extrahiert werden. Das erfolgt mit der Konstruktion
Nummer des entsprechenden Elements ist. Insbesondere wird mit
Beispiel
, wobei
die
der Kopf des Ausdrucks wiedergegeben.
Gibt man in Mathematica
ein, wobei das Zeichen
Mathematica mit
auch weggelassen werden kann, und betätigt die Taste EINF, so antwortet
Mathematica hat die Eingabe zur Kenntnis genommen und sie in der mathematischen Standardform
wiedergegeben. Hätte man die Eingabe mit einem Semikolon abgeschlossen, so wäre die Ausgabe
unterdrückt worden.
Gibt man
ein, so lautet die Antwort
Das Zeichen % in der eckigen Klammer teilt Mathematica mit, daß die letzte Ausgabe als Argument für die
neue Eingabe zu verwenden ist. Aus diesem Ausdruck kann man mit
das dritte Element herausziehen, das in diesem Fall wiederum ein Ausdruck ist.
Symbole sind in Mathematica die Bezeichner der Grundobjekte; sie können beliebige Folgen von Buchstaben und
Zahlen sein und dürfen nicht mit einer Zahl beginnen. Das Sonderzeichen $ ist zulässig. Es wird zwischen Groß- und
Kleinbuchstaben unterschieden. Systemimmanente Symbole beginnen mit einem Großbuchstaben, bei
zusammengesetzten Worten beginnt auch der zweite Teil mit einem Großbuchstaben. Der Nutzer sollte deshalb zur
Unterscheidung seine selbstdefinierten Symbole nur mit Kleinbuchstaben schreiben.
Mathematica
In Abschnitt Funktionaloperatoren wird der Begriff der Ableitung als Funktionaloperator erläutert. Mathematica verfügt
über eine Vielzahl von Möglichkeiten, um Operationen der Analysis wie die Bestimmung von Differentialquotienten
beliebiger Ordnung, partieller Ableitungen, die Bildung vollständiger Differentiale, unbestimmter und bestimmter
Integrale, Reihenentwicklung von Funktionen sowie die Lösung einer Reihe von Differentialgleichungen
durchzuführen.
●
●
●
●
Berechnung von Differentialquotienten
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Lösung von Differentialgleichungen
Lösung von Differentialgleichungen
Mit Mathematica können gewöhnliche Differentialgleichungen symbolisch behandelt werden, wenn eine Lösung in
geschlossener Form prinzipiell möglich ist. In diesem Fall liefert Mathematica in der Regel die Lösung. Die hierfür
zutreffenden Befehle sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.
Tabelle Anweisungen zur Lösung von Differentialgleichungen
löst eine evtl. implizite Darstellung der Lösung der
Differentialgleichung nach
auf (falls möglich)
liefert die Lösung der Differentialgleichung in Form
einer reinen Funktion
löst ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen
Die Lösungen werden (s. Unterkapitel Gewöhnliche Differentialgleichungen) mit den entsprechenden willkürlichen
Konstanten
als allgemeine Lösungen dargestellt. Anfangswerte oder Randbedingungen können in den Teil der
Liste, der die Gleichung bzw. Gleichungen enthält, mit eingefügt werden. In diesem Falle erhält man eine spezielle
Lösung.
Als Beispiele sollen hier zwei Differentialgleichungen aus Abschnitt Wichtige Integrationsmethoden im Unterkapitel
Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung betrachtet werden.
Beispiel A
Es ist die Lsung der Differentialgleichung
zu bestimmen.
Mathematica löst diese Gleichung und gibt die Lösung als reine Funktion mit einer Integrationskonstanten
wieder
Das Symbol
steht für #, es ist dessen FullForm.
Verlangt man, daß die Lösung für
bestimmt wird, dann liefert Mathematica
Man hätte in diesem Beispiel die Substitution auch für andere Größen, wie etwa
oder
durchführen
können. Hier wird der Vorteil der Benutzung reiner Funktionen deutlich.
Beispiel B
Es ist die Lösung der Differentialgleichung
zu bestimmen.
Mathematica gibt die Eingabe ohne Kommentar zurück. Das liegt daran, daß Mathematica die Lösung der
Differentialgleichung, die im Beispiel in impliziter Form angegeben ist, nicht nach
auflösen kann.
In solchen Fällen kann man nach numerischen Lösungen suchen. Auch im Falle der symbolischen Lösung von
Differentialgleichungen darf man wie bei der Berechnung unbestimmter Integrale Mathematica nicht überfordern.
Wenn die Resultate nicht als algebraischer Ausdruck elementarer Funktionen darstellbar sind, bleibt nur der Weg,
numerische Lösungen zu suchen.
Es sei hier darauf hingewiesen, daß mit der Version Mathematica 2.2 auch ein Spezialpaket enthalten ist, das
partielle Differentialgleichungen mit partiellen ersten Ableitungen einer einzelnen gesuchten Funktion lösen kann.
Unterabschnitte
●
●
Operator der Differentiation
Differentiation von Funktionen
Berechnung von Differentialquotienten
Operator der Differentiation
Der Differentiationsoperator wurde als
eingeführt. Seine vollständige Schreibweise lautet
(20.68)
Die Argumente geben an, wie oft nach der jeweiligen Variablen differenziert werden soll. In diesem Sinne handelt es
sich um einen Operator der partiellen Differentiation. Mathematica versucht die Darstellung des Ergebnisses als reine
Funktion.
Differentiation von Funktionen
Die Differentiation einer vorgegebenen Funktion kann vereinfachend durch den Operator
wird die Ableitung der Funktion
durchgeführt werden. Mit
angegeben.
D gehört zu einer Gruppe von Differentialoperationen, die in der folgenden Tabelle aufgeführt sind.
Tabelle Operationen der Differentiation
liefert die
-te Ableitung der Funktion
Entsprechend liefern:
mehrfache Ableitungen jeweils
-mal nach
das vollständige Differential der Funktion
die vollständige Ableitung
der Funktion
.
die vollständige Ableitung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher
Für die beiden Beispiele aus Abschnitt Grundregeln für das Differenzieren erhält man
Beispiel A
Beispiel B
Die Anweisung
liefert die vollständige Ableitung bzw. das vollständige Differential.
Beispiel C
Beispiel D
Mathematica nimmt in diesen letzten Beispielen an, daß
eine Funktion von
ist, die es jedoch nicht
kennt, und schreibt den zweiten Teil der Ableitung deshalb wieder symbolisch.
Wenn Mathematica bei der Differentiation auf eine symbolische Funktion stößt, beläßt es diese in der allgemeinen
Form und drückt die Ableitung in der Form
Beispiel E
aus.
Mathematica kennt die Regeln für die Differentiation von Produkten, Quotienten und die Kettenregel und kann diese
auch formal anwenden:
Beispiel F
Beispiel G
Differentiation
Mathematica nutzt die Möglichkeit, die Differentiation von Funktionen als Abbildung im Raum der Funktionen
aufzufassen. Der Operator der Differentiation lautet in Mathematica
die Funktion f definiert, so erhält man mit
oder abgekürzt
ihre Ableitung.
Beispiel
Mit
,
also
als reine Funktion dargestellt und entsprechend
. Ist
Mathematica
Das Computeralgebrasystem Mathematica verfügt über einen mächtigen Apparat zur numerischen Lösung vielfältiger
mathematischer Aufgaben. Die Vorgehensweise von Mathematica ist jedoch hierbei ganz anders als im Falle
symbolischer Berechnungen. Mathematica ermittelt nach bestimmten, voreingestellten Prinzipien eine Werteliste der
beteiligten Funktionen ähnlich wie auch für graphische Darstellungen, und bestimmt dann aus diesen Werten die
jeweilige Lösung. Da die Anzahl der benutzten Punkte endlich sein muß, kann es bei ,,schlechten`` Funktionen zu
Problemen kommen. Mathematica wird zwar auch hier versuchen, an problematischen Stellen mehr Stützpunkte zu
wählen, aber schließlich muß es Annahmen über die Stetigkeit in bestimmten Bereichen machen. Hier kann die
Ursache für Fehler im Resultat liegen. Es ist in jedem Fall sinnvoll, so viel wie möglich qualitative Informationen über
die beteiligten Objekte einzuholen und, wenn irgend möglich, symbolische Berechnungen, zumindest in Teilbereichen
der Aufgabe durchzuführen.
In der folgenden Tabelle sind Operationen für die numerische Auswertung dargestellt:
Tabelle numerischer Operationen
NIntegrate berechnet bestimmte Integrale
NSum
berechnet Summen
NProduct
berechnet Produkte
NSolve
löst numerisch algebraische Gleichungen
NDSolve
löst Differentialgleichungen numerisch
Nach dem Starten von Mathematica wird das ,,Prompt``
angezeigt, das die Bereitschaft für die Eingabe
angibt. Die Ausgabe des zugehörigen Ergebnisses kennzeichnet Mathematica mit
wird in die ,mit
gekennzeichnet Zeilen eingegeben. Die Zeilen, die mit
Mathematica als Antwort zurück. Der in den Ausdrücken auftretende Pfeil
Wert
●
●
●
●
.
Kurvenanpassung und Interpolationsverfahren
Numerische Lösung von Polynomgleichungen
Numerische Integration
Numerische Lösung von Differentialgleichungen
. Allgemein: Der Text
versehen sind, gibt
bedeutet z.B. ersetze
durch den
Mathematica
Im Abschnitt Mathematica, Listen wurden der Begriff der Matrix und eine Reihe von Operationen mit Matrizen auf der
Grundlage von Listen definiert. Der Einsatz von Mathematica im Rahmen der Theorie linearer Gleichungssysteme
baut auf diesen Festlegungen auf. Es sei im folgenden
(20.62)
eine Matrix vom Typ
mit den Elementen
, des weiteren seien
(20.63)
-dimensionale Vektoren. Mit diesen Definitionen läßt sich das allgemeine System linearer
zwei - bzw.
inhomogener bzw. homogener Gleichungen schreiben (s. Lösung linearer Gleichungssysteme)
(20.64)
●
●
●
Spezialfall
Allgemeiner Fall
Eigenwerte und Eigenvektoren
Faktorzerlegung von Polynomen
Die Faktorzerlegung von Polynomen über ganzen oder rationalen Zahlen wird von Mathematica nur ausgeführt, wenn
sie im Bereich der ganzen oder rationalen Zahlen möglich ist. Anderenfalls gibt Mathematica den Ausdruck
unverändert zurück.
Beispiel
Mathematica hat das Polynom in drei über dem Körper der rationalen Zahlen irreduzible Faktoren zerlegt.
Wenn ein Polynom über dem Körper der komplexen rationalen Zahlen vollständig reduzibel ist, kann man mit der
Option GaussianIntegers eine vollständige Zerlegung erreichen.
Beispiel
FixedPoint
Durch
wird die Funktion wiederholt angewendet, bis sich das Ergebnis nicht mehr ändert.
FixedPointList
Die Funktionaloperation
erzeugt die fortlaufende Liste mit den
Anwendungsergebnissen von
, bis sich der Wert nicht mehr ändert.
Beispiel
Zur Demonstration dieser Art von Funktionaloperationen wird Nest auf die Näherungsformel von NEWTON
für Wurzeln der Gleichung
in der Nähe von
zu finden:
angewendet. Es sei eine Wurzel der Gleichung
Man hätte auch eine größere Präzision des Ergebnisses verlangen können.
Darstellung von Flächen und Raumkurven
Mathematica bietet die Möglichkeit, dreidimensionale Graphikprimitive darzustellen. Dadurch lassen sich, ganz
ähnlich wie im zweidimensionalen Fall, dreidimensionale Graphiken aufbauen und mit der Anwendung verschiedener
Optionen aus unterschiedlichster Perspektive betrachten. Insbesondere ist deshalb die graphische Darstellung
gekrümmter Flächen im dreidimensionalen Raum möglich, d.h. die graphische Darstellung von Funktionen zweier
Veränderlicher. So ist es möglich, Kurven im dreidimensionalen Raum, z.B. in Parameterdarstellung, zeichnen zu
lassen. Eine ausführliche Beschreibung der dreidimensionalen Graphikprimitive s. Lit. 20.5. Der Umgang mit diesen
Darstellungen erfolgt analog zu dem mit den zweidimensionalen Primitiven.
●
●
●
Graphische Darstellung von Oberflächen
Optionen für 3D-Graphik
Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung
Funktionaloperationen
Bekanntlich operieren Funktionen auf Zahlen oder algebraischen Ausdrücken. Der symbolische Charakter von
Mathematica gestattet jedoch ebenso Operationen auf Funktionen, da die Namen von Funktionen wie Ausdrücke
behandelt und damit auch wie Ausdrücke manipuliert werden können.
●
●
●
●
●
●
●
●
Inverse Funktion
Differentiation
Nest
NestList
FixedPoint
FixedPointList
Apply
Map
Funktionen
●
●
●
Standardfunktionen
Spezielle Funktionen
Reine Funktionen
Inverse Funktion
Die Bestimmung der inversen Funktion zu einer gegebenen Funktion
InverseFunction.
Beispiel A
Beispiel B
erreicht man mit der Funktionaloperation
Lösung von Gleichungen
Mathematica stellt die Anweisung
für die Lösung von Gleichungen zur Verfügung. In gewissem Sinne führt
nacheinander die Operationen
und
durch.
Mathematica ist nur in der Lage, Gleichungen symbolisch zu lösen, wenn dies in Form algebraischer Ausdrücke
überhaupt möglich ist, d.h. höchstens Gleichungen vierten Grades. Wenn jedoch Gleichungen höheren Grades durch
algebraische Manipulationen wie Faktorisierung in einfachere algebraische Ausdrücke umgeformt werden können,
dann ist Mathematica auch hier in der Lage, Lösungen zu bieten.
eingebauten Operationen
und
versucht in solchen Fällen, mit den
entsprechende Zerlegungen vorzunehmen.
Prinzipiell kann Mathematica unter bestimmten Voraussetzungen numerische Lösungen anbieten.
Beispiel
Allgemeine Lösung einer Gleichung dritten Grades:
Mathematica liefert
Wegen der Länge ihrer Terme wurde in der Lösungsliste nur die erste Lösung explizit aufgeführt. Will man eine
Gleichung mit gegebenen Koeffizienten
behandeln, als die Werte von
lösen, so ist es besser, die Gleichung selbst mit
der formalen Lösung zuzuweisen.
Beispiel A
Für die kubische Gleichung
wird:
zu
Beispiel B
Lösung einer Gleichung 6. Grades:
Mathematica ist es gelungen, die Gleichung in Beispiel B mit internen Mitteln zu faktorisieren; danach wird sie
problemlos gelöst.
Wenn es um numerische Lösungen geht, sollte man von vornherein die Anweisung
schneller.
Beispiel
Die folgende komplizierte Gleichung löst man mit NSolve:
benutzen; sie ist meist
Gleichungen
Mathematica ermöglicht die Manipulation und Lösung von Gleichungen in einem breiten Rahmen. Eine Gleichung
wird in Mathematica als logischer Ausdruck aufgefaßt. Wenn man schreibt
(20.57a)
so interpretiert Mathematica dies als die Aufstellung einer Identität. Gibt man
(20.57b)
weil mit diesem Wert von
Die Anweisung
linke und rechte Seite nicht identisch sind.
veranlaßt, die obige Identität in eine Form zu bringen, die
explizit enthält.
Mathematica stellt das Ergebnis mit Hilfe des logischen ODER wieder in der Form einer logischen Aussage dar:
(20.57c)
In diesem Sinne können logische Operationen mit Gleichungen durchgeführt werden.
Mit der Operation
können nachfolgend Gleichungen des logischen Typs wie oben in
Transformationsregeln umgewandelt werden. So ergibt
(20.57d)
Lösung transzendenter Gleichungen
Mathematica ist in der Lage, auch transzendente Gleichungen zu lösen. In der Regel ist dies symbolisch nicht möglich.
Außerdem können solche Gleichungen oft unendlich viele Lösungen haben. Daher sollte man Mathematica in solchen Fällen
eine Vorgabe für die Umgebung machen, in der eine Lösung gefunden werden soll. Das ist mit der Anweisung
möglich, wobei
Beispiel
der Startwert für die Lösungssuche ist.
Lösung von Gleichungssystemen
Mathematica kann simultan mehrere Gleichungen lösen. Die dafür eingebauten Operationen sind in der folgenden
Tabelle dargestellt und betreffen die symbolische, nicht die numerische Lösung von Gleichungssystemen.
Tabelle Operationen zur Lösung von Gleichungssystemen
löst das gegebene Gleichungssystem nach den
Unbekannten auf
eliminiert die Elemente
aus dem
Gleichungssystem
vereinfacht das Gleichungssystem und liefert
alle möglichen Lösungen
eine numerische Lösung. Beispiele für die
Wie im Falle einer Unbekannten, erhält man mit der Anweisung
Lösung von linearen Gleichungssystemen werden im Abschnitt lineare Algebra behandelt.
Allgemeiner Fall
Mit den Anweisungen
und
lassen sich alle im Kapitel Lineare Algebra, Abschnitt
Lösung linearer Gleichungssysteme beschriebenen Fälle behandeln, d.h., es läßt sich festzustellen, ob prinzipiell
eine Lösung existiert, und wenn ja, dann wird diese ermittelt. Im Folgenden werden einige Beispiele aus dem
Abschnitt Lösung linearer Gleichungssysteme betrachtet.
Beispiel A
Das Beispiel im Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem
hat als homogenes System nichttriviale Lösungen, die aus Linearkombinationen von Basisvektoren des
Nullraumes der Matrix
Transformationen mit
bestehen. Das ist jener Teilraum des
-dimensionalen Vektorraumes, der bei
auf die Null abgebildet wird. Ein Satz solcher Basisvektoren läßt sich mit der
Anweisung
erzeugen. Mit der Eingabe
erzeugt man die für das System zuständige Matrix, deren Determinante tatsächlich Null ist, was sich mit
überprüfen läßt. Nun wird eingegeben
und als Ausgabe erscheint
eine Liste mit zwei linear unabhängigen Vektoren des vierdimensionalen Raumes, die im
zweidimensionalen Nullraum der Matrix
eine Basis bilden. Beliebige Linearkombinationen dieser beiden
Vektoren liegen ebenfalls im Nullraum, sind also Lösungen des homogenen Gleichungssystems. Ein
Vergleich mit der Lösung des betrachteten Beispiels zeigt die Identität.
Beispiel B
Man erzeugt gemäß Beispiel A aus Abschnitt Allgemeine Regel für das inhomogene System
die Matrix
, die vom Typ
ist und den Vektor
Auf die Anweisung
erscheint die Meldung
Danach wird die Eingabe nochmals ausgegeben.
Beispiel C
Gemäß Beispiel B aus Abschnitt Allgemeine Regel für das inhomogene System
wird eingegeben:
Da in diesem Fall das System überbestimmt ist, wird geprüft, ob sich die Matrix
Abhängigkeiten der Zeilen reduzieren läßt. Mit
geschieht das. Danach gibt man ein
Die Ausgabe enthält die bekannte Lösung.
aufgrund linearer
Eigenwerte und Eigenvektoren
In Abschnitt Eigenwertaufgaben bei Matrizen sind Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen definiert worden.
Mathematica bietet die Möglichkeit, diese mit speziellen Anweisungen zu bestimmen. So liefert
eine Liste der Eigenvektoren der quadratischen Matrix
. Setzt man anstelle von
aber
eine Liste der Eigenvektoren von
, so erhält man die numerischen Eigenwerte. Bei Matrizen mit der Ordnung
kann man im allgemeinen keine algebraischen Ausdrücke mehr erwarten, da die zu lösende Polynomgleichung
höher als vierten Grades ist. Deshalb kann man in diesen Fällen nur nach numerischen Werten fragen.
Beispiel
Das erzeugt eine 5-dimensionale sogenannte HILBERT-Matrix.
Mit der Anweisung
antwortet Mathematica
Gibt man aber ein
so erhält man
Spezialfall
Im Spezialfall
hat das inhomogene System eine eindeutige Lösung, die mit
(20.65)
sofort gefunden werden kann. Mit Mathematica können Systeme dieser Art mit etwa 50 Unbekannten in verträglicher
Zeit in Abhängigkeit vom Computersystem gelöst werden. Eine äquivalente, jedoch eventuell schneller ermittelbare
Lösung kann mit
gefunden werden.
Darstellung und Konvertierung von Zahlen
Zahlen sind in verschiedenen Formen darstellbar, die sich ineinander konvertieren lassen. So läßt sich jede reelle
Zahl
mit
in eine Gleitpunktzahl mit
-stelliger Präzision konvertieren.
(20.8a)
Mit
kann die Zahl
mit der Genauigkeit
in eine rationale Zahl gewandelt werden.
So ergibt
(20.8b)
Mit der Genauigkeit
übermittelt Mathematica die bestmögliche Näherung der Zahl
durch eine rationale Zahl.
Zahlen verschiedener Zahlensysteme können ineinander konvertiert werden. Mit
im Dezimalsystem in die entsprechende Zahl im System mit der Basis
wird die Zahl
umgewandelt. Ist
für die Darstellung der weiteren Ziffern wie üblich die fortlaufenden Buchstaben
benutzt.
, so werden
Beispiel A
So wird z.B.
(20.9a)
oder
(20.9b)
Die umgekehrte Transformation wird mit
durchgeführt.
Beispiel B
In diesem Sinne liefert
(20.9c)
Die Darstellung der Zahlen erfolgt mit der jeweiligen Präzision (voreingestellt hierfür ist die Maschinenpräzision) und
bei großen Zahlen in der sogenannten wissenschaftlichen Schreibweise, d.h. in der Form
.
Graphik mit Mathematica
●
●
●
●
●
●
●
Grundlagen des Graphikaufbaus
Graphik-Primitive
Graphikoptionen
Syntax der Graphikdarstellung
Zweidimensionale Kurven
Parameterdarstellung von Kurven
Darstellung von Flächen und Raumkurven
Graphische Darstellung von Funktionen
Mathematica stellt spezielle Anweisungen für die graphische Darstellung von Funktionen zur Verfügung. Mit
(20.79)
wird die Funktion
im Bereich zwischen
und
graphisch dargestellt. Mathematica
erstellt nach internen Algorithmen eine Funktionstabelle und gibt die sich daraus ergebende Graphik über die
Graphikprimitiven zurück.
Beispiel
Wenn die Funktion
im Bereich zwischen
und
graphisch dargestellt werden soll, ist
einzugeben
Mathematica liefert die in der folgenden Abbildung dargestellte Kurve.
Man erkennt, daß Mathematica bei der Darstellung gewisse voreingestellte Graphikoptionen benutzt. So
werden automatisch Achsen gezeichnet, diese entsprechend skaliert und mit
- und
-Werten versehen.
An diesem Beispiel erkennt man auch die Wirkung der Voreinstellung von AspectRatio. Das Verhältnis
der Gesamtbreite zur Gesamthöhe entspricht
Mit dem Befehl
.
kann man sich die volle Darstellung des Graphikobjektes anzeigen
lassen. Man erhält für das betrachtete Beispiel die Ausgabe:
Das Graphikobjekt besteht demzufolge aus zwei Unterlisten. Die erste enthält die Graphikprimitive
,
mit der die nach dem internen Algorithmus berechneten Kurvenpunkte durch Linien miteinander verbunden
werden. Die zweite Unterliste enthält die für die gegebene Graphik benutzten Optionen. Das sind die
Voreinstellungen. Soll das Bild in bestimmten Positionen bei der Wiedergabe verändert werden, so sind die
veränderten Optionseinstellungen in die
anzuschließen. Mit
-Anweisung nach den beiden Haupteingaben
(20.80)
würde die Wiedergabe mit absolut gleich großen
- und
-Bereichen erfolgen.
Man kann mehrere Optionen gleichzeitig hintereinander angeben.
Mit der Eingabe
(20.81)
werden mehrere Funktionen in eine Graphik gezeichnet.
Mit der Anweisung
(20.82)
kann ein früher erzeugtes Bild erneut, wenn gewünscht mit veränderten Optionen, dargestellt werden.
Mit
(20.83)
als Liste von Graphikobjekten) Bilder nebeneinander, untereinander und matrixförmig zueinander
können (mit
angeordnet werden.
Graphikoptionen
Mathematica bietet eine Vielzahl von Graphikoptionen, die die Gestaltung des Bildes als Gesamtheit betreffen. In der
folgenden Tabelle ist eine Auswahl der wichtigsten gegeben. Für eine umfassende Darstellung wird auf Lit. 20.5
verwiesen.
Tabelle Einige Graphikoptionen
setzt das Verhältnis
von Höhe zu Breite.
bestimmt
aus den absoluten
Koordinaten, Voreinstellung ist
setzt Koordinatenachsen
setzt keine Koordinatenachsen
zeichnet nur die
-Achse
erzeugt Rahmen
erzeugt Gitterlinien
beschriftet die Achsen mit dem angegebenen
Symbol
setzt Skalierungsstriche automatisch, mit None
werden diese unterdrückt
an den angegebenen Stellen werden Skalenmarken
gesetzt
Grundlagen des Graphikaufbaus
Mathematica baut graphische Objekte aus eingebauten Graphik-Primitiven auf. Das sind Objekte wie Punkte (
Linien (
) und Polygone (
),
) sowie Eigenschaften dieser Objekte wie Dicke und Farbe.
Des weiteren verfügt Mathematica über viele Optionen, die angeben, in welcher Umgebung und in welcher Art die
graphischen Objekte dargestellt werden sollen.
Mit dem Befehl
, wobei
eine Liste graphischer Primitiven ist, wird Mathematica aufgefordert,
eine Graphik aus den aufgelisteten Objekten zu erstellen. Der Objektliste kann eine Liste von Optionen für die Art der
Darstellung folgen.
Mit der folgenden Eingabe
(20.77a)
(20.77b)
wird eine Graphik aus folgenden Elementen aufgebaut:
a) Linienzug von zwei Linien, beginnend im Punkt
b) Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt
über den Punkt
zum Punkt
.
und dem Radius 4.
c) Text mit dem Inhalt ''Beispiel``, geschrieben in dem Schriftfont Helvetica-Bold (der Text erscheint zum Bezugspunkt
zentriert).
Mit dem Aufruf
liefert Mathematica das Bild der erzeugten Graphik:
Hierbei werden gewisse Voreinsstellungen der Graphikoptionen benutzt. Im gegebenen Fall wurde die Option
auf
gesetzt. Ihre Voreinstellung lautet
. Das entspricht einem
Verhältnis zwischen der Ausdehnung in der
-Richtung zu dem der
-Richtung von
. Mit
dieser Einstellung wäre der Kreis verzerrt als Ellipse dargestellt worden. Die Einstellung dieser Option auf Automatic
bewirkt, daß die Darstellung unverzerrt erfolgt.
Graphik-Primitive
Mathematica stellt die in der folgenden aufgelisteten zweidimensionalen Graphikobjekte zur Nutzung bereit.
Tabelle Zweidimensionale Graphikobjekte
Punkt an der Position
Linienzug durch die angegebenen Punkte
ausgefülltes Rechteck mit den angegebenen Koordinaten
links unten, rechts oben
ausgefülltes Polygon mit den angegebenen Eckpunkten
Kreis mit dem Radius
um den Mittelpunkt
Kreisbogen mit den jeweiligen Begrenzungswinkeln
Ellipse mit den Halbachsen
und
elliptischer Bogen
ausgefüllte Kreise bzw. Ellipsen (anstelle von
Halbachsenangabe)
ergibt
zentriert auf den Punkt
Neben diesen Objekten bietet Mathematica für die Art der Darstellung weitere Primitiven, die Graphikanweisungen.
Sie legen fest, wie die Graphikobjekte dargestellt werden. Zu ihnen gehören die in der folgenden Tabelle
aufgelisteten Anweisungen.
Tabelle Graphikanweisungen
Punkte werden mit dem Radius
Gesamtbildgröße gezeichnet
als Bruchteil der
zeichnet die Punkte mit dem absoluten Radius
(gemessen in Druckerpunkten pt)
zeichnet Linien mit der relativen Breite
zeichnet Linien mit der absoluten Breite
pt)
(ebenfalls in
zeichnet Linien als sich wiederholende Folge von
Strichen der angegebenen Länge (in relativem Maß)
das gleiche wie vorstehend, aber in absolutem Maß
bestimmt die Graustufe des Objekts (
schwarz,
weiß)
Darüber hinaus gibt es Anweisungen für Farbeinstellungen, auf die hier nicht eingegangen wird.
ergibt
Unterabschnitte
●
●
Bestimmte Integrale
Mehrfachintegrale
Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Bestimmte Integrale
Mit der Anweisung
mit der unteren Grenze
Beispiel A
kann Mathematica das bestimmte Integral der Funktion
und der oberen Grenze
bestimmen.
Nachdem Mathematica ein Spezialpaket für die Integration zugeladen hat, liefert es den Wert
Bestimmte Integrale Nr. 9 für
(s. Tabelle
).
Beispiel B
Gibt man aber ein
was falsch ist, da ein uneigentliches Integral vorliegt.
Mathematica nimmt die Stammfunktion von
, also
, und setzt die Grenzen ein, wonach es die beiden
Ergebnisse voneinander subtrahiert. Daß der Integrand unendlich wird, ist nicht berücksichtigt worden. Mit der
Version 2.2 von Mathematica ist dieser Fehler beseitigt. Nach längerer Bearbeitungszeit meldet Mathematica, das
Integral ist nicht bestimmbar, weil uneigentlich.
Bei der Berechnung bestimmter Integrale ist Vorsicht geboten. Wenn man die Eigenschaften des Integranden nicht
kennt, sollte man sich vor der Integration eine Graphik der Funktion im interessierenden Bereich anfertigen.
Mehrfachintegrale
Zweifache bestimmte Integrale ruft man mit der Anweisung
(20.70)
auf. Die Abarbeitung erfolgt von rechts nach links, zunächst wird also die Integration über
Grenzen
und
wird das Integral über
können daher Funktionen von
durchgeführt. Die
sein, die in die Stammfunktion eingesetzt werden. Danach
bestimmt.
Beispiel
Für das Integral
zur Berechnung einer Fläche zwischen Parabel und einer, diese zweifach
schneidenden Geraden, in Abschnitt Berechnung des Doppelintegrals erhält man
Auch hier ist Aufmerksamkeit in bezug auf Unstetigkeiten der beteiligten Funktionen geboten.
Unterabschnitte
●
●
●
Integration gebrochenrationaler Funktionen
Integration trigonometrischer Funktionen
Hinweis:
Unbestimmte Integrale
Mit der Anweisung
versucht Mathematica, das unbestimmte Integral
zu
bestimmen. Wenn das Integral Mathematica bekannt ist, gibt es dieses ohne die Integrationskonstante wieder.
Mathematica nimmt an, daß jeder Ausdruck, der die Integrationsvariable nicht enthält, auch nicht von dieser abhängt.
Den bei der Integration (s. Integrationsregeln) auftretenden Problemen kann Mathematica nicht ausweichen. Im
allgemeinen findet es unbestimmte Integrale, wenn sich diese durch elementare Funktionen, wie rationale
Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie den trigonometrischen und deren inversen Funktionen
ausdrücken lassen. Wenn Mathematica nicht in der Lage ist, das Integral zu bestimmen, gibt es die Eingabe zurück.
Allerdings kennt Mathematica einige spezielle Funktionen, die durch nicht elementar bestimmbare Integrale definiert
sind, wie z.B. die elliptischen Funktionen und andere.
Zur Demonstration der Möglichkeiten von Mathematica werden einige Beispiele betrachtet, die im Unterkapitel
Unbestimmte Integrale behandelt werden.
Integration gebrochenrationaler Funktionen
(s. Integration rationaler Funktionen)
Beispiel A
Beispiel B
(20.69)
Integration trigonometrischer Funktionen
(s. Integration trigonometrischer Funktionen)
Beispiel A
Es wird das Beispiel A mit dem Integral
betrachtet:
Beispiel B
Es wird das Beispiel B mit dem Integral
betrachtet:
Hinweis:
Im Falle nichtelementarer Integrale nimmt Mathematica lediglich eine Umformung vor.
Beispiel
Parameterdarstellung von Kurven
Mathematica verfügt über eine spezielle Graphikanweisung, mit der Kurven in Parameterform dargestellt werden können.
Der grundlegende Befehl dafür lautet:
(20.85)
Es besteht die Möglichkeit, mehrere Parameterkurven in eine Graphik zu zeichnen. Dazu ist in der Anweisung eine Liste
von mehreren Kurven einzugeben. Mit der Option
zeichnet Mathematica die
Kurven in ihrer natürlichen Form.
Die in den folgenden zwei Abbildungen dargestellten Parameterkurven archimedische Spirale und logarithmische Spirale
sind mit den Eingaben
und
aufgerufen worden.
Mit
kann eine Trochoide erzeugt werden (s. Abbildung).
Zweidimensionale Kurven
Als Beispiele sollen eine Reihe von Kurven aus dem Kapitel Funktionen und ihre Darstellung erzeugt werden.
●
●
●
Exponentialfunktionen
Lineare Funktion plus Areakotangensfunktion
BESSEL-Funktionen
Listen
●
●
●
●
Begriff und Bedeutung
Verschachtelte Listen
Operationen mit Listen
Spezielle Listen
Operationen mit Matrizen und Vektoren
Mathematica ermöglicht die formale Manipulation von Matrizen und Vektoren. Dafür stehen die in der folgenden Tabelle aufgeführten
algebraischen Operationen zur Verfügung.
Tabelle Operationen mit Matrizen
die Matrix
wird mit dem Skalar
das Produkt der Matrizen
und
die Determinante der Matrix
die inverse Matrix zu
die zu
die
transponierte Matrix
-te Potenz der Matrix
die Eigenwerte der Matrix
multipliziert
die Eigenvektoren der Matrix
Beispiel A
Es sei
Mit
die zu
transponierte Matrix
.
Definiert man den allgemeinen vierdimensionalen Vektor
mit
so erhält man
Nun kann das Produkt der Matrix
mit dem Vektor
(s. Rechenoperationen mit Matrizen).
gebildet werden, was bekanntlich einen neuen Vektor liefert
Eine Unterscheidung von Spaltenvektoren und Zeilenvektoren gibt es in Mathematica nicht. Im allgemeinen ist die
Matrixmultiplikation nicht kommutativ (s. Rechenoperationen mit Matrizen). Der Ausdruck
dem Produkt einer Matrix mit einem nachfolgenden Spaltenvektor, während
nachfolgenden Matrix entspricht.
dem Produkt eines Zeilenvektors mit einer
Beispiel B
Im Abschnitt CRAMERsche Regel ist das lineare Gleichungssystem
entspricht in der linearen Algebra
mit der Matrix
und den Vektoren
behandelt worden. Da in diesem Fall det
durch
ist, kann man das System gemäß
sofort lösen. Das geschieht
Map
Die Operation Map führt, bei entsprechend definierter Funktion
, zu dem Ergebnis
(20.25)
Map erstellt eine neue Liste, deren Elemente durch die Anwendung der Funktion
auf die Elemente der
Ausgangsliste entstehen.
Beispiel
Es sei
die Funktion
definiert. Mit diesem
. Sie wird durch
erhält man
Auch Map kann im oben genannten Sinn auf allgemeinere Ausdrücke angewendet werden:
Vektoren und Matrizen als Listen
●
●
Aufstellung geeigneter Listen
Operationen mit Matrizen und Vektoren
Meldungen
Mathematica verfügt über einen Meldeformalismus, der für verschiedenen Zwecke eingesetzt werden kann. Die Meldungen
werden während der Berechnungen erzeugt. Ihre Ausgabe erfolgt in einer einheitlichen Form:
, so daß die
Möglichkeit besteht, sich im weiteren auf diese Meldung zu beziehen. Zur Illustration werden folgende Fälle betrachtet:
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
aufgetaucht ist. Die
Im Beispiel A warnt Mathematica daß im Verlaufe der Abarbeitung ein Ausdruck mit dem Wert
Berechnung selbst kann durchgeführt werden. Im Beispiel B ist der Aufruf des Logarithmus mit drei Argumenten erfolgt, was
entsprechend der Definition nicht zulässig ist. Mathematica reagiert nicht. Im Beispiel C stößt Mathematica auf einen
Symbolnamen, der neu ist, jedoch einem bekannten ähnelt. Mathematica weist darauf hin und reagiert nicht.
eine Meldung abschalten. In diesem Falle wird sie nicht ausgegeben. Mit On läßt sich
Der Nutzer kann mit
die Meldung wieder zuschalten.
Mit
beziehen.
können alle Meldungen angezeigt werden, die sich auf das Symbol mit dem Namen
Muster
Mathematica gestattet dem Nutzer, eigene Funktionen zu definieren und sie in seinen Berechnungen zu nutzen.
Mit
(20.18)
mit Polynom
als beliebigem Polynom der Variablen
wird eine spezielle Funktion durch den Anwender
definiert.
In der Definition der Funktion f steht nicht
Leerzeichen. Das Symbol
wenn ein Ausdruck
, sondern
(gesprochen
steht für ,,Irgendetwas mit dem Namen
-blank) mit
als Symbol für das
``. Von hier an wird Mathematica jedesmal,
erscheint, dies durch seine obige Definition ersetzen. Diese Art der
Definition wird Muster genannt. Mit dem Symbol blank
ist das Grundelement eines Musters bezeichnet;
steht
für: ein Muster namens
. Es ist auch möglich, in der entsprechenden Definition nur ein
. Dieses Muster steht für beliebige Potenzen von
zu verwenden, also etwa
mit irgendwelchen Exponenten, also für eine ganze Klasse
von Ausdrücken mit der gleichen Struktur. Entscheidend an einem Muster ist, daß es eine Struktur festlegt. Wenn
Mathematica einen Audruck bezüglich eines Musters prüft, vergleicht es die Struktur der Elemente des Ausdrucks mit
der Struktur des Musters, Mathematica prüft nicht auf mathematische Gleichheit! Dies wird folgendermaßen deutlich:
Sei
die Liste
(20.19)
Setzt man
(20.20)
so antwortet Mathematica mit der Liste
(20.21)
Mathematica hat die Elemente der Liste in bezug auf ihre Strukturidentität mit dem Muster
allen Fällen, in denen Übereinstimmung festgestellt wurde, das jeweilige Element durch
und
wurden nicht ersetzt, da sie nicht von der vorgegebenen Struktur sind, obwohl
untersucht und in
ersetzt. Die Elemente 1
gilt.
Bemerkung: Der Mustervergleich erfolgt immer über die FullForm. Prüft man
(20.22)
Das ist eine Folge dessen, daß die FullForm von
lautet und beim
Strukturvergleich das zweite Argument von Times als zur Struktur des Musters passend erkannt wird.
Mit der Definition
(20.23a)
ersetzt Mathematica entsprechend dem vorgegebenen Muster
(20.23b)
(20.23c)
Hätte man definiert
(20.23d)
die Ausgabe
(20.23e)
entstanden. In diesem Fall spricht also nur die ,,identische`` Eingabe auf die Definition an.
Nest
Die Angabe
Resultat lautet
bedeutet, daß die Funktion f
.
-mal verschachtelt auf
anzuwenden ist. Das
NestList
Durch
Stufe
wird eine Liste
verschachtelt wird.
erzeugt, wobei bis einschließlich zur
Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Bei der numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder auch von Systemen von
Differentialgleichungen stellt Mathematica die Ergebnisse mittels eines InterpolatingFunction- Objektes dar.
Die gestattet den Wert der numerischen Lösung an beliebigen Punkten im gegebenen Intervall zu bestimmen oder
aber auch die Lösungskurve zu zeichnen. Die gebräuchlichsten Anweisungen sind in der folgenden Tabelle
dargestellt.
Tabelle von Anweisungen zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen
liefert eine numerische Lösung der Differentialgleichung
im Bereich zwischen
gibt die Lösung im Punkt
zeichnet die Lösung
Beispiel
und
Lösung der Differentialgleichungen für die Bewegung eines schweren Körpers in einem Medium mit
Reibung. Im Zweidimensionalen lauten die Bewegungsgleichungen
Die Reibung wird hier proportional zur Geschwindigkeit angenommen. Setzt man
kann mit den Anfangswerten
und
zur Lösung der Bewegungsgleichungen vorgenommen werden:
Mathematica antwortet mit der Aufstellung der zugehörigen Interpolationsfunktionen:
Man kann die Lösung mit
als Parameterkurve darstellen (s. Abbildung).
, so
folgende Eingabe
NDSolve akzeptiert eine Reihe von Optionen, die die Genauigkeit der Resultate beeinflussen.
Mit AccuracyGoal kann die Genauigkeit für die Berechnung der numerischen Lösungen vorgegeben werden.
Entsprechendes gilt für PrecisionGoal. Bei der internen Abarbeitung richtet sich Mathematica jedoch nach der
sogenannten WorkingPrecision, diese sollte bei erhöhter Genauigkeit noch um weitere 5 Einheiten erhöht
werden.
Die Anzahl der Schritte, mit denen Mathematica den geforderten Bereich bearbeitet, ist auf 500 voreingestellt. Im
allgemeinen wird Mathematica in der Nähe von problematischen Bereichen adaptiv die Zahl der Stützpunkte
erhöhen. Dies kann in der Umgebung von Singularitäten jedoch zur Erschöpfung der Schrittreserven führen. In
solchen Fällen ist es möglich, mit MaxSteps größere Schrittzahlen vorzugeben. Die Einstellung Infinity für
MaxSteps ist möglich.
Beispiel
Die Gleichungen für das FOUCAULTsche Pendel lauten:
Mit
und den Anfangsbedingungen
ergibt sich die zu lösende Gleichungen:
Mit
erhält man die folgende Abbildung:
Numerische Integration
Für die numerische Integration stellt Mathematica die Anweisung NIntegrate zur Verfügung. Anders als bei der symbolischen
Methode wird bei dieser Anweisung mit einer Datenliste der zu integrierenden Funktion gearbeitet. Als Beispiele werden
uneigentliche Integrale betrachtet.
Beispiel A
.
Beispiel B
Mathematica erkennt im Beispiel B die Unstetigkeit an der Stelle
und gibt die entsprechende Warnung als
Antwort. Das hängt damit zusammen, daß Mathematica eine Datenliste mit erhöhter Stützstellenzahl im
problematischen Bereich anlegt und dabei den Pol erfaßt. Dennoch kann die Antwort in manchen Fällen fehlerhaft
sein.
Mathematica verwendet bei der numerischen Integration Voreinstellungen gewisser Optionen, die für spezielle Fälle nicht
ausreichend sind. So wird mit den Parametern MinRecursion und MaxRecursion die minimale bzw. die maximale Anzahl der
Rekursionsschritte, mit denen Mathematica jeweils in problematischen Bereichen arbeitet, bestimmt. Die Voreinstellungen sind
jeweils 0 und 6. Erhöht man diese, so wird Mathematica zwar langsamer arbeiten, jedoch auch bessere Resultate liefern.
Beispiel
Mathematica ist nicht in der Lage, die Spitze bei
zu erfassen, da der Integrationsbereich sehr groß ist, und antwortet
Verlangt man jedoch
so erhält man
Das gleiche Resultat wie im letzten Beispiel erhält man mit der erweiteten Anweisung:
(19.288)
Hier können neben unterer und oberer Grenze des Integrals weitere Stellen des Integrationsweges
das problematische Stück einengen und so Mathematica zwingen, hier genauer zu evaluieren.
angegeben werden, die
Unterabschnitte
●
●
1. Kurvenanpassung:
2. Interpolation:
Kurvenanpassung und Interpolationsverfahren
1. Kurvenanpassung:
Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate (s. auch Abschnitt Approximation im Mittel, Diskrete Aufgabe) kann
Mathematica die Anpassung von ausgewählten Funktionen an einen Datensatz durchführen. Die allgemeine Anweisung
dafür lautet:
(19.287)
Dabei bilden die
die Liste der Daten,
bewerkstelligen sollen, und
z.B. als
ist die Liste der ausgewählten Funktionen, die die Anpassung
steht für den zugehörigen Wertebereich der unabhängigen Variablen. Wählt man
, so wird die Anpassung durch ein Polynom
-ten Grades durchgeführt.
Beispiel
Es sei die folgende Liste von Daten gegeben:
Mit der Eingabe
wird angenommen, daß den Elementen von
die Werte
von
zugeordnet sind. Man erhält das folgende
Approximationspolynom 4. Grades:
Mit dem Aufruf
erhält man eine Darstellung der Daten und der Approximationskurve (s. Abbildung).
Für die gegebenen Daten ist diese völlig ausreichend. Sie ergeben sich aus den ersten vier Gliedern der
Reihenentwicklung von
.
2. Interpolation:
Mathematica stellt spezielle Algorithmen für die Bestimmung von Interpolationsfunktionen zur Verfügung. Diese werden als
sogenannte InterpolatingFunction Objekte dargestellt, die ähnlich wie reine Funktionen aufgebaut sind. Folgende
Anweisungen sind vorhanden:
Tabelle von Anweisungen zur Interpolation
erstellt eine Näherungsfunktion mit den Werten
für die jeweiligen
als ganze Zahlen
erstellt eine Näherungsfunktion für die Punktfolge
Anstelle der Funktionswerte
eingegeben werden.
Beispiel
kann eine Liste aus Funktionswert und spezifizierten Ableitungen an der jeweiligen Stelle
Mit
erhält man die folgende Abbildung:
Man erkennt, daß Mathematica präzise Nachbildung der Datenliste liefert.
Numerische Lösung von Polynomgleichungen
Wie im Abschnitt Mathematica (Kapitel Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen) gezeigt wird, kann
Mathematica die Nullstellen von Polynomen numerisch bestimmen. Dazu dient die Anweisung
, wobei
die Genauigkeit vorgibt, mit der die Bestimmung erfolgen soll. Läßt man
weg, so wird mit Maschinengenauigkeit gerechnet. Man erhält stets den vollständigen Satz der Lösungen, also
wenn es sich um ein Polynom
Beispiel
-ten Grades handelt.
,
Graphische Darstellung von Oberflächen
Der Befehl
verlangt in seiner Grundform die Angabe einer Funktion zweier Variablen und die
Wertebereiche dieser Variablen, für die die Darstellung erfolgen soll:
(20.86)
Alle Optionen sind zunächst mit der Voreinstellung belegt.
Beispiel
Für die Funktion
erhält man mit der Eingabe
die erste der zwei folgenden Abbildungen, während die zweite mit
erzeugt wird.
Bei der Halbkugel wurde die Option
Objekt an der Ebene
abzuschneiden.
mit den gewünschten
-Werten eingegeben, um das
Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung
Ähnlich wie bei der 2D-Graphik können auch dreidimensionale Objekte, die in Parameterdarstellung gegeben sind,
gezeichnet werden. Mit
(20.87)
wird eine parametrisch vorgegebene Oberfläche gezeichnet, mit
(20.88)
wird eine dreidimensionale Kurve parametrisch erzeugt.
Beispiel
Die Objekte in den folgenden zwei Abbildungen wurden mit den Befehlen
(20.89)
erstellt.
Mathematica stellt weitere Anweisungen zur Verfügung, mit denen Dichte- und Konturdiagramme, Balken- und
Sektordiagramme sowie Kombinationen der unterschiedlichsten Diagrammarten erzeugt werden können.
Beispiel
Die Darstellung zum LORENZ-Attraktor wurde mit Mathematica erzeugt.
Operationen auf Polynomen
Die folgende Tabelle enthält eine Auswahl von Operationen, mit denen sich Polynome über dem Körper der
rationalen Zahlen algebraisch manipulieren lassen.
Tabelle Algebraische Polynomoperationen
bestimmt den größten gemeinsamen Teiler der beiden
Polynome
und
bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache der
Polynome
und
Division von
unter Fortlassung
des Restes
(als Funktion von
) durch
Bestimmung des Restes bei der Division von
durch
Beispiel
Es werden zwei Polynome definiert:
Mit diesen Polynomen ergeben die nachfolgenden Operationen:
Unter Berücksichtigung der letzten beiden Ergebnisse gilt also
Wichtige Operatoren
Für viele Grundoperatoren gibt es eine vereinfachte Schreibweise mit der in der Mathematik üblichen Infix-Form
. Jedoch ist in jedem Fall diese nur ein vereinfachendes Synonym für die vollständige
Schreibweise als Ausdruck. Eine Reihe häufig vorkommender Operatoren und ihre vollständige Form enthält die
folgende Tabelle.
Tabelle Wichtige Operatoren in Mathematica
Die meisten Bezeichnungen in der Tabelle sind selbsterklärend. Bei der Multiplikation in der Form
auf das Leerzeichen zwischen den Faktoren zu achten.
ist unbedingt
Es sei auf die Ausdrücke mit den Köpfen Rule und Set hingewiesen. Set weist dem Ausdruck
auf der linken
auf der rechten Seite, z.B. eine Zahl, zu. Von hier an wird
Seite, z.B. einer Variablen, den Wert des Ausdrucks
bis zum Zeitpunkt der Aufhebung dieser Zuordnung durch den zugewiesenen Wert dargestellt. Die Aufhebung erfolgt
entweder durch die Zuweisung eines neuen Wertes oder durch
bzw.
, d.h. durch Löschen aller
bisherigen Zuweisungen. Die Konstruktion Rule dagegen ist als Transformationsregel aufzufassen. Sie tritt oft im
Zusammenhang mit dem Ersetzungsoperator
oder
Ausdruck
auf.
bedeutet, daß alle im Ausdruck
enthaltenen Elemente
durch den
zu ersetzen sind.
Beispiel
Für beide Operatoren ist typisch, daß sofort nach Aufstellung der Zuweisung oder der Transformationsregel
die rechte Seite ausgewertet wird. Damit werden die linken Seiten bei jedem nachfolgenden Aufruf durch
die festgelegten rechten Seiten ersetzt.
Daneben gibt es zwei weitere Operatoren, die verzögert wirken.
(20.10a)
und
(20.10b)
Auch hier gilt bis zur Aufhebung der Zuweisung bzw. der Transformationsregel, daß für die linke Seite immer die
rechte eingesetzt wird, jedoch erfolgt die Auswertung der rechten Seite erst zum Zeitpunkt des Aufrufes der linken.
Der Ausdruck
oder
Gleichungen zu manipulieren.
bedeutet, daß
und
identisch sind. Equal wird z.B. benutzt, um
Partialbruchzerlegung
Mathematica zerlegt Quotienten zweier Polynome in Partialbrüche. Auch das ist nur über dem Körper der rationalen
Zahlen möglich.
Beispiel
Unter Nutzung der beiden Polynome
und
des voranstehenden Beispiels erhält man
Programmierung
Mathematica kennt die auch von anderen Programmiersprachen bekannten Schleifenkonstruktionen für die
prozedurale Programmierung. Hierzu gehören u.a. die beiden Grundbefehle
(20.26a)
und
(20.26b)
Der erste Befehl bewirkt die Evaluierung des Ausdruckes
Schritten
begonnen.
durchläuft. Läßt man
, wobei
den Wertebereich von
weg, so werden Einer-Schritte verwendet. Fehlt noch
Der zweite Befehl evaluiert den Ausdruck, solange
bis
, so wird bei 1
den Wert True besitzt.
Beispiel
Zur Berechnung eines Näherungswertes von
benutzt:
werde die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion
in
(20.27)
Die Do-Schleife evaluiert entsprechend einer vorgegebenen Anzahl, die While-Schleife dagegen so lange, bis die
vorgebene Bedingung ungültig wird.
Mathematica bietet insbesondere für die Programmierung die Möglichkeit, Variable lokal zu definieren und zu nutzen.
Das geschieht mit der Anweisung
(20.28)
Die in der Liste eingeschlossenen Variablen oder Konstanten sind bezüglich ihrer Nutzung im Modul lokal, die ihnen
zugewiesenen Werte sind außerhalb des Moduls nicht bekannt.
Beispiel A
Es ist eine Prozedur (Funktion) zu definieren, die die Summe der Quadratwurzeln von 1 bis
berechnet.
(20.29)
Der Aufruf
liefert dann z.B. 112.083.
Die eigentliche Stärke der Programmiermöglichkeiten in Mathematica liegt allerdings in der Nutzung funktionaler
Methoden der Programmierung, die mit den Operationen Nest, Apply, Map und weiteren möglich werden.
Beispiel B
Beispiel A läßt sich funktional für den Fall, daß eine Genauigkeit auf 10 Ziffern gefordert ist,
folgendermaßen schreiben:
liefert dann
112.0828452.
Für Einzelheiten muß auf Lit. 20.6 verwiesen werden.
Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen
●
●
●
Kontexte, Attribute
Informationen
Meldungen
Mathematica
Mathematica ist ein Computeralgebrasystem, das von der Firma Wolfram-Research, Inc, entwickelt wurde. Eine
umfassende Darstellung der Version Mathematica 2.2 findet man in Lit. 20.5.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
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Haupstrukturelemente
Zahlenarten in Mathematica
Wichtige Operatoren
Listen
Vektoren und Matrizen als Listen
Funktionen
Muster
Funktionaloperationen
Programmierung
Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen
Zahlenarten in Mathematica
●
●
●
Grundtypen von Zahlen in Mathematica
Spezielle Zahlen
Darstellung und Konvertierung von Zahlen
Kapitel 23:
●
●
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Mathematische Zeichen
Beziehungszeichen
Griechisches Alphabet
Konstanten
Aussagenlogik
Mengen und Gruppen
Intervalle
Vorzeichen, Potenzen, Logarithmen, Fakultät
Zahlentheorie
Marizen und Determinanten
Vektoren, Tensoren und Graphen
Geometrie
Komplexe Zahlen
Kreisfunktionen, Hyperbelfunktionen
Grenzwerte, Summen, Produkte, Funktionen
Differenz, Ableitungen, Differentialoperatoren
Integrale
Adjungierte Matrizen
Zu einer komplexen Matrix
komplexe Matrix
erhält man die adjungierte Matrix
, indem man die zugehörige konjugiert
transponiert:
(4.4)
Antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix
Antihermitesche Matrix oder schiefhermitesche Matrix wird eine quadratische Matrix genannt, die gleich ihrer
negativen Adjungierten ist:
(4.15a)
Für die Elemente
und die Spur einer schiefhermiteschen Matrix gilt
(4.15b)
Man kann jede quadratische Matrix
Matrix
als Summe aus einer hermiteschen Matrix
und einer antihermiteschen
darstellen:
(4.15c)
Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen
Antisymmetrische Matrizen oder schiefsymmetrische Matrizen sind quadratische Matrizen
Für die Elemente
mit der Eigenschaft:
(4.13a)
einer antisymmetrischen Matrix gilt
(4.13b)
so daß die Spur einer antisymmetrischen Matrix verschwindet:
(4.13c)
Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonale liegen, unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen.
Jede quadratische Matrix
antisymmetrischen Matrix
kann in eine Summe aus einer symmetrischen Matrix
zerlegt werden:
und einer
(4.13d)
Begriff der Matrix
●
●
●
●
●
Matrizen A vom Typ (m,n)
Reelle und komplexe Matrizen
Transponierte oder gestürzte Matrizen
Adjungierte Matrizen
Nullmatrix 0
Definition
Quadratische Matrizen besitzen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, d.h.
(4.6)
Die Elemente
der Matrix
, die sich in der Diagonalen von links oben nach rechts unten befinden, werden
Hauptdiagonalelemente genannt. Sie tragen die Bezeichnung
mit
d.h., es sind alle Elemente
HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen
HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen sind quadratische Matrizen
sind:
, die gleich ihrer Adjungierten
(4.14)
Im Reellen fallen die Begriffe symmetrische und hermitesche Matrix zusammen. Die Determinante einer
hermiteschen Matrix ist reell.
Inverse oder reziproke Matrix
Zu einer regulären Matrix
gibt es immer eine inverse Matrix
, d.h., die Multiplikation einer Matrix
mit ihrer inversen Matrix ergibt immer die Einheitsmatrix:
(4.27a)
Die Elemente von
sind
(4.27b)
wobei
die zum Element
der Matrix
gehörende Adjunkte ist. Die praktische Berechnung von
sollte mit Hilfe von Adjunkten erfolgen. Im Falle einer quadratischen Matrix vom Typ (2,2) gilt:
(4.28)
Warum in der Matrizenrechnung keine Division von Matrizen eingeführt wurde, sondern mit inversen Matrizen
gerechnet wird, hängt damit zusammen, daß die Division nicht eindeutig erklärbar ist. Die Lösungen der Gleichungen
(4.29)
sind im allgemeinen verschieden.
Invertierung einer Matrix
Im Falle einer nichtsingulären Matrix
vom Typ
erhält man nach
Austauschschritten, angewandt auf das System
die inverse Matrix
Beispiel
Nach dem Ordnen der Elemente erhält man:
.
Reelle und komplexe Matrizen
Reelle Matrizen bestehen aus reellen Elementen, komplexe Matrizen aus komplexen Elementen. Man kann eine
Matrix, die aus den komplexen Elementen
(4.2a)
besteht, in zwei Matrizen
und
der Form
(4.2b)
aufspalten, die beide nur reelle Zahlen enthalten.
Zwischen den Elementen einer komplexen Matrix
Beziehung
und der zu ihr konjugiert komplexen Matrix
besteht die
(4.2c)
Periodische Orbits
Sei
ein
hyperbolisch , wenn
eine hyperbolische Ruhelage der Abbildung
Die Matrix
von (17.3). Dann heißt
ist.
heißt Monodromie -Matrix; die Eigenwerte
sind die Multiplikatoren von
Sind alle Multiplikatoren
stabil.
-periodischer Orbit
von
von
.
vom Betrag kleiner 1, so ist der periodische Orbit
asymptotisch
Normale Matrizen
Normale Matrizen genügen der Gleichung
(4.12)
Nullmatrix 0
Nullmatrix 0 wird eine Matrix genannt, deren sämtliche Elemente gleich Null sind:
(4.5)
Matrizen A vom Typ (m,n)
Matrizen
vom Typ
oder kurz
nennt man Systeme von
mal
darunter auch komplexe Zahlen, oder Funktionen, Differentialquotienten, Vektoren, die in
angeordnet sind:
Elementen, z.B. Zahlen,
Zeilen und
Spalten
(4.1)
Mit dem Begriff Typ einer Matrix werden die Matrizen entsprechend ihrer Zeilenzahl
und ihrer Spaltenzahl
klassifiziert. Eine erste Einteilung in quadratische und rechteckige Matrizen ergibt sich, je nachdem, ob die Zahl der
Zeilen und Spalten gleich groß ist oder nicht.
Quadratische Matrizen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Definition
Diagonalmatrizen
Skalarmatrix S
Spur einer Matrix
Symmetrische Matrizen
Normale Matrizen
Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen
HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen
Antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix
Einheitsmatrix E
Dreiecksmatrix
Definition
In einer Matrix
ist die größte Anzahl
der linear unabhängigen Spaltenvektoren stets gleich der größten Anzahl
der linear unabhängigen Zeilenvektoren. Diese Zahl
heißt Rang der Matrix , auch mit
bezeichnet.
Aussagen zum Rang von Matrizen
1. Matrix vom Typ A
Da im Vektorraum der Dimension
Spaltenvektoren der Dimension
Matrix
vom Typ
mehr als
Zeilenvektoren oder
linear abhängig sind (s. lineare Unabhängigkeit), ist der Rang
höchstens gleich der kleineren der Zahlen
in einer
und
(4.26a)
2. Reguläre Matrix: Eine quadratische Matrix vom Typ
gleich
heißt eine reguläre Matrix , wenn ihr Rang
ist. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante
von Null verschieden ist
(s. Nullwerden einer Determinante). Für den Rang einer regulären quadratischen Matrix
d.h.
gilt
(4.26b)
3. Singuläre Matrix: Eine quadratische Matrix vom Typ
heißt eine singuläre Matrix , wenn ihr Rang
gleich 0 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante
Determinante). Für den Rang einer singulären quadratischen Matrix
verschwindet (s. Nullwerden einer
, d.h.
gilt
(4.26c)
4. Nullmatrix: Der Rang der Nullmatrix 0 ist
(4.26d)
Singulärwerte einer Matrix
Sei
eine beliebige Matrix vom Typ
. Die Singulärwerte
nichtnegativen Wurzeln der Eigenwerte
Eigenwerte
von
sind die
der positiv semidefiniten Matrix
. Die
sind, ihrer Vielfachheit entsprechend, angeführt.
Die Singulärwerte lassen sich geometrisch interpretieren. Ist
, so ist das Bild
eine Kugel mit Mittelpunkt in
ein Ellipsoid mit den Halbachsenlängen
und Radius
(s. Abbildung).
Skalarmatrix S
Skalarmatrix wird eine spezielle Diagonalmatrix genannt, in der alle Diagonalelemente gleich einer reellen oder
komplexen Konstanten
sind:
(4.8)
Spur einer Matrix
Für eine quadratische Matrix wird der Begriff der Spur als Summe ihrer Hauptdiagonalelemente definiert:
(4.9)
Symmetrische Matrizen
Symmetrische Matrizen sind quadratische Matrizen
, die gleich ihrer transponierten Matrix sind:
(4.10)
Für Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonale liegen, gilt
(4.11)
Transponierte oder gestürzte Matrizen
Aus der Matrix
vom Typ
. Sie ist vom Typ
entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten die transponierte Matrix
. Für sie gilt:
(4.3)
Unitäre Matrix
Gilt für eine Matrix
mit komplexen Elementen
(4.32)
dann heißt sie eine unitäre Matrix . Im Reellen fallen die Begriffe unitär und orthogonal zusammen.
Multiplikation zweier Matrizen
●
●
●
●
●
●
Produkt AB zweier Matrizen A und B
Ungleichheit der Produktmatrizen
FALKsches Schema
Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen
Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren
Hinweis zum Begriff des Vektorprodukts zweier Vektoren
Eigenwertaufgaben bei Matrizen
●
●
●
Allgemeines Eigenwertproblem
Spezielles Eigenwertproblem
Singulärwertzerlegung
Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen
Bei der Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen kann die Möglichkeit der Aufspaltung in Real- und
Imaginärteil gemäß (4.2b) genutzt werden:
Dabei sind
reelle Matrizen. Nach der Zerlegung liefert die Multiplikation eine Summe, deren Glieder als
Produkte von Matrizen mit reellen Elementen berechnet werden können.
Beispiel
Auch bei der Multiplikation derart zerlegter
Matrizen ist zu berücksichtigen, daß das Kommutativgesetz der Multiplikation im allgemeinen nicht gilt, d.h.,
daß
und
nicht vertauschbar sind.
Rechenoperationen mit Matrizen
●
●
●
●
●
●
●
Gleichheit von Matrizen
Addition und Subtraktion
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Multiplikation zweier Matrizen
Rang einer Matrix
Inverse oder reziproke Matrix
Orthogonale Matrizen
Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen
Teilt man die Meßfehler nach ihrer Ursache ein, dann können die folgenden drei Meßfehlerarten unterschieden
werden:
1.
Grobe Meßfehler beruhen auf falschen Ablesungen und Verwechslungen.
2.
Systematische Meßfehler beruhen auf falsch geeichten oder schlecht justierten Meßgeräten und auf der Art
der Meßmethode, wobei die Art des Ablesens sowie systemimmanente Meßfehler eine Rolle spielen können.
Sie sind nicht immer vermeidbar.
3.
Statistische oder zufällige Meßfehler beruhen einerseits auf nicht oder nur wenig beeinflußbaren zufälligen
Veränderungen der Meßbedingungen sowie andererseits auf der Zufälligkeit gewisser Eigenschaften der
betrachteten Ereignisse.
In der Theorie der Meßfehler geht man davon aus, daß alle groben und systematischen Meßfehler ausgeschlossen
werden und lediglich die statistischen Eigenschaften und zufälligen Meßfehler in die Berechnung der Unsicherheiten
eingehen.
Meßfehlerverteilungsdichte
●
●
Meßprotokoll
Meßfehlerverteilungsdichte
Meßprotokoll
Die Berechnung der Unsicherheiten setzt voraus, daß die Meßergebnisse in einem Meßprotokoll als Urliste tabelliert
und durch die Angabe der relativen Häufigkeiten oder der Dichtefunktion
Summenhäufigkeiten oder der Verteilungsfunktion
der Zufallsveränderlichen
bzw. durch die Angabe der relativen
verfügbar sind. Unter der Variablen
ist die Realisierung
zu verstehen, durch welche die zu bestimmende Größe beschrieben wird.
Mehrfachintegrale
Der Integralbegriff kann im Vergleich zum gewöhnlichen Integral und zum Kurvenintegral erweitert werden, indem die
Dimension des Integrationsgebietes erhöht wird. Ist das Integrationsgebiet ein ebenes Flächenstück, dann spricht
man vom Flächenintegral, ist es ein beliebiges räumliches Flächenstück, vom Oberflächenintegral , ist es ein
Raumstück, vom Volumenintegral . Darüber hinaus sind für die verschiedensten Anwendungen andere spezielle
Integralbezeichnungen üblich.
●
●
Doppelintegral
Dreifachintegral
Unterabschnitte
●
●
●
Integral einer Variablen
Doppelintegral
Hinweis:
Berechnung mehrfacher Integrale
Integral einer Variablen
Zunächst soll für Funktionen einer Variablen die Transformation des bestimmten Integrals
(16.158)
auf einen Ausdruck gezeigt werden, der das Integral
(16.159)
enthält. Danach kann die Monte-Carlo-Methode gemäß Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation angewendet
werden. Man substituiert wie folgt:
(16.160)
Dadurch geht (16.158) über in
(16.161)
wobei der Integrand
der Bedingung
genügt.
Doppelintegral
Die näherungsweise Berechnung mehrfacher Integrale mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode wird am Beispiel des
Doppelintegrals
(16.162)
gezeigt. Mit
wird ein ebenes Flächenstück bezeichnet, das durch die Ungleichungen
beschrieben sein soll. Mit
Dann kann
und
als Volumen eines zylinderischen Körpers
steht und für dessen Deckfläche
und
sind gegebene Funktionen bezeichnet.
aufgefaßt werden, der senkrecht auf der
gilt. Dieser Körper liege in dem Quader
-Ebene
, der durch die
beschrieben wird. Nach einer
Ungleichungen
Transformation analog zu (16.160) erhält man aus (16.162) einen Ausdruck, der das Integral
(16.163)
als Volumen eines Körpers
im dreidimensionalen Einheitswürfel aufgefaßt werden kann.
enthält, wobei
Das Integral (16.163) wird näherungsweise nach der Monte-Carlo-Methode wie folgt berechnet:
Von einer Folge von Zufallszahlen, die im Intervall
eines Punktes
das für
gleichverteilt sein sollen, faßt man je 3 als Koordinaten
des Einheitswürfels auf und prüft, ob
dem Körper
angehört. Ist
Punkte der Fall, dann gilt analog zu (16.156)
(16.164)
Hinweis:
Bei bestimmten Integralen mit einer Integratisionsveränderlichen sollte man die im Abschnitt Numerische Integration
beschriebenen Verfahren anwenden.
Bei der Berechnung mehrfacher Integrale ist dagegen die Anwendung der Monte-Carlo-Methode durchaus
zweckmäßig.
Lösung der Membranschwingungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel C: Membranschwingungsgleichung für Schwingungen einer runden, am Rande eingespannten Membran
Die Differentialgleichung ist linear, partiell und vom hyperbolischen Typ. Sie hat in kartesischen Koordinaten
bzw. in Polarkoordinaten die Form
(9.87a)
(9.87b)
Die Anfangs- und Randbedingungen lauten
(9.87c)
(9.87d)
(9.87e)
Einsetzen des Produktansatzes für die drei Variablen
(9.87f)
in die Differentialgleichung in Polarkoordinaten liefert
(9.87g)
Daraus ergeben sich in Analogie zu den vorangegangenen Beispielen Saitenschwingungsgleichung und
Stabschwingungsgleichung die folgenden Differentialgleichungen:
(9.87h)
(9.87i)
bzw.
(9.87j)
Aus den Bedingungen
folgt
(9.87k)
Aus
und
selbstverständlichen Bedingung der Beschränkung von
werden
und
für
bestimmt. Berücksichtigung der
und Substitution von
ergibt
(9.87l)
wobei
die BESSELschen Funktionen sind mit
und
. Das Funktionensystem
(9.87m)
mit
als
-te positive Nullstelle der Funktion
ist ein vollständiges System aller Eigenfunktionen des
selbstadjungierten Problems vom STURM- LIOUVILLEschen Typ, die orthogonal mit dem Gewicht
Die Lösung der Aufgabe wird in der Gestalt der Doppelreihe
sind.
(9.87n)
angesetzt. Aus den Anfangsbedingungen folgt für
(9.87o)
(9.87p)
woraus sich ergibt
(9.87q)
(9.87r)
Im Falle
und
ist die im Zähler stehende
wird
durch
durch eine
in den Formeln für
zu ersetzen. Zur Bestimmung der Koeffizienten
und
ersetzt und mit
multipliziert.
Abgeschlossene Mengen und Abschließung
●
●
Abgeschlossene Mengen
Abschließung
Mengenbegriff, spezielle Mengen
Als Begründer der Mengenlehre gilt Georg CANTOR (1845-1918). Die Bedeutung der von ihm verwendeten
Begriffsbildungen wurde erst später erkannt. Die Mengenlehre hat nahezu alle Gebiete der Mathematik entscheidend
vorangebracht bzw. überhaupt erst ermöglicht und ist heute zu einem unverzichtbaren Handwerkszeug der
Mathematik und deren Anwendungen geworden.
●
●
Elementbeziehung
Teilmengen
Dichte Teilmengen und separable metrische Räume
Eine Teilmenge
Punkt
Elementen aus
eines metrischen Raumes
ist Berührungspunkt der Menge
mit
heißt überall dicht ,wenn
. Das bedeutet, für jedes
gilt, mit anderen Worten, jeder
gibt es eine Folge
von
.
Beispiel
Nach dem WEIERSTRASSschen Approximationssatz kann jede auf einem abgeschlossenem und
beschränktem Intervall
stetige Funktion beliebig genau in der Metrik des Raumes
, also
gleichmäßig, durch Polynome genähert werden. Diesen Satz kann man nunmehr wie folgt formulieren: Die
Menge der Polynome auf
Beispiel
ist überall dicht in
.
Weitere Beispiele für überall dichte Mengen im Raum
aller irrationalen Zahlen.
Ein metrischer Raum
heißt separabel, wenn in
abzählbare überall dichte Teilmenge in
Separabel ist auch der Raum
der Form
natürliche Zahl ist. Der Raum
sind die Mengen aller rationalen Zahlen Q und
eine abzählbare überall dichte Teilmenge existiert. Eine
ist zum Beispiel die Menge aller Vektoren mit rationalen Komponenten.
, eine abzählbare überall dichte Teilmenge ist z.B. die Menge aller Elemente
, wobei
ist nicht separabel.
rationale Zahlen und
eine beliebige
Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen
●
●
●
Die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich.
Die Menge ist geordnet , d.h., für je zwei verschiedene rationale Zahlen
von beiden kleiner als die andere ist.
und
kann man angeben, welche
Die Menge ist überall dicht , d.h., zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen
existiert wenigstens eine rationale Zahl
und
Daraus folgt, daß zwischen zwei verschiedenen
rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen.
Haupteigenschaften
Die reellen Zahlen besitzen die folgenden Haupteigenschaften:
●
●
●
Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich.
Die Menge der reellen Zahlen ist geordnet , d.h., für je zwei verschiedene reelle Zahlen
angeben, welche von beiden kleiner als die andere ist.
kann man
Die Menge der reellen Zahlen ist überall dicht , d.h., zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen
existiert wenigstens eine reelle Zahl
●
und
und
Daraus folgt, daß zwischen zwei
verschiedenen reellen Zahlen unendlich viele weitere reelle Zahlen liegen.
Die Menge der reellen Zahlen ist stetig , d.h., jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht eine reelle Zahl. Das
gilt für die Menge der rationalen Zahlen nicht.
Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen
1. Klassische Menge:
Der klassische Mengenbegriff ist zweiwertig, und die klassische BOOLEsche Mengenalgebra ist isomorph zur
zweiwertigen Aussagenlogik. Zu jeder Menge
über einer Grundmenge
existiert eine Funktion
(5.242a)
die für jedes Element
angibt, ob
Element der Menge
ist oder nicht:
(5.242b)
2. Unscharfe Menge:
Das Konzept der unscharfen Mengen basiert aus logischer Sicht auf der Idee, den Zugehörigkeitsgrad eines
Elements als den graduellen Wahrheitswert einer Aussage im Intervall [0,1] zu betrachten. Zur
mathematischen Modellierung einer Fuzzy-Menge
in das Intervall [0,1] abbildet, d.h.:
benötigt man eine Funktion, die anstatt in die Menge
(5.243)
kann eine Zahl
Mit anderen Worten: Jedem Element
Grad der Zugehörigkeit von
Funktionswert
zu
repräsentiert. Die Abbildung
an der Stelle
werden auch unscharfe Teilmengen von
bezeichnet.
im Intervall [0,1] zugeordnet werden, die den
heißt Zugehörigkeitsfunktion . Der
heißt Zugehörigkeitsgrad . Die unscharfen Mengen
genannt. Die Gesamtheit aller unscharfen Mengen über
etc. über
sei mit
Definitionsbereiche und Bezeichnungen
Alle ganzen und gebrochenen Zahlen, die positiven und negativen sowie die Null, werden rationale Zahlen genannt.
In diesem Zusammenhang verwendet man die folgenden Bezeichnungen (s. auch Mengenlehre):
●
Menge der natürlichen Zahlen:
(1.1)
●
Menge der ganzen Zahlen:
(1.2)
●
Menge der rationalen Zahlen:
(1.3)
Die natürlichen Zahlen sind aus dem Bedürfnis des Abzählens bzw. des Ordnens entstanden.
Invariante Mengen
●
●
●
●
-und
-Grenzmenge, absorbierende Menge
Stabilität von invarianten Mengen
Kompakte Mengen
Attraktor, Einzugsgebiet
Stabilität von invarianten Mengen
Sei
eine unter dem dynamischen System
wenn jede Umgebung
gilt. Die unter
von
auf
eine andere Umgebung
invariante Menge
invariante Menge. Die Menge
von
heißt stabil ,
enthält, so daß
für alle
heißt asymptotisch stabil , wenn sie stabil ist und folgende
Beziehung gilt:
(17.10)
Dabei ist dist
.
Kompakte Mengen
Sei
von
ein metrischer Raum. Ein Mengensystem
, wenn jeder Punkt aus
in mindestens einem
wenn aus jeder offenen Überdeckung
so daß
aus offenen Mengen heißt offene Überdeckung
von
ist. Die Menge
liegt. Der metrische Raum
endlich viele
heißt kompakt ,
ausgewählt werden können,
heißt kompakt, wenn sie als Teilraum kompakt ist.
Lineare Teilmenge
Linearer Unterraum, lineare Mannigfaltigkeit oder linearer Teilraum eines Vektorraums
Teilmenge
, wenn mit zwei beliebigen Elementen
Linearkombination
(V7). Der Teilraum
in
liegt.
heißt eine nichtleere
und zwei beliebigen Skalaren
ihre
ist selbst wieder ein Vektorraum, genügt also den Axiomen (V1) bis
kann auch nur aus dem Nullelement bestehen, in diesem Falle heißt er trivial.
Ordnungsbeschränkte Mengen
Sei
eine beliebige nichtleere Menge eines geordneten Vektorraumes
gilt, heißt obere Schranke der Menge
. Ein Element
. Eine untere Schranke für
für das
ist ein Element
mit
Für zwei Elemente
mit
definiert man die Menge
(12.31)
und nennt sie Ordnungsintervall oder
Menge
- Intervall . Offenbar sind
wobei diese der Menge sogar angehören. Eine Menge
(0)- beschränkt, wenn
bzw.
untere bzw. obere Schranke der
heißt nun ordnungs- oder einfach
Teilmenge eines Ordnungsintervalls ist, d.h., wenn zwei Elemente
existieren,
so daß
oder, was äquivalent dazu ist,
gilt. Eine von oben beschränkte bzw.
von unten beschränkte Menge ist eine Menge, für die eine obere bzw. eine untere Schranke in
existiert.
Reelle Zahlen
Alle rationalen und irrationalen Zahlen werden zu den reellen Zahlen zusammengefaßt. Sie bilden die Menge der
reellen Zahlen , die mit
●
●
●
●
●
bezeichnet wird.
Haupteigenschaften
Arithmetische Operationen
Zahlenintervall
Kettenbrüche
Kommensurabilität
Mengenlehre
●
●
●
●
●
Mengenbegriff, spezielle Mengen
Operationen mit Mengen
Relationen und Abbildungen
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Mächtigkeit von Mengen
Operationen mit Mengen
●
●
●
●
VENN-Diagramm
Vereinigung, Durchschnitt, Komplement
Grundgesetze der Mengenalgebra
Weitere Mengenoperationen
Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode
Die Monte-Carlo-Methode als zufallsbedingte Simulationsmethode (man spricht häufig auch von der Methode der
statistischen Versuche ) wird in den verschiedensten Disziplinen angewendet. Als Beispiele seien genannt:
●
●
●
Kerntechnik: Untersuchung des Neutronendurchganges durch eine Materialschicht (z.B. Berechnung des
Schutzschildes eines Kernreaktors);
Nachrichtentechnik: Trennung von Signal und Störung;
Operations Research: Reihenfolgeprobleme, Ablaufplanung, Lagerhaltung, Bedienungsmodelle.
Zur Lösung derartiger spezieller Probleme muß auf die Literatur verwiesen werden (s. z.B. Lit. 16.18, 16.22).
Monte-Carlo-Methode
●
●
●
●
●
Simulation
Zufallszahlen
Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation
Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen Mathematik
Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode
Methode SUGENO
Die Methode von SUGENO dient ebenfalls zum Entwurf eines fuzzy-geregelten Prozesses und unterscheidet sich vom
MAMDANI-Konzept durch die Art der Regelbasis und durch die Methode, einen scharfen Ausgangswert zu
bekommen. Sie beinhaltet die folgenden Schritte:
1. Regelbasis:
Die Regelbasis besteht aus Regeln der folgenden Form:
(5.306)
Es bedeuten:
❍
❍
- unscharfe Mengen, die durch Zugehörigkeitsfunktionen festgelegt werden können;
- scharfe Eingabewerte, wie z.B. der Fehler
des Systems aussagen;
und die Fehleränderung
die etwas über die Dynamik
❍
- Parametergewichte der
❍
- zur
-ten Regel gehörige Ausgangsgröße
2. Fuzzifizierungsalgorithmus:
Für jede Regel
wird ein
berechnet.
3. Entscheidungsmodul:
Aus dem gewichteten Mittel der
mit den
aus der Fuzzifizierung wird die nicht fuzzy-wertige
Ausgangsgröße berechnet:
(5.307)
Dabei bedeutet
einen scharfen Wert.
Eine Defuzzifizierung wie bei der MAMDANI-Methode entfällt hier. Die Bereitstellung der Werte der
Gewichtsparameter
stellt zwar ein Problem dar, aber die Parameter können durch ein maschinelles
Lernverfahren, z.B. durch ein künstliches neuronales Netz, ermittelt werden.
Arithmetisches Mittel
Arithmetisches Mittel von
Größen
heißt der Ausdruck
(1.70a)
Für zwei Größen
und
ergibt sich:
(1.70b)
Die Größen
und
bilden eine arithmetische Folge.
Geometrisches Mittel
Geometrisches Mittel von
positiven Größen
heißt der Ausdruck
(1.71a)
Für zwei Größen
und
ergibt sich
(1.71b)
Die Größen
und
bilden eine geometrische Folge. Wenn
eine Strecke der Länge
Konstruktionen ermittelt werden.
und
gegebene Strecken sind, dann kann
mit Hilfe einer der in den folgenden zwei Abbildungen angegebenen
Einen speziellen Fall des geometrischen Mittels stellt die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes
dar.
Harmonisches Mittel
Harmonisches Mittel von
Größen
heißt der Ausdruck
(1.72a)
Für zwei Größen
und
ergibt sich
(1.72b)
Quadratisches Mittel
Quadratisches Mittel von
Größen
heißt der Ausdruck
(1.73a)
Für zwei Größen
und
ergibt sich
(1.73b)
Das quadratische Mittel ist von Bedeutung für die Theorie der Beobachtungsfehler.
Mittelwerte
Mittelwerte zweidimensionaler Zufallsgrößen und gewichtete Mittelwerte werden hier nicht betrachtet.
●
Arithmetisches Mittel
Geometrisches Mittel
Harmonisches Mittel
Quadratisches Mittel
●
Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen
●
●
●
Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
Zur groben Charakterisierung einer Verteilung werden vor allem die beiden Parameter
(Streuung) einer Zufallsgröße
(Mittelwert) und
verwendet. In Anlehnung an die Mechanik kann dabei der Mittelwert als Abszisse
des Schwerpunktes einer Fläche interpretiert werden, die von der Kurve der Dichtefunktion
begrenzt wird. Die Streuung stellt dann ein Maß für die Abweichung der Zufallsgröße
●
●
●
●
●
Erwartungswert
Momente n-ter Ordnung
Streuung und Standardabweichung
Gewogenes und arithmetisches Mittel
Tschebyscheffsche Ungleichung
und der
vom Mittelwert
-Achse
dar.
Allgemeine Quadraturformel
Die numerische Auswertung des bestimmten Integrals
(19.69)
muß näherungsweise erfolgen, wenn der Integrand
oder nur an ausgewählten Stellen
sich nicht elementar integrieren läßt, sehr kompliziert ist
, den Stützstellen , aus dem Integrationsintervall
bekannt ist. Zur
genäherten Berechnung von (19.69) werden sogenannte Quadraturformeln benutzt. Sie haben die allgemeine Form
(19.70)
mit
Es gilt
(19.71)
wobei
der Quadraturformelfehler ist. Die Anwendung von Quadraturformeln setzt voraus, daß die benötigten
Werte des Integranden
und seiner Ableitungen an den Stützstellen als numerische Werte verfügbar sind.
Formeln, die nur Funktionswerte benutzen, heißen Mittelwertformeln . Formeln, die auch Ableitungswerte enthalten,
nennt man HERMITEsche Quadraturformeln .
Mittelwertmethode
Bei der Mittelwertmethode wird die lineare Abhängigkeit der ,,rektifizierten`` Variablen
, d.h.
wie folgt ausgenutzt:
Die Bedingungsgleichungen
für die vorliegenden Wertepaare
große bzw. nahezu gleich große Gruppen eingeteilt und nach zunehmenden Werten
werden in zwei gleich
oder
Addition der Gleichungen jeder der beiden Gruppen ergeben sich zwei Gleichungen, aus denen
werden können. Wenn nun
gesuchte Abhängigkeit zwischen
wieder durch die Ausgangsvariablen
und
geordnet. Durch
bestimmt
ausgedrückt werden, dann ist die
gefunden.
Sollten noch nicht alle Parameter bestimmt worden sein, dann ist die Mittelwertmethode erneut anzuwenden, wobei
und
durchzuführen ist (s. Beispiel).
jetzt die Rektifizierung mit anderen Größen
Rektifizierung und Mittelwertmethode werden vor allem dann angewendet, wenn in der Näherungsformel gewisse
Parameter nichtlinear auftreten, wie z.B. in den Formeln (2.257b, 2.257c).
Betrag einer analytischen Funktion
Der Betrag einer analytischen Funktion, auch Modul , wird ihr Absolutbetrag
(14.7)
genannt. Die Fläche
also der Abstand von der
heißt ihr Relief , d.h.,
ist die Applikate zu jedem Punkt
-Ebene.
Die Reliefs vieler analytischer Funktionen sind in Lit. 14.10 abgebildet.
Beispiel A
Der Modul der Funktion
beträgt
. Das Relief zeigt die linke Abbildung.
Beispiel B
,
Das Relief der Funktion
zeigt die rechte Abbildung.
Positiver und negativer Teil, Modul eines Elements
Für ein beliebiges Element
eines Vektorverbandes
heißen die Elemente
(12.36)
positiver Teil, negativer Teil und Modul des Elements
Für jedes Element
sind die drei Elemente
positiv, wobei die folgenden Beziehungen gelten:
(12.37a)
(12.37b)
(12.37c)
sowie bei beliebigem
(12.37d)
In den Vektorverbänden
und
erhält man für eine Funktion
negativen Teil sowie ihren Modul mit Hilfe der folgenden Formeln (s. Abbildung):
ihren positiven und
(12.38a)
(12.38b)
(12.38c)
Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
Die Darstellung einer komplexen Zahl
(1.134a)
wird algebraische Form genannt. Wenn Polarkoordinaten anstelle der kartesischen Koordinaten verwendet werden, dann
ergibt sich die trigonometrische Form der Darstellung der komplexen Zahlen
(1.134b)
Die Länge des Radiusvektors eines Punktes
Winkel
wird Modul oder Absolutbetrag der komplexen Zahl genannt, der
gemessen im Bogenmaß, das Argument der komplexen Zahl oder in Zeichen
:
(1.134c)
Im Intervall
spricht man vom Hauptwert der komplexen Zahl . Der Zusammenhang zwischen
für einen Punkt ist derselbe wie der zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten dieses
Punktes (s. Übergang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten):
(1.135a)
und
(1.135b)
(1.135c)
(1.135d)
bzw.
(1.135e)
Die komplexe Zahl
hat den Modul Null, während das Argument
unbestimmt ist.
Momente n-ter Ordnung
Man führt weiter ein:
(16.49a)
(16.49b)
Eigenschaften von Zahlenfolgen
1. Definition:Ist eine unendliche Menge von Zahlen
(7.1)
in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet, dann spricht man von einer unendlichen Zahlenfolge . Die Zahlen der
Zahlenfolge werden Glieder der Zahlenfolge genannt. Unter den Gliedern einer Zahlenfolge können auch gleiche
Zahlen auftreten. Eine Folge gilt als gegeben, wenn das Bildungsgesetz der Zahlenfolge , d.h. eine Regel, bekannt
ist, nach der jedes beliebige Glied der Zahlenfolge bestimmt werden kann. Häufig läßt sich eine Formel für das
allgemeine Glied
Beispiel A
Beispiel B
angeben.
Beispiel C
Beispiel D
Beispiel E
Beispiel F
für ungerades
und
für gerades
.
Beispiel G
:
Beispiel H
Beispiel I
für ungerades
und
für gerades
:
.
Beispiel J
für ungerades
und
für gerades
.
:
2. Monotone Zahlenfolgen: Man nennt eine Folge
monoton wachsend , wenn gilt
(7.2)
und monoton fallend , wenn gilt
(7.3)
Man spricht von einer streng monoton wachsenden Folge bzw. streng monoton fallenden Folge , wenn in (7.2) bzw.
(7.3) die Gleichheitszeichen nicht zugelassen sind.
Beispiel A
Von den Folgen A bis J sind A, B, E streng monoton wachsend.
Beispiel B
Die Folge G ist streng monoton fallend.
3. Beschränkte Folgen: Eine Folge heißt beschränkt , wenn für alle ihre Glieder gilt
(7.4)
wobei
ist. Existiert eine solche Zahl
( Schranke ) nicht, dann spricht man von einer unbeschränkten
Folge .
Beispiel
Von den Folgen A bis J sind die Folgen C mit
G mit
und J mit
D mit
beschränkt.
E mit
F mit
Benutzung des Mittelwertes
Zu Berechnung von (16.155) geht man von
gleichverteilten Zufallsgröße
Zufallsgröße
gleichverteilten Zufallszahlen
aus. Dann sind die Werte
als Realisierung der
Realisierungen der
, für deren Erwartungswert sich nach Formel (16.47a,b) ergibt:
(16.157)
Diese Vorgehensweise, die die Formel für den Mittelwert einer Stichprobe verwendet, wird auch als gewöhnliche
Monte-Carlo-Methode bezeichnet.
Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation
Die genäherte Berechnung des bestimmten Integrals
(16.155)
unter Benutzung von gleichverteilten Zufallszahlen soll als Beispiel für eine zufallsbedingte Simulation behandelt
werden. Im folgenden werden zwei Lösungsmöglichkeiten betrachtet.
●
●
Benutzung der relativen Häufigkeit
Benutzung des Mittelwertes
Benutzung der relativen Häufigkeit
Es soll angenommen werden, daß
erreichen. Dann gibt das Integral
gilt. Dies läßt sich durch die Transformation (16.160) stets
den Inhalt einer Fläche an, die ganz im Einheitsquadrat
Von einer Folge gleichverteilter Zufallszahlen aus dem Intervall
Punktes des Einheitsquadrates
liegt (s. Abbildung).
faßt man je zwei zu den Koordinaten eines
zusammen und erzeugt auf diese Weise
Punkte
.
Bezeichnet man mit
die Anzahl der Punkte, die innerhalb oder auf dem Rand der Fläche
unter Beachtung des Begriffes der relativen Häufigkeit:
liegen, dann gilt
(16.156)
Um mit Hilfe von (16.156) eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen, ist eine sehr große Anzahl von Zufahlszahlen
notwendig. Deshalb hat man nach Möglichkeiten zur Erhöhung der Effektivität gesucht. Eine davon stellt die folgende
Monte-Carlo-Methode dar, weitere findet man in Lit. 16.18.
Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme
Sei
ein dynamisches System auf der
Der Punkt
heißt nichtwandernd bezüglich
-dimensionalen kompakten orientierbaren Mannigfaltigkeit
, wenn für eine beliebige Umgebung
von
gilt:
(17.27)
Beispiel
Ruhelagen und periodische Orbits bestehen nur aus nichtwandernden Punkten.
Die Menge
aller nichtwandernden Punkte des von (17.1) erzeugten dynamischen Systems ist
abgeschlossen, invariant unter
aus
.
und enthält alle periodischen Orbits und alle
-Grenzmengen von Punkten
.
Das dynamische System
auf
, erzeugt durch ein glattes Vektorfeld, heißt MORSE-SMALE-System,
wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1.
Das System hat endlich viele Ruhelagen und periodische Orbits und alle sind hyperbolisch.
2.
Alle stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von Ruhelagen bzw. periodischen Orbits sind transversal
zueinander.
3.
Die Menge aller nichtwanderenden Punkte besteht nur aus Ruhelagen und periodischen Orbits.
Satz von PALIS und SMALE: MORSE-SMALE-Systeme sind strukturstabil.
Die Umkehrung des Satzes von PALIS und SMALE gilt nicht: Es existieren für
unendlich vielen periodischen Orbits.
Für
sind strukturstabile Systeme nicht typisch.
strukturstabile Systeme mit
Sobolew-Räume
Sei
ein beschränktes Gebiet (d.h. eine offene zusammenhängende Menge) mit hinreichend glattem Rand
. Für
Eine Funktion
oder
stelle man sich
nennt man
etwa als ein Intervall
oder eine konvexe Menge vor.
-mal stetig differenzierbar in dem abgeschlossenen Gebiet
, wenn
a)
auf
-mal stetig differenzierbar ist und
b)
jede ihrer partiellen Ableitungen einen Grenzwert besitzt, wenn
konvergiert;
mit anderen Worten, jede partielle Ableitung von
In diesem Vektorraum wird mit dem LEBESGUE-Maß
zu einem beliebigen Randpunkt von
ist stetig auf den Rand von
im
fortsetzbar.
die folgende Norm eingeführt:
(12.88)
Der entstandene normierte Raum wird mit
Norm versehenen Raum
). Hier bedeutet
bezeichnet (im Unterschied zu dem mit einer ganz anderen
einen Multiindex , d.h. ein geordnetes
von nichtnegativen ganzen Zahlen, wobei die Summe der Komponenten von
bezeichnet wird. Für eine Funktion
-Tupel
mit
mit
nutzt man - wie in (12.88) - die verkürzte Schreibweise
(12.89)
Der normierte Raum
mit
ist nicht vollständig. Seine Vervollständigung wird mit
bezeichnet und heißt SOBOLEW-Raum .
oder im Falle von
Multiplikation
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen
in der algebraischen Schreibweise ist definiert durch die Formel
(1.139a)
In der trigonometrischen Schreibweise gilt
(1.139b)
d.h., der Betrag des Produkts ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren, während das Argument des Produkts gleich
der Summe der Argumente der Faktoren ist.
In der Exponentialform erhält man
(1.139c)
In der geometrischen Interpretation wird der Produktvektor, der das Produkt von
Vektors
und
im entgegengesetzten Uhrzeigersinn um den Winkel, der dem Argument von
Multiplikation dieses Vektors mit dem Faktor
ähnlichen Dreiecks gewonnen werden.
gestreckt. Das Produkt
darstellt, durch Drehung des
entspricht, gedreht und durch
kann auch durch Konstruktion eines
Dabei ist zu berücksichtigen, daß die Multiplikation einer komplexen Zahl
bedeutet, während der Modul konstant bleibt.
mit i eine Drehung ihres Vektors um den Winkel
Nablaoperator
Nablaoperator wird ein symbolischer Vektor
genannt, der häufig zur Darstellung von räumlichen
Differentialoperationen benutzt wird und dessen Einführung Berechnungen in der Vektoranalysis vereinfacht. Für die
Operatoren Gradient, Vektorgradient, Divergenz und Rotation gilt:
(13.65a)
(13.65b)
(13.65c)
(13.65d)
In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.65e)
Die Komponenten des Nablaoperators sind als partielle Ableitungsoperatoren aufzufassen, d.h., das Symbol
schreibt die partielle Ableitung nach
vor, wobei die anderen Variablen als Konstanten betrachtet werden. Die
Formeln für die räumlichen Differentialoperatoren in kartesischen Koordinaten ergeben sich durch formale
Multiplikation dieses Vektoroperators mit dem Skalar
oder dem Vektor
.
Rechenregeln für den Nablaoperator
1. Wenn
vor einer Linearkombination
steht, in der die
Konstanten und die
Funktionen
sind, und zwar unabhängig davon, ob es sich um skalare oder vektorielle Funktionen handelt, dann gilt
(13.66)
2. Wenn
vor einem Produkt aus skalaren oder vektoriellen Punktfunktionen steht, dann wird der Operator
auf jede dieser Funktionen nacheinander angewendet, über die der Operation unterworfene Funktion wird das
Zeichen
gesetzt und anschließend das Ergebnis gemäß
(13.67)
addiert. Daraufhin werden die auf diese Weise erhaltenen Produkte nach den Regeln der Vektoralgebra derart
umgeformt, daß nach dem Operator
nur der mit dem Zeichen
Rechnung wird das Zeichen weggelassen.
gekennzeichnete Faktor steht. Nach Abschluß der
Beispiel A
.
Beispiel B
.
Gemäß
erhält man:
.
Zweifache Anwendung des Nablaoperators
Es gilt für jedes Feld
:
(13.69)
(13.70)
(13.71)
Kurvenbildervergleiche
Die Aufstellung einer Näherungsformel für eine Funktion
für die nur empirisch ermittelte Daten
vorliegen, kann in zwei Schritte eingeteilt werden. Zuerst wird die Art der Näherungsformel ausgewählt, die in der
Regel einige freie Parameter enthält. Danach erfolgt die numerische Bestimmung der Parameterwerte. Wenn es für
die Wahl der Formel keine theoretischen Überlegungen gibt, dann wird unter den einfachsten dafür in Frage
kommenden Funktionen eine Näherungsformel ausgesucht, indem ihre Kurvenbilder mit der Kurve der empirischen
Daten verglichen werden. Die Entscheidung über die Ähnlichkeit der Kurvenbilder nach Augenmaß kann trügerisch
sein. Daher ist nach der Wahl einer Näherungsfunktion vor der Bestimmung der Parameterwerte durch Rektifizierung
zu prüfen, ob die gewählte Formel anwendbar ist.
Näherungsformeln
Unter Beschränkung auf eine hinreichend kleine Umgebung der Entwicklungsstelle sind mit Hilfe der TAYLOR-Entwicklung
rationale Näherungsformeln für viele Funktionen hergeleitet worden, deren erste Glieder für einige dieser Funktionen in der
folgenden Tabelle wiedergegeben sind.
Angaben über die Genauigkeit wurden durch Abschätzung des Restgliedes erhalten.
Die Anwendung von Interpolations- und Ausgleichspolynomen oder Spline-Funktionen bietet weitere Möglichkeiten der
angenäherten Darstellung von Funktionen.
Tabelle Näherungsformeln für einige oft gebrauchte Funktionen
bei einem Fehler von
Zulässiges Intervall für
Näherungsformel
%
Nächstes
Glied
von
%
bis
von
%
bis
von
bis
NAND-Funktion und NOR-Funktion
Jede Wahrheitsfunktion kann durch einen aussagenlogischen Ausdruck repräsentiert werden. Wegen (5.17a) und
(5.17b) kann man dabei noch auf Implikationen und Äquivalenz verzichten (vgl. auch BOOLEsche Algebren). In
Anbetracht der DE MORGANschen Regeln sind darüber hinaus noch Konjunktion oder Disjunktion zur Darstellung
aller Wahrheitsfunktionen entbehrlich. Es gibt sogar zwei zweistellige Wahrheitsfunktionen, die einzeln zur
Repräsentation aller Wahrheitsfunktionen ausreichen. Es sind dies die NAND-Funktion oder SHEFFER-Funktion
(Funktionssymbol:
) und die NOR-Funktion oder PEIRCE-Funktion (Funktionssymbol:
Wahrheitstafeln:
Tabelle NAND- und NOR- Funktion
NAND- Funktion
NOR- Funktion
) mit folgenden
Der Vergleich dieser Tafeln mit den entsprecheneden Wahrheitstafeln für die Konjunktion bzw. die Disjunktion erklärt
die Namen NAND-Funktion (NICHT-UND) bzw. NOR-Funktion (NICHT-ODER).
Vektoren
Matrizen vom Typ
heißen einspaltige Matrizen oder Spaltenvektoren der Dimension
heißen einzeilige Matrizen oder Zeilenvektoren der Dimension
; Matrizen vom Typ
:
(4.19a)
(4.19b)
Mit Hilfe der Transponierung kann ein Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umgewandelt werden und umgekehrt.
Durch einen Zeilen- bzw. Spaltenvektor der Dimension
beschrieben werden.
kann ein Punkt im
-dimensionalen euklidischen Raum
Der Nullvektor wird durch
gekennzeichnet.
Dynamische Optimierungsprobleme
Das Ziel besteht nun in der Ermittlung einer Politik
den Zustand
in den Zustand
, die unter Beachtung aller Nebenbedingungen
überführt und dabei eine Zielfunktion bzw. Kostenfunktion
minimiert. Die Funktionen
werden als Stufenkosten
bezeichnet. Damit lautet das dynamische Optimierungsproblem in der Standardform
(18.115a)
(18.115b)
Die Beziehungen (
) heißen dynamische und die Beziehungen (
) statische Nebenbedingungen .
Alternativ zu (18.115a) kann auch ein Maximumproblem vorliegen. Eine Politik
, die alle
Nebenbedingungen erfüllt, wird als zulässig bezeichnet. Um die Methoden der dynamischen Optimierung anwenden
zu können, werden im Abschnitt Bellmannsche Funktionalgleichungen einige Forderungen an die Form der
Kostenfunktion gestellt.
Gegenstand
Gegenstand der linearen Optimierung ist die Minimierung oder Maximierung einer linearen Zielfunktion (ZF) von
endlich vielen Variablen unter Einhaltung einer endlichen Anzahl von Nebenbedingungen (NB) oder Restriktionen ,
die als lineare Gleichungen bzw. Ungleichungen vorliegen.
Die Bedeutung der linearen Optimierung besteht darin, daß viele praktische Aufgabenstellungen direkt auf lineare
Optimierungsprobleme führen bzw. durch lineare Modelle näherungsweise als lineare Optimierungsprobleme
beschrieben werden können und daß Theorie und Lösungsverfahren anschaulich und übersichtlich dargestellt
werden können.
Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
Darunter versteht man im wesentlichen isoperimetrische Probleme: Der einfachen Variationsaufgabe, die dort
beschrieben wird und die durch das Funktional (10.11) gekennzeichnet ist, wird zusätzlich eine Nebenbedingung der
Form
(10.25)
gegeben sind. Eine Methode zur Lösung solcher Probleme
auferlegt, wobei die Konstante und die Funktion
geht auf LAGRANGE zurück ( Extremwerte mit Nebenbedingungen in Gleichungsform ). Man setzt
(10.26)
wobei
ein Parameter ist, und behandelt jetzt die Aufgabe
(10.27)
also eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingung. Die zugehörige Euler sche Differentialgleichung lautet
(10.28)
Ihre Lösung
hängt noch von dem Parameter
ab, der durch Einsetzen von
in die
Nebenbedingung (10.25) bestimmt werden kann.
Beispiel
Für das isoperimetrische Problem erhält man
(10.29a)
Da in
die Variable
nicht vorkommt, erhält man an Stelle der EULERschen Differentialgleichung (10.28) analog
zu (10.22c) die Differentialgleichung
(10.29b)
deren Lösung die Kreisschar
(10.29c)
darstellt. Die Werte
und
sind aus den Bedingungen
und der Forderung, daß
der Kurvenbogen zwischen
und
die vorgeschriebene Länge hat, zu bestimmen. Für
ergibt sich eine
nichtlineare Gleichung, die iterativ durch ein geeignetes Näherungsverfahren gelöst werden muß.
Neugradeinteilung
In der Geodäsie wird im Unterschied zur Mathematik die Neugradeinteilung verwendet. Der Vollwinkel entspricht hier
400 gon (Gon). Die Umrechnung zwischen Graden und Gon kann gemäß der folgenden Beziehungen erfolgen:
Tabelle Umrechnung Altgrade-Bogenmaß-Neugrade II
Raum linearer stetiger Operatoren
Für zwei lineare (stetige) Operatoren
sind die Summe
und das Vielfache
punktweise erklärt:
(12.134)
Die Menge
, häufig auch mit
wird so ein Vektorraum, auf dem sich
bezeichnet, aller linearen stetigen Operatoren
(12.129) als Norm erweist. Dadurch wird
aus
in
ein normierter
Raum und, falls
ein BANACH-Raum ist, sogar ein BANACH-Raum. Insbesondere sind also die Axiome (V1) bis (V7)
und (N1) bis (N3) erfüllt.
Ist
, dann kann man für zwei beliebige Elemente
durch
(12.135)
das Produkt definieren, das den Axiomen (A1) bis (A4) aus normierte Algebren sowie der Verträglichkeitsbedingung
(12.98) mit der Norm genügt und so
zu einer (im allgemeinen nichtkommutativen) normierten und, falls
BANACH-Raum ist, zu einer BANACH-Algebra macht. Damit sind für jeden Operator
die Potenzen
(12.136)
definiert, wobei
der identische Operator
ist. Es gilt
(12.137)
und außerdem existiert stets der (endliche) Grenzwert
(12.138)
der Spektralradius des Operators
heißt und den Beziehungen
(12.139)
genügt, wobei
der zu
adjungierte Operator ist (s. auch (12.173)).
Im Falle der Vollständigkeit von
hat der Operator
für
die Darstellung in Form
der NEUMANNschen Reihe
(12.140)
die für
in der Operatornorm von
(S. auch Konvergenz der NEUMANNschen Reihe).
konvergiert.
Newton-Verfahren
1. Vorschrift des NEWTON-Verfahrens: Zur Lösung der Nullstellengleichung
verfährt das
NEWTON- Verfahren nach der Vorschrift
(19.6)
d.h., es benötigt zur Berechnung des neuen Näherungswertes
1. Ableitung
an der Stelle
die Werte der Funktion
und ihrer
.
2. Konvergenz des NEWTON-Verfahrens: Für die Konvergenz des NEWTON-Verfahrens ist die Bedingung
(19.7a)
notwendig, die Bedingung
(19.7b)
hinreichend. Die Bedingungen (19.7a,b) müssen in einer Umgebung von
, die alle Punkte
sowie
enthält,
erfüllt sein. Falls das NEWTON-Verfahren konvergiert, dann konvergiert es so gut, daß sich bei jedem Iterationsschritt
die Anzahl der genauen Stellen etwa verdoppelt. Man spricht in diesem Fall auch von quadratischer Konvergenz.
Beispiel
Zur Lösung der Gleichung
(
, d.h. speziell zur Berechnung der Werte
gegeben) liefert das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift
(19.8)
Für
erhält man:
3. Geometrische Interpretation: Die geometrische Interpretation des NEWTON-Verfahrens ist in der folgenden
Abbildung dargestellt:
Die Grundidee des NEWTON-Verfahrens besteht in der lokalen Approximation der Kurve
durch
eine Tangente.
4. Modifiziertes NEWTON-Verfahren: Wenn sich im Laufe der Iteration die Werte von
nur noch
unwesentlich ändern, kann man diese konstant lassen und mit dem sogenannten modifizierten NEWTONVerfahren weiterrechnen:
(19.9)
Die Güte der Konvergenz wird durch diese Vereinfachung nicht wesentlich beeinflußt.
5. Differenzierbare Funktionen komplexen Argumentes: Das NEWTON-Verfahren ist auch auf
differenzierbare Funktionen komplexen Arguments anwendbar.
Newton-Verfahren
Seien
wie im vorhergehenden Abschnitt und
Differenzierbarkeit von
jedem
. Unter der Voraussetzung der
in jedem Punkt der Menge
das Element
Operatornorm); in diesem Falle sagt man,
ist ein Operator
zuordnet. Der Operator
ist stetig differenzierbar auf
definiert, der
sei auf
stetig (in der
. Die Menge
enthalte eine Lösung
der Gleichung
(12.194)
Weiter sei vorausgesetzt, daß für
der Operator
stetig invertierbar ist, also
Niveauflächen und Niveaulinien
1. Niveaufläche nennt man die Gesamtheit aller Punkte im Raum, für die die Funktion (13.6a) einen
konstanten Wert
(13.10a)
liefern unterschiedliche Niveauflächen. Durch jeden Punkt
annimmt. Unterschiedliche Konstanten
verläuft genau eine Niveaufläche, ausgenommen Punkte, in denen die Funktion nicht eindeutig definiert ist. In den
drei bisher benutzten Koordinatensystemen lauten die Niveauflächengleichungen
(13.10b)
Beispiel A
:
Parallele Ebenen.
Beispiel B
: Ähnliche Ellipsoide in Ähnlichkeitslage.
Beispiel C
Zentralfeld: Konzentrische Kugeln.
Beispiel D
Axialfeld: Koaxiale Zylinder.
2. Niveaulinien ergeben sich in ebenen Feldern anstelle der Niveauflächen. Sie genügen der Gleichung
(13.11)
Es ist üblich, die Niveaulinien in bestimmten gleichmäßigen
Wert an die zugehörige
-Abständen darzustellen, wobei der betreffende
-
-Linie geschrieben wird (s. Abbildung).
Bekannte Beispiele sind die Isobaren auf Wetterkarten und die Höhenlinien auf geographischen Karten. In speziellen
Fällen können die Niveauflächen in Punkte oder Linien entarten, die Niveaulinien in isolierte Punkte.
Beispiel
Die Niveaulinien der Felder a)
Abbildungen dargestellt.
, b)
, c)
, d)
sind in den folgenden
Beschränktheit und Norm linearer Operatoren
Seien
etwa durch
und
normierte Räume. Die Kennzeichnung der Norm im Raum
,
, wird im weiteren weggelassen, da aus dem jeweiligen Kontext klar wird, in welchem Raum die
Norm betrachtet wird. Ein beliebiger Operator
heißt beschränkt, wenn eine reelle Zahl
existiert mit
(12.128)
Ein beschränkter Operator mit der Konstanten
jede beschränkte Menge aus
,,dehnt`` jeden Vektor höchstens um das
in eine beschränkte Menge aus
-fache und überführt
, insbesondere ist das Bild der Einheitskugel
in
beschränkt. Für die Beschränktheit eines linearen Operators ist die letzte Eigenschaft charakteristisch.
aus
Ein linearer Operator ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.
Die kleinste Konstante
d.h.
, für die (12.128) noch gilt, heißt Norm des Operators
und wird mit
bezeichnet,
(12.129)
Für einen stetigen linearen Operator gelten
(12.130)
und außerdem die Abschätzung
(12.131)
Beispiel
Im Raum
mit der Norm (12.87e) ist der mittels der auf dem Quadrat
komplexwertigen Funktion
stetigen
definierte Operator
(12.132)
ein beschränkter linearer Operator, der
in
abbildet. Für seine Norm gilt
(12.133)
Matrizennormen
a)
Spektralnorm:
(4.51)
Dabei wird mit
der größte Eigenwert der Matrix
bezeichnet.
b)
Zeilensummennorm:
(4.52)
c)
Spaltensummennorm:
(4.53)
Es läßt sich zeigen, daß die Matrizennorm (4.51) der Vektornorm (4.48) zugeordnet ist. Das gleiche gilt für (4.52) und
(4.49) sowie (4.53) und (4.50).
Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
1. Prinzip: Der Grad der Zugehörigkeit eines beliebigen Elements
soll nur von den beiden Zugehörigkeitsgraden
unscharfen Mengen
und
und
zu den Mengen
bzw.
des Elementes zu den beiden
abhängen. Mit Hilfe zweier Funktionen
(5.259)
lassen sich die unscharfe Mengenvereinigung und der unscharfe Mengenschnitt wie folgt definieren:
(5.260)
(5.261)
Die Zugehörigkeitsgrade
Funktionen
und
werden
und
-Norm und
werden in einen neuen Zugehörigkeitsgrad abgebildet. Die
-Konorm , letztere auch
-Norm genannt.
2. Interpretation: Die Funktionen
und
Verknüpfung der Wahrheitswerte
und
3. Definition der
-Norm: Die
stellen den Wahrheitswert dar, der sich aus der
ergibt.
-Norm ist eine binäre Operation
in [0,1]. Sie ist eine Abbildung
(5.262)
Die
-Norm ist eine zweistellige Funktion
in
sie ist symmetrisch, assoziativ, monoton wachsend und
besitzt 0 als Nullelement und 1 als neutrales Element.
gelten folgende Eigenschaften:
Für
(E1) Kommutativität:
(5.263a)
(E2) Assoziativität:
(5.263b)
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement 0 und neutralen Element 1:
(5.263c)
(E4) Monotonie:
(5.263d)
Definition der
-Norm: Die
-Norm ist eine zweistellige Funktion in
und eine Abbildung
(5.264)
Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:
(E1) Kommutativität:
(5.265a)
(E2) Assoziativität:
(5.265b)
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement 0 und neutralen Element 1:
(5.265c)
(E4) Monotonie:
(5.265d)
Mit Hilfe dieser Eigenschaften lassen sich jeweils eine ganze Klasse
von Funktionen der
Klasse
Zusammenhang gilt:
von Funktionen der
-Normen bzw. eine
-Normen einführen. Detailierte Untersuchungen haben gezeigt, daß der folgende
(5.265e)
(5.265f)
Vektornormen
Ist
ein
-dimensionaler Vektor, d.h.
dann sind die gebräuchlichen
Vektornormen:
a)
EUKLIDische Norm:
(4.48)
b)
Maximumnorm:
(4.49)
c)
Betragssummennorm:
(4.50)
Beispiel
Im
in der elementaren Vektorrechnung, wird
Betrag des Vektors
als Betrag des Vektors
gibt die Länge des Vektors
an.
bezeichnet. Der
Normalformen
●
●
Elementarkonjunktion, Elementardisjunktion
Kanonische Normalformen
Gleichung der Parabel
Wenn der Koordinatenursprung in den Scheitel der Parabel gelegt wird, die -Achse mit der Parabelachse
zusammenfällt und der Parabelscheitel nach links weisen soll, dann lautet die Normalform der Parabelgleichung
(3.341)
Die Gleichung der Parabel in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.
Für Parabeln mit vertikaler Achse lauten die Parabelgleichung und der Halbarameter dieser so gegebenen Parabel
(3.342a)
(3.342b)
Ist
so ist die Parabel nach oben geöffnet, für
ist sie nach unten geöffnet. Die Koordinaten des
Scheitels sind
(3.342c)
Lösungsansatz und Normalgleichungssystem
Der theoretische Zusammenhang (16.144) wird durch Meßwerte
(16.147a)
auf Grund zufälliger Meßfehler nicht exakt wiedergegeben. Man macht deshalb den Ansatz
(16.147b)
und bestimmt nach der Fehlerquadratmethode gemäß
(16.147c)
die Koeffizienten
, die als Schätzwerte für die theoretischen Koeffizienten
dienen. Mit den Bezeichnungen
(16.147d)
erhält man aus der Forderung (16.147c) das sogenannte Normalgleichungssystem
(16.147e)
zur Bestimmung von
. Die Matrix
ist symmetrisch, so daß sich zur Lösung von (16.147c) das CHOLESKY-
Verfahren besonders eignet.
Beispiel
Mit Hilfe einer Stichprobe, deren Ergebnisse die nebenstehende Wertetabelle enthält, sind die Koeffizienten
der Regressionsfunktion
5
3
5
3
0,5 0,5 0,3 0,3
1,5 3,5 6,2 3,2
(16.148)
zu bestimmen. Aus (16.147d) folgt
(16.149)
und (16.147e) lautet
(16.150)
Normalverteilung
1. Verteilungsfunktion und Dichte: Eine Zufallsveränderliche
mit der Verteilungsfunktion
(16.68)
heißt normalverteilt , genauer (
)- normalverteilt . Die Funktion
(16.69)
heißt die Dichte der Normalverteilung. Sie nimmt an der Stelle
(s. Abbildung):
ihr Maximum an und hat Wendepunkte bei
2. Erwartungswert und Streuung: Erwartungswert und Streuung ergeben sich für die Parameter
und
der Normalverteilung zu
(16.70a)
und
(16.70b)
Sind die Zufallsveränderlichen
und
unabhängig und normalverteilt mit den Parametern
bzw.
, so ist auch die Zufallsveränderliche
mit den Parametern
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit
normalverteilt
.
erfolgt mit Hilfe der normierten Normalverteilung
gemäß
(16.71)
Logarithmische Normalverteilung
Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Streuung:
1. Dichte und Verteilungsfunktion: Die stetige Zufallsgröße
, die alle positiven Werte annehmen kann,
besitzt eine logarithmische Normalverteilung (auch Lognormalverteilung genannt) mit den Parametern
und
, wenn die Zufallsgröße
mit
(16.75)
normalverteilt ist mit den Parametern
und
. Die Zufallsgröße
hat demzufolge die Dichte
(16.76)
und die Verteilungsfunktion
(16.77)
Bei praktischen Anwendungen wird als Logarithmus entweder der natürliche oder der dekadische Logarithmus
verwendet.
2. Erwartungswert und Streuung: Für Erwartungswert und Streuung der Lognormalverteilung erhält man,
wenn der natürliche Logarithmus verwendet wird:
(16.78)
Bemerkungen:
a) Die Dichtefunktion der Lognormalverteilung ist links durch Null begrenzt und läuft rechts flach aus. Die
folgende Abbildung zeigt die Dichte der Lognormalverteilung für verschiedene Werte von
wurde der natürliche Logarithmus verwendet.
und
. Dabei
b) Man beachte:
und
, während
c) Die Verteilungsfunktion
sind Erwartungswert und Streuung der transformierten Zufallsgröße
und
gemäß (16.78) Erwartungswert und Streuung der Zufallsgröße X sind.
der Lognormalverteilung kann mit Hilfe der Verteilungsfunktion
der
normierten Normalverteilung berechnet werden, denn es gilt:
(16.79)
d) Die Lognormalverteilung wird häufig bei Lebensdaueranalysen von ökonomischen, technischen und
biologischen Vorgängen angewendet.
e) Während die Normalverteilung mit der additiven Überlagerung einer großen Anzahl voneinander
unabhängiger zufälliger Ereignisse in Zusammenhang gebracht werden kann, ist es bei der
Lognormalverteilung das multiplikative Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse.
●
Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Streuung:
Normierte Normalverteilung
Wertetabelle der normierten Normalverteilung
●
●
●
Normierte Normalverteilung, Teil I
Normierte Normalverteilung, Teil II
Normierte Normalverteilung, Teil III
Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte
Die Zufallsgröße
ist auch annähernd normalverteilt mit den Parametern
Grundgesamtheit einer beliebigen Verteilung mit Mittelwert
und Streuung
und
genügt.
, wenn die dazugehörige
Nullstellensatz von BOLZANO
Wenn eine Funktion
verschiedenen Punkten
in einem zusammenhängenden Gebiet definiert und stetig ist und wenn in zwei
und
dieses Gebietes die zugehörigen Funktionswerte unterschiedliche
Vorzeichen besitzen, dann existiert mindestens ein Punkt
in diesem Gebiet, für den
Null wird:
(2.277)
Kapitel 19:
Numerische Mathematik
In diesem Kapitel werden meist nur die Grundprinzipien numerischer Verfahren beschrieben. Ihre Anwendung zur
Lösung praktischer Aufgaben auf dem Computer erfordert in der Regel den Einsatz von Numerik-Bibliotheken der
kommerziellen Software. Einige dieser Bibliotheken werden im Abschnitt Bibliotheken numerischer Verfahren
vorgestellt. Die speziellen Computeralgebrasysteme Mathematica und Maple und deren Numerikprogramme sind im
Kapitel Computeralgebrasysteme und im Abschnitt Anwendung von Computeralgebrasystemen beschrieben. Der
Einfluß von Fehlern, die beim numerischen Rechnen auf Computern auftreten, wird im Abschnitt Numerische
Probleme beim Rechnen auf Computern behandelt.
●
●
●
●
●
●
●
●
Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
Numerische Lösung von Gleichungssystemen
Numerische Integration
Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen
Genäherte Integration von partiellen
Differentialgleichungen
Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische
Analyse
Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines
Nutzung von Computern
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Obelisk
Obelisk wird ein Polyeder genannt, dessen Seitenflächen sämtlich Trapeze sind. In dem hier betrachteten Spezialfall
sind die parallelen Grundflächen Rechtecke, einander gegenüberliegende Kanten haben die gleiche Neigung
gegenüber der Grundfläche, laufen aber nicht in einem Punkt zusammen.
Wenn
und
die Seiten der Grundflächen sind und
die Höhe des Obelisken, dann gilt:
(3.120)
Oberflächenintegrale erster Art
Oberflächenintegrale oder Integrale über einem räumlichen Flächenstück stellen eine Verallgemeinerung des
Doppelintegrals dar, ähnlich wie das Kurvenintegral erster Art eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen bestimmten
Integrals ist.
●
●
●
●
Begriff des Oberflächenintegrals erster Art
Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art
Flächenelemente gekrümmter Flächen
Anwendungen des Oberflächenintegrals erster Art
Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art
Die Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art wird auf die Berechnung des Doppelintegrals über einem
ebenen Gebiet zurückgeführt.
●
●
Explizite Darstellung der Fläche
Parameterdarstellung der Fläche
Definition
Oberflächenintegral erster Art einer Funktion von drei Veränderlichen
, die in einem
zusammenhängenden Gebiet definiert sein muß, nennt man das Integral
(8.148)
in dem genannten Gebiet genommen wird. Der Zahlenwert des Oberflächenintegrals
das über ein Flächenstück
erster Art wird auf die folgende Weise ermittelt (s. Abbildung):
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes
2. Auswahl eines beliebigen Punktes
in
Elementarflächenstücke.
im Innern oder auf dem Rande eines jeden
Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von
entsprechenden Elementarflächenstückes.
in diesem Punkt mit dem Inhalt von
des
4. Addition aller so gewonnenen Produkte
.
5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
(8.149a)
für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke
gegen Null geht, also ihre Anzahl
gegen
.
Dabei ist wieder zu beachten, daß der Durchmesser des Elementarflächenstückes gegen Null geht und nicht nur eine
Ausdehnung.
Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes
sowie von der Wahl der Punkte
Funktion
in Elementarflächenstücke
unabhängig ist, dann wird er Oberflächenintegral erster Art der
über dem Flächenstück
genannt, und man schreibt
(8.149b)
Existenzsatz
Das Oberflächenintegral erster Art existiert, wenn die Funktion
in dem betrachteten Gebiet stetig ist und
die Funktionen, die in der Gleichung der Fläche auftreten, in diesem Gebiet stetige Ableitungen besitzen.
Explizite Darstellung der Fläche
Ist die Fläche
durch die Gleichung
(8.150)
explizit vorgegeben, dann gilt
(8.151a)
wobei
die Projektion von
auf die
-Ebene ist und
und
die partiellen Ableitungen
sind. Dabei wird vorausgesetzt, daß jedem Punkt der Fläche
ein Punkt ihrer Projektion
in der
-Ebene eindeutig
entspricht, d.h., der Flächenpunkt muß eindeutig durch seine Koordinaten definiert
sein. Sollte das nicht der Fall sein, dann wird das Flächenstück
in einige Teilflächenstücke eingeteilt, so daß das
Integral über die gesamte Fläche als algebraische Summe der Integrale über die Teilflächenstücke von
werden kann. Ist die Fläche in Parameterform gegeben, dann entfällt diese Einschränkung.
Die Gleichung (8.151a) kann auch in der anderen Form
dargestellt
(8.151b)
dargestellt werden. Das hängt damit zusammen, daß die Gleichung der Flächennormalen von (8.150) die Form
hat, so daß für den Winkel zwischen der Normalenrichtung und der
Beziehung
diesen Winkel
-Achse die
besteht. Bei der Berechnung eines Oberflächenintegrals 1. Art faßt man
steParameterdarstellungts als spitzen Winkel auf, so daß immer
ist.
Parameterdarstellung der Fläche
Ist die Fläche
implizit durch die Gleichungen
(8.152a)
in Parameterform vorgegeben (s. Abbildung), dann gilt
(8.152b)
wobei die Funktionen
und
als Koeffizienten betrachtet werden. Für das Flächenelement in Parameterform gilt
dann
(8.152c)
mit
während
der Variabilitätsbereich von
und
ist. Zur Berechnung des Integrals werden der Reihe nach die beiden
Integrale für
und
integriert:
(8.152d)
Dabei sind
Flächenstück
und
die Koordinaten der äußersten Koordinatenlinien
eingeschlossen ist (s. Abbildung). Mit
und
bezeichnet, die das Flächenstück
Die Formel (8.151a) ist ein Spezialfall von (8.152b) für
und
, zwischen denen das
sind die Gleichungen der Kurven
begrenzen.
(8.153)
Begriff des Oberflächenintegrals zweiter Art
●
●
●
●
Begriff einer orientierten Fläche
Projektion eines orientierten Flächenstückes auf eine Koordinatenebene
Definition des Oberflächenintegrals zweiter Art über eine Projektion auf eine Koordinatenebene
Existenzsatz für das Oberflächenintegral zweiter Art
Berechnung des Oberflächenintegrals zweiter Art
Als Hauptmethode wird die Zurückführung auf Doppelintegrale betrachtet.
●
●
Explizite Vorgabe der Flächengleichung
Vorgabe der Flächengleichung in Parameterform
Definition des Oberflächenintegrals zweiter Art über eine Projektion auf eine
Koordinatenebene
Oberflächenintegral zweiter Art einer Funktion von drei Veränderlichen
, die in einem
zusammenhängenden Gebiet definiert ist, nennt man das Integral
(8.156)
das über die Projektion auf die
-Ebene eines orientierten, in dem gleichen Gebiet liegenden Flächenstückes
genomen wird. Der Zahlenwert des Integrals wird ebenso gewonnen, wie der des Oberflächenintegrals erster Art,
ausgenommen den dritten Schritt, bei dem der Funktionswert
, sondern mit dessen Projektion
sich:
, orientiert auf die
nicht mit dem Flächenelement
-Ebene, zu multiplizieren ist. Damit ergibt
(8.157a)
In Analogie dazu werden die Oberflächenintegrale zweiter Art über die Projektionen des orientierten Flächenstückes
auf die
- und die
-Ebene wie folgt berechnet:
(8.157b)
(8.157c)
Existenzsatz für das Oberflächenintegral zweiter Art
Die Oberflächenintegrale zweiter Art (8.157a,b,c) existieren, wenn die Funktion
die die Gleichung der Fläche bilden, stetig sind und stetige Ableitungen besitzen.
sowie die Funktionen,
Oberflächenintegral allgemeiner Art
Wenn in einem zusammenhängenden Gebiet drei Funktionen mit den drei Veränderlichen
,
und ein orientiertes Flächenstück
,
gegeben sind, dann wird als Oberflächenintegral
allgemeiner Art die Summe der Integrale zweiter Art über alle Projektionen bezeichnet:
(8.162)
Die allgemeine Formel, mit deren Hilfe man das Oberflächenintegral allgemeiner Art auf das gewöhnliche
Doppelintegral zurückführt, lautet:
(8.163)
wobei die Größen
und
die oben angegebene Bedeutung besitzen.
Die vektorielle Darlegung der Theorie des Oberflächenintegrals allgemeiner Art ist im Kapitel Feldtheorie enthalten.
●
●
Eigenschaften des Oberflächenintegrals
Eine Anwendung des Oberflächenintegrals
Eigenschaften des Oberflächenintegrals
1. Wenn das Integrationsgebiet, d.h. das Flächenstück
, auf irgendeine Art in Teilflächenstücke
und
eingeteilt ist, dann gilt:
(8.164)
2. Bei Vertauschung von Außen- und Innenseite der Fläche, d.h. bei Änderung der Orientierung der Fläche,
ändert das Integral sein Vorzeichen:
(8.165)
wobei mit
und
ein und dieselbe Fläche bezeichnet ist, jedoch für entgegengesetzte Orientierung.
3. Im allgemeinen hängt das Oberflächenintegral sowohl von der das Flächenstück
als auch von der Fläche selbst ab. Daher sind die Integrale über die Flächen
Begrenzungskurve
und
begrenzenden Kurve
für ein und dieselbe
im allgemeinen verschieden (s. Abbildung):
(8.166)
Berechnung von Oberflächenintegralen
Die Berechnung von Oberflächenintegralen in Skalar- oder Vektorfeldern kann unabhängig davon, ob
von einer
geschlossenen Kurve umrandet ist oder selbst eine geschlossene Fläche darstellt, in fünf Schritten erfolgen:
1.
Einteilung des Flächenstückes
(s. Abbildung), in beliebige
, auf dem die Außenseite durch den Umlaufsinn der Randkurve bestimmt ist
Teilflächenstücke
derart, daß jedes dieser Teilflächenstücke durch ein
ebenes Flächenstück angenähert werden kann. Jedem Flächenstück
zugeordnet
wird gemäß (13.31a) der Vektor
Im Falle einer geschlossenen Fläche wird der positive Umlaufsinn der Randkurve so festgelegt, daß die
positive Seite, auf der der Vektor
beginnt, die Außenfläche ist.
2.
Auswahl eines beliebigen Punktes mit dem Ortsvektor
im Innern oder auf dem Rande jedes
Teilflächenstückes.
3.
Bildung des Produktes
im Falle eines vektoriellen Feldes.
4.
im Falle des skalaren Feldes und
oder
Addition der für die Teilflächenstücke gebildeten Produkte.
5.
Bildung des Grenzüberganges
für
. Dabei sollen die Teilflächenstücke in dem bei der
Berechnung des Doppelintegrals angegebenen Sinne gegen Null streben.
Eine Anwendung des Oberflächenintegrals
Das Volumen
eines Körpers, der von einer geschlossenen Fläche
begrenzt ist, kann als Oberflächenintegral
(8.167)
berechnet werden, wobei
so orientiert ist, daß die äußere Seite der Fläche positiv genommen wird.
Operationen
●
●
●
-stellige Operationen
Eigenschaften binärer Operationen
Äußere Operationen
Äußere Operationen
Manchmal werden auch äußere Operationen betrachtet. Das sind Abbildungen von
,,äußere``, meist auch selbst strukturierte Menge ist.
in
wobei
eine
-stellige Operationen
Der Strukturbegriff spielt in der Mathematik und ihren Anwendungen eine zentrale Rolle. Hier sollen algebraische
Strukturen behandelt werden, d.h. Mengen, auf denen Operationen erklärt sind. Eine
Menge
ist eine Abbildung
zuordnet.
, die jedem
-Tupel von Elementen aus
-stellige Operation
in einer
wieder ein Element aus
Satz vom abgeschlossenen Graphen
Ein Operator
und
mit
in
stets
heißt abgeschlossen , wenn aus
und
Abgeschlossenheit des Graphen des Operators
in
folgen. Notwendig und hinreichend dafür ist die
im Raum
, d.h. der Menge
(12.143)
wobei
hier die Bezeichnung für ein Element der Menge
Operator mit abgeschlossenem Definitionsbereich
, dann ist
ist. Es gilt: Ist
stetig.
ein abgeschlossener
Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator
Für einen linearen stetigen Operator
durch
wobei
ein Funktional
normierte Räume sind, ordnet man jedem
zu. Auf diese Weise entsteht ein linearer
stetiger Operator
(12.173)
der adjungierter Operator zu
heißt und die folgenden Eigenschaften besitzt:
, wobei für die linearen stetigen Operatoren
und
Weise durch
,(
sind normierte Räume) der Operator
auf natürliche
definiert ist.
Mit den in den Abschnitten Lineare Operatoren und Funktionale und
Stetige lineare Funktionale im HILBERT-Raum eingeführten Bezeichnungen bestehen für einen Operator
die folgenden Identitäten:
(12.174)
die Abgeschlossenheit von
wobei die Abgeschlossenheit von
Der Operator
, den man als
aus
gewinnt, hat die Eigenschaft: Ist
. Der Operator
Im HILBERT-Raum
impliziert.
, dann ist
ist also eine Erweiterung von
.
kann auf Grund des RIESZschen Satzes der adjungierte Operator mit Hilfe des Skalarprodukts
eingeführt werden, wobei sich wegen der Identifizierung von
neben
und
sogar
. Für die Resolventen von
ergibt. Ist
und
bijektiv, so ist es auch
und
, und es gilt
gilt die Beziehung
(12.175)
woraus sich für das Spektrum des adjungierten Operators
ergibt.
Beispiel A
Sei
ein Integraloperator mit stetigem Kern
(12.176)
der im Raum
betrachtet wird. Der zu
adjungierte Operator ist ebenfalls ein
Integraloperator
(12.177)
mit dem Kern
, wobei
das gemäß (12.163) zu
existierende Element aus
ist.
Beispiel B
Im endlichdimensionalen komplexen Raum ist der adjungierte zu einem durch die Matrix
repräsentierten Operator gerade durch die Matrix
mit
definiert.
Adjungierte Operatoren in normierten Räumen
●
●
●
Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator
Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator
Selbstadjungierte Operatoren
Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator
Seien
und
reelle normierte Räume und
(linearen) Definitionsbereich
und Werten in
, der offenbar linear von
Ausdruck
wohlbestimmten Funktionals
ein linearer (nicht unbedingt beschränkter) Operator mit dem
. Für ein fixiertes Funktional
ist dann der
abhängt, sinnvoll, so daß die Frage nach der Existenz eines
mit der Eigenschaft
(12.178)
steht. Sei
die Menge aller der
, dann ist
gilt. Ist
mit
, für die bei einem gewissen
zu vorgegebenem
die Darstellung (12.178)
eindeutig bestimmt, so daß ein linearer Operator
als Definitionsbereich entsteht. Für beliebige
und
gilt dann
(12.179)
Der Operator
ist sogar abgeschlossen und heißt adjungiert zu
Zugangs ergibt sich daraus, daß
Falle ist
und
. Die Natürlichkeit dieses allgemeinen
genau dann gilt, wenn
.
auf
beschränkt ist. In diesem
Monotone Operatoren in Banach-Räumen
●
●
Spezielle Eigenschaften
Existenzaussagen
Begriff des kompakten Operators
Ein beliebiger Operator
wenn das Bild
des normierten Raums
jeder beschränkten Menge
in den normierten Raum
eine relativkompakte Menge in
heißt kompakt ,
ist. Ist der Operator
zudem noch stetig, dann heißt er vollstetig . Jeder kompakte lineare Operator ist beschränkt und demzufolge
vollstetig. Für die Kompaktheit eines linearen Operators genügt es zu fordern, daß er die Einheitskugel aus
eine relativkompakte Menge in
überführt.
in
Hammerstein-Operator
Seien
eine kompakte Teilmenge aus
eine stetige Funktion auf
eine den CARATHEODORY-Bedingungen genügende und
. Der nichtlineare Operator
auf
(12.188)
heißt HAMMERSTEIN-Operator . Mit dem linearen von
als Kern erzeugten Integraloperator
(12.189)
kann
in der Form
geschrieben werden. Genügt nun der Kern
der Bedingung
(12.190)
und die Funktion
der Bedingung (12.187), dann ist
ein stetiger und kompakter Operator auf
.
Projektoren im Hilbert-Raum
Sei
ein Teilraum eines HILBERT-Raums
Projektion
Projektor auf
auf
. Dann ist nach dem Projektionssatz für jedes
und demzufolge ein Operator
. Offensichtlich ist
mit
linear, stetig, und es gilt
von
auf
, d.h.
ist selbstadjungiert, und
, d.h.
ist idempotent .
b)
heißt
. Ein stetiger linearer Operator
ist genau dann ein Projektor (auf einen geeigneten Unterrraum), wenn gilt:
a)
definiert.
seine
in
Positive nichtlineare Operatoren
Der erfolgreiche Einsatz des SCHAUDERschen Fixpunktsatzes erfordert die Auswahl einer Menge mit den
entsprechenden Eigenschaften, die vom betrachteten Operator in sich abgebildet wird.
In Anwendungen, insbesondere in der Lösungstheorie nichtlinearer Randwertprobleme, handelt es sich meistens um
geordnete normierte (aus Funktionen bestehende) Räume und nicht selten um positive, d.h. den betreffenden Kegel
invariant lassende, oder isoton wachsende Operatoren, d.h. solche
, für die
gilt. Wenn
Verwechslungen ausgeschlossen sind, nennt man solche Operatoren auch monoton (s. etwa Abschnitt Monotone
Operatoren in BANACH-Räumen).
Seien jetzt
Ordnungsintervall aus
isotonen) Operator
ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenem Kegel
. Ist
normal und gilt
, dann besitzt
wenigstens einen Fixpunkt in
und
ein
für einen vollstetigen (nicht notwendigerweise
(s. Abbildung).
Ein weiterer Vorteil der Betrachtungen in geordneten Räumen besteht darin, daß für einen isoton wachsenden Operator
, der auf einem
-Interval
des Raumes
definiert ist und (lediglich) die Eckpunkte
und
abbildet, also den beiden Bedingungen
in
genügt, automatisch
gilt.
Darüber hinaus sind die beiden durch
(12.198)
wohldefinierten (d.h.
)) Folgen monoton wachsend bzw. fallend, d.h.
und
. Ein Fixpunkt
bzw.
des
Operators
heißt minimal bzw. maximal , wenn für jeden Fixpunkt
von
die Ungleichung
bzw.
gilt.
Es gelten nun die folgenden Aussagen (s. Abbildung):
Seien
ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenem Kegel
stetiger isoton wachsender Operator. Sei
, und der Operator
erfüllt ist:
a)
mit
besitzt einen Fixpunkt in
und
und
ein
. Dann gilt
, wenn eine der folgenden Bedingungen
ist normal und
kompakt.
b)
ist regulär.
Die wie in (12.198) definierten Folgen
Fixpunkt von
in
und
konvergieren dann zum minimalen bzw. maximalen
.
Das Konzept der Ober- und Unterlösungen basiert auf diesen Resultaten (s. Lit. 12.17, 12.13, 12.14).
Stetige lineare Operatoren und Funktionale
●
●
●
●
●
●
●
Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren
Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen
Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren
Stetige lineare Funktionale
Fortsetzung von linearen Funktionalen
Trennung konvexer Mengen
Bidualer Raum und reflexive Räume
Positiv definite Operatoren
In der Menge aller selbstadjungierten Operatoren aus
kann durch
(12.182)
eine partielle Ordnung eingeführt werden, wobei ein Operator
selbstadjungierten Operator
mit
positiv (definit) heißt. Für einen
gilt (mit Hilfe von (H1) aus HILBERT-Raum, Skalarprodukt)
, so daß
positiv definit ist. Jeder positiv definite Operator
Wurzel, d.h., es existiert genau ein positiv definiter Operator
mit
der selbstadjungierten Operatoren ein Vektorverband, wobei die Operatoren
besitzt seine
. Darüber hinaus ist der Vektorraum
(12.183)
für die Spektralzerlegung und Spektral- bzw. Integraldarstellung von selbstadjungierten Operatoren mit Hilfe eines
STIELTJES-Integrals Bedeutung erlangen (s. Lit. 12.1, 12.12, 12.13, 12.15, 12.18, 12.21).
Positive Operatoren
Ein linearer Operator (s. Lit. 12.2, 12.20)
geordneten Vektorraum
des geordneten Vektorraums
in den
heißt positiv, wenn gilt:
(12.32)
Rotation des Vektorfeldes
●
●
●
●
Definitionen der Rotation
Rotation in verschiedenen Koordinaten
Regeln zur Berechnung der Rotation
Rotation des Potentialfeldes
Selbstadjungierte Operatoren
Ein Operator
heißt selbstadjungiert, wenn
. In diesem Falle ist
die Zahl
reell. Es gelten
(12.180)
und mit
und
(12.181)
Das Spektrum eines selbstadjungierten (beschränkten) Operators liegt im Intervall
gilt.
, wobei
●
●
Positiv definite Operatoren
Projektoren im Hilbert-Raum
Stetige Operatoren
●
●
Stetige Operatoren
Isometrische Räume
Inverser Operator
Seien
und
beliebige normierte Räume und
Dann besitzt
einen stetigen Inversen
für alle
die Abschätzung
ein linearer, nicht unbedingt stetiger Operator.
, wenn
gilt. Man hat dann sogar
.
Im Falle von BANACH-Räumen
gilt der Satz von BANACH.
und mit einer Konstanten
URYSOHN-Operator
Seien
meßbar und
der nichtlineare Operator
eine Funktion von drei Variablen, dann heißt
auf
(12.191)
URYSOHN-Operator. Erfüllt der Kern
Operator in
bzw. in
die entsprechenden Bedingungen, dann ist
.
ein stetiger und kompakter
Vektorgradient
Der Zusammenhang (13.30c) legt die Bezeichnung
(13.45a)
nahe, wobei
Vektorgradient heißt. Aus der Matrizenschreibweise von (13.45a) folgt, daß der
Vektorgradient als Tensor mit Hilfe einer Matrix darstellbar ist:
(13.45b)
(13.45c)
Tensoren dieser Art spielen in den Ingenieurwissenschaften eine Rolle, z.B. bei der Beschreibung von Spannungen
und Elastizitäten.
Prinzipielle Bedeutung
Neben der großen theoretischen Bedeutung, die Integraltransformationen in solchen grundlegenden Gebieten der
Mathematik wie der Theorie der Integralgleichungen und der Theorie der linearen Operatoren besitzen, haben sie ein
breites Anwendungsfeld bei der Lösung praktischer Probleme in Physik und Technik gefunden. Methoden mit dem
Einsatz von Integraltransformationen werden häufig Operatorenmethoden genannt. Sie eignen sich zur Lösung von
gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, von Integralgleichungen und Differenzengleichungen.
Operatorenmethoden
Operatorenmethoden sind nicht nur zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen geeignet; sie werden auch zur
Lösung partieller Differentialgleichungen eingesetzt
(s. Anwendungen der Integraltransformationen). Sie beruhen auf einem Übergang von der gesuchten Funktion zu
deren Transformierten. Dazu wird die gesuchte Funktion als Funktion einer der unabhängigen Variablen aufgefaßt,
und bezüglich dieser Variablen wird die Transformation durchgeführt. Die übrigen Variablen werden dabei als
Parameter aufgefaßt. Die Differentialgleichung zur Bestimmung der Transformierten der gesuchten Funktion enthält
dann eine unabhängige Variable weniger als die ursprüngliche Differentialgleichung. Im Spezialfall zweier
unabhängiger Variabler in der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung liefert dieses Verfahren eine
gewöhnliche Differentialgleichung. Wenn aus der so gewonnenen Differentialgleichung die Transformierte der
gesuchten Funktion bestimmt werden kann, dann ergibt sich die gesuchte Funktion entweder durch Anwendung der
Umkehrformel oder durch Aufsuchen der Lösung in einer Tabelle der Transformierten.
Schema der Operatorenmethode
Das allgemeine Schema des Einsatzes der Operatorenmethode mit Integraltransformation ist in der folgenden
Abbildung dargestellt.
Die Lösung eines Problems wird nicht auf direktem Wege durch unmittelbare Lösung der Ausgangsgleichung
gesucht; man strebt sie vielmehr über eine Integraltransformation an. Die Rücktransformation der Lösung der
transformierten Lösung führt dann auf die Lösung der Ausgangsgleichung.
Die Anwendung der Operatorenmethode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen besteht in den folgenden
drei Schritten:
1.
Übergang von einer Differentialgleichung für die unbekannte Funktion zu einer Gleichung für ihre
Transformierte.
2.
Auflösung der erhaltenen Gleichung im Bildbereich, die im allgemeinen keine Differentialgleichung mehr ist,
sondern eine algebraische Gleichung, nach der Bildfunktion.
3.
Rücktransformation der Bildfunktion mit Hilfe von
Originalfunktion.
in den Originalbereich, d.h. Bestimmung der
Die Schwierigkeit der Operatorenmethode liegt oft nicht in der Lösung der Gleichung, sondern im Übergang von der
Funktion zur Transformierten und umgekehrt.
Eigenschaften der Kostenfunktion
Voraussetzung für die Aufstellung der BELLMANNschen Funktionalgleichungen sind zwei Forderungen an die
Kostenfunktion: Separierbarkeit und Minimumvertauschbarkeit.
●
●
Separierbarkeit
Minimumvertauschbarkeit
Bellmannsches Optimalitätsprinzip
Die Berechnung der Funktionalgleichung
(18.128)
entspricht der Bestimmung einer optimalen Politik
Teilprozeß
, welcher aus den letzten
für den mit dem Zustand
Stufen des Gesamtprozesses
startenden
besteht und dem die
Kostenfunktion
(18.129)
zugrunde liegt. Die optimale Politik des Prozesses
Entscheidungen
in den ersten
mit dem Anfangszustand
Stufen von
ist unabhängig von den
, die zum Zustand
führten. Für die
Ermittlung von
wird die Größe
, dann ist offensichtlich
benötigt. Ist nun
eine optimale Politik für
eine optimale Politik für den Teilprozeß
zum Anfangszustand
. Diese Aussage wird im BELLMANNschen Optimalitätsprinzip verallgemeinert.
BELLMANNsches Prinzip: Ist
eine optimale Politik eines Prozesses
zugehörige Zustandsfolge, dann ist für jeden Teilprozeß
ebenfalls optimal.
und
, mit dem Startzustand
die
die Politik
Diskrete dynamische Optimierung
●
●
●
●
●
●
Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle
Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle
Bellmannsche Funktionalgleichungen
Bellmannsches Optimalitätsprinzip
Bellmannsche Funktionalgleichungsmethode
Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode
Einkaufsproblem
In der
-ten Periode eines in
Stufen unterteilbaren Zeitraumes benötigt ein Betrieb
Mengeneinheiten eines
sei dieser Stoff in der Menge
vorrätig, speziell sei
bestimmten Ausgangsstoffes. Zu Beginn einer Periode
vorgegeben. Davon ausgehend ist eine Entscheidung darüber zu treffen, welche Menge
pro Mengeneinheit einzukaufen ist. Dabei darf die vorhandene Lagerkapazität
d.h.
. Gesucht ist eine Einkaufspolitik
zum Preis
nicht überschritten werden,
, die die Gesamtkosten minimiert. Dies
führt auf das folgende dynamische Problem:
(18.116a)
(18.116b)
In (18.116b) ist berücksichtigt, daß der Bedarf immer gedeckt ist und die Lagerkapazität nicht überschritten wird.
Enstehen zusätzlich Lagerkosten
-ten Periode
pro Mengeneinheit und Periode, dann betragen die mittleren Lagerkosten in der
, und die modifizierte Kostenfunktion lautet
(18.117)
-stufige Entscheidungsprozesse
Ein
-stufiger Prozeß
startet in der Stufe
in den Stufen
Zwischenzustände
Die Zustandsvektoren
den Zustand
Zustandes
mit einem Anfangszustand
liegen in Zustandsbereichen
ist eine Entscheidung
und führt über die
in einen Endzustand
. Zur Überführung eines Zustandes
zu treffen. Alle möglichen Entscheidungsvektoren
bilden den Entscheidungsbereich
. Aus
bei Vorliegen des
ergibt sich der Folgezustand
über die Transformation
(18.114)
(S. die folgende Abbildung):
in
Formulierung der Funktionalgleichungen
Es werden die folgenden Funktionen definiert:
(18.125)
(18.126)
Falls keine Politik
existiert, die den Zustand
in einen Endzustand
überführt, wird
gesetzt. Die Ausnutzung von Separierbarkeit und Minimumvertauschbarkeit sowie der dynamischen
Nebenbedingungen liefert für
:
(18.127)
Die Gleichungen (18.127) zusammen mit Gleichung (18.126) nennt man BELLMANNsche Funktionalgleichungen .
ist der Optimalwert der Kostenfunktion
.
Bellmannsche Funktionalgleichungsmethode
●
●
Bestimmung der minimalen Kosten
Bestimmung der optimalen Politik
Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle
Mit den Methoden der dynamischen Optimierung kann eine breite Klasse verschiedenartigster Optimierungsaufgaben
gelöst werden. Die Probleme werden dabei als natürlich oder formal in der Zeit ablaufende Prozesse betrachtet, die
über zeitabhängige Entscheidungen gesteuert werden. Läßt sich der Prozeß in endlich bzw. abzählbar unendlich
viele Stufen einteilen, dann spricht man von diskreter dynamischer Optimierung , anderenfalls von kontinuierlicher
dynamischer Optimierung . Im Rahmen dieses Abschnittes werden nur
●
●
-stufige Entscheidungsprozesse
Dynamische Optimierungsprobleme
-stufige diskrete Prozesse untersucht.
Optimale Einkaufspolitik
●
●
Problemstellung
Zahlenbeispiel
Bestimmung der optimalen Politik
Variante 1: Mit der Auswertung der Funktionalgleichungen wird für jedes
Minimalstelle
abgespeichert. Nach der Berechnung von
zu erhalten, daß zunächst aus dem für
ist eine optimale Politik einfach dadurch
gespeicherten
errechnet wird. Die für diesen Zustand
die ermittelte
der Folgezustand
gespeicherte Entscheidung
liefert
usw.
Variante 2: Zu jedem
wird lediglich der Wert
gespeichert. Nachdem alle
bekannt sind, schließt sich eine Vorwärtsrechnung an. Beginnend mit
wird
für wachsendes
und
durch Auswertung der Funktionalgleichung
(18.130)
bestimmt. Daraus ergibt sich jeweils
. In der Vorwärtsrechnung ist somit auf jeder Stufe
nochmals ein Optimierungsproblem zu lösen.
Vergleich beider Varianten: Bei Variante 1 ist der Rechenaufwand etwas geringer, da die bei der Variante 2
erforderliche Vorwärtsrechnung entfällt. Dagegen muß für jeden Zustand
abgespeichert werden, was für höherdimensionale Entscheidungsräume
eine Entscheidung
zu einem wesentlich
höheren Speicherplatzbedarf, verglichen mit Variante 2, führt, bei welcher nur die Größen
speichern sind. Für die Computerlösung wird deshalb in vielen Fällen Variante 2 vorzuziehen sein.
zu
Rucksackproblem
●
●
Problemstellung
Zahlenbeispiel
Rucksackproblem
Von den Artikeln
mit den Gewichten
und den Werten
sind einige so
nicht überschritten wird. Die getroffene Auswahl soll einen maximalen
auszuwählen, daß ein Gesamtgewicht
Gesamtwert erreichen. Dieses Problem hängt nicht unmittelbar von der Zeit ab. Es wird auf folgende Weise
,,künstlich`` dynamisiert. In jeder Stufe wird eine Entscheidung
Dabei ist für ein ausgewähltes
verfügbare Kapazität mit
, anderenfalls ist
über die Auswahl des Artikels
getroffen.
. Wird die zu Beginn einer Stufe noch
bezeichnet, dann ergibt sich das folgende dynamische Problem:
(18.118a)
(18.118b)
Basis
Jeder Ecke können
linear unabhängige Spaltenvektoren der Matrix A zugeordnet werden, so daß darunter die zu
positiven Komponenten gehörenden Spalten enthalten sind. Dieses System der linear unabhängigen
Spaltenvektoren nennt man eine Basis der Ecke . Im Normalfall ist einer Ecke eindeutig eine Basis zugeordnet. Einer
entarteten Ecke hingegen können im allgemeinen mehrere Basen zugeordnet werden. Es gibt höchstens
Möglichkeiten, aus den
Spalten von A
linear unabhängige auszuwählen. Demzufolge ist die Anzahl
verschiedener Basen und somit auch der Ecken höchstens gleich
mindestens eine Ecke.
Beispiel
. Ist
nicht leer, so hat
Der durch die Nebenbedingungen festgelegte zulässige Bereich
ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Einführung von Schlupfvariablen
führt auf:
Dem Endpunkt des Polyeders
entspricht im erweiterten System der Punkt
. Die Spalten 2, 5, 6 und 7 von A bilden die
zugehörige Basis. Der entarteten Ecke entspricht
den Spalten 1, 5, 6 und einer der Spalten 2, 4 oder 7.
mit
. Eine Basis dieser Ecke besteht aus
Lineare Optimierung
●
●
●
●
Problemstellung und geometrische Darstellung
Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform
Simplexverfahren
Spezielle lineare Optimierungsprobleme
Definition der Ecke und Satz über die Ecke
1. Definition der Ecke Ein Punkt
heißt Ecke von
, wenn für alle
mit
gilt:
(18.7)
d.h.,
liegt nicht auf der Verbindungsgeraden zweier verschiedener Punkte aus
ist genau dann ein Eckpunkt von
2. Satz über den Eckpunkt Der Punkt
positiven Komponenten von
.
, wenn die zu den
gehörenden Spalten der Matrix A linear unabhängig sind.
Unter der Annahme, daß der Rang von A gleich
ist, können nur maximal
unabhängig sein. Deshalb kann ein Eckpunkt höchstens
positive Komponenten besitzen. Die restlichen
Komponenten sind gleich Null. Im Normalfall sind genau
positiven Komponenten jedoch kleiner als
Spalten von A linear
Komponenten positiv. Ist die Anzahl der
, dann spricht man von einer entarteten Ecke .
Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme
An Hand des obigen Beispiels können einige Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme graphisch
veranschaulicht werden. Dazu kann auf die Einführung von Schlupfvariablen verzichtet werden.
a)
Eine Gerade
, die die Ungleichung
teilt die
-Ebene in zwei Halbebenen. Somit liegen alle Punkte
erfüllen, auf dieser Geraden bzw. in einer der
Halbebenen. Die graphische Darstellung der Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem erfolgt
durch Einzeichnen der trennenden Geraden, und die Halbebene, die die Lösungsmenge der Ungleichung
enthält, wird mit Pfeilen gekennzeichnet. Die Ausführung der graphischen Darstellung aller Nebenbedingungen
liefert eine Menge von Halbebenen, deren Durchschnitt den zulässigen Bereich
bildet (s. Abbildung).
Im Beispiel oben bilden die Punkte von
eine Polygonfläche. Es kann auch vorkommen, daß
unbeschränkt oder leer ist. Treffen in einer Ecke des Polygons mehr als zwei begrenzende Geraden
aufeinander, dann spricht man von einer entarteten Ecke (s. folgende Abbildung).
b)
Alle Punkte in der
-Ebene, die der Beziehung
einer gemeinsamen Geraden, der Niveaulinie zum Funktionswert
genügen, liegen auf
. Bei verschiedener Wahl von
wird
eine Schar paralleler Geraden definiert, auf denen der Zielfunktionswert jeweils konstant ist. Geometrisch sind
alle diejenigen Punkte Lösungen des Optimierungsproblems, die sowohl zum zulässigen Bereich
zu einer Niveaulinie
auf der Niveaulinie
mit einem maximalen
der Maximalpunkt
als auch
gehören. Im konkreten Fall ergibt sich
. Die Niveaulinien
sind in der folgenden Abbildung dargestellt, wobei die Pfeile in die Richtung wachsender Funktionswerte
zeigen.
Man erkennt, daß bei beschränktem zulässigen Bereich
eingenommen wird. Dagegen ist bei unbeschränktem
strebt.
das Maximum in mindestens einer Ecke von
denkbar, daß der Zielfunktionswert gegen unendlich
Formen der linearen Optimierung
●
●
●
●
Gegenstand
Allgemeine Form
Formulierung mit vorzeichenbeschränkten Variablen und Schlupfvariablen
Zulässiger Bereich
Beispiele und graphische Lösungen
●
●
Beispiel Herstellung zweier Produkte:
Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme
Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform
Betrachtet wird die Aufgabe (18.5a,b) mit dem zulässigen Bereich
●
●
Ecke und Basis
Normalform der linearen Optimierungsaufgabe
(18.6a).
Reihenfolgeproblem
Die Bearbeitung von
verschiedenen Produkten erfolgt in einer vom Produkt abhängigen Reihenfolge an
verschiedenen Maschinen. An jeder Maschine können nicht mehrere Produkte gleichzeitig bearbeitet werden. Zur
Bearbeitung eines jeden Produktes wird an jeder Maschine eine vorgegebene Arbeitszeit benötigt. Im
Produktionsablauf können dabei sowohl Wartezeiten, in denen auf Grund belegter Maschinen Produkte nicht
bearbeitet werden können, als auch Maschinenstillstandszeiten auftreten.
Gesucht ist eine Reihenfolge der auf den einzelnen Maschinen nacheinander zu bearbeitenden Produkte, die je nach
ökonomischer Zielsetzung die Gesamtdurchlaufzeit aller Produkte, die Gesamtwartezeit oder die
Gesamtstillstandszeit aller Maschinen minimiert. Ein weiteres Ziel kann in der Minimierung der Gesamtdurchlaufzeit
bestehen, wenn zusätzlich entweder keine Wartezeiten oder keine Stillstandszeiten nach der ersten Arbeitsaufnahme
auftreten sollen.
Revidiertes Simplexverfahren
●
●
Revidiertes Simplextableau
Revidierter Simplexschritt
Rundreiseproblem
Gegeben sind
Orte
zurücklegen. Dabei kann
. Um von
nach
zu gelangen, muß ein Reisender die Entfernung
möglich sein.
Es ist eine kürzeste Reiseroute so zu wählen, daß ein Reisender jeden Ort genau einmal besucht und am Ende zum
Ausgangsort zurückkehrt.
Wie beim Zuordnungsproblem ist wiederum in jeder Zeile und jeder Spalte der Entfernungsmatrix C genau ein
Element auszuwählen, so daß die Gesamtsumme der ausgewählten Elemente minimal wird. Allerdings wird die
numerische Lösung des Rundreiseproblems beträchtlich durch die Einschränkung erschwert, daß eine Anordnung
der markierten Elemente
in folgender Form möglich sein muß:
(18.30)
Das Rundreiseproblem kann durch die Anwendung von Verzweigungsverfahren (branch and bound) gelöst werden.
Simplextableau
Mit dem Simplexverfahren wird eine Folge von Eckpunkten des zulässigen Bereiches mit wachsenden
Zielfunktionswerten ermittelt. Der Übergang zu einer neuen Ecke wird vollzogen, indem eine zur gegebenen Ecke
gehörende Normalform zu einer Normalform der neuen Ecke umgewandelt wird. Zur übersichtlichen Darstellung
dieses Vorganges sowie zur Formalisierung der rechentechnischen Umsetzung wird eine als bekannt vorausgesetzte
Normalform (18.8a,b) in das folgende Simplextableau eingetragen:
Schema 2
oder kürzer
Die
-te Zeile des Tableaus ist zu lesen als
(18.14a)
Für die Zielfunktion gilt
(18.14b)
Aus dem Simplextableau wird die Ecke
abgelesen. Gleichzeitig ist der Zielfunktionswert
bestimmt.
dieser Ecke durch
Auf jedes Tableau trifft genau einer der drei Fälle zu:
a)
: Das Tableau ist optimal. Der Punkt
ist der
Maximalpunkt.
b)
Für mindestens ein
gilt
und
: Das lineare Optimierungsproblem
besitzt keine Lösung, da die Zielfunktion in Richtung wachsender
-Werte unbeschränkt wächst.
c)
Für alle
mit
übergehen mit
gibt es mindestens ein
mit
: Man kann von einer Ecke
.Für eine nichtentartete Ecke
gilt immer das ,,
zu einer Ecke
``-Zeichen.
Hilfsprogramm und künstliche Variable
Häufig ist es besonders bei einer großen Anzahl von Nebenbedingungen schwierig, sofort eine Ecke und damit ein
Simplextableau anzugeben. Daher stellt man zunächst ein Hilfsprogramm auf, aus dessen Lösung sich ein
Simplextableau der ursprünglichen Aufgabe ergibt. Dazu wird auf der linken Seite jeder Gleichung von
mit
eine künstliche Variable
addiert und das folgende Hilfsproblem
formuliert:
(18.17a)
(18.17b)
Mit
als Basisvariable kann sofort ein erstes Simplextableau angegeben werden:
Schema 5
Die letzte Zeile des Tableaus enthält die auf Nichtbasisvariable umgerechneten Koeffizienten der Hilfszielfunktion ZF
. Offensichtlich ist
dann ist
und folglich
keine Lösung.
. Ist für einen Maximalpunkt
eine Lösung von
des Hilfsproblems
. Andererseits besitzt
,
bei
Ecke mit maximalem Funktionswert
Die Bedeutung der Aussagen über die Ecken des zulässigen Bereiches
Ist
nicht leer und die Zielfunktion
auf
wird im folgenden Satz deutlich.
nach oben beschränkt, so ist mindestens eine Ecke
ein Maximalpunkt.
von
Eine lineare Optimierungsaufgabe kann somit gelöst werden, indem unter allen Ecken eine mit maximalem
in praktischen Problemstellungen sehr hoch
Funktionswert bestimmt wird. Da aber die Anzahl der Ecken von
sein kann, ist eine Methode erforderlich, die eine optimale Ecke zielsicher ansteuert. Eine solche Methode ist das
Simplexverfahren , auch Simplexalgorithmus genannt. Zu seinem Einsatz ist eine geeignete Darstellung der linearen
Optimierungsaufgabe erforderlich, aus der eine Ecke direkt abgelesen werden kann.
Simplexverfahren
●
●
●
●
●
Simplextableau
Übergang zum neuen Simplextableau
Bestimmung eines ersten Simplextableaus
Revidiertes Simplexverfahren
Dualität in der linearen Optimierung
Transportproblem
●
●
●
Modell
Ermittlung einer zulässigen Basislösung
Lösung des Transportproblems mit der Potentialmethode
Verteilungsproblem
Das Problem wird an Hand eines Beispiels dargelegt.
Beispiel
Die
Produkte
kann auf jeder der
sind in den Mengen
Maschinen
Produkteinheit des Produktes
dabei die Kosten
produziert werden. Zur Herstellung einer
benötigt die Maschine
. Die insgesamt für die Maschine
. Die auf jeder Maschine
herzustellen. Jedes Produkt
von jedem Produkt
die Bearbeitungszeit
und verursacht
zur Verfügung stehende Maschinenzeit sei
herzustellenden Mengen
sollen so
festgelegt werden, daß die verursachten Gesamtkosten möglichst gering sind.
Aus der Aufgabe ergibt sich das folgende allgemeine Modell eines Verteilungsproblems:
(18.29a)
(18.29b)
Das Verteilungsproblem ist eine Verallgemeinerung des Transportproblems und kann mit dem Simplexverfahren
gelöst werden. Sind alle
, dann kann nach Einführung eines fiktiven Produktes
Transportalgorithmus zur Lösung herangezogen werden.
der effektivere
Zuordnungsproblem
Die Darlegung erfolgt an Hand eines Beispiels.
Beispiel
Es sollen
Transportaufträge an
Transportunternehmen so vergeben werden, daß jedes Unternehmen
genau einen Auftrag erhält. Gesucht ist die kostengünstigste Zuordnung, wenn das
die Ausführung des
-ten Auftrages die Kosten
-te Unternehmen für
berechnet.
Ein Zuordnungsproblem ist ein spezielles Transportproblem mit
und
für alle
.
(18.28a)
(18.28b)
Jede zulässige Verteilungsmatrix enthält in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen. Ausgehend
von einer zulässigen Verteilungsmatrix X kann das Zuordnungsproblem ohne Beachtung der
Ganzzahligkeitsforderungen mit dem Transportalgorithmus gelöst werden. Dabei ist jede zulässige Basislösung
(Ecke) entartet, da
treffen.
Basisvariable gleich Null sind. Es sind daher Maßnahmen zur Vermeidung von Zyklen zu
Verfahren für unrestringierte Aufgaben
Es wird das allgemeine Optimierungsproblem
(18.71)
mit einer stetig differenzierbaren Funktion
betrachtet. Mit den in diesem Abschnitt beschriebenen Verfahren wird
eine im allgemeinen unendliche Punktfolge
Die Punktfolge wird ausgehend von
konstruiert, deren Häufungspunkte stationäre Punkte sind.
nach der Vorschrift
(18.72)
berechnet, d.h., in
wird eine Richtung
festgelegt, wie weit
in Richtung
Abstiegsverfahren , wenn gilt
bestimmt und mittels des Schrittweitenparameters
von
entfernt liegt. Ein so konstruiertes Verfahren heißt
(18.73)
Die Bedingung
, wobei
der Nablaoperator ist, charakterisiert einen stationären Punkt und kann als
Abbruchtest für die Iterationsverfahren herangezogen werden.
●
●
●
●
Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)
Anwendung des Newton-Verfahrens
Verfahren der konjugierten Gradienten
Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)
Barriereverfahren
Es wird eine Folge von Ersatzproblemen der Form
(18.102)
betrachtet. Der Term
verhindert, daß der zulässige Bereich
Zielfunktion bei Annäherung an den Rand von
bei der Lösung von (18.102) verlassen wird, indem die
unbeschränkt wächst. Die Regularitätsbedingung
(18.103)
sei erfüllt, d.h., das Innere von
Die Funktion
ist auf
ist nicht leer und der Abschluß von
ist gleich
definiert und stetig. Sie wächst auf dem Rand von
einer gegen Null fallenden Folge von Barriereparametern
gelöst. Für die Lösung
.
nach
des
. Das Ersatzproblem (18.102) wird mit
-ten Problems (18.102) gilt
(18.104)
und jeder Häufungspunkt
der Folge
ist eine Lösung von (18.96).
Die folgende Abbildung zeigt eine Veranschaulichung des Barriereverfahrens.
Als Realisierungen für die Funktion
sind z.B. geeignet
(18.105a)
(18.105b)
Beispiel
,
Der Gradient von
wird hier nur bezüglich
gebildet. Subtraktion beider Gleichungen ergibt
,
,
Die Lösung der Aufgaben (18.97) und (18.102) im -ten Schritt hängt nicht von den Lösungen der vorangegangenen Schritte ab. Bei der
Verwendung großer Straf- bzw. kleiner Barriereparameter treten bei der Lösung von (18.97) und (18.102) mittels numerischer Verfahren
häufig Konvergenzprobleme auf, falls keine gute Startnäherung verfügbar ist. Praktisch nutzt man deshalb den Lösungspunkt des
Ersatzproblems als Startwert der Lösung des (
)-ten Problems.
-ten
Nichtlineare Optimierung
●
●
●
●
●
●
●
●
Problemstellung und theoretische Grundlagen
Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben
Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben
Numerische Suchverfahren
Verfahren für unrestringierte Aufgaben
Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen
Straf- und Barriereverfahren
Schnittebenenverfahren
Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)
Mit dem DFP-Verfahren ermittelt man, ausgehend von
, eine Punktfolge nach der Vorschrift
(18.83)
Dabei ist
eine symmetrische, positiv definite Matrix. Die Idee des Verfahrens besteht in einer schrittweisen
Approximation der inversen HESSE-Matrix durch die Matrizen
in dem Falle, daß
Funktion ist. Ausgehend von einer symmetrischen, positiv definiten Matrix
wird
aus
, z.B.
eine quadratische
(
Einheitsmatrix),
durch Addition einer Rang-Zwei-Korrekturmatrix
(18.84)
mit
und
erhält man durch Strahlminimierung aus
ermittelt. Die Schrittweite
(18.85)
Ist
eine quadratische Funktion, dann geht das DFP-Verfahren für
konjugierten Gradienten über.
in das Verfahren der
Verfahren der projizierten Gradienten
●
●
●
Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Algorithmus
Bemerkungen zum Algorithmus
Richtungssuchprogramm
Eine zulässige Abstiegsrichtung
im Punkt
kann durch Lösung des folgenden Optimierungsproblems
gewonnen werden:
(18.88)
(18.89a)
(18.89b)
(18.89c)
Gilt für die Lösung
dieses Richtungssuchprogrammes
(18.89b) die Abstiegseigenschaft von
, dann sichert (18.89a) die Zulässigkeit und
. Mit der Normierungsbedingung (18.89c) wird der zulässige Bereich für
das Richtungssuchprogramm beschränkt. Ist
, dann ist
ein stationärer Punkt, da in
keine zulässige
Abstiegsrichtung existiert.
Ein gemäß (18.89a,b,c) definiertes Richtungssuchprogramm kann innerhalb der Folge der beschränkten
Zickzack-Verhalten verursachen. Das kann vermieden werden, wenn die Indexmenge
ein
durch die
Indexmenge
(18.90)
der sogenannten in
ausgeschlossen, die von
heranführen (s. Abbildung).
-aktiven Restriktionen ersetzt wird. Dadurch werden lokal Abstiegsrichtungen
ausgehend näher an den von
-aktiven Restriktionen gebildeten Rand von
Ist nach dieser Modifizierung
Lösung von (18.89a,b,c), dann ist
erfüllt ist. Anderenfalls ist
wiederholen.
nur dann ein stationärer Punkt, wenn
geeignet zu verkleinern und das Richtungssuchprogramm zu
Gradientenverfahren für Probleme mit
Ungleichungsrestriktionen
Wenn das Problem
(18.86a)
mit einem Iterationsverfahren der Art
(18.86b)
gelöst werden soll, dann sind auf Grund des eingeschränkten zulässigen Bereiches zwei Voraussetzungen zu
beachten:
1.
Die Richtung
muß eine in
zulässige Abstiegsrichtung sein.
2.
Die Schrittweite
ist so zu bestimmen, daß auch
in
liegt.
Die verschiedenen Verfahren gemäß Vorschrift (18.86b) unterscheiden sich in der Konstruktion der Richtung
Um die Zulässigkeit der Folge
zu sichern, werden
bzw.
.
folgendermaßen bestimmt:
(18.87a)
Daraus resultiert
(18.87b)
Wenn in einem Schritt
●
●
keine zulässige Abstiegsrichtung
Verfahren der zulässigen Richtungen
Verfahren der projizierten Gradienten
existiert, dann ist
ein stationärer Punkt.
Verfahren der zulässigen Richtungen
●
●
Richtungssuchprogramm
Spezialfall linearer Restriktionen
Verfahren von Kelley
Die verschiedenen Verfahren unterscheiden sich in der Wahl der trennenden Hyperebenen
von KELLEY wird
auf folgende Weise bestimmt: Es wird
. Beim Verfahren
derart gewählt, daß gilt
(18.112)
Die Funktion
besitzt im Punkt
die Tangentialebene
(18.113)
Die Hyperebene
trennt den Punkt
. Daher wird als weitere Restriktion für das
von den Punkten
-te lineare Programm
mit
gesetzt.
Jeder Häufungspunkt
der Folge
ist ein Minimalpunkt des Ausgangsproblems.
In der praktischen Rechnung zeigt das Verfahren eine geringe Konvergenzgeschwindigkeit. Außerdem steigt die
Restriktionszahl ständig an.
Verfahren der konjugierten Gradienten
Zwei Vektoren
heißen konjugierte Vektoren bezüglich einer symmetrischen, positiv definiten Matrix
, wenn
gilt
(18.80)
Sind
paarweise konjugierte Vektoren bezüglich einer Matrix
, in
Problem
gebildet wird, wobei
Folge
Annahme, daß
in der Nähe des Minimalpunktes
, dann ist das konvexe quadratische
Schritten lösbar, wenn ausgehend von einem beliebigen
als optimale Schrittweite in Abstiegsrichtung gewählt wird. Unter der
annähernd quadratisch ist, d.h.
quadratische Zielfunktionen resultierende Verfahren auch auf allgemeinere Funktionen
dabei explizit die Matrix
die
benutzt wird.
Das Verfahren der konjugierten Gradienten besteht aus folgenden Schritten:
, kann das für
angewendet werden, ohne daß
(18.81)
wobei
eine geeignete Ausgangsnäherung für
ist.
(18.82a)
(18.82b)
(18.82c)
c) Wiederholung des Schrittes b) mit
und
an Stelle von
und
.
Konvexe Optimierung
●
Konvexe Aufgabe
Konvexität
Die Funktion
ist genau dann konvex (streng konvex), wenn die Matrix
positiv semidefinit (positiv definit)
ist. Alle Aussagen über konvexe Optimierungsprobleme können für quadratische Aufgaben mit positiv semidefiniter
Matrix
übertragen werden, insbesondere ist die SLATER-Bedingung immer erfüllt, und deshalb ist für die
Optimalität eines Punktes
notwendig und hinreichend, daß ein Punkt
entsprechende System der lokalen KUHN- TUCKER-Bedingungen erfüllt.
existiert, der das
Optimalitätsbedingungen
●
●
●
●
●
●
●
Spezielle Richtungen
Notwendige Optimalitätsbedingung
Lagrange-Funktion und Sattelpunkt
Globale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Hinreichende Optimalitätsbedingung
Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Notwendige Optimalitätsbedingung und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Hinreichende Optimalitätsbedingung
Ist
Sind die Funktionen
ein Sattelpunkt von
und
, dann ist
ein globaler Minimalpunkt von (18.31a,b).
differenzierbar, dann können lokale Optimalitätsbedingungen abgeleitet werden.
Notwendige Optimalitätsbedingung
Ist
differenzierbar und
ein lokaler Minimalpunkt, dann gilt
(18.36a)
Insbsondere gilt
(18.36b)
falls
im Innern von
liegt.
Notwendige Optimalitätsbedingung und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ist
ein lokaler Minimalpunkt von (18.31a,b) und erfüllt der zulässige Bereich in
Regularitätsbedingung
KUHN- TUCKER-Bedingungen.
die
, dann genügt
den lokalen
Quadratische Optimierung
●
●
●
●
Aufgabenstellung
Lagrange-Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Konvexität
Duales Problem
Schnittebenenverfahren
●
●
Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Verfahren von Kelley
Strafverfahren
Das Problem
(18.96)
wird durch die Folge unrestringierter Minimumaufgaben
(18.97)
ersetzt. Dabei ist
ein positiver Parameter. Für
gilt
(18.98)
d.h., das Verlassen des zulässigen Bereiches
wird mit einer gegen
wird mit einer ,,Strafe``
wachsenden Folge von Strafparametern
geahndet. Das Problem (18.97)
gelöst. Es gilt
(18.99)
Ist
die Lösung des
-ten Strafproblems, dann gilt:
(18.100)
und jeder Häufungspunkt
der Folge
ist eine Lösung von (18.96). Ist es ein
, so löst
das
Ausgangsproblem.
Als Realisierungen für
sind z.B. geeignet:
(18.101a)
(18.101b)
Sind die Funktionen
und
Differenzierbarkeit der Straffunktion
differenzierbar, so erreicht man im Falle
auch auf dem Rand von
, so daß analytische Hilfsmittel zur Lösung des Hilfsproblems (18.97)
herangezogen werden können.
Die Abbildung zeigt eine Veranschaulichung des Strafverfahrens.
Beispiel
.
Die notwendige Optimalitätsbedingung lautet:
.
Der Gradient von
wird hier nur bezüglich
Die Gleichung
gebildet. Durch Subtraktion beider Gleichungen folgt
besitzt die eindeutige Lösung
.
Durch den Grenzübergang
ergibt sich als Lösung
.
Verfahren des Goldenen Schnittes und Fibonacci-Verfahren
Das Intervall
enthält. Im Intervall
wird schrittweise so verkleinert, daß das jeweils neue Teilintervall den Minimalpunkt
werden die Punkte
(18.67a)
(18.67b)
ermittelt. Das entspricht einer Teilung nach dem Goldenen Schnitt.
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
(18.68a)
(18.68b)
Ist
Werte
Intervalls
, dann wird das Verfahren mit dem Intervall
(Fall a)) bzw.
wiederholt, wobei aber nunmehr einer der
(Fall b)) aus dem ersten Schritt verwendet werden kann. Zur Berechnung eines
, in dem der Minimalpunkt
liegt, sind somit insgesamt
Funktionswertberechnungen
erforderlich. Aus der Forderung
(18.69)
kann eine Abschätzung der notwendigen Schrittzahl
gewonnen werden.
Mit dem Verfahren des Goldenen Schnittes wird höchstens eine Funktionswertberechnung mehr benötigt als mit dem
FIBONACCI-Verfahren . An Stelle einer Intervallunterteilung gemäß dem Goldenen Schnitt erfolgt hier eine
Unterteilung mit Hilfe der FIBONACCI-Zahlen.
Verfahren von Hildreth-d'Esopo
●
●
Prinzip
Iterationslösung
Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben
●
●
Verfahren von Wolfe
Verfahren von Hildreth-d'Esopo
Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum
Die Suche nach einer Näherung für einen Minimalpunkt
des Problems
, kann auf die
Lösung einer Folge eindimensionaler Optimierungsprobleme zurückgeführt werden.
(18.70a)
die eindimensionalen Probleme
b) Man löst für
(18.70b)
Ist
ein Minimalpunkt bzw. eine Näherung des
-ten Problems, dann setzt man
.
c) Unterscheiden sich zwei aufeinander folgende Näherungen hinreichend wenig, d.h. gilt für die Norm
(18.70c)
dann ist
eine Näherung für
. Anderenfalls geht man mit
an Stelle von
zu Schritt b über. Die
eindimensionalen Probleme im Schritt b) können unter anderem auch mit den unter Eindimensionale Suche beschriebenen
Suchverfahren gelöst werden.
Numerische Suchverfahren
Suchverfahren ermöglichen für eine Reihe von Optimierungsproblemen, mit geringem Rechenaufwand akzeptable
Näherungslösungen zu ermitteln. Sie beruhen prinzipiell auf dem Vergleich von Funktionswerten.
●
●
Eindimensionale Suche
Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum
Verfahren von Wolfe
●
Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Zuordnung
Jeder linearen Optimierungsaufgabe (primales Problem) läßt sich umkehrbar eindeutig ein zweites
Optimierungsproblem (duales Problem) zuordnen:
Primales Problem:
(18.19a)
(18.19b)
Duales Problem:
(18.20a)
(18.20b)
Die Koeffizienten der Zielfunktion des einen Problems bilden die rechte Seite der Nebenbedingungen des anderen
Problems. Jeder freien Variablen entspricht eine Gleichungs- und jeder vorzeichenbeschränkten Variablen eine
Ungleichungsbedingung des jeweiligen anderen Problems.
Ermittlung der Normalform
Ist eine Ecke von
bekannt, dann kann eine Normalform des linearen Optimierungsproblems wie folgt ermittelt
werden. Man wählt eine zur Ecke gehörende Basis aus Spalten von A. Die Basisvariablen werden zum Vektor
und die Nichtbasisvariablen zum Vektor
Basismatrix A
zusammengefaßt. Die zur Basis gehörenden Spalten bilden die
, die restlichen Spalten die Matrix A
. Dann gilt
(18.9)
Die Matrix A
ist regulär und besitzt die Inverse A
, die sogenannte Basisinverse . Multiplikation von (18.9) mit A
und Umstellung der Zielfunktion nach den Nichbasisvariablen liefert eine kanonische Form des Linearen
Optimierungsproblems:
(18.10a)
(18.10b)
Beispiel
Im obigen Beispiel ist
eine Ecke. Somit ist:
(18.11a)
und
(18.11b)
Es ergibt sich das System
(18.12)
Aus
erhält man durch Subtraktion der mit 3 multiplizierten ersten Nebenbedingung
eine auf Nichtbasisvariablen umgerechnete Zielfunktion
(18.13)
Normalform und Basislösung
Die lineare Optimierungsaufgabe kann immer, eventuell durch Umbenennung der Variablen, folgendermaßen
umgeformt werden:
(18.8a)
(18.8b)
Die letzten
Spalten der Koeffizientenmatrix sind offensichtlich linear unabhängig und bilden eine Basis. Die
Basislösung
Gleichungssystem abgelesen werden. Ist
kann sofort aus dem
, dann heißt (18.8a,b) eine Normalform oder kanonische Form des
linearen Optimierungsproblems . In diesem Falle ist die Basislösung zulässig, d.h., sie ist
Ecke von
. In der Normalform bezeichnet man die Variablen
als Nichtbasisvariable und
als Basisvariable . Der zur Ecke gehörende Zielfunktionswert ist
auftretenden
-Komponenten, die Nichtbasisvariablen, verschwinden.
, und somit eine
, da die in der Zielfunktion
Normalform der linearen Optimierungsaufgabe
●
●
Normalform und Basislösung
Ermittlung der Normalform
Spezielle lineare Optimierungsprobleme
●
●
●
●
●
Transportproblem
Zuordnungsproblem
Verteilungsproblem
Rundreiseproblem
Reihenfolgeproblem
Allgemeine Form
Ein lineares Optimierungsproblem besitzt die folgende allgemeine Form:
(18.1a)
(18.1b)
Abgekürzte Schreibweise: Die abgekürzte Schreibweise wird Kurzform genannt:
(18.2a)
(18.2b)
Dabei bedeuten:
Vorzeichenfestlegung: Nebenbedingungen mit ,,
``-Zeichen werden durch Multiplikation mit
auf die
obige Form gebracht.
Minimumaufgabe: Eine Minimumaufgabe
wird in die äquivalente Maximumaufgabe
überführt:
(18.3)
Ganzzahligkeitsforderungen: Mitunter werden an einige Variable zusätzlich Ganzzahligkeitsforderungen
gestellt. Auf derartige diskrete Probleme soll hier nicht näher eingegangen werden.
Zulässiger Bereich
Die Menge aller nichtnegativen Vektoren
Bereich
, die allen Nebenbedingungen genügen, bilden den zulässigen
:
(18.6a)
Ein Punkt
mit der Eigenschaft
(18.6b)
heißt Maximalpunkt oder Lösungspunkt des linearen Optimierungsproblems.
Ermittlung einer zulässigen Basislösung
Mit der ,,Nordwestecken-Regel `` kann immer eine erste zulässige Basislösung (Ecke) ermittelt werden:
(18.26a)
(18.26b)
(18.26c)
(18.26d)
Liegen nur noch eine Zeile, aber mehrere Spalten vor, dann ist eine Spalte zu streichen und umgekehrt.
c) Ersetze
durch
und
durch
und wiederhole den Vorgang mit dem reduzierten Schema.
Alle bei diesem Verfahren besetzten Variablen sind Basisvariable, alle anderen sind Nichtbasisvariable und erhalten den Wert
0.
Beispiel
Ermittlung einer ersten Ecke mit der Nordwestecken-Regel:
Hinweis: Verfahren zur Aufstellung eines ersten Verteilungsplanes, die auch die anfallenden Transportkosten berücksichtigen
(z.B. VOGELsche Approximationsmethode, s. Lit. 18.15), liefern im allgemeinen bessere Erstlösungen.
Lösung des Transportproblems mit der Potentialmethode
Die Basisvariablen werden iterativ gegen die Nichtbasisvariablen ausgetauscht, um so jeweils eine zugehörige
modifizierte Kostenmatrix zu berechnen. Der Rechengang wird am Beispiel erläutert.
a)
Ermittlung der modifizierten Kostenmatrix
aus C mittels
(18.27a)
unter den Bedingungen
(18.27b)
Dazu werden in C die zu Basisvariablen gehörenden Kosten markiert und
und
, auch Potentiale bzw. Simplexmultiplikatoren genannt, werden so errechnet, daß zu markierten Kosten
gehörende
Beispiel
gesetzt. Die weiteren Größen
und
zusammen mit den Kosten
die Summe 0 ergeben:
(18.27c)
b)
Berechnung von:
(18.27d)
Ist
, dann ist der gegebene Verteilungsplan X optimal; anderenfalls wird
als neue Variable gewählt. Im
.
Beispiel ist
c)
In
werden
und die zu Basisvariablen gehörenden Kosten markiert. Enthält
eine Zeile oder Spalte
mit maximal einem markierten Element, dann wird diese Spalte oder Zeile gestrichen. Mit der verbleibenden
Restmatrix wird dieser Vorgang wiederholt, bis keine Streichungen mehr möglich sind.
(18.27e)
d)
Die zu verbleibenden markierten Elementen
. Alle weiteren zu markierten
Nebenbedingungen erfüllt bleiben. Die Größe
gehörenden
bilden einen Zyklus. Man setzt zunächst
gehörenden
werden so bestimmt, daß die
errechnet sich aus
(18.27f)
wobei
Nichtbasisvariable wird. Im Beispiel ist
.
(18.27g)
Danach wird das Verfahren ab Schritt 1 und
wiederholt.
(18.27h)
(18.27i)
Die nächste zu bestimmende Matrix
Verteilungsplan.
enthält keine negativen Elemente. Deshalb ist
ein optimaler
Formulierung mit vorzeichenbeschränkten Variablen und Schlupfvariablen
Für die Herleitung eines Lösungsverfahrens ist es günstig, das System der Nebenbedingungen (18.1b; 18.2b) als
Gleichungssystem mit vorzeichenbeschränkten Variablen zu schreiben. Dazu wird jede freie Variable
Differenz von jeweils zwei nichtnegativen Variablen
durch die
ersetzt. Die Ungleichungsbedingungen
werden durch Addition einer nichtnegativen Variablen, der Schlupfvariablen , in Gleichungen überführt. Damit nimmt
das lineare Optimierungsproblem die folgende Form an:
Die Kurzform lautet:
(18.4a)
(18.4b)
(18.5a)
(18.5b)
Es kann vorausgesetzt werden, daß
widersprüchliche Gleichungen enthält.
, da anderenfalls das Gleichungssystem linear abhängige bzw.
Minimalpunkte
Ein Punkt
heißt globaler Minimalpunkt , wenn
Beziehung nur für zulässige Punkte
aus einer Umgebung
für alle
von
gilt. Ist diese
erfüllt, dann ist
ein lokaler
Minimalpunkt . Aus den Kriterien für die Minimalpunkte ergeben sich die Optimalitätsbedingungen.
Da die Gleichungsrestriktionen
durch die zwei Ungleichungen
(18.33)
beschrieben werden können, kann im folgenden von einer leeren Menge
ausgegangen werden.
Nichtlineares Optimierungsproblem
Unter einem nichtlinearen Optimierungsproblem werden Aufgaben der Grundform
(18.31a)
(18.31b)
verstanden, wenn mindestens eine der Funktionen
,
,
nicht linear ist. Die Menge
aller zulässigen
Punkte wird beschrieben durch
(18.32)
Die Aufgabe besteht in der Bestimmung von Minimalpunkten.
Typen dynamischer Systeme, Orbits
Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt zur Beschreibung der Zeitentwicklung physikalischer,
biologischer und anderer real existierender Systeme. Es wird definiert durch einen Phasenraum
oft der
, der im weiteren
, eine Teilmenge davon oder ein metrischer Raum ist, und eine einparametrige Familie von Abbildungen
, wobei der Parameter
( Zeit ) aus
( zeitkontinuierlich ) oder
bzw.
( zeitdiskret ) ist.
muß dabei
Für beliebiges
a)
und
b)
für alle
Im weiteren wird die Zeitmenge mit
gelten. Die Abbildung
bezeichnet. Dabei kann
wird kurz als
geschrieben.
oder
sein. Ist
, so nennt man das dynamische System auch Fluß ; ist
und
diskretes dynamisches System vor. Da bei
auch die inverse Abbildung
oder
, liegt ein
wegen a) und b) für jedes
neben
existiert, spricht man hier von invertierbaren dynamischen Systemen.
Ist das dynamische System nicht invertierbar, dann versteht man für eine beliebige Menge
unter
das Urbild von
bezüglich
, d.h. die Menge
. Ist für jedes
Für beliebiges festes
Systems mit Anfang
Trajektorie ) durch
die Abbildung
stetig bzw.
), so heißt das dynamische System stetig bzw.
stetig differenzierbar (dabei sei
definiert die Abbildung
zur Zeit
, d.h.
und beliebiges
- glatt .
eine Bewegung des dynamischen
. Das Bild
einer Bewegung mit Anfang
ist der Orbit (oder die
. Analog wird der positive Semiorbit durch
und, falls
-mal
oder
ist, der negative Semiorbit durch
als
als
definiert.
Der Orbit
heißt Ruhelage , wenn
für alle
heißt Periode .
und
ist, und T-periodisch , wenn ein
existiert, so daß
die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Die Zahl
Homokline und heterokline Orbits
Es seien
und
und
zwei hyperbolische Ruhelagen oder periodische Orbits von (17.1). Die Separatrixflächen
können sich schneiden. Der Schnitt besteht dann aus ganzen Orbits. Für zwei Ruhelagen
oder periodische Orbits heißt jeder Orbit
Abbildung), und homoklin , falls
(s. rechte Abbildung).
heteroklin , falls
ist (s. linke
. Homokline Orbits von Ruhelagen heißen auch Separatrixschleifen
Beispiel
Das LORENZ-System (17.2) wird bei festen Parametern
betrachtet. Die Ruhelage
von (17.2) ist für
zweidimensionale stabile Mannigfaltigkeit
charakterisiert wird. Bei
ein Sattel, der durch eine
und eine eindimensionale instabile Mannigfaltigkeit
bilden sich in
beiden Äste der instabilen Mannigfaltigkeit kehren für
Ursprung zurück (s. Lit. 17.4, 17.14).
und veränderlichem
zwei Separatrixschleifen, d.h., die
über die stabile Mannigfaltigkeit in den
Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines
Sattelknotens
Beispiel
Das parameterabhängige System
hat in Polarkoordinaten
die Form
(17.73)
Offenbar ist bei beliebigem Parameter
Ruhelage
) streben für
auf dem Kreis, die bei
der Kreis
invariant unter (17.73), und alle Orbits (außer der
zu diesem Kreis. Für
liegen ein Sattel und ein stabiler Knoten
zu einer zusammengesetzten Ruhelage vom Sattelknoten-Typ verschmelzen. Für
liegt keine Ruhelage mehr auf der Kreislinie, die dann einen periodischen Orbit repräsentiert (s. Abbildung).
Klassifizierung periodischer Orbits
Hat der periodische Orbit
Einheitskreis, so heißt
von (17.1) außer
keinen weiteren Multiplikator auf dem komplexen
hyperbolisch . Der hyperbolische periodische Orbit heißt vom Typ
Multiplikatoren innerhalb und
Multiplikatoren außerhalb des Einheitskreises liegen. Ist
, so heißt der periodische Orbit vom Typ
und
sattelartig .
Nach einem Satz von ANDRONOV und WITT ist ein hyperbolischer periodischer Orbit
asymptotisch stabil. Hyperbolische periodische Orbits vom Typ
Beispiel A
, wenn
von (17.1) vom Typ
mit
sind instabil.
Ein periodischer Orbit
in der Ebene mit den Multiplikatoren
ist asymptotisch stabil, wenn
Liegt außer
, d.h. wenn
und
ist.
noch ein weiterer Multiplikator auf dem komplexen Einheitskreis, so ist der Satz von
ANDRONOV-WITT nicht anwendbar. Zur Stabilitätsanalyse des periodischen Orbits reichen die Informationen über die
Multiplikatoren nicht aus.
Beispiel B
mit der
Als Beispiel sei das ebene System
glatten Funktion
und
gegeben, die zusätzlich den Eigenschaften
für alle
, genügt. Offenbar ist
eine
-periodische Lösung des betrachteten Systems und
die FLOQUET-Darstellung der Fundamentalmatrix. Aus ihr erkennt man, daß
ist. Die
Verwendung von Polarkoordinaten führt zum System
sofort, daß der periodische Orbit
asymptotisch stabil ist.
. Aus dieser Darstellung folgt
Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits
Gegeben sei das System (17.53) mit
periodischen Orbit
und
. Das System (17.53) habe bei
mit den Multiplikatoren
den
und
.
Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen werden Bifurkationen in der POINCARÉ-Abbildung
(17.64) durch die eindimensionale reduzierte Abbildung (17.66) mit
und
beschrieben. Wird dabei
vorausgesetzt, so führt dies auf die Normalformen
(17.67)
(bei
bzw.
(bei
nahe
und die zugehörigen Phasenporträts sind für verschiedene
sehen (s. Lit. 17.1).
. Die Iterationsverläufe von (17.67)
in den folgenden beiden Abbildungen zu
Für
liegen eine stabile und eine instabile Ruhelage nahe
verschmelzen. Für
Ruhelage
vor, die für
existiert keine Ruhelage nahe
in der instabilen
. Die durch (17.67)
beschriebene Bifurkation in (17.66) heißt subkritische Sattelknoten-Bifurkation für Abbildungen.
Für die Differentialgleichung (17.53) beschreiben die Eigenschaften der Abbildung (17.67) die Bifurkation eines
zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits: Bei
Orbit
und ein instabiler periodischer Orbit
der sich bei
auflöst (s. Abbildung).
, die bei
existieren ein stabiler periodischer
zu einem semistabilen Orbit
verschmelzen,
Wavelets
Der FOURIER-Transformation fehlt eine Lokalisierungseigenschaft, d.h. ändert sich ein Signal an einer Stelle, dann
ändert sich die Transformierte überall, ohne daß durch ,,einfaches Hinsehen`` die Stelle der Änderung gefunden
werden kann. Der Grund liegt darin, daß die FOURIER-Transformation ein Signal in ebene Wellen zerlegt. Diese
werden durch trigonometrische Funktionen beschrieben, die beliebig lange mit der derselben Periode schwingen. Bei
der Wavelet-Transformation dagegen wird eine fast beliebig wählbare Funktion
Welle), zur Analyse eines Signals verschoben und gestaucht.
Beispiele für Wavelets sind:
Beispiel A
HAAR-Wavelet (s. die folgende Abbildung):
, das Wavelet (kleine lokalisierte
(15.144)
Beispiel B
Mexikanischer Hut (s. die folgende Abbildung).
(15.145)
Allgemein gilt: Als Wavelet kommem alle Funktionen
FOURIER-Transformierte
in Frage, die quadratisch integrierbar sind und deren
gemäß (15.143a) zu einem positiven endlichen Integral
(15.146)
führen. Im Zusammenhang mit Wavelets sind die folgenden Eigenschaften und Definitionen wichtig:
Mittelwert
Für den Mittelwert von Wavelets gilt:
(15.147)
Moment
Als
-tes Moment eines Wavelets
bezeichnet man das Integral
(15.148)
Die kleinste positive natürliche Zahl
, für die
gilt, heißt Ordnung des Wavelets
.
Beispiel
Für das HAAR-Wavelet (15.144) gilt
, für den mexikanischen Hut (15.145)
.
Ordnung
Falls
für alle
endliche Ordnung.
Ortogonalität
gilt, ist
von unendlicher Ordnung. Wavelets mit beschränktem Träger haben stets eine
Ein Wavelet der Ordnung
●
Mittelwert
ist orthogonal zu allen Polynomen vom Grade
.
Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar
Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar mit der Gleichung (3.461) können eine oder
mehrere Kurven sein. Sie bestehen entweder aus den Punkten der größten Annäherung bzw. aus den Grenzpunkten
der Schar, oder sie bilden die Einhüllende (Enveloppe) der Schar (linke Abbildung), d.h. eine Kurve, die jede Kurve
der Schar berührt (zweite Abbildung von links). Auch Kombinationen beider Arten sind möglich (zwei rechte
Abbildungen).
Bogenlänge
Verläuft die Orthodrome durch die Punkte
Abstand
und
, dann berechnet man den sphärischen
oder die Bogenlänge zwischen den beiden Punkten mit dem Seitenkosinussatz:
(3.214a)
Unter Berücksichtigung des Erdradius
läßt sich dieser Mittelpunktwinkel in eine Länge umrechnen:
(3.214b)
Nordpolnächster Punkt und Äquatorschnittpunkte
Nordpolnächster Punkt: Die Koordinaten des nordpolnächsten Punktes
mit dem Kurswinkel
durch den Punkt
einer Orthodrome
ergeben sich
unter Berücksichtigung seiner relativen Lage zu
sowie des Vorzeichens von
nach der NEPERschen
Regel gemäß Abbildung als:
(3.212a)
und
(3.212b)
Äquatorschnittpunkte: Die Äquatorschnittpunkte
und
ergeben sich gemäß (3.210) wegen
der Orthodrome
zu:
(3.213)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
Gleichung der Orthodrome
Bewegungen auf Orthodromen - die Meridiane und der Äquator ausgenommen - sind mit der Notwendigkeit einer
ständigen Kursänderung verbunden. Solche Orthodromen mit ortsabhängigen Kurswinkeln
unter Zuhilfenahme ihres nordpolnächsten Punktes
können eindeutig
beschrieben werden, wobei
ist.
Im nordpolnächsten Punkt hat die Orthodrome den Kurswinkel
und den laufenden Punkt
dessen relative Lage zu
Die Gleichung der Orthodrome durch
beliebig ist, ergibt sich nach der
NEPERschen Regel gemäß als:
(3.210)
Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Für die Schnittpunkte
und
einer Orthodrome mit dem Breitenkreis
ergibt sich gemäß (3.210):
(3.216)
Nach der NEPERschen Regel gilt für die beiden Schnittwinkel
dem nordpolnächsten Punkt
den Breitenkreis
und
unter denen eine Orthodrome mit
schneidet:
(3.217)
Für den minimalen Kurswinkel
extremal sein. Man erhält:
Betrag des Kurswinkels minimal:
muß das Argument in der Arkussinusfunktion hinsichtlich der Variablen
d.h., in den Schnittpunkten mit dem Äquator ist der
(3.218)
Hinweis 1: Lösungen von (3.216) ergeben sich nur für
Hinweis 2: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
Schnittpunkt mit einem Meridian
Für den Schnittpunkt
einer Orthodrome mit dem Meridian
ergibt sich gemäß (3.210):
(3.219)
Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems
1. Anzahl der Eigenwerte: Die Matrix A hat genau
reelle Eigenwerte
die
entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen sind.
2. Orthogonalität der Eigenvektoren: Die zu verschiedenen Eigenwerten
Eigenvektoren
und
gehörenden
sind orthogonal, d.h., es gilt
(4.126)
3. Matrix mit
existieren
-fachem Eigenwert: Zu einem
-fachen Eigenwert
linear unabhängige Eigenvektoren
nichttrivialen Linearkombinationen Eigenvektoren zu
Wegen (4.124) sind auch alle
. Davon können
mit Hilfe des GRAM-SCHMIDTschen
Orthogonalisierungsverfahrens ausgewählt werden, die orthogonal sind. Insgesamt gilt: Die Matrix A besitzt
genau
reelle orthogonale Eigenvektoren.
Beispiel
und
Die Eigenwerte sind
Aus dem zugehörigen homogenen Gleichungssystem erhält man
beliebig,
Man wählt
und
Man erhält
und
beliebig,
und
und
erhält die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren
wobei
beliebig,
beliebige Konstanten sind.
wählt z.B.
und erhält den
Eigenvektor
wobei
eine beliebige Konstante ist. Die Matrix A ist
symmetrisch, die zu den verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind orthogonal.
Orthonormalsystem
Zwei quadratisch integrierbare Funktionen
mit
werden als orthogonal bezeichnet, falls
gilt
(11.44a)
Ein Funktionensystem
im Raum
wird als Orthonormalsystem bezeichnet, wenn die
Beziehungen
(11.44b)
erfüllt sind. Ein Orthonormalsystem ist überdies vollständig , wenn in
keine Funktion
existiert,
die zu allen Funktionen dieses Orthonormalsystems orthogonal ist. Ein vollständiges Orthonormalsystem besteht aus
abzählbar vielen Funktionen, die eine Basis des Raumes
ein Orthonormalsystem
bilden. Um aus einem Funktionensystem
zu ermitteln, kann das GRAM-SCHMIDTsche
Orthogonalisierungsverfahren verwendet werden. Es bestimmt sukzessive für
die Koeffizienten
derart, daß
(11.44c)
normiert und zu allen Funktionen
orthogonal ist.
Komplexe Nullstellen
Zur Eingrenzung des Bereichs, der in der komplexen Zahlenebene für die reellen oder komplexen Nullstellen in
Frage kommt, geht man von der Polynomgleichung (19.11) zu der Gleichung
(19.20)
über und bestimmt z.B. durch systematisches Probieren eine obere Schranke
(19.20). Es gilt dann für alle Nullstellen
für die positiven Nullstellen von
von (19.11):
(19.21)
Beispiel
,
. Man erhält für
. Tatsächlich gilt für die betragsgrößte Nullstelle
Daraus folgt
.
Hinweis: Für die Bestimmung der Anzahl der komplexen Nullstellen mit negativem Realteil sind z.B. in der
Elektrotechnik in der sogenannten Ortskurventheorie spezielle Verfahren entwickelt worden, die dort als
Stabilitätskriterien bezeichnet werden (s. Lit. 19.11, 19.38).
Parabel
●
●
●
●
●
●
●
●
Elemente der Parabel
Gleichung der Parabel
Haupteigenschaft der Parabel
Durchmesser der Parabel
Tangente an die Parabel
Krümmungskreisradius der Parabel
Flächeninhalte in der Parabel
Länge des Parabelbogens
Parabel n-ter Ordnung
Die Funktion
(2.45)
mit
ganzzahlig, liefert als Kurve eine Parabel
Spezialfall
: Die Kurve
-ter Ordnung .
geht durch die Punkte (0,0) und (1,1) und berührt oder schneidet die
-Achse im Koordinatenursprung. Für gerades
ergibt sich eine zur
-Achse symmetrische Kurve mit
ergibt sich eine zentralsymmetrische Kurve zum
einem Minimum im Koordinatenursprung. Für ungerades
Koordinatenursprung, der zugleich Wendepunkt ist. Asymptoten gibt es keine.
Allgemeiner Fall
: Man erhält die Kurve
Streckung der Abszissen mit dem Faktor
. Für
aus der zu
spiegelt man
gehörenden Kurve durch
an der
-Achse.
Paraboloide
Da Paraboloide keinen Mittelpunkt besitzen, wird in den folgenden Gleichungen davon ausgegangen, daß der
Scheitel des Paraboloids im Koordinatenursprung liegt, die
die
-Achse zur Symmetrieachse wird und die
- sowie
-Ebenen Symmetrieebenen sind.
1. Elliptisches Paraboloid:
(3.412)
Ebenenschnitte parallel zur
-Achse liefern als Schnittfiguren Parabeln, parallel zur
2. Rotationsparaboloid: Für
Parabel mit
-Ebene Ellipsen.
erhält man ein Rotationsparaboloid, das man sich durch Rotation einer
um ihre in der
-Ebene liegende Achse entstanden denken kann.
Der Rauminhalt eines Paraboloidschale, die von einer Ebene senkrecht zur
abgeschnitten wird, ist
-Achse in der Höhe
(3.413)
d.h., halb so groß wie der Rauminhalt des elliptischen Zylinders mit der gleichen Deckfläche und Höhe.
3. Hyperbolisches Paraboloid:
(3.414)
Schnitte parallel zur
parallel zur
-Ebene und zur
-Ebene liefern kongruente Parabeln als Schnittfiguren, Schnitte
-Ebene Hyperbeln sowie ein Paar einander schneidender Geraden.
Tangente an die Parabel
Die Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt
lautet
(3.345)
Tangente und Normale der Parabel sind Winkelhalbierende für die Winkel zwischen dem vom Brennpunkt
ausgehenden Radiusvektor und dem Durchmesser des Berührungspunktes. Die Strecke auf der Parabeltangente
zwischen dem Berührungspunkt und dem Schnittpunkt mit der Parabelachse auf der
Tangente im Parabelscheitel, d.h. durch die
-Achse wird durch die
-Achse halbiert:
(3.346)
Eine Gerade mit der Gleichung
ist eine Tangente an die Parabel, wenn gilt:
(3.347)
Parallelepiped
Parallelepiped werden Prismen mit Parallelogrammen als Grundfläche genannt.
In einem Parallelepiped schneiden sich alle vier Raumdiagonalen in einem Punkt und halbieren einander.
Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften
Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man in einem Prä- HILBERT-Raum durch die Festlegung
(12.106)
eine Norm erzeugen. Ein normierter Raum
heißt unitär , wenn man in ihm ein Skalarprodukt
einführen kann, das mit der Norm durch (12.106) verknüpft ist. Im unitären Raum gelten aufgrund des
Vorhandenseins des Skalarprodukts und der Verknüpfung (12.106) die folgenden bemerkenswerten Eigenschaften:
1. Dreiecksungleichung:
(12.107)
2. CAUCHY- SCHWARZsche oder SCHWARZ-BUNJAKOWSKIsche Ungleichung:
(12.108a)
3. Parallelogrammgleichung: In der Klasse aller normierten Räume charakterisiert sie die unitären Räume.
(12.108b)
4. Stetigkeit des Skalarprodukts:
(12.108c)
Partialbruchzerlegung, allgemeiner Fall
Jeder echte Bruch, bei dem Zählerpolynom und Nennerpolynom teilerfremd sind,
(1.48)
kann eindeutig in eine Summe von Partialbrüchen zerlegt werden. In dieser Gleichung sind die Koeffizienten
beliebige reelle Zahlen; der Koeffizient der höchsten Potenz im Nenner, also
wird auf den Wert 1 gebracht, indem Zähler und Nenner des Bruches durch den ursprünglichen Koeffizienten
dieses Gliedes dividiert werden. Die Partialbrüche haben die Form
(1.49a)
(1.49b)
mit
(1.49c)
Bei Beschränkung auf reelle Zahlen sind folgende vier Fälle 1, 2, 3 und 4 möglich. Fällt diese Beschränkung weg,
dann treten nur zwei Fälle auf, da die Fälle 1 und 3 sowie 2 und 4 zusammenfallen. So betrachtet kann jeder Bruch
in Brüche der Form (1.49a) zerlegt werden, wobei
Differentialgleichungen wird davon Gebrauch gemacht.
und
komplexe Zahlen sind. Bei der Lösung linearer
Einige Fälle der Partialbruchzerlegung, Nr. 105 bis 108
Unendliche Reihe und ihre Summe
Aus den Gliedern
einer unendlichen Zahlenfolge
kann formal der Ausdruck
(7.12)
gebildet werden, der eine unendliche Reihe genannt wird. Die Summen
(7.13)
nennt man Partialsummen .
Winkel im Kreis
(3.44)
(3.45)
(3.46)
(3.47)
(3.48)
(3.49)
Binäre Relationen
1. Begriff der binären Relation in einer Menge: Besondere Bedeutung haben zweistellige (binäre)
Im Falle binärer Relationen ist auch die Schreibweise
Relationen in einer Menge, d.h
statt
üblich.
Beispiel
Als Beispiel werde in der Menge
die Teilbarkeitsbeziehung betrachtet, d.h. die
binäre Relation
(5.67)
2. Pfeildiagramme: Endliche binäre Relationen
in einer Menge
Relationsmatrizen dargestellt. Die Elemente von
werden als Punkte in der Ebene dargestellt, und genau
dann wird ein Pfeil von
Relation
gezeigt.
nach
gezeichnet, wenn
werden durch Pfeildiagramme oder
gilt. In der Abbildung ist das Pfeildiagramm der
3. Relationsmatrix: Die Elemente von
Am Schnittpunkt der Zeile zu
werden als Zeilen- und Spalteneingänge einer Matrix verwendet.
mit der Spalte zu
notiert. Die folgende Tabelle gibt die Relationsmatrix für
wird eine 1, falls
wieder:
gilt, ansonsten eine 0
Pharmazentralnummer
In Apotheken wird zur Kennzeichnung von Arzneimitteln ein ähnliches Nummernsystem mit Prüfziffer verwendet.
Jedes Medikament erhält eine 7-stellige Pharmazentralnummer :
(5.185a)
Die letzte Ziffer ist die Prüfziffer
die man als kleinste nichtnegative Zahl erhält, die die Kongruenz
(5.185b)
erfüllt. Auch bei diesem Prüfzifferverfahren werden die Verwechlung einer Ziffer und Drehfehler durch Vertauschung
zweier Ziffern stets aufgedeckt.
Phasenporträt
a)
Ist
eine Lösung von (17.1), so ist mit einer beliebigen Konstanten
die Funktion
ebenfalls
eine Lösung.
b)
Zwei beliebige Orbits von (17.1) haben keinen gemeinsamen Punkt oder stimmen überein. Der Phasenraum
von (17.1) zerfällt also in disjunkte Orbits. Die Zerlegung des Phasenraumes in disjunkte Orbits heißt
Phasenporträt .
c)
Jeder Orbit, verschieden von einer Ruhelage, ist eine reguläre glatte Kurve, die geschlossen oder nicht
geschlossen sein kann.
Austauschregeln
Das in dem linken Schema hervorgehobene Element
Pivotspalte und Pivotzeile . Die Elemente
und
wird Pivotelement genannt; es steht im Schnittpunkt von
des neuen rechten Schemas werden nach den folgenden Austauschregeln
bestimmt:
(4.106a)
(4.106b)
(4.106c)
(4.106d)
Zur Rechenerleichterung (4. Regel) werden die Elemente
dem Ausgangsschema als
hinzugefügt. Mit Hilfe dieser Austauschregeln können weitere Variable ausgetauscht werden.
-te Zeile (Kellerzeile)
Nichtentarteter Fall
Ist ein Tableau nicht entscheidbar (Fall c), dann wird ein neues Tableau bestimmt, indem eine Basisvariable
ausgewählt und gegen eine Nichtbasisvariable
ausgetauscht wird:
Schema 3
Dabei sind folgende Austauschregeln zu beachten:
(18.15a)
(18.15b)
(18.15c)
(18.15d)
Das Element
heißt Pivotelement , die
-te Zeile Pivotzeile und die
-te Spalte Pivotspalte . Bei der Auswahl
von Pivotzeile und Pivotspalte sind zwei Bedingungen zu berücksichtigen:
a)
Das neue Tableau muß zulässig sein, d.h., es muß gelten
.
b)
Es muß gelten
Dann ist
.
eine neue Ecke mit nicht kleinerem Zielfunktionswert
angegebenen Bedingungen werden mit der folgenden Wahl des Pivotelementes erfüllt:
a)
. Die
Wähle ein
mit
als Pivotspalte.
b)
Wähle die Pivotzeile
so, daß gilt:
(18.16)
Sind die Ecken des zulässigen Bereiches nicht entartet, dann bricht das Simplexverfahren nach einer endlichen
Anzahl von Simplexschritten mit einem entscheidbaren Tableau ab (Fall a) oder Fall b).
Beispiel
Die zum Beispiel unter Ecke und Basis gefundene Normalform kann direkt in ein Simplextableau übertragen
werden.
Schema 4a, b
Das Tableau ist nicht optimal, da in der letzten Zeile noch positive Koeffizienten der Zielfunktion auftreten.
Die dritte Spalte wird als Pivotspalte festgelegt (auch die zweite Spalte wäre denkbar). Mit allen positiven
Koeffizienten der Pivotspalte bildet man die Quotienten
. Die Quotienten wurden hinter der letzten
Spalte des Tableaus notiert. Der kleinste Quotient legt die Pivotzeile fest. Ist die Pivotzeile nicht eindeutig
zu bestimmen, dann ist die durch das neue Tableau bestimmte Ecke entartet. Mit den Austauschregeln
erhält man das rechte Tableau. Dieses Tableau bestimmt die Ecke
in der Abbildung entspricht.
, die dem Punkt
Da das neue Tableau nicht optimal ist, wird jetzt
Ecke des 3. Tableaus entspricht dem Punkt
gegen
getauscht (nächstes linkes Schema). Die
in der Abbildung. Nach einem weiteren Tausch erhält man
ein optimales Tableau (nächstes rechtes Schema) mit dem Maximalpunkt
der dem Punkt
mit dem maximalen Zielfunktionswert
,
entspricht.
Schema 4c, d
Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
Sei
glatte Hyperfläche, die in
Dann gibt es eine Umgebung
ein
den Orbit
von
-periodischer Orbit von (17.1) und
eine
-dimensionale
transversal schneidet (s. linke Abbildung).
und eine glatte Funktion
mit
und
für alle
POINCARÉ-Abbildung für
in
. Die Abbildung
. Ist die rechte Seite
mit
von (17.1)
heißt
-mal stetig differenzierbar, so ist
ebenfalls so oft differenzierbar. Die Eigenwerte der JACOBI-Matrix
sind die Multiplikatoren
des periodischen Orbits , hängen also nicht von der Wahl des
transversalen Fläche ab. Der POINCARÉ-Abbildung kann ein System (17.3) in
auf
und der Wahl der
zugeordnet werden, das
erklärt ist, solange die Bildpunkte in
bleiben. Den Ruhelagen dieses diskreten Systems entsprechen periodische
Orbits von (17.1), und der Stabilität dieser Ruhelagen entspricht die Stabilität der periodischen Orbits von (17.1).
Beispiel
Für das System (17.9a) wird in Polarkoordinaten die transversale Hyperebene
betrachtet. Für diese Ebene kann
gewählt werden. Offenbar ist
und
damit
wobei die Lösungsdarstellung von (17.9a) genutzt wurde. Es gilt weiter
.
und
Poincaré-Abbildung für nichtautonome zeitperiodische
Differentialgleichungen
Eine nichtautonome Differentialgleichung (17.11), deren rechte Seite
die
die Periode
besitzt, d.h., für
gilt, wird interpretiert als autonome Differentialgleichung
mit zylindrischem Phasenraum
Dann ist
bezüglich
eine transversale Ebene (s. Abbildung).
. Sei
beliebig.
Die POINCARé-Abbildung ist global als
die Lösung von (17.11) mit Anfang
über
zur Zeit
gegeben, wobei
ist.
Vergleich der RIEMANNschen und der GREENschen Methode
Beiden Methoden, der RIEMANNschen und der GREENschen, ist gemein, daß zuerst eine spezielle Lösung der
Differentialgleichung gesucht wird, mit deren Hilfe danach die Lösungen für beliebige Anfangs- und
Randbedingungen bestimmt werden. Der entscheidende Unterschied zwischen der RIEMANNschen und der
GREENschen Funktion besteht darin, daß die erste nur von der Gestalt der linken Seite der Differentialgleichung
abhängt, die zweite jedoch auch noch vom betrachteten Gebiet. Die Ermittlung der GREENschen Funktion ist sogar in
den Fällen, in denen ihre Existenz gesichert ist, ziemlich schwierig, so daß die GREENsche Methode vorwiegend zur
Untersuchung theoretischer Probleme eingesetzt wird.
Beispiel A
Konstruktion der GREENschen Funktion für das DIRICHLETsche Problem der LAPLACEschen
Differentialgleichung
(9.94a)
für den Fall, daß das betrachtete Gebiet ein Kreis ist (s. Abbildung).
Die GREENsche Funktion lautet
(9.94b)
wobei
und
gilt
und
der Radius des betrachteten Kreises ist. Die Punkte
liegen in bezug auf den Kreis symmetrisch, d.h., beide Punkte liegen auf demselben Radiusstrahl, und es
(9.94c)
Mit der angegebenen Formel (9.92e) zur Lösung des DIRICHLETschen Problems ergibt sich nach Einsetzen der
Normalenableitung der GREENschen Funktion und einigen Umformungen das POISSONsche Integral
(9.94d)
Die Bezeichnungen sind die gleichen wie oben. Mit
beschrieben. Für die Koordinaten des Punktes
werden die auf dem Kreisrand vorgegebenen Werte von
gilt:
.
Beispiel B
Konstruktion der GREENschen Funktion für das DIRICHLETsche Problem der
LAPLACEschen Differentialgleichung
(9.95a)
für den Fall, daß das betrachtete Gebiet eine Kugel mit dem Radius
ist. Die GREENsche Funktion hat die Form
(9.95b)
als Abstand des Punktes
mit
den Punkten
und
und
vom Kugelmittelpunkt,
als Abstand des Punktes
als Abstand zwischen
zum symmetrischen Punkt des
Punktes
gemäß (9.94c), d.h. zum Punkt
. Das POISSONsche Integral ergibt sich
bei Beibehaltung der Bezeichnungen von Beispiel A zu
(9.95c)
Poisson-Verteilung
Die Verteilung einer diskreten Zufallsveränderlichen
, bei der
(16.66)
ist, heißt POISSON-Verteilung mit den Parametern
. Es gilt
1. Erwartungswert und Streuung:
(16.67a)
(16.67b)
Eine Zufallsveränderliche
2. Sind
und
, bei der (16.67a,b) gilt, heißt POISSON-verteilt .
unabhängige, POISSON-verteilte Zufallsveränderliche mit den Parametern
, so ist auch
eine POISSON-verteilte Zufallsveränderliche mit dem Parameter
.
bzw.
3. Rekursionsformel:
(16.67c)
Die POISSON-Verteilung geht aus einer Folge von binomialverteilten Zufallsveränderlichen
durch den Grenzübergang
hervor, wenn man
bleibt. Für
mit
mit den Parametern
so variiert, daß
kann die Binomialverteilung mit im allgemeinen
ausreichender Genauigkeit durch die POISSON-Verteilung ersetzt werden, deren Auswertung einfacher ist.
Zahlenwerte für die POISSON-Verteilung enthält die Tabelle POISSON-Verteilung. In der folgenden Abbildung sind drei
POISSON-Verteilungen für
und
dargestellt. Die Parameter entsprechen den
Parametern der anschließend zum Vergleich dargestellten drei Binomialverteilungen und drei hypergeometrischen
Verteilung.
Z-Transformationen, Teil III
Nr. Originalfolge
22
23
24
Konvergenzbereich
25
26
27
28
29
30
31
Singuläre Punkte
Wenn eine Funktion
in der Umgebung eines Punktes
Innern eines beliebig kleinen Kreises mit dem Mittelpunkt
hinsichtlich der Singularität die folgenden Fälle möglich:
analytisch und beschränkt ist, d.h. im
, ausgenommen höchstens
selbst, dann sind
1.
Es gilt
, d.h., die Funktion
ist auch im Punkt
analytisch.
2.
Die Funktion
besitzt einen anderen Wert oder sie ist im Punkt
singulär. Man spricht aber von hebbarer Singulärität , weil die Funktion
im Punkt
nicht definiert, d.h., der Punkt
beim Einsetzen des Wertes
analytisch wird.
(S. auch die Analogie zur hebbaren Unstetigkeit einer Funktion einer reellen Veränderlichen).
3.
ist
Wenn die Funktion
in der Umgebung des Punktes
beschränkt ist, dann handelt es sich um einen singulären Punkt
zwar analytisch, aber nicht
.
4.
Gilt bei Annäherung von
Punkt
an den Punkt
auf beliebigem Wege
einen Pol und schreibt
, dann nennt man den
. Über Pole verschiedener Ordnung s. Isolierte singuläre
Stellen.
5.
Wenn
bei Annäherung an einen Punkt
Ausgangspunkte
keinem Grenzwert zustrebt, sondern je nach der Wahl der
, von denen aus die Annnäherung an
erfolgt, die Folgen
verschiedene Grenzwerte besitzen, dann spricht man von einem
wesentlich singulären Punkt . In diesem Falle gibt es Möglichkeiten der Annäherung von
die zur Konvergenz von
gegen eine beliebig vorgegebene komplexe Zahl führen.
Beispiel A
Die Funktion
besitzt im Punkt
einen Pol.
an den Punkt
,
Beispiel B
Die Funktion
besitzt im Punkt
einen wesentlich singulären Punkt (s. Abbildung).
Ganzrationale Funktionen oder Polynome
1. Ganzrationale Funktionen oder Polynome: Sie sind auf der gesamten Zahlengerade stetig.
2. Gebrochenrationale Funktionen:
ausgenommen für die
mit den Polynomen
-Werte, für die
ist, aber
und
sind überall stetig,
bleibt. An solchen Stellen besitzt
die Funktion eine Unstetigkeitsstelle mit einem Verlauf ins Unendliche, die Pol genannt wird. Ist der Wert
sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, dann gibt es nur dann einen Pol, wenn die Vielfachheit
der Nullstelle des Nenners größer ist als die des Zählers. Anderenfalls ist die Unstetigkeit hebbar.
3. Irrationale Funktionen: Wurzeln aus Polynomen mit ganzzahligen Wurzelexponenten sind für alle Werte, die zum Definitionsbereich gehören, stetige Funktionen. Auf dem Rande der Definitionsbereiche
können sie mit einem endlichen Wert abbrechen, wenn der Radikand von positiven zu negativen Werten
überwechselt. Wurzeln aus gebrochenen Funktionen sind für solche
eine Unstetigkeitsstelle besitzt.
4. Trigonometrische Funktionen: Die Funktionen
und
-Werte unstetig, für die der Radikand
sind überall stetig;
und
besitzen an den Stellen
unendliche Sprünge;
unendliche Sprünge (
und
sind überall stetig,
brechen an den Grenzen ihres Definitionsbereiches wegen
6. Exponentialfunktionen: Die Exponentialfunktionen
oder
7. Logarithmische Funktionen: Die logarithmische Funktion
positiven
besitzen bei
ganz).
5. Inverse trigonometrische Funktionen: Die Funktionen
und
und
-Werte stetig und bricht an der Stelle
wegen
mit
ab.
sind überall stetig.
mit beliebiger positiver Basis ist für alle
einem
rechtsseitigen Grenzwert, ab.
8. Zusammengesetzte elementare Funktionen: Die Stetigkeit muß für alle -Werte der einzelnen
elementaren Funktionen, die in dem zusammengesetzten Ausdruck enthalten sind, entsprechend den oben
angeführten Fällen untersucht werden (siehe auch Mittelbare Funktionen).
Beispiel
Es sind die Unstetigkeitsstellen der Funktion
besitzt an der Stelle
einen unendlichen Sprung; für
hat auch
Die Funktion
unendlichen Sprung:
einen endlichen Nenner. Folglich gibt es für
gleichen Typ, wie im Punkt
zu ermitteln. Der Exponent
der folgenden Abbildung:
einen
hat bei
einen unendlichen Sprung vom
Für
wird der Nenner zu null, ebenso für die
entsprechen den Wurzeln der Gleichung
-Werte, für die
oder
zu null wird. Letztere
wobei
eine beliebige
ganze Zahl ist. Der Zähler wird für keinen dieser Werte zu null, so daß die Funktion an den Stellen
Unstetigkeitsstellen der gleichen Art
hat wie der Punkt
in der obigen Abbildung.
Isolierte singuläre Stellen
Wenn eine Funktion
in der Umgebung eines Punktes
eine isolierte singuläre Stelle der Funktion
. Ist
analytisch ist, nicht aber in
in der Umgebung von
selbst, dann heißt
in die LAURENT-Reihe
(14.51)
entwickelbar, dann können die isolierten singulären Stellen nach dem Verhalten der LAURENT-Reihen eingeteilt
werden:
1.
Enthält die LAURENT-Reihe keine Glieder mit negativen Potenzen von
, wobei
für
gilt, dann geht die LAURENT-Entwicklung in die TAYLOR-Reihe mit den aus der CAUCHYschen
Integralformel folgenden Koeffizienten
(14.52)
ist dann auch im Punkt
über. Die Funktion
analytisch, selbst wenn
ist oder wenn
eine
hebbare Singularität ist.
2.
Enthält die LAURENT-Reihe endlich viele Glieder mit negativen Potenzen von
, alle
Punkt
für
, dann spricht man von einer außerwesentlichen Singularität im
oder einem Pol der Ordnung
oder Pol der Vielfachheit
, aber keiner niedrigeren Potenz, geht
; durch Multiplikation mit
in eine Funktion über, die in
analytisch ist.
Beispiel
hat an der Stelle
3.
, wobei gelten soll
einen Pol 1. Ordnung.
und Umgebung
Enthält die LAURENT-Reihe unendlich viele Glieder mit negativen Potenzen von
wesentlich singulärer Punkt der Funktion
, dann ist
. Bei Annäherung an einen Pol wächst
Grenzen. Bei Annäherung an eine wesentlich singuläre Stelle kommt
über alle
jeder beliebigen komplexen Zahl
beliebig nahe.
Beispiel
Die Funktion
, deren LAURENT-Reihe
eine wesentliche Singularität.
ein
lautet, hat an der Stelle
Polardreieck
Das Polardreieck
zu einem gegebenen sphärischen Dreieck
dessen Seiten die Eckpunkte des gegebenen Dreiecks Pole sind.
heißt ein sphärisches Dreieck, für
Zu jedem sphärischen Dreieck
Polardreieck des sphärischen Dreiecks
existiert ein Polardreieck
dann ist auch das Dreieck
Ist das Dreieck
das
das Polardreieck des Dreiecks
Die Winkel eines sphärischen Dreiecks und die entsprechenden Seiten seines Polardreiecks sind
Supplementwinkel, ebenso wie die Seiten des sphärischen Dreiecks und die Winkel des Polardreiecks
Supplementwinkel sind:
(3.165a)
(3.165b)
Vermessungstechnische Anwendungen
In der Geodäsie ist die Ermittlung der Koordinaten eines Neupunktes
im Rahmen der Triangulierung eine oft
auftretende vermessungstechnische Aufgabe. Verfahren zu ihrer Lösung sind Vorwärtseinschneiden,
Rückwärtseinschneiden, Bogenschnitt, Freie Stationierung und Polygonierung. Auf die letzten beiden Verfahren wird
hier nicht eingegangen.
●
●
●
●
●
Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen
Vorwärtseinschneiden ohne Visier
SNELLIUSsche Aufgabe des Rückwärtseinschneidens
Rückwärtseinschneiden nach CASSINI
Bogenschnitt
Polynome
●
●
●
●
●
Lineare Funktion
Quadratisches Polynom
Polynom 3. Grades
Polynom n-ten Grades
Parabel n-ter Ordnung
Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x
(2.151a)
(2.151b)
(2.151c)
(2.152a)
(2.152b)
(2.153a)
(2.153b)
(2.153c)
(2.154)
wobei
auch gebrochene Werte annehmen kann und
über die Gleichung
(2.155)
bestimmt ist. Für ganzzahliges
ist
ein Polynom in
(ein TSCHEBYSCHEFFsches Polynom ). Wegen der
Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome s. TSCHEBYSCHEFF-Approximation.
Lage der Nullstellen
●
●
Reelle Nullstellen
Komplexe Nullstellen
Lösung von Polynomgleichungen
Polynomgleichungen
-ten Grades haben die Form
(19.11)
Zu ihrer effektiven Lösung benötigt man zunächst Verfahren zur Berechnung von Funktions- und Ableitungswerten
des Polynoms
●
●
●
sowie eine erste Orientierung über die Lage seiner Nullstellen.
Horner-Schema
Lage der Nullstellen
Numerische Verfahren
Numerische Verfahren
●
●
Allgemeine Verfahren
Spezielle Verfahren
Komplexe Potentiale
●
●
●
●
●
●
Begriff des komplexen Potentials
Komplexes Potential des homogenen Feldes
Komplexes Potential von Quelle und Senke
Komplexes Potential eines Quelle-Senke-Systems
Komplexes Potential des Dipols
Komplexes Potential eines Wirbels
Komplexes Potential des Dipols
Das komplexe Potential eines Dipols
im Punkt
, dessen Achse mit der reellen Achse den Winkel
bildet (s. Abbildung), lautet:
(14.28)
Komplexes Potential des homogenen Feldes
Die Funktion
(14.24)
liefert bei reellem
das komplexe Potential eines Feldes, dessen Potentiallinien parallel zur
Feldlinien parallel zur
-Achse verlaufen (s. linke Abbildung).
-Achse und dessen
Für komplexes
ergibt sich lediglich eine Drehung des Feldes (s. rechte Abbildung).
Komplexes Potential von Quelle und Senke
Das komplexe Potential eines Feldes, das durch eine Quelle der Ergiebigkeit
im Punkt
erzeugt
wird, lautet
(14.25)
Für eine Senke der gleichen Intensität gilt
(14.26)
Die Feldlinien verlaufen radial vom Punkt
Punkt
bilden (s. Abbildung).
aus, während die Potentiallinien konzentrische Kreise um den
Komplexes Potential eines Wirbels
Wenn
die Intensität des Wirbels mit
reell ist und sich sein Zentrum im Punkt
befindet, gilt:
(14.29)
Im Vergleich zur Darstellung des Potentials für Quelle und Senke in der linken Abbildung, sind die Rollen von Feldund Potentiallinien vertauscht (rechte Abbildung).
Für komplexes
ergibt (14.29) das Potential einer Wirbelquelle, deren Feld- und Potentiallinien je eine
Spiralenschar liefern, die zueinander orthogonal verlaufen (s. rechte Abbildung).
Potential eines konservativen Feldes
Potential eines konservativen Feldes, seine Potentialfunktion oder kurz sein Potential, nennt man die skalare
Stammfunktion
(13.106a)
Sie ergibt sich in einem konservativem Feld bei fixiertem Anfangspunkt
und veränderlichem Endpunkt
als Integral
(13.106b)
Zu beachten ist, daß im Unterschied dazu in der Physik als Potential
einer Funktion
im Punkt
Größe verstanden wird, die das entgegengesetzte Vorzeichen besitzt:
(13.107)
eine
Inhomogenes Problem
Wenn
ist, sind auf den rechten Seiten der Formeln (9.99a,b,c) Korrekturglieder zu addieren:
a)
(Retardiertes Potential):
(9.100a)
, das durch
für ein Gebiet
beschrieben wird mit
.
b)
:
(9.100b)
ein Gebiet des
wobei
-Raumes ist, das durch die Ungleichungen
definiert ist.
c)
:
(9.100c)
wobei
das Dreieck
die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung.
bedeutet. In den angegebenen Formeln steht
für
Rotation des Potentialfeldes
Aus dem Integralsatz von STOKES folgt, daß die Rotation eines Potentialfeldes gleich Null ist:
(13.64a)
Das folgt auch aus (13.57a) für
, wenn die Voraussetzungen des
SCHWARZschen Vertauschungssatzes erfüllt sind.
Beispiel
Für
mit
, wobei
gilt:
eine differenzierbare Funktion von
und
ist.
Potenzreihen
●
●
●
Definition, Konvergenz
Rechnen mit Potenzreihen
Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe
Asymptotische Potenzreihen
Zur Funktionswertberechnung können auch divergente Reihen nützlich sein. Im folgenden werden asymptotische
Potenzreihen bezüglich
●
●
zur Berechnung von Funktionswerten für große Werte von
Asymptotische Gleichheit
Asymptotische Potenzreihen
betrachtet.
Potenzreihen im Komplexen
●
●
●
Konvergenz
Konvergenzkreis
Ableitungen und Integrale von Potenzreihen, Konvergenzkreis
Ableitungen und Integrale von Potenzreihen, Konvergenzkreis
1. Ableitungen von Potenzreihen und Konvergenzkreis Jede Potenzreihe stellt innerhalb ihres
Konvergenzkreises eine analytische Funktion
dar. Die Ableitungen dieser Funktion erhält man durch
gliedweise Differentiation der Potenzreihe. Die abgeleiteten Reihen haben denselben Konvergenzkreisradius
wie die ursprüngliche Reihe.
2. Integrale von Potenzreihen und Konvergenzkreis Die Potenzreihenentwicklung des Integrals
erhält man durch gliedweise Integration der Potenzreihe von
bleibt dabei erhalten.
. Der Konvergenzradius
Konvergenz
Eine Potenzreihe im Komplexen hat die Gestalt
(14.46a)
wobei
ein fester Punkt der Zahlenebene ist und die Koeffizienten
reelle oder komplexe Konstanten sind. Für
geht die Potenzreihe in die Form
(14.46b)
über. Konvergiert die Potenzreihe
alle Punkte
für einen Wert
, dann konvergiert sie absolut und gleichmäßig für
jedes abgeschlossenen Kreises innerhalb des Kreises um
mit dem Radius
.
Konvergenzkreis
Die Grenze zwischen dem Konvergenzbereich und dem Divergenzbereich einer Potenzreihe ist ein eindeutig
bestimmter Kreis, der Konvergenzkreis. Man bestimmt seinen Radius wie im Reellen, falls die Grenzwerte
(14.47)
existieren. Wenn die Reihe überall divergiert, ausgenommen den Punkt
, dann ist
, konvergiert sie
. Das Verhalten der Potenzreihe für Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises ist von
überall, dann ist
Fall zu Fall zu untersuchen.
Beispiel
Die Potenzreihe
mit dem Konvergenzkreisradius
(harmonische Reihe) und konvergiert für
(nach dem Kriterium von LEIBNIZ für alternierende
Reihen). Auch für alle weiteren Punkte des Einheitskreises
ist die Reihe konvergent.
divergiert für
mit Ausnahme des Punktes
Umkehrung einer Potenzreihe
Ist die Reihe
(7.86a)
gegeben, dann versteht man unter ihrer Umkehrung die Reihe
(7.86b)
Die Koeffizienten ergeben sich zu
(7.86c)
Die Konvergenz der Umkehrreihe muß in jedem Beispiel besonders untersucht werden.
Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen
●
●
●
●
●
Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern
Taylor-Reihe
Prinzip der analytischen Fortsetzung
Laurent-Entwicklung
Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz
Taylor-Reihe
Jede im Innern eines Gebietes
analytische Funktion
kann für jeden Punkt
in
eindeutig in eine
Potenzreihe der Form
(14.48a)
entwickelt werden, wobei der Konvergenzkreis der größte Kreis um
(s. Abbildung).
ist, der noch ganz dem Gebiet
angehört
Für die im allgemeinen komplexen Koeffizienten
der Potenzreihe gilt
(14.48b)
Die TAYLOR-Reihe kann daher in der Form
(14.48c)
geschrieben werden. Innerhalb ihres Konvergenzkreises ist jede Potenzreihe die TAYLOR-Entwicklung ihrer
Summenfunktion.
Beispiele für TAYLOR-Entwicklungen sind die Reihendarstellungen der Funktionen
und
in Unterkapitel Elementare transzendente Funktionen.
Sieb des ERATOSTHENES
Mit dem Sieb des ERATOSTHENES kann man alle Primzahlen ermitteln, die kleiner als eine vorgegebene natürliche
Zahl
sind:
a)
Man schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis
auf.
b)
Man markiere die 2 und streiche jede zweite auf 2 folgende Zahl.
c)
Ist
die erste nichtgestrichene und nichtmarkierte Zahl, dann markiere man
und streiche jede
-te
darauffolgende Zahl.
d)
Man führe Schritt c) für alle
mit
aus und beende den Algorithmus.
Alle markierten bzw. nicht gestrichenen Zahlen sind Primzahlen. Es handelt sich dabei um alle Primzahlen
In der Menge der ganzen Zahlen werden die Primzahlen und die zu diesen entgegengesetzten Zahlen Primelemente
genannt.
Primfaktorzerlegung
Es ist üblich, in der Primfaktorenzerlegung einer natürlichen Zahl die Primfaktoren der Größe nach zu ordnen und
gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenzufassen. Ordnet man jeder nicht vorkommenden Primzahl den
Exponenten 0 zu, dann gilt: Jede natürliche Zahl ist eindeutig durch die Folge der Exponenten in ihrer
Primfaktorenzerlegung bestimmt.
Beispiel
gehört die Exponentenfolge
Zu
Für eine natürliche Zahl
seien
bezeichne den Exponenten der Primzahl
die paarweise verschiedenen
in der Primfaktorenzerlegung von
teilenden Primzahlen, und
Dann schreibt man
(5.147a)
und nennt diese Darstellung die kanonische Primfaktorenzerlegung von
Oft schreibt man dafür auch
(5.147b)
wobei das Produkt über alle Primzahlen
zu bilden ist und
die Vielfachheit von
bedeutet. Es handelt sich um ein endliches Produkt, da nur endlich viele der Exponenten
sind.
als Teiler von
von 0 verschieden
Definition und Eigenschaften
Eine natürliche Zahl
mit
die in der Menge
der natürlichen Zahlen nur 1 und
als Teiler besitzt, wird
Primzahl genannt. Natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, heißen zusammengesetzte Zahlen .
Der kleinste positive, von 1 verschiedene Teiler jeder ganzen Zahl ist eine Primzahl. Es gibt unendlich viele
Primzahlen.
Eine natürliche Zahl
aus
daß
mit
oder
ist genau dann Primzahl, wenn gilt: Für beliebige natürliche Zahlen
gilt.
folgt
Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, Primzahlvierlinge
1. Primzahlzwillinge:
Zwei Primzahlen mit dem ,,Abstand`` 2 bilden einen Primzahlzwilling .
Beispiel
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73), (101,103) sind Primzahlzwillinge.
2. Primzahldrillinge:
Man spricht von Primzahldrillingen , wenn unter vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen drei Primzahlen
sind.
Beispiel
(5,7,11), (7,11,13), (11,13,17), (13,17,19), (17,19,23), (37,41,43) sind Primzahldrillinge.
3. Primzahlvierlinge:
Bilden von fünf aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen die ersten beiden und die letzten beiden jeweils einen
Primzahlzwilling, dann spricht man von Primzahlvierlingen .
Beispiel
(5,7,11,13), (11,13,17,19), (101,103,107,109), (191,193,197,199) sind Primzahlvierlinge.
Eine bis heute unbewiesene Vermutung ist, daß unendlich viele Primzahlzwillinge, unendlich viele Primzahldrillinge
und unendlich viele Primzahlvierlinge existieren.
Anwendungsbeispiele für Gruppen
In der Chemie und der Physik finden Gruppen Anwendung zur Beschreibung der ,,Symmetrien`` der entsprechenden
Objekte. Solche Objekte sind z.B. Moleküle, Kristalle, Festkörperstrukturen oder quantenmechanische Systeme.
Diesen Anwendungen liegt das VON NEUMANNsche Prinzip zu Grunde:
Wenn ein System eine gewisse Gruppe von Symmetrieoperationen besitzt, dann muß jede physikalische
Beobachtungsgröße dieses Systems dieselbe Symmetrie besitzen.
●
●
●
Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente
Symmetriegruppen
Beispiel Moleküle
Prisma
Prisma heißt ein Polyeder, das gleiche Grundflächen und Parallelogramme als Seitenflächen besitzt.
Ein gerades Prisma zeichnet sich durch senkrecht auf der Grundfläche stehende Kanten aus, ein reguläres Prisma
dadurch, daß es gerade ist und ein regelmäßiges Vieleck zur Grundfläche hat. Für das Polyeder gilt:
(3.102)
(3.103)
(3.104)
Dabei ist
der Umfang eines zu den Kanten senkrechten ebenen Schnittes und
die Kantenlänge. Für ein
dreiseitiges Prisma, dessen Grundflächen nicht parallel zueinander liegen, gilt
(3.105)
wobei
ein senkrechter Querschnitt,
und
die Längen der parallelen Kanten sind.
Das Volumen eines
wobei
-seitigen Prismas mit nicht parallel zur Grundfläche abgeschnittener Deckfläche ist
(3.106)
die Länge der Geraden
zu dieser Linie senkrechte Querschnitt.
ist, die die Schwerpunkte der Grundflächen miteinander verbindet und
der
Isoperimetrisches Problem
Das allgemeine isoperimetrische Problem besteht darin, unter allen ebenen Flächenstücken mit vorgegebenem
Umfang das flächengrößte zu bestimmen. Die Lösung dieses Problems (ein Kreis mit dem vorgegebenen Umfang)
soll auf die Königin DIDO zurückgehen, die der Sage nach bei der Gründung Karthagos nur soviel Land nehmen
durfte, wie sie mit einer Stierhaut umschließen konnte. Sie schnitt die Haut in feine Streifen und legte sie zu einem
Kreis zusammen.
Ein Spezialfall des allgemeinen isoperimetrischen Problems besteht in der Aufgabe, in einem kartesischen
Koordinatensystem eine Verbindungskurve
vorgegebene Länge
der Punkte
hat und mit der Verbindungsstrecke
und
zu finden, die eine
die größte Fläche umschließt (s. Abbildung).
Die mathematische Formulierung lautet: Man bestimme eine einmal stetig differenzierbare Funktion
, für die
(10.8a)
gilt und die die Nebenbedingung
(10.8b)
sowie die Randbedingungen
(10.8c)
erfüllt.
Regularisiertes Problem
Im rangdefizienten Fall , d.h., wenn
ist, kann das Normalgleichungssystem nicht mehr eindeutig
gelöst werden, und auch die Orthogonalisierungsverfahren liefern unbrauchbare Ergebnisse. Dann geht man an
Stelle von (4.119) zu dem sogenannten regularisierten Problem
(4.121)
über. Dabei ist
ein Regularisierungsparameter . Die Normalgleichungen zu (4.121) lauten:
(4.122)
Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems ist für
aber die Wahl eines geeigneten Regularisierungsparameters
positiv definit und insbesondere regulär,
ist ein schwieriges Problem (s. Lit. 4.8).
Definition von Produkten
Zur abkürzenden Schreibweise verwendet man für Produkte das Produktzeichen
(1.10)
Mit dieser Abkürzung wird ein Produkt von
genannt wird.
Faktoren
bezeichnet, wobei
Laufindex
Varietäten
Eine Varietät
ist eine Klasse von
-Algebren, die abgeschlossen ist gegenüber der Bildung von Unteralgebren,
von homomorphen Bildern und direkten Produkten, d.h., diese Bildungen führen aus
direkte Produkte folgendermaßen definiert:
Erklärt man auf dem kartesischen Produkt der Trägermengen von
komponentenweise, so erhält man wieder eine
-Algebren die
nicht heraus. Dabei sind
entsprechenden Operationen
-Algebra, das direkte Produkt dieser Algebren. Der Satz von
BIRKHOFF charakterisiert die Varietäten als diejenigen Klassen von
definieren lassen.
-Algebren, die sich durch ,,Gleichungen``
Gemischtes Produkt
Das gemischte Produkt
auch Spatprodukt genannt, ergibt einen Skalar, der zahlenmäßig gleich dem
Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds ist; das Ergebnis ist positiv, wenn
und
ein
Rechtssystem bilden, negativ im entgegengesetzten Falle. Die Klammern und das Multiplikationskreuz können beim
gemischten Produkt weggelassen werden:
(3.262)
Im Unterschied zu einer zyklischen Vertauschung aller drei Faktoren im gemischten Produkt führt eine Vertauschung
zweier Faktoren zu seiner Vorzeichenänderung.
Für komplanare Vektoren , d.h. Vektoren
die parallel zu einer von den Vektoren
und
definierten Ebene
orientiert sind, gilt:
(3.263)
Kartesisches Produkt
Seien
und
Fuzzy-Grundmengen, so repräsentiert das ,,Kreuzprodukt``
Produkt genannt, im Grundbereich
auch kartesisches
eine Fuzzy-Menge:
(5.280)
Die Fuzzy-Menge wird dann in Analogie zur klassischen Mengenlehre zu einer Fuzzy-Relation , weil sie die Elemente
aus den Grundmengen paarweise in Beziehung setzt. Eine unscharfe Relation
Teilmenge
, wobei
die Gesamtheit aller unscharfen Mengen über
läßt sich durch eine Zugehörigkeitsfunktion
Zugehörigkeitsgrad
in
aus [0,1] zuordnet.
beschreiben, die jedem Element
ist eine unscharfe
bezeichnet.
den
Doppeltes Vektorprodukt
Das doppelte Vektorprodukt
ergibt einen neuen, zu
und
komplanaren Vektor:
(3.261)
Rechenregeln für Produkte
1.
Produkt gleicher Faktoren, d.h.,
:
(1.11a)
2.
Vorziehen konstanter Faktoren
(1.11b)
3.
Aufspalten in Teilprodukte
(1.11c)
4.
Produkt von Produkten
(1.11d)
5.
Umnumerierung
(1.11e)
6.
Vertauschen des Produktzeichens bei Doppelprodukten
(1.11f)
Skalare Multiplikation
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
und
auch Punktprodukt genannt, ist durch die Gleichung
(3.251)
definiert, wobei
der zwischen
und
ist.
Das Skalarprodukt ergibt einen Skalar.
eingeschlossene Winkel, bezogen auf den gemeinsamen Anfangspunkt,
Vektorielle Multiplikation
Die Vektorielle Multiplikation ist eine Operation, die zum Vektorprodukt zweier Vektoren
Kreuzprodukt genannt, führt. Dieses ergibt einen Vektor
Vektoren
und
ein Rechtssystem bilden.
der auf
und
und
auch
senkrecht steht, derart, daß die
Vorausgesetzt, die Anfangspunkte der drei Vektoren sind in einem Punkt zusammengeführt, dann ist das der Fall,
wenn ein Beobachter, der auf die durch
den Vektor
und
aufgespannte Ebene und gleichzeitig in die Richtung von
durch die kürzeste Drehung im Uhrzeigersinn nach
Rechte-Hand-Regel: Die Vektoren
und
überführen kann.
haben dann die gleiche Orientierung, wie Daumen, Zeigefinger und
Mittelfinger der rechten Hand ( Rechte-Hand-Regel ).
Quantitativ liefert das Vektorprodukt
(3.252a)
einen Vektor der Länge
(3.252b)
wobei
der zwischen
Flächeninhalt des von
und
und
blickt,
eingeschlossene Winkel ist. Zahlenmäßig ist die Länge von
aufgespannten Parallelogramms.
gleich dem
Methode der Variablentrennung
Durch spezielle Substitutionen kann für viele Differentialgleichungen der Physik zwar nicht immer die Gesamtheit,
jedoch eine Schar von Lösungen bestimmt werden, die von frei wählbaren Parametern abhängt. Lineare
Differentialgleichungen, besonders zweiter Ordnung, können oft mit Hilfe einer Substitution in der Form eines
Produktansatzes
(9.84)
gelöst werden. Da das Ziel darin besteht, die Funktionen
getrennt, d.h. jede für sich aus einer
gewöhnlichen Differentialgleichung zu bestimmen, in der nur noch die eine Variable
enthalten ist, spricht man für
(9.84) auch vom Separationsansatz . In vielen Fällen gelingt diese Variablentrennung , nachdem der Lösungsansatz
(9.84) in die gegebene Differentialgleichung eingesetzt wurde. Wenn hierbei die Lösung der gegebenen
Differentialgleichung gewissen homogenen Randbedingungen genügen soll, dann kann es ausreichend sein, daß nur
ein Teil der Funktionen
des Separationsansatzes bestimmte
Randbedingungen zu erfüllen braucht.
Aus den so bestimmten Lösungen ergeben sich durch Summationen, Differentiationen und Integrationen neue
Lösungen. Die Parameter sind dabei so zu wählen, daß auch die restlichen Anfangs- und Randbedingungen erfüllt
werden (s. die folgenden Beispiele). Schließlich muß beachtet werden, daß die mit dieser Methode ermittelte Lösung,
sei es in der Gestalt einer Reihe oder eines uneigentlichen Integrals, eine ,,formale Lösung`` ist. Das bedeutet, daß
noch zu prüfen ist, ob die Lösung einen physikalischen Sinn ergibt, d.h. z.B., ob sie konvergiert, ob sie die
ursprüngliche Differentialgleichung und die Randbedingungen erfüllt, d.h. z.B., ob sie gliedweise differenzierbar ist
und ob ein Grenzübergang bei Annäherung an den Rand existiert.
In den Beispielen dieses Abschnitts sind die Reihen und die uneigentlichen Integrale konvergent, wenn die
Funktionen, die die Anfangsbedingungen definieren, entsprechenden Einschränkungen unterworfen werden (s. z.B.
die Forderung nach Stetigkeit in den Abschnitten Saitenschwingungsgleichung und Stabschwingungsgleichung).
Umformung von Proportionen
Aus der Proportion
(1.54a)
folgt
(1.54b)
sowie die abgeleiteten Proportionen
(1.54c)
Aus der Gleichheit der Proportionen
(1.55a)
folgt
(1.55b)
Prozent
Der Ausdruck p Prozent von K bedeutet
Das Zeichen für Prozent ist
wobei mit
in der Finanzmathematik ein Kapital gemeint ist.
d.h., es gilt
(1.75)
Prozentrechnung
●
●
●
Prozent
Aufschlag
Abschlag oder Rabatt
Prüfen auf Normalverteilung
In der mathematischen Statistik sind verschiedene Tests zum Prüfen auf Normalverteilung entwickelt worden. Von
den beiden gebräuchlichsten wird einer graphisch mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitspapier durchgeführt, der andere
erfolgt rechnerisch als ,,
●
●
-Test``.
Prüfen mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitspapiers
Chi-Quadrat-Test
Wichtige Prüfverfahren
Eine der Hauptaufgaben der mathematischen Statistik besteht darin, aus Stichproben Rückschlüsse auf die
Grundgesamtheit zu ziehen. Da
1.
eine Verteilung ganz wesentlich durch die Parameter
Meßwerten würde man sich unter
und
charakterisiert werden kann (im Falle von
den exakten Wert oder den Sollwert und unter
ein Maß für die
Abweichung von diesem Sollwert vorstellen),
2.
bei der Verteilung von Beobachtungs- und Meßwerten die GAUSSsche Normalverteilung das entscheidende
mathematische Modell darstellt,
stehen bei den Prüfverfahren die folgenden zwei Fragen im Vordergrund:
1.
Liegt den Meßwerten eine Normalverteilung zu Grunde?
2.
Wie gut geben die Stichprobenparameter
und
die Grundgesamtheit wieder?
●
●
●
●
●
Prüfen auf Normalverteilung
Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
Vertrauensgrenzen für die Streuung
Prinzip der Prüfverfahren
Skalarprodukt bei Rauminversion
Eine Verletzung der Transformationsformel (4.100b) für Tensoren 1. Stufe ergibt sich auch für die Anwendung der
Rauminversion auf ein Skalarprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor. Da das Ergebnis des
Skalarprodukts ein Skalar ist und dieser in allen Koordinatensystemen denselben Wert besitzt, handelt es sich hierbei
um einen besonderen Skalar, Pseudoskalar genannt, der die Eigenschaft besitzt, bei Rauminversion sein Vorzeichen
zu ändern. Die Drehinvarianzeigenschaft des Skalars besitzt der Pseudoskalar nicht.
Beispiel
Das Skalarprodukt aus den polaren Vektoren
axialen Vektor
(Ortsvektor) bzw.
(Geschwindigkeitsvektor) mit dem
(Vektor der Winkelgeschwindigkeit) ergibt die Skalare
,,falsche`` Spiegelungsverhalten zeigen, also Pseudoskalare sind.
und
die das
Vektorprodukt bei Rauminversion
Durch Rauminversion werden zwei polare Vektoren
und
in
bzw.
überführt, d.h., ihre Komponenten
genügen der Transformationsformel (4.100b) für Tensoren 1. Stufe. Betrachtet man dagegen das Vektorprodukt
als Beispiel eines axialen Vektors, dann erhält man bei Spiegelung am Koordinatenursprung
d.h. eine Verletzung der Transformationsformel (4.100a) für Tensoren 1. Stufe. Deshalb wird der axiale Vektor
Pseudovektor oder allgemein als Pseudotensor bezeichnet.
Beispiel
mit dem Ortsvektor
Die Vektorprodukte
Geschwindigkeitsvektor
dem Kraftvektor
und dem Nablaoperator
Vektoren, die das ,,falsche`` Spiegelungsverhalten besitzen.
dem
sind Beispiele für axiale
als
Pseudotensoren
In der Physik spielt häufig das Spiegelungsverhalten von Tensoren eine Rolle. Wegen ihres unterschiedlichen
Spiegelungsverhaltens unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren, obgleich sie mathematisch sonst
völlig gleich zu behandeln sind. In ihrer Beschreibung unterscheiden sich polare und axiale Vektoren dadurch, daß
axiale Vektoren neben ihrer Länge und Orientierung durch einen Drehsinn dargestellt werden können. Axiale
Vektoren werden auch Pseudovektoren genannt. Da Vektoren als Tensoren aufgefaßt werden können, wurde
allgemein der Begriff des Pseudotensors eingeführt.
●
●
Punktspiegelung am Koordinatenursprung
Einführung des Begriffs Pseudotensor
Transversale homokline Punkte
Die Separatrixflächen
schneiden. Ist der Schnitt
und
einer hyperbolischen Ruhelage
von (17.3) können sich
transversal, so heißt jeder Punkt
transversaler homokliner Punkt .
Dabei gilt: Ist
transversaler homokliner Punkt, so besteht der Orbit
nur aus transversalen homoklinen Punkten (s. Abbildung).
des invertierbaren Systems (17.3)
Pyramidenstumpf
Pyramidenstumpf wird eine Pyramide genannt, deren Spitze durch eine Ebene parallel zur Grundfläche
abgeschnitten ist.
Mit
als Höhe der Pyramide, d.h. als Lot von der Spitze auf die Grundfläche, gilt:
(3.115)
(3.116)
Wenn
und
die obere und untere Grundfläche sind,
zwischen den Grundflächen,
und
die Höhe des Pyramidenstumpfes, also der Abstand
die einander entsprechenden Seiten der Grundflächen, dann gilt für das
Volumen:
(3.117)
Die Mantelfläche des regulären Pyramidenstumpfes ist
(3.118)
wobei
und
die Umfänge der Grundflächen sind und
die Höhe der Seitenflächen.
Nichtlineare Quadratmittelaufgaben
●
●
Prinzipieller Lösungsweg
GAUSS-NEWTON-Verfahren
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme
●
●
●
Überbestimmte Gleichungssysteme
Lineares Quadratmittelproblem
GAUSS-Transformation
Quadraturformeln vom Gauß-Typ
Quadraturformeln vom GAUSS-Typ sind Mittelwertformeln, aber im Ansatz
(19.81)
werden nicht nur die Koeffizienten
, sondern auch die Stützstellen
als freie Parameter aufgefaßt. Diese
werden so bestimmt, daß die Formel (19.81) für Polynome möglichst hohen Grades exakt ist.
Die Erfahrung zeigt, daß Quadraturformeln vom GAUSS-Typ meist sehr genaue Näherungen liefern, dafür müssen
aber ihre Stützstellen sehr speziell gewählt werden.
●
●
Gaußsche Quadraturformeln
Lobattosche Quadraturformeln
Lobattosche Quadraturformeln
In einigen Fällen ist es zweckmäßig, auch die Randpunkte des Integrationsintervalls als Stützstellen zu wählen. Dann
treten in (19.81) nur noch
freie Parameter auf. Diese können so bestimmt werden, daß Polynome bis zum Grad
exakt integriert werden. Für die Fälle
1.
und
erhält man:
:
(19.84a)
2.
:
(19.84b)
Der Fall
stellt die SIMPSON-Formel dar.
Verfahren von Romberg
Zur Erhöhung der Genauigkeit bei der numerischen Integration empfiehlt sich das Verfahren von ROMBERG, bei dem
von einer Folge von Trapezsummen ausgegangen wird, die sich bei fortgesetzter Halbierung des
Integrationsintervalls ergibt.
●
●
Algorithmus des Romberg-Verfahrens
Extrapolationsprinzip
Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Die zwei Funktionen
(2.53)
liefern für
eine Ellipse , für
eine Hyperbel .
Von den zwei Achsen stimmt eine mit der
und
liegen bei
-Achse überein, die andere ist die Gerade
die Scheitel
und
Die Scheitel
bei
wobei
ist.
Definitionsbereich und Verlauf der Funktionen hängen von den Vorzeichen von
und
ab. Für
und
besitzen die Funktionen nur imaginäre Werte, so daß hier keine Kurven existieren. (Ausführlich s. Ellipse
und Hyperbel).
Beschränkte Quantifizierung
Oft ist es sinnvoll, Quantifizierungen auf die Elemente einer vorgegebenen Menge zu beschränken. Dabei ist
(5.33)
und
(5.34)
aufzufassen.
Typen der Ruhelagen
Es sei
eine Ruhelage von (17.3) mit
. Das lokale Verhalten der Iteration (17.3) nahe
gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung
keinen Eigenwert
mit
hyperbolisch . Die hyperbolische Ruhelage
innerhalb und
Ruhelage vom Typ
bestimmt. Besitzt
, so heißt die Ruhelage
ist vom Typ
wird, unter
, analog zum Differentialgleichungfall,
, wenn
genau
Eigenwerte
Eigenwerte außerhalb des komplexen Einheitskreises besitzt. Die hyperbolische
heißt für
Senke , für
Quelle und für
und
Sattel .
Es gilt der folgende
Satz über Stabilität in der ersten Näherung für diskrete dynamische Systeme: Eine Senke ist asymptotisch
stabil; Quellen und Sattel sind instabil.
Diskrete Quellenverteilung
In Analogie zur Überlagerung physikalischer Felder überlagern sich auch die Vektorfelder der Mathematik. Der
Superpositionssatz lautet: Haben die Vektorfelder
Potential
Für
die Potentiale
, so hat das Vektorfeld
das
.
diskrete Quellpunkte mit den Ergiebigkeiten
, deren Felder sich überlagern, kann
man daher das resultierende Feld durch algebraische Addition der Potentiale
bestimmen:
(13.129a)
Dabei ist
wieder der Ortsvektor des Aufpunktes, während
die Ortsvektoren der Quellpunkte sind.
Treten wirbelfreie Felder
und quellenfreie Felder
gemeinsam auf und handelt es sich dabei um überall
stetige Felder, dann gilt:
(13.129b)
Erstreckt sich das Vektorfeld ins Unendliche, dann ist die Bestimmung von
genügend stark verschwindet.
eindeutig, wenn
für
Kontinuierliche Quellenverteilung
Wenn die Quellen über Linien, Flächen oder räumliche Bereiche kontinuierlich verteilt sind, dann treten an die Stelle
der endlichen Ergiebigkeiten
infinitesimale, die der Dichte der Quellverteilung entsprechen, und an die Stelle der
Summen Integrale über die Quellbereiche. Im Falle einer stetigen räumlichen Verteilung der Quellergiebigkeit ist die
Quelldichte
. Ähnliches gilt für das Potential eines durch Wirbel erzeugten Feldes. Im Falle einer
stetigen räumlichen Wirbelverteilung ist die Wirbelflußdichte durch
festgelegt.
Bezeichnungen
Es sei
(5.149a)
eine im dekadischen Positionssystem dargestellte natürliche Zahl. Dann gelten die folgenden Bezeichnungen.
1. Quersumme von
:
(5.149b)
2. Alternierende Quersumme 1. Stufe von
:
(5.149c)
3. Quersumme 1. Stufe von
:
(5.149d)
4. alternieremde Quersumme 1. Stufe von
:
(5.149e)
5. Quersumme 2. Stufe von
:
(5.149f)
6. alternierende Quersumme 2. Stufe von
:
(5.149g)
7. Weitere Quersummen und weitere alternierende Quersummen: Analog Quersumme 3. Stufe bzw.
alternierende Quersumme 3. Stufe , usw.
Beispiel
Die Zahl 123 456 789 hat die folgenden Quersummen:
,
,
und
.
Bestimmung singulärer Integrale
Gewöhnlich kann ein singuläres Integral für keinen Wert der beliebigen Konstanten aus dem allgemeinen Integral
ermittelt werden. Zur Bestimmung des singulären Integrals einer Differentialgleichung (9.17a) mit
muß die
Gleichung
(9.17d)
hinzugezogen und
eliminiert werden. Wenn die so gewonnene Beziehung ein Integral der gegebenen
Differentialgleichung ist, dann ist sie ein singuläres Integral. Die Gleichung des Integrals ist zuvor auf eine Form zu
bringen, die keine mehrdeutigen Funktionen enthält, insbesondere keine Radikale, wobei auch die komplexen
Funktionswerte zu berücksichtigen sind.
Radikale sind Ausdrücke, die durch Ineinanderschachtelung von algebraischen Gleichungen auftreten. Wenn die
Gleichung der Integralkurvenschar bekannt ist, d.h. das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung,
dann kann die Bestimmung der Einhüllenden der Kurvenschar, die singuläre Integrale darstellen, mit den Methoden
der Differentialgeometrie erfolgen.
Beispiel A
Es ist die Differentialgleichung
Gleichung mit Hilfe von (9.17d) ergibt
b)
zu lösen. Die Berechnung der zusätzlichen
. Elimination von
liefert a)
und
, wobei a) keine, b) eine singuläre Lösung ist, ein Spezialfall der allgemeinen Lösung
. Die Integralkurven von a) und b) zeigt die folgende Abbildung.
Beispiel B
Es ist die Differentialgleichung
zu lösen. Dazu wird die Gleichung auf die Form
gebracht. Außerdem ist
Elimination von
zu
.
. Das singuläre Integral ergibt sich durch
Radizieren oder Ziehen der
Radizieren oder Ziehen der
-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl
-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl ist eine zum Potenzieren inverse Operation. Für
ist
(1.143a)
die abkürzende Bezeichnung für die
Werte
(1.143b)
Während Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten zu eindeutigen
Ergebnissen führen, liefert das Ziehen der
Geometrisch interpretiert sind die Punkte
-ten Wurzel stets
verschiedene Lösungen
die Eckpunkte eines regelmäßigen
Koordinatenursprung. In der folgenden Abbildung sind die 6 Werte für
.
-Ecks mit dem Mittelpunkt im
dargestellt.
Begriff des Randwertproblems
Differentialgleichungen müssen in verschiedenen Anwendungen, z.B. in der mathematischen Physik, als sogenannte
Randwertprobleme gelöst werden. Darunter versteht man Probleme, bei denen die gesuchte Lösung in den
Endpunkten eines Intervalls der unabhängigen Variablen vorgegebenen Bedingungen genügen muß. Eine
Spezifizierung ist das lineare Randwertproblem, das vorliegt, wenn eine Lösung einer linearen Differentialgleichung
gesucht wird, die linearen Randbedingungen genügt. Im folgenden wird die Betrachtung auf lineare
Differentialgleichungen 2. Ordnung beschränkt, für die lineare Randbedingungen vorgegeben sind.
Mehrdimensionale Zufallsveränderliche
Ein Zufallsvektor
liegt vor, wenn jedes Elementarereignis darin besteht, daß
Zufallsveränderliche
reelle Zahlenwerte
annehmen. Die zugehörige
Verteilungsfunktion wird durch
(16.57)
beschrieben. Sie heißt stetig, wenn eine Funktion
existiert, so daß
(16.58)
gilt. Die Funktion
Variablen
heißt die Dichte der Verteilung oder Verteilungsdichte . Läßt man einige der
nach Unendlich streben, so erhält man sogenannte Randverteilungen . Genauere
Untersuchungen und Beispiele findet man in Lit. 16.4 und 16.25.
Von unabhängigen Zufallsveränderlichen
spricht man, wenn gilt:
(16.59)
Randwertaufgaben
Die wichtigsten Methoden zur Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen sollen an der
folgenden einfachen linearen Randwertaufgabe für eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben werden:
(19.118)
Die Funktionen
und
sowie die Zahlen
und
sind gegeben.
Die beschriebenen Methoden lassen sich sinngemäß auf Randwertaufgaben bei Differentialgleichungen höherer
Ordnung übertragen.
●
●
●
Differenzenverfahren
Ansatzverfahren
Schießverfahren
Hilbertsches Randwertproblem
●
●
Zusammenhang
HILBERTsches Randwertproblem
Lösung der charakteristischen Integralgleichung
●
●
Homogene charakteristische Integralgleichung
Inhomogene charakteristische Integralgleichung
Homogene Randbedingungen
(11.78)
Die Funktion
ändert ihren Wert bei einmaligem Durchlauf der Kurve
eine ganze Zahl ist. Die Wertänderung von
um den Wert
, wobei
bei einmaligem Durchlauf des gesamten Kurvensystems
beträgt dann
(11.79a)
Die Zahl
wird als Index des HILBERTschen Problems bezeichnet. Es wird die Funktion
(11.79b)
mit
(11.79c)
gebildet, wobei
und
, aus dem Inneren von
beliebig, aber fest gewählt sind.
Ist
eine einfache geschlossene Kurve (
), dann wird
gesetzt. Mit
(11.79d)
erhält man folgende spezielle Lösung des homogenen HILBERTschen Problems, auch Grundlösung genannt:
(11.79e)
Die allgemeinste Lösung des homogenen HILBERTschen Problems, die nicht im Unendlichen verschwindet, lautet für
(11.80)
mit einem beliebigen Polynom
Lösung
. Im Falle
Unendlichen verschwindende Lösungen.
höchstens (
)-ten Grades. Für
besitzt das homogene HILBERTsche Problem
existiert nur die triviale
linear unabhängige, im
Inhomogene charakteristische Integralgleichung
Ist
die allgemeine Lösung des inhomogenen HILBERTschen Problems, dann kann die Lösung der inhomogenen
Integralgleichung nach (11.77a) bestimmt werden:
(11.83a)
(11.83b)
Die Anwendung der Formeln von PLEMELJ und SOCHOZKI (11.76c) auf
ergibt
(11.83c)
Einsetzen von (11.83c) in (11.83b) liefert schließlich unter Beachtung von (11.76b) und
die Lösungsdarstellung:
(11.84)
Entsprechend (11.81c) müssen im Fall
für die Existenz einer Lösung zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sein:
(11.85)
Beispiel
Gegeben ist die charakteristische Integralgleichung mit konstanten Koeffizienten
und
.
Hier ist
eine einfache, geschlossene Kurve, d.h.
Aus (11.77b) folgt
und
und
.
.
.
ist eine Konstante, und folglich ist
. Somit ist
Da
ist, besitzt das homogene HILBERTsche Randwertproblem nur
Lösung. Gemäß der Lösungsdarstellung (11.84) folgt
als im Unendlichen verschwindende
Inhomogene Randbedingungen
Die Lösung des inhomogenen HILBERTschen Problems lautet:
(11.81a)
mit
(11.81b)
Ist
, dann müssen für die Existenz einer Lösung überdies die Forderungen
(11.81c)
erfüllt sein.
Singuläre Fälle
Randwertprobleme des betrachteten Typs treten bei Anwendungen der FOURIERschen Methode zur Lösung von
Aufgaben der theoretischen Physik häufig auf, aber mit dem Unterschied, daß in den Endpunkten des Intervalls
Singularitäten der Differentialgleichungen vorkommen können, z.B. das Verschwinden von
. In solchen
singulären Punkten werden den Lösungen gewisse Einschränkungen auferlegt wie z.B. Stetigkeit oder Endlichkeit
oder unbeschränktes Wachstum, nicht höher als von einer bestimmten Ordnung. Solche Bedingungen spielen die
Rolle von homogenen Randbedingungen. Außerdem tritt der Fall auf, daß bei einigen Randwertproblemen
homogene Randbedingungen zu untersuchen sind, die die Werte der Funktion und ihrer Ableitung in
entgegengesetzten Endpunkten des Intervalls miteinander verknüpfen. Häufig sind dabei die Bedingungen
(9.67)
vertreten, die im Falle
Periodizitätsbedingungen darstellen. Für Randwertprobleme mit diesen
Bedingungen gilt alles, was oben ausgeführt wurde, ausgenommen die Behauptung (9.65b). Ausführliche
Darstellungen der Problematik s. Lit. 9.6.
Hilbert-Räume
●
●
●
●
Begriff des Hilbert-Raumes
Orthogonalität
Fourier-Reihen im Hilbert-Raum
Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume
Vektorräume
●
●
●
●
●
●
●
Begriff des Vektorraumes
Lineare und affin-lineare Teilmengen
Linear unabhängige Elemente
Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
Lineare Operatoren und Funktionale
Komplexifikation reeller Vektorräume
Geordnete Vektorräume
Metrische Räume
●
●
●
Begriff des metrischen Raumes
Vollständige metrische Räume
Stetige Operatoren
Vollständige metrische Räume
●
●
●
●
●
Cauchy-Folge
Vollständiger metrischer Raum
Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips
Vervollständigung eines metrischen Raumes
Einige Eigenschaften normierter Räume
In der Klasse aller linearen metrischen Räume sind gerade diejenigen normierbar , d.h., mit Hilfe der Metrik kann
durch
eine Norm eingeführt werden, deren Metrik den Bedingungen (12.80a) und (12.80b) genügt.
Zwei normierte Räume
und
mit
Seien
und
heißen normisomorph , wenn es eine bijektive, lineare Abbildung
gibt.
zwei Normen auf einem Vektorraum
machen. Die Norm
heißt stärker als die Norm
, die
zu dem normierten Raum
, wenn es eine Zahl
gibt. In diesem Falle impliziert die Konvergenz einer Folge
Sinne der Norm
, also
, ihre Konvergenz zu
im Sinne der Norm
bzw.
mit
zu
im
, also
.
Zwei Normen
nennt man äquivalent , wenn es zwei Zahlen
gibt, so daß für
gilt.
Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent.
Unter einem Teilraum eines normierten Raums versteht man einen abgeschlossenen linearen Teilraum.
Vektorverbände
●
●
Vektorverband
Positiver und negativer Teil, Modul eines Elements
Spatprodukt bei Rauminversion
Das Spatprodukt
aus den polaren Vektoren
und
des Skalarproduktes bei Rauminversion ein Pseudoskalar , da der Faktor
Vorzeichen des Spatproduktes ändert sich bei Rauminversion.
ist in Übereinstimmung mit dem Verhalten
ein axialer Vektor ist. Das
Positive Richtung
Die positive Richtung ist bei Angabe einer Kurve in der Schreibweise (3.464) und (3.466) die Richtung wachsender
Parameterwerte
, bei (3.465a) und (3.467) die Richtung, in der die Bogenlängenmessung erfolgt.
Windung einer Kurve
Windung einer Kurve im Punkt
wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der unmittelbaren Nähe dieses
Punktes von einer ebenen Kurve angibt. Die exakte Definition lautet:
(3.476)
Dabei ist
der Binormalenvektor.
1. Windungsradius
(3.477)
Der Windungsradius ist der Kehrwert der Windung.
2. Formeln zur Berechnung von
a) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß
(3.465a):
(3.478)
wobei die Ableitungen nach
vorzunehmen sind.
b) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß
(3.464):
(3.479)
wobei
gemäß (3.474) zu berechnen ist.
Die mit (3.478, 3.479) berechnete Windung kann positiv oder negativ sein. Im Falle
sieht ein Beobachter, der
auf der Hauptnormalen parallel zur Binormalen steht, die Windung der Kurve im Rechtsdrehsinn, im Falle
Linksdrehsinn.
Beispiel
Die Windung einer Schraubenlinie ist konstant, denn für die Rechtsschraube
bzw. Linksschraube
gilt:
im
Richtung im Raum
Eine Richtung im Raum wird mit Hilfe eines Einheitsvektors
festgelegt, dessen Koordinaten die
Richtungskosinusse sind, d.h. die Kosinusse der Winkel zwischen der zu beschreibenden Richtung und den positiven
Koordinatenachsen
(3.356a)
Der Winkel
zwischen zwei durch ihre Richtungskosinusse
und
bestimmte Richtungen
berechnet sich gemäß
(3.356b)
Zwei Richtungen stehen aufeinander senkrecht, wenn gilt
(3.356c)
Raumwinkel
Im Raum bildet ein von einem Punkt ausgehendes Strahlenbüschel einen Raumwinkel .
Dieser wird mit
bezeichnet und gemäß
(3.101a)
berechnet. Dabei bedeutet
das Oberflächenstück, das der Raumwinkel aus einer Kugel ausschneidet, die den
hat und deren Mittelpunkt mit der Spitze des Strahlenbüschels zusammenfällt. Die Einheit des
Radius
Raumwinkels ist der Steradiant (sr). Es gilt:
(3.101b)
d.h., ein Raumwinkel von 1 sr schneidet auf der Einheitskugel (
m) eine Fläche der Größe
aus.
Beispiel
Der volle Raumwinkel beträgt
Beispiel
Ein Kegel mit dem Öffnungswinkel
beschreibt den Raumwinkel
wobei die Formel für den Kugelabschnitt (3.150) berücksichtigt wurde.
Rechenregeln
Für die Anwendung der Z-Transformation ist es wichtig zu wissen, wie sich gewisse Operationen an den
Originalfolgen in entsprechenden Operationen an den Bildfunktionen widerspiegeln und umgekehrt. Im folgenden sei
für
●
●
●
●
.
Translation
Summation und Differenzenbildung
Dämpfung und Faltung
Differentiation und Integration der Bildfunktion
Skalen
Grundlage einer Skala ist eine Funktion
Zu dieser Funktion konstruiert man eine Skala , indem man
auf einer Kurve, z.B. einer Geraden, die Funktionswerte
als Längen abträgt, aber mit dem Argument
beziffert.
Man kann somit eine Skala als eindimensionale Darstellung der Wertetabelle einer Funktion auffassen.
Die Skalengleichung zur Funktion
lautet:
(2.258)
Durch
wird der Anfangspunkt der Skala festgelegt. Mit dem Maßstabsfaktor
wird berücksichtigt, daß für eine
konkrete Skala nur eine bestimmte Länge zur Verfügung steht.
Beispiel A
Logarithmische Skala :
Für
cm und
lautet ihre Skalengleichung
(in cm).
Zur Wertetabelle
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0,30 0,48 0,60 0,70 0,78 0,85 0,90 0,95 1
erhält man die folgende Skala:
Ihre wichtigste Anwendung, historisch gesehen, fand die logarithmische Skala beim logarithmischen Rechenschieber
. Bei diesem werden z.B. Multiplikation und Division mit Hilfe zweier logarithmischer Skalen, die den gleichen
Maßstabsfaktor haben und gegeneinander verschiebbar angebracht sind, durchgeführt. Aus der folgenden Abbildung
liest man ab:
d.h.
, d.h.
also
also
Beispiel B
Volumenskala auf einem kegelförmigen Meßbecher:
Auf dem Mantel eines Trichters ist eine Skala zum Ablesen des Volumens anzubringen. Die Maße des
Trichters seien: Höhe
cm, Durchmesser
cm. Mit Hilfe der folgenden linken Abbildung
läßt sich die Skalengleichung wie folgt herleiten: Volumen
Mantellinie
Daraus folgt
Skalengleichung
,
so daß sich die
ergibt. Mit Hilfe der Wertetabelle
erhält man dann die Markierung auf dem Trichter gemäß der rechten Abbildung.
Rechenschieber
Neben den Logarithmen war der Rechenschieber eines der wichtigsten Hilfsmittel in der rechnerischen Praxis. Das
Prinzip des Rechenschiebers beruht auf der Anwendung der Formel (1.19a), die es ermöglicht, Multiplikationen und
Divisionen mit Hilfe von Additionen und Subtraktionen auszuführen. Daher sind auf dem Rechenschieber die
Strecken im logarithmischen Maßstab abgetragen, so daß die genannten Rechenoperationen auf die Addition und
Subtraktion von Strecken zurückgeführt werden können (s. Beispiel Rechenschieber).
Beispiele zum numerischen Rechnen
An einigen Beispielen sei die Problematik des zweckmäßigen Vorgehens beim numerischen Rechnen verdeutlicht.
Beispiel A: Wurzeln der quadratischen Gleichung
mit reellen Koeffizienten
und
(reelle Wurzeln).
Kritische Situationen ergeben sich für
Vorgehen:
a)
b)
Durch das direkte Auflösungsverfahren ist die Auslöschung bei der Berechnung von
nicht zu
beseitigen. Da jedoch der Summand
betragsmäßig überwiegt, tritt eine erhebliche Fehlerdämpfung
ein.
bei
Beispiel B: Beispiel Volumen der dünnen Kugelschale für
ergibt wegen
starke Auslöschung,
ergibt jedoch keine Auslöschung.
Beispiel C: Beispiel Bildung einer Summe
Für die Summe
werde eine Genauigkeit von drei Stellen
gefordert. Bei 8stelliger Rechnung müßten annähernd 6000 Summanden berücksichtigt werden. Nach der
erhält man
identischen Umformung
. Mit dieser Umformung
sind nur noch acht Summenglieder zu berücksichtigen.
Beispiel D: Beispiel Beseitigung der
-Situation
Die
-Situation der Funktion
für
kann durch Erweiterung mit
beseitigt werden.
Beispiel E: Beispiel eines instabilen rekursiven Prozesses
Algorithmen der allgemeinen Form
sind dann stabil, wenn die Bedingung
erfüllt ist.
Für den speziellen Fall
nämlich
und
die Fehler
liegt Instabilität vor. Besitzen
und
, so ergeben sich für
Damit ist für die Parameter
Rechenprozeß instabil.
die Fehler
und
der
Beispiel F: Beispiel Numerische Integration einer Differentialgleichung
Für die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung
(19.283)
und der Anfangsbedingung
sollen die Probleme bei der numerischen Berechnung etwas ausführlicher
dargestellt werden.
a) Natürliche Instabilität: Neben der exakten Lösung
exakten Anfangsbedingung
sei
die Lösung zu einer gegenüber der
fehlerbehafteten Anfangsbedingung. Für die gestörte Lösung wird
ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Ansatz
(19.284a)
gemacht, wobei
von
ein Parameter mit
und
eine sogenannte Störfunktion ist. Unter Beachtung
ergibt sich bei Anwendung der Taylor-Entwicklung
(19.284b)
die sogenannte Differentialvariationsgleichung
(19.284c)
Die Lösung des Problems mit
lautet dann
(19.284d)
Für
führt eine kleine Anfangsstörung
zu unbeschränkt wachsender Störung
. Damit liegt natürliche
Instabilität vor.
b) Untersuchung des Verfahrensfehlers mit der Trapezformel: Mit
Differentialgleichung
ergibt sich die stabile
mit der exakten Lösung
(19.285a)
Die Trapezformel lautet
(19.285b)
Angewendet auf die angegebene Differentialgleichung erhält man
(19.285c)
Mit
und daraus
erhält man für
(19.285d)
Unter der Voraussetzung
Lösung
gilt dann
, und damit strebt für
auch
gegen die exakte
.
c) Eingangsfehler: Unter b) war vorausgesetzt worden, daß exakter und näherungsweiser Anfangswert
übereinstimmen. Jetzt soll das Verhalten untersucht werden, wenn
mit
gilt.
(19.286a)
Damit ist
höchstens von der gleichen Größenordnung wie
, und das Verfahren ist bezüglich des
Anfangswertes stabil.
Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß für den Fall der numerischen Lösung der obigen Differentialgleichung mit der
SIMPSON-Formel künstlich Instabilitäten eingeführt werden. So würde sich in diesem Fall beispielsweise die
allgemeine Lösung
(19.286b)
für
ergeben. Der Grund besteht darin, daß das numerische Lösungsverfahren Differenzen höherer Ordnung
benutzt, als es der Ordnung der Differentialgleichung entspricht.
Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
●
●
●
Einführung, Fehlerarten
Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen
Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen
●
●
Fehlerarten
Beispiele zum numerischen Rechnen
Rechteckimpuls
Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Hakenintegrals und des Lemmas von JORDAN ist die Darstellung des
Rechteckimpulses :
(14.61a)
(14.61b)
(S. auch Rechteckimpuls.)
Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
1. Schwerpunkt
des Bogenstückes:
2. Schwerpunkt
einer geschlossenen Kurve:
3. Erste GULDINsche Regel:
4. Schwerpunkt eines Trapezes:
5. Schwerpunkt
einer beliebigen ebenen Figur:
6. Zweite GULDINsche Regel:
Schwerpunkte, GULDINsche Regeln
1. Schwerpunkt
Der Schwerpunkt
des Bogenstückes:
des Bogenstückes einer homogenen ebenen Kurve
im Intervall
mit der
Länge
(s. Abbildung) unter Berücksichtigung von (8.60a):
(8.70)
2. Schwerpunkt
Der Schwerpunkt
einer geschlossenen Kurve:
einer geschlossenen Kurve (s. Abbildung) mit den Gleichungen
für den oberen
und
für den unteren Kurventeil und der Gesamtlänge
ergibt sich zu:
(8.71)
3. Erste GULDINsche Regel:
Die Oberfläche
eines Körpers, die bei Rotation eines ebenen Kurvenstückes um eine Achse entsteht, die in der
Ebene dieser Kurve liegt und die Kurve nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Kreises, den
der Schwerpunkt des Kurvenstückes bei der Rotation im Abstand
, und der Länge des Kurvenstückes
von der Umdrehungsachse beschreibt, also
:
(8.72)
4. Schwerpunkt eines Trapezes:
Der Schwerpunkt
eines homogenen, zwischen den Kurvenpunkten
(s. Abbildung) mit dem Flächeninhalt
des Trapezes und der Gleichung
und
krummlinig begrenzten Trapezes
des Kurvenstückes
ergibt sich zu:
(8.73)
5. Schwerpunkt
Der Schwerpunkt
einer beliebigen ebenen Figur:
einer beliebigen ebenen Figur (s. Abbildung) mit der Fläche
durch Kurven mit den Gleichungen
bzw.
, oben und unten begrenzt
, berechnet sich gemäß:
(8.74)
Formeln zur Berechnung von Schwerpunkten mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind in der Tabelle Anwendung von
Doppelintegralen und in der Tabelle Anwendung von Dreifachintegralen angegeben.
6. Zweite GULDINsche Regel:
Der Rauminhalt eines Körpers
, der bei Rotation einer ebenen Figur um eine Achse entsteht, die in der
Figurenebene liegt und die Figur nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Kreises, den der
Schwerpunkt dieser Fläche bei der Rotation beschreibt, also
, und dem Flächeninhalt der Figur
:
(8.75)
Kognitive Systeme
Zur Erläuterung der Methode soll das bekannte Beispiel der Regelung eines, auf einer beweglichen Unterlage
aufrechtstehenden Pendels (Pendel auf beweglicher Unterlage) mit dem MAMDANI-Regelungskonzept behandelt
werden.
Ziel der Regelung ist es, das Pendel so in der Balance zu halten, daß der Pendelstab vertikal steht, d.h. die
, die
Winkelabweichung vom Lot und die Winkelgeschwindigkeit zu Null werden. Das kann durch die Kraft
Stellgröße, die auf das untere Ende des Pendels einwirkt, erreicht werden. Dazu wird das Modell eines menschlichen
,,Kontrollexperten``(kognitive Aufgabe) zugrunde gelegt. Der Experte formuliert sein Wissen in Form linguistischer
Regeln. Linguistische Regeln bestehen im allgemeinen aus einer Prämisse, d.h. einer Spezifikation der Werte für die
Meßgrößen, und einer Konklusion, die einen geeigneten Stellwert angibt.
Für jede der Wertemengen
für die Meßgrößen und
für die Stellgröße sind geeignete
linguistische Terme wie ,,ungefähr Null``, ,,positiv klein`` usw. festzulegen. Dabei kann ,,ungefähr Null`` bezüglich der
Meßgröße
●
●
●
●
durchaus eine andere Bedeutung besitzen als für die Meßgröße
Pendel auf beweglicher Unterlage: Modellierung der Aufgabe
Pendel auf beweglicher Unterlage: Regelauswahl
Pendel auf beweglicher Unterlage: Entscheidungslogik
Pendel auf beweglicher Unterlage: Defuzzifizierung
.
Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen
●
●
Bestimmung der Regressionsgeraden
Vertrauensgrenzen für den Regressionskoeffizienten
Mehrdimensionale Regression
●
●
●
●
Funktionaler Zusammenhang
Vektorschreibweise
Lösungsansatz und Normalgleichungssystem
Hinweise:
Vektorschreibweise
Es ist zweckmäßig, im mehrdimensionalen Fall zur vektoriellen Schreibweise
(16.145)
überzugehen, so daß (16.144) jetzt lautet:
(16.146)
Regula falsi
1. Vorschrift der Regula falsi: Zur Lösung der Nullstellengleichung
verfährt die Regula falsi nach der
Vorschrift
(19.10)
d.h., sie benutzt nur Funktionswerte und geht aus dem NEWTON-Verfahren (19.6) dadurch hervor, daß die Ableitung
durch den Differenzenquotienten von
zwischen
und einem vorhergehenden Näherungswert
ersetzt wird.
2. Geometrische Interpretation: Die geometrische Interpretation der Regula falsi ist in der folgenden Abbildung
dargestellt:
Die Grundidee der Regula falsi besteht in der lokalen Approximation der Kurve
3. Konvergenz: Das Verfahren (19.10) konvergiert sicher, wenn man
durch eine Sekante.
jeweils so wählt, daß
und
verschiedene Vorzeichen haben. Ist bei fortgeschrittener Iteration die Konvergenz bereits gesichert, so
wird sie beschleunigt, wenn man ohne Rücksicht auf die Vorzeichenbedingung
Beispiel
setzt.
Falls sich im Verlaufe der Rechnung die Werte
nur noch unwesentlich ändern, kann auf ihre
Neuberechnung verzichtet werden.
4. STEFFENSEN-Verfahren: Durch Anwendung der Regula falsi mit
auf die Gleichung
läßt sich häufig die Konvergenz wesentlich beschleunigen oder im Falle
sogar erzwingen. Diese Vorgehensweise ist unter dem Namen STEFFENSEN-Verfahren bekannt
geworden.
Beispiel
Zur Lösung der Gleichung
mit Hilfe des STEFFENSEN-Verfahrens soll die Gleichung
benutzt werden.
Anwendung
Die Singulärwertzerlegung kann zur Rangbestimmung einer Matrix A vom Typ
überbestimmter linearer Gleichungssysteme
und zur genäherten Lösung
nach dem sogenannten Regularisierungsverfahren , d.h. zur
Lösung der Aufgabe
(4.141)
eingesetzt werden, wobei
ein Regularisierungsparameter ist.
Arithmetische Reihe 1. Ordnung
Arithmetische Reihe 1. Ordnung heißt die Reihe
(1.56), wenn
die Differenz von je zwei aufeinanderfolgenden Summanden konstant ist, d.h. wenn gilt:
(1.57a)
Somit wird
(1.57b)
(1.57c)
Reihen in normierten Räumen
In einem normierten Raum kann man Reihen von Elementen
(12.85)
betrachten. Eine Reihe heißt konvergent , wenn die Folge der Partialsummen einen Grenzwert besitzt:
(12.86)
Der Grenzwert
heißt dann Summe der Reihe, wofür man auch
heißt absolut konvergent , wenn die Zahlenreihe
konvergente Reihe konvergent, wobei für ihre Summe
schreibt. Eine Reihe
konvergiert. Im BANACH-Raum ist jede absolut
gilt.
Endliche Reihen
●
●
●
●
Arithmetische Reihen
Geometrische Reihe
Spezielle endliche Reihen
Mittelwerte
Geometrische Reihe
Die Summe (1.56) wird geometrische Reihe genannt, wenn der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern
konstant ist, d.h. wenn gilt:
(1.59a)
Somit wird
(1.59b)
(1.59c)
Für
erhält man eine unendliche geometrische Reihe, die im Falle
den folgenden Grenzwert hat:
(1.59d)
Reihen mit konstanten Gliedern
●
●
●
●
●
Allgemeine Konvergenzsätze
Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
Absolute und bedingte Konvergenz
Einige spezielle Reihen
Abschätzung des Reihenrestes
Reihenrest
Unter dem Rest oder dem Restglied einer konvergenten Reihe
ihrer Summe
und der Partialsumme
versteht man die Differenz zwischen
:
(7.19)
Algebraische Funktionen
●
●
●
Binomische Reihe
Binomische Reihe mit positiven Exponenten
Binomische Reihe mit negativen Exponenten
Areafunktionen
Funktion
Arsinh
Arcosh
Artanh
Potenzreihenentwicklungen
Konvergenzbereich
Arcoth
Binomische Reihe
Nach Umformung auf die Gestalt
wird man auf die nachfolgenden Reihen geführt.
, wobei
, für
und
für
,
Binomische Reihe mit negativen Exponenten
Funktion
Potenzreihenentwicklungen
Konvergenzbereich
Binomische Reihe mit positiven Exponenten
Funktion
Potenzreihenentwicklungen
Konvergenzbereich
Exponentialfunktionen
Funktion
Potenzreihenentwicklungen
Konvergenzbereich
Hyperbelfunktionen
Funktion Potenzreihenentwicklungen
sinh
cosh
tanh
Konvergenzbereich
coth
sech
cosech
Inverse trigonometrische Funktionen
Funktion Potenzreihenentwicklungen
arcsin
arccos
Konvergenzbereich
arctan
arctan
arccot
Logarithmische Funktionen
Funktion
Potenzreihenentwicklungen
Konvergenzbereich
= 2 Artanh
ln
= 2 Arcoth
ln sin
ln
ln cos
ln tan
ln
Potenzreihenentwicklungen
●
●
●
●
●
●
●
Algebraische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Exponentialfunktionen
Logarithmische Funktionen
Inverse trigonometrische Funktionen
Hyperbelfunktionen
Areafunktionen
Trigonometrische Funktionen
Funktion
Potenzreihenentwicklungen
Konvergenzbereich
Rektifizierung
Vorausgesetzt, zwischen
und
besteht eine bestimmte Abhängigkeit, dann werden in der gewählten
Näherungsformel zwei Funktionen
(2.244a)
und
(2.244b)
derart substituiert, daß eine lineare Beziehung der Form
(2.244c)
entsteht, wobei
und
Werden für die gegebenen
Konstanten sind.
- und
-Werte die zugehörigen
- und
-Werte berechnet und graphisch
dargestellt, dann kann leicht erkannt werden, ob die zugehörigen Punkte annähernd auf einer Geraden liegen.
Danach ist zu entscheiden, ob die gewählte Formel geeignet ist oder nicht.
Beispiel A
Lautet die Näherungsformel
erhält
dann kann
gesetzt werden, und man
.
Es wäre auch die Substitution
möglich. Dann erhielte man
.
Beispiel B
Einfach-logarithmische Darstellung.
Beispiel C
Doppelt-logarithmische Darstellung.
Zur Entscheidung, ob empirische Daten einer linearen Beziehung
genügen, kann die lineare
Regression und Korrelation herangezogen werden. Die Zurückführung eines funktionalen Zusammenhangs auf eine
lineare Beziehung wird Rektifizierung genannt.
Im Unterkapitel Gebräuchlichste empirische Formeln werden Beispiele für die Rektifizierung einiger Formeln
gegeben, einschließlich eines vollständig durchgerechneten Beispiels.
Relationen und Abbildungen
●
●
●
●
●
-stellige Relationen
Binäre Relationen
Relationenprodukt, inverse Relation
Eigenschaften binärer Relationen
Abbildungen
Fuzzy-wertige Relationen
●
Fuzzy-Relationen
●
Fuzzy-Relationenprodukt
Relationenprodukt, inverse Relation
Relationen sind spezielle Mengen, so daß zwischen Relationen die üblichen Mengenoperationen ausgeführt werden
können. Für zweistellige Relationen sind darüber hinaus das Relationenprodukt und die inverse Relation von
und
Bedeutung. Es seien
Relationen
und
zweistellige Relationen. Dann ist das Produkt
der
durch
(5.68)
definiert. Das Relationenprodukt ist assoziativ, aber nicht kommutativ.
Die inverse Relation
einer Relation
ist durch
(5.69)
festgelegt.
Für binäre Relationen in einer Menge
gelten folgende Beziehungen:
(5.70)
(5.71)
(5.72)
(5.73)
(5.74)
-stellige Relationen
Relationen beschreiben Beziehungen zwischen den Elementen einer oder verschiedener Mengen. Eine
Relation
zwischen den Mengen
ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts dieser Mengen, d.h.
Sind die Mengen
und
heißt
-stellige
-stellige Relation in der Menge
sämtlich gleich der Menge
so wird
Rente
Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten wiederkehren, und zwar in gleicher oder unterschiedlicher Höhe,
vorschüssig oder nachschüssig, werden als Renten bezeichnet. Man unterscheidet:
a) Einzahlungen
Rentenbeträge werden auf ein Konto eingezahlt und mit Zinseszins verzinst. Es werden die Formeln der
Zinseszinsrechnung angewendet.
b) Rückzahlungen
Die Rentenzahlungen erfolgen aus einem Kapital, das mit Zinseszins angelegt ist. Es werden die Formeln der
Tilgungsrechnung angewendet, wobei die Annuität zur Rente wird. Falls höchstens die jeweils anfallenden
Zinsen als Rente ausgezahlt werden, spricht man von einer ewigen Rente .
Rentenzahlungen (Ein- wie Rückzahlungen) können zu den Zinsterminen, d.h. Zinstermin = Rententermin, oder in
kürzeren Abständen innerhalb der Zinsperioden, d.h. unterjährig, vorgenommen werden.
Kontostand nach
Rentenzahlungen
Zur nachschüssigen Rentenzahlung stehe ein Kapital
Zinstermin werde der Rentenbetrag
zur Verfügung, das mit
ausgezahlt. Der Kontostand
nach
verzinst wird. Zu jedem
Zinsperioden, also auch nach
Rentenzahlungen, beträgt:
(1.92a)
Folgerungen aus dieser Gleichung:
(1.92b)
Es ergibt sich
d.h., das Kapital ändert sich nicht. Es liegt der Fall der ewigen Rente vor.
(1.92c)
Das Kapital wird aufgebraucht, und zwar nach
Rentenzahlungen. Aus (1.92a) folgt dann für
:
(1.92d)
Wird eine unterjährige Verzinsung und eine unterjährige Rentenzahlung vorgenommen, dann ist in den Formeln
(1.90) bis (1.92a)
durch
und entsprechend
die ursprüngliche Zinsperiode in
durch
zu ersetzen, wenn
gleich lange neue Zinsperioden unterteilt wird.
Beispiel
Welcher Betrag muß 20 Jahre lang monatlich nachschüssig eingezahlt werden, damit daran anschließend
20 Jahre lang monatlich eine Rente von 2000.-DM gezahlt werden kann? Die Verzinsung erfolge monatlich
mit
.
Aus (1.92d) erhält man für
die Summe
, die für die anschließenden
Rentenzahlungen benötigt wird:
notwendigen monatlichen Einzahlungen
279 161,54 DM. Die dazu
ergeben sich aus (1.90):
DM.
Nachschüssig konstante Rente
●
Rentenbarwert und Rentenendwert
●
Kontostand nach
Rentenzahlungen
Rentenbarwert und Rentenendwert
Die Termine für Zinsberechnung und Rentenzahlung sollen übereinstimmen. Die Verzinsung erfolge mit
Zinseszins, und die Rentenbeträge sollen von der gleichen Höhe
welchen Betrag die regelmäßigen Einzahlungen nach
sein. Dann gibt der Rentenendwert
an, auf
Zinsperioden angewachsen sind:
(1.90)
Der Rentenbarwert
nach
stellt den Betrag dar, der zu Beginn der 1. Zinsperiode (einmalig) eingezahlt werden muß, um
Zinsperioden mit Zinseszins auf den Rentenendwert
angewachsen zu sein:
(1.91)
Beispiel
Von einer Gesellschaft hat jemand 10 Jahre lang jeweils zum Jahresende 5000.-DM zu beanspruchen. Vor
der 1. Zahlung hat die Firma Konkurs angemeldet. Als Forderung an den Konkursverwalter kann nur der
Barwert
geltend gemacht werden. Bei Zinsen von
pro Jahr gilt:
DM.
Rentenrechnung
●
●
Rente
Nachschüssig konstante Rente
Vergleich mit der linearen Algebra, Residualspektrum
Ein wesentlicher Unterschied zwischen dem endlichdimensionalen Fall, der im wesentlichen in der linearen Algebra
betrachtet wird, und der Situation im unendlichdimensionalen Fall, mit dem sich die Funktionalanalysis befaßt,
besteht zumindest an dieser Stelle darin, daß in ersterem stets
gilt, während in letzterem das
Spektrum in der Regel Punkte enthält, die keine Eigenwerte von
sind. Ist
injektiv und surjektiv, dann
gilt wegen des Satzes über die Stetigkeit des Inversen
. Im Kontrast zum endlichdimensionalen Fall, bei
dem die Surjektivität automatisch aus der Injektivität folgt, muß im unendlichdimensionalen Falle weitaus
differenzierter vorgegangen werden.
Die Menge
aller
, für die
stetiges oder kontinuierliches Spektrum und die Menge
injektiv und
aller der
dicht in
, mit injektivem
nichtdichtem Wertebereich, heißt Rest- oder Residualspektrum des Operators
.
liegt, heißt
und
Für einen beschränkten linearen Operator
im komplexen BANACH-Raum
gilt die disjunkte Vereinigung
(12.156)
Anwendung des Residuensatzes
Mit Hilfe des Residuensatzes mit der Integrationsformel
(14.57a)
können eine Reihe bestimmter Integrale von Funktionen einer Veränderlichen berechnet werden. Wenn
eine
Funktion ist, die in der gesamten oberen Halbebene einschließlich der reellen Achse analytisch ist, ausgenommen
die singulären Punkte
, die oberhalb der reellen Achse liegen sollen (s. Abbildung),
und wenn eine Wurzel der Gleichung
von der Vielfachheit
ist, dann gilt:
(14.57b)
Beispiel
Berechnung des Integrals
.
besitzt die sechsfache Wurzel
Die Gleichung
Die Funktion
ein Pol mit der Vielfachheit
und
hat in der oberen Halbebene den einzigen singulären Punkt
ist, denn die Gleichung
.
, der
hat zwei dreifache Wurzeln bei
. Das Residuum berechnet sich gemäß (14.54b) zu
. Aus
folgt
, und mit (14.57b):
.
Weitere Anwendungen der Residuentheorie s. z.B. Lit. 14.18.
Residuensatz
Mit Hilfe der Residuen kann man den Wert eines Integrals über einen geschlossenen Weg berechnen, der isolierte
singuläre Punkte umschließt (s. Abbildung).
Ist die Funktion
in einem einfach zusammenhängenden Gebiet
, das von der geschlossenen Kurve
begrenzt wird, mit Ausnahme der endlich vielen Punkte
eindeutig und analytisch, dann ist der
Wert des im Gegenuhrzeigersinn über den geschlossenen Weg genommenen Integrals gleich dem Produkt aus
und der Summe der Residuen in allen diesen singulären Punkten:
(14.55)
Beispiel
Die Funktion
haben die Summe
hat die Pole 1. Ordnung
. Daher gilt, wenn
. Die zugehörigen Residuen
ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius
ist,
Residuum
Den Koeffizienten
der Potenz
Residuum der Funktion
im singulären Punkt
in der LAURENT-Entwicklung von
bezeichnet man als
:
(14.54a)
Das zu einem Pol
-ter Ordnung gehörende Residuum kann mit der Formel
(14.54b)
berechnet werden.
Wenn die Funktion als Quotient gemäß
und
im Punkt
dargestellt werden kann, wobei die Funktionen
analytisch und
eine einfache Wurzel der Gleichung
ist, dann ist der Punkt
so daß
sein soll,
ein Pol 1. Ordnung der Funktion
. Mit
(14.54b) ergibt sich:
(14.54c)
Wenn
eine
-fache Wurzel der Gleichung
ist, d.h., wenn
ist, dann ist der Punkt
ein
-facher Pol der Funktion
.
Bestimmung der Resolvente
Läßt man
gegen unendlich gehen, dann erhalten die Determinanten
und
unendlich viele Zeilen
und Spalten. Die Determinante
(11.19a)
wird benutzt, um den lösenden Kern (Resolvente)
in der folgenden Form darzustellen:
(11.19b)
(vgl. Konvergenz der NEUMANNschen Reihe). Es gilt die Aussage, daß alle Nullstellen von
sind. Gleichzeitig sind die
mit
Polstellen von
genau die Eigenwerte der Integralgleichung (11.15). In
diesem Fall besitzt die homogene Integralgleichung nicht verschwindende Lösungen, die Eigenfunktionen zum
Eigenwert
. Die Kenntnis der Resolvente
Lösungsdarstellung:
ermöglicht, falls
, eine explizite
(11.19c)
Zur Ermittlung der Resolvente nutzt man für die Funktionen
bezüglich
und
Potenzreihenentwicklungen
:
(11.20a)
Es ist dabei
. Die weiteren Koeffizienten lassen sich aus folgenden
Rekursionsformeln gewinnen:
(11.20b)
Beispiel A
.
Die exakte Lösung dieser Integralgleichung lautet:
.
Für
mit
erhält man
.
ist eine Näherung für den exakten Eigenwert
des Systems (11.17b) ermittelt man für
das Ergebnis
Nach Einsetzen dieses Resultates lauten die zweite und dritte Gleichung:
. Aus der ersten Gleichung
.
.
Dieses System hat die Lösung
. Speziell für
. Die exakten Lösungswerte lauten:
.
Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, muß die Anzahl der Stützstellen vergrößert werden.
Beispiel B
ist
.
,
,
,
.
Damit sind auch
und alle folgenden Größen
und
.
gleich Null.
Aus
Falls
ermittelt man die 2 Eigenwerte
.
kein Eigenwert ist, erhält man als Lösung
.
Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
Bei Untersuchungen zur Lösbarkeit von Gleichungen ist man bestrebt, das Problem auf die Form
(12.149)
mit einem Operator
von möglichst kleiner Norm zu bringen, da diese wegen (12.139) und (12.140) für eine
zu
funktionalanalytische Behandlung besonders zugänglich ist. Um mit der Theorie auch große Werte von
erfassen, untersucht man in einem komplexen BANACH-Raum
die gesamte Schar von Gleichungen
(12.150)
Sei
ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im BANACH-Raum
komplexen Zahlen, für die
1.
aller
gilt, heißt Resolventenmenge und der Operator
Resolvente . Sei jetzt
komplexen BANACH-Raum
. Die Menge
. Dann gelten die Aussagen:
ein beschränkter linearer Operator in einem
Die Menge
ist offen. Genauer, ist
und genügt
der Ungleichung
(12.151)
dann existiert
, und es gilt
(12.152)
2.
. Genauer, für
mit
existiert
und
(12.153)
3.
, wenn
, und
.
4.
, wenn
5.
.
, wenn
Für ein beliebiges Funktional
Funktion auf
und beliebiges
ist
eine holomorphe
.
6.
Für beliebige
gilt
(12.154)
Restklassen, Restklassenring
1. Restklassen modulo
: Da die Kongruenz modulo
Relation eine Klasseneinteilung von
eine Äquivalenzrelation in
ist, induziert diese
in Restklassen modulo m :
(5.166)
Die Restklasse ,,
lassen. Es gilt
modulo
`` besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch
genau dann, wenn
mod
den gleichen Rest wie
ist.
Zum Modul
gibt es genau
Restklassen, zu deren Beschreibung man in der Regel ihre kleinsten
nichtnegativen Repräsentanten verwendet:
(5.167)
2. Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation: In der Menge
der Restklassen modulo
wird durch
(5.168)
(5.169)
eine Restklassenaddition bzw. Restklassenmultiplikation erklärt.
Diese Restklassenoperationen sind unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten, d.h., aus
(5.170a)
folgt
(5.170b)
und
(5.170c)
3. Restklassenring modulo
: Die Restklassen modulo
bilden bezüglich der Restklassenaddition und
Restklassenmultiplikation einen Ring mit Einselement, den Restklassenring modulo m . Ist
dann ist der Restklassenring modulo
ein Körper.
eine Primzahl,
Prime Restklassen
Eine Restklasse
dann sind alle von
mit ggT
nennt man eine prime Restklasse modulo m . Ist
eine Primzahl,
verschiedenen Restklassen prime Restklassen modulo
Die primen Restklassen modulo
bilden bezüglich der Restklassenmultiplikation eine ABELsche Gruppe, die prime
Restklassengruppe modulo m . Die Ordnung dieser Gruppe ist
Beispiel A
sind die primen Restklassen modulo 8.
Beispiel B
sind die primen Restklassen modulo 5.
Dabei ist
die EULERsche Funktion.
Beispiel C
Es gilt
Primitive Restklassen
Eine prime Restklasse
die Ordnung
wird primitive Restklasse genannt, wenn sie in der primen Restklassengruppe modulo
hat.
Beispiel A
ist eine primitive Restklasse modulo 5, denn
Beispiel B
Es gibt keine primitive Restklasse modulo 8, denn
der primitiven Restklassengruppe die Ordnung 2.
hat die Ordnung 1, und
haben in
Hinweis: Es existiert genau dann eine primitive Restklasse modulo
gilt, wobei
eine ungerade Primzahl und
Existiert eine primitive Restklasse modulo
Gruppe.
wenn
oder
eine natürliche Zahl ist.
dann ist die prime Restklassengruppe modulo
eine zyklische
Körpererweiterungen
Es seien
und
Körper. Gilt
, so heißt
Körpererweiterung über
.
Beispiel A
und
Die Zahlenbereiche
mit Einselement;
und
sind bezüglich der Addition und Multiplikation kommutative Ringe
sind sogar Körper.
Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Beispiel für einen Ring ohne Einselement.
Die Menge
ist der Erweiterungskörper von
.
Beispiel B
Die Menge
aller
-reihigen Matrizen über den reellen Zahlen bildet einen nichtkommutativen Ring
mit der Einheitsmatrix als Einselement.
Beispiel C
Die Menge der reellen Polynome
bildet bezüglich
der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen einen Ring, den Polynomring
kann man anstelle des Polynomringes über
mit Einselement betrachten.
Allgemeiner
auch Polynomringe über beliebigen kommutativen Ringen
Beispiel D
Beispiele für endliche Ringe sind die Restklassenringe
von ganzen Zahlen, die bei der Division durch
durch die ganze Zahl
besteht aus allen Klassen
den gleichen Rest lassen. Mit
bestimmte Äquivalenzklasse bezüglich der Relation
wird die
bezeichnet. Dabei sind
durch
(5.109)
Ringoperationen
sogar ein Körper.
auf
erklärt. Ist die natürliche Zahl
eine Primzahl, so wird
Gradient und Richtungsableitung
Die Richtungsableitung der skalaren Feldfunktion
Vektors
nach dem Einheitsvektor
auf die Richtung des Einheitsvektors
ist gleich der Projektion des
:
(13.32)
d.h., die Richtungsableitung ist als Skalarprodukt des Richtungsvektors mit dem Gradienten des Feldes
beschreibbar.
Richtungsableitung eines skalaren Feldes
Die Richtungsableitung des skalaren Feldes
Vektor
(s. Abbildung)
in einem Punkt
mit dem Ortsvektor
nach einem
ist definiert als Grenzwert des Quotienten
(13.27)
Wenn die Ableitung des Feldes
mit
in einem Punkt
nach der Richtung des Einheitsvektors
bezeichnet wird, dann besteht zwischen den Ableitungen der Funktion nach dem Vektor
seinem Einheitsvektor
von
und nach
in ein und demselben Punkt die Beziehung
(13.28)
Die Ableitung
vom Punkt
nach dem Einheitsvektor ist ein Maß für die Stärke, mit der die Funktion
aus anwächst. Unter allen Ableitungen in einem Punkt nach den verschiedenen Richtungen der
Einheitsvektoren besitzt die Ableitung
Niveaufläche, auf der der Punkt
Richtung
in Richtung
den größten Wert. Dabei ist
der Normaleneinheitsvektor zur
liegt. Zwischen den Richtungsableitungen bezüglich
besteht der Zusammenhang
und einer beliebigen
(13.29)
Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes
In Analogie zur Richtungsableitung eines skalaren Feldes gibt es die Richtungsableitung eines Vektorfeldes. Die
Richtungsableitung des Vektorfeldes
in einem Punkt
mit dem Ortsvektor
(s. Abbildung)
nach einem Vektor
ist definiert als Grenzwert des Quotienten
(13.30a)
Wenn die Ableitung des Vektorfeldes
in einem Punkt
nach der Richtung des Einheitsvektors
von
mit
bezeichnet wird, dann gilt:
(13.30b)
In kartesischen Koordinaten, d.h.
, gilt
(13.30c)
oder in allgemeinen Koordinaten
(13.30d)
Kartesische Koordinaten
Gemäß (3.242c) kann jeder Vektor
eindeutig in eine Summe von Vektoren zerlegt werden, die parallel zu
den Grundvektoren des Koordinatensystems
stehen:
(3.244a)
wobei die Skalare
und
die kartesischen Koordinaten des Vektors
Einheitsvektoren des Koordinatensystems
im System mit den
sind. Man schreibt dafür auch
(3.244b)
Die durch die drei Einheitsvektoren festgelegten Richtungen bilden ein senkrechtes Richtungstripel . Die kartesischen
Koordinaten eines Vektors sind die Projektionen dieses Vektors auf die Koordinatenachsen.
Wird ein Vektor parallel zu oder entlang einer der Koordinatenachsen verschoben, dann ändern sich seine
Koordinaten in den anderen beiden Richtungen nicht.
Die Koordinaten einer Linearkombination mehrerer Vektoren ergeben sich als gleichgestaltete Linearkombination der
Koordinaten dieser Vektoren, so daß die Vektorgleichung (3.242b) drei skalaren Komponentengleichungen
entspricht:
(3.245)
Für die Koordinaten der Summe und der Differenz zweier Vektoren
(3.246a)
gilt insbesondere
(3.246b)
Der Radiusvektor
eines Punktes
hat die kartesischen Koordinaten dieses Punktes:
(3.247)
Richtungswinkel
Der Richtungswinkel
Punkt
in einem Punkt
verlaufenden Parallelen zur
gibt die Richtung einer orientierten Strecke bezüglich einer durch den
-Achse an.
Da die Messung des Winkels in der Geodäsie im Uhrzeigersinn erfolgt sind die Quadranten in umgekehrter
Reihenfolge numeriert als im rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem.
Die Formeln der ebenen Trigonometrie können aber ohne Änderung verwendet werden.
Tabelle Richtungswinkel bei vorzeichentreuer Streckeneingabe über
Quadrant
Anzeige im Rechner
I
II
III
oder
IV
Richtungswinkel
gon
gon
gon
gon
Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
1. Vertauschung von Gliedern:
a)
Die Glieder einer absolut konvergenten Reihe können nach Belieben miteinander vertauscht werden:
Die Reihensumme ändert sich dadurch nicht.
b)
Wenn die Glieder einer bedingt konvergenten Reihe so umgestellt werden, daß in die Umstellung
beliebig viele Glieder einbezogen sind, dann kann dadurch die Reihensumme geändert werden. Der
Satz von RIEMANN besagt, daß auf diese Weise jede beliebige vorgegebene Zahl zur Reihensumme
gemacht werden kann.
2. Addition und Subtraktion: Absolut konvergente Reihen können gliedweise addiert oder subtrahiert
werden.
3. Multiplikation: Absolut konvergente Reihen können wie gewöhnliche Polynome miteinander multipliziert
werden. Das Ergebnis ist wieder als Reihe darstellbar, z.B.:
(7.34a)
Wenn die Reihensummen
und
bekannt sind, dann ergibt sich die Summe der
multiplizierten Reihen gemäß
(7.34b)
Wenn zwei Reihen
und
konvergent sind und wenigstens eine von ihnen absolut konvergiert,
dann konvergiert auch die durch Multiplikation aus beiden erhaltene Reihe. Sie ist jedoch nicht notwendig ebenfalls
absolut konvergent.
Ringe und Körper
In diesem Abschnitt werden algebraische Strukturen mit zwei binären Operationen betrachtet.
●
●
●
Definitionen
Unterringe, Ideale
Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz
Ringe
Eine Menge
versehen mit zwei binären Operationen
heißt Ring (Bezeichnung:
), wenn
eine ABELsche Gruppe,
eine Halbgruppe ist und
die Distributivgesetze gelten:
(5.108)
Ist
kommutativ bzw. hat
Ring mit Einselement.
ein neutrales Element, so heißt der Ring
kommutativ bzw.
Algorithmus des Romberg-Verfahrens
Das Verfahren besteht aus den folgenden Schritten:
1. Trapezsummenextrapolation: Als Näherung für das Integral
werden nach (19.76) für die
Schrittweiten
(19.85)
die Trapezsummen
bestimmt. Dabei beachte man die rekursive Beziehung
(19.86)
Die Rekursionsformel (19.86) besagt, daß für die Berechnung von
aus
nur die Funktionswerte an
den neu hinzukommenden Stützstellen benötigt werden.
2. Dreieckschema: Man setzt
und berechnet rekursiv die Werte
(19.87)
Die Anordnung der nach dieser Formel (19.87) berechneten Werte erfolgt am günstigsten in einem Dreieckschema,
dessen Berechnung spaltenweise durchgeführt wird:
(19.88)
Das Schema wird nach unten mit fester Spaltenzahl so weit fortgesetzt, bis die Werte rechts unten im Schema
hinreichend gut übereinstimmen. Die Werte
SIMPSON-Formel berechneten.
der zweiten Spalte entsprechen den nach der
Definitionen der Rotation
●
●
1. Definition
2. Definition
Rotation in verschiedenen Koordinaten
●
●
Rotation in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
●
●
Rechenschema
Hinweise
Lösung der Saitenschwingungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel A: Saitenschwingungsgleichung
Saitenschwingungsgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom
hyperbolischen Typ
(9.85a)
genannt, mit deren Hilfe die Schwingungen einer gespannten Saite beschrieben werden. Die Aufgabe besteht darin,
diese Gleichung unter den Anfangs- und Randbedingungen
(9.85b)
zu lösen.
Mit einem Separationsansatz der Form
(9.85c)
liefert Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung (9.85a) die Gleichung
(9.85d)
Die Variablen sind getrennt, denn da die linke Seite nicht von
und die rechte nicht von
für sich eine konstante Größe. Die Konstante wird negativ gewählt und gleich
nichtnegativen Werten nur die triviale Lösung
abhängt, ist jede Seite
gesetzt, da sich mit
ergibt. Man erhält die zwei linearen
Differentialgleichungen
(9.85e)
(9.85f)
Aus den Randbedingungen folgt
Man sieht, daß
.
eine Eigenfunktion des STURM- LIOUVILLEschen Randwertproblems ist und
zugehörige Eigenwert. Integration der Differentialgleichung (9.85e) für
Randbedingungen ergibt
der
und Berücksichtigung der
(9.85g)
Integration der Gleichung (9.85f) für jeden Eigenwert
Differentialgleichung (9.85a):
liefert jeweils eine partikuläre Lösung der ursprünglichen
(9.85h)
Durch die Forderungen, daß für
(9.85i)
zu
wird und
(9.85j)
zu
ergibt sich mit Hilfe einer FOURIER-Reihenentwicklung nach Sinusfunktionen
(9.85k)
Strukturstabile Systeme in der Ebene
Die ebene Differentialgleichung (17.1) mit
sei strukturstabil. Dann gilt:
a)
Die Differentialgleichung (17.1) hat nur eine endliche Anzahl von Ruhelagen und periodischer Orbits.
b)
Alle
-Grenzmengen
mit
von (17.1) bestehen nur aus Ruhelagen und periodischen Orbits.
Satz von ANDRONOV und PONTRYAGIN: Die ebene Differentialgleichung (17.1) mit
ist genau dann
strukturstabil, wenn gilt:
a)
Alle Ruhelagen und periodische Orbits in
sind hyperbolisch.
b)
Es gibt keine Separatrizen (d.h. heterokline und homokline Orbits), die aus einem Sattel kommen und in einen
Sattel münden.
Stabilität periodischer Orbits
Sei
eine
-periodische Lösung von (17.1) und
ihr Orbit. Das
wird, unter gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung
Phasenporträt nahe
beschrieben. Da
eine
ist, folgt aus dem Satz von FLOQUET, daß die bei
vom Typ
der Variationsgleichung als
Matrixfunktion mit
festliegt. Die Matrix
von
eine andere Lösung
normierte Fundamentalmatrix
darstellbar ist, wobei
ist und
-periodische stetige Matrixfunktion
eine
eine konstante Matrix vom Typ
-periodische reguläre glatte
darstellt, die nicht eindeutig
heißt Monodromie-Matrix des periodischen Orbits
sind die Multiplikatoren des periodischen Orbits
repräsentiert, d.h. ist
, die Eigenwerte
. Wird der Orbit
durch
, so stimmen die Multiplikatoren von
und
überein. Einer der Multiplikatoren eines periodischen Orbits ist immer gleich Eins ( Satz von
ANDRONOV-WITT ).
die Multiplikatoren des periodischen Orbits
Seien
Monodromie-Matrix von
, und sei
die
. Dann gilt
(17.17)
Ist also
Beispiel
, so ist
und
.
Sei
eine
-periodische Lösung von (17.9a). Die Matrix
der
Variationsgleichung lautet
normierte Fundamentalmatrix
Die bei
ist
wobei das letzte Produkt eine FLOQUET-Darstellung von
darstellt. Also ist
und
. Die Multiplikatoren lassen sich auch ohne FLOQUET-Darstellung bestimmen. Für System (17.9a)
ist div
. Damit ergibt sich div
Formel ist
.
. Nach obiger
BAIREscher Kategoriensatz
Sei
ein vollständiger metrischer Raum und
. Dann existiert mindestens ein Index
eine Folge von abgeschlossenen Mengen in
, für den die Menge
mit
einen inneren Punkt enthält.
Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators
Satz:
Ist
ein linearer stetiger bijektiver Operator von
Anwendungen:
auf
, dann ist der inverse Operator
Als wichtige Anwendungen ergeben sich daraus beispielsweise die Stetigkeit von
Surjektivität von
stetig.
bei Injektivität und
, was bei der Untersuchung des Spektrums eines Operators von Bedeutung ist, sowie die
Stetige Abhängigkeit der Lösung
sowohl von der rechten Seite als auch von den Anfangswerten bei Anfangswertproblemen für lineare
Differentialgleichungen .
Das soll an der folgenden Anfangswertaufgabe gezeigt werden:
Beispiel
Das Anfangswertproblem
(12.144a)
mit den Koeffizienten
besitzt für jede rechte Seite
und jedes Zahlenpaar
genau eine Lösung
aus
, die im folgenden Sinne stetig von
und
abhängt. Sind
und gilt für
(12.144b)
dann gilt:
(12.144c)
BANACH-STEINHAUS-Satz, Prinzip der gleichmäßigen Beschränkheit
Der Satz charakterisiert die punktweise Konvergenz einer Folge von linearen stetigen Operatoren zu einem linearen
stetigen Operator durch die beiden Bedingungen:
a)
Für jedes Element aus einer überall dichten Teilmenge
.
b)
Mit einer Konstanten
gilt
hat die Folge
einen Grenzwert in
Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Wenn eine Funktion
in einem abgeschlossenen Intervall
Intervall auch beschränkt, d.h., es lassen sich zwei Zahlen
und
definiert und stetig ist, dann ist sie in diesem
finden, für die gilt:
(2.35)
Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Wenn eine Funktion
in einem abgeschlossenen beschränkten Gebiet stetig ist, dann ist sie in diesem
Gebiet auch beschränkt, d.h., es existieren zwei Zahlen
und
derart, daß für jeden Punkt
in diesem
Gebiet gilt
(2.279)
Satz von BOLZANO
Wenn eine Funktion
in einem abgeschlossenen Intervall
in den Endpunkten des Intervalls
Wert
für den
und
definiert und stetig ist und die Funktionswerte
verschiedene Vorzeichen besitzen, dann existiert mindestens ein
zu null wird:
(2.33)
Geometrisch gedeutet, schneidet die Kurve einer stetigen Funktion beim Übergang von der einen Seite der
auf die andere dabei wenigstens einmal die
-Achse.
-Achse
Satz von FERMAT
Wenn eine Funktion
Punkt
Intervalls gilt
in einem zusammenhängenden Intervall definiert ist und in irgendeinem inneren
dieses Intervalls ihren größten oder kleinsten Wert besitzt (s. Abbildung), d.h., wenn für alle
dieses
(6.27a)
oder
(6.27b)
und wenn darüber hinaus ihre Ableitung im Punkt
existiert, dann kann diese dort nur gleich Null sein:
(6.27c)
Die geometrische Bedeutung des Satzes von FERMAT besteht darin, daß eine Funktion, die den Satz erfüllt, in den
Punkten
und
der Funktionskurve parallel zur
-Achse verlaufende Tangenten besitzt.
Der Satz von FERMAT stellt aber lediglich eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximal- oder
Minimalwertes einer Funktion in einem Intervall dar. Aus der folgenden linken Abbildung erkennt man, daß die
Bedingung nicht hinreichend ist: Im Punkt
ist zwar
erfüllt, aber es gibt weder einen Maximal- noch
einen Minimalwert an der Stelle.
Auch die Bedingung der Differenzierbarkeit im Satz von FERMAT ist wesentlich. So hat die Funktion im Punkt
rechten Abbildung zwar einen Maximalwert, die Ableitung existiert dort aber nicht.
der
Satz von FERMAT-EULER
Der Satz von FERMAT-EULER ist einer der wichtigsten Sätze der elementaren Zahlentheorie. Sind
und
teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt:
(5.182)
Beispiel
Es sind die letzten drei Ziffern der Dezimalbruchdarstellung von
dem Satz von FERMAT ist
zu ermitteln. Gesucht ist
mit
mit
Es gilt
und nach
Weiter gilt
Daraus folgt
Die Dezimaldarstellung von
Hinweis: Der obige Satz geht für
endet mit den Ziffern 289.
, d.h.
auf FERMAT zurück; die allgemeine Form stammt von EULER. Der Satz bildet die Grundlage eines
Codierungsverfahrens. Er beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Primzahleigenschaft einer natürlichen Zahl: Ist
mit
eine Primzahl, dann gilt
für jede ganze Zahl
Satz von Grobman und Hartman
Sei
eine hyperbolische Ruhelage von (17.1). Dann ist die Differentialgleichung (17.1) nahe
äquivalent zu ihrer Linearisierung
.
topologisch
Satz von GROBMAN und HARTMAN
Ist
nahe
in (17.3) ein Diffeomorphismus
topologisch konjugiert zur Linearisierung
eine hyperbolische Ruhelage von (17.3), so ist (17.3)
.
Satz von Hadamard und Perron
Wichtige Eigenschaften der Separatrixflächen werden durch den Satz von HADAMARD und PERRON beschrieben:
Sei
eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von (17.1).
a)
und
sind verallgemeinerte
-Flächen, d.h. immersierte
-glatte Elementarflächen aussehen. Jeder Orbit von (17.1), der für
strebt, verläßt eine hinreichend kleine Umgebung von
für
-Mannigfaltigkeiten, die lokal wie
oder
oder
nicht gegen
.
b)
Ist
bzw.
eine Ruhelage vom Typ
. Die Fläche
bzw.
, so sind
tangiert in
und
Flächen der Dimension
den stabilen Untervektorraum
(17.20a)
bzw. den instabilen Untervektorraum
(17.20b)
c)
Ist
ein hyperbolischer periodischer Orbit vom Typ
Dimension
Beispiel A
bzw.
, die sich längs
so sind
und
transversal schneiden (s. Abbildung).
Flächen der
Nochmalige Betrachtung der Differentialgleichung (17.19a) und Benutzung für die Bestimmung einer lokalen
stabilen Mannigfaltigkeit der Ruhelage
von (17.19a) den Ansatz
eine Lösung von (17.19a), die in
Sei
ergibt sich
benachbarten Zeiten
liegt. Aufgrund der Invarianz für zu
. Durch Differentiation und Darstellung von
über das System (17.19a) ergibt sich für die unbekannte Funktion
und
das Anfangswertproblem
. Über den Reihenansatz
dem
beachtet wurde, ergibt sich durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich
für
, in
und
.
Beispiel B
Für das System
(17.21)
mit einem Parameter
Multiplikatoren
ist
ein periodischer Orbit mit den
und
. In Zylinderkoordinaten
hat die Lösung von (17.21) mit Anfang
Darstellung
, wobei
und
Polarkoordinaten ist. Damit ist
Die beiden Separatrixflächen sind in der folgenden Abbildung zu sehen:
zur Zeit
die Lösung von (17.9a) in
die
Geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach
Seien
ein normierter Raum,
konvexen offenen Menge
abgeschlossene Hyperebene
und
ein linearer Teilraum von
. Dann gibt es zu jeder nichtleeren
, die sich mit der affin-linearen Mannigfaltigkeit
mit
nicht schneidet, eine
.
Satz von Hellinger und Toeplitz
Sei
ist
ein linearer Operator in einem HILBERT-Raum
stetig.
. Wenn
für alle
gilt, so
Kompakte selbstadjungierte Operatoren
Ein kompakter selbstadjungierter Operator
Genauer,
hat immer einen Eigenwert
hat die Darstellung
Projektor auf den Eigenraum
besitzt wenigstens einen (von Null verschiedenen) Eigenwert.
mit
.
, wobei
die verschiedenen Eigenwerte von
orthonormierte System der Eigenvektoren von
dann gibt es in
den
bezeichnen. Man sagt in diesem Zusammenhang auch, daß der Operator
diagonalisiert werden kann. Daraus ergibt sich
Satz von HILBERT-SCHMIDT: Ist
und
für jedes
, wobei
das
ist.
ein kompakter selbstadjungierter Operator im separablen HILBERT-Raum
,
eine Basis aus den Eigenvektoren von
Die sogenannten Spektral-(abbildungs-)sätze (s. Lit. 12.9, 12.11, 12.13, 12.15, 12.16, 12.21) kann man als die
Verallgemeinerung des Satzes von HILBERT-SCHMIDT auf den nichtkompakten Fall selbstadjungierter (beschränkter
oder unbeschränkter) Operatoren auffassen.
Satz von HURWITZ
Bei verschiedenen Anwendungen, z.B. in der Schwingungslehre, ist es wichtig festzustellen, ob eine beliebige
Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für
gegen Null strebt. Das
ist stets dann der Fall, wenn die Realteile aller Wurzeln der charakteristischen Gleichung
(9.42a)
negativ sind. Das wiederum ist nach dem Satz von HURWITZ dann und nur dann der Fall, wenn alle Determinanten
(9.42b)
positiv sind.
Satz von Krein und Losanowskij
Der Satz von KREIN und LOSANOWSKIJ macht eine Aussage über die Stetigkeit positiver linearer Operatoren.
Sind
und
erzeugender Kegel ist, dann ist die Menge
, ein Kegel in
(s. Lit. 12.20): Sind
erzeugendem
und
geordnete normierte Räume, wobei
ein
aller positiven linearen und stetigen Operatoren
, d.h.
. Dann besagt der Satz von M.G. KREIN, G.J. LOSANOWSKIJ
geordnete BANACH-Räume mit abgeschlossenen Kegeln
, dann folgt aus der Positivität eines linearen Operators seine Stetigkeit.
und
und
Leray-Schauder-Theorie
Für die Existenz von Lösungen der Gleichungen
und
, mit jeweils vollstetigem
Operator
, ist auf der Grundlage tiefliegender Eigenschaften des Abbildungsgrades ein weiteres Prinzip entdeckt
worden, das etwa für Existenzbeweise bei nichtlinearen Randwertproblemen erfolgreich eingesetzt wird. Die hier
angeführten Resultate dieser Theorie sind für praktische Belange vielfach die geeignetsten, wobei Formulierungen
gewählt wurden, die ohne Erwähnung des Abbildungsgrades auskommen.
Satz von LERAY-SCHAUDER, 1. Formulierung: Seien
BANACH-Raumes
und
für alle
eine offene beschränkte Menge eines rellen
ein vollstetiger Operator. Sei
und
bezeichnet. Dann hat die Gleichung
gilt, wobei
ein solcher Punkt, daß
den Rand der Menge
wenigstens eine Lösung.
Satz von LERAY-SCHAUDER, 2. Formulierung: In Anwendungen erweist sich häufig auch die folgende
Variante dieses Satzes als vorteilhaft. Sei
Lösungen der Gleichungsschar
ein vollstetiger Operator auf dem BANACH-Raum
. Wenn die
(12.197)
eine gleichmäßige apriori -Abschätzung gestatten, d. h.
die Ungleichung
gilt, dann besitzt die Gleichung
, so daß
und
eine Lösung.
, die (12.197) genügen,
Satz von PICARD-LINDELÖF
Es werde die Differentialgleichung
(12.68)
mit einer stetigen Abbildung
betrachtet, wobei
offene Teilmenge aus
sind. Die Abbildung
eine positive Konstante
mit
genüge bezüglich
ein offenes Intervall aus
und
eine
einer LIPSCHITZ-Bedingung, d.h., es gibt
(12.69)
wobei
die euklidische Metrik in
bezeichnet (unter Verwendung der Norm, gilt die Beziehung (12.79)
. Sei
Zahlen
und
liegt. Seien
ein beliebiger Punkt. Dann gibt es solche
so, daß die Menge
in
und
. Dann existiert eine Zahl
,
so daß für jedes
mit
das Anfangswertproblem
(12.70)
genau eine (lokale) Lösung
besitzt, d.h.
für
und
. Die Lösung dieses Anfangswertproblems ist äquivalent zur Lösung der Integralgleichung
(12.71)
Bezeichnet jetzt
die abgeschlossene Kugel
des in der Metrik
(12.72)
, dann ist
vollständigen metrischen Raumes
ein vollständiger metrischer Raum. Ist
mit der induzierten Metrik selbst
der durch
(12.73)
definierte Operator, dann ergibt sich die Lösung der Integralgleichung (12.71) als eindeutiger Fixpunkt des Operators
, der sogar iterativ erzeugt werden kann.
Satz von ROLLE
Wenn eine Funktion
Intervall
in einem abgeschlossenen Intervall
stetig ist, wenigstens in dem offenen
eine Ableitung besitzt und in den Endwerten des Intervalls den Wert Null annimmt, d.h., wenn
(6.28a)
ist, dann existiert mindestens ein Wert
zwischen
und
derart, daß gilt
(6.28b)
Die geometrische Bedeutung des Satzes von ROLLE besteht darin, daß eine Funktion
in zwei Punkten
und
und
besitzt, zwischen
verläuft (linke Abbildung).
die die
-Achse
schneidet, in diesem Intervall stetig ist und in jedem inneren Punkt eine Tangente
wenigstens einen Punkt
besitzt, in dem die Kurventangente parallel zur
-Achse
Es kann auch mehrere derartige Punkte in dem Intervall geben, z.B. die Punkte
und
in der rechten
Abbildung. Daß die Forderung nach Stetigkeit und Existenz einer Ableitung in dem Intervall wesentlich ist, kann an
Hand der folgenden linken Abbildung erkannt werden, wo die Funktion bei
und an Hand der rechten Abbildung, wo die Funktion im Punkt
es keinen Punkt
, in dem
gilt.
eine Unstetigkeitsstelle besitzt,
keine Ableitung besitzt. In beiden Fällen gibt
Eigenschaften linearer kompakter Operatoren
Eine sequentielle Charakteristik der Kompaktheit eines Operators aus
beschränkte Folge
aus
enthält die Folge
ist die folgende: Für jede
eine konvergente Teilfolge. Eine
Linearkombination kompakter Operatoren ist wieder kompakt. Ist einer der Operatoren
kompakt, dann sind es auch die Operatoren
. Falls
und
ein BANACH-Raum ist, hat man die folgenden wichtigen Aussagen.
im Raum
1. Konvergenz: Konvergiert eine Folge von kompakten Operatoren
, dann
ist der Grenzwert ebenfalls ein kompakter Operator.
2. Satz von SCHAUDER: Ist
(oder nicht).
ein linearer stetiger Operator, dann sind
3. Spektraleigenschaften eines kompakten Operators
Raum
und
gleichzeitig kompakt
in einem (unendlichdimensionalen) BANACH-
Die Null gehört zum Spektrum. Jeder von Null verschiedene Punkt des Spektrums
ist ein
Eigenwert mit endlichdimensionalem Eigenraum
liegen außerhalb des Kreises
, und für
stets nur endlich viele Eigenwerte von
Häufungspunkt der Menge der Eigenwerte sein kann. Ist
Falle seiner Existenz unbeschränkt.
kein Eigenwert von
, wobei einzig die Null
, dann ist
im
Satz von Shilnikov
Betrachtet wird die Differentialgleichung (17.53) im
die hyperbolische Ruhelage
bei
vom Sattelknoten-Typ, die für kleine
habe den Eigenwert
Matrix
. Weiter habe (17.53) bei
und
gegen
mit einem skalaren Parameter
. Das System (17.53) habe
erhalten bleibe. Die JACOBI-
und die konjugiert komplexen Eigenwerte
eine Separatrixschleife
, d.h. einen homoklinen Orbit, der für
geht (s. Abbildung).
Dann hat (17.53) nahe der Separatrixschleife folgende Phasenporträts:
a)
Sei
. Bricht die Separatrixschleife bei
obigen Abbildung auf, so setzt bei
in der mit
gekennzeichneten Variante der
genau ein periodischer Orbit von (17.53) ein. Bricht die
mit
Separatrixschleife bei
in der mit
gekennzeichneten Variante der obigen Abbildung auf, so entsteht
kein periodischer Orbit.
b)
Sei
. Dann existieren bei
(bzw. für kleine
) nahe der Separatrixschleife
(bzw.
nahe der zerfallenen Schleife
) abzählbar unendlich viele sattelartige periodische Orbits. Die POINCARÉ-
Abbildung bezüglich einer zu
transversalen Ebene erzeugt bei
von Hufeisen-Abbildungen, von denen bei kleinen
eine abzählbar unendliche Menge
eine endliche Anzahl bleibt.
Satz von WEIERSTRASS
Wenn eine Funktion
auf einem abgeschlossenen Intervall
dort ein absolutes Maximum
Punkt
und ein absolutes Minimum
und wenigstens ein Punkt
so daß für alle
mit
definiert und stetig ist, dann besitzt
, d.h., es existiert in diesem Intervall wenigstens ein
gilt:
(2.36)
Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Wert einer stetigen Funktion wird ihre Schwankung in dem
gegebenen Intervall genannt. Der Begriff der Schwankung einer Funktion kann auch auf Funktionen ausgedehnt
werden, die keinen größten oder kleinsten Funktionswert besitzen (s. Lit. 22.16, Bd. 3]).
Satz von WEIERSTRASS über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes
Wenn eine Funktion
in einem abgeschlossenen und beschränkten Gebiet stetig ist, dann existiert in
diesem Gebiet mindestens ein Punkt
derart, daß der Wert
in diesem Gebiet ist. Außerdem existiert dann mindestens ein Punkt
kleiner als alle übrigen Werte von
größer als alle übrigen Werte von
für den der Wert
in diesem Gebiet ist. Für einen beliebigen Punkt
dieses Gebietes gilt
(2.280)
Satz von Wilson
Ein weiteres Primzahlkriterium liefert der Satz von WILSON.
Für jede Primzahl
ist
Auch die Umkehrung dieses Satzes ist eine wahre Aussage, so daß gilt:
Die Zahl
ist genau dann eine Primzahl, wenn
ist.
Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
Gegeben sei ein periodischer Orbit
Eine Bifurkation nahe
von (17.53) bei
mit den Multiplikatoren
ist möglich, wenn bei Änderung von
komplexen Einheitskreis trifft. Die Verwendung einer zu
.
mindestens einer der Multiplikatoren auf den
transversalen Fläche führt auf eine parameterabhängige
POINCARÉ-Abbildung
(17.64)
, wobei
Dabei sei
wobei die Abbildung
offene Mengen sind, eine
mit
Diffeomorphismus sei. Es sei weiter
mit
und
Eigenwerte
sogar ein
und die JACOBI-Matrix
mit
habe
und
-Abbildung,
-
Eigenwerte
Eigenwerte
Abbildungen (s. Lit. 17.12)
mit
. Dann ist nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für
nahe
topologisch konjugiert zur Abbildung
(17.65)
nahe
mit
. Dabei ist
Abbildung, die den Bedingungen
Matrizen vom Typ
und
bzw.
eine
-differenzierbare
genügt. Außerdem sind
bzw.
.
Aus (17.65) folgt, daß Bifurkationen von (17.64) nahe
ausschließlich durch die reduzierte Abbildung
(17.66)
auf der lokalen Zentrumsmannigfaltigkeit
beschrieben werden.
Zerlegungssatz
Jede Äquivalenzrelation
in einer Menge
Umgekehrt bestimmt jede Zerlegung
bewirkt eine Zerlegung
einer Menge
von
eine Äquivalenzrelation
nämlich
in
:
(5.91)
Man kann eine Äquivalenzrelation in einer Menge
als Verallgemeinerung der Gleichheitsbeziehung auffassen,
wobei von ,,unwesentlichen`` Eigenschaften der Elemente von
abstrahiert wird und Elemente, die sich bezüglich
einer gewissen Eigenschaft nicht unterscheiden, zu einer Äquivalenzklasse zusammengefaßt werden.
Anfangswertaufgaben
Das Prinzip der im folgenden dargestellten Verfahren zur Lösung der Anfangswertaufgabe
(19.93)
besteht darin, für die gesuchte Funktion
an ausgewählten Stützstellen
In der Regel werden äquidistante Stützstellen mit der vorgegebenen Schrittweite
Näherungswerte
zu ermitteln.
verwendet:
(19.94)
●
●
●
●
●
Eulersches Polygonzugverfahren
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
Mehrschrittverfahren
Prediktor-Korrektor-Verfahren
Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
Hinweise
1.
Für die spezielle Differentialgleichung
geht das RUNGE-KUTTA-Verfahren in die SIMPSON-Formel
über.
2.
Bei einer sehr großen Anzahl von Integrationsschritten kann sich ein Wechsel der Schrittweite als zweckmäßig
oder sogar notwendig erweisen. Über einen Schrittweitenwechsel kann mit Hilfe einer Fehlerschätzung
entschieden werden, die dadurch gewonnen wird, daß man die Rechnung etwa mit doppelter Schrittweite
wiederholt. Hat man z.B. für
und
die Näherungswerte
(Rechnung mit einfacher Schrittweite)
(Rechnung mit doppelter Schrittweite) bestimmt, dann gilt für den Fehler
die Schätzung
(19.100)
Informationen über die Realisierung der sogenannten Schrittweitensteuerung findet man in der Literatur
(s. Lit. 19.27).
3.
RUNGE-KUTTA-Schemata für Differentialgleichungen höherer Ordnung s. Lit. 19.27. Andererseits können
Differentialgleichungen höherer Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung überführt
werden (s. Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen). Dann besteht das Näherungsverfahren
aus parallel durchgeführten Rechnungen gemäß (19.99), die durch die Differentialgleichungen miteinander
gekoppelt sind.
Schrödinger-Gleichung
●
●
●
●
●
●
Begriff der SCHRÖDINGER-Gleichung
Zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
Teilchenbewegung im radialsymmetrischen Zentralfeld
Linearer harmonischer Oszillator
Nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung
●
●
Auftreten
Gleichung und Lösungen
Zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Den allgemeinen nichtrelativistischen Fall eines spinlosen Teilchens mit der Masse
im orts- und zeitabhängigen Potentialfeld
und der Geschwindigkeit
beschreibt die zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
(9.104a). Die unter Besonderheiten aufgeführten speziellen Bedingungen, denen die Wellenfunktion genügen muß,
lauten:
a) Die
-Funktion muß beschränkt und stetig sein.
b) Die partiellen Ableitungen
c) Die Funktion
und
müssen stetig sein.
muß integrierbar sein, also muß
(9.105a)
gelten. Gemäß Normierungsbedingung muß die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im betrachteten Gebiet zu finden,
gleich
kann.
sein. Dazu reicht (9.105a) aus, weil das Integral stets durch einen Faktor vor
auf
gebracht werden
Eine Lösung der zeitabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung hat die Form
(9.105b)
Der Zustand des Teilchens wird in einem Zeitpunkt
Kreisfrequenz
durch eine periodische Funktion von der Zeit mit der
beschrieben. Wenn die Energie des Teilchens in dem Zustand den festen Wert
besitzt, dann hängt die Wahrscheinlichkeit
, es in einem Raumelement
zu finden, nicht von
der Zeit ab:
(9.105c)
Man spricht vom stationären Zustand des Teilchens.
Schwarzsches Spiegelungsprinzip
●
●
Sachverhalt
Anwendungen
Allgemeines Viereck
Konvexes Viereck: In jedem konvexen Viereck (s. Abbildung) beträgt die Summe der Innenwinkel
:
(3.31)
Außerdem ist
(3.32)
wobei
die Strecke ist, die die Mittelpunkte der Diagonalen miteinander verbindet.
Flächeninhalt:
(3.33)
Tangentenviereck: In ein Viereck kann ein Kreis dann und nur dann einbeschrieben werden, wenn
(3.34)
ist; man spricht dann von einem Tangentenviereck (linke Abbildung).
Sehnenviereck: Mit einem Umkreis umbeschrieben werden kann ein Viereck dann und nur dann, wenn
(3.35)
ist; in diesem Falle spricht man vom Sehnenviereck (rechte Abbildung).
Für das Sehnenviereck gilt
(3.36)
Mit dem halben Umfang des Vierecks
ist sein Flächeninhalt
(3.37)
Sektorformel
Ein wichtiger Spezialfall der GAUSSschen Integralformel wird Sektorformel genannt. Mit ihrer Hilfe können ebene
Flächen berechnet werden. Für
folgt
(13.119)
Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene
Beispiel
Gegeben sei die parameterabhängige ebene Differentialgleichung
(17.74)
Für
hat (17.74) die beiden Sättel
und
invarianten Menge ist der heterokline Orbit. Für kleine
heterokline Orbit zerfällt (s. Abbildung).
und die
-Achse als invariante Menge. Teil dieser
bleiben die Sattelpunkte erhalten, während der
Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes
Wenn
normalverteilt ist mit den Parametern
, d.h., die Dichtefunktion
von
und
, dann ist
normalverteilt mit den Parametern
ist stärker um den Mittelwert
der Grundgesamtheit. Es gilt für einen vorgegebenen Wert
konzentriert als die Dichtefunktion
:
(16.118)
Daraus folgt, daß mit wachsendem Umfang
Stichprobenmittelwert eine gute Näherung für
Beispiel
der Stichprobe die Wahrscheinlichkeit größer wird, daß der
ist.
und
Für
erhält man aus (16.118)
verschiedene Werte von
, und für
folgen daraus die Werte in der folgenden Tabelle. Man liest aus der Tabelle
z.B. ab, daß bei einer Stichprobe vom Umfang
von 99,95 % um höchstens
vom Mittelwert
der Stichprobenmittelwert
der Grundgesamtheit abweicht.
Tabelle Statistische Sicherheit des Stichprobenmittels
1
38,29 %
4
68,27 %
16
95,45 %
25
98,76 %
49
99,96 %
mit einer Sicherheit
Signale
Geht von einem physikalischen Objekt eine Wirkung aus, die sich ausbreitet und mathematisch z.B. durch eine
Funktion oder eine Zahlenfolge beschreiben läßt, dann spricht man von einem Signal .
Unter Signalanalyse versteht man die Chrakterisierung eines Signals durch eine Größe, die für das Signal typisch ist.
Mathematisch bedeutet das: Die Funktion oder Zahlenfolge, die das Signal beschreibt, wird auf eine andere Funktion
oder Zahlenfolge abgebildet, die die typische Eigenschaft des Signals besonders gut erkennen läßt. Bei solchen
Abbildungen können allerdings auch Informationen verloren gehen.
Die Umkehrung der Signalanalyse, d.h. die Wiedergewinnung des Ausgangssignals, wird als Signalsynthese
bezeichnet.
Der Zusammenhang zwischen Signalanalyse und Signalsynthese wird am Beispiel der FOURIER-Transformation
besonders deutlich: Ein Signal
(
Zeit) werde durch die Frequenzen
, die in ihm enthalten sind,
charakterisiert. Dann beschreibt die Formel (15.143a) die Signalanalyse, die Formel (15.143b) die Signalsynthese:
(15.143a)
(15.143b)
Revidierter Simplexschritt
a)
Das Tableau ist nicht optimal, solange wenigstens ein
Auswahl der Pivotspalte
für ein
ist
.
.
b)
Berechnung der Pivotspalte
durch Multiplikation der
-ten Spalte der Koeffizientenmatrix von (18.18b) mit
und Eintragen des ermittelten Vektors in die letzte Spalte des Tableaus.
Ermittlung der Pivotzeile wie beim Simplexalgorithmus gemäß (18.16).
c)
Berechnung des neuen Tableaus mit den Austauschregeln (18.15a-d), wobei formal
liegen. Die Größen
und die Indizes im Bereich
ermittelt man für
durch
ersetzt wird
werden nicht eingetragen. Mit
, wobei
die
-te Spalte der Koeffizientenmatrix von (18.18b) darstellt.
Beispiel
In die Normalform des unter Ecke und Basis behandelten Beispiels soll
zugehörige Pivotspalte
wird in das folgende linke Tableau eingetragen.
Schema 8a, b
aufgenommen werden. Die
Für
erhält man
Der ermittelte Eckpunkt
betrachteten Beispiel.
:
.
entspricht dem Punkt
in der Abbildung aus dem
Als nächste Pivotspalte wird
bestimmt. Die Größe
mit
ist im rechten Tableau bereits eingetragen. Der weitere Rechengang erfolgt in Analogie zum Beispiel im Abschnitt
Übergang zum neuen Simplextableau, nichtentarteter Fall.
Revidiertes Simplextableau
Das lineare Optimierungsproblem sei in einer Normalform gegeben:
(18.18a)
(18.18b)
Um zu einer anderen Normalform und damit zu einer anderen Ecke zu wechseln, genügt es, das Gleichungssystem
(18.18b) mit der entsprechenden Basisinversen zu multiplizieren. Das Simplexverfahren kann also dahingehend
modifiziert werden, daß in jedem Schritt anstatt eines neuen Tableaus nur die Basisinverse ermittelt wird. Vom
eigentlichen Tableau sind nur die zur Bestimmung des neuen Pivotelements erforderlichen Größen zu berechnen. Ist
die Anzahl der Variablen sehr groß im Vergleich zur Anzahl der Nebenbedingungen
, dann erreicht
man mit der revidierten Simplexmethode eine beachtliche Verringerung an Rechenaufwand und Speicherplatz bei
gleichzeitiger Erhöhung der Rechengenauigkeit.
Die allgemeine Form eines revidierten Simplextableaus zeigt das folgende Schema.
Schema 7
Die eingetragenen Größen haben die folgende Bedeutung:
●
●
●
●
: aktuelle Basisvariable.
: auf Nichtbasisvariable umgerechnete Koeffizienten der Zielfunktion.
: rechte Seite der aktuellen Normalform.
: Wert der Zielfunktion in der Ecke
.
: aktuelle Basisinverse, wobei die Spalten von
●
Variablen
●
gehörenden Spalten der aktuellen Normalform sind;
: aktuelle Pivotspalte.
die zu den
Simulation
Unter Simulation versteht man die Untersuchung eines Prozesses oder Systems mit Hilfe eines Ersatzsystems. Als
Ersatzsysteme verwendet man in der Regel mathematische Modelle, die den zu untersuchenden Prozeß
beschreiben und auf einem Computer ausgewertet werden können. Man spricht dann von digitaler Simulation . Sind
bei einer solchen Simulation gewisse Größen zufällig auszuwählen, dann spricht man von einer Monte-CarloSimulation oder einer zufallsbedingten Simulation. Die dabei notwendige zufällige Auswahl kann mit Hilfe von
Zufallszahlen erfolgen.
Singulärwertzerlegung
Die Darstellung
(4.140a)
mit
(4.140b)
heißt Singulärwertzerlegung der Matrix
auf die ersten
Diagonalelemente
Singulärwerte von
Die Matrix
ist wie die Matrix
vom Typ
nur Nullen. Dabei sind die
und enthält bis
die
Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz
●
●
●
●
●
Isolierte singuläre Stellen
Meromorphe Funktionen
Elliptische Funktionen
Residuum
Residuensatz
Sinus-Kosinussatz
(3.174a)
(3.174b)
Vier weitere Gleichungen können durch zyklische Vertauschung gewonnen werden.
Der Sinus-Kosinussatz entspricht dem Projektionssatz der ebenen Trigonometrie. Da er fünf Größen des sphärischen
Dreiecks enthält, wird er nicht unmittelbar zur Auflösung sphärischer Dreiecke benutzt, sondern hauptsächlich zur
Ableitung weiterer Gleichungen.
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Polarer Sinus-Kosinussatz
(3.176a)
(3.176b)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Vier weitere Gleichungen können durch zyklische Vertauschung gewonnen werden.
Wie der Winkel-Kosinussatz werden auch die Formeln des Polaren Sinus-Kosinussatzes weniger zur unmnittelbaren
Dreiecksberechnung verwendet, als vielmehr zur Herleitung weiterer Formeln.
Sinussatz
(3.172a)
(3.172b)
(3.172c)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.
Die drei Gleichungen lassen sich auch als fortlaufende Proportionen schreiben, d.h., im sphärischen Dreieck
verhalten sich die Sinus der Seiten wie die Sinus der Gegenwinkel:
(3.172d)
Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie entspricht dem Sinussatz der ebenen Trigonometrie.
Skalare und Vektoren
Größen, deren Werte reelle Zahlen sind, werden Skalare genannt. Beispiele sind Masse, Temperatur, Energie und
Arbeit. (Zur skalaren Invarianz s. skalare Invariante 1, skalare Invariante 2 und Pseudoskalar.) Im Unterschied dazu
werden Größen, zu deren vollständiger Charakerisierung sowohl eine Maßzahl als auch eine Richtung und
manchmal ein Drehsinn im Raum erforderlich sind, Vektoren genannt. Beispiele sind Kraft, Geschwindigkeit,
Beschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung sowie elektrische und magnetische Feldstärke.
In diesem Buch werden Vektoren im dreidimensionalen EUKLIDischen Raum durch
der Matrizenrechnung durch
.
gekennzeichnet, im Rahmen
Tensor 0. Stufe
Ein Tensor nullter Stufe hat nur eine Komponente, d.h., er ist ein Skalar. Da sein Wert in allen Koordinatensystemen
gleich ist, spricht man von der Invarianz des Skalars oder vom invarianten Skalar .
Formeln für Produkte in kartesischen Koordinaten
Wenn die Vektoren
in kartesischen Koordinaten gemäß
(3.265)
gegeben sind, dann werden die Produkte nach den folgenden Formeln berechnet:
Skalarprodukt:
(3.266)
Vektorprodukt:
(3.267)
Spatprodukt:
(3.268)
Gleichung und Lösungen
Die SG-Gleichung für die Evolutionsfunktion
lautet
(9.134)
Sie besitzt die folgenden Solitonlösungen:
Kink-Soliton:
(9.135)
wobei
und
gilt.
In der Abbildung ist das Kink-Soliton (9.135) der Gleichung (9.134) für
dargestellt.
Das Kink-Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter
und
bestimmt, die Geschwindigkeit ist
unabhängig von der Amplitude, die Zeit- und die Ortsableitung sind gewöhnliche lokalisierte Solitonen:
(9.136)
Antikink-Soliton:
(9.137)
Kink-Antikink-Soliton: Mit
entsteht aus (9.135) bzw. (9.137) ein statisches Kink-Antikink-Soliton:
(9.138)
Weitere Lösungen von (9.134) sind:
Kink-Kink-Kollision:
(9.139)
Kink-Antikink-Kollision:
(9.140)
Doppel- oder Breather-Soliton, auch Kink-Antikink-Dublett:
(9.141)
Diese Gleichung (9.141) stellt eine stationäre Welle dar, deren Einhüllende mit der Frequenz
Örtlich periodisches Kink-Gitter:
moduliert ist.
(9.142a)
Zwischen Wellenlänge
und Gitterkonstante
besteht die Beziehung
(9.142b)
Für
also
ergibt sich
(9.142c)
d.h. wieder das Kink-Soliton (9.135) und das Antikink-Soliton (9.137) mit
Hinweis: Mit sn
ist eine JACOBIsche elliptische Funktion mit dem Modul
.
und der Periode
bezeichnet:
(9.143a)
(9.143b)
(9.143c)
Die Gleichung (9.143b) geht aus der inversen Funktion (14.102b) zum elliptischen Integral 1. Gattung durch die
Substitution
hervor.
Die Reihenentwicklung des vollständigen elliptischen Integrals ist als Gleichung (8.104) angegeben.
Wechselwirkung zwischen Solitonen
Treffen zwei Solitonen, die sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen, aufeinander, so tauchen sie nach
einer Wechselwirkung wieder auf, als hätten sie sich ungestört durchdrungen, d.h. Form und Geschwindigkeit jedes
Solitons bleiben asymptotisch erhalten; es tritt lediglich eine Phasenverschiebung auf. Zwei Solitonen können
miteinander wechselwirken, ohne sich zu zerstören. Daher spricht man von elastischer Wechselwirkung. Letztere ist
-Solitonen-Lösung, wobei
die Anzahl der Solitonen ist. Bei der Lösung einer
äquivalent mit der Existenz einer
Anfangswertaufgabe zeigt sich, daß ein vorgegebener Anfangsimpuls in Solitonen zerfällt, wobei deren Anzahl nicht
von der Impulsform, sondern von der Impulsfläche abhängt.
Spektrum eines Operators
●
●
Spektrum, Definition
Vergleich mit der linearen Algebra, Residualspektrum
Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren
●
●
Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
Spektrum eines Operators
Eigenschaften
Der bikubische Interpolationsspline
ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:
1.
erfüllt die Interpolationsbedingung
(19.241)
2.
Auf jeder Masche
des Rechteckbereiches
ist
identisch mit einem bikubischen Polynom,
d.h., es gilt die Darstellung
(19.242)
Damit wird
durch 16 Ansatzkoeffizienten repräsentiert, und für die Beschreibung von
Koeffizienten notwendig.
sind
3.
Die Ableitungen
(19.243)
sind stetig auf
4.
. Damit wird eine gewisse Glattheit der gesuchten Fläche gewährleistet.
erfüllt spezielle Randbedingungen:
(19.244)
Dabei sind
,
und
vorgegebene Zahlenwerte.
Bei der Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
können die Ergebnisse der eindimensionalen kubischen Spline-
Interpolation ganz entscheidend ausgenutzt werden. Es zeigt sich:
1.
Es ist eine sehr große Anzahl
linearer Gleichungssyteme, aber nur mit tridiagonaler
Koeffizientenmatrix, zu lösen.
2.
Die linearen Gleichungssysteme unterscheiden sich im wesentlichen nur durch ihre rechten Seiten.
Man kann im allgemeinen sagen, bikubische Interpolationssplines sind günstig bzgl. Rechenzeit und Genauigkeit und
damit recht gut geeignet für viele praktische Anwendungen. Zur rechentechnischen Realisierung der
Koeffizientenbestimmung s. Lit. 19.6, 19.28.
Bestimmung der Spline-Koeffizienten
Für den kubischen Interpolationsspline
wird für
der Ansatz
(19.231)
gemacht. Die Länge der Teilintervalle wird mit
bezeichnet. Zur Bestimmung der
Ansatzkoeffizienten für den natürlichen Spline kann man wie folgt vorgehen:
1.
Aus der Interpolationsforderung folgt
(19.232)
Es ist zweckmäßig, den im Ansatz nicht auftretenden Koeffizienten
2.
Die Stetigkeit von
an den inneren Knoten führt zu
einzuführen und
zu setzen.
(19.233)
Aus den natürlichen Randbedingungen folgt
und
, und (19.233) gilt auch für
, wenn man
einführt
setzt.
3.
Die Stetigkeit von
an den inneren Knoten führt zu
(19.234)
4.
Die Stetigkeit von
an den inneren Knoten ergibt
(19.235)
Wegen (19.232) ist die rechte Seite des linearen Gleichungssystems (19.235) zur Bestimmung der Koeffizienten
bekannt. Die linke Seite hat folgende Gestalt:
(19.236)
Die Koeffizientenmatrix ist tridiagonal , so daß sich das Gleichungssystem (19.235) durch LR-Zerlegung sehr einfach
numerisch lösen läßt. Aus den Koeffizienten
erhält man über (19.234) und (19.233) die restlichen Koeffizienten.
B-B-Flächendarstellung
Gegeben seien Punkte
mit den Ortsvektoren
, die als
Netzpunkte einer Fläche längs Parameterlinien aufgefaßt werden können. Analog zu den B-B-Kurven (19.252) ordnet
man den Netzpunkten durch
(19.253)
eine Fläche zu. Die Darstellung (19.253) ist für den Flächenentwurf geeignet, da auf einfache Weise durch die
Veränderung von Netzpunkten eine Variation der Fläche möglich ist. Allerdings ist der Einfluß aller Netzpunkte
global, so daß man auch in (19.253) von den BERNSTEINschen Grundpolynomen zu B-Splines übergehen sollte.
Bikubische Splines
●
Eigenschaften
Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte
Bei der praktischen Durchführung von Einschrittverfahren kommt zum globalen Diskretisierungsfehler
ein Rundungsfehleranteil
noch
hinzu. Das hat zur Folge, daß mit einer nicht zu kleinen, endlichen Schrittweite
gerechnet werden muß. Dabei ist die Frage wichtig, wie sich die numerische Lösung
eines
Einschrittverfahrens gegenüber Störungen des Anfangswertes verhält, und zwar auch für den Fall
.
In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen heißt eine Anfangswertaufgabe (19.93) stabil bezüglich
Störungen ihrer Anfangswerte , wenn gilt:
(19.114)
Dabei ist
die Lösung von (19.93) mit der gegenüber
gestörten Anfangsbedingung
Abschätzung (19.114) besagt, daß die Lösungsänderung betragsmäßig nicht größer ist als die Störung des
Anfangswertes.
. Die
Im allgemeinen läßt sich (19.114) nur schwer überprüfen. Deshalb führt man die lineare Testaufgabe
(19.115)
ein, die stabil ist, und prüft ein Einschrittverfahren an dieser speziellen Anfangswertaufgabe. Man sagt: Ein
konsistentes Einzelschrittverfahren heißt für die Schrittweite
absolut stabil bezüglich Störungen des
Anfangswertes, wenn alle damit für das lineare Testproblem (19.115) berechneten Näherungen
der Abschätzung
(19.116)
genügen.
Beispiel
Für (19.115) ergibt das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97)
. Man sieht, daß (19.116) für
dadurch die Schrittweitenbeschränkung
.
gilt, und erhält
Definition
Die Differentialgleichung (17.1), d.h. das Vektorfeld
kleinen Störungen von
, heißt strukturstabil (oder robust ), wenn bei
topologisch äquivalente Differentialgleichungen entstehen. Die präzise Definition der
Strukturstabilität erfordert einen Abstandsbegriff zwischen zwei Vektorfeldern auf
, die alle eine feste offene, beschränkte und zusammenhängende
Betrachtung solcher glatter Vektorfelder auf
Menge
als absorbierende Menge besitzen. Der Rand
von
Vektorfelder auf
in einer Umgebung von
, versehen mit der
sei eine glatte
, wobei
dimensionale Hyperfläche und sei darstellbar als
-Funktion mit
. Wir beschränken uns auf die
ist. Sei
eine
der metrische Raum aller glatten
- Metrik
(17.25)
(Im ersten Term der rechten Seite bedeutet
Diejenigen glatten Vektorfelder
die EUKLIDische Vektornorm, im zweiten die Operatornorm.)
, die transversal den Rand
in Richtung
und
gilt, bilden die Menge
. Das Vektorfeld
andere Vektorfeld
mit
schneiden, d.h., für die
heißt strukturstabil , wenn es ein
topologisch äquivalent zu
gibt, so daß jedes
ist.
Beispiel
Betrachtet wird die ebene Differentialgleichung
(17.26)
mit einem Parameter
, wobei
sei. Die Differentialgleichung
(s. linke Abbildung). Offenbar gilt
Vektorfeld
äquivalent zu
ist strukturell instabil, da beliebig nahe von
sind (s. mittlere und rechte Abbildung).
gehört z.B. zu
mit
. Das
Vektorfelder existieren, die topologisch nicht
Dies wird klar, wenn man zur Polarkoordinatendarstellung
existiert immer der stabile Grenzzyklus
von (17.26) übergeht. Für
.
Strukturstabile diskrete Systeme
Im Falle von diskreten Systemen (17.3), d.h. von Abbildungen
, sei
beschränkte, offene und zusammenhängende Menge mit glattem Rand. Sei Diff
Diffeomorphismen auf
, versehen mit der bezüglich
definierten
bestehe aus denjenigen Diffeomorphismen
eine
der metrische Raum aller
-Metrik. Die Menge Diff
, für die
gilt. Die Abbildung
(und damit das dynamische System (17.3)) heißt strukturstabil , wenn es ein
jede andere Abbildung
mit
topologisch konjugiert zu
ist.
gibt, so daß
Lösung der Stabschwingungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel B: Stabschwingungsgleichung
wird die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom hyperbolischen Typ genannt, mit deren
Hilfe die longitudinalen Schwingungen eines Stabes beschrieben werden, dessen eines Ende frei ist und
auf dessen zweites, eingespanntes Ende im Anfangszeitpunkt eine konstante Kraft
wirkt. Zu lösen ist die
gleiche Differentialgleichung wie im Beispiel Saitenschwingungsgleichung, d.h.
(9.86a)
mit den gleichen Anfangs-, aber nunmehr inhomogenen Randbedingungen:
(9.86b)
(9.86c)
(9.86d)
Diese Bedingungen können durch die homogenen Bedingungen
(9.86e)
ersetzt werden, indem für
die neue unbekannte Funktion
(9.86f)
eingeführt wird. Allerdings wird dann die Differentialgleichung inhomogen:
(9.86g)
Die Lösung wird in Form der Summe
sowie den Rand- und Anfangsbedingungen für
gesucht. Dabei genügt
der homogenen Differentialgleichung
, d.h.
(9.86h)
während
der inhomogenen Differentialgleichung genügt und die verschwindenden Anfangs- und
Randbedingungen erfüllt. Daraus ergibt sich
Produktansatz
. Eingehen in die Differentialgleichung mit dem
(9.86i)
ergibt wie in Beispiel Saitenschwingungsgleichung die Gleichung
(9.86j)
und damit gewöhnliche Differentialgleichungen für die separierten Variablen. Integration der Differentialgleichung für
und Einsetzen der Randbedingungen
liefert die Eigenfunktionen
(9.86k)
sowie die dazugehörigen Eigenwerte
(9.86l)
Durch das gleiche Vorgehen wie in Beispiel Saitenschwingungsgleichung erhält man schließlich
(9.86m)
wobei
und
die Koeffizienten der FOURIER-Reihenentwicklung für die Funktionen
und
im Intervall
sind.
Standardabweichungen
Die Standardabweichung der Gewichtseinheit ergibt sich als Schätzwert zu
(16.203)
Es ist darauf zu achten, daß
ist, im entgegengesetzten Falle
sind
mit systematischen
Abweichungen enthalten.
Die Standardabweichung der Einzelmessung lautet
(16.204)
wobei
erwartet werden kann.
Die Standardabweichung des gewogenen arithmetischen Mittels lautet:
(16.205)
Beschreibende Statistik
●
●
Statistische Erfassung gegebener Meßwerte
Statistische Parameter
Mathematische Statistik
Die mathematische Statistik stellt eine Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf konkrete
Massenerscheinungen dar. Ihre Sätze ermöglichen Wahrscheinlichkeitsaussagen über Eigenschaften einer
bestimmten Menge aus den Ergebnissen von Versuchen, deren Anzahl aus ökonomischen Gründen möglichst klein
zu halten ist.
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Stichprobenfunktionen
Beschreibende Statistik
Wichtige Prüfverfahren
Korrelation und Regression
Monte-Carlo-Methode
Kapitel 16:
Wahrscheinlichkeitsrechnung und
Mathematische Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik befassen sich mit den Gesetzmäßigkeiten des zufälligen
Eintretens bestimmter Ereignisse aus einer vorgegebenen Ereignismenge bei Versuchen im allgemeinsten Sinne.
Dabei wird vorausgesetzt, daß diese Versuche unter unveränderten Bedingungen beliebig oft wiederholt werden
können. Ihre Anwendung finden diese Gebiete der Mathematik bei der statistischen Beurteilung von
Massenerscheinungen. Die mathematische Behandlung von Zufallserscheinungen wird auch unter dem Begriff
Stochastik zusammengefaßt.
●
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mathematische Statistik
Theorie der Meßfehler
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Detailliertes Inhaltsverzeichnis
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Stereometrie
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Geraden und Ebenen im Raum
Kanten, Ecken, Raumwinkel
Polyeder
Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind
Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen
Die elementaren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig; Unstetigkeitsstellen gehören nicht zum
Definitionsbereich. Es können die folgenden allgemeinen Aussagen gemacht werden:
●
Ganzrationale Funktionen oder Polynome
Stetigkeit
Eine Funktion von zwei Veränderlichen
wird an der Stelle
d.h. im Punkt
, stetig
genannt, wenn
1. der Punkt
dem Definitionsbereich der Funktion angehört und wenn
2. der Grenzwert für
existiert und
(2.276)
ist.
Anderenfalls besitzt die Funktion an der Stelle
eine Unstetigkeit.
Wenn eine Funktion in allen Punkten eines zusammenhängenden Gebietes definiert und stetig ist, dann wird sie
stetig in diesem Gebiet genannt.
In Analogie dazu wird die Stetigkeit einer Funktion von mehr als zwei Veränderlichen definiert.
Stetigkeit der komplexen Funktion
Eine Funktion
Umgebung
heißt an der Stelle
eines Punktes
-Ebene gibt, deren durch
dargestellt, ist
stetig, wenn es zu jeder vorgegebenen, beliebig kleinen
der
-Ebene eine Umgebung
vermittelte Bildpunkte ganz in
z.B. ein Kreis mit dem Radius
um den Punkt
des Punktes
liegen. Wie in der Abbildung
.
der
Es gilt dann
(14.2)
Der Grenzwert der Funktion
ist gleich dem Funktionswert der unabhängigen Variablen.
Stetigkeit mittelbarer Funktionen y=f(u(x))
Wenn
eine stetige Funktion bezüglich
Wertebereich von
ist und
im Definitionsbereich von
stetig bezüglich
eine stetige Funktion bezüglich
und der
enthalten ist, dann ist auch die mittelbare Funktion
, und es gilt
(2.32)
Das bedeutet, daß jede stetige Funktion von einer stetigen Funktion einer Variablen wieder stetig ist.
Stichprobe
Um nicht die gesamte Grundgesamtheit auf die betreffenden Merkmale hin untersuchen zu müssen, entnimmt man
ihr eine Teilmenge, eine sogenannte Stichprobe , vom Umfang
. Erfolgt die Auswahl zufallsgemäß,
d.h., jedes Element der Grundgesamtheit muß die gleiche Chance haben, ausgewählt zu werden, dann spricht man
von einer zufälligen Stichprobe . Die zufällige Auswahl kann durch Mischen oder blindes Ziehen bzw. durch
Festlegung der auszuwählenden Elemente mit Hilfe von Zufallszahlen erfolgen.
Strahl und Strecke
Ein Strahl enthält genau die und nur die Menge aller der Punkte einer Geraden, die auf der gleichen Seite eines
Punktes 0 dieser Geraden liegen, den Punkt 0 inbegriffen. Man kann sich den Strahl durch die Bewegung eines
Punktes vorstellen, die im Punkt 0 beginnt und ohne Richtungsänderung auf der Geraden erfolgt, ähnlich wie ein
Lichtstrahl nach seiner Emission, solange dieser nicht nicht abgelenkt wird.
Eine Strecke
enthält genau die Menge aller Punkte einer Geraden, die zwischen zwei Punkten
dieser Geraden liegen, die Punkte
Ebenenpunkte
und
und
inbegriffen. Die Strecke ist die kürzeste Verbindung der beiden
. Der Durchlaufsinn einer Strecke wird mit Hilfe eines Pfeiles gemäß
oder als Richtung vom erstgenannten Punkt
und
nach dem zweitgenannten Punkt
verstanden.
gekennzeichnet
Klassische algebraische Strukturen
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Operationen
Halbgruppen
Gruppen
Anwendungsbeispiele für Gruppen
Ringe und Körper
Vektorräume
Winkelpaare an geschnittenen Parallelen
Beim Schnitt zweier paralleler Geraden
durch eine dritte Gerade
treten acht Winkel auf.
Neben Scheitelwinkel und Nebenwinkel für Winkel mit gemeinsamem Scheitelpunkt
sind für Winkel mit
verschiedenen Scheitelpunkten Wechselwinkel, Stufenwinkel und entgegengesetzt liegende Winkel zu
unterscheiden.
Wechselwinkel: Wechselwinkel sind gleich große, auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden und der
Parallelen liegende Winkel. Die Schenkel von Wechselwinkeln sind paarweise entgegengesetzt gerichtet.
Beispiel
In der Abbildung sind die Winkelpaare
und
Wechselwinkel.
Stufenwinkel oder Gegenwinkel: Stufenwinkel sind gleich große, auf der gleichen Seite der Schnittgeraden
und auf den gleichen Seiten der Parallelen liegende Winkel. Die Schenkel von Stufenwinkeln sind paarweise
gleichgerichtet.
Beispiel
In der Abbildung sind die Winkelpaare
und
Stufenwinkel.
Entgegengesetzte Winkel: Entgegengesetzte Winkel sind auf der gleichen Seite der Schnittgeraden
auf verschiedenen Seiten der Parallelen gelegene Winkel, die sich zu
gleichgerichtet, das andere entgegengesetzt gerichtet.
Beispiel
, aber
ergänzen. Ein Schenkelpaar ist
In der Abbildung sind z.B. die Winkelpaare
entgegengesetzte Winkel.
und
Reelle Nullstellen
Mit der Kartesischen Zeichenregel kann man einen ersten Hinweis darauf bekommen, ob die Polynomgleichung
(19.11) reelle Nullstellen hat. Es gilt:
1.
Die Anzahl der positiven Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge
(19.19a)
oder um eine gerade Anzahl kleiner.
2.
Die Anzahl der negativen Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge
(19.19b)
oder um eine gerade Anzahl kleiner.
Beispiel
hat 1 oder 3 positive Wurzeln und 0 oder 2
negative Wurzeln.
Mit der STURMschen Kette kann man genaue Auskunft über die Anzahl der reellen Nullstellen zwischen zwei Stellen
und
bekommen.
Einen Überblick über den Verlauf der Kurve
und damit auch über die Lage ihrer Nullstellen verschafft
man sich dadurch, daß man mit Hilfe des HORNER-Schemas für gleichabständige Argumentwerte
die Funktionswerte ermittelt. Hat man zwei Stellen
gefunden, an denen
Nullstelle.
und
entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann liegt zwischen ihnen mindestens eine reelle
Prinzip der B-B-Kurvendarstellung
Gegeben seien
Eckpunkte
mit den Ortsvektoren
eines räumlichen Polygons,
das in diesem Zusammenhang als Stützpolygon bezeichnet wird. Durch die Vorschrift
(19.252)
wird diesen Punkten eine Raumkurve, die sogenannte B-B-Kurve zugeordnet. Wegen (19.249) kann (19.252) als
,,variable Konvexkombination`` der gegebenen Punkte aufgefaßt werden. Die Raumkurve (19.252) hat folgende
wichtige Eigenschaften:
1.
Die Punkte
und
werden interpoliert.
2.
Die Vektoren
und
sind Tangenten von
in
bzw.
.
Den Zusammenhang zwischen Stützpolygon und B-B-Kurve zeigt die folgende Abbildung.
Die B-B-Darstellung wird vor allem für den Entwurf von Kurven eingesetzt, da man durch die Änderung von
Polygonecken den Kurvenverlauf auf sehr einfache Weise beeinflussen kann.
Häufig werden an Stelle der BERNSTEINschen Grundpolynome normalisierte B-Splines verwendet. Die zugehörigen
Raumkurven heißen dann B-Spline-Kurven. Ihr Verlauf entspricht prinzipiell dem der B-B-Kurven, aber sie haben
folgende Vorteile gegenüber diesen:
1.
Das Stützpolygon wird besser approximiert.
2.
Bei Änderung von Polygoneckpunkten ändert sich die B-Spline-Kurve nur lokal.
3.
Neben der lokalen Änderung des Kurvenverlaufs kann auch die Differenzierbarkeit beeinflußt werden.
So lassen sich z.B. auch Knicke und Geradenstücke erzeugen.
Definition von Summen
Zur abkürzenden Schreibweise verwendet man für Summen das Summenzeichen
(1.8)
Mit dieser Abkürzung wird eine Summe von
Laufindex oder Summationsvariable .
Summanden
bezeichnet. Man nennt
Rechenregeln für Summen
1.
Summe gleicher Summanden, d.h.,
(1.9a)
2.
Multiplikation mit einem konstanten Faktor
(1.9b)
3.
Aufspalten einer Summe
(1.9c)
4.
Addition von Summen gleicher Länge
(1.9d)
5.
Umnumerierung
(1.9e)
6.
Vertauschen der Summationsfolge bei Doppelsummen
(1.9f)
Superpositionsprinzip
●
●
Superposition komplexer Potentiale
Erzeugung neuer Felder
Superposition oder Überlagerung von Schwingungen
Superposition oder Überlagerung von Schwingungen nennt man im einfachsten Falle die Addition zweier
Schwingungen mit gleicher Frequenz. Sie führt wieder auf eine harmonische Schwingung mit derselben Frequenz:
(2.130a)
wobei
(2.130b)
und
(2.130c)
bedeuten. Auch eine Linearkombination mehrerer allgemeiner Sinusfunktionen gleicher Frequenz führt wieder auf
eine allgemeine Sinusfunktion (harmonische Schwingung) mit derselben Frequenz:
(2.131)
Die Größen
und
können mit Hilfe eines Vektordiagramms bestimmt werden:
Symmetriegruppen
Zu jeder Symmetrieoperation
gibt es eine inverse Operation
die
wieder ,,rückgängig`` macht, d.h., es
gilt
(5.105)
Dabei bezeichnet die identische Operation, die den gesamten Raum unverändert läßt. Die Gesamtheit der
Symmetrieoperationen eines räumlichen Objektes bildet bezüglich der Hintereinander-Ausführung eine Gruppe, die
im allgemeinen nichtkommutative Symmetriegruppe des Objektes. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
a) Jede Drehung ist das Produkt zweier Spiegelungen. Die Schnittgerade der beiden Spiegelungsebenen ist
die Drehachse.
b) Für zwei Spiegelungen
und
gilt
(5.106)
genau dann, wenn die zugehörigen Spiegelungsebenen identisch sind oder senkrecht aufeinander stehen. Im ersten
Fall ist das Produkt die Identität
im zweiten die Drehung
c) Das Produkt zweier Drehungen mit sich schneidenden Drehachsen ist wieder eine Drehung, deren Achse
durch den Schnittpunkt der gegebenen Drehachsen geht.
d) Für zwei Drehungen
und
um dieselbe oder um zwei zueinander senkrechte Achsen gilt:
(5.107)
Das Produkt ist jeweils wieder eine Drehung. Im ersten Fall ist die zugehörige Drehachse die gegebene, im zweiten
steht die Drehachse senkrecht auf den beiden gegebenen.
Lineare Systeme
Ein lineares System besteht aus den
Linearformen
(4.104)
Die Elemente
Spaltenvektors
der Matrix
, die vom Typ
sind konstant. Die Komponenten
unabhängigen , die Komponenten
ist, und die Komponenten
des
des Spaltenvektors
des Spaltenvektors
sind die
die abhängigen Variablen .
System aus vier Punkten
Vier Punkte
Tetraeder bilden oder in einer Ebene liegen.
Der Rauminhalt eines Tetraeders kann über
und
können entweder einen
(3.365)
berechnet werden, wobei sich nur dann ein positiver Wert
ergibt, wenn die Orientierung des Vektorentripels
mit der Orientierung des Koordinatensystems übereinstimmt (s. affine Koordinaten). Im
entgegengesetzten Falle ergibt sich ein negativer Wert.
In einer Ebene liegen die vier Punkte genau dann, wenn die Bedingung
(3.366)
erfüllt ist.
Mischende dynamische Systeme
Ein dynamisches System
auf
wenn
mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß
für beliebige BOREL-Mengen
mischendes System hängt also das Maß der Menge aller Punkte, die bei
nur vom Produkt
gilt. Für ein
und für große
in
liegen,
ab.
Ein mischendes System ist auch ergodisch: Seien
. Dann gilt
Ein Fluß
in
heißt mischend ,
ein mischendes System und
eine BOREL-Menge mit
und
ist
oder
von (17.1) ist genau dann mischend, wenn für beliebige quadratisch integrierbare Funktionen
.
die Beziehung
(17.33)
gilt. Dabei bezeichnen
und
die räumlichen Mittel, die durch die zeitlichen Mittel ersetzt werden.
Beispiel
Die Modulo-Abbildung (17.28) ist mischend. Die Rotationsabbildung (17.31) ist bezüglich des
Wahrscheinlichkeitsmaßes
nicht mischend.
Definition mittels Tabelle
Funktionen von mehreren Veränderlichen können mit Hilfe von Wertetabellen definiert werden. Die Wertetabellen der
elliptischen Integrale sind ein Beispiel für Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen. Dort sind die Werte der
unabhängigen Variablen am oberen und linken Rand der Tabelle eingetragen. Ein gesuchter Funktionswert kann als
Schnittpunkt der zugehörigen Zeilen und Spalten aufgesucht werden. Man spricht von Tabellen mit doppeltem
Eingang .
Geometrische Bedeutung der Ableitung
Wenn
sowie die
wie in der folgenden Abbildung als Kurve in kartesischen Koordinaten dargestellt ist und die
-
-Achse den gleichen Maßstab haben, dann ist
(6.2)
wobei
der Winkel zwischen der
-Achse und der Tangente an die Kurve in dem betreffenden Punkt ist. Der
Winkel wird von der positiven -Achse zur Tangente im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers gemessen und
als Tangentenneigungswinkel bezeichnet.
Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung des vollständigen Differentials einer Funktion von zwei Veränderlichen
die in einem kartesischen Koordinatensystem als Fläche dargestellt werden kann (obere Fläche durch den Punkt
in der Abbildung), besteht darin, daß
gleich dem Zuwachs der Applikate der Tangentialebene (untere Fläche
durch den betrachteten Punkt) ist, wenn
der Applikate der Fläche für die Inkremente
und
und
die Inkremente von
von
und
und
bezeichnet.
sind. Mit
ist der Zuwachs
Aus der TAYLORschen Formel folgt für Funktionen von zwei Variablen
(6.44a)
Vernachlässigt man das Restglied
dann stellt
(6.44b)
die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche
im Punkt
dar.
Tangierpunkte
Der Kleinkreis wird von zwei Meridianen, den Tangiermeridianen , in den Tangierpunkten
berührt.
und
Aus der Forderung, daß für sie das Argument des Arkuskosinus in (3.223) hinsichtlich der Variablen
extremal
sein muß, erhält man:
(3.224a)
(3.224b)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.
Taylor-Entwicklung für Vektorfunktionen
(13.4)
Die Entwicklung einer Vektorfunktion in eine TAYLOR-Reihe hat nur Sinn, wenn die Reihe konvergiert. Die
Konvergenz dieser Reihe wird ebenso wie die jeder beliebigen anderen Reihe mit vektoriellen Gliedern nach der
gleichen Methode wie die Konvergenz einer Reihe mit komplexen Gliedern bestimmt. Man kann die Konvergenz
einer Reihe mit vektoriellen Gliedern auf die Konvergenz von Reihen mit skalaren Gliedern zurückführen. Das
Differential einer Vektorfunktion
wird definiert durch
(13.5)
Teilbarkeit
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●
●
●
●
●
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●
●
Teiler
Elementare Teilbarkeitsregeln
Primzahlen
Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, Primzahlvierlinge
Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
Kanonische Primfaktorenzerlegung
Teilbarkeitskriterien
Größter gemeinsamer Teiler
EUKLIDischer Algorithmus
Größter gemeinsamer Teiler als Linearkombination
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV
FIBONACCI-Zahlen
Elementare Teilbarkeitsregeln
(5.135)
(5.136)
(5.137)
(5.138)
(5.139)
(5.140)
(5.141)
(5.142)
(5.143)
(5.144)
(5.145)
(5.146)
Teiler
Eine ganze Zahl
heißt in
durch eine ganze Zahl
ohne Rest teilbar , wenn es eine ganze Zahl
gibt,
die die Bedingung
(5.134)
erfüllt. Dabei ist
teilt
ein Teiler von
`` schreibt man auch
(5.134) ist eine binäre Relation in
definieren.
in
und
Für ,,
der zu
teilt
komplementäre Teiler ;
nicht`` kann man
ist ein Vielfaches von
Für ,,
schreiben. Die Teilbarkeitsbeziehung
. Analog kann man die Teilbarkeit in der Menge der natürlichen Zahlen
Positive Teiler
Wenn eine natürliche Zahl
jeder postive Teiler
von
mit der kanonischen Primfaktorenzerlegung (5.147a) gegeben ist, dann läßt sich
in der Form
(5.148a)
darstellen. Die Anzahl
aller positiven Teiler von
ist
(5.148b)
Beispiel A
.
Beispiel B
falls
Das Produkt
paarweise verschiedene Primzahlen sind.
aller positiven Teiler von
ist gegeben durch
(5.148c)
Beispiel A
Beispiel B
falls
Primzahl ist.
Beispiel C
, falls
und
zwei verschiedene Primzahlen sind.
Die Summe
aller positiven Teiler von
ist
(5.148d)
Beispiel A
.
Beispiel B
, falls
Primzahl ist.
Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
●
●
Konvexe Mengen
Kegel
Affiner Teilraum
Eine Teilmenge eines Vektorraumes
der Gestalt
(12.8)
wobei
ein fixiertes Element und
Mannigfaltigkeit, die man (im Falle von
ein linearer Teilraum ist, heißt affin-linearer Teilraum oder affine
) als Verallgemeinerung einer nicht durch den Nullpunkt
verlaufenden Geraden oder Ebene ansehen kann.
Tensor 1. Stufe
Ein Tensor erster Stufe hat 3 Komponenten
und
Das Transformationsgesetz (4.68) lautet
(4.69)
Das ist aber gerade das Transformationsgesetz für Vektoren, d.h., ein Vektor ist ein Tensor 1. Stufe.
Rechenregeln
Für Tensoren 2. Stufe gelten dieselben Rechenregeln wie für Matrizen. Insbesondere läßt sich jeder Tensor
Summe eines symmetrischen und eines schiefsymmetrischen Tensors darstellen:
als
(4.76a)
Ein Tensor
heißt symmetrisch , wenn
(4.76b)
gilt. Im Falle
(4.76c)
heißt er schief- oder antisymmetrisch . Dabei ist zu beachten, daß bei einem antisymmetrischen Tensor die Elemente
und
Null sind. Der Begriff der Symmetrie und Antisymmetrie läßt sich auch auf Tensoren höherer Stufe
übertragen, wenn man diese Begriffe auf bestimmte Paare von Indizes bezieht.
Definition
Eine mathematische oder physikalische Größe
Elemente
läßt sich in einem kartesischen Koordinatensystem
durch
die translationsinvariant sind, beschreiben. Dabei sei die Anzahl der Indizes
genau
Die Indizes sind geordnet und jeder Index nimmt die Werte 1, 2 und 3 an.
Gilt für die Elemente
bei einer Transformation des Koordinatensystems
nach
gemäß (4.65)
(4.68)
dann wird
als Tensor
-ter Stufe bezeichnet, und die Elemente
sind die Komponenten des Tensors
.
(meist Zahlen) mit geordneten Indizes
Tensorinvarianten
Von den invarianten Tensoren muß man die Tensorinvarianten unterscheiden. Letztere sind Funktionen von
Tensorkomponenten, deren Form und deren Wert bei Drehung des Koordinatensystems gleichbleibt.
Beispiel A
Für die Spur des Tensors
der durch Drehung in
übergeht, gilt:
(4.80)
Die Spur des Tensors
Beispiel B
ist gleich der Summe der Eigenwerte (vgl. Spur der Matrix).
Für die Determinante des Tensors
gilt:
(4.81)
Die Determinante des Tensors ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.
Tensoren
●
●
●
●
●
Transformation des Koordinatensystems
Tensoren in kartesischen Koordinaten
Tensoren mit speziellen Eigenschaften
Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen
Pseudotensoren
Tensorprodukt-Ansätze
Der bikubische Spline-Ansatz (19.242) ist ein Beispiel für einen sogenannten Tensorprodukt -Ansatz, der die Form
(19.245)
hat und vor allem für Approximationen über Rechteckgittern geeignet ist.
Die Funktionen
und
bilden zwei linear unabhängige
Funktionssysteme. Tensorprodukt-Ansätze haben in numerischer Hinsicht den großen Vorteil, daß sich z.B. die
Lösung der zweidimensionalen Interpolationsaufgabe (19.241) auf die Lösung von eindimensionalen Aufgaben
zurückführen läßt. Darüber hinaus gilt: Die zweidimensionale Interpolationsaufgabe (19.241) ist mit dem Ansatz
(19.245) eindeutig lösbar, wenn
1.
die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen
bezüglich der Stützstellen
und
2.
die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen
bezüglich der Stützstellen
eindeutig lösbar sind.
Ein wichtiger Tensorprodukt-Ansatz ist der mit kubischen B-Splines:
(19.246)
Dabei sind die Funktionen
der Knoten bezüglich
, mit
und
normalisierte B-Splines der Ordnung 4. Mit
die Anzahl der Knoten bezüglich
wird die Anzahl
bezeichnet. Die Knoten sind frei wählbar, aber
für die Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe müssen gewisse Bedingungen an die Lage der Knoten und die der
Stützstellen der Interpolation gestellt werden.
B-Spline-Ansätze führen bei der Lösung von Interpolationsaufgaben auf Gleichungssysteme, deren
Koeffizientenmatrizen Bandstruktur haben, also von numerisch günstiger Struktur sind.
Lösungen für verschiedene Interpolationsaufgaben mit Hilfe von bikubischen B-Spline-Ansätzen s. Lit. 19.15.
Tetraeder
Tetraeder wird eine dreieckige Pyramide genannt.
Mit den Bezeichnungen
und
gilt:
(3.119)
Tilgungsrechnung
●
●
●
Tilgung
Gleiche Tilgungsraten
Gleiche Annuitäten
Wavelet-Transformation
Zu einem Wavelet
kann man mit Hilfe eines Parameters
eine ganze Schar von Funktionen bilden:
(15.149)
Im Falle
wird die Ausgangsfunktion
gestaucht. Im Falle
vorgenommen. Der Faktor
ist ein Skalierungsfaktor.
Mit Hilfe eines zweiten Parameters
können die Funktionen
zweiparametrige Kurvenschar
wird zusätzlich eine Spiegelung
noch verschoben werden. Man erhält dann die
(15.150)
Der reelle Verschiebunbgsparameter
Ausdehnung der Funktion
charakterisiert den Zeitpunkt (bzw. den Ort), während der Parameter
angibt. Die Funktion
wird im Zusammenhang mit der Wavelet-
Transformation als Basisfunktion bezeichnet.
Die Wavelet-Transformation einer Funktion
ist wie folgt definiert:
(15.151a)
Für die Rücktransformation gilt:
(15.151b)
Dabei ist
Beispiel
eine Konstante, die vom speziellen Wavelet
abhängt.
die
Unter Verwendung des HAAR-Wavelets (F1150502) erhält man
und damit
(15.152)
Der Wert
gemäß (15.152) stellt eine Differenz von Mittelwerten der Funktion
benachbarten Intervallen der Länge
Bemerkungen:
um den Punkt
dar.
über zwei
1.
In den Anwendungen spielt die dyadische Wavelet-Transformation eine große Rolle. Als Basisfunktionen
verwendet sie die Funktionen
(15.153)
d.h. die verschiedenen Basisfunktionen ergeben sich aus einem Wavelet
durch Verdoppeln oder Halbieren
der Breite und durch Verschieben um ganzzahlige Vielfache der Breite.
2.
Als orthogonales Wavelet bezeichnet man ein Wavelet
, bei dem die gemäß (15.153) erzeugten
Basisfunktionen eine orthogonale Basis bilden.
3.
Besonders gute numerische Eigenschaften haben DAUBECHIES-Wavelets. Das sind orthogonale Wavelets mit
einem kompakten Träger, d.h. sie sind nur auf einem Teil der Zeitachse von Null verschieden. Für sie gibt es
aber keine geschlossene Darstellung (s. Lit. 15.11).
Trägheitsmomente
1. Trägheitsmoment des Bogenstücks einer homogenen Kurve
Intervall
bezüglich der
mit der konstanten Dichte
-Achse (s. linke Abbildung):
(8.68)
Ist die Dichte eine Funktion
, dann muß ihr analytischer Ausdruck in die Integration einbezogen werden.
im
2. Trägheitsmoment einer homogenen ebenen Figur mit der Dichte
gleichzeitig die Länge des zur
bezüglich der
-Achse, wobei
-Achse parallelen Schnittes ist (s. rechte Abbildung):
(8.69)
Im Falle der Ortsabhängigkeit der Dichte muß der analytische Ausdruck in die Integration einbezogen werden.
Formeln zur Berechnung von Trägheitsmomenten mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind in der Tabelle Anwendung
von Doppelintegralen und in der Tabelle Anwendung von Dreifachintegralen angegeben.
Zyklische Vertauschungen
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;
- Flächeninhalt;
- Radius des Umkreises;
- halber Dreiecksumfang.
- Seiten;
- die ihnen gegenüberliegenden
- Radius des Inkreises;
Da im schiefwinkligen Dreieck alle Seiten gleichberechtigt sind, ebenso alle Winkel, können aus jeder für bestimmte
Seiten und Winkel bewiesenen Formel zwei weitere gewonnen werden, wenn Seiten und Winkel gemäß der
folgenden Abbildung zyklisch vertauscht werden.
Beispiel
Aus
(Sinussatz) erhält man durch zyklische Vertauschung:
Lineare Transformation
Durch die lineare Transformation
(4.65)
wird im dreidimensionalen Raum eine Koordinatentransformation beschrieben. Dabei sind
und
die Koordinaten ein und desselben Punktes, bezogen auf zwei verschiedene
Koordinatensysteme
und
Wavelet-Transformation
●
●
●
●
●
Signale
Wavelets
Wavelet-Transformation
Diskrete Wavelet-Transformation
Gabor-Transformation
Trapez
Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind.
Mit den Bezeichnungen
und für die beiden Grundlinien des Trapezes,
für die Höhe und
, die die Mittelpunkte der beiden nicht parallelen Seiten miteinander verbindet, ergibt sich
für die Mittellinie
(3.28)
(3.29)
Im gleichschenkligen Trapez mit
ist:
(3.30)
Trennung konvexer Mengen
●
●
●
Hyperebenen
Geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach
Trennung konvexer Mengen
Triangulierung
Das Integrationsgebiet
wird in einfache Teilgebiete zerlegt. In der Regel nimmt man eine Triangulierung vor, bei
durch Dreiecke so überdeckt wird, daß einander angrenzende Dreiecke eine ganze Seite oder nur einen
der
Eckpunkt gemeinsam haben. Ein krummlinig begrenztes Gebiet kann durch Dreiecke recht gut approximiert werden
(s. Abbildung).
Hinweis: Um numerische Schwierigkeiten zu vermeiden, sollte die Triangulierung keine allzu stumpfen Dreiecke
enthalten.
Beispiel
Eine Triangulierung des Einheitsquadrates könnte in der in der folgenden Abbildung angegebenen Weise
erfolgen.
Dabei geht man von Gitterpunkten mit den Koordinaten
;
aus. Man erhält
innere
Punkte. Im Hinblick auf die Wahl von Ansatzfunktionen ist es zweckmäßig, jeweils 6 Dreiecke, die im
Punkte
zusammenstoßen, zu dem Flächenstück
zusammenzufassen.
Folgerungen aus dem Alternantensatz
Der Alternantensatz ist der Ausgangspunkt für die numerische Lösung der stetigen TSCHEBYSCHEFFschen
Approximationsaufgabe. Wählt man als Näherungsfunktion
(19.198)
mit
linear unabhängigen, bekannten Ansatzfunktionen, dann sollen mit
Koeffizienten der Lösung der TSCHEBYSCHEFFschen Aufgabe und mit
zugehörige Minimalabweichung gemäß (19.192) bezeichnet werden. In dem Fall, daß die Funktionen
die
die
und
differenzierbar sind, folgt aus dem Alternantensatz
(19.199)
Die Stellen
sind Alternantenpunkte mit
(19.200)
Die Gleichungen (19.199) stellen
Bedingungen für die
TSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe dar:
Minimalabweichung
unbekannten Größen der
Ansatzkoeffizienten,
Alternantenpunkte und die
. Falls die Intervallrandpunkte zu den Alternantenpunkten gehören, brauchen dort die
Bedingungen für die Ableitung nicht zu gelten.
Prinzip der TSCHEBYSCHEFF-Approximation
Unter TSCHEBYSCHEFF-Approximation oder gleichmäßiger Approximation versteht man im stetigen Fall die folgende
Aufgabe: In einem Intervall
ist die Funktion
durch eine Näherungsfunktion
so zu approximieren, daß der größte Fehlerbetrag
(19.192)
durch geeignete Wahl der Parameter
möglichst klein wird. Existiert für
Näherungsfunktion, dann wird der Maximalwert der Abweichung in mindestens
Punkten
eine solche
des Intervalls,
den sogenannten Alternantenpunkten , mit abwechselndem Vorzeichen angenommen (s. Abbildung).
Das ist der wesentliche Inhalt des sogenannten Alternantensatzes zur Charakterisierung der Lösung einer
TSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe.
Beispiel
Approximiert man auf dem Intervall
die Funktion
durch ein Polynom vom Grade
im TSCHEBYSCHEFFschen Sinne, dann erhält man als Fehlerfunktion, wenn auf den
Maximalwert 1 normiert wird, das TSCHEBYSCHEFFsche Polynom
aus den Randpunkten und genau
den Extremstellen von
. Die Alternantenpunkte, die sich
Punkten im Innern des Intervalls zusammensetzen, entsprechen
(s. die folgende, aus 6 Teilen bestehende Abbildung).
Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome
1. Darstellungen:
(19.193a)
(19.193b)
(19.193c)
2. Nullstellen von
:
(19.194)
3. Extremstellen von
für
:
(19.195)
4. Rekursionsformel:
(19.196)
Daraus folgt z.B.
(19.197a)
(19.197b)
(19.197c)
(19.197d)
(19.197e)
(19.197f)
(19.197g)
TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
Wenn
positive reelle Zahlen sind, dann gilt
(1.121a)
sowie
(1.121b)
Für zwei endliche Zahlenfolgen mit
positiven Zahlen ist das Produkt der arithmetischen Mittel dieser Folgen
kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich dem arithmetischen Mittel der paarweisen Produkte, wenn beide
Zahlenfolgen entweder ab- oder zunehmen oder die eine Folge zu- und die andere abnimmt.
Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
Um die EINSTEINsche Summenkonvention anwenden zu können, beschreibt man die kovarianten bzw.
kontravarianten Basisvektoren durch
(4.85)
Die Darstellung eines Vektors
lautet dann
(4.86)
Die Komponenten
des Vektors
werden als kontravariante Koordinaten, die Komponenten
als kovariante Koordinaten
bezeichnet. Zwischen diesen Koordinaten besteht der Zusammenhang
(4.87a)
mit
(4.87b)
Weiterhin gilt mit dem KRONECKER-Symbol
(4.88a)
und daraus folgt
(4.88b)
Den Übergang von
zu
bzw. von
zu
gemäß (4.87b) beschreibt man als Heraufziehen bzw.
Herunterziehen des Index durch Überschiebung.
Hinweis: In kartesischen Koordinatensystemen sind kovariante und kontravariante Koordinaten einander gleich.
Umlaufintegral eines Vektorfeldes
Umlaufintegral eines Vektorfeldes nennt man ein Kurvenintegral dieses Feldes, das über einen geschlossenen
Integrationsweg genommen wird. Wird der skalare Wert mit
bezeichnet, dann gilt:
und der Weg auf der geschlossenen Kurve mit
(13.102)
Verschwinden des Umlaufintegrals
Das Umlaufintegral über eine ebene geschlossene Kurve, d.h. das Kurvenintegral von
, ist gleich
Null, wenn die Bedingung (8.127) erfüllt ist und wenn innerhalb der geschlossenen Kurve keine Punkte liegen, in
denen eine der Funktionen
oder
unstetig oder nicht definiert ist.
Linear unabhängige Elemente
●
●
Lineare Unabhängigkeit
Basis und Dimension eines Vektorraumes
Ungleichungen 1. Grades
Ungleichungen 1. Grades besitzen die Lösung
(1.128a)
und
(1.128b)
Beispiel
Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades
(1.132a)
oder
(1.132b)
Die Ungleichung wird durch
dividiert, wobei sich das Vorzeichen im Falle
ändert, so daß sie auf die Form
(1.132c)
oder
(1.132d)
gebracht wird. Durch quadratische Ergänzung folgt
(1.132e)
oder
(1.132f)
Bezeichnet man nun
mit
und
mit
, dann ergibt sich die Ungleichung
(1.132g)
oder
(1.132h)
Nachdem diese gelöst ist, kann
Beispiel A
bestimmt werden.
Die Lösung ist
Beispiel B
Die Ungleichung ist identisch erfüllt.
Beispiel C
und
Die Lösungsbereiche sind
und
.
Ungleichungen 2. Grades
Die Ungleichungen 2. Grades
(1.129a)
und
(1.129b)
besitzen die folgenden Lösungen:
(1.130a)
(1.130b)
(1.131a)
(1.131b)
Ungleichungen für verschiedene Mittel
1. Ungleichungen für arithmetisches und geometrisches Mittel:
(1.112)
Das arithmetische Mittel von
positiven Zahlen ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel dieser Zahlen. Das
Gleichheitszeichen gilt nur, wenn alle
Zahlen gleich sind.
2. Ungleichungen für arithmetisches und quadratisches Mittel:
(1.113)
Der Absolutbetrag des arithmetischen Mittels mehrerer Zahlen ist kleiner oder gleich dem quadratischen Mittel.
3. Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte reeller Zahlen: Für die Ungleichungen, die das
arithmetische, geometrische, harmonische und quadratische Mittel zweier positiver reeller Zahlen
miteinander verknüpfen, gilt:
und
mit
(1.114)
Dabei bedeuten:
(1.115)
(s. auch Mittelwerte).
Auflösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades
●
●
●
●
Allgemeines
Ungleichungen 1. Grades
Ungleichungen 2. Grades
Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades
BERNOULLIsche und Binomische Ungleichung
1. BERNOULLIsche Ungleichung: Für reelle Zahlen
ist
(1.116)
Das Gleichheitszeichen gilt für
.
2. Binomische Ungleichung: Für alle reellen Zahlen
gilt
(1.117)
CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung
Die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung gilt für beliebige komplexe Zahlen
sowie für alle reellen
Zahlen
(1.118a)
oder
(1.118b)
Für zwei endliche Zahlenfolgen mit jeweils
Zahlen ist die Summe ihrer paarweisen Produkte kleiner oder gleich
dem Produkt der beiden Quadratwurzeln aus den Summen der Quadrate dieser Wurzeln. Das Gleichheitszeichen gilt
nur für
Wenn
ist und
und
als rechtwinklige kartesische Koordinaten von Vektoren
aufgefaßt werden, dann besagt die Ungleichung von CAUCHY-SCHWARZ, daß das skalare Produkt zweier Vektoren
kleiner oder gleich dem Produkt der Beträge dieser Vektoren ist. Wenn
ist, dann kann diese Aussage auf
Vektoren im -dimensionalen euklidischen Raum ausgedehnt werden.
Ein Analogon dazu ist die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung für konvergente unendliche Reihen sowie für
bestimmte Integrale:
(1.119)
(1.120)
MINKOWSKIsche Ungleichung
1. MINKOWSKIsche Ungleichung für Reihen: Wenn
ist und
sowie
mit
zwei Zahlenfolgen sind, dann gilt:
(1.124a)
2. MINKOWSKIsche Ungleichung für Integrale: Wenn
Maßraum
und
zwei meßbare Funktionen auf dem
sind, dann gilt:
(1.124b)
Reine Ungleichungen
●
●
Definitionen
Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II
Tschebyscheffsche Ungleichung
Hat die Zufallsveränderliche
den Erwartungswert
und die Standardabweichung
, so gilt für beliebiges
die TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung :
(16.56)
Danach ist es sehr unwahrscheinlich, daß Werte der Zufallsveränderlichen
Standardabweichung vom Erwartungswert
entfernt liegen (
groß).
um ein Vielfaches der
Verallgemeinerte TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
Wenn
positive reelle Zahlen sind, dann gilt
(1.122a)
sowie
(1.122b)
Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II
●
●
●
Sinnänderung des Ungleichheitszeichens und Transitivität
Addition und Subtraktion
Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl, Ungleichung bezüglich der Kehrwerte
Ungleichungen
●
●
●
Reine Ungleichungen
Spezielle Ungleichungen
Auflösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades
Identische, gleichsinnige, ungleichsinnige und äquivalente Ungleichungen
1. Identische Ungleichungen zeichnen sich durch ihre Gültigkeit für alle Werte der in ihnen enthaltenen
Buchstabensymbole aus.
2. Gleichsinnige Ungleichungen liegen vor, wenn von zwei Ungleichungen beide zum Typ I oder beide zum
Typ II gehören.
3. Ungleichsinnige Ungleichungen liegen vor, wenn die eine Ungleichung zum Typ I, die andere zum Typ II
gehört.
4. Äquivalente Ungleichungen liegen vor, wenn zwei Ungleichungen mit denselben Unbekannten für die
gleichen Werte der Unbekannten richtig sind.
Spezielle Ungleichungen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Dreiecksungleichung für reelle und komplexe Zahlen
Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz reeller Zahlen
Ungleichungen für verschiedene Mittel
BERNOULLIsche und Binomische Ungleichung
CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung
TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
Verallgemeinerte TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
HÖLDERsche Ungleichung
MINKOWSKIsche Ungleichung
Sinnänderung des Ungleichheitszeichens und Transitivität
1. Sinnänderung des Ungleichheitszeichens:
(1.102a)
(1.102b)
2. Transitivität:
(1.103a)
(1.103b)
Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen)
Das englische Wort ,,fuzzy`` bedeutet so viel wie fusselig oder besser unscharf. Auf dieser Bedeutung beruht der
Name Fuzzy-Logik . Grundsätzlich sollten zwei Arten von Unschärfe unterschieden werden: Vagheit und Unsicherheit
. Mathematisch gesehen, gehören dazu zwei Konzepte: Die Theorie der unscharfen Mengen und die Theorie der
unscharfen Maße. In der folgenden praxisorientierten Einführung sollen die Begriffe, Methoden und Konzepte
unscharfer Mengen, die zur Zeit als mathematische Hilfsmittel akzeptiert werden, auf der Basis der mehrwertigen
Logik erläutert werden.
●
●
●
Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen
Eigenschaften unscharfer Mengen
Fuzzy-Linguistik
Unterdeterminanten
Eine Unterdeterminante
-ter Ordnung des Elements
einer Determinante
diejenige Determinante, die sich aus der gegebenen Determinante durch Streichen der
Spalte ergibt.
Beispiel
Entwicklung einer Determinante 4. Ordnung nach den Elementen der 3. Zeile:
-ter Ordnung heißt
-ten Zeile und
-ten
Urnenmodell
In einem Gefäß befindet sich eine große Anzahl schwarzer und weißer Kugeln. Gefragt ist nach der
gezogenen Kugeln
schwarze befinden. Wird jede gezogene Kugel
Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter
nach der Feststellung ihrer Farbe wieder zurückgelegt, dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich
Kugeln
schwarze befinden, eine Binomialverteilung . Werden die gezogenen
unter den gezogenen
nicht zurückgelegt, dann ergibt sich eine hypergeometrische Verteilung .
Kugeln
Variationen
1. Definition: Variation nennt man eine Auswahl von
Elementen aus
verschiedenen Elementen unter
Beachtung der Reihenfolge. Das bedeutet: Variationen sind Kombinationen mit Beachtung der Reihenfolge.
Deshalb ist auch bei den Variationen zwischen Variation ohne und mit Wiederholung zu unterscheiden.
2. Anzahl der Variationen ohne Wiederholung: Für die Anzahl
verschiedenen Elementen
der Möglichkeiten, aus
unter Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, gilt
(16.6)
Beispiel
Wieviel Möglichkeiten gibt es, in einer Wahlversammlung mit 30 Teilnehmern einen 4köpfigen
Wahlvorstand, bestehend aus dem Vorsitzenden, seinem Stellvertreter und dem 1. und 2. Wahlhelfer
zusammenzustellen? Die Antwort lautet
.
3. Anzahl der Variationen mit Wiederholung: Wenn von den
verschiedenen Ausgangselementen in einer
Variation einzelne auch mehrfach auftreten dürfen, dann spricht man von einer Variation mit Wiederholung. Für
ihre Anzahl gilt
(16.7)
Beispiel A
Beim Fußball-Toto sind für 12 Spiele
verschiedene Tips möglich.
Beispiel B
Mit der digitalen Einheit Byte, die aus 8 Bits besteht, können
werden, was in der bekannten ASCII-Tabelle zum Ausdruck kommt.
verschiedene Zeichen dargestellt
Allgemeinere Variationsaufgaben
Es sollen zwei Verallgemeinerungen der einfachen Variationsaufgabe betrachtet werden.
1. Verallgemeinerung
: Das Funktional der Variationsaufgabe hängt von partiellen
Ableitungen höherer Ordnung der gesuchten Funktion
ab. Im vorliegenden Fall, in dem die partiellen
Ableitungen bis zur 2. Ordnung einschließlich auftreten, lautet die EULERsche Differentialgleichung:
(10.50)
2. Verallgemeinerung
: Im Falle einer Variationsaufgabe, bei der
unabhängige Variablen
auftreten, lautet die EULERsche Differentialgleichung:
(10.51)
Variationsaufgaben mit Funktionen mehrerer
Veränderlicher
●
●
Einfache Variationsaufgabe
Allgemeinere Variationsaufgaben
Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
Es werden zwei Aufgabenklassen betrachtet.
:
1.
Die Variationsaufgabe lautet:
(10.30a)
mit den Randbedingungen
(10.30b)
wobei die Zahlenwerte
und
sowie die Funktion
gegeben sind. Analog zur Verfahrensweise
unter EULERsche Differentialgleichung der Variationsrechnung werden Vergleichsfunktionen
mit
EULERsche Differentialgleichung
eingeführt, und man erhält die
(10.31)
als notwendige Bedingung für die Lösung des Variationsproblems (10.30a). Die Differentialgleichung (10.31) stellt
eine Differentialgleichung 4. Ordnung dar. Ihre allgemeine Lösung enthält 4 willkürliche Konstanten, die mit Hilfe der
Randbedingungen (10.30b) bestimmt werden können.
Beispiel
Für das Problem
(10.32a)
mit gegebenen Konstanten
und
gilt
. Daraus folgt
, und die
EULERsche Differentialgleichung lautet:
(10.32b)
Das ist eine lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
2.
:
In diesem allgemeinen Fall, bei dem das Funktional
gesuchten Funktion
bis zur Ordnung
der Variationsaufgabe von den Ableitungen der
abhängen soll, lautet die zugehörige EULERsche
Differentialgleichung
(10.33)
deren Lösung Randbedingungen analog zu (10.30b) bis zur Ordnung
erfüllen müssen.
Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen
Das Funktional der Variationsaufgabe habe die Form
(10.34)
wobei die gesuchten Funktionen
annehmen sollen. Man wählt
für
und
vorgegebene Werte
zweimal stetig differenzierbare Vergleichsfunktionen
(10.35)
wobei die Funktionen
(10.34) in
in den Randpunkten verschwinden sollen. Mit (10.35) geht
über, und aus den notwendigen Bedingungen
(10.36)
für Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen ergeben sich die
Differentialgleichungen
EULERschen
(10.37)
deren Lösungen
die vorgegebenen Randbedingungen erfüllen müssen.
Aufstellung einer Variationsaufgabe
Zu der vorgegebenen Randwertaufgabe ist eine Variationsaufgabe zu formulieren. Die Vorgehensweise wird an der
Randwertaufgabe
(19.143)
gezeigt. Multipliziert man die Differentialgleichung in (19.143) mit einer hinreichend glatten Funktion
auf dem Rand von
verschwindet, und integriert man anschließend über
, die
, dann erhält man
(19.144)
Durch Anwendung der GAUSSschen Integralformel, indem man
und
setzt,
erhält man aus (19.144) die Variationsgleichung
(19.145a)
mit
(19.145b)
Erste und zweite Variation
Bei der Herleitung der EULERschen Differentialgleichung mit Hilfe von Vergleichsfunktionen wurde die TAYLOREntwicklung des Integranden von
(10.62)
nach den bezüglich
erhält man
linearen Gliedern abgebrochen. Berücksichtigt man auch die quadratischen Glieder, dann
(10.63)
Bezeichnet man als
1. Variation
des Funktionals
den Ausdruck
(10.64)
2. Variation
des Funktionals
den Ausdruck
(10.65)
dann kann man schreiben:
(10.66)
Mit Hilfe dieser Variationen lassen sich die verschiedenen Optimalitätsbedingungen für das Funktional
formulieren (s. Lit. 10.6).
Anwendungen in der Physik
Die Variationsrechnung spielt in der Physik eine entscheidende Rolle. So kann man die Grundgleichungen der
NEWTONschen Mechanik aus einem Variationsprinzip herleiten und zur JACOBI-HAMILTONschen Theorie gelangen,
aber auch in der Atomtheorie und der Quantenphysik hat die Variationsrechnung große Bedeutung. Dabei zeigte
sich, daß eine Erweiterung und Verallgemeinerung der klassischen mathematischen Begriffe unbedingt notwendig
ist. Deshalb muß heute die Variationsrechnung im Rahmen moderner mathematischer Disziplinen wie z.B. der
Funktionalanalysis und der Optimierung betrachtet werden. In den voransstehenden Abschnitten konnte lediglich ein
Einblick in den klassischen Teil der Variationsrechnung gegeben werden (s. Lit. 10.3, 10.4, 10.6).
Ergänzungen
●
●
Erste und zweite Variation
Anwendungen in der Physik
Polare und axiale Vektoren
Polare Vektoren dienen der Darstellung von Größen mit Maßzahl und Raumrichtung, wie Geschwindigkeit und
Beschleunigung, axiale Vektoren dagegen der Darstellung von Größen mit Maßzahl, Raumrichtung und Drehsinn,
wie Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung. In der zeichnerischen Wiedergabe werden sie durch einen
polaren bzw. axialen Pfeil unterschieden.
In der mathematischen Behandlung besteht zwischen ihnen kein Unterschied.
Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren
Ein freier Vektor ändert seine Eigenschaften Modul und Richtung nicht, wenn er parallel zu sich selbst derart
verschoben wird, daß sein Anfangspunkt in einem beliebigen Raumpunkt fällt. Wenn die Eigenschaften eines Vektors
an einen bestimmten Anfangspunkt gebunden sind, dann spricht man von einem gebundenem Vektor . Ein
linienflüchtiger Vektor darf nur längs der Geraden verschoben werden, in die er weist.
Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
Tabelle Vektorkomponenten in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Hinweis: Beim Übergang von einem Punkt zu einem anderen ändern zwar die Koordinatenvektoren ihre Richtung, sie stehen aber stets
senkrecht aufeinander.
Zerlegung von Vektoren
Jeder beliebige Vektor
kann eindeutig in eine Summe aus drei Vektoren zerlegt werden, die parallel zu drei
gegebenen nichtkomplanaren Vektoren
sind:
(3.242c)
und
Die Summanden
Faktoren
und
werden die Komponenten der Vektorzerlegung genannt, die skalaren
die Koeffizienten . Vektoren, die parallel zu einer Ebene liegen, können durch zwei
nichtkollineare Vektoren
und
in die Form
(3.243)
gebracht werden.
Vektoralgebra
●
●
●
●
●
●
●
Definition des Vektors, Rechenregeln
Koordinaten eines Vektors
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Mehrfache multiplikative Verknüpfungen
Vektorielle Gleichungen
Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors
Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
Vektorfeld in kartesischen Koordinaten
Das Vektorfeld (13.12a) kann mit Hilfe dreier skalarer Felder
Koeffizienten des Vektors
und
definiert werden, die als
bei seiner Zerlegung in drei beliebige inkomplanare Vektoren
aufzufassen sind:
(13.16a)
Wählt man für diese drei Vektoren die Einheitsvektoren der drei Koordinatenachsen
Koeffizienten
, und drückt man die
in kartesischen Koordinaten aus, dann gilt
(13.16b)
Somit kann das Vektorfeld mit Hilfe dreier skalarer Funktionen von drei skalaren Veränderlichen definiert werden.
Vektorfelder mit punktförmigen Quellen
●
●
Coulomb-Feld der Punktladung
Gravitationsfeld der Punktmasse
Zentrales Vektorfeld
Alle Vektoren
liegen auf Geraden, die durch einen bestimmten Punkt, das Zentrum , verlaufen (s. Abbildung).
Wird der Koordinatenursprung in das Zentrum gelegt, dann kann das Feld mit Hilfe von
(13.13a)
definiert werden, da alle Vektoren die Richtung des Radiusvektors
durch die Formel
besitzen. Oft ist es von Vorteil, dieses Feld
(13.13b)
zu beschreiben, wobei
die Länge des Vektors
angibt und
der Einheitsvektor ist.
Zylindrisches Vektorfeld
a)
Alle Vektoren
liegen auf Geraden, die auf einer bestimmten Geraden, der Achse, senkrecht stehen und
durch diese hindurchgehen, und
b)
alle Vektoren
für Punkte, die gleichen Abstand von der Achse haben, besitzen gleiche Beträge und sind
entweder auf die Achse hin- oder von ihr weggerichtet (s. Abbildung).
Wird der Koordinatenursprung auf die Achse gelegt, die durch den Vektor
Feld durch die Formel
vorgegeben ist, dann kann dieses
(13.15a)
beschrieben werden. Dabei ist
die Projektion von
auf die Ebene, die auf der Achse senkrecht steht:
(13.15b)
Jeder Schnitt dieses Feldes mit Ebenen, die senkrecht auf der Achse stehen, ergibt gleichartige Kreisfelder.
Lineare Vektorfunktion
In einem festgelegten Koordinatensystem wird mit Hilfe des Tensors
gemäß (4.89) durch
(4.92a)
mit
(4.92b)
eine lineare Beziehung zwischen den Vektoren
Vektorfunktion bezeichnet.
und
hergestellt. Deshalb wird (4.92a) auch als lineare
Vektorfunktion einer skalaren Variablen
●
●
●
●
Definitionen
Ableitung einer Vektorfunktion
Differentiationsregeln für Vektoren
Taylor-Entwicklung für Vektorfunktionen
Vektorgradient
Der Vektorgradient
kann mit Hilfe des Nablaoperators gemäß
(13.68a)
dargestellt werden. Für den im Zusammenhang mit dem Vektorgradienten vorkommenden Ausdruck
gilt:
(13.68b)
Außerdem gilt für
:
(13.68c)
Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld
Reines Wirbelfeld wird ein Feld
genannt, manchmal auch solenoides Vektorfeld , dessen Divergenz überall
gleich Null ist; dieses Feld ist also quellenfrei. Ist die Wirbeldichte
, dann gilt:
(13.127a)
Die Wirbeldichte
kann nicht beliebig gegeben sein, sondern muß der Gleichung
genügen. Mit
dem Ansatz
(13.127b)
ergibt sich gemäß (13.94)
(13.127c)
Somit genügt
formal der POISSONschen Differentialgleichung wie das Potential
eines wirbelfreien Feldes
und heißt deshalb Vektorpotential . Für jeden beliebigen Punkt
gilt dann
(13.127d)
Die Bedeutung von
ist die gleiche wie in (13.126b); die Integration erfolgt über den gesamten Raum.
Geordnete Vektorräume
●
●
●
●
Kegel und Halbordnung
Ordnungsbeschränkte Mengen
Positive Operatoren
Vektorverbände
Vektorräume
●
●
●
Definition
Lineare Abbildungen
Unterräume, Dimensionsformel
Definition
Ein Vektorraum über einem Körper
Gruppe
(
-Vektorraum) besteht aus einer additiv geschriebenen ABELschen
von ,,Vektoren``, einem Körper
Multiplikation
die jedem geordneten Paar
von ,,Skalaren`` und einer äußeren
mit
und
einen Vektor
zuordnet. Dabei gelten folgende Gesetze:
(5.113)
(5.114)
(5.115)
(5.116)
(5.117)
(5.118)
(5.119)
(5.120)
, so spricht man von einem reellen Vektorraum .
Ist
Beispiel A
Einspaltige bzw. einzeilige reelle Matrizen vom Typ
bzw.
bilden bezüglich der
Matrizenaddition und der äußeren Multiplikation mit einer reellen Zahl einen reellen Vektorraum
(s. Vektorraum der Spalten- bzw. Zeilenvektoren).
Beispiel B
Alle reellen Matrizen vom Typ
bilden einen reellen Vektorraum.
Beispiel C
Alle auf einem Intervall
stetigen reellen Funktionen bilden mit den durch
(5.121)
definierten Operationen einen reellen Vektorraum. Funktionenräume spielen in der Funktionalanalysis eine
wesentliche Rolle.
●
Lineare Abhängigkeit
VENN-Diagramm
Zur Veranschaulichung von Mengen und Mengenoperationen benutzt man VENN-Diagramme . Dabei werden
Mengen durch ebene Figuren dargestellt. So wird durch die linke Abbildung die Teilmengenbeziehung
dargestellt.
Verknüpfungsregeln
Für die Verknüpfung unscharfer Relationen
gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten:
(E1) Assoziativgesetz:
(5.290)
(E2) Distributivgesetz für die Verknüpfung mit Vereinigungsbildung:
(5.291)
(E3) Distributivgesetz in abgeschwächter Form für die Verknüpfung mit Schnittbildung:
(5.292)
(E4) Inversenbildung:
(5.293)
(E5) Komplementbildung und Inversenbildung:
(5.294)
(E6) Monotonieeigenschaften:
(5.295)
Beispiel A
Die Gleichung (5.287) für das Relationenprodukt
wurde entsprechend wie bei der
Durchschnittsbildung mittels der min-Operation definiert. Allgemeine Überlegungen zeigen, daß statt der
min-Operation irgendeine der
-Normen verwendet werden kann.
Beispiel B
Für die Vereinigungs-, Durchschnitts- und Komplementbildung bezüglich
-Schnitte gilt:
Entsprechendes gilt auch für die scharfen
Schnitte.
-
Chi-Quadrat-Verteilung
Es seien
unabhängige, (
)-normalverteilte Zufallsveränderliche. Dann heißt die
Verteilung der Zufallsveränderlichen
(16.88)
-Verteilung mit dem Freiheitsgrad
Dichtefunktion mit
. Ihre Verteilungsfunktion wird mit
bezeichnet, die zugehörige
. Es gilt:
1. Dichte und Verteilungsfunktion:
(16.89)
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.90)
3. Sind
und
unabhängige Zufallsveränderliche, die je einer
-Verteilung mit
Freiheitsgraden genügen, so ist die Zufallsveränderliche
bzw.
-verteilt mit
Freiheitsgraden.
4. Dichtefunktionen bei verschiedenen Zufallsveränderlichen
unabhängige, (
: Sind
)-normalverteilte Zufallsveränderliche, so besitzt
(16.91)
(16.92)
(16.93)
5. Quantile: Für die Quantile
der
-Verteilung mit dem Freiheitsgrad
(s. Abbildung) gilt
(16.94)
Quantile der
-Verteilung sind in der zugehörigen Tabelle zu finden.
Chi-Quadrat-Verteilung
●
●
Chi-Quadrat-Verteilung, Teil I
Chi-Quadrat-Verteilung, Teil II
Diskrete Verteilungen
●
●
●
●
●
Zweistufige Grundgesamtheit und Urnenmodell
Urnenmodell
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poisson-Verteilung
Hypergeometrische Verteilung
Wie bei der Betrachtung der Binomialverteilung liege eine zweistufige Grundgesamtheit mit zwei Klassen von
Elementen vor, von denen die eine Klasse
Elemente mit der Eigenschaft
enthält, die andere
nicht besitzen. Im Unterschied zu dem auf die Binomialverteilung führenden Fall
Elemente, die die Eigenschaft
mit Zurücklegen der gezogenen Kugeln des Urnenmodells wird jetzt der Fall ohne Zurücklegen betrachtet.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter
gezogenen Kugeln
schwarze befinden, ist durch
(16.64a)
mit
(16.64b)
gegeben. Die Wahrscheinlichkeiten
Eine Zufallsgröße
und
berechnet man gemäß (16.60).
, die der Verteilung (16.64a) genügt, heißt hypergeometrisch verteilt.
1. Erwartungswert und Streuung:
(16.65a)
(16.65b)
2. Rekursionsformel:
(16.65c)
In der folgenden Abbildung sind drei hypergeometrische Verteilungen für die Fälle
und
für
dargestellt, was den Fällen
zur Binomialverteilung entspricht.
und
der sich anschließenden Abbidung
In diesen Beispielen sind keine signifikanten Unterschiede zwischen Binomial- und hypergeometrischer Verteilung zu
erkennen.
Stetige Verteilungen
●
●
●
●
●
●
●
●
Normalverteilung
Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral
Logarithmische Normalverteilung
Exponentialverteilung
Weibull-Verteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
Fisher-Verteilung
Student-Verteilung
Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Es sei
eine kontinuierliche Zufallsgröße. Der zugehörigen Grundgesamtheit kann man beliebig viele Stichproben
entnehmen. Dann beschreiben die zugehörigen Stichprobenmittelwerte eine neue Zufallsgröße
vom Umfang
die ebenfalls kontinuierlich ist. Für deren statistische Sicherheit und Normalverteilung gelten die im folgenden
dargelegten Aussagen.
●
●
Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes
Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte
,
Student-Verteilung
Ist
eine (
)-normalverteilte Zufallsveränderliche und
-verteilt ist mit
eine von
unabhängige Zufallsveränderliche, die
Freiheitsgraden, so heißt die Verteilung der Zufallsgröße
(16.98)
STUDENT-Verteilung oder
-Verteilung mit
Freiheitsgraden.
1. Verteilungsfunktion und Dichte: Die Verteilungsfunktion wird mit
bezeichnet.
, die zugehörige Dichte mit
(16.99)
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.100a)
(16.100b)
3. Quantile: Für die Quantile
bzw.
der
-Verteilung (s. folgende zwei Abbildungen) gilt:
(16.101a)
oder
(16.101b)
Die Quantile der STUDENT-Verteilung sind in der zugehörigen Tabelle zu finden.
Das Einsatzgebiet der STUDENT-Verteilung, die von GOSSET unter dem Pseudonym STUDENT eingeführt wurde, sind
, für die nur Schätzwerte des Erwartungswertes und der Standardabweichung
Stichproben mit geringem Umfang
angegeben werden können. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist in (16.100b) nicht mehr enthalten.
Studentsche t-Verteilung
●
●
Studentsche t-Verteilung, Teil I
Studentsche t-Verteilung, Teil II
Weibull-Verteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion: Die stetige Zufallsgröße
Parametern
und
(
genügt einer WEIBULL-Verteilung mit den
), wenn ihre Dichte durch
(16.83)
und ihre Verteilungsfunktion durch
(16.84)
gegeben sind.
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.85)
Mit
wird dabei die Gammafunktion bezeichnet:
(16.86)
In (16.83) ist
der Form- und
Bemerkungen:
der Maßstabsparameter (s. die folgenden zwei Abbildungen):
a) Für
geht die WEIBULL-Verteilung in die Exponentialverteilung mit dem Parameter
über.
b) Die WEIBULL-Verteilung gibt es auch als dreiparametrige Verteilung, wenn zusätzlich der Parameter
als
sogenannter Lageparameter eingeführt wird. Die Verteilungsfunktion lautet dann:
(16.87)
c) Die WEIBULL-Verteilung wird besonders in der Zuverlässigkeitstheorie angewendet, weil sie in sehr flexibler
Weise die Funktionsdauer von Bauteilen oder Baugruppen beschreiben kann.
●
Bemerkungen:
Verteilungsfunktion bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen
1. Diskrete Zufallsgröße: Eine diskrete Zufallsveränderliche
, die die Werte
mit
annimmt, hat die Verteilungsfunktion
den Wahrscheinlichkeiten
(16.43)
2. Kontinuierliche Zufallsgröße: Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
sie einen bestimmten Wert
annimmt, gleich
in einem endlichen Intervall
Läßt sich diese mit Hilfe einer Funktion
. Man betrachtet daher die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
liegt.
, der Wahrscheinlichkeitsdichte , in der Form
(16.44)
darstellen, dann spricht man von einer stetigen Verteilungsfunktion
(16.45)
und einer stetigen Zufallsgröße .
Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften
Die Verteilung der Zufallsveränderlichen
wird durch die Verteilungsfunktion beschrieben:
(16.42)
Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße
einen Wert zwischen
und
annimmt. Die
Verteilungsfunktion hat die folgenden Eigenschaften:
1.
.
2.
ist eine nicht fallende Funktion von
.
3.
ist rechtsseitig stetig.
Hinweis: In verschiedenen Darstellungen wird auch, abweichend von der DIN-Vorschrift, die Definition
verwendet.
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
●
●
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung
Es sei
eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den Parametern
Verteilung der Stichprobenmittelwerte ist dann
Parametern
und
und
. Gemäß Abschnitt
ebenfalls eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den
. Durch die Substitution
(16.119)
erhält man eine Zufallsgröße
, die der normierten Normalverteilung genügt. Für diese gilt
(16.120)
Gibt man jetzt eine Irrtumswahrscheinlichkeit
vor und verlangt
(16.121)
dann kann man
aus (16.120) numerisch bestimmen bzw. aus der Tabelle der normierten
unter Beachtung von (16.119) die Beziehung
Normalverteilung ablesen und erhält aus
(16.122)
Die Werte
bekannter Streuung
in (16.122) heißen Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit
liegt mit der statistischen Sicherheit
. Man kann auch sagen: Der Mittelwert
zwischen den Vertrauensgrenzen (16.122).
Hinweis: Ist der Stichprobenumfang hinreichend groß
Regel unbekannten Streuung
der Grundgesamtheit bei
, dann kann in (16.122) an Stelle der in der
der Grundgesamtheit die Stichprobenstreuung
Anderenfalls müssen die Vertrauensgrenzen mit Hilfe der
verwendet werden.
-Verteilung gemäß (16.125) ermittelt werden.
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung
Wenn die Streuung
der Grundgesamtheit unbekannt ist, dann ersetzt man sie durch die Stichprobenstreuung
und erhält an Stelle von (16.119) die Zufallsvariable
(16.123)
die der
-Verteilung mit
Freiheitsgraden genügt. Dabei ist
vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit
der Umfang der Stichprobe. Mit einer
gilt dann
(16.124)
Aus (16.124) folgt
Freiheitsgraden) zur Irrtumswahrscheinlichkeit
folgt
, wobei
das Quantil der
-Verteilung (mit
darstellt (Tabelle STUDENT-Verteilung). Aus
(16.125)
Die Werte
heißen Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit
unbekannter Streuung
der Grundgesamtheit bei
.
Beispiel
Eine Stichprobe bestehe aus den folgenden 6 Meßwerten: 0,842; 0,846; 0,835; 0,839; 0,843; 0,838. Daraus
erhält man
und
Stichprobenmittelwertes
vom Mittelwert
. Wie groß ist höchstens die Abweichung des
der Grundgesamtheit, wenn eine Irrtumswahrscheinlichkeit
von 5 % bzw. 1 % zugelassen wird?
1.
: Aus der Tabelle
-Verteilung liest man
ab und erhält
, d.h., mit 95 % Wahrscheinlichkeit weicht der
Stichprobenmittelwert
höchstens um
vom Mittelwert
ab.
2.
:
, d.h., mit 99
% Sicherheit weicht
um höchstens
von
ab.
Vertrauensgrenzen für die Streuung
Die Zufallsgröße
sei normalverteilt mit den Parametern
und
. Dann genügt die neue Zufallsgröße
(16.126)
einer
-Verteilung mit
Freiheitsgraden, wobei
Streuung. Aus der folgenden Abbildung, in der
der Umfang einer Stichprobe ist und
die Wahrscheinlichkeitsdichte der
deren
-Verteilung bedeutet,
folgt
(16.127)
d.h., mit den Quantilen der
-Verteilung besteht der Zusammenhang (s. Tabelle
-Verteilung):
(16.128)
Unter Beachtung von (16.126) erhält man damit die folgende Abschätzung für die unbekannte Streuung
der
Grundgesamtheit bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit
:
(16.129)
Das durch (16.129) beschriebene Vertrauensintervall für
sein.
wird bei kleinem Stichprobenumfang noch sehr grob
Beispiel
Für die Zahlenwerte des Beispiels Stichprobe mit 6 Meßwerten und
-Verteilung ab:
und
mit
liest man aus der Tabelle
. Somit folgt aus (16.129):
.
Vervollständigung eines metrischen Raumes
Jeder beliebige, also im allgemeinen nicht vollständige metrische Raum
existiert ein metrischer Raum
kann vervollständigt werden; genauer, es
mit folgenden Eigenschaften:
1.
enthält einen zu
isometrischen Teilraum
.
2.
ist überall dicht in
.
3.
ist ein vollständiger metrischer Raum.
4.
Ist
ein beliebiger metrischer Raum mit den Eigenschaften 1. bis 3., dann sind
und
isometrisch.
Der dadurch bis auf Isometrie eindeutig bestimmte vollständige metrische Raum heißt die Vervollständigung
des Raumes
.
Ebene Vielecke
●
●
Allgemeine Eigenschaften
Regelmäßige Vielecke
Ebene Vierecke
●
●
●
●
●
Parallelogramm
Rechteck und Quadrat
Rhombus
Trapez
Allgemeines Viereck
Wurzelsatz von VIETA
Der Zusammenhang zwischen den
Wurzeln
und den Koeffizienten der Gleichung (1.166a) ist
gegeben durch:
(1.168)
Winkelbezeichnungen
Winkel werden nach dem Richtungsunterschied ihrer Schenkel bezeichnet. Für Winkel
im Intervall
in der Abbildung dargestellten und in der Tabelle angegebenen Bezeichnungen gebräuchlich.
Tabelle Winkelbezeichnungen im Grad- und im Bogenmaß
sind die
Volterrasche Integralgleichungen
●
●
●
●
●
Theoretische Grundlagen
Lösung durch Differentiation
Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art
Volterrasche Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp
Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen
2. Art
Theoretische Grundlagen
●
●
●
Methode der Umwandlung
Umwandlung durch Differentiation
Umwandlung durch partielle Integration
Gradient und Volumenableitung
Jedem Punkt
eines skalaren Feldes
kann der Vektor Gradient
als Volumenableitung des
skalaren Feldes zugeordnet werden:
(13.33)
Dabei ist
das Volumen eines Raumteiles, der den betrachteten Punkt
zur Oberfläche hat.
enthält und die geschlossene Fläche
Volumenelemente
Koordinaten
Volumenelement
Kartesische Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugelkoordinaten
Beliebige krummlinige Koordinaten
(
Funktionaldeterminante)
Vorwärtseinschneiden ohne Visier
Wenn Punkt
nicht von Punkt
eingesehen werden kann, bestimmt man die Richtungswinkel
über Anschlußrichtungen zu anderen sichtbaren und koordinierten Punkten
und
und
Gegeben:
Gemessen:
in
in
möglichst auch
Gesucht:
Lösung: Zurückführung auf die VES, Berechnung von
, gemäß (3.96a) und:
(3.97a)
(3.97b)
(3.97c)
(3.97d)
(3.97e)
(3.97f)
(3.97g)
(3.97h)
(3.97i)
(3.97j)
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes
●
●
●
●
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unabhängige Ereignisse
Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Beispiel für Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Definition der Wahrscheinlichkeit
1.
Für jedes Ereignis
gilt:
(16.28)
2.
Für das unmögliche Ereignis
und das sichere Ereignis
gilt
(16.29)
3.
Schließen die Ereignisse
und
einander aus (
), so ist
(16.30)
Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
●
●
Invariantes Maß
Elemente der Ergodentheorie
Unterabschnitte
●
●
Prinzip des Wahrscheinlichkeitspapiers:
Anwendung des Wahrscheinlichkeitspapiers:
Prüfen mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitspapiers
Prinzip des Wahrscheinlichkeitspapiers:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist die
-Achse gleichabständig unterteilt, während die
folgende Skala darstellt: Sie ist gleichabständig bezüglich
-Achse die
unterteilt, wird aber mit
(16.115)
beziffert. Falls eine Zufallsgröße
einer Normalverteilung mit Mittelwert
und Streuung
genügt, dann gilt für
ihre Verteilungsfunktion
(16.116a)
d.h., es muß
(16.116b)
gelten und damit ein linearer Zusammenhang zwischen
man außerdem die folgende Zuordnung ab:
und
bestehen. Aus der Substitution (16.116b) liest
0
1
1
Anwendung des Wahrscheinlichkeitspapiers:
Entnimmt man einer normalverteilten Grundgesamtheit eine Stichprobe, berechnet deren relative
Summationshäufigkeiten gemäß (16.110) und trägt diese in das Wahrscheinlichkeitspapier als Ordinaten zu den
entsprechenden oberen Klassengrenzen als Abszissen ein, dann liegen diese Punkte annähernd (bis auf zufällige
Abweichungen) auf einer Geraden (s. Abbildung).
Aus der Abbildung ist ersichtlich, daß für das zu Grunde liegende Beispiel eine Normalverteilung angenommen
werden kann. Außerdem liest man ab:
Hinweis: Die Werte
der relativen Summenhäufigkeiten lassen sich einfacher in das Wahrscheinlichkeitspapier
eintragen, wenn dessen Bezifferung der Ordinate bezüglich
Ordinaten zur Folge hat.
.
gleichabständig ist, was ungleichabständige
Wahrscheinlichkeitsrechnung
●
●
●
●
●
Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
Zufallsgrößen, Verteilungsfunktionen
Diskrete Verteilungen
Stetige Verteilungen
Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze
WALSH-Funktionen
●
●
Treppenfunktionen
WALSH-Systeme
Lösung der Wärmeleitungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel E: Wärmeleitungsgleichung
(s. auch Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium)
Die Wärmeausbreitung in einem homogenen Stab, dessen eines Ende im Unendlichen liegt, während das
andere unter konstanter Temperatur gehalten wird, beschreibt die lineare partielle Differentialgleichung
zweiter Ordnung vom parabolischen Typ
(9.89a)
die im Gebiet
den Anfangs- und Randbedingungen
(9.89b)
genügt. Dabei soll angenommen werden, daß die Temperatur im Unendlichen Null beträgt. Der Separationsansatz
(9.89c)
eingesetzt in (9.89a), liefert die Beziehung
(9.89d)
wobei der Parameter
in Analogie zu dem Vorgehen in den Beispielen A bis D eingeführt wird. Als Lösung für
erhält man
(9.89e)
Aus der Bedingung, daß die Lösungen für
und
getrennt sein sollen, folgt, daß
ist. Für
ergibt sich mit der Randbedingung
(9.89f)
und somit
(9.89g)
wobei
eine beliebige reelle Zahl sein kann. Die Lösung kann daher in der Form
(9.89h)
angesetzt werden. Aus der Anfangsbedingung
folgt die Gleichung
(9.89i)
die erfüllt ist, wenn für die Konstante
(9.89j)
wie bei der Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten gesetzt wird. Einsetzen in in (9.89i) ergibt
(9.89k)
und nach Ersetzen des Produkts der Sinus- durch eine Differenz von Kosinusfunktionen (2.115) und unter Benutzung
von Formel (21.46) in der Tabelle bestimmter Integrale erhält man schließlich
(9.89l)
Unterabschnitte
●
●
●
Problemstellung:
LAPLACE-Transformation:
Rücktransformation:
Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium
Problemstellung:
Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung mit verschwindendem Störglied und für ein homogenes Medium sei in
der Form
(15.60a)
in dem Grundgebiet
und mit den Anfangs- und Randbedingungen
(15.60b)
gegeben. Die Zeitkoordinate wurde durch die Substitution
ersetzt. Wie die dreidimensionale
Wärmeleitungsgleichung, so ist auch (15.60a) vom parabolischen Typ.
LAPLACE-Transformation:
Die Bildgleichung lautet
(15.61a)
die Randbedingungen sind
(15.61b)
Die Lösung der Bildgleichung lautet dann
(15.61c)
Es ist von Vorteil, zunächst zwei Partikulärlösungen
und
mit der Eigenschaft
(15.62a)
(15.62b)
herzustellen, d.h.
(15.62c)
(15.62d)
Die gesuchte Lösung der Bildgleichung hat dann die Form
(15.63)
Rücktransformation:
Die Rücktransformation ist im Falle
besonders einfach und liefert:
(15.64a)
(15.64b)
Diskrete Wavelet-Transformation
●
●
Schnelle Wavelet-Transformation
Diskrete Haar-Wavelet-Transformation
Diskrete Haar-Wavelet-Transformation
Als Beispiel für eine diskrete Wavelet-Transformation wird die HAAR-Wavelet-Transformation beschrieben: Von
einem Signal sind die Werte
gegeben. Aus diesen werden die Detailwerte
wie folgt berechnet:
(15.154)
Die Werte
werden abgespeichert, während auf die Werte
(15.154) werden die Werte
durch die Werte
die Vorschrift (15.154) angewendet wird, d.h., in
ersetzt. Diese Vorgehensweise wird fortgesetzt, so daß sich aus
(15.155)
schließlich eine Folge von Detailvektoren mit den Komponenten
Informationen über Eigenschaften des Signals.
ergibt. Jeder Detailvektor enthält
Hinweis: Für große Werte von
Transformation (15.151a).
konvergiert die diskrete Wavelet-Transformation gegen die Integral-Wavelet-
Weg eines Punktes
Der Weg eines Punktes, zurückgelegt in der Zeit
bis
, ergibt sich bei zeitabhängiger Geschwindigkeit
zu:
(8.64)
Wellengleichung
Die Ausbreitung von Schwingungen als wellenförmige Erscheinung in einem homogenen Medium wird mit Hilfe der
Wellengleichung
(9.97a)
beschrieben, deren rechte Seite
für die
Variablen
verschwindet, wenn keine Störungskräfte auftreten. Das Symbol
des
-dimensionalen Problems. Der LAPLACE-Operator
steht
ist dann wie folgt
definiert:
(9.97b)
Die Lösung der Wellengleichung ist die Wellenfunktion
Typ.
●
●
Homogenes Problem
Inhomogenes Problem
. Die Differentialgleichung (9.97a) ist vom hyperbolischen
Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
Die Ausbreitung der Wärme in einem homogenen Medium wird durch die lineare partielle Differentialgleichung
zweiter Ordnung vom parabolischen Typ
(9.101a)
beschrieben, wobei
der LAPLACE-Operator ist, hier beschränkt auf maximal drei Ausbreitungsrichtungen
, beschreibbar auch durch den Ortsvektor
besitzt, verschwindet die rechte Seite wegen
. Wenn der Wärmestrom weder Quellen noch Senken
.
Das CAUCHYsche Problem kann folgendermaßen gestellt werden: Es ist eine für
zu suchen, wobei
beschränkte Lösung
sein soll. Die Forderung nach der Beschränktheit sichert gleichzeitig
die Eindeutigkeit der Lösung.
Für die homogene Differentialgleichung mit
erhält man die Wellenfunktion
(9.101b)
Für die inhomogene Differentialgleichung mit
ist auf der rechten Seite dieser Gleichung der folgende
Ausdruck zu addieren:
(9.101c)
Die Aufgabe,
für
zu bestimmen, wenn die Werte von
gegeben sind, kann so nicht gelöst
werden, weil das CAUCHYsche Problem dann nicht mehr korrekt gestellt ist.
Da die Temperatur zur Wärmemenge proportional ist, setzt man oft
(Temperaturfeld) und
(Wärmediffusionskonstante oder Temperaturleitzahl) und erhält
(9.101d)
Unterabschnitte
●
●
●
Problemstellung:
Fourier-Transformation:
Rücktransformation:
Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium
Problemstellung:
Die eindimensionale Wellengleichung mit verschwindendem Störglied und für ein homogenes Medium lautet:
(15.105a)
Wie die dreidimensionale Wellengleichung (9.97a), so ist auch 15.105a eine partielle Differentialgleichung vom
hyperbolischen Typ. Das CAUCHYsche Problem sei durch die Anfangsbedingungen
(15.105b)
korrekt gestellt.
Fourier-Transformation:
Zur Lösung wird die FOURIER-Transformation bezüglich
wird:
durchgeführt, wobei die Zeitkoordinate konstant gehalten
(15.106a)
Daraus ergibt sich:
(15.106b)
(15.106c)
(15.106d)
(15.106e)
Das Ergebnis ist eine gewöhnliche Differentialgleichung für die nun wieder als Veränderliche zu betrachtende
Zeitkoordinate
mit dem Parameter
der Bildfunktion.
Die allgemeine Lösung dieser bekannten Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten lautet
(15.107a)
Mit Hilfe der Anfangsbedingungen
(15.107b)
lassen sich die Konstanten
und
bestimmen:
(15.107c)
Die Lösung ergibt sich zu
(15.107d)
Rücktransformation:
Zur Rücktransformation der Funktion
kann der Verschiebungssatz,
(15.108a)
mit Vorteil eingesetzt werden, woraus sich ergibt
(15.108b)
Die Anwendung der Integrationsregel
(15.108c)
(15.108d)
nach Substitution
und analog
(15.108e)
Die endgültige Lösung im Originalbereich lautet somit
(15.109)
Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten
●
●
●
●
●
Maxima und Minima
Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes
Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion
Bestimmung der globalen Extremwerte
Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion
Winkel
●
●
Winkelbegriff
Winkelbezeichnungen
Winkelbegriff
Ein Winkel ist durch zwei von einem gemeinsamen Punkt
eine Drehung ineinander überführt werden können.
Ist auf dem Strahl
der Punkt
und auf dem Strahl
ausgehende Strahlen
der Punkt
in der Abbildung angegebenen Drehrichtung durch die Symbolik
und
festgelegt, die durch
ausgezeichnet, dann wird der Winkel bei der
oder durch die Symbolik
oder
durch einen griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Punkt
wird Scheitelpunkt genannt, die Strahlen
und
heißen Schenkel des Winkels.
In der Mathematik heißt ein Winkel positiv bzw. negativ, wenn die Drehung im Gegenuhrzeigersinn bzw. im
Uhrzeigersinn erfolgt. Es ist also grundsätzlich zwischen dem Winkel
und dem Winkel
unterscheiden. Es gilt
Hinweis: In der Geodäsie wird ein positiver Winkel durch Drehung im Uhrzeigersinn festgelegt.
zu
Wurzeln
Die linke Seite der Gleichung
(1.166a)
wird Polynom
vom Grade
genannt, eine Lösung dieser Gleichung eine Wurzel des Polynoms
eine Wurzel des Polynoms ist, dann ist
Wenn
durch
teilbar. Im allgemeinen Falle gilt
(1.166b)
Dabei ist
ein Polynom vom Grade
teilbar ist, dann wird
ist
eine
gemeinsame Wurzel des Polynoms
Ordnung.
Wenn
durch
-fache Wurzel der Gleichung
aber nicht mehr durch
genannt. In diesem Falle
und seiner Ableitungen bis einschließlich der
-ten
Z-Transformationen
●
●
●
Z-Transformationen, Teil I
Z-Transformationen, Teil II
Z-Transformationen, Teil III
Zahlen
●
●
●
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Irrationale und transzendente Zahlen
Reelle Zahlen
Imaginäre und komplexe Zahlen
●
●
Imaginäre Einheit
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
●
●
●
Imaginäre und komplexe Zahlen
Geometrische Veranschaulichung
Rechnen mit komplexen Zahlen
Konjugiert komplexe Zahlen
Konjugiert komplexe Zahlen werden zwei komplexe Zahlen
und
genannt, wenn ihre Realteile gleich sind, ihre
Imaginärteile sich aber durch das Vorzeichen unterscheiden: Re
Geometrisch interpretiert liegen Punkte, die konjugiert komplexen Zahlen entsprechen, symmetrisch zur reellen
Achse. Die Moduln konjugiert komplexer Zahlen sind einander gleich, während sich ihre Argumente nur durch das
Vorzeichen unterscheiden:
(1.137a)
(1.137b)
An Stelle von
verwendet man auch die Bezeichnung
für die zu
konjugiert komplexe Zahl.
Primzahlen
●
●
Definition und Eigenschaften
Sieb des ERATOSTHENES
Zahlensysteme
●
●
Bildungsgesetz
Konvertierung von Zahlensystemen
Elementare Zahlentheorie
Die elementare Zahlentheorie befaßt sich mit den Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen.
●
●
●
●
●
Teilbarkeit
Lineare Diophantische Gleichungen
Kongruenzen und Restklassen
Sätze von Fermat, Euler und Wilson
Codes
Zinseszinsen
Da ein Kapital nach jeder Zinsperiode um den Betrag der Zinsen wächst, werden die eingegangenen Zinsen in der
jeweils nächsten Zinsperiode mitverzinst. Diese Mitverzinsung heißt Zinseszins .
Bei der Veränderung eines Kapitals durch Zinseszinsen sind verschiedene Fälle zu unterscheiden.
●
●
●
Einmalige Einzahlung
Regelmäßige Einzahlungen
Unterjährige Einzahlungen
Zinseszinsrechnung
●
●
Zinsen
Zinseszinsen
Anwendungen der Z-Transformation
●
●
●
Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
Differenzengleichung zweiter Ordnung (Anfangswertaufgabe)
Differenzengleichung zweiter Ordnung (Randwertaufgabe)
Originalfolge und Bildfunktion
Der Folge
wird die unendliche Reihe
(15.110)
zugeordnet. Falls diese Reihe konvergiert, sagt man, die Folge
ist Z-transformierbar , und schreibt
(15.111)
Man nennt
Originalfolge ,
Bildfunktion . Mit
ist eine komplexe Variable bezeichnet, mit
komplexwertige Funktion.
Beispiel
. Die zugehörige unendliche Reihe lautet
eine
(15.112)
Sie stellt bezüglich
eine geometrische Reihe dar, die für
konvergiert, für
gegen die Reihensumme
aber divergiert. Das bedeutet, die Folge
, d.h. für alle Punkte außerhalb des Einheitskreises
der
-Ebene.
ist Z-transformierbar für
Definition der Z-Transformation
●
●
●
Originalfolge und Bildfunktion
Eigenschaften
Grenzwertsätze
Differentiation und Integration der Bildfunktion
1. Differentiation der Bildfunktion:
(15.126)
Durch wiederholte Anwendung von (15.126) lassen sich auch Ableitungen höherer Ordnung von
2. Integration der Bildfunktion: Unter der Voraussetzung
bestimmen.
gilt
(15.127)
Summation und Differenzenbildung
1. Summation: Für
gilt:
(15.120)
2. Differenzenbildung: Für die Differenzen
(15.121)
gilt die Regel:
(15.122)
Umkehrung der Z-Transformation
Die Umkehrung der Z-Transformation oder kurz Rücktransformation besteht darin, zu einer gegebenen Bildfunktion
die zugehörige, eindeutige Originalfolge
zu finden. Man schreibt dann
(15.132)
Für die Rücktransformation gibt es verschiedene Möglichkeiten.
1. Benutzung von Tabellen: Wenn die Funktion
in der Tabelle explizit nicht vorkommt, kann man
versuchen, durch Umformungen und durch Anwendung der Rechenregeln zu Funktionen zu gelangen, die in
Tabelle Z-Transformationen vorhanden sind.
2. LAURENT-Reihe von
: Wegen der Definition (15.110 gelingt eine Rücktransformation sofort, wenn für
eine Reihenentwicklung in
3. TAYLOR-Reihe von
bekannt ist oder sich leicht ermitteln läßt.
: Da
eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von
ist, ergibt sich
wegen (15.110) nach der TAYLOR-Formel
(15.133)
4. Anwendung eines Grenzwertsatzes: Mit Hilfe der Grenzwerte (15.112) und (15.116) kann man die
Originalfolge
aus ihrer Bildfunktion
unmittelbar bestimmen.
Beispiel
. Es sollen die voranstehenden vier Methoden angewendet werden.
1.
Durch Partialbruchzerlegung von
Tabelle Z-Transformationen enthalten sind.
Daraus folgt
2.
erhält man Funktionen, die in der
Durch Division geht
in die folgende Reihe nach absteigenden Potenzen von
Daraus liest man unmittelbar
über:
ab,
aber man erhält keinen geschlossenen Ausdruck für das allgemeine Glied
.
3.
Zur Bildung von
Partialbruchzerlegung von
und den in (15.133) benötigten Ableitungen geht man zweckmäßigerweise von der
aus und erhält:
Unter Berücksichtigung der Fakultäten in (15.133) ergibt sich
4.
Die Anwendung der Grenzwertsätze unter Beachtung der BERNOULLIschen Regel ergibt:
.
Auf diese Weise läßt sich die Originalfolge
sukzessiv bestimmen.
Translation
Man unterscheidet eine Vorwärts- und eine Rückwärtsverschiebung.
1. Erster Verschiebungssatz:
(15.118)
dabei wird
für
festgelegt.
2. Zweiter Verschiebungssatz:
(15.119)
Zufallsveränderliche
Eine Menge von Elementarereignissen möge sich dadurch beschreiben lassen, daß eine Größe
Zufallsbedingungen Werte
aus einem reellen Bereich
gewissen Versuches soll durch eine reelle Zahl
dieses Versuches durch die Variable
Besteht
unter
annehmen kann. D.h., jedes zufällige Ereignis eines
charakterisiert werden. Dann werden alle zufälligen Ereignisse
beschrieben, die Zufallsgröße oder Zufallsveränderliche genannt wird.
aus endlich oder abzählbar unendlich vielen Werten, dann spricht man von einer diskreten Zufallsgröße ;
aus der ganzen reellen Zahlengeraden oder aus Teilintervallen, dann spricht man von einer
besteht
kontinuierlichen Zufallsgröße .
Beispiel A
Ordnet man im Beispiel A den Ereignissen
ist damit eine diskrete Zufallsgröße
Beispiel B
definiert.
bzw.
die Werte 1, 2, 3 bzw. 4 zu, so
Die Brenndauer
einer aus einem Produktionsvorrat willkürlich herausgegriffenen Glühlampe ist eine
kontinuierliche Zufallsveränderliche. Das Elementarereignis
gleich der Zeit
ist.
tritt ein, wenn die Brenndauer
Zufallsvektor
Eine Zufallsgröße
wird durch ihre Verteilungsfunktion und deren Parameter charakterisiert, wobei die
Verteilungsfunktion ihrerseits durch die Eigenschaften der Grundgesamtheit bestimmt ist. Diese sind aber bei Beginn
einer statistischen Untersuchung nicht bekannt, so daß man möglichst viele Informationen mit Hilfe von Stichproben
gewinnen muß. In der Regel wird man sich nicht auf eine Stichprobe beschränken, sondern mehrere Stichproben,
, untersuchen. Dabei zeigt sich, daß die Realisierungen von Stichprobe zu
praktischerweise vom gleichen Umfang
Stichprobe unterschiedlich ausfallen, d.h. der 1. Wert der 1. Stichprobe von 1. Wert der 2. Stichprobe verschieden
sein wird usw. Damit ist die Variable 1. Wert der Stichprobe ebenfalls eine Zufallsgröße, die mit
Analog kann man für den
-ten Stichprobenwert die Zufallsgröße
bezeichnet wird.
einführen, die
man auch Stichprobenvariable nennt. Zusammengefaßt erhält man den Zufallsvektor
Jede konkrete Stichprobe vom Umfang
kann als Vektor
mit den Elementen
, die einer Grundgesamtheit entnommen wurden,
zusammengefaßt und als eine Realisierung des Zufallsvektors angesehen werden.
Tabelle von Zufallszahlen
1. Erzeugung: Eine Tabelle von Zufallszahlen könnte man auf folgende Weise erzeugen: Auf zehn gleichen
Chips sei jeweils eine der zehn Ziffern
eingeprägt. Diese zehn Chips werden in einem Gefäß
gut gemischt. Danach wird ein Chip gezogen und seine Ziffer in einer Tabelle festgehalten. Der Chip wird
wieder in das Gefäß zurückgelegt. Es wird erneut gemischt und die Ziehung wiederholt. Auf diese Weise
entsteht eine Reihe von Zufallszahlen, die aus Gründen der Übersichtlichkeit z.B. in Gruppen zu je vier
zusammengfaßt werden (s. Tabelle Zufallszahlen).
Die Verfahren, nach denen Zufallszahlen aufgestellt werden, müssen sichern, daß die Ziffern
an jeder Stelle der vierstelligen Zahlen gleichwahrscheinlich sind.
2. Anwendung: Die Anwendung einer Tabelle von Zufallszahlen soll an einem Beispiel demonstriert werden.
Untersuchungsobjekten sollen
zufällig ausgewählt werden. Dazu werden die
Von
Objekte von 000 bis 249 durchnumeriert. In der Tabelle Zufallszahlen wird willkührlich in irgend einer Spalte
oder Zeile eine Zahl ausgewählt und eine Vorschrift festgelegt, nach der die Auswahl der übrigen 19
Zufallszahlen erfolgen soll, z.B. vertikal, horizontal oder diagonal. Von den Zufallszahlen werden nur die ersten
drei Ziffern berücksichtigt. Von den so entstehenden 3-stelligen Zufallszahlen werden nur die verwendet, die
kleiner als 250 sind.
Zufallszahlen
Wegen der Bedeutung der Zufallszahlen s. Abschnitt Monte-Carlo-Methode
Zufallszahlen mit anderen Verteilungen
Zur Erzeugung von Zufallszahlen mit einer beliebigen Verteilungsfunktion
Ausgangspunkt ist eine Folge gleichverteilter Zufallszahlen
für
. Dabei ist
geht man wie folgt vor:
. Aus ihnen berechnet man die Zahlen
die Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion
.
Dann gilt:
(16.154)
d.h., die Zufallszahlen
monoton sein muß.
genügen einer Verteilung mit der Verteilungsfunktion
, die stetig und
Zugehörigkeitsfunktionen
Die Zugehörigkeitsfunktionen werden durch Graphen mit Werten zwischen 0 und 1 modelliert. Mit ihrer Hilfe kann
eine graduelle Zugehörigkeit zu einer Menge dargestellt werden.
●
●
Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen
Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen
In Analogie zu den trapezförmigen Zugehörigkeitsfunktionen, die sich durch einen diskontinuierlichen Verlauf
auszeichnen, finden auch glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen mit kontinuierlichem Kurvenverlauf Anwendung.
Resümee: Als Resümee der zu betrachtenden Beispiele ergibt sich, daß unscharfe und unpräzise Informationen
durch Fuzzy-Mengen beschrieben und durch Zugehörigkeitsfunktionen
visualisiert werden können.
Sprachliche Aussagen wie WENN-DANN-Regeln werden dann zu Berechnungsverfahren.
Beispiel A
Eine Klasse glockenförmiger, differenzierbarer Zugehörigkeitsfunktionen erhält man mit Hilfe von
der Art
Funktionen
(5.250)
wenn
geeignet wählt wird.
Für
und z.B.
bzw.
oder
erhält man mit dem
Normierungsfaktor
die in der folgenden Abbildung dargestellten Zugehörigkeitsfunktionen
unterschiedlicher Breite einer symmetrischen Kurvenschar. Mit dem Wert
ergibt sich die äußere, mit
die innere Kurve.
Asymmetrische Zugehörigkeitsfunktionen in
für
Faktor
wie sie die folgende Abbildung zeigt, erhält man beispielsweise
oder
mit geeigneten Normierungsfaktoren. Der
im ersten Polynom bewirkt eine Verschiebung des Maximums nach links und liefert eine
asymmetrische Kurvenform. Entsprechend bewirkt der Faktor
nach rechts mit asymmetrischer Form.
im zweiten Polynom eine Verschiebung
Beispiel B
Beispiele für eine noch flexiblere Klasse von Zugehörigkeitsfunktionen erhält man durch eine
Transformation
in
gemäß
(5.251)
wobei für
die bereits bei den glockenförmigen Zugehörigkeitsfunktionen benutzte Funktion
(5.250) mit
d.h. ist
verwendet werden kann. Ist
unendlich differenzierbar im Intervall
, so ist auch
eine glatte Transformation in [a,b],
glatt, weil
daß steigend oder fallend und glatt ist, dann liefert die Transformation
einer Zugehörigkeitsfunktion zu verändern.
glatt ist. Verlangt man,
Möglichkeiten, die Kurvenform
In der Praxis sind Polynome für die Transformation gut geeignet. Im Intervall
ist das
einfachste Polynom die Identität
.
Das nächst einfache Polynom mit den angegebenen Eigenschaften ist
mit einer Konstanten
. Mit der Wahl
. Wählt man für
für maximale Krümmung des Polynoms ergibt sich
Identitätsfunktion, d.h.
so kann man zusammen mit
rekursiv durch
die
für
weitere Polynome berechnen.
Setzt man für die Transformation
in
(5.251) die entsprechenden Transformationspolynome
ein, so erhält man eine Folge glatter Funktionen
Konstruktion von Zugehörigkeitsfunktionen
Geraden konvergiert. Mit Hilfe der Funktion
und
(linke Abbildung), die zur
verwendet werden können, wobei
zu einer
sowie ihrer gespiegelten Form und einer waagerechten
Geraden kann eine trapezförmige Zugehörigkeitsfunktion differenzierbar approximiert werden (rechte
Abbildung).
Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
Weit verbreitet sind trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen. Die folgenden Beispiele für bereichsweise stetig
differenzierbare Zugehörigkeitsfunktionen und Spezialfälle davon, wie beispielsweise dreieckförmige
Zugehörigkeitsfunktionen, sind oft verwendete Funktionsgraphen. Mit stetigen bzw. bereichsweise stetigen
Funktionsgraphen als Repräsentanten fuzzy-wertiger Größen, die miteinander verknüpft werden sollen, erhält man im
allgemeinen glattere Ergebnisfunktionen für die Ausgabegröße.
Beispiel A
Die folgende, sich nach oben trapezförmig verjüngende Zugehörigkeitsfunktion, ergibt die darunter gezeigte
Form des Graphen.
(5.247)
Für
und
geht dieser Graph in den einer Dreieckfunktion über. Je nach
erhält man symmetrische oder asymmetrische Trapez-und
Wahl unterschiedlicher Werte
symmetrische Dreieckfunktionen
Dreieckfunktionen
Beispiel B
und
und
oder asymmetrische
Die folgende, sich nach unten trapezförmig verjüngende Zugehörigkeitsfunktion, ergibt die dazu gezeigte
Form des Graphen.
(5.248)
Beispiel C
Die folgende verallgemeinerte Trapezfunktion ergibt die dazu gezeigte Zugehörigkeitsfunktion.
(5.249)
Doppelintegral
●
Begriff des Doppelintegrals
Berechnung des Doppelintegrals
●
Ebene Flächenelemente in der
●
Anwendungen von Doppelintegralen
●
-Ebene
Zwischenwertsatz
Wenn eine Funktion
in einem zusammenhängenden Gebiet definiert und stetig ist und in zwei Punkten
dieses Gebietes, wobei
ist, verschiedene Werte
und
und
annimmt, d.h.
(2.34a)
dann existiert zu jeder zwischen
und
gelegenen Zahl
wenigstens ein Punkt
zwischen
und
, für den
(2.34b)
gilt. Anders ausgedrückt: Die Funktion
nimmt jeden Wert zwischen
und
wenigstens einmal an.
Zwischenwertsatz
Wenn eine Funktion
in einem Gebiet definiert und stetig ist und wenn sie in zwei Punkten
verschiedene Werte
die zwischen
und
liegt, einen Punkt
und
und
annimmt, dann gibt es für jede Zahl
derart, daß gilt:
(2.278)
Gewöhnliche Zykloide
Gewöhnliche Zykloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, der
auf einer Geraden abrollt, ohne zu gleiten.
Die Gleichung der gewöhnlichen Zykloide lautet in Parameterform
(2.232a)
wobei
der Radius des Kreises und
der Wälzwinkel
sind, und in kartesischen Koordinaten
(2.232b)
Die Kurve ist periodisch mit der Periode ( Basis der Zykloide )
, die Scheitelpunkte
Die Rückkehrpunkte liegen bei 0,
Die Länge des Bogens
ist
bei
die Länge eines Zweiges
Der Flächeninhalt beträgt
Der Krümmungsradius ist
in den Scheiteln
Die Evolute einer Zykloide ist eine kongruente Zykloide ; sie ist in der Abbildung grün gezeichnet.
Zylinder
1. Elliptischer Zylinder: (linke Abbildung)
(3.419)
2. Hyperbolische Zylinder: (untere Abbildung)
(3.420)
3. Parabolische Zylinder: (rechte Abbildung)
(3.421)
Zylinderabschnitt, auch Zylinderhuf
Mit den Bezeichnungen in der Abbildung sowie
in rad gilt:
(3.131)
(3.132)
wobei die Formeln auch im Falle
ihre Gültigkeit behalten.
Bahnen in gerichteten Graphen
●
●
●
Bogenfolgen
Zusammenhängende und stark zusammenhängende Graphen
Algorithmus von DANTZIG
Kapitel 5:
Algebra und Diskrete Mathematik
●
Logik
Mengenlehre
Klassische algebraische Strukturen
Elementare Zahlentheorie
Kryptologie
Universelle Algebra
Boolesche Algebren und Schaltalgebra
Algorithmen der Graphentheorie
Fuzzy-Logik
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
●
●
●
●
Generische Eigenschaften
●
●
●
Definition
Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme
Kapitel 17:
Dynamische Systeme und Chaos
●
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen
Quantitative Beschreibung von Attraktoren
Bifurkationstheorie, Wege zum Chaos
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
Dynamische Systeme und Chaos
17.1
AFRAIMOVICH, V.S.; GAVRILOV, N.K.; LUKYANOV, V.I.; SHILNIKOV, L.P.: Grundlegende Bifurkationen
dynamischer Systeme (in Russisch). -- Universitätsverlag Gorki 1985.
17.2
ARGYRIS, J.; FAUST, G.; HAASE, M.: Die Erforschung des Chaos. -- Verlag Vieweg 1994.
17.3
ARROWSMITH, D.K.; PLACE, C.M.: An introduction to Dynamical Systems. -- Cambridge University Press 1990.
17.4
BELYKH, V.N.: Qualitative Methoden der Theorie nichtlinearer Schwingungen von konzentrierten Systemen. -Universitätsverlag Gorki 1980.
17.5
BOTHE, H.G.; SCHMELING, J.; SIEGMUND-SCHULTZE, R.: Studie zur Dynamik differenzierbarer Abbildungen. -Weierstrass- Institut Berlin 1989.
17.6
BRÖCKER, TH.: Analysis III. -- Wissenschaftsverlag Zürich 1992.
17.7
DE MALO, W.; VAN STRIEN, S.: One-Dimensional Dynamics. -- Springer-Verlag 1993
17.8
EDGAR, G.A.: Measure, Topology and Fractal Geometry. -- Springer-Verlag 1990.
17.9
FALCONER, K.: Fractal Geometry. -- Wiley 1990.
17.10
GREBOGI, C.; OTT, E.; PELIKAN, S.; YORKE, J.A.: Strange attractors that are not chaotic. -- Physica 13 D 1984.
17.11
GUCKENHEIMER, J.; HOLMES, P.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. -Springer-Verlag 1990.
17.12
HALE, J.; KOSCAK, H.: Dynamics and Bifurcations. -- Springer-Verlag 1991.
17.13
KIRCHGRABER, U.: Chaotisches Verhalten in einfachen Systemen. -- Elemente der Mathematik 1992.
17.14
LEONOV, G.A., REITMANN, V.: Attraktoreingrenzung für nichtlineare Systeme. -- B. G. Teubner 1992.
17.15
LEONOV, G.A., REITMANN, V.; SMIRNOVA, V.B.: Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems -- B.
G. Teubner 1987.
17.16
LEVEN, R.W.; KOCH, B.-P.; POMPE, B.: Chaos in dissipativen Systemen. -- Akademie-Verlag 1994.
17.17
MAREK, M.; SCHREIBER, I.: Chaotic Behaviour of Deterministic Dissipative Systems. -- Cambridge University
Press 1991.
17.18
MEDVED', M.: Fundamentals of Dynamical Systems and Bifurcations Theory. -- Adam Hilger 1992.
17.19
PERKO, L.: Differential Equations and Dynamical Systems. -- Springer-Verlag 1991.
17.20
PILYUGIN, S. YU.: Einführung in robuste Systeme von Differentialgleichungen. -- Universitätsverlag Leningrad
1988.
17.21
RABINOVICH, M. I.; TRUBEZKOV, D. I.: Einführung in die Theorie der Schwingungen und Wellen. -- Nauka
Moskau 1984.
Allgemeine Verfahren
Alle im Abschnitt Iterationsverfahren angegebenen Verfahren sind zur Bestimmung reeller Wurzeln von
Polynomgleichungen anwendbar. Das NEWTON-Verfahren ist bei Polynomgleichungen besonders geeignet, da es
rasch konvergiert und die benötigten Werte
werden können. Ist der Näherungswert
und
für eine Nullstelle
ziemlich genau, dann kann die Korrekturgröße
mit Hilfe des HORNER-Schemas schnell berechnet
der Polynomgleichung
schon
mit Hilfe der Fixpunktgleichung
(19.22)
iterativ verbessert werden.
Numerische Mathematik
19.1
CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P.: Numerical Methods for Engineers. -- McGraw-Hill Book Co. 1989.
19.2
COLLATZ, L.: Numerical Treatment of Differential Equations. -- Springer 1966.
19.3
DAVIS, P.J.; RABINOWITZ, P: Methods of numerical integration. -- Academic Press 1984.
19.4
DE BOOR, C.: A practical guide to splines. -- Springer-Verlag 1978.
19.5
ENGELN-MÜLLGES, G.; REUTTER, F.: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit FORTRAN 77Programmen. -- Bibliographisches Institut 1988.
19.6
ENGELN-MÜLLGES, G.; REUTTER, F.: Numerische Mathematik für Ingenieure. -- Bibliographisches Institut 1987.
19.7
ENGELN-MÜLLGES, G.; REUTTER, F.: Numerik-Algorithmen. Entscheidungshilfe zur zur Auswahl und Nutzung. -VDI-Verlag, Düsseldorf 1996.
19.8
GOLUB, G., ORTEGA, J.M.: Scientific Computing. -- B. G. Teubner 1996.
19.9
GROSSMANN, CH.; ROOS, H.-G.: Numerik partieller Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner 1992.
19.10
HÄMMERLIN, G.; HOFFMANN, K.-H.: Numerische Mathematik. -- Springer-Verlag, 4. Auflage 1994.
19.11
HEITZINGER, W.; TROCH, I.; VALENTIN, G.: Praxis nichtlinearer Gleichungen. -- C. Hanser Verlag 1984.
19.12
KIEBASI´NSKI, A.; SCHWETLICK, H.: Numerische lineare Algebra. Eine computerorientierte Einführung. -Verlag H. Deutsch 1988.
19.13
KNOTHE, K.; WESSELS, H.: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. -- Springer-Verlag 1992.
19.14
LANCASTER, P; SALKAUSKA, S.K.: Curve and Surface Fitting. -- Academic Press 1986.
19.15
LOCHER, F.: Numerische Mathematik für Informatiker. -- Springer-Verlag 1992.
19.16
MAESS, G.: Vorlesungen über numerische Mathematik, Bd. 1 u. 2. -- Akademie-Verlag 1984-1988.
19.17
MEINARDUS, G.: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. -- Springer-Verlag 1964.
19.178
MEINARDUS, G.; MERZ, G.: Praktische Mathematik. Für Ingenieure, Mathematiker und Physiker, Bd. 1 u. 2. -Bibliographisches Institut 1979-82.
19.19
MEIS, T.; MARKOWITZ, U.: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. -- Springer-Verlag 1978.
19.20
MÜHLIG, H.; STEFAN, F.: Approximation von Flächen mit Hilfe von B-Splines. -- Wiss. Z. TU Dresden 1991.
19.21
MULANSKY, B.: Glättung mittels zweidimensionaler Tensorprodukt-Spline-Funktionen. -- Wiss. Z. TU Dresden
1990.
19.22
MYSCHKIS, A.D.: Angewandte Mathematik für Physiker und Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1981.
19.23
REINSCH, CHR.: Smoothing by Spline Functions. -- Numer. Math. 1967.
19.24
SAMARSKII, A.A.: Theorie der Differenzenverfahren. -- Akademische Verlagsgesellschaft 1984.
19.25
SCHWARZ, H.R.: Methode der finiten Elemente. -- B. G. Teubner 1984.
19.26
SCHWARZ, H.R.: Numerische Mathematik. -- B. G. Teubner 1986.
19.27
SCHWETLICK, H.; KRETZSCHMAR, H.: Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure. -Fachbuchverlag 1991.
19.28
SPÄTH, H.: Spline-Algorithmen zur Konstruktion glatter Kurven und Flächen. -- Oldenbourg-Verlag 1983.
19.29
STOER, J.; BULIRSCH, R.: Numerische Mathematik, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1989-90.
19.30
STROUD, A.H.: Approximate calculation of multiple integrals. -- Prentice Hall 1971.
19.31
STUMMEL, F.; HAINER, K.: Praktische Mathematik. -- B. G. Teubner.
19.32
TÖRNIG, W.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1990.
19.33
ÜBERHUBER, C.: Computer-Numerik 1, Computer-Numerik 2. -- Springer-Verlag 1995
19.34
WELLER, F.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. -- Verlag Vieweg 1995.
19.35
WERNER, J.: Numerische Mathematik, Bd. 1 u. 2. -- Verlag Vieweg 1992.
19.36
WILLERS, F.A.: Mathematische Maschinen und Instrumente. -- Akademie-Verlag 1951.
19.37
WILLERS, F.A.: Methoden der praktischen Analysis. -- Akademie-Verlag 1951.
19.38
ZURMÜHL, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. -- Springer-Verlag 1984.
Normierte Räume
●
●
●
●
Begriff des normierten Raumes
Banach-Räume
Geordnete normierte Räume
Normierte Algebren
Kapitel 12:
Funktionalanalysis
1. Begriff der Funktionalanalysis Die Funktionalanalysis entstand, als man erkannte, daß viele Probleme aus
verschiedenen Disziplinen, z.B. aus den Natur- und Technikwissenschaften und aus der Ökonomie,
gemeinsame Strukturen aufweisen. Man entdeckte allgemeingültige Prinzipien, die in enger Wechselwirkung
mit der mathematischen Analysis, der linearen Algebra, der Geometrie sowie anderer Gebiete der Mathematik
entstanden und entwickelte eine einheitliche Begriffswelt.
2. Unendlichdimensionale Räume Viele Probleme, deren mathematische Formulierung auf unendliche
Gleichungs- und Ungleichungssysteme, Differential- oder Integralgleichungen, Approximations-, Variationsund Optimierungsprobleme u.a. führt, sprengen den viel zu engen Rahmen des endlichdimensionalen Raumes
und verlangen als natürliche Grundlage einen unendlichdimensionalen Raum, in dem sie im allgemeinen mit
Hilfe einer Operatorenbeziehung formuliert, untersucht und gelöst werden können.
3. Lineare und nichtlineare Operatoren Waren es am Anfang der Formierung der Funktionalanalysis - etwa
in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts - vorwiegend lineare oder linearisierte Probleme, die die Entwicklung
einer Theorie linearer Operatoren motivierten, so bestimmen in den letzten Jahrzehnten, hauptsächlich aus
den Erfordernissen praktischer Anwendungen der Funktionalanalysis resultierend, auch immer mehr
nichtlineare Phänomene und ihr Zusammenspiel mit den gut entwickelten linearen Methoden das aktuelle Bild
der Funktionalanalysis, was zur Herausbildung der Theorie nichtlinearer Operatoren führte. Charakteristisch ist
eine zunehmende Orientierung auf Anwendungen bei der Lösung von Differentialgleichungen, bei den
numerischen Methoden, in der Optimierung usw., wodurch Denkweisen und Methoden der Funktionalanalysis
für Ingenieure und andere Anwender unverzichtbar werden.
4. Grundstrukturen: Im vorliegenden Kapitel können nur die Grundstrukturen umrissen werden: die
gebräuchlichsten Typen von Räumen und einige Klassen von Operatoren in diesen Räumen. Die abstrakte
Begriffswelt wird an einigen Beispielen erläutert, die auch in anderen Kapiteln, teilweise eigenständig, erörtert
worden sind, deren Lösbarkeit oder Eindeutigkeit der Lösung dort aber nur postuliert oder im Einzelfalle
speziell gezeigt werden konnte. Es wird ersichtlich, daß die Funktionalanalysis für derartige und weitere
Fragestellungen aus ihrem abstrakten Verständnis heraus eine ganze Reihe von allgemeinen
Zusammenhängen in der Form mathematischer Sätze zur Verfügung stellt, die den Anwender in die Lage
versetzen, die Lösung konkreter Probleme in Angriff zu nehmen.
●
Vektorräume
Metrische Räume
Normierte Räume
Hilbert-Räume
Stetige lineare Operatoren und Funktionale
Adjungierte Operatoren in normierten Räumen
Kompakte Mengen und kompakte Operatoren
Nichtlineare Operatoren
Maß und Lebesgue-Integral
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
●
●
●
●
Beispiele von Banach-Räumen
Beispiel A
(12.87a)
Die so entstehenden normierten Räume auf ein und demselben Vektorraum
und nennt sie für
von
im Falle von
bezeichnet man oft mit
euklidische und im Falle
unitäre Räume .
Beispiel B
(12.87b)
Beispiel C
(12.87c)
Beispiel D
(12.87d)
Beispiel E
(12.87e)
Beispiel F
(12.87f)
Beispiel G
(12.87g)
Funktionalanalysis
12.1
ACHIESER, N.I.; GLASMANN, I.M.: Theorie der linearen Operatoren im HILBERT-Raum. -- Berlin 1975.
12.2
ALIPRANTIS, C.D.; BURKINSHAW, O.: Positive Operators. -- Academic Press Inc., Orlando 1985.
12.3
ALIPRANTIS, C.D.; BORDER, K.C.; LUXEMBURG, W.A.J.: Positive Operators, Riesz Spaces and Economics. -Springer-Verlag 1991.
12.4
ALT, H.W.: Lineare Funktionalanalysis -- Eine anwendungdorientierte Einführung. -- Springer-Verlag 1976.
12.5
BALAKRISHNAN, A.V.: Applied Functional Analysis. -- Springer-Verlag 1976.
12.6
BAUER, H.: Maß- und Integrationstheorie. -- Verlag W. de Gruyter 1990.
12.7
BRONSTEIN, I.N.; SEMENDAJEW, K.A.: Ergänzende Kapitel zum Taschenbuch der Mathematik. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig 1970; Verlag H. Deutsch 1990.
12.8
COLLATZ, L.: Funktionalanalysis und Numerische Mathematik. -- Springer-Verlag 1964.
12.9
DUNFORD, N.; SCHWARTZ, J.T.: Linear Operators Teil I bis III. -- Intersciences Publishers New York, London
1958, 1963, 1971.
12.10
EDWARDS, R.E.: Functional Analysis. -- Holt, Rinehart and Winston, New York 1965.
12.11
GAJEWSKI, H.; GRÖGER, K.; ZACHARIAS, K.: Nichtlineare Operatorengleichungen und
Operatordifferentialgleichungen. -- Akademie-Verlag 1974.
12.12
GÖPFERT, A.; RIEDRICH, T.: Funktionalanalysis. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 22), 1980; Verlag
H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 22), 1980.
12.13
HALMOS, P.R.: A HILBERT Space Problem Book. -- Van Nostrand Comp. Princeton 1967.
12.14
HEUSER, H.: Funktionalanalysis. -- B. G. Teubner 1986.
12.15
HUTSON, V.C.L.; PYM, J.S.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory. -- Academic Press,
London 1980.
12.16
HEWITT, E.; STROMBERG, K.: Real and Abstract Analysis. -- Springer-Verlag 1965
12.17
JOSHI, M.C.; BOSE, R.K.: Some Topics in Nonlinear Functional Analysis. -- Wiley Eastern Limited, New Delhi
1985.
12.18
KANTOROWITSCH, L.V.; AKILOW, G.P.: Funktionalanalysis (in Russisch) -- Nauka, Moskau 1977.
12.19
KOLMOGOROW, A.N.; FOMIN, S.W.: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. -- Akademie-Verlag 1975.
12.20
KRASNOSEL'SKIJ, M.A.; LIFSHITZ, J.A., SOBOLEV, A.V.: Positive Linear Systems. -- Heldermann Verlag Berlin
1989.
12.21
LJUSTERNIK, L.A.; SOBOLEW, W.I.: Elemente der Funktionalanalysis. -- Akademie-Verlag, 4. Auflage 1968,
Nachdruck: Verlag H. Deutsch 1975.
12.22
MEYER-NIEBERG, P.: Banach Lattices. -- Springer-Verlag 1991.
12.23
NEUMARK, M.A.: Normierte Algebren. -- Berlin 1959.
12.24
RUDIN, W.: Functional Analysis. -- McGraw-Hill, New York 1973.
12.25
SCHAEFER, H.H.: Topological Vector Spaces. -- Macmillan, New York 1966.
12.26
SCHAEFER, H.H.: Banach Lattices and Positive Operators. -- Springer-Verlag 1974.
12.27
TRENOGIN, W.A.: Funktionalanalysis (in Russisch). -- Nauka, Moskau 1980.
12.28
YOSIDA, K.: Functional Analysis. -- Springer-Verlag 1965.
Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
●
●
●
JACOBI-Verfahren
GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Relaxationsverfahren
Orthogonalisierungsverfahren
●
●
Lineare Ausgleichsaufgaben
Orthogonalisierungsverfahren
Lineare Unabhängigkeit
Eine endliche Teilmenge
eines Vektorraums
heißt linear unabhängig , wenn aus
(12.14)
folgt. Anderenfalls heißt sie linear abhängig . Hat man
Vektoren aus
von
und
, dann ist aufgrund der Vektorraumaxiome
. lineare Unabhängigkeit der Vektoren
beliebige
trivialerweise das Nullelement
bedeutet die Darstellung des Nullelements
ausschließlich nur mit
. Dieser wichtige Begriff der linearen
Abhängigkeit ist aus der Linearen Algebra gut bekannt und diente bereits zur Definition eines Fundamentalsystems
von Lösungen für homogene Differentialgleichungen. Eine unendliche Teilmenge
wenn jede endliche Teilmenge von
Beispiel
linear unabhängig ist. Anderenfalls heißt
heißt linear unabhängig ,
wieder linear abhängig .
Bezeichnet man mit
gleich
ist, dann liegt
die Folge, deren Glieder bis auf das
im Raum
-te alle gleich
sind und das
und demzufolge in jedem Folgenraum. Die Menge
ist linear unabhängig in allen diesen Räumen. Im Raum
ist z.B. das
Funktionensystem
linear unabhängig, wohingegen die Funktionen
(s. trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache).
linear abhängig sind
-te Glied
Kovariante und kontravariante Basisvektoren
●
●
Kovariante Basis
Kontravariante Basis
Kapitel 4:
Lineare Algebra
●
Matrizen
Determinanten
Tensoren
Lineare Gleichungssysteme
Eigenwertaufgaben bei Matrizen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
●
●
●
Potenzen
Wurzeln
Logarithmen
Kapitel 1:
Arithmetik
●
Elementare Rechenregeln
Endliche Reihen
Finanzmathematik
Ungleichungen
Komplexe Zahlen
Algebraische und transzendente Gleichungen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
●
Einige Eigenschaften der Logarithmen
1. Jede positive Zahl besitzt für jede beliebige positive Basis ihren Logarithmus, ausgenommen zur Basis
2. Logarithmen einer gemeinsamen Basis
unterliegen den folgenden Rechenregeln:
(1.19a)
(1.19b)
Um nach diesen Regeln Summen und Differenzen zu logarithmieren, sind diese vorher, falls möglich, in Produkte
oder Quotienten umzuwandeln.
Beispiel
Logarithmieren des Ausdrucks
:
Oft wird die inverse Umformung benötigt, d.h. die Darstellung eines Ausdrucks mit einigen Logarithmen
verschiedener Größen in den Logarithmus eines einzigen Ausdrucks.
Beispiel
3. Logarithmen verschiedener Basis sind zueinander proportional, so daß sich die Logarithmen zu einer Basis
über die Logarithmen zur Basis
berechnen lassen:
(1.20)
Man nennt
auch den Transformationsmodul.
Definitionen
Potenzen sind gemäß der folgenden Tabelle definiert.
Basis
Exponent
Potenz
beliebig reell,
rational:
positiv reell
(
,
ganz,
)
(
-te Wurzel aus
hoch
)
irrational:
positiv
Rechenregeln
Für die Potenzen gelten bei Beachtung der Definitionsbereiche für Basis und Exponent die folgenden Rechenregeln:
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
Dabei ist
der natürliche Logarithmus von
Eine spezielle Potenz ist
und
seine Basis.
(1.16)
Man beachte besonders:
für
Untergruppen und direkte Produkte
●
●
●
Untergruppen
Normalteiler
Direkte Produkte
Bäume
●
●
●
●
Bäume
Wurzelbäume
Reguläre binäre Bäume
Geordnete binäre Bäume
Gerüste
●
●
●
Gerüste, Satz von CAYLEY
Matrix-Gerüst-Satz
Minimalgerüste
Beispiel für Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Beispiel
Von 3 gleichartigen Maschinen eines Betriebes produziert die erste 20 %, die zweite 30 % und die dritte 50
% der Gesamtproduktion. Dabei verursacht die erste 5 %, die zweite 4 % und die dritte 2 % Ausschuß ihrer
eigenen Produktion. Zwei typische Fragen der Qualitätskontrolle sind dann:
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig dem Lager entnommenes Stück Ausschuß?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein zufällig gefundenes Ausschußstück z.B. von der
ersten Maschine produziert wurde?
Man wählt folgende Bezeichnungen:
●
: Produkt der
-ten Maschine (
) mit
.
●
.
●
●
: Ausschußstück aus der gesamten Produktion.
: Ausschußwahrscheinlichkeit der ersten Maschine =
und
; analog gilt
.
Damit können die gestellten Fragen wie folgt beantwortet werden:
a)
.
b)
.
Beispiele nichtlinearer Operatoren
Für nichtlineare Operatoren gilt der für den linearen Fall erwähnte Zusammenhang zwischen Stetigkeit und
Beschränktheit im allgemeinen nicht mehr.
Bei der Behandlung nichtlinearer Operatorengleichungen, z.B. nichtlinearer Randwertprobleme oder
Integralgleichungen, treten häufig die in den folgenden Abschnitten aufgeführten nichtlinearen Operatoren auf.
●
●
●
Nemytskij-Operator
Hammerstein-Operator
URYSOHN-Operator
Asymptotisches Verhalten der FOURIER-Koeffizienten
Wenn eine periodische Funktion
auch die Ausdrücke
mit ihren Ableitungen bis zur
und
gegen Null.
-ten Ordnung stetig ist, dann streben für
Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen
●
●
●
●
Mittlerer quadratischer Fehler einer Funktion
Konvergenz einer Funktion im Mittel
DIRICHLETsche Bedingungen
Asymptotisches Verhalten der FOURIER-Koeffizienten
Kapitel 18:
Optimierung
●
Lineare Optimierung
Nichtlineare Optimierung
Diskrete dynamische Optimierung
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
1.
folgt
Aus
(16.31)
2.
und
(16.32)
3.
Für endlich viele, paarweise einander ausschließende Ereignisse
,
gilt
(16.33)
4.a
Für beliebige Ereignisse
gilt
(16.34a)
4.b
Speziell für
gilt:
(16.34b)
5.
Gleichwahrscheinliche Ereignisse: Sind alle Ereignisse
eines vollständigen
Ereignissystems gleichwahrscheinlich, so gilt
(16.35)
6.
Ist
als Summe von
Ereignisse für das Eintreten von
der Ereignisse
günstig sind, und es gilt dann
darstellbar, so sagt man, daß
(16.36)
Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
●
●
●
●
Häufigkeiten
Definition der Wahrscheinlichkeit
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Beispiele für Wahrscheinlichkeiten
BOOLEsche Funktionen, BOOLEsche Ausdrücke
●
●
●
BOOLEsche Funktionen
BOOLEsche Ausdrücke
Wertverlaufsgleiche BOOLEsche Ausdrücke
Meßfehler und ihre Verteilung
●
●
●
●
●
●
●
Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen
Meßfehlerverteilungsdichte
Fehlernormalverteilung
Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen
Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen
Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit
Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit
Geeignete Umformung
Die Funktion wird auf eine für die Grenzwertberechnung geeignete Form gebracht.
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Berechnung von Grenzwerten
Zur Berechnung von Grenzwerten werden die Sätze über Grenzwerte von Funktionen sowie eine Reihe von
Umformungen benutzt:
●
●
Geeignete Umformung
BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
Kapitel 2:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Funktionen und ihre Darstellung
Funktionsbegriff
Elementare Funktionen
Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Irrationale Funktionen
Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
Hyperbelfunktionen
Areafunktionen
Kurven dritter Ordnung
Kurven vierter Ordnung
Zykloiden
Spiralen
Verschiedene andere Kurven
Aufstellung empirischer Kurven
Skalen und Funktionspapiere
●
Funktionen von mehreren Veränderlichen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
Bernoullische und Eulersche Zahlen
●
●
●
●
Erste Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Zweite Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Erste Definition der EULERschen Zahlen
Zweite Definition der EULERschen Zahlen
Zweite Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Manche Autoren gehen zur Definition der BERNOULLIschen Zahlen von der folgenden Darstellung aus:
(7.60b)
Dadurch erhält man die Rekursionsformel
(7.60c)
wobei nach Anwendung des binomischen Satzes überall
durch
zu ersetzen ist. Für die ersten Zahlen gilt:
(7.60d)
Es besteht der Zusammenhang
(7.60e)
Differentialgleichungen, allgemein
9.1
ARNOLD, V.I.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1979.
9.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
9.3
BRAUN, M.: Differentialgleichungen und ihre Anwendungen. -- Springer-Verlag 1991.
9.4
COLLATZ, L.: Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner 1990.
9.5
COLLATZ, L.: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. -- Akademische Verlagsgesellschaft 1963.
9.6
COURANT, R.; HILBERT, D.: Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1968.
9.7
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
9.8
FRANK, PH.; MISES, R. V.: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Bd. 1 u. 2. -Verlag Vieweg 1961.
9.9
GOLUBEW, V.V.: Differentialgleichungen im Komplexen. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1958.
9.10
GREINER, W.: Quantenmechanik, Teil 1. -- Verlag H. Deutsch 1992.
9.11
GREINER, W.; MÜLLER, B.: Quantenmechanik, Teil 2. -- Verlag H. Deutsch 1990.
9.12
HEUSER, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch. -- B. G. Teubner 1991.
9.13
KAMKE, E.: Differentialgleichungen, Bd. 1-2. -- B. G. Teubner, Leipzig 1969, 1965.
9.14
KAMKE, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen, Teil 1 u. 2. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig 1977.
9.15
KUNTZMANN, J: Systeme von Differentialgleichungen. -- Berlin 1970.
9.16
LANDAU, L.D.; LIFSCHITZ, E.M.: Quantenmechanik. -- Akademie-Verlag 1979, Verlag H. Deutsch 1992.
9.17
MAGNUS, K.: Schwingungen. -- B. G. Teubner 1986.
9.18
MEINHOLD, P.; WAGNER, E.: Partielle Differentialgleichungen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 8),
1975; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 8), 1979.
9.19
MICHLIN, S.G.: Partielle Differentialgleichungen in der mathematischen Physik. -- Verlag H. Deutsch 1978.
9.20
PETROWSKI, I.G.: Vorlesungen über die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner,
Leipzig 1954.
9.21
PETROWSKI, I.G.: Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1955.
9.22
POLJANIN, A.D.; SAIZEW, V.F.: Sammlung gewöhnlicher Differentialgleichungen. -- Verlag H. Deutsch 1996.
9.23
REISSIG, R.; SANSONE, G.; CONTI, R.: Nichtlineare Differentialgleichungen höherer Ordnung. -- Edizioni
Cremonese 1969.
9.24
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil 2. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
9.25
SOMMERFELD, A.: Partielle Differentialgleichungen der Physik. -- Verlag H. Deutsch 1992.
9.26
STEPANOW, W.W.: Lehrbuch der Differentialgleichungen. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1982.
9.27
WENZEL, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 und 2. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL,
Bd. 7/1, 7/2), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 7/1, 7/2), 1981.
9.28
WLADIMIROW, V.S.: Gleichungen der mathematischen Physik. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1972.
Tabellen
21.1
ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions. -- Verlag H. Deutsch 1984.
21.2
APELBLAT, A.: Tables of Integrals and Series. -- Verlag H. Deutsch 1996
21.3
BRYTSCHKOW, JU.A.; MARITSCHEW, O.I.; PRUDNIKOW, A.P.: Tabellen unbestimmter Integrale. -- Verlag H.
Deutsch 1992.
21.4
EMDE, F.: Tafeln elementarer Funktionen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1959.
21.5
GRADSTEIN,I.S.; RYSHIK, I.M.: Summen-, Produkt- und Integraltafeln, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1981.
21.6
GRÖBNER, W.; HOFREITER, N.: Integraltafel, Teil 1: Unbestimmte Integrale, Teil 2: Bestimmte Integrale. -Springer-Verlag, Teil 1, 5. Auflage 1975; Teil 2, 5. Auflage 1973.
21.7
JAHNKE, E.; EMDE, F.; LÖSCH, F.: Tafeln höherer Funktionen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1960.
21.8
MADELUNG, E.: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers. -- Springer-Verlag, 7. Auflage 1964.
21.9
MAGNUS, W.; OBERHETTINGER, F.: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen
Physik. -- Springer-Verlag 1948.
21.10
MEYER ZUR CAPELLEN, W.: Integraltafeln. -- Springer-Verlag 1950.
21.11
MÜLLER, H.P.; NEUMANN, P.; STORM, R.: Tafeln der mathematischen Statistik. -- C. Hanser Verlag 1979.
21.12
POLJANIN, A.D.; SAIZEW, V.F.: Sammlung gewöhnlicher Differentialgleichungen. -- Verlag H. Deutsch 1996.
21.13
SCHÜLER: Acht- und neunstellige Tabellen zu den elliptischen Funktionen, dargestellt mittels des JACOBIschen
Parameters
. -- Springer-Verlag 1955.
21.14
SCHULER, M.; GEBELEIN, H.: Acht- und neunstellige Tabellen zu den elliptischen Funktionen. -- Springer-Verlag
1955.
21.15
SCHÜTTE, K.: Index mathematischer Tafelwerke und Tabellen. -- München 1966.
Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil II
0,00
0,00
5, 0
, 1776
, 3276
, 3085
+0, 1479
27, 24
24, 34 3691
4045
5, 1
0, 1443
0, 3371
0, 3216
0, 1137
29, 79
26, 68 3308
3619
5, 2
0, 1103
0, 3432
0, 3313
0, 0792
32, 58
29, 25 2966
3239
5, 3
0, 0758
0, 3460
0, 3374
0, 0445
35, 65
32, 08 2659
2900
5, 4
0, 0412
0, 3453
0, 3402
+0, 0101
39, 01
35, 18 2385
2597
5, 5
, 0068
, 3414
, 3395
, 0238
42, 69
38, 59 2139
3226
5, 6
+0, 0270
0, 3343
0, 3354
0, 0568
46, 74
42, 33 1918
2083
5, 8
0, 0917
0, 3110
0, 3177
0, 1192
56, 04
50, 95 1544
1673
5, 9
0, 1220
0, 2951
0, 3044
0, 1481
61, 38
55, 90 1386
1499
6, 0
+0, 1506
, 2767
, 2882
, 1750
67, 23
61, 34 1244
1344
6, 1
0, 1773
0, 2559
0, 2694
0, 1998
73, 66
67, 32 1117
1205
6, 2
0, 2017
0, 2329
0, 2483
0, 2223
80, 72
73, 89 1003
1081
6, 3
0, 2238
0, 2081
0, 2251
0, 2422
88, 46
81, 10 09001
09691
6, 4
0, 2433
0, 1816
0, 1999
0, 2596
96, 96
89, 03 08083
08693
6, 5
+0, 2601
, 1538
, 1732
, 2741 106, 3
97, 74 07259
07799
6, 6
0, 2740
0, 1250
0, 1452
0, 2857 116, 5
107, 3
06520
06998
6, 7
0, 2851
0, 0953
0, 1162
0, 2945 127, 8
117, 8
05857
06280
6, 8
0, 2931
0, 0652
0, 0864
0, 3002 140, 1
129, 4
05262
05636
6, 9
0, 2981
0, 0349
0, 0563
0, 3029 153, 7
142, 1
04728
05059
7, 0
+0, 3001
, 0047
, 0259
, 3027 168, 6
156, 0
04248
04542
7, 1
0, 2991
+0, 0252
+0, 0042
0, 2995 185, 0
171, 4
03817
04078
7, 2
0, 2951
0, 0543
0, 0339
0, 2934 202, 9
188, 3
03431
03662
7, 3
0, 2882
0, 0826
0, 0628
0, 2846 222, 7
206, 8
03084
03288
7, 4
0, 2786
0, 1096
0, 0907
0, 2731 244, 3
227, 2
02772
02953
7, 5
+0, 2663
+0, 1352
+0, 1173
, 2591 268, 2
249, 6
02492
02653
7, 6
0, 2516
0, 1592
0, 1424
0, 2428 294, 3
274, 2
02240
02383
7, 7
0, 2346
0, 1813
0, 1658
0, 2243 323, 1
301, 3
02014
02141
7, 8
0, 2154
0, 2014
0, 1872
0, 2039 354, 7
331, 1
01811
01924
7, 9
0, 1944
0, 2192
0, 2065
0, 1817 389, 4
363, 9
01629
01729
8, 0
+0, 1717
+0, 2346
+0, 2235
, 1581 427, 6
399, 9
01465
01554
8, 1
0, 1475
0, 2476
0, 2381
0, 1331 469, 5
439, 5
01317
01396
8, 2
0, 1222
0, 2580
0, 2501
0, 1072 515, 6
483, 0
01185
01255
8, 3
0, 0960
0, 2657
0, 2595
0, 0806 566, 3
531, 0
01066
01128
8, 4
0, 0692
0, 2708
0, 2662
0, 0535 621, 9
583, 7
009588
01014
8, 5
+0, 0419
+0, 2731
+0, 2702
, 0262 683, 2
641, 6
008626
009120
8, 6
+0, 0146
0, 2728
0, 2715
+0, 0011 750, 5
705, 4
007761
008200
8, 7
, 0125
0, 2697
0, 2700
0, 0280 824, 4
775, 5
006983
007374
8, 8
0, 0392
0, 2641
0, 2659
0, 0544 905, 8
852, 7
006283
006631
8, 9
0, 0653
0, 2559
0, 2592
0, 0799 995, 2
937, 5
005654
005964
9, 0
, 0903
+0, 2453
+0, 2499
+0, 1043 1094
1031
005088
005364
9, 1
0, 1142
0, 2324
0, 2383
0, 1275 1202
1134
004579
004825
9, 2
0, 1367
0, 2174
0, 2245
0, 1491 1321
1247
004121
004340
9, 3
0, 1577
0, 2004
0, 2086
0, 1691 1451
1371
003710
003904
9, 4
0, 1768
0, 1816
0, 1907
0, 1871 1595
1508
003339
003512
9, 5
, 1939
+0, 1613
+0, 1712
+0, 2032 1753
1658
003036
003160
9, 6
0, 2090
0, 1395
0, 1502
0, 2171 1927
1824
002706
002843
9, 7
0, 2218
0, 1166
0, 1279
0, 2287 2119
2006
002436
002559
9, 8
0, 2323
0, 0928
0, 1045
0, 2379 2329
2207
002193
002302
9, 9
0, 2403
0, 0684
0, 0804
0, 2447 2561
2428
001975
002072
10, 0
, 2459
+0, 0435
+0, 0557
+0, 2490 2816
2671
001778
001865
Kapitel 21:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Tabellen
Häufig gebrauchte Konstanten
Physikalische Konstanten
Potenzreihenentwicklungen
Fourier-Entwicklungen
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Elliptische Integrale
Gammafunktion
Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil I
Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil II
Legendresche Polynome (Kugelfunktionen)
Laplace-Transformationen
Fourier-Transformationen
Z-Transformationen
Poisson-Verteilung
Normierte Normalverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
●
●
●
Fishersche F-Verteilung
Studentsche t-Verteilung
Zufallszahlen
Beweismethoden
Im wesentlichen unterscheidet man drei Beweismethoden:
●
●
●
direkter Beweis,
indirekter Beweis,
vollständige Induktion.
Außerdem spricht man noch vom konstruktiven Beweis.
●
●
●
●
Direkter Beweis
Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
Vollständige Induktion
Konstruktiver Beweis
Summen und Produkte
●
●
●
●
Definition von Summen
Rechenregeln für Summen
Definition von Produkten
Rechenregeln für Produkte
Anwendung von Computeralgebrasystemen
●
●
Mathematica
Maple
Nutzung von Computern
●
●
●
●
Interne Zeichendarstellung
Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
Bibliotheken numerischer Verfahren
Anwendung von Computeralgebrasystemen
Begriff des normierten Raumes
●
●
Axiome des normierten Raumes
Einige Eigenschaften normierter Räume
Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
●
●
●
●
●
Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
Hopf-Bifurkation
Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
Symmetriebrechung
Spezielle Formeln
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
Der Ausdruck
wird nach dem binomischen Satz berechnet.
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Berechnung der Binomialkoeffizienten
Die Berechnung der Binomialkoeffizienten kann mit Hilfe der folgenden Formeln erfolgen:
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
Für beliebige reelle Zahlen
ist der Binomialkoeffizient wie folgt definiert:
(1.44)
Beispiel
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
1. Die Binomialkoeffizienten wachsen bis zur Mitte der Binomischen Formel (1.36a) an, um danach wieder
abzunehmen.
2. Die Binomialkoeffizienten der Glieder, die gleichen Abstand vom Anfang bzw. vom Ende der Binomischen
Formel haben, sind einander gleich.
.
3. Die Summe der Binomialkoeffizienten in der Binomischen Formel -ten Grades beträgt
4. Die Summe der Binomialkoeffizienten, die an den ungeraden Stellen stehen, ist gleich der Summe der an
den geraden Stellen stehenden.
Potenz einer Differenz
(1.45)
Verallgemeinerung für eine beliebige Potenz
Die Formel (1.36a) für den binomischen Satz kann auch auf negative und gebrochene Exponenten ausgedehnt
werden. Für
ergibt
eine konvergente unendliche Reihe :
(1.46)
Lage der Kurve relativ zum begleitenden Dreibein
Für die gewöhnlichen Kurvenpunkte liegt die Raumkurve in der Umgebung des Punktes
auf einer Seite der
Rektifizierungsebene und schneidet sowohl die Normal- als auch die Schmiegungsebene (linke Abbildung).
Die Projektionen eines kleinen Kurvenabschnitts um den Punkt
näherungsweise die folgende Gestalt:
auf die drei Ebenen haben dabei
1. Quadratische Parabel auf die Schmiegungsebene (zweite Abbildung);
2. kubische Parabel auf die Rektifizierungsebene (dritte Abbildung);
3. semikubische Parabel auf die Normalebene (vierte Abbildung).
Wenn die Krümmung oder die Windung der Kurve im Punkt
ist, also wenn
Band 2, Teil 7).
gleich 0 sind oder wenn
ein singulärer Punkt
ist, dann kann die Kurve auch eine andere Gestalt haben (s. Lit. 22.2,
Kapitel 3:
Geometrie
●
Planimetrie
Ebene Trigonometrie
Stereometrie
Sphärische Trigonometrie
Vektoralgebra und analytische Geometrie
Differentialgeometrie
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
●
Krümmung und Windung
●
●
●
Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie
Windung einer Kurve
FRENETsche Formeln
Erzeugung der Normalform
Die praktische Durchführung der Transformation (4.134) erfolgt über die Hauptachsentransformation (4.128).
Anschaulich bedeutet dieses Vorgehen, daß zunächst das Koordinatensystem einer Drehung mit der
Orthogonalmatrix U der Eigenvektoren von A unterworfen wird, so daß die Form
(4.135)
entsteht, in der L die Diagonalmatrix von A ist. Daran schließt sich eine Drehung mit der Diagonalmatrix D an, deren
Diagonalelemente
lauten. Die Gesamtransformation wird dann durch
(4.136)
beschrieben, und man erhält:
(4.137)
Singulärwertzerlegung
●
●
●
Singulärwerte und Singulärwertvektoren
Singulärwertzerlegung
Anwendung
Spezielles Eigenwertproblem
●
●
●
●
Charakteristisches Polynom
Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen
Hauptachsentransformation quadratischer Formen
Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten
Lineare Algebra
4.1
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
4.2
BERENDT, G.; WEIMAR, E.: Mathematik für Physiker, Bd. 1. -- VCH, Weinheim 1990.
4.3
BOSECK, H.: Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume. -- Verlag H. Deutsch 1984.
4.4
BUNSE, W.; BUNSE-GERSTNER, A.: Numerische lineare Algebra. -- B. G. Teubner 1985.
4.5
FADDEJEW, D.K.; FADDEJEWA, W.N.: Numerische Methoden der linearen Algebra. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1970.
4.6
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 -- Verlag H. Deutsch 1993.
4.7
JÄNICH, K.: Lineare Algebra. -- Springer-Verlag 1993.
4.8
KIEBASI´NSKI, A.; SCHWETLICK, H.: Numerische lineare Algebra. Eine computerorientierte Einführung. -Verlag H. Deutsch 1988.
4.9
KLIN, M.CH.; PÖSCHEL, R.; ROSENBAUM, K.: Angewandte Algebra. -- Verlag H. Deutsch 1988.
4.10
KLINGENBERG, W.: Lineare Algebra und Geometrie. -- Springer-Verlag 1993.
4.11
KOECHER, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. -- Springer-Verlag 1992.
4.12
LIPPMANN, H.: Angewandte Tensorrechnung. Für Ingenieure, Physiker und Mathematiker. -- Springer-Verlag
1993.
4.13
MANTEUFFEL, K.; SEIFFART, E.; VETTERS, K.: Lineare Algebra. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig (MINÖL, Bd. 13),
1975; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 13), 1978.
4.14
NICKEL, H. (HRSG.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1990.
4.15
OSE, G. (HRSG.): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 4. -- Verlag H. Deutsch 1995.
4.16
PFENNINGER, H.R.: Lineare Algebra. -- Verlag Verlag H. Deutsch 1991.
4.17
RASCHEWSKI, P.K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis. -- Verlag H. Deutsch 1995.
4.18
REICHARDT, H.: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1968.
4.19
SCHULTZ-PISZACHICH, W.: Tensoralgebra und -analysis. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 11),
1977; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 11), 1979.
4.20
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil III,1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1989-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
4.21
ZURMÜHL, R.; FALK, S.: Matrizen und ihre Anwendung - 1. Grundlagen. -- Springer-Verlag 1992.
Grundbegriffe und Bezeichnungen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Ungerichtete und gerichtete Graphen
Adjazenz
Schlichte Graphen
Knotengrade
Spezielle Klassen von Graphen
Darstellung von Graphen
Isomorphie von Graphen
Untergraphen, Faktoren
Adjazenzmatrix
Inzidenzmatrix
Bewertete Graphen
Durchlaufungen von ungerichteten Graphen
●
●
●
Kantenfolgen
Eulersche Linien
Hamilton-Kreise
Kurvenintegrale erster Art
●
●
●
●
●
Definitionen
Existenzsatz
Berechnung des Kurvenintegrals erster Art
Kurvenelemente
Anwendungen des Kurvenintegrals erster Art
Lokale Elemente einer Kurve
In Abhängigkeit davon, ob ein variabler Punkt
auf der Kurve in der expliziten (3.425), Parameter- (3.426) oder
Polarkoordinaten-Form (3.427) gegeben ist, wird seine Position durch
Betrachtung wird mit
oder
●
●
●
●
●
ein beliebig nahe bei
bezeichnet.
Bogenelement
Tangente und Normale
Konvexe und konkave Seite einer Kurve
Krümmung und Krümmungskreisradius
Krümmungskreis
oder
bestimmt. In der weiteren
gelegener Punkt mit den Parameterwerten
Mantelflächen von Rotationskörpern
(Siehe auch GULDINsche Regel)
1. Flächeninhalt eines durch Rotation der Kurve
um die
-Achse entstehenden Mantels (s. linke
Abbildung):
(8.61a)
2. Flächeninhalt eines durch Rotation der Kurve
um die
-Achse entstehenden Mantels
(s. rechte Abbildung):
(8.61b)
Zur Berechnung von Flächen, die kompliziertere Körper begrenzen, s.
Anwendung von Doppelintegralen und Anwendung des Oberflächenintegrals 1. Art.
Allgemeine Formeln zur Berechnung von Flächen mit Hilfe von Doppelintegralen sind in der Tabelle Anwendung von
Doppelintegralen angegeben.
Anwendungen in der Geometrie
●
●
●
●
Flächeninhalte ebener Flächen
Bogenlängen ebener Kurven
Mantelflächen von Rotationskörpern
Volumina
Elliptische Integrale
●
●
Unbestimmte elliptische Integrale
Bestimmte elliptische Integrale
Kurvenintegrale zweiter Art
●
●
●
●
●
●
Definitionen
Projektion auf die x-Achse:
Projektion auf die y-Achse:
Projektion auf die z-Achse:
Existenzsatz
Berechnung der Kurvenintegrale zweiter Art
Möglichkeiten, eine Raumkurve zu definieren
●
●
●
Koordinatengleichungen
Vektorgleichungen
Positive Richtung
Grundbegriffe
●
●
●
●
●
Punkt, Gerade, Strahl, Strecke
Winkel
Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
Winkelpaare an geschnittenen Parallelen
Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß
Winkel in der Geodäsie
●
●
Neugradeinteilung
Richtungswinkel
Kompakte Mengen und kompakte Operatoren
●
●
●
●
●
Kompakte Teilmengen in normierten Räumen
Kompakte Operatoren
Fredholmsche Alternative
Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum
Kompakte selbstadjungierte Operatoren
Kompakte Operatoren
●
●
●
Begriff des kompakten Operators
Eigenschaften linearer kompakter Operatoren
Schwache Konvergenz von Elementen
Ereignisse
●
●
Ereignisarten
Rechenregeln
Kapitel 10:
Variationsrechnung
●
Aufgabenstellung
Historische Aufgaben
Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen
Variationsaufgaben mit Funktionen mehrerer Veränderlicher
Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Ergänzungen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
●
Variationsaufgaben mit Funktionen einer
Veränderlichen
●
●
●
●
●
●
Einfache Variationsaufgabe und Extremale
Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen
Variationsaufgaben in Parameterdarstellung
Historische Aufgaben
●
●
Isoperimetrisches Problem
Brachistochronenproblem
Tangentialebene und Flächennormale
●
●
●
Definitionen
Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
Singuläre Flächenpunkte (Kegelpunkte)
Möglichkeiten, eine Fläche zu definieren
●
●
Gleichung einer Fläche
Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche
Spezielle Koordinatensysteme
●
●
●
Geographische Koordinaten
SOLDNER-Koordinaten
GAUSS-KRÜGER-Koordinaten
Eulersche Linien
●
●
●
●
EULERsche Linien, EULERsche Graphen
Konstruktion einer geschlossenen EULERschen Linie
Offene EULERsche Linien
Chinesisches Briefträgerproblem
Algebra und Diskrete Mathematik, Graphentheorie
5.28
BIESS, G.: Graphentheorie. -- Verlag H. Deutsch 1979.
5.29
EDMONDS, J.: Paths, Trees and Flowers. -- Canad. J. Math.
(1965), 449-467.
5.30
EDMONDS, J., JOHNSON, E.L.: Matching, Euler Tours and the Chinese Postman. -- Math. Programming
(1973), 88-129.
5.31
NÄGLER, G., STOPP, F.: Graphen und Anwendungen -- B. G. Teubner 1995.
5.32
SACHS, H.: Einführung in die Theorie der endlichen Graphen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1970.
5.33
VOLKMANN, L.: Graphen und Diagraphen. -- Springer-Verlag 1991.
Rückführung auf die einfachste Form
Jeder gebrochen rationale Ausdruck kann auf die Form eines Quotienten zweier teilerfremder Polynome gebracht
werden. Dazu werden nur elementare Umformungen benötigt wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
von Polynomen und Brüchen sowie Kürzen von Brüchen.
Beispiel
Aufsuchen der einfachsten Form von
Partialbruchzerlegung, Fall 2
Wenn die Gleichung
für das Polynom des Nenners reelle Wurzeln besitzt, diese aber mehrfach auftreten,
dann erfolgt die Zerlegung nach der Formel
(1.51)
Beispiel
Die Koeffizienten
werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.
Partialbruchzerlegung, Fall 3
Wenn die Gleichung
für das Polynom des Nenners auch einfache komplexe Wurzeln besitzt, hat die
Zerlegung die Form
(1.52)
Die quadratischen Nenner
ergeben sich aus der Tatsache, daß mit einer komplexen Wurzel auch
die zugehörige konjugiert komplexe Zahl eine Wurzel der betreffenden Polynomgleichung ist.
Beispiel
Die Koeffizienten
werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.
Partialbruchzerlegung, Fall 4
Wenn die Gleichung
für das Polynom des Nenners mehrfache komplexe Wurzeln besitzt, dann erfolgt
die Zerlegung nach der Formel
(1.53)
Beispiel
Die Koeffizienten
bestimmt.
werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten
Definition
Unter einer endlichen Reihe wird die Summe
(1.56)
verstanden, deren Summanden in der Regel nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Die Summanden
sind Zahlen und heißen Glieder der Reihe.
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 1
Faktorenzerlegung auf der linken Seite der Gleichung führt, falls sie gelingt, direkt von
(1.159a)
auf die Wurzeln der Gleichung
(1.159b)
Beispiel
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 3, Verwendung von Hilfsgrößen
Mit
aus Gleichung (1.156b) wird
(1.161)
gesetzt, wobei das Vorzeichen von
mit ihrer Hilfe die Wurzeln
folgenden Tabelle bestimmt.
mit dem von
und
übereinstimmen muß. Daraufhin werden die Hilfsgröße
in Abhängigkeit von den Vorzeichen von
und
und
aus der
Beispiel
Probe:
im Rahmen der Rechengenauigkeit anstelle von 0.
Normalform und Anzahl der Lösungen
1. Normalform:
(1.156a)
oder nach Division durch
und Substitution von
(1.156b)
mit
(1.156c)
und
(1.156d)
2. Anzahl der Lösungen: In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante
(1.157)
ergibt sich:
❍
für
eine reelle Lösung (eine reelle und zwei komplexe Wurzeln),
❍
für
drei reelle Lösungen (drei verschiedene reelle Wurzeln),
❍
für
eine reelle Lösung (eine dreifache reelle Wurzel) im Falle
oder zwei reelle
Lösungen (eine einfache reelle Wurzel und eine zweifache reelle Wurzel) im Falle
3. Eigenschaften der Wurzeln der kubischen Gleichung: Sind
und
die Wurzeln der kubischen
Gleichung (1.156a), dann gilt:
(1.158)
Hinweis: Zur Lösung der Gleichung 3. Grades werden in den nächsten drei Abschnitten drei Methoden betrachtet.
Eine vierte Lösungsmethode beruht auf Näherungsmethoden.
Normalform und Anzahl der Lösungen
1. Normalform:
(1.150a)
oder nach Division durch
(1.150b)
2. Anzahl der reellen Lösungen: In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante
(1.151a)
ergibt sich:
❍
für
gibt es 2 reelle Lösungen (2 reelle Wurzeln),
❍
für
gibt es 1 reelle Lösung (2 zusammenfallende Wurzeln),
❍
für
gibt es keine reelle Lösung (2 komplexe Wurzeln).
3. Eigenschaften der Wurzeln der quadratischen Gleichung: Sind
quadratischen Gleichung, dann gilt:
und
die Wurzeln der
(1.152)
Kapitel 14:
Funktionentheorie
●
Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Integration im Komplexen
Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen
Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen
Algebraische und elementare transzendente Funktionen
Elliptische Funktionen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
●
Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
Die Wichtigkeit vollständiger metrischer Räume resultiert u.a. auch aus der Gültigkeit einer ganzen Reihe
bedeutender Sätze und Prinzipien, die aus der reellen Analysis bekannt und nützlich sind und die man gern für den
Fall unendlichdimensionaler Räume zur Verfügung haben möchte.
●
●
●
Kugelschachtelungssatz
BAIREscher Kategoriensatz
BANACHscher Fixpunktsatz
Integralgleichungen
11.1
DRABEK, P., KUFNER, A.: Integralgleichungen. -- B. G. Teubner 1996.
11.2
FENYÖ, S.; STOLLE, H.W.: Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen Bd. 1 bis 4. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1984.
11.3
FRANK, PH.; MISES, R. V.: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Bd. 1 u. 2. -Verlag Vieweg 1961.
11.4
HACKBUSCH, W.: Integralgleichungen. -- B. G. Teubner 1989.
11.5
KANTOROWITSCH, L.W.; KRYLOW, W.I.: Näherungsmethoden der höheren Analysis. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1956.
11.6
KUPRADSE, W.D.: Randwertaufgaben der Schwingungstheorie und Integralgleichungen. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1956.
11.7
MICHLIN, S.G.: Vorlesungen über lineare Integralgleichungen. -- Berlin 1962.
11.8
MICHLIN, S.G.; SMOLIZKI, CH., L.: Näherungsmethoden zur Lösung von Differential- und Integralgleichungen. -Leipzig 1969.
11.9
MUSCHELISCHWILI, N.I.: Singuläre Integralgleichungen. -- Akademie-Verlag 1965.
11.10
SCHMEIDLER, W.: Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik. -- Akademische
Verlagsgesellschaft 1950.
11.11
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. IV/1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1993, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
Definitionen
1. Rechts offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall Die Definition des uneigentlichen Integrals für
eine Funktion
Definitionsintervall
, die ein rechts offenes Definitionsintervall
besitzt, aber im Punkt
den Grenzwert
oder ein abgeschlossenes
hat, lautet in beiden
Fällen:
(8.85)
Wenn dieser Grenzwert existiert, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral (8.77), und man spricht von einem
konvergenten uneigentlichen Integral . Existiert der Grenzwert nicht, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral
nicht, und man spricht von einem divergenten uneigentlichen Integral .
2. Links offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall Die Definition des uneigentlichen Integrals für
eine Funktion
Definitionsintervall
Definition (8.85):
, die ein links offenes Definitionsintervall
besitzt, aber im Punkt
den Grenzwert
oder ein abgeschlossenes
, erfolgt in Analogie zur
(8.86)
3. Zwei halboffene angrenzende Definitionsintervalle Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine
Funktion
, die im gesamten Intervall
, d.h., für eine Funktion
definiert ist, aber im Punkt
definiert ist, ausgenommen einen inneren Punkt
, die in zwei angrenzenden halboffenen Intervallen
den Grenzwert
mit
und
besitzt, lautet:
(8.87a)
Dabei streben die Zahlen
wohl aber
und
unabhängig voneinander gegen Null. Wenn der Grenzwert (8.87a) nicht existiert,
(8.87b)
dann heißt der Grenzwert (8.87b) der Hauptwert des uneigentlichen Integrals , auch CAUCHYscher Hauptwert .
Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung der Integrale unstetiger Funktionen (8.85), (8.86) und (8.87a) besteht darin, daß mit ihnen
Flächeninhalte von Figuren ermittelt werden, die sich längs einer vertikalen Asymptote ins Unendliche erstrecken, wie sie
in den folgenden drei Abbildungen dargestellt sind. Dabei entspricht die linke Abbildung (8.85), die rechte (8.86) und die
untere (8.87a).
Beispiel A
;
Fall (8.86), singulärer Punkt bei
.
(konvergent).
Beispiel B
;
Fall (8.85), singulärer Punkt bei
.
(divergent).
Beispiel C
;
Fall (8.87a), singulärer Punkt bei
.
(konvergent).
Beispiel D
; Fall (8.87a), singulärer Punkt bei
.
(divergent).
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●
●
Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
CLAIRAUTsche Differentialgleichung
Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in vollständigen Differentialen
Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●
●
Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung
Geometrische Darstellung und Charakteristik des Systems
CAUCHYsches Problem
Quantitative Beschreibung von Attraktoren
●
●
●
●
●
●
Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
Entropien
Lyapunov-Exponenten
Dimensionen
Seltsame Attraktoren und Chaos
Chaos in eindimensionalen Abbildungen
Algebra und Diskrete Mathematik, Zahlentheorie
5.18
BUNDSCHUH, P.: Einführung in die Zahlentheorie. -- Springer-Verlag 1992.
5.19
KRÄTZEL, E.: Zahlentheorie. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1981.
5.20
PADBERG, F.: Elementare Zahlentheorie. -- BI- Wissenschaftsverlag 1991.
5.21
RIVEST, R.L., SHAMIR, A., ADLEMAN, L.: A Method for Obtaining Digital Signatures and Public Key
Cryptosystems. -- Comm. ACM
(1978), 12 - 126.
5.22
SCHEID, H.: Zahlentheorie. -- BI- Wissenschaftsverlag 1991, 2. Auflage Spektrum Akademischer Verlag 1995.
5.23
SCHMUTZER, E.: Grundlagen der theoretischen Physik, Bd. 1, 4. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1991.
Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme
●
●
●
CHOLESKY-Verfahren
HOUSEHOLDER-Verfahren
Regularisiertes Problem
Kapitel 20:
Computeralgebrasysteme
●
Einführung
Mathematica
Maple
Anwendungen von Computeralgebrasystemen
Graphik in Computeralgebrasytemen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
Maple
Maple verfügt über eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Behandlung von Aufgaben der Analysis. Neben der
Differentiation von Funktionen gehören dazu die Berechnug unbestimmter und bestimmter Integrale, die Berechnung
mehrfacher Integrale und die Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen. Grundelemente der Theorie analytischer
Funktionen werden zur Nutzung angeboten. Zahlreiche Differentialgleichungen können gelöst werden.
●
●
●
●
Differentiation
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Lösung von Differentialgleichungen
Mathematica
●
●
●
●
Gleichungen
Lösung von Gleichungen
Lösung transzendenter Gleichungen
Lösung von Gleichungssystemen
Maple
●
●
●
●
Wichtige Operationen
Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
Lösung transzendenter Gleichungen
Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
Aufbau und Umgang mit Computeralgebrasystemen
●
Hauptstrukturelemente
Objekttypen
Computeralgebrasysteme arbeiten mit einer Vielzahl von Objekttypen. Objekte sind die dem jeweiligen System
bekannten Zahlen, Variablen, Operatoren, Funktionen usw., die mit dem Start des Systems latent geladen sind und
aufgerufen bzw. vom Nutzer entsprechend der Syntax definiert werden können.
Klassen von Objekten wie etwa Zahlenarten oder Listen usw. nennt man Typen .
Die meisten Objekte werden durch ihren Namen identifiziert, den man sich zur Objektklasse Symbol zugehörig
denken kann und der bestimmten grammatikalischen Regeln genügen muß.
Der Nutzer gibt in die Eingabezeile eine Folge von Objekten, d.h. deren Namen, entsprechend der vorgeschriebenen
Syntax ein, schließt die Eingabe mit einem dafür vorgesehenen Sonderzeichen und/oder einem speziellen
Systemkommando ab, worauf das System mit der Abarbeitung beginnt und in weiteren Zeilen das Ergebnis darstellt
(Eingaben können sich über mehrere Zeilen erstrecken).
Die nachfolgend beschriebenen Objekte bzw. Objekttypen und -klassen stehen in der Regel in allen
Computeralgebrasystemen zur Verfügung, wobei auf Besonderheiten bei der Besprechung der einzelnen Systeme
eingegangen wird.
Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete
●
●
●
●
Formelmanipulation
Numerische Berechnungen
Graphische Darstellungen
Programmierung in Computeralgebrasystemen
Spezielle Möglichkeiten der Arbeit mit Computeralgebrasystemen
Die meisten Computeralgebrasysteme können mit externen Dateisystemen und Dateien kommunizieren, d.h. Daten
ex- und importieren. Neben einem Grundvorrat an Definitionen und Befehlen, der bei jedem Start des Systems
geladen wird, bieten die meisten Systeme umfangreiche Bibliotheken mit Zusatzpaketen spezieller mathematischer
Gebiete an, die nach Bedarf zugeladen werden können (s. Lit. 20.4).
Computeralgebrasyteme ermöglichen Programmierungen zum Aufbau eigener Programmpakete.
Die Möglichkeiten von Computeralgebrasytemen sollten jedoch nicht überschätzt werden. Wenn für ein Integral kein
geschlossener Ausdruck existiert, dann kann auch mit Hilfe eines Computeralgebrasytems keiner gefunden werden.
Bezüglich der auftretender Fehler s. Abschnitt Numerische Probleme auf Computern.
Wichtige Fälle vektorieller Felder
●
●
●
Zentrales Vektorfeld
Sphärisches Vektorfeld
Zylindrisches Vektorfeld
Kapitel 13:
Vektoranalysis und Feldtheorie
●
Grundbegriffe der Feldtheorie
Räumliche Differentialoperationen
Integration in Vektorfeldern
Berechnung von Feldern
Differentialgleichungen der Feldtheorie
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
●
●
●
Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Das lineare Gleichungssystem (4.112a) ist unlösbar, wenn sich im obigen 2. Fall
System einen Widerspruch.
Beispiel
ergibt. Dann enthält das
Nach 3 Austauschschritten (z.B.
)
erhält man:
Das Verfahren endet mit dem 1. Fall:
Man setzt
Lösung
und
und
sind unabhängige Variable.
ist ein Parameter. Damit lautet die
Beschreibung von Schwingungen
●
●
●
●
Problemstellung
Superposition oder Überlagerung von Schwingungen
Vektordiagramm für Schwingungen
Dämpfung von Schwingungen
Unterabschnitte
●
●
Erste Form der Darstellung ( TAYLORsche Reihe):
Zweite Form der Darstellung:
TAYLORsche Reihe für Funktionen von einer Veränderlichen
Stetige Funktionen
, die für
alle Ableitungen besitzen, können oftmals mit Hilfe der TAYLORschen
Formel als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden.
Erste Form der Darstellung ( TAYLORsche Reihe):
(7.87a)
Diese Reihenentwicklung ist für die
-Werte richtig, für die das Restglied
beim Übergang
gegen Null strebt. Dabei ist zu beachten, daß der Begriff Restglied nur dann mit dem in diesem Buch
eingeführten Begriff gleichen Namens identisch ist, wenn die Formel (7.87a) zutreffend ist, d.h. angewendet werden
darf.
Für das Restglied gibt es die folgenden Darstellungen:
(7.87b)
(7.87c)
Zweite Form der Darstellung:
(7.88a)
Die Ausdrücke für das Restglied sind:
(7.88b)
(7.88c)
Fuzzy-Mengen
●
●
●
●
●
Leere, universelle, normale und subnormale Fuzzy-Mengen,
Fuzzy-Teilmengen
Toleranz einer Fuzzy-Menge
Schnitt einer Fuzzy-Menge
Ähnlichkeit von Fuzzy-Mengen
und
Umwandlung kontinuierlicher und diskreter fuzzy-wertiger Mengen:
Hauptachsentransformation quadratischer Formen
●
●
●
Definition
Eigenschaften der reellen quadratischen Form
Erzeugung der Normalform
Eigenschaften der reellen quadratischen Form
1. In einer reellen positiv definiten quadratischen Form
sind alle Hauptdiagonalelemente der zugehörigen
reellen symmetrischen Matrix A positiv, d.h., es ist
(4.132)
Für die positive Definitheit stellt diese Gleichung eine notwendige Bedingung dar.
2. Eine reelle quadratische Form
ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Eigenwerte der
zugehörigen Matrix A positiv sind.
3. Eine reelle quadratische Form
deren zugehörige Matrix A den Rang
hat, kann durch die
lineare Transformation
(4.133)
in eine Summe rein quadratischer Glieder, die sogenannte Normalform
(4.134)
mit beliebig vorgegebenen positiven Werten
überführt werden.
Methoden zur Definition einer reellen Funktion
●
●
Angabe einer Funktion
Analytische Darstellung reeller Funktionen
Verschiedene ebene Definitionsbereiche
●
●
●
●
●
●
●
Definitionsbereich einer Funktion
Zweidimensionale Gebiete
Drei- und mehrdimensionale Gebiete
Methoden zur Definition einer Funktion
Definitionsbereich einer Funktion
Formen der analytischen Darstellung einer Funktion
Abhängigkeit von Funktionen
Abbildungen
Eine Abbildung
●
der Menge
in die Menge
heißt
injektiv, wenn
(12.18)
●
surjektiv, wenn für
(12.19)
●
bijektiv, wenn
sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
wird Definitionsbereich des Operators
mit
Teilmenge
oder
bezeichnet wird.
genannt und mit
aus
oder
bezeichnet, während die
Wertebereich des Operators
heißt und mit
Homomorphismus und Endomorphismus
Seien
und
zwei Vektorräume über ein und demselben Körper
und
eine lineare Teilmenge aus
.
heißt linear, lineare Transformation,linearer Operator oder Homomorphismus, wenn
Eine Abbildung
und
für beliebige
stets gilt:
(12.20)
Für einen linearen Operator
für allgemeine Operatoren
Operators
und wird mit
Abbildung des Vektorraumes
bevorzugt man in Anlehnung an lineare Funktionen die Bezeichnung
steht.
ist der Nullraum oder Kern des
bezeichnet. Als Endomorphismus von
in sich. Ist
, während
bezeichnet man eine lineare
eine injektive lineare Abbildung, so ist die aus
durch
(12.21)
definierte Abbildung
Vektorraum
linear und heißt Inverse oder Umkehrabbildung von
, so nennt man eine lineare Abbildung
. Ist
der
ein lineares Funktional oder eine Linearform.
Fuzzy-Logik
●
●
●
●
●
●
Grundlagen der Fuzzy-Logik
Verknüpfungen unscharfer Mengen
Fuzzy-wertige Relationen
Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation
Defuzzifizierungsmethoden
Wissensbasierte Fuzzy-Systeme
Weitere Formeln
●
●
●
DELAMBREsche Gleichungen
NEPERsche Gleichungen und Tangenssatz
L'HUILIERsche Gleichungen
Maß und Lebesgue-Integral
●
●
●
●
●
Sigma-Algebren und Maße
Meßbare Funktionen
Integration
-Räume
Distributionen
-Algebra
Sei
eine beliebige Menge. Ein nichtleeres System
von Teilmengen aus
heißt
- Algebra , wenn
1.
impliziert
und
2.
impliziert
Jede
-Algebra enthält die Mengen
und
.
, mit abzählbar vielen Mengen auch deren Durchschnitt sowie mit
zwei Mengen auch jeweils deren Differenzmengen.
Im weiteren bezeichne
die durch die Elemente
wobei die Rechenregeln und Ordnungseigenschaften aus
und
erweiterte Menge (Zahlengerade)
in natürlicher Weise auf
übertragen werden. Die
,
Ausdrücke
Wert
erhalten.
und
sind dabei nicht zugelassen, während
und
den
Eigenschaften der Laplace-Transformation
●
Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich
Rechenregeln zur Laplace-Transformation
Bildfunktionen spezieller Funktionen
●
Diracsche
●
●
-Funktion und Distributionen
Bildfunktionen spezieller Funktionen
●
●
●
●
●
Sprungfunktion
Rechteckimpuls
Impulsfunktion
Stückweise differenzierbare Funktionen
Periodische Funktionen
Stetige lineare Funktionale
●
Definition
Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz
●
Stetige lineare Funktionale in
●
Invariante Tensoren
●
●
●
●
Definition
Deltatensor
Epsilontensor
Tensorinvarianten
Weitere Grundgesetze
●
●
Umformungen
NAND-Funktion und NOR-Funktion
Einführung
●
●
●
Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen
Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete
Aufbau und Umgang mit Computeralgebrasystemen
Beschränkung auf Mathematica und Maple
Die zur Zeit bekannten Systeme unterliegen der Weiterentwicklung. Insofern kann jede konkrete Darstellung nur den
aktuellen Stand reflektieren. Im folgenden soll eine Einführung in die grundlegende Struktur solcher Systeme und ihre
Anwendung in wichtigen mathematischen Bereichen gegeben werden. Damit diese Einführung gleichzeitig als
Anleitung für erste praktische Schritte bei der Arbeit mit Computeralgebrasystemen dienen kann, werden die
Darlegungen konkret auf die beiden Systeme Mathematica (Version 2.2) und Maple (Version V) beschränkt. Diese
Auswahl ist willkürlich; jedoch scheinen diese beiden Systeme gegenwärtig die größte Verbreitung gefunden zu
haben. Eine Konversion von Mathematica nach Maple ist möglich. Die dazu notwendigen Dateien werden in
Handbüchern auf einer CD-ROM mitgeliefert (s. Lit. 20.8).
Komplexe Wurzeln
Komplexe Wurzeln können auch als Lösungen von Polynomgleichungen mit reellen Koeffizienten auftreten, aber nur
paarweise konjugiert komplex, d.h., wenn
mit der gleichen Vielfachheit. Mit
eine Wurzel ist, dann ist auch
und
eine, und zwar
woraus
folgt, gilt
(1.169)
Wird in (1.167a) das Produkt eines jeden Paares derartiger Faktoren gemäß (1.169) ersetzt, dann ergibt sich eine
Zerlegung des Polynoms mit reellen Koeffizienten in reelle Faktoren gemäß
(1.170)
Dabei sind
reelle Wurzeln des Polynoms
. Es hat außerdem
Paare von konjugiert
komplexen Wurzeln, die man als Nullstellen der quadratischen Faktoren
erhält. Die Zahlen
und
.
sind reell, und es gilt
Lösung von Gleichungen n-ten Grades
Im allgemeinen sind Gleichungen mit
nur noch näherungsweise lösbar. In der Praxis werden aber auch
schon zur Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades Näherungsmethoden angewendet. Eine näherungsweise
Lösung von Gleichungen -ten Grades zur Ermittlung aller Wurzeln einer algebraischen Gleichung -ten Grades,
einschließlich der komplexen, ist mit der Methode von BRODETSKY-SMEAL möglich (s. Lit. 1.9, 19.38). Die
Berechnung einzelner reeller Wurzeln algebraischer Gleichungen kann auch mit Hilfe der allgemeinen
Näherungsmethoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen erfolgen. Zur Bestimmung komplexer Nullstellen
algebraischer Gleichungen wird das BAIRSTOW-Verfahren angewendet (s. Lit. 19.22).
Gleichungen mit reellen Koeffizienten
●
●
●
Komplexe Wurzeln
Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten
Lösung von Gleichungen n-ten Grades
Definitionen
●
●
Determinante
Unterdeterminanten
Determinanten
●
●
●
Definitionen
Rechenregeln für Determinanten
Berechnung von Determinanten
Rang einer Matrix
●
●
●
Definition
Aussagen zum Rang von Matrizen
Regel zur Ermittlung des Ranges
Divergenz in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
1. Divergenz in kartesischen Koordinaten
(13.47a)
mit
(13.47b)
Das Skalarfeld
ist durch das Skalarprodukt aus Nablaoperator und Vektor
gemäß
(13.47c)
darstellbar und zeichnet sich daher durch Translations- und Drehungsinvarianz, also durch
skalare Invarianz aus.
2. Divergenz in Zylinderkoordinaten
(13.48a)
mit
(13.48b)
3. Divergenz in Kugelkoordinaten
(13.49a)
mit
(13.49b)
Regeln zur Berechnung der Divergenz
(13.51a)
(13.51b)
(13.51c)
(13.52)
(13.53)
Tensoren in kartesischen Koordinaten
●
●
●
●
●
Definition
Tensor 0. Stufe
Tensor 1. Stufe
Tensor 2. Stufe
Rechenregeln
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
●
●
●
●
Definitionsbereiche und Bezeichnungen
Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen
Arithmetische Operationen
Darstellung der rationalen Zahlen
Superposition komplexer Potentiale
Ein von mehreren Quellen, Senken und Wirbeln erzeugtes Feld ergibt sich rechnerisch durch additive Überlagerung
der durch sie erzeugten Einzelfelder, d.h. durch Addition ihrer komplexen Potentiale bzw. Stromfunktionen.
Mathematisch gesehen ist das durch die Linearität der LAPLACEschen Differentialgleichung
möglich.
und
Definition und grundlegende Eigenschaften
●
●
●
Definition
Beispiele für Gruppen
Gruppentafeln
Grundbegriffe
●
●
●
●
Typen dynamischer Systeme, Orbits
Fluß einer Differentialgleichung
Diskrete dynamische Systeme
Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme
Kapitel 6:
Differentialrechnung
●
Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen
Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen
●
Detailliertes Inhaltsverzeichnis
●
Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung einer Funktion von zwei
Veränderlichen
Stellt man eine Funktion
durch den Flächenpunkt
als Fläche in einem kartesischen Koordinatensystem dar und legt man
eine Ebene parallel zur
-Ebene, dann gilt
(6.36a)
Dabei ist
der Winkel zwischen der positiven
-Achse und der Tangente an die Schnittkurve der Fläche in dem
betreffenden Punkt mit einer Ebene, die parallel zur
von der
-Ebene verläuft. Die Messung von
erfolgt, ausgehend
-Achse zur Tangente an die Schnittkurve, im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers. Dabei ist der
Blick von der positiven
-Achse gegen die Schnittebene gerichtet. In Analogie zu
ist
gemäß
(6.36b)
definiert.
Bezüglich der Ableitung nach einer gegebenen Richtung s. Richtungsableitung bzw. nach einem Volumen
s. Volumenableitung.
Partielle Ableitungen
●
●
●
●
●
Partielle Ableitung einer Funktion
Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung einer Funktion von zwei Veränderlichen
Begriff des Differentials
Haupteigenschaften des Differentials
Partielles Differential
Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung
●
●
Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen
Vollständiges Differential n-ter Ordnung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher
Das vollständiges Differential
-ter Ordnung einer Funktion mehrerer Veränderlicher ergibt sich zu
(6.48)
Berechnung der Stammfunktion
●
●
Zweidimensionaler Fall
Dreidimensionaler Fall
Problemstellung
Zu bestimmen sind Zahlenwert und Fehler einer Größe
, die über die Funktion
abhängt. Die Werte
den unabhängigen Variablen
Zufallsgrößen angesehen werden und lassen sich als Mittelwerte
bestimmen. Ihre Streuung ist
von
können als Realisierungen von
je einer Meßreihe mit
Meßwerten
. Es ist zu untersuchen, wie sich die Fehler der Variablen auf die Funktion
auswirken. Die Funktion
muß differenzierbar sein, ihre Variablen
müssen stochastisch unabhängig sein, sie dürfen aber beliebigen Verteilungen mit unterschiedlichen Streuungen
genügen.
n Funktionen von m Veränderlichen, gegeben durch ein System von n Gleichungen
Die Berechnung der partiellen Ableitungen erster und höherer Ordnung erfolgt nach dem gleichen Schema, wie es in
den vorangegangenen Fällen demonstriert wurde.
Differentiation von Funktionen von mehreren
Veränderlichen
●
●
●
●
●
Partielle Ableitungen
Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung
Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren Veränderlichen
Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen
Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen
Funktion von zwei Veränderlichen
Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängigen Variablen, die Funktion und deren
partielle Ableitungen enthält:
(6.62a)
(6.62b)
Wenn
und
durch neue Variable
und
, gegeben durch
(6.63a)
substituiert werden, können die partiellen Ableitungen erster Ordnung aus dem Gleichungssystem
(6.63b)
mit den neuen Funktionen
und
von
und
berechnet werden zu
(6.63c)
Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung werden mit denselben Formeln berechnet, aber indem sie nicht auf
sondern
auf dessen partielle Ableitungen
und
angewendet werden, z.B.
(6.64)
Die höheren partiellen Ableitungen können in derselben Weise berechnet werden.
Beispiel
Der LAPLACE-Operator soll in Polarkoordinaten ausgedrückt werden:
(6.65a)
(6.65b)
Gang der Rechnung:
Analog wird
berechnet, so daß man erhält:
(6.65c)
Hinweis: Wenn Funktionen mit mehreren Veränderlichen substituiert werden sollen, können ähnliche Substitutionsformeln
hergeleitet werden.
Differentialgleichungen
●
Gewöhnliche Differentialgleichungen
❍ Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Existenzsatz, Richtungsfeld
■ Existenz einer Lösung, LIPSCHITZ-Bedingung
■ Richtungsfeld, Vertikale Richtungen
■ Allgemeines Integral
■ Wichtige Integrationsmethoden
■ Trennung der Variablen
■ Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
■ Exakte Differentialgleichung
■ Integrierender Faktor
■ Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
■ BERNOULLIsche Differentialgleichung
■ RICCATIsche Differentialgleichung
■ Implizite Differentialgleichungen
■ Lösung in Parameterform
LAGRANGEsche Differentialgleichung
■ CLAIRAUTsche Differentialgleichung
■ Singuläre Integrale und singuläre Punkte
■ Singuläres Element und singuläres Integral
■ Bestimmung singulärer Integrale
■ Singuläre Punkte einer Differentialgleichung
■ Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite
■ Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten
Seite
■ Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Methode der sukzessivem Approximation nach PICARD
■ Integration durch Reihenentwicklung
■ Graphische Integration von Differentialgleichungen
■ Numerische Integration
Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen
■ Grundlegende Betrachtungen
■ Existenz einer Lösung
■ Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:
■ Existenz eines Lösungssystems:
■ LIPSCHITZ-Bedingung:
■ Allgemeine Lösung
■ Konstanten und geometrische Bedeutung:
■ Berechnung eines ersten Integrals:
■ Erniedrigung der Ordnung
■ Fall 1
■
❍
Fall 2
■ Fall 3
■ Fall 4
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
■ Klassifizierungen
■ Fundamentalsystem von Lösungen
■ Erniedrigung der Ordnung
■ Superpositionssatz
■ Zerlegungssatz
■ Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mittels Quadraturen
■ Methode der Variation der Konstanten:
■ Methode von CAUCHY:
Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
■ Operatorenschreibweise
■ Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
■ Satz von HURWITZ
■ Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
■ 1. Fall
■ 2. Fall
■ EULERsche Differentialgleichung:
Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
■ Normalform
■ Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
■ Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
■
■
■
■
Systeme zweiter Ordnung
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
■ Allgemeine Methoden
■ BESSELsche Differentialgleichung
■ Definierende Gleichung:
■ BESSEL- oder Zylinderfunktionen:
■ BESSEL-Funktionen mit imaginären Variablen:
■
■
■
LEGENDREsche Differentialgleichung
■ LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art:
■ Eigenschaften der LEGENDREschen Polynome 1. Art:
■ LEGENDREsche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art:
■ Hypergeometrische Differentialgleichung
■ LAGUERREsche Differentialgleichung
■ HERMITEsche Differentialgleichung
Randwertprobleme
■ Problemstellung
■ Begriff des Randwertproblems
■ Selbstadjungierte Differentialgleichung
■ STURM- LIOUVILLEsches Problem
■ Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
■ Entwicklung nach Eigenfunktionen
■ Nichtsinguläre Fälle
■ Singuläre Fälle
■
❍
Formeln für BESSEL-Funktionen
●
Partielle Differentialgleichungen
❍ Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
■ Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
■ Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung
■ Geometrische Darstellung und Charakteristik des Systems
■ CAUCHYsches Problem
■ Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
■ Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
■ CLAIRAUTsche Differentialgleichung
■ Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
■ Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in vollständigen Differentialen
❍ Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
■ Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
■ Allgemeine Form
■ Charakteristiken
■ Normalform oder kanonische Form
■ Verallgemeinerung:
■ Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
■ Allgemeine Form
■ Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
■ Methode der Variablentrennung
■ Lösung der Saitenschwingungsgleichung
■ Lösung der Stabschwingungsgleichung
■ Lösung der Membranschwingungsgleichung
■ Lösung des Dirichletschen Problems
■ Lösung der Wärmeleitungsgleichung
■ RIEMANNsche Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems der hyperbolischen
Differentialgleichung
■ GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische
Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen
■ GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei
unabhängigen Variablen
■ Vergleich der RIEMANNschen und der GREENschen Methode
■ Operatorenmethoden
■ Näherungsmethoden
Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft
und Technik
■ Problemstellungen und Randbedingungen
■ Problemstellungen
■ Anfangs- und Randbedingungen
■ Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
■ Wellengleichung
■ Homogenes Problem
■ Inhomogenes Problem
■
❍
■
■
■
Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
■ Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
■ Dreidimensionale Diffusionsgleichung
Potentialgleichung
Schrödinger-Gleichung
■ Begriff der SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Bestimmung und Abhängigkeiten
■ Besonderheiten
■ Zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
■ Problemstellung:
■ Lösungsansatz:
■ Lösungen:
■ Spezialfall Würfel, Entartung:
■ Teilchenbewegung im radialsymmetrischen Zentralfeld
■ Problemstellung:
■ Lösungsansätze:
■ Lösung der Radialgleichung:
■ Lösung der Polargleichung:
■ Lösung der Azimutalgleichung:
■ Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit:
■ Parität:
■ Linearer harmonischer Oszillator
■ Problemstellung
Lösungsansatz und Lösungsgang
■ Physikalische Lösungen:
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
■ Physikalisch-mathematische Problemstellung
■ Begriff des Solitons
■ Wechselwirkung zwischen Solitonen
■ Nichtlineare Evolutionsgleichungen
■ KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
■ Auftreten
■ Gleichung und Lösungen
■ Nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Auftreten
■ Gleichung und Lösungen
■ Sinus- GORDON-Gleichung
■ Auftreten
■ Gleichung und Lösungen
■ Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen
■
❍
Wichtige Integrationsmethoden
●
●
●
●
●
●
●
Trennung der Variablen
Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
Exakte Differentialgleichung
Integrierender Faktor
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
BERNOULLIsche Differentialgleichung
RICCATIsche Differentialgleichung
Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●
Methode der sukzessivem Approximation nach PICARD
Integration durch Reihenentwicklung
Graphische Integration von Differentialgleichungen
Numerische Integration
Stabilitätstheorie
●
●
●
●
●
●
●
Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
Stabilität periodischer Orbits
Klassifizierung periodischer Orbits
Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen
Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
●
●
●
Fortsetzbarkeit der Lösungen
Phasenporträt
Satz von Liouville
Problemstellung
●
●
●
Begriff des Randwertproblems
Selbstadjungierte Differentialgleichung
STURM- LIOUVILLEsches Problem
Charakteristiken
Charakteristiken der linearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung heißen die Integralkurven der
Differentialgleichung
(9.80)
Zu den drei Typen von Differentialgleichungen können hinsichtlich der Charakteristiken die folgenden allgemeinen
Aussagen getroffen werden:
1.
Hyperbolischer Typ: Es existieren zwei Scharen reeller Charakteristiken.
2.
Parabolischer Typ: Es existiert nur eine Schar reeller Charakteristiken.
3.
Elliptischer Typ: Es existieren keine reellen Charakteristiken.
4.
Eine Differentialgleichung, die sich aus (9.79a) durch Koordinatentransformationen ergibt, besitzt die gleichen
Charakteristiken wie (9.79a).
5.
Wenn die Schar der Charakteristiken mit einer Schar der Koordinatenlinien zusammenfällt, dann fehlt in
(9.79a) das Glied mit der zweiten Ableitung der unbekannten Funktion nach der betreffenden unabhängigen
Variablen. Im Falle der Differentialgleichung vom parabolischen Typ fehlt hierbei auch noch das Glied mit der
gemischten Ableitung.
Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
●
●
●
●
Operatorenschreibweise
Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Satz von HURWITZ
Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Zweidimensionaler Fall
Wenn die Integrabilitätsbedingung (8.127) erfüllt ist, dann ist über einen beliebigen Integrationsweg innerhalb des
Gültigkeitsbereiches von (8.127), der einen beliebigen festen Punkt
verbindet (s. Abbildung), die Stammfunktion
mit dem variablen Punkt
gleich dem Kurvenintegral:
(8.131)
Bei praktischen Rechnungen ist es bequem, einen zu den Koordinatenachsen parallelen Integrationsweg zu wählen,
d.h. einen der beiden Abschnitte
oder
, wenn dieser nicht außerhalb des Gültigkeitsbereiches von
(8.127) liegt. Somit gibt es zwei Formeln für die Berechnung der Stammfunktion
Differentials
:
und des vollständigen
(8.132a)
(8.132b)
Grundlegende Betrachtungen
●
●
Existenz einer Lösung
Allgemeine Lösung
Integralrechnung
8.1
APELBLAT, A.: Tables of Integrals and Series. -- Verlag H. Deutsch 1996.
8.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
8.3
BRYTSCHKOW, J.A.; MARITSCHEW, O.I.; PRUDNIKOV, A.P.: Tabellen unbestimmter Integrale. -- Verlag H.
Deutsch 1992.
8.4
COURANT, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1971-72.
8.5
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
8.6
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
8.7
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 u. 3. -- Verlag H. Deutsch 1993-94.
8.8
GÜNTHER, P. (HRSG.): Grundkurs Analysis, Bd. 3. -- B. G. Teubner, Leipzig 1973.
8.9
HARBARTH, K.; RIEDRICH, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 4), 1978; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 4) 1978.
8.10
JOOS, G.E.; RICHTER, E.: Höhere Mathematik. Ein kompaktes Lehrbuch für Studium und Beruf. -- Verlag H.
Deutsch 1994.
8.11
KAMKE, E.: Das LEBESGUE-STIELTJES-Integral. -- B. G. Teubner; Leipzig 1960.
8.12
KNOPP, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. -- Springer-Verlag 1964.
8.13
KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig, (MINÖL, Bd. 5), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 5), 1979.
8.14
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K., HRG. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1 bis 4. -- S. Hirzel
Verlag 1989.
8.15
MANGOLDT, H. V.; KNOPP; LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. IV. -- S. Hirzel Verlag 1975.
8.16
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
8.17
PFORR, E.A.; SCHIROTZEK, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen. -- BSB B.
G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 2), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 2), 1978.
8.18
SCHELL, H.-J.: Unendliche Reihen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 3), 1974; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 3), 1978.
8.19
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
8.20
STÖCKER, H. (HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1995.
8.21
TRIEBEL, H.: Höhere Analysis. -- Verlag Harri Deutsch 1980.
8.22
ZACHMANN, H.G.: Mathematik für Chemiker. -- VCH, Weinheim 1990.
Trennung der Variablen
Wenn eine Differentialgleichung auf die Form
(9.6a)
gebracht werden kann, dann kann sie auch in der Form
(9.6b)
dargestellt werden, in der die Variablen
Gleichung (9.6a) durch
und
voneinander getrennt in zwei Termen auftreten. Dazu ist die
zu dividieren. Für das allgemeine Integral ergibt sich
(9.7)
Sollten für irgendwelche Werte
und
oder
die Funktionen
ebenfalls Integrale der Differentialgleichung.
oder
Null werden, dann sind
Beispiel
.
Lösung in Parameterform
Gegeben sei eine Differentialgleichung in der impliziten Form
(9.14)
Ein Verfahren, zu einer Auflösung nach
genau
Integralkurven verlaufen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
a) In dem Punkt
besitze die Gleichung
reelle Wurzeln
mit
insgesamt
.
b) Die Funktion
es gelte
zu kommen, geht von dem Satz aus, daß durch einen Punkt
und ihre ersten Ableitungen seien für
stetig, und
.
Wenn sich eine gegebene Gleichung nach
auflösen läßt, dann zerfällt sie in
Gleichungen von der eben
beschriebenen Form, nach deren Lösung man
Form
oder
Integralkurvenscharen erhält. Sollte sich eine Gleichung in der
darstellen lassen, dann erhält man, indem
Hilfsveränderliche verstanden wird, durch Differentiation nach
bzw.
gesetzt und
eine Gleichung in
als
bzw.
,
die nach der Ableitung aufgelöst ist. Ihre Lösung zusammen mit der Ausgangsgleichung (9.14) ergibt dann die
Lösung in Parameterform.
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
Differentiation nach
zu lösen. Man setzt
und erhält
und Setzen von
liefert
oder
Die Auflösung dieser in
linearen Gleichung ergibt
Ausgangsgleichung für
ergibt die Lösung in Parameterform.
.
. Einsetzen in die
.
Erste Glieder einiger Potenzen einer Potenzreihe
(7.79)
(7.80)
(7.81)
(7.82)
(7.83)
(7.84)
Prinzip
Die Differentialgleichung
-ter Ordnung
(15.48a)
mit den Anfangswerten
geht durch LAPLACE-
Transformation in die Gleichung
(15.48b)
über. Dabei ist
die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung.
Differentialgleichung 1. Ordnung
Original- und Bildgleichung lauten
(15.49a)
(15.49b)
wobei
. Für
ergibt sich dann
(15.49c)
(15.50a)
(15.50b)
(15.50c)
Differentialgleichung 2. Ordnung
Original- und Bildgleichung lauten
(15.51a)
(15.51b)
Für
ergibt sich dann
(15.51c)
Fallunterscheidungen:
(15.52a)
(15.52b)
(15.53a)
(15.53b)
(15.54a)
(15.54b)
Die Lösung
erhält man dann durch Faltung der Originalfunktionen des Zählers von
mit
.
Die Anwendung der Faltung wird man zu vermeiden und die rechte Seite möglichst direkt zu transformieren suchen.
Beispiel
Die Bildgleichung für die Differentialgleichung
mit
und
lautet
.
Durch Partialbruchzerlegung des zweiten und dritten Terms der rechten Seite, wobei man die
quadratischen Ausdrücke nicht in Linearfaktoren zerlegt, erhält man die Darstellung
und nach gliedweiser Transformation (s. Tafel der Korrespondenzen) die Lösung
.
Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
●
●
●
●
●
●
Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
Lineare Differentialgleichungen
Stabilitätstheorie
Invariante Mannigfaltigkeiten
Poincaré-Abbildung
Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen
Fall 4
ist eine Funktion von x allein:
(9.32a)
Die allgemeine Lösung erhält man durch
-malige Integration in der Form
(9.32b)
mit
(9.32c)
Hierbei ist zu beachten, daß
Änderung von
keine zusätzliche willkürliche Konstante ist, denn eine Änderung von
zieht eine
wegen
(9.32d)
nach sich.
Normalform oder kanonische Form
Zur Transformation der Differentialgleichung (9.79a) in die Normalform der linearen partiellen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung gibt es die folgenden Möglichkeiten:
1. Transformation in die Normalform: Die Differentialgleichung (9.79a) kann durch die Einführung neuer
unabhängiger Veränderlicher
(9.81a)
in Übereinstimmung mit dem Vorzeichen der Diskriminante (9.79b) auf eine der folgenden drei Normalformen
gebracht werden:
(9.81b)
(9.81c)
(9.81d)
Glieder, die keine partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der unbekannten Funktionen enthalten, sind durch Punkte
angedeutet.
2. Transformation in die Normalform (9.81b) beim hyperbolischen Typ: Wenn im hyperbolischen Fall zwei
Charakteristikenscharen als Koordinatenlinienscharen im neuen Koordinatensystem (9.81a) gewählt werden,
mit
d.h., wenn für die Gleichungen der Charakteristikenscharen
gesetzt wird, dann geht (9.79a) über in
(9.81e)
Diese Form heißt auch Normalform der Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ . Von hier gelangt man zur
Normalform (9.81b) mit Hilfe der Substitution
(9.81f)
3. Transformation in die Normalform (9.81c) beim parabolischen Typ: Für die Schar
wird die einzige in diesem Falle gegebene Charakteristikenschar gewählt, wobei für
beliebige Funktion von
und
gewählt werden kann, die aber nicht von
abhängen darf.
4. Transformation in die Normalform (9.81d) beim elliptischen Typ: Wenn die Koeffizienten
analytische Funktionen sind, dann definiert die Gleichung der
eine
Charakteristiken im elliptischen Falle zwei konjugiert komplexe Scharen von Kurven
. Wird
Gleichung in die Normalform (9.81d) über.
gesetzt, dann geht die
Verallgemeinerung:
Alle Aussagen zur Klassifizierung und Transformation auf die Normalform gelten auch für Gleichungen der
allgemeineren Form
(9.82)
in der die gesuchten Funktionen
nicht mehr nur linear auftreten.
und ihre partiellen Ableitungen
und
im Gegensatz zu (9.79a)
Fall 1
, d.h.,
tritt nicht explizit auf:
(9.29a)
Durch die Substitution
(9.29b)
kann die Ordnung der Differentialgleichung von
Beispiel
auf
reduziert werden.
mit der
Die Verringerung der Ordnung um 1 erfolgt für die Differentialgleichung
Substitution
, die auf
und damit auf
da
die Lösung
und
. Durch Kürzung mit
liefert, die in der allgemeinen Lösung für
führt
geht keine Lösung verloren,
enthalten ist.
Fall 2
, d.h.,
tritt nicht explizit auf:
(9.30a)
Die Ordnung der Differentialgleichung kann durch die Substitution
(9.30b)
von
auf
verringert werden. Wenn in der Ausgangsgleichung die ersten
Ableitungen fehlen, dann
lautet die Substitution
(9.30c)
Beispiel
Die Ordnung der Differentialgleichung
wird durch die Substitution
erniedrigt, so daß sich die CLAIRAUTsche Differentialgleichung
allgemeinen Lösung
ergibt. Daraus erhält man
. Aus der singulären Lösung der CLAIRAUTschen
Differentialgleichung
der zu lösenden Differentialgleichung.
erhält man die singuläre Lösung
mit der
Fall 3
ist eine homogene Funktion in
,
,
,...,
:
(9.31a)
Eine Erniedrigung der Ordnung kann durch die Substitution
(9.31b)
erreicht werden.
Beispiel
Die Differentialgleichung
wird durch die Substitution
mit der Ableitung
umgeformt. Die Ordnung wird dabei um 1 erniedrigt. Man erhält
folgt oder
.
, woraus
Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft
und Technik
●
●
●
●
●
Problemstellungen und Randbedingungen
Wellengleichung
Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
Potentialgleichung
Schrödinger-Gleichung
Allgemeine Vorgehensweise
Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion mindestens zweier Variablen:
. Da
die FOURIER-Transformation eine Integration bezüglich einer Variablen darstellt, ist die andere Variable bei der
Transformation als konstant zu betrachten. Hier wird
variabel und
fest gewählt:
(15.102)
Auch bei der Transformation von Ableitungen bleibt eine Variable fest, hier wieder
:
(15.103)
Für die Ableitungen nach
ist vorauszusetzen, daß sie mit dem FOURIER-Integral vertauschbar sind:
(15.104)
Damit erhält man im Bildbereich eine gewöhnliche Differentialgleichung. Außerdem sind die Rand- und
Anfangsbedingungen in den Bildbereich zu transformieren.
Allgemeine Vorgehensweise
Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion mindestens zweier Variabler:
. Da
die LAPLACE-Transformation eine Integration bezüglich einer Variablen darstellt, ist die andere Variable bei der
Transformation als konstant zu betrachten:
(15.57)
Auch bei der Transformation von Ableitungen bleibt
fest:
(15.58)
Für die Ableitungen nach
ist vorauszusetzen, daß sie mit dem LAPLACE-Integral vertauschbar sind:
(15.59)
Damit erhält man im Unterbereich eine gewöhnliche Differentialgleichung. Außerdem sind die Rand- und
Anfangsbedingungen in den Bildbereich zu transformieren.
Physikalisch-mathematische Problemstellung
●
●
●
Begriff des Solitons
Wechselwirkung zwischen Solitonen
Nichtlineare Evolutionsgleichungen
Laplace-Operator
●
●
●
Definition
Darstellung des Laplace-Operators in verschiedenen Koordinaten
Spezielle Verknüpfungen von Nabla- und LAPLACE-Operator
Zusammenfassung
Ein Vektorfeld ist durch die Angabe seiner Quellen und Wirbel im gesamten Raum vollständig und eindeutig
bestimmt, falls alle diese Quellen und Wirbel im Endlichen liegen.
Problemstellungen und Randbedingungen
●
●
●
Problemstellungen
Anfangs- und Randbedingungen
Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen Mathematik
●
●
Berechnung mehrfacher Integrale
Lösung partieller Differentialgleichungen
Nablaoperator, Laplace-Operator
●
●
●
●
●
Nablaoperator
Rechenregeln für den Nablaoperator
Vektorgradient
Zweifache Anwendung des Nablaoperators
Laplace-Operator
Spezielle Verknüpfungen von Nabla- und LAPLACE-Operator
(13.77)
(13.78)
(13.79)
wobei
(13.80)
Eine Funktion von einer Veränderlichen
Eine Funktion von einer Veränderlichen
sei gegeben durch die Gleichung
(6.51a)
Durch Differentiation dieser Gleichung nach
ergibt sich mit Hilfe von (6.49b)
(6.51b)
und
(6.51c)
Differentiation von (6.51b) liefert auf die gleiche Weise
(6.51d)
so daß man unter Berücksichtigung von (6.51b) erhält
(6.51e)
Durch analoges Vorgehen berechnet man
(6.51f)
was nach
aufgelöst werden kann.
Eine Funktion von mehreren Veränderlichen
Eine Funktion von mehreren Veränderlichen
sei gegeben durch die
Gleichung
(6.52a)
Die partiellen Ableitungen
(6.52b)
werden in Analogie zum eben demonstrierten Fall ermittelt, aber mit Hilfe der Formeln (6.50b). Auf dieselbe Weise
werden die partiellen Ableitungen höherer Ordnung berechnet.
Zwei Funktionen von einer Veränderlichen
Zwei Funktionen von einer Veränderlichen
und
seien gegeben durch das
Gleichungssystem
(6.53a)
Differentiation von (6.53a) gemäß (6.49b) liefert
(6.53b)
(6.53c)
Die zweiten Ableitungen
Berücksichtigung von
und
und
werden in derselben Weise durch Differentiation von (6.53b) unter
berechnet.
n Funktionen von einer Veränderlichen
Funktionen von einer Veränderlichen
System von
seien gegeben durch ein
Gleichungen
(6.54a)
Differentiation von (6.54a) mit Hilfe von (6.49b) liefert
(6.54b)
Auflösen von (6.54b) liefert die gesuchten Ableitungen
Auf die gleiche Weise werden die Ableitungen höherer Ordnung bestimmt.
.
Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen
Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen
seien gegeben durch das
Gleichungssystem
(6.55a)
Differentiation von (6.55a) nach
und
mit Hilfe von (6.49b) liefert
(6.55b)
(6.55c)
Auflösen des Systems (6.55b) nach
und des Systems (6.55c) nach
Ableitungen erster Ordnung.
Die Ableitungen höherer Ordnung werden auf gleiche Weise berechnet.
ergibt die partiellen
Parameterintegrale
●
●
●
Definition
Differentiation unter dem Integralzeichen
Integration unter dem Integralzeichen
Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
In der folgenden Tabelle sind die -ten Ableitungen für die einfachsten Funktionen zusammengestellt.
Tabelle Ableitungen höherer Ordnung einiger elementarer Funktionen
-te Ableitung
Funktion
(für ganzzahliges
und
ist die
-te Ableitung gleich 0)
für gerades
,
für ungerades
für gerades
,
für ungerades
Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen
Tabelle Ableitungen elementarer Funktionen in Intervallen, in denen diese definiert
und die auftretenden Nenner
Funktion
(Konstante)
Ableitung
0
1
0 sind
Funktion
Ableitung
)
Weitere Ableitungen elementarer Funktionen können aus der Umkehrung der Integrationsergebnisse in der Tabelle
Unbestimmte Integrale elementarer Funktionen gewonnen werden.
Hinweis: Bei der Lösung praktischer Aufgaben ist es zweckmäßig, vor dem Differenzieren einer Funktion diese, sofern das
möglich ist, in eine Summe umzuformen, indem Klammerausdrücke aufgelöst und ganzrationale Teile abgespaltet werden oder
der Ausdruck logarithmiert wird.
Beispiel A
Beispiel B
Eigenschaften der Z-Transformation
●
●
●
●
●
Diskrete Funktionen
Definition der Z-Transformation
Rechenregeln
Zusammenhang mit der Laplace-Transformation
Umkehrung der Z-Transformation
Arithmetische Reihen
●
Definition
Arithmetische Reihe 1. Ordnung
●
Arithmetische Reihe
●
-ter Ordnung
Analytische Funktionen
●
●
●
●
Definition der analytischen Funktion
Beispiele analytischer Funktionen
Eigenschaften analytischer Funktionen
Singuläre Punkte
Stetigkeit, Differenzierbarkeit
●
●
●
●
Definition der komplexen Funktion
Grenzwert der komplexen Funktion
Stetigkeit der komplexen Funktion
Differenzierbarkeit der komplexen Funktion
Dimensionen
●
●
●
●
Metrische Dimensionen
Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé
Beispiele von Attraktoren
Beispiele von Attraktoren
●
●
●
Hufeisen-Abbildung
Dissipative Bäcker-Abbildung
Solenoid oder Solenoid-Attraktor
Bäume und Gerüste
●
●
Bäume
Gerüste
Rechenschema
Das Rechenschema für den Schritt von
nach
zur genäherten Lösung der Anfangswertaufgabe
(19.93) lautet:
(19.99)
Die weiteren Schritte erfolgen nach demselben Schema. Der Fehler des RUNGE-KUTTA-Verfahrens gemäß (19.99) ist
von der Größenordnung
Beispiel
, so daß bei geeigneter Wahl der Schrittweite eine sehr hohe Genauigkeit erzielt wird.
mit
.
ist in einem Schritt, d.h.
folgende Tabelle). Der auf 8 Dezimalen genaue Wert lautet 0,01041860.
, zu bestimmen (s. die
Kantenfolgen
●
●
●
●
Kantenfolgen
Zusammenhängende Graphen, Komponenten
Abstand zweier Knoten
Problem des kürzesten Weges
Fourier-Reihen
●
●
●
●
●
Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe
Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen
Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
Fourier-Reihe und Fourier-Integral
Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen
Tensoren mit speziellen Eigenschaften
●
●
Tensoren 2. Stufe
Invariante Tensoren
Mehrfache multiplikative Verknüpfungen
●
●
●
●
●
Doppeltes Vektorprodukt
Gemischtes Produkt
Formeln für mehrfache Produkte
Formeln für Produkte in kartesischen Koordinaten
Formeln für Produkte in affinen Koordinaten
Skalarprodukt und Vektorprodukt
●
●
●
Skalare Multiplikation
Vektorielle Multiplikation
Eigenschaften der Produkte von Vektoren
Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
●
●
●
●
Vergleichskriterium
Quotientenkriterium von d'Alembert
Wurzelkriterium von Cauchy
Integralkriterium von Cauchy
Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten
Formal betrachtet wird mit komplexen Zahlen
Binomen, nur daß
in der gleichen Weise gerechnet wie mit gewöhnlichen
zu berücksichtigen ist. Bei Divisionen komplexer Zahlen durch eine andere komplexe
Zahl wird zuerst der Imaginärteil des Nenners beseitigt, indem Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl
des Nenners multipliziert werden. Das ist möglich, weil
(1.141)
eine reelle Zahl liefert.
Beispiel
.
Rechnen mit komplexen Zahlen
●
Addition und Subtraktion
Multiplikation
Division
Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten
Potenzieren einer komplexen Zahl
●
Radizieren oder Ziehen der
●
●
●
●
-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl
Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
●
●
Normalisierte Dezimalzahlen
Grundoperationen des numerischen Rechnens
Elementare Rechenregeln
●
●
●
●
●
●
●
●
Zahlen
Beweismethoden
Summen und Produkte
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Algebraische Ausdrücke
Ganzrationale Ausdrücke
Gebrochenrationale Ausdrücke
Irrationale Ausdrücke
Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind
In diesem Abschnitt werden die folgenden Bezeichnungen benutzt:
Manteloberfläche,
●
●
●
●
●
- Höhe,
Zylinderförmige Körper
Kegelförmige Körper
Kugel und Teile von Kugeln
Torus oder Kreisring
Tonnenkörper
- Grundfläche.
- Volumen,
- Gesamtoberfläche,
-
Berechnung des Doppelintegrals
Die Berechnung des Doppelintegrals wird auf die nacheinanderfolgende Berechnung zweier Integrale zurückgeführt,
die je nach dem verwendeten Koordinatensystem verschieden aussieht.
●
●
●
Berechnung in kartesischen Koordinaten
Berechnung in Polarkoordinaten
Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
Begriff des Doppelintegrals
●
●
●
Definition
Existenzsatz
Geometrische Bedeutung
Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten
Es werden nur Punkte betrachtet, die invariant sind gegenüber Koordinatentransformationen. Die Bestimmung von
Maxima und Minima wird unter Bestimmung von Extremwerten im Kapitel Differentialrechnung betrachtet.
●
●
●
●
Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung
Scheitel
Singulärer Punkt
Asymptoten
Algebra und Diskrete Mathematik, Gruppentheorie
5.9
ALEXANDROFF, P.S.: Einführung in die Gruppentheorie. -- Verlag H. Deutsch 1992.
5.10
BELGER, M., EHRENBERG, L.: Theorie und Anwendungen der Symmetriegruppen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig, (MINÖL Bd. 23), 1981; Verlag H. Deutsch (MINÖA Bd. 23), 1981.
5.11
FÄSSLER, A.; STIEFEL, E.: Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendungen. -- Birkhäuser-Verlag 1992.
5.12
HEIN, W.: Struktur und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen. -- Springer-Verlag 1990.
5.13
LIDL, R., PILZ, G.: Angewandte abstrakte Algebra I. -- BI-Wissenschaftverlag 1982.
5.14
MARGENAU, M., MURPHY, G.M.: Die Mathematik für Physik und Chemie. -- B. G. Teubner, Leipzig 1964; Verlag
H. Deutsch 1965.
5.15
MATHIAK, K., STINGL, P.: Gruppentheorie für Chemiker, Physiko-Chemiker, Mineralogen. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1970.
5.16
STIEFEL, E., FÄSSLER, A.: Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung. -- B. G. Teubner 1979.
5.17
ZACHMANN, H.G.: Mathematik für Chemiker. -- VCH, Weinheim 1990.
Punktspiegelung am Koordinatenursprung
●
●
Tensorverhalten bei Rauminversion
Geometrische Deutung
Grundlegende Begriffe und Formeln, ebene Koordinatensysteme
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Ebene Koordinaten und ebene Koordinatensysteme
Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten
Polarkoordinaten
Krummlinige Koordinaten
Koordinatentransformationen
Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt
Abstand zwischen zwei Punkten
Koordinaten des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes)
Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis:
Goldener Schnitt:
Flächeninhalte
Gleichung einer Kurve
Symmetrie
●
●
●
●
Zentrale Symmetrie
Axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie
Kongruente Dreiecke, Kongruenzsätze
Ähnliche Dreiecke, Ähnlichkeitssätze
Geodätische Anwendungen
●
●
●
●
Geodätische Koordinaten
Winkel in der Geodäsie
Koordinatentransformationen
Vermessungstechnische Anwendungen
2. Grundaufgabe WWW
Gegeben: 3 Winkel
Bedingungen:
1. Lösung: Gesucht
(3.191a)
(3.191b)
2. Lösung: Gesucht
(3.192a)
(3.192b)
(3.192c)
(3.192d)
Proben:
(3.193a)
(3.193b)
Grundformeln und Sätze
●
●
●
●
Zyklische Vertauschungen
Sätze
Weitere Beziehungen
Strecken im Dreieck und Fläche
Ebene Trigonometrie
●
●
●
Rechtwinklige ebene Dreiecke
Berechnungen in schiefwinkligen ebenen Dreiecken
Geodätische Anwendungen
Polardreieck
●
●
Pole und Polare
Polardreieck
Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel
●
●
●
●
●
●
●
Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel
Spezielle Koordinatensysteme
Sphärisches Zweieck
Sphärisches Dreieck
Polardreieck
Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke
Dreikant
Sphärische Trigonometrie
Bei geodätischen Messungen, die sich über größere Entfernungen erstrecken, muß die Kugelgestalt der Erde
berücksichtigt werden. Dazu ist eine Geometrie auf der Kugel erforderlich. Insbesondere werden Formeln zur
Berechnung sphärischer Dreiecke benötigt, also für Dreiecke, die auf einer Kugel liegen. Das wurde schon im alten
Griechenland erkannt, und so kam es neben der Entwicklung der ebenen Trigonometrie zur Entwicklung der
sphärischen Trigonometrie, als deren Begründer HIPPARCH (um 150 v. u. Zeit) anzusehen ist.
●
●
●
Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel
Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke
Berechnung sphärischer Dreiecke
Orthodrome
●
●
●
●
●
●
●
●
Begriffsbestimmung
Gleichung der Orthodrome
Winkel-Rückversetzung
Nordpolnächster Punkt und Äquatorschnittpunkte
Bogenlänge
Kurswinkel
Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Schnittpunkt mit einem Meridian
Kleinkreis
●
●
●
●
●
●
●
Begriffsbestimmung
Kleinkreisgleichungen
Bogenlänge
Kurswinkel
Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Tangierpunkte
Schnittpunkte mit einem Meridian
Loxodrome
●
●
●
●
●
●
Begriffsbestimmung
Gleichung der Loxodrome
Bogenlänge
Kurswinkel
Schnittpunkt mit einem Breitenkreis
Schnittpunkte mit einem Meridian
Spezielle Formeln
Im rechtwinklig sphärischen Dreieck ist einer der drei Winkel gleich
ebenen rechtwinkligen Dreieck bezeichnet.
Wenn wie in der Abbildung
und
ein rechter Winkel ist, dann heißt die Seite
Die Seiten und Winkel werden analog zum
Hypotenuse,
und
heißen Katheten;
sind die Kathetenwinkel. Aus den Gleichungen (3.172a) bis (3.186) folgt für
(3.187a)
(3.187b)
(3.187c)
(3.187d)
(3.187e)
(3.187f)
(3.187g)
(3.187h)
(3.187i)
(3.187j)
Treten bei bestimmten Aufgaben andere Seiten und Winkel auf, z.B. anstelle von
die Größen
dann können die erforderlichen Gleichungen durch zyklische Vertauschung gewonnen werden.
,
1. Grundaufgabe SSS
Gegeben: 3 Seiten
Bedingungen:
1. Lösung: Gesucht
(3.188a)
oder
(3.188b)
(3.188c)
2. Lösung: Gesucht
(3.189a)
(3.189b)
(3.189c)
(3.189d)
Proben:
(3.190a)
(3.190b)
4. Grundaufgabe WSW
Gegeben: 1 Seite und die zwei anliegenden Winkel, z.B.
Bedingungen: Keine.
1. Lösung: Gesucht
bzw.
und
(3.199a)
(3.199b)
kann im I. oder II. Quadranten liegen. Zwei Entscheidungsmöglichkeiten:
❍ Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber oder
❍ Durchführung einer Kontrollrechnung:
(3.200)
2. Lösung: Gesucht
bzw.
und
(3.201a)
(3.201b)
(3.201c)
3. Lösung: Gesucht
und (oder)
(3.202a)
(3.202b)
(3.202c)
(3.202d)
4. Lösung: Gesucht
(3.203a)
(3.203b)
(3.203c)
(3.203d)
(3.203e)
(3.203f)
Probe: Doppelte Berechnung von
Hinweis: Die Lösung der 4. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden.
Dazu wird von
das sphärische Lot auf
bis
gefällt.
5. Grundaufgabe WWW
Gegeben: 2 Seiten und der einer Seite gegenüberliegende Winkel, z.B.
Bedingungen: Siehe Fallunterscheidung.
Lösung: Gesucht: beliebige fehlende Größe
(3.204)
Zwei Werte
sind möglich. Es sei
spitz und
stumpf.
Fallunterscheidung:
1.
d.h. 0 Lösungen.
2.
d.h. 1 Lösung
.
3.
d.h. weitere Fallunterscheidungen sind notwendig:
3.1.
Weitere Fallunterscheidung:
3.1.1.
1 Lösung:
3.1.2.
.
1 Lösung:
3.2.
.
Weitere Fallunterscheidung:
3.2.1.
,
d.h. 2 Lösungen
3.2.2.
.
,
d.h. 0 Lösungen.
Fortführung: Weitere Berechnung mit einem Winkel oder 2 Winkeln
Hinweis Die Lösung der 5. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden, wobei die Seiten
und
auftreten.
Dazu wird von
das sphärische Lot auf
bis
gefällt.
Formeln zur 5. Grundaufgabe bei Zerlegung in zwei rechtwinklige sphärische Dreiecke:
1. Weg:
(3.205a)
(3.205b)
(3.205c)
(3.205d)
2. Weg:
(3.206a)
(3.206b)
Probe: Doppelte Berechnung von
Berechnung der Ansatzkoeffizienten
Man bestimmt die Ansatzkoeffizienten
(19.145a) für alle Ansatzfunktionen
durch die Forderung, daß der Ansatz (19.147) die Variationsaufgabe
erfüllt, d.h., in (19.145a) wird
für
und
für
gesetzt. Auf diese Weise ergibt sich das lineare Gleichungssystem
(19.151)
zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten. In (19.151) bedeuten:
(19.152)
Bei der Berechnung von
die Gebiete
und
Schraffur gekennzeichnet.
ist zu beachten, daß Beiträge zur Integration nur die Fälle liefern, in denen
keinen leeren Durchschnitt haben. Diese Gebiete sind in der folgenden Tabelle durch
Hilfstabelle zur FEM
Flächenstückauswahl
Graphische
Darstellung
Dreiecke
von
0
Die Integration erfolgt jeweils über ein Dreieck mit dem Flächeninhalt
Ableitungen nach
, so daß die Anteile der partiellen
ergeben:
(19.153a)
Analog erhält man für die Anteile der partiellen Ableitungen nach
:
(19.153b)
Die Berechnung der rechten Seite
von (19.151)ergibt:
(19.154a)
wobei mit
(s. Abbildung).
das Volumen der von
über
beschriebenen Pyramide der Höhe 1 bezeichnet wird
Wegen
(19.154b)
Damit ergeben die Variationsgleichungen (19.151) das lineare Gleichungssystem
(19.155)
für die Bestimmung der Ansatzkoeffizienten.
Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz reeller Zahlen
Für alle reellen Zahlen
gilt
(1.111)
Der Absolutbetrag der Differenz zweier reeller Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe bzw. größer oder gleich der
Differenz der Absolutbeträge dieser Zahlen.
Definition des Vektors, Rechenregeln
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Skalare und Vektoren
Polare und axiale Vektoren
Modul (Absolutbetrag des Vektors) und Raumrichtung
Gleichheit von Vektoren
Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren
Spezielle Vektoren
Linearkombinationen von Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Zerlegung von Vektoren
Begriff des Dreifachintegrals
●
●
Definition
Existenzsatz
Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke
●
●
●
Allgemeine Aussagen
Grundformeln und Anwendungen
Weitere Formeln
Anwendungen in Mechanik und Physik
●
●
●
●
●
Weg eines Punktes
Arbeit
Druck
Trägheitsmomente
Schwerpunkte, GULDINsche Regeln
Dualitätsaussagen
a)
Besitzen beide Probleme zulässige Punkte, d.h.,
, dann gilt
(18.21a)
und für beide Probleme existieren Optimalpunkte.
b)
Die Punkte
und
sind genau dann Optimalpunkte des jeweiligen Problems, wenn gilt:
(18.21b)
c)
Ist
über
nach oben bzw.
über
nach unten unbeschränkt, so ist
bzw.
.
d)
Die Punkte
und
sind genau dann Optimalpunkte der jeweiligen Aufgaben, wenn gilt:
(18.21c)
An Hand der letzten beiden Beziehungen kann man aus einer nicht entarteten Optimallösung
Problems eine Lösung
des dualen
des primalen Problems aus dem folgenden linearen Gleichungssystem ermitteln:
(18.22a)
(18.22b)
(18.22c)
Zur Lösung des dualen Problems kann das Simplexverfahren verwendet werden.
Einsatzgebiete der dualen Aufgabe
Die Bearbeitung des dualen Problems kann in den folgenden Fällen von Vorteil sein:
a)
Wenn für das duale Problem eine Normalform leichter zu finden ist, geht man von der primalen zur dualen
Aufgabe über.
b)
Wenn im primalen Problem die Anzahl der Restriktionen groß gegenüber der Anzahl der Variablen ist, so kann
bei der Lösung des dualen Problems mit dem revidierten Simplexverfahren der Rechenaufwand verringert
werden.
Beispiel
Für das Beispiel aus Abschnitt Ecke und Basis gilt ohne Schlupfvariablen.
Primales Problem:
Duales Problem:
NB :
Wird das duale Problem nach Einführung von Schlupfvariablen und Aufstellung eines ersten
Simplextableaus mit dem Simplexverfahren gelöst, dann ergibt sich unter Vernachlässigung der
mit
Schlupfvariablen in der Lösung:
Daraus kann eine Lösung
des primalen Problems über das System
ermittelt werden, d.h.,
folgt
.
für
, so daß schließlich
mit
.
Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben
●
●
Konvexe Optimierung
Quadratische Optimierung
Problemstellung und theoretische Grundlagen
●
●
●
Problemstellung
Optimalitätsbedingungen
Dualität in der Optimierung
Haupteigenschaft der Parabel
(Definition der Parabel) Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte
die von einem festen Punkt,
dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der Leitlinie, gleich große Entfernung besitzen.
Hier und in den folgenden Formeln in kartesischen Koordinaten wird die Normalform der Parabelgleichung
angenommen. Dann ist
(3.343)
wobei
der vom Brennpunkt ausgehende Radiusvektor des Parabelpunktes ist.
Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen
●
Durchschnitt und Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen
●
Tabelle der
- und
-Normen
Tabelle der - und
-Normen
Tabelle der
Autor
-Norm
- und
-Normen,
-Norm
ZADEH
Durchschnitt:
Vereinigung:
LUKASIEWICZ
beschränkte Differenz
beschränkte Summe
algebraisches Produkt
algebraische Summe
drastisches Produkt
drastische Summe
HAMACHER
Produkt
Summe
EINSTEIN
Produkt
Summe
FRANK
YAGER
SCHWEIZER
DOMBI
WEBER
DUBOIS
Hinweis zur Tabelle: Es existiert eine Ordnungsrelation für die in der Tabelle aufgelisteten
Rückgabewerte:
- und
-Normen bezüglich ihrer
(5.269)
Umwandlung kontinuierlicher und diskreter fuzzy-wertiger Mengen:
Wird eine kontinuierliche fuzzy-wertige Menge, dargestellt durch ihre Zugehörigkeitsfunktion, diskretisiert, so entsteht
eine Menge von Singletons. Umgekehrt kann durch Interpolation von Zwischenwerten eine diskrete Menge in eine
kontinuierliche Menge umgewandelt werden.
Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors
●
●
●
Definitionen
Darstellung der Koordinaten mit Hilfe von Skalarprodukten
Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten
Kanten, Ecken, Raumwinkel
●
●
●
●
Kante
Ecke
Dreiseitige Ecken
Raumwinkel
Tensoren 2. Stufe
●
●
Rechenregeln
Hauptachsentransformation
Gleichung der Einhüllenden
Die Gleichung der Einhüllenden wird aus (3.461) berechnet, indem
wird:
aus dem folgenden Gleichungssystem eliminiert
(3.462)
Beispiel
Es ist die Gleichung der Geradenschar zu bestimmen, die dadurch entsteht, daß die Enden einer Strecke
entlang der Koordinatenachsen gleiten.
Die Gleichung der Kurvenschar lautet:
oder
Durch Eliminierung von
ergibt sich mit
als Einhüllende eine Astroide.
Kegel und Halbordnung
●
●
Kegel
Halbordnung
Kanonische Normalformen
Unter den kanonischen Normalformen eines BOOLEschen Ausdrucks
versteht man die kanonischen
Normalformen der zugehörigen BOOLEschen Funktion
Oft bereitet die Überprüfung der Wertverlaufsgleichheit zweier BOOLEscher Ausdrücke durch Umformung Probleme.
Hilfreich sind dann die kanonischen Normalformen: Zwei BOOLEsche Ausdrücke sind genau dann wertverlaufsgleich,
wenn die zugehörigen eindeutig bestimmten kanonischen Normalformen Zeichen für Zeichen übereinstimmen.
Beispiel
Die Ausdrücke
und
sind untereinander wertverlaufsgleich, weil beide die kanonisch disjunktive (bzw. konjunktive) Normalform
haben.
Lösungsverhalten
Aus der im Ergebnis der GAUSS-Schritte erhaltenen Matrix (4.116) liest man für das zu lösende inhomogene lineare
Gleichungssystem ab:
1. Fall: Das System ist unlösbar, wenn eine der Zahlen
von Null verschieden
ist.
2. Fall: Das System ist lösbar, wenn gilt
Weiterhin ist zu unterscheiden:
a)
b)
Die Lösung ist eindeutig.
Die Lösung ist nicht eindeutig;
Unbekannte sind als Parameter frei wählbar.
Im Falle der Lösbarkeit werden die Unbekannten sukzessiv, mit der letzten Gleichung beginnend, aus dem
gestaffelten Gleichungssystem, das zu (4.116) gehört, bestimmt.
Beispiel A
Nach drei GAUSS-Schritten
hat die erweiterte Koeffizientenmatrix die Form
Die Lösung ist eindeutig, und aus dem zugehörigen gestaffelten linearen Gleichungssystem folgt
.
Beispiel B
Nach zwei GAUSS-Schritten hat
die erweiterte Koeffizientenmatrix
die Form
Eine Lösung existiert, aber sie ist nicht eindeutig. Man kann eine Unbekannte als freien Parameter wählen,
z.B.
und erhält:
Integration trigonometrischer Funktionen
Hinweis: Die Tabelle Unbestimmte Integrale enthält eine große Anzahl von Integralen mit trigonometrischen
Funktionen.
●
●
Substitution
Vereinfachte Methoden
Lyapunov-Exponenten
●
●
●
●
Singulärwerte einer Matrix
Definition der Lyapunov-Exponenten
Berechnung der Lyapunov-Exponenten
Metrische Entropie und LYAPUNOV-Exponenten
Entropien
●
●
Topologische Entropie
Metrische Entropie
Symmetrie 4. Art
Wenn die Funktion
ungerade ist und außerdem der Symmetrie 3. Art genügt (s. linke Abbildung), dann gilt für
die Koeffizienten
(7.104)
Wenn die Funktion
gerade ist und außerdem der Symmetrie 3. Art genügt (s. rechte Abbildung), dann gilt für
die Koeffizienten
(7.105)
Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
Wenn die periodische Funktion
von Punkten
mit
kompliziert ist oder im Intervall
nur für ein diskretes System
bekannt ist, muß die Berechnung der FOURIER-
Koeffizienten näherungsweise erfolgen. Dabei kann z.B. bei der Auswertung von Meßergebnissen die Zahl
groß sein. In diesen Fällen wendet man die
Methoden der numerischen harmonischen Analyse an.
sehr
Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen
●
●
Symmetrien verschiedener Art
Formen der Entwicklung in eine FOURIER-Reihe
Symmetrien verschiedener Art
●
●
●
●
Symmetrie 1. Art
Symmetrie 2. Art
Symmetrie 3. Art
Symmetrie 4. Art
Symmetrie 2. Art
Wenn
eine ungerade Funktion ist, d.h. wenn
(s. Abbildung), dann gilt für die
Koeffizienten
(7.102)
Evoluten und Evolventen
●
Evolute
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses
eigetreten ist, die sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit
unter der Bedingung, daß das Ereignis
oder
bereits
wird definiert durch
(16.37)
Es gilt:
1.
Falls
und
, so ist
(16.38a)
2.
Falls
, so ist
(16.38b)
Zylinderförmige Körper
●
●
●
●
●
●
Zylinderfläche
Zylinder
Gerade Kreiszylinder
Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
Zylinderabschnitt, auch Zylinderhuf
Hohlzylinder
Äquivalenzklassen, Zerlegungen
●
●
Äquivalenzklassen
Zerlegungssatz
Grundbegriffe
●
●
●
FOURIER-Darstellung periodischer Funktionen ( FOURIER-Analyse)
FOURIER-Reihe
Komplexe Darstellung der FOURIER-Reihe
Konstruktion einer geschlossenen EULERschen Linie
Ist
ein EULERscher Graph, dann wähle man einen beliebigen Knoten
, einen Kantenzug
, den man nicht mehr fortsetzen kann. Enthält
bilde man ausgehend von einem Knoten
, der von
enthaltenen Kante indiziert, einen Kantenzug
und
Kantenzug zu
EULERsche Linie.
aus ganz
und konstruiere, ausgehend von
noch nicht alle Kanten von
durchlaufen wird und in
so
mit einer nicht in
den man nicht mehr fortsetzen kann. Die beiden Kantenzüge
setze man zu einem geschlossenen Kantenzug von
durchläuft, von
in
zusammen, indem man von
aus
durchläuft, und danach über die noch nicht benutzten Kanten von
bis
den
fortsetzt. Eine Fortsetzung des Verfahrens liefert nach endlich vielen Schritten eine geschlossene
Sätze von Fermat, Euler und Wilson
●
●
●
EULERsche Funktion
Satz von FERMAT-EULER
Satz von Wilson
Geometrische Veranschaulichung
●
●
●
●
●
Vektordarstellung
Gleichheit komplexer Zahlen
Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
Exponentialform einer komplexen Zahl
Konjugiert komplexe Zahlen
Unterabschnitte
●
Zusammenhang zwischen EULERschen und BERNOULLIschen Zahlen
Zweite Definition der EULERschen Zahlen
Zur Definition der EULERschen Zahlen kann man in Analogie zu (7.60c) von der Rekursionsformel
(7.61b)
ausgehen, wobei auch hier nach Anwendung des binomischen Satzes überall
durch
zu ersetzen ist. Für
die ersten Zahlen gilt:
(7.61c)
Es besteht der Zusammenhang
(7.61d)
Tabelle Erste EULERsche Zahlen
1
1
5
50521
2
5
6
2702765
3
61
7
199360981
4
1385
Zusammenhang zwischen EULERschen und BERNOULLIschen Zahlen
Zwischen den EULERschen und den BERNOULLIschen Zahlen besteht der Zusammenhang
(7.62)
Verschiedene andere Kurven
●
●
Kettenlinie oder Katenoide
Schleppkurve oder Traktrix
Exponentialfunktionen und logarithmische
Funktionen
●
●
●
●
●
●
Exponentialfunktion
Logarithmische Funktionen
GAUSSsche Glockenkurve
Exponentialsumme
Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
Definition
Eine Gleichung
algebraisch ist.
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Beispiel D
ist transzendent, wenn wenigstens eine der Funktionen
oder
nicht
Beispiel E
Beispiel F
In manchen Fällen kann die Lösung transzendenter Gleichungen z.B. durch geeignete Substitutionen auf die Lösung
algebraischer Gleichungen zurückgeführt werden. Im allgemeinen können transzendente Gleichungen jedoch nur
näherungsweise gelöst werden. Im folgenden werden einige Fälle betrachtet, die sich auf algebraische Gleichungen
zurückführen lassen.
Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische
●
●
●
●
●
Definition
Exponentialgleichungen
Logarithmische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen
Gleichungen mit Hyperbelfunktionen
Gaußsche Quadraturformeln
Setzt man in (19.81) als Integrationsintervall
, und wählt man als Stützstellen die Nullstellen der
LEGENDREschen Polynome (s. auch Tabelle LEGENDREsche Polynome) , dann können die Koeffizienten
bestimmt werden, daß die Formel (19.81) Polynome bis zum Grad
LEGENDREschen Polynome liegen symmetrisch zum Nullpunkt. Für die Fälle
so
exakt integriert. Die Nullstellen der
und 3 erhält man:
(19.82)
Hinweis: Durch die Transformation
Intervall
dann:
läßt sich das allgemeine Integrationsintervall auf das
transformieren. Mit den obigen für das Intervall
gültigen Werten für
und
gilt
(19.83)
Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes
Ein relatives Maximum oder Minimum kann bei einer stetigen Funktion nur in den Punkten auftreten, in denen die
Ableitung entweder verschwindet oder nicht definiert ist. Das bedeutet: In den Kurvenpunkten, die relativen
Extremwerten entsprechen, verläuft die Tangente entweder parallel zur
-Achse (linke Abbildung) oder parallel zur
-Achse (mittlere Abbildung) oder sie existiert gar nicht (rechte Abbildung).
Allerdings handelt es sich hierbei nicht um hinreichende Bedingungen, was an Hand der Punkte
in der
folgenden Abbildung erkennbar ist, für die diese Bedingungen erfüllt sind, in denen es aber keine Extrema gibt.
Wenn eine stetige Funktion relative Extremwerte besitzt, dann wechseln Maxima und Minima einander ab, so daß
zwischen zwei benachbarten Maxima stets ein Minimum liegt und umgekehrt.
Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen
●
●
●
●
●
Definition
Geometrische Bedeutung
Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Veränderlichen
Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen
Geometrische Bedeutung
Geometrisch betrachtet entspricht der relative Extremwert einer Funktion zweier Veränderlicher, die in einem
kartesischen Koordinatensystem als Fläche dargestellt ist, einem Punkt
, in dem die Applikate der Fläche größer
oder kleiner ist als die Applikate aller beliebigen anderen Punkte in hinreichend kleiner Entfernung vom Punkt
d.h. in einem Gebiet kleiner Ausdehnung, das den Punkt
enthält.
,
Wenn die Fläche im Punkt
der ein relatives Extremum darstellt, eine Tangentialebene besitzt, dann verläuft diese
parallel zur
-Ebene (linke und mittlere Abbildung). Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür,
daß im Punkt
ein Maximum oder Minimum vorhanden ist. In der rechten Abbildung zeichnet sich die Fläche im
durch eine horizontale Tangentialebene aus, doch besitzt die Funktion dort kein Extremum, sondern einen
Punkt
Sattelpunkt.
Seiten
Summe der Seiten: Die Summe der Seiten liegt zwischen
und
:
(3.166)
Summe zweier Seiten: Die Summe zweier Seiten ist größer als die dritte, z.B.
(3.167)
Differenz zweier Seiten: Die Differenz zweier Seiten ist kleiner als die dritte Seite, z.B.
(3.168)
Allgemeine Aussagen
Für ein EULERsches Dreieck mit den Seiten
und
denen die Winkel
Beziehungen, die in den folgenden Abschnitten zusammengestellt sind.
●
●
●
Seiten
Winkel
Flächeninhalt
und
gegenüberliegen, gelten
Bestimmung der Kurve durch fünf Punkte
Durch fünf vorgegebene Punkte kann eine und nur eine Kurve 2. Ordnung gehen. Wenn drei dieser Punkte auf einer
Geraden liegen, dann ergibt sich ein zerfallender Kegelschnitt .
Ungleichheit der Produktmatrizen
Falls die beiden Produkte
und
gebildet werden können, ist im allgemeinen
Kommutativgesetz der Multiplikation gilt im allgemeinen nicht. Gilt aber
miteinander vertauschbar.
d.h., das
, dann heißen
und
Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen
●
●
●
●
●
Wahrer Wert und seine Näherungen
Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
Fehler des arithmetischen Mittelwertes einer Meßreihe
Absoluter und relativer Fehler
Absoluter und relativer Maximalfehler
Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen
Eine realistische Einschätzung eines Meßergebnisses ist nur möglich, wenn der zu erwartende Fehler mit angegeben
wird; Fehlerangaben sind unverzichtbarer Bestandteil eines Meßergebnisses. Aus den Angaben muß zu erkennen
sein, welche Fehlerart mit welchen Vertrauensgrenzen und bei welcher Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben wird.
●
●
Angabe der definierten Fehler
Vorgabe beliebiger Vertrauensgrenzen
Dichte und Verteilungsfunktion
In den meisten Fällen der Praxis kann davon ausgegangen werden, daß die Meßfehler normalverteilt sind, und zwar
mit dem Mittelwert
und einer Streuung
, d.h., für die Dichtefunktion
und die Verteilungsfunktion
von Meßfehlern soll gelten:
(16.175a)
und
(16.175b)
Dabei ist
die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung (s. auch Tabelle Normierte
Normalverteilung). Im Falle von (16.175a,b) spricht man auch von der Fehlernormalverteilung .
In der folgenden Abbildung ist die Dichte der Fehlernormalverteilung (16.175a) mit Wende- und Schwerpunkt
dargestellt.
Die nächste Abbildung zeigt das Verhalten der Dichte der Fehlernormalverteilung bei drei verschiedenen Werten der
Streuung.
Die Wendepunkte liegen bei den Abszissenwerten
Maximalwert der Kurve bei
beträgt
, die Schwerpunkte der Flächenhälften bei
. Mit wachsendem
. Der
verbreitert sich die Kurve, wobei
der Flächeninhalt unter ihr konstant gleich Eins bleibt. Die Verteilung besagt, daß, gemessen am absoluten Betrag,
kleine Fehler häufig vorkommen, große selten.
Trigonometrische Interpolation
Einige spezielle trigonometrische Polynome, die mit den Näherungskoeffizienten
und
gebildet werden,
haben wichtige Approximationseigenschaften. Zwei davon sind:
. Das spezielle trigonometrische Polynom
1. Interpolation: Es sei
(19.211)
mit den Koeffizienten (19.210) erfüllt an den Stützstellen
(19.209) die Interpolationsbedingung
(19.212)
Infolge der Periodizität von
ist
.
2. Approximation im Mittel: Es sei
. Das spezielle trigonometrische Polynom
(19.213)
mit
bezüglich der
und den Koeffizienten (19.210) approximiert die Funktion
Stützstellen
im diskreten quadratischen Mittel
(19.209), d.h., die Fehlerquadratsumme
(19.214)
Die Formeln (19.210) bilden den Ausgangspunkt für verschiedene Verfahren zur effektiven Berechnung der FOURIERKoeffizienten.
Unterschied zum Maximalfehler
Die Angabe des absoluten oder relativen Maximalfehlers (16.197, 16.198) bedeutet, daß kein Ausgleich zwischen
den Meßergebnissen durchgeführt wird. Bei der Ermittlung des absoluten oder relativen Fehlers mit Hilfe des
Fehlerfortpflanzungsgesetzes (16.209) oder (16.212) wird mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit innerhalb eines
festgelegten Vertrauensintervalls zwischen den Meßergebnissen
ausgeglichen.
Die Vorgehensweise erfolgt in der in Abschnitt Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen angegebenen Weise.
Fehlerangabe
Die Fehlerangaben können wie in Abschnitt Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen dargestellt, entweder mit Hilfe der
definierten Fehler oder mit Hilfe der
-Quantile des Freiheitsgrades
erfolgen.
Beispiel
Es ist das Endergebnis für
verschiedenen Standardabweichungen
Meßreihen mit den verschiedenen Mittelwerten
und den
anzugeben. Eine der Meßreihen stammt aus dem Beispiel mit 10 direkten
Messungen gleicher Genauigkeit.
Tabelle Fehlerangaben zu einer Meßreihe
Man berechnet
berechnet man
und wählt
sowie
und erhält
. Für die Standardabweichungen ergibt sich
und
.
. Mit
. Das Endergebnis lautet
Spezialfälle
1. Linearer Fall: Ein häufig auftretender Fall ist die Addition der Fehlerbeiträge linear eingehender
Fehlergrößen mit
:
(16.210)
Beispiel
Am Ausgang des Impulsverstärkers eines Detektorkanals zur Spektrometrierung von Strahlungen wird eine
Impulsbreite festgestellt, die auf drei Anteile zurückgeführt werden kann:
1.
Statistische Energieverteilung der Strahlung des zu spektrometrierenden Übergangs einer Energie
, charakterisiert durch
,
2.
statistische Umsetzungsprozesse im Detektor mit
,
3.
elektronisches Rauschen des Verstärkers der Detektorimpulse
Für die Gesamtimpulsbreite ergibt sich
.
(16.211)
2. Potenzgesetz: Oft treten die Variablen
in der Form
(16.212)
auf. Durch logarithmische Differentiation ergibt sich der relative Fehler zu
(16.213)
und hieraus ergibt sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz für den mittleren relativen Fehler
(16.214)
Beispiel
Die Funktion
Standardabweichungen sind
habe die Form
, die
. Der relative Fehler ergibt sich dann zu
Gebräuchlichste empirische Formeln
In diesem Abschnitt werden einige der einfachsten Formeln für die Anpassung an empirische funktionelle
Abhängigkeiten aufgeführt und die dazugehörigen Kurvenbilder dargestellt. Auf jeder der Abbildungen sind mehrere
Kurven für verschiedene Werte der in die Formeln eingehenden Parameter eingezeichnet worden. Der Einfluß der
Parameterwerte auf die Form der Kurven wird in den folgenden Abschnitten untersucht.
Bei der Auswahl einer geeigneten Funktion ist zu berücksichtigen, daß meist nur ein Teil der dazugehörigen Kurve
zur Reproduktion der empirischen Daten benötigt wird, und zwar meist beschränkt auf ein bestimmtes Intervall der
unabhängigen Variablen. Daher wäre es z.B. falsch anzunehmen, die Formel
geeignet, wenn die Kurve der empirischen Daten ein Maximum oder Minimum besitzt.
●
●
●
●
●
●
●
Potenzfunktionen
Exponentialfunktionen
Quadratisches Polynom
Gebrochenlineare Funktion
Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
Kurve 3. Ordnung, Typ II
ist nur dann gut
●
●
●
●
●
Kurve 3. Ordnung, Typ III
Kurve 3. Ordnung, Typ I
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
Exponentialsumme
Vollständig durchgerechnetes Beispiel
Parameterbestimmung
Die wichtigste Methode zur Bestimmung der Parameterwerte ist die Methode der kleinsten Quadrate. In vielen Fällen
können jedoch noch einfachere Methoden mit Erfolg eingesetzt werden, z.B. die Mittelwertmethode .
●
●
Mittelwertmethode
Fehlerquadratmethode
Matrizenschreibweise
In Matrizenschreibweise haben die Normalgleichungen (19.177) und die Fehlerquadratsumme (19.176) die folgende
übersichtliche Form:
(19.179a)
mit
(19.179b)
Würde man an Stelle der Forderung, die Fehlerquadratsumme zu minimieren, in den
Punkten
die
Interpolationsforderung stellen, dann ergäbe sich das Gleichungssystem
(19.180)
ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem im Fall
Multiplikation mit
, das in der Regel keine Lösung hat. Durch
erhält man aus (19.180) das Normalgleichungssystem (19.177) bzw. (19.179a). Aus
numerischer Sicht ist es jedoch günstiger, zur Lösung von Ausgleichsaufgaben auf (19.180) das HOUSEHOLDERVerfahren anzuwenden, das eine Lösung im Sinne der minimalen Fehlerquadratsumme (19.176) liefert.
Überbestimmte Gleichungssysteme
Das lineare Gleichungssystem
(4.117)
besitze eine rechteckige Koeffizientenmatrix
mit
Die Matrix
der rechten Seite seien bekannt. Gesucht sei der Vektor
und der Vektor
Wegen
spricht man von einem überbestimmten System . Sein
Lösungsverhalten und gegebenenfalls seine Lösung können z.B. mit dem Austauschverfahren bestimmt werden.
.
Skalares Feld oder skalare Punktfunktion
Wird jedem Punkt
eines Raumteiles ein Zahlenwert (Skalar)
zugeordnet, dann schreibt man
(13.6a)
und bezeichnet diese Gleichung als Skalarfeld . Beispiele für Skalarfelder sind Temperatur, Dichte, Potential usw.
eines Körpers. Man kann ein skalares Feld
auch durch
(13.6b)
beschreiben, wobei
der Ortsvektor des Punktes
(s. Spezielle Vektoren) bei fest gewähltem Pol 0 ist .
Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art
(13.113)
(13.114)
(13.115)
Die Existenzsätze für diese Integrale können in Analogie zu den für Oberflächenintegrale 2. Art angegebenen formuliert
werden.
Bei der Berechnung der Zweifachintegrale werden zunächst die Projektionen von
(s. Abbildung), wobei eine der Variablen
oder
auf die Koordinatenebenen gebildet
durch die beiden anderen mit Hilfe der Flächengleichung für
ausgedrückt werden muß.
Hinweis: Integrale über eine geschlossene Fläche werden durch die Darstellungsweise
(13.116)
gekennzeichnet.
Beispiel A
Es ist
zu berechnen, wobei über das Ebenenstück
zu integrieren ist, das
zwischen den drei Koordinatenebenen eingeschlossen ist. Die obere Seite soll die positive sein:
;
.
In Analogie dazu berechnet man die beiden anderen Integrale. Das Ergebnis lautet:
Beispiel B
.
über das gleiche
Es ist
Ebenenstück wie in Beispiel A zu integrieren:
.
Die beiden anderen Integrale werden in Analogie dazu berechnet. Das Ergebnis lautet:
.
Beispiel C
zu berechnen,
Es ist
wobei über das gleiche Ebenenstück wie in Beispiel A zu integrieren ist: Die Ausführung der Rechnung liefert
.
Oberflächenintegrale
●
●
●
●
Vektor eines ebenen Flächenstückes
Berechnung von Oberflächenintegralen
Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern
Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art
Definition
Von einem konservativen Feld oder einem Potentialfeld spricht man, wenn der Wert
des Kurvenintegrals (13.96a)
in einem Vektorfeld nur von der Lage der Punkte
und
abhängt und nicht vom konkreten Integrationsweg
zwischen diesen beiden Punkten.
Der Zahlenwert des Umlaufintegrals in einem konservativen Feld ist stets gleich Null:
(13.103)
Ein konservatives Feld zeichnet sich immer durch Wirbelfreiheit aus:
(13.104)
Umgekehrt ist diese Gleichung die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß das Feld konservativ ist.
Dazu muß weiterhin vorausgesetzt werden, daß die partiellen Ableitungen der Feldfunktion nach den enthaltenen
Koordinaten stetig sind und der Definitionsbereich von
einfach zusammenhängend ist. Für ein dreidimensionales
Feld hat dieser, Integrabilitätsbedingung genannte Zusammenhang in kartesischen Koordinaten die Form
(13.105)
Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld
●
●
●
●
●
●
Kurvenintegral im Vektorfeld
Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik
Eigenschaften des Kurvenintegrals
Kurvenintegral als Kurvenintegral 2. Gattung allgemeiner Art
Umlaufintegral eines Vektorfeldes
Konservatives oder Potentialfeld
Zusammenhang zwischen Gradient, Kurvenintegral und Potential
Wenn die Beziehung
ist
gilt, dann ist
das Potential des Feldes
, und umgekehrt
ein Potentialfeld oder konservatives Feld. In der Physik ist in Übereinstimmung mit (13.107) das negative
Vorzeichen zu berücksichtigen.
Berechnung des Potentials eines konservativen Feldes
Ist die Funktion
in kartesischen Koordinaten gegeben,
, dann gilt für das
vollständige Differential ihrer Potentialfunktion:
(13.108a)
Dabei müssen die Koeffizienten
der Integrabilitätsbedingung (13.105) genügen. Die Bestimmung von
erfolgt über das Gleichungssystem
(13.108b)
Praktischerweise berechnet man das Potential durch Integration über drei zu den Koordinatenachsen parallele,
Anfangs- und Endpunkt der Integration miteinander verbindende Strecken (s. Abbildung):
(13.109)
Berechnung von Feldern
●
●
●
●
Reines Quellenfeld
Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld
Vektorfelder mit punktförmigen Quellen
Superposition von Feldern
Vektorfelder
●
●
●
●
●
●
Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion
Wichtige Fälle vektorieller Felder
Koordinatendarstellung von Vektorfeldern
Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen
Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Feldlinien
Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV
Für beliebige ganze Zahlen
gilt:
(5.155)
Deshalb kann das kgV
auch ohne Kenntnis der Primfaktorenzerlegung von
EUKLIDischen Algorithmus ermittelt werden.
und
unter Zuhilfenahme des
Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen
Für
gilt
(1.74a)
(1.74b)
Für
gilt
(1.74c)
Arithmetik
1.1
ASSER, G.: Grundbegriffe der Mathematik. Mengen, Abbildungen, natürliche Zahlen. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1980.
1.2
BOSCH, K.: Finanzmathematik. -- Oldenbourg-Verlag 1991.
1.3
HEILMANN, W.-R.: Grundbegriffe der Risikotheorie. -- Verlag Versicherungswirtschaft 1986.
1.4
ISENBART, F., MÜNZER, H.: Lebensversicherungsmathematik für Praxis und Studium. -- Verlag Gabler,
2. Auflage 1986.
1.5
DÜCK, W.; KÖRTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H.
Deutsch 1989.
1.6
Fachlexikon ABC Mathematik. -- Verlag H. Deutsch 1978.
1.7
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch 1993.
1.8
GOTTWALD, S.; KÜSTNER, H.; HELLWICH, M.; KÄSTNER, H.: Mathematik Ratgeber. -- Verlag H. Deutsch 1988.
1.9
HEITZINGER, W.; TROCH, I.; VALENTIN, G.: Praxis nichtlinearer Gleichungen. -- C. Hanser Verlag 1984.
1.10
NICKEL, H. (HRSG.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1990.
1.11
PFEIFER, A.: Praktische Finanzmathematik. -- Verlag Harri Deutsch 1995.
1.12
WISLICENY, J.: Grundbegriffe der Mathematik. Rationale, reelle und komplexe Zahlen. -- Verlag H. Deutsch
1988.
Chi-Quadrat-Verteilung, Teil II
-Verteilung: Quantile
Fishersche F-Verteilung, Teil I
= 0,05
FISHERsche
-Verteilung: Quantile
für
Fishersche F-Verteilung, Teil II
= 0,01
FISHERsche
-Verteilung: Quantile
für
Definition
Eine geodätische Linie ist eine Kurve auf einer Fläche, deren Hauptnormale in jedem Flächenpunkt in die Richtung
der Flächennormalen fällt (s. auch geodätische Linie, sphärische Geometrie).
Beispiel
Auf einem Kreiszylinder sind die geodätischen Linien Schraubenlinien.
Projektion eines orientierten Flächenstückes auf eine Koordinatenebene
Wenn ein begrenztes Stück
einer orientierten Fläche auf eine Koordinatenebene projiziert wird, z.B. auf die
Ebene, dann kann dieser Projektion
(s. Abbildung).
auf die folgende Weise ein Vorzeichen zugeordnet werden
-
Fällt der Blick von der positiven Seite der
des Flächenstückes
-Achse aus auf die
, dann gibt man der Projektion
-Ebene und sieht man dabei die positive Seite
das positive Vorzeichen, im entgegengesetzten
Falle das negative (linke bzw. rechte obere Abbildung).
Liegt das Flächenstück so, daß man zum Teil seine Innen- und zum Teil seine Außenseite sieht, dann ergibt sich
als algebraische Summe der Projektionen dieser Teile, die einmal von der Innen-, zum anderen von der
Außenseite zu sehen sind (linke untere Abbildung). Die rechte untere Abbildung zeigt die Projektionen des
Flächenstückes
und
eines Flächenstückes
, von denen die eine negativ, die andere positiv zu nehmen
ist.
Die Projektion einer geschlossenen orientierten Fläche ist gleich Null.
Invariante Mannigfaltigkeiten
●
●
●
●
Definition, Separatrixflächen
Satz von Hadamard und Perron
Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für
Homokline und heterokline Orbits
Grundformeln und Anwendungen
●
●
●
●
●
●
●
●
Sinussatz
Kosinussatz oder Seitenkosinussatz
Sinus-Kosinussatz
Winkelkosinussatz oder polarer Kosinussatz
Polarer Sinus-Kosinussatz
Halbwinkelsatz
Halbseitensatz
Anwendungen der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie
Oberflächenintegrale zweiter Art
Das Oberflächenintegral zweiter Art , auch Integral über eine Projektion , ist wie das Oberflächenintegral erster Art
eine Erweiterung des Begriffs Doppelintegral.
●
●
Begriff des Oberflächenintegrals zweiter Art
Berechnung des Oberflächenintegrals zweiter Art
Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten
Die Darstellung eines skalaren Produkts zweier Vektoren durch seine kontravarianten Koordinaten liefert Formel
(3.275). Die entsprechende Formel für kovariante Koordinaten lautet
(3.285)
wobei
die metrischen Koeffizienten im System mit den reziproken Vektoren sind. Ihr
Zusammenhang mit den Koeffizienten
lautet
(3.286)
wobei
die Unterdeterminante der im Nenner stehenden Determinante ist; sie entsteht durch Streichen der
Zeile und Spalte des Elements
durch kovariante Koordinaten gegeben ist, der Vektor
Wenn der Vektor
Koordinaten, dann ist ihr Skalarprodukt gleich
dagegen durch kontravariante
(3.287a)
und analog gilt
(3.287b)
Lineare und affin-lineare Teilmengen
●
●
●
●
●
Lineare Teilmenge
Affiner Teilraum
Lineare Hülle
Beispiele für Vektorräume von Folgen
Beispiele für Vektorräume von Funktionen
Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
(2.176)
(2.177)
(2.178)
(2.179)
Hyperbelfunktionen des halben Arguments
(2.181)
(2.182)
Das Vorzeichen vor der Wurzel ist positiv für
und negativ für
zu nehmen.
(2.183)
(2.184)
Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
(2.88)
(2.89)
(2.90)
(2.91)
(2.92)
(2.93)
(2.94)
(2.95)
(2.96)
(2.97)
(2.98)
(2.99)
Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen mit komplexen Zahlen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
werden in der Funktionentheorie betrachtet.
Funktionen eines Winkels
Trigonometrische Funktionen gleichen Winkels
Trigonometrische Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel
Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
Trigonometrische Funktionen für große Werte n der Winkelvielfachen
Trigonometrische Funktionen des halben Winkels
Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
Produkte trigonometrischer Funktionen
Potenzen trigonometrischer Funktionen
Fourier-Integral
●
●
Fourier-Integral in komplexer Darstellung
Äquivalente Darstellungen des Fourier-Integrals
Formeln zur trigonometrischen Interpolation
●
●
Formeln für die FOURIER-Koeffizienten
Trigonometrische Interpolation
Begriffe, analytische Grundlagen
●
●
●
●
Lösungsansatz
Quadratische Integrierbarkeit
Orthonormalsystem
Fourier-Reihen
Eigenschaften der Fourier-Transformation
●
●
●
●
●
Fourier-Integral
Fourier-Transformation und Umkehrtransformation
Rechenregeln zur Fourier-Transformation
Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation
Bildfunktionen spezieller Funktionen
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 6
Nr.
54
=
55
,
,
56
0,
,
,
57
,
,
58
59
60
61
62
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 7
=
Nr.
1
1,
0,
2
,
,
0,
3
Ci
0,
,
4
(Integralkosinus)
5
,
0,
6
0,
,
7
,
8
,
9
10
11
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 7
=
Nr.
12
13
14
,
0,
15
16
17
18
19
20
21
, 0
Re
1
22
23
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 7
Nr.
24
25
=
26
,
0,
27
28
29
30
31
32
33
34
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 7
Nr.
35
36
37
=
38
39
,
,
0,
40
,
,
41
,
,
42
43
44
45
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 7
=
Nr.
46
0 ,
47
,
,
,
0,
0
49
50
0 ,
51
52
53
54
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 7
Nr.
55
56
57
=
58
59
60
61
62
63
64
65
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 7 von 7
Nr.
66
67
68
=
69
70
71
72
73
74
75
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 6
=
Nr.
1
1,
0,
2
,
,
0,
3
4
,
0,
5
0,
,
6
7
,
0,
8
0,
,
9
10
11
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 6
Nr.
12
13
14
15
=
16
17
18
19
20
21
22
, 0
Re
2
23
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 6
Nr.
24
25
26
=
27
28
29
30
31
,
0,
32
33
34
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 6
Nr.
35
36
=
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 6
=
Nr.
46
,
,
47
,
0,
48
,
,
49
50
51
52
,
,
0,
53
0,
,
0,
Laplace-Transformationen, Seite 6 von 6
Nr.
66
67
68
69
70
71
72
73
74
Poisson-Verteilung
●
●
Poisson-Verteilung, Teil I
Poisson-Verteilung, Teil II
Integraltransformationen
15.1
BERG, L.: Operatorenrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1972-74.
15.2
BLATTER, C.: Wavelets - Eine Einführung. -- Vieweg 1998
15.3
DOETSCH, G.: Handbuch der LAPLACE-Transformation, Bd. 1 bis 3. -- Birkhäuser Verlag 1950-1958.
15.4
DOETSCH, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der LAPLACE-Transformation. -- Oldenbourg-Verlag, 6.
Auflage 1989.
15.5
FETZER, V.: Integral-Transformationen. -- Hüthig Verlag 1977.
15.6
FÖLLINGER, O.: LAPLACE- und FOURIER-Transformation. -- Hüthig, 6.Auflage 1993.
15.7
GAUSS, E.: WALSH-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler. -- B. G. Teubner 1994.
15.8
GELFAND, I.M.; SCHILOW, G.E.: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen), Bd. 1 bis 4. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1962-66.
15.9
HUBBARD, B.B.: Wavelets. Die Mathematik der kleinen Wellen. Birkhäuser 1997.
15.10
JENNISON, R.C.: FOURIER-Transforms and convolutions for the experimentalist. -- Pergamon Press 1961.
15.11
LOUIS, A. K.; MAASS, P.; RIEDER, A.: Wavelets. Theorie und Anwendungen. -- B. G. Teubner Stuttgart 1994.
15.12
OBERHETTINGER, F.: Tabellen zur FOURIER-Transformation. -- Springer-Verlag 1957.
15.13
OBERHETTINGER, F.; BADIL, L.: Tables of LAPLACE Transforms. -- Springer-Verlag 1973.
15.14
PAPOULIS, A.: The FOURIER-Integral and its Applications. -- McGraw-Hill 1962.
15.15
STOPP, F.: Operatorenrechnung. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 10), 1976; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 10), 1978.
15.16
VICH, R.: Z-Transformation, Theorie und Anwendung. -- Verlag Technik 1964.
15.17
VOELKER, D.; DOETSCH, G.: Die zweidimensionale LAPLACE-Transformation. -- Birkhäuser Verlag 1950.
15.18
WAGNER, K.W.: Operatorenrechnung und LAPLACEsche Transformation. -- J.A. Barth Verlag 1950.
15.19
ZYPKIN, J.S.: Theorie der linearen Impulssysteme. -- Verlag Technik 1967.
Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze
●
●
Fredholmsche Lösungsmethode
Fredholmsche Sätze
Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum
Sei
ein kompakter Operator. Dann ist
Grenzwert (in
) einer Folge von
endlichdimensionalen Operatoren. Die Nähe zum endlichdimensionalen Fall ersieht man unter anderem aus
folgendem:
●
Ist
ein endlichdimensionaler Operator und
Existenz von
●
Ist
1.
und
.
ein kompakter Operator, dann sind äquivalent:
es
und ist stetig,
2.
, d.h.
ist injektiv,
3.
, d.h.
ist surjektiv.
, dann folgt aus der Injektivität von
die
Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
●
●
●
Formulierung der Aufgabe
Lösungsansatz
Lösungen
Näherungslösung durch Diskretisierung
Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
(11.15)
kann näherungsweise in Form eines linearen Gleichungssystems dargestellt werden. Es sei vorausgesetzt, daß die
Funktionen
und
für
stetig sind.
Das Integral in (11.15) soll durch die linksseitige Rechteckformel angenähert werden. Man könnte aber auch eine
beliebige andere Quadraturformel anwenden. Mit den äquidistanten Punkten
(11.16a)
erhält man die Näherung
(11.16b)
Man ersetzt in dieser Beziehung
durch eine Funktion
, die (11.16b) exakt erfüllt:
(11.16c)
Zur Auswertung dieser Näherungslösung benötigt man die Funktionswerte der Funktion
. Setzt man in (11.16c) nacheinander
man ein lineares Gleichungssystem für die
gesuchten Funktionswerte
in den Stützstellen
, so erhält
. Mit den Abkürzungen
(11.17a)
lautet dieses Gleichungssystem
(11.17b)
Das System besitzt die Koeffizientendeterminante
(11.17c)
Diese Determinante hat dieselbe Struktur wie die Koeffizientendeterminante, die bei der Behandlung von
Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen auftritt. Das Gleichungssystem (11.17b) besitzt eine eindeutige Lösung
für alle
mit
. Diese Lösung besteht aus Näherungen für die Funktionswerte der gesuchten Funktion
in den Stützstellen. Die Zahlen
mit
sind Näherungen für die Eigenwerte der
Integralgleichung. Die Lösung von (11.17b) läßt sich gemäß der CRAMERschen Regel als Quotient darstellen:
(11.18)
Dabei entsteht
aus
, indem die
-te Spalte durch
ersetzt wird.
Prinzipielle Vorgehensweise
Im allgemeinen ist die Auflösung des unter Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
aufgestellten unendlichen linearen Gleichungssystems nicht einfacher als die Lösung des Ausgangsproblems. Durch
geeignete Wahl der Orthonormalsysteme
und
kann jedoch die Struktur der Kernmatrix K so
beeinflußt werden, daß sich das Gleichungssystem einfach lösen läßt. Das folgende Verfahren konstruiert zwei
Orthonormalsysteme, die eine Kernmatrix liefern, deren Koeffizienten
nur für
und
ungleich
Null sind.
Mit der Methode des voranstehenden Abschnittes werden zunächst zwei orthonormierte Lösungssysteme
bzw.
der homogenen Integralgleichung bzw. der dazu transponierten homogenen Gleichung bestimmt,
d.h., alle Lösungen dieser zwei Integralgleichungen lassen sich durch Linearkombination der Funktionen
bzw.
darstellen. Diese Orthonormalsysteme sind nicht vollständig. Mit dem folgenden Verfahren werden
diese Systeme durch schrittweises Hinzufügen von Funktionen
, zu vollständigen
Orthonormalsystemen ergänzt.
Definition und Darstellung
Die trigonometrischen Funktionen werden über geometrische Betrachtungen hergeleitet. Daher wird ihre Definition
sowie die Angabe des Arguments im Grad- oder Bogenmaß in der Geometrie besprochen.
●
●
●
●
●
●
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
Sekans
Kosekans
Kanonische Primfaktorenzerlegung
●
●
Primfaktorzerlegung
Positive Teiler
Abhängigkeit von Funktionen
●
●
●
Spezieller Fall zweier Funktionen
Allgemeiner Fall mehrerer Funktionen
Analytische Bedingung für die Unabhängigkeit
Allgemeiner Fall mehrerer Funktionen
In Analogie zum Fall zweier Funktionen gilt, daß
Funktionen
von
Veränderlichen
in einem gemeinsamen Definitionsbereich abhängig sind, wenn irgendeine von ihnen als Funktion
der anderen ausdrückbar ist, d.h., wenn es für jeden Punkt des Gebietes eine Identität der Art
(2.271)
gibt. Wenn keine solche Funktion existiert, dann spricht man von unabhängigen Funktionen.
Beispiel
Die Funktionen
und
sind abhängig, da
gilt.
Geometrische Bedeutung des Integrals mit unendlichen Integrationsgrenzen
Die Integrale (8.77), (8.78a) und (8.78b) sind die Flächeninhalte der Figuren, die in den folgenden 9 Abbildungen
dargestellt sind.
Beispiel A
(divergent).
Beispiel B
(konvergent).
Beispiel C
,
(konvergent).
Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen
●
●
●
●
Definitionen
Geometrische Bedeutung des Integrals mit unendlichen Integrationsgrenzen
Hinreichende Konvergenzkriterien
Zusammenhang zwischen uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen
Beispiele analytischer Funktionen
1. Funktionenklassen Die elementaren algebraischen und transzendenten Funktionen sind mit Ausnahme
einzelner isolierter singulärer Punkte in der gesamten
Punkten Ableitungen beliebig hoher Ordnung.
-Ebene analytisch. Sie besitzen in allen regulären
Beispiel A
Die Funktion
mit
und
ist überall analytisch.
Beispiel B
Die Funktion
, definiert durch die Gleichungen
keinem Punkt analytisch.
Beispiel C
Die Funktion
mit
ist analytisch.
, ist in
Beispiel D
Die Funktion
mit
ist analytisch.
2. Ermittlung der Funktionen
oder
Wenn die Funktionen
und
jede für sich der LAPLACEschen
Differentialgleichung genügen, sind sie harmonische Funktionen. Ist eine der beiden harmonischen Funktionen
bekannt, z.B.
, dann kann die zweite bis auf eine additive Konstante als konjugierte harmonische Funktion
mit Hilfe der
CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichung ermittelt werden:
(14.6)
Analog kann
ermittelt werden, wenn
bekannt ist.
Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen
Logarithmus
Mit Hilfe der Definition der Hyperbelfunktionen (2.156) bis (2.161) können die Areafunktionen über die
Logarithmusfunktion ausgedrückt werden:
(2.201)
(2.202)
(2.203)
(2.204)
Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen
(2.205)
(2.206)
(2.207)
(2.208)
Formeln für negative Argumente
(2.212)
(2.213)
(2.214)
Während
Argumente nicht definiert.
und
ungerade Funktionen sind, ist
(2.202) für negative
Definition der zyklometrischen Funktionen
Die Vorgehensweise wird am Beispiel der Arkussinusfunktion gezeigt, die in der ersten der vier folgenden
Abbildungen dargestellt ist.
Der Definitionsbereich von
wird in die Monotonieintervalle
zerlegt. Spiegelung von
an der Winkelhalbierenden
mit
liefert die
Umkehrfunktionen
(2.133a)
mit den Definitions- und Wertebereichen
(2.133b)
Die Schreibweise
Arkusfunktionen
ist gleichbedeutend mit
und
Analog erhält man die übrigen
die in der zweiten, dritten und vierten Abbildungen
dargestellt sind. Die Definitions- und Wertebereiche der Arkusfunktionen und die gleichbedeutenden
trigonometrischen Funktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Tabelle der Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen
Funktionen
Tabelle Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen
Gleichbedeutende
Arkusfunktion
Definitionsbereich
Wertebereich
trigonometrische
Funktion
. Für
erhält man den Hauptwert der jeweiligen zyklometrischen Funktion,
der ohne Index geschrieben wird (z.B.
).
Beziehungen zwischen den Hauptwerten
(2.135)
(2.136)
(2.137)
(2.138)
(2.139)
(2.140)
Formeln für negative Argumente
(2.141)
(2.142)
(2.143)
(2.144)
Summe und Differenz von arccos x und arccos y
(2.147a)
(2.147b)
(2.148a)
(2.148b)
Summe und Differenz von arctan x und arctan y
(2.149a)
(2.149b)
(2.149c)
(2.150a)
(2.150b)
(2.150c)
Einige Funktionstypen
●
●
●
●
●
●
●
Monotone Funktionen
Beschränkte Funktionen
Gerade Funktionen
Ungerade Funktionen
Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen
Periodische Funktionen
Inverse oder Umkehrfunktionen
Stetigkeit einer Funktion
●
●
●
●
Begriff der Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle
Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten
Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen
Eigenschaften stetiger Funktionen
Eigenschaften der Jacobischen Funktionen
Mit den Substitutionen
(14.107)
lassen sich für die JACOBIschen Funktionen die in der folgenden Tabelle aufgeführten Eigenschaften angeben, wobei
und
beliebige ganze Zahlen sind.
Tabelle Perioden, Nullstellen und Pole der JACOBIschen Funktionen
Perioden
Nullstellen
sn
cn
dn
Der Verlauf von sn
, cn
und dn
ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Pole
Außerhalb ihrer Polstellen gelten für die JACOBIschen Funktionen die folgenden Beziehungen:
(14.108)
(14.109a)
(14.109b)
(14.109c)
(14.110a)
(14.110b)
(14.110c)
Weitere Eigenschaften der JACOBIschen und weiterer elliptischer Funktionen s. Lit. 14.12, 14.18.
Hyperbelfunktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Siehe in den Abschnitten Hyperbelfunktionen bzw. Inverse Hyperbelfunktionen.
Definition und Beispiele
1. Definition: Von einer algebraischen Funktion spricht man, wenn die Funktion das Ergebnis endlich vieler
algebraischer Operationen mit diesen Veränderlichen und eventuell noch mit endlich vielen Konstanten ist.
Ganz allgemein kann eine komplexe algebraische Funktion
wie ihr reelles Analogon implizit als
Polynom
(14.63)
definiert werden. Solche Funktionen müssen sich durchaus nicht immer nach
2. Beispiele algebraischer Funktionen:
a) Lineare Funktion
auflösen lassen.
(14.64)
b) inverse Funktion
(14.65)
c) quadratische Funktion
(14.66)
d) Quadratwurzelfunktion
(14.67)
e) gebrochenlineare Funktion
(14.68)
Real- und Imaginärteile der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen
Tabelle Real- und Imaginärteile der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
Tabelle Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
Funktionentheorie
14.1
ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions. -- Verlag H. Deutsch 1984.
14.2
ALBRING, W.: Angewandte Strömungslehre. -- Theodor Steinkopff Verlag 1970.
14.3
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
14.4
BEHNKE, H.; SOMMER, F.: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. -- SpringerVerlag 1976.
14.5
BETZ, A.: Konforme Abbildung. -- Springer-Verlag 1964.
14.6
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 2. -- Deutscher Verag der Wissenschaften 1964;
Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
14.7
FISCHER, W.; LIEB, I.: Funktionentheorie. -- Verlag Vieweg 1992.
14.8
FREITAG, E.; BUSAM, R.: Funktionentheorie. -- Springer-Verlag, 2., erweiterte Auflage 1994.
14.9
GREUEL, O.: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 9),
1978; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 9), 1978.
14.10
JAHNKE, E.; EMDE, F.: Tafeln höherer Funktionen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1960.
14.11
JÄNICH, K.: Funktionentheorie. Eine Einführung. -- Springer-Verlag 1993.
14.12
KNOPP: Funktionentheorie. -- Verlag W. de Gruyter 1976.
14.13
LAWRENTJEW, M.A.; SCHABAT, B.W.: Methoden der komplexen Funktionentheorie. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1966.
14.14
MAGNUS, W.; OBERHETTINGER, F.: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen
Physik. -- Springer-Verlag 1948.
14.15
OBERHETTINGER, F.; MAGNUS, W.: Anwendung der elliptischen Funktionen in Physik und Technik. -- SpringerVerlag 1949.
14.16
RÜHS, F.: Funktionentheorie. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1976.
14.17
SCHARK, R.: Funktionentheorie für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1993.
14.18
SMIRNOW: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1954, Verlag H.
Deutsch 1987-91, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
14.19
WUNSCH, G.: Feldtheorie. -- Verlag Technik 1975.
Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge
Eine Funktion
besitzt an der Stelle
den Grenzwert
wenn für jede Folge von
, die innerhalb des Definitionsbereiches liegen und gegen
Folge der Funktionswerte
gegen
-Werten
konvergieren, die zugehörige
konvergiert.
Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche
a) Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion von mehreren Veränderlichen wird analog zum Fall der Funktion
von zwei Veränderlichen definiert.
b) Kriterien für die Existenz eines Grenzwertes einer Funktion von mehreren Veränderlichen erhält man durch
Verallgemeinerung der Kriterien, die für Funktionen von einer Veränderlichen gelten, d.h. durch Zurückführung
auf den Grenzwert einer Folge sowie über das
Konvergenzkriterium von CAUCHY.
Von höherer Ordnung unendlich groß
Eine Funktion
Grenzübergang
wachsen.
wird von höherer Ordnung unendlich groß als eine Funktion
ihre Absolutbeträge sowie der Absolutbetrag des Quotienten
wenn beim
über alle Grenzen
Von höherer Ordnung unendlich klein
Eine Funktion
wird von höherer Ordnung unendlich klein als eine Funktion
höherer Ordnung, wenn beim Grenzübergang
gehen.
d.h., sie verschwindet von
ihre Absolutbeträge sowie der Quotient
gegen null
Null oder unendlich von gleicher Größenordnung
Zwei Funktionen
und
Absolutbetrag des Quotienten
gehen gegen null oder unendlich von der gleichen Größenordnung, wenn der
beim Grenzübergang
einem endlichen Grenzwert zustrebt.
Gesamtdarstellungen der höheren Mathematik
22.1
ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions. -- Verlag H. Deutsch 1984.
22.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
22.3
BERENDT, G.; WEIMAR, E.: Mathematik für Physiker, Bd. 1 u. 2. -- VCH, Weinheim 1990.
22.4
BRONSTEIN, J.N.; SEMENDJAJEW, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. -- B. G. Teubner Leipzig 1976,
17. Auflage; Verlag H. Deutsch 1977.
22.5
BRONSTEIN, J.N.; SEMENDJAJEW, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. -- B. G. Teubner Leipzig 1989, 24.,
neubearbeitete Auflage; Verlag H. Deutsch 1989,
22.6
BRONSTEIN, J.N.; SEMENDJAJEW, K.A.: Taschenbuch der Mathematik, Ergänzende Kapitel. -- Verlag H.
Deutsch 1991.
22.7
DALLMANN, H.; ELSTER, K.-H.; ELSTER, R.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1-3. -- Gustav Fischer
Verlag 1991.
22.8
DRESZER, J.: Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. -- Verlag H. Deutsch 1975.
22.9
DÜCK, W.; KÖRTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H.
Deutsch 1989.
22.10
Fachlexikon ABC Mathematik. -- Verlag H. Deutsch 1978.
22.11
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
22.12
FISCHER, H.; KAUL, H.: Mathematik für Physiker, 1. -- B. G. Teubner 1990.
22.13
HAINZL, J.: Mathematik für Naturwissenschaftler. -- B. G. Teubner 1985.
22.14
JOOS, G.; RICHTER, E.W.: Höhere Mathematik für den Praktiker. -- Verlag H. Deutsch 1994.
22.15
Kleine Enzyklopädie Mathematik. -- Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1967. -- Gekürzte Ausgabe: Mathematik
Ratgeber. -- Verlag H. Deutsch 1988.
22.16
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K., HRG. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1 bis 4. -- S. Hirzel
Verlag 1989.
22.17
MARGENAU, H.; MURPHY, G.M.: Die Mathematik für Physik und Chemie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 196567.
22.18
Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte. -- BSB B.G. Teubner, Leipzig,
(MINÖL, Bd. 1 bis 23), 1973 bis 1981.
Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und sonstige anwendungsorientierte Berufe. -Verlag Harri Deutsch, (MINÖA, Bd. 1-23) 1973-1981.
22.19
NETZ, H.; RAST, J.: Formeln der Mathematik. -- C. Hanser Verlag 1986.
22.20
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
22.21
PHILIPPOW, E.: Taschenbuch Elektrotechnik. -- Verlag Technik 1968.
22.22
PLASCHKO, P.; BROD, K.: Höhere mathematische Methoden für Ingenieure und Physiker. -- Springer-Verlag
1989.
22.23
PRECHT, M.; VOIT, K.; KRAFT, R.: Mathematik für Nichtmathematiker, Bd. 1 u. 2. -- Oldenbourg-Verlag 1991.
22.24
ROTHE, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil I bis IV. -- B. G. Teubner 1958 1964.
22.25
SCHMUTZER, E.: Grundlagen der theoretischen Physik, Bd. 1 u. 4. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1991.
22.26
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. 1 bis 5.-- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 im Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren
Mathematik.
22.27
STÖCKER, H.: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. -- Verlag H. Deutsch,
3. Auflage 1995.
22.28
ZEIDLER, E. (HRSG.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. -- B. G. Teubner, Teil 1 1996, Teil 2 1995.
Definitionsbereich einer Funktion
In der Analysis werden meistens Funktionen betrachtet, die mit Hilfe von Formeln definiert sind. Dabei werden alle
die Wertesysteme der unabhängigen Variablen in den Definitionsbereich einbezogen, für die der analytische
Ausdruck der Funktion Sinn hat, d.h. für die er eindeutig bestimmte endliche und reelle Werte annimmt.
Beispiel A
Der Definitionsbereich ist die gesamte Ebene.
Beispiel B
Den Definitionsbereich bilden alle Wertesysteme
, die die Ungleichung
erfüllen. Geometrisch betrachtet stellt dieser Definitionsbereich das in der folgenden
Abbildung dargestellte offene Gebiet im Innern eines Kreises dar.
Beispiel C
: Den Definitionsbereich bilden alle Wertesysteme
, die die Ungleichung
erfüllen, d.h., der Definitionsbereich ist ein abgeschlossenes Gebiet, das aus
einem Streifen zwischen zwei parallelen Geraden besteht.
Beispiel D
Der Definitionsbereich besteht aus allen
Wertesystemen, die die Ungleichungen
aus allen Punkten, die über einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 gelegen sind.
erfüllen, d.h., er besteht
Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
●
●
●
●
Hyperbelsinus
Hyperbelkosinus
Hyperbeltangens
Hyperbelkotangens
Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe einer Kreissektorfläche
Die Funktionen
mit
sind über die Strecken
definiert, wobei als Argument der Zentriwinkel
am Einheitskreis
dient.
Zu dieser Definition hätte auch die Fläche
Mit dem Zentriwinkel
des Sektors
benutzt werden können (schattiert gezeichnet).
gemessen in Radianten, ergibt sich für
ergeben sich die gleichen Definitionsgleichungen wie in (3.3), (3.4), (3.5) zu
gerade
Somit
Eigenschaften bestimmter Integrale
Die wichtigsten Eigenschaften der bestimmten Integrale, die im folgenden erläutert werden, findet man
zusammengefaßt in der Tabelle Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale.
●
●
●
●
●
●
●
●
Hauptsatz der Integralrechnung
Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel
Variable obere Integrationsgrenze
Zerlegung des Integrationsintervalls
Weitere Sätze über Integrationsgrenzen
Mittelwertsatz und verallgemeinerter Mittelwertsatz
Abschätzung des bestimmten Integrals
Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
Definition und Existenz des bestimmten Integrals
●
●
●
Definition
Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
Existenz des bestimmten Integrals
Eigenschaften stetiger Funktionen
●
●
●
●
●
●
●
Stetigkeit von Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen
Stetigkeit mittelbarer Funktionen y=f(u(x))
Satz von BOLZANO
Zwischenwertsatz
Existenz einer inversen Funktion
Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Satz von WEIERSTRASS
Algebraische Funktionen
●
Definition und Beispiele
Eigenschaften analytischer Funktionen
●
●
Betrag einer analytischen Funktion
Nullstellen, Beschränktheit, Maximalwert
Meßbare Funktion
Sei
eine
-Algebra von Teilmengen einer Menge
die Menge
beliebiges
Eine komplexwertige Funktion
Ist
die
. Eine Funktion
in
heißt meßbar, wenn beide Funktionen
-Algebra der LEBESGUE-meßbaren Mengen aus
ist die Menge
damit meßbar.
heißt meßbar , wenn für
und
und
liegt.
meßbar sind.
eine stetige Funktion, dann
(s. Stetige Operatoren) für jedes
offen und
Hinweis
Es gibt noch viele andere Möglichkeiten, Funktionspapiere zu konstruieren und anzuwenden. Obwohl heute in den
meisten Fällen leistungsfähige Computer zur Auswertung von Meßergebnissen zur Verfügung stehen, werden in der
Laborpraxis häufig noch Funktionspapiere verwendet, um mit deren Hilfe aus einigen wenigen Meßwerten eine
Aussage über funktionelle Zusammenhänge zu bekommen oder Näherungswerte für Parameter zu erhalten, die beim
Einsatz von numerischen Verfahren (s. nichtlineare Quadratmittelaufgaben) als Startwerte benötigt werden.
Definition und Darstellung
●
●
Definition
Darstellungen
Eigenschaften stetiger Funktionen
●
●
●
●
Nullstellensatz von BOLZANO
Zwischenwertsatz
Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Satz von WEIERSTRASS über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes
Abschätzung des bestimmten Integrals
Der Wert eines bestimmten Integrals liegt zwischen den Produkten des kleinsten und des größten Funktionswertes
und
des Integranden im Intervall
mit der Länge des Integrationsintervalls:
(8.50)
Die geometrische Bedeutung dieses Satzes ist an Hand der folgenden Abbildung zu erkennen:
Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen
Genügt der Definitionsbereich
einer Funktion
als Summe einer geraden Funktion
der Bedingung ,,aus
und einer ungeraden Funktion
folgt
``, dann ist
darstellbar:
(2.11)
Beispiel
(s. auch
Hyperbelfunktionen).
Mittelwert
Der Mittelwert
der Zufallsveränderlichen
lautet:
(16.106a)
Im konkreten Fall lautet der Mittelwert
zur Stichprobe
(16.106b)
Häufig ist es vorteilhaft, zur Berechnung des Mittelwertes einen Schätzwert
einzuführen, der beliebig gewählt
werden kann, aber nach Möglichkeit in der Nähe des zu erwartenden Mittelwertes
Meßreihen die
liegen soll. Wenn z.B. in großen
mehrstellige Zahlen sind, bei denen sich lediglich die letzten Stellen von Meßwert zu Meßwert
ändern, ist es einfacher, mit den kleineren Zahlen
(16.106c)
zu rechnen. Es gilt dann
(16.106d)
Stichprobenfunktionen
●
●
Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor
Stichprobenfunktionen
Streuung
Die Streuung
der Zufallsveränderlichen
mit dem Mittelwert
lautet:
(16.107a)
Im konkreten Fall lautet die Streuung
zur Stichprobe
(16.107b)
Mit dem Schätzwert
ergibt sich
(16.107c)
Für
wird wegen
die Korrektur
.
Median (Zentralwert)
Sind
Elemente einer Stichprobe der Größe nach geordnet, so heißt Median
-ter Stelle stehende Wert, im Falle
gerade der Mittelwert aus den an
im Falle
-ter und
ungerade der an
-ter Stelle
stehenden Werten.
Im konkreten Fall lautet der Median
zur Stichprobe
, deren Elemente der Größe nach
geordnet sind
(16.108)
Spannweite
(16.109a)
Im konkreten Fall lautet die Spannweite
zur Stichprobe
(16.109b)
Jede spezielle Realisierung einer Stichprobenfunktion wird mit Ausnahme der Spannweite
Buchstaben bezeichnet, d.h., im konkreten Fall werden zur Stichprobe
und
Beispiel
berechnet.
mit kleinen
die Werte
Der laufenden Produktion von permanentdynamischen Lautsprechern wird eine Stichprobe von 15
Lautsprechern entnommen.
Das interessierende Merkmal
man:
1
1,01
6
1,00
11
1,00
2
1,02
7
0,99
12
1,00
3
1,00
8
1,01
13
1,02
4
0,98
9
1,01
14
1,00
5
0,99
10
1,00
15
1,01
sei die Luftspaltinduktion
, gemessen in Tesla. Daraus berechnet
.
.
.
Grundlagen
●
●
Definition und Darstellung
Wertebereiche und Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen
Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen hängt davon ab, in welchem Quadranten des Einheitskreises der
bewegliche Radius
liegt.
Das Vorzeichen kann aus der Tabelle entnommen werden.
Tabelle Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Quadrant
Größe des Winkels
I
+
II
+
+
+
+
+
+
+
III
IV
+
+
+
+
Funktionsverlauf ins Unendliche:
Das ist die am häufigsten auftretende Unstetigkeit. In der folgenden Abbildung tritt sie in den Punkten
auf.
und
Beispiel A
Die Kurve ist auf der linken Abbildung
dargestellt:
Die Unstetigkeit ist von der Art des Punktes
Die symbolische Bezeichnung
Beispiel B
bzw.
steht für links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert.
Die Unstetigkeitsstelle ist von der
Art des Punktes
Beispiel C
Die Unstetigkeitsstelle ist von der Art des
Punktes
aber mit dem Unterschied, daß die Funktion
im Punkt
nicht definiert ist.
Skalen und Funktionspapiere
●
●
Skalen
Funktionspapiere
Potenzfunktionen
●
Typ
●
Typ
Fuzzy-Relationenprodukt
●
●
●
Verkettung oder Fuzzy-Relationenprodukt
Verknüpfungsregeln
Fuzzy-logisches Schließen
Fuzzy-Relationen
●
●
●
●
●
Modellierung fuzzy-wertiger Relationen
Kartesisches Produkt
Eigenschaften fuzzy-wertiger Relationen
-faches kartesisches Produkt
Rechenregeln
Eigenschaften fuzzy-wertiger Relationen
(E1)
Da unscharfe Relationen nur spezielle unscharfe Mengen sind, gelten prinzipiell die für unscharfe Mengen
ausgesprochenen Aussagen auch für unscharfe Relationen.
(E2)
Alle für unscharfe Mengen erklärten Verknüpfungen lassen sich auf unscharfe Relationen anwenden; sie
liefern als Resultat wieder unscharfe Relationen.
(E3)
Der Begriff des -Schnittes läßt sich auf Grund der vorangegangenen Überlegungen mühelos auf unscharfe
Relationen übertragen.
(E4)
Der Träger als 0-Schnitt einer unscharfen Relation
ist eine gewöhnliche Relation von
(E5)
Mit
die Objekte
wird der Zugehörigkeitswert bezeichnet, d.h. der Grad, mit dem die unscharfe Relation
zutrifft. Der Wert
daß
auf
bedeutet, daß
nicht zutrifft.
auf
auf
voll zutrifft, der Wert
(E6)
Es sei
eine unscharfe Relation, dann wird die zu
inverse unscharfe Relation
definiert durch
(5.281)
Beispiel
Die inverse Relation
bedeutet ,,im wesentlichen kleiner als``; die Vereinigung
Beziehung ,,im wesentlichen kleiner oder ungefähr gleich`` beschrieben werden.
(S. Modellierung fuzzy-wertiger Relationen.)
kann als
Pendel auf beweglicher Unterlage: Defuzzifizierung
1. Ergebnis: Die Entscheidungslogik liefert keinen scharfen Wert für den Stellwert, sondern eine FuzzyMenge. D.h., mit der Methode erhält man eine Abbildung, die jedem Tupel
von Meßwerten eine Fuzzy-Menge, nämlich
von
zuordnet.
Defuzzifizierung bedeutet, daß ein Stellwert berechnet werden muß. Die Schwerpunktsmethode und die
Maximum-Kriterium-Methode liefern als Stellgröße die Werte
bzw.
2. Bemerkungen:
a)
Die ,,wissensbasierte`` Trajektorie soll so in der Regelbasis verlaufen, daß der Endpunkt im Zentrum
geringster Regelabweichung liegt.
b)
Durch die Defuzzifizierung wird ein Iterationsprozeß eingeleitet, der letztlich in die Mitte der Regelfläche
führt, d.h. die Stellgröße Null liefert.
c)
Jedes nichtlineare Kennfeld kann durch Wahl geeigneter Parameter beliebig genau approximiert
werden.
Einschränkung für den eindimensionalen Fall
Bei Fuzzy-Systemen mit nur einer Eingabe
werden oft Fuzzy-Mengen verwendet, die durch
Dreieckfunktionen dargestellt, die sich auf der Höhe 0,5 schneiden werden. Solche Fuzzy-Mengen genügen drei
Bedigungen:
1.
Für jede Regel
Ausgabe über
gibt es eine Eingabe
für die nur eine Regel erfüllt ist. Für diese Eingabe
berechnet. Dadurch ist die Ausgabe des Fuzzy-Systems an
festgelegt. Man kann daher sagen, das Fuzzy-System interpoliert die Stützstellen
Forderung, daß an den Stützstellen
nur die eine Regel
hinreichend, aber nicht notwendig. Für zwei Regeln
bedeutet diese Forderung, daß
wird die
Stützstellen
. Die
gilt, ist für eine exakte Interpolation
und
, wie sie im folgenden betrachtet werden,
gilt. Zur Erfüllung der 1. Bedingung muß
sein. Das ist eine hinreichende Bedingung für eine exakte Interpolation der
Stützstellen.
2.
Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stützstellen sind höchstens 2 Regeln erfüllt. Sind
solche Stützstellen mit den Regeln
Ausgabe
und
so berechnet sich für Eingaben
und
zwei
die
zu
(5.314)
mit von
abhängigen
und
sowie
Der eigentliche Verlauf der Interpolationskurve zwischen
und
wird von der Funktion
daher als Kurvenverlauf bezeichnet. Sie hängt nur von den Erfüllungsgraden
Zugehörigkeitsfunktionen
und
oder kurz
der Zugehörigkeitsfunktionen ab.
an der Stelle
und
und
ergeben, d.h., es ist
bestimmt. Diese wird
ab, die sich als Werte der
und
Der Kurvenverlauf hängt nur vom Verhältnis
3.
Die Zugehörigkeitsfunktionen sind positiv, so daß die Ausgabe
eine Konvexkombination der Konklusionen
ist. Daher gilt:
(5.315)
bzw. für den allgemeinen Fall
(5.316)
Für konstante Konklusionen bewirken die Terme
Kurvenverlaufes
und
lediglich eine Verschiebung und Streckung des
Sind die Konklusionen von den Eingangsvariablen abhängig, dann wird der Kurvenverlauf in
verschiedenen Abschnitten unterschiedlich verzerrt. Dadurch kann sich eine andere Ausgangsfunktion ergeben.
Verwendet man für die Eingabe
linear abhängige Konklusionen und Zugehörigkeitsfunktionen mit konstanter
Summe, dann ist die Ausgabe
mit von
abhängigen
und einer Konstanten
, so daß
sich Polynome 2. Ordnung als Interpolationsfunktionen ergeben. Diese Polynome kann man zur Konstruktion eines
Interpolationsverfahrens mit Polynomen 2. Ordnung verwenden.
Allgemein ergibt sich aus der Wahl von Polynomen
-ter Ordnung als Konklusion ein Interpolationspolynom
-ter Ordnung. Daher können die konventionellen Interpolationsverfahren, die lokal mit Polynomen
interpolieren (beispielsweise mit Splines), auch mit diesen Fuzzy-Systemen durchgeführt werden.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische
Statistik
16.1
BANDEMER, H.; BELLMANN, A.: Statistische Versuchsplanung. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL,
Bd. 19/2), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 19/2), 1979.
16.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
16.3
BEHNEN, K., NEUHAUS, G.: Grundkurs Stochastik. -- B. G. Teubner, 3. Auflage 1995.
16.4
BEYER, O. et al.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig,
(MINÖL, Bd. 17), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 17), 1980.
16.5
BEYER, O. ET. AL.: Stochastische Prozesse und Modelle. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 19/1),
1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖL, Bd. 19/1), 1980.
16.6
CLAUSS; FINZE; PARTZSCH: Statistik für Soziologen, Pädagogen, Psychologen und Mediziner, Bd. 1. -- Verlag
H. Deutsch 1995.
16.7
DÜCK, W.; KÖSTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch
1989.
16.8
FISZ, M.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften,
11. Auflage 1988.
16.9
HARTMANN; LEZKI; SCHÄFER: Mathematische Methoden in der Stoffwirtschaft. -- Deutscher Verlag für
Grundstoffindustrie.
16.10
HEINHOLD, J.; GAEDE, K.-W.: Ingenieurstatistik. -- Oldenbourg-Verlag 1964.
16.11
HOCHSTÄDTER, D.: Statistische Methodenlehre. -- Verlag H. Deutsch 1993.
16.12
HOCHSTÄDTER, D., KAISER, U.: Varianz- und Kovarianzanalyse. -- Verlag H. Deutsch 1988.
16.13
HÖPCKE, W.: Fehlerlehre und Ausgleichrechnung. -- Verlag W. de Gruyter 1980.
16.14
KOLMOGOROFF: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. -- Springer-Verlag 1977.
16.15
LAHRES: Einführung in die diskreten MARKOFF-Prozesse und ihre Anwendungen. -- Verlag Vieweg 1964.
16.16
MANTEUFFEL, K.; STUMPE, D.: Spieltheorie. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 21/1), 1977; Verlag H.
Deutsch, (MINÖA, Bd. 21/1)1979.
16.17
OSE, G. (HRSG.): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 4. -- Verlag H. Deutsch 1991.
16.18
PISCHLER, J.; ZSCHIESCHE, H.-U.: Simulationsmethoden. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 20),
1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 20), 1978.
16.19
PRECHT, M.; VOIT, K.; KRAFT, R.: Mathematik 1 für Nichtmathematiker. -- Oldenbourg-Verlag 1990.
16.20
R`ENY, A.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1966.
16.21
RINNE, H.: Taschenbuch der Statistik. -- Verlag H. Deutsch 1995
16.22
SOBOL, I.M.: Die Monte-Carlo-Methode. -- Verlag H. Deutsch 1991.
16.23
STORM, R.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik und statistische Qualitätskontrolle. -Fachbuchverlag, 10. Auflage 1995.
16.24
TAYLOR, J.R.: Fehleranalyse. -- VCH, Weinheim 1988.
16.25
WEBER, E.: Grundriß der biologischen Statistik für Naturwissenschaftler, Landwirte und Mediziner. -- Gustav
Fischer Verlag 1972.
16.26
WEBER, H.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure. -- B. G. Teubner 1992.
16.27
ZURMÜHL, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. -- Springer-Verlag 1984.
Funktionaler Zusammenhang
Zwischen den Merkmalen
und
bestehe ein funktionaler Zusammenhang, der durch die
theoretische Regressionsfunktion
(16.144)
beschrieben werden soll. Die Funktionen
Variablen. Die Koeffizienten
unabhängigen
sind konstant und treten in (16.144) linear auf. Man spricht deshalb im Falle von
(16.144) auch von linearer Regression , obwohl die Funktionen
Beispiel
sind bekannte Funktionen von
beliebig sein können.
, ein vollständiges
Die Funktion
quadratisches Polynom in zwei Variablen mit
und
theoretische Regressionsfunktion der linearen Regression.
, ist ein Beispiel für eine
Methoden zur Definition einer Funktion
●
●
Definition mittels Tabelle
Definition mittels Formeln
Gerade
●
●
●
●
Gleichung der Geraden
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Schnittpunkt von Geraden
Winkel zwischen zwei Geraden
Punkt, Gerade, Strahl, Strecke
●
●
●
Punkt und Gerade
Strahl und Strecke
Parallele und orthogonale Geraden
Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze
Die Gesetze der großen Zahlen geben Zusammenhänge zwischen der relativen Häufigkeit
Ereignisses
und deren Wahrscheinlichkeit
wieder.
●
●
Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli
Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy
eines zufälligen
bei einer großen Anzahl von Wiederholungen des Versuches
Asymptotische Potenzreihen
1. Begriff der asymptotischen Reihe: Eine Reihe
, die für
heißt asymptotische Potenzreihe der Funktion
definiert ist, wenn
(7.93)
für jedes
schreibt man auch
gilt. Dabei wird in
.
2. Eigenschaften asymptotischer Potenzreihen:
a) Eindeutigkeit:
das LANDAU-Symbol ,,groß O`` verwendet. Für (7.93)
Existiert für eine Funktion
die asymptotische Potenzreihe, dann ist sie eindeutig, aber durch eine
asymptotische Potenzreihe ist eine Funktion nicht eindeutig bestimmt.
b) Konvergenz:
Von einer asymptotischen Potenzreihe muß keine Konvergenz gefordert werden.
Beispiel A
ist eine asymptotische Reihe, die für alle
mit
konvergiert.
Beispiel B
,
Wiederholte partielle Integration ergibt für das Parameterintegral
das für
konvergiert, die Darstellung
mit
. Wegen
gilt
und damit
(7.94)
Die asymptotische Potenzreihe (7.94) ist divergent für alle
und dem
-ten Glied den Wert
-ten
hat. Trotzdem ist diese divergente Reihe zur Funktionswertberechnung von
gut geeignet. So erhält man z.B. für
Abschätzung
, da der Betrag des Quotienten aus dem
mit Hilfe der Partialsummen
.
und
die
Gleichungen 1. bis 4. Grades
●
●
●
●
Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
Gleichungen 4. Grades
Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 1
Faktorenzerlegung führt von
(1.153a)
oder
(1.153b)
falls sie gelingt, direkt auf die Wurzeln
(1.153c)
Beispiel
Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 2
Die Anwendung von Lösungsformeln führt
a)
für die Form (1.150a) auf die Lösungen
(1.154a)
oder
(1.154b)
wobei die zweite Formel bei geradzahligem
b)
vorteilhaft ist.
Für die Form (1.150b) führt sie auf die Lösungen
(1.155)
Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 1, Faktorenzerlegung
Faktorenzerlegung der linken Seite von
(1.164a)
führt, falls das gelingt, direkt auf die Wurzeln
(1.164b)
Beispiel
Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 2
Die Wurzeln der Gleichung (1.164a) stimmen für
mit den Wurzeln der Gleichung
(1.165a)
überein, wobei
und
irgendeine reelle Wurzel der kubischen Gleichung
(1.165b)
ist.
Überzählige Wurzeln
Nach der Umformung einer algebraischen Gleichung auf die Normalform kann es vorkommen, daß
Lösungen besitzt, die keine Lösungen der Ausgangsgleichung sind. Es sind zwei Fälle möglich, Verschwinden des
Nenners und irrationale Gleichungen, die in den nächsten beiden Abschnitten betrachtet werden.
●
●
Verschwinden des Nenners
Irrationale Gleichungen
Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen
Für das spezielle Eigenwertproblem A
bzw.
symmetrischen Matrix A die folgenden Aussagen:
●
●
Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems
Hauptachsentransformation, Ähnlichkeitstransformation
(4.124) gelten im Falle einer reellen
Lineare Diophantische Gleichungen
●
DIOPHANTische Gleichungen und Lösbarkeit
●
Lösungsverfahren für
●
Reduktionsverfahren für
Lösungsverfahren für
Es sei
(5.161a)
eine lösbare DIOPHANTische Gleichung, d.h. ggT
dividiert man die Gleichung durch den ggT
Um eine spezielle Lösung der Gleichung zu erhalten,
und erhält
Wie unter GgT als Linearkombination beschrieben, berechnet man nun den ggT
mit ggT
mit Hilfe des
EUKLIDischen Algorithmus, um schließlich eine Darstellung von 1 als Linearkombination von
und
zu erhalten:
Durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung kann man sich davon überzeugen, daß das geordnete Paar
ganzer Zahlen eine Lösung der vorgegebenen DIOPHANTischen Gleichung ist.
Die Lösungsgesamtheit der Gleichung (5.161a) erhält man wie folgt: Ist
irgendeine spezielle Lösung, die
man auch durch Probieren erhalten haben könnte, dann ist die Menge aller Lösungen:
(5.161b)
Beispiel A
. Man dividiert durch 3, denn 3= ggT
und
Paar
Daraus folgt
(s. GgT als Linearkombination). Das geordnete
ist eine spezielle Lösung der Gleichung
Beispiel B
Die Lösungsmenge der Gleichung
ist
.
Verschwinden des Nenners
Wenn eine Gleichung die Form eines Bruches
(1.147a)
mit den Polynomen
und
hat, dann ergibt sich die Normalform durch Multiplikation mit dem Nenner:
(1.147b)
ihre Wurzeln stimmen mit denen der Ausgangsgleichung überein, ausgenommen die Fälle, in denen eine Wurzel
der Gleichung
zugleich auch Wurzel der Gleichung
In diesen Fällen ist der Bruch zuerst durch
entgegengesetzten Falle würde die Gleichung
zu kürzen, eventuell durch
eine Wurzel
ist.
falls das möglich ist. Im
enthalten, die entweder keine
Wurzel der Ausgangsgleichung ist oder in dieser als Wurzel geringerer Vielfalt auftritt.
Beispiel A
oder
Wenn nicht mit
gekürzt wird, dann genügt die Wurzel
der Gleichung
nicht aber der Gleichung (1), weil sie auch den Nenner zu Null macht.
Beispiel B
Wenn nicht mit
gekürzt wird, dann ergibt sich die Gleichung
dreifachen Wurzel
Die Gleichung (2) besitzt aber nur die einfache Wurzel
mit der
Auftreten
Die KdV-Gleichung tritt auf bei der Behandlung von
●
●
●
●
Oberflächenwellen in flachem Wasser,
anharmonischen Schwingungen in nichtlinearen Gittern,
Problemen der Plasmaphysik und
nichtlinearen elektrischen Netzwerken.
Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren
●
●
Koordinatengleichungen
Positive Richtung auf einer Kurve
Gleichung und Lösungen
Die NLS-Gleichung für die Evolutionsfunktion
und ihre Solitonlösung lauten:
(9.132)
(9.133)
Hier ist
komplex. Das NLS-Soliton ist durch die 4 dimensionslosen Parameter
charakterisiert. Die Einhüllende des Wellenpakets bewegt sich mit der Geschwindigkeit
Im Falle von
charakterisiert:
, die
. Im Unterschied zum KdV-Soliton (9.128)
Phasengeschwindigkeit der eingehüllten Welle ist
können hier die Amplitude (über
und
) und die Geschwindigkeit (über
wechselwirkenden Solitonen werden diese durch
) unabhängig voneinander gewählt werden.
willkürlich wählbare Parameter
. Falls die Solitonen verschiedene Geschwindigkeiten
haben, zerfällt die
-Solitonenlösung asymptotisch für
in eine Summe von
individuellen Solitonen der
Form (9.133).
Die Abbildung zeigt eine Darstellung des Realteiles von (9.133) mit
und
.
Zuordnung eines Systems linearer Funktionen
Zur Lösung von (4.107) wird dem linearen Gleichungssystem
ein System linearer Funktionen
zugeordnet, auf das das Austauschverfahren anzuwenden ist:
(4.112a)
ist äquivalent zu
(4.112b)
Die Matrix
ist vom Typ
ist ein Spaltenvektor mit
Gleichungen muß nicht mit der Anzahl
Austauschverfahrens wird
Komponenten, d.h., die Anzahl
der Unbekannten übereinstimmen. Nach Abschluß des
gesetzt. Das Lösungsverhalten von
Austauschschema abgelesen werden.
der
kann unmittelbar aus dem letzten
Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Das lineare Gleichungssystem (4.112a) ist genau dann lösbar, wenn für das zugeordnete System linearer Funktionen
(4.112b) einer der folgenden zwei Fälle gilt:
1. Fall: Alle
lassen sich gegen gewisse
austauschen. Das bedeutet, das
zugehörige System linearer Funktionen ist linear unabhängig.
2. Fall: Mindestens ein
ist nicht mehr gegen ein
austauschbar, d.h., es gilt
(4.113)
und es ist
Das bedeutet, das zugehörige System linearer Funktionen ist linear abhängig.
Pseudotensoren
-ter Stufe
In Verallgemeinerung der Begriffe Pseudoskalar und Pseudovektor ist ein Pseudotensor
gekennzeichnet, daß er sich unter einer reinen Drehung (Drehungsmatrix
ter Stufe verhält, sein Spiegelungsverhalten sich aber um einen Faktor
Pseudotensoren höherer Stufe s. Lit. 4.2.
mit
-ter Stufe dadurch
) wie ein Tensor
unterscheidet. Beispiele für
-
Lineare Systeme, Austauschverfahren
●
●
●
●
Lineare Systeme
Austauschverfahren
Lineare Abhängigkeiten
Invertierung einer Matrix
Definition und Lösbarkeit
●
●
Lineares Gleichungssystem
Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
Austauschverfahren
●
●
Austauschschema
Austauschregeln
Darstellung und Konvertierung von Zahlen
●
●
Gleitpunktzahlen
Zahlen verschiedener Basis
Spezielle Zahlen
In Mathematica sind einige spezielle Zahlen enthalten, die häufig benötigt werden und mit beliebiger Genauigkeit
aufgerufen werden können. Dazu gehören
mit dem Symbol Pi,
mit dem Symbol E,
als
Umrechnungsfaktor von Gradmaß in Bogenmaß mit dem Symbol Degree, Infinity als Symbol für
schon benutzte imaginäre Einheit I.
sowie die
Gradient in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Mit
gilt:
(13.37a)
wobei sich ergibt:
(13.37b)
Weitere Eigenschaften des Gradienten
1.
Der absolute Betrag des Gradienten ist in den Punkten größer, in deren Umgebung die Feldliniendichte größer
ist.
2.
Der Gradient verschwindet (
Minimum von
), wenn sich in dem betrachteten Feldpunkt ein Maximum oder
befindet. Dort entarten die Niveauflächen bzw. Niveaulinien zu einem Punkt.
Gradient in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
1. Gradient in kartesischen Koordinaten
(13.34)
2. Gradient in Zylinderkoordinaten (
)
(13.35a)
(13.35b)
3. Gradient in Kugelkoordinaten (
)
(13.36a)
(13.36b)
Darstellung von Graphen
Endliche Graphen können veranschaulicht werden, indem man jedem Knoten einen Punkt in der Ebene zuordnet und
zwei Punkte genau dann durch eine gerichtete oder ungerichtete Kurve verbindet, wenn der Graph die
entsprechende Kante besitzt. In den folgenden vier Abbildungen sind Beispiele gezeigt.
Die untere rechte Abbildung zeigt den PETERSEN-Graph , der dadurch bekannt geworden ist, daß er für viele
graphentheoretische Vermutungen, deren Beweis allgemein nicht gelang, als Gegenbeispiel diente.
Transportnetze
●
●
Transportnetz
Maximalstrom-Algorithmus von FORD und FULKERSON
Exakte Formulierung
Eine Funktion von zwei Veränderlichen
nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl
besitzt einen Grenzwert
eine zweite positive Zahl
wenn sich
angeben läßt, so daß gilt
(2.274a)
für alle Punkte
des Quadrates
(2.274b)
Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel
●
●
●
●
●
Sphärische Kurven, Großkreis und Kleinkreis
Sphärischer Abstand
Geodätische Linien
Messung des sphärischen Abstandes
Schnittwinkel, Kurswinkel und Azimut
Anwendungen bestimmter Integrale
●
●
●
Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals
Anwendungen in der Geometrie
Anwendungen in Mechanik und Physik
Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor
●
●
●
●
Grundgesamtheit
Stichprobe
Zufällige Auswahl mit Hilfe von Zufallszahlen
Zufallsvektor
Permutationen
1. Definition: Permutation
nennt man eine Anordnung von
Elementen in einer bestimmten
Reihenfolge.
2. Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung: Für die Anzahl
der Permutationen von
verschiedenen Elementen gilt
(16.1)
Beispiel
In einem Hörsaal wurde eine Reihe mit 16 Sitzplätzen von genau 16 Studenten besetzt. Es gibt
Möglichkeiten für die Sitzordnung.
3. Anzahl der Permutationen mit Wiederholung: Für die Anzahl
Elementen, darunter
gleichen
, gilt
der Permutationen von
(16.2)
Beispiel
Eine Reihe von 16 Sitzplätzen im Hörsaal wird von 16 Studenten mit ihren Taschen belegt. Unter den 16
Taschen befinden sich 4 gleiche. Dann gibt es
4. Verallgemeinerung: Für die Anzahl
Gruppen mit jeweils
Möglichkeiten für die Anordnung der Taschen.
der Permutationen von
gleichen Elementen
Elementen, eingeteilt in
, gilt
(16.3)
Beispiel
Aus den fünf Ziffern 4, 4, 5, 5, 5 können
werden.
verschiedene fünfstellige Zahlen gebildet
Genau eine Drehachse
a)
Sind Drehungen um beliebige Winkel möglich, d.h.
, so ist das Molekül linear, und die
Symmetriegruppe ist unendlich.
Beispiel A
Beim Molekül des Kochsalzes vom Typ Na--Cl gibt es keine horizontale Spiegelung. Die
dazugehörige Symmetriegruppe aller Drehungen um
wird mit
bezeichnet.
Beispiel B
Das Molekül
besitzt eine horizontale Spiegelung. Die zugehörige Symmetriegruppe wird durch
die Drehungen und diese Spiegelung erzeugt und mit
bezeichnet.
b)
Die Drehachse ist
-zählig,
sie ist aber keine Drehspiegelungsachse der Ordnung
Gibt es keine weiteren Symmetrieelemente, dann wird
erzeugt, d.h.
von einer Drehung
In diesem Fall wird
Gibt es noch eine vertikale Spiegelung
um den Winkel
ebenfalls mit
so gilt
um
bezeichnet.
, und
wird mit
bezeichnet. (s. Definition und grundlegende Eigenschaften von Gruppen).
Existiert dagegen eine horizontale Spiegelung
bezeichnet und ist für ungerades
so gilt
zyklisch (s. Untergruppen).
Beispiel A
Beim Wasserstoffperoxid treten diese drei Fälle in der oben angegebenen Reihenfolge für
bzw.
ein (Drehachse rot).
wird mit
Beispiel B
Das Wassermolekül
besitzt als Symmetrieelemente eine zweizählige Drehachse und eine
vertikale Spiegelungsebene. Folglich ist die Symmetriegruppe des Wassermoleküls isomorph zur
Gruppe
die ihrerseits isomorph zur KLEINschen Vierergruppe
ist.
c)
Die Drehachse ist -zählig, ist aber gleichzeitig Drehspiegelungsachse der Ordnung
Fälle zu unterscheiden.
Gibt es weiter keine vertikale Spiegelung, so gilt
bezeichnet.
Beispiel
und
Dabei sind zwei
wird auch mit
Ein Beispiel ist das Molekül Tetrahydroxy-Allen mit der Formel
Gibt es eine vertikale Spiegelung, dann ist
bezeichnet wird.
Beispiel
eine Gruppe der Ordnung
(Drehachse rot).
die mit
Für
ergibt sich
Allen-Molekül (Drehachse rot).
d.h. die Diedergruppe der Ordnung 8. Ein Beispiel ist das
Beispiel Moleküle
●
●
●
●
Räumliche Darstellung
Keine Drehachse
Genau eine Drehachse
Mehrere Drehachsen
Beispiele für Halbgruppen
Beispiel A
Zahlenbereiche bezüglich Addition oder Multiplikation.
Beispiel B
Potenzmenge bezüglich Vereinigung oder Durchschnitt.
Beispiel C
Matrizen bezüglich Addition oder Multiplikation.
Beispiel D
Menge
aller ,,Wörter`` (strings) über einem ,,Alphabet``
(Worthalbgruppe ).
bezüglich Hintereinanderschreibung
Hinweis: Bis auf die Multiplikation von Matrizen und die Hintereinanderschreibung von Wörtern sind alle in den
Beispielen vorkommenden Operationen kommutativ; man spricht dann von kommutativen Halbgruppen.
Beispiele zum Lemma von Jordan
●
●
●
●
Berechnung des Integrals
Integralsinus
Sprungfunktion
Rechteckimpuls
Definition
Oft auftretende algebraische Strukturen haben besondere Namen bekommen. Eine Menge
assoziativen binären Operation
heißt Halbgruppe ; Bezeichnung
versehen mit einer
Anwendungen der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie
Mit Hilfe der angegebenen Grundformeln können z.B. Entfernungen und Azimute bzw. Kurswinkel auf der Erde
bestimmt werden.
Beispiel A
Es ist die kürzeste Entfernung zwischen Dresden
zu berechnen.
und Alma Ata
Lösung: Die geographischen Koordinaten
Meridianen liegende Seiten
eingeschlossenen Winkel
und der Nordpol
und
Für
(3.173a)
des Dreiecks
folgt aus dem Kosinussatz
liefern zwei auf
sowie den
(3.182)
also
Der Großkreisabschnitt
(3.161a) die Länge 4694 km.
gemäß
Beispiel B
Es sind die Kurswinkel
und
bei Abfahrt und Ankunft sowie die Entfernung in Seemeilen für eine
Schiffsreise auf einem Großkreis von Bombay
zu berechnen.
nach Dar es Saalam
hat
Lösung: Die Berechnung der zwei Seiten
im sphärischen Dreieck
sowie des eingeschlossenen Winkels
mit Hilfe des Kosinussatzes
den geographischen Koordinaten
(3.173c)
mit
liefert
sm ergibt sich
, und wegen
sm.
Mit dem Seitenkosinussatz
(3.173a) erhält man
und
Somit ist
und
.
Hinweis: Die Verwendung des Sinussatzes zur Berechnung von Seiten und Winkeln ist nur dann sinnvoll, wenn aus
der Aufgabenstellung ersichtlich ist, ob diese spitz oder stumpf sind.
Invariante Mannigfaltigkeiten
●
●
●
Definition, Separatrixflächen
Satz von Hadamard und Perron für diskrete Systeme
Transversale homokline Punkte
Begriff des Hilbert-Raumes
●
●
●
Skalarprodukt
Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften
Hilbert-Raum
Kegelförmige Körper
●
●
●
●
Kegelflächen
Kegel
Gerade Kreiskegel
Gerader Kreiskegelstumpf
Kugel und Teile von Kugeln
●
●
●
●
Kugel
Kugelausschnitt
Kugelabschnitt
Kugelschicht
Wertesystem der Variablen
Das Wertesystem eines Arguments aus zwei Variablen
Koordinaten
und
und
kann als Punkt der Ebene mit den kartesischen
dargestellt werden; einem Wertesystem aus drei Variablen
drei kartesischen Koordinaten
entspricht ein Punkt mit
im dreidimensionalen Raum. Systeme aus vier und mehr Koordinaten kann
man sich nicht mehr anschaulich vorstellen. In Analogie zum dreidimensionalen Raum spricht man aber bei
Systemen aus
Koordinaten
Variablen
von einem Punkt im
-dimensionalen Raum mit den kartesischen
In dem im vorigen Abschnitt betrachteten Beispiel B
Variablen ist das Wertesystem ein Punkt im vierdimensionalen Raum mit den Koordinaten
und
mit vier
Darstellungen
●
●
Wertesystem der Variablen
Funktion u=f(x,y) zweier unabhängiger Variabler
Maßstab
Maßstab
nennt man im Karten- und Zeichenwesen das Verhältnis von Strecken
Koordinatensystem
relativ zu einer Strecke
Maßstabsumrechnung für Strecken: Mit
als Index für Karte gilt:
in einem
in einem anderen Koordinatensystem
als Modul oder Maßzahl und
als Index für Natur und
(3.89a)
Für zwei Strecken
mit verschiedenen Modulen
gilt:
(3.89b)
Maßstabsumrechnung für Flächen: Wenn die Flächen gemäß
berechnet
werden, gilt:
(3.90a)
Für zwei Flächen
mit verschiedenen Modulen
gilt:
(3.90b)
Topologische Konjugiertheit von diskreten Systemen
●
●
Definition
Satz von GROBMAN und HARTMAN
Horner-Schema
●
●
Reelle Argumentwerte
Komplexe Argumentwerte
Formeln für negative Argumente
(2.168)
(2.169)
(2.170)
(2.171)
Hyperbelfunktionen einer Variablen
(2.162)
(2.163)
(2.164)
(2.165)
(2.166)
(2.167)
Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes
Die entsprechenden Formeln sind der Übersichtlichkeit wegen in der folgenden Tabelle zusammengefaßt.
Tabelle Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen gleichen Arguments für
Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome)
Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome) werden durch direkte gliedweise Integration berechnet:
(8.11)
Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung:
●
●
●
●
1. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell und einfach
2. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell, einige von ihnen sind mehrfach
3. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind einfach komplex
4. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind mehrfach komplex
Unbestimmtes Integral
●
●
●
●
●
●
Stammfunktion oder Integral
Integrationsregeln
Integration rationaler Funktionen
Integration irrationaler Funktionen
Integration trigonometrischer Funktionen
Integration weiterer transzendenter Funktionen
Definition
Stammfunktion oder Integral einer gegebenen Funktion
definiert ist, wird eine differenzierbare Funktion
deren Ableitung gleich
, die in einem zusammenhängenden Intervall
genannt, die in demselben Intervall definiert ist und
ist:
(8.1)
Da bei der Differentiation einer Funktion eine additiv auftretende Konstante verschwindet, existieren zu einer
gegebenen Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Die Differenz zweier Stammfunktionen ist eine Konstante.
Daher können die Bilder aller Stammfunktionen
zu einer gegebenen Funktion durch
Parallelverschiebung einer bestimmten Stammfunktion in Richtung der Ordinatenachse erzeugt werden.
Existenz
Jede in einem zusammenhängenden Intervall stetige Funktion besitzt dort eine Stammfunktion. Im Falle von
Unstetigkeitsstellen wird das Intervall in Teilintervalle zerlegt, in denen die Ausgangsfunktion stetig ist.
Die gegebene Funktion
unteren.
befindet sich im oberen Teil der Abbildung, die Stammfunktion
im
Kurvenintegral allgemeiner Art
●
●
●
Definition
Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art
Umlaufintegral
Integralrechnung
●
Unbestimmtes Integral
❍ Stammfunktion oder Integral
■ Definition
■ Existenz
■ Unbestimmte Integrale
■ Integrale elementarer Funktionen
■ Tabelle der Grundintegrale
❍ Integrationsregeln
■ Integrand mit konstantem Faktor
■ Integration einer Summe oder Differenz
■ Umformung des Integranden
■ Lineare Transformation im Argument
■ Logarithmische Integration
■ Substitutionsmethode
■ Partielle Integration
■ Nichtelementarer Integrale
Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale
Integration rationaler Funktionen
■ Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome)
■ Integrale gebrochenrationaler Funktionen
■ Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung:
■ 1. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell und einfach
■ 2. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell, einige von ihnen sind mehrfach
■ 3. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind einfach komplex
■ 4. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind mehrfach komplex
Integration irrationaler Funktionen
■ Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen
■ Substitutionen zur Rückführung auf Integrale rationaler Ausdrücke, die trigonometrische und
Hyperbelfunktionen enthalten
■ Integration binomischer Integranden
■ Elliptische Integrale
■ Unbestimmte elliptische Integrale
■ Bestimmte elliptische Integrale
Integration trigonometrischer Funktionen
■ Substitution
■ Vereinfachte Methoden
■
❍
❍
❍
■
Integrand der Form
■
Integrand der Form
■
Integrand der Form
und
und
:
■
:
Integrand der Form
:
❍ Integration weiterer transzendenter Funktionen
■ Integrale mit Exponentialfunktionen
■ Integrale mit Hyperbelfunktionen
■ Anwendung der partiellen Integration
Bestimmte Integrale
❍ Grundbegriffe, Regeln und Sätze
■ Definition und Existenz des bestimmten Integrals
■ Definition
■ Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
■ Existenz des bestimmten Integrals
■ Eigenschaften bestimmter Integrale
■ Hauptsatz der Integralrechnung
■ Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel
■ Variable obere Integrationsgrenze
■ Zerlegung des Integrationsintervalls
■ Weitere Sätze über Integrationsgrenzen
■ Mittelwertsatz und verallgemeinerter Mittelwertsatz
■ Abschätzung des bestimmten Integrals
■ Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
■ Berechnung bestimmter Integrale
■ Hauptmethode
■ Umformung bestimmter Integrale
■ Methoden zur Berechnung komplizierter Integrale
■
●
Integrand der Form
Integration durch Reihenentwicklung
■ Graphische Integration
■ Planimeter und Integraphen
■ Numerische Integration
Anwendungen bestimmter Integrale
■ Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals
■ Anwendungen in der Geometrie
■ Flächeninhalte ebener Flächen
■ Bogenlängen ebener Kurven
■ Mantelflächen von Rotationskörpern
■ Volumina
■ Anwendungen in Mechanik und Physik
■ Weg eines Punktes
■ Arbeit
■ Druck
■ Trägheitsmomente
■ Schwerpunkte, GULDINsche Regeln
■
❍
■
■
■
■
des Bogenstückes:
2. Schwerpunkt
einer geschlossenen Kurve:
3. Erste GULDINsche Regel:
4. Schwerpunkt eines Trapezes:
5. Schwerpunkt
einer beliebigen ebenen Figur:
■ 6. Zweite GULDINsche Regel:
Uneigentliche Integrale, STIELTJES- und LEBESGUE-Integrale
■
❍
1. Schwerpunkt
Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
■ Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen
■ Definitionen
■ Geometrische Bedeutung des Integrals mit unendlichen Integrationsgrenzen
■ Hinreichende Konvergenzkriterien
■ Zusammenhang zwischen uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen
■ Integrale mit unbeschränktem Integranden
■ Definitionen
■ Geometrische Bedeutung
■ Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung
■ Hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals mit
unbeschränktem Integranden
Parameterintegrale
■ Definition
■ Differentiation unter dem Integralzeichen
■ Integration unter dem Integralzeichen
Integration durch Reihenentwicklung, spezielle
nichtelementare Funktionen
■
❍
❍
■
Integralsinus (
)
■
Integralkosinus (
■
Integrallogarithmus (
■
Integralexponentialfunktion (
)
, für
als CAUCHYscher Hauptwert)
, für
als CAUCHYscher Hauptwert)
GAUSSsches Fehlerintegral und Fehlerfunktion
■ Gammafunktion
■ Definition
■ Eigenschaften der Gammafunktion
■ Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät
■ Elliptische Integrale
Kurvenintegrale
❍ Kurvenintegrale erster Art
■ Definitionen
■ Existenzsatz
■ Berechnung des Kurvenintegrals erster Art
■ Kurvenelemente
■ Anwendungen des Kurvenintegrals erster Art
❍ Kurvenintegrale zweiter Art
■ Definitionen
■ Projektion auf die x-Achse:
■ Projektion auf die y-Achse:
■ Projektion auf die z-Achse:
■ Existenzsatz
■ Berechnung der Kurvenintegrale zweiter Art
■ Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform:
■ Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form:
❍ Kurvenintegral allgemeiner Art
■ Definition
■ Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art
■
●
Umlaufintegral
❍ Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg
■ Zweidimensionaler Fall
■ Dreidimensionaler Fall
■ Berechnung der Stammfunktion
■ Zweidimensionaler Fall
■ Dreidimensionaler Fall
■ Verschwinden des Umlaufintegrals
Mehrfachintegrale
❍ Doppelintegral
■ Begriff des Doppelintegrals
■ Definition
■ Existenzsatz
■ Geometrische Bedeutung
■ Berechnung des Doppelintegrals
■ Berechnung in kartesischen Koordinaten
■ Berechnung in Polarkoordinaten
■ Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
■
●
■
Anwendungen von Doppelintegralen
Dreifachintegral
■ Begriff des Dreifachintegrals
■ Definition
■ Existenzsatz
■
❍
Ebene Flächenelemente in der
-Ebene
■
Berechnung des Dreifachintegrals
■ Berechnung in kartesischen Koordinaten
■ Berechnung in Zylinderkoordinaten
■ Berechnung in Kugelkoordinaten
■
Volumenelemente
■ Anwendungen von Dreifachintegralen
Oberflächenintegrale
❍ Oberflächenintegrale erster Art
■ Begriff des Oberflächenintegrals erster Art
■ Definition
■ Existenzsatz
■ Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art
■ Explizite Darstellung der Fläche
■ Parameterdarstellung der Fläche
■ Flächenelemente gekrümmter Flächen
■ Anwendungen des Oberflächenintegrals erster Art
❍ Oberflächenintegrale zweiter Art
■ Begriff des Oberflächenintegrals zweiter Art
■ Begriff einer orientierten Fläche
■ Projektion eines orientierten Flächenstückes auf eine Koordinatenebene
■ Definition des Oberflächenintegrals zweiter Art über eine Projektion auf eine
Koordinatenebene
■ Existenzsatz für das Oberflächenintegral zweiter Art
■
●
Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
Berechnung des Oberflächenintegrals zweiter Art
■ Explizite Vorgabe der Flächengleichung
■ Vorgabe der Flächengleichung in Parameterform
Oberflächenintegral allgemeiner Art
■ Eigenschaften des Oberflächenintegrals
■ Eine Anwendung des Oberflächenintegrals
■
❍
Methoden zur Berechnung komplizierter Integrale
Wenn die Berechnung eines unbestimmten Integrals sehr kompliziert ist oder wenn es sich nicht durch elementare
Funktionen ausdrücken läßt, dann ist es in einer Reihe von Fällen durch Anwendung verschiedener Methoden
(manchmal ,,Kunstgriffe`` genannt) trotzdem möglich, den Wert des Integrals zu berechnen. Dazu gehören die
Integration von Funktionen mit komplexen Veränderlichen, wie sie in den Beispielen zur Anwendung des
Residuensatzes und des Lemmas von JORDAN demonstriert werden, und auch die Differentiation eines Integrals
nach einem Parameter:
(8.51)
Beispiel
. Parametereinführung
:
.
Anwendung von (8.51) auf
:
.
. Ergebnis:
Integration:
.
Berechnung bestimmter Integrale
●
●
●
●
●
●
●
Hauptmethode
Umformung bestimmter Integrale
Methoden zur Berechnung komplizierter Integrale
Integration durch Reihenentwicklung
Graphische Integration
Planimeter und Integraphen
Numerische Integration
Anwendung der partiellen Integration
Wenn der Integrand Logarithmen, inverse trigonometrische Funktionen, inverse Hyperbelfunktionen oder Produkte
von
mit
oder
enthält, kann die Lösung durch einfache oder mehrfache
Anwendung der partiellen Integration herbeigeführt werden.
In einigen Fällen führt die wiederholte Anwendung der partiellen Integration wieder auf das ursprünglich gegebene
Integral. Dann wird seine Berechnung auf die Lösung einer algebraischen Gleichung zurückgeführt. Auf diese Weise
werden z.B. die Integrale
berechnet, wozu eine zweimalige partielle
wird in beiden Fällen die Funktion des gleichen Typs gewählt, also entweder
Integration erforderlich ist. Als Faktor
die Exponential- oder die trigonometrische Funktion.
Die partielle Integration wird auch in den Fällen
eingesetzt, wobei
ein Polynom ist.
Grundbegriffe, Regeln und Sätze
●
●
●
Definition und Existenz des bestimmten Integrals
Eigenschaften bestimmter Integrale
Berechnung bestimmter Integrale
Hauptmethode
Die Hauptmethode zur Berechnung eines bestimmten Integrals ist der Weg über den Hauptsatz der
Integralrechnung, d.h. die Berechnung des unbestimmten Integrals, z.B. unter Benutzung der Tabelle Unbestimmte
Integrale. Dabei ist darauf zu achten, ob beim Einsetzen der Grenzen uneigentliche Integrale entstehen.
Heute werden verbreitet Computeralgebrasysteme zur analytischen Berechnung von unbestimmten und bestimmter
Integralen eingesetzt.
Definition des Integrals im Komplexen
●
●
●
Bestimmtes komplexes Integral
Unbestimmtes komplexes Integral
Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem komplexen Integral
Bestimmtes und unbestimmtes Integral
●
●
Definition des Integrals im Komplexen
Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 432 bis 439
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 440 bis 446
Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 456 bis 464
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 472 bis 479
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 480 bis 487
Mit
sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 496 bis 503
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 504 bis 511
Integrale mit
Das Integral wird für
, Nr. 1 bis 8
oder bei ganzzahligem
und gebrochenem
angewandt; in diesem Fällen wird
nach dem binomischen Lehrsatz entwickelt.
Integrale mit
, Nr. 9 bis 16
Integrale mit
, Nr. 17 bis 24
Integrale mit
, Nr. 25 bis 30
Wenn der Nenner des Gliedes unter dem Summenzeichen verschwindet, dann ist ein solches Glied durch das
folgende zu ersetzen:
Integrale mit
, Nr. 31 bis 39
Integrale mit
, Nr. 40 bis 48
Integrale mit
, Nr. 49 bis 56
Integrale mit
, Nr. 57 bis 69
Integrale mit
, Nr. 70 bis 82
Integrale mit
, Nr. 83 bis 96
Integrale mit
, Nr.97 bis 100
Integrale mit
, Nr. 101 bis 104
4. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind mehrfach komplex
(8.16a)
a) Form der Zerlegung:
(8.16b)
b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Konstanten werden mit Hilfe der Methode der
unbestimmten Koeffizienten bestimmt.
c) Integration des Ausdrucks
mit
in folgenden Schritten:
) Umformung des Zählers gemäß
(8.16c)
) Zerlegung des gesuchten Integrals in zwei Summanden, wobei sich der erste direkt integrieren läßt:
(8.16d)
) Der zweite Summand wird ohne den konstanten Faktor mit der folgenden Rekursionsformel
berechnet:
(8.16e)
Beispiel
.
Mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten ergibt sich das Gleichungssystem
,
woraus folgt
also:
. Da gemäß (8.16e) gilt:
, ergibt sich
schließlich:
.
Integrale mit
und
, Nr. 109 bis 116
Andere Integrale mit
, Nr. 117 bis 120
Integrale mit
, Nr. 121 bis 132
Integrale mit
, Nr. 133 bis 145
Integrale mit
und
, Nr. 146 bis 156
Integrale mit
, Nr. 157 bis 163
Integrale mit
, Nr. 164 bis 170
Integrale mit
, Nr. 171 bis 177
Integrale mit
, Nr. 178 bis 184
Integrale mit
, Nr. 185 bis 191
Integrale mit
, Nr. 192 bis 198
Integrale mit
, Nr. 199 bis 205
Integrale mit
, Nr. 206 bis 212
Integrale mit
, Nr. 213 bis 219
Integrale mit
, Nr. 220 bis 226
Integrale mit
, Nr. 227 bis 233
Integrale mit
, Nr. 234 bis 240
Integrale mit
, Nr. 241 bis 246
Integrale mit
, Nr. 247 bis 254
.
Integrale mit
, Nr. 255 bis 260
.
Integrale mit
, Nr. 261 bis 267
Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken, Nr. 268 bis 272
Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential, Nr. 273
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 305 bis 312
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 345 bis 353
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 361 bis 368
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 282 bis 289
Das bestimmte Integral
nennt man Integralsinus und bezeichnet es mit
Als Reihenentwicklung (s. auch Berechnung des Integrals) ergibt sich:
.
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 400 bis 408
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 290 bis 296
Mit
sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 297 bis 304
Integrale Kosinusfunktion, Nr. 329 bis 336
Mit
sind die EULERschen Zahlen bezeichnet.
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 337 bis 344
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 369 bis 376
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 377 bis 384
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 385 bis 391
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 392 bis 399
Einführung und Klassifikation
●
●
Definitionen
Zusammenhang mit Differentialgleichungen
Lineare Integralgleichungen
●
●
Einführung und Klassifikation
❍ Definitionen
❍ Zusammenhang mit Differentialgleichungen
Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
❍ Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
■ Lösungsansatz im Falle von Produktkernen
■ Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
■ Diskussion der Lösung, Eigenwerte und Eigenfunktionen
■ Transponierte Integralgleichung
❍ Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe
■ Iterationsverfahren
■ Konvergenz der NEUMANNschen Reihe
❍ Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze
■ Fredholmsche Lösungsmethode
■ Näherungslösung durch Diskretisierung
■ Bestimmung der Resolvente
Fredholmsche Sätze
❍ Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
■ Approximation des Integrals
■ Semidiskretes Problem
■ NYSTRÖM-Verfahren
■ Kernapproximation
■ Tensorprodukt-Approximation
■ Spezieller Spline-Ansatz
■ Kollokationsmethode
Fredholmsche Integralgleichung 1. Art
❍ Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
■ Formulierung der Aufgabe
■ Lösungsansatz
■ Lösungen
❍ Begriffe, analytische Grundlagen
■ Lösungsansatz
■ Quadratische Integrierbarkeit
■ Orthonormalsystem
■ Fourier-Reihen
❍ Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
■ Problemstellung
❍ Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art
❍ Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern
■ Prinzipielle Vorgehensweise
■
●
Algorithmus
❍ Iteratives Verfahren
Volterrasche Integralgleichungen
❍ Theoretische Grundlagen
■ Methode der Umwandlung
■ Umwandlung durch Differentiation
■ Umwandlung durch partielle Integration
❍ Lösung durch Differentiation
❍ Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art
❍ Volterrasche Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp
❍ Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen
2. Art
Singuläre Integralgleichungen
❍ Abelsche Integralgleichung
❍ Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen
■ Formulierung der Aufgabe
■ Existenz einer Lösung
■ Eigenschaften des Cauchy-Integrals
■ Hilbertsches Randwertproblem
■ Zusammenhang
■ HILBERTsches Randwertproblem
■ Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
■ Homogene Randbedingungen
■ Inhomogene Randbedingungen
■
●
●
■
Lösung der charakteristischen Integralgleichung
■ Homogene charakteristische Integralgleichung
■ Inhomogene charakteristische Integralgleichung
Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
●
●
Homogene Randbedingungen
Inhomogene Randbedingungen
Berechnung des Integrals
Dem gesuchten reellen Integral wird auf folgende Weise ein komplexes Integral zugeordnet:
.
Das letzte dieser Integrale ist Bestandteil des komplexen Integrals
. Die Kurve
besteht aus
dem oben definierten Halbkreisbogen
und dem Stück der reellen Achse
komplexe Integrand hat in der oberen Halbebene nur die singuläre Stelle
und
. Der
. Nach dem Residuensatz gilt:
so daß
Aus
ergibt sich unter Beachtung des Lemmas von JORDAN:
.
Auf ähnliche Weise wurden weitere Integrale der Tabelle Bestimmte Integrale berechnet.
Laplace-Transformation
●
●
●
Eigenschaften der Laplace-Transformation
Rücktransformation in den Originalbereich
Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation
Integraltransformationen
●
●
Begriff der Integraltransformation
❍ Allgemeine Definition der Integraltransformationen
❍ Spezielle Integraltransformationen
❍ Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen
❍ Umkehrtransformationen
❍ Linearität der Integraltransformationen
❍ Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
❍ Anwendungen der Integraltransformationen
■ Prinzipielle Bedeutung
■ Schema der Operatorenmethode
Laplace-Transformation
❍ Eigenschaften der Laplace-Transformation
■ Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich
■ Definition der Laplace-Transformation
■ Konvergenz
Inverse Laplace-Transformation (Rücktransformation)
Rechenregeln zur Laplace-Transformation
■ Additions- oder Linearitätssatz, Ähnlichkeitssätze
■ Verschiebungssätze
■ Dämpfungssatz
■ Differentiation im Originalbereich
■ Differentiation im Bildbereich
■ Integration im Originalbereich
■ Integration im Bildbereich
■ Divisionssatz
■ Differentiation und Integration nach einem Parameter
■ Faltung
■ Faltung im Originalbereich:
■ Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung):
Bildfunktionen spezieller Funktionen
■ Sprungfunktion
■ Rechteckimpuls
■ Impulsfunktion
■ Stückweise differenzierbare Funktionen
■ Periodische Funktionen
■
■
■
■
Diracsche
-Funktion und Distributionen
■ Verallgemeinerte Funktionen
■
Approximationen der
■
Eigenschaften der
-Funktion
-Funktion
❍
Rücktransformation in den Originalbereich
■ Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
■ Partialbruchzerlegung
■ Reihenentwicklungen
- eine absolut konvergente Reihe
■
- eine meromorphe Funktion
Umkehrintegral
❍ Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation
■ Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
■ Prinzip
■ Differentialgleichung 1. Ordnung
■ Differentialgleichung 2. Ordnung
■ Differentialgleichung n-ter Ordnung
■ Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten
■ Partielle Differentialgleichungen
■ Allgemeine Vorgehensweise
■ Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium
■ Problemstellung:
■ LAPLACE-Transformation:
■ Rücktransformation:
Fourier-Transformation
■
●
■
❍
Eigenschaften der Fourier-Transformation
■ Fourier-Integral
■ Fourier-Integral in komplexer Darstellung
■ Äquivalente Darstellungen des Fourier-Integrals
■ Fourier-Transformation und Umkehrtransformation
■ Definition und Existenz der Fourier-Transformation
■ 1. Definition der Fourier-Transformation:
■ 2. Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion:
■ 3. Nicht Fourier-transformierbare Funktionen:
■ Fourier-Sinus- und Fourier-Kosinus-Transformation
■ Exponentielle Fourier-Transformation
■ Tabellen der Fourier-Transformation
■ Spektralinterpretation der FOURIER-Transformation
■ Rechenregeln zur Fourier-Transformation
■ Additionssatz, Ähnlichkeitssatz
■ Verschiebungssatz
■ Dämpfungssatz
■ Differentiation im Bildbereich und im Originalbereich
■ Integration im Bildbereich
■ Integration im Originalbereich und PARSEVALsche Formel
■ Faltung
■ Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation
■ Bildfunktionen spezieller Funktionen
■ Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -a|t|
■ Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -at
Bildfunktion zum bipolaren Rechteckimpuls
■ Bildfunktion zur gedämpften Schwingung
❍ Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-Transformation
■ Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
■ Partielle Differentialgleichungen
■ Allgemeine Vorgehensweise
■ Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium
■ Problemstellung:
■ Fourier-Transformation:
■ Rücktransformation:
Z-Transformation
❍ Eigenschaften der Z-Transformation
■ Diskrete Funktionen
■ Definition der Z-Transformation
■ Originalfolge und Bildfunktion
■ Eigenschaften
■ Grenzwertsätze
■ Rechenregeln
■ Translation
■ Summation und Differenzenbildung
■ Dämpfung und Faltung
■ Differentiation und Integration der Bildfunktion
■ Zusammenhang mit der Laplace-Transformation
■ Umkehrung der Z-Transformation
❍ Anwendungen der Z-Transformation
■
●
Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
■ Differenzengleichung zweiter Ordnung (Anfangswertaufgabe)
■ Differenzengleichung zweiter Ordnung (Randwertaufgabe)
Wavelet-Transformation
❍ Signale
❍ Wavelets
■ Mittelwert
■ Moment
■ Ordnung
■ Ortogonalität
❍ Wavelet-Transformation
❍ Diskrete Wavelet-Transformation
■ Schnelle Wavelet-Transformation
■ Diskrete Haar-Wavelet-Transformation
❍ Gabor-Transformation
WALSH-Funktionen
❍ Treppenfunktionen
❍ WALSH-Systeme
■
●
●
Treppenfunktionen
Bei der Approximation von Funktionen spielen orthogonale Funktionensysteme, z.B. spezielle Polynome oder
trigonometrische Funktionen, eine wichtige Rolle, weil sie glatt, d.h. hinreichend oft differenzierbar in dem
betrachteten Intervall sind. Es gibt aber auch Probleme, z.B. die Übertragung der Bildpunkte eines gerasterten
Bildes, für deren mathematische Behandlung glatte Funktionen nicht geeignet sind, sondern sich Treppenfunktionen ,
also stückweise konstante Funktionen besser eignen. WALSH-Funktionen sind sehr einfache Treppenfunktionen. Sie
nehmen nur die zwei Funktionswerte + 1 und - 1 an. Diese zwei Funktionswerte entsprechen zwei Zuständen, so daß
WALSH-Funktionen besonders einfach in Computern realisiert werden können.
Numerische Integration
Wenn der Integrand eines bestimmten Integrals sehr kompliziert ist, sich nicht elementar integrieren läßt oder nur in
Form von diskreten Funktionswerten vorliegt, z.B. als Wertetabelle, dann sind sogenannte Quadraturformeln und
andere Methoden der numerischen Mathematik anzuwenden.
Integrale mit Hyperbelfunktionen
Integrale mit Hyperbelfunktionen, die die Funktionen
und
im Integranden
enthalten, werden gewöhnlich berechnet, indem die Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunktionen ersetzt werden.
Die meist auftretenden Fälle
Methoden integriert, wie sie bei den trigonometrischen Funktionen zur Anwendung kommen.
werden mit
Vereinfachte Methoden
●
Integrand der Form
und
●
Integrand der Form
●
Integrand der Form
●
Integrand der Form
:
●
Integrand der Form
:
und
:
Tautologien der Prädikatenlogik
Die Verneinung prädikatenlogischer Ausdrücke wird durch folgende Tautologien beschrieben:
(5.22)
Damit sind die Quantoren
und
durcheinander ausdrückbar:
(5.23)
Weitere Tautologien der Prädikatenlogik sind:
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
Außerdem gelten folgende Implikationen:
(5.28)
(5.29)
(5.30)
(5.31)
(5.32)
Die Umkehrungen dieser Implikationen gelten durchweg nicht. Insbesondere muß man beachten, daß verschiedene
Quantoren nicht vertauschbar sind (s. letzte Implikation).
Arithmetische Operationen
Die arithmetischen Operationen sind mit reellen Zahlen stets durchführbar und ergeben stets wieder eine reelle Zahl.
Eine Ausnahme ist die Division durch Null. Das Potenzieren und seine Umkehrung sind ebenfalls im System der
reellen Zahlen möglich; aus jeder positiven reellen Zahl lassen sich beliebige Wurzeln ziehen; zu jeder positiven
reellen Zahl gibt es einen Logarithmus mit beliebiger positiver Basis, ausgenommen die Eins als Basis.
Eine Verallgemeinerung des Zahlbegriffs in der Analysis führt zu den komplexen Zahlen.
Einführung des Begriffs Pseudotensor
●
Vektorprodukt bei Rauminversion
Skalarprodukt bei Rauminversion
Spatprodukt bei Rauminversion
Pseudovektor und schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe
●
Pseudotensoren
●
●
●
-ter Stufe
Stetige Operatoren
Sei
eine Abbildung des metrischen Raumes
.
heißt stetig im Punkt
in den metrischen Raum
, wenn für jede Umgebung
eine Umgebung
des Punktes
existiert, so daß gilt:
(12.74)
heißt stetig auf der Menge
zur Stetigkeit auf
, wenn
in jedem Punkt der Menge A stetig ist. Äquivalente Eigenschaften
sind:
a)
Für einen beliebigen Punkt
stets
b)
und eine beliebige Folge
, also
impliziert
mit
gilt
.
Für eine beliebige offene Teilmenge
ist das Urbild
eine offene Teilmenge in
.
c)
Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge
Teilmenge in
ist das Urbild
.
d)
Für eine beliebige Teilmenge
gilt
.
eine abgeschlossene
Kurswinkel
Setzt man den Sinus- und Seitenkosinussatz zur Berechnung von
der Ergebnisse und anschließende Auflösung nach dem Kurswinkel
und
ein, so ergibt eine Division
:
(3.215)
Hinweis: Mit den Formeln (3.214a), (3.215), (3.212a) und (3.212b) lassen sich die Koordinaten des nordpolnächsten
Punktes
einer durch zwei Punkte
und
festgelegten Orthodrome berechnen.
Geometrie
3.1
BÄR, G.: Geometrie. -- B. G. Teubner 1996.
3.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
3.3
BÖHM, J.: Geometrie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag Verlag H. Deutsch 1988.
3.4
DRESZER, J.: Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. -- Verlag H. Deutsch 1975.
3.5
EFIMOW, N.V.: Höhere Geometrie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag Vieweg 1970.
3.6
FISCHER, G.: Analytische Geometrie. -- Verlag Vieweg 1988.
3.7
Kleine Enzyklopädie Mathematik. -- Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1967. -- Gekürzte Ausgabe: Mathematik
Ratgeber. -- Verlag H. Deutsch 1988.
3.8
KLINGENBERG, W.: Lineare Algebra und Geometrie. -- Springer-Verlag 1993.
3.9
KLOTZEK, B.: Einführung in die Differentialgeometrie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1995.
3.10
KOECHER, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. -- Springer-Verlag 1992.
3.11
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. II. -- S. Hirzel Verlag 1978.
3.12
MARSOLEK, L.: BASIC im Bau- und Vermessungswesen. -- B. G. Teubner 1986.
3.13
MATTHEWS, V.: Vermessungskunde Teil 1 u. 2. -- B. G. Teubner 1993.
3.14
NICKEL, H. (HRSG.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1990.
3.15
PAULI, W. (HRSG.): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der
Ebene. -- Verlag H. Deutsch 1989.
3.16
RASCHEWSKI, P.K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis. -- Verlag H. Deutsch 1995.
3.17
SCHÖNE, W.: Differentialgeometrie. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 6), 1975; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 6) 1978.
3.18
SCHRÖDER, E.: Darstellende Geometrie. -- Verlag H. Deutsch 1980.
3.19
SIGL, R.: Ebene und sphärische Trigonometrie. -- Verlag H. Wichmann 1977.
3.20
STEINERT, K.-G.: Sphärische Trigonometrie. -- B. G. Teubner 1977.
Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Tabelle Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Art der Auswahl bzw. Zusammenstellung von
Elementen
Permutationen
Kombinationen
Variationen
aus
Anzahl der Möglichkeiten
ohne Wiederholung
mit Wiederholung
Hinweis zum Begriff des Vektorprodukts zweier Vektoren
Im Bereich der Multivektoren oder vollständig alternierenden Tensoren, die hier nicht vorgestellt werden können, gibt
es das sogenannte progressive, alternierende oder äußere Produkt, das im klassischen dreidimensionalen Falle das
bekannte Vektorprodukt darstellt.
Funktionswerte für ausgewählte Winkelargumente im Grad- oder Bogenmaß
.
Tabelle Werte der trigonometrischen Funktionen für
Winkel Bogen
und
Winkel im Bogenmaß
Funktionswerte im Bogenmaß, d.h. in der Einheit Radiant, können mit Hilfe von
(2.74)
umgerechnet werden (s. Einheit des Grad- und des Bogenmaßes).
Wertebereiche und Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen
●
●
●
●
Winkelbereich zwischen 0 und 360 Grad
Funktionswerte für ausgewählte Winkelargumente im Grad- oder Bogenmaß
Beliebige Winkel
Winkel im Bogenmaß
Reduktionsverfahren für
Gegeben ist die lösbare DIOPHANTische Gleichung
(5.162a)
mit
und ggT
Wäre ggT
dann müßte man die Gleichung noch durch ggT
dividieren. Nach
der Umformung
(5.162b)
betrachtet man
als ganzzahlige Konstante und erhält eine lineare DIOPHANTische Gleichung in
Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ggT
ein Teiler von
ist.
Die Bedingung
(5.162c)
ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen
gibt, für die gilt:
(5.162d)
Das ist eine lineare DIOPHANTische Gleichung in zwei Unbekannten, die mit Hilfe des Lösungsverfahrens für
gelöst werden kann. Ist ihre Lösung bekannt, dann hat man nur noch eine lineare DIOPHANTische Gleichung in
Unbekannten zu lösen.
Die beschriebene Reduktion ist fortsetzbar, bis man schließlich eine lineare DIOPHANTische Gleichung in zwei
gelöst werden kann.
Unbekannten erhält, die mit dem Verfahren für
Aus den zwischenzeitlich berechneten Lösungsmengen für DIOPHANTische Gleichungen in zwei Unbekannten muß
man nun nur noch die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ablesen.
Beispiel
Es ist die DIOPHANTische Gleichung
(5.163a)
ist ein Teiler von 3.
zu lösen. Sie ist lösbar, denn ggT
Die DIOPHANTische Gleichung
(5.163b)
in den Unbekannten
ist genau dann lösbar, wenn ggT
zugehörige DIOPHANTische Gleichung
Daraus folgt
der lösbaren DIOPHANTischen Gleichung
ein Teiler von
ist. Die
hat die Lösungsmenge
und gesucht ist nun die Lösungsmenge
bzw.
(5.163c)
für jedes
Die Gleichung (5.163c) ist lösbar wegen ggT
und
Es gilt
Die Lösungsmenge ist
Daraus folgt
so daß sich die Lösungsmenge von (5.163a) zu
ergibt.
Kongruenzen
Es sei
eine natürliche Zahl mit
gleichen Rest, so nennt man
und
Lassen zwei ganze Zahlen
und
kongruent modulo m und schreibt dafür
bei Division durch
mod
den
oder
Beispiel
mod 5 ,
Hinweis: Offensichtlich gilt
Kongruenz modulo
mod 5 ,
mod
mod 5 .
genau dann, wenn
ein Teiler der Differenz
ist. Die
ist eine Äquivalenzrelation in der Menge der ganzen Zahlen. Es gilt:
(5.164a)
(5.164b)
(5.164c)
Rechenregeln
(5.165a)
(5.165b)
(5.165c)
(5.165d)
Allgemeine Bedingungen zur Lösbarkeit
Eine Kongruenz
ggT
für
für
ist genau dann lösbar, wenn
ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, dann gibt es für
für
eine Lösung, für
und
zwei und
vier Lösungen modulo
Für Kongruenzen der allgemeinen Form
(5.178a)
sind
(5.178b)
notwendige Bedingungen für die Lösbarkeit. Sind alle diese Bedingungen erfüllt, dann ist die Anzahl der Lösungen gleich
für
und
gleich
für
und gleich
für
.
Eigenschaften quadratischer Kongruenzen
Es gelten folgende Eigenschaften:
(5.177a)
(5.177b)
(5.177c)
(5.177d)
(5.177e)
(E6)
Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Sind
und
zwei verschiedene ungerade Primzahlen, dann gilt:
(5.177f)
Beispiel
.
Zufallszahlen
Zufallszahlen sind Realisierungen von Zufallsgrößen, die bestimmten Verteilungen genügen. Auf diese Weise kann
man verschiedene Arten von Zufallszahlen unterscheiden.
●
●
●
Gleichverteilte Zufallszahlen
Zufallszahlen mit anderen Verteilungen
Tabelle von Zufallszahlen
Physikalische Konstanten
Die Tabelle enthält diejenigen physikalischen Werte, die in der Veröffentlichung ,,Die Festlegung der fundamentalen
physikalischen Konstanten 1986`` (E.R. Cohen und B.N. Taylor, Review of Modern Physics, Vol. 59, No. 4, Oktober
1987) enthalten sind und auf dem CODATA Bulletin No. 63, November 1986 basieren.
Die Zahlen in den runden Klammern stellen die Standardabweichung der letzten Ziffern des Wertes dar.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Fundamentalkonstanten
Spezielle elektrische Konstanten
Thermodynamische Konstanten
Konstanten der Atom- und Kernphysik
Magnetische Momente von Elementarteilchen
COMPTON-Wellenlänge von Elementarteilchen
Ruhemassen und Ruhenergien von Elementarteilchen
Wechselwirkungskonstanten der Elementarteilchenphysik
Astronomische Größen
Definition
Die wichtigsten Funktionenreihen sind die Potenzreihen der Gestalt
(7.75a)
oder
(7.75b)
wobei die Koeffizienten
und die Entwicklungsstelle
konstante Zahlen sind.
Definition, Konvergenz
●
●
●
Definition
Absolute Konvergenz und Konvergenzradius
Gleichmäßige Konvergenz
Unendliche Reihen
7.1
APELBLAT, A.: Tables of Integrals and Series. -- Verlag H. Deutsch 1996.
7.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
7.3
COURANT, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1971-72.
7.4
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
7.5
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
7.6
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 bis 3. -- Verlag H. Deutsch 1993-1995.
7.7
HARBARTH, K.; RIEDRICH, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 4), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 4), 1978.
7.8
KNOPP, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. -- Springer-Verlag 1964.
7.9
KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig (MINÖL, Bd. 5), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 5), 1980.
7.10
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K., HRG. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1 bis 4. -- S. Hirzel
Verlag 1989.
7.11
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
7.12
PLASCHKO, P.; BROD, K.: Höhere mathematische Methoden für Ingenieure und Physiker. --Springer-Verlag
1989.
7.13
PFORR, E.A.; SCHIROTZEK, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen. -- BSB B.
G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 2), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 2), 1978.
7.14
SCHELL, H.-J.: Unendliche Reihen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 3), 1974; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 3), 1978.
7.15
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
7.16
STÖCKER, H.(HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1995.
7.17
TRIEBEL, H.: Höhere Analysis. -- Verlag H. Deutsch 1980.
Definition
Neben der Reihe
(7.31a)
mit Gliedern, die verschiedene Vorzeichen haben können, wie z.B. in einer alternierenden Reihe, wird auch die Reihe
(7.31b)
betrachtet, deren Glieder die Absolutbeträge der Glieder der Reihe (7.31a) sind. Wenn die Reihe (7.31b) konvergent
ist, dann ist es auch die Reihe (7.31a). In diesem Falle spricht man von der absoluten Konvergenz der Reihe (7.31a).
Wenn die Reihe (7.31b) divergent ist, dann kann die Reihe (7.31a) entweder auch divergent oder konvergent sein. Im
letzten Falle spricht man von der bedingten Konvergenz der Reihe (7.31a).
Beispiel A
Die Reihe
(7.32a)
in der
eine beliebige konstante Zahl ist, konvergiert absolut, da die Reihe mit dem absoluten Glied
konvergiert. Dies zeigt ein Vergleich mit der geometrischen Reihe (7.15):
(7.32b)
Beispiel B
Die Reihe
(7.33)
konvergiert bedingt, wie (7.35b) und ein Vergleich mit der divergenten harmonischen Reihe (7.16) zeigen, die das
allgemeine Glied
hat.
Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen
1. Stetigkeit: Wenn
stetige Funktionen in einem Definitionsbereich sind
in diesem Gebiet gleichmäßig konvergiert,
und wenn die Reihe
dann ist ihre Summe
in dem gleichen Gebiet eine stetige Funktion. Wenn die Reihe in einem endlichen
in diesem Gebiet Unstetigkeitsstellen
Gebiet nicht gleichmäßig konvergiert, dann kann ihre Summe
besitzen.
Beispiel A
(7.72a) ist
Die Summe der Reihe
unstetig:
Beispiel B
für
und
für
.
Die Summe der Reihe
(7.71a) ist eine stetige Funktion: Die
Reihe ist ungleichmäßig konvergent, aber nicht in einem endlichen Gebiet, sondern auf der gesamten
Zahlengeraden.
2. Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter Reihen: Im Gebiet
der gleichmäßigen
Konvergenz darf eine Reihe gliedweise integriert werden. Ebenso darf eine konvergente Reihe gliedweise
differenziert werden, wenn die dadurch entstehende Reihe gleichmäßig konvergent ist. Das heißt:
(7.74a)
(7.74b)
Rechnen mit Potenzreihen
●
●
●
●
Summe und Produkt
Erste Glieder einiger Potenzen einer Potenzreihe
Quotient zweier Potenzreihen
Umkehrung einer Potenzreihe
Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
●
●
●
Unendliche Reihe und ihre Summe
Konvergente und divergente Reihen
Reihenrest
Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen
Die Räume
●
●
●
●
●
●
●
●
und
seien jetzt als BANACH-Räume vorausgesetzt.
BANACH-STEINHAUS-Satz, Prinzip der gleichmäßigen Beschränkheit
Satz von der offenen Abbildung
Satz vom abgeschlossenen Graphen
Satz von Hellinger und Toeplitz
Satz von Krein und Losanowskij
Inverser Operator
Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators
Methode der sukzessiven Approximation
Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren
●
●
●
Beschränktheit und Norm linearer Operatoren
Raum linearer stetiger Operatoren
Konvergenz von Operatorenfolgen
Einige spezielle Reihen
●
●
Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
Bernoullische und Eulersche Zahlen
Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe
●
●
●
●
Koordinatentransformation
Lineare Vektorfunktion
Gemischte Koordinaten
Rein kovariante und rein kontravariante Koordinaten
Darstellung der Koordinaten mit Hilfe von Skalarprodukten
Die kovariante Koordinate eines Vektors
Grundvektor des Koordinatensystems:
ist gleich dem skalaren Produkt dieses Vektors mit dem zugehörigen
(3.282)
Die kontravariante Koordinate eines Vektors
reziproken Grundvektor:
ist gleich dem skalaren Produkt dieses Vektors mit dem zugehörigen
(3.283)
In kartesischen Koordinaten stimmen die oberen mit den unteren Formeln überein:
(3.284)
Kartesische und Zylinderkoordinaten
1. Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Zylinderkoordinaten:
(13.18)
2. Darstellung der Zylinderkoordinaten durch kartesische Koordinaten:
(13.19)
Kartesische und Kugelkoordinaten
1. Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Kugelkoordinaten:
(13.20)
2. Darstellung der Kugelkoordinaten durch kartesische Koordinaten:
(13.21)
Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten und kartesische Koordinaten
1. Darstellung des sphärischen Vektorfeldes durch kartesische Koordinaten:
(13.22)
2. Darstellung des zylindrischen Vektorfeldes durch kartesische Koordinaten:
(13.23)
Untersuchungen in Kugelfeldern führt man vorteilhafterweise unter Verwendung von Kugelkoordinaten durch, d.h. mit
, Untersuchungen in Zylinderfeldern unter Verwendung von Zylinderkoordinaten, d.h. mit
. Für ebene Felder (s. Abbildung)
gilt
(13.24)
für Kreisfelder
(13.25)
Regelmäßige Vielecke
Seiten und Winkel: Regelmäßige Vielecke zeichnen sich durch die Gleichheit aller Seiten und aller Winkel
aus. Für regelmäßige
Zentriwinkel:
-Ecke, d.h. für regelmäßige Vielecke mit
Seiten, gelten die folgenden Aussagen.
(3.39)
Außenwinkel:
(3.40)
Innenwinkel:
(3.41)
Seitenlänge:
(3.42)
Flächeninhalt:
(3.43)
wobei
der Umkreis- und
der Inkreisradius sind.
Unendliche Reihen
●
●
Zahlenfolgen
❍ Eigenschaften von Zahlenfolgen
❍ Grenzwerte von Zahlenfolgen
Reihen mit konstanten Gliedern
❍ Allgemeine Konvergenzsätze
■ Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
■ Unendliche Reihe und ihre Summe
■ Konvergente und divergente Reihen
■ Reihenrest
■ Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen
❍ Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
■ Vergleichskriterium
■ Quotientenkriterium von d'Alembert
■ Wurzelkriterium von Cauchy
■ Integralkriterium von Cauchy
❍ Absolute und bedingte Konvergenz
Definition
■ Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
■ Alternierende Reihen
❍ Einige spezielle Reihen
■ Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
■ Bernoullische und Eulersche Zahlen
■ Erste Definition der BERNOULLIschen Zahlen
■ Zweite Definition der BERNOULLIschen Zahlen
■ Erste Definition der EULERschen Zahlen
■ Zweite Definition der EULERschen Zahlen
■ Zusammenhang zwischen EULERschen und BERNOULLIschen Zahlen
❍ Abschätzung des Reihenrestes
Funktionenreihen
❍ Definitionen
❍ Gleichmäßige Konvergenz
■ Definition, Satz von Weierstrass
■ Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen
❍ Potenzreihen
■ Definition, Konvergenz
■ Definition
■ Absolute Konvergenz und Konvergenzradius
■ Gleichmäßige Konvergenz
■ Rechnen mit Potenzreihen
■ Summe und Produkt
■ Erste Glieder einiger Potenzen einer Potenzreihe
■
●
Quotient zweier Potenzreihen
■ Umkehrung einer Potenzreihe
Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe
■ TAYLORsche Reihe für Funktionen von einer Veränderlichen
■ Erste Form der Darstellung ( TAYLORsche Reihe):
■ Zweite Form der Darstellung:
■ MACLAURINsche Reihe
■ TAYLORsche Reihe für Funktionen von zwei Veränderlichen
■ Erste Form der Darstellung:
■ Zweite Form der Darstellung:
■
■
TAYLORsche Reihe für Funktionen von
Veränderlichen
❍ Näherungsformeln
❍ Asymptotische Potenzreihen
■ Asymptotische Gleichheit
■ Asymptotische Potenzreihen
Fourier-Reihen
❍ Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe
■ Grundbegriffe
■ FOURIER-Darstellung periodischer Funktionen ( FOURIER-Analyse)
■ FOURIER-Reihe
■ Komplexe Darstellung der FOURIER-Reihe
■ Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen
■ Mittlerer quadratischer Fehler einer Funktion
■ Konvergenz einer Funktion im Mittel
■ DIRICHLETsche Bedingungen
■
●
Asymptotisches Verhalten der FOURIER-Koeffizienten
Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen
■ Symmetrien verschiedener Art
■ Symmetrie 1. Art
■ Symmetrie 2. Art
■ Symmetrie 3. Art
■ Symmetrie 4. Art
■ Formen der Entwicklung in eine FOURIER-Reihe
Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
Fourier-Reihe und Fourier-Integral
■ FOURIER-Integral
■ Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion
Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen
■
❍
❍
❍
❍
Teilbarkeitskriterien
●
●
Bezeichnungen
Kriterien
Verfahrensweise
●
●
●
Kurvenbildervergleiche
Rektifizierung
Parameterbestimmung
Syntax zweidimensionaler Graphik
Der zweidimensionale Plot-Befehl hat die prinzipielle Struktur
(20.90)
Das erste Argument
kann folgende Bedeutung besitzen:
a) eine reelle Funktion einer unabhängigen Variablen, etwa
;
b) ein Operator einer Funktion, der z.B. mit dem Pfeilsymbol erzeugt wurde;
c) die Parameterdarstellung einer reellen Funktion in Form einer Liste
, wobei
den Laufbereich des Parameters angibt;
d) mehrere, in geschweifte Klammern eingeschlossene Funktionen, die gemeinsam dargestellt werden sollen;
e) eine Liste von Zahlen (gerade Anzahl), die fortlaufend als
-Koordinaten von Punkten interpretiert
werden.
Der Vollständigkeit halber sei hinzugefügt, daß auch durch Prozeduren erzeugte Funktionen das erste Argument im
Befehl sein können.
Das zweite Argument
ist der Laufbereich der unabhängigen Variablen; er ist in der Form
einzugeben. Wird kein Argument eingegeben, so nimmt Maple automatisch den Laufbereich
möglich, einer oder beiden Grenzen den Wert
Darstellung der
-Achse mit
Das dritte Argument
Form
und/oder
an. Es ist
zuzuordnen. In diesem Fall wählt Maple eine
.
steuert den Darstellungsbereich der abhängigen (vertikalen) Variablen. Auch er ist in der
einzugeben. Wird er fortgelassen, so nimmt Maple die sich aus der Funktionsgleichung ergebenden
Werte für den jeweiligen Bereich der unabhängigen Variablen. Dies kann problematisch werden, wenn in diesem
Bereich z.B. eine Polstelle liegt. Daher sollte man, wenn nötig, diesen Bereich begrenzen.
Als weitere Argumente können eine oder mehrere Optionen folgen, die in der folgenden Tabelle dargestellt sind.
Tabelle Optionen des Plot-Befehls
Bewirkt die Darstellung einer parametrischen Eingabe in
Polarkoordinaten (der erste Parameter ist der Radius, der
zweite das Argument).
Legt die minimale Anzahl der generierten Punkte fest
(Voreinstellung 49).
Setzt die horizontale Auflösung der Darstellung in pixel
(Voreinstellung
).
Setzt die Anzahl der Skalenstriche auf der
-Achse
Veranlaßt die Verbindung mit kubischer Spline-Interpolation
(Voreinstellung).
Veranlaßt lineare Interpolation.
Zeichnet nur die Punkte.
Setzt den Titel für die Graphik,
muß ein String sein.
Zur Darstellung mehrerer Funktionen durch Maple in einer Graphik werden diese in der Regel in verschiedenen
Farben oder in unterschiedlicher Linienstruktur erzeugt.
Die auf der Windows-Oberfläche laufende Version von Maple V/2 bietet die Möglichkeit, direkt an der Graphik über
entsprechende Menüs Veränderungen wie z.B. das Verhältnis von horizontaler zu vertikaler Abmessung, die
Rahmung des Bildes usw. vorzunehmen.
Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform:
Mit den Parametergleichungen des Integrationsweges
(8.115)
ergeben sich die folgenden Formeln:
(8.116a)
(8.116b)
(8.116c)
(8.116d)
(8.116e)
Dabei sind
bzw.
die Werte des Parameters
für den Anfangspunkt
bzw. den Endpunkt
Bogenstückes. Hier wird im Gegensatz zum Kurvenintegral erster Art die Forderung
Hinweis: Bei der Umkehrung des Integrationsweges, d.h., beim Vertauschen der Punkte
Integrale ihr Vorzeichen.
des
nicht erhoben.
und
, ändern die
Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form:
Mit den Gleichungen
(8.117)
für den Integrationsweg im Falle einer ebenen bzw. räumlichen Kurve und mit den Abszissen
und
, wobei die Forderung
(8.114) die Abszisse
und
der Punkte
nicht mehr unbedingt zu erfüllen ist, tritt in den Formeln (8.112a) bis
an die Stelle des Parameters
.
Eigenschaften des Kurvenintegrals
(13.97)
(13.98)
(13.99)
(13.100)
Definition
Kurven- oder Linienintegral einer Vektorfunktion
nennt man den Skalar
, genommen über ein Bogenstück
(s. Abbildung),
(13.96a)
Berechnung des Kurvenintegrals in fünf Schritten
1.
Einteilung des Weges
(s. Abbildung) durch Zwischenpunkte
in
kleinere Teilbogenstücke, die
angenähert werden.
durch die Vektoren
2.
Wahl von Punkten
mit den Radiusvektoren
, die im Innern oder auf dem Rande eines jeden
Teilbogenstückes liegen können.
3.
Skalare Multiplikation der Funktionswerte
in den so ausgewählten Punkten mit
4.
Addition aller auf diese Weise erhaltenen
5.
Produkte.
.
Berechnung des Grenzwertes der erhaltenen Summe
für
, also für
.
Wenn der Grenzwert existiert und von der Wahl der Punkte
und
unabhängig ist, dann wird er als
Kurvenintegral
(13.96b)
bezeichnet. Die Existenz des Kurvenintegrals (13.96a,b) ist gesichert, wenn die Vektorfunktion
Bogenstück
stetig sind und wenn letzteres stetige Tangenten besitzt. Eine Vektorfunktion
wenn die zu ihrer Beschreibung notwendigen drei skalaren Funktionen, ihre Komponenten, stetig sind.
und das
ist stetig,
Laplace-Transformationen, Seite 1 von 6
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Laplace-Transformationen, Seite 2 von 6
Nr.
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Laplace-Transformationen, Seite 3 von 6
Nr.
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Laplace-Transformationen, Seite 4 von 6
Nr.
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Laplace-Transformationen, Seite 5 von 6
Nr.
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
(s. BESSEL-Funktion)
64
(s. BESSEL-Funktion)
65
Elemente der Ergodentheorie
●
●
●
●
●
Ergodische dynamische Systeme
Physikalische oder SBR-Maße
Mischende dynamische Systeme
Autokorrelationsfunktion
Leistungsspektrum
Lemma von Jordan
In vielen Fällen lassen sich reelle uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsgebiet durch komplexe
Integrale über geschlossene Wege berechnen. Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen zu vermeiden,
benutzt man das Lemma von JORDAN , das sich auf Integrale der Form
bezieht, wobei
Radius
der in der oberen Halbebene der
ist (s. Abbildung).
-Ebene gelegene Halbkreisbogen um den Nullpunkt mit dem
Das Lemma von JORDAN unterscheidet folgende Fälle:
a)
:
Strebt
ist
in der oberen Halbebene und auf der reellen Achse für
gleichmäßig gegen Null und
eine positive Zahl, dann gilt für
(14.58a)
b)
:
Strebt der Ausdruck
für
gleichmäßig gegen Null, dann gilt diese Aussage auch im Falle
.
:
c)
.
Liegt der Halbkreis unterhalb der reellen Achse, dann gilt die enstsprechende Aussage auch für
d)
Der Satz gilt auch, wenn es sich statt um einen vollen Halbkreis um einen Teilbogen handelt.
e)
Der entsprechende Sachverhalt liegt für Integrale der Form
(14.58b)
vor, wenn
.
einen Halbkreis bzw. Teilbogen in der linken Halbebene mit
darstellt, bzw in der rechten mit
Computeralgebrasysteme
20.1
BENKER, M.: Mathematik mit Mathcad. -- Springer-Verlag 1996.
20.2
BURKHARDT, W.: Erste Schritte mit Mathematica. -- Springer-Verlag, 2. Auflage 1996.
20.3
BURKHARDT, W.: Erste Schritte mit Maple. -- Springer-Verlag, 2. Auflage 1996.
20.4
CHAR, GEDDES, GONNET, LEONG, MONAGAN, WATT: Maple V Library, Reference Manual. -- Springer-Verlag
1991.
20.5
DAVENPORT, J.H., SIRET, Y.; TOURNIER, E.: Computer Algebra. -- Academic Press 1993.
20.6
GLOGGENGIESSER, H.: Maple V. -- Verlag Markt & Technik 1993.
20.7
JENKS, R.D.; SUTOR, R.S.: Axiom. -- Springer-Verlag 1992.
20.8
KOFLER, M.: Maple V, Release 4, --Addison Wesley, (Deutschland) GmbH, Bonn 1996.
20.9
MAEDER, R.: Programmierung in Mathematica, Second Edition. -- Addison Wesley 1991.
20.10
WOLFRAM, S.: Mathematica, Second Edition. -- Addison Wesley 1992.
Der Funktionaloperator map
Der Operator map kann in Maple benutzt werden, um einen Operator bzw. eine Funktion auf einen Ausdruck bzw.
dessen Komponenten anzuwenden. Sei z.B.
ein Operator, der eine Funktion repräsentiert. Dann liefert
den Aussdruck
das Resultat
Beispiel
. Entsprechend erhält man mit
.
Funktionen und Operatoren
●
●
●
●
Funktionen
Operatoren
Differentialoperatoren
Der Funktionaloperator map
Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen
Maple stellt die speziellen Erzeugungsanweisungen
zur Verfügung, die allerdings mit dem
Spezialpaket linalg zugeladen werden müssen.
Dieses Spezialpaket erlaubt die Arbeit mit einer Vielzahl von Operationen der linearen Algebra. Hier soll nur erwähnt
werden, daß die Multiplikation von Matrizen mit der Operation &
der Evaluierungsfunktion evalm aufgerufen werden müssen.
ausgeführt werden kann und alle Operationen mit
Beispiel
Mit der Matrix
und dem Vektor
aus dem vorigen Beispiel wird
Die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor ergibt wieder einen Spaltenvektor. Eine
Multiplikation in der umgekehrten Reihenfolge hätte zu einer Fehlermeldung geführt.
Tabellen- und feldartige Strukturen
Maple besitzt zur Konstruktion tabellen- und feldartiger Strukturen die beiden Befehle table und
. Mit
(20.44)
erzeugt Maple eine tabellenartige Struktur, in der
eine Indexfunktion ist und
eine Liste von Ausdrücken,
die Gleichungen als Elemente enthält. In diesem Fall benutzt Maple die linken Seiten der Gleichungen als
Numerierung der Tabelleneinträge und die rechten Seiten als die jeweiligen Tabelleneinträge. Enthält die Liste nur
Elemente, so nimmt Maple die natürliche Numerierung der Tabelleneinträge, beginnend mit der 1, an.
Beispiel
Ein erneuter Aufruf von
Tabelle zurück; beim Aufruf
oder
liefert nur die Symbole
oder
zurück. Erst mit
gibt Maple die
erhält man die Komponenten der Tabelle in der Form
Liste der
Gleichungen für die Tabellenwerte. Hieran erkennt man, daß das Evaluierungsprinzip für diese Strukturen von der
Regel abweicht. In der Regel evaluiert Maple einen Ausdruck bis zum Ende, d.h. bis keine weiteren Umformungen
mehr möglich sind. Im gegebenen Fall wird die Definition zwar zur Kenntnis genommen, jedoch die weitere
Auswertung unterdrückt, bis sie mit der speziellen Anweisung op ausdrücklich gefordert wird.
Die Indizes von
erhält man als Folge mit dem Befehl
, eine Folge der Glieder mit
.
Beispiel
Für die obigen Beispiele gilt
und entsprechend z.B.
Mit dem Befehl
(20.45)
lassen sich spezielle Tabellen (Felder) erzeugen, die mehrdimensional sein können und ganzzahlige Laufbereiche für
jede Dimension besitzen.
Eindimensionale Felder
Mit
erzeugt man z.B. ein eindimensionales Feld der Länge 5 ohne explizite Elemente, mit
ebenfalls, jedoch mit den angegebenen Komponenten.
Solche eindimensionalen Felder interpretiert Maple auch als Vektoren. Mit der Typprüfungsfunktion
erhält man
. Fragt man jedoch
, so wird daraus
hängt mit der schon erwähnten Spezialform der Evaluierung zusammen. Erst nach
man mit
die gesuchte Antwort
.
. Das
bekommt
Zweidimensionale Felder
Entsprechend definiert man zweidimensionale Felder, etwa mit
(20.46)
Die so definierte Struktur versteht Maple als Matrix der Dimension
entsprechenden Matrixelemente.
Beispiel
ergibt einen Vektor. Eine Matrix bekommt man z.B. mit
Diese wird mit
. Die Werte von
sind die
Maple hat hier die nicht festgelegten Werte des Feldes (der Matrix) durch die Einträge
charakterisiert. Weist man jetzt allen oder einigen dieser Einträge durch Zuweisungen Werte zu, etwa durch
so führt ein erneuter Aufruf von
zur Ausgabe der Matrix mit den nunmehr festgelegten Werten:
Mit dem Aufruf
stellt Maple die erzeugte Matrix mit ihren Elementen dar, da diese in der Definition explizit angegeben sind. Die
optionalen Dimensionsangaben sind hier nicht nötig, da durch die vollständige Angabe der Matrixelemente die
Definition eindeutig ist. Kennt man allerdings von einer Matrix nur einige Werte, so muß der jeweilige Laufbereich
angegeben werden; Maple ersetzt die nichtdefinierten Werte durch ihren formalen Wert:
Als optionale Argumente können Indexfunktionen der Art diagonal, identity, symmetric,
antisymmetric, sparse benutzt werden. Man erhält damit die entsprechenden Matrizen.
Beispiel
Syntax des plot3d-Befehls
Der Befehl ist in vier verschiedenen Formen verfügbar:
. In dieser Form ist
a)
unabhängiger Variabler, deren jeweilige Laufbereiche von
eine Funktion zweier
und
festgelegt werden. Das
Ergebnis ist eine räumliche Fläche.
b)
. Hier ist
ein Operator oder eine Prozedur mit zwei Argumenten, z.B. mit dem
Pfeiloperator erzeugt, die Laufbereiche beziehen sich auf diese Argumente.
. Die drei Funktionen
c)
der beiden
Parameter
und definieren die Parameterdarstellung einer räumlichen Fläche, begrenzt durch die
Laufbereiche der beiden Parameter.
d)
. Das ist die äquivalente Form der Parameterdarstellung, wobei
Operatoren oder Prozeduren in zwei Argumenten sein müssen.
Alle weiteren Argumente des Operators plot3d interpretiert Maple als Optionen. Die möglichen Optionen sind in der
folgenden Tabelle dargestellt. Sie sind in der Form
zu benutzen.
Tabelle Optionen des Befehls plot3d
setzt die minimale Zahl der generierten Punkte
(Voreinstellung ist
)
legt die Dimension des Rechteckgitters fest, auf dem die
Punkte generiert werden
spezifiziert die Achsenbezeichnungen (string erforderlich)
ist ein Wert von POINT, HIDDEN, PATCH,
WIREFIRE. Hiermit wird die Art der Darstellung der
Oberfläche festgelegt
kann die Werte BOXED, NORMAL, FRAME oder NONE
annehmen. Hiermit wird die Darstellung der Achsen
spezifiziert
spezifiziert das zu benutzende Koordinatensystem. Werte
sind
cartesian, sperical, cylindrical. Voreinstellung
ist cartesian
nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und bestimmt die
Betrachtungsperspektive. Voreinstellung ist 1 (orthogonale
Projektion)
spezifiziert die Winkel des Raumpunktes im sphärischen
Koordinatensystem, von dem aus die Oberfläche betrachtet
wird
gibt den Bereich der -Werte, für die die Oberfläche
dargestellt wird. Voreinstellung ist die gesamte Oberfläche
In der Regel sind fast alle Optionen über die entsprechenden Menüs im Zeichnungsfenster erreichbar und
entsprechend einstellbar. Auf diese Weise kann man nachträglich die Anschaulichkeit der darzustellenden
Oberfläche wesentlich verbessern.
Zusätzliche Operationen aus dem Paket plots
Das schon erwähnte Bibliothekspaket plots liefert weitere Möglichkeiten für die Darstellung räumlicher Strukturen.
Besonders soll hier die Darstellung von Raumkurven mit dem Befehl
erwähnt werden. Dieser
erwartet als erstes Argument eine Liste mit drei Funktionen eines Parameters, das zweite Argument muß den
Laufbereich dieses Parameters festlegen. Darüber hinaus sind die Optionen des Befehls plot3d zugelassen, sofern
sie für diesen Fall sinnvoll sind. Für weitere Informationen zu diesem Paket muß auf die Literatur verwiesen werden.
Beispiel
Es sollen die beiden mit
(20.96a)
und
(20.96b)
erzeugten Graphiken einer perspektivisch dargestellten Kugel und einer perspektivisch dargestellten räumlichen
Spirale gezeigt werden:
Grundtypen von Zahlen in Maple
Maple kennt die in der folgenden Tabelle aufgeführten Grundtypen von Zahlen.
Tabelle Zahlenarten in Maple
Zahlenart
Typ
Ganze Zahl
integer
Kette beliebig vieler Ziffern
Bruchzahlen
fraction
Bruch zweier ganzer Zahlen
Gleitpunktzahlen float
Darstellungsform
oder in wissenschaftlicher Notation
Mit Hilfe der Typprüfungsfunktionen gemäß Tabelle können weitere Eigenschaften ganzer Zahlen erfragt werden:
1. Rationale Zahlen (Typ rational): Rationale Zahlen sind in Maple die ganzen Zahlen und die Brüche,
wobei ein Bruch, der zur ganzen Zahl vereinfacht werden kann, von Maple nicht als Bruch (Typ fraction)
erkannt wird.
2. Gleitpunktzahlen (Typ float): Setzt man hinter eine ganze Zahl den Dezimalpunkt (
), so wird sie
automatisch als Gleitpunktzahl interpretiert.
3. Gemeinsamkeiten: Alle drei Zahlenarten haben die Typen realcons, numeric und constant. Die
letzten beiden Typen treffen auch für komplexe Zahlen zu.
4. Komplexe Zahlen: Komplexe Zahlen werden mit der imaginären Einheit I wie üblich gebildet. Die Zahl I ist
vom Typ radnum, also die Wurzel einer rationalen Zahl. Ihre Definition lautet intern
(20.34)
Der hier verwendete Befehl alias bietet die Möglichkeit, abkürzende Benennungen für Funktionen, Definitionen und
andere mathematische Symbole einzuführen. Er ist in der Form
(20.35)
aufzurufen. Hier sind die
Gleichungen, die das abkürzende Symbol über vorhandenen Maple-Funktionen
definieren. Beim Aufruf der Funktion zeigt Maple neben der gerade definierten Abkürzung auch alle anderen schon
vorhandenen alias an. Will man die Abkürzung wieder aufheben, so ist
aufzurufen.
Spezielle Zahlen
Maple kennt eine Reihe spezieller Zahlen der Mathematik wie z.B. Pi, E, gamma.
Invariantes Maß
●
●
Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
Natürliches Maß
Berechnung von Polarkoordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten
Für zwei Punkte
orientierten Strecke
und
in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit der von
und den Richtungswinkeln
gilt:
nach
(3.91a)
(3.91b)
(3.91c)
(3.91d)
Der Quadrant des Winkels
dem Taschenrechner
Tasten
oder
hängt von den Vorzeichen von
mit vorzeichentreuen Werten
einen Winkel
und
und
ab. Wird bei Rechnungen mit
eingegeben, dann erhält man mit den
, zu dem je nach Quadrant die in der folgenden Tabelle
angegebenen Gon-Werte zu addieren sind.
Richtungswinkel bei vorzeichentreuer Streckeneingabe über
Quadrant
I
II
III
oder
IV
Anzeige im Rechner
Richtungswinkel
gon
gon
gon
gon
Koordinatentransformation zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen
Bei der Einbindung örtlich bestimmter Punkte in eine Landeskarte ist die Transformation des örtlichen Systems
in das Landessystem
erforderlich.
Das System
ist gegen das System
Richtungswinkel im System
sind mit
Systemen und die Koordinaten eines Punktes
um den Winkel
gedreht und um
parallel verschoben. Die
bezeichnet. Gegeben sind die Koordinaten von
im
und
in beiden
-System. Die Transformation erfolgt mit den folgenden
Beziehungen:
(3.94a)
(3.94b)
(3.94c)
(3.94d)
(3.94e)
(3.94f)
(3.94g)
(3.94h)
(3.94i)
(3.94j)
Hinweis: Die folgenden zwei Formeln können zur Probe verwendet werden.
(3.94k)
(3.94l)
Wenn die Strecke
auf der
-Achse liegt, vereinfachen sich die Formeln zu
(3.95a)
(3.95b)
(3.95c)
(3.95d)
(3.95e)
(3.95f)
Koordinatentransformationen
●
●
●
Berechnung von Polarkoordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten
Berechnung von rechtwinkligen aus polaren Koordinaten beim polaren
Anhängen eines Punktes
Koordinatentransformation zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen
Informationen
Informationen über eingebaute Objekte und deren Haupteigenschaften kann man mit folgenden Befehlen ausgeben
lassen:
Information über das Objekt mit dem Namen
ausgeben.
Ausführlichere Information über das Objekt ausgeben.
Informationen über alle Mathematica-Objekte, deren Namen mit B beginnen, ausgeben.
Es ist auch möglich, über spezielle Operatoren Informationen zu erhalten, z.B. mit
Zuweisungsoperator.
über den
Standardfunktionen
Mathematica kennt eine Vielzahl mathematischer Standardfunktionen, die in der folgenden Tabelle aufgelistet sind.
Tabelle Standardfunktionen
Exponentialfunktion
Exp[x]
Logarithmusfunktionen Log[x], Log[b,x]
Trigonom. Funktionen
Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x]
Arcusfunktionen
ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], ArcSec[x], ArcCsc[x]
Hyperbol. Funktionen
Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], Coth[x], Sech[x], Csch[x]
Areafunktionen
ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x], ArcCoth[x], ArcSech[x], ArcCsch[x]
Alle diese Funktionen sind auch für komplexe Argumente verfügbar.
In jedem Fall ist auf Eindeutigkeit der Funktionen zu achten. Bei reellen Funktionen muß gegebenenfalls ein Zweig
der Funktion ausgewählt werden; bei Funktionen mit komplexem Argument ist der Hauptwert zu wählen.
Spezielle Funktionen
Mathematica kennt auch eine Anzahl spezieller Funktionen. Die folgende Tabelle listet einige auf:
Tabelle spezieller Funktionen
BESSEL-Funktionen
und
BesselJ[n,z], BesselY[n,z]
Modifizierte BESSEL-Funktionen
BesselI[n,z], BesselK[n,z]
LEGENDREsche Polynome
LegendrP[n,x]
Kugelfunktionen
SphericalHarmonicY[l,m,theta,phi]
Weitere Funktionen können mit entsprechenden Spezialpaketen zugeladen werden. (s. auch Lit. 17.1).
Reine Funktionen
Mathematica bietet die Möglichkeit, sogenannte reine Funktionen zu nutzen. Das sind Funktionen ohne spezielle
Namen. Man bezeichnet sie mit
der Variablen
. Mit
wird der Ausdruck für die Funktion in
bezeichnet.
(20.15)
und mit
(20.16)
Man kann für reine Funktionen eine vereinfachte Schreibweise nutzen. Sie lautet
, wobei die zu
benutzende Variable mit # gekennzeichnet wird. Anstelle der vorhergehenden zwei Zeilen kann man also schreiben
(20.17)
Es lassen sich auch reine Funktionen mehrerer Veränderlicher definieren:
oder in Kurzform
die Elemente
, wobei die Variablen in
durch
bezeichnet werden. Die Benutzung des Zeichens & zum Abschluß ist sehr wichtig, da
hieran erkannt wird, daß der vorstehende Ausdruck als reine Funktion zu betrachten ist.
Syntax der Graphikdarstellung
●
●
Aufbau von Graphikobjekten
Graphische Darstellung von Funktionen
Aufbau von Graphikobjekten
Wenn ein graphisches Objekt aus den Primitiven aufgebaut werden soll, ist zunächst eine Liste der entsprechenden
Objekte mit ihren Hauptangaben zu erstellen, etwa in der Form
(20.78a)
wobei die Objekte selbst wieder Listen von Graphikobjekten sein können. So sei Objekt 1 z.B.
und entsprechend
, mit speziellen Graphikanweisungen versehen, so ist es mit der
Will man eines der Graphikobjekte, etwa
entsprechenden Anweisung in einer Liste zusammenzufassen
Die Anweisung gilt für alle nachfolgenden Objekte in der gleichen Klammer, auch für eventuell weiter verschachtelte,
jedoch nicht für solche außerhalb der Listenklammer.
Aus den erzeugten Objekten werden zwei unterschiedliche Graphiklisten festgelegt:
die sich im zweiten Objekt durch die Strichdicke des Kreises unterscheiden. Mit dem Aufruf
(20.78b)
erhält man die in der Abbildung dargestellten Bilder.
Beim Aufruf des zweiten Bildes wurde die Option
eingefügt. Das führt zur Ausgabe des
Achsenkreuzes mit einer von Mathematica gewählten Markierung auf den Achsen und der entsprechenden
Skalierung.
Integrand der Form
:
(8.31a)
1. Eine der Zahlen
oder
ist ungerade: Zurückführung auf die Fälle
oder
.
Beispiel A
.
Beispiel B
.
2. Die Zahlen
und
sind beide gerade: Zurückführung auf die Fälle
der Potenz und Verwendung der trigonometrischen Formeln
oder
durch Halbierung
(8.31b)
Beispiel
.
BESSEL-Funktionen
Mit den Aufrufen
(20.84)
werden Graphiken der BESSEL-Funktion
für
Aufruf
nebeneinander dargestellt werden können (s. Abbildung).
und
erzeugt, die danach mit dem
Exponentialfunktionen
Eine Kurvenschar mit mehreren Exponentialfunktionen erzeugt Mathematica mit folgenden Eingaben:
braucht nicht definiert zu werden, da sie in
Das sind die Definitionen der beteiligten Funktionen. Die Funktion
Mathematica eingebaut ist. In einem zweiten Schritt werden die folgenden Graphiken erzeugt:
Das gesamte Bild erhält man mit (s. Abbildung):
Auf die Anbringung von Text an den Kurven wurde hier verzichtet. Das wäre mit der Graphikprimitiven
gewesen.
möglich
Lineare Funktion plus Areakotangensfunktion
Unter Berücksichtigung der im Abschnitt Areafunktionen dargestellten Eigenschaften der Funktion
folgendermaßen graphisch darstellen:
sich
Die große Präzision der
gewünschten
läßt
-Werte nahe 1 und
wurde gewählt, um hinreichend große Funktionswerte für den
-Bereich zu erhalten. Als Resultat erhält man die folgende Abbildung:
Begriff und Bedeutung
Listen sind in Mathematica wichtige Instrumente für die Manipulation ganzer Gruppen von Größen, die vor allem in der
höherdimensionalen Algebra und Analysis von großem Wert sind. Da auch allgemein Ausdrücke vielfach Ähnlichkeiten mit
Listen besitzen, wird der Umgang mit Listen zu einem Musterbeispiel für Manipulationen auf bestimmten Klassen von
Ausdrücken.
Unter einer Liste versteht man die Zusammenfassung mehrerer Objekte zu einem neuen Objekt, der Liste, wobei in der Liste
zunächst alle Objekte gleichwertig sind und sich nur durch ihren Standort in der Liste voneinander unterscheiden. Die
Aufstellung einer Liste erfolgt mit der Angabe
(20.11)
Zur Erläuterung der Arbeit mit Listen wird eine konkrete Liste benutzt, die mit
bezeichnet wird:
(20.12)
Mathematica benutzt bei der Wiedergabe der Liste die Kurzform: Einschluß in geschweifte Klammern.
In der folgenden Tabelle sind Befehle dargestellt, die auf Elemente bzw. mehrere Elemente zugreifen und dann eine
,,Unterliste`` ausgeben.
Tabelle Befehle für die Auswahl von Listenelementen
wählt das erste Element aus
wählt das letzte Element aus
oder
wählt das
-te Element aus
erstellt eine Liste aus den Elementen mit den angegebenen Nummern
äquivalent zur vorherigen Operation
ergibt die Liste der ersten
Elemente von
ergibt die Liste der Elemente von
ergibt die Liste ohne die ersten
ergibt die Liste ohne Elemente von
Beispiel
bis
Elemente
bis
Für die Liste
in (20.11) gilt z.B.
Verschachtelte Listen
Die Elemente von Listen können wiederum Listen sein, so daß verschachtelte Listen entstehen. Setzt man z.B.
und analog für
und
dargestellt werden soll. Mit
Resultat erhält man mit
, so entsteht eine verschachtelte Liste, die hier wegen ihres Umfanges nicht explizit
greift man auf das
. Im betrachteten Beispiel wird
-te Element der
-ten Unterliste zu. Das gleiche
Des weiteren liefert
eine Liste, die aus den mit
oder
numerierten Listen besteht, welche jeweils die mit
numerierten
Elemente enthalten.
Beispiel
Für das oben betrachtete Beispiel etwa
Aus diesen Darlegungen ist das Prinzip der Verschachtelung von Listen erkennbar. Es macht keine Mühe, Listen mit
der Verschachtelungsstufe 3 und höher zu entwerfen und auf diese mit entsprechenden Auswahloperationen zu
wirken.
Operationen mit Listen
Mathematica bietet eine Reihe weiterer Operationen, mit denen Listen abgefragt, erweitert oder verkürzt werden
können:
Tabelle Operationen mit Listen
liefert eine Liste der Positionen, an denen
prüft, ob
Element der Liste ist
prüft, ob
nirgendwo in der Liste auftritt
fügt
an den Anfang der Liste hinzu
fügt
am Ende der Liste hinzu
in der Liste auftritt
fügt
an der Stelle
zur Liste hinzu
löscht die Elemente mit den Nummern
ersetzt das Element an der Stelle
aus der Liste
durch
Beispiel
Mit Delete kann man z.B. die Liste
wobei jedoch in der Ausgabe die
um das Glied
verringern:
durch ihre Werte - sie sind selbst Listen - ersetzt erscheinen.
Spezielle Listen
Mathematica stellt eine Reihe von Operationen bereit, die spezielle Listen aufbauen. Eine dieser Operationen, die
häufig bei der Arbeit mit mathematischen Funktionen eine Rolle spielt, ist Table:
Tabelle Die Operation
erzeugt eine Liste mit
Werten von
erzeugt eine Liste von Werten von
von
das gleiche wie letztes, nur in Schritten
Beispiel
bis
:
Tabelle der Binominalkoeffizienten zu
Mit Table können auch mehrdimensionele Tabellen hergestellt werden. So erhält man mit
mehrstufige verschachtelte Tabellen, so etwa aus
die Binominalkoeffizienten bis zur Stufe 7:
Mit der Operation Range lassen sich speziell fortlaufende Zahlenlisten erzeugen:
Entsprechend wirken
Stufen 1 bzw.
erstellen.
und
, die Zahlenlisten von
bis
in den
Aufstellung geeigneter Listen
Eine Reihe spezieller (Listen-) Anweisungen steht für die Definition von Vektoren und Matrizen bereit. Eine einstufige
Liste der Art
(20.13)
läßt sich jederzeit als Vektor im
spezielle Operation
-dimensionalen Raum mit den Komponenten
erzeugt die Liste (den Vektor)
auffassen. Die
. Mit Vektoren dieser
Art kann symbolische Vektorrechnung betrieben werden.
und
Die oben eingeführten zweistufigen Listen
aufgefaßt werden. In diesem Falle wäre
das Element der Matrix in der
ist eine Rechteckmatrix vom Typ (6,5), mit
Mit der Operation
können als Matrizen mit den Zeilen
und den Spalten
-ten Zeile und der
-ten Spalte. Mit
eine quadratische Matrix vom Typ (5,5) gegeben.
wird eine Matrix vom Typ
erzeugt, deren Elemente mit
gekennzeichnet werden. Mit
von 1 bis
werden die Zeilen numeriert,
. In dieser symbolischen Form läßt
läuft von 1 bis
numeriert die Spalten und läuft
sich darstellen:
(20.14a)
wobei für die Elemente gilt:
(20.14b)
Die Operation
erzeugt die
-stufige Einheitsmatrix.
wird eine Diagonalmatrix mit den Elementen von liste auf der
Mit der Operation
Hauptdiagonalen erzeugt.
Die Operation
gibt die Dimension einer Matrix, deren Struktur durch liste gegeben ist.
eine matrixartige Darstellung von liste . Eine weitere Möglichkeit
Schließlich erhält man mit
zur Definition von Matrizen lautet: Es sei
eine Funktion der ganzen Zahlen
eine Matrix vom Typ
sind.
und
. Dann kann mit
definiert werden, deren Elemente die jeweiligen
Beziehungszeichen
gleich
ungefähr gleich
kleiner oder gleich
identisch gleich
kleiner
größer oder gleich
gleich per definitionem
größer
ungleich, verschieden von
sehr viel kleiner
sehr viel größer
entspricht
Griechisches Alphabet
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Konstanten
const
konstante Größe (Konstante)
Eulersche Konstante
Verhältnis des Kreisumfanges zum Kreisdurchmesser
Basis der natürliche Logarithmen
Aussagenlogik
,
Aussagen
,
Negation der Aussage
,
Konjunktion, logisches UND
,
Disjunktion, logisches ODER
Implikation, WENN
Äquivalenz,
, DANN
GENAU DANN, WENN
Mengen und Gruppen
Mengen
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen
dimensionsionaler euklidischer Vektorraum
Menge der komplexen Zahlen
Abschließung der Menge
oder Komplement von
ist echte Teilmenge von
Differenz zweier Mengen
bzgl. einer Grundmenge
ist Teilmenge von
symmetrische Differenz
kartesisches Produkt
Relationenprodukt
ist Element von
ist nicht Element von
Kardinalzahl der Menge
leere Menge, Nullmenge
Durchschnitt zweier Mengen
Durchschnitt von
Mengen
Vereinigung zweier Mengen
Vereinigung von
Mengen
für alle Elemente
es existiert ein Element
Isomorphie von Gruppen
Äquivalenzrelation
Restklassenaddition
Restklassenmultiplikation
orthogonale Zerlegung des Raumes
KRONECKER-Produkt
Teilmenge aller
aus
mit der Eigenschaft
Menge aller
Abbildung
supp
mit der Eigenschaft
aus dem Raum
in den Raum
Träger (support)
Supremum: Kleinste obere Schranke der nach oben beschränkten, nichtleeren Menge
Infimum: Größte untere Schranke der nach unten beschränkten, nichtleeren Menge
Intervalle
abgeschlossenes Intervall, d.h.
offenes Intervall, d.h.
linksoffenes Intervall, d.h
rechtsoffenes Intervall, d.h.
Vorzeichen, Potenzen, Logarithmen, Fakultät
Vorzeichen (signum) der Zahl
, z.B. sign
, sign0 = 0
Absolutbetrag der Zahl
in der
-ten Potenz
Quadratwurzel aus
-te Wurzel aus
Logarithmus der Zahl
zur Basis
, z.B.
dekadischer Logarithmus (Basis 10) der Zahl
, z.B.
natürlicher Logarithmus (Basis
) der Zahl
, z.B.
Fakultät, z.B.:
speziell:
; speziell:
;
Zahlentheorie
teilt
teilt
nicht
ist kongruent zu
modulo
, d.h.
ggT
größter gemeinsamer Teiler von
kgV
kleinstes gemeinsames Vielfaches von
Binomialkoeffizient
ist durch
teilbar
LEGENDRE-Symbol
Marizen und Determinanten
Matrix
mit den Elementen
transponierte Matrix
inverse Matrix
Determinante der quadratischen Matrix
Einheitsmatrix
Nullmatrix
KRONECKER-Symbol:
für
und
Hinweis: In Kapitel 17 stehen für Matrizen kursiv gesetzte Buchstaben.
für
Vektoren, Tensoren und Graphen
Spaltenvektor im
Einheitsvektor in Richtung
Norm von
Vektoren im
Basisvektoren (orthonormiert) des kartesischen Koordinatensystems
Koordinaten (Komponenten) des Vektors
Betrag, Länge des Vektors
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
skalares Produkt
vektorielles Produkt
gemischtes Produkt (Spatprodukt)
,
Nullvektor
Tensor
Graph mit der Knotenmenge
und der Kantenmenge
Geometrie
orthogonal (senkrecht)
parallel
gleich und parallel
ähnlich, z.B.:
) Winkel, z.B.:
Dreieck
Bogenstück, z.B.:
rad
; proportional
)
Radiant
als Maß für Winkel und Kreisbogen, z.B.:
Komplexe Zahlen
(mitunter
) Imaginäre Einheit
Imaginärteil der Zahl
Realteil der Zahl
Betrag von
Argument von
oder
Die zu
z.B.:
konjugiert komplexe Zahl, Ln
Logarithmus (natürlicher)
einer komplexen Zahl
Kreisfunktionen, Hyperbelfunktionen
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
Sekans
Kosekans
Areasinus
Areakosinus
Areatangens
Areakotangens
Areasekans
Areakosekans
Hauptwert von Arkussinus
Hauptwert von Arkuskosinus
Hauptwert von Arkustangens
Hauptwert von Arkuskotangens
Hauptwert von Arkussekans
Hauptwert von Arkuskosekans
Hyperbelsinus
Hyperbelkosinus
Hyperbeltangens
Hyperbelkotangens
Hyperbelsekans
Hyperbelkosekans
Grenzwerte, Summen, Produkte, Funktionen
ist Grenzwert der Folge
. Man schreibt auch
für
z.B.:
ist Grenzwert der Funktion
für
für
LANDAU-Symbol ,,klein o`` bedeutet:
LANDAU-Symbol ,,groß O`` bedeutet:
für
, wenn
gegen
strebt
für
;
Summe, in der
,
Produkt, in dem
,
(der Laufindex) von 1 bis
(der Laufindex) von 1 bis
Bezeichnung einer Funktion, z.B.:
läuft
läuft
Differenz, Ableitungen, Differentialoperatoren
Differenz oder Zuwachs, z.B.:
Differential, z.B.:
Bildung der ersten, zweiten,
erste, zweite,
,
-ten Ableitung
-te Ableitung der Funktion
Bildung der ersten, zweiten,
,
-ten partiellen Ableitung
Bildung der zweiten partiellen Ableitung zunächst nach
erste, zweite,
, dann nach
partielle Ableitung der Funktion
Differentialoperator, z.B.:
Gradient eines skalaren Feldes
Divergenz eines Vektorfeldes
Rotation eines Vektorfeldes
Nablaoperator, hier in kartesischen Koordinaten (auch HAMILTONscher
Differentialoperator genannt, nicht zu verwechseln mit dem HAMILTON-
Operator der Quantenmechanik)
LAPLACE-Operator
Richtungsableitung, d.h. Ableitung eines skalaren Feldes
Richtung des Vektors
nach der
Integrale
bestimmtes Integral der Funktion
zwischen den Grenzen
Kurvenintegral 1. Art bzgl. der Raumkurve
und
mit der Bogenlänge
Integral über eine geschlossene Kurve (Umlaufintegral)
Doppelintegral über einem ebenen Flächenstück
Oberflächenintegral 1. Art über einer räumlichen Fläche
Oberflächenintegral 2. Art über einer geschlossenen Oberfläche
Dreifachintegral oder Volumenintegral über dem Volumen
Regel zur Ermittlung des Ranges
Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang von Matrizen nicht. Elementare Umformungen in diesem
Zusammenhange sind:
1. Vertauschung zweier Zeilen miteinander oder zweier Spalten miteinander,
2. Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einer Zahl und
3. Addition einer Zeile zu einer Zeile oder einer Spalte zu einer Spalte.
Zur Bestimmung ihres Ranges kann man daher jede Matrix durch geeignete Linearkombinationen der Zeilen so
umformen, daß in der
-ten Zeile
mindestens die ersten
Elemente gleich Null
werden (s. Prinzip des GAUSSschen Algorithmus). Die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren in
der so umgeformten Matrix ist dann gleich ihrem Rang
Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen
●
Typen der Ruhelagen
Periodische Orbits
●
Eigenschaften der
●
-Grenzmenge
Produkt AB zweier Matrizen A und B
Das Produkt
zweier Matrizen
Spaltenanzahl des linken Faktors
Typ
und
gleich der Zeilenanzahl des rechten Faktors
ist, dann muß die Matrix
vom Typ
mit der
, auch skalares Matrixprodukt genannt, läßt sich nur bilden, wenn die
vom Typ
. Hierbei ist
sein, und das Produkt
gleich dem Skalarprodukt der
ist. Wenn
eine Matrix vom
ist eine Matrix
-ten Zeile des linken Faktors
-ten Spalte des rechten Faktors B:
(4.23)
Dynamische Systeme
●
●
Grundbegriffe
Invariante Mengen
Spezielle endliche Reihen
(1.60)
(1.61)
(1.62)
(1.63)
(1.64)
(1.65)
(1.66)
(1.67)
(1.68)
(1.69)
Exponentialsumme
(2.257a)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.
Die Diskussion der Funktion erfolgte im Abschnitt Exponentialsumme (s. Gleichung (2.61)).
Wenn die
-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz
bilden und
irgend drei
aufeinanderfolgende Werte der gegebenen Funktion sind, dann rektifiziert man gemäß
(2.257b)
Nachdem
und
mit Hilfe dieser Gleichung bestimmt sind, wird wieder rektifiziert gemäß
(2.257c)
Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen
●
●
●
●
Kovariante und kontravariante Basisvektoren
Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe
Rechenregeln
Umformungen
(5.18a)
(5.18b)
(5.18c)
(5.18d)
Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle
●
●
Einkaufsproblem
Rucksackproblem
Bellmannsche Funktionalgleichungen
●
●
Eigenschaften der Kostenfunktion
Formulierung der Funktionalgleichungen
Poisson-Verteilung, Teil II
Wertetabelle der Poissonverteilung:
4,0
:
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
0
0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123
1
0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111
2
0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998
3
0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994
4
0,195367 0,175467 0,133853 0,091126 0,057252 0,033737
5
0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727
6
0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090
7
0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116
8
0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756
9
0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756
10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099262 0,118580
11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020
12 0,000642 0,003434 0,011264 0,026350 0,048127 0,072765
13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376
14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384
15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431
16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930
17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786
18
0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893
19
0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370
20
0,000004 0,000030 0,000159 0,000617
21
0,000001 0,000010 0,000061 0,000264
22
0,000003 0,000022 0,000108
23
0,000001 0,000008 0,000042
24
0,000003 0,000016
25
0,000001 0,000006
26
0,000002
27
0,000001
Normierte Normalverteilung, Teil I
Normierte Normalverteilung, Teil II
Normierte Normalverteilung, Teil III
Zahlenbeispiel
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Aufgrund der Ganzzahligkeit der Gewichte
ist
enthält für alle Stufen und alle Zustände
die Funktionswerte
. Exemplarisch werden die Größen
.
. Die Tabelle
und die jeweilige Entscheidung
, und
berechnet.
Die optimale Politik lautet
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
19; 0
2
0; 0
3; 0 4; 1 7; 1 9; 0 10; 1 13; 1 13; 1 15; 0 16; 0 19; 1
3
0; 0
3; 0 3; 0 6; 1 9; 1 9; 0 10; 0 12; 1 15; 1 16; 1 16; 0
4
0; 0
3; 1 3; 1 3; 1 6; 0 9; 1 10; 1 10; 1 10; 1 13; 0 16; 1
5
0; 0
0; 0 0; 0 0; 0 6; 0 7; 1
7; 1
7; 1
7; 1 13; 1 13; 1
6
0; 0
0; 0 0; 0 0; 0 6; 1 6; 1
6; 1
6; 1
6; 1
6; 1
6; 1
Numerische Mathematik
●
●
Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
❍ Iterationsverfahren
■ Gewöhnliches Iterationsverfahren
■ Newton-Verfahren
■ Regula falsi
❍ Lösung von Polynomgleichungen
■ Horner-Schema
■ Reelle Argumentwerte
■ Komplexe Argumentwerte
■ Lage der Nullstellen
■ Reelle Nullstellen
■ Komplexe Nullstellen
■ Numerische Verfahren
■ Allgemeine Verfahren
■ Spezielle Verfahren
Numerische Lösung von Gleichungssystemen
Lineare Gleichungssysteme
■ Dreieckszerlegung einer Matrix
■ Prinzip des GAUSSschen Eliminationsverfahrens
■ Dreieckszerlegung
■ Anwendung der Dreieckszerlegung
■ Wahl der Pivots
■ Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
■ Orthogonalisierungsverfahren
■ Lineare Ausgleichsaufgaben
■ Orthogonalisierungsverfahren
■ Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
■ JACOBI-Verfahren
■ GAUSS-SEIDEL-Verfahren
■ Relaxationsverfahren
❍ Nichtlineare Gleichungssysteme
■ Gewöhnliches Iterationsverfahren
■ Newton-Verfahren
■ Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren
Numerische Integration
❍ Allgemeine Quadraturformel
❍ Interpolationsquadraturen
■ Rechteckformel
■ Trapezformel
■ Hermitesche Trapezformel
■ Simpson-Formel
❍
●
Quadraturformeln vom Gauß-Typ
■ Gaußsche Quadraturformeln
■ Lobattosche Quadraturformeln
❍ Verfahren von Romberg
■ Algorithmus des Romberg-Verfahrens
■ Extrapolationsprinzip
Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen
❍ Anfangswertaufgaben
■ Eulersches Polygonzugverfahren
■ Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
■ Rechenschema
■ Hinweise
■ Mehrschrittverfahren
■ Prediktor-Korrektor-Verfahren
■ Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
■ Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
■ Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
■ Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte
■ Steife Differentialgleichungen
❍ Randwertaufgaben
■ Differenzenverfahren
■ Ansatzverfahren
■ Schießverfahren
Genäherte Integration von partiellen
Differentialgleichungen
❍
●
●
Differenzenverfahren
❍ Ansatzverfahren
■ Kollokationsmethode
■ Fehlerquadratmethode
❍ Methode der finiten Elemente (FEM)
■ Aufstellung einer Variationsaufgabe
■ Triangulierung
■ Ansatz
■ Berechnung der Ansatzkoeffizienten
■ Bemerkungen
Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische
Analyse
❍ Polynominterpolation
■ Newtonsche Interpolationsformel
■ Interpolationsformel nach Lagrange
■ Interpolation nach Aitken-Neville
❍ Approximation im Mittel
■ Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
■ Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
■ Methode der kleinste Quadrate
■ Matrizenschreibweise
■ Mehrdimensionale Aufgaben
■ Nichtlineare Quadratmittelaufgaben
■ Prinzipieller Lösungsweg
■ GAUSS-NEWTON-Verfahren
❍
●
Tschebyscheff-Approximation
■ Aufgabenstellung und Alternantensatz
■ Prinzip der TSCHEBYSCHEFF-Approximation
■ Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome
■ Remes-Algorithmus
■ Folgerungen aus dem Alternantensatz
■ Bestimmung der Minimallösung nach REMES
■ Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung
❍ Harmonische Analyse
■ Formeln zur trigonometrischen Interpolation
■ Formeln für die FOURIER-Koeffizienten
■ Trigonometrische Interpolation
■ Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
■ Numerischer Aufwand bei der Berechnung der FOURIER-Koeffizienten
■ Komplexe Darstellung der FOURIER-Summe
■ Numerische Berechnung der komplexen FOURIER-Koeffizienten
■ Schemata zur FFT
Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines
❍ Kubische Splines
■ Interpolationssplines
■ Definition der kubischen Interpolationssplines
■ Bestimmung der Spline-Koeffizienten
■ Ausgleichssplines
❍ Bikubische Splines
■ Eigenschaften
❍
●
Bikubische Interpolationssplines
■ Eigenschaften
■ Tensorprodukt-Ansätze
■ Bikubische Ausgleichssplines
❍ Bernstein-Bézier-Darstellung von Kurven und Flächen
■ Prinzip der B-B-Kurvendarstellung
■ B-B-Flächendarstellung
Nutzung von Computern
❍ Interne Zeichendarstellung
■ Zahlensysteme
■ Bildungsgesetz
■ Konvertierung von Zahlensystemen
■ 1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen:
■ 2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen:
■ 3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:
■ Interne Zahlendarstellung
■ Festpunktzahlen
■ Gleitpunktzahlen
■ Normalisierte halblogarithmische Form:
■ IEEE-Standard
❍ Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
■ Einführung, Fehlerarten
■ Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
■ Normalisierte Dezimalzahlen
■ Grundoperationen des numerischen Rechnens
■
●
Addition:
■ Subtraktion:
■ Multiplikation:
■ Division:
■ Resultatfehler:
■ Vermeidung der Auslöschung:
■ Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen
■ Fehlerarten
■ Eingangsfehler
■ Verfahrensfehler:
■ Rundungsfehler:
■ Beispiele zum numerischen Rechnen
Bibliotheken numerischer Verfahren
■ NAG-Bibliothek
■ IMSL-Bibliothek
■ FORTRAN SSL II
■ Aachener Bibliothek
Anwendung von Computeralgebrasystemen
■ Mathematica
■ Kurvenanpassung und Interpolationsverfahren
■ 1. Kurvenanpassung:
■ 2. Interpolation:
■ Numerische Lösung von Polynomgleichungen
■ Numerische Integration
■ Numerische Lösung von Differentialgleichungen
■
❍
❍
■
Maple
■
■
■
■
Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
Numerische Lösung von Gleichungen
Numerische Integration
Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Begriff des Oberflächenintegrals erster Art
●
●
Definition
Existenzsatz
Explizite Vorgabe der Flächengleichung
Ist die Fläche
durch die Gleichung
(8.158)
explizit vorgegeben, dann wird das Integral (8.157c) nach der Formel
(8.159a)
berechnet, wobei gilt
des Flächenstückes
. Die Oberflächenintegrale der Funktion
über die Projektionen
auf die anderen Koordinatenebenen werden analog berechnet:
(8.159b)
wobei
die Gleichung der Fläche
nach
aufgelöst ist und
zu setzen ist.
(8.159c)
wobei
die nach
aufgelöste Gleichung der Fläche
ist und
zu setzen ist. Wenn
die Orientierung der Fläche geändert wird, d.h., wenn die Außen- mit der Innenseite vertauscht wird, dann ändert das
Integral über die Projektion sein Vorzeichen.
Vorgabe der Flächengleichung in Parameterform
Ist die Fläche
durch die Gleichungen
(8.160)
in Parameterform vorgegeben, dann berechnet man die Integrale (8.157a,b,c) nach den folgenden Formeln:
(8.161a)
(8.161b)
(8.161c)
Dabei sind die Ausdrücke
die Funktionaldeterminanten der Funktionenpaare
aus der Menge
des Flächenstückes
, die von den Variablen
.
und
abhängen,
ist der Variabilitätsbereich von
und
Satz von der offenen Abbildung
Der Satz besagt, daß ein linearer stetiger Operator, der
offene Menge in
für jede offene Menge
aus
.
auf
abbildet, offen ist, d.h., das Bild
ist eine
Spezielle Eigenschaften
Ein beliebiger Operator
heißt demistetig im Punkt
, wenn für jede (in der Norm von
in
Punkt von
schwach zu
) zu
konvergente Folge
konvergiert.
die Folge
heißt demistetig auf der Menge
, wenn
in jedem
demistetig ist.
In diesem Abschnitt wird eine andere Verallgemeinerung des aus der reellen Analysis bekannten Monotoniebegriffs
eingeführt. Seien jetzt
ein reeller BANACH-Raum,
nichtlinearer Operator. Dann heißt
monoton , wenn für
gilt. Ist
sein Dual,
und
ein
die Ungleichung
ein HILBERT-Raum, dann ist das Skalarprodukt gemeint,
während im Falle eines BANACH-Raumes bzgl. der Bezeichnung auf Abschnitt Fortsetzung von linearen Funktionalen
verwiesen wird. Der Operator
heißt streng monoton wenn es eine Konstante
gibt, so daß
für
Ein Operator
heißt koerzitiv , wenn
gilt.
gilt.
Existenzaussagen
Existenzaussagen für Lösungen von Operatorengleichungen mit monotonem Operator können hier nur exemplarisch
angegeben werden: Ist der Operator
, der einen reellen separablen BANACH-Raum
für beliebiges
abbildet, monoton, demistetig und koerzitiv, dann hat die Gleichung
Lösung. Ist zudem der Operator
also der inverse Operator
eine
streng monoton, dann ist die Lösung sogar eindeutig, in diesem Falle existiert
.
Für einen monotonen demistetigen Operator
, wobei
bijektiv mit stetigem
in
im HILBERT-Raum
stetig ist. Wenn
mit
gilt
als streng monoton vorausgesetzt wird, dann ist
.
Konstruktive Näherungsmethoden für die Lösung der Gleichung
mit monotonem Operator
HILBERT-Raum basieren auf der Idee des GALERKIN-Verfahrens oder Lit. 12.11, 12.21.
im
Mit dieser Theorie kann man ebenfalls mehrdeutige Operatoren
Monotoniebegriff durch
wird (s. Lit. 12.14).
behandeln, auf die der
und
verallgemeinert
Regeln zur Berechnung der Rotation
(13.61)
(13.62)
(13.63)
Separierbarkeit
Die Funktion
heißt separierbar , wenn sie mit zweiargumentigen Funktionen
und mit Funktionen
in folgender Form geschrieben werden kann:
(18.119)
Minimumvertauschbarkeit
Eine Funktion
heißt minimumvertauschbar , falls gilt:
(18.120)
Diese Eigenschaft ist zum Beispiel dann erfüllt, wenn
monoton wachsend ist, d.h., wenn für alle
für jedes
bezüglich des zweiten Argumentes
gilt:
(18.121)
Für die Kostenfunktion des dynamischen Optimierungsproblems wird nun die Separierbarkeit von
Minimumvertauschbarkeit aller Funktionen
, gefordert.
und die
Folgende häufig Verwendung findende Klassen von Kostenfunktionen genügen beiden Bedingungen:
(18.122)
Die Funktionen
lauten
(18.123)
bzw.
(18.124)
Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode
●
●
Optimale Einkaufspolitik
Rucksackproblem
Bestimmung der minimalen Kosten
Mittels der Funktionalgleichungen (18.126,18.127) werden, mit
mit
Funktionswerte
beginnend, für abnehmende
bestimmt. Dies erfordert für jedes
. Für jedes
eines Optimierungsproblems über dem Entscheidungsbereich
Minimalstelle
Sind die Mengen
als optimale Entscheidung für die erste Stufe eines mit
ausgewählten Stützstellen
ergibt sich dabei eine
unter Umständen an
berechnet werden, woraus mittels Interpolation gegebenenfalls
Zwischenwerte ermittelt werden können. Mit
gefunden. Die Ermittlung einer optimalen Politik
kann auf 2 Arten erfolgen.
die Lösung
beginnenden Teilprozesses
nicht endlich oder auch sehr groß, dann können die Werte
alle
ist der Optimalwert der Kostenfunktion für den Prozeß
sowie einer zugehörigen Zustandsfolge
.
Problemstellung
Das Problem der Bestimmung einer optimalen Einkaufspolitik aus Abschnitt Einkaufsproblem
(18.131a)
(18.131b)
führt auf die Funktionalgleichungen
(18.132a)
(18.132b)
Zahlenbeispiel
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
1. Rückwärtsrechnung: Die Funktionswerte
werden an den Stützstellen
bestimmt. Es genügt dann, die Minimumsuche nur für ganzzahlige Entscheidungen
durchzuführen.
Gemäß Variante 2 der BELLMANNschen Funktionalgleichungsmethode werden nur die Werte
bestimmt.
Zeile der Tabelle eingetragen. Exemplarisch wird
=0 1
j=1
in die letzte
2
3
4
5
6
7
8
9 10
75
2
59
56 53 50 47 44 41 38 35 32 29
3
44
39 34 29 24 21 18 15 12 9
6
4
24
21 18 15 12 9
6
4
2
0
0
5
22
18 14 10 6
4
2
0
0
0
0
6
6
4
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2. Vorwärtsrechnung:
Als Minimalstelle ergibt sich
und somit
und alle nachfolgenden Stufen wiederholt. Die optimale Politik lautet
. Dieses Verfahren wird für
Problemstellung
Gegeben sei das bereits betrachtete Rucksackproblem
(18.133a)
(18.133b)
Da ein Maximumproblem vorliegt, lauten die BELLMANNschen Funktionalgleichungen jetzt
(18.134a)
(18.134b)
Da lediglich die Entscheidungen 0 und 1 auftreten, empfiehlt sich die Anwendung der Variante 1 der
Funktionalgleichungsmethode. Es ergibt sich für
:
(18.135)
(18.136)
Ecke und Basis
●
●
●
Definition der Ecke und Satz über die Ecke
Basis
Ecke mit maximalem Funktionswert
Problemstellung und geometrische Darstellung
●
●
Formen der linearen Optimierung
Beispiele und graphische Lösungen
Beispiel Herstellung zweier Produkte:
Für die Herstellung zweier Produkte
und
werden die Ausgangsstoffe
und
dem folgenden Schema sind die für die Erzeugung einer Produkteinheit ( PE ) der Produkte
benötigt. Aus
und
erforderlichen Mengeneinheiten ( ME ) der Ausgangsstoffe sowie die verfügbaren Materialkontingente zu entnehmen.
Der Verkauf einer Produkteinheit von
bzw.
erbringt einen Gewinn von 20 bzw. 60 Gewinneinheiten ( GE ).
Gesucht ist ein Produktionsprogramm, das maximalen Gewinn sichert, wobei mindestens 10 Produktionseinheiten
von
erzeugt werden sollen.
Schema 1
ME
pro PE ME
pro PE ME
pro PE
Kontigent
Bezeichnet man mit
bzw.
12
8
0
6
12
10
630
620
350
die Anzahl der Produkteinheiten von
Aufgabe:
Einführung von Schlupfvariablen
führt auf:
bzw.
, dann ergibt sich die folgende
Fallunterscheidung
Ziel der Lösung des Hilfsprogramms mit dem Simplexverfahren ist es, die künstlichen Variablen aus der Basis zu
entfernen. Wird eine künstliche Variable zur Nichtbasisvariable, dann kann die zugehörige Spalte im Tableau
gestrichen werden. Man ermittelt so einen Maximalpunkt
1.
:
besitzt keine Lösung.
Das System
2.
und unterscheidet:
:
Falls sich unter den Basisvariablen keine künstlichen Variablen befinden, ist sofort ein Tableau für die
ursprüngliche Aufgabe gegeben. Anderenfalls wird so lange aus einer zu einer künstlichen Variablen
gehörenden Zeile ein Pivotelement
gewählt, ein Austauschschritt ausgeführt und anschließend die
Pivotspalte gestrichen, bis alle künstlichen Variablen aus dem Tableau entfernt worden sind.
Durch die Einführung von künstlichen Variablen kann die Dimension des Hilfsproblems stark anwachsen. Mitunter ist
es nicht notwendig, zu jeder Gleichung eine künstliche Variable zu addieren. War das System der
Nebenbedingungen vor der Einführung von Schlupfvariablen gegeben durch
mit
, dann sind nur in den ersten beiden Systemen
künstliche Variable erforderlich. Für das dritte System können die Schlupfvariablen als erste Basisvariable gewählt
werden.
Beispiel
Im Beispiel unter Ecke und Basis ist nur in der ersten Gleichung eine künstliche Variable erforderlich:
Das ermittelte Tableau ist mit
optimal. Durch Streichen der zweiten Spalte erhält man ein erstes
Tableau für das Ausgangsproblem. Schema 6a, b
Übergang zum neuen Simplextableau
●
●
Nichtentarteter Fall
Entarteter Fall
Bestimmung eines ersten Simplextableaus
●
●
Hilfsprogramm und künstliche Variable
Fallunterscheidung
Modell
Ein von
Erzeugern
Verbrauchern
in den Mengen
mit dem Bedarf
einer Produkteinheit vom Erzeugnis
Produkteinheiten zu
zum Verbraucher
produziertes Erzeugnis soll zu
transportiert werden. Die Kosten des Transportes
betragen
. Von
werden
transportiert. Gesucht ist eine, die Transportkosten minimierende Aufteilung der Erzeugnisse
auf die Verbraucher. Es wird vorausgesetzt, daß die Gesamtkapazität der Erzeuger gleich dem Gesamtverbrauch ist,
d.h.
(18.23)
Man bildet die Kostenmatrix C und die Verteilungsmatrix X:
(18.24a)
(18.24b)
Ist die Bedingung (18.23) nicht erfüllt, dann werden zwei Fälle unterschieden:
a)
Für
Transportkosten
wird ein fiktiver Verbraucher
mit dem Bedarf
und den
eingeführt.
b)
Für
wird ein fiktiver Erzeuger
mit der Kapazität
und
den Transportkosten
eingeführt. Zur Bestimmung eines optimalen Verteilungsplanes ist das
folgende Optimierungsproblem zu lösen:
(18.25a)
(18.25b)
Das Minimum dieses Problems wird in einer Ecke des zulässigen Bereiches angenommen. Von den
Nebenbedingungen sind
vorausgesetzt werden soll,
linear unabhängig, so daß eine Ecke im nicht entarteten Fall, der hier
positive Komponenten
besitzt. Die folgende Bestimmung eines
optimalen Verteilungsplanes wird als Transportalgorithmus bezeichnet.
Straf- und Barriereverfahren
Das Grundprinzip dieser Verfahrensklasse besteht darin, daß ein Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen durch
Modifikation der Zielfunktion in eine Folge von Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen umgeformt wird. Die
modifizierten Probleme können z.B. mit Verfahren für unrestringierte Aufgaben gelöst werden. Bei geeigneter
Konstruktion der modifizierten Zielfunktionen ist jeder Häufungspunkt der Folge der Lösungspunkte dieser
Ersatzprobleme eine Lösung der ursprünglichen Aufgabe.
●
●
Strafverfahren
Barriereverfahren
Spezialfall linearer Restriktionen
Sind die Funktionen
linear, d.h.
, dann kann ein einfacheres Richtungssuchprogramm
aufgestellt werden:
(18.91)
(18.92a)
(18.92b)
Die Wirkung der Wahl verschiedener Normen
folgenden Abbildung gezeigt.
bzw.
ist in der
Die in einem gewissen Sinne beste Wahl der Norm ist
Richtungssuchprogramm ermittelt man das
, denn mit dem
, das den kleinsten Winkel mit
bildet. Dann ist das
Richtungssuchprogramm jedoch nicht linear und erfordert einen höheren Rechenaufwand. Dagegen ergibt sich mit
ein System linearer Nebenbedingungen
, so
daß das Richtungssuchprogramm z.B. mit dem Simplexverfahren gelöst werden kann.
Um zu sichern, daß das Verfahren der zulässigen Richtungen für quadratische Optimierungsprobleme
mit
in endlich vielen Schritten zum Ziel führt, wird das
Richtungssuchprogramm durch die folgende Konjugationsvorschrift ergänzt: Ist in einem Schritt
ist ein ,,innerer`` Punkt, dann wird dem Richtungssuchprogramm die Bedingung
, d.h.
(18.93)
hinzugefügt. Weiterhin werden entsprechende Bedingungen aus vorhergehenden Schritten beibehalten. Die Bedingungen
(18.93) werden erst fallengelassen, wenn ein Schritt
gesetzt wird.
Beispiel
.
1. Schritt:
.
Start mit
Richtungssuchprogramm:
Strahlmimierung:
Maximal zulässige Schrittweite:
.
mit
.
.
2. Schritt:
.
Richtungssuchprogramm:
.
3. Schritt:
.
Richtungssuchprogramm:
,
.
Das nächste Richtungssuchprogramm liefert
. Daher ist
der Minimalpunkt (s. Abbildung).
Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Gegeben ist das konvexe Optimierungsproblem
(18.94)
. Eine zulässige Abstiegsrichtung
mit
eine zulässige Richtung, dann wird
von
und
zeigt aus
im Punkt
wird auf folgende Weise ermittelt: Ist
gesetzt. Anderenfalls liegt
hinaus. Mittels einer linearen Abbildung
auf eine lineare Teilmannigfaltigkeit des Randes von
auf dem Rand
wird der Vektor
projiziert, die von einer Teilmenge der in
aktiven
Restriktionen gebildet wird. Die Projektion auf eine Kante zeigt die folgende linke Abbildung, die Projektion auf eine
Seitenfläche die rechte Abbildung.
Unter der Voraussetzung der Nichtentartungsbedingung, d.h. für alle
sind die Vektoren
,
linear unabhängig, ist eine solche Projektion gegeben durch
(18.95)
Dabei besteht
bilden, in die
aus allen den
, deren entsprechende Nebenbedingungen die lineare Teilmannigfaltigkeit
projiziert werden soll.
Algorithmus
Das Verfahren der projizierten Gradienten besteht aus folgendem Algorithmus:
Starte mit
, setze
und gehe nach folgendem Schema vor:
I:
Ist
zulässige Richtung, dann wird
Anderenfalls wird
aus den Vektoren
gesetzt und mit III fortgesetzt.
mit
gebildet und zu II übergegangen.
II:
Es wird
Ist
und gilt
gesetzt. Ist
, wird mit III fortgesetzt.
, dann ist
ein Minimalpunkt. Die lokalen
KUHN- TUCKER-Bedingungen
Ist
, dann ist ein
mit
sind offensichtlich erfüllt.
zu wählen, die
-te Zeile aus
zu streichen und II zu
wiederholen.
III:
Berechnung von
sowie von
und Übergang mit
zu I.
Bemerkungen zum Algorithmus
Wenn
auf der
nicht
nicht zulässig ist, wird dieser Vektor zunächst in die Teilmannigfaltigkeit geringster Dimension,
liegt, abgebildet. Ist
senkrecht auf dieser Teilmannigfaltigkeit. Gilt
, dann wird durch Weglassen einer aktiven Nebenbedingung die Teilmannigfaltigkeit um eine
Dimension erweitert, wodurch
Da
, dann steht
häufig aus
eintreten kann (s. Abbildung mit Projektion auf eine Seitenfläche).
durch Hinzufügen bzw. Streichen einer Zeile entsteht, kann die aufwendige Berechnung
von
erleichtert werden, indem die Kenntnis von
genutzt wird.
Beispiel
Lösung des Problems vom vorigen Beispiel.
1. Schritt:
,
I:
.
III:
Die Schrittweite wird wie im vorigen Beispiel ermittelt:
.
2. Schritt:
I:
.
II:
.
III:
.
3. Schritt:
I:
.
II:
.
II:
.
III:
.
4. Schritt:
I:
.
II:
.
Daraus folgt, daß
Minimalpunkt ist.
Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Es wird das Optimierungsproblem
(18.106)
über dem beschränkten Bereich
, der mit konvexen Funktionen
durch
beschrieben ist, betrachtet. Ein Problem mit nichtlinearer, aber konvexer Zielfunktion
wird in
diese Form überführt, indem
(18.107)
als weitere Nebenbedingung aufgenommen und
(18.108)
mit
gelöst wird.
Die Grundidee des Verfahrens besteht in der iterativen linearen Approximation von
in der Nähe des
Minimalpunktes
durch konvexe Polyeder, womit das Ausgangsproblem auf eine Folge linearer Programme
zurückgeführt wird.
Zunächst wird ein Polyeder
(18.109)
bestimmt. Aus dem linearen Programm
(18.110)
wird ein bezüglich
optimaler Eckpunkt
von
erhalten. Ist
, dann ist die Optimallösung des
Ausgangsproblems gefunden. Anderenfalls wird eine Hyperebene
die den Punkt
von
trennt, ermittelt, so daß das neue Polyeder
(18.111)
erhalten wird.
Die Abbildung zeigt eine schematische Darstellung des Schnittebenenverfahrens.
Lagrange-Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Die LAGRANGE-Funktion zum Problem (18.46a,b) ist
(18.48)
Die KUHN- TUCKER-Bedingungen lauten mit
(18.49)
für den zulässigen Bereich:
Fall I:
a)
Fall II:
,
a)
,
b)
,
.
d)
,
a)
(18.50a)
, b)
b)
, c)
c)
d)
Fall III:
,
.
, (18.50b)
,
c)
d)
.
(18.50c)
(18.50d)
Duales Problem
Ist
positiv definit, dann kann das zu (18.46a) duale Problem (18.44a) explizit in folgender Weise formuliert
werden:
(18.51a)
(18.51b)
Setzt man den Ausdruck
für
in die duale Zielfunktion
ein, dann entsteht das
äquivalente Problem
(18.52)
für das gilt: Ist
eine Lösung von (18.46a,b), dann besitzt (18.52) eine Lösung
, und es gilt
(18.53)
Das Problem (18.52) kann durch die äquivalente Formulierung
(18.54a)
(18.54b)
ersetzt werden.
Spezielle Richtungen
1. Kegel der zulässigen Richtungen Der Kegel der zulässigen Richtungen in
ist definiert durch
(18.34)
wobei Richtungen mit
hinreichend kleine
bezeichnet sind. Ist
-Werte in
, dann liegen alle Punkte des Strahls
für
.
2. Abstiegsrichtung Eine Abstiegsrichtung im Punkt
ist ein Vektor
, für den es ein
gibt
mit:
(18.35)
In einem Minimalpunkt existiert keine Abstiegsrichtung, die zugleich auch zulässig ist.
Ist
differenzierbar, so folgt aus
Nablaoperator bezeichnet, so daß
die Abstiegseigenschaft der Richtung
den Gradienten der skalaren Funktion
. Mit
an der Stelle
ist der
darstellt.
Aufgabenstellung
Die quadratische Optimierung umfaßt Aufgaben der Form
(18.46a)
(18.46b)
Dabei ist
eine symmetrische
Der zulässige Bereich
-Matrix,
eine
-Matrix und
.
kann alternativ in folgende Darstellungen überführt werden:
(18.47a)
(18.47b)
Aufgabenstellung, gleichmäßige Suche
1. Aufgabenstellung: Es sei
auf
unimodal und
mit
Intervall
und
, bestimmt werden. Dabei heißt
, eine unimodale Funktion im Intervall
, falls
auf jedem abgeschlossenen
genau einen lokalen Minimalpunkt besitzt.
Teilintervall
2. Gleichmäßige Suche: Man wählt
Werte
ein globaler Minimalpunkt. Dann soll ein
(
ganzzahlig) so, daß
für
Wert, dann liegt der Minimalpunkt
. Ist
im Intervall
notwendige Anzahl von Funktionswertberechnungen kann mittels
gilt, und berechnet die
unter diesen Funktionswerten ein kleinster
. Die für die geforderte Genauigkeit
(18.66)
abgeschätzt werden.
Eindimensionale Suche
Viele Optimierungsverfahren beinhalten als Teilaufgabe die Minimierung einer Funktion
ist dabei eine Näherung
●
●
für den Minimalpunkt
ausreichend.
Aufgabenstellung, gleichmäßige Suche
Verfahren des Goldenen Schnittes und Fibonacci-Verfahren
für
. Oft
Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Das Verfahren von WOLFE ist zur Lösung von quadratischen Problemen der folgenden speziellen Form geeignet:
(18.55)
Für die hier beschriebene Version des Verfahrens wird
der Ermittlung einer Lösung
als positiv definit vorausgesetzt. Die Grundidee besteht in
des dem Problem (18.55) zugeordneten Systems der KUHN- TUCKER-
Bedingungen:
(18.56a)
(18.56b)
(18.56c)
(18.57)
Die Formeln (18.56a,b,c) stellen ein lineares Ungleichungssystem mit
Variablen dar. Auf Grund der Bedingung (18.57) muß entweder
Ungleichungen und
oder
gelten.
Daher besitzt jede Lösung von (18.56a,b,c,18.57) höchstens
von Null verschiedene Komponenten und muß
folglich eine Basislösung von (18.56a,b,c) sein.
Lösungsgang: Mit Hilfe des Simplexverfahrens wird zunächst eine zulässige Basislösung (Ecke)
bestimmt. Die zu den Basisvariablen von
des Systems
gehörenden Indizes bilden die Indexmenge
. Um eine
Lösung des Systems (18.56a,b,c) zu finden, die auch (18.57) erfüllt, formuliert man das folgende Hilfsproblem:
(18.58)
(18.59a)
(18.59b)
(18.59c)
(18.60)
Für eine Lösung
dieses Problems, die gleichzeitig (18.56a,b,c) und (18.57) erfüllt, muß
Als zulässige Basislösung für das System (18.59a,b,c) ist
gelten.
bekannt, die gleichzeitig der
Bedingung (18.60) genügt. Eine zu dieser Basislösung gehörende Basis wird aus den folgenden Spalten der
Koeffizientenmatrix
(18.61)
zusammengesetzt. In (18.61) bedeuten
Einheitsmatrix,
Nullmatrix und
Nullvektor entsprechender Dimension.
a)
Spalten, die zu
mit
gehören,
b)
Spalten, die zu
mit
gehören,
c)
alle
Spalten zu
,
d)
die letzte Spalte, dafür wird aber eine geeignete der unter b) und c) bestimmten Spalten wieder weggelassen.
Ist
, dann ist zwar der Austausch nach d) nicht möglich, es ist dann aber
bereits ein Lösungspunkt.
Man kann nunmehr ein erstes Simplextableau aufstellen. Die Minimierung der Zielfunktion erfolgt mit dem
Simplexverfahren unter der folgenden Zusatzregel, die
Bleibt in einem Austauschschritt
sichert:
Basisvariable, dann darf
nicht Basisvariable werden und
umgekehrt.
Für positiv definites
führt das Simplexverfahren unter Beachtung der Zusatzregel zu einer Lösung des Problems
(18.58,18.59a,b,c, 18.60) mit
. Für positiv semidefinites
kann auf Grund der eingeschränkten
Pivotelementwahl der Fall eintreten, daß kein Austauschschritt mehr ausgeführt werden kann, ohne die Zusatzregel zu
gilt. Man kann zeigen, daß in diesem Fall
verletzen, obwohl
überhaupt nicht verkleinert werden kann.
Beispiel
In diesem Falle ist
lediglich positiv semidefinit. Eine zulässige Basislösung von
,
a) die Spalten 3 und 4 von
ist
. Als Basisvektoren werden gewählt:
,
b) die Spalten 1 und 2 von
, c) die Spalten von
und d) die Spalte
anstelle der 1. Spalte von
.
Aus diesen Spalten wird die Basismatrix gebildet und die Basisinverse errechnet. Durch Multiplikation mit der Matrix
(18.61) sowie des Vektors
mit der Basisinversen ergibt sich ein erstes Simplextableau:
Schema 9
Auf Grund der Zusatzregel kann in diesem Tableau nur
nach einigen Austauschschritten
gegen
ausgetauscht werden. Als Lösung erhält man
. Die letzten zwei Gleichungen von
lauten:
. Man kann deshalb den Umfang des
Problems zu Beginn der Rechnung reduzieren, indem man die freien Variablen
eliminiert.
und
aus dem System
Prinzip
Dem streng konvexen Optimierungsproblem
(18.62)
ist das duale Problem
(18.63a)
(18.63b)
zugeordnet. Die Matrix
Die Variablen
und
ist positiv definit und besitzt positive Diagonalelemente
.
sind über die folgende Beziehung miteinander verknüpft:
(18.64)
Iterationslösung
Das duale Problem (18.63a,b), das nur die Nebenbedingung
enthält, kann mit Hilfe des folgenden einfachen
Iterationsverfahrens in Schritten gelöst werden:
a)
Setze
(z.B.
Berechne
für
),
.
b)
gemäß
(18.65a)
(18.65b)
c)
Falls ein Abbruchkriterium, z.B.
an Stelle von
wiederholt.
Unter der Voraussetzung, daß ein
Minimalwert
, nicht erfüllt ist, wird Schritt b) mit
mit
existiert, konvergiert die Folge
und die mittels (18.64) gebildete Folge
Dagegen konvergiert die Folge
nicht immer.
gegen die Lösung
gegen den
des Ausgangsproblems.
Optimierung
18.1
BECKMANN, M.J.: Spieltheorie, dynamische Optimierung, Lagerhaltung, Warteschlangentheorie, Simulation,
unscharfe Entscheidungen. In: Grundlagen des Operations - Research (Hrsg. TOMASGAL). -- Springer-Verlag
1992.
18.2
BIESS, G.: Graphentheorie. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 21/2), 1980; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 21/2), 1980.
18.3
DÜCK, W.; KÖSTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 2. -- Verlag H. Deutsch
1980.
18.4
ELSTER, K.-H.: Einführung in die nichtlineare Optimierung.-- B. G. Teubner 1978.
18.5
GOEBEL: Variationsrechnung in BANACH-Raümen, (Beiträge zur Analysis 2). -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1971.
18.6
GROSSMANN, C.; KLEINMICHEL, H.: Verfahren der nichtlinearen Optimierung. -- B. G. Teubner, Leipzig 1976.
18.7
KOSMOL: Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben. -- B.
G. Teubner, 2. Auflage 1992.
18.8
KLÖTZLER, R.: Mehrdimensionale Variationsrechnung. -- Birkhäuser Verlag 1970.
18.9
KRABS, W.: Optimierung und Approximation. -- B. G. Teubner.
18.10
KRELLE, W.; KÜNZI, H.P.; RANDOW, R. V.: Nichtlineare Programmierung. -- Springer-Verlag 1979.
18.11
Optimierung und optimale Steuerung. Lexikon der Optimierung. -- Akademie-Verlag 1986.
18.12
OSE, G. (FEDERFÜHRUNG): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 4. -- Verlag H. Deutsch 1991.
18.13
PIEHLER, J.: Einführung in die lineare Optimierung -- BGB B.G. Teubner 1970.
18.14
PONTRJAGIN, L.S. ET AL: Mathematische Theorie der optimalen Prozesse. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1964.
18.15
SEIFFART, E.; MANTEUFFEL, K.: Lineare Optimierung. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 14), 1974;
Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 14), 1981.
Problemstellung
●
●
Nichtlineares Optimierungsproblem
Minimalpunkte
Entarteter Fall
Ist in einem Simplextableau nach erfolgter Pivotspaltenwahl die Festlegung der Pivotzeile nicht eindeutig möglich,
dann wird das neue Tableau eine entartete Ecke darstellen. Geometrisch ist eine entartete Ecke als Zusammenfallen
mehrerer Ecken in einem Punkt interpretierbar. Für eine solche Ecke gibt es mehrere Basen. Somit kann der Fall
eintreten, daß einige Austauschschritte ausgeführt werden, ohne zu einer neuen Ecke zu gelangen. Es sind sogar
Beispiele konstruierbar, die nach einigen Schritten ein bereits betrachtetes Tableau ergeben, so daß unendlich viele
Zyklen auftreten können.
Beim Auftreten einer entarteten Ecke ist es möglich, das Gleichungssystem durch Addition von
geeigneten
) zu den Restriktionskonstanten
(mit einem
so zu stören, daß diese und alle folgenden Ecken des
gestörten Systems nicht mehr entartet sind und das Optimum des gestörten Problems mit dem des ungestörten
Problems übereinstimmt, wenn man in der Lösung
setzt. Algorithmisch wird diese Störung durch einen
Zusatz zum Simplextableau erreicht, worauf hier nicht eingegangen werden soll.
Werden die Pivotspalte und im nicht eindeutigen Fall die Pivotzeile ,,zufällig`` gewählt, dann ist eine Zyklenbildung in
den meisten praktischen Fällen unwahrscheinlich.
Z-Transformationen, Teil II
Nr. Originalfolge
11
12
13
Konvergenzbereich
14
15
16
17
18
19
20
21
Anwendungen
Die Anwendung des SCHWARZschen Spiegelungsprinzips vereinfacht die Berechnung und Darstellung von ebenen
Feldern mit geradlinigen Begrenzungen: Ist der gerade Rand eine Stromlinie (isolierender Rand in der linken
Abbildung), dann sind alle Quellen als Quellen, alle Senken als Senken und alle Wirbel als entgegengesetzt
drehende Wirbel zu spiegeln. Ist der gerade Rand eine Potentiallinie (stark leitender Rand in der rechten Abbildung),
dann sind alle Quellen als Senken, alle Senken als Quellen und alle Wirbel als gleichsinnig drehende Wirbel zu
spiegeln.
Rotation in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
1. Rotation in kartesischen Koordinaten
(13.57a)
Das Vektorfeld
ist durch das Vektorprodukt aus Nablaoperator und Vektor
gemäß
(13.57b)
darstellbar.
2. Rotation in Zylinderkoordinaten
(13.58a)
mit
(13.58b)
3. Rotation in Kugelkoordinaten
(13.59a)
mit
Quotient zweier Potenzreihen
(7.85)
Diese Formel ergibt sich, indem der Quotient als Reihe mit unbestimmten Koeffizienten angesetzt und mit der NennerReihe ausmultipliziert wird, worauf die Koeffizienten der entstehenden Reihe durch Koeffizientenvergleich mit der ZählerReihe bestimmt werden.
Prinzipieller Lösungsweg
Der prinzipielle Lösungsweg soll am eindimensionalen diskreten Fall gezeigt werden. Die Ansatzfunktion
hänge nichtlinear von einigen Parametern ab.
Beispiel A
. In dieser Exponentialsumme treten die Parameter
und
nichtlinear
auf.
Beispiel B
. In diesem Ansatz sind
Die Abhängigkeit der Ansatzfunktion
Bezeichnung
und
die nichtlinearen Paramter.
von einem Parametervektor
soll durch die
(19.185)
zum Ausdruck gebracht werden.
Es seien
Wertepaare
gegeben. Zur Minimierung der Fehlerquadratsumme
(19.186)
führen die notwendigen Bedingungen
auf ein nichtlineares
Normalgleichungssystem, das iterativ z.B. mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens gelöst werden muß.
GAUSS-NEWTON-Verfahren
Einen anderen Lösungsweg, der bei praktischen Aufgaben in der Regel gegangen wird, vermittelt das GAUSSNEWTON-Verfahren, das zur Lösung der nichtlinearen Quadratmittelaufgabe (19.24) beschrieben worden ist. Die
Übertragung auf die jetzt vorliegende nichtlineare Approximationsaufgabe (19.186) erfordert die folgenden Schritte:
1. Linearisierung
der Ansatzfunktion
nach TAYLOR bezüglich der Parameter
. Dazu müssen Näherungswerte
bekannt sein:
(19.187)
2. Lösung
der linearen Ausgleichsaufgabe
(19.188)
mit Hilfe des Normalgleichungssystems
(19.189)
oder nach dem HOUSEHOLDER-Verfahren. In (19.189) sind die Komponenten der Vektoren
und
durch
(19.190a)
(19.190b)
gegeben. Die Matrix
wird analog zu
in (19.179b) gebildet, indem man
ersetzt.
3. Berechnung
einer neuen Näherung durch
durch
(19.191)
wobei
ein Schrittweitenparameter ist.
Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit
an Stelle von
usw. erhält man für die gesuchten Parameter
Folgen von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der Startnäherung abhängt. Mit Hilfe des
Schrittweitenparameters
läßt sich aber zunächst eine Verkleinerung der Fehlerquadratsumme erzielen.
Zusammenhang
Mit der Lösung der charakteristischen Integralgleichung hängt das HILBERTsche Randwertproblem eng zusammen.
Ist
eine Lösung von (11.74b), dann ist (11.76a) eine in
und
holomorphe Funktion mit
. Gemäß der Formeln von PLEMELJ und SOCHOZKI (11.76c) gilt:
(11.77a)
Die charakteristische Integralgleichung lautet mit
(11.77b)
(11.77c)
HILBERTsches Randwertproblem
Gesucht ist eine in
und
holomorphe, im Unendlichen verschwindende Funktion
Randbedingung (11.77c) erfüllt. Eine Lösung
des HILBERTschen Problems ist in der Form (11.76a)
darstellbar. Zufolge der ersten Gleichung von (11.77a) ist damit eine Lösung
Integralgleichung bestimmt.
, die auf
der charakteristischen
die
Homogene charakteristische Integralgleichung
Ist
die Lösung des zugeordneten homogenen HILBERTschen Problems, dann folgt aus (11.77a) die
Lösungsdarstellung der homogenen Integralgleichung
(11.82a)
Für
existiert nur die triviale Lösung
. Für
lautet die allgemeine Lösung
(11.82b)
mit einem Polynom
höchstens vom Grad
.
Pseudovektor und schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe
Das Tensorprodukt der axialen Vektoren
und
einen Tensor 2. Stufe mit den Komponenten
ergibt gemäß (4.73a)
Da sich jeder Tensor 2. Stufe als
Summe eines symmetrischen und eines schiefsymmetrischen Tensors 2. Stufe darstellen läßt, gilt wegen (4.80)
(4.101)
Der schiefsymmetrische Anteil in dieser Gleichung ergibt bis auf den Faktor
Vektorprodukts
so daß man den axialen Vektor
als schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe
gerade die Komponenten des
mit den Komponenten
auch
(4.102a)
mit
(4.102b)
auffassen kann, dessen Komponenten die Transformationsformel (4.100b) für Tensoren 2. Stufe erfüllen.
Damit kann man jeden axialen Vektor (Pseudovektor oder Pseudotensor 1. Stufe)
schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe
als
auffassen, wobei gilt
(4.103)
Grenzwertsätze
Analog zu den Grenzwerteigenschaften der Bildfunktion der LAPLACE-Transformation (15.11b) gelten für die ZTransformation die folgenden Grenzwertsätze:
a)
Wenn
existiert, dann ist
(15.113)
Dabei kann
auf der reellen Achse oder längs eines beliebigen Weges nach
verlaufen. Da die Reihen
(15.114)
(15.115)
offensichtlich ebenfalls Z-Transformierte sind, erhält man analog zu (15.113):
(15.116)
Auf diese Weise kann man die Originalfunktion
aus ihrer Bildfunktion
bestimmen.
b)
Wenn
existiert, so ist
(15.117)
Man kann den Wert von
aus (15.117) aber nur ermitteln, wenn man weiß, daß der Grenzwert existiert,
denn die obige Aussage ist nicht umkehrbar.
Beispiel
. Daraus folgt
, aber
und
existiert nicht.
Pendel auf beweglicher Unterlage: Modellierung der Aufgabe
Für die Menge
(Winkelwerte) seien sieben linguistische Terme, nämlich negativ groß (ng), negativ mittel (nm),
negativ klein (nk), etwa Null (eN), positiv klein (pk), positiv mittel (pm) und positiv groß (pg) gewählt und
entsprechend für die Eingangsgröße
(Werte der Winkelgeschwindigkeit).
Für die mathematische Modellierung muß jedem dieser linguistischen Terme eine Fuzzy-Menge über Graphen
zugeordnet werden, wie es unter Fuzzy-Inferenz gezeigt wurde. Festlegung der Wertebereiche:
●
Winkelwerte:
●
Winkelgeschwindigkeitswerte:
●
Kraftwerte:
Die Partitionierung der Eingangsgrößen
dargestellt.
.
und
und der Ausgangsgröße
ist in der folgenden Abbildung
Die Startwerte sind in der Regel aktuelle Meßwerte, z.B.
Pendel auf beweglicher Unterlage: Regelauswahl
Von den gemäß Tabelle 49 möglichen Regeln (
) sind 19 praxisrelevant, und von diesen werden die folgenden
beiden Regeln R1 und R2 betrachtet.
Tabelle: Regelbasis mit 19 praxisrelevanten Regeln
ng nm nk eN pk pm pg
ng
pk pg
nm
pm
nk
nm
nk pk
eN
ng nm nk eN pk pm pg
pk
nk pk
pm
nm
pg
ng nk
pm
R1:
Ist
positiv klein (pk) und
etwa Null (eN), dann ist
Prämisse mit
Ausgabenmenge durch einen
positiv klein (pk). Für den Erfüllungsgrad der
ergibt sich die
-Schnitt der Ausgabe-Fuzzy-Menge positiv-klein (pk) in der Höhe
(s. Abbildung Teil c))
(5.308)
R2:
Ist
positiv mittel (pm) und
etwa Null (eN), dann ist
Prämisse ergibt sich in Analogie zu Regel 1 mit
positiv mittel (pm). Für den Erfüllungsgrad der
die Ausgabenmenge (s. Abbildung
Teil f))
(5.309)
Pendel auf beweglicher Unterlage: Entscheidungslogik
Die Auswertung mit der min-Operation der Regel
Die entsprechende Auswertung für die Regel
liefert die Fuzzy-Menge in den Abbildungsteilen a - c.
zeigen die Abbildungsteile d - f. Aus der Fuzzy-Aussagenmenge
(Abbildungsteil g) wird letztlich die Stellgröße mit einer Defuzzifizierungsmethode berechnet.
a)
Auswertung der erhaltenen Fuzzy-Mengen, die mittels Operatoren zusammengefügt wurden
(s. max-min-Komposition). Die Entscheidungslogik liefert:
(5.310)
b)
Für den Funktionsgraphen der Fuzzy-Menge nach Maximumsbildung ergibt sich
(5.311)
c)
Für alle anderen 17 Regeln ergibt sich ein Erfüllungsgrad Null für die Prämisse, d.h. sie liefern Fuzzy-Mengen,
die selbst Null sind.
Vollständig durchgerechnetes Beispiel
Beispiel Vollständig durchgerechnetes Beispiel auf der Grundlage einer Tabelle mit Meßwerten
1. Aufgabenstellung: Es ist eine empirische Formel für die in der folgenden Tabelle vorgegebene
Abhängigkeit zwischen
und
zu suchen.
Tabelle zur Annäherung empirischer Daten
0,1 1,78 0,056
0,007 -1,000
0,250
0,301
0,252
0,252
1,78
0,2 3,18 0,063
0,031 -0,699
0,502
0,176
+0,002
-0,097
3,15
0,3 3,19 0,094
0,063 -0,523
0,504
0,125
-0,099
-0,447
3,16
0,4 2,54 0,157
0,125 -0,398
0,405
0,097
-0,157
-0,803
2,52
0,5 1,77 0,282
0,244 -0,301
0,248
0,079
-0,191
-1,134
1,76
0,6 1,14 0,526
0,488 -0,222
0,057
0,067
-0,218
-1,455
1,14
0,7 0,69 1,014
0,986 -0,155 -0,161
0,058
-0,237
-
0,70
0,8 0,40 2,000
1,913 -0,097 -0,398
0,051
-0,240
-
0,41
0,9 0,23 3,913
3,78 -0,046 -0,638
0,046
-0,248
-
0,23
1,0 0,13
7,69
8,02
0,000 -0,886
0,041
-0,269
-
0,13
1,1 0,07 15,71
14,29
0,041 -1,155
0,038
-0,243
-
0,07
-
0,079 -1,398
-
-
-
0,04
1,2 0,04
30,0
2. Auswahl der Näherungsfunktion: Ein Vergleich der Kurve, die auf der Grundlage der Daten in
der Tabelle erhalten wurde (nächste Abbildung), mit bisher betrachteten Kurven zeigt, daß die
Formeln
(2.254) oder
Abbildungen geeignet sein könnten.
(2.256a) mit den folgenden
3. Parameterbestimmung: Nimmt man Formel (2.254), dann sind
Rechnung zeigt aber, daß die Abhängigkeit zwischen
und
und
zu rektifizieren. Die
weit entfernt von Linearität ist.
Zur Überprüfung der Eignung von Formel (2.256a) wird die Kurve der Abhängigkeit
für
erzeugt sowie die für
und
für
und
In beiden Fällen ist die Übereinstimmung mit einer Geraden ausreichend, so daß die Formel
für die Näherung geeignet ist. Zur Bestimmung der Konstanten
lineare Abhängigkeit zwischen
Bedingungsgleichungen
Gleichungen führt auf
und
und
wird eine
mit der Mittelwertmethode gesucht. Addition der
in zwei Gruppen zu je drei
woraus sich
und
vom Typ
ergibt. Zur Bestimmung von
addiert, was
ergibt, so daß aus
berechneten
mit der Formel
Werte-Tabelle als
werden alle Gleichungen
folgt
-Werte sind in der letzten Spalte der obigen
angegeben. Die Fehlerquadratsumme beträgt 0,0024. Benutzt man die durch
Rektifizierung gewonnenen Parameter als Startwerte zur iterativen Lösung der nichtlinearen
Quadratmittelaufgabe
dann erhält man
Fehlerquadratsumme 0,000 0916.
mit der minimalen
Die
Bestimmung der Minimallösung nach REMES
Nach REMES geht man zur numerischen Bestimmung der Minimallösung wie folgt vor:
1.
Man bestimmt eine Alternantennäherung
gleichabständig oder als Extremstellen von
gemäß (19.200), z.B.
.
2.
Man löst das lineare Gleichungssystem
und erhält als Lösung die Näherungen
3.
und
.
Man ermittelt eine neue Alternantennäherung
Fehlerfunktion
, z.B. als Extremstellen der
. Dabei genügt es, Näherungen für diese Extremstellen zu
verwenden.
Durch Wiederholung der Schritte 2. und 3. mit
und
an Stelle von
und
usw. erhält man
Folgen von Näherungen für die Koeffizienten und die Alternantenpunkte, für deren Konvergenz Bedingungen
angegeben werden können (s. Lit. 19.29). Man kann das Verfahren, das die Grundidee des sogenannten REMESAlgorithmus wiedergibt, abbrechen, wenn z.B. von einem gewissen Iterationsindex
an
(19.201)
mit hinreichender Genauigkeit gilt.
1. Definition
Zu einem Vektorfeld
läßt sich durch Bildung der negativ genommenen Volumenableitung ein vektorielles
Feld, das Feld seiner Rotation bilden (in Zeichen:
oder mit Hilfe des Nablaoperators
):
(13.55)
2. Definition
Zu einem Vektorfeld
läßt sich ein zweites Vektorfeld, seine Rotation bilden, indem die folgenden Schritte
durchgeführt werden:
a)
Aufspannen eines kleinen Flächenstückes um den den Punkt
beschrieben werden, der in die Richtung der Normalen
Fächenstückes ist. Der Rand des Flächenstückes sei mit
. Dieses Flächenstück soll durch den Vektor
zeigt und dessen Betrag gleich dem Inhalt des
bezeichnet (s. Abbildung).
b)
Berechnung des Umlaufintegrals
c)
Untersuchung des Grenzwertes
längs der Randkurve
des Flächenstücks.
wobei die Lage des Flächenstückes ungeändert bleibt.
d)
Änderung der Lage des Flächenstückes mit dem Ziel, den Maximalwert einen Maximalwert des gewonnenen
Grenzwertes zu ermitteln. Das zugehörige Flächenstück habe den Flächeninhalt
und die Randkurve
.
e)
Bestimmung des Vektors
im Punkt , dessen Betrag gleich dem gefundenen Maximalwert des
Grenzwertes ist und dessen Richtung mit der Normalen des Flächenstückes zusammenfällt. Es gilt dann:
(13.56a)
Die Projektion von
des Vektors
auf die Flächennormale
des Flächenstücks mit dem Inhalt
in beliebig vorgegebener Richtung
, ergibt sich zu
, d.h. die Komponente
(13.56b)
Die Feldlinien des Feldes
werden Wirbellinien des Vektorfeldes
genannt.
Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
(13.60a)
mit
(13.60b)
Strukturstabile Differentialgleichungen
●
●
Definition
Strukturstabile Systeme in der Ebene
Diskrete dynamische Systeme
●
●
●
Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen
Invariante Mannigfaltigkeiten
Topologische Konjugiertheit von diskreten Systemen
Strukturelle Stabilität (Robustheit)
●
●
●
Strukturstabile Differentialgleichungen
Strukturstabile diskrete Systeme
Generische Eigenschaften
Auftreten
Die NLS-Gleichung tritt auf
●
in der nichtlinearen Optik, wo der Brechungsindex
z.B. beim KERR-Effekt, bei dem
●
von der elektrischen Feldstärke
mit
abhängig ist, wie
gilt, und
in der Hydrodynamik selbstgravitierender Scheiben, wo sie die Beschreibung von galaktischen Spiralarmen
gestattet.
Sachverhalt
Ist eine komplexe Funktion
gehört, ist sie auf
symmetrisch zu
in einem Gebiet
stetig und bildet sie die Gerade
analytisch, zu dessen Rand ein Stück einer Geraden
auf eine Gerade
liegen, auf Punkte abgebildet, die symmetrisch zu
ab, dann werden Punkte, die
liegen (s. Abbildung).
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
●
●
Kombinatorik
❍ Permutationen
❍ Kombinationen
❍ Variationen
❍ Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
❍ Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
■ Ereignisse
■ Ereignisarten
■ Rechenregeln
■ Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
■ Häufigkeiten
■ Definition der Wahrscheinlichkeit
■ Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
■ Beispiele für Wahrscheinlichkeiten
■ Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes
Bedingte Wahrscheinlichkeit
■ Unabhängige Ereignisse
■ Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
■ Beispiel für Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Zufallsgrößen, Verteilungsfunktionen
■ Zufallsveränderliche
■ Verteilungsfunktion
■ Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften
■ Verteilungsfunktion bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen
■ Flächeninterpretation der Wahrscheinlichkeit, Quantil
■ Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
■ Erwartungswert
■ Momente n-ter Ordnung
■ Streuung und Standardabweichung
■ Gewogenes und arithmetisches Mittel
■ Tschebyscheffsche Ungleichung
■ Mehrdimensionale Zufallsveränderliche
Diskrete Verteilungen
■ Zweistufige Grundgesamtheit und Urnenmodell
■ Urnenmodell
■ Binomialverteilung
■ Hypergeometrische Verteilung
■ Poisson-Verteilung
Stetige Verteilungen
■ Normalverteilung
■
❍
❍
❍
Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral
■ Logarithmische Normalverteilung
■ Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Streuung:
■ Exponentialverteilung
■ Weibull-Verteilung
■ Bemerkungen:
■ Chi-Quadrat-Verteilung
■ Fisher-Verteilung
■ Student-Verteilung
❍ Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze
■ Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli
■ Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy
Mathematische Statistik
❍ Stichprobenfunktionen
■ Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor
■ Grundgesamtheit
■ Stichprobe
■ Zufällige Auswahl mit Hilfe von Zufallszahlen
■ Zufallsvektor
■ Stichprobenfunktionen
■ Mittelwert
■ Streuung
■ Median (Zentralwert)
■ Spannweite
❍ Beschreibende Statistik
■
●
Statistische Erfassung gegebener Meßwerte
■ Statistische Parameter
Wichtige Prüfverfahren
■ Prüfen auf Normalverteilung
■ Prüfen mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitspapiers
■ Prinzip des Wahrscheinlichkeitspapiers:
■ Anwendung des Wahrscheinlichkeitspapiers:
■ Chi-Quadrat-Test
■ Verteilung der Stichprobenmittelwerte
■ Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes
■ Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte
■ Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
■ Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung
■ Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung
■ Vertrauensgrenzen für die Streuung
■ Prinzip der Prüfverfahren
Korrelation und Regression
■ Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen
■ Zweidimensionale Zufallsgrößen
■ Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale
■ Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen
■ Bestimmung der Regressionsgeraden
■ Vertrauensgrenzen für den Regressionskoeffizienten
■ Mehrdimensionale Regression
■ Funktionaler Zusammenhang
■
❍
❍
Vektorschreibweise
■ Lösungsansatz und Normalgleichungssystem
■ Hinweise:
❍ Monte-Carlo-Methode
■ Simulation
■ Zufallszahlen
■ Gleichverteilte Zufallszahlen
■ Zufallszahlen mit anderen Verteilungen
■ Tabelle von Zufallszahlen
■ Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation
■ Benutzung der relativen Häufigkeit
■ Benutzung des Mittelwertes
■ Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen Mathematik
■ Berechnung mehrfacher Integrale
■ Integral einer Variablen
■ Doppelintegral
■ Hinweis:
■ Lösung partieller Differentialgleichungen
■ Methode der Irrfahrtsprozesse:
■ Lösungsprinzip:
■ Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode
Theorie der Meßfehler
❍ Meßfehler und ihre Verteilung
■ Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen
■ Meßfehlerverteilungsdichte
■
●
Meßprotokoll
■ Meßfehlerverteilungsdichte
Fehlernormalverteilung
■ Dichte und Verteilungsfunktion
■ Parameter zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung
■ Zusammenhang zwischen Standartabweichung, mittlerem und wahrscheinlichem Fehler
sowie Genauigkeit
Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen
■ Wahrer Wert und seine Näherungen
■ Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
■ 1. Wahrer und scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
■ 2. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der
Einzelmessung:
■ 3. Wahrscheinlicher Fehler:
■ 4. Mittlerer Fehler:
■ Fehler des arithmetischen Mittelwertes einer Meßreihe
■ Absoluter und relativer Fehler
■ Absoluter und relativer Maximalfehler
Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen
■ Angabe der definierten Fehler
■ Vorgabe beliebiger Vertrauensgrenzen
Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit
Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit
■ Gewicht einer Messung
■ Standardabweichungen
■
■
■
■
■
■
Fehlerangabe
Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse
■ Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
■ Problemstellung
■ TAYLOR-Entwicklung
■ Näherung für die Streuung
■ Spezialfälle
■ Unterschied zum Maximalfehler
■ Fehleranalyse
■
❍
Stetigkeit von Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen
Sind
und
auf einem Intervall
stetig, dann sind dort auch
stetige Funktionen, wobei im Falle des Quotienten noch
vorausgesetzt werden muß.
, und
Zufällige Auswahl mit Hilfe von Zufallszahlen
Bei gehortetem oder geschichtetem Material, z.B. Betonplatten, ist eine zufällige Entnahme besonders schwierig oder
sogar unmöglich. Dann kann eine Tafel von Zufallszahlen verwendet werden (s. z.B. Tabelle Zufallszahlen).
Auf dem Intervall
kann man mit vielen Taschenrechnern gleichmäßig verteilte Zufallszahlen erzeugen, indem
man z.B. mit der Taste RAN völlig regellos angeordnete Zahlen zwischen
und
aufruft.
Daraus lassen sich durch Aneinanderreihen der Ziffern nach dem Komma mehrstellige Zufallszahlen bilden.
Häufig werden Zufallszahlen auch in Tabellen angegeben. In der Tabelle Zufallszahlen sind zweistellige
Zufallszahlen angegeben, die auch zu mehrstelligen Zufallszahlen zusammengefaßt werden können.
Beispiel
Aus einer Lieferung von 70 gestapelten Rohren soll eine zufällige Stichprobe vom Umfang 10 entnommen
werden. Dazu werden die Rohre von 00 bis 69 numeriert. Mit Hilfe einer zweistelligen Zufallszahlentafel
wird das System festgelegt, nach dem die Auswahl geschehen soll, z.B. horizontal, vertikal oder diagonal.
Sollten sich dabei Zufallszahlen wiederholen oder treten Zahlen auf, die größer als 69 sind, dann werden
diese weggelassen. Die Rohre mit den Nummern der entsprechenden Zufallszahlen gehören dann zur
Stichprobe. Steht nur eine Tafel mehrstelliger Zufallszahlen zur Verfügung, dann werden bestimmte
Zweiergruppen ausgewählt.
Definition mittels Formeln
Funktionen von mehreren Veränderlichen lassen sich auch durch eine oder mehrere Formeln definieren.
Beispiel A
Beispiel B
Beispiel C
Gleiche Tilgungsraten
Die Tilgung erfolgt unterjährig, es werde aber keine unterjährige Verzinsung mit Zinseszins vereinbart. Es werden
folgende Bezeichnungen verwendet:
Schuld (Verzinsung nachschüssig mit
Tilgungsrate
),
,
Anzahl der Tilgungsraten pro Zinsperiode,
Anzahl der Zinsperioden bis zur endgültigen Tilgung der Schuld.
Für den Schuldner ergibt sich außer der Zahlung der Tilgungsraten noch die folgende Belastung durch Zinsen:
1. Zinsen
für die
-te Zinsperiode:
(1.86a)
2. Gesamtzinsen
zur Tilgung einer Schuld
Die Zahlung erfolge in
Raten bei
Zinsperioden zu
Zinsen:
(1.86b)
Beispiel
Eine Schuld von 60 000.-DM wird jährlich mit 8% verzinst. 60 Monate lang sollen nachschüssig jeweils
1000.-DM getilgt werden. Wie hoch sind die jeweils an den Jahresenden anfallenden Zinsen? Die Zinsen
für jedes Jahr berechnet man aus (1.86a) mit
und
. Sie sind in
der folgenden Tabelle aufgelistet. Die Gesamtzinsen hätte man auch mit Hilfe von (1.86b) gemäß
12200.-DM ermitteln können.
1. Jahr:
4360.-DM
2. Jahr:
3400.-DM
3. Jahr:
2440.-DM
4. Jahr:
1480.-DM
5. Jahr:
520.-DM
12200.-DM
Dreidimensionaler Fall
Ist die Bedingung (8.129c) erfüllt, dann kann die Stammfunktion für den Integrationsweg
mit der Formel
(s. Abbildung)
(8.133)
berechnet werden. Für die anderen fünf möglichen Integrationswege mit Abschnitten, die parallel zu den
Koordinatenachsen verlaufen, ergeben sich fünf weitere Formeln.
Beispiel A
. Die Bedingung (8.129c) ist erfüllt:
. Anwendung der Formel (8.132b) und Einsetzen von
(
sind) liefert
darf nicht gewählt werden, da die Funktionen
und
im Punkt
unstetig
.
Beispiel B
.
Die Bedingungen (8.129c) sind erfüllt. Anwendung von (8.133) und Einsetzen von
liefert:
.
Allgemeines
Eine Ungleichung wird gelöst, indem man sie schrittweise in äquivalente Ungleichungen umformt. Wie bei der Lösung
einer Gleichung werden die Summanden von der einen Seite auf die andere gebracht, wobei jeweils das Vorzeichen
zu wechseln ist. Weiter können beide Seiten der Ungleichung mit ein und derselben Zahl, die ungleich Null sein muß,
multipliziert oder dividiert werden, wobei der Sinn des Ungleichheitszeichens erhalten bleibt, wenn diese Zahl positiv
ist, sich aber ändert, wenn sie negativ ist. Eine Ungleichung 1. Grades kann auf diese Weise immer auf die Form
(1.125)
gebracht werden, eine Ungleichung 2. Grades im einfachsten Falle auf die Form
(1.126a)
oder
(1.126b)
und im allgemeinen Falle auf die Form
(1.127a)
oder
(1.127b)
Definitionen
●
●
●
Ungleichungen
Identische, gleichsinnige, ungleichsinnige und äquivalente Ungleichungen
Lösung von Ungleichungen
Lösung von Ungleichungen
Ungleichungen können ebenso wie Gleichungen unbekannte Größen enthalten, die gewöhnlich durch die letzten
Buchstaben des Alphabets bezeichnet werden. Die Lösung einer Ungleichung oder eines Systems von
Ungleichungen zu suchen, bedeutet zu bestimmen, innerhalb welcher Grenzen sich die unbekannten Größen
bewegen dürfen, damit die Ungleichung oder alle Ungleichungen des Systems richtig bleiben.
Lösungen können für alle fünf Typen von Ungleichungen gesucht werden; meistens treten die reinen Ungleichungen
vom Typ I und II auf.
Addition und Subtraktion
1. Addition und Subtraktion einer Größe:
(1.104a)
(1.104b)
Durch Addition oder Subtraktion ein und derselben Größe auf beiden Seiten ändert sich der Sinn der Ungleichung
nicht.
2. Addition von Ungleichungen:
(1.105a)
(1.105b)
Zwei gleichsinnige Ungleichungen können seitenweise addiert werden.
3. Subtraktion von Ungleichungen
(1.106a)
(1.106b)
Von einer Ungleichung kann eine andere ihr ungleichsinnige Ungleichung glied- oder seitenweise subtrahiert werden,
wobei das Ungleichheitszeichen der ersten Ungleichung erhalten bleibt. Im Unterschied dazu lassen sich
gleichsinnige Ungleichungen nicht gliedweise subtrahieren.
Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl, Ungleichung bezüglich
der Kehrwerte
1. Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl:
(1.107a)
(1.107b)
(1.107c)
(1.107d)
Wenn eine Ungleichung beidseitig mit einer positiven Zahl multipliziert oder durch eine positive Zahl dividiert wird,
dann bleibt der Sinn der Ungleichung erhalten; ist dagegen die Zahl negativ, dann muß der Sinn des
Ungleichheitszeichens umgekehrt werden.
2. Ungleichung bezüglich des Kehrwertes:
(1.108)
Abschreibung mit verschiedenen Abschreibungsarten
Da bei der geometrisch-degressiven Abschreibung der Restwert Null für endliches
es zweckmäßig, von einem bestimmten Zeitpunkt an, z.B. nach
nicht erreicht werden kann, ist
Jahren, von der geometrisch-degressiven zur
so fest, daß von diesem Zeitpunkt an die Abschreibungsraten der
linearen Abschreibung überzugehen. Man legt
geometrisch-degressiven Abschreibung kleiner sind als die der linearen Abschreibung. Aus dieser Forderung folgt:
(1.101)
Dabei gibt
das letzte Jahr der geometrisch-degressiven Abschreibung und
Abschreibung auf Null an.
das letzte Jahr der linearen
Beispiel
Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000.-DM soll in 15 Jahren auf Null abgeschrieben werden,
und zwar
(1.101) folgt
Jahre lang geometrisch-degressiv mit jeweils
d.h., nach
vom Restwert, danach linear. Aus
Jahren ist es zweckmäßig, von der
geometrisch-degressiven zur linearen Abschreibung überzugehen.
Ungleichungen
Ungleichungen sind Verknüpfungen zweier algebraischer Ausdrücke durch eins der folgenden Zeichen:
Typ I
(,,größer``)
Typ III
(,,verschieden von, ungleich``) Typ IIIa
(,,größer oder kleiner``)
Typ IV
(,,größer oder gleich``)
Typ IVa
(,,nicht kleiner``)
Typ V
(,,kleiner oder gleich``)
Typ Va
(,,nicht größer``)
Typ II
(,,kleiner``)
Gemäß dieser Verknüpfungen können 5 Typen von Ungleichungen unterschieden werden. Die Zeichen unter Typ III
und IIIa, IV und IVa sowie V und Va besitzen jeweils die gleiche Bedeutung, so daß sie sich gegenseitig ersetzen
lassen. Wenn sich das Zeichen IIIa auf Größen bezieht, für die die Begriffe ,,größer`` oder ,,kleiner`` nicht definiert
sind, z.B. bei komplexen Zahlen oder Vektoren, dann läßt es sich durch das Zeichen III ersetzen. In diesem Abschnitt
werden nur reelle Zahlen benutzt.
Variationsrechnung
10.1
BLANCHARD, P.; BRÜNING, E.: Variational methods in mathematical physics. -- Springer-Verlag 1992
10.2
KLINGBEIL, E.: Variationsrechnung. -- BI-Verlag 1988.
10.3
KLÖTZLER, R.: Mehrdimensionale Variationsrechnung. -- Birkhäuser Verlag 1970.
10.4
KOSMOL, P.: Optimierung und Approximation. -- Verlag W. de Gruyter 1991.
10.5
MICHLIN, S.G.: Numerische Realisierung von Variationsmethoden. -- Akademie-Verlag 1969.
10.6
ROTHE, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil VII. -- B. G. Teubner, Leipzig
1960.
10.7
SCHWANK, F.: Randwertprobleme. -- B. G. Teubner, Leipzig 1951.
Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion
Wird jedem Punkt
eines Raumteiles ein Vektor
zugeordnet, so schreibt man
(13.12a)
und bezeichnet (13.12a) als Vektorfeld .
Beispiele für Vektorfelder sind das Geschwindigkeitsfeld der Teilchen einer strömenden Flüssigkeit sowie Kraft- und
Feldstärkefelder.
Ein Vektorfeld
kann auch durch
(13.12b)
beschrieben werden, wobei
der Ortsvektor des Punktes
zeichnet sich dadurch aus, daß alle
-Werte und alle
bei fest gewähltem Pol 0 ist. Ein ebenes Vektorfeld
-Werte jeweils in einer Ebene liegen (s. auch Analytische
Geometrie der Ebene).
Chi-Quadrat-Verteilung, Teil I
-Verteilung: Quantile
Studentsche t-Verteilung, Teil I
STUDENTsche
-Verteilung: Quantile
bzw.
Studentsche t-Verteilung, Teil II
STUDENTsche
-Verteilung: Quantile
bzw.
Allgemeine Eigenschaften
Summe der Innen- und Außenwinkel: Wenn
der Innenwinkel
die Zahl der Seiten eines Vielecks ist, dann ist die Summe
(3.38)
die der Außenwinkel gleich
Flächeninhalt: Der Flächeninhalt wird durch Zerlegen in Dreiecke berechnet.
Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
●
●
●
Ereignisse
Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes
Produkte trigonometrischer Funktionen
(2.115)
(2.116)
(2.117)
(2.118)
(2.119)
(2.120)
(2.121)
Z-Transformationen, Teil I
Zur
-Transformation s. Definition, Rechenregeln, Umkehrung.
Nr. Originalfolge
1
2
3
Bildfunktion
Konvergenzbereich
4
5
6
7
8
9
10
Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung
●
●
●
Definition
Konforme Abbildung durch affine Differentialtransformation
Orthogonale Systeme
Eigenschaften
Da die Bildfunktion
gemäß (15.110) eine Potenzreihe bezüglich der komplexen Veränderlichen
ist, folgt
aus den Eigenschaften von Potenzreihen im Komplexen:
a)
Für eine Z-transformierbare Folge
und divergiert für
konvergiert für
gleichmäßig konvergent. Mit
, so daß die Reihe (15.110) absolut
. Für
ist die Reihe sogar
ist der Konvergenzradius der Potenzreihe (15.110) bezüglich
bezeichnet. Konvergiert die Reihe für alle
Folgen setzt man
gibt es eine reelle Zahl
, so setzt man
. Für nicht Z-transformierbare
.
b)
Ist
Z-transformierbar für
, dann ist die zugehörige Bildfunktion
eine analytische
Funktion für
und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von
eine analytische Funktion für
genau eine Originalfolge
. Dabei heißt
und auch für
regulär für
Potenzreihenentwicklung der Form (15.110) besitzt und
. Für die Umkehrung gilt: Ist
regulär, dann gibt es zu
, wenn
gilt.
eine
Kapitel 22:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Literatur
Arithmetik
Funktionen und ihre Darstellung
Geometrie
Lineare Algebra
Algebra und Diskrete Mathematik
Differentialrechnung
Unendliche Reihen
Integralrechnung
Differentialgleichungen
Variationsrechnung
Integralgleichungen
Funktionalanalysis
Vektoranalysis und Feldtheorie
Funktionentheorie
Integraltransformationen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Dynamische Systeme und Chaos
●
●
●
●
●
Optimierung
Numerische Mathematik
Computeralgebrasysteme
Tabellen
Gesamtdarstellungen der höheren Mathematik
Gewöhnliche Differentialgleichungen und
Abbildungen
●
●
●
●
Dynamische Systeme
Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
Diskrete dynamische Systeme
Strukturelle Stabilität (Robustheit)
Dynamische Systeme und Chaos
●
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen
❍ Dynamische Systeme
■ Grundbegriffe
■ Typen dynamischer Systeme, Orbits
■ Fluß einer Differentialgleichung
■ Diskrete dynamische Systeme
■ Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme
■ Invariante Mengen
-und
-Grenzmenge, absorbierende Menge
■ Stabilität von invarianten Mengen
■ Kompakte Mengen
■ Attraktor, Einzugsgebiet
Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
■ Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
■ Fortsetzbarkeit der Lösungen
■ Phasenporträt
■
❍
Satz von Liouville
Lineare Differentialgleichungen
■ Hauptsätze
■ Autonome lineare Differentialgleichungen
■ Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
Stabilitätstheorie
■ Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
■ Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
■ Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
■ Stabilität periodischer Orbits
■ Klassifizierung periodischer Orbits
■ Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
■ m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen
Invariante Mannigfaltigkeiten
■ Definition, Separatrixflächen
■ Satz von Hadamard und Perron
■
■
■
■
Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für
■ Homokline und heterokline Orbits
Poincaré-Abbildung
■ Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
■ Poincaré-Abbildung für nichtautonome zeitperiodische
Differentialgleichungen
Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen
■ Definition
■ Satz von Grobman und Hartman
■
■
■
❍
Diskrete dynamische Systeme
■ Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen
■ Typen der Ruhelagen
■ Periodische Orbits
Eigenschaften der
-Grenzmenge
■ Invariante Mannigfaltigkeiten
■ Definition, Separatrixflächen
■ Satz von Hadamard und Perron für diskrete Systeme
■ Transversale homokline Punkte
■ Topologische Konjugiertheit von diskreten Systemen
■ Definition
■ Satz von GROBMAN und HARTMAN
❍ Strukturelle Stabilität (Robustheit)
■ Strukturstabile Differentialgleichungen
■ Definition
■ Strukturstabile Systeme in der Ebene
■ Strukturstabile diskrete Systeme
■ Generische Eigenschaften
■ Definition
■ Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
■ Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme
Quantitative Beschreibung von Attraktoren
❍ Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
■ Invariantes Maß
■ Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
■
●
Natürliches Maß
■ Elemente der Ergodentheorie
■ Ergodische dynamische Systeme
■ Physikalische oder SBR-Maße
■ Mischende dynamische Systeme
■ Autokorrelationsfunktion
■ Leistungsspektrum
Entropien
■ Topologische Entropie
■ Metrische Entropie
Lyapunov-Exponenten
■ Singulärwerte einer Matrix
■ Definition der Lyapunov-Exponenten
■ Berechnung der Lyapunov-Exponenten
■ Metrische Entropie und LYAPUNOV-Exponenten
Dimensionen
■ Metrische Dimensionen
■ Fraktale
■ Hausdorff-Dimension
■ Kapazitätsdimension
■ Selbstähnlichkeit
■ Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
■ Dimension eines Maßes
■ Informationsdimension
■ Korrelationsdimension
■
❍
❍
❍
Verallgemeinerte Dimension
■ Lyapunov-Dimension
■ Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé
■ Beispiele von Attraktoren
■ Hufeisen-Abbildung
■ Dissipative Bäcker-Abbildung
■ Solenoid oder Solenoid-Attraktor
❍ Seltsame Attraktoren und Chaos
■ Chaotischer Attraktor
■ Fraktale und seltsame Attraktoren
■ Chaotisches System nach Devaney
❍ Chaos in eindimensionalen Abbildungen
Bifurkationstheorie, Wege zum Chaos
❍ Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen
■ Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
■ Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
■ Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
■ Hopf-Bifurkation
■ Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
■ Spitzen-Bifurkation
■ Bogdanov-Takens-Bifurkation
■ Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation
■ Symmetriebrechung
■ Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
■ Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
■
●
Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits
■ Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
■ Abspaltung eines Torus
■ Globale Bifurkationen
■ Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines
Sattelknotens
■ Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene
Übergänge zum Chaos
■ Kaskade von Periodenverdopplungen
■ Intermittenz
■ Globale homokline Bifurkationen
■ Satz von Smale
■ Satz von Shilnikov
■ Melnikov-Methode
■ Auflösung eines Torus
■ Vom Torus zum Chaos
■ Hopf-Landau-Modell der Turbulenz:
■ RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario:
■
❍
Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus
Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
■ Äquivalente und geliftete Abbildung
■ Rotationszahl:
■
■
■
■
Differentialgleichungen auf dem Torus
Standardform einer Kreisabbildung
■ Standardform:
:
■
■
Teufelstreppe und ARNOLD-Zunge:
Goldenes Mittel, FIBONACCI-Zahlen:
Algebra und diskrete Mathematik
●
Logik
❍
❍
Aussagenlogik
■ Aussagen
■ Aussagenverbindungen
■ Wahrheitstafeln
■ Ausdrücke der Aussagenlogik
■ Wahrheitsfunktionen
■ Grundgesetze der Aussagenlogik
■ Weitere Grundgesetze
■ Umformungen
■ NAND-Funktion und NOR-Funktion
■ Tautologien, mathematische Schlußweisen
Ausdrücke der Prädikatenlogik
■ Prädikate
■ Quantoren
■ Ausdrücke des Prädikatenkalküls
Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke
■ Tautologien der Prädikatenlogik
■ Beschränkte Quantifizierung
Mengenlehre
❍ Mengenbegriff, spezielle Mengen
■ Elementbeziehung
■ Teilmengen
❍ Operationen mit Mengen
■ VENN-Diagramm
■ Vereinigung, Durchschnitt, Komplement
■ Grundgesetze der Mengenalgebra
■ Weitere Mengenoperationen
❍ Relationen und Abbildungen
■
●
-stellige Relationen
■ Binäre Relationen
■ Relationenprodukt, inverse Relation
■ Eigenschaften binärer Relationen
■ Abbildungen
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
■ Äquivalenzrelationen
■ Äquivalenzklassen, Zerlegungen
■ Äquivalenzklassen
■ Zerlegungssatz
■ Ordnungsrelationen
■ HASSE-Diagramme
■
❍
Mächtigkeit von Mengen
■ Mächtigkeit, Kardinalzahl
Klassische algebraische Strukturen
❍ Operationen
❍
●
-stellige Operationen
■ Eigenschaften binärer Operationen
■ Äußere Operationen
Halbgruppen
■ Definition
■ Beispiele für Halbgruppen
Gruppen
■ Definition und grundlegende Eigenschaften
■ Definition
■ Beispiele für Gruppen
■ Gruppentafeln
■ Untergruppen und direkte Produkte
■ Untergruppen
■ Zyklische Untergruppen:
■ Verallgemeinerung:
■ Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen:
■ Satz von LAGRANGE:
■ Normalteiler
■ Direkte Produkte
■ Definition:
■ Basissatz für ABELsche Gruppen:
■
❍
❍
Abbildungen zwischen Gruppen
■ Homomorphismen und Isomorphismen
■ Satz von CAYLEY
■ Homomorphiesatz für Gruppen
Anwendungsbeispiele für Gruppen
■ Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente
■ Symmetriegruppen
■ Beispiel Moleküle
■ Räumliche Darstellung
■ Keine Drehachse
■
❍
Genau eine Drehachse
■ Mehrere Drehachsen
Ringe und Körper
■ Definitionen
■ Ringe
■ Körper
■ Körpererweiterungen
■ Unterringe, Ideale
■ Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz
■ Ringhomomorphismus und Ringisomorphismus
■ Homomorphiesatz für Ringe
Vektorräume
■ Definition
■ Lineare Abhängigkeit
■ Lineare Abbildungen
■
❍
❍
Unterräume, Dimensionsformel
■ EUKLIDische Vektorräume, EUKLIDische Norm
Elementare Zahlentheorie
❍ Teilbarkeit
■ Teiler
■ Elementare Teilbarkeitsregeln
■ Primzahlen
■ Definition und Eigenschaften
■ Sieb des ERATOSTHENES
■ Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, Primzahlvierlinge
■ Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
■ Kanonische Primfaktorenzerlegung
■ Primfaktorzerlegung
■ Positive Teiler
■ Teilbarkeitskriterien
■ Bezeichnungen
■ Kriterien
■ Größter gemeinsamer Teiler
■ EUKLIDischer Algorithmus
■ Größter gemeinsamer Teiler als Linearkombination
■ Kleinstes gemeinsames Vielfaches
■ Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV
■ FIBONACCI-Zahlen
■ FIBONACCI-Folge
■ FIBONACCI-Rekursionsformel
■
●
Satz zum EUKLIDischen Algorithmus
Lineare Diophantische Gleichungen
■ DIOPHANTische Gleichungen und Lösbarkeit
■
❍
❍
■
Lösungsverfahren für
■
Reduktionsverfahren für
Kongruenzen und Restklassen
■ Kongruenzen
■ Rechenregeln
■ Restklassen, Restklassenring
■ Prime Restklassen
■ Primitive Restklassen
■ Lineare Kongruenzen
■ Simultane lineare Kongruenzen
■ Quadratische Kongruenzen
Quadratische Reste modulo
■ Eigenschaften quadratischer Kongruenzen
■ Allgemeine Bedingungen zur Lösbarkeit
■ Polynomkongruenzen
Sätze von Fermat, Euler und Wilson
■ EULERsche Funktion
■ Satz von FERMAT-EULER
■ Satz von Wilson
Codes
■ RSA-Codes
■
❍
❍
■
■
■
■
●
●
Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Pharmazentralnummer
Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
Europäische Artikelnummer EAN
Kryptologie
❍ Aufgabe der Kryptologie
❍ Kryptosysteme
❍ Mathematische Präzisierung
❍ Sicherheit von Kryptosystemen
■ Methoden der klassischen Kryptologie
■ Tauschchiffren
■ VIGENERE-Chiffre
■ Matrixsubstitutionen
❍ Methoden der klassischen Kryptoanalysis
■ Statistische Analyse
■ KASISKI-FRIEDMAN-Test
❍ One-Time-Tape
❍ Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
■ Konzept von DIFFIE und HELLMAN
■ Einwegfunktionen
■ RSA-Verfahren
❍ DES-Algorithmus (Data Encryption Standard)
❍ IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm)
Universelle Algebra
❍ Definition
Kongruenzrelationen, Faktoralgebren
❍ Homomorphismen
❍ Homomorphiesatz
❍ Varietäten
❍ Termalgebren, freie Algebren
Boolesche Algebren und Schaltalgebra
❍ Definition und Grundgesetze
❍ Dualitätsprinzip
❍ Endliche BOOLEsche Algebren
❍ BOOLEsche Algebren als Ordnungen
❍ BOOLEsche Funktionen, BOOLEsche Ausdrücke
■ BOOLEsche Funktionen
■ BOOLEsche Ausdrücke
■ Wertverlaufsgleiche BOOLEsche Ausdrücke
❍ Normalformen
■ Elementarkonjunktion, Elementardisjunktion
■ Kanonische Normalformen
❍ Schaltalgebra
Algorithmen der Graphentheorie
❍ Grundbegriffe und Bezeichnungen
■ Ungerichtete und gerichtete Graphen
■ Adjazenz
■ Schlichte Graphen
■ Knotengrade
■ Spezielle Klassen von Graphen
❍
●
●
Darstellung von Graphen
■ Isomorphie von Graphen
■ Untergraphen, Faktoren
■ Adjazenzmatrix
■ Inzidenzmatrix
■ Bewertete Graphen
Durchlaufungen von ungerichteten Graphen
■ Kantenfolgen
■ Kantenfolgen
■ Zusammenhängende Graphen, Komponenten
■ Abstand zweier Knoten
■ Problem des kürzesten Weges
■ Eulersche Linien
■ EULERsche Linien, EULERsche Graphen
■ Konstruktion einer geschlossenen EULERschen Linie
■ Offene EULERsche Linien
■ Chinesisches Briefträgerproblem
■ Hamilton-Kreise
Bäume und Gerüste
■ Bäume
■ Bäume
■ Wurzelbäume
■ Reguläre binäre Bäume
■ Geordnete binäre Bäume
■ Gerüste
■
❍
❍
■
■
■
Matchings
■ Matchings, Satz von TUTTE
■ Alternierende Wege, Satz von BERGE
■ Ermittlung maximaler Matchings
❍ Planare Graphen
❍ Bahnen in gerichteten Graphen
■ Bogenfolgen
■ Zusammenhängende und stark zusammenhängende Graphen
■ Algorithmus von DANTZIG
❍ Transportnetze
■ Transportnetz
■ Maximalstrom-Algorithmus von FORD und FULKERSON
Fuzzy-Logik
❍ Grundlagen der Fuzzy-Logik
■ Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen)
■ Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen
■ Eigenschaften unscharfer Mengen
■ Fuzzy-Linguistik
■ Zugehörigkeitsfunktionen
■ Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
■ Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen
■ Fuzzy-Mengen
❍
●
Gerüste, Satz von CAYLEY
Matrix-Gerüst-Satz
Minimalgerüste
■
■
■
Leere, universelle, normale und subnormale Fuzzy-Mengen,
Fuzzy-Teilmengen
Toleranz einer Fuzzy-Menge
Schnitt einer Fuzzy-Menge
Ähnlichkeit von Fuzzy-Mengen
und
■ Umwandlung kontinuierlicher und diskreter fuzzy-wertiger Mengen:
Verknüpfungen unscharfer Mengen
■ Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
■ Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen
■ Durchschnitt und Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen
■
❍
Tabelle der - und -Normen
■ Kompensatorische Operatoren
■ Erweiterungsprinzip
■ Unscharfe Komplementfunktion
Fuzzy-wertige Relationen
■ Fuzzy-Relationen
■ Modellierung fuzzy-wertiger Relationen
■ Kartesisches Produkt
■ Eigenschaften fuzzy-wertiger Relationen
■
❍
■
■
■
-faches kartesisches Produkt
Rechenregeln
Fuzzy-Relationenprodukt
■ Verkettung oder Fuzzy-Relationenprodukt
■ Verknüpfungsregeln
Fuzzy-logisches Schließen
Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation
Defuzzifizierungsmethoden
Wissensbasierte Fuzzy-Systeme
■ Methode MAMDANI
■ Methode SUGENO
■ Kognitive Systeme
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Modellierung der Aufgabe
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Regelauswahl
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Entscheidungslogik
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Defuzzifizierung
■ Wissensbasiertes Interpolationssystem
■ Interpolationsmechanismen
■ Einschränkung für den eindimensionalen Fall
■
❍
❍
❍
Funktionalanalysis
●
Vektorräume
❍ Begriff des Vektorraumes
❍ Lineare und affin-lineare Teilmengen
■ Lineare Teilmenge
■ Affiner Teilraum
■ Lineare Hülle
■ Beispiele für Vektorräume von Folgen
■ Beispiele für Vektorräume von Funktionen
❍ Linear unabhängige Elemente
■ Lineare Unabhängigkeit
■ Basis und Dimension eines Vektorraumes
❍ Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
■ Konvexe Mengen
■ Kegel
❍ Lineare Operatoren und Funktionale
■ Abbildungen
Homomorphismus und Endomorphismus
■ Isomorphe Vektorräume
❍ Komplexifikation reeller Vektorräume
❍ Geordnete Vektorräume
■ Kegel und Halbordnung
■ Kegel
■ Halbordnung
■ Ordnungsbeschränkte Mengen
■ Positive Operatoren
■ Vektorverbände
■ Vektorverband
■ Positiver und negativer Teil, Modul eines Elements
Metrische Räume
❍ Begriff des metrischen Raumes
■ Kugeln und Umgebungen
■ Konvergenz von Folgen im metrischen Raum
■ Abgeschlossene Mengen und Abschließung
■ Abgeschlossene Mengen
■ Abschließung
■ Dichte Teilmengen und separable metrische Räume
❍ Vollständige metrische Räume
■ Cauchy-Folge
■ Vollständiger metrischer Raum
■ Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
■ Kugelschachtelungssatz
■
●
BAIREscher Kategoriensatz
■ BANACHscher Fixpunktsatz
■ Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips
■ Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
■ FREDHOLMsche Integralgleichungen
■ VOLTERRAsche Integralgleichungen
■ Satz von PICARD-LINDELÖF
■ Vervollständigung eines metrischen Raumes
❍ Stetige Operatoren
■ Stetige Operatoren
■ Isometrische Räume
Normierte Räume
❍ Begriff des normierten Raumes
■ Axiome des normierten Raumes
■ Einige Eigenschaften normierter Räume
❍ Banach-Räume
■ Reihen in normierten Räumen
■ Beispiele von Banach-Räumen
■ Sobolew-Räume
❍ Geordnete normierte Räume
■ Kegel im normierten Raum
■ Normierte Vektorverbände und Banach-Verbände
❍ Normierte Algebren
Hilbert-Räume
❍ Begriff des Hilbert-Raumes
■
●
●
Skalarprodukt
■ Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften
■ Hilbert-Raum
❍ Orthogonalität
■ Eigenschaften der Orthogonalität
■ Orthogonale Systeme
❍ Fourier-Reihen im Hilbert-Raum
■ Bestapproximation
■ PARSEVALsche Gleichung, Satz von RIESZ-FISCHER
❍ Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume
Stetige lineare Operatoren und Funktionale
❍ Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren
■ Beschränktheit und Norm linearer Operatoren
■ Raum linearer stetiger Operatoren
■ Konvergenz von Operatorenfolgen
❍ Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen
■ BANACH-STEINHAUS-Satz, Prinzip der gleichmäßigen Beschränkheit
■ Satz von der offenen Abbildung
■ Satz vom abgeschlossenen Graphen
■ Satz von Hellinger und Toeplitz
■ Satz von Krein und Losanowskij
■ Inverser Operator
■ Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators
■ Methode der sukzessiven Approximation
❍ Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren
■
●
Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
■ Spektrum eines Operators
■ Spektrum, Definition
■ Vergleich mit der linearen Algebra, Residualspektrum
Stetige lineare Funktionale
■ Definition
■ Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz
■
❍
Stetige lineare Funktionale in
❍ Fortsetzung von linearen Funktionalen
■ Halbnorm
■ Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH (analytische Form)
❍ Trennung konvexer Mengen
■ Hyperebenen
■ Geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach
■ Trennung konvexer Mengen
❍ Bidualer Raum und reflexive Räume
Adjungierte Operatoren in normierten Räumen
❍ Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator
❍ Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator
❍ Selbstadjungierte Operatoren
■ Positiv definite Operatoren
■ Projektoren im Hilbert-Raum
Kompakte Mengen und kompakte Operatoren
❍ Kompakte Teilmengen in normierten Räumen
❍ Kompakte Operatoren
■
●
●
Begriff des kompakten Operators
■ Eigenschaften linearer kompakter Operatoren
■ Schwache Konvergenz von Elementen
❍ Fredholmsche Alternative
❍ Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum
❍ Kompakte selbstadjungierte Operatoren
Nichtlineare Operatoren
❍ Beispiele nichtlinearer Operatoren
■ Nemytskij-Operator
■ Hammerstein-Operator
■ URYSOHN-Operator
❍ Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
❍ Newton-Verfahren
❍ Schaudersches Fixpunktprinzip
❍ Leray-Schauder-Theorie
❍ Positive nichtlineare Operatoren
❍ Monotone Operatoren in Banach-Räumen
■ Spezielle Eigenschaften
■ Existenzaussagen
Maß und Lebesgue-Integral
❍ Sigma-Algebren und Maße
■
●
●
-Algebra
■ Maß
Meßbare Funktionen
■ Meßbare Funktion
■
❍
Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen
Integration
■ Definition des Integrals
■ Einige Eigenschaften des Integrals
■ Konvergenzsätze
■ Satz von RADON-NIKODYM
■
❍
❍
❍
-Räume
Distributionen
■ Formel der partiellen Integration
■ Verallgemeinerte Ableitung
■ Distribution
■ Ableitung einer Distribution
Funktionentheorie
●
Funktionen einer komplexen Veränderlichen
❍ Stetigkeit, Differenzierbarkeit
■ Definition der komplexen Funktion
■ Grenzwert der komplexen Funktion
■ Stetigkeit der komplexen Funktion
■ Differenzierbarkeit der komplexen Funktion
❍ Analytische Funktionen
■ Definition der analytischen Funktion
■ Beispiele analytischer Funktionen
■ Eigenschaften analytischer Funktionen
■ Betrag einer analytischen Funktion
■ Nullstellen, Beschränktheit, Maximalwert
■ Singuläre Punkte
❍ Konforme Abbildung
■ Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung
■ Definition
Konforme Abbildung durch affine Differentialtransformation
■ Orthogonale Systeme
Einfachste konforme Abbildungen
■ Lineare Funktion:
■ Inversion
■ Gebrochenlineare Funktion
■ Quadratische Funktion
■ Quadratwurzel
■ Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion
■ Logarithmus
■ Exponentialfunktion
■ Schwarz-Christoffelsche Formel
Schwarzsches Spiegelungsprinzip
■ Sachverhalt
■ Anwendungen
Komplexe Potentiale
■ Begriff des komplexen Potentials
■ Komplexes Potential des homogenen Feldes
■ Komplexes Potential von Quelle und Senke
■ Komplexes Potential eines Quelle-Senke-Systems
■ Komplexes Potential des Dipols
■ Komplexes Potential eines Wirbels
Superpositionsprinzip
■ Superposition komplexer Potentiale
■ Erzeugung neuer Felder
■
■
■
■
■
Erzeugung durch Integration
■ Erzeugung mit dem Maxwellschen Diagonalverfahren
❍ Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene
Integration im Komplexen
❍ Bestimmtes und unbestimmtes Integral
■ Definition des Integrals im Komplexen
■ Bestimmtes komplexes Integral
■ Unbestimmtes komplexes Integral
■ Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem komplexen Integral
■ Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale
■ Vergleich mit dem Kurvenintegral 2. Art
■ Abschätzung des Integralwertes
■ Berechnung komplexer Integrale in Parameterdarstellung
■ Unabhängigkeit vom Integrationsweg
■ Komplexes Integral über einen geschlossenen Weg
❍ Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie
■ Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete
■ Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete
❍ Integralformeln von Cauchy
■ Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes
■ Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes
Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen
❍ Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern
■ Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern
■ Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern
■
●
●
Potenzreihen im Komplexen
■ Konvergenz
■ Konvergenzkreis
■ Ableitungen und Integrale von Potenzreihen, Konvergenzkreis
❍ Taylor-Reihe
❍ Prinzip der analytischen Fortsetzung
❍ Laurent-Entwicklung
❍ Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz
■ Isolierte singuläre Stellen
■ Meromorphe Funktionen
■ Elliptische Funktionen
■ Residuum
■ Residuensatz
Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen
❍ Anwendung der Cauchyschen Integralformeln
❍ Anwendung des Residuensatzes
❍ Anwendungen des Lemmas von Jordan
■ Lemma von Jordan
■ Beispiele zum Lemma von Jordan
■
●
■
■
■
Berechnung des Integrals
Integralsinus
Sprungfunktion
Rechteckimpuls
■ Fresnelsche Integrale
Algebraische und elementare transzendente Funktionen
❍ Algebraische Funktionen
■ Definition und Beispiele
❍ Elementare transzendente Funktionen
■ Natürliche Exponentialfunktion
■ Natürlicher Logarithmus
■ Allgemeine Exponentialfunktion
■ Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
■ Inverse trigonometrische Funktionen und inverse Hyperbelfunktionen
■ Real- und Imaginärteile der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen
■ Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
❍ Beschreibung von Kurven in komplexer Form
Elliptische Funktionen
❍ Zusammenhang mit elliptischen Integralen
❍ Jacobi-Funktionen
■ Definition
■ Meromorphe und doppelperiodische Funktionen
■ Eigenschaften der Jacobischen Funktionen
❍ Thetafunktionen
❍ Weierstrasssche Funktionen
■
●
●
Vektoranalysis und Feldtheorie
13.1
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
13.2
BREHMER, S.; HAAR, H.: Differentialformen und Vektoranalysis. -- Berlin 1972.
13.3
DOMKE, E.: Vektoranalysis: Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. -- BI-Verlag 1990.
13.4
FOCK, V.: Theorie von Raum, Zeit und Gravitation. -- Berlin 1960.
13.5
KÄSTNER, S.: Vektoren, Tensoren, Spinoren. -- Berlin 1964.
13.6
REICHARDT, H.: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1968.
13.7
SCHARK, R.: Vektoranalysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1992.
13.8
SCHMUTZER, E.: Relativistische Physik. -- B. G. Teubner, Leipzig 1968.
13.9
WUNSCH, G.: Feldtheorie. -- Verlag Technik 1971.
Definition
Unter einer konformen Abbildung versteht man die Abbildung der
Funktion
in allen Punkten
, in denen
- in die
-Ebene mit Hilfe einer analytischen
ist.
(14.8)
Die konforme Abbildung besitzt die folgende Haupteigenschaft: Alle Linienelemente
erfahren bei der Überführung in Linienelemente
und dieselbe Drehung um den Winkel
im Punkt
im Punkt
dieselbe Streckung im Verhältnis
. Dadurch werden geometrische Gebilde
in einem infinitesimalen Gebiet in ähnliche Figuren transformiert, behalten also ihre Form bei (s. Abbildung):
Geometrische Gebilde endlicher Abmessungen werden zwar verzerrt dargestellt, die Schnittwinkel zwischen den
Kurven bleiben aber erhalten, u.a. auch die Orthogonalität der Kurvenscharen (s. Abbildung).
Konforme Abbildungen haben in der Physik, Elektrotechnik, Hydro- und Aerodynamik sowie in anderen
Anwendungsgebieten der Mathematik weite Verbreitung gefunden.
Orthogonale Systeme
Die Koordinatenlinien
und
der
-Ebene werden durch konforme Abbildungen in zwei
orthogonale Kurvenscharen transformiert. Allgemein kann mit Hilfe der analytischen Funktionen eine Vielfalt
orthogonaler Systeme krummliniger Koordinaten generiert werden. In der Umkehrung gilt, daß zu jeder konformen
Abbildung ein orthogonales Kurvennetz existiert, das in ein orthogonales kartesisches Koordinatensystem abgebildet
wird.
Beispiel A
Im Falle
ist die Orthogonalität gestört.
Beispiel B
Im Falle
bleibt die Orthogonalität erhalten, ausgenommen den Punkt
wegen
.
Die Koordinatenlinien gehen in zwei Scharen konfokaler Parabeln über (s. Abbildung), der 1. Quadrant der
-Ebene in die obere Hälfte der
-Ebene.
Geometrie
●
Planimetrie
❍ Grundbegriffe
■ Punkt, Gerade, Strahl, Strecke
■ Punkt und Gerade
■ Strahl und Strecke
■ Parallele und orthogonale Geraden
■ Winkel
■ Winkelbegriff
■ Winkelbezeichnungen
■ Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
■ Winkelpaare an geschnittenen Parallelen
■ Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß
❍ Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen
■ Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
■ Definition am Einheitskreis
■ Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe einer Kreissektorfläche
■ Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen
Ebene Dreiecke
■ Aussagen zu ebenen Dreiecken
■ Summe zweier Seiten, Summe der Winkel
■ Vollständige Bestimmung des Dreiecks
■ Seitenhalbierende und Winkelhalbierende
■ Inkreis und Umkreis
■ Höhe und Mittellinie des Dreiecks
■ Arten von Dreiecken
■ Symmetrie
■ Zentrale Symmetrie
■ Axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie
■ Kongruente Dreiecke, Kongruenzsätze
■ Kongruenz:
■ Kongruenzsätze:
■ Ähnliche Dreiecke, Ähnlichkeitssätze
Ebene Vierecke
■ Parallelogramm
■ Rechteck und Quadrat
■ Rhombus
■ Trapez
■ Allgemeines Viereck
Ebene Vielecke
■ Allgemeine Eigenschaften
■
❍
❍
❍
Regelmäßige Vielecke
Ebene Kreisfiguren
■ Kreis
■ Winkel im Kreis
■ Strecken im Kreis
■
❍
Umfang, Flächeninhalt, Zahl
■ Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
■ Kreisring
Ebene Trigonometrie
❍ Rechtwinklige ebene Dreiecke
■ Grundformeln und Sätze
■ Berechnung von Seiten und Winkeln im ebenen rechtwinkligen Dreieck
❍ Berechnungen in schiefwinkligen ebenen Dreiecken
■ Grundformeln und Sätze
■ Zyklische Vertauschungen
■ Sätze
■ Weitere Beziehungen
■ Strecken im Dreieck und Fläche
■ Grundaufgaben zur Berechnung ebener schiefwinkliger Dreiecke
❍ Geodätische Anwendungen
■ Geodätische Koordinaten
■ Geodätische rechtwinklige Koordinaten
■ Geodätische Polarkoordinaten
■ Maßstab
■ Winkel in der Geodäsie
■
●
Neugradeinteilung
■ Richtungswinkel
■ Koordinatentransformationen
■ Berechnung von Polarkoordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten
■ Berechnung von rechtwinkligen aus polaren Koordinaten beim polaren
Anhängen eines Punktes
■ Koordinatentransformation zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen
■ Vermessungstechnische Anwendungen
■ Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen
■ Vorwärtseinschneiden ohne Visier
■ SNELLIUSsche Aufgabe des Rückwärtseinschneidens
■ Rückwärtseinschneiden nach CASSINI
■ Bogenschnitt
Stereometrie
❍ Geraden und Ebenen im Raum
■ Zwei Geraden
■ Zwei Ebenen
■ Gerade und Ebene
❍ Kanten, Ecken, Raumwinkel
■ Kante
■ Ecke
■ Dreiseitige Ecken
■ Raumwinkel
❍ Polyeder
■ Prisma
■
●
Parallelepiped
■ Quader
■ Würfel
■ Pyramide
■ Pyramidenstumpf
■ Tetraeder
■ Obelisk
■ Keil
■ Reguläre Polyeder und EULERscher Polyedersatz
Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind
■ Zylinderförmige Körper
■ Zylinderfläche
■ Zylinder
■ Gerade Kreiszylinder
■ Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
■ Zylinderabschnitt, auch Zylinderhuf
■ Hohlzylinder
■ Kegelförmige Körper
■ Kegelflächen
■ Kegel
■ Gerade Kreiskegel
■ Gerader Kreiskegelstumpf
■ Kugel und Teile von Kugeln
■ Kugel
■ Kugelausschnitt
■
❍
Kugelabschnitt
■ Kugelschicht
■ Torus oder Kreisring
■ Tonnenkörper
Sphärische Trigonometrie
❍ Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel
■ Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel
■ Sphärische Kurven, Großkreis und Kleinkreis
■ Sphärischer Abstand
■ Geodätische Linien
■ Messung des sphärischen Abstandes
■ Schnittwinkel, Kurswinkel und Azimut
■ Spezielle Koordinatensysteme
■ Geographische Koordinaten
■ SOLDNER-Koordinaten
■ GAUSS-KRÜGER-Koordinaten
■ Sphärisches Zweieck
■ Sphärisches Dreieck
■ Polardreieck
■ Pole und Polare
■ Polardreieck
■ Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke
■ Dreikant
❍ Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke
■ Allgemeine Aussagen
■
●
Seiten
■ Winkel
■ Flächeninhalt
■ Grundformeln und Anwendungen
■ Sinussatz
■ Kosinussatz oder Seitenkosinussatz
■ Sinus-Kosinussatz
■ Winkelkosinussatz oder polarer Kosinussatz
■ Polarer Sinus-Kosinussatz
■ Halbwinkelsatz
■ Halbseitensatz
■ Anwendungen der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie
■ Weitere Formeln
■ DELAMBREsche Gleichungen
■ NEPERsche Gleichungen und Tangenssatz
■ L'HUILIERsche Gleichungen
Berechnung sphärischer Dreiecke
■ Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen
■ Rechtwinklig sphärisches Dreieck
■ Spezielle Formeln
■ Grundaufgaben für rechtwinklig sphärische Dreiecke
■ NEPERsche Regel
■ Schiefwinklig sphärisches Dreieck
■ 1. Grundaufgabe SSS
■ 2. Grundaufgabe WWW
■
❍
3. Grundaufgabe SWS
■ 4. Grundaufgabe WSW
■ 5. Grundaufgabe WWW
■ 6. Grundaufgabe WWS
Sphärische Kurven
Orthodrome
■ Begriffsbestimmung
■ Gleichung der Orthodrome
■ Winkel-Rückversetzung
■ Nordpolnächster Punkt und Äquatorschnittpunkte
■ Bogenlänge
■ Kurswinkel
■ Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
■ Schnittpunkt mit einem Meridian
Kleinkreis
■ Begriffsbestimmung
■ Kleinkreisgleichungen
■ Bogenlänge
■ Kurswinkel
■ Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
■ Tangierpunkte
■ Schnittpunkte mit einem Meridian
Loxodrome
■ Begriffsbestimmung
■ Gleichung der Loxodrome
■
■
■
■
■
Bogenlänge
■ Kurswinkel
■ Schnittpunkt mit einem Breitenkreis
■ Schnittpunkte mit einem Meridian
■ Schnittpunkte sphärischer Kurven
■ Schnittpunkte zweier Orthodromen
■ Schnittpunkte zweier Loxodromen
Vektoralgebra und analytische Geometrie
❍ Vektoralgebra
■ Definition des Vektors, Rechenregeln
■ Skalare und Vektoren
■ Polare und axiale Vektoren
■ Modul (Absolutbetrag des Vektors) und Raumrichtung
■ Gleichheit von Vektoren
■ Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren
■ Spezielle Vektoren
■ Linearkombinationen von Vektoren
■ Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
■ Zerlegung von Vektoren
■ Koordinaten eines Vektors
■ Kartesische Koordinaten
■ Affine Koordinaten
■ Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient
■ Skalarprodukt und Vektorprodukt
■ Skalare Multiplikation
■
●
Vektorielle Multiplikation
■ Eigenschaften der Produkte von Vektoren
■ Mehrfache multiplikative Verknüpfungen
■ Doppeltes Vektorprodukt
■ Gemischtes Produkt
■ Formeln für mehrfache Produkte
■ Formeln für Produkte in kartesischen Koordinaten
■ Formeln für Produkte in affinen Koordinaten
■ Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren:
■ Anwendung auf kartesische Koordinaten:
■ Skalares Produkt in Koordinatendarstellung:
■ Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:
■ Spatprodukt in Koordinatendarstellung:
■ Vektorielle Gleichungen
■ Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors
■ Definitionen
■ Darstellung der Koordinaten mit Hilfe von Skalarprodukten
■ Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten
■ Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
Analytische Geometrie der Ebene
■ Grundlegende Begriffe und Formeln, ebene Koordinatensysteme
■ Ebene Koordinaten und ebene Koordinatensysteme
■ Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten
■ Polarkoordinaten
■ Krummlinige Koordinaten
■
❍
Koordinatentransformationen
■ Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt
■ Abstand zwischen zwei Punkten
■ Koordinaten des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes)
■ Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis:
■ Goldener Schnitt:
■ Flächeninhalte
■ Flächeninhalt eines Dreiecks:
■ Flächeninhalt eines Vielecks:
■ Gleichung einer Kurve
Gerade
■ Gleichung der Geraden
■ Allgemeine Geradengleichung:
■ Geradengleichung mit Richtungskoeffizient:
■ Geradengleichung durch einen vorgegebenen Punkt:
■ Geradengleichung für zwei vorgegebene Punkte:
■ Geradengleichung in Achsenabschnittsform:
■ Normalform der Geradengleichung (auch HESSEsche Normalform ):
■ Geradengleichung in Polarkoordinaten:
■ Abstand eines Punktes von einer Geraden
■ Schnittpunkt von Geraden
■ Schnittpunkt zweier Geraden:
■ Geradenbüschel:
■ Winkel zwischen zwei Geraden
Kreis
■
■
■
Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten
■ Parameterdarstellung des Kreises
■ Kreisgleichung in Polarkoordinaten
Ellipse
■ Elemente der Ellipse
■ Gleichung der Ellipse
■ Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse
■ Leitlinien der Ellipse
■ Durchmesser der Ellipse
■ Tangenten an die Ellipse
■ Krümmungskreisradius der Ellipse
■ Flächeninhalte der Ellipse
■ Ellipsenbogen und Ellipsenumfang
Hyperbel
■ Elemente der Hyperbel
■ Gleichung der Hyperbel
■ Brennpunktseigenschaften der Hyperbel, Definition der Hyperbel
■ Leitlinien der Hyperbel
■ Tangenten an die Hyperbel
■ Asymptoten der Hyperbel
■ Konjugierte Hyperbeln
■ Durchmesser der Hyperbel
■ Krümmungskreisradius der Hyperbel
■ Flächeninhalte in der Hyperbel
■ Hyperbelbogen
■
■
■
Gleichseitige Hyperbeln
■ Parabel
■ Elemente der Parabel
■ Gleichung der Parabel
■ Haupteigenschaft der Parabel
■ Durchmesser der Parabel
■ Tangente an die Parabel
■ Krümmungskreisradius der Parabel
■ Flächeninhalte in der Parabel
■ Länge des Parabelbogens
■ Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)
■ Allgemeine Gleichung der Kurven zweiter Ordnung
■ Invariante einer Kurve zweiter Ordnung
■ Gestalt der Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
■ Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung
■ Bestimmung der Kurve durch fünf Punkte
■ Polargleichung der Kurven zweiter Ordnung
■ Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Mittelpunktskurven
■ Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Parabolische Kurven
Analytische Geometrie des Raumes
■ Grundlegende Begriffe und Formeln, räumliche Koordinatensysteme
■ Rechts- und Linkssysteme
■ Kartesische Koordinaten
■
❍
Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
■ Krummlinige dreidimensionale Koordinaten
■ Zylinderkoordinaten
■ Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten
■ Richtung im Raum
■ Transformation rechtwinkliger Koordinaten
■ Parallelverschiebung:
■ Drehung der Koordinatenachsen:
■ Eigenschaften der Transformationsdeterminante:
■ EULERsche Winkel:
■ Skalare Invariante:
■ Abstand zwischen zwei Punkten
■ Teilung einer Strecke
■ System aus vier Punkten
■ Gleichung einer Fläche
■ Gleichung einer Zylinderfläche:
■ Gleichung einer Rotationsfläche:
■ Gleichung einer Raumkurve
Gerade und Ebene im Raum
■ Ebenengleichungen
■ Allgemeine Ebenengleichung:
■ HESSEsche Normalform der Ebenengleichung:
■ Achsenabschnittsform der Ebenengleichung:
■ Gleichung einer Ebene, durch drei Punkte:
■ Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden:
■
■
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:
■ Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden:
■ Abstand eines Punktes von einer Ebene:
■ Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen:
■ Zwei und mehr Ebenen im Raum
■ Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall:
■ Schnittpunkt dreier Ebenen:
■ Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen:
■ Schnittpunkt von vier Ebenen:
■ Abstand zweier paralleler Ebenen:
■ Gleichungen für die Gerade im Raum
■ Gleichung einer Geraden im Raum, allgemeiner Fall:
■ Gleichung der Geraden in zwei projizierenden Ebenen:
■ Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und parallel zum Richtungsvektor:
■ Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte:
■ Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene:
■ Abstand eines Punktes von einer in Komponententarstellung gegebenen Geraden:
■ Kürzester Abstand zwischen zwei in Komponentendarstellung gegebenen Geraden:
■ Schnittpunkte von Ebenen und Geraden:
■ Schnittpunkt zweier Geraden:
■ Winkel zwischen zwei Geraden:
■ Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:
Flächen zweiter Ordnung, Gleichungen in Normalform
■ Mittelpunktsflächen
■ Ellipsoide
■
■
Hyperboloide
■ Kegel
■ Paraboloide
■ Geradlinige Erzeugende einer Fläche
■ Zylinder
■ Flächen zweiter Ordnung, allgemeine Theorie
■ Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen
■ Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare
Differentialgeometrie
❍ Ebene Kurven
■ Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren
■ Koordinatengleichungen
■ Positive Richtung auf einer Kurve
■ Lokale Elemente einer Kurve
■ Bogenelement
■ Tangente und Normale
■ Tangente im Punkt M:
■ Gleichungen der Tangente und der Normalen:
■ Positive Richtung von Kurventangente und Kurvennormale:
■ Steigung der Tangente:
■ Abschnitte der Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale:
■ Winkel zwischen zwei Kurven:
■ Konvexe und konkave Seite einer Kurve
■ Krümmung und Krümmungskreisradius
■ Krümmung einer Kurve:
■
●
Krümmungskreisradius einer Kurve:
■ Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius:
■ Krümmungskreis
■ Krümmungskreis und Krümmungskreismittelpunkt:
■ Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes:
Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten
■ Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung
■ Explizite Definitionsform der Kurve
■ Andere Definitionsformen
■ Scheitel
■ Singulärer Punkt
■ Arten singulärer Punkte:
■ Bestimmung von Selbstberührungs-, Knick- und Abbrechpunkten:
■ Bestimmung von Mehrfachpunkten (Fälle a) bis e) sowie i) und j)):
■ Algebraische Kurven, gegeben als Polynom in x und y:
■ Asymptoten
■ Definition:
■ Vorgabe der Funktion in Parameterform:
■ Vorgabe der Funktion in expliziter Form:
■ Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form:
Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
■ Kurvenkonstruktion von explizit gegebenen Funktionen
■ Kurvenkonstruktion von implizit gegebenen Funktionen
Evoluten und Evolventen
■ Evolute
■
■
■
■
Evolvente oder Involute
■ Einhüllende von Kurvenscharen
■ Charakteristische Punkte
■ Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar
■ Gleichung der Einhüllenden
Raumkurven
■ Möglichkeiten, eine Raumkurve zu definieren
■ Koordinatengleichungen
■ Vektorgleichungen
■ Positive Richtung
■ Begleitendes Dreibein
■ Definitionen
■ Lage der Kurve relativ zum begleitenden Dreibein
■ Gleichungen der Elemente des begleitenden Dreibeins
■ Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen:
■ Definition der Kurve als Funktion eines Parameters t in der Parameterform und als
Vektorgleichung:
■ Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge s in der Parameterform und als
Vektorgleichung:
■ Krümmung und Windung
■ Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie
■ Windung einer Kurve
■ FRENETsche Formeln
Flächen
■ Möglichkeiten, eine Fläche zu definieren
■
❍
❍
Gleichung einer Fläche
■ Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche
Tangentialebene und Flächennormale
■ Definitionen
■ Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
■ Singuläre Flächenpunkte (Kegelpunkte)
Linienelement auf einer Fläche
■ Differential des Bogens
■ Messungen auf der Fläche
■ Übereinanderlegen von Flächen bei Verbiegung
Krümmung einer Fläche
■ Krümmung von Kurven auf einer Fläche
■ Hauptkrümmungskreisradien
■ Klassifizierung der Flächenpunkte
■ Krümmung einer Fläche
Regelflächen und abwickelbare Flächen
Geodätische Linien auf einer Fläche
■ Begriff der geodätischen Linien
■ Definition
■ Gleichung der geodätischen Linie
■
■
■
■
■
■
Summe und Produkt
Konvergente Potenzreihen dürfen innerhalb ihres gemeinsamen Konvergenzbereiches gliedweise addiert,
miteinander multipliziert und mit einem beliebigen konstanten Zahlenfaktor multipliziert werden. Das Produkt zweier
Potenzreihen ergibt sich zu
(7.78)
Lineare Algebra
●
Matrizen
❍ Begriff der Matrix
■ Matrizen A vom Typ (m,n)
■ Reelle und komplexe Matrizen
■ Transponierte oder gestürzte Matrizen
■ Adjungierte Matrizen
■ Nullmatrix 0
❍ Quadratische Matrizen
■ Definition
■ Diagonalmatrizen
■ Skalarmatrix S
■ Spur einer Matrix
■ Symmetrische Matrizen
■ Normale Matrizen
■ Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen
■ HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen
Antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix
■ Einheitsmatrix E
■ Dreiecksmatrix
Vektoren
Rechenoperationen mit Matrizen
■ Gleichheit von Matrizen
■ Addition und Subtraktion
■ Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
■ Multiplikation zweier Matrizen
■ Produkt AB zweier Matrizen A und B
■ Ungleichheit der Produktmatrizen
■ FALKsches Schema
■ Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen
■ Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren
■ Hinweis zum Begriff des Vektorprodukts zweier Vektoren
■ Rang einer Matrix
■ Definition
■ Aussagen zum Rang von Matrizen
■ Regel zur Ermittlung des Ranges
■ Inverse oder reziproke Matrix
■ Orthogonale Matrizen
■ Unitäre Matrix
Rechenregeln für Matrizen
Vektor- und Matrizennorm
■ Vektornormen
■
❍
❍
❍
❍
Matrizennormen
Determinanten
❍ Definitionen
■ Determinante
■ Unterdeterminanten
❍ Rechenregeln für Determinanten
❍ Berechnung von Determinanten
Tensoren
❍ Transformation des Koordinatensystems
■ Lineare Transformation
■ EINSTEINsche Summenkonvention
■ Drehung des Koordinatensystems
❍ Tensoren in kartesischen Koordinaten
■ Definition
■ Tensor 0. Stufe
■ Tensor 1. Stufe
■ Tensor 2. Stufe
■ Rechenregeln
❍ Tensoren mit speziellen Eigenschaften
■ Tensoren 2. Stufe
■ Rechenregeln
■ Hauptachsentransformation
■ Invariante Tensoren
■ Definition
■ Deltatensor
■
●
●
Epsilontensor
■ Tensorinvarianten
Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen
■ Kovariante und kontravariante Basisvektoren
■ Kovariante Basis
■ Kontravariante Basis
■ Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
■ Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe
■ Koordinatentransformation
■ Lineare Vektorfunktion
■ Gemischte Koordinaten
■ Rein kovariante und rein kontravariante Koordinaten
■ Rechenregeln
Pseudotensoren
■ Punktspiegelung am Koordinatenursprung
■ Tensorverhalten bei Rauminversion
■ Begriff der Rauminversion:
■ Transformationsmatrix:
■ Geometrische Deutung
■ Einführung des Begriffs Pseudotensor
■ Vektorprodukt bei Rauminversion
■ Skalarprodukt bei Rauminversion
■ Spatprodukt bei Rauminversion
■ Pseudovektor und schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe
■
❍
❍
■
Pseudotensoren
-ter Stufe
●
Lineare Gleichungssysteme
❍ Lineare Systeme, Austauschverfahren
■ Lineare Systeme
■ Austauschverfahren
■ Austauschschema
■ Austauschregeln
■ Lineare Abhängigkeiten
■ Invertierung einer Matrix
❍ Lösung linearer Gleichungssysteme
■ Definition und Lösbarkeit
■ Lineares Gleichungssystem
■ Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
■ Anwendung des Austauschverfahrens
■ Zuordnung eines Systems linearer Funktionen
■ Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
■ Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems
■ Cramersche Regel
■ Gaußscher Algorithmus
■ GAUSSsches Eliminationsprinzip
■ GAUSS-Schritte
■ Lösungsverhalten
❍ Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
■ Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme
■ Überbestimmte Gleichungssysteme
■ Lineares Quadratmittelproblem
GAUSS-Transformation
■ Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme
■ CHOLESKY-Verfahren
■ HOUSEHOLDER-Verfahren
■ Regularisiertes Problem
Eigenwertaufgaben bei Matrizen
❍ Allgemeines Eigenwertproblem
❍ Spezielles Eigenwertproblem
■ Charakteristisches Polynom
■ Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen
■ Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems
■ Hauptachsentransformation, Ähnlichkeitstransformation
■ Hauptachsentransformation quadratischer Formen
■ Definition
■ Eigenschaften der reellen quadratischen Form
■ Erzeugung der Normalform
■ Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten
❍ Singulärwertzerlegung
■ Singulärwerte und Singulärwertvektoren
■ Singulärwertzerlegung
■ Anwendung
■
●
Differentialrechnung
●
Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen
❍ Differentialquotient
■ Differentialquotient oder Ableitung einer Funktion
■ Geometrische Bedeutung der Ableitung
■ Differenzierbarkeit
■ Links- und rechtsseitige Ableitung
❍ Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlichen
■ Ableitungen elementarer Funktionen
■ Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen
■ Grundregeln für das Differenzieren
■ Konstantenregel
■ Faktorregel
■ Summenregel
■ Produktregel
■ Quotientenregel
■ Kettenregel
Logarithmische Differentiation
■ Ableitung der inversen Funktion
■ Ableitung einer impliziten Funktion
■ Ableitung einer Funktion in Parameterdarstellung
■ Tabelle Differentiationsregeln
■ Graphische Differentiation
Ableitungen höherer Ordnung
■ Definition der Ableitungen höherer Ordnung
■ Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
■ Leibnizsche Regel
■ Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
■ Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion
Hauptsätze der Differentialrechnung
■ Monotoniebedingungen
■ Satz von FERMAT
■ Satz von ROLLE
■ Mittelwertsatz der Differentialrechnung
■ Satz von TAYLOR für Funktionen von einer Veränderlichen
■ Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten
■ Maxima und Minima
■ Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes
■ Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion
■ Bestimmung der globalen Extremwerte
■ Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion
■
❍
❍
❍
●
Differentiation von Funktionen von mehreren
Veränderlichen
❍ Partielle Ableitungen
■ Partielle Ableitung einer Funktion
■ Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung einer Funktion von zwei Veränderlichen
■ Begriff des Differentials
■ Haupteigenschaften des Differentials
■ Partielles Differential
❍ Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung
■ Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
■ Differenzierbarkeit
■ Vollständiges Differential
■ Geometrische Bedeutung
■ Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen
■ Partielle Ableitung zweiter Ordnung
■ Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen
■ Vollständiges Differential zweiter Ordnung
■ Vollständiges Differential n-ter Ordnung
■ Vollständiges Differential n-ter Ordnung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher
❍ Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
■ Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
■ Differentiation impliziter Funktionen
Eine Funktion von einer Veränderlichen
■ Eine Funktion von mehreren Veränderlichen
■ Zwei Funktionen von einer Veränderlichen
■ n Funktionen von einer Veränderlichen
■ Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen
■ n Funktionen von m Veränderlichen, gegeben durch ein System von n Gleichungen
Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen
■ Funktion von einer Veränderlichen
■ Funktion von zwei Veränderlichen
Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen
■ Definition
■ Geometrische Bedeutung
■ Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Veränderlichen
■ Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
■ Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen
■
❍
❍
Vektoranalysis und Feldtheorie
●
Grundbegriffe der Feldtheorie
❍ Vektorfunktion einer skalaren Variablen
■ Definitionen
■ Ableitung einer Vektorfunktion
■ Differentiationsregeln für Vektoren
■ Taylor-Entwicklung für Vektorfunktionen
❍ Skalarfelder
■ Skalares Feld oder skalare Punktfunktion
■ Wichtige Fälle skalarer Felder
■ Koordinatendarstellung von Skalarfeldern
■ Niveauflächen und Niveaulinien
❍ Vektorfelder
■ Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion
■ Wichtige Fälle vektorieller Felder
■ Zentrales Vektorfeld
■ Sphärisches Vektorfeld
Zylindrisches Vektorfeld
■ Koordinatendarstellung von Vektorfeldern
■ Vektorfeld in kartesischen Koordinaten
■ Vektorfeld in Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen
■ Kartesische und Zylinderkoordinaten
■ Kartesische und Kugelkoordinaten
■ Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten und kartesische Koordinaten
■ Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
■ Feldlinien
Räumliche Differentialoperationen
❍ Richtungs- und Volumenableitung
■ Richtungsableitung eines skalaren Feldes
■ Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes
■ Volumenableitung oder räumliche Ableitung
❍ Gradient eines Skalarfeldes
■ Definition des Gradienten
■ Gradient und Richtungsableitung
■ Gradient und Volumenableitung
■ Weitere Eigenschaften des Gradienten
■ Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten
■ Gradient in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Gradient in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
■ Rechenregeln
■
●
Differentialausdrücke
Vektorgradient
Divergenz des Vektorfeldes
■ Definition der Divergenz
■ Divergenz in verschiedenen Koordinaten
■ Divergenz in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
■ Regeln zur Berechnung der Divergenz
■ Divergenz eines Zentralfeldes
Rotation des Vektorfeldes
■ Definitionen der Rotation
■ 1. Definition
■ 2. Definition
■ Rotation in verschiedenen Koordinaten
■ Rotation in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
■ Regeln zur Berechnung der Rotation
■ Rotation des Potentialfeldes
Nablaoperator, Laplace-Operator
■ Nablaoperator
■ Rechenregeln für den Nablaoperator
■ Vektorgradient
■ Zweifache Anwendung des Nablaoperators
■ Laplace-Operator
■ Definition
■
❍
❍
❍
❍
Darstellung des Laplace-Operators in verschiedenen Koordinaten
■ Spezielle Verknüpfungen von Nabla- und LAPLACE-Operator
❍ Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen
■ Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
■ Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse
■ Rechenregeln für Differentialoperatoren
Integration in Vektorfeldern
❍ Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld
■ Kurvenintegral im Vektorfeld
■ Definition
■ Berechnung des Kurvenintegrals in fünf Schritten
■ Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik
■ Eigenschaften des Kurvenintegrals
■ Kurvenintegral als Kurvenintegral 2. Gattung allgemeiner Art
■ Umlaufintegral eines Vektorfeldes
■ Konservatives oder Potentialfeld
■ Definition
■ Potential eines konservativen Feldes
■ Zusammenhang zwischen Gradient, Kurvenintegral und Potential
■ Berechnung des Potentials eines konservativen Feldes
❍ Oberflächenintegrale
■ Vektor eines ebenen Flächenstückes
■ Berechnung von Oberflächenintegralen
■ Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern
■
●
Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art
❍ Integralsätze
■ Integralsatz und Integralformel von Gauß
■ Integralsatz von Gauß
■ Integralformel von Gauß
■ Sektorformel
■ Integralsatz von Stokes
■ Integralsätze von Green
Berechnung von Feldern
❍ Reines Quellenfeld
❍ Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld
❍ Vektorfelder mit punktförmigen Quellen
■ Coulomb-Feld der Punktladung
■ Gravitationsfeld der Punktmasse
❍ Superposition von Feldern
■ Diskrete Quellenverteilung
■ Kontinuierliche Quellenverteilung
■ Zusammenfassung
Differentialgleichungen der Feldtheorie
❍ Laplacesche Differentialgleichung
❍ Poissonsche Differentialgleichung
■
●
●
Arithmetik
●
Elementare Rechenregeln
❍ Zahlen
■ Natürliche, ganze und rationale Zahlen
■ Definitionsbereiche und Bezeichnungen
■ Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen
■ Arithmetische Operationen
■ Darstellung der rationalen Zahlen
■ Irrationale und transzendente Zahlen
■ Reelle Zahlen
■ Haupteigenschaften
■ Arithmetische Operationen
■ Zahlenintervall
■ Kettenbrüche
■ Kommensurabilität
❍ Beweismethoden
■ Direkter Beweis
Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
■ Vollständige Induktion
■ Konstruktiver Beweis
Summen und Produkte
■ Definition von Summen
■ Rechenregeln für Summen
■ Definition von Produkten
■ Rechenregeln für Produkte
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
■ Potenzen
■ Definitionen
■ Rechenregeln
■ Wurzeln
■ Logarithmen
■ Definition
■ Einige Eigenschaften der Logarithmen
■ Spezielle Logarithmen
■ Logarithmentafeln
■ Rechenschieber
Algebraische Ausdrücke
■ Definitionen
■ Einteilung der algebraischen Ausdrücke
Ganzrationale Ausdrücke
■ Darstellung in Form eines Polynoms
■ Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
■
❍
❍
❍
❍
Spezielle Formeln
■ Binomischer Satz
■ Binomialkoeffizienten
■ Berechnung der Binomialkoeffizienten
■ Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
■ Potenz einer Differenz
■ Verallgemeinerung für eine beliebige Potenz
■ Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
❍ Gebrochenrationale Ausdrücke
■ Rückführung auf die einfachste Form
■ Bestimmung des ganzrationalen Anteils
■ Partialbruchzerlegung, allgemeiner Fall
■ Partialbruchzerlegung, Fall 1
■ Partialbruchzerlegung, Fall 2
■ Partialbruchzerlegung, Fall 3
■ Partialbruchzerlegung, Fall 4
■ Umformung von Proportionen
❍ Irrationale Ausdrücke
Endliche Reihen
❍ Arithmetische Reihen
■ Definition
■ Arithmetische Reihe 1. Ordnung
■
●
Arithmetische Reihe
Geometrische Reihe
Spezielle endliche Reihen
■
❍
❍
-ter Ordnung
❍
Mittelwerte
■ Arithmetisches Mittel
■ Geometrisches Mittel
■ Harmonisches Mittel
■ Quadratisches Mittel
■
●
Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen
Finanzmathematik
❍ Prozentrechnung
■ Prozent
■ Aufschlag
■ Abschlag oder Rabatt
❍ Zinseszinsrechnung
■ Zinsen
■ Zinseszinsen
■ Einmalige Einzahlung
■ Regelmäßige Einzahlungen
■ Unterjährige Einzahlungen
❍ Tilgungsrechnung
■ Tilgung
■ Gleiche Tilgungsraten
■ Gleiche Annuitäten
❍ Rentenrechnung
■ Rente
■ Nachschüssig konstante Rente
■
Kontostand nach
Rentenzahlungen
❍ Abschreibungen
■ Abschreibungsarten
■ Lineare Abschreibung
■ Arithmetisch-degressive Abschreibung
■ Digitale Abschreibung
■ Geometrisch-degressive Abschreibung
■ Abschreibung mit verschiedenen Abschreibungsarten
Ungleichungen
❍ Reine Ungleichungen
■ Definitionen
■ Ungleichungen
■ Identische, gleichsinnige, ungleichsinnige und äquivalente Ungleichungen
■ Lösung von Ungleichungen
■ Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II
■ Sinnänderung des Ungleichheitszeichens und Transitivität
■ Addition und Subtraktion
■ Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl, Ungleichung bezüglich der
Kehrwerte
❍ Spezielle Ungleichungen
■ Dreiecksungleichung für reelle und komplexe Zahlen
■ Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz reeller Zahlen
■ Ungleichungen für verschiedene Mittel
■ BERNOULLIsche und Binomische Ungleichung
■
●
Rentenbarwert und Rentenendwert
CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung
■ TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
■ Verallgemeinerte TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
■ HÖLDERsche Ungleichung
■ MINKOWSKIsche Ungleichung
❍ Auflösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades
■ Allgemeines
■ Ungleichungen 1. Grades
■ Ungleichungen 2. Grades
■ Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades
Komplexe Zahlen
❍ Imaginäre und komplexe Zahlen
■ Imaginäre Einheit
■ Komplexe Zahlen
❍ Geometrische Veranschaulichung
■ Vektordarstellung
■ Gleichheit komplexer Zahlen
■ Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
■ Exponentialform einer komplexen Zahl
■ Konjugiert komplexe Zahlen
❍ Rechnen mit komplexen Zahlen
■ Addition und Subtraktion
■ Multiplikation
■ Division
■ Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten
■
●
■
Potenzieren einer komplexen Zahl
Radizieren oder Ziehen der
-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl
Algebraische und transzendente Gleichungen
❍ Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform
■ Definition
■
●
Systeme aus
algebraischen Gleichungen
■ Überzählige Wurzeln
■ Verschwinden des Nenners
■ Irrationale Gleichungen
Gleichungen 1. bis 4. Grades
■ Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
■ Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
■ Normalform und Anzahl der Lösungen
■ Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 1
■ Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 2
■ Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
■ Normalform und Anzahl der Lösungen
■ Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 1
■ Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 2, Anwendung der Formel von CARDANO
■ Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 3, Verwendung von Hilfsgrößen
■ Gleichungen 4. Grades
■ Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 1, Faktorenzerlegung
■ Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 2
Gleichungen n-ten Grades
■ Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen
■
❍
❍
Wurzeln
■ Fundamentalsatz der Algebra
■ Wurzelsatz von VIETA
■ Gleichungen mit reellen Koeffizienten
■ Komplexe Wurzeln
■ Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten
■ Lösung von Gleichungen n-ten Grades
Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische
■ Definition
■ Exponentialgleichungen
■ Logarithmische Gleichungen
■ Trigonometrische Gleichungen
■ Gleichungen mit Hyperbelfunktionen
■
❍
Abschreibungsarten
Bei Gütern, die z.B. durch Abnutzung oder Alterung eine Wertminderung erfahren, wird jährlich eine Abschreibung
vorgenommen. Durch eine solche Abschreibung während eines Bilanzjahres wird der Anfangswert zu Beginn des
Jahres auf den Restwert am Ende des Jahres reduziert. Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:
Anschaffungswert,
Nutzungsdauer (in Jahren),
Restwert nach
Jahren
Abschreibungsrate im
-ten Jahr.
Die Abschreibungsarten unterscheiden sich vor allem durch die Festlegung der Abschreibungsraten :
Lineare Abschreibung , d.h. gleiche Jahresraten,
Degressive Abschreibung , d.h. fallende Jahresraten.
Funktionen und ihre Darstellung
●
Funktionsbegriff
❍ Definition der Funktion
❍ Methoden zur Definition einer reellen Funktion
■ Angabe einer Funktion
■ Analytische Darstellung reeller Funktionen
❍ Einige Funktionstypen
■ Monotone Funktionen
■ Beschränkte Funktionen
■ Gerade Funktionen
■ Ungerade Funktionen
■ Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen
■ Periodische Funktionen
■ Inverse oder Umkehrfunktionen
❍ Grenzwert von Funktionen
■ Definition
■ Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge
■
■
■
■
■
■
■
Unbestimmte Ausdrücke der Form
oder
■
Unbestimmte Ausdrücke der Form
:
■
Unbestimmte Ausdrücke der Form
■
Unbestimmte Ausdrücke der Form
TAYLOR-Entwicklung
Größenordnung von Funktionen und LANDAU-Symbole
■ Von höherer Ordnung unendlich groß
■ Von höherer Ordnung unendlich klein
■ Null oder unendlich von gleicher Größenordnung
■ LANDAU-Symbole
■ Polynome
■ Exponentialfunktion
■ Logarithmusfunktion
■
❍
Konvergenzkriterium von CAUCHY
Unendlicher Grenzwert einer Funktion
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich
Sätze über Grenzwerte von Funktionen
Berechnung von Grenzwerten
■ Geeignete Umformung
■ BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
:
:
:
Stetigkeit einer Funktion
■ Begriff der Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle
■ Definition
■ Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten
■ Funktionsverlauf ins Unendliche:
■ Endlicher Sprung:
■ Hebbare Unstetigkeit:
■ Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen
■ Ganzrationale Funktionen oder Polynome
■ Eigenschaften stetiger Funktionen
■ Stetigkeit von Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen
■ Stetigkeit mittelbarer Funktionen y=f(u(x))
■ Satz von BOLZANO
■ Zwischenwertsatz
■ Existenz einer inversen Funktion
■ Satz über die Beschränktheit einer Funktion
■ Satz von WEIERSTRASS
Elementare Funktionen
❍ Algebraische Funktionen
❍ Transzendente Funktionen
■ Exponentialfunktionen
■ Logarithmische Funktionen
■ Trigonometrische Funktionen
■ Inverse trigonometrische Funktionen
❍ Hyperbelfunktionen und inverse Hyperbelfunktionen
❍
●
Zusammengesetzte Funktionen
Polynome
❍ Lineare Funktion
❍ Quadratisches Polynom
❍ Polynom 3. Grades
❍ Polynom n-ten Grades
❍ Parabel n-ter Ordnung
Gebrochenrationale Funktionen
❍ Umgekehrte Proportionalität
❍ Gebrochen lineare Funktion
❍ Kurve 3. Ordnung, Typ I
❍ Kurve 3. Ordnung, Typ II
❍ Kurve 3. Ordnung, Typ III
❍ Reziproke Potenz
Irrationale Funktionen
❍ Quadratwurzel aus einem linearen Binom
❍ Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
❍ Potenzfunktion
Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen
❍ Exponentialfunktion
❍ Logarithmische Funktionen
❍ GAUSSsche Glockenkurve
❍ Exponentialsumme
❍ Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
❍ Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
❍
●
●
●
●
●
Trigonometrische Funktionen
❍ Grundlagen
■ Definition und Darstellung
■ Sinus
■ Kosinus
■ Tangens
■ Kotangens
■ Sekans
■ Kosekans
■ Wertebereiche und Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen
■ Winkelbereich zwischen 0 und 360 Grad
■ Funktionswerte für ausgewählte Winkelargumente im Grad- oder Bogenmaß
■ Beliebige Winkel
■ Winkel im Bogenmaß
❍ Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen
■ Funktionen eines Winkels
■ Trigonometrische Funktionen gleichen Winkels
■ Trigonometrische Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel
■ Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
■ Trigonometrische Funktionen für große Werte n der Winkelvielfachen
■ Trigonometrische Funktionen des halben Winkels
■ Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
■ Produkte trigonometrischer Funktionen
■ Potenzen trigonometrischer Funktionen
Beschreibung von Schwingungen
■ Problemstellung
■ Superposition oder Überlagerung von Schwingungen
■ Vektordiagramm für Schwingungen
■ Dämpfung von Schwingungen
Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
❍ Definition der zyklometrischen Funktionen
❍ Tabelle der Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen
❍ Zurückführung auf die Hauptwerte
❍ Beziehungen zwischen den Hauptwerten
❍ Formeln für negative Argumente
❍ Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y
❍ Summe und Differenz von arccos x und arccos y
❍ Summe und Differenz von arctan x und arctan y
❍ Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x
Hyperbelfunktionen
❍ Definition der Hyperbelfunktionen
❍ Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
■ Hyperbelsinus
■ Hyperbelkosinus
■ Hyperbeltangens
■ Hyperbelkotangens
❍ Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen
■ Hyperbelfunktionen einer Variablen
■ Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes
❍
●
●
Formeln für negative Argumente
■ Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente (Additionstheoreme)
■ Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
■ Formel von MOIVRE für Hyperbelfunktionen
■ Hyperbelfunktionen des halben Arguments
■ Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen
■ Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen Funktionen mit Hilfe
komplexer Argumente
Areafunktionen
❍ Definitions- und Wertebereiche
❍ Areasinus
❍ Areakosinus
❍ Areatangens
❍ Areakotangens
❍ Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus
❍ Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen
❍ Summen und Differenzen von Areafunktionen
❍ Formeln für negative Argumente
Kurven dritter Ordnung
❍ Semikubische Parabel
❍ Versiera der Agnesi
❍ Kartesisches Blatt
❍ Zissoide
❍ Strophoide
Kurven vierter Ordnung
■
●
●
●
Konchoide des NIKOMEDES
❍ Allgemeine Konchoide
❍ PASCALsche Schnecke
❍ Kardioide
❍ CASSINIsche Kurven
❍ Lemniskate
Zykloiden
❍ Gewöhnliche Zykloide
❍ Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden
❍ Epizykloide
❍ Hypozykloide und Astroide
❍ Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und Hypotrochoide
Spiralen
❍ ARCHIMEDische Spirale
❍ Hyperbolische Spirale
❍ Logarithmische Spirale
❍ Evolvente des Kreises
❍ Klotoide
Verschiedene andere Kurven
❍ Kettenlinie oder Katenoide
❍ Schleppkurve oder Traktrix
Aufstellung empirischer Kurven
❍ Verfahrensweise
■ Kurvenbildervergleiche
■ Rektifizierung
❍
●
●
●
●
Parameterbestimmung
■ Mittelwertmethode
■ Fehlerquadratmethode
Gebräuchlichste empirische Formeln
■ Potenzfunktionen
■
❍
■
Typ
■
Typ
Exponentialfunktionen
■
Typ
■
Typ
Quadratisches Polynom
■ Gebrochenlineare Funktion
■ Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
■ Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
■ Kurve 3. Ordnung, Typ II
■ Kurve 3. Ordnung, Typ III
■ Kurve 3. Ordnung, Typ I
■ Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
■ Exponentialsumme
■ Vollständig durchgerechnetes Beispiel
Skalen und Funktionspapiere
■
●
■
Skalen
❍ Funktionspapiere
■ Einfach-logarithmisches Funktionspapier
■ Doppelt-logarithmisches Funktionspapier
■ Funktionspapier mit einer reziproken Skala
■ Hinweis
Funktionen von mehreren Veränderlichen
❍ Definition und Darstellung
■ Definition
■ Darstellungen
■ Wertesystem der Variablen
■ Funktion u=f(x,y) zweier unabhängiger Variabler
❍ Verschiedene ebene Definitionsbereiche
■ Definitionsbereich einer Funktion
■ Zweidimensionale Gebiete
■ Einfach zusammenhängende Gebiete
■ Zweifach zusammenhängende Gebiete
■ Mehrfach zusammenhängende Gebiete
■ Nicht zusammenhängende Gebiete
■ Drei- und mehrdimensionale Gebiete
■ Methoden zur Definition einer Funktion
■ Definition mittels Tabelle
■ Definition mittels Formeln
■ Definitionsbereich einer Funktion
■ Formen der analytischen Darstellung einer Funktion
❍
●
Abhängigkeit von Funktionen
■ Spezieller Fall zweier Funktionen
■ Allgemeiner Fall mehrerer Funktionen
■ Analytische Bedingung für die Unabhängigkeit
Grenzwerte
■ Exakte Formulierung
■ Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche
■ Iterierte Grenzwerte
Stetigkeit
Eigenschaften stetiger Funktionen
■ Nullstellensatz von BOLZANO
■ Zwischenwertsatz
■ Satz über die Beschränktheit einer Funktion
■ Satz von WEIERSTRASS über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes
■
❍
❍
❍
Trigonometrische Funktionen gleichen Winkels
Die entsprechenden Formeln sind in der folgenden Tabelle zusammengefaßt. In ihnen ist vor dem Wurzelzeichen ein
positives oder negatives Vorzeichen zu setzen, je nachdem, in welchem Quadranten sich der Winkel befindet.
Tabelle Trigonometrische Funktionen gleichen Arguments (
)
Funktionen eines Winkels
(2.75)
(2.76)
(2.77)
(2.78)
(2.79)
(2.80)
(2.81a)
(2.81b)
Potenzen trigonometrischer Funktionen
(2.122)
(2.123)
(2.124)
(2.125)
(2.126)
(2.127)
ermittelt man
Für große Werte von
nacheinander angewendet werden.
und
, indem die Formeln für
und
Algebra und Diskrete Mathematik, Kryptologie
5.24
BAUER, F. L.: Kryptologie -- Methoden und Maximen. -- Springer-Verlag 1993.
5.25
HORSTER, P.: Kryptologie. -- BI-Wissenschaftsverlag 1985.
5.26
SCHNEIDER, B.: Angewandte Kryptologie -- Protokolle, Algorithmen und Sourcecode in C. -- Addison-WesleyLongman 1996.
5.27
WOBST, R.: Methoden, Risiken und Nutzen der Datenverschlüsselung. -- Addison-Wesley-Longman 1997.
Algebra und Diskrete Mathematik, Fuzzy-Logik
5.34
BANDEMER, H., GOTTWALD, S.: Einführung in Fuzzy-Methoden - Theorie und Anwendungen unscharfer
Mengen. -- Akademie-Verlag, 4. Auflage 1993.
5.35
DRIANKOV, D., HELLENDORN, H., REINFRANK, M.: An Introduction to Fuzzy Control.-- Springer-Verlag 1993.
5.36
DUBOIS, D., PRADE, H.: Fuzzy-Sets and System-Theory and Applications. -- Academic Press, Inc., London
1980.
5.37
GOTTWALD, S.: Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendungen. -- Akademie-Verlag 1989.
5.38
GRAUEL, A.: Fuzzy-Logik. Einführung in die Grundlagen mit Anwendungen. -- BI Wissenschaftsverlag,
Mannheim 1995.
5.39
KAHLERT, J., FRANK, H: Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control. Eine anwendungsorientierte Einführung mit
Begleitssoftware. -- Verlag Vieweg 1993.
5.40
KRUSE, R., GEBHARDT, J., KLAWONN, F.: Fuzzy-Systeme. -- B.G.Teubner 1993.
5.41
ZIMMERMANN, H-J.: Fuzzy Sets. Decision Making and Expert Systems. -- Verlag Kluwer-Nijhoff 1987.
5.42
ZIMMERMANN, H-J., ALTROCK, C.: Fuzzy-Logik, Bd. 1, Technologie. -- Oldenbourg-Verlag 1993.
Algebra und Diskrete Mathematik
●
●
●
●
●
●
Algebra und Diskrete Mathematik, allgemein
Algebra und Diskrete Mathematik, Gruppentheorie
Algebra und Diskrete Mathematik, Zahlentheorie
Algebra und Diskrete Mathematik, Kryptologie
Algebra und Diskrete Mathematik, Graphentheorie
Algebra und Diskrete Mathematik, Fuzzy-Logik
Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe
●
●
Grundbegriffe
Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen
Winkelbereich zwischen 0 und 360 Grad
Die sechs trigonometrischen Funktionen sind in der folgenden Abbildung in allen vier Quadranten für einen vollen
Winkelbereich von
bis
bzw. einen vollen Bogenbereich von 0 bis
gemeinsam dargestellt.
In der folgenden Tabelle ist ein Überblick über die Definitions- und Wertebereiche der trigonometrischen Funktionen
gegeben. Das Funktionsvorzeichen, das vom Quadranten abhängt, in dem das Funktionsargument liegt, kann aus
der zweiten Tabelle entnommen werden.
Tabelle Definitions- und Wertebereiche der trigonometrischen Funktionen
Wertebereich
Definitionsbereich
Wertebereich
Definitionsbereich
Tabelle Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Quadrant
Größe des Winkels
I
+
II
+
+
+
+
+
+
+
III
IV
+
+
+
+
Optimierung
●
Lineare Optimierung
❍ Problemstellung und geometrische Darstellung
■ Formen der linearen Optimierung
■ Gegenstand
■ Allgemeine Form
■ Formulierung mit vorzeichenbeschränkten Variablen und Schlupfvariablen
■ Zulässiger Bereich
■ Beispiele und graphische Lösungen
■ Beispiel Herstellung zweier Produkte:
■ Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme
❍ Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform
■ Ecke und Basis
■ Definition der Ecke und Satz über die Ecke
■ Basis
■ Ecke mit maximalem Funktionswert
■ Normalform der linearen Optimierungsaufgabe
Normalform und Basislösung
■ Ermittlung der Normalform
Simplexverfahren
■ Simplextableau
■ Übergang zum neuen Simplextableau
■ Nichtentarteter Fall
■ Entarteter Fall
■ Bestimmung eines ersten Simplextableaus
■ Hilfsprogramm und künstliche Variable
■ Fallunterscheidung
■ Revidiertes Simplexverfahren
■ Revidiertes Simplextableau
■ Revidierter Simplexschritt
■ Dualität in der linearen Optimierung
■ Zuordnung
■ Dualitätsaussagen
■ Einsatzgebiete der dualen Aufgabe
Spezielle lineare Optimierungsprobleme
■ Transportproblem
■ Modell
■ Ermittlung einer zulässigen Basislösung
■ Lösung des Transportproblems mit der Potentialmethode
■ Zuordnungsproblem
■ Verteilungsproblem
■ Rundreiseproblem
■
❍
❍
Reihenfolgeproblem
Nichtlineare Optimierung
❍ Problemstellung und theoretische Grundlagen
■ Problemstellung
■ Nichtlineares Optimierungsproblem
■ Minimalpunkte
■ Optimalitätsbedingungen
■ Spezielle Richtungen
■ Notwendige Optimalitätsbedingung
■ Lagrange-Funktion und Sattelpunkt
■ Globale Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Hinreichende Optimalitätsbedingung
■ Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Notwendige Optimalitätsbedingung und Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Dualität in der Optimierung
❍ Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben
■ Konvexe Optimierung
■ Konvexe Aufgabe
■ Optimalitätsbedingungen
■ Quadratische Optimierung
■ Aufgabenstellung
■ Lagrange-Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Konvexität
■ Duales Problem
❍ Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben
■
●
Verfahren von Wolfe
■ Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
■ Verfahren von Hildreth-d'Esopo
■ Prinzip
■ Iterationslösung
Numerische Suchverfahren
■ Eindimensionale Suche
■ Aufgabenstellung, gleichmäßige Suche
■ Verfahren des Goldenen Schnittes und Fibonacci-Verfahren
■ Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum
Verfahren für unrestringierte Aufgaben
■ Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)
■ Anwendung des Newton-Verfahrens
■ Verfahren der konjugierten Gradienten
■ Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)
Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen
■ Verfahren der zulässigen Richtungen
■ Richtungssuchprogramm
■ Spezialfall linearer Restriktionen
■ Verfahren der projizierten Gradienten
■ Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
■ Algorithmus
■ Bemerkungen zum Algorithmus
Straf- und Barriereverfahren
■ Strafverfahren
■
❍
❍
❍
❍
Barriereverfahren
❍ Schnittebenenverfahren
■ Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
■ Verfahren von Kelley
Diskrete dynamische Optimierung
❍ Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle
■
●
-stufige Entscheidungsprozesse
■ Dynamische Optimierungsprobleme
Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle
■ Einkaufsproblem
■ Rucksackproblem
Bellmannsche Funktionalgleichungen
■ Eigenschaften der Kostenfunktion
■ Separierbarkeit
■ Minimumvertauschbarkeit
■ Formulierung der Funktionalgleichungen
Bellmannsches Optimalitätsprinzip
Bellmannsche Funktionalgleichungsmethode
■ Bestimmung der minimalen Kosten
■ Bestimmung der optimalen Politik
Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode
■ Optimale Einkaufspolitik
■ Problemstellung
■ Zahlenbeispiel
■
❍
❍
❍
❍
❍
■
Rucksackproblem
■ Problemstellung
■ Zahlenbeispiel
Computeralgebrasysteme
●
Einführung
❍ Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen
■ Allgemeine Zielstellungen für Computeralgebrasysteme
■ Spezielle Möglichkeiten der Arbeit mit Computeralgebrasystemen
■ Beschränkung auf Mathematica und Maple
■ Ein- und Ausgabe bei Mathematica und Maple
❍ Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete
■ Formelmanipulation
■ Numerische Berechnungen
■ Graphische Darstellungen
■ Programmierung in Computeralgebrasystemen
❍ Aufbau und Umgang mit Computeralgebrasystemen
■ Hauptstrukturelemente
■ Objekttypen
■ Zahlen
■ Variable und Zuweisungsoperatoren
■
■
■
●
Operatoren
Terme und Funktionen
Listen und Mengen
Mathematica
❍ Haupstrukturelemente
❍ Zahlenarten in Mathematica
■ Grundtypen von Zahlen in Mathematica
■ Spezielle Zahlen
■ Darstellung und Konvertierung von Zahlen
❍ Wichtige Operatoren
❍ Listen
■ Begriff und Bedeutung
■ Verschachtelte Listen
■ Operationen mit Listen
■ Spezielle Listen
❍ Vektoren und Matrizen als Listen
■ Aufstellung geeigneter Listen
■ Operationen mit Matrizen und Vektoren
❍ Funktionen
■ Standardfunktionen
■ Spezielle Funktionen
■ Reine Funktionen
❍ Muster
❍ Funktionaloperationen
■ Inverse Funktion
Differentiation
■ Nest
■ NestList
■ FixedPoint
■ FixedPointList
■ Apply
■ Map
Programmierung
Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen
■ Kontexte, Attribute
■ Informationen
■ Meldungen
■
❍
❍
●
Maple
❍
❍
❍
❍
❍
Hauptstrukturelemente
■ Typen und Objekte
■ Eingaben und Ausgaben
Zahlenarten in Maple
■ Grundtypen von Zahlen in Maple
■ Spezielle Zahlen
■ Darstellung und Konvertierung von Zahlen
■ Gleitpunktzahlen
■ Zahlen verschiedener Basis
Wichtige Operatoren in Maple
Algebraische Ausdrücke
Folgen und Listen
Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen
■ Tabellen- und feldartige Strukturen
■ Eindimensionale Felder
■ Zweidimensionale Felder
■ Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen
❍ Funktionen und Operatoren
■ Funktionen
■ Operatoren
■ Differentialoperatoren
■ Der Funktionaloperator map
❍ Programmierung in Maple
❍ Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe
■ Nutzung der Maple-Bibliothek
■ Umgebungsvariable
■ Informationen und Hilfe
Anwendungen von Computeralgebrasystemen
❍ Manipulation algebraischer Ausdrücke
■ Mathematica
■ Multiplikation von Ausdrücken
■ Faktorzerlegung von Polynomen
■ Operationen auf Polynomen
■ Partialbruchzerlegung
■ Manipulation nichtpolynomialer Ausdrücke
■ Maple
■ Multiplikation von Ausdrücken
❍
●
Faktorzerlegung von Polynomen
■ Operationen auf Polynomen
■ Partialbruchzerlegung
■ Manipulation allgemeiner Ausdrücke
Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen
■ Mathematica
■ Gleichungen
■ Lösung von Gleichungen
■ Lösung transzendenter Gleichungen
■ Lösung von Gleichungssystemen
■ Maple
■ Wichtige Operationen
■ Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
■ Lösung transzendenter Gleichungen
■ Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
Elemente der linearen Algebra
■ Mathematica
■
❍
❍
■
■
■
■
Allgemeiner Fall
Eigenwerte und Eigenvektoren
Maple
Lösung linearer Gleichungssysteme
■ Eigenwerte und Eigenvektoren
Differential- und Integralrechnung
■
❍
Spezialfall
■
■
Mathematica
■ Berechnung von Differentialquotienten
■ Operator der Differentiation
■ Differentiation von Funktionen
■ Unbestimmte Integrale
■ Integration gebrochenrationaler Funktionen
■ Integration trigonometrischer Funktionen
■ Hinweis:
■ Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
■ Bestimmte Integrale
■ Mehrfachintegrale
■ Lösung von Differentialgleichungen
Maple
■ Differentiation
■ Unbestimmte Integrale
■ Integrale gebrochenrationaler Funktionen
■ Integrale von Wurzelfunktionen
■ Integrale mit trigonometrischen Funktionen
■ Hinweis:
■ Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
■ Bestimmte Integrale
■ Mehrfachintegrale
■ Lösung von Differentialgleichungen
■ Allgemeine Lösung
■ Lösung mit Anfangsbedingungen
●
Graphik in Computeralgebrasytemen
❍ Graphik mit Mathematica
■ Grundlagen des Graphikaufbaus
■ Graphik-Primitive
■ Graphikoptionen
■ Syntax der Graphikdarstellung
■ Aufbau von Graphikobjekten
■ Graphische Darstellung von Funktionen
■ Zweidimensionale Kurven
■ Exponentialfunktionen
■ Lineare Funktion plus Areakotangensfunktion
■ BESSEL-Funktionen
■ Parameterdarstellung von Kurven
■ Darstellung von Flächen und Raumkurven
■ Graphische Darstellung von Oberflächen
■ Optionen für 3D-Graphik
■ Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung
❍ Graphik mit Maple
■ Zweidimensionale Graphik
■ Syntax zweidimensionaler Graphik
■ Beispiele für zweidimensionale Graphiken
■ Exponential- und Hyperbelfunktionen
■ BESSEL-Funktionen
■ Parameterdarstellung
■ Spezialpaket plots
■
Dreidimensionale Graphik
■ Syntax des plot3d-Befehls
■ Zusätzliche Operationen aus dem Paket plots
Exponentialfunktionen
●
Typ
●
Typ
Quadratisches Polynom
(2.249a)
Mögliche Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.
Wegen der Diskussion des quadratischen Polynoms s. Gleichung (2.42).
Die Koeffizienten
und
werden in der Regel nach der Fehlerquadratmethode bestimmt; aber auch hier ist eine
Rektifizierung möglich. Nach der Wahl irgendeines Datenpunktes
wird rektifiziert gemäß
(2.249b)
Bilden die gegebenen
-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz
so rektifiziert man gemäß
(2.249c)
In beiden Fällen wird nach der Ermittlung von
und
aus der Gleichung
(2.249d)
berechnet, wobei
die Anzahl der gegebenen
-Werte ist, über die summiert wird.
Gebrochenlineare Funktion
(2.250a)
Wegen der Diskussion der gebrochenlinearen Funktion s. Gleichung (2.47). Der typische Kurvenverlauf ist in der
folgenden Abbildung gezeigt.
Nach der Wahl irgendeines Datenpunktes
wird gemäß
(2.250b)
rektifiziert. Nach der Bestimmung von
und
wird die gewonnene Formel in der Form
(2.250c)
hingeschrieben. Manchmal reicht auch die Form
(2.250d)
Dann wird
und
im zweiten.
rektifiziert oder
und
im ersten Falle und
sowie
Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
(2.251)
Mehrere mögliche Kurvenverläufe dieser Funktion sind in der folgenden Abbildung dargestellt.
Die Funktion wurde im Abschnitt Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom diskutiert (s. Gleichung (2.53)).
Wenn die neue Variable
eingeführt wird, dann läßt sich die weitere Rechnung auf den Fall des
Quadratischen Polynoms zurückführen.
Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
(2.252)
In der folgenden Abbildung sind mehrere Kurvenverläufe dieser Funktion dargestellt.
Die Diskussion der Funktion erfolgte im Abschnitt verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve (s. Gleichung (2.62)).
Die Einführung der neuen Variablen
Polynoms.
ermöglicht die Zurückführung auf den Fall des Quadratischen
Kurve 3. Ordnung, Typ II
(2.253)
In der folgenden Abbildung sind mögliche Kurvenverläufe dieser Funktion dargestellt.
Die Diskussion der Funktion dieses Typs erfolgte im Abschnitt Kurve 3. Ordnung (s. Gleichung (2.49)).
Diese Aufgabe kann ebenfalls durch Einführung einer neuen Veränderlichen
Quadratischen Polynoms zurückgeführt werden.
auf den Fall des
Kurve 3. Ordnung, Typ III
(2.254)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion sind in der folgenden Abbildung gezeigt.
Wegen der Diskussion der Kurve 3. Ordnung s. Gleichung (2.50).
Auf den Fall des Quadratischen Polynoms kann auch diese Aufgabe durch Einführung der neuen Variablen
zurückgeführt werden.
Kurve 3. Ordnung, Typ I
(2.255)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.
Wegen der Diskussion der Kurve 3. Ordnung dieses Typs s. Gleichung (2.48).
Hier kann die Aufgabe ebenso wie die vorangehenden auf den Fall des Quadratischen Polynoms zurückgeführt
werden, diesmal durch Einführung der neuen Variablen
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
(2.256a)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.
Die Diskussion der Funktion erfolgte im Abschnitt Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion (s. Gleichung (2.63)).
Wenn die empirischen
-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz
bilden, dann wird gemäß
(2.256b)
rektifiziert. Dabei wird mit
bzw.
bzw.
bezeichnet. Bilden jedoch die
die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte von
-Werte eine geometrische Folge mit dem Quotienten
, dann erfolgt
die Rektifizierung gemäß
(2.256c)
Nachdem
und
bestimmt sind, wird die gegebene Gleichung logarithmiert, um
in (2.249d). Wenn die gegebenen
-Werte keine geometrische Folge bilden, sich aber jeweils zwei
auswählen lassen, daß ihr Quotient den konstanten Wert
wie im Falle einer geometrischen Folge der
die Differenz zweier Werte von
ergeben (s. Beispiel).
ebenso zu bestimmen wie
-Werte so
ergibt, dann gilt für die Rektifizierung die gleiche Formel
-Werte, wenn
bezeichnet, deren zugehörige
gesetzt wird. Dabei ist mit
-Werte den konstanten Quotienten
Bei der Gründung des Verlags Harri Deutsch im Jahre 1961 wurden die langjährigen Erfahrungen aus der Fachbuchhandlung
Harri Deutsch an der Universität Frankfurt in die Verlagskonzeption eingebracht.
Aus der Nähe zur Universität ergaben sich insbesondere die Programmschwerpunkte in den Gebieten Naturwissenschaften,
Mathematik und Technik.
Dem Selbstverständnis des Verlags entsprechend, werden seit Bestehen didaktisch ausgereifte und preisgünstige Lehrbücher und
Nachschlagewerke mit hohem Informationsgehalt für Studenten, Dozenten und Praktiker dieser Fächer bereitgestellt.
Mit großem Erfolg arbeitete der Verlag Harri Deutsch in seiner Anfangsphase mit ostdeutschen und osteuropäischen Verlagen
zusammen. So konnte renommierte Fachliteratur durch Lizenzausgaben einem wesentlich breiteren Interessentenkreis zugänglich
gemacht werden.
Inzwischen wurden wichtige Teile des Verlagsprogramms völlig überarbeitet und um neue Titel erweitert. Mit dem Einsatz
zukunftsweisender Technik konnte das Verlagskonzept auch unter veränderten Rahmenbedingungen bewahrt werden.
Konsequent wird die Verlagsproduktion entsprechend den Erfordernissen des elektronischen Zeitalters ausgebaut.
Große Teile des Programms sind am Niveau von Fachhochschule und Universität orientiert, die Bandbreite reicht jedoch von
populärwissenschaftlichen Darstellungen über Literatur für die Mittel- und Oberstufe an Gymnasien bis hin zu
Forschungsmonographien.
Ausführliche Informationen zu den Produkten des Verlags Harri Deutsch finden Sie unter http://www.de.uu.net/shop/HD/verlag/
Wenn Sie künftig aktuelle Verlagsinformationen per E-Mail wünschen, schicken Sie uns bitte eine E-Mail mit dem Subject
"Verlags-Info".
Das Label "hades"
Wissenschaftliches Publizieren muß sich seit der Entwicklung der elektronischen Medien neuen Herausforderungen stellen. Die
Anforderungen an Produkte und Produzenten übersteigen die der klassischen Verlagsobjekte.
Um die Chancen der neuen Informationsmärkte wahrzunehmen, hat der Verlag Harri Deutsch unter dem Markenzeichen harri
deutsch electronic science - kurz: "hades" - seine Aktivitäten im Bereich des elektronischen Publizierens gebündelt.
Die ersten Projekte unter dem Label "hades" sind die Reihen DeskTop und cliXX, in denen elektronische Nachschlagewerke
(DeskTop) und interaktive Lehrgänge (cliXX) für Schüler, Studenten, Lehrer, Wissenschaftler und Praktiker entwickelt werden.
Dabei werden HTML-Strukturen verwendet, weil
●
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sie on- und offline (CD-ROM) nutzbar sind,
sie plattformunabhängig laufen,
sie die Einbindung multimedialer Komponenten erlauben und
die entsprechenden Browser den Nutzern sowohl in lokalen Netzen als auch zu Hause vertraut sind.
Folgende Werke sind verfügbar oder in Vorbereitung:
W. Bauer u. a.: cliXX · Physik
1997, Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 48,- (unverbindliche Preisempfehlung), ISBN 3-8171-1553-9.
Als einführender Lehrgang in die Physik vermittelt die CD-ROM Grundwissen aus den Gebieten Mechanik, Wärmelehre,
Schwingungen und Wellen.
Der Lehrgang wendet sich an Ingenieur- und Universitätsstudenten mit Physik im Nebenfach, ist aber aufgrund der
multimedialen Aufbereitung auch in der Sekundarstufe II schon sinnvoll einsetzbar. Der Lernerfolg wird unterstützt durch
interaktiv zu lösende Aufgaben mit jeweils neu generierten Zahlenwerten, Lösungshilfen und Kontrollen.
N. Treitz: cliXX · Physik in bewegten Bildern
1999, Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, ca DM 39,- (unverbindliche Preisempfehlung) , ISBN 3-8171-1577-6.
Wie schon in seinem Buch Brücke zur Physik (ISBN 3-8171-1518-0) behandelt der Autor auch auf der Multiplattform-CDROM in unkonventioneller Weise ein breites Themenspektrum der Physik. Die CD-ROM ermöglicht, physikalische
Zusammenhänge nicht mehr nur statisch in Grafiken, sondern durch dynamische Animationen im QuickTime-Format
darzustellen.
Die durch Hyperlinks vernetzte HTML-Struktur verbindet tabellarische Themenüberblicke, kurze einführende und
erklärende Texte, Animationen physikalischer Modelle, gefilmte Experimente, Programmsequenzen in Pascal sowie
Aufgaben mit Lösungen.
Darüberhinaus enthält die CD-ROM stereoskopische Animationen: Mit der beiliegenden Stereo-Brille erscheinen
geometrische Objekte als frei im Raum schwebend.
Die CD-ROM ist geeignet für Lehrkräfte, Studienanfänger und Schüler der Sekundarstufe II.
M. Sietz u. a.: cliXX · Chemie
1999, Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, ca DM 38,- (unverbindliche Preisempfehlung), ISBN 3-8171-1488-5.
Als einführender Lehrgang in die Chemie vermittelt die CD-ROM Grundwissen aus den Gebieten Allgemeine und
Anorganische Chemie, Organische Chemie, Hydrochemie und Biochemie. Neu ist dabei die modellhafte, teils vereinfachte
Darstellung, die auf ein chemisches Grundverständnis für umweltrelevante Themen abzielt.
Der Lehrgang wendet sich an FH- und Universitätsstudenten mit Chemie im Nebenfach. Aufgrund der multimedialen
Aufbereitung und der spezifischen Ausichtung ist cliXX · Chemie auch schon in der Sekundarstufe II fächerübergreifend
einsetzbar.
Durch das umfangreiche Glossar, die Versuchsprotokolle und die Klausuren mit Lösungen eignet sich CD-ROM gut zum
Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.
I. N. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik mit Multiplattform-CD-ROM
1999, 4., überarbeitete und erweiterte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 78,- , ISBN
3-8171-2014-1.
Dieses Werk ist im deutschsprachigen Raum für viele Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften ein
unverzichtbares Buch geworden. Aber auch im Berufsalltag erfüllt das erprobte Standardwerk thematisch und methodisch
die Erfordernisse der Zeit.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches der
Mathematik als HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks und farbigen, bildschirmgerechten Abbildungen.
H. Stöcker u. a.: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren mit Multiplattform-CD-ROM
1999, 4., korrigierte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 58,- , ISBN 3-8171-1573-3.
Von elementarer Schulmathematik über Basiswissen für Abiturienten bis zum Aufbauwissen für Studierende und als
Informationspool und Nachschlagewerk für Berufspraktiker liefert das Standardwerk den mathematischen Hintergrund.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches
mathematischer Formeln und moderner Verfahren als vernetzte HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks, farbigen,
bildschirmgerechten Abbildungen und multimedialen Zusatzkomponenten.
H. Stöcker u. a.: Taschenbuch der Physik mit Multiplattform-CD-ROM
1997, 3., völlig überarbeitete und erweiterte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 68,, ISBN 3-8171-1580-6.
Ein Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaftler, die im physikalisch-technischen Sektor tätig sind. Eine
Formelsammlung für Studierende dieser Fachrichtungen, die den relevanten Stoff leicht auffinden möchten.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches der Physik
als vernetzte HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks, farbigen, bildschirmgerechten Abbildungen und multimedialen
Zusatzkomponenten wie Filmen im QuickTime-Format.
W. Schröter u. a.: Taschenbuch der Chemie mit Multiplattform-CD-ROM
1995, 17., korrigierte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 58,- , ISBN 3-8171-1555-5.
Das Taschenbuch gliedert sich in die Hauptteile Allgemeine Chemie, Anorganische Chemie und Organische Chemie.
Diese werden ergänzt durch Abschnitte über Sondergebiete, makromolekulare Werkstoffe und die Nomenklatur chemischr
Verbindungen. Begriffe werden definiert, Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen hergeleitet, ihre Anwendung wird vielfach anhand von Beispielen - erlätert.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches der
Chemie als vernetzte HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks, farbigen, bildschirmgerechten Abbildungen und
multimedialen Zusatzkomponenten.
Weitere Informationen finden Sie auf der Internetseite des Verlages Harri Deutsch.
Taschenbuch der Mathematik:
Vorwort zur 1. Auflage der CD-ROM
Die Erfahrung der letzten Jahre zeigt, daß es ein weit verbreitetes Interesse gibt, Nachschlagewerke und Handbücher auf dem
eigenen Computer zur Verfügung zu haben. Auch auf dem Gebiet der Mathematik kann es von Vorteil sein, die Möglichkeiten
der CD-ROM zu nutzen.
Daher wurde in Übereinkunft zwischen Autoren und Verlag entschieden, das ,,Taschenbuch der Mathematik``, bekannt unter
dem Namen ,,BRONSTEIN``, parallel zum Buch, aber auch als Einlage in der 4. Auflage, als CD-ROM herauszubringen.
Grundlage bildet die wesentlich erweiterte und überarbeitete 3. Auflage des Buches, das sich seit der Neuübersetzung des
russischsprachigen Originals (3. Auflage, Moskau 1953) als 1. Auflage im Jahr 1996 zu einem umfangreichen Nachschlagewerk
entwickelt hat.
Die 3. Auflage des anwendungsorientierten Klassikers ,,Bronstein``, die die Grundlage für die Erarbeitung der CD-ROM bildet,
wurde ebenso wie die vohergehenden Auflagen in einem Maße angenommen, daß auch sie in weniger als zwei Jahren vergriffen
war. Damit ergab sich neuerlich die Gelegenheit, einzelne Kapitel zu erweitern und bekannt gewordene Formulierungs-, Formel-,
Druck- und Layoutfehler auszumerzen. Zahlreiche Hinweise aus der Leserschaft fanden dabei dankbare Aufnahme.
Rückmeldungen und Informationen werden auch in Zukunft erbeten.
Abgesehen von zahlreichen kleineren Verbesserungen und Ergänzungen in allen Kapiteln galt bei dieser Überarbeitung den
Kapiteln Arithmeitik, Funktionen, Lineare Algebra, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektoranalysis und Feldtheorie,
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik sowie Numerische Mathematik die besondere Aufmerksamkeit.
Einige Abschnitte sind neu hinzugekommen. Zu ihnen gehören z.B. die Abschnitte Beweismethoden in Kapitel 1, Skalen und
Funktionspapiere in Kapitel 2, Kryptologie in Kapitel 5, DIRACsche -Funktion und Distributionen in Kapitel 15,
Wavelets in Kapitel 15 sowie Interpolationsformel von LAGRANGE in Kapitel 19.
In einzelne Kapitel wurden weitere Tabellen aufgenommen, die das praktische Arbeiten erleichtern. Hier sind insbesondere die
Tabellen zu den Differentiations- und Integrationsregeln, zu den Flächen- und Volumenelementen in verschiedenen Koordinaten
sowie eine Tabelle mit Zufallszahlen zu nennen. Tabellen, die im Buch über zwei Seiten reichen oder eine ganze Seite
einnehmen, wurden aufgetrennt oder aufgelöst, um bei der Betrachtung der HTML-Seiten ein allzu häufiges Verschieben des
Bildes (scrollen) zu vermeiden.
Allen Lesern und Fachkollegen, die uns durch ihre wertvollen Stellungnahmen, Bemerkungen und Anregungen zu einzelnen
Abschnitten der 3. Auflage des Buches die Überarbeitung erleichtert haben, möchten wir an dieser Stelle unseren herzlichen
Dank sagen. Besonderer Dank gebührt Herrn Prof. Dr. G. BRECHT, Itzehoe und Herrn Dr. T. H. Kick, Ludwigsburg, die sich mit
vielen Kapiteln des Buches auseinandergesetzt haben.
Die Erarbeitung der CD-ROM erforderte umfangreiche technische Vorbereitungen und die Umsetzung der LATEX-Vorlage in
die HTML-Spache. Wir danken in diesem Zusammenhang besonders den Herren Prof. Dr. A. ANDREEFF, Dresden, Dipl.Phys. K. Horn sowie dem VERLAG HARRI DEUTSCH für die ausgezeichnete Zusammenarbeit.
Dresden, im März 1998
Koautoren
Einige Kapitel und Abschnitte sind in Zusammenarbeit mit Koautoren enstanden.
Kapitel bzw. Abschnitt
Koautor
Sphärische Trigonometrie (3.4.1 bis 3.4.3)
Dr. H. NICKEL, Dresden
Sphärische Kurven (3.4.4)
Prof. L. MARSOLEK, Berlin
Algebra und Diskrete Mathematik (5, außer 5.4, 5.5, 5.8) Dr. J. BRUNNER, Dresden
Zahlentheorie, Kryptologie, Graphen (5.4, 5.5, 5.8)
Doz. Dr. U. BAUMANN, Dresden
Fuzzy-Logik (5.9)
Prof. Dr. GRAUEL, Soest
Nichtlin. part. Differentialgleichungen, Solitonen (9.2.4) Prof. Dr. ZIESCHE, Dresden
Integralgleichungen (11)
Dipl.-Math. I. STEINERT, Düsseldorf
Funktionalanalysis (12)
Prof. Dr. M. WEBER, Dresden
Elliptische Funktionen (14.6)
Dr. N. M. FLEISCHER, Moskau
Dynamische Systeme und Chaos (17)
Doz. Dr. V. REITMANN, Dresden
Optimierung (18)
Dipl.-Math. I. STEINERT, Düsseldorf
Computeralgebrasysteme (19.8.4, 20.)
Prof. Dr. G. FLACH, Dresden
Danksagung
Die Erarbeitung der CD-ROM erforderte umfangreiche technische Vorbereitungen und die Umsetzung der LATEX-Vorlage in
die HTML-Spache. Wir danken in diesem Zusammenhang besonders den Herren Prof. Dr. A. ANDREEFF, Dresden, Dipl.Phys. K. Horn sowie dem VERLAG HARRI DEUTSCH für die ausgezeichnete Zusammenarbeit.
Dresden, im März 1998
"Real Informationsdesign" ist eine Gruppe von vier
Produktgestaltern, die mit einem festen Stamm freier
Mitarbeiter seit 1994 interaktive Produkte konzipiert, gestaltet
und produziert. Neben CD-ROMs und Benutzungsoberflächen
softwaregesteuerter Geräte (Interface-Design) entstehen in der
Fabriketage von Real auch Konzepte für Präsentationen im
Internet. Die vier Designer legen Wert auf eine Gestaltung,
die sparsam und den Inhalten angemessen ist. Die Vorteile der
neuen Technologien lassen sich durch gezielten Einsatz
sinnvoller und witziger Interaktionen nutzen, nicht aber durch
möglichst viele aufwendige Effekte.
Neben hades arbeitet Real Informationsdesign u.a. für Bosch,
Blaupunkt, den Rat für Formgebung/German Design Council,
Ogilvy & Mather, das Design Zentrum Hessen, den
Hessischen Rundfunk und den Rowohlt-Systhema-Verlag.
Kunden
Blaupunkt, Hildesheim
Buchhändlervereinigung, Frankfurt
Bosch, Hildesheim
Dacon, Bad Vilbel
Design Zentrum Hessen, Darmstadt
Frankfurter Buchmesse
Hessisches Ministerium für Wissenschaft und Kunst
Hessischer Rundfunk, Frankfurt
Hessische Gesellschaft für Demokratie und Ökologie
Kittelberger, Reutlingen
Mediaplex, Kronberg
ms+, Werbeagentur Frankfurt
Rat für Formgebung, Frankfurt
Rowohlt-Systhema-Verlag, München
Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main
Anmerkungen zum Copyright
© 1998 by Verlag Harri Deutsch AG Thun.
Dieses Produkt ist in seiner Gesamtstruktur und in seinen Teilen (Texte, Tabellen, Bilder, Movies, Programme) urheberrechtlich
geschützt.
Alle Rechte vorbehalten. All copyrights reserved.
Der Erwerb dieses Produktes berechtigt nicht zum kommerziellen Verleih.
Vervielfältigung, Vermietung, Aufführung, Änderung sind nur mit ausdrücklicher und schriftlicher Genehmigung des Verlags
erlaubt.
Der Verlag gestattet allen Nutzern, die diese CD-ROM käuflich erworben haben, das enthaltene Material zu Lehr-, Ausbildungsund Vortragszwecken zu nutzen.
Nicht gestattet ist es dagegen, die Inhalte in ein Netz - welcher Art auch immer - einzuspeisen, es also mehreren Nutzern an
verschiedenen Rechnern zur gleichen Zeit zur Verfügung zu stellen.
Im Material enthaltene Copyright-Informationen dürfen nicht verändert oder weggelassen werden.
Der Inhalt dieses Produkts wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Herausgeber und Verlag für die Richtigkeit von
Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für inhaltliche Fehler keine Haftung.
Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
(7.38)
(7.39)
(7.40)
(7.41)
(7.42)
(7.43)
(7.44)
(7.45)
(7.46)
(7.47)
(7.48)
(7.49)
(7.50)
(7.51)
(7.52)
(7.53)
(7.54)
(7.55)
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
Mit
sind die EULERschen Zahlen, mit
die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.
Differentialgleichungen
●
●
Differentialgleichungen, allgemein
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
9.29
DODD, R.K., EILBECK, J.C., GIBBON, J.D., MORRIS, H.C.: Solitons and Nonlinear Wave Equations. -- Academic
Press 1982.
9.30
DRAZIN, P.G., JOHNSON, R.: Solitons. An Introduction. -- Cambridge University Press 1989.
9.31
GU CHAOHAO (Ed.): Soliton Theory and Its Applications. -- Springer-Verlag 1995
9.32
LAMB, G.L.: Elements of Soliton Theory. -- Wiley 1980.
9.33
MAKHANKOV, V.G.: Soliton Phenomenology (übers. aus dem Russ.). -- Verlag Kluwer 1991.
9.34
REMOISSENET, S.: Waves Called Solitons. Concepts and Experiments. -- Springer-Verlag 1994.
9.35
TODA, M.: Nonlinear Waves and Solitons. -- Verlag Kluwer 1989.
9.36
VVEDENSKY, D.: Partical Differential Equations with Mathematica. -- Addison-Wesley 1993.
Häufig gebrauchte Konstanten
3, 141592654
0, 017453293
0, 000290888
0, 000004848
1 rad=1
57, 29577951
0, 01
0, 001
2, 718281828
0, 434294482
2, 302585093
0, 577215665
EULERsche Konstante
Variationsrechnung
●
●
●
●
●
●
Aufgabenstellung
Historische Aufgaben
❍ Isoperimetrisches Problem
❍ Brachistochronenproblem
Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen
❍ Einfache Variationsaufgabe und Extremale
❍ Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
❍ Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
❍ Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
❍ Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen
❍ Variationsaufgaben in Parameterdarstellung
Variationsaufgaben mit Funktionen mehrerer Veränderlicher
❍ Einfache Variationsaufgabe
❍ Allgemeinere Variationsaufgaben
Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Ergänzungen
❍
❍
Erste und zweite Variation
Anwendungen in der Physik
Algebra und Diskrete Mathematik, allgemein
5.1
AIGNER, M.: Diskrete Mathematik. -- Verlag Vieweg 1993.
5.2
BELKNER, H.: Determinanten und Matrizen. -- Verlag H. Deutsch 1988.
5.3
BURRIS, S.; SANKAPPANAVAR, H. P.: A Course in Universal Algebra. -- Springer-Verlag 1981.
5.4
DÖRFLER, W.; PESCHEK, W.: Einführung in die Mathematik für Informatiker. -- C. Hanser Verlag 1988.
5.5
EHRIG, H.; MAHR, B.: Fundamentals of Algebraic Specification 1. -- Springer-Verlag 1985.
5.6
METZ, J.; MERBETH, G.: Schaltalgebra. -- Verlag Verlag H. Deutsch 1970.
5.7
WECHLER, W.: Universal Algebra for Computer Scientists. -- Springer-Verlag 1992.
5.8
WINTER, R.: Grundlagen der formalen Logik. -- Verlag H. Deutsch 1996.
Symmetrie 3. Art
Wenn für
gilt (s. Abbildung), dann ergeben sich die Koeffizienten zu
(7.103a)
(7.103b)
Symmetrie 1. Art
Wenn
eine gerade Funktion ist, d.h. wenn
(s. Abbildung), dann gilt für die Koeffizienten
(7.101)
Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik
Wenn
ein Kraftfeld darstellt, d.h.
wenn ein Massenpunkt
längs des Weges
, dann ist (13.96a) die Arbeit, die die Kraft
bewegt wird (s. Abbildungen und auch (8.130)).
verrichtet,
Funktionen und ihre Darstellung
2.1
ASSER, G.: Einführung in die mathematische Logik, Teil I bis III. -- Verlag H. Deutsch 1976-1983.
2.2
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1. -- VDI-Verlag 1995.
2.3
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1964;
Verlag H. Deutsch 1989-1992, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
2.4
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch 1993.
2.5
GÖRKE, L.: Mengen - Relationen - Funktionen. -- Verlag H. Deutsch 1974.
2.6
HASSE, M.: Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik. -- Verlag H. Deutsch 1970.
2.7
Handbook of Mathematical, Scientific and Engineering. Formulas, Tables, Functions, Graphs, Transforms. -Research and Aducation Association 1961.
2.8
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
2.9
SIEBER, N.; SEBASTIAN, H.J.; ZEIDLER, G.: Grundlagen der Mathmatik, Abbildungen, Funktionen, Folgen. -BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 1), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 1), 1978.
2.10
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. 1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
2.11
STÖCKER, H. (HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch 1995.
Poisson-Verteilung, Teil I
Wertetabelle der POISSON-Verteilung:
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0
0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812
1
0,090484 0,163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,329287
2
0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,075816 0,098786
3
0,000151 0,001091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757
4
0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964
5
0,000002 0,000015 0,000057 0,000158 0,000356
6
0,000001 0,000004 0,000013 0,000035
7
0,000001 0,000003
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
3,0
0
0,496585 0,449329 0,406570 0,367879 0,135335 0,049787
1
0,347610 0,359463 0,365913 0,367879 0,270671 0,149361
2
0,121663 0,143785 0,164661 0,183940 0,270671 0,224042
3
0,028388 0,038343 0,049398 0,061313 0,180447 0,224042
4
0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031
5
0,000696 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819
6
0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409
7
0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003437 0,021604
8
0,000001 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008102
9
0,000001 0,000191 0,002701
10
0,000038 0,000810
11
0,000007 0,000221
12
0,000001 0,000055
13
0,000013
14
0,000003
15
0,000001
Typ
(2.245a)
Typische Kurvenverläufe für unterschiedliche Varianten des Exponenten
Abbildung.
von dieser Gleichung zeigt die folgende
Kurven mit teilweise ähnlichem Verlauf liefern die folgenden Funktionen:
●
Parabel
-ter Ordnung mit der Gleichung
●
Umgekehrte Proportionalität mit der Gleichung
●
Reziproke Potenz mit der Gleichung
(2.45),
(2.46),
(2.51),
●
Potenzfunktion mit der Gleichung
(2.54),
Rektifiziert wird durch Logarithmieren gemäß
(2.245b)
Typ
(2.246a)
Hier handelt es sich um die gleichen Kurven wie für
Richtung um
verschoben.
(2.245a) des vorigen Abschnittes, aber in
-
Wenn
gegeben ist, dann wird rektifiziert gemäß
(2.246b)
Ist
unbekannt, dann wird zunächst
bestimmt und danach gemäß
(2.246c)
rektifiziert. Zur Bestimmung von
werden drei Punkte mit den Abszissen- und Ordinatenwerten
beliebig,
und
sind, kann
gewählt, so daß
korrigiert und als Mittelwert der Größen
gilt. Nachdem
gewählt werden.
bestimmt worden
Keine Drehachse
a)
Existiert überhaupt kein Symmetrieelement, so ist
d.h., außer der Identität
läßt das Molekül
keine Symmetrieoperationen zu.
Beispiel
Das Molekül Halbacetal ist nicht eben und besitzt vier verschiedene Atomgruppen.
b)
Ist
eine Spiegelung bzw.
eine Inversion, so ist
bzw.
und
damit jeweils isomorph zu
Beispiel
Das Molekül der Traubensäure kann im Mittelpunkt
gespiegelt werden (Inversion).
Räumliche Darstellung
Es erfordert viel Routine, um alle Symmetrieelemente eines Objektes zu erkennen. In der Literatur, z.B. in 5.15, 5.16,
5.17, ist ausführlich beschrieben, wie man die Symmetriegruppen von Molekülen erhält, wenn alle
Symmetrieelemente bekannt sind. Zur räumlichen Darstellung der Moleküle kann die aus der folgenden Abbildung
ersichtliche Symbolik verwendet werden:
Das Zeichen oberhalb C bedeutet, daß sich hier die OH-Gruppe über der Zeichenebene befindet, das Zeichen rechts
neben C, daß sich die
-Gruppe unter ihr befindet.
Die Bestimmung der Symmetriegruppe kann in Abhängigkeit davon erfolgen, ob es keine Drehachse gibt, genau eine
oder mehrere (s. die nächsten drei Abschnitte).
1. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell und einfach
(8.13a)
a) Form der Zerlegung:
(8.13b)
mit
(8.13c)
b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Zahlen
können auch mit Hilfe der Methode der
unbestimmten Koeffizienten berechnet werden.
c) Integration gemäß
(8.13d)
Beispiel
,
;
.
2. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell, einige von ihnen sind mehrfach
(8.14a)
a) Form der Zerlegung:
(8.14b)
b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Konstanten
werden mit Hilfe
der Methode der unbestimmten Koeffizienten berechnet.
c) Integration gemäß
(8.14c)
Beispiel
.
Die Berechnung der Konstanten mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten ergibt:
. Die Integration erfolgt gemäß
.
3. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind einfach komplex
(8.15a)
mit
(8.15b)
a) Form der Zerlegung:
(8.15c)
b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Konstanten werden mit Hilfe der Methode der
unbestimmten Koeffizienten berechnet.
c) Integration des Ausdrucks
gemäß
(8.15d)
Beispiel
. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten
liefert
.
, wobei in
diesem Falle das Glied mit der Funktion arctan fehlt.
Integration weiterer transzendenter Funktionen
Hinweis: Die Tabelle Unbestimmte Integrale enthälte eine große Anzahl von Integralen transzendenter Funktionen.
●
●
●
Integrale mit Exponentialfunktionen
Integrale mit Hyperbelfunktionen
Anwendung der partiellen Integration
Integrand der Form
und
1. Integrand der Form
(8.27)
2. Integrand der Form
(8.28)
Integrand der Form
und
1. Integrand der Form
:
(8.29a)
a) Fall
, ungerade:
(8.29b)
b) Fall
, gerade:
(8.29c)
Die Potenz wird auf diese Weise halbiert. Nach Auflösen der Klammer für
wird gliedweise integriert.
2. Integrand der Form
:
(8.30a)
a) Fall
, ungerade:
(8.30b)
b) Fall
, gerade:
(8.30c)
Die Potenz wird auf diese Weise halbiert. Nach Auflösen der Klammer wird gliedweise integriert.
Integrand der Form
:
(8.32a)
Durch Wiederholung dieses Verfahrens der Potenzerniedrigung ergibt sich für gerades
schließlich das Integral
bzw. ungerades
(8.32b)
Integrand der Form
:
(8.33)
Die Lösung erfolgt durch Integration wie im Falle
.
Integrale mit Exponentialfunktionen
Integrale mit Exponentialfunktionen können in Integrale mit rationalen Funktionen im Integranden überführt werden,
wenn sie in der Form
(8.34a)
gegeben sind, wobei
rationale Zahlen sind. Dazu sind zwei Substitutionen erforderlich:
1. Substitution von
führt auf ein Integral
(8.34b)
2. Substitution von
, wobei
das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Brüche
ist, führt auf ein Integral mit einer rationalen Funktion.
Differentialrechnung
6.1
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
6.2
COURANT, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1971-72.
6.3
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
6.4
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
6.5
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 u. 3. -- Verlag H. Deutsch 1993-1994.
6.6
HARBARTH, K.; RIEDRICH, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig (MINÖL, Bd. 4), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 4) 1978.
6.7
JOOS, G.E.; RICHTER, E.: Höhere Mathematik. Ein kompaktes Lehrbuch für Studium und Beruf. -- Verlag H.
Deutsch 1994.
6.8
KNOPP, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. -- Springer-Verlag 1964.
6.9
KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig, (MINÖL, Bd. 5), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 5), 1980.
6.10
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 2 u. 3. -- S. Hirzel Verlag 1978-81.
6.11
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
6.12
PFORR, E.A.; SCHIROTZEK, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen. -- BSB B.
G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 2), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 2) 1978.
6.13
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
6.14
STÖCKER, H. (HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1995.
6.15
TRIEBEL, H.: Höhere Analysis. -- Verlag Harri Deutsch 1980.
6.16
ZACHMANN, H.G.: Mathematik für Chemiker. -- VCH, Weinheim 1990.
Typ
(2.247a)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.
Wegen der Diskussion der Exponentialfunktion s. Gleichung (2.55).
Rektifiziert wird durch Logarithmieren gemäß
(2.247b)
Typ
(2.248a)
Hier handelt es sich um die gleichen Kurven wie für die Exponentialfunktion
vorangegangenen Abschnitts, aber in
-Richtung um
verschoben.
(2.247a) des
Es wird
bestimmt und durch Logarithmieren rektifiziert gemäß
(2.248b)
Zur Bestimmung von
und
werden drei Punkte mit den Abszissen- und Ordinatenwerten
gewählt, so daß
beliebig,
gilt. Nach der Bestimmung von
kann
nachträglich als Mittelwert der Größen
erneut bestimmt werden.