Автор: Semendjajew K.A.   Bronstein I.N.   Musiol G.   Muhlig H.  

Теги: mathematik  

ISBN: 3-8171-1553-9

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Текст 
                    
Hauptinhaltsverzeichnis
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10.
11.
12.
13.

Vorwort
Detaillierte Inhaltsverzeichnisse
Arithmetik
Funktionen und ihre Darstellung
Geometrie
Lineare Algebra
Algebra und diskrete Mathematik
Differentialrechnung
Unendliche Reihen
Integralrechnung
Differentialgleichungen
Variationsrechnung
Lineare Integralgleichungen
Funktionalanalysis
Vektoranalysis und Feldtheorie


14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
●
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●

Funktionentheorie
Integraltransformationen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Dynamische Systeme und Chaos
Optimierung
Numerische Mathematik
Computeralgebrasysteme
Tabellen
Literatur
Mathematische Zeichen


Themenübersicht
Arithmetik und Algebra
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Funktionen und ihre Darstellung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Geometrie
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Lineare Algebra
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Algebra und diskrete Mathematik
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Differentialrechnung


Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Unendliche Reihen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Integralrechnung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Differentialgleichungen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Variationsrechnung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Lineare Integralgleichungen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Funktionalanalysis
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Vektoranalysis und Feldtheorie
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Funktionentheorie
Detailliertes Inhaltsverzeichnis


Integraltransformationen
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Dynamische Systeme und Chaos
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Optimierung
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Numerische Mathematik
Detailliertes Inhaltsverzeichnis

Computeralgebrasysteme
Detailliertes Inhaltsverzeichnis


Stichwortverzeichnis
A B C
D E F G H I

J K L M

Q R S T U V W
X Y

Z

N O P


DeskTop Indexseiten: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Abbildung
Bäcker
bijektive
Mengen
Vektorräume
chaotische
eineindeutige
Mengen
geliftete
HÉNON
Hufeisen
injektive
Mengen
Vektorräume
Kern
komplexe Zahlenebene
beliebige
konforme
konforme


Differentialtransformation, affine
Exponentialfunktion
gebrochenlineare Funktion
Inversion
isometrisches Netz
Kreisverwandtschaft
lineare Funktion
lineare plus gebrochenlineare Funktion
Logarithmusfunktion
quadratische Funktion
Quadratwurzel
SCHWARZ-CHRISTOFFELsche
kontrahierende
lineare
Vektorräume I
Vektorräume II
logistische
Modulo
POINCARÉ
reguläre
Rotations
Shift
surjektive
Mengen
Vektorräume


topologisch konjugierte
Umkehrabbildung
Mengen
Zelt-Abbildung
zwischen Gruppen
Abbrechpunkt
ABEL
Satz
ABELsche Integralgleichung
Basissatz
Definition
direktes Produkt
Gruppentafel
Untergruppen
Abgeschlossenheitsrelation
Abhängigkeit
lineare
Gleichungen
Vektorräume
sensitive, dynamisches System
Ableitung
algebraische Summe
äußere
Bruch
Distribution
FRÉCHET-Ableitung


Funktion
elementare
Funktion in Parameterdarstellung
gemischte
höherer Ordnung
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
höherer Ordnung
inverse Funktion
Parameterdarstellung
implizite Funktion
innere
inverse Funktion
konstanter Faktor
linksseitige
logarithmische
mittelbare Funktion
n-te Ableitung
partielle
Produkt
räumliche
rechtsseitige
Richtungsableitung
Vektorfunktion
verallgemeinerte
Volumenableitung


Abschlag
Abschließung, Menge, metrischer Raum
Abschluß, transitiver
Abschreibung
arithmetisch-degressive
digitale
geometrisch-degressive
lineare
Abschreibungsgefälle
Absolutbetrag, Vektor
Absolutglieder
Absorptionsgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengen
Abstand
Ebenen
parallele
Gerade
HAMMING
kürzester
Geraden
metrischer Raum
Punkt-Ebene, Raum
Punkt-Gerade, Raum
sphärischer


Definition
Messung
zwei Punkte
Gerade
Raum
Abstieg
Abszisse, kartesische Koordinaten
Ebene
Raum
Abszissenachse
Abweichung
signifikante
Abwickelkurve
abzählbar unendlich
Adäquatheitstest
Addition
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Tensoren I
Tensoren II
Additionstheoreme
Areafunktionen
Hyperbelfunktionen
inverse trigonometrische Funktionen


trigonometrische Funktionen I
trigonometrische Funktionen II
Additivität, sigmaAdjazenz
Adjazenzmatrix
Adjunkte
Admittanzmatrix
Ähnlichkeit, ebene Figuren
Ähnlichkeitstransformation
Äquivalenz
Beweisführung
BOOLEsche Funktion
Wahrheitsfunktion
Äquivalenzklasse
Äquivalenzrelation
Algebra
BOOLEsche
endliche
Ordnung
Faktoralgebra
freie
kommutative
lineare
normierte
Omega-Algebra


Omega-Unteralgebra
Schaltalgebra
sigma-Algebra
Termalgebra
universelle
Algorithmus
AITKEN-NEVILLE
DANTZIG
EUKLIDischer
allgemein
Kettenbruch
Polynome
Satz zum
FORD und FULKERSON
GAUSSscher
Eliminationsverfahren I
Eliminationsverfahren II
Graphentheorie
KRUSKALMaximalstrom
QR-Algorithmus
RAYLEIGH-RITZ
REMES
Allquantor
alpha-Grenzmenge
Begriff


Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
alpha-Schnitt
Alternantenpunkt
Alternantensatz
Altgradeinteilung
Amplitude
Sinuskurve
Amplitudenfunktion
Amplitudenspektrum
FOURIER-Transformation
Analyse
Multi-Skalen-Analyse
Analyse, harmonische
FOURIER-Koeffizienten
FOURIER-Summe
Gegenstand
Anfangsphase
Sinuskurve
Ankathete
Annuität
Annuitätentilgung
Annulator
ANOSOV-Diffeomorphismus
Ansatzverfahren
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen


numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Antikink-Soliton
Antisoliton
APOLLONIUS, Satz
Applikate
Approximation
Begriff
Bestapproximation, FOURIER-Reihe
delta-Funktion
gleichmäßige
im Mittel
diskrete Aufgabe
Einordnung
Fehlerquadratmethode
Methode der kleinsten Quadrate
stetige Aufgabe
sukzessive
BANACH-Raum
Differentialgleichung 1. Ordnung
FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
TSCHEBYSCHEFF-Approximation
diskrete
stetige
Approximationsproblem
Arbeit
allgemein


speziell
ARCHIMEDIsche Spirale
Areafunktion
Areakosinus
Areakotangens
Areasinus
Areatangens
Argument, Funktion
einer Veränderlichen
mehrerer Veränderlicher
ARNOLD-Zunge
Artikelnummer, europäische
ASCII
Assoziativgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Matrizen
Mengen
Tensoren
Vektoren
Vektormultiplikation
Astroide
Asymptote
Definition
Hyperbel


Kurve
Attraktor
chaotischer
FEIGENBAUM
fraktaler
HÉNON
chaotischer
SBR-Maß
hyperbolischer
LORENZ
seltsamer
Solenoid
chaotisches
Auflösung, Torus
Aufschlag
Aufzinsungsfaktor
Ausdruck
algebraischer
Manipulation
allgemeingültiger
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
analytischer
Definitionsbereich
explizite Darstellung
implizite Darstellung


Parameterdarstellung
Aussagenlogik
BOOLEscher
finiter
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
ganzrationaler
allgemein
Polynom
gebrochenrationaler
allgemein
Polynom
Interpretation
irrationaler
algebraischer
allgemein
nichtalgebraischer
Manipulation
Prädikatenkalkül
Prädikatenlogik
transzendenter, allgemein
vektoranalytischer, Komponenten
wertverlaufsgleicher
Ausgangsgrad
Ausgleichsaufgabe
lineare


mehrdimensionale
nichtlineare
GAUSS-NEWTON-Verfahren
Hinweis
verschiedene Bezeichnungen
Ausgleichsrechnung
Approximation im Mittel
Begriff
diskrete Aufgabe
mehrdimensionale Aufgabe
stetige Aufgabe
Ausgleichssplines
bikubische
kubische
Ausklammern
Auslöschung führender Nullen
Aussage
Algebra
duale
Aussagenlogik
Ausdruck
Grundgesetze
Aussagenvariable
Aussagenverbindung
extensionale


Austauschschema
Austauschschritt
Austauschverfahren
Anwendung
Begriff
Matchings
Autokorrelationsfunktion
Axialfeld
Axiome
abgeschlossene Menge
des Skalarproduktes
einer Algebra
geordneter Vektorraum
Halbnorm
metrischer Raum
normierter Raum
offene Menge, metrischer Raum
Vektorraum
Azimut
Azimutalgleichung


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Bahn, elementare
BAIREsche Kategorie
BAIRSTOW-Verfahren
BANACH
Raum
Verband
Bandstruktur
Basis
algebraische
Existenz
FOURIER-Reihe
kontravariante
kovariante
Logarithmus
Potenz
Vektorraum
Basissatz
Basisvektor
kontravarianter


kovarianter
Baum
binärer
Höhe
regulärer binärer
Wurzel
BAYES, Satz
B-B-Darstellung
Fläche
Bedingung
CARATHEODORY
DIRICHLETsche
KUHN-TUCKER
Beweis
globale
lokale
Beispiele
Wahrscheinlichkeiten
Belegung
Beobachtungswert
BERGEscher Satz
BERNOULLI-Shift
BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
BERNOULLIsche Zahlen
BERNSTEINsche Grundpolynome
Besetztheit, schwache


Besetzungszahl
BESSELsche
Differentialgleichung
Ungleichung
BESSEL-Funktion
0. Ordnung, LAPLACE-Transformation
1. Gattung
2. Gattung
imaginäre Variable
modifizierte
Tabelle
Bestapproximation, FOURIER-Reihe
Betafunktion
Beweis
direkter
durch Widerspruch
indirekter
Implikation
Prinzip
konstruktiver
Schluß von n auf n+1
vollständige Induktion
Bibliothek
Aachener-Bibliothek
IMSL-Bibliothek
NAG-Bibliothek


numerische Verfahren
SSL II-Bibliothek
Bidual
Bifurkation
Begriff
BOGDANOV-TAKENS-Bifurkation
Flip-Bifurkation
Gabel-Bifurkation
Periodenverdopplung
superkritische
globale
Begriff
homokline
Szenarien
HOPF-Bifurkation
superkritische
verallgemeinerte
zusammengesetzter Strudel
Kodimension
lokale
Begriff
nahe periodischer Orbit
Sattelknoten-Bifurkation
Spitzen-Bifurkation
transkritische
Bifurkationswert


Bild, Untervektorraum
Binomialkoeffizient
Binomialverteilung
Binormale, Raumkurve
Begriff
Gleichungen I
Gleichungen II
Bisektionsverfahren
Bit
Bitumkehr
Bogen, Graph
Kette
Länge
Bogendifferential
ebene Kurve
räumliche Kurve
Bogenelement
Definition
Kurve
ebene
räumliche
Bogenfolge
Bogenlänge
ebene Kurve, bestimmtes Integral
Ellipse, elliptisches Integral
Hyperbel


Kreissegment
Kurvenintegral 1. Art
räumliche Kurve
bestimmtes Integral
gekrümmte Fläche
Kurvenintegral 1. Art
Bogenmaß
Bogenschnitt
BOLZANO-WEIERSTRASS-Eigenschaft
BOOLEsche
Algebra
Analogie
Begriff
endliche
Ordnung
Ausdrücke
Funktion
Begriff
Wahrheitsfunktion
Variable
BOUSSINESC-Gleichung
Brachistochronenproblem
BREIT-WIGNER-Kurve
Bildfunktion
Breite, geographische
GAUSSsche Koordinaten


geographische Koordinaten
Brennpunkt
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Brennpunktseigenschaften
Ellipse
Hyperbel
Briefträgerproblem, chinesisches
Bruch
echter
unechter
BURGERS-Gleichung
Byte

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DeskTop-Hilfen
Hier finden Sie eine Übersicht über die verfügbaren Hilfen mit nützlichen Tips zum Umgang mit DeskTop
Bronstein. Hilfen gibt es zu den folgenden Themen:
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Erste Hilfe
Grundeinstellungen des Browsers
Navigationssymbole und Icons
Hauptinhaltsverzeichnis
Übersichtsseiten
Index
Unterstützung von JavaScript
Lizensierte Software


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CANTOR
Funktion
Menge
Definition
HAUSDORFF-Dimension
Selbstähnlichkeit
CARATHEODORY-Bedingung
CARDANOsche Formel
CARSON-Transformation
Übersicht
CASSINIsche Kurve
CAUCHY
Anwendungen
Folge
Funktion außerhalb Gebiet
Funktion innerhalb Gebiet
Integral
Prinzip
Gradientenverfahren


vollständiger metrischer Raum
CAUCHYscher Hauptwert
singuläre Integralgleichung I
uneigentliches Integral
CAUCHYsches Problem
CAYLEY, Satz
Gerüste
Gruppen
Chaos
eindimensionale Abbildungen
über Intermittenz
Übergänge zum Chaos
vom Torus zum Chaos
Wege zum Chaos
Chiffrierung
Chinesischer Restsatz
CHOLESKY
Verfahren
Quadratmittelproblem, Hinweis
symmetrische Koeffizientenmatrix
Zerlegung
CLAIRAUTsche Differentialgleichung
gewöhnliche 1. Ordnung
partielle 1. Ordnung
Code
ASCII


Public-Key
RSA
Computeralgebrasysteme
Anwendungen
Differential- und Integralrechnung
Elemente der linearen Algebra
Funktionen
Gleichungen und Gleichungssysteme
Graphik
Hauptstrukturelemente
Infix-Form
Listen
Manipulation algebraische Ausdrücke
Mengen
Objekte
Operatoren
Präfix-Form
Programmierung
Suffix-Schreibweise
Terme
Typen
Variable
Zahlen
Zielstellungen
Computernutzung


COULOMB-Feld (Punktladungen)
Vektorfeld
wirbelfreies
CRAMERsche Regel

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D'ALEMBERTsche Formel

Dämpfung, Schwingungen
Dämpfungsparameter
Darstellungssatz
Datentyp
Dechiffrierung
Defekt
Ansatzverfahren
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Vektorraum
definit
positiv
Definitionsbereich
Funktion
eine unabhängige Variable
mehrere unabhängige Variable
Operator
Defuzzifizierung


Dekrement, logarithmisches
DELAMBREsche Gleichungen
delta-Funktion
Anwendungen
Approximationen
Definition
DIRACsche
LAPLACE-Transformation
nichtreguläre Distribution
Deltatensor
DE MORGANsche Regel
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengenalgebra
Derive
DESCARTESsche Regel
Determinante
Begriff
Berechnung
Differentiation
JACOBIsche
Multiplikation
Nullwerden
Rechenregeln
Spiegelung
WRONSKI


Fundamentalsystem von Lösungen
lineare Differentialgleichung
Deviationsmoment
Dezimalbruch
endlicher
unendlicher
Dezimal-Zahlensystem
Diagonalmatrix
Diagonalstrategie
Diagonalverfahren, MAXWELLsches
Dichtemittel, Meßwerterfassung
Diedergruppe
Diffeomorphismus
ANOSOV
Begriff
orientierungstreuer
Einheitskreisabbildung
Kreisabbildung
Differential
2. Ordnung, Funktion mehrerer Veränderl.
Begriff
Bogen
Haupteigenschaften
höherer Ordnung, Funkt. mehr. Veränderl.
Integrabilität
partielles


totales
vollständiges
2. Ordnung
Begriff
Fehlerrechnung
n-ter Ordnung
Differentialausdruck
Variablensubstitution
Differentialgleichung
1. Ordnung
allgemeine Lösung
allgemeines Integral
auf dem Torus
geliftete Abbildung
Stabilität
autonome
autonome lineare
BERNOULLIsche
BESSELsche
charakteristisches System
CLAIRAUTsche
gewöhnliche 1. Ordnung
partielle 1. Ordnung
definierende Gleichung
Eigenfunktion, Randwertproblem
Eigenwert, Randwertproblem


elliptischer Typ
Entwicklung nach Eigenfunktionen
EULERsche
Variationsrechnung
WEIERSTRASSsche Form
exakte
Existenzsatz
Fluß
FOURIER-Transformation
Fundamentalsystem
gewöhnliche
genäherte Integration
graphische Integration
höherer Ordnung
erstes Integral
Existenz einer Lösung
HAMILTONsche
generische Eigenschaften
Volumenerhaltung
HELMHOLTZsche
HERMITEsche
Definitionsgleichung 1
Definitionsgleichung 2
homogene
hyperbolischer Typ


hypergeometrische
implizite
Begriff
Lösung
Integral
Integralfläche
Integralkurven
Integration durch Reihenentwicklung
integrierender Faktor
konstante Koeffizienten
LAGRANGEsche
LAGUERREsche
LAPLACE-Transformation
konstante Koeffizienten
veränderliche Koeffizienten
LAPLACEsche
Feldtheorie
LEGENDREsche
lineare
1. Ordnung
2. Ordnung
Hauptsatz
homogene
inhomogene
mit periodischen Koeffizienten
n-ter Ordnung


lineare partielle, 1. Ordnung
Integration der homogenen Gleichung
Integration der inhomogenen Gleichung
lineare partielle, 2. Ordnung
allgemeine Form I
allgemeine Form II
elliptischer Typ
hyperbolischer Typ
Integrationsmethoden
Klassifikation I
Klassifikation II
mit konstanten Koeffizienten
parabolischer Typ
ultrahyperbolischer Typ
zwei unabhängige Veränderliche I
zwei unabhängige Veränderliche II
lineare, n-ter Ordnung
Erniedrigung der Ordnung I
Erniedrigung der Ordnung II
Lösung
Matrix-Differentialgleichung
Methode
schrittweise Näherung, PICARD
sukzessive Approximation
mit konstanten Koeffizienten
homogene


inhomogene
nichtlineare partielle, 1. Ordnung
vollständiges Integral
Normalform
numerische Integration
Operatorenschreibweise
Orthogonalitätsrelation
parabolischer Typ
partielle
1. Ordnung
1. Ordnung, linare
1. Ordnung, quasilineare
1. Ordnung, zwei unabhängige Veränderliche
FOURIER-Transformation
genäherte Integration
LAPLACE-Transformation
nichtlineare
partikuläre Lösung
POISSONsche
Feldtheorie
Randwertproblem
reduzierte
RICCATIsche
Richtungsfeld
SCHRÖDINGER-Gleichung


Eigenfunktion
Eigenwert
selbstadjungierte
steife
Symmetriebrechung
topologisch äquivalent
VAN-DER-POLsche
Variation der Konstanten
vollständig integrierbare
WEBERsche
Differentialgleichungen
CAUCHY-RIEMANNsche
Charakteristik des Systems
charakteristische Streifen
Feldtheorie
kanonisches System
lineare, n-ter Ordnung
Quadratur
Superpositionssatz
nichtlineare partielle, 1. Ordnung
kanonische Systeme
Normalform
Normalsystem
partielle
Anfangs- und Randbedingungen
inhomogene


inhomogene Bedingungen
Monte-Carlo-Methode
Problemstellungen
Randbedingungen
Systeme
Systeme linearer
konstante Koeffizienten
Systeme linearer, 1. Ordnung
homogene
inhomogene
Superpositionssatz
Systeme linearer, 2. Ordnung
Zerlegungssatz
Differentialoperationen
räumliche
Rechenregeln
Übersicht
Vektorkomponenten
Verknüpfungen
Differentialquotient
Differentialrechnung
Hauptsätze
Mittelwertsatz
gewöhnlicher
verallgemeinerter
Monotoniebedingungen


Differentiation
Faktorregel
Funktion einer Veränderlichen
Funktion in Parameterdarstellung
Funktion mehrerer Veränderlicher
implizite Funktionen
graphische
höherer Ordnung
inverse Funktion
Parameterdarstellung
implizite Funktion
inverse Funktion
Konstantenregel
logarithmische
mittelbare Funktionen
Produktregel
Quotientenregel
Summenregel
unter dem Integralzeichen
zusammengesetzte Funktion
Differentiationsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Funktion
einer Veränderlichen I
einer Veränderlichen II
mehrerer Veränderlicher


Tabelle
Vektoren
Differenz
Mengen
symmetrische
Differenzengleichung
2. Ordnung
Randwertaufgabe
2. Ordnung
Anfangswertaufgabe
lineare
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Randwerte
Z-Transformation
Differenzenquotient
Differenzenschema
arithmetische Reihe
Differenzenverfahren
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Differenzierbarkeit
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrer Veränderlicher
komplexe Funktion
Diffusionsgleichung


dreidimensionale I
dreidimensionale II
Diffusionskoeffizient
Dimension
auf invarianten Maßen
DOUADY-OESTERLÉ-Dimension
HAUSDORFF
Informationsdimension
Kapazitätsdimension
Korrelationsdimension
LYAPUNOV
metrische
obere punktweise
RÉNYI-Dimension
untere punktweise
Vektorräume I
Vektorräume II
verallgemeinerte
eines Maßes
Dimensionsformel, Vektorraum
DIRACsche Distribution
DIRACscher Satz
DIRICHLETsche Bedingung
DIRICHLETsches Problem
Beispiel


LAPLACEsche Differentialgleichung
POISSONsche Differentialgleichung
Variationsproblem
disjunkt
Disjunktion
Diskretisierungsfehler
globaler
lokaler
Diskretisierungsschrittweite
Diskriminante
Dispersion, Moment 2. Ordnung
Distanzmatrix
Distribution
Begriff
DIRACsche
Hinweis
nichtreguläre
reguläre
Distributionsableitung
Distributivgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Matrizen
Mengen
Ring, Körper


Tensoren
Vektormultiplikation
Divergenz
allgemeine Koordinaten
bestimmte
Definition
Reihe
unbestimmte
Vektorfeld
Vektorkomponenten
verschiedene Koordinaten
Volumenableitung
Zahlenfolge
Zentralfeld
Division
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Divisionsüberlauf
Dodekaeder
Tabelle I
Tabelle II
Doppelgerade
Doppelintegral
Anwendungen


Berechnung
kartesische Koodinaten
Polarkoodinaten
Definition
Existenzsatz
geometrische Bedeutung
Doppelpunkt, Kurve
Drehfehler
Drehspiegelung
Gruppen
Drehungsinvarianz
Begriff
Deltatensor
Drehungsmatrix
ebenes Koordinatensystem
orthogonale
räumliches Koordinatensystem
Drehungswinkel
Dreibein, begleitendes
Dreieck, ebenes
Bestimmungsgrößen
Eigenschaften
Flächeninhalt, analytische Geometrie
gleichschenkliges
gleichseitiges
Grundaufgaben


Höhe
Inkreis
Inkreisradius
Mittelinie
Mittelsenkrechte
Orthozentrum
rechtwinkliges
Bestimmungsstücke
Flächeninhalt
Trigonometrie
Sätze des EUKLID
schiefwinkliges
Flächeninhalt
Grundformeln
Strecken
Tangensformeln
Umkreisradius
Schwerpunkt
Seitenhalbierende
Begriff
Berechnung
Umkreis
vollständige Bestimmung
Winkelhalbierende
Winkelsumme


Dreieck, PASCALsches
Dreieck, sphärisches
Begriff
Berechnung
EULERsches
Grundaufgaben
rechtwinkliges
schiefwinkliges
Dreiecke, ebene
ähnliche
kongruente
Dreieckskoordinaten
Dreiecksmatrix
obere
untere
Dreiecksungleichung
für Normen
komplexe Zahlen
metrischer Raum
Normaxiome
reelle Zahlen
Vektoren
Dreieckszerlegung
Anwendungen
Einordnung
Prinzip


Dreifachintegral
Anwendungen
Berechnung
beliebige krummlinige Koordinaten
kartesische Koordinaten
Kugelkoordinaten
Zylinderkoordinaten
Definition
Existenzsatz
Dreikant
Dritter, ausgeschlossener
Druck
Schweredruck
Seitendruck
Dual
Dualisieren
Dualität
BOOLEschen Algebra
Optimierung
lineare
nichtlineare
Dualitätssatz, starker
Dualitätsprinzip
Dualraum
Dual-Zahlensystem


DUHAMELsche Formel
Durchmesser
Ellipse I
Ellipse II
Hyperbel
konjugierter
Ellipse
Hyperbel
Kreis
Parabel
Durchschnitt
Fuzzy-Mengen
Mengen
unscharfe Mengen


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Ebene
Raum
rektifizierende
Begriff
Bogenlänge
Gleichungen I
Gleichungen II
Stereometrie
Ebenen
Orthogonalitätsbedingung
parallele
Abstand
Parallelitätsbedingung
Ebenengleichung
Achsenabschnittsform
allgemeine, Raum
drei Punkte
HESSEsche Normalform
Punkt und parallele Geraden


Punkte und parallele Gerade
Punkte und senkrechte Gerade
Raum
Schnittline, von Ebenen
Vektorgleichung
Ecke
dreiseitige
konvexe
symmetrische
Eigenfunktion
FOURIER-Entwicklung
Integralgleichung
Normierung
Randwertproblem
SCHRÖDINGER-Gleichung
Eigenvektor
Begriff
Eigenwertproblem
Operator
Eigenwert
Integralgleichung
Operator
Randwertproblem
SCHRÖDINGER-Gleichung
Eigenwertproblem
allgemeines


spezielles
Eingangsgrad
Einheit, imaginäre
Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
Einheitsmatrix
Einheitsvektor
Einheitswurzel
Einhüllende
Einschrittverfahren
EINSTEINsche Summenkonvention
Einzahlung
einmalige
nachschüssige
regelmäßige
unterjährige
vorschüssige
Einzelschrittverfahren
lineare Gleichungssysteme
nichtlineare Gleichungssysteme
Einzielverfahren
Einzugsgebiet
Element
finites I
finites II
generisches


inverses
Menge
neutrales
positives, Vektorraum
singuläres
Elementardisjunktion
Elementarereignis
Elementarformel
Elementarkonjunktion
Elementbeziehung
Eliminationsprinzip, GAUSSsches
Eliminationsschritt, lineares Gleichungssystem
Ellipse
Bogenlänge, elliptisches Integral
Brennpunkt
Brennpunktseigenschaften
Durchmesser I
Durchmesser II
Eigenschaften
Flächeninhalt
Gleichung
Halbparameter
irrationale Funktion
konjugierter Durchmesser
Krümmungskreisradius


Leitlinie
Leitlinieneigenschaft
numerische Exzentrizität
Scheitel
Spezialfall der Hypozykloide
Tangente
Transformation
Umfang
elliptisches Integral
Ellipsoid
Fläche 2. Ordnung
imaginäres
Mittelpunktsfläche
Spezialfälle
Endomorphismus, Vektorraum
Endpunkt
Entartung
Entfernungsmatrix
Entropie
metrische
topologische
verallgemeinerte
Entwicklung
FOURIER-Reihe
LAURENT-Reihe
MACLAURINsche Reihe


TAYLOR-Reihe
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
zwei Veränderliche
Entwicklungskoeffizient
Entwicklungssatz
Fourier-Reihe
LAPLACEscher
Enveloppe
Epitrochoide
Epizykloide
verkürzte
verlängerte
Epsilontensor
Ereignis
Begriff
Elementarereignis
sicheres
unabhängiges
unmögliches
zufälliges
Ereignisart
Ereignismenge
Ereignissystem, vollständiges
Erfüllungsgrad
Erwartungswert


Definition
Synonyme
Erweiterungsprinzip
Erzeugende
geradlinige, Fläche
längs einer Leitkurve
Erzeugendensystem
EUKLIDischer
Algorithmus
allgemein
Kettenbruch
Polynome
Vektorraum
EUKLIDische Vektornorm I
EULER-HIERHOLZER-Satz
EULERsche
Differentialgleichung
Formel
FOURIER-Koeffizienten
Krümmung einer Fläche
Funktion
Konstante
Linie
Relation
komplexe Zahlen
Winkel


Zahlen
EULERscher Polyedersatz
EULERsches
1. Gattung
2. Gattung
Polygonzugverfahren
Evolute
einer gegebenen Kurve
Traktrix
Evolutionsfunktion
Evolutionsgleichung
Evolvente
des Kreises
oder Involute
Exponent
Exponentialfunktion
allgemeine
komplexe
reelle
natürliche
komplexe
komplexe, konforme Abbildung
reelle
Exponentialgleichung
Exponentialsumme
Exponentialverteilung


Extensionalitätsprinzip
Extrapolationsprinzip
Extremale
Krümmungsradius
Extremum, Integralausdruck
Extremwert, lokaler
Funktion einer Veränderlichen
Extremwert, relativer
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Extremwertbestimmung
Funktion einer Veränderlichen
allgemeine Regel
höhere Ableitung
Vorzeichenvergleich
Funktion mehrerer Veränderlicher
Nebenbedingungen
Funktion zweier Veränderlicher
globale Extremwerte
implizite Funktion
Exzeß, sphärischer
Exzentrizität, numerische
Ellipse
Hyperbel
Kurve 2. Ordnung
Parabel


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Faktor
Graphen
integrierender
Polynome
Faktoralgebra
Faktorgruppe
Faktormenge
Faktorregel
Faktorring
Fakultät
Definition
Verallgemeinerung
FALKsches Schema
Falte, Spitzenbifurkation
Faltung
FOURIER-Transformation
LAPLACE-Transformation
Z-Transformation
Familie, alpha-Schnitte


Fehler
Abbruchfehler
absoluter
Begriff
Computerrechnen
Maximalfehler
Angabe
definierter Fehler
Vertrauensgrenzen
arithmetisches Mittel
Diskretisierungsfehler I
Diskretisierungsfehler II
Eingangsfehler
Einzelmessung
Genauigkeitsmaß
mittlerer
arithmetisches Mittel
einfacher
Einzelmessung
mittlerer quadratischer
arithmetisches Mittel
Begriff
Einzelmessung
Funktion
prozentualer
relativer


Begriff
Computerrechnen
Maximalfehler
Resultatfehler
Rundungsfehler
scheinbarer, Einzelmessung
Schranke
Standardabweichung
arithmetisches Mittel
Begriff
Einzelmessung
Verfahrensfehler
wahrer
Einzelmessung
wahrscheinlicher
arithmetische Mittel
Begriff
Einzelmessung
Zusammenhang zwischen Fehlerarten
Fehlerabschätzung
Fehleranalyse
differentielle
Meßergebnisse
Fehlerarten, numerische Verfahren
Fehlerfortpflanzung
Begriff


TAYLOR-Entwicklung
Fehlerfortpflanzungsgesetz
GAUSSsches
Begriff
Streuungsnäherung
Fehlerfunktion erf(x)
Fehlergleichung
Fehlerintegral, GAUSSsches
Error-Funktion erf(x)
normierte Normalverteilung
Reihenentwicklung
Fehlernormalverteilung
Fehlerorthogonalität
Fehlerquadratmethode
Approximation im Mittel
Ausgleichsrechnung
GAUSSsche, Einordnung
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Parameterbestimmung
Regressionsgerade
Fehlerquadratsumme
diskrete Aufgabe
notwendige Bedingung
Quadratmittelproblem
Fehlerrechnung


direkte Messung
gleiche Genauigkeit
ungleiche Genauigkeit
vollständiges Differential
Fehlerverteilungsdichte
FEIGENBAUM
Attraktor
Konstante
Feld
Axialfeld
COULOMB-Feld (Punktladungen)
Vektorfeld
wirbelfreies
Fluß
Gravitationsfeld (Punktmassen)
konservatives
Kreisfeld
Kugelfeld
NEWTONsches (Punktmassen)
Vektorfeld
wirbelfreies
Potentialfeld
Quellenfeld
Skalarfeld
Superposition
zentralsymmetrisches


zylindersymmetrisches
Feldfunktion
Feldlinie
Feldtheorie
Differentialgleichungen
Grundbegriffe
FEM
Fernpunkt
Festpunktzahl
Darstellung
Einordnung
FFT (schnelle FOURIER-Transformation)
FIBONACCI-Zahlen
explizite Darstellung
Folge
Iterationsvorschrift
Finanzmathematik
FISHER-Verteilung
Tabelle der Fraktile
FISHER-Verteilung
Fixpunkt
konforme Abbildung
Inversion
lineare Funktion
stabiler
Fixpunktgleichung


Fixpunktsatz
BANACH
nichtlineare Operatoren
vollständig metrischer Raum
BROUWER
SCHAUDER
Fläche
2. Ordnung
allgemeine Theorie
Gestalt
Gleichung
Invariantenvorzeichen
Mittelpunktsflächen
abwickelbare
B-B-Darstellung
Darstellung mit Splines
Differentialgeometrie
Fundamentalform
1. quadratische
2. quadratische
GAUSSsche Krümmung
geodätische Linie
geradlinige Erzeugende
abwickelbare Flächen
Begriff
Gleichung


Hauptkrümmungskreisradius
Hauptnormalschnitt
Kegelfläche
Krümmung
konstante
Kurve
mittlere
Krümmungslinie
Linienelement
Metrik
Minimalfläche
Normalenvektor
orientierte
Regelfläche
Rotationsfläche
Tangentialebene
Begriff
Gleichung
transversale
Zylinderfläche
Flächenelement
Differentialgeometrie
Integralrechnung
Tabelle, Ebene
Tabelle, Raum
Vektorkomponenten


Tabelle
Flächenformel, HERONische
Flächengleichung
allgemein
allgemeine Theorie
Normalform
Raum
Flächeninhalt
ähnlicher ebener Figuren
Doppelintegral
Dreieck, ebenes
analytische Geometrie
schiefwinkliges
Dreieck, sphärisches
sphärischer Exzess
ebene Flächen
Ellipse
Flächenstück
gekrümmtes Flächenstück
Hyperbel
Kreis
Kreisabschnitt
Kreisringteil
Kreissektor
krummlige Begrenzung
Kurvensektor


Parabel
Parallelogramm
Planimetrie
Vektoralgebra
Polyeder
Quadrat
Rechteck
Rhombus
Teilmenge
Vieleck
Flächennormale
Begriff
Gleichung
Flächenpunkt
elliptischer
hyperbolischer
Kreisfläche
Kreispunkt
Nabelpunkt
parabolischer
singulärer
Fluß
Skalarfeld
Vektorfeld
Skalarfluß
Vektorfluß


Folge
beschränkte
CAUCHY
finite
fundamentale
konvergente
metrischer Raum
metrischer Raum
Zahlenfolgen
zu Null konvergente
Form
quadratische
Formel
binomische
CARDANO
D'ALEMBERTsche
DUHAMELsche
EULERsche
FOURIER-Koeffizienten
Krümmung einer Fläche
FRENETsche
geschlossene
HERONische
KIRCHHOFFsche
LIOUVILLE
homogene lineare Differentialgleichung


inhomogene lineare Differentialgleichung
MOIVRE
Hyperbelfunktionen
komplexe Zahlen
trigonometrische Funktionen
PESINsche
Begriff
gültiger Fall
PLEMELJ, SOCHOZKI
POISSONsche
Rechteckformel
RIEMANNsche
SIMPSON-Formel
STIRLINGsche
TAYLORsche
m Veränderliche
zwei Veränderliche
Trapezformel
HERMITEsche
Formelmanipulation
Fortsetzung
analytische
linearer Funktionale
Fortsetzungssatz, lineare Funktionale
FOURIER-Analyse
FOURIER-Entwicklung


Begriff
Hinweise
Tabelle
periodische, rechteckförmige Funktionen
periodische, sägezahnförmige Funktionen
periodische, trapezförmige Funktionen
periodische, weitere Funktionen
periodische, wellenförmige Funktionen
FOURIER-Integral
äquivalente Darstellungen
Begriff
komplexe Darstellung
FOURIER-Koeffizienten
Begriff
harmonische Analyse
Hinweis
numerische Berechnung
numerischer Aufwand
FOURIER-Reihe
Begriff
HILBERT-Raum
komplexe Darstellung
Orthonormalsystem
FOURIER-Summe
Begriff
harmonische Analyse


komplexe Darstellung
FOURIER-Transformation
Additionssatz
Ähnlichkeitssatz
Begriff
Bildfunktion
bipolarer Rechteckimpuls
Exponentialfunktion I
Exponentialfunktion II
gedämpfte Schwingung
Dämpfungssatz
Definition
Differentialgleichung
gewöhnliche, lineare
partielle
Differentiation
Bildbereich
Originalbereich
diskrete komplexe
exponentielle
Begriff
Tabelle
Faltung
Integration
Bildbereich
Originalbereich


inverse
Kosinus-Transformation
Tabelle
Linearitätssatz
Rechenregeln
schnelle
Prinzip
Schema
Sinus-Transformation
Tabelle
Spektralinterpretation
spezielle Bildfunktionen
Tabellen
Hinweise
Transformierbarkeit
Übersicht
Vergleich mit LAPLACE-Transformation
Verschiebungssatz
Fraktal
Fraktil
Frames
FRÉCHET-Ableitung
FREDHOLMsche Integralgleichung 1. Art
Alternative
RIESZ-SCHAUDER-Theorie


Ansatzkoeffizienten
Approximation des Integrals
Aufgabenstellung
Eigenwerte, Eigenfunktionen
Iterationsverfahren
iteratives Verfahren
Kernapproximation
Kollokationsmethode
Kontraktionsprinzip
Lösung
Lösung der homogenen
Lösungsansatz
Lösungsansatz I
Lösungsansatz II
Lösungsmethode
lineares Gleichungssystem
NEUMANNsche Reihe
numerische Verfahren
NYSTRÖM-Verfahren
Orthonormaleigenschaft
Orthonormalsystem
gegebener Kern
Sätze
sukzessive Approximation
transponierte


zwei Orthonormalsysteme
Fremdpeilung
FRENETsche Formeln
Frequenz
Kreisfrequenz
Sinuskurve
Frequenzkopplung
Frequenzspektrum
diskretes
Funktion, FOURIER-Transformation
kontinuierliches
FRESNELsches Integral
Fundamentalform
1. quadratische der Fläche
2. quadratische der Fläche
Fundamentalmatrix
Fundamentalsatz
Algebra
elementare Zahlentheorie
Fundamentalsystem
Differentialgleichung
Funktion
abhängige
absolut integrierbare I
absolut integrierbare II
algebraische


analytische
Areafunktion
Arkusfunktion
Begriff
beschränkte
Funktionstyp
Raum
BESSELsche
Betafunktion
BOOLEsche
Wahrheitsfunktion
delta-Funktion
differenzierbare
diskrete
doppelperiodische
eigentlich monotone
einer Veränderlichen
elementare
elementare, transzendente
elliptische
Amplitudenfunktion
Arten
Begriff
Umkehrung des elliptischen Integrals
Zusammenhang mit elliptischem Integral
EULERsche


explizite Darstellung
Exponentialfunktion
elementare Funktion
Exponentialkurve
Fehlerfunktion
FOURIER-Entwicklung
Funktionenreihe
ganzrationale
1. Grades
2. Grades
3. Grades
n-ten Grades
gebrochenlineare
elementare
Kurvendiskussion
gebrochenrationale
elementare
Kurvendiskussion
gerade
GREENsche
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Grenzwert
im Unendlichen
iterierter
linksseitiger


rechtsseitiger
TAYLOR-Entwicklung
unendlicher
Grenzwertsätze
Größenordnung
Exponentialfunktion
Grad als Maß
Logarithmusfunktion
HAMILTON
klassisches System
volumenerhaltendes System
Zweikörperproblem
harmonische
HEAVISIDE
delta-Distribution
Korrelationsintegral
HERMITEsche
holomorphe
homogene
Begriff
Variationsaufgabe
Hyperbelfunktion
Zusammenhang mit trigonometrischen
hyperbolische, geometrische Definition
implizite Darstellung
integrierbare


bestimmtes Integral
meßbare
inverse
Ableitung
Ableitung höherer Ordnung
Existenz
inverse Hyperbelfunktion
Definitions- u. Wertebereiche
logarithmische Darstellung
inverse trigonometrische
Begriff
Definitions- u. Wertebereiche
logarithmische Darstellung
irrationale
Begriff
verschiedene Typen
JACOBI-Funktionen
Komplement
komplexe
algebraische
Begriff
beschränkte
Funktionentheorie
Veränderlicher
LAGRANGE
LAGUERREsche


LAPLACEsche
LEGENDREsche
lineare
ganzrationale
Polynom
logarithmische
Begriff
Eigenschaften
lokalsummierbare
MACDONALDsche
meßbare
Begriff
Eigenschaften
mehrerer Veränderlicher
Begriff
Definition
meromorphe
Begriff
JACOBIsche Funktionen
mittelbare
Ableitung
Zwischenveränderliche
Mittelwert
monoton
fallende
wachsende


nicht Fourier-transformierbare
Parameterdarstellung
Ableitung höherer Ordnung
periodische
LAPLACE-Transformation
p-fach integrierbare
Potenzfunktion
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
quadratisch summierbare
quadratische
quasiperiodische
reelle
reguläre
RIEMANNsche
simple
Stetigkeit
einseitige
im Intervall
stückweise
Stichprobenfunktion
streng monotone
Thetafunktion
transzendente
trigonometrische
alle Typen


Begriff
geometrische Definition
Reihendarstellung
Zusammenhang mit hyperbolischen
Umkehrfunktion
unabhängige
ungerade
Unstetigkeitsstelle
endlicher Sprung
hebbare Unstetigkeit
Verlauf ins Unendliche
verallgemeinerte
Begriff
Hinweis
Verteilungsfunktion
Wahrheitsfunktion I
Wahrheitsfunktion II
WEBERsche
WEIERSTRASS-Funktion
Wertebereich
Zufallsgrößen
zusammengesetzte
zyklometrische
Funktional
lineares


lineares stetiges
HILBERT-Raum
Lp-Raum
Funktionaldeterminante
Divergenz
Flächenelement in krummlinigen Koordinaten
Unabhängigkeit von Funktionen
Funktionen
System
orthogonales
orthonormiertes
Funktionentheorie
Funktionspapier
Begriff
doppelt logarithmisches
einfach logarithmisches
reziproke Skala
Fuzzy
Implikation
Inferenz
Linguistik
Logik
logisches Schließen
Regelung
Relation
Relationenprodukt


Relationsmatrix
System
Wertigkeit
Fuzzy-Menge
Ähnlichkeit
Durchschnitt
Höhe
Komplement
leere
normale
Schnitt
Darstellungssatz
subnormale
Teilmenge
Toleranz
Träger
universelle
Vereinigung
Verkettung
Verknüpfung
Verknüpfungsoperator
Fuzzy-Systeme
Anwendungen
Interpolation


</HTML


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GABOR-Transformation
GALERKIN-Verfahren
Gammafunktion
Definition
Eigenschaften
Tabelle
GAUSS
Schritt
Transformation
lineare Ausgleichsaufgabe
Normalgleichungssystem
Prinzip
GAUSS-NEWTON-Verfahren
ableitungsfreies
GAUSSsche
Fehlerquadratmethode
Ausgleichsrechnung
Einordnung
Glockenkurve


Definition
normierte Normalverteilung
Integralformel
Koordinaten
Krümmung, Fläche
Summensymbolik
Zahlenebene
GAUSSscher
Algorithmus
lineare Gleichungssysteme
numerische Lösungen
Integralsatz
GAUSSsches
Eliminationsprinzip
Eliminationsverfahren
Fehlerfortpflanzungsgesetz
Begriff
Streuungsnäherung
Fehlerintegral
Reihenentwicklung
GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Gebiet
abgeschlossenes
drei- und mehrdimensionales
einfach zusammenhängendes
mehrfach zusammenhängendes


nicht zusammenhängendes
offenes
zweidimensionales
zweifach zusammenhängendes
Gebietskollokation
Gebietsmethode
Gegenkathete
Gegenpunkt
Generalisator
Geometrie
analytische
Begriff
Ebene
Raum
Differentialgeometrie
Gerade
Begriff
Gleichung
Ebene
Raum
imaginäre
Raum
analytische Geometrie
Stereometrie
Vektorgleichung
Gerade und Ebene


Geraden
kreuzende
orthogonale
Begriff
Raum
parallele
Begriff
Ebene
Raum
Schnittpunkt, in der Ebene
senkrechte
Raum
windschiefe
Winkel zwischen
Geradenbüschel
Geradengleichung
Ebene
Achsenabschnittsform
allgemeine
durch einen Punkt
durch zwei Punkte
HESSEsche Normalform
Polarkoordinaten
projizierende Ebenen
Punkt
Richtungsvektor


senkrecht zur Ebene
Raum
Richtungskoeffizient, Ebene
Schnitt zweier Ebenen
zwei Punkte, Raum
Geradenpaar, Transformation
Gerüst
Gesamtschrittverfahren
lineare Gleichungssysteme
nichtlineare Gleichungssysteme
Gesetz der großen Zahlen
BERNOULLI
LINDEBERG-LEVY
Gewicht
Messung
Orthogonalität
Wahrscheinlichkeit
Gewichtsfaktor
GIRARD, Satz
Gitterpunkt
Splines
GIVENSsches Orthogonalisierungsverfahren
Glättungsparameter
Gleichheit
asymptotische
komplexe Zahlen


Matrizen
Mengen
Extensionalitätsprinzip
Teilmengen
Vektoren
Gleichheitsbeziehung
Identität
Gleichung
1. Grades
2. Grades
3. Grades
4. Grades
algebraische
Begriff
Eigenschaften
Grad
Lösung
Normalform
Systeme
Umformung
Wurzel
charakteristische
Differentialgleichung I
Differentialgleichung II
Eigenwertproblem
definierende


DIOPHANTische
lineare
Ebene
allgemein
im Raum
Ellipse
Fläche
2. Ordnung
allgemein
Normalform
Raum
Gerade
Ebene
Raum
Hyperbel
irrationale
KORTEWEG-DE VRIES
kubische
Normalform
Polynom
Kugel, Fläche
Kurve
2. Ordnung
algebraische, Ebene
Definitionen, Ebene
lineare


logarithmische
logistische
mit Hyperbelfunktion
n-ten Grades
nichtlineare, numerische Lösung
Operatorengleichung
PARSEVALsche
Entwicklung nach Eigenfunktionen
HILBERT-Raum
Konveregnz im Mittel
quadratische
Normalform
Polynom
Raumkurve
Definitionen
Schnitt von Flächen
Vektorform
Sinus- GORDON
Termalgebra
transzendente
trigonometrische
vektorielle
Gleichungen
DELAMBREsche
L'HUILIERsche
MOLLWEIDEsche


NEPERsche
Gleichungssystem, lineares
Austauschverfahren
Begriff
Darstellung
Fundamentalsystem
gestaffeltes
Eliminationsprinzip
numerische Lösung
homogenes
inhomogenes
Lösung
numerische Lösung
direktes Verfahren
Iterationsverfahren
triviale Lösung
überbestimmtes
lineare Ausgleichsaufgabe
numerische Lösung
unterbestimmtes
Gleichungssystem, nichtlineares
Einordnung
Iterationsverfahren
Gleitpunktzahl
Einordnung
halblogarithmische Form


IEEE-Standard
Maple
Mathematica
Glockenkurve
verallgemeinerte
Glockenkurve, GAUSSsche
gewöhnliche
verallgemeinerte
Goldener Schnitt
GORDON-sinh-Gleichung
Grad
algebraische Gleichung
s. Gradmaß
Gradient
Definition
Differentialausdrücke
Rechenregeln
Skalarfeld
Definition
verschiedene Koordinaten
Vektorkomponenten
verschiedene Koordinaten
Volumenableitung
Gradientenverfahren
Hinweis
nichtlineare Optimierung


Gradmaß
GRAEFFE-Verfahren
Graph
Baum
bewerteter
Bogen
ebener
planarer
spezielle Klasse
gemischter
gerichteter
Isomorpie
Kante
Knoten
Komponenten
Kreis
nichtplanarer
paarer
planarer
regulärer
schlichter
spezielle Klassen
stark zusammenhängender
Strom
Transportnetz


unendlicher
ungerichteter
Untergraph
Unterteilung
vollständig paarer
vollständiger
Zyklus
Graphentheorie, Algorithmen
Gravitationsfeld (Punktmassen)
GREENsche
Funktion
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Integralsätze
Methode
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Grenzpunkt
Grenzwert
Folge, metrischer Raum
Funktion
einer Veränderlichen
mehrerer Veränderlicher
iterierter
komplexe Funktion
Zahlenfolge


Grenzwertsätze
Funktionen
Zahlenfolgen
Grenzwertsatz von LINDEBERG-LEVY
Grenzzyklus
instabiler
stabiler
Großkreis
Begriff
Orthodrome
Größe
infinitesimale
Begriff
höhere Ordnung
Größenordnung
Funktion
größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Linearkombination
Polynome
Primfaktorenzerlegung
Grundaufgaben
ebene Trigonometrie
rechtwinklig sphärische Dreiecke
schiefwinklig sphärische Dreiecke
sphärische Trigonometrie
Grundgesamtheit


mathematische Statistik
zweistufige
Grundgesetze
Aussagenlogik
Mengenalgebra
Grundintegrale
Begriff
Tabelle
Grundvektor
kartesische Koordinaten
reziproker
affine Koordinaten
kartesische koordinaten
Gruppe
ABELsche
Basissatz
Definition
direktes Produkt
Gruppentafel
Untergruppen
Diedergruppe
Faktorgruppe
Homomorphiesatz
Permutationsgruppe
Tetraedergruppe
Untergruppe


zyklische
Begriff
direktes Produkt
Verallgemeinerung
Gruppen
Gruppenhomomorphismus
Gruppenisomorphismus
Gruppentafel
Gruppieren

</HTML


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Hakenintegral
Halbgruppe
Halbordnung
Vektorraum
Halbparameter
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Halbseitensatz
Halbwinkelsatz
Funktion der Seiten
Funktion des Winkels
sphärische Trigonometrie
HAMEL-Basis
HAMILTON
Differentialgleichung
Volumenerhaltung
Funktion
klassisches System


volumenerhaltendes System
Zweikörperproblem
Kreis
Operator (Quantenmechanik)
System
generische Eigenschaften
MELNIKOV-Methode
HAMMING-Abstand
HANKEL-Transformation
Übersicht
Harmonische Analyse
HASSE-Diagramm
Häufigkeit
absolute
Begriff
relative
Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Summenhäufigkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Häufigkeitsverteilung
Häufungspunkt, metrischer Raum
Hauptachsenrichtung
Hauptachsentransformation
reelle symmetrische Matrix
Tensor 2. Stufe


Hauptaufgabe
1., Triangulierung
2., Triangulierung
Hauptgröße
Hauptideal
Hauptkrümmungskreisradius, Fläche
Hauptnormale, Raumkurve
Begriff
Bogenlänge
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Hauptnormalschnitt, Fläche
Hauptsatz
Funktionentheorie
Integralrechnung
Anwendung
Definition
Hauptwert
Arkusfunktionen
CAUCHYscher
singuläre Integralgleichung I
uneigentliches Integral
Integral, uneigentliches
unbeschränkter Integrand
unendliche Integrationsgrenze
inverse Hyperbelfunktion, komplexe


inverse trigonometrische Funktion, komplexe
Logarithmus, komplexe Funktion
HAUSDORFF
Dimension
Maß
Satz
HEAVISIDE
Einheitsfunktion
Entwicklungssatz
Funktion
delta-Distribution
Korrelationsintegral
HELMHOLTZsche Differentialgleichung
HÉNON-Abbildung
Differenzengleichung
zeitdiskrete
HERMITEsche Polynome
HESSE-Matrix
HESSEsche Normalform
Ebenengleichung
Geradengleichung, Ebene
Hexadezimal-Zahlensystem
HILBERT-Raum
HIROTA-Gleichung
Histogramm
Hodograph, Vektorfunktion


Höhe
Dreieck
Kegelfiguren
Kugelteile
Polyederfiguren
Zylinderfiguren
Höhenlinie
Höhenwinkel
Hohlzylinder
HÖLDER
Stetigkeit
Ungleichung
Integrale
Reihen
HOLLADAY, Satz
Homogenitätsgrad
Homomorphiesatz
Gruppen
Ring
universelle Algebren
Homomorphismus
Algebren
universelle
Gruppen
natürlicher
Gruppen


Ringe
Ring
Vektorraum
Vektorverbände
Homöomorphismus
konjugierender
orientierungstreuer
HOPF-Bifurkation
HOPF-LANDAU-Modell der Turbulenz
HORNER-Schema
komplexe Argumentwerte
reelle Argumentwerte
zweizeiliges
HOUSEHOLDER
Orthogonalisierungsverfahren
Transformation
Tridiagonalisierung
Verfahren
diskrete Approximationsaufgabe
Quadratmittelproblem
Hufeisen-Abbildung
L'HUILIERsche Gleichungen
Hülle
abgeschlossene lineare
konvexe
lineare


transitive
Hyperbel
Asymptoten
Bogenlänge
Brennpunkt
Brennpunktseigenschaften
Durchmesser
Eigenschaften
Flächeninhalt
gleichseitige, analytische Geometrie
gleichseitige, umgekehrte Proportionalität
Gleichung
Halbparameter
irrationale Funktion
konjugierte
konjugierter Durchmesser
Krümmungskreisradius
Leitlinie
Leitlinieneigenschaft
numerische Exzentrizität
Scheitel
Tangente
Tangentenstück
Transformation
Hyperbelfunktion


Additionstheoreme
geometrische Definition
Hyperbelkosekans
Hyperbelkosinus
Hyperbelkotangens
Hyperbelsekans
Hyperbelsinus
Hyperbeltangens
inverse, logarithmische Darstellung
Reihendarstellung
Summen und Differenzen
wichtige Formeln
Zusammenhang mit trigonometrischen
Hyperbelsegment
Hyperboloid
einschaliges
geradlinige Erzeugende
Mittelpunktsfläche
hyperbolisches
zweischaliges
Mittelpunktsfläche
Hyperebene
Hyperfläche
Hyperteilraum
Hypotenuse


Hypotrochoide
Hypozykloide
verkürzte
verlängerte

</HTML


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Ideal
Begriff
Hauptideal
Idempotenzgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengen
identisch erfüllt
Identität
LAGRANGEsche
Identität
BOOLEsche Funktion
IEEE-Standard
Ikosaeder
Tabelle I
Tabelle II
Imaginärteil
Implikation
Aussagenlogik


Beweisführung
BOOLEsche Funktion
Fuzzy-Logik
Impulsfunktion
LAPLACE-Transformation
Index
Folge
Gruppenordnung
Menge
Individuenbereich
Induktionsschluß
Infimum
infinitesimal
Infixschreibweise
Inklusion
Inkommensurabilität
Inkreis
Inkreisradius
Inkrement
Innenprodukt
Instabilität
Rundungsfehler, numerische Rechnung
Integrabilität
Differential
Integrabilitätsbedingung
Integral


absolut konvergentes
Konvergenzkriterien I
Konvergenzkriterien II
EULERsches
2. Gattung
FOURIER-Integral II
FRESNELsches
gebrochenrationale Funktion
komplexe Funktion, meßbare
LEBESGUE-Integral
Eigenschaften
Vergleich mit RIEMANN-Integral
mit unbeschränktem Integranden
nichtelementare Funktion
Oberflächenintegral
Vektoranalysis
Parameterintegral
RIEMANNsches
Grenzwertbildung
Vergleich mit STIELTJES-Integral
singuläres
spezielles nichtelementares
Stammfunktion
STIELTJES-Integral
Begriff
Vergleich mit RIEMANN-Integral


Umlaufintegral
Integral, bestimmtes
Begriff
Definition
Differentiation
Existenz
Genauigkeit
Grundbegriffe
partielle Integration
Substitutionsregel
Tabelle
algebraische Funktionen
Exponentialfunktionen
logarithmische Funktionen
trigonometrische Funktionen
Vorzeichenregel
Integral, elliptisches
1. Gattung
mathematisches Pendel
Tabelle
2. Gattung
Tabelle
3. Gattung
bestimmtes
Integral nichtelementarer Funktion


Reihenentwicklung
Tabelle
unbestimmtes
unvollständiges
vollständiges
Tabelle
Integral, komplexes
Abschätzung
bestimmtes
Eigenschaften, Berechnung
geschlossener Integrationsweg
Parameterdarstellung
Unabängigkeit vom Integrationsweg
unbestimmtes
Vergleich mit Kurvenintegral 2. Art
Zusammenhang, bestimmtes-unbestimmtes
Integral, unbestimmtes
andere transzendente Funktionen
Tabelle
Begriff
elementare Funktionen
Tabelle
Exponentialfunktionen
Tabelle
Grundintegrale
Hyperbelfunktionen


Tabelle
inverse Hyperbelfunktionen
Tabelle
inverse trigonometrische Funktionen
Tabelle
irrationale Funktionen
Tabelle
Kosinusfunktionen
Tabelle
Kotangensfunktion
Tabelle
logarithmische Funktionen
Tabelle
rationale Funktionen
Sinus- und Kosinusfunktionen
Tabelle
Sinusfunktionen
Tabelle
Tabelle Grundintegrale
Tabellen
Tangensfunktion
Tabelle
trigonometrische Funktionen
Tabelle
Integral, uneigentliches
Begriff


Hinweis
unbeschränkter Integrand
divergentes
Hauptwert
konvergentes
unendliche Integrationsgrenze
Hauptwert
konvergentes
Integralausdruck
Extremum
Integrale, bestimmte
Tabelle wichtige Eigenschaften
Integralexponentialfunktion
Reihenentwicklung
Tabelle unbestimmte Integrale
Integralfläche
Integralformel
CAUCHY
GAUSS
Integralgleichung
Approximation des Integrals
Eigenfunktion
Eigenwert
FREDHOLMsche, 1. Art
Ansatzkoeffizienten
Approximation des Integrals


Aufgabenstellung
Behandlung
Eigenwerte, Eigenfunktionen
gegebener Kern
Iterationsverfahren
iteratives Verfahren
Kernapproximation
Kollokationsmethode
Kontraktionsprinzip
Lösung
Lösung der homogenen
Lösungsansatz
Lösungsansatz I
Lösungsansatz II
Lösungsmethoden
lineares Gleichungssystem
NEUMANNsche Reihe
numerische Verfahren
NYSTRÖM-Verfahren
Orthonormaleigenschaft
sukzessive Approximation
transponierte
zwei Orthonormalsysteme
homogene
inhomogene


Iterationsverfahren
Kern
ausgearteter
Begriff
iterierter I
iterierter II
Kernapproximation
Spline-Ansatz
Tensorprodukt-Approximation
Kollokationsmethode
lineare
Quadraturformel
semidiskretes Problem
Störfunktion
Träger
transponierte
VOLTERRAsche, 2. Art
Differentiation
Faltungstyp
Kontraktionsprinzip
Lösung durch Differentiation
Methode der Umwandlung
NEUMANNsche Reihe
numerische Behandlung
partielle Integration


Zusammenhang mit Differentialgleichung
Integralgleichung, singuläre
CAUCHY-Kern
ABELsche
Begriff
charakteristische
Existenz einer Lösung
Randwertproblem
transponierte
Integralkosinus
Definition
FRESNELscher, Definition
Reihenentwicklung
Integralkriterium, CAUCHYsches
Integralkurve
Differentialgleichung I
Differentialgleichung II
Integrallogarithmus
Integral nichtelementarer Funktion
Reihenentwicklung
Tabelle unbestimmte Integrale
Integralrechnung
Hauptsatz
Anwendung
Definition
Mittelwertsatz


Integralsatz
CAUCHY
mehrfach zusammenhängendes Gebiet
GAUSS
GREEN
STOKES
Integralsinus
Definition
FRESNELscher, Definition
komplexes Integral
Reihenentwicklung
Tabelle unbestimmte Integrale
Integraltransformation
Anwendung
Bildbereich
CARSON-Transformation
Übersicht
Definition
FOURIER-Transformationen
Übersicht
GABOR-Transformation
HANKEL-Transformation
Übersicht
Kern
LAPLACE-Transformation
Übersicht


Linearität
Mehrfach-Transformation
MELLIN-Transformation
Übersicht
Originalbereich
schnelle Wavelet-Transformation
spezielle
STIELTJES-Transformation
Umkehrtransformation
WALSH-Transformation
Integrand
Integraph
Integration
allgemeine Regeln
bestimmte Integrale
partielle Integration
Substitutionsregel
binomische Integranden
EULERsche Substitution
Funktion von hyperbolischen Funktionen
Funktion von trigonometrischen Funktionen
graphische
nichtelementare Funktion
im Komplexen
Methoden
reelle Integrale


Intervallregel
irrationale Funktion
Konstantenregel
lineare Transformation im Argument
logarithmische
logrithmische
nichtelementare Funktionen
Reihenentwicklung
numerische
Einfachintegral
Mehrfachintegral
partielle
partielle, LEBESGUE-Integral
rationale Funktionen
Reihenentwicklung
allgemeiner Fall
spezielle nichtelementare Funktion
Substitutionsmethode
Summenregel
Umformung des Integranden
Universalsubstitution
unter dem Integralzeichen
Vektorfelder
Vertauschungsregel
Volumen
Integrationsgrenze


obere
parameterabhängige
untere
Integrationsintervall
Integrationskonstante
Integrationsregeln
unbestimmte Integrale
Tabelle
Integrationsvariable
Begriff
bestimmtes Integral
Integrierbarkeit
Funktion
p-fache
quadratische
Intermittenz
Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Interpolation
AITKEN-NEVILLE
Fuzzy-Systeme I
Fuzzy-Systeme II
Spline, Hinweis
trigonometrische, Hinweis
wissensbasierte
Interpolationsbedingung
Interpolationsformel


LAGRANGEsche
NEWTONsche
Interpolationsquadratur
Interpolationssplines
bikubische
kubische
Interpretation, Ausdruck
Intervall
abgeschlossenes
halboffenes
Meßwerte
offenes
Statistik
Zahlen
Intervallregel
Invariante
erste quadratische Fundamentalform
Fläche 2. Ordnung
Kurve 2. Ordnung
skalare
Koordinatentransformation
Skalarprodukt
WEIERSTRASS-Funktion
Invarianz
Drehungsinvarianz
Transformationsinvarianz


Translationsinvarianz
Inverse, Vektorraum
Inverses, Gruppenelement
Inversion
Gruppen
kartesisches Koordinatensystem
konforme Abbildung
Raum
Involute
Involutivität
Inzidenzfunktion
Inzidenzmatrix
Irrationalität, algebraische
Irrfahrt
Irrfahrtsprozesse
Irrtumswahrscheinlichkeit
Chi-Quadrat-Anpassungstest
Isometrie
Isomorphie
Graphen
Vektorräume
Isomorphismus
BOOLEsche Algebra
Gruppen
Ring
universelle Algebren


Iteration
inverse
Prinzip
Iterationsverfahren
Anwendung des Kontraktionsprinzips
GAUSS-SEIDEL
gewöhnliches
Fixpunktform
Hinweis I
Hinweis II
JACOBI, Gesamtschrittverfahren
Prinzip
Relaxationsverfahren
JACOBI
Funktion
Matrix
Verfahren
Verfahren (Gesamtschrittverfahren)
Junktor


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KADOMZEV-PEDVIASHWILI-Gleichung
KAM-Theorem
Kante
Figur
Graph
Bewertung
Länge
Kantenfolge
Elementarkreis
geschlossene
Kreis
offene
Weg
Kantenwinkel
Kapazität, Bogen
Kardinalzahl
Menge
Anzahl der Elemente
Mächtigkeit


Kardioide
kartesisches Blatt
Kaskade
Periodenverdopplungen
Begriff
Toruszerstörung
Kategorie, BAIREsche
Katenoide
KDNF (kanonisch disjunktive Normalform)
Kegel
erzeugender
Fläche 2. Ordnung
geordneter Vektorraum
imaginärer
konvexer
Mittelpunktsfläche
normal
normierter Raum
regulär
solid
Stereometrie
Kegelfläche
Stereometrie
Kegelpunkt
Kegelschnitte
Kurven 2. Ordnung


Begriff
Gestalt
zerfallende
Kegelstumpf, gerader
Keil
Keilwinkel
Kennzahl
Kern
Homomorphismus
Integralgleichung
ausgearteter
iterierter I
iterierter II
lösender
Integraltransformation
Kongruenzrelation
Operator
Orthonormalsystem
Ring
Untervektorraum
Kernapproximation
Integralgleichungen
Kernmatrix
Kette
Graph
elementarer


Ordnungsrelation
Kettenbruch
Kettenlinie
Variationsaufgabe
Kettenregel
mittelbare Funktion
Vektorfunktion
Kink-Soliton
KIRCHHOFFsche Formel
KKNF (kanonisch konjunktive Normalform)
Klasse
gleichungsdefinierte
Meßwerte
Klassenmitte, Meßwerterfassung
Kleinkreis
Begriff
Bogenlänge
geometrischer Ort
Gleichung
Kurswinkel
Radius
ebener
sphärischer
Schnittpunkt
Breitenkreis
Meridian


KLEINsche Vierergruppe
kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Klotoide
Knick einer Kurve
Knickpunkt
Knoten
Abstand
dreifach zusammengesetzter
Graph
isolierter
Niveau
Phasenporträt
Quelle
Sattelknoten
Klassifizierung
Phasenporträt
Senke
Splines
stabiler
Knotenebene, SCHRÖDINGER-Gleichung
Knotengrad
Knotenpunkt
KOCHsche Kurve
Koeffizient
algebraische Gleichung
algebraischer Ausdruck


metrischer
Begriff
kartesische Koordinaten
Vektor
Koeffizientenmatrix
erweiterte I
erweiterte II
Gleichungssystem
Koeffizientenvergleich
Körper
Definition
Kollinearität, Vektoren
Kollokation
Gebietskollokation
Randkollokation
Kollokationsmethode
Integralgleichungen
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Kollokationsstelle
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
Kombination
Begriff
Definition
Kombinatorik


Kommensurabilität
Kommutativgesetz
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
dyadisches Produkt von Vektoren
Matrizen
Mengen
Skalarprodukt zweier Vektoren
Vektormultiplikation
Komplement
algebraisches
Mengen
orthogonales
Annulator
HILBERT-Raum
SUGENO-Komplement
unscharfe Mengen
YAGER-Komplement
Komplementärmenge
Komplementfunktion, unscharfe
Komplementsätze
Komplementwinkel
Komplexifikation
Komplexifizierung
Komponente
kartesisches Produkt


Vektor
Konchoide
allgemeine
der Geraden
des Kreises
des NIKODEMES
Konditionszahl
Konfidenzbereich
Konfidenzintervall
Kongruenz
algebraische
ebene Figuren
Ecken
gleichsinnige
lineare
nichtgleichsinnige
Polynomkongruenz
quadratische
simultane lineare
System simultaner linearer
Kongruenzmethode
Kongruenzrelation
Kern
Kongruenzsätze
Kongruenztransformation


Konjunktion
konkav
Konklusion
Konsistenz
Begriff
Ordnung
Konstante
aussagenlogische
EULERsche
Konstanten, physikalische
Atom- und Kernphysik, Tabelle
COMPTON-Wellenlänge, Tabelle
elektrische Größen, Tabelle
Fundamentalkonstanten, Tabelle
magnetische Momente, Tabelle
Ruhmassen, Ruhenergien; Tabelle
thermodynamische, Tabelle
Wechselwirkungskonstanten, Tabelle
astronomische Größen, Tabelle
Konstantenregel
Kontonummernsystem, einheitl., EKONS
Kontradiktion
BOOLEsche Funktion
Kontraktionsprinzip
Anwendungen
Begriff


Kontrapositionsgesetz
Konvergenz
absolute
Potenzreihen
Reihen mit konstanten Gliedern
bedingte
reihen mit konstanten Gliedern
gleichmäßige
Funktionenreihe
metrischer Raum
Potenzreihe
im Mittel
Integralkriterium
Konvergenzsätze
numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen
Operatorenfolge
Ordnung
Quotientenkriterium
Reihe
allgemeine Sätze
komplexe Glieder
unendliche, komplexe Glieder
schwache
Vergleichskriterium
WEIERSTRASS-Kriterium


Wurzelkriterium
Zahlenfolge
komplexe Glieder
ungleichmäßige
Konvergenzbereich
Konvergenzintervall
Konvergenzkriterium
Anwendung auf Integrale
CAUCHY
eine Veränderliche
mehrere Veränderliche
Integralkriterium
CAUCHYsches
Hinweis
LEIBNIZ
Quotientenkriterium
Vergleichskriterium
Wurzelkriterium
Konvergenzradius
Konvergenzsätze, meßbare Funktionen
Konvertierung, Zahlensysteme
konvex
Koordinaten
affine
Begriff
Produkte


baryzentrische
DESCARTESsche
Dreieckskoordinaten
GAUSS-KRÜGER
GAUSSsche
gemischte
Geodäsie
geographische
kartesische
Ebene
Raum
Spezialfall der affinen
Übergang zu Polarkoordinaten
kontravariante
kovariante
krummlinige
auf einer Fläche
dreidimensionale
Tensoren
zweidimensionale
Kugelkoordinaten
Polarkoordinaten
ebene
räumliche
Punkt
Ebene


Raum
rein kontravariante
rein kovariante
SOLDNER
Vektor
Zylinderkoordinaten
Koordinatenachsen
Begriff
Drehung
Ebene
Raum
Koordinatenanfangspunkt
Ebene
Raum
Koordinatendarstellung
Skalarfelder
Vektorfelder
Koordinatenfläche
Begriff
Tensoren
Koordinatengleichung
ebene Kurve
Begriff
verschiedene Koordinaten
Parabel, Bogenlänge
Raumkurve


Bogenlänge I
Bogenlänge II
Raumkurve I
Raumkurve II
Koordinateninversion
Koordinatenlinie
Begriff
Tensoren
Koordinatensystem
doppelt logarithmisches
Drehung im Raum
Ebene
einfach logarithmisches
GAUSS-KRÜGER
kartesisches
dreidimensionales
zweidimensionales
Kugelkoordinaten
linkshändiges
orthogonales
orthonormiertes
Polarkoordinaten
Raum
rechtshändiges
SOLDNER
Transformation


Zylinderkoordinaten
Koordinatentransformation
kartesische
Drehung
Ebene
Parallelverschiebung
Polarkoordinaten
Raum
Kurvengleichungen 2. Ordnung
Mittelpunktskurven
parabolische Kurven
Matrixform
Vektorfelder
Koordinatenursprung
Ebene
Raum
Koordinatenvorzeichen
ebene kartesische Koordinaten
räumliche kartesische Koordinaten
Korrektor
Korrekturform, GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Korrelation, lineare
Korrelationsanalyse
Korrelationskoeffizient
Begriff
empirischer


KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
Kosekans
hyperbolischer
trigonometrischer
geometrische Definition
Kosekansfunktion
hyperbolische
trigonometrische
geometrische Definition
Kosinus
hyperbolischer
geometrische Definition
trigonometrischer
geometrische Definition
Kosinusfunktion
hyperbolische
geometrische Definition
trigonometrische
geometrische Definition
Kosinussatz
polarer
sphärischer
Kotangens
hyperbolischer
trigonometrischer
geometrische Definition


Kotangensfunktion
hyperbolische
trigonometrische
geometrische Definition
Kovarianz
Kredit
Kreis
apollonischer
Ebene
ebene Figur
gefährlicher
Gleichung
kartesische Koordinaten
Parameterdarstellung
Polarkoordinaten
Graph
Großkreis
Begriff
Orthodrome
HAMILTON
Kleinkreis
Begriff
geometrischer Ort
Spezialfall der logarithmischen Spirale
Kreisabschnitt
Kreisausschnitt


Kreisfeld
Kreisfiguren, ebene
Kreisflächenpunkt
Kreisfrequenz
Kreisfunktion, geometrische Definition
Kreiskegel
Kreispunkt
Kreisring
ebener
räumlicher
Kreissegment
Kreissektor
Kreistonnenkörper
Kreiszylinder
gerader
schräg abgeschnittener
Kriterien
Konvergenzkriterien
Teilbarkeitskriterien
KRONECKER-Produkt
KRONECKER-Symbol II
Krümmung
ebene Kurve
Fläche
Begriff
konstanter Krümmung


numerische Charakterisierung
GAUSSsche Fläche
Kurven auf einer Fläche
mittlere der Fläche
Raumkurve
Splines
minimale Gesamtkrümmung
Krümmungskreis
Krümmungskreismittelpunkt
Krümmungskreisradius
ebene Kurve
Ellipse
Extremale
Hyperbel
Kurven auf einer Fläche
Parabel
Raumkurve
Krümmungslinie, Fläche
Kryptoanalysis, klassische
Methoden
KASISKI-FRIEDMAN-Test
statistische Analyse
Kryptologie
Aufgabe
DES-Algorithmus


DIFFIE-HELLMAN-Konzept
Einwegfunktionen
IDEA-Algorithmus
Kryptosystem
mathematische Präzisierung
One-Time-Tape
RSA-Verfahren
Sicherheit von Kryptosystemen
Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
Verschlüsselung
kontextfreie
kontextsensitive
Kryptologie, klassische
Methoden
Matrixsubstitutionen
Tauschchiffren
VIGENERE-Chiffre
Substitution
monoalphabetische
monographische
polyalphabetische
polygraphische
Transposition
Kryptologie, klassische Methoden
HILL-Chiffre
KUAN


Kubikwurzel
Kugel
als Ellipsoid
Eigenschaften
metrischer Raum
Kugelabschnitt
Kugelausschnitt
Kugelfeld
Kugelflächenfunktion
Kugelfunktionen
1. Art
Definition
Eigenschaften
Tabelle
2. Art
Definition
Kugelkoordinaten
Grundlagen
Vektorfeld
Kugelschachtelungssatz
Kugelschicht
Kugelzweieck
KUHN-TUCKER-Bedingungen
Beweis
globale
lokale


KURATOWSKI-Satz
Kursgleiche
Kurswinkel
Kurve
2. Ordnung
Gleichung
Kegelschnitte
Mittelpunktskurve, Transformation I
Mittelpunktskurve, Transformation II
numerische Exzentrizität
Polargleichung
3. Ordnung
Typ I
Typ II
Typ III
4. Ordnung
Abbrechpunkt
algebraische
n-ter Ordnung
Ordnung n
algebraische, Gleichung
ARCHIMEDIsche Spirale
Areakosinus
Areakotangens
Areasinus
Areatangens


Astroide
Asymptote
asymptotischer Punkt
B-B-Darstellung
BREIT-WIGNER, Bildfunktion
CASSINIsche
Darstellung mit Splines
Definitionsformen
Ebene
Raum
Doppelpunkt
ebene
Bogenelement I
Bogenelement II
Normale
Richtung
Scheitelpunkt
Tangente
Winkel
empirische
Enveloppe
Epitrochoide
Epizykloide
Evolute
Evolvente


Evolvente des Kreises
Exponentialkurve
GAUSSsche Glockenkurve
Definition
normierte Normalverteilung
gedämpfte Schwingung
Gleichung
Ebene
komplexe Form
Raum
hyperbolische Spirale
hyperbolischer Typ
Potenzfunktion
reziproke Potenz
Hypotrochoide
Hypozykloide
Involute
isolierter Punkt
Kardioide
kartesisches Blatt
Katenoide
Klotoide
Knick
Knickpunkt
KOCHsche
Konchoide des NIKODEMES


konkave
konvexe
Kosekans
hyperbolischer
trigonometrischer
Kosinus
hyperbolischer
trigonometrischer
Kotangens
hyperbolischer
trigonometrischer
Krümmung
Krümmungskreisradius
Länge, Kurvenintegral 1. Art
Lemniskate
logarithmische
logarithmische Spirale
LORENTZ-Kurve, Bildfunktion
Mehrfachpunkt
n-ter Ordnung
algebraische
Grad I
Grad II
imaginäre
parabolischer Typ
PASCALsche Schnecke


räumliche
Bogenelement
Bogenlänge
Gleichung
Rückkehrpunkt
Raum
Schleifenserie
Sekans
hyperbolischer
trigonometrischer
Selbstberührungspunkt
semikubische Parabel
Sinus
hyperbolischer
trigonometrischer
sphärische
Berechnungen
Hodograph
sphärische Geometrie
Strophoide
Tangens
hyperbolischer
trigonometrischer
Traktrix
transzendente, Gleichung
Trochoide


Versiera der Agnesi
Wendepunkt
Zissoide
Zykloiden
Kurven
sphärische, Schnittpunkte
Spiralen
Kurvendiskussion, allgemeine
Kurvenelement
Kurve
ebene
räumliche
Kurvenintegral
1. Art
Anwendungen
Berechnung
Definition
Existenz
2. Art
Berechnung
Definition
Existenzsatz
Projektion auf die x-Achse
Projektion auf die y-Achse
Projektion auf die z-Achse
2. Gattung, allgemeiner Art


allgemeiner Art
Definition
Eigenschaften
Vektorfeld
Kurvenkonstruktion
explizit gegebene Funktion
implizit gegebene Funktion
Kurvenpunkt, ebene Kurve
Kurvenschar, Einhüllende
Kurvenuntersuchung, allgemeine


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Länge
Bogen
geographische
GAUSSsche Koordinaten
geographische Koordinaten
Intervall
Kurvenintegral 1. Art
reduzierte
Vektor
Längenverzerrung
LAGRANGE
Funktion
Satz
LAGRANGEsche
Funktionen
Identität
Interpolationsformel
Multiplikatorenmethode
LAGUERREsche Polynome II


Lambda-Operator
LANCZOS-Verfahren
LANDAU-Symbole
LAPLACE-Operator
Definition
in verschiedenen Koordinaten
Vektorkomponenten
LAPLACEsche Differentialgleichung
Feldtheorie
Potentialgleichung
LAPLACEsche Funktion
LAPLACEscher Entwicklungssatz
LAPLACE-Transformation
Ähnlichkeitssatz
Additionssatz
Bildbereich
Bildfunktion
Dämpfungssatz
Definition
Differentialgleichung
konstante Koeffizienten
partielle
veränderliche Koeffizienten
Differentiation
Bildbereich
nach einem Parameter


Originalbereich
diskrete
Divisionssatz
Faltung
Begriff
einseitige
komplexe
Impulsfunktion
Integration
Bildbereich
nach einem Parameter
Originalbereich
inverse
Begriff
verschiedene Möglichkeiten
Konvergenz
Linearitätssatz
Originalbereich
Originalfunktion
Partialbruchzerlegung
periodische Funktion
Periodisierungsfaktor
Rücktransformation mit Tabellen
Rechenregeln
Rechteckimpuls


Reihenentwicklung
Sprungfunktion
stückweise differenzierbare Funktion
Tabelle
Übersicht
Umkehrintegral
Vergleich mit FOURIER-Transformation
Vergleich mit Z-Transformation
Verschiebungssatz
LAURENT
Entwicklung, analytische Funktion
Reihe
analytische Funktion
Z-Transformation
LEBESGUE-Integral
Eigenschaften
Vergleich mit RIEMANN-Integral
LEGENDREsche
Differentialgleichung
Funktionen
assoziierte
Definition
zugeordnete
Polynome 1. Art
Definition
Eigenschaften


Nullstellen
Tabelle
LEGENDRE-Symbol
LEIBNIZsche Regel
Leistungsspektrum
Leitkurve
Leitlinie
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Traktrix
Leitlinieneigenschaft
Ellipse
Hyperbel
Kurven 2. Ordnung
Parabel
Lemma
JORDAN
Lemniskate
Doppelpunkt
Gleichung
Limes
Funktion
Reihe
superior
Zahlenfolge


linear
abhängig
unabhängig
Linearform
stetige
Vektorraum
Linearkombination
Vektoren
Begriff
Multiplikation
Linie
EULERsche
offene
geodätische
analytische Geometrie
Differentialgleichung
sphärische Geometrie
Linienelement
Fläche
Vektorkomponenten
Linienintegral
Linksdreiecksmatrix
Linksnebenklasse
Linkspol
Linksschraube
Linkssingulärvektor


Linkssystem
Linsenform, Ellipsoid
LIOUVILLE-Satz
analytische Funktion
homogene lineare Differentialgleichung
inhomogene lineare Differentialgleichung
Volumenerhaltung
LIPSCHITZ-Bedingung
Differentialgleichung 1. Ordnung
Differentialgleichung höherer Ordnung
Lösung
algebraische Gleichung
Differentialgleichung
Logarithmentafel
Logarithmieren
Logarithmus
BRIGGSscher
dekadischer
dualer
Hauptwert, komplexe Funktion
natürlicher
komplexe Funktion
reele Zahlen
NEPERscher
reelle positive Zahlen
Logik


Aussagenlogik
Fuzzy-Logik
Prädikatenlogik
logisch äquivalent
LORENTZ-Kurve
Bildfunktion
LORENZ-System
Beispiel 1, Turbulenz
Beispiel 2, Volumenerhaltung
dynamisches
Kaskade von Periodenverdopplungen
Lösungsmannigfaltigkeit
Lot, sphärisches
Loxodrome
Äquatorschnitt
Bogenlänge
Gleichung
Kurswinkel
Schnittpunkt
Äquator
Breitenkreis
Meridian
zwei Loxodromen
Lp-Raum
LR-Faktorisierung


LYAPUNOV-Exponenten
Berechnung
Definition

</HTML


DeskTop Indexseiten: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
MACDONALDsche Funktion
Mächtigkeit, Menge
MACLAURINsche Reihe
Macsyma
Majorante
Manipulation
algebraische Ausdrücke
nichtalgebraische Ausdrücke
Mannigfaltigkeit
instabile
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
stabile
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
Mantelfläche
Kegel
Kugel
Polyeder


Pyramide
Quader
Tonnenkörper
Torus
Würfel
Zylinder
Mantisse
Dezimalzahldarstellung
Logarithmus
Maple
algebraische Ausdrücke
Manipulation
Multiplikation
Attribute
Differentialgleichungen
Differentialoperatoren
Differentiation
Ein- und Ausgabe I
Ein- und Ausgabe II
Ein- und Ausgabe III
Elemente der linearen Algebra
Ergänzungen zur Syntax
Faktorenzerlegung, Polynome
feldartige Strukturen
Folgen


Formelmanipulation, Einführung
Funktionen
Gleichungen
eine Unbekannte
transzendente
Gleichungssysteme
Eigenwerte und Eigenvektoren
lineare
Gleitpunktzahlen, Konversion
Graphik
dreidimensionale
Einführung
zweidimensionale
Hauptstrukturelemente
Hilfe und Informationen
Integrale
bestimmte
Mehrfachintegrale
unbestimmte
Kontexte
Kurzcharakteristik
Listen
Manipulation, allgemeine Ausdrücke
Matrizen
numerische Berechnung, Einführung


Numerische Mathematik
Ausdrücke und Funktionen
Differentialgleichungen
Gleichungen
Integration
Objekte
Objektklassen
Operationen
auf Polynomen
wichtige
Operatoren
Funktionen
wichtige
Partialbruchzerlegung
Programmierung
Spezialpaket plots
Systembeschreibung
Tabellenstrukturen
Typen
Umgebungsvariable
Vektoren
Zahlenarten
Zahlenkonversion, verschiedene Basis
Masche, Splines
Maßstab


DIRAC
ergodisches
HAUSDORFF
invariantes
konzentriertes
LEBESGUE
natürliches
physikalisches
sigma-, endliches I
sigma-, endliches II
Träger
Wahrscheinlichkeitsmaß
Wahrscheinlichkeitsmaß, invariantes
SBR-Maß
Masse
Doppelintegral
Dreifachintegral
Kurvenintegral 1. Art
Massenmittelpunkt
Punkte der Ebene
Punkte im Raum
Maßstabsfaktor
Matching
gesättigtes
maximales
Begriff


Ermittlung
perfektes
Mathcad
Mathematica
3D-Graphik
algebraische Ausdrücke
Manipulation
Multiplikation
Apply
Attribute
Ausdrücke
Differential- und Integralrechnung
Differentialgleichungen
Differentialquotienten
Differentiation
Ein- und Ausgabe I
Ein- und Ausgabe II
Ein- und Ausgabe III
Elemente
Elemente der linearen Algebra
Faktorenzerlegung, Polynome
FixedPoint
FixedPointList
Flächen und Raumkurven
Formelmanipulation, Einführung


Funktionaloperationen
Funktionen
inverse
Gleichungen
Manipulation
transzendente
Gleichungssysteme
allgemeiner Fall
Eigenwerte und Eigenvektoren
Spezialfall
Gleitpunktzahlen, Konversion
Graphik
Einführung
Funktionen
Optionen
Primitive I
Primitive II
Hauptstrukturelemente
Integrale
bestimmte
Mehrfachintegrale
unbestimmte
Kontexte
Kopf
Kurven


Parameterdarstellung
zweidimensionale
Kurzcharakteristik
Listen
Manipulation von Matrizem
Manipulation von Vektoren
Map
Matrizen als Listen
Meldungen
Muster
Nest
NestList
numerische Berechnung, Einführung
Numerische Mathematik
Differentialgleichungen
Integration
Interpolation
Kurvenanpassung
Polynomgleichungen
Oberflächen
Objekte, dreidimensionale
Operationen, auf Polynomen
Operatoren, wichtige
Partialbruchzerlegung
Programmierung


Schreibweise
Syntax, Ergänzungen
Systembeschreibung
Vektoren als Listen
Zahlenarten
Mathematische Zeichen
Matrix
Adjazenz
adjungierte
Adjunkten
Begriff
antihermitesche
antisymmetrische
Begriff
block-tridiagonale
Diagonalmatrix
Drehungsmatrix, Koordinatensystem
Dreiecksmatrix
Dreieckszerlegung
Einheitsmatrix
Entfernungsmatrix
Exponentialfunktion
Hauptdiagonalelement
hermitesche
HESSE-Matrix
inverse


Adjunkten
Begriff
Invertierung
Inzidenz
komplexe
konjugiert komplexe
Monodromiematrix
diskrete dynamische Systeme
lineare Differentialgleichungen
normale
Nullmatrix
orthogonale
quadratische
Begriff
Eigenschaften
Rang
rechteckige
reelle
reziproke
schiefsymmetrische
schwach besetzte
selbstadjungierte
singuläre
Singulärwerte
Skalarmatrix


Spur
symmetrische
transponierte
unitäre
Valenz
Vollrang
Matrix-Gerüst-Satz
Matrixprodukt
skalares
Verschwinden
Matrizen
Addition
Assoziativgesetz, Addition
Distributivgesetz, Multiplikation mit einer Zahl
Eigenvektoren
Eigenwertaufgabe
Eigenwerte
Gleichheit
Kommutativgesetz
Addition
Multiplikation mit einer Zahl
Multiplikation zweier Matrizen
Multiplikation
mit einer Zahl
zweier Matrizen
Potenzieren


Rechenoperationen
Rechenregeln
skalares Matrixprodukt
Subtraktion
Maximum
absolutes
globales
relatives
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Maximum-Kriterium-Methode
max-min-Verknüpfung
MAXWELLsches Diagonalverfahren
Meßfehler
Meßfehlereinteilung
Meßfehlernormalverteilung
Meßfehlerverteilungsdichte
Meßprotokoll
Meßwert
Meßwerterfassung
Median
Meßwerterfassung
Stichprobenfunktionen
Mehrfachbogen
Mehrfachintegral
Begriff


Monte-Carlo-Methode
Mehrfach-Integraltransformation
Mehrfachkante
Mehrfachpunkt
Mehrschrittverfahren
Mehrzielmethode
MELLIN-Transformation
Übersicht
MELNIKOV-Methode
Membranschwingungsgleichung
Menge
abgeschlossene
Axiome
Abschließung, metrischer Raum
absorbierende
abzählbar unendliche
Begriff
beschränkte, metrischer Raum
BOREL-Menge
CANTOR-Menge
dichte
metrischer Raum
rationale Zahlen
reelle Zahlen
disjunkte
Element


Faktormenge
fundamentale
Fuzzy
ganze Zahlen
Gleichheit
Extensionalitätsprinzip
Teilmengen
gleichmächtige
invariante
chaotische
fraktale
stabile
irrationale Zahlen
kompakte
normierter Raum I
normierter Raum II
komplexe Zahlen
konvexe
Koordinaten (x,y)
leere
lineare
Mächtigkeit
meßbare
natürliche Zahlen
offene, metrischer Raum


Axiome
ordnungsbeschränkte
Potenzmenge
rationale Zahlen
reelle Zahlen
relativkompakte
Schranke
obere
untere
Teilmenge
überabzählbar unendliche
unendliche
unscharfe
Mengenalgebra, Grundgesetze
Mengenlehre
Mengenoperation
Differenz
Durchschnitt
kartesisches Produkt
Komplement
Schnitt
symmetrische Differenz
Vereinigung
Meridian
GAUSSsche Koordinaten


geographische Koordinaten
Meridiankonvergenz
Methode
BERNOULLIsche
der größten Fläche
der kleinsten Quadrate
Einordnung
der mittleren Ziffern von Quadraten
der statistischen Versuche
finite Differenzen
finite Elemente
Einordnung
Hinweis
Flächenhalbierung
GREENsche
drei unabhängige Variable
zwei unabhängige Variable
Integration durch Reihenentwicklung
kleinste Quadrate
MAMDANI
Maximum-Kriterium
Mean-of-Maximum
MELNIKOV
Monte-Carlo-Methode
parametrisierte Flächenhalbierung
RIEMANNsche


schrittweise Näherung, PICARD
SUGENO
sukzessive Approximation
BANACH-Raum
Differentialgleichung 1. Ordnung
FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
unbestimmte Koeffizienten
Variation der Konstanten
Metrik
Fläche
Raum
EUKLIDischer
metrischer
MEUSNIER, SATZ
Minimalfläche
Minimalgerüst
Minimum
absolutes
globales
relatives
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Mittel
arithmetisches
Begriff
Zufallsgrößen


geometrisches
gewogenes
Erwartungswert
goldenes
harmonisches
quadratisches
Mittellinie, Dreieck
Mittelpunkt
sphärischer
Strecke
Ebene
Raum
Mittelpunktsflächen
Mittelpunktskurve
Mittelpunktswinkel
Mittelsenkrechte, Dreieck
Mittelwert
Bildung
Funktion
gleichgewichteter
Stichprobenfunktionen
Zufallsgrößen
zweidimensionale Verteilung
Meßwerterfassung
Mittelwertformel
Mittelwertmethode, empirische Kurven


Mittelwertsatz
Differentialrechnung
gewöhnlicher
verallgemeinerter
Integralrechnung
verallgemeinerter
Modalwert, Meßwerterfassung
Modul
analytische Funktion
eines Elements
komplexe Zahl
Vektor
Modulo-Abbildung
MOIVREsche Formel
Hyperbelfunktionen
komplexe Zahlen
trigonometrische Funktionen
MOLLWEIDEsche Gleichungen
Moment
n-ter Ordnung
zentrales, n-ter Ordnung
Monodromie-Matrix
diskrete dynamische Systeme
lineare Differentialgleichungen
Monotonie
Funktion


Zahlenfolge
Monotoniebedingung, Differentialrechnung
Monte-Carlo-Methode
Anwendungen
gewöhnliche
Monte-Carlo-Simulation
Beispiel
Mittelwertsatz
relative Häufigkeit
MORSE-SMALE-Systeme
Multiindex
Multiplikation
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Tensoren I
Tensoren II
Multiplikationsunterlauf
Multiplikatoren
diskrete dynamische Systeme
lineare Differentialgleichungen
Multiplikatorenmethode, LAGRANGEsche
Multi-Skalen-Analyse


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Nabelpunkt
Nablaoperator
Definition
Rechenregeln
zweifache Anwendung
Näherung, asymptotische
Näherungsformeln
empirische Kurven
Reihenentwicklung
Näherungsgleichung
Näherungsmethoden
partielle Differentialgleichungen
NAND-Funktion
BOOLEsche Funktion
Nautik
Navigation
n-dimensionaler euklidischer Vektorraum Rn
Nebenbedingung
dynamische Optimierung


lineare Optimierung
Variationsrechnung
Begriff
Beispiel
Nebenwinkel
Negation
BOOLEsche Funktion
Neigungswinkel
NEPERsche Gleichungen
Neugrad
Einteilung
Geodäsie
NEUMANNsche Reihe
FREDHOLMsche Integralgleichung
Operatorenraum
VOLTERRAsche Integralgleichung
NEUMANNsches Problem
NEWTONsche Interpolationsformel
NEWTON-Verfahren
Iterationsverfahren
Korrekturform
modifiziertes
Funktionalanalysis
numerische Mathematik
nichtlineare Gleichungssysteme
nichtlineare Operatoren


nichtlineare Optimierung
Niveaufläche, Skalarfelder
Niveaulinie
Raumfläche
Skalarfelder
Nordrichtung
geodätische
geographische
NOR-Funktion
BOOLEsche Funktion
Norm
Axiome
lineare Algebra
Vektorraum
linearer Operator
Matrizennorm
Spaltensummennorm
Spektralnorm
Zeilensummennorm
zugeordnete Norm
Operator, Matrix
Restvektor
s-Norm
t-Norm
Vektornorm
Betragssummennorm


EUKLIDische Norm II
Matrizennorm
Normale
ebene Kurve
räumliche Kurve
Normalebene, Raumkurve
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Normalenabschnitt
Normalenvektor
Ebene
Fläche
Normalform
algebraisches Gleichungssystem
Ebenengleichung
Ellipsengleichung
Flächen 2. Ordnung
Geradengleichung
HESSEsche
Hyperbelgleichung
kanonisch disjunktive
kanonisch konjunktive
Kurven 2. Ordnung
Parabelgleichung


Normalgleichung
Approximation im Mittel
diskrete Aufgabe
stetige Aufgabe
Normalgleichungssystem
Approximation im Mittel
diskrete Aufgabe
Ausgleichsrechnung
stetige Aufgabe
Normalteiler
Normalverteilung
Begriff
logarithmische
normierte
Tabelle
Stichprobenmittelwerte
zweidimensionale
Normalverteilungsgesetz
Beobachtungsfehler
Normierungsbedingung, SCHRÖDINGER-Gleichung
Normierungsfaktor
Notation
Polnische
PostfixPräfixUmgekehrte Polnische


n-Tupel
Null (0)-Intervall
Nullmatrix
Nullpunkt
Nullpunktsschwingungsenergie
translationsenergie
Nullstelle, komplexe Funktion
Nullstellengleichung
Nullstellensatz, BOLZANO
Nullvektor
Numerik-Bibliothek
Numerus
Nutationswinkel
NYSTRÖM-Verfahren


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Obelisk
Oberfläche, Doppelintegral
Oberflächenintegral
1. Art
Anwendungen
Begriff
Berechnung
Definition
Existenzsatz
explizite Darstellung
Parameterdarstellung
2. Art
Begriff
Berechnung
Definition
Existenzsatz
allgemeiner Art
Definition
Eigenschaften


Berechnung
Fluß
Vektoranalysis
Volumen eines Körpers
Oberflächeninhalt
Kegel
Kugel
Polyeder
Pyramide
Quader
Tonnenkörper
Torus
Würfel
Zylinder
Oktaeder
Tabelle I
Tabelle II
Oktal-Zahlensystem
omega-Grenzmenge
Begriff
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
Operation
algebraische
arithmetische
assoziative


auf Mengen
äußere
binäre
kommutative
n-stellige
Operator
abgeschlossener
adjungierter
beschränkter Raum
normierter Raum
unbeschränkter Raum
beschränkter
demistetiger
differenzierbarer
Divergenz
endlichdimensionaler
Gamma-Operator
Gradient
HAMILTON-Operator
HAMMERSTEIN-Operator
idempotenter
inverser, Vektorraum
isotoner
Kern
koerzitiver


kompakter
kompensatorischer
kontrahierender
Lambda-Operator
LAPLACE-Operator
linearer
beschränkter
stetiger
monotoner
BANACH-Raum
positiver
Nablaoperator
NEMYTSKIJ-Operator
ODER-Operator
positiv definiter
positiver
Rotation
selbstadjungierter
singulärer
stetiger
inverser
streng monotoner
UND-Operator
URYSOHN-Operator
Vektorgradient


vollstetiger
Operatorenmethode
partielle Differentialgleichungen
Schema
Operatorenschreibweise
Differentialgleichung
Optimierung, dynamische
BELLMANNsche Funktionalgleichungen
BELLMANNsches Optimalitätsprinzip
diskrete
dynamische Nebenbedingung
Einkaufssproblem
Entscheidung
Entscheidungsvektoren
Funktionalgleichungen
Funktionalgleichungsmethode
kontinuierliche
Kostenfunktion
Minimumvertauschbarkeit
n-stufige Entscheidungsprozesse
optimale Einkaufspolitik
optimale Politik
Optimierungsprobleme
Rucksackproblem
Funktionalgleichungsmethode
Problemstellung


Separierbarkeit
statische Nebenbedingung
Zustandsvektoren
Optimierung, lineare
Basis der Ecke
Begriff
Dualität
Ecke
Eckpunkt
Eigenschaften
entartete Ecke
Formen
graphische Lösung
Grundbegriffe
Nebenbedingung
Normalform
Reihenfolgeproblem
Restriktion
revidiertes Simplexverfahren
Rundreiseproblem
Simplextableau
Simplextableau, Hilfsprogramm
Simplexverfahren
Einordnung
Prinzip


Transportproblem
Verteilungsproblem
Zuordnungsproblem
Optimierung, nichtlineare
Abstiegsverfahren
Barriereverfahren
Begriff
DFP-Verfahren
Dualität
Dualitätssatz, starker
Gradientenverfahren
projizierte Gradienten
Richtungssuchprogramm
Ungleichungsrestriktionen
zulässige Richtungen
KELLEY
konjugierte Gradienten
konvexe
Hinweis
Konvexität
KUHN-TUCKER-Bedingungen
Beweis
globale
lokale
NEWTON-Verfahren
Optimalitätsbedingung


Begriff
hinreichende
konvexe Optimierung
notwendige
und KUHN-TUCKER-Bedingungen
Prinzip der Strahlminimierung
quadratische
Regularitätsbedingung
Barriereverfahren
und KUHN-TUCKER-Bedingungen
Sattelpunkt
Schnittebenenverfahren
SLATER-Bedingung
stationärer Punkt
Strafverfahren
unrestringierten Aufgabe
Verfahren des steilsten Abstiegs
Optimierung, quadratische
FIBONACCI
Goldener Schnitt
HILDRETH- D'ESOPO
Lösungsverfahren
n-dimensionaler euklidischer Vektorraum
numerische Suchverfahren
WOLFE


Optimierungsaufgabe
duales Problem
lineare
Basisinverse
Basislösung
Basisvariable
kanonische Form
Nichtbasisvariable
Normalform
nichtlineare, konvexe
primales Problem
Optimierungsproblem, lineares
allgemeine Form
Ganzzahligkeitsforderung
Lösungspunkt
Maximalpunkt
Minimumaufgabe
Nordwestecken-Regel
Potentialmethode
Schlupfvariable
Vorzeichenfestlegung
zulässiger Bereich
Optimierungsproblem, nichtlineares
Minimalpunkt
globaler
lokaler


Problemstellung
Orbit
dynamisches System
heterokliner
homokliner
periodischer
Entstehung
hyperbolischer
sattelartiger
zweifach zusammengesetzter, periodischer
Ordinate, kartesische Koordinaten
Ebene
Raum
Ordinatenachse
Ordnung
Flächen 2. Ordnung
Kurven 2. Ordnung
Kurven n-ter Ordnung
lexikographische
partielle
Relation
vollständige
Wavelet
Ordnungsintervall
Ordnungsrelation
vollständige


OREscher Satz
Orientierung
Koordinatensystem
Zahlengerade
Ort
gegißter
geometrischer
der charakteristischen Punkte
Orthodrome
Begriff
Bogenlänge
Kurswinkel
nordpolnächster Punkt
Schnittpunkte
Breitenkreis
Meridian
Schnittpunkte zweier Orthodromen
Orthogonalisierungsverfahren
Begriff
GIVENSsches
GRAM-SCHMIDTsches
HILBERT-Raum
Hinweis
HOUSEHOLDERsches
Hinweis
lineare Quadratmittelaufgabe


lineare Ausgleichsaufgabe
lineare Quadratmittelaufgabe
Orthogonalität
beliebiger normierter Raum
Eigenschaften
Geraden
Gewicht
trigonometrischer Funktionen
Vektoren I
Vektoren II
Orthogonalitätsbedingung
Ebenen
Gerade-Ebene
Geraden im Raum
Orthogonalitätsrelation
Orthogonalpolynom
Orthogonalraum
Orthogonalsystem, vollständiges
Orthonormalsystem
FOURIER-Reihe
Orthonormierung
Zeilen- und Spaltenvektoren
Orthozentrum
Ortskoordinaten, Spiegelung
Ortskurventheorie
Oszillator, linearer harmonischer


</HTML


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Paar, geordnetes
Parabel
Bogenlänge
Brennpunkt
Eigenschaften
Flächeninhalt
ganzrationale Funktion
Gleichung
Halbparameter
irrationale Funktion
Krümmungsradius
Leitlinie
Leitlinieneigenschaft
n-ter Ordnung
numerische Exzentrizität
Paraboloid
Polynom 3. Grades
Scheitel


semikubische
Tangente
Transformation
Parabelachse
Parabeldurchmesser
Paraboloid
elliptisches
hyperbolisches
Mittelpunktsfläche
Invariantenvorzeichen
elliptisches
hyperbolisches
parabolisches
parabolisches
Rotationsparaboloid
Parallelepiped
Parallelitätsbedingung
Ebenen
Gerade-Ebene
Geraden im Raum
Parallelkreis
Parallelogramm
Parallelogrammgleichung
Parameter
allgemein
Hilfsveränderliche


statistischer
Parameterdarstellung
Funktion
Kreis
Parameterintegral
Parität
äußere
innere
PARSEVALsche Gleichung
Entwicklung nach Eigenfunktionen
Formel ( FOURIER-Transformation)
HILBERT-Raum
Konvergenz im Mittel
Partialbruchzerlegung
spezielle Fälle
Partialsumme, Reihe
Partikulärintegral
Partikularisator
PASCALsche Schnecke
Spezialfall der Hypozykloide
PASCALsches Dreieck
PEIRCE-Funktion
BOOLEsche Funktion
Pendel
FOUCAULTsches
mathematisches


Pendelgleichung
FOUCAULTsche
mathematisches Pendel
periodisch gestörte
Pentagramm
Periode
Sekans
Sinus, trigonometrischer
Sinuskurve
Tangens
Periodenverdopplungen
Flip-Bifurkation
Kaskade
logistische Abbildung
Szenarien
Periodisierungsfaktor, LAPLACE-Transformation
Peripheriewinkel
Permutation
Permutationsgruppe
Permutationsmatrix
PESINsche Formel
Begriff
gültiger Fall
Pfeildiagramm
Pharmazentralnummer
Phase


Sinuskurve
Phasenporträt
Phasenraum, dynamische Systeme
Phasenspektrum, FOURIER-Transformation
Phasenverschiebung
PICARDsches Iterationsverfahren
Pivot
Pivotelement
Austauschregeln
Simplextableau
Pivotspalte
Austauschregeln
Simplextableau
Pivotzeile
Austauschregeln
Simplextableau
Planimeter
Planimetrie
POINCARÉ-Abbildung
autonomische Differentialgleichung
nichtautonome Differentialgleichung
POISSONsche
Differentialgleichung
Feldtheorie
Formel
POISSONsches Integral


Beispiel I
Beispiel II
POISSON-Verteilung
Tabelle
Pol
analytische Funktion
auf der Kugel
Funktion
Koordinatenursprung
Polarkoordinaten, ebene
Radiusvektor
Ordnung m, komplexe Funktion
Polabstand
Polarachse
Polardreieck
Polare
Polargleichung
Kurve 2. Ordnung
Polarkoordinaten
ebene
Übergang zu kartesischen Koordinaten
räumliche
Polarnormalenabschnitt
Polarsubnormale
Polarsubtangente
Polartangentenabschnitt


Polarwinkel
Polyeder
konvexes
reguläres
Polyedersatz, EULERscher
Polygonierung
Polygonzugverfahren, EULERsches
Polynom
1. Grades
2. Grades
3. Grades
charakteristisches
Darstellung
ganzrationale Funktion
n-ten Grades
quadratisches
trigonometrisches
Polynome
BERNSTEINsche Grundpolynome
HERMITEsche
LAGUERREsche II
LEGENDREsche, 1. Art
Definition
Eigenschaften
Orthogonalsystem


Orthonormalsystem
Tabelle
TSCHEBYSCHEFFsche, Eigenschaften
Polynomgleichung
Nullstellen, numerisch
numerische Lösung
numerische Verfahren
Polynominterpolation
POSAscher Satz
positiv definit
Postfix-Notation
Potential
komplexes
Begriff
Dipol
homogenes Feld
Quelle-Senke-System
Quelle, Senke
Wirbel
konservatives Feld
retardiertes
Potentialfeld
Rotation
Potentialgleichung
Potenz
Begriff


reziproke
Potenzieren
komplexe Zahlen
reelle Zahlen
Potenzmenge
Potenzreihe
asymptotische
komplexe
komplexe Glieder
Ableitung
Integral
Konvergenz
Konvergenzkreis
Umkehrung
Potenzreihenentwicklung
analytische Funktion
LAURENT
TAYLOR
MACLAURIN
TAYLOR
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
Prä- HILBERT-Raum
Prädikat
n-stelliges
Prädikatenlogik


Präzessionswinkel
Prediktor
Prediktor-Korrektor-Verfahren
Primelemente
Primfaktorzerlegung
kanonische
Primzahl
Drillinge
Vierlinge
Zwillinge
Prinzip
CAUCHYsches
Gradientenverfahren
vollständiger metrischer Raum
der Zweiwertigkeit
kontrahierende Abbildung
NEUMANNsches
Strahlminimierung
Prisma
gerades
reguläres
Problem
CAUCHYsches
DIRICHLETsches
Begriff
Beispiel


homogenes, Wellengleichung
inhomogenes, Wellengleichung
isoperimetrisches, allgemeines
kürzester Weg
NEUMANNsches
regularisiertes
semidiskretes
STURM-LIOUVILLEsches
Problemstellung, korrekte
Produkt
direktes
Gruppen
n-faches
universelle Algebren
dyadisches
Tensoren
gemischtes (Spat-)
kartesisches
Definition
Fuzzy-Mengen
n-faches
KRONECKER-Produkt
mehrfaches, Vektoren
Produktzeichen
Rechenregeln
skalares


Matrizen
Vektoren
vektorielles
Produktansatz
Produktdarstellung
Produktkern
Produktregel
Programmierung
Computeralgebrasysteme
Maple
Mathematica
Projektionssatz
ebenes Dreieck
HILBERT-Raum
Projektor
Proportionalität
direkte
umgekehrte
Proportionen
Protokoll
Prozent
Prozentrechnung
Prüfziffer
Prüfverfahren
Chi-Quadrat-Test
Normalverteilung


Prinzip
Schätzwert
statistische
Pseudoskalar
Pseudotensor
axialer Vektor
Begriff
Pseudovektor
Punkt
asymptotischer
Berührungspunkt, metrischer Raum
der größten Annäherung
Häufungspunkt
innerer, metrischer Raum
isolierter
Kurve
metrischer Raum
Koordinaten
Ebene
Raum
n-dimensionaler Raum
nichtwandernder
rationaler
singulärer
Begriff


isolierter
Klassifizierung
stationärer
transversaler homokliner
Umgebung
uneigentlicher
Punktspektrum
Pyramide
gerade
n-seitige
reguläre
Pyramidenstumpf
PYTHAGORAS
Orthogonalität
rechtwinkliges Dreieck
schiefwinkliges Dreieck

</HTML


DeskTop Indexseiten: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
QR-Algorithmus
QR-Zerlegung
Quader
Quadrant
Quadrantenrelationen
Quadrat
Quadratmittelaufgabe
Gleichungssystem, überbestimmtes
nichtlineare, diskreter Fall
verschiedene Bezeichnungen
Quadratmittelproblem
lineares I
lineares II
lineares III
rangdefizienter Fall
Quadraturformel
Begriff
GAUSS-Typ
HERMITEsche


Integralgleichung
Interpolationsquadratur
LOBATTOsche
ROMBERG-Verfahren
Quadratwurzel
aus quadratischem Polynom
konforme Abbildung
natürliche Zahlen
Quantenzahl
Bahndrehimpuls-Quantenzahl
magnetische
Schwingungs-Quantenzahl
Quantifizierung, beschränkte
Quantil
Quantisierungsbedingung
Quantor
Quelle
diskrete dynamische Systeme
Knoten
kontinuierliche dynamische Systeme
Vektorfeld
Quellenfeld
reines
wirbelfreies
Quellenverteilung
diskrete


kontinuierliche
Quersumme
1. Stufe
2. Stufe
3. Stufe
alternierende
1. Stufe
2. Stufe
3. Stufe
Quotientenregel

</HTML


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Rabatt
Radialgleichung
Radiant
Radikal
Radikand
Radius
Kreis
Polarkoordinaten
Radiusvektor
Radizieren
komplexe Zahlen
Randbedingung
Differentialgleichung, lineare
homogene
inhomogene
Variationsrechnung
Randintegralgleichungsmethode
Randkollokation
Randmethode


Randverteilung
Randwertaufgabe
LAPLACEsche Differentialgleichung
numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
POISSONsche Differentialgleichung
Randwertproblem
Eigenfunktion
Eigenwert
HILBERTsches
Begriff
homogene charakteristische Integralgleichung
homogenes
Index
inhomogene charakteristische Integralgleichung
inhomogenes
Lösung
homogenes
inhomogenes
lineares
singuläre Fälle
Rang
Matrix
Vektorraum
Rangabfall
Raum
adjungierter


bidualer
endlichdimensionaler
geordneter normierter
HILBERT
isometrischer
linearer
über einem Körper von Skalaren
Lp-Raum
mehrdimensionaler
metrischer
Abstand
Axiome
innerer Punkt
Kugel
Punkt
separabler
Teilraum
vollständiger
metrischer normierbarer
mit Skalarprodukt
Operatoren
reflexiver
RIESZscher
SOBOLEW
unitärer


Rauminversion
Skalarprodukt
Spatprodukt
Raumkurve
begleitendes Dreibein
Binormale
Begriff
Gleichungen I
Gleichungen II
Bogenlänge I
Bogenlänge II
Gleichung
Definitionen
verschiedene Formen
Hauptnormale
Begriff
Bogenlänge
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Krümmung
Krümmungskreisradius
Normalebene
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Richtung


Schmiegungsebene
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Tabelle Koordinatengleichungen I
Tabelle Koordinatengleichungen II
Tabelle Vektorgleichungen I
Tabelle Vektorgleichungen II
Tangente
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Vektorgleichung
Begriff
Vektorgleichung, Bogenlänge
Windung
Windungsradius
Raumrichtung
Vektor
Raumwinkel
RAYLEIGH-RITZ-Algorithmus
Reaktion, chemische, Konzentration
Realteil
Rechenregeln
BOOLEsche Algebra
Ereignisarten


FOURIER-Transformation
Gradient
LAPLACE-Transformation
Nablaoperator
Z-Transformation
Rechenschieber
logarithmische Skala
Prinzip
Rechnen, numerisches
Addition
Computer
Division
Genauigkeitsfragen
Grundoperationen
Multiplikation
Subtraktion
Rechteck
Rechteckformel
linksseitige
rechtsseitige
Rechteckimpuls
Anwendung des Lemmas von JORDAN
bipolarer
FOURIER-Transformation
unipolarer
FOURIER-Transformation


LAPLACE-Transformation
Rechtecksumme
Rechte-Hand-Regel
Flächenstück
Vektorprodukt
Rechtsdreiecksmatrix
Rechtsnebenklasse
Rechtspol
Rechtsschraube
Flächenstück
Schraubenlinie
Rechtssingulärvektor
Rechtssystem
Reduce
Reduktionsformeln
trigonometrische Funktionen
Regel
BERNOULLI-L'HOSPITALsche
CRAMERsche
DE MORGANsche
Aussagenlogik
BOOLEsche Algebra
Mengenalgebra
DESCARTESsche
1. GULDINsche
2. GULDINsche


LEIBNIZsche
linguistische
Mittelpunktsregel
NEPERsche
SARRUSsche
Regelfläche
Regeln
Teilbarkeitskriterien
Regression
lineare
mehrdimensionale
Normalgleichungssystem
Vektorschreibweise
Regressionsanalyse
Regressionsgerade
Regressionskoeffizient
Regula falsi
Regularisierungsparameter
Regularisierungsverfahren
Reihe
absolute Konvergenz
allgemeines Glied
alternierende
Konvergenzkriterium
arithmetische
1. Ordnung


k-ter Ordnung
BANACH-Raum
divergente
Divergenz
endliche
FOURIER-Reihe
Funktionenreihe
geometrische, endliche
geometrische, unendliche
Formel
Konvergenz
gleichmäßige Konvergenz
Funktionenreihe
Potenzreihe
harmonische
hypergeometrische
Integralkriterium
konstante Glieder
konvergente
Konvergenz
Integralkriterium
Quotientenkriterium
ungleichmäßige
Vergleichskriterium
Wurzelkriterium
Konvergenzbereich


Konvergenzsätze
MACLAURINsche
NEUMANNsche
FREDHOLMsche Integralgleichung
Operatorenraum
VOLTERRAsche Integralgleichung
Partialsumme
Potenzreihe
Quotientenkriterium
Restglied
Funktionenreihe
mit konstanten Gliedern
Summe
TAYLOR-Reihe
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
m Veränderliche
zwei Veränderliche
unendliche
Begriff
Kapitel
Vergleichskriterium
WEIERSTRASS-Kriterium
Wurzelkriterium
Reihenentwicklung
LAPLACE-Transformation


absolut konvergente Funktion
meromorphe Funktion
Reihenentwicklungen
algebraische Funktionen, Tabelle
Areafunktionen, Tabelle
binomische Reihe, Tabelle
negativer Exponent
positiver Exponent
Exponentialfunktionen, Tabelle
Hyperbelfunktionen, Tabelle
inverse trigonometrische Funktionen, Tabelle
logrithmische Funktionen, Tabelle
Potenzreihen, Tabelle
trigonometrische Funktionen, Tabelle
Reihenrest
Rektifizierung
Relation
antisymmetrische
Äquivalenzrelation
binäre
Fuzzy-wertige
inverse
irreflexive
Kongruenzrelation
lineare


n-stellige
Ordnungsrelation
reflexive
symmetrische
transitive
Relationenprodukt
Relationsmatrix
Relaxationsparameter
Relaxationsverfahren
Relief, analytische Funktion
REMES-Algorithmus
Rente
ewige
Begriff
Kontostand
nachschüssig konstante
Rentenbarwert
Rentenendwert
Rentenrechnung
Residualspektrum
Residuensatz
Anwendung
Prinzip
Residuum
Funktionentheorie
Gleichungssystem, überbestimmtes


lineares Quadratmittelproblem
Resolvente
Integralgleichung
Bestimmung
lösender Kern
Spektraltheorie
Resolventenmenge
Spektraltheorie
Resonanz-Torus
Rest, quadratischer modulo m
Restglied
Funktionenreihe
Reihe mit konstanten Gliedern
Restklasse
prime
primitive
Restklassenaddition
Restklassenmultiplikation
Restklassenring
Begriff
endlicher Ring
modulo m
Restspektrum
Rhombus
Richtung
ebene Kurve


Raum
Vektor
Raumkurve
vertikale
Richtungsableitung
Skalarfeld
Vektorfeld
Richtungsfeld
Richtungskoeffizient
Ebene
Tangentensteigung
Vektor
Richtungskosinus, Raum
Richtungstripel
Begriff
kartesische Koordinaten
Richtungswinkel
RIEMANN-Satz
Grenzwertbildung
Vergleich mit STIELTJES-Integral
Vergleich mit LEBESGUE-Integral
RIEMANNsche
Fläche, mehrblättrige
Formel
Funktion
Methode


RIESZ-SCHAUDER Theorie
Ring
Definition
Faktorring
Homomorphiesatz
mit Einselement
Unterring
Ringhomomorphismus
Ringisomorphismus
Risikotheorie
RITZ-Verfahren
numerische Lösung von Variationsaufgaben I
numerische Lösung von Variationsaufgaben II
Rn, n-dimensionaler euklidischer Vektorraum
ROMBERG-Verfahren
Algorithmus
Begriff
Extrapolationsprinzip
Rotation
Definition
Potentialfeld
Vektorfeld
Vektorkomponenten
verschiedene Koordinaten
Volumenableitung


Rotations-Abbildung
Rotationsfläche
Rotationsparaboloid
Rotator, raumfreier starrer
RSA-Code
Rückkehrpunkt
Rückversetzung, Winkel
Rückwärtseinschnitt
CASSINI
SNELLIUS
Rückwärtseinsetzen
lineares Gleichungssystem
RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario
Ruhelage
dynamisches System
hyperbolische
Quelle
Sattel
Senke
Rundungsfehler
RUNGE-KUTTA-Verfahren


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Sägezahnimpuls
unipolarer
LAPLACE-Transformation
Saitenschwingungsgleichung
SARRUSsche Regel
Sattel
diskrete dynamische Systeme
kontinuierliche dynamische Systeme
Sattelpunkt
Optimierung, nichtlineare
Satz
ABEL
abgeschlossener Graph
AFRAIMOVICH-SHILNIKOV
ANDRONOV-HOPF
ANDRONOV-PONTRYAGIN
ANDRONOV-WITT
Klassifizierung periodischer Orbits
Stabilität periodischer Orbits


APOLLONIUS
ARZELA-ASCOLI
BAIRE (Kategoriensatz)
BANACH
BANACHscher Fixpunktsatz
BANACH-STEINHAUS
Basissatz
BAYES
BERGE
Beschränktheit
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
binomischer
BIRKHOFF
Ergodensatz
Omega-Algebren
BLOCK, GUCKENHEIMER, MISIURIEWICZ
BOLZANO
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
CAYLEY
Gerüste
Gruppen
Chinesischer Restsatz
DENJOY
DIRAC


DOUADY-OESTERLÉ
erste Näherung
diskrete Systeme
kontinuierliche dynamische Systeme
EUKLID (Sätze)
EUKLIDischer Algorithmus
EULER-HIERHOLZER
EULERscher Polyedersatz
FATOU
FERMAT
FERMAT-EULER
BROUWER
FLOQUET
GIRARD
GROBMAN-HARTMAN
topologische Äquivalenz
topologische Konjugiertheit
HADAMARD-PERRON
diskrete dynamische Systeme
HAHN-BANACH
analytische Form
geometrische Form
Hauptsatz der Funktionentheorie
HAUSDORFF
HELLINGER-TOEPLITZ
HILBERT-SCHMIDT


HOLLADAY
HURWITZ
Integralsatz, CAUCHY
Konstanz, analytische Funktion
KREIN-LOSANOWSKIJ
KURATOWSKI
LAGRANGE
LEBESGUE
LEIBNIZ
LERAY-SCHAUDER
LEVI, B.
LIOUVILLE
analytische Funktion
Volumenerhaltung
LYAPUNOV
Maximalwert, analytische Funktion
MEUSNIER
NEIMARK, SACKER
ORE
OSELEDEC
PALIS-SMALE
PICARD-LINDELÖF
Differentialgleichung
Integralgleichung
POINCARÉ-BENDIXSON


POSA
PYTHAGORAS
Orthogonalität
rechtwinkliges Dreieck
schiefwinkliges Dreieck
RADON-NIKODYM
RIEMANN
RIESZ
RIESZ-FISCHER
r-malige Differenzierbarkeit nach den Anfangsbedingungen
ROLLE
SCHAUDER
SCHWARZscher Vertauschungssatz
SHARKOVSKY
SHILNIKOV
SHINAI
SHGOSHITAISHVILI
SMALE
TAYLOR
eine Veränderliche
TSCHEBYSCHEFF
TUTTE
Variation der Konstanten
vollständige Wahrscheinlichkeit
WEIERSTRASS
Approximationssatz


Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Konvergenz einer Reihe
WILSON
WINTNER-CONTI
Zentrumsmannigfaltigkeit
Abbildungen
Differentialgleichungen
Zerlegungssatz
Schaltalgebra
Schaltfunktion
Schaltwert
Schätzwert
SCHEFFER-Funktion
BOOLEsche Funktion
Scheitel
ebene Kurve
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Scheitelwinkel
Schema, FALKsches
Schießverfahren
einfaches
Schleifenfunktion


Schleppkurve
Schlinge, Graph
Schluß von n auf n+1
Schmiegkreis
Schmiegungsebene, Raumkurve
Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Schnitt
Fuzzy-Menge
goldener
Menge
unscharfe Menge
Schnittebene
Schnittkreis
Schnittmenge
Fuzzy-Mengen
Schnittpunkt
drei Ebenen
Ebene und Gerade
Geraden im Raum
Geraden in der Ebene
vier Ebenen
Schnittwinkel
SCHOENFLIESS-Symbolik
Schranke


Funktion
Menge
unscharfe
Zahlenfolge
Schraubenlinie
Schrittweite
Schrittweitenparameter
Schrittweitensteuerung
SCHRÖDINGER-Gleichung
lineare
nichtlineare
Begriff
Lösung
Separationsansatz
zeitabhängige
zeitunabhängige
Schwankung, Funktion
SCHWARZ-CHRISTOFFELsche Formel
SCHWARZscher Vertauschungssatz
SCHWARZsches Spiegelungsprinzip
Schwerpunkt
beliebige ebene Figur
Bogenstück
Dreieck, ebenes
ebene Figuren


geschlossene Kurve
1. GULDINsche Regel
2. GULDINsche Regel
materielle Punkte der Ebene
materielle Punkte im Raum
Rotationskörper
Trapez
Schwerpunktkoordinaten
Doppelintegral
Dreifachintegral
Kurvenintegral 1. Art
Schwerpunktmethode
parametrisierte
verallgemeinerte
Schwingung, harmonische
Schwingungsdauer
mathematisches Pendel
Sinuskurve
Sehne
Sehnentangentenwinkel
Sehnenviereck
Sehnenwinkel
Seitenfläche
Seitenhalbierende, Dreieck
Begriff
Trigonometrie


Seitenkosinussatz
Sekans
hyperbolischer
trigonometrischer
geometrische Definition
Sekansfunktion
hyperbolische
trigonometrische
geometrische Definition
Sekante
Sekantentangentenwinkel
Sekantenwinkel
Sektorformel
Selbstähnlichkeit
Selbstberührungspunkt
Semiorbit, dynamisches System
Senke
diskrete dynamische Systeme
Knoten
kontinuierliche dynamische Systeme
Vektorfeld
Sensitivität bezüglich der Anfangswerte
Separabilität, metrischer Raum
Separationsansatz
Begriff
SCHRÖDINGER-Gleichung


Separationskonstante
SCHRÖDINGER-Gleichung
Separatrix
Sattel-Sattel-Separatrix, Auflösung
Separatrixfläche
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme
Separatrixschleife
Begriff
Satz von SHILNIKOV
Sexagesimaleinteilung
Shift-Abbildung
Begriff
chaotisches Verhalten
Sicherheit, statistische
Chi-Quadrat-Anpassungstest
Stichprobenmittelwert
SIERPINSKI
Drachen
Teppich
sigma-Additivität
sigma-Algebra
BORELsche
Signal
Signalanalyse
Signatur, universelle Algebra


Signifikanz
Simplexmultiplikator
Simplexschritt, revidierter
Simplextableau
Hilfsprogramm
revidiertes
Simplexverfahren
Variable, künstliche
SIMPSON-Formel
Simulation
digitale
Monte-Carlo-Simulation
Singleton
Singulärwerte
Matrix
Singulärwertzerlegung
Singularität
analytische Funktion
außerwesentliche, komplexe Funktion
hebbare, analytische Funktion
isolierte, komplexe Funktion
wesentliche
analytische Funktion
komplexe Funktion
Sinus
hyperbolischer


geometrische Definition
trigonometrischer
geometrische Definition
Sinusfunktion
hyperbolische
geometrische Definition
trigonometrische
geometrische Definition
Sinus- GORDON-Gleichung
Begriff
Lösung
Sinus-Kosinussatz
gewöhnlicher
polarer
sinusoidale Größen
Sinussatz
ebene Trigonometrie
sphärische Trigonometrie
Skala
Begriff
einfach logarithmische
logarithmische
Skalar
Begriff
Drehinvarianzeigenschaft
Invarianz I


Invarianz II
Skalarfeld
Axialfeld
ebenes
Gradient
Definition
verschiedene Koordinaten
Koordinatendarstellung
Richtungsableitung
Zentralfeld
Skalarmatrix
Skalarprodukt
HILBERT-Raum
kartesische Koordinaten
Koordinatendarstellung
Normalgleichungssystem
Rauminversion
Tensor 0. Stufe
Vektoralgebra
Vektoren, Matrixform
Vektorraum, EUKLIDischer
Skalengleichung
SOBOLEW-Raum
Soliton
Antikink
Antisoliton


BOUSSINESC
BURGERS
HIROTA
KADOMZEV-PEDVIASHWILI
Kink
Kink-Antikink
Dublett
Kollision
Kink-Gitter
Kink-Kink-Kollision
KORTEWEG-DE VRIES
nichtlineares, SCHRÖDINGER
Solitonen
Wechselwirkung
SOR-Verfahren
Spaltenpivotisierung
Spaltensummenkriterium
Spaltenvektor
Spannungstensor
Spannweite
Meßwerterfassung
Stichprobenfunktionen
Spatprodukt
kartesische Koordinaten
Koordinatendarstellung


Pseudoskalar
Spektralradius
Spektrum
Funktion, FOURIER-Transformation
Funktionalanalysis
kontinuierliches
stetiges
lineare Operatoren
Spiegelsymmetrie, Ebene
Spiegelung
am Punkt
an der Geraden
Ortskoordinaten
Spiegelungsprinzip, SCHWARZsches
Spirale
ARCHIMEDIsche
hyperbolische
logarithmische
asymptotischer Punkt
Polarkoordinaten
Spiralen
Spline-Interpolation
Hinweis
Spline-Koeffizienten
Splines
Ausgleichssplines


B-B-Flächendarstellung
Basissplines
bikubische
bikubische Ausgleichssplines
bikubische Interpolationssplines
Gitterpunkt
Interpolationssplines
kubische
kubische Ausgleichssplines
kubische Interpolationssplines
Masche
natürliche
normalisierte B-Splines
periodische
Sprung, endlicher
Sprungfunktion
Anwendung des Lemmas von JORDAN
LAPLACE-Transformation
Spur, Matrix
Stabilität
absolut stabil
erste Näherung
LYAPUNOV
numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen
orbitale


Rundungsfehler, numerische Rechnung
Störung der Anfangswerte
strukturelle
Differentialgleichungen
disktere Systeme
Stabschwingungsgleichung
Stammfunktion
Standardabweichung
arithmetisches Mittel
Einzelmessung
Gewicht
arithmetisches Mittel
Einzelmessung
Gewichtseinheit
Moment 2. Ordnung
Startpunkt
Stationierung, freie
Statistik
beschreibende
mathematische
Begriff
Einordnung
Fehlertheorie
Schätzwert
Stichprobenfunktion
STEFFENSEN-Verfahren


Steigung, Tangente
Steradiant
Stereometrie
Stetigkeit
absolutstetig
elementare Funktionen
Exponentialfunktionen
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
ganzrationale Funktionen
gebrochenrationale Funktionen
HÖLDERsche
inverse trigonomtrische Funktionen
irrationale Funktionen
komplexe Funktion
logarithmische Funktionen
mittelbare Funktion
Polynome
trigonometrische Funktionen
zusammengesetzte elementare Funktionen
Stichprobe
Begriff
Umfang
zufällige
Stichprobenfunktion
STIELTJES-Integral


Begriff
Vergleich mit RIEMANN-Integral
STIELTJES-Transformation
STIRLINGsche Formel
Stochastik
STOKESscher Integralsatz
Störung
Strahl
Strahlpunkt
Strecke
Streifen, charakteristische
Streuung
Definition
Hinweis
Meßwerterfassung
Moment 2. Ordnung
Stichprobenfunktionen
Synonyme
zweidimensionale Verteilung
Strichliste
Strom, Bogen
Stromfunktion
Strophoide
Strudel
Einordnung


Phasenporträt
Sattelstrudel
Klassifizierung
Phasenporträt
zusammengesetzter
Strudelpunkt
Struktur
algebraische
klassische algebraische
Stufenwinkel
STURM-LIOUVILLEsches Problem
STURMsche
Funktion
Kette
Kette, Anwendung
Stützfunktional
Stützhyperebene
Stützpolygon
Stützstelle
äquidistante
Polynominterpolation
Subnormale
Substitution
binomischer Integrand
EULERsche
Integration


Funktion von hyperbolischen Funktionen
Funktion von trigonometrischen Funktionen
irrationale Funktion
Universalsubstitution
von Variablen
Differentialausdrücke
kartesische in Polarkoordinaten
Subtangente
Subtraktion
komplexe Zahlen
numerisches Rechnen
Polynome
rationale Zahlen
Tensoren I
Tensoren II
Summe
Rechenregeln
Summenzeichen
Summenkonvention, EINSTEINsche
Summenregel
Summensymbolik, GAUSSsche
Superposition
Felder
komplexe Potentiale
nichtlineare
Schwingungen


Superpositionssatz, Differentialgleichungen
lineare, n-ter Ordnung
System, linearer inhomogener, 1. Ordnung
System, linearer inhomogener, n-ter Ordnung
Supplementsätze
Supplementwinkel
Supremum
Symbol
KRONECKER II
LANDAU
LEGENDRE
Symmetrie
axiale
Spiegelzentrale
Symmetriebrechung
Differentialgleichung
Symmetrieelement
Symmetriegruppe
Symmetrieoperation
Drehspiegelung
Drehung
ohne Fixpunkt
Spiegelung
System
Differentialgleichungen


Charakteristik
charakteristisches
kanonisches
lineare homogene
lineare inhomogene
lineare, konstante Koeffizienten
Zurückführung auf
kognitives
lineares
Normalgleichungen
orthogonales
orthonormiertes
trigonometrisches
vier Punkte
vollständiges
HILBERT-Raum
Wahrscheinlichkeitsrechnung
wissensbasierte Interpolation
System, dynamisches
Abbildung auf dem Einheitskreis
Bewegung
chaotisches
Fraktale
metrischer Raum
nach DEVANEY


Cr-glattes
dissipatives
ergodisches
invertierbares
konservatives
Kreisabbildung
Standardform I
Standardform II
Standardform III
laminare Phase
LORENZ
mischendes
Begriff
Diffeomorphismus
Rotationszahl
stetiges
turbulente Phase
Turbulenz
volumenerhaltendes
volumenschrumpfendes
Windungszahl
zeitdiskretes
zeitdynamisches
zeitkontinuierliches


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Tabelle mit doppeltem Eingang
Tangens
hyperbolischer
geometrische Definition
trigonometrischer
geometrische Definition
Tangensformeln
Tangensfunktion
hyperbolische
geometrische Definition
trigonometrische
geometrische Definition
Tangenssatz
Tangente
ebene Kurve
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Raumkurve


Begriff
Gleichungen, Parameter I
Gleichungen, Parameter II
Tangentenabschnitt
Tangentenneigungswinkel
Differentialgeometrie
Differentialquotient
Tangentensteigung
Tangentenstück
Hyperbel
Tangentenviereck
Tangentenwinkel
Tangentialebene
Begriff
Fläche
Begriff
Gleichungen
Gleichung
Kugel
vollständiges Differential
Tangiermeridian
Tautologie
Aussagenlogik
BOOLEsche Funktion
Prädikatenlogik
TAYLOR


Entwicklung
analytische Funktion
eine Veränderliche I
eine Veränderliche II
Grenzwertbildung
Vektorfunktion
zwei Veränderliche
Formel
eine Veränderliche
Reihe
eine Veränderliche I
m Veränderliche
zwei Veränderliche
Teilbarkeit
Teilbarkeitskriterien
Bezeichnungen
Regeln
Teilbarkeitsregeln, elementare
Teiler
größter gemeinsamer (ggT)
Linearkombination
Polynome
Primfaktorenzerlegung
positiver
teilerfremd
indirekter Beweis


Polynome
Teilgraph
Teilmenge
konvexe
Teilraum
affiner
Teilung
äußere
innere
stetige
Strecke
Ebene
Raum
Telegrafengleichung
Tensor
0. Stufe
1. Stufe
2. Stufe
Addition I
Addition II
antisymmetrischer
Definition
Deltatensor
dyadisches Produkt
Eigenwert
Epsilontensor


invarianter
Komponenten
Multiplikation I
Multiplikation II
n-ter Stufe
Rechenregeln I
Rechenregeln II
schiefsymmetrischer
bezgl. zweier Indizes
Spur
Subtraktion I
Subtraktion II
symmetrischer
bezgl. zweier Indizes
Verjüngung I
Verjüngung II
Tensoren
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Tensorinvariante
Tensorprodukt
Splines
Vektoren
Term
Termalgebra


Termersetzungssystem
Testaufgabe, lineare
Tetraeder
Stereometrie
System aus vier Punkten
Tetraedergruppe
Teufelstreppe
Theorem
KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER
STURMsches
Thetafunktion
Tilgung
Tilgungsrechnung
Toleranz
Tonnenkörper
parabolischer
topologisch
äquivalent
konjugiert
Torus
Abspaltung
AVRAIMOVICH-SHILNIKOV-Satz
Funktion des Bifurkationswertes
adäquater Phasenraum
Auflösung
Glattheitsverlust


invariante Menge
m-dimensionaler
eingebetteter
Resonanz-Torus
Stereometrie
Volltorus
vom Torus zum Chaos
Träger
kompakter
Träger
Funktion
Geradenbüschel
Zugehörigkeitsfunktion
Trägermenge
Trägheitsmoment
Doppelintegral
Kurvenintegral 1. Art
Trägheitstensor
Trajektorie, dynamisches System
Traktrix
Transformation
geometrische
HOPF-COLE
HOUSEHOLDER
lineare
Abbildung, Vektorräume


Koordinatensystem
rechtwinklige Koordinaten
Wavelet-Transformation
Transformationsdeterminante
Transformationsinvarianz
Transformationsverfahren
Eigenwertprobleme
Translationsinvarianz
Begriff
Deltatensor
Transportnetz
Trapez
Trapezformel
HERMITEsche
numerische Integration
Trapezimpuls
unipolarer
LAPLACE-Transformation
Trapezsumme
HERMITEsche
numerische Integration
Trennbarkeit, Mengen
Trennungssätze
Triangulierung
Geodäsie
Methode der finiten Elemente


Tridiagonalisierung
Triederecke
Trochoide
TSCHEBYSCHEFF-Satz
TSCHEBYSCHEFF-Approximation
Aufgabe
diskrete
Prinzip
stetige
Vorgehen
TSCHEBYSCHEFF-Polynom
Eigenschaften
Formel
TSCHEBYSCHEFF-Ungleichung, gewöhnliche
Turbulenz
HOPF-LANDAU-Modell
LORENZ-System
TUTTE-Satz
Typ, universelle Algebra

</HTML


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Überdeckung, offene
Überschiebung
Tensor I
Tensor II
Ultra-Fuzzy-Set
Umfang
Ellipse
Ellipse, elliptisches Integral
Kreis
Umformung, identische
Umgebung, Punkt
Umkehrfunktion
Hyperbelfunktionen
trigonometrische
Umkreis
Dreieck
Definition
Radius
Viereck


Umkreisradius
Umlaufintegral
Begriff
Hinweis
Vektorfeld
Verschwinden
Umlaufsinn, Figur
Unabhängigkeit, lineare
Gleichungen
Vektorräume
zweier Merkmale, Test
Unabhängigkeit
lineare, Vektorraum
unendlich
abzählbar unendlich
Begriff
überabzählbar unendlich
Ungleichung
1. Grades
2. Grades
allgemeiner Fall
Lösungen
arithmetisches und geometrisches Mittel
arithmetisches und quadratisches Mittel
Auflösung
BERNOULLIsche


BESSELsche
binomische
CAUCHY-SCHWARZsche
Dreiecksungleichung
HÖLDERsche
Integrale
Reihen
MINKOWSKIsche
Integrale
Reihen
reine
SCHWARZ-BUNJAKOWSKIsche
TSCHEBYSCHEFFsche
Erwartungswerte
verallgemeinerte
TSCHEBYSCHEFFsche
gewöhnliche
Typ I
Typ II
verschiedene Mittelwerte
Ungleichungen
gleichsinnige
spezielle
Transitivität
ungleichsinnige
Unsicherheit


absolute
Fuzzy-Logik
relative
Unstetigkeit, hebbare
Unstetigkeitsstelle
Unterdeterminante
Untergraph
induzierter
Untergruppe
triviale
zyklische
Untergruppenkriterium
Unterraum, des Vektorraumes
Unterraumkriterium
Unterring
Begriff
trivialer
Unterringkriterium
Untervektorraum
instabiler
diskrete Systeme
lineare Differentialgleichungen
stabiler
diskrete Systeme
lineare Differentialgleichungen
Urliste


Meßprotokoll I
Meßprotokoll II
Urnenmodell

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Vagheit
Valenzmatrix
VAN-DER-POLsche Differentialgleichung
Variable
abhängige
Funktion
Spaltenvektor
Aussagenvariable
BOOLEsche
freie
gebundene
linguistische
unabhängige
Definition
Funktion
Spaltenvektor
Variablentrennung
Begriff
SCHRÖDINGER-Gleichung


Varianz
Moment 2. Ordnung
Variation
Begriff
Definition
Variation der Konstanten
Differentialgleichung n-ter Ordnung
Satz
Variationsaufgabe
allgemeinere
einfache
einfache, mehrere Veränderliche
Funktionen mehrerer Veränderlicher
höhere Ableitungen
mehrere Ableitungen
mit Nebenbedingungen
numerische Lösung
Parameterdarstellung
positiv homogene Funktion
RITZ-Verfahren I
Variationsgleichung
LYAPUNOV-Exponenten
Methode der finiten Elemente
Stabilität von Ruhelagen
Differentialgleichungen
diskrete dynamische Systeme


Variationsproblem
1. Ordnung
Begriff
DIRICHLETsches
höherer Ordnung
Parameterdarstellung
Variationsrechnung
1. Variation
2. Variation
Anwendungen in der Physik
Ergänzungen
Varietät
Vektor
Absolutbetrag
axialer
Begriff
Spieglungsverhalten
Begriff
Differentiationsregeln
ebenes Flächenstück
Einheitsvektor
freier
Funktionalanalysis
gebundener
gemischtes Produkt
Grundvektor


kollinearer
komplanarer
Komponenten
konjugierter
Koordinaten
Länge
linienflüchtiger
linkssingulärer
Matrix
Modul
Multiplikation
Nullvektor
orthogonaler
polarer
Begriff
Spiegelungsverhalten
Radiusvektor
rechtssingulärer
reziproker
reziproker Grundvektor
skalar invarianter
Spaltenvektor
Tensor 1. Stufe
Zeilenvektor
Zerlegung


Vektoralgebra
Vektoranalysis
Vektordiagramm, Schwingungen
Vektoren
Dreiecksungleichung
dyadisches Produkt
Kollinearität
Kommutativgesetz
dyadisches Produkt
Skalarprodukt
Skalarprodukt
Matrixform
Tensorprodukt
Winkel zwischen
zyklische Vertauschung
Vektorfeld
Divergenz
dynamisches System
kartesische Koordinaten
Komponenten
Koordinatendarstellung
Kreisfeld
Kugelkoordinaten
punktförmige Quellen
Quelle
Richtungsableitung


Rotation
Senke
sphärisches
Umlaufintegral
zentrales
Zylinderkoordinaten
zylindrisches
Vektorfunktion
Ableitung
Hodograph
lineare
skalare Variablen
TAYLOR-Entwicklung
Vektorgleichung
Ebene
Gerade
Raumkurve
Begriff
Tabelle I
Tabelle II
Raumkurve, Bogenlänge
Vektorgradient
Definition
Nablaoperator
Vektoriteration
Vektorpotential


Vektorprodukt
doppeltes
kartesische Koordinaten
Koordinatendarstellung
Multivektor
Vektoralgebra
Vektorraum
aller beschränkten Zahlenfolgen
aller finiten Zahlenfolgen
aller konvergenten Zahlenfolgen
aller zu 0 konvergierenden Folgen (Nullfolgen)
Axiome
B(T)
C([a,b])
C(k)([a,b])
EUKLIDischer
Folgen
F(T)
geordneter
Gesetze
Halbordnung
Inklusionen
Kn
komplexer
M(N)


n-dimensionaler
reeller
über einem Körper
über einem Körper von Skalaren
s aller Zahlenfolgen
unendlichdimensionaler
Vektorverband
geordneter Raum
homomorpher
normierter
Vektorzerlegung
kartesische Koordinaten
VENN-Diagramm
Verband
distributiver
Vereinigung
Mengen
unscharfe Mengen
Vereinigungsmenge
Verfahren
ADAMS-BASHFORTH
Ansatzverfahren
Austauschverfahren
BAIRSTOW
Bisektionsverfahren
CHOLESKY


Quadratmittelproblem, Hinweis
symmetrische Koeffizientenmatrix
GALERKIN-Verfahren
GAUSS-NEWTON
ableitungsfreies
GAUSS-SEIDEL
GRAEFFE
HOUSEHOLDER
diskrete Approximationsaufgabe
Quadratmittelproblem
Iterationsverfahren
JACOBI-Verfahren (Eigenwertbestimmung)
LANCZOS-Verfahren
MILNE
NEWTON
Iterationsverfahren
modifiziertes, numerische Mathematik
modifiziertes,Funktionalanalysis
nichtlineare Gleichungssysteme
Orthogonalisierung
GRAM-SCHMIDTsches
HOUSEHOLDER
Prediktor-Korrektor
RITZ-Verfahren
numerische Lösung von Variationsaufgaben I
numerische Lösung von Variationsaufgaben II


ROMBERG-Verfahren
RUNGE-KUTTA
SOR-Verfahren
STEFFENSEN
Transformationsverfahren, Eigenwertbestimmung
Vergleichsfunktion
eine Veränderliche
zwei Veränderliche
Verifizieren, Beweisführung
Verjüngung
Tensor I
Tensor II
Verkettung
Verknüpfung
max-average
max-min
max-prod
Verknüpfungsoperator
Verknüpfungsprodukt
Verknüpfungsregeln
Verschlüsselungsverfahren, RSA
Versicherungsmathematik
Versiera der Agnesi
Vertauschung, zyklische
Seiten und Winkel
Vektoren


Vertauschungssatz, SCHWARZscher
Verteilung
Binomialverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
Tabelle der Quantile
diskrete
Exponentialverteilung
FISHER-Verteilung
Häufigkeitsverteilung
hypergeometrische
logarithmische Normalverteilung
Normal-Verteilung
POISSON-Verteilung
stetige
Stichprobenmittelwerte
STUDENT-Verteilung
Tabelle der Quantile
t-Verteilung
Tabelle der Quantile
WEIBULL-Verteilung
Verteilungsdichte
Meßfehler
Verteilungsfunktion
diskrete Zufallsgrößen
Eigenschaften


stetige
kontinuierliche Zufallsgrößen
Vertrauensgrenze
Mittelwert
Begriff
bekannte Streuung
unbekannte Streuung
Regressionskoeffizient
Streuung
Vervollständigung
Vieleck
ähnliches
ebenes
Flächeninhalt
Inkreisradius
Innenwinkel
regelmäßiges
Seitenlänge
Umkreisradius
Zentriwinkel
Außenwinkel
Vielfaches
kleinstes gemeinsames (kgV)
Vielflach
Viereck
allgemeines


Definition
Vierergruppe, KLEINsche
VIETA, Wurzelsatz
Vollwinkel
ebener
räumlicher
VOLTERRAsche Integralgleichung 2. Art
Differentiation
Faltungstyp
Kontraktionsprinzip
Lösung durch Differentiation
Methode der Umwandlung
NEUMANNsche Reihe
numerische Behandlung
partielle Integration
theoretische Grundlagen
VOLTERRAscher Integraloperator
Volumen
Doppelintegral
Dreifachintegral
Hohlzylinder
Kegel
Keil
Kugel
Obelisk


Polyeder
Prisma
Pyramide
Quader
Teilmenge
Tetraeder
Tonnenkörper
Torus
Würfel
Zylinder
Volumenableitung
Divergenz
Gradient
Rotation
Volumenelement
beliebige Koordinaten
kartesische Koordinaten
Kugelkoordinaten
Tabelle
Vektorkomponenten
Zylinderkordinaten
Volumenintegral
Volumenskala
Vorwärtseinschnitt
auf der Kugel


durch zwei Strahlen
ohne Visier
Vorzeichenfunktion
vrai sup

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Wahrheitsfunktion
Äquivalenz
BOOLEsche Funktion
Disjunktion
Implikation
Konjunktion
NANDNegation
NORWahrheitsfunktionen
Wahrheitstafel
Wahrheitswert
Wahrscheinlichkeit
bedingte
Definition
Flächeninterpretation
vollständige
Wahrscheinlichkeitsdichte
Wahrscheinlichkeitsintegral


Wahrscheinlichkeitsmaß
ergodisches
invariantes
Wahrscheinlichkeitspapier
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einordnung
WALSH-Funktionen
WALSH-Systeme
Wärmeleitungsgleichung
CAUCHY-Problem
eindimensionale
homogener Stab
LAPLACE-Transformation
Wavelet
DAUBECHIES-Wavelets
orthogonales
Wavelet-Transformation
diskrete
diskrete HAAR-Wavelet-Transformation
dyadische
schnelle
WEBERsche Funktion
Wechselwinkel
Wechselwirkung
Solitonen
Teilchen


Weg, Funktion der Geschwindigkeit
Weg, Graph
alternierender
zunehmender
WEIBULL-Verteilung
WEIERSTRASS
Funktion
Kriterium
Satz
Approximationssatz
Funktion einer Veränderlicher
Funktion mehrerer Veränderlicher
Welle, ebene
Wellenfunktion
klassische Wellen
Schrödingergleichung
Wärmeleitungsgleichung
Wellengleichung
eindimensionale, FOURIER-Transformation
Wellenlänge, Sinuskurve
Wendepunkt
Bestimmung
Funktion einer Veränderlichen
Kurvendiskussion
Regeln
Wendepunkte


Einordnung
WENN-DANN-Regel
Wert, wahrer
Wertebereich, Funktion
Wertesystem
wertverlaufsgleich
Windung, Raumkurve
Windungsradius, Raumkurve
Winkel
an Geraden
an Parallelen
Begriff
Bezeichnungen
Bogenmaß
ebene Kurven
Ebenen
ebener
entgegengesetzte
EULERsche
Gegenwinkel
Gerade und Ebene
Geraden, Raum
gestreckter
Raumwinkel
rechter


Rückversetzung
spitzer
Stufenwinkel
stumpfer
überstumpfer
zwischen
ebenen Kurven
Raumkurven
Vektoren
Gradmaß
Winkelhalbierende
Dreieck
Begriff
Berechnung
Winkelkosinussatz
Winkelsumme
ebenes Dreieck
sphärisches Dreieck
Wirbelfeld
quellenfreies
reines
Wirbellinien
Wirbelpunkt
Wort, Kodierung
Worthalbgruppe
WRONSKI-Determinante


Fundamentalsystem von Lösungen
lineare Differentialgleichung
Würfel
Wurzel
Begriff
Gleichung n-ten Grades
komplexe Zahl
reele Zahl
Wurzelbaum
Wurzelkriterium
Wurzelsatz, VIETAscher
Wurzelziehen

</HTML


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XOR-Funktion
BOOLEsche Funktion
Z-Transformation
Tabelle
Zahl pi
Zahlen
BERNOULLIsche
EULERsche
FIBONACCI-Zahlen
Iterationsvorschrift
ganze
imaginäre
irrationale
Entdeckung
Zahlengerade
komplexe
Addition
Argument
Division


Exponentialform
Hauptwert
Modul
Multiplikation
Potenzieren
Radizieren
Subtraktion
trigonometrische Form
konjugiert komplexe
natürliche
Primzahlen
rationale
reelle
transzendente
zusammengesetzte
Zahlendarstellung, interne
Zahlenebene
GAUSSsche
komplexe
beliebige Abbildung
konforme Abbildung
Zahlenfolge
Bildungsgesetz
Divergenz
finite


Glieder
Grenzwert
Konvergenz
monotone
Schranke
Zahlengerade
erweiterte
Zahlenintervall
Zahlensystem
Bildungsgesetz
Computer
Dezimalsystem
Dualsystem
Hexadezimalsystem
Oktalsystem
polyadisches
Zahlentheorie
Zeichen, mathematische
Zeichendarstellung, interne
Zeichenregel, kartesische
Zeilensummenkriterium
Zeilenvektor
Zeit-Frequenz-Analyse
Zelt-Abbildung
Zenit


Zenitwinkel
Zentralfeld
Zentralwert, Stichprobenfunktionen
Zentriwinkel
Begriff
Berechnung, Kreisabschnitt
Zentrum
Zentrumsmannigfaltigkeit
Abbildungen
Differentialgleichungen
Zerlegung
Äquivalenzklasse
CHOLESKY
orthogonale
Vektoren
Zerlegungssatz
Differentialgleichungen
Zielfunktion, lineare
Zielpunkt
Zigarrenform, Ellipsoid
Zinsen
Zinseszins
Zinseszinsrechnung
Zinssatz
Zissoide
Z-Transformation


Anwendungen
Bildfunktion
Dämpfung
Definition
Differentation
Differenzenbildung
Faltung
Faltungsatz
Integration
inverse
Name
Originalfolge
Rechenregeln
Summation
Translation
Vergleich mit LAPLACE-Transformation
Z-transformierbar
Zufallserscheinung
Zufallsgröße
Begriff
diskrete
kontinuierliche
stetige
unabhängige
Zufallsvektor


mathematische Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsveränderliche
Begriff
mehrdimensionale
unabhängige
Zufallszahlen
Erzeugung
gleichverteilte
Monte-Carlo-Simulation
Pseudozufallszahl
Tabelle
verschiedene Verteilungen
Zugehörigkeitsfunktion
Begriff
Beispiele
glockenförmige
trapezförmige
Zugehörigkeitsgrad
Zustand
entarteter
stationärer
Teilchen
Zuwachsfunktion
Zweieck, sphärisches
Zweifachintegral


Zweiflach
Zweikörperproblem
Zwischenveränderliche
Zwischenwertsatz
Funktion einer Veränderlichen
Funktion mehrerer Veränderlicher
Zykloide
Basis
gewöhnliche
kongruente
verkürzte
verlängerte
Zykloiden
Zyklus, Kette
Zylinder
elliptischer
Fläche 2. Ordnung
hyperbolischer
Invariantenvorzeichen
elliptischer
hyperbolischer
parabolischer
parabolischer
Stereometrie
Zylinderabschnitt
Zylinderfläche


Gleichung
Mantel
Zylinderfunktion
Tabelle
Zylinderhuf
Zylinderkoordinaten
Grundlagen
Vektorfeld


Dissipative Bäcker-Abbildung
Sei

ein Parameter und

das Einheitsquadrat. Die Abbildung

(17.49)
heißt dissipative Bäcker - Abbildung . Zwei Iterationen der Bäcker -Abbildung sind in der folgenden Abbildung zu
sehen.


Man erkennt die entstehende ,,Blätterteigstruktur ``. Die Menge

Punkte aus

werden von

Für das dynamische System

ist invariant unter

und alle

angezogen. Der Wert für die HAUSDORFF-Dimension ist

existiert auf

ein invariantes Maß

.

, verschieden vom LEBESGUE-Maß. In

den Punkten, wo die Ableitungen existieren, erhält man die JACOBI-Matrizen

Hieraus ergeben sich die Singulärwerte

und, demzufolge, die

LYAPUNOV-Exponenten (bezüglich des invarianten Maßes

. Damit gilt für die

LYAPUNOV-Dimension


. Die PESINsche Formel für die metrische Entropie stimmt hier, d.h., es gilt

.


Abbildungen
Eine Abbildung (oder Funktion)

von einer Menge

Zuordnungsvorschrift, die jedem Element
Abbildung

als zweistellige Relation zwischen

Abbildung von

nach

in eine Menge

eindeutig ein Element
und

(Bezeichnung

) ist eine

zuordnet. Man kann eine
auffassen:

heißt

falls gilt:
(5.82)

und
(5.83)
Die Funktion

heißt eineindeutig (oder injektiv ), falls zusätzlich gilt:
(5.84)

Während bei einer Abbildung nur verlangt wird, daß jedes Original nur ein Bild hat, bedeutet Injektivität, daß auch
jedes Bild nur ein Original besitzt.


Die Funktion

heißt Abbildung von

auf

(oder surjektiv ), falls gilt:
(5.85)

Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv . Für bijektive Abbildungen

ist die inverse

die sogenannte Umkehrabbildung von

Relation eine Abbildung

Das Relationenprodukt, auf Abbildungen angewandt, charakterisiert die Hintereinanderausführung von Abbildungen:
Sind

und

Abbildungen, so ist

eine Abbildung von

nach

und es gilt
(5.86)

Man beachte die Reihenfolge von

und

in dieser Gleichung (unterschiedliche Handhabung in der Literatur!).


Lineare Operatoren und Funktionale
●
●
●

Abbildungen
Homomorphismus und Endomorphismus
Isomorphe Vektorräume


Chaotisches System nach Devaney
Sei

ein dynamisches System im metrischen Raum

System

bzw. die Menge

mit kompakter invarianter Menge

heißt chaotisch im Sinne von DEVANEY, wenn gilt:

a)
ist topologisch transitiv auf

, d.h., es gibt einen positiven Semiorbit, der dicht in

b)
Die periodischen Orbits von

liegen dicht in

.

c)
ist auf

sensitiv bezüglich der Anfangswerte im Sinne von GUCKENHEIMER, d.h.,

liegt.

. Das


(17.51)

Beispiel
BERNOULLI-Shift-Abbildung: Gegeben sei der Raum der

Für zwei Folgen

Damit wird

und

-

-Folgen

sei der Abstand

ein vollständiger metrischer Raum, der außerdem kompakt ist. Die Abbildung
heißt BERNOULLI- Shift-Abbildung .

Die Shift-Abbildung ist chaotisch im Sinne von DEVANEY.


Unterabschnitte
●
●

Äquivalente und geliftete Abbildung
Rotationszahl:

Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
Äquivalente und geliftete Abbildung
Beim Glattheitsverlust und Zerfall eines Torus spielen die Eigenschaften invarianter Kurven der POINCARÉ-Abbildung
eine wichtige Rolle. Stellt man die POINCARÉ-Abbildung in Polarkoordinaten dar, so erhält man unter gewissen
Voraussetzungen losgekoppelte Abbildungen der Winkelvariablen als aussagefähige Hilfsabbildungen auf dem
Einheitskreis. Diese sind im Falle glatter invarianter Kurven (obere Abbildung) umkehrbar und im Falle nichtglatter
Kurven (untere Abbildung) nicht umkehrbar.


Eine Abbildung

mit

, die das dynamische System
(17.77)

erzeugt, heißt äquivariant . Jeder solcher Abbildungen läßt sich auch eine Abbildung auf dem Einheitskreis


mit
die Äquivalenzklasse

zuordnen. Dabei ist
die Beziehung

gilt. Man bezeichnet

, wenn für

als eine von f geliftete Abbildung .

Offenbar ist diese Zuordnung nicht eindeutig. Sei
(17.78)
das zu

gehörige dynamische System.

Beispiel
Sind

und

zwei Parameter, so sei die Abbildung

für alle

durch

definiert. Das zugeordnete dynamische System
(17.79)
läßt sich durch die Transformation

auf das System
(17.80)

mit

überführen. Mit

die die Standardform der Kreisabbildung erzeugt.

liegt eine äquivariante Abbildung vor,


Rotationszahl:
Der Orbit
ein

von (17.77) ist genau dann ein

-Zyklus von (17.77) ist, d.h., wenn eine ganze Zahl

Die Abbildung

, und dieser Grenzwert hängt nicht von

definiert werden. Ist

zwei von

geliftete Abbildung ist.

gibt, die

geliftete Abbildungen, so gilt

als

ab. Es kann deshalb der

ein Homöomorphismus und sind

, wobei

der letzten Eigenschaft läßt sich die Rotationszahl (oder Windungszahl )
Homöomorphismus

gilt.

aus (17.77) ein monoton wachsender Homöomorphismus, so existiert für jedes

der Grenzwert

sowie

, wenn er

existiert, so daß

heißt orientierungstreu , wenn es eine zugehörige geliftete Abbildung

monoton wachsend ist. Ist

Ausdruck

- periodischer Orbit von (17.78) in

eine ganze Zahl ist. Aufgrund

eines orientierungstreuen

definieren, wobei

eine beliebige von


Ist

in (17.78) ein orientierungstreuer Homöomorphismus, so hat die Rotationszahl folgende

Eigenschaften (s. Lit. 17.12):
a)
Hat (17.78) einen

-periodischen Orbit, so existiert eine ganze Zahl

, so daß

ist.

b)
Ist

, so hat (17.78) eine Ruhelage.

Ist

, wobei

(17.78) einen

-periodischen Orbit.

c)
, ganzzahlig und

eine natürliche Zahl ist (

und

teilerfremd), so hat

d)
ist genau dann irrational, wenn (17.78) weder einen periodischen Orbit noch eine Ruhelage besitzt.

Satz von DENJOY: Ist
irrational, so ist

ein orientierungstreuer

-Diffeomorphismus und ist die Rotationszahl

topologisch konjugiert zu einer reinen Drehung, deren geliftete Abbildung


lautet.


Satz von Hadamard und Perron für diskrete Systeme
Der Satz von HADAMARD und PERRON für diskrete Systeme in

beschreibt Eigenschaften der

Separatrixflächen:
Ist

eine hyperbolische Ruhelage von (17.3) vom Typ

verallgemeinerte

-glatte Flächen der Dimension

aussehen. Die Orbits von (17.3), die für
hinreichend kleine Umgebungen von
tangiert in

, so sind
bzw.

oder
für

oder

bzw. den instabilen Untervektorraum

Beispiel

, die lokal wie
nicht gegen

den stabilen Untervektorraum

.

und
-glatte Elementarflächen
streben, verlassen

. Die Fläche

bzw.
für

von
für


Betrachtung des folgenden zeitdiskreten dynamischen Systems
(17.23)
aus der Familie der HÉNON-Abbildungen. Die beiden hyperbolischen Ruhelagen von (17.23) sind
und

. Es sollen lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeiten von

bestimmt werden. Mit der Variablentransformation
mit der Ruhelage

System
der JACOBI-Matrix
, so daß

bzw.

geht (17.23) in das
über. Den Eigenwerten

entsprechen die Eigenvektoren
und

ist. In dem Ansatz
wird

gesucht. Aus

Potenzreihe

als

folgt

. Dies führt zu einer Bestimmungsgleichung für die Koeffizienten der Zerlegung
von

, wobei

ist. Der prinzipielle Verlauf der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit ist in der folgenden

Abbildung zu sehen (s. auch Lit. 17.6).


Hufeisen-Abbildung
Die Hufeisen-Abbildung

tritt in Verbindung mit POINCARÉ-Abbildungen auf, die transversale Schnitte von stabilen

und instabilen Mannigfaltigkeiten beinhalten.
Das Einheitsquadrat

wird zunächst in einer Koordinatenrichtung linear gestreckt und in der

anderen Richtung gestaucht. Anschließend wird das erhaltene Rechteck in der Mitte gebogen (s. Abbildung).

Wiederholt man diese Prozedur ständig, so entsteht eine Folge von Mengen

, für die


eine kompakte unter
Mit Ausnahme eines Punktes läßt sich

invariante Menge darstellt, die alle Punkte aus

lokal als Produkt ,,Linie

anzieht.

CANTOR-Menge`` beschreiben.


Homomorphismen und Isomorphismen
Zwischen algebraischen Strukturen werden nicht beliebige, sondern ,,strukturerhaltende`` Abbildungen betrachtet:
und

1. Gruppenhomomorphismus: Es seien

heißt Gruppenhomomorphismus , wenn für alle

Gruppen. Eine Abbildung
gilt:
(5.102)

Als Beispiel sei der Multiplikationssatz für Determinanten erwähnt:
(5.103)
Dabei ist auf der linken Seite der Gleichung die Multiplikation reeller Zahlen (ungleich Null) und auf der rechten Seite
die Multiplikation von regulären Matrizen gemeint.
2. Kern: Ist

ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge

die auf das neutrale Element von
erweist sich als Normalteiler von

.

abgebildet werden, Kern von

aller Elemente von

genannt. Der Kern von


3. Gruppenisomorphismus Ist ein Gruppenhomomorphismus
Gruppenisomorphismus , und die Gruppen

und

darüber hinaus bijektiv, so heißt

heißen zueinander isomorph (Bezeichnung:

). Es gilt: ker
Isomorphe Gruppen sind von gleicher Struktur, d.h., sie unterscheiden sich nur durch die Bezeichnung ihrer
Elemente.
Beispiel
Die symmetrische Gruppe

und die Diedergruppe

sind zueinander isomorphe Gruppen der

Ordnung 6 und beschreiben die Deckabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks.


Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene
Eine Funktion
(14.31a)
gilt als definiert, wenn die zwei Funktionen
sind. Die Funktion
Funktion
jeder Punkt

und

reeller Veränderlicher definiert und bekannt

braucht nicht analytisch zu sein, wie das bei der konformen Abbildung gefordert wird. Die

definiert eine neue komplexe Zahlenebene. Man sagt, sie bildet die
wird in einem ihm entsprechenden Punkt

-Ebene in die

-Ebene ab, d.h.,

abgebildet.

a) Transformation der Koordinatenlinien: Koordinatenlinien transformieren sich gemäß:

(14.31b)
b) Transformation geometrischer Gebilde: Geometrische Gebilde wie Kurven oder Gebiete der

-Ebene


transformieren sich zu Kurven oder Gebieten der

-Ebene, also zu gleichartigen geometrischen Gebilden:
(14.31c)

Mit

ist der Parameter bezeichnet.

Beispiel
Für

gehen die Geraden

also in die Geraden

. Die Geraden

(s. Abbildung).

über in
gehen über in die Geraden

,


Die schraffierte Fläche in der linken Abbildung wird auf die schraffierte Fläche in der rechten Abbildung
abgebildet.
c) RIEMANNsche Fläche: Ist die Funktion

mehrdeutig, wie z.B. die Funktionen

, so erfolgt die Abbildung auf eine entsprechende Anzahl übereinander liegender
Ebenen. Jedem Funktionswert der -Ebene entspricht ein Punkt auf einer dieser Ebenen. Die Ebenen sind
durch Kurven miteinander verbunden; ihre Gesamtheit wird mehrblättrige RIEMANNsche Fläche genannt
(s. Lit. 14.16).


Beispiel
: Überstreicht der Radiusvektor

die volle

, d.h.

dann überstreicht der zugehörige Radiusvektor
die obere

-Halbebene. Erst bei einem zweiten Durchlauf der

durchlaufen. Diese Zweideutigkeit von

-Ebene, d.h.

bezüglich

-Ebene wird die volle

,
, nur
-Ebene

wird dadurch behoben, daß man

zwei -Ebenen übereinanderlegt und längs der aufgeschnittenen negativen reellen Achse gemäß
der folgenden Abbildung miteinander verbindet.


Die so entstehende Fläche heißt RIEMANNsche Fläche der Funktion
Verzweigungspunkt. Der Wertevorrat von
zweiblättrigen RIEMANNschen Fläche ausgebreitet.

. Der Nullpunkt heißt

liegt in entsprechender Weise auf der


Konforme Abbildung
●
●
●
●
●

Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung
Einfachste konforme Abbildungen
Schwarzsches Spiegelungsprinzip
Komplexe Potentiale
Superpositionsprinzip


Konforme Abbildung durch affine Differentialtransformation
Die Zuordnung zwischen

und

geschieht durch die affine Differentialtransformation
(14.9a)

und in Matrizenschreibweise
(14.9b)
Wegen der CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen hat A die Gestalt der
Drehungs- Streckungsmatrix:
(14.10a)
(14.10b)
(14.10c)
(14.10d)


(14.10e)


Exponentialfunktion
Die konforme Abbildung in der Form der Exponentialfunktion
(14.18a)
lautet in Polarkoordinaten
(14.18b)
Mit

folgt:
(14.18c)

Wenn
bis

die Werte von
und

von

bis
bis

Ebene abgebildet (s. Abbildung).

durchläuft und

von

. Ein Parallelstreifen der Breite

bis

variiert, dann durchläuft
der

die Werte

-Ebene wird auf die gesamte

-


Gebrochenlineare Funktion
Für die konforme Abbildung in der Form der gebrochenlinearen Funktion
(14.13a)
kann die Transformation in drei Schritte zerlegt werden:
(14.13b)
(14.13c)

(14.13d)
Es werden wieder Kreise in Kreise überführt ( Kreisverwandtschaft ), wobei Geraden als Kreise mit
aufgefaßt werden. Fixpunkte dieser konformen Abbildung sind die beiden Punkte, die der quadratischen Gleichung
genügen. Sind die Punkte

und

Spiegelpunkte in bezug auf den Kreis

der

-Ebene,


dann sind ihre Bildpunkte
von

und

in der

-Ebene ebenfalls Spiegelpunkte in bezug auf den Bildkreis

. Das orthogonale Netz, das in das orthogonale kartesische Netz zurückführt, ist in der folgenden Abbildung

dargestellt.


Inversion
Bei der Inversion genannten konformen Abbildung
(14.12)
geht ein Punkt
Winkel

der

-Ebene mit dem Radius

in einen Winkel

in einen Punkt

der

-Ebene mit dem Radius

. Die orthogonalen Netze der Transformation zeigt die Abbildung.

über, ein


Daraus folgt, daß diese Transformation eine Spiegelung an einem Kreis mit dem Radius
Abbildung zeigt die Spiegelung am Einheitskreis.

bewirkt. Die folgende


Bei dieser Inversion geht ein Punkt

Punkt

mit dem Radius

innerhalb des Kreises mit dem Radius

über, der auf der Verlängerung des gleichen Radiusvektors

Abstand
Der Einheitskreis der

vom Mittelpunkt

in einen

außerhalb des Kreises liegt und den

hat.

-Ebene geht in den Einheitskreis der

-Ebene mit

über (s. Abbildung).


Allgemein gehen Kreise in Kreise über, wobei Geraden als Grenzfälle mit

zu den Kreisen gerechnet

werden. Punkte, die im Innern des Kreises liegen, werden zu äußeren Punkten und umgekehrt. Der Punkt
über, d.h., die Konformität ist hier gestört. Die Fixpunkte der konformen Abbildung sind

geht in
und

.


Einfachste konforme Abbildungen
In diesem Abschnitt werden neben den Transformationen und ihren wichtigsten Eigenschaften die Kurvenbilder
isometrischer Netze angegeben, d.h. solcher Netze, die in ein orthogonales kartesisches Netz übergehen. Dabei sind
die Ränder solcher

-Gebiete durch Schraffur gekennzeichnet, die auf die obere Hälfte der

werden. Schwarz dargestellte Gebiete gehen durch die konforme Abbildung in ein Quadrat der
Koordinateneckpunkten

●

Lineare Funktion:

und

über (s. Abbildung).

-Ebene abgebildet
-Ebene mit den


●
●
●
●
●
●
●
●

Inversion
Gebrochenlineare Funktion
Quadratische Funktion
Quadratwurzel
Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion
Logarithmus
Exponentialfunktion
Schwarz-Christoffelsche Formel


Lineare Funktion:
Für die konforme Abbildung in der Form der linearen Funktion
(14.11a)
kann die Transformation der

- in die

-Ebene in drei Schritten durchgeführt werden:
(14.11b)
(14.11c)
(14.11d)

Insgesamt geht dabei jede Figur in eine geometrisch ähnliche Figur über. Die Punkte

für

und

gehen in sich selbst über und heißen deshalb Fixpunkte . Die Abbildung zeigt das orthogonale

Netz, das in das orthogonale kartesische Netz übergeht.


Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion
Die konforme Abbildung
(14.16a)
kann mit Hilfe der Polarkoordinatendarstellung

und Trennung von Real- und Imaginärteil gemäß (14.8)

zu
(14.16b)
umgeformt werden. Kreise mit

der

-Ebene (s. linke Abbildung) gehen in die konfokalen

Ellipsen
(14.16c)
der

-Ebene (s. rechte Abbildung) über.


Brennpunkte sind die Punkte

der reellen Achse. Für den Einheitskreis mit

-Ebene in die zweifach durchlaufene Strecke
Äußere des Einheitskreises wird auf die volle

entartet die Ellipse der

der reellen Achse. Sowohl das Innere als auch das
-Ebene mit dem Schnitt

abgebildet, so daß die

Umkehrfunktion zweideutig ist:
(14.16d)
Die Geraden

der

-Ebene (s. die folgende linke Abbildung) werden in die konfokalen Hyperbeln


(14.16e)
mit den Brennpunkten

abgebildet (s. rechte Abbildung).

Die den Koordinatenhalbachsen der

Achse

-Ebene

und in die hin und zurück durchlaufenen Intervalle

entsprechenden Hyperbeln arten in die

der reellen Achse aus.


Logarithmus
Die konforme Abbildung in der Form der Logarithmusfunktion
(14.17a)
lautet in Polarkoordinaten
(14.17b)
Aus der Darstellung in Polarkoordinaten erkennt man, daß die Koordinatenlinien
aus den konzentrischen Kreisen um den Nullpunkt der
-Ebene verlaufen, hervorgehen.

und

-Ebene und aus den Strahlen, die durch den Nullpunkt der


Das isometrische Netz ist ein polares Netz.
Die Logarithmusfunktion

ist unendlich vieldeutig. Beschränkt man sich auf den Hauptwert von

, dann geht die gesamte

-Ebene in einen Streifen der

begrenzt wird, wobei die letztere mit eingeschlossen ist.

in

-Ebene über, der von den Geraden


Quadratische Funktion
Die konforme Abbildung mittels der quadratischen Funktion
(14.14a)
lautet in Polarkoordinaten
(14.14b)
und als Funktion von

und
(14.14c)

Aus der Darstellung (14.14b) in Polarkoordinaten ist ersichtlich, daß bereits die obere Hälfte der
volle

-Ebene abgebildet wird, d.h., die gesamte

-Ebene geht in die zweifach überdeckte

Die Darstellung in kartesischen Koordinaten zeigt, daß die Koordinaten der
aus den in der
hervorgehen (s. Abbildung).

-Ebene

-Ebene zueinander orthogonalen Hyperbelscharen

-Ebene auf die
-Ebene über.
und
und


Fixpunkte dieser konformen Abbildung sind
konform.

und

. An der Stelle

ist die Abbildung nicht


Quadratwurzel
Die konforme Abbildung
(14.15)
in der Form der Quadratwurzel aus
der

überführt die gesamte

-Ebene entweder in die obere oder untere Halbebene

-Ebene, d.h., die Funktion ist doppeldeutig. Die Koordinaten der

-Ebene gehen aus zwei zueinander

orthogonalen Scharen konfokaler Parabeln mit dem Brennpunkt im Nullpunkt der
bzw. negativen reellen Koordinatenhalbachse als Achse hervor (s. Abbildung).

-Ebene und mit der positiven


Fixpunkte der Abbildung sind

und

. Im Punkt

ist die Abbildung nicht konform.


Schwarz-Christoffelsche Formel
Durch die SCHWARZ-CHRISTOFFELsche Formel
(14.19a)

wird das Innere eines Polygons mit den
-Halbebene abgebildet (s. Abbildung).

Außenwinkeln

der

-Ebene auf die obere


Mit

sind die den Ecken des Polygons zugeordneten Punkte der reellen Achse der

-Ebene bezeichnet, mit

die Integrationsvariable. Der orientierte, also durch eine Richtung ausgezeichnete Rand des Polygons geht bei der
Abbildung in die orientierte reelle Achse der

-Ebene über. Für große Werte von

verhält sich der Integrand wie

und ist im Unendlichen regulär.

Da die Summe aller Außenwinkel eines

-Ecks gleich

ist, gilt:

(14.19b)
Die komplexen Konstanten

und

bewirken eine Drehstreckung und eine Verschiebung, hängen aber nicht


von der Form, sondern nur von Größe und Lage des Polygons in der
Drei Punkte der

-Ebene

dürfen frei drei beliebigen Punkten der

zugeordnet werden. Ordnet man einem Eckpunkt des Polygons in der
fernen Punkt der

-Ebene, also

-Ebene ab.
-Ebene

-Ebene, z.B.

zu, dann ist der Faktor

, einen unendlich
wegzulassen. Wenn das

Polygon ausartet, z.B. dadurch, daß sich ein Eckpunkt im Unendlichen befindet, dann ist der zugehörige
Außenwinkel gleich

, also

, d.h., das Polygon wird zum Halbstreifen.

Beispiel A
Für das in der linken Abbildung skizzierte Gebiet der

-Ebene wird die in der nachstehenden Tabelle für

angegebene Zuordnung dreier Punkte gewählt.


Die Abbildungsformel lautet:
.

Bei der Bestimmung von

ist

zu setzen:

d.h.,

Daß die Konstante

ist, geht aus der Zuordnung ,,

.

`` hervor.


Beispiel B
Abbildung eines Rechtecks. Eckpunkte des abzubildenden Rechtecks seien
. Die Punkte

und

sollen in die Punkte

der reellen Achse übergehen,
und
Punkte

und

und

sind Spiegelpunkte zu

bezüglich der imaginären Achse. Nach dem SCHWARZschen Spiegelungsprinzip müssen ihnen die
und

entsprechen (s. Abbildung).

Damit lautet die Abbildungsformel für ein Rechteck
der oben skizzierten Lage


.

Punkt

entspricht Punkt

und Punkt

Punkt

. Mit

wird

,

wobei die Substitution

verwendet wurde. Die Funktion

elliptische Integral 1. Gattung.
Daß die Konstante

ist, geht aus der Zuordnung ,,

`` hervor.

ist ein


BANACHscher Fixpunktsatz
Sei

eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes
ein kontraktiver Operator auf

, d.h., es existiert eine Konstante

. Sei
, so daß gilt
(12.56)

Dann gilt:
1.
ist das Iterationsverfahren

Für einen beliebigen Startpunkt

(12.57)
unbeschränkt ausführbar, d.h., für jedes

gilt

.

2.
Die Iterationsfolge

konvergiert gegen ein Element

.


3.
Es gilt
(12.58)
4.
Der einzige Fixpunkt von

in

ist

.

5.
Es gilt die Fehlerabschätzung
(12.59)

Im Zusammenhang mit dem BANACHschen Fixpunktsatz spricht man vom Prinzip der kontrahierenden Abbildung
oder dem Kontraktionsprinzip .


Lineare Abbildungen
Die mit der Struktur von Vektorräumen verträglichen Abbildungen werden lineare Abbildungen genannt.
heißt linear, wenn für alle

und alle

gilt:
(5.122)

Die linearen Abbildungen
beschrieben.

von

in

werden mittels Matrizen

vom Typ

durch


Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
Gegeben sei das System (17.53) mit
(17.53) bei

und

. Betrachtet wird ein periodischer Orbit

mit den Multiplikatoren

von

und

Bifurkationsverhalten der POINCARÉ-Abbildung nahe

. Das

wird durch die eindimensionale Abbildung (17.66) mit

beschrieben, von der die Normalform
(17.68)
angenommen werden soll. Die Ruhelage
Die zweite iterierte Abbildung

hat bei

von (17.68) ist für kleine
außer

, die keine Fixpunkte von
(17.68) sein.

stabil und für

instabil.

noch die beiden stabilen Fixpunkte
sind. Demzufolge müssen sie Punkte der Periode 2 von


Allgemein formuliert, kommt es in einer

-Abbildung (17.66) zur Entstehung eines zweiperiodischen Orbits bei

, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind (s. Lit. 17.2):

(17.69)

Da wegen

auch

ist, sind damit für die Abbildung

die Bedingungen

für eine Gabel-Bifurkation formuliert.
Die Eigenschaften der Abbildung (17.68) implizieren für die Differentialgleichung (17.53), daß sich bei
ein stabiler periodischer Orbit mit etwa doppelter Periode abspaltet ( Periodenverdopplung ), wobei
Stabilität verliert (s. Abbildung).

von
seine


Beispiel
ist für

Die logistische Abbildung

durch

,

d.h. durch das diskrete dynamische System
(17.70)
gegeben. Die Abbildung besitzt nach Lit. 17.10 folgendes Bifurkationsverhalten: Für
Ruhelage

mit dem Einzugsgebiet

stabile Ruhelage

. Für

besitzt (17.70) die instabile Ruhelage

, wobei letztere das Einzugsgebiet

besitzt. Bei

instabil und zerfällt in einen stabilen 2periodischen Orbit. Beim Wert
2periodische Orbit instabil und durch einen stabilen

hat (17.70) die
und die

wird die Ruhelage
wird auch der

-periodischen Orbit ersetzt. Die Periodenverdopplung setzt


sich fort, und es entstehen stabile

-periodische Orbits bei

die Konvergenz

Bei

. Numerische Untersuchungen belegen für

.

liegt ein Attraktor

vor, der FEIGENBAUM- Attraktor , der die Struktur einer CANTOR-ähnlichen

Menge hat. In beliebiger Nähe des Attraktors liegen Punkte, die nicht in den Attraktor, sondern auf instabile
periodische Orbits iteriert werden. Der Attraktor

hat dichte Orbits und eine HAUSDORFF-Dimension

. Andererseits liegt keine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen vor. Im
Bereich

existiert eine Parametermenge

mit positivem LEBESGUE-Maß, so daß für

System (17.70) einen chaotischen Attraktor positiven Maßes besitzt. Die Menge
denen Periodenverdopplung auftritt.

das

ist von Fenstern durchsetzt, in

Das Bifurkationsverhalten der logistischen Abbildung ist auch in einer Klasse von unimodalen Abbildungen , d.h. von
Abbildungen des Intervalls
Parameterwerte

in sich, die in

ein einfaches Maximum besitzen, zu finden. Obwohl die

, bei denen Periodenverdopplung auftritt, für verschiedene solche unimodale Abbildungen sich

voneinander unterscheiden, ist die Konvergenzrate, mit der diese Parameter gegen den jeweiligen Wert
streben, gleich:

, wobei

die FEIGENBAUM-Konstante ist (

der konkreten Abbildung ab). Gleich sind auch die HAUSDORFF-Dimensionen der Attraktoren

bei

hängt von


Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
Zum dynamischen System
ein Maß auf
invariant unter

auf

. Jede Abbildung

, wenn

System

die

-Algebra der BOREL-Mengen auf

wird als
für alle

und

-meßbar vorausgesetzt. Das Maß
und

heißt

gilt. Ist das dynamische

invertierbar, so läßt sich die Eigenschaft eines Maßes, invariant unter dem dynamischen System

zu sein, auch als
Menge
unter

sei

ausdrücken. Das Maß
konzentriert , wenn

invariantes Maß, so ist dieses auf
ist.

ist. Ist also
konzentriert, wenn

ein Attraktor von

heißt auf der BORELund

für jede BOREL-Menge

ein
mit


Der Träger eines Maßes
von

, auf der das Maß

, bezeichnet mit supp

, ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge

konzentriert ist.

Beispiel A
die Modulo-Abbildung (auch Shift-Abbildung)

Betrachtet wird auf

(17.28)
In diesem Fall ist

mit

Anhand der Definition sieht man, daß das LEBESGUE-Maß invariant unter der Modulo-Abbildung ist. Schreibt man
eine Zahl

als Dualzahl

, so kann man diese Darstellung mit

identifizieren. Das Ergebnis der Operation
mit
Ziffer fällt weg.
Beispiel B

d.h., alle Ziffern

läßt sich schreiben als

werden um eine Stelle nach links verschoben und die erste


Die Abbildung

mit

(17.29)
heißt Zelt-Abbildung und hat ebenfalls das LEBESGUE-Maß als invariantes Maß. Der Homöomorphismus
mit

Damit besitzt (17.5) bei
von (17.29) und

sofort

Beispiel C

überführt die Abbildung

aus (17.5) mit

in (17.29).

ebenfalls ein invariantes Maß, das absolut stetig ist. Für die Dichten
von (17.5) bei

.

gilt dabei

. Hieraus ergibt sich


Ist

ein stabiler Periodenpunkt der Periode

, so ist

das in

konzentrierte DIRAC-Maß.

des invertierbaren diskreten dynamischen Systems

ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß für

. Dabei ist


Poincaré-Abbildung
●
●

Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
Poincaré-Abbildung für nichtautonome zeitperiodische
Differentialgleichungen


Unterräume, Dimensionsformel
1. Unterraum: Es sei
Operationen aus

ein Vektorraum und

einen Vektorraum, so heißt
von

Eine nichtleere Teilmenge
auch

Bildet

bezüglich der

ein Unterraum von

ist genau dann Unterraum, wenn für alle

und

2. Kern, Bild: Es seien

eine Teilmenge von

in

liegen ( Unterraumkriterium ).

-Vektorräume. Ist

Unterräume Kern (Bezeichnung: ker

und alle

eine lineare Abbildung, so sind die

) und Bild (Bezeichnung: im

) wie folgt definiert:
(5.123)

So ist zum Beispiel die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems
durch die Koeffizientenmatrix

der Kern der

vermittelten linearen Abbildung.

3. Dimension: Die Dimension

bzw.

im

Zwischen diesen Dimensionen besteht der Zusammenhang

werden Defekt

bzw. Rang

genannt.


(5.124)
der Dimensionsformel genannt wird. Ist speziell Defekt

d.h.

injektiv und umgekehrt. Injektive lineare Abbildungen werden regulär genannt.

●

EUKLIDische Vektorräume, EUKLIDische Norm

dann ist die lineare Abbildung


Ergodische dynamische Systeme
Ein dynamisches System

auf

ist ergodisch), wenn für jede BOREL-Menge

mit invariantem Maß
mit

heißt ergodisch (man sagt auch, das Maß
entweder

oder

0 ist.
Ist

ein diskretes dynamisches System (17.3),

metrischer Raum, so existiert immer ein invariantes ergodisches Maß.
Beispiel A

ein Homöomorphismus,

ein kompakter


Gegeben sei die Rotationsabbildung des Kreises
(17.31)
mit

invariant unter

, definiert durch

. Ist

. Das LEBESGUE-Maß ist

irrational, so ist (17.31) ergodisch; ist

rational, so ist (17.31) nicht

ergodisch.
Beispiel B
Dynamische Systeme mit stabilen Ruhelagen oder stabilen periodischen Orbits als Attraktoren sind
bezüglich des natürlichen Maßes ergodisch.

Ergodensatz von BIRKHOFF: Das dynamische System
Wahrscheinlichkeitsmaßes

sei ergodisch bezüglich des invarianten

. Dann stimmen für jede integrierbare Funktion

entlang des positiven Semiorbits

, d.h.

die Zeitmittel

für Flüsse und


für diskrete Systeme, für

Raummittel

überein.

-fast alle Punkte

mit dem


Metrische Entropie
Sei

ein dynamisches System auf

Wahrscheinlichkeitsmaß

. Für beliebiges

mit dem Attraktor

und einem auf

seien

die Würfel der Form
mit

beliebiges

aus einem

wird der Semiorbit

für wachsende
werden jeweils

der Würfel notiert, in denen sich der Semiorbit befindet. Sei
Semiorbits zu den Zeitpunkten

konzentrierten invarianten

, für die

ist. Für

verfolgt. In Zeitabständen von

-mal hintereinander die Nummern
die Menge aller Startwerte nahe
, jeweils in

, deren

liegen und sei

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein (typischer) Startwert in

liegt. Die

Entropie gibt den Zuwachs an Information an, den ein Versuch im Mittel liefert, der anzeigt, welches Ereignis aus


einer endlichen Anzahl disjunkter Ereignisse wirklich eingetreten ist. In der vorliegenden Situation ist dies
(17.37)
wobei über alle Symbolfolgen

der Länge

summiert wird, die durch Orbits in der oben

beschriebenen Weise realisiert werden.
Die metrische Entropie oder KOLMOGOROV-SINAI- Entropie

des Attraktors

invarianten Maßes

. (Für diskrete Systeme entfällt der Grenzwert für

ist die Größe

.) Für die topologische Entropie

von

gilt

-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß auf

von

bezüglich des

. In vielen Fällen ist

.

Beispiel A
Sei
natürlichen Maß

Beispiel B

eine stabile Ruhelage von (17.1) als Attraktor, versehen mit dem in
. Bezüglich dieses Attraktors ist

.

konzentrierten


Für die Shift- oder Modulo-Abbildung (17.28) gilt
LEBESGUE-Maß sei.

, wobei

das invariante


Definition
Gegeben sei neben (17.3) ein weiteres diskretes System
(17.24)
mit

, wobei

eine beliebige Menge und

stetig ist (

und

metrische Räume sein). Die diskreten Systeme (17.3) und (17.24) (bzw. die Abbildungen
topologisch konjugiert , wenn ein Homöomorphismus ( konjugierender Homöomorphismus )
so daß
Homöomorphismus

können auch allgemein
und

) heißen
existiert,

ist. Sind (17.3) und (17.24) topologisch konjugiert, so überführt der konjugierende
die Orbits von (17.3) in Orbits von (17.24).


Abbildungen zwischen Gruppen
●
●
●

Homomorphismen und Isomorphismen
Satz von CAYLEY
Homomorphiesatz für Gruppen


Unterabschnitte
●
●
●
●

Arten singulärer Punkte:
Bestimmung von Selbstberührungs-, Knick- und Abbrechpunkten:
Bestimmung von Mehrfachpunkten (Fälle a) bis e) sowie i) und j)):
Algebraische Kurven, gegeben als Polynom in x und y:

Singulärer Punkt
Singulärer Punkt ist der allgemeine Begriff für verschiedene spezielle Kurvenpunkte.

Arten singulärer Punkte:
Die angegebenen singulären Punkte sind in den danach folgenden Abbildungen dargestellt.


a) Doppelpunkte: In Doppelpunkten schneidet sich die Kurve selbst (linke obere Abbildung).
b) Isolierte Punkte: Die isolierten Punkte genügen der Kurvengleichung; sie befinden sich aber außerhalb der
Kurve (mittlere obere Abbildung).


c), d) Rückkehrpunkte: In Rückkehrpunkten ändert sich der Durchlaufsinn; man unterscheidet je nach der Lage
der Tangente zu den Kurvenzweigen Rückkehrpunkte 1. und 2. Art (dritte obere und erste untere Abbildung).
e) Selbstberührungspunkte: In Selbstberührungspunkten berührt sich die Kurve selbst (rechte untere
Abbildung).

f) Knickpunkte: In Knickpunkten ändert die Kurve sprunghaft ihre Richtung, aber im Unterschied zum
Rückkehrpunkt gibt es zwei verschiedene Tangenten für die zwei Kurvenzweige (obere linke Abbildung).
g) Abbrechpunkte: In Abbrechpunkten bricht die Kurve ab (mittlere obere Abbildung).


h) Asymptotische Punkte: Um asymptotische Punkte windet sich die Kurve unendliche Male herum, wobei sie
sich ihm beliebig nähert (obere rechte Abbildung).
i), k) Mehrere Singularitäten: Es können auch zwei oder drei derartige Singularitäten in einem Punkt auftreten
(zwei untere Abbildungen).

Bestimmung von Selbstberührungs-, Knick- und Abbrechpunkten:
Singularitäten dieser Art treten nur bei Kurven transzendenter Funktionen auf.
Den Knickpunkten entspricht ein endlicher Sprung der Ableitung

Punkten, in denen die Kurve abbricht, entsprechen Unstetigkeitsstellen der Funktion

mit endlichem Sprung

oder ein direkter Abbruch.
Asymptotische Punkte lassen sich am einfachsten für Kurven bestimmen, die in Polarkoordinaten gemäß
gegeben sind. Wenn für
Punkt.
Beispiel A

oder

der Grenzwert

wird, ist der Pol ein asymptotischer


Der Koordinatenursprung ist für die Kurve

Beispiel B

ein Knickpunkt.


Die Punkte (1,0) und (1,1) der Funktion

sind Unstetigkeitsstellen.

Beispiel C
Die logarithmische Spirale

besitzt einen asymptotischen Punkt.


Bestimmung von Mehrfachpunkten (Fälle a) bis e) sowie i) und j)):
Doppelpunkte, Dreifachpunkte usw. werden unter der Bezeichnung Mehrfachpunkte zusammengefaßt. Zu ihrer
Bestimmung wird die Kurve ausgehend von der Gleichungsform
Koordinaten

untersucht. Ein Punkt

die gleichzeitig die drei Gleichungen

Doppelpunkt, wenn von den drei Ableitungen 2. Ordnung

und
und

mit den

erfüllen, ist ein

wenigstens eine nicht verschwindet.

Im entgegengesetzten Falle ist
ein Dreifachpunkt oder ein Punkt mit höherer Mehrfachheit.
Die Eigenschaften eines Doppelpunktes hängen vom Vorzeichen der Funktionaldeterminante ab:


(3.452)

1.

: Für

Tangenten in

schneidet sich die Kurve selbst im Punkt

die Richtungskoeffizienten der

ergeben sich als Wurzeln der Gleichung
(3.453)

2.

: Für

ist

ein isolierter Punkt.

: Für
ist
entweder ein Rückkehr- oder ein Selbstberührungspunkt; der
3.
Richtungskoeffizient der Tangente ist
(3.454)

Zur genaueren Untersuchung des Mehrfachpunktes empfiehlt es sich, das Koordinatensystem in den Punkt

zu

wird. Aus der Gestalt der Gleichung
verlegen und so zu drehen, daß die -Achse zur Kurventangente im Punkt
kann dann erkannt werden, ob es sich um einen Rückkehrpunkt 1. oder 2. Art handelt oder um einen
Selbstberührungspunkt.
Beispiel A


Untersuchung der Lemniskate mit

Das Gleichungssystem
der Bedingung

liefert die drei Lösungen

von denen nur die erste

genügt. Einsetzen von (0,0) in die 2. Ableitungen ergibt
d.h., im Koordinatenursprung schneidet sich

die Kurve selbst; die Richtungskoeffizienten der Tangenten ergeben sich zu
lauten
Beispiel B

ihre Gleichungen


von den Punkten

und

(0,0),

liegt nur der erste auf der Kurve. Weiter ist

d.h., der Koordinatenursprung ist ein isolierter
Punkt.
Beispiel C
Die Gleichungen
(0,0), die auch die Gleichung

erfüllt. Außerdem ist

liefern nur die eine Lösung
und

so daß der

Koordinatenursprung ein Rückkehrpunkt 2. Art ist, was auch aus der expliziten Form der Gleichung
erkannt werden kann. Für
beide

ist

nicht definiert, während für

-Werte positiv sind; im Koordinatenursprung verläuft die Tangente horizontal.

Algebraische Kurven, gegeben als Polynom in x und y:
Wenn die Gleichung keine konstanten Glieder und keine Glieder ersten Grades enthält, dann ist der
Koordinatenursprung ein Doppelpunkt. Die Gleichung zur Bestimmung der zugehörigen Tangenten erhält man durch
Nullsetzen der Summe der Glieder 2. Grades. Wenn die Gleichung auch keine quadratischen Glieder enthält, dann ist


der Koordinatenursprung ein Dreifachpunkt.
Beispiel
Für die Lemniskate z.B. ergibt sich die Gleichung


Gleichmäßige Konvergenz
Gleichmäßig konvergent ist eine Potenzreihe in jedem abgeschlossenen Teilgebiet

des

Konvergenzbereiches ( Satz von ABEL ).
Beispiel
Für die Reihe

(7.77)

Somit konvergiert die Reihe absolut in
für

ist sie bedingt konvergent (s. (7.33)) und

divergiert sie (s. harmonische Reihe (7.16)). Gemäß dem Satz von ABEL handelt es sich um eine

gleichmäßig konvergente Reihe in jedem Intervall
ist.

, für

, wobei

eine beliebige Zahl zwischen

und


Abelsche Integralgleichung
Eine der ersten Anwendungen von Integralgleichungen auf physikalische Probleme wurde von ABEL untersucht. In
einer vertikalen Ebene bewege sich ein Massenpunkt entlang einer gewissen Kurve nur unter dem Einfluß der
Schwerkraft vom Punkt

zum Punkt

(s. Abbildung).


Die Geschwindigkeit des Teilchens in einem Punkt der Kurve beträgt
(11.68)
Durch Integration ermittelt man die Fallzeit in Abhängigkeit von

:

(11.69a)

Stellt man

als Funktion von

durch

dar, so ist

(11.69b)

Es besteht nun die Aufgabe, zu gegebener Fallzeit die Gestalt der Kurve als Funktion von

zu bestimmen. Mit den

Ersetzungen
(11.69c)
erhält man, indem noch die Variable

in

umbenannt wird, die VOLTERRAsche Integralgleichung 1. Art

(11.69d)


Es soll die etwas allgemeinere Gleichung
(11.70)

behandelt werden. Der Kern dieser Gleichung ist für
in

und die Variable

in

nicht beschränkt. In (11.70) werden formal die Variable

umbenannt. Damit wird erreicht, daß sich die Lösung in der Form

ergibt. Die Multiplikation beider Seiten der Gleichung (11.70) mit dem Term
Integration nach

in den Grenzen von

bis

und die anschließende

führt auf die Gleichung

(11.71a)
Die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf der linken Seite dieser Gleichung ergibt
(11.71b)

Das innere Integral ist mit der Substitution

auswertbar:


(11.71c)
Der gewonnene Ausdruck wird in (11.71b) eingesetzt.
Die gesuchte Funktion

wird durch anschließende Differentiation nach

bestimmt:

(11.71d)

Beispiel
.


Unterabschnitte
●
●

Definition:
Basissatz für ABELsche Gruppen:

Direkte Produkte
Definition:
Es seien

und

Gruppen, deren Gruppenoperation (z.B. Addition oder Multiplikation) mit

Im kartesischen Produkt

bezeichnet sein soll.

(5.64a) kann man durch die folgende Vorschrift eine Operation

einführen:
(5.101a)

Damit wird

zu einer Gruppe, die das direkte Produkt von

und

genannt wird.


Mit

wird das Einselement von

bezeichnet, und

ist das inverse Element zu

.

gilt

Für endliche Gruppen

(5.101b)
Die Gruppen

bzw.

sind zu

bzw.

isomorphe

Normalteiler von
Das direkte Produkt ABELscher Gruppen ist wieder abelsch.
Für zyklische Gruppen gilt: Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen

ist genau dann zyklisch, wenn der

größte gemeinsame Teiler der Gruppenordnungen gleich 1 ist.
Beispiel A
Mit

und

wird
eine zu

u.a. von
Beispiel B

erzeugt wird.

isomorphe Gruppe, die


nicht zyklisch. Diese Gruppe der

Andererseits ist

Ordnung 4 wird auch KLEINsche Vierergruppe genannt und beschreibt die Deckabbildungen eines
Rechtecks.

Basissatz für ABELsche Gruppen:
Da die Bildung des direkten Produktes eine Konstruktion ist, mit der aus ,,kleineren`` Gruppen ,,größere`` gewonnen
werden, entsteht umgekehrt die Frage, wann lassen sich große Gruppen
darstellen, d.h., wann ist

isomorph zu

als direktes Produkt kleinerer Gruppen

? Für ABELsche Gruppen gibt darüber der sogenannte

Basissatz Auskunft:
Jede endliche ABELsche Gruppe ist als direktes Produkt zyklischer Gruppen von der Primzahlpotenzordnung
darstellbar.


Definition
Eine Menge

versehen mit einer binären Operation

●

assoziativ ist,

●

ein neutrales Element

●

zu jedem Element

heißt Gruppe , wenn

besitzt und
ein inverses Element

existiert, mit
(5.95)

Eine Gruppe ist also eine spezielle Halbgruppe.
Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Außerdem besitzt jedes Gruppenelement genau ein
kommutativ, so spricht man von einer ABELschen Gruppe .
Inverses. Ist die Operation
Ist die Gruppenoperation als Addition + geschrieben, so wird das neutrale Element mit 0 und das inverse Element
eines Elementes

mit

bezeichnet.


Gruppentafeln
Zur Darstellung endlicher Gruppen werden Gruppentafeln verwendet: Man notiert die Gruppenelemente als Zeilenund Spalteneingänge. An der Kreuzung der Zeile mit dem Eingang

und der Spalte mit dem Eingang

steht das

Gruppenelement
Ist

so bezeichnet man die symmetrische Gruppe

allen bijektiven Abbildungen (Permutationen) auf der Menge

auch mit

Die

und hat demzufolge

Permutationen werden meist zweizeilig notiert, indem man in die erste Zeile die Elemente von
jeweiligen Bildelemente schreibt. So erhält man die 6 Elemente der

besteht also aus
Elemente.
und darunter die

folgendermaßen:

(5.96)

Mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen erhält man daraus für

folgende Gruppentafel:


Gruppentafel für

(5.97)

●

Aus der Gruppentafel erkennt man, daß die identische Permutation
das neutrale Element der Gruppe ist.
In der Gruppentafel kommt jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor.

●

Das Inverse zu einem Gruppenelement ist aus der Tafel leicht ablesbar; so ist das Inverse zu

●

die Permutation
●

da an der Schnittstelle der

-Spalte das neutrale Element

Ist die Gruppenoperation kommutativ ( ABELsche Gruppe), so ist die Tafel symmetrisch bezüglich der
,,Hauptdiagonalen``; die

●

-Zeile mit der

in der

ist nicht kommutativ, da z.B.

Das Assoziativgesetz ist aus der Gruppentafel nicht ablesbar.

steht.


Normalteiler
Für Untergruppen
für alle

ist im allgemeinen
so heißt

verschieden von
Normalteiler von

(es gilt jedoch

. Diese speziellen Untergruppen sind die Grundlage

für die Bildung von Faktorgruppen.
In ABELschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler.
Beispiel A
bilden Untergruppen von

bezüglich der Multiplikation.

Beispiel B
Die geraden ganzen Zahlen bilden eine Untergruppe von
Beispiel C

). Ist aber

bezüglich der Addition.


Untergruppen der Gruppe

: Wegen des Satzes von LAGRANGE kann die 6-elementige Gruppe

(außer den trivialen Untergruppen) nur Untergruppen mit 2 oder 3 Elementen haben.
Tatsächlich hat die Gruppe

Die nichttrivialen Untergruppen
Primzahlen sind. Die

und

sind zyklisch, weil ihre Elementeanzahlen sämtlich

ist dagegen nicht zyklisch. Außer den trivialen Normalteilern hat die Gruppe

nur noch die Untergruppe
Übrigens ist jede Untergruppe
Alle symmetrischen Gruppen

Beispiel D

folgende Untergruppen:

als Normalteiler.
einer Gruppe

mit

Normalteiler von

und ihre Untergruppen werden Permutationsgruppen genannt.


Spezielle Untergruppen der Gruppe

aller regulären Matrizen vom Typ

bezüglich der

Matrizenmultiplikation:
Gruppe aller Matrizen

mit der Determinante 1,

Gruppe aller orthogonalen Matrizen,
Gruppe aller orthogonalen Matrizen mit der Determinante 1.

Die Gruppe

ist Normalteiler von

(s. Homomorphiesatz für Gruppen) und

Normalteiler von

Beispiel E
Als Untergruppen der Gruppe aller regulären komplexen Matrizen seien erwähnt:
Gruppe aller unitären Matrizen,
Gruppe aller unitären Matrizen mit der Determinante 1.


PARSEVALsche Gleichung, Satz von RIESZ-FISCHER
Die FOURIER-Reihe eines beliebigen Elements

konvergiert stets, und zwar zur Projektion des Elements

auf den Teilraum

. Hat ein Element

sind

. Ist

die FOURIER-Koeffizienten von
, dann existiert in

Zahlen

die Darstellung

, dann

eine beliebige Zahlenfolge mit der Eigenschaft

genau ein Element

, dessen FOURIER-Koeffizienten gerade die

sind und für das die Abgeschlossenheitsrelation oder PARSEVALsche Gleichung
(12.126)

gilt ( Satz von RIESZ-FISCHER ).
Ein orthonormales System

in

heißt vollständig, wenn es keinen vom Nullvektor verschiedenen Vektor


gibt, der zu allen Vektoren

orthogonal ist; es heißt Basis , wenn jeder Vektor

dargestellt werden kann, d.h.
Falle sagt man auch,

, und

als

ist gleich der Summe seiner FOURIER-Reihe. In letzterem

hat eine FOURIER-Entwicklung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

a)
ist eine fundamentale Menge in

.

b)
ist vollständig in

.

ist eine Basis in

.

c)

d)
Für

mit den entsprechenden FOURIER-Koeffizienten

gilt

(12.127)
e)
Für jeden Vektor

gilt die PARSEVALsche Gleichung (12.126).


Beispiel A
Das trigonometrische System (12.117) ist eine Basis im Raum
.

Beispiel B
Das System der normierten LEGENDREschen Polynome (12.120)

ist vollständig und bildet demzufolge eine Basis im Raum

.


Lineare Abhängigkeiten
Die Linearformen (4.104) sind genau dann linear unabhängig, wenn sich sämtliche

gegen unabhängige Variable

austauschen lassen. Die lineare Unabhängigkeit wird z.B. für die Rangbestimmung bei Matrizen benötigt.
Anderenfalls läßt sich die Abhängigkeitsbeziehung unmittelbar aus dem Schema ablesen.
Beispiel


Wegen

ist kein weiterer Austausch möglich, und man kann die Abhängigkeitsbeziehung
ablesen. Auch bei einer anderen Reihenfolge des Austausches wäre ein nicht

austauschbares Paar von Variablen übriggeblieben.


Lineare Abhängigkeit
Es sei

ein

-Vektorraum. Die Vektoren

heißen linear abhängig , falls es

gibt, die nicht alle gleich Null sind, so daß

gilt, und

andernfalls linear unabhängig . Lineare Abhängigkeit von Vektoren bedeutet also, daß sich ein Vektor durch die
anderen darstellen läßt.
Existiert eine Maximalzahl

linear unabhängiger Vektoren in

so heißt

n-dimensional . Diese Zahl

ist

linear unabhängige Vektoren in
bilden eine Basis .Gibt es
dann eindeutig bestimmt und heißt Dimension . Je
eine solche Maximalzahl nicht, so heißt der Vektorraum unendlichdimensional . Die Vektorräume aus den obigen
Beispielen sind in der angegebenen Reihenfolge

-,

- bzw. unendlichdimensional.

sind
Vektoren genau dann linear abhängig, wenn die Determinante der Matrix, die
Aus dem Vektorraum
diese Vektoren als Spalten bzw. Zeilen enthält, gleich 0 ist.
Ist
eindeutige Darstellung

eine Basis eines

-dimensionalen

-Vektorraumes, so besitzt jeder Vektor
mit

Jede Menge linear unabhängiger Vektoren eines Vektorraumes läßt sich zu einer Basis dieses Vektorraumes

eine


ergänzen.


Chaotischer Attraktor
Sei

ein dynamisches System im metrischen Raum

. Der Attraktor

dieses Systems heißt

chaotisch , wenn auf
eine sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen vorliegt.
Die Eigenschaft ,,sensitive Abhängigkeit von den Anfangszuständen`` wird in unterschiedlicher Weise präzisiert. Sie
ist z.B. gegeben, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:
a)
Alle Bewegungen von

auf

sind in gewisser Weise instabil.

b)
Der größte LYAPUNOV-Exponent von

bezüglich eines auf

konzentrierten invarianten ergodischen

Wahrscheinlichkeitsmaßes ist positiv.
Beispiel
Sensitive Abhängigkeit im Sinne von a) liegt beim Solenoid vor. Die Eigenschaft b) ist z.B. beim HÉNONAttraktor zu finden.


Differentialquotient oder Ableitung einer Funktion
Die Ableitung einer Funktion

ist eine neue Funktion von

oder

, die mit den Symbolen

gekennzeichnet wird und die für jeden Wert von

Grenzwert des Quotienten aus dem Zuwachs der Funktion

und dem entsprechenden Zuwachs

gleich dem

für

ist:
(6.1)


Summenregel
Die Ableitung einer Summe oder Differenz von zwei oder mehrerer Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz
der Ableitungen dieser Funktionen:
(6.6a)
(6.6b)


Kettenregel
Die mittelbare Funktion

hat die Ableitung
(6.9)

wobei die Funktionen

und

darstellen. Man bezeichnet

als äußere und

Ableitung und

differenzierbare Funktionen bezüglich ihrer Argumente

als innere Funktion und dementsprechend

als äußere

als innere Ableitung .

Analog verfährt man, wenn die ,,Kette`` aus einer größeren Anzahl von Funktionen mit den entsprechenden
Zwischenveränderlichen besteht. So gilt z.B. für

:


(6.10)

Beispiel A

.

Beispiel B


Quotientenregel
Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen wird nach der Formel ( Quotientenregel )
(6.8)
unter der Voraussetzung

Beispiel

berechnet.


Ableitung einer Distribution
Ist

eine gegebene Distribution, dann heißt die Distribution

, definiert durch
(12.212)

die ( distributionelle ) Ableitung der Ordnung
Seien

.

eine stetig differenzierbare Funktion, etwa auf

Distribution auffaßbar),

gilt

von

(damit ist

ihre klassische Ableitung und

lokalsummierbar auf

als

ihre distributionelle Ableitung der Ordnung

, woraus durch partielle Integration

folgt.

und

. Dann


Im Falle einer regulären Distribution

erhält man wegen
die verallgemeinerte Ableitung der Funktion

im Sinne von SOBOLEW.

Beispiel A
Für die der offenbar lokalsummierbaren HEAVISIDE-Funktion

(12.213)
zugeordnete reguläre Distribution erhält man als Ableitung die nichtreguläre
Beispiel B

-Distribution.


Bei der mathematischen Modellierung von technischen und physikalischen Problemen treten häufig (in
gewisser Hinsicht idealisierte) auf einen Punkt konzentrierte Einwirkungen, wie ,,punktförmige`` Kräfte,
Nadelimpulse, Stoßvorgänge usw. auf, die mathematisch ihren Ausdruck in der Verwendung der
HEAVISIDE-Funktion finden, beispielsweise in der Form
eines Balkens der Länge

als Massendichte für eine im Punkt

konzentrierte Punktmasse

.

Die Bewegungsgleichung eines Feder-Masse-Systems, auf das zum Zeitpunkt
Kraft der Größe

einwirkt, hat die Form

ist

- oder

eine momentane äußere

. Mit den Anfangsbedingungen

die Lösung.


Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
Seien

BANACH-Räume,

differenzierbar im Punkt

eine offene Menge und

. Der Operator

, wenn ein (im allgemeinen von der Stelle

heißt FR´ECHET-

abhängiger, linearer stetiger) Operator

existiert, so daß
(12.192)
oder in äquivalenter Schreibweise
(12.193)
gilt, d.h.
impliziert. Der Operator

, so daß

die Ungleichung

, den man gewöhnlich mit

FRÉCHET-Ableitung des Operators

im Punkt

. Den Wert

oder

bezeichnet, heißt
nennt man FRÉCHET-


Differential des Operators

im Punkt

(für den Zuwachs

). In jedem Falle ist die Abhängigkeit des Operators

erkennbar, die letzteren Bezeichnungen ,,weisen den Platz für das Argument aus``, auf das der
von der Stelle
Operator angewendet werden kann. Aus der Differenzierbarkeit eines Operators in einem Punkt folgt seine Stetigkeit
in diesem Punkt. Ist

, also selbst bereits linear und stetig, dann ist

differenzierbar, und die Ableitung ist gleich

.

in jedem Punkt


Ableitungen elementarer Funktionen
Die elementaren Funktionen besitzen im gesamten Definitionsbereich eine Ableitung, ausgenommen einzelne
Punkte, in denen z.B. solche Punkte auftreten, wie sie in der folgenden Abbildung dargestellt sind:


Eine Zusammenstellung der Ableitungen elementarer Funktionen in Intervallen, in denen diese definiert und die
auftretenden Nenner von Null verschieden sind, enthält die Tabelle im nächsten Abschnitt.


Ableitung einer Funktion in Parameterdarstellung
Wenn die Funktion
Ableitung

in der Parameterform

gegeben ist, dann läßt sich ihre

nach der Formel
(6.17)

über die Ableitungen

Beispiel Polarkoordinatendarstellung

und

nach dem Parameter

berechnen, falls

gilt.


Ist eine Funktion in ihrer Polarkoordinatendarstellung

gegeben, dann lautet ihre

Parameterdarstellung
(6.18)
mit dem Winkel

als Parameter. Für die Tangentensteigung

der Kurve gilt dann wegen (6.17)
(6.19)

Hinweise:
1. Die Ableitungen

sind die Komponenten des Tangentenvektors im Punkt

der Kurve.

2. Häufig wird mit Vorteil die komplexe Zusammenfassung benutzt:
(6.20)
Beispiel Kreisbewegung
Der Tangentenvektor
läuft dem Ortsvektor um

phasenverschoben voraus.


Partielle Ableitung zweiter Ordnung
Die partielle Ableitung einer Funktion

kann sowohl nach der gleichen

Variablen gebildet werden, wie die erste Ableitung, d.h.

d.h.

Wert einer gemischten Ableitung

, als auch nach einer anderen Variablen,

. Im zweiten Falle spricht man von einer gemischten Ableitung. Der

ist für gegebene

und

unabhängig von der

Reihenfolge der Ableitungsbildung, wenn die gemischte Ableitung in dem betrachteten Punkt stetig ist. Man spricht
vom SCHWARZschen Vertauschungssatz .


Partielle Ableitungen höherer Ordnung, wie z.B.

sind analog definiert.


Definition der Ableitungen höherer Ordnung

Die Ableitung von

mit

also

oder

oder

wird als zweite Ableitung der Funktion

bezeichnet. Analog werden die Ableitungen höherer

Ordnung definiert. Bezeichnungen für die n-te Ableitung der Funktion

sind:
(6.21)


Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen
●
●
●
●
●

Partielle Ableitung zweiter Ordnung
Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen
Vollständiges Differential zweiter Ordnung
Vollständiges Differential n-ter Ordnung
Vollständiges Differential n-ter Ordnung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher


Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion
Wenn
Darstellungen

die inverse Funktion zur ursprünglichen Funktion
und

sind äquivalent. Unter der Voraussetzung

die Beziehung (6.15) zwischen den Ableitungen einer Funktion
Ableitungen (

ist, dann gilt: Die beiden

und ihrer Umkehrfunktion

besteht dann
. Für höhere

usw.) erhält man
(6.25)


Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
Wenn die Funktion

in der Parameterform

gegeben ist, dann lassen sich ihre

usw.) nach den folgenden Formeln berechnen, wobei

Ableitungen höherer Ordnung (

usw. die Ableitungen nach dem Parameter
bedeuten:
(6.24)
Voraussetzung ist, daß

gilt.


Ableitung einer impliziten Funktion
Eine Funktion

sei implizit durch die Gleichung

gegeben. Unter Beachtung der

Differentiationsregeln für Funktionen mehrerer Veränderlicher erhält man durch Differentiation nach
(6.16)
falls die partielle Ableitung

Beispiel

nicht von Null verschieden ist.


Die Gleichung

einer Ellipse mit den Halbachsen

geschrieben werden. Für die Steigung der Tangente im Ellipsenpunkt

und

kann in der Form

erhält man gemäß (6.16)


Ableitung der inversen Funktion
Wenn
Darstellungen

die inverse Funktion zur ursprünglichen Funktion
und

ist, dann gilt: Die beiden

sind äquivalent. Unter der Voraussetzung

die folgende Beziehung zwischen den Ableitungen einer Funktion

und ihrer Umkehrfunktion

besteht dann
:

(6.15)

Beispiel


ist für

Die Funktion

äquivalent. Aus (6.15) folgt dann

da

für

.

der Funktion

mit


Faktorregel
Ein konstanter Faktor

kann vor das Differentiationssymbol gezogen werden:
(6.5)


Links- und rechtsseitige Ableitung
Wenn für einen Wert

kein Grenzwert der Art

(6.2) existiert, dafür aber der links- bzw.

rechtsseitige Grenzwert, dann wird dieser Grenzwert links- bzw. rechtsseitige Ableitung genannt. Da die Kurve an der
Stelle zwei Tangenten
(6.3)
besitzt, kennzeichnen die beiden Ableitungen, geometrisch gesehen, einen Knick der Kurve (rechte Abbildung).


Beispiel
An der Stelle

existiert kein Grenzwert der Art

gibt es einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert
die Kurve besitzt hier einen Knick (linke Abbildung).

(6.2), jedoch
und

, d.h.,


Logarithmische Differentiation
Im Falle von

kann man zur Berechnung der Ableitung

von der Funktion

ausgehen, für

deren Ableitung (unter Berücksichtigung der Kettenregel) gilt:
(6.11)
Daraus folgt unmittelbar
(6.12)
Mit Hilfe der logarithmischen Differentiation lassen sich viele Differentiationsaufgaben wesentlich vereinfachen
bzw. überhaupt erst durchführen. Letzteres trifft z.B. auf Funktionen der Form
(6.13)
zu. Die logarithmische Differentiation dieser Gleichung ergibt gemäß (6.12)
(6.14)


Beispiel

Die logarithmische Differentiation wird häufig angewendet, wenn ein Produkt von Funktionen zu differenzieren ist.
Beispiel A

Beispiel B


.

Daraus folgt

Beispiel C

Daraus folgt

Man erhält die Quotientenregel (6.8).

. Man erhält die Produktregel (6.7a).


Partielle Ableitung einer Funktion
1. Definition:
Partielle Ableitung einer Funktion
z.B. nach

nach einer ihrer

Veränderlichen,

, heißt der durch
(6.35)

definierte Differentialquotient, der zum Ausdruck bringt, daß nur eine der

Variablen variiert, während die anderen

dabei als Konstante betrachtet werden.
2. Symbole:
Symbole für die partielle Ableitung sind

Von einer Funktion mit

Veränderlichen


können

partielle Ableitungen erster Ordnung gebildet werden:
.

3. Berechnung:
Die Berechnung der partiellen Ableitungen erfolgt nach den Regeln, die für die Differentiation von Funktionen
von einer Veränderlichen bekannt sind.
Beispiel


Produktregel
Für die Ableitung eines Produkts aus zwei, drei oder

Funktionen gilt:

a) Produktregel für zwei Funktionen:
(6.7a)
b) Produktregel für drei Funktionen:
(6.7b)
c) Produktregel für

Funktionen:
(6.7c)

Beispiel A


Beispiel B


Volumenableitung oder räumliche Ableitung
Als Volumenableitung eines Skalarfeldes

oder eines Vektorfeldes

in einem Punkt

werden drei Größen bezeichnet, die folgendermaßen gewonnen werden:
1.
Einhüllung eines Punktes

des Skalarfeldes

oder des Vektorfeldes

durch eine geschlossene Fläche

. Diese Fläche lasse sich vektoriell durch die Parameterdarstellung
beschreiben, so daß das zugehörige vektorielle
Flächenelement
(13.31a)
lautet.
2.
Integration über die geschlossene Fläche
betrachtet:

. Dabei werden die folgenden drei Typen von Integralen


(13.31b)
3.
Bestimmung der Grenzwerte
(13.31c)

Dabei wird mit

das Volumen des Raumteiles bezeichnet, der den Punkt

Oberfläche die geschlossene Fläche

im Innern enthält und dessen

ist.

Die Grenzwerte (13.31c) werden als Volumenableitungen bezeichnet und führen in der angegebenen Reihenfolge
auf die Begriffe Gradient eines Skalarfeldes sowie Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes.


Richtungs- und Volumenableitung
●
●
●

Richtungsableitung eines skalaren Feldes
Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes
Volumenableitung oder räumliche Ableitung


Ableitung einer Vektorfunktion
Die Ableitung der Vektorfunktion einer skalaren Variablen von

(13.1) nach

ist eine neue Vektorfunktion von
(13.2)

Die Ableitung

des Radiusvektors stellt geometrisch betrachtet einen Vektor dar, der in die Richtung der

Tangente des Hodographen im Punkt

weist (s. Abbildung).

:


Seine Länge hängt von der Wahl des Parameters

des Punktes

im Raum, während

ab. Wenn

die Zeit ist, dann beschreibt

die Bewegung

Größe und Richtung der Geschwindigkeit dieser Bewegung angibt. Ist

die Bogenlänge der Raumkurve, gemessen von einem bestimmten Kurvenpunkt an, dann gilt

.


Verallgemeinerte Ableitung
Sei
Multiindex

. Wenn es eine Funktion

aus

gibt, so daß für

bezüglich eines

die Gleichung
(12.208)

gilt, dann heißt
Ordnung

von

Im Vektorraum

verallgemeinerte Ableitung , Ableitung im Sinne von SOBOLEW oder Distributionsableitung der
, wofür man, wie im klassischen Falle,

definiert man die Konvergenz einer Folge

schreibt.

zu

wie folgt:

(12.209)


Die Menge

mit dieser Konvergenz von Folgen nennt man Grundraum, bezeichnet ihn mit

seine Elemente häufig Testfunktionen.

und nennt


Abschlag oder Rabatt
Werden

Rabatt auf einen Wert

gewährt, dann erhält man den erniedrigten Wert
(1.78)

Bezieht man den Abschlag

auf den neuen Wert

, dann sind

(1.79)

Prozent Rabatt gewährt worden.
Beispiel


Eine Ware habe einen Wert von 300.-DM. Bei 10

sind für den Käufer

Rabatt sind noch 270.-DM zu zahlen. In diesem Preis

Prozent Rabatt enthalten.


Abschließung
Jede Teilmenge

eines metrischen Raumes

kleinste abgeschlossene Menge, die

liegt in der abgeschlossenen Menge

. Es existiert immer eine

enthält, nämlich der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen aus

die

enthalten. Diese Menge heißt abgeschlossene Hülle oder Abschließung der Menge

mit

bezeichnet.

ist mit der Menge aller Berührungspunkte von

und wird gewöhnlich

identisch; man erhält

aus der Menge
, für die

durch Hinzufügen aller ihrer Häufungspunkte. Abgeschlossene Mengen sind gerade solche Mengen
gilt. Demzufolge erlauben sie eine Charakterisierung durch Folgen in folgender Weise:
abgeschlossen genau dann, wenn für eine beliebige Folge
einem Element

konvergiert, der Grenzwert

von Elementen aus
zu

gehört.

,

ist

die im Raum

zu


Eigenschaften binärer Relationen
Wichtige Eigenschaften einer binären Relation in einer Menge

:

heißt
(5.75)
(5.76)
(5.77)
(5.78)
(5.79)
(5.80)
gilt.
Diese Eigenschaften lassen sich auch mit Hilfe des Relationenprodukts beschreiben. So gilt z.B.: Eine binäre


Relation ist genau dann transititiv, wenn

gilt.

Von besonderem Interesse ist gelegentlich der transitive Abschluß ( transitive Hülle ) tra(
Darunter versteht man die kleinste transitive Relation, die

einer Relation

enthält. Es gilt:
(5.81)

wobei unter

das

-fache Relationenprodukt von

mit sich selbst zu verstehen ist.

Beispiel
Die binäre Relation

Bildet man

auf der Menge

sei durch die Relationsmatrix

gegeben:

, indem man bei der Matrizenmultiplikation 0 und 1 als Wahrheitswerte interpretiert und


anstelle von Multiplikation bzw. Addition die logischen Operationen Konjunktion bzw. Disjunktion verwendet,
so ist

die zu

gehörige Relationsmatrix. Entsprechend kann man auch die Relationsmatrizen von

usw. aufstellen.

Die zu

gehörige voranstehende Relationsmatrix erhält man, indem man die Matrizen
und

elementweise disjunktiv verknüpft. Da höhere Potenzen von

liefern, ist diese Matrix zugleich die zu tra

keine neuen Einträge

gehörige Relationsmatrix.

Die Relationsmatrix und das Relationenprodukt finden auch Anwendung zur Untersuchung von Weglängen in
Graphen.
Bei endlichen binären Relationen kann man die Eigenschaften (5.75) bis (5.80) größtenteils leicht aus den


Pfeildiagrammen bzw. Relationsmatrizen erkennen. So erkennt man z.B. Reflexivität durch ,,Schlingen ``im
Pfeildiagramm bzw. durch Einsen der Hauptdiagonalen der Relationsmatrix. Symmetrie äußert sich im Pfeildiagramm
dadurch, daß zu jedem Pfeil ein gegenläufiger gehört bzw. durch Symmetrie der Relationsmatrix. Aus dem
Pfeildiagramm oder der Relationsmatrix liest man ab, daß die Teilbarkeitsbeziehung
symmetrisch ist.

reflexiv, aber nicht


Abschreibungen
●
●
●
●
●
●

Abschreibungsarten
Lineare Abschreibung
Arithmetisch-degressive Abschreibung
Digitale Abschreibung
Geometrisch-degressive Abschreibung
Abschreibung mit verschiedenen Abschreibungsarten


Arithmetisch-degressive Abschreibung
Die Abschreibungen sind in diesem Falle nicht konstant. Sie nehmen jährlich um den gleichen
Betrag

das Abschreibungsgefälle , ab. Für die Abschreibungsrate im

-ten Jahr gilt:
(1.95)

Aus dieser Gleichung folgt unter Berücksichtigung der Beziehung

(1.96)
Für

ergibt sich als Spezialfall die lineare Abschreibung. Im Falle

folgt aus (1.96)
(1.97)


wobei

die Abschreibungsrate der linearen Abschreibung ist. Insgesamt muß die erste Abschreibungsrate

arithmetisch-degressiven Abschreibung der folgenden Ungleichung genügen:

(1.98)

Beispiel
Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000.-DM soll in 5 Jahren arithmetisch-degressiv auf 10 000.DM abgeschrieben werden. Dabei sollen im ersten Jahr 15 000.-DM abgeschrieben werden.
Der mit den angegebenen Formeln berechnete und in der Tabelle angegebene Abschreibungsplan zeigt,
daß die prozentuale Abschreibung, mit Ausnahme der letzten Rate, ausgeglichen ist.

Jahr

Anfangswert

Abschreibung

Restwert Abschreibung in
vom Anfangswert

1

50 000

15 000

35 000

30,0

2

35 000

11 500

23 500

32,9

3

23 500

8 000

15 500

34,0

4

15 500

4 500

11 000

29,0

5

11 000

1 000

10 000

9,1

der


Digitale Abschreibung
Die digitale Abschreibung ist ein Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung, indem gefordert wird, daß
die letzte Abschreibungsrate

mit dem Abschreibungsgefälle

übereinstimmt. Aus

folgt:
(1.99a)

(1.99b)
Beispiel


Der Anschaffungspreis einer Maschine sei
den Restwert

50 000.-DM. Diese Maschine soll in 5 Jahren digital auf

10 000.-DM abgeschrieben werden.

Der mit den angegebenen Formeln berechnete und in der Tabelle angegebene Abschreibungsplan zeigt
einen ausgeglichenen Verlauf der prozentualen Abschreibung.

Jahr

Anfangswert

Restwert Abschreibung in

Abschreibung

vom Anfangswert
1

50 000

13 335

36 665

26,7

2

36 665

10 668

25 997

29,1

3

25 997

8 001

17 996

30,8

4

17 996

5 334

12 662

29,6

5

12 662

2 667

9 995

21,1


Geometrisch-degressive Abschreibung
Bei der geometrisch-degressiven Abschreibung werden in jedem Jahr
abgeschrieben. Für den Restwert

nach

vom jeweiligen Restwert des Vorjahres

Jahren gilt:
(1.100)

In der Regel ist
und

gegeben. Beträgt die Laufzeit

Jahre, dann können gemäß (1.100) von den Größen

zwei weitere vorgegeben und die dritte dazu bestimmt werden.

Beispiel A


Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000.-DM soll jährlich geometrisch-degressiv mit 10
abgeschrieben werden. Nach wieviel Jahren unterschreitet der Restwert erstmalig 10 000.-DM? Aus (1.100)
Jahre.

folgt

Beispiel B
An einem Anschaffungswert von

1000.-DM soll der Verlauf der Restwerte

für

Jahre bei a) linearer, b) arithmetisch-degressiver, c) geometrisch-degressiver
Abschreibung demonstriert werden. Das Ergebnis zeigt die folgende Abbildung.


Lineare Abschreibung
Die jährlichen Abschreibungen sind konstant, d.h., für die Abschreibungsraten

und den Restwert

nach

Jahren gilt:
(1.93)
(1.94)
Setzt man
abgeschrieben.
Beispiel

dann wird das Gut nach

Jahren auf den Wert Null gesetzt, also vollständig


Der Anschaffungspreis einer Maschine betrage

50 000.-DM. In 5 Jahren soll sie auf den Restwert

10 000.-DM abgeschrieben sein. Bei linearer Abschreibung ergibt sich gemäß (1.93) und (1.94) der
in der Tabelle angegebene Abschreibungsplan:

Jahr

Anfangswert

Abschreibung

Restwert Abschreibung in
vom Anfangswert

1

50 000

8000

42 000

16,0

2

42 000

8000

34 000

19,0

3

34 000

8000

26 000

23,5

4

26 000

8000

18 000

30,8

5

18 000

8000

10 000

44,4

Es ist ein starker Anstieg der prozentualen Abschreibung, bezogen auf den jeweiligen Anfangswert, zu
verzeichnen.


Modul (Absolutbetrag des Vektors) und Raumrichtung
Zur quantitativen Beschreibung von Vektoren

oder

dienen der Modul , d.h. der Absolutbetrag

der die Länge der Strecke angibt, sowie die Raumrichtung , die

durch einen Satz von Winkeln angegeben wird.

als Strecke zwischen Anfangs- und Endpunkt

bzw.


Lineares Gleichungssystem
Ein System von

linearen Gleichungen mit

Unbekannten

(4.107)

heißt ein lineares Gleichungssystem . Dabei bedeuten:


Je nachdem, ob der Spaltenvektor

verschwindet (

), oder nicht (

), spricht man von einem

homogenen bzw. inhomogenen Gleichungssystem .
Die Elemente
Komponenten

der sogenannten Koeffizientenmatrix
des Spaltenvektors

sind die Koeffizienten des Systems, während die

seine Absolutglieder sind.


Grundgesetze der Aussagenlogik
Zwei aussagenlogische Ausdrücke
und
heißen logisch äquivalent oder wertverlaufsgleich , in Zeichen:
wenn sie die gleiche Wahrheitsfunktion repräsentieren. Folglich kann man mit Hilfe von Wahrheitstafeln die logische
Äquivalenz aussagenlogischer Ausdrücke überprüfen. So gilt z.B.

,

d.h., der

Ausdruck
hängt von
explizit nicht ab, was man schon an der obigen Wahrheitstafel erkennt.
Insbesondere gelten folgende Grundgesetze der Aussagenlogik :
(1) Assoziativgesetze:
(5.8a)
(5.8b)
(2) Kommutativgesetze:
(5.9a)
(5.9b)
(3) Distributivgesetze:
(5.10a)
(5.10b)


(4) Absorptionsgesetze:
(5.11a)
(5.11b)
(5) Idempotenzgesetze:
(5.12a)
(5.12b)
(6) Ausgeschlossener Dritter:
(5.13a)
(5.13b)
(7) DE MORGANsche Regeln:
(5.14a)
(5.14b)
(8) Gesetze für W und F:
(5.15a)
(5.15b)
(5.15c)
(5.15d)
(5.15e)
(5.15f)
(9) Doppelte Negation:
(5.16)
Aus den Wahrheitstafeln für die Implikation und die Äquivalenz kann man erkennen, daß die Implikation und die Äquivalenz


mit Hilfe der anderen Junktoren durch die Gleichungen
(5.17a)
und
(5.17b)
ausgedrückt werden können. Diese Gesetze werden zur Umformung (Vereinfachung) aussagenlogischer Ausdrücke
verwendet.
Beispiel
Die Gleichung

kann wie folgt bewiesen werden:


Definition und Grundgesetze
Eine Menge

, versehen mit zwei binären Operationen

(,,Konjunktion``) und

(,,Disjunktion``), einer

einstelligen Operation (,,Negation``) und zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 aus
Algebra

heißt BOOLEsche

wenn folgende Gesetze gelten:

(1) Assoziativgesetze:
(5.200)
(5.201)
(2) Kommutativgesetze:
(5.202)
(5.203)
(3) Absorptionsgesetze:
(5.204)


(5.205)
(4) Distributivgesetze:
(5.206)
(5.207)
(5) Weitere Gesetze:
(5.208)
(5.209)
(5.210)
(5.211)
(5.212)
(5.213)
Eine Struktur, in der Assoziativ-, Kommutativ- und Absorptionsgesetze gelten, heißt Verband . Gelten darüber hinaus
die Distributivgesetze, so spricht man von einem distributiven Verband . So ist also eine BOOLEsche Algebra ein
spezieller distributiver Verband.


Hinweis Die für BOOLEsche Algebren verwendeten Bezeichnungen der Operationen sind nicht notwendigerweise
identisch mit den in der Aussagenlogik verwendeten Operationen mit gleicher Bezeichnung.


Grundgesetze der Mengenalgebra
Die eingeführten Mengenoperationen haben analoge Eigenschaften wie die aus der Aussagenlogik bekannten
Junktoren. Es gelten folgende Grundgesetze der Mengenalgebra :
(1) Assoziativgesetze:
(5.42)
(5.43)
(2) Kommutativgesetze:
(5.44)
(5.45)
(3) Distributivgesetze:
(5.46)
(5.47)
(4) Absorptionsgesetze:
(5.48)
(5.49)


(5) Idempotenzgesetze:
(5.50)
(5.51)
(6) DE MORGANsche Regeln:
(5.52)
(5.53)
(7) Weitere Gesetze der Mengenalgebra:
(5.54)
(5.55)
(5.56)
(5.57)
(5.58)
(5.59)
(5.60)
(5.61)
(5.62)
Diese Auflistung erhält man unmittelbar aus den Grundgesetzen der Aussagenlogik, wenn man folgende
Ersetzungen vornimmt:

durch

durch

W durch

und F durch

Auf diesen nicht zufälligen

Zusammenhang wird im Abschnitt BOOLEsche Algebren und Schaltalgebra genauer eingegangen.


Unterabschnitte
●
●
●
●
●

Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall:
Schnittpunkt dreier Ebenen:
Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen:
Schnittpunkt von vier Ebenen:
Abstand zweier paralleler Ebenen:

Zwei und mehr Ebenen im Raum
Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall:
Die Winkel zwischen zwei Ebenen, gegeben durch die zwei Gleichungen
und

werden berechnet nach der Formel
(3.382a)


Sind die Ebenen durch die Vektorgleichungen

und

gegeben, dann gilt:

(3.382b)
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung in
Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen.)

Schnittpunkt dreier Ebenen:
Die Koordinaten des Schnittpunktes dreier Ebenen, gegeben durch die drei Gleichungen
und
werden berechnet nach den Formeln
(3.383a)
mit


(3.383b)

Drei Ebenen schneiden sich in einem Punkt, wenn
zweiter Ordnung

ist. Ist

und wenigstens eine Unterdeterminante

dann sind die Ebenen einer Geraden parallel; sind alle Unterdeterminanten

dann

gehen die Ebenen durch eine Gerade hindurch.

Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen:
1. Paralelitätsbedingung: Zwei Ebenen sind parallel, wenn gilt
(3.384)
2. Orthogonalitätsbedingung: Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn gilt
(3.385)

Schnittpunkt von vier Ebenen:
Die Koordinaten des Schnittpunktes von vier Ebenen, gegeben durch die vier Gleichungen


und
werden berechnet, indem zuerst der Schnittpunkt dreier beliebiger Ebenen
bestimmt wird. In diesem Falle

ist die vierte Gleichung eine Folge der übrigen drei Gleichungen.

Vier Ebenen gehen dann und nur dann durch einen Punkt, wenn gilt:

(3.386)

Abstand zweier paralleler Ebenen:
Wenn die Parallelitätsbedingung erfüllt ist und die Gleichungen der Ebenen gegeben sind durch die Gleichungen
(3.387)
dann beträgt der Abstand
(3.388)


Abstand eines Punktes von einer Geraden
Man erhält den Abstand

eines Punktes

von einer Geraden aus der HESSEschen Normalform durch

Einsetzen der Koordinaten des gegebenen Punktes in die linke Seite von (3.298):
(3.307)


Wenn

und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen, ist

anderenfalls ist


Begriff des metrischen Raumes
Auf einer Menge

sei jedem Paar von Elementen

Elemente

eine reelle Zahl

zugeordnet, so daß für beliebige

die folgenden Eigenschaften, die Axiome des metrischen Raums , erfüllt sind:
(12.39)
(12.40)
(12.41)
mit den Eigenschaften (M1) bis (M3) heißt Metrik , Distanz oder Abstand auf der

Eine Funktion
Menge

, und das Paar

heißt metrischer Raum. Jede Teilmenge

eines metrischen Raumes

kann auf natürliche Weise in einen (selbständigen) metrischen Raum verwandelt werden, indem man die
Metrik

des Raumes

auf die Menge

heißt Teilraum des metrischen Raumes

einschränkt, d.h. nur auf der Menge
.

betrachtet. Der Raum


Beispiel A
Die Mengen

und

, versehen mit der euklidischen Metrik

(12.42)

, sind metrische Räume.

für zwei Punkte

Beispiel B
Hat man in der Menge

für einen Wert (d.h. Vektor)

einen Näherungswert, etwa den Vektor

, dann ist die Größe oder Abweichung

von Interesse. Diesen

Sachverhalt berücksichtigt die Metrik

(12.43)
Die Metriken (12.42) und (12.43) ergeben für den Fall
und
Beispiel C

der reellen bzw. der komplexen Zahlen.

jeweils den Absolutbetrag

in den Mengen


Endliche 0-1-Folgen, z.B. 1110 und 010110, nennt man in der Kodierung Wörter . Zählt man die Stellen, an
denen sich zwei gleich lange Wörter (der Länge

) unterscheiden, also

,
,

dann entsteht in der Menge aller Wörter der Länge

eine Metrik, der HAMMING-Abstand, z.B.

Beispiel D
In der Menge

und ihren Teilmengen

und

(s. (12.11)) definiert man eine Metrik durch

(12.44)

Beispiel E
In der Menge

der Folgen mit absolut konvergenter Reihe

betrachtet man die

folgende Metrik:

(12.45)


Beispiel F
In der Menge

betrachtet man die Metrik

(12.46)
Beispiel G
In der Menge

definiert man als Metrik:

(12.47)
Beispiel H
In der Menge

aller Äquivalenzklassen von fast überall auf einem beschränkten Gebiet

definierten LEBESGUE-meßbaren, zur

-ten Potenz summierbaren Funktionen (s. LEBESGUE-

Integral) ist eine Metrik definiert durch

(12.48)


●
●
●
●

Kugeln und Umgebungen
Konvergenz von Folgen im metrischen Raum
Abgeschlossene Mengen und Abschließung
Dichte Teilmengen und separable metrische Räume


Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Gleichung einer Geraden im Raum, allgemeiner Fall:
Gleichung der Geraden in zwei projizierenden Ebenen:
Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und parallel zum Richtungsvektor:
Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte:
Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene:
Abstand eines Punktes von einer in Komponententarstellung gegebenen Geraden:
Kürzester Abstand zwischen zwei in Komponentendarstellung gegebenen Geraden:
Schnittpunkte von Ebenen und Geraden:
Schnittpunkt zweier Geraden:
Winkel zwischen zwei Geraden:
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:

Gleichungen für die Gerade im Raum
Gleichung einer Geraden im Raum, allgemeiner Fall:


Da eine Gerade im Raum als Schnitt zweier Ebenen definiert werden kann, ist sie analytisch durch ein System zweier
linearer Gleichungen darstellbar.
a) In Komponentenschreibweise:
(3.389a)
b) in Vektorschreibweise:
(3.389b)

Gleichung der Geraden in zwei projizierenden Ebenen:
Die zwei Gleichungen
(3.390)
definieren je eine Ebene, die durch die Gerade hindurchgehen und auf der

- bzw.

-Ebene senkrecht stehen.


Man nennt sie projizierende Ebenen. Auf Geraden, die parallel zur

-Ebene verlaufen, ist diese Form der Darstellung

nicht anwendbar, so daß hier die Projektionen auf ein anderes Koordinatenebenenpaar zu beziehen sind.

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und parallel zum Richtungsvektor:
Die Gleichung einer Geraden durch einen Punkt

und parallel zu einem Richtungsvektor


ergibt sich
a) in Komponentendarstellung
(3.391a)
b) in Vektordarstellung
(3.391b)
c) in Parameterform
(3.391c)
d) in Vektorschreibweise
(3.391d)


Die Darstellung (3.391a) ergibt sich aus (3.389a) mit Hilfe von
(3.392a)
oder in Vektorschreibweise
(3.392b)
wobei die Zahlen

so gewählt werden, daß die Gleichungen (3.389a) erfüllt werden.

Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte:
Die Gleichung einer Geraden durch die zwei Punkte

und


lautet in
a) Komponentenschreibweise
(3.393a)
b) Vektorschreibweise
(3.393b)
(S. auch Produkte von Vektoren.)

Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene:


Der Punkt sei durch

die Ebene durch die Gleichung

oder

gegeben.

Die Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene lautet dann in
a) Komponentenschreibweise
(3.394a)
b) Vektorschreibweise


(3.394b)
(S. auch Produkte von Vektoren.)

Abstand eines Punktes von einer in Komponententarstellung gegebenen Geraden:
Der Abstand

des Punktes

von einer Geraden, die gemäß (3.391a) gegeben ist ergibt sich zu:
(3.395)

Kürzester Abstand zwischen zwei in Komponentendarstellung gegebenen Geraden:
Wenn die Geraden gemäß (3.391a) gegeben sind, beträgt ihr Abstand

(3.396)

Verschwindet die im Zähler stehende Determinante, dann ist die Bedingung dafür erfüllt, daß sich die beiden Geraden im
Raum schneiden.


Schnittpunkte von Ebenen und Geraden:
1. Geradengleichung in Komponentenform: Die Schnittpunkte einer Ebene, gegeben durch
und einer Geraden, gegeben durch

,

ergeben sich zu:
(3.397a)
mit
(3.397b)
Ist

dann ist die Gerade parallel zur der Ebene. Wenn außerdem
dann liegt die Gerade in der Ebene.
2. Geradengleichung in zwei projizierenden Ebenen: Die Schnittpunkte einer Ebene, gegeben durch
und einer Geraden, gegeben durch

und

,

ergeben sich zu
(3.398)
Ist
liegt die Gerade in der Ebene.

dann ist die Gerade parallel zur Ebene. Wenn außerdem

dann


Schnittpunkt zweier Geraden:
Die Geraden seien gegeben durch
Der Schnittpunkt der Geraden wird mit den folgenden Formeln berechnet:
(3.399a)
Einen Schnittpunkt liefern diese Formeln nur unter der Bedingung
(3.399b)
Im entgegengesetzten Falle schneiden die Geraden einander nicht.

Winkel zwischen zwei Geraden:
1. Allgemeiner Fall: Sind die Geraden durch die Gleichungen
und

und

oder vektoriell durch

gegeben, dann wird der Winkel gemäß

(3.400)


berechnet.
2. Parallelitätsbedingung: Die Parallelitätsbedingung für zwei Geraden lautet:
(3.401)
3. Orthogonalitätsbedingung: Die Orthogonalitätsbedingung für zwei Geraden lautet:
(3.402)

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:
Sind die Gerade und die Ebene gegeben durch die Gleichungen

oder vektoriell durch

bzw.

bzw.

dann wird der

Winkel zu
(3.403)
berechnet.
Parallelitätsbedingung: Die Parallelitätsbedingung für eine Gerade und eine Ebene lautet:
(3.404)
Orthogonalitätsbedingung: Die Ortogonalitätsbedingung für eine Gerade und eine Ebene lautet:


(3.405)


Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Allgemeine Ebenengleichung:
HESSEsche Normalform der Ebenengleichung:
Achsenabschnittsform der Ebenengleichung:
Gleichung einer Ebene, durch drei Punkte:
Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden:
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden:
Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen:

Ebenengleichungen
Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Ebene, und umgekehrt ist die Gleichung jeder Ebene vom
ersten Grade.


Allgemeine Ebenengleichung:
Die allgemeine Ebenengleichung lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.373a)
b) in Vektorschreibweise
(3.373b)
senkrecht auf der Ebene steht. (In der Abbildung sind die Achsenabschnitte der

wobei der Vektor
Ebene

eingezeichnet.)

(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen)


Man spricht vom Normalenvektor der Ebene . Seine Richtungskosinusse sind
(3.373c)
Wenn

dann geht die Ebene durch den Koordinatenursprung, für

die Ebene parallel zur

-Achse, bzw. zur

- oder

dann liegt die Ebene parallel zur

bzw.

-Achse. Wenn
-Ebene, bzw. zur

oder

bzw.
- oder

ist
oder

-Ebene.


HESSEsche Normalform der Ebenengleichung:
Die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung lautet
a) in Komponentenschreibweise
(3.374a)
b) in Vektorschreibweise
(3.374b)
wobei

der Normaleneinheitsvektor der Ebene ist und

der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung. Die

HESSEsche Normalform geht aus der allgemeinen Gleichung (3.373a) durch Multiplikation mit dem Normierungsfaktor
(3.374c)
hervor. Dabei muß das Vorzeichen von

entgegengesetzt zu dem von

gewählt werden.

(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise s. Vektorielle Gleichungen.)


Achsenabschnittsform der Ebenengleichung:
Mit den Strecken

die unter Berücksichtigung des Vorzeichens von der Ebene auf den Koordiantenachsen

abgeschnitten werden, gilt:
(3.375)


Gleichung einer Ebene, durch drei Punkte:
Die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte
lautet
a) in Komponentenschreibweise

geht,


(3.376a)

b) in Vektorschreibweise
(3.376b)
(s. gemischtes Produkt dreier Vektoren).

Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden:
Die Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte
Geraden mit dem Richtungsvektor

geht und parallel zu einer

liegt, lautet

a) in Komponentenschreibweise

(3.377a)

b) in Vektorschreibweise
(3.377b)


(S. auch gemischtes Produkt oder Spatprodukt dreier Vektoren.)

Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:
Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt
Richtungsvektoren

und

geht und parallel zu zwei Geraden mit den
verläuft, lautet

a) in Komponentenschreibweise

(3.378a)

b) in Vektorschreibweise
(3.378b)
(S. auch gemischtes Produkt oder Spatprodukt dreier Vektoren.)

Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden:
Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt

geht und senkrecht zu einer Geraden mit dem


Richtungsvektor

verläuft, lautet

a) in Komponentenschreibweise
(3.379a)
b) in Vektorschreibweise
(3.379b)
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten.)

Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Einsetzen der Koordinaten des Punktes

in die HESSEsche Normalform der Ebenengleichung (3.374a)
(3.380a)

liefert
(3.380b)
Wenn

und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen, ist

entgegengesetzten Falle ist

Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen:

im


Die Gleichung einer Ebene, die durch die Schnittlinie zweier Ebenen mit den Gleichungen
und

verläuft, lautet

a) in Komponentenschreibweise
(3.381a)
b) in Vektorschreibweise
(3.381b)
ein reeller Parameter, so daß durch die Gleichungen (3.381a) und (3.381b) ein ganzes Ebenenbüschel
Dabei ist
beschrieben wird. Die folgende Abbildung zeigt den Fall eines Ebenenbüschels mit drei Ebenen.


Wenn

in den Gleichungen (3.381a) oder (3.381b) die Werte zwischen

Ebenen des Büschels. Für

und

durchläuft, erhält man alle

erhält man die Gleichungen der Ebenen, die die Winkel zwischen den beiden

gegebenen Ebenen halbieren, wenn deren Gleichungen in der Normalform gegeben sind.
(Zum Skalarprodukt zweier Vektoren s. Skalarprodukt und Skalarprodukt in affinen Koordinaten, zur Ebenengleichung
in Vektorschreibweise (s. Vektorielle Gleichungen.)


Sphärischer Abstand
Durch zwei Punkte
und
der Kugeloberfläche, die keine Gegenpunkte, d.h. keine Endpunkte eines
Durchmessers sind, lassen sich unendlich viele Kleinkreise, aber nur ein Großkreis (mit der Großkreisebene g) legen.
In der folgenden Abbildung sind durch die Punkte
des durch

gehenden Großkreises geklappt.

und

die zwei Kleinkreise

gelegt und in die Ebene


Man sieht, daß der Großkreis den größten Radius und damit die kleinste Krümmung hat. Daher stellt der kleinere der
beiden Großkreisbögen durch
zwischen den Punkten

und

und

die kürzeste Verbindung beider Punkte dar. Er ist die kürzeste Verbindung

auf der Kugeloberfläche und wird sphärischer Abstand genannt.


Messung des sphärischen Abstandes
Der sphärische Abstand zweier Punkte kann im Längenmaß oder im Winkelmaß ausgedrückt werden.

Sphärischer Abstand im Winkelmaß ist der Winkel zwischen den Radien

und

, gemessen im


Kugelmittelpunkt
. Dieser Winkel ist dem sphärischen Abstand eindeutig zugeordnet und wird im folgenden
mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Die Bezeichnung kann am Kugelmittelpunkt oder auf dem
Großkreisbogen angegeben werden.
Sphärischer Abstand im Längenmaß ist die Länge des Großkreisbogens zwischen

und

. Sie wird im

folgenden mit
(Bogen
) bezeichnet.
Umrechnungen von Winkelmaß in Längenmaß und umgekehrt erfolgen gemäß
(3.161a)
(3.161b)

Dabei ist

der in Grad und arc

der in Radiant gemessene Winkel (s. Bogenmaß). Für den Umrechnungsfaktor

gilt

(3.161c)
Die Angaben im Längen- oder Winkelmaß sind gleichwertig, aber in der sphärischen Trigonometrie werden die
sphärischen Abstände in der Regel im Winkelmaß angegeben.
Beispiel A


Bei sphärischen Berechnungen auf der Erdoberfläche wird von einer Kugel ausgegangen, die das gleiche
Volumen wie das zweiachsige Referenzellipsoid von KRASSOWSKI hat. Dieser Erdkugelradius beträgt
km, woraus folgt

111,2 km,

1853,3 m = 1 alte Seemeile. Heute gilt: 1

Seemeile = 1852 m.
Beispiel B
Der sphärische Abstand zwischen Dresden und St. Petersburg beträgt

= 1433 km oder


Abstand zwischen zwei Punkten
Sind die Punkte in kartesischen Koordinaten

und

gegeben, dann ist
(3.291)

sind sie als

und

in Polarkoordinaten gegeben, dann gilt
(3.292)


Abstand zwischen zwei Punkten
Zwischen den Punkten

und

in der folgenden Abbildung beträgt der Abstand
(3.360a)


Die Richtungskosinusse der Strecke zwischen beiden Punkten berechnen sich gemäß
(3.360b)


Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren
Zur Lösung der Quadratmittelaufgabe (19.24) geht man im nichtlinearen Fall ( nichtlineare Ausgleichsaufgabe ) iterativ
wie folgt vor:
1.
approximiert man wie beim NEWTON-

Ausgehend von geeigneten Startnäherungen
Verfahren (dort gemäß (19.61)), die nichtlinearen Funktionen
durch lineare Näherungen

, die in jedem Iterationsschritt gemäß

(19.65)

berechnet werden.


2.
Man setzt in (19.65)

und ermittelt die Verbesserungen

nach der GAUSSschen

Fehlerquadratmethode, d.h. durch Lösung der linearen Quadratmittelaufgabe
(19.66)

z.B. mit Hilfe der Normalgleichungen (19.42), oder des HOUSEHOLDER-Verfahrens.
3.
Man erhält Näherungen für die gesuchte Lösung durch
(19.67a)

(19.67b)

wobei

ein Schrittweitenparameter wie beim NEWTON-Verfahren ist.

Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit

an Stelle von

erhält man das GAUSS-NEWTON- Verfahren

. Es liefert eine Folge von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der Startnäherungen abhängt.


Mit Hilfe des Schrittweitenparameters

läßt sich jedoch ein sogenannter Abstieg , d.h. eine Verkleinerung der

Fehlerquadratsumme, erzielen.
Wenn die Berechnung der partiellen Ableitungen

mit großem Aufwand verbunden ist, kann man die partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten sehr einfach
approximieren:

(19.68)

Die sogenannten Diskretisierungsschrittweiten

können in Abhängigkeit von Iterationsschritt und Variablen

speziell gewählt werden.
Verwendet man die Näherungen (19.68), dann müssen bei der Durchführung des GAUSS-NEWTON-Verfahrens nur
Funktionswerte

berechnet werden, d.h., das Verfahren ist dann ableitungsfrei .


Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten
Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten eines Punktes
sind die mit einem bestimmten Vorzeichen
behafteten und in einem bestimmten Maßstab angegebenen Entfernungen dieses Punktes von zwei senkrecht
aufeinander stehenden Koordinatenachsen .

Der Schnittpunkt 0 der Koordinatenachsen wird Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt genannt. Die
horizontale Koordinatenachse, meist die
Koordinatenachse, meist die

-Achse, wird gewöhnlich Abszissenachse genannt, die vertikale

-Achse, Ordinatenachse . Auf diesen Achsen wird die positive Richtung festgelegt: für


die

-Achse gewöhnlich nach rechts weisend, für die

Punktes

-Achse nach oben. Die Koordinatenvorzeichen eines

sind dann positiv oder negativ, je nachdem, auf welche Halbachse die Projektion des Punktes fällt.

Die Koordinaten

bzw.

werden die Abszisse bzw. die Ordinate des Punktes

wird ein Punkt mit der Abszisse

und der Ordinate

-Ebene in vier Quadranten I, II, III und IV zerlegt.

genannt. Mit der Schreibweise

angegeben. Durch die Koordinatenachsen wird die


Kartesische Koordinaten
1. Grundbegriffe:
werden die mit einem bestimmten Vorzeichen versehenen und in
Kartesische Koordinaten eines Punktes
einer bestimmten Maßeinheit angegebenen Abstände von drei rechtwinklig aufeinanderstehenden
Koordinatenebenen genannt. Sie stellen die Projektionen des Radiusvektors
rechtwinklig aufeinanderstehende Koordinatenachsen dar.

zum Punkt

auf drei


Der Schnittpunkt 0 der Koordinatenachsen wird Koordinatenursprung oder Koordinatenanfangspunkt genannt.
Die Koordinaten
daß der Punkt

heißen Abszisse , Ordinate und Applikate . Die Schreibweise
die Koordinaten

nach dem Oktanten, in dem sich der Punkt

bedeutet,

hat. Die Vorzeichen der Koordinaten richten sich
befindet.


2. Koordinatenvorzeichen:
Die Koordinatenvorzeichen in den 8 Oktanten sind in der Tabelle angegeben.
Tabelle Koordinatenvorzeichen in den Oktanten
Oktant


3. Einheitsvektoren im Rechts- und Linkssystem:
Im rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem (linke Abbildung) gilt für die senkrecht
aufeinanderstehenden und in der Reihenfolge

genommenen Einheitsvektoren
(3.353a)

d.h., es gilt die Rechte-Hand-Regel.

Die drei Formeln gehen durch zyklische Vertauschung der Einheitsvektoren auseinander hervor.
Im linkshändigen kartesischen Koordinatensystem (rechte Abbildung) gilt


(3.353b)
Das negative Vorzeichen der Vektorprodukte ergibt sich aus der linkshändigen Reihenfolge der Einheitsvektoren, d.h.
ihrer Anordnung im Uhrzeigersinn.
Es ist zu beachten, daß in beiden Fällen gilt:
(3.353c)
Im allgemeinen werden, wie auch in diesem Buch, rechtshändige Koordinatensysteme verwendet; die Formeln sind
allerdings nicht von dieser Wahl abhängig.


Theorie der Meßfehler
Bei jeder wissenschaftlichen Messung -- unabhängig davon, wie sorgfältig sie durchgeführt wird -- sind
Beobachtungs- oder Meßwerte mit unvermeidlichen Meßfehlern behaftet. Nach DIN werden die Meßfehler, also alle
während einer Messung auftretenden Fehler, Abweichungen genannt. Unsicherheiten nennt man dagegen die Fehler
bei der Angabe von Meßergebnissen. Mit diesen beiden Begriffen kann man die Zielstellung der Theorie der
Meßfehler wie folgt formulieren:
1.
Die Abweichungen sind so klein wie möglich zu halten, d.h., für den Wert, der durch die Messung bestimmt
werden soll, ist eine möglichst gute Näherung zu ermitteln. Dafür eignet sich besonders die
Ausgleichsrechnung , die auf GAUSS zurückgeht und die im wesentlichen aus der Fehlerquadratmethode
besteht.
2.
Die Unsicherheit ist so gut wie möglich abzuschätzen oder zu berechnen, wozu die Methoden der
mathematischen Statistik eingesetzt werden.
●
●

Meßfehler und ihre Verteilung
Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse


Prinzip der Prüfverfahren
Ein statistisches Prüfverfahren hat grundsätzlich folgenden Aufbau:
1.
Es wird eine Hypothese
aufgestellt, daß die Stichprobe einer Grundgesamtheit von vorgegebenen
Eigenschaften angehört, z.B.
:
Grundgesamtheit ist normalverteilt mit den Parametern

und

oder

:
Für das unbekannte

wird ein Näherungswert

, in diesem Zusammenhang auch Schätzwert

genannt, eingesetzt, der z.B. durch Rundung des Stichprobenmittelwertes

gewonnen wird.

2.
(im allgemeinen mit Hilfe von
Man ermittelt in der angenommenen Grundgesamtheit ein Vertrauensintervall
Tabellen), in dem der Wert einer bestimmten Stichprobenfunktion mit einer vorgegebenen Sicherheit (z.B.
oder
3.

) liegt.


Man berechnet den Wert der Stichprobenfunktion und lehnt die Hypothese ab, wenn dieser Wert nicht in
liegt.
Beispiel
Prüfen des Mittelwertes mit der Hypothese

:

bei vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit

Gemäß Abschnitt Vertrauensgrenzen für den Mittelwert genügt die Zufallsgröße

-Verteilung mit
wenn

.

einer

Freiheitsgraden. Daraus folgt, daß man die Hypothese ablehnen muß,

nicht in dem durch (16.125) festgelegten Vertrauensintervall liegt, d.h., wenn sich

(16.130)
ergibt. Man sagt dann, es handelt sich um eine signifikante Abweichung und spricht von Signifikanz .
Weitere Angaben über die Durchführung von Prüfverfahren s. Lit. 16.23.


Unterabschnitte
●

Evolvente oder Involute

Evolute
Evolute einer gegebenen Kurve heißt eine zweite Kurve, die aus den Krümmungsmittelpunkten der ersten Kurve
besteht; sie ist gleichzeitig Einhüllende der Normalen dieser ersten Kurve. Die Einhüllende wird auch Enveloppe
genannt. Die Parameterform der Evolute erhält man aus der Gleichung (3.444) für die Krümmungsmittelpunkte, wenn
und

als laufende Koordinaten aufgefaßt werden. Wenn es gelingt, aus diesen Gleichungen den Parameter (

oder

) zu eliminieren, dann kann die Evolutengleichung in kartesischen Koordinaten hingeschrieben werden.

Beispiel


Es ist die Evolute der Parabel

zu bestimmen.

Aus

als laufende Koordinaten der Evolute

folgt mit

und


Evolvente oder Involute
Evolvente oder Involute einer Kurve

heißt eine Kurve

die für

der Evolvente eine Tangente an die Evolute, und die Bogenlänge

eine Evolute ist. Daher ist jede Normale

der Evolute ist gleich dem Zuwachs

des Krümmungsradius der Evolvente (linke Abbildung):
(3.460)


Diese Eigenschaften berechtigen für die Evolvente zu der Bezeichnung ,,Abwickelkurve `` der Kurve

da sie aus

durch Abwickeln eines gespannten Fadens erhalten werden kann (rechte Abbildung). Einer gegebenen Evolute
entspricht eine Schar von Evolventen, die jeweils durch die ursprüngliche Länge des gespannten Fadens bestimmt
werden.
Die Gleichung der Evolute ergibt sich durch Integration eines Systems von Differentialgleichungen, das die Gleichung
der Evolute darstellt (s. auch Kreisevolvente).
Beispiel
Die Katenoide ist die Evolute der Traktrix, die Traktrix die Evolvente der Katenoide.


Mächtigkeit, Kardinalzahl
1. Mächtigkeit, Kardinalzahl: Zwei Mengen
bijektive Abbildung gibt. Jeder Menge

heißen gleichmächtig , falls es zwischen ihnen eine

wird eine Kardinalzahl

oder

zugordnet, so daß

gleichmächtige Mengen die gleiche Kardinalzahl erhalten. Eine Menge ist zu ihrer Potenzmenge niemals
gleichmächtig, so daß es keine ,,größte`` Kardinalzahl gibt.
2. Unendliche Mengen: Unendliche Mengen sind dadurch charakterisiert, daß sie echte Teilmengen besitzen,
die zur Gesamtmenge gleichmächtig sind. Die ,,kleinste`` unendliche Kardinalzahl ist die Kardinalzahl der
Menge

der natürlichen Zahlen.

Eine Menge heißt abzählbar (unendlich), wenn sie zu
lassen sich durchnumerieren bzw. als unendliche Folge

gleichmächtig ist. Das bedeutet, ihre Elemente
schreiben.

Eine Menge heißt überabzählbar (unendlich), wenn sie unendlich, aber nicht gleichmächtig zu
Demzufolge ist jede nichtabzählbar (unendliche) Menge überabzählbar (unendlich).

ist.


Beispiel A
Die Menge

der ganzen Zahlen und die Menge

der rationalen Zahlen sind abzählbar

der reellen Zahlen und die Menge

der komplexen Zahlen sind überabzählbar

(unendlich).
Beispiel B
Die Menge
(unendlich).


Hinweise:
1.
Zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten hätte man auch von der Interpolationsbedingung
, d.h. von
(16.151)
ausgehen können. Im Falle

stellt (16.151) ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem dar, zu dessen

genäherter Lösung das HOUSEHOLDER-Verfahren verwendet werden kann. Der Übergang von (16.151), d.h.
Multiplikation von (16.151) mit
G linear unabhängig sind, also Rang

, wird auch als GAUSS-Transformation bezeichnet. Wenn die Spalten der Matrix
ist, dann hat das Normalgleichungssystem (16.147e) eine

eindeutige Lösung, die mit der nach HOUSEHOLDER ermittelten Näherungslösung von (16.151) übereinstimmt.
2.
Auch im mehrdimensionalen Fall lassen sich mit Hilfe der -Verteilung Vertrauensgrenzen für die
Regressionskoeffizienten analog zu (16.143a,b) angeben (s. Lit. 16.9).
3.
Mit Hilfe der

-Verteilung kann man einen sogenannten Adäquatheitstest für den Ansatz (16.147b)


durchführen. Dieser Test gibt Auskunft darüber, ob ein Ansatz der Form (16.147b), aber mit weniger Gliedern,
schon eine hinreichend gute Approximation der theoretischen Regressionsfunktion (16.144) liefert (s. Lit. 16.9).


Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion zweier oder mehrerer komplexer Zahlen sind in der algebraischen Schreibweise durch die
Formel

(1.138)
definiert. In der geometrischen Interpretation werden zur Summen- bzw. Differenzbildung die Vektoren der
betreffenden komplexen Zahlen addiert bzw. subtrahiert (s. Regeln der Vektorrechnung).


Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●

Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
Resultatfehler:
Vermeidung der Auslöschung:

Grundoperationen des numerischen Rechnens
Jeder numerische Prozeß setzt sich letztlich aus einer Folge von Grundrechenoperationen zusammen. Probleme
ergeben sich insbesondere durch die endliche Stellenzahl bei der Gleitpunktarithmetik. Diese sollen kurz betrachtet
werden. Es sei vorausgesetzt, daß
einem Wert

und

normalisierte fehlerfreie Gleitkommazahlen gleichen Vorzeichens mit

sind.
(19.269a)


(19.269b)

(19.269c)

Addition:
Für

erfolgt der Exponentenangleich an

, da wegen der Normalisierung nur eine Linksverschiebung des

Punktes möglich ist. Die Mantissen werden addiert.
(19.270a)
(19.270b)
so erfolgt die Punktverschiebung um eine Stelle nach links bei gleichzeitiger Erhöhung des Exponenten um eins
(Additionsüberlauf).
Beispiel
.

Subtraktion:


Der Exponentenangleich erfolgt wie bei der Addition, die Mantissen werden subtrahiert. Ist
(19.271a)
und
(19.271b)
so erfolgt die Punktverschiebung um maximal

Stellen nach rechts mit entsprechender Erniedrigung des Exponenten.

Beispiel
.
Das Beispiel zeigt den kritischen Fall der Auslöschung führender Nullen. Durch die beschränkte Stellenzahl (hier 4)
werden außerdem von rechts Nullen eingeschleppt, die eine erhöhte Anzahl gültiger Ziffern vortäuschen.

Multiplikation:
Die Exponenten werden addiert und die Mantissen multipliziert. Ist
(19.272)
so wird der Dezimalpunkt bei gleichzeitiger Erniedrigung des Exponenten um eins um eine Stelle nach rechts
verschoben ( Multiplikationsunterlauf ).
Beispiel
.


Division:
Die Exponenten werden subtrahiert und die Mantissen dividiert. Ist
(19.273)
so wird der Dezimalpunkt bei gleichzeitiger Erhöhung des Exponenten um eins um eine Stelle nach links verschoben (
Divisionsüberlauf ).
Beispiel
.

Resultatfehler:
Der Resultatfehler bei den vier Grundrechenarten mit vorausgesetzten fehlerfreien Operanden resultiert dann lediglich
aus der Rundung. Für den relativen Fehler gilt mit der Stellenzahl

und der Basis

die Schranke
(19.274)

Vermeidung der Auslöschung:
Es ist ersichtlich, daß die Subtraktion nahezu gleich großer Gleitkommazahlen die kritische Operation ist. Wenn möglich,
sollte in solchen Fällen durch Prioritätenänderungen oder andere Anordnung der Operanden die Reihenfolge der


Operationen geändert werden.


Darstellung in Form eines Polynoms
Jeder ganzrationale Ausdruck kann mit Hilfe elementarer Umformungen, also durch Zusammenziehen gleichnamiger Glieder,
Addition, Subtraktion und Multiplikation von Monomen und Polynomen, in Form eines Polynoms dargestellt werden.
Beispiel

●
●

Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
Spezielle Formeln


Arithmetische Operationen
Die arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) mit zwei beliebigen rationalen
Zahlen sind stets möglich und liefern im Ergebnis wieder eine rationale Zahl. Eine Ausnahme davon ist die Division
durch Null , die unmöglich ist: Die Schreibweise
Zahl

gibt, die der Gleichung

mit

hat keinen bestimmten Sinn, da es keine bestimmte rationale
genügt. Für

kann

eine beliebige rationale Zahl

sein. Die oft verwendete Schreibweise
(unendlich) bedeutet nicht, daß diese Division möglich ist; es ist
lediglich eine Abkürzung für die Aussage: Wenn sich der Nenner Null nähert, wächst der Quotient absolut genommen
über alle Grenzen.


Rechenregeln
1. Elementare algebraische Operationen: Die Multiplikation eines Tensors mit einer Zahl und die Addition
und Subtraktion von Tensoren gleicher Stufe erfolgen komponentenweise analog zu den entsprechenden
Operationen bei Vektoren und Matrizen.
2. Tensorprodukt: Die Tensoren
bzw.

Dann bilden die

bzw.

mit den Komponenten

bzw.

seien von der Stufe

Skalare
(4.73a)

die Komponenten eines Tensors
von

und

der Stufe

Man schreibt

=

und spricht vom Tensorprodukt

. Es gelten Assioziativ- und Distributivgesetz:
(4.73b)

3. Dyadisches Produkt: Das Produkt zweier Tensoren 1. Stufe
ergibt einen Tensor 2. Stufe mit den Elementen

und


(4.74a)
d.h., das Tensorprodukt stellt die Matrix
(4.74b)

dar. Diese wird auch als dyadisches Produkt der beiden Vektoren

4. Verjüngung: Setzt man in einem Tensor der Stufe
sie, so erhält man einen Tensor der Stufe

und

bezeichnet.

zwei Indizes gleich und summiert über

und spricht von einer Verjüngung des Tensors.

Beispiel
Der 2stufige Tensor

von (4.74a) mit
und

der das Tensorprodukt der beiden Vektoren
darstellt, wird über die Indizes

und

verjüngt, so daß

man mit
(4.75)
einen Skalar, also einen Tensor nullter Stufe erhält. Er stellt das Skalarprodukt der Vektoren
dar.

und


Rechenregeln
Neben den bereits formulierten Rechenregeln gelten noch die folgenden Rechenregeln:
1. Addition und Subtraktion: Tensoren gleicher Stufe, deren einander entsprechende Indizes beide kovariant
oder beide kontravariant stehen, werden koordinatenweise addiert oder subtrahiert und liefern einen Tensor
der gleichen Stufe.
2. Multiplikation: Die Multiplikation der Koordinaten eines Tensors

-ter Stufe mit denen eines Tensors

-

ter Stufe ergibt stets einen Tensor der Stufe
3. Verjüngung: Setzt man in einem Tensor

-ter Stufe

einen kovariant und einen kontravariant

stehenden Index einander gleich und summiert entsprechend der EINSTEINschen Summenkonvention über
diesen Index, dann entsteht ein Tensor der Stufe

. Diese Operation heißt Verjüngung .

4. Überschiebung: Unter Überschiebung zweier Tensoren versteht man folgende Operation: Beide Tensoren
werden multipliziert, und anschließend wird eine Verjüngung des Ergebnisses derart vorgenommen, daß die
Indizes, nach denen verjüngt wird, verschiedenen Faktoren angehören.
5. Symmetrie: Ein Tensor heißt symmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier kontravariant stehender
Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung nicht ändert.


6. Schiefsymmetrie: Ein Tensor heißt schiefsymmetrisch bezüglich zweier kovariant oder zweier kontravariant
stehender Indizes, wenn er sich bei deren Vertauschung mit

multipliziert.

Beispiel
Der Epsilontensor ist schiefsymmetrisch bezüglich zweier beliebiger kovarianter oder kontravarianter
Indizes.


Summen und Differenzen von Areafunktionen
(2.209)
(2.210)
(2.211)


Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente
(Additionstheoreme)
(2.172)
(2.173)

(2.174)

(2.175)


Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y
(2.145a)

(2.145b)

(2.145c)

(2.146a)

(2.146b)


(2.146c)


Trigonometrische Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel
(2.82)
(2.83)
(2.84)

(2.85)

(2.86)


(2.87)


Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
(2.107)

(2.108)

(2.109)

(2.110)


(2.111)

(2.112)

(2.113)

(2.114)


Sigma-Algebren und Maße
Ausgangspunkt für den Begriff eines Maßes ist eine Verallgemeinerung der Begriffe der Länge eines Intervalls in

,

des Flächeninhalts und des Volumens einiger Teilmengen aus
und
. Diese Verallgemeinerung wird benötigt,
um möglichst viele Mengen ,,messen``zu können und möglichst viele Funktionen ,,integrierbar zu machen``.
Beispielsweise hat das Volumen eines

-dimensionalen Quaders
den Wert

●
●

-Algebra
Maß

.


Adjazenz
Gilt
Startpunkt von

dann heißt der Knoten

adjazent , d.h. benachbart, zum Knoten

heißt Zielpunkt von

und

Der Knoten

heißt

heißen Endpunkte von

Entsprechend werden die Adjazenz in ungerichteten Graphen und die Endpunkte von ungerichteten Kanten definiert.


Adjazenzmatrix
Endliche Graphen kann man wie folgt durch eine Matrix beschreiben: Es sei
und
von

nach

ein Graph mit

Dabei bezeichne

die Anzahl der Kanten

Bei ungerichteten Graphen werden Schlingen doppelt gezählt; bei gerichteten Graphen zählt man

Schlingen einfach. Die Matrix

vom Typ

mit

wird Adjazenzmatrix genannt. Ist der

Graph zusätzlich schlicht, dann hat die Adjazenzmatrix die folgende Gestalt:
(5.233)

D.h. in der Matrix

steht in der

-ten Zeile und

-ten Spalte genau dann eine 1, wenn eine Kante von

verläuft.
Für ungerichtete Graphen ist die Adjazenzmatrix symmetrisch.

nach


Beispiel A
Neben der Abbildung ist die Adjazenzmatrix

Beispiel B

des gerichteten Graphen

gezeigt.


Neben der Abbildung ist die Adjazenzmatrix

des ungerichteten schlichten Graphen

gezeigt.


Determinante
Determinanten sind reelle oder komplexe Zahlen, die eindeutig quadratischen Matrizen zugeordnet werden. Eine
Determinante

-ter Ordnung, die der Matrix

vom Typ

zugeordnet ist,

(4.54)

wird mit Hilfe des LAPLACEschen Entwicklungssatzes rekursiv definiert:

(4.55a)


(4.55b)

Hierbei ist

die mit dem Vorzeichenfaktor

multiplizierte Unterdeterminante des Elements

Man nennt

Adjunkte oder algebraisches Komplement .


Matrix-Gerüst-Satz
Es sei

ein Graph mit

und

Durch

mit
(5.239a)

wird eine Matrix vom Typ

definiert, die auch Valenzmatrix genannt wird. Die Differenz von Valenzmatrix und

Adjazenzmatrix ist die Admittanzmatrix

von

:
(5.239b)

Aus

erhält man durch Streichen der

-ten Zeile und der

ist gleich der Anzahl der Gerüste im Graphen

-ten Spalte die Matrix

Die Determinante von


Beispiel
Die Adjazenzmatrix, die Valenzmatrix und die Admittanzmatrix zum Graphen in der Abbildung im Abschnitt
Gerüste lauten:

Wegen det

hat der Graph genau 5 Gerüste.


Ähnliche Dreiecke, Ähnlichkeitssätze
Unter Ähnlichkeit versteht man allgemein die völlige Übereinstimmung der Gestalt ebener Figuren, ohne daß ihre
Größe übereinstimmt. Ähnliche Figuren können durch geometrische Transformationen ineinander überführt werden,
derart, daß die Punkte der einen Figur umkehrbar eindeutig so auf die Punkte der anderen abgebildet werden, daß
jedem Winkel der einen Figur ein gleicher Winkel der anderen Figur entspricht. Gleichwertig mit dieser Erklärung ist
die Aussage: In ähnlichen Figuren sind einander entsprechende Strecken zueinander proportional.
Die Ähnlichkeit von Figuren erfordert entweder die Übereinstimmung aller Winkel oder die Übereinstimmung
aller entsprechenden Streckenverhältnisse.
Die Flächeninhalte ähnlicher ebener Figuren sind proportional zum Quadrat einander entsprechender linearer
Elemente, wie Seiten, Höhen, Diagonalen usw.
Die Ähnlichkeitssätze für das ebene Dreiecke besagen, daß Dreiecke ähnlich sind, wenn sie übereinstimmen
in
❍ zwei Seitenverhältnissen,
❍ zwei gleichliegenden Innenwinkeln,
❍ im Verhältnis zweier Seiten und in dem von diesen Seiten gebildeten Innenwinkel,
❍ im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren dieser Seiten gegenüberliegenden Innenwinkel.
Da bei der Ähnlichkeit nur Seitenverhältnisse, nicht aber wie bei der Kongruenz Seitenlängen eine Rolle
spielen, enthalten die Ähnlichkeitssätze je ein Bestimmungsstück weniger als die entsprechenden
Kongruenzsätze.


Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
Wenn

und

homogene Funktionen gleichen Grades sind, dann kann in der Gleichung
(9.8)

die Trennung der Variablen durch die Substitution

Beispiel

erreicht werden.


.
Somit ist
.
Wie unter Trennung der Variablen für
Integralkurve.

oder

erwähnt wird, ist die Gerade

auch eine


Direkter Beweis
Es wird von einem bereits als richtig bewiesenen Satz (Voraussetzung
des zu beweisenden Satzes (Behauptung

) ausgegangen und daraus die Wahrheit

) abgeleitet. Bei der logischen Schlußfolgerung wird vorwiegend die

Implikation oder die Äquivalenz verwendet.
a) Direkter Beweis mit Hilfe der Implikation:
In der Implikation

folgt aus der Wahrheit der Voraussetzung die Wahrheit der Behauptung (s. 4. Zeile

der Wahrheitstafel ,,Implikation``).
Beispiel


für

Die Ungleichung

ist zu beweisen. Voraussetzung ist die als

richtig erkannte binomische Formel
folgt:

Durch Subtraktion von
und aus dieser Ungleichung erhält man unmittelbar

die Behauptung, wenn man sich beim Radizieren wegen

und

auf das positive

Vorzeichen beschränkt.
b) Direkter Beweis mit Hilfe der Äquivalenz:
Der Beweis wird durch Verifizieren , d.h. durch den Nachweis der Wahrheit, geführt. Man geht dabei von der
Wahrheit der Behauptung
Äquivalenz

aus und zeigt die Wahrheit der Behauptung

möglich ist. Praktisch bedeutet dies, daß alle Rechenoperationen, die

eindeutig umkehrbar sein müssen.
Beispiel

, was allerdings nur bei einer
in

überführen,


Die Ungleichung
Durch Multiplikation mit

Wegen

für

ist zu beweisen.

erhält man:

ist die entstandene Ungleichung richtig, und da die durchgeführten

Rechenoperationen eindeutig umkehrbar sind, ist auch die Ausgangsungleichung richtig.


BOOLEsche Funktionen
Es bezeichnet
Abbildung von

wieder die zweielementige BOOLEsche Algebra. Eine n-stellige BOOLEsche Funktion
in

Es gibt

-stellige BOOLEsche Funktionen. Die Menge

aller

ist eine
-stelligen

BOOLEschen Funktionen wird mit
(5.220)
(5.221)
(5.222)
zu einer BOOLEschen Algebra. Dabei ist

jeweils ein

-Tupel von Elementen aus

rechten Seite der Gleichungen werden die Operationen in
entsprechen den Funktionen

bzw.

und auf der

ausgeführt. Die ausgezeichneten Elemente 0 bzw. 1

mit
(5.223)

Beispiel A


Im Falle

, d.h. bei nur einer BOOLEschen Variablen

, gibt es die vier BOOLEschen Funktionen:
(5.224)

Beispiel B
Im Falle

, d.h. bei zwei BOOLEschen Variablen

und

, gibt es 16 verschiedene BOOLEschen

Funktionen, von denen die wichtigsten eigene Namen haben und durch eigene Symbole dargestellt werden.
Sie sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Einige BOOLEsche Funktionen mit zwei Variablen
Name der
Funktion

Verschiedene
Schreibweisen

SCHEFFER
bzw.
NAND
NAND

Verschiedene
Symbole

und

Wertetabelle für


PEIRCE
bzw.
NOR
NOR

Äquivalenz
bzw.
XOR


Äquivalenz

Implikation


Wahrheitstafeln
Faßt man
und
als Variable auf, die nur die Werte F und W annehmen können ( Aussagenvariable ), so
beschreiben die folgenden Wahrheitstafeln die den Junktoren entsprechenden Wahrheitsfunktionen :
Tabelle Wahrheitstafeln der Aussagenlogik


Äquivalenzklassen
Eine Äquivalenzrelation in einer Menge
Teilmengen, Äquivalenzklassen .

bewirkt eine Aufteilung von

in nichtleere paarweise disjunkte
(5.87)

heißt Äquivalenzklasse von

bezüglich

Für Äquivalenzklassen gilt:
(5.88)

Diese Äquivalenzklassen werden zu einer neuen Menge, der Faktormenge

zusammengefaßt:
(5.89)

Eine Teilmenge

der Potenzmenge

heißt Zerlegung von

, wenn
(5.90)


Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Die wichtigsten Klassen binärer Relationen in einer Menge
●
●
●
●

Äquivalenzrelationen
Äquivalenzklassen, Zerlegungen
Ordnungsrelationen
HASSE-Diagramme

sind die Äquivalenz- und Ordnungsrelationen.


Boolesche Algebren und Schaltalgebra
Die bei der Darstellung der Grundgesetze der Mengenalgebra festgestellte Analogie zu den Grundgesetzen der
Aussagenlogik trifft auch auf die Rechenregeln für Operationen mit anderen mathematischen Objekten zu. Die
Untersuchung dieser Rechenregeln führt auf den Begriff der BOOLEschen Algebra.
●
●
●
●
●
●
●

Definition und Grundgesetze
Dualitätsprinzip
Endliche BOOLEsche Algebren
BOOLEsche Algebren als Ordnungen
BOOLEsche Funktionen, BOOLEsche Ausdrücke
Normalformen
Schaltalgebra


Endliche BOOLEsche Algebren
Alle endlichen BOOLEschen Algebren lassen sich bis auf ,,Isomorphie`` einfach angeben. Es seien
BOOLEsche Algebren und

eine bijektive Abbildung.

heißt Isomorphismus , falls gilt:
(5.219)

Jede endliche BOOLEsche Algebra ist isomorph zur BOOLEschen Algebra der Potenzmenge einer endlichen Menge.
Insbesondere hat jede endliche BOOLEsche Algebra
gleich vielen Elementen sind isomorph.
Im folgenden wird mit

Elemente, und je zwei endliche BOOLEsche Algebren mit

die zweielementige BOOLEsche Algebra

mit den folgenden Operationen

bezeichnet:
Tabelle Operationen der zweielementigen BOOLEschen Algebra


Erklärt man auf dem
und

-fachen kartesischen Produkt

komponentenweise, so wird

mit

die Operationen
und

Algebra. Man nennt
das -fache direkte Produkt von
Da
Weise alle endlichen BOOLEschen Algebren (bis auf Isomorphie).

zu einer BOOLEschen
Elemente enthält, erhält man auf diese


BOOLEsche Algebren als Ordnungen
Jeder BOOLEschen Algebra

läßt sich eine Ordnungsrelation in

zuordnen: Dabei wird

genau dann

gesetzt, wenn
gilt (oder gleichbedeutend dazu, wenn
gilt).
Somit läßt sich jede endliche BOOLEsche Algebra durch ein HASSE-Diagramm darstellen.
Beispiel
sei die Menge

der Teiler der Zahl 30. Als zweistellige Operationen

werden die Bildung des größten gemeinsamen Teilers bzw. des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
verwendet und als einstellige Operation die Bildung des Komplements. Die ausgezeichneten Elemente 0
bzw. 1 entsprechen den Zahlen 1 bzw. 30. Das zugehörige HASSE-Diagramm zeigt die folgende Abbildung.


Kongruenzrelationen, Faktoralgebren
Um Faktorstrukturen, wie im Falle der Gruppen und Ringe, für universelle Algebren konstruieren zu können, wird der
Begriff der Kongruenzrelation benötigt. Eine Kongruenzrelation ist eine mit der Struktur verträgliche
eine

Äquivalenzrelation: Es sei
heißt Kongruenzrelation in

-Algebra und

falls für alle

und alle

eine Äquivalenzrelation in
mit

gilt:
(5.192)
Die Menge der Äquivalenzklassen (Faktormenge) bezüglich einer Kongruenzrelation bildet bezüglich
repräsentantenweisem Rechnen wieder eine
eine Kongruenzrelation in

-Algebra: Es sei

Die Faktormenge

eine

-Algebra und

(s. Äquivalenz- und Ordnungsrelationen) wird bezüglich


folgender Operationen

mit

(5.193)

zu einer

-Algebra

der Faktoralgebra von

nach

Die Kongruenzrelationen von Gruppen bzw. Ringen lassen sich durch spezielle Teilstrukturen - Normalteiler bzw.
Ideale - beschreiben. Im allgemeinen, z.B. bei Halbgruppen, ist eine solche Beschreibung der Kongruenzrelationen
nicht möglich.


Termalgebren, freie Algebren
1. Termalgebren: Es sei
der

-Terme über

eine Signatur und

eine abzählbare Menge von Variablen. Die Menge

ist induktiv wie folgt definiert:

1.
(5.196)
2.
(5.197)

Die so definierte Menge
über
durch

wird Trägermenge einer

gemäß folgender Operationen: Ist

-Algebra, der Termalgebra
und

vom Typ
so ist


(5.198)
erklärt.
Freie Algebren: Termalgebren sind die ,,allgemeinsten`` Algebren in der Klasse aller
-Algebren, d.h., in
Termalgebren gelten keine ,,Gleichungen``. Solche Algebren werden freie Algebren genannt.
Eine Gleichung ist ein Paar
Eine

-Algebra

von

-Termen in den Variablen

erfüllt eine solche Gleichung, wenn für alle

gilt:
(5.199)

Eine gleichungsdefinierte Klasse von
-Algebren ist eine Klasse von
-Algebren, die eine vorgegebene Menge
von Gleichungen erfüllen.
Satz von BIRKHOFF: Die gleichungsdefinierten Klassen sind genau die Varietäten.
Beispiel
Varietäten sind zum Beispiel die Klasse aller Halbgruppen, die Klasse aller Gruppen, die Klasse aller
ABELschen Gruppen und die Klasse aller Ringe. Andererseits gilt zum Beispiel, daß das direkte Produkt von
zyklischen Gruppen keine zyklische Gruppe und das direkte Produkt von Körpern kein Körper ist. Deshalb
bilden die zyklischen Gruppen bzw. Körper keine Varietäten und können nicht durch Gleichungen definiert
werden.


Normierte Algebren
Ein Vektorraum

über

heißt eine Algebra , wenn zusätzlich zu den Operationen, die im Vektorraum

sind und den Axiomen (V1) bis (V7) (s. Vektorraumaxiome) genügen, für je zwei Elemente
oder in der vereinfachten Schreibweise,

, erklärt ist, so daß für beliebige

erklärt

ihr Produkt
und

die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(12.93)
(12.94)
(12.95)
(12.96)
Eine Algebra ist kommutativ , wenn stets
Ein linearer Operator

der Algebra

gilt.
in die Algebra

heißt Algebrenhomomorphismus , wenn für


alle

gilt:
(12.97)

heißt normierte Algebra bzw. eine BANACH-Algebra , wenn sie ein normierter Vektorraum bzw. ein
Eine Algebra
BANACH-Raum ist und die Norm die (zusätzliche) Eigenschaft
(12.98)
besitzt. In einer normierten Algebra sind alle Operationen stetig, d.h., außer (12.83) gilt für
auch noch

und

(s. Lit. 12.23).

Jede normierte Algebra kann zu einer BANACH-Algebra vervollständigt werden, indem man das Produkt auf ihre
Normvervollständigung unter Berücksichtigung von (12.98) fortsetzt.
Beispiel A
mit der Norm (12.87f) und der für stetige Funktionen üblichen (punktweisen) Multiplikation.

Beispiel B
Der Vektorraum
auf

aller in eine absolut konvergente FOURIER-Reihe zerlegbaren komplexen

stetigen Funktionen

, d.h.


(12.99)

mit der Norm

und der gewöhnlichen Multiplikation.

Beispiel C
Der Raum

aller beschränkten linearen Operatoren auf dem normierten Raum

Operatorennorm und den üblichen algebraischen Operationen, wobei unter dem Produkt
Operatoren die Nacheinanderausführung, also der durch

mit der
zweier
definierte

Operator verstanden wird.
Beispiel D
Der Raum

aller absolut summierbaren meßbaren Funktionen auf der reellen Achse

(s. Maß und LEBESGUE-Integral) mit der Norm

(12.100)


wenn man für die Multiplikation von zwei Funktionen die Faltung
verwendet.


Matrizen
●
●
●
●
●
●

Begriff der Matrix
Quadratische Matrizen
Vektoren
Rechenoperationen mit Matrizen
Rechenregeln für Matrizen
Vektor- und Matrizennorm


Definition
Es sei

eine Menge von Operationssymbolen, die in paarweise disjunkte Teilmengen

liegen die Konstanten, in
Typ oder Signatur . Ist
Operation

in

die

zerfällt. In

-stelligen Operationssymbole. Die Familie

eine Menge und ist jedem

-stelligen Operationssymbol

zugeordnet, so heißt

eine

eine

heißt
-stellige

- Algebra oder Algebra vom Typ

(oder der Signatur)
Ist

endlich,

Faßt man einen Ring als

so schreibt man für

auch

-Algebra auf, so zerfällt

wobei den Operationssymbolen
und Multiplikation zugeordnet sind.

die Konstante 0, Inversenbildung bezüglich Addition, Addition


Es seien

und

-Algebren.

die Einschränkungen der Operationen

heißt

-Unteralgebra von

falls

auf die Teilmenge

ist und die Operationen
sind.


Schaltalgebra
Eine typische Anwendung der BOOLEschen Algebra ist die Vereinfachung von Reihen-Parallel-Schaltungen (RPS).
Dazu wird einer RPS ein BOOLEscher Ausdruck zugeordnet (Transformation). Dieser Ausdruck wird mit den
Umformungsregeln der BOOLEschen Algebra ,,vereinfacht``. Anschließend wird diesem Ausdruck wieder eine RPS
zugeordnet (Rücktransformation). Im Ergebnis erhält man eine vereinfachte RPS, die das gleiche Schaltverhalten wie
die Ausgangsschaltung hat.

RPS bestehen aus Grundelementen, den Arbeits- und Ruhekontakten, mit jeweils zwei Zuständen (geöffnet oder
geschlossen). Die Symbolik ist, wie üblich, so zu verstehen: Wird die steuernde Schaltvorrichtung eingeschaltet, so


schließt der Arbeitskontakt (,,Schließer``) und der Ruhekontakt (,,Öffner``) öffnet sich. Den die Kontakte steuernden
Schaltvorrichtungen werden BOOLEsche Variable zugeordnet. Dem Zustand ,,aus`` bzw. ,,ein`` der Schaltvorrichtung
entspricht der Wert 0 bzw. 1 der BOOLEschen Variablen. Kontakte, die durch die gleichen Vorrichtungen geschaltet
werden, erhalten als Symbol die BOOLEsche Variable dieser Vorrichtung. Der Schaltwert einer RPS ist 0 bzw. 1,
wenn die Schaltung elektrisch leitend bzw. nichtleitend ist. Der Schaltwert ist abhängig von der Stellung der Kontakte
(Schaltfunktion) der den Schaltvorrichtungen zugeordneten Variablen. In der
und damit eine BOOLEsche Funktion
folgenden Abbildung sind Kontakte, Schaltungen, Symbole und die ihnen entsprechenden BOOLEschen Ausdrücke
dargestellt.

Die BOOLEschen Ausdrücke, die Schaltfunktionen von RPS repräsentieren, sind dadurch ausgezeichnet, daß das
Negationszeichen nur über Variablen (nicht über Teilausdrücken) stehen darf.
Beispiel


Die Reihen-Parallel-Schaltung aus der folgenden Abbildung ist zu vereinfachen.

Dieser Schaltung ist der BOOLEsche Ausdruck
(5.230)
als Schaltfunktion zugeordnet. Entsprechend den Umformungsregeln der BOOLEschen Algebra ergibt sich:


(5.231)

Dabei ergibt sich

aus

und

aus

Man erhält die in der Abbildung dargestellte vereinfachte
RPS.
Dieses Beispiel veranschaulicht, daß es nicht immer einfach ist, durch Umformung auf den ,,einfachsten``
BOOLEschen Ausdruck zu kommen. In der Literatur sind dazu Verfahren bereitgestellt.


Universelle Algebra
Eine (universelle) Algebra besteht aus einer Menge, der Trägermenge , und Operationen auf dieser Menge. Einfache
Beispiele sind Halbgruppen, Gruppen sowie Ringe und Körper.
Universelle Algebren (meist mehrsortig, d.h. mit mehreren Trägermengen) werden insbesondere in der theoretischen
Informatik betrachtet. Sie dienen dort als Grundlage für die (algebraische) Spezifikation abstrakter Datentypen und
für Termersetzungssysteme .
●
●
●
●
●
●

Definition
Kongruenzrelationen, Faktoralgebren
Homomorphismen
Homomorphiesatz
Varietäten
Termalgebren, freie Algebren


Interpolation nach Aitken-Neville
In vielen praktischen Fällen wird das Interpolationspolynom

explizit nicht benötigt, sondern nur sein Funktionswert an

einer vorgegebenen Stelle
des Interpolationsgebietes. Zur Berechnung dieses Funktionswertes kann man nach
AITKEN/NEVILLE rekursiv vorgehen. Dazu verwendet man zweckmäßigerweise die Bezeichnung
(19.161)
in der die Indizierung die verwendeten Stützstellen und damit auch den Grad des Interpolationspolynoms angibt. Es gilt

(19.162)
d.h., der Funktionswert

ergibt sich durch lineare Interpolation aus den Funktionswerten von

, zwei Interpolationspolynomen vom Grad
Schema, das für den Fall

angegeben werden soll:

und

. Die gezielte Anwendung von (19.162) führt auf ein


(19.163)

Die Elemente von (19.163) werden spaltenweise berechnet. Ein neuer Wert im Schema entsteht jeweils aus dem links daneben
stehenden und dem unmittelbar über diesem stehenden Wert, z.B.
(19.164a)

(19.164b)

(19.164c)

Für die Durchführung des Algorithmus von AITKEN/NEVILLE auf dem Computer braucht man nach Lit. 19.3 nur einen Vektor
mit

Komponenten, der nacheinander die einzelnen Spalten von (19.163) aufnimmt. Dazu wird vereinbart, daß der Wert
der

-ten Spalte die

-te Komponente

von

wird. Damit sind die Spalten

von (19.163) von oben nach unten zu berechnen, um die noch benötigten Werte zur Verfügung zu haben. Der Algorithmus
besteht dann aus folgenden zwei Schritten:


(19.165a)

(19.165b)

Nach Abschluß von (19.165b) stellt

den gesuchten Funktionswert von

an der Stelle

dar.


Algorithmus von DANTZIG
Es sei

ein bewerteter schlichter gerichteter Graph mit

folgende Algorithmus liefert alle von einem Knoten
Entfernungen von

von

für alle Bögen

. Der

aus erreichbaren Knoten zusammen mit ihren

:

a)
Der Knoten

erhält die Markierung

Es sei

b)
Die Menge der markierten Knoten sei
c)
Ist
d)

, dann beende man den Algorithmus.


Anderenfalls wähle man einen Bogen
markiere

und

, setze

aus, für den

minimal ist. Man

sowie

und wiederhole b)

mit
Sind alle Bögen mit 1 bewertet, dann kann man gemäß des Problemes des kürzesten Weges mit Hilfe der
Adjazenzmatrix die Länge einer kürzesten Bahn von einem Knoten
Wird dagegen ein Knoten
Wird

mit

von

markiert, dann ist

zu einem Knoten

nicht markiert, dann gibt es keine von

nach

des Graphen finden.
führende Bahn.

die Länge einer solchen Bahn. Eine kürzeste Bahn von

in dem von allen markierten Knoten und Bögen gebildeten Baum, dem Entfernungsbaum bezüglich

Beispiel

nach

liegt


Im Graphen der folgenden Abbildung bilden die grün gezeichneten Bögen einen Entfernungsbaum
bezüglich des Knotens

Die Längen der kürzesten Bahnen sind:

von

nach

von

nach

von

nach

von

nach


von

nach

von

nach

von

nach

von

nach

von

nach

von

nach

von

nach

von

nach

von

nach

Hinweis: Für den Fall, daß

Bögen mit negativen Längen besitzt, gibt es einen modifizierten

Algorithmus zur Ermittlung kürzester Bahnen (s. Lit. 5.32).


EUKLIDischer Algorithmus
Für zwei natürliche Zahlen

kann man den größten gemeinsamen Teiler mit dem EUKLIDischen Algorithmus

ohne Zuhilfenahme der Primfaktorenzerlegung ermitteln. Dazu ist nach dem folgenden Schema eine Kette von
Divisionen mit Rest auszuführen. Für

sei

Dann gilt:

(5.152a)

Der Divisionsalgorithmus endet nach endlich vielen Schritten, da die Folge

eine streng monoton


fallende Folge natürlicher Zahlen ist. Der letzte von 0 verschiedene Rest

ist der größte gemeinsame Teiler von

und
Benutzt man die Reduktionsvorschrift
(5.152b)
dann kann man durch wiederholte Anwendung des EUKLIDischen Algorithmus auch für
den größten gemeinsamen Teiler ermitteln.
(S. auch Satz zum EUKLIDischen Algorithmus.)
Beispiel A
Es gilt ggT(38, 105) = 1, denn

Beispiel B
ggT(150, 105, 56) = ggT(ggT(150, 105), 56) = ggT(15, 56) = 1.

natürliche Zahlen mit


Kettenbrüche
Kettenbrüche sind ineinandergeschachtelte Brüche, mit deren Hilfe rationale und irrationale Zahlen dargestellt
werden können. Kettenbrüche rationaler Zahlen sind endlich. Für positive rationale Zahlen größer Eins haben sie die
Form

(1.4)

wobei die Zahlen

mit Hilfe des EUKLIDischen Algorithmus wie folgt ermittelt werden

können:
(1.5a)


(1.5b)

(1.5c)

Dabei wird vorausgesetzt, daß die Zahlen
Kettenbrüche werden abkürzend durch die Angabe

natürliche Zahlen mit

symbolisch dargestellt, wobei die Forderung

erfüllt sein muß.
Kettenbrüche irrationaler Zahlen brechen nicht ab. Sie heißen daher unendliche Kettenbrüche.
Beispiel A

sind.


Beispiel B

Beispiel C
Im gleichmäßigen Fünfeck, dem Pentagramm , sei die Länge der Seiten mit
bezeichnet. Dann gilt

, die der Diagonalen mit

(1.6)
Man sieht, daß das Verhältnis

dem des Goldenen Schnittes entspricht.


Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
Zwei Polynome

vom Grade

und

vom Grade

mit

können gemeinsame

Polynomfaktoren haben. Das Produkt aller dieser Faktoren wird größter gemeinsamer Teiler der Polynome genannt.
Wenn

und

keine gemeinsamen Polynomfaktoren besitzen, dann nennt man sie teilerfremd . Ihr

größter gemeinsamer Teiler ist dann eine Konstante.
Der größte gemeinsame Teiler zweier Polynome

und

kann mit Hilfe des EUKLIDischen Algorithmus

ohne Faktorenzerlegung ermittelt werden:
1.
Division von

durch

führt auf den Quotienten

und den Rest

:
(1.47a)

2.


Division von

durch

führt auf den Quotienten

und den Rest

:
(1.47b)

3.
Division von

durch

führt auf den Quotienten

und den Rest

usw:

Der größte gemeinsame Teiler der beiden Polynome ist dann der letzte von 0 verschiedene Rest
Die Methode ist als EUKLIDischer Algorithmus aus der Arithmetik mit natürlichen Zahlen bekannt.
Die Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers wird bei der Lösung von Gleichungen eingesetzt, z.B. bei der
Abspaltung mehrfacher Wurzeln, der Anwendung der STURMschen Methode sowie bei anderen Problemen.


Satz zum EUKLIDischen Algorithmus
Für natürliche Zahlen
Algorithmus und

mit
die Stellenzahl von

sei

die Anzahl der Divisionen mit Rest im EUKLIDischen

im dekadischen System. Dann gilt:
(5.159)


Maximalstrom-Algorithmus von FORD und FULKERSON
Mit dem Maximalstrom-Algorithmus ist feststellbar, ob ein vorgegebener Strom
Es sei

ein Transportnetz und

maximal ist.

ein mit den Kapazitäten verträglicher Strom der Stärke

Der Algorithmus

beinhaltet die folgenden Schritte zur Markierung von Knoten, nach deren Ausführung man ablesen kann, um welchen
Betrag die Stromstärke in Abhängigkeit von den ausgewählten Markierungsschritten verbessert werden kann.
a)
Man markiere

und setze

b)
Existiert ein Bogen
markiere man

und

anderenfalls folgt Schritt c).
c)

mit markiertem
setze

, nichtmarkiertem

und

dann
und wiederhole Schritt b),


Existiert ein Bogen
markiere man

mit nichtmarkiertem

und

markiertem

setze

und

dann

und führe, falls möglich, Schritt b) aus.

Anderenfalls beende man den Algorithmus.
Wird die Senke

von

markiert, dann läßt sich der Strom in

um

verbessern. Wird die Senke nicht

markiert, dann ist der Strom maximal.
Beispiel
Maximalstrom: Im Graphen der oberen Abbildung geben die Bewertungen der Kanten die Kapazitäten der
Kanten an. Im bewerteten Graphen der unteren Abbildung ist ein mit diesen Kapazitäten verträglicher Strom
der Stärke 13 dargestellt. Es handelt sich dabei um einen Maximalstrom.


Beispiel


Transportnetz: Ein Produkt wird von

Firmen

hergestellt. Es gibt

In einem bestimmten Zeitraum werden
Einheiten von

Einheiten von

Verbraucher

produziert und

benötigt.

In der vorgegebenen Zeit können

Einheiten von

nach

transportiert werden. Können in diesem

Zeitraum alle Bedarfswünsche erfüllt werden? Den zugehörigen Graphen zeigt die folgende Abbildung.


Gaußscher Algorithmus
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems
GAUSSsche Eliminationsprinzip angewendet werden.
●
●
●

GAUSSsches Eliminationsprinzip
GAUSS-Schritte
Lösungsverhalten

(4.107) von

Gleichungen mit

Unbekannten kann das


Prinzip des GAUSSschen Eliminationsverfahrens
Durch die elementaren Umformungen
1.
Vertauschen von Zeilen
2.
Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl
3.
Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
wird das System

(19.26) in ein sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem

(19.27)


überführt. Da dabei nur äquivalente Umformungen vorgenommen werden, besitzt

dieselbe Lösung wie

. Man erhält sie aus (19.27):

(19.28)
Die durch die Formel (19.28) angegebene Vorschrift nennt man Rückwärtseinsetzen , da die Gleichungen von
(19.27) in der umgekehrten Reihenfolge ihrer Entstehung benutzt werden.
Der Übergang von

zu

erfolgt in

sogenannten Eliminationsschritten , deren Durchführung am ersten

Schritt gezeigt werden soll. Dieser überführt die Matrix

in die Matrix

:

(19.29)

Dabei ist wie folgt vorzugehen:


1.
Man bestimme ein

. Falls kein solches existiert, stop:

ist singulär. Andernfalls heißt

Pivot .

2.
Man vertausche die 1. und die

-te Zeile von

. Das Ergebnis ist die Matrix

.

3.
Man subtrahiere für

Als Ergebnis erhält man die Matrix

das

-fache der 1. Zeile von der

und analog die neue rechte Seite

-ten Zeile der Matrix

.

mit folgenden Elementen:

(19.30)

Die in der Matrix

(19.29) eingerahmte Teilmatrix ist vom Typ

und wird analog zu

behandelt; usw. Diese Vorgehensweise bezeichnet man als GAUSSsches Eliminationsverfahren oder GAUSSschen
Algorithmus.


Algorithmen der Graphentheorie
Unter den Teilgebieten der Diskreten Mathematik hat die Graphentheorie wesentliche Bedeutung für die Informatik
erlangt, z.B. bei der Darstellung von Datenstrukturen, endlichen Automaten, Kommunikationsnetzen, Ableitungen in
formalen Sprachen usw. Daneben gibt es auch Anwendungen in Physik, Chemie, Elektrotechnik, Biologie und
Psychologie. Darüber hinaus sind Flüsse in Transportnetzen und Netzplantechnik in Operations Research und
kombinatorischer Optimierung anwendbar.
●
●
●
●
●
●
●

Grundbegriffe und Bezeichnungen
Durchlaufungen von ungerichteten Graphen
Bäume und Gerüste
Matchings
Planare Graphen
Bahnen in gerichteten Graphen
Transportnetze


Minimalgerüste
Es sei

ein zusammenhängender bewerteter Graph. Ein Gerüst

wenn seine Gesamtlänge

von

heißt Minimalgerüst ,

minimal ist:
(5.240)

Minimalgerüste sucht man z.B. dann, wenn die Kantenbewertungen Kosten repräsentieren und man an minimalen
Gesamtkosten interessiert ist. Ein Verfahren zur Ermittlung von Minimalgerüsten ist der KRUSKAL-Algorithmus :
a)
Man wähle eine Kante mit kleinster Bewertung.
b)
Man füge solange wie möglich zu den bereits gewählten Kanten eine Kante mit kleinstmöglicher Bewertung
hinzu, die mit den schon gewählten Kanten keinen Kreis bildet.
Die Auswahl der in Schritt b) zulässigen Kanten kann durch den folgenden Markierungsalgorithmus erleichtert


werden:
●
●

●

Die Knoten des Graphen werden paarweise verschieden markiert.
Kanten dürfen in jedem Schritt nur dann hinzugefügt werden, wenn sie Knoten mit verschiedenen
Markierungen verbinden.
Nach Hinzufügen einer Kante wird den Knoten, die die größere der Markierungen ihrer Endpunkte tragen, die
kleinere der beiden Markierungen zugeordnet.


Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten
1. Die Eigenwerte könnten als Nullstellen der charakteristischen Gleichung (4.125b) berechnet werden
(s. Beispiel A und Beispiel B. Dazu müssen die Koeffizienten

des

charakteristischen Polynoms der Matrix A bestimmt werden. Diese Vorgehensweise sollte aber vermieden
werden, da sie einen außerordentlich instabilen Algorithmus darstellt, d.h., kleine Änderungen in den
Koeffizienten

führen zu sehr großen Änderungen der Nullstellen

2. Für die numerische Lösung des symmetrischen Eigenwertproblems sind zahlreiche Algorithmen entwickelt
worden. Man unterscheidet zwei Verfahrensklassen (s. Lit. 4.8):
a) Transformationsverfahren, z.B. JACOBI-Verfahren, HOUSEHOLDER-Tridiagonalisierung, QRAlgorithmus;
b) Iterationsverfahren, z.B. Vektoriteration, RAYLEIGH- RITZ-Algorithmus, Inverse Iteration, LANCZOSVerfahren, Bisektionsverfahren.


Remes-Algorithmus
●
●

Folgerungen aus dem Alternantensatz
Bestimmung der Minimallösung nach REMES


Quantoren
Charakteristisch für die Prädikatenlogik ist die Verwendung von Quantoren , dem Allquantor (Generalisator)
dem Existenzquantor (Partikularisator)
gilt

`` mit

Ist

ein einstelliges Prädikat, so wird die Aussage ,,Für jedes

und die Aussage ,,Es gibt ein

aus

für das

bezeichnet. Durch die Quantifizierung entsteht aus dem einstelligen Prädikat
Individuenbereich der natürlichen Zahlen und bezeichnet
eine falsche und

eine wahre Aussage.

aus

gilt`` mit

eine Aussage. Ist z.B.

das (einstellige) Prädikat ,,

und

der

ist eine Primzahl``, so ist


-und
Sei

-Grenzmenge, absorbierende Menge
ein dynamisches System auf
für alle

. Die Menge

ist, und positiv invariant unter

heißt invariant unter
, falls

für alle

, falls
aus

ist.
Für jedes

ist die

-Grenzmenge des Orbits durch

die Menge
(17.7)

Die Elemente von
heißt für jedes

heißen

-Grenzpunkte des Orbits. Liegt ein invertierbares dynamisches System vor, so

die Menge

(17.8)


-Grenzmenge des Orbits durch

; die Elemente von

heißen

-Grenzpunkte des Orbits.

Die lokale Eigenschaft des Volumenschrumpfens führt bei vielen Systemen zur Existenz einer beschränkten Menge
im Phasenraum, in die alle Orbits für wachsende Zeiten gelangen und dort verbleiben. Eine beschränkte, offene und
heißt absorbierend bezüglich

zusammenhängende Menge
positiven

aus

ist. (

ist die Abschließung von

, falls

für alle

.)

Beispiel
Gegeben sei in der Ebene das Differentialgleichungssystem
(17.9a)
Unter Verwendung von Polarkoordinaten
zur Zeit

läßt sich die Lösung von (17.9a) mit Anfang

in der Form
(17.9b)

schreiben. Aus dieser Lösungsdarstellung folgt, daß der Fluß von (17.9a) einen

dargestellt werden kann. Für die Grenzmengen der Orbits

als
durch

-periodischen Orbit besitzt, der

gilt


Jede offene Kugel

mit

ist eine absorbierende Menge für (17.9a).


Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
1. Eigenschaften von Grenzmengen: Die im Abschnitt Invariante Mengen definierten
Grenzmengen besitzen für den Fluß der Differentialgleichung (17.1) mit
Eigenschaften. Sei

- und

die folgenden

ein beliebiger Punkt. Dann gilt:

a)
Die Mengen

und

sind abgeschlossen.

b)
Ist

bzw.

bzw.

in diesem Fall invariant unter dem Fluß von (17.1) und zusammenhängend.

Beispiel

beschränkt, so ist

bzw.

. Außerdem ist

-


unbeschränkt, dann muß

Ist z. B.

nicht unbedingt zusammenhängend sein

(s. Abbildung).

2. Satz von POINCARÉ-BENDIXSON: Für eine ebene autonome Differentialgleichung (17.1) (d.h.

)

gilt der Satz von POINCARÉ-BENDIXSON:
Sei

eine nicht periodische Lösung von (17.1), für die

Ruhelagen von (17.1), so ist

beschränkt ist. Enthält

keine

ein periodischer Orbit von (17.1).

Für autonome Differentialgleichungen in der Ebene sind also Attraktoren, die komplizierter als eine Ruhelage
oder ein periodischer Orbit sind, nicht möglich.
3. Grenzzyklen: Ein periodischer Orbit

von (17.1) heißt Grenzzyklus , wenn es ein

gibt, so daß


entweder
Umgebung

oder
von

eine Umgebung

gilt. Ein Grenzzyklus heißt stabiler Grenzzyklus , wenn eine

existiert, so daß
von

existiert, so daß

für alle
für alle

ist, und instabiler Grenzzyklus , wenn
ist.

Beispiel A
Für den Fluß von (17.9a) gilt für den periodischen Orbit
Eigenschaft
, mit der

für alle

. Also ist

zum stabilen Grenzzyklus wird (s. Abbildung).

die
eine Umgebung von


Beispiel B
Für die lineare Differentialgleichung

ist dagegen
ein periodischer Orbit, aber kein Grenzzyklus

(s. Abbildung).


Eigenschaften der
Jede

-Grenzmenge

-Grenzmenge

der Semiorbit
gelten für

von (17.3) mit
beschränkt, so ist

ist abgeschlossen, und es gilt
und

ist invariant unter

. Ist
. Analoge Eigenschaften

-Grenzmengen.

Beispiel
Gegeben sei auf
Offenbar sind für

die Differenzengleichung
die Beziehungen
erfüllt. Zu beachten ist, daß

nicht zusammenhängend ist.

, mit

.
, und

, im Unterschied zum Differentialgleichungsfall,


Schnitt einer Fuzzy-Menge
1.

- und scharfer Schnitt: Der Schnitt einer Fuzzy-Menge
) heißt

- Schnitt

in der Höhe

(mit dem Zugehörigkeitsgrad

, falls gilt
(5.255a)

bzw. scharfer

-Schnitt

falls gilt

(5.255b)
2. Eigenschaften:
a)
Die

-Schnitte von Fuzzy-Mengen sind klassische scharfe Mengen.

b)
Der Träger supp

ist ein spezieller

-Schnitt: Es gilt


(5.255c)
c)
Der scharfe 1-Schnitt
(5.255d)
heißt Toleranz von

.

3. Darstellungssatz: Jeder unscharfen Menge
und
Die

-Schnitte und scharfen

ihrer

über

lassen sich eindeutig die Familien

-Schnitte und scharfen

-Schnitte zuordnen.

-Schnitte sind monotone Familien von Teilmengen über

für die gilt:

(5.255e)

Existieren umgekehrt monotone Familien
entspricht diesen je genau eine unscharfe Menge

oder
bzw.

von Teilmengen über
über

, so daß stets

, so
und

gilt und

(5.255f)


Aufgabenstellung und Alternantensatz
●
●

Prinzip der TSCHEBYSCHEFF-Approximation
Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome


Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß
Gradmaß: Das in der Geometrie verwendete Gradmaß zur Messung von Winkeln beruht auf der Einteilung
des ebenen Vollwinkels in 360 gleiche Teile oder

(Grad). Das ist die sogenannte Altgradeinteilung . Die

(Minuten),
weitere Unterteilung erfolgt häufig nicht dezimal, sondern sexagesimal:
(Sekunden). Man spricht auch von Sexagesimaleinteilung .
Bogenmaß: Neben dem Gradmaß wird auch das Bogenmaß zur quantitativen Angabe von Winkeln
verwendet. Die Größe des Mittelpunkts- oder Zentriwinkels
Verhältnis des zugehörigen Kreisbogens

zum Radius

in einem beliebigen Kreis wird hierbei durch das
des Kreises angegeben:


(3.1)

Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), d.h. der Zentriwinkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist.
Umrechnung Gradmaß-Bogenmaß: Ist
der in Grad und
für die Umrechnung von einer Maßeinheit in die andere

der in Radiant gemessene Winkel, dann gilt

(3.2)
Insbesondere ist

usw. Mit (3.2) erhält man ein

dezimalisiertes Ergebnis. Aus der Tabelle können einige konkrete Umrechnungsbeziehungen entnommen werden.


Tabelle Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß

Beispiel A
Umrechnung eines Winkels im Gradmaß in das Bogenmaß rad:
rad.
Beispiel B
Umrechnung eines Winkels im Bogenmaß in einen Winkel im Gradmaß:
rad
Entstanden aus:
5,645 : 0,017453 = 323+0,007611
0,007611 : 0,000291 = 26+0,000025
0,000025 : 0,000005 = 5.
Die Bezeichnung rad wird in der Regel weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang hervorgeht, daß es
sich um das Bogenmaß eines Winkels handelt.
Neugrade: In der Geodäsie wird der Vollwinkel in 400 gleiche Teile oder 400 gon (Gon) eingeteilt. Das ist die
sogenannte Neugradeinteilung . Ein rechter Winkel entspricht dann 100 gon. Das gon wird in 1000 mgon
unterteilt.
Auf Taschenrechnern findet man die Bezeichnungen DEG für Grad (Altgrad), GRAD für Gon (Neugrad) und


RAD für Radiant (Bogenmaß). Zur Umrechnung der verschiedenen Maße kann die folgende Tabelle benutzt
werden:
Tabelle Umrechnung Altgrade-Bogenmaß-Neugrade I

Wegen der Neugradeinteilung s. auch Winkel in der Geodäsie.


Sinus
1. Gewöhnliche Sinusfunktion: Die gewöhnliche Sinusfunktion
(2.64a)
ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Es ist eine stetige, periodische Kurve mit der Periode
Die Schnittpunkte
gewöhnlichen Sinuskurve mit der

mit
-Achse sind die Wendepunkte der Kurve. Der Neigungswinkel der

der


Kurventangenten gegenüber der

-Achse beträgt hier

mit

Die Extremwerte befinden sich bei

2. Allgemeine Sinusfunktion: Die allgemeine Sinusfunktion
(2.64b)

mit der Amplitude

der Frequenz

und der Anfangsphase

Gegenüber der gewöhnlichen Sinuskurve mit

und

ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

ist die allgemeine Sinuskurve in

-


Richtung um den Faktor

gedehnt, in

-Richtung um den Faktor

zusammengedrückt und um die Strecke

nach links verschoben. Die Periode ist

Die Schnittpunkte mit der

-Achse liegen bei

, die Extrema bei

.


Problemstellung
In der Technik und der Physik kommen oft zeitabhängige Größen der Form
(2.128)
vor. Sie werden manchmal auch sinusoidale Größen genannt. Ihre zeitabhängige Änderung beschreibt eine
harmonische Schwingung . Die graphische Darstellung dieser Gleichung liefert eine allgemeine Sinuskurve , wie sie
die folgende Abbildung zeigt.

Die allgemeine Sinuskurve unterscheidet sich von der gewöhnlichen

:


a) durch die Amplitude
b) durch die Periode

d.h. die größte Auslenkung von der Zeitachse
, die der Wellenlänge entspricht (mit

als Schwingungsfrequenz , die in der

Schwingungslehre Kreisfrequenz genannt wird);
c) durch die Anfangsphase oder Phasenverschiebung mit dem Anfangswinkel

Die Größe

kann auch in der Form
(2.129)

dargestellt werden, mit

und

Die Größen

und

lassen sich in

Übereinstimmung mit der folgenden Abbildung als Bestimmungsstücke eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen.


Definition
Aus der Darstellung (8.22a) für das elliptische Integral 1. Gattung

folgt für
(14.101)

d.h.,

ist bezüglich

streng monoton, so daß die zu

(14.102a)

inverse Funktion
(14.102b)
existiert. Sie wird als Amplitudenfunktion bezeichnet. Mit ihrer Hilfe werden die sogenannten JACOBIschen
Funktionen wie folgt definiert:


(14.103a)
(14.103b)
(14.103c)


Spektralinterpretation der FOURIER-Transformation
In Analogie zur FOURIER-Reihe einer periodischen Funktion erfährt das FOURIER-Integral für eine nichtperiodische
Funktion eine einfache physikalische Interpretation.
1. Darstellung: Eine Funktion

, für die das FOURIER-Integral existiert, kann gemäß (15.68) und (15.69)

als Summe sinusoidaler Schwingungen mit der sich stetig ändernden Frequenz

in der Form
(15.80a)
(15.80b)

dargestellt werden.
2. Interpretation: Der Ausdruck

gibt die Amplitude der Teilschwingungen an und

deren Phasen. Für die komplexe Schreibweise trifft die gleiche Interpretation zu:
Die Funktion

ist eine Summe (Integral) von

abhängigen Summanden des Typs

und


(15.81)

wobei die Größe

sowohl die Amplitude als auch die Phase aller Teilvorgänge festlegt.

3. Anwendungen: Diese spektrale Interpretation des FOURIER-Integrals und der FOURIER-Transformation
bedeutet einen großen Vorteil für die Anwendung in Physik und Technik. Die Bildfunktion
(15.82a)
nennt man Spektrum oder Frequenzspektrum der Funktion

, die Größe
(15.82b)

das Amplitudenspektrum und
Spektrum

bzw.

das Phasenspektrum der Funktion

. Zwischen dem

und den Koeffizienten (15.67b,c) besteht die Beziehung
(15.83)

woraus sich die folgenden Aussagen ergeben:
1.
Ist

eine reelle Funktion, dann ist das Amplitudenspektrum

Phasenspektrum eine ungerade Funktion von
2.

.

eine gerade und das


Ist

eine reelle und gerade Funktion, dann ist ihr Spektrum

dann ist das Spektrum

reell, ist

reell und ungerade,

imaginär.

Beispiel
Setzt man das Ergebnis (A.2) für den unipolaren Rechteckimpuls in (15.83) ein, dann ergibt sich für die
Bildfunktion

und für das Amplitudenspektrum

Die Berührungspunkte des Amplitudenspektrums

(s. Abbildung)

mit der Hyperbel


Schnelle Wavelet-Transformation
Man kann davon ausgehen, daß die Integraldarstellung (15.151b) hochgradig redundant ist und somit das
Doppelintegral ohne Informationsverlust durch eine Doppelsumme ersetzt werden kann. Das wird bei der konkreten
Anwendung der Wavelet-Transformation berücksichtigt. Man benötigt dazu:
1.
eine effiziente Berechnung der Transformation, was auf das Konzept der Multi-Skalen-Analyse führt sowie
2.
eine effiziente Berechnung der Rücktransformation, d.h. eine effiziente Rekonstruktion von Signalen aus ihrer
Wavelet-Transformation, was auf das Konzept der Frames führt.
Für beide Konzepte muß auf die Literatur verwiesen werden (s. Lit. 15.11, 15.2).

Hinweis: Der große Erfolg der Wavelets in den verschiedenen Anwendungsgebieten, z.B.
●
●
●

bei der Berechnung physikalischer Größen aus Meßreihen,
bei der Bild- oder Spracherkennung sowie
bei der Datenkompression im Rahmen der Nachrichtenübertragung, beruht auf seinen ,,schnellen


Algorithmen``.
Analog zur FFT (Fast FOURIER-Transformation), spricht man hier von FWT (Fast Wavelet-Transformation).


Formeln für die FOURIER-Koeffizienten
Da das Funktionensystem

bezüglich des Intervalls

und bezüglich der

Gewichtsfunktion
orthogonal ist, erhält man durch Anwendung der Fehlerquadratmethode im stetigen Fall gemäß
(19.169) für die Ansatzkoeffizienten die Formeln
(19.208)

Die Koeffizienten

, die nach der Formel (19.208) berechnet werden, heißen

FOURIER-Koeffizienten der periodischen Funktion

.

Lassen sich die in (19.208) auftretenden Integrale nicht mehr elementar oder nur mit großem Rechenaufwand integrieren
oder ist die Funktion

nur punktweise bekannt, dann kann man die FOURIER-Koeffizienten näherungsweise durch

numerische Integration ermitteln.
Durch die Anwendung der Trapezformel mit den gleichabständigen

Stützstellen


(19.209)
erhält man die Näherungsformeln
(19.210)
Im vorliegenden Fall periodischer Funktionen ist die Trapezformel in die sehr einfache Rechteckregel übergegangen. Diese
ist hier von großer Genauigkeit, denn es gilt:
Ist

periodisch und
.

-mal stetig differenzierbar, dann hat die Trapezformel die Fehlerordnung


Harmonische Analyse
Eine formelmäßig oder empirisch gegebene periodische Funktion

mit der Periode

ist durch ein

trigonometrisches Polynom oder eine FOURIER-Summe der Form
(19.207)
wobei die Koeffizienten

und

reell sein sollen, zu approximieren. Die Bestimmung der

Ansatzkoeffizienten ist Gegenstand der harmonischen Analyse .
●
●

Formeln zur trigonometrischen Interpolation
Schnelle Fourier-Transformation (FFT)


Definition am Einheitskreis
Die trigonometrischen Funktionen eines Winkels

werden entweder am Einheitskreis mit dem Radius

oder für spitze Winkel am rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der Bestimmungsstücke Ankathete
und Hypotenuse

definiert.

Gegenkathete


Am Einheitskreis erfolgt die Messung des Winkels von einem festen Radius
beweglichen Radius

der Länge 1 bis zu einem

im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers (positive Richtung):
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)


Tilgung
Unter Tilgung versteht man die Rückzahlung von Krediten. Dabei soll vorausgesetzt werden:

●

Für eine Schuld

●

Nach

werden vom Schuldner jeweils am Ende einer Zinsperiode

Zinsen verlangt.

Zinsperioden sei die Schuld vollständig getilgt.

Die Belastung eines Schuldners pro Zinsperiode setzt sich somit aus Zinsen und Tilgungsrate zusammen. Falls die
Zinsperiode 1 Jahr beträgt, bezeichnet man den finanziellen Aufwand des Schuldners in dem betreffenden Jahr als
Annuität .
Für die Tilgung einer Schuld gibt es verschiedene Möglichkeiten. So können z.B. die Rückzahlungen zu den
Verzinsungszeitpunkten oder dazwischen erfolgen, die Rückzahlungsbeträge verschieden hoch oder während der
gesamten Laufzeit konstant sein. Folgende Fälle werden betrachtet:


Gleiche Annuitäten
Bei gleichbleibenden Tilgungsraten

nehmen die zusätzlich anfallenden Zinsen im Laufe der Zeit ab

(s. voranstehendes Beispiel). Bei der Annuitätentilgung wird dagegen zu jedem Zinstermin die gleiche Annuität
d.h. der gleiche Betrag für Zinsen + Tilgung erhoben. Damit ist die Belastung des Schuldners im gesamten
Tilgungszeitraum konstant.
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Schuld (Verzinsung mit

pro Zinsperiode),

Annuität pro Zinsperiode
Tilgungsrate bei

Tilgungen pro Zinsperiode
Aufzinsungsfaktor.

,

,


Als Restschuld

nach

Zinsperioden ergibt sich:
(1.87)

Dabei beschreibt der Term

den Wert der Schuld

Term gibt den Wert der unterjährigen Tilgungsraten
Annuität gilt:

nach

Zinsperioden mit Zinseszins (s. (1.81)), der zweite

mit Zinseszins wieder (s. (1.85b) mit

). Für die

(1.88)
Dabei entspricht die einmalige Zahlung von
nach

den

Ratenzahlungen

Zinsperioden die Schuld getilgt sein soll, folgt aus (1.87) für

Aus der Gleichung folgt

Da

unter Beachtung von (1.88):
(1.89)

Zur Lösung von Aufgaben der finanzmathematischen Praxis kann diese Gleichung nach einer der Größen
oder

aufgelöst werden, wenn die übrigen Größen bekannt sind.

Beispiel A


Eine Annuitätenschuld über 60 000.-DM werde jährlich mit
Wie hoch sind jährliche Annuität

verzinst und soll in 5 Jahren getilgt sein.

und monatliche Tilgungsrate

? Aus (1.89) bzw. (1.88) erhält man:

15027,39 DM,

1207,99 DM.

Beispiel B
Ein Kredit in Höhe von

100 000.-DM soll durch Annuitätentilgung in

Jahren bei 7,5

Jahreszinsen abgezahlt werden. An jedem Jahresende soll zusätzlich eine Tilgung von 5000.-DM erfolgen.
Wie hoch ist die monatliche Tilgungsrate? Als Annuität

pro Jahr ergibt sich gemäß (1.89)

DM. Da sich

aus 12 Tilgungsraten

pro Jahr und die

zusätzlichen Zahlungen von 5000.-DM am Jahresende zusammensetzt, gilt unter Beachtung von (1.88)
Die monatliche Belastung beträgt somit
972,62.- DM.


Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz
Im HILBERT-Raum

definiert jedes Element
. Andererseits, ist

Norm

mittels

ein lineares stetiges Funktional mit der

ein lineares stetiges Funktional auf

, dann existiert genau ein Element

, so daß gilt:
(12.160)
Die Räume

und

sind nach diesem Satz isomorph, weshalb man sie identifiziert.

Der Satz von RIESZ enthält einen Hinweis darauf, wie man die Orthogonalität in einem beliebigen normierten Raum
einführen kann. Seien

und

. Dann nennt man die Mengen

(12.161)
jeweils das orthogonale Komplement oder den Annulator zu

bzw.

.


Fraktale und seltsame Attraktoren
Ein Attraktor

von

heißt fraktal , wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine stückweise

differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise differenzierbaren
Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt seltsam , wenn er chaotisch, fraktal oder beides ist. Die Begriffe
chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die keine Attraktoren sind, analog benutzt.
Ein dynamisches System heißt chaotisch , wenn es eine kompakte invariante chaotische Menge besitzt.
Beispiel
Im Einheitsquadrat wird die Abbildung
(17.50)
( ANOSOV- Diffeomorphismus ) betrachtet. Das System ist in Wirklichkeit auf dem Torus
als adäquater
Phasenraum definiert. Es ist konservativ, besitzt das LEBESGUE-Maß als invariantes Maß, hat abzählbar unendlich
viele periodische Orbits, deren Vereinigung dicht liegt, und ist mischend. Andererseits ist
Menge mit ganzzahliger Dimension 2.

eine invariante


Ansatzverfahren
Als Näherungslösung für die Randwertaufgabe (19.118) wird eine Linearkombination geeignet gewählter Funktionen
verwendet, die einzeln die Randbedingungen erfüllen und linear unabhängig sind:

(19.121)
Setzt man

in die Differentialgleichung von (19.118) ein, dann wird ein Fehler, der sogenannte Defekt
(19.122)

auftreten. Die Bestimmung der Ansatzkoeffizienten

1. Kollokationsmethode: Der Defekt soll an
Bedingungen

kann nach folgenden Prinzipien erfolgen:

Stellen

, den Kollokationsstellen , verschwinden. Die


(19.123)
liefern ein lineares Gleichungssystem für die Ansatzkoeffizienten.
2. Fehlerquadratmethode:Man fordert, daß das Integral
(19.124)

in Abhängigkeit von den Koeffizienten minimal wird. Die notwendigen Bedingungen

(19.125)

ergeben ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten

.

3. GALERKIN-Verfahren: Man fordert die sogenannte Fehlerorthogonalität , d.h., es muß
(19.126)

gelten, und erhält auch auf diese Weise ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten.


4. RITZ-Verfahren:Bei vielen Randwertaufgaben hat die Lösung
sogenannten Variationsaufgabe zu sein, d.h.,

die Eigenschaft, auch Lösung einer

macht ein Integral der Form

(19.127)

zum Minimum (s. (10.4)). Kennt man die Funktion
näherungsweise durch

und macht

, so ersetzt man

gemäß (19.121)

zum Minimum. Die dafür notwendigen

Bedingungen

(19.128)

liefern

Gleichungen für die Koeffizienten

.

Beispiel
Unter bestimmten Voraussetzungen an die Funktionen

und

sind die Randwertaufgabe


(19.129)
und die Variationsaufgabe
(19.130)

äquivalent, so daß man für Randwertaufgaben der Form (19.129) die Funktion

aus (19.130)

unmittelbar ablesen kann.
An Stelle des Ansatzes (19.121) wird häufig auch
(19.131)
verwendet, wobei

die Randbedingungen erfüllt und die Funktionen

den Bedingungen
(19.132)

genügen müssen. So kann z.B. im Falle der Randwertaufgabe (19.118)
(19.133)
gewählt werden.
Hinweis: Bei linearen Randwertaufgaben führen die Ansätze (19.121) und (19.131) auf lineare Gleichungssysteme
zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten. Im Falle nichtlinearer Randwertaufgaben erhält man nichtlineare
Gleichungssysteme, die nach den im Abschnitt Nichtlineare Gleichungssysteme angegebenen Verfahren zu lösen
sind.


Ansatzverfahren
Man macht für die gesuchte Lösung

einen Näherungsansatz der Art

(19.139)
Dabei soll z.B.
1.
die vorgelegte inhomogene Differentialgleichung erfüllen, und alle übrigen Ansatzfunktionen
sollen die zugehörige homogene Differentialgleichung erfüllen (
Randmethode ) oder
2.
den inhomogenen Randbedingungen genügen, und alle übrigen
sollen den homogenen Randbedingungen genügen ( Gebietsmethode ).


Setzt man die Näherungsfunktion

gemäß (19.139) im ersten Fall in die Randbedingungen, im zweiten Fall

in die Differentialgleichung ein, so wird in beiden Fällen ein Fehler, der sogenannte Defekt
(19.140)

auftreten. Zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten

●
●

Kollokationsmethode
Fehlerquadratmethode

kann man nach folgenden Prinzipien verfahren:


Auftreten
Die SG-Gleichung entsteht aus der BLOCH-Gleichung für räumlich inhomogene quantenmechanische 2-NiveauSysteme. Sie beschreibt die Ausbreitung

●

ultrakurzer Impulse in resonanten Lasermedien (selbstinduzierte Transparenz),
des magnetischen Flusses in großflächigen JOSEPHSON-Kontakten, d.h. in Tunnelkontakten zwischen zwei
Supraleitern und

●

von Spinwellen in supraleitendem Helium-3

●

.

Die Solitonlösungen der SG-Gleichung können durch ein aus Pendeln und Federn bestehendes mechanisches
Modell veranschaulicht werden. In der Nähe eines Punktes geht die Evolutionsfunktion stetig von 0 in einen
konstanten

Wert über. Ausgehend vom englischen Wort kink für Stufe, nennt man daher die SG-Solitonen meist

Kink-Solitonen . Wenn umgekehrt die Evolutionsfunktion von dem konstanten Wert nach 0 übergeht, werden
sogenannte Antikink-Solitonen beschrieben. Mit Hilfe derartiger Lösungen können auch Domänenwände beschrieben
werden.


Gleichung und Lösungen
Die KdV-Gleichung für die Evolutionsfunktion

lautet
(9.127)

Sie hat die Soliton-Lösung
(9.128)


Dieses KdV-Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter

und

eindeutig bestimmt. In der

Abbildung ist
gewählt. Ein typisch nichtlinearer Effekt besteht darin, daß die Solitongeschwindigkeit
Amplitude und die Breite des Solitons bestimmt: KdV-Solitonen mit größerer Amplitude und geringerer Breite
bewegen sich schneller als solche mit kleinerer Amplitude und größerer Breite. Die Solitonphase

beschreibt die

Lage des Maximums des Solitons zur Zeit
Die Gleichung (9.127) besitzt auch

-Solitonenlösungen. Eine solche

die

-Solitonenlösung läßt sich für


asymptotisch durch lineare Überlagerung von Ein-Solitonlösungen darstellen:

(9.129)

Dabei ist jede Evolutionsfunktion
Die Anfangsphasen
nach dem Stoß

durch eine Geschwindigkeit

und eine Phase

gekennzeichnet.

vor der Wechselwirkung oder dem Stoßprozeß unterscheiden sich von den Endphasen
, während die Geschwindigkeiten

keine Änderung erfahren, d.h., es handelt

sich um eine elastische Wechselwirkung.
Für

besitzt (9.127) eine 2-Solitonenlösung. Sie läßt sich für endliche Zeiten nicht durch lineare

Überlagerung darstellen und lautet mit

und

:


(9.130)

Diese Gleichung (9.130) beschreibt asymptotisch zwei für
Geschwindigkeiten

und

nicht wechselwirkende Solitonen mit den

, die nach einem Wechselwirkungsprozeß für

wieder

asymptotisch in zwei nichtwechselwirkende Solitonen mit denselben Geschwindigkeiten übergehen.
Die nichtlineare Evolutionsgleichung
(9.131a)
hat mit

a)
für
(9.131b)


eine Solitonlösung und
b)
für
(9.131c)
eine 2-Solitonenlösung. Mit

ergibt sich aus (9.131a) die KdV-Gleichung (9.127). Die Gleichung (9.130)

und der sich mit (9.131c) ergebende Ausdruck für
Ersetzt man in (9.127) den Term

sind Beispiele für eine nichtlineare Superposition.

durch

multiplizieren. Man spricht dann auch von einem Antisoliton .

so muß man die rechte Seite von (9.128) mit


Durchmesser der Ellipse
Durchmesser der Ellipse werden diejenigen Sehnen genannt, die durch den Ellipsenmittelpunkt gehen und von
diesem halbiert werden.


Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Sehnen, die zu einem Ellipsendurchmesser parallel sind, ist wieder ein
Durchmesser, ein konjugierter Durchmesser zum ersten. Für
konjugierter Durchmesser gilt

und

als Richtungskoeffizienten zweier

(3.321)
Wenn

und

die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und

sowie

die spitzen Winkel


zwischen den Durchmessern und der großen Achse, wobei

und

ist, dann gilt der

Satz des APOLLONIUS in der Form
(3.322)


Approximation, Ausgleichsrechnung,
Harmonische
Analyse
●
●
●
●

Polynominterpolation
Approximation im Mittel
Tschebyscheff-Approximation
Harmonische Analyse


Bestapproximation
Seien jetzt

ein separabler HILBERT-Raum und
(12.122)

ein fixiertes orthonormales System in
Koeffizienten des Elements

. Für ein Element

heißen die Zahlen

FOURIER-

bezüglich des Systems (12.122). Die (formale) Reihe
(12.123)

nennt man FOURIER-Reihe des Elements
Reihe eines Elements
Vektoren aus

bezüglich des Systems (12.122). Die

-te Partialsumme der FOURIER-

besitzt die Eigenschaft der Bestapproximation , d.h., bei festem
die

ergibt unter allen

-te Partialsumme der FOURIER-Reihe, also das Element

(12.124)


den kleinsten Wert für

ist orthogonal zu

, und es gilt die BESSELsche Ungleichung

(12.125)

●

PARSEVALsche Gleichung, Satz von RIESZ-FISCHER


Approximationen der

-Funktion

Analog zu (15.28) kann die Impulsfunktion

durch einen Rechteckimpuls der Breite

und der Höhe

approximiert werden:
(15.33a)

Weitere Beispiele für die Approximation von

sind Glockenkurven und LORENTZ-Funktionen:

(15.33b)

(15.33c)


Allen diesen Funktionen sind die folgenden Eigenschaften gemeinsam:

(15.34a)

(15.34b)
(15.34c)


Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
●
●

Methode der kleinste Quadrate
Matrizenschreibweise


Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
Die notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, daß die Funktion
Wertesystem

für ein

ein Extremum besitzt, besteht darin, daß das Wertesystem die

Gleichungen
(6.69)
erfüllt. Im allgemeinen Falle sind die hinreichenden Bedingungen von komplizierter Art. Damit man die Frage, ob die
Funktion für ein Lösungssystem

der Gleichung (6.69) ein Extremum besitzt oder nicht,

effektiv beantworten kann, untersucht man solche Werte der Funktion, die nahe bei

liegen.

Mit Hilfe der Extremwertbestimmung bei Funktionen von mehreren Veränderlichen lassen sich viele
Approximationsaufgaben, die vor allem unter dem Namen Ausgleichsaufgaben oder Quadratmittelaufgaben bekannt
sind, lösen. Dazu gehören:
●
●

Bestimmung von FOURIER-Koeffizienten (s. auch Formeln für die FOURIER-Koeffizienten),
Bestimmung der Ansatzkoeffizienten und Parameter von Näherungsfunktionen durch
Approximation im Mittel,


●

Bestimmung einer Näherungslösung für überbestimmte lineare Gleichungssysteme.

Für die Lösungsmethode sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:
●
●
●
●

GAUSSsche Fehlerquadratmethode,
Methode der kleinsten Quadrate,
Approximation im Mittel (stetig und diskret),
Ausgleichsrechnung und Regression.


Approximation im Mittel
Das Prinzip der Approximation im Mittel, bei dem zwischen stetigen und diskreten Aufgaben unterschieden werden
soll, wird auch als GAUSSsche Fehlerquadratmethode bezeichnet oder unter dem Begriff Ausgleichsrechnung
zusammengefaßt.
●
●
●
●

Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
Mehrdimensionale Aufgaben
Nichtlineare Quadratmittelaufgaben


Methode der kleinste Quadrate
Es seien
Funktion

Wertepaare

, z.B. durch Messung gefundene Werte, vorgegeben. Gesucht wird eine

, deren Funktionswerte

von den gegebenen Werten

in dem Sinne möglichst wenig

abweichen, daß der quadratische Ausdruck
(19.176)

minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion

enthält. Die Formel (19.176)

stellt die klassische Fehlerquadratsumme dar. Die Minimierung der Fehlerquadratsumme mit Hilfe der notwendigen
Bedingungen für ein relatives Extremum wird auch als als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet. Mit dem
Ansatz (19.167) und den notwendigen Bedingungen

für ein relatives Minimum von

(19.176) erhält man zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das lineare Gleichungssystem der Normalgleichungen


(19.177)
im diskreten Fall. Dabei werden in Anlehnung an die GAUSSsche Summensymbolik die folgenden Abkürzungen
verwendet:
(19.178a)

(19.178b)
In der Regel gilt

.

Beispiel
Für den Polynomansatz

lauten die Normalgleichungen
mit
.

Die Koeffizientenmatrix des Normalgleichungssystems (19.177) ist symmetrisch, so daß für die numerische
Lösung das CHOLESKY-Verfahren in Frage kommt.


Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
Eine Funktion

ist über dem Intervall

durch eine Funktion

in dem Sinne zu approximieren, daß

der Ausdruck
(19.166)

minimal wird, und zwar in Abhängigkeit von den Parametern, die die Funktion
gegebene Gewichtsfunktion bezeichnet, für die
Macht man für die Näherungsfunktion

enthält. Mit

ist eine

im Integrationsintervall gelten soll.

den Ansatz

(19.167)


mit geeigneten, linear unabhängigen Funktionen

, dann führen die notwendigen

Bedingungen
(19.168)
für ein relatives Minimum von (19.166) auf das sogenannte Normalgleichungssystem
(19.169)
zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten

. Dabei werden die Abkürzungen

(19.170a)
und
(19.170b)

die auch als Skalarprodukte der betreffenden zwei Funktionen bezeichnet werden, verwendet.
Das System der Normalgleichungen ist eindeutig lösbar, da für die Ansatzfunktionen

,

lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt war. Die Koeffizientenmatrix des Systems (19.169) ist symmetrisch, so daß zur


Lösung das CHOLESKY-Verfahren verwendet werden sollte.
Die Ansatzkoeffizienten

können direkt berechnet werden, ohne Lösung eines Gleichungssystems, wenn das

System der Ansatzfunktionen orthogonal ist, d.h. wenn gilt:
(19.171)
Darüber hinaus spricht man von einem orthonormierten System, wenn gilt:

(19.172)
Mit (19.172) vereinfachen sich die Normalgleichungen (19.169) zu
(19.173)
Linear unabhängige Funktionensysteme können orthogonalisiert werden. Aus den Potenzfunktionen
erhält man je nach Wahl der Gewichtsfunktion und des Integrationsintervalls die
folgenden Orthogonalpolynome :
Tabelle Orthogonalpolynome


(19.174)

Mit dieser Auswahl können die wichtigsten Anwendungsfälle berücksichtigt werden:
1.
endliches Approximationsintervall,
2.
einseitig unendliches Approximationsintervall, z.B. bei zeitabhängigen Problemen,
3.
zweiseitig unendliches Approximationsintervall, z.B. bei Strömungsproblemen.
Man beachte, daß jedes endliche Intervall

durch die Substitution
(19.175)


auf das Intervall

, für das viele Ansatzfunktionen definiert sind, transformiert werden kann.


Methode der sukzessiven Approximation
Die Methode der sukzessiven Approximation eignet sich zur Lösung einer Gleichung der Form
(12.145)
mit einem stetigen linearen Operator
von einer beliebigen Anfangsnäherung

im BANACH-Raum

bei vorgegebenem

, eine Folge

. Sie besteht darin, ausgehend

von Näherungslösungen nach der Vorschrift
(12.146)

zu erzeugen, die in

zur Lösung

von (12.145) konvergiert. Die Konvergenz der Methode, also

basiert auf der Konvergenz der Reihe (12.140) mit
Sei
a)

.

, dann gelten die folgenden Aussagen:


Der Operator

besitzt einen stetigen Inversen mit

(12.145) hat genau eine Lösung für beliebiges

, und die Gleichung

.

b)
Die Reihe (12.140) konvergiert, und ihre Summe ist der Operator

.

c)
Das Verfahren (12.146) konvergiert für einen beliebigen Anfangswert

zur eindeutigen Lösung

der

Gleichung (12.145), falls die Reihe (12.140) konvergiert. Dabei gilt die Abschätzung
(12.147)

Analog (s. Lineare Integralglweichungen und Lit. 12.9) behandelt man Gleichungen der Typen
(12.148)


Methode der sukzessivem Approximation nach PICARD
Die Integration der Differentialgleichung
(9.20a)
mit der Anfangsbedingung

für

liefert

(9.20b)

Wird in die rechte Seite dieser Gleichung (9.20b) anstelle von
eingesetzt, dann ergibt sich eine neue Funktion
bereits eine Lösung von (9.20a) ist. Nach Einsetzen von
man eine Funktion

eine angemessen ausgewählte Funktion

, die sich von

unterscheidet, wenn nicht

in die rechte Seite von (9.20b) anstelle von

. Die durch Fortsetzen des Verfahrens gewonnene Funktionenfolge

erhält


konvergiert gegen die gesuchte Lösung in einem gewissen, den Punkt

enthaltenden Intervall, wenn die

Bedingungen des Existenzsatzes erfüllt sind. Diese PICARDsche Methode der sukzessiven ( schrittweisen )
Approximation ist ein Iterationsverfahren.
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung

für die Anfangsbedingung

für

zu lösen.

Umschreibung in die Integralform und Anwendung der sukzessiven Approximation, beginnend mit
liefert:

usw.


Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe
●
●

Iterationsverfahren
Konvergenz der NEUMANNschen Reihe


Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung
Von der stetigen TSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe
(19.202)

kommt man zur zugehörigen diskreten Aufgabe, indem man
mit der Eigenschaft

Stützstellen

;

wählt und

(19.203)
fordert. Substituiert man


(19.204)

dann folgt daraus unmittelbar

(19.205)

Durch Auflösen der Beträge in (19.205) erhält man ein System von linearen Ungleichungen für die Koeffizienten
und

, so daß aus (19.203) die lineare Optimierungsaufgabe

(19.206)

wird. Die Gleichung (19.206) besitzt eine Minimallösung mit

. Für eine hinreichend große Anzahl

von

Stützstellen kann unter bestimmten Bedingungen die Lösung der diskreten Aufgabe als Näherung für die Lösung der
stetigen Aufgabe angesehen werden.
Verwendet man an Stelle der linearen Näherungsfunktion

eine Näherungsfunktion


, die nichtlinear von den Parametern

abhängt, dann erhält man

in analoger Weise eine Optimierungsaufgabe, und zwar eine nichtlineare Optimierungsaufgabe, die in der Regel
schon bei einfachen nichtlinearen Ansätzen nicht konvex ist. Das ist eine wesentliche Einschränkung im Hinblick auf
die Wahl numerischer Lösungsverfahren für
nichtlineare Optimierungsaufgaben.


Tschebyscheff-Approximation
●
●
●

Aufgabenstellung und Alternantensatz
Remes-Algorithmus
Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung


Eigenschaften der Orthogonalität
Der Nullvektor ist zu jedem Vektor aus

orthogonal. Es gilt:

a)
und

impliziert

.

b)
und

Aus

folgt

c)
genau dann, wenn

wobei

die abgeschlossene lineare Hülle der Menge

bezeichnet.
d)
Ist
e)

und

eine fundamentale Menge, d.h.,

ist überall dicht in

, dann ist

.


Satz des PYTHAGORAS: Sind die Elemente

paarweise orthogonal, also

für

,

dann ist
(12.113)
f)
Projektionssatz: Ist

ein Teilraum von

, dann ist jeder Vektor

eindeutig in der Form
(12.114)

darstellbar.
g)
Approximationsproblem: Weiter gilt

, so daß
(12.115)

in

mit

eindeutig lösbar ist.

aus

ersetzt werden. Das Element

von

(zu

), und der Raum

kann dabei sogar durch eine konvexe, abgeschlossene nichtleere Teilmenge
heißt Projektion des Elements

ist orthogonal zerlegbar:

auf

, besitzt den kleinsten Abstand


Dreidimensionaler Fall
Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals
(8.128)

vom Integrationsweg (s. Abbildung) lautet in Analogie zum zweidimensionalen Fall:
1. Es wird die Existenz einer Stammfunktion

gefordert, für die gilt
(8.129a)

und damit
(8.129b)
2. Die Integrabilitätsbedingung besteht in diesem Falle aus den drei gleichzeitig zu erfüllenden Gleichungen
(8.129c)
für die partiellen Ableitungen, die ihrerseits stetig sein müssen.


Beispiel
Die Arbeit

ist als Skalarprodukt aus Kraft

Arbeit nur vom Ort
grad

und

und Weg

ab, nicht aber von der Geschwindigkeit

definiert. Im konservativen Feld hängt die
. Mit

sind somit für das Potential

die Beziehungen (8.129a),

(8.129b) erfüllt, und es gilt (8.129c). Unabhängig vom Weg zwischen den Punkten

und

erhält man:
(8.130)


Arbeit
Die Arbeit bei Bewegung eines Körpers in einem Kraftfeld ist infolge des eingehenden Skalarproduktes
richtungsabhängig. Sind Kraft- und Bewegungsrichtung konstant und fallen beide zusammen, dann kann die
Achse in die Kraft- bzw. Bewegungsrichtung gelegt werden. Ist der Betrag der Kraft
, dann erhält man für die Arbeit
Punkt

zum Punkt

-

veränderlich, d.h. gilt

, die zur Verschiebung eines Körpers längs der

-Achse vom

notwendig ist:
(8.65)

Im allgemeinen Fall, wenn Kraft- und Bewegungsrichtung nicht übeinstimmen, wird die Arbeit als Kurvenintegral über
das Skalarprodukt aus Kraft und Weg in jedem Punkt

längs des vorgegebenen Weges berechnet.


ARCHIMEDische Spirale
ARCHIMEDische Spirale heißt eine Kurve, die durch Bewegung eines Punktes mit konstanter Geschwindigkeit
einem Strahl entsteht, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

den Koordinatenursprung umkreist.

Die Gleichung der archimedischen Spirale lautet in Polarkoordinaten

auf


(2.237)
Die Kurve besitzt zwei Zweige, die symmetrisch zur
den Punkten

Die Länge des Bogens

-Achse verlaufen. Jeder Strahl

die voneinander den Abstand

ist

haben.

wobei für große

gegen 1 geht.

Der Flächeninhalt des Sektors

Der Krümmungsradius ist

schneidet die Kurve in

beträgt

und im Koordinatenursprung

der Ausdruck


Areafunktionen
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Definitions- und Wertebereiche
Areasinus
Areakosinus
Areatangens
Areakotangens
Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus
Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen
Summen und Differenzen von Areafunktionen
Formeln für negative Argumente


Areakosinus
Die Funktionen
(2.198a)
und
(2.198b)
oder

stellen Funktionen dar, die nur für

definiert sind.


Der Funktionsverlauf beginnt im Punkt
monoton.

mit einer senkrechten Tangente und wächst bzw. fällt dann streng


Areakotangens
Die Funktion
(2.200)
oder

ist eine ungerade und nur für

definierte Funktion.


Für
von

fällt sie streng monoton von 0 bis
auf 0 ab. Sie besitzt drei Asymptoten, und zwar bei

ab; für
und

fällt sie streng monoton
.


Areasinus
Die Funktion
(2.197)
ist eine ungerade, streng monoton wachsende Funktion.


Die Schreibweise ist gleichbedeutend mit
Wendepunkt mit dem Steigungswinkel

Die Funktion besitzt im Koordinatenursprung einen


Areatangens
Die Funktion
(2.199)
oder

ist eine ungerade und nur für

definierte Funktion.


Der Koordinatenursprung ist gleichzeitig Wendepunkt mit dem Steigungswinkel

Die Asymptoten liegen bei


Definition der Funktion
1. Funktion:Wenn

und

zwei variable Größen sind und wenn sich einem gegebenen

-Wert zuordnen läßt, dann nennt man

eine Funktion von

-Wert genau ein

und schreibt
(2.1)

Die veränderliche Größe

heißt unabhängige Variable oder Argument der Funktion

-Werte zuordnen lassen, bilden den Definitionsbereich
abhängige Variable ; alle

-Werte bilden den Wertebereich

der Funktion
der Funktion

. Alle

-Werte, denen sich

. Die veränderliche Größe
.

2. Reelle Funktion: Wenn Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, dann nennt man
eine reelle Funktion einer reellen Veränderlichen .

Beispiel A

heißt


mit

Beispiel B
mit
3. Funktion von mehreren Veränderlichen: Hängt die Variable

von mehreren unabhängigen Variablen

ab, dann bezeichnet man
(2.2)
als Funktion von mehreren Veränderlichen.
4. Komplexe Funktion Wenn die unabhängige Variable eine komplexe Zahl

ist, dann wird durch

eine komplexe Funktion einer komplexen Veränderlichen beschrieben, zu deren Behandlung die
Funktionentheorie benötigt wird.


Definition
Eine veränderliche Größe

wird eine Funktion von

unabhängigen Variablen

genannt, wenn

für gegebene Werte der unabhängigen Veränderlichen einen eindeutig bestimmten Wert annimmt. Je nachdem,
ob es sich um eine Funktion von zwei, drei oder

veränderlichen Größen handelt, schreibt man
(2.265)

Setzt man für die

unabhängigen Variablen feste Zahlen ein, dann entsteht ein Wertesystem der Variablen, das als

Punkt des -dimensionalen Raumes (auch mehrdimensionaler Raum ) interpretiert werden kann. Die einzelnen
unabhängigen Variablen werden auch Argumente genannt; manchmal nennt man zusammenfassend das gesamte
-Tupel der unabhängigen Variablen das Argument der Funktion.
Beispiel A
besitzt für das Wertesystem

den Wert


Beispiel B
nimmt für das Wertesystem
Wert

an.

den


Unterabschnitte
●
●
●

Standardform:
Teufelstreppe und ARNOLD-Zunge:
Goldenes Mittel, FIBONACCI-Zahlen:

Standardform einer Kreisabbildung
Standardform:
Die Abbildung

aus (17.80) ist für

ist. Bei

Homöomorphismus, während für

ein orientierungstreuer Diffeomorphismus, da

ist

kein Diffeomorphismus mehr, aber noch ein

die Abbildung nicht mehr invertierbar und damit auch kein


Homöomorphismus mehr ist. Im Parameterbereich
definiert. Sei

ist für

die Rotationszahl

fixiert. Dann hat

auf [0,1] folgende

Eigenschaften:
a)
Die Funktion

ist nicht fallend, stetig, aber nicht differenzierbar.

b)
Für jede rationale Zahl

für alle

existiert ein Intervall

, dessen Inneres nicht leer ist und für das

gilt.

c)
Für jede irrationale Zahl

gibt es genau ein

mit

.

Teufelstreppe und ARNOLD-Zunge:
Für jedes

ist

also eine CANTOR-Funktion. Der Graph von

Abbildung gezeigt ist, heißt Teufelstreppe (devil's staircase) .

, der auf der rechten


Das Bifurkationsdiagramm von (17.80) ist auf der linken Abbildung zu sehen. Von jeder rationalen Zahl auf der
Achse geht ein schnabelförmiges Gebiet ( ARNOLD- Zunge ) mit nicht leerem Inneren aus, in dem die Rotationszahl
konstant und gleich der rationalen Zahl ist. Ursache für das Entstehen der Zungen ist eine Synchronisation der
Frequenzen ( Frequenzkopplung (frequency locking)).
Für

überlappen sich diese Gebiete nicht. Von jeder irrationalen Zahl auf der

stetige Kurve aus, die immer die Gerade

erreicht. In der ersten ARNOLD-Zunge mit

-Achse geht eine
hat das

fixiert und wächst
an, so verschmelzen auf dem Rand der ersten
dynamische System (17.80) Ruhelagen. Ist
ARNOLD-Zunge zwei dieser Ruhelagen und heben sich dabei gleichzeitig auf. Im Ergebnis einer solchen SattelknotenBifurkation entsteht ein auf
ARNOLD-Zungen beobachten.
Für

dichter Orbit. Ähnliche Erscheinungen lassen sich beim Verlassen der anderen

ist die Theorie der Rotationszahlen nicht mehr anwendbar. Die Dynamik wird komplizierter, und es

findet ein Übergang zum Chaos statt. Dabei treten, ähnlich wie im Falle der FEIGENBAUM-Konstante, weitere


Konstanten auf, die für bestimmte Klassen von Abbildungen, zu denen auch die Standardkreisabbildung gehört,
gleich sind. Eine davon wird im folgenden beschrieben.

Goldenes Mittel, FIBONACCI-Zahlen:

Die irrationale Zahl

heißt Goldenes Mittel und besitzt die einfache Kettenbruchdarstellung

(17.84)

Durch sukzessives Abschneiden des Kettenbruches erhält man eine Folge

konvergiert. Die Zahlen

lassen sich in der Form

von rationalen Zahlen, die gegen

darstellen, wobei

FIBONACCI-

Zahlen sind, die sich durch die Iterationsvorschrift
(17.85)
mit den Startwerten

und

bestimmen lassen. Sei nun

der Parameterwert von (17.80), für


den

ist und sei jeweils

der

am nächsten liegende Wert, für den

ist. Eine numerische Analyse ergibt den Grenzwert

.


Europäische Artikelnummer EAN
EAN ist eine Abkürzung für ,,Europäische Artikelnummer ``, die man auf sehr vielen Artikeln in Form eines
Strichcodes bzw. als 13- oder 8-stellige Ziffernfolge findet. Mit Hilfe von Scannern kann der Strichcode an
Computerkassen eingelesen werden.
Bei der 13-stelligen Nummer geben die ersten beiden Ziffern das Herstellungsland an, z.B. 40, 41, 42, 43 oder 44 für
Deutschland. Die nächsten 5 Ziffern stehen für den Hersteller, und eine weitere Gruppe von 5 Ziffern für das
entsprechende Produkt. Die letzte Ziffer ist die Prüfziffer
Man erhält die Prüfziffer, wenn man die ersten 12 Ziffern abwechselnd von links beginnend mit 1 bzw. 3 multipliziert
und die Summe dieser Produkte durch Addition der Prüfziffer
gilt für die Artikelnummer

zur nächsten durch 10 teilbaren Zahl ergänzt. Somit

mit der Prüfziffer
(5.187)

Durch dieses Prüfziffernverfahren werden an der EAN Fehler durch Verwechslung einer Ziffer immer aufgedeckt und
Fehler durch Vertauschung zweier benachbarter Ziffern in den meisten Fällen erkannt. Oft nicht aufgedeckt werden
Drehfehler durch Vertauschen nicht benachbarter Ziffern und Verwechslungen zweier Ziffern.


Interne Zeichendarstellung
Computer sind zeichenverarbeitende Maschinen. Die Interpretation und Verarbeitung dieser Zeichen wird durch die
verwendete Software (Programme) festgelegt und gesteuert. Die externen Zeichen, Buchstaben, Ziffern und
Sonderzeichen werden intern im Binärcode in Form von Bitfolgen dargestellt. Ein Bit (Binary Digit) ist die kleinste
darstellbare Informationseinheit mit den Werten 0 und 1. Acht Bit werden zur nächsthöheren Einheit, dem Byte ,
zusammengefaßt. In einem Byte können
Bitkombinationen erzeugt werden, die ihrerseits 256 Zeichen
zugeordnet werden können. Eine solche Zuordnung bezeichnet man als Code . Es gibt verschiedene Codes, einer
der weit verbreiteten ist der erweiterte ASCII (

●
●

Zahlensysteme
Interne Zahlendarstellung

merican

tandard

ode for

nformation

nterchange).


Addition und Subtraktion
Addition und Subtraktion von Matrizen ist möglich, wenn sie vom gleichen Typ sind. Die Addition bzw. Subtraktion
erfolgt elementweise für jeweils gleichgestellte Elemente:
(4.21a)
Beispiel

Es gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz der Matrizenaddition:
(4.21b)
(4.21c)


Linearkombinationen von Vektoren
a) Die Summe zweier Vektoren

und

ist ein Vektor

der die Diagonale

des Parallelogramms
bildet. Die wichtigsten Eigenschaften der Summe zweier Vektoren sind das
Kommutativgesetz der Addition und die Dreiecksungleichung:
(3.241a)
(3.241b)


b) Die Summe mehrerer Vektoren
den die Vektoren

bis

bilden. Für

ist ein Vektor
Vektoren

der den Polygonzug schließt,

gilt:

(3.241c)
Zu den Eigenschaften der Summe mehrer Vektoren gehören das Kommutativgesetz der Addition und das
Assoziativgesetz. Für drei Vektoren z.B gilt:
(3.241d)
(3.241e)


c) Die Differenz zweier Vektoren

kann als Summe der Vektoren

und

aufgefaßt werden, so

daß
(3.241f)
die Diagonale in der rechten Abbildung ergibt.

Die wichtigsten Eigenschaften der Differenz zweier Vektoren sind:
(3.241g)


Eigenschaften der Produkte von Vektoren
a) Das Skalarprodukt genügt dem Kommutativgesetz:
(3.253)
b) Das Vektorprodukt ändert beim Vertauschen der Faktoren das Vorzeichen:
(3.254)
c) Die Multiplikation mit einem Skalar genügt dem Assoziativgesetz:
(3.255a)
(3.255b)
d) Das Assoziativgesetz gilt nicht für das doppelte Skalar-und Vektorprodukt:
(3.256a)
(3.256b)
e) Das Distributivgesetz gilt:
(3.257a)
(3.257b)


f) Orthogonalität zweier Vektoren

liegt vor, wenn gilt:
(3.258)

g) Kollinearität zweier Vektoren

liegt vor, wenn gilt:
(3.259)

h) Multiplikation gleicher Vektoren:
(3.260)
i) Multiplikationen von Linearkombinationen von Vektoren können auf die gleiche Art durchgeführt werden wie bei
skalaren Polynomen, allerdings ist dabei zu beachten, daß bei der vektoriellen Multiplikation Faktorenvertauschungen,
z.B. beim Zusammenziehen gleichnamiger Glieder, Vorzeichenänderungen zur Folge haben.
Beispiel A

Beispiel B


j) Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems den gleichen Wert
behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante.
Beispiel A
Die Komponenten eines Vektors

sind keine skalaren Invarianten, da sie in verschiedenen

Koordinatensystemen unterschiedliche Werte annehmen können.
Beispiel B
Die Länge eines Vektors

d.h. die Größe

sie in verschiedenen Koordinatensystemen den gleichen Wert besitzt.
Beispiel C

ist eine skalare Invariante, da


Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante, d.h.
da

.


Hypozykloide und Astroide
Hypozykloide und Astroide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird,
wenn dieser, ohne zu gleiten, auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt.


Die Gleichung der Hypozykloide, die Koordinaten der Scheitel- und Rückkehrpunkte, die Formeln für die
Bogenlängen, die Flächeninhalte und die Krümmungsradien entsprechen denen der Epizykloide, es ist jedoch ,,
`` durch ,,

`` zu ersetzen. Die Anzahl der Rückkehrpunkte entspricht für

ganzzahlig, rational oder

) der von der Epizykloide bekannten.

irrational (stets ist

Fall

Für

entartet die Kurve in den Durchmesser des unbeweglichen Kreises.

Fall

Für

besitzt die Hypozykloide drei Zweige mit der Gleichung
(2.235a)

Es gilt

.
Fall
Für
besitzt die Hypozykloide vier Zweige und wird Astroide genannt. Ihre Gleichung
lautet in kartesischen Koordinaten und in Parameterform:
(2.235b)
(2.235c)

Es gilt

.


Unterabschnitte
●
●
●
●

Definition:
Vorgabe der Funktion in Parameterform:
Vorgabe der Funktion in expliziter Form:
Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form:

Asymptoten
Definition:
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom
Koordinatenursprung unbegrenzt nähert. Dabei kann die Annäherung von einer Seite her erfolgen (linke Abbildung), oder
die Kurve schneidet die Gerade dauernd (rechte Abbildung).


Nicht jede sich unbegrenzt vom Koordinatenursprung entfernende Kurve (unendlicher Kurvenzweig) muß eine Asymptote
besitzen. So bezeichnet man z.B. bei unecht gebrochenrationalen Funktionen den ganzrationalen Anteil als asymptotische
Näherung.

Vorgabe der Funktion in Parameterform:
Zur Bestimmung der Asymptotengleichung sind die Werte zu ermitteln, für die bei
oder

entweder

geht.

Folgende Fälle sind zu unterscheiden:
a) Die Asymptote ist eine horizontale Gerade:
(3.455a)
b) Die Asymptote ist eine vertikale Gerade:
(3.455b)


c) Die Asymptote ist eine Gerade mit

gehen, dann sind die Grenzwerte

: Wenn sowohl

als auch

und

gegen unendlich

zu bilden. Existieren sie

beide, dann liefern sie die Konstanten für die Geradengleichung der Asymptote:
(3.455c)

Vorgabe der Funktion in expliziter Form:
Die vertikalen Asymptoten werden als Unstetigkeitspunkte beim unendlichem Sprung der Funktion

ermittelt, die

horizontalen und geneigten Asymptoten als Gerade mit den entsprechenden Grenzwerten:
(3.456)

Beispiel


Für die zweite Asymptote usw. erhält man

in Analogie dazu

Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form:
Die Funktion

ist ein Polynom in

und

. Für horizontale und vertikale Asymptoten einerseits und geneigte

Asymptoten andererseits ist je ein anderes Verfahren notwendig.
1. Horizontale und vertikale Asymtoten: Zur Bestimmung der horizontalen und vertikalen Asymptoten werden
von dem vorliegenden Polynom in

und

abgespaltet und nach

die Glieder mit dem höchsten Grad
und

ausgewählt, als Funktion

aufgelöst:
(3.457)


Die Werte

für

ergeben die horizontalen Asymptoten

die Werte

für

die

vertikalen
2. Asymptoten mit der Geradengleichung
die Geradengleichung

: Zur Bestimmung der geneigten Asymptoten wird in
eingesetzt und das so gewonnene Polynom nach Potenzen von

geordnet:
(3.458)
Die Parameter

und

ergeben sich, falls sie existieren, aus den Gleichungen
(3.459)

Beispiel


Betrachtung des kartesischen Blattes mit

Aus den Gleichungen
ergeben sich die Lösungen
zu

ergibt.

und
so daß sich die Gleichung der Asymptote


Asymptoten der Hyperbel
Asymptoten der Hyperbel sind Geraden, die sich den Hyperbelzweigen für
(s. Definition der Asymptoten).

unbegrenzt nähern


Der Richtungskoeffizient der Asymptoten ist

Die Gleichungen der Asymptoten lauten
(3.333)

Die Asymptoten bilden gemeinsam mit der Tangente an die Hyperbel in einem Punkt
Hyperbel , d.h. die Strecke

Das Tangentenstück wird durch den Berührungspunkt

ist. Den Flächeninhalt des Dreiecks
berechnet man für jeden Berührungspunkt

das Tangentenstück der
halbiert, so daß

zwischen der Tangente und beiden Asymptoten

gemäß
(3.334)

Der Flächeninhalt des Parallelogramms

das von den Asymptoten und zwei zu ihnen vom Punkt

ausgehenden Parallelen gebildet wird, beträgt
(3.335)


Unterabschnitte
●
●

Explizite Definitionsform der Kurve
Andere Definitionsformen

Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung
Wendepunkte sind Kurvenpunkte, in denen die Krümmung der Kurve das Vorzeichen ändert.

Dabei liegt die Kurve in einer kleinen Umgebung dieses Punktes nicht auf einer Seite der Tangente, sondern wird von
dieser durchsetzt. Im Wendepunkt ist

und

Explizite Definitionsform der Kurve


Die explizite Definitionsform sei durch die Gleichung

(3.425) gegeben.

a) Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist das Verschwinden der 2. Ableitung
(3.448)
im Wendepunkt, falls sie existiert (den Fall nicht existierender 2. Ableitung s. b) Hinreichende Bedingung). Die
Bestimmung der Wendepunkte für den Fall existierender 2. Ableitungen erfordert das Aufsuchen aller Lösungen der
Gleichung

mit den Werten

wobei jeder Wert

nacheinander in die

darauffolgenden Ableitungen einzusetzen ist. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die erste an der Stelle

nicht

verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist. Wenn der betrachtete Punkt kein Wendepunkt ist, weil sich
die erste nicht verschwindende Ableitung

-ter Ordnung für geradzahliges

mit der konkaven Seite nach oben; für

ergibt, dann weist die Kurve für

nach unten.

b) Hinreichende Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist die Änderung des Vorzeichens der
2. Ableitung

beim Übergang von der links- zur rechtsseitigen Umgebung des Punktes

kann die Frage, ob ein gefundener

. Daher

-Wert Abszisse eines Wendepunktes ist, aus der Betrachtung des

Vorzeichens der 2. Ableitung beim Durchgang durch den zugehörigen Punkt ermittelt werden: Wenn sich das
Vorzeichen bei diesem Durchgang ändert, liegt ein Wendepunkt vor. Dieses Verfahren ist auch für den Fall
anwendbar.
Hinweis: Wenn in der Praxis aus dem Kurvenverlauf folgt, daß ein Wendepunkt vorhanden sein muß, z.B.


beim Übergang von einem Minimum zu einem Maximum bei einer Kurve mit stetiger Ableitung, dann
beschränkt man sich auf die Bestimmung der

Beispiel A

Wendepunkte

und

gibt es bei

Beispiel B

Wendepunkte sind nicht vorhanden.
Beispiel C

und läßt die Untersuchung der höheren Ableitungen weg.


für

ist

Beim Übergang von negativen zu positiven

-Werten wechselt die 2. Ableitung das Vorzeichen von

,,

einen Wendepunkt besitzt.

``zu ,,

``, so daß die Kurve bei

Andere Definitionsformen
Die notwendige Bedingung
über die Definitionsform

(3.448) für die Existenz eines Wendepunktes im Falle der Kurvenvorgabe
(3.425) wird bei Vorgaben mit den anderen Formen durch die folgenden

analytischen Formulierungen der notwendigen Bedingung ersetzt:
1. Definition in Parameterform gemäß (3.426):
(3.449)

2. Definition als Polargleichung gemäß (3.427):
(3.450)


3. Definition in impliziter Form gemäß (3.424):

(3.451)

In diesen Fällen liefert das Lösungssystem die Koordinaten der möglichen Wendepunkte.
Beispiel A
Betrachtung der verkürzten Zykloide

:


Die Kurve hat unendlich viele Wendepunkte für die Parameterwerte
Beispiel B
Der Wendepunkt liegt

bei dem Winkel
Beispiel C
Betrachtung der Hyperbel

Die Gleichungen
keinen Wendepunkt besitzt.

und

widersprechen einander, so daß die Hyperbel


Attraktor, Einzugsgebiet
Sei

ein dynamisches System auf

und

Einzugsgebiet von

Eine kompakte Menge
eine offene Umgebung

heißt Attraktor von
von

gibt, so daß

eine unter

invariante Menge. Dann heißt

.

auf

, wenn

invariant unter

ist und es

für fast alle (im Sinne des LEBESGUE-Maßes)

gilt.
Beispiel
ist ein Attraktor des Flusses von (17.9a). Dabei ist

.

Für manche dynamischen Systeme ist ein allgemeinerer Attraktorbegriff sinnvoll. So gibt es invariante Mengen

,


die in jeder Umgebung periodische Orbits besitzen, die nicht von
Attraktor). Die Menge
Eine kompakte Menge

angezogen werden (z.B. der FEIGENBAUM-

muß auch nicht unbedingt durch eine einzige
heißt Attraktor im Sinne von MILNOR von

ist und das Einzugsgebiet von

-Grenzmenge aufgespannt werden.
auf

, wenn

eine Menge mit positivem LEBESGUE-Maß enthält.

invariant unter


Lyapunov-Dimension
Sei
auf

ein glattes dynamisches System auf

mit Attraktor

(bzw. invarianter Menge) und mit

konzentriertem invariantem ergodischem Wahrscheinlichkeitsmaß. Sind

LYAPUNOV-Exponenten bezüglich

und ist

der größte Index, für den

die

und

ist, so

heißt die Größe
(17.47)

LYAPUNOV- Dimension des Maßes
Ist

, so wird

.
gesetzt; ist

, wird

definiert.


Satz von LEDRAPPIER: Es seien

ein diskretes System (17.3) auf

, wie oben, ein auf dem Attraktor
Dann gilt

von

mit einer

-Funktion

konzentriertes invariantes ergodisches Wahrscheinlichkeitsmaß.

.

Beispiel A
eines glatten dynamischen Systems

Der Attraktor
Seitenlänge
das

überdeckt. Es seien

erhält man sofort

Quadraten der
. Dann gilt für

. Aus jedem Quadrat der Seitenlänge

näherungsweise ein Parallelogramm mit

Überdeckungen aus Rhomben mit der Seitenlänge

werde mit

die gemittelten Singulärwerte von

-dimensionale Volumen des Attraktors

entsteht unter

und

, so ist

und

als Seitenlänge. Nimmt man
. Aus der Beziehung

. Diese heuristischen

Überlegungen geben also einen Hinweis auf die Herkunft der Formel für die LYAPUNOV-Dimension.


Beispiel B
Gegeben sei das HÉNON-System(17.6) mit
diesen Parametern einen Attraktor

und

. Das System (17.6) besitzt bei

( H´ENON- Attraktor ) mit komplizierter Struktur. Die numerisch

bestimmte Kapazitätsdimension ist

. Für den H´ENON-Attraktor

Maß nachweisen. Für die LYAPUNOV-Exponenten

und

läßt sich ein SBR-

gilt
. Mit dem numerisch ermittelten Wert

ergibt sich

. Damit ist

.


Solenoid oder Solenoid-Attraktor
Gegeben sei ein Volltorus

mit den lokalen Koordinaten

, wie er in der folgenden Abbildung zu sehen

ist.

Eine Abbildung

mit einem Parameter

wird durch

erklärt. Das Bild

, zusammen mit den Schnitten

und


, ist in den folgenden zwei Abbildungen zu sehen.

Im Ergebnis der Iterationen entsteht die Menge

, die Solenoid heißt. Der Attraktor

Längsrichtung aus einem Kontinuum von Kurven, von denen jede dicht in
von

ist und die alle instabil sind. Der Schnitt

transversal zu diesen Kurven ist eine CANTOR-Menge. Für die HAUSDORFF-Dimension gilt
. Die Menge

besitzt eine ganze Umgebung als Einzugsgebiet. Außerdem ist der Attraktor

strukturstabil, d.h., die oben formulierten qualitativen Eigenschaften ändern sich nicht bei
von

besteht in

. Das Solenoid ist ein Beispiel für einen hyperbolischen Attraktor .

-kleinen Störungen


Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé
Sei

ein glattes dynamisches System auf
werde fixiert und

und

eine kompakte invariante Menge. Ein beliebiges

gesetzt.

1. Satz von DOUADY und OESTERLÉ: Seien
eine Zahl in der Darstellung

die Singulärwerte von
mit

und

, so gilt

Ist

und sei

.

2. Spezielle Version für Differentialgleichungen: Seien

der Fluß von (17.1),

eine kompakte

die Eigenwerte der symmetrisierten JACOBI-Matrix

invariante Menge und seien
in einem beliebigen Punkt

.

. Ist

eine Zahl in der Form


mit

sowie

und gilt
, so ist

.

Die Größe
(17.48)
wobei
Punkt
gilt dann

Beispiel

beliebig ist und

den ganzzahligen Anteil von

bedeutet, heißt DOUADY-OESTERLÉ- Dimension im

. Unter den Voraussetzungen des oben formulierten Satzes von DOUADY-OESTERLÉ für Differentialgleichungen
.


Das LORENZ-System (17.2) besitzt für

Attraktor , mit numerisch ermittelter Dimension

einen Attraktor

(s. Abbildung).

, den LORENZ-


(Die Abbildung wurde mit Mathematica erzeugt.)
Mit dem Satz von DOUADY-OESTERLÉ erhält man für beliebige

und

die Abschätzung


mit

.


Auflösung eines Torus
●
●

●
●

Vom Torus zum Chaos
Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
Differentialgleichungen auf dem Torus
Standardform einer Kreisabbildung


Aufschlag
Werden

auf

aufgeschlagen, dann erhält man den erhöhten Wert
(1.76)

Bezieht man den Aufschlag

auf den neuen Wert

, dann sind in

auf Grund der Proportion

(1.77)

Prozent Aufschlag enthalten.


Beispiel
Bei einem Warenwert von 200.-DM ergeben 15 % Aufschlag einen Endpreis von 230.-DM. In diesem Preis
sind für den Verbraucher

Prozent Aufschlag enthalten.


Einmalige Einzahlung
Bei jährlichem Zinszuschlag wächst ein Kapital

nach

Jahren auf den Endwert

Am Ende des

-ten

Jahres gilt:
(1.81)
Zur Abkürzung setzt man

und bezeichnet

Man spricht von unterjähriger Verzinsung , wenn das Jahr in
Zinsen bereits nach jeder dieser Zinsperioden dem Kapital
Zinsperiode beträgt dann

als Aufzinsungsfaktor .
gleich lange Zinsperioden unterteilt wird und die
zugeschlagen werden. Der Zinszuschlag pro

und das Kapital wächst nach

Jahren mit je

Zinsperioden auf

(1.82)

an.


Beispiel
Ein Kapital von 5000.-DM, das mit 7,2

a) bei jährlicher Verzinsung auf
b) bei monatlicher Verzinsung auf

pro Jahr verzinst wird, wächst in 6 Jahren

DM an,
DM.


Algebraische Ausdrücke
●
●

Definitionen
Einteilung der algebraischen Ausdrücke


Manipulation algebraischer Ausdrücke
In der Praxis treten häufig algebraische Ausdrücke auf, die für die weitere Arbeit, wie z.B. Differentiation, Integration,
Reihendarstellung, Grenzwertbildung oder numerische Auswertung, umzuformen sind. In der Regel werden diese
Ausdrücke als über dem Ring der ganzen oder dem Körper der rationalen Zahlen gebildet verstanden. Es sei aber
betont, daß Computeralgebrasysteme z.B. auch mit Polynomen über endlichen Körpern bzw. über
Erweiterungskörpern der gebrochen rationalen Zahlen umgehen können. Für Interessenten muß dazu auf die
Spezialliteratur verwiesen werden. Eine besondere Rolle spielen algebraische Operationen auf Polynomen über dem
Körper der rationalen Zahlen.
●
●

Mathematica
Maple


Tautologien, mathematische Schlußweisen
Ein aussagenlogischer Ausdruck heißt allgemeingültig oder Tautologie , wenn er die Wahrheitsfunktion identisch W
repräsentiert. Folglich sind zwei Ausdrücke

und

genau dann logisch äquivalent, wenn der Ausdruck

eine Tautologie ist. Mathematische Schlußweisen folgen aussagenlogischen Gesetzen. Als Beispiel sei
das Kontrapositionsgesetz genannt, d.h. der allgemeingültige Ausdruck
(5.19a)
Dieses Gesetz, das auch in der Form
(5.19b)
notiert werden kann, läßt sich wie folgt interpretieren: Um zu zeigen, daß
daß

aus

folgt. Der indirekte Beweis beruht auf folgendem Prinzip: Um

aus

folgt, kann man auch zeigen,
aus

zu folgern, nimmt man

richtig ist - einen Widerspruch her. Formal läßt sich
als falsch an und leitet daraus - unter der Voraussetzung, daß
dieses Prinzip auf verschiedene Weise durch aussagenlogische Gesetze beschreiben:
(5.20a)
oder
(5.20b)
oder


(5.20c)


Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke
Eine Interpretation eines Ausdrucks der Prädikatenlogik besteht aus
1. einer Menge (Individuenbereich) und
2. einer Zuordnung, die jeder

-stelligen Prädikatenvariablen ein

-stelliges Prädikat zuweist.

Die Interpretation einer geschlossenen Formel liefert somit eine Aussage. Enthält ein Ausdruck der Prädikatenlogik
freie Variable, so repräsentiert eine Interpretation dieses Ausdrucks eine Relation (s.
Individuenbereich.
Beispiel

-stellige Relationen) im


das zweistellige Prädikat, das im Individuenbereich

Sei

der natürlichen Zahlen die Beziehung

beschreibt, so charakterisiert
die Menge aller Paare

●

);

(zweistellige Relation in

sind freie Variable;
die Teilmenge von

●

freie,

natürlicher Zahlen mit

(einstellige Relation), die nur aus der Zahl 0 besteht;

ist

gebundene Variable;
die Aussage ,,Es gibt eine kleinste natürliche Zahl``;

●

und

sind gebundene

Variable.
Ein Ausdruck der Prädikatenlogik heißt wahr für eine gegebene Interpretation, wenn für jede Ersetzung der freien
Variablen durch Elemente aus dem Individuenbereich eine wahre Aussage entsteht. Ein Ausdruck der
Prädikatenlogik heißt allgemeingültig oder Tautologie , wenn er für alle Interpretationen wahr ist.


Angabe einer Funktion
Man kann eine Funktion auf unterschiedliche Weise angeben oder definieren, z.B. durch eine Wertetabelle, eine
graphische Darstellung oder Kurve, eine Formel, auch analytischer Ausdruck genannt, oder abschnittsweise durch
verschiedene Formeln. In den Definitionsbereich eines analytischen Ausdrucks können nur solche Werte des
Arguments einbezogen werden, für die die Funktion einen Sinn ergibt, d.h. eindeutig bestimmte endliche reelle Werte
annimmt.
Die folgenden Beispiele stellen abschnittsweise gegebene Funktionen dar.
Beispiel A
ganz.

Beispiel B


Beispiel C

Mit

lies ,,Signum

``, ist die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Die Funktion

bzw.

lies ,,entier ``, gibt die größte ganze Zahl kleiner gleich
an. Die folgenden drei Abbildungen zeigen die
dazugehörigen graphischen Darstellungen, wobei die Pfeilspitzen darauf hinweisen sollen, daß ihre
Endpunkte nicht zum Kurvenbild gehören.


Analytische Darstellung reeller Funktionen
In der Regel werden die folgenden drei Formen genutzt:
1. Explizite Darstellung:
(2.3)
Beispiel
. Hierbei handelt es sich um die obere Hälfte des
Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
2. Implizite Darstellung:
(2.4)
falls sich diese Gleichung eindeutig nach

Beispiel

auflösen läßt.


. Hierbei handelt es sich ebenfalls um die obere Hälfte des
Einheitskreises. Man beachte, daß mit

keine reelle Funktion definiert wird.

3. Parameterdarstellung:
(2.5)
Die Werte von
Die Funktionen

und

werden als Funktion einer Hilfsveränderlichen
und

angegeben, die Parameter genannt wird.

müssen denselben Definitionsbereich haben.

Beispiel
mit

und

Hierbei handelt es

sich abermals um die Darstellung der oberen Hälfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im
Koordinatenursprung.


Ausdrücke der Aussagenlogik
Mit diesen einstelligen (Negation) und zweistelligen (Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz) Verknüpfungen können aus
gegebenen Aussagenvariablen kompliziertere Ausdrücke der Aussagenlogik aufgebaut werden. Diese Ausdrücke werden induktiv
definiert:
(5.6)
(5.7)
Zur Vereinfachung der Schreibweise solcher Ausdrücke werden Außenklammern weggelassen und Vorrangregeln (Prioritäten)
festgelegt. In der folgenden Reihenfolge bindet jeder Junktor stärker als der folgende:
Häufig wird anstelle von ,,
z.B. den Ausdruck

`` auch

geschrieben und der Junktor

ganz weggelassen. Durch diese Einsparungen kann man

kürzer so notieren:


Differenzenverfahren
Man unterteilt das Intervall

durch gleichabständige Stützstellen

und ersetzt in der für die inneren Stützstellen angegebenen Differentialgleichung
(19.119)
die Werte der Ableitungen durch sogenannte finite Ausdrücke , z.B.:
(19.120a)

(19.120b)

Man erhält auf diese Weise
des Integrationsintervalls

lineare Gleichungen für die
, wenn man

und

Näherungswerte

im Inneren

beachtet. Enthalten die Randbedingungen


Ableitungen, dann werden diese ebenfalls durch finite Ausdrücke ersetzt.
Eigenwertprobleme bei Differentialgleichungen werden ganz analog behandelt. Die Anwendung des
Differenzenverfahrens , beschrieben durch (19.119) und (19.120a,b), führt dann auf ein
Matrizeneigenwertproblem.
Beispiel
Die Lösung der homogenen Differentialgleichung

mit den Randbedingungen

führt auf ein Eigenwertproblem. Das Differenzenverfahren überführt die
Differentialgleichung in die Differenzengleichung
drei innere Punkte, also

unter Beachtung von

. Wählt man

, dann erhält man das Gleichungssystem

. Dieses homogene System ist nur bei


verschwindender Koeffizientendeterminante lösbar. Aus dieser Bedingung erhält man die Eigenwerte
und

, von denen allerdings nur der kleinste dem ihm

entsprechenden wahren Wert 9,87 nahekommt.
Hinweis: Die Genauigkeit des Differenzenverfahrens kann erhöht werden durch:
1.
Verkleinerung der Schrittweite

,

2.
Verwendung finiter Ausdrücke höherer Approximation (die Näherungen (19.120a,b) haben die Fehlerordnung
),
3.
Anwendung des Mehrschrittverfahrens.
Ist eine nichtlineare Randwertaufgabe zu lösen, dann führt das Differenzenverfahren auf ein System nichtlinearer
Gleichungen für die unbekannten Näherungswerte
(s. Abschnitt Nichtlineare Gleichungssysteme).


Differenzenverfahren
Das Integrationsgebiet wird durch ausgewählte Punkte

gitterförmig unterteilt. Gewöhnlich wird das Gitter rechteckig

gewählt:
(19.136)

Für

erhält man ein quadratisches Gitter. Bezeichnet man die gesuchte Lösung mit

, dann werden die in der

Differentialgleichung und in den Rand- bzw. Anfangsbedingungen auftretenden partiellen Ableitungen durch finite Ausdrücke der
folgenden Art ersetzt, wobei unter

ein Näherungswert für den Funktionswert

zu verstehen ist:


(19.137)

In (19.137) ist die Fehlerordnung mit Hilfe des LANDAU-Symbols

angegeben worden.

In manchen Fällen ist es günstiger, die Näherung

(19.138)
mit einem festen Parameter

zu verwenden. Die Formel (19.138) stellt eine Konvexkombination zweier finiter

Ausdrücke dar, die aus der entsprechenden Formel von (19.137) für die Werte

und

enstanden sind.

Mit den Formeln (19.137) kann eine partielle Differentialgleichung für jeden inneren Gitterpunkt in eine Differenzengleichung
übergeführt werden, wobei die Rand- und Anfangsbedingungen zu beachten sind. Das so entstehende Gleichungssystem für die


Näherungswerte

, das für kleine Schrittweiten

und

von großer Dimension ist, muß in der Regel iterativ gelöst werden

(s. Abschnitt Iteration in Gesamt- und Einzelschritten).
Beispiel A
erfülle die Differentialgleichung

Die Funktion

für alle Punkte

, d.h. im Innern eines Rechtecks, und genüge der Randbedingung

für

mit
und

. Die der Differentialgleichung entsprechende Differenzengleichung für ein quadratisches Gitter mit der
Schrittweite

lautet:
.

Die Schrittweite

(s. Abbildung)


liefert eine erste grobe Näherung für die Funktionswerte in den drei inneren Gitterpunkten:

Man erhält:

Beispiel B

.


Die Gleichungssysteme, die bei der Anwendung des Differenzenverfahrens auf partielle Differentialgleichungen
entstehen, haben in der Regel eine sehr spezielle Struktur. Das soll am Beispiel der folgenden, etwas allgemeineren
Randwertaufgabe gezeigt werden. Integrationsgebiet sei das Quadrat
Gesucht ist eine Funktion
auf dem Rand von

. Die Funktionen

Differenzengleichung lautet für

Im Falle

mit

.
im Innern von

und

sind gegeben. Die zu dieser Differentialgleichung gehörende
:

hat die linke Seite dieses Differenzengleichungssystems für die Näherungswerte

in den

inneren Punkten die folgende Gestalt, wenn man das Gitter zeilenweise von links nach rechts durchläuft und
dabei beachtet, daß die Funktionswerte auf dem Rand bekannt sind:


Man sieht: Die Koeffizientenmatrix ist symmetrisch und schwach besetzt . Ihre Gestalt wird als block-tridiagonal
bezeichnet. Man beachte aber, daß die Gestalt der Koeffizientenmatrix davon abhängig ist, wie die Gitterpunkte
durchlaufen werden.
Für die verschiedenen Aufgabenklassen bei partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung, insbesondere bei elliptischen,
parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen, ist eine Vielzahl angepaßter Differenzenverfahren entwickelt und auf


Konvergenz und Stabilität hin untersucht worden. Die Spezialliteratur dazu ist umfangreich, Standardwerke s. Lit. 19.25, 19.27.


Einteilung der algebraischen Ausdrücke
1. Hauptgrößen
werden die allgemeinen Zahlen (Buchstabensymbole) genannt, nach denen die algebraischen Ausdrücke
klassifiziert werden; sie sind in jedem Einzelfall festzulegen. Im Falle von Funktionen sind die unabhängigen
Variablen die Hauptgrößen . Die übrigen noch nicht durch Zahlen festgelegten Größen sind die Parameter des
Ausdrucks. In manchen Ausdrücken werden die Parameter Koeffizienten genannt.
Beispiel
Koeffizienten treten z.B. in Polynomen, FOURIER-Reihen und linearen Differentialgleichungen auf.
Ein Ausdruck gehört zu der einen oder anderen Klasse in Abhängigkeit davon, welche Operationen an seinen
Hauptgrößen auszuführen sind. Im allgemeinen werden die Hauptgrößen meist mit den letzten Buchstaben
des Alphabets
Buchstaben

bezeichnet, die Parameter mit den ersten Buchstaben

Die

verwendet man meist für ganzzahlige positive Parameterwerte, z.B. für Indizes bei

Summationen und Iterationen.
2. Ganzrationale Ausdrücke
zeichnen sich dadurch aus, daß in ihnen Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen der Hauptgrößen
vorgenommen werden, wobei das Potenzieren mit ganzzahligen positiven Exponenten eingeschlossen ist.


3. Gebrochenrationale Ausdrücke
enthalten neben den für ganzrationale Ausdrücke genannten Operationen noch Divisionen durch Hauptgrößen,
einschließlich des Potenzierens mit negativen ganzzahligen Exponenten, sowie gegebenenfalls Divisionen
durch ganzrationale Ausdrücke in den Hauptgrößen.
4. Irrationale Ausdrücke
zeichnen sich durch das Radizieren, also das Potenzieren mit gebrochenen Exponenten aus, d.h. durch das
Radizieren ganz- oder gebrochenrationaler Ausdrücke, die ihrerseits aus Hauptgrößen bestehen.
5. Transzendente Ausdrücke
, d.h. Exponentialausdrücke, logarithmische und trigonometrische Ausdrücke, enthalten algebraische
Ausdrücke mit Hauptgrößen im Exponenten, unter dem Logarithmuszeichen oder als Argument von
Winkelfunktionen.


Ganzrationale Ausdrücke
●
●
●

Darstellung in Form eines Polynoms
Binomischer Satz
Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome


Gebrochenrationale Ausdrücke
●
●
●

Rückführung auf die einfachste Form
Bestimmung des ganzrationalen Anteils
Umformung von Proportionen


Irrationale Ausdrücke
Jeder irrationale Ausdruck kann in der Regel auf eine einfachere Form gebracht werden, und zwar durch
●
●
●

Kürzen des Exponenten,
Vorziehen vor das Wurzelzeichen und
Beseitigen der Irrationalität im Nenner.
1. Kürzen des Exponenten: Eine Kürzung des Exponenten wird erreicht, indem der Radikand in Faktoren zerlegt wird und danach der
Wurzelexponent sowie die Exponenten aller Faktoren im Radikanden durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt werden.
Beispiel

2. Beseitigung der Irrationalität: Zur Beseitigung der Irrationalität im Nenner gibt es verschiedene Methoden.
Beispiel A

Beispiel B


Beispiel C

Beispiel D

3. Einfachste Form von Potenzen und Wurzeln: Auch Potenzen und Wurzeln werden meist auf die einfachste Form gebracht.
Beispiel A

Beispiel B


Manipulation nichtpolynomialer Ausdrücke
Mit dem Befehl

können oft komplizierte Ausdrücke, die nicht polynomialer Natur zu sein brauchen, vereinfacht

werden. Mathematica wird immer versuchen, algebraische Ausdrücke unabhängig von der Natur der symbolischen Größen zu
manipulieren. Dabei verwendet es eingebaute Kenntnisse. So kennt Mathematica z.B. Regeln der Potenzrechnung:
(20.56)
Mit der Option

können die Anweisungen

und

Potenzen von trigonometrischen

Funktionen durch die trigonometrischen Funktionen mit mehrfachen Argumenten ausdrücken und umgekehrt.
Beispiel
Einige trigonometrische Formeln lassen sich mit folgender Eingabe erzeugen:

Ab Version 2.2 von Mathematica ist die Option
für eine Vielzahl von Befehlen aus dem zuladbaren Paket

über den Befehl

direkt erreichbar. Das gilt
.


Schließlich sei darauf hingewiesen, daß der Befehl
während

Beispiel

reelle Variable
von komplexen Variablen

ausgeht.

voraussetzt,


Ausdrücke des Prädikatenkalküls
Allgemein werden die Ausdrücke des Prädikatenkalküls wieder induktiv definiert:
1. Sind

Individuenvariable und

eine

-stellige Prädikatenvariable, so ist
(5.21a)

2. Sind

und

Ausdrücke, so sind es auch
(5.21b)

Betrachtet man Aussagenvariable als nullstellige Prädikatenvariable, so erkennt man die Aussagenlogik als Teil der
Prädikatenlogik. Eine Individuenvariable
Quantors

kommt in einem Ausdruck gebunden vor, wenn

ist oder im Wirkungsbereich eines Quantors liegt; andernfalls kommt

Variable eines
in diesem Ausdruck frei

vor. Ein Ausdruck der Prädikatenlogik, der keine freien Variablen enthält, heißt geschlossene Formel .


Ausdrücke der Prädikatenlogik
Zur logischen Grundlegung der Mathematik wird eine ausdrucksstärkere Logik als die Aussagenlogik benötigt. Um
Eigenschaften von und Beziehungen zwischen (mathematischen) Objekten beschreiben zu können, bedient man sich
der Prädikatenlogik.
●
●
●
●
●
●

Prädikate
Quantoren
Ausdrücke des Prädikatenkalküls
Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke
Tautologien der Prädikatenlogik
Beschränkte Quantifizierung


Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
Tabelle Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten


Wertverlaufsgleiche BOOLEsche Ausdrücke
BOOLEsche Ausdrücke
und
heißen wertverlaufsgleich , wenn sie die gleiche BOOLEsche Funktion
repräsentieren. BOOLEsche Ausdrücke sind genau dann gleich, wenn sie durch ,,Umformungen`` entsprechend den
Axiomen einer BOOLEschen Algebra ineinander überführbar sind.
Bei der Umformung BOOLEscher Ausdrücke stehen zwei Aspekte im Vordergrund:
a)
Umformung in einen möglichst ,,einfachen`` Ausdruck (s. Schaltagebra),
b)
Umformung in eine ,,Normalform`` .


Knotengrade
Als Grad

eines Knotens

bezeichnet man die Anzahl der mit

inzidierenden Kanten. Schlingen werden

doppelt gezählt. Knoten vom Grad 0 heißen isolierte Knoten .
Für jeden Knoten

eines gerichteten Graphen

unterscheidet man Ausgangsgrad

und Eingangsgrad

(5.232a)
(5.232b)


Lineare Ausgleichsaufgaben
Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem
(19.37)
in Matrixschreibweise
(19.38)
Die Koeffizientenmatrix

, die vom Typ

ist, habe den Maximalrang

, d.h., ihre Spalten sind

linear unabhängig. Da ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem in der Regel keine Lösung hat, geht man von
(19.37) zu den sogenannten Fehlergleichungen
(19.39)
mit den Residuen

über und verlangt, daß die Summe der Quadrate der Residuen minimal wird:


(19.40)
Die Aufgabe (19.40) wird als lineare Ausgleichsaufgabe oder lineares Quadratmittelproblem bezeichnet. Die
notwendigen Bedingungen dafür, daß die Fehlerquadratsumme

ein relatives Minimum

annimmt, lauten
(19.41)

und führen auf das lineare Gleichungssystem
(19.42)
Der Übergang von (19.38) zu (19.42) wird als GAUSS-Transformation bezeichnet, da das System (19.42) durch
Anwendung der GAUSSschen Fehlerquadratmethode aus (19.38) entstanden ist. Da für A Maximalrang
vorausgesetzt wurde, ist

eine positiv definite Matrix vom Typ

, und die sogenannten

Normalgleichungen (19.42) können mit Hilfe des CHOLESKY-Verfahrens numerisch gelöst werden.
Bei der Lösung des Normalgleichungssystems (19.42) können numerische Probleme auftreten, wenn die
Konditionszahl (s. Lit. 19.27) der Matrix

sehr groß ist. Die Lösung

kann dann große relative Fehler haben.

Deshalb ist es numerisch günstiger, zur Lösung linearer Ausgleichsaufgaben Orthogonalisierungsverfahren zu
verwenden.


Mehrdimensionale Aufgaben
1. Ausgleichsaufgabe: Es soll die folgende diskrete mehrdimensionale Ausgleichsaufgabe behandelt werden:
Eine Funktion
bekannt, aber es seien

der
Funktionswerte

unabhängigen Variablen

sei formelmäßig nicht

, im allgemeinen Meßwerte, in einer Wertetabelle gegeben:

(19.181)

Die Schreibweise wird übersichtlicher und die Analogie zur eindimensionalen Ausgleichsaufgabe deutlicher, wenn man
folgende Vektoren einführt:


Zur Approximation von

werde ein Ansatz der Form

(19.182)
verwendet. Dabei sind die

Funktionen

geeignet gewählte Ansatzfunktionen.

Beispiel A
Linearer Ansatz in

Variablen:
.

Beispiel B
Vollständiger quadratischer Ansatz in 3 Variablen:
.
Die Ansatzkoeffizienten sind so zu bestimmen, daß

gilt.


2. Normalgleichungssystem: Bildet man analog zu (19.179b) die Matrix G, indem man formal die Stützstellen
durch die vektoriellen Stützstellen

ersetzt, dann kann man auch im vorliegenden

mehrdimensionalen Fall zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das Normalgleichungssystem
(19.183)
oder das überbestimmte lineare Gleichungssystem
(19.184)
verwenden.
Beispiel
Ein Beispiel findet man bei der mehrdimensionalen Regression.


Fehlerquadratmethode
Die Fehlerquadratmethode führt in den Fällen, in denen in der Näherungsformel gewisse Parameter nichtlinear
auftreten, auf nichtlineare Ausgleichsaufgaben , deren Lösung einen erhöhten numerischen Aufwand sowie gute
Startnäherungen erfordert. Letztere können durch Rektifizierung und Mittelwertmethode bestimmt werden.


Ausgleichssplines
In der Praxis sind die gegebenen Werte

häufig Meßwerte, also fehlerbehaftet. In diesem Fall ist die

Interpolationsforderung unzweckmäßig. Man führt deshalb den kubischen Ausgleichsspline ein. Er entsteht, wenn
man beim kubischen Interpolationsspline die Interpolationsforderung durch
(19.237)

ersetzt. Die Forderung nach Stetigkeit von

und

bleibt erhalten, so daß sich zur Bestimmung der Spline-

Koeffizienten eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen in Gleichungsform ergibt. Die Lösung erfolgt mit Hilfe
einer LAGRANGE-Funktion. Einzelheiten s. Lit. 19.30, 19.31.
In (19.237) stellt

einen Glättungsparameter dar, der vorgegeben werden muß. Für

ergibt sich

als Spezialfall der kubische Interpolationsspline, für ,,große``

erhält man eine glatte Näherungskurve, die dafür

aber die Meßpunkte nur ungenau wiedergibt, und für

ergibt sich schließlich als weiterer Spezialfall die


Ausgleichsgerade. Eine geeignete Wahl von
Die Parameter
Meßwerte

kann am Computer im Bildschirmdialog erfolgen.

in (19.237) stellen die Standardabweichungen der Meßfehler dar, mit denen die
evtl. behaftet sind.

Bei den bisher betrachteten kubischen Interpolations- und Ausgleichssplines waren die Abszissen der Interpolationsder Spline
bzw. Meßpunkte identisch mit den Knoten der Spline-Funktion. Das hat zur Folge, daß bei großem
aus einer sehr großen Anzahl von kubischen Ansatzfunktionen (19.231) besteht. Es liegt nahe, Anzahl und Lage der
Knotenpunkte frei zu wählen, da man in der Praxis meist mit wesentlich weniger Spline-Stücken auskommt. Darüber
hinaus ist es numerisch günstiger, an Stelle des Ansatzes (19.231) Splines in der Form

(19.238)

anzusetzen. Dabei ist

die Anzahl der frei gewählten Knoten, und mit

werden die sogenannten

normalisierten
-Splines ( Basis-Splines ) der Ordnung 4, d.h. vom Polynomgrad 3, zum
Ausführungen dazu s. Lit. 19.4.

-ten Knoten bezeichnet.


Bikubische Ausgleichssplines
Der eindimensionale kubische Ausgleichsspline wird im wesentlichen durch die Extremalforderung (19.237)
charakterisiert. Für den zweidimensionalen Fall könnte eine ganze Reihe entsprechender Extremalforderungen
aufgestellt werden, aber nur ganz bestimmte ermöglichen die eindeutige Existenz einer Lösung.
Geeignete Extremalforderungen und Algorithmen zur Lösung von Ausgleichsaufgaben mit bikubischen B-Splines
s. Lit. 19.21, 19.20.


Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
Polynome lassen sich in vielen Fällen als Produkte von Monomen und Polynomen darstellen. Als Hilfsmittel stehen
hierzu das Ausklammern und Gruppieren , spezielle Formeln sowie die allgemeinen Eigenschaften von Gleichungen
zur Verfügung.
Beispiel A
Ausklammern:
Beispiel B
Gruppieren:

Beispiel C


Anwendung von Gleichungseigenschaften:
a)
Ausklammern von
b)
und

Feststellung, daß

Wurzeln der Gleichung

sind.

c)
Division von

durch

liefert als Quotienten

Dieser Ausdruck läßt sich nicht weiter in reelle Faktoren zerlegen, da
so daß man erhält:


Aussagen
Eine Aussage ist die gedankliche Widerspiegelung eines Sachverhalts in Form eines Satzes einer natürlichen oder
künstlichen Sprache. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch: Prinzip der Zweiwertigkeit (s. auch mehrwertige
oder Fuzzy-Logik). Man nennt ,,wahr`` bzw. ,,falsch`` den Wahrheitswert der Aussage und bezeichnet ihn mit W
(oder 1) bzw. F (oder 0). Die Wahrheitswerte werden auch als aussagenlogische Konstanten bezeichnet.


Dualitätsprinzip
1. Dualisieren:
In den im vorhergehenden Abschnitt betrachteten ,,Axiomen`` einer BOOLEschen Algebra erkennt man
folgende Dualität: Ersetzt man in einem Axiom

durch

durch

, 0 durch 1 und 1 durch 0, dann

erhält man das jeweils andere Axiom. Man sagt, diese beiden Axiome sind zueinander dual und nennt den
Ersetzungsprozeß Dualisieren . Durch Dualisieren erhält man aus einer Aussage über BOOLEsche Algebren
die dazu duale Aussage .
2. Dualitätsprinzip für BOOLEsche Algebren:
Die duale Aussage zu einer wahren Aussage über BOOLEsche Algebren ist wieder eine wahre Aussage über
BOOLEsche Algebren, d.h., mit jeder bewiesenen Aussage ist gleichzeitig auch die dazu duale Aussage
bewiesen.
Aus den Axiomen folgen z.B. folgende Eigenschaften für BOOLEsche Algebren:
(E1) Die Operationen

und

sind idempotent:
(5.214)


(5.215)
(E2) DE MORGANsche Regeln:
(5.216)
(5.217)
(E3) Eine weitere Eigenschaft:
(5.218)
Es genügt auch hier, von jeweils untereinanderstehenden (dualen) Aussagen nur eine zu beweisen, während die
dritte Aussage zu sich selbst dual ist.


Aussagenlogik
●
●
●
●
●
●
●
●

Aussagen
Aussagenverbindungen
Wahrheitstafeln
Ausdrücke der Aussagenlogik
Wahrheitsfunktionen
Grundgesetze der Aussagenlogik
Weitere Grundgesetze
Tautologien, mathematische Schlußweisen


Aussagenverbindungen
Die Aussagenlogik untersucht den Wahrheitswert von Aussagenverbindungen in Abhängigkeit von den
Wahrheitswerten der einzelnen Aussagen. Dabei werden ausschließlich extensionale Aussagenverbindungen
betrachtet, d.h., der Wahrheitswert der Aussagenverbindung hängt nur von den Wahrheitswerten der Teilaussagen
und den verbindenden Junktoren ab. Dabei wird der Wahrheitswert der Verbindung durch die klassischen Junktoren
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
(5.5)
bestimmt. Dabei ist das ,,logische oder`` immer als ,,einschließendes oder`` zu verstehen. Im Falle der Implikation
sind für

auch die folgenden Sprechweisen üblich:


Austauschschema
Wenn in (4.104) ein Element
Variable

von Null verschieden ist, dann kann in einem sogenannten Austauschschritt die

zur unabhängigen und die Variable

zur abhängigen Variablen gemacht werden. Der

Austauschschritt ist das Grundelement des Austauschverfahrens, mit dessen Hilfe z.B. lineare Gleichungssysteme
und lineare Optimierungsaufgaben gelöst werden können. Der Austauschschritt wird mit Hilfe der Schemata

(4.105)


durchgeführt, wobei das linke Schema dem System (4.104) entspricht.


Anwendung des Austauschverfahrens
●
●
●

Zuordnung eines Systems linearer Funktionen
Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems


Alternierende Wege, Satz von BERGE
1. Alternierende Wege: Es sei
genannt, wenn in

ein Graph mit einem Matching

auf jede Kante

mit

(bzw.

. Ein Weg

in

wird alternierend

) eine Kante

mit

(bzw.

) folgt.
Ein offener alternierender Weg wird zunehmend genannt, wenn kein Endpunkt des Weges mit einer Kante aus
inzidiert.
2. Satz von BERGE:
a)
in einem Graphen
Ein Matching
alternierenden Weg gibt.

ist genau dann maximal, wenn es in

keinen zunehmenden

b)
Ist

ein zunehmender alternierender Weg in

Kanten, dann bildet

mit zugehöriger Menge
ein Matching in

durchlaufener
mit


.
Man spricht in diesem Zusammenhang von einem Austauschverfahren .
Beispiel
Im Graphen der folgenden Abbildung ist
bezüglich des Matchings

ein zunehmender alternierender Weg

Mit dem Austauschverfahren erhält man daraus das Matching


Autokorrelationsfunktion
Das dynamische System

auf

beliebige stetige Funktion,

mit invariantem Maß

ein beliebiger Semiorbit und das räumliche Mittel

zeitliche Mittel, d.h. durch

eine
sei ersetzt durch das

im zeitkontinuierlichen Fall und durch

im zeitdiskreten Fall. Bezüglich
Semiorbits

sei ergodisch. Es seien

zu einem Zeitpunkt

wird die Autokorrelationsfunktion längs des

für einen Fluß durch

(17.34a)
und für ein diskretes System durch


(17.34b)

definiert. Die Autokorrelationsfunktion wird auch für negative Zeiten erklärt, indem
bzw.

als gerade Funktion auf

aufgefaßt wird.

Periodische oder quasiperiodische Orbits führen zu einem periodischen bzw. quasiperiodischen Verhalten von
Ein schneller Abfall von
hin. Fällt

für wachsende

mischendes Verhalten.

für wachsende

und beliebiger Testfunktion

deutet auf chaotisches Verhalten

sogar mit exponentieller Geschwindigkeit, so ist dies ein Anzeichen für

.


Wichtige Fälle skalarer Felder
1. Ebenes Feld wird ein Feld genannt, das ausschließlich für die Punkte einer Ebene im Raum definiert ist.
2. Zentralfeld Wenn eine Funktion in allen Punkten

gleichen Abstandes von einem Mittelpunkt

,

dem Feldpol, gleiche Werte annimmt, dann spricht man von einem zentralsymmetrischen Feld oder auch
Zentral- bzw. Kugelfeld . Die Funktion

hängt dann lediglich vom Abstand

ab:

(13.7a)
Beispiel
Das Feld der Intensität einer punktförmigen Strahlungsquelle, z.B. das Feld der Lichtstärke, wird mit
als Abstand von der Strahlungsquelle beschrieben durch
(13.7b)
3. Axialfeld Wenn eine Funktion in allen Punkten gleichen Abstandes von einer Geraden, der Feldachse, den


gleichen Wert besitzt, dann spricht man von einem zylindersymmetrischen bzw. axialsymmetrischen Feld ,
oder kurz von einem Axialfeld .


Abgeschlossene Mengen
Eine Teilmenge

eines metrischen Raumes

heißt abgeschlossen , wenn

eine offene Menge ist. Jede

abgeschlossene Kugel in einem metrischen Raum, insbesondere jedes Intervall der Typen
in

, ist eine abgeschlossene Menge.

Dual zu den Axiomen der offenen Mengen erfüllt die Gesamtheit aller abgeschlossenen Mengen eines metrischen
Raumes folgende Eigenschaften:

●

Sind

●

Sind

für

abgeschlossen, dann ist auch die Menge

beliebig endlich viele abgeschlossene Mengen, dann ist auch die Menge

abgeschlossen.
●

Die leere Menge

abgeschlossen.

ist vereinbarungsgemäß abgeschlossen.


Die Mengen

und

sind sowohl offen als auch abgeschlossen. Ein Punkt

des metrischen Raumes

heißt

wenn für jede Umgebung

Berührungspunkt der Menge

(12.53)
gilt. Besteht dieser Durchschnitt darüber hinaus jeweils nicht nur aus dem einen Punkt
Häufungspunkt der Menge
Ein Häufungspunkt von
zur Menge

. Ein Berührungspunkt, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt.
muß somit nicht unbedingt zur Menge

gehören muß, z.B. der Punkt

, während ein isolierter Punkt notwendigerweise zur Menge

ist genau dann Berührungspunkt der Menge
gibt, die zu

, dann heißt

konvergiert, wobei

, wenn es eine Folge

im Verhältnis

gehören muß. Ein Punkt
von Elementen

im Falle eines isolierten Punktes

aus

gesetzt wird.


Skalarprodukt
Ein Vektorraum

über dem Körper

(meistens wird

betrachtet) heißt Raum mit Skalarprodukt oder

Innenproduktraum oder Prä- HILBERT-Raum , wenn jedem Paar von Elementen
Skalarprodukt von

und

, zugeordnet ist, so daß für beliebige Elemente

eine Zahl

, das

und beliebiges

die

folgenden Bedingungen, die Axiome des Skalarprodukts , erfüllt sind:
(12.101)
(12.102)
(12.103)
(12.104)
Hier bedeutet

die zu

konjugiert komplexe Zahl (in (1.137b) wurde diese mit

bezeichnet).

, also eines reellen Vektorraums, ist (H4) einfach die Kommutativitätsforderung für das
Im Falle von
Skalarprodukt. Aus den Axiomen ergeben sich sofort zusätzlich noch die Eigenschaften
(12.105)


Halbordnung
Bereits am Beispiel des mit dem ersten Quadranten als Kegel

geordneten Vektorraumes

wird eine

typische Erscheinung in geordneten Vektorräumen ersichtlich, auf die mit den Begriffen ,,Halbordnung`` oder
,,teilweise`` bereits hingewiesen wurde, nämlich, daß nicht beliebige zwei Vektoren vergleichbar sein müssen. Die
aus den Vektoren
und

und
, liegen nicht in

gebildeten Differenzen, also die Vektoren
, so daß weder

noch

gilt. Die durch einen Kegel in

einem Vektorraum eingeführte Ordnung ist also lediglich eine teilweise oder partielle. Es läßt sich zeigen, daß die
Relation

die folgenden Eigenschaften besitzt:
(12.25)
(12.26)
(12.27)
(12.28)

Man nennt diese Gleichungen Axiome des geordneten Vektorraumes. Umgekehrt, ist ein Vektorraum

mit einer


Ordnungsrelation versehen, d.h. für gewisse Paare seiner Elemente ist eine binäre Operation

erklärt, die den

Axiomen (O1) bis (O4) genügt, dann setzt man
(12.29)
und kann zeigen, daß
vorhandenen Ordnung

ein Kegel ist. Die jetzt durch

in

einführbare Ordnung

ist identisch mit der

; folglich sind die beiden aufgezeigten Möglichkeiten der Einführung einer Ordnung in

einem Vektorraum äquivalent.
Ein Kegel

heißt erzeugend, wenn jedes Element

werden kann. Man schreibt dafür auch
Beispiel A
Die Ordnung im Raum

-

als

mit

dargestellt

.

wird durch den Kegel
(12.30)

(s. Beispiel C) eingeführt. In den Folgenräumen, betrachtet man die natürliche koordinatenweise Ordnung. Sie ergibt
sich mit Hilfe des Kegels, den man in einem solchen Raum als Durchschnitt von
(s. (12.30)) mit dem jeweiligen
Raum erhält. Die positiven Elemente in diesen geordneten Vektorräumen sind dann jeweils die Folgen mit
nichtnegativen Gliedern. Selbstverständlich können auch andere Kegel und damit auch von der natürlichen
Halbordnung verschiedene Ordnungen in diesen Räumen betrachtet werden (s. Lit. 12.20, 12.22).
Beispiel B


In den reellen Funktionenräumen

und

zwei Funktionen

bzw.

der

und

durch

gerade für eine auf

überall nichtnegative Funktion

bezeichnet man üblicherweise wieder mit

erklärt man

die natürliche Ordnung, in
steht. Die entsprechenden Kegel

usw. Es ist also beispielsweise
.

für


Halbnorm
Eine Abbildung

eines Vektorraumes

heißt Halbnorm, wenn sie die folgenden Eigenschaften

besitzt:
(12.164)
(12.165)
(12.166)
Ein Vergleich mit den Axiomen des normierten Raumes zeigt, daß eine Halbnorm genau dann eine Norm ist, wenn
nur für

gilt.

Sowohl für theoretische innermathematische Fragestellungen als auch für praktische Belange in vielen
Anwendungen der Mathematik hat sich das Problem der Erweiterung eines auf einem linearen Teilraum
gegebenen linearen Funktionals auf den gesamten Raum - um triviale und uninteressante Fälle auszuschließen unter Beibehaltung gewisser ,,guter`` Eigenschaften als eines der fundamentalsten Ergebnisse herauskristallisiert.
Die Lösung dieses Problems wird durch den Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH garantiert.


●

Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH (analytische Form)


Axiome des normierten Raumes
Sei

ein Vektorraum über dem Körper

Vektorraum

und das Paar
und beliebiges

Eine Funktion
normierter Raum über dem Körper

heißt Norm auf dem
wenn für beliebige Elemente

die folgenden Eigenschaften, die Axiome des normierten Raumes , erfüllt sind:

(12.76)
(12.77)
(12.78)
Mit Hilfe der Festlegung
(12.79)
kann jeder normierte Raum in einen metrischen so umgewandelt werden, daß die Metrik (12.79) zusätzlich noch die
mit der Struktur des Vektorraums verträglichen Eigenschaften


(12.80a)
(12.80b)
besitzt. Somit stehen in einem normierten Raum sowohl die Eigenschaften eines Vektorraums als auch die eines
metrischen Raumes - durch (12.80a) und (12.80b) verträglich aufeinander abgestimmt - zur Verfügung. Daraus
ergeben sich einerseits, daß man die meisten lokalen auf einen Punkt bezogenen Untersuchungen mit den
Einheitskugeln
(12.81)
vornehmen kann, da sich
(12.82)
ergibt und andererseits die Stetigkeit der Operationen des zugrunde liegenden Vektorraumes, d.h., aus
(12.83)
Für konvergente Folgen schreibt man anstelle von (12.51) in normierten Räumen
(12.84)


Kugeln und Umgebungen
In einem metrischen Raum
und einen fixierten Punkt

, dessen Elemente auch Punkte heißen, nennt man für eine reelle Zahl
die Mengen
(12.49)
(12.50)

offene bzw. abgeschlossene Kugel mit dem Radius
den Metriken (12.42) und (12.43) für
dargestellten Mengen.

und

und dem Zentrum

. Im Vektorraum

ergeben sich mit

als Kugeln die in den folgenden zwei Abbildungen


Eine Teilmenge

eines metrischen Raumes

einer ganzen offenen Kugel zu
Punktes

gehört, also es

bezeichnet man auch mit

heißt Umgebung des Punktes
, so daß

, wenn

gilt. Eine Umgebung

mit
des

. Offenbar ist jede Kugel auch Umgebung ihres Zentrums; eine offene

Kugel ist sogar Umgebung jedes ihrer Punkte. Man nennt einen Punkt

inneren Punkt einer Menge


wenn

mit einer Umgebung zu

gehört, also es existiert eine Umgebung

von

mit

Schließlich heißt eine Teilmenge eines metrischen Raumes offen , wenn alle ihre Punkte innere Punkte sind. Die
(bisher nur so benannten) offenen Kugeln in jedem beliebigen metrischen Raum, insbesondere alle offenen Intervalle
, sind die Prototypen offener Mengen. Die Gesamtheit aller offenen Mengen genügt den folgenden Axiomen
aus
der offenen Mengen :

●

Sind

für

●

Sind

●

Die leere Menge

offen, dann ist auch die Menge

beliebig endlich viele offene Mengen, dann ist auch die Menge

liegt, wofür man auch

offen.

ist vereinbarungsgemäß offen.

Man nennt eine Teilmenge
unbedingt der Menge

offen.

eines metrischen Raumes beschränkt , wenn für ein gewisses Element

angehören muß) und eine gewisse Zahl
schreibt.

die Menge

in der Kugel

(das nicht


Begriff des Vektorraumes
Eine nichtleere Menge

heißt Vektorraum oder linearer Raum über dem Körper

der Skalaren, wenn auf

beiden Operationen - Addition der Elemente und Vielfachenbildung mit Koeffizienten aus
1. Für je zwei Elemente
2. für jedes
und dem Skalar

gibt es ein Element

und jeden Skalar (Zahl)
(oder besser, das

-Vielfache des Elements

- wie folgt erklärt sind:

, ihre Summe ,

gibt es ein Element

, das Produkt aus

),

so daß die folgenden Eigenschaften, die Vektorraumaxiome , für beliebige Elemente

die

und Skalare

erfüllt sind:
(12.1)
(12.2)


(12.3)
(12.4)
(12.5)
(12.6)
(12.7)
heißt reeller bzw. komplexer Vektorraum, je nachdem, ob

der Körper

der reellen bzw.

der komplexen

nennt man Punkte oder, in Anlehnung an die Lineare Algebra, auch Vektoren ,
Zahlen ist. Die Elemente von
wobei in der Funktionalanalysis, ohne die Verständlichkeit oder die Übersichtlichkeit zu beeinträchtigen, auf die
Kennzeichnung

oder

In einem Vektorraum

verzichtet wird.

gibt es zu jedem

, so daß

gilt, indem man

zweier beliebiger Vektoren
Lösbarkeit der Gleichung

ein eindeutig bestimmtes ,,gegenüberliegendes`` Element
setzt. Somit ist auf

als
für vorgegebene Elemente

erklärt. Daraus ergibt sich die eindeutige
und

. Die Lösung ist dann gleich

. Aus den Axiomen (V1) bis (V7) ergeben sich die folgenden Eigenschaften:

●

Das Nullelement ist eindeutig definiert,

auch die Differenz


●

falls

und

, dann

,

●

falls

und

, dann

,

●

.


Schnittwinkel, Kurswinkel und Azimut
Schnittwinkel und Kurswinkel: Unter dem Schnittwinkel zweier sphärischer Kurven versteht man den
Winkel, den ihre Tangenten im Kurvenschnittpunkt
wird der Schnittwinkel der nördlich von

bilden. Ist eine der beiden Kurven ein Meridian, dann

gelegenen Kurvenabschnitte in der Navigation Kurswinkel

genannt. Zur Beschreibung der östlichen und westlichen Neigung der Kurve ordnet man dem Kurswinkel
gemäß Teil a) und b) der Abbildung ein Vorzeichen zu und beschränkt ihn auf das Intervall

Kurswinkel und Azimut: Der Kurswinkel ist ein orientierter, d.h. mit einem Vorzeichen versehener Winkel. Er


ist unabhängig von der Orientierung der Kurve - das ist ihr Durchlaufsinn.
Die Orientierung der Kurve von

nach

gemäß Teil c) der Abbildung wird durch das Azimut

beschrieben: Es ist der Schnittwinkel zwischen dem durch den Kurvenschnittpunkt
Norden weisenden Meridian und dem von

nach

verlaufenden und nach

verlaufenden Kurvenabschnitt. Man beschränkt das

Azimut auf das Intervall
Hinweis: In der Navigation werden die Ortskoordinaten meist in sexagesimalen Altgraden, sphärische
Abstände sowie Kurswinkel und Azimute dagegen in dezimalen Altgraden angegeben.


Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●

Problemstellung:
Lösungsansätze:
Lösung der Radialgleichung:
Lösung der Polargleichung:
Lösung der Azimutalgleichung:
Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit:
Parität:

Teilchenbewegung im radialsymmetrischen Zentralfeld
Problemstellung:
Das betrachtete Teilchen wird durch ein radialsymmetrisches Potential

gezwungen, sich ausschließlich auf

Kugeloberflächenbahnen mit dem konstantem Radius
zu bewegen. Dieses Modell reproduziert die
Bewegung eines Elektrons unter der elektrostatischen Anziehung eines positiv geladenen Kerns. Da es sich um ein


kugelsymmetrisches Problem handelt, ist die Benutzung von Kugelkoordinaten zweckmäßig (s. Abbildung).

Es gelten dann die Beziehungen

(9.111a)


wobei

der Radiusvektor ist,

der Winkel zwischen Radiusvektor und

zwischen der Projektion des Radiusvektors auf die

-Ebene und der

-Achse (Polarwinkel) und

der Winkel

-Achse (Azimutalwinkel). Für den LAPLACE-

Operator ergibt sich

(9.111b)

so daß die zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung dieses raumfreien starren Rotators lautet:

(9.111c)

Lösungsansätze:
Eine Lösung wird mit dem Ansatz
(9.112a)
angestrebt, in dem

die nur vom Radius

abhängige radiale Wellenfunktion ist und

beiden Winkeln abhängige Wellenfunktion. Einsetzen von (9.112a) in (9.111c) liefert

eine nur von den


(9.112b)

Division durch

und Multiplikation mit

ergibt

(9.112c)
Diese Gleichung (9.112c) kann nur erfüllt werden, wenn eine unabhängige Variation der Radiuskoordinate
linken Seite der Gleichung und der Winkelkoordinaten

auf der

auf der rechten dieselbe Separationskonstante ergeben,

d.h., wenn die Seiten unabhängig voneinander sind und den gleichen konstanten Wert ergeben. Aus der partiellen
Differentialgleichung ergeben sich dann eine gewöhnliche und eine partielle Differentialgleichung. Wird die
Separationskonstante praktischerweise gleich

gesetzt, dann erhält man die nur von

und vom Potential

abhängige sogenannte Radialgleichung :
(9.112d)
Der winkelabhängige Anteil wird mit Hilfe des Ansatzes


(9.112e)
ebenfalls separiert. Einsetzen von (9.112e) in (9.112c) liefert
(9.112f)

Bezeichnet man die Separationskonstante zweckmäßigerweise mit

, dann lautet die sogenannte Polargleichung

(9.112g)
und die Azimutalgleichung
(9.112h)

Beide Gleichungen sind potentialunabhängig, gelten also für jedes zentralsymmetrische Potential.
An die Lösung (9.112a) sind drei Forderungen zu stellen: Sie soll für
eindeutig sein und sich quadratisch integrieren lassen.

verschwinden, auf der Kugeloberfläche

Lösung der Radialgleichung:
Die Radialgleichung (9.112d) enthält neben dem Potential

noch die Separationskonstante

. Man


schreibt deshalb

und substituiert
(9.113a)

weil das Quadrat der Funktion

die letztlich gesuchte Aufenthaltswahrscheinlichkeit

des Teilchens in einer Kugelschale zwischen

und

angibt. Die Substitution führt auf die eindimensionale

SCHRÖDINGER-Gleichung

(9.113b)

Diese enthält das effektive Potential
(9.113c)
das aus zwei Anteilen besteht. Die Rotationsenergie

(9.113d)

wird Zentrifugalpotential genannt.
Die physikalische Bedeutung von

als Bahndrehimpuls-Quantenzahl ergibt sich aus der Analogiebetrachtung zur


klassischen Rotationsenergie

(9.113e)

eines rotierenden Teilchens mit dem Trägheitsmoment

und dem Bahndrehimpuls

:

(9.113f)

Lösung der Polargleichung:
Die Polargleichung (9.112g), die beide Separationskonstanten
Differentialgleichung. Ihre Lösung wird mit

enthält, ist eine LEGENDREsche

bezeichnet und kann durch einen Potenzreihenansatz ermittelt

werden. Endliche, eindeutige und stetige Lösungen ergeben sich nur für
und

und

. Daher gilt für

:
(9.114a)

Somit kann

insgesamt die

Werte
(9.114b)


durchlaufen.
Für

ergeben sich die zugeordneten LEGENDREschen Polynome, die wie folgt definiert sind:
(9.114c)

Als Spezialfall (

)erhält man die LEGENDREschen Polynome 1. Art

(9.57b)

(s. auch Tabelle LEGENDREsche Polynome 1. Art). Die Normierung führt auf
(9.114d)

Lösung der Azimutalgleichung:
Da die Teilchenbewegung auf der Kugeloberfläche auch im Falle der physikalischen Auszeichnung einer Raumrichtung,
z.B. durch ein Magnetfeld, unabhängig vom Azimutalwinkel ist, spezifiziert man die allgemeine Lösung
durch die Festlegung
(9.115a)
für die

unabhängig von

ist. Aus der Forderung nach Eindeutigkeit
(9.115b)


folgt, daß

nur die Werte

annehmen darf.

Aus der Normierung
(9.115c)
folgt
(9.115d)
Die Quantenzahl

wird magnetische Quantenzahl genannt.

Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit:
In Übereinstimmung mit (9.112e) sind die Lösungen für die Polar- und die Azimutalgleichungen miteinander zu
multiplizieren:
(9.116a)
Die Funktionen
Wenn der Radiusvektor

sind die sogenannten Kugelflächenfunktionen .
am Koordinatenursprung gespiegelt wird

, so daß sich das Vorzeichen von

ändern kann:

, geht

in

über und

in


(9.116b)
Daraus ergibt sich die Parität der betrachteten Wellenfunktion zu:
(9.117a)

Parität:
Die Eigenschaft Parität dient der Charakterisierung des Verhaltens der Wellenfunktion bei Rauminversion
Diese Operation wird mit dem Inversions- oder Paritätsoperator P durchgeführt:
man den Eigenwert des Operators mit

, dann muß eine zweimalige Anwendung von P, d.h.

.
. Bezeichnet
auf

führen, also auf die ursprüngliche Wellenfunktion. Daraus folgt:
(9.117b)
Man spricht von gerader Wellenfunktion , wenn sie bei Rauminversion ihr Vorzeichen nicht ändert, von ungerader
Wellenfunktion , wenn sie es ändert.
Die Parität setzt sich aus zwei Faktoren zusammen, der inneren Parität und der äußeren Parität . Letztere hängt vom
Drehimpuls des beschriebenen Teilchens oder Systems gemäß (9.117a) ab.


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Die Summe (1.56) wird geometrische Reihe genannt, wenn der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden
Gliedern konstant ist, d.h. wenn gilt:

(1.59a)

gut lesbar sind.

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(ab Version 2) oder der Internet Explorer (ab Version 3) sind dazu in der Lage, doch müssen Sie JavaScriptUnterstützung möglicherweise erst einschalten.
Sie können leicht erkennen, ob die JavaScript-Unterstützung Ihres Browsers eingeschaltet ist: Wenn Sie den
Mauszeiger über einen Verweis bewegen (zum Beispiel die Symbole der Navigationsleiste) und in der
Fußzeile am unteren Rand des Browserfensters ein expliziter System-Dateipfad erscheint, dann ist
JavaScript ausgeschaltet. Wenn JavaScript eingeschaltet ist, sehen Sie in der Fußleiste den Titel der Seite,
auf die der Verweis hinführt.
Das Einschalten der JavaScript-Unterstützung geschieht
❍

bei Netscape in der Version 3 im Menüpunkt "Options - Network Preferences - Languages",

❍

bei Netscape in der Version 4 im Menüpunkt "Edit - Preferences - Advanced",

❍

beim Internet Explorer 3 im Menüpunkt "Ansicht - Optionen - Sicherheit - Aktive Inhalte (ActiveXScripte)".


Beim Internet Explorer 4 ist die ActiveX-Steuerung immer aktiviert, wenn nicht unter dem Menüpunkt
"Ansicht - Internet-Optionen - Sicherheit" für die lokale Intranetzone die Modi "Hohe Sicherheit" bzw.
"Angepaßte Sicherheit" eingetragen sind; im Modus "Angepaßte Sicherheit" kann die ActiveXUnterstützung in einem Menü gezielt eingestellt werden.
●

●

Unter den Betriebssystemen Windows 95/NT und Unix/LINUX kann es beim Browser Netscape Navigator
(Version 3) zu Fehlern bei der Darstellung von Tabellen kommen, die Text und Abbildungen oder Formeln
enthalten, wenn die JavaScript-Unterstützung eingeschaltet ist! Wenn Sie JavaScript aussschalten, und die
Seite neu anzeigen, ist die Darstellung in Ordnung.
Dieses Problem tritt mit dem Netscape Communicator (Version 4) nicht mehr auf.
Wenn Sie über keinen JavaScript-fähigen Browser verfügen, finden Sie auf dieser CD-ROM lizensierte
Versionen der Browser Netscape Navigator und Communicator für die Betriebssysteme MacOS, Windows
95/NT und Linux sowie Internet Explorer 4 für Windows 95/NT. Einzelheiten finden Sie auf der Seite zur
lizensierten Software.


Lizensierte Software
DeskTop Bronstein ist als HTML-Nachschlagewerk für JavaScript-fähige Browser konzipiert.
Browser mit diesen Eigenschaften sind zum Beispiel der Netscape Navigator der Firma Netscape ab Version 3
sowie der Internet Explorer der Firma Microsoft ab Version 3. Lizensierte Versionen der aktuellen Browser beider
Firmen sind auf dieser CD-ROM enthalten. Sie sollten aber beachten, daß die Browser der Version 4 hohe
Anforderungen an die Ausstattung Ihres Rechners stellen, wenn sie flüssig funktionieren sollen; ein Hauptspeicher
von mindestens 24 MB ist zu empfehlen!
DeskTop Bronstein wurde mit dem Navigator der Firma Netscape in der Version 4 konzipiert. Dieser Browser
reicht aus, um alle Eigenschaften von DeskTop Bronstein voll zu nutzen.
Die folgenden Erläuterungen enthalten daher zum Teil Verweise auf Daten außerhalb von DeskTop Bronstein, auf
die Sie nur dann zugreifen können, wenn Sie einen Internet-Zugang haben. Sollte eine der angegebenen Adressen
nicht mehr gültig sein, können Sie auf der Homepage des Verlages Harri Deutsch Verweise mit aktualisierten
Adressen finden (voraussichtlich ab Oktober 1998).
●

Netscape


Netscape Navigator und Netscape Communicator sind Produkte der Firma Netscape
Communications Corp.

Auf dieser CD-ROM sind lizensierte Versionen von Netscape Navigator 3.04 und Netscape
Communicator 4.04 für die Betriebssysteme Windows 95/NT, MacOS (68k und PowerPC) sowie Linux
enthalten. Es handelt sich um exakt gespiegelte Daten des Angebots der Internetseite von Netscape. Die
folgenden Verweise führen Sie zu Seiten, in denen Sie genauer erfahren, was Sie zur Installation der
Programme tun müssen.
Zuvor sollten Sie die Lizenzbestimmungen der Firma Netscape durchlesen.
Der Netscape Navigator 3.04 ist vorhanden für die Betriebssysteme
❍
❍
❍

Windows 95/NT
MacOS
Linux (ELF)

Der Netscape Communicator 4.04 ist vorhanden für die Betriebssysteme
❍
❍
❍
❍

●

Windows 95/NT
MacOS (68k)
MacOS (PowerPC)
Linux (ELF)

Internet Explorer


Der Internet Explorer ist ein Produkt der Firma Microsoft Corp.

Auf dieser CD-ROM sind lizensierte Versionen des Internet Explorer 4.01 für die Betriebssystem Windows
95 und Windows NT enthalten. Die folgenden Verweise führen Sie zu Seiten, in denen Sie genauer
erfahren, was Sie zur Installation der Programme tun müssen.
❍

Windows 95/NT

Zum Arbeiten mit DeskTop Bronstein reicht es völlig aus, wenn Sie den Internet Explorer 4.01 mit den
Optionen "nur Browser / keine Channels" installieren. Andernfalls kann die Oberfläche Ihres Arbeitsplatzes
verändert werden.


Bogenfolgen
1. Kette:
In gerichteten Graphen wird eine Folge
wenn

keinen Bogen zweimal enthält und für

Endpunkte mit dem Bogen

und den anderen mit

von Bögen Kette der Länge
jeder Bogen

genannt,

einen seiner

gemeinsam hat.

2. Bahn:
Eine Kette heißt Bahn, wenn für
Bogens

der Zielpunkt des Bogens

mit dem Startpunkt des

übereinstimmt.

3. Elementare Bahn:
Ketten bzw. Bahnen, die jeden Knoten des Graphen höchstens einmal durchlaufen, sind elementare Ketten
bzw. elementare Bahnen .
4. Zyklus:
Eine geschlossene Kette wird Zyklus genannt.
5. Kreis:
Eine geschlossene Bahn, in der jeder Knoten Endpunkt genau zweier Bögen ist, heißt Kreis .


Beispiel
In den folgenden Abbildungen sind Beispiele für die verschiedenen Bogenfolgen dargestellt.


Definition
Eine Eigenschaft von Elementen eines metrischen Raumes
Gesamtheit der Elemente
d.h. darstellbar ist als

von

heißt generisch (oder typisch ), wenn die

mit dieser Eigenschaft eine Menge der zweiten BAIREschen Kategorie bildet,
, wobei jede Menge

offen und dicht in

ist.

Beispiel A
Die Mengen

und

(irrationale Zahlen) sind Mengen der zweiten BAIREschen Kategorie,

dagegen nicht.

Beispiel B
Dichtheit allein als Merkmal des ,,Typischen`` reicht nicht aus:
können aber nicht gleichzeitig typisch sein.

und

sind beide dicht,


Beispiel C
Zwischen LEBESGUE-Maß
einer Menge aus
und der BAIREschen Kategorie dieser Menge besteht
kein Zusammenhang. So ist (s. Lit. 17.7) die Menge

wobei
Andererseits gilt wegen

die rationalen Zahlen darstellt, eine Menge der zweiten BAIREschen Kategorie.
und

auch


Spezielle Verfahren
Das BAIRSTOW-Verfahren ist ein Iterationsverfahren zur Bestimmung von Wurzelpaaren, auch konjugiert komplexen.
Es geht von der Abspaltung eines quadratischen Faktors vom gegebenen Polynom wie beim HORNER-Schema
(19.18a-d) aus und hat die Ermittlung von Koeffizienten

und

zum Ziel, die die Restkoeffizienten

und

Null machen (s. Lit. 19.37, 19.11, 19.38).
Falls nur die betragsgrößte oder betragskleinste reelle Wurzel gesucht ist, so kann diese nach der Methode von
BERNOULLI recht einfach ermittelt werden (s. Lit. 19.37).
Aus historischer Sicht sei noch das GRAEFFE-Verfahren erwähnt, das alle Wurzeln gleichzeitig liefert, auch die
komplexen, aber mit erheblichem Rechenaufwand (s. Lit. 19.11, 19.38).

zu


Banach-Räume
Ein vollständiger normierter Raum heißt BANACH-Raum . Jeder normierte Raum

kann zu einem BANACH-Raum

auf der Grundlage der Prozedur der Vervollständigung und der natürlichen Fortsetzung seiner algebraischen
Operationen und der Norm auf
●
●
●

vervollständigt werden.

Reihen in normierten Räumen
Beispiele von Banach-Räumen
Sobolew-Räume


Normierte Vektorverbände und Banach-Verbände
Sei
ein Vektorverband, der gleichzeitig ein normierter Raum ist,
heißt normierter Verband oder normierter
Vektorverband (s. Lit. 12.18, 12.22, 12.25, 12.26), wenn die Norm der Bedingung
(12.92)
genügt. Ein vollständiger (bezüglich der Norm) normierter Verband heißt BANACH-Verband .
Beispiel
Die Räume

sind BANACH-Verbände.


Orthogonalisierungsverfahren
Grundlage der folgenden Orthogonalisierungsverfahren zur Lösung der linearen Ausgleichsaufgabe (19.40) sind die
folgenden Aussagen:
1.
Die Länge eines Vektors bleibt unter orthogonalen Transformationen invariant, d.h., die Vektoren

und

mit
(19.43)
haben dieselbe Länge.
2.
Zu jeder Matrix

vom Typ

vom Typ

, so daß gilt:

mit Maximalrang

existiert eine orthogonale Matrix

(19.44)


mit

(19.45)

Dabei ist R eine Rechtsdreiecksmatrix vom Typ

, und O ist eine Nullmatrix vom Typ

. Die

Faktorisierung (19.43) der Matrix A heißt QR-Zerlegung . Damit können die Fehlergleichungen (19.39) in das
äquivalente System

(19.46)


überführt werden, ohne daß dabei die Summe der Quadrate der Residuen verändert wird. Aus (19.46) folgt, daß
minimal wird und der Minimalwert gleich der Summe der

diese Quadratsumme für
Quadrate von

bis

ist. Die gesuchte Lösung

erhält man durch Rückwärtseinsetzen aus
(19.47)

wobei

der Vektor ist, der aus den Werten

aus (19.46) gebildet wird.

Zur schrittweisen Überführung von (19.39) in (19.46) werden vor allem zwei Methoden verwendet:
1.
GIVENS-Transformation,
2.
HOUSEHOLDER-Transformation.
Die erste erzeugt eine QR-Zerlegung der Matrix A durch Drehungen , die zweite durch Spiegelungen . Die
numerischen Realisierungen findet man in Lit. 19.26.
Praktische Aufgaben der linearen Quadratmittelapproximation werden vorwiegend mit der HOUSEHOLDERTransformation gelöst, wobei man in vielen Fällen noch die spezielle Struktur der Koeffizientenmatrix A wie
Bandstruktur oder schwache Besetztheit ausnutzen kann.


Basis und Dimension eines Vektorraumes
Eine linear unabhängige Teilmenge

aus

, die den gesamten Raum

erzeugt, d.h. für die

gilt, nennt man (algebraische) Basis oder HAMELsche Basis des Vektorraumes
genau dann eine Basis von
wobei die Koeffizienten

, wenn sich jeder Vektor

in der Form

darstellen läßt,

eindeutig bestimmt sind und lediglich eine endliche (von

ihnen von Null verschieden ist. Jeder nichttriviale Vektorraum
algebraische Basis, und zu jeder linear unabhängigen Teilmenge
, die

. Also ist

(d.h.
aus

abhängige) Anzahl von

) besitzt wenigstens eine
gibt es eine algebraische Basis von

enthält.

Ein Vektorraum

heißt m-dimensional oder von der Dimension

gibt. Das bedeutet, es existieren in
ist linear abhängig.

, wenn es in ihm eine Basis aus

linear unabhängige Vektoren, und jedes System von

Vektoren
Vektoren


Ein Vektorraum heißt unendlichdimensional , wenn er keine endliche Basis besitzt, d.h., wenn es für jede natürliche
Zahl

in

stets

Bis auf den Raum

linear unabhängige Vektoren gibt.
, dessen Dimension gleich

ist, sind alle anderen Vektorräume in den BeispielenB bis G

und in den BeispielenA bis E unendlichdimensional. Der Teilraum

ist

dreidimensional. Wie im endlichdimensionalen Falle haben auch in einem unendlichdimensionalen Vektorraum
zwei Basen stets die gleiche Mächtigkeit (Kardinalzahl), die man mit

bezeichnet. Die Dimension ist somit

eine Invariante des Vektorraumes, hängt also nicht von der konkreten Auswahl einer algebraischen Basis ab.


Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume
In jedem separablen HILBERT-Raum existiert eine Basis. Daraus ergibt sich, daß jedes orthonormale System zu einer
Basis ergänzt werden kann.
Zwei HILBERT-Räume
mit der Eigenschaft

und

heißen isomorph , wenn es eine lineare, bijektive Abbildung
(also Skalarprodukt erhaltend) gibt. Es gilt, zwei beliebige

unendlichdimensionale separable HILBERT-Räume sind isomorph, also insbesondere ist jeder solche Raum isomorph
zu dem Raum

.


Kontravariante Basis
Die drei Vektoren
(4.83a)

mit der Funktionaldeterminante

(4.83b)

stehen im betrachteten Flächenelement jeweils auf einer der Koordinatenflächen senkrecht und bilden die
sogenannte kontravariante Basis des krummlinigen Koordinatensystems.
Hinweis: In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, für die

(4.84)


gilt, fallen die Richtungen der kovarianten und kontravarianten Basis zusammen.


Kovariante Basis
Durch den variablen Ortsvektor
(4.82a)

werden allgemeine krummlinige Koordinaten
Koordinatenflächen erhält man, indem man in

eingeführt. Die zu diesem System gehörenden
jeweils eine der unabhängigen Variablen

festhält. Durch jeden Punkt des in Frage kommenden Raumteils gehen drei Koordinatenflächen, je zwei schneiden
sich in Koordinatenlinien, die durch den betrachteten Punkt hindurchgehen. Die drei Vektoren

(4.82b)

zeigen in die Richtungen der Koordinatenlinien im betrachteten Punkt. Sie bilden die kovariante Basis des
krummlinigen Koordinatensystems.


Logarithmen
●
●
●
●
●

Definition
Einige Eigenschaften der Logarithmen
Spezielle Logarithmen
Logarithmentafeln
Rechenschieber


Potenzen
Die Schreibweise
,

als Exponent und
●
●

Definitionen
Rechenregeln

wird für die algebraische Operation des Potenzierens verwendet. Man bezeichnet
als Potenz .

als Basis


Bäume
Ein ungerichteter zusammenhängender Graph, in dem kein Kreis existiert, wird Baum genannt. Jeder Baum mit
mindestens zwei Knoten enthält mindestens zwei Knoten vom Grad 1. Jeder Baum mit der Knotenzahl
Kanten.
Ein gerichteter Graph heißt Baum, wenn
(s. Bahnen in gerichteten Graphen.)
Beispiel

zusammenhängend ist und keinen Zyklus enthält.

hat genau


In den folgenden zwei Abbildungen sind zwei nichtisomorphe Bäume mit der Knotenzahl 14 dargestellt. Sie
zeigen die chemischen Strukturformeln von Butan bzw. Isobutan.


Geordnete binäre Bäume
Arithmetische Ausdrücke kann man durch binäre Bäume graphisch darstellen. Dabei werden Zahlen und Variablen
Knoten vom Grad 1 zugeordnet, den Operationen

entsprechen Knoten vom Grad

und der

linke bzw. rechte Teilbaum repräsentiert den ersten bzw. zweiten Operanden, der im allgemeinen wieder ein Ausdruck
ist. Man spricht auch von geordneten binären Bäumen . In der folgenden Abbildung ist ein Beispiel dargestellt.


Das Durchlaufen von geordneten binären Bäumen kann auf drei verschiedene Arten erfolgen, die rekursiv
beschreibbar sind:
Inorder-Durchlauf :

linken Teilbaum der Wurzel (nach Inorder) durchlaufen,
Wurzel durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Inorder) durchlaufen.

Preorder-Durchlauf :

Wurzel durchlaufen,
linken Teilbaum der Wurzel (nach Preorder) durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Preorder) durchlaufen.


Postorder-Durchlauf : linken Teilbaum der Wurzel (nach Postorder) durchlaufen,
rechten Teilbaum der Wurzel (nach Postorder) durchlaufen,
Wurzel durchlaufen.
Beim Inorder-Durchlauf ändert sich die Reihenfolge gegenüber dem Ausgangsterm nicht. Die sich aus dem PostorderDurchlauf ergebende Schreibweise wird Postfix-Notation, PN oder Polnische Notation genannt. Analog ergibt sich aus
dem Preorder-Durchlauf die Präfix-Notation oder Umgekehrte Polnische Notation UPN .
Zur Implementierung von Bäumen kann man ausnutzen, daß Präfix- und Postfix-Ausdrücke den Baum eindeutig
beschreiben.
Beispiel
In der obigen Abbildung ist der Term
Inorder-Durchlauf

durch einen Graphen dargestellt. Man erhält im
im Preorder-Durchlauf

und im Postorder-Durchlauf


Reguläre binäre Bäume
Hat ein Baum genau einen Knoten vom Grad 2 und sonst nur Knoten vom Grad 1 oder 3, dann wird er regulärer
binärer Baum genannt.
Die Knotenzahl in regulären binären Bäumen ist ungerade. Reguläre Bäume mit der Knotenzahl

haben

Knoten vom Grad 1. Das Niveau eines Knotens ist sein Abstand von der Wurzel. Das maximale
auftretende Niveau wird Höhe des Baumes genannt. Für reguläre binäre Wurzelbäume gibt es die verschiedensten
Anwendungsmöglichkeiten, z.B. in der Informatik.


Wurzelbäume
Ein Baum mit einem ausgezeichneten Knoten wird Wurzelbaum genannt, und der ausgezeichnete Knoten heißt
Wurzel . Im Bild eines Wurzelbaumes wird die Wurzel in der Regel oben angeordnet, und die Wege werden wie in
der folgenden Abbildung von der Wurzel weggerichtet betrachtet.

Wurzelbäume dienen zur graphischen Darstellung hierarchischer Strukturen, wie z.B. Befehlsflüsse in Betrieben,
Stammbäume, grammatikalische Strukturen.


Beispiel
Die obige Abbildung zeigt den Stammbaum einer Familie in der Form eines Wurzelbaumes. Die Wurzel ist
hier der dem Vater zugeordnete Knoten.


Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Wenn A eine Ereignismenge und die Ereignisse

mit

vollständiges Ereignissystem bilden, dann gelten für jedes Ereignis

ein
die folgenden Sätze:

1. Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit:
(16.40)
2. Satz von BAYES:

(16.41)

Dabei sind

und

bedingte Wahrscheinlichkeiten.


Bernstein-Bézier-Darstellung von Kurven und Flächen
Die BERNSTEIN-BÉZIER-Darstellung (kurz B-B-Darstellung) von Kurven und Flächen verwendet die BERNSTEINschen
Grundpolynome
(19.247)

und nutzt vor allem die folgenden Eigenschaften aus:
(19.248)

(19.249)
Die Formel (19.249) folgt unmittelbar aus dem binomischen Satz.
Im folgenden werde eine Raumkurve, deren Parameterdarstellung
vektoriell durch

lautet,


(19.250)
beschrieben. Dabei ist

der Kurvenparameter. Die entsprechende Darstellung für eine Fläche lautet
(19.251)

Dabei sind
●
●

und

die Flächenparameter.

Prinzip der B-B-Kurvendarstellung
B-B-Flächendarstellung


Nemytskij-Operator
Seien
Variablen

eine meßbare Teilmenge aus
, die bezüglich

(s. Sigma-Algebren) und

für fast alle

Bedingungen). Der nichtlineare Operator

stetig und bezüglich

eine Funktion von zwei
für alle

meßbar ist ( CARATHEODORY-

auf
(12.186)

heißt NEMYTSKIJ-Operator . Er ist stetig und beschränkt, falls er aus

in

mit

abbildet.

Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn
(12.187)
gilt oder

stetig ist, gilt. Nur in Ausnahmefällen ist der Operator

kompakt.


DIRICHLETsche Bedingungen
Wenn die Funktion

die DIRICHLETschen Bedingungen erfüllt, d.h. wenn

a)
das Definitionsintervall in endlich viele Intervalle zerlegt werden kann, in denen die Funktion

stetig und

monoton ist, und
b)
an jeder Unstetigkeitsstelle von

die Werte

und

definiert sind,

dann konvergiert die FOURIER-Reihe dieser Funktion. Der Summenwert der Reihe ist dort, wo

, in den Unstetigkeitsstellen gleich

.

stetig ist, gleich


Trennung konvexer Mengen
Man nennt zwei Teilmengen
ein Funktional

eines reellen normierten Raumes

durch eine Hyperebene trennbar , wenn

existiert, so daß gilt:
(12.170)
ist die trennende Hyperebene, was nichts anderes besagt, als daß die Mengen in

den verschiedenen Halbräumen
(12.171)
liegen. In der folgenden Abbildung sind zwei Fälle der Trennung durch eine Hyperebene dargestellt.


Entscheidend für die Trennung zweier Mengen ist weniger ihre Disjunktheit. In der nächsten Abbildung sind zwei
und
dargestellt, die nicht trennbar sind, obwohl
und
disjunkt sind und
konvex. Vielmehr
Mengen
ist die Konvexität der Mengen von Bedeutung, da nicht ausgeschlossen ist, daß beide zu trennenden Mengen
gemeinsame Punkte besitzen, durch die die Hyperebene verläuft.


Es gilt: Ist

eine konvexe Menge eines normierten Raumes

, dann sind

eine nichtleere konvexe Menge mit
heißt Stützfunktional an die Menge

Funktional

und

gibt, für die
an

. Für eine konvexe Menge

mit nichtleerem Inneren

im Punkt
gilt.

und

und

trennbar. Ein (reelles lineares)
, wenn es eine solche Zahl
heißt dann Stützhyperebene im Punkt

mit nichtleerem Inneren existiert in jedem ihrer Randpunkte ein

Stützfunktional.
Auf der Trennbarkeit konvexer Mengen beruht der Beweis der KUHN-TUCKER-Bedingungen, aus denen sich
praktische Verfahren zur Bestimmung des Minimums eines konvexen Optimierungsproblems herleiten lassen
(s. Lit. 12.5).


Globale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ein Punkt
existiert, so daß

genügt den globalen KUHN- TUCKER-Bedingungen, wenn ein
ein Sattelpunkt von

, d.h. ein

ist.

Wegen des Beweises der KUHN- TUCKER-Bedingungen s. Abschnitt Trennung konvexer Mengen.


Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ein Punkt

genügt den lokalen KUHN- TUCKER-Bedingungen, wenn Zahlen

,

existieren, für die gilt
(18.39a)

(18.39b)
die Indexmenge der in

Der Punkt
Punkt

heißt dann auch KUHN- TUCKER-Punkt oder stationärer Punkt . Geometrisch betrachtet erfüllt ein
die lokalen KUHN- TUCKER-Bedingungen, wenn der negative Gradient

die Gradienten der in
(s. Abbildung).

aktiven Restriktionen ist.

aktiven Nebenbedingungen

in dem durch

, aufgespannten Kegel liegt


Oft wird die folgende äquivalente Formulierung für (18.39a,b) verwendet:
TUCKER-Bedingungen, wenn ein

genügt den lokalen KUHN-

existiert, so daß gilt
(18.40a)
(18.40b)


(18.40c)


Beispiele für Wahrscheinlichkeiten
Beispiel A
Für die Wahrscheinlichkeit

, mit einem idealen Würfel eine 2 zu würfeln, gilt:

.

Beispiel B
Wie groß ist die Chance, beim Zahlenlotto ,,6 aus 49`` vier richtige zu tippen?
Es gibt

Möglichkeiten für 4 richtige von 6 gezogenen Zahlen. Dann bleiben noch

Möglichkeiten für die falschen Zahlen. Insgesamt können
Somit erhält man für die Wahrscheinlichkeit

verschiedene Tips abgegeben werden.

, einen Vierer zu tippen:


Analog erhält man für die Wahrscheinlickeit

, 6 Richtige zu treffen:

Beispiel C
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

dafür, daß unter

Personen 2 am gleichen Tag Geburtstag

haben, wobei die Geburtsjahre nicht übereinstimmen müssen ?
Man betrchtet zunächst

: Alle

Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag. Es gilt:

Daraus folgt:

Numerische Auswertung dieser Formel:
k

10

20

23

30

60

P(A) 0,117 0,411 0,507 0,706 0,994


Man sieht, ab 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, daß davon 2 am gleichen Tag Gebutstag haben,
größer als

.


Wahrheitsfunktionen
Ordnet man jeder Aussagenvariablen eines Ausdrucks einen Wahrheitswert zu, so spricht man von einer Belegung
der Variablen. Mit Hilfe der Wahrheitstafeln für die Junktoren kann man einem Ausdruck für jede Belegung einen
Wahrheitswert zuordnen. Der im vorigen Abschnitt angegebene Ausdruck
somit eine dreistellige Wahrheitsfunktion, eine
( BOOLEsche Funktion). In der folgenden Tabelle ist eine Belegung der Variablen angegeben.
Tabelle Wahrheitstafel mit Belegungen

repräsentiert


Beispiel
Jeder aussagenlogische Ausdruck repräsentiert auf diese Weise eine

-stellige Wahrheitsfunktion, d.h. eine

Funktion, die jedem -Tupel von Wahrheitswerten wieder einen Wahrheitswert zuordnet. Es gibt
Wahrheitsfunktionen, insbesondere 16 zweistellige.

-stellige


Satz von Smale
Die invarianten Mannigfaltigkeiten der POINCARÉ-Abbildung einer Differentialgleichung (17.53) im
periodischen Orbit

seien wie in der folgenden Abbildung aus Abschnitt

Transversale homokline Punkte.

nahe dem


Die transversalen homoklinen Punkte

korrespondieren mit einem bezüglich

homoklinen Orbit von

(17.53). Die Existenz eines solchen homoklinen Orbits in (17.53) führt zu einer sensitiven Abhängigkeit von den
Anfangswerten. In Verbindung mit der betrachteten POINCARÉ-Abbildung lassen sich die auf SMALE zurückgehenden
Hufeisen-Abbildungen konstruieren, die zu folgenden Aussagen führen:
Satz von SMALE: In jeder Umgebung eines transversalen homoklinen Punktes der POINCARÉ-Abbildung (17.66)
existiert ein periodischer Punkt dieser Abbildung. Darüber hinaus existiert in jeder Umgebung eines transversalen
homoklinen Punktes eine für
von

auf

invariante Menge

, die vom CANTOR-Typ ist. Die Einschränkung

ist topologisch konjugiert zu einem BERNOULLI-Shift, d.h. zu einem mischenden System.

Die invariante Menge der Differentialgleichung (17.53) nahe des homoklinen Orbits sieht aus wie das Produkt einer
CANTOR-Menge mit dem Einheitskreis. Ist diese invariante Menge anziehend, dann stellt sie für (17.53) einen
seltsamen Attraktor dar.


BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
Treten unbestimmte Ausdrücke der Form

auf, dann wird die

BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel verwendet, die oft kurz L'HOSPITALsche Regel genannt wird.

Unbestimmte Ausdrücke der Form

Wenn für

1.

folgendes gilt:

oder

:


und

(unbestimmter Ausdruck

und

oder

(unbestimmter Ausdruck

,

2.
die Funktionen

und

sind in einem Intervall, das den Punkt

enthält, definiert (im Punkt

selbst brauchen diese Funktionen nicht definiert zu sein) und differenzierbar mit

.

Dann gilt
(2.27)

falls dieser Grenzwert existiert (Regel von BERNOULLI-L'HOSPITAL). Sollte der Ausdruck

unbestimmten Ausdruck der Form

Beispiel

oder

ergeben, dann wird das Verfahren wiederholt.

wieder einen


Unbestimmte Ausdrücke der Form

:

Wenn unter gleichen Bedingungen wie im Falle
oder

gilt

und

auf die Form

den Fall

Beispiel

oder

zurückgeführt ist.

oder

sowie

, dann wird der Grenzwert

gebracht, so daß die Berechnung des Grenzwertes auf


Unbestimmte Ausdrücke der Form

Wenn unter den gleichen Bedingungen wie im Falle

sowie

Differenz auf die Form

Beispiel

:

oder

gilt

, dann wird zur Berechnung des Grenzwertes

oder

und

die

gebracht, was auf verschiedene Weise erreicht werden kann, z.B. ist


Zweimalige Anwendung der
L'HOSPITALschen Regel führt auf

Unbestimmte Ausdrücke der Form

Wenn

und

Beispiel

sowie
berechnet, der die Form

des Ausdrucks
Analog wird in den Fällen

:

und

verfahren.

, dann wird zunächst der Grenzwert
hat, und dann


d.h.,

also

und somit


Erste Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Die BERNOULLIschen Zahlen

treten bei Potenzreihenentwicklungen spezieller Funktionen auf, z.B. bei den
,

trigonometrischen Funktionen
und

und

und den hyperbolischen Funktionen

,

. Die BERNOULLIschen Zahlen können wie folgt definiert
(7.60a)

und durch Koeffizientenvergleich bezüglich der Potenzen von
der folgenden Tabelle angegeben.

ermittelt werden. Die so gewonnenen Werte sind in

Tabelle Erste BERNOULLIsche Zahlen

1

4

7

10


2

5

8

3

6

9

11


Statistische Erfassung gegebener Meßwerte
Um eine Eigenschaft eines Elements statistisch zu untersuchen, ist diese durch eine Zufallsgröße
charakterisieren. In der Regel bilden dann

Meß- oder Beobachtungsparameter

zu

des Merkmals

den

Ausgangspunkt für eine statistische Untersuchung, die vor allem darin besteht, Angaben über die Verteilung von
zu machen.
Jede Meßreihe vom Umfang
kann in diesem Zusammenhang als eine zufällige Stichprobe aus einer unendlichen
Grundgesamtheit aufgefaßt werden, die entsteht, wenn der Versuch oder die Messung unter gleichen Bedingungen
unendlich oft wiederholt würde.
Da der Umfang

einer Meßreihe sehr groß sein kann, geht man zur statistischen Erfassung der Daten wie folgt vor:

1. Protokoll, Urliste: Protokollierung der Meß- oder Beobachtungswerte

, die eine Stichprobe oder

Meßreihe darstellen, in einem Meßprotokoll, der Urliste .
2. Intervalle oder Klassen: Einteilung der gegebenen
Intervalle, auch Klassen genannt, der Breite

Meßwerte

in

. Man wählt ca. 10 bis 20 Klassen und ordnet die

Meßwerte


in diese Klassen ein. Es entsteht die Strichliste .
3. Häufigkeiten und Häufigkeitsverteilung: Eintragen der absoluten Häufigkeiten
, d.h. der Anzahl
Meßintervall

von Meßwerten (Besetzungszahl), die auf ein bestimmtes

entfällt und Bestimmung der relativen Häufigkeiten

(in %). Werden die Werte

als Rechtecke über den Klassen aufgetragen, dann ergibt die graphische Darstellung der so
entstehenden Häufigkeitsverteilung ein Histogramm (s. linke Abbildung).


Die Werte

können als empirische Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte

interpretiert werden.

4. Summenhäufigkeiten: Durch Summation der absoluten bzw. relativen Häufigkeiten erhält man die
absoluten bzw. relativen Summenhäufigkeiten
(16.110)
Werden die Werte

in den oberen Klassengrenzen aufgetragen und als Parallele nach rechts fortgesetzt, dann

ergibt sich eine graphische Darstellung für die empirische Verteilungsfunktion, die als Näherung für die unbekannte
Verteilungsfunktion

aufgefaßt werden kann (s. rechte Abbildung).

Beispiel
Bei einem Versuch wurden

Messungen durchgeführt. Die Meßergebnisse streuten über den

Bereich 50 bis 270, so daß sich eine Einteilung in
Klassen der Breite
erwies. Es ergab sich die folgende Häufigkeitstabelle .
Häufigkeitstabelle
(%)

Klasse
50 bis 70

1

0,8

0,8

71 bis 90

1

0,8

1,6

91 bis 110

2

1,6

3,2

als zweckmäßig


111 bis 130

9

7,2

10,4

131 bis 150

15

12,0

22,4

151 bis 170

22

17,6

40,0

171 bis 190

30

24,0

64,0

191 bis 210

27

21,6

85,6

211 bis 230

9

7,2

92,8

231 bis 250

6

4,8

97,6

251 bis 270

3

2,4

100,0


Unterabschnitte

●

Definierende Gleichung:
BESSEL- oder Zylinderfunktionen:
BESSEL-Funktionen mit imaginären Variablen:

●

Formeln für BESSEL-Funktionen

●
●

BESSELsche Differentialgleichung
(9.52a)

Definierende Gleichung:
Die Definierende Gleichung ist in diesem Falle
(9.52b)


Daraus folgt

. Einsetzen von
(9.52c)

in diese Gleichung liefert für den zu Null gesetzten Koeffizienten

die Bestimmungsgleichung
(9.52d)

Für

erhält man

. Für die Werte

von

ergibt sich

(9.52e)

BESSEL- oder Zylinderfunktionen:
Die für

(

s. Gammafunktion) entstandene Reihe ist eine partikuläre Lösung der

BESSELschen Differentialgleichung (9.52a) für ganzzahlige
Ordnung erster Gattung

. Sie definiert die BESSEL- oder Zylinderfunktion

-ter


(9.53a)

Die Kurvenbilder der Funktionen

und

zeigt die folgende Abbildung.


Die allgemeine Lösung der BESSELschen Differentialgleichung für nicht ganzzahlige

hat die Form
(9.53b)

wobei

eine Reihe darstellt, die aus der Reihe für

ganzzahliges

gilt

durch Ersetzen von

durch

folgt. Für

. In der allgemeinen Lösung ist in diesem Falle

durch

die BESSELsche Funktion zweiter Gattung
(9.53c)
auch WEBERsche Funktion genannt, zu ersetzen. Zur Reihenentwicklung von
Kurvenbilder der Funktionen

und

zeigt die folgende Abbildung.

s. z.B. Lit. 9.26. Die


BESSEL-Funktionen mit imaginären Variablen:
In manchen Anwendungen treten BESSEL-Funktionen mit einer rein imaginären Variablen auf. Dabei werden
gewöhnlich die Produkte

betrachtet, die mit

bezeichnet werden:


(9.54a)
Hierbei handelt es sich um Lösungen der Differentialgleichung
(9.54b)

Eine zweite Lösung dieser Differentialgleichung ist die MACDONALDsche Funktion
(9.54c)


Wenn

gegen eine ganze Zahl konvergiert, strebt dieser Ausdruck einem Grenzwert zu.

Die Funktionen

und

Die Kurvenbilder der Funktionen

werden auch modifizierte BESSEL- Funktionen genannt.

und

zeigt die folgende linke Abbildung, die der Funktionen

und

die rechte Abbildung.

Werte der Funktionen

enthalten die


Tabellen ,, BESSELsche Funktionen (Zylinderfunktionen)``.

Formeln für BESSEL-Funktionen

(9.55a)
Die gleichen Formeln gelten auch für die WEBER-Funktionen
(9.55b)

(9.55c)
Für ganzzahliges

gilt
(9.55d)

(9.55e)
oder, in komplexer Form,


(9.55f)

Die

können durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Insbesondere gilt
(9.56a)

(9.56b)
Durch sukzessive Anwendung der Rekursionsformeln (9.55a) bis (9.55f) können die Ausdrücke für
beliebige ganzzahlige
aufgeschrieben werden. Für große Werte von
asymptotischen Formeln:

für

ergeben sich die folgenden

(9.57a)

(9.57b)

(9.57c)


(9.57d)

Der Ausdruck

(s. LANDAU-Symbole) bedeutet eine infinitesimale Größe der gleichen Ordnung wie

Weitere Angaben über BESSEL-Funktionen s. Lit. 21.1.

.


- eine absolut konvergente Reihe
Wenn

in eine für

absolut konvergente Reihe der Form

(15.43)

entwickelt werden kann, wobei die

eine beliebig aufsteigende Zahlenfolge
bilden, so ist eine gliedweise Rücktransformation möglich:

(15.44)

Mit

ist die Gammafunktion bezeichnet. Speziell erhält man für

, d.h.

, die


Reihe

der Form

, die für alle reellen und komplexen

konvergiert. Außerdem ist eine Abschätzung in

) möglich.

Beispiel

.

Nach gliedweiser Transformation in den Oberbereich erhält man

( BESSEL-Funktion 0. Ordnung).


Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil I

0, 0

+1, 0000

+0, 0000

0, 1

0, 9975

0, 0499

, 5342

, 4590

0, 2

0, 9900

0, 0995

1, 0181

0, 3

0, 9776

0, 1483

0, 4

0, 9604

0, 5
0, 6

+1, 000

0, 0000

1, 003 +0, 0501 2, 4271

9, 8538

3, 3238

1, 010

0, 1005 1, 7527

4, 7760

0, 8073

2, 2931

1, 023

0, 1517 1, 3725

3, 0560

0, 1960

0, 6060

1, 7809

1, 040

0, 2040 1, 1145

2, 1844

+0, 9385

+0, 2423

, 4445

, 4715

1, 063

0, 2579 0, 9244

1, 6564

0, 9120

0, 2867

0, 3085

1, 2604

1, 092

0, 3137 0, 7775

1, 3028


0, 7

0, 8812

0, 3290

0, 1907

1, 1032

1, 126

0, 3719 0, 6605

1, 0503

0, 8

0, 8463

0, 3688

, 0868

0, 9781

1, 167

0, 4329 0, 5653

0, 8618

0, 9

0, 8075

0, 4059

+0, 0056

0, 8731

1, 213

0, 4971 0, 4867

0, 7165

1, 0

+0, 7652

+0, 4401

+0, 0883

, 7812

1, 266

0, 5652 0, 4210

0, 6019

1, 1

0, 7196

0, 4709

0, 1622

0, 6981

1, 326

0, 6375 0, 3656

0, 5098

1, 2

0, 6711

0, 4983

0, 2281

0, 6211

1, 394

0, 7147 0, 3185

0, 4346

1, 3

0, 6201

0, 5220

0, 2865

0, 5485

1, 469

0, 7973 0, 2782

0, 3725

1, 4

0, 5669

0, 5419

0, 3379

0, 4791

1, 553

0, 8861 0, 2437

0, 3208

1, 5

+0, 5118

+0, 5579

+0, 3824

, 4123

1, 647

0, 9817 0, 2138

0, 2774

1, 6

0, 4554

0, 5699

0, 4204

0, 3476

1, 750

1, 085

0, 1880

0, 2406

1, 7

0, 3980

0, 5778

0, 4520

0, 2847

1, 864

1, 196

0, 1655

0, 2094

1, 8

0, 3400

0, 5815

0, 4774

0, 2237

1, 990

1, 317

0, 1459

0, 1826

1, 9

0, 2818

0, 5812

0, 4968

0, 1644

2, 128

1, 448

0, 1288

0, 1597

2, 0

+0, 2239

+0, 5767

+0, 5104

, 1070

2, 280

1, 591

0, 1139

0, 1399


2, 1

0, 1666

0, 5683

0, 5183

, 0517

2, 446

1, 745

0, 1008

0, 1227

2, 2

0, 1104

0, 5560

0, 5208

+0, 0015

2, 629

1, 914

0, 08927

0, 1079

2, 3

0, 0555

0, 5399

0, 5181

0, 0523

2, 830

2, 098

0, 07914

0, 09498

2, 4

0, 0025

0, 5202

0, 5104

0, 1005

3, 049

2, 298

0, 07022

0, 08372

2, 5

, 0484

+0, 4971

+0, 4981

+0, 1459

3, 290

2, 517

0, 06235

0, 07389

2, 6

0, 0968

0, 4708

0, 4813

0, 1884

3, 553

2, 755

0, 05540

0, 06528

2, 7

0, 1424

0, 4416

0, 2605

0, 2276

3, 842

3, 016

0, 04926

0, 05774

2, 8

0, 1850

0, 4097

0, 4359

0, 2635

4, 157

3, 301

0, 04382

0, 05111

2, 9

0, 2243

0, 3754

0, 4079

0, 2959

4, 503

3, 613

0, 03901

0, 04529

3, 0

, 2601

+0, 3391

+0, 3769

+0, 3247

4, 881

3, 953

0, 03474

0, 04016

3, 1

0, 2921

0, 3009

0, 3431

0, 3496

5, 294

4, 326

0, 03095

0, 03563

3, 2

0, 3202

0, 2613

0, 3070

0, 3707

5, 747

4, 734

0, 02759

0, 03164

3, 3

0, 3443

0, 2207

0, 2691

0, 3879

6, 243

5, 181

0, 02461

0, 02812

3, 4

0, 3643

0, 1792

0, 2296

0, 4010

6, 785

5, 670

0, 02196

0, 02500

3, 5

, 3801

+0, 1374

+0, 1890

+0, 4102

7, 378

6, 206

0, 01960

0, 02224


3, 6

0, 3918

0, 0955

0, 1477

0, 4154

8, 028

6, 793

0, 01750

0, 01979

3, 7

0, 3992

0, 0538

0, 1061

0, 4167

8, 739

7, 436

0, 01563

0, 01763

3, 8

0, 4026

+0, 0128

0, 0645

0, 4141

9, 517

8, 140

0, 01397

0, 01571

3, 9

0, 4018

, 0272

+0, 0234

0, 4078 10, 37

8, 913

0, 01248

0, 01400

4, 0

, 3971

, 0660

, 0169

+0, 3979 11, 30

9, 759

0, 01116

0, 01248

4, 1

0, 3887

0, 1033

0, 0561

0, 3846 12, 32

10, 69

0, 009980 0, 01114

4, 2

0, 3766

0, 1386

0, 0938

0, 3680 13, 44

11, 71

0, 008927 0, 009938

4, 3

0, 3610

0, 1719

0, 1296

0, 3484 14, 67

12, 82

0, 007988 0, 008872

4, 4

0, 3423

0, 2028

0, 1633

0, 3260 16, 01

14, 05

0, 007149 0, 007923

4, 5

, 3205

, 2311

, 1947

+0, 3010 17, 48

15, 39

0, 006400 0, 007078

4, 6

0, 2961

0, 2566

0, 2235

0, 2737 19, 09

16, 86

0, 005730 0, 006325

4, 7

0, 2693

0, 2791

0, 2494

0, 2445 20, 86

18, 48

0, 005132 0, 005654

4, 8

0, 2404

0, 2985

0, 2723

0, 2136 22, 79

20, 25

0, 004597 0, 005055

4, 9

0, 2097

0, 3147

0, 2921

0, 1812 24, 91

22, 20

0, 004119 0, 004521


Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen
Für natürliche Zahlen

gilt:

(21.20)

(21.21)

(21.22)

(21.23)


(21.24)

(21.25)

(21.26a)

Mit

ist die Betafunktion oder das EULERsche Integral erster Gattung bezeichnet, mit

Gammafunktion oder das EULERsche Integral zweiter Gattung.
Diese Formel gilt für beliebige

Für

und

; man verwendet sie z.B. zur Bestimmung der Integrale

ganzzahlig und positiv ergibt sich:

die


(21.26b)

(21.27)

(21.28)

(21.29)

(21.30)

(21.31)


(21.32)

(21.33)

(21.34)

(21.35)

(21.36)

(21.37)

(21.38)


(21.39)
In diesem und dem folgenden Integral sind E und K vollständige elliptische Integrale:
(s. auch Tabelle Elliptische Integrale).

(21.40)

(21.41)


Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
Um die Behauptung
d.h.

zu beweisen, geht man von der Negation

. Dann muß aber auch

aus und schließt von

auf eine falsche Aussage

falsch sein, da man bei der Implikation nur von einer falschen

Voraussetzung zu einer falschen Behauptung kommt (s. 1. Zeile der Wahrheitstafel für die Implikation). Wenn aber
falsch ist, muß

Beispiel

wahr sein.


Es ist zu beweisen, daß die Zahl

mit ganzen Zahlen

keine rationale Zahl ist. Angenommen,

und

besitzen keinen gemeinsamen Teiler. Man erhält
eine gerade Zahl, was nur dann möglich ist, wenn
auch
Voraussetzung, daß

und

Die Zahlen

sei rational. Dann gilt

sind dabei teilerfremd , d.h., sie

oder

, d.h.,

eine gerade Zahl ist. Es müßte dann wegen

eine gerade Zahl sein. Das ist offensichtlich ein Widerspruch zur
teilerfremd sind.

wäre


Konstruktiver Beweis
In der Approximationstheorie z.B. wird der Beweis eines Existenzsatzes als konstruktiv bezeichnet, wenn er bei
seiner Durchführung bereits Berechnungsvorschriften für ein Element liefert, das die Voraussetzungen des
Existenzsatzes erfüllt.
Beispiel
Die Existenz einer natürlichen kubischen Interpolations-Spline-Funktion kann wie folgt nachgewiesen
werden: Man zeigt, daß die Berechnung der Spline-Koeffizienten aus den Voraussetzungen des
Existenzsatzes auf ein tridiagonales lineares Gleichungssystem führt, das eindeutig lösbar ist.


Vollständige Induktion
Mit dieser Beweismethode werden Sätze oder Formeln bewiesen, die von natürlichen Zahlen
Prinzip der vollständigen Induktion lautet:
Ist eine Aussage für eine natürliche Zahl

wahr, und folgt aus der Wahrheit der Aussage für eine natürliche Zahl

die Wahrheit der Aussage für

dann ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen

Danach erfolgt der Beweis in folgenden Schritten:
1. Induktionsanfang:
Die Wahrheit der Aussage wird für

gezeigt. Meist kann man

2. Induktionsannahme:
Die Aussage sei für

wahr (Voraussetzung

).

3. Induktionsbehauptung:
Die Aussage sei für
4. Beweis der Implikation

abhängen. Das

wahr (Behauptung

).

wählen.

gültig.


Die Schritte 3. und 4. werden zusammengefaßt als Induktionschluß oder Schluß von

auf

bezeichnet.

Beispiel
zu beweisen.

Es ist die Formel
Die einzelnen Schritte des Induktionsbeweises sind:
1.
ist offensichtlich richtig.
2.

sei wahr für

3.
Unter der Voraussetzung von 2. ist zu zeigen:


4.
Beweis:


Aachener Bibliothek
Die Aachener Bibliothek basiert auf der Formelsammlung zur Numerischen Mathematik von G. ENGELN -MÜLLGES
(Fachhochschule Aachen) und F. REUTTER (Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen). Sie existiert in
den Programmiersprachen BASIC, Turbo BASIC, FORTRAN 77, PL/1, APL, C, MODULA 2 und TURBO PASCAL.
Hier ein Inhaltsüberblick:
1.

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer und speziell algebraischer Gleichungen

2.

Direkte und iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

3.

Systeme nichtlinearer Gleichungen

4.

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

5.

Lineare und nichtlineare Approximation

6.

Polynomiale und rationale Interpolation sowie Polynomsplines

7.

Numerische Differentiation

8.

Numerische Quadratur

9.

Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen

10. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen


IMSL-Bibliothek
Die IMSL-Bibliothek (International Mathematical and Statistical Library) besteht aus drei aufeinander abgestimmten
Teilen:
IMSL MATH/LIBRARY für allgemeine mathematische Verfahren,
IMSL STAT/LIBRARY für statistische Probleme,
IMSL SFUN/LIBRARY für spezielle Funktionen.
Die Teilbibliotheken enthalten Funktionen und Subroutinen in der Sprache FORTRAN 77. Hier eine Inhaltsübersicht:
MATH/LIBRARY
1. Lineare Systeme

6.

Transformationen

2. Eigenwerte

7.

Nichtlineare Gleichungen

3. Interpolation und Approximation 8.

Optimierung

4. Integration und Differentiation

9.

Vektor- und Matrixoperationen

5. Differentialgleichungen

10. Hilfsfunktionen

STAT/LIBRARY
1.

Grundlegende Kennzahlen

12. Stichprobenerhebung

2.

Regression

13. Lebensdauerverteilgn. und Zuverlässigkt.


3.

Korrelation

14. Mehrdimensionale Skalierung

4.

Varianzanalyse

15. Schätzung der Dichte- und Hasard- bzw.

5.

Kategoriale und diskrete Datenanalyse

6.

Nichtparametrische Statistik

7.

Anpassungstests u. Test auf Zufälligkt. 17. Wahrscheinlichkeitsverteilungen

8.

Zeitreihenanalyse und Vorhersage

18. Zufallszahlen-Generatoren

9.

Kovarianz- und Faktoranalyse

19. Hilfsalgorithmen

Risikofunktion
16. Zeilendrucker-Graphik

10. Diskriminanz-Analyse

20. Mathematische Hilfsmittel

11. Cluster-Analyse
SFUN/LIBRARY
1. Elementare Funktionen

6.

Bessel-Funktionen

2. Trigonometrische und hyperbolische 7.

Kelvin-Funktionen

Funktionen

8.

3. Exponentialfunktion und verwandte 9.
Funktionen
4. Gamma-Funktionen und verwandte
Funktionen
5. Fehler-Funktionen und verwandte
Funktionen

Bessel-Funktionen gebrochener Ordnung
Elliptische Integrale

10. Elliptische Funktionen, Funktionen von
WEIERSTRASS und verwandte Funktn.
11. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
12. Verschiedene Funktionen


NAG-Bibliothek
Die NAG-Bibliothek (

umerical

lgorithms

roup) ist eine umfangreiche Sammlung numerischer Verfahren in

Form von Funktionen und Subroutinen/Prozeduren in den Programmiersprachen PASCAL, ADA, ALGOL 68 und
FORTRAN 77. Hier ein Inhaltsüberblick:
1.

Komplexe Arithmetik

14. Eigenwerte und Eigenvektoren

2.

Nullstellen von Polynomen

15. Determinanten

3.

Wurzeln transzendenter Gleichungen

16. Simultane lineare Gleichungen

4.

Reihen

17. Orthogonalisierung

5.

Integration

18. Lineare Algebra

6.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

19. Einfache Berechng. von statist. Daten

7.

Partielle Differentialgleichungen

20. Korrelation und Regressionsanalyse

8.

Numerische Differentiation

21. Zufallszahlengeneratoren

9.

Integralgleichungen

22. Nichtparametrische Statistik

10. Interpolation

23. Zeitreihenanalyse


11. Approxim. v. Daten d. Kurven und Flächen 24. Operationsforschung
12. Minima/Maxima einer Funktion

25. Spezielle Funktionen

13. Matrixoperationen, Inversion

26. Mathem. und Maschinenkonstanten


Bibliotheken numerischer Verfahren
Im Laufe der Zeit sind unabhängig voneinander Bibliotheken von Funktionen und Prozeduren für numerische
Verfahren in unterschiedlichen Programmiersprachen entwickelt worden. Bei ihrer Entwicklung wurden umfangreiche
Computererfahrungen berücksichtigt, so daß bei der Lösung praktischer numerischer Aufgaben unbedingt die
Programme einer solchen Bibliothek genutzt werden sollten. Sie stehen meist für alle Rechnerklassen zur Verfügung
und sind bei Einhaltung bestimmter Konventionen mehr oder weniger einfach zu nutzen.
Die Anwendung von Verfahren aus Programmbibliotheken entbindet den Nutzer nicht, sich Gedanken über die zu
erwartende Lösung seines Problems zu machen. Darin ist auch der Hinweis eingeschlossen, sich gegebenenfalls
über Schwächen und Stärken des verwendeten mathematischen Verfahrens näher zu informieren (s. auch Lit. 19.7).
●
●
●
●

NAG-Bibliothek
IMSL-Bibliothek
FORTRAN SSL II
Aachener Bibliothek


FORTRAN SSL II
Die SSL II-Bibliothek (

cientific

ubroutine

ibrary II) enthält Unterprogramme in der Sprache FORTRAN 77.

Hier eine Inhaltsübersicht:
1. Lineare Algebra

6.

Transformationen

2. Eigenwerte und Eigenvektoren

7.

Numer. Differentiation und Integration

3. Nichtlineare Gleichungen

8.

Differentialgleichungen

4. Extremwerte

9.

Spezielle Funktionen

5. Interpolation und Approximation 10. Pseudozufallszahlen


Bidualer Raum und reflexive Räume
Der duale Raum

eines normierten Raums

Raum, so daß

ist mit

ebenfalls ein normierter

, der Bidual oder der zweite adjungierte zu

betrachtet werden kann. Die

kanonische Einbettung
(12.172)
erweist sich als Normisomorphie, weswegen

mit dem Teilraum

identifiziert wird. Ein BANACH-

gilt, die kanonische Einbettung also eine surjektive Normisomorphie ist.

Raum heißt reflexiv , wenn

Beispiel
Alle endlichdimensionalen BANACH-Räume und alle HILBERT-Räume sind reflexiv, ebenso die Räume
, während

Beispiele nichtreflexiver Räume sind.


Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen
Gegeben sei auf
System

ein von einer Differentialgleichung oder einer Abbildung erzeugtes dynamisches
, das zusätzlich von einem Parameter

abhängt. Jede Änderung der

topologischen Struktur des Phasenporträts des dynamischen Systems bei kleiner Änderung des Parameters heißt
Bifurkation . Der Parameter

heißt Bifurkationswert , wenn in jeder Umgebung von

existieren, so daß die dynamischen Systeme

und

auf

Parameterwerte

topologisch nicht äquivalent bzw.

nicht konjugiert sind. Die kleinste Dimension eines Parameterraumes, bei der eine Bifurkation beobachtbar ist, heißt
Kodimension der Bifurkation.
Man unterscheidet lokale Bifurkationen, die nahe einzelner Orbits des dynamischen Systems ablaufen, und globale
Bifurkationen, die sofort einen großen Teil des Phasenraumes betreffen.
●
●

Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit


●

Globale Bifurkationen


Unterabschnitte
●
●
●

Spitzen-Bifurkation
Bogdanov-Takens-Bifurkation
Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation

Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
Spitzen-Bifurkation
Gegeben sei die Differentialgleichung (17.53) mit
Eigenwert

gelte

und

Eigenwerte

und
mit Re

und

. Die JACOBI-Matrix

habe den

. Für die reduzierte Differentialgleichung (17.55)

. Die TAYLOR-Zerlegung von


nahe

führt auf die verkürzte Normalform (ohne Glieder höherer Ordnung, s. Lit. 17.1)
(17.62)

mit den Parametern

und

. Die Menge

stellt im

erweiterten Phasenraum eine Fläche dar und wird Falte genannt (s. Abbildung).

Im weiteren sei

. Die nicht hyperbolischen Ruhelagen von (17.62) werden durch das Gleichungssystem
definiert und liegen auf den Kurven

und

, die durch die Menge

bestimmt werden und zusammen eine Spitze ( cusp ) bilden (s. linke
Abbildung.).


Bei

ist die Ruhelage
und

und für

ist für

von (17.62) stabil. Das Phasenporträt von (17.53) nahe

, z.B. für

ein dreifach zusammengesetzter Knoten (s. mittlere Abbildung)

ein dreifach zusammengesetzter Sattel (s. rechte Abbildung) (s. auch Lit. 17.13).

Beim Übergang von

in das Innere des Gebietes 1 (s. linke Abbildung) spaltet sich die nicht

hyperbolische Ruhelage
von (17.53) vom Typ eines zusammengesetzten Knotens in drei hyperbolische
Ruhelagen (zwei stabile Knoten und ein Sattel) auf ( superkritische Gabel-Bifurkation ). Im Falle des
zweidimensionalen Phasenraumes von (17.53) sind die Phasenporträts in der mittleren und rechten Abbildung zu
sehen.


Beim Durchqueren des Parameterpaares von

aus 1 in 2 bildet sich eine zweifach

zusammengesetzte Ruhelage vom Sattelknoten-Typ, die sich anschließend aufhebt. Eine stabile hyperbolische
Ruhelage verbleibt.

Bogdanov-Takens-Bifurkation


Für (17.53) gelte

, und die Matrix
und

Eigenwerte

mit Re

habe die beiden Eigenwerte
. Die reduzierte zweidimensionale

Differentialgleichung (17.55) sei topologisch äquivalent zum ebenen System
(17.63)

Dann findet auf der Kurve

eine Sattelknoten-Bifurkation statt. Auf
entsteht beim Übergang aus dem Gebiet

in das Gebiet

durch eine HOPF-Bifurkation ein stabiler Grenzzyklus und auf
existiert für das Ausgangssystem eine
Separatrixschleife (s. Abbildung), die im Gebiet 3 in einen stabilen Grenzzyklus bifurkiert (s. Lit. 17.1, 17.17).


Diese Bifurkation ist von globaler Natur und wird als Entstehung eines einzigen periodischen Orbits aus dem
homoklinen Orbit eines Sattels oder Auflösung einer Separatrixschleife bezeichnet.

Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation
Für (17.53) seien die Voraussetzungen der HOPF-Bifurkation mit

erfüllt und die zweidimensionale reduzierte

Differentialgleichung habe nach einer Koordinatentransformation in Polarkoordinaten die Normalform
. Das Bifurkationsdiagramm (s. Abbildung) dieses Systems


enthält die Linie

, deren Punkte HOPF-Bifurkationen repräsentieren

(s. Lit. 17.1).

Im Gebiet 3 existieren zwei periodische Orbits, von denen einer stabil, der andere instabil ist. Auf der Kurve
verschmelzen diese beiden nicht hyperbolischen Zyklen in einen


zusammengesetzten Zyklus, der im Gebiet 2 verschwindet.


Globale homokline Bifurkationen
●
●
●

Satz von Smale
Satz von Shilnikov
Melnikov-Methode


Globale Bifurkationen
Neben der Entstehung eines periodischen Orbits durch Auflösung einer Separatrixschleife kann es in (17.53) zu
weiteren globalen Bifurkationen kommen. Zwei davon sollen am Beispiel erläutert werden (s. Lit. 17.12).
●

●

Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines
Sattelknotens
Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene


Abspaltung eines Torus
Gegeben sei (17.53) mit

und

. Die Multiplikatoren von
und

. Für alle

seien

nahe

habe (17.53) einen periodischen Orbit

mit

mit

.

Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit ergibt sich in der vorliegenden Situation eine zweidimensionale
reduzierte

-Abbildung
(17.71)

mit

für

Hat die JACOBI-Matrix

nahe

.

für alle

nahe

die konjugiert komplexen Eigenwerte

und

mit


, ist

und ist

läßt sich (17.61) durch eine glatte

für

keine

-te Wurzel aus

, so

-abhängige Koordinatentransformation auf die Form
bringen (

LANDAU-Symbol), wobei

in Polarkoordinaten durch

(17.72)
gegeben ist. Dabei sind
von (17.72) für alle

und

differenzierbare Funktionen. Sei

asymptotisch stabil und für

. Dann ist die Ruhelage

instabil. Außerdem existiert bei

der Kreis

, der invariant unter der Abbildung (17.72) und asymptotisch stabil ist (s. linke Abbildung).


Satz von NEIMARK und SACKER: Der Satz von NEIMARK und SACKER (s. Lit. 17.18, 17.3) sagt aus, daß das
Bifurkationsverhalten von (17.72) auch auf

zutrifft ( superkritische HOPF- Bifurkation für Abbildungen ).

Beispiel
In der Abbildung (17.71), gegeben durch

findet bei

eine superkritische HOPF-Bifurkation statt.

Bezogen auf die Differentialgleichung (17.53) bedeutet die Existenz einer geschlossenen invarianten Kurve der
Abbildung (17.71), daß bei

der periodische Orbit

(17.53) invarianter stabiler Torus abspaltet (s. Abbildung).

instabil wird und sich bei

ein bezüglich


Hopf-Bifurkation
Gegeben sei (17.53) mit

und

. Für alle
gelte

Eigenwerte

mit

und

mit
. Die JACOBI-Matrix

Eigenwerte

mit Re

habe die
. Nach dem Satz über die

Zentrumsmannigfaltigkeit wird die Bifurkation durch eine zweidimensionale reduzierte Differentialgleichung (17.55) in
der Form
(17.57)
beschrieben, wobei

und

differenzierbare Funktionen sind und

sowie

gilt.
läßt

Durch eine nichtlineare Koordinatentransformation im Komplexen und Einführung von Polarkoordinaten
sich (17.57) auf die Normalform
(17.58)
bringen, in der mit Punkten die Glieder höherer Ordnung angedeutet werden. Die TAYLOR-Entwicklung der


Koeffizientenfunktionen von (17.58) führt auf die verkürzte Normalform
(17.59)
Der Satz von ANDRONOV und HOPF garantiert, daß (17.59) die Bifurkationen von (17.58) nahe der Ruhelage bei
beschreibt.
Unter der Annahme

1.
a)

ergeben sich für (17.59) folgende Fälle:

(s. Abbildung).
:
Stabiler Grenzzyklus und instabile Ruhelage.

b)
c)

:
Zyklus und Ruhelage verschmelzen in eine Ruhelage, die stabil wird.
:
Alle Orbits nahe (0,0) streben wie in b) für

spiralartig gegen die Ruhelage (0,0).


2.
a)

(s. Abbildung).
:
Instabiler Grenzzyklus.

b)
c)

:
Zyklus und Ruhelage verschmelzen in eine instabile Ruhelage.
:
Spiralartige instabile Ruhelage wie in b).


Die Interpretation der obigen Fälle für das Ausgangssystem (17.53) zeigt die Bifurkation eines Grenzzyklus aus einer
zusammengesetzten Ruhelage ( zusammengesetzter Strudel der Vielfachheit 1 ), die HOPF- Bifurkation (oder auch
ANDRONOV- HOPF- Bifurkation ) genannt wird. Der Fall
subkritisch (unter der Annahme

heißt dabei superkritisch , der Fall

. Für

und

ist die Situation auf der nächsten Abbildung zu sehen.

HOPF-Bifurkationen sind generisch und gehören zu den Kodimension-1-Bifurkationen. Die angeführten
Fallunterscheidungen illustrieren die Tatsache, daß eine superkritische HOPF-Bifurkation unter den oben formulierten
Voraussetzungen anhand der Stabilität eines Strudels erkannt werden kann:
Die Eigenwerte

und

der JACOBI-Matrix der rechten Seite von (17.53) in

bei

seien rein


imaginär, und für die restlichen Eigenwerte

gelte Re

ein asymptotisch stabiler Strudel für (17.53) bei
Bifurkation statt.

. Sei weiter

und sei

. Dann findet in (17.53) bei

eine superkritische HOPF-

Beispiel
Die VAN-DER-POLsche Differentialgleichung

mit dem Parameter

kann als

ebene Differentialgleichung
(17.60)
geschrieben werden. Bei
geht (17.60) in die Gleichung des harmonischen Oszillators über und hat deshalb
nur periodische Lösungen und eine Ruhelage, die stabil, aber nicht asymptotisch stabil ist. Mit der Transformation
für

geht (17.60) in die ebene Differentialgleichung
(17.61)

über. Für die Eigenwerte der JACOBI-Matrix in der Ruhelage

von (17.61) gilt


und damit

sowie

asymptotisch stabile Ruhelage von (17.61) bei
und
mit

ist für kleine
wächst.

. Wie im Beispiel gezeigt wurde, ist
. Bei

eine

findet eine superkritische HOPF-Bifurkation statt,

ein instabiler Strudel, der von einem Grenzzyklus umgeben ist, dessen Amplitude


Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
●
●
●
●

Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits
Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
Abspaltung eines Torus


Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
Gegeben sei (17.53) mit
Eigenwert

und

, wobei

mindestens zweimal stetig differenzierbar ist und

Eigenwerte

mit Re

den

habe.

Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit werden in diesem Fall alle Bifurkationen von (17.53) nahe
durch eine eindimensionale reduzierte Differentialgleichung (17.55) beschrieben. Offenbar ist dabei
. Wird zusätzlich

und

vorausgesetzt und die

rechte Seite von (17.55) nach der TAYLOR-Formel entwickelt, so läßt sich diese Darstellung nach Lit. 17.13 durch
Koordinatentransformation umformen zur Normalform
(17.56)
(bei

) bzw.

(bei

), wobei

eine


differenzierbare Funktion mit
(17.56) nahe
diese zur Ruhelage

ist und die Punkte Terme höherer Ordnung bedeuten. Für

zwei Ruhelagen, von denen eine stabil, die andere instabil ist. Bei
, die instabil ist. Für

verschmelzen

hat (17.56) keine Ruhelage nahe 0 (s. Abbildung).

Die Übertragung auf den mehrdimensionalen Fall liefert eine Sattelknoten-Bifurkation nahe
und

hat

in (17.53). Für

ist diese Bifurkation in der folgenden Abbildung zu sehen.

Die Darstellung der Sattelknoten-Bifurkation im erweiterten Phasenraum ist in der nächsten Abbildung dargestellt.


Für hinreichend glatte Vektorfelder (17.53) sind Sattelknoten-Bifurkationen generisch.

Wird in den Bedingungen an

für eine Sattelknoten-Bifurkation die Voraussetzung

Forderungen

und

Normalform (ohne Glieder höherer Ordnung)

durch die

ersetzt, so ergibt sich aus (17.55) die verkürzte

einer transkritischen Bifurkation . Für

und

ist die transkritische Bifurkation, zusammen mit dem Bifurkationsdiagramm, in der folgenden Abbildung
gezeigt.


Sattelknoten- und transkritische Bifurkation gehören zu den Kodimension-1-Bifurkationen.


Binomischer Satz
Die Formel

(1.36a)

und reell und
positiv und ganz sind. Zur Verkürzung der
wird Binomischer Satz genannt, wobei
Schreibweise sind spezielle Koeffizienten , die Binomialkoeffizienten , eingeführt worden:

(1.36b)


bzw.

(1.36c)

●
●
●
●
●

Binomialkoeffizienten
Berechnung der Binomialkoeffizienten
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
Potenz einer Differenz
Verallgemeinerung für eine beliebige Potenz


Binomialverteilung
Sind bei einem Versuch nur die beiden Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten

und

und

möglich und sind die dazuzugehörigen
, so ist

(16.60)
die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei -maliger Wiederholung des Versuches das Ereignis
Bei jedem Ziehen eines Elements aus der Grundgesamtheit gilt

genau

-mal eintritt.

(16.61)
Die Wahrscheinlichkeit, bei den ersten
darauffolgenden

Ziehungen ein Element mit der Eigenschaft

ein Element mit der Eigenschaft

, ist

Ziehung der Elemente ohne Bedeutung, da die Kombinationen

zu ziehen und bei den

. Dabei ist die Reihenfolge der


(16.62)
die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und auch zu einer Stichprobe mit dem Umfang
Eigenschaft

führen. Eine Zufallsveränderliche

binomialverteilt mit den Parametern

, bei der

mit

Elementen der
ist, heißt

. Es gilt:

1. Erwartungswert und Streuung:
(16.63a)
(16.63b)
2. Ist

binomialverteilt, so ist

(16.63c)

Demnach läßt sich die Binomialverteilung für große

näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den

Parametern

ersetzen. Dies ist mit im allgemeinen ausreichender

Genauigkeit möglich, wenn

und
und

ist.

3. Rekursionsformel: Für praktische Rechnungen ist die folgende Rekursionsformel der Binomialverteilung
nützlich:


(16.63d)
4. Sind

und

die Zufallsveränderliche

mit den Parametern

bzw.

binomialverteilte Zufallsveränderliche, so ist

ebenfalls binomialverteilt, und zwar mit den Parametern

.

In der folgenden Abbildung sind drei Binomialverteilungen für die Fälle

und

dargestellt.

Die Abbildung zeigt auch, daß sich in Übereinstimmung mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten für


eine Symmetrie der Binomialverteilung ergibt. Mit der Entfernung des Wertes
diese Symmetrie ab.

von

nimmt


Definitionen
In jedem Punkt

einer Raumkurve, mit Ausnahme der singulären Punkte, können drei Geraden und drei Ebenen

definiert werden, die sich im Punkt

schneiden und senkrecht aufeinander stehen:


1. Tangente
ist die Grenzlage der Sekante

für

.

2. Normalebene
ist eine Ebene, die senkrecht auf der Tangente steht. Alle durch
liegenden Geraden werden die Normalen der Kurve im Punkt
3. Schmiegungsebene

verlaufenden und in dieser Ebene
genannt.

wird die Grenzlage einer Ebene genannt, die durch drei benachbarte Kurvenpunkte

und

verläuft,

für die
und
geht. In der Schmiegungsebene befindet sich die Kurventangente.
4. Hauptnormale
nennt man die Schnittgerade von Normalen- und Schmiegungsebene, d.h., es ist die Normale, die in der
Schmiegungsebene liegt.
5. Binormale
wird die Senkrechte auf die Schmiegungsebene genannt.
6. Rektifizierende Ebene
heißt die von der Tangente und der Binormalen aufgespannte Ebene. Die positiven Richtungen werden auf
den drei Geraden (1.), (4.) und (5.) folgendermaßen festgelegt:


a) Auf der Tangente ist es die positive Richtung der Kurve, die durch den Tangenteneinheitsvektor
festliegt.
b) Auf der Hauptnormalen ist es die Richtung der Kurvenkrümmung, festgelegt durch den
Normaleneinheitsvektor
c) Auf der Binormalen ist sie durch den Einheitsvektor
(3.468)

definiert, wobei die drei Vektoren

und

ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden, das

begleitendes Dreibein der Raumkurve genannt wird.


Unterabschnitte
●
●
●

Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen:
Definition der Kurve als Funktion eines Parameters t in der Parameterform und als Vektorgleichung:
Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge s in der Parameterform und als Vektorgleichung:

Gleichungen der Elemente des begleitenden Dreibeins
Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen:
Die Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen erfolgt in der Form
(3.463).


(3.469)

(3.470)

Dabei sind

die Koordinaten des Kurvenpunktes

und

die laufenden Koordinaten der

Tangente bzw. der Normalebene; die partiellen Ableitungen beziehen sich auf den Punkt

.

Tabelle Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen
Vektorgleichung

Koordinatengleichung
Tangente:


Normalebene:

Schmiegungsebene:

Binormale:

rektifizierende Ebene:


wo

Hauptnormale:

-Ortsvektor der Raumkurve,

-Ortsvektor der Raumkurvengröße

Definition der Kurve als Funktion eines Parameters t in der Parameterform und als


Vektorgleichung:
Die Definition der Kurve als Funktion eines Parameters
gemäß

in der Parameterform und als Vektorgleichung erfolgt

(3.464) und

wobei

(3.466).
Die Vektor- und Koordinatengleichungen von Raumkurvengrößen des Punktes
folgenden Tabelle zusammengefaßt. Dabei sind

und

eines Dreibeinelements. Die Ableitungen nach dem Parameter

mit

sowie

sind in der

die laufenden Koordinaten und der Radiusvektor
beziehen sich auf den Punkt

.

Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge s in der Parameterform und als
Vektorgleichung:
Die Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge
(3.465a) und

in der Parameterform und als Vektorgleichung erfolgt gemäß
wobei

(3.467).
Wenn als Parameter die Bogenlänge
gewählt wird, dann gelten für die Tangente und die Binormale sowie für die
Normal- und Schmiegungsebene dieselben Gleichungen wie im Falle des vorhergehenden Abschnittes; es ist
lediglich

durch

zu ersetzen. Die Gleichungen der Hauptnormalen und der rektifizierenden Ebene werden


einfacher, wie aus der folgenden Tabelle zu ersehen ist.
Tabelle Vektor- und Koordinatengleichungen von
Raumkurvengrößen als Funktion von der Bogenlänge
Element des
Dreibeins

Vektorgleichung

Koordinatengleichung

Hauptnormale

Rektifizierende
Ebene

-Ortsvektor der Raumkurve,

-Ortsvektor der Raumkurvengröße


Schemata zur FFT
Für den speziellen Fall
sollen die dazugehörigen 3 Reduktionsschritte der FFT gemäß (19.223) und (19.225) im
folgenden Schema 1 zusammengestellt werden:
Schema 1:


Die Zuordnung der gesuchten komplexen FOURIER-Koeffizienten zu den

-Werten des 3. Schrittes erkennt man, wenn man sich

überlegt, wie in jedem Reduktionsschritt jeweils die Berechnung der Koeffizienten mit geraden und ungeraden Indizes erfolgt. In
dem folgenden Schema 2 ist diese Verfahrensweise schematisch dargestellt.
Schema 2:


(19.228)

Schreibt man in Schema 1 die Koeffizienten

auf und gibt man die Dualdarstellung ihrer Indizes vor dem ersten und nach dem

dritten Reduktionsschritt an, dann erkennt man, daß die Reihenfolge der gesuchten Koeffizienten durch sogenannte Bitumkehr auf
besonders einfache Weise ermittelt werden kann, wie in dem folgenden Schema 3 dargestellt ist.


Beispiel
Für die Funktion

, die periodisch mit der Periode

die diskrete FOURIER-Transformation durchgeführt. Man wähle

sein soll, werde mit Hilfe der FFT

. Mit
,

erhält man das folgende Schema 4:


Aus dem dritten (letzten) Reduktionsschritt erhält man die nachstehend aufgeführten gesuchten reellen FOURIER-Koeffizienten
gemäß (19.220):


In diesem Beispiel kann man auch die allgemeine Eigenschaft
(19.229)
der diskreten komplexen FOURIER-Koeffizienten überprüfen.
Für

sieht man, daß gilt:

.


Ungerichtete und gerichtete Graphen
Ein Graph

ist ein geordnetes Paar

aus einer Menge

von Knoten und einer Menge

ist eine Abbildung ( Inzidenzfunktion ) erklärt, die jedem Element von
Paar (nicht notwendig verschiedener) Elemente von
zugeordnet, dann wird

von Kanten . Auf

eindeutig ein geordnetes oder ungeordnetes

zuordnet. Ist jedem Element von

ein ungeordnetes Paar

ein ungerichteter Graph genannt (linke Abbildung).

Ist dagegen jedem Element von

ein geordnetes Paar zugeordnet, dann spricht man von einem gerichteten Graphen

(rechte Abbildung). Die Elemente von
gemischte Graphen genannt.

heißen dann auch Bögen oder gerichtete Kanten . Alle anderen Graphen werden


In der graphischen Darstellung erscheinen die Knoten der Graphen als Punkte, die gerichteten Kanten als Pfeile und die
ungerichteten Kanten als ungerichtete Linien.
Beispiel A
Für den Graphen

gilt:

in der Abbildung


Beispiel B
Für den Graphen

gilt:

Beispiel C

in der Abbildung


Für den Graphen

gilt:

in der Abbildung


Bewertete Graphen
Ist

ein Graph und

ein bewerteter Graph und

eine Abbildung, die jeder Kante eine reelle Zahl zuordnet, so heißt

die Bewertung oder Länge der Kante

In vielen Anwendungsfällen repräsentieren die Bewertungen der Kanten Kosten, die durch den Bau, die
Aufrechterhaltung oder die Benutzung der Verbindungen zustandekommen.


Differential des Bogens
Eine Fläche sei in der expliziten Form

(3.483) oder in der Vektorform
(3.484) gegeben. Auf der Fläche seien

und

ein in der Nähe von

bzw.
ein beliebiger Punkt

liegender zweiter Punkt. Die Länge des Bogens

auf

der Fläche läßt sich dann angenähert durch das Differential des Bogens oder das Linienelement der Fläche mit der
Formel
(3.490a)
berechnen, wobei die drei Koeffizienten


(3.490b)

zu bilden sind. Die rechte Seite der ersten Formel (3.490a) wird erste quadratische
für den Punkt
Fundamentalform der Fläche genannt.
Beispiel A
(3.485c) ergibt sich:

Für die Kugel gemäß

(3.491)
Beispiel B
Für eine explizit durch

(3.482) gegebene Fläche ergibt sich:
(3.492)


Kurvenelemente
Ebene Kurve in
der

Kartesische Koordinaten

-

Ebene
Polarkoordinaten

Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten

Raumkurve

Parameterdarstellung in kartesischen
Koordinaten


Bogenelement
Wenn
Zuwachs
werden:

die Länge der Kurve von einem festen Punkt

bis zum Punkt

angenähert durch das Differential

ist, dann kann der infinitesimale

der Bogenlänge, das Bogenelement , ausgedrückt

für die explizite Definition der Kurve (3.425)

(3.428)
für die Definition der Kurve in der Parameterform (3.426)
(3.429)
für die Definition der Kurve in der Polarkoordinatenform (3.427)
(3.430)


Beispiel A
.

Beispiel B
.

Beispiel C
.


Bogenlängen ebener Kurven
1. Bogenlänge einer Kurve zwischen den Punkten
oder in Parameterform (

,

und

, die explizit (

bzw.

)

) gegeben ist (s. linke Abbildung):

(8.60a)

Mit dem Differential der Bogenlänge

ergibt sich
(8.60b)


Beispiel
Ellipsenumfang gemäß (8.60a): Mit den Substitutionen
erhält man
, wobei

die numerische Exzentrizität der Ellipse ist.
Mit den Integrationsgrenzen für den 1. Quadranten

gemäß

bzw.


gilt

Ermittlung des Integralwertes

mit

. Die

aus der Tabelle Elliptische Integrale (s. Beispiel Umfang der

Ellipse).
2. Bogenlänge einer Kurve zwischen den Punkten

und

, gegeben in Polarkoordinaten (

)

(s. rechte Abbildung):
(8.60c)

Mit dem Differential der Bogenlänge

ergibt sich
(8.60d)


Hyperbelbogen
Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten

der Hyperbel läßt sich nicht elementar berechnen, wie es für die

Parabel möglich ist, sondern mit Hilfe eines unvollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung
zur Bogenlänge der Ellipse.

in Analogie


Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
Kenngrößen sind Radius

und Zentriwinkel

Zu berechnende Größen sind:
(3.57)

(3.58)


(3.59)

(3.60a)

(3.60b)

(3.61)

(3.62a)

(3.62b)


Anwendungen des Kurvenintegrals erster Art

Länge eines Kurvenstückes

Masse eines inhom. Kurvenstücks

Schwerpunktkoordinaten

Dichtefunktion)


Trägheitsmomente einer ebenen
Kurve in der

-Ebene

Trägheitsmomente einer Raumkurve
bezüglich der Koordinatenachsen

Im Falle homogener Kurven ist in den obigen Formeln

einzusetzen.


Koordinatengleichungen
Zur Definition einer Raumkurve gibt es die folgenden Möglichkeiten:
1. Schnitt zweier Flächen:
(3.463)
2. Parameterform mit dem beliebigen Parameter

:
(3.464)

mit

als beliebigem Parameter, wobei ist
3. Parameterform mit der Bogenlänge

oder

sein kann.

als Parameter:
(3.465a)

mit der Bogenlänge

zwischen einem festen Punkt

und dem laufenden Punkt

:
(3.465b)


Messungen auf der Fläche
1. Länge des Bogens:
Die Länge einer Kurve

auf der Fläche wird für

über

(3.493)
berechnet.
2. Der Winkel zwischen zwei Kurven:
Der Winkel zwischen zwei Kurven, d.h. zwischen ihren Tangenten, die sich im Punkt
diesem Punkt die durch die Vektoren
der Formel

und

schneiden und in

vorgegebene Richtung haben, wird mit


(3.494)
berechnet.

Die Koeffizienten

und

sind für den Punkt

zu bestimmen. Wenn der Zähler von (3.494) verschwindet,

stehen beide Kurven senkrecht aufeinander. Die Orthogonalitätsbedingung für die Koordinatenlinien
und
für
lautet
3. Der Flächeninhalt eines Flächenstückes:
Der Flächeninhalt eines Flächenstückes
begrenzt wird, kann über das Doppelintegral

das von einer beliebigen, auf der Fläche liegenden Kurve

für


(3.495a)
mit
(3.495b)
Flächenelement .
berechnet werden. Man nennt
Die Berechnung von Längen, Winkeln und Flächeninhalten auf Flächen ist mit Hilfe der Formeln (3.493, 3.494,
3.495a,b) möglich, wenn die Koeffizienten

und

der ersten quadratischen Fundamentalform bekannt sind.

Somit definiert die erste quadratische Fundamentalform die Metrik auf der Fläche .


Bogenschnitt
Der Neupunkt
zwei Punkte

ergibt sich als Schnittpunkt zweier Bögen mit den gemessenen Radien
und

mit bekannten Koordinaten.

und

um die


Berechnet wird die unbekannte Länge

und aus den nun bekannten drei Seiten im Dreieck

die Winkel.

Eine zweite hier nicht betrachtete Lösung geht von einer Zerlegung des schiefwinkligen Dreieckes in zwei
rechtwinklige Dreiecke aus.
Gegeben:

Gemessen:

Gesucht:

Lösung:
(3.100a)


(3.100b)
(3.100c)
(3.100d)

(3.100e)
(3.100f)
(3.100g)
(3.100h)
(3.100i)
(3.100j)
(3.100k)


Kompakte Teilmengen in normierten Räumen
Eine Teilmenge
●

●

eines normierten Raumes

heißt

kompakt , wenn jede Folge von Elementen aus
liegt,

eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzwert in

relativkompakt oder präkompakt , wenn ihre Abschließung kompakt ist, d.h., jede Folge von Elementen aus
enthält eine (nicht unbedingt zu einem Element aus

) konvergente Teilfolge.

Dabei genügt es für die eingeführten Begriffe,
als metrischen (oder noch allgemeineren) Raum vorauszusetzen.
Diese Allgemeinheit wird im weiteren aber nicht erforderlich sein.
In der Analysis ist dies gerade der Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS, weshalb man sagt, eine solche Menge besitze
die BOLZANO-WEIERSTRASS-Eigenschaft .
Jede kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Umgekehrt, ist der Raum

endlichdimensional, dann ist

jede solche Menge auch kompakt. Die abgeschlossene Einheitskugel im normierten Raum
kompakt, wenn

ist genau dann

endlichdimensional ist. Zur Charakterisierung von relativkompakten Mengen in metrischen


Räumen (Satz von HAUSDORFF über die Existenz eines endlichen
ARZELA-ASCOLI) und

s. Lit. 12.18.

-Netzes) sowie in den Räumen

(Satz von


Rechenregeln
Es gelten die folgenden Rechenregeln; sie sind analog zu den Rechenregeln der BOOLEschen Schaltalgebra:
(16.8)
(16.9)
(16.10)
(16.11)
(16.12)
(16.13)
(16.14)
(16.15)
(16.16)
(16.17)
(16.18)


(16.19)
(16.20)
(16.21)
(16.22)
(16.23)
(16.24)
(16.25)
(16.26)
11. Vollständiges System: Ein System von

Ereignissen

heißt vollständig, wenn gilt:
(16.27)

Beispiel A


Für das Werfen zweier Münzen ergibt sich die folgende Tabelle der möglichen Elementarereignisse:
Zahl

Wappen

1. Münze
2. Münze
Beispiele für zusammengesetzte Ereignisse:
1.
Erste Münze zeigt Zahl oder Wappen:

.

2.
Gleichzeitiges Auftreten von Zahl und Wappen bei der ersten Münze:
3.
Erste Münze Zahl, zweite Münze Wappen:

Beispiel B

.

.


Bestimmung der Brenndauer von Glühlampen.
Elementarereignis

: Die Brenndauer

Zusammengesetztes Ereignis

genügt der Ungleichung

: Die Brenndauer ist höchstens gleich

, d.h.

.


BOOLEsche Ausdrücke
BOOLEsche Ausdrücke werden induktiv definiert: Sei
Werte aus

eine (abzählbare) Menge BOOLEscher Variabler (die nur

annehmen können):
(5.225)
(5.226)

Enthält ein BOOLEscher Ausdruck die Variablen
eine ,,Belegung`` der BOOLEschen Variablen
Definition werden den Ausdrücken

so repräsentiert er eine
d.h.

-stellige BOOLEsche Funktion

: Es sei

Unter Beachtung der induktiven

wie folgt BOOLEsche Funktionen zugeordnet:
(5.227a)
(5.227b)
(5.227c)
(5.227d)


Umgekehrt läßt sich jede BOOLEsche Funktion

durch einen BOOLEschen Ausdruck

darstellen (s. Normalformen).


Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen

Modifizierte KdV-Gleichung
(9.144)
Die noch allgemeinere Gleichung
(9.145)
hat das Soliton

(9.146)

als Lösung.

sinh- GORDON-Gleichung


(9.147)

BOUSSINESQ-Gleichung
(9.148)
Sie tritt bei der Beschreibung nichtlinearer elektrischer Netzwerke als Kontinuumsnäherung der Ladungs-SpannungsBeziehung auf.

HIROTA-Gleichung
(9.149)

BURGERS-Gleichung
(9.150)
Sie tritt bei der modellmäßigen Beschreibung der Turbulenz auf. Mit der HOPF-COLE-Transformation wird sie in die
Diffusionsgleichung, also eine lineare Differentialgleichung, überführt.


KADOMZEV-PEDVIASHWILI-Gleichung
Die Gleichung
(9.151a)
hat das Soliton
(9.151b)

zur Lösung. Die Gleichung (9.151a) ist ein Beispiel für Solitonengleichungen mit einer größeren Zahl unabhängiger
Variabler, z.B. zweier Ortsvariabler.


Brachistochronenproblem
Das Brachistochronenproblem wurde 1696 von J. BERNOULLI formuliert und beinhaltet die folgende Aufgabe: Der in
einer vertikalen

-Ebene liegende Punkt

soll mit dem Koordinatenursprung durch eine Kurve

so verbunden werden, daß ein längs dieser Kurve sich bewegender Massepunkt allein unter dem
Einfluß der Schwerkraft in der kürzesten Zeit von

zum Ursprung gelangt (s. Abbildung).


Mit der Formel für die Fallzeit

ergibt sich die folgende mathematische Formulierung: Man bestimme eine einmal

stetig differenzierbare Kurve

, für die

(10.9)

gilt (

Fallbeschleunigung) und die die Randbedingungen
(10.10)

erfüllt. Man beachte, daß in (10.9) für

eine Singularität auftritt.


Versiera der Agnesi
Die Gleichung
(2.216a)
liefert die in der folgenden Abbildung dargestellte Versiera der Agnesi .

Sie besitzt eine Asymptote mit der Gleichung

ein Maximum

bei

der dazugehörige


Krümmungsradius beträgt

. Die Wendepunkte

Tangentenneigungswinkel sind dort gegeben durch

Asymptote beträgt
mit der Gleichung

und

befinden sich bei

, die

. Die Fläche zwischen der Kurve und der

Die Versiera der Agnesi ist ein Spezialfall der LORENTZ- oder BREIT-WIGNER-Kurve

(2.216b)

Beispiel
Als Bildfunktion der gedämpften Schwingung bezüglich der FOURIER-Transformation ergibt sich die
LORENTZ- oder BREIT-WIGNER-Kurve.


Bildfunktion zur gedämpften Schwingung
Bildfunktion einer gedämpften Schwingung: Die in der folgenden linken Abbildung dargestellte gedämpfte
Schwingung wird durch die Funktion
(15.100a)
beschrieben.


Zur Vereinfachung der Rechnung wird die FOURIER-Transformation der komplexen Funktion
ermittelt. Es gilt

.

Die FOURIER-Transformation liefert:

(15.100b)
Das Ergebnis ist die LORENTZ- oder BREIT-WIGNER-Kurve
(15.100c)
die in der rechten Abbildung dargestellt ist.
Einer gedämpften Schwingung im Zeitbereich entspricht ein einziger Peak im Frequenzbereich.


Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche
Für eine in der Parameterform

(3.483) oder Vektorform

bzw.
Variieren des Parameters

(3.484) gegebene Fläche erhält man durch
bei gleichzeitigem Festhalten von

auf der Fläche. Werden für

die Punkte

einer Kurve

nacheinander verschiedene, aber feste Werte

eingesetzt, dann ergibt sich eine Kurvenschar auf der Fläche. Da bei der
Bewegung längs einer solchen Kurve mit

nur

geändert wird, nennt man diese Kurven die

-Linien .


In Analogie dazu erhält man beim Variieren von

und gleichzeitigem Festhalten von

eine zweite Kurvenschar und spricht von

für

-Linien . Auf diese Weise kann man auf der Fläche

(3.483) ein Netz von Koordinatenlinien entstehen lassen, in dem zwei feste Zahlen

und

die

sind.
krummlinigen oder GAUSSschen Koordinaten des Flächenpunktes
Wenn eine Fläche in der Form (3.482) gegeben ist, stellen die Koordinaten Schnitte der Fläche mit den Ebenen
und
Parametergleichungen
beschrieben.
Beispiel

dar. Mit Gleichungen der impliziten Form
und

oder mit den

zwischen diesen Koordinaten werden Kurven auf der Fläche


Die Parametergleichungen der Kugel (3.485b,c) ergeben für
und
Meridiane

die geographische Länge eines Punktes

seinen Polabstand oder seine geographische Breite . Die
die

-Linien die Parallelkreise

-Linien sind hier die


Geographische Koordinaten
Zur Bestimmung von Punkten

auf der Erdoberfläche werden geographische Koordinaten benutzt, d.h.

Kugelkoordinaten mit dem Radius der Erdkugel, der geographischen Länge

und der geographischen Breite

.


Längengradeinteilung: Zur Längengradzählung ist die Erdoberfläche in halbe, vom Nordpol zum Südpol
verlaufende Großkreise, die Meridiane , eingeteilt. Der Nullmeridian verläuft durch die Sternwarte Greenwich .
Von ihm aus erfolgt die Zählung mit Hilfe von 180 ganzzahligen Meridianen östlicher Länge (ö. L.) und 180
ganzzahligen Meridianen westlicher Länge (w. L.), die am Äquator einen gegenseitigen Abstand von 111 km
haben. Östliche Längen werden positiv, westliche Längen negativ angegeben. Somit gilt

Breitengradeinteilung: Zur Breitengradzählung ist die Erdoberfläche in parallel zum Äquator verlaufende
Kleinkreise, die Breitengrade, eingeteilt. Vom Äquator aus, einem Großkreis, zählt man 90 ganzzahlige
Breitengrade nördlicher Breite (n. Br.) und 90 südlicher Breite (s. Br.). Nördliche Breiten werden positiv,
südliche Breiten negativ angegeben. Somit gilt


Elemente der Ellipse
In der folgenden Abbildung sind
Scheitel ,

die große Achse ,

die Brennpunkte mit dem Abstand
die numerische Exzentrizität und

die kleine Achse ,

die

auf beiden Seiten des Mittelpunktes,
der Halbparameter , d.h. die halbe Länge der durch

einen Brennpunkt parallel zur kleinen Achse gezogenen Sehne.


Elemente der Hyperbel

In der Abbildung sind

die reelle Achse;

die Scheitel ; 0 der Mittelpunkt;

und

die


Brennpunkte im Abstand

auf der reellen Achse zu beiden Seiten vom Mittelpunkt;
die imaginäre Achse ;

der Halbparameter der Hyperbel , d.h. die halbe

Länge der durch einen der Brennpunkte senkrecht zur rellen Achse gelegten Sehne;
Exzentrizität .

die numerische


Elemente der Parabel
In der folgenden Abbildung ist die

-Achse mit der Parabelachse identisch, 0 ist der Scheitel der Parabel ,

Brennpunkt der Parabel , der sich im Abstand
Halbparameter der Parabel genannt wird.

vom Koordinatenursprung auf der

der

-Achse befindet, wobei


Mit
Abstand

ist die Leitlinie bezeichnet, d.h. eine Gerade, die senkrecht auf der Parabelachse steht und diese im
auf der dem Brennpunkt entgegengesetzten Seite schneidet. Somit ist der Halbparameter auch gleich

der halben Länge der Sehne, die im Brennpunkt senkrecht auf der Achse steht. Die numerische Exzentrizität der
Parabel ist gleich eins.
(S. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)


Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse
Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen festen
Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich

ist. Jeder dieser Abstände, die auch Brennpunktradiusvektoren

eines Ellipsenpunktes genannt werden, berechnet sich als Funktion von der Abszissenkoordinate

gemäß
(3.319)


In dieser und in den weiteren Formeln mit kartesischen Koordinaten wird angenommen, daß die Ellipse in der
Normalform gegeben ist.


Brennpunktseigenschaften der Hyperbel, Definition der Hyperbel

Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei gegebenen festen
Punkten, den Brennpunkten, konstant gleich

ist. Punkte mit

gehören einem Zweig an (in der


Abbildung dem linken), andere mit

dem zweiten (in der Abbildung dem rechten). Jeder dieser

Abstände, die auch Brennpunktradiusvektoren genannt werden, berechnet sich aus
(3.329)
wobei das obere Vorzeichen für den linken, das untere für den rechten Zweig gilt. In diesen und den folgenden
Hyperbelformeln, mit kartesischen Koordinaten, wird angenommen, daß die Hyperbel in der Normalform angegeben
ist.


Chinesisches Briefträgerproblem
Das Problem, daß ein Briefträger jede Straße seines Zustellbereiches mindestens einmal durchläuft, zum
Ausgangspunkt zurückkehrt und insgesamt einen möglichst kurzen Weg durchlaufen will, läßt sich
graphentheoretisch wie folgt formulieren: Es sei
Kanten

Gesucht wird eine Kantenfolge

ein bewerteter Graph mit

für alle

mit minimaler Gesamtlänge
(5.238)

Die Bezeichnung des Problems erinnert an den chinesischen Mathematiker KUAN, der sich als erster mit dem
Problem beschäftigt hat. Zur Lösung sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1.
ist ein EULERscher Graph - dann ist jede geschlossene EULERsche Linie optimal - und
2.
besitzt keine EULERsche Linie.


Einen effektiven Algorithmus zur Lösung des Problems haben EDMONDS und JOHNSON angegeben (s. Lit.5.30).


Bestimmung des ganzrationalen Anteils
Ein Quotient zweier Polynome mit gemeinsamer Hauptgröße
wird ein echter Bruch genannt, wenn das Polynom im Zähler
von niedrigerem Grade ist als das Polynom im Nenner. Im entgegengesetzten Falle spricht man von einem unechten Bruch .
Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einem echten Bruch und einem Polynom zerlegt werden, indem das
Zählerpolynom durch das Nennerpolynom dividiert, d.h. der ganzrationale Anteil abgespalten wird.
Beispiel
Bestimmung des ganzrationalen Anteils von


Der ganzrationale Anteil einer unecht gebrochenrationalen Funktion
bezeichnet, weil sich

●
●
●
●
●

für große Werte von

Partialbruchzerlegung, allgemeiner Fall
Partialbruchzerlegung, Fall 1
Partialbruchzerlegung, Fall 2
Partialbruchzerlegung, Fall 3
Partialbruchzerlegung, Fall 4

wird auch als asymptotische Näherung für

wie dieser Polynomanteil verhält.


Fraktale
Attraktoren oder andere invariante Mengen von dynamischen Systemen können geometrisch komplizierter als Punkt,
Linie oder Torus aufgebaut sein. Fraktale sind, auch unabhängig von einer Dynamik, Mengen, die sich durch eines
oder mehrere Merkmale wie Ausfransung, Porösität, Komplexität, Selbstähnlichkeit auszeichnen. Da der übliche
Dimensionsbegriff, wie er für glatte Flächen und Kurven gebraucht wird, für Fraktale nicht anwendbar ist, müssen
verallgemeinerte Definitionen der Dimension herangezogen werden. Eine ausführlichere Darstellung der
Dimensionstheorie s. Lit. 17.9, 17.5.
Beispiel


Das Intervall

wird in drei Teilintervalle gleicher Länge geteilt und das mittlere offene Drittel

entfernt, so daß die Menge

entsteht. Dann werden von den beiden Teilintervallen von

die jeweils mittleren offenen Drittel entfernt,

so daß die Menge

entsteht. Diese Prozedur wird mit

fortgesetzt, indem aus jedem Teilintervall von

das mittlere

offene Drittel entfernt wird. Dadurch entsteht eine Folge von Mengen

wobei jedes

aus

Intervallen der Länge

Menge aller der Punkte, die allen

besteht. Die CANTOR-Menge

ist definiert als

angehören, d.h.,

Die Menge
ist kompakt, überabzählbar, hat das LEBESGUE-Maß Null und ist perfekt. D.h.,
ist
abgeschlossen, und jeder Punkt ist Häufungspunkt. Die CANTOR-Menge kann als Beispiel für ein Fraktal
dienen.


Hausdorff-Dimension
Die Motivation für diese Dimension ergibt sich aus der Volumenberechnung durch das LEBESGUE-Maß. Wird eine
beschränkte Menge

mit einer Überdeckung aus einer endlichen Anzahl Kugeln

versehen, so daß also

gilt, erhält man für

alle endlichen Überdeckungen von

durch Kugeln mit Radius

und läßt

gegen Null gehen, so ergibt sich das äußere LEBESGUE-Maß

mit dem Volumen vol

Es seien

das ,,Rohvolumen``

mit Radius
. Bildet man nun über

die Größe
von

, das für meßbare Mengen

übereinstimmt.

der EUKLIDische Raum

oder, allgemeiner, ein separabler metrischer Raum mit Metrik

eine Teilmenge. Für beliebige Parameter

und

wird die Größe

und


(17.40a)

gebildet, wobei

beliebige Teilmengen mit Durchmesser diam

sind. Das äußere

HAUSDORFF- Maß zur Dimension d von A wird durch
(17.40b)
definiert und kann endlich oder unendlich sein. Die HAUSDORFF- Dimension

der Menge

ist dann der

(einzige) kritische Wert des HAUSDORFF-Maßes:
(17.40c)

Bemerkung: Die Größen
oder, im Falle des

können auch mit Hilfe von Überdeckungen aus Kugeln vom Radius

, aus Würfeln der Kantenlänge

Wichtige Eigenschaften der HAUSDORFF-Dimension:
(HD1)
.

gebildet werden.


(HD2)
Ist

, so gilt

Aus

folgt

.

(HD3)
.

(HD4)
Ist

, so gilt

.

(HD5)
Ist

endlich oder abzählbar, so ist

.

(HD6)
Ist

LIPSCHITZ-stetig (d.h. existiert eine Konstante
, so gilt

Abbildung

Beispiel

und ist diese ebenfalls LIPSCHITZ-stetig, so ist sogar

mit
. Existiert die inverse
.


Für die Menge

aller rationalen Zahlen gilt wegen (HD5)

. Für die CANTOR-Menge

ist


Selbstähnlichkeit
Einer Reihe geometrischer Figuren, die man selbstähnlich nennt, liegt folgende Entstehungsprozedur zugrunde: Eine
Ausgangsfigur wird durch eine neue Figur ersetzt, die aus
Ausgangsfigur besteht. Alle im
ersten Schritt behandelt.

-ten Schritt vorhandenen

mit dem Faktor

-fach skalierten Ausgangsfiguren werden jeweils wie im

Für die in den folgenden Beispielen A bis D genannten Mengen gilt

Beispiel A
CANTOR-Menge:

Beispiel B

.

linear skalierten Kopien der

.


KOCHsche Kurve:

. Die ersten 3 Schritte sind in der folgenden Abbildung zu sehen.

Beispiel C
SIERPINSKI-Drachen:
Dreiecke werden jeweils entfernt.

Beispiel D

. Die ersten 3 Schritte zeigt die folgende Abbildung. Die weißen


SIERPINSKI-Teppich:
Quadrate werden entfernt.

. Die ersten 3 Schritte zeigt die folgende Abbildung. Die weißen


Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 2, Anwendung der Formel von
CARDANO
Durch die Substitution

geht (1.156b) in
(1.160a)

über. Diese Gleichung ist sicher dann erfüllt,wenn
(1.160b)
gilt. Schreibt man diese Gleichungen in der Form
(1.160c)
und
Summe und Produkt bekannt, so daß sie auf Grund des
dann sind von den beiden unbekannten Größen
VIETAschen Wurzelsatzes bzw. wegen (1.152) und (1.150b) als Lösungen der quadratischen Gleichung


(1.160d)
aufgefaßt werden können. Man erhält
(1.160e)
so daß sich für die Lösungen

der Gleichung (1.156b) die CARDANOsche Formel
(1.160f)

ergibt. Wegen der Dreideutigkeit jeder 3. Wurzel wären neun verschiedene Fälle möglich, die sich wegen
auf die folgenden drei Lösungen reduzieren:
(1.160g)
(1.160h)
(1.160i)

Beispiel


mit

Die reelle Wurzel ist

die komplexen Wurzeln sind

und


Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen
Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen, Übersicht


CASSINIsche Kurven
CASSINIsche Kurven nennt man den geometrischen Ort aller Punkte
festen Punkten

und

bei

bzw.

, für die das Produkt der Abstände von zwei

, den Fixpunkten, konstant gleich

ist:
(2.228)

Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten:
(2.229a)
(2.229b)
Die Form der Kurve hängt von den Größen

und

ab:


1. Fall

Für

Die Schnittpunkte

und

mit der

ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval.
mit der

-Achse liegen bei

, die Schnittpunkte

und

-Achse bei
Für den Fall

2. Fall
und

und

bei

ergibt sich eine Kurve des gleichen Typs mit
wobei die Krümmung in den Punkten

und

und

bei

gleich 0 ist,

d.h., es gibt eine enge Berührung mit den Geraden
3. Fall

Für

ist die Kurve ein eingedrücktes Oval.
ebenso das Maximum und das Minimum

Die Achsenschnitte sind dieselben wie im Falle

während die weiteren Extrema

bei

liegen und die vier


Wendepunkte

bei

mit

4. Fall

Für

ergibt sich die Lemniskate.

5. Fall

Für

ergeben sich zwei Ovale.

Die Schnittpunkte

und

bei

Der Krümmungsradius beträgt

mit der

-Achse liegen bei

die Maxima und Minima

die Schnittpunkte

und

und

bei

wobei

der Polarkoordinatendarstellung genügt.


Anwendung der Cauchyschen Integralformeln
Mit Hilfe der CAUCHYschen Integralformel
(14.56)
kann man die Werte einiger bestimmter Integrale bestimmen.
Beispiel
Die Funktion
wobei der Integrationsweg

, die in der gesamten

-Ebene analytisch ist, wird gemäß CAUCHYscher Integralformel (14.56) dargestellt,

ein Kreis mit dem Mittelpunkt in

und dem Radius

sein soll. Die Kreisgleichung lautet

.

Man erhält gemäß (14.56)

,

so daß

Da der Imaginärteil gleich Null ist, ergibt sich


.


Cauchy-Folge
Sei

ein metrischer Raum. Die Folge

mit

fundamentale Folge oder manchmal auch noch konvergent in sich , wenn es für
gibt, so daß

heißt CAUCHY- Folge ,
einen Index

die Ungleichung
(12.54)

gilt. Jede CAUCHY-Folge ist eine beschränkte Menge. Weiter gilt, daß jede konvergente Folge eine CAUCHY-Folge ist.
Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel


die Metrik (12.44) des Raumes

Betrachtet man im Raum
in

sowie die offensichtlich für alle

liegenden Elemente

dann ist die Folge

eine CAUCHY-Folge in diesem Raum.
Würde die Folge

konvergieren, dann müßte sie auch koordinatenweise, und zwar zu dem Element
, konvergieren. Die harmonische Reihe
nicht in

.

liegt aber wegen


Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes
Wenn eine Funktion

im gesamten Teil der Ebene außerhalb des geschlossenen Integrationsweges

analytisch ist, dann werden die Werte der Funktion

und ihrer Ableitungen in einem Punkt

dieses Gebietes

mit Hilfe der gleichen CAUCHYschen Formeln (14.42, 14.43) dargestellt, aber die Kurve des geschlossenen
Integrationsweges

ist nunmehr im Uhrzeigersinn zu durchlaufen (s. Abbildung).


Mit Hilfe der CAUCHYschen Integralformeln können die Werte einiger reeller bestimmter Integrale berechnet werden.


Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes
Ist

auf einer geschlossenen Kurve

und in dem von ihr umschlossenen einfach zusammenhängenden

Gebiet analytisch, dann gilt für jeden inneren Punkt

dieses Gebietes (s. Abbildung) die Darstellung
(14.42)

wenn

die Kurve

im Gegenuhrzeigersinn durchläuft.


Somit lassen sich die Funktionswerte einer analytischen Funktion im Innern eines Gebietes durch die Funktionswerte
auf dem Rande des Gebietes ausdrücken.
Aus (14.42) ergeben sich Existenz und Integraldarstellung der
analytischen Funktion:

-ten Ableitung einer in einem Gebiet

(14.43)
Eine analytische Funktion ist demnach beliebig oft differenzierbar. Im Unterschied dazu folgt im Reellen aus der
einmaligen Differenzierbarkeit nicht die wiederholte Differenzierbarkeit.
Die Gleichungen (14.42) und (14.43) werden CAUCHYsche Integralformeln genannt.


Eigenschaften des Cauchy-Integrals
Die Funktion
(11.76a)

heißt CAUCHY-Integral über

. Für

existiert das Integral im gewöhnlichen Sinne und stellt eine
. Für

holomorphe Funktion dar. Es gilt

sei unter (11.76a) der CAUCHYsche Hauptwert

(11.76b)

verstanden. Das CAUCHY-Integral
Annäherung von
und SOCHOZKI:

an

ist von

werden mit

bzw.
bzw.

stetig auf

fortsetzbar. Die Grenzwerte bei

bezeichnet. Es gelten die Formeln von PLEMELJ


(11.76c)


Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)
Ausgehend vom aktuellen Punkt

, wird

als Richtung des lokal steilsten Abstieges festgelegt durch
(18.74a)

Es ist also
(18.74b)
Eine schematische Darstellung des Gradientenverfahrens mit den Niveaulinien
Abbildung.

zeigt die folgende


Die Schrittweite

wird nach dem CAUCHY-Prinzip, auch Prinzip der Strahlminimierung genannt, ermittelt, d.h.,

löst die eindimensionale Aufgabe
(18.75)
Dazu können Verfahren aus Abschnitt Numerische Suchverfahren herangezogen werden. Das Gradientenverfahren
(18.74ab) konvergiert relativ langsam. Für jeden Häufungspunkt
quadratische Zielfunktion, d.h.

der Folge

gilt

. Für eine

, besitzt das Verfahren die Form:
(18.76a)


(18.76b)


Vollständiger metrischer Raum
Ein metrischer Raum heißt vollständig , wenn in ihm jede CAUCHY-Folge konvergiert. Die vollständigen metrischen
Räume sind also gerade diejenigen, in denen das von den reellen Zahlen her bekannte CAUCHYsche Prinzip gilt:
Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine CAUCHY-Folge ist. Jeder abgeschlossene Teilraum eines
vollständigen metrischen Raumes ist (als selbständiger metrischer Raum aufgefaßt) vollständig. In gewisser Weise
gilt die Umkehrung: Ist ein Teilraum
vollständig, so ist die Menge

in

eines (nicht notwendigerweise vollständigen) metrischen Raumes
abgeschlossen.

Beispiel
,

Beispiele vollständiger metrischer Räume sind
,

.

,

,


Formulierung der Aufgabe
Gegeben ist die Integralgleichung
(11.72)
Hier ist

ein System endlich vieler glatter, doppelpunktfreier, geschlossener Kurven in der komplexen Ebene, die

ein zusammenhängendes Innengebiet
Durchlauf zur Linken von

mit

und ein Außengebiet

bilden. Dabei liegt

beim

. Für die Betrachtung von Kurvensystemen, bestehend aus stückweise glatten, offenen

oder geschlossenen Kurven (s. Lit. 11.2). Eine Funktion

ist auf

HÖLDER-stetig, falls für beliebige Paare

gilt:
(11.73)
Die Funktionen

und

werden als HÖLDER-stetig mit dem Exponenten

bezüglich beider Argumente HÖLDER-stetig mit dem Exponenten

und

angenommen. Der Kern


hat für
Hauptwert. Mit

eine starke Singularität. Das Integral existiert aber als CAUCHYscher
und

ergibt sich (11.72) in der

Form
(11.74a)

Der Ausdruck

beschreibt in verkürzter Form die linke Seite der Integralgleichung.

Operator. Die Kernfunktion

ist ein singulärer

ist nur schwach singulär. Es gelte zusätzlich die Normalitätsbedingung
. Die Gleichung

(11.74b)

ist die zu (11.74a) zugeordnete charakteristische Gleichung . Der Operator
Operators

. Die zu (11.74a) transponierte Integralgleichung lautet:

ist der charakteristische Teil des


(11.74c)


Integrale mit unbeschränktem Integranden
Es sind drei verschiedene Fälle zu betrachten, für die eigene Definitionen eingeführt werden.
●
●
●
●

Definitionen
Geometrische Bedeutung
Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung
Hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals mit unbeschränktem Integranden


CAUCHYsches Problem
Gegeben sind

Funktionen von

unabhängigen Variablen

:
(9.72a)

Das CAUCHYsche Problem für die Differentialgleichung (9.68a) besteht darin, eine Lösung
(9.72b)

zu bestimmen, die beim Einsetzen von (9.72a) eine vorgegebene Funktion

ergibt:

(9.72c)
Im Falle zweier Variabler reduziert sich das Problem auf das Aufsuchen einer Integralfläche, die durch eine gegebene
Kurve verläuft. Wenn diese Kurve eine stetige Tangente hat und in keinem Punkt eine Charakteristik berührt, dann
besitzt das CAUCHYsche Problem in einer gewissen Umgebung dieser Kurve stets eine eindeutige Lösung. Dabei
besteht die Integralfläche aus der Menge aller der Charakteristiken, die die gegebene Kurve schneiden. Eine exaktere
Formulierung des Satzes über die Existenz der Lösung des CAUCHYschen Problems s. Lit. 9.26.
Beispiel A


Für die lineare inhomogene partielle Differentialgleichung erster Ordnung

lauten die Gleichungen der Charakteristiken
.
Die Integrale dieses Systems lauten
.
Als Charakteristiken ergeben sich Kreise, deren Mittelpunkte auf einer durch den Koordinatenursprung
verlaufenden Geraden liegen, die zu

proportionale Richtungskosinusse besitzt. Die Integralflächen

sind Rotationsflächen mit dieser Geraden als Achse.
Beispiel B


Es sind die Integralflächen der linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung

zu bestimmen, die durch die Kurve
verläuft. Die Gleichungen der Charakteristiken lauten

.

Die durch den Punkt

verlaufenden Charakteristiken sind
.

Als Parameterdarstellung der gesuchten Integralfläche findet man
,
wenn

gesetzt wird. Die Elimination von

führt auf

.


Gerüste, Satz von CAYLEY
1. Gerüst:
Ein Baum, der Teilgraph eines ungerichteten Graphen
zusammenhängende endliche Graph
Enthält

ist, wird ein Gerüst von

enthält ein Gerüst

einen Kreis, dann löscht man in

:

eine Kante dieses Kreises. Der entstandene Graph

wieder zusammenhängend und kann durch Löschen einer Kante eines Kreises von
existiert, in einen zusammenhängenden Graphen
man ein Gerüst von
Beispiel

genannt. Jeder
ist

falls eine solche

überführt werden. Nach endlich vielen Schritten erhält


Die rechte Abbildung zeigt ein Gerüst

des in der linken Abbildung dargestellten Graphen

2. Satz von CAYLEY:
Jeder vollständige Graph mit

Knoten

hat genau

Gerüste.


Satz von CAYLEY
Der Satz von CAYLEY beinhaltet, daß durch die Permutationsgruppenalle Gruppen strukturell beschrieben werden
können:
Jede Gruppe ist zu einer Permutationsgruppe isomorph.
Eine zu

isomorphe Permutationsgruppe
abbilden, bestehende Untergruppe der
gegeben.

ist die aus den Permutationen
Dabei ist ein zugehöriger Isomorphismus

die

auf
durch


Seltsame Attraktoren und Chaos
●
●
●

Chaotischer Attraktor
Fraktale und seltsame Attraktoren
Chaotisches System nach Devaney


Chaos in eindimensionalen Abbildungen
Für stetige Abbildungen eines kompakten Intervalls in sich gibt es zahlreiche hinreichende Bedingungen für die
Existenz chaotischer invarianter Mengen. Drei Beispiele sollen genannt werden.
1. Satz von SHINAI:
Sei

eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls

System
auf

, d.h.

auf

(z.B.

) in sich. Dann ist das

genau dann chaotisch im Sinne von DEVANEY, wenn die topologische Entropie von
, positiv ist.

2. Satz von SHARKOVSKY:
Die positiven ganzen Zahlen seien folgendermaßen geordnet:

(17.52)


Sei

eine stetige Abbildung eines kompakten Intervalls in sich und habe

periodischen Orbit. Dann hat

auch einen

-periodischen Orbit, wenn

auf

einen

-

ist.

3. Satz von BLOCK, GUCKENHEIMER und MISIURIEWICZ:
Sei

eine stetige Abbildung des kompakten Intervalls

periodischen Orbit (

, ungerade) besitzt. Dann ist

in sich, so daß

.

einen

-


Unterabschnitte

●

Hopf-Landau-Modell der Turbulenz:
RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario:

●

Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus

●

:

Vom Torus zum Chaos
Hopf-Landau-Modell der Turbulenz:
Die Frage des Übergangs von einem regulären laminaren Verhalten zu einem irregulären turbulenten Verhalten ist
besonders für Systeme mit verteilten Parametern, die z.B. durch partielle Differentialgleichungen beschrieben
werden, von Interesse. Aus dieser Sicht läßt sich Chaos als zeitlich irreguläres, aber räumlich geordnetes Verhalten
interpretieren. Turbulenz dagegen ist ein Systemverhalten, das sowohl zeitlich als auch räumlich irregulär ist. Das
HOPF- LANDAU-Modell erklärt die Entstehung der Turbulenz über eine unendliche Kaskade von HOPF-Bifurkationen:
Bei

entsteht aus einer Ruhelage ein Grenzzyklus, der bei

instabil wird und zu einem Torus


führt. Bei der -ten Bifurkation entsteht ein -dimensionaler Torus, der durch nicht geschlossene Orbits
aufgewickelt wird. Das HOPF- LANDAU-Modell führt i. allg. nicht zu einem Attraktor, der durch sensitive Abhängigkeit
von den Anfangsbedingungen und Durchmischung gekennzeichnet ist.

RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario:
Im System (17.53) sei
Periodischer Orbit
Der auf

und
Torus

. Bei Änderung des Parameters
Torus

sei die Bifurkationssequenz Ruhelage

über drei aufeinander folgende HOPF-Bifurkationen realisiert.

gegebene quasiperiodische Fluß sei strukturell instabil. Dann können schon bestimmte kleine Störungen

von (17.53) zum Zerfall von

und zur Bildung eines seltsamen Attraktors führen, der strukturell stabil ist.

Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus
Gegeben sei das hinreichend glatte System (17.53) bei
(17.53) einen anziehenden glatten Torus
, einen sattelartigen periodischen Orbit

und

:

. Beim Parameterwert

habe System

der aufgespannt wird durch einen stabilen periodischen Orbit
und dessen instabile Mannigfaltigkeit

( Resonanz-Torus ).

Die invarianten Mannigfaltigkeiten der Ruhelagen der POINCARÉ-Abbildung bezüglich einer Fläche, die transversal
zur Längsrichtung den Torus schneidet, sind in der folgenden Abbildung zu sehen.


Der Multiplikator

von

, der dem Einheitskreis am nächsten liegt, sei reell und einfach. Es sei weiter

eine beliebige stetige Kurve im Parameterraum, für die
(17.53) bei

keinen invarianten Resonanz-Torus besitzt. Dann gelten folgende Aussagen:

a) Es existiert ein Wert
Multiplikator

und für die das System

, bei dem

seine Glattheit verliert . Dabei wird entweder der

komplex, oder die instabile Mannigfaltigkeit

b) Es existiert ein weiterer Parameterwert

verliert ihre Glattheit nahe

, so daß das System (17.53) für

keinen resonanten Torus besitzt. Der Torus zerfällt dabei nach einem der folgenden Szenarien:
)

.


Der periodische Orbit

verliert seine Stabilität bei

. Es kommt zu einer lokalen

Bifurkation wie der Periodenverdopplung oder der Abspaltung eines Torus.
)
Die periodischen Orbits

und

fallen bei

zusammen (Sattelknoten-Bifurkation) und

heben sich dabei auf.
)
Die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von

schneiden sich bei

nicht

transversal (s. Bifurkationsdiagramm in der folgenden Abbildung).
Die Punkte auf der schnabelförmigen Kurve
(Sattelknoten-Bifurkation). Die Schnabelspitze
Torus entspricht.

entsprechen dem Verschmelzen von
liegt auf einer Kurve

und

, die der Abspaltung eines


Auf der Kurve

liegen die Parameterpunkte, bei denen ein Glattheitsverlust eintritt, während die Punkte auf

die Auflösung eines

-Torus charakterisieren. Auf

instabile Mannigfaltigkeiten von

nicht transversal schneiden. Sei

so daß bei diesem Parameterwert ein Resonanz-Torus
dem Fall

liegen die Parameterpunkte, für die sich stabile und

des Satzes. Wird dabei auf

ein beliebiger Punkt in der Schnabelspitze,

vorliegt. Der Übergang von

der Multiplikator

zu

nach

entspricht

, so findet eine Periodenverdopplung statt.

Eine sich anschließende Kaskade von weiteren Periodenverdopplungen kann zum Entstehen eines seltsamen
Attraktors führen. Trifft beim Überqueren von

ein Paar konjugiert komplexer Multiplikatoren

auf den


Einheitskreis, dann kann es zur Abspaltung eines weiteren Torus kommen, für den der Satz von AFRAIMOVICH und
SHILNIKOV erneut anwendbar ist.
Der Übergang von
Überqueren von

nach

repräsentiert den Fall

des Satzes: Der Torus verliert die Glattheit, und beim

findet eine Sattelknoten-Bifurkation statt. Der Torus zerfällt, und ein Übergang zum Chaos über

Intermittenz kann stattfinden.
Der Übergang von
Überqueren von

nach

schließlich entspricht Fall

eine nicht robuste homokline Kurve. Der stabile Zyklus

nicht anziehende hyperbolische Menge. Wenn
entstehen.

: Nach dem Verlust der Glattheit bildet sich beim
bleibt, und es entsteht eine zunächst

verschwindet, kann aus dieser Menge ein seltsamer Attraktor


Übergänge zum Chaos
Ein seltsamer Attraktor entsteht häufig nicht abrupt, sondern im Ergebnis einer Reihe von Bifurkationen, von denen
die typischen im Abschnitt Bifurkationen in MORSE-SMALE-Systemen dargestellt wurden. Die wichtigsten Wege zur
Bildung seltsamer Attraktoren bzw. seltsamer invarianter Mengen sollen im weiteren beschrieben werden.
●
●
●
●

Kaskade von Periodenverdopplungen
Intermittenz
Globale homokline Bifurkationen
Auflösung eines Torus


Bifurkationstheorie, Wege zum Chaos
●
●

Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen
Übergänge zum Chaos


RSA-Codes
Auf der Grundlage des Satzes von EULER-FERMAT haben R. RIVEST, A. SHAMIR und L. ADLEMAN 1978 (s. Lit.5.21)
ein Verschlüsselungsverfahren ( Chiffrierverfahren ) für geheime Nachrichten entwickelt, das nach dem ersten
Buchstaben ihrer Nachnamen RSA-Verschlüsselungsverfahren genannt wird. Man spricht in diesem Zusammenhang
auch von Public-Key-Codes , weil ein Teil des zur Dechiffrierung benötigten Schlüssels ,,öffentlich`` bekanntgegeben
werden kann, ohne die Geheimhaltung der Nachricht zu gefährden.
Beim RSA-Verfahren wählt der Empfänger B zunächst zwei sehr große Primzahlen
sucht eine zu

teilerfremde Zahl

mit

und

bildet

und

Die Zahlen

und

gibt

B öffentlich bekannt, weil sie zur Verschlüsselung benötigt werden.
Will der Absender A eine geheime Nachricht an den Empfänger B übermitteln, dann wird zunächst der Text der
Nachricht in eine Ziffernfolge, bestehend aus gleichlangen Blöcken
umgewandelt. Dann berechnet A den Rest

von

mit jeweils weniger als 100 Stellen,

bei Division durch

:
(5.183a)

Der Absender A sendet die Zahl

an B, und zwar für jeden der aus dem Originaltext entstandenen Ziffernblöcke

Der Empfänger kann die Nachricht

dechiffrieren, wenn er eine Lösung der linearen Kongruenz


kennt. Die Zahl

ist der Rest von

bei Division durch
(5.183b)

Dabei wird der Satz von EULER-FERMAT benutzt, nach dem

gilt. Falls erforderlich, wandelt B nun

noch die Ziffernfolge in Text um.
Beispiel
Ein Empfänger B erwartet vom Absender A eine geheime Nachricht, wählt die Primzahlen
(für die praktische Nutzung zu klein), berechnet
und wählt
übermittelt an A nur

(es gilt
(dafür gilt ggT

). B

und

A will B die geheime Nachricht
zu
Kongruenz

und

zukommen lassen, verschlüsselt sie durch
und sendet an B nur die Nachricht
erhält als Lösung

. B löst die

und kann damit

ermitteln.

Hinweis: Die Sicherheit des RSA-Codes hängt von der Zeit ab, in der Unberechtigte eine Primfaktorenzerlegung von


finden können. Bei der heute erreichten Schnelligkeit von Computern benötigt der Anwender des RSA-Codes
zwei mindestens 100-stellige Primzahlen

und

um für Unberechtigte einen Entschlüsselungsaufwand von etwa

74 Jahren zu verursachen. Für den Anwender ist es dagegen ein rechentechnisch vergleichsweise geringer
Aufwand, eine zu

teilerfremde Zahl

zu finden.


Simultane lineare Kongruenzen
Sind endlich viele Kongruenzen
(5.173)
vorgegeben, dann spricht man von einem System simultaner linearer Kongruenzen . Eine Aussage über die
Lösungsmenge macht der Chinesische Restsatz : Es sei ein System
so vorgegeben, daß

paarweise

teilerfremd sind. Setzt man
(5.174a)
und wählt

so, daß

für

gilt, dann ist
(5.174b)

eine Lösung des Systems. Das System ist bis auf Kongruenz modulo
diejenigen Elemente

weitere Lösungen, für die gilt

eindeutig lösbar, d.h., mit

sind genau


Beispiel
zu lösen, wobei 2, 3, 5 paarweise

Es ist das System
teilerfremd sind. Es gilt

Die Kongruenzen
haben die speziellen Lösungen
. Das gegebene System ist eindeutig lösbar mit
.

Hinweis: Systeme simultaner linearer Kongruenzen kann man benutzen, um die Lösung von nichtlinearen
Kongruenzen mit dem Modul
sind.

auf die Lösung von Kongruenzen zurückzuführen, deren Modul Primzahlpotenzen


CHOLESKY-Verfahren
Wegen der Symmetrie und positiven Definitheit von
im Falle des Vollranges von
bietet sich zur Lösung
des Normalgleichungssystems das CHOLESKY-Verfahren an. Leider handelt es sich dabei um einen numerisch
instabilen Algorithmus, der sich jedoch bei Problemen mit ,,großem`` Residuum
numerisch gutartig verhält.

und ,,kleiner`` Lösung


Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
In vielen Fällen ist in (19.26) die Koeffizientenmatrix
die zugehörige quadratische Form

nicht nur symmetrisch, sondern auch positiv definit , d.h., für

gilt:

(19.34)

für alle

. Da es zu jeder symmetrischen positiv definiten Matrix

eine eindeutige

Dreieckszerlegung
(19.35)
mit


(19.36a)

(19.36b)

(19.36c)

gibt, kann die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems

nach dem CHOLESKY- Verfahren in

folgenden Schritten durchgeführt werden:
1.
: Ermittlung der sogenannten CHOLESKY-Zerlegung und Substitution
2.
: Bestimmung des Hilfsvektors
3.

durch Vorwärtseinsetzen.

.


: Bestimmung der Lösung

Für große Werte von
gemäß (19.31).

durch Rückwärtseinsetzen.

ist der Aufwand beim CHOLESKY-Verfahren etwa halb so groß wie bei der LR-Zerlegung


CLAIRAUTsche Differentialgleichung
CLAIRAUTsche Differentialgleichung heißt der Spezialfall der LAGRANGEschen Differentialgleichung, der sich für
(9.16a)
ergibt, und der stets auf die Form
(9.16b)
gebracht werden kann. Die allgemeine Lösung lautet
(9.16c)
Neben der allgemeinen Lösung besitzt die CLAIRAUTsche Differentialgleichung ein singuläres Integral, das man durch
Elimination der Konstanten

aus den Gleichungen
(9.16d)


(9.16e)
erhält, wobei die zweite Gleichung aus der ersten durch Differentiation nach
gewonnen wird. Die geometrische
Bedeutung der singulären Lösung besteht darin, daß sie die Einhüllende der lösenden Geradenschar darstellt
(s. Abbildung).

Beispiel


Es ist die Differentialgleichung

zu lösen. Das allgemeine Integral ist

das singuläre wird unter Zuhilfenahme der Gleichung
berechnet. Die Abbildung zeigt diesen Fall.

zur Elimination von

,
zu


CLAIRAUTsche Differentialgleichung
Wenn die gegebene Differentialgleichung auf die Form
(9.75a)

gebracht werden kann, man spricht dann von CLAIRAUTscher Differentialgleichung, gestaltet sich die Bestimmung
des vollständigen Integrals recht einfach, denn ein vollständiges Integral mit den frei wählbaren Parametern
ist

(9.75b)
Beispiel Zweikörperproblem


mit HAMILTON-Funktion : Die Bewegung zweier materieller Punkte, die der NEWTONschen
Gravitationswechselwirkung unterliegen sollen, erfolgt in einer Ebene. Daher ist es vorteilhaft, einen der
beiden Punkte in den Koordinatenursprung zu legen, so daß die Bewegungsgleichung die Form
(9.76a)
annimmt. Führt man die HAMILTON-Funktion
(9.76b)

ein, dann geht das System (9.76a) in das Normalsystem

(9.76c)
mit
(9.76d)

über. Die Differentialgleichung lautet nunmehr

(9.76e)


Bei Einführung von Polarkoordinaten

geht (9.76e) in eine neue Differentialgleichung über, deren

Lösung in der Form
(9.76f)
mit den Parametern

dargestellt werden kann. Die allgemeine Lösung des Systems (9.76c) ergibt

sich aus den Gleichungen
(9.76g)


Codes
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RSA-Codes
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Anwendungen von Computeralgebrasystemen
In diesem Abschnitt wird die Behandlung mathematischer Problemkreise mit Computeralgebrasystemen vorgestellt.
Die Auswahl der betrachteten Problemkreise wurde sowohl nach ihrer Häufigkeit in Praxis und Ausbildung als auch
nach den Möglichkeiten für ihre Bearbeitung mit Computeralgebrasystemen getroffen. Es werden Funktionen,
Anweisungen, Operationen und ergänzende Syntaxhinweise für das jeweilige Computeralgebrasystem angegeben
sowie Beispiele behandelt. Wo nötig, werden zugehörige Spezialpakete kurz erläutert.
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Manipulation algebraischer Ausdrücke
Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen
Elemente der linearen Algebra
Differential- und Integralrechnung


Differential- und Integralrechnung
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Mathematica
Maple


Elemente der linearen Algebra
●
●

Mathematica
Maple


Terme und Funktionen
Unter dem Begriff Term wird eine Anordnung von Objekten verstanden, die durch mathematische Operatoren, in der
Regel in der Infix-Form, verknüpft sind, also Basiselemente, die in der Mathematik ständig auftreten. Ein
Grundanliegen von Computeralgebrasystemen ist die Umformung von Termen sowie die Lösung von Gleichungen.
Beispiel
Die folgende Sequenz
(20.5)
ist z.B. ein Term, in welchem

eine Variable ist.

Computeralgebrasysteme kennen die üblichen elementaren Funktionen wie Exponentialfunktion,
Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen sowie eine Reihe spezieller
Funktionen. Diese Funktionen lassen sich anstelle von Variablen in Terme einbauen. Auf diese Weise werden neue,
komplizierte Terme oder Funktionen erzeugt.


Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen
Computeralgebrasysteme kennen Befehlsroutinen zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen. Sofern
Gleichungen im Bereich der algebraischen Zahlen explizit lösbar sind, werden die Lösungen mit Hilfe von
Wurzelausdrücken dargestellt. Ist es nicht möglich, Lösungen in geschlossener Form anzugeben, so lassen sich
zumindest numerische Lösungen im Rahmen festlegbarer Genauigkeit finden. Im folgenden werden einige
Grundbefehle vorgestellt. Der Lösung linearer Gleichungssysteme ist ein spezieller Abschnitt gewidmet.
●
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Mathematica
Maple


Graphik in Computeralgebrasytemen
Mit der Bereitstellung von Routinen für die graphische Darstellung mathematischer Zusammenhänge in Form von
Funktionsgraphen, räumlichen Kurven und räumlichen Flächen bieten moderne Computeralgebrasysteme
vielschichtige Möglichkeiten zur Kombination von Formelmanipulationen, speziell im Bereich der Analysis und
Vektorrechnung bis zur Differentialgeometrie, und graphischen Darstellungen. Graphik ist eine besondere Stärke von
Mathematica.
●
●

Graphik mit Mathematica
Graphik mit Maple


Hauptstrukturelemente
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Objekttypen
Zahlen
Variable und Zuweisungsoperatoren
Operatoren
Terme und Funktionen
Listen und Mengen


Operatoren
Alle Systeme verfügen über einen Grundvorrat von Operatoren . Dazu gehören die für die Mathematik üblichen
Operatoren

, für die die bekannte Rangordnung bei der Abarbeitung

gilt. Stehen die Operatoren zwischen den Operanden, so bezeichnet man diese Schreibweise als Infix-Form .
Die Palette der Operatoren, die in Präfix-Form vorliegen -- in diesem Falle steht der Operator vor den Operanden -ist in allen Systemen beträchtlich. Hierzu gehören in der Regel Operatoren, die auf spezielle Objektklassen wie z.B.
Zahlen, Polynome, Mengen, Listen, Matrizen, Gleichungssysteme wirken und auch Funktionaloperatoren wie
Differentiation, Integration usw. Darüber hinaus sind in der Regel Operatoren für die Gestaltung der
Ausgaberesultate, die Manipulation von Zeichenketten und weiteren dem System bekannten Objekten vorhanden.
Manche Systeme gestatten die Darstellung einiger Operatoren in Suffix-Schreibweise , d.h., der Operator steht hinter
den Operanden. Häufig benutzen Operatoren optionale Argumente, die spezielle Anwendungssituationen steuern.


Listen und Mengen
Alle Computeralgebrasysteme kennen die Objektklasse Liste , die als Aneinanderreihung von Objekten verstanden
wird. Mit speziellen Operatoren kann auf die Elemente einer Liste zugegriffen werden. In der Regel sind Listen als
Elemente von Listen zulässig. So entstehen verschachtelte Listen , die zur Konstruktion spezieller Objekttypen wie
Matrizen und Tensoren benutzt werden können; alle Systeme bieten hierfür spezielle Objektklassen an. Hieraus
ergibt sich die Möglichkeit, symbolisch in Vektorräumen Objekte wie Vektoren und Tensoren zu manipulieren und
lineare Algebra zu betreiben.
Auch der Begriff Menge ist den Computeralgebrasystemen bekannt. Die Operatoren der Mengenlehre sind definiert.
In den folgenden Abschnitten werden die Hauptstrukturelemente und ihre Syntax für die beiden ausgewählten
Computeralgebrasysteme Mathematica 2.2 und Maple V erläutert.


Programmierung in Computeralgebrasystemen
Alle Systeme bieten Möglichkeiten für den Aufbau eigener Programmblöcke zur Lösung spezieller Aufgaben. Es
handelt sich dabei einerseits um die bekannten Handwerkzeuge für den Aufbau von Prozeduren wie
Schleifenkonstruktionen und Kontrollstrukturen, z.B. DO, IF - THEN, WHILE, FOR usw., andererseits um mehr oder
weniger ausgeprägte Methoden der funktionalen Programmierung, die für viele Probleme elegante Lösungen
anbieten.
Selbsterstellte Programmblöcke können den bestehenden Bibliotheken hinzugefügt und bei Bedarf jederzeit
zugeladen werden.


Variable und Zuweisungsoperatoren
Variable haben einen Namen, werden in der Regel also durch ein vom Nutzer bestimmtes Symbol repräsentiert. Vom
System vergebene Namen, d.h. reservierte Begriffe, sind dabei verboten. Solange der Variablen kein Wert
zugewiesen ist, steht das jeweilige Symbol für die Variable selbst.
Variablen können mit Hilfe spezieller Zuweisungsoperatoren Werte zugewiesen werden. Werte von Variablen dürfen
sowohl Zahlen, andere Variable als auch spezielle Sequenzen von Objekten, oft Ausdrücke genannt, sein. In der
Regel existieren mehrere Zuweisungsoperatoren, die sich insbesondere durch den Zeitpunkt ihrer Auswertung, d.h
sofort bei Eingabe der Zuweisung oder erst beim späteren Aufruf der Variablen, unterscheiden.


Zahlen
Die Computeralgebrasysteme kennen in der Regel die Zahlentypen ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen
(Gleitpunktzahlen), komplexe Zahlen , manche Systeme algebraische Zahlen, Wurzelzahlen und weitere.
Mit einer Vielzahl von Typprüfoperationen können Eigenschaften konkreter Zahlen, wie nichtnegativ, Primzahl usw.,
festgestellt werden.
Gleitpunktzahlen können mit beliebiger Präzision genutzt werden. In der Regel arbeiten die Systeme mit einer
Voreinstellung für die Präzision, die nach Bedarf verändert werden kann.
Die Systeme kennen spezielle Zahlen, die für die Mathematik von fundamentaler Bedeutung sind wie,

,

. Sie gehen mit diesen Zahlen symbolisch um, können sie jedoch für numerische Berechnungen auch in
beliebiger Präzision verwenden.

und


Allgemeine Zielstellungen für Computeralgebrasysteme
In der mathematischen Praxis werden zunehmend sogenannte Computeralgebrasysteme - Softwaresysteme, die
,,Mathematik machen können``- eingesetzt. Solche Systeme wie Macsyma, Reduce, Derive, Maple, Mathcad,
Mathematica gestatten auch auf relativ kleinen Rechnern (PC) die Lösung mathematischer Aufgaben wie z.B. die
Umformung komplizierter Ausdrücke, die Bestimmung von Ableitungen und Integralen, die Lösung von Gleichungen
und Gleichungssystemen, die grafische Darstellung von Funktionen einer und mehrerer Veränderlicher und vieles
andere mehr. Mit ihrer Hilfe können mathematische Ausdrücke manipuliert , d.h. nach mathematischen Regeln
umgeformt oder vereinfacht werden, sofern dies in geschlossener Form möglich ist. Auch numerische Lösungen
können mit der geforderten Genauigkeit berechnet und funktionale Zusammenhänge grafisch dargestellt werden.


Sphärisches Vektorfeld
Das sphärische Vektorfeld ist der Spezialfall des zentralen Vektorfeldes, in dem die Länge des Vektors
Abstand

abhängt (s. Abbildung).

nur vom


Beispiele sind das NEWTONsche und das COULOMBsche Kraftfeld einer Punktmasse bzw. einer elektrischen
Punktladung:
(13.14)

Der Spezialfall eines ebenen sphärischen Vektorfeldes wird Kreisfeld genannt.


Coulomb-Feld der Punktladung
Das COULOMB-Feld ist ein wichtiges Beispiel für ein wirbelfreies Feld, das überall, ausgenommen den Ort der
Punktladung, den Quellort, auch solenoid, d.h. quellenfrei ist (s. Abbildung).

Die COULOMB-Kraft
Vorzeichen.

wirkt anziehend für Ladungen

mit ungleichem Vorzeichen, abstoßend für gleiche


Die Feld- und die Potentialgleichungen lauten:
(13.128a)

Der skalare Fluß ist

bzw. 0, je nachdem, ob die Fläche

eine Quelle

einschließt oder nicht:

(13.128b)

Die Größe

wird Ergiebigkeit oder Intensität der Quelle genannt.


Cramersche Regel
In dem wichtigen Spezialfall, in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen des Systems

(4.114a)

übereinstimmt und die Koeffizientendeterminante D = detA nicht verschwindet, d.h.
(4.114b)
kann die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems (4.114a) explizit und eindeutig angegeben werden:

(4.114c)

Mit

wird die Determinante bezeichnet, die aus D dadurch entsteht, daß die Elemente

der

-ten Spalte


von D durch die Absolutglieder

ersetzt werden, z.B.

(4.114d)

Ist
für alle

und sind nicht alle
d.h.

aber nicht eindeutig (s. Hinweis).
Beispiel

dann ist das System (4.114a) unlösbar. Im Falle
und alle

und

sind gleich null, ist es möglich, daß eine Lösung existiert. Diese ist


Das System hat die eindeutige Lösung
Hinweis: Für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen höherer Dimensionen ist die CRAMERsche
Regel nicht geeignet. Der Rechenaufwand übersteigt mit wachsender Dimension sehr schnell alle Vorstellungen.
Deshalb verwendet man zur numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme den GAUSSschen Algorithmus
bzw. das Austauschverfahren oder iterative Methoden.


Homogenes Problem
Die Lösung des homogenen Problems mit

und den Anfangsbedingungen
(9.98)

wird für die Fälle
a)

bis

durch die folgenden Integrale beschrieben.

( KIRCHHOFFsche Formel):

(9.99a)

wobei die Integration über die Kugeloberfläche

erfolgt, die mit
angesetzt wird.


b)

( POISSONsche Formel):

(9.99b)

wobei die Integration über den Kreis
c)

erfolgt, der mit

angesetzt wird.

( D'ALEMBERTsche Formel):
(9.99c)


Dämpfung von Schwingungen
Die Funktion
(2.132)
liefert die Kurve einer gedämpften Schwingung .


Die Schwingung erfolgt um die

-Achse, wobei sich die Kurve asymptotisch der

Sinuskurve von den beiden Exponentialkurven

berühren. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind

-Achse nähert. Dabei wird die

eingehüllt, indem sie diese in den Punkten


;

die Extrema

liegen bei

die Wendepunkte

Als logarithmisches Dekrement der Dämpfung wird
Ordinaten zweier benachbarter Extrema.

bei

mit

bezeichnet;

.

und

sind die


Newton-Verfahren
Das NEWTON-Verfahren geht von der Nullstellenaufgabe (19.55) aus. Nach Vorgabe von geschätzten
Näherungswerten
Variablen

werden die Funktionen

als Funktionen von

unabhängigen

nach TAYLOR entwickelt. Durch Abbruch dieser Entwicklungen nach den linearen

Gliedern erhält man aus (19.55) ein lineares Gleichungssystem, mit dessen Hilfe man iterativ Verbesserungen nach
folgender Vorschrift ermitteln kann:
(19.61)

Die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (19.61), das in jedem Iterationsschritt zu lösen ist, lautet
(19.62)


und wird als JACOBI-Matrix bezeichnet. Das NEWTON-Verfahren ist lokal quadratisch konvergent, d.h., seine schnelle
Konvergenz ist wesentlich von der Güte der Startnäherungen abhängig. Setzt man in (19.61)
, dann kann das NEWTON-Verfahren in der Korrekturform

(19.63)
geschrieben werden. Zur Herabsetzung der Startwertempfindlichkeit kann man dann analog zum
Relaxationsverfahren einen sogenannten Dämpfungs- oder Schrittweitenparameter

einführen:

(19.64)

Angaben zur Bestimmung von

findet man in Lit. 19.27.


Definition
Eine reelle quadratische Form

in den Variablen

hat die Gestalt

(4.131)

Dabei ist

der Vektor der Variablen, und

ist eine reelle symmetrische

Matrix.
Die Form

heißt positiv definit oder negativ definit , wenn sie nur positive bzw. nur negative Werte annehmen kann

und den Wert Null nur für das einzige Wertesystem
Die Form

annimmt.

heißt positiv oder negativ semidefinit , wenn sie nur Werte desselben Vorzeichens, den Wert Null aber

auch für ein nicht durchweg verschwindendes Wertesystem annehmen kann.
Entsprechend dem Verhalten von

wird auch die zugehörige reelle symmetrische Matrix A als positiv oder negativ


definit bzw. semidefinit bezeichnet.


Definitionsbereich einer Funktion
Definitionsbereich einer Funktion wird die Menge der Wertesysteme oder Punkte genannt, die bei der betrachteten
Funktion von den Variablen des Arguments durchlaufen werden können. Die sich so ergebenden Definitionsbereiche
können sehr unterschiedlich sein. Meistens treten beschränkte oder unbeschränkte zusammenhängende
Punktmengen auf. In Abhängigkeit davon, ob der Rand mit zum Definitionsbereich gehört oder nicht, ist dieser
abgeschlossen oder offen. Eine offene zusammenhängende Punktmenge wird Gebiet genannt. Wenn der Rand in
ein Gebiet einbezogen ist, dann handelt es sich um ein abgeschlossenes Gebiet , ist dies nicht der Fall, und soll der
Anschluß des Randes besonders betont werden, dann wird vom offenen Gebiet gesprochen.


Defuzzifizierungsmethoden
Zur Berechnung einer scharfen Ausgangsgröße ist eine Defuzzifizierung der Fuzzy-Menge am Ausgang erforderlich.
Man bedient sich verschiedener Methoden.
1. Maximum-Kriterium-Methode:Aus dem Bereich, innerhalb dessen die Fuzzy-Menge
den maximalen Zugehörigkeitsgrad besitzt, wird ein beliebiger Wert

ausgewählt.

2. Mean-of-Maximum-Methode (MOM): Als Ausgabewert wird der Mittelwert über die maximalen
Zugehörigkeitswerte genommen:
(5.298)
Wenn die Menge

, die ein Intervall darstellt, nicht leer ist, dann ergibt sich:


(5.299)

3. Schwerpunktmethode (S):Bei der Schwerpunktmethode wird die Abszisse des Schwerpunktes einer
Fläche mit gedachter homogener Dichtebelegung vom Werte 1 berechnet.

(5.300)

4. Parametrisierte Schwerpunktmethode (PS): Die parametrische Methode geht von

aus.

(5.301)


Aus dieser Formel folgt für

und für

5. Verallgemeinerte Schwerpunktmethode (VS): Wird der Exponent
Defuzzifizierungsmethode als Funktion von

bei der parametrischen

angesehen, dann folgt daraus unmittelbar

(5.302)

Die VS-Methode ist eine Verallgemeinerung der PS-Methode. Sie ist von Interesse, wenn
besonderes, von

selbst ein

abhängiges Gewicht erhalten soll.

6. Methode der Flächenhalbierung (FH): Die Position einer Geraden parallel zur Ordinate wird so berechnet,
daß die linke und die rechte Seite der Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion gleich groß ist.
(5.303)

7. Methode der parametrisierten Flächenhalbierenden (PF):


(5.304)

8. Methode der größten Fläche (GF): Es wird die signifikante Teilmenge aus der Gesamtmenge ausgewählt,
die dann mit bekannten Methoden, wie z.B. der Schwerpunktsmethode (S) oder der Bestimmung der
Flächenhalbierenden (FH) ausgewertet wird.


DELAMBREsche Gleichungen
In Analogie zu den MOLLWEIDEschen Formeln der ebenen Trigonometrie sind von DELAMBRE die entsprechenden
Formeln für sphärische Dreiecke angegeben worden.

(3.183a)

(3.183b)

(3.183c)


(3.183d)

Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.

Da bei Anwendung der zyklischen Vertauschung jede Gleichung zwei weitere ergibt, sind insgesamt 12
DELAMBREsche Gleichungen möglich.


Eigenschaften der

-Funktion

Wichtige Eigenschaften der

-Funktion im Hinblick auf ihre Anwendung sind:
(15.35)

(15.36)

(15.37)
Dabei sind sämtliche Nullstellen von

4.

-te Ableitung der
Nach

zu berücksichtigen.

-Funktion:

-maliger partieller Integration erhält man aus


(15.38a)

eine Vorschrift für die

-te Ableitung der

-Funktion:
(15.38b)

5. FOURIER-Transformation der

-Funktion:

Die FOURIER-Transformation der

-Funktion lautet
(15.39a)

Die Rücktransformation liefert für die

-Funktion eine weitere Darstellung; und zwar in Form eines uneigentlichen Integrals:
(15.39b)


Diracsche

-Funktion und Distributionen

●

Verallgemeinerte Funktionen

●

Approximationen der

●

Eigenschaften der

-Funktion
-Funktion


Impulsfunktion
Die Impulsfunktion oder DIRACsche
der Breite

und der Höhe

-Funktion

an der Stelle

ist anschaulich als Grenzfall eines Rechteckimpulses
interpretierbar (s. Abbildung)
(15.28)


Für eine stetige Funktion

gilt:

(15.29)
Beziehungen der Art
(15.30)
werden im allgemeineren Sinne in der Distributionstheorie untersucht (s. auch DIRACsche
Distributionen).

-Funktion und


Distribution
Ein lineares Funktional

auf

, das im folgenden Sinne stetig ist:
(12.210)

heißt verallgemeinerte Funktion oder Distribution .
Beispiel A
Ist

, dann ist

(12.211)
eine Distribution. Derartige mit Hilfe von lokalsummierbaren Funktionen gemäß (12.211) erzeugte Distributionen
nennt man regulär .
Zwei reguläre Distributionen sind genau dann gleich, d.h.


, wenn

f.ü. bezüglich

.

Beispiel B
Sei

ein beliebig fixierter Punkt. Dann ist

stetiges Funktional auf
-Funktion nennt. Da

ebenfalls ein lineares

, also eine Distribution, die man DIRACsche Distribution,

-Distribution oder

von keiner lokalsummierbaren Funktion erzeugt werden kann (s. Lit. 12.12,

12.28), stellt sie ein Beispiel einer nichtregulären Distribution dar.

Die Gesamtheit aller Distributionen bezeichnet man mit
Funktionale angedeuteten Dualitätstheorie ergibt sich
wäre also
Funktionen aus

zu schreiben. Im Raum

. Aus einer allgemeineren als der in Stetige lineare
als der Dualraum von

. Streng genommen

lassen sich viele Operationen unter seinen Elementen und mit

definieren, u.a. die Ableitung einer Distribution oder die Faltung zweier Distributionen, die

ihn nicht nur für theoretische Untersuchungen, sondern vor allem auch für viele Anwendungen aus Elektrotechnik,
Mechanik usw. prädestinieren. Wegen eines Überblicks und einfacher Beispiele für zahlreiche
Verwendungsmöglichkeiten verallgemeinerter Funktionen s. Lit. 12.12, 12.28. Hier wird lediglich der Begriff der
Ableitung einer verallgemeinerten Funktion betrachtet.


Deltatensor
Wählt man als Elemente

eines 2stufigen Tensors das KRONECKER-Symbol, d.h.
(4.78a)

dann folgt aus dem Transformationsgesetz (4.70b) im Falle einer Drehung des Koordinatensystems unter Beachtung
von (4.67c)
(4.78b)
d.h., die Elemente sind drehungsinvariant . Paßt man sie so in ein Koordinatensystem ein, daß sie unabhängig von
der Wahl des Ursprungs, also auch translationsinvariant sind, dann bilden die Zahlen
2. Stufe, den sogenannten Deltatensor .

einen invarianten Tensor


Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen
●
●
●
●

Allgemeine Zielstellungen für Computeralgebrasysteme
Spezielle Möglichkeiten der Arbeit mit Computeralgebrasystemen
Beschränkung auf Mathematica und Maple
Ein- und Ausgabe bei Mathematica und Maple


Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten
Aus den Darlegungen zu (1.169) folgt, daß jede Gleichung ungeraden Grades mindestens eine reelle Wurzel besitzt.
Die Anzahl weiterer reeller Wurzeln der Gleichung (1.166a) zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen
wobei

und

ist, kann mit Hilfe der in den nächsten vier Abschnitten dargestellten Methoden bestimmt werden:

a) Abspalten der mehrfachen Wurzeln: Zuerst werden die mehrfachen Wurzeln von
abgespalten, so daß sich eine Gleichung ergibt, die alle Wurzeln, aber nur noch mit der Vielfachheit 1 enthält.
Dazu kann, wie beim Fundamentalsatz der Algebra erläutert, verfahren werden. Praktischer ist es jedoch,
gleich nach der STURMschen Methode mit der Bestimmung der STURMschen Kette (der STURMschen
Funktionen ) zu beginnen. Wenn

nicht konstant ist, dann besitzt

abzuspalten sind. Auf jeden Fall ist danach

mehrfache Wurzeln, die

eine Gleichung ohne Mehrfachwurzeln.

b) Bildung der Folge der STURMschen Funktionen:
(1.171)


Hier ist

die linke Seite der gegebenen Funktion,

Rest der Division von

durch

ist die erste Ableitung von

,

, aber genommen mit entgegengesetztem Vorzeichen,
durch

ebenfalls mit entgegengesetztem Vorzeichen genommene Rest der Division von

der
der
usw.;

ist der letzte, aber konstante Rest. Zur Vereinfachung der Rechnung kann man die gefundenen
Reste mit konstanten positiven Faktoren multiplizieren, ohne daß sich das Ergebnis ändert.
c) Theorem von STURM: Wenn
`` nach ,,

die Anzahl der Vorzeichenwechsel, d.h. die Anzahl der Übergänge von ,,

`` und umgekehrt in der Folge (1.171) für

Vorzeichenwechsel in der Folge (1.171) für
reellen Wurzeln der Gleichung

ist und

die Anzahl der

, dann ist die Differenz
im Intervall

. Sind in der Zahlenfolge einige Zahlen gleich

Null, dann werden diese bei der Abzählung der Vorzeichenwechsel ausgelassen.
Beispiel

gleich der Anzahl der


Für die Gleichung

ist die Anzahl der Wurzeln im Intervall [0,2] zu

bestimmen.
Die Berechnung der STURMschen Funktion ergibt:

Einsetzen von
von

liefert die Folge

liefert

mit zwei Wechseln, Einsetzen
mit einem Wechsel, so daß

d.h., zwischen 0 und 2 liegt eine Wurzel.
d) DESCARTESsche Regel: Die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung
die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge des Polynoms
nur um eine gerade Zahl unterscheiden.
Beispiel

ist nicht größer als
und kann sich von dieser


ausgesagt werden?

Was kann über die Wurzeln der Gleichung
Die Koeffizienten der Gleichung haben nacheinander die Vorzeichen

d.h., das

Vorzeichen wechselt dreimal.
Die Gleichung besitzt in Übereinstimmung mit der Regel von DESCARTES entweder eine oder drei
positive Wurzeln.
Da beim Ersetzen von
bei der Substitution von

durch

die Wurzeln der Gleichung ihre Vorzeichen ändern, sich aber

durch

um

verringern, kann gemäß der Regel von DESCARTES

auch die Anzahl der negativen Wurzeln sowie die Anzahl der Wurzeln, die größer sind als
abgeschätzt werden.
Im vorliegenden Beispiel führt das Ersetzen von

durch

,

auf die Gleichung

d.h., die Gleichung besitzt eine negative Wurzel. Substituiert
man

durch

dann ergibt sich

positiven Wurzeln der Gleichung (eine oder drei) sind kleiner als 1.

d.h., alle


Berechnung von Determinanten
1. Wert einer Determinante zweiter Ordnung:
(4.63)

2. Wert einer Determinante dritter Ordnung: Nach der Regel von SARRUS , die nur für Determinanten dritter
Ordnung gilt, erfolgt die Berechnung mit Hilfe des Schemas

(4.64)

Die ersten beiden Spalten werden rechts von der Determinante noch einmal hingeschrieben. Dann wird die
Summe der Produkte aller auf den ausgezogenen Schrägzeilen stehenden Elemente gebildet. Davon wird die
Summe der Produkte aller auf den gestrichelten Schrägzeilen stehenden Elemente abgezogen.
3. Wert einer Determinante

-ter Ordnung: Die Determinante

-ter Ordnung wird mit Hilfe des


Entwicklungssatzes auf

Determinanten (

)-ter Ordnung zurückgeführt. Zweckmäßigerweise werden

die einzelnen Determinanten mit Hilfe der Rechenregeln für Determinanten so umgeformt, daß möglichst viele
ihrer Elemente zu Null werden.
Beispiel

Hinweis: Besonders günstig kann eine Determinante -ter Ordnung berechnet werden, wenn sie in Analogie zur
Rangbestimmung von Matrizen so umgeformt wird, daß alle Elemente, die unterhalb der Diagonalen
stehen, zu Null werden. Der Wert der Determinante ist dann gleich dem Produkt der Elemente
auf der Hauptdiagonalen der umgeformten Determinante.


Rechenregeln für Determinanten
Wegen des LAPLACEschen Entwicklungssatzes gelten die im folgenden für Zeilen formulierten Aussagen in gleicher
Weise für Spalten.
1. Unabhängigkeit des Wertes einer Determinante: Der Wert einer Determinante ist unabhängig von der
Auswahl der Entwicklungszeile.
2. Ersetzen von Adjunkten:Ersetzt man bei der Entwicklung einer Determinante nach einer ihrer Zeilen die
zugehörigen Adjunkten durch die Adjunkten einer anderen Zeile, so ergibt sich Null:
(4.56)

Diese Beziehung und der Entwicklungssatz ergeben zusammengefaßt
(4.57)
Daraus erhält man für die inverse Matrix


(4.58)

wobei als adjungierte Matrix

der Matrix

die aus den Adjunkten der Elemente von

anschließend transponierte Matrix bezeichnet wird. Diese Matrix
adjungierten Matrix

gebildete und

darf nicht mit der zu einer komplexen Matrix

(4.4) verwechselt werden.

3. Nullwerden einer Determinante:Eine Determinante ist gleich Null, wenn
a)
eine Zeile aus lauter Nullen besteht oder
b)
zwei Zeilen einander gleich sind oder
c)
eine Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen ist.
4. Vertauschungen und Additionen: Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn
a)
in ihr die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden. Man spricht dann von Spiegelung an der
Hauptdiagonale , d.h., es gilt
(4.59)
b)
zu irgendeiner Zeile eine andere Zeile addiert bzw. subtrahiert wird,
c)
zu irgendeiner Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert bzw. subtrahiert wird oder
d)


zu irgendeiner Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addiert bzw. subtrahiert wird.
5. Vorzeichen bei Zeilenvertauschung: Bei Vertauschung zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen einer
Determinante.
multipliziert,
6. Multiplikation einer Determinante mit einer Zahl: Eine Determinante wird mit einer Zahl
indem die Elemente einer einzigen Zeile mit dieser Zahl multipliziert werden. Der Unterschied gegenüber der
Multiplikation einer Matrix

vom Typ

mit einer Zahl

kommt in der Formel
(4.60)

zum Ausdruck.
7. Multiplikation zweier Determinanten:Die Multiplikation zweier Determinanten wird auf die Multiplikation
ihrer Matrizen zurückgeführt:
(4.61)

Wegen

(s. (4.59)) gilt
(4.62)

d.h., es können entweder Zeilen mit Spalten oder Zeilen mit Zeilen oder Spalten mit Zeilen oder Spalten mit Spalten
skalar multipliziert werden.
8. Differentiation einer Determinante: Eine Determinante

-ter Ordnung, deren Elemente differenzierbare


Funktionen eines Parameters

sind, d.h.

Zeile differenziert und die so entstehenden

wird nach
Determinanten addiert.

Beispiel
Für eine Determinante vom Typ

erhält man:

differenziert, indem man jeweils eine


Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
(13.50a)
mit
(13.50b)
(13.50c)
und
(13.50d)


(13.50e)

Hierbei ist D die JACOBIsche Determinante oder Funktionaldeterminante .


Fundamentalsystem von Lösungen
Ein System von

Lösungen

einer homogenen linearen Differentialgleichung wird

Fundamentalsystem genannt, falls diese Funktionen in dem betrachteten Intervall linear unabhängig sind, also ihre
Linearkombination
für
Die Lösungen

für kein Wertesystem der
, identisch verschwindet, d.h. für alle

, ausgenommen

-Werte in dem betreffenden Intervall.

einer linearen homogenen Differentialgleichung bilden genau dann ein

Fundamentalsystem, wenn ihre WRONSKI-Determinante

(9.34)

von Null verschieden ist. Für jedes Lösungssystem einer homogenen linearen Differentialgleichung gilt die Formel
von LIOUVILLE :


(9.35)
Aus dieser Gleichung folgt, daß die WRONSKI-Determinante nur identisch verschwinden kann. Das bedeutet: Die
der homogenen linearen Differentialgleichung sind genau dann linear abhängig, wenn

Lösungen
nur an einer einzigen Stelle

des betrachteten Intervalls

gilt. Wenn dagegen die Lösungen

ein Fundamentalsystem von Lösungen bilden, dann lautet die allgemeine Lösung der linearen
homogenen Differentialgleichung (9.33)
(9.36)


Hauptsätze
Es sei

eine Matrix-Funktion auf

, wobei jede Komponente

eine stetige Vektorfunktion auf

Funktion vorausgesetzt wird, und es sei

als stetige
. Dann heißt
(17.13a)

inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung im

und
(17.13b)

die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung .
1. Hauptsatz über homogene lineare Differentialgleichungen: Jede Lösung von (17.13a) existiert auf ganz
. Die Gesamtheit aller Lösungen von (17.13b) bildet einen
-glatten Vektorfunktionen über

-dimensionalen Untervektorraum

.

2. Hauptsatz über inhomogene lineare Differentialgleichungen: Die Gesamtheit aller Lösungen
(17.13a) ist ein

der

-dimensionaler affiner Unterraum der

-glatten Vektorfunktionen über

von

in der Form


, wobei

eine beliebige Lösung von (17.13a) ist.

beliebige Lösungen von (17.13b) und

Seien
Dann genügt

auf

der Matrix-Differentialgleichung
eine Basis von

Lösungen

die zugehörige Lösungsmatrix .

Bezüglich einer Lösungsmatrix

, wobei

, so heißt

von (17.13b) ist

ist. Bilden die

Fundamentalmatrix von (17.13b).
die WRONSKI-Determinante . Für sie gilt die

Formel von LIOUVILLE :
(17.13c)

Für eine Lösungsmatrix ist
also genau dann eine Basis von

auf

von (17.13a) mit Anfang

für alle

, wenn

Satz über die Variation der Konstanten: Sei
Lösung

oder

zur Zeit

. Das System
für ein

ist

(und damit für alle) ist.

eine beliebige Fundamentalmatrix von (17.13b). Dann läßt sich die
in der Form


(17.13d)

darstellen.


Tensor 2. Stufe
Im Falle

hat der Tensor

9 Komponenten

die sich in der Matrixform

(4.70a)

anordnen lassen. Das Transformationsgesetz (4.69) lautet dann:

(4.70b)
Damit läßt sich jeder Tensor 2. Stufe als Matrix darstellen.
Beispiel A


Das Trägheitsmoment
den Richtungsvektor

eines Körpers bezüglich einer Geraden

die durch den Nullpunkt geht und

hat, läßt sich in der Form
(4.71a)

darstellen, wenn man mit

(4.71b)

den sogenannten Trägheitstensor einführt. Dabei sind
der Koordinatenachsen und
Koordinatenachsen.
Beispiel B

und

und

die Trägheitsmomente bezüglich

die Deviationsmomente bezüglich der


Der Belastungszustand eines elastisch verformten Körpers wird durch den Spannungstensor
(4.72)

beschrieben. Die Elemente

werden wie folgt erklärt: In einem Punkt

des

elastischen Körpers wählt man ein kleines ebenes Flächenelement, dessen Normale in Richtung der
Achse eines rechtwinklig kartesischen Koordinatensystems zeigt. Die Kraft pro Flächeneinheit auf dieses
Element, die vom Material abhängt, ist ein Vektor mit den Koordinaten
werden die Komponenten bezüglich der übrigen zwei Achsenrichtungen erklärt.

und

Analog

-


Darstellung der rationalen Zahlen
1. Dezimalbruch und Kettenbruch: Jede rationale Zahl
kann in der Form eines endlichen oder
unendlichen periodischen Dezimalbruches oder auch in der Form eines Kettenbruches dargestellt werden.
2. Geometrische Darstellung: Wenn auf einer Geraden ein Anfangspunkt 0 ( Nullpunkt ), eine positive
Richtung ( Orientierung ) und eine Längeneinheit
entspricht jeder rationalen Zahl

( Maßstab ), (s. auch Skala) festgelegt worden sind, dann

ein bestimmter Punkt dieser Geraden.

Er hat die Koordinate
und ist ein sogenannter rationaler Punkt . Die Gerade wird Zahlengerade genannt. Da
die Menge der rationalen Zahlen überall dicht ist, gibt es zwischen je zwei beliebigen rationalen Punkten
unendlich viele weitere rationale Punkte.


Bildungsgesetz
Zahlen werden in Computern in mehreren aufeinanderfolgenden Bytes dargestellt. Basis für die interne Darstellung
bildet das Dualsystem, welches, wie auch das Dezimalsystem, zu den polyadischen Zahlensystemen gehört.
Das Bildungsgesetz für polyadische Zahlensysteme lautet
(19.254)
mit

als Basis und

bilden den ganzen, die mit

als zugelassene Ziffern des Zahlensystems. Die Ziffern mit
den gebrochenen Teil der Zahl.

Im Zusammenhang mit der Nutzung von Computern sind die in der folgenden Tabelle aufgeführten Zahlensysteme
gebräuchlich.
Tabelle Zahlensysteme
Zahlensystem

Basis zulässige Ziffern


Dualsystem

2

Oktalsystem

8

Hexadezimalsystem
(Sedezimalsystem)

16

Dezimalsystem

10

(Die Buchstaben A-F stehen für die Werte 10-15)


Diagonalmatrizen
Diagonalmatrizen sind quadratische Matrizen D, in denen alle außerhalb der Hauptdiagonale liegenden Elemente
gleich Null sind:
(4.7)


Wahl der Pivots
Bei der Durchführung des
ersten Spalte der Matrix

-ten Eliminationsschrittes kommt jedes von Null verschiedene Element

der

als Pivot in Frage. Im Hinblick auf die Genauigkeit der berechneten Lösung sind

jedoch die folgenden Strategien zweckmäßig.
1. Diagonalstrategie:
Als Pivots werden sukzessive die Diagonalelemente gewählt, d.h., es werden keine Zeilenvertauschungen
vorgenommen. Diese Pivotwahl ist in der Regel nur dann sinnvoll, wenn die Elemente der Hauptdiagonalen
gegenüber den übrigen Elementen der betreffenden Zeile betragsmäßig sehr groß sind.
2. Spaltenpivotisierung:
Vor Ausführung des

-ten Eliminationsschrittes wird ein Zeilenindex

so bestimmt, daß gilt:
(19.33)

Falls

ist, dann werden die

-te und die

-te Zeile vertauscht. Es läßt sich zeigen, daß durch diese


Strategie die Fortpflanzung von Rundungsfehlern gedämpft wird.


Unterabschnitte
●
●

Erzeugung durch Integration
Erzeugung mit dem Maxwellschen Diagonalverfahren

Erzeugung neuer Felder
Erzeugung durch Integration
Die Erzeugung neuer Felder aus den komplexen Grundpotentialen kann außer durch Addition auch durch Integration
mit Hilfe von Belegungsfunktionen erfolgen.
Beispiel
Auf einem Linienstück

sei eine Wirbelbelegung mit der Dichte

vorgegeben. Für die Ableitung des

komplexen Potentials ergibt sich dann ein Integral vom CAUCHYschen Typ:


(14.30)

die komplexe Parameterdarstellung der Kurve

wobei

mit der Bogenlänge

als Parameter ist.

Erzeugung mit dem Maxwellschen Diagonalverfahren
Sind zwei Felder mit den Potentialen
und

zu überlagern, dann zeichnet man ihre Potentiallinienbilder

derart, daß von einer Potentiallinie zur nächsten der Wert des Potentials in beiden Systemen um

denselben Wert
von

und

und

Potentiallinienbild

springt, und orientiert die Linien so, daß die höheren

-Werte jeweils zur Linken liegen. In dem

gebildeten Netz ergeben die Linien, die im Zuge der Maschendiagonalen verlaufen, das
eines Feldes, dessen Potential

oder

ist. Das Bild

erhält man, wenn die orientierten Maschenseiten gemäß der linken Abbildung wie Vektoren addiert
werden, das Bild

, wenn sie wie Vektoren subtrahiert werden (rechte Abbildung).


Im zusammengesetzten Bild springt der Wert des Potentials beim Übergang von einer Potentiallinie zur nächsten um
den Wert

( Stufenwert ).

Beispiel
Feld- und Potentiallinienbild einer Quelle und einer Senke mit dem Intensitätsverhältnis
(s. Abbildung).


Statistische Parameter
Nachdem die Meßwerte gemäß Abschnitt Statistische Erfassung gegebener Meßwerte bearbeitet worden sind,
können die folgenden Parameter zur Charakterisierung der Verteilung, die den Meßwerten zu Grunde liegt, bestimmt
werden:
1. Mittelwert: Wenn sämtliche Meßwerte unmittelbar berücksichtigt werden, gilt
(16.111a)
Wenn die Mittelwerte

und Häufigkeiten

der Klassen

benutzt werden, gilt

(16.111b)
2. Streuung: Wenn sämtliche Meßwerte unmittelbar berücksichtigt werden, gilt
(16.112a)


Wenn die Mittelwerte

und Häufigkeiten

der Klassen

benutzt werden, gilt

(16.112b)

Häufig wird auch die Klassenmitte
3. Median: Dieser Parameter

an Stelle von

benutzt.

ist definiert durch
(16.113a)

und wird im diskreten Falle durch
(16.113b)
bestimmt.
4. Spannweite:
(16.114)
5. Modalwert oder Dichtemittel: heißt der Meßwert, der in einer Häufigkeitsverteilung am häufigsten auftritt.
Er wird mit

bezeichnet.


Beispiele für Gruppen
Beispiel A
Zahlenbereiche (außer

) bezüglich Addition.

Beispiel B
und

bezüglich Multiplikation.

Beispiel C
bijektiv
(symmetrische Gruppe).
Beispiel D

bezüglich Hintereinanderausführung von Abbildungen


aller Deckabbildungen eines regelmäßigen

Man betrachte die Menge

-Ecks in der Ebene. Dabei

beschreibt eine Deckabbildung den Übergang zwischen zwei Symmetrielagen des
Bewegung des

-Ecks in eine deckungsgleiche Lage. Werden mit

die Spiegelung an einer Achse bezeichnet, so hat

eine Drehung um

und mit

Elemente:

Bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen bildet
Dabei gilt

-Ecks, d.h. die

eine Gruppe, die Diedergruppe .

und

Der Name ,,Diedergruppe`` erklärt sich daraus, daß man das
zwei ebenen Flächenstücken (``Di-eder``) begrenzt wird.

-Eck als starren Körper auffaßt, der von

Beispiel E
Alle regulären Matrizen über den reellen bzw. komplexen Zahlen bezüglich Multiplikation.
Hinweis: Matrizen spielen in Anwendungen eine besondere Rolle, insbesondere zur Darstellung linearer
Transformationen. Lineare Transformationen lassen sich durch Matrizengruppen klassifizieren.


Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme
Das invertierbare dynamische System

auf

volumenerhaltend oder konservativ , wenn für jede Menge
Volumen vol
gilt.

Beispiel A

und jedes

die Beziehung vol(

heißt volumenschrumpfend oder dissipativ bzw.
mit einem positiven
vol

-dimensionalen
bzw. vol

vol


Sei

in (17.3) ein

und

sind

-Diffeomorphismus , d.h.,
-glatte Abbildungen, und sei

ist invertierbar,
die JACOBI-Matrix von

das diskrete System (17.3) dissipativ, falls
in

falls

für alle

offen,
in

. Dann ist

ist, und konservativ,

ist.

Beispiel B
Für das System (17.6) ist

(17.6) dissipativ, falls

und damit

, und konservativ, falls

. Also ist

.

Die HÉNON-Abbildung läßt sich aus drei Teilabbildungen zusammensetzen (s. Abbildung): Zunächst wird
der Ausgangsbereich (linkes Bild) durch die Abbildung
gedehnt und gebogen (2. Bild). Dann wird durch
kontrahiert (3. Bild) und abschließend durch die Abbildung
Geraden

gespiegelt (rechtes Bild).

flächenerhaltend
in Richtung der

-Achse bei
an der


Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen
Das Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen

mit dem Symbol

wird als Differential des ersten Differentials gebildet:
(6.45)
Diese Symbole sind allerdings nur geeignet, wenn
z.B. in der Form

eine unabhängige Veränderliche ist, und nicht geeignet, wenn

gegeben ist.

Die Differentiale höherer Ordnung werden in analoger Weise definiert.
Wenn die Variablen
kompliziertere Formeln.

selbst Funktionen anderer Veränderlicher sind, ergeben sich


Begriff des Differentials
Für jede der Variablen

läßt sich ein Differential

bilden. Die

Definition fällt unterschiedlich aus, je nachdem, ob es sich um das Differential einer unabhängigen Variablen oder um
das einer Funktion handelt:
1. Differential einer unabhängigen Variablen
nennt man den beliebigen Zuwachs der Größe

gemäß
(6.37a)

Dabei kann man

einen beliebigen Wert beimessen.

2. Differential einer Funktion
nennt man für einen gegebenen

einer Veränderlichen
-Wert und einen gegebenen Wert des Differentials

das Produkt
(6.37b)

3. Geometrische Bedeutung des Differentials:
Wenn die Funktion durch eine Kurve in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt ist, dann ist

der


Zuwachs, den die Ordinate der Kurventangente im Punkt

für einen gegebenen Zuwachs

erfährt.


Haupteigenschaften des Differentials
1. Invarianz:
Unabhängig davon, ob
gilt

eine unabhängige Variable oder eine Funktion von einer weiteren Variablen

ist,

(6.38)
2. Größenordnung:
Wenn

eine beliebig kleine Größe ist, dann sind auch

und

beliebig kleine, aber äquivalente Größen, d.h.

.

Infolgedessen ist die Differenz zwischen ihnen ebenfalls eine beliebig kleine Größe, aber von höherer Ordnung
als

und

Daraus ergibt sich die Beziehung
(6.39)

die es gestattet, die Berechnung kleiner Inkremente auf die Berechnung ihres Differentials zurückzuführen.


Bei näherungsweisen Berechnungen, z.B. gemäß Mittelwertsatz der Differentialrechnung oder mit
Fehlerfortpflanzungsgesetz wird davon Gebrauch gemacht.


Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg
Die Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg wird auch Integrabilität des
vollständigen Differentials genannt.
●
●
●
●

Zweidimensionaler Fall
Dreidimensionaler Fall
Berechnung der Stammfunktion
Verschwinden des Umlaufintegrals


Partielles Differential
Von einer Funktion von mehreren Veränderlichen
dieser Veränderlichen, z.B. nach

kann das partielle Differential nach einer

gebildet werden, was durch die Gleichung
(6.40)

definiert ist.


Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
Differenzierbarkeit
Man nennt eine Funktion von mehreren Veränderlichen
im Punkt

differenzierbar, wenn sich der vollständige

Zuwachs der Funktion

(6.41a)
beim Übergang zu einem beliebig nahe benachbarten Punkt
mit den beliebig kleinen Größen


von der Summe der partiellen Differentiale der Funktion nach allen Variablen
(6.41b)
um eine beliebig kleine Größe höherer Ordnung unterscheidet als der Abstand
(6.41c)
Differenzierbar ist jede stetige Funktion von mehreren Variablen, die stetige partielle Ableitungen nach allen ihren
Variablen besitzt. Umgekehrt folgt die Differenzierbarkeit einer Funktion nicht aus der bloßen Existenz der partiellen
Ableitungen.
●

Differenzierbarkeit


Vollständiges Differential zweiter Ordnung
Vollständiges Differential zweiter Ordnung einer Funktion zweier Veränderlicher
(6.46a)
bzw. symbolisch
(6.46b)


Vollständiges Differential
1. Definition:
eine differenzierbare Funktion ist, wird die Summe (6.41b) das vollständige Differential der Funktion
Wenn
genannt:
(6.42a)
Mit Hilfe der Vektoren
(6.42b)
(6.42c)
läßt sich das totale Differential als Skalarprodukt
(6.42d)
unabhängigen Variablen.
darstellen. In der zweiten Gleichung handelt es sich um den Gradienten für den Fall von
2. Haupteigenschaft des vollständigen Differentials
wird in Analogie zum Differential einer Funktion von einer Veränderlichen die in (6.38) formulierte Invarianz in
bezug auf die enthaltenen Variablen genannt.


3. Anwendung in der Fehlerrechnung:
Im Rahmen der Fehlerrechnung, z.B. bei der Betrachtung der Fehlerfortpflanzung, wird das totale Differential
zur Schätzung des Fehlers

(s. (6.41a)) verwendet. Aus der TAYLORschen Formel folgt
(6.43)

d.h., der absolute Fehler
Approximation für

kann in erster Näherung durch

ersetzt werden. Damit ist

eine lineare


Vollständiges Differential n-ter Ordnung
Das vollständige Differential

-ter Ordnung einer Funktion zweier Veränderlicher ergibt sich zu
(6.47)


Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen
●
●

Funktion von einer Veränderlichen
Funktion von zwei Veränderlichen


Kapitel 9:

Differentialgleichungen

1. Differentialgleichung wird eine Gleichung genannt, in der neben einer oder mehreren unabhängigen
Veränderlichen und einer oder mehreren Funktionen dieser Veränderlichen auch noch die Ableitungen dieser
Funktionen nach den unabhängigen Veränderlichen auftreten. Die Ordnung einer Differentialgleichung ist
gleich der Ordnung der höchsten in ihr auftretenden Ableitung.
2. Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen unterscheiden sich nach der Anzahl der in ihnen
enthaltenen unabhängigen Veränderlichen; im ersten Falle tritt nur eine auf, im zweiten mehrere.
Beispiel A

Beispiel B


Beispiel C

●

Gewöhnliche Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●


Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●
●

Existenzsatz, Richtungsfeld
Wichtige Integrationsmethoden
Implizite Differentialgleichungen
Singuläre Integrale und singuläre Punkte
Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung


Gewöhnliche Differentialgleichungen
1. Allgemeine gewöhnliche Differentialgleichung
Differentialgleichung

-ter Ordnung Allgemeine gewöhnliche

-ter Ordnung in impliziter Form nennt man die Gleichung
(9.1)

Ist diese Gleichung nach
Differentialgleichung

aufgelöst, dann hat man die explizite Form einer gewöhnlichen

-ter Ordnung.

2. Lösung oder Integral einer Differentialgleichung ist jede Funktion, die ihr in einem Intervall
das auch unendlich sein kann, genügt. Eine Lösung, die

willkürliche Konstanten

zusätzliche Bedingungen auferlegt werden können, heißt allgemeine Lösung oder
so daß ihr noch
allgemeines Integral . Erteilt man jeder dieser Konstanten einen festen Zahlenwert, so erhält man ein
partikuläres Integral oder eine partikuläre Lösung .

,
enthält,


Beispiel
Die Differentialgleichung

hat die allgemeine Lösung
. Für

●
●
●

ergibt sich die partikuläre Lösung

Differentialgleichungen 1. Ordnung
Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen
Randwertprobleme

.


Allgemeines Integral
Die Gesamtheit aller Integralkurven hängt von einem Parameter ab und kann durch die Gleichung
(9.5a)
, die willkürliche Konstante,
der zugehörigen einparametrigen Kurvenschar beschrieben werden. Der Parameter
ist frei wählbar und unbedingter Bestandteil des allgemeinen Integrals jeder Differentialgleichung erster Ordnung.
Ein partikuläres Integral

, das der Bedingung

Integral (9.5a) gewonnen werden, indem

genügt, kann aus dem allgemeinen

aus der Gleichung
(9.5b)

bestimmt wird.


Differentialgleichungen auf dem Torus
Sei
(17.81)
eine ebene Differentialgleichung, in der

und

differenzierbare und 1periodische Funktionen in beiden

Argumenten sind. In diesem Fall definiert (17.81) einen Fluß, der auch als Fluß auf dem Torus
bezüglich

und

interpretiert werden kann. Ist

für alle

, so besitzt (17.81)

keine Ruhelage und ist äquivalent zur skalaren Differentialgleichung 1. Ordnung
(17.82)

Mit den Bezeichnungen
Differentialgleichung

und

läßt sich (17.82) als nichtautonome


(17.83)
schreiben, deren rechte Seite 1periodisch bezüglich
Anfang

zur Zeit

und

ist. Es sei

die Lösung von (17.83) mit

. Damit kann man (17.83) eine Abbildung

Abbildung einer Abbildung

zuordnen, die als geliftete

gelten kann.

Beispiel
Seien

die für

Konstanten und

eine Differentialgleichung auf dem Torus,

der skalaren Differentialgleichung

und

äquivalent ist. Damit ist

.


Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
Betrachtet wird die nichtautonome Differentialgleichung (17.11). Die Lösung

von (17.11) heißt

LYAPUNOV-stabil , wenn gilt:

(17.16a)
Die Lösung

heißt asymptotisch stabil im Sinne von LYAPUNOV, wenn sie stabil ist und gilt:

(17.16b)
Für die autonome Differentialgleichung (17.1) läßt sich neben der LYAPUNOV-Stabilität der Lösungen auch die orbitale


Stabilität betrachten. Die Lösung

von (17.1) heißt orbital stabil ( asymptotisch orbital stabil ), wenn der Orbit
stabil (asymptotisch stabil) im Sinne einer invarianten Menge ist. Eine Lösung von

(17.1), die eine Ruhelage repräsentiert, ist genau dann LYAPUNOV-stabil, wenn sie orbital stabil ist. Schon für
periodische Lösungen von (17.1) können sich beide Stabilitätsarten unterscheiden.
Beispiel
Gegeben sei ein Fluß in

, der den Torus

Winkelkoordinaten der Fluß beschrieben durch

als invariante Menge besitzt. Lokal sei in
, wobei

-periodische glatte Funktion sei, für die gilt:

Eine beliebige Lösung mit Anfang

auf dem Torus ist gegeben durch

An dieser Darstellung erkennt man, daß jede Lösung orbital stabil ist, aber nicht LYAPUNOV-stabil
(s. Abbildung).

eine


Fortsetzbarkeit der Lösungen
Neben der Differentialgleichung (17.1), die wir autonom nennen, treten auch Differentialgleichungen auf, deren rechte
Seite explizit von der Zeit abhängt und die deshalb nichtautonom heißen:
(17.11)
Dabei sei

mit

eine

-Abbildung. Durch die neue Variable

sich (17.11) als autonome Differentialgleichung
(17.11) mit Anfang

zur Zeit

wird mit

läßt

interpretieren. Die Lösung von
bezeichnet.

Um die globale Existenz der Lösungen und damit die Existenz eines Flusses von (17.1) zu zeigen, sind folgende
Sätze oft hilfreich.
1. Kriterium von WINTNER und CONTI: Ist in (17.1)
, so daß

und existiert eine stetige Funktion
für alle

gilt und ist


, so läßt sich jede Lösung von (17.1) auf ganz

fortsetzen.

Beispiel
Für das Kriterium von WINTNER und CONTI sind folgende Funktionen geeignet:
und

, wobei

eine Konstante ist.

2. Fortsetzungsprinzip: Bleibt eine Lösung von (17.1) für wachsende Zeiten beschränkt, so existiert sie für
alle positiven Zeiten und damit auf ganz

.

Voraussetzung: Im weiteren wird stets die Existenz eines Flusses

von (17.1) vorausgesetzt.


Autonome lineare Differentialgleichungen
Gegeben sei im

die Differentialgleichung
(17.14)

wobei

eine konstante Matrix vom Typ

Die Operator-Norm einer Matrix
für die Vektoren des
Seien

und

ist durch

gegeben, wobei

wieder die EUKLIDische Norm vereinbart sei.

zwei beliebige Matrizen vom Typ

a)
.
b)

ist.

. Dann gilt:


.
c)
.
d)
.
e)
, wobei

Die Fundamentalmatrix mit Anfang

der größte Eigenwert von

zur Zeit

ist.

von (17.14) ist die Matrix-Exponentialfunktion

(17.15)

mit folgenden Eigenschaften:
a)
Die Reihe für
jedes
b)

absolut.

konvergiert bezüglich

auf einem beliebigen kompakten Zeitintervall gleichmäßig und für


.
c)
.
d)
.
e)
ist für alle

regulär und

.

f)
Sind

und

und

kommutative Matrizen vom Typ

, d.h. gilt

, so ist

.

g)
Sind

und

Matrizen vom Typ

und ist

regulär, so ist

.


BERNOULLIsche Differentialgleichung
BERNOULLIsche Differentialgleichung wird die Gleichung
(9.12)
genannt, die sich mittels Division durch

und Einführung der neuen Variablen

auf eine lineare

Differentialgleichung zurückführen läßt.
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung

Division durch

zu integrieren. Da

und Einführung der neuen Variablen

, erhält man mittels

die Gleichung

.

Nach der Formel für die Lösung einer linearen Differentialgleichung ist
und

.


Somit ergibt sich

.


Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
Die Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung ist der Integration des sogenannten
charakteristischen Systems
(9.69a)
äquivalent. Zur Lösung dieses Systems können zwei Wege eingeschlagen werden:
1.
Man kann als unabhängige Variable ein beliebiges

auswählen, für das

gilt, so daß das System

in die Form
(9.69b)

übergeht.
2.


Bequemer ist es, unter Beibehaltung der Symmetrie eine neue unabhängige Variable

einzuführen, indem
(9.69c)

gesetzt wird.
Jedes erste Integral des Systems (9.69a) ist eine Lösung der homogenen linearen partiellen Differentialgleichung
(9.68b) und umgekehrt, jede Lösung von (9.68b) ist ein erstes Integral von (9.68a) (s. Allgemeine Lösung). Wenn
hierbei

erste Integrale
(9.69d)

unabhängig sind (s. Fundamentalsystem von Lösungen), dann gilt
(9.69e)

Dabei ist

eine beliebige Funktion der

Argumente

und eine allgemeine Lösung von (9.68b).


Allgemeine Methoden
Die Differentialgleichung
(9.49a)

1. Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung, d.h.

, lautet
(9.49b)

Dabei sind
Lösung

und

zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen dieser Gleichung. Wenn eine partikuläre

bekannt ist, dann kann die zweite

mit der aus der Formel (9.35) von LIOUVILLE folgenden Gleichung
(9.49c)

beliebig wählbar ist.
bestimmt werden, wobei
2. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung kann mit Hilfe der Formel


(9.49d)

gewonnen werden, wobei

und

zwei partikuläre Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung

sind.
3. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung kann auch mit Hilfe der Methode der
Variation der Konstanten bestimmt werden.

Die Differentialgleichung
(9.50a)
enthalte Funktionen

und

Gebiet in konvergente Reihen nach Potenzen von

, die Polynome sind oder Funktionen, die in einem gewissen
entwickelt werden können, wobei

muß. Die Lösungen dieser Differentialgleichung können dann ebenfalls nach Potenzen von

sein
in Reihen

entwickelt werden, die in demselben Gebiet konvergieren. Ihre Bestimmung erfolgt mit Hilfe der Methode der
unbestimmten Koeffizienten: Die gesuchte Lösung wird als Reihe der Form
(9.50b)
angesetzt und in die Differentialgleichung (9.50a) eingesetzt. Gleichsetzen der Koeffizienten gleicher Potenzen von


liefert Gleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten

.

Beispiel
Zur Lösung der Differentialgleichung

wird
und

gesetzt. Man erhält
. Die Lösung dieser Gleichungen liefert
,
so daß sich als Lösung ergibt:
.

Die Differentialgleichung
(9.51a)


kann für den Fall, daß sich die Funktionen

und

in konvergente Reihen von

entwickeln lassen, mit

Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten gelöst werden. Die Lösungen haben die Form
(9.51b)
deren Exponenten

aus der definierenden Gleichung
(9.51c)

bestimmt werden. Wenn die Wurzeln dieser Gleichung verschieden sind und ihre Differenz nicht ganzzahlig ist, dann
ergeben sich zwei unabhängige Lösungen von (9.51a). Anderenfalls liefert die Methode der unbestimmten
Koeffizienten nur eine Lösung. Dann kann mit Hilfe von (9.49b) eine zweite Lösung ermittelt werden oder wenigstens
eine Form gesucht werden, aus der eine Lösung mittels der Methode der unbestimmten Koeffizienten gewonnen
werden kann.
Beispiel
Für die BESSELsche Differentialgleichung (9.52a) erhält man mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten
nur eine Lösung der Form

übereinstimmt. Als zweite Lösung findet man wegen

, die bis auf einen konstanten Faktor mit

mit der Formel (9.49c)


Die Bestimmung der Koeffizienten

und

aus den

gestaltet sich schwierig. Man kann jedoch den

letzten Ausdruck benutzen, um die Lösung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten zu ermitteln.
Offensichtlich ist diese Form eine Reihenentwicklung der Funktion

(9.53c).


STURM- LIOUVILLEsches Problem
Für einen festen Wert des Parameters

gibt es zwei Fälle:

1.
Das inhomogene Randwertproblem besitzt eine eindeutige Lösung bei beliebigem

, während das

zugehörige homogene Problem lediglich die triviale, identisch verschwindende Lösung besitzt, oder
2.
das zugehörige homogene Problem besitzt nichttriviale, d.h. nicht verschwindende Lösungen. Dann ist das
inhomogene Problem nicht für beliebige rechte Seiten lösbar; im Falle der Existenz einer Lösung ist diese nicht
eindeutig bestimmt.
, für die der zweite Fall eintritt, d.h. das homogene Problem eine nichttriviale Lösung
Die Werte des Parameters
hat, werden Eigenwerte des Randwertproblems genannt, die zugehörigen nichttrivialen Lösungen seine
Eigenfunktionen . Die Aufgabe, die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Differentialgleichung (9.64a) zu bestimmen,
nennt man das STURM- LIOUVILLEsche Problem .


Allgemeine Form
Allgemeine Form einer linearen partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen
und einer unbekannten Funktion

heißt eine Gleichung der Gestalt
(9.79a)

wobei die Koeffizienten

und das freie Glied

bekannte Funktionen von

und

sind.

Die Form der Lösung dieser Differentialgleichung hängt vom Vorzeichen der Diskriminante
(9.79b)
in einem betrachteten Gebiet ab. Man unterscheidet die folgenden Formen:
1.
: Hyperbolischer Typ.
2.
: Parabolischer Typ.
3.


: Elliptischer Typ.
4.
ändert sein Vorzeichen: Gemischter Typ.
Eine wichtige Eigenschaft der Diskriminante

besteht darin, daß ihr Vorzeichen invariant ist gegen beliebige

Transformationen der unabhängigen Variablen, z.B. bei der Einführung neuer Koordinaten in der

-Ebene. Somit

ist auch der Typ der Differentialgleichung eine Invariante bezüglich der Wahl der unabhängigen Variablen.


Entwicklung nach Eigenfunktionen
●
●

Nichtsinguläre Fälle
Singuläre Fälle


Unterabschnitte
●
●
●

1. Fall
2. Fall
EULERsche Differentialgleichung:

Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten können durch Variation der
Konstanten, mit der Methode von CAUCHY oder mit Hilfe der Operatorenmethode ermittelt werden. Eine partikuläre
Lösung kann sehr schnell gefunden werden, wenn die rechte Seite von (9.12) eine spezielle Form hat.

1. Fall
(9.43a)
Eine partikuläre Lösung ist


(9.43b)
Wenn

eine

-fache Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, d.h. wenn gilt
(9.43c)

dann ist

eine partikuläre Lösung. Diese Formeln können durch Anwendung des Zerlegungssatzes

auch verwendet werden, wenn
(9.43d)
ist. Die zugehörigen partikulären Lösungen ergeben sich als Real- bzw. Imaginärteil der Lösung derselben
Differentialgleichung für
(9.43e)
auf der rechten Seite.
Beispiel A
ergeben sich die Polynome

Für die Differentialgleichung
und

so daß die Lösung lautet

.

,


Beispiel B
führt auf die Gleichung

Die Differentialgleichung
. Aus ihrer Lösung

erhält man eine partikuläre Lösung

der Differentialgleichung. Dabei ist

der Imaginärteil von

.

2. Fall
,

ist ein Polynom

-ten Grades:

Eine partikuläre Lösung kann immer in der gleichen Form gefunden werden, d.h. als Ausdruck
ist ein mit

multipliziertes Polynom

-ten Grades, wenn

eine

.

-fache Wurzel der

charakteristischen Gleichung ist. Geht man von einem Lösungsansatz mit unbestimmten Koeffizienten des Polynoms


aus und fordert man, daß er der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung genügt, dann können die
unbekannten Koeffizienten aus einem Satz linearer algebraischer Gleichungen bestimmt werden. Die Methode ist
für

besonders in den Fällen
für

und

oder

anwendbar. Hier wird eine Lösung der Form
gesucht.

Beispiel
gehörenden

Die Wurzeln der zur Differentialgleichung
charakteristischen Gleichung sind

. Da der Superpositionssatz gilt,

können die partiellen Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung für die einzelnen Summanden der
rechten Seite der Reihe nach gesucht werden. Für den ersten Summanden liefert das Einsetzen des
Ansatzes

in die rechte Seite

, woraus folgt:

. Für den zweiten Summanden liefert das gleiche Vorgehen
. Die Koeffizientenbestimmung ergibt
, also

und


. Die allgemeine Lösung lautet folglich
.

EULERsche Differentialgleichung:
Die EULERsche Differentialgleichung
(9.44a)
kann mit Hilfe der Substitution
(9.44b)
auf eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zurückgeführt werden.
Beispiel


Die Differentialgleichung
Differentialgleichung für

ist ein Spezialfall der EULERschen
. Sie kann mit Hilfe der Substitution

in die in einem

vorangegangen Beispiel untersuchte lineare Differentialgleichung

übergeführt

werden. Die allgemeine Lösung ergibt sich zu
.


Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
Für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe erhält man eine notwendige Bedingung auf folgende Weise: Zur
Extremalen

, die durch (10.12) charakterisiert ist, konstruiert man sogenannte Vergleichsfunktionen
(10.13)

mit einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion
genügt. Mit
erhält man an Stelle des Funktionals

, die den speziellen Randbedingungen

wird ein reeller Parameter bezeichnet. Setzt man (10.13) in (10.11) ein, dann
die von

abhängige Funktion

(10.14)

und die Forderung, daß

das Funktional

zu einem Extremum macht, geht in die Bedingung über, daß


als Funktion von

für

einen Extremwert hat. Aus einer Variationsaufgabe wird dadurch eine

Extremwertaufgabe, für die die notwendige Bedingung
(10.15)
gelten muß.
als Funktion von drei unabhängigen Variablen entsprechend oft
Unter der Voraussetzung, daß der Integrand
differenzierbar ist, erhält man mit Hilfe seiner TAYLOR-Entwicklung
(10.16)
Die notwendige Bedingung (10.15) führt auf
(10.17)

und daraus folgt durch partielle Integration und Berücksichtigung der Randbedingungen für

:

(10.18)

Aus Stetigkeitsgründen und da das Integral in (10.18) für jede der in Frage kommenden Funktionen


verschwinden soll, muß
(10.19)
gelten. Die Gleichung (10.19) stellt eine notwendige Bedingung für die einfache Variationsaufgabe dar und heißt
EULERsche Differentialgleichung der Variationsrechnung . Die Differentialgleichung (10.19) kann man auch in der
Form
(10.20)
schreiben. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, wenn

ist.

Die EULERsche Differentialgleichung vereinfacht sich in folgenden Spezialfällen:
1.
, d.h.,

und

treten nicht auf. Dann erhält man an Stelle von (10.19)
(10.21a)

und
(10.21b)

2.


, d.h.,

tritt nicht auf. Man betrachtet

(10.22a)
und erhält wegen (10.19)
(10.22b)
d.h.
(10.22c)
als notwendige Bedingung für die Lösung der einfachen Variationsaufgabe im Falle

.

Beispiel A
Für die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte
gelten:

und

in der

-Ebene muß


(10.23a)

Aus (10.22b) folgt für

(10.23b)

also

, d.h., die kürzeste Verbindungslinie ist die Gerade.

Beispiel B
Läßt man einen Kurvenbogen

, der die Punkte

und

verbindet, um die

-

Achse rotieren, dann entsteht eine Mantelfläche mit dem Flächeninhalt

(10.24a)

Für welche Kurve

ist der Flächeninhalt am kleinsten? Mit

folgt aus


(10.22c):

oder

mit

. Diese Differentialgleichung läßt sich

durch Trennung der Variablen lösen, und man erhält
(10.24b)
die Gleichung der sogenannten Kettenlinie.
Die Konstanten

und

sind mit Hilfe der Randbedingungen

und

zu bestimmen. Das

erfordert die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems, für dessen Lösbarkeit weitere Untersuchungen
notwendig sind.


Variationsaufgaben in Parameterdarstellung
Bei manchen Variationsaufgaben ist es zweckmäßig, die Extremale nicht in der expliziten Form
anzugeben, sondern von deren Parameterdarstellung
(10.38)
auszugehen, wobei

und

die den Punkten

und

entsprechenden Parameterwerte sein sollen.

Die einfache Variationsaufgabe lautet dann

(10.39a)
mit den Randbedingungen
(10.39b)
Mit

und

bezeichnet.

werden, wie bei Parameterdarstellung üblich, die Ableitungen von

und

nach dem Parameter


Das Variationsproblem (10.39a) ist nur dann sinnvoll, wenn der Wert des Integrals von der Parameterdarstellung der
Extremale unabhängig ist. Es gilt: Damit das Integral in (10.39a) von der Parameterdarstellung der Kurve, die die
Punkte

und

verbindet, unabhängig ist, muß

eine positiv homogene Funktion sein, d.h., es muß
(10.40)

gelten.
Da die Variationsaufgabe (10.39a) als Spezialfall von (10.34) aufgefaßt werden kann, lauten die zugehörigen
EULERschen Differentialgleichungen
(10.41)
Diese sind nicht unabhängig voneinander, sondern äquivalent der sogenannten WEIERSTRASSschen Form der
EULERschen Differentialgleichung:
(10.42a)
mit
(10.42b)
Ausgehend von der Berechnung des Krümmungskreisradius
einer in Parameterdarstellung gegebenen Kurve,
erfolgt die Berechnung des Krümmungskreisradius der Extremalen unter Berücksichtigung von (10.42a) gemäß
(10.42c)


Beispiel
Das isoperimetrische Problem (10.8a bis 10.8c) lautet in Parameterdarstellung

(10.43a)
mit
(10.43b)
Diese Variationsaufgabe mit Nebenbedingung geht gemäß (10.26) mit
(10.43c)
in eine Variationsaufgabe ohne Nebenbedingung über. Man sieht, das
positiv homogene Funktion vom Grade 1 ist. Weiterhin gilt

die Bedingung (10.40) erfüllt, also eine

(10.43d)
so daß man aus (10.42c) für den Krümmungskreisradius
Kreise.

erhält. Da

konstant ist, sind die Extremalen


Exakte Differentialgleichung
Exakte Differentialgleichung wird eine Gleichung der Form
(9.9a)
genannt, wenn eine Funktion

existiert, die der Gleichung
(9.9b)

genügt, d.h. wenn die linke Seite von (9.9a) das totale Differential einer Funktion

ist. Die notwendige und

hinreichende Bedingung dafür, daß die Gleichung (9.9a) eine exakte Differentialgleichung ist, besteht darin, daß die
Funktionen

und

sowie ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung in einem einfach

zusammenhängenden Gebiet stetig sind und die Bedingung
(9.9c)
erfüllen. Das allgemeine Integral von (9.9a) ist in diesem Falle die Funktion
(9.9d)


die gemäß Berechnung der Stammfunktion (8.132b) als Integral

(9.9e)

berechnet werden kann, wobei

und

beliebig gewählt werden können.


Existenz einer Lösung, LIPSCHITZ-Bedingung
1. Nach dem Existenzsatz von CAUCHY existiert für die Differentialgleichung
(9.2)
den Wert

wenigstens eine Lösung, die an der Stelle
definiert und stetig ist, wenn die Funktion
und

annimmt und in einem gewissen Intervall um

in einer Umgebung

des Punktes

, die durch

festgelegt ist, stetig ist.

2. LIPSCHITZ-Bedingung bezüglich

nennt man die Forderung
(9.3)

für alle

aus

, wobei

nicht von

Lösung von (9.2) eindeutig und eine stetige Funktion von

und

abhängen darf. Ist sie erfüllt, dann ist die

. Die Erfüllung der LIPSCHITZ-Bedingung ist stets dann


gegeben, wenn

in dem betrachteten Gebiet eine beschränkte partielle Ableitung

besitzt. Im

Abschnitt Singuläre Integrale und singuläre Punkte sind Fälle angeführt, in denen die Voraussetzungen des
CAUCHYschen Existenzsatzes nicht erfüllt sind.


Fluß einer Differentialgleichung
Gegeben sei eine gewöhnliche Differentialgleichung
(17.1)
wobei
offene Teilmenge des

(Vektorfeld) eine

-mal stetig differenzierbare Abbildung ist und

darstellt. Im weiteren wird im
ist

beliebiges

Schreibt man die Abbildung

in Komponenten als

skalaren Differentialgleichungen

stets die EUKLIDische Norm

oder eine
benutzt, d.h., für

.

, so ist (17.1) das System aus den
.

Die Sätze über die lokal eindeutige Lösbarkeit von PICARD-LINDELÖF und über die

-malige Differenzierbarkeit nach


den Anfangsbedingungen (s. Lit. 17.6) garantieren, daß für jedes
aus

eine Zahl

, eine Kugel

und eine Abbildung

existieren,

so daß gilt:
1.
ist

-mal stetig differenzierbar bezüglich des ersten Arguments (Zeit) und

-mal stetig

differenzierbar bezüglich des zweiten Arguments (Ortsvariable).
2.
ist für jedes fixierte $xB_(x_0)eine lokal eindeutige Lösung von (17.1) auf dem Zeitintervall

mit Anfang

zur Zeit

, d.h., es gilt

für alle

, und jede andere Lösung mit Anfang
Zeiten

mit

stimmt für kleine

überein.

Alle lokalen Lösungen von (17.1) seien eindeutig auf ganz
(17.1) eine Abbildung

zur Zeit

fortsetzbar. Dann gibt es zu jeder Differentialgleichung

mit folgenden Eigenschaften:


1.
.
2.
.
3.
ist bezüglich des ersten Arguments

-mal und bezüglich des zweiten Arguments

-mal

stetig differenzierbar.
4.
ist für jedes fixierte

Der zu (17.1) gehörige
Bewegungen

eine Lösung von (17.1) auf ganz

.

-glatte Fluß läßt sich dann durch die Beziehung

definieren. Die

eines Flusses von (17.1) heißen Integralkurven .

In dem folgenden Beispiel wird das LORENZ-System betrachtet.
Beispiel
Das System
(17.2)


heißt LORENZ-Systemder konvektiven Turbulenz . Dabei sind
LORENZ-System entspricht ein

-Fluß in

.

und

Parameter. Dem


Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der FourierTransformation
Ein wichtiger Anwendungsbereich der FOURIER-Transformation ist analog zur LAPLACE-Transformation die Lösung
von Differentialgleichungen, weil diese durch die genannten Integraltransformationen eine einfache Form erhalten. Im
Falle von gewöhnlichen Differentialgleichungen entstehen algebraische Gleichungen, im Falle von partiellen
Differentialgleichungen gewöhnliche.
●
●

Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
Partielle Differentialgleichungen


Genäherte Integration von gewöhnlichen
Differentialgleichungen
In vielen Fällen ist die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung nicht mehr durch einen geschlossenen
Formelausdruck, der bekannte elementare und höhere Funktionen enthält, darstellbar. Die dennoch unter sehr
allgemeinen Voraussetzungen vorhandene Lösung muß dann durch numerische Verfahren bestimmt werden. Diese
liefern nur partikuläre Lösungen, ermöglichen aber eine sehr hohe Genauigkeit. Da man bei Differentialgleichungen
von höherer als 1. Ordnung zwischen Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben unterscheidet, sind für diese
beiden Aufgabenklassen auch unterschiedliche Verfahren entwickelt worden.
●
●

Anfangswertaufgaben
Randwertaufgaben


Graphische Integration von Differentialgleichungen
Die Graphische Integration von Differentialgleichungen ist ein Verfahren, das vom Begriff des
Richtungsfeldes ausgeht. Die Integralkurve wird durch einen vom gegebenen Anfangspunkt ausgehenden
Polygonzug dargestellt (s. Abbildung), der aus kurzen Teilstrecken zusammengesetzt wird.


Die Richtungen der Teilstrecken stimmen jeweils mit der Richtung des Richtungsfeldes im Anfangspunkt der
Teilstrecke überein. Dieser ist seinerseits zugleich Endpunkt der vorhergehenden Teilstrecke.


Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von
Differentialgleichungen
●
●
●
●
●
●

Grundlegende Betrachtungen
Erniedrigung der Ordnung
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung


Unterabschnitte
●
●

Konstanten und geometrische Bedeutung:
Berechnung eines ersten Integrals:

Allgemeine Lösung
Konstanten und geometrische Bedeutung:
1. Konstanten: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (9.4) enthält
Konstanten:

unabhängige willkürliche
(9.26a)

2. Geometrische Bedeutung: Geometrisch betrachtet, wird durch die Gleichung (9.26a) eine -parametrige
Schar von Integralkurven definiert. Jede einzelne dieser Integralkurven, d.h. das Kurvenbild der
entsprechenden partikulären Lösung, kann durch spezielle Wahl der willkürlichen Konstanten
erhalten werden. Wenn das partikuläre Integral den oben angegebenen


Anfangsbedingungen genügen soll, dann müssen die Werte

aus den folgenden

Gleichungen ermittelt werden:

(9.26b)

Sollten diese Gleichungen für die willkürlichen Anfangswerte in einem bestimmten Gebiet einander widersprechen,
dann ist die Lösung in diesem Gebiet nicht allgemein, d.h., die willkürlichen Konstanten sind nicht voneinander linear
unabhängig.

Berechnung eines ersten Integrals:
Auch die allgemeine Lösung des Systems (9.23a) enthält
willkürliche Konstanten. Diese allgemeine Lösung läßt
sich auf zweierlei Weise darstellen, entweder aufgelöst nach den unbekannten Funktionen
(9.27a)
oder aufgelöst nach den willkürlichen Konstanten


(9.27b)
Im Falle von (9.26b) ist jede Beziehung der Art
(9.27c)
ein erstes Integral des Systems (9.23a). Das erste Integral kann unabhängig vom allgemeinen Integral als Beziehung
der Art (9.27c) definiert werden. Dabei wird davon ausgegangen, daß (9.27c) zur Identität wird, wenn anstelle der
irgendeine partikuläre Lösung des gegebenen Systems mit einer durch diese partikuläre Lösung
bestimmten willkürlichen Konstanten
ist, dann genügt die Funktion

eingesetzt wird. Wenn irgendein erstes Integral der Form (9.27c) bekannt
der partiellen Differentialgleichung
(9.27d)

Umgekehrt, jede Lösung

der Differentialgleichung (9.27d) liefert ein erstes Integral des

Systems (9.23a) in der Form (9.27c). Das allgemeine Integral des Systems (9.27a) kann aus einem System von
ersten Integralen des Systems (9.23a) gebildet werden, für die die zugehörigen Funktionen
linear unabhängig sind.


Unterabschnitte
●
●
●

Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:
Existenz eines Lösungssystems:
LIPSCHITZ-Bedingung:

Existenz einer Lösung
Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:
Jede explizite Differentialgleichung

-ter Ordnung
(9.22a)

kann durch Einführung der neuen Variablen
(9.22b)
auf ein System von

Differentialgleichungen 1. Ordnung


(9.22c)
zurückgeführt werden.

Existenz eines Lösungssystems:
Das im Vergleich zu (9.22c) allgemeinere System von

Differentialgleichungen
(9.23a)

besitzt ein eindeutig bestimmtes Lösungssystem
(9.23b)
das in einem Intervall

definiert und stetig ist und für

die vorgegebenen

annimmt, wenn die Funktionen

Anfangswerte

bezüglich aller Variablen stetig sind und die folgende LIPSCHITZ-Bedingung erfüllen.

LIPSCHITZ-Bedingung:
Die Funktionen

müssen für die Werte

und

der gegebenen Anfangswerte liegen, den Ungleichungen

, die in einem gewissen Intervall in der Umgebung


(9.24)
mit einer gemeinsamen Konstanten

genügen (s. auch LIPSCHITZ-Bedingung für Differentialgleichungen

1. Ordnung). Daraus folgt, vorausgesetzt die Funktion

ist stetig und erfüllt die LIPSCHITZ-

Bedingung (9.24), daß auch die Gleichung
(9.25)
eine eindeutige Lösung besitzt, die die Anfangsbedingungen
erfüllt und zusammen mit ihren Ableitungen bis einschließlich der

für
-ten Ordnung stetig ist.


Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
Für ebene Differentialgleichungen ist die Menge aller strukturstabilen Systeme aus

offen und dicht in

. Strukturstabile Systeme sind für die Ebene also typisch. Typisch ist also auch, daß jeder Orbit eines
ebenen Systems aus

für wachsende Zeiten gegen eine endliche Anzahl von Ruhelagen und periodischer

Orbits geht. Quasiperiodische Orbits sind nicht typisch. Unter bestimmten Voraussetzungen bleiben aber bei
HAMILTON-Systemen quasiperiodische Orbits bei kleinen Störungen der Differentialgleichung erhalten. HAMILTONSysteme sind also keine typischen Systeme.
Beispiel


Gegeben sei im

das HAMILTON-System (in Winkel-Wirkungsvariablen)

wobei die HAMILTON-Funktion

mit Konstanten

analytisch ist. Offenbar hat dieses System die Lösungen

, wobei

und

von

definiert einen invarianten Torus

und

abhängen können. Die Beziehung

. Es wird nun anstelle von

die gestörte

HAMILTON-Funktion

betrachtet, wobei

analytisch und

ein kleiner Parameter sei.

Das Theorem von KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER (KAM- Theorem ) sagt in dieser Situation aus, daß, falls
nichtdegeniert ist, d.h.

gilt, für hinreichend kleine

im gestörten HAMILTON-

System die Mehrzahl der invarianten nichtresonanten Tori nicht verschwindet, sondern nur leicht deformiert
wird. Mehrzahl ist in dem Sinne zu verstehen, daß das LEBESGUE-Maß der bezüglich der Tori gebildeten
Komplementmenge gegen Null geht, wenn
durch

und

gegen

geht. Ein oben definierter Torus, charakterisiert

, heißt nichtresonant, wenn es eine Konstante

gibt, so daß für alle positiven


ganzen Zahlen

und

die Ungleichung

gilt.


Satz von Liouville
Seien

der Fluß von (17.1),

eine beliebige beschränkte und meßbare Menge,
das

-dimensionale Volumen von

(s. Abbildung).


Dann gilt für beliebiges

die Beziehung

. Für

lautet der Satz von

LIOUVILLE:
(17.12)

Folgerung: Gilt für (17.1) div
in

Beispiel A

in

, so ist der Fluß von (17.1) volumenschrumpfend. Gilt div

, so ist der Fluß von (17.1) volumenerhaltend.


Für das LORENZ-System (17.2) ist

offenbar

ist

.

lautet die Lösung

Für die lineare Differentialgleichung
, so daß

Beispiel B

und

. Mit dem Satz von LIOUVILLE folgt für eine beliebige beschränkte und meßbare

also

Menge

. Wegen

für

folgt.


Sei

eine offene Teilmenge und

eine

-Funktion. Dann heißt

HAMILTONsche Differentialgleichung

. Die Funktion

heißt HAMILTON- Funktion des Systems. Bezeichnet

Differentialgleichung, so gilt offenbar
HAMILTONsche Differentialgleichungen sind also volumenerhaltend.

die rechte Seite dieser

.


Zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Wenn das Potential

und die Wellenfunktion

nicht von der Zeit abhängen, d.h.

,

, dann genügt zur Beschreibung der Zustände die einfachere zeitunabhängige
SCHRÖDINGER-Gleichung. Man kann sie aus der zeitabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung (9.104a) mit dem Ansatz
(9.105b) herleiten und erhält
(9.106a)
In diesem ebenfalls nichtrelativistischen Fall ist
(9.106b)
die Energie des Teilchens. Die Wellenfunktionen

, die diese Differentialgleichung erfüllen, sind ihre

, die sich für das betrachtete Problem aus
Eigenfunktionen ; sie existieren nur für bestimmte Energieeigenwerte
seinen spezifischen Anfangs- und Randbedingungen ergeben. Die Gesamtheit der Eigenwerte bildet das
eine monotone Funktion ist, die im Unendlichen verschwindet, dann bilden
Energiespektrum der Teilchen. Wenn
die Eigenwerte ein diskretes Spektrum .
Ist das betrachtete Gebiet der gesamte Raum, dann kann als Randbedingung gefordert werden, daß

im


LEBESGUEschen Sinne (s. auch Lit. 8.11) im gesamten Raum quadratisch integrabel sein muß. Ist das Gebiet
endlich, z.B. eine Kugel oder ein Zylinder, dann kann als erste Randwertaufgabe z.B.
gefordert werden.
In dem speziellen Fall

für den Rand

ergibt sich die HELMHOLTZsche Differentialgleichung
(9.107a)

mit dem Eigenwert
(9.107b)
am Rande gefordert. In einem endlichen Gebiet stellt (9.107a) die
Als Randbedingung wird hier oft
mathematische Ausgangsgleichung für akustische Schwingungen in gegebenen räumlichen Begrenzungen dar.


HERMITEsche Differentialgleichung
In der Literatur sind zwei Definitionsgleichungen der HERMITEschen Differentialgleichung gebräuchlich:
Definitionsgleichung zu Variante 1:
(9.63a)
Definitionsgleichung zu Variante 2:
(9.63b)
Partikuläre Lösungen sind die HERMITEschen Polynome , die entsprechend in zwei Varianten auftreten, als
zu Definitionsgleichung 1 und als

zu Definitionsgleichung 2.

HERMITEschen Polynome zu Definitionsgleichung 1:


(9.63c)

Für

gelten die folgenden Rekursionsformeln:
(9.63d)
(9.63e)

Die Orthogonalitätsrelation lautet:
(9.63f)
HERMITEschen Polynome zu Definitionsgleichung 2:
(9.63g)
Bezüglich der ersten Glieder s. Physikalische Lösungen. Der Zusammenhang mit den HERMITEschen Polynomen zur
1. Definitionsgleichung lautet:
(9.63h)

Zur Orthogonalität s.auch Orthogonale Systeme.


Hypergeometrische Differentialgleichung
Hypergeometrische Differentialgleichung heißt die Gleichung
(9.61a)
in der die

und

Parameter sind. Sie beinhaltet eine große Zahl wichtiger Spezialfälle.

a)
Für

und

ergibt sich die LEGENDREsche

Differentialgleichung.
b)
Für
Reihe:

oder

keine ganze negative Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die hypergeometrische


(9.61b)

die für

absolut konvergiert. Die Konvergenz der hypergeometrischen Reihe hängt für
ab. Für

Zahl
ergibt

absolute Konvergenz,

konvergiert sie, falls

ist, für

bedingte Konvergenz und

von der

divergiert sie. Für
Divergenz.

c)
Für

oder ungleich einer ganzen negativen Zahl ergibt sich als partikuläre Lösung die Funktion
(9.61c)

d)
In einigen Fällen wird die hypergeometrische Reihe zu einer elementaren Funktion, z.B.:
(9.61d)
(9.61e)
(9.61f)


(9.61g)

(9.61h)


Implizite Differentialgleichungen
●
●
●

Lösung in Parameterform
LAGRANGEsche Differentialgleichung
CLAIRAUTsche Differentialgleichung


Geometrische Darstellung und Charakteristik des Systems
Im Falle zweier unabhängiger Veränderlicher

und

mit
(9.71a)

eine Fläche im

ist die Lösung

-Raum, die Integralfläche der Differentialgleichung genannt

wird. Die Gleichung (9.71a) bedeutet, daß in jedem Punkt der Integralfläche

orthogonal zu dem in diesem Punkt gegebenen Vektor

der Normalenvektor

ist. Dabei nimmt das

System (9.70b) die Form
(9.71b)


an. Daraus folgt (s. Feldlinien eines Vektorfeldes), daß die Integralkurven des Systems , die auch die Charakteristika
des Systems genannt werden, die Vektoren
Integralfläche

berühren. Daher liegt eine Charakteristik, die mit der

einen Punkt gemeinsam hat, ganz in dieser Fläche. Unter der Bedingung, daß der

Existenzsatz gilt, verläuft durch jeden Punkt des Raumes eine Integralkurve des charakteristischen Systems, so daß
die Integralkurven aus Charakteristiken bestehen.


Richtungsfeld, Vertikale Richtungen
1. Richtungsfeld: Wenn durch den Punkt
Differentialgleichung

die Kurve einer Lösung

geht, dann kann der Richtungsfaktor

der
der Tangente an die

Kurve in diesem Punkt unmittelbar aus der Differentialgleichung bestimmt werden. Damit definiert die
Differentialgleichung in jedem Punkt die Richtung der Tangente an eine Lösungskurve. Die Gesamtheit dieser
Richtungen bildet das Richtungsfeld (s. Abbildung).


Als Element des Richtungsfeldes bezeichnet man einen Punkt zusammen mit der in ihm gegebenen Richtung.
Geometrisch betrachtet bedeutet die Integration einer Differentialgleichung erster Ordnung somit die
Verbindung der Elemente des Richtungsfeldes zu Integralkurven , deren Tangenten in jedem Punkt eine
Richtung besitzen, die mit der des Richtungsfeldes in dem betreffenden Punkt übereinstimmt.
2. Vertikale Richtungen: Wenn in einem Feld vertikale Richtungen auftreten, d.h. wenn die Funktion
einen Pol besitzt, vertauscht man die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen und faßt
die Differentialgleichung
(9.4)


als äquivalent zur vorgegebenen Differentialgleichung (9.2) auf. In den Gebieten, in denen die Bedingungen des
Existenzsatzes für die Differentialgleichungen (9.2) oder (9.4) erfüllt sind, geht durch jeden Punkt
eindeutig bestimmte Integralkurve (s. Abbildung).

eine


Integration durch Reihenentwicklung
Die TAYLORsche Reihenentwicklung der Lösung einer Differentialgleichung ist in der Form
(9.21)

darstellbar, wenn die Werte

aller Ableitungen der Lösungsfunktion für den Anfangswert

der

unabhängigen Variablen bekannt sind. Man kann sie durch sukzessives Differenzieren der Differentialgleichung und Einsetzen der
Anfangsbedingung bestimmen. Wenn die Differentiation der Differentialgleichung beliebig oft möglich ist, konvergiert die so gewonnene
Reihe in einer gewissen Umgebung des Anfangswertes der unabhängigen Variablen. Man kann diese Methode auch bei der Lösung
von Differentialgleichungen -ter Ordnung einsetzen.
Häufig ist es vorteilhaft, die Lösung in der Form einer Reihe mit unbestimmten Koeffizienten anzusetzen, die mit Hilfe der Bedingung
bestimmt werden, daß die Gleichung erfüllt wird, wenn man die Reihe einsetzt.
Beispiel A


mit

Zur Lösung der Differentialgleichung

für

kann

gesetzt werden. Einsetzen in die Gleichung liefert unter
Berücksichtigung von

gemäß (7.80)

usw.

Hieraus folgt durch Koeffizientenvergleich
Sukzessive Lösung dieser Gleichungen und Einsetzen der gefundenen Koeffizienten in die Reihe liefert
.

Beispiel B
Die gleiche Differentialgleichung mit der gleichen Anfangsbedingung kann auch folgendermaßen gelöst werden:
Man setzt in der Differentialgleichung

und erhält

. Außerdem ergibt sich
.

Gemäß dem Satz von TAYLOR folgt

.


Integrierender Faktor
Integrierender Faktor wird eine Funktion

genannt, wenn die Gleichung
(9.10a)

durch Multiplikation mit

in eine exakte Differentialgleichung übergeht. Der integrierende Faktor genügt der

Differentialgleichung

(9.10b)

Jede beliebige partikuläre Lösung dieser Gleichung ist ein integrierender Faktor. In vielen Fällen ist der integrierende
Faktor

Beispiel

von der speziellen Form

oder

.


Es ist die Differentialgleichung

zu lösen. Die Gleichung für den integrierenden

Faktor lautet

ist, ergibt sich aus

liefert

. Ein integrierender Faktor, der von

zu

unabhängig

. Multiplikation der gegebenen Differentialgleichung mit

. Das allgemeine Integral für

oder

lautet dann:

.


Klassifizierungen
Eine Differentialgleichung der Form
(9.33)
heißt lineare Differentialgleichung

-ter Ordnung. Dabei sind

und die

Funktionen von

, die in einem

konstant sind, spricht man von einer

gewissen Intervall stetig sein sollen. Wenn die

Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten . Eine homogene lineare Differentialgleichung zeichnet sich durch
aus, eine inhomogene durch

.


LAGRANGEsche Differentialgleichung
LAGRANGEsche Differentialgleichung wird die Gleichung
(9.15a)

genannt. Ihre Lösung kann stets durch die oben angegebene Methode berechnet werden. Wenn für

(9.15b)
gilt, dann ist
(9.15c)
ein singuläres Integral.


LAGUERREsche Differentialgleichung
Bei Beschränkung auf ganzzahlige Parameter

und reelle Veränderliche hat die LAGUERREsche

Differentialgleichung die Form
(9.62a)
Als partikuläre Lösungen ergeben sich die LAGUERREschen Polynome
(9.62b)
Die Rekursionsformel für

lautet:
(9.62c)
(9.62d)

Als Orthogonalitätsrelation gilt für

:


(9.62e)

Mit

ist die Gammafunktion bezeichnet. Zur Orthogonalität s. auch Orthogonale Systeme.


Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
●
●
●
●

Prinzip
Differentialgleichung 1. Ordnung
Differentialgleichung 2. Ordnung
Differentialgleichung n-ter Ordnung


Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten
Differentialgleichungen, deren Koeffizienten Polynome in sind, eignen sich besonders für die Anwendung der LAPLACETransformation. Nach Anwendung der Gleichung (15.16) erhält man zwar im Bildbereich wieder eine
Differentialgleichung, ihre Ordnung kann jedoch niedriger sein.
Sind speziell die Koeffizienten Polynome 1. Grades, dann ist die Differentialgleichung im Bildbereich von 1. Ordnung und
dadurch meist leicht lösbar.
Beispiel
BESSELsche Differentialgleichung 0-ter Ordnung (

):

.

Die Transformation im Bildbereich ergibt
.
Trennung der Veränderlichen und Integration liefert


,

(s. auch Beispiel) zur absolut
konvergenten Reihe).


Laplacesche Differentialgleichung
Die Aufgabe der Bestimmung des Potentials
enthalten sind, führt gemäß (13.125) mit

eines Vektorfeldes

, in dem keine Quellen

auf
(13.130a)

d.h. auf die LAPLACEsche Differentialgleichung . In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.130b)
Alle Funktionen, die dieser Differentialgleichung genügen, stetig sind und stetige partielle Ableitungen erster und
zweiter Ordnung besitzen, werden LAPLACEsche oder harmonische Funktionen genannt.
Es werden drei grundlegende Fälle von Randwertaufgaben unterschieden:
1.
Randwertaqufgabe (für das Innengebiet) oder DIRICHLETsches Problem :Gesucht wird eine Funktion


, die im Inneren eines gegebenen räumlichen bzw. ebenen Gebietes harmonisch ist und auf dem
Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt.
2.
Randwertaufgabe (für das Innengebiet) oder NEUMANNsches Problem : Gesucht wird eine Funktion
, die im Inneren eines gegebenen Gebietes harmonisch ist und deren Normalenableitung
auf dem Rand des Gebietes vorgegebene Werte annimmt.
3.
Randwertaufgabe (für das Innengebiet): Gesucht wird eine Funktion

, die im Inneren eines

Gebietes harmonisch ist, wobei auf dem Rand des Gebietes der Ausdruck
vorgegebene Werte annimmt.


Unterabschnitte
●
●
●

LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art:
Eigenschaften der LEGENDREschen Polynome 1. Art:
LEGENDREsche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art:

LEGENDREsche Differentialgleichung
Bei Beschränkung auf den Fall reeller Veränderlicher und ganzzahliger Parameter

, hat die

LEGENDREsche Differentialgleichung die Gestalt
(9.58a)

LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art:
LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art heißen die partikulären Lösungen der LEGENDREschen


Differentialgleichung für ganzzahlige

, die sich über den Potenzreihenansatz

ermitteln lassen:

a) Definitionsgleichung:
(9.58b)
Dabei gilt

.

b) Darstellung als Polynome: Ausgangspunkt ist die Gleichung
(9.58c)
wobei mit

die hypergeometrische Reihe bezeichnet wird. Die ersten acht Polynome haben die einfache Form:
(9.58d)
(9.58e)
(9.58f)
(9.58g)


(9.58h)
(9.58i)
(9.58j)
(9.58k)

Die Kurvenbilder von

für Werte von

bis

sind in der folgenden Abbildung dargestellt.


Zahlenwerte können leicht mit dem Taschenrechner berechnet bzw. in der Tabelle ,, LEGENDREsche Polynome
(Kugelfunktionen)`` nachgesehen werden.

Eigenschaften der LEGENDREschen Polynome 1. Art:
a) Definition:


(9.59a)
Das Vorzeichen kann in beiden Gleichungen beliebig genommen werden.
b) Rekursionsformel:
(9.59b)
(9.59c)
c) Orthogonalitätsrelation:
(9.59d)
Zur Orthogonalität s. auch Orthogonale Systeme.
d) Nullstellensatz: Alle

Nullstellen von

sind reell und einfach und liegen im Intervall

.

e) Erzeugende Funktion: Die LEGENDREschen Polynome 1. Art können auch als Reihenentwicklung der
Funktion
(9.59e)
erzeugt werden.
Weitere Angaben über die LEGENDREschen Polynome 1. Art s. Lit. 21.1.


LEGENDREsche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art:
Eine zweite partikuläre, von

linear unabhängige Lösung

erhält man für

durch die

Potenzreihenentwicklung

(9.60a)
Die für

gültige Darstellung von

lautet;

(9.60b)
Man bezeichnet die Kugelfunktionen 1. und 2. Art auch als zugeordnete oder assoziierte LEGENDREsche Funktionen
(s. auch Lösung der Polargleichung).


Lineare Differentialgleichungen
●
●
●

Hauptsätze
Autonome lineare Differentialgleichungen
Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten


Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung wird eine Gleichung der Form
(9.11a)
genannt, in der die unbekannte Funktion und ihre Ableitung nur in der ersten Potenz, d.h. linear auftreten. Der
integrierende Faktor ist hier
(9.11b)
das allgemeine Integral ergibt sich gemäß

(9.11c)
Wenn in dieser Formel das unbestimmte Integral überall durch das bestimmte Integral in den Grenzen
ersetzt wird, dann gilt für die Lösung gemäß Hauptsatz der Integralrechnung

. Ist

und

irgendeine


partikuläre Lösung der Differentialgleichung, dann ergibt sich die allgemeine Lösung nach der Formel
(9.11d)

Sind zwei linear unabhängige partikuläre Lösungen

und

bekannt, dann erhält man die allgemeine

Lösung ohne Integration gemäß
(9.11e)
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
zu integrieren. Man berechnet

mit der Anfangsbedingung
und erhält gemäß (9.11c) die Lösung

für


Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Zu dieser Klasse von Differentialgleichungen gehören viele spezielle Differentialgleichungen, die in den
Anwendungen vorkommen und in in diesem Abschnitt behandelt werden. Ausführliche Darstellungen der
Eigenschaften dieser Differentialgleichungen und ihrer Lösungsfunktionen s. Lit. 9.26.
●
●
●
●
●
●

Allgemeine Methoden
BESSELsche Differentialgleichung
LEGENDREsche Differentialgleichung
Hypergeometrische Differentialgleichung
LAGUERREsche Differentialgleichung
HERMITEsche Differentialgleichung


Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
Betrachtet wird die homogene lineare Differentialgleichung (17.13b), wobei

eine T. In diesem

periodische Matrix-Funktion ist, d.h., es gilt

Falle nennt man (17.13b) eine lineare T-periodische Differentialgleichung . Dann läßt sich jede Fundamentalmatrix
von (17.13b) in der Form
Matrix-Funktion ist und
Sei

die bei

(17.13b) und

darstellen, wobei

eine konstante Matrix vom Typ

eine glatte, reguläre

-periodische

darstellt ( Satz von FLOQUET).

normierte Fundamentalmatrix

der

-periodischen Differentialgleichung

eine Darstellung laut Satz von FLOQUET. Die Matrix

Monodromie-Matrix von (17.13b); die Eigenwerte

von

heißt

sind die Multiplikatoren von (17.13b). Eine Zahl

ist genau dann Multiplikator von (17.13b), wenn es eine Lösung

von (17.13b) gibt, so daß


gilt.


Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
●
●
●
●
●
●

Klassifizierungen
Fundamentalsystem von Lösungen
Erniedrigung der Ordnung
Superpositionssatz
Zerlegungssatz
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mittels Quadraturen


Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen
Differentialgleichung
Zur Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung (9.68a) wird die
Lösung

in der impliziten Form

homogenen linearen Differentialgleichung mit

gesucht. Die Funktion

ist eine Lösung der

unabhängigen Veränderlichen
(9.70a)

deren charakteristisches System

(9.70b)
charakteristisches System der ursprünglichen Gleichung (9.68a) genannt wird.


Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
●

●

●

Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung


Allgemeine Form
Eine Differentialgleichung dieser Art hat die Gestalt
(9.83a)
wobei die

gegebene Funktionen der unabhängigen Variablen sind und die Punkte in (9.83a) Glieder bedeuten,

in denen keine Ableitungen zweiter Ordnung der unbekannten Funktionen enthalten sind.
Im allgemeinen kann die Differentialgleichung (9.83a) nicht durch Transformationen der unabhängigen Variablen auf
eine einfache Normalform gebracht werden.
Es gibt aber eine wichtige Klassifikation, die der für Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen
Veränderlichen eingeführten Klassifikation ähnlich ist (s. Lit. 9.6).


Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Wenn die Koeffizienten

in (9.83a) konstant sind, dann ist durch eine lineare homogene Transformation der

unabhängigen Variablen eine Transformation auf die einfachere Normalform
(9.83b)
möglich, in der sämtliche Koeffizienten

gleich

oder

sind. Man kann mehrere charakteristische Fälle

unterscheiden:
1.
Alle Koeffizienten

sind von Null verschieden und haben dasselbe Vorzeichen: Dann handelt es sich um

eine elliptische Differentialgleichung .
2.
Alle Koeffizienten

sind von Null verschieden, aber einer hat ein zu allen übrigen entgegengesetztes

Vorzeichen: Dann handelt es sich um eine hyperbolische Differentialgleichung . Treten darüber hinaus von
jeder Vorzeichenart wenigstens zwei auf, dann ist es eine ultrahyperbolische Differentialgleichung .


3.
Einer der Koeffizienten

verschwindet, die übrigen sind verschieden von Null und haben gleiches

Vorzeichen: Dann handelt es sich um eine parabolische Differentialgleichung .
4.
Ein relativ einfach zu lösender Fall liegt vor, wenn nicht nur die Koeffizienten der höchsten Ableitungen der
unbekannten Funktionen konstant sind, sondern auch die der ersten Ableitungen. Man kann dann die Glieder
mit den ersten Ableitungen durch eine Variablensubstitution eliminieren, für die

ist. Dazu setzt man
(9.83c)

wobei

der Koeffizient von

in (9.83b) ist und die Summation über alle

zu erfolgen hat.

Auf diese Weise können alle elliptischen und hyperbolischen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten auf
eine einfache Form gebracht werden:
a) Elliptischer Fall:
(9.83d)
b) Hyperbolischer Fall:
(9.83e)


Mit

wird der LAPLACEsche Operator
(9.83f)

bezeichnet.


Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
●
●
●
●
●
●
●
●

●

●
●
●

Methode der Variablentrennung
Lösung der Saitenschwingungsgleichung
Lösung der Stabschwingungsgleichung
Lösung der Membranschwingungsgleichung
Lösung des Dirichletschen Problems
Lösung der Wärmeleitungsgleichung
RIEMANNsche Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems der hyperbolischen Differentialgleichung
GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische Differentialgleichungen mit zwei
unabhängigen Variablen
GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei
unabhängigen Variablen
Vergleich der RIEMANNschen und der GREENschen Methode
Operatorenmethoden
Näherungsmethoden


Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
●
●
●
●

Allgemeine Form
Charakteristiken
Normalform oder kanonische Form
Verallgemeinerung:


Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
●
●

Allgemeine Form
Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten


Erniedrigung der Ordnung
Eine der wichtigsten Methoden zur Integration von Differentialgleichungen

-ter Ordnung
(9.28)

ist die Substitution der Variablen, die auf einfachere Differentialgleichungen, insbesondere auf solche mit niedrigerer
Ordnung führt. Man kann mehrere Fälle unterscheiden.
●
●
●
●

Fall 1
Fall 2
Fall 3
Fall 4


Erniedrigung der Ordnung
Wenn eine partikuläre Lösung

einer homogenen Differentialgleichung bekannt ist, dann können die weiteren

Lösungen durch den Ansatz
(9.37)
aus einer homogenen linearen Differentialgleichung der Ordnung

für

bestimmt werden.


Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung (9.40a) mit

, d.h.
(9.41a)

der sogenannten charakteristischen Gleichung

erfordert die Bestimmung der Wurzeln

(9.41b)
Jede Wurzel

liefert eine Lösung

auf, dann sind

der Gleichung

. Tritt eine Wurzel

mit der Vielfachheit

ebenfalls Lösungen. Die Linearkombination dieser aller

Lösungen ergibt die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung:
(9.41c)
Wenn die Koeffizienten

reell sind, können komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung nur paarweise

konjugiert komplex auftreten. In diesem Falle sind z.B. für

und

in den betreffenden


Gliedern der allgemeinen Lösungen die Funktionen

und

durch

ersetzen. Die dabei entstehenden Ausdrücke der Form
mit den Konstanten

und

und

zu

können auch in der Form

dargestellt werden.

Beispiel
gehört die charakteristische Gleichung

Zur Differentialgleichung
mit den Wurzeln

allgemeine Lösung kann in zwei Formen angegeben werden:

. Die


Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung wird die implizite Gleichung
(9.73a)
genannt.
1. Vollständiges Integral heißt die Lösung
(9.73b)

die von
von

Parametern

abhängt und für deren Funktionaldeterminante mit den betrachteten Werten

gelten muß

(9.73c)


2. Charakteristische Streifen:Die Integration von (9.73a) wird auf die Integration des charakteristischen
Systems
(9.73d)

mit

(9.73e)
zurückgeführt. Die Lösungen des charakteristischen Systems, die die zusätzliche Bedingung
(9.73f)
erfüllen, heißen charakteristische Streifen .


Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
Betrachtet wird eine parameterabhängige Differentialgleichung
(17.53)
mit

, wobei

und

offene Mengen darstellen und

als

-mal stetig

differenzierbar vorausgesetzt wird. Die Gleichung (17.53) läßt sich als parameterfreie Differentialgleichung
im Phasenraum

interpretieren. Aus dem Satz von PICARD - LINDELÖF und dem

Satz über die
Differenzierbarkeit nach den Anfangswerten folgt, daß (17.53) für beliebige
eindeutige Lösung

mit Anfang

zur Zeit

differenzierbar ist. Alle Lösungen mögen auf ganz
Es wird weiter vorausgesetzt, daß System (17.53) bei

besitzt, die bezüglich

und
und

eine lokal
dann

-mal stetig

existieren.
die Ruhelage

besitzt, d.h., es gelte


. Es seien

die Eigenwerte von

. Außerdem habe

genau

mit Re

Eigenwerte mit negativem und

Eigenwerte

mit positivem Realteil.
Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen ( Satz von SHOSHITAISHVILI)
(s. Lit. 17.12) ist die Differentialgleichung (17.53) für

mit hinreichend kleiner Norm

in einer Umgebung von

topologisch äquivalent zu einem System
(17.54)
und

mit
hat, und

eine

-Funktion mit

, wobei

eine Matrix vom Typ
sowie

ist, die

als Eigenwerte

darstellt.

Aus der Darstellung (17.54) folgt, daß Bifurkationen von (17.53) in einer Umgebung von
Differentialgleichung

ausschließlich durch die

(17.55)
beschrieben werden. Die Gleichung (17.55) stellt die auf die lokale Zentrumsmannigfaltigkeit


von (17.54) reduzierte Differentialgleichung dar.
Die reduzierte Differentialgleichung (17.55) kann oft durch eine nichtlineare parameterabhängige
Koordinatentransformation, die die topologische Struktur ihres Phasenporträts nahe der untersuchten Ruhelage nicht
ändert, auf eine relativ einfache Form (z.B. mit Polynomen auf der rechten Seite) gebracht werden, die Normalform
heißt. Eine Normalform läßt sich nicht eindeutig bestimmen; in der Regel wird eine Bifurkation durch unterschiedliche
Normalformen äquivalent beschrieben.


Numerische Integration
Die numerische Integration von Differentialgleichungen wird in Abschnitt ,,Genäherte Integration von gewöhnlichen
Differentialgleichungen`` ausführlich behandelt. Auf die numerische Integration der Differentialgleichung
ist man vor allem dann angewiesen, wenn sie nicht in den Spezialfällen enthalten ist, deren
analytische Lösung in den vorausgehenden Abschnitten beschrieben worden ist, oder wenn
ist. Das wird insbesondere dann der Fall sein, wenn

nichtlinear von

abhängt.

zu kompliziert


Operatorenschreibweise
Die Differentialgleichung (9.33) kann symbolisch in der Form
(9.40a)
geschrieben werden, wobei

ein Differentialoperator ist:
(9.40b)

Wenn die Koeffizienten
des Operators

.

konstant sind, dann ist

ein gewöhnliches Polynom

-ten Grades hinsichtlich


Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
1.
Die Eigenwerte eines Randwertproblems bilden eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen
(9.65a)
die gegen unendlich strebt.
2.
Die Eigenfunktion, die zum Eigenwert

gehört, besitzt im Intervall

genau

Nullstellen.

3.
Sind

und

zwei Eigenfunktionen, die zu demselben Eigenwert

sie sich nur durch einen konstanten Faktor

gehören, dann unterscheiden

, d.h., es gilt
(9.65b)

4.
Für zwei Eigenfunktionen

und

entsprechen, gilt die Orthogonalitätsrelation

, die den verschiedenen Eigenwerten

und


(9.65c)
wobei

das Gewicht der Orthogonalität genannt wird.

5.
Wenn in (9.64a) die Koeffizienten

und

durch

werden, dann werden die Eigenwerte nicht kleiner, sondern es gilt

und
, wobei

ersetzt
und

Eigenwerte der geänderten bzw. ungeänderten Gleichung sind. Wenn jedoch der Koeffizient
ersetzt wird, dann werden die Eigenwerte nicht größer, sondern es gilt

die
durch
. Der

Eigenwert hängt hierbei stetig von den Koeffizienten der Gleichung ab, d.h., daß hinreichend kleinen
Änderungen der Koeffizienten entsprechen beliebig kleine Änderungen des

-ten Eigenwertes.

6.
Verkleinerungen des Intervalls

ziehen keine Verkleinerung der Eigenwerte nach sich.

-ten

-te


Partielle Differentialgleichungen
●
●
●

●

Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft
und Technik
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen


Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●

Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung


Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
Die Gleichung
(9.68a)
heißt lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung . Mit
Variablen

bezeichnet, und die

Wenn die Funktionen

auch noch von

wird eine unbekannte Funktion der unabhängigen
sind vorgegebene Funktionen dieser Variablen.

abhängen, spricht man von einer quasilinearen partiellen

Differentialgleichung . Im Falle
(9.68b)
heißt die Gleichung homogen.


Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Für

kann der charakteristische Streifen geometrisch als Kurve gedeutet

werden, die sich dadurch auszeichnet, daß in jedem ihrer Punkte

ihre Tangentialebene

definiert ist. Dadurch kann die Aufgabe, die Integralfläche der Gleichung
(9.77)
zu bestimmen, die durch eine gegebene Kurve hindurchgeht, also das CAUCHYsche Problem zu lösen, auf eine
andere Aufgabe zurückgeführt werden: Durch die Punkte der Anfangskurve sind die charakteristischen Streifen
hindurchzulegen, deren zugehörige Ebene diese Kurve tangiert. Man gewinnt die Werte
der Anfangskurve aus den Beziehungen

und

und

in den Punkten

, die im Falle

nichtlinearer Differentialgleichungen im allgemeinen mehrere Lösungen besitzen. Damit sich bei Stellung des
CAUCHYschen Problems eindeutige Lösungen ergeben, sind entlang der Anfangskurve zwei stetige Funktionen


und

festzulegen, die den beiden Beziehungen genügen.

Die Existenzbedingungen für die Lösung des CAUCHYschen Problems s. Lit. 9.26.
Beispiel A
und die Anfangskurve

Für die partielle Differentialgleichung
der Kurve

und

kann entlang

gesetzt werden. Das charakteristische System besitzt die Form

Der charakteristische Streifen mit den Anfangswerten

und

für

. Für den

Gleichungen
Fall

lautet die Gleichung der zum charakteristischen Streifen gehörenden Kurve,
der Anfangskurve verläuft,

die durch den Punkt

Elimination der Parameter

genügt den

und

liefert

. Für andere zulässige Werte von

der Anfangskurve hätte sich eine andere Lösung ergeben.

und

längs


Die Einhüllende einer einparametrigen Integralflächenschar ist ebenfalls eine Integralfläche. Unter
Beachtung dieses Umstandes kann das CAUCHYsche Problem mit Hilfe des vollständigen Integrals gelöst
werden. Dazu wird eine einparametrige Schar von Lösungen gesucht, die die Ebenen berühren, die in den
Punkten der Anfangskurve gegebenen sind. Dann ist noch die Einhüllende dieser Schar zu bestimmen.
Beispiel B
Für die CLAIRAUTsche Differentialgleichung
werden, die durch die Kurve
lautet
Bedingung
erhält man

soll die Integralfläche bestimmt
verläuft. Das vollständige Integral der Differentialgleichung

. Da entlang der Anfangskurve

gilt, bestimmt man mit der

die erforderliche einparametrige Integralflächenschar. Nach Ermittlung der Einhüllenden
.


Partielle Differentialgleichungen
●
●

Allgemeine Vorgehensweise
Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium


Genäherte Integration von partiellen
Differentialgleichungen
Im folgenden wird nur das Prinzip der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen am Beispiel linearer
partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen unter passenden Rand- oder/und
Anfangsbedingungen gezeigt.
●
●
●

Differenzenverfahren
Ansatzverfahren
Methode der finiten Elemente (FEM)


Partielle Differentialgleichungen
●
●

Allgemeine Vorgehensweise
Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium


Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
●
●
●
●
●

Physikalisch-mathematische Problemstellung
KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
Nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung
Sinus- GORDON-Gleichung
Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen


Potentialgleichung
Potentialgleichung oder POISSONsche Differentialgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung zweiter
Ordnung
(9.103a)
genannt, die die Bestimmung des Potentials
erzeugt wird, wobei
Lösung, das Potential

für die Koordinaten
im Punkt

eines skalaren Feldes ermöglicht, das von einer Punktfunktion
steht und

der LAPLACE-Operator ist. Die

, wird im Abschnitt Differentialgleichungen der Feldtheorie

behandelt.
Für die homogene Differentialgleichung mit

ergibt sich die LAPLACEsche Differentialgleichung
(9.103b)

Die Differentialgleichungen (9.103a) und (9.103b) sind vom elliptischen Typ.


Poissonsche Differentialgleichung
Die Aufgabe der Bestimmung des Potentials
sind, führt gemäß (13.127a) mit

eines Vektorfeldes

, in dem Quellen enthalten

auf
(13.131a)

d.h. auf die POISSONsche Differentialgleichung . In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.131b)
Die LAPLACEsche Differentiagleichung (13.130b) ist somit ein Spezialfall der POISSONschen Differentialgleichung
(13.131b).
Lösungen sind das NEWTON-Potential (für Punktmassen) oder das COULOMB-Potential (für Punktladungen)
(13.131c)


deren Potential

für größer werdende

-Werte hinreichend stark gegen Null strebt.

Zur POISSONschen Differentialgleichung können die gleichen drei Randwertbedingungen wie für die Lösung der
LAPLACEschen Differentialgleichung formuliert werden. Die erste und dritte Randwertaufgabe sind eindeutig lösbar,
an die zweite müssen noch spezielle Bedingungen gestellt werden (s. Lit. 9.6).


Randwertprobleme
●
●
●

Problemstellung
Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
Entwicklung nach Eigenfunktionen


RICCATIsche Differentialgleichung
RICCATIsche Differentialgleichung heißt die Gleichung
(9.13a)
die im allgemeinen nicht durch Quadraturen gelöst werden kann, d.h. nicht durch endlich viele aufeinander folgende
Integrationen. Ist aber eine partikuläre Lösung

der RICCATIschen Differentialgleichung bekannt, dann läßt sich

diese durch die Substitution

(9.13b)

auf eine lineare Differentialgleichung für

zurückführen. Kennt man noch eine zweite Lösung

, so ist

(9.13c)


eine partikuläre Lösung der linearen Differentialgleichung für die Variable
Sollten sogar drei Lösungen

und

, so daß sich ihre Integration vereinfacht.

bekannt sein, dann lautet das allgemeine Integral der RICCATIschen

Differentialgleichung

(9.13d)

Durch die Substitution

(9.13e)

läßt sich die RICCATIsche Differentialgleichung stets in die Normalform

(9.13f)

überführen. Mit der Substitution

(9.13g)


ergibt sich aus (9.13a) eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
(9.13h)
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung

zu lösen. Man setzt

substituiert und erhält für den Koeffizienten der ersten Potenz von

Man sucht partikuläre Lösungen der Form

d.h. zwei partikuläre Lösungen

, der zum

setzt.

Verschwinden gebracht wird, indem man

Somit ergibt sich

den Ausdruck

,

.

und findet durch Einsetzen

.

,


Die Substitution

liefert

.

ergibt sich die allgemeine Lösung

Durch Einsetzen der partikulären Lösung

und hiermit

.


Existenzsatz, Richtungsfeld
●
●
●

Existenz einer Lösung, LIPSCHITZ-Bedingung
Richtungsfeld, Vertikale Richtungen
Allgemeines Integral


Unterabschnitte
●
●
●
●

Problemstellung:
Lösungsansatz:
Lösungen:
Spezialfall Würfel, Entartung:

Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
Problemstellung:
Ein Teilchen mit der Masse
Kantenlänge

bewege sich kräftefrei in einem Quader mit undurchlässigen Wänden der

, so daß es sich in einem Potentialkasten befindet, der in alle drei Raumrichtungen wegen

seiner Undurchlässigkeit unendlich hoch ist, d.h., die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens und damit die
Wellenfunktion
verschwinden außerhalb des Kastens. Die SCHRÖDINGER-Gleichung und die Randbedingungen
lauten für dieses Problem


(9.108a)

(9.108b)

Lösungsansatz:
Mit dem Separationsansatz
(9.109a)
zur Variablentrennung ergibt sich nach Einsetzen in (9.108a)
(9.109b)
Jedes der drei Glieder auf der linken Seite hängt nur von einer unabhängigen Variablen ab. Ihre Summe kann für
beliebige

nur dann konstant gleich

sein, wenn jedes einzelne Glied für sich konstant ist. In diesem

Falle kann die partielle Differentialgleichung in drei gewöhnliche Differentialgleichungen aufgespalten werden:
(9.109c)
Zwischen den Separationskonstanten

besteht der Zusammenhang


(9.109d)
womit folgt
(9.109e)

Lösungen:
Lösungen der drei Gleichungen (9.109c) sind die Funktionen
(9.110a)

mit den Konstanten

. Damit erfüllt

. Um die Bedingung

die Randbedingungen

auch für

und

für

und

zu erfüllen, muß

(9.110b)
gelten, d.h., es müssen die Beziehungen
(9.110c)
erfüllt sein, in denen

und

ganze Zahlen sind.

Für die Gesamtenergie erhält man damit


(9.110d)
woraus folgt, daß Energieänderungen des Teilchens durch Austausch mit der Umgebung nicht kontinuierlich,
sondern lediglich in Quanten möglich sind. Die Zahlen

und

, die zu den Eigenwerten der Energie

gehören, werden Quantenzahlen genannt.
Nach der Berechnung des Konstantenprodukts

aus der Normierungsbedingung

(9.110e)
ergeben sich die vollständigen Eigenfunktionen des durch die drei Quantenzahlen charakterisierten Zustandes zu
(9.110f)
Die Eigenfunktionen verschwinden an den Wänden, wenn eine der drei Sinusfunktionen gleich Null ist. Außer an den
Wänden ist das immer dann der Fall, wenn die Beziehungen

(9.110g)


bzw.

erfüllt sind. Somit gibt es
in denen

bzw.

Ebenen senkrecht zur

- bzw.

- bzw.

-Achse,

verschwindet. Diese Ebenen heißen Knotenebenen .

Spezialfall Würfel, Entartung:
Im Spezialfalle des Würfels mit
kann sich ein Teilchen gleichzeitig in mehreren Zuständen befinden, die
durch unterschiedliche linear unabhängige Eigenfunktionen beschrieben werden und die gleiche Energie besitzen.
Das ist der Fall, wenn die Summe

in verschiedenen Zuständen den gleichen Wert hat. Man

spricht dann von entarteten Zuständen , und wenn es
.

Zustände mit gleicher Energie sind, von

Die Quantenzahlen

und

-facher Entartung

können alle ganzen Zahlen durchlaufen, außer der Null. Letzteres würde

bedeuten, daß die Wellenfunktion identisch Null ist, d.h., das Teilchen an keinem Ort innerhalb des Kastens existiert.
Somit muß die Teilchenenergie endlich bleiben, selbst wenn die Temperatur des absoluten Nullpunktes erreicht ist.
Diese Nullpunktstranslationsenergie beträgt für den Quader
(9.110h)


Selbstadjungierte Differentialgleichung
Selbstadjungierte Differentialgleichung wird die folgende wichtige Form der Differentialgleichungen 2. Ordnung
genannt:
(9.64a)
Als lineare Randbedingungen werden die homogenen Bedingungen
(9.64b)
vorgegeben. Die Funktionen

und

sollen in dem endlichen Intervall

stetig sein. Im Falle eines unendlichen Intervalls ändern sich die Ergebnisse ganz wesentlich
(s. Lit. 9.6). Außerdem wird verlangt, daß
der Differentialgleichung, ist konstant. Für

gilt. Die Größe

, ein Parameter

ergibt sich zum inhomogenen Randwertproblem das zugehörige

homogene Randwertproblem .
Jede Differentialgleichung 2. Ordnung
(9.64c)


kann, falls in

ist, durch Multiplikation mit

auf die selbstadjungierte Form (9.64a) gebracht

werden. Dazu sind die Substitutionen
(9.64d)
erforderlich.
Um eine Lösung zu finden, die den inhomogenen Bedingungen
(9.64e)
genügt, geht man auf eine Aufgabe mit homogenen Bedingungen durch Änderung der rechten Seite zurück, indem
man die unbekannte Funktion mit Hilfe der Substitution

ersetzt. Dabei ist

differenzierbare Funktion, die die inhomogenen Randbedingungen erfüllt, während
Funktion ist, die die zugehörigen homogenen Randbedingungen erfüllt.

eine beliebige, zweimal

eine neue unbekannte


Steife Differentialgleichungen
Bei vielen Anwendungen, z.B. in der chemischen Kinetik, führen mathematische Modelle auf Differentialgleichungen,
deren Lösungen sich aus verschieden stark exponentiell abklingenden Anteilen zusammensetzen. Solche
Differentialgleichungen werden als steif bezeichnet. In dem Beispiel
(19.117)
mit

und

leistet für den Fall

der zu

gehörende Term keinen Beitrag zur Lösung, er beeinflußt aber ganz wesentlich die Wahl der Schrittweite
eines
Näherungsverfahrens, so daß der Einfluß der Rundungsfehler sehr stark anwächst. Dann ist die Auswahl geeigneter
Näherungsverfahren unbedingt notwendig (s. Lit. 19.26).


Symmetriebrechung
Manche Differentialgleichungen (17.53) besitzen Symmetrien im folgenden Sinne: Es existiert eine lineare
Transformation
und

(oder sogar eine Gruppe von Transformationen), so daß
ist. Ein Orbit

von (17.53) heißt symmetrisch bezüglich T , falls

Von einer symmetriebrechenden Bifurkation bei

spricht man z.B. in (17.53) (bei

eine stabile Ruhelage oder ein stabiler Grenzzyklus vorliegt, die jeweils symmetrisch bezüglich

für alle
ist.

), wenn für
sind, und bei

zwei weitere stabile Ruhelagen oder Grenzzyklen entstehen, die nicht mehr symmetrisch bezüglich
Beispiel

sind.


Für System (17.53) mit

definiert
. Bei

gibt es neben
symmetrisch sind.

eine Symmetrie, denn
ist

die beiden anderen Ruhelagen

eine stabile Ruhelage. Bei
, die beide nicht


Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen
●
●

Definition
Satz von Grobman und Hartman


Unterabschnitte
●
●

Methode der Variation der Konstanten:
Methode von CAUCHY:

Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mittels Quadraturen
Wenn das Fundamentalsystem von Lösungen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bekannt ist, stehen
die folgenden zwei Lösungsverfahren zur Verfügung:

Methode der Variation der Konstanten:
Die gesuchte Lösung wird in der Form
(9.38a)
aufgeschrieben. Die

werden nicht als Konstanten aufgefaßt, sondern als Funktionen von

Danach wird die Erfüllung der Gleichungen

.


(9.38b)

gefordert. Einsetzen von

in (9.33) ergibt
(9.38c)

Darauf folgt die Lösung des linearen Gleichungssystems (9.38b) und (9.38c) zur Bestimmung der
deren Integrale die

Beispiel

liefern.


.
In den Intervallen

bzw.

sind alle Voraussetzungen über die Koeffizienten erfüllt. Zuerst wird die

homogene Gleichung

Ansatz

gelöst. Eine partikuläre Lösung ist

ergibt für

die Differentialgleichung

Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist

.

, und somit ist

. Damit ergibt sich die zweite Lösung

allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist daher
ergibt jetzt:

also

. Der

. Die

. Variation der Konstanten


Damit ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

Methode von CAUCHY:
In der allgemeinen Lösung
(9.39a)
der zu (9.33) gehörenden homogenen Differentialgleichung werden die Konstanten derart bestimmt, daß für den
beliebigen Parameter

die Gleichungen

erfüllt sind.

Auf diese Weise erhält man eine spezielle Lösung der homogenen Differentialgleichung, die mit

bezeichnet

werden soll, und
(9.39b)

ist dann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (9.33), die an der Stelle
mit ihren Ableitungen bis zur Ordnung

Beispiel

einschließlich verschwindet.

gemeinsam


Für die mit der Methode der Variation der Konstanten gelöste Differentialgleichung

folgt aus
,

so daß die partikuläre Lösung

der inhomogenen Differentialgleichung mit

lautet:

. Hieraus kann man auch

die allgemeine Lösung

der inhomogenen Differentialgleichung gewinnen.


Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in vollständigen
Differentialen
Gleichungen dieser Art haben die Gestalt
(9.78a)
wobei die

gegebene Funktionen der Variablen

sind. Man spricht von einer

vollständig integrierbaren Differentialgleichung , wenn sich eine eindeutige Beziehung zwischen den
angeben läßt, die einen frei wählbaren konstanten Faktor enthält, und die auf die Gleichung
(9.78a) führt. Dann existiert eine eindeutige Lösung
Anfangswerte
für

von (9.78a), die für die

der unabhängigen Veränderlichen einen vorgegebenen Wert

ergibt. Daraus folgt

, daß durch jeden Raumpunkt eine und nur eine Integralfläche verläuft.

Vollständige Integrabilität gibt es für die Differentialgleichung (9.78a) dann und nur dann, wenn die


Beziehungen
(9.78b)

in allen Variablen

identisch erfüllt sind.

Wenn die Differentialgleichung in der symmetrischen Gestalt
(9.78c)

gegeben ist, dann lautet die Bedingung für die vollständige Integrabilität für alle Kombinationen der Indizes

(9.78d)

Liegt vollständige Integrabilität vor, dann kann die Auflösung der Differentialgleichung (9.78a) auf die Integration einer
gewöhnlichen Differentialgleichung mit

Parametern zurückgeführt werden.


Unterabschnitte
●
●
●

Problemstellung
Lösungsansatz und Lösungsgang
Physikalische Lösungen:

Linearer harmonischer Oszillator
Problemstellung
Harmonische Schwingungen entstehen, wenn die rücktreibende Kraft im Oszillator dem HOOKEschen Gesetz
genügt. Für Schwingungsfrequenz, Schwingungskreisfrequenz und potentielle Energie ergeben sich:
(9.118a)


(9.118b)

(9.118c)
Durch Einsetzen in (9.107a) erhält die SCHRÖDINGER-Gleichung die Form:
(9.119a)
Mit Hilfe der Substitutionen
(9.119b)

(9.119c)
ein Parameter und nicht die Wellenlänge ist, kann (9.119a) in die einfachere Form der WEBERschen
wobei
Differentialgleichung
(9.119d)
überführt werden.

Lösungsansatz und Lösungsgang
Für die WEBERsche Differentialgleichung erhält man mit Hilfe des Ansatzes


(9.120a)
eine Lösung. Differentiation führt auf
(9.120b)
Einsetzen in die SCHRÖDINGER-Gleichung (9.119d) liefert
(9.120c)
Eine Lösung wird über den Reihenansatz
(9.121a)
bestimmt: Einsetzen von (9.121a) in (9.120c) ergibt
(9.121b)

Durch Vergleich der Koeffizienten von

erhält man die Rekursionsformel
(9.121c)

Die Koeffizienten
Potenzen auf

für gerade Potenzen von
. Damit sind

und

werden auf

frei wählbar.

zurückgeführt, die Koeffizienten für ungerade


Physikalische Lösungen:
Gesucht ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens in den verschiedenen Zuständen. Diese
wird mit Hilfe einer physikalisch sinnvollen, d.h. normierbaren, für große Werte von
Eigenfunktion und quadratisch integrierbaren Wellenfunktion
Die Exponentialfunktion

gegen Null gehenden

beschrieben.

im Ansatz (9.120a) sorgt dafür, daß die Lösung

gegen Null strebt, wenn die Funktion
beginnend von einem bestimmten

ein Polynom ist. Daher müssen die Koeffizienten
an, für alle

für
in (9.121a),

verschwinden:
. Mit

lautet die Rekursionsformel (9.121c) jetzt
(9.122a)

Für

kann sie nur erfüllt werden, wenn
(9.122b)

gesetzt wird. Somit verschwinden durch die angegebene Wahl von

die Koeffizienten

. Damit


auch die Koeffizienten

verschwinden, muß

Für die spezielle Wahl

sein.

erhält man die HERMITEschen Polynome der

2. Definitionsgleichung. Die ersten sechs lauten:

(9.122c)

Die Lösung

für die Schwingungsquantenzahl

ergibt sich zu
(9.123a)

wobei

der Normierungsfaktor ist. Man erhält ihn aus der Normierungsbedingung

zu

(9.123b)
Für die Eigenwerte der Schwingungsenergie ergibt sich als Quantisierungsbedingung aus der Bedingung für den
Abbruch der Reihe mit (9.119c)


(9.123c)
Das Spektrum der Energiezustände ist äquidistant. Der Summand

in der Klammer bedeutet, daß der

quantenmechanische Oszillator im Unterschied zum klassischen auch im tiefsten energetischen Zustand mit
Energie besitzt, die Nullpunktsschwingungsenergie .
Die folgende Abbildung zeigt eine graphische Darstellung des äquidistanten Spektrums der Energiezustände, die
zugehörigen Wellenfunktionen

bis

sowie die Funktion der potentiellen Energie (9.118c).


Die Punkte auf der Parabel der potentiellen Energie bezeichnen die Umkehrpunkte des klassischen Oszillators, die
als Amplitude

aus der Energie

Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall

berechnet werden. Die quantenmechanische

zu finden, ist durch

Sie ist auch außerhalb dieser Punkte von Null verschieden. So liefert z.B.

gegeben.
, also

, gemäß


, Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei

(9.123d)
Für den entsprechenden klassischen Oszillator ergibt sich
(9.123e)
Die quantenmechanische Verteilungsdichte nähert sich für große Werte der Quantenzahl
klassischen.

in ihrem Mittelwert der


RIEMANNsche Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems der hyperbolischen
Differentialgleichung
(9.90a)

1. RIEMANNsche Funktion heißt die Funktion

, wobei

und

als Parameter aufgefaßt werden,

die der zu (9.90a) konjugierten homogenen Differentialgleichung
(9.90b)
und den Bedingungen

(9.90c)

genügt. Allgemein haben lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung und die zu ihnen konjugierten
Differentialgleichungen die folgende Form:


(9.90d)
und
(9.90e)

2. RIEMANNsche Formel wird die Integralformel genannt, mit deren Hilfe die Funktion
die der gegebenen Differentialgleichung (9.90a) genügt und die auf einer vorgegebenen Kurve

bestimmt wird,
(s. Abbildung)

zusammen mit ihrer Ableitung nach der Richtung der Kurvennormalen vorgegebene Werte annimmt:


(9.90f)

Die glatte Kurve
darf keine zu den Koordinatenachsen parallelen Tangenten besitzen, d.h., sie darf die
Charakteristiken nicht berühren. Das Kurvenintegral in dieser Formel kann berechnet werden, da aus den Werten der
Funktion und ihrer Ableitung nach einer nichttangentialen Richtung längs des Kurvenbogens die Werte beider partieller
Ableitungen ermittelbar sind.
Oft werden beim CAUCHYschen Problem anstelle der Normalenableitung auf der Kurve die Werte einer partiellen
Ableitung der gesuchten Funktion vorgegeben, z.B.

. Dann wird eine andere Form der RIEMANNschen Formel

verwendet:
(9.90g)

Beispiel Telegrafengleichung
nennt man die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom hyperbolischen Typ


(9.91a)
mit den Konstanten

und

, die das Fließen des elektrischen Stromes in Leitungen beschreibt. Sie stellt

eine Verallgemeinerung der Saitenschwingungsgleichung dar.
Die unbekannte Funktion

wird durch die Substitution

ersetzt, so daß (9.91a) übergeht in
(9.91b)

Durch die Substitutionen der unabhängigen Variablen
(9.91c)
erhält man schließlich die Normalform
(9.91d)
der linearen partiellen Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ.
Dieser Differentialgleichung muß die RIEMANNsche Funktion
den Wert Eins annehmen. Wenn in

für

genügen und für

sowie

die Gestalt
(9.91e)

gewählt wird, dann ist

eine Lösung der Differentialgleichung


(9.91f)
mit der Anfangsbedingung

. Die Substitution

überführt diese Differentialgleichung in die

BESSELsche Differentialgleichung nullter Ordnung
(9.91g)
so daß die Lösung lautet
(9.91h)
Eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung (9.91a) mit den Anfangsbedingungen
(9.91i)
kann erhalten werden, indem man den gefundenen Wert von
ursprünglichen Variablen zurückkehrt:

in die RIEMANNsche Formel einsetzt und zu den

(9.91j)


Differentialgleichungen der Feldtheorie
●
●

Laplacesche Differentialgleichung
Poissonsche Differentialgleichung


Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
Manchmal ist es vorteilhafter, Differentialgleichungen zu betrachten, in denen die gesuchte Funktion
nicht explizit
enthalten ist. Der Übergang zu einer derartigen Funktion kann erreicht werden, indem eine zusätzliche unabhängige
Veränderliche

und eine unbekannte Funktion

eingeführt werden. Für diese

Funktion wird über die Gleichung
(9.74a)
die gesuchte Funktion

bestimmt. Dabei setzt man in (9.73a) anstelle von

die Funktion

ein. Dann wird die Differentialgleichung (9.73a) nach einer beliebigen
partiellen Ableitung von

aufgelöst. Die dazugehörige unabhängige Veränderliche wird nach entsprechender

Änderung der Numerierung der übrigen Variablen mit
die Form

bezeichnet. Schließlich bringt man die Gleichung (9.73a) in


(9.74b)
Das System der charakteristischen Differentialgleichungen geht so über in
(9.74c)
und
(9.74d)

Die Gleichungen (9.74c) stellen ein System von
Funktion

von

gewöhnlichen Differentialgleichungen dar, das einer beliebigen
Variablen entspricht. Man nennt es ein kanonisches

System oder ein Normalsystem von Differentialgleichungen . Viele Aufgaben der Mechanik und der theoretischen
Physik führen auf Systeme dieser Art. Bei Kenntnis eines vollständigen Integrals
(9.74e)
der Gleichung (9.74b) kann die allgemeine Lösung des Normalsystems (9.74c) bestimmt werden, denn die
Gleichungen
definieren eine

mit
-parametrige Lösung des Normalsystems (9.74c).

willkürlichen Parametern

und


Superpositionssatz
Wenn

und

zwei Lösungen der Differentialgleichung (9.33) für verschiedene rechte Seiten

dann ist ihre Summe

und

sind,

eine Lösung derselben Differentialgleichung mit der rechten Seite

. Daraus folgt, daß es zur Berechnung der allgemeinen Lösung einer inhomogenen
Differentialgleichung ausreicht, zu irgendeiner ihrer partikulären Lösungen die allgemeine Lösung der zugehörigen
homogenen Differentialgleichung zu addieren.


Normalform
Normalform nennt man den folgenden einfachen Fall eines Systems linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten:

(9.45a)

Das Aufsuchen der allgemeinen Lösung eines derartigen Systems erfordert zuerst die Lösung der charakteristischen Gleichung

(9.45b)

Zu jeder einfachen Wurzel

dieser Gleichung gehört ein System partikulärer Lösungen
(9.45c)

deren Koeffizienten

aus dem System homogener linearer Gleichungen


(9.45d)
zu bestimmen sind.
Da auf diese Weise gemäß Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem nur die Verhältnisse
ist in dem so gewonnenen System partikulärer Lösungen für jedes

bestimmt werden können,

eine willkürliche Konstante enthalten. Wenn alle Wurzeln der

charakteristischen Gleichung verschieden sind, enthält die Summe aller dieser partikulären Lösungen
willkürliche Konstanten, so daß sich damit die allgemeine Lösung des Systems ergibt. Wenn irgendein

voneinander unabhängige
eine

-fache Wurzel

der charakteristischen Gleichung ist, dann entspricht dieser Wurzel ein System partikulärer Lösungen der Form
(9.45e)
in dem die

Polynome sind, die maximal den Grad

haben können. Diese Ausdrücke werden mit

unbestimmten Koeffizienten in das System von Differentialgleichungen eingesetzt. Danach erfolgt eine Division durch
die Koeffizienten gleicher Potenzen von

, und

auf der linken und der rechten Seite werden gleichgesetzt. Dadurch entstehen lineare

Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten, von denen
ausdrücken. Auf diese Weise entsteht ein Lösungsanteil mit

frei wählbar sind. Die anderen Koeffizienten lassen sich durch diese
beliebigen Konstanten. Der Grad der Polynome kann kleiner als

sein. Wenn speziell das System (9.45a) symmetrisch ist, d.h. wenn

gilt, dann reicht es aus, die

zu setzen. Für komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung können die betreffenden Glieder der
allgemeinen Lösung genau so auf eine reelle Form gebracht werden, wie es für den Fall einer Differentialgleichung mit konstanten
Koeffizienten gezeigt worden ist.
Beispiel


Für das System

lautet die

charakteristische Gleichung

Für die einfache Wurzel

erhält man
.

Daraus folgt

erhält man

. Für die mehrfache Wurzel

. Einsetzen in die

Gleichungen liefert

woraus folgt

.

Die allgemeine Lösung lautet somit:
.


Anfangs- und Randbedingungen
Die Lösung physikalischer, technischer und naturwissenschaftlicher Probleme erfordert gewöhnlich die Erfüllung
zweier grundsätzlicher Anforderungen:
1.
Die gesuchte Lösung hat nicht nur der Differentialgleichung zu genügen, sondern zusätzlich noch Anfangsbzw. Randbedingungen. Dabei können Probleme auftreten, bei denen nur Anfangsbedingungen, nur
Randbedingungen oder sowohl Anfangs- als auch Randbedingungen vorgegeben sind. Die Gesamtheit aller
Bedingungen muß die Lösung der Differentialgleichung eindeutig festlegen.
2.
Die gesuchte Lösung muß gegenüber kleinen Änderungen der Anfangs- und Randbedingungen stabil sein,
d.h. sich beliebig wenig ändern, wenn die Änderungen dieser Bedingungen, oft auch Störungen genannt,
hinreichend klein sind. Man sagt dann, daß eine korrekte Problemstellung vorliegt.
Erst wenn diese Bedingungen erfüllt sind, kann davon ausgegangen werden, daß das mathematische Modell des
gegebenen Problems zur Beschreibung realer Erscheinungen geeignet ist.
Bei den Differentialgleichungen des hyperbolischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von
Schwingungsvorgängen in kontinuierlichen Medien führen, ist z.B. das CAUCHYsche Problem korrekt gestellt. Dies
bedeutet, daß auf einer Anfangsmannigfaltigkeit, d.h. auf einer Kurve oder Fläche, Werte der zu bestimmenden
Funktion sowie ihrer Ableitungen in einer nichttangentialen, besonders der Normalenrichtung gegeben sind. Bei den


Differentialgleichungen des elliptischen Typs, auf die besonders Untersuchungen von stationären Vorgängen und von
Gleichgewichtsproblemen in kontinuierlichen Medien führen, ist die Stellung des Randwertproblems, d.h. die Vorgabe
der Werte der zu bestimmenden Funktion auf dem Rande des betrachteten Variabilitätsgebiets der unabhängigen
Variablen, korrekt. Wenn das betrachtete Gebiet unbegrenzt ist, dann müssen von der zu bestimmenden Funktion
geeignete Verhaltenseigenschaften beim unbegrenzten Wachstum der unabhängigen Variablen gefordert werden.


Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
Die Lösung homogener oder inhomogener linearer partieller Differentialgleichungen bei inhomogenen Anfangs- oder
Randbedingungen kann auf die Lösung einer Gleichung zurückgeführt werden, die sich von der gegebenen lediglich
durch das die unbekannte Funktion nicht mehr enthaltende freie Glied unterscheidet, jetzt aber bei homogenen
Bedingungen. Dazu reicht es aus, die zu bestimmende Funktion durch eine Differenz zwischen ihr und einer
beliebigen, zweimal differenzierbaren Funktion zu ersetzen, die die gegebenen inhomogenen Bedingungen erfüllt.
Generell wird von der Erkenntnis Gebrauch gemacht, daß sich die Lösung einer linearen inhomogenen partiellen
Differentialgleichung bei gegebenen inhomogenen Anfangs- oder Randbedingungen als Summe der Lösung der
gleichen Differentialgleichung bei Nullbedingungen und der Lösung der entsprechenden homogenen
Differentialgleichung bei den gegebenen Bedingungen darstellen läßt.
Zur Zurückführung der Lösung der linearen inhomogenen partiellen Differentialgleichung
(9.96a)
bei den homogenen Anfangsbedingungen
(9.96b)
auf die Lösung des CAUCHYschen Problems für die zugehörige homogene Differentialgleichung wird


(9.96c)

gesetzt. Dabei ist

die Lösung der Differentialgleichung
(9.96d)

die den Randbedingungen
(9.96e)
genügt. In diesen Gleichungen steht

dimensionalen Problems. Mit

symbolisch für die Gesamtheit der

Variablen

des

wird dabei ein linearer Differentialausdruck bezeichnet, der die Ableitung

enthalten darf, nicht aber höhere Ableitungen nach

.

-


Unterabschnitte
●
●

Methode der Irrfahrtsprozesse:
Lösungsprinzip:

Lösung partieller Differentialgleichungen
Methode der Irrfahrtsprozesse:
Mit Hilfe von Irrfahrtsprozessen wird die Monte-Carlo-Methode zur genäherten Lösung von partiellen
Differentialgleichungen realisiert. Als Beispiel wird die folgende Randwertaufgabe betrachtet:
(16.165a)
(16.165b)
Hierbei ist

ein einfach zusammenhängendes Gebiet der

-Ebene; mit

ist der Rand von

bezeichnet.


Wie bei den Differenzenmethoden im Abschnitt Differenzenverfahren wird

mit einem quadratischen Gitter

überzogen, bei dem ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Schrittweite

gewählt werden soll.

Auf diese Weise entstehen innere Gitterpunkte

und Randpunkte

. Von den Randpunkten

auch Gitterpunkte sind, wird zunächst zur Vereinfachung angenommen, daß sie tatsächlich auf dem Rand
liegen, d.h., es soll

, die
von

(16.166)
gelten (s. Abbildung).


Lösungsprinzip:
Man stellt sich vor, daß ein Teilchen von einem inneren Punkt

aus zu einer Irrfahrt startet. Das bedeutet:

1.
Das Teilchen bewegt sich von

aus zufällig zu einem der 4 Nachbarpunkte des Gitters. Jedem dieser

4 Gitterpunkte wird die Wahrscheinlichkeit

für eine Bewegung zu diesem Punkt zugeordnet.

2.
Erreicht das Teilchen einen Randpunkt

, dann endet dort die Irrfahrt mit der Wahrscheinlichkeit 1.

Es läßt sich zeigen, daß ein Teilchen nach endlich vielen Schritten von einem inneren Punkt
Randpunkt

aus einen

erreicht. Mit
(16.167)

wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß eine Irrfahrt vom Punkt

aus in dem Randpunkt

endet.

Dann gilt
(16.168)
und


(16.169)
Diese Gleichung (16.169) stellt eine Differenzengleichung für
aus durchgeführt, von denen

im Punkt

enden

dar. Werden

Irrfahrten vom Punkt

, dann gilt
(16.170)

Diese Gleichung (16.170) gibt eine Näherungslösung der Differentialgleichung (16.165a) unter der Bedingung
(16.166) an. Die Randbedingung (16.165b) wird dagegen berücksichtigt, indem man
(16.171)

setzt; denn wegen (16.169) gilt
Zur Berechnung von
Differenzengleichung für

.
wird (16.169) mit
:

multipliziert. Nach Summation erhält man die folgende


(16.172)
Werden

Irrfahrten vom inneren Punkt

aus durchgeführt, von denen

im Randpunkt

enden, dann erhält man durch

(16.173)
einen Näherungswert im Punkt

des Randwertproblems (16.165a,b).


Problemstellungen
Die Modellierung und mathematische Erfassung verschiedener physikalischer Erscheinungen im Rahmen der
klassischen theoretischen Physik, besonders in modellmäßig strukturlos oder kontinuierlich veränderlich
angenäherten Medien, also in Gasen, strukturlos angenommenen Flüssigkeiten sowie Festkörpern und besonders in
Feldern der klassischen Physik, führen auf partielle Differentialgleichungen, wie z.B. die Wellengleichung und die
Wärmeleitungsgleichung. Auch die nichtklassische theoretische Physik, die Quantenmechanik, die auf der Erkenntnis
aufbaut, daß Medien und Felder diskontinuierliche Erscheinungen sind, wird von einer partiellen Differentialgleichung
beherrscht, die geradezu eine dominierende Stellung einnimmt, von der SCHRÖDINGER-Gleichung. Besonders häufig
treten lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung auf, die auch in den modernen Ingenieur- und
Naturwissenschaften große Bedeutung erlangt haben.


Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
●
●

●
●

Normalform
Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
Systeme zweiter Ordnung


Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten besitzen die
allgemeine Form
(9.46a)
Wenn die Determinante nicht verschwindet, d.h.
(9.46b)
dann läßt sich das System (9.46a) auf die Normalform (9.45a) bringen.
bedarf zusätzlicher Betrachtungen (s. Lit.9.26).

Der Fall

Die Lösung kann auch von der allgemeinen Form aus und nach der gleichen Methode ermittelt werden, die bei der
Normalform zur Anwendung kommt. Die charakteristische Gleichung hat dann die Form
(9.46c)
Die Koeffizienten

in der Lösung (9.45c), die der einfachen Wurzel

dem Gleichungssystem

entsprechen, werden in diesem Falle aus


(9.46d)
bestimmt. Ansonsten entspricht die Lösungsmethode derselben, die im Falle der Normalform angewendet wurde.
Beispiel
Die charakteristische Gleichung des Systems der zwei Differentialgleichungen
lautet

Die Koeffizienten
bzw.
Lösung lautet somit

und

für
. Für

erhält man aus
ergibt sich analog

. Die allgemeine
.


Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung haben die allgemeine Form
(9.47)

1. Superpositionssatz: Wenn

und

sind, die sich nur durch ihre rechten Seiten

Lösungen inhomogener Systeme
bzw.

unterscheiden, dann ist

auch eine Lösung dieses Systems, wobei aber für die rechten
Seiten

gilt. Somit reicht es zur Gewinnung der allgemeinen Lösung des

inhomogenen Systems aus, zur allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems eine partikuläre
Lösung des inhomogenen Systems zu addieren.
2. Variation der Konstanten: Die Variation der Konstanten kann z.B. benutzt werden, um eine partikuläre


Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems zu ermitteln. Dazu wird die allgemeine Lösung des
werden zu

homogenen Systems in das inhomogene System eingesetzt. Die Konstanten
den unbekannten Funktionen

. In den Ausdrücken für die Ableitungen

treten neue Glieder mit Ableitungen der neuen unbekannten Funktionen

auf. Beim Einsetzen in das

gegebene System bleiben auf der linken Seite nur diese zusätzlichen Glieder übrig, weil sich die anderen
gegenseitig kompensieren, denn die

sind voraussetzungsgemäß eine Lösung des

homogenen Systems. Man erhält also für die

ein inhomogenes System linearer algebraischer

Gleichungen, das es zu lösen gilt. Nach

Integrationen findet man die Funktionen

. Einsetzen in die Lösung des homogenen Systems anstelle der Konstanten
liefert die gesuchte partikuläre Lösung des inhomogenen Systems.
Beispiel


Für das System aus zwei inhomogenen Differentialgleichungen
lautet die allgemeine Lösung
des homogenen Systems

. Einsetzen in die

gegebenen Gleichungen und Auffassen von

und

als Funktionen von

ergibt

,
,

oder
. Daraus folgt
.

Da eine partikuläre Lösung gesucht ist, werden alle Konstanten gleich Null gesetzt, was auf
führt. Die allgemeine Lösung lautet somit
.
3. Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Methode der unbestimmten Koeffizienten ist besonders
dann mit Vorteil einsetzbar, wenn die rechten Seiten aus speziellen Funktionen der Form
bestehen. Die Anwendung erfolgt in Analogie zu dem beschriebenen Vorgehen für eine Differentialgleichung
-ter Ordnung.


Systeme zweiter Ordnung
Die angeführten Methoden können auch auf Systeme linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen
werden. Für das System
(9.48)
bestimmt werden. Dazu sind die

können insbesondere auch partikuläre Lösungen der Form
der charakteristischen Gleichung
homogenen algebraischen Gleichungen zu ermitteln.

und die

aus den zugehörigen linearen

aus


Zerlegungssatz
Hat die inhomogene Differentialgleichung (9.33) reelle Koeffizienten und hat ihre rechte Seite die komplexe Form
mit den reellen Funktionen

und

, dann ist auch die Lösung

Diese komplexe Lösung setzt sich aus den zwei reellen Lösungen

und

Differentialgleichungen (9.33) mit den zugehörigen rechten Seiten

und

der zwei inhomogenen
zusammen.

komplex.


Räumliche Differentialoperationen
●
●
●
●
●
●
●

Richtungs- und Volumenableitung
Gradient eines Skalarfeldes
Vektorgradient
Divergenz des Vektorfeldes
Rotation des Vektorfeldes
Nablaoperator, Laplace-Operator
Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen


Rechenregeln für Differentialoperatoren
(13.81)
(13.82)
(13.83)
(13.84)

(13.85)

(13.86)

(13.87)


(13.88)

(13.89)

(13.90)
(13.91)
(13.92)
(13.93)
(13.94)
(13.95)


Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen
●

●
●

Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse
Rechenregeln für Differentialoperatoren


Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse
Tabelle Prinzipielle Verknüpfungen bei den Differentialoperatoren
Operator

Symbol

Verknüpfung

Argument Ergebnis

Bedeutung

Gradient

Skalar

Vektor

maximaler Anstieg

Vektorgradient

Vektor

Tensor 2. Stufe

Divergenz

Vektor

Skalar

Quellen bzw. Senken

Rotation

Vektor

Vektor

Wirbel

LAPLACE-

Skalar

Skalar

Potentialfeld-


Operator

Vektor

Vektor

quellen


Differentialquotient
●
●
●
●

Differentialquotient oder Ableitung einer Funktion
Geometrische Bedeutung der Ableitung
Differenzierbarkeit
Links- und rechtsseitige Ableitung


Differentiation von Funktionen einer
Veränderlichen
●
●
●
●
●

Differentialquotient
Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlichen
Ableitungen höherer Ordnung
Hauptsätze der Differentialrechnung
Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten


Hauptsätze der Differentialrechnung
●
●
●
●
●
●

Monotoniebedingungen
Satz von FERMAT
Satz von ROLLE
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Satz von TAYLOR für Funktionen von einer Veränderlichen
Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung


Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wenn eine Funktion

in einem abgeschlossenen Intervall

besitzt, dann existiert zwischen

und

wenigstens eine Zahl

stetig ist und im Innern eine Ableitung

derart, daß gilt
(6.29a)

Setzt man

und bezeichnet mit

eine zwischen 0 und 1 liegende Zahl, dann lautet der Satz in anderer

Schreibweise
(6.29b)

Die geometrische Bedeutung des Satzes besteht darin, daß eine Funktion
und

die zwischen den Punkten

(s. Abbildung) stetig ist und in jedem Punkt eine Tangente besitzt, wenigstens einen Kurvenpunkt

in dem die Kurventangente parallel zur Sehne

liegt.

hat,


Es kann auch mehrere solcher Punkte geben. Daß die Forderung nach Stetigkeit der Funktion und Existenz ihrer
Ableitung wesentlich ist, kann an Hand von Beispielen gezeigt werden, die solche Kurvenverläufe ergeben, wie sie in
den folgenden Abbildungen dargestellt sind.


Anwendungen: Für den Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es vielfache Anwendungsmöglichkeiten.


Eine Anwendung betrifft die Abschätzung von Fehlern gemäß
(6.30)
wobei

eine für alle

in dem Intervall

gültige obere Grenze von

ist.

Beispiel
Mit welcher Genauigkeit kann
gerundete Wert

höchstens angegeben werden, wenn für

der

eingesetzt wird? Es gilt:

so daß


Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Wenn zwei Funktionen

und

wenigstens im Innern Ableitungen besitzen, wobei
existiert zwischen

und

wenigstens eine Zahl

in einem abgeschlossenen Intervall

stetig sind und

an keiner Stelle des Intervalls verschwinden darf, dann
derart, daß die Gleichung gilt
(6.32)

Die geometrische Bedeutung des verallgemeinerten Mittelwertsatzes entspricht der des gewöhnlichen
Mittelwertsatzes.


Geht man z.B. davon aus, daß die Kurve in der Abbildung in der Parameterform
ist, wobei die Punkte

und

den Parameterwerten

bzw.

gegeben

entsprechen sollen, dann gilt für den

Punkt
(6.33)
Für

geht der verallgemeinerte Mittelwertsatz in den gewöhnlichen Mittelwertsatz über.


Monotoniebedingungen
Wenn eine Funktion

in einem zusammenhängenden Intervall definiert und stetig ist und wenn sie in allen

inneren Punkten dieses Intervalls eine Ableitung besitzt, dann ist für die Monotonie der Funktion die Bedingung
(6.26a)
(6.26b)
notwendig und hinreichend. Wird gefordert, daß die Funktion im strengen Sinne monoton wachsend oder fallend sein
soll, dann darf zusätzlich die Ableitung

in keinem Teilintervall des oben angegebenen Intervalls identisch

verschwinden. In der rechten Abbildung ist diese Bedingung auf der Strecke

nicht erfüllt.


Die geometrische Deutung der Monotoniebedingung ergibt sich daraus, daß die Kurve einer monoton wachsenden
Funktion mit wachsendem Argumentwert an keiner Stelle fällt, d.h., daß sie entweder steigt oder horizontal verläuft
(linke Abbildung). Daher bildet die Tangente in den einzelnen Kurvenpunkten mit der positiven -Achse entweder
einen spitzen Winkel, oder sie verläuft parallel zu ihr. Für die monoton fallenden Funktion (rechte Abbildung) gilt eine
analoge Aussage. Ist die Funktion im strengen Sinne monoton, dann kann die Tangente nur in einzelnen Punkten
parallel zur

-Achse verlaufen, z.B. im Punkt

in der rechten Abbildung.

in (linke Abbildung), jedoch nicht in einem ganzen Teilintervall, wie


Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
●
●

Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
Differentiation impliziter Funktionen


Differentiation impliziter Funktionen
●
●
●
●
●
●

Eine Funktion von einer Veränderlichen
Eine Funktion von mehreren Veränderlichen
Zwei Funktionen von einer Veränderlichen
n Funktionen von einer Veränderlichen
Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen
n Funktionen von m Veränderlichen, gegeben durch ein System von n Gleichungen


Graphische Differentiation
Wenn eine differenzierbare Funktion

durch ihre Kurve

dargestellt ist, kann die Kurve

in kartesischen Koordinaten in einem Intervall

ihrer Ableitung näherungsweise konstruiert werden. Die

Konstruktion einer Tangente in einem gegebenen Kurvenpunkt nach Augenmaß kann recht ungenau ausfallen. Wenn
aber die Richtung der Tangente
werden.

(s. Abbildung) bekannt ist, kann der Berührungspunkt

genauer ermittelt


a) Konstruktion des Berührungspunktes einer Tangente: Parallel zur gegebenen Tangentenrichtung
werden zwei Sehnen

und

so eingezeichnet, daß die Kurve in nicht weit voneinander

liegenden Punkten geschnitten wird. Danach werden die Mittelpunkte der Sehnen ermittelt und durch diese
eine Gerade

gezogen, die die Kurve im Punkt

vorgegebene Richtung

schneidet, in dem die Tangente näherungsweise die

hat. Um die Genauigkeit zu überprüfen, kann eine dritte Sehne in geringem

Abstand von den ersten beiden eingetragen werden, die von der Geraden
werden muß.

im Mittelpunkt geschnitten


b) Konstruktion der Kurve einer abgeleiteten Funktion:
1.
Vorgabe einiger Richtungen

, die den Tangentenrichtungen der Kurve

in

dem betrachteten Intervall entsprechen sollen (s. Abbildung), und Ermittlung der dazugehörigen
, wobei die Tangenten selbst nicht konstruiert werden müssen.

Berührungspunkte
2.

, eines ,,Pols``, auf der negativen
Wahl eines Punktes
so größer sein soll, je flacher die Kurve ist.

-Achse, wobei die Strecke

Einzeichnen von Geraden, die parallel zu den Richtungen

bzw.

um

3.

Pol

hindurchgehen und die

-Achse in den Punkten

bzw.

verlaufen, durch den
schneiden.

4.
Konstruktion horizontaler Geraden

von den Punkten

aus bis zu den Schnittpunkten

mit den aus den Punkten

gefällten Loten.
5.
Verbinden der Punkte
Gleichung

mit Hilfe eines Kurvenlineals durch eine Kurve, die der
genügt. Wenn die Strecke

so gewählt wird, daß sie der Längeneinheit auf


der

-Achse entspricht, ist die gewonnene Kurve die der gesuchten Ableitung. Ist das nicht der Fall,

dann sind die gefundenen Ordinaten

der Ableitung mit dem Faktor

multiplizieren. Die sich so ergebenden Punkte
der maßstabsgerechten Ableitungskurve

.

zu

in der rechten Abbildung liegen auf


Konstantenregel
Die Ableitung einer Konstanten

ist gleich Null:
(6.4)


Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
1. Mittelbare Funktion von einer unabhängigen Veränderlichen:

(6.49a)

(6.49b)
2. Mittelbare Funktion von mehreren unabhängigen Veränderlichen:

(6.50a)


(6.50b)


Differentiation unter dem Integralzeichen
1. Satz: Wenn die Funktion (8.90) im Intervall

definiert ist und die Funktion

stetig ist und eine partielle Ableitung nach

im Rechteck

besitzt, dann gilt bei beliebigem

Intervall

(8.92)
Man spricht vom Differenzieren unter dem Integralzeichen .
Beispiel

im


beliebig:

Für

.
Probe:
.

Für

ist die Stetigkeitsbedingung nicht erfüllt, so daß hier keine Ableitung existiert.
2. Verallgemeinerung auf parameterabhängige Integrationsgrenzen: Die Formel (8.92) kann verallgemeinert
werden, wenn die Funktionen
werden, im Intervall

und

unter den gleichen Bedingungen, die für (8.92) gefordert

definiert, stetig und differenzierbar sind und wenn die Kurven
das Rechteck

nicht verlassen:

(8.93)


Ableitungen höherer Ordnung
●
●
●
●
●

Definition der Ableitungen höherer Ordnung
Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
Leibnizsche Regel
Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion


Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlichen
●
●
●
●

Ableitungen elementarer Funktionen
Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen
Grundregeln für das Differenzieren
Tabelle Differentiationsregeln


Grundregeln für das Differenzieren
Im folgenden sind

und

Funktionen der unabhängigen Veränderlichen

Ableitungen dieser Funktionen nach

. Mit

und

, und

und

die

werden die Differentiale bezeichnet. Die

Grundregeln für das Differenzieren, die anschließend erläutert werden, findet man zusammengefaßt in der Tabelle
Differentiationsregeln.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Konstantenregel
Faktorregel
Summenregel
Produktregel
Quotientenregel
Kettenregel
Logarithmische Differentiation
Ableitung der inversen Funktion
Ableitung einer impliziten Funktion
Ableitung einer Funktion in Parameterdarstellung


Tabelle Differentiationsregeln
Regel
Konstantenregel

Faktorregel
Summenregel

Produktregel für
zwei Funktionen

Produktregel für
Funktionen

Formel für die Ableitung
(

const)

(

const)


Quotientenregel

Kettenregel für
zwei Funktionen

Kettenregel für
drei Funktionen

Potenzregel

Logarithmische
Differentiation


Differentiation der
Umkehrfunktion

Implizite
Differentiation

Ableitung in
Parameterdarstellung

Ableitung in
Polarkoordinaten

●

Graphische Differentiation


Differentiationsregeln für Vektoren

(13.3a)

(13.3b)

(13.3c)

(13.3d)


(13.3e)

Ist

, d.h.

, dann folgt aus (13.3c)

, d.h.

stehen senkrecht zueinander.
Beispiele für diesen Sachverhalt sind:
a)
Radius- und Tangentenvektor eines Kreises in der Ebene und
b)
Orts- und Tangentenvektor einer Kurve auf der Kugel. Der Hodograph ist dann eine sphärische Kurve .

und


Weitere Mengenoperationen
Außer den in den vorhergehenden Abschnittenen für zwei Mengen
werden noch die Differenzmenge oder Differenz
sowie das kartesische Produkt

eingeführten Mengenoperationen

die Diskrepanz oder symmetrische Differenz

erklärt.

1. Differenz zweier Mengen: Die Menge der Elemente von
oder Differenzmenge von

und

die nicht zu

gehören, heißt die Differenz

und
(5.63a)

Wird

durch die Eigenschaft

Elemente, die zwar die Eigenschaft

und

durch die Eigenschaft
nicht aber die Eigenschaft

beschrieben, dann liegen in
besitzen.

In der linken Abbildung ist die Differenz zweier Mengen schattiert dargestellt.
Beispiel

die


2. Symmetrische Differenz zweier Mengen: Die symmetrische Differenz
Elemente, die zu genau einer der beiden Mengen

und

ist die Menge aller

gehören:
(5.63b)

Aus der Definition folgt, daß gilt
(5.63c)
d.h. die symmetrische Differenz enthält die Eelemente, die genau eine der beiden Eigenschaften
(zu

(zu

) und

) besitzen. In der rechten Abbildung ist die symmetrische Differenz schattiert dargestellt.

Beispiel

3. Kartesisches Produkt zweier Mengen:
(5.64a)


Die Elemente

von

heißen geordnete Paare und sind durch
(5.64b)

charakterisiert.
Die Anzahl der Elemente im kartesischen Produkt zweier endlicher Mengen beträgt
(5.65)
Beispiel
Für

und

ergibt sich
und
mit
.

Beispiel
Mit dem kartesischen Produkt

(

Menge der reellen Zahlen) kann man alle Punkte der

Ebene beschreiben.
Die Menge der Koordinaten (

) wird durch

dargestellt, denn es gilt:

-


3. Kartesisches Produkt aus

Mengen: Aus

Reihenfolge (1. Element, 2. Element,...,

Elementen werden durch Festlegung einer bestimmten

-tes Element) geordnete

die Elemente, dann notiert man das
-te Komponente genannt wird. Für
Das

-fache kartesische Produkt

-Tupel gebildet. Sind
-Tupel als

, wobei

spricht man von Tripel, Quadrupel und Quintupel .
ist dann die Menge aller geordneten

-Tupel

mit
(5.66a)
Sind alle

endliche Mengen, dann beträgt die Anzahl der geordneten Elemente
(5.66b)

Hinweis: Das

-fache kartesische Produkt einer Menge

mit sich selbst wird mit

bezeichnet.


Differenzengleichung zweiter Ordnung (Randwertaufgabe)
In den Anwendungen kommt es häufig vor, daß die Werte

der Differenzengleichung nur für endlich viele Indizes

gesucht sind. Im Falle einer Differenzengleichung zweiter Ordnung (15.137) werden dann in der
Regel die beiden sogenannten Randwerte

und

vorgegeben. Zur Lösung dieser Randwertaufgabe geht man

von der Lösung (15.140f) der entsprechenden Anfangswertaufgabe aus, wobei an Stelle des unbekannten Wertes
jetzt
und

einzuführen ist. Dazu setzt man in (15.140f)

, dann kann man

in Abhängigkeit von

ausrechnen:

(15.142a)
Man setzt diesen Wert in (15.140f) ein und erhält


(15.142b)

Die Lösung (15.142b) hat nur dann einen Sinn, wenn

gilt. Andernfalls hat das Randwertproblem

keine allgemeine Lösung, sondern es treten in Analogie zu den Randwertaufgaben bei Differentialgleichungen
Eigenwerte und Eigenfunktionen auf.


Differenzengleichung zweiter Ordnung (Anfangswertaufgabe)
Die Differenzengleichung zweiter Ordnung lautet:
(15.137)
Als Anfangswerte sind

und

gegeben.

Mit Hilfe des zweiten Verschiebungssatzes erhält man zu (15.137) die Bildgleichung
(15.138)
Setzt man

, dann lautet die Bildfunktion
(15.139)

Das Polynom

habe die Nullstellen

und

, für die

und

gelte, weil sonst

wäre und sich die Differenzengleichung auf eine solche erster Ordnung reduzieren würde. Durch
Partialbruchzerlegung und Anwendung der Tabelle Z-Transformationen ergibt sich aus


(15.140a)

Wegen

ist nach dem zweitem Verschiebungssatz
(15.140b)

und nach dem ersten Verschiebungssatz
(15.140c)
Dabei ist

zu setzen. Mit Hilfe des Faltungssatzes erhält man die Originalfolge mit
(15.140d)


Wegen

ergibt sich daraus mit (15.140a)
(15.140e)
und

Diese Form läßt sich noch wegen

(s. Wurzelsatz von VIETA) noch zu

(15.140f)
vereinfachen. Für

erhält man analog
(15.140g)

Bei der Differenzengleichung zweiter Ordnung läßt sich die Rücktransformation der Bildfunktion

auch ohne

Partialbruchzerlegung durchführen, wenn man Korrespondenzen wie z.B.
(15.141a)
benutzt und auch hier den zweiten Verschiebungssatz anwendet. Mit der Substitution
lautet die Originalfolge zu (15.139):


(15.141b)

Diese Formel ist günstig für eine numerische Auswertung besonders dann, wenn
Die hyperbolischen Funktionen sind auch für komplexe Argumente definiert.

und

komplexe Zahlen sind.


Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
Eine lineare Differenzengleichung

-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form
(15.134)

Dabei ist

eine natürliche Zahl. Die Koeffizienten

Zahlen und hängen nicht von

ab. Es gelte

sind gegebene reelle oder komplexe
und

. Die Folge

ist gegeben, die Folge

ist gesucht.

Zur Festlegung einer bestimmten Lösung von (15.134) werden die Werte
kann man aus (15.134) für
aus (15.134) für

den nächsten Wert

der Wert

der Z-Transformation läßt sich jedoch für

ausrechnen. Aus

. Auf diese Weise kann man alle Werte

vorgegeben. Dann
ergibt sich dann
rekursiv ausrechnen. Mit Hilfe

eine allgemeine Darstellung angeben. Dazu wendet man den zweiten


Verschiebungssatz (15.119) auf (15.134) an und erhält:

(15.135)
Dabei bedeutet

. Setzt man weiterhin
, so lautet die Lösung der sogenannten Bildgleichung (15.135)

(15.136)
Wie bei der Behandlung von linearen Differentialgleichungen mit der LAPLACE-Transformation hat man auch bei der
Z-Transformation den Vorteil, daß die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen und daher bei der Lösung
automatisch berücksichtigt werden. Aus (15.136) gewinnt man dann die gesuchte Lösung
durch Rücktransformation gemäß Abschnitt
Umkehrung der Z-Transformation.


Z-Transformation
In Natur und Technik kann man zwischen kontinuierlichen und diskreten Vorgängen unterscheiden. Während sich
von den kontinuierlichen Vorgängen viele durch Differentialgleichungen beschreiben lassen, führen diskrete
Vorgänge häufig auf Differenzengleichungen . Zur Lösung von Differentialgleichungen eignen sich besonders
FOURIER- und LAPLACE-Transformationen, zur Lösung von Differenzengleichungen wurden andere, angepaßte
Operatorenmethoden entwickelt. Die bekannteste ist die Z-Transformation, die in engem Zusammenhang mit der
LAPLACE-Transformation steht.
●
●

Eigenschaften der Z-Transformation
Anwendungen der Z-Transformation


Arithmetische Reihe
Arithmetische Reihe

-ter Ordnung

-ter Ordnung heißt eine Reihe, wenn die

-ten Differenzen

der Folge

konstant sind. Die Differenzen höherer Ordnung werden rekursiv durch
(1.58a)
gebildet. Sie ergeben sich bequem aus dem folgenden Differenzenschema :


(1.58b)

Es gilt dann für die Glieder und für die Summe
(1.58c)

(1.58d)


Näherungsmethoden
Zur Lösung konkreter Aufgaben mit Hilfe partieller Differentialgleichungen werden oft verschiedene
Näherungsverfahren eingesetzt. Dabei ist zwischen analytischen und numerischen Methoden zu unterscheiden.
1. Analytische Methoden: Die analytischen Methoden ermöglichen die Bestimmung angenäherter
analytischer Ausdrücke für die gesuchte Funktion.
2. Numerische Methoden: Die numerischen Methoden liefern Näherungswerte der gesuchten Funktion für
bestimmte Werte der unabhängigen Variablen. Dazu verwendet man folgende Methoden:
a) Methode der finiten Differenzen, kurz Differenzenverfahren genannt: Die Differentialquotienten
werden durch Differenzenquotienten ersetzt, so daß die Differentialgleichung einschließlich Anfangsund Randbedingungen in ein System von algebraischen Gleichungen umgewandelt wird. Eine lineare
Differentialgleichung mit linearen Anfangs- und Randbedingungen wird so zu einem System linearer
Gleichungen.
b) Methode der finiten Elemente, kurz FEM, für Randwertaufgaben: Der Randwertaufgabe wird eine
Variationsaufgabe zugeordnet. Die gesuchte Lösung wird durch einen Spline-Ansatz approximiert,
nachdem das Definitionsgebiet der Randwertaufgabe in regelmäßige Teilgebiete zerlegt worden ist. Die
Ansatzkoeffizienten werden durch Lösung einer Extremwertaufgabe bestimmt.
c) Randintegralgleichungsmethode für spezielle Randwertaufgaben: Die Randwertaufgabe wird als
äquivalentes Integralgleichungsproblem über dem Rand des Definitionsgebietes der Randwertaufgabe
formuliert. Dazu werden Integralsätze der Vektoranalysis, z.B. GREENsche Formeln, verwendet. Die


verbleibenden Randintegrale werden mit Hilfe geeigneter Quadraturformeln numerisch gelöst.
3. Numerische Lösungen: Numerische Lösungen von Differentialgleichungen können auch auf
experimentellem Wege ermittelt werden. Dabei macht man von der Tatsache Gebrauch, daß recht
unterschiedliche physikalische Erscheinungen mit ein und derselben Differentialgleichung beschrieben werden
können. Um ein gegebenes Problem auf diesem Wege zu lösen, wird ein technisches Modell konstruiert, mit
dessen Hilfe das gegebene Problem simuliert werden kann und an dem im Experiment Messungen
vorgenommen werden, deren Werte die gesuchte Funktion darstellen. Da solche Modelle oft bewußt so
konstruiert sind, daß die Parameter in weiten Grenzen eingestellt werden können, ist es möglich, auch die
Differentialgleichung in weiten Gebieten der unabhängigen Veränderlichen zu untersuchen.


Differenzierbarkeit
Die Existenz der Ableitung einer Funktion

für die Werte der Variablen

ist gegeben, wenn für diese Werte

1.
die Funktion definiert und stetig ist und
2.
der Differentialquotient

Existiert in einem Punkt

(6.2) einen endlichen Wert besitzt.

keine Ableitung, dann hat die Kurve in dem betreffenden Punkt entweder keine bestimmte

Tangente oder diese bildet mit der

-Achse einen rechten Winkel. Im zweiten Falle ist der Grenzwert

(6.2) unendlich. Man benutzt für diesen Sachverhalt die Schreibweise

.


Beispiel A
Im Punkt 0 geht die Ableitung gegen unendlich
(linke Abbildung), d.h., sie existiert nicht.
Beispiel B


An der Stelle
Abbildung).

existiert kein Grenzwert der Art

(6.2) (rechte


Differenzierbarkeit der komplexen Funktion
Eine Funktion

heißt an der Stelle

differenzierbar, wenn der Differenzenquotient
(14.3)

für

einem vom Annäherungsweg unabhängigen Grenzwert zustrebt. Dieser Grenzwert wird mit
genannt.

bezeichnet und Ableitung der Funktion

Beispiel
Die Funktion
den Punkt

ist im Punkt
längs einer Parallelen zur

nicht differenzierbar, denn bei Annäherung an

-Achse strebt der Differenzenquotient gegen den Wert Eins,

dagegen bei Annäherung längs einer Parallelen zur

-Achse gegen den Wert Null.


Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
●
●

Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
Dreidimensionale Diffusionsgleichung


Dreidimensionale Diffusionsgleichung
In Analogie zur Wärmeleitung wird die Ausbreitung einer Konzentration

in einem homogenen Medium durch die

gleiche lineare partielle Differentialgleichung (9.101a) bzw. (9.101d) beschrieben, wobei
Diffusionskoeffizienten

durch den

zu ersetzen ist. Die Diffusionsgleichung lautet:
(9.102)

Die Lösungen erhält man durch Austausch der Symbole in den Wellengleichungen (9.101b) und (9.101c).


Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
●
●
●
●
●

Dimension eines Maßes
Informationsdimension
Korrelationsdimension
Verallgemeinerte Dimension
Lyapunov-Dimension


Informationsdimension
Der Attraktor
der Seitenlänge

von

sei wie bei der Einführung der metrischen Entropie mit Würfeln

überdeckt. Sei

ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß auf

Die Entropie der Zerlegung

.

ist

(17.43)

Existiert der Grenzwert

, so hat diese Größe die Eigenschaft einer Dimension und wird

Informationsdimension genannt.
Satz II von YOUNG: Gilt für

-fast alle

die Beziehung

, so ist

.


Beispiel A
Das Maß

sei auf einer Ruhelage

von

konzentriert. Da für

immer

ist, gilt

Beispiel B
Das Maß
deshalb

sei auf einem Grenzzyklus von
.

konzentriert. Für

ist

und


Kapazitätsdimension
Sei

eine kompakte Menge des metrischen Raumes

vom Durchmesser

, die nötig ist, um

und sei

die minimale Anzahl von Mengen

zu überdecken. Die Größe

(17.41a)
heißt obere Kapazitätsdimension , die Größe
(17.41b)

heißt untere Kapazitätsdimension von

. Gilt

, so heißt

Kapazitätsdimension von
. Im
kann die Kapazitätsdimension auch für beschränkte Mengen betrachtet
werden, die nicht abgeschlossen sind.


Für eine beschränkte Menge
definiert werden: Der
kann für

kann in den obigen Definitionen die Zahl

wird mit einem Gitter aus

auch folgendermaßen

-dimensionalen Würfeln der Seitenlänge

die Anzahl der Würfel des Gitters, die

überdeckt. Dann

schneiden, genommen werden.

Wichtige Eigenschaften der Kapazitätsdimension:
(KD1)
Es gilt immer

.

(KD2)
Für

-dimensionale Flächen

ist

.

(KD3)
Mit der Abschließung

von

gilt

, während oft

ist.

(KD4)
Ist

Beispiel

so gilt für die Kapazitätsdimension im allgemeinen nicht

.


Sei

Ist

. Dann gilt

die Menge aller rationalen Punkte in
.

und

, so gilt wegen 2. und 3.

.

. Andererseits ist


Korrelationsdimension
Sei

eine Folge von Punkten des Attraktors

Wahrscheinlichkeitsmaß auf
dist

HEAVISIDE-Funktion

und sei

von

beliebig. Für Vektoren
, wobei

ein invariantes
sei der Abstand

die Euklidische Vektornorm ist, definiert. Wird mit

bezeichnet, so heißt der Ausdruck

(17.44a)

die


Korrelationsintegral . Die Größe
(17.44b)
falls diese existiert, ist die Korrelationsdimension .


Metrische Dimensionen
●
●
●
●

Fraktale
Hausdorff-Dimension
Kapazitätsdimension
Selbstähnlichkeit


Dimension eines Maßes
Sei

ein Wahrscheinlichkeitsmaß in

Kugel mit Radius

und Mittelpunkt

konzentriert auf

. Ist

ein beliebiger Punkt,

die

, so bezeichnen
(17.42a)

die obere und
(17.42b)
die untere punktweise Dimension .
Ist

Satz I von YOUNG: Gilt für

, so heißt

fast alle

Dimension des Maßes

die Beziehung

in

.

, so ist


. Die Größe

heißt HAUSDORFF- Dimension des Maßes

Beispiel
Es sei

, und es sei

die Einschränkung von

auf

eine kompakte Kugel mit dem LEBESGUE-Maß

gelte

. Dann ist

und

. Für

.

.


Verallgemeinerte Dimension
Der Attraktor

von

auf

mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß

metrischen Entropie mit Würfeln der Seitenlänge

wird wie bei der Einführung der

überdeckt. Für einen beliebigen Parameter

heißt
(17.45a)

verallgemeinerte Entropie -ter Ordnung bezüglich der Zerlegung
Die RÉNYI- Dimension

.

-ter Ordnung ist
(17.45b)

falls dieser Grenzwert existiert.
Sonderfälle der R´ENYI-Dimension:


(17.46a)
(17.46b)
(17.46c)


Hamilton-Kreise
1. HAMILTON-Kreis:Ein Elementarkreis in einem Graphen
HAMILTON-Kreis .

, der alle Knoten von

durchläuft, heißt

Beispiel
In der Abbildung bilden die grün gezeichneten Linien einen HAMILTON-Kreis.

Die Idee für ein Spiel, in dem man in dem abgebildeten Graphen eines Pentagondodekaeders HAMILTON-


Kreise auffinden soll, geht auf Sir W. HAMILTON zurück.
Hinweis: Die Frage nach der Charakterisierung der Graphen mit HAMILTON-Kreisen führt auf eins der
klassischen NP-vollständigen Probleme. Deshalb kann hier kein effizienter Algorithmus zur Ermittlung von
HAMILTON-Kreisen angegeben werden.
2. Satz von DIRAC:Enthält ein schlichter Graph
für jeden Knoten

von

mindestens 3 Knoten, und gilt
dann enthält

einen HAMILTON-Kreis. Diese hinreichende

Bedingung für die Existenz eines HAMILTON-Kreises ist aber nicht notwendig. Auch die folgenden Sätze mit
verallgemeinerten Voraussetzungen liefern nur hinreichende Bedingungen für die Existenz von HAMILTONKreisen.
Beispiel
In der Abbildung ist ein Graph gezeigt, der einen HAMILTON-Kreis besitzt, ohne die Voraussetzungen
des folgenden Satzes von ORE zu erfüllen.


3. Satz von ORE:Enthält ein schlichter Graph

mindestens 3 Knoten, und gilt

für je zwei nichtadjazente Knoten

dann enthält

einen HAMILTON-

Kreis.
4. Satz von POSA: Es sei

ein schlichter Graph mit mindestens 3 Knoten. Er besitzt einen

HAMILTON-Kreis, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1.
Für

gelte: Die Anzahl derjenigen Knoten, deren Grad höchstens

kleiner als
2.
Ist

ungerade, dann gelte zusätzlich: Die Anzahl derjenigen Knoten, deren Grad höchstens
ist, ist höchstens

ist, ist


Lösung des Dirichletschen Problems
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.

Beispiel D: DIRICHLETsches Problem für das Rechteck

Als Lösung der LAPLACEschen Differentialgleichung vom elliptischen Typ
(9.88a)


wird eine Funktion

gesucht, die auch die Randbedingungen
(9.88b)

erfüllt.
Als erster Schritt wird eine partikuläre Lösung für die Randbedingungen

bestimmt.

Einsetzen des Produktansatzes
(9.88c)
in (9.88a) ergibt die separierten Differentialgleichungen
(9.88d)
mit dem Eigenwert

in Analogie zu den oben betrachteten Aufgaben A bis C. Da

gilt,

ergibt sich
(9.88e)
Im zweiten Schritt wird die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
(9.88f)
in der Form
(9.88g)


hingeschrieben. Daraus ergibt sich für die Randbedingungen

eine partikuläre Lösung

von (9.88a) in der Form
(9.88h)
Im dritten Schritt wird die allgemeine Lösung als Summe
(9.88i)
angesetzt, so daß sich aus den Randbedingungen für

und

(9.88j)
mit den Koeffizienten
(9.88k)
ergibt.
In Analogie dazu wird die Aufgabe für die Randbedingungen
(9.88j) die allgemeine Lösung von (9.88a) und (9.88b) bildet.

gelöst, die in der Summe mit


Einfache Variationsaufgabe
Eine der einfachsten Aufgaben mit Funktion von mehreren Variablen stellt das folgende Variationsproblem für ein
Doppelintegral dar:
(10.44)

Dabei soll die gesuchte Funktion

auf dem Rand

des Bereiches

gegebene Werte annehmen.

Analog zum Abschnitt EULERsche Differentialgleichung werden Vergleichsfunktionen der Form
(10.45)
angesetzt, wobei

eine Lösung der Variationsaufgabe (10.44) ist und die vorgegebenen Randwerte

annimmt, während

die Bedingung
(10.46)


erfüllt und wie
Die Größe

entsprechend oft differenzierbar ist.

ist ein Parameter. Durch
benachbart ist. Mit (10.45) geht

wird eine Fläche beschrieben, die der Lösungsfläche
in

über, d.h., aus der Variationsaufgabe (10.44) wird eine

Extremwertaufgabe, die die notwendige Bedingung
(10.47)
erfüllen muß. Daraus folgt die EULERsche Differentialgleichung
(10.48)
als notwendige Bedingung für die Lösung der Variationsaufgabe (10.44).
Beispiel
Eine unbelastete Membran, die am Rand

eines Bereiches

der

-Ebene eingespannt ist,

überdeckt eine Fläche mit dem Inhalt
(10.49a)

Wird die Membran durch eine Belastung so deformiert, daß jeder Punkt eine Auslenkung

in

-


Richtung erfährt, dann wird ihr Flächeninhalt nach der Formel
(10.49b)
berechnet. Linearisiert man den Integranden in (10.49b) nach TAYLOR, dann erhält man die Beziehung
(10.49c)
Für die potentielle Energie

der deformierten Membran gilt
(10.49d)

wobei die Konstante

als Spannung der Membran bezeichnet wird. Auf diese Weise entsteht das sogenannte

DIRICHLETsche Variationsproblem: Die Funktion

ist so zu bestimmen, daß sie das Funktional

(10.49e)
zu einem Extremum macht und auf dem Rand
EULERsche Differentialgleichung lautet

des ebenen Gebietes

verschwindet. Die zugehörige

(10.49f)


Es handelt sich um die LAPLACEsche Differentialgleichung für Funktionen von zwei Variablen.


Vereinigung, Durchschnitt, Komplement
Durch Mengenoperationen werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet.
1. Vereinigung:
Seien
durch

und

Mengen. Die Vereinigungsmenge oder die Vereinigung (Bezeichnung

) ist definiert
(5.38)

Man liest ,,
Sind

und

vereinigt mit

``.

durch die Eigenschaften

bzw.

beschrieben, dann enthält die Vereinigungsmenge

die Elemente, die wenigstens eine der beiden Eigenschaften besitzen, also wenigstens zu einer der beiden
Mengen gehören.
In der linken Abbildung ist die Vereigungsmenge durch das schattiert gezeichnete Gebiet dargestellt.


Beispiel

2. Durchschnitt:
Seien

und

Mengen. Die Schnittmenge oder der Durchschnitt (Bezeichnung

) ist definiert durch
(5.39)

Man liest ,,
Sind

und

Eigenschaften

geschnitten mit

``.

durch die Eigenschaften
und

bzw.

beschrieben, dann enthält

die Elemente, die beide

besitzen.

In der mittleren Abbildung ist die Schnittmenge schattiert dargestellt.
Beispiel
Mit Hilfe des Durchschnitts der Teilermengen

und

zweier Zahlen

und

läßt sich der

größte gemeinsame Teiler (ggT) bestimmen.
Für
daß

und

ist
die Zahl ggT(12,18)=6 ergibt.

und

so


Disjunkte Mengen: Zwei beliebige Mengen

und

die kein gemeinsames Element besitzen, nennt man

elementfremd oder disjunkt ; für sie gilt
(5.40)
d.h., ihr Durchschnitt ist eine leere Menge.
Beispiel
Der Durchschnitt der Menge der ungeraden und der Menge der geraden Zahlen ist leer, d.h.

3. Komplement: Betrachtet man nur Teilmengen einer vorgegebenen Grundmenge
so besteht die Komplementärmenge oder das Komplement
allen Elementen von

die nicht zu

z.B. die Teilmenge

von

bezüglich

aus

gehören:
(5.41)

Man liest ,,Komplement von
Ist die Grundmenge

bezüglich

``.

aus dem Zusammenhang heraus offenbar, wird für die Bezeichnung der

Komplementärmenge auch das Symbol
dargestellt.

verwendet. In der rechten Abbildung ist das Komplement

schattiert


Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
Einschrittverfahren kann man allgemein in der folgenden Form darstellen:
(19.110)
Dabei wird

Zuwachsfunktion oder Fortschreitrichtung des Einschrittverfahrens genannt. Die durch

(19.110) gewonnene Näherungslösung hängt von der Schrittweite
werden. Ihre Abweichung von der exakten Lösung
Diskretisierungsfehler
Ordnung

, falls

ab und soll deshalb mit

bezeichnet

der Anfangswertaufgabe (19.93) ergibt den globalen

(19.111), und man sagt: Das Einschrittverfahren (19.110) ist konvergent mit der

die größte natürliche Zahl mit
(19.111)

ist. Die Formel (19.111) besagt, daß für jedes

aus dem Definitionsbereich der Anfangswertaufgabe die mit der


Schrittweite

die Lösung

bestimmte Näherung

für jede Verfeinerung der Einteilung mit

gegen

konvergiert.

Beispiel
Das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) hat die Konvergenzordnung
Verfahren (19.99) gilt

.

. Für das RUNGE-KUTTA-


Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
Die Konvergenzordnung gemäß (19.111) gibt an, wie gut die Näherungslösung

die exakte Lösung
die Ableitung

approximiert. Darüber hinaus ist die Frage interessant, wie gut die Zuwachsfunktion
annähert. Dazu führt man den sogenannten lokalen Diskretisierungsfehler
und sagt: Das Einschrittverfahren (19.110) ist konsistent mit der Ordnung

, falls

(19.112) ein

die größte natürliche Zahl mit
(19.112)

ist. Für ein konsistentes Einzelschrittverfahren folgt aus (19.112) unmittelbar
(19.113)
Beispiel


Das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) hat die Konsistenzordnung
Verfahren (19.99) die Konsistenzordnung

.

, das RUNGE -KUTTA-


Streuung und Standardabweichung
Speziell für

wurden die äquivalenten Ausdrücke Streuung , Varianz und Dispersion eingeführt:

(16.50)

Die Größe

wird Standardabweichung genannt. Es gelten die folgenden Beziehungen:
(16.51)


Problem des kürzesten Weges
Es sei

ein bewerteter schlichter Graph mit
von

wird ein kürzester Weg von

nach

für alle

gesucht, d.h. ein Weg von

Für zwei verschiedene Knoten
nach

, für den die Summe der

Bewertungen der Kanten bzw. Bögen minimal ist.
Zur Lösung des Problems wurde von DANTZIG ein effektiver Algorithmus vorgeschlagen, der für gerichtete Graphen
formuliert ist und entsprechend auf ungerichtete Graphen angewendet werden kann.
mit

Man kann für jeden bewerteten schlichten Graphen
Entfernungsmatrix oder Distanzmatrix

vom Typ

die

aufstellen:
(5.236)

Sind speziell alle Kanten mit 1 bewertet, d.h. der Abstand von
durchlaufen muß, um im Graphen von
Adjazenzmatrix ermitteln: Die Knoten von

nach

und

ist gleich der Mindestanzahl der Kanten, die man

zu gelangen, kann man den Abstand zweier Knoten aus der

seien

Die Adjazenzmatrix von

ist

und


die Potenzen der Adjazenzmatrix bezüglich der üblichen Multiplikation von Matrizen werden mit
bezeichnet.
Vom Knoten

zum Knoten

führt genau dann ein kürzester Weg der Länge

wenn gilt:

(5.237)
Beispiel A
Der in der Abbildung dargestellte bewertete Graph mit der Knotenzahl 6 besitzt die nebenstehend angegebene
Entfernungsmatrix.


Beispiel B
Der in der Abbildung gezeigte ungerichtete Graph hat die daneben angegebene Entfernungsmatrix (Adjazenzmatrix). Für
bzw.

erhält man die Matrizen

kann, die zwei Knoten des Graphen verbinden.

und

aus denen man die Länge der kürzesten Wege ablesen


Kürzeste Wege der Länge 2 verbinden die Knoten 1 und 3, 1 und 4, 1 und 5, 2 und 6, 3 und 4, 3 und 5 sowie 4 und 5.
Dagegen haben kürzeste Wege zwischen den Knoten 1 und 6, 3 und 6 bzw. 4 und 6 die Länge 3.


Distributionen
●
●
●
●

Formel der partiellen Integration
Verallgemeinerte Ableitung
Distribution
Ableitung einer Distribution


Verallgemeinerte Funktionen
Bei der Beschreibung gewisser technischer Systeme durch lineare Differentialgleichungen treten häufig

und

als Stör- oder Eingangsfunktion auf, obwohl die geforderten Voraussetzungen für die eindeutige Lösbarkeit
nicht erfüllt sind:

ist unstetig,

ist im Sinne der klassischen Analysis nicht definierbar.

Einen Ausweg liefert die Distributionstheorie durch die Einführung der sogenannten verallgemeinerten Funktionen
oder Distributionen, unter die sich z.B. die bekannten stetigen, reellen Funktionen sowie die Funktion
einordnen lassen, wobei die notwendigen Differenzierbarkeitseigenschaften gewährleistet sind. Die Distributionen
gestatten verschiedene Darstellungen. Zu den bekanntesten gehört die von L. SCHWARTZ eingeführte stetige reelle
Linearform (s. Lit. 12.14).
Den periodischen Distributionen lassen sich analog zu den reellen Funktionen FOURIER-Koeffizienten und FOURIERReihen eindeutig zuordnen.


Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Eine Matrix

vom Typ

von

multipliziert wird:

mit

wird mit einer reellen oder komplexen Zahl

multipliziert, indem jedes Element

(4.22a)
Beispiel

Mit (4.22a) wird auch ausgesagt, daß ein konstanter Faktor, der in allen Elementen einer Matrix enthalten ist,
ausgeklammert werden kann.
Die Division einer Matrix durch einen Skalar wird als Multiplikation mit

durchgeführt, wobei

sein

muß.
Es gelten das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar:
(4.22b)


(4.22c)
(4.22d)


Definitionen
●
●
●

Ringe
Körper
Körpererweiterungen


Grenzwerte von Zahlenfolgen
1. Grenzwert einer Zahlenfolge: Eine unendliche Zahlenfolge (7.1) hat den Grenzwert
unbegrenzt wachsendem Index

die Differenz

formuliert bedeutet das: Zu jeder beliebig kleinen Zahl
alle

, wenn mit

dem Betrage nach beliebig klein wird. Genauer
läßt sich ein Index

so bestimmen, daß für

gilt
(7.5)

2. Konvergenz einer Zahlenfolge: Eine Zahlenfolge

die (7.5) erfüllt, heißt konvergent gegen

Man schreibt dann
(7.6)
Beispiel

.


Von den Folgen A bis J sind konvergent: C mit

E mit

F mit

G mit

.
3. Divergenz einer Zahlenfolge: Nichtkonvergente Zahlenfolgen heißen divergent . Man spricht von
bestimmter Divergenz , wenn

mit unbegrenzt wachsendem

nach der positiven oder negativen Seite

jede vorgegebene Zahl von beliebig großem Betrag überschreitet. Man schreibt dann:
(7.7)
Anderenfalls spricht man von unbestimmter Divergenz .
Beispiel A
Von den Folgen A bis J sind A und B gegen

bestimmt divergent.

Beispiel B
Von den Folgen A bis J ist D unbestimmt divergent.
4. Sätze über Grenzwerte von Zahlenfolgen:
a)
Wenn die Folgen

und

konvergieren, gilt
(7.8)
(7.9)


(7.10)
b)
gilt und wenigstens von einem Index

Wenn

ab stets

ist, dann gilt auch
(7.11)
c)
Eine monoton beschränkte Folge besitzt stets einen endlichen Grenzwert. Ist eine monoton wachsende
Folge
fallende nach unten, d.h.
größer als die obere Schranke

nach oben beschränkt, d.h.
für alle

für alle

bzw. eine monoton

so konvergiert sie gegen einen Grenzwert, der nicht

bzw. nicht kleiner als die untere Schranke

ist.


Definition der Divergenz
Zu einem Vektorfeld

läßt sich ein skalares Feld, das Feld seiner Divergenz , angeben. Im Punkt

ist die

Divergenz als Volumenableitung des Vektorfeldes definiert:

(13.46)

Man bezeichnet die Divergenz eines Vektorfeldes auch als spezifische Ergiebigkeit oder Quelldichte, denn sie gibt,
falls

ein Strömungsfeld beschreibt, die Flüssigkeitsmenge an, die in dem betreffenden Punkt des Feldes

Volumen- und Zeiteinheit neu entsteht. Im Fall
vom Vorhandensein einer Senke .

je

spricht man vom Vorhandensein einer Quelle , im Fall


Integralkriterium von Cauchy
1. Konvergenz: Eine Reihe mit dem allgemeinen Glied

monoton fallende Funktion ist und das uneigentliche Integral

2. Divergenz: Eine Reihe mit dem allgemeinen Glied

ist konvergent, wenn

eine

konvergiert.

ist divergent, wenn dieses Integral

divergiert.
Die untere Integrationsgrenze

ist zwar beliebig, sie ist jedoch so zu wählen, daß die Funktion

definiert und frei von Unstetigkeiten ist.

Beispiel
Die Reihe (7.27a) ist divergent wegen

für


(7.30)


Divergenz des Vektorfeldes
●
●
●
●

Definition der Divergenz
Divergenz in verschiedenen Koordinaten
Regeln zur Berechnung der Divergenz
Divergenz eines Zentralfeldes


Divergenz in verschiedenen Koordinaten
●
●

Divergenz in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten


Divergenz eines Zentralfeldes
(13.54a)
(13.54b)


Division
Die Division zweier komplexer Zahlen wird als die zur Multiplikation inverse Operation definiert. In algebraischer
Schreibweise ergibt sich
(1.140a)
Die trigonometrische Schreibweise lautet
(1.140b)
d.h., der Betrag des Quotienten ist gleich dem Quotienten aus den Beträgen des Dividenden und des Divisors,
während das Argument des Quotienten gleich der Differenz der beiden Argumente ist.
In der Exponentialform erhält man
(1.140c)
In der geometrischen Definition ergibt sich der Vektor, der den Quotienten
Zahl

darstellenden Vektors um den Winkel

darstellt, durch Drehung des die

im Uhrzeigersinn sowie durch Kontraktion dieses Vektors mit


dem Faktor
Hinweis: Eine Division durch Null ist nicht möglich.


Reguläre Polyeder und EULERscher Polyedersatz
1. Reguläre Polyeder zeichnen sich durch kongruente reguläre Vielecke als Begrenzungsflächen und
kongruente reguläre Ecken aus. Die fünf möglichen regulären Polyeder sind in den folgenden Abbildungen
dargestellt.


In der Tabelle sind Angaben dazu aufgeführt.
2. EULERscher Polyedersatz Wenn

die Anzahl der Ecken,

die Anzahl der Flächen und

die Anzahl

der Kanten sind, dann gilt für ein konvexes Polyeder oder ein Polyeder, das sich durch stetige Deformation in
ein konvexes Polyeder überführen läßt:
(3.122)
Beispiele sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Tabelle Elemente der regulären Polyeder mit der Kantenlänge
Gesamtfläche
Anzahl und Form der Anzahl der Kanten
Bezeichnung
Begrenzungsflächen Kanten Ecken

Volumen


Tetraeder

4 Dreiecke

6

4

Würfel

6 Quadrate

12

8

Oktaeder

8 Dreiecke

12

6

Dodekaeder

12 Fünfecke

30

20

Ikosaeder

20 Dreiecke

30

12


Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Mittelpunktskurven
Tabelle Kurvengleichungen 2. Ordnung. Mittelpunktskurven
Größen

Gestalt der Kurve

und

Ellipse
a) für

reell

b) für

imaginär

Mittelpunktskurven
Ein Paar imaginäre Geraden
mit reellem Punkt
Hyperbel
Ein Paar sich schneidender Geraden


Notwendige Koordinatentransformation

Normalform der Gleichung
nach Transformation

1. Verschiebung des Koordinatenursprungs in
den Kurvenmittelpunkt, dessen Koordinaten
sind.

2. Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel

mit

Das Vorzeichen von
zeichen von

muß mit dem Vor-

übereinstimmen. Hierbei ist

der Richtungskoeffizient der neuen

-Achse
Mit
.

und

schen Gleichung

sind Wurzeln der quadratibezeichnet.


und

sind gemäß (3.351c) Zahlen.

Der Kurvengleichung entspricht eine imaginäre Kurve.


Anwendungen von Doppelintegralen
Allgemeine Formel

Kartesischen Koordinaten

1. Flächeninhalt einer ebenen Figur:

2. Oberfläche:

3. Volumen eines Zylinders:

Polarkoordinaten


4. Trägheitsmoment einer ebenen Figur, bezogen auf die

-Achse:

5. Trägheitsmoment einer ebenen Figur, bezogen auf den Pol 0:

6. Masse einer ebenen Figur mit der Dichtefunktion

:

7. Die Koordinaten des Schwerpunktes einer homogenen ebenen Figur:


Berechnung in kartesischen Koordinaten
Das Integrationsgebiet, das als Flächenstück aufgefaßt wird, teilt man mit Hilfe von Koordinatenlinien in infinitesimale
Rechtecke ein (s. linke Abbildung).

Darauf erfolgt eine Summation aller Differentiale

, beginnend mit allen Rechtecken längs jedes

vertikalen Streifens, danach längs jedes horizontalen Streifens. Die analytische Formulierung lautet:


(8.136a)

Dabei sind

und

die Gleichungen der oberen bzw. unteren Randkurve

des Flächenstückes

. Mit

bzw.

und

sind die Abszissen der am weitesten links bzw. rechts

liegenden Kurvenpunkte bezeichnet. Das Flächenelement in kartesischen Koordinaten berechnet sich gemäß
(8.136b)
konstant gehalten. Die eckigen Klammern in (8.136a) werden
Bei der Ausführung der ersten Integration wird
üblicherweise weggelassen, indem verabredungsgemäß das innere Integral der inneren Integrationsvariablen
zugeordnet wird, das äußere der an zweiter Stelle stehenden Integrationsvariablen. In (8.136a) stehen die
Differentialzeichen

und

am Ende des Integranden. Ebenso üblich ist es, diese Zeichen gleich hinter den

Integralzeichen vor die Funktionen des Integranden zu setzen.
Man kann die Berechnung in kartesischen Koordinaten (s. rechte Abbildung) auch in der umgekehrten Reihenfolge
ausführen:


(8.136c)

Beispiel

, wobei

der Abbildung ist.

die Fläche zwischen der Parabel

und der Geraden

in


oder

.


Berechnung in Polarkoordinaten
Das Integrationsgebiet, die Fläche, wird durch Koordinatenlinien in infinitesimale Flächenstücke aufgeteilt, die jeweils durch
zwei konzentrische Kreisbogen und zwei durch den Pol verlaufende Geraden begrenzt werden (s. Abbildung).

Mit einem Integranden in Polarkoordinaten gemäß

hat das Flächenelement in Polarkoordinaten die Form
(8.137a)

Summiert wird zuerst innerhalb jedes Kreissektors, dann über alle Sektoren:


(8.137b)

wobei
Fläche

und
sind und

die Gleichungen der inneren bzw. äußeren Randkurve

bzw.

bzw.

der

die Polarwinkel der Tangenten, die das Flächenstück an seinen Rändern berühren. Die

umgekehrte Integrationsreihenfolge wird selten verwendet.
Beispiel
, wobei

die Fläche des Halbkreises

ist (s. Abbildung):

.


Definition
Als Doppelintegral einer Funktion von zwei Veränderlichen

über einem ebenen Flächenstück

der Ausdruck
(8.134)

bezeichnet. Es handelt sich dabei um einen Zahlenwert, der auf die folgende Weise ermittelt wird (s. Abbildung):
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes
2. Auswahl eines beliebigen Punktes

in

Elementarflächenstücke.
im Innern oder auf dem Rande eines jeden

Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von
entsprechenden Elementarflächenstückes.

in diesem Punkt mit dem Inhalt

des

wird


4. Addition aller so gewonnenen Produkte

.

5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
(8.135a)

für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke

gegen Null geht, also ihre Anzahl

gegen

.

solle gegen Null streben, allein nicht genügt. Es muß sichergestellt
Dabei ist zu beachten, daß die Forderung,
sein, daß auch der Abstand der beiden am weitesten voneinander entfernten Punkte, d.h. der Durchmesser des
Elementarflächenstückes , gegen Null geht, weil der Flächeninhalt eines Rechtecks auch zu Null wird, wenn eine
seiner Seiten Null gesetzt wird, der Durchmesser aber endlich bleibt.


Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes
sowie von der Wahl der Punkte
über dem Flächenstück

in Elementarflächenstücke

unabhängig ist, dann wird er Doppelintegral der Funktion
, das Integrationsgebiet, genannt, und man schreibt:

(8.135b)


Existenzsatz
Das Doppelintegral (8.135b) existiert, wenn die Funktion
seines Randes stetig ist.

im gesamten Integrationsgebiet einschließlich


Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung des Doppelintegrals liegt neben der Möglichkeit der Berechnung einer Fläche auch
darin, daß es die Berechnung des Rauminhaltes eines geraden Körpers ermöglicht, der vom Flächenstück
-Ebene,von einer Zylinderfläche, deren Erzeugende parallel zur
Fläche

begrenzt wird (s. Abbildung).

in der

-Achse verläuft, und von einem Teil der


Jedes Glied
Grundfläche

der Summe (8.135b) entspricht der Elementarzelle einer prismatischen Säule mit der
und der Höhe

nachdem, ob der betreffende Teil der Fläche

. Das Vorzeichen des Gesamtvolumens ist positiv bzw. negativ, je
über oder unter der

-Ebene liegt. Wenn er diese

Ebene schneidet, dann ist das Volumen eine algebraische Summe der einzelnen Teilvolumina.


Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Eine einfache Anwendung von Zahlenkongruenzen ist die Verwendung von Prüfziffern in der Internationalen
Standard-Buchnummer ISBN. Büchern wird eine 10-stellige Ziffernkombination der Form
(5.184a)
zugeordnet. Dabei ist

die Gruppennummer (

oder der Schweiz kommt),

bedeutet z.B., daß das Buch aus Deutschland, Östereich

ist die Verlagsnummer und

betreffenden Verlages. Als Prüfziffer ist

die Titelnummer für das einzelne Buch des

eingeführt, damit fehlerhafte Buchbestellungen erkannt und im

Zusammenhang damit stehende Unkosten minimiert werden können. Die Prüfziffer

ist die kleinste nichtnegative

Zahl, die die folgende Kongruenz erfüllt:
(5.184b)
Anstelle von 10 verwendet man als Prüfziffer auch das nichtnumerische Zeichen X.(s. auch Kontonummernsystem
EKONS).
Man kann nun für jede übermittelte ISBN-Nummer nachprüfen, ob die angegebene Prüfziffer mit der aus der
restlichen Ziffernkombination ermittelten Prüfziffer übereinstimmt. Bei Nichtübereinstimmung liegt mit Sicherheit ein
Fehler vor. Beim ISBN-Prüfziffernverfahren werden folgende Fehler stets aufgedeckt:


●
●

Verwechslung einer Ziffer und
Vertauschung zweier Ziffern (,,Drehfehler ``).

Statistische Untersuchungen ergaben, daß damit über 90% aller auftretenden Fehler aufgedeckt werden. Alle
weiteren beobachteten Fehlertypen haben eine relative Häufigkeit von unter 1%. In der Mehrheit der Fälle werden
das Verwechseln zweier Ziffern und die Vertauschung zweier kompletter Ziffernblöcke durch das beschriebene
Ziffernverfahren aufgedeckt.


Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente
Unter einer Symmetrieoperation

eines räumlichen Objekts versteht man eine Abbildung des gesamten Raumes in

sich, bei der die Streckenlängen unverändert bleiben und das Objekt mit sich zur Deckung kommt. Mit Fix
Menge aller Fixpunkte der Symmetrieoperation

wird die

bezeichnet, d.h. die Menge aller Punkte des Raumes, die bei

heißt das Symmetrieelement von . Zur Bezeichnung der Symmetrieoperation wird die in der
festbleiben. Fix
Chemie übliche SCHOENFLIESS-Symbolik verwendet (s. Lit. 5.15).
Man unterscheidet zwei Typen von Symmetrieoperationen, Operationen ohne Fixpunkt und Operationen mit
mindestens einem Fixpunkt.
1. Symmetrieoperationen ohne Fixpunkt, bei denen kein Punkt des Raumes fest bleibt, können bei
begrenzten räumlichen Objekten, und nur solche sollen hier betrachtet werden, nicht auftreten. Eine
Symmetrieoperation ohne Fixpunkt ist z.B. eine Parallelverschiebung.
2. Symmetrieoperationen mit mindestens einem Fixpunkt sind z.B. Drehungen und Spiegelungen. Zu
ihnen gehören folgende Operationen:
a) Drehungen bezüglich einer Achse um einen Winkel
die Drehachse als auch die Drehung selbst mit

: Für

Die Drehachse heißt dann

bezeichnet man sowohl
-zählig.

b) Spiegelungen an einer Ebene: Sowohl die Spiegelungsebene als auch die Spiegelung selbst


werden mit

bezeichnet. Ist zusätzlich eine Hauptdrehachse vorhanden, so zeichnet man diese
(h von

senkrecht und bezeichnet Spiegelungsebenen, die senkrecht auf dieser Achse stehen, mit
horizontal) und Spiegelungsebenen, die durch die Drehachse gehen, mit

(v von vertikal) oder

(d

von dihedral, wenn dadurch gewisse Winkel halbiert werden).
c) Drehspiegelungen: Eine Operation, die dadurch entsteht, daß nach einer Drehung
Spiegelung

erfolgt, heißt Drehspiegelung und wird mit

bezeichnet. Drehung und Spiegelung

sind dabei vertauschbar. Die Drehachse heißt dann Drehspiegelungsachse
ebenfalls mit

eine

-ter Ordnung und wird

bezeichnet. Diese Achse nennt man zugehöriges Symmetrieelement, obwohl bei der

Anwendung der Operation

nur das Symmetriezentrum fest bleibt. Für

Drehspiegelung auch Punktspiegelung oder Inversion und wird mit

bezeichnet.

heißt eine


Epsilontensor
Sind

und

die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems, dann

gilt für das Spatprodukt

(4.79a)

Elemente, die als Elemente eines 3stufigen Tensors aufgefaßt werden können. Im
Das sind insgesamt
Falle einer Drehung des Koordinatensystems folgt aus dem Transformationsgesetz (4.68)

(4.79b)

d.h., die Elemente sind drehungsinvariant . Paßt man sie so in ein Koordinatensystem ein, daß sie unabhängig von


der Wahl des Ursprungs, also auch translationsinvariant sind, dann bilden die Zahlen
3. Stufe, den sogenannten Epsilontensor .

einen invarianten Tensor


Definition
Ein kartesischer Tensor heißt invariant , wenn seine Komponenten in allen kartesischen Koordinatensystemen
identisch sind. Da physikalische Größen wie Skalare und Vektoren, die Spezialfälle von Tensoren sind, nicht vom
Koordinatensystem abhängen, in dem sie bestimmt werden, darf sich ihr Wert weder bei Verschiebung des
ändern. Man spricht von
Koordinatenursprunges noch bei Drehung eines Koordinatensystems
Translationsinvarianz und Drehungsinvarianz und allgemein von Transformationinvarianz .


Orthogonale Matrizen
Gilt für eine quadratische Matrix

die Beziehung
(4.30)

d.h., die Skalarprodukte je zweier verschiedener Spalten oder Zeilen sind gleich null und die Skalarprodukte jeder
Zeile oder Spalte mit sich selbst gleich eins, dann nennt man sie eine orthogonale Matrix .
Orthogonale Matrizen haben folgende Eigenschaften:
1. Die transponierte und die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix

sind auch orthogonal; weiterhin gilt
(4.31)

2. Produkte orthogonaler Matrizen sind wieder orthogonal.
Beispiel
Die bei der Drehung eines Koordinatensystems verwendete Drehungsmatrix D mit den
Richtungskosinussen der neuen Achsenrichtungen ist orthogonal (s. Richtung im Raum).


●

Unitäre Matrix


Koordinatentransformationen
Beim Übergang von einem kartesischen Koordinatensystem zu einem anderen ändern sich die Koordinaten nach den
folgenden Regeln:
1. Parallelverschiebung der Koordinatenachsen um den Abszissen- bzw. Ordinatenabschnitt
so daß für die Koordinaten
Koordinaten

vor der Verschiebung,

bzw.

,

nach der Verschiebung und für die

des neuen Koordinatenursprungs 0' im alten Koordinatensystem vor der Verschiebung gilt:


(3.288a)
(3.288b)
2. Drehung der Koordinatenachsen um den Winkel

so daß gilt:


(3.289a)
(3.289b)
Allgemein betrachtet läßt sich ein Übergang von einem Koordinatensystem in ein anderes durch eine Transformation
durchführen, die aus einer Translation und einer Rotation, d.h. einer Drehung der Koordinatenachsen besteht. Die
zum diesem System aus zwei Gleichungen gehörende Koeffizientenmatrix lautet:
(3.289c)
Sie wird Drehungsmatrix genannt.


Drehung des Koordinatensystems
Wenn das kartesische Koordinatensystem
Transformationsmatrix
Drehungsmatrix

aus

durch Drehung hervorgeht, dann gilt in (4.65) für die

Dabei ist

die orthogonale Drehungsmatrix . Die orthogonale

hat die Eigenschaft
(4.67a)

Elemente

von

sind die Richtungskosinusse der Winkel zwischen den alten und neuen Koordinatenachsen.

Aus der Orthogonalität der Drehungsmatrix

d.h. aus

(4.67b)
folgt für ihre Elemente:


(4.67c)
Diese Gleichungen besagen, daß die Zeilen- und Spaltenvektoren der Matrix
Die Elemente der

orthonormiert sind.

der Drehungsmatrix können auch mit Hilfe der EULERschen Winkel dargestellt werden

(s. auch Drehung der Ebene und Drehung im Raum).


Unterabschnitte
●
●
●
●
●

Parallelverschiebung:
Drehung der Koordinatenachsen:
Eigenschaften der Transformationsdeterminante:
EULERsche Winkel:
Skalare Invariante:

Transformation rechtwinkliger Koordinaten
Parallelverschiebung:
Wenn die ursprünglichen Koordinaten

sind, die neuen

und

die Koordinaten des neuen

Koordinatenursprungs im ursprünglichen Koordinatensystem, dann gilt
(3.357)


Drehung der Koordinatenachsen:
Wenn die Richtungskosinusse der neuen Achsen in Übereinstimmung mit den Angaben in der folgenden Tabelle und
der Abbildung bezeichnet sind, dann gilt

(3.358a)


(3.358b)

Tabelle Bezeichnungen der Richtungskosinus bei Koordinatentransformation


Richtungskosinus
der neuen Achsen

In bezug auf die
alten Achsen

Die Koeffizientenmatrix des Systems (3.358a), Drehungsmatrix

genannt, und die Transformationsdeterminante

ergeben sich zu
(3.358c)

(3.358d)

Eigenschaften der Transformationsdeterminante:


Die Transformationsdeterminante besitzt die folgenden Eigenschaften:
a)

mit positivem Vorzeichen, wenn die Links- bzw. Rechtshändigkeit erhalten bleibt, mit

negativem Vorzeichen, wenn sich die Händigkeit ändert.
b) Die Summe der Quadrate einer Zeile oder einer Spalte ist immer gleich eins.
c) Die Summe der Produkte der entsprechenden Elemente zweier verschiedener Zeilen oder Spalten ist gleich
Null (s. orthogonale Matrizen).
d) Jedes Element ergibt sich als Produkt aus

und seiner Adjunkte (s. Determinanten).

EULERsche Winkel:
Die Lage des neuen Koordinatensystems relativ zum alten kann mit Hilfe von drei Winkeln, die EULER eingeführt hat,
vollständig bestimmt werden.


a) Nutationswinkel
wird der Winkel zwischen den positiven Richtungen der

- und der

-Achse genannt; er liegt in den

Grenzen
b) Präzessionswinkel
wird der Winkel zwischen der positiven Richtung der

-Achse und der Schnittgeraden

zwischen der


- und
-Achse sowie

- Ebene genannt. Die positive Richtung von

wird derart gewählt, daß die

-Achse, die

ein Richtungstripel mit der gleichen Orientierung bilden wie die Koordinatenachsen

(s. affine Koordinaten). Die Messung von

erfolgt von der

-Achse aus in Richtung

-Achse; die Grenzen

sind
c) Drehungswinkel
wird der Winkel zwischen der positiven

-Richtung und der Schnittgeraden

genannt; er liegt in den

Grenzen
Wenn anstelle der Winkelfunktionen zur Abkürzung gesetzt wird

(3.359a)
dann gilt

(3.359b)


Skalare Invariante:
Skalare Invariante heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems den gleichen Wert
behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante (s. auch Eigenschaften der Produkte von
Vektoren).
Beispiel A
Die Komponenten eines Vektors

sind keine skalaren Invarianten, da sie bei

Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems unterschiedliche Werte annehmen.
Beispiel B
Die Länge des Vektors

d.h. die Größe

Invariante.
Beispiel C
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante:

ist eine skalare


Begleitendes Dreibein
●
●
●

Definitionen
Lage der Kurve relativ zum begleitenden Dreibein
Gleichungen der Elemente des begleitenden Dreibeins


Aussagen zu ebenen Dreiecken
●
●
●
●
●
●

Summe zweier Seiten, Summe der Winkel
Vollständige Bestimmung des Dreiecks
Seitenhalbierende und Winkelhalbierende
Inkreis und Umkreis
Höhe und Mittellinie des Dreiecks
Arten von Dreiecken


Ebene Dreiecke
●
●

Aussagen zu ebenen Dreiecken
Symmetrie


Unterabschnitte
●
●

Flächeninhalt eines Dreiecks:
Flächeninhalt eines Vielecks:

Flächeninhalte
Flächeninhalt eines Dreiecks:
Sind die Eckpunkte durch
Flächeninhalt gemäß

und

gegeben, dann ergibt sich der


(3.296)

Drei Punkte liegen auf einer Geraden, wenn

(3.297)

Flächeninhalt eines Vielecks:


Sind die Eckpunkte durch

gegeben, dann ist
(3.298)

Die Formeln (3.296) und diese liefern einen positiven Flächeninhalt, wenn die Eckpunkte in einer Reihenfolge
durchnumeriert sind, die dem entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers entspricht. Anderenfalls ist der
Flächeninhalt negativ.


Arten von Dreiecken
Gleichschenkliges Dreieck: Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Dreieckseiten gleich lang. Höhe, Seitenund Winkelhalbierende der dritten Seite sind identisch. Für die Gleichschenkligkeit des Dreiecks ist die
Gleichheit je zweier dieser Seiten eine hinreichende Bedingung.
fallen die Mittelpunkte des In- und des
Gleichseitiges Dreieck: Im gleichseitigen Dreieck mit
Umkreises mit dem Schwerpunkt und dem Orthozentrum zusammen.
Rechtwinkliges Dreieck: Rechtwinkliges Dreieck wird ein Dreieck genannt, das sich durch einen Winkel von
in einer der Dreiecksecken auszeichnet.


Grundaufgaben zur Berechnung ebener schiefwinkliger Dreiecke
In Übereinstimmung mit den Kongruenzsätzen ist ein Dreieck durch drei voneinander unabhängige Stücke bestimmt,
unter denen sich mindestens eine Seite befinden muß. Daraus leiten sich die vier sogenannten Grundaufgaben im
schiefwinkligen Dreieck ab. Sind von 6 Bestimmungsgrößen eines schiefwinkligen Dreieckes (3 Winkel
die ihnen gegenüberliegenden 3 Seiten

und

) drei gegeben, dann lassen sich die übrigen drei

Bestimmungsgrößen mit Hilfe der in der Tabelle angegebenen Gleichungen berechnen.
Im Unterschied zur sphärischen Trigonometrie, läßt sich für das ebene schiefwinklige Dreieck aus der Kenntnis dreier
gegebener Winkel keine der Seiten berechnen.
(S. 2. Grundaufgabe der sphärischen Trigonometrie.)
Tabelle Bestimmungsgrößen ebener schiefwinkliger Dreiecke, Grundaufgaben
Gegeben

Formeln zur Berechnung der übrigen Größen


1.
1 Seite und
2 Winkel

2.
2 Seiten und der
eingeschlossene
Winkel

und

werden aus

und

berechnet,


3.
2 Seiten und der
einer von ihnen
gegenüberliegende

Für

Winkel

sind folgende Fälle möglich:

ist

und eindeutig bestimmt. Für

1.
hat für

zwei Werte

;

2.
hat genau einen Wert

für

;

3.
Für

ist eine Dreieckskonstruktion unmöglich


,

4.
3 Seiten


Höhe und Mittellinie des Dreiecks
Höhe des Dreiecks wird das Lot genannt, das vom Scheitelpunkt eines der drei Dreieckwinkel auf die
gegenüberliegende Seite gefällt wird. Die Höhen des Dreiecks schneiden sich im sogenannten Orthozentrum .
Mittellinie des Dreiecks wird eine Gerade genannt, die die Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten verbindet; sie
liegt parallel zur dritten Seite und ist halb so lang wie diese.


Inkreis und Umkreis
Inkreis wird der in das Dreieck einbeschriebene Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks.

Umkreis wird der das Dreieck umschreibende Kreis genannt. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame
Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.


Strecken im Dreieck und Fläche
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;

- Flächeninhalt;

- Radius des Umkreises;

- halber Dreiecksumfang.

- Seiten;

- die ihnen gegenüberliegenden

- Radius des Inkreises;


Höhe der Seite

:
(3.82)

Seitenhalbierende der Seite

:
(3.83)

Winkelhalbierende des Winkels

:
(3.84)

Radius des Umkreises:


(3.85)
Radius des Inkreises:
(3.86)

(3.87)
Flächeninhalt:
(3.88)
Die Formel wird HERONische Flächenformel genannt.


Berechnung von Seiten und Winkeln im ebenen rechtwinkligen Dreieck
Verwendete Bezeichnungen:
gegenüberliegenden Winkel;

- Katheten;
- Höhe;

- Hypotenuse;

bzw.

- die den Seiten

- Hypotenusenabschnitte;

- Flächeninhalt.

bzw.


Im rechtwinkligen Dreieck ist von 6 Bestimmungsgrößen (3 Winkel
Seiten

) ein Winkel, in der Abbildung der Winkel

zu

und die ihnen gegenüberliegenden
festgelegt. Ein ebenes Dreieck ist durch drei

Bestimmungsstücke festgelegt, die aber nicht beliebig vorgegeben werden können, sondern in Übereinstimmung mit
den unter Vollständige Bestimmung des Dreiecks genannten Möglichkeiten. Somit können nur noch zwei Stücke
vorgegeben werden. Die übrigen drei lassen sich mit Hilfe der Gleichungen in der folgenden Tabelle sowie mit (3.69)
berechnen.
Tabelle Bestimmungsgrößen ebener rechtwinkliger Dreiecke

Gegeben
z.B

z.B.

z.B.

Formeln zur Ermittlung der übrigen Größen


z.B.


Grundformeln und Sätze
Verwendete Bezeichnungen:
gegenüberliegenden Winkel;

- Katheten;
- Höhe;

- Hypotenuse;

bzw.

- die den Seiten

- Hypotenusenabschnitte;

- Flächeninhalt.

bzw.


Winkelsumme:
(3.69)
Seitenberechnung:

(3.70)
Satz des PYTHAGORAS:
(3.71)
Sätze des EUKLID:
(3.72)
Flächeninhalt:
(3.73)


Rechtwinklige ebene Dreiecke
●
●

Grundformeln und Sätze
Berechnung von Seiten und Winkeln im ebenen rechtwinkligen Dreieck


Berechnungen in schiefwinkligen ebenen Dreiecken
●
●

Grundformeln und Sätze
Grundaufgaben zur Berechnung ebener schiefwinkliger Dreiecke


Weitere Beziehungen

Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;

- Flächeninhalt;

- Radius des Umkreises;

- Seiten;

- die ihnen gegenüberliegenden

- Radius des Inkreises;


- halber Dreiecksumfang.

Tangensformeln:
(3.80)
Zusätzliche Beziehungen:
(3.81a)

(3.81b)


Seitenhalbierende und Winkelhalbierende
Seitenhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem
Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreieckseite verbindet. Die Seitenhalbierenden des Dreiecks schneiden
sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks, der sie vom Scheitel des Winkels aus gerechnet im
Verhältnis

teilt.

Winkelhalbierende des Dreiecks wird die Gerade genannt, die einen der drei inneren Winkel des Dreiecks in
zwei gleiche Teile teilt.


Vollständige Bestimmung des Dreiecks
Ein Dreieck ist durch die folgenden Bestimmungsstücke vollständig bestimmt:
●
●
●

durch drei Seiten oder
durch zwei Seiten und den zwischen ihnen eingeschlossenen Winkel oder
durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel.

Wenn zwei Seiten gegeben sind sowie der einer Seite gegenüberliegende Winkel, dann können mittels dieser
Bestimmungsstücke entweder zwei, ein oder kein Dreieck konstruiert werden (s. Grundaufgaben der ebenen
Trigonometrie für das ebene rechtwinklige Dreieck und das ebene schiefwinklige Dreieck).


Summe zweier Seiten, Summe der Winkel
Die Summe zweier Seiten ist im ebenen Dreieck stets größer als die dritte Seite:
(3.16)

Die Summe der Winkel beträgt im ebenen Dreieck
(3.17)


Binomialkoeffizienten
Die Definition lautet mit

und

positiv und ganz
(1.37a)

Fakultät genannt wird.
(1.37b)
Die Werte der Binomialkoeffizienten können aus dem sogenannten PASCALschen Dreieck abgelesen werden:

wobei mit

(= n Fakutät) das Produkt der ganzen positiven Zahlen von 1 bis


Die erste und die letzte Zahl in jeder Zeile ist definitionsgemäß gleich Eins; jede andere Zahl eines Koeffizienten in
dem Schema ergibt sich als Summe der beiden links und rechts oberhalb von ihr stehenden Zahlen.


Sphärisches Dreieck
Es seien

und

drei Punkte auf einer Kugelfläche, die nicht auf einem Großkreis liegen. Werden jeweils

zwei dieser Punkte durch einen Großkreis verbunden, so entsteht das sphärische Dreieck

.


Als Seiten des sphärischen Dreiecks werden die sphärischen Abstände der Dreieckspunkte definiert, d.h., sie stellen
die im Kugelmittelpunkt gemessenen Winkel zwischen je zwei Radien
und

und

dar. Sie werden mit

bezeichnet und im folgenden im Winkelmaß angegeben, unabhängig davon, ob sie in der Zeichnung als

Winkel im Kugelmittelpunkt oder als Großkreisbogen auf der Kugelfläche eingetragen sind. Die Winkel des
sphärischen Dreiecks sind die Winkel zwischen je zwei der drei Großkreisebenen. Sie werden mit

und

bezeichnet.
Die Reihenfolge der Bezeichnung der Punkte, Seiten und Winkel des sphärischen Dreiecks erfolgt in Analogie zum
ebenen Dreieck. Ein sphärisches Dreieck, bei dem mindestens eine Seite
Es stellt eine Analogie zum rechtwinkligen Dreieck der Planimetrie dar.

beträgt, heißt rechtsseitiges Dreieck.


Berechnung sphärischer Dreiecke
●
●
●
●
●
●
●
●

Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen
Rechtwinklig sphärisches Dreieck
Schiefwinklig sphärisches Dreieck
Sphärische Kurven
Orthodrome
Kleinkreis
Loxodrome
Schnittpunkte sphärischer Kurven


Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke
Die Eckpunkte

des sphärischen Dreiecks teilen jeden Großkreis durch zwei Eckpunkte im allgemeinen in

zwei ungleiche Teile. Dadurch entstehen mehrere verschiedene sphärische Dreiecke, z.B. auch das sphärische
Dreieck mit den Seiten

und der in der folgenden linken Abbildung schattierten Fläche.


Gemäß einer Festsetzung von EULER werden für die Seiten des sphärischen Dreiecks nur die Großkreisbogen
sind. Das entspricht der Definition der Seiten als sphärische Abstände zwischen den
gewählt, die kleiner als
Dreieckspunkten. In diesem Zusammenhang bezeichnet man sphärische Dreiecke, bei denen jede Seite und jeder
ist, als EULERsche Dreiecke, anderenfalls als Nicht- EULERsche Dreiecke. Die rechte
Winkel kleiner als
Abbildung zeigt ein EULERsches und ein Nicht- EULERsches Dreieck.


Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen
Die verschiedenen Fälle, die bei der Berechnung sphärischer Dreiecke auftreten können, werden in sogenannte
Grundaufgaben eingeordnet. Für jede Grundaufgabe des schiefwinklig sphärischen Dreiecks sind mehrere
Lösungswege möglich, je nachdem, ob die Lösung nur mit den Grundformeln (3.172a) bis (3.176b) oder auch mit den
Formeln (3.177a) bis (3.186) erfolgt und ob nur eine Größe im Dreieck oder mehrere Größen gesucht sind.
Formeln, die die Tangensfunktion enthalten, liefern numerisch genauere Ergebnisse, besonders im Vergleich zur
Berechnung eines Bestimmungsstückes aus der Sinusfunktion, wenn dessen Wert in der Nähe von

liegt, und

oder
liegt. Für
aus der Kosinusfunktion, wenn der Wert des Bestimmungsstückes in der Nähe von
EULERsche Dreiecke ergeben sich außerdem die aus der Sinusfunktion berechneten Stücke zweideutig, da die
Sinusfunktion in den beiden ersten Quadranten positiv ist, während die aus den übrigen Funktionen berechneten
Stücke eindeutig erhalten werden.


Rechtwinklig sphärisches Dreieck
●
●
●

Spezielle Formeln
Grundaufgaben für rechtwinklig sphärische Dreiecke
NEPERsche Regel


Schiefwinklig sphärisches Dreieck
Bei 3 gegebenen Stücken unterscheidet man wie im Falle der rechtwinklig sphärischen Dreiecke 6 Grundaufgaben.
Die Bezeichnungen für die Winkel sind

und

für die ihnen gegenüberliegenden Seiten.

Mit welchen Formeln welche Bestimmungsstücke im Rahmen der 6 Grundaufgaben über verschiedene Lösungswege
bestimmt werden können ist in den folgenden Abschnitten zusammenfassend dargestellt.


Die Lösung der 3., 4., 5. und 6. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig
sphärischen Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden.


In der Überschrift für die jeweilige Grundaufgabe sind die gegebenen Seiten und Winkel mit S bzw. W
gekennzeichnet. So bedeutet z.B. SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben.
●
●
●
●
●
●

1. Grundaufgabe SSS
2. Grundaufgabe WWW
3. Grundaufgabe SWS
4. Grundaufgabe WSW
5. Grundaufgabe WWW
6. Grundaufgabe WWS


Unterabschnitte
●
●

Kongruenz:
Kongruenzsätze:

Kongruente Dreiecke, Kongruenzsätze
Kongruenz:
Unter Kongruenz ebener Figuren versteht man allgemein ihre Deckungsgleichheit, d.h. die völlige Übereinstimmung
in Größe und Gestalt. Kongruente Figuren können durch drei geometrische Transformationen ineinander überführt
werden, durch Schiebung , Drehung und Spiegelung bzw. durch ihre Kombination.
Man unterscheidet gleichsinnig kongruente und nichtgleichsinnig kongruente Figuren. Gleichsinnig kongruente
Figuren lassen sich durch Schiebung oder Drehung sowie durch ihre Kombination ineinander überführen.
Da sich nichtgleichsinnig kongruente Figuren durch entgegengesetzten Umlaufsinn auszeichnen, ist zu ihrer
Überführung zusätzlich noch die Spiegelung an einer Geraden erforderlich.


Beispiel
Spiegelsymmetrische Figuren sind nichtgleichsinnig kongruent. Zu ihrer Überführung ineinander sind alle
drei Transformationen erforderlich.

Kongruenzsätze:
Die Bedingungen für die Kongruenz von Dreiecken sind in den Kongruenzsätzen festgehalten. Zwei Dreiecke sind
kongruent, wenn sie übereinstimmen in
●
●
●
●

drei Seiten (SSS) oder
zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Innenwinkel (SWS) oder
einer Seite und den beiden anliegenden Innenwinkeln (WSW) oder
zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Innenwinkel (SSW).


Bemerkungen
1.
Sind die Ansatzkoeffizienten gemäß (19.155) bestimmt worden, dann stellt
explizite Näherungslösung dar, deren Werte für beliebige Punkte

aus

aus (19.147) eine
berechnet werden können.

2.
Muß das Integrationsgebiet mit einem beliebigen, unregelmäßigen Dreiecksnetz überzogen werden, dann ist
es zweckmäßig, sogenannte Dreieckskoordinaten (auch baryzentrische Koordinaten genannt) einzuführen.
Dadurch ist die Lage eines Punktes bezüglich des Dreiecksnetzes leicht feststellbar, und die Berechnung der
mehrdimensionalen Integrale analog zu (19.152) wird vereinfacht, weil jedes beliebige Dreieck besonders
einfach auf ein Einheitsdreieck transformiert werden kann.
3.
Soll die Genauigkeit der Näherungsfunktion erhöht oder ihre Differenzierbarkeit gewährleistet werden, dann
muß man zu stückweise quadratischen oder stückweise kubischen Ansatzfunktionen übergehen (s. z.
B. Lit 19.25).
4.
Bei der Lösung praktischer Probleme entstehen Aufgaben sehr großer Dimension. Deshalb wurden viele
spezielle Verfahren entwickelt, z.B. auch für eine automatische Triangulierung und für eine günstige
Numerierung der Elemente (davon hängt die Struktur der Gleichungssysteme ab, die gelöst werden müssen).


Eine ausführliche Darstellung der FEM s. Lit. 19.13, 19.9, 19.26.


Dreiecksmatrix
Rechte oder obere Dreiecksmatrix R (im Englischen U von upper) ist eine Matrix, in der alle Elemente
unterhalb der Hauptdiagonale den Wert Null besitzen:
(4.17)
Linke oder untere Dreiecksmatrix L (im Englischen L von lower) ist eine Matrix, in der alle Elemente
oberhalb der Hauptdiagonale den Wert Null besitzen:
(4.18)


Dreiecksungleichung für reelle und komplexe Zahlen
1. Dreiecksungleichung für reelle Zahlen: Für alle reellen Zahlen

gilt
(1.109)

Der Absolutbetrag der Summe zweier oder mehrerer reeller Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe der
Absolutbeträge der einzelnen Summanden. Das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn alle Summanden gleiches
Vorzeichen besitzen.
2. Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen: Für zwei komplexe Zahlen

gilt
(1.110a)

für

komplexe Zahlen

gilt


(1.110b)


Vektor- und Matrizennorm
Einem Vektor

und einer Matrix

kann man jeweils eine Zahl

( Norm

zuordnen. Diese Zahlen müssen die Normaxiome erfüllen. Für Vektoren

) bzw.

( Norm

)

lauten diese:
(4.44)
(4.45)
(4.46)

Normen für Vektoren und Matrizen können auf sehr verschiedene Art und Weise eingeführt werden. Es ist jedoch
zweckmäßig, zu einer Vektornorm

die Matrizennorm

so zu definieren, daß die Ungleichung


(4.47)

gilt. Diese Ungleichung ist für Fehlerabschätzungen sehr nützlich. Vektor- und Matrizennormen, die diese
Ungleichung erfüllen, werden als zueinander passend bezeichnet. Gibt es darüber hinaus zu jeder Matrix
Nichtnullvektor

so daß das Gleichheitszeichen gilt, dann heißt die Matrizennorm

zugeordnet .
●
●

Vektornormen
Matrizennormen

der Vektornorm

einen


Anwendung der Dreieckszerlegung
Mit Hilfe der Dreieckszerlegung kann die Lösung des linearen Gleichungssystems

(19.26) in 3 Schritten

beschrieben werden:
1.
: Durchführung der Dreieckszerlegung und Substitution

.

2.
: Bestimmung des Hilfsvektors

durch Vorwärtseinsetzen.

3.
: Bestimmung der Lösung

durch Rückwärtseinsetzen.

Wird zur Lösung eines linearen Gleichungssystems die erweiterte Koeffizientenmatrix

wie im obigen

Beispiel nach dem GAUSSschen Eliminationsverfahren behandelt, dann wird die Linksdreiecksmatrix
explizit nicht
benötigt. Sie wird aber besonders dann wirksam, wenn mehrere lineare Gleichungssysteme mit derselben


Koeffizientenmatrix, aber verschiedenen rechten Seiten gelöst werden müssen.


Dreieckszerlegung einer Matrix
●
●
●
●

Prinzip des GAUSSschen Eliminationsverfahrens
Dreieckszerlegung
Anwendung der Dreieckszerlegung
Wahl der Pivots


Dreieckszerlegung
Das Ergebnis des GAUSSschen Eliminationsverfahrens kann wie folgt formuliert werden: Zu jeder regulären Matrix
sogenannte Dreieckszerlegung oder LR-Faktorisierung der Form

existiert eine
(19.31)

(19.32)

heißt Rechtsdreiecksmatrix ,
Linksdreiecksmatrix und
ist eine sogenannte Permutationsmatrix . Sie ist eine
quadratische Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen enthält. Sie beschreibt die
Zeilenvertauschungen in der Matrix
Beispiel

, die sich durch die Pivotwahl in den Eliminationsschritten ergeben.


Das GAUSSsche Eliminationsverfahren soll auf das System

angewendet werden. In

einer schematischen Schreibweise, bei der die Koeffizientenmatrix und der Vektor der rechten Seite zu einer sogenannten
erweiterten Koeffizientenmatrix zusammengefaßt werden, erhält man:

,

d.h.

.

In den erweiterten Koeffizientenmatrizen sind die Matrizen

und

sowie die Pivots gekennzeichnet worden.


Dreifachintegral
Das Dreifachintegral ist eine Erweiterung des Integralbegriffs auf ein dreidimensionales Integrationsgebiet. Man
spricht daher auch vom Volumenintegral .
●
●
●
●

Begriff des Dreifachintegrals
Berechnung des Dreifachintegrals
Volumenelemente
Anwendungen von Dreifachintegralen


Anwendungen von Dreifachintegralen
Allgemeine

Kartesische

Formel

Koordinaten

Zylinderkoordinaten

1. Volumen eines Körpers

2. Trägheitsmoment eines Körpers, bezogen auf die

3. Masse eines Körpers mit der Dichtefunktion

-Achse

Kugelkoordinaten


4. Die Koordinaten des Schwerpunktes eines homogenen Körpers


Berechnung des Dreifachintegrals
Die Berechnung des Dreifachintegrals wird auf die nacheinanderfolgende Berechnung dreier Integrale zurückgeführt,
die je nach dem verwendeten Koordinatensystem unterschiedlich aussieht.

●

Berechnung in kartesischen Koordinaten
Berechnung in Zylinderkoordinaten
Berechnung in Kugelkoordinaten

●

Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten

●
●


Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
Die beliebigen krummlinigen Koordinaten sind durch die Beziehungen
(8.146)

definiert. Das Integrationsgebiet wird durch die Koordinatenflächen

in

infinitesimale Volumenelemente in beliebigen Koordinaten eingeteilt:

(8.147a)

wobei
Integral:

die Funktionaldeterminante ist. Nach Ausdrücken des Integranden in den Koordinaten

lautet das


(8.147b)

Die Formeln (8.144b) und (8.145b) sind Spezialfälle von (8.147b). Für Zylinderkoordinaten ist

, für

Kugelkoordinaten ist
. Mit Vorteil werden immer die krummlinigen Koordinaten verwendet, die eine
möglichst einfache Berechnung der Grenzwerte des Integrals (8.147b) gestatten.


Berechnung in kartesischen Koordinaten
Das Integrationsgebiet, das hier als Volumen
aufgefaßt werden kann, teilt man mit Hilfe von Koordinatenflächen, die in
diesem Falle Ebenen sind, in infinitesimale Parallelepipede ein (s. Abbildung).


Dabei ist wie im Falle des Doppelintegrals zu bachten, daß der Durchmesser der Elementarzelle beim Grenzübergang
gegen Null geht. Auf die Zerlegung folgt die Summation aller Differentiale
Parallelepipeden längs einer vertikalen Säule, d.h. Summation über
Schichten, d.h. Summation über

, beginnend bei allen

, danach aller Säulen längs jeder der vertikalen

, und schließlich aller Schichten, d.h. Summation über

. Die analytische

Formulierung lautet:

(8.143a)

und

Dabei sind

, gerechnet von der Kurve
und
die

die Gleichungen der unteren und oberen Oberflächen des Volumens
aus;

heißt Volumenelement, hier in kartesischen Koordinaten. Mit

sind die Funktionen bezeichnet, die die Projektionen

-Ebene mit den Begrenzungspunkten

und

beschreiben.

An das Integrationsgebiet müssen die folgenden Forderungen gestellt werden:

der Kurvenanteile von

auf


●

Die Funktionen

und

sollen im Intervall

existieren, stetig sein und der Ungleichung

genügen.
●

Die Funktionen

und

sollen im Gebiet

definiert und

genügen.

stetig sein und der Ungleichung

Derart sind alle die Punkte

,

in

enthalten, die den Bedingungen
(8.143b)

genügen.
Beispiel


Berechnung des Integrals

für eine Pyramide, die von den Koordinatenebenen und der Ebene

begrenzt wird:

.


Berechnung in Kugelkoordinaten
Das Integrationsgebiet wird mit Hilfe der Koordinatenflächen
infinitesimale Elementarzellen eingeteilt (s. Abbildung).

in


Das Volumenelement in Kugelkoordinaten ist
(8.145a)

Nachdem der Integrand in Kugelkoordinaten als

dargestellt wurde, lautet das Integral:

(8.145b)


Beispiel
ist für einen Kegel zu berechnen, dessen Spitze sich im Ursprung des

Das Integral

Koordinatensystems befindet und der die
beträgt

, seine Höhe

(s. Abbildung).

-Achse zur Symmetrieachse hat. Der Winkel in der Spitze


.

.


Berechnung in Zylinderkoordinaten
Das Integrationsgebiet wird mit Hilfe der Koordinatenflächen
infinitesimale Elementarzellen eingeteilt (s. Abbildung).

in


Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten ist
(8.144a)

Nach der Darstellung des Integranden

lautet das Integral:

(8.144b)

Beispiel
Das Integral

Ebene, der

ist für einen Körper zu berechnen (s. Abbildung), dessen Volumen von der

-Ebene, dem Zylinder

und der Kugel

-

begrenzt wird:
.


.

Wegen

ist das Integral gleich dem Rauminhalt des Körpers.


Definition
Die Definition des Dreifachintegrals einer Funktion
Bereich, z.B. den Raumteil

von drei Variablen über einen dreidimensionalen

, erfolgt in Analogie zur Definition des Doppelintegrals. Man schreibt
(8.141)

Das Volumen

wird in Elementarvolumina zerlegt, mit denen Produkte der Art

werden, wobei der Punkt

gebildet

im Innern oder auf dem Rande eines Elementarvolumens liegen kann.


Das Dreifachintegral ist dann der Grenzwert der Summe derartiger Produkte aller Elementarvolumina, in die das
Volumen

zerlegt wurde, und zwar für den Fall, daß der Rauminhalt jedes Elementarvolumens gegen Null geht,

. Dabei ist wie beim Doppelintegral zu beachten, daß der Durchmesser des
d.h. ihre Anzahl gegen
Elementarvolumens gegen Null strebt und nicht nur eine der möglichen Ausdehnungen. Es gilt dann
(8.142)


Existenzsatz
Der Existenzsatz für das Dreifachintegral ist ein vollständiges Analogon zum Existenzsatz für das Doppelintegral.


Dreikant
Dreikant oder Triederecke wird eine dreiseitige körperliche Ecke genannt, die von drei, von einem Scheitelpunkt 0
ausgehenden Strahlen

, den Kanten, gebildet wird (obere Abbildung).


Als Seiten des Dreikants definiert man die Winkel

und

, die von je zwei der Kanten eingeschlossen sind. Die

Gebiete zwischen zwei Kanten heißen Seitenflächen des Dreikants. Die Winkel des Dreikants sind die Keilwinkel
und

die von je zwei der drei Seitenflächen eingeschlossen werden. Ein Dreikant schneidet aus einer

Kugel um den Scheitelpunkt 0 ein sphärisches Dreieck aus (untere Abbildung). Die Seiten und Winkel des
sphärischen Dreiecks und des zu ihm gehörenden Dreikants sind einander gleich. Deshalb gelten Sätze, die für den
Dreikant hergeleitet wurden, auch für das zugehörige sphärische Dreieck und umgekehrt.


Druck
In einer ruhenden Flüssigkeit mit der Dichte

unterscheidet man den Schweredruck und den Seitendruck .

Letzteren übt die Flüssigkeit auf eine Seite einer Platte aus, die senkrecht in sie eingetaucht ist. Beide nehmen mit
der Tiefe zu.
1. Schweredruck

in einer Tiefe

:
(8.66)

wobei

die Fallbeschleunigung ist.
2. Seitendruck
Tiefenunterschied

z.B. auf den Deckel einer seitlichen Ausflußöffnung eines Flüssigkeitsbehälters mit dem
(s. Abbildung):

(8.67)


Mit den Funktionen

und

wird der linke bzw. rechte Rand des Deckels beschrieben.


Definition
Für
nennt man eine lineare Abbildung lineares Funktional oder Linearform . Im weiteren wird in einem
HILBERT-Raum der komplexe, in allen anderen Situationen fast ausschließlich der reelle Fall betrachtet. Der BANACHRaum
mit

aller stetigen linearen Funktionale heißt Dual , Dualraum oder adjungierter Raum von
(manchmal auch mit

einem Element

wird mit

) bezeichnet. Der Wert (aus

) eines linearen stetigen Funktionals

auf

, häufig aber auch - um den für die Dualitätstheorie ausschlaggebenden

Gedanken der bilinearen Verknüpfung von

und

hervorzuheben - mit

bezeichnet (s. auch Satz von

RIESZ über die linearen stetigen Funktionale im HILBERT-Raum).
Beispiel A
Seien

und wird

fixierte Punkte des Intervals

und

reelle Zahlen. Durch


(12.157)

ist ein lineares stetiges Funktional auf dem Raum
Spezialfall von (12.157) ist für ein fixiertes

mit der Norm
das

definiert. Ein

-Funktional
(12.158)

Beispiel B
Mit einer auf

summierbaren Funktion

ist

(12.159)

ein lineares stetiges Funktional auf

und auf

jeweils mit der Norm

.


Dualität in der linearen Optimierung
●
●
●

Zuordnung
Dualitätsaussagen
Einsatzgebiete der dualen Aufgabe


Dualität in der Optimierung
1. Duales Problem: Zu (18.31a,b) wird unter Verwendung der LAGRANGE-Funktion (18.37) das folgende duale
Problem gebildet:
(18.41a)
(18.41b)
2. Dualitätsaussagen: Sind

und

, dann gilt

a)

b)
Ist
von (18.41a,b).

, dann ist

Minimalpunkt von (18.31a,b) und

Maximalpunkt


Unterabschnitte
●

Optimalitätsbedingungen

Konvexe Aufgabe
Konvexe Aufgabe wird die Optimierungsaufgabe
(18.42)
genannt, wenn die Funktionen

und

konvex sind. Insbesondere können

und

lineare Funktionen sein.

Für konvexe Aufgaben gilt:
a)
Jedes lokale Minimum von

über

ist auch globales Minimum.

b)
Ist
c)

nicht leer und beschränkt, dann existiert mindestens eine Lösung von (18.42).


Ist

streng konvex, dann existiert höchstens eine Lösung von (18.42).

Optimalitätsbedingungen
a)
Ist

stetig partiell differenzierbar, dann ist

genau dann Lösung von (18.42), wenn gilt:
(18.43)

b)
Die SLATER-Bedingung ist eine Regularitätsbedingung für den zulässigen Bereich
mit

für alle nicht affin linearen Funktionen

. Sie ist erfüllt, wenn ein

existiert.

c)
Ist die SLATER-Bedingung erfüllt, dann ist
existiert, so daß

genau dann ein Minimalpunkt von (18.42), wenn ein

ein Sattelpunkt der LAGRANGE-Funktion ist. Sind darüber hinaus die Funktionen

differenzierbar, dann ist

genau dann eine Lösung von (18.42), wenn

den lokalen KUHN-

TUCKER-Bedingungen genügt.
d)
Für ein konvexes Optimierungsproblem mit differenzierbaren Funktionen

und

kann das duale Problem


(18.41a,b) einfacher formuliert werden:
(18.44a)
(18.44b)
Der Gradient von

wird hier nur bezüglich

gebildet.

e)
Für konvexe Optimierungsaufgaben gilt der starke Dualitätsatz :
Erfüllt
so daß

die SLATER-Bedingung und ist

eine Lösung von (18.42), dann existiert ein

,

eine Lösung des dualen Problems (18.44a,b) ist, und es gilt:
(18.45)


Differentialgleichung n-ter Ordnung
Die charakteristische Gleichung

dieser Differentialgleichung habe nur einfache Wurzeln

, von denen keine gleich Null ist. Für die Störfunktion

können zwei Fälle betrachtet werden.

1.
Ist die Störfunktion

gleich der in der Praxis häufig auftretenden Sprungfunktion

, dann lautet die

Lösung:
(15.55a)

(15.55b)
2.


Für eine allgemeine Störfunktion

erhält man die Lösung

aus (15.55b) mit Hilfe der

DUHAMELschen Formel:
(15.56)


Leitlinien der Ellipse
Leitlinien der Ellipse sind Geraden parallel zur kleinen Achse im Abstand


Jeder beliebige Ellipsenpunkt

unterliegt der Leitlinieneigenschaft der Ellipse
(3.320)

(s. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)


Durchmesser der Hyperbel
Durchmesser der Hyperbel werden diejenigen Sehnen zwischen den zwei Ästen einer Hyperbel genannt, die durch
den gemeinsamen Mittelpunkt verlaufen, der sie halbiert.


Zwei Durchmesser mit den Richtungskoeffizienten
gehören, werden konjugiert genannt, wenn

und

die zu einer Hyperbel und ihrer konjugierten Hyperbel
ist. Von jedem der beiden konjugierten Durchmesser

werden die Sehnen der gegebenen bzw. der zu ihr konjugierten Hyperbel, die parallel zu dem anderen Durchmesser
verlaufen, in zwei gleiche Teile geteilt. Von zwei konjugierten Durchmessern schneidet nur der mit

die

Hyperbel. Die dabei entstehende Sehne, ein Durchmesser im engeren Sinne des Wortes, wird im
Hyperbelmittelpunkt halbiert. Wenn

bzw.

die Längen zweier konjugierter Durchmesser sind und

bzw.

die spitzen Winkel, die diese Durchmesser mit der reellen Achse bilden, dann gilt
(3.337)


Strecken im Kreis
(3.50)

(3.51)


(3.52)

(3.53)


Durchmesser der Parabel
Durchmesser der Parabel wird eine Gerade genannt, die parallel zur Parabelachse liegt.

Ein Parabeldurchmesser halbiert die Sehnen, die zur Tangente im Endpunkt des Durchmessers parallel liegen. Mit
dem Richtungskoeffizienten

der Sehnen lautet die Gleichung des Durchmessers


(3.344)


Durchschnitt und Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen
1. Durchschnitt oder Schnittmenge:
Die Schnittmenge

(,,intersection``) zweier Fuzzy-Mengen

Minimumoperation min( . , . ) bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen

und

ist definiert durch die
und

Auf Grund der

vorstehenden Überlegungen erhält man:
(5.266a)
wobei gilt:
(5.266b)
Der Schnittoperation entspricht die UND-Operation zweier Zugehörigkeitsfunktionen (s. linke Abbildung). Die
Zugehörigkeitsfunktion

definiert den minimalen Wert, gebildet aus

und


2. Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen:
Die Vereinigung

(,,union``) zweier Fuzzy-Mengen ist definiert durch die Maximumoperation max(.,.)

bezüglich ihrer Zugehörigkeitsfunktionen

und

Man erhält:
(5.267a)

wobei gilt:
(5.267b)

Die Vereinigung enstpricht der logischen ODER-Verknüpfung (rechte Abbildung). Die Darstellung zeigt
den maximalen Wert der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktionen

und

.

als


Beispiel
Die

-Norm

wird als Durchschnitt bezeichnet (linke Abbildung) und die

-Norm

als Vereinigung (rechte Abbildung).

3. Weitere Verknüpfungen:
Weitere Verknüpfungen zur Vereinigungsbildung sind die beschränkte, die algebraische und die drastische
Summe sowie die beschränkte Differenz, das algebraische und das drastische Produkt. Im nächsten Abschnitt
Tabelle der - und -Normen sind diese Verknüpfungen zusammengestellt.
Die algebraische Summe z.B. ist definiert durch
(5.268a)
Wie die Vereinigung (5.267a,b) gehören die genannten Summen zu den

-Normen. Sie sind in vereinfachter


Schreibweise in der rechten Spalte der Tabelle der - und -Normen zu finden.
In Analogie zum erweiterten Summenbegriff für die Vereinigungsbildung ergeben sich für die Durchschnittsbildung
mit Hilfe des beschränkten, des algebraischen und des drastischen Produktes entsprechende Erweiterungen. So ist
z.B. das algebraische Produkt wie folgt definiert:
(5.268b)
Es gehört wie die Durchschnittsbildung (5.266a,b) zu den
und

-Normen zu finden sind.

-Normen, die in der mittleren Spalte von Tabelle der

-


Verknüpfungen unscharfer Mengen
Fuzzy-Mengen lassen sich durch Operatoren auf Fuzzy-Mengen miteinander verknüpfen. Es gibt mehrere
Vorschläge zur Verallgemeinerung der Mengenoperation Vereinigung, Durchschnitt und Komplement bezüglich
unscharfer Mengen.
●
●
●
●
●

Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen
Kompensatorische Operatoren
Erweiterungsprinzip
Unscharfe Komplementfunktion


Gerade und Ebene im Raum
●
●
●

Ebenengleichungen
Zwei und mehr Ebenen im Raum
Gleichungen für die Gerade im Raum


Geraden und Ebenen im Raum
●
●
●

Zwei Geraden
Zwei Ebenen
Gerade und Ebene


Zwei Ebenen
Zwei Ebenen können sich entweder in einer Geraden schneiden, oder sie haben keinen gemeinsamen Punkt. Im
letzteren Falle sind sie parallel. Wenn zwei Ebenen senkrecht auf ein und derselben Geraden stehen, oder wenn es
auf jeder von ihnen je zwei sich schneidende Geraden gibt, die ihrerseits parallel zueinander sind, dann sind die
Ebenen parallel zueinander.


Vektorielle Gleichungen
Die einfachsten vektoriellen Gleichungen sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Darin sind
bekannten Vektoren,

der gesuchte Vektor,

die bekannten Skalare und

Tabelle Vektorielle Gleichungen
Gleichung
1.

2.

Lösung

die gesuchten.

die


3.

Die Gleichung ist unbestimmt; trägt man alle Vektoren
, die dieser Gleichung
genügen, von einem Punkt aus ab, so liegen ihre Endpunkte auf einer Ebene, die auf
senkrecht steht. Die Gleichung (3) nennt man die vektorielle
dem Vektor
Gleichung dieser Ebene .

4.

Die Gleichung ist unbestimmt; trägt man alle Vektoren

, die dieser Gleichung

genügen, von einem Punkt aus ab, so liegen ihre Endpunkte auf einer dem Vektor
parallelen Geraden. Die Gleichung (4) nennt man die vektorielle Gleichung dieser
Geraden .

5.

6.

wobei ,
Vektoren).

,

die zu

,

,

reziproken Vektoren sind (vgl. reziproke


7.

8.


Ecke
Eine Figur

, die von mehreren Ebenen, den Seitenflächen , gebildet wird, die ihrerseits einen

gemeinsamen Punkt, die Spitze 0, haben und sich von hier ausgehend in den Geraden

schneiden,

heißt Ecke oder Vielflach .

Zwei Geraden, die eine Seitenfläche der Ecke begrenzen, schließen einen ebenen Winkel ein, während zwei


benachbarte Seitenflächen eine Kante bilden. Ecken sind einander gleich, d.h., sie sind kongruent , wenn sie sich zur
Deckung bringen lassen. Dazu müssen die einander entsprechenden Elemente, d.h. die Kanten und ebenen Winkel
der Ecken, gleich sein. Wenn die einander entsprechenden Elemente von Ecken gleich, aber in umgekehrter
Reihenfolge angeordnet sind, dann lassen sich die Ecken zwar nicht zur Deckung bringen, sie werden aber
symmetrische Ecken genannt, weil sie in die in der folgenden Abbildung eingezeichnete symmetrische gegenseitige
Lage zueinander gebracht werden können.

Eine konvexe Ecke liegt vollständig auf einer Seite jeder ihrer Kanten. Die Summe der ebenen Winkel
(s. obere
Abbildung).


Dreiseitige Ecken
Dreiseitige Ecken sind kongruent, wenn sie in den folgenden Elementen übereinstimmen:
●
●
●
●

in zwei Seiten und dem zugehörigen Kantenwinkel,
in einer Seite und den beiden anliegenden Kantenwinkeln,
in drei einander entsprechenden und in der gleichen Reihenfolge angeordneten Seiten,
in drei einander entsprechenden und in der gleichen Reihenfolge angeordneten Kantenwinkeln.


Nichtsinguläre Fälle
1. Normierung der Eigenfunktion: Zu jedem

wird eine Eigenfunktion

derart gewählt, daß gilt
(9.66a)

Man spricht dann von einer normierten Eigenfunktion .
2. FOURIER-Entwicklung: Jeder im Intervall

definierten Funktion

kann ihre FOURIER-Reihe

(9.66b)
nach den Eigenwerten des zugehörigen Randwertproblems zugeordnet werden, sofern die Integrale in (9.66b)
sinnvoll sind.
3. Entwicklungssatz: Die FOURIER-Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig gegen

, wenn die


Funktion

eine stetige Ableitung besitzt und den Randbedingungen des zugehörigen Problems genügt.

4. PARSEVALsche Gleichung: Wenn das Integral auf der linken Seite einen Sinn hat, dann gilt stets
(9.66c)

Die FOURIER-Reihe der Funktion

konvergiert in diesem Falle im Mittel gegen

, d.h., es gilt

(9.66d)


Diskussion der Lösung, Eigenwerte und Eigenfunktionen
Aus der Theorie linearer Gleichungssysteme ist bekannt, daß (11.7d) genau dann eine eindeutig bestimmte Lösung
für

besitzt, wenn die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet:

(11.8)

Offenbar ist

nicht identisch gleich Null, denn es gilt

. Für weitere Untersuchungen sind zwei Fälle zu unterscheiden.

mit

1.

. Darüber hinaus gibt es eine Zahl

:
Es existiert genau eine Lösung der Integralgleichung, die durch (11.6c) gegeben ist, wobei sich die


Koeffizienten

als Lösung des Gleichungssystems (11.7d) ergeben. Handelt es sich bei (11.4a)

um eine homogene Integralgleichung, d.h. ist

, dann ist

. Das dann

homogene Gleichungssystem (11.7d) hat nur die triviale Lösung
homogene Integralgleichung ist nur für

. Die

erfüllt.

:

2.

Die Koeffizientenmatrix

ist ein Polynom höchstens

Wurzeln. Für diese Werte von

-ten Grades und hat bekanntlich nicht mehr als

hat das homogene Gleichungssystem (11.7d) mit

außer der trivialen Lösung noch nicht verschwindende Lösungen, so daß auch
die homogene Integralgleichung neben der trivialen Lösung

hat. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Funktionen
Nullstellen von

noch weitere Lösungen der Form

ist

nicht identisch Null. Die

nennt man Eigenwerte der Integralgleichung. Die zugehörigen, nicht identisch

verschwindenden Lösungen der homogenen Integralgleichung heißen die Eigenfunktionen zum Eigenwert
. Zu
einem Eigenwert können mehrere linear unabhängige Eigenfunktionen gehören. Für Integralgleichungen mit
allgemeineren Kernen werden darüber hinaus alle diejenigen Zahlen

als Eigenwerte bezeichnet, für die die


homogene Integralgleichung nichttriviale Lösungen besitzt. In verschiedenen Arbeiten wird

charakteristische Zahl und

mit

als Eigenwert bezeichnet. Dies resultiert aus der Integralgleichungsform

.

als


Hauptachsentransformation
Zu einem symmetrischen Tensor

, d.h. für

gibt es stets eine orthogonale Transformation D, so daß

er nach der Transformation Diagonalform hat:
(4.77a)

Die Elemente

und

heißen Eigenwerte des Tensors

. Sie sind gleich den Wurzeln

und

der Gleichung 3. Grades in

(4.77b)


Die Spaltenvektoren

und

der Transformationsmatrix D heißen die zu den Eigenwerten gehörenden

Eigenvektoren und genügen den Gleichungen
(4.77c)
Ihre Richtungen bezeichnet man als Hauptachsenrichtungen , die Transformation von
Hauptachsentransformation .

auf die Diagonalform heißt


Allgemeines Eigenwertproblem
A und B seien zwei quadratische Matrizen vom Typ
sein. Die Aufgabe, Zahlen

Ihre Elemente können reelle oder komplexe Zahlen

und zugehörige Vektoren

mit
(4.123)

zu bestimmen, wird als allgemeines Eigenwertproblem bezeichnet. Die Zahl
Eigenvektor . Ein Eigenvektor ist lediglich bis auf einen Faktor bestimmt, da mit
Eigenvektor zu

ist. Der Spezialfall

wobei E eine

heißt Eigenwert , der Vektor
auch

-reihige Einheitsmatrix ist, d.h.
(4.124)

wird als spezielles Eigenwertproblem bezeichnet. Dieses tritt in vielen Anwendungen auf, vorwiegend mit
symmetrischer Matrix A, und wird im folgenden ausführlich dargestellt. Bezüglich des allgemeinen
Eigenwertproblems muß auf die Spezialliteratur verwiesen werden (s. Lit. 4.1).


Spektrum, Definition
Die Menge

heißt Spektrum des Operators

. Da

offenbar genau dann einen

stetigen Inversen (und demzufolge die Gleichung (12.149) immer eine Lösung, die stetig von der rechten Seite
abhängt) besitzt, wenn

, ist eine möglichst umfassende Kenntnis des Spektrums

erforderlich. Aus den Eigenschaften der Resolventenmenge folgt sofort, daß das Spektrum
abgeschlossene Teilmenge von

ist, die im Kreis

des Operators
eine

liegt, wobei in vielen Fällen

deutlich

kleiner als dieser Kreis ist. Für jeden linearen stetigen Operator auf einem komplexen BANACH-Raum ist das
Spektrum nicht leer, und es gilt die Formel
(12.155)
Genauere Angaben über das Spektrum sind für viele gebräuchliche Klassen von Operatoren möglich.
Ist

ein Operator in einem endlichdimensionalen Raum

und hat die Gleichung

nur die


triviale Lösung (d.h.,

ist injektiv), dann folgt bereits

(d.h.,

Gleichung in irgendeinem BANACH-Raum eine nichttriviale Lösung, dann ist der Operator

ist surjektiv). Hat diese
nicht injektiv und

ist im allgemeinen nicht definiert.

Die Zahl

heißt Eigenwert des linearen Operators

, wenn die Gleichung

Lösung besitzt. Alle diese Lösungen heißen Eigenvektoren oder, falls
Anwendungen offenbar zutrifft), Eigenfunktionen des Operators
heißt der Eigenraum zu

. Die Menge

zu

aller Eigenwerte von

eine nichttriviale

ein Funktionenraum ist (was in
. Der von ihnen aufgespannte Teilraum
heißt Punktspektrum des Operators

.


Imaginäre Einheit
Als imaginäre Einheit wird eine Zahl i eingeführt, deren Quadrat ,,-1`` ist. In der Elektrotechnik wird meist anstelle von
i der Buchstabe j verwendet, um Verwechslungen mit der Stromstärke i zu vermeiden. Die Einführung der imaginären
Einheit führt zu einer Verallgemeinerung des Zahlbegriffs , zu den komplexen Zahlen , die in der Algebra und
Analysis eine große Rolle spielen und in Geometrie und Physik eine Reihe konkreter Interpretationen bzw. neuer
Beschreibungsmöglichkeiten ergaben.


Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
EKONS ist die Abkürzung für ,,Einheitliches Kontonummernsystem ``, das bei Banken und Sparkassen verwendet
wird. Die Nummern sind maximal zehnstellig (je nach Geschäftsvolumen). Die ersten (maximal 4) Ziffern dienen der
Klassifikation der Konten. Die restlichen 6 Ziffern bilden die eigentliche Kontonummer einschließlich der Prüfziffer, die
an der letzten Stelle steht. Bei den einzelnen Banken und Sparkassen sind unterschiedliche Prüfziffernverfahren
üblich, z.B.:
a)
Die Ziffern werden abwechselnd, von rechts beginnend, mit 2 bzw. 1 multipliziert, und die Summe dieser
Produkte wird durch Addition der Prüfziffer
Kontonummer

zur nächsten durch 10 teilbaren Zahl ergänzt, d.h., für die

mit der Prüfziffer

gilt:
(5.186)

b)
Bei dem Verfahren a) wird anstelle der Produkte - falls die Produkte zweistellig sind - die Quersumme der
Produkte verwendet.
Bei Variante a) entdeckt man alle Fehler durch Vertauschung zweier benachbarter Ziffern und fast alle Fehler durch


Verwechslung einer Ziffer.
Bei Variante b) werden dagegen jeder Fehler durch Verwechslung einer Ziffer und fast alle Fehler durch
Vertauschung zweier benachbarter Ziffern erkannt. Drehfehler nicht benachbarter Ziffern und Verwechslungen zweier
Ziffern werden oft nicht aufgedeckt.
Daß man das leistungsfähigere Prüfziffernsystem zum Modul 11 nicht verwendet, hat außermathematische Gründe.
Das nichtnumerische Zeichen X anstelle der Prüfziffer 10 (s. ISBN-Buchnummern) erfordert eine Erweiterung der
Eingabetastatur. Dagegen hätte ein Verzicht auf Kontonummern mit der Prüfziffer 10 bei Umstellung auf das
einheitliche Nummernsystem in einer beträchtlichen Zahl von Fällen eine Erweiterung der ursprünglichen
Kontonummern nicht zugelassen.


Einheitsmatrix E
Einheitsmatrix heißt eine quadratische Matrix, in der jedes Hauptdiagonalelement den Wert Eins besitzt, während alle
anderen Elemente den Wert Null haben:

(4.16)

Das Zeichen

wird KRONECKER-Symbol genannt.


Spezielle Vektoren
a) Einheitsvektor
seiner Hilfe kann ein Vektor

wird ein Vektor genannt, dessen Länge oder Absolutbetrag gleich 1 ist. Mit
durch das Produkt aus Einheitsvektor und Modul gemäß
(3.240a)

angegeben werden. Zur Beschreibung der drei Koordinatenachsen in Richtung wachsender Koordinatenwerte
werden oft die Einheitsvektoren

oder

verwendet.


In der Abbildung bilden die durch die drei Einheitsvektoren festgelegten Richtungen ein senkrechtes Richtungstripel .
Außerdem bilden sie ein orthogonales Koordinatensystem , denn es gilt:
(3.240b)
Zudem gilt
(3.240c)
so daß man von einem orthonormierten Koordinatensystem spricht.
b) Nullvektor heißt ein Vektor mit dem Absolutbetrag

also mit zusammenfallendem Anfangs- und

Endpunkt sowie mit unbestimmter Richtung im Raum.
c) Radiusvektor
eines Punktes
Koordinatenursprung befindet.

wird ein Vektor

genannt, dessen Anfangspunkt sich im


In diesem Falle heißt der Koordinatenursprung Pol . Der Punkt
ist durch seinen Radiusvektor eindeutig
bestimmt.
d) Kollineare Vektoren verlaufen parallel zu ein und derselben Geraden.
e) Komplanare Vektoren verlaufen parallel zu ein und derselben Ebene.
Für sie gilt das Spatprodukt

(3.263).


Numerische Berechnung der komplexen FOURIER-Koeffizienten
Zur numerischen Bestimmung von

wendet man auf (19.218b) analog zu (19.209) und (19.210) die Trapezformel

an und erhält die diskreten komplexen FOURIER-Koeffizienten

:

(19.221a)
mit
(19.221b)
Der Zusammenhang (19.221a) unter Beachtung von (19.221b) wird dann als diskrete komplexe FOURIERTransformation der Länge
Die Potenzen
deshalb auch als

der Werte

bezeichnet.
genügen sämtlich der Gleichung

- te Einheitswurzel bezeichnet. Wegen

Sie werden

gilt:
(19.222)


Die effektive Berechnung der Summe (19.221a) ergibt sich aus der Tatsache, daß eine diskrete komplexe FOURIERTransformation der Länge

auf zwei Transformationen der Länge

in folgender Weise

zurückgeführt werden kann:
a) Für alle Koeffizienten

mit geradem Index, d.h.

, erhält man:

ist. Substituiert man

Dabei wurde beachtet, daß

(19.223)
und berücksichtigt man, daß

gilt, dann ist

(19.224)

die diskrete komplexe FOURIER-Transformation der Werte
.

mit der Länge


b) Für alle Koeffizienten

mit ungeradem Index, d.h. mit

, erhält man analog:

Substituiert man
(19.225)
und beachtet man, daß auch hier

gilt, dann ist

(19.226)

die diskrete komplexe FOURIER-Transformation der Werte

mit der Länge

.
Die Reduzierung gemäß a) und b), d.h. die Zurückführung einer diskreten komplexen FOURIER-Transformation auf
jeweils zwei diskrete komplexe FOURIER-Transformationen der halben Länge, läßt sich fortsetzen, wenn
Potenz von 2 ist, d.h. wenn

(

natürliche Zahl) gilt. Die

FFT bezeichnet. Da jeder Reduktionsschritt wegen (19.225)

eine

-malige Anwendung der Reduzierung wird als
komplexe Multiplikationen erfordert, ist der


Rechenaufwand bei der FFT von der Größenordnung
(19.227)


Einhüllende von Kurvenscharen
●
●
●

Charakteristische Punkte
Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar
Gleichung der Einhüllenden


Mehrschrittverfahren
Das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97) und das RUNGE-KUTTA-Verfahren (19.99) stellen sogenannte
Einschrittverfahren dar, da sie bei der Berechnung von

nur auf das Ergebnis

des vorangegangenen

Schrittes zurückgreifen. Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren sind dagegen von der Form

(19.101)
mit geeignet gewählten Konstanten

und

-Schrittverfahren bezeichnet, falls
Werten

. Die Vorschrift (19.101) wird als
ist. Es heißt explizit , falls

ist, weil dann in den

der rechten Seite von (19.101) nur die bereits bekannten Näherungswerte
auftreten. Ist

, so heißt das Verfahren implizit , da dann der gesuchte neue


Wert
von

auf beiden Seiten von (19.101) auftritt. Bei der Anwendung eines
Startwerten

-Schrittverfahrens ist die Kenntnis

notwendig. Diese verschafft man sich z.B. mit Hilfe eines

Einschrittverfahrens.
Spezielle Mehrschrittverfahren zur Lösung der Anfangswertaufgabe (19.93) kann man dadurch gewinnen, daß man
in (19.93) die Ableitung

durch Differenzenformeln ersetzt oder in (19.95) das Integral durch

Quadraturformeln approximiert.
Beispiele für spezielle Mehrschrittverfahren sind:
1. Mittelpunktsregel: Die Ableitung
Stützstellen

und

in (19.93) wird durch die Sekantensteigung bezüglich der

ersetzt. Man erhält:
(19.102)

2. Verfahren von MILNE: Das Integral in (19.95) wird durch die SIMPSON-Formel approximiert. Man erhält:
(19.103)

3. Verfahren von ADAMS-BASHFORTH:Der Integrand in (19.95) wird durch das
Interpolationspolynom von LAGRANGE bezüglich der

Stützstellen


ersetzt. Man integriert zwischen

und

und erhält:

(19.104)

Das Verfahren (19.104) ist explizit bezüglich

. Zur Berechnung des Koeffizienten

s. Lit. 19.1.


EINSTEINsche Summenkonvention
Anstelle von (4.65) kann man auch
(4.66a)

oder abkürzend nach EINSTEIN
(4.66b)
schreiben, d.h., über den doppelt auftretenden Index

ist zu summieren und das Ergebnis für

aufzuschreiben. Die Summenkonvention legt allgemein fest: Tritt in einem Ausdruck ein Index zweimal auf, so wird
der Ausdruck über alle vorgesehenen Werte dieses Index summiert. Tritt ein Index in den Ausdrücken einer
Gleichung nur einmal auf, z.B.

in der Gleichung (4.66b), so bedeutet das, daß die betreffende Gleichung für alle

Werte gilt, die der Index durchlaufen kann.


Regelmäßige Einzahlungen
Es sollen Einzahlungen der gleichen Höhe
in gleichen Abständen geleistet werden. Diese Abschnitte sollen mit
der Zinsperiode übereinstimmen. Wird die Einzahlung jeweils zu Beginn bzw. am Ende einer Zinsperiode geleistet,
dann spricht man von einer vorschüssigen (praenumerando) bzw. einer nachschüssigen (postnumerando)
Einzahlung. Am Ende der

-ten Zinsperiode erhält man den Kontostand

, und zwar:

1. Bei vorschüssiger Einzahlung
(1.83a)

2. bei nachschüssiger Einzahlung
(1.83b)


Unterjährige Einzahlungen
Ein Jahr bzw. eine Zinsperiode wird in

gleich lange Abschnitte zerlegt. Zu Beginn bzw. am Ende eines jeden

Teilabschnittes wird der gleiche Betrag

eingezahlt und bis zum Jahresende verzinst. Nach einem Jahr erhält man

auf diese Weise den Kontostand

, und zwar:

1. Bei vorschüssiger Einzahlung
(1.84a)

2. bei nachschüssiger Einzahlung
(1.84b)

Im zweiten Jahr wird

voll verzinst, hinzu kommen noch die Einzahlungen und Zinsen wie im ersten Jahr, so daß


sich nach

Jahren für den Kontostand

bei unterjährigen Einzahlungen und jährlicher Verzinsung ergibt:

1. Bei vorschüssiger Einzahlung
(1.85a)

2. bei nachschüssiger Einzahlung
(1.85b)

Beispiel
Bei einem Jahreszinssatz von

zahlt ein Sparer monatlich nachschüssig 1000.-DM ein. Nach wie

vielen Jahren wird der Kontostand von 500 000.-DM erreicht? Aus (1.85b), d.h. aus
folgt

Jahre.


GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Hat man die 1. Komponente

der Berechnung von

nach dem JACOBI-Verfahren berechnet, dann liegt es nahe, diesen Wert bei

bereits zu verwenden. Geht man entsprechend bei der Berechnung aller übrigen

Komponenten vor, dann erhält man die Iterationsvorschrift
(19.51)

Die Vorschrift (19.51) wird als GAUSS-SEIDEL- Verfahren oder Einzelschrittverfahren bezeichnet. Das GAUSS-SEIDELVerfahren konvergiert im allgemeinen schneller als das JACOBI-Verfahren, sein Konvergenzsatz ist aber etwas
komplizierter.


Beispiel

Die dazugehörige Iterationsvorschrift gemäß (19.51) lautet:

Einige Näherungen und die Lösung findet man in der folgenden Zusammenstellung:

0

1,4

1,5053 1,5012 1,5


0

1,0077 0,9946 0,9989

1

0

1,0976 0,5059 0,5014 0,5

0

1,7861 1,9976 1,9995

2


Gewöhnliches Iterationsverfahren
Das gewöhnliche Iterationsverfahren geht davon aus, daß sich die Gleichungen (19.55) auf eine Fixpunktform
(19.56)

bringen lassen. Dann erhält man, von den geschätzten Näherungswerten

ausgehend,

verbesserte Werte durch
1. Iteration in Gesamtschritten:

(19.57)

2. Iteration in Einzelschritten:


(19.58)

Für die Güte der Konvergenz dieser Verfahren ist ausschlaggebend, daß die Funktionen
Lösung möglichst schwach von den Unbekannten abhängen, d.h., falls die

in der Umgebung einer

differenzierbar sind, müssen die

Beträge der partiellen Ableitungen möglichst klein sein. Als Konvergenzbedingung erhält man
(19.59)

Mit dieser Größe

gilt die Fehlerabschätzung

(19.60)
Dabei sind

die Komponenten der gesuchten Lösung,

ten Näherungen.

und

die zugehörigen

-ten und

-


Schießverfahren
Mit dem Schießverfahren wird die Lösung von Randwertaufgaben auf die Lösung von Anfangswertaufgaben
zurückgeführt. Das Prinzip soll am sogenannten einfachen Schießverfahren , auch Einzielverfahren genannt,
beschrieben werden.
1. Einzielverfahren Der Randwertaufgabe (19.118) wird die Anfangswertaufgabe
(19.134)
zugeordnet. Dabei ist
gilt
Parameter

ein Parameter, von dem die Lösung

. Die Funktion
ist so zu bestimmen, daß

der Anfangswertaufgabe (19.134) abhängt, d.h., es

erfüllt gemäß (19.134) die erste Randbedingung
auch die zweite Randbedingung

. Der
erfüllt. Dazu ist die

Gleichung
(19.135)

zweckmäßigerweise mit Hilfe der Regula falsi zu lösen. Diese benötigt nur Funktionswerte

, aber jede

Funktionswertberechnung erfordert die Lösung der Anfangswertaufgabe (19.134) nach einem der im Abschnitt


Anfangswertaufgaben angegebenen Verfahren bis

für den speziellen Parameterwert

2. Mehrzielmethode Bei der sogenannten Mehrzielmethode wird das Integrationsintervall

.
in

Teilintervalle zerlegt und auf jedem Teilintervall die Einzielmethode angewendet. Damit setzt sich die gesuchte
Lösung aus Teillösungen zusammen, deren stetiger Übergang an den Teilintervallgrenzen zu sichern ist. Diese
Forderung ergibt zusätzliche Bedingungen. Zur numerischen Realisierung der Mehrzielmethode, die vor allem
bei nichtlinearen Randwertaufgaben verwendet wird, s. Lit. 19.12.


Ansatz
Für die gesuchte Funktion

wird in jedem Dreieck ein Ansatz gemacht. Ein Dreieck mit zugehörigem Ansatz

wird als finites Element bezeichnet. Dafür eignen sich Polynome in

und

. In vielen Fällen reicht der lineare

Ansatz
(19.146)
aus. Die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Dreieck ins benachbarte zumindest stetig sein, damit
eine stetige Gesamtlösung entsteht.
Die Koeffizienten

und

in (19.146) lassen sich eindeutig durch die drei Funktionswerte

und

in den Eckpunkten des zugehörigen Dreiecks ausdrücken. Dadurch ist gleichzeitig der stetige Übergang in die
benachbarten Dreiecke gesichert. Der Ansatz (19.146) enthält damit als unbekannte Parameter die Näherungen
für die gesuchten Funktionswerte. Als Ansatz, der im gesamten Gebiet
Näherung verwendet wird, wählt man

für die gesuchte Lösung

als


(19.147)

Die Koeffizienten

sind noch geeignet zu bestimmen. Für die Funktionen

über jedem Dreieck von

soll gelten: Sie stellen

eine lineare Funktion gemäß (19.146) dar und erfüllen die folgenden Bedingungen:
(19.148a)

(19.148b)

Die Darstellung von

über

zeigt die folgende Abbildung:


Die Berechnung von

über

, d.h. über den Dreiecken 1 bis 6 in der Abbildung, soll für das Dreieck 1

gezeigt werden:
(19.149a)

(19.149b)

Aus (19.149b) folgt

, und man erhält für Dreieck 1:


(19.149c)

Analog berechnet man:

(19.150)


Elementbeziehung
1. Mengen und ihre Elemente: Der grundlegende Begriff der Mengenlehre ist die Elementbeziehung. Eine
Menge

ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte

unserer Anschauung oder

unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Für ,,
bzw. ,,

ist nicht Element von

`` schreibt man ,,

`` bzw. ,,

ist Element von

``. Mengen können beschrieben

werden durch Aufzählung aller ihrer Elemente in geschweiften Klammern, z.B.

oder

oder durch eine definierende Eigenschaft, die genau den Elementen der Menge
zukommt. Z.B. wird die Menge
wobei die Eigenschaft

der ungeraden natürlichen Zahlen durch

bedeutet:

ist eine ungerade natürliche Zahl, d.h.

ungerade natürliche Zahl}.
Für die Zahlenbereiche sind folgende Bezeichnungen üblich:

beschrieben,
ist eine

``


Menge der natürlichen Zahlen,
Menge der ganzen Zahlen,

Menge der rationalen Zahlen,

Menge der reellen Zahlen,
Menge der komplexen Zahlen.
2. Extensionalitätsprinzip für Mengen: Zwei Mengen

sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen

Elemente enthalten, d.h.
(5.35)
Beispiel
Die Mengen

und

sind gleich.


Eigenschaften binärer Operationen
Besonders wichtig ist der Fall

wobei man von binären Operationen spricht, z.B. Addition und Multiplikation

von Zahlen bzw. Matrizen oder Vereinigung und Durchschnitt von Mengen. Eine binäre Operation ist also eine
Abbildung

, wobei man anstelle von ,,

benutzt. Eine binäre Operation

in

`` in der Regel die Infixschreibweise ,,

``

heißt assoziativ , falls
(5.92)

und kommutativ , falls
(5.93)
jeweils für alle
Ein Element

gilt.
heißt neutrales Element bezüglich einer binären Operation

in

falls
(5.94)

gilt.


Kegel
Ist in einem reellen Vektorraum

ein Kegel

fixiert, so kann für gewisse Paare von Vektoren aus
mit

Ordnungsrelation eingeführt werden, indem man für
schreibt und sagt, daß
Paar

größer oder gleich

einen durch den Kegel

man dann positiv , wenn

bzw.

einfach

kleiner oder gleich

ist. Man nennt

eine

oder
oder genauer des

geordneten oder teilweise geordneten Vektorraum . Ein Element

oder, gleichbedeutend damit,

gilt. Außerdem ist
(12.24)

nennt


Singuläres Element und singuläres Integral
1. Singuläres Element: Ein Element

wird singuläres Element der Differentialgleichung

genannt, wenn es außer der Differentialgleichung
(9.17a)
auch der Gleichung
(9.17b)
genügt.
Singuläres Integral: Eine Integralkurve aus singulären Elementen heißt eine singuläre Integralkurve , die
Gleichung
(9.17c)
einer singulären Integralkurve wird ein singuläres Integral genannt. Die Einhüllenden der Integralkurven sind
singuläre Integralkurven (s. Abbildung); sie bestehen ihrerseits ebenfalls aus singulären Elementen.


Die Eindeutigkeit der Lösung (s. Existenzsatz) geht für alle Punkte einer singulären Integralkurve verloren.


Elementarkonjunktion, Elementardisjunktion
Es sei

eine BOOLEsche Algebra und

eine Menge BOOLEscher

Variabler. Jede Konjunktion bzw. Disjunktion, in der jede Variable oder ihre Negation genau einmal vorkommt, heißt
).

Elementarkonjunktion bzw. Elementardisjunktion (in den Variablen
Es sei

ein BOOLEscher Ausdruck. Eine Disjunktion

heißt kanonisch disjunktive Normalform (KDNF) von

von Elementarkonjunktionen mit

Eine Konjunktion

von Elementardisjunktionen mit

heißt kanonisch konjunktive Normalform (KKNF) von
Um zu zeigen, daß sich jede BOOLEsche Funktion
in der folgenden Tabelle gegebenen Funktion

durch einen BOOLEschen Ausdruck darstellen läßt, wird zu der

die KDNF konstruiert:

Tabelle KDNF zu einer BOOLEschen Funktion


Die KDNF zur BOOLEschen Funktion

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

besteht aus den Elementarkonjunktionen
Diese Elementarkonjunktionen gehören zu den Belegungen

Variablen, die bei

den Funktionswert 1 haben. Ist in

Elementarkonjunktion aufgenommen, andernfalls

eine Variable

mit 1 belegt, so wird

der

in die

Für das obige Beispiel lautet die KDNF:
(5.228)

Die ,,duale`` Form zur KDNF ist die KKNF: Die Elementardisjunktionen gehören zu den Belegungen
die bei

den Funktionswert 0 haben. Ist in

aufgenomen, andernfalls

eine Variable

mit 0 belegt, so wird

Somit lautet die KKNF für das obige Beispiel:

der Variablen,

in die Elementarkonjunktion


(5.229)

Die KDNF und die KKNF zu

sind eindeutig bestimmt, wenn man eine Reihenfolge der Variablen und eine

Reihenfolge der Belegungen vorgibt, z.B. wenn man die Belegungen als Dualzahlen auffaßt und der Größe nach
ordnet.


Ereignisarten
Alle Ergebnisse eines Versuches, bei dem bestimmte Bedingungen eingehalten werden und bei dessen Ablauf das
Resultat im Rahmen verschiedener Möglichkeiten ungewiß ist, werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als
Ereignisse bezeichnet und in der sogenannten EreignismengeA zusammengefaßt. Man unterscheidet das sichere ,
das unmögliche und das zufällige Ereignis . Das sichere Ereignis tritt bei jeder Wiederholung eines gegebenen
Versuches innerhalb einer Ereignismenge ein, das unmögliche bei keinem Versuch; das zufällige Ereignis kann
eintreten oder auch nicht. Alle möglichen einander ausschließenden Ausgänge eines Versuches heißen seine
Elementarereignisse . Bezeichnet man die Ereignisse innerhalb einer Ereignismenge A mit
insbesondere das sichere Ereignis mit
definierten Verknüpfungen.

, das unmögliche Ereignis mit

,

, so gelten die in der folgenden Tabelle

Tabelle Verknüpfungen zwischen Ereignissen

Bezeichnung
1. Entgegengesetztes Ereignis zu

Schreibweise
:

Bedeutung
tritt genau dann ein, wenn

nicht eintritt.


2. Summe der Ereignisse

und

:

tritt genau dann ein, wenn entweder
eintritt, oder wenn beide Ereignisse
oder
zusammen eintreten.

3. Produkt der Ereignisse

und

:

tritt genau dann ein, wenn sowohl

als auch

eintritt.
4. Differenz der Ereignisse

und

:

tritt genau dann ein, wenn

eintritt und

nicht einritt.
heißt, daß das Eintreten des Ereignisses

5. Aufeinander folgende Ereignisse:

das Eintreten des Ereignisses
läßt sich nicht als Summe

6. Elementares Ereignis:

und
7. Zusammengesetztes Ereignis
8. Gegenseitig ausschliessende Ereignisse

zur Folge hat.
mit

darstellen.

Das Ereignis ist nicht elementar.
und

:

Die Ereignisse
auftreten.

und

können nicht gemeinsam


Ellipse
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Elemente der Ellipse
Gleichung der Ellipse
Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse
Leitlinien der Ellipse
Durchmesser der Ellipse
Tangenten an die Ellipse
Krümmungskreisradius der Ellipse
Flächeninhalte der Ellipse
Ellipsenbogen und Ellipsenumfang


Flächeninhalte der Ellipse

a) Ellipse:
(3.326a)
b) Ellipsensektor

:


(3.326b)
c) Ellipsenabschnitt

:
(3.326c)


Gleichung der Ellipse
Die Ellipsengleichung lautet in der Normalform, d.h. für zusammenfallende Koordinaten- und Ellipsenachsen sowie in
der Parameterform
(3.318a)
(3.318b)
Die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.


Quadratwurzel aus einem linearen Binom
Die zwei Funktionen
(2.52)
beschreiben eine Parabel mit der

Parameter ist

-Achse als Symmetrieachse. Der Scheitel

liegt bei

. Definitionsbereich und Verlauf der Kurve hängen vom Vorzeichen von

, der

ab.


(Ausführlicher s. Parabel.)


Krümmungskreisradius der Ellipse
Mit

als Winkel zwischen der Tangente und dem Radiusvektor des Berührungspunktes

gilt

(3.325)

In den Scheiteln

und

sowie

und

(rechte Abbildung) ist

und


Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und
Hypotrochoide
Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und Hypotrochoide sind Kurven, die von einem entweder
außerhalb oder innerhalb eines Kreises befindlichen Punkt beschrieben werden, der sich auf einem vom
Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis an einem
anderen Kreis entweder außen (Epitrochoide) oder innen (Hypotrochoide) abrollt, ohne dabei zu gleiten.


Die Gleichung der Epitrochoide lautet in Parameterform
(2.236a)

wobei

der Radius des festen Kreises ist und

Für die Hypozykloide ist ,,
Über
handelt.

wird mit

`` durch ,,
bzw.

der des rollenden.

`` zu ersetzen.
bestimmt, ob es sich um die verkürzte oder verlängerte Kurve


Spezialfall Ellipse: Für

beliebige Zahl, wird die Hypozykloide mit der Gleichung
(2.236b)

zur Ellipse mit den Halbachsen

und

Spezialfall PASCALsche Schnecke: Für

wird die Hypozykloide zur PASCALschen Schnecke :
(2.236c)

Hinweis: Bei der Behandlung der PASCALschen Schnecke wurde mit
und mit

der Durchmesser

eine Größe bezeichnet, die hier

. Außerdem ist das Koordinatensystem geändert.

heißt,


Tangenten an die Ellipse
Die Tangenten an die Ellipse im Punkt

beschreibt die Gleichung
(3.323)

Normale und Tangente an die Ellipse sind jeweils Winkelhalbierende des inneren und äußeren Winkels zwischen den
von den Brennpunkten zum Berührungspunkt

weisenden Radiusvektoren.


Die Gerade

ist eine Tangente an die Ellipse, wenn die Gleichung
(3.324)

erfüllt ist.


Ellipsenbogen und Ellipsenumfang
Die Bogenlänge zwischen zwei Punkten

der Ellipse läßt sich nicht elementar berechnen, wie es für die

Parabel möglich ist, sondern mit Hilfe eines unvollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung

.

Den Umfang der Ellipse berechnet man daher mit Hilfe des vollständigen Integrals 2. Gattung
mit der numerischen Exzentrizität

und

(für ein Viertel des

Umfanges) zu
(3.327a)

Setzt man

, dann ist

(3.327b)


und in Näherung
(3.327c)

Beispiel
Für

liefert diese Gleichung den Wert 7,93, während die genauere Rechnung mit Hilfe

des vollständigen elliptischen Integrals 2. Gattung den Wert 7,98 ergibt.


Bestimmte elliptische Integrale
Die zu (8.22a, 8.22b, 8.22c) gehörigen bestimmten Integrale mit der unteren Integrationsgrenze Null haben die
folgenden Bezeichnungen erhalten:
(8.23a)

(8.23b)

(8.23c)

Man nennt diese Integrale unvollständige elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Gattung. Für
heißen die Integrale I und II vollständige elliptische Integrale , und man kennzeichnet sie durch


(8.24a)

(8.24b)
In den Tabellen ,,Elliptische Integrale``, Teile 1, 2, 3 sind für die unvollständigen und vollständigen elliptischen
Integrale erster und zweiter Gattung F, E sowie K und E Wertetabellen angegeben.
Beispiel
Die Berechnung des Umfanges der Ellipse führt auf ein vollständiges elliptisches Integral 2. Gattung als
Funktion der numerischen Exzentrizität

. Für

folgt

. Wegen

liest man aus der Tabelle ,,Elliptische Integrale``, Teil 3 ab:
, und

. Daraus folgt
. Die Berechnung mit der

Näherungsformel (3.327c) liefert den Wert 7,93.

d.h.,


Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen
Tabelle Gestalt der Flächen 2. Ordnung

(Mittelpunktsflächen)
und

nicht beide

Ellipsoid

Zweischaliges Hyperboloid

Imaginäres Ellipsoid

Einschaliges Hyperboloid


Imaginärer Kegel (mit reeller Spitze)

Die Größen

und

Kegel

sind Invariante einer Fläche 2. Ordnung


Ellipsoide
Mit den Halbachsen

lautet die Gleichung
(3.406)


Es werden die folgenden Spezialfälle unterschieden:
Zusammengedrücktes Rotationsellipsoid ( Linsenform , linke Abbildung),
Langgestrecktes Rotationsellipsoid ( Zigarrenform , rechte Abbildung),
Kugel mit der Gleichung


Die zwei Formen des Rotationsellipsoids entstehen durch Rotation einer Ellipse in der

-Ebene mit den Achsen

und um die -Achse, die Kugel durch Rotation eines Kreises um eine der Achsen. Die Schnittfigur einer durch
ein Ellipsoid gehenden Ebene ist eine Ellipse, im Spezialfall ein Kreis. Der Rauminhalt des Ellipsoids beträgt
(3.407)


Topologische Entropie
Sei
auf

ein kompakter metrischer Raum und
. Für beliebiges

ein stetiges dynamisches System mit diskreter Zeit

wird eine Abstandsfunktion

auf

durch
(17.36)

definiert. Sei weiter
Metrik
Abbildung

von

die größte Anzahl von Punkten aus

, die mindestens einen Abstand in der

zueinander haben. Die topologische Entropie des diskreten dynamischen Systems (17.3) bzw. der

ist

Komplexität der Abbildung. Sei

. Die topologische Entropie ist ein Maß für die

ein weiterer kompakter metrischer Raum und

stetige Abbildung. Sind dann die beiden Abbildungen

und

topologisch konjugiert, so stimmen ihre

eine


topologischen Entropien überein. Insbesondere hängt die topologische Entropie nicht von der Metrik ab. Für
beliebiges

gilt

. Ist

sogar ein Homöomorphismus, so gilt

. Aufgrund der letzten Eigenschaft definiert man für einen Fluß
von (17.1) auf

die topologische Entropie über

.


Formen der Entwicklung in eine FOURIER-Reihe
Jede Funktion

, die in einem Intervall

die DIRICHLETschen Bedingungen erfüllt, kann in diesem

Intervall in konvergente Reihen folgender Formen entwickelt werden:

(7.106a)

Die Periode der Funktion
.

ist

; im Intervall

ist

identisch mit der Funktion


In den Unstetigkeitsstellen wird

gesetzt. Die Entwicklungskoeffizienten

werden mit Hilfe der EULERschen Formeln (7.96a,b) für

bestimmt.

(7.106b)
Die Periode der Funktion
identisch mit

.

ist

; im Intervall

ist

von der Symmetrie S1Art und


Die Entwicklungskoeffizienten für

werden nach den Formeln für den Fall der Symmetrie 1. Art mit

bestimmt.
(7.106c)
Die Periode der Funktion
identisch mit

.

ist

, im Intervall

ist

von der Symmetrie 2. Art und


Die Entwicklungskoeffizienten werden mit den Formeln für den Fall der Symmetrie 2. Art (7.102) für
bestimmt.


Laurent-Entwicklung
Jede Funktion
und den Radien

, die im Innern eines Kreisringes zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit dem Mittelpunkt
und

analytisch ist, kann in eine verallgemeinerte Potenzreihe, die LAURENT-Reihe,

entwickelt werden:

(14.50a)
Die im allgemeinen komplexen Koeffizienten

sind eindeutig durch die Formel


(14.50b)
bestimmt. Mit

ist irgendein geschlossener Integrationsweg bezeichnet, der innerhalb des Kreisringgebiets
liegt und im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird (s. Abbildung).

Ist das Gebiet

der Funktion

Reihe der größte in

umfassender als der Kreisring, dann ist der Konvergenzbereich der LAURENT-

enthaltene Kreisring um

.


Beispiel
, die im Ringgebiet

Für die Funktion

analytisch ist, soll eine

Potenzreihenentwicklung angegeben werden. Dazu kann man die Funktion

Partialbruchzerlegung auf die Form

durch

bringen. Durch einfache Umformung

können diese beiden Terme als geometrische Reihen dargestellt werden, die gemeinsam in dem
Ringgebiet

konvergieren. Man erhält:


MACLAURINsche Reihe
MACLAURINsche Reihe wird die Entwicklung der Funktion
TAYLORschen Reihe für

nach Potenzen von

im Spezialfall der

genannt. Es ergibt sich
(7.89a)

mit dem Restglied

(7.89b)

(7.89c)

Die Konvergenz der TAYLORschen und MACLAURINschen Reihe ist entweder durch Untersuchung des Restgliedes


nachzuweisen oder durch Bestimmung des Konvergenzradius. Im zweiten Falle kann es vorkommen, daß die
Reihe zwar konvergiert, ihre Summe

aber ungleich

ist.


Satz von TAYLOR für Funktionen von einer Veränderlichen
Wenn eine Funktion
der Ordnung

im Intervall

stetig ist und dort stetige Ableitungen bis einschließlich

besitzt und wenn im Innern des Intervalls noch die

-te Ableitung existiert, dann gilt die

TAYLORsche Formel oder TAYLOR-Entwicklung

(6.31)

mit

. Die Größe

kann positiv oder negativ sein. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (6.29a)

ist ein Spezialfall dieser TAYLOR-Reihe für

.


Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe
Die Tabelle ,,Potenzreihenentwicklungen`` enthält eine Zusammenstellung der Potenzreihenentwicklungen der
wichtigsten elementaren Funktionen. Sie wurden in der Regel durch TAYLOR-Entwicklungen gewonnen.

●

TAYLORsche Reihe für Funktionen von einer Veränderlichen
MACLAURINsche Reihe
TAYLORsche Reihe für Funktionen von zwei Veränderlichen

●

TAYLORsche Reihe für Funktionen von

●
●

Veränderlichen


Unterabschnitte
●
●

Erste Form der Darstellung:
Zweite Form der Darstellung:

TAYLORsche Reihe für Funktionen von zwei Veränderlichen
Erste Form der Darstellung:


(7.90a)

Dabei ist

die Entwicklungsstelle und

das Restglied. Manchmal verwendet man an Stelle von z.B.

die kürzere Schreibweise

.

Die Terme höherer Ordnung in (7.90a) können mit Hilfe von Operatoren übersichtlich dargestellt werden:

(7.90b)
Diese symbolische Darstellung bedeutet, daß nach Anwendung des binomischen Satzes die Potenzen der
Differentialoperatoren

bzw.

als Differentiationsvorschrift höherer Ordnung für die Funktion

zu


interpretieren sind. Diese Ableitungen sind dann an der Stelle

zu nehmen.

Zweite Form der Darstellung:

(7.90c)

Der Ausdruck für das Restglied lautet

(7.90d)


Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient
Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient des Vektors
nennt man die Projektion von

auf

in Richtung oder entlang des Einheitsvektors

d.h. das Skalarprodukt
(3.250a)

wobei

der Winkel zwischen

und

ist.

Für den Richtungskoeffizienten des Vektors

entlang eines Vektors

gilt:
(3.250b)

Im kartesischen Koordinatensystem sind die Richtungskoeffizienten des Vektors
entlang der
Aussage nicht.

die Komponenten

Achse. In einem nicht-orthonormierten Koordinatensystem gilt diese


Epizykloide
Epizykloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn dieser,
ohne zu gleiten, auf der Außenseite eines anderen Kreises abrollt.


Die Gleichung der Epizykloide lautet in Parameterform mit
Kreises

als Radius des festen und

als Radius des rollenden

(2.234)

wobei
Für

gilt. Die Form der Kurve hängt vom Quotienten
erhält man die Kardioide.

ab.


1. Fall

ganzzahlig: Für

ganzzahlig besteht die Kurve aus

den feststehenden Kreis umgebenden

Kurvenzweigen.
liegen bei

Die Rückkehrpunkte

die Scheitelpunkte

2. Fall

gebrochenrational: Für

bewegende Punkt

gebrochenrational überdecken sich die Zweige gegenseitig, der sich

kehrt aber nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück.

irrational: Für
3. Fall
in die Anfangslage zurück.

Die Länge des Zweiges beträgt

Kurve

bei

irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich, und der Punkt

Bei ganzzahligem

kehrt nicht

ist die Länge der gesamten


Die Fläche des Sektors

Der Krümmungsradius ist

beträgt ohne den Sektor des festen Kreises

in den Scheiteln


Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse

und

sind unabhängig, wenn für die bedingten Wahrscheinlichkeiten die Beziehungen
(16.39a)

erfüllt sind. Für sie gilt
(16.39b)


Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation
1. Begriff:
Die Fuzzy-Inferenz oder -Implikation ist eine Anwendung der Fuzzy-Relationen mit dem Ziel des fuzzylogischen Schließens bezüglicher vager Informationen. Vage Information bedeutet hier unscharfe Information,
aber nicht unsichere Information. Die Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation besteht aus einer oder mehreren
Regeln, einem Faktum und einem Schluß. Das unscharfe Schließen (nach ZADEH approximate reasoning) ist
nicht mit der klassischen Logik beschreibbar.
2. WENN-DANN-Regel:
Die Fuzzy-Implikation besteht im einfachsten Falle aus einer WENN-DANN- Regel . Der WENN-Teil der Regel
wird als Prämisse bezeichnet und repräsentiert die Bedingung. Der DANN-Teil ist die Schlußfolgerung, auch
Konklusion genannt. Die Auswertung erfolgt mittels
Interpretation:

ist das Fuzzy-Inferenzbild von

und (5.296).
bezüglich der Fuzzy-Relation

Berechnungsvorschrift für WENN-DANN-Regeln bzw. für Gruppen von Regeln.
3. Verallgemeinertes Fuzzy-Inferenz-Schema:
Die Regel

, d.h. eine


mit

und die Zuhörigkeitsfunktion der Konklusion
wird beschrieben durch die

-stellige Relation
(5.297a)

Für das aktuelle Ereignis

mit den scharfen Werten
und

der Kenngrößen

gilt

(5.297b)

Anmerkung: Die Größe min

heißt Erfüllungsgrad der Regel , und die Größen
repräsentieren die fuzzy-wertigen Eingangsgrößen.

Beispiel


Bildung von Fuzzy-Relationen für einen Zusammenhang zwischen den Größen ,,mittlerer`` Druck und
,,hohe`` Temperatur (s. Abbildung aus vier Teilen):
1.
mit

ist eine zylindrische Erweiterung

(untere linke Abbildung) der Fuzzy-Menge mittlerer Druck (obere linke Abbildung).
2.
Analog ist

mit

eine zylindrische

Erweiterung (untere rechte Abbildung) der Fuzzy-Menge hohe Temperatur (obere linke Abbildung),
wobei


Die folgende Abbildung zeigt graphisch das Ergebnis der Bildung von Fuzzy-Relationen: In der linken
Abbildung ist das Ergebnis der Verknüpfung mittlerer Druck UND hohe Temperatur mit dem min-Operator
dargestellt. Die rechte Abbildung zeigt das Ergebnis der
Verknüpfung ODER mit dem max-Operator


Erwartungswert
Wenn

eine eindeutige Funktion der Zufallsveränderlichen

ist, so ist auch

eine

Zufallsveränderliche. Als ihr Erwartungswert oder Mittelwert wird definiert:
(16.47a)

(16.47b)

Voraussetzung ist dabei die Konvergenz der Reihe

Den Erwartungswert der Zufallsgröße

selbst erhält man mit

bzw. des Integrals

zu

.


(16.48a)
so daß wegen (16.47a,b) unter anderem auch gilt
(16.48b)


Erweiterungsprinzip
In den vorangegangenen Abschnitten wurden Möglichkeiten der Verallgemeinerung mengentheoretischer
Grundoperationen gewöhnlicher Mengen auf unscharfe Mengen diskutiert. Beim Erweiterungsprinzip geht es um die
Abbildung einer unscharfen Definitionsmenge. Grundlage bildet das Konzept des Akzeptanzgrades vager Aussagen.
In Analogie zur Abbildungsvorschrift der Funktion

die einem Punkt

den

zuordnet, läßt sich diese Zuordnung auf unscharfe Mengen

scharfen Funktionswert
übertragen. Die Abbildungsvorschrift ist
bezüglich

wobei die unscharfen Zugehörigkeitsfunktionen
dem unscharfen Funktionswert

zugeordnet werden.
Hinweis: In Analogie zur Summen- und Produktbildung existieren für alle
die Vereinigungsbildung und die Durchschnittsbildung.

entsprechende Erweiterungen für


Geradlinige Erzeugende einer Fläche
Geradlinige Erzeugende einer Fläche sind Geraden, die ganz in dieser Fläche liegen. Beispiele sind die
Erzeugenden der Kegel- und der Zylinderfläche.
1. Einschaliges Hyperboloid: Das einschalige Hyperboloid (linke Abbildung)
(3.415)
besitzt zwei Scharen geradliniger Erzeugender mit den Gleichungen
(3.416a)

(3.416b)
wobei

und

beliebige Größen sind.


2. Hyperbolisches Paraboloid: Das hyperbolische Hyperboloid (rechte Abbildung)
(3.417)
besitzt ebenfalls zwei Scharen von Erzeugenden mit den Gleichungen
(3.418a)
(3.418b)
Wieder sind
und
beliebige Größen. In beiden Fällen gehen durch jeden Flächenpunkt zwei Geraden, und zwar
von jeder Schar je eine Erzeugende, von denen in den beiden Abbildungen jeweils nur eine eingezeichnet ist.


Zylinderfläche
Zylinderfläche wird eine gekrümmte Fläche genannt, die durch Parallelverschiebung einer Geraden, der
Erzeugenden , längs einer Kurve, der Leitkurve , entsteht.


Unterabschnitte
●
●
●
●

Zyklische Untergruppen:
Verallgemeinerung:
Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen:
Satz von LAGRANGE:

Untergruppen
Es sei

eine Gruppe und

Ist

bezüglich

wieder eine Gruppe, so heißt

eine Untergruppe von
Eine nichtleere Teilmenge
auch

und

in

einer Gruppe

ist genau dann Untergruppe von

liegen (Untergruppenkriterium ).

wenn für alle


Zyklische Untergruppen:
Die Gruppe

selbst und

jedes Element

sind Untergruppen von

eine Untergruppe, die von

die trivialen Untergruppen . Außerdem bestimmt

erzeugte zyklische Untergruppe
(5.98)

Ist die Gruppenoperation eine Addition, so schreibt man statt der Potenzen
Verknüpfung von
sich selbst, d.h.

mit sich selbst ganzzahlige Vielfache

als Abkürzung für die

als Abkürzung für die

-fache

-fache Addition von

mit

(5.99)
Dabei ist
so heißt

die kleinste Untergruppe von

die

enthält. Gilt

für ein Element

aus

eine zyklische Gruppe .

Es gibt unendliche zyklische Gruppen, wie
Restklassenaddition in der Menge

bezüglich der Addition, und endliche zyklische Gruppen, wie die

der Restklassen modulo

.

Beispiel
Ist die Elementeanzahl einer endlichen Gruppe

Verallgemeinerung:

eine Primzahl, so ist

stets zyklisch.


Man kann den Begriff der zyklischen Gruppe wie folgt verallgemeinern: Ist
so wird mit

Gruppe

die Untergruppe von

eine nichtleere Teilmenge einer

bezeichnet, deren Elemente sich sämtlich als Produkt

von endlich vielen Elementen aus

und deren Inversen schreiben lassen. Die Teilmenge

Erzeugendensystem von

Besteht

nur aus einem Element, dann ist

heißt dann
zyklisch.

Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen:
In der Gruppentheorie wird die Elementenzahl einer endlichen Gruppe mit ord
Element

einer Gruppe erzeugte zyklische Untergruppe

bezeichnet. Ist die von einem

endlich, so heißt deren Ordnung auch Ordnung

des Elements a , d.h.
Ist

eine Untergruppe einer Gruppe

und

so heißen die Teilmengen
(5.100)

von

Linksnebenklassen bzw. Rechtsnebenklassen von

jeweils eine Zerlegung von

Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden

.

Alle Links- oder Rechtsnebenklassen einer Untergruppe
Elementen, nämlich ord

in

in einer Gruppe

haben die gleiche Anzahl von

. Daraus ergibt sich, daß die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl der

Rechtsnebenklassen ist. Diese Zahl wird Index von

in

genannt. Aus den genannten Fakten ergibt sich der


Satz von LAGRANGE (s. nächten Abschnitt).

Satz von LAGRANGE:
Die Ordnung einer Untergruppe ist stets Teiler der Gruppenordnung.
Im allgemeinen ist es schwierig, alle Untergruppen einer Gruppe anzugeben. Im Falle endlicher Gruppen ist der Satz
von LAGRANGE als notwendige Bedingung für die Existenz von Untergruppen hilfreich.


EUKLIDische Vektorräume, EUKLIDische Norm
Um in abstrakten Vektorräumen Begriffe wie Länge, Winkel, Orthogonalität verwenden zu können, werden
EUKLIDische Vektorräume eingeführt.
1. EUKLIDischer Vektorraum: Es sei

ein reeller Vektorraum. Ist

folgenden Eigenschaften (statt

wird

eine Abbildung mit

geschrieben), dann gilt für alle

und für

alle
(5.125)
(5.126)
(5.127)
(5.128)
und

heißt Skalarprodukt auf
2. EUKLIDische Norm: Mit

. Ist auf

ein Skalarprodukt erklärt, so heißt

ein EUKLIDischer Vektorraum .

wird die EUKLIDische Norm (Länge) von

bezeichnet. Der


Winkel

zwischen

aus

wird über die Formel
(5.129)

erklärt. Ist

so werden

und

zueinander orthogonal genannt.

Beispiel
Im Zusammenhang mit FOURIER-Reihen werden Funktionen der Form
Diese Funktionen können als Elemente von

und

betrachtet.

aufgefaßt werden. Im Funktionenraum

wird durch
(5.130)
ein Skalarprodukt erklärt. Wegen
(5.131)

(5.132)

(5.133)


sind die Funktionen

und

für alle

paarweise zueinander orthogonal. Diese

Orthogonalität trigonometrischer Funktionen wird zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten bei der
harmonischen Analyse ausgenutzt.


EULERsche Linien, EULERsche Graphen
1. EULERsche Linie:
Ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen

enthält, heißt offene oder geschlossene EULERsche Linie

von
2. EULERscher Graph:
Ein zusammenhängender Graph, der eine geschlossene EULERsche Linie enthält, ist ein EULERscher Graph .
Beispiel


Der Graph

(linke Abbildung) hat keine EULERsche Linie. Der Graph

besitzt eine EULERsche Linie, ist aber kein EULERscher Graph. Der Graph

(zweite Abbildung)
(dritte Abbildung) hat

eine geschlossene EULERsche Linie und ist kein EULERscher Graph. Der Graph
Abbildung) ist ein EULERscher Graph.

(rechte


3. Satz von EULER-HIERHOLZER:
Ein Graph ist genau dann ein EULERscher Graph, wenn er zusammenhängend ist und jeder Knoten positiven
geraden Grad hat.


FOURIER-Darstellung periodischer Funktionen ( FOURIER-Analyse)
Oft ist es notwendig oder vorteilhaft, eine gegebene periodische Funktion

mit der Periode

exakt oder

angenähert durch eine Summe aus trigonometrischen Funktionen in der Form

(7.95)

darzustellen. Man spricht von FOURIER-Entwicklung . Dabei gilt für die Kreisfrequenz

ist

. Die beste Approximation von

. Im Falle

in dem unter ,,Wichtigste Eigenschaften von FOURIER-Reihen``

angegebenen Sinne erreicht man mit einer Näherungsfunktion

, wenn für die Koeffizienten

und

die FOURIER-Koeffizienten der gegebenen Funktion gewählt werden. Ihre Bestimmung

mit


geschieht analytisch mit Hilfe der EULERschen Formeln

(7.96a)

und

(7.96b)

oder näherungsweise mit Hilfe der Methode der harmonischen Analyse.


Krümmung von Kurven auf einer Fläche
Wenn durch einen Flächenpunkt
Krümmungskreisradien

im Punkt

verschiedene Kurven

auf dieser Fläche gezogen werden, dann stehen ihre

in den folgenden drei Beziehungen zueinander:


1. Krümmungskreisradius: Der Krümmungskreisradius
Krümmungskreisradius einer Kurve
im Punkt

einer Kurve

im Punkt

ist gleich dem

, die sich als Schnitt der Fläche mit der Schmiegungsebene der Kurve

ergibt (obere Abbildung).

2. Satz von MEUSNIER: Für jeden ebenen Schnitt
Krümmungskreisradius über

durch eine Fläche berechnet man den
(3.496)


Dabei ist
wie

der Krümmungskreisradius des Normalschnittes

sowie durch den Einheitsvektor

Einheitsvektor
Vorzeichen von

der durch die gleiche Tangente

der Flächennormalen;

der Hauptnormalen der Kurve
in (3.496) ist positiv, wenn

geht

ist der Winkel zwischen dem

und dem Einheitsvektor

der Flächennormalen. Das

auf der konkaven Seite der Kurve

liegt und negativ im

umgekehrten Falle.
3. EULERsche Formel: Die Krümmung einer Fläche im Punkt

kann für jeden Normalschnitt

mit

der Formel von EULER
(3.497)
berechnet werden, wobei
der Schnitte

und

und

die Hauptkrümmungsradien sind und

(untere Abbildung).

der Winkel zwischen den Ebenen


EULERsche Funktion
Für jede natürliche Zahl

mit

kann man die Anzahl der zu

angeben. Die zugehörige Funkion
ist die Anzahl der primen Restklassen modulo
Es gilt

usw. Allgemein gilt
Ist

teilerfremden Zahlen

mit

wird EULERsche Funktion genannt. Der Funktionswert
(s. Prime Restklassen).

für jede Primzahl

und

eine beliebige natürliche Zahl, dann kann man

für jede Primzahlpotenz
wie folgt berechnen:

(5.181a)
wobei das Produkt über alle Primteiler

von

zu erstrecken ist.


Beispiel

Außerdem gilt

(5.181b)
Gilt ggT

Beispiel

dann ist


Integralkosinus (

)

(8.96a)

(8.96b)


Exponentialform einer komplexen Zahl
Exponentialform einer komplexen Zahl wird die Darstellung
(1.136a)
genannt, wobei

der Modul und

das Argument sind. Es gilt die EULERsche Relation
(1.136b)

Beispiel


Darstellung einer komplexen Zahl in den drei Formen.
a)
(algebraische Form),
b)
(trigonometrische Form mit Beschränkung auf den Hauptwert),
c)
(Exponentialform mit Beschränkung auf den Hauptwert).
Ohne Beschränkung auf den Hauptwert gilt die Darstellung

.


Natürliche Exponentialfunktion
(14.69)
Die Reihe konvergiert in der gesamten
a) Rein imaginärer Exponent

-Ebene.
: Gemäß der EULERschen Relation gilt
(14.70)
:

b) Allgemeiner Fall

(14.71a)
(14.71b)
c) Exponentialform einer komplexen Zahl:
(14.72a)
Die Periode der Funktion

ist

:


(14.72b)
Speziell gilt:
(14.72c)
d) EULERsche Relation für komplexe Zahlen:
(14.73a)
(14.73b)


Erste Definition der EULERschen Zahlen
Die EULERschen Zahlen
trigonometrischen Funktion
folgt definiert

treten bei Potenzreihenentwicklungen spezieller Funktionen auf, z.B. bei der
und der hyperbolischen Funktion

. Die EULERschen Zahlen können wie

(7.61a)
und durch Koeffizientenvergleich bezüglich der Potenzen von

ermittelt werden.


Definition
Das bestimmte Integral
(8.90)

ist eine Funktion der Variablen
Funktion

, die in diesem Zusammenhang Parameter genannt wird. In vielen Fällen ist die

nicht mehr elementar. Das Integral (8.90) kann ein gewöhnliches oder ein uneigentliches Integral

mit unendlichen Integrationsgrenzen oder unbeschränkter Funktion

sein. Theoretische Betrachtungen zur

Konvergenz uneigentlicher Integrale, die von einem Parameter abhängen, s. z.B. Lit. 8.4.
Beispiel


Gammafunktion oder EULERsches Integral zweiter Gattung:
(8.91)


Eulersches Polygonzugverfahren
Durch Integration erhält man aus der Anfangswertaufgabe zu (19.93) die Integraldarstellung
(19.95)
Diese ist Ausgangspunkt für die Näherung
(19.96)
die zu der folgenden Vorschrift des EULERschen Polygonzugverfahrens verallgemeinert wird:
(19.97)
Zur geometrischen Interpretation (s. Abbildung). Vergleicht man (19.96) mit der TAYLORentwicklung
(19.98)


mit
der Größenordnung

, dann sieht man, daß die Näherung

für den exakten Wert

hat. Die Genauigkeit kann durch Verkleinerung der Schrittweite

Praktische Rechnungen zeigen, daß sich bei Halbierung der Schrittweite

einen Fehler von
erhöht werden.

auch der Fehler der Näherungen

etwa halbiert.
Mit Hilfe des EULERschen Polygonzugverfahrens kann man sich sehr schnell einen Überblick über den ungefähren
Verlauf der Lösungskurve verschaffen.


Kettenlinie oder Katenoide
Kettenlinie oder Katenoide nennt man eine Kurve, in der folgenden Abbildung blau gezeichnet, die von einem
homogenen, nicht dehnbaren und an beiden Enden aufgehängten Faden gebildet wird.


Die Gleichung der Katenoide lautet:
(2.242)
Der Parameter

bestimmt den Scheitelpunkt

Die Fläche

des Bogens

. Die Kurve verläuft symmetrisch zur

die in der Abbildung rot dargestellt ist.

zwar höher, als die Parabel

Die Länge

bei

beträgt

hat den Wert

.

.

Der Krümmungsradius beträgt
Die Katenoide ist die Evolute der Traktrix.
Die Traktrix ist ihrerseits die Evolvente der Katenoide mit dem Scheitelpunkt

bei

-Achse, und


Nichtlineare Evolutionsgleichungen
Unter einer Evolutionsgleichung versteht man eine Gleichung, die die zeitliche Entwicklung einer physikalischen
Größe beschreibt. Beispiele für lineare Evolutionsgleichungen sind die Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung
und die SCHRÖDINGER-Gleichung. Die Lösungen der Evolutionsgleichungen werden auch Evolutionsfunktionen
genannt.
Im Unterschied zu den linearen Evolutionsgleichungen enthalten die nichtlinearen Evolutionsgleichungen (9.124),
(9.125) und (9.126) die nichtlinearen Terme

bzw.

.


Evolvente des Kreises
Evolvente des Kreises heißt eine Kurve, die vom Endpunkt eines fest gespannten Fadens beschrieben wird, wenn
dieser von einem Kreis abgewickelt wird, so daß

.


Die Gleichung der Evolvente des Kreises lautet in Parameterform
(2.240)
wobei

der Radius des Kreises ist und

Der Rückkehrpunkt
Wurzeln der Gleichung

liegt bei

. Die Kurve besitzt zwei Zweige symmetrisch zur
die Schnittpunkte mit der

sind.

-Achse bei

, wobei

-Achse.
die


Die Länge des Bogens

Der Krümmungsradius ist

beträgt

.

Der Krümmungsmittelpunkt

liegt auf dem Kreis.


Allgemeine Exponentialfunktion
(14.75a)
ist

eine mehrdeutige periodische Funktion mit dem Hauptwert
(14.75b)


Exponentialfunktion
Die Funktion
(2.55)
liefert das graphische Bild der Exponentialkurve .


Für

ergibt sich die natürliche Exponentialkurve
(2.56)

Die Funktion besitzt nur positive Werte. Für
d.h. für

d.h. für

steigt sie monoton von 0 bis

nimmt sie um so schneller monoton von

verläuft durch den Punkt (0,1) und nähert sich asymptotisch der

bis 0 ab, je größer

-Achse für

an. Für

ist. Die Kurve

nach rechts und für


nach links, und zwar um so schneller, je größer

fällt für

.

ist. Die Funktion

wächst für

und


Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen können in den folgenden zwei Fällen auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden,
wenn die Unbekannte

oder ein Polynom

nur im Exponenten einiger Größen

steht:

1.
Sind die Potenzen

nicht durch Additionen oder Subtraktionen miteinander verbunden,

dann wird die Gleichung zu beliebiger Basis logarithmiert.
Beispiel

2.
Sind

ganze oder gebrochene Potenzen ein und derselben Zahl

d.h. ist


dann kann unter Umständen mit Hilfe des Ansatzes

algebraische Gleichung in

erhalten werden, nach deren Lösung

aus dem Verhältnis

zahlenmäßig zu bestimmen ist.
Beispiel

Substitution von

liefert

so daß daraus folgt

und

Weitere reelle Wurzeln gibt es nicht.

eine


Exponentialsumme
Die Funktion
(2.61)
ist in den folgenden vier Abbildungen für charakteristische Vorzeichen-Relationen dargestellt.


Die Konstruktion der Kurve erfolgt über die Addition der Ordinaten der Kurven der beiden Summanden
und
Die Funktion ist stetig. Wenn keine der Zahlen

gleich 0 ist, besitzt die Kurve eine der vier dargestellten

Formen. Die Kurvenbilder können in Abhängigkeit von den Vorzeichen der Parameter an den Koordinatenachsen
gespiegelt sein.


Die Schnittpunkte

und

mit der

- bzw.

das Extremum

-Achse liegen bei

bzw.

bei

und der Wendepunkt

soweit diese Punkte vorhanden sind.

Fall a) Die Parameter

und

bzw.

und

Vorzeichenwechsel; sie ändert sich von 0 bis
Wendepunkte gibt es keine; Asymptote ist die

besitzen gleiches Vorzeichen: Die Funktion erfährt keinen
bzw.
-Achse.

oder von

bzw.

bis 0.

bei


Fall b) Die Parameter

und

ohne Vorzeichenwechsel von

haben gleiche,
bis

und

verschiedene Vorzeichen: Die Funktion ändert sich

wobei sie ein Minimum durchläuft, bzw. von

, dabei ein Maximum durchlaufend. Wendepunkte gibt es keine.

bis


Fall c) Die Parameter
von 0 bis
ein Extremum

bzw.

und

haben verschiedene,

oder von

und einen Wendepunkt

bzw.

und

gleiche Vorzeichen: Die Funktion ändert sich

bis 0, wobei sie einmal ihr Vorzeichen wechselt und

durchläuft. Die

-Achse ist Asymptote.


Fall d) Die Parameter
sich monoton zwischen
einen Wendepunkt

und

und auch
und

und

besitzen unterschiedliche Vorzeichen: Die Funktion ändert

bzw. zwischen

und

. Sie besitzt keine Extrema, aber


Exponentialverteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion: Eine stetige Zufallsgröße
Parameter

genügt der Exponentialverteilung mit dem

, wenn sie die Dichte
(16.80)

(s. Abbildung) und damit die Verteilungsfunktion
(16.81)
hat.
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.82)

Angewendet wird die Exponentialverteilung zur Beschreibung folgender Vorgänge: Dauer von Telefongesprächen,
Lebensdauer des radioaktiven Zerfalls, Arbeitszeit einer Maschine zwischen zwei Stillständen, Lebensdauer von


Bauelementen oder Lebewesen.


Extrapolationsprinzip
Das ROMBERG-Verfahren stellt eine Anwendung des sogenannten Extrapolationsprinzips dar. Es soll an der
Herleitung der Formel (19.87) für den Fall

demonstriert werden. Mit

die zugehörige Trapezsumme (19.76) bezeichnet. Ist der Integrand von

werde das gesuchte Integral, mit
im Integrationsintervall

-mal stetig differenzierbar, dann läßt sich zeigen, daß für den Quadraturformelfehler
Trapezsumme eine asymptotische Entwicklung bezüglich

der

der Form
(19.89a)

oder
(19.89b)
gilt. Die Koeffizienten

Man bildet

und

sind von

unabhängige Konstanten.

gemäß (19.89b) und betrachtet die Linearkombination


(19.90)

Setzt man

und

, dann hat

die Fehlerordnung 4, während

und

beide nur die Fehlerordnung 2 haben. Es ergibt sich

(19.91)

Das ist die Formel (19.87) für
Näherung

. Fortgesetzte Wiederholung des eben beschriebenen Vorgehens führt auf die

gemäß (19.87), und es gilt
(19.92)

Beispiel


Für das bestimmte Integral

(Integralsinus), das sich nicht elementar integrieren läßt, sind

Näherungswerte zu ermitteln (8stellige Rechnung).
1. ROMBERG-Verfahren:

Für

liefert das ROMBERG-Verfahren den Näherungwert 0,94608307. Der auf 10 Stellen genaue Wert lautet

0,9460830704. Die Größenordnung

des Fehlers gemäß (19.92) wird bestätigt.

2. Trapez- und SIMPSON-Formel: Aus dem Schema zum ROMBERG-Verfahren liest man unmittelbar ab, daß
für

die Trapezformel den Näherungswert 0,94569086 und die SIMPSON-Formel den Wert

0,94608331 ergibt.
Die Verbesserung der Trapezformel nach HERMITE gemäß (19.77) liefert


.
3. GAUSS-Formel: Nach Formel (19.83) erhält man für

Man sieht, daß die GAUSS-Formel im Fall
, d.h. mit nur 4 Funktionswerten, einen auf 8 Dezimalen
genauen Näherungswert liefert. Diese Genauigkeit würde mit der Trapezsumme erst mit einer sehr hohen Zahl
(

) von Funktionswerten erreicht.

Hinweise:
1.
Eigenständige Bedeutung hat die Integration periodischer Funktionen im Zusammenhang mit der FOURIERAnalyse erlangt. Ihre numerische Realisierung findet man unter dem Stichwort Harmonische Analyse, die auf
dem Rechner mit Hilfe der sogenannten
Schnellen FOURIER-Transformation FFT (Fast FOURIER Transformation) durchgeführt wird.
2.


In vielen Fällen ist es zweckmäßig, bei der numerischen Integration spezielle Eigenschaften des Integranden
auszunutzen. Auf diese Weise sind neben den oben vorgestellten Quadraturformeln noch viele andere
entwickelt worden, und die Literatur zu Fragen der Konvergenz, der Abschätzung des Quadraturformelfehlers
oder zur Konstruktion optimaler Quadraturformeln ist sehr umfangreich (s. Lit. 19.3).
3.
Zur numerischen Integration mehrfacher Integrale muß auf die Literatur verwiesen werden (s. Lit. 19.30).


Einfache Variationsaufgabe und Extremale
Als einfache Variationsaufgabe soll die folgende Aufgabe bezeichnet werden:
Es sind Extremwerte von Integralausdrücken der Form
(10.11)

zu bestimmen, wenn
und

alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, die den Randbedingungen
genügen, durchläuft. Die Werte

und

sowie die Funktion

sind

gegeben.
Der Integralausdruck (10.11) ist ein Beispiel für ein sogenanntes Funktional , das dadurch gekennzeichnet ist, daß es
jeder Funktion
Nimmt das Funktional

aus einer bestimmten Funktionenklasse eine reelle Zahl zuordnet.
von (10.11) z.B. für die Funktion

ein relatives Maximum an, dann gilt


(10.12)
beim Vergleiche mit allen anderen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen
genügen. Die Kurve

, die den Randbedingungen

wird als Extremale bezeichnet. Manchmal werden auch alle Lösungen der

EULERschen Differentialgleichung der Variationsrechnung als Extremalen bezeichnet.


Aufgabenstellung
1. Extremum eines Integralausdrucks In der Differentialrechnung besteht eine wichtige Aufgabe darin,
festzustellen, für welche

-Werte eine vorgegebene Funktion

einen Extremwert hat. In der

Variationsrechnung lautet die entsprechende Frage: Für welche Funktionen nimmt ein bestimmtes Integral,
dessen Integrand von dieser Funktion und deren Ableitungen abhängt, einen Extremwert an? In der
Variationsrechnung wird demzufolge ein ganzer Funktionsverlauf

gesucht, der einen Integralausdruck

der Form
(10.1)

zum Extremum macht, wenn
können für die Funktionen

eine bestimmte, genau charakterisierte Funktionenklasse durchläuft. Dabei
und deren Ableitungen noch zusätzliche Bedingungen, sogenannte Rand - und


Nebenbedingungen , gestellt werden.
können in (10.1)
2. Integralausdrücke der Variationsrechnung An Stelle der unabhängigen Variablen
auch mehrere Variablen stehen. Die auftretenden Ableitungen sind dann partielle Ableitungen, und das Integral
in (10.1) entspricht einem mehrfachen Integral. Im wesentlichen werden in der Variationsrechnung Aufgaben
mit folgenden Integralausdrücken untersucht:
(10.2)

(10.3)

(10.4)

(10.5)

Die gesuchte Funktion ist

, und

stellt einen ebenen Integrationsbereich dar.

(10.6)


Die gesuchte Funktion ist

, und

stellt einen räumlichen Integrationsbereich dar.

Für die Lösungen eines Variationsproblems können zusätzliche Randbedingungen vorgegeben sein, die im
und bzw. auf dem Rand des Integrationsgebietes
im
eindimensionalen Fall an den Intervallrändern
zweidimensionalen Fall gelten sollen. Darüber hinaus können den Lösungen noch verschiedene Arten von
Nebenbedingungen , z.B. in Integralform oder als Differentialgleichung vorgeschrieben sein.
Ein Variationsproblem heißt von erster bzw. höherer Ordnung je nachdem, ob die Funktion
der Variationsaufgabe nur die erste Ableitung

oder höhere Ableitungen

im Integralausdruck
der Funktion

enthält.

3. Parameterdarstellung der Variationsaufgabe Ein Variationsproblem kann auch in Parameterdarstellung
vorliegen. Für die Kurvendarstellung

hat dann z.B. der

Integralausdruck (10.2) die Form

(10.7)


Maxima und Minima
Unter relativen oder lokalen Extremwerten versteht man die relativen Maxima und Minima einer Funktion. Relatives
Maximum (

) bzw. relatives Minimum (

) einer Funktion

werden solche Funktionswerte

genannt, die die Ungleichungen
(6.34a)
(6.34b)
erfüllen, wobei für
sind die Werte

beliebig kleine positive oder negative Werte eingesetzt werden können. Im relativen Maximum
größer als alle benachbarten Funktionswerte und entsprechend im Minimum kleiner. Den

größten bzw. kleinsten Wert, den eine Funktion in einem Intervall annehmen kann, bezeichnet man als ihr globales
oder absolutes Maximum bzw. globales oder absolutes Minimum in bezug auf dieses Intervall.


Definition
Eine Funktion

besitzt im Punkt
einen relativen Extremwert, wenn sich eine Zahl

derart angeben läßt,

daß das Gebiet
zum
Definitionsbereich der Funktion gehört und für jeden Punkt dieses Gebiets mit Ausnahme von

für ein Maximum

die Ungleichung
(6.66a)
und für ein Minimum die Ungleichung
(6.66b)
gilt. In der Sprache des Begriffs des mehrdimensionalen Raumes sind in den Punkten eines relativen Maximums
oder relativen Minimums die Funktionswerte größer oder kleiner als in den benachbarten Punkten.


Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion
1. Ermittlung der Extrempunkte:
Da diese die notwendige Bedingung

erfüllen, werden nach der Berechnung der Ableitung

alle reellen Wurzeln
ihnen, z.B.

der Gleichung

bestimmt und jede von

mit einer der folgenden Methoden untersucht.

2. Methode des Vorzeichenvergleichs:
Für je einen Wert
Ableitung

bzw.

, der etwas kleiner bzw. etwas größer als

festgestellt, wobei zwischen

liegen dürfen. Wenn beim Übergang von
,,

`` wechselt, dann befindet sich bei

wechselt es umgekehrt von ,,

`` nach ,,

und
zu

bzw.

ist, wird das Vorzeichen der

keine weiteren Nullstellen von

das Vorzeichen von

ein relatives Maximum der Funktion

von ,,

`` nach

(linke Abbildung);

``, dann liegt ein relatives Minimum vor (rechte Abbildung).


Gibt es keinen Vorzeichenwechsel der Ableitung (folgende linke und rechte Abbildung), dann besitzt die Kurve
bei

kein Extremum, sondern einen Wendepunkt mit einer zur

-Achse parallelen Tangente.


3. Methode der höheren Ableitungen:
Besitzt die Funktion an der Stelle
Ableitung

höhere Ableitungen, dann wird jede Wurzel

eingesetzt. Ist

dann gibt es an der Stelle

ein relatives Minimum, ist

dann wird
dann gibt es bei

eingesetzt. Ergibt sich dabei
Wendepunkt . Erhält man

in die zweite

ein relatives Maximum, ist

in die dritte Ableitung
kein Extremum, sondern einen

dann ist in die vierte Ableitung einzusetzen usw.

4. Bedingungen für Extremwerte und Wendepunkte:
Ist die Ordnung der Ableitung, die an der Stelle

erstmalig nicht verschwindet, gerade, dann besitzt

dort ein relatives Extremum: für einen negativen Wert ein relatives Maximum, für einen positiven ein
relatives Minimum. Ist die Ordnung dieser Ableitung ungerade, dann besitzt die Funktion an dieser Stelle
keinen Extremwert, sondern einen Wendepunkt . Die Methode des Vorzeichenvergleichs kann auch bei
nichtexistierender Ableitung wie in den drei folgenden Abbildungen eingesetzt werden.


Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen
Wenn das Extremum einer Funktion

mit

Veränderlichen bestimmt werden soll,

die voneinander abhängig und durch die Nebenbedingungen
(6.70a)
miteinander verknüpft sind, wobei die Anzahl dieser Verknüpfungen
Multiplikatorenmethode von LAGRANGE

unbestimmte Multiplikatoren

folgenden LAGRANGE-Funktionen der

sein muß, dann führt man gemäß der
ein und betrachtet die

Veränderlichen
:

(6.70b)


Die notwendige Bedingung für ein Extremum der Funktion
Unbekannten

ist ein System von

Gleichungen (6.69) mit den

in der Form
(6.70c)

Als notwendige Bedingung dafür, daß die Funktion

ein Extremum besitzen kann, muß das Wertesystem

diese Gleichungen erfüllen.

Beispiel
mit der Nebenbedingung

Die Extremwerte der Funktion

werden aus den

drei Gleichungen
(6.71)
mit den drei Unbekannten

bestimmt.


Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Veränderlichen
Wenn

gegeben ist, wird das Gleichungssystem

gelöst, damit die erhaltenen

in

Wertepaare

(6.67)

eingesetzt werden können. Durch Diskussion des Ausdrucks

(6.68)

bestimmt man die Art des Extremwertes:
1.

:


Im Falle

:
Im Falle

3.

für das Wertesystem

ein Minimum (hinreichende Bedingung).

mit
2.

besitzt die Funktion

hat

kein Extremum.

:
Im Falle

ist die Diskussion komplizierter.

mit

ein Maximum


Bestimmung der globalen Extremwerte
Das betreffende Intervall der unabhängigen Variablen wird in Teilintervalle zerlegt, in denen die Funktion
differenzierbar ist. Die globalen Extremwerte sind dann unter den relativen Extremwerten der Teilintervalle und den
Funktionswerten in den Randpunkten der Teilintervalle zu finden.
Beispiel A
Intervall

Größter Wert bei

(linke Abbildung).


Beispiel B
Intervall

Größter Wert bei

Intervall

Größter Wert

(rechtes Intervallende, rechte

Abbildung).
Beispiel C

Abbildung von links).
Beispiel D

Festlegung:

für

(dritte


Intervall
Ableitung).

Größter Wert bei

(rechte Abbildung, Maximum, unendliche


Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion
Wenn die Funktion in der impliziten Form
partiellen Ableitngen

gegeben ist und die Funktion

selbst sowie ihre

stetig sind, können die Maxima und Minima folgendermaßen bestimmt werden:

1. Lösung des Gleichungssystems
und Einsetzen der erhaltenen Werte
in

und

.

2. Vorzeichenvergleich
für

und

im Punkt

: Im Falle verschiedener Vorzeichen besitzt die Funktion

ein Minimum, im Falle gleicher Vorzeichen von
entweder

oder

in

und

besitzt sie ein Maximum bei

bei
. Wenn

verschwindet, dann ist die weitere Untersuchung komplizierter.


Winkel
Summe der Winkel: Die Summe der Winkel liegt zwischen

und

:
(3.169)

Spärischer Exzeß: Die Differenz

wird sphärischer Exzeß genannt.

Summe zweier Winkel: Die Summe zweier Winkel ist kleiner als der um

vergrößerte dritte Winkel, z.B.
(3.170)

Gegenüberliegende Seite und Winkel: Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber und
umgekehrt.


Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung
Der geometrische Ort aller Punkte

mit einem konstanten Verhältnis

der Abstände zu einem festen Punkt

dem Brennpunkt, und zu einer gegebenen Geraden, der Leitlinie, ist eine Kurve zweiter Ordnung mit der
numerischen Exzentrizität

Für

ergibt sich eine Ellipse, für

eine Parabel und für

eine Hyperbel.


Untergraphen, Faktoren
Ist

ein Graph, dann heißt ein Graph

Untergraph von

wenn

und

gilt.
Enthält

genau diejenigen Kanten aus

Untergraph von
Ein Untergraph

verbinden, dann heißt

der von

wird Teilgraph von

genannt.

induzierte

.
von

Unter einem Faktor F eines Graphen
enthält.

, die Knoten aus
mit

versteht man einen regulären Untergraphen von

, der alle Knoten von


Fundamentalsatz der Algebra
Jede Gleichung

-ten Grades, deren Koeffizienten reelle oder komplexe Zahlen sind, besitzt

komplexe Wurzeln, wobei die

-fachen Wurzeln

-mal gezählt werden. Wenn die Wurzeln von

bezeichnet werden und diese jeweils die Vielfachheiten

reelle oder
mit

besitzen, dann gilt die

Darstellung in Faktoren oder Produktdarstellung
(1.167a)
Die Lösung einer Gleichung

kann stets durch Zurückführen auf eine Gleichung vereinfacht werden, die

die gleichen Wurzeln wie die Ausgangsgleichung hat, aber jeweils nur noch mit der Vielfachheit 1. Dazu wird das
Polynom in zwei Faktoren derart zerlegt, daß
(1.167b)
(1.167c)


gilt. Man kann

als größten gemeinsamen Teiler der Polynome

bestimmen, da die mehrfachen Wurzeln von
man dann durch Division von
Vielfachheit 1.

durch

auch Wurzeln von
, und

und dessen Ableitung
sind. Das Polynom

hat dieselben Nullstellen wie

erhält
, aber mit der


Homomorphiesatz für Gruppen
Die Menge der Nebenklassen eines Normalteilers

in einer Gruppe

wird bezüglich der Operation
(5.104)

zu einer Gruppe, der Faktorgruppe von

nach

die mit

bezeichnet wird.

Der folgende Satz beschreibt einen Zusammenhang zwischen homomorphen Bildern und Faktorgruppen einer
Gruppe und wird deshalb Homomorphiesatz für Gruppen genannt:
Ein Gruppenhomomorphismus

bestimmt einen Normalteiler von
Die Faktorgruppe

ist isomorph zum homomorphen Bild

. Umgekehrt bestimmt jeder Normalteiler
mit
genannt.
Beispiel

Diese Abbildung

nämlich

von

eine homomorphe Abbildung

wird natürlicher Homomorphismus


ein Gruppenhomomorphismus mit dem

Weil die Determinantenbildung
Kern

ist, bildet

einen Normalteiler von

Homomorphiesatz):
Zahlen. Bezeichnungen s. Normalteiler.

und es gilt (nach dem

ist isomorph zur multiplikativen Gruppe

der reellen


Ringhomomorphismus und Ringisomorphismus
1. Ringhomomorphismus: Es seien

und

Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus , wenn für alle

gilt:
(5.110)

2. Kern: Der Kern von

ist die Menge aller Elemente aus

abgebildet werden, und wird mit

die bei

auf das neutrale Element 0 von

bezeichnet:
(5.111)

3. Ringisomorphismus: Ist

außerdem bijektiv, so heißt

heißen zueinander isomorph.

Ringisomorphismus , und die Ringe

und


4. Faktorring: Ist

ein Ideal eines Ringes
von

in der additiven Gruppe

so wird die Menge der Nebenklassen
des Ringes

bezüglich der Operationen

(s. Definition und Eigenschaften von Gruppen)
(5.112)
zu einem Ring, dem Faktorring von
Die Hauptideale

von

nach

der mit

bezeichnet wird.

liefern als Faktorringe gerade die Restklassenringe

(s. Beispiele für Ringe und Körper).


Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät
Der zunächst nur für ganzzahlige positive

definierte Begriff der Fakultät erfährt über die Funktion
(8.103a)

seine Erweiterung auf beliebige reelle Zahlen. Es gelten die folgenden Beziehungen:
Für ganzzahliges positives
(8.103b)
für
(8.103c)
für ganzzahliges negatives
(8.103d)
für

(8.103e)


für

(8.103f)

für

(8.103g)
Eine näherungsweise Berechnung der Fakultät für beliebig große Zahlen (

), auch gebrochene Zahlen

kann mit Hilfe der STIRLINGSCHEN Formel erfolgen:
(8.103h)

(8.103i)

Die Kurven der Funktionen

und

sind in der folgenden Abbildung dargestellt. In der Tabelle

,,Gammafunktion`` sind die Zahlenwerte angegeben.

,


FALKsches Schema
Für die praktische Durchführung der Matrixmultiplikation gemäß
Übersichtlichkeit halber das FALKsche Schema (obere Abbildung).
der Produktmatrix

Das Element
ten Spalte von

.

verwendet man der größeren

erscheint genau im Kreuzungspunkt der

-ten Zeile von

mit der

-


Beispiel
Die Multiplikation zweier Matrizen
Abbildung).

und

erfolgt mit Hilfe des FALKschen Schemas (untere


Faltung
Die zweiseitige Faltung
(15.94)

bezieht sich auf das Intervall (
in diesem Intervall

) und existiert unter der Voraussetzung, daß die Funktionen
absolut integrierbar sind. Wenn

und

und

beide für

verschwinden, dann ergibt sich aus (15.94) die einseitige Faltung

(15.95)
Diese ist somit ein Spezialfall der zweiseitigen Faltung. Während die FOURIER-Transformation die zweiseitige Faltung
benutzt, verwendet die LAPLACE-Transformation die einseitige Faltung.
Für die FOURIER-Transformation der zweiseitigen Faltung gilt


(15.96)
wenn die Integrale
(15.97)

existieren, d.h., die Funktionen und ihre Quadrate im Intervall

integrierbar sind.

Beispiel
Es ist die zweiseitige Faltung

für die Funktion des unipolaren Rechteckimpulses (A.1) (linke Abbildung) zu berechnen.

Da


gilt, ergibt sich

für

für

für

,

,

. Zusammengefaßt erhält man für diese Faltung (s. rechte Abbildung)

Für die FOURIER-Transformierte erhält man mit (A.1) vom Beisiel für den unipolaren Rechteckimpuls

und für das Amplitudenspektrum der Funktion


Unterabschnitte
●
●

Faltung im Originalbereich:
Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung):

Faltung
Faltung im Originalbereich:
Als Faltung zweier Funktionen

und

bezeichnet man das Integral

(15.21)

Die Gleichung (15.21) wird auch einseitige Faltung im Intervall

genannt.


Eine zweiseitige Faltung tritt bei der FOURIER-Transformation (Faltung im Intervall (

)) auf.

Die Faltung (15.21) besitzt die Eigenschaften
(15.22a)
(15.22b)
(15.22c)
Im Bildbereich entspricht der Faltung die gewöhnliche Multiplikation:
(15.23)
In der folgenden Abbildung ist die Faltung zweier Funktionen graphisch dargestellt.


Man kann den Faltungssatz zur Bestimmung der Originalfunktion wie folgt benutzen:
1.
Faktorisierung der Bildfunktion

.

2.
Ermittlung der Originalfunktionen

und

der Bildfunktionen

und

3.
Bildung der Originalfunktion durch Faltung von

mit

im Originalbereich gemäß

gemäß Tabelle.


, die zur gegebenen Bildfunktion

gehört.

Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung):

(15.24)

Die Integration erfolgt längs einer Parallelen zur imaginären Achse. Im ersten Integral müssen
werden, daß

in der Konvergenzhalbebene von

. Entsprechendes gilt für das zweite Integral.

liegt und

und

so gewählt

in der Konvergenzhalbebene von


Dämpfung und Faltung

1. Dämpfung: Für

, beliebig komplex,

gilt:

(15.123)
2. Faltung: Als Faltung zweier Folgen

und

bezeichnet man die Operation

(15.124)
Existieren die Z-Transformierten

für

und

für

, dann gilt
(15.125)


für

. Die Beziehung (15.125) wird auch als Faltungssatz der Z-Transformation

bezeichnet. Er entspricht der Vorschrift für die Multiplikation zweier Potenzreihen.


Unterabschnitte
●
●
●

Eingangsfehler
Verfahrensfehler:
Rundungsfehler:

Fehlerarten
Numerische Verfahren sind fehlerbehaftet. Es gibt die folgenden Fehlerarten, aus denen sich der akkumulierte Fehler
(Gesamtfehler) des Ergebnisses zusammensetzt:


Eingangsfehler
1. Begriff des Eingangsfehlers: Eingangsfehler heißt der Fehler des Ergebnisses, der durch fehlerbehaftete
Eingangsdaten verursacht wird. Die Bestimmung des Eingangsfehlers aus den Fehlern der Eingangsdaten
wird direkte Aufgabe der Fehlertheorie genannt. Als inverse Aufgabe wird jene bezeichnet, die untersucht,
welche Fehler die Eingangsdaten besitzen dürfen, damit ein zugelassener Eingangsfehler des Resultats nicht
überschritten wird. Die Abschätzung des Eingangsfehlers ist bei komplexeren Aufgaben sehr kompliziert und
kaum durchführbar.
Allgemein gilt für eine zu berechnende reellwertige Funktion
den absoluten Eingangsfehler

mit

für


(19.275)

wenn man für
Mit

die TAYLOR-Formel mit linearem Restglied verwendet.
werden dabei Zwischenstellen, mit

Näherungswerte für

bezeichnet. Unter den Näherungswerten sind hier die fehlerhaften Eingangswerte zu
verstehen. In diesem Zusammenhang ist auch das GAUSSsche Fehlerfortpflanzungsgesetz zu beachten.
2. Eingangsfehler für einfache arithmetische Operationen: Für einfache arithmetische Operationen sind die
Eingangsfehler bekannt. Mit den Bezeichnungen
(19.276)

erhält man für die vier Grundrechenoperationen:
(19.277)
(19.278)


(19.279)

(19.280)

(19.281)
(19.282)
Die Formeln zeigen: Kleine relative Fehler der Eingangsdaten bewirken bei Multiplikation und Division nur kleine
relative Fehler des Ergebnisses. Bei Addition und Subtraktion kann dagegen der relative Fehler von Summe und
Differenz groß werden, wenn

gilt. Dann besteht die Gefahr der Stellenauslöschung.

Verfahrensfehler:
1. Verfahrensfehler: Verfahrensfehler leiten sich aus der Notwendigkeit ab, daß Kontinuum und Grenzwert
numerisch approximiert werden müssen. Daraus ergeben sich Abbruchfehler bei Grenzprozessen (wie z.B. bei
Iterationsverfahren) und Diskretisierungsfehler bei der Approximation des Kontinuums durch ein endliches
diskretes System (wie z.B. bei der numerischen Integration). Verfahrensfehler existieren unabhängig von
Eingangs- und Rundungsfehlern; sie können deshalb nur im Zusammenhang mit dem verwendeten
Lösungsverfahren untersucht werden.
2. Verhalten bei bei Iterationsverfahren: Wird ein Iterationsverfahren zur Lösung eingesetzt, so muß man


sich bewußt sein, daß prinzipiell die beiden Fälle Ausgabe einer richtigen Lösung und Ausgabe einer falschen
Lösung möglich sind. Es kann jedoch auch der kritische Fall auftreten, daß keine Lösung gefunden wurde,
obwohl eine existiert.
Um Iterationsverfahren transparenter und sicherer zu machen, sollten folgende Empfehlungen beachtet
werden:
a)
Um ,,endlose`` Iterationen zu verhindern, sollte die Anzahl der Iterationsschritte gezählt und in die
Abbruchbedingung einbezogen werden (Abbruch nach einer bestimmten Anzahl von Iterationszyklen
auch dann, wenn die geforderte Genauigkeit noch nicht erreicht wurde).
b)
Verfolgung der Lösungsentwicklung auf dem Bildschirm durch die numerische oder graphische Ausgabe
von Zwischenergebnissen.
c)
Nutzung evtl. bekannter Eigenschaften der Problemlösung wie Gradient, Monotonie usw.
d)
Untersuchung der Möglichkeit der Skalierung von Variablen bzw. Funktionen.
e)
Durchführung mehrerer Tests durch Variation von Schrittweite, Abbruchbedingung, Startwerten usw.

Rundungsfehler:
Rundungsfehler entstehen dadurch, daß Zwischenergebnisse gerundet werden müssen. Sie sind demnach für die
Beurteilung eines mathematischen Verfahrens bezüglich der erzielbaren Genauigkeit der Resultate von wesentlicher
Bedeutung. Sie entscheiden neben den Eingangs- und Verfahrensfehlern darüber, ob ein numerisches Verfahren


stark stabil, schwach stabil oder instabil ist. Starke Stabilität und schwache Stabilität oder Instabilität liegen vor, wenn
der Gesamtfehler mit wachsender Schrittzahl abnimmt, von gleicher Größenordnung bleibt oder anwächst.
Bei der Instabilität unterscheidet man die Anfälligkeit gegen Rundungs- und Diskretisierungsfehler (numerische
Instabilität) und gegen Fehler in den Ausgangsdaten bei exakter Rechnung (natürliche Instabilität). Ein
Rechenprozeß ist dann sinnvoll, wenn die numerische Instabilität nicht größer als die natürliche Instabilität ist.
Für die lokale Fortpflanzung von Rundungsfehlern, d.h., es werden die Rundungsfehler betrachtet, die beim
Übergang von einem Rechenschritt zum nächsten auftreten, gelten dieselben Überlegungen und Abschätzungen, wie
sie für die Eingangsfehler angestellt worden sind.


Absoluter und relativer Fehler
1. Absolute Unsicherheit, absoluter Fehler: Die Unsicherheit eines Meßergebnisses, angegeben als Fehler
oder

bzw.

oder

, ist ein Maß für die Zuverlässigkeit der Messungen.

Der Begriff der absoluten Unsicherheit , angegeben als absoluter Fehler , steht für alle diese Fehlergrößen und
die ihnen entsprechenden Ergebnisse von Fehlerfortpflanzungsrechnungen. Sie zeichnen sich durch die
gleiche Dimension aus wie die zu messende Größe. Der absolute Fehler wurde eingeführt, um
Verwechslungen mit dem Begriff des relativen Fehlers zu vermeiden. Als Formelzeichen wird häufig
verwendet. Das Wort ,,absolut`` hat hier eine andere Bedeutung als im Begriff Absolutwert: Es
bzw.
bezieht sich lediglich auf den Zahlenwert der Meßgröße (z.B. Länge, Ladung, Energie), ohne auf ihr
Vorzeichen Bezug zu nehmen.
2. Relative Unsicherheit, relativer Fehler: Die relative Unsicherheit , angegeben durch den relativen Fehler ,
ist ein Maß für die Qualität der Messungen, bezogen auf den Zahlenwert der Meßgröße im oben definierten
Sinne. Im Unterschied zum absoluten Fehler ist der relative Fehler dimensionslos, weil er als Quotient aus dem
absoluten Fehler und dem Zahlenwert der Meßgröße gebildet wird. Ist letzterer nicht bekannt, dann setzt man
den Mittelwert der Meßgröße

ein:
(16.196a)


Der relative Fehler wird meist in Prozenten angegeben und heißt daher auch prozentualer Fehler :
(16.196b)


Einführung, Fehlerarten
Für das Rechnen auf Computern gelten zwar prinzipiell die gleichen Gesichtspunkte wie beim Rechnen von Hand,
jedoch werden diese durch die vorhandene begrenzte und feste Stellenzahl, durch die interne duale Darstellung der
Zahlen und durch die fehlende Kritikfähigkeit des Computers gegenüber Fehlern verstärkt. Hinzu kommt noch, daß
auf Computern im allgemeinen wesentlich umfangreichere Rechenprozesse ablaufen, als sie manuell möglich wären.
Daraus ergeben sich Fragen nach der Beurteilung und der Beeinflussung von Fehlern, nach der Auswahl des
numerisch günstigsten Verfahrens unter mathematisch gleichwertigen, aber auch nach den Abbruchbedingungen
eines Iterationsverfahrens.
In den folgenden Ausführungen werden für die Angabe von Fehlern die folgenden Bezeichnungen benutzt, wobei
der exakte Wert einer Größe ist, der häufig unbekannt ist, und

ist ein Näherungswert für

:

1. Absoluter Fehler:
(19.263)
2. Relativer Fehler:
(19.264)
Häufig werden auch die Bezeichnungen


(19.265)
verwendet.


Absoluter und relativer Maximalfehler
1. Absoluter Maximalfehler:Ist die zu bestimmende Größe eine Funktion der Meßgrößen, dann muß der
resultierende absolute Fehler unter Berücksichtigung dieser Funktion berechnet werden. Das geschieht
entweder mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes, wodurch ein Ausgleich der Messungen vorgenommen
wird, weil nach der Fehlerquadratmethode ein Minimum von

gesucht wird, oder man

verzichtet auf den Ausgleich der Meßwerte und berechnet lediglich eine obere Fehlerschranke, die absoluter
Maximalfehler

genannt wird. Für den Fall, daß es sich um

unabhängige Veränderliche

handelt, gilt:
(16.197)
wobei für die

der jeweilige Mittelwert

einzusetzen ist.

2. Relativer Maximalfehler: Der relative Maximalfehler wird gebildet, indem der absolute Maximalfehler durch
den Zahlenwert der Meßgröße (meist ist das der Mittelwert

) dividiert wird:


(16.198)


Angabe der definierten Fehler
Die Angabe des Meßergebnisses erfolgt für die Einzelmessung in der Form
(16.199a)
für den Mittelwert in der Form
(16.199b)
Dabei wurde für
aber auch

und

jeweils die mit Abstand am häufigsten verwendete Standardabweichung eingesetzt. Es können
benutzt werden.


Vorgabe beliebiger Vertrauensgrenzen
Die Größe

genügt gemäß (16.98) im Falle einer

Verteilung (16.99) mit dem Freiheitsgrad
statistische Sicherheit
Quantile

verteilten Grundgesamtheit der

. Für eine geforderte Irrtumswahrscheinlichkeit

ergeben sich für den unbekannten wahren Wert

-

oder

mit Hilfe der

-

die Vertrauensgrenzen
(16.200)

Somit liegt der wahre Wert

mit der statistischen Sicherheit

, d.h. mit der Wahrscheinlichkeit

, innerhalb dieses Intervalls mit den angegebenen Vertrauensgrenzen.
Meist ist man daran interessiert, den Meßreihenumfang
ist um so enger, je kleiner

so gering wie möglich zu halten. Das Vertrauensintervall

gewählt wird und je größer die Anzahl

der Messungen ist. Da


mit

abnimmt und die Quantile

mit

abnehmen (bei

von 5 bis 10 ebenfalls mit

(s. Tabelle STUDENT-Verteilung), verringert sich die Breite des Vertrauensintervalls hier mit

.


Fehler des arithmetischen Mittelwertes einer Meßreihe
Die Fehler des arithmetischen Mittelwertes
folgt definiert:

einer Meßreihe werden mit Hilfe der Fehler der Einzelmessung wie

1. Mittlerer quadratischer Fehler oder Standardabweichung:
(16.193)
2. Wahrscheinlicher Fehler:
(16.194)
3. Mittlerer Fehler:


(16.195)
4. Sättigung des erreichbaren Fehlerniveaus: Da die drei definierten Fehler (16.193-16.195) des
arithmetischen Mittels proportional zum entsprechenden Fehler der Einzelmessung (16.186, 16.189, 16.192)
und umgekehrt proportional zur Wurzel aus
sind, ist es nicht sinnvoll, mit der Anzahl der Einzelmessungen
über einen gewissen Wert hinauszugehen. Eine merkliche Verringerung des Fehlers kann nur durch
Verbesserung des Genauigkeitsmaßes

der Meßmethode (16.176) erreicht werden.


Unterabschnitte
●
●
●
●

1. Wahrer und scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
2. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der Einzelmessung:
3. Wahrscheinlicher Fehler:
4. Mittlerer Fehler:

Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
1. Wahrer und scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
1. Wahrer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe: wird die Abweichung des Meßergebnisses vom
wahren Wert

genannt. Da dieser meist unbekannt ist, bleibt auch der wahre Fehler

Messung mit dem Ergebnis

der

-ten

unbekannt:
(16.184a)


2. Scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe wird die Abweichung des Meßergebnisses
vom arithmetischen Mittelwert genannt:
(16.184b)

2. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der
Einzelmessung:
Da der Erwartungswert der Summe der wahren Fehler
Fehler

von

und der Erwartungswert der Summe der scheinbaren

Messungen einer Größe verschwindet, werden die verschiedenen Fehler mit Hilfe der

Fehlerquadratsummen berechnet:
(16.185a)

(16.185b)
Für die praktische Auswertung ist nur (16.185b) von Interesse, weil nur die Werte
ermittelt werden können. Deshalb definiert man

aus den Meßergebnissen


(16.186)

als mittleren quadratischen Fehler der Einzelmessung der Meßreihe. Der Wert
Standardabweichung

ist ein Näherungswert für die

der Fehlerverteilung.

Im Falle der Fehlernormalverteilung gilt für

:
(16.187)

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, daß der wahre Fehler betragsmäßig den Wert
68 %.

nicht übersteigt, beträgt ca.

3. Wahrscheinlicher Fehler:
Wahrscheinlicher Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl

, für die gilt:
(16.188)

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert
Abszissenwerte

nicht übersteigt, beträgt in diesem Falle 50 %. Die

teilen die linke und rechte Fläche unter der Dichtefunktion in je zwei gleich große Hälften (s.


Abbildung).

Im Falle der Fehlernormalverteilung besteht zwischen

und

der Zusammenhang

(16.189)

4. Mittlerer Fehler:


Mittlerer Fehler ist die Bezeichnung für eine Zahl

, die als Erwartungswert des absoluten Betrages des Fehlers

definiert wird:
(16.190)

Im Falle der Fehlernormalverteilung ergibt sich

. Auf Grund der Beziehung
(16.191)

folgt daraus: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Fehler den Wert
Abszissenwerten
(s. Abbildung).

nicht übersteigt, beträgt ca. 57,6 %. Bei den

liegen die Schwerpunkte der rechten bzw. linken Fläche unter der Dichtefunktion


Im Falle der Fehlernormalverteilung gilt
(16.192)


Parameter zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung
Zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung werden außer der Streuung
Standardabweichung
Genauigkeitsmaß

bzw. der

, auch mittlerer quadratischer Fehler genannt, noch andere Parameter verwendet, wie das
, der mittlere Fehler

und der wahrscheinliche Fehler

.

1. Genauigkeitsmaß: Für das Genauigkeitsmaß oder die Genauigkeit als Maß der Breite der
Fehlernormalverteilung gilt:
(16.176)
Je schmaler die GAUSS-Kurve ist, desto größer ist die Genauigkeit (s. Abbildung).


Wenn für

die experimentell mit Hilfe von Meßwerten ermittelte Größe

bzw.

eingesetzt wird, charakterisiert

das Genauigkeitsmaß die Genauigkeit der Meßmethode.
2. Einfacher mittlerer Fehler

heißt der Erwartungswert des absoluten Betrages des Fehlers:

(16.177)


3. Wahrscheinlicher Fehler

nennt man eine Schranke für den absoluten Betrag des Fehlers mit der

Eigenschaft
(16.178a)

Daraus folgt

(16.178b)

wobei

die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung ist.
4. Vorgabe einer Fehlergrenze: Wenn eine obere Fehlergrenze

vorgegeben wird, die nicht

überschritten werden soll, dann kann mit der Formel
(16.179)
die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet werden, mit der der Fehler in das Intervall

fällt.


Mittlerer quadratischer Fehler einer Funktion
Wenn eine Funktion

durch eine trigonometrische Summe

(7.99a)
auch FOURIER-Summe genannt, angenähert wird, dann ist der mittlere quadratische Fehler mit einer minimalen
Fehlerquadratsumme

(7.99b)

am kleinsten, wenn für
benutzt werden.

und

die FOURIER-Koeffizienten (7.96a,b) der gegebenen Funktion zur Näherung


Zusammenhang zwischen Standartabweichung, mittlerem und wahrscheinlichem
Fehler sowie Genauigkeit
Im Falle der Fehlernormalverteilung gelten unter Benutzung des Zahlenfaktors

die folgenden

Zusammenhänge:
(16.180a)

(16.180b)
sowie
(16.181)


Fehleranalyse
Unter Fehleranalyse versteht man allgemein die Analyse der Fortpflanzung von Fehlern bei der Berechnung einer
Funktion

, wenn Größen höherer Ordnung vernachlässigt werden. Im Rahmen der Theorie der Fehleranalyse

wird mit Hilfe eines Algorithmus untersucht, wie sich ein Eingangsfehler

im Endergebnis

auswirkt.

Man spricht in diesem Zusammenhang auch von differentieller Fehleranalyse.
In der numerischen Mathematik versteht man unter Fehleranalyse die Untersuchung des Einflusses von Verfahrens-,
Rundungs- und Eingangsfehlern auf das Ergebnis (s. Lit. 19.27, 19.31).


Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse
Häufig gehen die gemessenen Größen über eine funktionale Abhängigkeit in ein Endresultat ein. Wenn die Fehler
klein sind, kann eine TAYLOR-Entwicklung nach den Fehlern durchgeführt werden, in der man die Glieder zweiter
Ordnung vernachlässigt. Man spricht dann von Fehlerfortpflanzung .
●
●

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
Fehleranalyse


TAYLOR-Entwicklung
Da die Fehler relativ kleine Änderungen der unabhängigen Variablen darstellen, kann die Funktion
in der Nähe der Mittelwerte
Koeffizienten

durch den Linearanteil ihrer TAYLOR-Entwicklung mit den

angenähert werden, so daß für ihren Fehler

gilt:
(16.206a)
(16.206b)

wobei die partiellen Ableitungen

an der Stelle

zu nehmen sind.

Streuung und Standardabweichung der Funktion ergeben sich zu
(16.207)


Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
●
●
●
●
●

Problemstellung
TAYLOR-Entwicklung
Näherung für die Streuung
Spezialfälle
Unterschied zum Maximalfehler


Näherung für die Streuung
Da die Streuungen der unabhängigen Variablen

unbekannt sind, ersetzt man sie durch Streuungen ihrer

Mittelwerte, die aus den Meßwerten

der einzelnen Variablen wie folgt ermittelt werden:

(16.208)

Mit diesen Werten bildet man als Näherung für

:

(16.209)
Diese Formel (16.209) wird GAUSSsches Fehlerfortpflanzungsgesetz genannt.


GAUSSsches Fehlerintegral und Fehlerfunktion
Das GAUSSsche Fehlerintegral ist auf das Gebiet

beschränkt. Es gelten die folgenden Definitionen und

Beziehungen:
(8.99a)

(8.99b)

(8.99c)

Die Funktion

ist die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung und liegt tabelliert als Tabelle

,,Normierte Normalverteilung`` vor.
Die in der Statistik häufig verwendete Fehlerfunktion erf
GAUSSschen Fehlerintegral in einem engen Zusammenhang:

, auch Error-Funktion genannt, steht mit dem


(8.100a)

(8.100b)
(8.100c)

(8.100d)

(8.100e)


Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral
1. Verteilungsfunktion und Dichtefunktion: Aus (16.68) erhält man für

und

die

Verteilungsfunktion
(16.72a)
der normierten Normalverteilung . Ihre Dichtefunktion
(16.72b)
beschreibt die GAUSSsche Glockenkurve (s. Abbildung).


Die (

)-Normalverteilung

positive Argumente

liegt tabelliert vor (Tabelle Normierte Normalverteilung), und zwar hier nur für

, da für negative Argumente der Zusammenhang
(16.73)

genutzt werden kann.
2. Wahrscheinlichkeitsintegral: Das Integral

wird auch Wahrscheinlichkeitsintegral oder GAUSSsches

Fehlerintegral genannt. In der Literatur findet man dafür auch die folgenden Definitionen:
(16.74a)


(16.74b)


Fehlernormalverteilung
●
●
●

Dichte und Verteilungsfunktion
Parameter zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung
Zusammenhang zwischen Standartabweichung, mittlerem und wahrscheinlichem Fehler sowie Genauigkeit


Fehlerquadratmethode
Je nachdem, ob die Ansatzfunktion (19.139) die Differentialgleichung oder die Randbedingungen erfüllt, verlangt
man, daß
1.
das über den Rand

erstreckte Linienintegral
(19.142a)

wobei die Randkurve

durch die Parameterdarstellung

2.
das über den Bereich

erstreckte Doppelintegral

beschrieben wird, oder


(19.142b)

erhält man

minimal wird. Aus den dafür notwendigen Bedingungen

Bestimmungsgleichungen für die Parameter

.


Bestimmung der Regressionsgeraden
Wenn zwischen den Merkmalen

und

mit Hilfe des Korrelationskoeffizienten eine Abhängigkeit festgestellt

wurde, dann besteht die nächste Aufgabe in der Ermittlung des funktionalen Zusammenhanges

. Im

einfachsten Falle der linearen Regression wird dabei vorausgesetzt, daß bei beliebigem, aber festem
Zufallsgröße

-Wert die

in der Grundgesamtheit normalverteilt ist mit dem Erwartungswert
(16.139)

und der von
von dem festen

unabhängigen Streuung

. Die Beziehung (16.139) bedeutet, daß die Zufallsgröße

-Wert linear abhängt. Für die in der Regel unbekannten Parameter

Grundgesamtheit werden mit Hilfe der Stichprobenwerte

und

im Mittel

der

Näherungswerte nach der

Fehlerquadratmethode bestimmt. Aus der Forderung
(16.140)


erhält man für

und

die Schätzwerte (Näherungswerte)

(16.141a)

mit
(16.141b)

und dem empirischen Korrelationskoeffizienten
Regressionskoeffizienten . Die Gerade

gemäß (16.138b). Die Koeffizienten
heißt Regressionsgerade .

und

nennt man


Lineares Quadratmittelproblem
Wenn (4.117) das mathematische Modell eines praktischen Vorganges darstellt (

und

reell), dann werden

auf Grund von Meßfehlern oder anderen Fehlern die einzelnen Gleichungen von (4.117) nicht exakt erfüllbar sein,
sondern es wird sich ein Restvektor

mit
(4.118)

ergeben. In diesem Falle wird man

so bestimmen, daß

(4.119)
gilt, d.h., daß die Fehlerquadratsumme minimal wird. Dieses Prinzip geht auf GAUSS zurück. Man bezeichnet (4.119)
auch als lineares Quadratmittelproblem . Die Norm

des Restvektors

heißt Residuum .


Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit
Bei direkten Messungen gleicher Genauigkeit, d.h., wenn für alle

Messungen die gleiche Streuung

realisiert

. In diesem Falle führt die Methode
werden kann, spricht man von Messungen mit gleicher Genauigkeit
der kleinsten Quadrate auf die in (16.186, 16.189, 16.191) angegebenen Fehlergrößen.
Beispiel
direkten Messungen gleicher

Es ist das Endergebnis für eine Meßreihe anzugeben, die aus
Genauigkeit (s. Tabelle) besteht.
1,592 1,581 1,574

1,566

1,603 1,580

1,591 1,583 1,571

1,559

12

1

6

14

23

0

11

3

9

21

144

1

36

196

529

0

121

9

81

441


;

Endergebnis:

.


Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit
●
●
●

Gewicht einer Messung
Standardabweichungen
Fehlerangabe


Meßfehlerverteilungsdichte
Spezielle Annahmen über die Eigenschaften der Meßfehler bedingen bestimmte Eigenschaften der Dichtefunktion
der Fehlerverteilung:
1. Stetige Dichtefunktion: Da zufällige Meßfehler beliebige Werte aus einem bestimmten Intervall annehmen
können, sind sie durch eine stetige Dichte

zu beschreiben.

2. Gerade Dichtefunktion: Wenn Meßfehler mit gleichem Absolutbetrag, aber verschiedenem Vorzeichen
gleichwahrscheinlich sind, muß die Dichtefunktion eine gerade Funktion sein:
.
3. Monoton fallende Dichtefunktion: Wenn Meßfehler mit großem Absolutbetrag weniger wahrscheinlich
sind als Fehler mit kleinem Absolutbetrag, muß

für

eine monoton fallende Funktion sein.

4. Endlicher Erwartungswert: Der Erwartungswert des Absolutbetrages des Fehlers muß eine endliche
Größe sein, d.h., es muß gelten:


(16.174)

Durch Zugrundelegung unterschiedlicher Fehlereigenschaften kommt man zu verschiedenen Fehlerdichtefunktionen.


Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern
1. Fluß eines skalaren Feldes
(13.110)

2. Skalarer Fluß eines Vektorfeldes
(13.111)

3. Vektorfluß eines Vektorfeldes
(13.112)


Gravitationsfeld der Punktmasse
Das Gravitationsfeld der Punktmasse ist ein zweites Beispiel für ein wirbelfreies und gleichzeitig überall, außer am
Ort der Punktmasse, solenoides Feld (s. Abbildung). Man spricht auch vom NEWTONschen Feld. Die NEWTON- Kraft
wirkt für Massen

immer anziehend. Alle Überlegungen, die für das COULOMB-Feld gelten,

sind analog auf das NEWTONsche Feld anwendbar.


Konservatives oder Potentialfeld
●
●
●
●

Definition
Potential eines konservativen Feldes
Zusammenhang zwischen Gradient, Kurvenintegral und Potential
Berechnung des Potentials eines konservativen Feldes


Reines Quellenfeld
Reines Quellenfeld oder wirbelfreies Quellenfeld wird ein Feld
Quelldichte

genannt, dessen Rotation überall Null ist. Ist die

, dann gilt:
(13.125)

In diesem Falle besitzt das Feld ein Potential
POISSONsche Differentialgleichung

, das in jedem beliebigen Punkt

bestimmt ist durch die
(13.126a)

(In der Physik gilt meist

.) Die Berechnung von

erfolgt über

(13.126b)
Die Integration erfaßt den gesamten Raum (s. Abbildung).


Die Divergenz von

muß differenzierbar sein und hinreichend schnell für sehr große Abstände abnehmen.


Skalarfelder
●
●
●
●

Skalares Feld oder skalare Punktfunktion
Wichtige Fälle skalarer Felder
Koordinatendarstellung von Skalarfeldern
Niveauflächen und Niveaulinien


Superposition von Feldern
●
●
●

Diskrete Quellenverteilung
Kontinuierliche Quellenverteilung
Zusammenfassung


Begriff des komplexen Potentials
Es wird ein Feld
und

in der
des Vektors

a) Quellenfreies Feld mit div

-Ebene mit den stetigen und differenzierbaren Komponenten
für den quellenfreien und den wirbelfreien Fall betrachtet.

, d.h.

.

Die Integrabilitätsbedingung lautet für diese Differentialgleichung mit der Feld - oder Stromfunktion
(14.20a)
und es gilt:
(14.20b)


Für zwei Punkte

des Feldes

eine Kurve, die die Punkte

und

b) Wirbelfreies Feld mit

ist die Differenz

ein Maß für den Vektorfluß durch

verbindet, falls diese Kurve ganz im Feld verläuft.

, d.h.

:

Die Integrabiltätsbedingung lautet für diese Differentialgleichung mit der Potentialfunktion
(14.21a)
und es gilt
(14.21b)
Die Funktionen

und

genügen den CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen und jede für sich erfüllt die

LAPLACEsche Differentialgleichung (

). Man faßt

und

zu der analytischen Funktion
(14.22)

zusammen und bezeichnet diese Funktion als komplexes Potential des Feldes
Potential des Vektorfeldes

. Danach ist

das

im Sinne der in der Physik und Elektrotechnik üblichen Bezeichnungsweise. Die Linien

und
bilden ein orthogonales Netz. Für die Ableitung des komplexen Potentials und den Feldvektor
die Beziehungen:

gelten


(14.23)


Feldlinien
Für das Vektorfeld

heißt eine Kurve

(s. Abbildung)

Feldlinie , wenn der Vektor

in jedem Kurvenpunkt

ein Tangentenvektor ist. Durch

jeden Punkt eines Feldes verläuft eine Feldlinie. Die Feldlinien schneiden einander nicht, ausgenommen solche
Punkte, in denen die Funktion

nicht definiert ist oder verschwindet. Die Differentialgleichungen der Feldlinien


eines Vektorfeldes

, das in kartesischen Koordinaten gegeben ist, lauten
(13.26a)

(13.26b)
Zur Lösung dieser Differentialgleichungen s. die Abschnitte Trennung der Variablen bzw.
Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung.
Beispiel A
Die Feldlinien eines Zentralfeldes sind Geraden, die vom Zentrum zum Feldpunkt verlaufen.
Beispiel B
Die Feldlinien des Vektorfeldes

sind Kreise, die in einer senkrecht auf dem Vektor

stehenden Ebene liegen. Ihr Mittelpunkt liegt auf einer zu

parallelen Achse.


Grundbegriffe der Feldtheorie
●
●
●

Vektorfunktion einer skalaren Variablen
Skalarfelder
Vektorfelder


Methode der finiten Elemente (FEM)
Seitdem leistungsfähige Computer zur Verfügung stehen, ist die FEM zur wichtigsten Methode für die numerische
Lösung partieller Differentialgleichungen geworden. Sie ermöglicht es, in vielen Anwendungsbereichen, über
Mechanik und Baustatik hinaus, anspruchsvollere und damit aussagekräftigere mathematische Modelle einzusetzen.
Entsprechend den vielfältigen Anwendungen wird die FEM ganz unterschiedlich realisiert, so daß hier nur ihre
Grundidee skizziert werden kann. Aus Analogiegründen sei auf das RITZ-Verfahren zur numerischen Lösung von
Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen und an die Splines erinnert.
Die Methode der finiten Elemente besteht aus den in den folgenden Abschnitten dargestellten Schritten
●
●
●
●
●

Aufstellung einer Variationsaufgabe
Triangulierung
Ansatz
Berechnung der Ansatzkoeffizienten
Bemerkungen


Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis:

Die Koordinaten des Punktes

mit dem Teilungsverhältnis

werden mit den Formeln

(3.294a)

(3.294b)
berechnet.


Für den Mittelpunkt der Strecke

erhält man wegen
(3.294c)
(3.294d)

Wenn den Strecken

und

ein positives oder negatives Vorzeichen in Abhängigkeit davon zugeordnet


wird, ob ihre Richtung mit der von

übereinstimmt oder nicht, dann können die Formeln (3.294a,b,c,d) für

zur Bestimmung eines Punktes dienen, der die Strecke
äußere Teilung ), d.h. außerhalb der Strecke

liegt. Liegt

im vorgegebenen Verhältnis äußerlich teilt (
innerhalb der Strecke

, dann spricht man

von innerer Teilung . Man definiert
a)

wenn

b)
c)
weit von

wenn
wenn

und
Fernpunkt oder uneigentlicher Punkt der Geraden g ist, d.h. wenn sich

auf g befindet. Den Verlauf von

zeigt die rechte Abbildung.

Beispiel
Für einen Punkt

für den

in der Mitte der Strecke

liegt, ist

unendlich


Festpunktzahlen
Der Wertebereich für Festpunktzahlen mit den angegebenen Parametern ergibt sich zu
(19.259)
Festpunktzahlen können in der folgenden Form dargestellt werden:


Interne Zahlendarstellung
Dualzahlen werden im Computer in einem oder in mehreren Bytes dargestellt. Man unterscheidet dabei zwei
Darstellungsformen, die Festpunktzahlen (Festkommazahlen) und die Gleitpunktzahlen (Gleitkommazahlen). Im
ersten Fall steht der Dezimalpunkt an einer festen Stelle (bei ganzen Zahlen also nach der Einerstelle), im zweiten
Fall ,,gleitet`` er mit der Änderung des Exponenten.
●
●

Festpunktzahlen
Gleitpunktzahlen


Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
●
●
●
●

Numerischer Aufwand bei der Berechnung der FOURIER-Koeffizienten
Komplexe Darstellung der FOURIER-Summe
Numerische Berechnung der komplexen FOURIER-Koeffizienten
Schemata zur FFT


FIBONACCI-Folge
Die Folge
(5.156)
wird FIBONACCI-Folge genannt. Sie beginnt mit den Elementen

Beispiel
Die Betrachtung dieser Folge geht auf die folgende, 1202 von FIBONACCI gestellte Frage zurück: Wieviele
Kaninchenpaare stammen am Ende eines Jahres von einem Kaninchenpaar ab, wenn jedes Paar jeden
Monat ein neues Paar als Nachkommen hat, das selbst vom zweiten Monat an Nachkommen-Paare
gebiert? Die Antwort ist

.


FIBONACCI-Rekursionsformel
Außer der rekursiven Definition (5.156) gibt es auch eine explizite Darstellung der FIBONACCI-Zahlen:
(5.157)
Einige wichtige Eigenschaften der FIBONACCI-Zahlen werden im folgenden aufgeführt.
Für alle

gilt:
(5.158a)
(5.158b)
(5.158c)
(5.158d)
(5.158e)
(5.158f)


(5.158g)
(5.158h)
(5.158i)
(5.158j)
(5.158k)
Beispiel
Der EUKLIDische Algorithmus (s. Formulierung 1 und Formulierung 2) zur Berechnung des ggT zweier
Zahlen hat besonders viele Rechenschritte, wenn es sich um benachbarte Zahlen aus der Folge der
FIBONACCI-Zahlen handelt. In der nachstehenden Rechnung ist ein Beispiel gegeben, in dem die
auftretenden Quotienten jeweils gleich 1 sind.


FIBONACCI-Zahlen
●
●
●

FIBONACCI-Folge
FIBONACCI-Rekursionsformel
Satz zum EUKLIDischen Algorithmus


Finanzmathematik
Die Finanzmathematik basiert auf Anwendungen der arithmetischen und geometrischen Reihen, also der Formeln
(1.57a) bis (1.57c) und (1.59a) bis (1.59d), aber diese Anwendungen sind im Bankwesen so vielfältig und speziell,
daß eine eigene Disziplin mit einer Vielzahl spezieller Begriffe entstanden ist. So wird in der Finanzmathematik nicht
nur die Veränderung eines Kapitals durch Zinseszinsen und Rentenzahlungen betrachtet, sondern sie umfaßt im
wesentlichen die Gebiete Zinsrechnung, Tilgungsrechnung, Raten- und Rentenrechnung, Abschreibungen, Kurs- und
Effektivzinsrechnung sowie Investitionsrechnung. Grundlegende Aufgabenstellungen und Lösungsformeln werden im
folgenden erläutert. Für das ganze Spektrum der Finanzmathematik muß auf die Literatur verwiesen werden
(s. Lit. 1.2, 1.11).
Versicherungsmathematik und Risikotheorie , die auf Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
mathematischen Statistik beruhen, stellen selbständige Disziplinen dar und werden hier nicht behandelt (s. Lit. 1.3,
1.4).
●
●
●
●
●

Prozentrechnung
Zinseszinsrechnung
Tilgungsrechnung
Rentenrechnung
Abschreibungen


Fishersche F-Verteilung
●
●

Fishersche F-Verteilung, Teil I
Fishersche F-Verteilung, Teil II


Fisher-Verteilung
Sind

und

unabhängige,

-verteilte Zufallsveränderliche mit

bzw.

Freiheitsgraden, dann heißt die

Verteilung der Zufallsveränderlichen
(16.95)
FISHER- oder F-Verteilung mit den Freiheitsgraden

.

1. Dichtefunktion:

(16.96)


2. Erwartungswert und Streuung:
(16.97a)

(16.97b)
3. Quantile: Die Quantile
finden.

der FISHER-Verteilung (s. Abbildung) sind in der entprechenden Tabelle zu


Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
Jede Gleichung mit einer Unbekannten läßt sich auf eine der beiden Normalformen bringen:
(19.1)
(19.2)
Die Gleichungen (19.1) und (19.2) seien lösbar. Lösungen sollen mit
ersten Näherung für

versucht man, die zu lösende Gleichung auf die Form

der der Verlauf der Kurven

Beispiel

bezeichnet werden. Zur Gewinnung einer

und

leicht zu übersehen ist.

zu bringen, bei


. Aus dem Kurvenverlauf von
ablesbar (s. Abbildung).

●
●

Iterationsverfahren
Lösung von Polynomgleichungen

und

ist

und


Nichtlineare Operatoren
In der Lösungstheorie nichtlinearer Operatorengleichungen zieht man im wesentlichen Methoden heran, die auf den
folgenden Prinzipien beruhen.
1. Prinzip der kontrahierenden Abbildung, BANACHscher Fixpunktsatz
(s. Fundamentale
Sätze in vollständigen metrischen Räumen und Anwendungen des Kontraktionsprinzips. Zu weiteren
Modifizierungen und Varianten dieses Prinzips s. Lit. 12.9, 12.12, 12.15, 12.21.
2. Verallgemeinerung des NEWTON-Verfahrens
auf den unendlichdimensionalen Fall (s. auch Verfahren für unrestringierte Aufgaben).
3. SCHAUDERsches Fixpunktprinzip
4. LERAY-SCHAUDER-Theorie
Mit Methoden, die auf den Prinzipien 1 und 2 basieren, ergeben sich umfassende Informationen über die Lösung, wie
Existenz, Eindeutigkeit, Konstruktivität u.a., während die Untersuchungsmethoden, die auf den Prinzipien 3 und 4
basieren, im allgemeinen ,,nur`` die qualitative Aussage der Existenz einer Lösung gestatten. Bei zusätzlichen
Eigenschaften des Operators s. jedoch Positive lineare Operatoren und Monotone Operatoren in BANACH-Räumen.
●

Beispiele nichtlinearer Operatoren


●
●
●
●
●
●

Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
Newton-Verfahren
Schaudersches Fixpunktprinzip
Leray-Schauder-Theorie
Positive nichtlineare Operatoren
Monotone Operatoren in Banach-Räumen


Schaudersches Fixpunktprinzip
Sei

ein nichtlinearer Operator, der auf einer Menge

eines BANACH-Raumes

definiert ist und in

abbildet. Die nichttriviale Frage nach der Existenz wenigstens einer Lösung der Gleichung
und

beantwortet: Ist
einen Fixpunkt in

. Ist

, dann hat bekanntlich jede stetige Funktion, die

ein beliebiger endlichdimensionaler normierter Raum (dim

wird wie folgt
in

abbildet,

), dann gilt der

BROUWERsche Fixpunktsatz.
BROUWERscher Fixpunktsatz: Sei

eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe Menge eines

endlichdimensionalen normierten Raumes. Ist

ein stetiger Operator, der

in sich abbildet, dann hat

.
(wenigstens) einen Fixpunkt in
Im Falle eines beliebigen unendlichdimensionalen BANACH-Raumes erhält man die Antwort über den
SCHAUDERschen Fixpunktsatz.
SCHAUDERscher Fixpunktsatz: Sei
BANACH-Raumes. Ist der Operator

eine nichtleere abgeschlossene beschränkte konvexe Menge eines
stetig und kompakt (also vollstetig) und bildet

in sich


ab, dann hat

(wenigstens) einen Fixpunkt in

.

Mit Hilfe dieses Satzes kann man beispielsweise zeigen, daß das Anfangswertproblem (12.68) für
immer noch eine lokale Lösung besitzt, wenn die rechte Seite lediglich als stetig vorausgesetzt wird.


Flächen zweiter Ordnung, allgemeine Theorie
1. Allgemeine Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung:

(3.422)
2. Invariante einer Fläche zweiter Ordnung:Setzt man die

dann gilt

(3.423a)

(3.423b)


(3.423c)
(3.423d)
Bei einer Verschiebung oder Drehung der Koordinatenachsen ändern sich diese Größen nicht.
3. Gestalt der Fläche zweiter Ordnung aufgrund ihrer Gleichung Man ermittelt die Gestalt einer Fläche
2. Ordnung bei bekannter Gleichung nach dem Vorzeichen ihrer Invarianten

und

. Unter

Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen sowie unter Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide,
Zylinder und Ebenenpaare ist eine tabellarische Zusammenfassung gegeben. Dort ist neben der Bezeichnung
der Fläche ihre Gleichung in der Normalform, auf die sich eine gegebene Gleichung umformen läßt,
angegeben. Mit den Gleichungen der sogenannten imaginären Flächen können für keinen reellen Punkt die
Koordinaten berechnet werden, mit Ausnahme der Spitze des imaginären Kegels und der Schnittgeraden
zweier imaginärer Ebenen.
●
●

Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen
Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare


Flächen zweiter Ordnung, Gleichungen in Normalform
●
●
●
●
●
●
●

Mittelpunktsflächen
Ellipsoide
Hyperboloide
Kegel
Paraboloide
Geradlinige Erzeugende einer Fläche
Zylinder


Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare
Tabelle Gestalt der Flächen 2. Ordnung
(hierbei
Elliptisches Paraboloid

(Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare)
)

(hierbei
Hyperbolisches Paraboloid

)


Zylinderfläche mit einer Kurve 2. Ordnung als Leitkurve,
deren Gestalt verschiedene Zylinder nach sich zieht:
Für

imaginäre elliptische,

für

hyperbolische und

parabolische Zylinder,
für
wenn die Fläche nicht in zwei reelle, imaginäre oder zusammenfallende
Ebenen zerfällt.
Die Bedingung für das Zerfallen lautet:

Die Größen

und

sind Invariante einer Fläche 2. Ordnung


Regelflächen und abwickelbare Flächen
1. Regelfläche: Eine Fläche heißt regelmäßig , geradlinig oder Regelfläche , wenn sie durch Bewegung einer
Geraden im Raum erzeugt werden kann (s. geradlinige Erzeugende).
2. Abwickelbare Fläche: Wenn eine Regelfläche auf eine Ebene abgewickelt werden kann, nennt man sie
abwickelbare Fläche . Nicht jede Regelfläche ist abwickelbar.
Charakteristisch für abwickelbare Flächen ist, daß
●

a) für alle Punkte die GAUSSsche Krümmung verschwinden muß und

●

b) bei Vorgabe der Fläche in der expliziten Form

die Abwickelbarkeitsbedingung erfüllt ist:
(3.504)

Die Bedeutung von

Beispiel A

und

entspricht (3.499b):


Kegel und Zylinder sind abwickelbare Flächen.

Beispiel B


Einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid sind zwar Regelflächen, können aber nicht auf
eine Ebene abgewickelt werden.


Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von
Splines
●
●
●

Kubische Splines
Bikubische Splines
Bernstein-Bézier-Darstellung von Kurven und Flächen


Flächen
●
●
●
●
●
●

Möglichkeiten, eine Fläche zu definieren
Tangentialebene und Flächennormale
Linienelement auf einer Fläche
Krümmung einer Fläche
Regelflächen und abwickelbare Flächen
Geodätische Linien auf einer Fläche


Hauptkrümmungskreisradien
Hauptkrümmungskreisradien sind die Radien einer Fläche mit dem Minimal- und dem Maximalwert. Sie können mit Hilfe
der Hauptnormalschnitte

und

ermittelt werden.


Die Ebenen von

und

stehen senkrecht aufeinander, ihre Richtungen sind durch den Wert von

festgelegt,

der über die quadratische Gleichung
(3.498)
bestimmt werden kann.
Wenn die Fläche in der expliziten Form

(3.482) gegeben ist, dann lassen sich

und

als Wurzeln

der quadratischen Gleichung
(3.499a)
mit
(3.499b)
berechnen. Die Vorzeichen von

und

werden nach der gleichen Regel wie in (3.496) bestimmt.

Wenn die Fläche in der Vektorform (3.484) gegeben ist, dann treten an die Stelle von (3.498) und (3.499a) die
Gleichungen
(3.500a)


(3.500b)
mit den Koeffizienten

der zweiten quadratischen Fundamentalform , die über die Gleichungen
(3.500c)
und

berechnet werden. Dabei sind die Vektoren
Radiusvektors

nach den Parametern

und

die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung des

In den Zählern stehen die Determinanten

(3.500d)

Der Ausdruck
(3.500e)
der die Krümmungseigenschaften der Fläche enthält, heißt zweite quadratische Fundamentalform .
Krümmungslinien nennt man die Linien auf der Fläche, die in jedem Punkt die Richtung der Hauptnormalschnitte haben.
Ihre Gleichungen ergeben sich durch Integration von (3.498) oder (3.500a).


Krümmung einer Fläche
Zur numerischen Charakterisierung der Krümmung einer Fläche werden hauptsächlich zwei Größen benutzt:
1. Mittlere Krümmung einer Fläche im Punkt
(3.502a)
2. GAUSSsche Krümmung einer Fläche im Punkt
(3.502b)
Beispiel A
Für den Kreiszylinder mit dem Radius

ist

und

Beispiel B
Für elliptische Punkte ist

für hyperbolische

und für parabolische


3. Berechnung von

und

, wenn die Fläche explizit gemäß

vorgegeben ist:
(3.503a)

(3.503b)
entspricht (3.499b):

Die Bedeutung von

4. Klassifizierung der Flächen nach ihrer Krümmung
a)Minimalflächen sind Flächen, deren mittlere Krümmung

in allen Punkten Null ist, d.h. für die

gilt.
b) Flächen konstanter Krümmung zeichnen sich durch konstante GAUSSsche Krümmung
aus.
Beispiel A
z.B. die Kugel.
Beispiel B


z.B. die Pseudosphäre (obere Abbildung), d.h. die Rotationsfläche der Traktrix (untere
Abbildung) bei Rotation um die Symmetrieachse.


Begriff der geodätischen Linien
Durch jeden Punkt einer Fläche

kann in jeder durch den Differentialquotienten

bestimmten Richtung

auf der Fläche eine gedachte Kurve verlaufen, die geodätische Linie genannt wird. Sie spielt auf der Fläche die
gleiche Rolle wie die Gerade auf der Ebene und zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus:
1. Die geodätischen Linien sind die Linien der kürzesten Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer Fläche.
2. Wenn ein materieller Punkt, der gezwungen ist, auf einer vorgegebenen Fläche zu bleiben, von einem
anderen auf der gleichen Fläche befindlichen materiellen Punkt angezogen wird, dann bewegt er sich in
Abwesenheit anderer äußerer Kräfte auf einer geodätischen Linie.
3. Wird ein elastischer Faden über eine vorgegebene Fläche gespannt, dann nimmt er die Form einer
geodätischen Linie an.
(S. auch geodätische Linie, sphärische Geometrie).


Unterabschnitte
●
●

Gleichung einer Zylinderfläche:
Gleichung einer Rotationsfläche:

Gleichung einer Fläche
Jeder Gleichung
(3.367)
dieser
entspricht eine Fläche, deren Eigenschaft es ist, daß die Koordinaten jedes beliebigen ihrer Punkte
Gleichung genügen. Umgekehrt ist jeder Punkt, dessen Koordinaten der Gleichung genügen, ein Punkt auf dieser
Fläche. Die Gleichung (3.367) wird die Gleichung dieser Fläche genannt.

Gleichung einer Zylinderfläche:
Die Gleichung einer Zylinderfläche (s. auch Zylinderfläche

), deren Erzeugende parallel zur

-Achse verlaufen,


enthält keine

-Koordinate:

Erzeugende parallel zur

- bzw. zur

Entsprechend enthalten die Gleichungen von Zylinderflächen, deren
-Achse verlaufen, keine

Die Gleichung

- bzw.

-Koordinate:

bzw.

beschreibt die Schnittkurve zwischen der Zylinderfläche und der

-Ebene. Wenn die Richtungskosinus oder ihnen proportionale Größen

der Erzeugenden einer

Zylinderfläche gegeben sind, dann hat die Gleichung die Form
(3.368)

Gleichung einer Rotationsfläche:
Die Gleichung einer Rotationsfläche, d.h. einer Fläche, die durch Rotation einer gegebenen Kurve in der
Ebene mit der Gleichung

-

erzeugt wird, ergibt sich allgemein zu
(3.369)


In Analogie dazu werden die Gleichungen von Flächen erhalten, die durch Rotation einer gegebenen Kurve um eine
andere Koordinate entstehen.
Die Gleichung einer Kegelfläche , deren Spitze im Koordinatenursprung liegt (s. Kegel), ist von der Gestalt
wobei

eine homogene Funktion der Koordinaten ist (s. homogene Funktion).


Linienelement auf einer Fläche
●
●
●

Differential des Bogens
Messungen auf der Fläche
Übereinanderlegen von Flächen bei Verbiegung


Definitionen
1. Tangentialebene: Wenn durch einen Flächenpunkt

alle auf dieser Fläche möglichen

Flächenkurven hindurchlaufen, dann liegen in der Regel alle zugehörigen Kurventangenten im Punkt
ein und derselben Ebene, der Tangentialebene der Fläche des Punktes
sogenannten Kegelpunkte.

Ausgenommem davon sind die

2. Flächennormale: Eine Gerade, die senkrecht auf der Tangentialebene steht und durch den Punkt
verläuft, heißt Flächennormale im Punkt

in


3. Normalenvektor: Die Tangentialebene wird von zwei Vektoren aufgespannt, den Tangentialvektoren
(3.486a)

der

- und der

-Linie. Das Vektorprodukt der beiden Tangentialvektoren

ist ein Vektor, der in die

Richtung der Flächennormalen weist. Sein Einheitsvektor

(3.486b)

wird Normalenvektor genannt. Seine Richtung nach der einen oder anderen Seite der Fläche ist dadurch festgelegt,


ob

oder

erste oder zweite Koordinate ist.


Begriff einer orientierten Fläche
Eine Fläche besitzt gewöhnlich zwei Seiten, von denen man willkührlich eine als Außenseite bezeichnen kann.
Nachdem die Außenseite gewählt ist, spricht man von einer orientierten Fläche . Flächen, für die sich nicht zwei
Seiten angeben lassen, werden hier nicht betrachtet (s. Lit. 8.14).


Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
Die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Tabelle Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
Gleichung der Tangentialebene und der Flächennormalen
Art der
Gleichung

(3.481)

(3.482)

Tangentialebene

Flächennormale


(3.483)

(3.484)
oder

oder


und

sind in dieser Tabelle die Koordinaten und der Radiusvektor des Kurvenpunktes

;

sind die laufenden Koordinaten und der Radiusvektor

des Punktes der Tangentialebene oder der Flächennormalen im Punkt

und

; außerdem ist

ist der Normalenvektor.

Beispiel A
Für die Kugel mit der Gleichung

(3.485a) ergibt sich

1. als Tangentialebene:

(3.487a)
2. als Flächennormale:
(3.487b)


Beispiel B
Für die Kugel mit der Gleichung

(3.485b)

ergibt sich
1. als Tangentialebene:
(3.487c)
2. als Flächennormale:
(3.487d)


Definition, Separatrixflächen
Sei

eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von (17.1). Die stabile

Mannigfaltigkeit

( instabile Mannigfaltigkeit

) von

ist die Menge aller der Punkte des
gegen

Phasenraumes, durch die Orbits verlaufen, die für

streben:
(17.18)

Stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeiten bezeichnet man auch als Separatrixflächen .
Beispiel
In der Ebene wird die Differentialgleichung
(17.19a)
betrachtet. Die Lösung von (17.19a) mit Anfang

zur Zeit

ist durch


(17.19b)

explizit gegeben. Für die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit der Ruhelage

(s. Abbildung).

von (17.19a) erhält man:


Es seien
durch

und
an

bzw.

zwei glatte Flächen des
. Die Flächen

und

und

bzw.

die entsprechenden Tangentialebenen

heißen transversal zueinander, wenn für alle

die Beziehung
gilt.
Beispiel
Für den in der folgenden Abbildung dargestellten Schnitt gilt
. Also ist der in der Abbildung dargestellte Schnitt transversal.

und


Ebene Flächenelemente in der
Koordinaten

-Ebene
Flächenelemente

Kartesische Koordinaten

Polarkoordinaten

Beliebige krummlinige Koordinaten

(

Funktionaldeterminante)


Flächenelemente gekrümmter Flächen
Koordinaten

Flächenelement

Kartesische Koordinaten

Zylindermantel

(konstanter Radius),

Koordinaten
Kugeloberfläche
Koordinaten

(konstanter Radius),


Beliebige krummlinige Koordinaten
(

s. Differential des Bogens)


Integration in Vektorfeldern
Integrationen in Vektorfeldern erfolgen meist in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten. Oft ist über Kurven, Flächen oder
Volumina zu integrieren. Die dazu erforderlichen Linien-, Flächen- und Volumenelemente sind in der folgenden Tabelle
zusammengestellt.
Tabelle Linien-, Flächen- und Volumenelemente in kartesischen, Zylinder-und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten


Die Indizes

und

stehen stellvertretend für

bzw.

bzw.

Für das Volumen wurde hier abweichend von der üblichen Praxis das Symbol

*)

um Verwechlungen mit dem Betrag des Potentials

●
●
●

Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld
Oberflächenintegrale
Integralsätze

gewählt,

zu vermeiden.


Mittelpunktsflächen
Die im folgenden angegebenen Gleichungen, auch Normalform der Gleichungen für die Flächen 2. Ordnung genannt,
ergeben sich aus der allgemeinen Gleichung der Flächen 2. Ordnung für den Fall, daß Mittelpunkt- und
Koordinatenursprung zusammenfallen. Dabei halbiert der Mittelpunkt die durch ihn verlaufenden Sehnen. Die
Koordinatenachsen liegen in den Symmetrieachsen der Flächen, so daß die Koordinatenebenen gleichzeitig
Symmetrieebenen sind.


Gleichung einer Fläche
Flächen können unterschiedlich definiert werden:
1. Implizite Form:
(3.481)
2. Explizite Form:
(3.482)
3. Parameterform:
(3.483)
4. Vektorform:
(3.484)

Wenn die Parameter

und

alle erlaubten Werte durchlaufen, ergeben sich über die vorletzte (3.483) und letzte

Gleichung (3.484) Koordinaten und Radiusvektoren aller Flächenpunkte. Elimination von
und
aus der
Parameterform der Definition (3.483) liefert die implizite Form (3.481). Die explizite Form (3.482) ist ein Spezialfall


der Parameterform für

und

Beispiel
Die Gleichung der Kugel in kartesischen Koordinaten, Parameterform und Vektorform:
(3.485a)
(3.485b)
(3.485c)


Flächeninhalt
Der Flächeninhalt
Kugelradius

eines sphärischen Dreieckes kann mit Hilfe des sphärischen Exzesses

und dem

gemäß
(3.171a)

berechnet werden, wobei

der Umrechnungsfaktor
(3.161c) ist. Nach dem Satz von GIRARD gilt mit

als Kugeloberfläche
(3.171b)

Ist nicht der Exzeß bekannt, sondern die Seiten, dann kann

mit der Formel von L'HUILIER berechnet werden.


Flächeninhalte ebener Flächen
1. Flächeninhalt eines zwischen den Punkten
eines oben zwischen den Punkten
(

und

und

und

krummlinig begrenzten Trapezes: Der Flächeninhalt

krummlinig begrenzten Trapezes (s. linke Abbildung) bei explizit

) bzw. in Parameterform (

gegebener Kurvengleichung:

(8.59a)


2. Flächeninhalt eines seitlich zwischen den Punkten
Flächeninhalt eines seitlich zwischen den Punkten
Abbildung) bei explizit (

und

und
und

krummlinig begrenzten Trapezes: Der
krummlinig begrenzten Trapezes (s. rechte

) bzw. in Parameterform (
) gegebener Kurvengleichung:

(8.59b)

3. Flächeninhalt eines Kurvensektors: Der Flächeninhalt eines Kurvensektors (s. Abbildung), begrenzt durch
ein Kurvenstück zwischen den Punkten

und

, das mit einer in Polarkoordinaten gegebenen


Kurvengleichung (

,

) beschrieben wird:

(8.59c)

Flächeninhalte von komplizierteren Figuren werden mit Hilfe des Kurvenintegrals oder mit Hilfe des Doppelintegrals
berechnet. Allgemeine Formeln zur Berechnung von Flächen mit Hilfe von Doppelintegralen sind in der Tabelle
Anwendung von Doppelintegralen angegeben.


Anwendungen des Oberflächenintegrals erster Art
1. Flächeninhalt eines gekrümmten Flächenstücks
(8.154)
2. Masse eines inhomogenen gekrümmten Flächenstückes

Mit der koordinatenabhängigen Dichte

gilt:

(8.155)


Flächeninhalte in der Hyperbel
a) Hyperbelsegment

:
(3.339a)

b) Fläche

:
(3.339b)

Die Strecke

verläuft parallel zur unteren Asymptote,

ist der Brennpunktsabstand und


Umfang, Flächeninhalt, Zahl
(3.54)

(3.55)

(3.56)


Kreisring
Kenngrößen des Kreisringes: Äußerer Radius

innerer Radius

und Zentriwinkel


(3.63)
(3.64)

(3.65)

(3.66)

(3.67)

Flächeninhalt eines Ringteiles über

(in der Abbildung grau dargestellt):

(3.68)


Flächeninhalte in der Parabel
a) Parabelsegment

:
(3.349a)

b) Parabelfläche

:
(3.349b)


Parallelogramm
Parallelogramm wird ein Viereck genannt, das die folgenden Haupteigenschaften besitzt:
●
●
●
●

die einander gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang;
die einander gegenüberliegenden Seiten sind parallel;
die Diagonalen halbieren einander im Schnittpunkt;
einander gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.

Bei einem Viereck folgen aus dem Vorhandensein einer dieser Eigenschaften oder aus der Gleichheit und Parallelität
eines Paares gegenüberliegender Seiten alle anderen Eigenschaften.
Für den Zusammenhang zwischen Diagonalen und Seiten und für den Flächeninhalt gilt:


(3.18)
(3.19)


Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
In der folgenden Tabelle sind einige geometrische Anwendungen der Vektoralgebra aufgeführt. Andere
Anwendungen aus der analytischen Geometrie wie die Vektorgleichungen der Geraden und der Ebene s. unter
vektorielle Gleichungen und Gerade und Ebene im Raum.
Tabelle Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
Bezeichnung

Länge des Vektors

Flächeninhalt des von
und
den Vektoren
aufgespannten Parallelogramms

Vektorielle
Formel

Koordinatenformel (in rechtwinkligen
kartesischen Koordinaten)


Volumen des von den
Vektoren , ,
aufgespannten Parallelepipeds

Winkel zwischen den
Vektoren

und


Rechteck und Quadrat
Ein Parallelogramm ist ein Rechteck (linke Abbildung), wenn es:
●
●

nur rechte Winkel enthält oder
zwei gleich lange Diagonalen besitzt, wobei die eine Eigenschaft die andere zur Folge hat.

Der Flächeninhalt beträgt
(3.20)
Wenn

ist, wird ein Rechteck Quadrat genannt.


Es gelten dann die Formeln
(3.21)

(3.22)

(3.23)


Rhombus
Ein Rhombus ist ein Parallelogramm, in dem
●
●
●

alle Seiten gleich lang sind,
die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und
die Winkel des Parallelogramms von den Diagonalen halbiert werden.

Das Vorhandensein einer dieser Eigenschaften hat die zwei anderen zur Folge. Es gilt:
(3.24)


(3.25)

(3.26)

(3.27)


Klassifizierung der Flächenpunkte
1. Elliptischer und Kreis-Flächenpunkt: Besitzen die Hauptkrümmungsradien

und

im

gleiches Vorzeichen, dann liegen in der Umgebung von
alle Flächenpunkte auf einer
Flächenpunkt
Seite der Tangentialebene, und man spricht vom elliptischen Flächenpunkt (linke Abbildung).


Sein analytisches Merkmal ist die Bedingung
(3.501a)
2. Kreis- oder Nabelpunkt wird ein Flächenpunkt
Punkt die Bedingung

genannt, wenn die Hauptkrümmungsradien in diesem
(3.501b)

erfüllen. Seine Normalschnitte zeichnen sich durch

aus.

3. Hyperbolischer Flächenpunkt: Im Falle unterschiedlicher Vorzeichen der Hauptkrümmungsradien
und

weisen die konkaven Seiten der Hauptnormalenschnitte nach entgegengesetzten Richtungen. Die

Tangentialebene durchsetzt dann die Fläche, so daß diese in der Nähe des Punktes

sattelartig geformt


ist.

wird hyperbolischer Punkt genannt (rechte Abbildung). Sein analytisches Merkmal ist die Bedingung
(3.501c)

4. Parabolischer Flächenpunkt: Ist einer der beiden Hauptkrümmungsradien

oder

gleich

dann besitzt der eine Hauptnormalenschnitt entweder einen Wendepunkt oder er ist eine Gerade. Bei
handelt es sich dann um einen parabolischen Flächenpunkt (untere Abbildung) mit dem analytischen Merkmal
(3.501d)
Beispiel
Alle Punkte eines Ellipsoids sind elliptisch, eines einschaligen Hyperboloids hyperbolisch und eines
Zylinders parabolisch.


Singuläre Flächenpunkte (Kegelpunkte)
Wenn für einen Flächenpunkt mit den Koordinaten

und der Gleichung

(3.481) gleichzeitig die Beziehungen
(3.488)
erfüllt sind, d.h. wenn die Ableitungen 1. Ordnung verschwinden, dann ist der Punkt

ein singulärer

Punkt oder Kegelpunkt . Alle Tangenten, die durch ihn verlaufen, liegen nicht in einer Ebene, sondern bilden einen
Kegel zweiter Ordnung mit der Gleichung


(3.489)

zu bilden sind. Wenn auch alle Ableitungen 2. Ordnung verschwinden, dann
in der die Ableitungen im Punkt
handelt es sich um einen singulären Punkt von komplizierterer Art. Es liegt also ein Kegel dritter oder höherer
Ordnung vor.


Beispiele für Vektorräume von Folgen
Beispiel A: Vektorraum
Seien

eine fixierte natürliche Zahl und

die Menge aller

-Tupel, d.h. aller endlichen aus

. Die Operationen

bestehenden Folgen von Skalaren
seien komponenten- oder gliedweise erklärt, d.h., sind

und

zwei beliebige Elemente aus

, dann setzt man

und

Gliedern

ein beliebiger Skalar, d.h.

(12.10a)
(12.10b)
, insbesondere also für
die linearen Räume
Auf diese Weise erhält man den Vektorraum
Dieses Beispiel kann in zweierlei Hinsicht verallgemeinert werden (s. Beispiele B und C):
Beispiel B: Vektorraum

aller Zahlenfolgen

oder

.


Nimmt man als Elemente jetzt unendliche Folgen

und behält die gliedweise

erklärten Operationen gemäß (12.10a) und (12.10b) bei, so erhält man den Vektorraum
Zahlenfolgen.
Beispiel C: Vektorraum

(auch

aller

) aller finiten Zahlenfolgen

die Menge aller Elemente aus , die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder besitzen.
Es sei
Die Anzahl der von Null verschiedenen Glieder ist im allgemeinen individuell vom Element abhängig. Der so
entstehende - wieder mit den gliedweise erklärten Operationen versehene - Vektorraum wird mit
auch mit

bezeichnet und heißt Raum aller finiten Zahlenfolgen.

Beispiel D: Vektorraum

aller beschränkten Zahlenfolgen
gehört zu

Eine Folge

genau dann, wenn

. Man trifft häufig auch die Bezeichnung
Beispiel E: Vektorraum

mit
für diesen Vektorraum.

aller konvergenten Folgen

Es gilt
daß für

oder

genau dann, wenn es eine solche Zahl
ein Index

(s. Grenzwerte von Zahlenfolgen).

existiert, so daß für alle

gibt mit der Eigenschaft,
gilt


Beispiel F: Vektorraum
Raum

aller Nullfolgen

aller Nullfolgen, d.h. der Teilraum von

, der aus allen zu Null (

) konvergenten Folgen

besteht.
Beispiel G: Vektorraum
Raum

aller Folgen

Daß die Summe zweier Folgen aus

, für die die Reihe

wieder eine Folge aus

konvergiert.

ist, d.h. eine konvergente Reihe aus den

-ten Potenzen der Absolutbeträge ihrer Glieder besitzt, folgt aus der MINKOWSKIschen Ungleichung.

Hinweis: Für die in den Beispielen A bis G eingeführten Vektorräume von Folgen gelten die folgenden Inklusionen:
(12.11)


Konvergenz von Folgen im metrischen Raum
Seien
Elementen in
Die Folge

ein metrischer Raum,

ein Punkt und

eine Folge von

.
heißt zum Punkt
gibt, so daß

konvergent, wenn es zu jeder Umgebung
die Beziehung

einen Index

gilt. Man schreibt für diesen Sachverhalt

gewöhnlich
(12.51)
und nennt

den Grenzwert der Folge

. Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt. Anstelle

einer beliebigen (allgemeinen) Umgebung des Punktes

genügt es, lediglich offene Kugeln mit beliebig kleinem

Radius heranzuziehen, so daß (12.51) äquivalent zu Folgendem ist: Für

(man hat dabei sofort die offene


Kugel

im Sinn) gibt es einen Index
gilt. Damit bedeutet (12.51) genau

, so daß

die Ungleichung
.

Mit den eingeführten Begriffen hat man die Möglichkeit, in konkreten metrischen Räumen den Abstand zwischen zwei
Punkten anzugeben und die Konvergenz von Punktfolgen zu untersuchen, was etwa bei numerischen Verfahren oder
bei der Approximation von Funktionen durch solche einer bestimmten Klasse (s. etwa Approximation und
Ausgleichsrechnung) von Bedeutung ist. Im Raum

erweist sich die mittels einer der angegebenen Metriken

festgelegte Konvergenz gerade als die koordinatenweise Konvergenz. In den Räumen

und

ist

die durch (12.45) eingeführte Konvergenz genau die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge auf der Menge
. Im Raum

ergibt sich die Konvergenz im (quadratischen) Mittel, d.h.

genau dann, wenn

(12.52)


Zahlenfolgen
●
●

Eigenschaften von Zahlenfolgen
Grenzwerte von Zahlenfolgen


FRENETsche Formeln
Man kann die Ableitungen der Vektoren

und

nach dem Parameter

mit Hilfe der FRENETschen Formeln

ausdrücken:
(3.480)

Dabei ist

der Krümmungs- und

der Windungsradius.


Formel von MOIVRE für Hyperbelfunktionen
(2.180)


Potenzieren einer komplexen Zahl
Potenzieren einer komplexen Zahl in die

-te Potenz wird mit Hilfe der Formel von MOIVRE ausgeführt:
(1.142a)

d.h., der Betrag wird in die -te Potenz erhoben, während das Argument mit
berücksichtigen ist, daß gilt:

multipliziert wird. Besonders zu
(1.142b)

und allgemein
(1.142c)


Trigonometrische Funktionen für große Werte n der Winkelvielfachen
Für große Werte von

ermittelt man mit der Formel von MOIVRE

Unter Benutzung der Binomialkoeffizienten

und

.

ergibt sich:

(2.100)

woraus folgt

(2.101)


(2.102)


Metrische Entropie und LYAPUNOV-Exponenten
Ist

ein dynamisches System auf

ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaß

mit dem Attraktor

, so gilt für die metrische Entropie

und einem auf
die Ungleichung

konzentrierten
,

wobei die LYAPUNOV-Exponenten entsprechend ihrer Vielfachheit aufgeführt werden.

PESINsche Formel: Die Gleichheit

, die PESINsche Formel, gilt im allgemeinen nicht. Ist das Maß

allerdings absolut stetig bezüglich des LEBESGUE-Maßes und
die PESINsche Formel.

ein

-Diffeomorphismus, so gilt


Rechteckformel
Im Intervall
Stützstelle

wird

durch die konstante Funktion

ersetzt, die

an der

, also am linken Rand des Integrationsintervalles, interpoliert. Auf diese Weise erhält man die

linksseitige Rechteckformel
(19.73a)
Durch Summation ergibt sich die zusammengesetzte linksseitige Rechteckssumme
(19.73b)

Mit

wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für

bezeichnet.


Analog erhält man die rechtsseitige Rechtecksumme , wenn man in (19.73a)

durch

ersetzt. Die aufsummierte

Formel lautet dann:

(19.74)


Simpson-Formel
Im Intervall

wird
und

durch ein Polynom 2. Grades ersetzt, das

an den Stützstellen

interpoliert:

(19.79)

Für die zusammengesetzte SIMPSON-Formel muß

gerade sein. Man erhält:

(19.80)


Mit

wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für

bezeichnet.

Die zusammengesetzte SIMPSON-Formel hat die Fehlerordnung 4 und ist für Polynome bis zum Grad 3 exakt.


TAYLORsche Reihe für Funktionen von

Veränderlichen

Die analoge Darstellung mit Differentialoperatoren lautet

(7.91a)

wobei das Restglied mit Hilfe von

(7.91b)
berechnet wird.


Trapezformel
Im Intervall
und

wird

durch ein Polynom 1. Grades ersetzt, das

an den Stützstellen

interpoliert. Man erhält:

(19.75)
Durch Summation ergibt sich die sogenannte zusammengesetzte Trapezformel oder Trapezsumme :
(19.76)

Mit

wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für

Der Fehler der Trapezsumme verhält sich wie

bezeichnet.

, d.h., die Trapezsumme hat die Fehlerordnung 2. Daraus folgt für


(also
werden.

) ihre Konvergenz gegen das bestimmte Integral, wenn Rundungsfehler nicht berücksichtigt


Hermitesche Trapezformel
Im Intervall
und

wird

durch ein Polynom 3. Grades ersetzt, das

und

an den Stützstellen

interpoliert:

(19.77)
Durch Summation ergibt sich die HERMITEsche Trapezsumme :
(19.78)

Mit

wird eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für

bezeichnet.

Die HERMITEsche Trapezsumme hat die Fehlerordnung 4 und ist für Polynome bis zum Grade 3 exakt.


Formelmanipulation
Unter Formelmanipulation wird hier im weitesten Sinn die Umformung mathematischer Ausdrücke zwecks ihrer
Vereinfachung oder ihrer Darstellung in einer für weitere Manipulationen zweckmäßigen Form, die Lösung von
Gleichungen und Gleichungssystemen durch algebraische Ausdrücke, die Differentiation von Funktionen, die
Berechnung unbestimmter Integrale, die Lösung von Differentialgleichungen, die Bildung unendlicher Reihen usw.
verstanden.
Beispiel
Lösung der folgenden quadratischen Gleichung:
(20.2a)
In Mathematica wird eingegeben:
(20.2b)
Nach Betätigen des entsprechenden Eingabeabschlußbefehls (EINF oder SHIFT+ENTER) ersetzt Mathematica diese
Zeile durch
(20.2c)
und beginnt mit der Abarbeitung. Nach kurzer Zeit erscheint eine neue Zeile mit dem Inhalt


(20.2d)
Mathematica hat die Gleichung gelöst und die beiden Wurzeln in Form einer Liste aus zwei Unterlisten, die jeweils
eine Lösung enthalten, dargestellt. Dabei ist Sqrt das Symbol für die Quadratwurzel.
In Maple erfolgt die Eingabe in folgender Form:
(20.3a)
Wichtig ist hier das Semikolon nach dem letzten Symbol. Nach der Eingabebestätigung mit ENTER bearbeitet Maple
die Eingabe und liefert in der nächsten Zeile
(20.3b)
Das Ergebnis ist in Form einer Folge von zwei Ausdrücken, den beiden Lösungen, dargestellt.
Abgesehen von den speziellen Zeichen für das jeweilige Computeralgebrasystem, besteht vom grundsätzlichen
Aufbau her große Ähnlichkeit. Am Anfang steht ein Symbol , das vom System als Operator verstanden wird, der auf
einen in Klammern stehenden Operanden anzuwenden ist. Das Ergebnis wird als Liste oder Folge der Lösungen
wiedergegeben. Ähnlich werden viele Operationen der Formelmanipulation dargestellt.


Prinzip der analytischen Fortsetzung
Es wird der Fall betrachtet, daß die Konvergenzkreise

um

und

um

zweier Potenzreihen

(14.49a)

ein gewisses Gebiet gemeinsam haben (s. Abbildung) und daß in diesem gilt
(14.49b)


Dann sind die beiden Potenzreihen die zu den Punkten
derselben analytischen Funktion
definierten Funktion

Beispiel

. Die Funktion

in das Gebiet

hinein.

und

gehörenden TAYLOR-Entwicklungen ein- und

heißt analytische Fortsetzung der nur in


Die geometrischen Reihen

mit dem Konvergenzkreis

um

mit dem Konvergenzkreis

und

um

haben jede in ihrem Konvergenzkreis und in dem gemeisamen (in der Abbildung doppelt schraffierten)
Konvergenzgebiet dieselbe für
analytische Fortsetzung von

analytische Funktion
aus

in

als Summe. Daher ist
hinein (und umgekehrt).


Fortsetzung von linearen Funktionalen
●

Halbnorm


Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH (analytische Form)
Sei

ein Vektorraum über

und reeller, falls
falls

und

eine Halbnorm auf

) Teilraum von

) Funktional auf

und

. Seien

ein linearer (komplexer, falls

ein lineares (komplexwertiges, falls

und reellwertiges,

, welches der Bedingung
(12.167)

genügt. Dann existiert ein lineares Funktional

auf

mit folgenden Eigenschaften:
(12.168)

ist die Fortsetzung des Funktionals

auf den gesamten Raum

unter Beibehaltung der Abschätzung

(12.167).
Wenn

ein linearer Teilraum eines normierten Raumes

ist und

ein stetiges lineares Funktional auf

,


dann ist

eine Halbnorm auf

mit (12.167), so daß sich sofort die Variante des Satzes von

HAHN-BANACH über die Fortsetzung stetiger linearer Funktionale ergibt. Zwei wichtige Konsequenzen aus letzterem
sind die ,,Reichhaltigkeit`` des dualen zu einem normierten Raum: Für jedes Element
mit
und

und
, mit dem Abstand

gibt es ein Funktional

sowie den folgenden Sachverhalt: Für jeden linearen Teilraum
, gibt es ein

mit

(12.169)


Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen
In der Tabelle FOURIER-Entwicklungen sind die FOURIER-Entwicklungen einiger einfacher Funktionen angegeben, die
in einem bestimmten Intervall gegeben sind und darüber hinaus periodisch fortgesetzt werden. Der Kurvenverlauf ist
für eine Reihe der entwickelten Funktion graphisch dargestellt.
1. Anwendung von Koordinatentransformationen: Viele der einfachsten periodischen Funktionen können
auf die in der Tabelle FOURIER-Entwicklungen dargestellten Funktionen zurückgeführt werden, indem man
entweder den Maßstab auf den Koordinatenachsen ändert oder den Koordinatenursprung verschiebt.
Beispiel
Eine Funktion

, die durch die Bedingungen

(7.110a)

gegeben ist (s. Abbildung), kann auf die Form Nr. 5 in der Tabelle FOURIER-Entwicklungen gebracht werden, indem


gesetzt wird und die neuen Variablen

und

eingeführt werden.

Durch die Variablensubstitution in der Reihe Nr. 5 der Tabelle erhält man wegen
für die darzustellende Funktion (7.110a) den
Ausdruck
(7.110b)


2. Nutzung der Reihenentwicklung komplexer Funktionen: Viele der in der Tabelle
Fourier-Entwicklungen angegebenen Formeln für die Entwicklung von Funktionen in trigonometrische Reihen
können aus Potenzreihenentwicklungen für Funktionen einer komplexen Veränderlichen hergeleitet werden.
Beispiel
Die Entwicklung der Funktion

(7.111)

liefert für
(7.112)
nach der Trennung von Real- und Imaginärteil

(7.113)


Fourier-Entwicklungen
●
●
●
●
●

Sägezahnförmige periodische Funktionen
Rechteckimpulsförmige periodische Funktionen
Trapezförmige periodische Funktionen
Wellenförmige periodische Funktionen
Weitere periodische Funktionen


Rechteckimpulsförmige periodische Funktionen

(21.5)


(21.6)


Sägezahnförmige periodische Funktionen

(21.1)


(21.2)

(21.3)


(21.4)


Trapezförmige periodische Funktionen

(21.7a)


Insbesondere gilt für

:

(21.7b)


Weitere periodische Funktionen

(21.14)

(Mit

ist eine beliebige, jedoch nicht ganze Zahl bezeichnet.)

(21.15)

(Mit

ist eine beliebige, jedoch nicht ganze Zahl bezeichnet.)


(21.16)

(21.17)

(21.18)

(21.19)


Wellenförmige periodische Funktionen

(21.8)

(21.9)


(21.10)

(21.11)


(21.12)

(21.13)


Äquivalente Darstellungen des Fourier-Integrals
Andere äquivalente Formen der Darstellung des FOURIER-Integrals (15.65b) sind:
(15.66)

(15.67a)
mit den Koeffizienten
(15.67b)

(15.67c)


(15.68)

(15.69)
Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
(15.70a)
(15.70b)
(15.70c)

(15.70d)

(15.70e)

(15.70f)


Fourier-Reihe und Fourier-Integral
●
●

FOURIER-Integral
Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion


Fourier-Integral in komplexer Darstellung
Grundlage der FOURIER-Transformation ist das FOURIER-Integral, auch Integralformel von FOURIER genannt: Falls
eine nichtperiodische Funktion

in einem beliebigen endlichen Intervall den DIRICHLETschen Bedingungen

genügt und außerdem das Integral
(15.65a)
konvergiert, dann gilt
(15.65b)

in jedem Punkt, in dem die Funktion

stetig ist, und

(15.65c)


in den Unstetigkeitsstellen.


Numerischer Aufwand bei der Berechnung der FOURIER-Koeffizienten
Die Summen, die in den Formeln (19.210) auftreten, kommen auch im Zusammenhang mit der diskreten FOURIERTransformation, z.B. in der Elektrotechnik, in der Impuls- und vor allem in der Bildverarbeitung, vor. Dabei kann
sehr groß sein, so daß die betreffenden Summen äußerst rationell berechnet werden müssen, denn die Berechnung
der

Näherungswerte (19.210) für die FOURIER-Koeffizienten erfordert etwa

Für den Spezialfall

Additionen und Multiplikationen.

läßt sich jedoch mit Hilfe der sogenannten Schnellen FOURIER-TransformationFFT

(Fast Fourier-Transformation) die Anzahl der Multiplikationen von

auf

senken. Die

Größenordnung dieser Reduzierung erkennt man an dem folgenden Zahlenbeispiel:

(19.215)

Dadurch sinkt der Rechenaufwand und damit auch die Rechenzeit so stark ab, daß für einige wichtige
Anwendungsgebiete bereits der Einsatz kleinerer Computer ausreicht.
Die FFT nutzt die Eigenschaften der
-ten Einheitswurzel, d.h. der Lösungen der Gleichung
die Summanden in (19.210) sukzessiv zusammenzufassen.

, aus, um


FOURIER-Reihe
Wenn für ein System von
Grenzwert

-Werten die Funktion

strebt, dann gibt es für diese

beim Übergang

gegen einen bestimmten

eine konvergente FOURIER-Reihe der gegebenen Funktion. Sie

kann in der Form

(7.97a)

und auch in der Form

(7.97b)

dargestellt werden, wobei im zweiten Falle gilt:


(7.97c)


Fourier-Reihen im Hilbert-Raum
●

Bestapproximation


Komplexe Darstellung der FOURIER-Reihe
In vielen Fällen hat die komplexe Schreibweise Vorteile:
(7.98a)

(7.98b)


Fourier-Reihen
Ist

ein Orthonormalsystem und

, dann heißt die Reihe

(11.45a)

die FOURIER-Reihe von

bezüglich

, und die Zahlen

sind die zugehörigen FOURIER-

Koeffizienten. Für diese gilt auf Grund von (11.44b):
(11.45b)

Ist

vollständig, dann gilt die PARSEVALsche Gleichung

(11.45c)


Komplexe Darstellung der FOURIER-Summe
Um das Prinzip der FFT möglichst einfach beschreiben zu können, bringt man die FOURIER-Summe (19.207) mit Hilfe der
Formeln
(19.216)

auf die komplexe Form

(19.217)
Setzt man
(19.218a)

dann gilt wegen (19.208)


(19.218b)
und (19.217) geht in die komplexe Darstellung der FOURIER-Summe über:
(19.219)

Sind die komplexen Koeffizienten

ermittelt worden, dann erhält man daraus die gesuchten reellen FOURIER-

Koeffizienten auf folgende einfache Weise:
(19.220)


Additionssatz, Ähnlichkeitssatz
1. Additions- oder Linearitätssatz: Sind

und

zwei Koeffizienten aus

, dann gilt:
(15.85)

2. Ähnlichkeitssatz oder Maßstabsveränderung: Für

und reell gilt
(15.86)


Fourier-Transformation
●
●

Eigenschaften der Fourier-Transformation
Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-Transformation


Bildfunktion zum bipolaren Rechteckimpuls
Die FOURIER-Transformierte für den bipolaren Rechteckimpuls (s. Abbildung)
(15.99a)
ergibt sich unter Berücksichtigung der im Beispiel unipolarer Rechteckimpuls als (A.1) angegebene Gleichung für
. Durch die FOURIER-Transformation gemäß (15.87b), (15.87c) erhält man
(15.99b)
woraus mit (15.98a) folgt
(15.99c)


Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -a|t|
Bildfunktion zur Originalfunktion
(15.98a)
Unter Berücksichtigung von

für

und

für

findet man mit (15.73)

(15.98b)

Da

und

ist, existiert der Grenzwert für

, so daß sich ergibt
(15.98c)


Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -at
Bildfunktion zur Originalfunktion

:

Die Funktion ist nicht FOURIER-transformierbar, weil der Grenzwert

nicht existiert.


Dämpfungssatz
Für

, reell und

in

gilt
(15.88a)

oder
(15.88b)


Fourier-Transformation und Umkehrtransformation
●
●
●
●
●

Definition und Existenz der Fourier-Transformation
Fourier-Sinus- und Fourier-Kosinus-Transformation
Exponentielle Fourier-Transformation
Tabellen der Fourier-Transformation
Spektralinterpretation der FOURIER-Transformation


Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
Die Differentialgleichung
(15.101a)
d.h. mit der Funktion

der folgenden linken Abbildung, wird durch die FOURIER-Transformation
(15.101b)

in die algebraische Gleichung
(15.101c)
überführt, so daß sich
(15.101d)
ergibt.


Die Rücktransformation führt auf
(15.101e)
und

(15.101f)

Die Funktion (15.101f) ist in der rechten Abbildung graphisch dargestellt.


Differentiation im Bildbereich und im Originalbereich
1. Differentiation im Bildbereich: Ist

FOURIER-transformierbar, dann gilt
(15.89)

wobei mit

die

-te Ableitung von

bezeichnet ist.

2. Differentiation im Originalbereich:
a) Erste Ableitung:
Ist eine Funktion

stetig und absolut integrierbar in

und strebt sie für

gegen Null und existiert, ausgenommen gewisse Punkte, überall die Ableitung

, die in

absolut integrierbar sein muß, dann gilt
(15.90a)
b)

-te Ableitung:
Stellt man in der Verallgemeinerung des Satzes für die 1. Ableitung an alle weiteren Ableitungen bis zur


-ten

die gleichen Anforderungen, dann gilt
(15.90b)

Diese Differentiationsregeln werden bei der Lösung von Differentialgleichungen angewendet.


Exponentielle Fourier-Transformation
Im Unterschied zu

gemäß (15.73) wird

(15.78)
exponentielle FOURIER- Transformation genannt. Es gilt
(15.79)


Exponentielle Fourier-Transformationen
Obwohl

) gemäß (15.77a) durch

angegeben, für die

=2

und

darstellbar ist, sind hier noch einige Transformationen direkt

(s. (15.79)) gilt.

=

Nr.

1

,
0,

sonst


2

0
,
0,

3

sonst

,

0
,
0,

4
0,
,

0
,


Integration im Bildbereich
Wenn die Funktion
Funktion

in

absolut integrierbar ist, dann besitzt die FOURIER-Transformierte der

stetige Ableitungen, die mit Hilfe von

(15.91a)

bestimmt werden. Dabei ist

, und es gilt:
(15.91b)

Unter den gemachten Voraussetzungen folgt aus diesen Beziehungen
(15.91c)


Integration im Originalbereich und PARSEVALsche Formel
1. Integrationssatz: Wenn die Voraussetzung
(15.92a)
erfüllt ist, dann gilt
(15.92b)

2. PARSEVALsche Formel: Wenn die Funktion

sowie ihre Quadrate im Intervall

integrierbar ist, dann gilt
(15.93)


Fourier-Sinus- und Fourier-Kosinus-Transformation
In der FOURIER-Transformation (15.73) kann der Integrand in Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegt werden. Dann
ergibt sich die Sinus- bzw. Kosinus - FOURIER- Transformation .
1. Fourier-Sinus-Transformation:
(15.76a)
2. Fourier-Kosinus-Transformation:
(15.76b)
3. Umrechnungsformeln: Zwischen der FOURIER-Sinus- (15.76a) und der FOURIER- Kosinus- Transformation
(15.76b) einerseits und der FOURIER- Transformation (15.73) andererseits bestehen die folgenden
Umrechnungsformeln:
(15.77a)


(15.77b)
(15.77c)
Für gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) ergibt sich die Darstellung
(15.77d)
(15.77e)


Kosinus-Fourier-Transformationen
●
●
●
●
●
●
●

Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 7
Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 7 von 7


Rechenregeln zur Fourier-Transformation
Wie bei der LAPLACE-Transformation bereits bemerkt, versteht man unter Rechenregeln im Zusammenhang mit
Integraltransformationen die Abbildung gewisser Operationen im Originalbereich auf andere Operationen im
Bildbereich. Wenn vorausgesetzt wird, daß die beiden Funktionen

und

im Intervall

absolut integrierbar sind und ihre FOURIER-Transformierten
(15.84)
gebildet werden können, dann gelten die im folgenden formulierten Regeln.
●
●
●
●
●
●
●

Additionssatz, Ähnlichkeitssatz
Verschiebungssatz
Dämpfungssatz
Differentiation im Bildbereich und im Originalbereich
Integration im Bildbereich
Integration im Originalbereich und PARSEVALsche Formel
Faltung


Sinus-Fourier-Transformationen
●
●
●
●
●
●

Sinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 6
Sinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 6


Bildfunktionen spezieller Funktionen
●
●
●
●

Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -a|t|
Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -at
Bildfunktion zum bipolaren Rechteckimpuls
Bildfunktion zur gedämpften Schwingung


Fourier-Transformationen
In den Tabellen vorkommende Symbole sind wie folgt definiert:


In der Tabelle vorkommende Abkürzungen für Funktionen entsprechen den in den Kapiteln eingeführten Definitionen.
●
●
●

Kosinus-Fourier-Transformationen
Sinus-Fourier-Transformationen
Exponentielle Fourier-Transformationen


Tabellen der Fourier-Transformation
Auf Grund der Formeln (15.77a,b,c) brauchen entweder keine speziellen Tabellen für Korrespondenzen der FOURIERSinus- und FOURIER-Kosinus-Transformation bereitgestellt zu werden, oder man tabelliert die FOURIER-Sinus- und
FOURIER-Kosinus-Transformationen und berechnet daraus mit Hilfe von (15.77a,b,c)
die FOURIER-Kosinus-Transformationen und die FOURIER-Sinus-Transformationen
einige Funktionen die
exponentiellen FOURIER-Transformationen

Beispiel

.

. In den Tabellen sind
und

tabelliert und für


Die Funktion des unipolaren Rechteckimpulses
(s. Abbildung) erfüllt die Voraussetzungen der Definition des FOURIER-Integrals (15.65a).

Man erhält für die Koeffizienten gemäß (15.67b,c)

und damit nach (15.67a)

Bei Berücksichtigung der Sprungstellen erhält man gemäß (15.65c)


Unterabschnitte
●
●
●

1. Definition der Fourier-Transformation:
2. Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion:
3. Nicht Fourier-transformierbare Funktionen:

Definition und Existenz der Fourier-Transformation
1. Definition der Fourier-Transformation:
Die FOURIER-Transformation ist eine Integraltransformation der Form (15.1a), die aus dem FOURIER-Integral (15.65b)
dadurch entsteht, daß man
(15.71)

substituiert. Damit erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen der reellen Originalfunktion

und der im


allgemeinen komplexen Bildfunktion

:

(15.72)

In der Kurzschreibweise verwendet man das Zeichen

:
(15.73)

2. Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion:
Die Originalfunktion
mit dem Parameter

heißt FOURIER-transformierbar, wenn das Integral (15.71), also ein uneigentliches Integral
existiert. Wenn das FOURIER-Integral nicht als gewöhnliches uneigentliches Integral existiert,

ist es als CAUCHYscher Hauptwert zu verstehen. Die Bildfunktion
sie ist beschränkt, stetig und strebt für

nennt man auch FOURIER-Transformierte ;

gegen Null:
(15.74)

Existenz und Beschränktheit von

folgen direkt aus der offensichtlich gültigen Ungleichung


(15.75)

Für die Stetigkeit von

und die Eigenschaft

für

ist die Existenz der FOURIER-

Transformierten eine hinreichende Bedingung. Diese Aussage wird häufig in folgender Form benutzt: Wenn die
Funktion
von

in

absolut integrierbar ist, dann ist ihre FOURIER-Transformierte eine stetige Funktion

, und es gilt (15.74).

3. Nicht Fourier-transformierbare Funktionen:
Folgende Funktionen sind nicht FOURIER-transformierbar: konstante Funktionen, beliebige periodische Funktionen
(z.B.

), Potenzfunktionen, Polynome, Exponentialfunktionen (z.B.

, Hyperbelfunktionen).


Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation
Zwischen FOURIER- und LAPLACE-Transformation besteht ein enger Zusammenhang, der dadurch gegeben ist, daß
sich die FOURIER-Transformation als Spezialfall der LAPLACE-Transformation für den Fall

ergibt. Daraus

folgt, daß jede FOURIER-transformierbare Funktion auch LAPLACE-transformierbar ist, während das Umgekehrte nur
für einen kleineren Kreis von Funktionen

möglich ist. Die folgende Tabelle enthält einen Vergleich einer Reihe

von Eigenschaften der beiden Integraltransformationen.
Tabelle Vergleich der Eigenschaften von FOURIER- und LAPLACE-Transformation
FOURIER-Transformation

ist reell, physikalisch deutbar, z.B. als Frequenz
Ein Verschiebungssatz

LAPLACE-Transformation

ist komplex,
Zwei Verschiebungssätze


Intervall:

Intervall:

Lösung von Differentialgleichungen,
die Probleme mit diesem
zweiseitigem Definitionsbereich beschreiben,
z.B. die Wellen-Gleichung

Lösung von Differentialgleichungen,
die Probleme mit diesem
einseitigen Definitionsbereich beschreiben,
z.B. die Wärmeleitungs-Gleichung

Differentiationssatz enthält keine Anfangswerte

Differentiationssatz enthält Anfangswerte

Konvergenz des FOURIER-Integrals hängt

Konvergenz des LAPLACE-Integrals wird durch

nur von

ab

Genügt der zweiseitigen Faltung

den Faktor

verbessert

Genügt der einseitigen Faltung


Verschiebungssatz
Für

, reell und

reell gilt
(15.87a)

oder
(15.87b)
Ersetzt man in (15.87b)

durch

, dann ergibt sich
(15.87c)


Flächeninterpretation der Wahrscheinlichkeit, Quantil
Durch die Einführung der Verteilungsfunktion und der Wahrscheinlickeitsdichte in (16.42) kann die Wahrscheinlichkeit
als Flächeninhalt interpretiert werden, und zwar als Inhalt der Fläche zwischen
Dichtefunktion

und der Abszisse im Intervall

Häufig wird eine Wahrscheinlichkeit

(s. linke Abbildung).

vorgegeben. Gilt
(16.46)


dann nennt man die zugehörige Abszisse

Quantil oder auch Fraktil der Verteilung (s. rechte Abbildung).

Das bedeutet: Der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion
allerdings auch die Fläche links von

rechts von

ist gleich

. In der Literatur wird

zur Definition des Quantils verwendet.

In der mathematischen Statistik wird für kleine Werte

(z.B.

oder

) manchmal der Begriff

Irrtumswahrscheinlichkeit verwendet. Die dazugehörigen Quantile sind für die wichtigsten praktischen Verteilungen
tabelliert worden (s. Tabelle POISSON-Verteilung bis Tabelle STUDENT-Verteilung).


Fredholmsche Sätze
Zur FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art
(11.21a)
ist durch
(11.21b)
eine zugehörige transponierte Integralgleichung gegeben. Zu diesem Paar von Integralgleichungen lassen sich
folgende Aussagen treffen (s. auch Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen).
1.
Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art besitzt nur abzählbar viele Eigenwerte, welche sich nur im
Unendlichen häufen können, d.h., es existieren für jede reelle Zahl
.
2.

nur endlich viele Eigenwerte

mit


Ist

kein Eigenwert von (11.21a), dann sind beide inhomogene Integralgleichungen für beliebige

Störfunktionen

bzw.

eindeutig lösbar, und die zugehörigen homogenen Integralgleichungen

besitzen nur die triviale Lösung.
3.
ein Eigenwert von (11.21a), dann ist
auch Eigenwert der transponierten Gleichung (11.21b). Beide
Ist
homogene Integralgleichungen haben dann nicht verschwindende Lösungen, und die Anzahl linear
unabhängiger Eigenfunktionen stimmt für beide Gleichungen überein.
4.
Eine inhomogene Integralgleichung ist genau dann lösbar, wenn die Störfunktion zu allen Lösungen der
homogenen transponierten Integralgleichung orthogonal ist, d.h. falls für alle Lösungen der Integralgleichung
(11.22a)
gilt
(11.22b)

Aus diesen Sätzen folgt der FREDHOLMsche Alternativsatz : Entweder die inhomogene Integralgleichung ist für
beliebige Störfunktion

lösbar oder die zugehörige homogene Gleichung besitzt nichttriviale Lösungen.


Fredholmsche Alternative
Sei

ein kompakter linearer Operator in einem BANACH-Raum

Art mit einem Parameter

. Es werden die folgenden Gleichungen zweiter

betrachtet:
(12.185a)
(12.185b)

Es gelten:
1.
dim

dim

, d.h., die homogenen Gleichungen haben stets dieselbe

endliche Anzahl von linear unabhängigen Lösungen.
2.
und
Orthogonalität im BANACH-Raum gemeint.)
3.

. (Hier ist die


genau dann, wenn

.

4.
Die FREDHOLMsche Alternative (auch RIESZ-SCHAUDER-Theorie genannt), d.h. entweder:
a) Die homogene Gleichung besitzt nur die triviale Lösung. In diesem Falle gilt
Operator

, der

ist beschränkt, und die inhomogene Gleichung besitzt genau eine Lösung
für beliebiges

, oder:

b) Die homogene Gleichung besitzt wenigstens eine nichttriviale Lösung. In diesem Falle gilt:
Eigenwert von

, also

, und die inhomogene Gleichung besitzt eine (nicht eindeutige)

Lösung genau dann, wenn die rechte Seite

inhomogenen Gleichung in der Form

Lineare Gleichungen der Gestalt

der Bedingung

für jede Lösung

der

genügt. In letzterem Fall erhält man jede Lösung der

adjungierten Gleichung

Gleichung und

ist ein

, wobei

eine feste Lösung der inhomogenen

ist.

mit kompaktem Operator

ist im allgemeinen etwas schwieriger (s. Lit. 12.12, 12.21).

nennt man von erster Art. Ihre Behandlung


Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
Die Koeffizienten

können auf folgende Weise bestimmt werden. Die Gleichung (11.6c) wird mit

multipliziert und anschließend bezüglich

in den Grenzen von

bis

integriert:

(11.7a)

Die linke Seite dieser Gleichung ist nach (11.6b) gleich

. Mit den Abkürzungen


(11.7b)

erhält man für

:

(11.7c)
Es ist möglich, daß die Integrale nicht exakt ausgewertet werden können. In diesem Fall muß man zur numerischen
Integration mit Hilfe einer Näherungsformel übergehen. Das lineare Gleichungssystem (11.7c) besteht aus
Gleichungen für die Unbekannten

:

(11.7d)


Approximation des Integrals
●
●

Semidiskretes Problem
NYSTRÖM-Verfahren


Formulierung der Aufgabe
Zur Behandlung der FREDHOLMschen Integralgleichung 1. Art mit ausgeartetem Kern
(11.38a)
werden wie beim im Abschnitt FREDHOLMsche Integralgleichungen 2. Art die Konstanten
(11.38b)
eingeführt. Die Gleichung (11.38a) besitzt die Darstellung
(11.38c)
d.h., nur wenn

eine Linearkombination der Funktionen

eine Lösung. Ist diese Bedingung erfüllt, dann sind die Konstanten

ist, hat die Integralgleichung
bekannt.


Iterationsverfahren
Ähnlich dem PICARDschen Iterationsverfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen soll eine Methode
zur iterativen Bestimmung der Lösung einer FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art angegeben werden.
Ausgehend von der Gleichung
(11.10)

wird sukzessiv eine Folge von Funktionen
. Alle folgenden

ermittelt. Als erste Iterierte setzt man
erhält man mittels der Vorschrift:

(11.11a)
Führt man die Schritte im einzelnen aus, so ist zunächst


(11.11b)

Nach der angegebenen Iterationsvorschrift ist dieser Ausdruck anstelle von

in die rechte Seite von (11.10)

einzusetzen. Zur Vermeidung von Verwechslungen soll in (11.11b) die Integrationsvariable

in

umbenannt

werden. Man erhält:

(11.11c)

(11.11d)

Führt man die Bezeichnungen

nennt

wieder

, so kann

und

geschrieben werden als

ein und


(11.11e)
Mit der Bezeichnung
(11.11f)

erhält man auf analoge Weise die Darstellung für die

-te Iterierte

:

(11.11g)

Der Ausdruck

wird als

- ter iterierter Kern von

bezeichnet.


Iteratives Verfahren
Zur Lösung der Integralgleichung
(11.54a)

bildet man mit

für

die Funktionen

(11.54b)
und
(11.54c)

Existiert eine quadratisch integrierbare Lösung

von (11.54a), dann gilt:


(11.54d)

Durch Orthogonalisierung und Normierung der nach (11.54b,c) ermittelten Funktionensysteme erhält man die
Orthonormalsysteme

und

verwendet, dann besitzt

die Darstellung

. Wird hierzu das SCHMIDTsche Orthogonalisierungsverfahren

(11.54e)

Es wird nun angenommen, daß die Lösung

der Gleichung (11.54a) die Reihendarstellung

(11.54f)
besitzt. In diesem Fall gilt für die Koeffizienten

unter Beachtung von (11.54d)


(11.54g)
Für die Existenz einer Lösungsdarstellung (11.54f) sind die folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend:
(11.55a)

(11.55b)


Kernapproximation
Man ersetzt den Kern

durch einen Kern

mit

für

,

. Diesen Kern wählt man so, daß die resultierende Integralgleichung

(11.30)
möglichst einfach zu lösen ist.
●
●

Tensorprodukt-Approximation
Spezieller Spline-Ansatz


Kollokationsmethode
Es werden

auf dem Intervall

linear unabhängige Funktionen

Funktionen bildet man eine Ansatzfunktion

für die Lösung

vorgegeben. Mit diesen
:
(11.37a)

Die Aufgabe besteht in der Bestimmung der Koeffizienten
im allgemeinen keine Werte

. Für eine so definierte Funktion

wird es

geben, so daß damit die exakte Lösung der Integralgleichung (11.23)

vorliegt. Deshalb gibt man sich im Integrationsintervall

Stützstellen

vor und fordert,

daß der Ansatz (11.37a) die Integralgleichung zumindest an diesen Stellen erfüllt:
(11.37b)


(11.37c)

Etwas umgeformt hat dieses Gleichungssystem die Gestalt:

(11.37d)

mit

.

Definiert man die Matrizen

(11.37e)

und die Vektoren
(11.37f)


dann kann das Gleichungssystem zur Bestimmung der Zahlen

in Matrizenform angegeben werden:
(11.37g)

Beispiel
.

Ansatz:
Stützstellen:

.
.

.

Das Gleichungssystem lautet:


Man erhält als Lösung dieses Systems

und somit
mit

.

Die exakte Lösung der Integralgleichung ist

mit
.

Soll in diesem Beispiel die Genauigkeit verbessert werden, empfiehlt es sich nicht, den Grad des
Polynomansatzes zu erhöhen, da Polynome höheren Grades numerisch instabil sind. Es sind vielmehr
verschiedene Spline-Funktionenansätze vorzuziehen, etwa der stückweise lineare Ansatz
mit den bereits unter Kernapproximation angeführten
Funktionen


Die Lösung

wird in diesem Fall durch einen Polygonzug

angenähert.

Hinweis: Die Wahl der Lage der Stützstellen für das Kollokationsverfahren ist prinzipiell ohne Beschränkung. Ist jedoch
bekannt, daß die Lösungsfunktion in einem Teilintervall stark oszilliert, dann sollten in diesem Intervall die Stützstellen
dichter gelegt werden.


FREDHOLMsche Integralgleichungen
Die FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
(12.64)
mit stetigem Kern und stetiger rechter Seite kann man iterativ lösen, indem sie mit Hilfe des Operators
, definiert durch
(12.65)
in ein Fixpunktproblem

im metrischen Raum

angewendet wird, vorausgesetzt, es gilt
als gleichmäßigen Grenzwert der Iterationsfolge

(s. Beispiel J) überführt und der Fixpunktsatz
. Die eindeutige Lösung erhält man
, beginnend mit einer beliebigen Funktion


.


Lösungen
Die Koeffizientenmatrix ist regulär, wenn die linere Unabhängigkeit der Funktionen
vorausgesetzt wird. Die so ermittelte Lösung (11.39a) ist jedoch nicht die einzige Lösung der Integralgleichung. Im
Gegensatz zur FREDHOLMschen Integralgleichung 2. Art mit ausgeartetem Kern ist die homogene Integralgleichung
immer lösbar. Ist
dann ist auch

eine solche Lösung der homogenen Gleichung und

eine Lösung von (11.38a),

eine Lösung von (11.38a).

Um alle Lösungen der homogenen Gleichung zu bestimmen, wird die Gleichung (11.38c) mit
Werden die Funktionen

betrachtet.

als linear unabhängig vorausgesetzt, dann ist die Gleichung genau

dann erfüllt, wenn gilt
(11.40)


d.h., jede zu allen Funktionen

orthogonale Funktion

löst die homogene Integralgleichung.


Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art
Sind

bzw.

beliebige Lösungen der inhomogenen bzw. homogenen Integralgleichungen

(11.48a)
bzw.
(11.48b)

dann ist auch die Summe

eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung. Deshalb sollen

zunächst alle Lösungen der homogenen Integralgleichung bestimmt werden. Diese Aufgabe ist identisch mit der
Ermittlung aller nichttrivialen Lösungen des linearen Gleichungssystems
(11.49)


Da dessen Auflösung mitunter schwierig ist, kann das folgende Verfahren zur Berechnung der homogenen Lösungen
herangezogen werden.
Liegt ein vollständiges Orthonormalsystem

vor, dann werden die Funktionen

(11.50a)

gebildet. Ist

eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung, d.h., es gilt

(11.50b)

dann ergibt sich nach Multiplikation dieser Gleichung mit

und anschließender Integration bezüglich

(11.50c)

d.h., eine beliebige Lösung
Wird das System

der homogenen Gleichung muß orthogonal zu allen Funktionen
durch das, mit Hilfe einer Orthonormnierung daraus hervorgehende System

ersetzt, dann lautet die Bedingung (11.50c) jetzt:

sein.


(11.50d)

Wird das System

zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzt, dann erfüllt offensichtlich jede

Linearkombination der ergänzten Funktionen die Bedingung (11.50d). Ist das Orthonormalsystem
vollständig, dann existiert nur die triviale Lösung

bereits

.

In ganz entsprechender Weise kann auch das Lösungssystem der folgenden transponierten homogenen
Integralgleichung bestimmt werden:
(11.50e)

Beispiel


.
Orthonormalsystem:
,

.
Zweimalige Anwendung von (11.47) ergibt
.

Das System

ist bereits orthonormiert. Die Funktion

System. Die homogene Gleichung besitzt also nur die Lösungen

vervollständigt dieses

.


Lösungsansatz im Falle von Produktkernen
Die Auflösung FREDHOLMscher Integralgleichungen 2. Art mit ausgearteten Kernen führt auf ein endlich
dimensionales lineares Gleichungssystem. Man betrachte die Integralgleichung
(11.4a)
mit
(11.4b)
Die Funktionen

und

stetig vorausgesetzt. Weiterhin sollen die Funktionen

seien in dem Intervall

definiert und dort als

voneinander linear unabhängig sein,

d.h., die Beziehung
(11.5)


mit konstanten Koeffizienten

ist nur mit

für alle

aus

erfüllt.

Aus (11.4a) und (11.4b) folgt:

(11.6a)

Die auftretenden Integrale hängen nicht mehr von der Variablen

ab, sind also gewisse konstante Werte, die mit

bezeichnet werden sollen:

(11.6b)

Die Lösungsfunktion

setzt sich, falls sie existiert, additiv aus der Störfunktion

Linearkombination der Funktionen

und einer

zusammen:
(11.6c)


Lösungsansatz
Der Lösungsansatz
(11.39a)
mit den unbekannten Koeffizienten

führt nach Einsetzen in (11.38b) auf die Beziehungen

(11.39b)
Nach Einführung der Bezeichnung
(11.39c)

ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten

:


(11.39d)


Lösungsansatz
Eine Reihe von Verfahren zur Lösung von FREDHOLMschen Integralgleichungen 1. Art
(11.41)

geht von einer Darstellung der Lösung

als Funktionenreihe bezüglich eines Funktionensystems
aus, d.h., es wird der Lösungsansatz

(11.42)

mit zunächst unbestimmten Koeffizienten

gewählt. Bei der Wahl des Funktionensystems

ist zu

beachten, daß durch diese Funktionen der gesamte Raum der Lösungen erfaßt wird und die Koeffizienten
geeignet dargestellt werden können.
Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden die nachfolgenden Ausführungen auf reellwertige Funktionen beschränkt.


Alle Aussagen sind aber auf komplexwertige Funktionen übertragbar. Für die Begründung der darzulegenden
Lösungsverfahren sind einige Forderungen an die Kernfunktion

zu stellen (s. Lit. 11.2, 11.10). Diese

Forderungen werden stets als erfüllt angesehen. Zunächst werden einige Hilfsmittel erläutert.


Fredholmsche Lösungsmethode
●
●

Näherungslösung durch Diskretisierung
Bestimmung der Resolvente


Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares
Gleichungssystem
●

Problemstellung


Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
Häufig wird eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
(11.23)
mit einem der bisher unter FREDHOLMsche Integralgleichungen 2. Art beschriebenen Verfahren entweder gar nicht
oder nur mit großem Aufwand exakt gelöst werden können. In einem solchen Fall müssen numerische
Näherungsmethoden herangezogen werden. Es sollen im folgenden drei Verfahrensklassen zur numerischen Lösung
von Integralgleichungen des Typs (11.23) vorgestellt werden.
●
●
●

Approximation des Integrals
Kernapproximation
Kollokationsmethode


NYSTRÖM-Verfahren
Beim sogenannten NYSTRÖM-Verfahren verwendet man zur Approximation des Integrals die GAUSSschen Quadraturformeln.
Zu deren Herleitung betrachte man das Integral
(11.27a)

Man ersetzt den Integranden durch ein Polynom

, welches die Funktion

in den Stützstellen

interpoliert:

(11.27b)

Für das so definierte Polynom

gilt:
(11.27c)

Die Ersetzung des Integranden

durch

liefert die Quadraturformel


(11.27d)
mit
(11.27e)
Für die GAUSSschen Quadraturformeln ist die Wahl der Stützstellen nicht willkürlich, sondern erfolgt nach der Vorschrift:
(11.28a)
Die

Zahlen

sind die

Nullstellen des LEGENDREschen Polynoms 1. Art
(11.28b)

Diese Nullstellen liegen alle im Intervall

ermittelt werden:

. Die Koeffizienten

können durch die Substitution


(11.29)
In der folgenden Tabelle sind für

die Nullstellen der LEGENDREschen Polynome sowie die Gewichte

angegeben.
Tabelle Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art


Beispiel


ist näherungsweise nach

Die Integralgleichung

dem NYSTRÖM-Verfahren für den Fall

zu lösen.

Das Gleichungssystem (11.25c) zur Ermittlung von

Lösung des Systems:
Lösung in den Stützstellen sind:

und

lautet:

. Die Werte der exakten
.


Problemstellung
Es soll ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten der Lösungsfunktion
Orthonormalsystems aufgestellt werden. Dazu wird ein vollständiges Orthonormalsystem
entsprechendes vollständiges Orthonormalsystem
besitzt die Funktion

möge auch für das Intervall

bezüglich eines

mit

gewählt. Ein

vorliegen. Bezüglich des Systems

die FOURIER-Reihe

(11.46a)

Die Multiplikation der Integralgleichung (11.41) mit
liefert:

und die anschließende Integration bezüglich

in den Grenzen von

bis


(11.46b)

Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist eine Funktion von

und möge die FOURIER-Darstellung

(11.46c)

besitzen. Mit dem FOURIER-Reihenansatz
(11.46d)
erhält man


(11.46e)

Auf Grund der Orthonormaleigenschaft (11.44b) ergibt sich das lineare Gleichungssystem
(11.46f)
Das ist ein System mit unendlich vielen Gleichungen zur Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten

. Die Koeffizientenmatrix

(11.46g)

wird als Kernmatrix bezeichnet. Die Zahlen
Orthonormalsysteme abhängig.
Beispiel

und

sind bekannte Größen, aber von der Wahl der


.
Das Integral ist dabei im Sinne des CAUCHYschen Hauptwertes zu verstehen. Als vollständige Orthogonalsysteme verwendet man:
.

1.

.

2.

Nach (11.46c) ergibt sich für die Koeffizienten der Kernmatrix
,

.
Für das innere Integral gilt die Beziehung
(11.47)

Daraus folgt

Die FOURIER-Koeffizienten von

lauten gemäß (11.46a)


.
Das Gleichungssystem lautet

Auf Grund der ersten Gleichung besitzt das System nur dann eine Lösung, wenn gilt
.

Es ist dann

, und

.


Algorithmus
Bestimmung einer normierten Funktion

, die zu allen Funktionen aus

orthogonal ist. Für

werden jeweils die folgenden Schritte durchlaufen:
1.
Berechnung der Funktion

sowie einer Zahl

aus

(11.51a)

(11.51b)


wobei

immer ungleich Null und so zu bestimmen ist, daß

Funktionen

normiert ist.

ist orthogonal zu allen

.

2.
Bestimmung der Funktion

sowie einer Zahl

aus

(11.51c)
Es können zwei Fälle eintreten:
a)
: Die Funktion

ist orthogonal zu allen Funktionen

.

: Die Funktion

ist nicht eindeutig bestimmt. Erneut werden zwei Fälle unterschieden:

b)

Das System

ist vollständig. Dann ist auch das System
vollständig, und das Verfahren ist beendet.


Das System
Funktionen orthogonale Funktion

ist nicht vollständig. Dann wird eine beliebige, zu diesen
gewählt.

Das Verfahren wird so lange wiederholt, bis die Orthonormalsysteme vollständig sind. Es ist möglich, daß im
Algorithmus von einem gewissen Schritt ab auch nach abzählbar unendlich vielen weiteren Schritten nicht der Fall b)
nicht vollständig,

eintritt. Ist die dabei erzeugte abzählbar unendliche Folge von Funktionen
dann kann mit einer zu allen diesen Funktionen orthogonalen Funktion

Werden die durch das Verfahren ermittelten Funktionen

das Verfahren neu gestartet werden.

sowie die Zahlen

geeignet

umbezeichnet, dann läßt sich die resultierende Kernmatrix K folgendermaßen darstellen:

(11.52)


Die Matrizen

sind endlich, wenn im Algorithmus nach endlich vielen Schritten der Fall
eintritt. Dagegen sind sie unendlich, wenn für abzählbar unendlich viele Schritte

gilt:

. Die
bzw.

Anzahl der Nullzeilen bzw. Nullspalten in K entspricht der Anzahl der Funktionen in den Systemen
. Ein besonders einfacher Fall liegt vor, wenn die Matrizen

nur eine Zahl

enthalten,

gleich Null sind.

also alle Zahlen

Mit den Bezeichnungen aus dem Abschnitt Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
ergibt sich für die Lösung des unendlichen Gleichungssystems unter der Voraussetzung von

für

:

(11.53)


Transponierte Integralgleichung
Es bleibt noch zu untersuchen, unter welchen Bedingungen im Fall

auch die inhomogene Integralgleichung eine

Lösung besitzt. Zu diesem Zweck führt man die zu (11.4a) transponierte Integralgleichung ein:
(11.9a)

Es sei

ein Eigenwert und

eine Lösung der inhomogenen Integralgleichung (11.4a). Dann läßt sich zeigen, daß

auch Eigenwert der transponierten Gleichung ist. Man multipliziert beide Seiten von (11.4a) mit irgendeiner Lösung
homogenen transponierten Integralgleichung und integriert anschließend über

in den Grenzen von

bis

der

:
(11.9b)

Da

vorausgesetzt war, erhält man die Forderung

.


Insgesamt gilt also: Die inhomogene Integralgleichung (11.4a) ist für einen Eigenwert

genau dann lösbar, wenn die

orthogonal zu allen nichtverschwindenden Lösungen der homogenen transponierten Integralgleichung mit

Störfunktion

demselben
ist. Diese Aussage ist nicht auf Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen eingeschränkt, sondern gilt auch
für Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen.
Beispiel A

Die

sind linear abhängig. Man formt deshalb die Integralgleichung um:

.

Für diese Integralgleichung gilt:
Falls eine Lösung

existiert, hat sie die Darstellung

.
.


und

Damit lautet das System zur Bestimmung von

:

. Daraus ermittelt man

.

Beispiel B

und


, d.h.:

.

Das System (11.7d) lautet also

Lösung für alle

mit

. Es besitzt eine eindeutige

. Dann ist


, und die Integralgleichung hat die Lösung

Die Eigenwerte der Integralgleichung

sind

.

hat somit nichttriviale Lösungen der

Die homogene Integralgleichung

. Für

Form

beliebigen Konstanten

:

erhält man:

ist

, und mit einer

. Entsprechend ermittelt man für

mit einer beliebigen Konstanten

.

Hinweis: Das angegebene Lösungsverfahren ist besonders einfach, bleibt aber auf ausgeartete Kerne beschränkt. Die


Methode kann jedoch auch für Integralgleichungen mit allgemeineren Kernen als Näherungsverfahren angewendet werden,
indem man den Kern durch einen ausgearteten Kern hinreichend gut approximiert.


Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem
gegebenen Kern
●
●

Prinzipielle Vorgehensweise
Algorithmus


6. Grundaufgabe WWS
Gegeben: 2 Winkel und die einem Winkel gegenüberliegende Seite, z.B.
Bedingungen: Siehe Fallunterscheidung.

Lösung: Gesucht beliebige fehlende Größe .
(3.207)


2 Werte

sind möglich. Es sei

spitz und

stumpf.

Fallunterscheidung:
1.
d.h. 0 Lösungen.
2.
d.h. 1 Lösung
3.
d.h. weitere Fallunterscheidungen sind notwendig:

3.1.

Weitere Fallunterscheidung:

3.1.1.
d.h. 1 Lösung
3.1.2.

.


d.h. 1 Lösung
3.2.

.
Weitere Fallunterscheidung:

3.2.1.

,
d.h. 2 Lösungen

3.2.2.

.
,

d.h. 0 Lösungen.
Fortführung: Weitere Berechnung mit einer Seite oder 2 Seiten

.

Hinweis Die Lösung der 6. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden, wobei die Seiten

und

auftreten.


Dazu wird von
das sphärische Lot auf
bis
gefällt.
Formeln zur 6. Grundaufgabe bei Zerlegung in zwei rechtwinklige sphärische Dreiecke:
1. Weg:
(3.208a)
(3.208b)
(3.208c)
(3.208d)
(3.208e)
(3.208f)
2. Weg:


(3.209a)

(3.209b)

Probe: Doppelte Berechnung von

Beispiel A Dreiseitige Pyramide
Eine dreiseitige Pyramide hat die Grundfläche

und die Spitze


Die Seitenflächen
und
Kanten

und
und
und

schneiden sich unter
unter

und

unter

. Wie groß sind die Winkel, unter denen sich je zwei der

schneiden?

Lösung: Aus einer Kugelfläche um die Spitze

der Pyramide schneidet das Dreikant ein sphärisches


Dreieck mit den Seiten

aus. Die Winkel zwischen den Seitenflächen sind die Winkel des

sphärischen Dreiecks, die gesuchten Winkel zwischen den Kanten sind seine Seiten. Die Bestimmung der
Winkel

entspricht der 2. Grundaufgabe. Die 2. Lösung liefert:

Beispiel B Funkpeilung
Durch Funkpeilung von zwei festen Stationen
und

und

der von einem Schiff ausgesandten Funkwellen gepeilt.

wurden die Azimute


Gesucht sind die geographischen Koordinaten des Standortes

des Schiffes. Die in der Nautik unter

dem Namen Fremdpeilung bekannte Aufgabe stellt einen Vorwärtseinschnitt auf der Kugel dar und wird
ähnlich dem Vorwärtseinschnitt in der Ebene gelöst.
1. Berechnung im Dreieck

: Im Dreieck

sind die Seiten

und der Winkel


gegeben. Die Berechnung der Winkel

und der Strecke

erfolgt gemäß

3. Grundaufgabe.
2. Berechnung im Dreieck
die Seite
und

: Da

und die anliegenden Winkel

sind in
und

bekannt. Berechnung der Seiten

gemäß 4. Grundaufgabe, 3. Lösung. Die Koordinaten des Punktes

und der Entfernung gegen

oder

3. Berechnung im Dreieck

sind aus dem Azimut

, also doppelt berechenbar.
: Im Dreieck

sind die zwei Seiten

und der eingeschlossene Winkel

gegeben.

Nach der 3. Grundaufgabe, 1. Lösung, werden die Seiten
berechnet. Zur Kontrolle werden im Dreieck
und der Winkel
Breite

berechnet. Damit sind die Länge

des Punktes

bekannt.

und der Winkel
ein zweites Mal
und die


Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion
Die Formel (7.107a) kann als Grenzfall der Entwicklung einer nichtperiodischen Funktion
trigonometrische Reihe im Intervall

für

aufgefaßt werden.

Mit Hilfe der FOURIERschen Reihenentwicklung wird eine periodische Funktion mit der Periode
harmonischer Schwingungen mit den Frequenzen

in eine

mit

als Summe

und den Amplituden

dargestellt. Diese Darstellung beruht somit auf einem diskreten Frequenzspektrum .
Im Unterschied dazu wird mit Hilfe des FOURIER-Integrals die nichtperiodische Funktion
vieler harmonischer Schwingungen mit stetig variierender Frequenz
eine Entwicklung der Funktion
die Dichte des Spekrums:

als Summe unendlich

dargestellt. Das FOURIER-Integral liefert somit

in ein kontinuierliches Frequenzspektrum . Hierbei entspricht der Frequenz


(7.107c)

Das FOURIER-Integral ist von einfacherer Form, wenn die Funktion

entweder a) eine gerade oder b) eine

ungerade Funktion ist:

(7.108a)

(7.108b)

Beispiel
Für die gerade Funktion
Darstellung der Funktion zu

ergeben sich die Dichte des Frequenzspektrums und die


(7.109a)

und

(7.109b)


Fresnelsche Integrale
Zur Herleitung der FRESNELschen Integrale
(14.62)

wird das Integral
untersucht.

mit dem in der folgenden Abbildung skizzierten geschlossenen Integrationsweg


Nach dem Integralsatz von CAUCHY gilt:

,

Abschätzung von

mit

,

: Unter Beachtung von

gilt:


Führt man den Grenzübergang

durch, dann lassen sich die Integrale

und

auswerten:

und durch Trennung von Real- und Imaginärteil erhält man die angegebenen
Formeln (14.62).


Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl

kann man als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist eindeutig bis

auf die Reihenfolge der Faktoren. Man sagt, daß

genau eine Primfaktorenzerlegung besitzt.

Beispiel

Hinweis: Analog kann man ganze Zahlen (außer -1, 0, 1) eindeutig bis auf Vorzeichen und Reihenfolge der Faktoren
als Produkt von Primelementen darstellen.


Spezieller Fall zweier Funktionen
Zwei Funktionen zweier Veränderlicher

und

, die beide in demselben Gebiet definiert

sind, werden als abhängige Funktionen bezeichnet, wenn die eine durch die andere gemäß
ausgedrückt werden kann. Für jeden Punkt des Definitionsbereiches gilt dann die Identität
(2.270)

Existiert keine solche Funktion

oder

spricht man von unabhängigen Funktionen .

Beispiel
definiert im Gebiet
Funktionen, da

gilt.

sind abhängige


Hinreichende Konvergenzkriterien
Wenn sich die unmittelbare Berechnung der Grenzwerte (8.77), (8.78a) und (8.78b) schwierig gestaltet oder wenn
lediglich nach der Konvergenz oder Divergenz eines uneigentlichen Integrals gefragt ist, dann kann eines der
folgenden hinreichenden Kriterien benutzt werden. Hier wird lediglich das Integral (8.77) betrachtet. Das Integral
(8.78a) kann durch Substitution von

durch

auf das Integral vom Typ (8.77) zurückgeführt werden:

(8.79)

Das Integral vom Typ (8.78b) wird in eine Summe aus zwei Integralen vom Typ (8.77) und vom Typ (8.78a) zerlegt:

(8.80)


wobei

eine beliebige Zahl ist.
1. Kriterium: Wenn das Integral
(8.81)

existiert, dann existiert auch das Integral (8.77). Das Integral (8.77) heißt in diesem Falle absolut konvergent und die
Funktion

absolut integrierbar auf der Halbachse

2. Kriterium: Wenn für die Funktionen

und

.

mit
(8.82a)

die Bedingung
(8.82b)
gilt, dann darf von der Konvergenz des Integrals


(8.82c)
auf die Konvergenz des Integrals
(8.82d)
geschlossen werden und umgekehrt von der Divergenz des Integrals (8.82d) auf die Divergenz des Integrals (8.82c).
3. Kriterium: Wird
(8.83a)

gesetzt und dabei beachtet, daß

(8.83b)

für

konvergiert und für

hergeleitet werden:

divergiert, dann kann aus dem 2. Konvergenzkriterium ein weiteres


Wenn

in

eine positive Funktion ist und wenn eine Zahl

existiert, so daß für

hinreichend große
(8.83c)

gilt, dann konvergiert das Integral (8.77); wenn allerdings

positiv ist und eine Zahl

existiert, so daß

(8.83d)
von einer gewissen Stelle an gilt, dann divergiert das Integral (8.77).
Beispiel
. Setzt man
ist divergent.

, dann ergibt sich

. Das Integral


Hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals mit
unbeschränktem Integranden

1. Wenn das Integral

existiert, dann existiert auch das Integral

in diesem Falle vom absolut konvergenten Integral und von der absolut integrierbaren Funktion

. Man spricht

in dem

betreffenden Intervall.
2. Wenn die Funktion
daß für hinreichend nahe bei

in dem Intervall
gelegene

positiv ist, und wenn es eine Zahl

derart gibt,

-Werte gilt
(8.89a)

dann konvergiert das Integral (8.87a). Wenn jedoch

im Intervall

derart existiert, daß für hinreichend nahe bei

-Werte gilt

gelegene

positiv ist und eine Zahl

(8.89b)


dann divergiert das Integral (8.87a).


Algebraische Funktionen
Algebraische Funktionen zeichnen sich durch eine Verknüpfung des Arguments

mit der Funktion

über eine

algebraische Gleichung der Form
(2.37)
aus, wobei

Polynome in

sind.

Beispiel
d.h.

Wenn es gelingt, eine algebraische Gleichung algebraisch nach
folgenden Typen der einfachsten algebraischen Funktionen vor:

aufzulösen, dann liegt einer der


1. Ganzrationale Funktionen oder Polynome:
Das Argument

wird nur den Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation unterworfen.
(2.38)

Insbesondere bezeichnet man

als Konstante ,

als lineare Funktion

als quadratische Funktion .

und

2. Gebrochenrationale Funktionen:
Die gebrochenrationale Funktion kann immer als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt
werden:
(2.39a)

Insbesondere bezeichnet man

(2.39b)

als gebrochenlineare Funktion .
3. Irrationale Funktionen:
Außer den bei den gebrochenrationalen Funktionen genannten Operationen tritt hier das Argument


zusätzlich unter dem Wurzelzeichen auf.
Beispiel A

Beispiel B


Definition der analytischen Funktion
Eine Funktion

heißt in einem Gebiet

differenzierbar ist. Randpunkte von

, in denen

nicht existiert, sind singuläre Punkte von

ist genau dann in

Die Funktion
Ableitungen nach

analytisch , regulär oder holomorph , wenn sie in allen Punkten von

und

in

differenzierbar, wenn

und

.

stetige partielle

besitzen und dort die CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen gelten:
(14.4)

Real- und Imaginärteil einer analytischen Funktion genügen für sich der LAPLACEschen Differentialgleichung
(14.5a)

(14.5b)


Die Ableitungen der elementaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden nach den gleichen Formeln
berechnet wie die Ableitungen der entsprechenden Funktionen einer reellen Veränderlichen.
Beispiel A

Beispiel B


Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
Die zyklometrischen Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Sie werden auch
inverse trigonometrische und Arkusfunktionen genannt. Zu ihrer eindeutigen Definition wird der Definitionsbereich der
trigonometrischen Funktionen in Monotonieintervalle zerlegt, so daß für jedes Monotonieintervall eine
Umkehrfunktion erhalten wird. Diese wird entsprechend dem zugehörigen Monotonieintervall mit dem Index
gekennzeichnet.
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●
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●
●
●
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●

Definition der zyklometrischen Funktionen
Tabelle der Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen
Zurückführung auf die Hauptwerte
Beziehungen zwischen den Hauptwerten
Formeln für negative Argumente
Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y
Summe und Differenz von arccos x und arccos y
Summe und Differenz von arctan x und arctan y
Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x


Funktionsbegriff
●
●
●
●
●
●

Definition der Funktion
Methoden zur Definition einer reellen Funktion
Einige Funktionstypen
Grenzwert von Funktionen
Größenordnung von Funktionen und LANDAU-Symbole
Stetigkeit einer Funktion


Beschränkte Funktionen
Funktionen heißen nach oben beschränkt , wenn ihre Werte eine bestimmte Zahl ( obere Schranke ) nicht
übertreffen, und nach unten beschränkt , wenn ihre Werte nicht kleiner als eine bestimmte Zahl ( untere Schranke )
sind. Ist eine Funktion nach oben und nach unten beschränkt, dann nennt man sie schlechthin beschränkt .
Beispiel A
ist nach oben beschränkt

Beispiel B
ist nach unten beschränkt

Beispiel C
ist beschränkt


Beispiel D
ist beschränkt


Beispiele für Vektorräume von Funktionen
Beispiel A: Vektorraum
Sei

die Menge aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf einer Menge

die Operationen punktweise erklärt werden, d.h., sind
aus

und

ein beliebiger Skalar, d.h.

und

, wobei für Funktionen
zwei beliebige Elemente

, dann definiert man die Elemente

und

wie folgt:
(12.12a)
(12.12b)
Der auf diese Weise erhaltene Vektorraum wird mit
sind unter anderen die Räume in den folgenden Beispielen:

bezeichnet. Hinweis: Teilräume dieses Vektorraumes


Beispiel B: Vektorraum

oder

Häufig wird dieser Vektorraum auch mit

bezeichnet. Im Falle von

erhält man den Raum

aus Beispiel D.
Beispiel C: Vektorraum
Menge

aller auf dem Intervall

stetigen Funktionen, wobei hier

betrachtet

wurde.
Beispiel D: Vektorraum
Sei

. Die Menge

aller Funktionen, die auf dem Intervall

stetig differenzierbar sind (s. Differentialrechnung), ist ein Vektorraum. In den Randpunkten
Intervalls

-mal
und

des

sind die Ableitungen als rechts- bzw. linksseitige zu verstehen.

Hinweis: Für die in den Beispielen A bis D bereitgestellten Vektorräume gelten im Falle von

die

Teilraumbeziehungen
(12.13)


Beispiel E: Vektorraum
Für einen beliebig fixierten Punkt
linearen Teilraum von

.

bildet die Menge

einen


Diskrete Funktionen
Ist eine Funktion

nur für diskrete Argumente
bekannt, so setzt man

Folge

und bildet die

. Eine solche entsteht z.B. in der Elektrotechnik durch ,,Abtastung`` einer Funktion

diskreten Zeitpunkten

. Ihre Wiedergabe erfolgt dann häufig als Treppenfunktion (s. Abbildung).

in den


Die Folge

und die nur für diskrete Argumente definierte Funktion

bezeichnet wird, sind äquivalent. Für die Folge

wird keine Konvergenz für

, die als diskrete Funktion
gefordert.


Meromorphe und doppelperiodische Funktionen
Man kann die JACOBIschen Funktionen in die komplexe
und dn

-Ebene analytisch fortsetzen. Die Funktionen sn

, cn

sind dann meromorphe Funktionen, d.h., sie besitzen außer Polstellen keine weiteren Singularitäten.

Außerdem sind sie doppelperiodisch : Jede dieser Funktionen

hat genau 2 Perioden

und

mit
(14.104)

Dabei sind

und

zwei beliebige komplexe Zahlen, deren Quotient nicht reell ist. Aus (14.62) folgt die

allgemeine Formel
(14.105)
und
beliebige ganze Zahlen sind. Meromorphe doppelperiodische Funktionen heißen elliptische
wobei
Funktionen . Die Menge
(14.106)
mit beliebigen festen

heißt Periodenparallelogramm der elliptischen Funktion. Ist diese im

Periodenparallelogramm (s. Abbildung) beschränkt, dann ist sie eine Konstante.


Beispiel
Die JACOBIschen Funktionen (14.103a) und (14.103b) sind elliptische Funktionen. Die Amplitudenfunktion
(14.102b) ist keine elliptische Funktion.


Monotone Funktionen
Wenn eine Funktion im Definitionsbereich für beliebige Argumente

und

mit

der Bedingung
(2.6)

genügt, wird sie monoton wachsende Funktion genannt. Ist
(2.7)
spricht man von einer monoton fallenden Funktion .
Wenn diese Bedingung nicht für alle -Werte erfüllt ist, die dem Definitionsbereich angehören, sondern lediglich in
einem Teil desselben, z.B. in einem Intervall oder auf einer Halbachse, dann nennt man die Funktion monoton in
diesem Gebiet . Funktionen, die der Bedingung
(2.8)
genügen, d.h., das Gleichheitszeichen in (2.6) und (2.7) ist nicht zugelassen, nennt man eigentlich oder streng
monoton wachsend bzw. fallend .


In der ersten der beiden Abbildungen ist eine eigentlich monoton wachsende Funktion dargestellt, in der zweiten eine
monoton fallende Funktion, die zwischen

und

konstant ist.

Beispiel
ist streng monoton fallend,

ist streng monoton wachsend.


Elementare Funktionen
Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele Operationen mit der unabhängigen
Variablen sowie mit Konstanten vorschreiben. Unter Operationen versteht man hier die vier Grundrechenarten, das
Potenzieren und Radizieren, das Aufsuchen einer Exponential- oder Logarithmusfunktion sowie das Aufsuchen
trigonometrischer oder invers trigonometrischer Funktionen. Man teilt die elementaren Funktionen im wesentlichen in
algebraische und transzendente ein.
Im Unterschied zu den elementaren können auch Nichtelementare Funktionen definiert werden.
●
●
●
●

Algebraische Funktionen
Transzendente Funktionen
Hyperbelfunktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Zusammengesetzte Funktionen


Elementare transzendente Funktionen
Die komplexen transzendenten Funktionen werden ebenso wie die algebraischen Funktionen in Analogie zu den
entsprechenden reellen transzendenten Funktionen definiert. Eine ausführliche Darstellung findet man in Lit. 21.1
oder 21.10.
●
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●
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●
●

Natürliche Exponentialfunktion
Natürlicher Logarithmus
Allgemeine Exponentialfunktion
Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
Inverse trigonometrische Funktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Real- und Imaginärteile der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen
Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen


Elliptische Funktionen
●
●
●
●

Zusammenhang mit elliptischen Integralen
Jacobi-Funktionen
Thetafunktionen
Weierstrasssche Funktionen


Elliptische Funktionen
Elliptische Funktionen sind doppeltperiodische Funktionen, deren einzige Singularitäten Pole sind, d.h., es sind
meromorphe Funktionen mit zwei unabhängigen Perioden. Sind die beiden Perioden

und

, die in einem

nichtreellen Verhältnis stehen, dann gilt
(14.53)

Der Wertevorrat von

liegt in einem Periodenparallelogramm mit den Punkten

.


Unbestimmte elliptische Integrale
Elliptische Integrale sind Integrale der Form
(8.20a)

(8.20b)

Sie lassen sich in der Regel nicht durch elementare Funktionen ausdrücken; wenn dies trotzdem gelingt, nennt man
sie pseudoelliptisch. Ausgangspunkt für die Bezeichnung war das erstmalige Auftreten eines derartigen Integrals bei
der Berechnung des Umfanges der Ellipse. Die Umkehrung der elliptischen Integrale sind die elliptischen Funktionen.
Integrale der Art (8.20a,b), die nicht elementar integrierbar sind, können durch eine Reihe von Umformungen auf
elementare Funktionen und auf Integrale der folgenden drei Typen zurückgeführt werden (s. Lit. 21.1, 21.2, 21.6):

(8.21a)


(8.21b)

(8.21c)
Bezüglich des Parameters

Mit Hilfe der Substitution

sind Fallunterscheidungen notwendig (s. Lit. 14.1).

können die Integrale (8.21a,b,c) auf die LEGENDREsche

Form gebracht werden:

(8.22a)

(8.22b)

(8.22c)


Zusammenhang mit elliptischen Integralen
Integrale der Form (8.20a,b), mit dem Integranden
nicht in geschlossener Form integrieren, wenn

, lassen sich, abgesehen von Ausnahmefällen,
ein Polynom dritten oder vierten Grades ist, sondern sind als

elliptische Integrale numerisch zu berechnen. Die Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale sind die elliptischen
Funktionen . Sie sind den trigonometrischen Funktionen ähnlich und können als deren Verallgemeinerung angesehen
werden. Um das am speziellen Fall zu zeigen, wird
(14.98)
gesetzt und beachtet, daß
a)
zwischen der trigonometrischen Funktion
Zusammenhang

und dem Hauptwert ihrer Umkehrfunktion der


(14.99)

besteht und daß
b)
ist. Die Sinusfunktion kann somit als Umkehrfunktion des Integrals
das Integral (14.98) gleich
(14.98) aufgefaßt werden. Analoges gilt für die elliptischen Integrale.
Beispiel
Die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels mit der an einem masselosen nicht dehnbaren Faden
(s. Abbildung) kann mit Hilfe einer nichtlinearen Differentialgleichung
der Länge befestigten Masse
2. Ordnung, die sich als Bewegungsgleichung aus dem Gleichgewicht der an der Masse angreifenden
Kräfte ergibt, berechnet werden:


(14.100a)

Zwischen Pendellänge
und

und Auslenkung

aus der Ruhelage besteht der Zusammenhang

. Die an der Masse angreifende Kraft

spaltet, bezogen auf die Bahnkurve, in eine Normalkomponente
(s. obige Abbildung). Die Normalkomponente

, wobei

, also

die Fallbeschleunigung ist,

und eine Tangentialkomponente

auf

wird von der Fadenspannung im Gleichgewicht

gehalten. Da sie senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht, liefert sie keinen Beitrag zur Bewegungsgleichung. Die


Tangentialkomponente

steht mit der entgegengesetzt gleich großen Tangentialkraft im Gleichgewicht:
. Die Tangentialkomponente zeigt immer zur Ruhelage hin.

Durch Trennung der Variablen erhält man die Pendelgleichung

(14.100b)

Dabei bedeutet
Mit

die Zeit, bei der das Pendel zum ersten Mal durch die tiefste Lage geht, d.h., es gilt

ist die Integrationsvariable bezeichnet. Aus (14.100b) erhält man nach einigen Umformungen mit Hilfe der

Substitution

die Gleichung

Dabei ist

1. Gattung. Der Ausschlagwinkel

ein elliptisches Integral

ist eine periodische Funktion der Periode

mit

.


(14.100c)
wobei

ein vollständiges elliptisches Integral 1. Gattung darstellt (s. auch Tabelle). Mit

ist die

Schwingungsdauer des Pendels bezeichnet, d.h. die Zeit zwischen zwei Umkehrpunkten, für die

kleine Auslenkungen mit

wird

.

gilt. Für


Exponentialfunktionen
Bei den Exponentialfunktionen befindet sich das Argument
Exponenten.
Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

oder eine algebraische Funktion von

im


Funktionenreihen
●
●
●
●
●

Definitionen
Gleichmäßige Konvergenz
Potenzreihen
Näherungsformeln
Asymptotische Potenzreihen


Lineare Funktion
Die lineare Funktion
(2.40)
ergibt graphisch dargestellt eine Gerade (linke Abbildung):

Für

wächst die Funktion monoton an, für

Achsenschnitte

und

liegen bei

nimmt sie monoton ab; für
und

ist sie konstant. Die

(s. auch Gleichung der Geraden). Mit

ergibt

sich die direkte Proportionalität
(2.41)


graphisch eine Gerade durch den Koordinatenursprung (rechte Abbildung).


Quadratisches Polynom
Die ganzrationale Funktion 2. Grades
(2.42)
liefert graphisch dargestellt als Kurve eine Parabel mit einer vertikalen Symmetrieachse bei


Die Funktion nimmt für

zunächst ab, erreicht ein Minimum und nimmt dann wieder zu. Für

an, erreicht ein Maximum und fällt danach wieder ab. Die Schnittpunkte

; der Schnittpunkt

mit der

-Achse liegt bei

mit der

steigt sie

-Achse liegen bei

Das Extremum

liegt bei


(Ausführlicher s. Parabel).


Polynom 3. Grades
Die ganzrationale Funktion 3. Grades
(2.43)
beschreibt in der graphischen Darstellung eine kubische Parabel .


Das Verhalten der Funktion hängt von

und der Diskriminante

linke und rechte Abbildung), dann nimmt die Funktion für
Die Funktion besitzt ein Maximum und ein Minimum, wenn
von

ab. Wenn
monoton zu, für

nimmt sie von

monoton ab.

ist (untere Abbildung): Für

bis zum Maximum zu, dann fällt sie bis zum Minimum ab, um danach bis

-Achse lassen sich als reelle Wurzeln von (2.43) für

reelle Wurzel geben, zwei (dann gibt es in einem Punkt eine Berührung) oder drei:

nimmt sie

anzusteigen; für

bis zum Minimum ab, steigt danach bis zum Maximum an, um schließlich bis

Die Schnittpunkte mit der

ist (obere

abzufallen.

berechnen. Es kann eine
Der Schnittpunkt


mit der

-Achse liegt bei

Der Wendepunkt

die Extrema

und

bei

der zugleich Symmetriepunkt der Kurve ist, liegt bei

Die Tangente besitzt in diesem Punkt den Richtungskoeffizienten


Polynom n-ten Grades
Die ganzrationale Funktion

-ten Grades
(2.44)

stellt eine Kurve

-ter Ordnung vom parabolischen Typ dar.


Fall 1:

ungerade Für
. Die

verläuft

stetig von

-Achse kann von der Kurve bis zu

bis

und für

von

bis

mal geschnitten bzw. berührt werden (s. auch Gleichung

-ten Grades und Polynomgleichungen). Die Funktion (2.44) besitzt entweder keine oder eine gerade Anzahl
von bis zu

Extremwerten, wobei Minima und Maxima einander abwechseln; die Zahl der

Wendepunkte ist ungerade und liegt zwischen 1 und
Fall 2:

gerade Für
von

hat

. Asymptoten oder singuläre Punkte gibt es nicht.

einen stetigen Verlauf von

über ein Maximum nach

über ein Minimum bis

Die Kurve schneidet oder berührt die

und für

-Achse

mal; Maxima und Minima wechseln einander ab; die Anzahl der Wendepunkte ist
entweder nicht oder 1 bis
gerade. Asymptoten oder singuläre Punkte existieren nicht.
Vor dem Zeichnen der Kurven empfiehlt es sich, zuerst Extremwerte, Wendepunkte und die Werte der ersten
Ableitung in diesen Punkten zu bestimmen, dann die Kurventangenten einzuzeichnen, um schließlich alle
diese Punkte stetig miteinander zu verbinden.


Gebrochen lineare Funktion
Die Funktion
(2.47)
liefert eine gleichseitige Hyperbel , deren Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.


Der Mittelpunkt

Die Scheitelpunkte

liegt bei

und

Dem Parameter

in Gleichung (2.46) entspricht

der Hyperbel liegen bei

wobei für

mit

bzw.

gleiche Vorzeichen genommen werden, für

verschiedene.
Die Unstetigkeitsstelle liegt bei

ab. Für

Die Funktion nimmt für

wächst die Funktion von

bis

und von

von

bis

bis

und von

. Extrema gibt es keine.

bis


Gebrochenrationale Funktionen
●
●
●
●
●
●

Umgekehrte Proportionalität
Gebrochen lineare Funktion
Kurve 3. Ordnung, Typ I
Kurve 3. Ordnung, Typ II
Kurve 3. Ordnung, Typ III
Reziproke Potenz


Gerade Funktionen
Gerade Funktionen genügen der Bedingung
(2.9a)
Ist

der Definitionsbereich von

, dann gilt
(2.9b)


Beispiel A

Beispiel B


GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei
unabhängigen Variablen
Die Lösung der Differentialgleichung
(9.93a)
soll auf dem Rande des betrachteten Gebiets vorgegebene Werte annnehmen. Dazu wird im ersten Schritt wieder
die GREENschen Funktion konstruiert, aber mit dem Unterschied, daß sie nunmehr von den drei Parametern
abhängt. Die konjugierte Differentialgleichung, der die GREENsche Funktion genügt, ist von der Gestalt
(9.93b)
Als Bedingung 2 wird von

die Form
(9.93c)

mit
(9.93d)


gefordert. Die Lösung der Aufgabe lautet
(9.93e)


GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische
Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen
Diese Methode zeigt viel Ähnlichkeit mit der RIEMANNschen Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems für
hyperbolische Differentialgleichungen.
Bei der Lösung der Aufgabe, eine Funktion

zu finden, die in einem vorgegebenen Gebiet der linearen

partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typ
(9.92a)
genügt und auf dem Rande dieses Gebiets vorgegebene Werte annimmt, wird als erster Schritt die GREENsche
Funktion

für dieses Gebiet bestimmt, wobei

und

als Parameter aufgefaßt werden. Die

GREENsche Funktion muß die folgenden Bedingungen erfüllen:
1.
Die Funktion

genügt im gegebenen Gebiet überall, ausgenommen im Punkt
der homogenen konjugierten Differentialgleichung


(9.92b)
2.
Die Funktion

ist von der Form
(9.92c)

mit
(9.92d)
wobei

im Punkt

den Wert Eins hat und die Funktionen

und

im gesamten Gebiet

zusammen mit ihren Ableitungen bis zur zweiten Ordnung einschließlich stetig sein müssen.
3.
Die Funktion

wird auf dem Rande des betrachteten Gebiets gleich Null.

Der zweite Schritt ist die Lösung des Randwertproblems mit Hilfe der GREENschen Funktion nach der Formel
(9.92e)

wobei

das betrachtete Gebiet bedeutet,

dessen Rand, auf dem die Funktion gegeben ist, und

die


Ableitung nach der Richtung der Innennormalen des Randes.
Die Bedingung 3 hängt von der Art der zu lösenden Aufgabe ab. Wenn z.B. auf dem Rande des betrachteten Gebiets
nicht die gesuchte Funktion selbst gegeben ist, sondern ihre Ableitung nach der Randnormalen, dann muß in
Bedingung 3 die Forderung
(9.92f)
auf dem Rande erhoben werden. Mit

und

werden hierbei die Winkel bezeichnet, die die innere Normale des

Randes mit den Koordinatenachsen bildet. Die Lösung lautet in diesem Falle
(9.92g)


Definition
Die Funktion

besitzt an der Stelle

den Grenzwert oder den Limes
(2.15)

wenn sich die Funktion

bei unbegrenzter Annäherung von

braucht an der Stelle

den Wert

an

unbegrenzt an

nähert. Die Funktion

nicht anzunehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht

definiert zu sein.
Exakte Formulierung: Der Grenzwert (2.15) existiert, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl
eine zweite positive Zahl

derart finden läßt, daß für alle

mit
(2.16)

eventuell mit Ausnahme des Punktes

:


Wenn

Randpunkt eines zusammenhängenden Gebietes ist, reduziert sich die Ungleichung

einer der beiden einfachen Ungleichungen

oder

zu


Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich
a) Eine Zahl
(2.21a)
wird Grenzwert einer Funktion
Zahl

für

genannt, wenn sich nach Vorgabe einer positiven Zahl

derart angeben läßt, daß für beliebige

die zugehörigen Werte von

eine

im Intervall

liegen. In Analogie dazu ist
(2.21b)
der Grenzwert einer Funktion
Zahl

für

wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen Zahl

angeben läßt, derart, daß für beliebige
liegen.

die zugehörigen Werte von

eine

im Intervall


Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

b) Wenn allerdings bei unbegrenztem Wachsen oder unbegrenztem Abnehmen von
genommen über alle Grenzen wächst, dann existiert für

bzw.

die Funktion absolut
kein Grenzwert. Dafür

schreibt man dann
(2.21c)
Beispiel A


Beispiel B

Beispiel C

Beispiel D


Iterierte Grenzwerte
Wenn für eine Funktion zweier Veränderlicher
konstantes

zuerst der Grenzwert für

d.h.

bestimmt wird und darauf von der so gewonnenen Funktion, die dann nur noch von

Grenzwert

für
abhängt, der

gebildet wird, dann heißt die gefundene Zahl
(2.275a)

ein iterierter Grenzwert . Eine Änderung der Reihenfolge liefert in der Regel einen anderen Grenzwert
(2.275b)

Im allgemeinen ist

auch wenn beide Grenzwerte existieren. Wenn jedoch die Funktion

einen


Grenzwert

besitzt, dann ist

Aus der Gleichheit der Grenzwerte

folgt noch nicht die Existenz des Grenzwertes
Beispiel
Die Funktion

.

liefert für

die Werte

und


Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
Eine Funktion
unbegrenzt der Zahl

hat an der Stelle
nähernden

einen linksseitigen Grenzwert

-Werten unbegrenzt dem Wert

, wenn sie sich bei zunehmenden,

nähert:
(2.20a)

In Analogie dazu besitzt eine Funktion einen rechtsseitigen Grenzwert
unbegrenzt der Zahl

nähernden

-Werten unbegrenzt dem Wert

wenn sie sich bei abnehmenden, sich
nähert:
(2.20b)

Die Schreibweise

verlangt, daß der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen:
(2.20c)

Beispiel


Die Funktion

rechts:

geht für

gegen verschiedene Grenzwerte von links und von


TAYLOR-Entwicklung
Neben der L'HOSPITALschen Regel wird zur Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Ausdrücke auch die
Entwicklung in eine TAYLOR-Reihe verwendet.
Beispiel


Unendlicher Grenzwert einer Funktion
Das Symbol
(2.18)
nicht existiert, weil bei Annäherung von

bezeichnet den Fall, daß die Funktion an der Stelle
die Funktion

an die Stelle

über alle Grenzen wächst.

Exakte Formulierung: Diese Gleichung (2.18) gilt, wenn sich nach Vorgabe einer beliebig großen positiven Zahl
eine positive Zahl

derart angeben läßt, daß für beliebige

-Werte im Intervall
(2.19a)

der entsprechende Wert von

größer ist als

:
(2.19b)

Wenn dabei alle Werte von

im Intervall
(2.19c)

positiv sind, dann schreibt man


(2.19d)
sind sie negativ, dann gilt
(2.19e)


Sätze über Grenzwerte von Funktionen
1. Grenzwert einer konstanten Größe: Der Grenzwert einer konstanten Größe ist dieser Größe selbst gleich:
(2.22)
2. Grenzwert einer Summe oder Differenz: Der Grenzwert einer Summe oder Differenz endlich vieler
Funktionen ist gleich der Summe bzw. Differenz der entsprechenden Grenzwerte dieser Funktionen, falls die
Einzelgrenzwerte existieren:
(2.23)
3. Grenzwert eines Produktes: Der Grenzwert eines Produktes aus endlich vielen Funktionen ist gleich dem
Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen, falls die Einzelgrenzwerte existieren:
(2.24)
4. Grenzwert eines Quotienten: Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten
der Grenzwerte dieser Funktionen:
(2.25)


wenn die Einzelgrenzwerte existieren und

ist.

5. Einschließung: Wenn die Werte einer Funktion
und

zwischen den Werten zweier anderer Funktionen

eingeschlossen sind, wenn also
sowie

ist, und wenn

gilt, dann ist auch
(2.26)


Größenordnung von Funktionen und LANDAU-Symbole
Beim Vergleich zweier Funktionen kommt es häufig auf ihr gegenseitiges Verhalten für bestimmte Argumente
an. Das hat zur Einführung des Begriffes der Größenordnung einer Funktion und der folgenden
Größenordnungsbeziehungen geführt.
●
●
●
●
●
●
●

Von höherer Ordnung unendlich groß
Von höherer Ordnung unendlich klein
Null oder unendlich von gleicher Größenordnung
LANDAU-Symbole
Polynome
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktion


Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion wird stärker unendlich als jede noch so hohe Potenz

(

- feste natürliche Zahl):
(2.29a)

Durch Anwendung der Regel von L'HOSPITAL ergibt sich nämlich
(2.29b)


Polynome
Die Größenordnung von ganzrationalen Funktionen kann durch den Grad der Funktion ausgedrückt werden. So hat
die Funktion

die Größenordnung 1, ein Polynom mit dem Grad

als ein Polynom mit dem Grad

hat eine um 1 höhere Ordnung

Allerdings gilt diese Regel nicht für alle elementaren Funktionen.


Logarithmusfunktion
Der Logarithmus wird schwächer unendlich als jede noch so niedrige positive Potenz
Zahl):

(

- feste natürliche

(2.30)
Der Beweis wird ebenfalls mit der Regel von L'HOSPITAL geführt.


Unterabschnitte
●
●

Bestimmung und Abhängigkeiten
Besonderheiten

Begriff der SCHRÖDINGER-Gleichung
Bestimmung und Abhängigkeiten
Die SCHRÖDINGER-Gleichung, deren Lösungen, die Wellenfunktionen
, die Eigenschaften eines
quantenmechanischen Systems beschreiben, also die Eigenschaften der Teilchenzustände zu berechnen gestatten,
ist eine partielle Differentialgleichung mit Ableitungen der Wellenfunktion 2. Ordnung für die Raumkoordinaten und
1. Ordnung für die Zeitkoordinate:
(9.104a)


(9.104b)

Hierbei sind

der LAPLACE-Operator,

der Nablaoperator. Zwischen dem Impuls
Materiewellenlänge

besteht die Beziehung

die reduzierte PLANCKsche Konstante, i die imaginäre Einheit und

des betrachteten Teilchens mit der Masse

und seiner

.

Besonderheiten
1.
In der Quantenmechanik werden allen meßbaren Größen Operatoren zugeordnet. Der in (9.104a) und
(9.104b) auftretende HAMILTON-Operator

(,,Hamiltonian ``) stellt die Gesamtenergie des Systems dar, die

ist der Operator für die kinetische
in kinetische und potentielle Energie aufgeteilt wird. Der erste Term in
Energie, der zweite der für die potentielle Energie.
In der Quantenmechanik tritt an die Stelle der HAMILTON-Funktion des klassischen mechanischen Systems der
HAMILTON-Operator.
2.
Die imaginäre Einheit tritt in der SCHRÖDINGER-Gleichung explizit auf. Daher sind die Wellenfunktionen
komplexe Funktionen. Für die Berechnung der beobachtbaren Größen sind die beiden reellen, in


enthaltenen Funktionen erforderlich. Das Quadrat

der Wellenfunktion, das die

des Teilchens in jedem beliebigen Raumelement
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Gebietes beschreibt, unterliegt speziellen zusätzlichen Bedingungen.

des betrachteten

3.
Jede spezielle Lösung hängt außer vom Potential der Wechselwirkung ( Kraft ) von den Anfangs- und
Randbedingungen des gegebenen Problems ab. Im allgemeinen handelt es sich um lineare
Randwertprobleme 2. Ordnung, deren Lösungen nur für die Eigenwerte physikalisch sinnvoll sind. Sinnvolle
Lösungen zeichnen sich dadurch aus, daß ihr Betragsquadrat überall eindeutig und regulär ist und im
Unendlichen verschwindet.
4.
Auf Grund des Welle-Teilchen-Dualismus besitzen die Mikroteilchen gleichzeitig Wellen- und
Teilcheneigenschaften, so daß die SCHRÖDINGER-Gleichung eine Wellengleichung für die DE-BROGLIEschen
Materie-Wellen ist.
5.
Die Einschränkung auf nichtrelativistische Probleme bedeutet, daß die Teilchengeschwindigkeit
kleiner sein muß als die Lichtgeschwindigkeit

sehr viel

.

Ausführliche Darstellungen der Anwendungen der SCHRÖDINGER-Gleichung sind in der Spezialliteratur der
theoretischen Physik dargestellt (s. z.B. Lit. 9.6, 9.8, 9.16, 22.17). In diesem Kapitel werden lediglich einige wichtige
Beispiele betrachtet.


Orthogonale Systeme
Eine Menge

von Vektoren aus
, also

enthält und

heißt orthogonales System , wenn es den Nullvektor nicht
gilt, wobei
(12.116)

das KRONECKER-Symbol bezeichnet. Ein orthogonales System heißt orthonormal oder orthonormiert , wenn auch
noch

gilt.

In einem separablen HILBERT-Raum kann ein orthogonales System aus höchstens abzählbar vielen Elementen
bestehen. Im weiteren ist daher stets
Beispiel A

.


Das System

(12.117)
im reellen Raum

und das System

(12.118)
im komplexen Raum
trigonometrisch .
Beispiel B

sind orthonormale Systeme. Diese beiden Systeme heißen


Die LEGENDREschen Polynome 1. Art

(12.119)
bilden ein orthogonales System von Elementen im Raum

. Das entsprechende

orthonormale System ist dann

(12.120)

Beispiel C
Die HERMITEsche Polynome gemäß der 2. Definition der HERMITEschen Differentialgleichung (9.63g)

(12.121)
bilden ein orthogonales System im Raum

Beispiel D

.


Im Raum

bilden die LAGUERREschen Funktionen ein orthogonales System.

Jedes orthogonale System ist linear unabhängig, denn der Nullvektor ist ausgeschlossen. Umgekehrt, hat
man ein System

von linear unabhängigen Elementen in einem HILBERT-Raum

dann existieren nach dem GRAM-SCHMIDTschen Orthogonalisierungsverfahren Vektoren
, die ein orthonormales System bilden und die bis auf einen Faktor mit Modul
eindeutig bestimmt sind.

,


Formen der analytischen Darstellung einer Funktion
Funktionen von mehreren Veränderlichen können ebenso wie Funktionen von einer Veränderlichen auf verschiedene
Weise angegeben werden.
1. Explizite Darstellung: Eine Funktion ist explizit dargestellt oder definiert, wenn sie durch ihre unabhängigen
Variablen ausgedrückt werden kann:
(2.266)
2. Implizite Darstellung: Eine Funktion ist implizit dargestellt oder definiert, wenn die Argumente und die
Funktion durch eine Gleichung der folgenden Art miteinander verknüpft sind:
(2.267)
3. Parameterdarstellung: Eine Funktion ist in Parameterform dargestellt, wenn die

Argumente und die

neue Veränderliche, die Parameter, explizit ausgedrückt sind, so daß für eine Funktion
Funktion durch
zweier Veränderlicher gilt
(2.268a)


für eine Funktion dreier Veränderlicher
(2.268b)
usw.
4. Homogene Funktion:Homogene Funktion wird eine Funktion

von mehreren

Veränderlichen genannt, wenn sie die Bedingung
(2.269)
für beliebige

erfüllt. Die Zahl

wird Homogenitätsgrad genannt.

Beispiel A

d.h. Homogenitätsgrad
Beispiel B

.


d.h. Homogenitätsgrad

.


Hyperbelfunktionen
●
●
●

Definition der Hyperbelfunktionen
Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen


Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen Funktionen mit
Hilfe komplexer Argumente
(2.189)
(2.190)
(2.191)
(2.192)
(2.193)
(2.194)
(2.195)
(2.196)


Jede Formel, die Hyperbelfunktionen von

oder

nicht aber von

der entsprechenden Formel, die die trigonometrischen Funktionen von
durch

und

durch

miteinander verbindet, läßt sich aus
miteinander verbindet, herleiten, indem

ersetzt wird.

Beispiel A
oder
Beispiel B
oder


Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen
In Analogie zur Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe der Kreissektorfläche (s. (3.3), (3.4), (3.5)) wird
anstelle der Sektorfläche des Kreises mit der Gleichung
Hyperbel mit der Gleichung

die entsprechende Sektorfläche der

(rechter Zweig in der Abbildung) betrachtet.


Mit der Bezeichnung
Hyperbelfunktionen:

für diese Fläche

(schattiert gezeichnet), lauten die Definitionsgleichungen der
(3.9)
(3.10)
(3.11)


Berechnung der Fläche

durch Integration und Ausdrücken des Ergebnisses mit

und

liefert

(3.12)

so daß die Hyperbelfunktionen nunmehr mit Hilfe von Exponentialfunktionen darstellbar sind:

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Das sind die Definitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen. Die Bezeichnung Hyperbelfunktionen ist offenkundig.


Existenz des bestimmten Integrals
Das bestimmte Integral einer im Intervall

stetigen Funktion ist stets definiert, d.h., der Grenzwert (8.37)

existiert und ist unabhängig von der Wahl der Zahlen
Intervall

und

. Auch für eine beschränkte Funktion, die im

endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist das bestimmte Integral definiert. Man nennt eine

Funktion, deren bestimmtes Integral in einem gegebenen Intervall existiert, eine in diesem Intervall integrierbare
Funktion .


Definition des Integrals
Sei

. Das Integral

(oder auch mit

bezeichnet) für meßbare Funktionen

wird

schrittweise wie folgt definiert:
1.
sei eine Elementarfunktion

, dann setzt man

(12.199)
2.
Ist

, dann setzt man

(12.200)
3.


Ist

und

positiver bzw. negativer Teil von

, dann setzt man
(12.201)

unter der Bedingung, daß wenigstens eines der Integrale auf der rechten Seite endlich ist, um den unbestimmten
Ausdruck

zu vermeiden.

4.
Für eine komplexwertige Funktion

setzt man, falls für die Funktionen

die nach (12.201)

definierten Integrale endlich sind,
(12.202)
5.
Kann für eine meßbare Menge
der Funktion

und eine Funktion

nach den angegebenen Festlegungen das Integral

definiert werden, dann setzt man

(12.203)

Das Integral einer meßbaren Funktion ist im allgemeinen eine Zahl aus

. Eine Funktion

nennt


man integrierbar oder summierbar über

bezüglich

, wenn sie meßbar ist und

gilt.


Inverse oder Umkehrfunktionen
Wenn die Funktion

mit dem Definitionsbereich
die für jedes Wertepaar

gibt es eine Funktion
Auflösung

und dem Wertebereich

streng monoton ist, dann

das der Bedingung

ermöglicht und für jedes Wertepaar, das der Bedingung

genügt, die
genügt, die Zuordnung

Die Funktionen
(2.13)
werden zueinander inverse oder Umkehrfunktionen genannt. Das Kurvenbild der inversen Funktion
entsteht durch Spiegelung der Kurve von

Beispiel A

an der Winkelhalbierenden


mit
mit

Beispiel B
mit
B:

mit


Beispiel C
mit
C:

mit


Um von einer Funktion
Gleichung

zur Umkehrfunktion zu gelangen, werden
nach

aufgelöst, so daß sich

und

vertauscht und die

ergibt. Die Darstellungen

und

sind äquivalent. Daraus folgen die beiden wichtigen Formeln

(2.14)


Existenz einer inversen Funktion
Wenn eine Funktion

in einem zusammenhängenden Gebiet I definiert und stetig ist und in diesem Gebiet

streng monoton wächst oder fällt, dann existiert eine zu dieser Funktion stetige, ebenfalls streng monoton wachsende
bzw. fallende inverse Funktion
werden, definiert ist.

, die im Gebiet II für die Werte, die von der Funktion

angenommen


Definitions- und Wertebereiche
Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen, also die inversen Hyperbelfunktionen . Die
Funktionen

und

Umkehrfunktion besitzt; anders die Funktion

sind streng monoton, so daß jede von ihnen genau eine
die zwei Monotonieintervalle besitzt und deshalb auch zwei

Umkehrfunktionen. Die Bezeichnung area (Fläche) hängt mit der geometrischen Definition der Funktion als Fläche
eines Hyperbelsektors zusammen. In der Tabelle sind die Definitions- und Wertebereiche angegeben.
Tabelle Definitions- und Wertebereiche der Areafunktionen
Areafunktion
Areasinus

Definitionsbereich

Wertebereich

Gleichbedeutende
Hyperbelfunktion


Areakosinus

Areatangens

Areakotangens


Inverse trigonometrische Funktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Diese Funktionen sind ebenso wie ihr reelles Analogon vieldeutig und können mit Hilfe des Logarithmus durch die
folgenden Formeln dargestellt werden:
(14.83a)
(14.83b)
(14.84a)
(14.84b)
(14.85a)
(14.85b)
(14.86a)


(14.86b)
Die Hauptwerte der inversen trigonometrischen und inversen Hyperbelfunktionen drückt man mit denselben Formeln
und mit Hilfe des Hauptwertes des Logarithmus

aus:
(14.87a)
(14.87b)
(14.88a)
(14.88b)
(14.89a)
(14.89b)
(14.90a)
(14.90b)


Inverse trigonometrische Funktionen
Bei den inversen trigonometrischen Funktionen befindet sich die Variable
im Argument des

Beispiel A

Beispiel B

usw.

oder eine algebraische Funktion von


Irrationale Funktionen
●
●
●

Quadratwurzel aus einem linearen Binom
Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Potenzfunktion


Jacobi-Funktionen
●
●
●

Definition
Meromorphe und doppelperiodische Funktionen
Eigenschaften der Jacobischen Funktionen


Unscharfe Komplementfunktion
Eine Funktion

heißt Komplementfunktion , falls sie die folgenden Eigenschaften
besitzt:

(EK1) Grenzbedingungen:
(5.274a)
(EK2) Monotonie:
(5.274b)
(EK3) Involutivität:
(5.274c)
(EK4) Stetigkeit:
(5.274d)


Beispiel A
Die am häufigsten untersuchte und angewandte Komplementfunktion (intuitive Definition) ist stetig und
involutiv:
(5.275)
Beispiel B
Andere stetige und involutive Komplemente sind das SUGENO-Komplement
mit
mit

und das YAGER-Komplement
.

Gegenüberstellung von Operationen der BOOLEschen und der Fuzzy-Logik
(vgl. Aussagenlogik)

Operator BOOLEsche Logik Fuzzy-Logik
UND

ODER


NICHT


Algebraische und elementare transzendente
Funktionen
●
●
●

Algebraische Funktionen
Elementare transzendente Funktionen
Beschreibung von Kurven in komplexer Form


Nullstellen, Beschränktheit, Maximalwert
1. Nullstellen: Da der Absolutbetrag einer Funktion positiv ist, liegt das Relief stets oberhalb der
ausgenommen alle Punkte, in denen

gilt, also

ist, die Nullstellen der Funktion

. Man nennt

-Ebene,

-Werte, für die

.

2. Beschränktheit: Eine Funktion heißt in einem gegebenen Gebiet beschränkt , wenn die Bedingung
erfüllt werden kann, wobei
Falle, wenn es keine derartige Zahl
3. Satz über den Maximalwert: Wenn

eine konstante positive Zahl

ist. Im entgegengesetzten

gibt, heißt die Funktion nicht beschränkt.
in einem abgeschlossenen Gebiet eine analytische

Funktion ist, dann liegt das Maximum ihres Betrages auf dem Rande.
4. Satz über die Konstanz oder Satz von LIOUVILLE: Wenn
und beschränkt ist, dann ist diese Funktion eine Konstante:

in der gesamten Ebene analytisch
.


Definition der komplexen Funktion
Analog zu den reellen Funktionen kann man komplexen Werten
zuordnen, wobei
Man schreibt

. Durch die Funktion

und

ebenfalls komplexe Werte
Funktionen zweier reeller Veränderlicher sind.

wird die komplexe

-Ebene in die komplexe

Ebene abgebildet.
Die Begriffe Grenzwert, Stetigkeit und Ableitung einer Funktion

einer komplexen Veränderlichen

werden formal in Analogie zu den Funktionen einer reellen Veränderlichen definiert.

-


Funktionen einer komplexen Veränderlichen
●
●
●
●

Stetigkeit, Differenzierbarkeit
Analytische Funktionen
Konforme Abbildung
Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene


Lagrange-Funktion und Sattelpunkt
Unter der Annahme von Zusatzvoraussetzungen soll die Optimalitätsbedingung (18.36a,b) auf eine für die praktische
Anwendung geeignete Form gebracht werden. Dazu wird entsprechend der LAGRANGEschen Multiplikatorenmethode
zur Ermittlung der Extremwerte von Funktionen unter Gleichheitsnebenbedingungen die LAGRANGE-Funktion
gebildet:
(18.37)
Ein Punkt

heißt Sattelpunkt von

, wenn gilt
(18.38)


Logarithmische Funktionen
Bei den logarithmischen Funktionen befindet sich das Argument
dem Logarithmuszeichen.
Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

oder eine algebraische Funktion von

unter


Logarithmische Funktionen
Die Funktion
(2.57)
liefert die logarithmische Kurve .


Sie stellt die an der Winkelhalbierenden

des 1. Quadranten gespiegelte Exponentialkurve dar. Für

ergibt sich das Kurvenbild des natürlichen Logarithmus
(2.58)
Die logarithmische Funktion ist im Reellen nur für
monoton an, für

fällt sie von

auf

definiert. Für

wächst sie von

bis

monoton ab, und zwar beide Male um so schneller, je kleiner

ist. Die Kurve geht durch den Punkt (1,0) und nähert sich asymptotisch der
oben, und das wieder um so schneller, je größer

ist.

-Achse für

unten, für


Formel der partiellen Integration
Für ein beliebiges (offenes) Gebiet
differenzierbaren Funktionen

ist kompakt in

und liegt in

bezeichnet

die Menge aller in

mit kompaktem Träger, d.h. die Menge

, während mit

die Menge aller bezüglich des LEBESGUE-Maßes im

lokalsummierbaren Funktionen, d.h. aller (Klassen von äquivalenten) auf
für jedes beschränkte Gebiet
natürlichen algebraischen Operationen) Vektorräume. Es gilt
beschränktes

auch

beliebig oft

.

meßbaren Funktionen

mit

, bezeichnet wird. Die beiden Mengen sind (mit den
für

und für


Faßt man die Elemente aus
die Inklusion
Sinn) die Menge

als die von ihnen in
, wobei

dicht in

erzeugten Klassen auf, so gilt bei beschränktem

sogar dicht liegt. Ist

.

Die Formel der partiellen Integration hat für eine vorgegebene feste Funktion
wegen

Funktion

unbeschränkt, so liegt (in diesem

und eine beliebige

die Gestalt

(12.207)

für

mit

, die man als Ausgangspunkt für den Begriff der verallgemeinerten Ableitung einer Funktion
nehmen kann.


Meßbare Funktionen
●
●

Meßbare Funktion
Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen


Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen
Der Begriff der meßbaren Funktion erfordert kein Maß, sondern eine
Teilmengen der Menge

und

-Algebra. Seien

eine

-Algebra von

meßbare Funktionen. Dann sind auch die folgenden

Funktionen (s. Vektorverbände) meßbar:
a)
für jedes

.

b)
und

;

c)
, falls in keinem Punkt von

ein Ausdruck der Form

vorkommt.

d)
.
e)


der punktweise Grenzwert

Eine Funktion
disjunkten Mengen
wobei

, im Falle seiner Existenz.

heißt elementar oder simpel, wenn es eine (endliche) Anzahl von paarweise
und reelle Zahlen

die charakteristische Funktion der Menge

gibt, so daß

gilt,

bezeichnet. Offenbar ist jede charakteristische Funktion

einer meßbaren Menge und somit jede elementare Funktion meßbar. Interessant ist, daß jede meßbare Funktion
beliebig genau durch Elementarfunktionen approximiert werden kann: Für jede meßbare Funktion
eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen Elementarfunktionen, die punktweise zu

existiert

konvergiert.


Funktionen von mehreren Veränderlichen
●
●
●
●
●

Definition und Darstellung
Verschiedene ebene Definitionsbereiche
Grenzwerte
Stetigkeit
Eigenschaften stetiger Funktionen


- eine meromorphe Funktion
Ist

ist eine meromorphe Funktion , die sich als Quotient zweier ganzer, also in überall konvergente

Potenzreihen entwickelbare Funktionen ohne gemeinsame Nullstellen darstellen läßt, und die daher in eine Summe
aus einer ganzen Funktion und unendlich vielen Partialbrüchen zerlegbar ist, dann gilt der Zusammenhang

(15.45)

Dabei sind die
die

gewisse Ordinaten und

angedeuteten Art.

Pole 1. Ordnung der Funktion

, die

die zugehörigen Residuen,

gewisse Kurvenzüge, etwa Halbkreise in der in der folgenden Abbildung


Die Lösung

erhält man in der Form

(15.46)

für

strebt, was allerdings nicht immer leicht nachzuweisen ist. In manchen Fällen, wenn z.B. der rationale


Anteil der meromorphen Funktion

identisch Null ist, bedeutet das eben gewonnene Ergebnis eine formale

Übertragung des HEAVYSIDEschen Entwicklungssatzes auf meromorphe Funktionen.


Meromorphe Funktionen
Hat eine sonst holomorphe Funktion für endliche Werte von
nur Pole als singuläre Stellen, dann heißt sie
meromorph . Eine meromorphe Funktion läßt sich immer als Quotient analytischer Funktionen darstellen.
Beispiele für in der ganzen Ebene meromorphe Funktionen sind die rationalen Funktionen, die nur eine endliche Zahl
von Polen besitzen, sowie solche transzententen Funktionen, wie

und

.


Mittelwertsatz und verallgemeinerter Mittelwertsatz
1. Mittelwertsatz: Wenn eine Funktion
Intervalls mindestens einen Wert

im Intervall

derart, daß für

stetig ist, dann gibt es im Innern des
gilt:

(8.47)

Der geometrische Sinn dieses Satzes besteht darin, daß es zwischen den Punkten
den der Flächeninhalt der Figur

gleich dem des Rechtecks

und

einen Punkt

gibt, für

in der folgenden Abbildung ist.


Der Wert
(8.48)

heißt Mittelwert oder das arithmetische Mittel der Funktion

2. Verallgemeinerter Mittelwertsatz: Sind die Funktionen
stetig und ändert

im Intervall

und

.

im abgeschlossenen Intervall

in diesem Intervall sein Vorzeichen nicht, dann gilt:


(8.49)


Periodische Funktionen
Periodische Funktionen genügen der Bedingung
(2.12)
Die kleinste positive Zahl

, die dieser Bedingung genügt, heißt Periode .


Periodische Funktionen
Die Bildfunktion einer periodischen Funktion
Funktion

mit der Periode

, die durch periodische Fortsetzung einer

entsteht, ergibt sich aus der LAPLACE-Transformierten von

, multipliziert mit dem

Periodisierungsfaktor
(15.32)
Beispiel A
Die periodische Fortsetzung von

aus dem Beispiel B mit der Periode

.

Beispiel B

ergibt

mit


Die periodische Fortsetzung von

mit

aus dem Beispiel C mit der Periode

.

ergibt


-Räume
Sei

ein Maßraum und

eine reelle Zahl

. Für eine meßbare Funktion

ist

ebenfalls meßbar, so daß
(12.205)

definiert (und möglicherweise gleich
integrierbar ,

-fach integrierbar oder

) ist. Eine meßbare Funktion
-fach summierbar , wenn

heißt zur

-ten Potenz

gilt oder, äquivalent dazu, wenn

integrierbar ist.

Für jedes

mit

bezeichnet man mit

oder

oder ganz ausführlich mit


die Menge aller zur

-ten Potenz bezüglich

die vereinfachte Bezeichnung

auf

summierbaren Funktionen, wobei für

vereinbart wird und für

die Funktionen quadratisch

summierbar heißen.
Mit

bezeichnet man die Menge aller meßbaren

wesentliche Supremum einer Funktion

-f.ü. beschränkten Funktionen auf

und definiert das

als

(12.206)
Mit den üblichen Operationen für meßbare Funktionen und unter Berücksichtigung der Ungleichung von MINKOWSKI
für Integrale ist
Vereinbarung,
Funktionen

für alle
zu schreiben, wenn

-f.ü. gilt, wird

eine Halbnorm auf

. Mit der

sogar ein Vektorverband. Zwei

nennt man äquivalent (oder deklariert man als gleich), wenn

diese Weise werden Funktionen, die
der Menge

ein Vektorraum und

-f.ü. auf

. Auf

-f.ü. übereinstimmen, identifiziert. Somit gewinnt man (mittels Faktorisierung

nach dem linearen Teilraum

) eine Menge von Äquivalenzklassen, auf die kanonisch

die algebraischen Operationen und die Ordnung übertragen werden können, so daß sich wieder ein Vektorverband


ergibt, der jetzt mit

oder

(und entsprechend ausführlicher) bezeichnet wird. Seine Elemente

heißen nach wie vor Funktionen, obwohl sie in Wirklichkeit Klassen äquivalenter Funktionen sind.

auf

Von Bedeutung ist nun, daß

eine Norm ist (

hervorgegange Äquivalenzklasse, die im weiteren einfach wieder mit
für alle

mit

und Ordnung, bei

steht dabei für die aus der Funktion

bezeichnet wird), und

ein BANACH-Verband mit vielen guten Verträglichkeitsbedingungen zwischen Norm
mit

Häufig wird für eine meßbare Teilmenge

als Skalarprodukt sogar ein HILBERT-Raum wird (s. Lit. 12.15).

der Raum

betrachtet. Seine Definition bereitet wegen

Schritt 5 bei der Einführung des Integrals aber keine Schwierigkeiten.
Die Räume

ergeben sich auch als Vervollständigung (s. auch Abschnitt BANACH-Räume) des mit der

Integralnorm
aller stetigen Funktionen auf der Menge
(s. Lit. 12.21).

versehenen nichtvollständigen normierten Raumes


Sei

eine Menge von endlichem Maß, d.h.

, und gelte für

. Dann gelten
Konstanten
Norm des Raums

die Beziehung

und mit einer nicht von
für
bezeichnet.

die Abschätzung

abhängenden
, wobei

die


Potenzfunktion
Die Potenzfunktion
(2.54)
ist für

und

die Kurven für
negativem
a) Fall

getrennt zu betrachten. Dabei reicht eine Beschränkung auf den Fall
gegenüber der von

an der

in Richtung der

-Achse mit dem Faktor

aus, weil
gestreckt und bei

-Achse zu spiegeln sind.
Der Kurvenverlauf ist für vier charakteristische Fälle der Größen

in den folgenden Abbildungen dagestellt.

und


Die Kurve verläuft durch die Punkte (0,0) und (1,1). Für

berührt sie die

-Achse im


Koordinatenursprung (s. 4. Abbildung), für
3. Abbildung). Für
gerade zwei zur

gerade gibt es zwei zur

ebenfalls im Koordinatenursprung die

-Achse (s. 1. bis

-Achse symmetrische Zweige (1. und 4. Abbildung), für

-Achse symmetrische Zweige (2. und 3. Abbildung). Für

und

ungerade ist die Kurve

zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung (2. Abbildung). Die Kurve kann somit im Koordinatenursprung
einen Scheitel, einen Wendepunkt oder einen Rückkehrpunkt besitzen. Asymptoten hat sie keine.
b) Fall

Der Kurvenverlauf ist für drei charakteristische Fälle der Größen

in den folgenden Abbildungen dagestellt.

und


Die Kurve ist vom hyperbolischen Typ, wobei die Asymptoten mit den Koordinatenachsen zusammenfallen.
Die Unstetigkeitsstelle befindet sich bei
schneller und der

Die Kurve nähert sich der

-Achse um so langsamer, je größer

-Achse asymptotisch um so

ist. Der Kurvenverlauf und die Symmetrie

hinsichtlich der Koordinatenachsen bzw. des Koordinatenursprungs hängen wie im Falle
und

gerade oder ungerade sind. Extrema gibt es keine.

davon ab, ob


Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
Die Funktion
(2.63)
wird hier nur für den Fall

betrachtet, da sich ihre Kurve zu

durch Spiegelung an der

-Achse

ergibt, und nur für den Fall positiver -Werte, so daß sie stets positiv bleibt. Die folgenden 8 Abbildungen zeigen,
daß durch geeignete Kombination der Parameter die unterschiedlichsten Kurvenverläufe dargestellt werden können.


Für

verläuft die Kurve durch den Koordinatenursprung. Tangente ist in diesem Punkt für

Achse, für
Für

die Winkelhalbierende
ist die

des ersten Quadranten und für

-Achse Asymptote. Für

wächst die Funktion mit

die
die

-

-Achse.

über alle Grenzen, für

geht

sie asymptotisch gegen 0.
Für verschiedene Vorzeichen von

und

besitzt die Funktion ein Extremum

besitzt entweder keinen, einen oder zwei Wendepunkte

und

bei

bei

Die Kurve


m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen
Eine Differentialgleichung (17.1) kann einen
Phasenraum

-dimensionalen Torus als invariante Menge besitzen. Ein in den

eingebetteter m-dimensionaler Torus

wird durch eine differenzierbare Abbildung

, die als Funktion

in jeder Koordinate

als

periodisch vorausgesetzt wird, definiert.
Beispiel
In einfachen Fällen läßt sich die Bewegung des Systems (17.1) auf dem Torus in Winkelkoordinaten durch
die Differentialgleichungen
mit Anfang

beschreiben. Die Lösung dieses Systems
zur Zeit

ist
.

-


Eine stetige Funktion

heißt quasiperiodisch , wenn
, wobei

wieder wie oben eine differenzierbare Funktion, die

in jeder Komponente ist, besitzt und die Frequenzen
gibt, so daß

eine Darstellung in der Form
-periodisch

inkommensurabel sind, d.h. es keine ganzen Zahlen
ist.

mit


Begriff der Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle
Die meisten Funktionen, die in den Anwendungen vorkommen, sind stetig, d.h., bei kleinen Änderungen des
Arguments

einer stetigen Funktion

ändert sich diese auch nur geringfügig. Die graphische Darstellung einer

solchen Funktion ergibt eine zusammenhängende Kurve. Ist dagegen die Kurve an verschiedenen Stellen
unterbrochen, dann heißt die zugehörige Funktion unstetig , und die Werte des Arguments, an denen die
Unterbrechung auftritt, heißen Unstetigkeitsstellen . In der folgenden Abbildung ist das Kurvenbild einer Funktion
dargestellt, die stückweise stetig ist.


Die Unstetigkeitsstellen befinden sich bei
Endpunkte nicht mehr zur Kurve gehören.
●

Definition

und

Die Pfeile stehen für die Aussage, daß ihre


Definition
Eine Funktion

1.

heißt an der Stelle

an der Stelle

2. der Grenzwert

stetig , wenn

definiert ist und
existiert und gleich

Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen

ist.

ein

gibt, so daß
(2.31)

gilt. Man spricht von einseitiger ( links - oder rechtsseitiger ) Stetigkeit , wenn anstelle von
einer der beiden Grenzwerte
ist.

oder

existiert und gleich

nur
oder


Wenn eine Funktion für alle Werte
in einem gegebenen Intervall von
bis stetig ist, dann wird die Funktion
stetig in diesem Intervall genannt, das als Zahlenintervall offen, halboffen oder abgeschlossen sein kann. Ist eine
Funktion für alle Punkte der Zahlengerade definiert und stetig, dann heißt sie überall stetig .
der sich im Inneren oder auf dem Rande des Definitionsbereiches

Eine Funktion besitzt für den Wert

befindet, eine Unstetigkeitsstelle , wenn dort die Funktion nicht definiert ist oder wenn

übereinstimmt bzw. dieser Grenzwert nicht existiert. Wenn die Funktion nur auf einer Seite

Grenzwert
von

nicht mit dem

definiert ist, z.B.

für

und

für

dann wird nicht von einer

Unstetigkeitsstelle, sondern von einem Abbrechen der Funktion gesprochen.
Eine Funktion

wird stückweise stetig genannt, wenn sie in allen Punkten eines Intervalls mit Ausnahme

endlich vieler einzelner Punkte stetig ist und in ihren Unstetigkeitsstellen endliche Sprünge besitzt.


Stichprobenfunktionen
So wie sich die konkreten Stichproben unterscheiden, sind auch die arithmetischen Mittel
von Stichprobe zu
Stichprobe zufallsbedingt unterschiedlich. Sie können als Realisierungen einer neuen Zufallsgröße aufgefaßt werden,
die mit

bezeichnet wird und von den Stichprobenvariablen

abhängt.

(16.105)

Mit

wird die Realisierung der

-ten Stichprobenvariablen in der

ten Stichprobe bezeichnet.
Eine Funktion des Zufallsvektors

ist wieder eine Zufallsgröße und heißt

Stichprobenfunktion . Die wichtigsten Stichprobenfunktionen sind Mittelwert, Streuung, Median und Spannweite.

-


●
●
●
●

Mittelwert
Streuung
Median (Zentralwert)
Spannweite


Thetafunktionen
Zur Berechnung der JACOBIschen Funktionen verwendet man die Thetafunktionen
(14.111a)

(14.111b)

(14.111c)

(14.111d)


Ist

(

Bei konstantem

komplex), dann konvergiern die Reihen (14.111a) bis (14.111d) für alle komplexen Argumente
verwendet man häufig die Abkürzungen
(14.112)

Damit haben die JACOBIschen Funktionen die folgenden Darstellungen:

(14.113a)

(14.113b)

(14.113c)

mit

.


(14.113d)

und

gemäß (14.107).


Transzendente Funktionen
Transzendente Funktionen können nicht durch eine algebraische Gleichung vom Typ
(vgl. (2.37)) beschrieben werden. Die einfachsten
elementaren transzendenten Funktionen werden im folgenden aufgeführt.
●
●
●
●

Exponentialfunktionen
Logarithmische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Inverse trigonometrische Funktionen


Trigonometrische Funktionen
●
●
●

Grundlagen
Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen
Beschreibung von Schwingungen


Trigonometrische Funktionen
Bei den trigonometrischen Funktionen befindet sich das Argument
dem Zeichen

Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

oder

.

oder eine algebraische Funktion von

hinter


Dabei ist zu beachten, daß man allgemein betrachtet unter dem Argument einer trigonometrischen Funktion nicht
unmittelbar einen Winkel oder einen Kreisbogen, wie bei der geometrischen Definition, sondern eine beliebige Größe
versteht. Die trigonometrischen Funktionen können auch ohne Heranziehen geometrischer Vorstellungen rein
analytisch definiert werden. Das wird z.B. bei der Darstellung dieser Funktionen mit Hilfe einer Reihenentwicklung
deutlich oder bei der Lösung der Differentialgleichung

an der Stelle

mit den Anfangsbedingungen

. Das Argument der trigonometrischen Funktionen ist bei dieser Deutung

zahlenmäßig gleich dem Bogen in Einheiten des Radianten. Daher kann man bei der Berechnung der
trigonometrischen Funktionen vom Argument im Bogenmaß ausgehen.

und


Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
●
●
●

Definition am Einheitskreis
Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe einer Kreissektorfläche


Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen

(14.76a)

(14.76b)

(14.77a)

(14.77b)
Alle vier Reihen konvergieren in der gesamten Ebene, alle vier Funktionen sind periodisch. Die Periode der
Funktionen (14.76a,b) ist

, die der Funktionen (14.77a,b)

.


Für rein imaginäres Argument lauten die Ausdrücke dieser Funktionen
(14.78a)
(14.78b)
(14.79a)
(14.79b)
Die Umrechnungsformeln für die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen einer reellen
Veränderlichen gelten auch für Funktionen einer komplexen Veränderlichen. So erfolgt die Berechnung der
Funktionen

und

für das Argument
und

mit Hilfe der Formeln

.

Als Beispiel sei genannt
(14.80)
Daraus folgt
(14.81a)
(14.81b)
Die Funktionen

und

werden mit Hilfe der folgenden Formeln bestimmt:


(14.82a)
(14.82b)


Ungerade Funktionen
Ungerade Funktionen genügen der Bedingung
(2.10a)
Ist

der Definitionsbereich von

dann gilt
(2.10b)


Beispiel A

Beispiel B


Endlicher Sprung:
Die Funktion

springt beim Durchlaufen des Punktes

endlichen Wert wie in den Punkten

von einem endlichen auf einen anderen

der folgenden Abbildung:


Der Wert der Funktion
er kann auch mit dem Wert
und

Beispiel A

für

braucht dabei nicht definiert zu sein, wie es für den Punkt
oder

verschieden sein (Punkt

übereinstimmen (Punkt
).

der Fall ist;

) oder aber sowohl von


Beispiel B
.


Beispiel C


Hebbare Unstetigkeit:
Es existiert der
nicht definiert oder es ist

d.h., es ist

aber die Funktion ist für
Ein Beispiel dafür ist Punkt

entweder

in der folgenden Abbildung:


Diese Unstetigkeit wird hebbar genannt, weil in dem Moment, da
die Funktion

für

den Wert

zugeordnet bekommt,

wieder stetig wird. Dem Kurvenbild wird gewissermaßen ein Punkt hinzugefügt, oder

der ,,abgesprungene`` Punkt
wird wieder auf die Kurve gebracht. Die verschiedenen unbestimmten Ausdrücke,
die mit der Regel von L'HOSPITAL oder mit anderen Methoden untersucht werden können und endliche Grenzwerte
liefern, sind Beispiele für hebbare Unstetigkeiten.


Beispiel
für

die Funktion

ergibt sich der unbestimmte Ausdruck

aber

wird dadurch stetig.


Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten
●
●
●

Funktionsverlauf ins Unendliche:
Endlicher Sprung:
Hebbare Unstetigkeit:


Verteilungsfunktion
●
●
●

Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften
Verteilungsfunktion bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen
Flächeninterpretation der Wahrscheinlichkeit, Quantil


Weierstrasssche Funktionen
Von WEIERSTRASS sind die Funktionen
(14.114a)
(14.114b)
(14.114c)

eingeführt worden, wobei

und

zwei beliebige komplexe Zahlen darstellen, deren Quotient nicht reell ist. Man

setzt
(14.115a)
wobei

und

beliebige ganze Zahlen sind, und definiert


(14.115b)
Dabei deutet der Strich am Summenzeichen an, daß das Wertepaar

ausgenommen ist. Die Funktion

hat folgende Eigenschaften:

und

1. Sie ist eine elliptische Funktion mit den Perioden
2. Die Reihe (14.115b) konvergiert für alle
3. Die Funktion

.

.

genügt der Differentialgleichung
(14.116a)

mit

(14.116b)

Die Größen

und

werden als Invarianten von

bezeichnet.


4. Die Funktion

ist die Umkehrfunktion zu dem Integral

(14.117)

5.
(14.118)

Die WEIERSTRASSschen Funktionen

(14.119a)

(14.119b)

sind nicht doppelperiodisch, also keine elliptischen Funktionen.
Es gelten folgende Beziehungen:


1.
(14.120)
2.
(14.121)
3.
(14.122)
4.
(14.123)

5. Jede elliptische Funktion ist eine rationale Funktion der WEIERSTRASSschen Funktionen

und

.


Zufallsgrößen, Verteilungsfunktionen
Um die Methoden der Analysis in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen zu können, braucht man die Begriffe
Variable und Funktion.
●
●
●
●

Zufallsveränderliche
Verteilungsfunktion
Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
Mehrdimensionale Zufallsveränderliche


Zusammengesetzte Funktionen
Zusammengesetzte Funktionen entstehen durch alle möglichen Kombinationen der aufgeführten algebraischen und
transzendenten Funktionen, wenn eine Funktion als Argument einer anderen dient.
Solche Kombinationen elementarer Funktionen ergeben, endlich oft angewandt, wieder elementare Funktionen.
Beispiel A

Beispiel B


Stetige lineare Funktionale in
Sei

. Man nennt

Falle

den zu

konjugierten Exponenten , wenn

gilt, wobei man

im

setzt.

Beispiel
Aufgrund der HÖLDERschen Ungleichung für Integrale kann das Funktional (12.159) auch auf den Räumen
betrachtet werden, falls

ist. Seine

Norm ist dann

(12.162)


(bzgl. der Definition von

s. (12.206)). Zu jedem linearen stetigen Funktional

gibt es ein (bis auf seine Äquivalenzklasse) eindeutig bestimmtes Element

im Raum
, so daß

(12.163)
gelten. Für den Fall

s. Lit. 12.18.


Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
Die Koordinaten sind in Parameterform durch die Beziehungen
(8.138)
definiert. Das Flächenstück wird durch die Koordinatenlinien

= const und

= const in infinitesimale

Flächenelemente eingeteilt (s. Abbildung) und der Integrand in den Koordinaten

und

ausgedrückt.


Summiert wird zuerst längs eines Koordinatenstreifens, z.B. längs

= const, danach über alle Streifen:

(8.139)

Dabei sind
der Fläche

bzw.
. Mit

die Gleichungen der inneren bzw. äußeren Randkurve
und

und

werden die Koordinaten der beiden äußersten Linienbegrenzungen der


Fläche

beschrieben. Mit

ist der Absolutbetrag der Funktionaldeterminante

(8.140a)

bezeichnet, mit deren Hilfe das Flächenelement in krummlinigen Koordinaten beschrieben wird:
(8.140b)

Die Formel (8.137b) ist ein Spezialfall von Formel (8.139) für die Polarkoordinaten
Die Funktionaldeterminate ergibt sich hier zu

.

Man wählt die krummlinigen Koordinaten derart, daß die Grenzwerte des Integrals (8.139) möglichst einfach
berechnet werden können.
Beispiel

.


ist für den Fall zu berechnen, daß

(s. Abbildung).

der Flächeninhalt der Astroide ist, mit


Zuerst werden die krummlinigen Koordinaten

eingeführt, deren Koordinatenlinien

eine Schar ähnlicher Astroiden mit den Gleichungen
Koordinatenlinien

sind dann Strahlen mit der Gleichung

sich
,

.

und

darstellen. Die

, wobei

gilt. Damit ergibt


Analytische Bedingung für die Unabhängigkeit
Im Falle zweier Funktionen

und

darf ihre Funktionaldeterminante

(2.272a)

in dem betrachteten Gebiet nicht identisch verschwinden. Analog gilt im Fall von
Veränderlichen

Funktionen mit


(2.272b)

Wenn die Anzahl

der Funktionen

kleiner ist als die Anzahl der Veränderlichen

dann sind diese Funktionen unabhängig, sofern wenigstens eine Unterdeterminante

-ter

Ordnung der folgenden Matrix nicht verschwindet.

(2.272c)


Die Anzahl der unabhängigen Funktionen ist gleich dem Rang
dieser Matrix. Hierbei werden diejenigen
Funktionen unabhängig sein, deren Ableitung als Elemente in der nicht identisch verschwindenden
Unterdeterminante
Wenn

-ter Ordnung stehen.

ist, dann können von den gegebenen

Funktionen höchstens

unabhängig sein.


Funktionspapiere
Die gebräuchlichsten Funktionspapiere entstehen dadurch, daß die Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems
Skalen sind mit den Skalengleichungen
(2.259a)
Dabei sind

●
●
●
●

und

Maßstabsfaktoren;

und

Einfach-logarithmisches Funktionspapier
Doppelt-logarithmisches Funktionspapier
Funktionspapier mit einer reziproken Skala
Hinweis

sind die Anfangspunkte der Skalen.


Doppelt-logarithmisches Funktionspapier
Wenn beide Achsen eines rechtwinkligen

-Koordinatensystems logarithmisch unterteilt sind, dann spricht man

vom doppelt-logarithmischen Funktionspapier oder vom doppelt-logarithmischen Koordinatensystem .
Skalengleichungen: Die Skalengleichungen lauten
(2.262)
wobei

Maßstabsfaktoren sind und

Anfangspunkte.

Darstellung von Potenzfunktionen: In doppelt-logarithmischem Papaier, das analog zum einfachlogarithmischen Papier aufgebaut ist, aber eine logarithmisch unterteilte
Potenzfunktionen der Form

-Achse hat, werden
(2.263)

als Geraden dargestellt (s. Rektifizierung einer Potenzfunktion). Diese Eigenschaft wird in der gleichen Weise wie
beim einfach-logarithmischen Papier genutzt.


Einfach-logarithmisches Funktionspapier
Ist die

-Achse gleichabständig unterteilt, die

-Achse jedoch logarithmisch, dann spricht man vom einfach-

logarithmischen Funktionspapier oder vom einfach-logarithmischen Koordinatensystem .
Skalengleichungen:
(2.260)
Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für einfach-logarithmisches Papier.


Darstellung von Exponentialfunktionen: Auf einfach-logarithmischem Papier werden Exponentialfunktionen
der Form
(2.261)
als Geraden dargestellt (s. Rektifizierung). Diese Eigenschaft wird wie folgt ausgenutzt: Liegen Meßpunkte, wenn sie
in einfach-logarithmischem Papier eingetragen worden sind, annähernd auf einer Geraden, dann kann zwischen den
Variablen ein Zusammenhang der Form (2.261) angenommen werden. Mit Hilfe dieser Geraden, die nach Augenmaß
durch die Meßpunkte gelegt wird, kann man Näherungswerte für die Parameter
Liest man zwei Punkte

und

und

bestimmen:

auf dieser Geraden ab, dann erhält man


und z.B.


Funktionspapier mit einer reziproken Skala
Die Unterteilung der zu skalierenden Koordinatenachse erfolgt mit Hilfe der Gleichung (2.46) für die Funktion
Umgekehrte Proportionalität.
Skalengleichung: Es gilt
(2.264)
wobei

der Maßstabsfaktor ist und

der Anfangspunkt.

Beispiel Konzentration in einer chemische Reaktion


Bei einer chemischen Reaktion wurden für die Konzentration

wobei mit

die Zeit bezeichnet

ist, die folgenden Werte gemessen:
/min

5

10

20

40

/mol/l 15,53 11,26 7,27 4,25
Es wird angenommen, daß eine Reaktion 2. Ordnung vorliegt, d.h., es soll der Zusammenhang

gelten. Geht man zum Kehrwert dieser Gleichung über, dann erhält man

Zusammenhang

d.h., der

wird durch eine Gerade beschrieben, wenn in dem zugehörigen Funktionspapier die

-Achse reziprok und die

-Achse linear unterteilt ist. Die Skalengleichung für die

-Achse lautet z.B.:

cm.
Aus der zugehörigen Abbildung ist ersichtlich, daß die Meßpunkte annähernd auf einer Geraden liegen,
d.h., der Zusammenhang

kann bestätigt werden.


Darüber hinaus kann man mit Hilfe zweier Punkte der Geraden, z.B. liest man
ab, Näherungswerte für die beiden Parameter
(Anfangskonzentration) ermitteln:

und

(Reaktionsgeschwindigkeits-Konstante) und


Fuzzy-Linguistik
Nimmt eine Kenngröße linguistische Werte wie z.B. ,,niedrig``, ,,mittel`` oder ,,hoch`` an, so bezeichnet man sie als
linguistische Größe oder linguistische Variable. Jeder linguistische Wert ist durch eine Fuzzy-Menge beschreibbar,
beispielsweise durch einen Graphen mit einem bestimmten Träger. Die Anzahl der Fuzzy-Mengen (im Falle von
,,niedrig``, ,,mittel``, ,,hoch`` sind es drei) ist nicht probleminvariant.
bezeichnet. Beispielsweise steht
für Temperatur, Druck, Volumen,
In (E2) wird die linguistische Variable mit
Frequenz, Geschwindigkeit, Helligkeit, Alter, Abnutzungsgrad etc., aber auch für medizinische, elektrische,
chemische, ökologische etc. Variable.
Beispiel


Mit Hilfe der Zugehörigkeitsfunktion

kann man den Zugehörigkeitsgrad eines scharfen Wertes zu

einer unscharfen Menge bestimmen. Die Modellierung einer Prozeßgröße, z.B. der Temperatur, mit dem
linguistischen Wert ,,hoch`` durch eine unscharfe Menge in Form einer trapezförmigen Abhängigkeit, wie
sie die folgende Abbildung zeigt, liefert: Repräsentiert
bestimmte Temperatur, so gehört

die Temperatur und somit der Wert

mit dem Zugehörigkeitsgrad

eine

zu der unscharfen Menge ,,hoch``.


Grundlagen der Fuzzy-Logik
●
●
●

Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen)
Zugehörigkeitsfunktionen
Fuzzy-Mengen


Fuzzy-logisches Schließen
Das fuzzy-logische Schließen z.B. mit der WENN-DANN-Regel ist über die Verknüpfung
Die Fuzzy-Menge

möglich.

stellt dann die gesuchte Schlußfolgerung dar, die sich als Formel wie folgt darstellt:
(5.296)

mit

und


Methode MAMDANI
Für einen fuzzy-geregelten Prozeß werden folgende Entwurfsschritte verwendet:
1. Regelbasis:
Für die

-te Regel gelte z.B.
(5.305)

Hierbei charakterisiert

den Fehler,

die Änderung des Fehlers und

fuzzy-wertig). Alle Größen seien auf ihren Definitionsbereichen
Definitionsbereich sei

die Änderung des Ausgabewertes (nicht
und

definiert, und der gesamte

Über diesem Definitionsbereich werden die Größen Fehler und

Fehleränderung fuzzifiziert, d.h. mittels unscharfer Mengen dargestellt, wobei linguistische Beschreibungen benutzt
werden.
2. Fuzzifizierungsalgorithmus:
Im allgemeinen sind der Fehler
und dessen Änderung
nicht fuzzy-wertig, so daß sie über eine
linguistische Beschreibung fuzzifiziert werden müssen. Die Fuzzy-Werte werden mit den Prämissen der WENNDANN-Regeln aus der Regelbasis verglichen. Daraus folgt, welche Regeln aktiv sind und mit welchem Gewicht


eine Regel beteiligt ist.
3. Verknüpfungsmodul:
Die aktivierten Regeln mit ihrem unterschiedlichen Gewicht werden mit Hilfe einer Verknüpfungsoperation
zusammengefaßt und dem Defuzzifizierungsalgorithmus zugeführt.
4. Entscheidungsmodul:
Im Defuzzifizierungsprozeß soll ein scharfer Wert für die Stellgröße erhalten werden. Mit Hilfe einer
Defuzzifizierungsoperation wird aus der Menge der möglichen Werte eine nicht fuzzy-wertige Größe, d.h. eine
scharfe Größe, ermittelt. Diese Größe drückt aus, wie eine Einstellung des Systems vorzunehmen ist, so daß
die Regelabweichung gering bleibt.
Fuzzy-Regelung bedeutet, daß die Schritte 1. bis 4. wiederholt werden, bis das Ziel, geringste Regelabweichung
und deren Änderung

erreicht ist.


Modellierung fuzzy-wertiger Relationen
Unscharfe oder fuzzy-wertige Relationen wie beispielsweise ,,ungefähr gleich``, ,,im wesentlichen grösser`` oder ,,im
wesentlichen kleiner`` etc. spielen für die praktischen Anwendungen eine große Rolle. Sie werden als Relationen
zwischen Zahlen und demzufolge als Teilmengen im

erklärt. So läßt sich Gleichheit ,,=`` als Menge
(5.276)

erklären, d.h. durch eine Gerade
Zur Modellierung der Relation

im

.

,,ungefähr gleich`` kann angrenzend an ein scharfes Gebiet (hier beschrieben

durch die Gerade im
, allgemein im
, mit der Toleranz
) eine unscharfe Übergangszone zugelassen und
verlangt werden, daß die Zugehörigkeitsfunktion in einer gewünschten Art (linear oder quadratisch) mit abnehmender
Zugehörigkeit gegen Null geht. Eine lineare Abnahme kann wie folgt modelliert werden:
(5.277)

Zur Modellierung der Relation

,,im wesentlichen größer als`` ist es zweckmäßig, von der scharfen Relation ,,

`` auszugehen. Die zugehörige Wertemenge ist dann gegeben durch


(5.278)

Sie beschreibt das scharfe Gebiet oberhalb der Geraden

. Die Modellierung ,,im wesentlichen`` bedeutet,

daß geringe Unterschreitungen in ein Randgebiet unterhalb der Halbebene, gekennzeichnet durch die Gerade, noch
akzeptiert werden. Die Modellierung von

ergibt sich dann zu

(5.279)

Setzt man für eine der Variablen einen festen Wert ein, z.B.
Beschreibung unmittelbar, daß

dann folgt aus dieser modellmäßigen

als unscharfe Schranke bezüglich der anderen Variablen interpretiert werden

kann. Unscharfe Schranken besitzen im Bereich der unscharfen mathematischen Optimierung, der qualitativen
Datenanalyse und der Musterklassifikation praktische Bedeutung.
Die vorstehende Betrachtung zeigt, daß das Konzept der unscharfen Relationen, d.h. der unscharfen Beziehungen
zwischen mehreren Objekten, mit Hilfe unscharfer Mengen aufgebaut werden kann. Im folgenden werden
Grundtatsachen zweistelliger Relationen über einem Grundbereich behandelt, dessen Elemente geordnete Paare
sind.


Verkettung oder Fuzzy-Relationenprodukt
1. Definition: Es seien
mit

und

aber auch speziell

dann versteht man unter der Verkettung oder dem Fuzzy-Relationenprodukt

:
(5.287)

Verwendet man über endlichen Grundbereichen eine Matrixdarstellung analog (5.282b), so läßt sich die Verknüpfung
wie folgt motivieren: Es seien gegeben
und
sowie die Matrixdarstellung von
mit

in der Form

und

sowie
(5.288)


Wird für die Verknüpfung

die Matrixdarstellung

gewählt, dann ist

(5.289)
Als Ergebnis erhält man nicht die übliche Form der Matrixmultiplikation, da die Supremumbildung anstelle der
Summenbildung und die Minimumbildung anstelle der Produktbildung zur Anwendung kommen.
Beispiel
Mit den Darstellungen für
die zu

und

sowie mit Gleichung (5.287) kann die inverse Relation

transponierte Matrix

2. Interpretation: Sei

eine Relation von

durch

dargestellt werden.
nach

und

eine Relation von

nach

dann sind

folgende Verknüpfungen möglich:
a)
aus
und
als ein max-min-Produkt definiert, dann wird das
Wird die Verknüpfung
vorstehende Fuzzy-Verknüpfungsprodukt als max-min-Verknüpfung bezeichnet. Das Zeichen sup steht
für Supremum und bezeichnet den größten Wert, wenn kein Maximum vorliegt; es wird oft als maxOperation aufgefaßt.
b)
Wird die Produktbildung wie bei der bekannten Matrix-Multiplikation vorgenommen, dann erhält man die
max-prod-Verknüpfung.
c)


Bei der max-average-Verknüpfung wird die ,,Multiplikation`` durch eine Mittelwertbildung ersetzt.


-faches kartesisches Produkt
Eine Kreuzproduktmenge aus
ein

Grundmengen repräsentiert in Analogie zum oben definierten kartesischen Produkt

- faches kartesisches Produkt , d.h. eine

-stellige Fuzzy-Relation.

1. Folgerung:
Die bisher betrachteten Fuzzy-Mengen sind einstellige Fuzzy-Relationen, d.h. im Sinne der Analysis Kurven
über einer Grundmenge. Eine zweistellige Fuzzy-Relation kann als Fläche über der Grundmenge
werden. Eine zweistellige Fuzzy-Relation auf diskreten endlichen Grundmengen kann als FuzzyRelationsmatrix dargestellt werden.

aufgefaßt

Beispiel
Farbe-Reifegrad-Relation: Es wird der bekannte Zusammenhang zwischen Farbe
einer Frucht mit den möglichen Farben

und Reifegrad

{grün, gelb, rot} und dem Reifegrad

halbreif, reif} in Form einer binären Relationsmatrix mit den Elementen aus {0,1} modelliert.
Ausgangspunkt für die Relationsmatrix

{unreif,


(5.282a)

ist die Tabelle
unreif halbreif reif
grün 1

0

0

gelb 0

1

0

rot

0

1.

0

2. Interpretation der Relationsmatrix:
WENN eine Frucht grün ist, DANN ist sie unreif.
WENN eine Frucht gelb ist, DANN ist sie halbreif. WENN eine Frucht rot ist, DANN ist sie reif.
Grün ist eindeutig unreif zugeordnet, gelb halbreif und rot reif. Soll darüber hinaus noch formuliert werden, daß
eine grüne Frucht zu einem gewissen Prozentsatz durchaus als halbreif angesehen werden kann,
beispielsweise mit graduellen Zugehörigkeiten wie
(grün, unreif) = 1,0 ,

(grün, halbreif) = 0,5 ,

(grün, reif) = 0,0 ,

(gelb, unreif) = 0,25 ,

(gelb, halbreif) = 1,0 ,

(gelb, unreif) = 0,25 ,

(rot, unreif) = 0,0 ,

(rot, halbreif) = 0,5 ,

(rot, reif) = 1,0 ,


dann erhält man als neue Relationsmatrix

mit

(5.282b)


Wissensbasiertes Interpolationssystem
●
●

Interpolationsmechanismen
Einschränkung für den eindimensionalen Fall


Ähnlichkeit von Fuzzy-Mengen

und

1. Fuzzy-ähnliche Mengen:
Zwei Fuzzy-Mengen

und

Zahlen

mit

mit

heißen fuzzy-ähnlich, wenn es für jedes
gibt, so daß gilt:
(5.256)

2. Satz:
Zwei Fuzzy-Mengen

und

mit

sind fuzzy-ähnlich, wenn sie dieselbe Toleranz
(5.257a)

besitzen, da die Toleranz gerade gleich dem

-Schnitt einer Fuzzy-Menge in der Höhe 1 ist:
(5.257b)


3. Streng fuzzy-ähnliche Mengen:
Zwei Fuzzy-Mengen

und

mit

heißen streng fuzzy-ähnlich, wenn sie dieselbe

Toleranz und denselben Träger besitzen:
(5.258a)
(5.258b)


Leere, universelle, normale und subnormale Fuzzy-Mengen,
Fuzzy-Teilmengen
1. Leere Fuzzy-Menge: Eine Fuzzy-Menge

über

heißt leer , wenn gilt:
(5.252a)

2. Universelle Fuzzy-Menge: Eine Fuzzy-Menge

über

heißt universell , wenn gilt:
(5.252b)

3. Normale und subnormale Fuzzy-Menge: Ist

eine Fuzzy-Menge über

so ist die Höhe von
(5.253)

Man spricht von einer normalen Fuzzy-Menge , wenn

sonst von einer subnormalen .

Die dargestellten Begriffe und Methoden, die auf normale Fuzzy-Mengen beschränkt sind, lassen sich leicht auf
subnormale Fuzzy-Mengen erweitern.


4. Fuzzy-Teilmenge: Gilt
(Schreibweise:

so heißt
.)

eine Fuzzy-Teilmenge von


Toleranz einer Fuzzy-Menge
Ist

eine Fuzzy-Menge über

so heißt
(5.254)

Toleranz der Fuzzy-Menge
Beispiel A

.


In der Abbildung ist

die Toleranz.

Beispiel B
Für

entsteht eine dreieckförmige Zugehörigkeitsfunktion

Die zugehörige Fuzzy-Menge besitzt keine Toleranz. Ist zusätzlich

.
so entsteht ein

scharfer Wert, Singleton genannt. Ein Singleton besitzt keinen Träger und keine Toleranz.


Eigenschaften unscharfer Mengen
Aus der Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften:
(E1)
Scharfe Mengen können als unscharfe Mengen mit den Zugehörigkeitsgraden 0 und 1 interpretiert werden.
(E2)
Alle Argumentwerte
unscharfen Menge

für deren Zugehörigkeitsgrade

gilt, werden zum Träger (support) der

zusammengefaßt:
(5.244)

(E3)
Die Gleichheit zweier unscharfer Mengen
ihrer Zugehörigkeitsfunktionen gleich sind:

und

über der Grundmenge

ist gegeben, wenn die Werte
(5.245)

(E4)


Diskrete Darstellung oder Wertepaardarstellung: Im Falle endlicher Grundbereiche

d.h.

ist es zweckmäßig, die Zugehörigkeitsfunktionen unscharfer Mengen durch
Wertetabellen zu beschreiben:
Tabellarische Darstellung einer unscharfen Menge

Man schreibt dafür auch
(5.246)

In dieser Definition sind Bruchstriche und Summenzeichen rein symbolisch zu verstehen.
(E5)
Ultra-Fuzzy-Sets: Fuzzy-Mengen, deren Zugehörigkeitsgrade selbst wieder eine Fuzzy-Menge repräsentieren,
nennt man nach ZADEH Ultra-Fuzzy-Sets .


Rechenregeln
1.
Für die Verknüpfung von Fuzzy-Mengen, z.B.

und

auf

unterschiedlichen Grundmengen mit der UND-Verknüpfung, d.h. mit der min-Operation, gilt:
(5.283a)
mit
(5.283b)
Das Ergebnis der Verknüpfung ist eine Fuzzy-Relation
Fuzzy-Mengen)

mit

Sind

und

auf der Kreuzproduktmenge (kartesisches Produkt der
diskrete endliche Mengen und somit

als

Vektoren darstellbar, dann gilt:
(5.284)


Der Verknüpfungsoperator steht nicht für das übliche Matrizenprodukt, die Produktbildung wird durch die
komponentenweise min-Operation und die Addition durch die komponentenweise max-Operation ersetzt.
Der Grad des Zutreffens einer inversen Relation
Zutreffens von

auf die Objekte

ist also stets gleich dem Grad des

auf die Objekte

2.
Rechenregeln für die Verknüpfung von Fuzzy-Relationen auf derselben Produktmenge lassen sich wie folgt
angeben: Es seien zweistellige Fuzzy-Relationen

und

gegeben,

mit denen Rechenregeln aufgestellt werden können. Die Berechnungsvorschrift für eine UND-Verknüpfung
erfolgt über die min-Operation:
(5.285)
Eine entsprechende Berechnungsvorschrift für die ODER-Verknüpfung durch die max-Operation ist gegeben durch:
(5.286)


Wissensbasierte Fuzzy-Systeme
Mit Hilfe der mehrwertigen, auf dem Einheitsintervall basierenden Fuzzy-Logik ergeben sich vielseitige
Anwendungsmöglichkeiten im technischen und nichttechnischen Bereich. Das allgemeine Konzept besteht darin,
Größen oder Kennwerte zu fuzzifizieren, geeignet in einer Wissensbasis mit Operatoren zu verknüpfen und die
möglicherweise unscharfen Ergebnismengen gegebenenfalls zu defuzzifizieren.
●
●
●
●

Methode MAMDANI
Methode SUGENO
Kognitive Systeme
Wissensbasiertes Interpolationssystem


Interpolationsmechanismen
Mit Hilfe der Fuzzy-Logik lassen sich Interpolationsmechanismen aufbauen. Fuzzy-Systeme sind Systeme zur
Verarbeitung unscharfer Informationen, mit ihnen lassen sich Funktionen approximieren und interpolieren. Ein
einfaches Fuzzy-System, an dem diese Eigenschaften untersucht wurden, ist der SUGENO-Controller. Er besitzt
Eingangsvariable

und bestimmt den Wert der Ausgangsvariablen

durch Regeln

der

Form

(5.312)

Die Fuzzy-Sets

partitionieren dabei jeweils die Eingabenmenge
der Regeln sind Singletons, die von den Eingabevariablen

Die Konklusionen
abhängen können.

Durch die einfache Wahl der Konklusionen kann auf eine aufwendige Defuzzifizierung verzichtet werden und der


Ausgangswert
einer

als gewichtete Summe berechnet werden. Dazu berechnet der Controller für jede Regel

-Norm aus den Zugehörigkeitsgraden der einzelnen Eingaben einen Erfüllungsgrad

mit

und bestimmt den

Ausgangswert zu

(5.313)


Gabor-Transformation
Zeit-Frequenz-Analyse nennt man die Charakterisierung eines Signals bezüglich der in ihm enthaltenen Frequenzen
und der Zeitpunkte, zu denen diese Frequenzen auftreten. Dazu wird das Signal in zeitliche Abschnitte (Fenster)
aufgeteilt und anschließend nach FOURIER transformiert. Man spricht deshalb auch von einer ,,gefensterten FOURIERTransformation`` FWT(Windowed FOURIER-Transformation).
Die Fensterfunktion ist so zu wählen, daß sie ein Signal außerhalb eines Fensters ausblendet. Von GABOR wurde als
Fensterfunktion

(15.156)
verwendet (s. die folgende Abbildung)


Diese Wahl kann damit erklärt werden, daß
und die Fensterbreite als konstant (etwa

mit der ,,Gesamtmasse 1`` um den Punkt

konzentriert ist

) angesehen werden kann. Die GABOR-Transformation einer Funktion

ist dann von der Form

(15.157)

Sie gibt an, mit welcher komplexen Amplitude die Grundschwingung
in

vertreten ist, d.h. tritt die Frequenz

während des Zeitintervalls

in diesem Intervall auf, dann besitzt sie die Amplitude


.


Gammafunktion
●
●
●

Definition
Eigenschaften der Gammafunktion
Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät


Eigenschaften der Gammafunktion
(8.102a)
(8.102b)
(8.102c)

(8.102d)

(8.102e)

(8.102f)
Die gleichen Beziehungen gelten bei komplexem Argument

, aber nur für

.


Gammafunktion

1, 00 1,00000 1, 25 0,90640 1, 50 0,88623 1, 75 0,91906
01 0,99433

26 0,90440

51 0,88659

76 0,92137

02 0,98884

27 0,90250

52 0,88704

77 0,92376

03 0,98355

28 0,90072

53 0,88757

78 0,92623

04 0,97844

29 0,89904

54 0,88818

79 0,92877

1, 05 0,97350 1, 30 0,89747 1, 55 0,88887 1, 80 0,93138
06 0,96874

31 0,89600

56 0,88964

81 0,93408


07 0,96415

32 0,89464

57 0,89049

82 0,93685

08 0,95973

33 0,89338

58 0,89142

83 0,93969

09 0,95546

34 0,89222

59 0,89243

84 0,94261

1, 10 0,95135 1, 35 0,89115 1, 60 0,89352 1, 85 0,94561
11 0,94740

36 0,89018

61 0,89468

86 0,94869

12 0,94359

37 0,88931

62 0,89592

87 0,95184

13 0,93993

38 0,88854

63 0,89724

88 0,95507

14 0,93642

39 0,88785

64 0,89864

89 0,95838

1, 15 0,93304 1, 40 0,88726 1, 65 0,90012 1, 90 0,96177
16 0,92980

41 0,88676

66 0,90167

91 0,96523

17 0,92670

42 0,88636

67 0,90330

92 0,96877

18 0,92373

43 0,88604

68 0,90500

93 0,97240

19 0,92089

44 0,88581

69 0,90678

94 0,97610

1, 20 0,91817 1, 45 0,88566 1, 70 0,90864 1, 95 0,97988


21 0,91558

46 0,88560

71 0,91057

96 0,98374

22 0,91311

47 0,88563

72 0,91258

97 0,98768

23 0,91075

48 0,88575

73 0,91467

98 0,99171

24 0,90852

49 0,88592

74 0,91683

99 0,99581

1, 25 0,90640 1, 50 0,88623 1, 75 0,91906 2, 00 1,00000
und

Die Werte der Gammafunktion für

lassen sich mit Hilfe der folgenden

Formeln berechnen:
(21.71)

Beispiel A
.

Beispiel B


GAUSS-Schritte
Der erste GAUSS-Schritt wird an der erweiterten Koeffizientenmatrix
Es sei

demonstriert:

wenn nicht, dann werden entsprechende Gleichungen vertauscht. In der Matrix

(4.115a)

werden die Glieder der 1. Zeile der Reihe nach mit
zur 2., 3.,...,

-ten Zeile addiert. Die umgeformte Matrix hat dann die Form

multipliziert und die Ergebnisse


(4.115b)

Die

-malige Anwendung dieses GAUSS-Schrittes liefert

(4.116)

GAUSS-Schritte sind elementare Umformungen, durch die der Rang der Matrix
und das Lösungsverhalten des Systems nicht geändert werden.

und damit auch die Lösung


GAUSS-Transformation
Der Vektor

ist genau dann eine Lösung von (4.119), wenn der Restvektor

orthogonal zu allen Spalten von

ist. Das bedeutet:
(4.120)
Diese Gleichung stellt ein lineares Gleichungssystem mit quadratischer Koeffizientenmatrix dar. Es wird als System
der Normalgleichungen bezeichnet. Seine Dimension ist
GAUSS-Transformation . Die Matrix
Hat die Matrix

den Rang

(wegen

Den Übergang von (4.117) zu (4.120) nennt man

ist symmetrisch.
spricht man in diesem Falle von Vollrang ), dann ist die Matrix

positiv definit und insbesondere regulär, d.h., das System der Normalgleichungen hat bei Vollrang von
eine eindeutige Lösung.


GAUSSsche Glockenkurve
Die Funktion
(2.59)

beschreibt die GAUSSsche Glockenkurve. Sie hat die
asymptotisch um so schneller, je größer

ist.

-Achse zur Symmetrieachse und nähert sich der

-Achse


Das Maximum

liegt bei (0,1). Die Wendepunkte

und

liegen bei

. Die zugehörigen

Tangentensteigungen ergeben sich zu
Eine wichtige Anwendung der GAUSSschen Glockenkurve ist die Beschreibung des Normalverteilungsgesetzes der
Beobachtungsfehler :
(2.60)
(Ausführlicher s. Normalverteilung.)


Integralformel von Gauß
Im ebenen Falle der Einschränkung auf die

-Ebene geht der Integralsatz von GAUSS in die Integralformel von

GAUSS über. Sie liefert den Zusammenhang zwischen einem Linienintegral und dem dazugehörigen Flächenintegral:
(13.118)

Mit

ist eine ebene Fläche bezeichnet, die die Berandung

stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung.

besitzt.

und

sind stetige Funktionen mit


Vektordarstellung
In Analogie zur Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengeraden können die komplexen Zahlen als Punkte einer
Ebene, der sogenannten GAUSSschen Zahlenebene, dargestellt werden: Eine Zahl
mit der Abszisse

und der Ordinate

.

ist dann ein Punkt


Die reellen Zahlen liegen auf der Abszissenachse, die auch reelle Achse genannt wird, die imaginären auf der
Ordinatenachse, der imaginären Achse. In der so vorgegebenen Ebene ist jeder Punkt durch einen Radiusvektor
eindeutig bestimmt, so daß jeder komplexen Zahl ein bestimmter Vektor entspricht, der in dieser Ebene liegt und vom
Koordinatenursprung zu dem betreffenden Punkt führt.
Die komplexen Zahlen können also sowohl durch Punkte als auch durch Vektoren dargestellt werden.


Integralsatz von Gauß
Der Integralsatz von GAUSS liefert den Zusammenhang zwischen einem Volumenintegral über ein Volumen
von einem Feld

, das

durchsetzt ist, und einem Oberflächenintegral über die dieses Volumen umschließende Fläche

. Die Orientierung der Fläche sei so festgelegt, daß die Außenseite die positive Seite ist. Die vektorielle
Feldfunktion

soll stetig sein, ihre ersten partiellen Ableitungen sollen existieren und stetig sein.
(13.117a)

Der skalare Fluß des Feldes
über das von

durch die geschlossene Fläche

umschlossene Volumen

ist gleich dem Integral der Divergenz von

. In kartesischen Koordinaten gilt:

(13.117b)


Drei- und mehrdimensionale Gebiete
Drei- und mehrdimensionale Gebiete werden analog zum zweidimensionalen Fall behandelt. Das betrifft auch die
Unterscheidung zwischen einfach und mehrfach zusammenhängenden Gebieten. Funktionen von mehr als drei
Veränderlichen werden in den entsprechenden

-dimensionalen Räumen geometrisch gedeutet.


Einfach zusammenhängende Gebiete
Die folgende Abbildung zeigt die einfachsten Fälle zusammenhängender Punktmengen mit zwei Veränderlichen.


Gebiete sind hier schraffiert dargestellt; abgeschlossene Gebiete, also Gebiete, deren Rand in die Punktmenge des
Definitionsbereiches einbezogen ist, sind durch ausgezogene blaue Kurven um das Gebiet gekennzeichnet, offene
Gebiete durch gestrichelt blau gezeichnete Kurven. Einschließlich der gesamten Ebene handelt es sich in allen
Fällen der Abbildung um einfach zusammenhängende Gebiete .
Oben: a) Gesamte Ebene, b) unbeschränktes abgeschlossenes Gebiet, c) unbeschränktes offenes Gebiet. Unten: d)
Beschränktes abgeschlossenes Gebiet, e) beschränktes offenes Gebiet.


Mehrfach zusammenhängende Gebiete
Mehrfach zusammenhängende Gebiete sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Von links nach rechts handelt es
sich um
a) ein dreifach zusammenhängendes Gebiet, b) ein vierfach zusammenhängendes Gebiet, c) ein mehrfach
zusammenhängendes Gebiet.


Nicht zusammenhängende Gebiete
Ein nicht zusammenhängendes Gebiet zeigt die folgende Abbildung:


Zweidimensionale Gebiete
●
●
●
●

Einfach zusammenhängende Gebiete
Zweifach zusammenhängende Gebiete
Mehrfach zusammenhängende Gebiete
Nicht zusammenhängende Gebiete


Zweifach zusammenhängende Gebiete
Wenn im Innern eines betrachteten Ebenenstücks ein Punkt oder eine beschränkte, einfach zusammenhängende
Punktmenge aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist, dann wird von einem zweifach zusammenhängenden
Gebiet gesprochen. Die Abbildung zeigt von links nach rechts
a) das Beispiel der gesamten Ebene mit Ausnahme des Punktes

, b) ein unbeschränktes zweifach

zusammenhängendes Gebiet, c) ein beschränktes zweifach zusammenhängendes Gebiet.


Kollokationsmethode
Der Defekt

wird in

möglichst günstig verteilten Punkten, den Kollokationsstellen
, zum Verschwinden gebracht:
(19.141)

Die Kollokationsstellen sind im 1. Fall Randpunkte (man spricht dann von Randkollokation ), im 2. Fall innere Punkte
des Integrationsgebietes (man spricht dann von Gebietskollokation ).
Gleichungen für die Koeffizienten. Die Randkollokation ist in der Regel der
Es ergeben sich aus (19.141)
Gebietskollokation vorzuziehen.
Beispiel


Für das im Abschnitt Differenzenverfahren behandelte Beispiel werde ein Ansatz verwendet, der bereits die
Differentialgleichung erfüllt:
.
Die Koeffizienten werden dadurch bestimmt, daß die Randbedingung in den Randpunkten
und

erfüllt ist (Randkollokation).

Man erhält das lineare Gleichungssystem

. Mit Hilfe der

mit der Lösung

Näherungsfunktion können Näherungswerte für die Lösung in beliebigen Punkten des Integrationsgebietes
berechnet werden.
Zum Vergleich mit dem Differenzenverfahren seien die Werte
angegeben.

und


Schnittpunkte zweier Orthodromen
Die betrachteten Orthodromen sollen die nordpolnächsten Punkte
gilt. Einsetzen des Schnittpunktes

besitzen, wobei

und
in beide Orthodromengleichungen

führt auf das Gleichungssystem
(3.233a)
(3.233b)
Elimination von

und die Anwendung der Additionstheoreme auf die Kosinusfunktionen ergeben:
(3.234)

Diese Gleichung liefert im Definitionsbereich
und

der geographischen Längen zwei Lösungen

Die dazugehörigen geographischen Breiten ergeben sich aus (3.233a):
(3.235)


Die Schnittpunkte
auseinander hervor.

und

sind Gegenpunkte , d.h., sie gehen durch eine Spiegelung am Kugelmittelpunkt


Planimetrie
●
●
●
●
●
●

Grundbegriffe
Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen
Ebene Dreiecke
Ebene Vierecke
Ebene Vielecke
Ebene Kreisfiguren


Vektoralgebra und analytische Geometrie
●
●
●

Vektoralgebra
Analytische Geometrie der Ebene
Analytische Geometrie des Raumes


Analytische Geometrie der Ebene
●
●
●
●
●
●
●

Grundlegende Begriffe und Formeln, ebene Koordinatensysteme
Gerade
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel
Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)


Analytische Geometrie des Raumes
●
●
●
●

Grundlegende Begriffe und Formeln, räumliche Koordinatensysteme
Gerade und Ebene im Raum
Flächen zweiter Ordnung, Gleichungen in Normalform
Flächen zweiter Ordnung, allgemeine Theorie


Differentialgeometrie
In der Differentialgeometrie werden ebene und räumliche Kurven und Flächen mit den Methoden der
Differentialrechnung untersucht. Daher wird von den Funktionen, die in die Kurven- bzw. Flächengleichungen
eingehen, vorausgesetzt, daß sie stetig sind und stetige Ableitungen bis zu der Ordnung besitzen, die gemäß dem
Charakter des zu untersuchenden Problems erforderlich ist. Nur in einzelnen Punkten der Kurve oder Fläche darf
diese Bedingung gestört sein. Man spricht dann von singulären Punkten .
Bei der Untersuchung geometrischer Gebilde auf der Grundlage ihrer Gleichungen wird zwischen solchen
Eigenschaften unterschieden, die von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, wie Schnittpunkte von Kurven
oder Flächen mit den Koordinatenachsen, Tangentensteigungen, Maxima und Minima, und solchen invarianten
Eigenschaften, die unabhängig sind von Koordinatentransformationen, wie Wendepunkte, Scheitel, Krümmungen.
Außerdem werden noch lokale Eigenschaften, die nur für sehr kleine Teile der Kurven oder Flächen zutreffen, wie
Krümmung und Linienelement von Flächen, von Eigenschaften unterschieden, die Kurven und Flächen im Ganzen
betreffen, wie die Anzahl der Scheitel oder die Länge einer geschlossenen Kurve.
●
●
●

Ebene Kurven
Raumkurven
Flächen


Punkt und Gerade
Punkt und Gerade werden in der modernen Mathematik nicht definiert. Man legt lediglich die Beziehungen zwischen
ihnen durch Axiome fest. Anschaulich kann die Gerade als Spur eines Punktes erklärt werden, der sich in einer
Ebene auf dem kürzesten Verbindungsweg zwischen zwei anderen Punkten bewegt und dabei nie die Richtung
ändert.
Unter einem Punkt versteht man die Schnittstelle zweier Geraden.


Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●
●

Allgemeine Geradengleichung:
Geradengleichung mit Richtungskoeffizient:
Geradengleichung durch einen vorgegebenen Punkt:
Geradengleichung für zwei vorgegebene Punkte:
Geradengleichung in Achsenabschnittsform:
Normalform der Geradengleichung (auch HESSEsche Normalform ):
Geradengleichung in Polarkoordinaten:

Gleichung der Geraden
Jede in den Koordinaten lineare Gleichung definiert eine Gerade, und umgekehrt ist die Gleichung jeder beliebigen
Geraden eine lineare Gleichung ersten Grades.

Allgemeine Geradengleichung:


(3.299)
Für

ist die Gerade eine Parallele zur

-Achse, für

eine Parallele zur

-Achse, für

verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.

Geradengleichung mit Richtungskoeffizient:
Jede Gerade, die nicht parallel zur

-Achse verläuft, kann durch eine Gleichung der Form
(3.300)

dargestellt werden. Die Größe

wird Richtungskoeffizient der Geraden genannt; er ist gleich dem Tangens des

Winkels, den die Gerade mit der positiven Richtung der

-Achse einschließt.


Die Strecke

wird von der Geraden auf der

-Achse abgeschnitten. Sie kann ebenso wie der Tangens je nach

Lage unterschiedliches Vorzeichen besitzen.

Geradengleichung durch einen vorgegebenen Punkt:
Die Gleichung einer Geraden, welche durch einen vorgegebenen Punkt

in vorgegebener Richtung

verläuft, lautet
(3.301)


Geradengleichung für zwei vorgegebene Punkte:
Sind zwei Geradenpunkte

, und

vorgegeben, dann lautet die Geradengleichung
(3.302)


Geradengleichung in Achsenabschnittsform:
Wenn eine Gerade auf den Achsen jeweils die Strecken
berücksichtigen sind, dann lautet ihre Gleichung

und

abschneidet, wobei die Vorzeichen zu
(3.303)


Normalform der Geradengleichung (auch HESSEsche Normalform ):
Mit

als Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung und

als der Winkel, den die

Koordinatenursprung auf die Gerade gefällte Normale einschließen, mit

und

-Achse und die vom
lautet die

HESSEsche Normalform
(3.304)


Man kann die HESSEsche Normalform aus der allgemeinen Geradengleichung durch Multiplikation mit dem
Normierungsfaktor
(3.305)
herleiten. Das Vorzeichen von

muß entgegengesetzt zu dem von

gewählt werden.

Geradengleichung in Polarkoordinaten:
Mit

als Abstand vom Pol zur Geraden (Normalenstrecke vom Pol zur Geraden) und

Polarachse und der vom Pol auf die Gerade gefällten Normalen gilt

als Winkel zwischen


(3.306)


Gerade und Ebene
Eine Gerade kann gänzlich in einer gegebenen Ebene liegen, sie kann mit ihr einen gemeinsamen Punkt haben oder
gar keinen. Im letzten Fall ist die Gerade parallel zur Ebene. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
wird zwischen der Geraden und ihrer Orthogonalprojektion auf die Ebene gemessen.

Wenn eine Gerade senkrecht auf zwei in einer Ebene liegenden und sich schneidenden Geraden verläuft, dann steht
sie auf jeder beliebigen Geraden in dieser Ebene senkrecht, d.h., sie steht senkrecht zur Ebene.


Zwei Geraden
Zwei Geraden in ein und derselben Ebene haben entweder einen oder keinen gemeinsamen Punkt. Im letzteren
Falle sind sie parallel . Wenn sich durch zwei Geraden keine Ebene legen läßt, wird von windschiefen oder
kreuzenden Geraden gesprochen. Als Winkel zwischen zwei windschiefen Geraden wird der Winkel zwischen zwei
zu ihnen parallelen Geraden bezeichnet, die durch einen Punkt gehen.


Der Abstand zweier windschiefer Geraden voneinander ist definiert als die Strecke, die auf beiden Geraden
senkrecht steht.


Parallele und orthogonale Geraden
Parallele Geraden verlaufen in die gleiche Richtung, besitzen aber keinen gemeinsamen Punkt, d.h., sie nähern und
entfernen sich nicht voneinender und schneiden sich nicht. Die Parallelität wird für zwei parallele Geraden

und

in Zeichen dargestellt durch
Orthogonale Geraden bilden beim Schnitt miteinander rechte Winkel, d.h., sie stehen senkrecht aufeinander. Die
Orthogonalität zweier Geraden ist wie die Parallelität eine Lagebeziehung zweier Geraden zueinander.


Winkel zwischen zwei Geraden
1. Geradengleichungen in der allgemeinen Form:
Wenn die beiden Geradengleichungen in der allgemeinen Form
(3.310a)
gegeben sind, dann gilt
(3.310b)

(3.310c)

(3.310d)
Mit den Richtungskoeffizienten

und

ergibt sich
(3.310e)


(3.310f)

(3.310g)
Dabei wird der Winkel

von einer Geraden zur zweiten im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers gemessen.

2. Parallele Geraden:
Für parallele Geraden (linke Abbildung) ist


(3.311)
3. Senkrechte Geraden:
Für senkrechte Geraden (rechte Abbildung) ist
(3.312)


Unterabschnitte
●
●

Schnittpunkt zweier Geraden:
Geradenbüschel:

Schnittpunkt von Geraden
Schnittpunkt zweier Geraden:
Um die Koordinaten

des Schnittpunktes zweier Geraden zu berechnen, ist die Lösung des aus ihren

Gleichungen zu bildenden Gleichungssystems zu berechnen. Wenn die Geraden durch die Gleichungen
(3.308a)
gegeben sind, dann gilt


(3.308b)

Wenn

ist, dann sind die Geraden parallel. Ist

dann fallen die Geraden

zusammen.

Geradenbüschel:
Wenn eine dritte Gerade mit der Gleichung
(3.309a)
durch den Schnittpunkt der ersten beiden Geraden gehen soll, dann muß die Bedingung

(3.309b)

erfüllt sein.


Die Gleichung
(3.309c)
beschreibt alle Geraden die durch den Schnittpunkt
Durch (3.309c) wird ein Geradenbüschel mit dem Träger

der beiden Geraden (3.308a) hindurchgehen.
definiert. Wenn die Gleichungen der ersten

beiden Geraden in Normalform gegeben sind, dann erhält man für
Winkelhalbierenden der von den beiden Geraden eingeschlossenen Winkel.

die Gleichungen der


JACOBI-Verfahren
In der Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems (19.25) seien sämtliche Diagonalelemente
von Null verschieden. Dann kann die
und man erhält unmittelbar die folgende Iterationsvorschrift, in der

-te Zeile nach der Unbekannten

aufgelöst werden,

der Iterationsindex ist:

(19.48)

Die Vorschrift (19.48) wird als JACOBI-Verfahren oder auch als Gesamtschrittverfahren bezeichnet, da sämtliche
Komponenten des neuen Vektors

allein aus den Komponenten von

Verfahren konvergiert für beliebige Startvektoren

, falls gilt:

berechnet werden. Das JACOBI-


(19.49)
oder
(19.50)


Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli
Bei beliebig vorgegebenen Zahlen

und

ist
(16.102a)

wenn
(16.102b)
Weitere Gesetze dieser Art s. Lit. 16.8, 16.20.
Beispiel


Wievielmal muß man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % darauf schließen zu
können, daß sich die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Augenzahl Sechs von der beobachteten
relativen Häufigkeit höchstens um den Betrag
Es ist

und

, also

BERNOULLIschen Gesetz der großen Zahlen

unterscheidet?
, und somit muß nach dem
sein. Diese Zahl ist sehr groß. Man kann

verkleinern, wenn man die Verteilungsfunktion kennt (s. Lit. 16.10).


Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy
Wenn die unabhängigen Zufallsveränderlichen
und der Streuung

derselben Verteilung mit dem Erwartungswert

genügen, dann strebt die Verteilungsfunktion

der zufälligen Veränderlichen

(16.103)

für

gegen eine (

)-Normalverteilung, d.h., es ist

(16.104)

Die Ersetzung von

durch die (

)-Normalverteilung ist praktisch für

Weitere Grenzwertsätze s. Lit. 16.8, 16.10, 16.20.

möglich (s. Lit. 16.1).


Beispiel
Einer laufenden Produktion von Widerständen werden 100 Stück entnommen. Es sei bekannt, daß
sämtliche Widerstandswerte unabhängig sind und derselben Verteilung mit der Streuung
genügen. Der Mittelwert der 100 Widerstände sei
Wahrscheinlichkeit von 99 % der Erwartungswert
Es ist
Zufallsveränderliche

. In welchem Bereich liegt mit einer
der Verteilung?
. Man kann annehmen (s. (16.103)), daß die

einer (

)-Normalverteilung genügt. Somit ist

und damit

.
. Aus der Tabelle

Diese Wahrscheinlichkeit soll 99 % sein. Damit gilt
für die normierte Normalverteilung entnimmt man
mit der Wahrscheinlichkeit 99 %:

. Wegen

gilt daher


Gewicht einer Messung
Wenn die direkten Meßergebnisse

aus verschiedenen Meßverfahren stammen oder Mittelwerte von

Einzelmessungen darstellen, die zu dem gleichen Mittelwert

mit verschiedenen Streuungen

gehören, setzt

man an die Stelle des gleichgewogenen Mittels das gewogene Mittel
(16.201)

und an die Stelle der Streuungen

die Streuungsverhältnisse
(16.202)

Für

steht ein beliebiger Wert

(meist der mit dem geringsten Fehler), der aus dem Zahlenbereich der

Meßwerte ausgewählt wird. Er dient als Standardabweichung der Gewichtseinheit, d.h., für

ist

.


Aus (16.200) folgt: Das Gewicht einer Messung ist um so größer, je kleiner ihr Fehler

ist.


Gewogenes und arithmetisches Mittel
Bei Anwendung auf den diskreten Fall ergibt sich als Erwartungswert das gewogene Mittel
(16.52)
der Werte
Gleichverteilung ist

mit den Wahrscheinlichkeiten

, Gewichte genannt. Bei
, und

wird zum arithmetischen Mittel der Werte

:

(16.53)
Bei Anwendung auf den kontinuierlichen Fall erhält man bei Gleichverteilung über dem endlichen Intervall
Dichtefunktion
(16.54)
und daraus folgt:

die


(16.55)


Wahrer Wert und seine Näherungen
Der wahre Wert

einer meßbaren Größe ist im allgemeinen unbekannt. Als Schätzwert für

wird man den

Erwartungswert der Zufallsvariablen wählen, deren Realisierung durch die Meßwerte
erfolgt. Demzufolge bieten sich als Näherungswerte für

die folgenden Mittelwerte an:

1. Gleichgewichteter Mittelwert:
(16.182)

wenn die Meßwerte in

Klassen mit den absoluten Häufigkeiten
eingeteilt worden sind.

und den Klassenmittelwerten


2. Gewichteter Mittelwert:
(16.183)
Dabei sind die einzelnen Meßwerte mit dem Gewichtsfaktor

gewichtet worden.


Eigenschaften
Bikubische Splines werden zur Lösung der folgenden Aufgabe verwendet:
Ein Rechtecksbereich

der

-Ebene, gegeben durch

, werde durch die
mit

Gitterpunkte

(19.239)

in die Maschen

zerlegt, wobei die Masche

aus den Punkten

mit
besteht. In den

Gitterpunkten seien von der Funktion

die Funktionswerte

(19.240)
gegeben. Gesucht ist eine möglichst einfache, glatte Fläche über

, welche die Punkte (19.240) approximiert.


Asymptotische Gleichheit
Zwei Funktionen

und

, die für

definiert sind, heißen asymptotisch gleich für

, wenn gilt:
(7.92a)

bzw.
(7.92b)
Dabei wird in

das LANDAU-Symbol ,,groß O`` verwendet. Wenn (7.92b) erfüllt ist, schreibt man auch
.

Beispiel A


.

Beispiel B
.
Beispiel C
.


Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind definitionsgemäß gleich, wenn ihre Realteile und Imaginärteile für sich einander gleich
sind. Geometrisch betrachtet sind zwei komplexe Zahlen gleich, wenn die zu ihrer Darstellung benötigten Vektoren
gleich sind. Im entgegengesetzten Falle sind die komplexen Zahlen ungleich. Die Begriffe ,,größer`` und ,,kleiner``
sind für komplexe Zahlen nicht definiert.


Gleichheit von Matrizen
Zwei Matrizen

und

sind gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und wenn ihre

gleichgestellten Elemente einander gleich sind:
(4.20)


Teilmengen
1. Teilmenge:
Sind

und

Mengen und gilt
(5.36)

dann heißt

Teilmenge von

wenn alle Elemente von
Gibt es für
und man schreibt

in

, und man schreibt:

auch zu

Mit anderen Worten:

ist Teilmenge von

gehören.

weitere Elemente, die nicht in
Die folgende Abbildung zeigt

vorkommen, so heißt

echte Teilmenge von

als echte Teilmenge der Menge

,


Beispiel
eine Menge gerader Zahlen und

Es seien
natürlicher Zahlen. Da die Menge

die ungeraden Zahlen nicht enthält, ist

eine Menge
eine echte Teilmenge von

2. Leere Menge:
Es erweist sich als sinnvoll, die leere Menge

die kein Element enthält, einzuführen. Wegen des

Extensionalitätsprinzips gibt es nur eine solche Menge.
Beispiel A
Die Menge

Beispiel B

ist leer.


Für jede Menge

gilt

d.h., die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

3. Gleichheit von Mengen:
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:
(5.37)
Diese Tatsache wird häufig zum Beweis der Gleichheit zweier Mengen benutzt.
4. Potenzmenge:
Die Menge aller Teilmengen einer Menge

nennt man Potenzmenge von

und bezeichnet sie mit

d.h.

Beispiel
lautet die Potenzmenge

Für die Menge

Es gilt:
1.
Hat eine Menge

Elemente, so hat ihre Potenzmenge

Elemente.

2.
Für jede Menge

gilt

d.h. die leere Menge ist Potenzmenge jeder Menge

5. Kardinalzahl:
Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge

heißt Kardinalzahl von

und wird mit

oder


manchmal auch

bezeichnet.

Auch unendlichen Mengen werden Kardinalzahlen zugeordnet.


Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren
und
gelten als gleich, wenn ihre Beträge gleich sind und ihre Richtungen übereinstimmen, d.h.,
wenn sie parallel und gleich orientiert sind.
Entgegengesetzt gleiche Vektoren zeichnen sich durch gleiche Beträge, aber entgegengesetzte Richtungen aus:
(3.239)
Axiale Vektoren besitzen in diesem Falle entgegengesetzt gleichen Drehsinn.


Äquivalenzrelationen
Eine binäre Relation

in einer Menge

heißt Äquivalenzrelation , wenn

verwendet man in diesem Falle auch die Bezeichnung

Für

Äquivalenzrelation

aus dem Zusammenhang bekannt ist, und sagt,

reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
oder

, wenn die

ist äquivalent zu

(bzgl.

).

Beispiel A
Es gilt

genau dann, wenn

gleichen Rest lassen (Kongruenzrechnung modulo
Beispiel B

).

und

bei Division durch

den


Gleichheitsbeziehung in unterschiedlichen Bereichen, z.B. in der Menge
rationalen Zahlen:
definiert, während das zweite die Gleichheit in

der

wobei das erste Gleichheitszeichen die Gleichheit in
bezeichnet.

Beispiel C
Ähnlichkeit oder Kongruenz geometrischer Figuren.
Beispiel D
Logische Äquivalenz aussagenlogischer Ausdrücke.


Definitionen
1. Algebraischer Ausdruck
oder Term werden eine oder mehrere algebraische Größen, wie Zahlen oder Buchstabensymbole, genannt,
die durch Zeichen wie

usw. sowie verschiedene Arten von Klammern zur Festlegung

der Operationsfolge der algebraischen Operationen miteinander verknüpft sind.
2. Identität
ist eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei algebraischen Ausdrücken, die beim Einsetzen beliebiger
Zahlenwerte anstelle der darin aufgeführten Buchstabensymbole erhalten bleibt.
3. Gleichung
nennt man eine Gleichheitsbeziehung zwischen zwei algebraischen Ausdrücken, wenn sich im Unterschied zur
Identität nur einige spezielle Werte einsetzen lassen. So wird z.B. eine Gleichheitsbeziehung
(1.27)
zwischen zwei Funktionen ein und derselben Veränderlichen als Gleichung mit einer Unbekannten bezeichnet, wenn
sie nur für bestimmte Werte dieser Veränderlichen richtig ist. Bleibt die Gleichheitsbeziehung für beliebige Werte der
Variablen

erhalten, dann nennt man sie eine Identität bzw. man sagt, die Gleichung ist identisch erfüllt.

4. Identische Umformungen


werden durchgeführt, um einen algebraischen Ausdruck in einen anderen, ihm identisch gleichen zu
überführen. Solche Umformungen können je nach dem Ziel, das dabei verfolgt wird, verschieden aussehen.
Sie sind z.B. zur Gewinnung kürzerer Ausdrücke zweckmäßig, damit das Einsetzen von Zahlen oder weitere
Rechnungen bequemer werden. Außerdem sind oft Ausdrücke gewünscht, die besonders gut zur Lösung von
Gleichungen, zum Logarithmieren, zum Differenzieren, zum Integrieren usw. geeignet sind.


Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
1. Normalform:
(1.148)
2. Anzahl der Lösungen: Es existiert stets eine reelle Lösung
(1.149)


Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
●
●
●

Normalform und Anzahl der Lösungen
Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 1
Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 2


Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
●
●
●
●

Normalform und Anzahl der Lösungen
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 1
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 2, Anwendung der Formel von CARDANO
Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 3, Verwendung von Hilfsgrößen


Gleichungen 4. Grades
1. Normalform:
(1.162)
Sind alle Koeffizienten dieser Gleichung reell, dann hat sie keine oder 2 oder 4 reelle Lösungen.
2. Spezielle Formen: Wenn

ist, dann können die Wurzeln von
(1.163a)

mit Hilfe der Formeln

(1.163b)

berechnet werden. Für

und

werden die Wurzeln der Gleichung
(1.163c)


mit Hilfe der Formeln

(1.163d)

berechnet.
Hinweis: Zur Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades werden in den nächsten beiden Abschnitten zwei
Methoden betrachtet. Eine dritte Lösungsmethode beruht auf Näherungsmethoden.
●
●

Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 1, Faktorenzerlegung
Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 2


Algebraische und transzendente Gleichungen
●
●
●
●

Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform
Gleichungen 1. bis 4. Grades
Gleichungen n-ten Grades
Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische


Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen
●
●
●

Wurzeln
Fundamentalsatz der Algebra
Wurzelsatz von VIETA


Definition
Die in der Gleichung
(1.144)

enthaltene Veränderliche

wird Unbekannte genannt, die speziellen Werte

der Veränderlichen,

für die die Gleichung erfüllt wird, sind die Wurzeln oder Lösungen der Gleichung. Zwei Gleichungen sind äquivalent,
wenn sie genau die gleichen Wurzeln besitzen.
Eine algebraische Gleichung liegt vor, wenn jede der darin enthaltenen Funktionen

und

algebraisch,

d.h. rational oder irrational ist; eine von ihnen kann auch eine Konstante sein. Jede algebraische Gleichung kann
durch algebraische Umformungen auf die Normalform
(1.145)
gebracht werden, die die gleichen Wurzeln wie die Ausgangsform besitzt, aber unter Umständen einige überzählige.


Der Koeffizient

wird oft auf den Wert 1 gebracht; im übrigen werden die Koeffizienten

hier und im

weiteren als reell vorausgesetzt, im entgegengesetzten Falle wird besonders darauf aufmerksam gemacht.
Der Exponent

wird der Grad der Gleichung genannt.

Beispiel
Gesucht ist die Normalform der Gleichung
Umformungen:

Das Ergebnis ist eine Gleichung vierten Grades in der Normalform.

Schrittweise


Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform
●
●
●

Definition
Systeme aus
algebraischen Gleichungen
Überzählige Wurzeln


Systeme aus

algebraischen Gleichungen

Jedes algebraische Gleichungssystem kann auf die Normalform, d.h. auf eine polynomiale Darstellung gebracht
werden:
(1.146)

sind Polynome in

Die

Beispiel
Gesucht ist die Normalform des Systems der Gleichungen:

Die Normalform lautet:


Unterabschnitte
●
●

Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite
Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten Seite

Singuläre Punkte einer Differentialgleichung
Singuläre Punkte einer Differentialgleichung sind Punkte, in denen die rechte Seite der Differentialgleichung
(9.18a)
nicht definiert ist. Diese Situation tritt z.B. in Differentialgleichungen der folgenden Formen auf:

Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite


(9.18b)

besitzt im Punkt
jedem beliebig nahe an

einen isolierten singulären Punkt , da die Bedingungen des Existenzsatzes lediglich in
gelegenen Punkt gelten, nicht aber in diesem selbst. Streng genommen sind die

genannten Bedingungen in diesem Falle für alle Punkte nicht erfüllt, für die

ist. Die Erfüllung der

Bedingungen kann dadurch erzwungen werden, daß die Rolle der abhängigen und unabhängigen Variablen
vertauscht und die Gleichung

(9.18c)

betrachtet wird.
Das Verhalten der Integralkurven in der Nähe des singulären Punktes hängt von den Wurzeln der charakteristischen
Gleichung
(9.18d)
ab. Dabei können die folgenden Fälle unterschieden werden:
Fall 1: Wenn die Wurzeln reell sind und gleiches Vorzeichen besitzen, dann ist der singuläre Punkt ein


Knotenpunkt . In der Umgebung des singulären Punktes verlaufen alle Integralkurven durch ihn hindurch und
verfügen hier, sofern die Wurzeln nicht zusammenfallen, mit Ausnahme einer Integralkurve über eine
gemeinsame Tangente. Im Falle einer Doppelwurzel haben entweder alle Integralkurven eine gemeinsame
Tangente, oder durch den singulären Punkt verläuft in jeder Richtung eine eindeutige Kurve.
Beispiel A
Für die Differentialgleichung

lautet die charakteristische Gleichung

. Die Integralkurven gehorchen der Gleichung
(s. Abbildung).


Die Gerade

ist in der allgemeinen Lösung ebenfalls enthalten, was aus der Form
hervorgeht.

Beispiel B


Die charakteristische Gleichung für

Integralkurven sind

lautet

(s. Abbildung).

Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Knotenpunkt .
Beispiel C

.


Die charakteristische Gleichung für

Integralkurven sind

lautet

.

(s. Abbildung).

Der singuläre Punkt ist ein sogenannter Strahlpunkt .
Fall 2: Wenn die Wurzeln reell sind und verschiedene Vorzeichen besitzen, ist der singuläre Punkt ein
Sattelpunkt , durch den zwei Integralkurven verlaufen.
Beispiel D


Die charakteristische Gleichung für

Integralkurven sind

Für

lautet

.

(s. Abbildung).

gibt es die partikulären Integrale

.

Fall 3: Wenn die Wurzeln konjugiert komplex sind, dann ist der singuläre Punkt ein Strudelpunkt , auf den sich
die Integralkurven in unendlich vielen Windungen aufwinden.


Beispiel E
Die charakteristische Gleichung für

ist

. Integralkurven in Polarkoordinaten sind
(s. Abbildung).
Fall 4: Wenn die Wurzeln rein imaginär sind, dann ist der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt , der von der Schar
geschlossener Integralkurven eingeschlossen wird.


Beispiel F
Die charakteristische Gleichung für

Integralkurven sind

ist

.

(s. Abbildung).

Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten


Seite
(9.19a)
besitzt singuläre Punkte für Werte der Variablen, für die
(9.19b)

gilt. Wenn

und

stetige Funktionen sind, die stetige partielle Ableitungen besitzen, dann kann (9.19a) in der

Form

(9.19c)

dargestellt werden. Dabei sind

und

die Koordinaten des singulären Punktes, und die Werte von

müssen infinitesimal von höherer Ordnung im Vergleich zum Abstand des Punktes

sowie
singulären Punkt

vom

sein. Unter diesen Voraussetzungen ist die Art der singulären Punkte der gegebenen

Differentialgleichung die gleiche wie für den singulären Punkt der Näherungsgleichung , die durch Weglassen von
und

entsteht. Dazu gibt es die folgenden Ausnahmen:


a)
Wenn der singuläre Punkt ein Wirbelpunkt ist, dann ist der singuläre Punkt der Ausgangsgleichung entweder
ein Wirbelpunkt oder ein Strudelpunkt;
b)
wenn

, d.h.

oder

bzw.

ist, dann müssen, damit die Art

des singulären Punktes bestimmt werden kann, Glieder höherer Ordnung in die Betrachtung einbezogen
werden.


Charakteristisches Polynom
Die Eigenwertgleichung (4.124) stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar, das genau dann nichttriviale
Lösungen

besitzt, wenn gilt
(4.125a)

Durch Entwicklung von

ergibt sich

(4.125b)
Die Eigenwertbedingung entspricht somit einer Polynomgleichung. Sie wird charakteristische Gleichung genannt; das


Polynom

heißt charakteristisches Polynom . Seine Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix A. Damit gilt

für eine beliebige quadratische Matrix A vom Typ

1. Fall: Die Matrix

besitzt genau

Eigenwerte

denn ein Polynom vom Grade

hat
Nullstellen, wenn diese entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. Die Eigenwerte von
nichtsymmetrischen Matrizen können komplex sein.
2. Fall: Sind die

Eigenwerte der Matrix

unabhängige Eigenvektoren
3. Fall: Ist

ein

-facher Eigenwert und hat die Matrix

den Rang

dann ist die Zahl

gehören, gleich dem sogenannten Rangabfall

d.h., zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix

mindestens einen und höchstens
Beispiel A

linear

als Lösungen des Gleichungssystems (4.124) mit

der linear unabhängigen Eigenvektoren, die zu
Es gilt

sämtlich verschieden, dann existieren genau

reelle oder komplexe linear unabhängige Eigenvektoren.

gibt es


Die Eigenwerte sind
Die Eigenvektoren werden aus den zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystemen bestimmt.

Man erhält z.B. nach dem Austauschverfahren

beliebig,
Man wählt

Eigenvektor

wobei

und erhält den

eine beliebige Konstante ist.

Das zugehörige homogene System ergibt

beliebig,


Man wählt

wobei

und erhält den Eigenvektor

eine beliebige Konstante ist.

Das zugehörige homogene System ergibt

beliebig,

Man wählt

wobei

Beispiel B

eine beliebige Konstante ist.

und erhält den Eigenvektor


Die Eigenwerte sind

Man erhält

beliebig,

und wählt z.B.

wobei

erste Eigenvektor

Man erhält
ergeben sich z.B. für

beliebig,

eine beliebige Konstante ist.

Zwei linear unabhängige Eigenvektoren

und

wobei

sind.

Damit lautet der

beliebige Konstanten


DIOPHANTische Gleichungen und Lösbarkeit
1. Allgemeiner Fall: Eine Gleichung
Unbekannten genannt, wenn

wird DIOPHANTische Gleichung in
ein Polynom in

mit Koeffizienten aus

der Menge
der ganzen Zahlen und eine ganzzahlige Konstante ist und man sich ausschließlich für
ganzzahlige Lösungen interessiert. Die Bezeichnung ,, DIOPHANTisch`` erinnert an den griechischen
Mathematiker DIOPHANT, der um 250 lebte.
DIOPHANTische Gleichungen treten in der Praxis z.B. dann auf, wenn Beziehungen zwischen Stückzahlen
beschrieben werden.
Allgemein gelöst sind bisher nur die DIOPHANTischen Gleichungen bis zum zweiten Grad mit zwei Variablen.
Für die DIOPHANTischen Gleichungen höheren Grades sind nur in Spezialfällen Lösungen bekannt.
2. Lineare DIOPHANTische Gleichungen in
Unbekannten ist eine Gleichung der Form

Unbekannten: Eine lineare DIOPHANTische Gleichung in
(5.160)

für die nur die ganzzahligen Lösungen gesucht werden. Im weiteren wird ein Lösungsverfahren angegeben.
3. Lösbarkeitsbedingung: Unter der Bedingung, daß nicht alle

gleich 0 sind, ist die DIOPHANTische


Gleichung (5.160) genau dann lösbar, wenn der ggT

ein Teiler von

ist.

Beispiel
ist lösbar, denn ggT

Wenn eine lineare DIOPHANTische Gleichung in

Unbekannten (

) eine Lösung hat und

der

Variablengrundbereich ist, so hat die Gleichung unendlich viele Lösungen. In der Lösungsmenge treten dann
freie Parameter auf. Für Teilmengen von

gilt dies aber nicht.


Gleichung der Hyperbel
Die Hyperbelgleichung lautet in der Normalform , d.h. für zusammenfallende
Parameterform

- und reelle Achse sowie in der

(3.328a)
(3.328b)
Die Gleichung der Hyperbel in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.


Irrationale Gleichungen
Wenn in einer gegebenen Gleichung die Unbekannte auch in einem Radikanden auftritt, dann kann die zugehörige
Normalform Wurzeln enthalten, die der Ausgangsgleichung nicht genügen. Daher ist nach der Lösung der Gleichung
in Normalform eine Probe durch Einsetzen der gefundenen Wurzel in die Ausgangsgleichung erforderlich.
Beispiel
oder
oder
Die Lösungen von (2) sind
nicht.

Die Lösung

erfüllt (1), die Lösung

aber


KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
●
●

Auftreten
Gleichung und Lösungen


Allgemeine Gleichung der Kurven zweiter Ordnung
Mit der allgemeinen Gleichung der Kurven 2. Ordnung
(3.351a)
werden die Ellipse, ihr Spezialfall, der Kreis, die Hyperbel, die Parabel oder ein Geradenpaar als zerfallende Kurve
2. Ordnung definiert. Die Rückführung auf die Normalform kann mit Hilfe der in den Tabellen
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, Mittelpunktsgleichungen
und
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, parabolische Gleichungen
angegebenen Koordinatentransformationen erreicht werden. Die Koeffizienten in der obigen Gleichung (3.351a) sind
nicht identisch mit den Parametern der speziellen Kegelschnitte in den Gleichungen für die Ellipse, Hyperbel und
Parabel.


Gleichung einer Kurve
Jeder Gleichung

für die Koordinaten

und

entspricht eine Kurve, die die Eigenschaft hat, daß

die Koordinaten jedes beliebigen Kurvenpunktes
der Gleichung genügen und daß umgekehrt jeder Punkt, dessen
Koordinaten diese Gleichung erfüllen, auf der Kurve liegt. Die Menge dieser Punkte wird auch geometrischer Ort
genannt. Wenn die Gleichung

von keinem reellen Punkt der Ebene erfüllt wird, dann gibt es keine

reelle Kurve; man spricht von einer imaginären Kurve .
Man spricht von einer algebraischen Kurve

wenn

ein Polynom ist, und nennt seinen

Grad die Ordnung der Kurve. Wenn die Gleichung der Kurve nicht auf die Form

mit

als

Polynom gebracht werden kann, dann spricht man von einer transzendenten Kurve .
Die Gleichungen von Kurven in anderen Koordinatensystemen können in analoger Weise betrachtet werden. Im
weiteren werden aber, falls nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, nur die kartesischen Koordinaten verwendet.
Beispiel A


: algebraische Kurve,
Beispiel B
: transzendente Kurve.


Koordinatengleichungen
Eine ebene Kurve kann analytisch auf eine der folgenden Arten definiert werden.
1. In kartesischen Koordinaten:
(3.424)
(3.425)
(3.426)
2. In Polarkoordinaten:
(3.427)


Logarithmische Gleichungen
Logarithmische Gleichungen können in den folgenden zwei Fällen auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn die
Unbekannte

oder ein Polynom

nur unter dem Logarithmuszeichen vorkommt:

1.
Ist in der Gleichung nur der Logarithmus ein und desselben Ausdrucks enthalten, dann kann dieser als neue Unbekannte
eingeführt und die Gleichung nach ihr aufgelöst werden. Die ursprüngliche Unbekannte wird über den Logarithmus berechnet.
Beispiel
Die Substitution
Auflösung nach

ergibt für

liefert die Gleichung

die Gleichung

2.
Liegt die Gleichung in der Form einer Linearkombination von Logarithmen mit ganzzahligen Koeffizienten
gleichen Basis

von Ausdrücken vor, die ihrerseits Polynome von

sind, also in der Form

dann können beide Seiten der Gleichung, jede für sich, auf den
Logarithmus ein und desselben Ausdrucks zurückgeführt werden.

zur


Beispiel

Für

ergibt sich beim Einsetzen in die Ausgangsgleichung der Logarithmus einer negativen Zahl, d.h. eine

imaginäre Größe, die unberücksichtigt bleibt.


Diskrete dynamische Systeme
Gegeben sei die Differenzengleichung
(17.3)
die auch als Zuordnung

geschrieben werden kann. Dabei ist

mal stetig differenzierbare Abbildung, wobei im letzten Fall

sei. Ist

eine stetige oder
invertierbar, so definiert (17.3)

durch die Festlegung
(17.4)

ein invertierbares diskretes dynamisches System. Ist

nicht invertierbar, so sind die Abbildungen

erklärt.
In den folgenden Beispielen werden die logistische Gleichung und die HÉNON-Abbildung betrachtet.

nur für

-


Beispiel A
Die Differenzengleichung
(17.5)
mit einem Parameter

heißt logistische Gleichung . Hierbei ist
ist bei fixiertem

die Funktion

, und
. Offenbar ist

unendlich

oft differenzierbar, aber nicht umkehrbar. Also definiert (17.4) kein invertierbares dynamisches System.
Beispiel B
Die Differenzengleichung
(17.6)
mit den Parametern

und

heißt HÉNON- Abbildung (s. auch die Bilder dazu).

Die dieser Gleichung (17.6) entsprechende Abbildung

ist durch

definiert, unendlich oft differenzierbar und umkehrbar.


Gleichungen mit Hyperbelfunktionen
Gleichungen mit Hyperbelfunktionen können auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn die
Unbekannte

nur im Argument der Hyperbelfunktionen steht. Dazu werden die Hyperbelfunktionen durch

Exponentialausdrücke ersetzt und

ergibt. Nach deren Lösung ist noch

Beispiel

und

substituiert, so daß sich eine algebraische Gleichung für

zu berechnen.


.


Gleichungen n-ten Grades
●
●

Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen
Gleichungen mit reellen Koeffizienten


Konvergenz einer Funktion im Mittel
Die FOURIER-Reihe konvergiert im Mittel gegen die gegebene Funktion, d.h., es gilt
(7.100a)

wenn die Funktion beschränkt und im Intervall

stückweise stetig ist. Eine Folge der Konvergenz im

Mittel ist die PARSEVALsche Gleichung:

(7.100b)


Gleichung einer Raumkurve
Eine Raumkurve kann durch drei Parametergleichungen
(3.370)
festgelegt werden. Jedem Wert des Parameters

dem nicht immer eine unmittelbare geometrische Bedeutung

zugemessen werden kann, entspricht ein bestimmter Punkt der Kurve.
Eine andere Methode der Festlegung einer Raumkurve geht von der Angabe zweier Gleichungen aus:
(3.371)
Jede von ihnen definiert eine Fläche. Eine Raumkurve ergibt sich für alle die Punkte, die beiden Gleichungen
genügen, d.h., die Raumkurve ist die Schnittkurve der beiden Flächen. Allgemein liefert jede Gleichung der Form
(3.372)
für beliebiges
eine Fläche, die durch die betrachtete Kurve hindurchgeht, so daß sie eine der beiden Gleichungen
(3.371) ersetzen kann.


Vektorgleichungen
Mit
als Radiusvektor eines beliebigen Kurvenpunktes können die vom beliebigen Parameter
Gleichungen (3.464) in der Vektorform

abhängigen
(3.466)

geschrieben werden und die von der Bogenlänge

abhängigen Gleichungen (3.465a) in der Vektorform
(3.467)


Sinus- GORDON-Gleichung
●
●

Auftreten
Gleichung und Lösungen


Trigonometrische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen können auf algebraische Gleichungen zurückgeführt werden, wenn die Unbekannte
oder der Ausdruck

mit ganzzahligem

nur im Argument der trigonometrischen Funktionen steht.

Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln wird die Gleichung so umgeformt, daß sie nur noch eine einzige
Funktion von

enthält, die gleich

gesetzt wird. Nach der Lösung der so erhaltenen Gleichung wird

Zu beachten ist hierbei die Mehrdeutigkeit der Lösungen.
Beispiel

bestimmt.


oder

Substitution von

liefert

und

Die Lösung

ergibt

ergibt wegen

und

keine reellen Lösungen der Ausgangsgleichung;

.


L'HUILIERsche

Gleichungen

Die Berechnung der Fläche eines sphärischen Dreiecks kann mit Hilfe des Exzesses
(3.171a) aus den bekannten Winkeln

erfolgen. Dieser kann gemäß

berechnet werden oder, wenn die drei Seiten

bekannt sind,

gemäß (3.178a) bis (3.178e) über die berechenbaren Winkel. Die L'HUILIERsche Gleichung ermöglicht jedoch die
unmittelbare Berechnung von

aus den Seiten:
(3.186)

Diese Gleichung entspricht der HERONischen Flächenformel der ebenen Trigonometrie.


Sätze
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;

- Flächeninhalt;

- Radius des Umkreises;

- halber Dreiecksumfang.

- Seiten;

- die ihnen gegenüberliegenden

- Radius des Inkreises;


Sinussatz:
(3.74)
Projektionssatz:
(3.75)
Kosinussatz oder Satz des PYTHAGORAS im schiefwinkligen Dreieck:
(3.76)
MOLLWEIDEsche Gleichungen:
(3.77a)


(3.77b)
Tangenssatz:

(3.78)

Halbwinkelsatz:
(3.79)


NEPERsche Gleichungen und Tangenssatz

(3.184a)

(3.184b)

(3.184c)


(3.184d)

Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.

Diese Gleichungen heißen auch NEPERsche Analogien. Aus ihnen werden die zum Tangenssatz der ebenen
Trigonometrie analogen Formeln hergeleitet:


(3.185a)

(3.185b)

(3.185c)


Lineare Gleichungssysteme
●
●
●

Lineare Systeme, Austauschverfahren
Lösung linearer Gleichungssysteme
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme


Numerische Lösung von Gleichungssystemen
Bei vielen praktischen Aufgaben werden für

unbekannte Größen

Bedingungen in

Gleichungsform gestellt:

(19.23)

Die Unbekannten
Regel ist

sind so zu bestimmen, daß sie eine Lösung des Gleichungssystems (19.23) darstellen. In der
, d.h., die Anzahl der Unbekannten stimmt mit der Anzahl der Gleichungen überein. Im Falle

bezeichnet man (19.23) als überbestimmtes System , im Falle

als unterbestimmtes System .

Überbestimmte Systeme haben in der Regel keine Lösung. Man formuliert deshalb die zu (19.23) gehörende
Quadratmittelaufgabe


(19.24)
als Ersatzaufgabe. Im unterbestimmten Fall können im allgemeinen
daß die Lösung von (19.23) von

Unbekannte frei gewählt werden, so

Parametern abhängt. Man spricht dann von einer

-

dimensionalen Lösungsmannigfaltigkeit .
Man unterscheidet lineare und nichtlineare Gleichungssysteme , je nachdem, ob in (19.23) die Unbekannten nur
linear oder auch nichtlinear auftreten.
●
●

Lineare Gleichungssysteme
Nichtlineare Gleichungssysteme


Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
Ein lineares Gleichungssystem heißt lösbar, wenn wenigstens ein Vektor

existiert, der (4.107) zu einer Identität

macht. Anderenfalls heißt das System unlösbar.
Das Lösungsverhalten hängt vom Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix
Komponenten des Vektors

als

-te Spalte zur Matrix

ab, die durch Hinzufügen der

entsteht.

Im Folgenden wird die Lösbarkeit inhomogener und homogener Systeme betrachtet.
1. Allgemeine Regel für das inhomogene System:Das inhomogene System

ist genau dann lösbar,

wenn
(4.108a)

ist. Für

gilt die folgende Fallunterscheidung:

(4.108b)


(4.108c)

d.h.,

Unbekannte können als Parameter frei gewählt werden.

Beispiel A

Die Matrix

hat den Rang 2, die erweiterte

Koeffizientenmatrix
d.h., das System ist unlösbar.

Beispiel B

den Rang 3,


Die Matrizen

und

Wegen

haben beide den Rang 3.
ist die Lösung eindeutig.

Sie lautet:

Beispiel C

Die Matrizen

und

haben beide den Rang 2.

Das System ist lösbar, aber wegen
Man kann
und erhält z.B.:

nicht eindeutig.

Unbekannte als freie Parameter wählen


Beispiel D

Die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der Unbekannten überein, aber das System ist wegen
unlösbar.

2. Triviale Lösung und Fundamentalsystem des homogenen Systems:
a) Das homogene Gleichungssystem

b) Besitzt es eine nichttriviale Lösung
mit

besitzt stets die sogenannte triviale Lösung

d.h.

, dann ist auch

beliebig und reell eine Lösung des homogenen Gleichungssystems. Besitzt es


nichttriviale, linear unabhängige Lösungen

...,

dann bilden diese ein sogenanntes

Fundamentalsystem, und die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems ist von der
Form
(4.109)
Gilt für den Rang der Koeffizientenmatrix

des homogenen Gleichungssystems

wobei

die Anzahl der

Unbekannten ist, dann besitzt das homogene Gleichungssystem ein Fundamentalsystem von Lösungen. Im Falle
hat das homogene System nur die Triviallösung.
Zur Bestimmung eines Fundamentalsystems im Falle

können

Unbekannte als freie Parameter

gewählt werden, und zwar derart, daß sich die übrigen Unbekannten durch diese ausdrücken lassen, d.h., die
entsprechende -reihige Unterdeterminante darf nicht Null sein. Man kann das durch Umordnen der Gleichungen
und Unbekannten erreichen. Erhält man z.B.

(4.110)

dann ergeben sich die Fundamentallösungen z.B. durch die folgende Wahl der freien Parameter:

(4.111)


Beispiel

. Der Rang der Matrix

ist gleich 2.

Das Gleichungssystem läßt sich nach

und

auflösen,

und man erhält:
.
Fundamentallösungen sind
und

.


GAUSSsches Eliminationsprinzip
Das GAUSSsche Eliminationsprinzip besteht darin, mit Hilfe einer Gleichung eine Unbekannte aus den restlichen
Gleichungen zu entfernen. Dadurch entsteht ein System von

Gleichungen und

Unbekannten.

Dieses Prinzip wird entsprechend oft angewendet, bis ein sogenanntes gestaffeltes Gleichungssystem entstanden
ist, aus dem dann die Lösung bzw. das Lösungsverhalten des Ausgangssystems einfach ermittelt bzw. abgelesen
werden kann.


Lösung linearer Gleichungssysteme
●
●
●
●

Definition und Lösbarkeit
Anwendung des Austauschverfahrens
Cramersche Regel
Gaußscher Algorithmus


Lineare Gleichungssysteme
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

(19.25)

Das System (19.25) lautet in Matrixschreibweise
(19.26)
Dabei bedeuten:


Die quadratische Matrix

sei regulär, so daß das System (19.25) eine

eindeutige Lösung besitzt. Bei der numerischen Lösung von (19.25) kann man im wesentlichen zwei
Verfahrensklassen unterscheiden:
1. Direkte Verfahren, die durch elementare Umformungen das Gleichungssystem auf eine Form bringen, aus
der die Lösungen unmittelbar abzulesen oder leicht zu bestimmen sind. Dazu gehören das
Austauschverfahren und die in den folgenden Abschnitten
Dreieckszerlegung einer Matrix, CHOLESKY-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
und Orthogonalisierungsverfahren beschriebenen Verfahren.
2. Iterationsverfahren, die von einer bekannten Startnäherung aus eine Folge von Näherungslösungen
erzeugen, welche gegen die Lösung von (19.25) konvergiert (s. Abschnitt
Iteration in Gesamt- und Einzelschritten).
●
●
●
●

Dreieckszerlegung einer Matrix
Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
Orthogonalisierungsverfahren
Iteration in Gesamt- und Einzelschritten


Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
●
●

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme
Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme


Nichtlineare Gleichungssysteme
Das System der

nichtlinearen Gleichungen
(19.55)

für die

Unbekannten

habe eine Lösung. Diese kann in der Regel nur numerisch mit Hilfe

von Iterationsverfahren bestimmt werden.
●
●
●

Gewöhnliches Iterationsverfahren
Newton-Verfahren
Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren


Unterabschnitte
●
●

Normalisierte halblogarithmische Form:
IEEE-Standard

Gleitpunktzahlen
Für die Darstellung von Gleitpunktzahlen sind prinzipiell zwei verschiedene Formen üblich, wobei die interne
Realisierung im Detail variieren kann.

Normalisierte halblogarithmische Form:
Bei der ersten Form werden die Vorzeichen für den Exponenten

und für die Mantisse

der Zahl
(19.260)

gesondert gespeichert. Dabei wird meist der Exponent

so gewählt, daß für die Mantisse die Bedingung


gilt. Man spricht dann von der normalisierten halblogarithmischen Form .

Mit den angegebenen Parametern ergibt sich folgender absoluter Wertebereich für die Gleitpunktzahlen:
(19.261)

IEEE-Standard
Die zweite (heute übliche) Form der Gleitpunktdarstellung entspricht dem 1985 verabschiedeten IEEE-Standard (
nstitute of

lectrical and

lectronics

ngineers). Dieser befaßt sich mit der Normung der Rechnerarithmetik

und enthält Festlegungen zu den Formaten, dem Rundungsverhalten, den arithmetischen Operatoren, der
Konvertierung von Zahlenwerten, zu Vergleichsoperatoren und zur Behandlung von Ausnahmefällen wie
Bereichsüberschreitungen. Dort wird für die Gleitpunktzahl folgende Form festgelegt:


Die Charakteristik
wird aus dem Exponenten
durch Addition einer geeigneten Konstanten
wird so gewählt, daß für die Charakteristik nur positive Werte auftreten. Die darstellbare Zahl lautet:

gebildet. Diese
(19.262)

Der Standard gibt zwei Basisformate (einfachgenaue und doppeltgenaue Gleitpunktzahlen) vor, läßt aber auch
erweiterte Formate zu. Die folgende Tabelle enthält die Parameter für die Basisformate des IEEE-Standards.
Tabelle Parameter für Basisformate
Parameter
Wortlänge in Bits

einfachgenau doppeltgenau
32

64

maximaler Exponent

+127

+1023

minimaler Exponent

-127

-1022


Konstante

+127

+1023

Anzahl Bits des Exponenten

8

11

Anzahl Bits der Mantisse

24

53


Gleitpunktzahlen
Der Befehl

wandelt rationale Zahlen oder zunächst symbolisch dargestellte Zahlen und

Ergebnisse von Berechnungen in Gleitpunktzahlen mit der voreingestellten Präzision um, d.h. in der Regel 20
Stellen.
Beispiel

Die Präzision wird in Maple durch die Umgebungsvariable Digits gesteuert. Ist die Voreinstellung für die konkrete
Aufgabe nicht geeignet, so läßt sich mit
(20.36)
eine Änderung herbeiführen. Diese gilt bis zur nächsten Neufestlegung.


Grundtypen von Zahlen in Mathematica
Mathematica kennt vier Arten von Zahlen, die in der folgenden Tabelle dargestellt sind.
Tabelle Zahlenarten in Mathematica
Zahlenart

Kopf

Charakteristik

Eingabe

Ganze Zahlen

exakte ganze Zahl beliebiger Länge

Rationale Zahlen

teilerfremder Bruch der Form

Reelle Zahlen

Gleitpunktzahl beliebiger spezifierter Präzision

Komplexe Zahlen

komplexe Zahl der Form zahl + zahl

Reelle Zahlen, d.h. Gleitpunktzahlen, dürfen beliebige Länge haben. Wird eine ganze Zahl
geschrieben, so faßt Mathematica sie als Gleitpunktzahl, also vom Typ

, auf.

in der Form


Mit

kann man den Typ einer Zahl

feststellen. So liefert
, während

ergibt. Die reellen und imaginären Komponenten einer komplexen Zahl können beliebigen Zahlentypen angehören.
wird Mathematica dem Typ Real zuordnen, während

Eine Zahl wie
Complex ist, da

vom Typ

als Gleitpunktzahl mit dem genäherten Wert 0 aufgefaßt wird.

Es gibt einige weitere Operationen, um Auskünfte über Zahlen zu erhalten. So liefert
(20.7a)
Anderenfalls ergibt sich Out[3] = False. Hier sind True und False die Symbole für die BOOLEschen Werte
,,Wahr`` und ,,Falsch``.
testet, ob

eine ganze Zahl ist, weshalb

(20.7b)
ergibt. Ähnliche Tests für Zahlen sind mit den Köpfen EvenQ, OddQ und PrimeQ durchführbar. Ihr Sinn ist
selbsterklärend. So ergibt
(20.7c)
während
(20.7d)


liefert.
Die zuletzt genannten Tests gehören zu einer ganzen Gruppe von Testoperatoren, die alle mit Q enden und jeweils
mit True oder False im Sinne eines logischen Tests antworten (u.a. Typprüfung).


Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
Die Kurve der Funktion
(2.62)
kann als Verallgemeinerung der GAUSSschen Glockenkurve

symmetrische Kurve zur vertikalen Geraden

Schnittpunkt

mit der

-Achse bei

dar, wobei die

liegt.

(2.59) aufgefaßt werden; sie stellt eine

-Achse nicht geschnitten wird und der


Der Verlauf der Funktion hängt von den Vorzeichen von
die Kurve zu

durch Spiegelung an der

a) Fall

Die Funktion nimmt von

und

ab. Hier wird nur der Fall

-Achse erhalten werden kann.

bis zum Minimum ab, um dann wieder bis

anzuwachsen. Dabei bleibt sie stets positiv. Das Minimum

liegt bei

betrachtet, da


Wendepunkte und Asymptoten gibt es nicht.

b) Fall

Die

Die Wendepunkte

-Achse ist Asymptote. Das Maximum

und

liegen bei

liegt bei

.

.


Goldener Schnitt:
Goldener Schnitt oder stetige Teilung einer Strecke
genannt, wenn sich die Teilstrecke

wird ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken

zur Gesamtstrecke

verhält wie die Teilstrecke

und
zur Teilstrecke
(3.295a)

In diesem Falle ist

das geometrische Mittel von

und

, und es gilt:
(3.295b)
(3.295c)

Die Teilstrecke
kann auch geometrisch mit Hilfe der in der folgenden Abbildung angegebenen Konstruktion
ermittelt werden.

:


Die Strecke
ist gleichzeitig die Seitenlänge eines regelmäßigen Zehnecks mit einem Umkreis vom Radius
Auf die Gleichung des Goldenen Schnittes führt auch die Aufgabe, von einem Rechteck mit dem Seitenverhältnis
(3.295a) ein Quadrat derart abzutrennen, daß auch für das verbleibende Rechteck (3.295c) gilt.


Definition des Gradienten
Gradient wird ein Vektor genannt, der jedem Punkt eines Skalarfeldes
Zeichen

zugeordnet werden kann (in

), und der die folgenden Eigenschaften hat:

1.
hat die Richtung der Normalen der jeweiligen Niveaufläche

= const.

2.
ist in Richtung wachsender Funktionswerte von

orientiert.

3.
, d.h., der Betrag von

stimmt mit der Richtungsableitung der Funktion

Normalenrichtung überein.
In den folgenden zwei Abschnitten werden zwei verschiedene Definitionen betrachtet.

in


Differentialausdrücke
1. Differential eines skalaren Feldes als totales Differential der Funktion
(13.42)
2. Ableitung einer Funktion

längs einer Raumkurve
(13.43)

3. Gradient des Zentralfeldes
(13.44a)

(13.44b)


Rechenregeln
Im folgenden wird angenommen, daß

und

konstant sind.
(13.38a)
(13.38b)
(13.38c)
(13.39a)
(13.39b)
(13.40)
(13.41)


Gradient eines Skalarfeldes
●
●
●
●
●
●
●

Definition des Gradienten
Gradient und Richtungsableitung
Gradient und Volumenableitung
Weitere Eigenschaften des Gradienten
Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten
Rechenregeln
Differentialausdrücke


Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten
●
●

Gradient in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Gradient in allgemeinen orthogonalen Koordinaten


Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Zur praktischen Lösung von Variationsproblemen werden im wesentlichen zwei Lösungswege verwendet.
1.
Lösung der EULERschen Differentialgleichung und Anpassung der gefundenen Lösung an die
Randbedingungen. Allerdings wird die exakte Lösung der EULERschen Differentialgleichung nur in den
einfachsten Fällen möglich sein, so daß man numerische Methoden zur Lösung von Randwertaufgaben bei
gewöhnlichen Differentialgleichungen bzw. partiellen Differentialgleichungen einsetzen muß (s. auch Kapitel
Computeralgebrasysteme).
2.
Direkte Methoden gehen unmittelbar von der Variationsaufgabe aus und verwenden nicht die EULERsche
Differentialgleichung. Das höchstwahrscheinlich älteste und bekannteste Verfahren dieser Art stellt das RITZVerfahren dar. Es gehört zu den sogenannten Ansatzverfahren, die zur genäherten Lösung von gewöhnlichen
Differentialgleichungen verwendet werden bzw. Ansatzverfahren zur Lösung von partiellen
Differentialgleichungen, und soll an dem folgenden einfachen Beispiel demonstriert werden.
Beispiel


Das isoperimetrische Problem

(10.52)
bei
(10.53)
ist numerisch zu lösen. Das zugehörige Variationsproblem ohne Integralnebenbedingung lautet gemäß
Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
(10.54)
Als Ansatz für die Näherungslösung wird
(10.55)
gewählt. Die beiden Ansatzfunktionen

und

sind linear unabhängig und erfüllen beide die

Randbedingungen. Mit (10.55) geht (10.54) in
(10.56)


über, und die notwendigen Bedingungen

ergeben das homogene lineare Gleichungssystem

(10.57)
Dieses System hat nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet. Daraus folgt:
(10.58)
Für

erhält man aus (10.57)

beliebig, so daß die zu

gehörende, normierte

Lösung lautet:
(10.59)
Zum Vergleich kann man die zur Variationsaufgabe (10.57) gehörende EULERsche Differentialgleichung aufstellen.
Man erhält die Randwertaufgabe
(10.60)
mit den Eigenwerten
, d.h.

und den Eigenlösungen

. Für den Fall

, ergibt sich die normierte Eigenlösung
(10.61)

deren Verlauf sich nur unwesentlich von dem der Näherungslösung (10.59) unterscheidet.
Hinweis: Beim heutigen Stand der Computer- und Software-Entwicklung sollte man zur numerischen Lösung von
Variationsproblemen vor allem die Methode der finiten Elemente (FEM) einsetzen.


Die Grundzüge der Methode der finiten Elemente werden bei der numerischen Behandlung von
Differentialgleichungen beschrieben. Dort wird der Zusammenhang zwischen Differential- und Variationsgleichungen,
der z.B. durch EULERsche Differentialgleichungen oder Bilinearformen gemäß (19.145a,b) vermittelt wird, ausgenutzt.
Auch die Gradientenverfahren, wie sie zur numerischen Behandlung von nichtlinearen Optimierungsaufgaben
verwendet werden, können zur numerischen Lösung von Variationsaufgaben eingesetzt werden.


Spezielle Klassen von Graphen
Endliche Graphen besitzen eine endliche Knotenmenge und eine endliche Kantenmenge. Anderenfalls werden die
Graphen unendlich genannt.
In regulären Graphen vom Grad r haben alle Knoten den Grad
Ein ungerichteter schlichter Graph mit der Knotenmenge
Knoten aus

heißt vollständiger Graph , wenn je zwei verschiedene

durch eine Kante verbunden sind. Ein vollständiger Graph mit

-elementiger Knotenmenge wird mit

bezeichnet.
Kann man die Knotenmenge eines ungerichteten schlichten Graphen
zerlegen, so daß jede Kante von
paarer Graph .

einen Knoten aus

in zwei disjunkte Klassen

mit einem Knoten aus

Ein paarer Graph wird vollständiger paarer Graph genannt, wenn jeder Knoten aus
durch eine Kante verbunden ist. Ist
Graph mit

Beispiel

bezeichnet.

eine

-elementige und

eine

und

verbindet, dann heißt
mit jedem Knoten aus

-elementige Menge, dann wird der

ein


Die linke Abbildung zeigt einen vollständigen Graphen mit 5 Knoten.

Beispiel
Die rechte Abbildung zeigt einen vollständigen paaren Graphen mit 2-elementiger Knotenmenge

und 3-

elementiger Knotenmenge
Weitere spezielle Klassen von Graphen sind ebene Graphen , Bäume und Transportnetze . Ihre Eigenschaften
werden jeweils in einem der folgenden Abschnitte angegeben.


Planare Graphen
In diesem Abschnitt kann man sich auf die Betrachtung ungerichteter Graphen beschränken, weil ein gerichteter
Graph genau dann planar ist, wenn der zugehörige ungerichtete Graph planar ist.
1. Ebener Graph und planarer Graph:
Ein ebener Graph ist ein derart in die Ebene gezeichneter Graph, daß die Schnittpunkte der Kanten stets in
Knoten des Graphen liegen.
Ein zu einem ebenen Graphen isomorpher Graph heißt planar . Die linke Abbildung zeigt einen ebenen
Graphen
Isomorphie zu

die rechte Abbildung einen zu
aber planar ist.

isomorphen Graphen

der nicht eben, wegen der


2. Nichtplanarer Graph:
Der vollständige Graph

und der vollständige paare Graph

sind nichtplanare Graphen.

3. Unterteilungen:
Man erhält eine Unterteilung eines Graphen

indem man auf Kanten von

Knoten vom Grad 2 einfügt.

Jeder Graph ist eine Unterteilung von sich selbst. In den folgenden beiden Abbildungen sind Unterteilungen
der Graphen

bzw.

dargestellt.


4. Satz von KURATOWSKI:
Ein Graph ist genau dann nichtplanar, wenn er eine Unterteilung des vollständigen paaren Graphen
oder eine Unterteilung des vollständigen Graphen

als Untergraph enthält.


Isomorphie von Graphen
Ein Graph
Abbildung

heißt isomorph zu einem Graphen
von

auf

und

die Endpunkte einer Kante bzw.
und
Die Abbildung

von

gibt, die verträglich mit der Inzidenzfunktion ist, d.h., sind

Startpunkt eines Bogens und

Endpunkte einer Kante bzw.
mit

auf

wenn es je eine bijektive

Startpunkt und

Zielpunkt dieses Bogens, dann sind
Zielpunkt eines Bogens.
ist ein Isomorphismus. Es ist sogar

jede bijektive Abbildung {1,2,3,4} auf {a,b,c,d} ein Isomorphismus, weil die Graphen vollständige Graphen mit gleicher
Knotenzahl sind.
Die folgenden Abbildungen zeigen zwei zueinander isomorphe Graphen.


Zusammenhängende Graphen, Komponenten
Man spricht von einem zusammenhängenden Graph

, wenn zu je zwei verschiedenen Knoten

mit
verbindet. Ist
nicht zusammenhängend, dann zerfällt
Weg existiert, der
zusammenhängende induzierte Untergraphen mit maximaler Knotenzahl.

in

ein

in Komponenten , d.h. in


Schlichte Graphen
Ist mehreren Kanten oder Bögen dasselbe ungeordnete oder geordnete Paar von Knoten zugeordnet, dann spricht
man von Mehrfachkanten . Eine Kante oder ein Bogen mit identischen Endpunkten heißt Schlinge . Graphen ohne
Schlingen und Mehrfachkanten bzw. Mehrfachbögen werden schlicht genannt.


Zusammenhängende und stark zusammenhängende Graphen
1. Zusammenhängender Graph:
heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten von
Ein gerichteter Graph
sind.
2. Stark zusammenhngender Graph:
Von einem stark zusammenhängenden Graphen
Bahn gibt, die

mit

verbindet.

spricht man, wenn es in

durch eine Kette verbunden

zu je zwei Knoten

eine


Transportnetz
Ein zusammenhängender gerichteter Graph heißt Transportnetz , wenn in ihm zwei Knoten als Quelle

bzw. Senke

ausgezeichnet sind und folgende Eigenschaften gelten:
a)
Es existiert ein Bogen

von

nach

einzige Bogen mit dem Zielknoten

wobei

der einzige Bogen mit dem Startknoten

und der

ist.

b)
Jedem von
Bogen

Eine Funktion
Gleichung

verschiedenen Bogen

ist eine reelle Zahl

seine Kapazität , zugeordnet. Der

hat die Kapazität

die jedem Bogen eine reelle Zahl zuordnet, heißt Strom auf

, wenn für jeden Knoten

die


(5.241a)

gilt. Die Summe

(5.241b)

heißt Stromstärke. Ein Strom

heißt mit den Kapazitäten verträglich , wenn für jeden Bogen

Beispiel
Transportnetz.

von

gilt:


Integralsätze von Green
Die GREENschen Integralsätze liefern Zusammenhänge zwischen jeweils einem Raum- und einem Flächenintegral. Sie ergeben sich aus
der Anwendung des GAUSSschen Satzes auf die Funktion
das von der Fläche

, wobei

und

skalare Feldfunktionen sind und

eingeschlossene Volumen.
(13.121)

(13.122)

Speziell für

gilt:

(13.123)

In kartesischen Koordinaten hat der 3. GREENsche Satz die folgende Form:


(13.124)

Beispiel A

mit

Berechnung des Linienintegrals:

und der Ebene

mit

Beispiel B

als Schnittkurve zwischen dem Zylinder

. Nach dem Satz von STOKES erhält man:

und der Kreisfläche

.


im Strömungsfeld

Gesucht ist der Fluß

durch die Oberfläche

der Kugel

. Der Satz von GAUSS liefert:

.

Beispiel C
Wärmeleitungsgleichung: Die zeitliche Änderung des Wärmeinhaltes

eines Raumteiles

, der keine Wärmequellen

enthalten soll, ergibt sich zu:
(

spezifische Wärmekapazität,

zeitliche Änderung des Wärmeflusses durch die Oberfläche

Dichte,

von

Temperatur), während die damit verbundene

durch

(

Wärmeleitzahl) angegeben wird. Anwendung des Satzes von GAUSS auf das Oberflächenintegral ergibt aus
die Wärmeleitungsgleichung

, die im Falle


eines homogenen Körpers (

Konstanten) die Gestalt

hat.


Charakteristische Punkte
Es sei eine einparametrige Kurvenschar durch die Gleichung
(3.461)
gegeben. Dann besitzen zwei unendlich benachbarte Kurven dieser Schar mit den Parameterwerten

und

Punkte K der größten Annäherung . Dabei handelt es sich entweder um Schnittpunkte der Kurven
und

oder um Punkte auf

infinitesimale Größe höherer Ordnung von

deren Abstand zu
ist.

gemessen auf der Normalen, eine


Für

strebt die Kurve

gegen die Kurve

einer Grenzlage, dem Grenzpunkt , nähern kann.

wobei sich in manchen Fällen der Punkt


Grenzwert von Funktionen
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Definition
Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge
Konvergenzkriterium von CAUCHY
Unendlicher Grenzwert einer Funktion
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich
Sätze über Grenzwerte von Funktionen
Berechnung von Grenzwerten
TAYLOR-Entwicklung


Grenzwerte
Eine Funktion von zwei Veränderlichen
wenn sich die Funktion
dem Wert

besitzt einen Grenzwert
bei beliebiger Annäherung von

für das Wertesystem
gegen

und von

gegen

beliebig nähert. Man schreibt dann
(2.273)

Dabei braucht die Funktion für das Wertesystem
anzunehmen noch definiert zu sein.
●
●
●

Exakte Formulierung
Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche
Iterierte Grenzwerte

d.h. im Punkt

selbst, den Wert

weder


Grenzwert der komplexen Funktion
Grenzwert einer Funktion

heißt eine komplexe Zahl

, wenn für

gegen

die Funktion

gegen

strebt:
(14.1a)
Dazu ist erforderlich, daß sich eine beliebig kleine positive Zahl
derart gibt, daß für jede beliebige komplexe Zahl

angeben läßt, für die es eine reelle positive Zahl

, ausgenommen höchstens die Zahl

selbst, die

Ungleichungen
(14.1b)
(14.1c)
erfüllt sind. Die geometrische Bedeutung geht aus der folgenden Abbildung hervor:


Einem beliebigen Punkt
Mittelpunkt
Punkt

, ausgenommen höchstens den Punkt

und dem Radius

liegt, entspricht in der

, der in einem Kreis mit dem Mittelpunkt

selbst, der innerhalb eines Kreises mit dem

-Ebene, in die die Funktion

und dem Radius

Radien nennt man auch die beliebig kleinen Umgebungen

und

abbildet, ein

liegt. Die Flächen mit den beliebig kleinen
.


Sphärische Kurven, Großkreis und Kleinkreis
Kurven auf der Kugeloberfläche heißen sphärische Kurven . Wichtige sphärische Kurven sind Großkreise oder
Orthodromen und Kleinkreise. Sie entstehen als Schnittkreis einer durch eine Kugel verlaufenden Ebene,
Schnittebene genannt:


Wird eine Kugel mit dem Radius
hat, dann gilt für den Radius

von einer Ebene (K) geschnitten, die vom Kugelmittelpunkt 0 den Abstand

des Schnittkreises
(3.160)

Für

verläuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, und

entstehende Schnittkreis g in der Ebene

nimmt den größten Wert an. Der so

heißt Großkreis . Jeder andere Schnittkreis, für den dann

gilt, wird Kleinkreis genannt, z.B. der Kreis (k). Für

berührt die Ebene (K) die Kugel in einem


Punkt. Sie wird zu einer sogenannten Tangentialebene .
Beispiel
Auf der Erdkugel stellen der Äquator und die Meridiane mit ihren Gegenmeridianen - das sind ihre
Spiegelungen an der Erdachse - Großkreise dar. Die Breitenkreise sind Kleinkreise (s. auch geographische
Koordinaten).


Begriffsbestimmung
Die Geodätischen der Kugeloberfläche - das sind Kurven, die zwei Punkte
und
auf dem kürzesten Weg
miteinander verbinden - heißen Orthodromen oder Großkreise (s. auch geodätische Linie).


Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
Der Grenzwert, der zum bestimmten Integral führt, wird wie folgt gebildet (s. Abbildung)

1. Schritt: Das Intervall

wird durch

beliebige Teilpunkte

in

,,Elementarintervalle`` zerlegt, die so gewählt sind, daß einer der folgenden Fälle gilt:
(8.35a)
oder


(8.35b)
2. Schritt: Im Innern oder auf dem Rande jedes der Elementarintervalle wird in Übereinstimmung mit der
Abbildung eine Zahl

ausgewählt:
(8.35c)

3. Schritt: Die Werte

der Funktion

zugehörigen Differenz

in diesen ausgewählten Punkten werden mit der
, d.h. mit den Längen der Teilintervalle multipliziert, die im

Falle A mit positivem Vorzeichen, im Falle B mit negativem Vorzeichen zu nehmen sind. Auf diese Weise
entsteht für den Fall A das Bild der Abbildung, die bereits bei der Einführung des Begriffs ,,bestimmtes
Integral`` betrachtet wurde:

4. Schritt: Alle so gewonnenen

Produkte

werden addiert.


5. Schritt: Von der auf diese Weise entstehenden Zerlegungs- oder Zwischensumme
(8.36)
wird der Grenzwert für den Fall berechnet, daß die Länge der Elementarintervalle
demzufolge ihre Anzahl gegen

. Auf Grund dieser Eigenschaft wird

gegen Null strebt und
auch als infinitesimale Größe

bezeichnet.
Wenn dieser Grenzwert existiert und unabhängig ist von der Wahl der Zahlen

und

, heißt er das bestimmte

RIEMANNsche Integral der betreffenden Funktion in dem gegebenen Intervall. Man schreibt dafür
(8.37)

Die beiden Intervallgrenzen werden zu Integrationsgrenzen ; sie legen das Integrationsintervall fest. Man nennt
obere ,

die untere Integrationsgrenze ;

heißt Integrationsvariable ,

Integrand .

die


Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals
1. Zerlegung der zu berechnenden Größe in eine sehr große Anzahl hinreichend kleiner, d.h. inifinitesimaler
Größen:
(8.57)
durch eine Größe

2. Ersetzen jeder dieser infinitesimalen Größen

, die in ihrer Form nur wenig von

abweicht und deren Berechnung nach einer bekannten Formel möglich ist. Dabei soll der Fehler
gegenüber
3. Darstellung der Größe
die Gestalt

und

eine infinitesimale Größe höherer Ordnung sein.

durch eine Variable

und eine Funktion

, die so gewählt werden, daß

annimmt.

4. Berechnung der gesuchten Größe als Grenzwert der Summe
(8.58)

wobei

für alle

gelten muß. Mit

und

sind die Randwerte von

bezeichnet.


Beispiel
Berechnung des Rauminhalts einer Pyramide der Grundfläche

a) Zerlegung des zu berechnenden Rauminhaltes

und der Höhe

(s. linke Abbildung):

durch ebene Schnitte in Volumina dünner

Pyramidenstümpfe (s. mittlere Abbildung):
b) Ersetzen eines jeden Pyramidenstumpfes durch ein Prisma

.
mit der gleichen Höhe und einer

Grundfläche, die gleich der oberen Grundfläche des Pyramidenstumpfes ist (s. mittlere Abbildung).
Die Volumenabweichung ist eine infinitesimale Größe von höherer Ordnung als
c) Darstellung der Volumenformel

in der Form

, wobei

.

der Abstand der


oberen Fläche von der Pyramidenspitze ist. Wegen

.
d) Berechnung des Grenzwertes der Summe

kann man schreiben:


Größter gemeinsamer Teiler als Linearkombination
Aus dem EUKLIDischen Algorithmus folgt:

(5.153a)

Dabei sind

und

ganze Zahlen. Also ist ggT

als Linearkombination von

und

mit

ganzzahligen Koeffizienten darstellbar:
(5.153b)
Man kann auch ggT

als Linearkombination von

darstellen, denn:
(5.153c)


Beispiel
ggT(150, 105, 56) = ggT(ggT(150, 105), 56) = ggT(15, 56) =1 mit 15 = (-2)
also ggT(150, 105, 56) =

und


Größter gemeinsamer Teiler
Für ganze Zahlen

die nicht alle gleich 0 sind, wird die größte Zahl in der Menge der

gemeinsamen Teiler von
mit ggT

der größte gemeinsame Teiler von

genannt und

bezeichnet.

Für die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers reicht es aus, die positiven gemeinsamen Teiler zu
betrachten. Sind die kanonischen Primfaktorenzerlegungen
(5.151a)
von

gegeben, dann gilt

(5.151b)


Beispiel
Für die Zahlen
ist
der ggT


Grundaufgaben für rechtwinklig sphärische Dreiecke
Für Berechnungen in rechtwinklig sphärischen Dreiecken geht man im allgemeinen von 3 gegebenen Größen aus,
dem Winkel

und zwei weiteren Stücken.

Es ergeben sich dann 6 Grundaufgaben, die in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind.
Tabelle Bestimmungsgrößen sphärischer rechtwinkliger Dreiecke
Grund- Gegebene
aufgabe Bestimmungsgrößen

Nummern der Formeln zur Bestimmung der übrigen Größen


1.

Hypotenuse und eine

(3.187a),

(3.187e),

(3.187c)

(3.187g),

(3.187c)

Kathete
2.

Zwei Katheten

(3.187h),

3.

Hypotenuse und ein

(3.187a),

(3.187f),

(3.187d)

(3.187e),

(3.187j),

(3.187i)

(3.187h),

(3.187a),

(3.187i)

(3.187i),

(3.187j),

Winkel
4.

Kathete und der anliegende Winkel

5.

Kathete und der gegenüberliegende Winkel

6.

Zwei Winkel

(3.187d)


Grundgesamtheit
Grundgesamtheit nennt man eine Menge von Elementen, die auf gewisse Merkmale hin untersucht werden sollen.
Man kann darunter eine Gesamtheit gleichartiger Elemente verstehen, z.B. alle Stücke einer bestimmten Produktion
oder alle Meßwerte einer Meßreihe, die bei ständiger Wiederholung desselben Versuchs auftreten können. Die
Anzahl

der Elemente einer Grundgesamtheit kann sehr groß, sogar unendlich sein.


Zweistufige Grundgesamtheit und Urnenmodell
Handelt es sich um eine zweistufige Grundgesamtheit mit zwei Klassen von Elementen, von denen die eine Klasse
Elemente mit der Eigenschaft

enthält, die andere

Elemente, die die Eigenschaft

besitzen, dann lassen sich bei der Frage nach den Wahrscheinlichkeiten

und

Fälle der zufälligen Entnahme von Elementen betrachten, der eine mit Zurücklegen der
andere ohne Zurücklegen der gezogenen

Elemente. Die gezogenen

, werden Stichprobe genannt, wobei
Eigenschaft
mit Hilfe des Urnenmodells illustrieren.

nicht
zwei

gezogenen Elemente, der

Elemente, darunter

mit der

der Umfang der Stichprobe ist. Man kann diesen Sachverhalt


Integrale elementarer Funktionen
1. Grundintegrale:Die Grundintegrale können unmittelbar aus den Ableitungen bekannter elementarer
Funktionen gewonnen werden, da das unbestimmte Integrieren einer Funktion
Stammfunktion

das Aufsuchen einer

bedeutet.

Die in der Tabelle Grundintegrale zusammengestellten Integrale ergeben sich aus der Umkehrung der
wichtigsten Differentiationsformeln der Tabelle Ableitungen elementarer Funktionen. Die Integrationskonstente
ist weggelassen worden.
2. Allgemeiner Fall: Bei der Lösung von Integralen wird versucht, ein gegebenes Integral durch algebraische
und trigonometrische Umformungen bzw. durch Anwendung von Integrationsregeln auf die Grundintegrale
zurückzuführen. Die im Abschnitt Integrationsregeln angegebenen Integrationsmethoden ermöglichen die
Integration von Funktionen, die eine elementare Stammfunktion besitzen. Die Integrationsergebnisse sind in
der Tabelle Unbestimmte Integrale zusammengestellt. Folgende Hinweise sind bei der Benutzung zu
beachten:
a)
Die Integrationskonstante wurde meist weggelassen. Ausgenommen sind einige Integrale, die in
verschiedenen Formen mit verschiedenen beliebigen Konstanten darstellbar sind.
b)


Tritt in der Stammfunktion ein Ausdruck auf, der

enthält, dann ist darunter stets

zu verstehen.
c)
Wenn die Stammfunktion durch eine Potenzreihe dargestellt ist, kann die Funktion nicht elementar
integriert werden.
Eine ausführlichere Zusammenstellung enthalten die Tabellenwerke dieser Taschenbuchserie Lit. 8.1 und 8.3.
●

Tabelle der Grundintegrale


Tabelle der Grundintegrale
Die in der Tabelle Grundintegrale zusammengestellten Integrale ergeben sich aus der Umkehrung der wichtigsten
Differentiationsformeln der Tabelle Ableitungen elementarer Funktionen. Die Integrationskonstente
worden.
Tabelle Grundintegrale (Integrale der elementaren Funktionen)
Potenzen

Exponentialfunktionen

Trigonometrische Funktionen

Hyperbelfunktionen

ist weggelassen


Gebrochenrationale Funktionen

Irrationale Funktionen


Unterabschnitte
●
●
●
●
●

Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren:
Anwendung auf kartesische Koordinaten:
Skalares Produkt in Koordinatendarstellung:
Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:
Spatprodukt in Koordinatendarstellung:

Formeln für Produkte in affinen Koordinaten
Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren:
Wenn die affinen Koordinaten zweier Vektoren

und

im System

bekannt sind, so daß
(3.269)

gegeben sind, dann müssen zur Berechnung des skalaren Produkts


(3.270)
oder des Vektorprodukts
(3.271a)
letzteres mit
(3.271b)
die paarweisen Produkte der Koordinatenvektoren bekannt sein. Für das skalare Produkt sind das die sechs
metrischen Koeffizienten (Zahlen)
(3.272a)
(3.272b)
und für das Vektorprodukt die drei Vektoren
(3.273a)
genauer die drei reziproken Vektoren bezüglich

wobei der Koeffizient
(3.273b)

der gleich dem gemischten Produkt der Koordinatenvektoren ist, lediglich einer kürzeren Schreibweise in weiteren
Formeln dient. Mit Hilfe der folgenden Multiplikationstabellen für die Grundvektoren wird das Arbeiten mit den
Koeffizienten übersichtlicher.


Skalare Multiplikation
von Grundvektoren

Vektorielle Multiplikation
von Grundvektoren

Anwendung auf kartesische Koordinaten:
Die kartesischen Koordinaten sind ein Spezialfall der affinen Koordinaten. Aus den folgenden zwei Tabellen ergeben
sich für
die Grundvektoren


(3.274a)
die metrischen Koeffizienten
(3.274b)
und die reziproken Grundvektoren
(3.274c)
Somit stimmen die reziproken Grundvektoren mit den Grundvektoren des Koordinatensystems überein, oder anders
ausgedrückt, in kartesischen Koordinaten sind die Grundvektorensysteme zu sich selbst reziprok.
Skalare Multiplikation
von reziproken Grundvektoren

Vektorielle Multiplikation
von reziproken Grundvektoren


Skalares Produkt in Koordinatendarstellung:

(3.275)
Für kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.266) über.
Nach dem zweiten Gleichheitszeichen wurde die in der Tensorrechnung übliche abkürzende Schreibweise für
Summen verwendet: Anstelle der gesamten Summe wird nur ein typisches Glied hingeschrieben, so daß über alle
doppelt auftretenden Indizes dieses Gliedes zu summieren ist, d.h. über alle einmal unten und einmal oben
auftretenden Indizes. Manchmal werden die Summationsindizes mit griechischen Buchstaben bezeichnet; hier
durchlaufen sie die Zahlen 1 bis 3. Es gilt also

(3.276)

Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:
In Übereinstimmung mit (3.271a) gilt


(3.277)

(3.278)
Für kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.267) über.

Spatprodukt in Koordinatendarstellung:
In Übereinstimmung mit (3.271a) ergibt sich

(3.279)

Für rechtwinklige kartesische Koordinaten geht diese Gleichung in (3.268) über.


Mehrere Drehachsen
Gibt es mehrere Drehachsen, so sind weitere Fallunterscheidungen zu treffen. Haben insbesondere mehrere
Drehachsen eine Ordnung

dann treten folgende Gruppen als zugehörige Symmetriegruppen auf:

a) Tetraedergruppe

: isomorph zu

b) Oktaedergruppe

: isomorph zu

c) Ikosaedergruppe

: ord

Diese Gruppen sind die Symmetriegruppen der regulären Polyeder.


Beispiel
Das Methan-Molekül hat als Symmetriegruppe die Tetraedergruppe


Die rot gezeichnete Linie ist die Verlängerung der Verbindung zwischen dem oberen H-Atom und dem CAtom auf das Basisdreieck.


Gruppen
●
●
●

Definition und grundlegende Eigenschaften
Untergruppen und direkte Produkte
Abbildungen zwischen Gruppen


Sprungfunktion
Unstetige reelle Funktionen kann man mit Hilfe komplexer Integrale, sogenannter Hakenintegrale nach der Form des
Integrationsweges darstellen. Die Sprungfunktion ist ein Beispiel.

(14.60)

Das Symbol

bezeichnet einen Integrationsweg längs der reellen Achse

Nullpunktes (s. Abbildung).

unter Umgehung des


Deutet man
über den Wert

als Zeit, dann stellt die Funktion
auf den Wert

eine Größe dar, die zur Zeit

von

springt.

Die Sprungfunktion oder auch HEAVISIDE-Funktion wird in der Elektrotechnik zur Darstellung plötzlich auftretender
Strom- oder Spannungsstöße verwendet (s. auch Sprungfunktion).


Halbgruppen
●
●

Definition
Beispiele für Halbgruppen


Ordnungsrelationen
Eine binäre Relation

in einer Menge

antisymmetrisch und transitiv ist. Ist

heißt Ordnung oder Ordnungsrelation , wenn
zusätzlich linear, so heißt

Ordnungsrelation oder Kette . Die Menge

heißt dann durch

vollständige Ordnung , vollständige
geordnet bzw. vollständig geordnet. In einer

vollständig geordneten Menge sind also je zwei Elemente vergleichbar. Statt
Bezeichnung

oder

wenn die Ordnungsrelation

reflexiv,

verwendet man auch die

aus dem Zusammenhang bekannt ist.

Anstelle von Ordnung ist auch die Bezeichnung Halbordnung oder partielle Ordnung üblich.
Beispiel A
Die Zahlenbereiche

sind durch die übliche Beziehung

Beispiel B
Die Teilmengenbeziehung ist eine Ordnung, die nicht vollständig ist.
Beispiel C

vollständig geordnet.


Die lexikographische Ordnung auf den Wörtern der deutschen Sprache ist eine Kette.


Halbseitensatz
Mit dem Halbseitensatz kann die Aufgabe, aus den drei Winkeln des sphärischen Dreiecks eine Seite oder alle drei
Seiten zu berechnen, gelöst werden:
(3.179a)

(3.179b)

(3.179c)


(3.179d)

Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.

Eine andere Formulierung lautet:
(3.180a)


(3.180b)

(3.180c)

mit

(3.180d)

(3.180e)

Für die Winkelsumme des sphärischen Dreiecks gilt gemäß

(3.169):

(3.181)
so daß stets

sein muß. Außerdem sind wegen der Festlegungen über EULERsche Dreiecke alle

vorkommenden Wurzeln reell.


Trigonometrische Funktionen des halben Winkels
In den folgenden Formeln (Halbwinkelsätze) ist vor dem Wurzelzeichen ein positives oder negatives Vorzeichen zu
setzen, je nachdem, in welchem Quadranten sich der Winkel befindet.
(2.103)

(2.104)

(2.105)

(2.106)


Halbwinkelsatz
Zur Berechnung eines Winkels eines sphärischen Dreiecks aus seinen drei Seiten kann der Seiten-Kosinussatz
verwendet werden. Der Halbwinkelsatz bietet in Analogie zum Halbwinkelsatz der ebenen Trigonometrie die
Möglichkeit, den Winkel aus der numerisch günstigeren Tangensfunktion zu berechnen.
(3.177a)

(3.177b)

(3.177c)

(3.177d)


Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.

Wenn aus drei Seiten eines sphärischen Dreiecks alle drei Winkel zu berechnen sind, kann die folgende Berechnung
günstiger sein:
(3.178a)

(3.178b)


(3.178c)

mit

(3.178d)

(3.178e)


Melnikov-Methode
Gegeben sei die ebene Differentialgleichung
(17.75)
wobei

ein kleiner Parameter ist. Für

und

sei (17.75) ein HAMILTON-System, d.h. für

, wobei

eine

Vektorfeld

sei zweimal stetig differenzierbar und

Arguments. Außerdem seien

und

bei

-Funktion sei. Das zeitabhängige

-periodisch bezüglich des ersten

beschränkt auf beschränkten Mengen. Bei

homokliner Orbit bezüglich des Sattelpunktes

. Der POINCARÉ-Schnitt

sehe aus wie in der folgenden Abbildung.

gelte

existiere in (17.75) ein

von (17.75) im Phasenraum


Die POINCARÉ-Abbildung

hat für kleine

invarianten Mannigfaltigkeiten

und

einen Sattel

mit den

. Ist der homokline Orbit des ungestörten Systems durch

gegeben, so läßt sich der Abstand der Mannigfaltigkeiten
der Geraden, die durch

nahe

verläuft und senkrecht auf

und

, gemessen entlang

steht, durch die Formel
(17.76a)

berechnen. Dabei ist

die MELNIKOV- Funktion , die durch


(17.76b)

definiert ist. Für
in

und

ist

eine einfache Nullstelle, d.h., gilt

Mannigfaltigkeiten

und

. Besitzt die MELNIKOV-Funktion
und

für genügend kleine

, dann schneiden sich die
transversal. Wenn

keine Nullstellen

, d.h., es gibt keine homoklinen Punkte.

besitzt, gilt

Bemerkung: Das ungestörte System (17.75) besitze einen heteroklinen Orbit, gegeben durch
einem Sattel
. Besitzt
für kleine

Beispiel

in einen Sattel

läuft. Seien

, berechnet wie oben, in
transversal.

und

die Sattel der POINCARE-Abbildung

eine einfache Nullstelle, so schneiden sich

, der aus
für kleine
und


, d.h. das System

Betrachtet wird die periodisch gestörte Pendelgleichung

in der

ein kleiner Parameter und

ein weiterer Parameter ist. Das ungestörte System

ist ein HAMILTON-System mit

heterokliner Orbits durch

. Das ungestörte System besitzt (u.a.) ein Paar

und

. Im zylindrischen Phasenraum

sind dies

homokline Orbits, gegeben durch

Die direkte Berechnung der MELNIKOV-Funktion liefert

Da

bei

für kleine

eine einfache Nullstelle besitzt, hat die POINCARÉ-Abbildung des gestörten Systems
transversale homokline Punkte.


HASSE-Diagramme
Endliche geordnete Mengen werden durch HASSE-Diagramme dargestellt: Auf einer endlichen Menge
Ordnungsrelation
zu

gegeben. Die Elemente von

oberhalb des Punktes zu
(man sagt,

und

sei eine

werden als Punkte in der Ebene dargestellt, wobei der Punkt

liegen soll, falls

sind benachbart ), so werden

gilt. Gibt es außerdem kein
und

mit

durch eine Strecke verbunden. Ein

HASSE-Diagramm ist also ein ,,abgerüstetes`` Pfeildiagramm, bei dem alle Schlingen, Pfeilspitzen und alle Pfeile, die
sich aus der Transitivität der Relation ergeben, weggelassen sind. In der linken Abbildung ist das Pfeildiagramm zur
Teilbarkeitsrelation

auf der Menge

angegeben. Die Teilbarkeitsrelation

Ordnungsrelation und wird durch das HASSE-Diagramm in der rechten Abbildung dargestellt.

ist eine


Häufigkeiten
Es sei

ein Ereignis der zu einem Versuch gehörenden Ereignismenge A. Tritt bei

Versuches das Ereignis
Ereignisses

-mal ein, so heißt

die Häufigkeit ,

-maliger Wiederholung des
die relative Häufigkeit des

. Die relative Häufigkeit genügt gewissen einfachen Gesetzmäßigkeiten, die man als Grundlage für

eine axiomatische Definition des Begriffes Wahrscheinlichkeit
benutzt. (Der Buchstabe

des Ereignisses

in der Ereignismenge A

steht für ,,probability``, das englische Wort für Wahrscheinlichkeit.)


Hauptachsentransformation, Ähnlichkeitstransformation
Zu jeder reellen symmetrischen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix U und eine Diagonalmatrix D mit
(4.127)
Dabei sind die Diagonalelemente von D die Eigenwerte von A, und die Spalten von U sind die dazugehörigen
normierten Eigenvektoren. Aus der Gleichung (4.127) folgt unmittelbar
(4.128)
Man bezeichnet diese Gleichung als Hauptachsentransformation . Auf diese Weise wird A in die Diagonalform
überführt.
Wird die quadratische Matrix A mit Hilfe der regulären quadratischen Matrix G nach der Vorschrift
(4.129)

transformiert, dann spricht man von einer Ähnlichkeitstransformation . Die Matrizen A und
gilt:
1. Die Matrizen A und
die Eigenwerte nicht.

heißen ähnlich, und es

haben dieselben Eigenwerte, d.h., bei einer Ähnlichkeitstransformation ändern sich

2. Ist A symmetrisch, dann ist auch

symmetrisch, falls G orthogonal ist:


(4.130)
Die Beziehung (4.130) heißt Ähnlichkeitstransformation . Bei ihr bleiben Eigenwerte und Symmetrie erhalten. In
diesem Zusammenhang besagt (4.128), daß eine symmetrische Matrix A orthogonal ähnlich auf die reelle
Diagonalform D transformiert werden kann.


Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen
Man spricht auch von der 1. Hauptaufgabe der Triangulierung . Dabei geht es um die Bestimmung eines Neupunktes
von zwei gegebenen Punkten

und

aus in einem Dreieck


Gegeben:

Gemessen:

möglichst auch

oder

gon

Gesucht:
Lösung:
(3.96a)
(3.96b)


(3.96c)

(3.96d)
(3.96e)
(3.96f)
(3.96g)
(3.96h)


SNELLIUSsche Aufgabe des Rückwärtseinschneidens
Nach SNELLIUS kann das Rückwärtseinschneiden eines Neupunktes
erfolgen. Man spricht auch von der 2. Hauptaufgabe der Triangulierung .

über drei gegebene Punkte


Gegeben:

Gemessen:

in

Gesucht:

Lösung:
(3.98a)

(3.98b)

(3.98c)

(3.98d)
(3.98e)
(3.98f)

(3.98g)

(3.98h)
(3.98i)


(3.98j)

(3.98k)
(3.98l)
(3.98m)


Unterringe, Ideale
1. Unterring: Es sei

ein Ring und

bezüglich

und

wieder ein Ring,

ein Unterring von

so heißt
Eine nichtleere Teilmenge
alle

Ist

eines Ringes

auch

2. Ideal: Ein Unterring

und

bildet genau dann einen Unterring von
in

heißt Ideal , wenn für alle

wenn für

liegen ( Unterringkriterium ).
und

sowohl

als auch

in

liegen. Diese speziellen Unterringe sind die Grundlage für die Bildung von Faktorringen.
Die trivialen Unterringe

und

sind auch stets Ideale von

3. Hauptideal: Sämtliche Ideale von
werden können. Sie werden in der Form

Körper haben nur triviale Ideale.

sind Hauptideale , d.h. Ideale, die von einem Ringelement ,,erzeugt``
geschrieben und mit

bezeichnet.


Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete
Wenn eine Funktion

in einem einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch ist, dann gelten die folgenden

zwei äquivalenten Aussagen:
a)
Das über eine geschlossene Kurve

erstreckte Integral ist gleich Null:
(14.40)

b)

Der Wert des Integrals

ist unabhängig von der die Punkte

und

verbindenden Kurve.

Dieser Sachverhalt wird Integralsatz von CAUCHY , auch Hauptsatz der Funktionentheorie genannt.


Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung
1. Warnung: Die Berechnung uneigentlicher Integrale vom Typ (8.87a) kann bei mechanischer Anwendung
der Formel
(8.88)

ohne Berücksichtigung der singulären Punkte im Innern des Intervalls

zu groben Fehlern führen.

Beispiel E
So erhält man durch formale Anwendung des Hauptsatzes auf Beispiel D
,
während dieses Integral in Wirklichkeit divergiert.
2. Allgemeine Regel: Der Hauptsatz der Integralrechnung darf auf den Fall (8.87a) nur angewendet werden,


wenn die Stammfunktion von

im singulären Punkt stetig ist.

Beispiel F
In Beispiel D ist die Funktion

für

unstetig, so daß diese Bedingung nicht

erfüllt ist. Hingegen ist in Beispiel C die Funktion

für

Hauptsatz auf Beispiel C angewendet werden kann:
.

stetig, so daß der


Hauptsatz der Integralrechnung
Hauptsatz der Integralrechnung wird die Beziehung
(8.38)

genannt, mit der die Berechnung eines bestimmten Integrals auf die Berechnung des zugehörigen unbestimmten
Integrals, d.h. auf die Ermittlung einer Stammfunktion zurückgeführt wird:

(8.39)


Zurückführung auf die Hauptwerte
Die Arkusfunktionen haben in den Definitions- und Wertebereichen für
ohne den Index

geschrieben wird, z.B.

Hauptwerte der Arkusfunktionen eingezeichnet.

ihren sogenannten Hauptwert , der
In der folgenden Abbildung sind die


Hinweis: Taschenrechner geben die Hauptwerte an. Die Zurückführung auf den Hauptwert erfolgt mit Hilfe der
folgenden Formeln:
(2.134a)

(2.134b)

(2.134c)


(2.134d)
Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C


Definitionen
a) Wenn das Integrationsgebiet die abgeschlossene Halbachse

ist, und wenn der Integrand dort

definiert ist, dann gilt definitionsgemäß
(8.77)
Im Falle der Existenz des Grenzwertes spricht man von einem konvergenten uneigentlichen Integral . Im Falle der
Nichtexistenz des Grenzwertes wird (8.77) als divergentes Integral bezeichnet.
b) Wenn das Definitionsgebiet einer Funktion die abgeschlossene Halbachse
Zahlengerade

oder die gesamte

ist, dann definiert man analog

(8.78a)


(8.78b)

und
unabhängig voneinander gegen unendlich.
c) Beim Grenzübergang (8.78b) streben die Zahlen
Wenn der Grenzwert (8.78b) dabei nicht existiert, dafür jedoch der Grenzwert

(8.78c)
dann heißt dieser Grenzwert (8.78c) Hauptwert des uneigentlichen Integrals .


Natürlicher Logarithmus
(14.74a)
Wegen

kann man schreiben
(14.74b)
(14.74c)

Da
an:

eine mehrdeutige periodische Funktion ist, gibt man gewöhnlich nur den Hauptwert des Logarithmus
(14.74d)

Die Funktion

ist für alle komplexen Zahlen definiert, ausgenommen die Null.


Sprungfunktion
Der Einheitssprung bei

wird durch die Sprungfunktion (s. Abbildung),

auch HEAVISIDEsche Einheitsfunktion genannt, vermittelt:


(15.25)
Beispiel A
(s. linke
Abbildung).
Beispiel B
(s. rechte Abbildung).


Partialbruchzerlegung
1. Prinzip: Häufig treten in den Anwendungen Bildfunktionen der Form
ein Polynom in

darstellt. Hat man die Originalfunktionen zu

erhält man die gesuchten Originalfunktionen zu
2. Einfache reelle Nullstellen von

auf, wobei
und

gefunden, dann

durch Anwendung des Faltungssatzes.

: Hat die Bildfunktion

nur einfache Pole

, dann gilt für sie die Partialbruchzerlegung

(15.40)

Daher lautet die zugehörige Originalfunktion


(15.41)

3. HEAVYSIDEscher Entwicklungssatz: Ist die Zählerfunktion
niedrigerem Grade als

ebenfalls ein Polynom von

, dann erhält man die Originalfunktion zu

, aber von

mit Hilfe der nach HEAVYSIDE

benannten Formel
(15.42)

4. Komplexe Nullstellen: Treten komplexe Wurzeln im Nenner auf, dann kann man den HEAVYSIDEschen
Entwicklungssatz in der gleichen Weise anwenden. Man kann auch jeweils konjugiert komplexe Glieder, die im
Falle komplexer Nullstellen stets vorhanden sein müssen, zu einem quadratischen Ausdruck
zusammenfassen, dessen Rücktransformation wie auch im Falle mehrfacher Nullstellen von
der Tabelle der Korrespondenzen durchgeführt werden kann.
Beispiel

mit Hilfe


, d.h.

,

.
Die Pole

sind sämtlich einfach. Nach dem HEAVISIDEschen Satz

erhält man

oder durch Partialbruchzerlegung und Korrespondenztafel
.

Die beiden Ausdrücke für

sind identisch.


Anwendung des Newton-Verfahrens
Die Funktion

wird im aktuellen Näherungspunkt

durch eine quadratische Funktion approximiert:
(18.77)

Dabei ist

die HESSE-Matrix, d.h. die Matrix der zweiten partiellen Ableitung von
positiv definit, dann hat

an der Stelle

mit

im Punkt

. Ist

ein globales Minimum, und man

erhält für das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift
(18.78a)
(18.78b)

Das NEWTON-Verfahren hat eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit, der aber folgende Nachteile gegenüberstehen:


a)
Die Matrix

muß positiv definit sein.

b)
Das Verfahren konvergiert nur für hinreichend gute Startwerte.
c)
Es gibt keine Schrittweitensteuerung.
d)
Das Verfahren ist im allgemeinen kein Abstiegsverfahren.
e)
Der Aufwand zur Berechnung von

ist mitunter recht groß.

Einige Nachteile können durch die folgende Version eines gedämpften NEWTON-Verfahrens behoben werden:
(18.79)
Der Dämpfungsfaktor

kann unter anderem durch Strahlminimierung ermittelt werden.


Hilbert-Raum
Ein vollständiger unitärer Raum heißt HILBERT-Raum .
Als normierte Räume und BANACH-Räume besitzen die HILBERT-Räume auch deren Eigenschaften. Hinzu kommen
noch die eines unitären Raumes.
Unter einem Teilraum eines HILBERT-Raumes versteht man einen abgeschlossenen linearen Teilraum.
Beispiel A
und

mit den Skalarprodukten

(12.109)

Beispiel B


Der Raum

mit dem Skalarprodukt

(12.110)

Beispiel C
Sei

eine auf

meßbare und positive Funktion. Der komplexe Raum

meßbaren Funktionen, die auf

mit dem Gewicht

aller

quadratisch summierbar sind, wird ein HILBERT-

Raum, wenn das Skalarprodukt

(12.111)
betrachtet wird.


Definitionen
1. Vektorfunktion einer skalaren Variablen
Funktionen von

wird ein Vektor

genannt, wenn seine Komponenten

sind:
(13.1)

Die Begriffe Grenzwert, Stetigkeit und Differenzierbarkeit lassen sich von den Komponenten des Vektors
den Vektor selbst übertragen.
2. Hodograph einer Vektorfunktion Faßt man die Vektorfunktion
eines Punktes
(s. Abbildung).

als Orts- oder Radiusvektor

auf, dann beschreibt dieser bei Änderung von

eine Raumkurve

auf


Man bezeichnet diese Raumkurve auch als Hodograph der Vektorfunktion

.


Kegel
Kegel werden von einer Kegelfläche mit geschlossener Leitkurve und einer ebenen Grundfläche (Flächeninhalt
), die von der Kegelfläche ausgeschnitten wird, begrenzt.

Für beliebige Kegel gilt


(3.134)


Kugelausschnitt

(3.145)

(3.146)


Polyeder
Polyeder wird ein Körper genannt, der von Ebenen begrenzt wird. In diesem Abschnitt werden die folgenden
Bezeichnungen benutzt:

●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

- Volumen,

- Gesamtoberfläche,

Prisma
Parallelepiped
Quader
Würfel
Pyramide
Pyramidenstumpf
Tetraeder
Obelisk
Keil
Reguläre Polyeder und EULERscher Polyedersatz

- Mantelfläche,

- Höhe,

- Grundfläche.


Zylinder
Zylinder wird ein Körper genannt, der von einer Zylinderfläche mit geschlossener Leitkurve umgrenzt wird sowie von
zwei parallelen Grundflächen, die die Zylinderfläche aus zwei parallelen Ebenen ausschneidet.

Für jeden beliebigen Zylinder mit dem Grundflächenumfang

, dem Umfang des zur Erzeugenden senkrechten


Querschnitts

dessen Flächeninhalt

und der Länge

der Erzeugenden gilt:
(3.123)
(3.124)


Funktion u=f(x,y) zweier unabhängiger Variabler
Für die Darstellung einer Funktion zweier Veränderlicher

sind zwei Varianten gebräuchlich:

a) Raumfläche: Eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen läßt sich in Analogie zum ebenen
Kurvenbild einer Funktion von einer unabhängigen Veränderlichen als Fläche im Raum darstellen.


Dazu wird der Funktionswert

senkrecht über dem Punkt

des Definitionsbereiches

abgetragen. Die Endpunkte dieser Strecken bilden eine Fläche im dreidimensionalen Raum.
Beispiel A
Darstellung durch eine Ebene.

Beispiel B


Darstellung durch ein elliptisches Paraboloid.

Beispiel C


Darstellung durch eine Halbkugel mit dem Radius

b) Höhen- oder Niveaulinien: Das Bild der Funktion

kann auch mit Hilfe von Schnittkurven

ermittelt werden, die durch Schnitte parallel zu den Koordinatenebenen entstehen. Die Schnittkurven
werden auch Höhen- oder Niveaulinien genannt.
Beispiel


In den folgenden zwei Abbildungen sind die Höhenlinien konzentrische Kreise (nicht eingezeichnet).

Hinweis: Funktionen mit Argumenten aus drei oder mehr Variablen können nicht mehr im dreidimensionalen Raum
dargestellt werden. Ausgehend von der Fläche im dreidimensionalen Raum wird in Analogie dazu der Begriff der
Hyperfläche im

-dimensionalen Raum gebraucht.


Geodätische Polarkoordinaten
Im linkshändigen System ebener Polarkoordinaten der Geodäsie wird ein Punkt

durch den Richtungswinkel

sowie durch die Länge der Strecke
zwischen dem Punkt und dem
zwischen der Abszisse und der Strecke
Koordinatenursprung, Pol genannt, festgelegt. Die positive Richtung der Winkelangabe ist in der Geodäsie der
Uhrzeigersinn (linke Abbildung).


Zur Bestimmung von Höhen werden der Zenitwinkel

oder der Höhenwinkel bzw. der Neigungswinkel

verwendet.
Die Darstellung im rechtwinkligen dreidimensionalen linkshändigen Koordinatensystem zeigt, daß der Zenitwinkel
zwischen der Zenitachse

und der Strecke

ihrer senkrechten Projektion auf die

gemessen wird, der Neigungswinkel zwischen der Strecke

-Ebene.

und


Hohlzylinder
Mit den Bezeichnungen

Radiendifferenz und

für den äußeren Radius,

für den inneren Radius,

für die

für den mittleren Radius gilt:
(3.133)


HÖLDERsche Ungleichung
1. HÖLDERsche Ungleichung für Reihen: Wenn

und wenn

und

und

zwei reelle Zahlen sind, für die

beliebige

Zahlen

gilt

sind, dann gilt:

(1.123a)

Diese Ungleichung gilt auch für abzählbar unendlich viele Zahlenpaare:

(1.123b)

wobei aus der Konvergenz beider Reihen auf der rechten Seite die Konvergenz der Reihe auf der linken Seite folgt.


2. HÖLDERsche Ungleichung für Integrale: Wenn
Maßraum

zwei meßbare Funktionen auf dem

sind, dann gilt:

(1.123c)


Definition der kubischen Interpolationssplines
Es seien

Interpolationspunkte

gegeben. Der kubische Interpolationsspline

ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:

1.

erfüllt die Interpolationsbedingung

2.

ist in jedem Teilintervall

3.

ist 2mal stetig differenzierbar im gesamten Approximationsintervall

4.

erfüllt spezielle Randbedingungen:

.
ein Polynom vom Grad

a)
(man spricht dann von natürlichen Splines ) oder
b)

.

.


sind gegebene Werte) oder
c)
, falls

, und

sowie

(man

spricht dann von periodischen Splines ).
Aus diesen Eigenschaften folgt, daß

unter allen 2mal stetig differenzierbaren Funktionen

Interpolationsbedingung

, die die

erfüllen, dadurch ausgezeichnet ist, daß

(19.230)

gilt ( Satz von HOLLADAY ). Man sagt auf Grund von (19.230),
Krümmung

einer ebenen Kurve in erster Näherung

Darüber hinaus läßt sich zeigen: Legt man durch die Punkte

hat minimale Gesamtkrümmung , da für die
gilt (s. Abschnitt Krümmung und Krümmungskreis).
ein dünnes,

elastisches Lineal (engl. Spline), so wird seine Biegelinie durch den kubischen Interpolationsspline
beschrieben.


Homomorphiesatz für Ringe
Ersetzt man im Homomorphiesatz für Gruppen den Begriff Normalteiler durch Ideal, so erhält man den
Homomorphiesatz für Ringe : Ein Ringhomomorphismus
Der Faktorring

genannt.

, nämlich

ist isomorph zum homomorphen Bild

Umgekehrt bestimmt jedes Ideal
mit

bestimmt ein Ideal von

von

Diese Abbildung

eine homomorphe Abbildung
wird natürlicher Homomorphismus


Homomorphiesatz
Es seien

und
in

-Algebren und

Die Faktoralgebra

Umgekehrt bestimmt jede Kongruenzrelation

ein Homomorphismus.

bestimmt eine Kongruenzrelation

ist isomorph zum homomorphen Bild
eine homomorphe Abbildung

Die folgende Abbildung soll den Homomorphiesatz veranschaulichen.

mit


Homomorphismen
Wie bei den klassischen algebraischen Strukturen besteht auch hier über den Homomorphiesatz ein Zusammenhang
zwischen den Homomorphismen und den Kongruenzrelationen.
Es seien

und

und alle

-Algebren. Eine Abbildung

heißt Homomorphismus , wenn für jedes

gilt:
(5.194)

Ist

darüber hinaus bijektiv, so heißt

isomorph. Das homomorphe Bild
Homomorphismus
von

Isomorphismus ; die Algebren
einer

-Algebra

entspricht der Zerlegung von

und

erweist sich als

heißen dann zueinander
-Unteralgebra von

Bei einem

in bildgleiche Elemente eine Kongruenzrelation, die der Kern

genannt wird:
(5.195)


Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz
●
●

Ringhomomorphismus und Ringisomorphismus
Homomorphiesatz für Ringe


Vektorverband
Im Vektorraum

der reellen Zahlen sind die Begriffe

-Beschränktheit und Beschränktheit (im herkömmlichen

ihr Supremum - die
Sinne) identisch. Es ist bekannt, daß jede von oben beschränkte Menge reeller Zahlen in
kleinste aller oberen Schranken - besitzt. In einem allgemeinen Vektorraum kann die Existenz von Supremum und
Infimum i.allg. nicht einmal für endliche Teilmengen nachgewiesen, sondern muß per Axiom gefordert werden. Ein
heißt Vektorverband oder linearer Verband (in der englischsprachigen Literatur auch
geordneter Vektorraum
RIESZscher Raum bzw. und in der russischsprachigen Literatur auch K-Lineal ), wenn für zwei beliebige Elemente
ein Element

mit den folgenden Eigenschaften existiert:

1.

2.
ist

mit

und

dann gilt

.


Ein solches Element

ist eindeutig bestimmt, wird mit

(genauer: Supremum der aus den Elementen
existiert zu je zwei Elementen

und

und

bezeichnet und das Supremum von

und

bestehenden Menge) genannt. In einem Vektorverband

auch stets das Infimum, das mit

bezeichnet wird. Zu Anwendungen

positiver Operatoren in Vektorverbänden s.u.a. Lit. 12.3.
Beispiel A
Im Vektorverband

wird das Supremum von zwei Funktionen

punktweise nach der Formel

(12.33)
berechnet. Im Falle von

und

(s. Abbildung) ergibt sich für

(12.34)


Beispiel B


Die Räume

und

sind ebenfalls Vektorverbände, während der geordnete Raum

kein Vektorverband ist, da das Minimum oder Maximum zweier Funktionen im allgemeinen
eine Funktion sein kann, die nicht in jedem Punkt aus

Ein linearer Operator

des Vektorverbandes

differenzierbar zu sein braucht.

in einen Vektorverband

heißt

Vektorverbandshomomorphismus oder Homomorphismus der Vektorverbände, wenn für alle
gilt:
(12.35)


Definition
Gegeben sei neben (17.1) mit dem zugehörigen Fluß

eine weitere autonome Differentialgleichung
(17.22)

wobei

eine auf der offenen Menge

gegebene

-Abbildung ist. Der Fluß

von (17.22) möge ebenfalls existieren.
Die Differentialgleichungen (17.1) und (17.22) (bzw. deren Flüsse) heißen topologisch äquivalent , wenn es einen
(d.h.,
ist bijektiv,
und
sind stetig) gibt, der die Orbits von (17.1) in
Homöomorphismus
Orbits von (17.22) unter Beibehaltung der Orientierung, aber nicht unbedingt der Parametrisierung überführt. Die
Systeme (17.1) und (17.22) sind also topologisch äquivalent, wenn es neben dem Homöomorphismus
eine stetige Abbildung
wachsend ist,

auf

abbildet, für die

gibt, die bei jedem fixierten
für alle

streng monoton

ist und die der Beziehung


für alle

und

genügt.

Bei topologischer Äquivalenz gehen Ruhelagen von (17.1) in Ruhelagen von (17.22) und periodische Orbits von
(17.1) in periodische Orbits von (17.22) über, wobei die Perioden nicht unbedingt übereinstimmen. Sind also zwei
Systeme (17.1) und (17.22) topologisch äquivalent, so stimmt die topologische Struktur der Zerlegung des
Phasenraumes in Orbits überein. Sind zwei Systeme (17.1) und (17.22) topologisch äquivalent über den
Homöomorphismus

und erhält

sogar die Parametrisierung, d.h. gilt

so heißen (17.1) und (17.22) topologisch konjugiert .

Topologische Äquivalenz bzw. Konjugiertheit kann sich auch auf Teilmengen der Phasenräume
beziehen. Ist z.B. (17.1) auf
äquivalent zu (17.22) auf
von (17.1) mit

Beispiel A

und (17.22) auf
, wenn ein Homöomorphismus

in Schnitte der Orbits von (17.22) mit

definiert, so heißt (17.1) auf

und
topologisch

existiert, der die Schnitte der Orbits
unter Beibehaltung der Orientierung überführt.


Homöomorphismen für (17.1) und (17.22) sind Abbildungen, bei denen z.B. Strecken und Stauchen der
Orbits erlaubt ist, Aufschneiden und Schließen der Orbits dagegen nicht. Die zu den Phasenporträts der
folgenden linken und mittleren Abbildung gehörenden Flüsse sind topologisch äquivalent; die zur linken und
rechten Abbildung gehörenden Flüsse dagegen nicht.

Beispiel B
Gegeben seien die beiden linearen ebenen Differentialgleichungen (s. Lit. 17.19)

sind in der folgenden linken und rechten Abbildung zu

Die Phasenporträts dieser Systeme nahe
sehen.
Der Homöomorphismus

mit

, wobei

ist, und die


Funktion

mit

überführen die Orbits des ersten Systems in Orbits des

zweiten Systems, so daß eine topologische Äquivalenz vorliegt.


Komplexe Argumentwerte
Sind die Koeffizienten

in (19.11) reell, so kann die Berechnung von

ganz im Reellen ablaufen. Dazu wird

für komplexe Werte

wie folgt zerlegt:

(19.18a)
mit
(19.18b)
Es ist dann
(19.18c)
Zur Realisierung von (19.18a) kann man nach COLLATZ das folgende sogenannte zweizeilige HORNER-Schema
aufstellen:


(19.18d)

Beispiel
. Der Funktionswert für
ist zu berechnen.

Man liest ab:

.

, d.h.

und

,


Reelle Argumentwerte
Zur Berechnung des Funktionswertes

eines Polynoms

-ten Grades an der Stelle

aus seinen

Koeffizienten geht man von der Beziehung
(19.12)
aus, wobei

ein Polynom vom Grade

ist:
(19.13)

Durch Koeffizientenvergleich in (19.12) bezüglich

erhält man die Rekursionsformel
(19.14)

Auf diese Weise werden aus den Koeffizienten
gesuchte Funktionswert
wird das Polynom

von

die Koeffizienten

von

sowie der

bestimmt. Durch Wiederholung dieser Vorgehensweise, d.h., im nächsten Schritt
mit dem Polynom

gemäß
(19.15)


verknüpft usw., erhält man schließlich eine Folge von Polynomen

. Die

Berechnung der Koeffizienten und Funktionswerte dieser Polynome ist in (19.16) schematisch dargestellt:

(19.16)

Aus dem Schema (19.16) liest man

unmittelbar ab. Darüber hinaus gilt:
(19.17)

Beispiel


. Der Funktionswert und die Ableitungswerte von
Stelle

an der

sind gemäß (19.16) zu berechnen.

Hinweis: Das HORNER-Schema läßt sich auch für komplexe Koeffizienten
Koeffizienten eine reelle und eine imaginäre Spalte gemäß (19.16) berechnet.

durchführen, indem man für jeden


HOUSEHOLDER-Verfahren
Numerisch gutartige Verfahren zur Lösung linearer Quadratmittelprobleme stellen die Orthogonalisierungsverfahren
dar, die auf einer Faktorisierung
eine orthogonale Matrix vom Typ

beruhen. Zu empfehlen ist das HOUSEHOLDER-Verfahren , bei dem Q
und R eine Dreiecksmatrix vom Typ

ist.


Konvexe Mengen
Eine Teilmenge

eines reellen Vektorraumes

Vektoren der Form

heißt konvex , wenn für jedes Paar von Vektoren
ebenfalls zu

alle

gehören. Mit anderen Worten, die Menge

ist konvex, wenn sie mit je zwei Elementen die gesamte Verbindungsstrecke
(12.15)
auch Intervall genannt, zwischen

und

enthält. Beispiele konvexer Mengen in

bezeichneten Mengen in der folgenden Abbildung.

sind die mit

und


Siehe dazu auch Abschnitt Trennung konvexer Mengen.
Der Durchschnitt beliebig vieler konvexer Mengen ist wieder eine konvexe Menge, wobei vereinbarungsgemäß die
leere Menge als konvex angesehen wird. Demzufolge existiert zu jeder Teilmenge
Menge, die

enthält, nämlich der Durchschnitt aller konvexen und

konvexe Hülle der Menge

und wird mit

konvexen Linearkombinationen von Elementen aus
Form
Gleichung

, wobei

eine kleinste konvexe

enthaltenden Teilmengen von

bezeichnet. Die konvexe Hülle
identisch, d.h.,
beliebige Elemente aus

. Sie heißt

ist mit der Menge aller

besteht aus allen Elementen der
sind und

genügen. Lineare und affine Teilräume sind stets konvex.

der


Lineare Hülle
Der Durchschnitt einer beliebigen Anzahl linearer Teilräume in
existiert für jede nichtleere Teilmenge

ist wiederum ein linearer Teilraum. Demzufolge

ein kleinster linearer Teilraum

enthält, nämlich der Durchschnitt aller linearen Teilräume, in denen
lineare Hülle der Menge

oder

enthalten ist. Die Menge

in

, der
heißt

. Sie ist mit der Menge aller (endlichen) Linearkombinationen
(12.9)

die aus Elementen

und Skalaren

gebildet werden, identisch.


Hyperbel
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Elemente der Hyperbel
Gleichung der Hyperbel
Brennpunktseigenschaften der Hyperbel, Definition der Hyperbel
Leitlinien der Hyperbel
Tangenten an die Hyperbel
Asymptoten der Hyperbel
Konjugierte Hyperbeln
Durchmesser der Hyperbel
Krümmungskreisradius der Hyperbel
Flächeninhalte in der Hyperbel
Hyperbelbogen
Gleichseitige Hyperbeln


Gleichseitige Hyperbeln
Gleichseitige Hyperbeln zeichnen sich durch gleich große Achsen

aus, so daß ihre Gleichung lautet
(3.340a)

Die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel stehen senkrecht aufeinander. Wenn die Asymptoten mit den
Koordinatenachsen zusammenfallen, dann lautet die Gleichung
(3.340b)


Umgekehrte Proportionalität
Die Funktion
(2.46)
liefert eine gleichseitige Hyperbel , deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind.


Die Unstetigkeitsstelle mit
und von
bis

und von

liegt bei

Wenn

ist, dann nimmt die Funktion von 0 bis

bis 0 ab (blaue Kurve im 1. und 3. Quadranten). Ist

dann wächst die Funktion von 0

bis 0 (rote Kurve im 2. und 4. Quadranten). Die Scheitelpunkte
und

Vorzeichen für
Extrema gibt es keine. (Ausführlicher s. Hyperbel).

mit gleichen Vorzeichen für

und

liegen bei

und unterschiedlichen


Konjugierte Hyperbeln
Konjugierte Hyperbeln haben die Gleichungen
(3.336)
wobei die zweite Hyperbel in der Abbildung rot dargestellt ist. Sie besitzen gemeinsame Asymptoten derart, daß die
reelle Achse der einen die imaginäre Achse der anderen ist und umgekehrt.


Krümmungskreisradius der Hyperbel
Im Punkt

hat die Hyperbel den Krümmungkreissradius

(3.338a)
wobei
und

der Winkel zwischen der Tangente und dem Radiusvektor des Berührungspunktes ist. In den Scheiteln
gilt
(3.338b)


Leitlinien der Hyperbel
Leitlinien der Hyperbel sind senkrecht auf der reellen Achse im Abstand
Geraden.

vom Mittelpunkt stehende


Jeder beliebige Hyperbelpunkt

unterliegt der Leitlinieneigenschaft der Hyperbel
(3.330)

(s. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)


Tangenten an die Hyperbel
Tangenten an die Hyperbel im Punkt

beschreibt die Gleichung
(3.331)


Normale und Tangente an die Hyperbel sind jeweils Winkelhalbierende des inneren bzw. äußeren Winkels zwischen
den von den Brennpunkten zum Berührungspunkt

weisenden Radiusvektoren. Die Gerade

ist eine Tangente, wenn die Gleichung
(3.332)
erfüllt ist.


Definition der Hyperbelfunktionen
Hyperbelsinus , Hyperbelkosinus und Hyperbeltangens sind durch die folgenden Formeln definiert:
(2.156)
(2.157)
(2.158)
Die geometrische Definition ist eine Analogie zu den trigonometrischen Funktionen.
Hyperbelkotangens , Hyperbelsekans und Hyperbelkosekans sind als reziproke Werte der voranstehenden drei
Hyperbelfunktionen definiert:
(2.159)
(2.160)


(2.161)
In der folgenden Abbildung ist der Verlauf aller sechs Hyperbelfunktionen dargestellt.


Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen
(2.185)

(2.186)

(2.187)

(2.188)


Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen sind durch Formeln miteinander verknüpft, deren Analogon von den trigonometrischen
Funktionen bekannt ist. Daher lassen sie sich aus den entsprechenden trigonometrischen Formeln mit Hilfe der
Zusammenhänge (2.189) bis (2.196) herleiten.
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Hyperbelfunktionen einer Variablen
Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes
Formeln für negative Argumente
Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente (Additionstheoreme)
Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
Formel von MOIVRE für Hyperbelfunktionen
Hyperbelfunktionen des halben Arguments
Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen
Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen Funktionen mit Hilfe komplexer
Argumente


Hyperboloide
1. Einschaliges Hyperboloid: Mit

und

als reelle und

als imaginäre Halbachsen gilt:
(3.408)

(S. auch geradlinige Erzeugende.)
2. Zweischaliges Hyperboloid: Mit

als reelle und

als imaginäre Halbachsen gilt:
(3.409)


Die Schnittfiguren von Ebenen parallel zur -Achse sind für beide Hyperboloide Hyperbeln. Im Falle des
einschaligen Hyperboloids können es auch zwei einander schneidende Geraden sein. Ebenenschnitte parallel zur
-Ebene sind Ellipsen.
kann das Hyperboloid durch Rotation einer Hyperbel mit den Halbachsen
und um die Achse
Für
erzeugt werden. Diese ist im Falle des einschaligen Hyperboloids imaginär, im Falle des zweischaligen reell.


Hyperebenen
Eine von

verschiedene lineare Teilmenge

Hyperebene durch

, wenn ein

des (reellen) Vektorraumes

existiert, mit dem

heißt Hyperteilraum oder
gilt. Mengen der Gestalt

sind affin-lineare Mannigfaltigkeiten (s. Lineare und affin lineare Teilmengen). Ist dabei
nennt man sie Hyperebenen .

ein Hyperteilraum, so

Es besteht der folgende enge Zusammenhang zwischen Hyperebenen und linearen Funktionalen: Einerseits ist der
Kern
jede Zahl

eines linearen Funktionals
existiert ein

existiert zu einem Hyperteilraum
lineares Funktional

auf

eines normierten Raums

mit

mit

auf

und

, einem

, und für

. Andererseits

und
und

ein Hyperteilraum in

stets ein eindeutig bestimmtes
. Die Abgeschlossenheit von

ist äquivalent zur Stetigkeit des Funktionals

.

im Falle


Formeln für mehrfache Produkte
(3.264a)

(3.264b)


Komplexe Zahlen
Die allgemeine Form einer komplexen Zahl lautet
(1.133a)
Wenn

und

alle möglichen reellen Werte durchlaufen, dann werden alle möglichen komplexen Zahlen

erzeugt. Die Zahl

wird Realteil , die Zahl

Imaginärteil der Zahl

genannt:
(1.133b)

Für

wird

, so daß die reellen Zahlen zum Spezialfall der komplexen Zahlen werden. Für

wird

eine ,,rein imaginäre Zahl``.
Die komplexen Zahlen bilden die Menge der komplexen Zahlen, die mit
Hinweis: Funktionen
der Funktionentheorie.

einer komplexen Variablen

bezeichnet wird.
sind Gegenstand der Betrachtung in


Prädikate
Dabei werden die betrachteten Objekte zu einem Individuenbereich
zusammengefaßt. Eigenschaften der Individuen, z.B. ,,
z.B. ,,

ist kleiner als

ist eine Abbildung

z.B. Menge

der natürlichen Zahlen,

ist eine Primzahl``, und Beziehungen zwischen Individuen,

``, werden als Prädikate bzeichnet. Ein
die jedem

-stelliges Prädikat über dem Individuenbereich

-Tupel von Individuen einen Wahrheitswert zuordnet.

So sind die oben angeführten Prädikate über den natürlichen Zahlen ein- bzw. zweistellig.


Kommensurabilität
Zwei Zahlen

und

einer dritten Zahl

heißen kommensurabel , d.h. mit gleichem Maß meßbar, wenn sie ganzzahlige Vielfache
sind. Aus

folgt dann
(1.7)

Im entgegengesetzten Falle sind

und

inkommensurabel .

Beispiel A
Im regelmäßigen Fünfeck, dem Pentagramm, sind die Seite und die Diagonale wegen (1.6)
inkommensurable Strecken. Man geht heute davon aus, daß HIPPASOS von Metapontum (450 v. u. Z.) an
diesem Beispiel die irrationalen Zahlen entdeckt hat.
Beispiel B
Die Länge einer Diagonale und die Seitenlänge eines Quadrates sind inkommensurabel, weil sie die
irrationale Zahl

zum Quotienten haben.


Zweidimensionaler Fall
1. Definition: Wenn das Kurvenintegral
(8.124)
mit den stetigen Funktionen
Anfangspunkt

und

, die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert sind, nur vom

und vom Endpunkt

(s. Abbildung), d.h. für beliebige

und

abhängen soll, nicht aber vom Integrationsweg, der beide Punkte verbindet
und beliebige Integrationswege

bzw.

die Gleichung
(8.125)

gelten soll, dann ist notwendig und hinreichend, daß eine Funktion

von zwei Veränderlichen existiert,

deren vollständiges Differential der Integrand des Kurvenintegrals ist:
(8.126a)
d.h., es gilt


(8.126b)

Die Funktion

ist dann eine Stammfunktion des vollständigen Differentials (8.126a).

In der Physik wird die Stammfunktion

als Potential in einem Vektorfeld gedeutet.

2. Existenz der Stammfunktion:Notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Existenz der
Stammfunktion , die Integrabilitätsbedingung für den Ausdruck

, ist die Gleichheit der

partiellen Ableitungen
(8.127)
von denen gefordert werden muß, daß sie stetig sind.


Definition
Die Gammafunktion , das EULERsche Integral zweiter Gattung (8.91), ermöglicht eine Ausdehnung des Begriffs der
Fakultät auf beliebige Zahlen

, auch auf komplexe Zahlen. Sie kann auf zweierlei Weise definiert werden:
(8.101a)

(8.101b)


FOURIER-Integral
Wenn die Funktion

in einem beliebigen endlichen Intervall die DIRICHLETschen Bedingungen erfüllt und

außerdem das uneigentliche Integral

konvergiert, dann gilt für ihre Darstellung ( FOURIER-

Integral):
(7.107a)
In den Unstetigkeitsstellen setzt man
(7.107b)


Integrale gebrochenrationaler Funktionen

Integrale gebrochenrationaler Funktionen

, wobei

und

Polynome vom Grade

bzw.
sind, werden algebraisch auf eine leicht integrierbare Form gebracht. Dazu dient die folgende
Verfahrensweise:
1. Kürzung des Bruches bis

und

2. Abspaltung des ganzrationalen Teiles, wenn

keine gemeinsamen Teiler mehr enthalten.
ist, indem

durch

geteilt wird. Zu

integrieren verbleiben dann ein Polynom und ein echter Bruch.
3. Zerlegung des Nenners

in lineare und quadratische Faktoren:
(8.12a)

mit


(8.12b)

4. Vorziehen des konstanten Koeffizienten

vor das Integralzeichen.

5. Zerlegung in eine Summe von Partialbrüchen: Der so erhaltene echte Bruch, der nicht mehr gekürzt
werden kann und dessen Nenner in seine irreduziblen Faktoren zerlegt ist, wird in eine Summe von
Partialbrüchen zerlegt, die leicht integriert werden können.


Integration
●
●
●
●

Definition des Integrals
Einige Eigenschaften des Integrals
Konvergenzsätze
Satz von RADON-NIKODYM


Einige Eigenschaften des Integrals
Sei

ein Maßraum und seien

meßbare Funktionen und

.

1.
Ist

integrierbar, dann ist

fast überall endlich, d.h.

Ist

integrierbar, dann gilt

.

Ist

integrierbar und

.

2.

3.
, dann gilt

.

4.
Ist

auf
.

und

integrierbar, dann ist

integrierbar, und es gilt


5.
Sind

integrierbar, dann ist

integrierbar, und es gilt
.

6.
Sind

Ist

integrierbar auf

und
und

, dann gilt

das LEBESGUE-Maß, dann spricht man vom (
ist für jede stetige Funktion

als auch das LEBESGUE-Integral
eine auf

mit

auf

-f.ü. auf

.

-dimensionalen) LEBESGUE-Integral . Im Falle
sowohl das RIEMANN-Integral

definiert. Beide Werte sind endlich und stimmen überein. Mehr noch, ist

beschränkte RIEMANN-integrierbare Funktion, dann ist sie auch LEBESGUE-integrierbar

(integrierbar im LEBESGUEschen Sinne), wobei die Werte beider Integrale identisch sind (Natürlichkeit des LEBESGUEIntegrals). Die Menge der LEBESGUE-integrierbaren Funktionen ist aber wesentlich umfassender und besitzt eine
Reihe von Vorteilen, die sich insbesondere bei Grenzübergängen unter dem Integral zeigen.


Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
Der Begriff des bestimmten Integrals ist als RIEMANN-Integral unter der Voraussetzung einer beschränkten Funktion
und eines abgeschlossenen Integrationsintervalls

eingeführt worden. Diese beiden Voraussetzungen

waren Ansatzpunkte für Verallgemeinerungen des RIEMANNschen Integralbegriffs. Im Folgenden werden einige
genannt.
1. Uneigentliche Integrale stellen eine Erweiterung des Integralbegriffs auf unbeschränkte Funktionen und
auf unbeschränkte Integrationsintervalle dar. Sie werden in den anschließenden Abschnitten Integrale mit
unendlichen Integrationsgrenzen und
Integrale mit unbeschränktem Integranden behandelt.
2. STIELTJES-Integral für Funktionen einer Veränderlichen: Es wird von zwei endlichen Funktionen
und

ausgegangen, die auf dem endlichen Intervall

definiert sind. Wie beim RIEMANN-Integral

wird das Intervall in Elementarintervalle zerlegt, aber an Stelle der RIEMANNschen Zwischensumme (8.36) wird


(8.76)
gebildet. Wenn der Grenzwert von (8.76) für den Fall, daß die Länge der Elementarintervalle gegen Null strebt,
existiert und zwar unabhängig von der Wahl der Punkte

und

, dann wird dieser Grenzwert als bestimmtes

STIELTJES- Integral bezeichnet (s. Lit. 8.16, 8.18).
Beispiel
Für

geht das STIELTJES-Integral in das RIEMANN-Integral über.

3. LEBESGUE-Integral: Eine weitere Erweiterung des Integralbegriffs erfolgt im Zusammenhang mit der
Maßtheorie, in der das Maß einer Menge, Maßräume und meßbare Funktionen eingeführt werden. In der
Funktionalanalysis wird das LEBESGUE-Integral auf der Basis dieser Begriffe definiert (s. Lit. 8.12). Eine
Verallgemeinerung gegenüber dem RIEMANN-Integral besteht z.B. darin, daß der Integrationsbereich eine
Teilmenge des

sein kann und in meßbare Teilmengen zerlegt wird.

Die Bezeichnungen für die Verallgemeinerungen des Integralbegriffs sind nicht einheitlich
(s. Lit. 8.16).


Nichtelementarer Integrale
Integrale elementarer Funktionen sind nicht immer elementare Funktionen. Solche Integrale werden hauptsächlich
mit Hilfe der folgenden drei Methoden gelöst, wobei die Stammfunktion in einer bestimmten Näherung berechnet
wird:
1. Wertetabellen: Integrale von besonderem theoretischen oder praktischen Interesse, die sich nicht durch
elementare Funktionen ausdrücken lassen, können durch eine Wertetabelle dargestellt werden. Dabei wird die
Integrationskonstante durch Festlegung der unteren Integrationsgrenze bestimmt. Solchen speziellen
Funktionen werden meist besondere Namen und Zeichen zugeordnet. Beispiele sind:
a) Integrallogarithmus:
(8.9)

b) Elliptisches Integral erster Gattung:


(8.10)
2. Integration durch Reihenentwicklung: Der Integrand wird in eine Reihe entwickelt, die im Falle ihrer
gleichmäßigen Konvergenz gliedweise integriert werden kann.
3. Graphische Integration: Eine dritte Näherungsmethode ist die graphische Integration.


Oberflächenintegrale
●
●
●

Oberflächenintegrale erster Art
Oberflächenintegrale zweiter Art
Oberflächenintegral allgemeiner Art


Vektor eines ebenen Flächenstückes
Die vektorielle Darstellung des Oberflächenintegrals zweiter Gattung allgemeiner Art erfordert die Zuordnung eines
Vektors

zu einem Flächenstück

Flächeninhalt von

, der senkrecht auf dieser Fläche steht und dessen Betrag gleich dem

ist. Den Fall eines ebenen Flächenstückes zeigt die folgende Abbildung.


Die positive Richtung von

wird gemäß der Rechte-Hand-Regel (auch Rechtsschraube genannt) mit dem der

bei gegebenen Umlaufsinn festgelegt: Blickt man vom Vektorursprung in
geschlossenen Umrandungskurve
Richtung Vektorspitze, dann soll der Drehsinn der Umrandungskurve mit dem des Uhrzeigers übereinstimmen. Durch
diese Wahl des positiven Umlaufsinnes auf der Umrandungskurve wird gleichzeitig festgelegt, welche Fläche die
Außenseite ist, d.h. die Seite, von der aus der Vektor abgetragen wird. Diese Festlegungen können auf beliebig
gekrümmte Flächenstücke übertragen werden, die von einer geschlossenen Randkurve begrenzt werden
(s. Abbildung).


Singuläre Integrale und singuläre Punkte
●
●
●

Singuläres Element und singuläres Integral
Bestimmung singulärer Integrale
Singuläre Punkte einer Differentialgleichung


Integration durch Reihenentwicklung, spezielle
nichtelementare Funktionen
Es ist nicht immer möglich, Integrale durch elementare Funktionen auszudrücken, auch wenn der Integrand eine
elementare Funktion ist. In vielen Fällen lassen sich für solche nichtelementaren Integrale Reihenentwicklungen
angeben. Läßt sich der Integrand in eine im Intervall

gleichmäßig konvergierende Reihe entwickeln, so erhält

man aus dieser durch gliedweise Integration eine ebenfalls gleichmäßig konvergente Reihe für das bestimmte
Integral

.

●

Integralsinus (

●

Integralkosinus (

●

Integrallogarithmus (

)
)
, für

als CAUCHYscher Hauptwert)


●

●
●
●

Integralexponentialfunktion (
GAUSSsches Fehlerintegral und Fehlerfunktion
Gammafunktion
Elliptische Integrale

, für

als CAUCHYscher Hauptwert)


Stammfunktion oder Integral
●
●
●
●

Definition
Existenz
Unbestimmte Integrale
Integrale elementarer Funktionen


Uneigentliche Integrale, STIELTJES- und LEBESGUE-Integrale
●
●
●

Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen
Integrale mit unbeschränktem Integranden


Umlaufintegral
1. Begriff des Umlaufintegrals: Ein Umlaufintegral ist ein Kurvenintegral über einen geschlossenen
Integrationsweg

, d.h., der Anfangspunkt

ist mit dem Endpunkt

identisch. Man schreibt dafür:
(8.122)

Im allgemeinen ist das Umlaufintegral verschieden von Null. Das gilt jedoch nicht, wenn die Integrabilitätsbedingung
erfüllt ist oder wenn die Integration in einem konservativen Feld durchzuführen ist. Siehe auch Verschwinden des
Umlaufintegrals.
2. Berechnung des Flächeninhaltes einer ebenen Figur: Die Berechnung des Flächeninhaltes einer ebenen
Figur ist ein typisches Beispiel für die Anwendung des Umlaufintegrals in der Form
(8.123)


wobei
die Randkurve der ebenen Figur ist. Der Integrationsweg wird positiv gerechnet, wenn er entgegengesetzt
zum Drehsinn des Uhrzeigers verläuft.


Kapitel 8:

Integralrechnung

1. Integralrechnung und unbestimmtes Integral: Die Integralrechnung stellt im folgenden Sinne die
Umkehrung der Differentialrechnung dar: Während bei der Differentialrechnung zu einer gegebenen Funktion
die Ableitung

zu bestimmen ist, wird in der Integralrechnung zu einer gegebenen Ableitung

eine Funktion gesucht, deren Ableitung mit der vorgegebenen übereinstimmt. Dieser Prozeß ist nicht
eindeutig und führt auf den Begriff des unbestimmten Integrals .
2. Bestimmtes Integral:Geht man von der anschaulichen Aufgabenstellung der Integralrechnung aus, den
Inhalt der Fläche unter der Kurve

zu bestimmen, indem man diesen z.B. durch hinreichend

schmale Rechtecke approximiert (s. Abbildung), dann kommt man zum Begriff des bestimmten Integrals.


3. Zusammenhang zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral: Den Zusammenhang zwischen
den genannten Integralarten vermittelt der Hauptsatz der Integralrechnung.

●

Unbestimmtes Integral
Bestimmte Integrale
Kurvenintegrale
Mehrfachintegrale
Oberflächenintegrale

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●


Definition
Das bestimmte Integral einer in einem abgeschlossenen Intervall

definierten und beschränkten Funktion

ist eine Zahl, die als Grenzwert einer Summe definiert wird, wobei entweder

(Fall A) oder

(Fall B) sein kann. Die Forderung nach Abgeschlossenheit des Intervalls bedeutet, daß auch das
Integrationsintervall beschränkt sein soll.
Bei einer Verallgemeinerung des Begriffs bestimmtes Integral werden auch Funktionen zugelassen, die in einem
beliebigen zusammenhängenden Gebiet definiert sind, wie z.B. das offene oder halboffene Intervall, die
Zahlenhalbachse oder die ganze Zahlengerade, oder aber auch in einem Gebiet, das nur stückweise
zusammenhängend ist, d.h.überall, außer in endlich vielen Punkten. Integrale dieser verallgemeinerten Definition
gehören zu den uneigentlichen Integralen.


Variable obere Integrationsgrenze
1. Partikulärintegral: Wenn die obere Grenze des Integrals variabel gelassen wird (s. Abbildung mit der
), dann ist die Fläche eine Funktion der oberen Grenze des Integrals, das dann
Fläche
Partikulärintegral genannt wird.

In diesem Falle eines variablen Flächeninhalts spricht man von einer Flächenfunktion in der Form


(8.41)

Um Verwechslungen mit der variablen Integrationsgrenze
Integranden die Integrationsvariable mit

zu vermeiden, wird hier bei der Darstellung des

bezeichnet.

2. Differentiation des bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze: Ein bestimmtes Integral mit
variabler oberer Integrationsgrenze

ist eine stetige Funktion

dieser Integrationsgrenze,

d.h. die Stammfunktion des Integranden.
(8.42)

Die geometrische Bedeutung dieses Satzes besteht darin, daß die Ableitung einer variablen Fläche
der variablen Endordinate

ist (s. Abbildung):

gleich


Dabei sind sowohl die Fläche als auch die Ordinate gemäß Vorzeichenregel mit Vorzeichen zu nehmen.


Integration durch Reihenentwicklung
Wenn der Integrand

im Integrationsintervall

in eine gleichmäßig konvergente Reihe
(8.52)

entwickelt werden kann, dann läßt sich das Integral in der Form

(8.53)

schreiben. Auf diese Weise kann das bestimmte Integral als konvergente numerische Reihe dargestellt werden:

(8.54)

Im Falle leicht zu integrierender Funktionen

, wenn z.B.

in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, die im


Intervall

gleichmäßig konvergiert, kann das Integral

mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden.

Beispiel
Das Integral

ist mit einer Genauigkeit von

zu berechnen. Die Reihe

konvergiert gemäß dem Satz von ABEL in jedem beliebigen endlichen

Intervall gleichmäßig, so daß

gilt.

Damit folgt

.
Um bei der Berechnung des Integrals eine Genauigkeit von

zu erreichen, genügt es, in Übereinstimmung mit

dem Satz von LEIBNIZ über alternierende Reihen die ersten vier Glieder der Reihenentwicklung zu berechnen:


.


Bestimmte Integrale
●
●
●
●
●

Grundbegriffe, Regeln und Sätze
Anwendungen bestimmter Integrale
Uneigentliche Integrale, STIELTJES- und LEBESGUE-Integrale
Parameterintegrale
Integration durch Reihenentwicklung, spezielle
nichtelementare Funktionen


Umformung bestimmter Integrale
Durch geeignete Umformung können bestimmte Integrale in vielen Fällen mittels der Substitutionsregel und der
Methode der partiellen Integration berechnet werden.
Beispiel A
Einsatz der Substitutionsregel für

.

1. Substitutionsvariante:
. Es ergibt sich


.

.

2. Substitutionsvariante:

Es ergibt sich

.

Beispiel B
Methode der partiellen Integration:

.


Bestimmte Integrale
●
●
●
●

Bestimmte Integrale trigonometrischer Funktionen
Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen
Integrale logarithmischer Funktionen
Integrale algebraischer Funktionen


Integrale algebraischer Funktionen

(21.64)

Mit

ist die Betafunktion oder das EULERsche Integral erster Gattung bezeichnet, mit

die Gammafunktion oder das EULERsche Integral zweiter Gattung.

(21.65)


(21.66)

(21.67)

(21.68)

Mit

ist die Gammafunktion bezeichnet (s. auch Tabelle Gammafunktion).

(21.69)

(21.70)


Bestimmte Integrale von Exponentialfunktionen
(zum Teil kombiniert mit algebraischen, trigonometrischen und logarithmischen Funktionen)

(21.42a)

(21.42b)

Mit

ist in dieser und in der nächsten Formel die Gammafunktion bezeichnet;

(s. auch Tabelle Gammafunktion).

(21.43a)


(21.43b)

(21.43c)

(21.44)

(21.45)

(21.46)

(21.47)


(21.48)

(21.49)

(21.50)

Mit

ist die EULERsche Konstante bezeichnet.


Integrale logarithmischer Funktionen
(kombiniert mit algebraischen und trigonometrischen Funktionen)
(21.51)

Mit

ist die EULERsche Konstante bezeichnet.
(21.52)

(21.53)


(21.54)

(21.55)

(21.56)

Mit

ist die Gammafunktion bezeichnet (s. auch Tabelle Gammafunktion).

(21.57)

(21.58)

(21.59)


(21.60)

(21.61)

(21.62)

(21.63)


Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel
1. Fläche unter der Kurve: Für

in

sei

. Dann läßt sich die Summe (8.36) als

Gesamtinhalt von Rechtecken deuten, durch die die Fläche unter der Kurve

angenähert wird.

Demzufolge ergibt der Grenzwert dieser Summe und damit das bestimmte Integral den Inhalt der Fläche

,


die von der Kurve

, der

-Achse und den Parallelen

und

zur

-Achse

begrenzt wird:
(8.40)

2. Vorzeichen- oder Flächenregel: Wenn die Funktion

im Integrationsintervall abschnittsweise

positiv oder negativ ist, dann nehmen die Teilintegrale über den betreffenden Teilintervallen, also auch die
Teilflächen, positive oder negative Werte an, so daß die Integration über das gesamte Intervall eine
Flächendifferenz liefert.
In der folgenden Abbildung, bestehend aus vier Teilabbildungen, sind vier Fälle mit unterschiedlichen Möglichkeiten
der Flächen-Vorzeichenbildung dargestellt:


Beispiel A
(lies Integral von

bis

)

,

Beispiel B
(lies Integral von

bis

.

)


Elliptische Integrale 1. Art

0

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

10

0,1745 0,1746 0,1746 0,1748 0,1749 0,1751 0,1752 0,1753 0,1754 0,1754

20

0,3491 0,3493 0,3499 0,3508 0,3520 0,3533 0,3545 0,3555 0,3561 0,3564

30

0,5236 0,5243 0,5263 0,5294 0,5334 0,5379 0,5422 0,5459 0,5484 0,5493

40

0,6981 0,6997 0,7043 0,7116 0,7213 0,7323 0,7436 0,7535 0,7604 0,7629

50

0,8727 0,8756 0,8842 0,8982 0,9173 0,9401 0,9647 0,9876 1,0044 1,0107

60

1,0472 1,0519 1,0660 1,0896 1,1226 1,1643 1,2126 1,2619 1,3014 1,3170

70

1,2217 1,2286 1,2495 1,2853 1,3372 1,4068 1,4944 1,5959 1,6918 1,7354


80

1,3963 1,4056 1,4344 1,4846 1,5597 1,6660 1,8125 2,0119 2,2653 2,4362

90

1,5708 1,5828 1,6200 1,6858 1,7868 1,9356 2,1565 2,5046 3,1534


Elliptische Integrale 2. Art

0

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

10

0,1745 0,1745 0,1744 0,1743 0,1742 0,1740 0,1739 0,1738 0,1737 0,1736

20

0,3491 0,3489 0,3483 0,3473 0,3462 0,3450 0,3438 0,3429 0,3422 0,3420

30

0,5236 0,5229 0,5209 0,5179 0,5141 0,5100 0,5061 0,5029 0,5007 0,5000

40

0,6981 0,6966 0,6921 0,6851 0,6763 0,6667 0,6575 0,6497 0,6446 0,6428

50

0,8727 0,8698 0,8614 0,8483 0,8317 0,8134 0,7954 0,7801 0,7697 0,7660

60

1,0472 1,0426 1,0290 1,0076 0,9801 0,9493 0,9184 0,8914 0,8728 0,8660


70

1,2217 1,2149 1,1949 1,1632 1,1221 1,0750 1,0266 0,9830 0,9514 0,9397

80

1,3963 1,3870 1,3597 1,3161 1,2590 1,1926 1,1225 1,0565 1,0054 0,9848

90

1,5708 1,5589 1,5238 1,4675 1,3931 1,3055 1,2111 1,1184 1,0401 1,0000


Elliptische Integrale
Für die vollständigen elliptischen Integrale gelten die folgenden Reihenentwicklungen:

(8.104)

(8.105)

Zahlenwerte sind in der Tabelle ,,Elliptische Integrale`` angegeben.


Elliptische Integrale
●
●
●

Elliptische Integrale 1. Art
Elliptische Integrale 2. Art
Vollständige elliptische Integrale


Vollständige elliptische Integrale

K

E

K

E

K

E

0

1,5708 1,5708

30

1,6858 1,4675

60

2,1565 1,2111

1

1,5709 1,5707

31

1,6941 1,4608

61

2,1842 1,2015

2

1,5713 1,5703

32

1,7028 1,4539

62

2,2132 1,1920

3

1,5719 1,5697

33

1,7119 1,4469

63

2,2435 1,1826

4

1,5727 1,5689

34

1,7214 1,4397

64

2,2754 1,1732

5

1,5738 1,5678

35

1,7312 1,4323

65

2,3088 1,1638

6

1,5751 1,5665

36

1,7415 1,4248

66

2,3439 1,1545

7

1,5767 1,5649

37

1,7522 1,4171

67

2,3809 1,1453


8

1,5785 1,5632

38

1,7633 1,4092

68

2,4198 1,1362

9

1,5805 1,5611

39

1,7748 1,4013

69

2,4610 1,1272

10

1,5828 1,5589

40

1,7868 1,3931

70

2,5046 1,1184

11

1,5854 1,5564

41

1,7992 1,3849

71

2,5507 1,1096

12

1,5882 1,5537

42

1,8122 1,3765

72

2,5998 1,1011

13

1,5913 1,5507

43

1,8256 1,3680

73

2,6521 1,0927

14

1,5946 1,5476

44

1,8396 1,3594

74

2,7081 1,0844

15

1,5981 1,5442

45

1,8541 1,3506

75

2,7681 1,0764

16

1,6020 1,5405

46

1,8691 1,3418

76

2,8327 1,0686

17

1,6061 1,5367

47

1,8848 1,3329

77

2,9026 1,0611

18

1,6105 1,5326

48

1,9011 1,3238

78

2,9786 1,0538

19

1,6151 1,5283

49

1,9180 1,3147

79

3,0617 1,0468

20

1,6200 1,5238

50

1,9356 1,3055

80

3,1534 1,0401

21

1,6252 1,5191

51

1,9539 1,2963

81

3,2553 1,0338


22

1,6307 1,5141

52

1,9729 1,2870

82

3,3699 1,0278

23

1,6365 1,5090

53

1,9927 1,2776

83

3,5004 1,0223

24

1,6426 1,5037

54

2,0133 1,2681

84

3,6519 1,0172

25

1,6490 1,4981

55

2,0347 1,2587

85

3,8317 1,0127

26

1,6557 1,4924

56

2,0571 1,2492

86

4,0528 1,0080

27

1,6627 1,4864

57

2,0804 1,2397

87

4,3387 1,0053

28

1,6701 1,4803

58

2,1047 1,2301

88

4,7427 1,0026

29

1,6777 1,4740

59

2,1300 1,2206

89

5,4349 1,0008

90

1,0000


Abschätzung des Integralwertes
Wenn die Funktion

für die

-Werte des Integrationsweges

mit der Länge

eine positive Zahl

nicht übertrifft, dann gilt

(14.36)


Bestimmtes komplexes Integral
Die Funktion
Kurve

sei stetig in einem Gebiet

wird zwischen den Punkten

(s. Abbildung).

und

, in dem eine Kurve

die Punkte

durch beliebige Teilpunkte

in

und

verbinden soll. Die

Teilbogen zerlegt


Auf jedem Teilbogenstück greift man einen Punkt

heraus und bildet

(14.32a)

Existiert der Grenzwert

(14.32b)

für

und

unabhängig von der Wahl der Zwischenpunkte

, dann wird durch diesen

Grenzwert das bestimmte komplexe Integral

(14.33)

längs der Kurve

zwischen den Punkten

und

, dem Integrationsweg definiert.


Die Schreibweise

den Punkten

bzw.

bedeutet, daß das bestimmte komplexe Integral längs der Kurve

und

zu berechnen ist. Häufig wird für denselben Sachverhalt die Schreibweise

verwendet.

zwischen


Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale
●
●
●
●
●

Vergleich mit dem Kurvenintegral 2. Art
Abschätzung des Integralwertes
Berechnung komplexer Integrale in Parameterdarstellung
Unabhängigkeit vom Integrationsweg
Komplexes Integral über einen geschlossenen Weg


Komplexes Integral über einen geschlossenen Weg
Wenn die Integration einer Funktion

, die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet analytisch ist, über

einen geschlossenen Integrationsweg
erfolgt, der dieses Gebiet begrenzt, dann ist der Wert des Integrals gemäß
dem Integralsatz von CAUCHY gleich Null:
(14.39)
Enthält dieses Gebiet singuläre Punkte, dann ist der Wert des Integrals mit Hilfe des Residuensatzes zu berechnen.
Beispiel


Für die Funktion

mit einem singulären Punkt bei

ergibt sich der Wert des

Integrals für den geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg (s. Abbildung) zu
.


Berechnung komplexer Integrale in Parameterdarstellung
Sind der Integrationsweg

(oder die Kurve

) in der Form
(14.37)

und die

-Werte für den Anfangs- und den Endpunkt als

und

gegeben, dann kann das komplexe bestimmte Integral

über zwei reelle Kurvenintegrale berechnet werden. Dazu wird der Integrand in Real- und Imaginärteil aufgespaltet, und man
erhält:

(14.38a)


mit
(14.38b)
Beispiel

.

Die Kurve

sei ein Kreis mit dem Radius

um den Punkt

:
.

Dann gilt für alle Punkte

der Kurve

:
.

Durch Einsetzen dieser Werte und Umformung nach der Formel von MOIVRE erhält man:


Unabhängigkeit vom Integrationsweg
Das Integral (14.33) einer Funktion einer komplexen Veränderlichen, die in einem einfach zusammenhängenden
Gebiet definiert ist und die zwei feste Punkte

und

miteinander verbindet, kann unabhängig vom

Integrationsweg sein. Notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß die Funktion in diesem Gebiet
analytisch ist, d.h., daß sie den CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichungen genügt. Dann gilt (14.35). Ein einfach
zusammenhängendes Gebiet besitzt eine einzige geschlossene, doppelpunktfreie Randkurve.


Unbestimmtes komplexes Integral
Ist das bestimmte Integral vom Integrationsweg unabhängig, so gilt
(14.34)

Dabei ist

eine im allgemeinen komplexe Integrationskonstante. Die Funktion

wird unbestimmtes

komplexes Integral genannt.
Die unbestimmten Integrale der elementaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen werden nach den gleichen
Formeln berechnet wie die Integrale der entsprechenden Elementarfunktionen einer reellen Veränderlichen.
Beispiel A
.

Beispiel B


.


Vergleich mit dem Kurvenintegral 2. Art
Das bestimmte komplexe Integral besitzt die gleichen Eigenschaften wie das Kurvenintegral 2. Art:
a)
Umkehrung der Richtung des Integrationesweges führt zur Vorzeichenänderung des Integrals.
b)
Bei Zerlegung des Integrationsweges in mehrere Teilabschnitte ist der Wert des gesamten Integrals gleich der
Summe der Integralwerte über die einzelnen Teilwege.


Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem komplexen Integral
Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten und unbestimmten komplexen Integral wird durch die Formel

(14.35)

vermittelt.


Integrale anderer transzendenter Funktionen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 426 bis 431
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 432 bis 439
Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 440 bis 446
Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 447 bis 455
Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 456 bis 464
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 465 bis 471
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 472 bis 479
Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 480 bis 487
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 488 bis 495
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 496 bis 503
Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 504 bis 511
Integrale mit inversen Hyperbelfunktion, Nr. 512 bis 515


Integrale rationaler Funktionen
●

Integrale mit

, Nr. 1 bis 8

●

Integrale mit

, Nr. 9 bis 16

●

Integrale mit

, Nr. 17 bis 24

●

Integrale mit

, Nr. 25 bis 30

●

Integrale mit

, Nr. 31 bis 39

●

Integrale mit

, Nr. 40 bis 48

●

Integrale mit

, Nr. 49 bis 56

●

Integrale mit

, Nr. 57 bis 69


●

Integrale mit

, Nr. 70 bis 82

●

Integrale mit

, Nr. 83 bis 96

●

Integrale mit

, Nr.97 bis 100

●

Integrale mit

, Nr. 101 bis 104

●

Einige Fälle der Partialbruchzerlegung, Nr. 105 bis 108


Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 447 bis 455

Das bestimmte Integral

nennt man Integralexponentialfunktion und bezeichnet es mit

. Für


divergiert dieses Integral im Punkt
uneigentlichen Integrals.

Mit

ist die EULERsche Konstante bezeichnet.

; in diesem Falle versteht man unter

den Hauptwert des


Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 426 bis 431


Integrale mit inversen Hyperbelfunktion, Nr. 512 bis 515


Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 488 bis 495


Integration irrationaler Funktionen
●
●

●
●

Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen
Substitutionen zur Rückführung auf Integrale rationaler Ausdrücke, die trigonometrische und
Hyperbelfunktionen enthalten
Integration binomischer Integranden
Elliptische Integrale


Integrale irrationaler Funktionen
●

Integrale mit

und

, Nr. 109 bis 116

●

Andere Integrale mit

●

Integrale mit

, Nr. 121 bis 132

●

Integrale mit

, Nr. 133 bis 145

●

Integrale mit

und

●

Integrale mit

, Nr. 157 bis 163

●

Integrale mit

, Nr. 164 bis 170

, Nr. 117 bis 120

, Nr. 146 bis 156


●

Integrale mit

, Nr. 171 bis 177

●

Integrale mit

, Nr. 178 bis 184

●

Integrale mit

, Nr. 185 bis 191

●

Integrale mit

, Nr. 192 bis 198

●

Integrale mit

, Nr. 199 bis 205

●

Integrale mit

, Nr. 206 bis 212

●

Integrale mit

, Nr. 213 bis 219

●

Integrale mit

, Nr. 220 bis 226

●

Integrale mit

, Nr. 227 bis 233

●

Integrale mit

, Nr. 234 bis 240


●

Integrale mit

, Nr. 241 bis 246

●

Integrale mit

, Nr. 247 bis 254

●

Integrale mit

, Nr. 255 bis 260

●

Integrale mit

, Nr. 261 bis 267

●
●

Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken, Nr. 268 bis 272
Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential, Nr. 273


Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 313 bis 320


Integrale mit Kotangensfunktion, Nr. 418 bis 425

Mit

sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.


Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 465 bis 471

Das bestimmte Integral

nennt man Integrallogarithmus und bezeichnet es mit

. Für


divergiert dieses Integral im Punkt

. In diesem Fall versteht man unter

den Hauptwert des

uneigentlichen Integrals.
Der Integrallogarithmus hängt mit der Integralexponentialfunktion zusammen:

.


Integration rationaler Funktionen
Integrale rationaler Funktionen können stets durch elementare Funktionen ausgedrückt werden.
●
●
●

Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome)
Integrale gebrochenrationaler Funktionen
Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung:


Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 354 bis 360


Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 274 bis 281


Unbestimmte Integrale
Hinweise zur Nutzung der Tabellen s. Punkt Integrale elementarer Funktionen.
●
●
●
●

Integrale rationaler Funktionen
Integrale irrationaler Funktionen
Integrale trigonometrischer Funktionen
Integrale anderer transzendenter Funktionen


Integrale mit Tangensfunktion, Nr. 409 bis 417

Mit

sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.


Integrale trigonometrischer Funktionen
(Integrale von Funktionen, die neben Hyperbel- und Exponentialfunktionen auch die Funktionen
enthalten sind in den Tabellen Integrale anderer transzendenter Funktionen aufgeführt.)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 274 bis 281
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 282 bis 289
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 290 bis 296
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 297 bis 304
Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 305 bis 312
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 313 bis 320
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 321 bis 328
Integrale Kosinusfunktion, Nr. 329 bis 336
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 337 bis 344
Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 345 bis 353
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 354 bis 360
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 361 bis 368
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 369 bis 376

und


●
●
●
●
●
●

Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 377 bis 384
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 385 bis 391
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 392 bis 399
Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 400 bis 408
Integrale mit Tangensfunktion, Nr. 409 bis 417
Integrale mit Kotangensfunktion, Nr. 418 bis 425


Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
Eigenschaft

Hauptsatz der Integralrechnung

Vertauschungsregel

Formel


Gleiche Integrationsgrenzen

Intervallregel

Unabhängigkeit von der Bezeichnung der Integrationsvariablen

Differentiation nach
variabler oberer Grenze


Mittelwertsatz der Integralrechnung


Integralexponentialfunktion (

, für

als CAUCHYscher

Hauptwert)

(8.98a)

(8.98b)


Integralformeln von Cauchy
●
●

Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes
Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes


Integralsatz und Integralformel von Gauß
●
●
●

Integralsatz von Gauß
Integralformel von Gauß
Sektorformel


Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
●
●
●
●

Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe
Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze
Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art


Fredholmsche Integralgleichung 1. Art
●
●
●
●
●
●

Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
Begriffe, analytische Grundlagen
Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art
Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern
Iteratives Verfahren


Definitionen
Unter einer Integralgleichung versteht man eine Gleichung, bei der eine zu bestimmende Funktion auch im
Integranden eines Integrals auftritt. Für die Behandlung von Integralgleichungen gibt es keine einheitliche
Vorgehensweise. Lösungsverhalten sowie Lösungsverfahren hängen von der speziellen Gestalt der Integralgleichung
ab.
Ist die gesuchte Funktion in allen Termen nur linear enthalten, dann spricht man von einer linearen Integralgleichung
. Die allgemeine Form einer linearen Integralgleichung lautet:

(11.1)

Die Funktion

ist zu bestimmen, die Funktion

heißt Kern der Integralgleichung und

Störfunktion . Diese Funktionen können auch komplexe Werte annehmen. Verschwindet die Funktion
betrachteten Bereich, d.h., ist
inhomogene . Die Größe

, dann ist es eine homogene Integralgleichung , andernfalls eine

ist ein im allgemeinen komplexwertiger Parameter .

ihre
in dem


Zwei Spezialfälle von (11.1) haben besondere Bedeutung. Sind die Integrationsgrenzen unabhängig von
und

konstante Größen, d.h.

, also

, dann handelt es sich um eine FREDHOLMsche

Integralgleichung:

(11.2a)

(11.2b)

Ist

und

, so spricht man von einer VOLTERRAschen Integralgleichung:

(11.2c)

(11.2d)

Kommt die zu ermittelnde Funktion

nur unter dem Integral vor, d.h. ist

, dann liegt eine


Integralgleichung 1. Art vor (11.2a, 11.2c). Eine Integralgleichung 2. Art ist durch

gekennzeichnet

(11.2b,11.2d).
Hinweis: In diesem Kapitel werden nur Integralgleichungen 1. und 2. Art vom FREDHOLMschen und VOLTERRAschen
Typ betrachtet sowie einige singuläre Intgralgleichungen.


Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
Wenn der Kern

einer Integralgleichung eine Summe endlich vieler Produkte zweier Funktionen ist, wobei

jeweils die eine Funktion nur von

und die andere nur von

Kern oder einem Produktkern .
●
●
●
●

Lösungsansatz im Falle von Produktkernen
Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
Diskussion der Lösung, Eigenwerte und Eigenfunktionen
Transponierte Integralgleichung

abhängt, so spricht man von einem ausgearteten


Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art
Die Lösung einer VOLTERRAschen Integralgleichung 2. Art kann mittels der NEUMANNschen Reihe dargestellt
werden. Liegt die Gleichung
(11.61)
vor, so wird formal gesetzt
(11.62a)
Damit ist (11.61) identisch mit der FREDHOLMschen Integralgleichung
(11.62b)

wobei auch

gelten kann. Die Lösung besitzt die Darstellung


(11.62c)

Die iterierten Kerne

sind durch die folgenden Gleichungen definiert:

(11.62d)
und allgemein:
(11.62e)

Für die iterierten Kerne gilt ebenfalls

für

. Falls eine Lösung von (11.61)

existiert, konvergiert die NEUMANNsche Reihe, im Gegensatz zum Fall einer FREDHOLMschen Integralgleichung, für
beliebige Parameter
Beispiel

stets gegen diese Lösung.


.

.
Ermittlung der Resolvente:
.

Die angegebene Reihe konvergiert bekanntlich für alle Parameter

Man erhält
,

speziell für

.


Spezieller Spline-Ansatz
Für eine spezielle Kernapproximation auf dem Integrationsintervall

wird

(11.32)

gewählt. Die Funktion
Null (s. Abbildung).

ist nur in dem Intervall

, dem sogenannten Träger , ungleich


Zur Bestimmung der Koeffizienten

in (11.31a) betrachte man

an den Stellen

. Dann gilt
(11.33)

und folglich

. Aus diesem Grund setzt man

Gleichung (11.31a) hat damit die Form

. Die


(11.34)

Die Lösung von (11.31c) hat bekanntlich die Darstellung
(11.35)
Der Ausdruck

ist dabei ein Polygonzug, der an der Stelle

den Wert

annimmt. Bei der Lösung von (11.31c) nach dem Verfahren für ausgeartete Kerne ergibt sich ein lineares
Gleichungssystem für die Zahlen

:

(11.36a)

Dabei ist


(11.36b)

Für die Integrale ergibt sich

(11.36c)

Die Zahlen

in (11.36a) sind festgelegt durch


(11.36d)

Werden die Zahlen
zur Matrix

aus (11.36a) zur Matrix

, die Werte

zusammengefaßt, und wird aus den Zahlen

Zahlen

der Vektor

zur Matrix
der Vektor

und die Werte

und aus den gesuchten

gebildet, dann hat das Gleichungsystem (11.36a) in Matrizenschreibweise die

Form
(11.36e)
Falls die Matrix

regulär ist, hat dieses System eine eindeutige Lösung

.


Tensorprodukt-Approximation
Eine häufig verwendete Näherung für den Kern ist die Tensorprodukt-Approximation der Form
(11.31a)

mit linear unabhängigen Funktionen
vorgegeben, und die Koeffizienten

bzw.

. Diese Funktionen werden

können so bestimmt werden, daß die Doppelsumme den Kern in einem

gewissen Sinne gut approximiert. Umformung von (11.31a) mit ausgeartetem Kern ergibt:
(11.31b)
Somit kann das unter Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen vorgestellte Verfahren zur Lösung der
Integralgleichung
(11.31c)


zur Anwendung kommen. Bei der Auswahl der Funktionen
beachtet werden, daß die Zahlen
von (11.31c) gering bleibt.

bzw.

sollte

in (11.31a) einfach zu bestimmen sind und der Rechenaufwand zur Behandlung


Kapitel 11:

Lineare Integralgleichungen

●

Einführung und Klassifikation
Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
Fredholmsche Integralgleichung 1. Art
Volterrasche Integralgleichungen
Singuläre Integralgleichungen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●


Semidiskretes Problem
Zur Bearbeitung der Integralgleichung (11.23) wird das Integral durch einen Näherungsausdruck ersetzt. Derartige
Näherungen bezeichnet man als Quadraturformeln . Sie haben die Form
(11.24)

d.h., anstelle des Integrals steht eine Summe mit Zahlen
Die

sind dabei (unabhängig von

gewichteter Funktionswerte an den Stützstellen

.

) geeignet gewählt. Damit kann (11.23) näherungsweise geschrieben werden:

(11.25a)

Die Quadraturformel

hängt dabei noch von der Variablen

ab. Der Punkt im Argument der


Funktion deutet an, daß die Quadraturformel bezüglich der unabhängigen Variablen

angewendet worden ist. Man

geht über zur Gleichung

(11.25b)

Die Funktion

bildet eine Approximation für die exakte Lösung

semidiskretes Problem , da bezüglich der Variablen
Variable

zu diskreten Werten übergegangen wurde, während die

noch beliebig wählbar ist.

Wenn für eine Funktion
Stützstellen

. Man bezeichnet (11.25b) als ein

die Gleichung (11.25b) für alle

gilt, ist diese natürlich auch an den

erfüllt:

(11.25c)

Dies ist ein lineares Gleichungssystem, bestehend aus

Gleichungen für die

Unbekannten

. Durch

Einsetzen dieser Lösungswerte in (11.25b) ist die Lösung des semidiskreten Problems gegeben. Die Genauigkeit
und der Rechenaufwand dieses Verfahrens hängen von der Güte der Quadraturformel ab. Benutzt man z.B. die


linksseitige Rechteckformel mit äquidistanten Stützstellen
:

(11.26a)
so erhält das System (11.25c) unter Verwendung der Bezeichnungen
(11.26b)
die Form:

(11.26c)

Genau dieses System wurde schon bei der Untersuchung der FREDHOLMschen Lösungsmethode hergeleitet. Da die
linksseitige Rechteckformel aber nicht sehr genau ist, müssen für eine gute Approximation des Integrals eine große
Anzahl von Stützstellen einbezogen werden, wodurch die Dimension des Gleichungssystems wächst. Es empfielt
sich daher, geeignetere Quadraturformeln heranzuziehen.


Umwandlung durch Differentiation
Setzt man

und

als stetig voraus, dann kann die Integralgleichung 1. Art

(11.58a)

durch Differentiation nach dem Parameter

überführt werden in
(11.58b)

Ist

für alle

Integralgleichung 2. Art entsteht.

, dann ist die Division der Gleichung durch

möglich, wodurch eine


Volterrasche Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp
Besitzt der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung die spezielle Form
(11.63a)

dann können zur Lösung der Gleichungen

(11.63b)
bzw.
(11.63c)
die Eigenschaften der LAPLACE-Transformation genutzt werden. Falls die LAPLACE-Transformierten
und

existieren, dann lauten die


transformierten Probleme unter Beachtung des Faltungssatzes
(11.64a)
bzw.
(11.64b)
Daraus folgt sofort:
(11.64c)
bzw.
(11.64d)
Die Rücktransformation liefert die Lösung

des Ausgangsproblems. Durch Umformung des Ausdrucks für die

LAPLACE-Transformierte der Lösung der Integralgleichung 2. Art gemäß
(11.64e)
ergibt sich, falls der Ausdruck
(11.64f)
die Transformierte einer Funktion

ist, die Lösungsdarstellung


(11.64g)

Die Funktion

ist der lösende Kern der Integralgleichung.

Beispiel
.

, d.h.

Die Rücktransformation liefert

sich die Lösungsdarstellung

. Aus

.

folgt

. Nach (11.64g) ergibt

.


VOLTERRAsche Integralgleichungen
Die VOLTERRAsche Integralgleichung
(12.66)
mit stetigem Kern und stetiger rechter Seite kann man mit Hilfe des VOLTERRAschen Integraloperators
(12.67)

und

als das Fixpunktproblem

Fixpunktsatzes behandeln.

im Raum

unter Anwendung des


Lösung durch Differentiation
Für einige Klassen VOLTERRAscher Integralgleichungen gelingt es, durch Differentiation der Gleichung nach dem
Parameter

das Integral zu beseitigen bzw. geeignet zu substituieren. Wird die Stetigkeit von
und

sowie im Fall einer Integralgleichung 2. Art die Differenzierbarkeit von

vorausgesetzt, so ergibt die Differentiation von
(11.60a)

(11.60b)

nach dem Parameter

:
(11.60c)


(11.60d)

Beispiel
Gesucht ist eine Funktion

für

als Lösung von

(I).
Zweimaliges Ableiten nach

liefert
(IIa),

(IIb).
Das in der letzten Zeile auftretende Integral entspricht der linken Seite der Integralgleichung (I). Das ergibt
und, da

für

, also


.
setzt man in (IIa)

Zur Bestimmung der Konstanten
Lösung von (I) lautet:

. Somit ist

, und die

.

Hinweis: Ist der Kern einer VOLTERRAschen Integralgleichung ein Polynom, so gelingt es mit der Methode der
der Grad

Differentiation immer, die Integralgleichung in eine lineare Differentialgleichung zu überführen. Ist dabei
der höchsten im Kern auftretenden

-Potenz, so erhält man durch

Differentialgleichung der Ordnung

im Falle einer Integralgleichung 1. Art bzw. der Ordnung

Integralgleichung 2. Art. Dabei wird vorausgesetzt, daß sowohl
differenzierbar sind.
Beispiel

-maliges Differenzieren nach

als auch

für eine

entsprechend oft

eine


.

Dreimaliges Differenzieren nach

ergibt

(II'a),

(II'b),

(II'c).
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet:
.
Setzt man in (II'a) bzw. (II'b)

ein, so erhält man
und somit

Die Lösung der Integralgleichung (I') ist also

.

.


Methode der Umwandlung
Eine VOLTERRAsche Integralgleichung 2. Art hat die Gestalt
(11.56)

Die Lösungsfunktion
halboffenen Intervall

ist für Argumente

aus dem abgeschlossenen Intervall

gesucht. Man kann folgende Aussage über die Lösung der VOLTERRAschen

Integralgleichung 2. Art treffen. Sind die Funktionen
und

bzw. aus dem

für

und

als stetig vorausgesetzt, dann existiert genau eine , für

auf dem Dreiecksbereich
stetige Lösung

der

Integralgleichung. Für diese Lösung gilt:
(11.57)
In vielen Fällen können VOLTERRAsche Integralgleichungen 1. Art in Integralgleichungen 2. Art überführt werden. Die
Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gelten dann in modifizierter Form.


Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen
2. Art
Gesucht ist die Lösung der Gleichung
(11.65)

für

aus dem Intervall

. Numerische Lösungsansätze bestehen darin, das Integral durch eine

Quadraturformel zu approximieren:
(11.66a)

Das Integrationsintervall und somit die Quadraturformel sind von

abhängig. Das wird durch den Index

von

zum Ausdruck gebracht. Man erhält als Näherungsausdruck für (11.65)
(11.66b)


Die Funktion

ist eine Näherung für die Lösung von (11.65). Die Anzahl und Lage der Stützstellen der

Quadraturformel ist von

abhängig, wodurch deren Wahl stark eingeschränkt ist. Ist
, so müssen

und insbesondere

eine Auswertung der rechten Seite von (11.66b) für

eine Stützstelle von

bekannt sein. Dies erfordert aber zuvor

, was einer Quadratur über dem Intervall

entspricht.

Aus diesem Grund ist die Verwendung der häufig bevorzugten GAUSSschen Quadraturformeln nicht möglich. Man löst das
und verwendet Quadraturformeln

Problem durch die Wahl von Stützstellen
mit Stützstellen

. Die Funktionswerte in den Stützstellen werden abkürzend bezeichnet

durch

Für

erhält man (vgl. Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen)
(11.66c)

und damit:
(11.66d)
Dabei hat

die Stützstellen

und

und folglich die Gestalt
(11.66e)

mit geeigneten Koeffizienten

und

. Setzt man dieses Verfahren fort, kann man die

nacheinander aus der

allgemeinen Beziehung
(11.66f)


bestimmen. Die Quadraturformeln

haben folgende Form:

(11.66g)
Damit lautet (11.66f):
(11.66h)
Die einfachste Quadraturformel ist die linksseitige Rechteckformel. Dabei ist
(11.66i)
Man erhält damit das System

(11.67a)

und allgemein
(11.67b)
Eine etwas genauere Approximation des Integrals gewährleistet die Trapezformel. Die Stützstellen seien zur Vereinfachung
äquidistant,


(11.67c)
Angewandt auf (11.66f) ergibt das
(11.67d)
(11.67e)
Die jeweils zu berechnende Größe kommt dabei auch auf der rechten Seite vor. Die Gleichungen sind aber leicht nach den
gesuchten Funktionswerten umzustellen.
Hinweis: Mit der angeführten Methode können auch nichtlineare Integralgleichungen näherungsweise gelöst werden. In
diesem Fall wird bei Anwendung der Trapezformel zur Bestimmung der

jedesmal die Lösung einer nichtlinearen

Gleichung erforderlich sein. Dies kann man umgehen, wenn man die Trapezformel nur auf das Intervall
anwendet und das Intervall

mit der linksseitigen Rechteckformel behandelt. Ist

Quadraturfehler die Lösung nicht sehr beeinflussen.
Beispiel

genügend klein, wird dieser


Die Integralgleichung soll nach der Vorschrift (11.66f) mit der linksseitigen Rechteckformel näherungsweise gelöst
werden. Als Stützstellen werden die äquidistanten Werte

zugrunde gelegt, d.h.

.

In der folgenden Tabelle sind zum Vergleich die Werte der exakten Lösung sowie der Näherungslösungen, die mittels
linksseitiger Rechteckformel und Trapezformel ermittelt wurden, aufgeführt. Die Berechnung erfolgte mit der Schrittweite

exakt

Rechteckformel

Trapezformel

0,2

2,0401

2,0602

2,0401

0,4

2,1621

2,2030

2,1620

0,6

2,3709

2,4342

2,3706

0,8

2,6749

2,7629

2,6743

1,0

3,0862

3,2025

3,0852


Umwandlung durch partielle Integration
Unter der Voraussetzung der Stetigkeit von

und

kann das Integral in (11.58a) mittels

partieller Integration ausgewertet werden. Mit der Substitution
(11.59a)
ergibt sich

(11.59b)


Ist

für

, dann führt die Division durch

auf die Integralgleichung 2. Art

(11.59c)

aus deren Lösung

durch Differentiation die Lösung

von (11.58a) ermittelt werden kann.


Zusammenhang mit Differentialgleichungen
Es führen relativ wenige physikalische oder mechanische Aufgabenstellungen direkt auf eine Integralgleichung.
Häufiger sind derartige Probleme mittels Differentialgleichungen beschreibbar. Die Bedeutung der
Integralgleichungen ist in erster Linie darin zu sehen, daß sich eine Reihe von Differentialgleichungen einschließlich
der zugehörigen Rand- und Anfangsbedingungen in eine Integralgleichung überführen lassen.
Beispiel
Aus der Anfangswertaufgabe
Integration in den Grenzen von

mit
bis

und

entsteht durch

die Integralgleichung

(11.3)
Die gesuchte Funktion

tritt hier sowohl auf der linken Seite der Gleichung als auch im Integranden auf. Die


Integralgleichung (11.3) ist linear, wenn die Funktion

die Form

hat, d.h., die zugrundeliegende Differentialgleichung ist ebenfalls linear.


Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen
●
●
●
●
●
●

Formulierung der Aufgabe
Existenz einer Lösung
Eigenschaften des Cauchy-Integrals
Hilbertsches Randwertproblem
Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
Lösung der charakteristischen Integralgleichung


Singuläre Integralgleichungen
Eine singuläre Integralgleichung liegt vor, wenn der Integrationsbereich des die Gleichung bestimmenden Integrals
unbeschränkt ist oder der Kern Singularitäten innerhalb des Integrationsbereiches besitzt. Es wird vorausgesetzt, daß
die auftretenden Integrale als uneigentliche Integrale oder als CAUCHY-sche Hauptwerte existieren. Singuläre
Integralgleichungen unterscheiden sich in Eigenschaften und Lösungsverhalten stark von ,,gewöhnlichen``
Integralgleichungen. In den folgenden Abschnitten werden nur einige spezielle Problemstellungen betrachtet.
Umfassendere Darstellungen s. Lit. 11.2, 11.9.
●
●

Abelsche Integralgleichung
Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen


Existenz einer Lösung
Die Gleichung

besitzt genau dann eine Lösung

homogenen transponierten Gleichung

, wenn für alle Lösungen

der

die Orthogonalitätsbedingung

(11.75a)

genau dann eine Lösung, wenn

erfüllt ist. Entsprechend besitzt die transponierte Gleichung
für alle Lösungen

der homogenen Gleichung

gilt:

(11.75b)


Integrallogarithmus (

, für

als CAUCHYscher Hauptwert)

(8.97)


Integralsätze
●
●
●

Integralsatz und Integralformel von Gauß
Integralsatz von Stokes
Integralsätze von Green


Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie
●
●

Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete
Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete


Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete
Wenn

einfach geschlossene Kurven derart sind, daß die Kurve
einschließt, aber die

ferner

in einem Gebiet

alle

sich nicht gegenseitig einschließen oder schneiden, und wenn

analytisch ist, das alle

und das Gebiet zwischen

und den

enthält,

d.h. mindestens in dem in der folgenden Abbildung schraffiert gezeichneten Gebiet, dann gilt
(14.41)

falls die Kurven
werden.

sämtlich im gleichen Sinne, z.B. gegen den Uhrzeigersinn, durchlaufen


Dieser Satz dient zur Berechnung von Integralen über geschlossene Kurven
Funktion

Beispiel

einschließen (s. auch Residuensatz).

, die auch singuläre Punkte der


Das Integral

ist zu berechnen, wobei

eine den Nullpunkt und den Punkt

umschließende Kurve sein soll (s. Abbildung).

Nach dem Integralsatz von CAUCHY kann man zunächst das Integral über
und
den Punkt

ersetzen,wobei

durch die Summe der Integrale über

ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius

mit dem Radius

und

ein Kreis um

sein soll. Der Integrand läßt sich durch Partialbruchzerlegung


vereinfachen, und man erhält
.

(Zur Integration vergleiche man das Beispiel zur Berechnung eines komplexen Integrals in Parameterdarstellung)


Integralsatz von Stokes
Der Integralsatz von STOKES liefert den Zusammenhang zwischen einem Oberflächenintegral über die gekrümmte und
orientierte Fläche
der Fläche

, in der das Vektorfeld

. Der Umlaufsinn von

definiert ist, und dem Umlaufintegral über die Umrandungskurve

wird so gewählt, daß der Umlaufsinn der Berandung des Oberflächenelements

mit der Flächennormalen eine Rechtsschraube bildet. Die vektorielle Feldfunktion
partielle Ableitungen 1. Ordnung.

sei stetig und besitze stetige

(13.120a)

Der vektorielle Fluß der Rotation durch eine Fläche
dem Umlaufintegral des vektoriellen Feldes
In kartesischen Koordinaten gilt:

, die von der geschlossenen Kurve

über die Kurve

.

umrandet wird, ist gleich


(13.120b)

Im ebenen Falle geht der Integralsatz von STOKES ebenso wie der von GAUSS in die Integralformel (13.118) von GAUSS
über.


Integralsinus

Integralsinus nennt man das Integral

das komplexe Integral

, mit der Kurve

. Untersucht wird in Analogie zum vorangegangenen Beispiel

gemäß der folgenden Abbildung.


Der Integrand des komplexen Integrals hat an der Stelle

einen Pol 1. Ordnung, so daß

, also

.

Führt man die Grenzübergänge
bezüglich

durch, wobei der Integrand des zweiten Integrals für

gleichmäßig gegen 1 konvergiert (d.h., der Grenzübergang

kann unter dem Integralzeichen


vollzogen werden), dann erhält man unter Beachtung des Lemma von JORDAN

,

also
(14.59)


Integralsinus (

)

(8.95)


Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 321 bis 328

Das bestimmte Integral

nennt man Integralkosinus und bezeichnet es mit

Reihenentwicklung ergibt sich:

Mit

ist die EULERsche Konstante bezeichnet.

. Als


Kapitel 15:

Integraltransformationen

●

Begriff der Integraltransformation
Laplace-Transformation
Fourier-Transformation
Z-Transformation
Wavelet-Transformation
WALSH-Funktionen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●
●


Anwendungen der Integraltransformationen
●
●

Prinzipielle Bedeutung
Schema der Operatorenmethode


Allgemeine Definition der Integraltransformationen
Unter einer Integraltransformation versteht man einen Zusammenhang zwischen zwei Funktionen

und

der Form
(15.1a)

Die Funktion

heißt Originalfunktion , ihr Definitionsbereich Originalbereich . Die Funktion

nennt man

Bildfunktion , ihren Definitionsbereich Bildbereich .
heißt der Kern der Transformation. Während es sich bei

Die Funktion
handelt, ist

eine komplexe Variable.

Eine abgekürzte Schreibweise erhält man durch Einführung des Symbols
Kern

um eine reelle Veränderliche

:

für die Integraltransformation mit dem


(15.1b)
Man spricht kurz von

-Transformation.


Begriff der Integraltransformation
●
●
●
●
●
●

●

Allgemeine Definition der Integraltransformationen
Spezielle Integraltransformationen
Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen
Umkehrtransformationen
Linearität der Integraltransformationen
Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
Anwendungen der Integraltransformationen


Linearität der Integraltransformationen
Sind

und

transformierbare Funktionen, dann gilt
(15.3)

wobei

und

beliebige Zahlen sein können. Das bedeutet, daß eine Integraltransformation eine lineare

Operation auf der Menge

der

-transformierbaren Funktionen darstellt.


Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
Integraltransformationen für Funktionen von mehreren Veränderlichen werden auch MehrfachIntegraltransformationen genannt (s. Lit. 15.16). Am verbreitetsten sind die zweifache LAPLACE-Transformation, d.h.
die LAPLACE-Transformation für eine Funktion von zwei Veränderlichen, die zweifache LAPLACE-CARSONTransformation und die zweifache FOURIER-Transformation. Mit dem Symbol
lautet die Definitionsgleichung

für die LAPLACE-Transformation

(15.4)


Spezielle Integraltransformationen
Für unterschiedliche Kerne

und unterschiedliche Definitionsbereiche erhält man unterschiedliche

Integraltransformationen. Die verbreitetsten sind die LAPLACE-Transformation, die LAPLACE-CARSON-Transformation
sowie die FOURIER-Transformation. In der Tabelle ist ein Überblick über Integraltransformationen von Funktionen
einer Veränderlichen gegeben. Hinzu kommen heute vor allem bei der Bilderkennung oder bei der Charakterisierung
von Signalen noch weitere Transformationen wie die Wavelet-Transformation, die GABOR-Transformation und die
WALSH-Transformation .


Umkehrtransformationen
In den Anwendungen ist die Rücktransformation einer Bildfunktion in die Originalfunktion von unmittelbarem
Interesse. Man spricht auch von Umkehrtransformation oder inverser Transformation . Bei Benutzung des Symbols
schreibt sich die Umkehrung der Integraltransformation (15.1a) gemäß
(15.2a)

Der Operator

heißt der zu

inverse Operator , so daß gilt:
(15.2b)

Die Bestimmung der Umkehrtransformation bedeutet, die Lösung der Integralgleichung (15.1a) zu suchen, in der die
Funktion

gegeben ist und die Funktion

gesucht wird. Wenn eine Lösung existiert, kann sie in der Form

(15.2c)


geschrieben werden. Die explizite Bestimmung der inversen Operatoren für die verschiedenen
Integraltransformationen, d.h. für verschiedene Kerne

, gehört zu den grundlegenden Problemen der

Theorie der Integraltransformationen. Der Anwender benutzt zur Lösung seiner Probleme vor allem die in
entsprechenden Tabellen angegebenen Korrespondenzen von zusammengehörigen Bild- und Originalfunktionen
(Tabellen LAPLACE-Transformationen, FOURIER-Transformationen und Z-Transformationen).


WALSH-Systeme
Analog zu den trigonometrischen Funktionen werden periodische Treppenfunktionen betrachtet. Man verwendet das
Intervall

als Periodenintervall und unterteilt es in

gleichlange Teilintervalle. Sei

periodischen Treppenfunktionen mit der Periode 1 über einer solchen Intervallteilung. Die zu

die Menge der
gehörenden

Treppenfunktionen kann man als Vektoren eines endlichdimensionalen Vektorraumes auffassen, denn jede Funktion
wird durch ihre Werte

in den Teilintervallen bestimmt und kann demzufolge als

Vektor aufgefaßt werden:
(15.158)
Die zu

gehörenden WALSH-Funktionen bilden mit einem geeigneten Skalarprodukt eine orthogonale Basis in

diesem Raum. Die Basisvektoren können auf verschiedene Weise numeriert werden, so daß man sehr viele WALSHSysteme erhält, die aber alle dieselben Funktionen enthalten. Es zeigt sich aber, daß drei Systeme zu bevorzugen
sind: WALSH- KRONECKER-Funktionen, WALSH- KACZMARZ-Funktionen und WALSH- PALEY-Funktionen.
In Analogie zur FOURIER-Transformation wird die WALSH- Transformation aufgebaut, wobei die Rolle der


trigonometrischen Funktionen von den WALSH-Funktionen übernommen wird. Man erhält z.B. WALSH-Reihen,
WALSH-Polynome, WALSH-Sinus- und WALSH-Kosinus-Transformationen, WALSH-Integrale, und analog zur
schnellen FOURIER-Transfornmation gibt es die schnelle WALSH-Transformation. Eine Einführung in Theorie und
Anwendung der WALSH-Funktionen s. Lit. 15.7.


Unbestimmte Integrale
Das unbestimmte Integral einer gegebenen Funktion

ist der allgemeine Ausdruck
(8.2)

Die Funktion

unter dem Integralzeichen

heißt Integrand ,

ist die Integrationsvariable ,

Integrationskonstante . Es ist auch üblich, vor allem in der Physik, das Differential
Integralzeichen und damit vor

zu setzen.

die

unmittelbar hinter dem


Planimeter und Integraphen
Planimeter sind Geräte zur Ermittlung des Flächeninhaltes beliebiger geschlossener ebener Kurven, also auch des
bestimmten Integrals einer Funktion

, die durch ihre Kurve gegeben ist. Spezielle Planimeter

ermöglichen nicht nur die Berechnung des Integrals

, sondern auch der Integrale

und

.

Integraphen sind Geräte, mit deren Hilfe das Kurvenbild einer Stammfunktion

werden kann, wenn das Kurvenbild einer vorgegebenen Funktion

gezeichnet

bekannt ist (s. Lit. 19.36).


Integrationsregeln
Eine allgemeine Regel für die Berechnung eines Integrals mit einem Integranden aus beliebigen elementaren
Funktionen kann nicht angegeben werden. Durch Üben kann man sich eine gewisse Routine im Integrieren
aneignen. Heute setzt man zur Berechnung von Integralen meist Computer ein und verwendet
Computeralgebrasysteme.
Die wichtigsten Integrationsregeln für unbestimmte Integrale, die anschließend erläutert werden, findet man
zusammengefaßt in der Tabelle Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale.
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Integrand mit konstantem Faktor
Integration einer Summe oder Differenz
Umformung des Integranden
Lineare Transformation im Argument
Logarithmische Integration
Substitutionsmethode
Partielle Integration
Nichtelementarer Integrale
Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale


Integration binomischer Integranden
Binomischer Integrand wird ein Ausdruck der Form
(8.18)

genannt, in dem

und

beliebige reelle Zahlen sind und

beliebige positive oder negative rationale

Zahlen. Der Satz von TSCHEBYSCHEFF besagt, daß das Integral

(8.19)
nur in den folgenden drei Fällen durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden kann:
1. Fall:

ist eine ganze Zahl Wenn

eine ganze Zahl ist, kann der Ausdruck

nach dem

binomischen Lehrsatz entwickelt werden, so daß der Integrand nach Auflösen der Klammern eine Summe von
Gliedern der Form

darstellt, die sich leicht integrieren lassen.


2. Fall:

ist eine ganze Zahl Wenn

, wobei

Substitution

eine ganze Zahl ist, kann das Integral (8.19) durch die

der Nenner des Bruches

ist, auf ein Integral einer rationalen

Funktion zurückgeführt werden.
3. Fall:

ist eine ganze Zahl Wenn

(8.19) durch die Substitution
einer rationalen Funktion zurückgeführt werden.
Beispiel A

, wobei

eine ganze Zahl ist, kann das Integral

der Nenner des Bruches

ist, auf ein Integral


, (Fall 2):

Substitution

.

Beispiel B

.
Da keine der 3 Bedingungen erfüllt ist, kann das Integral keine elementare Funktion sein.


Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen
Irrationale Funktionen können nicht immer elementar integriert werden. Die Tabelle enthält eine ganze Reihe von
Integralen irrationaler Funktionen. In den einfachsten Fällen lassen sie sich durch Substitutionen, wie sie in der
folgenden Tabelle aufgeführt sind, auf Integrale rationaler Funktionen zurückführen.
Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen I
Integral

Substitution


wobei

das kleinste gemeinsame Vielfache
der Zahlen

ist.

Eine der drei EULERschen Substitutionen :

1. Für

2. Für

3. Falls das Polynom

ver-

schiedene reelle Wurzeln besitzt:

Das Symbol

bezeichnet eine rationale Funktion in den Ausdrücken, vor denen

es steht. Die Zahlen

sind ganz.


Ist

und hat das Polynom

grand für keinen Wert von
von

komplexe Wurzeln, so ist der Inte-

definiert, da dann

für alle reellen Werte

imaginär wird. In diesem Falle ist ein Integrieren nicht von Interesse.

Das Integral

kann auf eine der drei Formen

(8.17a)

(8.17b)

(8.17c)

gebracht werden, da sich das quadratische Polynom
Quadrate darstellen läßt.

stets als Summe oder Differenz zweier


Beispiel A
mit
.

Beispiel B

mit

.

Beispiel C
mit

.


Substitutionen zur Rückführung auf Integrale rationaler Ausdrücke, die
trigonometrische und Hyperbelfunktionen enthalten
Die in der folgenden Tabelle angegebenen Substitutionen führen auf Integrale rationaler Ausdrücke, die
trigonometrische Funktionen oder Hyperbelfunktionen enthalten.
Tabelle Substitutionen zur Integration irrationaler Funktionen II
Integral

Substitution
oder

oder


oder


Graphische Integration
Graphische Integration ist eine graphische Verfahrensweise, um die als Kurve
Funktion

zu integrieren, d.h. das Integral

angibt, graphisch zu berechnen.

(s. Abbildung) gegebene

, das die Größe der Fläche


1. Das Kurvenstück

wird durch die Punkte
(8.55a)

in
ist.

gleiche Teile eingeteilt, wobei das Ergebnis um so genauer ausfällt, je größer die Anzahl der Teilungspunkte
2. In den Teilungspunkten
(8.55b)

werden Lote bis zum Schnitt mit der Kurve errichtet. Die Ordinatenwerte der Strecken


werden auf der

-Achse abgetragen.

-Achse wird eine Strecke

3. Auf der negativen

verbunden.

wird mit den Punkten
4. Durch den Punkt
Teilungspunkt

von beliebiger Länge abgetragen, und der Punkt

wird die Strecke

parallel zu

bis zum Schnitt mit der zum

gehörigen Ordinate gelegt, durch den Punkt

bis zum Schnitt mit der zum Teilungspunkt

die Strecke

parallel zu

gehörigen Ordinate usw., bis die letzte Ordinate im Punkt

erreicht ist.
und

Zahlenmäßig ist das zu berechnende Integral gleich dem Produkt aus den Längen der Strecken
:

(8.56)

Mit Hilfe der beliebig wählbaren Strecke

werden die Ausmaße der Zeichnung bestimmt; je kleiner die

zulässigen Abmessungen der Zeichnung sind, desto größer ist
, und der Polygonzug

zu wählen. Für

ergibt sich

entspricht angenähert dem Kurvenbild


der Stammfunktion von

, d.h. dem unbestimmten Integral

.


Integration im Komplexen
●
●
●

Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie
Integralformeln von Cauchy


Berechnung reeller Integrale durch Integration im
Komplexen
●
●
●

Anwendung der Cauchyschen Integralformeln
Anwendung des Residuensatzes
Anwendungen des Lemmas von Jordan


Zerlegung des Integrationsintervalls
Das Integrationsintervall

kann in Teilintervalle zerlegt werden. Der Wert des bestimmten Integrals über das

gesamte Intervall wird dann gemäß
(8.43)

berechnet ( Intervallregel ).
Besitzt der Integrand eine endliche Zahl von Sprungstellen, dann wird das Intervall durch sie in Teilintervalle
aufgespaltet, in denen die Funktion stetig ist. Das Gesamtintegral kann mittels der Zerlegungsformel aus den
Integralen über die Teilintervalle zusammengesetzt werden.


Integrand mit konstantem Faktor
Ein konstanter Faktor

im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden ( Faktorregel ):
(8.3)


Lineare Transformation im Argument
Ist

bekannt, z.B. aus einer Integraltafel, dann gilt für

(8.5a)

(8.5b)

(8.5c)

Beispiel A


,

Beispiel B
,

Beispiel C
.


Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale
Regel

Integrationskonstante

Integration und
Differentiation

Faktorregel

Formel für die Integration

(

const)


Summenregel

Partielle Integration

Substitutionsregel

Spezielle Form des
Integranden


Integration der
Umkehrfunktion


Logarithmische Integration
Wenn der Integrand ein Bruch ist, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das Integral gleich dem
Logarithmus des Nenners:
(8.6)

Beispiel
.


Numerische Integration
●
●
●
●

Allgemeine Quadraturformel
Interpolationsquadraturen
Quadraturformeln vom Gauß-Typ
Verfahren von Romberg


Partielle Integration
(8.8)
wobei

und

stetige Ableitungen besitzen müssen.

Beispiel
Das Integral

setzt, was auf

kann durch partielle Integration gelöst werden, indem man

und

führt:
.

und


Substitutionsmethode
Ist

bzw.

die Umkehrfunktion zu

, dann gilt
(8.7)

Beispiel A
. Substitution

, danach Partialbruchzerlegung:

.

Beispiel B


Substitution

.


Integration einer Summe oder Differenz
Das Integral einer Summe oder Differenz kann auf die Integrale der einzelnen Terme zurückgeführt werden ( Summenregel ):
(8.4)

Die Variablen

sind Funktionen von

.

Beispiel
.


Umformung des Integranden
Die Integration eines komplizierten Integranden läßt sich durch algebraische oder trigonometrische Umformung auf
einfachere Integrale zurückführen.
Beispiel
.


Substitution
Mit Hilfe der Universalsubstitution
(8.25)
läßt sich ein Integral der Form
(8.26)
auf ein Integral einer rationalen Funktion zurückführen, wobei mit
eine rationale Funktion des Ausdrucks bezeichnet ist, vor
dem es steht. In einzelnen Fällen können einfachere Substitutionen eingesetzt werden. Wenn der Integrand in (8.26) nur gerade
Potenzen der Funktionen
und
enthält, kann er durch die Substitution
Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden.
Beispiel

wesentlich einfacher auf ein


Integration unter dem Integralzeichen
Wenn die Funktion (8.90) im Intervall

definiert und die Funktion

im Rechteck

stetig ist, dann gilt

(8.94)
Man spricht in diesem Falle von Integration unter dem Integralzeichen .
Beispiel A


über dem Rechteck

Integration der Funktion
ist bei

unstetig, für

. Die Funktion

ist sie stetig. Daher kann die Integrationsreihenfolge

vertauscht werden. Links erhält man

gemäß

, rechts

. Das unbestimmte Integral kann nicht durch

elementare Funktionen ausgedrückt werden. Das bestimmte Integral ist allerdings bekannt, so daß sich
ergibt

Beispiel B

.


Integration der Funktion

Funktion ist im Punkt

über dem Rechteck

. Die

unstetig, so daß die Formel (8.94) nicht anwendbar ist. Die Probe ergibt

;

.


Weitere Sätze über Integrationsgrenzen
1. Unabhängigkeit von der Bezeichnung der Integrationsvariablen: Der Wert eines bestimmten Integrals
ist unabhängig von der Bezeichnung der Integrationsvariablen:
(8.44)

2. Gleiche Integrationsgrenzen: Der Wert des bestimmten Integrals ist Null, wenn die Integrationsgrenzen
gleich sind:
(8.45)

3. Vertauschung der Integrationsgrenzen: Eine Vertauschung der Integrationsgrenzen ändert das
Vorzeichen des Integralwertes ( Vertauschungsregel ):


(8.46)


Volumina
Siehe auch Zweite GULDINsche Regel.
1. Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers bei Drehung um die

-Achse (s. linke Abbildung):
(8.62a)

2. Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers bei Drehung um die

-Achse (s. rechte Abbildung):

(8.62b)


3. Volumen eines Körpers, wenn der Flächeninhalt seines senkrecht zur
Funktion

-Achse gelegten Querschnitts eine

ist (s. Abbildung):

(8.63)


Die Berechnung des Volumens komplizierterer Körper ist mit Hilfe des Doppelintegrals oder mit Hilfe des
Dreifachintegrals möglich.
Formeln zur Berechnung von Volumina mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind in der Tabelle
Anwendung von Doppelintegralen und in der Tabelle Anwendung von Dreifachintegralen angegeben.


Quadratische Integrierbarkeit
Eine Funktion

heißt quadratisch integrierbar im Intervall

, falls gilt:

(11.43)

Insbesondere ist jede in

stetige Funktion auch quadratisch integrierbar. Der Funktionenraum aller in

quadratisch integrierbaren Funktionen wird mit

bezeichnet.


Intermittenz
Gegeben sei ein stabiler periodischer Orbit von (17.53), der bei
der Multiplikatoren, die innerhalb des Einheitskreises lagen, den Wert

seine Stabilität verliert, indem genau einer
annimmt. Nach dem Satz über die

Zentrumsmannigfaltigkeit läßt sich die entsprechende Sattelknoten-Bifurkation der POINCARÉ-Abbildung durch eine
eindimensionale Abbildung in der Normalform

beschreiben. Dabei ist
von

ein Parameter, für den

in der folgenden Abbildung zu sehen.

mit

gilt. Für positives

ist der Graph


Wie die Abbildung zeigt, verweilen für

die Iterierten von

relativ lange in der Tunnelzone. Für die

Differentialgleichung (17.53) bedeutet dies, daß die entsprechenden Orbits relativ lange in der Umgebung des
ursprünglichen periodischen Orbits bleiben. In dieser Zeit ist das Verhalten von (17.54) nahezu periodisch ( laminare
Phase ). Ist die Tunnelzone durchlaufen, entflieht der betrachtete Orbit, was zu irregulären Bewegungen führt (
turbulente Phase ). Nach einem gewissen Zeitraum wird der Orbit eingefangen und erneut eine laminare Phase
eingeleitet. Ein seltsamer Attraktor entsteht in der beschriebenen Situation dann, wenn der periodische Orbit
verschwindet und seine Stabilität an die chaotische Menge vererbt. Die Sattelknoten-Bifurkation ist nur eine der
generischen lokalen Bifurkationen, die im Intermittenz-Szenario eine Rolle spielen. Zwei weitere sind die
Periodenverdopplung und die Abspaltung eines Torus.


Polynominterpolation
Die Grundaufgabe der Interpolation besteht darin, durch eine Reihe von Punkten
eine geeignete Kurve hindurchzulegen. Graphisch geschieht das mit Hilfe eines Kurvenlineals, rechnerisch mit Hilfe
einer Funktion

, die an den Stellen

Funktionswerte annimmt, d.h.,

, den sogenannten Stützstellen , die gegebenen Werte

als

erfüllt die Interpolationsbedingung
(19.156)

Als Interpolationsfunktionen sind in erster Linie Polynome gebräuchlich bzw. bei periodischen Funktionen sogenannte
trigonometrische Polynome. Im letzteren Fall spricht man von trigonometrischer Interpolation. Werden
Stützstellen benutzt, so heißt

die Ordnung der Interpolation, und der Grad des Interpolationspolynoms ist dann

. Da mit zunehmendem Polynomgrad die Interpolationspolynome starke Oszillationen aufweisen,
höchstens gleich
die in der Regel unerwünscht sind, zerlegt man zweckmäßigerweise das Interpolationsintervall in Teilintervalle und
geht zur Spline-Interpolation über.


●
●
●

Newtonsche Interpolationsformel
Interpolationsformel nach Lagrange
Interpolation nach Aitken-Neville


Interpolationsformel nach Lagrange
Um durch

Punkte

ein Polynom vom Grade

hindurchzulegen, kann

man nach LAGRANGE den folgenden Ansatz benutzen:
(19.158)

Dabei werden mit

die LAGRANGEschen Grundpolynome bezeichnet. Der Ansatz

(19.158) erfüllt die Interpolationsbedingung (19.156), wenn gilt:
(19.159)
Dabei ist

das KRONECKER-Symbol. Aus der Bedingung (19.159) und der Forderung, daß die LAGRANGEschen

Grundpolynome vom Grad

sein sollen, ergibt sich die Darstellung


(19.160)

Beispiel
Die durch die Wertetabelle
x 0 1 3
y 1 3 2
gegebenen Punkte sollen mit Hilfe der LAGRANGEschen Interpolationsformel (19.158) interpoliert werden.
Man erhält:

Das LAGRANGEsche Interpolationspolynom hängt explizit und zwar linear von den gegebenen


Funktionswerten

ab. Das ist für theoretische Überlegungen von Bedeutung

(s. z.B. Verfahren von ADAMS-BASHFORTH). Für praktische Rechnungen ist die LAGRANGEsche
Interpolationsformel weniger geeignet.


Newtonsche Interpolationsformel
Zur Lösung der Interpolationsaufgabe (19.156) wird ein Polynom vom Grade

in der folgenden Form angesetzt:

(19.157)
Dieser Ansatz, auch NEWTONsche Interpolationsformel genannt, ermöglicht die einfache Berechnung der
Koeffizienten
lineares Gleichungssystem führt.
Beispiel

, da die Interpolationsbedingung (19.156) unmittelbar auf ein gestaffeltes


Für

erhält man aus (19.156) das folgende Gleichungssystem:

Das Interpolationspolynom

ist durch die Interpolationsbedingung (19.156) eindeutig bestimmt.

Die Berechnung von Funktionswerten kann in einfacher Weise mit Hilfe des HORNER- Schemas erfolgen.


Interpolationsquadraturen
Die folgenden Formeln stellen sogenannte Interpolationsquadraturen dar. Dabei wird der Integrand
einiger (möglichst weniger) Stützstellen durch ein Polynom
Integral über

wird durch das über

bezüglich

entsprechenden Grades interpoliert, und das

ersetzt. Die Formel für das Integral über das gesamte

Integrationsintervall ergibt sich dann durch Summation. Im folgenden werden nur die praktisch wichtigsten Formeln
für den Fall angegeben, daß die Stützstellen gleichabständig sind:
(19.72)

Zu jeder Quadraturformel wird eine obere Schranke für den Fehlerbetrag
eine für den gesamten Bereich der Stützstellen gültige obere Schranke für

angegeben. Dabei bedeutet
.


●
●
●
●

Rechteckformel
Trapezformel
Hermitesche Trapezformel
Simpson-Formel


Interpolationssplines
●
●

Definition der kubischen Interpolationssplines
Bestimmung der Spline-Koeffizienten


Bikubische Interpolationssplines
●
●

Eigenschaften
Tensorprodukt-Ansätze


Zahlenintervall
Eine zusammenhängende Menge reeller Zahlen mit den Endpunkten
und

gleich

und

, wobei

gesetzt werden kann, wird Zahlenintervall mit den Endpunkten

ist und
und

gleich

genannt. Wenn

der Endpunkt nicht selbst zum Intervall gehört, spricht man vom offenen Intervallende , im entgegengesetzten Falle
vom abgeschlossenen Intervallende .
und , indem diese in Klammern gesetzt
Die Angabe eines Zahlenintervalls erfolgt durch seine Endpunkte
werden. Eine eckige Klammer steht für ein geschlossenes Intervallende, eine runde für ein offenes. Es wird zwischen
beiderseits offenen Intervallen

, halboffenen Intervallen

bzw.

unterschieden. Für offene Intervalle findet man auch die Bezeichnung
an Stelle von

und abgeschlossenen Intervallen
an Stelle von

, analog

. In der graphischen Darstellung werden die Endpunkte eines offenen Intervalls durch

volle Pfeilspitzen, die eines abgeschlossenen Intervalls durch Punkte gekennzeichnet.


Übereinanderlegen von Flächen bei Verbiegung
Wenn eine Fläche ohne Zerrung oder Einschnitt verbogen wird, ändert sich ihre Gleichung, aber ihre Metrik bleibt
erhalten. Mit anderen Worten, die erste quadratische Fundamentalform ist bei solchen reinen Verbiegungen eine
Invariante. Daher können zwei unterschiedliche Flächen mit gleicher erster quadratischer Fundamentalform
aufeinander abgewickelt werden.


Invariante einer Kurve zweiter Ordnung
Invariante einer Kurve zweiter Ordnung sind die drei Größen

(3.351b)

Bei Drehungen des Koordinatensystems bleiben sie erhalten, d.h., wenn nach einer Koordinatentransformation die
Kurvengleichung die Form
(3.351c)
hat, dann liefert die Berechnung dieser drei Größen
Werte.

und

aus den neuen Konstanten die ursprünglichen


Geometrische Deutung
Die Realisierung der Rauminversion kann man sich in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem
geometrisch betrachtet, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, in zwei Schritten vorstellen:

1. Durch Spiegelung an einer Koordinatenebene, z.B. der
in das

-Ebene, geht das

-Koordinatensystem

-Koordinatensystem über.Ein rechtshändig orientiertes System wird dabei in ein linkshändig

orientiertes überführt.


2. Durch eine

-Drehung des

-Systems um die

Koordinatenursprung gespiegelte Koordinatensystem

-Achse entsteht das vollständig am
Es behält im Vergleich zum 1. Schritt seine

Linkshändigkeit bei.
Ergebnis: Bei Rauminversion ändert ein polarer Vektor seine Orientierung im Raum um
behält seinen Drehsinn bei.

, ein axialer Vektor


Unterabschnitte
●
●

Begriff der Rauminversion:
Transformationsmatrix:

Tensorverhalten bei Rauminversion
Begriff der Rauminversion:
Unter Koordinateninversion oder Rauminversion versteht man die Spiegelung der Ortskoordinaten von Raumpunkten
am Koordinatenursprung. In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem bedeutet Rauminversion eine
Umkehr der Vorzeichen der Koordinatenachsen:
(4.98)
Dadurch wird ein rechtshändiges in ein linkshändiges Koordinatensystem überführt. Analoges gilt für andere
Koordinatensysteme. In Kugelkoordinaten ergibt sich:


(4.99)
Bei Spiegelungen dieser Art bleiben die Längen von Vektoren und die Winkel zwischen ihnen unverändert. Der
Übergang wird durch eine lineare Transformation vermittelt.

Transformationsmatrix:
Die Transformationsmatrix

einer linearen Transformation im dreidimensionalen Raum gemäß (4.65)

hat bei Rauminversion die folgenden Eigenschaften:
(4.100a)
Für die Komponenten eines Tensors

-ter Stufe folgt damit aus (4.68)
(4.100b)

Das bedeutet: Unter einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung bleibt ein Tensor 0. Stufe, also ein Skalar,
ungeändert, ein Tensor 1. Stufe, also ein Vektor, ändert sein Vorzeichen, ein Tensor 2. Stufe bleibt ungeändert, usw.


Inzidenzmatrix
Für einen ungerichteten Graphen
wird die Matrix

vom Typ

mit

und

mit

(5.234)

Inzidenzmatrix genannt.
Für einen gerichteten Graphen
die Inzidenzmatrix

die durch

mit

und

ist


(5.235)

definierte Matrix vom Typ


Irrationale und transzendente Zahlen
1. Menge der irrationalen Zahlen: Für die Analysis reicht die Menge der rationalen Zahlen nicht aus.
Obgleich sie überall dicht ist, füllt sie nicht die gesamte Zahlengerade aus. Wenn man z.B. die Diagonale
des Einheitsquadrats um
keine rationale Koordinate.

dreht, so daß

in den Punkt

der Zahlengeraden übergeht, dann hat

Erst die Einführung der irrationalen Zahlen ermöglicht es, jedem Punkt der Zahlengeraden eine Zahl
zuzuordnen.
In den Lehrbüchern der Analysis wird eine exakte Definition der irrationalen Zahlen gegeben, z.B. durch


Intervallschachtelung. Für die Anschauung genügt die Feststellung, daß die irrationalen Zahlen auf der
Zahlengeraden die Punkte einnehmen, die als Lücken zwischen den rationalen Zahlen vorhanden sind, und
daß jede irrationale Zahl durch einen nichtperiodischen unendlichen Dezimalbruch dargestellt werden kann.
2. Algebraische Irrationalitäten: Zu den irrationalen Zahlen gehören insbesondere die nicht ganzzahligen
reellen Wurzeln der algebraischen Gleichungen der Form

mit

, ganz und ganzzahligen Koeffizienten. Ein Beispiel ist die Gleichung

Man nennt

solche Wurzeln algebraische Irrationalitäten . Einfachste Beispiele für algebraische Irrationalitäten sind reelle
Wurzeln der Gleichungen

also Zahlen der Form

wenn sie nicht rational sind.

Beispiel
sind algebraische Irrationalitäten.
3. Transzendente Zahlen: Irrationale Zahlen, die keine algebraischen Irrationalitäten sind, nennt man
transzendent .
Beispiel
.

Die dekadischen Logarithmen der ganzen Zahlen mit Ausnahme von Zahlen der Form
sowie
die meisten Werte der trigonometrischen Funktionen eines Winkels sind transzendente Zahlen.


Chi-Quadrat-Test
Es ist zu prüfen, ob eine Zufallsgröße

einer Normalverteilung genügt. Daher wird der Wertebereich von

Klassen eingeteilt und die obere Grenze der
,,theoretische`` Wahrscheinlichkeit, daß

-ten Klasse
in die

-te Klasse fällt, sei

mit

in

bezeichnet. Die

, d.h., es gilt
(16.117a)

wobei

die Verteilungsfunktion von
). Da

ist (

ist die untere Grenze der 1. Klasse mit

normalverteilt sein soll, muß
(16.117b)

sein. Mit
und

ist die Verteilungsfunktion der normierten GAUSSschen Normalverteilung bezeichnet. Die Parameter
der Grundgesamtheit sind in der Regel nicht bekannt. Deshalb werden

und

als Näherungswerte


einer Stichprobe verwendet.
) vom Umfang

Wurde der Grundgesamtheit eine Stichprobe (
Häufigkeit

entnommen und deren

bezüglich der oben festgelegten Klasseneinteilung ermittelt, dann genügt die Zufallsgröße

(16.117c)

näherungsweise einer

-Verteilung mit

Freiheitsgraden. Dazu ist notwendig, daß

gilt,

was durch Zusammenfassen einiger Klassen erreicht werden kann.
Die Prüfung auf Normalverteilung (man spricht auch von
Vorgabe einer statistischen Sicherheit
-Verteilung entnimmt, für das

-Anpassungstest ) besteht darin, daß man nach

oder Irrtumswahrscheinlichkeit

das Quantil

der Tabelle

gilt. Ergibt sich für den nach (16.117c) ermittelten

speziellen Wert

(16.117d)


dann besteht kein Widerspruch zu der Annahme, daß die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit stammt, die
normalverteilt ist.
Beispiel
Dem folgenden

-Test liegen die Zahlenwerte einer Stichprobe mit einem Umfang von

Messungen zu Grunde aus der der Mittelwert

und die Streuung

worden sind. Diese Werte werden als Schätzwerte für die unbekannten Parameter
Grundgesamtheit verwendet. Damit kann die Testgröße

und

der

gemäß (16.117c) unter Beachtung von (16.117a)

und (16.117b), wie in der folgenden, Tabelle dargestellt, ermittelt werden.
Tabelle Beispiel zum

ermittelt

-Test


15


Aus der letzten Spalte folgt
Klassen von

auf

beiden Schätzwerte

und

. Wegen der Forderung

. Da zur Berechnung der theoretischen Häufigkeit
der Stichprobe an Stelle von

und

werden, verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade der betreffenden
muß als kritischer Wert das Quantil
Tabelle

-Verteilung

reduziert sich die Anzahl der

verwendet werden. Für
, so daß wegen

besteht, daß die Grundgesamtheit normalverteilt ist.

die

der Grundgesamtheit verwendet
-Verteilung um weitere zwei. Damit
erhält man aus der
kein Widerspruch zu der Annahme


Isometrische Räume
Existiert für zwei metrische Räume

und

eine bijektive Abbildung

mit der

Eigenschaft
(12.75)
dann heißen die Räume

und

isometrisch und

eine Isometrie .


Isomorphe Vektorräume
Eine bijektive lineare Abbildung
heißt Isomorphismus der Vektorräume
nennt man im Falle der Existenz eines Isomorphismus isomorph.

und

. Die Räume


Iterationsverfahren
Das allgemeine Prinzip der iterativen Methoden zur genäherten Lösung von Gleichungen besteht darin, ausgehend
von bekannten Näherungswerten

für eine Lösung, schrittweise, also durch Iteration , eine

Folge von weiteren Näherungswerten zu erzeugen, die möglichst schnell gegen die betreffende Lösung der
gegebenen Gleichung konvergiert.
●
●
●

Gewöhnliches Iterationsverfahren
Newton-Verfahren
Regula falsi


Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Das gegebene lineare

-Gleichungssystem

(12.60a)

geht durch Umformung (s. Lineare Gleichungssysteme) gemäß (19.26)in das äquivalente Gleichungssystem

(12.60b)

über. Dieses läßt sich mit dem Operator

, definiert durch


(12.61)
in das Fixpunktproblem
(12.62)
überführen, das im metrischen Raum
Metrik (12.43) oder der Metrik

, versehen mit einer geeigneten Metrik, der euklidischen (12.42), der
(vgl. mit (12.45)), betrachtet wird. Ist eine der Zahlen

(12.63)

kleiner als 1, dann erweist sich

als kontrahierender Operator und besitzt genau einen Fixpunkt (s. BANACHscher

Fixpunktsatz), der der komponentenweise Grenzwert der Iterationsfolge mit beliebigem Startpunkt aus

ist.


Gewöhnliches Iterationsverfahren
Zur Lösung einer Gleichung, die auf die Fixpunktform

gebracht worden ist, verwendet man die

naheliegende Iterationsvorschrift
(19.3)
die als gewöhnliches Iterationsverfahren bezeichnet wird. Es konvergiert gegen eine Lösung
Umgebung von

, wenn es eine

(s. Abbildung) mit
(19.4)

gibt und die Ausgangsnäherung

in dieser Umgebung liegt.


Ist

differenzierbar, dann lautet die entsprechende Bedingung
(19.5)

Die Konvergenz des gewöhnlichen Iterationsverfahrens ist um so besser, je kleiner die Zahl
Beispiel

ist.


, d.h.

.

Hinweise:
1. Im Falle komplexer Lösungen setzt man

. Durch Trennung von Real- und Imaginärteil geht die zu

und
über.
lösende Gleichung in ein System zweier Gleichungen für die reellen Unbekannten
2. Die iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme wird in Abschnitt Nichtlineare Gleichungen behandelt.


Relaxationsverfahren
Die Iterationsvorschrift des GAUSS-SEIDEL-Verfahrens (19.51) läßt sich auch in der sogenannten Korrekturform

(19.52)
schreiben. Durch geeignete Wahl eines Relaxationsparameters

, so daß (19.52) in
(19.53)

übergeht, kann man versuchen, die Konvergenzeigenschaften des Einzelschrittverfahrens zu verbessern. Es läßt
sich zeigen, daß Konvergenz nur für
(19.54)


möglich ist. Für

erhält man das Einzelschrittverfahren. Im Fall

zugehörigen Iterationsverfahren werden als SOR-Verfahren (

uccessive

spricht man von Überrelaxation, die
ver

elaxation) bezeichnet. Die

Bestimmung optimaler Relaxationsparameter ist nur für einige spezielle Matrizentypen explizit möglich.
Die Anwendung iterativer Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist vor allem angebracht, wenn die
Hauptdiagonalelemente

der Koeffizientenmatrix gegenüber den übrigen Elementen

betragsmäßig stark überwiegen oder wenn durch Umstellung oder geeignete Kombination der einzelnen Gleichungen
eine solche Anordnung erreicht werden kann.


Kante
Eine Figur, die aus zwei, einer Geraden entspringenden Halbebenen gebildet wird, heißt Kante oder Zweiflach .

Im täglichen Sprachgebrauch versteht man im Unterschied zu dieser Definition unter einer Kante die Schnittgerade
zweier Halbebenen. Als Kantenmaß dient der ebene Kantenwinkel

den zwei im Innern der Ebenen


senkrecht auf die Schnittgerade

in den Punkt

gefällte Lote miteinander bilden.


Kantenfolgen
In einem ungerichteten Graphen
von Elementen aus
Ist

wird jede Folge

eine Kantenfolge der Länge

dann spricht man von einer geschlossenen Kantenfolge oder einem Kreis , anderenfalls von einer

offenen Kantenfolge . Eine Kantenfolge

heißt Weg , wenn

Ein geschlossener Weg ist ein Elementarkreis .
Beispiel

genannt.

paarweise verschiedene Knoten sind.


Im Graphen der nebenstehenden Abbildung ist

eine offene Kantenfolge der Länge 5,

eine geschlossene Kantenfolge der Länge 5,
ein Kantenzug,
ein Weg.
Ein Elementarkreis wird durch


dargestellt.


Kardioide
Die Kardioide kann auf zweierlei Weise definiert werden:
1. als Spezialfall der PASCALschen Schnecke mit
(2.226)
wobei

der Durchmesser des Kreises ist und
2. als Epizykloide mit gleich großem Durchmesser

des festen und des beweglichen Kreises.


Die Gleichung lautet in kartesischen Koordinaten, in Parameterform sowie in Polarkoordinaten:
(2.227a)
(2.227b)
(2.227c)
Der Koordinatenursprung ist ein Rückkehrpunkt. Der Scheitel

liegt bei

; Maximum

und Minimum


liegen bei

mit den Koordinaten

Der Flächeninhalt beträgt
Kurvenlänge ist

d.h. die sechsfache Fläche des Kreises mit dem Durchmesser

Die


Kartesisches Blatt
Die Gleichung
(2.217a)
oder in Parameterform
(2.217b)
ergibt graphisch dargestellt das kartesische Blatt .


Der Koordinatenursprung ist infolge zweier ihn durchlaufender Kurvenzweige ein Doppelpunkt, in dem beide
Koordinatenachsen Tangenten sind. Der Krümmungsradius ist für beide Kurvenzweige im Koordinatenursprung
Die Asymptote berechnet sich aus

Der Flächeninhalt der Schleife ist
den gleichen Wert.

der Scheitelpunkt

der Flächeninhalt

hat die Koordinaten

zwischen der Kurve und der Asymptote hat


Kaskade von Periodenverdopplungen
Analog zur logistischen Gleichung (17.70) kann es auch in zeitkontinuierlichen Systemen zu einer Kaskade von
Periodenverdopplungen nach folgendem Szenario kommen. Das System (17.53) besitzt für
periodischen Orbit

Orbit

für

Periode ab. Bei

stabiler Orbit

. Bei

findet nahe

den stabilen

eine Periodenverdopplung statt, bei der der periodische

seine Stabilität verliert. Von ihm spaltet sich ein periodischer Orbit

findet erneut eine Periodenverdopplung statt, wobei

mit etwa doppelter

seine Stabilität verliert und ein

mit nahezu doppelter Periode entsteht. Für wichtige Klassen von Systemen(17.53) setzt sich

dieser Prozeß der Periodenverdopplung fort, so daß eine Folge von Parameterwerten

entsteht. Numerische

Berechnungen für bestimmte Differentialgleichungen (17.53) (z.B. bei hydrodynamischen Differentialgleichungen wie


dem LORENZ-System) belegen die Existenz des Grenzwertes

FEIGENBAUM-Konstante ist. Bei

, wobei

die

verliert der Zyklus mit unendlicher Periode seine Stabilität, und es

kommt zur Bildung eines seltsamen Attraktors.
Der geometrische Hintergrund der Entstehung dieses seltsamen Attraktors in (17.53) durch eine Kaskade von
Periodenverdopplungen ist in der folgenden Abbildung zu sehen.

Der POINCARÉ-Schnitt zeigt dabei näherungsweise eine Bäcker-Abbildung, die auf die Entstehung einer CANTORMengen-ähnliche Struktur hindeutet.


Geordnete normierte Räume
●
●

Kegel im normierten Raum
Normierte Vektorverbände und Banach-Verbände


Kegel
Liegt die Spitze im Koordinatenursprung (linke Abbildung), dann gilt:
(3.410)


Als Leitkurve kommt eine Ellipse mit den Halbachsen
einer Entfernung
der Gleichung

und

in Betracht, deren Ebene senkrecht zur

-Achse in

vom Koordinatenursprung liegt. Der Kegel kann in dieser Darstellung als Asymptotenkegel mit

(3.411)
aufgefaßt werden, dessen Erzeugende sich beiden Hyperboloiden im Unendlichen unbegrenzt nähert (rechte
Abbildung). Für

ergibt sich ein gerader Kreiskegel.


Kegel
Eine nichtleere Teilmenge
eines (reellen) Vektorraums
folgenden Bedingungen genügt:

nennt man einen (konvexen) Kegel , wenn sie den

1.
ist eine konvexe Menge.
2.
Aus

und

Aus

und

folgt

.

3.
folgt

.

Ein Kegel ist auch durch 3. zusammen mit
(12.16)
charakterisiert.
Beispiel A


Die Menge

aller Vektoren

mit nichtnegativen Komponenten ist ein Kegel in

.
Beispiel B
Die Menge
Raum

aller reellen stetigen Funktionen auf

mit nichtnegativen Werten ist ein Kegel im

.

Beispiel C
Die Menge aller reellen Zahlenfolgen

mit nichtnegativen Gliedern (also

) ist ein

Kegel in . Analog ergeben sich Kegel in den Vektorräumen der Beispiele C bis G, wenn man jeweils die
Menge der nichtnegativen Folgen in diesen Räumen betrachtet.
Beispiel D
Die Menge

, bestehend aus allen Folgen

, für die

(12.17)


gilt, ist eine konvexe Menge in

, die offenbar kein Kegel ist.

Beispiel E
zeigt die folgende Abbildung: Links konvexe Menge, die kein Kegel ist, Mitte
Beispiele aus
nichtkonvexe Menge, rechts konvexe Hülle.


Kegel im normierten Raum
Sei

ein reeller normierter Raum mit der Norm

. Ein Kegel

heißt solid , wenn

(mit positivem Radius) enthält. Die üblichen Kegel in den Räumen
und

Ein Kegel

eine Kugel

sind solid, die in den Räumen

nicht.

heißt normal , wenn die Norm in

semimonoton ist, d.h., es existiert eine Konstante

, so

daß
(12.90)

gilt. Ist

ein mit Hilfe eines Kegels

normbeschränkt, wenn der Kegel

geordneter BANACH-Raum, dann ist jedes

-Intervall genau dann

normal ist. Die Kegel der Vektoren mit nichtnegativen Komponenten und der


nichtnegativen Funktionen in den Räumen

sind normal.

Ein Kegel heißt regulär , wenn jede monoton wachsende, von oben beschränkte Folge
(12.91)
eine CAUCHY-Folge in

ist. In einem BANACH-Raum ist jeder abgeschlossene reguläre Kegel normal. Die Kegel in
sind regulär, die in

und

nicht.


Kegelflächen
Kegelflächen entstehen durch die Bewegung einer Geraden, der Erzeugenden, die durch einen festen Punkt, die
Spitze, geht und längs einer Kurve, der Leitkurve, geführt wird.


Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)
●
●
●
●
●
●
●

●

Allgemeine Gleichung der Kurven zweiter Ordnung
Invariante einer Kurve zweiter Ordnung
Gestalt der Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung
Bestimmung der Kurve durch fünf Punkte
Polargleichung der Kurven zweiter Ordnung
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Mittelpunktskurven
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Parabolische Kurven


Gestalt der Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
Wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird, dann entsteht auf ihr ein Kegelschnitt. Geht die
schneidende Ebene nicht durch die Spitze, dann ergibt sich eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse in Abhängigkeit
davon, ob die Ebene parallel zu zwei, nur zu einer oder zu keiner Erzeugenden des Kegels verläuft. Geht die
Als Kegelschnitt
schneidende Ebene durch die Kegelspitze, dann entstehen zerfallende Kegelschnitte mit
eines in einen Zylinder entarteten Kegels , dessen Spitze sich im Unendlichen befindet, ergeben sich zwei parallele
Geraden. Der Bestimmung der Gestalt der Kegelschnitte dienen die Tabellen
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, Mittelpunktsgleichungen
und
Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform, parabolische Gleichungen.


Gerader Kreiskegelstumpf

(3.138)

(3.139)


(3.140)

(3.141)


Keil
Keil wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Rechteck, dessen Seitenflächen je zwei gegenüberliegende
gleichschenklige Dreiecke bzw. Trapeze sind.

Für das Volumen gilt
(3.121)


Sphärisches Zweieck
Durch die Endpunkte
Winkel

und

eines Kugeldurchmessers sollen zwei Ebenen

miteinander einschließen und zwei Großkreishälften

und

und

definieren.

verlaufen, die den


Der von zwei Großkreishälften begrenzte Teil der Kugeloberfläche wird sphärisches Zweieck oder Kugelzweieck
genannt. Als Seiten des sphärischen Zweiecks werden die sphärischen Abstände zwischen den Punkten

und

auf den Großkreisen definiert. Jede Seite beträgt daher
Als Winkel des sphärischen Zweiecks werden die Winkel zwischen den Tangenten an die Großkreise
den Punkten

und

definiert. Sie sind gleich und stimmen mit dem sogenannten Keilwinkel

und

zwischen den

in


Ebenen

und

überein. Sind

, dann kann der Winkel

und

die Halbierungspunkte der beiden Großkreisbogen durch

auch als sphärischer Abstand der Punkte

des Kugelzweiecks verhält sich zur Kugelfläche wie der Winkel

und
zu

und

aufgefaßt werden. Die Fläche
Daraus folgt
(3.164)


Logarithmentafeln
Die dekadischen und die natürlichen Logarithmen stehen in Logarithmentafeln zur Verfügung. Sie wurden früher mit
Vorteil bei der numerischen Bildung von Potenzen oder zur Vereinfachung numerischer Multiplikationen und
Divisionen verwendet. Am häufigsten wurden die dekadischen Logarithmen dazu benutzt. Heute sind die
Logarithmentafeln durch die Taschenrechner und Personalcomputer weitgehend aus der rechnerischen Praxis
verdrängt.
Jede Dezimalzahl, also jede reelle Zahl, in diesem Zusammenhang auch Numerus genannt, kann durch Vorziehen
einer Zehnerpotenz

mit ganzzahligem

in der Form
(1.26a)

halblogarithmisch dargestellt werden. Dabei ist
Größenordnung von

durch die Ziffernfolge von

bestimmt, während

die

angibt. Somit wird
(1.26b)

Man nennt

die Kennzahl und die Ziffernfolge hinter dem Komma von

die Mantisse . Letztere wird der


Logarithmentafel entnommen.
Beispiel
, also Kennzahl 2, Mantisse 5105. Für die durch Multiplikation oder Division mit
entstandenen Zahlen, z.B. 3240; 324000; 3,24; 0,0324, haben die Logarithmen die gleiche Mantisse, hier
5105, aber verschiedene Kennzahlen. Daher sind es die Mantissen, die in den Logarithmentafeln tabelliert
sind. Beim Ablesen der Mantisse braucht weder auf die Stelle des Kommas noch auf die links oder rechts
von der Zahl stehenden Nullen einschließlich der Null vor dem Komma geachtet zu werden. Diese gehen in
die Bestimmung der Kennzahl

für einen bestimmten Numerus

ein.


Konvergenz der NEUMANNschen Reihe
Zur Ermittlung der Lösung

ist die Potenzreihe bezüglich

(11.12)

die NEUMANNsche Reihe, auf Konvergenz zu untersuchen. Sind die Funktionen

und

beschränkt, d.h.,

es gelte
(11.13a)
so bildet die Reihe
(11.13b)
eine Majorante für die Potenzreihe (11.12). Diese geometrische Reihe konvergiert für
(11.13c)


Die NEUMANNsche Reihe konvergiert also ebenfalls absolut und gleichmäßig für alle , die (11.13c) erfüllen (s. auch
Raum linearer stetiger Operatoren). Durch eine schärfere Abschätzung der Glieder der NEUMANNschen Reihe kann das
Konvergenzintervall noch genauer angegeben werden. Danach konvergiert die NEUMANNsche Reihe für

(11.13d)

Diese Einschränkung an den Parameter

bedeutet nicht, daß für größere Werte von

generell keine Lösung

existieren würde, sondern nur, daß die Lösung unter Umständen nicht durch die NEUMANNsche Reihe angegeben
werden kann. Den Ausdruck
(11.14a)
bezeichnet man als Resolvente oder lösenden Kern der Integralgleichung. Die Resolvente ermöglicht eine
Lösungsdarstellung durch
(11.14b)

Beispiel


Für die inhomogene FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art

und damit

wobei

Reihe, die sogar für

erhält man

. Mit der Schranke (11.13c) konvergiert die Reihe sicher für

ist. Die Resolvente

ist jedoch eine geometrische

konvergiert. Damit erhält man aus (11.14b)

.

Hinweis: Ist für ein konkretes

die Bedingung (11.13d) nicht erfüllt, so kann ein stetiger Kern in zwei stetige Kerne

,


zerlegt werden durch
und

, wobei

einen ausgearteten Kern darstellt

so klein ist, daß (11.13d) für diesen Kern erfüllt ist. Auf diese Weise läßt sich für alle

Eigenwerte sind, eine exakte Lösungsmethode herleiten.

, die keine


Bogenlänge
Die Bogenlänge

zwischen zwei Punkten

gemäß Abbildung aus den Beziehungen

und

auf einem Kleinkreis

läßt sich

und

gewinnen:
(3.221)


Beispiel
Für

wird der Kleinkreis zur Orthodrome, und aus (3.221) und (3.214b) folgt


Begriffsbestimmung
Die Definition von Kleinkreisen auf der Kugeloberfläche erfordert eine im Vergleich zu der eingangs gegebenen
Begriffsbildung detailliertere Fassung: Danach ist ein Kleinkreis der geometrische Ort aller Punkte, die von einem
festen Punkt

auf der Kugeloberfläche den sphärischen Abstand

haben.


Mit

wird der sphärische Mittelpunkt bezeichnet;

Grundfläche eines Kugelabschnitts mit der Höhe

heißt spärischer Kleinkreisradius . Die Kleinkreisebene ist die
Der sphärische Mittelpunkt

liegt oberhalb des

Kleinkreismittelpunktes in der Kleinkreisebene. Dort hat der Kreis den ebenen Kleinkreisradius


Breitenkreise sind damit spezielle Kleinkreise mit

Beispiel
Für

geht der Kleinkreis in eine Orthodrome über.


Kleinkreisgleichungen
Als Beschreibungsparameter lassen sich entweder
und

verwenden.

oder

oder der nordpolnächste Kleinkreispunkt


Ist der laufende Punkt auf dem Kleinkreis

so ergibt sich nach dem Seitenkosinussatz gemäß Abbildung

die Kleinkreisgleichung
(3.220a)
Daraus erhält man wegen

und

:
(3.220b)

Beispiel A
Für

ergeben sich aus (3.220a) wegen
Breitenkreise.

Beispiel B
Für

ergeben sich aus (3.220b) Orthodromen.


Kurswinkel
Gemäß Abbildung schneidet die Orthodrome durch
Radius

senkrecht.

und

den Kleinkreis mit dem


Für den Kurswinkel

der Orthodrome gilt nach (3.215):
(3.222a)

Damit ergibt sich für den gesuchten Kurswinkel

des Kleinkreises im Punkt

:
(3.222b)


Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Für die geographischen Längen der Schnittpunkte
Breitenkreis

und

des Kleinkreises mit dem

ergibt sich aus (3.220a):
(3.223)

Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.


Schnittpunkte mit einem Meridian
Die Berechnung der geographischen Breiten der Schnittpunkte

und

des Kleinkreises

erfolgt gemäß (3.220a) mit den Gleichungen

mit dem Meridian

(3.225a)
wobei gilt:
(3.225b)
Für

gibt es im allgemeinen zwei verschiedene Lösungen, von denen jedoch eine entfällt, wenn

ein Pol im Kleinkreis liegt.
Gilt

und liegt keiner der Pole im Kleinkreis, dann berührt der Meridian den Kleinkreis in einem

Tangierpunkt mit der geographischen Breite


Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Für ganze Zahlen

von denen keine gleich 0 ist, wird die kleinste Zahl in der Menge der positiven

gemeinsamen Vielfachen von

das kleinste gemeinsame Vielfache von
bezeichnet. Sind die kanonischen Primfaktorenzerlegungen (5.151a) von

genannt und mit kgV
gegeben, dann gilt:

(5.154)

Beispiel


Für die Zahlen
gilt
kgV


Klotoide
Klotoide heißt eine Kurve, die sich aus der umgekehrten Proportionalität ihres Krümmungsradius zur Länge des
Bogens ergibt:
(2.241a)


Die Gleichung der Klotoide lautet in Parameterform
(2.241b)

Die Integrale können nicht durch elementare Funktionen ausgedrückt werden; sie lassen sich aber für jeden
Parameter

durch numerische Integration berechnen, so daß die Klotoide punktweise gezeichnet

werden kann. Wegen der Berechnung am Computer s. Lit. 3.12.


Die Kurve ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung, der gleichzeitig Wendepunkt ist. Im Wendepunkt ist die
-Achse Tangente. Bei

und
bzw.

hat die Kurve je einen asymptotischen Punkt mit den Koordinaten
.

Die Klotoide findet z.B. beim Straßenbau Anwendung, wo der Übergang von einer Geraden in eine Kreiskurve durch
einen Klotoidenabschnitt vermittelt wird (s. Lit. 3.12).


Abstand zweier Knoten
Der Abstand

zweier Knoten

eines ungerichteten Graphen ist die Länge eines

verbindenden Weges mit minimaler Kantenzahl. Existiert ein solcher Weg nicht, dann setzt man

mit


Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für
Die Differentialgleichung (17.1) mit der hyperbolischen Ruhelage

für

gelte

sei das charakteristische Polynom von
und

und
. Mit den Bezeichnungen

(Diskriminante des charakteristischen

Polynoms) sind die verschiedenen Ruhelagetypen im Folgenden aufgeführt. Die dazugehörigen Phasenporträts sind links
jeweils für die erste Zeile, rechts für die zweite Zeile dargestellt.


Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
Sei

eine Ruhelage von (17.1). Das lokale Verhalten der Orbits von (17.1) nahe

Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung
von

in

ist. Besitzt

keinen Eigenwert

. Die hyperbolische Ruhelage
Realteil und
heißt Senke , wenn

ist vom Typ

wird, unter gewissen

beschrieben, wobei
mit Re
, wenn

die JACOBI-Matrix

, so heißt die Ruhelage
genau

hyperbolisch

Eigenwerte mit negativem

Eigenwerte mit positivem Realteil besitzt. Die hyperbolische Ruhelage vom Typ
ist, Quelle , wenn

ist, und Sattel , wenn

und

ist (s. die

folgenden Abbildungen).
Es gilt der folgende
Satz über Stabilität in der ersten Näherung für kontinuierliche dynamische Systeme: Eine Senke ist
asymptotisch stabil; Quellen und Sattel sind instabil.
Im Rahmen der drei topologischen Grundtypen von hyperbolischen Ruhelagen (Senke, Quelle und Sattelpunkte) sind


weitere algebraische Unterscheidungen üblich. So heißt eine Senke (Quelle) stabiler Knoten ( instabiler Knoten ),
wenn alle Eigenwerte der JACOBI-Matrix reell sind, und stabiler Strudel ( instabiler Strudel ), wenn Eigenwerte mit
nicht verschwindendem Imaginärteil vorliegen. Für
Sattelknoten und Sattelstrudel.

ergibt sich daraus eine Einteilung der Sattelpunkte im

In den folgenden Abbildungen sind für die drei toplogischen Grundtypen jeweils links die Eigenwerte der JACOBIMatrix und rechts das Phasenporträt dargestellt.
Senke:

Quelle:


Sattelpunkt:


Kubische Splines
Da Interpolations- und Ausgleichspolynome höheren Grades in der Regel unerwünschte Oszillationen zeigen, ist es
zweckmäßig, das Approximationsintervall durch sogenannte Knoten in Teilintervalle zu zerlegen und auf jedem
dieser Teilintervalle die Approximation durch relativ einfache Funktionen vorzunehmen. In der Praxis werden dazu
vor allem kubische Polynome verwendet. Bei dieser stückweisen Approximation ist ein glatter Übergang der
Teilfunktionen an den Knoten zu gewährleisten.
●
●

Interpolationssplines
Ausgleichssplines


Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Produkte

und

sind gleich und kollinear zum Vektor

seine Richtung stimmt für

mit der von

Die Länge des Produktvektors, sein Betrag, ist

überein, für

ist sie entgegengesetzt. Die

wichtigsten Eigenschaften des Produkts eines Skalars mit einem Vektor sind:
(3.242a)
Eine Linearkombination der Vektoren

mit den Skalaren

ist ein Vektor der Form
(3.242b)


Partialbruchzerlegung, Fall 1
Die Gleichung

für das Nennerpolynom

besitzt nur einfache reelle Wurzeln

Die

Zerlegung hat dann die Form
(1.50a)

mit den Koeffizienten

(1.50b)

wobei in den Nennern die Werte der Ableitungen

für

Eine andere Möglichkeit zur Bestimmung der Koeffizienten

stehen.

auch in den folgenden Fällen bietet der

Koeffizientenvergleich , auch Methode der unbestimmten Koeffizienten genannt.


Beispiel A

und

und

Beispiel B


Gleichsetzen der Koeffizienten vor gleichen Potenzen von

im Zähler der linken und der rechten Seite der

Gleichung führt auf das Gleichungssystem
Lösung die gleichen Werte von

und

dessen
ergibt wie in Beispiel A.


Körper
Ein Ring wird Körper genannt, wenn
kommutativer Ring mit Einselement.

eine ABELsche Gruppe ist. Deshalb ist jeder Körper speziell ein


Kombinatorik
Aus den Elementen einer Menge lassen sich häufig auf eine bestimmte Weise neue Mengen zusammenstellen. Die
Art und Weise einer solchen Zusammenstellung führt auf die Begriffe Permutation (Anordnung), Kombination
(Auswahl) und Variation . Beim Begriff der Variation werden Anordnung und Auswahl vereinigt, indem bei der
Auswahl von Elementen auf deren Reihenfolge geachtet wird.
Die Grundaufgabe der Kombinatorik besteht darin, die Anzahl der Auswahl- oder Anordnungsmöglichkeiten zu
ermitteln.
●
●
●
●

Permutationen
Kombinationen
Variationen
Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik


Kombinationen
1. Definition: Kombination nennt man eine Auswahl von

Elementen aus

der Reihenfolge. Man spricht auch von einer Kombination
Kombinationen ohne und mit Wiederholung.

-ter Klasse und unterscheidet zwischen

2. Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung: Für die Anzahl
verschiedenen Elementen

Elementen ohne Beachtung

der Möglichkeiten, aus

Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, gilt
(16.4)

wobei jedes der
Elemente höchstens einmal in einer Kombination auftreten darf. Man spricht deshalb auch von
einer Kombination ohne Wiederholung.
Beispiel


Es gibt

Möglichkeiten, aus 30 Teilnehmern einer Wahlversammlung einen 4köpfigen

Wahlvorstand ohne Zuordnung der Funktionen zusammenzustellen.
3. Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung: Für die Anzahl der Möglichkeiten, aus

verschiedenen

Elemente ohne Beachtung der Reihenfolge, aber bei Zulassung beliebig vieler Wiederholungen
Elementen
jedes der Elemente auszuwählen, gilt
(16.5)
Eine andere Formulierung lautet, daß die Anzahl der Möglichkeiten betrachtet wird, aus
je

zusammenzustellen, wobei die

verschiedenen Elementen

Elemente nicht verschieden zu sein brauchen.

Beispiel
Mit

Würfeln sind

verschiedene Würfe möglich. Für 2 Würfel gilt demzufolge

.


Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren
Für zwei Vektoren

und

die als einspaltige bzw. einzeilige Matrizen dargestellt werden können, gibt es bei der

Matrizenmultiplikation die folgenden zwei Möglichkeiten der Produktbildung:
Ist

vom Typ (1,n) und

vom Typ (n,1), dann ist das Produkt vom Typ (1,1), also eine Zahl. Man spricht dann

vom Skalarprodukt zweier Vektoren.
Ist dagegen

vom Typ (n,1) und

vom Typ

dann ist das Produkt vom Typ

, also eine Matrix.

Man spricht in diesem Falle vom dyadischen Produkt zweier Vektoren.
1. Skalarprodukt zweier Vektoren:
Unter dem Skalarprodukt eines Zeilenvektors
von je

Elementen versteht man die Zahl

mit einem Spaltenvektor


(4.24)

Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt hier im allgemeinen nicht. Daher ist die Reihenfolge von
exakt einzuhalten. Bei Vertauschung der Reihenfolge, also

und

würde sich ein dyadisches Produkt ergeben.

2. Dyadisches Produkt oder Tensorprodukt zweier Vektoren:
Unter dem dyadischen Produkt eines Spaltenvektors
Zeilenvektor

der Dimension

der Dimension

mit einem

versteht man die Matrix

(4.25)

vom Typ

Auch hier gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation im allgemeinen nicht.


Orthogonalität
Zwei Elemente

eines HILBERT-Raumes (die Begriffe dieses Abschnitts haben auch in Prä- HILBERT-Räumen

bzw. in unitären Räumen Sinn)
beliebige Teilmenge

heißen orthogonal (man schreibt dafür

), wenn

. Für eine

ist die Menge
(12.112)

aller Vektoren, die zu jedem Vektor aus

oder orthogonales Komplement von

heißt Orthogonalraum zu
und

●
●

orthogonal sind, ein (abgeschlossener linearer) Teilraum von

Eigenschaften der Orthogonalität
Orthogonale Systeme

gilt. Besteht

. Man schreibt

nur aus dem Element

und

, wenn

, dann schreibt man

.


Beliebige Winkel
Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind (Periode
beliebige Argumentwerte
Argument

mit

bzw.

), kann die Ermittlung der Funktionswerte für

nach den folgenden Regeln vereinfacht werden:
: Wenn der Winkel

größer als

Werte der trigonometrischen Funktionen auf Funktionswerte für Winkel
folgenden Regeln zurückgeführt (

(bzw. größer als
mit

) ist, dann werden die
(bzw.

) nach

ganzzahlig):
(2.70a)
(2.70b)
(2.70c)
(2.70d)

Argument

mit

: Wenn das Argument negativ ist (

), dann werden die Funktionen mit den


folgenden Formeln auf Funktionen mit positivem Argument zurückgeführt:
(2.71a)
(2.71b)
(2.71c)
(2.71d)

Argument

mit

: Wenn

ist, dann werden die Funktionen mit Hilfe der

Reduktionsformeln auf Funktionen eines spitzen Winkels
Funktionswerten von Winkeln, die sich um

oder

zurückgeführt. Man nennt die Beziehungen zwischen
unterscheiden bzw. zu

oder

ergänzen, Quadrantenrelationen .
Tabelle Reduktionsformeln oder Quadrantenrelationen der trigonometrischen Funktionen
Funktion


Aus der 1. und 2. Spalte ergeben sich die Formeln der Komplementsätze , aus der 1. und 3. die Formeln der
Supplementsätze . Da

der Komplementwinkel oder das Komplement von

ist, nennt man

Beziehungen der Art
(2.72a)
(2.72b)
Komplementsätze .
Die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen für Supplementwinkel der Art
(2.73a)
(2.73b)

werden wegen

Supplementsätze genannt.


Argument

mit

: Wenn ein spitzer Winkel (

) vorliegt, dann wurden die

Funktionswerte früher Tabellen entnommen; heute werden sie vom Rechner abgefragt.
Beispiel


Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
Beim Schnitt zweier Geraden

einer Ebene treten vier verschiedene Winkel

auf.

Man unterscheidet Nebenwinkel und Scheitelwinkel, außerdem Komplementwinkel und Supplementwinkel.
Nebenwinkel: Nebenwinkel sind benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden mit einem
gemeinsamen Scheitel

und einem gemeinsamen Schenkel; die beiden nicht zusammenfallenden Schenkel

liegen auf ein und derselben Geraden, jedoch auf verschiedenen von

ausgehenden Strahlen, so daß sich


die Nebenwinkel zu

ergänzen.

Beispiel
und

In der Abbildung sind es die Winkelpaare

Scheitelwinkel: Scheitelwinkel sind an zwei sich schneidenden Geraden gegenüberliegende gleich große
Winkel mit gemeinsamem Scheitel
großen Nebenwinkel zu

, aber ohne gemeinsamen Schenkel. Sie werden durch einen gleich

ergänzt.

Beispiel
In der Abbildung sind

und

Scheitelwinkel.

Komplementwinkel: Komplementwinkel sind zwei sich zu

ergänzende Winkel.

Supplementwinkel: Supplementwinkel sind zwei sich zu

ergänzende Winkel.

Beispiel
In der Abbildung sind die Winkelpaare

oder

Supplementwinkel.


Komplexifikation reeller Vektorräume
Jeden reellen Vektorraum
allen Paaren

mit

kann man zu einem komplexen Vektorraum

erweitern. Die Menge

besteht aus

. Die Operationen (Addition und Vielfaches mit einer komplexen Zahl

) werden für diese Paare wie folgt festgelegt:
(12.22a)
(12.22b)
Da insbesondere

(12.23)

gilt, kann für das Paar

nun auch

geschrieben werden. Die Menge

ist damit ein komplexer


Vektorraum, in dem die Menge
als

oder als

mit dem linearen Teilraum

identifiziert wird, also

aufgefaßt wird.

Die beschriebene Prozedur nennt man Komplexifikation des Vektorraums
ist auch in

linear unabhängig. Gleiches gilt für eine Basis in

. Eine linear unabhängige Teilmenge in

, woraus sich

ergibt.


Allgemeine Konchoide
Die Konchoide des NIKOMEDES ist ein Spezialfall der allgemeinen Konchoide . Die Konchoide zu einer gegebenen
Kurve ergibt sich, wenn man den Radiusvektor zu jedem Punkt der gegebenen Kurve um eine konstante Strecke
verlängert. Wenn die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten

lautet, dann ist die Gleichung ihrer

Konchoide
(2.224)
Die Konchoide des NIKOMEDES ist dann die Konchoide der Geraden .


PASCALsche Schnecke
Einen weiteren Spezialfall der allgemeinen Konchoide, die Konchoide des Kreises , mit der Bedingung
(2.222), wobei der Koordinatenursprung auf dem Kreis liegt, nennt man PASCALsche Schnecke .
Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten sowie in Parameterform:
(2.225a)
(2.225b)
(2.225c)
Dabei ist
Die Scheitel

der Durchmesser des Kreises.
und

liegen bei

Die Form der Kurve hängt von den Größen

aus den drei Abbildungen für die Konchoide des Kreises erkennen kann.

und

ab, wie man


1. Extremwerte und Wendepunkte: Für

hat die Kurve vier Extremwerte

für

zwei; sie liegen bei

Für

existieren zwei Wendepunkte

2. Doppeltangenten: Für

und

gibt es in den Punkten

bei

und

bei

eine


Doppeltangente.
Der Koordinatenursprung ist ein singulärer Punkt: Für

Doppelpunkt mit den Tangentenrichtungen

. Für

ist er ein isolierter Punkt, für

ein

und dem Krümmungsradius

handelt es sich um einen Rückkehrpunkt; die Kurve nennt man Kardioide.

Der Flächeninhalt der Schnecke beträgt
Schleife nach dieser Formel doppelt gezählt wird.

wobei im Falle

der Flächeninhalt der inneren


Konchoide des NIKOMEDES
Konchoide des NIKOMEDES nennt man den geometrischen Ort aller Punkte
Verbindungslinie zwischen

und

mit der Asymptote

für die mit

als Schnittpunkt der

die Bedingung
(2.222)

erfüllt ist.


Das Vorzeichen ,,

`` gilt für den rechten und ,,

`` für den linken Kurvenzweig. Die Gleichung der Konchoide des

NIKOMEDES in kartesischen Koordinaten, in Parameterform und in Polarkoordinaten lautet:
(2.223a)
(2.223b)
(2.223c)


1. Rechter Zweig: Die Asymptote ist
haben als

; der Scheitelpunkt

liegt bei

-Wert die größte Wurzel der Gleichung

Die Fläche zwischen dem rechten Zweig und der Asymptote ist

.

; die Wendepunkte


2. Linker Zweig: Die Asymptote ist
ein singulärer Punkt, dessen Charakter von
a) Für
Wendepunkte

; der Scheitelpunkt
und

liegt bei

. Der Ursprung ist

abhängt:

ist es ein isolierter Punkt (obere linke Abbildung). Die Kurve hat dann zwei weitere
und

deren Abszisse sich als zweitgrößte Wurzel der Gleichung
ergibt.


b) Für

ist der Koordinatenursprung ein Knoten- bzw. Doppelpunkt (obere rechte Abbildung). Die

Kurve besitzt ein Maximum und ein Minimum an der Stelle

.

Die Tangentensteigung beträgt im Koordinatenursprung

Der Krümmungsradius ist hier

c) Für

wird der Koordinatenursprung zum Rückkehrpunkt (untere Abbildung).


Vertrauensgrenzen für den Regressionskoeffizienten
Nach der Bestimmung der Regressionskoeffizienten
theoretischen Parameter

und

und

erhebt sich die Frage, wie gut diese Schätzwerte die

wiedergeben. Dazu bildet man die Testgrößen
(16.142a)

mit

(16.142b)

Diese stellen die Realisierung von Zufallsgrößen dar, die einer

-Verteilung mit

genügen. Demzufolge kann man zu einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit
Tabelle für die STUDENT-Verteilung ablesen, und aus

Freiheitsgraden
das Quantil
folgt für

aus der
bzw.

:


(16.143a)

(16.143b)

Mit Hilfe der durch (16.143a,b) beschriebenen sogenannten Konfidenzintervalle für
Konfidenzbereich für die unbekannte Regressionsgerade

und

kann man auch einen

angeben (s. Lit. 16.4, 16.25).


Kongruenzen und Restklassen
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Kongruenzen
Rechenregeln
Restklassen, Restklassenring
Prime Restklassen
Primitive Restklassen
Lineare Kongruenzen
Simultane lineare Kongruenzen
Quadratische Kongruenzen
Polynomkongruenzen


Zentrale Symmetrie
Ebene Figuren heißen zentralsymmetrisch , wenn deren Punkte durch eine ebene Drehung von
Zentralpunkt oder das Symmetriezentrum

um den

zur Deckung gebracht werden können. In der Abbildung deutet der mit

einem Pfeil versehene Halbkreis um den Punkt

diese Drehung an.

Da Größe und Gestalt der Figuren bei dieser Transformation erhalten bleiben, spricht man von
Kongruenztransformation . Auch der Umlaufsinn der ebenen Figuren bleibt bei dieser Transformation erhalten.


Wegen des gleichen Umlaufsinnes spricht man von gleichsinnig kongruenten Figuren .
Unter dem Umlaufsinn einer Figur versteht man das Durchlaufen des Randes einer Figur in einem Drehsinn: positiv
im mathematischen Drehsinn, also im Gegenuhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn.


Lineare Kongruenzen
1. Definition: Sind

und

ganze Zahlen, dann wird
(5.171)

lineare Kongruenz (in der Unbekannten x) genannt.
2. Lösungen: Eine ganze Zahl

, die die Bedingung

Kongruenz. Jede ganze Zahl, die zu

erfüllt, ist eine Lösung dieser

kongruent modulo

ist, ist ebenfalls eine Lösung. Will man alle

Lösungen von (5.171) angeben, dann genügt es also, die paarweise modulo

inkongruenten ganzen Zahlen

zu finden, die die Kongruenz erfüllen. Die Kongruenz (5.171) ist genau dann lösbar, wenn ggT
Teiler von

ist. Die Anzahl der Lösungen modulo

Ist insbesondere ggT

ein

ist dann gleich ggT

dann ist die Kongruenz modulo

eindeutig lösbar.

Lösungsverfahren: Es gibt verschiedene Lösungsverfahren für lineare Kongruenzen. Z.B. kann man die


Kongruenz

in die diophantische Gleichung

spezielle Lösung

umformen und zunächst eine

der linearen diophantischen Gleichung
ggT

ggT

ggT

ermitteln.

ist wegen ggT

Die Kongruenz

mit

modulo

eindeutig lösbar, und es gilt:
(5.172a)

Die Kongruenz

hat modulo

genau ggT

Lösungen:
(5.172b)

Beispiel
mod 315 ist lösbar, denn ggT
mod 105 ist eindeutig lösbar:
94, 199 und 304 die Lösungen von

ist Teiler von 6; es gibt 3 Lösungen modulo 315.
mod 105 (s. Lösungsverfahren für
mod 315.

). Also sind


Axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie
Ebene Figuren heißen axialsymmetrisch oder spiegelsymmetrisch , wenn einander entsprechende Punkte durch eine
räumliche Drehung von

um eine Gerade

zur Deckung gebracht werden können.

Die senkrechten Abstände einander zugeordneter Punkte von der Symmetrieachse, der Geraden

sind gleich


groß. Der Umlaufsinn der gedrehten Figur wird bei der Spiegelung an der Geraden

umgekehrt. Man spricht daher

von nichtgleichsinnig kongruenten Figuren . Man nennt diese Transformation Umklappung . Da Größe und Gestalt
der Figuren dabei erhalten bleiben, spricht man auch von nichtgleichsinniger Kongruenztransformation . Der
Umlaufsinn der ebenen Figuren wird bei dieser Transformation umgekehrt.
Hinweis: Für räumliche Figuren gelten analoge Aussagen.


Polynomkongruenzen
Sind

paarweise teilerfremde Zahlen, dann ist die Kongruenz
(5.179a)

dem System
(5.179b)
äquivalent. Ist

die Anzahl der Lösungen von

die Anzahl der Lösungen von

für

, dann ist

Man kann also die Lösung von Kongruenzen
(5.179c)

wobei

Primzahlen sind, auf die Lösung von Kongruenzen

wiederum lassen sich wie folgt auf Kongruenzen
a)

vom Primzahlmodul

zurückführen. Diese
zurückführen:


Jede Lösung von

ist auch Lösung von

b)
von

Jede Lösung

bestimmt unter der Bedingung, daß

nicht durch

teilbar ist, eine einzige Lösung modulo
Sei

Man setzt

und ermittelt die modulo

eindeutig bestimmte Lösung

der linearen Kongruenz
(5.180a)
Setzt man
modulo

in
eindeutig bestimmte Lösung

ein, dann erhält man

Man ermittelt nun die

der linearen Kongruenz
(5.180b)

und erhält durch Einsetzen von

in

Fortsetzung des Verfahrens erhält man die Lösung der Kongruenz

daß

gilt. Durch


Beispiel
zu lösen. Aus

Es ist die Kongruenz
folgt
und

d.h.

Wegen

ist zunächst die Lösung der Kongruenz
gesucht:

Weiter betrachtet man

d.h.

und erhält als Lösung

und

und

d.h.

. Also ist 22 die modulo 27 eindeutig bestimmte Lösung von
.


Quadratische Kongruenzen
●
●
●

Quadratische Reste modulo
Eigenschaften quadratischer Kongruenzen
Allgemeine Bedingungen zur Lösbarkeit


Gleichverteilte Zufallszahlen
1. Begriff der gleichverteilten Zufallszahl: Man versteht unter gleichverteilten Zufallszahlen die im Intervall
gleichverteilten Zufallszahlen, die als Realisierung einer Zufallsgröße
Dichtefunktion

und der folgenden Verteilungsfunktion

mit der folgenden

interpretiert werden:

(16.152)
2. Methode der mittleren Ziffern von Quadraten: Eine einfache Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen
wurde von J. V. NEUMANN vorgeschlagen. Sie wird auch Methode der mittleren Ziffern von Quadraten genannt
und geht von einer ganzen Zahl
ganze Zahl, die aus
daß man wieder eine

aus, die aus

und erhält eine

Ziffern besteht. Von dieser streicht man die ersten und die letzten

Ziffern weg, so

-ziffrige Zahl erhält. Diese Vorgehensweise wird wiederholt. Setzt man vor die so

ermittelten Zahlen ,,0,``, dann erhält man
können. Die Anzahl

Ziffern besteht. Dann bildet man

-stellige Dezimalzahlen, die als Zufallszahlen benutzt werden

richtet sich nach der Stellenzahl des zur Verfügung stehenden Computers. Man wählt


z.B.
. Dieser Algorithmus hat sich bei praktischen Anwendungen nicht bewährt. Er lieferte mehr
kleine Werte, als in der Regel gebraucht wurden. Deshalb wurden verschiedene andere Methoden entwickelt.
3. Kongruenzmethode: Stark verbreitet ist die Kongruenzmethode : Eine Folge ganzer Zahlen
wird nach der Rekursionsformel
(16.153)
berechnet. Dabei ist

eine beliebige positive Zahl;

sind ebenfalls ganze positive Zahlen, die geeignet

ist die kleinste nicht negative ganze Zahl zu nehmen, die der Kongruenz (16.153) genügt.

zu wählen sind. Für
Die Zahlen

und

liegen zwischen 0 und 1 und können als gleichverteilte Zufallszahlen dienen.

4. Hinweise:
a)
Man wählt
Zahl

, wobei

die Zahl der Bits eines Computerwortes darstellt, z.B.

ist in der Größenordnung von

. Die

zu wählen.

b)
Zahlen, welche nach einer bestimmten Formel gewonnen werden und die Werte einer Zufallsgröße
simulieren sollen, nennt man Pseudozufallszahlen .
c)
Zufallszahlen kann man schon mit dem Taschenrechner erzeugen, und zwar in der Regel unter dem
Befehl ,,ran``(Abkürzung für Zufall, Englisch random).


Konvexe und konkave Seite einer Kurve
Wenn eine Kurve in der expliziten Form
den Punkt

gegeben ist, dann kann für einen kleinen Teil der Kurve, der

enthält, angegeben werden, ob die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach oben oder nach unten zeigt.

Ausgenommen ist der Fall, daß

ein Wendepunkt oder ein singulärer Punkt ist (s. auch ausgezeichnete

Kurvenpunkte). Ist die zweite Ableitung
nach der positiven

-Richtung (Punkt

dann zeigt die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach oben, d.h.
in der folgenden Abbildung).


Ist

(Punkt

), dann ist die Kurve nach unten konkav. Im Falle

Betrachtung des Wendepunktes eingehender zu untersuchen.
Beispiel

ist das Problem bei der


Für

ist die Kurve konkav nach oben, für

konkav nach unten.


Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
●
●
●
●

Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte
Steife Differentialgleichungen


Konstanten der Atom- und Kernphysik
Atomhülle:

Atomkern:


COMPTON-Wellenlänge von Elementarteilchen


Spezielle elektrische Konstanten


Fundamentalkonstanten


Magnetische Momente von Elementarteilchen


Ruhemassen und Ruhenergien von Elementarteilchen
Ruhemasse:


Ruhenergie:


Thermodynamische Konstanten


Wechselwirkungskonstanten der Elementarteilchenphysik


Astronomische Größen


Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips
●
●
●
●

Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
FREDHOLMsche Integralgleichungen
VOLTERRAsche Integralgleichungen
Satz von PICARD-LINDELÖF


Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern
Eine Reihe

konvergiert gegen eine Zahl

, die Summe der Reihe, wenn gilt
(14.44)

Verbindet man die Punkte, die durch die Zahlen

in der

-Ebene gegeben sind,

durch einen Polygonzug miteinander, dann bedeutet Konvergenz der Reihe die Annäherung des Polygonzugendes
an die Zahl

.

Beispiel A
.

Beispiel B


(s. Abbildung).

Man spricht von absoluter Konvergenz (s. Beispiel B), wenn auch die Reihe der Absolutbeträge ihrer Glieder
konvergiert, von bedingter Konvergenz (s. Beispiel A), wenn die Reihe konvergiert, die
Reihe ihrer Absolutglieder jedoch divergiert.
Wenn die Glieder einer Reihe gemäß
(14.45)


variable Funktionen
die Reihe konvergiert.

sind, dann wird durch die Reihe für die

-Werte eine Funktion von

definiert, für die


Absolute Konvergenz und Konvergenzradius
Eine Potenzreihe konvergiert entweder nur für

oder für alle Werte von

den Konvergenzradius (s. Abbildung), so daß die Reihe für

, oder es gibt eine Zahl

absolut konvergiert und für

divergiert.

Der Konvergenzradius kann mittels
(7.76)

,


bestimmt werden, falls die Grenzwerte existieren. In den Endpunkten des Konvergenzintervalls
für die Reihe (7.75a) und

und

und

für die Reihe (7.75b) kann die Reihe

entweder konvergent oder divergent sein. Existieren diese Grenzwerte nicht, dann ist an Stelle des gewöhnlichen
Limes (

) der Limes superior

zu nehmen (s. Lit. 7.10, Bd. I).


Absolute und bedingte Konvergenz
●
●
●

Definition
Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
Alternierende Reihen


Gleichmäßige Konvergenz
●
●

Definition, Satz von Weierstrass
Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen


Allgemeine Konvergenzsätze
●
●

Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen


Konvergenz von Operatorenfolgen
1. Punktweise Konvergenz einer Folge von linearen stetigen Operatoren
zu einem Operator

liegt vor, wenn in

gilt:
(12.141)

2. Gleichmäßige Konvergenz Die übliche Norm-Konvergenz einer Operatorenfolge
zu

im Raum

, also
(12.142)

ist die gleichmäßige Konvergenz auf der Einheitskugel von
die Umkehrung im allgemeinen nicht gilt.

. Sie impliziert die punktweise Konvergenz, während

Anwendungen: Konvergenz von Quadraturformeln, wenn die Anzahl
Permanenzprinzip von Summations- und Limitierungsverfahren u.a.

der Stützstellen gegen

geht,


Quotientenkriterium von d'Alembert
Wenn für die Reihe
(7.25a)

von einem gewissen

an alle Quotienten

kleiner sind als eine Zahl

, dann ist die Reihe konvergent:

(7.25b)

Wenn diese Quotienten von einem gewissen
Daraus ergibt sich: Gilt

an größer sind als eine Zahl

, dann ist die Reihe divergent.


(7.25c)

konvergent und für

dann ist die Reihe für

divergent.

Beispiel A
Die Reihe
(7.26a)

konvergiert, denn es gilt

(7.26b)

Beispiel B
Für die Reihe
(7.27a)
liefert das Quotientenkriterium wegen


(7.27b)
keine Entscheidung über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe.


Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen
1. Weglassen von Anfangsgliedern: Werden endlich viele Anfangsglieder einer Reihe weggelassen oder
endlich viele Glieder einer Reihe hinzugefügt, dann ändert sich das Konvergenzverhalten der Reihe nicht.
2. Multiplikation aller Glieder: Werden alle Glieder einer konvergenten Reihe mit ein und demselben Faktor
multipliziert, dann bleibt die Konvergenz der Reihe ungestört; ihre Summe ist mit dem Faktor zu
multiplizieren.
3. Gliedweise Addition oder Subtraktion: Konvergente Reihen dürfen gliedweise addiert oder subtrahiert
werden. Aus der Konvergenz der Reihen
(7.20a)

(7.20b)

folgt die Konvergenz der folgenden Reihe mit der angegebenen Summe:


(7.20c)
4. Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe: Die Folge der Glieder einer konvergenten Reihe
muß gegen Null streben:
(7.21)
Hierbei handelt es sich um eine notwendige , nicht aber um eine hinreichende Bedingung .
Beispiel
Für die harmonische Reihe (7.16) ist

aber


Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern
●
●
●

Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern
Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern
Potenzreihen im Komplexen


Schwache Konvergenz von Elementen
Eine Folge

von Elementen des normierten Raumes

, wenn

die Beziehung

gilt (Schreibweise:

impliziert

Offenbar hat man:

heißt schwach konvergent zu einem Element

Ist

ein weiterer normierter Raum und

stetiger linearer Operator, dann gelten
a)
impliziert

,

b)
ist

Beispiel A

kompakt, dann impliziert

sogar

).

.

ein


Jeder endlichdimensionale Operator ist kompakt. Daraus folgt, daß der identische Operator in einem
unendlichdimensionalen Raum nie kompakt sein kann
(s. Kompakte Teilmengen in normierten Räumen).
Beispiel B
und

Sei

der durch die unendliche Matrix

(12.184)

gegebene Operator in
mit

. Gilt

, dann ist

ein kompakter Operator von

.

Beispiel C
Der Integraloperator (12.132) erweist sich als kompakter Operator in den Räumen
.

und

in


Vergleichskriterium
Wenn zwei Reihen
(7.22a)

(7.22b)
nur positive Glieder

besitzen und wenn von einem gewissen

an

ist, dann folgt

aus der Konvergenz der Reihe (7.22a) auch die Konvergenz der Reihe (7.22b). Umgekehrt folgt aus der Divergenz
der Reihe (7.22b) auch die Divergenz der Reihe (7.22a).
Beispiel A
Aus dem Vergleich der Glieder der Reihe
(7.23a)


mit denen der geometrischen Reihe (7.15) folgt die Konvergenz der Reihe (7.23a). Von
der Reihe (7.23a) kleiner als die der konvergenten Reihe (7.15):

an sind die Glieder

(7.23b)

Beispiel B
Aus dem Vergleich der Glieder der Reihe
(7.24a)
mit denen der harmonischen Reihe (7.16) folgt die Divergenz der Reihe (7.24a). Von

an sind die Glieder der

Reihe (7.24a) größer als die der divergenten Reihe (7.16):
(7.24b)


Definition, Satz von Weierstrass
In Übereinstimmung mit der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge und einer Reihe konvergiert die Reihe
(7.66) in einem gegebenen Gebiet, wenn für eine beliebige Zahl
werden kann, daß die Ungleichung

eine ganze Zahl

für alle

derart angegeben

erfüllt ist. Für Funktionenreihen

können dabei zwei Fälle unterschieden werden:
gefunden werden, die für alle
1. Gleichmäßig konvergente Reihe: Es kann eine derartige Zahl
im Konvergenzbereich der Reihe (7.66) gemeinsam gilt. Dann spricht man von einer gleichmäßig
konvergenten Reihe in dem betrachteten Gebiet.
2. Ungleichmäßig konvergente Reihe: Es kann keine derartige Zahl

-Werte

gefunden werden, die für alle

Werte im Konvergenzgebiet gilt. Es gibt dann aber im Konvergenzbereich der Reihe wenigstens eine Zahl
für die die Ungleichung

erfüllt ist, egal wie groß

diesem Falle von einer ungleichmäßig konvergenten Reihe .
Beispiel A
Die Reihe

gewählt ist. Man spricht in

,


(7.71a)
mit der Summe

konvergiert für alle Werte von

gleichmäßig, und es gilt für

. Die Konvergenz ist hier für jedes beliebige endliche Gebiet von

und unter Benutzung des Restgliedes nach der Formel von MACLAURIN für

die Reihe die Ungleichung
(7.71b)
Da

schneller als

großes

, das unabhängig von

wächst, wird der Ausdruck auf der rechten Seite der Ungleichung für hinreichend
ist, kleiner als

gleichmäßige Konvergenz: Wie groß man
daß

. Für die gesamte Zahlengerade gibt es hier allerdings keine

auch immer wählt, es wird sich stets eine Zahl

größer ist als ein beliebiges vorgegebenes

derart finden lassen,

.

Beispiel B
Für alle

-Werte im abgeschlossenen Intervall

konvergiert die Reihe
(7.72a)

da in Übereinstimmung mit der Schlußfolgerung aus dem Kriterium von D'ALEMBERT gilt:


(7.72b)
Die Konvergenz ist aber ungleichmäßig, weil
(7.72c)
gilt und, wie groß auch immer
beliebig nahe bei

gewählt wird, stets ein hinreichend kleines
liegt, d.h. nicht kleiner als

aber mit der Einschränkung

gefunden werden kann, für das

ist. Gleichmäßige Konvergenz liegt im Intervall

vor.

3. Kriterium von WEIERSTRASS für die gleichmäßige Konvergenz: In einem gegebenen Gebiet konvergiert
die Reihe
(7.73a)
gleichmäßig, wenn es eine konvergente Reihe mit konstanten Gliedern
(7.73b)
gibt, so daß für alle

-Werte in diesem Gebiet die Ungleichung
(7.73c)

erfüllt werden kann. Man nennt dann (7.73c) eine Majorante zur Reihe (7.73a).


Wurzelkriterium von Cauchy
Gilt für eine Reihe
(7.28a)
von einem gewissen

an für alle Zahlen
(7.28b)

dann ist die Reihe konvergent. Sind umgekehrt von einem gewissen
und ist

an alle Zahlen

größer als eine Zahl

, dann divergiert die Reihe. Daraus ergibt sich: Gilt
(7.28c)

dann ist die Reihe konvergent für
Konvergenzverhalten gemacht werden.

und divergent für

. Für

kann keine Aussage über das


Beispiel
Die Reihe
(7.29a)
ist konvergent wegen

(7.29b)


Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern
Eine unendliche Folge komplexer Zahlen
beginnend bei einem gewissen

, die Ungleichung

werden kann. D.h. von einem gewissen
eines Kreises mit dem Radius
Beispiel

hat den Grenzwert

für eine beliebig kleine positive Zahl

an liegen alle Punkte, die die Zahlen

und dem Mittelpunkt in

, wenn,

.

erfüllt

darstellen, innerhalb


Der Grenzwert

gilt für beliebiges

. Unter dem Ausdruck

Wert der Wurzel, der das kleinste Argument besitzt (s. Abbildung).

versteht man den


Definitionen
1. Funktionenreihe wird eine Reihe genannt, deren Glieder Funktionen ein und derselben Variablen

sind:

(7.66)
2. Konvergenzbereich der Funktionenreihe (7.66) werden sämtliche Werte
gemeinsamen Definitionsbereich aller Funktionen

genannt, die zum

gehören und für die die Reihen mit konstanten

Gliedern
(7.67)

konvergieren, d.h. für die der Grenzwert der Partialsummen

existiert:


(7.68)

3. Summe der Reihe (7.66) heißt die Funktion
Funktion

, und man sagt, die Reihe konvergiert gegen die

.
heißt die Summe der ersten

4. Partialsumme

Glieder der Reihe (7.66):
(7.69)

5. Restglied

heißt die Differenz zwischen der Summe

und ihrer Partialsumme

einer konvergenten Funktionenreihe

:
(7.70)


Zusammenhang zwischen uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen
Wenn

eine beliebige, unbegrenzt wachsende unendliche Folge ist, d.h. wenn gilt
(8.84a)

und wenn die Funktion

positiv für

ist, dann kann die Frage nach der Konvergenz des Integrals

(8.77) auf die Frage nach der Konvergenz der Reihe

(8.84b)
zurückgeführt werden. Wenn die Reihe (8.84b) konvergiert, dann konvergiert auch das Integral (8.77) und es ist dann
gleich der Summe der Reihe (8.84b). Divergiert die Reihe (8.84b), dann divergiert auch das Integral (8.77). Somit
können die Konvergenzkriterien für Reihen auch zur Konvergenzuntersuchung von Integralen eingesetzt werden.
Beim Integralkriterium für Reihen wird umgekehrt die Konvergenzuntersuchung der Reihen auf die Untersuchung der
Konvergenz eines uneigentlichen Integrals zurückgeführt.


Konvergenzkriterium von CAUCHY
Damit eine Funktion
sich die Funktionswerte

an der Stelle
und

einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß
für zwei beliebige Werte

zum Definitionsbereich gehören und in hinreichender Nähe von
Exakte Formulierung: Damit eine Funktion

an der Stelle

und

liegen, beliebig wenig voneinander unterscheiden.
einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig

und hinreichend, daß sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl
angeben läßt, so daß für zwei beliebige Werte

und

der unabhängigen Variablen, die

eine zweite positive Zahl

aus dem Definitionsbereich, die den Bedingungen

(2.17a)
genügen, die Ungleichung
(2.17b)
erfüllt ist.


Alternierende Reihen
1. LEIBNIZsches Konvergenzkriterium (Satz von LEIBNIZ):Hinreichendes Kriterium für die Konvergenz der
alternierenden Reihe
(7.35a)
in der die

positive Zahlen sind, ist die Erfüllung der zwei Bedingungen

(7.35b)
Beispiel
Die Reihe (7.33) ist nach diesem Kriterium konvergent.
2. Abschätzung des Restgliedes der alternierenden Reihe: Wenn in einer konvergenten alternierenden
Reihe nur die ersten

Glieder berücksichtigt werden, dann stimmt das Vorzeichen des Restgliedes

dem des ersten weggelassenen Gliedes

überein, und

ist absolut genommen kleiner als

mit
:


(7.36a)
(7.36b)
Beispiel
Bei der Reihe
(7.37a)

gilt für das Restglied

(7.37b)


Konvergenzsätze
1. Satz von B. LEVI über die monotone Konvergenz: Sei
Folge nichtnegativer integrierbarer Funktionen mit Werten in
2. Satz von FATOU: Sei

eine Folge nichtnegativer

eine fast überall monoton wachsende
. Dann gilt
-wertiger meßbarer Funktionen. Dann gilt

.
3. Satz von LEBESGUE über dominante oder majorisierte Konvergenz: Sei
meßbaren Funktionen, die auf

eine Folge von

fast überall konvergiert. Wenn es eine solche integrierbare Funktion

fast überall gibt, dann ist

integrierbar und

.

mit


Unterabschnitte
●
●
●

1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen:
2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen:
3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:

Konvertierung von Zahlensystemen
Die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes wird als Konvertierung bezeichnet. Werden mehrere
Zahlensysteme gleichzeitig benutzt, so ist es zur Vermeidung von Irrtümern üblich, die Basis als Index anzuhängen.
Beispiel
Für die Konvertierung der Dezimalzahl

in das Dualsystem, Oktalsystem und

Hexadezimalsystem ergibt sich

1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen:

.


Die Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen ist einfach dadurch möglich, daß man vom
Punkt ausgehend nach links und rechts Gruppen von drei bzw. vier Bits bildet und den Wert derselben bestimmt.
Diese Werte sind dann die Ziffern des Oktal- bzw. Hexadezimalsystems.

2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen:
Für die Konvertierung vom Dezimal- in eines der anderen Systeme gelten für den ganzen und den gebrochenen Teil
der Dezimalzahl folgende Algorithmen:
a) Ganzer Teil: Ist
die ganze Zahl im Dezimalsystem, dann gilt für das Zahlensystem mit der Basis
bereits genannte Bildungsgesetz

das

(19.255)

Dividiert man

durch

, so erhält man einen ganzzahligen Teil (die Summe) und einen Rest:

(19.256)

Dabei nimmt

die Werte

an und ist die niederwertige Ziffer des Zahlensystems. Wendet man

das Verfahren jetzt auf die abgespaltete Summe wiederholt an, so ergeben sich die weiteren Ziffern.


b) Gebrochener Teil: Ist
Zahlensystem mit der Basis

ein echter Dezimalbruch, so lautet die Vorschrift für die Konvertierung in das
jetzt
(19.257)

Die wiederholte Anwendung auf die entstehenden Summen liefert die Werte

Beispiel A
Umwandlung der Dezimalzahl 139 in eine Dualzahl:


Beispiel B
Umwandlung des Dezimalbruchs 0.8125 in einen Dualbruch:

3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:
Der Algorithmus für die Umwandlung eines Wertes aus dem Dual-, Oktal- oder Hexadezimalsystem in das
Dezimalsystem lautet, wobei der Dezimalpunkt nach

einzufügen ist:
(19.258)

Die Auflösung erfolgt dabei zweckmäßig mit dem HORNER-Schema.
Beispiel


. Das zugehörige HORNER-Schema
lautet:


Affine Koordinaten
Affine Koordinaten sind eine Verallgemeinerung der kartesischen Koordinaten auf ein System aus drei linear
unabhängigen, also auch nicht mehr zwingend rechtwinklig aufeinander stehenden nichtkomplanaren Grundvektoren
mit drei Koeffizienten
sind. In Analogie zu (3.244a,b) ergibt sich

wobei die oberen Indizes keinesfalls als Exponenten aufzufassen
zu
(3.248a)

oder
(3.248b)
Diese Schreibweise ist insofern vorteilhaft, als die Skalare
Vektors sind. Für

die kontravarianten Koordinaten eines

gehen die Formeln (3.248a,b) in (3.244a,b) über. Für die

Linearkombination der Vektoren (3.242b) sowie für die Summe und die Differenz zweier Vektoren (3.246a,b) gelten in
Analogie zu (3.245) die Komponentengleichungen


(3.249a)

(3.249b)


GAUSS-KRÜGER-Koordinaten
Um Teile der gekrümmten Erdoberfläche winkeltreu (konform) auf eine Ebene abzubilden, geht man beim GAUSSKRÜGER-System von einer Einteilung in Meridianstreifen aus. Für Deutschland liegen die Mittelmeridiane bei
und

ö. L. (linke Abbildung).

Der Koordinatenursprung jedes Meridianstreifensystems ist der Schnittpunkt des Meridians mit dem Äquator. In der
Nord-Süd-Richtung gehen die Systeme über das gesamte Gebiet hinweg, in der Ost-West-Richtung sind die Gebiete


beidseitig auf

begrenzt. In Deutschland sind das etwa

km. Die Überlappung von etwa

entspricht hier ca. 20 km.
Der Dehnungsfaktor

in der Abszissenrichtung ist der gleiche wie im SOLDNER-System (3.162) (rechte Abbildung).

Damit die Abbildung winkeltreu bleibt, sind die Ordinaten an den Lotenden durch Addition eines Betrages
verlängern:

zu

(3.163)


Gemischte Koordinaten
Beim Übergang zu einem neuen Koordinatensystem geht (4.92a) in
(4.93a)

über. Dabei entsteht zwischen den Komponenten von

und

der Zusammenhang

(4.93b)
Man führt die Bezeichnung
(4.93c)
ein und spricht von gemischten Koordinaten des Tensors, weil der Index
kovariant steht. Für die Komponenten der Vektoren

und

für kontravariant, der Index

für

gilt dann
(4.93d)

Ersetzt man die kovariante Basis

durch die kontravariante Basis

dann erhält man analog zu (4.93b) und


(4.93c)
(4.94a)

und (4.93d) geht in
(4.94b)
über. Zwischen den gemischten Koordinaten

und

besteht der Zusammenhang
(4.94c)


Geodätische Koordinaten
Zur Bestimmung von Punkten werden in der Geometrie gewöhnlich rechtshändige Koordinatensysteme (linke
Abbildung) verwendet, seltener linkshändige (rechte Abbildung).

Näheres s. Rechts- und Linkssysteme.


Im Unterschied zur Geometrie sind in der Geodäsie linkshändige Koordinatensysteme üblich.

●
●
●

Geodätische rechtwinklige Koordinaten
Geodätische Polarkoordinaten
Maßstab


Ebene Koordinaten und ebene Koordinatensysteme
Die Lage jedes Punktes
einer Ebene kann mit Hilfe beliebiger Koordinatensysteme beschrieben werden. Die
Zahlen, die die Lage des Punktes bestimmen, heißen die Koordinaten . Meistens werden die kartesischen
Koordinaten und die Polarkoordinaten benutzt.


Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt
Der Übergang von kartesischen zu Polarkoordinaten und umgekehrt wird mit den folgenden Formeln vollzogen,
wobei Koordinatenursprung und Pol sowie Abszissenachse und Polarachse zusammenfallen sollen:
(3.290a)
(3.290b)

(3.290c)


Definitionen
Die affinen Koordinaten

eines Vektors

in einem System mit den Grundvektoren

definiert

durch die Formel
(3.280)
werden auch kontravariante Koordinaten dieses Vektors genannt. Im Gegensatz dazu entsprechen seine kovarianten
Koordinaten den Koeffizienten einer Vektorzerlegung zu den Grundvektoren
Grundvektoren von

(s. Lit.22.18, Bd. 11). Mit den kovarianten Koordinaten

d.h. zu den reziproken
des Vektors

ergibt sich
(3.281)
Im System der kartesischen Koordinaten stimmen die kovarianten Koordinaten eines Vektors mit seinen
kontravarianten Koordinaten überein.


Krummlinige dreidimensionale Koordinaten
Krummlinige dreidimensionale Koordinaten entstehen, wenn drei Scharen irgendwelcher Flächen derart vorgegeben
werden, daß durch jeden Raumpunkt genau eine Fläche jeder der drei Scharen verläuft. Die Position eines Punktes
wird in solchen Koordinatensystemen durch die Parameterwerte der drei durch diesen Punkt hindurchgehenden
Koordinatenflächen bestimmt. Zu den gebräuchlichsten krummlinigen Koordinatensystemen gehören die Zylinderund die Kugelkoordinaten.


Krummlinige Koordinaten
Krummlinige Koordinaten bestehen aus zwei einparametrigen Kurvenscharen in der Ebene, den KoordinatenlinienScharen.

Durch jeden Punkt der Ebene geht dabei jeweils nur eine Kurve jeder Schar hindurch, die sich in diesem Punkt
schneiden. Die Parameter, die diesem Punkt entsprechen, sind seine krummlinigen Koordinaten . In der Abbildung
besitzt der Punkt

die krummlinigen Koordinaten

und

. Im Unterschied zu den krummlinigen

Koordinaten sind im kartesischen Koordinatensystem die Koordinatenlinien Geraden, die parallel zu den


Koordinatenachsen liegen, im Polarkoordinatensystem sind es konzentrische Kreise um den Pol und die vom Pol
ausgehenden Strahlen.


Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten
Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten bestehen aus

●

der Länge

des Radius- oder Aufpunktvektors

●

dem Winkel

zwischen der

-Achse und dem Aufpunktvektor

●

dem Winkel

zwischen der

-Achse und der Projektion von

sowie
auf die

-Ebene.


Die positiven Richtungen weisen hier für
und für

von der

vom Koordinatenursprung zum Punkt

-Achse zur Projektion von
und

auf die

von der

-Ebene. Mit den Wertebereichen

werden alle Punkte des Raumes eindeutig erfaßt.

Koordinatenflächen sind
●

für

die Kugeln mit dem Pol 0 als Koordinatenursprung und dem Radius

-Achse nach


●

die Kegel mit

●

die von der

der Spitze im Koordinatenursprung und der

-Achse als Achse sowie

-Achse ausgehenden Halbebenen mit

Die Schnittlinien dieser Flächen sind die Koordinatenlinien.
Den Übergang zwischen den Kugelkoordinaten und den kartesischen Koordinaten liefern die folgenden Formeln
(s. auch die Tabelle):
(3.355a)

(3.355b)

Die notwendige Fallunterscheidung bezüglich

s. (3.290c). Analoges gilt bezüglich

Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten


Polarkoordinaten
Die Polarkoordinaten eines Punktes

bestehen aus dem Radius

gegebenen Nullpunkt, dem Pol 0, und dem Polarwinkel

, d.h. dem Abstand des Punktes von einem

, d.h. dem Winkel zwischen der Geraden

und einem

gegebenen, durch den Pol hindurchgehenden orientierten Strahl, der Polarachse .

Der Nullpunkt kann auch Koordinatenursprung genannt werden. Der Polarwinkel ist positiv, wenn er im
entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers von der Polarachse aus gemessen wird; im entgegengesetzten Falle ist
er negativ.


Grundlegende Begriffe und Formeln, räumliche Koordinatensysteme
Jeder beliebige Punkt
im Raum kann mit Hilfe eines Koordinatensystems festgelegt werden. Die Richtungen der
Koordinatenlinien sind durch die Richtungen der Einheitsvektoren festgelegt.

In der Abbildung sind die Verhältnisse für ein kartesisches Koordinatensystem dargestellt. Man unterscheidet


rechtwinklige und schiefwinklige Koordinatensysteme. In ihnen stehen die Einheitsvektoren der Koordinatenlinien
senkrecht bzw. schiefwinklig aufeinander. Eine andere wichtige Unterscheidung ist die Rechts- oder Linkshändigkeit
eines Koordinatensystems.
Die gebräuchlichsten Koordinatensysteme sind kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Rechts- und Linkssysteme
Kartesische Koordinaten
Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
Krummlinige dreidimensionale Koordinaten
Zylinderkoordinaten
Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten
Richtung im Raum
Transformation rechtwinkliger Koordinaten
Abstand zwischen zwei Punkten
Teilung einer Strecke
System aus vier Punkten
Gleichung einer Fläche
Gleichung einer Raumkurve


Rein kovariante und rein kontravariante Koordinaten
Setzt man in (4.94b) für

die Beziehung

ein, so ergibt sich
(4.95a)

wenn man
(4.95b)

setzt. Die

heißen rein kovariante Koordinaten des Tensors

, weil beide Indizes kovariant stehen. Analog

erhält man die rein kontravarianten Koordinaten
(4.96)
Explizite Darstellungen:


(4.97a)

(4.97b)


SOLDNER-Koordinaten
Für großräumige Vermessungen sind die rechtwinkligen SOLDNER-Koordinaten sowie die GAUSS- KRÜGERKoordinaten von Bedeutung. Um Teile der gekrümmten Erdoberfläche in Ordinatenrichtung längentreu auf ein
ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem abzubilden, legt man nach SOLDNER die
den Koordinatenursprung in einen gut vermessenen Zentralpunkt (linke Abbildung).

-Achse auf einen Meridian und


Die Ordinate

und die Abszisse

eines Punktes

sind durch die Strecken von den Fußpunkten der

sphärischen Lote auf den durch den Zentralpunkt verlaufenden Hauptmeridian und auf den durch den Zentralpunkt
verlaufenden Hauptbreitenkreis gegeben (rechte Abbildung).
Bei der Übertragung der sphärischen Abszissen und Ordinaten in das ebene Koordinatensystem werden Strecken
gedehnt und Richtungen verschwenkt. Der Dehnungsfaktor

in der Abszissenrichtung beträgt
(3.162)

Zur Begrenzung der Dehnung des Systems darf die Ausdehnung zu beiden Seiten des Hauptmeridians nicht größer
als 64 km betragen. Eine 1 km lange Strecke besitzt dann bei

= 64 km eine Dehnung von 0,05 m.


Koordinaten eines Vektors
●
●
●

Kartesische Koordinaten
Affine Koordinaten
Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient


Zylinderkoordinaten
Zylinderkoordinaten bestehen aus
●

den Polarkoordinaten

●

der Applikate

und

der Projektion des Punktes

auf die

des Punktes

Die Koordinatenflächen des Zylinderkoordinatensystems sind
●

die Zylinderflächen mit dem Radius

●

die von der

●

die zur

-Achse ausgehenden Halbebenen mit

-Achse senkrechten Ebenen mit

und

-Ebene und


Die Schnittlinien dieser Koordinatenebenen sind die Koordinatenlinien.
Den Übergang zwischen den Zylinderkoordinaten und den rechtwinkligen kartesischen Koordinaten vermitteln die
folgenden Formeln (s. auch die Tabelle):
(3.354a)
(3.354b)
Die notwendige Fallunterscheidung bezüglich

s. (3.290c).

Tabelle Zusammenhang zwischen kartesischen, Kreiszylinder- und Kugelkoordinaten


Kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten


Koordinatendarstellung von Skalarfeldern
Wenn die Punkte eines Raumteiles durch ihre Koordinaten gegeben werden, z.B. durch kartesische, Zylinder- oder
Kugelkoordinaten, dann erhält man zur Beschreibung des zugehörigen skalaren Feldes (13.6a) im allgemeinen eine
Funktion dreier Veränderlicher:
(13.8a)
Im Falle eines ebenen Feldes genügt eine Funktion zweier Veränderlicher. Für kartesische oder Polarkoordinaten hat
sie die Form:
(13.8b)
Es wird vorausgesetzt, daß die Funktionen in (13.8a) und (13.8b) im allgemeinen stetig sind, ausgenommen einige
Unstetigkeitspunkte, -kurven oder -flächen. Die Funktionen lauten
(13.9a)
(13.9b)
Die Untersuchung von zentralen Feldern führt man am besten unter Zuhilfenahme von Kugelkoordinaten durch, von
axialen Feldern mit Hilfe von Zylinderkoordinaten.


Koordinatendarstellung von Vektorfeldern
●
●

Vektorfeld in kartesischen Koordinaten
Vektorfeld in Zylinder- und Kugelkoordinaten


Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
Koordinatenflächen zeichnen sich durch eine konstant gehaltene Koordinate aus, so daß sie im System der
rechtwinkligen kartesischen Koordinaten parallel zu der von den zwei anderen Koordinatenachsen aufgespannten
Ebene liegen. Durch die drei Koordinatenflächen
Oktanten zerlegt.

bzw.

wird der dreidimensionale Raum in 8


Koordinatenlinien sind Kurven, auf denen sich nur eine Koordinate ändert, in kartesischen Koordinatensystemen also
Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die Koordinatenflächen schneiden einander in den
Koordinatenlinien.


Länge des Parabelbogens
Die Länge des Parabelbogens vom Scheitel 0 bis zum Punkt

beträgt

(3.350a)

(3.350b)

Für kleine Werte von

gilt näherungsweise

(3.350c)


Geodätische rechtwinklige Koordinaten
Im ebenen linkshändigen rechtwinkligen Koordinatensystem der Geodäsie ist die
Abszisse, die

Ein Punkt

-Achse die nach oben weisende

-Achse die nach rechts weisende Ordinate.

besitzt die Koordinaten

Die Ausrichtung der

-Achse erfolgt nach praktischen Erwägungen.


Bei Messungen über größere Distanzen, für die meist das SOLDNER-SYSTEM oder das GAUSS-KRÜGER-System
verwendet wird, zeigt die positive

-Achse nach Gitter-Nord , die nach rechts weisende

-Achse nach Osten. Die

Zählung der Quadranten erfolgt im Gegensatz zu der in der Geometrie sonst üblichen Praxis im Uhrzeigersinn.

Wenn neben der Punktlage in der Ebene auch Höhen anzugeben sind, kann ein dreidimensionales linkshändiges
rechtwinkliges Koordinatensystem
dargestellt, in den Zenit zeigt.

verwendet werden, in dem die

-Achse, wie in der Abbildung oben


Rechts- und Linkssysteme
In Abhängigkeit von der gegenseitigen Aufeinanderfolge der positiven Koordinatenrichtungen unterscheidet man
Rechtssysteme und Linkssysteme oder rechtshändige bzw. linkshändige Koordinatensysteme . Ein Rechtssystem
besitze z.B. drei in der alphabetischen Reihenfolge genommene und in drei verschiedenen Ebenen liegende
Einheitsvektoren

Die Rechtshändigkeit kommt dann dadurch zum Ausdruck, daß eine Drehung eines

der Vektoren um den gemeinsamen Koordinatenursprung auf den nächsten in der alphabetischen Reihenfolge bis
zur Überdeckung auf dem kürzesten Wege im Gegenuhrzeigersinn ausgeführt werden kann. Symbolisch stellt man
diesen Sachverhalt mit Hilfe der folgenden Abbildung dar.


Die hier eingezeichneten Seiten

sind durch die Indizes

zu ersetzen. Ein Linkssystem erfordert

Drehungen dieser Art im Uhrzeigersinn. Rechts- und Linkssysteme können durch Vektorvertauschung ineinander
überführt werden. Die Vertauschung zweier Vektoren ändert die Händigkeit des Systems, d.h. seine Orientierung:
Aus einem Rechtssystem wird ein Linkssystem und umgekehrt aus einem Linkssystem ein Rechtssystem.
Eine wichtige Art der Vektorvertauschung ist die zyklische Vertauschung , bei der die Orientierung erhalten bleibt.
Gemäß Abbildung erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Rechtssystem im Gegenuhrzeigersinn, d.h. nach dem
Schema
Im Linkssystem erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Uhrzeigersinn, d.h. nach dem Schema

Ein Rechtssystem kann mit keinem Linkssystem zur Deckung gebracht werden.
Die Spiegelung eines Rechtssystems am Koordinatenursprung führt auf ein Linkssystem.


Beispiel A und B
Linke Abbildung: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen

ist ein

Rechtssystem .
Rechte Abbildung: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen
Linkssystem .

Beispiel C

ist ein


Aus dem Rechtssystem

wird durch Vertauschung der Vektoren

und

das Linkssystem

.
Beispiel D
das Rechtssystem

Durch zyklische Vertauschung erhält man aus dem Rechtssystem
und aus diesem wieder das Rechtssystem

.


Transformation des Koordinatensystems
●
●
●

Lineare Transformation
EINSTEINsche Summenkonvention
Drehung des Koordinatensystems


Funktion von einer Veränderlichen
Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängige Variable, die Funktion und
deren Ableitungen enthält:
(6.56a)
(6.56b)
Die Ableitungen können dann bei der Substitution der Variablen auf die folgende Weise berechnet werden:
Fall 1a:
Die Variable

wird durch die Variable

ersetzt, die mit

gemäß
(6.57a)

verknüpft ist. Dann gilt
(6.57b)

(6.57c)


Fall 1b:
Wenn die Verknüpfung beider Variabler nicht in expliziter, sondern in der impliziten Form
(6.58)
gegeben ist, werden die Ableitungen

mit denselben Formeln berechnet, aber die Ableitungen

sind nach den Regeln für implizite Funktionen zu berechnen. In diesem Falle kann es
vorkommen, daß der Zusammenhang (6.56b) die Variable
(6.58) benutzt.
Fall 2:
Die Funktion

wird durch eine Funktion

enthält. Zur Eliminierung wird dann die Verknüpfung

ersetzt, die mit

gemäß
(6.59a)

verknüpft ist. Die Berechnung der Ableitungen kann dann mit den folgenden Formeln erfolgen:
(6.59b)

(6.59c)
Fall 3:
Die Variablen

und

werden durch die neuen Veränderlichen

und

ersetzt, die mittels der Formeln


(6.60a)
verknüpft sind. Zur Berechnung der Ableitungen können die folgenden Formeln verwendet werden:

(6.60b)

(6.60c)

(6.60d)
mit
(6.60e)
(6.60f)

Die Berechnung der dritten Ableitung

geschieht in analoger Weise.


Beispiel
Für die Transformation kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten gemäß
(6.61a)
berechnen sich die erste und zweite Ableitung wie folgt:
(6.61b)

(6.61c)


Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Parabolische Kurven
Tabelle Kurvengleichungen 2. Ordnung. Parabolische Kurven
Größen

und

Gestalt der Kurve
Parabel
Geradenpaar

Parabolische Kurven

Parallele Geraden für
Doppelgerade für
Imaginäre Gerade für


Notwendige Koordinatentransformation

Normalform der Gleichung
nach Transformation

1. Verschiebung des Koordinatenursprungs in
den Scheitel der Parabel, dessen Koordinaten
und

durch die Gleichungen

und

definiert werden.
2. Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel

mit

das Vorzeichen von
von

entgegengesetzt sein.

;
muß dem Vorzeichen


ist auf die

Drehung der Koordinatenachsen um den
Winkel

mit
Form

das Vorzeichen von
von

muß dem Vorzeichen

transformierbar.

entgegengesetzt sein.
Im Falle

wird vorausgesetzt, daß keiner der Koeffizienten

verschwindet.

Der Kurvengleichung entspricht eine imaginäre Kurve.
Hinweis: Sind zwei Koeffizienten (

und

oder

und

so reduzieren sich die notwendigen

Koordinatentransformationen auf eine Verschiebung der Koordinatenachsen.
Die Gleichung
die Gleichung

erhält die Form
erhält die Form


Koordinatentransformation
In einem kartesischen Koordinatensystem mit den Basisvektoren

und

kann ein Tensor 2. Stufe

als

Matrix
(4.89)
dargestellt werden. Durch
(4.90)

werden krummlinige Koordinaten

eingeführt. Die neue Basis werde mit

und

bezeichnet. Es

gilt

(4.91)


Setzt man

dann können

und

als kovariante und kontravariante Basisvektoren aufgefaßt werden.


Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen
Hinweis 1: Eine Zusammenstellung der Zusammenhänge zwischen den Komponenten eines Vektors in
kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten enthält die Tabelle im nächsten Abschnitt.
Hinweis 2: Beim Übergang von einem Punkt zu einem anderen ändern zwar die Koordinatenvektoren ihre Richtung,
sie stehen aber stets senkrecht aufeinander.
●
●
●

Kartesische und Zylinderkoordinaten
Kartesische und Kugelkoordinaten
Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten und kartesische Koordinaten


Prediktor-Korrektor-Verfahren
In der Praxis sind implizite Mehrschrittverfahren gegenüber expliziten vorzuziehen, da sie bei gleicher Genauigkeit
wesentlich größere Schrittweiten erlauben. Dafür erfordert aber ein implizites Mehrschrittverfahren zur Berechnung
des Näherungswertes

die Lösung einer im allgemeinen nichtlinearen Gleichung. Diese folgt aus (19.101) und

ist von der Form:
(19.105)

Die Lösung von (19.105) erfolgt iterativ. Dabei geht man wie folgt vor: Ein Startwert

wird durch ein explizites

Mehrschrittverfahren, dem sogenannten Prediktor , bestimmt und anschließend durch die Iterationsvorschrift
(19.106)
dem sogenannten Korrektor , der aus dem impliziten Verfahren hervorgeht, verbessert. Spezielle Prediktor-KorrektorFormeln sind:


(19.107a)

(19.107b)

(19.108a)

(19.108b)
Die SIMPSON-Formel als Korrektor in (19.108b) ist numerisch instabil und kann z.B. durch
(19.109)

ersetzt werden.


Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen
●
●

Zweidimensionale Zufallsgrößen
Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale


Korrelation und Regression
Bei der Korrelationsanalyse geht es um die Feststellung von Abhängigkeiten zwischen zwei oder mehreren
Merkmalen einer Grundgesamtheit an Hand von Meßwerten. Mit Hilfe der Regressionsanalyse wird dann die Form
der Abhängigkeit zwischen diesen Merkmalen untersucht.
●
●
●

Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen
Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen
Mehrdimensionale Regression


Zweidimensionale Zufallsgrößen
Zwei Merkmale

und

sollen zu einer zweidimensionalen Zufallsgröße (

) mit folgenden

Verteilungsfunktionen zusammengefaßt werden:
(16.131a)

(16.131b)
Die Zufallsgrößen

und

heißen unabhängig voneinander , wenn
(16.132)

gilt. Die wichtigsten Parameter einer zweidimensionalen Verteilung sind:
1. Mittelwerte:
(16.133a)


(16.133b)
2. Streuungen:
(16.134a)
(16.134b)
3. Kovarianz:
(16.135)
4. Korrelationskoeffizient:
(16.136)

und

Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Abhängigkeit von
genau dann mit der Wahrscheinlichkeit 1 auf einer Geraden, wenn
Zufallsveränderliche sind, dann ist

. Aus

, denn es gilt: Alle Punkte (
ist. Wenn

und

) liegen

unabhängige

kann man nur dann auf die Unabhängigkeit der

und
schließen, wenn diese einer zweidimensionalen Normalverteilung genügen, die durch die
Merkmale
folgende Dichtefunktion definiert ist:


(16.137)


Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale
Bei praktischen Aufgaben ist zu untersuchen, ob eine Stichprobe, die aus

Meßpunkten

besteht, aus einer zweidimensionalen, normalverteilten Grundgesamtheit mit dem
Korrelationskoeffizienten

stammt, so daß die beiden Zufallsgrößen

und

als unabhängig

angesehen werden können. Der Test läuft wie folgt ab:
1.
Aufstellen der Hypothese

:

.

2.
Vorgabe einer Irrtumswahrscheinlichkeit
Verteilung für
3.
Berechnung der Testgröße

.

und Ermittlung des Quantils

aus der Tabelle der

-


(16.138a)
mit

(16.138b)

4.
Ablehnung der Hypothese, falls

Die Größe

ist.

heißt empirischer Korrelationskoeffizient .


Begriff des Solitons
Solitonen -- man spricht auch von solitären Wellen -- sind physikalisch betrachtet impuls- oder auch stufenförmig
lokalisierte Störungen eines nichtlinearen Mediums oder Feldes; die betreffende Energie ist auf ein enges Gebiet
konzentriert. Sie treten auf:
●

●
●
●
●

in Festkörpern, z.B. in anharmonischen Gittern, in JOSEPHSON-Kontakten, in Glasfasern und in quasieindimensionalen Leitern,
in Flüssigkeiten als Oberflächenwellen oder Spinwellen,
in Plasmen als LANGMUIR-Solitonen,
in linearen Molekülen,
in der klassischen und Quantenfeldtheorie.

Solitonen haben sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften; sie sind zu jedem Zeitpunkt örtlich lokalisiert, und
der Bereich der Lokalisierung, bzw. der Punkt, um den herum die Welle lokalisiert ist, bewegt sich wie ein freies
Teilchen; insbesondere kann er auch ruhen. Ein Soliton besitzt eine permanente Ausbreitungsstruktur: Auf Grund
einer Balance zwischen Nichtlinearität und Dispersion ändern sich Form und Geschwindigkeit nicht.
Mathematisch betrachtet, sind Solitonen spezielle Lösungen bestimmter nichtlinearer partieller
Differentialgleichungen, die in Physik, Technik und angewandter Mathematik auftreten. Ihre Besonderheiten
bestehen im Fehlen jeglicher Dissipation sowie darin, daß die nichtlinearen Terme nicht störungstheoretisch
behandelt werden können.


Wichtige Beispiele dafür sind die:
a) KORTEWEG-DE-VRIES- (KdV)-Gleichung:
(9.124)
b) nichtlineare SCHRÖDINGER-(NLS)-Gleichung:
(9.125)
c) Sinus- GORDON- (SG)-Gleichung:
(9.126)

In diesen Gleichungen wird der eindimensionale Fall betrachtet, d.h., es gilt
Ortskoordinate und

wobei

die

die Zeit repräsentieren. Die Gleichungen sind in skalierter Form angegeben, d.h., die beiden

und sind hier dimensionslose Größen. Bei praktischen Anwendungen sind sie mit den
unabhängigen Variablen
für das jeweilige Problem charakteristischen, dimensionsbehafteten Größen zu multiplizieren. Analoges gilt für die
Geschwindigkeit

. Mit

bzw.

als Index werden partielle Ableitungen bezeichnet, z.B.

.


Kosekans
Die Kosekansfunktion
(2.69)

stellt graphisch eine um die Strecke

. Die Maxima liegen bei

mit

nach rechts verschobene Sekanskurve dar. Die Asymptoten sind

mit

und die Minima bei


Kosinus
1. Gewöhnliche Kosinusfunktion: Die gewöhnliche Kosinusfunktion
(2.65a)

hat ihre Schnittpunkte mit der

-Achse bei
sie sind zugleich die

Wendepunkte mit dem Tangentenneigungswinkel

Die Extrema befinden sich bei


2. Allgemeine Kosinusfunktion: Die allgemeine Kosinusfunktion
(2.65b)
läßt sich auch in der Form

(2.65c)

d.h. als allgemeine Sinusfunktion mit der Phasenverschiebung

schreiben.


Winkelkosinussatz oder polarer Kosinussatz
(3.175a)
(3.175b)
(3.175c)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.


Der Winkelkosinussatz enthält die drei Winkel des sphärischen Dreiecks und jeweils eine der drei Seiten. Mit ihm
können aus einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln der dritte Winkel bzw. aus den drei Winkeln eine Seite
des Dreiecks oder alle drei Seiten berechnet werden. Im Unterschied dazu ergibt sich beim ebenen Dreieck der dritte
. Aus drei gegebenen Winkeln läßt sich beim ebenen Dreieck keine Seite
Winkel aus der Winkelsumme von
berechnen, da sich damit unendlich viele, einander ähnliche Dreiecke ergeben.


Kosinussatz oder Seitenkosinussatz
(3.173a)
(3.173b)
(3.173c)
Der Seitenkosinussatz der sphärischen Trigonometrie entspricht dem Kosinussatz der ebenen Trigonometrie. Die
Bezeichnung Seitenkosinussatz bringt zum Ausdruck, daß dieser Satz die drei Seiten des sphärischen Dreiecks
enthält.
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.


Kotangens
Die Kotangensfunktion
(2.67)
ergibt eine an der

-Achse gespiegelte und um die Strecke

nach links verschobene Tangenskurve.


Die Asymptoten liegen bei
größere Werte von

. Wenn

von 0 bis

läuft, fällt

monoton von

wiederholt sich dieser Verlauf periodisch. Die Schnittpunkte mit der

mit

Tangentenneigungswinkel

bis
-Achse bei

sind zugleich Wendepunkte mit dem

für


Zinsen
Zinsen stellen entweder eine Gebühr dar, die für einen Kredit (Leihgeld) zu entrichten ist, oder einen Erlös, der von
, das während einer ganzen Zinsperiode (in der Regel 1 Jahr)
einem Guthaben erzielt wird. Für ein Kapital
angelegt ist, werden am Ende der Zinsperiode
(1.80)

Zinsen gezahlt. Dabei ist
gezahlt.

der Zinssatz pro Zinsperiode , und man sagt, es werden

Zinsen für das Kapital


Komplexes Potential eines Quelle-Senke-Systems
Für eine Quelle im Punkt

und eine Senke im Punkt

, beide mit gleicher Intensität, erhält man durch

Überlagerung das komplexe Potential
(14.27)
Die Potentiallinien
stellen Kreise durch

bilden Apollonische Kreise bezüglich
und

dar (s. Abbildung).

und

, die Feldlinien


Kreis
●
●
●

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten
Parameterdarstellung des Kreises
Kreisgleichung in Polarkoordinaten


Kreis
Kreise werden mit dem Radius

dem Durchmesser

sowie mit einer Reihe von Winkeln beschrieben, die hier

nicht im Bogenmaß, sondern im Gradmaß des dazugehörigen Zentriwinkels

●

Winkel im Kreis
Strecken im Kreis

●

Umfang, Flächeninhalt, Zahl

●

(linke Abbildung) gemessen werden.


Rückwärtseinschneiden nach CASSINI
Bei diesem Rechenverfahren werden zwei Hilfspunkte
bzw.

und

verwendet, die je auf einem Hilfskreis durch

sowie beide auf einer Geraden durch den Neupunkt

liegen.


Gegeben:
Die Kreismittelpunkte
Verbindungslinien
(Peripheriewinkel).
Lösung:

Gemessen:
bzw.
bzw.

in

Gesucht:

sind die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von
Die in

gemessenen Winkel

bzw.

erscheinen wieder in

mit den
bzw.


(3.99a)
(3.99b)
(3.99c)
(3.99d)
(3.99e)

(3.99f)
(3.99g)
(3.99h)
Gefährlicher Kreis: Bei der Punktauswahl ist dafür zu sorgen, daß die vier betrachteten Punkte nicht auf einem
Kreis liegen, weil es dann keine Lösung gibt; man spricht vom gefährlichen Kreis . In dem Maße, in dem die Punkte in
die Nähe eines gefährlichen Kreises zu liegen kommen, nimmt die Genauigkeit des Verfahrens ab.


Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten
Die Gleichung des Kreises lautet in kartesischen Koordinaten für den in der linken Abbildung vorliegenden Fall, daß
der Kreismittelpunkt im Koordinatenursprung liegt,
(3.313a)


Liegt der Mittelpunkt im Punkt

(rechte Abbildung), dann ergibt sich
(3.313b)

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades
(3.314a)
liefert dann und nur dann einen Kreis, wenn
Form

und

. Für diesen Fall kann die Gleichung stets auf die
(3.314b)

gebracht werden. Für den Radius und die Koordinaten des Mittelpunktes gilt dann


(3.315a)
(3.315b)
Für

liefert die Gleichung keine reelle Kurve, für

ergibt sich ein einziger Punkt


Parameterdarstellung des Kreises
(3.316)
wobei

der Winkel zwischen dem beweglichen Radius und der positiven Richtung der

-Achse ist.


Kreisgleichung in Polarkoordinaten
Die Kreisgleichung in Polarkoordinaten lautet ganz allgemein und in Übereinstimmung mit der linken Abbildung
(3.317a)

Wenn der Kreismittelpunkt auf der Polarachse liegt und der Kreis durch den Koordinatenursprung verläuft (rechte
Abbildung), dann vereinfacht sich die Gleichung zu
(3.317b)


Logarithmische Spirale
Logarithmische Spirale heißt eine Kurve, die alle Strahlen, die vom Koordinatenursprung 0 ausgehen, unter dem
gleichen Winkel

schneidet.


Die Gleichung der logarithmischen Spirale lautet in Polarkoordinaten
(2.239)
wobei

. Der Nullpunkt ist asymptotischer Punkt der Kurve. Die Länge des Bogens

der Grenzwert des Bogens

Der Krümmungsradius ist

Spezialfall Kreis: Für

berechnet vom Koordinatenursprung aus,

.

ist

beträgt

, und die Kurve wird zum Kreis.


Ebene Kreisfiguren
●
●
●

Kreis
Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
Kreisring


Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen
●
●

Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen


Gerade Kreiskegel
Gerade Kreiskegel zeichnen sich durch einen Kreis als Grundfläche und eine Spitze über dem Kreismittelpunkt aus.

Mit

als Länge der Mantellinie und

als Grundflächenradius gilt:


(3.135)

(3.136)
(3.137)


Torus oder Kreisring
Torus oder Kreisring wird ein Körper genannt, der durch die Drehung eines Kreises um eine in der Kreisebene
außerhalb des Kreises liegende Achse entsteht.

(3.156a)


(3.156b)
(3.157a)

(3.157b)


Tonnenkörper
Tonnenkörper enstehen durch Drehung einer Erzeugenden mit entsprechender Krümmung; Kreistonnenkörper durch
Drehung eines Kreisegments, parabolische Tonnenkörper durch Drehung eines Parabelausschnittes.

Kreistonnenkörper (näherungsweise):


(3.158a)
oder
(3.158b)
Parabolischer Tonnenkörper (näherungsweise):
(3.159)


Gerade Kreiszylinder
Gerade Kreiszylinder zeichnen sich durch einen Kreis als Grundfläche und senkrecht auf der Kreisebene stehende
Erzeugende aus.

Mit

als Grundflächenradius gilt:
(3.125)


(3.126)
(3.127)


Schräg abgeschnittener Kreiszylinder

(3.128)

(3.129)


(3.130)


Kapitel 7:

Unendliche Reihen

●

Zahlenfolgen
Reihen mit konstanten Gliedern
Funktionenreihen
Fourier-Reihen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●


Kriterien
Es gelten folgende Teilbarkeitskriterien:
(5.150a)
(5.150b)
(5.150c)
(5.150d)
(5.150e)
(5.150f)
(5.150g)
(5.150h)
(5.150i)
(5.150j)
(5.150k)


Beispiel A
ist durch 9 teilbar wegen
wegen

und

und

aber nicht durch 7 teilbar

.

Beispiel B
91619 ist durch 11 teilbar wegen

und

Beispiel C
99 994 096 ist durch

teilbar wegen

.

.


Rechenregeln für Matrizen
Die folgenden Regeln können nur angewendet werden, wenn die darin auftretenden Rechenoperationen
durchführbar sind.
1. Die Multiplikation einer Matrix mit der Einheitsmatrix wird wegen
(4.33)
auch identische Abbildung genannt.
2. Multiplikationen einer Matrix A mit der Skalarmatrix S oder mit der Einheitsmatrix E sind kommutativ:
(4.34a)
(4.34b)
3. Multiplikation einer Matrix A mit der Nullmatrix 0 ergibt die Nullmatrix:
(4.35)


Die Umkehrung dieser Regel gilt im allgemeinen nicht, d.h., aus

folgt nicht notwendig

oder

.
4. Verschwindendes Produkt zweier Matrizen Auch wenn weder
Produkt eine Nullmatrix ergeben:

noch

Nullmatrizen sind, kann ihr
(4.36)

Beispiel

5. Multiplikation dreier Matrizen:
(4.37)
6. Transposition von Summe und Produkt zweier Matrizen:
(4.38a)

Für quadratische Matrizen

gilt außerdem:


(4.38b)
7. Inverse eines Produkts aus zwei Matrizen:
(4.39)
8. Potenzieren von Matrizen:
(4.40a)

(4.40b)
(4.40c)
(4.40d)

9. KRONECKER-Produkt: Als Kronecker-Produkt zweier Matrizen

und

bezeichnet

man die Vorschrift
(4.41)
Bezüglich Transposition und Spur gelten die Regeln
(4.42)


(4.43)


Unterabschnitte
●
●
●

Krümmung einer Kurve:
Krümmungskreisradius einer Kurve:
Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius:

Krümmung und Krümmungskreisradius
Krümmung einer Kurve:
Die Krümmung

einer Kurve im Punkt

ist der Grenzwert des Verhältnisses des Winkels

positiven Tangentenrichtungen in den Punkten

und

zur Bogenlänge

zwischen den

für
(3.435)


Das Vorzeichen der Krümmung
oder negativen

gibt an, ob die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach der positiven

Seite der Kurvennormalen zeigt (s. Kurvennormale). Anders ausgedrückt liegt der

Krümmungsmittelpunkt für
Manchmal wird die Krümmung
Grenzwertes zu nehmen.

auf der positiven Seite der Kurvennormalen, für

auf der negativen.

prinzipiell als positive Größe aufgefaßt. Dann ist immer der Absolutbetrag des

Krümmungskreisradius einer Kurve:
Der Krümmungskreisradius

einer Kurve im Punkt

ist der reziproke Wert des Betrags der Krümmung:
(3.436)


Die Krümmung

ist in einem Punkt

um so größer, je kleiner der Krümmungskreisradius

ist.

Beispiel A
Für einen Kreis mit dem Radius

sind Krümmung

und Krümmungskreisradius

für

alle Punkte konstant.
Beispiel B
Für die Gerade ist

und

Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius:
Mit

und

gilt allgemein
(3.437)


Daraus ergeben sich für die unterschiedlichen Definitionsformen der Kurvengleichungen verschiedene Ausdrücke für
und

(3.438)


(3.439)

(3.440)

(3.441)

Beispiel A


Beispiel B

Beispiel C

Beispiel D


Krümmung einer Fläche
●
●
●
●

Krümmung von Kurven auf einer Fläche
Hauptkrümmungskreisradien
Klassifizierung der Flächenpunkte
Krümmung einer Fläche


Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie
Krümmung einer Kurve im Punkt
wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der unmittelbaren
Umgebung dieses Punktes von einer Geraden angibt. Die exakte Definition lautet:
(3.471)

1. Krümmungskreisradius Der Krümmungskreisradius ist der Kehrwert der Krümmung:


(3.472)

2. Formeln zur Berechnung von

und

a) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß

(3.465a):
(3.473)

wobei es sich um Ableitungen nach

handelt.

b) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß

(3.464):


(3.474)

Die Ableitungen sind hier nach vorzunehmen.
3. SchraubenlinieDie Gleichungen
(3.475)
beschreiben die sogenannte Schraubenlinie als Rechtsschraube .

Wenn ein Beobachter in die positive Richtung der

-Achse blickt, die gleichzeitig Schraubenachse sein soll, dann


windet sich die Schraube beim Steigen im Drehsinn des Uhrzeigers. Eine Schraubenlinie, die sich im
entgegengesetzten Drehsinn windet, wird Linksschraube genannt.
Beispiel
Es ist die Krümmung der Schraubenlinie
bestimmen. Wird der Parameter

(3.475) zu

durch

ersetzt, dann ergibt sich

und gemäß (3.473)

Beide Größen

und

sind konstant.

Ein anderer Weg ohne Parametertransformation über (3.474) hätte zu dem gleichen Ergebnis geführt.


Unterabschnitte
●
●

Krümmungskreis und Krümmungskreismittelpunkt:
Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes:

Krümmungskreis
Krümmungskreis und Krümmungskreismittelpunkt:
1. Krümmungskreis: Der Krümmungskreis im Punkt
durch
gehen.

und zwei benachbarte Punkte

und

wird die Grenzlage eines Kreises genannt, der
der Kurve geht, wenn

und


Er verläuft durch den betreffenden Kurvenpunkt und hat dort dieselbe 1. und 2. Ableitung wie die Kurve.
Demgemäß schmiegt er sich der Kurve im Berührungspunkt besonders gut an. Er wird Schmiegkreis oder
Krümmungskreis genannt. Sein Radius heißt Krümmungskreisradius . Es zeigt sich, daß er der Kehrwert des
Absolutbetrages der Kurvenkrümmung ist.
2. Krümmungskreismittelpunkt: Der Mittelpunkt
des Punktes

des Krümmungskreises ist der Krümmungsmittelpunkt

. Er liegt auf der konkaven Seite der Kurve und auf der zugehörigen Kurvennormalen.

Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes:
Die Berechnung der Koordinaten

des Krümmungskreismittelpunktes kann je nach der Definitionsform der

Kurvengleichung mit Hilfe der folgenden Formeln erfolgen. Definition gemäß (3.425):


(3.442)

Definition gemäß (3.426):

(3.443)

Definition gemäß (3.427):


(3.444)

Definition gemäß (3.424):

(3.445)

Diese Formeln können auch in der Form
(3.446)

(3.447)

hingeschrieben werden, wobei

gemäß (3.438) bis (3.441) berechnet wird.


Krümmungskreisradius der Parabel
Für den Krümmungskreisradius der Parabel im Punkt

mit

als Normalenlänge

gilt allgemein

(3.348a)
und speziell im Scheitel 0:
(3.348b)


Methoden der klassischen Kryptoanalysis
Das Ziel kryptoanalytischer Untersuchungen besteht darin, ohne Kenntnis des Schlüssels aus dem Schlüsseltext
möglichst viele Informationen über den zugehörigen Klartext abzuleiten. Solche Untersuchungen sind nicht nur für
unberechtigte ,,Lauscher`` von Interesse, sondern auch zur Beurteilung der Sicherheit von Kryptosystemen aus der
Sicht von deren Anwendern.
●
●

Statistische Analyse
KASISKI-FRIEDMAN-Test


KASISKI-FRIEDMAN-Test
Mit der kombinierten Methode von KASISKI und FRIEDMAN ist es möglich, VIGENERE-Chiffren zu brechen. Dabei wird
die Tatsache ausgenutzt, daß bei diesem Chiffrierverfahren das Schlüsselwort periodisch verwendet wird. Es treten
also Wiederholungen von Teilfolgen im Schlüsseltext auf, wenn gleiche Klartextfolgen mit gleichen Schlüsselfolgen
verschlüsselt worden sind. Der Abstand solcher übereinstimmender Teilfolgen mit der Länge

im Schlüsseltext

ist ein Vielfaches der Schlüssellänge. Gibt es mehrere sich wiederholende Schlüsseltextfolgen, dann muß die
Schlüssellänge den größten gemeinsamen Teiler der Abstände teilen. Diese Überlegung wird KASISKI-Text genannt.
Man muß aber die Möglichkeit in Betracht ziehen, daß solche Übereinstimmungen auch durch Zufall enstanden sein
könnten und damit das Ergebnis verfälschen würden.
Während der KASISKI-Text die Schlüsselwortlänge nur bis auf Vielfache und Teiler liefert, gibt der Friedman-Test die
Größenordnung der Schlüsselwortlänge an. Für die Schlüsselwortlänge
Klartextes in deutscher Sprache mit einem Schlüsseltext der Länge

eines VIGENERE-verschlüsselten

(Zeichenzahl) gilt

(5.190a)
Dabei ist

der Koinzidenzindex des Schlüsseltextes, der sich wie folgt aus den Anzahlen

der Buchstaben


des Schlüsseltextes berechnen läßt:

(5.190b)

Zur Ermittlung des Schlüsselwortes schreibt man den Schlüsseltext der Länge
in Spalten. Es genügt nun,
spaltenweise das Äquivalent der Buchstaben E zu finden, da die Spalten bei der VIGENERE-Chiffre durch eine
Verschiebechiffre entstanden sind. Ist z.B. V der häufigste Buchstabe in einer Spalte, dann findet man im VIGENERETableau
(5.190c)
den Buchstaben R des Schlüsselwortes.
Benutzt eine VIGENERE-Chiffre einen sehr langen Schlüssel (z.B. von der Länge des Klartextes), dann führen die hier
beschriebenen Methoden nicht zum Ziel. Man kann aber erkennen, ob die verwendete Chiffre monoalphabetisch,
polyalphabetisch mit kleiner Periode oder polyalphabetisch mit großer Periode ist.


Statistische Analyse
Für jede natürliche Sprache gibt es Verteilungen der Häufigkeiten von Einzelbuchstaben, Buchstabenpaaren, Worten
usw. Zum Beispiel ist in der deutschen Sprache E der häufigste Buchstabe.
Buchstaben

Gesamthäufigkeiten

E, N

27,18 %

I, S, R, A, T

34,48 %

D, H, U, L, C, G, M, O, B, W, F, K, Z 36,52 %
P, V, J, Y, X, Q

1,82 %

Für ausreichend lange Schlüsseltexte ist es unter Ausnutzung der Häufigkeitsverteilungen möglich,
monoalphabetische monographische Substitutionen zu brechen.


Kryptologie
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Aufgabe der Kryptologie
Kryptosysteme
Mathematische Präzisierung
Sicherheit von Kryptosystemen
Methoden der klassischen Kryptoanalysis
One-Time-Tape
Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
DES-Algorithmus (Data Encryption Standard)
IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm)


Aufgabe der Kryptologie
Kryptologie ist die Wissenschaft der Geheimhaltung von Informationen durch Transformation von Daten.
Die Idee, Daten vor unberechtigtem Lesen zu schützen, ist schon alt. Als selbstständiger Wissenszweig hat sich die
Kryptologie in den 70-er Jahren unseres Jahrhunderts mit der Einführung von Kryptosystemen mit öffentlichem
Schlüssel etabliert. Heute ist es Aufgabe kryptologischer Untersuchungen, Daten sowohl gegen unberechtigten
Zugriff als auch gegen unberechtigte Änderungen zu schützen.
Neben den ,,klassischen`` militärischen Anwendungen erlangen die Bedürfnisse der Informationsgesellschaft immer
mehr an Bedeutung. Beispielsweise geht es um die Gewährleistung der Sicherheit bei der Nachrichtenübermittlung
per e-mail, um den elektronischen Zahlungsverkehr (Home-Banking), PIN bei EC-Karten usw.
Unter dem Oberbegriff Kryptologie faßt man heute die beiden Teilgebiete Kryptographie und Kryptoanalysis
zusammen. Im Rahmen der Kryptographie werden Kryptosysteme entwickelt, deren kryptographische Stärke mit
Hilfe der Methoden der Kryptoanalysis zum Brechen von Kryptosystemen beurteilt werden kann.


DES-Algorithmus (Data Encryption Standard)
Das DES-Verfahren wurde 1976 vom National Bureau of Standards zum offiziellen US-Verschlüsselungsstandard
erklärt. Der Algorithmus gehört zu den symmetrischen Verschlüsselungsverfahren und spielt auch heute noch unter
den kryptologischen Verfahren eine überragende Rolle. Er eignet sich aber nicht zur Verschlüsselung von
Informationen höchsten Vertraulichkeitsgrades, da bei den inzwischen vorhandenen technischen Möglichkeiten ein
Angriff durch Ausprobieren aller Schlüssel nicht mehr ausgeschlossen werden kann.
Beim DES-Algorithmus werden Permutationen und nichtlineare Substitutionen hintereinander ausgeführt. Der
Algorithmus verwendet einen 56 Bit langen Schlüssel. Genauer, man benutzt einen 64-Bit-Schlüssel, in dem aber nur
56 Bit beliebig wählbar sind; die restlichen 8 Bit ergänzen Blöcke von 7-Bit-Zeichen auf ungerade Parität.
Der Klartext muß in Blöcke von je 64 Bit zerlegt werden. DES überführt dann jeweils einen Klartextblock von 64 Bit in
einen Geheimtextblock von 64 Bit.
Zunächst wird der Klartextblock einer Eingangspermutation unterworfen und anschließend in 16 schlüsselabhängigen
Runden verschlüsselt. Dazu werden aus den 56 Schlüssel-Bits 16 Teilschlüssel

gebildet und in

dieser Reihenfolge in den einzelnen Iterationsrunden zur Verschlüsselung eingesetzt.
Anschließend wendet man die zur Eingangspermutation inverse Permutation an und erhält so den zum Klartextblock
gehörenden Schlüsselblock.


Die Entschlüsselung erfolgt im wesentlichen auf die gleiche Weise, nur mit dem Unterschied, daß man die
Teilschlüssel in der umgekehrten Reihenfolge

anwenden muß.

Die Stärke des Chiffrierverfahrens liegt in der Konstruktion der Abbildungen, die in den einzelnen Iterationsrunden
angewendet werden. Man kann zeigen, daß jedes Bit des Schlüsseltextes von jedem Bit des zugehörigen Klartextes
und von jedem Bit des Schlüssels abhängig ist.
Obwohl der DES-Algorithmus bis ins Detail offengelegt wurde, ist bis heute keine Möglichkeit öffentlich bekannt
geworden, das Chiffrierverfahren zu brechen, ohne alle

Schlüssel durchzuprobieren.


Konzept von DIFFIE und HELLMAN
Das Konzept der Verfahren mit öffentlichem Schlüssel wurde 1976 von DIFFIE und HELLMAN entwickelt. Jeder
Teilnehmer verfügt über einen öffentlichen Schlüssel, der in einem allgemein zugänglichen Verzeichnis veröffentlicht
wird, und einen privaten Schlüssel, der nur dem jeweiligen Teilnehmer selbst bekannt ist und streng geheim gehalten
wird. Solche Verfahren nennt man
asymmetrische Chiffrierverfahren.
Der öffentliche Schlüssel des

-ten Teilnehmers bestimmt den Chiffrierschritt

-ten Teilnehmers bestimmt den Dechiffrierschritt

1.
2. Für

; der private Schlüssel

des

. Es müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

ist die identische Abbildung.
und

gibt es effiziente Realisierungen.

3. Der private Schlüssel
dem öffentlichen Schlüssel

kann mit den bis auf absehbare Zeit zur Verfügung stehenden Mitteln nicht aus
abgeleitet werden.


Gilt darüber hinaus noch
4.

ist die identische Abbildung.

dann handelt es sich um ein Signaturverfahren mit öffentlichem Schlüssel. Ein Signaturverfahren ermöglicht dem
Absender der Nachricht, diese mit einer unfälschbaren Unterschrift zu versehen.
eine Nachricht

Möchte

öffentlichen Schlüssel

verschlüsseln und an
von

sendet nun den Schlüsseltext

senden, dann entnimmt

aus dem Verzeichnis den

und legt damit die Verschlüsselungsfunktion
über das öffentliche Netz an

, und

.

kann den Klartext der Nachricht mit

bestimmen, der die Entschlüsselungsfunktion

Hilfe seines privaten Schlüssels

fest:

festlegt:

.
Um das Fälschen von Nachrichten zu verhindern, kann
seine Nachricht
gemäß

an

wie folgt signieren:

verschlüsselt den Klartext

mit seinem privaten Schlüssel

, fügt dem Text seine Unterschrift ,,A`` hinzu und verschlüsselt den unterschriebenen Text

mit dem öffentlichen Schlüssel von
von

in einem Signaturverfahren mit öffentlichem Schlüssel

an

:

geschickt.

Der Teilnehmer

entschüsselt den Text mit seinem privaten Schlüssel und erhält

. Der so signierte Text wird


. Aus diesem Text erkennt
den Text

mit dem öffentlichen Schlüssel von

entschlüsseln:

den Absender

und kann nun
.


Einwegfunktionen
Chiffrierfunktionen in Verfahren mit öffentlichem Schlüssel müssen Einwegfunktionen mit ,,Falltür`` sein. Unter Falltür
versteht man hier eine geheim zu haltende Zusatzinformation.
Eine injektive Funktion

heißt Einwegfunktion mit Falltür, falls die folgenden Bedingungen gelten:

1. Es gibt effiziente Verfahren zur Berechnung von

und

2. Das effiziente Verfahren zur Berechnung von

kann aus

.
nicht ohne eine geheim zu haltende

Zusatzinformation gewonnen werden.
Man kann nicht beweisen, daß es Einwegfunktionen gibt, kennt jedoch Funktionen, die als Kandidaten für
Einwegfunktionen in Frage kommen.


IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm)
Der IDEA-Algorithmus wurde 1991 von LAI und MASSAY zum Patent vorgelegt. Wie beim DES-Algorithmus handelt
es sich um ein symmetrisches Verschlüsselungsverfahren; IDEA ist ein potentieller Nachfolger für DES. Der
Algorithmus ist insbesondere als Bestandteil des bekannten Softwarepakets PGP (Pretty Good Privacy) zur
Verschlüsselung von e-mails bekannt geworden. Im Unterschied zu DES wurde nicht nur der Algorithmus
veröffentlicht, sondern auch seine Entwurfsgrundlagen. Ziel war die Verwendung möglichst einfacher Operationen
(Addition modulo 2, Addition modulo

, Multiplikation modulo

).

Mit IDEA kann man 64-Bit-Klartextblöcke verschlüsseln und bei Wahl der Teilschlüssel in umgekehrter Reihenfolge
wieder entschlüsseln. Zur Verschlüsselung wird jeder 64-Bit-Klartextblock in vier Teilblöcke von je 16 Bit aufgeteilt.
IDEA benutzt 128-Bit-Schlüssel, aus denen 52 Teilschlssel von je 16 Bit erzeugt werden. In 8
Verschlüsselungsrunden werden jeweils 6 dieser Teilschlüssel benötigt; die restlichen 4 Teilschlüssel werden in einer
Ausgabetransformation mit den vier Textblöcken verknüpft und abschließend zu einem 64-Bit-Schlüsseltextblock
zusammengesetzt.
IDEA ist etwa doppelt so schnell wie DES, in Hardware jedoch schwieriger zu implementieren. Öffentlich sind keine
erfolgreichen Angriffe gegen IDEA bekannt geworden. Angriffe durch Ausprobieren aller Schlüssel bleiben bei der
Schlüssellänge von 128 Bit wirkungslos.


Kryptosysteme
Ein abstraktes Kryptosystem besteht aus den folgenden Mengen: Nachrichtenraum
Schlüsselräume

und

Eine Nachricht
Schlüsseltext

, Funktionsräume

und

, Schlüsseltextraum

,

.

wird durch Anwendung einer Abbildung

mit einem Schlüssel

zu einem

verschlüsselt und über einen Kommunikationskanal übermittelt. Der Empfänger kann aus

die ursprüngliche Nachricht
passenden Schlüssel

reproduzieren, sofern er über eine geeignete Abbildung

und den dazu

verfügt.

Es gibt zwei Arten von Kryptosystemen:
1. Symmetrische Kryptosysteme: Beim klassischen symmetrischen Kryptosystem verwendet man den
gleichen Schlüssel

zum Verschlüsseln der Nachricht und zum Entschlüsseln des Schlüsseltextes.


Beim Erstellen von klassischen Kryptosystemen kann der Anwender seiner Phantasie freien Lauf lassen. Das
Verschlüsseln und Entschlüsseln darf aber nicht zu kompliziert werden. In jedem Fall ist die sichere
Übertragung zwischen beiden Kommunikationspartnern unabdingbar.
2. Asymmetrische Kryptosysteme: Beim asymmetrischen Kryptosystem verwendet man zwei Schlüssel,
einen privaten (streng geheimen) und einen öffentlichen Schlüssel. Der öffentliche Schlüssel kann auf dem
gleichen Weg wie der Schlüsseltext übertragen werden. Die Sicherheit der Kommunikation ist hierbei durch die
Verwendung sogenannter Einwegfunktionen gewährleistet, die es dem unbefugten Lauscher unmöglich
machen, den Klartext aus dem Schlüsseltext zu ermitteln.


Mathematische Präzisierung
Ein Alphabet

ist eine endliche nichtleere totalgeordnete Menge, deren Elemente

Buchstaben genannt werden. Die Länge des Alphabetes ist
, die aus Buchstaben von
Menge aller Wörter der Länge

. Eine Zeichenreihe

besteht, ist ein Wort der Länge

über

bezeichnet. Seien

der Länge

über dem Aplphabet
und

. Mit

Alphabete sowie

wird die
eine

endliche Menge.
Eine Kryptofunktion ist eine Abbildung
für jedes

, so daß die Abbildung
injektiv ist. Dabei werden

Verschlüsselungsfunktion bzw. Entschlüsselungsfunktion genannt,

und

ist der Klartext und

der Schlüsseltext.


Für eine Kryptofunktion ist die einparametrige Familie
findet Verwendung, wenn neben der Abbildung
Die Menge
wird

ein Kryptosystem

. Der Begriff Kryptosystem

auch Struktur und Größe der Schlüsselmenge von Bedeutung sind.

aller zu einem Kryptosystem gehörenden Schlüssel heißt Schlüsselraum. Für

und

(5.188)
Kryptosystem auf
Ist

genannt.

ein Kryptosystem auf

, dann heißt

kontinuierliche Chiffre, falls

ist; anderenfalls ist

eine

Blockchiffre.
Kryptofunktionen aus einem Kryptosystem auf
Man zerlegt dazu den Klartext in Blöcke der Länge

sind zum Verschlüsseln von Klartexten beliebiger Länge geignet.
und wendet die Funktion auf jeden der Blöcke einzeln an.

Gegebenenfalls müssen noch sogenannte Blender hinzugefügt werden, um den Klartext auf eine durch
Länge zu ergänzen. Blender dürfen den Klartext nicht stören.

teilbare

Man unterscheidet kontextfreie Verschlüsselung , bei der ein Schlüsseltextblock nur Funktion des zugehörigen
Klartextblocks und dessen Schlüssel ist, und kontextsensitive Verschlüsselung , bei der der Schlüsseltextblock auch
von anderen Blöcken der Nachricht abhängig ist. Im Idealfall hängt jede Schlüsseltextstelle von allen Klartextstellen
und allen Schlüsselstellen ab. Kleine Änderungen in Klartext oder Schlüssel bewirken dann große Änderungen im
Schlüsseltext ( Lawineneffekt ).


One-Time-Tape
Hierbei handelt es sich um die einzige, theoretisch als sicher geltende Chiffre. Die Verschlüsselung erfolgt nach dem
Prinzip der VIGENERE-Chiffre, jedoch verwendet man als Schlüssel eine Zufallsfolge von Buchstaben, deren Länge
mit der Länge des Klartextes übereinstimmt.
In der Regel werden one-time-tapes als binäre VIGENERE-Chiffren realisiert: Klartext und Schlüssel sind dann als
Dualzahlen dargestellt und werden modulo 2 addiert. Unter diesen Bedingungen ist die Chiffre involutorisch , d.h.,
das zweimalige Anwenden der Chiffre liefert wieder den Klartext. Die technische Ausführung von binären VIGENEREChiffren erfolgt durch Schieberegisterschaltungen . Darunter versteht man Schaltungen, die nach bestimmten Regeln
aus Speicherbausteinen, die die Zustände 0 oder 1 annehmen können, und Schaltern zusammengesetzt sind.


RSA-Verfahren
Das im Kapitel Zahlentheorie beschriebene RSA-Verfahren ist das populärste asymmetrische
Verschlüsselungsverfahren.
1. Voraussetzungen: Man wählt zwei große Primzahlen
gelten;
zischen

und
und

und

und

. Dabei soll

müssen sich als Dezimalzahlen in ihrer Länge um einige Stellen unterscheiden; die Differenz
darf aber auch nicht zu groß sein. Weiterhin sollen

enthalten, und der größte gemeinsame Teiler von
, das teilerfremd zu
. Dann bilden

und

ist, und berechne ein
und

und

große Primfaktoren

soll möglichst klein sein. Man wähle ein
mit

den öffentlichen Schlüssel und

modulo
den privaten Schlüssel.

2. Verschlüsselungsoperation:
(5.191a)
3. Entschlüsselungsoperation:


(5.191b)

Damit gilt

für jede Nachricht

Die zur Verschlüsselung verwendete Funktion ist für

.

ein Kandidat für eine

Einwegfunktion mit Falltür. Die Zusatzinformation liegt hier in der Kenntnis der Primfaktorenzerlegung von
diese Information ist es praktisch unmöglich, die Kongruenz

. Ohne

zu lösen.
Das RSA-Verfahren gilt weithin als praktisch sicher, sofern die oben genannten Bedingungen erfüllt sind. Als Nachteil
gegenüber anderen Verfahren sind die relativ große Schlüssellänge und die Tatsache zu beachten, daß RSA
gegenüber DES um etwa den Faktor 1000 langsamer ist.


Sicherheit von Kryptosystemen
In der Kryptoanalysis geht es um die Entwicklung von Methoden, mit denen man aus dem Schlüsseltext ohne
Kenntnis des Schlüssels möglichst viele Informationen über den Klartext gewinnen kann.
Nach A. KERCKHOFF liegt die Sicherheit eines Kryptosystems allein in der Schwierigkeit, den Schlüssel oder genauer
die Entschlüsselungsfunktion zu finden. Sie darf nicht auf der Geheimhaltung des Systems selbst beruhen.
Es gibt verschiedene Aspekte zur Beurteilung der Sicherheit von Kryptosystemen:
a) Absolut sichere Kryptosysteme: Es gibt nur ein absolut sicheres Kryptosystem, das one-time-tape . Der
Beweis dafür wurde von SHANNON im Rahmen der Informationstheorie erbracht.
b) Analytisch sichere Kryptosysteme: Es gibt kein Verfahren, mit dem dieses Kryptosystem systematisch
gebrochen werden kann. Der Beweis für die Nichtexistenz solcher Verfahren kann durch den Nachweis der
Nicht-Berechenbarkeit der Entschlüsselungsfunktion erfolgen.
c) Komplexitätstheoretisch sichere Kryptosysteme: Es gibt keinen Algorithmus, der das Kryptosystem in
Polynomzeit (bezüglich der Textlänge) brechen kann.
d) Praktisch sichere Kryptosysteme: Es ist kein Verfahren bekannt, das das Kryptosystem mit den
verfügbaren Ressourcen mit vertretbaren Kosten brechen kann.


Bei der Kryptoanalyse werden oft statistische Methoden (Häufigkeitsanalysen für Buchstaben und Wörter)
angewandt. Neben dem vollständigen Suchen und der Trial-and-Error-Methode ist auch eine Strukturanalyse des
Kryptosystems denkbar (Lösen von Gleichungssystemen).
Bei Angriffen auf Kryptosysteme kann man versuchen, einige häufig vorkommende Chiffrierfehler auszunutzen,
z.B.die Verwendung stereotyper Formulierungen, das wiederholte Senden wenig geänderter Klartexte, eine
ungeschickte vorhersehbare Schlüsselauswahl und die Verwendung von Füllzeichen.
●
●
●
●

Methoden der klassischen Kryptologie
Tauschchiffren
VIGENERE-Chiffre
Matrixsubstitutionen


Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
Obwohl die Verfahren der klassischen Kryptologie mit der heutigen Rechentechnik effizient realisierbar sind und auch
für zweiseitige Nachrichtenverbindungen nur ein Schlüssel erforderlich ist, gibt es auch eine Reihe von Nachteilen:
●
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●

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●

Die Chiffriersicherheit beruht allein auf der Geheimhaltung des Schlüssels.
Die Schlüssel müssen vor der Kommunikation auf einem hinreichend gesicherten Kanal ausgetauscht werden;
spontane Kommunikation ist nicht möglich.
Es ist darüber hinaus nicht möglich, Dritten gegenüber nachzuweisen, daß ein bestimmter Absender eine
bestimmte Nachricht geschickt hat.
Konzept von DIFFIE und HELLMAN
Einwegfunktionen
RSA-Verfahren


Methoden der klassischen Kryptologie
Außer durch Anwendung von Kryptofunktionen ist es auch möglich, einen Klartext durch kryptologische Codes zu
verschlüsseln. Darunter versteht man eine bijektive Abbildung von einer Teilmenge

der Menge aller Wörter über

auf eine Teilmenge
der Menge aller Wörter über einem Alphabet
einem Alphabet
Original-Bild-Paare dieser Abbildung heißt Codebuch.

. Die Menge aller

Beispiel
heute abend

0815

morgen abend 1113

Dem Vorteil, daß lange Klartexte durch kurze Nachrichten ersetzt werden können, steht der Nachteil gegenüber, daß
gleiche Klartextteile durch gleiche Schlüsseltextteile ersetzt werden und auch nur teilweise kompromittierte
Codebücher mit großem Aufwand komplett ausgetauscht werden müssen.
Im weiteren Text werden nur noch Verschlüsselungen mit Hilfe von Kryptofunktionen betrachtet. Diese haben den
zusätzlichen Vorteil, daß keine vorherige Absprache über den Inhalt der auszutauschenden Nachrichten erfolgen
muß.


Klassische Kryptooperationen sind Substitution und Transposition . Transpositionen sind in der Kryptologie spezielle,
über geometrische Figuren definierte Permutationen. Im weiteren sollen die Substitutionschiffren genauer vorgestellt
werden. Man unterscheidet monoalphabetische und polyalphabetische Substitutionen , je nachdem, ob ein Alphabet
oder mehrere Alphabete zur Abfassung des Schlüsseltextes herangezogen werden. Allgemeiner spricht man auch
von polyalphabetischen Substitutionen, wenn zwar nur ein Alphabet benutzt wird, jedoch die Verschlüsselung der
Klartextzeichen von deren Position im Text abhängig ist.
Außerdem ist eine Einteilung in monographische und polygraphische Substitutionen sinnvoll. Im ersten Fall werden
Einzelzeichen ersetzt, im zweiten Fall Zeichenfolgen einer festgesetzten Länge

.


Matrixsubstitutionen
Sei

ein Alphabet und

nichtsinguläre Matrix vom Typ

mit ggT(det

, eine
)

. Die Abbildung, die jedem Klartextblock

den Schlüsseltextblock mit der Indexfolge (die Rechnung wird modulo

ausgeführt)

(5.189)

zuordnet, heißt HILL-Chiffre. Es handelt sich dabei um eine monoalphabetische Matrixsubstitution.
Beispiel


Die Buchstaben des Alphabetes seien

. Wählt man als Klartext das

Wort ,,HERBST``, dann sind den Buchstabenfolgen HER, BST die Indexfolgen
zugeordnet. Man erhält

bzw.
und

. Nach Reduktion modulo 26 ergeben sich die Indexfolgen
und

sowie die zugehörigen Buchstabenfolgen ZGU bzw. HGG. Der Schlüsseltext

zum Klartext HERBST lautet also ZGUHGG.


Tauschchiffren
Ist
Permutation
Es gibt

und
, die jeden Buchstaben

mit dem ggT
auf

verschiedene Tauschchiffren auf

, dann wird die

abbildet, eine Tauschchiffre genannt.
.

Verschiebechiffren sind Tauschchiffren mit
. Die Verschiebechiffre mit
CAESAR (100 bis 44 v. Chr.) benutzt und heißt deshalb CAESAR-Chiffre.

wurde schon von JULIUS


VIGENERE-Chiffre
Die Verschlüsselung bei der VIGENERE-Chiffre basiert auf der periodischen Verwendung eines Schlüsselwortes,
dessen Buchstaben paarweise verschieden sind.
In einer Version dieser Chiffre nach L. CAROLL wird zum Ver- und Entschlüsseln das sogenannte VIGENERE-Tableau
benutzt:


Steht das Klartextzeichen in Zeile

und das Schlüsselzeichen in Spalte

des VIGENERE-Tableaus, dann wird das

Schlüsseltextzeichen im Schnittpunkt der beiden Reihen im Innern des Tableaus abgelesen. Die Entschlüsselung
erfolgt in umgekehrter Reihenfolge.
Beispiel
Als Schlüsselwort wird ,,Hut`` gewählt.
Klartext:

E S W A R E I N M A L

Schlüssel:

H U T H U T H U T H U

Schlüsseltext: L M P H L X P H F H F

Formal kann man die VIGENERE-Chiffre auch wie folgt schreiben: Ist
zugehörige Schlüsselbuchstabe, dann ist

der Klartextbuchstabe und

der Schklüsseltextbuchstabe genau dann, wenn

der
gilt.


Wurzeln
In Übereinstimmung mit der folgenden Tabelle ,,Definition der Potenzen`` wird als
Zahl

-te Wurzel aus

die positive
(1.17a)

bezeichnet. Man spricht bei der Berechnung dieser Zahl vom Radizieren oder Wurzelziehen und nennt
Radikanden und
genannt.
Basis

beliebig reell,

den

den Wurzelexponenten . Die 2. und die 3. Wurzel werden auch Quadratwurzel bzw. Kubikwurzel
Exponent

Potenz


rational:

positiv reell

(

,

ganz,

(

)

-te Wurzel aus

hoch

)

irrational:

positiv
Für die Lösung der Gleichung
(1.17b)

wird häufig auch die Schreibweise

verwendet, aber dann repräsentiert diese Darstellung

die im Falle eines negativen oder komplexen Wertes von

gemäß (1.143b) zu

berechnen sind.
Beispiel
Die Gleichung

hat die drei Wurzeln

Werte

und


Kugel
Die Kugel besitze den Radius

und den Durchmesser

.

Jeder ebene Kugelschnitt ergibt einen Kreis. Ein ebener Schnitt durch den Kugelmittelpunkt ergibt einen Großkreis
mit dem Radius
. Durch je zwei nicht diametral gegenüberliegende Kugeloberflächenpunkte kann immer nur ein
Großkreis gelegt werden. Die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei Kugeloberflächenpunkten auf der
Kugeloberfläche ist der Bogen des Großkreises.


Formeln für die Kugeloberfläche und das Kugelvolumen:
(3.142a)
(3.142b)
(3.142c)

(3.143a)

(3.143b)

(3.143c)

(3.144a)


(3.144b)


Kugelabschnitt

(3.147)

(3.148)


(3.149)

(3.150)


Legendresche Polynome (Kugelfunktionen)
Wegen der Definition s. Abschnitt LEGENDREsche Polynome 1. Art (Kugelfunktionen), eine Tabelle der Nullstelllen s.
Nullstellen der LEGENDREschen Polynome 1. Art.

0,00

0,0000

0,3750

0,0000

0,0000


0,05

0,3657

0,0927

0,10

0,3379

0,1788

0,15

0,2928

0,2523

0,20

0,2320

0,3075

0,25

0,1577

0,3397

0,30

0,3454

0,1292

0,35

0,3225

0,2225

0,40

0,2706

0,2926

0,45

0,1917

0,3290

0,50

0,3232

0,2231


0,55

0,2708

0,3007

0,60

0,1721

0,3226
0,2737

0,65

0,1338

0,70

0,2350

0,75

0,3438

0,80

0,4600

0,85

0,5838

0,2603

0,90

0,7150

0,4725

0,95

0,8538

0,7184

0,5541

1,00

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000


Vektorfeld in Zylinder- und Kugelkoordinaten
Die Einheitsvektoren der Zylinder- und Kugelkoordinaten
(13.17a)

sind Tangenten an die Koordinatenlinien in jedem Punkt (s. die folgenden Abbildungen).


Sie bilden in der angegebenen Reihenfolge jeweils ein orthogonales Rechtssystem. Die Koeffizienten müssen dann
als Funktionen der entsprechenden Koordinaten gegeben sein:
(13.17b)
(13.17c)

Beim Übergang von einem Punkt zu einem anderen ändern zwar die Koordinatenvektoren ihre Richtung, sie stehen
aber stets senkrecht aufeinander.


Kugelschachtelungssatz
Sei

ein vollständiger metrischer Raum. Ist
(12.55)

eine Folge von ineinandergeschachtelten abgeschlossenen Kugeln mit
dieser Kugeln nichtleer und besteht nur aus einem einzigen Punkt.
Gilt dieser Satz in einem metrischen Raum, so ist dieser vollständig.

, dann ist der Durchschnitt aller


Kugelschicht

(3.151)

(3.152)


(3.153)
(3.154)

Wenn

das Volumen eines Kegelstumpfes ist, der in eine Kugelschicht einbeschrieben ist und

die Länge seiner

Mantellinie ist, dann gilt
(3.155)


Begriffsbestimmung
Eine sphärische Kurve, die alle Meridiane unter konstantem Kurswinkel schneidet, heißt Loxodrome oder Kursgleiche
. Breitenkreise

und Meridiane

sind damit spezielle Loxodromen.


Polargleichung der Kurven zweiter Ordnung
Alle Kurven 2. Ordnung werden mit der einen Polargleichung
(3.352)
beschrieben, wobei

der Halbparameter und

die Exzentrizität sind. Dabei liegt der Pol im Brennpunkt, während

die Polarachse vom Brennpunkt nach dem nächstgelegenen Scheitelpunkt hin gerichtet ist. Für die Hyperbel definiert
diese Gleichung nur einen Ast.


Kurven dritter Ordnung
Eine ebene Kurve heißt algebraische Kurve der Ordnung
in zwei Variablen vom Gesamtgrad

, wenn sie durch eine Polynomgleichnung der Form

beschrieben werden kann.

Beispiel A
Die Kardioide mit der Gleichung
Kurve 4. Ordnung.
Beispiel B
Die bekannten Kegelschnitte stellen Kurven 2. Ordnung dar.
●
●
●

Semikubische Parabel
Versiera der Agnesi
Kartesisches Blatt

, ist eine


●
●

Zissoide
Strophoide


Kurve 3. Ordnung, Typ I
Die Funktion
(2.48)
und

liefert eine Kurve 3. Ordnung . Sie hat die beiden Asymptoten
denen der eine einer monotonen Änderung von

zwischen

und

andere drei charakteristische Punkte durchläuft: einen Schnittpunkt

Extremum

bei

und einen Wendepunkt

dieser Äste gibt es vier Fälle, die von den Vorzeichen von

und

und besteht aus zwei Ästen, von
bzw.

entspricht, während der

mit der Asymptote bei

bei
abhängen.

ein

Für die Lage


Die Schnittpunkte

und

mit der

-Achse liegen bei

eins (Berührung) oder null betragen, je nachdem, ob für
geht für

in die Funktion

ihre Anzahl kann zwei,

gilt:

(s. Abbildung der reziproken Potenz)

oder

. Die Funktion (2.48)


und für

in die gebrochen lineare Funktion

, einen Spezialfall von (2.47), über.


Kurve 3. Ordnung, Typ II
Die Funktion
(2.49)

beschreibt eine Kurve 3. Ordnung , die symmetrisch zu der vertikalen Geraden bei
-Achse zur Asymptote hat.

verläuft und die die


Ihr Verhalten hängt von den Vorzeichen von

und

ab. Von den zwei Fällen

wird hier nur der erste betrachtet, da der zweite durch Spiegelung von

und

an der

-Achse erhalten werden kann.
a) Fall

Die Funktion ist für beliebiges

dann wieder gegen 0 zu fallen. Das Maximum

liegen bei

berechnen sich zu

positiv und stetig und wächst von 0 bis zum Maximum, um

liegt bei

die Wendepunkte

und

die zugehörigen Tangentensteigungen (Richtungskoeffizienten)


b) Fall

Die Funktion ist für beliebiges

eine Unstetigkeitsstelle mit

positiv, wächst von 0 bis

und nimmt von hier wieder auf 0 ab.

besitzt bei


c) Fall

Die Funktion wächst von 0 bis

hier über ein Maximum wieder nach

zu verlaufen, von wo es einen zweiten Sprung nach

den schließlich ein Abfall gegen 0 folgt. Das Maximum

liegen bei

springt an der Unstetigkeitsstelle auf

liegt bei

um von
gibt, auf

die Unstetigkeitsstellen


Kurve 3. Ordnung, Typ III
Die Funktion
(2.50)
beschreibt eine Kurve 3. Ordnung durch den Koordinatenursprung mit der

-Achse als Asymptote.


Der Verlauf der Funktion hängt von den Vorzeichen von
der Wurzeln

und

der Gleichung

ist. Von den zwei Fällen
Spiegelung der Kurve für

a) Fall

und von
ab, wenn

und

sowie von den Vorzeichen
ist, vom Vorzeichen von

wenn

wird hier nur der erste betrachtet, da sich der zweite durch
an der

-Achse ergibt.

Die Funktion verläuft stetig, nimmt von 0 bis zum Minimum ab, steigt dann bis zum Maximum


an, um danach wieder auf 0 abzufallen.
Die Extremwerte

b) Fall
❍

und

liegen bei

es gibt drei Wendepunkte.

Der Verlauf hängt vom Vorzeichen von
Die Funktion nimmt von 0 bis

ab:

ab, hat eine Unstetigkeitsstelle, nach der sie von

bis zum Maximum anwächst, um danach gegen 0 zu streben.


Das Maximum

❍

liegt bei

.

Die Funktion fällt von 0 bis zum Minimum ab, durchläuft danach den Koordinatenursprung,
steigt dann von 0 bis

, hat eine Unstetigkeitsstelle und fällt dann wieder von

auf 0 ab.


Das Minimum

liegt bei

.

Die Unstetigkeitsstellen liegen in beiden Fällen bei

beide Kurven besitzen je einen

Wendepunkt.
c) Fall

Die Funktion besitzt zwei Unstetigkeitsstellen bei

von den Vorzeichen von

und

ab.

und

ihr Verlauf hängt


❍

Die Vorzeichen von

und

nimmt wieder von

sind verschieden: Die Funktion nimmt von 0 bis
bis

erfährt einen zweiten Sprung nach

❍

Die Vorzeichen von

und

ab, springt auf

ab, wobei sie durch den Koordinatenursprung verläuft,
von wo sie gegen 0 abfällt. Extremwerte treten nicht auf.

sind beide negativ: Die Funktion nimmt von 0 bis

läuft von hier über ein Minimum wieder bis auf

springt abermals auf

bis zum Maximum an, um danach asymptotisch gegen 0 abzufallen.

ab, springt auf
steigt dann


Die Extremwerte
❍

und

werden nach den gleichen Formeln wie im Fall

Die Vorzeichen von

und

wächst dann auf

an, springt auf

springt auf

berechnet.

sind beide positiv: Die Funktion nimmt von 0 bis zum Minimum ab,
durchläuft ein Maximum, um wieder

und verläuft von hier gegen 0.

zu erreichen,


Die Extremwerte

und

werden nach den gleichen Formeln wie im Fall

In allen drei Fällen besitzt die Kurve einen Wendepunkt.

berechnet.


Kurven vierter Ordnung
●
●
●
●
●
●

Konchoide des NIKOMEDES
Allgemeine Konchoide
PASCALsche Schnecke
Kardioide
CASSINIsche Kurven
Lemniskate


Ebene Kurven
●
●
●
●
●
●

Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren
Lokale Elemente einer Kurve
Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten
Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
Evoluten und Evolventen
Einhüllende von Kurvenscharen


Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●

Tangente im Punkt M:
Gleichungen der Tangente und der Normalen:
Positive Richtung von Kurventangente und Kurvennormale:
Steigung der Tangente:
Abschnitte der Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale:
Winkel zwischen zwei Kurven:

Tangente und Normale
Tangente im Punkt M:
Tangente im Punkt
Punkt

wird die Sekante

senkrecht auf der Tangente steht.

in ihrer Grenzlage für

genannt, Normale eine Gerade, die im


Gleichungen der Tangente und der Normalen:
Die Gleichungen der Tangente und der Normalen sind in der folgenden Tabelle für die drei Fälle der impliziten (3.424),
expliziten (3.425) und Parameterform (3.426) angegeben. Dabei sind

die Koordinaten des Punktes

die Koordinaten der Tangenten- und Normalenpunkte. Die Werte der Ableitungen sind für den Punkt
Tabelle Tangenten- und Normalengleichungen
Art der
Gleichung

Gleichung der Tangente

Gleichung der Normale

und
zu berechnen.


(3.424)

(3.425)

(3.426)

Beispiel A


Kreis mit

und Punkt

:

a) Tangentengleichung:
oder

Unter Berücksichtigung der

Kreisgleichung im Punkt
b) Normalengleichung:
oder

im Punkt

Beispiel B
Sinuslinie

im Punkt 0(0,0):

a) Tangentengleichung:
oder

im Punkt

b) Normalengleichung:
oder

im Punkt


Beispiel C
Kurve mit

im Punkt

a) Tangentengleichung:
oder

im Punkt

b) Normalengleichung:
oder

im Punkt

Positive Richtung von Kurventangente und Kurvennormale:
Wenn die Kurve in der expliziten (3.425), Parameter- (3.426) oder Polarkoordinatenform (3.427) gegeben ist, dann sind die
positiven Richtungen auf der Tangente und der Normalen festgelegt. Die positive Richtung auf der Tangente stimmt mit
der positiven Richtung der Kurve im Berührungspunkt überein, während sich die positive Richtung auf der Normalen aus
der positiven Richtung der Tangente durch deren Drehung um den Punkt
des Uhrzeigers ergibt.

um

im entgegengesetzten Drehsinn


Die Tangente und die Normale werden durch den Punkt

jeweils in eine positive und eine negative Halbgerade geteilt.

Steigung der Tangente:
Die Steigung der Tangente wird bestimmt
a) durch den Tangentenneigungswinkel
Tangente oder,

zwischen den positiven Richtungen der Abszissenachse und der

b) wenn die Kurve in Polarkoordinaten gegeben ist, durch den Winkel
und der positiven Richtung der Tangente.

zwischen der Richtung des Radiusvektors


Für die Winkel

und

gelten die folgenden Formeln, wobei das Bogenelement

gemäß (3.428) bis (3.430)

berechnet wird:
(3.431a)

(3.431b)

Beispiel A


Beispiel B

Beispiel C

Abschnitte der Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale:
Man erhält in Anlehnung an die Abbildung die folgenden Formeln:


a) In kartesischen Koordinaten für eine Definition gemäß der expliziten (3.425) und der Parameterform (3.426):
(3.432a)

(3.432b)

(3.432c)


(3.432d)
b) In Polarkoordinaten für eine Definition gemäß der Polarkoordinatenform (3.427):
(3.433a)

(3.433b)

(3.433c)

(3.433d)
Beispiel A

Beispiel B


Winkel zwischen zwei Kurven:
Unter dem Winkel

zwischen zwei Kurven

Tangenten an diese Kurven im Punkt

und

verstanden.

die sich im Punkt

schneiden, wird der Winkel zwischen den


Die Berechnung des Winkels

ist damit auf die Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden mit den

Richtungskoeffizienten
(3.434a)

(3.434b)

zurückgeführt, wobei
Ableitungen für den Punkt

die Gleichung von

und

die Gleichung von

ist und die

zu berechnen sind.

Beispiel
Es ist der Winkel zwischen den Parabeln

und

im Punkt

zu bestimmen:

.


Positive Richtung auf einer Kurve
Wenn eine Kurve in der Parameterform

(3.426) gegeben ist, dann wird auf ihr als positiv die

Richtung definiert, in der sich ein Kurvenpunkt

für zunehmende Werte des Parameters

Ist die Kurve in der expliziten Form

bewegt.

(3.425) gegeben, dann kann die Abszisse

als Parameter aufgefaßt werden, so daß die positive Richtung die mit wachsender Abszisse ist. Für die Angabe in
Polarkoordinaten

(3.427) dient der Winkel

so daß die positive Richtung der Zunahme von

Beispiel A

Beispiel B

als Parameter,

entspricht, d.h. entgegengesetzt zum Drehsinn des Uhrzeigers.


Beispiel C


Scheitel
Scheitel sind Kurvenpunkte, in denen die Krümmung ein Maximum oder ein Minimum besitzt. Die Ellipse hat z.B. die
vier Scheitel

(linke Abbildung), die Kurve des Logarithmus (rechte Abbildung) nur einen bei

Die Ermittlung der Scheitelpunkte wird auf die Bestimmung der Extremwerte von
auf die von

oder, wenn das einfacher ist,

zurückgeführt, die mit den Formeln (3.438) bis (3.441) berechnet werden können.


Aufstellung empirischer Kurven
●
●

Verfahrensweise
Gebräuchlichste empirische Formeln


Beschreibung von Kurven in komplexer Form
Eine komplexe Funktion von einer reellen Veränderlichen

kann auch in Parameterform dargestellt werden:
(14.91)

Bei Änderungen von

durchlaufen die Punkte

eine Kurve

.

Die Gleichungen für Gerade, Kreis, Hyperbel, Ellipse und logarithmische Spirale lauten:
1. Gerade
a) Gerade durch einen Punkt

, Winkel

mit der

-Achse:
(14.92a)


b) Gerade durch zwei Punkte

und

:
(14.92b)

2. Kreis
a) Kreis, Radius

, Mittelpunkt im Koordinatenursprung:
(14.93a)


b) Kreis, Radius

, Mittelpunkt im Punkt

:
(14.93b)

3. Hyperbel, Normalform
(14.94a)
oder
(14.94b)
wobei

und

konjugiert komplexe Zahlen sind:
(14.94c)


4. Ellipse
a) Ellipse, Normalform

:
(14.95a)

oder
(14.95b)
mit
(14.95c)
d.h.,

und

sind beliebige reelle Zahlen.


b) Ellipse, allgemeine Form: Der Mittelpunkt befindet sich im Punkt

, die Achsen sind um einen

Winkel gedreht.
(14.96)
sind beliebige komplexe Zahlen bezeichnet, die die Länge der Ellipsenachsen und ihre Drehung
Mit und
bestimmen.


5. Logarithmische Spirale
(14.97)
wobei

und

beliebige komplexe Zahlen sind.


Hyperbolische Spirale
Die Gleichung der hyperbolischen Spirale in Polarkoordinaten lautet:
(2.238)

Die Kurve der hyperbolischen Spirale besteht aus zwei Zweigen, die symmetrisch zur

-Achse verlaufen. Für beide


Zweige ist die Gerade

Der Flächeninhalt des Sektors

Der Krümmungsradius ist

Asymptote und der Koordinatenursprung asymptotischer Punkt.

beträgt

, wobei gilt:

.


Reziproke Potenz
Die Funktion
(2.51)
beschreibt eine Kurve vom hyperbolischen Typ mit den Koordinatenachsen als Asymptoten. Die Unstetigkeitsstelle
liegt bei


a) Fall

Für

wächst die Funktion bei geradem

abzufallen, wobei sie stets positiv bleibt. Bei ungeradem

von 0 bis

fällt sie von 0 auf

um dann auf 0
ab, springt auf

um dann wieder gegen 0 hin abzunehmen.
b) Fall

Für

fällt die Funktion bei geradem

streben, wobei sie stets negativ bleibt. Bei ungeradem
danach bis 0 anzusteigen.

von 0 auf

wächst sie von 0 bis

ab, um von hier gegen 0 zu
, springt auf

, um


Extrema hat die Funktion keine. Die Kurve nähert sich um so schneller asymptotisch der
langsamer der

-Achse, je größer

ist. Für gerades

ist sie symmetrisch zur

zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Abbildung zeigt die Fälle

-Achse und um so

-Achse, für ungerades
und

für


Hyperbelkosinus
Der Hyperbelkosinus
und für

von 1 bis

(2.157) ist eine gerade Funktion, die für
monoton wächst.

von

auf 1 monoton fällt


Das Minimum liegt bei

. Asymptoten gibt es keine. Die Kurve verläuft symmetrisch bezüglich der

und bleibt mit ihren Werten oberhalb der quadratischen Parabel
Funktion eine Kettenlinie beschreibt, nennt man die Kurve auch Katenoide.

-Achse

(schwarz gezeichnete Kurve). Da die


Hyperbelkotangens
Der Hyperbelkotangens

(2.159) ist eine ungerade Funktion mit einer Unstetigkeit bei


Für

fällt sie monoton von -1 auf

Wendepunkte gibt es nicht. Die Asymptoten liegen bei

für

von
und

auf +1. Extremwerte und


Lemniskate
Lemniskate nennt man den Spezialfall

der CASSINIschen Kurven , die der Bedingung genügen
(2.230)

wobei die Fixpunkte

bei

liegen. Die Gleichung lautet in kartesischen und in Polarkoordinaten
(2.231a)
(2.231b)


Der Koordinatenursprung ist Doppelpunkt und Wendepunkt zugleich, wobei die Tangenten
Die Schnittpunkte

bei

und

mit der

-Achse liegen bei

die Maxima und Minima

der Polarwinkel beträgt in diesen Punkten

Der Krümmungsradius ergibt sich zu

und der Flächeninhalt jeder Schleife zu

sind.


Raumkurven
●
●
●

Möglichkeiten, eine Raumkurve zu definieren
Begleitendes Dreibein
Krümmung und Windung


Unterabschnitte
●
●
●

Exponential- und Hyperbelfunktionen
BESSEL-Funktionen
Parameterdarstellung

Beispiele für zweidimensionale Graphiken
Die folgenden Graphiken wurden mit Maple erzeugt, danach mit Coreltrace vektorisiert und mit Coreldraw!
nachbearbeitet. Dies war notwendig, weil die unmittelbare Konversion einer Maple-Graphik in eine EPS-Datei nur
sehr kleine Liniendicken ergibt und damit unansehnliche Bilder liefert.

Exponential- und Hyperbelfunktionen
Mit der Konstruktion
(20.91a)
(20.91b)
erhält man die in der folgenden Abbildung dargestellten Exponentialfunktionen.


Ähnlich liefert der Befehl
die gemeinsame Darstellung der vier Hyperbelfunktionen:


Zusätzliche Strukturen, wie Beschriftungen, Achsenpfeile und anderes sind in Graphiken durch nachträgliche
Bearbeitung mit Hilfe von Graphikprogrammen einzufügen.

BESSEL-Funktionen
Mit den beiden Aufrufen
(20.92a)
und
(20.92b)
erhält man jeweils die ersten drei BESSEL-Funktionen

mit geradem

(erste Abbildung) und mit


ungeradem

(zweite Abbildung).


In ähnlicher Art und Weise lassen sich die anderen in Maple vordefinierten speziellen Funktionen darstellen.

Parameterdarstellung
Mit dem Aufruf
(20.93a)
erhält man die in der folgenden Abbildung dargestellte Kurve.


Auf die folgenden zwei Aufrufe liefert MAPLE eine trochoidenähnliche Schleifenfunktion
(vgl. verkürzte Trochoide) bzw. eine hyperbolische Spirale.
(20.93b)
(20.93c)


Durch die Einfügung der Option coords in die Anweisung interpretiert Maple die Parameterdarstellung als
Polarkoordinaten.


Sekans
Die Sekansfunktion
(2.68)

hat die Periode

mit

die Asymptoten sind

; stets gilt

die Minima bei

mit

. Die Maxima liegen bei


Semikubische Parabel
Die Gleichung
(2.215a)
oder in Parameterform
(2.215b)
liefert die semikubische Parabel .


Im Koordinatenursprung gibt es einen Rückkehrpunkt, Asymptoten gibt es keine. Die Krümmung
durchläuft alle Werte von

Koordinatenursprung und einem Punkt

die Länge

bis 0. Der Kurvenbogen hat zwischen dem


Hyperbelsinus
Der Hyperbelsinus
Funktion.

(2.156) ist eine ungerade, zwischen

und

monoton wachsende


Der Koordinatenursprung ist zugleich Symmetriemittel- und Wendepunkt mit dem Tangentenneigungswinkel
Asymptoten gibt es nicht.


Sphärische Kurven
Ein wichtiges Einsatzgebiet der sphärischen Trigonometrie ist die Navigation. Eine ihrer Aufgaben besteht in der
Wahl von Kurswinkeln, die optimale Wegstrecken ermöglichen. Andere Anwendungsgebiete sind das geodätische
Vermessungswesen (s. z.B. Lit. 3.12, Programme und Rechenbeispiele) sowie Roboter-Bewegungsabläufe.


Strophoide
Die Strophoide ist der geometrische Ort aller Punkte
liegen (

liegt auf der negativen

und

, die auf einem beliebigen Strahl durch den Punkt

-Achse) und für die gilt
(2.220)

Dabei ist

der Schnittpunkt des Strahles mit der

-Achse.


Die Gleichung der Strophoide in kartesischen und Polarkoordinaten sowie in Parameterform lautet:
(2.221a)

(2.221b)

(2.221c)
Der Koordinatenursprung ist ein Doppelpunkt mit den Tangenten

. Die Asymptote hat die Gleichung


, und der Scheitel

liegt bei

Der Flächeninhalt der Schleife beträgt

Asymptote

.

der Flächeninhalt zwischen der Kurve und der


Hyperbeltangens
Der Hyperbeltangens

(2.158) ist eine ungerade, für

von

bis

monoton von -1 auf +1

anwachsende Funktion.

Der Koordinatenursprung ist zugleich Symmetriemittel- und Wendepunkt mit dem Tangentenneigungswinkel
Die Asymptoten liegen bei


Tangens
Die Tangensfunktion
(2.66)

hat die Periode

und die Asymptoten


Die Funktion wächst für
von

im Intervall von

bis

monoton zwischen

wiederholt sich dieser Verlauf periodisch. Die Schnittpunkte mit der

bis

für größere Werte

-Achse bei

sind zugleich Wendepunkte mit dem Tangentenneigungswinkel


Schleppkurve oder Traktrix
Schleppkurve oder Traktrix nennt man den geometrischen Ort aller Punkte mit der Eigenschaft, daß das
Tangentenstück

einer Kurve zwischen Berührungspunkt

Leitlinie, hier mit der

-Achse, die konstante Länge

besitzt.

und Schnittpunkt der Tangente mit einer


In der Abbildung ist die Traktrix blau gezeichnet. Die Traktrix wird von einem Punkt
beschrieben, der an einem Ende eines nicht dehnbaren Fadens mit der Länge
entlang der Leitlinie, hier entlang der
Ende
Die Gleichung der Traktrix lautet

, Schleppunkt genannt,

befestigt ist, wenn das andere

-Achse, bewegt wird.

(2.243)

Die

-Achse ist Asymptote. Der Punkt

Achse.

ist ein Rückkehrpunkt. Die Kurve verläuft symmetrisch zur

-


Die Länge des Bogens

ist

Bei wachsender Länge des Bogens

dem Wert
Der Krümmungsradius ist

wobei

nähert sich die Differenz

hier die Abszisse des Punktes

Krümmungsradius

ist.

und Normalenabschnitt

sind

zueinander umgekehrt proportional:
Die Evolute der Traktrix, d.h., der geometrische Ort ihrer Krümmungskreismittelpunkte

dargestellt, ist die Katenoide mit der Gleichung

in der Abbildung rot

(2.242).


Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden
Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden werden von einem Punkt beschrieben, der sich 1. außerhalb
oder 2. innerhalb eines Kreises auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen
Strahl befindet, während der Kreis, ohne zu gleiten, auf einer Geraden abrollt.


Die Gleichung der Trochoiden in Parameterform lautet mit

als Radius des Kreises:
(2.233a)
(2.233b)

wobei

der Winkel

ist. Wegen

bestimmt

die verlängerte Zykloide und

die verkürzte.
Die Periode der Kurven ist
Die Maxima liegen bei

die Minima bei


Die verlängerte Zykloide besitzt bei

Doppelpunkte, wobei

die kleinste positive Wurzel der Gleichung

ist.

Die verkürzte Zykloide besitzt Wendepunkte bei
.

Die Länge eines Zyklus berechnet sich zu

Die in der Abbildung schraffiert gezeichnete Fläche beträgt

Für den Krümmungsradius erhält man

und in den Minima

in den Maxima


Zissoide
Die Gleichung der Zissoide
(2.218a)
in Parameterform
(2.218b)
und in Polarkoordinaten
(2.218c)
beschreibt den geometrischen Ort aller Punkte

, für die gilt
(2.219)


Dabei ist
Geraden

ein beliebiger Punkt auf dem erzeugenden Kreis mit dem Radius
mit der Asymptote

und

der Schnittpunkt der

.

Der Flächeninhalt zwischen der Kurve und Asymptote berechnet sich zu

.


Zykloiden
●
●
●
●
●

Gewöhnliche Zykloide
Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden
Epizykloide
Hypozykloide und Astroide
Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und Hypotrochoide


Schnittpunkte sphärischer Kurven
●
●

Schnittpunkte zweier Orthodromen
Schnittpunkte zweier Loxodromen


Spiralen
●
●
●
●
●

ARCHIMEDische Spirale
Hyperbolische Spirale
Logarithmische Spirale
Evolvente des Kreises
Klotoide


Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
Kurven, gegeben in der impliziten Form
Parameterform

(3.424), in der expliziten Form
(3.426) oder in der Polarkoordinatenform

meist mit dem Ziel untersucht, ihr Verhalten oder ihre Gestalt kennenzulernen.
●
●

Kurvenkonstruktion von explizit gegebenen Funktionen
Kurvenkonstruktion von implizit gegebenen Funktionen

(3.425), in der
(3.427), werden


Kurvenintegrale
Der Integralbegriff kann in verschiedene Richtungen verallgemeinert werden. Während das Integrationsgebiet des
gewöhnlichen bestimmten Integrals ein Intervall auf der Zahlengeraden ist, wird beim Kurvenintegral -, auch
Linienintegral genannt, ein Stück einer ebenen oder räumlichen Kurve als Integrationsgebiet gewählt, d.h., es werden
Grenzwerte von Summen betrachtet, deren Summanden von einer Kurve, dem Integrationsweg, abhängen. Ist die
Kurve, d.h. der Integrationsweg, geschlossen, dann wird das Kurvenintegral zum Umlaufintegral . Man unterscheidet
Kurvenintegrale erster, zweiter und allgemeiner Art.
●
●
●
●

Kurvenintegrale erster Art
Kurvenintegrale zweiter Art
Kurvenintegral allgemeiner Art
Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg


Berechnung des Kurvenintegrals erster Art
Die Berechnung des Kurvenintegrals erster Art erfolgt durch Zurückführung auf die Berechnung des bestimmten
Integrals.
1. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform: Lauten die Gleichungen eines
ebenen Integrationsweges

und

, dann gilt

(8.108a)

und im Falle eines räumlichen Integrationsweges mit

und

(8.108b)


wobei

der Wert des Parameters

im Punkt

werden so gewählt, daß die Bedingung

und

sein Wert für den Punkt

ist. Die Punkte

und

erfüllt ist.

2. Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form: Man setzt
(8.108a) im ebenen Falle

und erhält aus

(8.109a)
und aus (8.108b) im räumlichen Falle

(8.109b)

Dabei sind

und

die Abszissen der Punkte

und

, wobei die Bedingung

erfüllt sein muß.

Außerdem wird angenommen, daß jedem Punkt der Projektion des Kurvenstückes
auf die -Achse dort
eindeutig ein Punkt entspricht, d.h., daß jeder Kurvenpunkt eindeutig durch einen Abszissenpunkt bestimmt wird.
Wenn das nicht der Fall ist, dann wird das Bogenstück in mehrere Teilintervalle zerlegt, von denen jedes die
genannte Eigenschaft besitzt. Das Kurvenintegral über das gesamte Kurvenstück ist dann gleich der Summe der
Kurvenintegrale über die Teilintervalle.


Definitionen
Kurvenintegral erster Art oder Integral über eine Bogenlänge wird das bestimmte Integral
(8.106)

genannt, wobei

eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte Funktion von zwei

Veränderlichen ist und die Integration über den Kurvenbogen
einer ebenen, durch ihre Gleichung
vorgegebenen Kurve durchgeführt wird. Das betreffende Bogenstück liegt in dem gleichen Gebiet und wird
Integrationsweg genannt. Der Zahlenwert des Kurvenintegrals erster Art wird auf die folgende Weise ermittelt
(s. Abbildung).

1. Zerlegung des Bogenstückes

in

Elemementarbogenstücke durch beliebig gewählte Punkte

, beginnend beim Anfangspunkt

bis zum Endpunkt

.


2. Auswahl beliebiger Punkte

mit den Koordinaten

im Innern oder auf dem Rande eines jeden Elementarbogenstückes

und

.

3. Multiplikation der Funktionswerte

in den gewählten Punkten mit den positiv zu nehmenden

Bogenlängen

.

4. Addition aller so gewonnenen

Produkte

.

5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
(8.107a)
für den Fall, daß die Länge jedes Elementarbogenstückes

gegen Null geht, also

gegen

.


Wenn der Grenzwert von (8.107a) existiert und unabhängig ist von der Wahl der Punkte

und

, so wird er

Kurvenintegral erster Art genannt, und man schreibt
(8.107b)

In Analogie dazu wird das Kurvenintegral erster Art für eine Funktion
definiert, dessen Integrationsweg das Bogenstück einer Raumkurve ist:

von drei Veränderlichen


(8.107c)


Existenzsatz
Das Kurvenintegral 1. Art (8.107b) bzw. (8.107c) existiert, wenn die Funktion
Kurve längs des Bogenstückes

bzw.

stetig sind und die Kurve dort eine stetige Tangente besitzt. Anders formuliert: Es

existieren in diesem Falle die genannten Grenzwerte, und sie sind unabhängig von der Wahl der Punkte
. Die Funktion

sowie die

heißt in diesem Falle längs der Kurve

integrierbar.

und


Berechnung der Kurvenintegrale zweiter Art
Die Berechnung der Kurvenintegrale 2. Art erfolgt durch Zurückführung auf die Berechnung des bestimmten
Integrals. Es werden zwei Fälle unterschieden.
●
●

Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform:
Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form:


Definitionen
Kurvenintegral zweiter Art oder Integral über eine Projektion (auf die

-,

- oder

-Achse) wird das bestimmte

Integral
(8.110a)
oder
(8.110b)

genannt, wobei

bzw.

eine in einem zusammenhängenden Gebiet definierte Funktion von

zwei bzw. drei Veränderlichen ist und die Integration über die Projektion eines ebenen oder räumlichen durch seine
Gleichung vorgegebenen Kurvenbogens

auf die

-,

-, oder

-Achse durchgeführt wird. Der

Integrationsweg liegt in dem gleichen Gebiet. Das Kurvenintegral zweiter Art wird ebenso gewonnen wie das


Kurvenintegral erster Art, jedoch mit dem Unterschied, daß beim dritten Schritt die Funktionswerte

nicht mit den Längen der Elementarbogenstücke
Projektionen auf eine der Koordinatenachsen (s. Abbildung).

bzw.

multipliziert werden, sondern mit ihren


Existenzsatz
Das Kurvenintegral zweiter Art (8.112a), (8.113a), (8.112b), (8.113b) und (8.114) existiert, wenn die Funktion
bzw.
Tangente besitzt.

sowie die Kurve längs des Bogenstückes

stetig sind und die Kurve dort eine stetige


Projektion auf die x-Achse:
Mit
(8.111)
ergibt sich

(8.112a)

(8.112b)


Projektion auf die y-Achse:

(8.113a)

(8.113b)


Projektion auf die z-Achse:

(8.114)


Kurvenintegral als Kurvenintegral 2. Gattung allgemeiner Art
In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.101)


Definition
Kurvenintegral allgemeiner Art wird die Summe der Integrale 2. Art über alle Projektionen einer Kurve genannt. Wenn
entlang des vorgegebenen Kurvenstückes
oder drei Funktionen

zwei Funktionen
und

und

von zwei Veränderlichen

von drei Veränderlichen definiert sind und die

entsprechenden Kurvenintegrale 2. Art existieren, dann gilt:
1. Für eine ebene Kurve:
(8.118a)

2. Für eine Raumkurve:
(8.118b)


Die vektorielle Darstellung des Kurvenintegrals allgemeiner Art und eine Anwendung in der Mechanik wird im
Abschnitt ,,Kurvenintegral im Vektorfeld`` behandelt.


Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art
1. Die Zerlegung des Integrationsweges mittels eines Teilungspunktes
Bogenstückes

, der auf der Kurve außerhalb des

liegen kann (s. Abbildung), führt zur Aufteilung des Integrals in zwei Teilintegrale:
(8.119)

Für den Fall dreier Veränderlicher gelten analoge Formeln.
2. Die Umkehrung der Durchlaufrichtung des Integrationsweges führt zum Vorzeichenwechsel des
Integrals:


(8.120)
Für den Fall dreier Veränderlicher gelten analoge Formeln.
3. Wegabhängigkeit: Im allgemeinen hängt der Wert des Kurvenintegrals sowohl vom Anfangs- und Endpunkt
als auch vom Integrationsweg ab (s. Abbildung):
(8.121)

Für den Fall dreier Veränderlicher gelten analoge Formeln.
Beispiel A


, wobei

von

ein Gang der Schraubenlinie

bis

ist.

Beispiel B

, wobei

Punkten

und

ist:

ein Bogen der Parabel

zwischen den

.


Kurvenintegral im Vektorfeld
●
●

Definition
Berechnung des Kurvenintegrals in fünf Schritten


Kurvenkonstruktion von explizit gegebenen Funktionen
a) Ermittlung des Definitionsbereiches.
b) Ermittlung der Symmetrie der Kurve hinsichtlich des Koordinatenursprungs und der

-Achse aus der

Geradheit oder Ungeradheit der Funktion.
c) Ermittlung des Verhaltens der Funktion im Unendlichen durch Bestimmung der
Grenzwerte

und

d) Bestimmung der Unstetigkeitsstellen.
e) Bestimmung der Schnittpunkte mit der

-Achse bzw. mit der

-Achse durch Berechnung von

bzw. von
f) Bestimmung der Maxima und Minima und Ermittlung der Monotonieintervalle mit Zu- bzw. Abnahme der
Funktion.
g) Bestimmung der Wendepunkte und ihrer Tangentengleichungen.
Mit den so gefundenen Angaben kann die Kurve skizziert und, wo es nötig ist, durch Berechnung einzelner Punkte
präzisiert werden.


Beispiel
zu konstruieren:

Es ist die Kurve der Funktion

a)
Die Funktion ist für alle

-Werte außer für

definiert.

b)
Es gibt keinerlei Symmetrie.
c)
Für

strebt
zwar ebenfalls

sich für

so daß

Annäherung von unten bedeutet, während
ergibt, aber

Annäherung von oben

bedeutet.
d)
Bei

gibt es eine Unstetigkeitsstelle derart, daß die Kurve von links und von rechts nach
verläuft, da

für kleine

-Werte negativ ist.

e)
Da

ist, gibt es keinen Schnittpunkt mit der

-Achse, während

die Schnittpunkte mit der

-Achse bei

und


liefert.
f)
Ein Maximum liegt bei

und

g)
Ein Wendepunkt befindet sich bei

mit

h)
Nach der Skizzierung der Funktion auf Grund der gewonnenen Daten (s. Abbildung) wird der
Schnittpunkt der Kurve mit der Asymptote bei

und

berechnet.


Kurvenkonstruktion von implizit gegebenen Funktionen
Ist die Funktion impilzit gemäss

gegebene, dann ist die Angabe allgemeiner Regeln ist nicht zu

empfehlen, da sich damit oft umständliche Rechnungen ergeben. Nach Möglichkeit sollten die folgenden Elemente
ermittelt werden:
a) Bestimmung aller Schnittpunkte
mit den Koordinatenachsen.
b) Ermittlung der Symmetrien der Kurven,
indem

durch

und

durch

ersetzt wird.

c) Bestimmung der Extremwerte
bezüglich der

-Achse und nach Vertauschen von

und

auch bezüglich der

-Achse.

d) Bestimmung der Wendepunkte und der Tangentenneigungen.
e) Bestimmung der singulären Punkte.
f) Bestimmung der Scheitelpunkte
und der zuhörigen Krümmungskreise. Die Kurvenbogenstücke sind oft auf einem relativ großen Abschnitt nur
schwer von den Krümmungskreisabschnitten zu unterscheiden.


g) Bestimmung der Asymptotengleichungen
und der Lage der Kurvenzweige relativ zu den Asymptoten.


Winkel-Rückversetzung
Liegt eine berechnete geographische Länge
sich für

nicht im Definitionsbereich

die reduzierte geographische Länge

dann ergibt
zu
(3.211)

Man spricht in diesem Zusammenhang von Rückversetzung des Winkels in den Definitionsbereich.


NEPERsche Regel
Die NEPERsche Regel faßt die Gleichungen (3.187a) bis (3.187j) zusammen. Eine schematische Darstellung liefert
die folgende Abbildung.

Wenn die 5 Bestimmungsstücke eines rechtwinklig sphärischen Dreiecks ohne Berücksichtigung des rechten Winkels
in einem Kreis in der gleichen Reihenfolge angeordnet werden wie im Dreieck und wenn dabei die Katheten
durch ihre Komplementwinkel

und

ersetzt werden, dann gilt:

Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks ist gleich dem Produkt der Kotangensfunktionen seiner beiden
anliegenden Bestimmungsstücke.


Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks ist gleich dem Produkt aus den Sinus der nicht anliegenden
Bestimmungsstücke.
Beispiel A
(s.

(3.187a);

Beispiel B
(s.

(3.187f)).

Beispiel C
Das Gradnetz einer Kugel ist auf einen Zylinder abzubilden, der die Kugel in einem Meridian berührt. Der
Berührungsmeridian und der Äquator bilden die Achsen eines GAUSS-KRÜGER-Systems.


Lösung: Ein Punkt

der Kugeloberfläche wird zu

der Ebene. Der Großkreis g durch

zum Berührungsmeridian bildet sich als Gerade g' senkrecht zur

senkrecht

-Achse und der Kleinkreis

durch

parallel zum Berührungsmeridian als Gerade

parallel zur

als Bild keine Gerade, sondern eine Kurve

Die nach oben zeigende Richtung der Tangente von

in

-Achse ab. Der Meridian

gibt die geographische Nordrichtung an, die nach oben zeigende Richtung von

Nordrichtung . Der Winkel

durch

die geodätische

zwischen beiden Nordrichtungen heißt Meridiankonvergenz .

Im rechtwinklig sphärischen Dreieck

mit

und

hat

ergibt sich

aus


Nach der NEPERschen Regel ist

oder

Da
daraus
bei kleinen Abständen

ist. Man erhält

und

Die Längenverzerrung

gering, und es kann

meist klein sind, folgt mit
dieses Zylinderentwurfes ist

gesetzt werden, wobei

Die Umrechnung von
km eine Meridiankonvergenz von

der Rechtswert von

aus dem Bogen- ins Gradmaß ergibt für
bzw.


Kompensatorische Operatoren
Gelegentlich benötigt man Operatoren, die zwischen den - und -Normen liegen; sie werden kompensatorische
Operatoren genannt. Beispiele für kompensatorische Operatoren sind der Lambda- und der Gamma-Operator.
1. Lambda-Operator:
(5.270)
Fall
Die Gleichung (5.270) liefert eine Form, die als algebraische Summe bekannt ist (s. Tabelle der
Normen,

- und

-

-Normen); ihr ist der ODER-Operator zuzuordnen.

Fall
Die Gleichung (5.270) liefert eine Form, die als algebraisches Produkt bekannt ist (s. Tabelle der

- und

Normen, -Normen); ihr ist der UND-Operator zuzuordnen.
2. Gamma-Operator:
(5.271)

-


Fall

= 1:
liefert die Darstellung für die algebraische Summe.

Fall

= 0:

liefert die Darstellung für das algebraische Produkt.
Die Anwendung des Gamma-Operators auf beliebig viele unscharfe Mengen ist gegeben durch
(5.272)

und mit einer Wichtung

versehen ergibt sich:

(5.273)


LANDAU-Symbole
Das gegenseitige Verhalten zweier Funktionen bezüglich einer beliebigen Stelle
Symbole

(,,groß O``), bzw.

wird durch die LANDAU-

(,,klein o``) wie folgt beschrieben: Es bedeutet für
(2.28a)

und
(2.28b)
wobei

zugelassen ist. Die LANDAU-Symbole haben nur Sinn bei gleichzeitiger Vorgabe der

Bewegungsrichtung
Beispiel A

.


für

denn mit

und

verhält sich in der Umgebung von

d.h.,

gilt:

wie

Beispiel B
verschwindet von höherer Ordnung als

für

d.h.,

für

.

Beispiel C
und

verschwinden von gleicher Ordnung für

d.h.,

:

für


Definition
Das Skalarprodukt des Nablaoperators mit sich selbst wird LAPLACE-Operator genannt:
(13.72)
Der LAPLACE-Operator ist kein Vektor. Er schreibt die Summierung der zweiten partiellen Ableitungen vor und kann
sowohl auf skalare als auch auf vektorielle Funktionen angewandt werden. Der LAPLACE-Operator ist ein skalar
invarianter Vektor , d.h., seine Form bleibt bei Translation und/oder Rotation des Koordinatensystems unverändert.


Darstellung des Laplace-Operators in verschiedenen Koordinaten
In den folgenden Formeln erfolgt die Anwendung des LAPLACE-Operators auf die skalare Ortsfunktion
Ergebnis der Anwendung ist dann ein Skalar. Bei Anwendungen auf vektorielle Ortsfunktionen
Ergebnis der Anwendung

ein Vektor mit den Komponenten

. Das
ist das

.

1. LAPLACE-Operator in kartesischen Koordinaten
(13.73)

2. LAPLACE-Operator in Zylinderkoordinaten
(13.74)

3. LAPLACE-Operator in Kugelkoordinaten


(13.75)

4. LAPLACE-Operator in allgemeinen orthogonalen Koordinaten

(13.76a)

mit
(13.76b)

(13.76c)


Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich
●
●
●

Definition der Laplace-Transformation
Konvergenz
Inverse Laplace-Transformation (Rücktransformation)


Additions- oder Linearitätssatz, Ähnlichkeitssätze
1. Additions- oder Linearitätssatz: Die LAPLACE-Transformation einer Summe ist gleich der Summe der
LAPLACE-Transformierten, wobei konstante Faktoren vor das LAPLACE-Integral gezogen werden können
:
(15.9)
2. Ähnlichkeitssätze: Die LAPLACE-Transformierte von
Transformierte, die gleich der Transformierten der durch
Argument

) ergibt eine LAPLACEdividierten Originalfunktion ist, aber mit dem

:
(15.10a)

In Analogie dazu gilt für die Rücktransformation
(15.10b)
Die folgende Abbildung zeigt die Anwendung des Ähnlichkeitssatzes am Beispiel einer Sinusfunktion.


Definition der Laplace-Transformation
Die LAPLACE-Transformation
(15.5)

ordnet einer gegebenen Funktion
Funktion

der reellen Veränderlichen

der komplexen Veränderlichen

die Originalfunktion
nicht stärker als

zu, die Bildfunktion genannt wird. Dabei wird vorausgesetzt, daß

in ihrem Definitionsbereich
mit

gegen

, Originalfunktion genannt, eine andere

, dem Originalbereich , stückweise glatt ist und für
strebt. Der Definitionsbereich der Bildfunktion

wird

Bildbereich genannt.
Häufig wird in der Literatur die LAPLACE-Transformierte auch in der WAGNERschen oder LAPLACE-CARSONschen
Form


(15.6)
eingeführt (s. Lit. 15.17).


Dämpfungssatz
Die LAPLACE-Transformierte einer mit dem Faktor
Transformierten mit dem Argument

gedämpften Originalfunktion ist gleich der LAPLACE:
(15.12)


Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation
Schon aus den Rechenregeln für die LAPLACE-Transformation ist zu erkennen, daß durch Anwendung der LAPLACETransformation komplizierte Operationen im Originalbereich wie Differentiation oder Integration durch einfache
algebraische Operationen im Bildbereich ersetzt werden können. Dabei müssen allerdings, z.B. bei der
Differentiation, noch Anfangsbedingungen berücksichtigt werden. Von dieser Tatsache macht man bei der Lösung
von Differentialgleichungen Gebrauch.
●
●

●

Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten
Partielle Differentialgleichungen


Differentiation im Bildbereich
(15.15)
Die

-te Ableitung der Bildfunktion ist gleich der LAPLACE-Transformierten der mit

Originalfunktion

multiplizierten

:
(15.16)


Differentiation und Integration nach einem Parameter
(15.20a)

(15.20b)
Mit Hilfe dieser Formeln kann man manchmal LAPLACE-Integrale aus bereits bekannten berechnen.


Differentiation im Originalbereich
Wenn die Ableitungen
von

für

existieren und die höchste auftretende Ableitung

eine Bildfunktion besitzt, dann haben auch die niedrigeren Ableitungen einschließlich

eine

Bildfunktion, und es gilt:

(15.13)

Aus der Gleichung (15.13) ergibt sich die folgende Darstellung des LAPLACE-Integrals, die zur genäherten
Berechnung von LAPLACE-Integralen genutzt werden kann:


(15.14)


Zusammenhang mit der Laplace-Transformation
Beschreibt man eine diskrete Funktion

als Treppenfunktion, dann gilt:
(15.128)

Auf diese stückweise konstante Funktion läßt sich die LAPLACE-Transformation anwenden, und man erhält für
:
(15.129)

Die unendliche Reihe in (15.129) wird auch als diskrete LAPLACE-Transformation bezeichnet und mit dem Symbol
gekennzeichnet:
(15.130)
Setzt man in (15.130)

, dann stellt

sogenannte LAURENT-Reihe. Mit der Substitution

eine Reihe nach absteigenden Potenzen von

dar, eine

, die zu dem Namen Z-Transformation geführt hat, erhält


man schließlich aus (15.129) den folgenden Zusammenhang zwischen LAPLACE- und Z-Transformation im Falle von
Treppenfunktionen:
(15.131a)
bzw.
(15.131b)
Auf diese Weise lassen sich Korrespondenzen der Z-Transformation (Tabelle Z-Transformationen) in
Korrespondenzen der LAPLACE-Transformation (s. Tabelle LAPLACE-Transformation) für Treppenfunktionen
umrechnen und umgekehrt.


Divisionssatz

(15.19)

Damit das Integral existiert, muß der Grenzwert

existieren.


Integration im Bildbereich

(15.18a)

Diese Formel gilt nur, wenn

eine LAPLACE-Transformierte besitzt. Dazu muß

genügend stark gegen Null streben. Als Integrationsweg kann ein beliebiger, von

für

ausgehender Strahl gewählt

werden, der mit der reellen Achse einen spitzen Winkel bildet.
Im Spezialfall des gewöhnlichen einfachen Integrals gilt:
(15.18b)


Integration im Originalbereich
Die Bildfunktion eines Integrals über die Originalfunktion ist gleich der Bildfunktion der Originalfunktion, multipliziert mit
:

(15.17a)
Im Spezialfall des gewöhnlichen einfachen Integrals gilt:
(15.17b)
Im Originalbereich heben sich Differentiation und Integration gegenseitig auf, wenn die Anfangswerte verschwinden.


Inverse Laplace-Transformation (Rücktransformation)
Aus der Bildfunktion erhält man die Originalfunktion mit Hilfe der Umkehrformel
(15.8)

Der Integrationsweg dieses komplexen Integrals ist die Parallele
gilt. Ist die Stelle

den Mittelwert

an.

eine Sprungstelle, d.h. ist

zur imaginären Achse, wobei
, dann gibt das Integral dort


Rücktransformation in den Originalbereich
Für die Rücktransformation in den Originalbereich stehen folgende Wege zur Verfügung:
1.
Benutzung einer Tabelle zusammengehöriger Original- und Bildfunktionen, auch Korrespondenzen genannt
(s. Tabelle LAPLACE-Transformationen).
2.
Zurückführung auf bekannte Korrespondenzen durch Umformung (s. Abschnitt Partialbruchzerlegung und
Abschnitt Reihenentwicklungen).
3.
Auswertung der Umkehrformel (s. Abschnitt Umkehrintegral).
●
●
●
●

Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
Partialbruchzerlegung
Reihenentwicklungen
Umkehrintegral


Konvergenz
Das LAPLACE-Integral

konvergiert in der rechten Halbebene

(s. Abbildung).


Die Bildfunktion

ist dann dort eine analytische Funktion mit den Eigenschaften
(15.7a)

Jede Bildfunktion muß diese notwendige Bedingung erfüllen.
(15.7b)

falls die Originalfunktion

einen endlichen Grenzwert

besitzt.


Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
Die Benutzung der Tafeln wird hier an einem Beispiel aus der Tabelle LAPLACE-Transformationen demonstriert.
Weitere ausführliche Tafeln sind in Lit. 12.3 enthalten.
Beispiel
,

,

. Durch Anwendung des Faltungssatzes (15.23)
erhält man


.


Rechenregeln zur Laplace-Transformation
Unter Rechenregeln versteht man im Zusammenhang mit Integraltransformationen die Abbildung von Operationen im
Originalbereich auf andere Operationen im Bildbereich.
Im folgenden werden Originalfunktionen stets mit kleinen Buchstaben bezeichnet, die jeweils zugehörigen
Bildfunktionen mit den entsprechenden großen Buchstaben.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Additions- oder Linearitätssatz, Ähnlichkeitssätze
Verschiebungssätze
Dämpfungssatz
Differentiation im Originalbereich
Differentiation im Bildbereich
Integration im Originalbereich
Integration im Bildbereich
Divisionssatz
Differentiation und Integration nach einem Parameter
Faltung


Rechteckimpuls
Ein Rechteckimpuls der Höhe
Sprungfunktionen in der Form

und der Breite

(s. Abbildung) entsteht durch Überlagerung zweier

(15.26)

(15.27)


Reihenentwicklungen
Um

aus

zu gewinnen, versucht man bisweilen,

entwickeln, deren Glieder

bekannte Bildfunktionen sind, d.h.

●

- eine absolut konvergente Reihe

●

- eine meromorphe Funktion

in eine Reihe

zu

.


Stückweise differenzierbare Funktionen
Die Bildfunktionen stückweise differenzierbarer Funktionen lassen sich mit Hilfe der
Wenn

stückweise differenzierbar ist und an den Stellen

-Funktion leicht angeben:
die Sprünge

hat, dann

ist ihre erste Ableitung in der Form
(15.31)
darstellbar, wobei in den Bereichen, in denen

differenzierbar ist,

die gewöhnliche Ableitung von

bedeutet.
Wenn Sprünge erst in den Ableitungen auftreten, gelten für diese ganz entsprechende Formeln. Auf diese Weise
lassen sich die Bildfunktionen zu Kurvenzügen, die sich aus Parabelbögen beliebig hoher Ordnung zusammensetzen
(empirisch gefundene Kurven wird man meist durch solche einfachen Funktionen annähern), ohne großen
Rechenaufwand angeben. Bei formaler Anwendung von (15.13) sind im Falle einer Sprungstelle die Werte
gleich Null zu setzen.

Beispiel A Unipolarer Sägezahnimpuls


;

;

.


Beispiel B Unipolarer Dreieckimpuls, bipolarer Rechteckimpuls

(s. linke Abbildung);

(s. rechte Abbildung);

;
;

.


Beispiel C Unipolarer Trapezimpuls, bipolarer Rechteckimpuls

(s. linke Abbildung);


(s. rechte Abbildung);

;

.


Beispiel D Unipolarer Parabelimpuls, bipolarer Sägezahnimpuls

(s. linke Abbildung).

(s. rechte Abbildung).

;

;


.


Laplace-Transformationen

Die in der Tabelle auftretende Konstante

●
●
●
●
●
●

ist die EULERsche Konstante

Laplace-Transformationen, Seite 1 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 2 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 3 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 4 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 5 von 6
Laplace-Transformationen, Seite 6 von 6

.


Umkehrintegral
Die Umkehrformel

(15.47)

stellt ein Integral mit komplexem Weg über eine in gewissen Gebieten analytische Funktion dar, auf das solche Methoden der
Integration im Komplexen wie die Residuenrechnung oder die Verformung des Integrationsweges nach dem Satz von CAUCHY
anwendbar sind.
Beispiel
ist wegen des Anteiles
gewählt (s. Abbildung):

doppeldeutig. Deshalb wird folgender Integrationsweg


Nach dem Lemma von JORDAN verschwinden die Integralteile über
(Radius

und

für

. Auf dem Kreisbogen

) bleibt der Integrand beschränkt, und die Länge des Integrationsweges konvergiert gegen Null für

;


daher verschwindet dieser Integralbeitrag. Es bleibt das Integral über die beiden horizontalen Strecken
untersuchen, wobei das obere

und untere

und

zu

Ufer der negativen reellen Achse zu berücksichtigen

sind:
.
Damit erhält man endgültig:
.


Verschiebungssätze
1. Verschiebung nach rechts: Die LAPLACE-Transformierte einer um

nach rechts

verschobenen Originalfunktion ist gleich der LAPLACE-Transformierten der nicht verschobenen
Originalfunktion, multipliziert mit dem Faktor

:
(15.11a)

2. Verschiebung nach links: Die LAPLACE-Transformierte einer um
Originalfunktion ist gleich der mit dem Faktor

nach links verschobenen

multiplizierten Differenz aus der LAPLACE-Transformierten

der nicht verschobenen Originalfunktion und dem Integral

:

(15.11b)
Die folgenden zwei Abbildungen zeigen die Rechtsverschiebung einer Kosinusfunktion und die Linksverschiebung
einer Geraden.


Quadratische Reste modulo
Man kann alle Kongruenzen

lösen, wenn man alle Kongruenzen

lösen

kann:
(5.175)
Man betrachtet zunächst quadratische Reste modulo
Die Zahl

Sei

und

heißt quadratischer Rest modulo m , wenn es ein

Ist die kanonische Primfaktorenzerlegung von

ggT
mit

gibt.

gegeben, d.h.
(5.176)

so ist

genau dann quadratischer Rest modulo
ist.

wenn

quadratischer Rest modulo

für


Ist

quadratischer Rest modulo einer Primzahl

quadratischer Rest modulo

dann schreibt man dafür auch kurz

dann schreibt man

Beispiel
Die Zahlen 1, 4, 7 sind quadratische Reste modulo 9.

( LEGENDRE-Symbol).

Ist

nicht


Leibnizsche Regel
Zur Berechnung der Ableitung

-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei Funktionen kann die LEIBNIZsche Regel

(6.22)

benutzt werden. Dabei ist

. Wenn

durch

und

durch

ersetzt werden, dann erhält man die

Formel, die in ihrer Struktur dem Binomischen Lehrsatz entspricht:
(6.23)

Beispiel A


: Setzt man

dann ergibt sich
Mit Ausnahme der ersten drei sind alle Summanden gleich 0, so daß

Beispiel B
.


Leistungsspektrum
Die FOURIER-Transformierte von

heißt Leistungsspektrum (s. auch Spektralinterpretation) und wird mit

bezeichnet. Im zeitkontinuierlichen Fall gilt unter der Voraussetzung

:

(17.35a)


Im zeitdiskreten Fall ist, falls

gilt:

(17.35b)

Liegt die absolute Integrierbarkeit bzw. Summierbarkeit von

nicht vor, kann in wichtigen Fällen

als

Distribution aufgefaßt werden. Periodischen Bewegungen eines dynamischen Systems entspricht ein
Leistungsspektrum, das durch äquidistante Impulse charakterisiert ist. Bei quasiperiodischen Bewegungen treten im
Leistungsspektrum Impulse auf, die sich aus ganzzahligen Linearkombinationen der Grundimpulse der
quasiperiodischen Bewegung ergeben. Ein ,,breitbandiges Spektrum mit einzelnen Spitzen`` kann dagegen als
Indikator für chaotisches Verhalten gelten.
Beispiel A


Seien

ein

-periodischer Orbit von (17.1),

Null ist, und habe

eine Testfunktion, so daß das zeitliche Mittel von

die FOURIER-Darstellung

. Dann ist

mit

und

, wobei

die

-Distribution bezeichnet.

Beispiel B
Seien

ein quasiperiodischer Orbit von (17.1),

Null ist, und habe

eine Testfunktion, so daß das zeitliche Mittel entlang

die Darstellung (zweifache FOURIER-Reihe)

.

Dann ist

und


.


Anwendungen des Lemmas von Jordan
●
●
●

Lemma von Jordan
Beispiele zum Lemma von Jordan
Fresnelsche Integrale


Konvergente und divergente Reihen
Man spricht von einer konvergenten Reihe (7.12), wenn die Folge

der Partialsummen konvergiert. Den

Grenzwert
(7.14)
nennt man die Summe und

das allgemeine Glied der Reihe. Wenn der Grenzwert (7.14) nicht existiert, spricht

man von einer divergenten Reihe . In diesem Falle können die Partialsummen unbegrenzt wachsen oder oszillieren.
Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird somit auf die Existenz eines Grenzwertes der Folge
zurückgeführt.

Beispiel A
Die geometrische Reihe
(7.15)


ist konvergent.
Beispiel B
Die harmonische Reihe
(7.16)
und die Reihen
(7.17)
und
(7.18)
sind divergent. Während für die Reihen (7.16) und (7.17)

ist, oszilliert (7.18).


Vektordiagramm für Schwingungen
Die allgemeine Sinusfunktion (2.128, 2.129) kann bequem mit den Polarkoordinaten
kartesischen Koordinaten

und den

in einer Ebene dargestellt werden. Die Summe zweier solcher Größen

ergibt sich dann als Summe der zwei Summandenvektoren (linke Abbildung).


Entsprechend liefert die Summe mehrerer solcher Vektoren die Linearkombination mehrerer allgemeiner
Sinusfunktionen. Diese Darstellung wird Vektordiagramm genannt.
Die Größe
werden:

kann im Vektordiagramm für einen gegebenen Zeitpunkt

Zuerst wird durch den Koordinatenursprung O die Zeitachse
Winkelgeschwindigkeit

an Hand der rechten Abbildung bestimmt

gelegt, die mit konstanter

um O im Uhrzeigersinn rotiert. Zum Anfangszeitpunkt

zusammen. Danach ist in jedem Zeitpunkt
Betrag der allgemeinen Sinusfunktion

die Projektion

des Vektors
Zur Zeit

fallen

- und

-Achse

auf die Zeitachse gleich dem
ist

die Projektion


auf die

-Achse.


Offene EULERsche Linien
Eine offene EULERsche Linie existiert in einem Graphen
genau dann, wenn es in
genau zwei Knoten
ungeraden Grades gibt. Die linke Abbildung zeigt einen Graphen, der keine geschlossene, sondern eine offene
EULERsche Linie besitzt. Die Kanten sind entlang einer EULERschen Linie fortlaufend numeriert. In der rechten
Abbildung ist ein Graph mit einer geschlossenen EULERschen Linie dargestellt.


Geodätische Linien auf einer Fläche
●
●
●

Begriff der geodätischen Linien
Definition
Gleichung der geodätischen Linie


Gleichung der geodätischen Linie
Wenn eine Fläche in der expliziten Form

(3.482) vorgegeben ist, dann lautet die Differentialgleichung

der geodätischen Linien
(3.505)
Ist die Fläche in der Parameterform

(3.483) vorgegeben, dann ist

die Differentialgleichung der geodätischen Linien von komplizierterer Art.
Die Bedeutung von

entspricht (3.499b):

.


Geodätische Linien
Geodätische Linien heißen diejenigen Kurven auf einer beliebigen Fläche, auf denen die kürzeste Verbindung
zwischen zwei Punkten der Fläche liegt (s. auch geodätische Linie).
Beispiel
In der Ebene sind die Geraden, auf der Kugel die Großkreise die geodätischen Linien.


Pole und Polare
Die Endpunkte

und

eines Kugeldurchmessers, der senkrecht zur Ebene eines Großkreises g, Polare

genannt, errichtet ist, werden Pole genannt.


Der sphärische Abstand von einem Pol bis zu einem beliebigen Punkt des Großkreises g beträgt stets
Die
Richtung der Polaren wird von außen festgelegt: Beim Durchlaufen der Polaren in der gewählten Richtung heißt der
links liegende Pol Linkspol , der rechts liegende Rechtspol .


Singulärwerte und Singulärwertvektoren
Wenn

eine reelle Matrix vom Typ

mit dem Rang
aus den Eigenwerten

zugehörigen Eigenvektoren
von
Eigenwerte

von

ist, dann heißen die positiven Wurzeln
der Matrix

Singulärwerte der Matrix A. Die

heißen Rechtssingulärvektoren von A, die zugehörigen Eigenvektoren

Linkssingulärvektoren . Dabei besitzt die Matrix

dieselben

von Null verschiedenen

wie die Matrix
(4.138a)

Außerdem besteht zwischen den Rechts- und Linkssingulärvektoren der Zusammenhang
(4.138b)


Es gilt: Eine Matrix

vom Typ

mit dem Rang

Dazu existieren
Linkssingulärvektoren
Rechtssingulärvektoren

besitzt

positive Singulärwerte

orthonormierte Rechtssingulärvektoren

Darüber hinaus existieren zum Singulärwert Null
und
Eine Matrix vom Typ

und

orthonormierte

orthonormierte

orthonormierte Linkssingulärvektoren
hat demzufolge

Rechtssingulärvektoren und

Linkssingulärvektoren, die man zu den orthogonalen Matrizen
(4.139)
zusammenfassen kann.


Definition
Unter dem Logarithmus einer Zahl

zur Basis

wird der Exponent der Potenz verstanden, in die

oder als Formel geschrieben
zu erheben ist, um die Zahl

zu erhalten.

Folglich ergibt sich aus der Gleichung
(1.18a)
die Gleichung
(1.18b)
und umgekehrt folgt aus der zweiten die erste Gleichung. Speziell gilt

(1.18c)


Zur Ausdehnung des Logarithmus auf negative Argumentwerte bedarf es der komplexen Zahlen.
Logarithmieren einer gegebenen Größe bedeutet das Aufsuchen ihres Logarithmus. Man versteht darunter auch die
Umwandlung logarithmischer Ausdrücke gemäß (1.19a, 1.19b). Das Aufsuchen einer Größe aus ihrem Logarithmus
wird Potenzieren genannt.


Spezielle Logarithmen
1. Logarithmen zur Basis

heißen dekadische oder BRIGGSsche Logarithmen . Man schreibt
(1.21)

2. Logarithmen zur Basis

heißen natürliche oder NEPERsche Logarithmen . Man schreibt
(1.22)

Der Modul zur Überführung der natürlichen in dekadische Logarithmen ist

(1.23)

der zur Überführung der dekadischen in natürliche

(1.24)


3. Logarithmen zur Basis 2 heißen Duallogarithmen . Man schreibt
(1.25)


Logik
●
●

Aussagenlogik
Ausdrücke der Prädikatenlogik


3. Grundaufgabe SWS
Gegeben: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel, z. B.
Bedingungen: Keine.

1. Lösung: Gesucht

bzw.

und


(3.194a)
(3.194b)
kann im I. oder II. Quadranten liegen. Zwei Entscheidungsmöglichkeiten:
❍ Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber oder
❍ Durchführung einer Kontrollrechnung:
(3.195)
2. Lösung: Gesucht

bzw.

und
(3.196a)
(3.196b)

(3.196c)
3. Lösung: Gesucht

und (oder)

(3.197a)


(3.197b)

(3.197c)
(3.197d)
4. Lösung: Gesucht

(3.198a)

(3.198b)

(3.198c)


(3.198d)

(3.198e)

(3.198f)

Probe: Doppelte Berechnung von
Hinweis: Die Lösung der 3. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden.


Dazu wird von

das sphärische Lot auf

bis

gefällt.


Schnittpunkt mit einem Breitenkreis
Der Schnittpunkt
Breitenkreis

einer Loxodrome mit dem Kurswinkel

durch den Punkt

mit dem

berechnet sich gemäß (3.226b) zu

(3.230)

Mit (3.230) läßt sich speziell der Äquatorschnittpunkt

berechnen:
(3.231)

Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.


Bogenlänge
Aus der Abbildung erkennt man den differentiellen Zusammenhang
(3.227a)


Integration über

liefert für die Bogenlänge

des Bogenstücks mit den Endpunkten

und

:
(3.227b)
Ist

der Abfahrtsort und

aus (3.227b) zuerst

der Zielort ( gegißter Ort ), so lassen sich bei Vorgabe von

und danach gemäß (3.226b)

und

schrittweise

berechnen.

Näherungsformel: Gemäß der obigen Abbildung erhält man mit

und

nach einer Mittelung der

geographischen Breiten den Ansatz (3.228a) für eine Näherungsformel zur Berechnung der angenäherten
Bogenlänge

gemäß (3.228b):
(3.228a)

(3.228b)


Gleichung der Loxodrome
Die Abbildung zeigt eine Loxodrome mit dem Kurswinkel
infinitesimal benachbarten Punkt

durch den laufenden Punkt

und den


Das rechtwinklige sphärische Dreieck

kann wegen seiner differentiellen Ausmaße als ebenes Dreieck

angesehen werden. Dann gilt:
(3.226a)
Unter Berücksichtigung des Umstandes, daß die Loxodrome durch den Punkt

verlaufen soll, ergibt

sich daraus durch Integration die Gleichung der Loxodrome:

(3.226b)

Ist

speziell der Schnittpunkt

der Loxodrome mit dem Äquator, so folgt daraus:
(3.226c)

Hinweis: Die Berechnung von

kann mit (3.231) erfolgen.


Kurswinkel
Für den Kurswinkel

der Loxodrome durch die Punkte

und ihren Äquatorschnittpunkt

und

bzw. durch

folgt gemäß (3.226b) und (3.226c):

(3.229a)

(3.229b)


Schnittpunkte mit einem Meridian
Loxodromen - ausgenommen Breitenkreise und Meridiane - wickeln sich spiralförmig-asymptotisch um die Pole.


Die unendlich vielen Schnittpunkte
verlaufenden Loxodrome mit dem Meridian

der durch

mit dem Kurswinkel

berechnen sich gemäß (3.226b) zu
(3.232a)

Ist

der Äquatorschnittpunkt

der Loxodrome, dann ergibt sich vereinfacht:
(3.232b)


Schnittpunkte zweier Loxodromen
Die betrachteten Loxodromen sollen die Äquatorschnittpunkte
Kurswinkel

und

und

haben. Einsetzen des Schnittpunktes

sowie die
in beide

Loxodromengleichungen führt auf das Gleichungssystem
(3.236a)
(3.236b)
Elimination von

und Auflösung nach

ergibt eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen:
(3.237)

Die dazugehörigen geographischen Längen

ergeben sich durch Einsetzen von

in (3.236a):


(3.238)
Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.


Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
Eine skalarwertige Funktion

heißt positiv definit in einer Umgebung

des Punktes

, wenn gilt:

1.
ist stetig.
2.
für alle

Sei

eine offene Teilmenge und

Funktion von (17.1) in

, falls

und

.

eine stetige Funktion. Die Funktion
nicht wächst, solange für die Lösung

heißt LYAPUNOVgilt.

Der Satz von LYAPUNOV über asymptotische Stabilität lautet:
Sei
Dann ist

eine LYAPUNOV-Funktion von (17.1) und sei
stabil. Gilt außerdem, daß aus

positiv definit in einer Umgebung
für eine Lösung

von

.

von (17.1) mit


immer

folgt, so ist die Ruhelage

sogar asymptotisch stabil.

Beispiel
Der Punkt

ist Ruhelage der ebenen Differentialgleichung
liegt eine Funktion vor, die positiv definit in jeder Umgebung von

für deren Ableitung entlang einer beliebigen Lösung

gilt. Also ist

asymptotisch stabil.

. Mit
ist und

für


Berechnung der Lyapunov-Exponenten
Die Formel

, wobei

Einheitskugel mit Mittelpunkt

durch Deformation mit

wieder als Halbachsenlängen eines aus der
hervorgegangenen Ellipsoids interpretiert werden

können, kann zur Berechnung der LYAPUNOV-Exponenten benutzt werden, wenn außerdem noch
Reorthonormalisierungsverfahren, wie das von HOUSHOLDER, herangezogen werden. Die Funktion
ist Lösung der zum Semiorbit
Variationsgleichung mit Anfang
Variationsgleichung
darstellbar als

zur Zeit

. In der Tat, ist

des Flusses

der Fluß von (17.1), so lautet die

. Die Lösung dieser Gleichung mit Anfang
, wobei

die bei

gehörigen

zur Zeit

ist

normierte Fundamentalmatrix der

Variationsgleichung ist, die, nach dem Satz über die Differenzierbarkeit nach den Anfangszuständen, Lösung der
Matrix-Differentialgleichung

mit Anfang

ist.


Die Zahl

beschreibt das Verhalten der Orbits

, mit Anfang

bezüglich des Ausgangsorbits

, so heißt dies, daß in Richtung
dagegen

für wachsende

. Ist

eine Annäherung der Orbits stattfindet; ist

, so entfernen sich die Orbits (s. Abbildung).

Für die Summe aller LYAPUNOV-Exponenten von
invarianten Maß

in der Richtung

gilt für

-fast alle

mit dem Attraktor

im Falle eines Flusses von (17.1)

und dem dort konzentrierten


(17.39a)
und für ein diskretes System (17.3)
(17.39b)

In dissipativen Systemen gilt also

. Dies, zusammen mit der Tatsache, daß für Flüsse einer der

LYAPUNOV-Exponenten Null ist, falls der Attraktor keine Ruhelage ist, gestattet Vereinfachungen bei der Berechnung
der LYAPUNOV-Exponenten (s. Lit. 17.16).
Beispiel A
Sei
dem in

Beispiel B

eine Ruhelage des Flusses von (17.1) und seien

die Eigenwerte der JACOBI-Matrix in

konzentrierten Maß gilt für die LYAPUNOV-Exponenten

. Mit
.


ein

Sei
Multiplikatoren von

. Mit dem in

-periodischer Orbit von (17.1), und es seien
konzentrierten Maß gilt

die


Definition der Lyapunov-Exponenten
Sei

ein glattes dynamisches System auf

konzentrierten invarianten ergodischen Wahrscheinlichkeitsmaß

, das einen Attraktor
hat. Für beliebige

die Singulärwerte der JACOBI-Matrix

eine Folge von Zahlen
-fast überall im Sinne von

( LYAPUNOV- Exponenten ), so daß

von

mit einem dort
und
im Punkt

seien
. Dann existiert

für

gilt.

Satz von OSELEDEC: Nach dem Satz von OSELEDEC existiert

-fast überall eine Folge von Teilräumen des

(17.38)


so daß für
Element

-fast alle

die Größe
strebt.

gleichmäßig bezüglich

gegen ein


Mächtigkeit von Mengen
Im Abschnitt Mengenbegriff, Teilmengen wurde die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge als Kardinalzahl
bezeichnet. Dieser Anzahlbegriff soll auf unendliche Mengen übertragen werden.
●

Mächtigkeit, Kardinalzahl


Abschätzung des Reihenrestes
1. Abschätzung mittels Majorante: Um festzustellen, mit welcher Genauigkeit die Summe einer Reihe durch
ihre

-te Teilsumme angenähert wird, versucht man, den Betrag des Restausdrucks
(7.63)

der Reihe

abzuschätzen. Dazu benutzt man als Majorante für

andere Reihe, die sich leicht summieren oder abschätzen läßt.
Beispiel

eine geometrische oder eine


Abschätzung des Restes der Reihe

aufeinanderfolgender Glieder dieser Reihe gilt mit

Für den Quotienten

zweier

:

Damit kann der Reihenrest

durch die geometrische Reihe (7.15) mit dem

Quotienten

und dem Anfangsglied

majorisiert werden, und es gilt:

(7.64)

2. Alternierende konvergente Reihen: Für eine konvergente alternierende Reihe, deren Glieder dem Betrage
nach monoton gegen Null streben, gibt es eine einfache Abschätzung des Reihenrestes:
(7.65)


3. Spezielle Reihen: Für einige besondere Reihen, z.B. TAYLOR-Reihen, gibt es bestimmte Formeln für den
Reihenrest.


Definition, Separatrixflächen
Sei

eine Ruhelage von (17.3). Dann heißt

Mannigfaltigkeit und

für
für

Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten heißen auch Separatrixflächen .

stabile

instabile Mannigfaltigkeit von

.


Pyramide
Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die
in einem Punkt, der Spitze, zusammenlaufen.


Pyramiden heißen gerade , wenn der Fußpunkt des Lotes von der Spitze auf die Grundfläche

deren Mittelpunkt

ist, regulär , wenn die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist (linke Abbildung) und n-seitig , wenn die Grundfläche
ein

-Eck ist (rechte Abbildung). Zusammen mit der Grundfläche hat die Pyramide

Flächen. Für das

Volumen gilt
(3.113)

Wenn es sich um eine reguläre Pyramide handelt, dann ist die Mantelfläche

(3.114)

mit

als Umfang der Grundfläche und

als Höhe einer Seitenfläche.


Quader
Quader sind gerade Parallelepipede mit rechteckigen Grundflächen.

Im Quader sind die Raumdiagonalen gleich lang. Wenn

und

die Kantenlängen des Quaders sind und

Diagonallänge, dann gilt
(3.107)
(3.108)

die


(3.109)
wobei mit

bzw.

das Volumen bzw. die Gesamtoberfläche bezeichnet sind.


Würfel
Würfel sind Quader mit gleichen Kantenlängen

Für Diagonale, Volumen und Gesamtoberfläche gilt:
(3.110)
(3.111)
(3.112)


Normalisierte Dezimalzahlen
Jede reelle Zahl

läßt sich als Dezimalzahl in der Form
(19.266)

darstellen. Dabei wird
wird. Die Zahl

als Mantisse bezeichnet, die aus den Ziffern

gebildet

ist eine ganze Zahl, der sogenannte Exponent zur Basis 10. Wegen

bezeichnet man

(19.243) als normalisierte Dezimalzahl .
Da in einem realen Computer nur mit endlich vielen Ziffern gearbeitet werden kann, muß man sich auf eine feste Zahl
von Mantissenziffern und auf einen festen Wertebereich für den Exponenten
der Zahl

beschränken. Dadurch wird aus

gemäß (19.243) durch Rundung , wie sie beim praktischen Rechnen üblich ist, die Zahl

(19.267)


d.h., für den durch Rundung verursachten absoluten Fehler gilt:
(19.268)


Algebraische Ausdrücke
Mit Hilfe der arithmetischen Operatoren lassen sich aus Variablen (Symbolen) algebraische Ausdrücke konstruieren.
Sie alle haben den Typ algebraic, zu welchem die ,,Untertypen``

, fraction, float, string,

indexed, series, function, uneval sowie die arithmetischen Operatortypen und der Punktoperatortyp
gehören.
Man erkennt, daß eine einzelne Variable (ein String) auch vom Typ algebraic ist. Die Basiszahlentypen gehören
ebenfalls dazu, denn zu ihnen lassen sich algebraische Ausdrücke in der Regel mit dem Befehl subs auswerten.
Beispiel


Hier wird ein Ausdruck, in diesem Fall ein Polynom dritten Grades in
Substitutionsoperator subs kann man der Variablen
und die Auswertung veranlassen:

, definiert. Mit dem

im Polynom (Ausdruck) Werte (Zahlen) zuweisen

Der Operator op dient zur Extraktion von Unterausdrücken aus einem Ausdruck. Mit
(20.38)
erhält man die Folge der Teilausdrücke auf der ersten Ebene, also
(20.39)
In der Form

wird der

-te Term zurückgegeben, also liefert z.B.

Die Anzahl der Terme (Operanden) des Ausdrucks ermittelt man mit

den Term
.

.


Maple
Maple stellt die in der folgenden Tabelle dargestellten Operationen für die Umformung und Vereinfachung
algebraischer Ausdrücke bereit.
Tabelle Operationen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke
löst die Potenzen und Produkte in einem algebraischen Ausdruck

auf.

verhindern die weitergehende Auflösung der

Die optionalen Argumente
Unterausdrücke
faktorisiert den Ausdruck

.

ist ein optionales RootOf Argument

wendet eingebaute Vereinfachungsregeln auf

an. Bei Anwesenheit der

optionalen Argumente werden nur diese zur Anwendung gebracht


vereinfacht

stellt

bezüglich seiner Wurzelanteile

in der Normalform einer rationalen Funktion dar

sortiert die Glieder des Polynoms

nach fallenden Potenzen

liefert den Koeffizienten des Gliedes mit

faßt Glieder mit der Variablen

●
●
●
●
●

Multiplikation von Ausdrücken
Faktorzerlegung von Polynomen
Operationen auf Polynomen
Partialbruchzerlegung
Manipulation allgemeiner Ausdrücke

eines Polynoms mehrerer Veränderlicher zusammen


Multiplikation von Ausdrücken
Im einfachsten Fall zerlegt Maple den Ausdruck in eine Summe von Potenzen der Variablen:
Beispiel

Beispiel


Hier erkennt man das Vorgehen von Maple bei Ab- und Anwesenheit eines optionalen Arguments.

Der Ausdruck wird vollständig ausmultipliziert.

Maple hat den Ausdruck des optionalen Arguments unverändert beibehalten.
Beispiel
Dies demonstriert die Fähigkeiten von Maple:


Nutzung der Maple-Bibliothek
Neben den nach dem Start von Maple für den Nutzer uneingeschränkt verfügbaren Befehlen existieren sogenannte
vermischte Bibliotheksfunktionen und Befehle, die durch den Befehl

verfügbar gemacht werden

müssen. Eine Aufzählung und Kurzbeschreibung dieser Befehle ist in Lit. 20.10, Abschnitt 2.2 enthalten.
Maple besitzt eine umfangreiche Bibliothek von Spezialpaketen.
Die Zuladung eines Spezialpaketes erfolgt mit dem Befehl
(20.52)

Hier ist

der Name des jeweiligen Pakets, also etwa

für das Spezialpaket Lineare Algebra. Nach

dem Aufruf listet Maple alle Befehle des Spezialpakets auf und warnt, falls im Paket Neudefinitionen schon vorher
verfügbarer Befehle vorliegen.
Soll nur ein spezieller Befehl aus einem Bibliothekspaket genutzt werden, so erfolgt der Aufruf mit


(20.53)


Unterabschnitte
●
●

Allgemeine Lösung
Lösung mit Anfangsbedingungen

Lösung von Differentialgleichungen
Mit der Operation dsolve in ihren verschiedenen Formen bietet Maple die Möglichkeit, gewöhnliche
Differentialgleichungen und Systeme symbolisch zu lösen. Die Lösung kann entweder als allgemeine Lösung oder
als spezielle Lösung für vorgegebene Anfangsbedingungen erhalten werden. Die Lösung wird entweder explizit oder
implizit als Funktion eines Parameters angegeben. Der Operator dsolve erlaubt als letztes Argument die in der
folgende Tabelle dargestellten Optionen.
Tabelle Optionen der Operation dsolve
explicit liefert die Lösung, falls möglich, in expliziter Form
laplace

verwendet die Laplace-Transformation zur Lösung

series

benutzt die Zerlegung in Potenzreihen zur Lösung


numeric

liefert als Ergebnis eine Prozedur zur Berechnung numerischer
Lösungswerte

Allgemeine Lösung
(20.74a)
(20.74b)
Maple liefert die allgemeine Lösung mit einer Konstanten in expliziter Form. Im folgenden Beispiel wird die Lösung
implizit angegeben, da die Auflösung der definierenden Gleichung nach

nicht möglich ist. Die zusätzliche

Option explicit führt hier zu keinem Ergebnis.
(20.75a)
(20.75b)

Lösung mit Anfangsbedingungen
Es wird die Differentialgleichung

mit

betrachtet. Hier wird die Option series

eingesetzt. Dabei ist zu beachten, daß diese Option die Anfangsbedingungen bei

erwartet. Das gleiche gilt


für die Option

.
(20.76a)
(20.76b)

Man erkennt, daß Gleichung und Anfangsbedingungen in geschweifte Klammern einzuschließen sind. Das gleiche
gilt für die Behandlung von Systemen von Differentialgleichungen.


Differentialoperatoren
Der Operator der Differentiation lautet in Maple
entsprechend

bzw.

. Seine Anwendung erfolgt auf Funktionen in Operatorform

. Im ersten Fall wird die Ableitung einer Funktion von einer Variablen in

Operatorform bestimmt. Das Anhängen der geklammerten Variablen ergibt die Ableitung als Funktion. In anderer
schreiben. Höhere Ableitungen erhält man durch

Form läßt sich dies als

Mehrfachanwendung des Operators D, was sich vereinfacht als
die

-te ,,Potenz`` des Differentialoperators bedeutet.

Ist

eine Funktion mehrerer Variabler, so erzeugt

Variablen. Auch dieses Ergebnis ist wieder ein Operator. Mit
zweite partielle Ableitung nach der

-ten und

schreiben läßt, wobei

die partielle Ableitung von
erhält man

nach der

-ten
, d.h. die

-ten Variablen. Entsprechend kann man höhere Ableitungen bilden.


Für den Diffentialoperator D gelten die aus der Differentialrechnung bekannten Grundregeln, wobei
differenzierbare Funktionen sind.

und

(20.48a)
(20.48b)
(20.48c)


Differentiation
Im Unterkapitel Maple, Abschnitt Funktionen und Operatoren wird der Operator der Differentiation D eingeführt. Seine
Anwendung mit verschiedenen optionalen Argumenten gibt die Möglichkeit, Funktionen in Operatordarstellung zu
differenzieren.
Seine vollständige Syntax lautet:
(20.71a)
Hierdurch wird die partielle Ableitung der (Operator-) Funktion
ist wiederum eine Funktion in Operatordarstellung.

nach der

-ten Variablen bestimmt. Das Resultat

ist äquivalent zu
(20.71b)

Das Argument

ist dabei ein in Operatorform dargestellter Funktionsausdruck. Dieser kann neben vordefinierten

Funktionen auch selbstdefinierte Funktionsnamen, mit Pfeiloperatoren definierte Funktionen usw. enthalten.
Beispiel


Es sei
Dann wird

Neben dem Operator der Differentiation existiert die Operation

mit der Syntax
(20.72a)

Hier ist

ein algebraischer Ausdruck in den Variablen
. Wenn

des Ausdrucks nach den Variablen
Mehrfachanwendung der Operation

. Das Resultat ist die partielle Ableitung
ist, dann erhält man das gleiche Resultat durch

:
(20.72b)

Mehrfache Differentiation nach ein und demselben Argument kann mit dem Folgenoperator $ dargestellt werden.
Beispiel


Wenn die Funktion

zurück.

Beispiel

nicht definiert ist, liefert die Operation diff die auftretenden Ableitungen symbolisch mit


Maple
Das Computeralgebrasystem Maple ist in der Lage, eine Vielzahl von Aufgaben der numerischen Mathematik mit
Hilfe eingebauter Näherungsverfahren zu lösen. Dabei kann die Stellenzahl, mit der die Berechnung zu erfolgen hat,
durch die Einstellung der globalen Variablen Digits zu einem beliebigen
beachten, daß größere
●
●
●
●

vorgenommen werden. Es ist aber zu

als die Voreinstellung auf Kosten der Rechengeschwindigkeit gehen.

Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
Numerische Lösung von Gleichungen
Numerische Integration
Numerische Lösung von Differentialgleichungen


Ein- und Ausgabe bei Mathematica und Maple
In dieser Darstellung wird die konkrete Einbindung des jeweiligen Computeralgebrasystems in das Betriebssystem
des Computers nicht behandelt. Es wird davon ausgegangen, daß das Computeralgebrasystem über ein Kommando
aus dem Betriebssystem heraus gestartet wird und danach über eine Kommandozeile oder auf einer Windowähnlichen Arbeitsoberfläche ansprechbar ist.
Die Darstellung von Ein- und Ausgaben erfolgt für Mathematica und Maple in jeweils abgesetzten Zeilen, um sie
deutlich von anderen Textpassagen abzuheben, etwa in der Form

(20.1)
Systemspezifische Symbole (Befehle, Typbezeichnungen und ähnliches) werden durch Darstellung in
Schreibmaschinenschrift hervorgehoben.
Aus Gründen der Platzersparnis werden zusammenhängende Ein- und Ausgaben oft durch Zusammenziehen in eine
Zeile (evtl. durch das Zeichen

getrennt) dargestellt.


Eingaben und Ausgaben
Im System Maple haben Eingaben die Form
(20.31)
Auch hier ist der erste Teil des Terms, d.h. der vor der öffnenden Klammer, in der Regel ein Operator, eine
Anweisung oder eine Funktion, die auf die in der Klammer stehenden Teile wirken. In bestimmten Fällen sind als
Argumente spezielle Optionen zulässig, die spezifische Anwendungen des Operators oder der Funktion steuern.
Wichtig ist das abschließende Semikolon; es teilt Maple mit, daß die Eingabe beendet ist. Wird die Eingabe mit
einem : beendet, so folgt daraus für Maple, daß die Eingabe zwar abzuarbeiten, das Ergebnis jedoch nicht
darzustellen ist.
Symbole , d.h. Namen in Maple, können aus Buchstaben, Zahlen und dem Blank (

) bestehen. An erster Stelle darf

keine Zahl stehen. Zwischen Groß- und Kleinbuchstaben wird immer unterschieden. Das Blank wird von Maple für
interne Symbole verwendet, es sollte deshalb in selbstdefinierten Symbolen vermieden werden.
Zeichenketten , d.h. Objekte vom Typ

, sind in Hochkommata gefaßt einzugeben:


(20.32)

Die Ausgabe erfolgt dann jedoch ohne Hochkomma, die Typprüfung mit

ergibt

.

Solange einem Symbol kein Wert zugewiesen ist, ist das Symbol vom Typ string bzw. name, d.h., die Typprüfung
(20.33)
ergibt true.
Ist dem Nutzer nicht bekannt, ob ein Symbol in Maple schon mit einem Wert belegt ist, so läßt sich das mit der
Eingabe
frei verfügbar.

erfragen. Antwortet Maple mit dem Hinweis, daß es diesen Namen nicht kennt, so ist das Symbol

Nachdem dem Symbol ein Wert mit dem Zuweisungsoperator
automatisch den Typ des zugewiesenen Wertes an.
Beispiel

zugewiesen wurde, nimmt das Symbol


Es sei

ein Symbol, das hier als Variable dienen soll. Gibt man ein

Wird nunmehr eine Wertzuweisung etwa mit einer ganzen Zahl vorgenommen:
und danach

eingegeben, so lautet die Antwort jetzt

.

Maple kennt je nach Version eine beträchtliche Anzahl von Anweisungen, Funktionen und Operatoren. Nicht alle sind
beim Start des Systems sofort aufrufbar. Eine Vielzahl spezieller Funktionen und Operationen ist in
Fachgebietspaketen in der Maple-Bibliothek vorhanden. Es gibt z.B. Pakete zur linearen Algebra, zur Statistik usw.
Diese Pakete müssen bei Bedarf mit dem Befehl

zugeladen werden (s. Ergänzungen

zur Syntax). Erst danach stehen ihre Operationen und Funktionen dem Nutzer in der üblichen Art zur Verfügung.


Maple
Die Maple-Bibliothek verfügt über das Spezialpaket

. Nach dem Befehl
(20.66)

stehen alle 100 Befehle und Operationen dieses Pakets für die Anwendung zur Verfügung. Bezüglich einer
vollständigen Auflistung und Beschreibung muß auf Lit. 20.6 verwiesen werden. Wichtig ist, daß bei Nutzung dieses
Pakets Matrizen und Vektoren mit den speziellen Anweisungen matrix und vector erzeugt werden sollten und
nicht mit den allgemeineren Strukturen

Mit

wird eine

.

-Matrix erzeugt. Fehlt

spezifiziert, können jedoch nachträglich durch Zuweisungen der Art
Funktion

, so sind die Elemente dieser Matrix nicht
festgelegt werden. Ist

der Indizes, so erzeugt Maple die Matrix mit diesen Elementen. Schließlich kann

Liste mit Listen der Elemente bzw. Vektoren sein. Die Definition von Vektoren erfolgt analog mit

eine
eine
.


Ein Vektor ist eine

-Matrix, wird jedoch als Spaltenvektor interpretiert.

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über einige wesentliche Operationen mit Matrizen und Vektoren.
Tabelle Matrizenoperationen
bestimmt die zu

transponierte Matrix

bestimmt die Determinante der quadratischen Matrix

bestimmt die zur quadratischen Matrix

inverse Matrix

bestimmt die zur quadratischen Matrix
Matrix, d.h.

adjungierte
.

multipliziert die

-Spalte der Matrix

multipliziert die

-te Zeile mit

mit


Für die Addition von Vektoren und Matrizen steht der Befehl

zur Verfügung. Er addiert die jeweils

mit
und skalar multiplizierten Matrizen oder Vektoren
und . Die optionalen Argumente
und
fehlen. Die Addition funktioniert nur, wenn die entsprechenden Matrizen arithmetisch verknüpfbar sind.
Die Matrizenmultiplikation wird mit

●
●

Lösung linearer Gleichungssysteme
Eigenwerte und Eigenvektoren

ausgeführt oder mit der Kurzform

können

als Infix-Operator.


Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe
●
●
●

Nutzung der Maple-Bibliothek
Umgebungsvariable
Informationen und Hilfe


Faktorzerlegung von Polynomen
Maple ist in der Lage Polynome über algebraischen Erweiterungskörpern zu zerlegen, sofern es prinzipiell möglich
ist.
Beispiel

Zunächst hat Maple eine Faktorzerlegung der beiden Polynome in irreduzible Faktoren bezüglich des
Körpers der rationalen Zahlen durchgeführt. Will man eine weitere Zerlegung über einem algebraischen
Erweiterungskörper, so ist folgendermaßen vorzugehen:


Beispiel

Maple hat den zweiten Faktor weiter zerlegt (in diesem Fall nach einer formalen Erweiterung des Körpers
mit

).

In der Regel weiß man nicht, ob eine solche Erweiterung möglich ist. Sind die Grade der gefundenen
Faktoren

, so ist dies immer möglich. Mit der Operation RootOf lassen sich dann die Wurzeln als

algebraische Ausdrücke darstellen.
Beispiel


Der Aufruf von

ergibt den konjugiert komplexen Wert von

.


Die in diesem Beispiel beschriebene Prozedur liefert im Falle eines Polynoms, das nur über dem Körper der
reellen oder komplexen Zahlen reduzibel ist, eine Folge der Wurzeln als Gleitpunktzahlen.


Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen
●
●
●
●

Tabellen- und feldartige Strukturen
Eindimensionale Felder
Zweidimensionale Felder
Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen


Folgen und Listen
Maple versteht unter einer Folge die Aneinanderreihung von Ausdrücken, die durch Kommas getrennt sind. Die
Reihenfolge der Elemente ist signifikant. Folgen mit gleichen Elementen in unterschiedlicher Reihenfolge sind
verschiedene Objekte. Die Folge ist ein Basistyp von Maple: exprseq.
Beispiel

(20.40a)
definiert eine Folge, denn
(20.40b)
Mit dem Befehl
(20.41)
erzeugt.


Beispiel
erhält man

Mit

.

definiert Laufbereiche von ganzzahligen Variablen, die in der Form

Die Bereichsfunktion

dargestellt werden, und bewirkt, daß die Indexvariable
annimmt. Der Typ dieser Struktur lautet

nacheinander die Werte

.

Eine äquivalente Form der Erzeugung von Folgen bietet die vereinfachte Schreibweise
(20.42)
die ebenfalls

erzeugt. Entsprechend liefert
und

die Folge mit

Gliedern

die Folge

.

Folgen können durch Anhängen weiterer Glieder ergänzt werden:
(20.43)
Klammert man eine Folge

in eckige Klammern, so entsteht eine Liste , die vom Typ list ist.


Beispiel

Mit dem schon bekannten Operator op erhält man über

die der Liste zugrundeliegende Folge zurück.

Um Listen zu erweitern, sind sie zunächst in Folgen umzuwandeln, diese dann entsprechend zu erweitern und mit
eckigen Klammern neu in Listen umzuwandeln.
Listen können als Elemente wiederum Listen enthalten, ihr Typ ist listlist. Strukturen dieser Art spielen bei der
Konstruktion von Matrizen eine Rolle.
Der Zugriff auf Elemente einer Liste erfolgt mit dem Befehl
Liste. Einfacher ist es, wenn der Liste ein Name gegeben wurde, etwa

. Dieser liefert das
, und dann

einer zweifachen Liste findet man die Elemente auf der unteren Ebene mit
gleichbedeutenden Aufruf

.

Es bereitet keine Schwierigkeit, Listen mit höherem Verschachtelungsgrad aufzubauen.
Beispiel

-te Element der

aufgerufen wird. Bei
oder mit dem


Erzeugung einer einfachen Liste:
Extraktion des 4. Elements dieser Liste:
Erzeugung einer zweifach verschachtelten Liste:
(Ausgabe unterdrückt!) Der Zugriff auf das 3. Element der 2. Unterliste:
Erzeugung einer dreifach verschachtelten Liste:


Funktionen
Maple enthält eine große Anzahl vordefinierter Funktionen, die beim Start des Systems sofort verfügbar sind bzw.
aus Spezialpaketen zugeladen werden können. Sie gehören zum Typ mathfunc. Eine Auflistung kann mit
?inifcns erhalten werden.
In den folgenden zwei Tabellen ist eine Übersicht über Standard- und spezielle Funktionen gegeben.
Tabelle Standardfunktionen
Exponentialfunktion

exp

Logarithmusfunktionen log, ln
Trigonom. Funktionen

sin, cos, tan, cot, sec, csc

Arcusfunktionen

arcsin, arccos, arctan, arccot,

Hyperbol. Funktionen

sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch

Areafunktionen

arcsinh, arcsosh, arctanh, arccoth,
Tabelle spezieller Funktionen


BESSEL-Funktionen

und

BesselJ

, BesselY(v,z)

Modifizierte BESSEL-Funktionen

BesselI

, BesselK

Gamma-Funktion

Gamma

Integralexponentialfunktion

Ei

Unter den speziellen Funktionen sind auch die FRESNELschen Funktionen.
Das Paket für orthogonale Polynome enthält neben anderen HERMITEsche-, LAGUERRE-, LEGENDRE-, JACOBI- und
TSCHEBYSCHEFF-Polynome. Für Einzelheiten wird auf Lit. 20.6 verwiesen.


Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
Polynomgleichungen mit einer Unbekannten, für deren Grad

gilt, kann Maple symbolisch lösen.

Beispiel

Mit Maple kann man allgemeine Gleichung dritten Grades mit allgemeinen Koeffizienten in geschlossener Form
lösen.
Beispiel


Man erhält entsprechende Ausdrücke für

, die wegen ihrer Länge hier nicht explizit angegeben werden.

Auch die allgemeine Gleichung vierten Grades wird von Maple ohne Probleme gelöst.
Benutzt man in solve eine Gleichung, in der Koeffizienten als Gleitpunktzahlen geschrieben sind, so löst Maple die
Gleichung numerisch.
Beispiel

Maple kann auch Gleichungen lösen, die Wurzelausdrücke der Unbekannten enthalten. Allerdings ist hier Vorsicht


geboten, da Maple quadrieren muß, eventuell mehrfach, und dabei Gleichungen entstehen, deren Lösungen keine
Lösung der ursprünglichen Gleichung sind, sogenannte Scheinlösungen. Deshalb ist jede Lösung, die Maple
anbietet, zur Probe in die Ausgangsgleichung einzusetzen.
Beispiel
Die Lösung der Gleichung

soll bestimmt werden. Dazu wird

eingegeben

Mit

Durch
Lösung darstellt.

erhält man nach Aufruf von

und

die beiden Werte

überzeugt man sich, daß nur der Wert für

eine


Lösung transzendenter Gleichungen
Gleichungen, die transzendente Teile enthalten, lassen sich im allgemeinen nur numerisch lösen. Maple bietet für die
. Mit seiner Hilfe versucht Maple, reelle
numerische Lösung von Gleichungen beliebiger Art den Befehl
Wurzeln der untersuchten Gleichung zu finden. Dabei wird in der Regel nur eine Wurzel angegeben. Oft haben
als drittes Argument die
jedoch transzendente Gleichungen viele Wurzeln. Deshalb läßt der Befehl
optionale Angabe des zu betrachtenden Bereichs für die Suche nach einer Wurzel zu.
Beispiel

(20.59)


Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
Systeme von Gleichungen lassen sich mit denselben Befehlen solve und fsolve lösen. Dazu sind als erstes
Argument des Befehls alle Gleichungen in geschweifte Klammern zu fassen, als zweites Argument erwartet der
Befehl die Unbekannten, nach denen aufgelöst werden soll, ebenfalls in geschweiften Klammern:
(20.60)
Beispiel
(20.61)


Eigenwerte und Eigenvektoren
Maple stellt mit

und

spezielle Operatoren für die Bestimmung von Eigenwerten und

Eigenvektoren quadratischer Matrizen bereit. Dabei ist zu beachten, daß die Eigenwertgleichung bei Matrizen der
Ordnung

im allgemeinen nicht mehr geschlossen lösbar ist. Daher liefert Maple in diesem Fall die

Eigenwerte als genäherte Gleitpunktzahlen.
Beispiel


Es sind die Eigenwerte der 5-dimensionalen HILBERT-Matrix zu finden.
Im Paket linalg ist eine spezielle Anweisung zur Erzeugung
vorhanden. Sie lautet
angegeben, so setzt Maple automatisch

-dimensionaler HILBERT-Matrizen

. Ihre Matrixelemente sind

. Wird

. Die Aufgabe wird daher mit der Eingabe

gelöst. Maple antwortet mit

Mit allvalues kann man dies in eine Folge genäherter Eigenwerte umwandeln.

nicht


Lösung linearer Gleichungssysteme
Zur Behandlung linearer Gleichungssysteme stellt Maple spezielle Operationen bereit, die im Paket für linare Algebra
enthalten sind. Speziell handelt es sich um

. Das lineare Gleichungssystem liegt in der Form
(20.67)

vor, wobei

seine Matrix bezeichnet und

den Vektor der rechten Seite des Gleichungssystems.

Besitzt das System keine Lösung, dann wird die Null-Sequenz Null zurückgegeben. Hat das System mehrere linear
unabhängige Lösungen, so werden diese in Parameterdarstellung wiedergegeben.
Die Operation

findet eine Basis im Nullraum der Matrix

, der für eine singuläre Matrix von Null

verschieden ist.
Für die Lösung von Gleichungssystemen können auch die Operationen der Matrixmultiplikation und die Bestimmung
von inversen Matrizen benutzt werden.
Beispiel A


Es wird das Beispiel aus Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem des homogenen Systems

betrachtet, dessen Matrix singulär ist. Das dort untersuchte homogene System besitzt nichttriviale
Lösungen. Zur Lösung wird zunächst die Matrix

Mit

definiert:

kann man sich überzeugen, daß sie singulär ist, und über

kann die Liste zweier linear unabhängiger Vektoren bestimmt werden. Diese Vektoren bilden eine Basis im
zweidimensionalen Nullraum der Matrix

.

Für den allgemeinen Fall stellt Maple Operationen zur Anwendung des GAUSSschen Algorithmus zur Verfügung, die
in der folgenden Tabelle aufgeführt sind.
Tabelle Operationen des GAUSSschen Algorithmus


erzeugt aus

durch Addition von Vielfachen der

Zeile zu allen anderen Zeilen eine Matrix, deren
außer

-ten
-te Spalte

aus Nullen besteht

erzeugt die durch Zeilenpivotisierung entstehende GAUSSsche
Dreiecksmatrix. Die Matrixelemente müssen rationale Zahlen
sein
erzeugt eine Diagonalmatrix nach dem GAUSS-JORDANVerfahren, die Matrixelemente können Gleitpunktzahlen sein
erzeugt die Matrix, die durch Anfügen einer Spalte (gegeben
durch den Vektor

) aus

entsteht

Hat man ein Gleichungssystem mit gleicher Anzahl von Gleichungen und Unbekannten sowie nichtsingulärer Matrix,
so löst man das System mit linsolve.
Beispiel B


Es soll das System aus Kapitel Numerische Mathematik, Abschnitt GAUSS-SEIDEL-Verfahren

gelöst werden. Hier ist

Mit linsolve erhält man

Der GAUSS-Algorithmus wird mit

angewendet.


Beispiel C
Es soll das inhomogene Gleichungssystem des Beispiels B aus Abschnitt Allgemeine Regel für das
inhomogene System

gelöst werden. Dazu werden zunächst die zugehörige Matrix und der Vektor der rechten Seite definiert:

Das System ist überbestimmt. Um es zu lösen, kann linsolve nicht benutzt werden. Daher bestimmt man

Mit gaussjord kann die Matrix

in eine obere Dreiecksform gebracht werden:


Der Lösungsvektor ist unmittelbar aus

ablesbar.


Graphik mit Maple
●
●

Zweidimensionale Graphik
Dreidimensionale Graphik


Dreidimensionale Graphik
Für die Darstellung von Funktionen zweier unabhängiger Variablen als räumliche Flächen oder auch zur Darstellung
räumlicher Kurven stellt Maple den Befehl plot3d zur Verfügung. Die mit diesem Befehl erzeugten Objekte werden
von Maple ganz analog wie auch die zweidimensionalen in einem eigenen Fenster dargestellt. Die Anzahl der
Optionen zur Darstellung ist wesentlich größer, insbesondere sind zusätzliche Optionen zur Betrachtungsperspektive
von besonderer Bedeutung.
●
●

Syntax des plot3d-Befehls
Zusätzliche Operationen aus dem Paket plots


Graphische Darstellungen
Die meisten Computeralgebrasysteme gestatten die graphische Darstellung der eingebauten wie auch der
selbstdefinierten Funktionen. In der Regel betrifft dies die Darstellung von Funktionen einer Veränderlichen in
kartesischen und Polarkoordinaten, die Parameterdarstellung und die Darstellung impliziter Funktionen. Funktionen
von zwei Variablen lassen sich als räumliche Flächen darstellen; auch hier sind Parameterdarstellungen möglich. Es
können Kurven im dreidimensionalen Raum erzeugt werden. Darüber hinaus gibt es in den unterschiedlichen
Systemen weitere graphische Darstellungsmöglichkeiten von funktionalen Zusammenhängen, z.B. in Form von
Diagrammen. Alle Systeme verfügen über ein reichhaltiges Angebot von Darstellungsoptionen, die von Linienform
und -dicke über den Einbau zusätzlicher Graphikelemente wie z.B. von Vektoren bis zu Beschriftung und
Farbgestaltung reichen.
In der Regel lassen sich erzeugte Graphiken als Dateien in gängigen Formaten wie Postscript, Raster oder Plotter
exportieren und damit in andere Programme einbinden bzw. direkt auf Drucker und Plotter ausgeben.


Zweidimensionale Graphik
Maple kann über plot-Befehle mit einer Vielzahl von Optionen Funktionen graphisch darstellen. Als
Eingabefunktionen sind sowohl explizite Funktionen einer Variablen, Funktionen in Parameterdarstellung und Listen
von zweidimensionalen Punkten zugelassen. Maple berechnet aus der Eingabefunktion nach bestimmten internen
Algorithmen eine Wertetabelle, deren Punkte nach einem Spline-Verfahren zu einer glatten Kurve verbunden werden.
Mit Hilfe einer Reihe von Optionen kann die Gestaltung der Graphik beeinflußt werden. Die Graphik selbst wird in
einer eigenständigen Umgebung dargestellt und kann mit entsprechenden Systembefehlen in Arbeitsdokumente
eingebunden bzw. in entsprechenden Formaten auf Drucker oder Plotter ausgegeben werden. Die Ausgabe in
Dateien verschiedenen Formats einschließlich Postscript ist möglich.
●
●
●

Syntax zweidimensionaler Graphik
Beispiele für zweidimensionale Graphiken
Spezialpaket plots


Hauptstrukturelemente
●
●

Typen und Objekte
Eingaben und Ausgaben


Informationen und Hilfe
Hilfe zur Bedeutung von Befehlen und Schlüsselwörtern erhält man durch die Eingabe
(20.55)
Anstelle des Fragezeichens kann auch

verwendet werden. Es folgt ein Hilfsbildschirm, der die

entsprechenden Aussagen des Bibliothekshandbuches zum geforderten Begriff enthält.
Läuft Maple unter Windows, so offnet ein Aufruf von HELP ein sich jeweils nach rechts erweiterndes Menü, durch das
man sich durch Anklicken mit der Maus bis zur Erläuterung des gewünschten Begriffs auf dem Hilfsbildschirm
bewegen kann.


Unterabschnitte
●
●

Bestimmte Integrale
Mehrfachintegrale

Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Bestimmte Integrale
Zur Berechnung bestimmter Integrale ist der Befehl int mit dem zweiten Argument
ist

die Integrationsvariable, und

Beispiel A

zu verwenden. Hier

gibt die untere und obere Grenze des Integrationsbereiches an.


Beispiel B

Beispiel C

Wenn Maple das Integral symbolisch nicht lösen kann, gibt es die Eingabe zurück. In diesem Fall kann man
versuchen, eine numerische Integration durchzuführen.

Mehrfachintegrale
Auch Mehrfachintegrale können, soweit explizit möglich, mit Maple berechnet werden, indem man die Operation int
entsprechend oft (verschachtelt) anwendet.
Beispiel A


Beispiel B


Unterabschnitte
●
●
●
●

Integrale gebrochenrationaler Funktionen
Integrale von Wurzelfunktionen
Integrale mit trigonometrischen Funktionen
Hinweis:

Unbestimmte Integrale
Wenn zu einer gegebenen Funktion

die Stammfunktion

darstellbar ist, kann Maple diese nach dem Aufruf

als Ausdruck elementarer Funktionen
in der Regel finden. Die Integrationskonstante wird

nicht ausgegeben. Ist die Stammfunktion Maple in geschlossener Form nicht bekannt, so gibt es den Integranden
zurück. Anstelle des Operators int kann auch die Langform integrate benutzt werden.

Integrale gebrochenrationaler Funktionen


Beispiel A

Beispiel B

Integrale von Wurzelfunktionen
Mit Maple können die in den Tabellen Unbestimmte Integrale dargestellten Integrale entsprechend bestimmt werden.
Beispiel
Setzt man

so findet man

(20.73)


Integrale mit trigonometrischen Funktionen
Beispiel A

Beispiel B

Hinweis:
Im Falle nichtelementarer Integrale wird lediglich eine Umformung vorgenommen.
Beispiel

denn dieses Integral ist elementar nicht darstellbar.


Manipulation allgemeiner Ausdrücke
Die in der folgenden Tabelle aufgeführten Operationen erlauben die Umformung algebraischer und transzendenter
Ausdrücke mit rationalen und algebraischen Funktionen, die in Maple eingebaute oder selbstdefinierte Funktionen
enthalten. In der Regel lassen sich dabei optionale Argumente angeben, die die Umformung unter bestimmten
Bedingungen ausführen.
Der Befehl simplify kann hierfür exemplarisch eingesetzt werden. In der einfachen Form
versucht Maple eingebaute Vereinfachungsregeln auf den Ausdruck anzuwenden.

Beispiel


Entsprechend wird

Darüber hinaus existiert der Befehl

, der im gewissen Sinne die Umkehrung von expand ist.

Beispiel

Hier wurde combine mit der Option trig aufgerufen, die dafür sorgt, daß trigonometrische Grundregeln
angewendet werden. Benutzt man den Befehl simplify, so wird


Hier hat Maple die Tangensfunktion auf die Kosinusfunktion zurückgeführt.
Umformungen lassen sich auch mit Exponentialfunktionen, Logarithmus- und weiteren Funktionen durchführen.


Numerische Berechnungen
Computeralgebrasysteme besitzen umfangreiche Prozeduren zur Behandlung von Aufgaben der numerischen
Mathematik. Das betrifft sowohl die Lösung algebraischer Gleichungen, linearer Gleichungssysteme, die Lösung
transzendeter Gleichungen, aber auch die Berechnung bestimmter Integrale, die numerische Lösung von
Differentialgleichungen, Interpolationsprobleme und vieles andere mehr.
Beispiel
Gesucht: Lösungen der Gleichung
(20.4a)
Diese Gleichung 6. Grades ist geschlossen nicht lösbar; sie besitzt jedoch 6 reelle Lösungen, die numerisch zu
finden sind.
In Mathematica wird eingegeben:
(20.4b)
Als Antwort erhält man:


(20.4c)
Das ist eine Liste mit den 6 Lösungen mit einer bestimmten Genauigkeit, die später erläutert wird.
Die Eingabe in Maple lautet:

(20.4d)
Hier darf in der Eingabe ,,
`` fehlen, und die zusätzliche Angabe ,, `` wäre wegen der Eindeutigkeit auch nicht
nötig. Maple setzt den eingegebenen Ausdruck automatisch gleich Null. Als Ausgabe erhält man die Folge der 6
Lösungen. Die Benutzung des Befehls fsolve teilt Maple mit, daß Fließkommazahlen als Ergebnis erwartet werden.


Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
Nach dem Start von Maple wird das ,,Prompt``

angezeigt, das die Bereitschaft für die Eingabe angibt.

Zusammenhängende Ein- und Ausgaben werden oft in einer Zeile dargestellt, eventuell getrennt durch den
Pfeiloperator

.

1. Operator evalf:
Zahlenwerte von Ausdrücken, die ganz allgemein eingebaute und nutzerdefinierte Funktionen enthalten und
die zu einer reellen Zahl auswertbar sind, können mit Hilfe des Befehls
(19.289)
bestimmt werden. Mit

wird der numerisch auszuwertende Ausdruck bezeichnet; das optionale Argument

kann verwendet werden, um bei der jeweiligen Berechnung abweichend von der Einstellung Digits mit
Gleitpunktarithmetik zu arbeiten.
Beispiel

-stelliger


Anlegen einer Tabelle der Funktionswerte der Funktion

.

Zunächst wird die Funktion definiert, was mit dem Pfeiloperator erfolgen kann:
Danach sind die benötigten Funktionswerte mit dem Aufruf evalf(f(x)); , wobei für
Werte einzusetzen sind, zu bestimmen.

die numerischen

Eine Tabelle von Funktionswerten in Schritten von 0,2 zwischen 1 und 4 kann man mit

erzeugen. Hier wird z.B. gefordert, mit zwölf Ziffern zu arbeiten.
Maple gibt das Ergebnis in der Form einer einspaltigen Tabelle mit Eintragungen der Art
aus.
2. Operator evalhf:
Neben evalf existiert der Operator evalhf. Er kann auf ähnliche Art wie evalf angewendet werden. Sein
Argument sind ebenfalls Funktionen, die zu einer reellen Zahl auswertbar sind. Hier wird jedoch von Maple die
maschinenspezifische Gleitpunktzahlgenauigkeit genutzt, alle Rechnungen werden mit dieser durchgeführt und
abschließend wird das Ergebnis in das Maple-eigene Gleitpunktzahlsystem überführt. Bei der Nutzung dieses
Befehls kann ein beträchtlicher Zeitgewinn bei umfangreichen numerischen Rechnungen eintreten. Es ist
jedoch zu beachten, daß die im Abschnitt Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern beschriebenen
Probleme zu beträchtlichen Fehlern führen können.


Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Im Kapitel Computeralgebrasysteme, Lösung von Differentialgleichungen mit Maple wird die Lösung von
gewöhnlichen Differentialgleichungen mit der Operation dsolve behandelt. In den meisten Fällen ist es jedoch nicht
möglich, die Lösung in geschlossener Form anzugeben. In diesen Fällen kann man versuchen, die Gleichung
numerisch zu lösen, wobei entsprechende Anfangsbedingungen gegeben sein müssen.
Dafür wird der Befehl dsolve in der Form
(19.292)
mit der Option numeric als drittes Argument verwendet. Hier enthält das Argument

neben der eigentlichen

Differentialgleichung auch die Anfangsbedingungen. Das Resultat dieser Operation ist eine Prozedur, die, wenn man
sie z.B. mit

bezeichnet, durch den Aufruf

den Wert der Lösung für den Wert

der unabhängigen Variablen

berechnet.
Maple benutzt für diesen Prozeß das RUNGE-KUTTA-Verfahren. Die voreingestellte Genauigkeit für den relativen und
den absoluten Fehler beträgt

. Mit den globalen Symbolen

und

kann der

Nutzer diese Einstellungen ändern.
Treten bei der Berechnung Probleme auf, dann zeigt Maple dies durch verschiedenartige Meldungen an.


Beispiel
Behandlung des Beispiels zum RUNGE-KUTTA-Verfahren mit Maple. Man erhält

Mit
kann z.B. der Wert der Lösung im Punkt

bestimmt werden.


Numerische Lösung von Gleichungen
Wie im (Kapitel Computeralgebrasysteme) erwähnt, kann Maple in vielen Fällen Gleichungen und
Gleichungssysteme numerisch lösen. Das ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn es sich um transzendente
Gleichungen oder um algebraische Gleichungen handelt, die nur im Bereich der reellen Zahlen auflösbar sind.
Dafür wird der Befehl fsolve eingesetzt. Er ist in der Syntax
(19.290)
zu verwenden. In der Regel wird der Befehl für allgemeine Gleichungen eine einzelne Wurzel bestimmen. Für
Polynomgleichungen jedoch liefert er alle reellen Wurzeln. In der folgenden Tabelle sind die zur Verfügung
stehenden Optionen angegeben.
Tabelle von Optionen des Befehls fsolve
complex

bestimmt eine einzelne komplexe Wurzel (bzw. alle Wurzeln eines
Polynoms)
bestimmt zumindest

Wurzeln (gilt nur für Polynomgleichungen)

fulldigits

verhindert die Verkleinerung der Genauigkeit unter die
voreingestellte in Zwischenrechnungen

intervall

sucht nach Lösungen im angegebenen Intervall


Beispiel A
Bestimmung aller Lösungen der Polynomgleichung

. Mit

Maple hat nur die beiden reellen Wurzeln bestimmt. Mit der Option complex erhält man auch die
komplexen Wurzeln:

Beispiel B
Bestimmung der beiden Lösungen der transzendenten Gleichung
Nach der Festlegung

die positive Lösung. Mit
bestimmt Maple auch die zweite (negative) Wurzel.

.


Numerische Integration
Die Berechnung bestimmter Integrale ist oft nur numerisch möglich. Das ist der Fall, wenn der Integrand sehr
kompliziert aufgebaut ist bzw. wenn die Stammfunktion nicht durch elementare Funktionen ausdrückbar ist. In Maple
wird dann der Befehl evalf dem Integrationsbefehl für die Berechnung des bestimmten Integrals vorangestellt:
(19.291)
Darauf wird das Integral mit der geforderten Genauigkeit von Maple unter Zuhilfenahme von Näherungsverfahren
bestimmt. In der Regel funktioniert diese Methode.
Beispiel


Berechnung des bestimmten Integrals

. Da die Stammfunktion nicht bekannt ist, wird

zunächst

angezeigt. Gibt man jedoch
ein, so erhält man
. Maple hat unter Benutzung des eingebauten
Näherungsverfahrens die numerische Integration auf 15 Ziffern genau vorgenommen.
In gewissen Fällen versagt diese Methode, insbesondere wenn über große Intervalle zu integrieren ist. Dann kann
man versuchen, mit dem Bibliotheksaufruf

eine andere Näherungsprozedur aufzurufen, die ein adaptives Newtonverfahren verwendet.
Beispiel


Die Eingabe
führt zu einer Fehlermeldung. Mit

erhält man das richtige Resultat. Hier ist das dritte Argument die Angabe der Genauigkeit und das letzte die
interne Bezeichnung des Näherungsverfahrens.


Typen und Objekte
In Maple haben alle Objekte einen Typ , der ihre Zugehörigkeit zu einer Objektklasse bestimmt. Ein Objekt kann
mehreren Typen zugeordnet sein, so z.B., wenn eine bestimmte Objektklasse eine durch zusätzliche Relationen
definierte Unterklasse enthält. Als Beispiel sei erwähnt, daß die Zahl 6 vom Typ integer und vom Typ posint ist.
Mit Hilfe der Typisierung und damit auch einer Hierarchisierung aller Objekte wird die widerspruchsfreie Formulierung
und Abarbeitung bestimmter Klassen von mathematischen Aufgaben garantiert.
Der Nutzer kann jederzeit den Typ eines Objektes mit der Anfrage
(20.30)
erfragen. Nach Abschluß der Eingabe ist unbedingt das Semikolon zu setzen. Die Rückgabe ist der Basistyp des
Objektes. Maple kennt folgende, in der folgenden Tabelle dargestellten Basistypen:
Tabelle Basistypen in Maple

exprseq

float

fraction

function

indexed

integer

list


procedure

series

set

string

table

uneval

Die weitergehende Typstruktur kann mit Abfragen der Art type(obj,typname), deren Werte die BOOLEschen
Funktionen true oder false sind, ermittelt werden. In der folgenden Tabelle sind alle Maple bekannten Typnamen
dargestellt.
Tabelle Typenübersicht

PLOT

.

..

PLOT3D

RootOf

algebraic

anything

array

biconnect bipartite

boolean

algext

algfun

algn

algnumext and

colourabl

connected constant cubic

digraph

equation

even

evenfunc

expanded

facint

float

fraction

function

graph

indexed

integer

intersect

laurent

linear

list

listlist

logical

mathfunc matrix

minus

monomial name

negative

negint

nonneg

nonnegint not

numeric

odd

oddfunc operator

or

planar

point

polynom

posint

positive

primeint procedure quadratic quartic

radext

radfun

radfunext

radical

radnum

radnumext range

rational

ratpoly

realcons

relation

scalar

series

set

sqrt

square

string

subgraph

tree

trig

type

undigraph uneval

symmfunc taylor

union


vector
Man erkennt, daß die Typprüffunktionen selbst einen Typ besitzen, nämlich type. Grob gesprochen, charakterisieren
die Basistypen Klassen von grundlegenden Datenstrukturen (Zahlenarten, strukturierte Datentypen) und
Basisoperatoren, während die übrigen tiefergehenden Klassifizierungen der Basistypen bzw. Sachverhalte
algebraischer Natur widerspiegeln bzw. mit bestimmten Prozeduren von Maple verknüpft sind.


Operationen auf Polynomen
Neben den schon bekannten Operationen sind vor allem die Operationen gcd und lcm von Bedeutung. Sie finden
den größten gemeinsamen Teiler (ggT) bzw. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Polynome.
Entsprechend liefern
den Rest.

Beispiel

den ganzzahligen Anteil der Division der Polynome

und

und


Mit dem Befehl normal kann man den Quotienten zweier Polynome über dem Körper der rationalen Zahlen in
Normalform bringen, d.h. als Quotienten zweier gekürzter Polynome darstellen.
Beispiel
Mit den Polynomen des voranstehenden Beispiels wird

Mit numer und denom lassen sich Zähler und Nenner getrennt darstellen.


Wichtige Operationen
Die beiden grundsätzlichen Operationen zur symbolischen Lösung von Gleichungen in Maple sind solve und RootOf
bzw. roots. Mit ihnen und ihren möglichen Variationen durch bestimmte optionale Argumente gelingt es, eine Vielzahl
von Gleichungen, auch transzendente, zu lösen. Wenn eine Gleichung nicht in geschlossener Form lösbar ist, kann
Maple nur numerische Näherungslösungen anbieten.
Die Funktion RootOf ist das Symbol für alle Wurzeln einer Gleichung einer Variablen. Mit
(20.58)
versteht Maple unter

die Gesamtheit der Wurzeln der Gleichung

. Dabei wird der

eingegebene Ausdruck, wenn möglich, in eine einfache Form gebracht und mit der globalen Variablen
Der Aufruf

liefert eine Folge der Wurzeln.

Der Befehl solve liefert die Lösung einer Gleichung, sofern diese existiert.

dargestellt.


Beispiel

während
ergibt. Diese Gleichung besitzt im Bereich der rationalen Zahlen keine Lösungen. Mit allvalues erhält man
genäherte numerische Lösungen.


Operatoren
In Maple verhalten sich Funktionen wie die sogenannten -Funktionen in der Programmiersprache LISP. Etwas
vereinfacht heißt dies: der Name einer Funktion, sofern sie in Maple definiert ist, wird als Operator aufgefaßt. Mit
anderen Worten,

liefert true. Hängt man an den Operator das Argument oder auch

mehrere, sofern dies nötig ist, in runden Klammern an, so entsteht die entsprechende Funktion von der angegebenen
Variablen.
Beispiel
liefert
Setzt man als zu prüfendes Argument jedoch

und

liefert

.

ein, so liefert die Typprüfung genau die umgekehrte

Aussage.

Maple bietet die Möglichkeit, selbstdefinierte Funktionen in Form von Operatoren zu erzeugen. Dazu dient der


Erzeugungsoperator

. Mit

(20.47)
und mit mathausdr als algebraischer Ausdruck in der Variablen

, wird eine neue Funktion in Operatorform mit

festgelegt. Der algebraische Ausdruck kann dabei schon vorher definierte und/oder eingebaute
dem Namen
Funktionen enthalten. Hängt man an das so erzeugte Operatorsymbol eine unabhängige Variable in runden
Klammern an, so entsteht die zugehörige Funktion dieser unabhängigen Variablen.
Beispiel

Mit der Übergabe von Zahlenwerten (etwa als Gleitpunktzahlen) an dieses Argument, also durch Aufrufe
der Art
liefert Maple den Funktionswert für diesen Wert.
Umgekehrt erzeugt man aus einer Funktion (man denke etwa an ein Polynom in der Variablen
Operator mit der Anweisung

wieder der Operator mit dem Symbol

. So entsteht aus

.

mit

) den zugehörigen


Mit Operatoren kann man nach den üblichen Regeln arbeiten. Summe und Differenz zweier Operatoren sind wieder
Operatoren. Bei der Multiplikation ist zu beachten, daß darunter die Hintereinanderanwendung beider Operatoren zu
verstehen ist. Maple benutzt dafür das spezielle Multiplikationssymbol
nicht kommutativ.

. Diese Multiplikation ist im allgemeinen

Beispiel
Es sei

und

. Dann gilt

während
liefert.

Will man das Produkt zweier Funktionen bilden, die in Operatordarstellung gegeben sind, so benutzt man die
Schreibweise

, die

liefert.


Wichtige Operatoren in Maple
Wichtige Operatoren sind

als die bekannten arithmetischen Operationen;
als relationale Operatoren.

Von spezieller Bedeutung ist der cat-Operator, der abgekürzt in Infixform auch als Punktoperator `.` geschrieben
wird. Mit diesem Operator können zwei Symbole (Namen) miteinander verknüpft werden.
Beispiel

Anstelle der Eingabe

kann man schreiben

, das Resultat ist wieder

. Es

ist zu beachten, daß zu Beginn der Verknüpfung die leere Zeichenkette zu stehen hat, sonst löst Maple den ersten
Operanden nicht auf. Mit dieser Konstruktion kann man indizierte Variable sehr günstig bereitstellen.


Beispiel

Im Ergebnis hat man eine Folge indizierter Variablen.


Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung erfolgt in Maple mit dem Befehl convert, der mit der Option parfrac aufzurufen ist.
Beispiel
Unter Benutzung der Polynome

und

der voranstehenden Beispiele erhält man


Programmierung in Maple
Maple stellt für den Aufbau eigener Prozeduren und Programme die üblichen Kontroll- und Schleifenstrukturen in
spezifischer Form bereit.
Fallunterscheidungen werden mit dem if-Befehl vorgenommen. Seine Grundstruktur ist
(20.49)
Der else-Zweig kann fehlen.
Vor dem else-Zweig können beliebig viele weitere Zweige mit der Struktur
(20.50)
eingefügt werden.
Schleifen erzeugt man mit
verlangen.

bzw.

, die den Anweisungsteil in der Form


In der

-Schleife ist der Laufindex in der Form

zu schreiben, hier ist
gesetzt.
In der

die Schrittweite. Fehlen Anfangswert und Schrittweite, so werden diese automatisch auf 1

-Schleife lautet der erste Teil

Auch Schleifen können mehrfach ineinander verschachtelt werden.
Um in sich abgeschlossene Programme zu gestalten, benutzt man in Maple die Prozeduranweisung. Sie kann sich
über viele Zeilen erstrecken, entsprechend abgespeichert und unter ihrem Namen in die laufende Arbeit eingefügt
werden. Ihre Grundstruktur lautet

(20.51)

Die Anzahl der Argumente der Prozedur muß nicht mit der im eigentlichen Körper benutzten Anzahl übereinstimmen;
speziell kann die Angabe ganz fehlen. Alle mit local definierten Variablen sind nur intern bekannt.
Beispiel


Es soll eine Prozedur geschrieben werden, die die Summe der Quadratwurzeln aus den ersten
natürlichen Zahlen bestimmt:

Maple liefert die so definierte Prozedur zurück.
Dann wird die Prozedur über ihren Namen mit dem gewünschten Argument

aufgerufen:


Spezialpaket plots
In der Maple-Bibliothek findet man das Spezialpaket plots mit zusätzlichen graphischen Operationen. Im
zweidimensionalen Fall sind hier besonders die beiden Anweisungen conformal und

von Interesse.

Mit
(20.94)
können Kurven in Polarkoordinatenform gezeichnet werden. Mit
eingeschlossen) mehrerer Funktionen

kann eine Menge (in geschweifte Klammern

bezeichnet sein. Maple interpretiert die eingehende Variable

Winkel und zeichnet die Kurven im Bereich zwischen

als

, wenn nicht ein davon abweichender Bereich

explizit eingegeben wird.
Der Befehl
(20.95)
bildet mit Hilfe der komplexen Funktion

die Gitterlinien eines rechteckigen Gitters in ein Kurvengitter ab. Die

neuen Gitterlinien schneiden sich ebenfalls rechtwinklig. Mit dem Bereich

werden die ursprünglichen Gitterlinien


festgelegt. Er ist voreingestellt auf

. Der Bereich

legt die Größe des Fensters fest, in welchem

die Abbildung liegt. Hier werden als Voreinstellung die sich aus der Abbildung ergebenden Maxima und Minima
benutzt.


Maple
Das Computeralgebrasystem Maple wurde an der Waterloo-Universität (Ontario Canada) entwickelt. Es wird in der
Version Maple V, release 4 von Waterloo Maple Software vertrieben. Eine gute Einführung findet man neben den
Handbüchern in Lit. 20.6.
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Hauptstrukturelemente
Zahlenarten in Maple
Wichtige Operatoren in Maple
Algebraische Ausdrücke
Folgen und Listen
Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen
Funktionen und Operatoren
Programmierung in Maple
Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe


Umgebungsvariable
Die Ausgaben von Maple lassen sich mit einer Reihe von Umgebungsvariablen steuern. Bereits vorgestellt ist die
Variable

, mit der die Anzahl der auszugebenden Ziffern von Gleitpunktzahlen festgelegt werden kann.

Die allgemeine Art der Resultatausgabe wird durch

festgelegt. Voreinstellung ist hier

(20.54)
Diese sorgt für die zentrierte Ausgabe im mathematischen Druckstil. Setzt man diese Option auf
die Ausgabe am linken Rand und nutzt die Eingabeschreibweise.

, so beginnt


Zahlenarten in Maple
●
●
●

Grundtypen von Zahlen in Maple
Spezielle Zahlen
Darstellung und Konvertierung von Zahlen


Zahlen verschiedener Basis
Die Umwandlung von Zahlen im Zehnersystem in Zahlen einer anderen Basis erfolgt mit dem Befehl
seiner Grundform

. Dieser Befehl ist in
(20.37)

von spezieller Bedeutung, da er Ausdrücke von einer Form in eine andere umwandelt, sofern dies sinnvoll ist. Das Argument
kann einer der in der folgenden Tabelle aufgezählten Typen sein.
Tabelle Argumente der Funktion convert

degrees

diff

factorial float

D

array

base

double

eqnlist

fraction GAMMA

binary

confrac

decimal

equality exp

expln

expsincos

hex

horner

hostfile hypergeom
metric

lessthan

lessequal list

listlist ln

matrix

multiset

name

octal

parfrac

polar

polynom radians

radical

rational

ratpoly

RootOf

series

set

sincos

tan

sqrfree

mod2

vector
Die Tabelle zeigt, daß für die Umwandlung von Zahlen eine Vielzahl von Formfunktionen zur Verfügung stehen.


Beispiel
Beispiele für Formfunktionen:

Im letzten der 6 Beispiele ist die Hexadezimalzahl in Linksakzenten einzuschließen.

Mit dem Befehl
einzugeben ist, in eine Zahl zur Basis

erfolgt die Umwandlung einer Zahl zur Basis

, die in Listenform ausgegeben wird. Eingabe in Listenform heißt, daß die Zahl in der Form
zu schreiben ist und die Liste

Beispiel
Die Oktalzahl 153 soll in eine Hexadezimalzahl umgewandelt werden:
Die Ausgabe erfolgt als Liste.

, die in Listenform

einzugeben ist.


Maß
Eine auf einer

-Algebra

definierte Funktion

heißt Maß, wenn

a)

b)

c)
impliziert

Die Eigenschaft c) heißt
ist

- Additivität des Maßes. Ist

(Monotonie). Wenn

ein Maß auf

.

und sind
und

, dann
, dann


(Stetigkeit von unten).

Seien

eine

-Algebra von Teilmengen aus

Maßraum , und die Mengen aus

und

heißen meßbar oder

ein Maß auf

. Das Tripel

heißt

- meßbar .

Beispiel A
Seien

eine endliche Menge

sei jedem

die
eine nichtnegative Zahl
durch

Funktion ein Maß, das (wegen
sogenannte Zählmaß.
Beispiel B

-Algebra aller Teilmengen von

, und

zugeordnet. Dann ist die für jede Menge
auf

definierte

nur endliche Werte annehmende


DIRAC-Maß: Seien
aus

eine

-Algebra von Teilmengen einer Menge

und

ein beliebig fixierter Punkt

. Durch

ist auf

ein Maß definiert. Es heißt (auf

konzentrierte)

- Funktion . Offensichtlich gilt

(s. Stetige lineare Funktionale), wobei
der Menge

die charakteristische Funktion

bezeichnet.

Beispiel C
LEBESGUE-Maß: Seien

ein metrischer Raum und

, die alle offenen Mengen von

enthält.

die kleinste

existiert als der Durchschnitt aller

die Gesamtheit aller offenen Mengen enthalten, und heißt die BORELsche
Element aus

-Algebren, die
. Jedes

. Mit Hilfe einer

-Algebra und darauf ein Maß konstruieren, das auf der Menge aller

mit dem Volumen übereinstimmt. Genauer: Es existiert eine eindeutig bestimmte

Algebra
von Teilmengen aus
Eigenschaften:
a)

-Algebra von

heißt BOREL-Menge (s. Lit. 12.6). Sei jetzt

Erweiterungsprozedur kann man eine
Quader aus

-Algebra von Teilmengen aus

und ein eindeutig bestimmtes Maß

auf

-

mit den folgenden


Jede offene Menge aus

gehört zu

Aus

und

, mit anderen Worten:

.

b)
folgen

und

.

c)
Ist

ein Quader, dann ist

, und es gilt

.

d)
ist translationsinvariant, d.h. für jeden Vektor

und jede Menge

und

Die Elemente aus
LEBESGUE-Maß in

gelten

.

heißen LEBESGUE-meßbare Teilmengen von

.

ist das (

-dimensionale)

.

Hinweis: Man sagt in der Maß- und Integrationstheorie, daß eine Behauptung (Eigenschaft, Bedingung) bezüglich
eines Maßes

fast überall oder

- fast überall auf einer Menge

gilt, wenn die Menge, auf der sie nicht erfüllt

ist, das Maß Null hat. Man schreibt dafür auch die Abkürzung f.ü. bzw.
auf

, sind

zwei disjunkte Mengen mit

und ist

-f.ü. Also, ist etwa
eine Funktion auf

das LEBESGUE-Maß
mit


und
.

, dann ist

-f.ü. auf

genau dann, wenn


Natürliches Maß
Sei

ein Attraktor von

in

mit Einzugsgebiet

. Für eine beliebige BOREL-Menge

und

wird die Größe

einen beliebigen Punkt

(17.30)
gebildet, wobei
in der Menge

jeweils der Teil der Gesamtzeit
liegt. Wenn für

-fast alle

gesetzt. Da fast alle Orbits mit Anfang
Wahrscheinlichkeitsmaß, das auf

aus
für

konzentriert ist.

ist, in dem der Orbitabschnitt

sogar

ist, wird
gegen

streben, ist

ein


Physikalische oder SBR-Maße
Die Aussage des Ergodensatzes ist nur dann brauchbar, wenn der Träger des Maßes
eine stetige Abbildung,

möglichst groß ist. Seien

ein invariantes Maß. Man sagt (s. Lit. 17.9), daß

Maß ist (nach SINAI, BOWEN und RUELLE), wenn für jede stetige Funktion

ein SBR-

die Menge aller der Punkte

, für die

(17.32a)
gilt, ein positives LEBESGUE-Maß hat. Dafür ist ausreichend, daß die Folge der Maße
(17.32b)

für fast alle

schwach gegen

konvergiert, d.h. für jede stetige Funktion

für


gilt.

Beispiel
Für einige wichtige Attraktoren, so für den HÉNON-Attraktor, wurde die Existenz eines SBR-Maßes
nachgewiesen.


Satz von RADON-NIKODYM
1. Voraussetzungen: Seien

ein

, so daß

-endlicher Maßraum, d.h., es existiert eine Folge
und

- endlich . Es heißt endlich , wenn
Eine auf

, und Wahrscheinlichkeitsmaß , wenn

gegebene reelle Funktion

heißt absolutstetig bezüglich

impliziert. Die Bezeichnung dafür ist

Für eine integrierbare Funktion
absolutstetig bezüglich des Maßes

gilt. In diesem Falle heißt das Maß

ist die auf

gilt.

, wenn

die Gleichung

.

definierte Funktion

-additiv und

. Fundamental für viele theoretische Untersuchungen und praktische

Anwendungen ist die Umkehrung dieses Fakts:
2. Satz von RADON-NIKODYM:Seien eine

-additive Funktion

und ein Maß

auf einer

-Algebra


gegeben und sei

. Dann existiert eine

-integrierbare Funktion

so, daß für jede Menge

die Beziehung
(12.204)

gilt. Die Funktion
wenn

ist dabei bis auf ihre Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt, und
-f.ü.

ist nichtnegativ genau dann,


Koordinaten des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes)
Die Koordinaten

des Massenmittelpunktes eines Systems materieller Punkte

mit den Massen

werden mit den folgenden Formeln berechnet:
(3.293)


Teilung einer Strecke
Die Koordinaten eines Punktes

der eine Strecke zwischen den Punkten

und

im vorgegebenen Verhältnis
(3.361)
teilen soll, werden mit den Formeln
(3.362a)

(3.362b)

(3.362c)
bestimmt. Der Mittelpunkt der Strecke ergibt sich aus


(3.363)
Die Koordinaten des Massenmittelpunktes (oft unkorrekterweise Schwerpunkt genannt) eines Systems aus
materiellen Punkten mit den Massen
alle

von 1 bis

werden mit den folgenden Formeln berechnet, wobei die Summation über

zu erfolgen hat:
(3.364)


Berechnung von rechtwinkligen aus polaren Koordinaten beim polaren
Anhängen eines Punktes
Im rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Koordinaten eines Neupunktes
örtlichen System zu ermitteln.

durch Messungen im polaren


Gegeben:

Gemessen:

Gesucht:

Lösung:
(3.92a)
(3.92b)
(3.92c)
(3.92d)


Sollte auch

gemessen worden sein, dann wird der Unterschied zwischen der örtlich gemessenen Strecke und

der aus den Koordinaten berechneten Strecke mit dem Maßstabsfaktor

berücksichtigt:

(3.93a)
(3.93b)
(3.93c)


Matchings
●
●
●

Matchings, Satz von TUTTE
Alternierende Wege, Satz von BERGE
Ermittlung maximaler Matchings


Matchings, Satz von TUTTE
1. Matchings:
von Kanten eines Graphen

Eine Menge

je zwei verschiedene Kanten aus
a) Gesättigtes Matching:
von

Ein Matching

heißt Matching in

wenn

keine Schlingen enthält und

keinen gemeinsamen Endpunkt besitzen.
heißt gesättigt , wenn es in

kein Matching

mit

gibt.

b) Maximales Matching:
von

Ein Matching

nennt man maximal , wenn es in

kein Matching

mit

gibt.
c) Perfektes Matching:
Ist

ein Matching in

indiziert, dann wird
Beispiel

mit der Eigenschaft, daß jeder Knoten von
perfektes Matching genannt.

mit einer Kante aus


ein gesättigtes Matching

Im Graphen der folgenden Abbildung ist

ein maximales Matching, das außerdem perfekt ist.

und

d) Hinweis:
In Graphen mit ungerader Knotenzahl gibt es keine perfekten Matchings.
2. Satz von TUTTE:
a) Ein Graph

besitzt genau dann ein perfektes Matching, wenn

jede Teilmenge

der Knotenmenge

durch Löschen aller Knoten von

ist. Dabei ist

gerade ist und für
der Graph, der aus

und der mit diesen Knoten inzidierenden Kanten entsteht. Mit

wird die Anzahl der Komponenten von

mit ungerader Knotenzahl bezeichnet.

b)
Perfekte Matchings haben z.B. vollständige Graphen mit gerader Knotenzahl, vollständige paare


Graphen

und beliebige reguläre paare Graphen vom Regularitätsgrad


Ermittlung maximaler Matchings
Gegeben sei ein Graph

mit einem Matching

a)
Man bilde zu

ein gesättigtes Matching

Man wähle in

einen Knoten

mit

b)
der mit keiner Kante aus

zunehmenden alternierenden Weg, der in

inzidiert, und suche in

einen

beginnt.

c)
Existiert ein solcher Weg, dann liefert das oben beschriebene Austauschverfahren ein Matching
Existiert kein solcher Weg, dann lösche man in

den Knoten

und alle mit

inzidierenden Kanten und wiederhole Schritt b).
Es gibt einen kompliziert zu beschreibenden Algorithmus von EDMONDS, der sich zur effektiven Suche nach
maximalen Matchings eignet (s. Lit. 5.29).

mit


Optionen für 3D-Graphik
Die Zahl der Optionen für 3D-Graphik ist groß. In der folgenden Tabelle werden einige in aufgelistet, wobei Optionen,
die aus der 2D-Graphik bekannt sind, nicht aufgeführt werden. Sie lassen sich sinngemäß übertragen.
Tabelle Optionen zur 3D-Graphik
voreingestellt ist
, dies zeichnet einen dreidimensionalen
Rahmen um die Fläche
bestimmt die Undurchsichtigkeit der Oberfläche, voreingestellt ist

bestimmt den Punkt

im Raum, von dem aus die

Oberfläche betrachtet wird. Voreingestellt ist
voreingestellt ist

, damit wird die Oberfläche schattiert,

liefert weiße Oberflächen


ist hier für die Werte

,

,
wählbar. Voreinstellung

ist
Hier sei besonders auf die Option
hingewiesen, mit der sehr unterschiedliche Ansichtsperspektiven
für die jeweilige Oberfläche ausgewählt werden können.


Mathematica
Mathematica stellt die in der folgenden Tabelle dargestellten Funktionen und Operatoren für die Umformung
algebraischer Ausdrücke zur Verfügung.
Tabelle Anweisungen zur Manipulation algebraischer Ausdrücke
löst die Potenzen und Produkte in einem Polynom

durch

Ausmultiplikation auf
multipliziert nur die Anteile in

aus, die

enthalten

löst auch Potenzen von Produkten und Potenzen von Potenzen
auf
faktorisiert ein Polynom vollständig

ordnet das Polynom nach Potenzen von


das gleiche wie vorstehend, nur mit mehreren Variablen

entwickelt nur den Zähler eines rationalen Ausdrucks

entwickelt nur den Nenner

multipliziert sowohl Zähler als auch Nenner vollständig aus

stellt den Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner dar

stellt den Ausdruck als Summe von Termen mit einfachen
Nennern dar (Partialbruchzerlegung)
kürzt gemeinsame Faktoren in den jeweiligen Termen

●
●
●
●
●

Multiplikation von Ausdrücken
Faktorzerlegung von Polynomen
Operationen auf Polynomen
Partialbruchzerlegung
Manipulation nichtpolynomialer Ausdrücke


Multiplikation von Ausdrücken
Diese Operation der Multiplikation algebraischer Ausdrücke ist in jedem Falle durchführbar. Dabei können
Koeffizienten auch unbestimmte Ausdrücke sein.
Beispiel

Entsprechend wird


Apply
Es sei

eine Funktion, die im Zusammenhang mit einer Liste

erklärt ist. Dann ergibt
(20.24)

Beispiel

Man erkennt hier gut das allgemeine Schema, wie Mathematica mit Ausdrücken von Ausdrük-kcken
umgeht. Dazu schreibt man die letzte Operation in FullForm:

Die Funktionaloperation Apply ersetzt offensichtlich den Kopf des zu behandelnden Ausdruckes Plus
durch den geforderten List.


Kontexte, Attribute
Mathematica muß mit einer Vielzahl von Symbolen umgehen, darüber hinaus lassen sich weitere Programmoduln je
nach Bedarf hinzuladen. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, bestehen die Namen von Symbolen in Mathematica
aus zwei Teilen, dem Kontext und dem Kurznamen.
Als Kurznamen bezeichnet man die Benennungen von Köpfen und Elementen der Ausdrücke. Darüber hinaus
benötigt Mathematica für die Benennung von Symbolen Angaben über die Zugehörigkeit des Symbols zum jeweiligen
Programmteil. Dies wird durch die Angabe des Kontext gewährleistet, der den entsprechenden Programmteil
benennt. Der vollständige Name eines Symbols besteht daher aus dem Kontext und dem Kurznamen, die durch ein '
verbunden werden.
Beim Start von Mathematica sind immer zwei Kontexte präsent: System' sowie Global' . Über die Verfügbarkeit
weiterer Programmoduln kann man sich mit dem Befehl

informieren lassen.

Alle in Mathematica eingebauten Funktionen laufen unter dem Kontext System' , während die vom Nutzer definierten
unter dem Kontext Global' abgelegt werden.
Ist ein gegebener Kontext aktuell, also der entsprechende Programmteil geladen, so können die Symbole mit ihrem


Kurznamen angesprochen werden.
Beim Einlesen eines weiteren Mathematica-Programmoduls mit

werden die dazugehörigen

Kontexte geöffnet und der schon vorhandenen Liste vorn hinzugefügt. Es kann vorkommen, daß vor dem Zuladen
des neuen Moduls ein Symbol mit einem Namen eingeführt wurde, der jetzt in dem neu eröffneten Kontext unter
einer anderen Definition ebenfalls vorhanden ist. In diesem Falle informiert Mathematica in einer Meldung darüber.
Dann ist entweder der vorher definierte Name mit

zu löschen, oder aber man

verwendet für das zugeladene Symbol den vollständigen Namen.
Neben den Eigenschaften, die Symbole per Definition besitzen und die in der Regel spezieller Natur sind, kann man
ihnen allgemeinere Eigenschaften, nämlich Attribute wie Orderless, d.h. ungeordnet, kommutativ, Protected,
d.h., Werte können nicht geändert werden, oder Locked, d.h, Attribute können nicht geändert werden u.a. zuordnen.
Auskunft über die für das jeweilige Objekt zutreffenden Attribute erhält man mit

Eigene Symbole können mit

.

geschützt werden, so daß keine anderen

Definitionen für diese Symbol eingeführt werden können. Mit Unprotect kann das Attribut wieder entfernt werden.


Haupstrukturelemente
Im System Mathematica werden die Hauptstrukturelemente einheitlich Ausdrücke genannt. Ihre Syntax lautet (es sei
nochmals betont, daß die jeweiligen Objekte durch ihr zugehöriges Symbol, also ihren Namen, anzugeben sind):
(20.6)
Man bezeichnet

als Kopf (

) des Audruckes; ihm ist die Nummer 0 zugeordnet. Die Teile

sind die Elemente des Ausdrucks und unter ihren Nummern

aufrufbar.

In vielen Fällen ist der Kopf des Ausdrucks ein Operator oder eine Funktion, die Elemente sind die Operanden oder
die Variablen, auf die der Kopf wirkt.
Sowohl Kopf als auch Elemente eines Ausdrucks können wieder Ausdrücke sein. Eckige Klammern sind in
Mathematica für die Darstellung von Ausdrücken reserviert, sie dürfen nur in diesem Zusammenhang verwendet
werden.
Beispiel


Der Term

, der in Mathematica auch in dieser Infix-Form eingegeben werden darf, hat

die vollständige Form (FullForm)
ist also ebenfalls ein Ausdruck. Mit Plus, Power und Times werden die die entsprechenden
arithmetischen Operatoren bezeichnet.
Man erkennt an dem Beispiel, daß alle einfachen mathematischen Operatoren in der Präfix-Form existieren und daß
die Schreibweise als Term in Mathematica nur eine Vereinfachung ist.
Teile von Ausdrücken können extrahiert werden. Das erfolgt mit der Konstruktion
Nummer des entsprechenden Elements ist. Insbesondere wird mit
Beispiel

, wobei

die

der Kopf des Ausdrucks wiedergegeben.


Gibt man in Mathematica
ein, wobei das Zeichen
Mathematica mit

auch weggelassen werden kann, und betätigt die Taste EINF, so antwortet

Mathematica hat die Eingabe zur Kenntnis genommen und sie in der mathematischen Standardform
wiedergegeben. Hätte man die Eingabe mit einem Semikolon abgeschlossen, so wäre die Ausgabe
unterdrückt worden.
Gibt man

ein, so lautet die Antwort
Das Zeichen % in der eckigen Klammer teilt Mathematica mit, daß die letzte Ausgabe als Argument für die
neue Eingabe zu verwenden ist. Aus diesem Ausdruck kann man mit
das dritte Element herausziehen, das in diesem Fall wiederum ein Ausdruck ist.
Symbole sind in Mathematica die Bezeichner der Grundobjekte; sie können beliebige Folgen von Buchstaben und
Zahlen sein und dürfen nicht mit einer Zahl beginnen. Das Sonderzeichen $ ist zulässig. Es wird zwischen Groß- und
Kleinbuchstaben unterschieden. Systemimmanente Symbole beginnen mit einem Großbuchstaben, bei
zusammengesetzten Worten beginnt auch der zweite Teil mit einem Großbuchstaben. Der Nutzer sollte deshalb zur
Unterscheidung seine selbstdefinierten Symbole nur mit Kleinbuchstaben schreiben.


Mathematica
In Abschnitt Funktionaloperatoren wird der Begriff der Ableitung als Funktionaloperator erläutert. Mathematica verfügt
über eine Vielzahl von Möglichkeiten, um Operationen der Analysis wie die Bestimmung von Differentialquotienten
beliebiger Ordnung, partieller Ableitungen, die Bildung vollständiger Differentiale, unbestimmter und bestimmter
Integrale, Reihenentwicklung von Funktionen sowie die Lösung einer Reihe von Differentialgleichungen
durchzuführen.
●
●
●
●

Berechnung von Differentialquotienten
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Lösung von Differentialgleichungen


Lösung von Differentialgleichungen
Mit Mathematica können gewöhnliche Differentialgleichungen symbolisch behandelt werden, wenn eine Lösung in
geschlossener Form prinzipiell möglich ist. In diesem Fall liefert Mathematica in der Regel die Lösung. Die hierfür
zutreffenden Befehle sind in der folgenden Tabelle aufgelistet.
Tabelle Anweisungen zur Lösung von Differentialgleichungen
löst eine evtl. implizite Darstellung der Lösung der
Differentialgleichung nach

auf (falls möglich)

liefert die Lösung der Differentialgleichung in Form
einer reinen Funktion
löst ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen
Die Lösungen werden (s. Unterkapitel Gewöhnliche Differentialgleichungen) mit den entsprechenden willkürlichen
Konstanten

als allgemeine Lösungen dargestellt. Anfangswerte oder Randbedingungen können in den Teil der

Liste, der die Gleichung bzw. Gleichungen enthält, mit eingefügt werden. In diesem Falle erhält man eine spezielle


Lösung.
Als Beispiele sollen hier zwei Differentialgleichungen aus Abschnitt Wichtige Integrationsmethoden im Unterkapitel
Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung betrachtet werden.
Beispiel A
Es ist die Lsung der Differentialgleichung

zu bestimmen.

Mathematica löst diese Gleichung und gibt die Lösung als reine Funktion mit einer Integrationskonstanten
wieder

Das Symbol

steht für #, es ist dessen FullForm.

Verlangt man, daß die Lösung für

bestimmt wird, dann liefert Mathematica

Man hätte in diesem Beispiel die Substitution auch für andere Größen, wie etwa

oder

durchführen


können. Hier wird der Vorteil der Benutzung reiner Funktionen deutlich.
Beispiel B
Es ist die Lösung der Differentialgleichung

zu bestimmen.

Mathematica gibt die Eingabe ohne Kommentar zurück. Das liegt daran, daß Mathematica die Lösung der
Differentialgleichung, die im Beispiel in impliziter Form angegeben ist, nicht nach

auflösen kann.

In solchen Fällen kann man nach numerischen Lösungen suchen. Auch im Falle der symbolischen Lösung von
Differentialgleichungen darf man wie bei der Berechnung unbestimmter Integrale Mathematica nicht überfordern.
Wenn die Resultate nicht als algebraischer Ausdruck elementarer Funktionen darstellbar sind, bleibt nur der Weg,
numerische Lösungen zu suchen.
Es sei hier darauf hingewiesen, daß mit der Version Mathematica 2.2 auch ein Spezialpaket enthalten ist, das
partielle Differentialgleichungen mit partiellen ersten Ableitungen einer einzelnen gesuchten Funktion lösen kann.


Unterabschnitte
●
●

Operator der Differentiation
Differentiation von Funktionen

Berechnung von Differentialquotienten
Operator der Differentiation
Der Differentiationsoperator wurde als

eingeführt. Seine vollständige Schreibweise lautet
(20.68)

Die Argumente geben an, wie oft nach der jeweiligen Variablen differenziert werden soll. In diesem Sinne handelt es
sich um einen Operator der partiellen Differentiation. Mathematica versucht die Darstellung des Ergebnisses als reine
Funktion.

Differentiation von Funktionen


Die Differentiation einer vorgegebenen Funktion kann vereinfachend durch den Operator
wird die Ableitung der Funktion

durchgeführt werden. Mit

angegeben.

D gehört zu einer Gruppe von Differentialoperationen, die in der folgenden Tabelle aufgeführt sind.
Tabelle Operationen der Differentiation
liefert die

-te Ableitung der Funktion

Entsprechend liefern:
mehrfache Ableitungen jeweils

-mal nach

das vollständige Differential der Funktion

die vollständige Ableitung

der Funktion

.


die vollständige Ableitung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher

Für die beiden Beispiele aus Abschnitt Grundregeln für das Differenzieren erhält man
Beispiel A

Beispiel B


Die Anweisung

liefert die vollständige Ableitung bzw. das vollständige Differential.

Beispiel C

Beispiel D

Mathematica nimmt in diesen letzten Beispielen an, daß

eine Funktion von

ist, die es jedoch nicht

kennt, und schreibt den zweiten Teil der Ableitung deshalb wieder symbolisch.
Wenn Mathematica bei der Differentiation auf eine symbolische Funktion stößt, beläßt es diese in der allgemeinen
Form und drückt die Ableitung in der Form

Beispiel E

aus.


Mathematica kennt die Regeln für die Differentiation von Produkten, Quotienten und die Kettenregel und kann diese
auch formal anwenden:
Beispiel F

Beispiel G


Differentiation
Mathematica nutzt die Möglichkeit, die Differentiation von Funktionen als Abbildung im Raum der Funktionen
aufzufassen. Der Operator der Differentiation lautet in Mathematica
die Funktion f definiert, so erhält man mit

oder abgekürzt

ihre Ableitung.

Beispiel

Mit
,

also

als reine Funktion dargestellt und entsprechend

. Ist


Mathematica
Das Computeralgebrasystem Mathematica verfügt über einen mächtigen Apparat zur numerischen Lösung vielfältiger
mathematischer Aufgaben. Die Vorgehensweise von Mathematica ist jedoch hierbei ganz anders als im Falle
symbolischer Berechnungen. Mathematica ermittelt nach bestimmten, voreingestellten Prinzipien eine Werteliste der
beteiligten Funktionen ähnlich wie auch für graphische Darstellungen, und bestimmt dann aus diesen Werten die
jeweilige Lösung. Da die Anzahl der benutzten Punkte endlich sein muß, kann es bei ,,schlechten`` Funktionen zu
Problemen kommen. Mathematica wird zwar auch hier versuchen, an problematischen Stellen mehr Stützpunkte zu
wählen, aber schließlich muß es Annahmen über die Stetigkeit in bestimmten Bereichen machen. Hier kann die
Ursache für Fehler im Resultat liegen. Es ist in jedem Fall sinnvoll, so viel wie möglich qualitative Informationen über
die beteiligten Objekte einzuholen und, wenn irgend möglich, symbolische Berechnungen, zumindest in Teilbereichen
der Aufgabe durchzuführen.
In der folgenden Tabelle sind Operationen für die numerische Auswertung dargestellt:
Tabelle numerischer Operationen
NIntegrate berechnet bestimmte Integrale


NSum

berechnet Summen

NProduct

berechnet Produkte

NSolve

löst numerisch algebraische Gleichungen

NDSolve

löst Differentialgleichungen numerisch

Nach dem Starten von Mathematica wird das ,,Prompt``

angezeigt, das die Bereitschaft für die Eingabe

angibt. Die Ausgabe des zugehörigen Ergebnisses kennzeichnet Mathematica mit
wird in die ,mit

gekennzeichnet Zeilen eingegeben. Die Zeilen, die mit

Mathematica als Antwort zurück. Der in den Ausdrücken auftretende Pfeil
Wert
●
●
●
●

.
Kurvenanpassung und Interpolationsverfahren
Numerische Lösung von Polynomgleichungen
Numerische Integration
Numerische Lösung von Differentialgleichungen

. Allgemein: Der Text
versehen sind, gibt

bedeutet z.B. ersetze

durch den


Mathematica
Im Abschnitt Mathematica, Listen wurden der Begriff der Matrix und eine Reihe von Operationen mit Matrizen auf der
Grundlage von Listen definiert. Der Einsatz von Mathematica im Rahmen der Theorie linearer Gleichungssysteme
baut auf diesen Festlegungen auf. Es sei im folgenden
(20.62)
eine Matrix vom Typ

mit den Elementen

, des weiteren seien
(20.63)

-dimensionale Vektoren. Mit diesen Definitionen läßt sich das allgemeine System linearer
zwei - bzw.
inhomogener bzw. homogener Gleichungen schreiben (s. Lösung linearer Gleichungssysteme)
(20.64)

●

●
●

Spezialfall
Allgemeiner Fall
Eigenwerte und Eigenvektoren


Faktorzerlegung von Polynomen
Die Faktorzerlegung von Polynomen über ganzen oder rationalen Zahlen wird von Mathematica nur ausgeführt, wenn
sie im Bereich der ganzen oder rationalen Zahlen möglich ist. Anderenfalls gibt Mathematica den Ausdruck
unverändert zurück.
Beispiel

Mathematica hat das Polynom in drei über dem Körper der rationalen Zahlen irreduzible Faktoren zerlegt.
Wenn ein Polynom über dem Körper der komplexen rationalen Zahlen vollständig reduzibel ist, kann man mit der
Option GaussianIntegers eine vollständige Zerlegung erreichen.
Beispiel


FixedPoint
Durch

wird die Funktion wiederholt angewendet, bis sich das Ergebnis nicht mehr ändert.


FixedPointList
Die Funktionaloperation

erzeugt die fortlaufende Liste mit den

Anwendungsergebnissen von

, bis sich der Wert nicht mehr ändert.

Beispiel
Zur Demonstration dieser Art von Funktionaloperationen wird Nest auf die Näherungsformel von NEWTON
für Wurzeln der Gleichung
in der Nähe von

zu finden:

angewendet. Es sei eine Wurzel der Gleichung


Man hätte auch eine größere Präzision des Ergebnisses verlangen können.


Darstellung von Flächen und Raumkurven
Mathematica bietet die Möglichkeit, dreidimensionale Graphikprimitive darzustellen. Dadurch lassen sich, ganz
ähnlich wie im zweidimensionalen Fall, dreidimensionale Graphiken aufbauen und mit der Anwendung verschiedener
Optionen aus unterschiedlichster Perspektive betrachten. Insbesondere ist deshalb die graphische Darstellung
gekrümmter Flächen im dreidimensionalen Raum möglich, d.h. die graphische Darstellung von Funktionen zweier
Veränderlicher. So ist es möglich, Kurven im dreidimensionalen Raum, z.B. in Parameterdarstellung, zeichnen zu
lassen. Eine ausführliche Beschreibung der dreidimensionalen Graphikprimitive s. Lit. 20.5. Der Umgang mit diesen
Darstellungen erfolgt analog zu dem mit den zweidimensionalen Primitiven.
●
●
●

Graphische Darstellung von Oberflächen
Optionen für 3D-Graphik
Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung


Funktionaloperationen
Bekanntlich operieren Funktionen auf Zahlen oder algebraischen Ausdrücken. Der symbolische Charakter von
Mathematica gestattet jedoch ebenso Operationen auf Funktionen, da die Namen von Funktionen wie Ausdrücke
behandelt und damit auch wie Ausdrücke manipuliert werden können.
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Inverse Funktion
Differentiation
Nest
NestList
FixedPoint
FixedPointList
Apply
Map


Funktionen
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Standardfunktionen
Spezielle Funktionen
Reine Funktionen


Inverse Funktion
Die Bestimmung der inversen Funktion zu einer gegebenen Funktion
InverseFunction.
Beispiel A

Beispiel B

erreicht man mit der Funktionaloperation


Lösung von Gleichungen
Mathematica stellt die Anweisung

für die Lösung von Gleichungen zur Verfügung. In gewissem Sinne führt

nacheinander die Operationen

und

durch.

Mathematica ist nur in der Lage, Gleichungen symbolisch zu lösen, wenn dies in Form algebraischer Ausdrücke
überhaupt möglich ist, d.h. höchstens Gleichungen vierten Grades. Wenn jedoch Gleichungen höheren Grades durch
algebraische Manipulationen wie Faktorisierung in einfachere algebraische Ausdrücke umgeformt werden können,
dann ist Mathematica auch hier in der Lage, Lösungen zu bieten.
eingebauten Operationen

und

versucht in solchen Fällen, mit den

entsprechende Zerlegungen vorzunehmen.

Prinzipiell kann Mathematica unter bestimmten Voraussetzungen numerische Lösungen anbieten.
Beispiel


Allgemeine Lösung einer Gleichung dritten Grades:
Mathematica liefert

Wegen der Länge ihrer Terme wurde in der Lösungsliste nur die erste Lösung explizit aufgeführt. Will man eine
Gleichung mit gegebenen Koeffizienten
behandeln, als die Werte von

lösen, so ist es besser, die Gleichung selbst mit

der formalen Lösung zuzuweisen.

Beispiel A
Für die kubische Gleichung

wird:

zu


Beispiel B
Lösung einer Gleichung 6. Grades:

Mathematica ist es gelungen, die Gleichung in Beispiel B mit internen Mitteln zu faktorisieren; danach wird sie
problemlos gelöst.
Wenn es um numerische Lösungen geht, sollte man von vornherein die Anweisung
schneller.
Beispiel
Die folgende komplizierte Gleichung löst man mit NSolve:

benutzen; sie ist meist


Gleichungen
Mathematica ermöglicht die Manipulation und Lösung von Gleichungen in einem breiten Rahmen. Eine Gleichung
wird in Mathematica als logischer Ausdruck aufgefaßt. Wenn man schreibt
(20.57a)
so interpretiert Mathematica dies als die Aufstellung einer Identität. Gibt man
(20.57b)
weil mit diesem Wert von
Die Anweisung

linke und rechte Seite nicht identisch sind.
veranlaßt, die obige Identität in eine Form zu bringen, die

explizit enthält.

Mathematica stellt das Ergebnis mit Hilfe des logischen ODER wieder in der Form einer logischen Aussage dar:

(20.57c)


In diesem Sinne können logische Operationen mit Gleichungen durchgeführt werden.
Mit der Operation
können nachfolgend Gleichungen des logischen Typs wie oben in
Transformationsregeln umgewandelt werden. So ergibt

(20.57d)


Lösung transzendenter Gleichungen
Mathematica ist in der Lage, auch transzendente Gleichungen zu lösen. In der Regel ist dies symbolisch nicht möglich.
Außerdem können solche Gleichungen oft unendlich viele Lösungen haben. Daher sollte man Mathematica in solchen Fällen
eine Vorgabe für die Umgebung machen, in der eine Lösung gefunden werden soll. Das ist mit der Anweisung
möglich, wobei

Beispiel

der Startwert für die Lösungssuche ist.


Lösung von Gleichungssystemen
Mathematica kann simultan mehrere Gleichungen lösen. Die dafür eingebauten Operationen sind in der folgenden
Tabelle dargestellt und betreffen die symbolische, nicht die numerische Lösung von Gleichungssystemen.
Tabelle Operationen zur Lösung von Gleichungssystemen
löst das gegebene Gleichungssystem nach den
Unbekannten auf
eliminiert die Elemente

aus dem

Gleichungssystem
vereinfacht das Gleichungssystem und liefert
alle möglichen Lösungen
eine numerische Lösung. Beispiele für die
Wie im Falle einer Unbekannten, erhält man mit der Anweisung
Lösung von linearen Gleichungssystemen werden im Abschnitt lineare Algebra behandelt.


Allgemeiner Fall
Mit den Anweisungen

und

lassen sich alle im Kapitel Lineare Algebra, Abschnitt

Lösung linearer Gleichungssysteme beschriebenen Fälle behandeln, d.h., es läßt sich festzustellen, ob prinzipiell
eine Lösung existiert, und wenn ja, dann wird diese ermittelt. Im Folgenden werden einige Beispiele aus dem
Abschnitt Lösung linearer Gleichungssysteme betrachtet.
Beispiel A


Das Beispiel im Abschnitt Triviale Lösung und Fundamentalsystem

hat als homogenes System nichttriviale Lösungen, die aus Linearkombinationen von Basisvektoren des
Nullraumes der Matrix
Transformationen mit

bestehen. Das ist jener Teilraum des

-dimensionalen Vektorraumes, der bei

auf die Null abgebildet wird. Ein Satz solcher Basisvektoren läßt sich mit der

Anweisung

erzeugen. Mit der Eingabe

erzeugt man die für das System zuständige Matrix, deren Determinante tatsächlich Null ist, was sich mit
überprüfen läßt. Nun wird eingegeben

und als Ausgabe erscheint

eine Liste mit zwei linear unabhängigen Vektoren des vierdimensionalen Raumes, die im
zweidimensionalen Nullraum der Matrix

eine Basis bilden. Beliebige Linearkombinationen dieser beiden


Vektoren liegen ebenfalls im Nullraum, sind also Lösungen des homogenen Gleichungssystems. Ein
Vergleich mit der Lösung des betrachteten Beispiels zeigt die Identität.
Beispiel B
Man erzeugt gemäß Beispiel A aus Abschnitt Allgemeine Regel für das inhomogene System

die Matrix

, die vom Typ

ist und den Vektor

Auf die Anweisung
erscheint die Meldung
Danach wird die Eingabe nochmals ausgegeben.
Beispiel C


Gemäß Beispiel B aus Abschnitt Allgemeine Regel für das inhomogene System

wird eingegeben:

Da in diesem Fall das System überbestimmt ist, wird geprüft, ob sich die Matrix
Abhängigkeiten der Zeilen reduzieren läßt. Mit
geschieht das. Danach gibt man ein

Die Ausgabe enthält die bekannte Lösung.

aufgrund linearer


Eigenwerte und Eigenvektoren
In Abschnitt Eigenwertaufgaben bei Matrizen sind Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen definiert worden.
Mathematica bietet die Möglichkeit, diese mit speziellen Anweisungen zu bestimmen. So liefert
eine Liste der Eigenvektoren der quadratischen Matrix
. Setzt man anstelle von

aber

eine Liste der Eigenvektoren von

, so erhält man die numerischen Eigenwerte. Bei Matrizen mit der Ordnung

kann man im allgemeinen keine algebraischen Ausdrücke mehr erwarten, da die zu lösende Polynomgleichung
höher als vierten Grades ist. Deshalb kann man in diesen Fällen nur nach numerischen Werten fragen.
Beispiel


Das erzeugt eine 5-dimensionale sogenannte HILBERT-Matrix.

Mit der Anweisung
antwortet Mathematica
Gibt man aber ein
so erhält man


Spezialfall
Im Spezialfall

hat das inhomogene System eine eindeutige Lösung, die mit
(20.65)

sofort gefunden werden kann. Mit Mathematica können Systeme dieser Art mit etwa 50 Unbekannten in verträglicher
Zeit in Abhängigkeit vom Computersystem gelöst werden. Eine äquivalente, jedoch eventuell schneller ermittelbare
Lösung kann mit

gefunden werden.


Darstellung und Konvertierung von Zahlen
Zahlen sind in verschiedenen Formen darstellbar, die sich ineinander konvertieren lassen. So läßt sich jede reelle
Zahl

mit

in eine Gleitpunktzahl mit

-stelliger Präzision konvertieren.
(20.8a)

Mit

kann die Zahl

mit der Genauigkeit

in eine rationale Zahl gewandelt werden.

So ergibt
(20.8b)
Mit der Genauigkeit

übermittelt Mathematica die bestmögliche Näherung der Zahl

durch eine rationale Zahl.

Zahlen verschiedener Zahlensysteme können ineinander konvertiert werden. Mit
im Dezimalsystem in die entsprechende Zahl im System mit der Basis

wird die Zahl

umgewandelt. Ist

für die Darstellung der weiteren Ziffern wie üblich die fortlaufenden Buchstaben

benutzt.

, so werden


Beispiel A
So wird z.B.
(20.9a)
oder
(20.9b)
Die umgekehrte Transformation wird mit

durchgeführt.

Beispiel B
In diesem Sinne liefert
(20.9c)
Die Darstellung der Zahlen erfolgt mit der jeweiligen Präzision (voreingestellt hierfür ist die Maschinenpräzision) und
bei großen Zahlen in der sogenannten wissenschaftlichen Schreibweise, d.h. in der Form
.


Graphik mit Mathematica
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Grundlagen des Graphikaufbaus
Graphik-Primitive
Graphikoptionen
Syntax der Graphikdarstellung
Zweidimensionale Kurven
Parameterdarstellung von Kurven
Darstellung von Flächen und Raumkurven


Graphische Darstellung von Funktionen
Mathematica stellt spezielle Anweisungen für die graphische Darstellung von Funktionen zur Verfügung. Mit
(20.79)
wird die Funktion

im Bereich zwischen

und

graphisch dargestellt. Mathematica

erstellt nach internen Algorithmen eine Funktionstabelle und gibt die sich daraus ergebende Graphik über die
Graphikprimitiven zurück.
Beispiel


Wenn die Funktion

im Bereich zwischen

und

graphisch dargestellt werden soll, ist

einzugeben
Mathematica liefert die in der folgenden Abbildung dargestellte Kurve.

Man erkennt, daß Mathematica bei der Darstellung gewisse voreingestellte Graphikoptionen benutzt. So
werden automatisch Achsen gezeichnet, diese entsprechend skaliert und mit

- und

-Werten versehen.

An diesem Beispiel erkennt man auch die Wirkung der Voreinstellung von AspectRatio. Das Verhältnis
der Gesamtbreite zur Gesamthöhe entspricht

Mit dem Befehl

.

kann man sich die volle Darstellung des Graphikobjektes anzeigen

lassen. Man erhält für das betrachtete Beispiel die Ausgabe:


Das Graphikobjekt besteht demzufolge aus zwei Unterlisten. Die erste enthält die Graphikprimitive
,
mit der die nach dem internen Algorithmus berechneten Kurvenpunkte durch Linien miteinander verbunden
werden. Die zweite Unterliste enthält die für die gegebene Graphik benutzten Optionen. Das sind die
Voreinstellungen. Soll das Bild in bestimmten Positionen bei der Wiedergabe verändert werden, so sind die
veränderten Optionseinstellungen in die
anzuschließen. Mit

-Anweisung nach den beiden Haupteingaben

(20.80)
würde die Wiedergabe mit absolut gleich großen

- und

-Bereichen erfolgen.

Man kann mehrere Optionen gleichzeitig hintereinander angeben.


Mit der Eingabe
(20.81)
werden mehrere Funktionen in eine Graphik gezeichnet.
Mit der Anweisung
(20.82)
kann ein früher erzeugtes Bild erneut, wenn gewünscht mit veränderten Optionen, dargestellt werden.
Mit
(20.83)
als Liste von Graphikobjekten) Bilder nebeneinander, untereinander und matrixförmig zueinander
können (mit
angeordnet werden.


Graphikoptionen
Mathematica bietet eine Vielzahl von Graphikoptionen, die die Gestaltung des Bildes als Gesamtheit betreffen. In der
folgenden Tabelle ist eine Auswahl der wichtigsten gegeben. Für eine umfassende Darstellung wird auf Lit. 20.5
verwiesen.
Tabelle Einige Graphikoptionen
setzt das Verhältnis

von Höhe zu Breite.

bestimmt
aus den absoluten
Koordinaten, Voreinstellung ist

setzt Koordinatenachsen
setzt keine Koordinatenachsen


zeichnet nur die

-Achse

erzeugt Rahmen
erzeugt Gitterlinien
beschriftet die Achsen mit dem angegebenen
Symbol
setzt Skalierungsstriche automatisch, mit None
werden diese unterdrückt
an den angegebenen Stellen werden Skalenmarken
gesetzt


Grundlagen des Graphikaufbaus
Mathematica baut graphische Objekte aus eingebauten Graphik-Primitiven auf. Das sind Objekte wie Punkte (
Linien (

) und Polygone (

),

) sowie Eigenschaften dieser Objekte wie Dicke und Farbe.

Des weiteren verfügt Mathematica über viele Optionen, die angeben, in welcher Umgebung und in welcher Art die
graphischen Objekte dargestellt werden sollen.
Mit dem Befehl

, wobei

eine Liste graphischer Primitiven ist, wird Mathematica aufgefordert,

eine Graphik aus den aufgelisteten Objekten zu erstellen. Der Objektliste kann eine Liste von Optionen für die Art der
Darstellung folgen.
Mit der folgenden Eingabe
(20.77a)
(20.77b)
wird eine Graphik aus folgenden Elementen aufgebaut:


a) Linienzug von zwei Linien, beginnend im Punkt
b) Kreis mit dem Mittelpunkt im Punkt

über den Punkt

zum Punkt

.

und dem Radius 4.

c) Text mit dem Inhalt ''Beispiel``, geschrieben in dem Schriftfont Helvetica-Bold (der Text erscheint zum Bezugspunkt
zentriert).

Mit dem Aufruf

liefert Mathematica das Bild der erzeugten Graphik:

Hierbei werden gewisse Voreinsstellungen der Graphikoptionen benutzt. Im gegebenen Fall wurde die Option
auf

gesetzt. Ihre Voreinstellung lautet

. Das entspricht einem


Verhältnis zwischen der Ausdehnung in der

-Richtung zu dem der

-Richtung von

. Mit

dieser Einstellung wäre der Kreis verzerrt als Ellipse dargestellt worden. Die Einstellung dieser Option auf Automatic
bewirkt, daß die Darstellung unverzerrt erfolgt.


Graphik-Primitive
Mathematica stellt die in der folgenden aufgelisteten zweidimensionalen Graphikobjekte zur Nutzung bereit.
Tabelle Zweidimensionale Graphikobjekte
Punkt an der Position
Linienzug durch die angegebenen Punkte

ausgefülltes Rechteck mit den angegebenen Koordinaten
links unten, rechts oben
ausgefülltes Polygon mit den angegebenen Eckpunkten

Kreis mit dem Radius

um den Mittelpunkt


Kreisbogen mit den jeweiligen Begrenzungswinkeln

Ellipse mit den Halbachsen

und

elliptischer Bogen

ausgefüllte Kreise bzw. Ellipsen (anstelle von
Halbachsenangabe)
ergibt

zentriert auf den Punkt

Neben diesen Objekten bietet Mathematica für die Art der Darstellung weitere Primitiven, die Graphikanweisungen.
Sie legen fest, wie die Graphikobjekte dargestellt werden. Zu ihnen gehören die in der folgenden Tabelle
aufgelisteten Anweisungen.
Tabelle Graphikanweisungen
Punkte werden mit dem Radius
Gesamtbildgröße gezeichnet

als Bruchteil der

zeichnet die Punkte mit dem absoluten Radius
(gemessen in Druckerpunkten pt)
zeichnet Linien mit der relativen Breite


zeichnet Linien mit der absoluten Breite
pt)

(ebenfalls in

zeichnet Linien als sich wiederholende Folge von
Strichen der angegebenen Länge (in relativem Maß)
das gleiche wie vorstehend, aber in absolutem Maß

bestimmt die Graustufe des Objekts (
schwarz,

weiß)

Darüber hinaus gibt es Anweisungen für Farbeinstellungen, auf die hier nicht eingegangen wird.

ergibt


Unterabschnitte
●
●

Bestimmte Integrale
Mehrfachintegrale

Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Bestimmte Integrale
Mit der Anweisung
mit der unteren Grenze

Beispiel A

kann Mathematica das bestimmte Integral der Funktion
und der oberen Grenze

bestimmen.


Nachdem Mathematica ein Spezialpaket für die Integration zugeladen hat, liefert es den Wert
Bestimmte Integrale Nr. 9 für

(s. Tabelle

).

Beispiel B
Gibt man aber ein

was falsch ist, da ein uneigentliches Integral vorliegt.

Mathematica nimmt die Stammfunktion von

, also

, und setzt die Grenzen ein, wonach es die beiden

Ergebnisse voneinander subtrahiert. Daß der Integrand unendlich wird, ist nicht berücksichtigt worden. Mit der
Version 2.2 von Mathematica ist dieser Fehler beseitigt. Nach längerer Bearbeitungszeit meldet Mathematica, das
Integral ist nicht bestimmbar, weil uneigentlich.


Bei der Berechnung bestimmter Integrale ist Vorsicht geboten. Wenn man die Eigenschaften des Integranden nicht
kennt, sollte man sich vor der Integration eine Graphik der Funktion im interessierenden Bereich anfertigen.

Mehrfachintegrale
Zweifache bestimmte Integrale ruft man mit der Anweisung
(20.70)
auf. Die Abarbeitung erfolgt von rechts nach links, zunächst wird also die Integration über
Grenzen

und

wird das Integral über

können daher Funktionen von

durchgeführt. Die

sein, die in die Stammfunktion eingesetzt werden. Danach

bestimmt.

Beispiel
Für das Integral
zur Berechnung einer Fläche zwischen Parabel und einer, diese zweifach
schneidenden Geraden, in Abschnitt Berechnung des Doppelintegrals erhält man

Auch hier ist Aufmerksamkeit in bezug auf Unstetigkeiten der beteiligten Funktionen geboten.


Unterabschnitte
●
●
●

Integration gebrochenrationaler Funktionen
Integration trigonometrischer Funktionen
Hinweis:

Unbestimmte Integrale
Mit der Anweisung

versucht Mathematica, das unbestimmte Integral

zu

bestimmen. Wenn das Integral Mathematica bekannt ist, gibt es dieses ohne die Integrationskonstante wieder.
Mathematica nimmt an, daß jeder Ausdruck, der die Integrationsvariable nicht enthält, auch nicht von dieser abhängt.
Den bei der Integration (s. Integrationsregeln) auftretenden Problemen kann Mathematica nicht ausweichen. Im
allgemeinen findet es unbestimmte Integrale, wenn sich diese durch elementare Funktionen, wie rationale
Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie den trigonometrischen und deren inversen Funktionen
ausdrücken lassen. Wenn Mathematica nicht in der Lage ist, das Integral zu bestimmen, gibt es die Eingabe zurück.
Allerdings kennt Mathematica einige spezielle Funktionen, die durch nicht elementar bestimmbare Integrale definiert


sind, wie z.B. die elliptischen Funktionen und andere.
Zur Demonstration der Möglichkeiten von Mathematica werden einige Beispiele betrachtet, die im Unterkapitel
Unbestimmte Integrale behandelt werden.

Integration gebrochenrationaler Funktionen
(s. Integration rationaler Funktionen)
Beispiel A

Beispiel B


(20.69)

Integration trigonometrischer Funktionen
(s. Integration trigonometrischer Funktionen)
Beispiel A
Es wird das Beispiel A mit dem Integral

betrachtet:

Beispiel B


Es wird das Beispiel B mit dem Integral

betrachtet:

Hinweis:
Im Falle nichtelementarer Integrale nimmt Mathematica lediglich eine Umformung vor.
Beispiel


Parameterdarstellung von Kurven
Mathematica verfügt über eine spezielle Graphikanweisung, mit der Kurven in Parameterform dargestellt werden können.
Der grundlegende Befehl dafür lautet:
(20.85)
Es besteht die Möglichkeit, mehrere Parameterkurven in eine Graphik zu zeichnen. Dazu ist in der Anweisung eine Liste
von mehreren Kurven einzugeben. Mit der Option

zeichnet Mathematica die

Kurven in ihrer natürlichen Form.
Die in den folgenden zwei Abbildungen dargestellten Parameterkurven archimedische Spirale und logarithmische Spirale
sind mit den Eingaben

und

aufgerufen worden.


Mit
kann eine Trochoide erzeugt werden (s. Abbildung).


Zweidimensionale Kurven
Als Beispiele sollen eine Reihe von Kurven aus dem Kapitel Funktionen und ihre Darstellung erzeugt werden.
●
●
●

Exponentialfunktionen
Lineare Funktion plus Areakotangensfunktion
BESSEL-Funktionen


Listen
●
●
●
●

Begriff und Bedeutung
Verschachtelte Listen
Operationen mit Listen
Spezielle Listen


Operationen mit Matrizen und Vektoren
Mathematica ermöglicht die formale Manipulation von Matrizen und Vektoren. Dafür stehen die in der folgenden Tabelle aufgeführten
algebraischen Operationen zur Verfügung.
Tabelle Operationen mit Matrizen
die Matrix

wird mit dem Skalar

das Produkt der Matrizen

und

die Determinante der Matrix

die inverse Matrix zu

die zu

die

transponierte Matrix

-te Potenz der Matrix

die Eigenwerte der Matrix

multipliziert


die Eigenvektoren der Matrix

Beispiel A
Es sei

Mit


die zu

transponierte Matrix

.

Definiert man den allgemeinen vierdimensionalen Vektor

mit

so erhält man
Nun kann das Produkt der Matrix
mit dem Vektor
(s. Rechenoperationen mit Matrizen).

gebildet werden, was bekanntlich einen neuen Vektor liefert


Eine Unterscheidung von Spaltenvektoren und Zeilenvektoren gibt es in Mathematica nicht. Im allgemeinen ist die
Matrixmultiplikation nicht kommutativ (s. Rechenoperationen mit Matrizen). Der Ausdruck
dem Produkt einer Matrix mit einem nachfolgenden Spaltenvektor, während
nachfolgenden Matrix entspricht.

dem Produkt eines Zeilenvektors mit einer

Beispiel B
Im Abschnitt CRAMERsche Regel ist das lineare Gleichungssystem

entspricht in der linearen Algebra

mit der Matrix


und den Vektoren

behandelt worden. Da in diesem Fall det
durch

ist, kann man das System gemäß

sofort lösen. Das geschieht


Map
Die Operation Map führt, bei entsprechend definierter Funktion

, zu dem Ergebnis
(20.25)

Map erstellt eine neue Liste, deren Elemente durch die Anwendung der Funktion

auf die Elemente der

Ausgangsliste entstehen.
Beispiel
Es sei

die Funktion

definiert. Mit diesem

. Sie wird durch

erhält man

Auch Map kann im oben genannten Sinn auf allgemeinere Ausdrücke angewendet werden:


Vektoren und Matrizen als Listen
●
●

Aufstellung geeigneter Listen
Operationen mit Matrizen und Vektoren


Meldungen
Mathematica verfügt über einen Meldeformalismus, der für verschiedenen Zwecke eingesetzt werden kann. Die Meldungen
werden während der Berechnungen erzeugt. Ihre Ausgabe erfolgt in einer einheitlichen Form:

, so daß die

Möglichkeit besteht, sich im weiteren auf diese Meldung zu beziehen. Zur Illustration werden folgende Fälle betrachtet:
Beispiel A

Beispiel B


Beispiel C

aufgetaucht ist. Die
Im Beispiel A warnt Mathematica daß im Verlaufe der Abarbeitung ein Ausdruck mit dem Wert
Berechnung selbst kann durchgeführt werden. Im Beispiel B ist der Aufruf des Logarithmus mit drei Argumenten erfolgt, was
entsprechend der Definition nicht zulässig ist. Mathematica reagiert nicht. Im Beispiel C stößt Mathematica auf einen
Symbolnamen, der neu ist, jedoch einem bekannten ähnelt. Mathematica weist darauf hin und reagiert nicht.
eine Meldung abschalten. In diesem Falle wird sie nicht ausgegeben. Mit On läßt sich

Der Nutzer kann mit
die Meldung wieder zuschalten.
Mit
beziehen.

können alle Meldungen angezeigt werden, die sich auf das Symbol mit dem Namen


Muster
Mathematica gestattet dem Nutzer, eigene Funktionen zu definieren und sie in seinen Berechnungen zu nutzen.
Mit
(20.18)
mit Polynom

als beliebigem Polynom der Variablen

wird eine spezielle Funktion durch den Anwender

definiert.
In der Definition der Funktion f steht nicht
Leerzeichen. Das Symbol
wenn ein Ausdruck

, sondern

(gesprochen

steht für ,,Irgendetwas mit dem Namen

-blank) mit

als Symbol für das

``. Von hier an wird Mathematica jedesmal,

erscheint, dies durch seine obige Definition ersetzen. Diese Art der

Definition wird Muster genannt. Mit dem Symbol blank

ist das Grundelement eines Musters bezeichnet;

steht


für: ein Muster namens

. Es ist auch möglich, in der entsprechenden Definition nur ein

. Dieses Muster steht für beliebige Potenzen von

zu verwenden, also etwa

mit irgendwelchen Exponenten, also für eine ganze Klasse

von Ausdrücken mit der gleichen Struktur. Entscheidend an einem Muster ist, daß es eine Struktur festlegt. Wenn
Mathematica einen Audruck bezüglich eines Musters prüft, vergleicht es die Struktur der Elemente des Ausdrucks mit
der Struktur des Musters, Mathematica prüft nicht auf mathematische Gleichheit! Dies wird folgendermaßen deutlich:
Sei

die Liste
(20.19)

Setzt man
(20.20)
so antwortet Mathematica mit der Liste
(20.21)
Mathematica hat die Elemente der Liste in bezug auf ihre Strukturidentität mit dem Muster
allen Fällen, in denen Übereinstimmung festgestellt wurde, das jeweilige Element durch
und

wurden nicht ersetzt, da sie nicht von der vorgegebenen Struktur sind, obwohl

untersucht und in
ersetzt. Die Elemente 1
gilt.

Bemerkung: Der Mustervergleich erfolgt immer über die FullForm. Prüft man
(20.22)
Das ist eine Folge dessen, daß die FullForm von

lautet und beim


Strukturvergleich das zweite Argument von Times als zur Struktur des Musters passend erkannt wird.
Mit der Definition
(20.23a)
ersetzt Mathematica entsprechend dem vorgegebenen Muster
(20.23b)
(20.23c)
Hätte man definiert
(20.23d)
die Ausgabe
(20.23e)
entstanden. In diesem Fall spricht also nur die ,,identische`` Eingabe auf die Definition an.


Nest
Die Angabe
Resultat lautet

bedeutet, daß die Funktion f
.

-mal verschachtelt auf

anzuwenden ist. Das


NestList
Durch
Stufe

wird eine Liste
verschachtelt wird.

erzeugt, wobei bis einschließlich zur


Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Bei der numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen oder auch von Systemen von
Differentialgleichungen stellt Mathematica die Ergebnisse mittels eines InterpolatingFunction- Objektes dar.
Die gestattet den Wert der numerischen Lösung an beliebigen Punkten im gegebenen Intervall zu bestimmen oder
aber auch die Lösungskurve zu zeichnen. Die gebräuchlichsten Anweisungen sind in der folgenden Tabelle
dargestellt.
Tabelle von Anweisungen zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen
liefert eine numerische Lösung der Differentialgleichung
im Bereich zwischen
gibt die Lösung im Punkt

zeichnet die Lösung

Beispiel

und


Lösung der Differentialgleichungen für die Bewegung eines schweren Körpers in einem Medium mit
Reibung. Im Zweidimensionalen lauten die Bewegungsgleichungen

Die Reibung wird hier proportional zur Geschwindigkeit angenommen. Setzt man
kann mit den Anfangswerten

und

zur Lösung der Bewegungsgleichungen vorgenommen werden:

Mathematica antwortet mit der Aufstellung der zugehörigen Interpolationsfunktionen:

Man kann die Lösung mit
als Parameterkurve darstellen (s. Abbildung).

, so
folgende Eingabe


NDSolve akzeptiert eine Reihe von Optionen, die die Genauigkeit der Resultate beeinflussen.
Mit AccuracyGoal kann die Genauigkeit für die Berechnung der numerischen Lösungen vorgegeben werden.
Entsprechendes gilt für PrecisionGoal. Bei der internen Abarbeitung richtet sich Mathematica jedoch nach der
sogenannten WorkingPrecision, diese sollte bei erhöhter Genauigkeit noch um weitere 5 Einheiten erhöht
werden.
Die Anzahl der Schritte, mit denen Mathematica den geforderten Bereich bearbeitet, ist auf 500 voreingestellt. Im
allgemeinen wird Mathematica in der Nähe von problematischen Bereichen adaptiv die Zahl der Stützpunkte
erhöhen. Dies kann in der Umgebung von Singularitäten jedoch zur Erschöpfung der Schrittreserven führen. In
solchen Fällen ist es möglich, mit MaxSteps größere Schrittzahlen vorzugeben. Die Einstellung Infinity für
MaxSteps ist möglich.


Beispiel
Die Gleichungen für das FOUCAULTsche Pendel lauten:

Mit

und den Anfangsbedingungen
ergibt sich die zu lösende Gleichungen:

Mit
erhält man die folgende Abbildung:


Numerische Integration
Für die numerische Integration stellt Mathematica die Anweisung NIntegrate zur Verfügung. Anders als bei der symbolischen
Methode wird bei dieser Anweisung mit einer Datenliste der zu integrierenden Funktion gearbeitet. Als Beispiele werden
uneigentliche Integrale betrachtet.
Beispiel A
.

Beispiel B

Mathematica erkennt im Beispiel B die Unstetigkeit an der Stelle
und gibt die entsprechende Warnung als
Antwort. Das hängt damit zusammen, daß Mathematica eine Datenliste mit erhöhter Stützstellenzahl im
problematischen Bereich anlegt und dabei den Pol erfaßt. Dennoch kann die Antwort in manchen Fällen fehlerhaft
sein.


Mathematica verwendet bei der numerischen Integration Voreinstellungen gewisser Optionen, die für spezielle Fälle nicht
ausreichend sind. So wird mit den Parametern MinRecursion und MaxRecursion die minimale bzw. die maximale Anzahl der
Rekursionsschritte, mit denen Mathematica jeweils in problematischen Bereichen arbeitet, bestimmt. Die Voreinstellungen sind
jeweils 0 und 6. Erhöht man diese, so wird Mathematica zwar langsamer arbeiten, jedoch auch bessere Resultate liefern.
Beispiel

Mathematica ist nicht in der Lage, die Spitze bei

zu erfassen, da der Integrationsbereich sehr groß ist, und antwortet

Verlangt man jedoch
so erhält man
Das gleiche Resultat wie im letzten Beispiel erhält man mit der erweiteten Anweisung:
(19.288)
Hier können neben unterer und oberer Grenze des Integrals weitere Stellen des Integrationsweges
das problematische Stück einengen und so Mathematica zwingen, hier genauer zu evaluieren.

angegeben werden, die


Unterabschnitte
●
●

1. Kurvenanpassung:
2. Interpolation:

Kurvenanpassung und Interpolationsverfahren
1. Kurvenanpassung:
Mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate (s. auch Abschnitt Approximation im Mittel, Diskrete Aufgabe) kann
Mathematica die Anpassung von ausgewählten Funktionen an einen Datensatz durchführen. Die allgemeine Anweisung
dafür lautet:
(19.287)
Dabei bilden die

die Liste der Daten,

bewerkstelligen sollen, und
z.B. als

ist die Liste der ausgewählten Funktionen, die die Anpassung

steht für den zugehörigen Wertebereich der unabhängigen Variablen. Wählt man
, so wird die Anpassung durch ein Polynom

-ten Grades durchgeführt.


Beispiel
Es sei die folgende Liste von Daten gegeben:

Mit der Eingabe

wird angenommen, daß den Elementen von

die Werte

von

zugeordnet sind. Man erhält das folgende

Approximationspolynom 4. Grades:
Mit dem Aufruf
erhält man eine Darstellung der Daten und der Approximationskurve (s. Abbildung).

Für die gegebenen Daten ist diese völlig ausreichend. Sie ergeben sich aus den ersten vier Gliedern der
Reihenentwicklung von

.


2. Interpolation:
Mathematica stellt spezielle Algorithmen für die Bestimmung von Interpolationsfunktionen zur Verfügung. Diese werden als
sogenannte InterpolatingFunction Objekte dargestellt, die ähnlich wie reine Funktionen aufgebaut sind. Folgende
Anweisungen sind vorhanden:
Tabelle von Anweisungen zur Interpolation
erstellt eine Näherungsfunktion mit den Werten
für die jeweiligen

als ganze Zahlen

erstellt eine Näherungsfunktion für die Punktfolge

Anstelle der Funktionswerte
eingegeben werden.
Beispiel

kann eine Liste aus Funktionswert und spezifizierten Ableitungen an der jeweiligen Stelle


Mit

erhält man die folgende Abbildung:

Man erkennt, daß Mathematica präzise Nachbildung der Datenliste liefert.


Numerische Lösung von Polynomgleichungen
Wie im Abschnitt Mathematica (Kapitel Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen) gezeigt wird, kann
Mathematica die Nullstellen von Polynomen numerisch bestimmen. Dazu dient die Anweisung
, wobei

die Genauigkeit vorgibt, mit der die Bestimmung erfolgen soll. Läßt man

weg, so wird mit Maschinengenauigkeit gerechnet. Man erhält stets den vollständigen Satz der Lösungen, also
wenn es sich um ein Polynom
Beispiel

-ten Grades handelt.

,


Graphische Darstellung von Oberflächen
Der Befehl
verlangt in seiner Grundform die Angabe einer Funktion zweier Variablen und die
Wertebereiche dieser Variablen, für die die Darstellung erfolgen soll:
(20.86)
Alle Optionen sind zunächst mit der Voreinstellung belegt.
Beispiel
Für die Funktion

erhält man mit der Eingabe

die erste der zwei folgenden Abbildungen, während die zweite mit
erzeugt wird.


Bei der Halbkugel wurde die Option
Objekt an der Ebene

abzuschneiden.

mit den gewünschten

-Werten eingegeben, um das


Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung
Ähnlich wie bei der 2D-Graphik können auch dreidimensionale Objekte, die in Parameterdarstellung gegeben sind,
gezeichnet werden. Mit
(20.87)
wird eine parametrisch vorgegebene Oberfläche gezeichnet, mit
(20.88)
wird eine dreidimensionale Kurve parametrisch erzeugt.
Beispiel


Die Objekte in den folgenden zwei Abbildungen wurden mit den Befehlen

(20.89)
erstellt.


Mathematica stellt weitere Anweisungen zur Verfügung, mit denen Dichte- und Konturdiagramme, Balken- und
Sektordiagramme sowie Kombinationen der unterschiedlichsten Diagrammarten erzeugt werden können.
Beispiel
Die Darstellung zum LORENZ-Attraktor wurde mit Mathematica erzeugt.


Operationen auf Polynomen
Die folgende Tabelle enthält eine Auswahl von Operationen, mit denen sich Polynome über dem Körper der
rationalen Zahlen algebraisch manipulieren lassen.
Tabelle Algebraische Polynomoperationen
bestimmt den größten gemeinsamen Teiler der beiden
Polynome
und
bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache der
Polynome
und
Division von
unter Fortlassung
des Restes

(als Funktion von

) durch


Bestimmung des Restes bei der Division von
durch

Beispiel
Es werden zwei Polynome definiert:

Mit diesen Polynomen ergeben die nachfolgenden Operationen:

Unter Berücksichtigung der letzten beiden Ergebnisse gilt also


Wichtige Operatoren
Für viele Grundoperatoren gibt es eine vereinfachte Schreibweise mit der in der Mathematik üblichen Infix-Form
. Jedoch ist in jedem Fall diese nur ein vereinfachendes Synonym für die vollständige
Schreibweise als Ausdruck. Eine Reihe häufig vorkommender Operatoren und ihre vollständige Form enthält die
folgende Tabelle.
Tabelle Wichtige Operatoren in Mathematica

Die meisten Bezeichnungen in der Tabelle sind selbsterklärend. Bei der Multiplikation in der Form
auf das Leerzeichen zwischen den Faktoren zu achten.

ist unbedingt


Es sei auf die Ausdrücke mit den Köpfen Rule und Set hingewiesen. Set weist dem Ausdruck

auf der linken

auf der rechten Seite, z.B. eine Zahl, zu. Von hier an wird
Seite, z.B. einer Variablen, den Wert des Ausdrucks
bis zum Zeitpunkt der Aufhebung dieser Zuordnung durch den zugewiesenen Wert dargestellt. Die Aufhebung erfolgt
entweder durch die Zuweisung eines neuen Wertes oder durch

bzw.

, d.h. durch Löschen aller

bisherigen Zuweisungen. Die Konstruktion Rule dagegen ist als Transformationsregel aufzufassen. Sie tritt oft im
Zusammenhang mit dem Ersetzungsoperator

oder
Ausdruck

auf.

bedeutet, daß alle im Ausdruck

enthaltenen Elemente

durch den

zu ersetzen sind.

Beispiel

Für beide Operatoren ist typisch, daß sofort nach Aufstellung der Zuweisung oder der Transformationsregel
die rechte Seite ausgewertet wird. Damit werden die linken Seiten bei jedem nachfolgenden Aufruf durch
die festgelegten rechten Seiten ersetzt.
Daneben gibt es zwei weitere Operatoren, die verzögert wirken.
(20.10a)


und
(20.10b)
Auch hier gilt bis zur Aufhebung der Zuweisung bzw. der Transformationsregel, daß für die linke Seite immer die
rechte eingesetzt wird, jedoch erfolgt die Auswertung der rechten Seite erst zum Zeitpunkt des Aufrufes der linken.
Der Ausdruck

oder

Gleichungen zu manipulieren.

bedeutet, daß

und

identisch sind. Equal wird z.B. benutzt, um


Partialbruchzerlegung
Mathematica zerlegt Quotienten zweier Polynome in Partialbrüche. Auch das ist nur über dem Körper der rationalen
Zahlen möglich.
Beispiel
Unter Nutzung der beiden Polynome

und

des voranstehenden Beispiels erhält man


Programmierung
Mathematica kennt die auch von anderen Programmiersprachen bekannten Schleifenkonstruktionen für die
prozedurale Programmierung. Hierzu gehören u.a. die beiden Grundbefehle
(20.26a)
und
(20.26b)
Der erste Befehl bewirkt die Evaluierung des Ausdruckes
Schritten
begonnen.

durchläuft. Läßt man

, wobei

den Wertebereich von

weg, so werden Einer-Schritte verwendet. Fehlt noch

Der zweite Befehl evaluiert den Ausdruck, solange

bis

, so wird bei 1

den Wert True besitzt.

Beispiel
Zur Berechnung eines Näherungswertes von
benutzt:

werde die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion

in


(20.27)

Die Do-Schleife evaluiert entsprechend einer vorgegebenen Anzahl, die While-Schleife dagegen so lange, bis die
vorgebene Bedingung ungültig wird.
Mathematica bietet insbesondere für die Programmierung die Möglichkeit, Variable lokal zu definieren und zu nutzen.
Das geschieht mit der Anweisung
(20.28)
Die in der Liste eingeschlossenen Variablen oder Konstanten sind bezüglich ihrer Nutzung im Modul lokal, die ihnen
zugewiesenen Werte sind außerhalb des Moduls nicht bekannt.
Beispiel A
Es ist eine Prozedur (Funktion) zu definieren, die die Summe der Quadratwurzeln von 1 bis

berechnet.

(20.29)


Der Aufruf

liefert dann z.B. 112.083.

Die eigentliche Stärke der Programmiermöglichkeiten in Mathematica liegt allerdings in der Nutzung funktionaler
Methoden der Programmierung, die mit den Operationen Nest, Apply, Map und weiteren möglich werden.
Beispiel B
Beispiel A läßt sich funktional für den Fall, daß eine Genauigkeit auf 10 Ziffern gefordert ist,
folgendermaßen schreiben:
liefert dann
112.0828452.
Für Einzelheiten muß auf Lit. 20.6 verwiesen werden.


Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen
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Kontexte, Attribute
Informationen
Meldungen


Mathematica
Mathematica ist ein Computeralgebrasystem, das von der Firma Wolfram-Research, Inc, entwickelt wurde. Eine
umfassende Darstellung der Version Mathematica 2.2 findet man in Lit. 20.5.
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Haupstrukturelemente
Zahlenarten in Mathematica
Wichtige Operatoren
Listen
Vektoren und Matrizen als Listen
Funktionen
Muster
Funktionaloperationen
Programmierung
Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen


Zahlenarten in Mathematica
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Grundtypen von Zahlen in Mathematica
Spezielle Zahlen
Darstellung und Konvertierung von Zahlen


Kapitel 23:
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Mathematische Zeichen

Beziehungszeichen
Griechisches Alphabet
Konstanten
Aussagenlogik
Mengen und Gruppen
Intervalle
Vorzeichen, Potenzen, Logarithmen, Fakultät
Zahlentheorie
Marizen und Determinanten
Vektoren, Tensoren und Graphen
Geometrie
Komplexe Zahlen
Kreisfunktionen, Hyperbelfunktionen
Grenzwerte, Summen, Produkte, Funktionen
Differenz, Ableitungen, Differentialoperatoren
Integrale


Adjungierte Matrizen
Zu einer komplexen Matrix
komplexe Matrix

erhält man die adjungierte Matrix

, indem man die zugehörige konjugiert

transponiert:
(4.4)


Antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix
Antihermitesche Matrix oder schiefhermitesche Matrix wird eine quadratische Matrix genannt, die gleich ihrer
negativen Adjungierten ist:
(4.15a)

Für die Elemente

und die Spur einer schiefhermiteschen Matrix gilt

(4.15b)

Man kann jede quadratische Matrix
Matrix

als Summe aus einer hermiteschen Matrix

und einer antihermiteschen

darstellen:

(4.15c)


Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen
Antisymmetrische Matrizen oder schiefsymmetrische Matrizen sind quadratische Matrizen

Für die Elemente

mit der Eigenschaft:
(4.13a)

einer antisymmetrischen Matrix gilt

(4.13b)
so daß die Spur einer antisymmetrischen Matrix verschwindet:
(4.13c)
Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonale liegen, unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen.
Jede quadratische Matrix
antisymmetrischen Matrix

kann in eine Summe aus einer symmetrischen Matrix
zerlegt werden:

und einer


(4.13d)


Begriff der Matrix
●
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●
●
●

Matrizen A vom Typ (m,n)
Reelle und komplexe Matrizen
Transponierte oder gestürzte Matrizen
Adjungierte Matrizen
Nullmatrix 0


Definition
Quadratische Matrizen besitzen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, d.h.

(4.6)

Die Elemente

der Matrix

, die sich in der Diagonalen von links oben nach rechts unten befinden, werden

Hauptdiagonalelemente genannt. Sie tragen die Bezeichnung
mit

d.h., es sind alle Elemente


HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen
HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen sind quadratische Matrizen
sind:

, die gleich ihrer Adjungierten
(4.14)

Im Reellen fallen die Begriffe symmetrische und hermitesche Matrix zusammen. Die Determinante einer
hermiteschen Matrix ist reell.


Inverse oder reziproke Matrix
Zu einer regulären Matrix

gibt es immer eine inverse Matrix

, d.h., die Multiplikation einer Matrix

mit ihrer inversen Matrix ergibt immer die Einheitsmatrix:
(4.27a)

Die Elemente von

sind

(4.27b)

wobei

die zum Element

der Matrix

gehörende Adjunkte ist. Die praktische Berechnung von

sollte mit Hilfe von Adjunkten erfolgen. Im Falle einer quadratischen Matrix vom Typ (2,2) gilt:


(4.28)

Warum in der Matrizenrechnung keine Division von Matrizen eingeführt wurde, sondern mit inversen Matrizen
gerechnet wird, hängt damit zusammen, daß die Division nicht eindeutig erklärbar ist. Die Lösungen der Gleichungen

(4.29)

sind im allgemeinen verschieden.


Invertierung einer Matrix
Im Falle einer nichtsingulären Matrix

vom Typ

erhält man nach

Austauschschritten, angewandt auf das System

die inverse Matrix

Beispiel

Nach dem Ordnen der Elemente erhält man:

.


Reelle und komplexe Matrizen
Reelle Matrizen bestehen aus reellen Elementen, komplexe Matrizen aus komplexen Elementen. Man kann eine
Matrix, die aus den komplexen Elementen
(4.2a)
besteht, in zwei Matrizen

und

der Form
(4.2b)

aufspalten, die beide nur reelle Zahlen enthalten.
Zwischen den Elementen einer komplexen Matrix
Beziehung

und der zu ihr konjugiert komplexen Matrix

besteht die
(4.2c)


Periodische Orbits
Sei

ein
hyperbolisch , wenn

eine hyperbolische Ruhelage der Abbildung

Die Matrix

von (17.3). Dann heißt
ist.

heißt Monodromie -Matrix; die Eigenwerte
sind die Multiplikatoren von

Sind alle Multiplikatoren
stabil.

-periodischer Orbit

von

von

.

vom Betrag kleiner 1, so ist der periodische Orbit

asymptotisch


Normale Matrizen
Normale Matrizen genügen der Gleichung
(4.12)


Nullmatrix 0
Nullmatrix 0 wird eine Matrix genannt, deren sämtliche Elemente gleich Null sind:

(4.5)


Matrizen A vom Typ (m,n)
Matrizen

vom Typ

oder kurz

nennt man Systeme von

mal

darunter auch komplexe Zahlen, oder Funktionen, Differentialquotienten, Vektoren, die in
angeordnet sind:

Elementen, z.B. Zahlen,
Zeilen und

Spalten

(4.1)

Mit dem Begriff Typ einer Matrix werden die Matrizen entsprechend ihrer Zeilenzahl
und ihrer Spaltenzahl
klassifiziert. Eine erste Einteilung in quadratische und rechteckige Matrizen ergibt sich, je nachdem, ob die Zahl der


Zeilen und Spalten gleich groß ist oder nicht.


Quadratische Matrizen
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●
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●
●
●
●
●

Definition
Diagonalmatrizen
Skalarmatrix S
Spur einer Matrix
Symmetrische Matrizen
Normale Matrizen
Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen
HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen
Antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix
Einheitsmatrix E
Dreiecksmatrix


Definition
In einer Matrix

ist die größte Anzahl

der linear unabhängigen Spaltenvektoren stets gleich der größten Anzahl

der linear unabhängigen Zeilenvektoren. Diese Zahl

heißt Rang der Matrix , auch mit

bezeichnet.


Aussagen zum Rang von Matrizen
1. Matrix vom Typ A

Da im Vektorraum der Dimension

Spaltenvektoren der Dimension
Matrix

vom Typ

mehr als

Zeilenvektoren oder

linear abhängig sind (s. lineare Unabhängigkeit), ist der Rang

höchstens gleich der kleineren der Zahlen

in einer

und
(4.26a)

2. Reguläre Matrix: Eine quadratische Matrix vom Typ
gleich

heißt eine reguläre Matrix , wenn ihr Rang

ist. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante

von Null verschieden ist

(s. Nullwerden einer Determinante). Für den Rang einer regulären quadratischen Matrix

d.h.

gilt
(4.26b)


3. Singuläre Matrix: Eine quadratische Matrix vom Typ

heißt eine singuläre Matrix , wenn ihr Rang

gleich 0 ist. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante
Determinante). Für den Rang einer singulären quadratischen Matrix

verschwindet (s. Nullwerden einer
, d.h.

gilt
(4.26c)

4. Nullmatrix: Der Rang der Nullmatrix 0 ist
(4.26d)


Singulärwerte einer Matrix
Sei

eine beliebige Matrix vom Typ

. Die Singulärwerte

nichtnegativen Wurzeln der Eigenwerte
Eigenwerte

von

sind die

der positiv semidefiniten Matrix

. Die

sind, ihrer Vielfachheit entsprechend, angeführt.

Die Singulärwerte lassen sich geometrisch interpretieren. Ist
, so ist das Bild

eine Kugel mit Mittelpunkt in

ein Ellipsoid mit den Halbachsenlängen

und Radius
(s. Abbildung).


Skalarmatrix S
Skalarmatrix wird eine spezielle Diagonalmatrix genannt, in der alle Diagonalelemente gleich einer reellen oder
komplexen Konstanten

sind:

(4.8)


Spur einer Matrix
Für eine quadratische Matrix wird der Begriff der Spur als Summe ihrer Hauptdiagonalelemente definiert:
(4.9)


Symmetrische Matrizen
Symmetrische Matrizen sind quadratische Matrizen

, die gleich ihrer transponierten Matrix sind:
(4.10)

Für Elemente, die spiegelbildlich zur Hauptdiagonale liegen, gilt
(4.11)


Transponierte oder gestürzte Matrizen
Aus der Matrix

vom Typ

. Sie ist vom Typ

entsteht durch Vertauschen der Zeilen und Spalten die transponierte Matrix
. Für sie gilt:
(4.3)


Unitäre Matrix
Gilt für eine Matrix

mit komplexen Elementen
(4.32)

dann heißt sie eine unitäre Matrix . Im Reellen fallen die Begriffe unitär und orthogonal zusammen.


Multiplikation zweier Matrizen
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●
●
●
●
●

Produkt AB zweier Matrizen A und B
Ungleichheit der Produktmatrizen
FALKsches Schema
Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen
Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren
Hinweis zum Begriff des Vektorprodukts zweier Vektoren


Eigenwertaufgaben bei Matrizen
●
●
●

Allgemeines Eigenwertproblem
Spezielles Eigenwertproblem
Singulärwertzerlegung


Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen
Bei der Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen kann die Möglichkeit der Aufspaltung in Real- und
Imaginärteil gemäß (4.2b) genutzt werden:

Dabei sind

reelle Matrizen. Nach der Zerlegung liefert die Multiplikation eine Summe, deren Glieder als
Produkte von Matrizen mit reellen Elementen berechnet werden können.
Beispiel
Auch bei der Multiplikation derart zerlegter
Matrizen ist zu berücksichtigen, daß das Kommutativgesetz der Multiplikation im allgemeinen nicht gilt, d.h.,
daß

und

nicht vertauschbar sind.


Rechenoperationen mit Matrizen
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●
●
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Gleichheit von Matrizen
Addition und Subtraktion
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Multiplikation zweier Matrizen
Rang einer Matrix
Inverse oder reziproke Matrix
Orthogonale Matrizen


Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen
Teilt man die Meßfehler nach ihrer Ursache ein, dann können die folgenden drei Meßfehlerarten unterschieden
werden:
1.
Grobe Meßfehler beruhen auf falschen Ablesungen und Verwechslungen.
2.
Systematische Meßfehler beruhen auf falsch geeichten oder schlecht justierten Meßgeräten und auf der Art
der Meßmethode, wobei die Art des Ablesens sowie systemimmanente Meßfehler eine Rolle spielen können.
Sie sind nicht immer vermeidbar.
3.
Statistische oder zufällige Meßfehler beruhen einerseits auf nicht oder nur wenig beeinflußbaren zufälligen
Veränderungen der Meßbedingungen sowie andererseits auf der Zufälligkeit gewisser Eigenschaften der
betrachteten Ereignisse.
In der Theorie der Meßfehler geht man davon aus, daß alle groben und systematischen Meßfehler ausgeschlossen
werden und lediglich die statistischen Eigenschaften und zufälligen Meßfehler in die Berechnung der Unsicherheiten
eingehen.


Meßfehlerverteilungsdichte
●
●

Meßprotokoll
Meßfehlerverteilungsdichte


Meßprotokoll
Die Berechnung der Unsicherheiten setzt voraus, daß die Meßergebnisse in einem Meßprotokoll als Urliste tabelliert
und durch die Angabe der relativen Häufigkeiten oder der Dichtefunktion
Summenhäufigkeiten oder der Verteilungsfunktion
der Zufallsveränderlichen

bzw. durch die Angabe der relativen

verfügbar sind. Unter der Variablen

ist die Realisierung

zu verstehen, durch welche die zu bestimmende Größe beschrieben wird.


Mehrfachintegrale
Der Integralbegriff kann im Vergleich zum gewöhnlichen Integral und zum Kurvenintegral erweitert werden, indem die
Dimension des Integrationsgebietes erhöht wird. Ist das Integrationsgebiet ein ebenes Flächenstück, dann spricht
man vom Flächenintegral, ist es ein beliebiges räumliches Flächenstück, vom Oberflächenintegral , ist es ein
Raumstück, vom Volumenintegral . Darüber hinaus sind für die verschiedensten Anwendungen andere spezielle
Integralbezeichnungen üblich.
●
●

Doppelintegral
Dreifachintegral


Unterabschnitte
●
●
●

Integral einer Variablen
Doppelintegral
Hinweis:

Berechnung mehrfacher Integrale
Integral einer Variablen
Zunächst soll für Funktionen einer Variablen die Transformation des bestimmten Integrals
(16.158)
auf einen Ausdruck gezeigt werden, der das Integral


(16.159)
enthält. Danach kann die Monte-Carlo-Methode gemäß Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation angewendet
werden. Man substituiert wie folgt:
(16.160)
Dadurch geht (16.158) über in
(16.161)

wobei der Integrand

der Bedingung

genügt.

Doppelintegral
Die näherungsweise Berechnung mehrfacher Integrale mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode wird am Beispiel des
Doppelintegrals
(16.162)


gezeigt. Mit

wird ein ebenes Flächenstück bezeichnet, das durch die Ungleichungen
beschrieben sein soll. Mit

Dann kann

und

als Volumen eines zylinderischen Körpers

steht und für dessen Deckfläche

und

sind gegebene Funktionen bezeichnet.

aufgefaßt werden, der senkrecht auf der

gilt. Dieser Körper liege in dem Quader

-Ebene

, der durch die

beschrieben wird. Nach einer

Ungleichungen

Transformation analog zu (16.160) erhält man aus (16.162) einen Ausdruck, der das Integral
(16.163)
als Volumen eines Körpers
im dreidimensionalen Einheitswürfel aufgefaßt werden kann.
enthält, wobei
Das Integral (16.163) wird näherungsweise nach der Monte-Carlo-Methode wie folgt berechnet:
Von einer Folge von Zufallszahlen, die im Intervall
eines Punktes
das für

gleichverteilt sein sollen, faßt man je 3 als Koordinaten

des Einheitswürfels auf und prüft, ob

dem Körper

angehört. Ist

Punkte der Fall, dann gilt analog zu (16.156)
(16.164)


Hinweis:
Bei bestimmten Integralen mit einer Integratisionsveränderlichen sollte man die im Abschnitt Numerische Integration
beschriebenen Verfahren anwenden.
Bei der Berechnung mehrfacher Integrale ist dagegen die Anwendung der Monte-Carlo-Methode durchaus
zweckmäßig.


Lösung der Membranschwingungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel C: Membranschwingungsgleichung für Schwingungen einer runden, am Rande eingespannten Membran
Die Differentialgleichung ist linear, partiell und vom hyperbolischen Typ. Sie hat in kartesischen Koordinaten
bzw. in Polarkoordinaten die Form
(9.87a)

(9.87b)
Die Anfangs- und Randbedingungen lauten
(9.87c)
(9.87d)
(9.87e)
Einsetzen des Produktansatzes für die drei Variablen


(9.87f)
in die Differentialgleichung in Polarkoordinaten liefert
(9.87g)
Daraus ergeben sich in Analogie zu den vorangegangenen Beispielen Saitenschwingungsgleichung und
Stabschwingungsgleichung die folgenden Differentialgleichungen:
(9.87h)
(9.87i)
bzw.
(9.87j)
Aus den Bedingungen

folgt
(9.87k)

Aus

und

selbstverständlichen Bedingung der Beschränkung von

werden

und

für

bestimmt. Berücksichtigung der

und Substitution von

ergibt
(9.87l)


wobei

die BESSELschen Funktionen sind mit

und

. Das Funktionensystem

(9.87m)

mit

als

-te positive Nullstelle der Funktion

ist ein vollständiges System aller Eigenfunktionen des

selbstadjungierten Problems vom STURM- LIOUVILLEschen Typ, die orthogonal mit dem Gewicht
Die Lösung der Aufgabe wird in der Gestalt der Doppelreihe

sind.

(9.87n)

angesetzt. Aus den Anfangsbedingungen folgt für
(9.87o)


(9.87p)
woraus sich ergibt
(9.87q)

(9.87r)
Im Falle

und

ist die im Zähler stehende

wird

durch

durch eine

in den Formeln für

zu ersetzen. Zur Bestimmung der Koeffizienten

und

ersetzt und mit

multipliziert.


Abgeschlossene Mengen und Abschließung
●
●

Abgeschlossene Mengen
Abschließung


Mengenbegriff, spezielle Mengen
Als Begründer der Mengenlehre gilt Georg CANTOR (1845-1918). Die Bedeutung der von ihm verwendeten
Begriffsbildungen wurde erst später erkannt. Die Mengenlehre hat nahezu alle Gebiete der Mathematik entscheidend
vorangebracht bzw. überhaupt erst ermöglicht und ist heute zu einem unverzichtbaren Handwerkszeug der
Mathematik und deren Anwendungen geworden.
●
●

Elementbeziehung
Teilmengen


Dichte Teilmengen und separable metrische Räume
Eine Teilmenge
Punkt
Elementen aus

eines metrischen Raumes
ist Berührungspunkt der Menge
mit

heißt überall dicht ,wenn
. Das bedeutet, für jedes

gilt, mit anderen Worten, jeder
gibt es eine Folge

von

.

Beispiel
Nach dem WEIERSTRASSschen Approximationssatz kann jede auf einem abgeschlossenem und
beschränktem Intervall

stetige Funktion beliebig genau in der Metrik des Raumes

, also

gleichmäßig, durch Polynome genähert werden. Diesen Satz kann man nunmehr wie folgt formulieren: Die
Menge der Polynome auf

Beispiel

ist überall dicht in

.


Weitere Beispiele für überall dichte Mengen im Raum
aller irrationalen Zahlen.
Ein metrischer Raum

heißt separabel, wenn in

abzählbare überall dichte Teilmenge in
Separabel ist auch der Raum
der Form
natürliche Zahl ist. Der Raum

sind die Mengen aller rationalen Zahlen Q und

eine abzählbare überall dichte Teilmenge existiert. Eine

ist zum Beispiel die Menge aller Vektoren mit rationalen Komponenten.

, eine abzählbare überall dichte Teilmenge ist z.B. die Menge aller Elemente
, wobei
ist nicht separabel.

rationale Zahlen und

eine beliebige


Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen
●
●

●

Die Menge der rationalen Zahlen ist unendlich.
Die Menge ist geordnet , d.h., für je zwei verschiedene rationale Zahlen
von beiden kleiner als die andere ist.

und

kann man angeben, welche

Die Menge ist überall dicht , d.h., zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen
existiert wenigstens eine rationale Zahl

und

Daraus folgt, daß zwischen zwei verschiedenen

rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen liegen.


Haupteigenschaften
Die reellen Zahlen besitzen die folgenden Haupteigenschaften:
●
●

●

Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich.
Die Menge der reellen Zahlen ist geordnet , d.h., für je zwei verschiedene reelle Zahlen
angeben, welche von beiden kleiner als die andere ist.

kann man

Die Menge der reellen Zahlen ist überall dicht , d.h., zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen
existiert wenigstens eine reelle Zahl

●

und

und

Daraus folgt, daß zwischen zwei

verschiedenen reellen Zahlen unendlich viele weitere reelle Zahlen liegen.
Die Menge der reellen Zahlen ist stetig , d.h., jedem Punkt der Zahlengeraden entspricht eine reelle Zahl. Das
gilt für die Menge der rationalen Zahlen nicht.


Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen
1. Klassische Menge:
Der klassische Mengenbegriff ist zweiwertig, und die klassische BOOLEsche Mengenalgebra ist isomorph zur
zweiwertigen Aussagenlogik. Zu jeder Menge

über einer Grundmenge

existiert eine Funktion
(5.242a)

die für jedes Element

angibt, ob

Element der Menge

ist oder nicht:

(5.242b)
2. Unscharfe Menge:
Das Konzept der unscharfen Mengen basiert aus logischer Sicht auf der Idee, den Zugehörigkeitsgrad eines
Elements als den graduellen Wahrheitswert einer Aussage im Intervall [0,1] zu betrachten. Zur
mathematischen Modellierung einer Fuzzy-Menge
in das Intervall [0,1] abbildet, d.h.:

benötigt man eine Funktion, die anstatt in die Menge


(5.243)

kann eine Zahl

Mit anderen Worten: Jedem Element
Grad der Zugehörigkeit von
Funktionswert

zu

repräsentiert. Die Abbildung

an der Stelle

werden auch unscharfe Teilmengen von
bezeichnet.

im Intervall [0,1] zugeordnet werden, die den
heißt Zugehörigkeitsfunktion . Der

heißt Zugehörigkeitsgrad . Die unscharfen Mengen
genannt. Die Gesamtheit aller unscharfen Mengen über

etc. über
sei mit


Definitionsbereiche und Bezeichnungen
Alle ganzen und gebrochenen Zahlen, die positiven und negativen sowie die Null, werden rationale Zahlen genannt.
In diesem Zusammenhang verwendet man die folgenden Bezeichnungen (s. auch Mengenlehre):
●

Menge der natürlichen Zahlen:
(1.1)

●

Menge der ganzen Zahlen:
(1.2)

●

Menge der rationalen Zahlen:
(1.3)

Die natürlichen Zahlen sind aus dem Bedürfnis des Abzählens bzw. des Ordnens entstanden.


Invariante Mengen
●
●
●
●

-und
-Grenzmenge, absorbierende Menge
Stabilität von invarianten Mengen
Kompakte Mengen
Attraktor, Einzugsgebiet


Stabilität von invarianten Mengen
Sei

eine unter dem dynamischen System

wenn jede Umgebung
gilt. Die unter

von

auf

eine andere Umgebung

invariante Menge

invariante Menge. Die Menge
von

heißt stabil ,

enthält, so daß

für alle

heißt asymptotisch stabil , wenn sie stabil ist und folgende

Beziehung gilt:
(17.10)

Dabei ist dist

.


Kompakte Mengen
Sei
von

ein metrischer Raum. Ein Mengensystem
, wenn jeder Punkt aus

in mindestens einem

wenn aus jeder offenen Überdeckung
so daß

aus offenen Mengen heißt offene Überdeckung

von

ist. Die Menge

liegt. Der metrische Raum

endlich viele

heißt kompakt ,

ausgewählt werden können,

heißt kompakt, wenn sie als Teilraum kompakt ist.


Lineare Teilmenge
Linearer Unterraum, lineare Mannigfaltigkeit oder linearer Teilraum eines Vektorraums
Teilmenge

, wenn mit zwei beliebigen Elementen

Linearkombination
(V7). Der Teilraum

in

liegt.

heißt eine nichtleere

und zwei beliebigen Skalaren

ihre

ist selbst wieder ein Vektorraum, genügt also den Axiomen (V1) bis

kann auch nur aus dem Nullelement bestehen, in diesem Falle heißt er trivial.


Ordnungsbeschränkte Mengen
Sei

eine beliebige nichtleere Menge eines geordneten Vektorraumes
gilt, heißt obere Schranke der Menge

. Ein Element

. Eine untere Schranke für

für das
ist ein Element

mit
Für zwei Elemente

mit

definiert man die Menge
(12.31)

und nennt sie Ordnungsintervall oder
Menge

- Intervall . Offenbar sind

wobei diese der Menge sogar angehören. Eine Menge

(0)- beschränkt, wenn

bzw.

untere bzw. obere Schranke der
heißt nun ordnungs- oder einfach

Teilmenge eines Ordnungsintervalls ist, d.h., wenn zwei Elemente

existieren,


so daß

oder, was äquivalent dazu ist,

gilt. Eine von oben beschränkte bzw.

von unten beschränkte Menge ist eine Menge, für die eine obere bzw. eine untere Schranke in

existiert.


Reelle Zahlen
Alle rationalen und irrationalen Zahlen werden zu den reellen Zahlen zusammengefaßt. Sie bilden die Menge der
reellen Zahlen , die mit
●
●
●
●
●

bezeichnet wird.

Haupteigenschaften
Arithmetische Operationen
Zahlenintervall
Kettenbrüche
Kommensurabilität


Mengenlehre
●
●
●
●
●

Mengenbegriff, spezielle Mengen
Operationen mit Mengen
Relationen und Abbildungen
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
Mächtigkeit von Mengen


Operationen mit Mengen
●
●
●
●

VENN-Diagramm
Vereinigung, Durchschnitt, Komplement
Grundgesetze der Mengenalgebra
Weitere Mengenoperationen


Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode
Die Monte-Carlo-Methode als zufallsbedingte Simulationsmethode (man spricht häufig auch von der Methode der
statistischen Versuche ) wird in den verschiedensten Disziplinen angewendet. Als Beispiele seien genannt:
●

●
●

Kerntechnik: Untersuchung des Neutronendurchganges durch eine Materialschicht (z.B. Berechnung des
Schutzschildes eines Kernreaktors);
Nachrichtentechnik: Trennung von Signal und Störung;
Operations Research: Reihenfolgeprobleme, Ablaufplanung, Lagerhaltung, Bedienungsmodelle.

Zur Lösung derartiger spezieller Probleme muß auf die Literatur verwiesen werden (s. z.B. Lit. 16.18, 16.22).


Monte-Carlo-Methode
●
●
●
●
●

Simulation
Zufallszahlen
Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation
Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen Mathematik
Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode


Methode SUGENO
Die Methode von SUGENO dient ebenfalls zum Entwurf eines fuzzy-geregelten Prozesses und unterscheidet sich vom
MAMDANI-Konzept durch die Art der Regelbasis und durch die Methode, einen scharfen Ausgangswert zu
bekommen. Sie beinhaltet die folgenden Schritte:
1. Regelbasis:
Die Regelbasis besteht aus Regeln der folgenden Form:

(5.306)

Es bedeuten:

❍

❍

- unscharfe Mengen, die durch Zugehörigkeitsfunktionen festgelegt werden können;
- scharfe Eingabewerte, wie z.B. der Fehler
des Systems aussagen;

und die Fehleränderung

die etwas über die Dynamik


❍

- Parametergewichte der

❍

- zur

-ten Regel gehörige Ausgangsgröße

2. Fuzzifizierungsalgorithmus:
Für jede Regel

wird ein

berechnet.

3. Entscheidungsmodul:
Aus dem gewichteten Mittel der

mit den

aus der Fuzzifizierung wird die nicht fuzzy-wertige

Ausgangsgröße berechnet:
(5.307)

Dabei bedeutet

einen scharfen Wert.

Eine Defuzzifizierung wie bei der MAMDANI-Methode entfällt hier. Die Bereitstellung der Werte der
Gewichtsparameter

stellt zwar ein Problem dar, aber die Parameter können durch ein maschinelles

Lernverfahren, z.B. durch ein künstliches neuronales Netz, ermittelt werden.


Arithmetisches Mittel
Arithmetisches Mittel von

Größen

heißt der Ausdruck

(1.70a)

Für zwei Größen

und

ergibt sich:

(1.70b)

Die Größen

und

bilden eine arithmetische Folge.


Geometrisches Mittel
Geometrisches Mittel von

positiven Größen

heißt der Ausdruck

(1.71a)

Für zwei Größen

und

ergibt sich
(1.71b)

Die Größen

und

bilden eine geometrische Folge. Wenn

eine Strecke der Länge
Konstruktionen ermittelt werden.

und

gegebene Strecken sind, dann kann

mit Hilfe einer der in den folgenden zwei Abbildungen angegebenen


Einen speziellen Fall des geometrischen Mittels stellt die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes
dar.


Harmonisches Mittel
Harmonisches Mittel von

Größen

heißt der Ausdruck

(1.72a)

Für zwei Größen

und

ergibt sich

(1.72b)


Quadratisches Mittel
Quadratisches Mittel von

Größen

heißt der Ausdruck

(1.73a)

Für zwei Größen

und

ergibt sich
(1.73b)

Das quadratische Mittel ist von Bedeutung für die Theorie der Beobachtungsfehler.


Mittelwerte
Mittelwerte zweidimensionaler Zufallsgrößen und gewichtete Mittelwerte werden hier nicht betrachtet.

●

Arithmetisches Mittel
Geometrisches Mittel
Harmonisches Mittel
Quadratisches Mittel

●

Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen

●
●
●


Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
Zur groben Charakterisierung einer Verteilung werden vor allem die beiden Parameter
(Streuung) einer Zufallsgröße

(Mittelwert) und

verwendet. In Anlehnung an die Mechanik kann dabei der Mittelwert als Abszisse

des Schwerpunktes einer Fläche interpretiert werden, die von der Kurve der Dichtefunktion
begrenzt wird. Die Streuung stellt dann ein Maß für die Abweichung der Zufallsgröße

●
●
●
●
●

Erwartungswert
Momente n-ter Ordnung
Streuung und Standardabweichung
Gewogenes und arithmetisches Mittel
Tschebyscheffsche Ungleichung

und der

vom Mittelwert

-Achse
dar.


Allgemeine Quadraturformel
Die numerische Auswertung des bestimmten Integrals
(19.69)
muß näherungsweise erfolgen, wenn der Integrand
oder nur an ausgewählten Stellen

sich nicht elementar integrieren läßt, sehr kompliziert ist

, den Stützstellen , aus dem Integrationsintervall

bekannt ist. Zur

genäherten Berechnung von (19.69) werden sogenannte Quadraturformeln benutzt. Sie haben die allgemeine Form
(19.70)

mit


Es gilt
(19.71)
wobei

der Quadraturformelfehler ist. Die Anwendung von Quadraturformeln setzt voraus, daß die benötigten

Werte des Integranden

und seiner Ableitungen an den Stützstellen als numerische Werte verfügbar sind.

Formeln, die nur Funktionswerte benutzen, heißen Mittelwertformeln . Formeln, die auch Ableitungswerte enthalten,
nennt man HERMITEsche Quadraturformeln .


Mittelwertmethode
Bei der Mittelwertmethode wird die lineare Abhängigkeit der ,,rektifizierten`` Variablen

, d.h.

wie folgt ausgenutzt:
Die Bedingungsgleichungen

für die vorliegenden Wertepaare

große bzw. nahezu gleich große Gruppen eingeteilt und nach zunehmenden Werten

werden in zwei gleich
oder

Addition der Gleichungen jeder der beiden Gruppen ergeben sich zwei Gleichungen, aus denen
werden können. Wenn nun
gesuchte Abhängigkeit zwischen

wieder durch die Ausgangsvariablen
und

geordnet. Durch
bestimmt

ausgedrückt werden, dann ist die

gefunden.

Sollten noch nicht alle Parameter bestimmt worden sein, dann ist die Mittelwertmethode erneut anzuwenden, wobei
und
durchzuführen ist (s. Beispiel).
jetzt die Rektifizierung mit anderen Größen
Rektifizierung und Mittelwertmethode werden vor allem dann angewendet, wenn in der Näherungsformel gewisse
Parameter nichtlinear auftreten, wie z.B. in den Formeln (2.257b, 2.257c).


Betrag einer analytischen Funktion
Der Betrag einer analytischen Funktion, auch Modul , wird ihr Absolutbetrag
(14.7)
genannt. Die Fläche
also der Abstand von der

heißt ihr Relief , d.h.,

ist die Applikate zu jedem Punkt

-Ebene.

Die Reliefs vieler analytischer Funktionen sind in Lit. 14.10 abgebildet.
Beispiel A
Der Modul der Funktion

beträgt
. Das Relief zeigt die linke Abbildung.

Beispiel B

,


Das Relief der Funktion

zeigt die rechte Abbildung.


Positiver und negativer Teil, Modul eines Elements
Für ein beliebiges Element

eines Vektorverbandes

heißen die Elemente
(12.36)

positiver Teil, negativer Teil und Modul des Elements

Für jedes Element

sind die drei Elemente

positiv, wobei die folgenden Beziehungen gelten:
(12.37a)
(12.37b)
(12.37c)
sowie bei beliebigem
(12.37d)
In den Vektorverbänden

und

erhält man für eine Funktion

negativen Teil sowie ihren Modul mit Hilfe der folgenden Formeln (s. Abbildung):

ihren positiven und


(12.38a)

(12.38b)

(12.38c)


Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
Die Darstellung einer komplexen Zahl
(1.134a)
wird algebraische Form genannt. Wenn Polarkoordinaten anstelle der kartesischen Koordinaten verwendet werden, dann
ergibt sich die trigonometrische Form der Darstellung der komplexen Zahlen
(1.134b)


Die Länge des Radiusvektors eines Punktes
Winkel

wird Modul oder Absolutbetrag der komplexen Zahl genannt, der

gemessen im Bogenmaß, das Argument der komplexen Zahl oder in Zeichen

:
(1.134c)

Im Intervall

spricht man vom Hauptwert der komplexen Zahl . Der Zusammenhang zwischen

für einen Punkt ist derselbe wie der zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten dieses
Punktes (s. Übergang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten):
(1.135a)

und


(1.135b)
(1.135c)

(1.135d)

bzw.

(1.135e)

Die komplexe Zahl

hat den Modul Null, während das Argument

unbestimmt ist.


Momente n-ter Ordnung
Man führt weiter ein:
(16.49a)
(16.49b)


Eigenschaften von Zahlenfolgen
1. Definition:Ist eine unendliche Menge von Zahlen
(7.1)
in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet, dann spricht man von einer unendlichen Zahlenfolge . Die Zahlen der
Zahlenfolge werden Glieder der Zahlenfolge genannt. Unter den Gliedern einer Zahlenfolge können auch gleiche
Zahlen auftreten. Eine Folge gilt als gegeben, wenn das Bildungsgesetz der Zahlenfolge , d.h. eine Regel, bekannt
ist, nach der jedes beliebige Glied der Zahlenfolge bestimmt werden kann. Häufig läßt sich eine Formel für das
allgemeine Glied

Beispiel A

Beispiel B

angeben.


Beispiel C

Beispiel D

Beispiel E

Beispiel F
für ungerades

und

für gerades
.

Beispiel G

:


Beispiel H

Beispiel I
für ungerades

und

für gerades

:

.

Beispiel J
für ungerades

und

für gerades

.

:


2. Monotone Zahlenfolgen: Man nennt eine Folge

monoton wachsend , wenn gilt
(7.2)

und monoton fallend , wenn gilt
(7.3)
Man spricht von einer streng monoton wachsenden Folge bzw. streng monoton fallenden Folge , wenn in (7.2) bzw.
(7.3) die Gleichheitszeichen nicht zugelassen sind.
Beispiel A
Von den Folgen A bis J sind A, B, E streng monoton wachsend.
Beispiel B
Die Folge G ist streng monoton fallend.
3. Beschränkte Folgen: Eine Folge heißt beschränkt , wenn für alle ihre Glieder gilt
(7.4)
wobei

ist. Existiert eine solche Zahl

( Schranke ) nicht, dann spricht man von einer unbeschränkten

Folge .
Beispiel
Von den Folgen A bis J sind die Folgen C mit
G mit

und J mit

D mit
beschränkt.

E mit

F mit


Benutzung des Mittelwertes
Zu Berechnung von (16.155) geht man von
gleichverteilten Zufallsgröße
Zufallsgröße

gleichverteilten Zufallszahlen

aus. Dann sind die Werte

als Realisierung der
Realisierungen der

, für deren Erwartungswert sich nach Formel (16.47a,b) ergibt:

(16.157)
Diese Vorgehensweise, die die Formel für den Mittelwert einer Stichprobe verwendet, wird auch als gewöhnliche
Monte-Carlo-Methode bezeichnet.


Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation
Die genäherte Berechnung des bestimmten Integrals
(16.155)
unter Benutzung von gleichverteilten Zufallszahlen soll als Beispiel für eine zufallsbedingte Simulation behandelt
werden. Im folgenden werden zwei Lösungsmöglichkeiten betrachtet.
●
●

Benutzung der relativen Häufigkeit
Benutzung des Mittelwertes


Benutzung der relativen Häufigkeit
Es soll angenommen werden, daß
erreichen. Dann gibt das Integral

gilt. Dies läßt sich durch die Transformation (16.160) stets
den Inhalt einer Fläche an, die ganz im Einheitsquadrat

Von einer Folge gleichverteilter Zufallszahlen aus dem Intervall
Punktes des Einheitsquadrates

liegt (s. Abbildung).

faßt man je zwei zu den Koordinaten eines

zusammen und erzeugt auf diese Weise

Punkte

.


Bezeichnet man mit
die Anzahl der Punkte, die innerhalb oder auf dem Rand der Fläche
unter Beachtung des Begriffes der relativen Häufigkeit:

liegen, dann gilt

(16.156)
Um mit Hilfe von (16.156) eine bestimmte Genauigkeit zu erreichen, ist eine sehr große Anzahl von Zufahlszahlen
notwendig. Deshalb hat man nach Möglichkeiten zur Erhöhung der Effektivität gesucht. Eine davon stellt die folgende
Monte-Carlo-Methode dar, weitere findet man in Lit. 16.18.


Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme
Sei

ein dynamisches System auf der

Der Punkt

heißt nichtwandernd bezüglich

-dimensionalen kompakten orientierbaren Mannigfaltigkeit
, wenn für eine beliebige Umgebung

von

gilt:
(17.27)
Beispiel
Ruhelagen und periodische Orbits bestehen nur aus nichtwandernden Punkten.

Die Menge

aller nichtwandernden Punkte des von (17.1) erzeugten dynamischen Systems ist

abgeschlossen, invariant unter
aus

.

und enthält alle periodischen Orbits und alle

-Grenzmengen von Punkten

.


Das dynamische System

auf

, erzeugt durch ein glattes Vektorfeld, heißt MORSE-SMALE-System,

wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1.
Das System hat endlich viele Ruhelagen und periodische Orbits und alle sind hyperbolisch.
2.
Alle stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von Ruhelagen bzw. periodischen Orbits sind transversal
zueinander.
3.
Die Menge aller nichtwanderenden Punkte besteht nur aus Ruhelagen und periodischen Orbits.
Satz von PALIS und SMALE: MORSE-SMALE-Systeme sind strukturstabil.
Die Umkehrung des Satzes von PALIS und SMALE gilt nicht: Es existieren für
unendlich vielen periodischen Orbits.
Für

sind strukturstabile Systeme nicht typisch.

strukturstabile Systeme mit


Sobolew-Räume
Sei

ein beschränktes Gebiet (d.h. eine offene zusammenhängende Menge) mit hinreichend glattem Rand
. Für

Eine Funktion

oder

stelle man sich
nennt man

etwa als ein Intervall

oder eine konvexe Menge vor.

-mal stetig differenzierbar in dem abgeschlossenen Gebiet

, wenn

a)
auf

-mal stetig differenzierbar ist und

b)
jede ihrer partiellen Ableitungen einen Grenzwert besitzt, wenn
konvergiert;
mit anderen Worten, jede partielle Ableitung von
In diesem Vektorraum wird mit dem LEBESGUE-Maß

zu einem beliebigen Randpunkt von

ist stetig auf den Rand von
im

fortsetzbar.

die folgende Norm eingeführt:


(12.88)

Der entstandene normierte Raum wird mit
Norm versehenen Raum

). Hier bedeutet

bezeichnet (im Unterschied zu dem mit einer ganz anderen
einen Multiindex , d.h. ein geordnetes

von nichtnegativen ganzen Zahlen, wobei die Summe der Komponenten von
bezeichnet wird. Für eine Funktion

-Tupel
mit
mit

nutzt man - wie in (12.88) - die verkürzte Schreibweise

(12.89)

Der normierte Raum
mit

ist nicht vollständig. Seine Vervollständigung wird mit
bezeichnet und heißt SOBOLEW-Raum .

oder im Falle von


Multiplikation
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen

in der algebraischen Schreibweise ist definiert durch die Formel
(1.139a)

In der trigonometrischen Schreibweise gilt
(1.139b)
d.h., der Betrag des Produkts ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren, während das Argument des Produkts gleich
der Summe der Argumente der Faktoren ist.
In der Exponentialform erhält man
(1.139c)
In der geometrischen Interpretation wird der Produktvektor, der das Produkt von
Vektors

und

im entgegengesetzten Uhrzeigersinn um den Winkel, der dem Argument von

Multiplikation dieses Vektors mit dem Faktor
ähnlichen Dreiecks gewonnen werden.

gestreckt. Das Produkt

darstellt, durch Drehung des
entspricht, gedreht und durch

kann auch durch Konstruktion eines


Dabei ist zu berücksichtigen, daß die Multiplikation einer komplexen Zahl
bedeutet, während der Modul konstant bleibt.

mit i eine Drehung ihres Vektors um den Winkel


Nablaoperator
Nablaoperator wird ein symbolischer Vektor
genannt, der häufig zur Darstellung von räumlichen
Differentialoperationen benutzt wird und dessen Einführung Berechnungen in der Vektoranalysis vereinfacht. Für die
Operatoren Gradient, Vektorgradient, Divergenz und Rotation gilt:
(13.65a)
(13.65b)
(13.65c)
(13.65d)
In kartesischen Koordinaten gilt:
(13.65e)

Die Komponenten des Nablaoperators sind als partielle Ableitungsoperatoren aufzufassen, d.h., das Symbol
schreibt die partielle Ableitung nach

vor, wobei die anderen Variablen als Konstanten betrachtet werden. Die


Formeln für die räumlichen Differentialoperatoren in kartesischen Koordinaten ergeben sich durch formale
Multiplikation dieses Vektoroperators mit dem Skalar

oder dem Vektor

.


Rechenregeln für den Nablaoperator
1. Wenn

vor einer Linearkombination

steht, in der die

Konstanten und die

Funktionen

sind, und zwar unabhängig davon, ob es sich um skalare oder vektorielle Funktionen handelt, dann gilt
(13.66)

2. Wenn
vor einem Produkt aus skalaren oder vektoriellen Punktfunktionen steht, dann wird der Operator
auf jede dieser Funktionen nacheinander angewendet, über die der Operation unterworfene Funktion wird das
Zeichen

gesetzt und anschließend das Ergebnis gemäß
(13.67)

addiert. Daraufhin werden die auf diese Weise erhaltenen Produkte nach den Regeln der Vektoralgebra derart
umgeformt, daß nach dem Operator

nur der mit dem Zeichen

Rechnung wird das Zeichen weggelassen.

gekennzeichnete Faktor steht. Nach Abschluß der


Beispiel A

.

Beispiel B

.

Gemäß

erhält man:

.


Zweifache Anwendung des Nablaoperators
Es gilt für jedes Feld

:
(13.69)

(13.70)

(13.71)


Kurvenbildervergleiche
Die Aufstellung einer Näherungsformel für eine Funktion

für die nur empirisch ermittelte Daten

vorliegen, kann in zwei Schritte eingeteilt werden. Zuerst wird die Art der Näherungsformel ausgewählt, die in der
Regel einige freie Parameter enthält. Danach erfolgt die numerische Bestimmung der Parameterwerte. Wenn es für
die Wahl der Formel keine theoretischen Überlegungen gibt, dann wird unter den einfachsten dafür in Frage
kommenden Funktionen eine Näherungsformel ausgesucht, indem ihre Kurvenbilder mit der Kurve der empirischen
Daten verglichen werden. Die Entscheidung über die Ähnlichkeit der Kurvenbilder nach Augenmaß kann trügerisch
sein. Daher ist nach der Wahl einer Näherungsfunktion vor der Bestimmung der Parameterwerte durch Rektifizierung
zu prüfen, ob die gewählte Formel anwendbar ist.


Näherungsformeln
Unter Beschränkung auf eine hinreichend kleine Umgebung der Entwicklungsstelle sind mit Hilfe der TAYLOR-Entwicklung
rationale Näherungsformeln für viele Funktionen hergeleitet worden, deren erste Glieder für einige dieser Funktionen in der
folgenden Tabelle wiedergegeben sind.
Angaben über die Genauigkeit wurden durch Abschätzung des Restgliedes erhalten.
Die Anwendung von Interpolations- und Ausgleichspolynomen oder Spline-Funktionen bietet weitere Möglichkeiten der
angenäherten Darstellung von Funktionen.
Tabelle Näherungsformeln für einige oft gebrauchte Funktionen
bei einem Fehler von

Zulässiges Intervall für
Näherungsformel

%

Nächstes
Glied
von

%
bis

von

%
bis

von

bis


NAND-Funktion und NOR-Funktion
Jede Wahrheitsfunktion kann durch einen aussagenlogischen Ausdruck repräsentiert werden. Wegen (5.17a) und
(5.17b) kann man dabei noch auf Implikationen und Äquivalenz verzichten (vgl. auch BOOLEsche Algebren). In
Anbetracht der DE MORGANschen Regeln sind darüber hinaus noch Konjunktion oder Disjunktion zur Darstellung
aller Wahrheitsfunktionen entbehrlich. Es gibt sogar zwei zweistellige Wahrheitsfunktionen, die einzeln zur
Repräsentation aller Wahrheitsfunktionen ausreichen. Es sind dies die NAND-Funktion oder SHEFFER-Funktion
(Funktionssymbol:

) und die NOR-Funktion oder PEIRCE-Funktion (Funktionssymbol:

Wahrheitstafeln:
Tabelle NAND- und NOR- Funktion
NAND- Funktion

NOR- Funktion

) mit folgenden


Der Vergleich dieser Tafeln mit den entsprecheneden Wahrheitstafeln für die Konjunktion bzw. die Disjunktion erklärt
die Namen NAND-Funktion (NICHT-UND) bzw. NOR-Funktion (NICHT-ODER).


Vektoren
Matrizen vom Typ

heißen einspaltige Matrizen oder Spaltenvektoren der Dimension

heißen einzeilige Matrizen oder Zeilenvektoren der Dimension

; Matrizen vom Typ

:

(4.19a)

(4.19b)
Mit Hilfe der Transponierung kann ein Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umgewandelt werden und umgekehrt.
Durch einen Zeilen- bzw. Spaltenvektor der Dimension
beschrieben werden.

kann ein Punkt im

-dimensionalen euklidischen Raum


Der Nullvektor wird durch

gekennzeichnet.


Dynamische Optimierungsprobleme
Das Ziel besteht nun in der Ermittlung einer Politik
den Zustand

in den Zustand

, die unter Beachtung aller Nebenbedingungen

überführt und dabei eine Zielfunktion bzw. Kostenfunktion
minimiert. Die Funktionen

werden als Stufenkosten

bezeichnet. Damit lautet das dynamische Optimierungsproblem in der Standardform
(18.115a)

(18.115b)

Die Beziehungen (

) heißen dynamische und die Beziehungen (

) statische Nebenbedingungen .

Alternativ zu (18.115a) kann auch ein Maximumproblem vorliegen. Eine Politik

, die alle


Nebenbedingungen erfüllt, wird als zulässig bezeichnet. Um die Methoden der dynamischen Optimierung anwenden
zu können, werden im Abschnitt Bellmannsche Funktionalgleichungen einige Forderungen an die Form der
Kostenfunktion gestellt.


Gegenstand
Gegenstand der linearen Optimierung ist die Minimierung oder Maximierung einer linearen Zielfunktion (ZF) von
endlich vielen Variablen unter Einhaltung einer endlichen Anzahl von Nebenbedingungen (NB) oder Restriktionen ,
die als lineare Gleichungen bzw. Ungleichungen vorliegen.
Die Bedeutung der linearen Optimierung besteht darin, daß viele praktische Aufgabenstellungen direkt auf lineare
Optimierungsprobleme führen bzw. durch lineare Modelle näherungsweise als lineare Optimierungsprobleme
beschrieben werden können und daß Theorie und Lösungsverfahren anschaulich und übersichtlich dargestellt
werden können.


Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
Darunter versteht man im wesentlichen isoperimetrische Probleme: Der einfachen Variationsaufgabe, die dort
beschrieben wird und die durch das Funktional (10.11) gekennzeichnet ist, wird zusätzlich eine Nebenbedingung der
Form
(10.25)

gegeben sind. Eine Methode zur Lösung solcher Probleme
auferlegt, wobei die Konstante und die Funktion
geht auf LAGRANGE zurück ( Extremwerte mit Nebenbedingungen in Gleichungsform ). Man setzt
(10.26)
wobei

ein Parameter ist, und behandelt jetzt die Aufgabe
(10.27)

also eine Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingung. Die zugehörige Euler sche Differentialgleichung lautet


(10.28)
Ihre Lösung

hängt noch von dem Parameter

ab, der durch Einsetzen von

in die

Nebenbedingung (10.25) bestimmt werden kann.
Beispiel
Für das isoperimetrische Problem erhält man
(10.29a)
Da in
die Variable
nicht vorkommt, erhält man an Stelle der EULERschen Differentialgleichung (10.28) analog
zu (10.22c) die Differentialgleichung
(10.29b)
deren Lösung die Kreisschar
(10.29c)
darstellt. Die Werte

und

sind aus den Bedingungen

und der Forderung, daß

der Kurvenbogen zwischen
und
die vorgeschriebene Länge hat, zu bestimmen. Für
ergibt sich eine
nichtlineare Gleichung, die iterativ durch ein geeignetes Näherungsverfahren gelöst werden muß.


Neugradeinteilung
In der Geodäsie wird im Unterschied zur Mathematik die Neugradeinteilung verwendet. Der Vollwinkel entspricht hier
400 gon (Gon). Die Umrechnung zwischen Graden und Gon kann gemäß der folgenden Beziehungen erfolgen:
Tabelle Umrechnung Altgrade-Bogenmaß-Neugrade II


Raum linearer stetiger Operatoren
Für zwei lineare (stetige) Operatoren

sind die Summe

und das Vielfache

punktweise erklärt:
(12.134)
Die Menge

, häufig auch mit

wird so ein Vektorraum, auf dem sich

bezeichnet, aller linearen stetigen Operatoren
(12.129) als Norm erweist. Dadurch wird

aus

in

ein normierter

Raum und, falls
ein BANACH-Raum ist, sogar ein BANACH-Raum. Insbesondere sind also die Axiome (V1) bis (V7)
und (N1) bis (N3) erfüllt.
Ist

, dann kann man für zwei beliebige Elemente

durch

(12.135)
das Produkt definieren, das den Axiomen (A1) bis (A4) aus normierte Algebren sowie der Verträglichkeitsbedingung


(12.98) mit der Norm genügt und so

zu einer (im allgemeinen nichtkommutativen) normierten und, falls

BANACH-Raum ist, zu einer BANACH-Algebra macht. Damit sind für jeden Operator

die Potenzen
(12.136)

definiert, wobei

der identische Operator

ist. Es gilt
(12.137)

und außerdem existiert stets der (endliche) Grenzwert
(12.138)
der Spektralradius des Operators

heißt und den Beziehungen
(12.139)

genügt, wobei

der zu

adjungierte Operator ist (s. auch (12.173)).

Im Falle der Vollständigkeit von

hat der Operator

für

die Darstellung in Form

der NEUMANNschen Reihe
(12.140)
die für

in der Operatornorm von

(S. auch Konvergenz der NEUMANNschen Reihe).

konvergiert.


Newton-Verfahren
1. Vorschrift des NEWTON-Verfahrens: Zur Lösung der Nullstellengleichung

verfährt das

NEWTON- Verfahren nach der Vorschrift
(19.6)
d.h., es benötigt zur Berechnung des neuen Näherungswertes
1. Ableitung

an der Stelle

die Werte der Funktion

und ihrer

.

2. Konvergenz des NEWTON-Verfahrens: Für die Konvergenz des NEWTON-Verfahrens ist die Bedingung
(19.7a)
notwendig, die Bedingung
(19.7b)


hinreichend. Die Bedingungen (19.7a,b) müssen in einer Umgebung von

, die alle Punkte

sowie

enthält,

erfüllt sein. Falls das NEWTON-Verfahren konvergiert, dann konvergiert es so gut, daß sich bei jedem Iterationsschritt
die Anzahl der genauen Stellen etwa verdoppelt. Man spricht in diesem Fall auch von quadratischer Konvergenz.
Beispiel
Zur Lösung der Gleichung
(

, d.h. speziell zur Berechnung der Werte

gegeben) liefert das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift

(19.8)

Für

erhält man:
3. Geometrische Interpretation: Die geometrische Interpretation des NEWTON-Verfahrens ist in der folgenden
Abbildung dargestellt:


Die Grundidee des NEWTON-Verfahrens besteht in der lokalen Approximation der Kurve

durch

eine Tangente.
4. Modifiziertes NEWTON-Verfahren: Wenn sich im Laufe der Iteration die Werte von

nur noch

unwesentlich ändern, kann man diese konstant lassen und mit dem sogenannten modifizierten NEWTONVerfahren weiterrechnen:
(19.9)
Die Güte der Konvergenz wird durch diese Vereinfachung nicht wesentlich beeinflußt.
5. Differenzierbare Funktionen komplexen Argumentes: Das NEWTON-Verfahren ist auch auf


differenzierbare Funktionen komplexen Arguments anwendbar.


Newton-Verfahren
Seien

wie im vorhergehenden Abschnitt und

Differenzierbarkeit von
jedem

. Unter der Voraussetzung der

in jedem Punkt der Menge

das Element

Operatornorm); in diesem Falle sagt man,

ist ein Operator

zuordnet. Der Operator
ist stetig differenzierbar auf

definiert, der
sei auf

stetig (in der

. Die Menge

enthalte eine Lösung

der Gleichung
(12.194)
Weiter sei vorausgesetzt, daß für

der Operator

stetig invertierbar ist, also


Niveauflächen und Niveaulinien
1. Niveaufläche nennt man die Gesamtheit aller Punkte im Raum, für die die Funktion (13.6a) einen
konstanten Wert
(13.10a)
liefern unterschiedliche Niveauflächen. Durch jeden Punkt

annimmt. Unterschiedliche Konstanten

verläuft genau eine Niveaufläche, ausgenommen Punkte, in denen die Funktion nicht eindeutig definiert ist. In den
drei bisher benutzten Koordinatensystemen lauten die Niveauflächengleichungen
(13.10b)
Beispiel A
:

Parallele Ebenen.

Beispiel B
: Ähnliche Ellipsoide in Ähnlichkeitslage.


Beispiel C
Zentralfeld: Konzentrische Kugeln.
Beispiel D
Axialfeld: Koaxiale Zylinder.
2. Niveaulinien ergeben sich in ebenen Feldern anstelle der Niveauflächen. Sie genügen der Gleichung
(13.11)
Es ist üblich, die Niveaulinien in bestimmten gleichmäßigen
Wert an die zugehörige

-Abständen darzustellen, wobei der betreffende

-

-Linie geschrieben wird (s. Abbildung).

Bekannte Beispiele sind die Isobaren auf Wetterkarten und die Höhenlinien auf geographischen Karten. In speziellen
Fällen können die Niveauflächen in Punkte oder Linien entarten, die Niveaulinien in isolierte Punkte.
Beispiel


Die Niveaulinien der Felder a)
Abbildungen dargestellt.

, b)

, c)

, d)

sind in den folgenden


Beschränktheit und Norm linearer Operatoren
Seien
etwa durch

und

normierte Räume. Die Kennzeichnung der Norm im Raum

,

, wird im weiteren weggelassen, da aus dem jeweiligen Kontext klar wird, in welchem Raum die

Norm betrachtet wird. Ein beliebiger Operator

heißt beschränkt, wenn eine reelle Zahl

existiert mit
(12.128)
Ein beschränkter Operator mit der Konstanten
jede beschränkte Menge aus

,,dehnt`` jeden Vektor höchstens um das

in eine beschränkte Menge aus

-fache und überführt

, insbesondere ist das Bild der Einheitskugel

in
beschränkt. Für die Beschränktheit eines linearen Operators ist die letzte Eigenschaft charakteristisch.
aus
Ein linearer Operator ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.
Die kleinste Konstante
d.h.

, für die (12.128) noch gilt, heißt Norm des Operators

und wird mit

bezeichnet,


(12.129)
Für einen stetigen linearen Operator gelten
(12.130)
und außerdem die Abschätzung
(12.131)
Beispiel
Im Raum

mit der Norm (12.87e) ist der mittels der auf dem Quadrat

komplexwertigen Funktion

stetigen

definierte Operator

(12.132)
ein beschränkter linearer Operator, der

in

abbildet. Für seine Norm gilt
(12.133)


Matrizennormen
a)
Spektralnorm:
(4.51)
Dabei wird mit

der größte Eigenwert der Matrix

bezeichnet.

b)
Zeilensummennorm:
(4.52)
c)
Spaltensummennorm:
(4.53)

Es läßt sich zeigen, daß die Matrizennorm (4.51) der Vektornorm (4.48) zugeordnet ist. Das gleiche gilt für (4.52) und


(4.49) sowie (4.53) und (4.50).


Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
1. Prinzip: Der Grad der Zugehörigkeit eines beliebigen Elements
soll nur von den beiden Zugehörigkeitsgraden
unscharfen Mengen

und

und

zu den Mengen

bzw.

des Elementes zu den beiden

abhängen. Mit Hilfe zweier Funktionen
(5.259)

lassen sich die unscharfe Mengenvereinigung und der unscharfe Mengenschnitt wie folgt definieren:
(5.260)
(5.261)

Die Zugehörigkeitsgrade
Funktionen

und

werden

und
-Norm und

werden in einen neuen Zugehörigkeitsgrad abgebildet. Die
-Konorm , letztere auch

-Norm genannt.


2. Interpretation: Die Funktionen

und

Verknüpfung der Wahrheitswerte

und

3. Definition der

-Norm: Die

stellen den Wahrheitswert dar, der sich aus der
ergibt.

-Norm ist eine binäre Operation

in [0,1]. Sie ist eine Abbildung
(5.262)

Die

-Norm ist eine zweistellige Funktion

in

sie ist symmetrisch, assoziativ, monoton wachsend und

besitzt 0 als Nullelement und 1 als neutrales Element.
gelten folgende Eigenschaften:

Für
(E1) Kommutativität:

(5.263a)
(E2) Assoziativität:
(5.263b)
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement 0 und neutralen Element 1:
(5.263c)
(E4) Monotonie:


(5.263d)

Definition der

-Norm: Die

-Norm ist eine zweistellige Funktion in

und eine Abbildung
(5.264)

Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:
(E1) Kommutativität:
(5.265a)
(E2) Assoziativität:
(5.265b)
(E3) Spezielle Operationen mit Nullelement 0 und neutralen Element 1:
(5.265c)
(E4) Monotonie:
(5.265d)
Mit Hilfe dieser Eigenschaften lassen sich jeweils eine ganze Klasse
von Funktionen der
Klasse
Zusammenhang gilt:

von Funktionen der

-Normen bzw. eine

-Normen einführen. Detailierte Untersuchungen haben gezeigt, daß der folgende


(5.265e)
(5.265f)


Vektornormen
Ist

ein

-dimensionaler Vektor, d.h.

dann sind die gebräuchlichen

Vektornormen:
a)
EUKLIDische Norm:
(4.48)
b)
Maximumnorm:
(4.49)
c)
Betragssummennorm:


(4.50)

Beispiel
Im

in der elementaren Vektorrechnung, wird

Betrag des Vektors

als Betrag des Vektors

gibt die Länge des Vektors

an.

bezeichnet. Der


Normalformen
●
●

Elementarkonjunktion, Elementardisjunktion
Kanonische Normalformen


Gleichung der Parabel
Wenn der Koordinatenursprung in den Scheitel der Parabel gelegt wird, die -Achse mit der Parabelachse
zusammenfällt und der Parabelscheitel nach links weisen soll, dann lautet die Normalform der Parabelgleichung
(3.341)
Die Gleichung der Parabel in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.


Für Parabeln mit vertikaler Achse lauten die Parabelgleichung und der Halbarameter dieser so gegebenen Parabel
(3.342a)
(3.342b)
Ist

so ist die Parabel nach oben geöffnet, für

ist sie nach unten geöffnet. Die Koordinaten des

Scheitels sind
(3.342c)


Lösungsansatz und Normalgleichungssystem
Der theoretische Zusammenhang (16.144) wird durch Meßwerte
(16.147a)
auf Grund zufälliger Meßfehler nicht exakt wiedergegeben. Man macht deshalb den Ansatz
(16.147b)
und bestimmt nach der Fehlerquadratmethode gemäß
(16.147c)
die Koeffizienten

, die als Schätzwerte für die theoretischen Koeffizienten

dienen. Mit den Bezeichnungen


(16.147d)

erhält man aus der Forderung (16.147c) das sogenannte Normalgleichungssystem
(16.147e)
zur Bestimmung von

. Die Matrix

ist symmetrisch, so daß sich zur Lösung von (16.147c) das CHOLESKY-

Verfahren besonders eignet.
Beispiel
Mit Hilfe einer Stichprobe, deren Ergebnisse die nebenstehende Wertetabelle enthält, sind die Koeffizienten
der Regressionsfunktion
5

3

5

3

0,5 0,5 0,3 0,3
1,5 3,5 6,2 3,2

(16.148)


zu bestimmen. Aus (16.147d) folgt

(16.149)

und (16.147e) lautet
(16.150)


Normalverteilung
1. Verteilungsfunktion und Dichte: Eine Zufallsveränderliche

mit der Verteilungsfunktion
(16.68)

heißt normalverteilt , genauer (

)- normalverteilt . Die Funktion
(16.69)

heißt die Dichte der Normalverteilung. Sie nimmt an der Stelle
(s. Abbildung):

ihr Maximum an und hat Wendepunkte bei


2. Erwartungswert und Streuung: Erwartungswert und Streuung ergeben sich für die Parameter

und

der Normalverteilung zu
(16.70a)
und
(16.70b)

Sind die Zufallsveränderlichen

und

unabhängig und normalverteilt mit den Parametern

bzw.


, so ist auch die Zufallsveränderliche
mit den Parametern
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit

normalverteilt
.
erfolgt mit Hilfe der normierten Normalverteilung

gemäß
(16.71)


Logarithmische Normalverteilung
Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Streuung:
1. Dichte und Verteilungsfunktion: Die stetige Zufallsgröße

, die alle positiven Werte annehmen kann,

besitzt eine logarithmische Normalverteilung (auch Lognormalverteilung genannt) mit den Parametern
und

, wenn die Zufallsgröße

mit
(16.75)

normalverteilt ist mit den Parametern

und

. Die Zufallsgröße

hat demzufolge die Dichte

(16.76)
und die Verteilungsfunktion


(16.77)

Bei praktischen Anwendungen wird als Logarithmus entweder der natürliche oder der dekadische Logarithmus
verwendet.
2. Erwartungswert und Streuung: Für Erwartungswert und Streuung der Lognormalverteilung erhält man,
wenn der natürliche Logarithmus verwendet wird:
(16.78)

Bemerkungen:
a) Die Dichtefunktion der Lognormalverteilung ist links durch Null begrenzt und läuft rechts flach aus. Die
folgende Abbildung zeigt die Dichte der Lognormalverteilung für verschiedene Werte von
wurde der natürliche Logarithmus verwendet.

und

. Dabei


b) Man beachte:

und

, während
c) Die Verteilungsfunktion

sind Erwartungswert und Streuung der transformierten Zufallsgröße
und

gemäß (16.78) Erwartungswert und Streuung der Zufallsgröße X sind.
der Lognormalverteilung kann mit Hilfe der Verteilungsfunktion

der

normierten Normalverteilung berechnet werden, denn es gilt:
(16.79)
d) Die Lognormalverteilung wird häufig bei Lebensdaueranalysen von ökonomischen, technischen und


biologischen Vorgängen angewendet.
e) Während die Normalverteilung mit der additiven Überlagerung einer großen Anzahl voneinander
unabhängiger zufälliger Ereignisse in Zusammenhang gebracht werden kann, ist es bei der
Lognormalverteilung das multiplikative Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse.
●

Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Streuung:


Normierte Normalverteilung
Wertetabelle der normierten Normalverteilung

●
●
●

Normierte Normalverteilung, Teil I
Normierte Normalverteilung, Teil II
Normierte Normalverteilung, Teil III


Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte
Die Zufallsgröße

ist auch annähernd normalverteilt mit den Parametern

Grundgesamtheit einer beliebigen Verteilung mit Mittelwert

und Streuung

und
genügt.

, wenn die dazugehörige


Nullstellensatz von BOLZANO
Wenn eine Funktion
verschiedenen Punkten

in einem zusammenhängenden Gebiet definiert und stetig ist und wenn in zwei
und

dieses Gebietes die zugehörigen Funktionswerte unterschiedliche

Vorzeichen besitzen, dann existiert mindestens ein Punkt

in diesem Gebiet, für den

Null wird:
(2.277)


Kapitel 19:

Numerische Mathematik

In diesem Kapitel werden meist nur die Grundprinzipien numerischer Verfahren beschrieben. Ihre Anwendung zur
Lösung praktischer Aufgaben auf dem Computer erfordert in der Regel den Einsatz von Numerik-Bibliotheken der
kommerziellen Software. Einige dieser Bibliotheken werden im Abschnitt Bibliotheken numerischer Verfahren
vorgestellt. Die speziellen Computeralgebrasysteme Mathematica und Maple und deren Numerikprogramme sind im
Kapitel Computeralgebrasysteme und im Abschnitt Anwendung von Computeralgebrasystemen beschrieben. Der
Einfluß von Fehlern, die beim numerischen Rechnen auf Computern auftreten, wird im Abschnitt Numerische
Probleme beim Rechnen auf Computern behandelt.
●
●
●
●
●

●

●
●

Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
Numerische Lösung von Gleichungssystemen
Numerische Integration
Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen
Genäherte Integration von partiellen
Differentialgleichungen
Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische
Analyse
Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines
Nutzung von Computern


●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis


Obelisk
Obelisk wird ein Polyeder genannt, dessen Seitenflächen sämtlich Trapeze sind. In dem hier betrachteten Spezialfall
sind die parallelen Grundflächen Rechtecke, einander gegenüberliegende Kanten haben die gleiche Neigung
gegenüber der Grundfläche, laufen aber nicht in einem Punkt zusammen.

Wenn

und

die Seiten der Grundflächen sind und

die Höhe des Obelisken, dann gilt:


(3.120)


Oberflächenintegrale erster Art
Oberflächenintegrale oder Integrale über einem räumlichen Flächenstück stellen eine Verallgemeinerung des
Doppelintegrals dar, ähnlich wie das Kurvenintegral erster Art eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen bestimmten
Integrals ist.
●
●
●
●

Begriff des Oberflächenintegrals erster Art
Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art
Flächenelemente gekrümmter Flächen
Anwendungen des Oberflächenintegrals erster Art


Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art
Die Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art wird auf die Berechnung des Doppelintegrals über einem
ebenen Gebiet zurückgeführt.
●
●

Explizite Darstellung der Fläche
Parameterdarstellung der Fläche


Definition
Oberflächenintegral erster Art einer Funktion von drei Veränderlichen

, die in einem

zusammenhängenden Gebiet definiert sein muß, nennt man das Integral
(8.148)
in dem genannten Gebiet genommen wird. Der Zahlenwert des Oberflächenintegrals
das über ein Flächenstück
erster Art wird auf die folgende Weise ermittelt (s. Abbildung):
1. Beliebige Zerlegung des Flächenstückes
2. Auswahl eines beliebigen Punktes

in

Elementarflächenstücke.
im Innern oder auf dem Rande eines jeden

Elementarflächenstückes.
3. Multiplikation des Funktionswertes von
entsprechenden Elementarflächenstückes.

in diesem Punkt mit dem Inhalt von

des


4. Addition aller so gewonnenen Produkte

.

5. Berechnung des Grenzwertes der Summe
(8.149a)
für den Fall, daß der Inhalt aller Elementarflächenstücke

gegen Null geht, also ihre Anzahl

gegen

.

Dabei ist wieder zu beachten, daß der Durchmesser des Elementarflächenstückes gegen Null geht und nicht nur eine
Ausdehnung.

Wenn dieser Grenzwert existiert und von der Art der Einteilung des Flächenstückes
sowie von der Wahl der Punkte
Funktion

in Elementarflächenstücke

unabhängig ist, dann wird er Oberflächenintegral erster Art der

über dem Flächenstück

genannt, und man schreibt


(8.149b)


Existenzsatz
Das Oberflächenintegral erster Art existiert, wenn die Funktion

in dem betrachteten Gebiet stetig ist und

die Funktionen, die in der Gleichung der Fläche auftreten, in diesem Gebiet stetige Ableitungen besitzen.


Explizite Darstellung der Fläche
Ist die Fläche

durch die Gleichung
(8.150)

explizit vorgegeben, dann gilt
(8.151a)
wobei

die Projektion von

auf die

-Ebene ist und

und

die partiellen Ableitungen

sind. Dabei wird vorausgesetzt, daß jedem Punkt der Fläche
ein Punkt ihrer Projektion

in der

-Ebene eindeutig

entspricht, d.h., der Flächenpunkt muß eindeutig durch seine Koordinaten definiert

sein. Sollte das nicht der Fall sein, dann wird das Flächenstück

in einige Teilflächenstücke eingeteilt, so daß das

Integral über die gesamte Fläche als algebraische Summe der Integrale über die Teilflächenstücke von
werden kann. Ist die Fläche in Parameterform gegeben, dann entfällt diese Einschränkung.
Die Gleichung (8.151a) kann auch in der anderen Form

dargestellt


(8.151b)
dargestellt werden. Das hängt damit zusammen, daß die Gleichung der Flächennormalen von (8.150) die Form
hat, so daß für den Winkel zwischen der Normalenrichtung und der

Beziehung
diesen Winkel

-Achse die

besteht. Bei der Berechnung eines Oberflächenintegrals 1. Art faßt man
steParameterdarstellungts als spitzen Winkel auf, so daß immer

ist.


Parameterdarstellung der Fläche
Ist die Fläche

implizit durch die Gleichungen
(8.152a)

in Parameterform vorgegeben (s. Abbildung), dann gilt
(8.152b)
wobei die Funktionen

und

als Koeffizienten betrachtet werden. Für das Flächenelement in Parameterform gilt

dann
(8.152c)
mit

während

der Variabilitätsbereich von

und

ist. Zur Berechnung des Integrals werden der Reihe nach die beiden


Integrale für

und

integriert:

(8.152d)

Dabei sind
Flächenstück

und

die Koordinaten der äußersten Koordinatenlinien

eingeschlossen ist (s. Abbildung). Mit

und
bezeichnet, die das Flächenstück
Die Formel (8.151a) ist ein Spezialfall von (8.152b) für

und

, zwischen denen das
sind die Gleichungen der Kurven

begrenzen.
(8.153)


Begriff des Oberflächenintegrals zweiter Art
●
●
●
●

Begriff einer orientierten Fläche
Projektion eines orientierten Flächenstückes auf eine Koordinatenebene
Definition des Oberflächenintegrals zweiter Art über eine Projektion auf eine Koordinatenebene
Existenzsatz für das Oberflächenintegral zweiter Art


Berechnung des Oberflächenintegrals zweiter Art
Als Hauptmethode wird die Zurückführung auf Doppelintegrale betrachtet.
●
●

Explizite Vorgabe der Flächengleichung
Vorgabe der Flächengleichung in Parameterform


Definition des Oberflächenintegrals zweiter Art über eine Projektion auf eine
Koordinatenebene
Oberflächenintegral zweiter Art einer Funktion von drei Veränderlichen

, die in einem

zusammenhängenden Gebiet definiert ist, nennt man das Integral
(8.156)
das über die Projektion auf die

-Ebene eines orientierten, in dem gleichen Gebiet liegenden Flächenstückes

genomen wird. Der Zahlenwert des Integrals wird ebenso gewonnen, wie der des Oberflächenintegrals erster Art,
ausgenommen den dritten Schritt, bei dem der Funktionswert
, sondern mit dessen Projektion
sich:

, orientiert auf die

nicht mit dem Flächenelement
-Ebene, zu multiplizieren ist. Damit ergibt


(8.157a)
In Analogie dazu werden die Oberflächenintegrale zweiter Art über die Projektionen des orientierten Flächenstückes
auf die

- und die

-Ebene wie folgt berechnet:

(8.157b)

(8.157c)


Existenzsatz für das Oberflächenintegral zweiter Art
Die Oberflächenintegrale zweiter Art (8.157a,b,c) existieren, wenn die Funktion
die die Gleichung der Fläche bilden, stetig sind und stetige Ableitungen besitzen.

sowie die Funktionen,


Oberflächenintegral allgemeiner Art
Wenn in einem zusammenhängenden Gebiet drei Funktionen mit den drei Veränderlichen
,

und ein orientiertes Flächenstück

,

gegeben sind, dann wird als Oberflächenintegral

allgemeiner Art die Summe der Integrale zweiter Art über alle Projektionen bezeichnet:
(8.162)
Die allgemeine Formel, mit deren Hilfe man das Oberflächenintegral allgemeiner Art auf das gewöhnliche
Doppelintegral zurückführt, lautet:
(8.163)

wobei die Größen

und

die oben angegebene Bedeutung besitzen.


Die vektorielle Darlegung der Theorie des Oberflächenintegrals allgemeiner Art ist im Kapitel Feldtheorie enthalten.
●
●

Eigenschaften des Oberflächenintegrals
Eine Anwendung des Oberflächenintegrals


Eigenschaften des Oberflächenintegrals
1. Wenn das Integrationsgebiet, d.h. das Flächenstück

, auf irgendeine Art in Teilflächenstücke

und

eingeteilt ist, dann gilt:

(8.164)

2. Bei Vertauschung von Außen- und Innenseite der Fläche, d.h. bei Änderung der Orientierung der Fläche,
ändert das Integral sein Vorzeichen:
(8.165)


wobei mit

und

ein und dieselbe Fläche bezeichnet ist, jedoch für entgegengesetzte Orientierung.

3. Im allgemeinen hängt das Oberflächenintegral sowohl von der das Flächenstück
als auch von der Fläche selbst ab. Daher sind die Integrale über die Flächen
Begrenzungskurve

und

begrenzenden Kurve
für ein und dieselbe

im allgemeinen verschieden (s. Abbildung):
(8.166)


Berechnung von Oberflächenintegralen
Die Berechnung von Oberflächenintegralen in Skalar- oder Vektorfeldern kann unabhängig davon, ob
von einer
geschlossenen Kurve umrandet ist oder selbst eine geschlossene Fläche darstellt, in fünf Schritten erfolgen:
1.
Einteilung des Flächenstückes
(s. Abbildung), in beliebige

, auf dem die Außenseite durch den Umlaufsinn der Randkurve bestimmt ist
Teilflächenstücke

derart, daß jedes dieser Teilflächenstücke durch ein

ebenes Flächenstück angenähert werden kann. Jedem Flächenstück
zugeordnet

wird gemäß (13.31a) der Vektor


Im Falle einer geschlossenen Fläche wird der positive Umlaufsinn der Randkurve so festgelegt, daß die
positive Seite, auf der der Vektor

beginnt, die Außenfläche ist.

2.
Auswahl eines beliebigen Punktes mit dem Ortsvektor

im Innern oder auf dem Rande jedes

Teilflächenstückes.
3.
Bildung des Produktes
im Falle eines vektoriellen Feldes.
4.

im Falle des skalaren Feldes und

oder


Addition der für die Teilflächenstücke gebildeten Produkte.
5.
Bildung des Grenzüberganges

für

. Dabei sollen die Teilflächenstücke in dem bei der

Berechnung des Doppelintegrals angegebenen Sinne gegen Null streben.


Eine Anwendung des Oberflächenintegrals
Das Volumen

eines Körpers, der von einer geschlossenen Fläche

begrenzt ist, kann als Oberflächenintegral
(8.167)

berechnet werden, wobei

so orientiert ist, daß die äußere Seite der Fläche positiv genommen wird.


Operationen
●
●
●

-stellige Operationen
Eigenschaften binärer Operationen
Äußere Operationen


Äußere Operationen
Manchmal werden auch äußere Operationen betrachtet. Das sind Abbildungen von
,,äußere``, meist auch selbst strukturierte Menge ist.

in

wobei

eine


-stellige Operationen
Der Strukturbegriff spielt in der Mathematik und ihren Anwendungen eine zentrale Rolle. Hier sollen algebraische
Strukturen behandelt werden, d.h. Mengen, auf denen Operationen erklärt sind. Eine
Menge

ist eine Abbildung

zuordnet.

, die jedem

-Tupel von Elementen aus

-stellige Operation

in einer

wieder ein Element aus


Satz vom abgeschlossenen Graphen
Ein Operator
und

mit
in

stets

heißt abgeschlossen , wenn aus
und

Abgeschlossenheit des Graphen des Operators

in

folgen. Notwendig und hinreichend dafür ist die
im Raum

, d.h. der Menge
(12.143)

wobei

hier die Bezeichnung für ein Element der Menge

Operator mit abgeschlossenem Definitionsbereich

, dann ist

ist. Es gilt: Ist
stetig.

ein abgeschlossener


Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator
Für einen linearen stetigen Operator
durch

wobei
ein Funktional

normierte Räume sind, ordnet man jedem
zu. Auf diese Weise entsteht ein linearer

stetiger Operator
(12.173)
der adjungierter Operator zu

heißt und die folgenden Eigenschaften besitzt:
, wobei für die linearen stetigen Operatoren

und
Weise durch

,(

sind normierte Räume) der Operator

auf natürliche

definiert ist.

Mit den in den Abschnitten Lineare Operatoren und Funktionale und
Stetige lineare Funktionale im HILBERT-Raum eingeführten Bezeichnungen bestehen für einen Operator


die folgenden Identitäten:

(12.174)
die Abgeschlossenheit von

wobei die Abgeschlossenheit von

Der Operator

, den man als

aus

gewinnt, hat die Eigenschaft: Ist

. Der Operator

Im HILBERT-Raum

impliziert.

, dann ist

ist also eine Erweiterung von

.

kann auf Grund des RIESZschen Satzes der adjungierte Operator mit Hilfe des Skalarprodukts
eingeführt werden, wobei sich wegen der Identifizierung von

neben

und

sogar

. Für die Resolventen von

ergibt. Ist
und

bijektiv, so ist es auch

und
, und es gilt

gilt die Beziehung

(12.175)
woraus sich für das Spektrum des adjungierten Operators

ergibt.


Beispiel A
Sei

ein Integraloperator mit stetigem Kern

(12.176)
der im Raum

betrachtet wird. Der zu

adjungierte Operator ist ebenfalls ein

Integraloperator
(12.177)
mit dem Kern

, wobei

das gemäß (12.163) zu

existierende Element aus

ist.
Beispiel B
Im endlichdimensionalen komplexen Raum ist der adjungierte zu einem durch die Matrix
repräsentierten Operator gerade durch die Matrix

mit

definiert.


Adjungierte Operatoren in normierten Räumen
●
●
●

Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator
Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator
Selbstadjungierte Operatoren


Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator
Seien

und

reelle normierte Räume und

(linearen) Definitionsbereich

und Werten in

, der offenbar linear von

Ausdruck

wohlbestimmten Funktionals

ein linearer (nicht unbedingt beschränkter) Operator mit dem
. Für ein fixiertes Funktional

ist dann der

abhängt, sinnvoll, so daß die Frage nach der Existenz eines

mit der Eigenschaft
(12.178)

steht. Sei

die Menge aller der
, dann ist

gilt. Ist
mit

, für die bei einem gewissen

zu vorgegebenem

die Darstellung (12.178)

eindeutig bestimmt, so daß ein linearer Operator

als Definitionsbereich entsteht. Für beliebige

und

gilt dann
(12.179)


Der Operator

ist sogar abgeschlossen und heißt adjungiert zu

Zugangs ergibt sich daraus, daß
Falle ist

und

. Die Natürlichkeit dieses allgemeinen

genau dann gilt, wenn
.

auf

beschränkt ist. In diesem


Monotone Operatoren in Banach-Räumen
●
●

Spezielle Eigenschaften
Existenzaussagen


Begriff des kompakten Operators
Ein beliebiger Operator
wenn das Bild

des normierten Raums

jeder beschränkten Menge

in den normierten Raum

eine relativkompakte Menge in

heißt kompakt ,
ist. Ist der Operator

zudem noch stetig, dann heißt er vollstetig . Jeder kompakte lineare Operator ist beschränkt und demzufolge
vollstetig. Für die Kompaktheit eines linearen Operators genügt es zu fordern, daß er die Einheitskugel aus
eine relativkompakte Menge in

überführt.

in


Hammerstein-Operator
Seien

eine kompakte Teilmenge aus
eine stetige Funktion auf

eine den CARATHEODORY-Bedingungen genügende und
. Der nichtlineare Operator

auf

(12.188)
heißt HAMMERSTEIN-Operator . Mit dem linearen von

als Kern erzeugten Integraloperator
(12.189)

kann

in der Form

geschrieben werden. Genügt nun der Kern

der Bedingung

(12.190)


und die Funktion

der Bedingung (12.187), dann ist

ein stetiger und kompakter Operator auf

.


Projektoren im Hilbert-Raum
Sei

ein Teilraum eines HILBERT-Raums

Projektion
Projektor auf

auf

. Dann ist nach dem Projektionssatz für jedes

und demzufolge ein Operator
. Offensichtlich ist

mit

linear, stetig, und es gilt

von

auf

, d.h.

ist selbstadjungiert, und

, d.h.

ist idempotent .

b)

heißt

. Ein stetiger linearer Operator

ist genau dann ein Projektor (auf einen geeigneten Unterrraum), wenn gilt:
a)

definiert.

seine

in


Positive nichtlineare Operatoren
Der erfolgreiche Einsatz des SCHAUDERschen Fixpunktsatzes erfordert die Auswahl einer Menge mit den
entsprechenden Eigenschaften, die vom betrachteten Operator in sich abgebildet wird.
In Anwendungen, insbesondere in der Lösungstheorie nichtlinearer Randwertprobleme, handelt es sich meistens um
geordnete normierte (aus Funktionen bestehende) Räume und nicht selten um positive, d.h. den betreffenden Kegel
invariant lassende, oder isoton wachsende Operatoren, d.h. solche

, für die

gilt. Wenn

Verwechslungen ausgeschlossen sind, nennt man solche Operatoren auch monoton (s. etwa Abschnitt Monotone
Operatoren in BANACH-Räumen).
Seien jetzt
Ordnungsintervall aus
isotonen) Operator

ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenem Kegel
. Ist

normal und gilt

, dann besitzt

wenigstens einen Fixpunkt in

und

ein

für einen vollstetigen (nicht notwendigerweise
(s. Abbildung).


Ein weiterer Vorteil der Betrachtungen in geordneten Räumen besteht darin, daß für einen isoton wachsenden Operator
, der auf einem

-Interval

des Raumes

definiert ist und (lediglich) die Eckpunkte
und

abbildet, also den beiden Bedingungen

in

genügt, automatisch

gilt.

Darüber hinaus sind die beiden durch
(12.198)
wohldefinierten (d.h.

)) Folgen monoton wachsend bzw. fallend, d.h.
und

. Ein Fixpunkt

bzw.

des


Operators

heißt minimal bzw. maximal , wenn für jeden Fixpunkt

von

die Ungleichung

bzw.

gilt.
Es gelten nun die folgenden Aussagen (s. Abbildung):

Seien

ein geordneter BANACH-Raum mit abgeschlossenem Kegel

stetiger isoton wachsender Operator. Sei
, und der Operator
erfüllt ist:
a)

mit
besitzt einen Fixpunkt in

und
und

ein
. Dann gilt

, wenn eine der folgenden Bedingungen


ist normal und

kompakt.

b)
ist regulär.

Die wie in (12.198) definierten Folgen
Fixpunkt von

in

und

konvergieren dann zum minimalen bzw. maximalen

.

Das Konzept der Ober- und Unterlösungen basiert auf diesen Resultaten (s. Lit. 12.17, 12.13, 12.14).


Stetige lineare Operatoren und Funktionale
●
●
●
●
●
●
●

Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren
Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen
Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren
Stetige lineare Funktionale
Fortsetzung von linearen Funktionalen
Trennung konvexer Mengen
Bidualer Raum und reflexive Räume


Positiv definite Operatoren
In der Menge aller selbstadjungierten Operatoren aus

kann durch
(12.182)

eine partielle Ordnung eingeführt werden, wobei ein Operator
selbstadjungierten Operator

mit

positiv (definit) heißt. Für einen

gilt (mit Hilfe von (H1) aus HILBERT-Raum, Skalarprodukt)
, so daß

positiv definit ist. Jeder positiv definite Operator

Wurzel, d.h., es existiert genau ein positiv definiter Operator
mit
der selbstadjungierten Operatoren ein Vektorverband, wobei die Operatoren

besitzt seine

. Darüber hinaus ist der Vektorraum

(12.183)
für die Spektralzerlegung und Spektral- bzw. Integraldarstellung von selbstadjungierten Operatoren mit Hilfe eines
STIELTJES-Integrals Bedeutung erlangen (s. Lit. 12.1, 12.12, 12.13, 12.15, 12.18, 12.21).


Positive Operatoren
Ein linearer Operator (s. Lit. 12.2, 12.20)
geordneten Vektorraum

des geordneten Vektorraums

in den

heißt positiv, wenn gilt:
(12.32)


Rotation des Vektorfeldes
●
●
●
●

Definitionen der Rotation
Rotation in verschiedenen Koordinaten
Regeln zur Berechnung der Rotation
Rotation des Potentialfeldes


Selbstadjungierte Operatoren
Ein Operator

heißt selbstadjungiert, wenn

. In diesem Falle ist

die Zahl

reell. Es gelten

(12.180)

und mit

und
(12.181)

Das Spektrum eines selbstadjungierten (beschränkten) Operators liegt im Intervall
gilt.

, wobei


●
●

Positiv definite Operatoren
Projektoren im Hilbert-Raum


Stetige Operatoren
●
●

Stetige Operatoren
Isometrische Räume


Inverser Operator
Seien

und

beliebige normierte Räume und

Dann besitzt

einen stetigen Inversen

für alle

die Abschätzung

ein linearer, nicht unbedingt stetiger Operator.
, wenn
gilt. Man hat dann sogar

.
Im Falle von BANACH-Räumen

gilt der Satz von BANACH.

und mit einer Konstanten


URYSOHN-Operator
Seien

meßbar und

der nichtlineare Operator

eine Funktion von drei Variablen, dann heißt

auf

(12.191)
URYSOHN-Operator. Erfüllt der Kern
Operator in

bzw. in

die entsprechenden Bedingungen, dann ist
.

ein stetiger und kompakter


Vektorgradient
Der Zusammenhang (13.30c) legt die Bezeichnung
(13.45a)

nahe, wobei

Vektorgradient heißt. Aus der Matrizenschreibweise von (13.45a) folgt, daß der

Vektorgradient als Tensor mit Hilfe einer Matrix darstellbar ist:

(13.45b)


(13.45c)

Tensoren dieser Art spielen in den Ingenieurwissenschaften eine Rolle, z.B. bei der Beschreibung von Spannungen
und Elastizitäten.


Prinzipielle Bedeutung
Neben der großen theoretischen Bedeutung, die Integraltransformationen in solchen grundlegenden Gebieten der
Mathematik wie der Theorie der Integralgleichungen und der Theorie der linearen Operatoren besitzen, haben sie ein
breites Anwendungsfeld bei der Lösung praktischer Probleme in Physik und Technik gefunden. Methoden mit dem
Einsatz von Integraltransformationen werden häufig Operatorenmethoden genannt. Sie eignen sich zur Lösung von
gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, von Integralgleichungen und Differenzengleichungen.


Operatorenmethoden
Operatorenmethoden sind nicht nur zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen geeignet; sie werden auch zur
Lösung partieller Differentialgleichungen eingesetzt
(s. Anwendungen der Integraltransformationen). Sie beruhen auf einem Übergang von der gesuchten Funktion zu
deren Transformierten. Dazu wird die gesuchte Funktion als Funktion einer der unabhängigen Variablen aufgefaßt,
und bezüglich dieser Variablen wird die Transformation durchgeführt. Die übrigen Variablen werden dabei als
Parameter aufgefaßt. Die Differentialgleichung zur Bestimmung der Transformierten der gesuchten Funktion enthält
dann eine unabhängige Variable weniger als die ursprüngliche Differentialgleichung. Im Spezialfall zweier
unabhängiger Variabler in der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung liefert dieses Verfahren eine
gewöhnliche Differentialgleichung. Wenn aus der so gewonnenen Differentialgleichung die Transformierte der
gesuchten Funktion bestimmt werden kann, dann ergibt sich die gesuchte Funktion entweder durch Anwendung der
Umkehrformel oder durch Aufsuchen der Lösung in einer Tabelle der Transformierten.


Schema der Operatorenmethode
Das allgemeine Schema des Einsatzes der Operatorenmethode mit Integraltransformation ist in der folgenden
Abbildung dargestellt.


Die Lösung eines Problems wird nicht auf direktem Wege durch unmittelbare Lösung der Ausgangsgleichung
gesucht; man strebt sie vielmehr über eine Integraltransformation an. Die Rücktransformation der Lösung der
transformierten Lösung führt dann auf die Lösung der Ausgangsgleichung.
Die Anwendung der Operatorenmethode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen besteht in den folgenden
drei Schritten:
1.
Übergang von einer Differentialgleichung für die unbekannte Funktion zu einer Gleichung für ihre
Transformierte.
2.


Auflösung der erhaltenen Gleichung im Bildbereich, die im allgemeinen keine Differentialgleichung mehr ist,
sondern eine algebraische Gleichung, nach der Bildfunktion.
3.
Rücktransformation der Bildfunktion mit Hilfe von
Originalfunktion.

in den Originalbereich, d.h. Bestimmung der

Die Schwierigkeit der Operatorenmethode liegt oft nicht in der Lösung der Gleichung, sondern im Übergang von der
Funktion zur Transformierten und umgekehrt.


Eigenschaften der Kostenfunktion
Voraussetzung für die Aufstellung der BELLMANNschen Funktionalgleichungen sind zwei Forderungen an die
Kostenfunktion: Separierbarkeit und Minimumvertauschbarkeit.
●
●

Separierbarkeit
Minimumvertauschbarkeit


Bellmannsches Optimalitätsprinzip
Die Berechnung der Funktionalgleichung
(18.128)

entspricht der Bestimmung einer optimalen Politik
Teilprozeß

, welcher aus den letzten

für den mit dem Zustand
Stufen des Gesamtprozesses

startenden

besteht und dem die

Kostenfunktion
(18.129)

zugrunde liegt. Die optimale Politik des Prozesses
Entscheidungen

in den ersten

mit dem Anfangszustand
Stufen von

ist unabhängig von den

, die zum Zustand

führten. Für die


Ermittlung von

wird die Größe

, dann ist offensichtlich

benötigt. Ist nun

eine optimale Politik für

eine optimale Politik für den Teilprozeß

zum Anfangszustand

. Diese Aussage wird im BELLMANNschen Optimalitätsprinzip verallgemeinert.

BELLMANNsches Prinzip: Ist

eine optimale Politik eines Prozesses

zugehörige Zustandsfolge, dann ist für jeden Teilprozeß
ebenfalls optimal.

und

, mit dem Startzustand

die
die Politik


Diskrete dynamische Optimierung
●
●
●
●
●
●

Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle
Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle
Bellmannsche Funktionalgleichungen
Bellmannsches Optimalitätsprinzip
Bellmannsche Funktionalgleichungsmethode
Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode


Einkaufsproblem
In der

-ten Periode eines in

Stufen unterteilbaren Zeitraumes benötigt ein Betrieb

Mengeneinheiten eines

sei dieser Stoff in der Menge

vorrätig, speziell sei

bestimmten Ausgangsstoffes. Zu Beginn einer Periode

vorgegeben. Davon ausgehend ist eine Entscheidung darüber zu treffen, welche Menge
pro Mengeneinheit einzukaufen ist. Dabei darf die vorhandene Lagerkapazität
d.h.

. Gesucht ist eine Einkaufspolitik

zum Preis

nicht überschritten werden,

, die die Gesamtkosten minimiert. Dies

führt auf das folgende dynamische Problem:
(18.116a)


(18.116b)
In (18.116b) ist berücksichtigt, daß der Bedarf immer gedeckt ist und die Lagerkapazität nicht überschritten wird.
Enstehen zusätzlich Lagerkosten
-ten Periode

pro Mengeneinheit und Periode, dann betragen die mittleren Lagerkosten in der
, und die modifizierte Kostenfunktion lautet

(18.117)


-stufige Entscheidungsprozesse
Ein

-stufiger Prozeß

startet in der Stufe

in den Stufen

Zwischenzustände

Die Zustandsvektoren
den Zustand
Zustandes

mit einem Anfangszustand

liegen in Zustandsbereichen

ist eine Entscheidung

und führt über die
in einen Endzustand

. Zur Überführung eines Zustandes

zu treffen. Alle möglichen Entscheidungsvektoren

bilden den Entscheidungsbereich

. Aus

bei Vorliegen des

ergibt sich der Folgezustand

über die Transformation
(18.114)
(S. die folgende Abbildung):

in


Formulierung der Funktionalgleichungen
Es werden die folgenden Funktionen definiert:
(18.125)

(18.126)
Falls keine Politik

existiert, die den Zustand

in einen Endzustand

überführt, wird

gesetzt. Die Ausnutzung von Separierbarkeit und Minimumvertauschbarkeit sowie der dynamischen
Nebenbedingungen liefert für

:


(18.127)
Die Gleichungen (18.127) zusammen mit Gleichung (18.126) nennt man BELLMANNsche Funktionalgleichungen .
ist der Optimalwert der Kostenfunktion

.


Bellmannsche Funktionalgleichungsmethode
●
●

Bestimmung der minimalen Kosten
Bestimmung der optimalen Politik


Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle
Mit den Methoden der dynamischen Optimierung kann eine breite Klasse verschiedenartigster Optimierungsaufgaben
gelöst werden. Die Probleme werden dabei als natürlich oder formal in der Zeit ablaufende Prozesse betrachtet, die
über zeitabhängige Entscheidungen gesteuert werden. Läßt sich der Prozeß in endlich bzw. abzählbar unendlich
viele Stufen einteilen, dann spricht man von diskreter dynamischer Optimierung , anderenfalls von kontinuierlicher
dynamischer Optimierung . Im Rahmen dieses Abschnittes werden nur
●
●

-stufige Entscheidungsprozesse
Dynamische Optimierungsprobleme

-stufige diskrete Prozesse untersucht.


Optimale Einkaufspolitik
●
●

Problemstellung
Zahlenbeispiel


Bestimmung der optimalen Politik
Variante 1: Mit der Auswertung der Funktionalgleichungen wird für jedes
Minimalstelle

abgespeichert. Nach der Berechnung von

zu erhalten, daß zunächst aus dem für

ist eine optimale Politik einfach dadurch

gespeicherten

errechnet wird. Die für diesen Zustand

die ermittelte

der Folgezustand

gespeicherte Entscheidung

liefert

usw.
Variante 2: Zu jedem

wird lediglich der Wert

gespeichert. Nachdem alle

bekannt sind, schließt sich eine Vorwärtsrechnung an. Beginnend mit
wird

für wachsendes

und

durch Auswertung der Funktionalgleichung
(18.130)


bestimmt. Daraus ergibt sich jeweils

. In der Vorwärtsrechnung ist somit auf jeder Stufe

nochmals ein Optimierungsproblem zu lösen.
Vergleich beider Varianten: Bei Variante 1 ist der Rechenaufwand etwas geringer, da die bei der Variante 2
erforderliche Vorwärtsrechnung entfällt. Dagegen muß für jeden Zustand
abgespeichert werden, was für höherdimensionale Entscheidungsräume

eine Entscheidung
zu einem wesentlich

höheren Speicherplatzbedarf, verglichen mit Variante 2, führt, bei welcher nur die Größen
speichern sind. Für die Computerlösung wird deshalb in vielen Fällen Variante 2 vorzuziehen sein.

zu


Rucksackproblem
●
●

Problemstellung
Zahlenbeispiel


Rucksackproblem
Von den Artikeln

mit den Gewichten

und den Werten

sind einige so

nicht überschritten wird. Die getroffene Auswahl soll einen maximalen
auszuwählen, daß ein Gesamtgewicht
Gesamtwert erreichen. Dieses Problem hängt nicht unmittelbar von der Zeit ab. Es wird auf folgende Weise
,,künstlich`` dynamisiert. In jeder Stufe wird eine Entscheidung
Dabei ist für ein ausgewähltes
verfügbare Kapazität mit

, anderenfalls ist

über die Auswahl des Artikels

getroffen.

. Wird die zu Beginn einer Stufe noch

bezeichnet, dann ergibt sich das folgende dynamische Problem:

(18.118a)


(18.118b)


Basis
Jeder Ecke können
linear unabhängige Spaltenvektoren der Matrix A zugeordnet werden, so daß darunter die zu
positiven Komponenten gehörenden Spalten enthalten sind. Dieses System der linear unabhängigen
Spaltenvektoren nennt man eine Basis der Ecke . Im Normalfall ist einer Ecke eindeutig eine Basis zugeordnet. Einer
entarteten Ecke hingegen können im allgemeinen mehrere Basen zugeordnet werden. Es gibt höchstens
Möglichkeiten, aus den

Spalten von A

linear unabhängige auszuwählen. Demzufolge ist die Anzahl

verschiedener Basen und somit auch der Ecken höchstens gleich
mindestens eine Ecke.
Beispiel

. Ist

nicht leer, so hat


Der durch die Nebenbedingungen festgelegte zulässige Bereich

ist in der folgenden Abbildung dargestellt.


Einführung von Schlupfvariablen

führt auf:


Dem Endpunkt des Polyeders

entspricht im erweiterten System der Punkt
. Die Spalten 2, 5, 6 und 7 von A bilden die

zugehörige Basis. Der entarteten Ecke entspricht
den Spalten 1, 5, 6 und einer der Spalten 2, 4 oder 7.

mit

. Eine Basis dieser Ecke besteht aus


Lineare Optimierung
●
●
●
●

Problemstellung und geometrische Darstellung
Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform
Simplexverfahren
Spezielle lineare Optimierungsprobleme


Definition der Ecke und Satz über die Ecke
1. Definition der Ecke Ein Punkt

heißt Ecke von

, wenn für alle

mit

gilt:
(18.7)
d.h.,

liegt nicht auf der Verbindungsgeraden zweier verschiedener Punkte aus

ist genau dann ein Eckpunkt von

2. Satz über den Eckpunkt Der Punkt
positiven Komponenten von

.
, wenn die zu den

gehörenden Spalten der Matrix A linear unabhängig sind.

Unter der Annahme, daß der Rang von A gleich

ist, können nur maximal

unabhängig sein. Deshalb kann ein Eckpunkt höchstens

positive Komponenten besitzen. Die restlichen

Komponenten sind gleich Null. Im Normalfall sind genau
positiven Komponenten jedoch kleiner als

Spalten von A linear

Komponenten positiv. Ist die Anzahl der

, dann spricht man von einer entarteten Ecke .


Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme
An Hand des obigen Beispiels können einige Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme graphisch
veranschaulicht werden. Dazu kann auf die Einführung von Schlupfvariablen verzichtet werden.
a)
Eine Gerade
, die die Ungleichung

teilt die

-Ebene in zwei Halbebenen. Somit liegen alle Punkte
erfüllen, auf dieser Geraden bzw. in einer der

Halbebenen. Die graphische Darstellung der Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem erfolgt
durch Einzeichnen der trennenden Geraden, und die Halbebene, die die Lösungsmenge der Ungleichung
enthält, wird mit Pfeilen gekennzeichnet. Die Ausführung der graphischen Darstellung aller Nebenbedingungen
liefert eine Menge von Halbebenen, deren Durchschnitt den zulässigen Bereich

bildet (s. Abbildung).


Im Beispiel oben bilden die Punkte von
eine Polygonfläche. Es kann auch vorkommen, daß
unbeschränkt oder leer ist. Treffen in einer Ecke des Polygons mehr als zwei begrenzende Geraden
aufeinander, dann spricht man von einer entarteten Ecke (s. folgende Abbildung).


b)
Alle Punkte in der

-Ebene, die der Beziehung

einer gemeinsamen Geraden, der Niveaulinie zum Funktionswert

genügen, liegen auf
. Bei verschiedener Wahl von

wird

eine Schar paralleler Geraden definiert, auf denen der Zielfunktionswert jeweils konstant ist. Geometrisch sind
alle diejenigen Punkte Lösungen des Optimierungsproblems, die sowohl zum zulässigen Bereich
zu einer Niveaulinie
auf der Niveaulinie

mit einem maximalen
der Maximalpunkt

als auch

gehören. Im konkreten Fall ergibt sich
. Die Niveaulinien

sind in der folgenden Abbildung dargestellt, wobei die Pfeile in die Richtung wachsender Funktionswerte
zeigen.


Man erkennt, daß bei beschränktem zulässigen Bereich
eingenommen wird. Dagegen ist bei unbeschränktem
strebt.

das Maximum in mindestens einer Ecke von
denkbar, daß der Zielfunktionswert gegen unendlich


Formen der linearen Optimierung
●
●
●
●

Gegenstand
Allgemeine Form
Formulierung mit vorzeichenbeschränkten Variablen und Schlupfvariablen
Zulässiger Bereich


Beispiele und graphische Lösungen
●
●

Beispiel Herstellung zweier Produkte:
Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme


Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform
Betrachtet wird die Aufgabe (18.5a,b) mit dem zulässigen Bereich
●
●

Ecke und Basis
Normalform der linearen Optimierungsaufgabe

(18.6a).


Reihenfolgeproblem
Die Bearbeitung von
verschiedenen Produkten erfolgt in einer vom Produkt abhängigen Reihenfolge an
verschiedenen Maschinen. An jeder Maschine können nicht mehrere Produkte gleichzeitig bearbeitet werden. Zur
Bearbeitung eines jeden Produktes wird an jeder Maschine eine vorgegebene Arbeitszeit benötigt. Im
Produktionsablauf können dabei sowohl Wartezeiten, in denen auf Grund belegter Maschinen Produkte nicht
bearbeitet werden können, als auch Maschinenstillstandszeiten auftreten.
Gesucht ist eine Reihenfolge der auf den einzelnen Maschinen nacheinander zu bearbeitenden Produkte, die je nach
ökonomischer Zielsetzung die Gesamtdurchlaufzeit aller Produkte, die Gesamtwartezeit oder die
Gesamtstillstandszeit aller Maschinen minimiert. Ein weiteres Ziel kann in der Minimierung der Gesamtdurchlaufzeit
bestehen, wenn zusätzlich entweder keine Wartezeiten oder keine Stillstandszeiten nach der ersten Arbeitsaufnahme
auftreten sollen.


Revidiertes Simplexverfahren
●
●

Revidiertes Simplextableau
Revidierter Simplexschritt


Rundreiseproblem
Gegeben sind

Orte

zurücklegen. Dabei kann

. Um von

nach

zu gelangen, muß ein Reisender die Entfernung

möglich sein.

Es ist eine kürzeste Reiseroute so zu wählen, daß ein Reisender jeden Ort genau einmal besucht und am Ende zum
Ausgangsort zurückkehrt.
Wie beim Zuordnungsproblem ist wiederum in jeder Zeile und jeder Spalte der Entfernungsmatrix C genau ein
Element auszuwählen, so daß die Gesamtsumme der ausgewählten Elemente minimal wird. Allerdings wird die
numerische Lösung des Rundreiseproblems beträchtlich durch die Einschränkung erschwert, daß eine Anordnung
der markierten Elemente

in folgender Form möglich sein muß:

(18.30)
Das Rundreiseproblem kann durch die Anwendung von Verzweigungsverfahren (branch and bound) gelöst werden.


Simplextableau
Mit dem Simplexverfahren wird eine Folge von Eckpunkten des zulässigen Bereiches mit wachsenden
Zielfunktionswerten ermittelt. Der Übergang zu einer neuen Ecke wird vollzogen, indem eine zur gegebenen Ecke
gehörende Normalform zu einer Normalform der neuen Ecke umgewandelt wird. Zur übersichtlichen Darstellung
dieses Vorganges sowie zur Formalisierung der rechentechnischen Umsetzung wird eine als bekannt vorausgesetzte
Normalform (18.8a,b) in das folgende Simplextableau eingetragen:
Schema 2

oder kürzer

Die

-te Zeile des Tableaus ist zu lesen als
(18.14a)


Für die Zielfunktion gilt
(18.14b)
Aus dem Simplextableau wird die Ecke

abgelesen. Gleichzeitig ist der Zielfunktionswert

bestimmt.

dieser Ecke durch

Auf jedes Tableau trifft genau einer der drei Fälle zu:
a)
: Das Tableau ist optimal. Der Punkt

ist der

Maximalpunkt.
b)
Für mindestens ein

gilt

und

: Das lineare Optimierungsproblem

besitzt keine Lösung, da die Zielfunktion in Richtung wachsender

-Werte unbeschränkt wächst.

c)
Für alle

mit

übergehen mit

gibt es mindestens ein

mit

: Man kann von einer Ecke

.Für eine nichtentartete Ecke

gilt immer das ,,

zu einer Ecke

``-Zeichen.


Hilfsprogramm und künstliche Variable
Häufig ist es besonders bei einer großen Anzahl von Nebenbedingungen schwierig, sofort eine Ecke und damit ein
Simplextableau anzugeben. Daher stellt man zunächst ein Hilfsprogramm auf, aus dessen Lösung sich ein
Simplextableau der ursprünglichen Aufgabe ergibt. Dazu wird auf der linken Seite jeder Gleichung von
mit

eine künstliche Variable

addiert und das folgende Hilfsproblem

formuliert:
(18.17a)

(18.17b)

Mit

als Basisvariable kann sofort ein erstes Simplextableau angegeben werden:
Schema 5


Die letzte Zeile des Tableaus enthält die auf Nichtbasisvariable umgerechneten Koeffizienten der Hilfszielfunktion ZF
. Offensichtlich ist
dann ist

und folglich
keine Lösung.

. Ist für einen Maximalpunkt
eine Lösung von

des Hilfsproblems
. Andererseits besitzt

,
bei


Ecke mit maximalem Funktionswert
Die Bedeutung der Aussagen über die Ecken des zulässigen Bereiches
Ist

nicht leer und die Zielfunktion

auf

wird im folgenden Satz deutlich.

nach oben beschränkt, so ist mindestens eine Ecke

ein Maximalpunkt.
von
Eine lineare Optimierungsaufgabe kann somit gelöst werden, indem unter allen Ecken eine mit maximalem
in praktischen Problemstellungen sehr hoch
Funktionswert bestimmt wird. Da aber die Anzahl der Ecken von
sein kann, ist eine Methode erforderlich, die eine optimale Ecke zielsicher ansteuert. Eine solche Methode ist das
Simplexverfahren , auch Simplexalgorithmus genannt. Zu seinem Einsatz ist eine geeignete Darstellung der linearen
Optimierungsaufgabe erforderlich, aus der eine Ecke direkt abgelesen werden kann.


Simplexverfahren
●
●
●
●
●

Simplextableau
Übergang zum neuen Simplextableau
Bestimmung eines ersten Simplextableaus
Revidiertes Simplexverfahren
Dualität in der linearen Optimierung


Transportproblem
●
●
●

Modell
Ermittlung einer zulässigen Basislösung
Lösung des Transportproblems mit der Potentialmethode


Verteilungsproblem
Das Problem wird an Hand eines Beispiels dargelegt.
Beispiel
Die

Produkte

kann auf jeder der

sind in den Mengen
Maschinen

Produkteinheit des Produktes
dabei die Kosten

produziert werden. Zur Herstellung einer
benötigt die Maschine

. Die insgesamt für die Maschine

. Die auf jeder Maschine

herzustellen. Jedes Produkt

von jedem Produkt

die Bearbeitungszeit

und verursacht

zur Verfügung stehende Maschinenzeit sei
herzustellenden Mengen

sollen so

festgelegt werden, daß die verursachten Gesamtkosten möglichst gering sind.
Aus der Aufgabe ergibt sich das folgende allgemeine Modell eines Verteilungsproblems:

(18.29a)


(18.29b)

Das Verteilungsproblem ist eine Verallgemeinerung des Transportproblems und kann mit dem Simplexverfahren
gelöst werden. Sind alle

, dann kann nach Einführung eines fiktiven Produktes

Transportalgorithmus zur Lösung herangezogen werden.

der effektivere


Zuordnungsproblem
Die Darlegung erfolgt an Hand eines Beispiels.
Beispiel
Es sollen

Transportaufträge an

Transportunternehmen so vergeben werden, daß jedes Unternehmen

genau einen Auftrag erhält. Gesucht ist die kostengünstigste Zuordnung, wenn das
die Ausführung des

-ten Auftrages die Kosten

-te Unternehmen für

berechnet.

Ein Zuordnungsproblem ist ein spezielles Transportproblem mit

und

für alle

.

(18.28a)

(18.28b)


Jede zulässige Verteilungsmatrix enthält in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine 1 und sonst Nullen. Ausgehend
von einer zulässigen Verteilungsmatrix X kann das Zuordnungsproblem ohne Beachtung der
Ganzzahligkeitsforderungen mit dem Transportalgorithmus gelöst werden. Dabei ist jede zulässige Basislösung
(Ecke) entartet, da
treffen.

Basisvariable gleich Null sind. Es sind daher Maßnahmen zur Vermeidung von Zyklen zu


Verfahren für unrestringierte Aufgaben
Es wird das allgemeine Optimierungsproblem
(18.71)
mit einer stetig differenzierbaren Funktion

betrachtet. Mit den in diesem Abschnitt beschriebenen Verfahren wird

eine im allgemeinen unendliche Punktfolge
Die Punktfolge wird ausgehend von

konstruiert, deren Häufungspunkte stationäre Punkte sind.
nach der Vorschrift
(18.72)

berechnet, d.h., in

wird eine Richtung

festgelegt, wie weit

in Richtung

Abstiegsverfahren , wenn gilt

bestimmt und mittels des Schrittweitenparameters
von

entfernt liegt. Ein so konstruiertes Verfahren heißt


(18.73)
Die Bedingung

, wobei

der Nablaoperator ist, charakterisiert einen stationären Punkt und kann als

Abbruchtest für die Iterationsverfahren herangezogen werden.
●
●
●
●

Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)
Anwendung des Newton-Verfahrens
Verfahren der konjugierten Gradienten
Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)


Barriereverfahren
Es wird eine Folge von Ersatzproblemen der Form
(18.102)
betrachtet. Der Term

verhindert, daß der zulässige Bereich

Zielfunktion bei Annäherung an den Rand von

bei der Lösung von (18.102) verlassen wird, indem die

unbeschränkt wächst. Die Regularitätsbedingung
(18.103)

sei erfüllt, d.h., das Innere von
Die Funktion

ist auf

ist nicht leer und der Abschluß von

ist gleich

definiert und stetig. Sie wächst auf dem Rand von

einer gegen Null fallenden Folge von Barriereparametern

gelöst. Für die Lösung

.
nach
des

. Das Ersatzproblem (18.102) wird mit
-ten Problems (18.102) gilt

(18.104)

und jeder Häufungspunkt

der Folge

ist eine Lösung von (18.96).

Die folgende Abbildung zeigt eine Veranschaulichung des Barriereverfahrens.


Als Realisierungen für die Funktion

sind z.B. geeignet

(18.105a)

(18.105b)

Beispiel


,

Der Gradient von

wird hier nur bezüglich

gebildet. Subtraktion beider Gleichungen ergibt

,

,

Die Lösung der Aufgaben (18.97) und (18.102) im -ten Schritt hängt nicht von den Lösungen der vorangegangenen Schritte ab. Bei der
Verwendung großer Straf- bzw. kleiner Barriereparameter treten bei der Lösung von (18.97) und (18.102) mittels numerischer Verfahren
häufig Konvergenzprobleme auf, falls keine gute Startnäherung verfügbar ist. Praktisch nutzt man deshalb den Lösungspunkt des
Ersatzproblems als Startwert der Lösung des (

)-ten Problems.

-ten


Nichtlineare Optimierung
●
●
●
●
●
●
●
●

Problemstellung und theoretische Grundlagen
Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben
Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben
Numerische Suchverfahren
Verfahren für unrestringierte Aufgaben
Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen
Straf- und Barriereverfahren
Schnittebenenverfahren


Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)
Mit dem DFP-Verfahren ermittelt man, ausgehend von

, eine Punktfolge nach der Vorschrift
(18.83)

Dabei ist

eine symmetrische, positiv definite Matrix. Die Idee des Verfahrens besteht in einer schrittweisen

Approximation der inversen HESSE-Matrix durch die Matrizen

in dem Falle, daß

Funktion ist. Ausgehend von einer symmetrischen, positiv definiten Matrix
wird

aus

, z.B.

eine quadratische
(

Einheitsmatrix),

durch Addition einer Rang-Zwei-Korrekturmatrix

(18.84)

mit

und

erhält man durch Strahlminimierung aus

ermittelt. Die Schrittweite


(18.85)
Ist

eine quadratische Funktion, dann geht das DFP-Verfahren für

konjugierten Gradienten über.

in das Verfahren der


Verfahren der projizierten Gradienten
●
●
●

Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Algorithmus
Bemerkungen zum Algorithmus


Richtungssuchprogramm
Eine zulässige Abstiegsrichtung

im Punkt

kann durch Lösung des folgenden Optimierungsproblems

gewonnen werden:
(18.88)
(18.89a)

(18.89b)
(18.89c)
Gilt für die Lösung

dieses Richtungssuchprogrammes

(18.89b) die Abstiegseigenschaft von

, dann sichert (18.89a) die Zulässigkeit und

. Mit der Normierungsbedingung (18.89c) wird der zulässige Bereich für


das Richtungssuchprogramm beschränkt. Ist

, dann ist

ein stationärer Punkt, da in

keine zulässige

Abstiegsrichtung existiert.
Ein gemäß (18.89a,b,c) definiertes Richtungssuchprogramm kann innerhalb der Folge der beschränkten
Zickzack-Verhalten verursachen. Das kann vermieden werden, wenn die Indexmenge

ein

durch die

Indexmenge
(18.90)

der sogenannten in
ausgeschlossen, die von
heranführen (s. Abbildung).

-aktiven Restriktionen ersetzt wird. Dadurch werden lokal Abstiegsrichtungen
ausgehend näher an den von

-aktiven Restriktionen gebildeten Rand von


Ist nach dieser Modifizierung

Lösung von (18.89a,b,c), dann ist

erfüllt ist. Anderenfalls ist
wiederholen.

nur dann ein stationärer Punkt, wenn

geeignet zu verkleinern und das Richtungssuchprogramm zu


Gradientenverfahren für Probleme mit
Ungleichungsrestriktionen
Wenn das Problem
(18.86a)
mit einem Iterationsverfahren der Art
(18.86b)
gelöst werden soll, dann sind auf Grund des eingeschränkten zulässigen Bereiches zwei Voraussetzungen zu
beachten:
1.
Die Richtung

muß eine in

zulässige Abstiegsrichtung sein.

2.
Die Schrittweite

ist so zu bestimmen, daß auch

in

liegt.


Die verschiedenen Verfahren gemäß Vorschrift (18.86b) unterscheiden sich in der Konstruktion der Richtung
Um die Zulässigkeit der Folge

zu sichern, werden

bzw.

.

folgendermaßen bestimmt:
(18.87a)

Daraus resultiert
(18.87b)

Wenn in einem Schritt

●
●

keine zulässige Abstiegsrichtung

Verfahren der zulässigen Richtungen
Verfahren der projizierten Gradienten

existiert, dann ist

ein stationärer Punkt.


Verfahren der zulässigen Richtungen
●
●

Richtungssuchprogramm
Spezialfall linearer Restriktionen


Verfahren von Kelley
Die verschiedenen Verfahren unterscheiden sich in der Wahl der trennenden Hyperebenen
von KELLEY wird

auf folgende Weise bestimmt: Es wird

. Beim Verfahren

derart gewählt, daß gilt
(18.112)

Die Funktion

besitzt im Punkt

die Tangentialebene

(18.113)

Die Hyperebene

trennt den Punkt

. Daher wird als weitere Restriktion für das

von den Punkten

-te lineare Programm

mit
gesetzt.


Jeder Häufungspunkt

der Folge

ist ein Minimalpunkt des Ausgangsproblems.

In der praktischen Rechnung zeigt das Verfahren eine geringe Konvergenzgeschwindigkeit. Außerdem steigt die
Restriktionszahl ständig an.


Verfahren der konjugierten Gradienten
Zwei Vektoren

heißen konjugierte Vektoren bezüglich einer symmetrischen, positiv definiten Matrix

, wenn

gilt
(18.80)
Sind

paarweise konjugierte Vektoren bezüglich einer Matrix
, in

Problem

gebildet wird, wobei

Folge

Annahme, daß

in der Nähe des Minimalpunktes

, dann ist das konvexe quadratische

Schritten lösbar, wenn ausgehend von einem beliebigen

als optimale Schrittweite in Abstiegsrichtung gewählt wird. Unter der

annähernd quadratisch ist, d.h.

quadratische Zielfunktionen resultierende Verfahren auch auf allgemeinere Funktionen
dabei explizit die Matrix

die

benutzt wird.

Das Verfahren der konjugierten Gradienten besteht aus folgenden Schritten:

, kann das für

angewendet werden, ohne daß


(18.81)
wobei

eine geeignete Ausgangsnäherung für

ist.
(18.82a)
(18.82b)

(18.82c)

c) Wiederholung des Schrittes b) mit

und

an Stelle von

und

.


Konvexe Optimierung
●

Konvexe Aufgabe


Konvexität
Die Funktion

ist genau dann konvex (streng konvex), wenn die Matrix

positiv semidefinit (positiv definit)

ist. Alle Aussagen über konvexe Optimierungsprobleme können für quadratische Aufgaben mit positiv semidefiniter
Matrix

übertragen werden, insbesondere ist die SLATER-Bedingung immer erfüllt, und deshalb ist für die

Optimalität eines Punktes

notwendig und hinreichend, daß ein Punkt

entsprechende System der lokalen KUHN- TUCKER-Bedingungen erfüllt.

existiert, der das


Optimalitätsbedingungen
●
●
●
●
●
●
●

Spezielle Richtungen
Notwendige Optimalitätsbedingung
Lagrange-Funktion und Sattelpunkt
Globale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Hinreichende Optimalitätsbedingung
Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen
Notwendige Optimalitätsbedingung und Kuhn-Tucker-Bedingungen


Hinreichende Optimalitätsbedingung
Ist
Sind die Funktionen

ein Sattelpunkt von
und

, dann ist

ein globaler Minimalpunkt von (18.31a,b).

differenzierbar, dann können lokale Optimalitätsbedingungen abgeleitet werden.


Notwendige Optimalitätsbedingung
Ist

differenzierbar und

ein lokaler Minimalpunkt, dann gilt
(18.36a)

Insbsondere gilt
(18.36b)
falls

im Innern von

liegt.


Notwendige Optimalitätsbedingung und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Ist

ein lokaler Minimalpunkt von (18.31a,b) und erfüllt der zulässige Bereich in

Regularitätsbedingung
KUHN- TUCKER-Bedingungen.

die

, dann genügt

den lokalen


Quadratische Optimierung
●
●
●
●

Aufgabenstellung
Lagrange-Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Konvexität
Duales Problem


Schnittebenenverfahren
●
●

Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Verfahren von Kelley


Strafverfahren
Das Problem
(18.96)
wird durch die Folge unrestringierter Minimumaufgaben
(18.97)
ersetzt. Dabei ist

ein positiver Parameter. Für

gilt
(18.98)

d.h., das Verlassen des zulässigen Bereiches
wird mit einer gegen

wird mit einer ,,Strafe``

wachsenden Folge von Strafparametern

geahndet. Das Problem (18.97)

gelöst. Es gilt

(18.99)


Ist

die Lösung des

-ten Strafproblems, dann gilt:

(18.100)

und jeder Häufungspunkt

der Folge

ist eine Lösung von (18.96). Ist es ein

, so löst

das

Ausgangsproblem.
Als Realisierungen für

sind z.B. geeignet:

(18.101a)

(18.101b)

Sind die Funktionen

und

Differenzierbarkeit der Straffunktion

differenzierbar, so erreicht man im Falle

auch auf dem Rand von

, so daß analytische Hilfsmittel zur Lösung des Hilfsproblems (18.97)

herangezogen werden können.
Die Abbildung zeigt eine Veranschaulichung des Strafverfahrens.


Beispiel


.
Die notwendige Optimalitätsbedingung lautet:
.

Der Gradient von

wird hier nur bezüglich

Die Gleichung

gebildet. Durch Subtraktion beider Gleichungen folgt
besitzt die eindeutige Lösung

.
Durch den Grenzübergang

ergibt sich als Lösung

.


Verfahren des Goldenen Schnittes und Fibonacci-Verfahren
Das Intervall
enthält. Im Intervall

wird schrittweise so verkleinert, daß das jeweils neue Teilintervall den Minimalpunkt
werden die Punkte
(18.67a)

(18.67b)
ermittelt. Das entspricht einer Teilung nach dem Goldenen Schnitt.
Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:
(18.68a)
(18.68b)


Ist
Werte
Intervalls

, dann wird das Verfahren mit dem Intervall
(Fall a)) bzw.

wiederholt, wobei aber nunmehr einer der

(Fall b)) aus dem ersten Schritt verwendet werden kann. Zur Berechnung eines

, in dem der Minimalpunkt

liegt, sind somit insgesamt

Funktionswertberechnungen

erforderlich. Aus der Forderung
(18.69)
kann eine Abschätzung der notwendigen Schrittzahl

gewonnen werden.

Mit dem Verfahren des Goldenen Schnittes wird höchstens eine Funktionswertberechnung mehr benötigt als mit dem
FIBONACCI-Verfahren . An Stelle einer Intervallunterteilung gemäß dem Goldenen Schnitt erfolgt hier eine
Unterteilung mit Hilfe der FIBONACCI-Zahlen.


Verfahren von Hildreth-d'Esopo
●
●

Prinzip
Iterationslösung


Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben
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●

Verfahren von Wolfe
Verfahren von Hildreth-d'Esopo


Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum
Die Suche nach einer Näherung für einen Minimalpunkt

des Problems

, kann auf die

Lösung einer Folge eindimensionaler Optimierungsprobleme zurückgeführt werden.
(18.70a)
die eindimensionalen Probleme

b) Man löst für

(18.70b)
Ist

ein Minimalpunkt bzw. eine Näherung des

-ten Problems, dann setzt man

.

c) Unterscheiden sich zwei aufeinander folgende Näherungen hinreichend wenig, d.h. gilt für die Norm
(18.70c)
dann ist

eine Näherung für

. Anderenfalls geht man mit

an Stelle von

zu Schritt b über. Die

eindimensionalen Probleme im Schritt b) können unter anderem auch mit den unter Eindimensionale Suche beschriebenen
Suchverfahren gelöst werden.


Numerische Suchverfahren
Suchverfahren ermöglichen für eine Reihe von Optimierungsproblemen, mit geringem Rechenaufwand akzeptable
Näherungslösungen zu ermitteln. Sie beruhen prinzipiell auf dem Vergleich von Funktionswerten.
●
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Eindimensionale Suche
Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum


Verfahren von Wolfe
●

Aufgabenstellung und Lösungsprinzip


Zuordnung
Jeder linearen Optimierungsaufgabe (primales Problem) läßt sich umkehrbar eindeutig ein zweites
Optimierungsproblem (duales Problem) zuordnen:
Primales Problem:
(18.19a)

(18.19b)
Duales Problem:
(18.20a)


(18.20b)
Die Koeffizienten der Zielfunktion des einen Problems bilden die rechte Seite der Nebenbedingungen des anderen
Problems. Jeder freien Variablen entspricht eine Gleichungs- und jeder vorzeichenbeschränkten Variablen eine
Ungleichungsbedingung des jeweiligen anderen Problems.


Ermittlung der Normalform
Ist eine Ecke von

bekannt, dann kann eine Normalform des linearen Optimierungsproblems wie folgt ermittelt

werden. Man wählt eine zur Ecke gehörende Basis aus Spalten von A. Die Basisvariablen werden zum Vektor
und die Nichtbasisvariablen zum Vektor
Basismatrix A

zusammengefaßt. Die zur Basis gehörenden Spalten bilden die

, die restlichen Spalten die Matrix A

. Dann gilt
(18.9)

Die Matrix A

ist regulär und besitzt die Inverse A

, die sogenannte Basisinverse . Multiplikation von (18.9) mit A

und Umstellung der Zielfunktion nach den Nichbasisvariablen liefert eine kanonische Form des Linearen
Optimierungsproblems:
(18.10a)
(18.10b)


Beispiel
Im obigen Beispiel ist

eine Ecke. Somit ist:

(18.11a)

und

(18.11b)

Es ergibt sich das System

(18.12)

Aus

erhält man durch Subtraktion der mit 3 multiplizierten ersten Nebenbedingung


eine auf Nichtbasisvariablen umgerechnete Zielfunktion
(18.13)


Normalform und Basislösung
Die lineare Optimierungsaufgabe kann immer, eventuell durch Umbenennung der Variablen, folgendermaßen
umgeformt werden:
(18.8a)

(18.8b)

Die letzten

Spalten der Koeffizientenmatrix sind offensichtlich linear unabhängig und bilden eine Basis. Die

Basislösung
Gleichungssystem abgelesen werden. Ist

kann sofort aus dem
, dann heißt (18.8a,b) eine Normalform oder kanonische Form des


linearen Optimierungsproblems . In diesem Falle ist die Basislösung zulässig, d.h., sie ist
Ecke von

. In der Normalform bezeichnet man die Variablen

als Nichtbasisvariable und

als Basisvariable . Der zur Ecke gehörende Zielfunktionswert ist
auftretenden

-Komponenten, die Nichtbasisvariablen, verschwinden.

, und somit eine

, da die in der Zielfunktion


Normalform der linearen Optimierungsaufgabe
●
●

Normalform und Basislösung
Ermittlung der Normalform


Spezielle lineare Optimierungsprobleme
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●
●
●
●

Transportproblem
Zuordnungsproblem
Verteilungsproblem
Rundreiseproblem
Reihenfolgeproblem


Allgemeine Form
Ein lineares Optimierungsproblem besitzt die folgende allgemeine Form:
(18.1a)

(18.1b)

Abgekürzte Schreibweise: Die abgekürzte Schreibweise wird Kurzform genannt:
(18.2a)


(18.2b)

Dabei bedeuten:


Vorzeichenfestlegung: Nebenbedingungen mit ,,

``-Zeichen werden durch Multiplikation mit

auf die

obige Form gebracht.
Minimumaufgabe: Eine Minimumaufgabe

wird in die äquivalente Maximumaufgabe

überführt:
(18.3)
Ganzzahligkeitsforderungen: Mitunter werden an einige Variable zusätzlich Ganzzahligkeitsforderungen
gestellt. Auf derartige diskrete Probleme soll hier nicht näher eingegangen werden.


Zulässiger Bereich
Die Menge aller nichtnegativen Vektoren
Bereich

, die allen Nebenbedingungen genügen, bilden den zulässigen

:
(18.6a)

Ein Punkt

mit der Eigenschaft
(18.6b)

heißt Maximalpunkt oder Lösungspunkt des linearen Optimierungsproblems.


Ermittlung einer zulässigen Basislösung
Mit der ,,Nordwestecken-Regel `` kann immer eine erste zulässige Basislösung (Ecke) ermittelt werden:
(18.26a)
(18.26b)
(18.26c)
(18.26d)
Liegen nur noch eine Zeile, aber mehrere Spalten vor, dann ist eine Spalte zu streichen und umgekehrt.
c) Ersetze

durch

und

durch

und wiederhole den Vorgang mit dem reduzierten Schema.

Alle bei diesem Verfahren besetzten Variablen sind Basisvariable, alle anderen sind Nichtbasisvariable und erhalten den Wert
0.
Beispiel


Ermittlung einer ersten Ecke mit der Nordwestecken-Regel:

Hinweis: Verfahren zur Aufstellung eines ersten Verteilungsplanes, die auch die anfallenden Transportkosten berücksichtigen
(z.B. VOGELsche Approximationsmethode, s. Lit. 18.15), liefern im allgemeinen bessere Erstlösungen.


Lösung des Transportproblems mit der Potentialmethode
Die Basisvariablen werden iterativ gegen die Nichtbasisvariablen ausgetauscht, um so jeweils eine zugehörige
modifizierte Kostenmatrix zu berechnen. Der Rechengang wird am Beispiel erläutert.
a)
Ermittlung der modifizierten Kostenmatrix

aus C mittels
(18.27a)

unter den Bedingungen
(18.27b)
Dazu werden in C die zu Basisvariablen gehörenden Kosten markiert und
und

, auch Potentiale bzw. Simplexmultiplikatoren genannt, werden so errechnet, daß zu markierten Kosten

gehörende

Beispiel

gesetzt. Die weiteren Größen

und

zusammen mit den Kosten

die Summe 0 ergeben:


(18.27c)

b)
Berechnung von:
(18.27d)
Ist

, dann ist der gegebene Verteilungsplan X optimal; anderenfalls wird

als neue Variable gewählt. Im

.

Beispiel ist
c)
In

werden

und die zu Basisvariablen gehörenden Kosten markiert. Enthält

eine Zeile oder Spalte

mit maximal einem markierten Element, dann wird diese Spalte oder Zeile gestrichen. Mit der verbleibenden
Restmatrix wird dieser Vorgang wiederholt, bis keine Streichungen mehr möglich sind.

(18.27e)

d)


Die zu verbleibenden markierten Elementen
. Alle weiteren zu markierten
Nebenbedingungen erfüllt bleiben. Die Größe

gehörenden

bilden einen Zyklus. Man setzt zunächst

gehörenden

werden so bestimmt, daß die

errechnet sich aus
(18.27f)

wobei

Nichtbasisvariable wird. Im Beispiel ist

.

(18.27g)

Danach wird das Verfahren ab Schritt 1 und

wiederholt.


(18.27h)

(18.27i)

Die nächste zu bestimmende Matrix
Verteilungsplan.

enthält keine negativen Elemente. Deshalb ist

ein optimaler


Formulierung mit vorzeichenbeschränkten Variablen und Schlupfvariablen
Für die Herleitung eines Lösungsverfahrens ist es günstig, das System der Nebenbedingungen (18.1b; 18.2b) als
Gleichungssystem mit vorzeichenbeschränkten Variablen zu schreiben. Dazu wird jede freie Variable
Differenz von jeweils zwei nichtnegativen Variablen

durch die

ersetzt. Die Ungleichungsbedingungen

werden durch Addition einer nichtnegativen Variablen, der Schlupfvariablen , in Gleichungen überführt. Damit nimmt
das lineare Optimierungsproblem die folgende Form an:
Die Kurzform lautet:
(18.4a)

(18.4b)


(18.5a)
(18.5b)
Es kann vorausgesetzt werden, daß
widersprüchliche Gleichungen enthält.

, da anderenfalls das Gleichungssystem linear abhängige bzw.


Minimalpunkte
Ein Punkt

heißt globaler Minimalpunkt , wenn

Beziehung nur für zulässige Punkte

aus einer Umgebung

für alle
von

gilt. Ist diese

erfüllt, dann ist

ein lokaler

Minimalpunkt . Aus den Kriterien für die Minimalpunkte ergeben sich die Optimalitätsbedingungen.
Da die Gleichungsrestriktionen

durch die zwei Ungleichungen
(18.33)

beschrieben werden können, kann im folgenden von einer leeren Menge

ausgegangen werden.


Nichtlineares Optimierungsproblem
Unter einem nichtlinearen Optimierungsproblem werden Aufgaben der Grundform
(18.31a)
(18.31b)
verstanden, wenn mindestens eine der Funktionen

,

,

nicht linear ist. Die Menge

aller zulässigen

Punkte wird beschrieben durch
(18.32)
Die Aufgabe besteht in der Bestimmung von Minimalpunkten.


Typen dynamischer Systeme, Orbits
Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt zur Beschreibung der Zeitentwicklung physikalischer,
biologischer und anderer real existierender Systeme. Es wird definiert durch einen Phasenraum
oft der

, der im weiteren

, eine Teilmenge davon oder ein metrischer Raum ist, und eine einparametrige Familie von Abbildungen
, wobei der Parameter

( Zeit ) aus

( zeitkontinuierlich ) oder

bzw.

( zeitdiskret ) ist.

muß dabei

Für beliebiges
a)
und
b)

für alle

Im weiteren wird die Zeitmenge mit

gelten. Die Abbildung

bezeichnet. Dabei kann

wird kurz als

geschrieben.

oder


sein. Ist

, so nennt man das dynamische System auch Fluß ; ist
und

diskretes dynamisches System vor. Da bei
auch die inverse Abbildung

oder

, liegt ein

wegen a) und b) für jedes

neben

existiert, spricht man hier von invertierbaren dynamischen Systemen.

Ist das dynamische System nicht invertierbar, dann versteht man für eine beliebige Menge
unter

das Urbild von

bezüglich

, d.h. die Menge

. Ist für jedes

Für beliebiges festes
Systems mit Anfang
Trajektorie ) durch

die Abbildung

stetig bzw.

), so heißt das dynamische System stetig bzw.

stetig differenzierbar (dabei sei

definiert die Abbildung
zur Zeit
, d.h.

und beliebiges

- glatt .

eine Bewegung des dynamischen

. Das Bild

einer Bewegung mit Anfang

ist der Orbit (oder die

. Analog wird der positive Semiorbit durch
und, falls

-mal

oder

ist, der negative Semiorbit durch

als
als


definiert.
Der Orbit

heißt Ruhelage , wenn
für alle

heißt Periode .

und

ist, und T-periodisch , wenn ein

existiert, so daß

die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Die Zahl


Homokline und heterokline Orbits
Es seien

und
und

zwei hyperbolische Ruhelagen oder periodische Orbits von (17.1). Die Separatrixflächen
können sich schneiden. Der Schnitt besteht dann aus ganzen Orbits. Für zwei Ruhelagen

oder periodische Orbits heißt jeder Orbit
Abbildung), und homoklin , falls
(s. rechte Abbildung).

heteroklin , falls

ist (s. linke

. Homokline Orbits von Ruhelagen heißen auch Separatrixschleifen


Beispiel
Das LORENZ-System (17.2) wird bei festen Parametern
betrachtet. Die Ruhelage

von (17.2) ist für

zweidimensionale stabile Mannigfaltigkeit
charakterisiert wird. Bei

ein Sattel, der durch eine

und eine eindimensionale instabile Mannigfaltigkeit
bilden sich in

beiden Äste der instabilen Mannigfaltigkeit kehren für
Ursprung zurück (s. Lit. 17.4, 17.14).

und veränderlichem

zwei Separatrixschleifen, d.h., die
über die stabile Mannigfaltigkeit in den


Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines
Sattelknotens
Beispiel
Das parameterabhängige System

hat in Polarkoordinaten

die Form
(17.73)

Offenbar ist bei beliebigem Parameter
Ruhelage

) streben für

auf dem Kreis, die bei

der Kreis

invariant unter (17.73), und alle Orbits (außer der

zu diesem Kreis. Für

liegen ein Sattel und ein stabiler Knoten

zu einer zusammengesetzten Ruhelage vom Sattelknoten-Typ verschmelzen. Für

liegt keine Ruhelage mehr auf der Kreislinie, die dann einen periodischen Orbit repräsentiert (s. Abbildung).


Klassifizierung periodischer Orbits
Hat der periodische Orbit
Einheitskreis, so heißt

von (17.1) außer

keinen weiteren Multiplikator auf dem komplexen

hyperbolisch . Der hyperbolische periodische Orbit heißt vom Typ

Multiplikatoren innerhalb und

Multiplikatoren außerhalb des Einheitskreises liegen. Ist

, so heißt der periodische Orbit vom Typ

und

sattelartig .

Nach einem Satz von ANDRONOV und WITT ist ein hyperbolischer periodischer Orbit
asymptotisch stabil. Hyperbolische periodische Orbits vom Typ

Beispiel A

, wenn

von (17.1) vom Typ
mit

sind instabil.


Ein periodischer Orbit

in der Ebene mit den Multiplikatoren

ist asymptotisch stabil, wenn

Liegt außer

, d.h. wenn

und

ist.

noch ein weiterer Multiplikator auf dem komplexen Einheitskreis, so ist der Satz von

ANDRONOV-WITT nicht anwendbar. Zur Stabilitätsanalyse des periodischen Orbits reichen die Informationen über die
Multiplikatoren nicht aus.
Beispiel B
mit der

Als Beispiel sei das ebene System
glatten Funktion
und

gegeben, die zusätzlich den Eigenschaften
für alle

, genügt. Offenbar ist

eine

-periodische Lösung des betrachteten Systems und

die FLOQUET-Darstellung der Fundamentalmatrix. Aus ihr erkennt man, daß

ist. Die


Verwendung von Polarkoordinaten führt zum System
sofort, daß der periodische Orbit

asymptotisch stabil ist.

. Aus dieser Darstellung folgt


Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits
Gegeben sei das System (17.53) mit
periodischen Orbit

und

. Das System (17.53) habe bei

mit den Multiplikatoren

den

und

.

Nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen werden Bifurkationen in der POINCARÉ-Abbildung
(17.64) durch die eindimensionale reduzierte Abbildung (17.66) mit
und

beschrieben. Wird dabei

vorausgesetzt, so führt dies auf die Normalformen

(17.67)
(bei

bzw.

(bei

nahe
und die zugehörigen Phasenporträts sind für verschiedene
sehen (s. Lit. 17.1).

. Die Iterationsverläufe von (17.67)
in den folgenden beiden Abbildungen zu


Für

liegen eine stabile und eine instabile Ruhelage nahe
verschmelzen. Für

Ruhelage

vor, die für

existiert keine Ruhelage nahe

in der instabilen
. Die durch (17.67)

beschriebene Bifurkation in (17.66) heißt subkritische Sattelknoten-Bifurkation für Abbildungen.
Für die Differentialgleichung (17.53) beschreiben die Eigenschaften der Abbildung (17.67) die Bifurkation eines
zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits: Bei
Orbit

und ein instabiler periodischer Orbit

der sich bei

auflöst (s. Abbildung).

, die bei

existieren ein stabiler periodischer

zu einem semistabilen Orbit

verschmelzen,


Wavelets
Der FOURIER-Transformation fehlt eine Lokalisierungseigenschaft, d.h. ändert sich ein Signal an einer Stelle, dann
ändert sich die Transformierte überall, ohne daß durch ,,einfaches Hinsehen`` die Stelle der Änderung gefunden
werden kann. Der Grund liegt darin, daß die FOURIER-Transformation ein Signal in ebene Wellen zerlegt. Diese
werden durch trigonometrische Funktionen beschrieben, die beliebig lange mit der derselben Periode schwingen. Bei
der Wavelet-Transformation dagegen wird eine fast beliebig wählbare Funktion
Welle), zur Analyse eines Signals verschoben und gestaucht.

Beispiele für Wavelets sind:

Beispiel A
HAAR-Wavelet (s. die folgende Abbildung):

, das Wavelet (kleine lokalisierte


(15.144)

Beispiel B
Mexikanischer Hut (s. die folgende Abbildung).

(15.145)


Allgemein gilt: Als Wavelet kommem alle Funktionen
FOURIER-Transformierte

in Frage, die quadratisch integrierbar sind und deren

gemäß (15.143a) zu einem positiven endlichen Integral

(15.146)
führen. Im Zusammenhang mit Wavelets sind die folgenden Eigenschaften und Definitionen wichtig:

Mittelwert
Für den Mittelwert von Wavelets gilt:
(15.147)


Moment
Als

-tes Moment eines Wavelets

bezeichnet man das Integral

(15.148)

Die kleinste positive natürliche Zahl

, für die

gilt, heißt Ordnung des Wavelets

.

Beispiel
Für das HAAR-Wavelet (15.144) gilt

, für den mexikanischen Hut (15.145)

.

Ordnung
Falls

für alle

endliche Ordnung.

Ortogonalität

gilt, ist

von unendlicher Ordnung. Wavelets mit beschränktem Träger haben stets eine


Ein Wavelet der Ordnung

●

Mittelwert

ist orthogonal zu allen Polynomen vom Grade

.


Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar
Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar mit der Gleichung (3.461) können eine oder
mehrere Kurven sein. Sie bestehen entweder aus den Punkten der größten Annäherung bzw. aus den Grenzpunkten
der Schar, oder sie bilden die Einhüllende (Enveloppe) der Schar (linke Abbildung), d.h. eine Kurve, die jede Kurve
der Schar berührt (zweite Abbildung von links). Auch Kombinationen beider Arten sind möglich (zwei rechte
Abbildungen).


Bogenlänge
Verläuft die Orthodrome durch die Punkte
Abstand

und

, dann berechnet man den sphärischen

oder die Bogenlänge zwischen den beiden Punkten mit dem Seitenkosinussatz:
(3.214a)

Unter Berücksichtigung des Erdradius

läßt sich dieser Mittelpunktwinkel in eine Länge umrechnen:
(3.214b)


Nordpolnächster Punkt und Äquatorschnittpunkte
Nordpolnächster Punkt: Die Koordinaten des nordpolnächsten Punktes
mit dem Kurswinkel

durch den Punkt

einer Orthodrome
ergeben sich


unter Berücksichtigung seiner relativen Lage zu

sowie des Vorzeichens von

nach der NEPERschen

Regel gemäß Abbildung als:
(3.212a)
und
(3.212b)
Äquatorschnittpunkte: Die Äquatorschnittpunkte

und

ergeben sich gemäß (3.210) wegen

der Orthodrome
zu:
(3.213)

Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.


Gleichung der Orthodrome
Bewegungen auf Orthodromen - die Meridiane und der Äquator ausgenommen - sind mit der Notwendigkeit einer
ständigen Kursänderung verbunden. Solche Orthodromen mit ortsabhängigen Kurswinkeln
unter Zuhilfenahme ihres nordpolnächsten Punktes

können eindeutig

beschrieben werden, wobei

ist.


Im nordpolnächsten Punkt hat die Orthodrome den Kurswinkel
und den laufenden Punkt

dessen relative Lage zu

Die Gleichung der Orthodrome durch
beliebig ist, ergibt sich nach der

NEPERschen Regel gemäß als:
(3.210)


Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Für die Schnittpunkte

und

einer Orthodrome mit dem Breitenkreis

ergibt sich gemäß (3.210):
(3.216)
Nach der NEPERschen Regel gilt für die beiden Schnittwinkel
dem nordpolnächsten Punkt

den Breitenkreis

und

unter denen eine Orthodrome mit
schneidet:
(3.217)

Für den minimalen Kurswinkel
extremal sein. Man erhält:
Betrag des Kurswinkels minimal:

muß das Argument in der Arkussinusfunktion hinsichtlich der Variablen
d.h., in den Schnittpunkten mit dem Äquator ist der


(3.218)

Hinweis 1: Lösungen von (3.216) ergeben sich nur für
Hinweis 2: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.


Schnittpunkt mit einem Meridian
Für den Schnittpunkt

einer Orthodrome mit dem Meridian

ergibt sich gemäß (3.210):
(3.219)


Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems
1. Anzahl der Eigenwerte: Die Matrix A hat genau

reelle Eigenwerte

die

entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen sind.
2. Orthogonalität der Eigenvektoren: Die zu verschiedenen Eigenwerten
Eigenvektoren

und

gehörenden

sind orthogonal, d.h., es gilt
(4.126)

3. Matrix mit
existieren

-fachem Eigenwert: Zu einem

-fachen Eigenwert

linear unabhängige Eigenvektoren

nichttrivialen Linearkombinationen Eigenvektoren zu

Wegen (4.124) sind auch alle
. Davon können

mit Hilfe des GRAM-SCHMIDTschen

Orthogonalisierungsverfahrens ausgewählt werden, die orthogonal sind. Insgesamt gilt: Die Matrix A besitzt
genau

reelle orthogonale Eigenvektoren.


Beispiel

und

Die Eigenwerte sind

Aus dem zugehörigen homogenen Gleichungssystem erhält man
beliebig,

Man wählt

und

Man erhält

und

beliebig,

und

und

erhält die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren

wobei

beliebig,

beliebige Konstanten sind.

wählt z.B.

und erhält den


Eigenvektor

wobei

eine beliebige Konstante ist. Die Matrix A ist

symmetrisch, die zu den verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind orthogonal.


Orthonormalsystem
Zwei quadratisch integrierbare Funktionen

mit

werden als orthogonal bezeichnet, falls

gilt
(11.44a)

Ein Funktionensystem

im Raum

wird als Orthonormalsystem bezeichnet, wenn die

Beziehungen
(11.44b)

erfüllt sind. Ein Orthonormalsystem ist überdies vollständig , wenn in

keine Funktion

existiert,

die zu allen Funktionen dieses Orthonormalsystems orthogonal ist. Ein vollständiges Orthonormalsystem besteht aus


abzählbar vielen Funktionen, die eine Basis des Raumes
ein Orthonormalsystem

bilden. Um aus einem Funktionensystem

zu ermitteln, kann das GRAM-SCHMIDTsche

Orthogonalisierungsverfahren verwendet werden. Es bestimmt sukzessive für

die Koeffizienten

derart, daß

(11.44c)

normiert und zu allen Funktionen

orthogonal ist.


Komplexe Nullstellen
Zur Eingrenzung des Bereichs, der in der komplexen Zahlenebene für die reellen oder komplexen Nullstellen in
Frage kommt, geht man von der Polynomgleichung (19.11) zu der Gleichung
(19.20)
über und bestimmt z.B. durch systematisches Probieren eine obere Schranke
(19.20). Es gilt dann für alle Nullstellen

für die positiven Nullstellen von

von (19.11):
(19.21)

Beispiel


,
. Man erhält für

. Tatsächlich gilt für die betragsgrößte Nullstelle

Daraus folgt
.

Hinweis: Für die Bestimmung der Anzahl der komplexen Nullstellen mit negativem Realteil sind z.B. in der
Elektrotechnik in der sogenannten Ortskurventheorie spezielle Verfahren entwickelt worden, die dort als
Stabilitätskriterien bezeichnet werden (s. Lit. 19.11, 19.38).


Parabel
●
●
●
●
●
●
●
●

Elemente der Parabel
Gleichung der Parabel
Haupteigenschaft der Parabel
Durchmesser der Parabel
Tangente an die Parabel
Krümmungskreisradius der Parabel
Flächeninhalte in der Parabel
Länge des Parabelbogens


Parabel n-ter Ordnung
Die Funktion
(2.45)
mit

ganzzahlig, liefert als Kurve eine Parabel

Spezialfall

: Die Kurve

-ter Ordnung .

geht durch die Punkte (0,0) und (1,1) und berührt oder schneidet die

-Achse im Koordinatenursprung. Für gerades

ergibt sich eine zur

-Achse symmetrische Kurve mit

ergibt sich eine zentralsymmetrische Kurve zum
einem Minimum im Koordinatenursprung. Für ungerades
Koordinatenursprung, der zugleich Wendepunkt ist. Asymptoten gibt es keine.


Allgemeiner Fall

: Man erhält die Kurve

Streckung der Abszissen mit dem Faktor

. Für

aus der zu
spiegelt man

gehörenden Kurve durch
an der

-Achse.


Paraboloide
Da Paraboloide keinen Mittelpunkt besitzen, wird in den folgenden Gleichungen davon ausgegangen, daß der
Scheitel des Paraboloids im Koordinatenursprung liegt, die
die

-Achse zur Symmetrieachse wird und die

- sowie

-Ebenen Symmetrieebenen sind.
1. Elliptisches Paraboloid:
(3.412)


Ebenenschnitte parallel zur

-Achse liefern als Schnittfiguren Parabeln, parallel zur

2. Rotationsparaboloid: Für
Parabel mit

-Ebene Ellipsen.

erhält man ein Rotationsparaboloid, das man sich durch Rotation einer

um ihre in der

-Ebene liegende Achse entstanden denken kann.

Der Rauminhalt eines Paraboloidschale, die von einer Ebene senkrecht zur
abgeschnitten wird, ist

-Achse in der Höhe

(3.413)
d.h., halb so groß wie der Rauminhalt des elliptischen Zylinders mit der gleichen Deckfläche und Höhe.
3. Hyperbolisches Paraboloid:


(3.414)

Schnitte parallel zur
parallel zur

-Ebene und zur

-Ebene liefern kongruente Parabeln als Schnittfiguren, Schnitte

-Ebene Hyperbeln sowie ein Paar einander schneidender Geraden.


Tangente an die Parabel
Die Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt

lautet
(3.345)


Tangente und Normale der Parabel sind Winkelhalbierende für die Winkel zwischen dem vom Brennpunkt
ausgehenden Radiusvektor und dem Durchmesser des Berührungspunktes. Die Strecke auf der Parabeltangente
zwischen dem Berührungspunkt und dem Schnittpunkt mit der Parabelachse auf der
Tangente im Parabelscheitel, d.h. durch die

-Achse wird durch die

-Achse halbiert:
(3.346)

Eine Gerade mit der Gleichung

ist eine Tangente an die Parabel, wenn gilt:
(3.347)


Parallelepiped
Parallelepiped werden Prismen mit Parallelogrammen als Grundfläche genannt.

In einem Parallelepiped schneiden sich alle vier Raumdiagonalen in einem Punkt und halbieren einander.


Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften
Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man in einem Prä- HILBERT-Raum durch die Festlegung
(12.106)
eine Norm erzeugen. Ein normierter Raum

heißt unitär , wenn man in ihm ein Skalarprodukt

einführen kann, das mit der Norm durch (12.106) verknüpft ist. Im unitären Raum gelten aufgrund des
Vorhandenseins des Skalarprodukts und der Verknüpfung (12.106) die folgenden bemerkenswerten Eigenschaften:
1. Dreiecksungleichung:
(12.107)
2. CAUCHY- SCHWARZsche oder SCHWARZ-BUNJAKOWSKIsche Ungleichung:
(12.108a)
3. Parallelogrammgleichung: In der Klasse aller normierten Räume charakterisiert sie die unitären Räume.
(12.108b)


4. Stetigkeit des Skalarprodukts:
(12.108c)


Partialbruchzerlegung, allgemeiner Fall
Jeder echte Bruch, bei dem Zählerpolynom und Nennerpolynom teilerfremd sind,
(1.48)

kann eindeutig in eine Summe von Partialbrüchen zerlegt werden. In dieser Gleichung sind die Koeffizienten
beliebige reelle Zahlen; der Koeffizient der höchsten Potenz im Nenner, also
wird auf den Wert 1 gebracht, indem Zähler und Nenner des Bruches durch den ursprünglichen Koeffizienten
dieses Gliedes dividiert werden. Die Partialbrüche haben die Form

(1.49a)

(1.49b)


mit

(1.49c)

Bei Beschränkung auf reelle Zahlen sind folgende vier Fälle 1, 2, 3 und 4 möglich. Fällt diese Beschränkung weg,
dann treten nur zwei Fälle auf, da die Fälle 1 und 3 sowie 2 und 4 zusammenfallen. So betrachtet kann jeder Bruch
in Brüche der Form (1.49a) zerlegt werden, wobei
Differentialgleichungen wird davon Gebrauch gemacht.

und

komplexe Zahlen sind. Bei der Lösung linearer


Einige Fälle der Partialbruchzerlegung, Nr. 105 bis 108


Unendliche Reihe und ihre Summe
Aus den Gliedern

einer unendlichen Zahlenfolge

kann formal der Ausdruck

(7.12)
gebildet werden, der eine unendliche Reihe genannt wird. Die Summen
(7.13)
nennt man Partialsummen .


Winkel im Kreis
(3.44)

(3.45)


(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)


Binäre Relationen
1. Begriff der binären Relation in einer Menge: Besondere Bedeutung haben zweistellige (binäre)
Im Falle binärer Relationen ist auch die Schreibweise

Relationen in einer Menge, d.h
statt

üblich.

Beispiel
Als Beispiel werde in der Menge

die Teilbarkeitsbeziehung betrachtet, d.h. die

binäre Relation
(5.67)
2. Pfeildiagramme: Endliche binäre Relationen

in einer Menge

Relationsmatrizen dargestellt. Die Elemente von

werden als Punkte in der Ebene dargestellt, und genau

dann wird ein Pfeil von
Relation

gezeigt.

nach

gezeichnet, wenn

werden durch Pfeildiagramme oder

gilt. In der Abbildung ist das Pfeildiagramm der


3. Relationsmatrix: Die Elemente von
Am Schnittpunkt der Zeile zu

werden als Zeilen- und Spalteneingänge einer Matrix verwendet.
mit der Spalte zu

notiert. Die folgende Tabelle gibt die Relationsmatrix für

wird eine 1, falls
wieder:

gilt, ansonsten eine 0


Pharmazentralnummer
In Apotheken wird zur Kennzeichnung von Arzneimitteln ein ähnliches Nummernsystem mit Prüfziffer verwendet.
Jedes Medikament erhält eine 7-stellige Pharmazentralnummer :
(5.185a)
Die letzte Ziffer ist die Prüfziffer

die man als kleinste nichtnegative Zahl erhält, die die Kongruenz
(5.185b)

erfüllt. Auch bei diesem Prüfzifferverfahren werden die Verwechlung einer Ziffer und Drehfehler durch Vertauschung
zweier Ziffern stets aufgedeckt.


Phasenporträt
a)
Ist

eine Lösung von (17.1), so ist mit einer beliebigen Konstanten

die Funktion

ebenfalls

eine Lösung.
b)
Zwei beliebige Orbits von (17.1) haben keinen gemeinsamen Punkt oder stimmen überein. Der Phasenraum
von (17.1) zerfällt also in disjunkte Orbits. Die Zerlegung des Phasenraumes in disjunkte Orbits heißt
Phasenporträt .
c)
Jeder Orbit, verschieden von einer Ruhelage, ist eine reguläre glatte Kurve, die geschlossen oder nicht
geschlossen sein kann.


Austauschregeln
Das in dem linken Schema hervorgehobene Element
Pivotspalte und Pivotzeile . Die Elemente

und

wird Pivotelement genannt; es steht im Schnittpunkt von
des neuen rechten Schemas werden nach den folgenden Austauschregeln

bestimmt:
(4.106a)
(4.106b)
(4.106c)
(4.106d)
Zur Rechenerleichterung (4. Regel) werden die Elemente

dem Ausgangsschema als

hinzugefügt. Mit Hilfe dieser Austauschregeln können weitere Variable ausgetauscht werden.

-te Zeile (Kellerzeile)


Nichtentarteter Fall
Ist ein Tableau nicht entscheidbar (Fall c), dann wird ein neues Tableau bestimmt, indem eine Basisvariable
ausgewählt und gegen eine Nichtbasisvariable

ausgetauscht wird:
Schema 3

Dabei sind folgende Austauschregeln zu beachten:
(18.15a)


(18.15b)
(18.15c)

(18.15d)
Das Element

heißt Pivotelement , die

-te Zeile Pivotzeile und die

-te Spalte Pivotspalte . Bei der Auswahl

von Pivotzeile und Pivotspalte sind zwei Bedingungen zu berücksichtigen:
a)
Das neue Tableau muß zulässig sein, d.h., es muß gelten

.

b)
Es muß gelten

Dann ist

.

eine neue Ecke mit nicht kleinerem Zielfunktionswert

angegebenen Bedingungen werden mit der folgenden Wahl des Pivotelementes erfüllt:
a)

. Die


Wähle ein

mit

als Pivotspalte.

b)
Wähle die Pivotzeile

so, daß gilt:

(18.16)

Sind die Ecken des zulässigen Bereiches nicht entartet, dann bricht das Simplexverfahren nach einer endlichen
Anzahl von Simplexschritten mit einem entscheidbaren Tableau ab (Fall a) oder Fall b).
Beispiel
Die zum Beispiel unter Ecke und Basis gefundene Normalform kann direkt in ein Simplextableau übertragen
werden.
Schema 4a, b


Das Tableau ist nicht optimal, da in der letzten Zeile noch positive Koeffizienten der Zielfunktion auftreten.
Die dritte Spalte wird als Pivotspalte festgelegt (auch die zweite Spalte wäre denkbar). Mit allen positiven
Koeffizienten der Pivotspalte bildet man die Quotienten

. Die Quotienten wurden hinter der letzten

Spalte des Tableaus notiert. Der kleinste Quotient legt die Pivotzeile fest. Ist die Pivotzeile nicht eindeutig
zu bestimmen, dann ist die durch das neue Tableau bestimmte Ecke entartet. Mit den Austauschregeln
erhält man das rechte Tableau. Dieses Tableau bestimmt die Ecke
in der Abbildung entspricht.

, die dem Punkt


Da das neue Tableau nicht optimal ist, wird jetzt
Ecke des 3. Tableaus entspricht dem Punkt

gegen

getauscht (nächstes linkes Schema). Die

in der Abbildung. Nach einem weiteren Tausch erhält man

ein optimales Tableau (nächstes rechtes Schema) mit dem Maximalpunkt
der dem Punkt

mit dem maximalen Zielfunktionswert

,
entspricht.


Schema 4c, d


Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
Sei
glatte Hyperfläche, die in

Dann gibt es eine Umgebung

ein
den Orbit

von

-periodischer Orbit von (17.1) und

eine

-dimensionale

transversal schneidet (s. linke Abbildung).

und eine glatte Funktion

mit

und


für alle
POINCARÉ-Abbildung für

in

. Die Abbildung
. Ist die rechte Seite

mit
von (17.1)

heißt

-mal stetig differenzierbar, so ist

ebenfalls so oft differenzierbar. Die Eigenwerte der JACOBI-Matrix

sind die Multiplikatoren

des periodischen Orbits , hängen also nicht von der Wahl des
transversalen Fläche ab. Der POINCARÉ-Abbildung kann ein System (17.3) in

auf

und der Wahl der
zugeordnet werden, das

erklärt ist, solange die Bildpunkte in
bleiben. Den Ruhelagen dieses diskreten Systems entsprechen periodische
Orbits von (17.1), und der Stabilität dieser Ruhelagen entspricht die Stabilität der periodischen Orbits von (17.1).
Beispiel
Für das System (17.9a) wird in Polarkoordinaten die transversale Hyperebene

betrachtet. Für diese Ebene kann

gewählt werden. Offenbar ist

und

damit

wobei die Lösungsdarstellung von (17.9a) genutzt wurde. Es gilt weiter
.

und


Poincaré-Abbildung für nichtautonome zeitperiodische
Differentialgleichungen
Eine nichtautonome Differentialgleichung (17.11), deren rechte Seite
die

die Periode

besitzt, d.h., für

gilt, wird interpretiert als autonome Differentialgleichung
mit zylindrischem Phasenraum

Dann ist

bezüglich

eine transversale Ebene (s. Abbildung).

. Sei

beliebig.


Die POINCARé-Abbildung ist global als
die Lösung von (17.11) mit Anfang

über
zur Zeit

gegeben, wobei
ist.


Vergleich der RIEMANNschen und der GREENschen Methode
Beiden Methoden, der RIEMANNschen und der GREENschen, ist gemein, daß zuerst eine spezielle Lösung der
Differentialgleichung gesucht wird, mit deren Hilfe danach die Lösungen für beliebige Anfangs- und
Randbedingungen bestimmt werden. Der entscheidende Unterschied zwischen der RIEMANNschen und der
GREENschen Funktion besteht darin, daß die erste nur von der Gestalt der linken Seite der Differentialgleichung
abhängt, die zweite jedoch auch noch vom betrachteten Gebiet. Die Ermittlung der GREENschen Funktion ist sogar in
den Fällen, in denen ihre Existenz gesichert ist, ziemlich schwierig, so daß die GREENsche Methode vorwiegend zur
Untersuchung theoretischer Probleme eingesetzt wird.
Beispiel A
Konstruktion der GREENschen Funktion für das DIRICHLETsche Problem der LAPLACEschen
Differentialgleichung
(9.94a)
für den Fall, daß das betrachtete Gebiet ein Kreis ist (s. Abbildung).


Die GREENsche Funktion lautet
(9.94b)
wobei
und
gilt

und

der Radius des betrachteten Kreises ist. Die Punkte

liegen in bezug auf den Kreis symmetrisch, d.h., beide Punkte liegen auf demselben Radiusstrahl, und es


(9.94c)
Mit der angegebenen Formel (9.92e) zur Lösung des DIRICHLETschen Problems ergibt sich nach Einsetzen der
Normalenableitung der GREENschen Funktion und einigen Umformungen das POISSONsche Integral
(9.94d)
Die Bezeichnungen sind die gleichen wie oben. Mit
beschrieben. Für die Koordinaten des Punktes

werden die auf dem Kreisrand vorgegebenen Werte von
gilt:

.

Beispiel B
Konstruktion der GREENschen Funktion für das DIRICHLETsche Problem der
LAPLACEschen Differentialgleichung
(9.95a)
für den Fall, daß das betrachtete Gebiet eine Kugel mit dem Radius

ist. Die GREENsche Funktion hat die Form
(9.95b)

als Abstand des Punktes

mit
den Punkten

und

und

vom Kugelmittelpunkt,

als Abstand des Punktes

als Abstand zwischen

zum symmetrischen Punkt des


Punktes

gemäß (9.94c), d.h. zum Punkt

. Das POISSONsche Integral ergibt sich

bei Beibehaltung der Bezeichnungen von Beispiel A zu
(9.95c)


Poisson-Verteilung
Die Verteilung einer diskreten Zufallsveränderlichen

, bei der
(16.66)

ist, heißt POISSON-Verteilung mit den Parametern

. Es gilt

1. Erwartungswert und Streuung:
(16.67a)
(16.67b)
Eine Zufallsveränderliche
2. Sind

und

, bei der (16.67a,b) gilt, heißt POISSON-verteilt .
unabhängige, POISSON-verteilte Zufallsveränderliche mit den Parametern

, so ist auch

eine POISSON-verteilte Zufallsveränderliche mit dem Parameter
.

bzw.


3. Rekursionsformel:
(16.67c)

Die POISSON-Verteilung geht aus einer Folge von binomialverteilten Zufallsveränderlichen
durch den Grenzübergang

hervor, wenn man

bleibt. Für

mit

mit den Parametern

so variiert, daß

kann die Binomialverteilung mit im allgemeinen

ausreichender Genauigkeit durch die POISSON-Verteilung ersetzt werden, deren Auswertung einfacher ist.
Zahlenwerte für die POISSON-Verteilung enthält die Tabelle POISSON-Verteilung. In der folgenden Abbildung sind drei
POISSON-Verteilungen für

und

dargestellt. Die Parameter entsprechen den

Parametern der anschließend zum Vergleich dargestellten drei Binomialverteilungen und drei hypergeometrischen
Verteilung.


Z-Transformationen, Teil III
Nr. Originalfolge

22

23

24

Konvergenzbereich


25

26

27

28

29

30


31


Singuläre Punkte
Wenn eine Funktion

in der Umgebung eines Punktes

Innern eines beliebig kleinen Kreises mit dem Mittelpunkt
hinsichtlich der Singularität die folgenden Fälle möglich:

analytisch und beschränkt ist, d.h. im

, ausgenommen höchstens

selbst, dann sind

1.
Es gilt

, d.h., die Funktion

ist auch im Punkt

analytisch.

2.
Die Funktion

besitzt einen anderen Wert oder sie ist im Punkt

singulär. Man spricht aber von hebbarer Singulärität , weil die Funktion
im Punkt

nicht definiert, d.h., der Punkt

beim Einsetzen des Wertes

analytisch wird.

(S. auch die Analogie zur hebbaren Unstetigkeit einer Funktion einer reellen Veränderlichen).
3.

ist


Wenn die Funktion

in der Umgebung des Punktes

beschränkt ist, dann handelt es sich um einen singulären Punkt

zwar analytisch, aber nicht
.

4.
Gilt bei Annäherung von
Punkt

an den Punkt

auf beliebigem Wege

einen Pol und schreibt

, dann nennt man den

. Über Pole verschiedener Ordnung s. Isolierte singuläre

Stellen.
5.
Wenn

bei Annäherung an einen Punkt

Ausgangspunkte

keinem Grenzwert zustrebt, sondern je nach der Wahl der

, von denen aus die Annnäherung an

erfolgt, die Folgen

verschiedene Grenzwerte besitzen, dann spricht man von einem
wesentlich singulären Punkt . In diesem Falle gibt es Möglichkeiten der Annäherung von
die zur Konvergenz von

gegen eine beliebig vorgegebene komplexe Zahl führen.

Beispiel A
Die Funktion

besitzt im Punkt

einen Pol.

an den Punkt

,


Beispiel B
Die Funktion

besitzt im Punkt

einen wesentlich singulären Punkt (s. Abbildung).


Ganzrationale Funktionen oder Polynome
1. Ganzrationale Funktionen oder Polynome: Sie sind auf der gesamten Zahlengerade stetig.
2. Gebrochenrationale Funktionen:

ausgenommen für die

mit den Polynomen

-Werte, für die

ist, aber

und

sind überall stetig,

bleibt. An solchen Stellen besitzt

die Funktion eine Unstetigkeitsstelle mit einem Verlauf ins Unendliche, die Pol genannt wird. Ist der Wert
sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, dann gibt es nur dann einen Pol, wenn die Vielfachheit
der Nullstelle des Nenners größer ist als die des Zählers. Anderenfalls ist die Unstetigkeit hebbar.
3. Irrationale Funktionen: Wurzeln aus Polynomen mit ganzzahligen Wurzelexponenten sind für alle Werte, die zum Definitionsbereich gehören, stetige Funktionen. Auf dem Rande der Definitionsbereiche
können sie mit einem endlichen Wert abbrechen, wenn der Radikand von positiven zu negativen Werten
überwechselt. Wurzeln aus gebrochenen Funktionen sind für solche
eine Unstetigkeitsstelle besitzt.
4. Trigonometrische Funktionen: Die Funktionen

und

-Werte unstetig, für die der Radikand
sind überall stetig;

und


besitzen an den Stellen

unendliche Sprünge;

unendliche Sprünge (

und

sind überall stetig,

brechen an den Grenzen ihres Definitionsbereiches wegen

6. Exponentialfunktionen: Die Exponentialfunktionen

oder

7. Logarithmische Funktionen: Die logarithmische Funktion
positiven

besitzen bei

ganz).

5. Inverse trigonometrische Funktionen: Die Funktionen
und

und

-Werte stetig und bricht an der Stelle

wegen

mit

ab.

sind überall stetig.

mit beliebiger positiver Basis ist für alle
einem

rechtsseitigen Grenzwert, ab.
8. Zusammengesetzte elementare Funktionen: Die Stetigkeit muß für alle -Werte der einzelnen
elementaren Funktionen, die in dem zusammengesetzten Ausdruck enthalten sind, entsprechend den oben
angeführten Fällen untersucht werden (siehe auch Mittelbare Funktionen).
Beispiel


Es sind die Unstetigkeitsstellen der Funktion

besitzt an der Stelle

einen unendlichen Sprung; für

hat auch

Die Funktion

unendlichen Sprung:
einen endlichen Nenner. Folglich gibt es für
gleichen Typ, wie im Punkt

zu ermitteln. Der Exponent

der folgenden Abbildung:

einen

hat bei

einen unendlichen Sprung vom


Für

wird der Nenner zu null, ebenso für die

entsprechen den Wurzeln der Gleichung

-Werte, für die
oder

zu null wird. Letztere
wobei

eine beliebige

ganze Zahl ist. Der Zähler wird für keinen dieser Werte zu null, so daß die Funktion an den Stellen
Unstetigkeitsstellen der gleichen Art
hat wie der Punkt

in der obigen Abbildung.


Isolierte singuläre Stellen
Wenn eine Funktion

in der Umgebung eines Punktes

eine isolierte singuläre Stelle der Funktion

. Ist

analytisch ist, nicht aber in
in der Umgebung von

selbst, dann heißt
in die LAURENT-Reihe

(14.51)

entwickelbar, dann können die isolierten singulären Stellen nach dem Verhalten der LAURENT-Reihen eingeteilt
werden:
1.
Enthält die LAURENT-Reihe keine Glieder mit negativen Potenzen von

, wobei

für

gilt, dann geht die LAURENT-Entwicklung in die TAYLOR-Reihe mit den aus der CAUCHYschen
Integralformel folgenden Koeffizienten


(14.52)

ist dann auch im Punkt

über. Die Funktion

analytisch, selbst wenn

ist oder wenn

eine

hebbare Singularität ist.
2.
Enthält die LAURENT-Reihe endlich viele Glieder mit negativen Potenzen von
, alle
Punkt

für

, dann spricht man von einer außerwesentlichen Singularität im

oder einem Pol der Ordnung

oder Pol der Vielfachheit

, aber keiner niedrigeren Potenz, geht

; durch Multiplikation mit

in eine Funktion über, die in

analytisch ist.
Beispiel
hat an der Stelle
3.

, wobei gelten soll

einen Pol 1. Ordnung.

und Umgebung


Enthält die LAURENT-Reihe unendlich viele Glieder mit negativen Potenzen von
wesentlich singulärer Punkt der Funktion

, dann ist

. Bei Annäherung an einen Pol wächst

Grenzen. Bei Annäherung an eine wesentlich singuläre Stelle kommt

über alle

jeder beliebigen komplexen Zahl

beliebig nahe.
Beispiel
Die Funktion

, deren LAURENT-Reihe

eine wesentliche Singularität.

ein

lautet, hat an der Stelle


Polardreieck
Das Polardreieck

zu einem gegebenen sphärischen Dreieck

dessen Seiten die Eckpunkte des gegebenen Dreiecks Pole sind.

heißt ein sphärisches Dreieck, für


Zu jedem sphärischen Dreieck
Polardreieck des sphärischen Dreiecks

existiert ein Polardreieck
dann ist auch das Dreieck

Ist das Dreieck

das

das Polardreieck des Dreiecks

Die Winkel eines sphärischen Dreiecks und die entsprechenden Seiten seines Polardreiecks sind
Supplementwinkel, ebenso wie die Seiten des sphärischen Dreiecks und die Winkel des Polardreiecks
Supplementwinkel sind:
(3.165a)
(3.165b)


Vermessungstechnische Anwendungen
In der Geodäsie ist die Ermittlung der Koordinaten eines Neupunktes
im Rahmen der Triangulierung eine oft
auftretende vermessungstechnische Aufgabe. Verfahren zu ihrer Lösung sind Vorwärtseinschneiden,
Rückwärtseinschneiden, Bogenschnitt, Freie Stationierung und Polygonierung. Auf die letzten beiden Verfahren wird
hier nicht eingegangen.
●
●
●
●
●

Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen
Vorwärtseinschneiden ohne Visier
SNELLIUSsche Aufgabe des Rückwärtseinschneidens
Rückwärtseinschneiden nach CASSINI
Bogenschnitt


Polynome
●
●
●
●
●

Lineare Funktion
Quadratisches Polynom
Polynom 3. Grades
Polynom n-ten Grades
Parabel n-ter Ordnung


Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x
(2.151a)

(2.151b)

(2.151c)

(2.152a)
(2.152b)


(2.153a)

(2.153b)

(2.153c)

(2.154)

wobei

auch gebrochene Werte annehmen kann und

über die Gleichung

(2.155)

bestimmt ist. Für ganzzahliges

ist

ein Polynom in

(ein TSCHEBYSCHEFFsches Polynom ). Wegen der

Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome s. TSCHEBYSCHEFF-Approximation.


Lage der Nullstellen
●
●

Reelle Nullstellen
Komplexe Nullstellen


Lösung von Polynomgleichungen
Polynomgleichungen

-ten Grades haben die Form
(19.11)

Zu ihrer effektiven Lösung benötigt man zunächst Verfahren zur Berechnung von Funktions- und Ableitungswerten
des Polynoms

●
●
●

sowie eine erste Orientierung über die Lage seiner Nullstellen.

Horner-Schema
Lage der Nullstellen
Numerische Verfahren


Numerische Verfahren
●
●

Allgemeine Verfahren
Spezielle Verfahren


Komplexe Potentiale
●
●
●
●
●
●

Begriff des komplexen Potentials
Komplexes Potential des homogenen Feldes
Komplexes Potential von Quelle und Senke
Komplexes Potential eines Quelle-Senke-Systems
Komplexes Potential des Dipols
Komplexes Potential eines Wirbels


Komplexes Potential des Dipols
Das komplexe Potential eines Dipols

im Punkt

, dessen Achse mit der reellen Achse den Winkel

bildet (s. Abbildung), lautet:
(14.28)


Komplexes Potential des homogenen Feldes
Die Funktion
(14.24)
liefert bei reellem

das komplexe Potential eines Feldes, dessen Potentiallinien parallel zur

Feldlinien parallel zur

-Achse verlaufen (s. linke Abbildung).

-Achse und dessen


Für komplexes

ergibt sich lediglich eine Drehung des Feldes (s. rechte Abbildung).


Komplexes Potential von Quelle und Senke
Das komplexe Potential eines Feldes, das durch eine Quelle der Ergiebigkeit

im Punkt

erzeugt

wird, lautet
(14.25)
Für eine Senke der gleichen Intensität gilt
(14.26)
Die Feldlinien verlaufen radial vom Punkt
Punkt

bilden (s. Abbildung).

aus, während die Potentiallinien konzentrische Kreise um den


Komplexes Potential eines Wirbels
Wenn

die Intensität des Wirbels mit

reell ist und sich sein Zentrum im Punkt

befindet, gilt:
(14.29)

Im Vergleich zur Darstellung des Potentials für Quelle und Senke in der linken Abbildung, sind die Rollen von Feldund Potentiallinien vertauscht (rechte Abbildung).


Für komplexes
ergibt (14.29) das Potential einer Wirbelquelle, deren Feld- und Potentiallinien je eine
Spiralenschar liefern, die zueinander orthogonal verlaufen (s. rechte Abbildung).


Potential eines konservativen Feldes
Potential eines konservativen Feldes, seine Potentialfunktion oder kurz sein Potential, nennt man die skalare
Stammfunktion
(13.106a)

Sie ergibt sich in einem konservativem Feld bei fixiertem Anfangspunkt

und veränderlichem Endpunkt

als Integral

(13.106b)


Zu beachten ist, daß im Unterschied dazu in der Physik als Potential

einer Funktion

im Punkt

Größe verstanden wird, die das entgegengesetzte Vorzeichen besitzt:

(13.107)

eine


Inhomogenes Problem
Wenn

ist, sind auf den rechten Seiten der Formeln (9.99a,b,c) Korrekturglieder zu addieren:

a)

(Retardiertes Potential):

(9.100a)

, das durch

für ein Gebiet

beschrieben wird mit
.

b)

:


(9.100b)

ein Gebiet des

wobei

-Raumes ist, das durch die Ungleichungen
definiert ist.

c)

:
(9.100c)

wobei

das Dreieck

die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Störung.

bedeutet. In den angegebenen Formeln steht

für


Rotation des Potentialfeldes
Aus dem Integralsatz von STOKES folgt, daß die Rotation eines Potentialfeldes gleich Null ist:
(13.64a)

Das folgt auch aus (13.57a) für

, wenn die Voraussetzungen des

SCHWARZschen Vertauschungssatzes erfüllt sind.
Beispiel
Für

mit
, wobei

gilt:
eine differenzierbare Funktion von

und
ist.


Potenzreihen
●
●
●

Definition, Konvergenz
Rechnen mit Potenzreihen
Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe


Asymptotische Potenzreihen
Zur Funktionswertberechnung können auch divergente Reihen nützlich sein. Im folgenden werden asymptotische
Potenzreihen bezüglich

●
●

zur Berechnung von Funktionswerten für große Werte von

Asymptotische Gleichheit
Asymptotische Potenzreihen

betrachtet.


Potenzreihen im Komplexen
●
●
●

Konvergenz
Konvergenzkreis
Ableitungen und Integrale von Potenzreihen, Konvergenzkreis


Ableitungen und Integrale von Potenzreihen, Konvergenzkreis
1. Ableitungen von Potenzreihen und Konvergenzkreis Jede Potenzreihe stellt innerhalb ihres
Konvergenzkreises eine analytische Funktion

dar. Die Ableitungen dieser Funktion erhält man durch

gliedweise Differentiation der Potenzreihe. Die abgeleiteten Reihen haben denselben Konvergenzkreisradius
wie die ursprüngliche Reihe.
2. Integrale von Potenzreihen und Konvergenzkreis Die Potenzreihenentwicklung des Integrals
erhält man durch gliedweise Integration der Potenzreihe von
bleibt dabei erhalten.

. Der Konvergenzradius


Konvergenz
Eine Potenzreihe im Komplexen hat die Gestalt
(14.46a)

wobei

ein fester Punkt der Zahlenebene ist und die Koeffizienten

reelle oder komplexe Konstanten sind. Für

geht die Potenzreihe in die Form

(14.46b)

über. Konvergiert die Potenzreihe
alle Punkte

für einen Wert

, dann konvergiert sie absolut und gleichmäßig für

jedes abgeschlossenen Kreises innerhalb des Kreises um

mit dem Radius

.


Konvergenzkreis
Die Grenze zwischen dem Konvergenzbereich und dem Divergenzbereich einer Potenzreihe ist ein eindeutig
bestimmter Kreis, der Konvergenzkreis. Man bestimmt seinen Radius wie im Reellen, falls die Grenzwerte
(14.47)

existieren. Wenn die Reihe überall divergiert, ausgenommen den Punkt

, dann ist

, konvergiert sie

. Das Verhalten der Potenzreihe für Punkte auf dem Rand des Konvergenzkreises ist von
überall, dann ist
Fall zu Fall zu untersuchen.
Beispiel


Die Potenzreihe

mit dem Konvergenzkreisradius

(harmonische Reihe) und konvergiert für

(nach dem Kriterium von LEIBNIZ für alternierende

Reihen). Auch für alle weiteren Punkte des Einheitskreises
ist die Reihe konvergent.

divergiert für

mit Ausnahme des Punktes


Umkehrung einer Potenzreihe
Ist die Reihe
(7.86a)
gegeben, dann versteht man unter ihrer Umkehrung die Reihe
(7.86b)
Die Koeffizienten ergeben sich zu

(7.86c)


Die Konvergenz der Umkehrreihe muß in jedem Beispiel besonders untersucht werden.


Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen
●
●
●
●
●

Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern
Taylor-Reihe
Prinzip der analytischen Fortsetzung
Laurent-Entwicklung
Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz


Taylor-Reihe
Jede im Innern eines Gebietes

analytische Funktion

kann für jeden Punkt

in

eindeutig in eine

Potenzreihe der Form
(14.48a)

entwickelt werden, wobei der Konvergenzkreis der größte Kreis um
(s. Abbildung).

ist, der noch ganz dem Gebiet

angehört


Für die im allgemeinen komplexen Koeffizienten

der Potenzreihe gilt
(14.48b)

Die TAYLOR-Reihe kann daher in der Form

(14.48c)

geschrieben werden. Innerhalb ihres Konvergenzkreises ist jede Potenzreihe die TAYLOR-Entwicklung ihrer
Summenfunktion.
Beispiele für TAYLOR-Entwicklungen sind die Reihendarstellungen der Funktionen
und

in Unterkapitel Elementare transzendente Funktionen.


Sieb des ERATOSTHENES
Mit dem Sieb des ERATOSTHENES kann man alle Primzahlen ermitteln, die kleiner als eine vorgegebene natürliche
Zahl

sind:

a)
Man schreibe alle natürlichen Zahlen von 2 bis

auf.

b)
Man markiere die 2 und streiche jede zweite auf 2 folgende Zahl.
c)
Ist

die erste nichtgestrichene und nichtmarkierte Zahl, dann markiere man

und streiche jede

-te

darauffolgende Zahl.
d)
Man führe Schritt c) für alle

mit

aus und beende den Algorithmus.

Alle markierten bzw. nicht gestrichenen Zahlen sind Primzahlen. Es handelt sich dabei um alle Primzahlen
In der Menge der ganzen Zahlen werden die Primzahlen und die zu diesen entgegengesetzten Zahlen Primelemente


genannt.


Primfaktorzerlegung
Es ist üblich, in der Primfaktorenzerlegung einer natürlichen Zahl die Primfaktoren der Größe nach zu ordnen und
gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenzufassen. Ordnet man jeder nicht vorkommenden Primzahl den
Exponenten 0 zu, dann gilt: Jede natürliche Zahl ist eindeutig durch die Folge der Exponenten in ihrer
Primfaktorenzerlegung bestimmt.
Beispiel
gehört die Exponentenfolge

Zu

Für eine natürliche Zahl

seien

bezeichne den Exponenten der Primzahl

die paarweise verschiedenen
in der Primfaktorenzerlegung von

teilenden Primzahlen, und
Dann schreibt man

(5.147a)


und nennt diese Darstellung die kanonische Primfaktorenzerlegung von

Oft schreibt man dafür auch
(5.147b)

wobei das Produkt über alle Primzahlen

zu bilden ist und

die Vielfachheit von

bedeutet. Es handelt sich um ein endliches Produkt, da nur endlich viele der Exponenten
sind.

als Teiler von
von 0 verschieden


Definition und Eigenschaften
Eine natürliche Zahl

mit

die in der Menge

der natürlichen Zahlen nur 1 und

als Teiler besitzt, wird

Primzahl genannt. Natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, heißen zusammengesetzte Zahlen .
Der kleinste positive, von 1 verschiedene Teiler jeder ganzen Zahl ist eine Primzahl. Es gibt unendlich viele
Primzahlen.
Eine natürliche Zahl
aus

daß

mit
oder

ist genau dann Primzahl, wenn gilt: Für beliebige natürliche Zahlen
gilt.

folgt


Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, Primzahlvierlinge
1. Primzahlzwillinge:
Zwei Primzahlen mit dem ,,Abstand`` 2 bilden einen Primzahlzwilling .
Beispiel
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73), (101,103) sind Primzahlzwillinge.
2. Primzahldrillinge:
Man spricht von Primzahldrillingen , wenn unter vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen drei Primzahlen
sind.
Beispiel
(5,7,11), (7,11,13), (11,13,17), (13,17,19), (17,19,23), (37,41,43) sind Primzahldrillinge.
3. Primzahlvierlinge:
Bilden von fünf aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen die ersten beiden und die letzten beiden jeweils einen
Primzahlzwilling, dann spricht man von Primzahlvierlingen .
Beispiel
(5,7,11,13), (11,13,17,19), (101,103,107,109), (191,193,197,199) sind Primzahlvierlinge.


Eine bis heute unbewiesene Vermutung ist, daß unendlich viele Primzahlzwillinge, unendlich viele Primzahldrillinge
und unendlich viele Primzahlvierlinge existieren.


Anwendungsbeispiele für Gruppen
In der Chemie und der Physik finden Gruppen Anwendung zur Beschreibung der ,,Symmetrien`` der entsprechenden
Objekte. Solche Objekte sind z.B. Moleküle, Kristalle, Festkörperstrukturen oder quantenmechanische Systeme.
Diesen Anwendungen liegt das VON NEUMANNsche Prinzip zu Grunde:
Wenn ein System eine gewisse Gruppe von Symmetrieoperationen besitzt, dann muß jede physikalische
Beobachtungsgröße dieses Systems dieselbe Symmetrie besitzen.
●
●
●

Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente
Symmetriegruppen
Beispiel Moleküle


Prisma
Prisma heißt ein Polyeder, das gleiche Grundflächen und Parallelogramme als Seitenflächen besitzt.

Ein gerades Prisma zeichnet sich durch senkrecht auf der Grundfläche stehende Kanten aus, ein reguläres Prisma
dadurch, daß es gerade ist und ein regelmäßiges Vieleck zur Grundfläche hat. Für das Polyeder gilt:
(3.102)


(3.103)
(3.104)
Dabei ist

der Umfang eines zu den Kanten senkrechten ebenen Schnittes und

die Kantenlänge. Für ein

dreiseitiges Prisma, dessen Grundflächen nicht parallel zueinander liegen, gilt
(3.105)

wobei

ein senkrechter Querschnitt,

und

die Längen der parallelen Kanten sind.


Das Volumen eines

wobei

-seitigen Prismas mit nicht parallel zur Grundfläche abgeschnittener Deckfläche ist
(3.106)

die Länge der Geraden

zu dieser Linie senkrechte Querschnitt.

ist, die die Schwerpunkte der Grundflächen miteinander verbindet und

der


Isoperimetrisches Problem
Das allgemeine isoperimetrische Problem besteht darin, unter allen ebenen Flächenstücken mit vorgegebenem
Umfang das flächengrößte zu bestimmen. Die Lösung dieses Problems (ein Kreis mit dem vorgegebenen Umfang)
soll auf die Königin DIDO zurückgehen, die der Sage nach bei der Gründung Karthagos nur soviel Land nehmen
durfte, wie sie mit einer Stierhaut umschließen konnte. Sie schnitt die Haut in feine Streifen und legte sie zu einem
Kreis zusammen.
Ein Spezialfall des allgemeinen isoperimetrischen Problems besteht in der Aufgabe, in einem kartesischen
Koordinatensystem eine Verbindungskurve
vorgegebene Länge

der Punkte

hat und mit der Verbindungsstrecke

und

zu finden, die eine

die größte Fläche umschließt (s. Abbildung).


Die mathematische Formulierung lautet: Man bestimme eine einmal stetig differenzierbare Funktion

, für die

(10.8a)
gilt und die die Nebenbedingung
(10.8b)
sowie die Randbedingungen
(10.8c)
erfüllt.


Regularisiertes Problem
Im rangdefizienten Fall , d.h., wenn

ist, kann das Normalgleichungssystem nicht mehr eindeutig

gelöst werden, und auch die Orthogonalisierungsverfahren liefern unbrauchbare Ergebnisse. Dann geht man an
Stelle von (4.119) zu dem sogenannten regularisierten Problem
(4.121)
über. Dabei ist

ein Regularisierungsparameter . Die Normalgleichungen zu (4.121) lauten:
(4.122)

Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems ist für
aber die Wahl eines geeigneten Regularisierungsparameters

positiv definit und insbesondere regulär,

ist ein schwieriges Problem (s. Lit. 4.8).


Definition von Produkten
Zur abkürzenden Schreibweise verwendet man für Produkte das Produktzeichen

(1.10)

Mit dieser Abkürzung wird ein Produkt von
genannt wird.

Faktoren

bezeichnet, wobei

Laufindex


Varietäten
Eine Varietät

ist eine Klasse von

-Algebren, die abgeschlossen ist gegenüber der Bildung von Unteralgebren,

von homomorphen Bildern und direkten Produkten, d.h., diese Bildungen führen aus
direkte Produkte folgendermaßen definiert:
Erklärt man auf dem kartesischen Produkt der Trägermengen von
komponentenweise, so erhält man wieder eine

-Algebren die

nicht heraus. Dabei sind
entsprechenden Operationen

-Algebra, das direkte Produkt dieser Algebren. Der Satz von

BIRKHOFF charakterisiert die Varietäten als diejenigen Klassen von
definieren lassen.

-Algebren, die sich durch ,,Gleichungen``


Gemischtes Produkt
Das gemischte Produkt

auch Spatprodukt genannt, ergibt einen Skalar, der zahlenmäßig gleich dem

Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds ist; das Ergebnis ist positiv, wenn

und

ein

Rechtssystem bilden, negativ im entgegengesetzten Falle. Die Klammern und das Multiplikationskreuz können beim
gemischten Produkt weggelassen werden:
(3.262)
Im Unterschied zu einer zyklischen Vertauschung aller drei Faktoren im gemischten Produkt führt eine Vertauschung
zweier Faktoren zu seiner Vorzeichenänderung.
Für komplanare Vektoren , d.h. Vektoren

die parallel zu einer von den Vektoren

und

definierten Ebene

orientiert sind, gilt:
(3.263)


Kartesisches Produkt
Seien

und

Fuzzy-Grundmengen, so repräsentiert das ,,Kreuzprodukt``

Produkt genannt, im Grundbereich

auch kartesisches

eine Fuzzy-Menge:
(5.280)

Die Fuzzy-Menge wird dann in Analogie zur klassischen Mengenlehre zu einer Fuzzy-Relation , weil sie die Elemente
aus den Grundmengen paarweise in Beziehung setzt. Eine unscharfe Relation
Teilmenge

, wobei

die Gesamtheit aller unscharfen Mengen über

läßt sich durch eine Zugehörigkeitsfunktion
Zugehörigkeitsgrad

in

aus [0,1] zuordnet.

beschreiben, die jedem Element

ist eine unscharfe
bezeichnet.
den


Doppeltes Vektorprodukt
Das doppelte Vektorprodukt

ergibt einen neuen, zu

und

komplanaren Vektor:
(3.261)


Rechenregeln für Produkte
1.
Produkt gleicher Faktoren, d.h.,

:

(1.11a)
2.
Vorziehen konstanter Faktoren
(1.11b)
3.
Aufspalten in Teilprodukte
(1.11c)
4.


Produkt von Produkten
(1.11d)
5.
Umnumerierung
(1.11e)
6.
Vertauschen des Produktzeichens bei Doppelprodukten
(1.11f)


Skalare Multiplikation
Das Skalarprodukt zweier Vektoren

und

auch Punktprodukt genannt, ist durch die Gleichung
(3.251)

definiert, wobei

der zwischen

und

ist.

Das Skalarprodukt ergibt einen Skalar.

eingeschlossene Winkel, bezogen auf den gemeinsamen Anfangspunkt,


Vektorielle Multiplikation
Die Vektorielle Multiplikation ist eine Operation, die zum Vektorprodukt zweier Vektoren
Kreuzprodukt genannt, führt. Dieses ergibt einen Vektor
Vektoren

und

ein Rechtssystem bilden.

der auf

und

und

auch

senkrecht steht, derart, daß die


Vorausgesetzt, die Anfangspunkte der drei Vektoren sind in einem Punkt zusammengeführt, dann ist das der Fall,
wenn ein Beobachter, der auf die durch
den Vektor

und

aufgespannte Ebene und gleichzeitig in die Richtung von

durch die kürzeste Drehung im Uhrzeigersinn nach

Rechte-Hand-Regel: Die Vektoren

und

überführen kann.

haben dann die gleiche Orientierung, wie Daumen, Zeigefinger und

Mittelfinger der rechten Hand ( Rechte-Hand-Regel ).
Quantitativ liefert das Vektorprodukt
(3.252a)
einen Vektor der Länge
(3.252b)
wobei

der zwischen

Flächeninhalt des von

und
und

blickt,

eingeschlossene Winkel ist. Zahlenmäßig ist die Länge von
aufgespannten Parallelogramms.

gleich dem


Methode der Variablentrennung
Durch spezielle Substitutionen kann für viele Differentialgleichungen der Physik zwar nicht immer die Gesamtheit,
jedoch eine Schar von Lösungen bestimmt werden, die von frei wählbaren Parametern abhängt. Lineare
Differentialgleichungen, besonders zweiter Ordnung, können oft mit Hilfe einer Substitution in der Form eines
Produktansatzes
(9.84)
gelöst werden. Da das Ziel darin besteht, die Funktionen

getrennt, d.h. jede für sich aus einer

gewöhnlichen Differentialgleichung zu bestimmen, in der nur noch die eine Variable

enthalten ist, spricht man für

(9.84) auch vom Separationsansatz . In vielen Fällen gelingt diese Variablentrennung , nachdem der Lösungsansatz
(9.84) in die gegebene Differentialgleichung eingesetzt wurde. Wenn hierbei die Lösung der gegebenen
Differentialgleichung gewissen homogenen Randbedingungen genügen soll, dann kann es ausreichend sein, daß nur
ein Teil der Funktionen

des Separationsansatzes bestimmte

Randbedingungen zu erfüllen braucht.
Aus den so bestimmten Lösungen ergeben sich durch Summationen, Differentiationen und Integrationen neue
Lösungen. Die Parameter sind dabei so zu wählen, daß auch die restlichen Anfangs- und Randbedingungen erfüllt
werden (s. die folgenden Beispiele). Schließlich muß beachtet werden, daß die mit dieser Methode ermittelte Lösung,


sei es in der Gestalt einer Reihe oder eines uneigentlichen Integrals, eine ,,formale Lösung`` ist. Das bedeutet, daß
noch zu prüfen ist, ob die Lösung einen physikalischen Sinn ergibt, d.h. z.B., ob sie konvergiert, ob sie die
ursprüngliche Differentialgleichung und die Randbedingungen erfüllt, d.h. z.B., ob sie gliedweise differenzierbar ist
und ob ein Grenzübergang bei Annäherung an den Rand existiert.
In den Beispielen dieses Abschnitts sind die Reihen und die uneigentlichen Integrale konvergent, wenn die
Funktionen, die die Anfangsbedingungen definieren, entsprechenden Einschränkungen unterworfen werden (s. z.B.
die Forderung nach Stetigkeit in den Abschnitten Saitenschwingungsgleichung und Stabschwingungsgleichung).


Umformung von Proportionen
Aus der Proportion
(1.54a)

folgt

(1.54b)

sowie die abgeleiteten Proportionen

(1.54c)

Aus der Gleichheit der Proportionen


(1.55a)

folgt

(1.55b)


Prozent
Der Ausdruck p Prozent von K bedeutet
Das Zeichen für Prozent ist

wobei mit

in der Finanzmathematik ein Kapital gemeint ist.

d.h., es gilt
(1.75)


Prozentrechnung
●
●
●

Prozent
Aufschlag
Abschlag oder Rabatt


Prüfen auf Normalverteilung
In der mathematischen Statistik sind verschiedene Tests zum Prüfen auf Normalverteilung entwickelt worden. Von
den beiden gebräuchlichsten wird einer graphisch mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitspapier durchgeführt, der andere
erfolgt rechnerisch als ,,

●
●

-Test``.

Prüfen mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitspapiers
Chi-Quadrat-Test


Wichtige Prüfverfahren
Eine der Hauptaufgaben der mathematischen Statistik besteht darin, aus Stichproben Rückschlüsse auf die
Grundgesamtheit zu ziehen. Da
1.
eine Verteilung ganz wesentlich durch die Parameter
Meßwerten würde man sich unter

und

charakterisiert werden kann (im Falle von

den exakten Wert oder den Sollwert und unter

ein Maß für die

Abweichung von diesem Sollwert vorstellen),
2.
bei der Verteilung von Beobachtungs- und Meßwerten die GAUSSsche Normalverteilung das entscheidende
mathematische Modell darstellt,
stehen bei den Prüfverfahren die folgenden zwei Fragen im Vordergrund:
1.
Liegt den Meßwerten eine Normalverteilung zu Grunde?
2.
Wie gut geben die Stichprobenparameter

und

die Grundgesamtheit wieder?


●
●
●
●
●

Prüfen auf Normalverteilung
Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
Vertrauensgrenzen für die Streuung
Prinzip der Prüfverfahren


Skalarprodukt bei Rauminversion
Eine Verletzung der Transformationsformel (4.100b) für Tensoren 1. Stufe ergibt sich auch für die Anwendung der
Rauminversion auf ein Skalarprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor. Da das Ergebnis des
Skalarprodukts ein Skalar ist und dieser in allen Koordinatensystemen denselben Wert besitzt, handelt es sich hierbei
um einen besonderen Skalar, Pseudoskalar genannt, der die Eigenschaft besitzt, bei Rauminversion sein Vorzeichen
zu ändern. Die Drehinvarianzeigenschaft des Skalars besitzt der Pseudoskalar nicht.
Beispiel
Das Skalarprodukt aus den polaren Vektoren
axialen Vektor

(Ortsvektor) bzw.

(Geschwindigkeitsvektor) mit dem

(Vektor der Winkelgeschwindigkeit) ergibt die Skalare

,,falsche`` Spiegelungsverhalten zeigen, also Pseudoskalare sind.

und

die das


Vektorprodukt bei Rauminversion
Durch Rauminversion werden zwei polare Vektoren

und

in

bzw.

überführt, d.h., ihre Komponenten

genügen der Transformationsformel (4.100b) für Tensoren 1. Stufe. Betrachtet man dagegen das Vektorprodukt
als Beispiel eines axialen Vektors, dann erhält man bei Spiegelung am Koordinatenursprung
d.h. eine Verletzung der Transformationsformel (4.100a) für Tensoren 1. Stufe. Deshalb wird der axiale Vektor
Pseudovektor oder allgemein als Pseudotensor bezeichnet.
Beispiel
mit dem Ortsvektor

Die Vektorprodukte
Geschwindigkeitsvektor

dem Kraftvektor

und dem Nablaoperator

Vektoren, die das ,,falsche`` Spiegelungsverhalten besitzen.

dem

sind Beispiele für axiale

als


Pseudotensoren
In der Physik spielt häufig das Spiegelungsverhalten von Tensoren eine Rolle. Wegen ihres unterschiedlichen
Spiegelungsverhaltens unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren, obgleich sie mathematisch sonst
völlig gleich zu behandeln sind. In ihrer Beschreibung unterscheiden sich polare und axiale Vektoren dadurch, daß
axiale Vektoren neben ihrer Länge und Orientierung durch einen Drehsinn dargestellt werden können. Axiale
Vektoren werden auch Pseudovektoren genannt. Da Vektoren als Tensoren aufgefaßt werden können, wurde
allgemein der Begriff des Pseudotensors eingeführt.
●
●

Punktspiegelung am Koordinatenursprung
Einführung des Begriffs Pseudotensor


Transversale homokline Punkte
Die Separatrixflächen
schneiden. Ist der Schnitt

und

einer hyperbolischen Ruhelage

von (17.3) können sich

transversal, so heißt jeder Punkt

transversaler homokliner Punkt .
Dabei gilt: Ist

transversaler homokliner Punkt, so besteht der Orbit

nur aus transversalen homoklinen Punkten (s. Abbildung).

des invertierbaren Systems (17.3)


Pyramidenstumpf
Pyramidenstumpf wird eine Pyramide genannt, deren Spitze durch eine Ebene parallel zur Grundfläche
abgeschnitten ist.


Mit

als Höhe der Pyramide, d.h. als Lot von der Spitze auf die Grundfläche, gilt:
(3.115)

(3.116)

Wenn

und

die obere und untere Grundfläche sind,

zwischen den Grundflächen,

und

die Höhe des Pyramidenstumpfes, also der Abstand

die einander entsprechenden Seiten der Grundflächen, dann gilt für das

Volumen:

(3.117)
Die Mantelfläche des regulären Pyramidenstumpfes ist
(3.118)
wobei

und

die Umfänge der Grundflächen sind und

die Höhe der Seitenflächen.


Nichtlineare Quadratmittelaufgaben
●
●

Prinzipieller Lösungsweg
GAUSS-NEWTON-Verfahren


Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme
●
●
●

Überbestimmte Gleichungssysteme
Lineares Quadratmittelproblem
GAUSS-Transformation


Quadraturformeln vom Gauß-Typ
Quadraturformeln vom GAUSS-Typ sind Mittelwertformeln, aber im Ansatz
(19.81)

werden nicht nur die Koeffizienten

, sondern auch die Stützstellen

als freie Parameter aufgefaßt. Diese

werden so bestimmt, daß die Formel (19.81) für Polynome möglichst hohen Grades exakt ist.
Die Erfahrung zeigt, daß Quadraturformeln vom GAUSS-Typ meist sehr genaue Näherungen liefern, dafür müssen
aber ihre Stützstellen sehr speziell gewählt werden.
●
●

Gaußsche Quadraturformeln
Lobattosche Quadraturformeln


Lobattosche Quadraturformeln
In einigen Fällen ist es zweckmäßig, auch die Randpunkte des Integrationsintervalls als Stützstellen zu wählen. Dann
treten in (19.81) nur noch

freie Parameter auf. Diese können so bestimmt werden, daß Polynome bis zum Grad

exakt integriert werden. Für die Fälle

1.

und

erhält man:

:

(19.84a)

2.

:


(19.84b)

Der Fall

stellt die SIMPSON-Formel dar.


Verfahren von Romberg
Zur Erhöhung der Genauigkeit bei der numerischen Integration empfiehlt sich das Verfahren von ROMBERG, bei dem
von einer Folge von Trapezsummen ausgegangen wird, die sich bei fortgesetzter Halbierung des
Integrationsintervalls ergibt.
●
●

Algorithmus des Romberg-Verfahrens
Extrapolationsprinzip


Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Die zwei Funktionen
(2.53)
liefern für

eine Ellipse , für

eine Hyperbel .


Von den zwei Achsen stimmt eine mit der

und

liegen bei

-Achse überein, die andere ist die Gerade

die Scheitel

und

Die Scheitel

bei

wobei

ist.
Definitionsbereich und Verlauf der Funktionen hängen von den Vorzeichen von

und

ab. Für

und

besitzen die Funktionen nur imaginäre Werte, so daß hier keine Kurven existieren. (Ausführlich s. Ellipse
und Hyperbel).


Beschränkte Quantifizierung
Oft ist es sinnvoll, Quantifizierungen auf die Elemente einer vorgegebenen Menge zu beschränken. Dabei ist
(5.33)
und
(5.34)
aufzufassen.


Typen der Ruhelagen
Es sei

eine Ruhelage von (17.3) mit

. Das lokale Verhalten der Iteration (17.3) nahe

gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung
keinen Eigenwert

mit

hyperbolisch . Die hyperbolische Ruhelage
innerhalb und
Ruhelage vom Typ

bestimmt. Besitzt

, so heißt die Ruhelage
ist vom Typ

wird, unter

, analog zum Differentialgleichungfall,

, wenn

genau

Eigenwerte

Eigenwerte außerhalb des komplexen Einheitskreises besitzt. Die hyperbolische
heißt für

Senke , für

Quelle und für

und

Sattel .

Es gilt der folgende
Satz über Stabilität in der ersten Näherung für diskrete dynamische Systeme: Eine Senke ist asymptotisch
stabil; Quellen und Sattel sind instabil.


Diskrete Quellenverteilung
In Analogie zur Überlagerung physikalischer Felder überlagern sich auch die Vektorfelder der Mathematik. Der
Superpositionssatz lautet: Haben die Vektorfelder
Potential
Für

die Potentiale

, so hat das Vektorfeld

das

.

diskrete Quellpunkte mit den Ergiebigkeiten

, deren Felder sich überlagern, kann

man daher das resultierende Feld durch algebraische Addition der Potentiale

bestimmen:

(13.129a)

Dabei ist

wieder der Ortsvektor des Aufpunktes, während

die Ortsvektoren der Quellpunkte sind.


Treten wirbelfreie Felder

und quellenfreie Felder

gemeinsam auf und handelt es sich dabei um überall

stetige Felder, dann gilt:

(13.129b)

Erstreckt sich das Vektorfeld ins Unendliche, dann ist die Bestimmung von
genügend stark verschwindet.

eindeutig, wenn

für


Kontinuierliche Quellenverteilung
Wenn die Quellen über Linien, Flächen oder räumliche Bereiche kontinuierlich verteilt sind, dann treten an die Stelle
der endlichen Ergiebigkeiten

infinitesimale, die der Dichte der Quellverteilung entsprechen, und an die Stelle der

Summen Integrale über die Quellbereiche. Im Falle einer stetigen räumlichen Verteilung der Quellergiebigkeit ist die
Quelldichte

. Ähnliches gilt für das Potential eines durch Wirbel erzeugten Feldes. Im Falle einer

stetigen räumlichen Wirbelverteilung ist die Wirbelflußdichte durch

festgelegt.


Bezeichnungen
Es sei
(5.149a)
eine im dekadischen Positionssystem dargestellte natürliche Zahl. Dann gelten die folgenden Bezeichnungen.
1. Quersumme von

:
(5.149b)

2. Alternierende Quersumme 1. Stufe von

:
(5.149c)

3. Quersumme 1. Stufe von

:
(5.149d)

4. alternieremde Quersumme 1. Stufe von

:
(5.149e)

5. Quersumme 2. Stufe von

:
(5.149f)

6. alternierende Quersumme 2. Stufe von

:


(5.149g)
7. Weitere Quersummen und weitere alternierende Quersummen: Analog Quersumme 3. Stufe bzw.
alternierende Quersumme 3. Stufe , usw.
Beispiel
Die Zahl 123 456 789 hat die folgenden Quersummen:
,
,
und

.


Bestimmung singulärer Integrale
Gewöhnlich kann ein singuläres Integral für keinen Wert der beliebigen Konstanten aus dem allgemeinen Integral
ermittelt werden. Zur Bestimmung des singulären Integrals einer Differentialgleichung (9.17a) mit

muß die

Gleichung
(9.17d)
hinzugezogen und

eliminiert werden. Wenn die so gewonnene Beziehung ein Integral der gegebenen

Differentialgleichung ist, dann ist sie ein singuläres Integral. Die Gleichung des Integrals ist zuvor auf eine Form zu
bringen, die keine mehrdeutigen Funktionen enthält, insbesondere keine Radikale, wobei auch die komplexen
Funktionswerte zu berücksichtigen sind.
Radikale sind Ausdrücke, die durch Ineinanderschachtelung von algebraischen Gleichungen auftreten. Wenn die
Gleichung der Integralkurvenschar bekannt ist, d.h. das allgemeine Integral der gegebenen Differentialgleichung,
dann kann die Bestimmung der Einhüllenden der Kurvenschar, die singuläre Integrale darstellen, mit den Methoden
der Differentialgeometrie erfolgen.
Beispiel A


Es ist die Differentialgleichung

Gleichung mit Hilfe von (9.17d) ergibt

b)

zu lösen. Die Berechnung der zusätzlichen

. Elimination von

liefert a)

und

, wobei a) keine, b) eine singuläre Lösung ist, ein Spezialfall der allgemeinen Lösung

. Die Integralkurven von a) und b) zeigt die folgende Abbildung.


Beispiel B
Es ist die Differentialgleichung

zu lösen. Dazu wird die Gleichung auf die Form

gebracht. Außerdem ist

Elimination von

zu

.

. Das singuläre Integral ergibt sich durch


Radizieren oder Ziehen der
Radizieren oder Ziehen der

-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl

-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl ist eine zum Potenzieren inverse Operation. Für
ist
(1.143a)

die abkürzende Bezeichnung für die

Werte
(1.143b)

Während Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzieren mit ganzzahligen Exponenten zu eindeutigen
Ergebnissen führen, liefert das Ziehen der
Geometrisch interpretiert sind die Punkte

-ten Wurzel stets

verschiedene Lösungen

die Eckpunkte eines regelmäßigen

Koordinatenursprung. In der folgenden Abbildung sind die 6 Werte für

.

-Ecks mit dem Mittelpunkt im

dargestellt.


Begriff des Randwertproblems
Differentialgleichungen müssen in verschiedenen Anwendungen, z.B. in der mathematischen Physik, als sogenannte
Randwertprobleme gelöst werden. Darunter versteht man Probleme, bei denen die gesuchte Lösung in den
Endpunkten eines Intervalls der unabhängigen Variablen vorgegebenen Bedingungen genügen muß. Eine
Spezifizierung ist das lineare Randwertproblem, das vorliegt, wenn eine Lösung einer linearen Differentialgleichung
gesucht wird, die linearen Randbedingungen genügt. Im folgenden wird die Betrachtung auf lineare
Differentialgleichungen 2. Ordnung beschränkt, für die lineare Randbedingungen vorgegeben sind.


Mehrdimensionale Zufallsveränderliche
Ein Zufallsvektor

liegt vor, wenn jedes Elementarereignis darin besteht, daß

Zufallsveränderliche

reelle Zahlenwerte

annehmen. Die zugehörige

Verteilungsfunktion wird durch
(16.57)
beschrieben. Sie heißt stetig, wenn eine Funktion

existiert, so daß

(16.58)

gilt. Die Funktion
Variablen

heißt die Dichte der Verteilung oder Verteilungsdichte . Läßt man einige der
nach Unendlich streben, so erhält man sogenannte Randverteilungen . Genauere

Untersuchungen und Beispiele findet man in Lit. 16.4 und 16.25.


Von unabhängigen Zufallsveränderlichen

spricht man, wenn gilt:

(16.59)


Randwertaufgaben
Die wichtigsten Methoden zur Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen sollen an der
folgenden einfachen linearen Randwertaufgabe für eine Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben werden:
(19.118)
Die Funktionen

und

sowie die Zahlen

und

sind gegeben.

Die beschriebenen Methoden lassen sich sinngemäß auf Randwertaufgaben bei Differentialgleichungen höherer
Ordnung übertragen.
●
●
●

Differenzenverfahren
Ansatzverfahren
Schießverfahren


Hilbertsches Randwertproblem
●
●

Zusammenhang
HILBERTsches Randwertproblem


Lösung der charakteristischen Integralgleichung
●
●

Homogene charakteristische Integralgleichung
Inhomogene charakteristische Integralgleichung


Homogene Randbedingungen
(11.78)
Die Funktion

ändert ihren Wert bei einmaligem Durchlauf der Kurve

eine ganze Zahl ist. Die Wertänderung von

um den Wert

, wobei

bei einmaligem Durchlauf des gesamten Kurvensystems

beträgt dann
(11.79a)

Die Zahl

wird als Index des HILBERTschen Problems bezeichnet. Es wird die Funktion
(11.79b)

mit
(11.79c)
gebildet, wobei

und

, aus dem Inneren von

beliebig, aber fest gewählt sind.


Ist

eine einfache geschlossene Kurve (

), dann wird

gesetzt. Mit

(11.79d)
erhält man folgende spezielle Lösung des homogenen HILBERTschen Problems, auch Grundlösung genannt:
(11.79e)

Die allgemeinste Lösung des homogenen HILBERTschen Problems, die nicht im Unendlichen verschwindet, lautet für

(11.80)
mit einem beliebigen Polynom
Lösung

. Im Falle

Unendlichen verschwindende Lösungen.

höchstens (

)-ten Grades. Für

besitzt das homogene HILBERTsche Problem

existiert nur die triviale
linear unabhängige, im


Inhomogene charakteristische Integralgleichung
Ist

die allgemeine Lösung des inhomogenen HILBERTschen Problems, dann kann die Lösung der inhomogenen

Integralgleichung nach (11.77a) bestimmt werden:
(11.83a)
(11.83b)
Die Anwendung der Formeln von PLEMELJ und SOCHOZKI (11.76c) auf

ergibt
(11.83c)

Einsetzen von (11.83c) in (11.83b) liefert schließlich unter Beachtung von (11.76b) und
die Lösungsdarstellung:


(11.84)

Entsprechend (11.81c) müssen im Fall

für die Existenz einer Lösung zusätzlich die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

(11.85)

Beispiel
Gegeben ist die charakteristische Integralgleichung mit konstanten Koeffizienten

und

.

Hier ist

eine einfache, geschlossene Kurve, d.h.

Aus (11.77b) folgt

und

und

.

.

.

ist eine Konstante, und folglich ist

. Somit ist


Da

ist, besitzt das homogene HILBERTsche Randwertproblem nur

Lösung. Gemäß der Lösungsdarstellung (11.84) folgt

als im Unendlichen verschwindende


Inhomogene Randbedingungen
Die Lösung des inhomogenen HILBERTschen Problems lautet:
(11.81a)
mit
(11.81b)
Ist

, dann müssen für die Existenz einer Lösung überdies die Forderungen

(11.81c)
erfüllt sein.


Singuläre Fälle
Randwertprobleme des betrachteten Typs treten bei Anwendungen der FOURIERschen Methode zur Lösung von
Aufgaben der theoretischen Physik häufig auf, aber mit dem Unterschied, daß in den Endpunkten des Intervalls
Singularitäten der Differentialgleichungen vorkommen können, z.B. das Verschwinden von

. In solchen

singulären Punkten werden den Lösungen gewisse Einschränkungen auferlegt wie z.B. Stetigkeit oder Endlichkeit
oder unbeschränktes Wachstum, nicht höher als von einer bestimmten Ordnung. Solche Bedingungen spielen die
Rolle von homogenen Randbedingungen. Außerdem tritt der Fall auf, daß bei einigen Randwertproblemen
homogene Randbedingungen zu untersuchen sind, die die Werte der Funktion und ihrer Ableitung in
entgegengesetzten Endpunkten des Intervalls miteinander verknüpfen. Häufig sind dabei die Bedingungen
(9.67)
vertreten, die im Falle

Periodizitätsbedingungen darstellen. Für Randwertprobleme mit diesen

Bedingungen gilt alles, was oben ausgeführt wurde, ausgenommen die Behauptung (9.65b). Ausführliche
Darstellungen der Problematik s. Lit. 9.6.


Hilbert-Räume
●
●
●
●

Begriff des Hilbert-Raumes
Orthogonalität
Fourier-Reihen im Hilbert-Raum
Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume


Vektorräume
●
●
●
●
●
●
●

Begriff des Vektorraumes
Lineare und affin-lineare Teilmengen
Linear unabhängige Elemente
Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
Lineare Operatoren und Funktionale
Komplexifikation reeller Vektorräume
Geordnete Vektorräume


Metrische Räume
●
●
●

Begriff des metrischen Raumes
Vollständige metrische Räume
Stetige Operatoren


Vollständige metrische Räume
●
●
●
●
●

Cauchy-Folge
Vollständiger metrischer Raum
Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips
Vervollständigung eines metrischen Raumes


Einige Eigenschaften normierter Räume
In der Klasse aller linearen metrischen Räume sind gerade diejenigen normierbar , d.h., mit Hilfe der Metrik kann
durch

eine Norm eingeführt werden, deren Metrik den Bedingungen (12.80a) und (12.80b) genügt.

Zwei normierte Räume

und

mit

Seien

und

heißen normisomorph , wenn es eine bijektive, lineare Abbildung
gibt.

zwei Normen auf einem Vektorraum

machen. Die Norm

heißt stärker als die Norm

, die

zu dem normierten Raum

, wenn es eine Zahl

gibt. In diesem Falle impliziert die Konvergenz einer Folge
Sinne der Norm

, also

, ihre Konvergenz zu

im Sinne der Norm

bzw.

mit
zu

im
, also


.
Zwei Normen

nennt man äquivalent , wenn es zwei Zahlen

gibt, so daß für

gilt.
Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent.
Unter einem Teilraum eines normierten Raums versteht man einen abgeschlossenen linearen Teilraum.


Vektorverbände
●
●

Vektorverband
Positiver und negativer Teil, Modul eines Elements


Spatprodukt bei Rauminversion
Das Spatprodukt

aus den polaren Vektoren

und

des Skalarproduktes bei Rauminversion ein Pseudoskalar , da der Faktor
Vorzeichen des Spatproduktes ändert sich bei Rauminversion.

ist in Übereinstimmung mit dem Verhalten
ein axialer Vektor ist. Das


Positive Richtung
Die positive Richtung ist bei Angabe einer Kurve in der Schreibweise (3.464) und (3.466) die Richtung wachsender
Parameterwerte

, bei (3.465a) und (3.467) die Richtung, in der die Bogenlängenmessung erfolgt.


Windung einer Kurve
Windung einer Kurve im Punkt
wird eine Zahl genannt, die die Abweichung der Kurve in der unmittelbaren Nähe dieses
Punktes von einer ebenen Kurve angibt. Die exakte Definition lautet:
(3.476)

Dabei ist

der Binormalenvektor.

1. Windungsradius


(3.477)
Der Windungsradius ist der Kehrwert der Windung.
2. Formeln zur Berechnung von
a) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß

(3.465a):

(3.478)

wobei die Ableitungen nach

vorzunehmen sind.

b) Bei Definition der Kurve in der Parameterform als Funktion von
gemäß

(3.464):

(3.479)


wobei

gemäß (3.474) zu berechnen ist.

Die mit (3.478, 3.479) berechnete Windung kann positiv oder negativ sein. Im Falle

sieht ein Beobachter, der

auf der Hauptnormalen parallel zur Binormalen steht, die Windung der Kurve im Rechtsdrehsinn, im Falle
Linksdrehsinn.
Beispiel
Die Windung einer Schraubenlinie ist konstant, denn für die Rechtsschraube

bzw. Linksschraube

gilt:

im


Richtung im Raum
Eine Richtung im Raum wird mit Hilfe eines Einheitsvektors
festgelegt, dessen Koordinaten die
Richtungskosinusse sind, d.h. die Kosinusse der Winkel zwischen der zu beschreibenden Richtung und den positiven
Koordinatenachsen
(3.356a)


Der Winkel

zwischen zwei durch ihre Richtungskosinusse

und

bestimmte Richtungen

berechnet sich gemäß
(3.356b)
Zwei Richtungen stehen aufeinander senkrecht, wenn gilt
(3.356c)


Raumwinkel
Im Raum bildet ein von einem Punkt ausgehendes Strahlenbüschel einen Raumwinkel .

Dieser wird mit

bezeichnet und gemäß
(3.101a)


berechnet. Dabei bedeutet

das Oberflächenstück, das der Raumwinkel aus einer Kugel ausschneidet, die den

hat und deren Mittelpunkt mit der Spitze des Strahlenbüschels zusammenfällt. Die Einheit des
Radius
Raumwinkels ist der Steradiant (sr). Es gilt:

(3.101b)

d.h., ein Raumwinkel von 1 sr schneidet auf der Einheitskugel (

m) eine Fläche der Größe

aus.

Beispiel
Der volle Raumwinkel beträgt
Beispiel
Ein Kegel mit dem Öffnungswinkel

beschreibt den Raumwinkel
wobei die Formel für den Kugelabschnitt (3.150) berücksichtigt wurde.


Rechenregeln
Für die Anwendung der Z-Transformation ist es wichtig zu wissen, wie sich gewisse Operationen an den
Originalfolgen in entsprechenden Operationen an den Bildfunktionen widerspiegeln und umgekehrt. Im folgenden sei
für

●
●
●
●

.

Translation
Summation und Differenzenbildung
Dämpfung und Faltung
Differentiation und Integration der Bildfunktion


Skalen
Grundlage einer Skala ist eine Funktion

Zu dieser Funktion konstruiert man eine Skala , indem man

auf einer Kurve, z.B. einer Geraden, die Funktionswerte

als Längen abträgt, aber mit dem Argument

beziffert.

Man kann somit eine Skala als eindimensionale Darstellung der Wertetabelle einer Funktion auffassen.
Die Skalengleichung zur Funktion

lautet:
(2.258)

Durch

wird der Anfangspunkt der Skala festgelegt. Mit dem Maßstabsfaktor

wird berücksichtigt, daß für eine

konkrete Skala nur eine bestimmte Länge zur Verfügung steht.
Beispiel A
Logarithmische Skala :
Für

cm und

lautet ihre Skalengleichung

(in cm).


Zur Wertetabelle
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0,30 0,48 0,60 0,70 0,78 0,85 0,90 0,95 1
erhält man die folgende Skala:

Ihre wichtigste Anwendung, historisch gesehen, fand die logarithmische Skala beim logarithmischen Rechenschieber
. Bei diesem werden z.B. Multiplikation und Division mit Hilfe zweier logarithmischer Skalen, die den gleichen
Maßstabsfaktor haben und gegeneinander verschiebbar angebracht sind, durchgeführt. Aus der folgenden Abbildung
liest man ab:

d.h.
, d.h.

also
also


Beispiel B
Volumenskala auf einem kegelförmigen Meßbecher:
Auf dem Mantel eines Trichters ist eine Skala zum Ablesen des Volumens anzubringen. Die Maße des
Trichters seien: Höhe

cm, Durchmesser

cm. Mit Hilfe der folgenden linken Abbildung


läßt sich die Skalengleichung wie folgt herleiten: Volumen

Mantellinie

Daraus folgt

Skalengleichung

,

so daß sich die

ergibt. Mit Hilfe der Wertetabelle


erhält man dann die Markierung auf dem Trichter gemäß der rechten Abbildung.


Rechenschieber
Neben den Logarithmen war der Rechenschieber eines der wichtigsten Hilfsmittel in der rechnerischen Praxis. Das
Prinzip des Rechenschiebers beruht auf der Anwendung der Formel (1.19a), die es ermöglicht, Multiplikationen und
Divisionen mit Hilfe von Additionen und Subtraktionen auszuführen. Daher sind auf dem Rechenschieber die
Strecken im logarithmischen Maßstab abgetragen, so daß die genannten Rechenoperationen auf die Addition und
Subtraktion von Strecken zurückgeführt werden können (s. Beispiel Rechenschieber).


Beispiele zum numerischen Rechnen
An einigen Beispielen sei die Problematik des zweckmäßigen Vorgehens beim numerischen Rechnen verdeutlicht.
Beispiel A: Wurzeln der quadratischen Gleichung
mit reellen Koeffizienten

und

(reelle Wurzeln).

Kritische Situationen ergeben sich für

Vorgehen:
a)

b)
Durch das direkte Auflösungsverfahren ist die Auslöschung bei der Berechnung von

nicht zu


beseitigen. Da jedoch der Summand

betragsmäßig überwiegt, tritt eine erhebliche Fehlerdämpfung

ein.

bei

Beispiel B: Beispiel Volumen der dünnen Kugelschale für

ergibt wegen

starke Auslöschung,

ergibt jedoch keine Auslöschung.

Beispiel C: Beispiel Bildung einer Summe


Für die Summe

werde eine Genauigkeit von drei Stellen

gefordert. Bei 8stelliger Rechnung müßten annähernd 6000 Summanden berücksichtigt werden. Nach der
erhält man

identischen Umformung

. Mit dieser Umformung
sind nur noch acht Summenglieder zu berücksichtigen.

Beispiel D: Beispiel Beseitigung der

-Situation


Die

-Situation der Funktion

für

kann durch Erweiterung mit

beseitigt werden.

Beispiel E: Beispiel eines instabilen rekursiven Prozesses
Algorithmen der allgemeinen Form
sind dann stabil, wenn die Bedingung

erfüllt ist.

Für den speziellen Fall
nämlich

und

die Fehler

liegt Instabilität vor. Besitzen
und

, so ergeben sich für
Damit ist für die Parameter

Rechenprozeß instabil.

die Fehler
und

der


Beispiel F: Beispiel Numerische Integration einer Differentialgleichung
Für die gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung
(19.283)
und der Anfangsbedingung

sollen die Probleme bei der numerischen Berechnung etwas ausführlicher

dargestellt werden.
a) Natürliche Instabilität: Neben der exakten Lösung
exakten Anfangsbedingung

sei

die Lösung zu einer gegenüber der

fehlerbehafteten Anfangsbedingung. Für die gestörte Lösung wird

ohne Beschränkung der Allgemeinheit der Ansatz
(19.284a)
gemacht, wobei
von

ein Parameter mit

und

eine sogenannte Störfunktion ist. Unter Beachtung

ergibt sich bei Anwendung der Taylor-Entwicklung

(19.284b)
die sogenannte Differentialvariationsgleichung
(19.284c)


Die Lösung des Problems mit

lautet dann
(19.284d)

Für

führt eine kleine Anfangsstörung

zu unbeschränkt wachsender Störung

. Damit liegt natürliche

Instabilität vor.
b) Untersuchung des Verfahrensfehlers mit der Trapezformel: Mit
Differentialgleichung

ergibt sich die stabile

mit der exakten Lösung
(19.285a)

Die Trapezformel lautet
(19.285b)
Angewendet auf die angegebene Differentialgleichung erhält man


(19.285c)

Mit

und daraus

erhält man für

(19.285d)

Unter der Voraussetzung
Lösung

gilt dann

, und damit strebt für

auch

gegen die exakte

.

c) Eingangsfehler: Unter b) war vorausgesetzt worden, daß exakter und näherungsweiser Anfangswert


übereinstimmen. Jetzt soll das Verhalten untersucht werden, wenn

mit

gilt.

(19.286a)
Damit ist

höchstens von der gleichen Größenordnung wie

, und das Verfahren ist bezüglich des

Anfangswertes stabil.
Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß für den Fall der numerischen Lösung der obigen Differentialgleichung mit der
SIMPSON-Formel künstlich Instabilitäten eingeführt werden. So würde sich in diesem Fall beispielsweise die
allgemeine Lösung

(19.286b)
für
ergeben. Der Grund besteht darin, daß das numerische Lösungsverfahren Differenzen höherer Ordnung
benutzt, als es der Ordnung der Differentialgleichung entspricht.


Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
●
●
●

Einführung, Fehlerarten
Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen


Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen
●
●

Fehlerarten
Beispiele zum numerischen Rechnen


Rechteckimpuls
Ein weiteres Beispiel für die Anwendung des Hakenintegrals und des Lemmas von JORDAN ist die Darstellung des
Rechteckimpulses :

(14.61a)

(14.61b)

(S. auch Rechteckimpuls.)


Unterabschnitte
●
●
●
●
●
●

1. Schwerpunkt

des Bogenstückes:

2. Schwerpunkt
einer geschlossenen Kurve:
3. Erste GULDINsche Regel:
4. Schwerpunkt eines Trapezes:
5. Schwerpunkt
einer beliebigen ebenen Figur:
6. Zweite GULDINsche Regel:

Schwerpunkte, GULDINsche Regeln
1. Schwerpunkt
Der Schwerpunkt

des Bogenstückes:
des Bogenstückes einer homogenen ebenen Kurve

im Intervall

mit der


Länge

(s. Abbildung) unter Berücksichtigung von (8.60a):

(8.70)

2. Schwerpunkt
Der Schwerpunkt

einer geschlossenen Kurve:
einer geschlossenen Kurve (s. Abbildung) mit den Gleichungen

für den oberen


und

für den unteren Kurventeil und der Gesamtlänge

ergibt sich zu:

(8.71)


3. Erste GULDINsche Regel:
Die Oberfläche

eines Körpers, die bei Rotation eines ebenen Kurvenstückes um eine Achse entsteht, die in der

Ebene dieser Kurve liegt und die Kurve nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Kreises, den
der Schwerpunkt des Kurvenstückes bei der Rotation im Abstand
, und der Länge des Kurvenstückes

von der Umdrehungsachse beschreibt, also

:
(8.72)


4. Schwerpunkt eines Trapezes:
Der Schwerpunkt

eines homogenen, zwischen den Kurvenpunkten

(s. Abbildung) mit dem Flächeninhalt

des Trapezes und der Gleichung

und

krummlinig begrenzten Trapezes
des Kurvenstückes

ergibt sich zu:

(8.73)


5. Schwerpunkt
Der Schwerpunkt

einer beliebigen ebenen Figur:
einer beliebigen ebenen Figur (s. Abbildung) mit der Fläche

durch Kurven mit den Gleichungen

bzw.

, oben und unten begrenzt

, berechnet sich gemäß:

(8.74)


Formeln zur Berechnung von Schwerpunkten mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind in der Tabelle Anwendung von
Doppelintegralen und in der Tabelle Anwendung von Dreifachintegralen angegeben.

6. Zweite GULDINsche Regel:
Der Rauminhalt eines Körpers

, der bei Rotation einer ebenen Figur um eine Achse entsteht, die in der

Figurenebene liegt und die Figur nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des Kreises, den der
Schwerpunkt dieser Fläche bei der Rotation beschreibt, also

, und dem Flächeninhalt der Figur

:
(8.75)


Kognitive Systeme
Zur Erläuterung der Methode soll das bekannte Beispiel der Regelung eines, auf einer beweglichen Unterlage
aufrechtstehenden Pendels (Pendel auf beweglicher Unterlage) mit dem MAMDANI-Regelungskonzept behandelt
werden.

Ziel der Regelung ist es, das Pendel so in der Balance zu halten, daß der Pendelstab vertikal steht, d.h. die
, die
Winkelabweichung vom Lot und die Winkelgeschwindigkeit zu Null werden. Das kann durch die Kraft
Stellgröße, die auf das untere Ende des Pendels einwirkt, erreicht werden. Dazu wird das Modell eines menschlichen


,,Kontrollexperten``(kognitive Aufgabe) zugrunde gelegt. Der Experte formuliert sein Wissen in Form linguistischer
Regeln. Linguistische Regeln bestehen im allgemeinen aus einer Prämisse, d.h. einer Spezifikation der Werte für die
Meßgrößen, und einer Konklusion, die einen geeigneten Stellwert angibt.
Für jede der Wertemengen

für die Meßgrößen und

für die Stellgröße sind geeignete

linguistische Terme wie ,,ungefähr Null``, ,,positiv klein`` usw. festzulegen. Dabei kann ,,ungefähr Null`` bezüglich der
Meßgröße

●
●
●
●

durchaus eine andere Bedeutung besitzen als für die Meßgröße

Pendel auf beweglicher Unterlage: Modellierung der Aufgabe
Pendel auf beweglicher Unterlage: Regelauswahl
Pendel auf beweglicher Unterlage: Entscheidungslogik
Pendel auf beweglicher Unterlage: Defuzzifizierung

.


Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen
●
●

Bestimmung der Regressionsgeraden
Vertrauensgrenzen für den Regressionskoeffizienten


Mehrdimensionale Regression
●
●
●
●

Funktionaler Zusammenhang
Vektorschreibweise
Lösungsansatz und Normalgleichungssystem
Hinweise:


Vektorschreibweise
Es ist zweckmäßig, im mehrdimensionalen Fall zur vektoriellen Schreibweise
(16.145)
überzugehen, so daß (16.144) jetzt lautet:
(16.146)


Regula falsi
1. Vorschrift der Regula falsi: Zur Lösung der Nullstellengleichung

verfährt die Regula falsi nach der

Vorschrift
(19.10)
d.h., sie benutzt nur Funktionswerte und geht aus dem NEWTON-Verfahren (19.6) dadurch hervor, daß die Ableitung
durch den Differenzenquotienten von

zwischen

und einem vorhergehenden Näherungswert

ersetzt wird.
2. Geometrische Interpretation: Die geometrische Interpretation der Regula falsi ist in der folgenden Abbildung
dargestellt:


Die Grundidee der Regula falsi besteht in der lokalen Approximation der Kurve
3. Konvergenz: Das Verfahren (19.10) konvergiert sicher, wenn man

durch eine Sekante.

jeweils so wählt, daß

und

verschiedene Vorzeichen haben. Ist bei fortgeschrittener Iteration die Konvergenz bereits gesichert, so
wird sie beschleunigt, wenn man ohne Rücksicht auf die Vorzeichenbedingung

Beispiel

setzt.


Falls sich im Verlaufe der Rechnung die Werte

nur noch unwesentlich ändern, kann auf ihre

Neuberechnung verzichtet werden.
4. STEFFENSEN-Verfahren: Durch Anwendung der Regula falsi mit

auf die Gleichung

läßt sich häufig die Konvergenz wesentlich beschleunigen oder im Falle
sogar erzwingen. Diese Vorgehensweise ist unter dem Namen STEFFENSEN-Verfahren bekannt
geworden.
Beispiel


Zur Lösung der Gleichung

mit Hilfe des STEFFENSEN-Verfahrens soll die Gleichung
benutzt werden.


Anwendung
Die Singulärwertzerlegung kann zur Rangbestimmung einer Matrix A vom Typ
überbestimmter linearer Gleichungssysteme

und zur genäherten Lösung

nach dem sogenannten Regularisierungsverfahren , d.h. zur

Lösung der Aufgabe
(4.141)

eingesetzt werden, wobei

ein Regularisierungsparameter ist.


Arithmetische Reihe 1. Ordnung
Arithmetische Reihe 1. Ordnung heißt die Reihe

(1.56), wenn

die Differenz von je zwei aufeinanderfolgenden Summanden konstant ist, d.h. wenn gilt:
(1.57a)
Somit wird
(1.57b)

(1.57c)


Reihen in normierten Räumen
In einem normierten Raum kann man Reihen von Elementen
(12.85)
betrachten. Eine Reihe heißt konvergent , wenn die Folge der Partialsummen einen Grenzwert besitzt:

(12.86)

Der Grenzwert

heißt dann Summe der Reihe, wofür man auch

heißt absolut konvergent , wenn die Zahlenreihe
konvergente Reihe konvergent, wobei für ihre Summe

schreibt. Eine Reihe

konvergiert. Im BANACH-Raum ist jede absolut
gilt.


Endliche Reihen
●
●
●
●

Arithmetische Reihen
Geometrische Reihe
Spezielle endliche Reihen
Mittelwerte


Geometrische Reihe
Die Summe (1.56) wird geometrische Reihe genannt, wenn der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern
konstant ist, d.h. wenn gilt:
(1.59a)
Somit wird
(1.59b)

(1.59c)

Für

erhält man eine unendliche geometrische Reihe, die im Falle

den folgenden Grenzwert hat:

(1.59d)


Reihen mit konstanten Gliedern
●
●
●
●
●

Allgemeine Konvergenzsätze
Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
Absolute und bedingte Konvergenz
Einige spezielle Reihen
Abschätzung des Reihenrestes


Reihenrest

Unter dem Rest oder dem Restglied einer konvergenten Reihe

ihrer Summe

und der Partialsumme

versteht man die Differenz zwischen

:

(7.19)


Algebraische Funktionen
●
●
●

Binomische Reihe
Binomische Reihe mit positiven Exponenten
Binomische Reihe mit negativen Exponenten


Areafunktionen
Funktion
Arsinh

Arcosh

Artanh

Potenzreihenentwicklungen

Konvergenzbereich


Arcoth


Binomische Reihe

Nach Umformung auf die Gestalt
wird man auf die nachfolgenden Reihen geführt.

, wobei

, für

und

für

,


Binomische Reihe mit negativen Exponenten
Funktion

Potenzreihenentwicklungen

Konvergenzbereich


Binomische Reihe mit positiven Exponenten
Funktion

Potenzreihenentwicklungen

Konvergenzbereich


Exponentialfunktionen
Funktion

Potenzreihenentwicklungen

Konvergenzbereich


Hyperbelfunktionen
Funktion Potenzreihenentwicklungen

sinh

cosh

tanh

Konvergenzbereich


coth

sech

cosech


Inverse trigonometrische Funktionen
Funktion Potenzreihenentwicklungen

arcsin

arccos

Konvergenzbereich


arctan

arctan

arccot


Logarithmische Funktionen
Funktion

Potenzreihenentwicklungen

Konvergenzbereich


= 2 Artanh

ln
= 2 Arcoth


ln sin

ln

ln cos

ln tan

ln


Potenzreihenentwicklungen
●
●
●
●
●
●
●

Algebraische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Exponentialfunktionen
Logarithmische Funktionen
Inverse trigonometrische Funktionen
Hyperbelfunktionen
Areafunktionen


Trigonometrische Funktionen
Funktion

Potenzreihenentwicklungen

Konvergenzbereich


Rektifizierung
Vorausgesetzt, zwischen

und

besteht eine bestimmte Abhängigkeit, dann werden in der gewählten

Näherungsformel zwei Funktionen
(2.244a)
und
(2.244b)
derart substituiert, daß eine lineare Beziehung der Form
(2.244c)
entsteht, wobei

und

Werden für die gegebenen

Konstanten sind.
- und

-Werte die zugehörigen

- und

-Werte berechnet und graphisch

dargestellt, dann kann leicht erkannt werden, ob die zugehörigen Punkte annähernd auf einer Geraden liegen.


Danach ist zu entscheiden, ob die gewählte Formel geeignet ist oder nicht.
Beispiel A
Lautet die Näherungsformel
erhält

dann kann

gesetzt werden, und man

.

Es wäre auch die Substitution

möglich. Dann erhielte man

.

Beispiel B
Einfach-logarithmische Darstellung.
Beispiel C
Doppelt-logarithmische Darstellung.
Zur Entscheidung, ob empirische Daten einer linearen Beziehung

genügen, kann die lineare

Regression und Korrelation herangezogen werden. Die Zurückführung eines funktionalen Zusammenhangs auf eine
lineare Beziehung wird Rektifizierung genannt.
Im Unterkapitel Gebräuchlichste empirische Formeln werden Beispiele für die Rektifizierung einiger Formeln
gegeben, einschließlich eines vollständig durchgerechneten Beispiels.


Relationen und Abbildungen
●
●
●
●
●

-stellige Relationen
Binäre Relationen
Relationenprodukt, inverse Relation
Eigenschaften binärer Relationen
Abbildungen


Fuzzy-wertige Relationen
●

Fuzzy-Relationen

●

Fuzzy-Relationenprodukt


Relationenprodukt, inverse Relation
Relationen sind spezielle Mengen, so daß zwischen Relationen die üblichen Mengenoperationen ausgeführt werden
können. Für zweistellige Relationen sind darüber hinaus das Relationenprodukt und die inverse Relation von
und

Bedeutung. Es seien
Relationen

und

zweistellige Relationen. Dann ist das Produkt

der

durch
(5.68)

definiert. Das Relationenprodukt ist assoziativ, aber nicht kommutativ.
Die inverse Relation

einer Relation

ist durch
(5.69)

festgelegt.
Für binäre Relationen in einer Menge

gelten folgende Beziehungen:
(5.70)
(5.71)
(5.72)


(5.73)
(5.74)


-stellige Relationen
Relationen beschreiben Beziehungen zwischen den Elementen einer oder verschiedener Mengen. Eine
Relation

zwischen den Mengen

ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts dieser Mengen, d.h.

Sind die Mengen
und

heißt

-stellige

-stellige Relation in der Menge

sämtlich gleich der Menge

so wird


Rente
Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten wiederkehren, und zwar in gleicher oder unterschiedlicher Höhe,
vorschüssig oder nachschüssig, werden als Renten bezeichnet. Man unterscheidet:
a) Einzahlungen
Rentenbeträge werden auf ein Konto eingezahlt und mit Zinseszins verzinst. Es werden die Formeln der
Zinseszinsrechnung angewendet.
b) Rückzahlungen
Die Rentenzahlungen erfolgen aus einem Kapital, das mit Zinseszins angelegt ist. Es werden die Formeln der
Tilgungsrechnung angewendet, wobei die Annuität zur Rente wird. Falls höchstens die jeweils anfallenden
Zinsen als Rente ausgezahlt werden, spricht man von einer ewigen Rente .
Rentenzahlungen (Ein- wie Rückzahlungen) können zu den Zinsterminen, d.h. Zinstermin = Rententermin, oder in
kürzeren Abständen innerhalb der Zinsperioden, d.h. unterjährig, vorgenommen werden.


Kontostand nach

Rentenzahlungen

Zur nachschüssigen Rentenzahlung stehe ein Kapital
Zinstermin werde der Rentenbetrag

zur Verfügung, das mit

ausgezahlt. Der Kontostand

nach

verzinst wird. Zu jedem
Zinsperioden, also auch nach

Rentenzahlungen, beträgt:
(1.92a)
Folgerungen aus dieser Gleichung:
(1.92b)

Es ergibt sich

d.h., das Kapital ändert sich nicht. Es liegt der Fall der ewigen Rente vor.

(1.92c)


Das Kapital wird aufgebraucht, und zwar nach

Rentenzahlungen. Aus (1.92a) folgt dann für

:

(1.92d)
Wird eine unterjährige Verzinsung und eine unterjährige Rentenzahlung vorgenommen, dann ist in den Formeln
(1.90) bis (1.92a)

durch

und entsprechend

die ursprüngliche Zinsperiode in

durch

zu ersetzen, wenn

gleich lange neue Zinsperioden unterteilt wird.

Beispiel
Welcher Betrag muß 20 Jahre lang monatlich nachschüssig eingezahlt werden, damit daran anschließend
20 Jahre lang monatlich eine Rente von 2000.-DM gezahlt werden kann? Die Verzinsung erfolge monatlich
mit

.

Aus (1.92d) erhält man für

die Summe

, die für die anschließenden

Rentenzahlungen benötigt wird:
notwendigen monatlichen Einzahlungen

279 161,54 DM. Die dazu
ergeben sich aus (1.90):


DM.


Nachschüssig konstante Rente
●

Rentenbarwert und Rentenendwert

●

Kontostand nach

Rentenzahlungen


Rentenbarwert und Rentenendwert
Die Termine für Zinsberechnung und Rentenzahlung sollen übereinstimmen. Die Verzinsung erfolge mit
Zinseszins, und die Rentenbeträge sollen von der gleichen Höhe
welchen Betrag die regelmäßigen Einzahlungen nach

sein. Dann gibt der Rentenendwert

an, auf

Zinsperioden angewachsen sind:
(1.90)

Der Rentenbarwert
nach

stellt den Betrag dar, der zu Beginn der 1. Zinsperiode (einmalig) eingezahlt werden muß, um

Zinsperioden mit Zinseszins auf den Rentenendwert

angewachsen zu sein:
(1.91)

Beispiel


Von einer Gesellschaft hat jemand 10 Jahre lang jeweils zum Jahresende 5000.-DM zu beanspruchen. Vor
der 1. Zahlung hat die Firma Konkurs angemeldet. Als Forderung an den Konkursverwalter kann nur der
Barwert

geltend gemacht werden. Bei Zinsen von

pro Jahr gilt:

DM.


Rentenrechnung
●
●

Rente
Nachschüssig konstante Rente


Vergleich mit der linearen Algebra, Residualspektrum
Ein wesentlicher Unterschied zwischen dem endlichdimensionalen Fall, der im wesentlichen in der linearen Algebra
betrachtet wird, und der Situation im unendlichdimensionalen Fall, mit dem sich die Funktionalanalysis befaßt,
besteht zumindest an dieser Stelle darin, daß in ersterem stets

gilt, während in letzterem das

Spektrum in der Regel Punkte enthält, die keine Eigenwerte von

sind. Ist

injektiv und surjektiv, dann

gilt wegen des Satzes über die Stetigkeit des Inversen

. Im Kontrast zum endlichdimensionalen Fall, bei

dem die Surjektivität automatisch aus der Injektivität folgt, muß im unendlichdimensionalen Falle weitaus
differenzierter vorgegangen werden.
Die Menge

aller

, für die

stetiges oder kontinuierliches Spektrum und die Menge

injektiv und
aller der

dicht in
, mit injektivem

nichtdichtem Wertebereich, heißt Rest- oder Residualspektrum des Operators

.

liegt, heißt
und


Für einen beschränkten linearen Operator

im komplexen BANACH-Raum

gilt die disjunkte Vereinigung
(12.156)


Anwendung des Residuensatzes
Mit Hilfe des Residuensatzes mit der Integrationsformel
(14.57a)

können eine Reihe bestimmter Integrale von Funktionen einer Veränderlichen berechnet werden. Wenn

eine

Funktion ist, die in der gesamten oberen Halbebene einschließlich der reellen Achse analytisch ist, ausgenommen
die singulären Punkte

, die oberhalb der reellen Achse liegen sollen (s. Abbildung),


und wenn eine Wurzel der Gleichung

von der Vielfachheit

ist, dann gilt:

(14.57b)

Beispiel


Berechnung des Integrals

.

besitzt die sechsfache Wurzel

Die Gleichung

Die Funktion

ein Pol mit der Vielfachheit
und

hat in der oberen Halbebene den einzigen singulären Punkt

ist, denn die Gleichung

.

, der

hat zwei dreifache Wurzeln bei

. Das Residuum berechnet sich gemäß (14.54b) zu

. Aus

folgt


, und mit (14.57b):

.
Weitere Anwendungen der Residuentheorie s. z.B. Lit. 14.18.


Residuensatz
Mit Hilfe der Residuen kann man den Wert eines Integrals über einen geschlossenen Weg berechnen, der isolierte
singuläre Punkte umschließt (s. Abbildung).

Ist die Funktion

in einem einfach zusammenhängenden Gebiet

, das von der geschlossenen Kurve


begrenzt wird, mit Ausnahme der endlich vielen Punkte

eindeutig und analytisch, dann ist der

Wert des im Gegenuhrzeigersinn über den geschlossenen Weg genommenen Integrals gleich dem Produkt aus
und der Summe der Residuen in allen diesen singulären Punkten:
(14.55)

Beispiel
Die Funktion
haben die Summe

hat die Pole 1. Ordnung
. Daher gilt, wenn

. Die zugehörigen Residuen

ein Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius

ist,


Residuum
Den Koeffizienten

der Potenz

Residuum der Funktion

im singulären Punkt

in der LAURENT-Entwicklung von

bezeichnet man als

:

(14.54a)

Das zu einem Pol

-ter Ordnung gehörende Residuum kann mit der Formel

(14.54b)
berechnet werden.


Wenn die Funktion als Quotient gemäß
und

im Punkt

dargestellt werden kann, wobei die Funktionen

analytisch und

eine einfache Wurzel der Gleichung

ist, dann ist der Punkt

so daß

sein soll,

ein Pol 1. Ordnung der Funktion

. Mit

(14.54b) ergibt sich:

(14.54c)

Wenn

eine

-fache Wurzel der Gleichung

ist, d.h., wenn

ist, dann ist der Punkt

ein

-facher Pol der Funktion

.


Bestimmung der Resolvente
Läßt man

gegen unendlich gehen, dann erhalten die Determinanten

und

unendlich viele Zeilen

und Spalten. Die Determinante
(11.19a)
wird benutzt, um den lösenden Kern (Resolvente)

in der folgenden Form darzustellen:
(11.19b)

(vgl. Konvergenz der NEUMANNschen Reihe). Es gilt die Aussage, daß alle Nullstellen von
sind. Gleichzeitig sind die

mit

Polstellen von

genau die Eigenwerte der Integralgleichung (11.15). In

diesem Fall besitzt die homogene Integralgleichung nicht verschwindende Lösungen, die Eigenfunktionen zum
Eigenwert

. Die Kenntnis der Resolvente

Lösungsdarstellung:

ermöglicht, falls

, eine explizite


(11.19c)

Zur Ermittlung der Resolvente nutzt man für die Funktionen
bezüglich

und

Potenzreihenentwicklungen

:

(11.20a)

Es ist dabei

. Die weiteren Koeffizienten lassen sich aus folgenden

Rekursionsformeln gewinnen:
(11.20b)

Beispiel A


.
Die exakte Lösung dieser Integralgleichung lautet:
.

Für

mit

erhält man

.

ist eine Näherung für den exakten Eigenwert

des Systems (11.17b) ermittelt man für

das Ergebnis

Nach Einsetzen dieses Resultates lauten die zweite und dritte Gleichung:

. Aus der ersten Gleichung

.


.

Dieses System hat die Lösung

. Speziell für

. Die exakten Lösungswerte lauten:
.
Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, muß die Anzahl der Stützstellen vergrößert werden.
Beispiel B

ist


.

,

,

,

.

Damit sind auch

und alle folgenden Größen

und

.

gleich Null.


Aus
Falls

ermittelt man die 2 Eigenwerte

.

kein Eigenwert ist, erhält man als Lösung
.


Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
Bei Untersuchungen zur Lösbarkeit von Gleichungen ist man bestrebt, das Problem auf die Form
(12.149)
mit einem Operator

von möglichst kleiner Norm zu bringen, da diese wegen (12.139) und (12.140) für eine
zu

funktionalanalytische Behandlung besonders zugänglich ist. Um mit der Theorie auch große Werte von
erfassen, untersucht man in einem komplexen BANACH-Raum

die gesamte Schar von Gleichungen
(12.150)

Sei

ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im BANACH-Raum

komplexen Zahlen, für die

1.

aller

gilt, heißt Resolventenmenge und der Operator
Resolvente . Sei jetzt

komplexen BANACH-Raum

. Die Menge

. Dann gelten die Aussagen:

ein beschränkter linearer Operator in einem


Die Menge

ist offen. Genauer, ist

und genügt

der Ungleichung
(12.151)

dann existiert

, und es gilt

(12.152)
2.
. Genauer, für

mit

existiert

und
(12.153)

3.
, wenn

, und

.
4.
, wenn
5.

.

, wenn


Für ein beliebiges Funktional
Funktion auf

und beliebiges

ist

eine holomorphe

.

6.
Für beliebige

gilt
(12.154)


Restklassen, Restklassenring
1. Restklassen modulo

: Da die Kongruenz modulo

Relation eine Klasseneinteilung von

eine Äquivalenzrelation in

ist, induziert diese

in Restklassen modulo m :
(5.166)

Die Restklasse ,,
lassen. Es gilt

modulo

`` besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch
genau dann, wenn

mod

den gleichen Rest wie

ist.

Zum Modul
gibt es genau
Restklassen, zu deren Beschreibung man in der Regel ihre kleinsten
nichtnegativen Repräsentanten verwendet:
(5.167)
2. Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation: In der Menge

der Restklassen modulo

wird durch
(5.168)
(5.169)
eine Restklassenaddition bzw. Restklassenmultiplikation erklärt.
Diese Restklassenoperationen sind unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten, d.h., aus


(5.170a)
folgt
(5.170b)
und
(5.170c)
3. Restklassenring modulo

: Die Restklassen modulo

bilden bezüglich der Restklassenaddition und

Restklassenmultiplikation einen Ring mit Einselement, den Restklassenring modulo m . Ist
dann ist der Restklassenring modulo

ein Körper.

eine Primzahl,


Prime Restklassen
Eine Restklasse
dann sind alle von

mit ggT

nennt man eine prime Restklasse modulo m . Ist

eine Primzahl,

verschiedenen Restklassen prime Restklassen modulo

Die primen Restklassen modulo

bilden bezüglich der Restklassenmultiplikation eine ABELsche Gruppe, die prime

Restklassengruppe modulo m . Die Ordnung dieser Gruppe ist

Beispiel A
sind die primen Restklassen modulo 8.

Beispiel B
sind die primen Restklassen modulo 5.

Dabei ist

die EULERsche Funktion.


Beispiel C
Es gilt


Primitive Restklassen
Eine prime Restklasse
die Ordnung

wird primitive Restklasse genannt, wenn sie in der primen Restklassengruppe modulo
hat.

Beispiel A
ist eine primitive Restklasse modulo 5, denn

Beispiel B
Es gibt keine primitive Restklasse modulo 8, denn
der primitiven Restklassengruppe die Ordnung 2.

hat die Ordnung 1, und

haben in


Hinweis: Es existiert genau dann eine primitive Restklasse modulo
gilt, wobei

eine ungerade Primzahl und

Existiert eine primitive Restklasse modulo
Gruppe.

wenn

oder

eine natürliche Zahl ist.

dann ist die prime Restklassengruppe modulo

eine zyklische


Körpererweiterungen
Es seien

und

Körper. Gilt

, so heißt

Körpererweiterung über

.

Beispiel A
und

Die Zahlenbereiche
mit Einselement;

und

sind bezüglich der Addition und Multiplikation kommutative Ringe

sind sogar Körper.

Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Beispiel für einen Ring ohne Einselement.
Die Menge

ist der Erweiterungskörper von

.

Beispiel B
Die Menge

aller

-reihigen Matrizen über den reellen Zahlen bildet einen nichtkommutativen Ring

mit der Einheitsmatrix als Einselement.
Beispiel C


Die Menge der reellen Polynome

bildet bezüglich

der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen einen Ring, den Polynomring
kann man anstelle des Polynomringes über
mit Einselement betrachten.

Allgemeiner

auch Polynomringe über beliebigen kommutativen Ringen

Beispiel D
Beispiele für endliche Ringe sind die Restklassenringe
von ganzen Zahlen, die bei der Division durch
durch die ganze Zahl

besteht aus allen Klassen
den gleichen Rest lassen. Mit

bestimmte Äquivalenzklasse bezüglich der Relation

wird die

bezeichnet. Dabei sind

durch
(5.109)
Ringoperationen
sogar ein Körper.

auf

erklärt. Ist die natürliche Zahl

eine Primzahl, so wird


Gradient und Richtungsableitung
Die Richtungsableitung der skalaren Feldfunktion
Vektors

nach dem Einheitsvektor

auf die Richtung des Einheitsvektors

ist gleich der Projektion des

:
(13.32)

d.h., die Richtungsableitung ist als Skalarprodukt des Richtungsvektors mit dem Gradienten des Feldes
beschreibbar.


Richtungsableitung eines skalaren Feldes
Die Richtungsableitung des skalaren Feldes
Vektor

(s. Abbildung)

in einem Punkt

mit dem Ortsvektor

nach einem


ist definiert als Grenzwert des Quotienten
(13.27)
Wenn die Ableitung des Feldes

mit

in einem Punkt

nach der Richtung des Einheitsvektors

bezeichnet wird, dann besteht zwischen den Ableitungen der Funktion nach dem Vektor

seinem Einheitsvektor

von

und nach

in ein und demselben Punkt die Beziehung
(13.28)

Die Ableitung
vom Punkt

nach dem Einheitsvektor ist ein Maß für die Stärke, mit der die Funktion

aus anwächst. Unter allen Ableitungen in einem Punkt nach den verschiedenen Richtungen der

Einheitsvektoren besitzt die Ableitung
Niveaufläche, auf der der Punkt
Richtung

in Richtung

den größten Wert. Dabei ist

der Normaleneinheitsvektor zur

liegt. Zwischen den Richtungsableitungen bezüglich

besteht der Zusammenhang

und einer beliebigen


(13.29)


Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes
In Analogie zur Richtungsableitung eines skalaren Feldes gibt es die Richtungsableitung eines Vektorfeldes. Die
Richtungsableitung des Vektorfeldes

in einem Punkt

mit dem Ortsvektor

(s. Abbildung)


nach einem Vektor

ist definiert als Grenzwert des Quotienten
(13.30a)

Wenn die Ableitung des Vektorfeldes

in einem Punkt

nach der Richtung des Einheitsvektors


von

mit

bezeichnet wird, dann gilt:

(13.30b)

In kartesischen Koordinaten, d.h.

, gilt

(13.30c)
oder in allgemeinen Koordinaten

(13.30d)


Kartesische Koordinaten
Gemäß (3.242c) kann jeder Vektor

eindeutig in eine Summe von Vektoren zerlegt werden, die parallel zu

den Grundvektoren des Koordinatensystems

stehen:
(3.244a)

wobei die Skalare

und

die kartesischen Koordinaten des Vektors

Einheitsvektoren des Koordinatensystems

im System mit den

sind. Man schreibt dafür auch
(3.244b)

Die durch die drei Einheitsvektoren festgelegten Richtungen bilden ein senkrechtes Richtungstripel . Die kartesischen
Koordinaten eines Vektors sind die Projektionen dieses Vektors auf die Koordinatenachsen.


Wird ein Vektor parallel zu oder entlang einer der Koordinatenachsen verschoben, dann ändern sich seine
Koordinaten in den anderen beiden Richtungen nicht.
Die Koordinaten einer Linearkombination mehrerer Vektoren ergeben sich als gleichgestaltete Linearkombination der
Koordinaten dieser Vektoren, so daß die Vektorgleichung (3.242b) drei skalaren Komponentengleichungen
entspricht:

(3.245)

Für die Koordinaten der Summe und der Differenz zweier Vektoren


(3.246a)
gilt insbesondere
(3.246b)
Der Radiusvektor

eines Punktes

hat die kartesischen Koordinaten dieses Punktes:
(3.247)


Richtungswinkel
Der Richtungswinkel
Punkt

in einem Punkt

verlaufenden Parallelen zur

gibt die Richtung einer orientierten Strecke bezüglich einer durch den
-Achse an.


Da die Messung des Winkels in der Geodäsie im Uhrzeigersinn erfolgt sind die Quadranten in umgekehrter
Reihenfolge numeriert als im rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem.
Die Formeln der ebenen Trigonometrie können aber ohne Änderung verwendet werden.

Tabelle Richtungswinkel bei vorzeichentreuer Streckeneingabe über

Quadrant
Anzeige im Rechner

I

II

III

oder

IV


Richtungswinkel

gon

gon

gon

gon


Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
1. Vertauschung von Gliedern:
a)
Die Glieder einer absolut konvergenten Reihe können nach Belieben miteinander vertauscht werden:
Die Reihensumme ändert sich dadurch nicht.
b)
Wenn die Glieder einer bedingt konvergenten Reihe so umgestellt werden, daß in die Umstellung
beliebig viele Glieder einbezogen sind, dann kann dadurch die Reihensumme geändert werden. Der
Satz von RIEMANN besagt, daß auf diese Weise jede beliebige vorgegebene Zahl zur Reihensumme
gemacht werden kann.
2. Addition und Subtraktion: Absolut konvergente Reihen können gliedweise addiert oder subtrahiert
werden.
3. Multiplikation: Absolut konvergente Reihen können wie gewöhnliche Polynome miteinander multipliziert
werden. Das Ergebnis ist wieder als Reihe darstellbar, z.B.:

(7.34a)


Wenn die Reihensummen

und

bekannt sind, dann ergibt sich die Summe der

multiplizierten Reihen gemäß
(7.34b)

Wenn zwei Reihen

und
konvergent sind und wenigstens eine von ihnen absolut konvergiert,

dann konvergiert auch die durch Multiplikation aus beiden erhaltene Reihe. Sie ist jedoch nicht notwendig ebenfalls
absolut konvergent.


Ringe und Körper
In diesem Abschnitt werden algebraische Strukturen mit zwei binären Operationen betrachtet.
●
●
●

Definitionen
Unterringe, Ideale
Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz


Ringe
Eine Menge

versehen mit zwei binären Operationen

heißt Ring (Bezeichnung:

), wenn

eine ABELsche Gruppe,
eine Halbgruppe ist und
die Distributivgesetze gelten:
(5.108)

Ist

kommutativ bzw. hat

Ring mit Einselement.

ein neutrales Element, so heißt der Ring

kommutativ bzw.


Algorithmus des Romberg-Verfahrens
Das Verfahren besteht aus den folgenden Schritten:

1. Trapezsummenextrapolation: Als Näherung für das Integral

werden nach (19.76) für die

Schrittweiten
(19.85)

die Trapezsummen

bestimmt. Dabei beachte man die rekursive Beziehung


(19.86)

Die Rekursionsformel (19.86) besagt, daß für die Berechnung von

aus

nur die Funktionswerte an

den neu hinzukommenden Stützstellen benötigt werden.
2. Dreieckschema: Man setzt

und berechnet rekursiv die Werte
(19.87)

Die Anordnung der nach dieser Formel (19.87) berechneten Werte erfolgt am günstigsten in einem Dreieckschema,
dessen Berechnung spaltenweise durchgeführt wird:

(19.88)

Das Schema wird nach unten mit fester Spaltenzahl so weit fortgesetzt, bis die Werte rechts unten im Schema


hinreichend gut übereinstimmen. Die Werte
SIMPSON-Formel berechneten.

der zweiten Spalte entsprechen den nach der


Definitionen der Rotation
●
●

1. Definition
2. Definition


Rotation in verschiedenen Koordinaten
●
●

Rotation in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten


Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
●
●

Rechenschema
Hinweise


Lösung der Saitenschwingungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel A: Saitenschwingungsgleichung
Saitenschwingungsgleichung wird die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom
hyperbolischen Typ
(9.85a)
genannt, mit deren Hilfe die Schwingungen einer gespannten Saite beschrieben werden. Die Aufgabe besteht darin,
diese Gleichung unter den Anfangs- und Randbedingungen
(9.85b)
zu lösen.
Mit einem Separationsansatz der Form
(9.85c)
liefert Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung (9.85a) die Gleichung


(9.85d)
Die Variablen sind getrennt, denn da die linke Seite nicht von

und die rechte nicht von

für sich eine konstante Größe. Die Konstante wird negativ gewählt und gleich
nichtnegativen Werten nur die triviale Lösung

abhängt, ist jede Seite

gesetzt, da sich mit

ergibt. Man erhält die zwei linearen

Differentialgleichungen
(9.85e)
(9.85f)
Aus den Randbedingungen folgt
Man sieht, daß

.

eine Eigenfunktion des STURM- LIOUVILLEschen Randwertproblems ist und

zugehörige Eigenwert. Integration der Differentialgleichung (9.85e) für
Randbedingungen ergibt

der

und Berücksichtigung der
(9.85g)

Integration der Gleichung (9.85f) für jeden Eigenwert
Differentialgleichung (9.85a):

liefert jeweils eine partikuläre Lösung der ursprünglichen

(9.85h)
Durch die Forderungen, daß für


(9.85i)
zu

wird und

(9.85j)
zu

ergibt sich mit Hilfe einer FOURIER-Reihenentwicklung nach Sinusfunktionen
(9.85k)


Strukturstabile Systeme in der Ebene
Die ebene Differentialgleichung (17.1) mit

sei strukturstabil. Dann gilt:

a)
Die Differentialgleichung (17.1) hat nur eine endliche Anzahl von Ruhelagen und periodischer Orbits.
b)
Alle

-Grenzmengen

mit

von (17.1) bestehen nur aus Ruhelagen und periodischen Orbits.

Satz von ANDRONOV und PONTRYAGIN: Die ebene Differentialgleichung (17.1) mit

ist genau dann

strukturstabil, wenn gilt:
a)
Alle Ruhelagen und periodische Orbits in

sind hyperbolisch.

b)
Es gibt keine Separatrizen (d.h. heterokline und homokline Orbits), die aus einem Sattel kommen und in einen
Sattel münden.


Stabilität periodischer Orbits
Sei

eine

-periodische Lösung von (17.1) und

ihr Orbit. Das

wird, unter gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung

Phasenporträt nahe

beschrieben. Da

eine

ist, folgt aus dem Satz von FLOQUET, daß die bei

vom Typ

der Variationsgleichung als
Matrixfunktion mit
festliegt. Die Matrix
von
eine andere Lösung

normierte Fundamentalmatrix

darstellbar ist, wobei
ist und

-periodische stetige Matrixfunktion

eine

eine konstante Matrix vom Typ

-periodische reguläre glatte
darstellt, die nicht eindeutig

heißt Monodromie-Matrix des periodischen Orbits
sind die Multiplikatoren des periodischen Orbits
repräsentiert, d.h. ist

, die Eigenwerte

. Wird der Orbit

durch

, so stimmen die Multiplikatoren von


und

überein. Einer der Multiplikatoren eines periodischen Orbits ist immer gleich Eins ( Satz von

ANDRONOV-WITT ).
die Multiplikatoren des periodischen Orbits

Seien
Monodromie-Matrix von

, und sei

die

. Dann gilt

(17.17)

Ist also

Beispiel

, so ist

und

.


Sei

eine

-periodische Lösung von (17.9a). Die Matrix

der

Variationsgleichung lautet

normierte Fundamentalmatrix

Die bei

ist

wobei das letzte Produkt eine FLOQUET-Darstellung von

darstellt. Also ist

und

. Die Multiplikatoren lassen sich auch ohne FLOQUET-Darstellung bestimmen. Für System (17.9a)
ist div

. Damit ergibt sich div

Formel ist

.

. Nach obiger


BAIREscher Kategoriensatz
Sei

ein vollständiger metrischer Raum und
. Dann existiert mindestens ein Index

eine Folge von abgeschlossenen Mengen in
, für den die Menge

mit

einen inneren Punkt enthält.


Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators
Satz:
Ist
ein linearer stetiger bijektiver Operator von
Anwendungen:

auf

, dann ist der inverse Operator

Als wichtige Anwendungen ergeben sich daraus beispielsweise die Stetigkeit von
Surjektivität von

stetig.
bei Injektivität und

, was bei der Untersuchung des Spektrums eines Operators von Bedeutung ist, sowie die

Stetige Abhängigkeit der Lösung
sowohl von der rechten Seite als auch von den Anfangswerten bei Anfangswertproblemen für lineare
Differentialgleichungen .
Das soll an der folgenden Anfangswertaufgabe gezeigt werden:
Beispiel
Das Anfangswertproblem
(12.144a)
mit den Koeffizienten

besitzt für jede rechte Seite

und jedes Zahlenpaar


genau eine Lösung

aus

, die im folgenden Sinne stetig von

und

abhängt. Sind

und gilt für
(12.144b)
dann gilt:

(12.144c)


BANACH-STEINHAUS-Satz, Prinzip der gleichmäßigen Beschränkheit
Der Satz charakterisiert die punktweise Konvergenz einer Folge von linearen stetigen Operatoren zu einem linearen
stetigen Operator durch die beiden Bedingungen:
a)
Für jedes Element aus einer überall dichten Teilmenge
.
b)
Mit einer Konstanten

gilt

hat die Folge

einen Grenzwert in


Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Wenn eine Funktion

in einem abgeschlossenen Intervall

Intervall auch beschränkt, d.h., es lassen sich zwei Zahlen

und

definiert und stetig ist, dann ist sie in diesem
finden, für die gilt:
(2.35)


Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Wenn eine Funktion

in einem abgeschlossenen beschränkten Gebiet stetig ist, dann ist sie in diesem

Gebiet auch beschränkt, d.h., es existieren zwei Zahlen

und

derart, daß für jeden Punkt

in diesem

Gebiet gilt
(2.279)


Satz von BOLZANO
Wenn eine Funktion

in einem abgeschlossenen Intervall

in den Endpunkten des Intervalls
Wert

für den

und

definiert und stetig ist und die Funktionswerte

verschiedene Vorzeichen besitzen, dann existiert mindestens ein

zu null wird:
(2.33)

Geometrisch gedeutet, schneidet die Kurve einer stetigen Funktion beim Übergang von der einen Seite der
auf die andere dabei wenigstens einmal die

-Achse.

-Achse


Satz von FERMAT
Wenn eine Funktion
Punkt
Intervalls gilt

in einem zusammenhängenden Intervall definiert ist und in irgendeinem inneren

dieses Intervalls ihren größten oder kleinsten Wert besitzt (s. Abbildung), d.h., wenn für alle

dieses

(6.27a)
oder
(6.27b)
und wenn darüber hinaus ihre Ableitung im Punkt

existiert, dann kann diese dort nur gleich Null sein:
(6.27c)

Die geometrische Bedeutung des Satzes von FERMAT besteht darin, daß eine Funktion, die den Satz erfüllt, in den
Punkten

und

der Funktionskurve parallel zur

-Achse verlaufende Tangenten besitzt.


Der Satz von FERMAT stellt aber lediglich eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Maximal- oder
Minimalwertes einer Funktion in einem Intervall dar. Aus der folgenden linken Abbildung erkennt man, daß die
Bedingung nicht hinreichend ist: Im Punkt

ist zwar

erfüllt, aber es gibt weder einen Maximal- noch

einen Minimalwert an der Stelle.
Auch die Bedingung der Differenzierbarkeit im Satz von FERMAT ist wesentlich. So hat die Funktion im Punkt
rechten Abbildung zwar einen Maximalwert, die Ableitung existiert dort aber nicht.

der


Satz von FERMAT-EULER
Der Satz von FERMAT-EULER ist einer der wichtigsten Sätze der elementaren Zahlentheorie. Sind

und

teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt:
(5.182)

Beispiel
Es sind die letzten drei Ziffern der Dezimalbruchdarstellung von
dem Satz von FERMAT ist

zu ermitteln. Gesucht ist

mit

mit

Es gilt

und nach

Weiter gilt

Daraus folgt

Die Dezimaldarstellung von

Hinweis: Der obige Satz geht für

endet mit den Ziffern 289.

, d.h.

auf FERMAT zurück; die allgemeine Form stammt von EULER. Der Satz bildet die Grundlage eines

Codierungsverfahrens. Er beinhaltet ein notwendiges Kriterium für die Primzahleigenschaft einer natürlichen Zahl: Ist
mit

eine Primzahl, dann gilt

für jede ganze Zahl


Satz von Grobman und Hartman
Sei

eine hyperbolische Ruhelage von (17.1). Dann ist die Differentialgleichung (17.1) nahe

äquivalent zu ihrer Linearisierung

.

topologisch


Satz von GROBMAN und HARTMAN
Ist
nahe

in (17.3) ein Diffeomorphismus
topologisch konjugiert zur Linearisierung

eine hyperbolische Ruhelage von (17.3), so ist (17.3)
.


Satz von Hadamard und Perron
Wichtige Eigenschaften der Separatrixflächen werden durch den Satz von HADAMARD und PERRON beschrieben:
Sei

eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von (17.1).

a)
und

sind verallgemeinerte

-Flächen, d.h. immersierte

-glatte Elementarflächen aussehen. Jeder Orbit von (17.1), der für
strebt, verläßt eine hinreichend kleine Umgebung von

für

-Mannigfaltigkeiten, die lokal wie
oder

oder

nicht gegen
.

b)
Ist
bzw.

eine Ruhelage vom Typ
. Die Fläche

bzw.

, so sind
tangiert in

und

Flächen der Dimension

den stabilen Untervektorraum
(17.20a)

bzw. den instabilen Untervektorraum


(17.20b)
c)
Ist

ein hyperbolischer periodischer Orbit vom Typ

Dimension

Beispiel A

bzw.

, die sich längs

so sind

und

transversal schneiden (s. Abbildung).

Flächen der


Nochmalige Betrachtung der Differentialgleichung (17.19a) und Benutzung für die Bestimmung einer lokalen
stabilen Mannigfaltigkeit der Ruhelage

von (17.19a) den Ansatz

eine Lösung von (17.19a), die in

Sei

ergibt sich

benachbarten Zeiten

liegt. Aufgrund der Invarianz für zu
. Durch Differentiation und Darstellung von

über das System (17.19a) ergibt sich für die unbekannte Funktion

und

das Anfangswertproblem

. Über den Reihenansatz

dem

beachtet wurde, ergibt sich durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich

für

, in

und

.

Beispiel B
Für das System
(17.21)


mit einem Parameter
Multiplikatoren

ist

ein periodischer Orbit mit den
und

. In Zylinderkoordinaten

hat die Lösung von (17.21) mit Anfang
Darstellung

, wobei

und

Polarkoordinaten ist. Damit ist
Die beiden Separatrixflächen sind in der folgenden Abbildung zu sehen:

zur Zeit

die Lösung von (17.9a) in

die


Geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach
Seien

ein normierter Raum,

konvexen offenen Menge
abgeschlossene Hyperebene

und

ein linearer Teilraum von

. Dann gibt es zu jeder nichtleeren

, die sich mit der affin-linearen Mannigfaltigkeit
mit

nicht schneidet, eine
.


Satz von Hellinger und Toeplitz
Sei
ist

ein linearer Operator in einem HILBERT-Raum
stetig.

. Wenn

für alle

gilt, so


Kompakte selbstadjungierte Operatoren
Ein kompakter selbstadjungierter Operator
Genauer,

hat immer einen Eigenwert

hat die Darstellung
Projektor auf den Eigenraum

besitzt wenigstens einen (von Null verschiedenen) Eigenwert.
mit

.

, wobei

die verschiedenen Eigenwerte von

orthonormierte System der Eigenvektoren von

dann gibt es in

den

bezeichnen. Man sagt in diesem Zusammenhang auch, daß der Operator

diagonalisiert werden kann. Daraus ergibt sich

Satz von HILBERT-SCHMIDT: Ist

und

für jedes

, wobei

das

ist.

ein kompakter selbstadjungierter Operator im separablen HILBERT-Raum

,

eine Basis aus den Eigenvektoren von

Die sogenannten Spektral-(abbildungs-)sätze (s. Lit. 12.9, 12.11, 12.13, 12.15, 12.16, 12.21) kann man als die
Verallgemeinerung des Satzes von HILBERT-SCHMIDT auf den nichtkompakten Fall selbstadjungierter (beschränkter
oder unbeschränkter) Operatoren auffassen.


Satz von HURWITZ
Bei verschiedenen Anwendungen, z.B. in der Schwingungslehre, ist es wichtig festzustellen, ob eine beliebige
Lösung einer homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für

gegen Null strebt. Das

ist stets dann der Fall, wenn die Realteile aller Wurzeln der charakteristischen Gleichung
(9.42a)
negativ sind. Das wiederum ist nach dem Satz von HURWITZ dann und nur dann der Fall, wenn alle Determinanten

(9.42b)

positiv sind.


Satz von Krein und Losanowskij
Der Satz von KREIN und LOSANOWSKIJ macht eine Aussage über die Stetigkeit positiver linearer Operatoren.
Sind

und

erzeugender Kegel ist, dann ist die Menge
, ein Kegel in
(s. Lit. 12.20): Sind
erzeugendem

und

geordnete normierte Räume, wobei

ein

aller positiven linearen und stetigen Operatoren

, d.h.

. Dann besagt der Satz von M.G. KREIN, G.J. LOSANOWSKIJ

geordnete BANACH-Räume mit abgeschlossenen Kegeln

, dann folgt aus der Positivität eines linearen Operators seine Stetigkeit.

und

und


Leray-Schauder-Theorie
Für die Existenz von Lösungen der Gleichungen

und

, mit jeweils vollstetigem

Operator
, ist auf der Grundlage tiefliegender Eigenschaften des Abbildungsgrades ein weiteres Prinzip entdeckt
worden, das etwa für Existenzbeweise bei nichtlinearen Randwertproblemen erfolgreich eingesetzt wird. Die hier
angeführten Resultate dieser Theorie sind für praktische Belange vielfach die geeignetsten, wobei Formulierungen
gewählt wurden, die ohne Erwähnung des Abbildungsgrades auskommen.
Satz von LERAY-SCHAUDER, 1. Formulierung: Seien
BANACH-Raumes

und
für alle

eine offene beschränkte Menge eines rellen

ein vollstetiger Operator. Sei
und

bezeichnet. Dann hat die Gleichung

gilt, wobei

ein solcher Punkt, daß
den Rand der Menge

wenigstens eine Lösung.

Satz von LERAY-SCHAUDER, 2. Formulierung: In Anwendungen erweist sich häufig auch die folgende
Variante dieses Satzes als vorteilhaft. Sei
Lösungen der Gleichungsschar

ein vollstetiger Operator auf dem BANACH-Raum

. Wenn die


(12.197)
eine gleichmäßige apriori -Abschätzung gestatten, d. h.
die Ungleichung

gilt, dann besitzt die Gleichung

, so daß

und

eine Lösung.

, die (12.197) genügen,


Satz von PICARD-LINDELÖF
Es werde die Differentialgleichung
(12.68)
mit einer stetigen Abbildung

betrachtet, wobei

offene Teilmenge aus

sind. Die Abbildung

eine positive Konstante

mit

genüge bezüglich

ein offenes Intervall aus

und

eine

einer LIPSCHITZ-Bedingung, d.h., es gibt

(12.69)
wobei

die euklidische Metrik in

bezeichnet (unter Verwendung der Norm, gilt die Beziehung (12.79)
. Sei

Zahlen

und
liegt. Seien

ein beliebiger Punkt. Dann gibt es solche

so, daß die Menge

in
und

. Dann existiert eine Zahl

,


so daß für jedes

mit

das Anfangswertproblem
(12.70)

genau eine (lokale) Lösung

besitzt, d.h.

für

und

. Die Lösung dieses Anfangswertproblems ist äquivalent zur Lösung der Integralgleichung

(12.71)

Bezeichnet jetzt

die abgeschlossene Kugel

des in der Metrik
(12.72)
, dann ist

vollständigen metrischen Raumes
ein vollständiger metrischer Raum. Ist

mit der induzierten Metrik selbst

der durch
(12.73)

definierte Operator, dann ergibt sich die Lösung der Integralgleichung (12.71) als eindeutiger Fixpunkt des Operators


, der sogar iterativ erzeugt werden kann.


Satz von ROLLE
Wenn eine Funktion
Intervall

in einem abgeschlossenen Intervall

stetig ist, wenigstens in dem offenen

eine Ableitung besitzt und in den Endwerten des Intervalls den Wert Null annimmt, d.h., wenn
(6.28a)

ist, dann existiert mindestens ein Wert

zwischen

und

derart, daß gilt
(6.28b)

Die geometrische Bedeutung des Satzes von ROLLE besteht darin, daß eine Funktion
in zwei Punkten

und

und
besitzt, zwischen
verläuft (linke Abbildung).

die die

-Achse

schneidet, in diesem Intervall stetig ist und in jedem inneren Punkt eine Tangente
wenigstens einen Punkt

besitzt, in dem die Kurventangente parallel zur

-Achse


Es kann auch mehrere derartige Punkte in dem Intervall geben, z.B. die Punkte

und

in der rechten

Abbildung. Daß die Forderung nach Stetigkeit und Existenz einer Ableitung in dem Intervall wesentlich ist, kann an
Hand der folgenden linken Abbildung erkannt werden, wo die Funktion bei
und an Hand der rechten Abbildung, wo die Funktion im Punkt
es keinen Punkt

, in dem

gilt.

eine Unstetigkeitsstelle besitzt,

keine Ableitung besitzt. In beiden Fällen gibt


Eigenschaften linearer kompakter Operatoren
Eine sequentielle Charakteristik der Kompaktheit eines Operators aus
beschränkte Folge

aus

enthält die Folge

ist die folgende: Für jede
eine konvergente Teilfolge. Eine

Linearkombination kompakter Operatoren ist wieder kompakt. Ist einer der Operatoren
kompakt, dann sind es auch die Operatoren
. Falls

und

ein BANACH-Raum ist, hat man die folgenden wichtigen Aussagen.
im Raum

1. Konvergenz: Konvergiert eine Folge von kompakten Operatoren

, dann

ist der Grenzwert ebenfalls ein kompakter Operator.
2. Satz von SCHAUDER: Ist
(oder nicht).

ein linearer stetiger Operator, dann sind

3. Spektraleigenschaften eines kompakten Operators
Raum

und

gleichzeitig kompakt

in einem (unendlichdimensionalen) BANACH-

Die Null gehört zum Spektrum. Jeder von Null verschiedene Punkt des Spektrums

ist ein


Eigenwert mit endlichdimensionalem Eigenraum
liegen außerhalb des Kreises

, und für

stets nur endlich viele Eigenwerte von

Häufungspunkt der Menge der Eigenwerte sein kann. Ist
Falle seiner Existenz unbeschränkt.

kein Eigenwert von

, wobei einzig die Null
, dann ist

im


Satz von Shilnikov
Betrachtet wird die Differentialgleichung (17.53) im
die hyperbolische Ruhelage

bei

vom Sattelknoten-Typ, die für kleine

habe den Eigenwert

Matrix

. Weiter habe (17.53) bei
und

gegen

mit einem skalaren Parameter

. Das System (17.53) habe
erhalten bleibe. Die JACOBI-

und die konjugiert komplexen Eigenwerte
eine Separatrixschleife

, d.h. einen homoklinen Orbit, der für

geht (s. Abbildung).

Dann hat (17.53) nahe der Separatrixschleife folgende Phasenporträts:
a)
Sei

. Bricht die Separatrixschleife bei

obigen Abbildung auf, so setzt bei

in der mit

gekennzeichneten Variante der

genau ein periodischer Orbit von (17.53) ein. Bricht die

mit


Separatrixschleife bei

in der mit

gekennzeichneten Variante der obigen Abbildung auf, so entsteht

kein periodischer Orbit.
b)
Sei

. Dann existieren bei

(bzw. für kleine

) nahe der Separatrixschleife

(bzw.

nahe der zerfallenen Schleife

) abzählbar unendlich viele sattelartige periodische Orbits. Die POINCARÉ-

Abbildung bezüglich einer zu

transversalen Ebene erzeugt bei

von Hufeisen-Abbildungen, von denen bei kleinen

eine abzählbar unendliche Menge

eine endliche Anzahl bleibt.


Satz von WEIERSTRASS
Wenn eine Funktion

auf einem abgeschlossenen Intervall

dort ein absolutes Maximum
Punkt

und ein absolutes Minimum

und wenigstens ein Punkt

so daß für alle

mit

definiert und stetig ist, dann besitzt
, d.h., es existiert in diesem Intervall wenigstens ein
gilt:
(2.36)

Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Wert einer stetigen Funktion wird ihre Schwankung in dem
gegebenen Intervall genannt. Der Begriff der Schwankung einer Funktion kann auch auf Funktionen ausgedehnt
werden, die keinen größten oder kleinsten Funktionswert besitzen (s. Lit. 22.16, Bd. 3]).


Satz von WEIERSTRASS über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes
Wenn eine Funktion

in einem abgeschlossenen und beschränkten Gebiet stetig ist, dann existiert in

diesem Gebiet mindestens ein Punkt

derart, daß der Wert

in diesem Gebiet ist. Außerdem existiert dann mindestens ein Punkt
kleiner als alle übrigen Werte von

größer als alle übrigen Werte von
für den der Wert

in diesem Gebiet ist. Für einen beliebigen Punkt

dieses Gebietes gilt
(2.280)


Satz von Wilson
Ein weiteres Primzahlkriterium liefert der Satz von WILSON.
Für jede Primzahl

ist

Auch die Umkehrung dieses Satzes ist eine wahre Aussage, so daß gilt:
Die Zahl

ist genau dann eine Primzahl, wenn

ist.


Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
Gegeben sei ein periodischer Orbit
Eine Bifurkation nahe

von (17.53) bei

mit den Multiplikatoren

ist möglich, wenn bei Änderung von

komplexen Einheitskreis trifft. Die Verwendung einer zu

.

mindestens einer der Multiplikatoren auf den

transversalen Fläche führt auf eine parameterabhängige

POINCARÉ-Abbildung
(17.64)
, wobei

Dabei sei
wobei die Abbildung

offene Mengen sind, eine

mit

Diffeomorphismus sei. Es sei weiter
mit

und

Eigenwerte

sogar ein

und die JACOBI-Matrix
mit

habe
und

-Abbildung,
-

Eigenwerte


Eigenwerte
Abbildungen (s. Lit. 17.12)

mit

. Dann ist nach dem Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für

nahe

topologisch konjugiert zur Abbildung
(17.65)

nahe

mit

. Dabei ist

Abbildung, die den Bedingungen
Matrizen vom Typ

und
bzw.

eine

-differenzierbare

genügt. Außerdem sind

bzw.

.

Aus (17.65) folgt, daß Bifurkationen von (17.64) nahe

ausschließlich durch die reduzierte Abbildung

(17.66)
auf der lokalen Zentrumsmannigfaltigkeit

beschrieben werden.


Zerlegungssatz
Jede Äquivalenzrelation

in einer Menge

Umgekehrt bestimmt jede Zerlegung

bewirkt eine Zerlegung

einer Menge

von

eine Äquivalenzrelation

nämlich
in

:
(5.91)

Man kann eine Äquivalenzrelation in einer Menge

als Verallgemeinerung der Gleichheitsbeziehung auffassen,

wobei von ,,unwesentlichen`` Eigenschaften der Elemente von
abstrahiert wird und Elemente, die sich bezüglich
einer gewissen Eigenschaft nicht unterscheiden, zu einer Äquivalenzklasse zusammengefaßt werden.


Anfangswertaufgaben
Das Prinzip der im folgenden dargestellten Verfahren zur Lösung der Anfangswertaufgabe
(19.93)
besteht darin, für die gesuchte Funktion

an ausgewählten Stützstellen

In der Regel werden äquidistante Stützstellen mit der vorgegebenen Schrittweite

Näherungswerte

zu ermitteln.

verwendet:
(19.94)

●
●
●
●
●

Eulersches Polygonzugverfahren
Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
Mehrschrittverfahren
Prediktor-Korrektor-Verfahren
Konvergenz, Konsistenz, Stabilität


Hinweise
1.
Für die spezielle Differentialgleichung

geht das RUNGE-KUTTA-Verfahren in die SIMPSON-Formel

über.
2.
Bei einer sehr großen Anzahl von Integrationsschritten kann sich ein Wechsel der Schrittweite als zweckmäßig
oder sogar notwendig erweisen. Über einen Schrittweitenwechsel kann mit Hilfe einer Fehlerschätzung
entschieden werden, die dadurch gewonnen wird, daß man die Rechnung etwa mit doppelter Schrittweite
wiederholt. Hat man z.B. für
und

die Näherungswerte

(Rechnung mit einfacher Schrittweite)

(Rechnung mit doppelter Schrittweite) bestimmt, dann gilt für den Fehler
die Schätzung
(19.100)


Informationen über die Realisierung der sogenannten Schrittweitensteuerung findet man in der Literatur
(s. Lit. 19.27).
3.
RUNGE-KUTTA-Schemata für Differentialgleichungen höherer Ordnung s. Lit. 19.27. Andererseits können
Differentialgleichungen höherer Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung überführt
werden (s. Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen). Dann besteht das Näherungsverfahren
aus parallel durchgeführten Rechnungen gemäß (19.99), die durch die Differentialgleichungen miteinander
gekoppelt sind.


Schrödinger-Gleichung
●
●
●
●
●
●

Begriff der SCHRÖDINGER-Gleichung
Zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
Teilchenbewegung im radialsymmetrischen Zentralfeld
Linearer harmonischer Oszillator


Nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung
●
●

Auftreten
Gleichung und Lösungen


Zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
Den allgemeinen nichtrelativistischen Fall eines spinlosen Teilchens mit der Masse
im orts- und zeitabhängigen Potentialfeld

und der Geschwindigkeit

beschreibt die zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung

(9.104a). Die unter Besonderheiten aufgeführten speziellen Bedingungen, denen die Wellenfunktion genügen muß,
lauten:
a) Die

-Funktion muß beschränkt und stetig sein.

b) Die partiellen Ableitungen
c) Die Funktion

und

müssen stetig sein.

muß integrierbar sein, also muß

(9.105a)
gelten. Gemäß Normierungsbedingung muß die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im betrachteten Gebiet zu finden,
gleich
kann.

sein. Dazu reicht (9.105a) aus, weil das Integral stets durch einen Faktor vor

auf

gebracht werden


Eine Lösung der zeitabhängigen SCHRÖDINGER-Gleichung hat die Form
(9.105b)
Der Zustand des Teilchens wird in einem Zeitpunkt
Kreisfrequenz

durch eine periodische Funktion von der Zeit mit der

beschrieben. Wenn die Energie des Teilchens in dem Zustand den festen Wert
besitzt, dann hängt die Wahrscheinlichkeit

, es in einem Raumelement

zu finden, nicht von

der Zeit ab:
(9.105c)
Man spricht vom stationären Zustand des Teilchens.


Schwarzsches Spiegelungsprinzip
●
●

Sachverhalt
Anwendungen


Allgemeines Viereck
Konvexes Viereck: In jedem konvexen Viereck (s. Abbildung) beträgt die Summe der Innenwinkel

:
(3.31)


Außerdem ist
(3.32)
wobei

die Strecke ist, die die Mittelpunkte der Diagonalen miteinander verbindet.
Flächeninhalt:
(3.33)

Tangentenviereck: In ein Viereck kann ein Kreis dann und nur dann einbeschrieben werden, wenn
(3.34)
ist; man spricht dann von einem Tangentenviereck (linke Abbildung).


Sehnenviereck: Mit einem Umkreis umbeschrieben werden kann ein Viereck dann und nur dann, wenn
(3.35)
ist; in diesem Falle spricht man vom Sehnenviereck (rechte Abbildung).
Für das Sehnenviereck gilt
(3.36)

Mit dem halben Umfang des Vierecks

ist sein Flächeninhalt

(3.37)


Sektorformel
Ein wichtiger Spezialfall der GAUSSschen Integralformel wird Sektorformel genannt. Mit ihrer Hilfe können ebene
Flächen berechnet werden. Für

folgt

(13.119)


Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene
Beispiel
Gegeben sei die parameterabhängige ebene Differentialgleichung
(17.74)
Für

hat (17.74) die beiden Sättel

und

invarianten Menge ist der heterokline Orbit. Für kleine
heterokline Orbit zerfällt (s. Abbildung).

und die

-Achse als invariante Menge. Teil dieser

bleiben die Sattelpunkte erhalten, während der


Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes
Wenn

normalverteilt ist mit den Parametern
, d.h., die Dichtefunktion

von

und

, dann ist

normalverteilt mit den Parametern

ist stärker um den Mittelwert

der Grundgesamtheit. Es gilt für einen vorgegebenen Wert

konzentriert als die Dichtefunktion

:
(16.118)

Daraus folgt, daß mit wachsendem Umfang
Stichprobenmittelwert eine gute Näherung für

Beispiel

der Stichprobe die Wahrscheinlichkeit größer wird, daß der
ist.

und


Für

erhält man aus (16.118)

verschiedene Werte von

, und für

folgen daraus die Werte in der folgenden Tabelle. Man liest aus der Tabelle

z.B. ab, daß bei einer Stichprobe vom Umfang
von 99,95 % um höchstens

vom Mittelwert

der Stichprobenmittelwert
der Grundgesamtheit abweicht.

Tabelle Statistische Sicherheit des Stichprobenmittels

1

38,29 %

4

68,27 %

16

95,45 %

25

98,76 %

49

99,96 %

mit einer Sicherheit


Signale
Geht von einem physikalischen Objekt eine Wirkung aus, die sich ausbreitet und mathematisch z.B. durch eine
Funktion oder eine Zahlenfolge beschreiben läßt, dann spricht man von einem Signal .
Unter Signalanalyse versteht man die Chrakterisierung eines Signals durch eine Größe, die für das Signal typisch ist.
Mathematisch bedeutet das: Die Funktion oder Zahlenfolge, die das Signal beschreibt, wird auf eine andere Funktion
oder Zahlenfolge abgebildet, die die typische Eigenschaft des Signals besonders gut erkennen läßt. Bei solchen
Abbildungen können allerdings auch Informationen verloren gehen.
Die Umkehrung der Signalanalyse, d.h. die Wiedergewinnung des Ausgangssignals, wird als Signalsynthese
bezeichnet.

Der Zusammenhang zwischen Signalanalyse und Signalsynthese wird am Beispiel der FOURIER-Transformation
besonders deutlich: Ein Signal

(

Zeit) werde durch die Frequenzen

, die in ihm enthalten sind,

charakterisiert. Dann beschreibt die Formel (15.143a) die Signalanalyse, die Formel (15.143b) die Signalsynthese:


(15.143a)

(15.143b)


Revidierter Simplexschritt
a)
Das Tableau ist nicht optimal, solange wenigstens ein
Auswahl der Pivotspalte

für ein

ist

.

.

b)
Berechnung der Pivotspalte

durch Multiplikation der

-ten Spalte der Koeffizientenmatrix von (18.18b) mit

und Eintragen des ermittelten Vektors in die letzte Spalte des Tableaus.
Ermittlung der Pivotzeile wie beim Simplexalgorithmus gemäß (18.16).
c)
Berechnung des neuen Tableaus mit den Austauschregeln (18.15a-d), wobei formal
liegen. Die Größen

und die Indizes im Bereich
ermittelt man für

durch

ersetzt wird

werden nicht eingetragen. Mit
, wobei

die


-te Spalte der Koeffizientenmatrix von (18.18b) darstellt.

Beispiel
In die Normalform des unter Ecke und Basis behandelten Beispiels soll
zugehörige Pivotspalte

wird in das folgende linke Tableau eingetragen.
Schema 8a, b

aufgenommen werden. Die


Für

erhält man

Der ermittelte Eckpunkt
betrachteten Beispiel.

:

.

entspricht dem Punkt

in der Abbildung aus dem


Als nächste Pivotspalte wird

bestimmt. Die Größe

mit


ist im rechten Tableau bereits eingetragen. Der weitere Rechengang erfolgt in Analogie zum Beispiel im Abschnitt
Übergang zum neuen Simplextableau, nichtentarteter Fall.


Revidiertes Simplextableau
Das lineare Optimierungsproblem sei in einer Normalform gegeben:
(18.18a)

(18.18b)

Um zu einer anderen Normalform und damit zu einer anderen Ecke zu wechseln, genügt es, das Gleichungssystem
(18.18b) mit der entsprechenden Basisinversen zu multiplizieren. Das Simplexverfahren kann also dahingehend
modifiziert werden, daß in jedem Schritt anstatt eines neuen Tableaus nur die Basisinverse ermittelt wird. Vom
eigentlichen Tableau sind nur die zur Bestimmung des neuen Pivotelements erforderlichen Größen zu berechnen. Ist
die Anzahl der Variablen sehr groß im Vergleich zur Anzahl der Nebenbedingungen

, dann erreicht

man mit der revidierten Simplexmethode eine beachtliche Verringerung an Rechenaufwand und Speicherplatz bei
gleichzeitiger Erhöhung der Rechengenauigkeit.


Die allgemeine Form eines revidierten Simplextableaus zeigt das folgende Schema.
Schema 7

Die eingetragenen Größen haben die folgende Bedeutung:

●

●

●

●

: aktuelle Basisvariable.
: auf Nichtbasisvariable umgerechnete Koeffizienten der Zielfunktion.
: rechte Seite der aktuellen Normalform.
: Wert der Zielfunktion in der Ecke

.


: aktuelle Basisinverse, wobei die Spalten von

●

Variablen
●

gehörenden Spalten der aktuellen Normalform sind;
: aktuelle Pivotspalte.

die zu den


Simulation
Unter Simulation versteht man die Untersuchung eines Prozesses oder Systems mit Hilfe eines Ersatzsystems. Als
Ersatzsysteme verwendet man in der Regel mathematische Modelle, die den zu untersuchenden Prozeß
beschreiben und auf einem Computer ausgewertet werden können. Man spricht dann von digitaler Simulation . Sind
bei einer solchen Simulation gewisse Größen zufällig auszuwählen, dann spricht man von einer Monte-CarloSimulation oder einer zufallsbedingten Simulation. Die dabei notwendige zufällige Auswahl kann mit Hilfe von
Zufallszahlen erfolgen.


Singulärwertzerlegung
Die Darstellung
(4.140a)
mit


(4.140b)

heißt Singulärwertzerlegung der Matrix
auf die ersten

Diagonalelemente

Singulärwerte von

Die Matrix

ist wie die Matrix

vom Typ

nur Nullen. Dabei sind die

und enthält bis
die


Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz
●
●
●
●
●

Isolierte singuläre Stellen
Meromorphe Funktionen
Elliptische Funktionen
Residuum
Residuensatz


Sinus-Kosinussatz
(3.174a)
(3.174b)
Vier weitere Gleichungen können durch zyklische Vertauschung gewonnen werden.
Der Sinus-Kosinussatz entspricht dem Projektionssatz der ebenen Trigonometrie. Da er fünf Größen des sphärischen
Dreiecks enthält, wird er nicht unmittelbar zur Auflösung sphärischer Dreiecke benutzt, sondern hauptsächlich zur
Ableitung weiterer Gleichungen.
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.


Polarer Sinus-Kosinussatz
(3.176a)
(3.176b)
Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.


Vier weitere Gleichungen können durch zyklische Vertauschung gewonnen werden.
Wie der Winkel-Kosinussatz werden auch die Formeln des Polaren Sinus-Kosinussatzes weniger zur unmnittelbaren
Dreiecksberechnung verwendet, als vielmehr zur Herleitung weiterer Formeln.


Sinussatz
(3.172a)

(3.172b)

(3.172c)

Die Bezeichnungen der Größen entsprechen denen der Abbildung.


Die drei Gleichungen lassen sich auch als fortlaufende Proportionen schreiben, d.h., im sphärischen Dreieck
verhalten sich die Sinus der Seiten wie die Sinus der Gegenwinkel:
(3.172d)

Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie entspricht dem Sinussatz der ebenen Trigonometrie.


Skalare und Vektoren
Größen, deren Werte reelle Zahlen sind, werden Skalare genannt. Beispiele sind Masse, Temperatur, Energie und
Arbeit. (Zur skalaren Invarianz s. skalare Invariante 1, skalare Invariante 2 und Pseudoskalar.) Im Unterschied dazu
werden Größen, zu deren vollständiger Charakerisierung sowohl eine Maßzahl als auch eine Richtung und
manchmal ein Drehsinn im Raum erforderlich sind, Vektoren genannt. Beispiele sind Kraft, Geschwindigkeit,
Beschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung sowie elektrische und magnetische Feldstärke.
In diesem Buch werden Vektoren im dreidimensionalen EUKLIDischen Raum durch
der Matrizenrechnung durch

.

gekennzeichnet, im Rahmen


Tensor 0. Stufe
Ein Tensor nullter Stufe hat nur eine Komponente, d.h., er ist ein Skalar. Da sein Wert in allen Koordinatensystemen
gleich ist, spricht man von der Invarianz des Skalars oder vom invarianten Skalar .


Formeln für Produkte in kartesischen Koordinaten
Wenn die Vektoren

in kartesischen Koordinaten gemäß
(3.265)

gegeben sind, dann werden die Produkte nach den folgenden Formeln berechnet:
Skalarprodukt:
(3.266)
Vektorprodukt:

(3.267)

Spatprodukt:


(3.268)


Gleichung und Lösungen
Die SG-Gleichung für die Evolutionsfunktion

lautet
(9.134)

Sie besitzt die folgenden Solitonlösungen:
Kink-Soliton:
(9.135)
wobei

und

gilt.

In der Abbildung ist das Kink-Soliton (9.135) der Gleichung (9.134) für

dargestellt.


Das Kink-Soliton ist durch die zwei dimensionslosen Parameter

und

bestimmt, die Geschwindigkeit ist

unabhängig von der Amplitude, die Zeit- und die Ortsableitung sind gewöhnliche lokalisierte Solitonen:
(9.136)

Antikink-Soliton:
(9.137)
Kink-Antikink-Soliton: Mit

entsteht aus (9.135) bzw. (9.137) ein statisches Kink-Antikink-Soliton:


(9.138)
Weitere Lösungen von (9.134) sind:
Kink-Kink-Kollision:
(9.139)

Kink-Antikink-Kollision:
(9.140)

Doppel- oder Breather-Soliton, auch Kink-Antikink-Dublett:
(9.141)
Diese Gleichung (9.141) stellt eine stationäre Welle dar, deren Einhüllende mit der Frequenz
Örtlich periodisches Kink-Gitter:

moduliert ist.

(9.142a)

Zwischen Wellenlänge

und Gitterkonstante

besteht die Beziehung


(9.142b)

Für

also

ergibt sich

(9.142c)

d.h. wieder das Kink-Soliton (9.135) und das Antikink-Soliton (9.137) mit

Hinweis: Mit sn

ist eine JACOBIsche elliptische Funktion mit dem Modul

.

und der Periode

bezeichnet:
(9.143a)

(9.143b)

(9.143c)
Die Gleichung (9.143b) geht aus der inversen Funktion (14.102b) zum elliptischen Integral 1. Gattung durch die
Substitution

hervor.


Die Reihenentwicklung des vollständigen elliptischen Integrals ist als Gleichung (8.104) angegeben.


Wechselwirkung zwischen Solitonen
Treffen zwei Solitonen, die sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen, aufeinander, so tauchen sie nach
einer Wechselwirkung wieder auf, als hätten sie sich ungestört durchdrungen, d.h. Form und Geschwindigkeit jedes
Solitons bleiben asymptotisch erhalten; es tritt lediglich eine Phasenverschiebung auf. Zwei Solitonen können
miteinander wechselwirken, ohne sich zu zerstören. Daher spricht man von elastischer Wechselwirkung. Letztere ist
-Solitonen-Lösung, wobei
die Anzahl der Solitonen ist. Bei der Lösung einer
äquivalent mit der Existenz einer
Anfangswertaufgabe zeigt sich, daß ein vorgegebener Anfangsimpuls in Solitonen zerfällt, wobei deren Anzahl nicht
von der Impulsform, sondern von der Impulsfläche abhängt.


Spektrum eines Operators
●
●

Spektrum, Definition
Vergleich mit der linearen Algebra, Residualspektrum


Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren
●
●

Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
Spektrum eines Operators


Eigenschaften
Der bikubische Interpolationsspline

ist durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt:

1.
erfüllt die Interpolationsbedingung
(19.241)
2.
Auf jeder Masche

des Rechteckbereiches

ist

identisch mit einem bikubischen Polynom,

d.h., es gilt die Darstellung
(19.242)

Damit wird

durch 16 Ansatzkoeffizienten repräsentiert, und für die Beschreibung von
Koeffizienten notwendig.

sind


3.
Die Ableitungen
(19.243)
sind stetig auf
4.

. Damit wird eine gewisse Glattheit der gesuchten Fläche gewährleistet.
erfüllt spezielle Randbedingungen:

(19.244)

Dabei sind

,

und

vorgegebene Zahlenwerte.

Bei der Bestimmung der Ansatzkoeffizienten

können die Ergebnisse der eindimensionalen kubischen Spline-

Interpolation ganz entscheidend ausgenutzt werden. Es zeigt sich:


1.
Es ist eine sehr große Anzahl

linearer Gleichungssyteme, aber nur mit tridiagonaler

Koeffizientenmatrix, zu lösen.
2.
Die linearen Gleichungssysteme unterscheiden sich im wesentlichen nur durch ihre rechten Seiten.
Man kann im allgemeinen sagen, bikubische Interpolationssplines sind günstig bzgl. Rechenzeit und Genauigkeit und
damit recht gut geeignet für viele praktische Anwendungen. Zur rechentechnischen Realisierung der
Koeffizientenbestimmung s. Lit. 19.6, 19.28.


Bestimmung der Spline-Koeffizienten
Für den kubischen Interpolationsspline

wird für

der Ansatz
(19.231)

gemacht. Die Länge der Teilintervalle wird mit

bezeichnet. Zur Bestimmung der

Ansatzkoeffizienten für den natürlichen Spline kann man wie folgt vorgehen:
1.
Aus der Interpolationsforderung folgt
(19.232)
Es ist zweckmäßig, den im Ansatz nicht auftretenden Koeffizienten
2.
Die Stetigkeit von

an den inneren Knoten führt zu

einzuführen und

zu setzen.


(19.233)
Aus den natürlichen Randbedingungen folgt
und

, und (19.233) gilt auch für

, wenn man

einführt

setzt.

3.
Die Stetigkeit von

an den inneren Knoten führt zu
(19.234)

4.
Die Stetigkeit von

an den inneren Knoten ergibt

(19.235)

Wegen (19.232) ist die rechte Seite des linearen Gleichungssystems (19.235) zur Bestimmung der Koeffizienten
bekannt. Die linke Seite hat folgende Gestalt:


(19.236)

Die Koeffizientenmatrix ist tridiagonal , so daß sich das Gleichungssystem (19.235) durch LR-Zerlegung sehr einfach
numerisch lösen läßt. Aus den Koeffizienten

erhält man über (19.234) und (19.233) die restlichen Koeffizienten.


B-B-Flächendarstellung
Gegeben seien Punkte

mit den Ortsvektoren

, die als

Netzpunkte einer Fläche längs Parameterlinien aufgefaßt werden können. Analog zu den B-B-Kurven (19.252) ordnet
man den Netzpunkten durch
(19.253)
eine Fläche zu. Die Darstellung (19.253) ist für den Flächenentwurf geeignet, da auf einfache Weise durch die
Veränderung von Netzpunkten eine Variation der Fläche möglich ist. Allerdings ist der Einfluß aller Netzpunkte
global, so daß man auch in (19.253) von den BERNSTEINschen Grundpolynomen zu B-Splines übergehen sollte.


Bikubische Splines
●

Eigenschaften


Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte
Bei der praktischen Durchführung von Einschrittverfahren kommt zum globalen Diskretisierungsfehler
ein Rundungsfehleranteil

noch

hinzu. Das hat zur Folge, daß mit einer nicht zu kleinen, endlichen Schrittweite

gerechnet werden muß. Dabei ist die Frage wichtig, wie sich die numerische Lösung

eines

Einschrittverfahrens gegenüber Störungen des Anfangswertes verhält, und zwar auch für den Fall

.

In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen heißt eine Anfangswertaufgabe (19.93) stabil bezüglich
Störungen ihrer Anfangswerte , wenn gilt:
(19.114)
Dabei ist

die Lösung von (19.93) mit der gegenüber

gestörten Anfangsbedingung

Abschätzung (19.114) besagt, daß die Lösungsänderung betragsmäßig nicht größer ist als die Störung des
Anfangswertes.

. Die


Im allgemeinen läßt sich (19.114) nur schwer überprüfen. Deshalb führt man die lineare Testaufgabe
(19.115)
ein, die stabil ist, und prüft ein Einschrittverfahren an dieser speziellen Anfangswertaufgabe. Man sagt: Ein
konsistentes Einzelschrittverfahren heißt für die Schrittweite

absolut stabil bezüglich Störungen des

Anfangswertes, wenn alle damit für das lineare Testproblem (19.115) berechneten Näherungen

der Abschätzung
(19.116)

genügen.
Beispiel
Für (19.115) ergibt das EULERsche Polygonzugverfahren (19.97)
. Man sieht, daß (19.116) für
dadurch die Schrittweitenbeschränkung

.

gilt, und erhält


Definition
Die Differentialgleichung (17.1), d.h. das Vektorfeld
kleinen Störungen von

, heißt strukturstabil (oder robust ), wenn bei

topologisch äquivalente Differentialgleichungen entstehen. Die präzise Definition der

Strukturstabilität erfordert einen Abstandsbegriff zwischen zwei Vektorfeldern auf

, die alle eine feste offene, beschränkte und zusammenhängende

Betrachtung solcher glatter Vektorfelder auf
Menge

als absorbierende Menge besitzen. Der Rand

von

Vektorfelder auf

in einer Umgebung von
, versehen mit der

sei eine glatte
, wobei

dimensionale Hyperfläche und sei darstellbar als
-Funktion mit

. Wir beschränken uns auf die

ist. Sei

eine

der metrische Raum aller glatten

- Metrik
(17.25)


(Im ersten Term der rechten Seite bedeutet
Diejenigen glatten Vektorfelder

die EUKLIDische Vektornorm, im zweiten die Operatornorm.)

, die transversal den Rand

in Richtung

und

gilt, bilden die Menge

. Das Vektorfeld
andere Vektorfeld

mit

schneiden, d.h., für die

heißt strukturstabil , wenn es ein
topologisch äquivalent zu

gibt, so daß jedes

ist.

Beispiel
Betrachtet wird die ebene Differentialgleichung
(17.26)
mit einem Parameter

, wobei

sei. Die Differentialgleichung
(s. linke Abbildung). Offenbar gilt

Vektorfeld
äquivalent zu

ist strukturell instabil, da beliebig nahe von
sind (s. mittlere und rechte Abbildung).

gehört z.B. zu

mit
. Das

Vektorfelder existieren, die topologisch nicht


Dies wird klar, wenn man zur Polarkoordinatendarstellung
existiert immer der stabile Grenzzyklus

von (17.26) übergeht. Für
.


Strukturstabile diskrete Systeme
Im Falle von diskreten Systemen (17.3), d.h. von Abbildungen

, sei

beschränkte, offene und zusammenhängende Menge mit glattem Rand. Sei Diff
Diffeomorphismen auf

, versehen mit der bezüglich

definierten

bestehe aus denjenigen Diffeomorphismen

eine
der metrische Raum aller

-Metrik. Die Menge Diff

, für die

gilt. Die Abbildung

(und damit das dynamische System (17.3)) heißt strukturstabil , wenn es ein
jede andere Abbildung

mit

topologisch konjugiert zu

ist.

gibt, so daß


Lösung der Stabschwingungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel B: Stabschwingungsgleichung
wird die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom hyperbolischen Typ genannt, mit deren
Hilfe die longitudinalen Schwingungen eines Stabes beschrieben werden, dessen eines Ende frei ist und
auf dessen zweites, eingespanntes Ende im Anfangszeitpunkt eine konstante Kraft

wirkt. Zu lösen ist die

gleiche Differentialgleichung wie im Beispiel Saitenschwingungsgleichung, d.h.
(9.86a)
mit den gleichen Anfangs-, aber nunmehr inhomogenen Randbedingungen:
(9.86b)

(9.86c)


(9.86d)
Diese Bedingungen können durch die homogenen Bedingungen
(9.86e)
ersetzt werden, indem für

die neue unbekannte Funktion
(9.86f)

eingeführt wird. Allerdings wird dann die Differentialgleichung inhomogen:
(9.86g)
Die Lösung wird in Form der Summe
sowie den Rand- und Anfangsbedingungen für

gesucht. Dabei genügt

der homogenen Differentialgleichung

, d.h.
(9.86h)

während

der inhomogenen Differentialgleichung genügt und die verschwindenden Anfangs- und

Randbedingungen erfüllt. Daraus ergibt sich
Produktansatz

. Eingehen in die Differentialgleichung mit dem


(9.86i)
ergibt wie in Beispiel Saitenschwingungsgleichung die Gleichung
(9.86j)
und damit gewöhnliche Differentialgleichungen für die separierten Variablen. Integration der Differentialgleichung für
und Einsetzen der Randbedingungen

liefert die Eigenfunktionen
(9.86k)

sowie die dazugehörigen Eigenwerte
(9.86l)
Durch das gleiche Vorgehen wie in Beispiel Saitenschwingungsgleichung erhält man schließlich
(9.86m)
wobei

und

die Koeffizienten der FOURIER-Reihenentwicklung für die Funktionen

und

im Intervall

sind.


Standardabweichungen
Die Standardabweichung der Gewichtseinheit ergibt sich als Schätzwert zu
(16.203)

Es ist darauf zu achten, daß

ist, im entgegengesetzten Falle

sind

mit systematischen

Abweichungen enthalten.
Die Standardabweichung der Einzelmessung lautet
(16.204)

wobei

erwartet werden kann.

Die Standardabweichung des gewogenen arithmetischen Mittels lautet:


(16.205)


Beschreibende Statistik
●
●

Statistische Erfassung gegebener Meßwerte
Statistische Parameter


Mathematische Statistik
Die mathematische Statistik stellt eine Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie auf konkrete
Massenerscheinungen dar. Ihre Sätze ermöglichen Wahrscheinlichkeitsaussagen über Eigenschaften einer
bestimmten Menge aus den Ergebnissen von Versuchen, deren Anzahl aus ökonomischen Gründen möglichst klein
zu halten ist.
●
●
●
●
●

Stichprobenfunktionen
Beschreibende Statistik
Wichtige Prüfverfahren
Korrelation und Regression
Monte-Carlo-Methode


Kapitel 16:
Wahrscheinlichkeitsrechnung und
Mathematische Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik befassen sich mit den Gesetzmäßigkeiten des zufälligen
Eintretens bestimmter Ereignisse aus einer vorgegebenen Ereignismenge bei Versuchen im allgemeinsten Sinne.
Dabei wird vorausgesetzt, daß diese Versuche unter unveränderten Bedingungen beliebig oft wiederholt werden
können. Ihre Anwendung finden diese Gebiete der Mathematik bei der statistischen Beurteilung von
Massenerscheinungen. Die mathematische Behandlung von Zufallserscheinungen wird auch unter dem Begriff
Stochastik zusammengefaßt.

●

Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mathematische Statistik
Theorie der Meßfehler

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●


Stereometrie
●
●
●
●

Geraden und Ebenen im Raum
Kanten, Ecken, Raumwinkel
Polyeder
Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind


Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen
Die elementaren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig; Unstetigkeitsstellen gehören nicht zum
Definitionsbereich. Es können die folgenden allgemeinen Aussagen gemacht werden:
●

Ganzrationale Funktionen oder Polynome


Stetigkeit
Eine Funktion von zwei Veränderlichen

wird an der Stelle

d.h. im Punkt

, stetig

genannt, wenn
1. der Punkt

dem Definitionsbereich der Funktion angehört und wenn

2. der Grenzwert für

existiert und
(2.276)

ist.
Anderenfalls besitzt die Funktion an der Stelle

eine Unstetigkeit.

Wenn eine Funktion in allen Punkten eines zusammenhängenden Gebietes definiert und stetig ist, dann wird sie
stetig in diesem Gebiet genannt.


In Analogie dazu wird die Stetigkeit einer Funktion von mehr als zwei Veränderlichen definiert.


Stetigkeit der komplexen Funktion
Eine Funktion
Umgebung

heißt an der Stelle
eines Punktes

-Ebene gibt, deren durch
dargestellt, ist

stetig, wenn es zu jeder vorgegebenen, beliebig kleinen
der

-Ebene eine Umgebung

vermittelte Bildpunkte ganz in

z.B. ein Kreis mit dem Radius

um den Punkt

des Punktes

liegen. Wie in der Abbildung
.

der


Es gilt dann
(14.2)
Der Grenzwert der Funktion

ist gleich dem Funktionswert der unabhängigen Variablen.


Stetigkeit mittelbarer Funktionen y=f(u(x))
Wenn

eine stetige Funktion bezüglich

Wertebereich von

ist und

im Definitionsbereich von

stetig bezüglich

eine stetige Funktion bezüglich

und der

enthalten ist, dann ist auch die mittelbare Funktion

, und es gilt
(2.32)

Das bedeutet, daß jede stetige Funktion von einer stetigen Funktion einer Variablen wieder stetig ist.


Stichprobe
Um nicht die gesamte Grundgesamtheit auf die betreffenden Merkmale hin untersuchen zu müssen, entnimmt man
ihr eine Teilmenge, eine sogenannte Stichprobe , vom Umfang

. Erfolgt die Auswahl zufallsgemäß,

d.h., jedes Element der Grundgesamtheit muß die gleiche Chance haben, ausgewählt zu werden, dann spricht man
von einer zufälligen Stichprobe . Die zufällige Auswahl kann durch Mischen oder blindes Ziehen bzw. durch
Festlegung der auszuwählenden Elemente mit Hilfe von Zufallszahlen erfolgen.


Strahl und Strecke
Ein Strahl enthält genau die und nur die Menge aller der Punkte einer Geraden, die auf der gleichen Seite eines
Punktes 0 dieser Geraden liegen, den Punkt 0 inbegriffen. Man kann sich den Strahl durch die Bewegung eines
Punktes vorstellen, die im Punkt 0 beginnt und ohne Richtungsänderung auf der Geraden erfolgt, ähnlich wie ein
Lichtstrahl nach seiner Emission, solange dieser nicht nicht abgelenkt wird.
Eine Strecke

enthält genau die Menge aller Punkte einer Geraden, die zwischen zwei Punkten

dieser Geraden liegen, die Punkte
Ebenenpunkte

und

und

inbegriffen. Die Strecke ist die kürzeste Verbindung der beiden

. Der Durchlaufsinn einer Strecke wird mit Hilfe eines Pfeiles gemäß

oder als Richtung vom erstgenannten Punkt

und

nach dem zweitgenannten Punkt

verstanden.

gekennzeichnet


Klassische algebraische Strukturen
●
●
●
●
●
●

Operationen
Halbgruppen
Gruppen
Anwendungsbeispiele für Gruppen
Ringe und Körper
Vektorräume


Winkelpaare an geschnittenen Parallelen
Beim Schnitt zweier paralleler Geraden

durch eine dritte Gerade

treten acht Winkel auf.

Neben Scheitelwinkel und Nebenwinkel für Winkel mit gemeinsamem Scheitelpunkt
sind für Winkel mit
verschiedenen Scheitelpunkten Wechselwinkel, Stufenwinkel und entgegengesetzt liegende Winkel zu


unterscheiden.
Wechselwinkel: Wechselwinkel sind gleich große, auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden und der
Parallelen liegende Winkel. Die Schenkel von Wechselwinkeln sind paarweise entgegengesetzt gerichtet.
Beispiel
In der Abbildung sind die Winkelpaare

und

Wechselwinkel.
Stufenwinkel oder Gegenwinkel: Stufenwinkel sind gleich große, auf der gleichen Seite der Schnittgeraden
und auf den gleichen Seiten der Parallelen liegende Winkel. Die Schenkel von Stufenwinkeln sind paarweise
gleichgerichtet.
Beispiel
In der Abbildung sind die Winkelpaare

und

Stufenwinkel.
Entgegengesetzte Winkel: Entgegengesetzte Winkel sind auf der gleichen Seite der Schnittgeraden
auf verschiedenen Seiten der Parallelen gelegene Winkel, die sich zu
gleichgerichtet, das andere entgegengesetzt gerichtet.
Beispiel

, aber

ergänzen. Ein Schenkelpaar ist


In der Abbildung sind z.B. die Winkelpaare
entgegengesetzte Winkel.

und


Reelle Nullstellen
Mit der Kartesischen Zeichenregel kann man einen ersten Hinweis darauf bekommen, ob die Polynomgleichung
(19.11) reelle Nullstellen hat. Es gilt:
1.
Die Anzahl der positiven Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge
(19.19a)
oder um eine gerade Anzahl kleiner.
2.
Die Anzahl der negativen Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge
(19.19b)
oder um eine gerade Anzahl kleiner.
Beispiel
hat 1 oder 3 positive Wurzeln und 0 oder 2
negative Wurzeln.


Mit der STURMschen Kette kann man genaue Auskunft über die Anzahl der reellen Nullstellen zwischen zwei Stellen
und

bekommen.

Einen Überblick über den Verlauf der Kurve

und damit auch über die Lage ihrer Nullstellen verschafft

man sich dadurch, daß man mit Hilfe des HORNER-Schemas für gleichabständige Argumentwerte
die Funktionswerte ermittelt. Hat man zwei Stellen
gefunden, an denen
Nullstelle.

und

entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann liegt zwischen ihnen mindestens eine reelle


Prinzip der B-B-Kurvendarstellung
Gegeben seien

Eckpunkte

mit den Ortsvektoren

eines räumlichen Polygons,

das in diesem Zusammenhang als Stützpolygon bezeichnet wird. Durch die Vorschrift
(19.252)
wird diesen Punkten eine Raumkurve, die sogenannte B-B-Kurve zugeordnet. Wegen (19.249) kann (19.252) als
,,variable Konvexkombination`` der gegebenen Punkte aufgefaßt werden. Die Raumkurve (19.252) hat folgende
wichtige Eigenschaften:
1.
Die Punkte

und

werden interpoliert.

2.
Die Vektoren

und

sind Tangenten von

in

bzw.

.


Den Zusammenhang zwischen Stützpolygon und B-B-Kurve zeigt die folgende Abbildung.

Die B-B-Darstellung wird vor allem für den Entwurf von Kurven eingesetzt, da man durch die Änderung von
Polygonecken den Kurvenverlauf auf sehr einfache Weise beeinflussen kann.
Häufig werden an Stelle der BERNSTEINschen Grundpolynome normalisierte B-Splines verwendet. Die zugehörigen
Raumkurven heißen dann B-Spline-Kurven. Ihr Verlauf entspricht prinzipiell dem der B-B-Kurven, aber sie haben
folgende Vorteile gegenüber diesen:
1.
Das Stützpolygon wird besser approximiert.
2.
Bei Änderung von Polygoneckpunkten ändert sich die B-Spline-Kurve nur lokal.
3.


Neben der lokalen Änderung des Kurvenverlaufs kann auch die Differenzierbarkeit beeinflußt werden.
So lassen sich z.B. auch Knicke und Geradenstücke erzeugen.


Definition von Summen
Zur abkürzenden Schreibweise verwendet man für Summen das Summenzeichen

(1.8)

Mit dieser Abkürzung wird eine Summe von
Laufindex oder Summationsvariable .

Summanden

bezeichnet. Man nennt


Rechenregeln für Summen
1.
Summe gleicher Summanden, d.h.,

(1.9a)
2.
Multiplikation mit einem konstanten Faktor
(1.9b)
3.
Aufspalten einer Summe
(1.9c)
4.


Addition von Summen gleicher Länge
(1.9d)
5.
Umnumerierung
(1.9e)
6.
Vertauschen der Summationsfolge bei Doppelsummen
(1.9f)


Superpositionsprinzip
●
●

Superposition komplexer Potentiale
Erzeugung neuer Felder


Superposition oder Überlagerung von Schwingungen
Superposition oder Überlagerung von Schwingungen nennt man im einfachsten Falle die Addition zweier
Schwingungen mit gleicher Frequenz. Sie führt wieder auf eine harmonische Schwingung mit derselben Frequenz:
(2.130a)
wobei
(2.130b)

und

(2.130c)

bedeuten. Auch eine Linearkombination mehrerer allgemeiner Sinusfunktionen gleicher Frequenz führt wieder auf
eine allgemeine Sinusfunktion (harmonische Schwingung) mit derselben Frequenz:


(2.131)

Die Größen

und

können mit Hilfe eines Vektordiagramms bestimmt werden:


Symmetriegruppen
Zu jeder Symmetrieoperation

gibt es eine inverse Operation

die

wieder ,,rückgängig`` macht, d.h., es

gilt
(5.105)
Dabei bezeichnet die identische Operation, die den gesamten Raum unverändert läßt. Die Gesamtheit der
Symmetrieoperationen eines räumlichen Objektes bildet bezüglich der Hintereinander-Ausführung eine Gruppe, die
im allgemeinen nichtkommutative Symmetriegruppe des Objektes. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
a) Jede Drehung ist das Produkt zweier Spiegelungen. Die Schnittgerade der beiden Spiegelungsebenen ist
die Drehachse.
b) Für zwei Spiegelungen

und

gilt

(5.106)
genau dann, wenn die zugehörigen Spiegelungsebenen identisch sind oder senkrecht aufeinander stehen. Im ersten
Fall ist das Produkt die Identität

im zweiten die Drehung

c) Das Produkt zweier Drehungen mit sich schneidenden Drehachsen ist wieder eine Drehung, deren Achse
durch den Schnittpunkt der gegebenen Drehachsen geht.


d) Für zwei Drehungen

und

um dieselbe oder um zwei zueinander senkrechte Achsen gilt:
(5.107)

Das Produkt ist jeweils wieder eine Drehung. Im ersten Fall ist die zugehörige Drehachse die gegebene, im zweiten
steht die Drehachse senkrecht auf den beiden gegebenen.


Lineare Systeme
Ein lineares System besteht aus den

Linearformen

(4.104)

Die Elemente
Spaltenvektors

der Matrix

, die vom Typ

sind konstant. Die Komponenten

unabhängigen , die Komponenten

ist, und die Komponenten

des

des Spaltenvektors
des Spaltenvektors

sind die

die abhängigen Variablen .


System aus vier Punkten
Vier Punkte
Tetraeder bilden oder in einer Ebene liegen.

Der Rauminhalt eines Tetraeders kann über

und

können entweder einen


(3.365)

berechnet werden, wobei sich nur dann ein positiver Wert

ergibt, wenn die Orientierung des Vektorentripels

mit der Orientierung des Koordinatensystems übereinstimmt (s. affine Koordinaten). Im
entgegengesetzten Falle ergibt sich ein negativer Wert.
In einer Ebene liegen die vier Punkte genau dann, wenn die Bedingung

(3.366)

erfüllt ist.


Mischende dynamische Systeme
Ein dynamisches System

auf

wenn

mit invariantem Wahrscheinlichkeitsmaß
für beliebige BOREL-Mengen

mischendes System hängt also das Maß der Menge aller Punkte, die bei
nur vom Produkt

gilt. Für ein
und für große

in

liegen,

ab.

Ein mischendes System ist auch ergodisch: Seien
. Dann gilt

Ein Fluß

in

heißt mischend ,

ein mischendes System und

eine BOREL-Menge mit
und

ist

oder

von (17.1) ist genau dann mischend, wenn für beliebige quadratisch integrierbare Funktionen

.


die Beziehung

(17.33)

gilt. Dabei bezeichnen

und

die räumlichen Mittel, die durch die zeitlichen Mittel ersetzt werden.

Beispiel
Die Modulo-Abbildung (17.28) ist mischend. Die Rotationsabbildung (17.31) ist bezüglich des
Wahrscheinlichkeitsmaßes

nicht mischend.


Definition mittels Tabelle
Funktionen von mehreren Veränderlichen können mit Hilfe von Wertetabellen definiert werden. Die Wertetabellen der
elliptischen Integrale sind ein Beispiel für Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen. Dort sind die Werte der
unabhängigen Variablen am oberen und linken Rand der Tabelle eingetragen. Ein gesuchter Funktionswert kann als
Schnittpunkt der zugehörigen Zeilen und Spalten aufgesucht werden. Man spricht von Tabellen mit doppeltem
Eingang .


Geometrische Bedeutung der Ableitung
Wenn
sowie die

wie in der folgenden Abbildung als Kurve in kartesischen Koordinaten dargestellt ist und die

-

-Achse den gleichen Maßstab haben, dann ist
(6.2)

wobei

der Winkel zwischen der

-Achse und der Tangente an die Kurve in dem betreffenden Punkt ist. Der

Winkel wird von der positiven -Achse zur Tangente im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers gemessen und
als Tangentenneigungswinkel bezeichnet.


Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung des vollständigen Differentials einer Funktion von zwei Veränderlichen
die in einem kartesischen Koordinatensystem als Fläche dargestellt werden kann (obere Fläche durch den Punkt
in der Abbildung), besteht darin, daß

gleich dem Zuwachs der Applikate der Tangentialebene (untere Fläche

durch den betrachteten Punkt) ist, wenn
der Applikate der Fläche für die Inkremente

und
und

die Inkremente von
von

und

und

bezeichnet.

sind. Mit

ist der Zuwachs


Aus der TAYLORschen Formel folgt für Funktionen von zwei Variablen
(6.44a)
Vernachlässigt man das Restglied

dann stellt
(6.44b)


die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche

im Punkt

dar.


Tangierpunkte
Der Kleinkreis wird von zwei Meridianen, den Tangiermeridianen , in den Tangierpunkten
berührt.

und


Aus der Forderung, daß für sie das Argument des Arkuskosinus in (3.223) hinsichtlich der Variablen

extremal

sein muß, erhält man:
(3.224a)

(3.224b)

Hinweis: Unter Umständen ist gemäß (3.211) eine Rückversetzung der Winkel erforderlich.


Taylor-Entwicklung für Vektorfunktionen
(13.4)

Die Entwicklung einer Vektorfunktion in eine TAYLOR-Reihe hat nur Sinn, wenn die Reihe konvergiert. Die
Konvergenz dieser Reihe wird ebenso wie die jeder beliebigen anderen Reihe mit vektoriellen Gliedern nach der
gleichen Methode wie die Konvergenz einer Reihe mit komplexen Gliedern bestimmt. Man kann die Konvergenz
einer Reihe mit vektoriellen Gliedern auf die Konvergenz von Reihen mit skalaren Gliedern zurückführen. Das
Differential einer Vektorfunktion

wird definiert durch

(13.5)


Teilbarkeit
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Teiler
Elementare Teilbarkeitsregeln
Primzahlen
Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, Primzahlvierlinge
Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
Kanonische Primfaktorenzerlegung
Teilbarkeitskriterien
Größter gemeinsamer Teiler
EUKLIDischer Algorithmus
Größter gemeinsamer Teiler als Linearkombination
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV
FIBONACCI-Zahlen


Elementare Teilbarkeitsregeln
(5.135)
(5.136)
(5.137)
(5.138)
(5.139)
(5.140)
(5.141)
(5.142)
(5.143)
(5.144)
(5.145)
(5.146)


Teiler
Eine ganze Zahl

heißt in

durch eine ganze Zahl

ohne Rest teilbar , wenn es eine ganze Zahl

gibt,

die die Bedingung
(5.134)
erfüllt. Dabei ist
teilt

ein Teiler von

`` schreibt man auch

(5.134) ist eine binäre Relation in
definieren.

in

und

Für ,,

der zu
teilt

komplementäre Teiler ;

nicht`` kann man

ist ein Vielfaches von

Für ,,

schreiben. Die Teilbarkeitsbeziehung

. Analog kann man die Teilbarkeit in der Menge der natürlichen Zahlen


Positive Teiler
Wenn eine natürliche Zahl
jeder postive Teiler

von

mit der kanonischen Primfaktorenzerlegung (5.147a) gegeben ist, dann läßt sich
in der Form
(5.148a)

darstellen. Die Anzahl

aller positiven Teiler von

ist

(5.148b)

Beispiel A
.


Beispiel B
falls

Das Produkt

paarweise verschiedene Primzahlen sind.

aller positiven Teiler von

ist gegeben durch

(5.148c)
Beispiel A

Beispiel B
falls

Primzahl ist.

Beispiel C
, falls

und

zwei verschiedene Primzahlen sind.


Die Summe

aller positiven Teiler von

ist

(5.148d)

Beispiel A
.

Beispiel B
, falls

Primzahl ist.


Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
●
●

Konvexe Mengen
Kegel


Affiner Teilraum
Eine Teilmenge eines Vektorraumes

der Gestalt
(12.8)

wobei

ein fixiertes Element und

Mannigfaltigkeit, die man (im Falle von

ein linearer Teilraum ist, heißt affin-linearer Teilraum oder affine
) als Verallgemeinerung einer nicht durch den Nullpunkt

verlaufenden Geraden oder Ebene ansehen kann.


Tensor 1. Stufe
Ein Tensor erster Stufe hat 3 Komponenten

und

Das Transformationsgesetz (4.68) lautet

(4.69)
Das ist aber gerade das Transformationsgesetz für Vektoren, d.h., ein Vektor ist ein Tensor 1. Stufe.


Rechenregeln
Für Tensoren 2. Stufe gelten dieselben Rechenregeln wie für Matrizen. Insbesondere läßt sich jeder Tensor
Summe eines symmetrischen und eines schiefsymmetrischen Tensors darstellen:

als

(4.76a)

Ein Tensor

heißt symmetrisch , wenn

(4.76b)
gilt. Im Falle
(4.76c)
heißt er schief- oder antisymmetrisch . Dabei ist zu beachten, daß bei einem antisymmetrischen Tensor die Elemente


und

Null sind. Der Begriff der Symmetrie und Antisymmetrie läßt sich auch auf Tensoren höherer Stufe

übertragen, wenn man diese Begriffe auf bestimmte Paare von Indizes bezieht.


Definition
Eine mathematische oder physikalische Größe
Elemente

läßt sich in einem kartesischen Koordinatensystem

durch

die translationsinvariant sind, beschreiben. Dabei sei die Anzahl der Indizes

genau

Die Indizes sind geordnet und jeder Index nimmt die Werte 1, 2 und 3 an.

Gilt für die Elemente

bei einer Transformation des Koordinatensystems

nach

gemäß (4.65)

(4.68)

dann wird

als Tensor

-ter Stufe bezeichnet, und die Elemente

sind die Komponenten des Tensors

.

(meist Zahlen) mit geordneten Indizes


Tensorinvarianten
Von den invarianten Tensoren muß man die Tensorinvarianten unterscheiden. Letztere sind Funktionen von
Tensorkomponenten, deren Form und deren Wert bei Drehung des Koordinatensystems gleichbleibt.
Beispiel A
Für die Spur des Tensors

der durch Drehung in

übergeht, gilt:
(4.80)

Die Spur des Tensors
Beispiel B

ist gleich der Summe der Eigenwerte (vgl. Spur der Matrix).


Für die Determinante des Tensors

gilt:

(4.81)
Die Determinante des Tensors ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.


Tensoren
●
●
●
●
●

Transformation des Koordinatensystems
Tensoren in kartesischen Koordinaten
Tensoren mit speziellen Eigenschaften
Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen
Pseudotensoren


Tensorprodukt-Ansätze
Der bikubische Spline-Ansatz (19.242) ist ein Beispiel für einen sogenannten Tensorprodukt -Ansatz, der die Form
(19.245)
hat und vor allem für Approximationen über Rechteckgittern geeignet ist.
Die Funktionen

und

bilden zwei linear unabhängige

Funktionssysteme. Tensorprodukt-Ansätze haben in numerischer Hinsicht den großen Vorteil, daß sich z.B. die
Lösung der zweidimensionalen Interpolationsaufgabe (19.241) auf die Lösung von eindimensionalen Aufgaben
zurückführen läßt. Darüber hinaus gilt: Die zweidimensionale Interpolationsaufgabe (19.241) ist mit dem Ansatz
(19.245) eindeutig lösbar, wenn
1.
die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen

bezüglich der Stützstellen


und
2.
die eindimensionalen Interpolationsaufgaben mit den Ansatzfunktionen

bezüglich der Stützstellen

eindeutig lösbar sind.
Ein wichtiger Tensorprodukt-Ansatz ist der mit kubischen B-Splines:
(19.246)

Dabei sind die Funktionen
der Knoten bezüglich

, mit

und

normalisierte B-Splines der Ordnung 4. Mit

die Anzahl der Knoten bezüglich

wird die Anzahl

bezeichnet. Die Knoten sind frei wählbar, aber

für die Lösbarkeit der Interpolationsaufgabe müssen gewisse Bedingungen an die Lage der Knoten und die der
Stützstellen der Interpolation gestellt werden.
B-Spline-Ansätze führen bei der Lösung von Interpolationsaufgaben auf Gleichungssysteme, deren
Koeffizientenmatrizen Bandstruktur haben, also von numerisch günstiger Struktur sind.
Lösungen für verschiedene Interpolationsaufgaben mit Hilfe von bikubischen B-Spline-Ansätzen s. Lit. 19.15.


Tetraeder
Tetraeder wird eine dreieckige Pyramide genannt.

Mit den Bezeichnungen

und

gilt:


(3.119)


Tilgungsrechnung
●
●
●

Tilgung
Gleiche Tilgungsraten
Gleiche Annuitäten


Wavelet-Transformation
Zu einem Wavelet

kann man mit Hilfe eines Parameters

eine ganze Schar von Funktionen bilden:

(15.149)
Im Falle

wird die Ausgangsfunktion

gestaucht. Im Falle

vorgenommen. Der Faktor

ist ein Skalierungsfaktor.

Mit Hilfe eines zweiten Parameters

können die Funktionen

zweiparametrige Kurvenschar

wird zusätzlich eine Spiegelung

noch verschoben werden. Man erhält dann die


(15.150)
Der reelle Verschiebunbgsparameter
Ausdehnung der Funktion

charakterisiert den Zeitpunkt (bzw. den Ort), während der Parameter

angibt. Die Funktion

wird im Zusammenhang mit der Wavelet-

Transformation als Basisfunktion bezeichnet.
Die Wavelet-Transformation einer Funktion

ist wie folgt definiert:

(15.151a)
Für die Rücktransformation gilt:
(15.151b)

Dabei ist

Beispiel

eine Konstante, die vom speziellen Wavelet

abhängt.

die


Unter Verwendung des HAAR-Wavelets (F1150502) erhält man

und damit

(15.152)

Der Wert

gemäß (15.152) stellt eine Differenz von Mittelwerten der Funktion

benachbarten Intervallen der Länge

Bemerkungen:

um den Punkt

dar.

über zwei


1.
In den Anwendungen spielt die dyadische Wavelet-Transformation eine große Rolle. Als Basisfunktionen
verwendet sie die Funktionen
(15.153)
d.h. die verschiedenen Basisfunktionen ergeben sich aus einem Wavelet

durch Verdoppeln oder Halbieren

der Breite und durch Verschieben um ganzzahlige Vielfache der Breite.
2.
Als orthogonales Wavelet bezeichnet man ein Wavelet

, bei dem die gemäß (15.153) erzeugten

Basisfunktionen eine orthogonale Basis bilden.
3.
Besonders gute numerische Eigenschaften haben DAUBECHIES-Wavelets. Das sind orthogonale Wavelets mit
einem kompakten Träger, d.h. sie sind nur auf einem Teil der Zeitachse von Null verschieden. Für sie gibt es
aber keine geschlossene Darstellung (s. Lit. 15.11).


Trägheitsmomente
1. Trägheitsmoment des Bogenstücks einer homogenen Kurve
Intervall

bezüglich der

mit der konstanten Dichte

-Achse (s. linke Abbildung):

(8.68)

Ist die Dichte eine Funktion

, dann muß ihr analytischer Ausdruck in die Integration einbezogen werden.

im


2. Trägheitsmoment einer homogenen ebenen Figur mit der Dichte
gleichzeitig die Länge des zur

bezüglich der

-Achse, wobei

-Achse parallelen Schnittes ist (s. rechte Abbildung):

(8.69)

Im Falle der Ortsabhängigkeit der Dichte muß der analytische Ausdruck in die Integration einbezogen werden.
Formeln zur Berechnung von Trägheitsmomenten mit Hilfe von Mehrfachintegralen sind in der Tabelle Anwendung
von Doppelintegralen und in der Tabelle Anwendung von Dreifachintegralen angegeben.


Zyklische Vertauschungen
Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
Winkel;

- Flächeninhalt;

- Radius des Umkreises;

- halber Dreiecksumfang.

- Seiten;

- die ihnen gegenüberliegenden

- Radius des Inkreises;


Da im schiefwinkligen Dreieck alle Seiten gleichberechtigt sind, ebenso alle Winkel, können aus jeder für bestimmte
Seiten und Winkel bewiesenen Formel zwei weitere gewonnen werden, wenn Seiten und Winkel gemäß der
folgenden Abbildung zyklisch vertauscht werden.


Beispiel
Aus

(Sinussatz) erhält man durch zyklische Vertauschung:


Lineare Transformation
Durch die lineare Transformation
(4.65)

wird im dreidimensionalen Raum eine Koordinatentransformation beschrieben. Dabei sind

und

die Koordinaten ein und desselben Punktes, bezogen auf zwei verschiedene
Koordinatensysteme

und


Wavelet-Transformation
●
●
●
●
●

Signale
Wavelets
Wavelet-Transformation
Diskrete Wavelet-Transformation
Gabor-Transformation


Trapez
Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind.

Mit den Bezeichnungen
und für die beiden Grundlinien des Trapezes,
für die Höhe und
, die die Mittelpunkte der beiden nicht parallelen Seiten miteinander verbindet, ergibt sich

für die Mittellinie

(3.28)


(3.29)

Im gleichschenkligen Trapez mit

ist:
(3.30)


Trennung konvexer Mengen
●
●
●

Hyperebenen
Geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach
Trennung konvexer Mengen


Triangulierung
Das Integrationsgebiet

wird in einfache Teilgebiete zerlegt. In der Regel nimmt man eine Triangulierung vor, bei

durch Dreiecke so überdeckt wird, daß einander angrenzende Dreiecke eine ganze Seite oder nur einen
der
Eckpunkt gemeinsam haben. Ein krummlinig begrenztes Gebiet kann durch Dreiecke recht gut approximiert werden
(s. Abbildung).


Hinweis: Um numerische Schwierigkeiten zu vermeiden, sollte die Triangulierung keine allzu stumpfen Dreiecke
enthalten.
Beispiel
Eine Triangulierung des Einheitsquadrates könnte in der in der folgenden Abbildung angegebenen Weise
erfolgen.

Dabei geht man von Gitterpunkten mit den Koordinaten
;

aus. Man erhält

innere

Punkte. Im Hinblick auf die Wahl von Ansatzfunktionen ist es zweckmäßig, jeweils 6 Dreiecke, die im


Punkte

zusammenstoßen, zu dem Flächenstück

zusammenzufassen.


Folgerungen aus dem Alternantensatz
Der Alternantensatz ist der Ausgangspunkt für die numerische Lösung der stetigen TSCHEBYSCHEFFschen
Approximationsaufgabe. Wählt man als Näherungsfunktion
(19.198)

mit

linear unabhängigen, bekannten Ansatzfunktionen, dann sollen mit

Koeffizienten der Lösung der TSCHEBYSCHEFFschen Aufgabe und mit
zugehörige Minimalabweichung gemäß (19.192) bezeichnet werden. In dem Fall, daß die Funktionen

die
die
und

differenzierbar sind, folgt aus dem Alternantensatz

(19.199)


Die Stellen

sind Alternantenpunkte mit
(19.200)

Die Gleichungen (19.199) stellen

Bedingungen für die

TSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe dar:
Minimalabweichung

unbekannten Größen der

Ansatzkoeffizienten,

Alternantenpunkte und die

. Falls die Intervallrandpunkte zu den Alternantenpunkten gehören, brauchen dort die

Bedingungen für die Ableitung nicht zu gelten.


Prinzip der TSCHEBYSCHEFF-Approximation
Unter TSCHEBYSCHEFF-Approximation oder gleichmäßiger Approximation versteht man im stetigen Fall die folgende
Aufgabe: In einem Intervall

ist die Funktion

durch eine Näherungsfunktion

so zu approximieren, daß der größte Fehlerbetrag
(19.192)
durch geeignete Wahl der Parameter

möglichst klein wird. Existiert für

Näherungsfunktion, dann wird der Maximalwert der Abweichung in mindestens

Punkten

eine solche
des Intervalls,

den sogenannten Alternantenpunkten , mit abwechselndem Vorzeichen angenommen (s. Abbildung).
Das ist der wesentliche Inhalt des sogenannten Alternantensatzes zur Charakterisierung der Lösung einer
TSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe.


Beispiel
Approximiert man auf dem Intervall

die Funktion

durch ein Polynom vom Grade

im TSCHEBYSCHEFFschen Sinne, dann erhält man als Fehlerfunktion, wenn auf den
Maximalwert 1 normiert wird, das TSCHEBYSCHEFFsche Polynom
aus den Randpunkten und genau
den Extremstellen von

. Die Alternantenpunkte, die sich

Punkten im Innern des Intervalls zusammensetzen, entsprechen

(s. die folgende, aus 6 Teilen bestehende Abbildung).


Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome
1. Darstellungen:
(19.193a)

(19.193b)

(19.193c)

2. Nullstellen von

:
(19.194)

3. Extremstellen von

für

:


(19.195)
4. Rekursionsformel:
(19.196)
Daraus folgt z.B.
(19.197a)
(19.197b)
(19.197c)
(19.197d)
(19.197e)
(19.197f)
(19.197g)


TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
Wenn

positive reelle Zahlen sind, dann gilt

(1.121a)

sowie

(1.121b)


Für zwei endliche Zahlenfolgen mit
positiven Zahlen ist das Produkt der arithmetischen Mittel dieser Folgen
kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich dem arithmetischen Mittel der paarweisen Produkte, wenn beide
Zahlenfolgen entweder ab- oder zunehmen oder die eine Folge zu- und die andere abnimmt.


Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
Um die EINSTEINsche Summenkonvention anwenden zu können, beschreibt man die kovarianten bzw.
kontravarianten Basisvektoren durch

(4.85)

Die Darstellung eines Vektors

lautet dann
(4.86)

Die Komponenten
des Vektors

werden als kontravariante Koordinaten, die Komponenten

als kovariante Koordinaten

bezeichnet. Zwischen diesen Koordinaten besteht der Zusammenhang
(4.87a)


mit
(4.87b)
Weiterhin gilt mit dem KRONECKER-Symbol
(4.88a)
und daraus folgt
(4.88b)

Den Übergang von

zu

bzw. von

zu

gemäß (4.87b) beschreibt man als Heraufziehen bzw.

Herunterziehen des Index durch Überschiebung.
Hinweis: In kartesischen Koordinatensystemen sind kovariante und kontravariante Koordinaten einander gleich.


Umlaufintegral eines Vektorfeldes
Umlaufintegral eines Vektorfeldes nennt man ein Kurvenintegral dieses Feldes, das über einen geschlossenen
Integrationsweg genommen wird. Wird der skalare Wert mit
bezeichnet, dann gilt:

und der Weg auf der geschlossenen Kurve mit

(13.102)


Verschwinden des Umlaufintegrals
Das Umlaufintegral über eine ebene geschlossene Kurve, d.h. das Kurvenintegral von

, ist gleich

Null, wenn die Bedingung (8.127) erfüllt ist und wenn innerhalb der geschlossenen Kurve keine Punkte liegen, in
denen eine der Funktionen

oder

unstetig oder nicht definiert ist.


Linear unabhängige Elemente
●
●

Lineare Unabhängigkeit
Basis und Dimension eines Vektorraumes


Ungleichungen 1. Grades
Ungleichungen 1. Grades besitzen die Lösung
(1.128a)

und

(1.128b)

Beispiel


Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades
(1.132a)
oder
(1.132b)
Die Ungleichung wird durch

dividiert, wobei sich das Vorzeichen im Falle

ändert, so daß sie auf die Form

(1.132c)
oder
(1.132d)
gebracht wird. Durch quadratische Ergänzung folgt


(1.132e)

oder

(1.132f)

Bezeichnet man nun

mit

und

mit

, dann ergibt sich die Ungleichung

(1.132g)
oder
(1.132h)
Nachdem diese gelöst ist, kann
Beispiel A

bestimmt werden.


Die Lösung ist

Beispiel B
Die Ungleichung ist identisch erfüllt.

Beispiel C
und

Die Lösungsbereiche sind

und

.


Ungleichungen 2. Grades
Die Ungleichungen 2. Grades
(1.129a)
und
(1.129b)
besitzen die folgenden Lösungen:
(1.130a)
(1.130b)
(1.131a)


(1.131b)


Ungleichungen für verschiedene Mittel
1. Ungleichungen für arithmetisches und geometrisches Mittel:
(1.112)

Das arithmetische Mittel von

positiven Zahlen ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel dieser Zahlen. Das

Gleichheitszeichen gilt nur, wenn alle

Zahlen gleich sind.

2. Ungleichungen für arithmetisches und quadratisches Mittel:
(1.113)
Der Absolutbetrag des arithmetischen Mittels mehrerer Zahlen ist kleiner oder gleich dem quadratischen Mittel.
3. Ungleichungen für verschiedene Mittelwerte reeller Zahlen: Für die Ungleichungen, die das
arithmetische, geometrische, harmonische und quadratische Mittel zweier positiver reeller Zahlen
miteinander verknüpfen, gilt:

und

mit


(1.114)
Dabei bedeuten:
(1.115)
(s. auch Mittelwerte).


Auflösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades
●
●
●
●

Allgemeines
Ungleichungen 1. Grades
Ungleichungen 2. Grades
Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades


BERNOULLIsche und Binomische Ungleichung
1. BERNOULLIsche Ungleichung: Für reelle Zahlen

ist
(1.116)

Das Gleichheitszeichen gilt für

.

2. Binomische Ungleichung: Für alle reellen Zahlen

gilt
(1.117)


CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung
Die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung gilt für beliebige komplexe Zahlen

sowie für alle reellen

Zahlen
(1.118a)
oder
(1.118b)
Für zwei endliche Zahlenfolgen mit jeweils
Zahlen ist die Summe ihrer paarweisen Produkte kleiner oder gleich
dem Produkt der beiden Quadratwurzeln aus den Summen der Quadrate dieser Wurzeln. Das Gleichheitszeichen gilt
nur für
Wenn

ist und

und

als rechtwinklige kartesische Koordinaten von Vektoren

aufgefaßt werden, dann besagt die Ungleichung von CAUCHY-SCHWARZ, daß das skalare Produkt zweier Vektoren


kleiner oder gleich dem Produkt der Beträge dieser Vektoren ist. Wenn

ist, dann kann diese Aussage auf

Vektoren im -dimensionalen euklidischen Raum ausgedehnt werden.
Ein Analogon dazu ist die CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung für konvergente unendliche Reihen sowie für
bestimmte Integrale:

(1.119)

(1.120)


MINKOWSKIsche Ungleichung
1. MINKOWSKIsche Ungleichung für Reihen: Wenn

ist und

sowie

mit

zwei Zahlenfolgen sind, dann gilt:

(1.124a)

2. MINKOWSKIsche Ungleichung für Integrale: Wenn
Maßraum

und

zwei meßbare Funktionen auf dem

sind, dann gilt:

(1.124b)


Reine Ungleichungen
●
●

Definitionen
Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II


Tschebyscheffsche Ungleichung
Hat die Zufallsveränderliche

den Erwartungswert

und die Standardabweichung

, so gilt für beliebiges

die TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung :
(16.56)
Danach ist es sehr unwahrscheinlich, daß Werte der Zufallsveränderlichen
Standardabweichung vom Erwartungswert

entfernt liegen (

groß).

um ein Vielfaches der


Verallgemeinerte TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
Wenn

positive reelle Zahlen sind, dann gilt

(1.122a)

sowie


(1.122b)


Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II
●
●
●

Sinnänderung des Ungleichheitszeichens und Transitivität
Addition und Subtraktion
Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl, Ungleichung bezüglich der Kehrwerte


Ungleichungen
●
●
●

Reine Ungleichungen
Spezielle Ungleichungen
Auflösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades


Identische, gleichsinnige, ungleichsinnige und äquivalente Ungleichungen
1. Identische Ungleichungen zeichnen sich durch ihre Gültigkeit für alle Werte der in ihnen enthaltenen
Buchstabensymbole aus.
2. Gleichsinnige Ungleichungen liegen vor, wenn von zwei Ungleichungen beide zum Typ I oder beide zum
Typ II gehören.
3. Ungleichsinnige Ungleichungen liegen vor, wenn die eine Ungleichung zum Typ I, die andere zum Typ II
gehört.
4. Äquivalente Ungleichungen liegen vor, wenn zwei Ungleichungen mit denselben Unbekannten für die
gleichen Werte der Unbekannten richtig sind.


Spezielle Ungleichungen
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Dreiecksungleichung für reelle und komplexe Zahlen
Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz reeller Zahlen
Ungleichungen für verschiedene Mittel
BERNOULLIsche und Binomische Ungleichung
CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung
TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
Verallgemeinerte TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
HÖLDERsche Ungleichung
MINKOWSKIsche Ungleichung


Sinnänderung des Ungleichheitszeichens und Transitivität
1. Sinnänderung des Ungleichheitszeichens:
(1.102a)
(1.102b)
2. Transitivität:
(1.103a)
(1.103b)


Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen)
Das englische Wort ,,fuzzy`` bedeutet so viel wie fusselig oder besser unscharf. Auf dieser Bedeutung beruht der
Name Fuzzy-Logik . Grundsätzlich sollten zwei Arten von Unschärfe unterschieden werden: Vagheit und Unsicherheit
. Mathematisch gesehen, gehören dazu zwei Konzepte: Die Theorie der unscharfen Mengen und die Theorie der
unscharfen Maße. In der folgenden praxisorientierten Einführung sollen die Begriffe, Methoden und Konzepte
unscharfer Mengen, die zur Zeit als mathematische Hilfsmittel akzeptiert werden, auf der Basis der mehrwertigen
Logik erläutert werden.
●
●
●

Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen
Eigenschaften unscharfer Mengen
Fuzzy-Linguistik


Unterdeterminanten
Eine Unterdeterminante

-ter Ordnung des Elements

einer Determinante

diejenige Determinante, die sich aus der gegebenen Determinante durch Streichen der
Spalte ergibt.
Beispiel
Entwicklung einer Determinante 4. Ordnung nach den Elementen der 3. Zeile:

-ter Ordnung heißt
-ten Zeile und

-ten


Urnenmodell
In einem Gefäß befindet sich eine große Anzahl schwarzer und weißer Kugeln. Gefragt ist nach der
gezogenen Kugeln
schwarze befinden. Wird jede gezogene Kugel
Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter
nach der Feststellung ihrer Farbe wieder zurückgelegt, dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich
Kugeln
schwarze befinden, eine Binomialverteilung . Werden die gezogenen
unter den gezogenen
nicht zurückgelegt, dann ergibt sich eine hypergeometrische Verteilung .

Kugeln


Variationen
1. Definition: Variation nennt man eine Auswahl von
Elementen aus
verschiedenen Elementen unter
Beachtung der Reihenfolge. Das bedeutet: Variationen sind Kombinationen mit Beachtung der Reihenfolge.
Deshalb ist auch bei den Variationen zwischen Variation ohne und mit Wiederholung zu unterscheiden.
2. Anzahl der Variationen ohne Wiederholung: Für die Anzahl
verschiedenen Elementen

der Möglichkeiten, aus

unter Beachtung der Reihenfolge auszuwählen, gilt
(16.6)

Beispiel
Wieviel Möglichkeiten gibt es, in einer Wahlversammlung mit 30 Teilnehmern einen 4köpfigen
Wahlvorstand, bestehend aus dem Vorsitzenden, seinem Stellvertreter und dem 1. und 2. Wahlhelfer
zusammenzustellen? Die Antwort lautet

.


3. Anzahl der Variationen mit Wiederholung: Wenn von den
verschiedenen Ausgangselementen in einer
Variation einzelne auch mehrfach auftreten dürfen, dann spricht man von einer Variation mit Wiederholung. Für
ihre Anzahl gilt
(16.7)
Beispiel A
Beim Fußball-Toto sind für 12 Spiele

verschiedene Tips möglich.

Beispiel B
Mit der digitalen Einheit Byte, die aus 8 Bits besteht, können
werden, was in der bekannten ASCII-Tabelle zum Ausdruck kommt.

verschiedene Zeichen dargestellt


Allgemeinere Variationsaufgaben
Es sollen zwei Verallgemeinerungen der einfachen Variationsaufgabe betrachtet werden.
1. Verallgemeinerung
: Das Funktional der Variationsaufgabe hängt von partiellen
Ableitungen höherer Ordnung der gesuchten Funktion

ab. Im vorliegenden Fall, in dem die partiellen

Ableitungen bis zur 2. Ordnung einschließlich auftreten, lautet die EULERsche Differentialgleichung:

(10.50)


2. Verallgemeinerung
: Im Falle einer Variationsaufgabe, bei der
unabhängige Variablen

auftreten, lautet die EULERsche Differentialgleichung:

(10.51)


Variationsaufgaben mit Funktionen mehrerer
Veränderlicher
●
●

Einfache Variationsaufgabe
Allgemeinere Variationsaufgaben


Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
Es werden zwei Aufgabenklassen betrachtet.
:

1.

Die Variationsaufgabe lautet:
(10.30a)
mit den Randbedingungen
(10.30b)
wobei die Zahlenwerte

und

sowie die Funktion

gegeben sind. Analog zur Verfahrensweise

unter EULERsche Differentialgleichung der Variationsrechnung werden Vergleichsfunktionen
mit
EULERsche Differentialgleichung

eingeführt, und man erhält die


(10.31)
als notwendige Bedingung für die Lösung des Variationsproblems (10.30a). Die Differentialgleichung (10.31) stellt
eine Differentialgleichung 4. Ordnung dar. Ihre allgemeine Lösung enthält 4 willkürliche Konstanten, die mit Hilfe der
Randbedingungen (10.30b) bestimmt werden können.
Beispiel
Für das Problem

(10.32a)

mit gegebenen Konstanten

und

gilt

. Daraus folgt

, und die
EULERsche Differentialgleichung lautet:
(10.32b)
Das ist eine lineare Differentialgleichung 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
2.

:


In diesem allgemeinen Fall, bei dem das Funktional
gesuchten Funktion

bis zur Ordnung

der Variationsaufgabe von den Ableitungen der
abhängen soll, lautet die zugehörige EULERsche

Differentialgleichung
(10.33)
deren Lösung Randbedingungen analog zu (10.30b) bis zur Ordnung

erfüllen müssen.


Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen
Das Funktional der Variationsaufgabe habe die Form
(10.34)

wobei die gesuchten Funktionen
annehmen sollen. Man wählt

für

und

vorgegebene Werte

zweimal stetig differenzierbare Vergleichsfunktionen
(10.35)

wobei die Funktionen
(10.34) in

in den Randpunkten verschwinden sollen. Mit (10.35) geht
über, und aus den notwendigen Bedingungen
(10.36)


für Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen ergeben sich die
Differentialgleichungen

EULERschen

(10.37)
deren Lösungen

die vorgegebenen Randbedingungen erfüllen müssen.


Aufstellung einer Variationsaufgabe
Zu der vorgegebenen Randwertaufgabe ist eine Variationsaufgabe zu formulieren. Die Vorgehensweise wird an der
Randwertaufgabe
(19.143)
gezeigt. Multipliziert man die Differentialgleichung in (19.143) mit einer hinreichend glatten Funktion
auf dem Rand von

verschwindet, und integriert man anschließend über

, die

, dann erhält man
(19.144)

Durch Anwendung der GAUSSschen Integralformel, indem man

und

setzt,

erhält man aus (19.144) die Variationsgleichung
(19.145a)
mit


(19.145b)


Erste und zweite Variation
Bei der Herleitung der EULERschen Differentialgleichung mit Hilfe von Vergleichsfunktionen wurde die TAYLOREntwicklung des Integranden von
(10.62)

nach den bezüglich
erhält man

linearen Gliedern abgebrochen. Berücksichtigt man auch die quadratischen Glieder, dann


(10.63)
Bezeichnet man als
1. Variation
des Funktionals

den Ausdruck

(10.64)

2. Variation
des Funktionals

den Ausdruck

(10.65)


dann kann man schreiben:
(10.66)
Mit Hilfe dieser Variationen lassen sich die verschiedenen Optimalitätsbedingungen für das Funktional
formulieren (s. Lit. 10.6).


Anwendungen in der Physik
Die Variationsrechnung spielt in der Physik eine entscheidende Rolle. So kann man die Grundgleichungen der
NEWTONschen Mechanik aus einem Variationsprinzip herleiten und zur JACOBI-HAMILTONschen Theorie gelangen,
aber auch in der Atomtheorie und der Quantenphysik hat die Variationsrechnung große Bedeutung. Dabei zeigte
sich, daß eine Erweiterung und Verallgemeinerung der klassischen mathematischen Begriffe unbedingt notwendig
ist. Deshalb muß heute die Variationsrechnung im Rahmen moderner mathematischer Disziplinen wie z.B. der
Funktionalanalysis und der Optimierung betrachtet werden. In den voransstehenden Abschnitten konnte lediglich ein
Einblick in den klassischen Teil der Variationsrechnung gegeben werden (s. Lit. 10.3, 10.4, 10.6).


Ergänzungen
●
●

Erste und zweite Variation
Anwendungen in der Physik


Polare und axiale Vektoren
Polare Vektoren dienen der Darstellung von Größen mit Maßzahl und Raumrichtung, wie Geschwindigkeit und
Beschleunigung, axiale Vektoren dagegen der Darstellung von Größen mit Maßzahl, Raumrichtung und Drehsinn,
wie Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung. In der zeichnerischen Wiedergabe werden sie durch einen
polaren bzw. axialen Pfeil unterschieden.

In der mathematischen Behandlung besteht zwischen ihnen kein Unterschied.


Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren
Ein freier Vektor ändert seine Eigenschaften Modul und Richtung nicht, wenn er parallel zu sich selbst derart
verschoben wird, daß sein Anfangspunkt in einem beliebigen Raumpunkt fällt. Wenn die Eigenschaften eines Vektors
an einen bestimmten Anfangspunkt gebunden sind, dann spricht man von einem gebundenem Vektor . Ein
linienflüchtiger Vektor darf nur längs der Geraden verschoben werden, in die er weist.


Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
Tabelle Vektorkomponenten in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten


Hinweis: Beim Übergang von einem Punkt zu einem anderen ändern zwar die Koordinatenvektoren ihre Richtung, sie stehen aber stets
senkrecht aufeinander.


Zerlegung von Vektoren
Jeder beliebige Vektor

kann eindeutig in eine Summe aus drei Vektoren zerlegt werden, die parallel zu drei

gegebenen nichtkomplanaren Vektoren

sind:

(3.242c)
und

Die Summanden
Faktoren

und

werden die Komponenten der Vektorzerlegung genannt, die skalaren

die Koeffizienten . Vektoren, die parallel zu einer Ebene liegen, können durch zwei

nichtkollineare Vektoren

und

in die Form


(3.243)
gebracht werden.


Vektoralgebra
●
●
●
●
●
●
●

Definition des Vektors, Rechenregeln
Koordinaten eines Vektors
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Mehrfache multiplikative Verknüpfungen
Vektorielle Gleichungen
Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors
Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra


Vektorfeld in kartesischen Koordinaten
Das Vektorfeld (13.12a) kann mit Hilfe dreier skalarer Felder
Koeffizienten des Vektors

und

definiert werden, die als

bei seiner Zerlegung in drei beliebige inkomplanare Vektoren

aufzufassen sind:
(13.16a)

Wählt man für diese drei Vektoren die Einheitsvektoren der drei Koordinatenachsen
Koeffizienten

, und drückt man die

in kartesischen Koordinaten aus, dann gilt

(13.16b)
Somit kann das Vektorfeld mit Hilfe dreier skalarer Funktionen von drei skalaren Veränderlichen definiert werden.


Vektorfelder mit punktförmigen Quellen
●
●

Coulomb-Feld der Punktladung
Gravitationsfeld der Punktmasse


Zentrales Vektorfeld
Alle Vektoren

liegen auf Geraden, die durch einen bestimmten Punkt, das Zentrum , verlaufen (s. Abbildung).

Wird der Koordinatenursprung in das Zentrum gelegt, dann kann das Feld mit Hilfe von


(13.13a)

definiert werden, da alle Vektoren die Richtung des Radiusvektors
durch die Formel

besitzen. Oft ist es von Vorteil, dieses Feld

(13.13b)

zu beschreiben, wobei

die Länge des Vektors

angibt und

der Einheitsvektor ist.


Zylindrisches Vektorfeld
a)
Alle Vektoren
liegen auf Geraden, die auf einer bestimmten Geraden, der Achse, senkrecht stehen und
durch diese hindurchgehen, und
b)
alle Vektoren
für Punkte, die gleichen Abstand von der Achse haben, besitzen gleiche Beträge und sind
entweder auf die Achse hin- oder von ihr weggerichtet (s. Abbildung).


Wird der Koordinatenursprung auf die Achse gelegt, die durch den Vektor
Feld durch die Formel

vorgegeben ist, dann kann dieses

(13.15a)

beschrieben werden. Dabei ist

die Projektion von

auf die Ebene, die auf der Achse senkrecht steht:
(13.15b)


Jeder Schnitt dieses Feldes mit Ebenen, die senkrecht auf der Achse stehen, ergibt gleichartige Kreisfelder.


Lineare Vektorfunktion
In einem festgelegten Koordinatensystem wird mit Hilfe des Tensors

gemäß (4.89) durch
(4.92a)

mit
(4.92b)
eine lineare Beziehung zwischen den Vektoren
Vektorfunktion bezeichnet.

und

hergestellt. Deshalb wird (4.92a) auch als lineare


Vektorfunktion einer skalaren Variablen
●
●
●
●

Definitionen
Ableitung einer Vektorfunktion
Differentiationsregeln für Vektoren
Taylor-Entwicklung für Vektorfunktionen


Vektorgradient
Der Vektorgradient

kann mit Hilfe des Nablaoperators gemäß
(13.68a)

dargestellt werden. Für den im Zusammenhang mit dem Vektorgradienten vorkommenden Ausdruck

gilt:

(13.68b)

Außerdem gilt für

:

(13.68c)


Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld
Reines Wirbelfeld wird ein Feld

genannt, manchmal auch solenoides Vektorfeld , dessen Divergenz überall

gleich Null ist; dieses Feld ist also quellenfrei. Ist die Wirbeldichte

, dann gilt:
(13.127a)

Die Wirbeldichte

kann nicht beliebig gegeben sein, sondern muß der Gleichung

genügen. Mit

dem Ansatz
(13.127b)
ergibt sich gemäß (13.94)
(13.127c)
Somit genügt

formal der POISSONschen Differentialgleichung wie das Potential

eines wirbelfreien Feldes


und heißt deshalb Vektorpotential . Für jeden beliebigen Punkt

gilt dann

(13.127d)

Die Bedeutung von

ist die gleiche wie in (13.126b); die Integration erfolgt über den gesamten Raum.


Geordnete Vektorräume
●
●
●
●

Kegel und Halbordnung
Ordnungsbeschränkte Mengen
Positive Operatoren
Vektorverbände


Vektorräume
●
●
●

Definition
Lineare Abbildungen
Unterräume, Dimensionsformel


Definition
Ein Vektorraum über einem Körper
Gruppe

(

-Vektorraum) besteht aus einer additiv geschriebenen ABELschen

von ,,Vektoren``, einem Körper

Multiplikation

die jedem geordneten Paar

von ,,Skalaren`` und einer äußeren
mit

und

einen Vektor

zuordnet. Dabei gelten folgende Gesetze:
(5.113)
(5.114)
(5.115)
(5.116)
(5.117)
(5.118)
(5.119)


(5.120)
, so spricht man von einem reellen Vektorraum .

Ist
Beispiel A

Einspaltige bzw. einzeilige reelle Matrizen vom Typ

bzw.

bilden bezüglich der

Matrizenaddition und der äußeren Multiplikation mit einer reellen Zahl einen reellen Vektorraum
(s. Vektorraum der Spalten- bzw. Zeilenvektoren).
Beispiel B
Alle reellen Matrizen vom Typ

bilden einen reellen Vektorraum.

Beispiel C
Alle auf einem Intervall

stetigen reellen Funktionen bilden mit den durch
(5.121)

definierten Operationen einen reellen Vektorraum. Funktionenräume spielen in der Funktionalanalysis eine
wesentliche Rolle.
●

Lineare Abhängigkeit


VENN-Diagramm
Zur Veranschaulichung von Mengen und Mengenoperationen benutzt man VENN-Diagramme . Dabei werden
Mengen durch ebene Figuren dargestellt. So wird durch die linke Abbildung die Teilmengenbeziehung
dargestellt.


Verknüpfungsregeln
Für die Verknüpfung unscharfer Relationen

gelten die folgenden Gesetzmäßigkeiten:

(E1) Assoziativgesetz:
(5.290)
(E2) Distributivgesetz für die Verknüpfung mit Vereinigungsbildung:
(5.291)
(E3) Distributivgesetz in abgeschwächter Form für die Verknüpfung mit Schnittbildung:
(5.292)
(E4) Inversenbildung:
(5.293)
(E5) Komplementbildung und Inversenbildung:


(5.294)
(E6) Monotonieeigenschaften:
(5.295)
Beispiel A
Die Gleichung (5.287) für das Relationenprodukt
wurde entsprechend wie bei der
Durchschnittsbildung mittels der min-Operation definiert. Allgemeine Überlegungen zeigen, daß statt der
min-Operation irgendeine der

-Normen verwendet werden kann.

Beispiel B
Für die Vereinigungs-, Durchschnitts- und Komplementbildung bezüglich

-Schnitte gilt:

Entsprechendes gilt auch für die scharfen
Schnitte.

-


Chi-Quadrat-Verteilung
Es seien

unabhängige, (

)-normalverteilte Zufallsveränderliche. Dann heißt die

Verteilung der Zufallsveränderlichen
(16.88)
-Verteilung mit dem Freiheitsgrad
Dichtefunktion mit

. Ihre Verteilungsfunktion wird mit

bezeichnet, die zugehörige

. Es gilt:

1. Dichte und Verteilungsfunktion:
(16.89)
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.90)


3. Sind

und

unabhängige Zufallsveränderliche, die je einer

-Verteilung mit

Freiheitsgraden genügen, so ist die Zufallsveränderliche

bzw.

-verteilt mit

Freiheitsgraden.
4. Dichtefunktionen bei verschiedenen Zufallsveränderlichen
unabhängige, (

: Sind

)-normalverteilte Zufallsveränderliche, so besitzt

(16.91)

(16.92)

(16.93)

5. Quantile: Für die Quantile

der

-Verteilung mit dem Freiheitsgrad

(s. Abbildung) gilt
(16.94)


Quantile der

-Verteilung sind in der zugehörigen Tabelle zu finden.


Chi-Quadrat-Verteilung
●
●

Chi-Quadrat-Verteilung, Teil I
Chi-Quadrat-Verteilung, Teil II


Diskrete Verteilungen
●
●
●
●
●

Zweistufige Grundgesamtheit und Urnenmodell
Urnenmodell
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poisson-Verteilung


Hypergeometrische Verteilung
Wie bei der Betrachtung der Binomialverteilung liege eine zweistufige Grundgesamtheit mit zwei Klassen von
Elementen vor, von denen die eine Klasse

Elemente mit der Eigenschaft

enthält, die andere

nicht besitzen. Im Unterschied zu dem auf die Binomialverteilung führenden Fall
Elemente, die die Eigenschaft
mit Zurücklegen der gezogenen Kugeln des Urnenmodells wird jetzt der Fall ohne Zurücklegen betrachtet.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter

gezogenen Kugeln

schwarze befinden, ist durch
(16.64a)

mit
(16.64b)
gegeben. Die Wahrscheinlichkeiten

Eine Zufallsgröße

und

berechnet man gemäß (16.60).

, die der Verteilung (16.64a) genügt, heißt hypergeometrisch verteilt.

1. Erwartungswert und Streuung:


(16.65a)

(16.65b)
2. Rekursionsformel:
(16.65c)

In der folgenden Abbildung sind drei hypergeometrische Verteilungen für die Fälle
und

für

dargestellt, was den Fällen

zur Binomialverteilung entspricht.

und

der sich anschließenden Abbidung


In diesen Beispielen sind keine signifikanten Unterschiede zwischen Binomial- und hypergeometrischer Verteilung zu
erkennen.


Stetige Verteilungen
●
●
●
●
●
●
●
●

Normalverteilung
Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral
Logarithmische Normalverteilung
Exponentialverteilung
Weibull-Verteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
Fisher-Verteilung
Student-Verteilung


Verteilung der Stichprobenmittelwerte
Es sei

eine kontinuierliche Zufallsgröße. Der zugehörigen Grundgesamtheit kann man beliebig viele Stichproben

entnehmen. Dann beschreiben die zugehörigen Stichprobenmittelwerte eine neue Zufallsgröße
vom Umfang
die ebenfalls kontinuierlich ist. Für deren statistische Sicherheit und Normalverteilung gelten die im folgenden
dargelegten Aussagen.
●
●

Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes
Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte

,


Student-Verteilung
Ist

eine (

)-normalverteilte Zufallsveränderliche und

-verteilt ist mit

eine von

unabhängige Zufallsveränderliche, die

Freiheitsgraden, so heißt die Verteilung der Zufallsgröße

(16.98)
STUDENT-Verteilung oder

-Verteilung mit

Freiheitsgraden.

1. Verteilungsfunktion und Dichte: Die Verteilungsfunktion wird mit
bezeichnet.

, die zugehörige Dichte mit


(16.99)

2. Erwartungswert und Streuung:
(16.100a)
(16.100b)
3. Quantile: Für die Quantile

bzw.

der

-Verteilung (s. folgende zwei Abbildungen) gilt:
(16.101a)

oder
(16.101b)


Die Quantile der STUDENT-Verteilung sind in der zugehörigen Tabelle zu finden.
Das Einsatzgebiet der STUDENT-Verteilung, die von GOSSET unter dem Pseudonym STUDENT eingeführt wurde, sind
, für die nur Schätzwerte des Erwartungswertes und der Standardabweichung
Stichproben mit geringem Umfang
angegeben werden können. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist in (16.100b) nicht mehr enthalten.


Studentsche t-Verteilung
●
●

Studentsche t-Verteilung, Teil I
Studentsche t-Verteilung, Teil II


Weibull-Verteilung
1. Dichte und Verteilungsfunktion: Die stetige Zufallsgröße
Parametern

und

(

genügt einer WEIBULL-Verteilung mit den

), wenn ihre Dichte durch

(16.83)
und ihre Verteilungsfunktion durch
(16.84)
gegeben sind.
2. Erwartungswert und Streuung:
(16.85)


Mit

wird dabei die Gammafunktion bezeichnet:

(16.86)

In (16.83) ist

der Form- und

Bemerkungen:

der Maßstabsparameter (s. die folgenden zwei Abbildungen):


a) Für

geht die WEIBULL-Verteilung in die Exponentialverteilung mit dem Parameter

über.

b) Die WEIBULL-Verteilung gibt es auch als dreiparametrige Verteilung, wenn zusätzlich der Parameter

als

sogenannter Lageparameter eingeführt wird. Die Verteilungsfunktion lautet dann:
(16.87)
c) Die WEIBULL-Verteilung wird besonders in der Zuverlässigkeitstheorie angewendet, weil sie in sehr flexibler
Weise die Funktionsdauer von Bauteilen oder Baugruppen beschreiben kann.
●

Bemerkungen:


Verteilungsfunktion bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen
1. Diskrete Zufallsgröße: Eine diskrete Zufallsveränderliche

, die die Werte

mit

annimmt, hat die Verteilungsfunktion

den Wahrscheinlichkeiten

(16.43)
2. Kontinuierliche Zufallsgröße: Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
sie einen bestimmten Wert

annimmt, gleich

in einem endlichen Intervall
Läßt sich diese mit Hilfe einer Funktion

. Man betrachtet daher die Wahrscheinlichkeit dafür, daß

liegt.
, der Wahrscheinlichkeitsdichte , in der Form

(16.44)
darstellen, dann spricht man von einer stetigen Verteilungsfunktion


(16.45)
und einer stetigen Zufallsgröße .


Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften
Die Verteilung der Zufallsveränderlichen

wird durch die Verteilungsfunktion beschrieben:
(16.42)

Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße

einen Wert zwischen

und

annimmt. Die

Verteilungsfunktion hat die folgenden Eigenschaften:
1.
.
2.
ist eine nicht fallende Funktion von

.

3.
ist rechtsseitig stetig.
Hinweis: In verschiedenen Darstellungen wird auch, abweichend von der DIN-Vorschrift, die Definition


verwendet.


Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
●
●

Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung
Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung


Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung
Es sei

eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den Parametern

Verteilung der Stichprobenmittelwerte ist dann
Parametern

und

und

. Gemäß Abschnitt

ebenfalls eine kontinuierliche Zufallsgröße, normalverteilt mit den

. Durch die Substitution
(16.119)

erhält man eine Zufallsgröße

, die der normierten Normalverteilung genügt. Für diese gilt
(16.120)

Gibt man jetzt eine Irrtumswahrscheinlichkeit

vor und verlangt
(16.121)


dann kann man

aus (16.120) numerisch bestimmen bzw. aus der Tabelle der normierten
unter Beachtung von (16.119) die Beziehung

Normalverteilung ablesen und erhält aus

(16.122)

Die Werte
bekannter Streuung

in (16.122) heißen Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit

liegt mit der statistischen Sicherheit

. Man kann auch sagen: Der Mittelwert

zwischen den Vertrauensgrenzen (16.122).

Hinweis: Ist der Stichprobenumfang hinreichend groß
Regel unbekannten Streuung

der Grundgesamtheit bei

, dann kann in (16.122) an Stelle der in der

der Grundgesamtheit die Stichprobenstreuung

Anderenfalls müssen die Vertrauensgrenzen mit Hilfe der

verwendet werden.

-Verteilung gemäß (16.125) ermittelt werden.


Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung
Wenn die Streuung

der Grundgesamtheit unbekannt ist, dann ersetzt man sie durch die Stichprobenstreuung

und erhält an Stelle von (16.119) die Zufallsvariable
(16.123)
die der

-Verteilung mit

Freiheitsgraden genügt. Dabei ist

vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit

der Umfang der Stichprobe. Mit einer

gilt dann
(16.124)

Aus (16.124) folgt
Freiheitsgraden) zur Irrtumswahrscheinlichkeit
folgt

, wobei

das Quantil der

-Verteilung (mit

darstellt (Tabelle STUDENT-Verteilung). Aus


(16.125)

Die Werte

heißen Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
und vorgegebener Irrtumswahrscheinlichkeit

unbekannter Streuung

der Grundgesamtheit bei

.

Beispiel
Eine Stichprobe bestehe aus den folgenden 6 Meßwerten: 0,842; 0,846; 0,835; 0,839; 0,843; 0,838. Daraus
erhält man

und

Stichprobenmittelwertes

vom Mittelwert

. Wie groß ist höchstens die Abweichung des
der Grundgesamtheit, wenn eine Irrtumswahrscheinlichkeit

von 5 % bzw. 1 % zugelassen wird?
1.
: Aus der Tabelle

-Verteilung liest man

ab und erhält
, d.h., mit 95 % Wahrscheinlichkeit weicht der

Stichprobenmittelwert

höchstens um

vom Mittelwert

ab.

2.
:

, d.h., mit 99


% Sicherheit weicht

um höchstens

von

ab.


Vertrauensgrenzen für die Streuung
Die Zufallsgröße

sei normalverteilt mit den Parametern

und

. Dann genügt die neue Zufallsgröße
(16.126)

einer

-Verteilung mit

Freiheitsgraden, wobei

Streuung. Aus der folgenden Abbildung, in der

der Umfang einer Stichprobe ist und

die Wahrscheinlichkeitsdichte der

deren

-Verteilung bedeutet,

folgt
(16.127)
d.h., mit den Quantilen der

-Verteilung besteht der Zusammenhang (s. Tabelle

-Verteilung):
(16.128)

Unter Beachtung von (16.126) erhält man damit die folgende Abschätzung für die unbekannte Streuung

der


Grundgesamtheit bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit

:
(16.129)

Das durch (16.129) beschriebene Vertrauensintervall für
sein.

wird bei kleinem Stichprobenumfang noch sehr grob

Beispiel
Für die Zahlenwerte des Beispiels Stichprobe mit 6 Meßwerten und
-Verteilung ab:

und
mit

liest man aus der Tabelle

. Somit folgt aus (16.129):
.


Vervollständigung eines metrischen Raumes
Jeder beliebige, also im allgemeinen nicht vollständige metrische Raum
existiert ein metrischer Raum

kann vervollständigt werden; genauer, es

mit folgenden Eigenschaften:

1.
enthält einen zu

isometrischen Teilraum

.

2.
ist überall dicht in

.

3.
ist ein vollständiger metrischer Raum.
4.
Ist
ein beliebiger metrischer Raum mit den Eigenschaften 1. bis 3., dann sind
und
isometrisch.
Der dadurch bis auf Isometrie eindeutig bestimmte vollständige metrische Raum heißt die Vervollständigung
des Raumes

.


Ebene Vielecke
●
●

Allgemeine Eigenschaften
Regelmäßige Vielecke


Ebene Vierecke
●
●
●
●
●

Parallelogramm
Rechteck und Quadrat
Rhombus
Trapez
Allgemeines Viereck


Wurzelsatz von VIETA
Der Zusammenhang zwischen den

Wurzeln

und den Koeffizienten der Gleichung (1.166a) ist

gegeben durch:

(1.168)


Winkelbezeichnungen
Winkel werden nach dem Richtungsunterschied ihrer Schenkel bezeichnet. Für Winkel

im Intervall

in der Abbildung dargestellten und in der Tabelle angegebenen Bezeichnungen gebräuchlich.

Tabelle Winkelbezeichnungen im Grad- und im Bogenmaß

sind die


Volterrasche Integralgleichungen
●
●
●

●
●

Theoretische Grundlagen
Lösung durch Differentiation
Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art
Volterrasche Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp
Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen
2. Art


Theoretische Grundlagen
●
●
●

Methode der Umwandlung
Umwandlung durch Differentiation
Umwandlung durch partielle Integration


Gradient und Volumenableitung
Jedem Punkt

eines skalaren Feldes

kann der Vektor Gradient

als Volumenableitung des

skalaren Feldes zugeordnet werden:

(13.33)

Dabei ist
das Volumen eines Raumteiles, der den betrachteten Punkt
zur Oberfläche hat.

enthält und die geschlossene Fläche


Volumenelemente
Koordinaten

Volumenelement

Kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten

Beliebige krummlinige Koordinaten

(

Funktionaldeterminante)


Vorwärtseinschneiden ohne Visier
Wenn Punkt

nicht von Punkt

eingesehen werden kann, bestimmt man die Richtungswinkel

über Anschlußrichtungen zu anderen sichtbaren und koordinierten Punkten

und

und


Gegeben:

Gemessen:

in

in

möglichst auch

Gesucht:
Lösung: Zurückführung auf die VES, Berechnung von

, gemäß (3.96a) und:
(3.97a)

(3.97b)


(3.97c)
(3.97d)
(3.97e)
(3.97f)
(3.97g)

(3.97h)

(3.97i)
(3.97j)


Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes
●
●
●
●

Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unabhängige Ereignisse
Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Beispiel für Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem


Definition der Wahrscheinlichkeit
1.
Für jedes Ereignis

gilt:
(16.28)

2.
Für das unmögliche Ereignis

und das sichere Ereignis

gilt
(16.29)

3.
Schließen die Ereignisse

und

einander aus (

), so ist
(16.30)


Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
●
●

Invariantes Maß
Elemente der Ergodentheorie


Unterabschnitte
●
●

Prinzip des Wahrscheinlichkeitspapiers:
Anwendung des Wahrscheinlichkeitspapiers:

Prüfen mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitspapiers
Prinzip des Wahrscheinlichkeitspapiers:
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem ist die

-Achse gleichabständig unterteilt, während die

folgende Skala darstellt: Sie ist gleichabständig bezüglich

-Achse die

unterteilt, wird aber mit
(16.115)


beziffert. Falls eine Zufallsgröße

einer Normalverteilung mit Mittelwert

und Streuung

genügt, dann gilt für

ihre Verteilungsfunktion
(16.116a)
d.h., es muß
(16.116b)
gelten und damit ein linearer Zusammenhang zwischen
man außerdem die folgende Zuordnung ab:

und

bestehen. Aus der Substitution (16.116b) liest

0
1
1

Anwendung des Wahrscheinlichkeitspapiers:
Entnimmt man einer normalverteilten Grundgesamtheit eine Stichprobe, berechnet deren relative
Summationshäufigkeiten gemäß (16.110) und trägt diese in das Wahrscheinlichkeitspapier als Ordinaten zu den
entsprechenden oberen Klassengrenzen als Abszissen ein, dann liegen diese Punkte annähernd (bis auf zufällige


Abweichungen) auf einer Geraden (s. Abbildung).

Aus der Abbildung ist ersichtlich, daß für das zu Grunde liegende Beispiel eine Normalverteilung angenommen
werden kann. Außerdem liest man ab:

Hinweis: Die Werte

der relativen Summenhäufigkeiten lassen sich einfacher in das Wahrscheinlichkeitspapier

eintragen, wenn dessen Bezifferung der Ordinate bezüglich
Ordinaten zur Folge hat.

.

gleichabständig ist, was ungleichabständige


Wahrscheinlichkeitsrechnung
●
●
●
●
●

Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
Zufallsgrößen, Verteilungsfunktionen
Diskrete Verteilungen
Stetige Verteilungen
Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze


WALSH-Funktionen
●
●

Treppenfunktionen
WALSH-Systeme


Lösung der Wärmeleitungsgleichung
Zur Lösung wird die Methode der Variablentrennung verwendet.
Beispiel E: Wärmeleitungsgleichung
(s. auch Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium)
Die Wärmeausbreitung in einem homogenen Stab, dessen eines Ende im Unendlichen liegt, während das
andere unter konstanter Temperatur gehalten wird, beschreibt die lineare partielle Differentialgleichung
zweiter Ordnung vom parabolischen Typ
(9.89a)
die im Gebiet

den Anfangs- und Randbedingungen
(9.89b)

genügt. Dabei soll angenommen werden, daß die Temperatur im Unendlichen Null beträgt. Der Separationsansatz
(9.89c)
eingesetzt in (9.89a), liefert die Beziehung


(9.89d)
wobei der Parameter

in Analogie zu dem Vorgehen in den Beispielen A bis D eingeführt wird. Als Lösung für

erhält man
(9.89e)
Aus der Bedingung, daß die Lösungen für

und

getrennt sein sollen, folgt, daß

ist. Für

ergibt sich mit der Randbedingung
(9.89f)
und somit
(9.89g)
wobei

eine beliebige reelle Zahl sein kann. Die Lösung kann daher in der Form
(9.89h)

angesetzt werden. Aus der Anfangsbedingung

folgt die Gleichung
(9.89i)

die erfüllt ist, wenn für die Konstante


(9.89j)
wie bei der Bestimmung der FOURIER-Koeffizienten gesetzt wird. Einsetzen in in (9.89i) ergibt
(9.89k)
und nach Ersetzen des Produkts der Sinus- durch eine Differenz von Kosinusfunktionen (2.115) und unter Benutzung
von Formel (21.46) in der Tabelle bestimmter Integrale erhält man schließlich

(9.89l)


Unterabschnitte
●
●
●

Problemstellung:
LAPLACE-Transformation:
Rücktransformation:

Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium
Problemstellung:
Die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung mit verschwindendem Störglied und für ein homogenes Medium sei in
der Form
(15.60a)
in dem Grundgebiet

und mit den Anfangs- und Randbedingungen
(15.60b)


gegeben. Die Zeitkoordinate wurde durch die Substitution

ersetzt. Wie die dreidimensionale

Wärmeleitungsgleichung, so ist auch (15.60a) vom parabolischen Typ.

LAPLACE-Transformation:
Die Bildgleichung lautet
(15.61a)

die Randbedingungen sind
(15.61b)
Die Lösung der Bildgleichung lautet dann
(15.61c)

Es ist von Vorteil, zunächst zwei Partikulärlösungen

und

mit der Eigenschaft

(15.62a)


(15.62b)
herzustellen, d.h.

(15.62c)

(15.62d)

Die gesuchte Lösung der Bildgleichung hat dann die Form
(15.63)

Rücktransformation:
Die Rücktransformation ist im Falle

besonders einfach und liefert:
(15.64a)


(15.64b)


Diskrete Wavelet-Transformation
●
●

Schnelle Wavelet-Transformation
Diskrete Haar-Wavelet-Transformation


Diskrete Haar-Wavelet-Transformation
Als Beispiel für eine diskrete Wavelet-Transformation wird die HAAR-Wavelet-Transformation beschrieben: Von
einem Signal sind die Werte

gegeben. Aus diesen werden die Detailwerte
wie folgt berechnet:
(15.154)

Die Werte

werden abgespeichert, während auf die Werte

(15.154) werden die Werte

durch die Werte

die Vorschrift (15.154) angewendet wird, d.h., in

ersetzt. Diese Vorgehensweise wird fortgesetzt, so daß sich aus
(15.155)

schließlich eine Folge von Detailvektoren mit den Komponenten
Informationen über Eigenschaften des Signals.

ergibt. Jeder Detailvektor enthält


Hinweis: Für große Werte von
Transformation (15.151a).

konvergiert die diskrete Wavelet-Transformation gegen die Integral-Wavelet-


Weg eines Punktes
Der Weg eines Punktes, zurückgelegt in der Zeit

bis

, ergibt sich bei zeitabhängiger Geschwindigkeit

zu:

(8.64)


Wellengleichung
Die Ausbreitung von Schwingungen als wellenförmige Erscheinung in einem homogenen Medium wird mit Hilfe der
Wellengleichung
(9.97a)
beschrieben, deren rechte Seite
für die

Variablen

verschwindet, wenn keine Störungskräfte auftreten. Das Symbol
des

-dimensionalen Problems. Der LAPLACE-Operator

steht

ist dann wie folgt

definiert:
(9.97b)
Die Lösung der Wellengleichung ist die Wellenfunktion
Typ.
●
●

Homogenes Problem
Inhomogenes Problem

. Die Differentialgleichung (9.97a) ist vom hyperbolischen


Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
Die Ausbreitung der Wärme in einem homogenen Medium wird durch die lineare partielle Differentialgleichung
zweiter Ordnung vom parabolischen Typ
(9.101a)
beschrieben, wobei

der LAPLACE-Operator ist, hier beschränkt auf maximal drei Ausbreitungsrichtungen

, beschreibbar auch durch den Ortsvektor
besitzt, verschwindet die rechte Seite wegen

. Wenn der Wärmestrom weder Quellen noch Senken
.

Das CAUCHYsche Problem kann folgendermaßen gestellt werden: Es ist eine für
zu suchen, wobei

beschränkte Lösung

sein soll. Die Forderung nach der Beschränktheit sichert gleichzeitig

die Eindeutigkeit der Lösung.
Für die homogene Differentialgleichung mit

erhält man die Wellenfunktion


(9.101b)

Für die inhomogene Differentialgleichung mit

ist auf der rechten Seite dieser Gleichung der folgende

Ausdruck zu addieren:

(9.101c)

Die Aufgabe,

für

zu bestimmen, wenn die Werte von

gegeben sind, kann so nicht gelöst

werden, weil das CAUCHYsche Problem dann nicht mehr korrekt gestellt ist.
Da die Temperatur zur Wärmemenge proportional ist, setzt man oft

(Temperaturfeld) und


(Wärmediffusionskonstante oder Temperaturleitzahl) und erhält
(9.101d)


Unterabschnitte
●
●
●

Problemstellung:
Fourier-Transformation:
Rücktransformation:

Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium
Problemstellung:
Die eindimensionale Wellengleichung mit verschwindendem Störglied und für ein homogenes Medium lautet:
(15.105a)
Wie die dreidimensionale Wellengleichung (9.97a), so ist auch 15.105a eine partielle Differentialgleichung vom
hyperbolischen Typ. Das CAUCHYsche Problem sei durch die Anfangsbedingungen
(15.105b)
korrekt gestellt.

Fourier-Transformation:


Zur Lösung wird die FOURIER-Transformation bezüglich
wird:

durchgeführt, wobei die Zeitkoordinate konstant gehalten
(15.106a)

Daraus ergibt sich:
(15.106b)

(15.106c)
(15.106d)
(15.106e)
Das Ergebnis ist eine gewöhnliche Differentialgleichung für die nun wieder als Veränderliche zu betrachtende
Zeitkoordinate

mit dem Parameter

der Bildfunktion.

Die allgemeine Lösung dieser bekannten Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten lautet
(15.107a)
Mit Hilfe der Anfangsbedingungen
(15.107b)


lassen sich die Konstanten

und

bestimmen:
(15.107c)

Die Lösung ergibt sich zu
(15.107d)

Rücktransformation:
Zur Rücktransformation der Funktion

kann der Verschiebungssatz,
(15.108a)

mit Vorteil eingesetzt werden, woraus sich ergibt
(15.108b)
Die Anwendung der Integrationsregel

(15.108c)


(15.108d)

nach Substitution

und analog

(15.108e)
Die endgültige Lösung im Originalbereich lautet somit
(15.109)


Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten
●
●
●
●
●

Maxima und Minima
Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes
Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion
Bestimmung der globalen Extremwerte
Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion


Winkel
●
●

Winkelbegriff
Winkelbezeichnungen


Winkelbegriff
Ein Winkel ist durch zwei von einem gemeinsamen Punkt
eine Drehung ineinander überführt werden können.

Ist auf dem Strahl

der Punkt

und auf dem Strahl

ausgehende Strahlen

der Punkt

in der Abbildung angegebenen Drehrichtung durch die Symbolik

und

festgelegt, die durch

ausgezeichnet, dann wird der Winkel bei der
oder durch die Symbolik

oder

durch einen griechischen Buchstaben bezeichnet. Der Punkt
wird Scheitelpunkt genannt, die Strahlen
und
heißen Schenkel des Winkels.
In der Mathematik heißt ein Winkel positiv bzw. negativ, wenn die Drehung im Gegenuhrzeigersinn bzw. im


Uhrzeigersinn erfolgt. Es ist also grundsätzlich zwischen dem Winkel

und dem Winkel

unterscheiden. Es gilt
Hinweis: In der Geodäsie wird ein positiver Winkel durch Drehung im Uhrzeigersinn festgelegt.

zu


Wurzeln
Die linke Seite der Gleichung
(1.166a)
wird Polynom

vom Grade

genannt, eine Lösung dieser Gleichung eine Wurzel des Polynoms

eine Wurzel des Polynoms ist, dann ist

Wenn

durch

teilbar. Im allgemeinen Falle gilt
(1.166b)

Dabei ist

ein Polynom vom Grade
teilbar ist, dann wird

ist

eine

gemeinsame Wurzel des Polynoms

Ordnung.

Wenn

durch

-fache Wurzel der Gleichung

aber nicht mehr durch
genannt. In diesem Falle

und seiner Ableitungen bis einschließlich der

-ten


Z-Transformationen
●
●
●

Z-Transformationen, Teil I
Z-Transformationen, Teil II
Z-Transformationen, Teil III


Zahlen
●
●
●

Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Irrationale und transzendente Zahlen
Reelle Zahlen


Imaginäre und komplexe Zahlen
●
●

Imaginäre Einheit
Komplexe Zahlen


Komplexe Zahlen
●
●
●

Imaginäre und komplexe Zahlen
Geometrische Veranschaulichung
Rechnen mit komplexen Zahlen


Konjugiert komplexe Zahlen
Konjugiert komplexe Zahlen werden zwei komplexe Zahlen

und

genannt, wenn ihre Realteile gleich sind, ihre

Imaginärteile sich aber durch das Vorzeichen unterscheiden: Re
Geometrisch interpretiert liegen Punkte, die konjugiert komplexen Zahlen entsprechen, symmetrisch zur reellen
Achse. Die Moduln konjugiert komplexer Zahlen sind einander gleich, während sich ihre Argumente nur durch das
Vorzeichen unterscheiden:
(1.137a)
(1.137b)
An Stelle von

verwendet man auch die Bezeichnung

für die zu

konjugiert komplexe Zahl.


Primzahlen
●
●

Definition und Eigenschaften
Sieb des ERATOSTHENES


Zahlensysteme
●
●

Bildungsgesetz
Konvertierung von Zahlensystemen


Elementare Zahlentheorie
Die elementare Zahlentheorie befaßt sich mit den Teilbarkeitseigenschaften der ganzen Zahlen.
●
●
●
●
●

Teilbarkeit
Lineare Diophantische Gleichungen
Kongruenzen und Restklassen
Sätze von Fermat, Euler und Wilson
Codes


Zinseszinsen
Da ein Kapital nach jeder Zinsperiode um den Betrag der Zinsen wächst, werden die eingegangenen Zinsen in der
jeweils nächsten Zinsperiode mitverzinst. Diese Mitverzinsung heißt Zinseszins .
Bei der Veränderung eines Kapitals durch Zinseszinsen sind verschiedene Fälle zu unterscheiden.
●
●
●

Einmalige Einzahlung
Regelmäßige Einzahlungen
Unterjährige Einzahlungen


Zinseszinsrechnung
●
●

Zinsen
Zinseszinsen


Anwendungen der Z-Transformation
●
●
●

Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
Differenzengleichung zweiter Ordnung (Anfangswertaufgabe)
Differenzengleichung zweiter Ordnung (Randwertaufgabe)


Originalfolge und Bildfunktion
Der Folge

wird die unendliche Reihe

(15.110)
zugeordnet. Falls diese Reihe konvergiert, sagt man, die Folge

ist Z-transformierbar , und schreibt
(15.111)

Man nennt

Originalfolge ,

Bildfunktion . Mit

ist eine komplexe Variable bezeichnet, mit

komplexwertige Funktion.
Beispiel
. Die zugehörige unendliche Reihe lautet

eine


(15.112)

Sie stellt bezüglich

eine geometrische Reihe dar, die für

konvergiert, für

gegen die Reihensumme

aber divergiert. Das bedeutet, die Folge

, d.h. für alle Punkte außerhalb des Einheitskreises

der

-Ebene.

ist Z-transformierbar für


Definition der Z-Transformation
●
●
●

Originalfolge und Bildfunktion
Eigenschaften
Grenzwertsätze


Differentiation und Integration der Bildfunktion
1. Differentiation der Bildfunktion:
(15.126)
Durch wiederholte Anwendung von (15.126) lassen sich auch Ableitungen höherer Ordnung von
2. Integration der Bildfunktion: Unter der Voraussetzung

bestimmen.

gilt

(15.127)


Summation und Differenzenbildung

1. Summation: Für

gilt:

(15.120)
2. Differenzenbildung: Für die Differenzen
(15.121)
gilt die Regel:

(15.122)


Umkehrung der Z-Transformation
Die Umkehrung der Z-Transformation oder kurz Rücktransformation besteht darin, zu einer gegebenen Bildfunktion
die zugehörige, eindeutige Originalfolge

zu finden. Man schreibt dann
(15.132)

Für die Rücktransformation gibt es verschiedene Möglichkeiten.
1. Benutzung von Tabellen: Wenn die Funktion

in der Tabelle explizit nicht vorkommt, kann man

versuchen, durch Umformungen und durch Anwendung der Rechenregeln zu Funktionen zu gelangen, die in
Tabelle Z-Transformationen vorhanden sind.
2. LAURENT-Reihe von

: Wegen der Definition (15.110 gelingt eine Rücktransformation sofort, wenn für

eine Reihenentwicklung in

3. TAYLOR-Reihe von

bekannt ist oder sich leicht ermitteln läßt.

: Da

eine Reihe nach aufsteigenden Potenzen von

ist, ergibt sich


wegen (15.110) nach der TAYLOR-Formel
(15.133)
4. Anwendung eines Grenzwertsatzes: Mit Hilfe der Grenzwerte (15.112) und (15.116) kann man die
Originalfolge

aus ihrer Bildfunktion

unmittelbar bestimmen.

Beispiel
. Es sollen die voranstehenden vier Methoden angewendet werden.

1.
Durch Partialbruchzerlegung von
Tabelle Z-Transformationen enthalten sind.

Daraus folgt

2.

erhält man Funktionen, die in der


Durch Division geht

in die folgende Reihe nach absteigenden Potenzen von

Daraus liest man unmittelbar

über:

ab,

aber man erhält keinen geschlossenen Ausdruck für das allgemeine Glied

.

3.
Zur Bildung von

Partialbruchzerlegung von

und den in (15.133) benötigten Ableitungen geht man zweckmäßigerweise von der

aus und erhält:


Unter Berücksichtigung der Fakultäten in (15.133) ergibt sich
4.
Die Anwendung der Grenzwertsätze unter Beachtung der BERNOULLIschen Regel ergibt:

.


Auf diese Weise läßt sich die Originalfolge

sukzessiv bestimmen.


Translation
Man unterscheidet eine Vorwärts- und eine Rückwärtsverschiebung.
1. Erster Verschiebungssatz:
(15.118)
dabei wird

für

festgelegt.

2. Zweiter Verschiebungssatz:
(15.119)


Zufallsveränderliche
Eine Menge von Elementarereignissen möge sich dadurch beschreiben lassen, daß eine Größe
Zufallsbedingungen Werte

aus einem reellen Bereich

gewissen Versuches soll durch eine reelle Zahl
dieses Versuches durch die Variable
Besteht

unter

annehmen kann. D.h., jedes zufällige Ereignis eines

charakterisiert werden. Dann werden alle zufälligen Ereignisse

beschrieben, die Zufallsgröße oder Zufallsveränderliche genannt wird.

aus endlich oder abzählbar unendlich vielen Werten, dann spricht man von einer diskreten Zufallsgröße ;

aus der ganzen reellen Zahlengeraden oder aus Teilintervallen, dann spricht man von einer
besteht
kontinuierlichen Zufallsgröße .
Beispiel A
Ordnet man im Beispiel A den Ereignissen
ist damit eine diskrete Zufallsgröße
Beispiel B

definiert.

bzw.

die Werte 1, 2, 3 bzw. 4 zu, so


Die Brenndauer

einer aus einem Produktionsvorrat willkürlich herausgegriffenen Glühlampe ist eine

kontinuierliche Zufallsveränderliche. Das Elementarereignis
gleich der Zeit

ist.

tritt ein, wenn die Brenndauer


Zufallsvektor
Eine Zufallsgröße
wird durch ihre Verteilungsfunktion und deren Parameter charakterisiert, wobei die
Verteilungsfunktion ihrerseits durch die Eigenschaften der Grundgesamtheit bestimmt ist. Diese sind aber bei Beginn
einer statistischen Untersuchung nicht bekannt, so daß man möglichst viele Informationen mit Hilfe von Stichproben
gewinnen muß. In der Regel wird man sich nicht auf eine Stichprobe beschränken, sondern mehrere Stichproben,
, untersuchen. Dabei zeigt sich, daß die Realisierungen von Stichprobe zu
praktischerweise vom gleichen Umfang
Stichprobe unterschiedlich ausfallen, d.h. der 1. Wert der 1. Stichprobe von 1. Wert der 2. Stichprobe verschieden
sein wird usw. Damit ist die Variable 1. Wert der Stichprobe ebenfalls eine Zufallsgröße, die mit
Analog kann man für den

-ten Stichprobenwert die Zufallsgröße

bezeichnet wird.
einführen, die

man auch Stichprobenvariable nennt. Zusammengefaßt erhält man den Zufallsvektor

Jede konkrete Stichprobe vom Umfang
kann als Vektor

mit den Elementen

, die einer Grundgesamtheit entnommen wurden,


zusammengefaßt und als eine Realisierung des Zufallsvektors angesehen werden.


Tabelle von Zufallszahlen
1. Erzeugung: Eine Tabelle von Zufallszahlen könnte man auf folgende Weise erzeugen: Auf zehn gleichen
Chips sei jeweils eine der zehn Ziffern

eingeprägt. Diese zehn Chips werden in einem Gefäß

gut gemischt. Danach wird ein Chip gezogen und seine Ziffer in einer Tabelle festgehalten. Der Chip wird
wieder in das Gefäß zurückgelegt. Es wird erneut gemischt und die Ziehung wiederholt. Auf diese Weise
entsteht eine Reihe von Zufallszahlen, die aus Gründen der Übersichtlichkeit z.B. in Gruppen zu je vier
zusammengfaßt werden (s. Tabelle Zufallszahlen).
Die Verfahren, nach denen Zufallszahlen aufgestellt werden, müssen sichern, daß die Ziffern
an jeder Stelle der vierstelligen Zahlen gleichwahrscheinlich sind.
2. Anwendung: Die Anwendung einer Tabelle von Zufallszahlen soll an einem Beispiel demonstriert werden.
Untersuchungsobjekten sollen
zufällig ausgewählt werden. Dazu werden die
Von
Objekte von 000 bis 249 durchnumeriert. In der Tabelle Zufallszahlen wird willkührlich in irgend einer Spalte
oder Zeile eine Zahl ausgewählt und eine Vorschrift festgelegt, nach der die Auswahl der übrigen 19
Zufallszahlen erfolgen soll, z.B. vertikal, horizontal oder diagonal. Von den Zufallszahlen werden nur die ersten
drei Ziffern berücksichtigt. Von den so entstehenden 3-stelligen Zufallszahlen werden nur die verwendet, die
kleiner als 250 sind.


Zufallszahlen
Wegen der Bedeutung der Zufallszahlen s. Abschnitt Monte-Carlo-Methode


Zufallszahlen mit anderen Verteilungen
Zur Erzeugung von Zufallszahlen mit einer beliebigen Verteilungsfunktion
Ausgangspunkt ist eine Folge gleichverteilter Zufallszahlen
für

. Dabei ist

geht man wie folgt vor:

. Aus ihnen berechnet man die Zahlen
die Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion

.

Dann gilt:
(16.154)

d.h., die Zufallszahlen
monoton sein muß.

genügen einer Verteilung mit der Verteilungsfunktion

, die stetig und


Zugehörigkeitsfunktionen
Die Zugehörigkeitsfunktionen werden durch Graphen mit Werten zwischen 0 und 1 modelliert. Mit ihrer Hilfe kann
eine graduelle Zugehörigkeit zu einer Menge dargestellt werden.
●
●

Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen


Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen
In Analogie zu den trapezförmigen Zugehörigkeitsfunktionen, die sich durch einen diskontinuierlichen Verlauf
auszeichnen, finden auch glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen mit kontinuierlichem Kurvenverlauf Anwendung.
Resümee: Als Resümee der zu betrachtenden Beispiele ergibt sich, daß unscharfe und unpräzise Informationen
durch Fuzzy-Mengen beschrieben und durch Zugehörigkeitsfunktionen

visualisiert werden können.

Sprachliche Aussagen wie WENN-DANN-Regeln werden dann zu Berechnungsverfahren.
Beispiel A


Eine Klasse glockenförmiger, differenzierbarer Zugehörigkeitsfunktionen erhält man mit Hilfe von
der Art

Funktionen

(5.250)

wenn

geeignet wählt wird.

Für

und z.B.

bzw.

oder

erhält man mit dem

Normierungsfaktor

die in der folgenden Abbildung dargestellten Zugehörigkeitsfunktionen

unterschiedlicher Breite einer symmetrischen Kurvenschar. Mit dem Wert

ergibt sich die äußere, mit

die innere Kurve.


Asymmetrische Zugehörigkeitsfunktionen in
für
Faktor

wie sie die folgende Abbildung zeigt, erhält man beispielsweise

oder

mit geeigneten Normierungsfaktoren. Der

im ersten Polynom bewirkt eine Verschiebung des Maximums nach links und liefert eine

asymmetrische Kurvenform. Entsprechend bewirkt der Faktor
nach rechts mit asymmetrischer Form.

im zweiten Polynom eine Verschiebung


Beispiel B


Beispiele für eine noch flexiblere Klasse von Zugehörigkeitsfunktionen erhält man durch eine
Transformation

in

gemäß

(5.251)

wobei für

die bereits bei den glockenförmigen Zugehörigkeitsfunktionen benutzte Funktion

(5.250) mit
d.h. ist

verwendet werden kann. Ist

unendlich differenzierbar im Intervall

, so ist auch

eine glatte Transformation in [a,b],
glatt, weil

daß steigend oder fallend und glatt ist, dann liefert die Transformation
einer Zugehörigkeitsfunktion zu verändern.

glatt ist. Verlangt man,

Möglichkeiten, die Kurvenform

In der Praxis sind Polynome für die Transformation gut geeignet. Im Intervall

ist das


einfachste Polynom die Identität

.

Das nächst einfache Polynom mit den angegebenen Eigenschaften ist
mit einer Konstanten

. Mit der Wahl
. Wählt man für

für maximale Krümmung des Polynoms ergibt sich
Identitätsfunktion, d.h.

so kann man zusammen mit

rekursiv durch

die
für

weitere Polynome berechnen.

Setzt man für die Transformation

in

(5.251) die entsprechenden Transformationspolynome

ein, so erhält man eine Folge glatter Funktionen
Konstruktion von Zugehörigkeitsfunktionen
Geraden konvergiert. Mit Hilfe der Funktion

und

(linke Abbildung), die zur

verwendet werden können, wobei

zu einer

sowie ihrer gespiegelten Form und einer waagerechten

Geraden kann eine trapezförmige Zugehörigkeitsfunktion differenzierbar approximiert werden (rechte
Abbildung).


Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
Weit verbreitet sind trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen. Die folgenden Beispiele für bereichsweise stetig
differenzierbare Zugehörigkeitsfunktionen und Spezialfälle davon, wie beispielsweise dreieckförmige
Zugehörigkeitsfunktionen, sind oft verwendete Funktionsgraphen. Mit stetigen bzw. bereichsweise stetigen
Funktionsgraphen als Repräsentanten fuzzy-wertiger Größen, die miteinander verknüpft werden sollen, erhält man im
allgemeinen glattere Ergebnisfunktionen für die Ausgabegröße.
Beispiel A
Die folgende, sich nach oben trapezförmig verjüngende Zugehörigkeitsfunktion, ergibt die darunter gezeigte
Form des Graphen.


(5.247)


Für

und

geht dieser Graph in den einer Dreieckfunktion über. Je nach
erhält man symmetrische oder asymmetrische Trapez-und

Wahl unterschiedlicher Werte
symmetrische Dreieckfunktionen
Dreieckfunktionen

Beispiel B

und
und

oder asymmetrische


Die folgende, sich nach unten trapezförmig verjüngende Zugehörigkeitsfunktion, ergibt die dazu gezeigte
Form des Graphen.

(5.248)


Beispiel C


Die folgende verallgemeinerte Trapezfunktion ergibt die dazu gezeigte Zugehörigkeitsfunktion.

(5.249)


Doppelintegral
●

Begriff des Doppelintegrals
Berechnung des Doppelintegrals

●

Ebene Flächenelemente in der

●

Anwendungen von Doppelintegralen

●

-Ebene


Zwischenwertsatz
Wenn eine Funktion

in einem zusammenhängenden Gebiet definiert und stetig ist und in zwei Punkten

dieses Gebietes, wobei

ist, verschiedene Werte

und

und

annimmt, d.h.
(2.34a)

dann existiert zu jeder zwischen

und

gelegenen Zahl

wenigstens ein Punkt

zwischen

und

, für den

(2.34b)
gilt. Anders ausgedrückt: Die Funktion

nimmt jeden Wert zwischen

und

wenigstens einmal an.


Zwischenwertsatz
Wenn eine Funktion

in einem Gebiet definiert und stetig ist und wenn sie in zwei Punkten

verschiedene Werte
die zwischen

und

liegt, einen Punkt

und

und

annimmt, dann gibt es für jede Zahl

derart, daß gilt:
(2.278)


Gewöhnliche Zykloide
Gewöhnliche Zykloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, der
auf einer Geraden abrollt, ohne zu gleiten.

Die Gleichung der gewöhnlichen Zykloide lautet in Parameterform
(2.232a)
wobei

der Radius des Kreises und

der Wälzwinkel

sind, und in kartesischen Koordinaten


(2.232b)
Die Kurve ist periodisch mit der Periode ( Basis der Zykloide )
, die Scheitelpunkte

Die Rückkehrpunkte liegen bei 0,

Die Länge des Bogens

ist

bei

die Länge eines Zweiges

Der Flächeninhalt beträgt
Der Krümmungsradius ist

in den Scheiteln

Die Evolute einer Zykloide ist eine kongruente Zykloide ; sie ist in der Abbildung grün gezeichnet.


Zylinder
1. Elliptischer Zylinder: (linke Abbildung)
(3.419)
2. Hyperbolische Zylinder: (untere Abbildung)
(3.420)
3. Parabolische Zylinder: (rechte Abbildung)
(3.421)


Zylinderabschnitt, auch Zylinderhuf

Mit den Bezeichnungen in der Abbildung sowie

in rad gilt:

(3.131)


(3.132)

wobei die Formeln auch im Falle

ihre Gültigkeit behalten.


Bahnen in gerichteten Graphen
●
●
●

Bogenfolgen
Zusammenhängende und stark zusammenhängende Graphen
Algorithmus von DANTZIG


Kapitel 5:

Algebra und Diskrete Mathematik

●

Logik
Mengenlehre
Klassische algebraische Strukturen
Elementare Zahlentheorie
Kryptologie
Universelle Algebra
Boolesche Algebren und Schaltalgebra
Algorithmen der Graphentheorie
Fuzzy-Logik

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●
●
●
●
●


Generische Eigenschaften
●
●
●

Definition
Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme


Kapitel 17:

Dynamische Systeme und Chaos

●

Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen
Quantitative Beschreibung von Attraktoren
Bifurkationstheorie, Wege zum Chaos

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●


Dynamische Systeme und Chaos
17.1
AFRAIMOVICH, V.S.; GAVRILOV, N.K.; LUKYANOV, V.I.; SHILNIKOV, L.P.: Grundlegende Bifurkationen
dynamischer Systeme (in Russisch). -- Universitätsverlag Gorki 1985.
17.2
ARGYRIS, J.; FAUST, G.; HAASE, M.: Die Erforschung des Chaos. -- Verlag Vieweg 1994.
17.3
ARROWSMITH, D.K.; PLACE, C.M.: An introduction to Dynamical Systems. -- Cambridge University Press 1990.
17.4
BELYKH, V.N.: Qualitative Methoden der Theorie nichtlinearer Schwingungen von konzentrierten Systemen. -Universitätsverlag Gorki 1980.
17.5
BOTHE, H.G.; SCHMELING, J.; SIEGMUND-SCHULTZE, R.: Studie zur Dynamik differenzierbarer Abbildungen. -Weierstrass- Institut Berlin 1989.
17.6


BRÖCKER, TH.: Analysis III. -- Wissenschaftsverlag Zürich 1992.
17.7
DE MALO, W.; VAN STRIEN, S.: One-Dimensional Dynamics. -- Springer-Verlag 1993
17.8
EDGAR, G.A.: Measure, Topology and Fractal Geometry. -- Springer-Verlag 1990.
17.9
FALCONER, K.: Fractal Geometry. -- Wiley 1990.
17.10
GREBOGI, C.; OTT, E.; PELIKAN, S.; YORKE, J.A.: Strange attractors that are not chaotic. -- Physica 13 D 1984.
17.11
GUCKENHEIMER, J.; HOLMES, P.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. -Springer-Verlag 1990.
17.12
HALE, J.; KOSCAK, H.: Dynamics and Bifurcations. -- Springer-Verlag 1991.
17.13
KIRCHGRABER, U.: Chaotisches Verhalten in einfachen Systemen. -- Elemente der Mathematik 1992.
17.14
LEONOV, G.A., REITMANN, V.: Attraktoreingrenzung für nichtlineare Systeme. -- B. G. Teubner 1992.


17.15
LEONOV, G.A., REITMANN, V.; SMIRNOVA, V.B.: Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems -- B.
G. Teubner 1987.
17.16
LEVEN, R.W.; KOCH, B.-P.; POMPE, B.: Chaos in dissipativen Systemen. -- Akademie-Verlag 1994.
17.17
MAREK, M.; SCHREIBER, I.: Chaotic Behaviour of Deterministic Dissipative Systems. -- Cambridge University
Press 1991.
17.18
MEDVED', M.: Fundamentals of Dynamical Systems and Bifurcations Theory. -- Adam Hilger 1992.
17.19
PERKO, L.: Differential Equations and Dynamical Systems. -- Springer-Verlag 1991.
17.20
PILYUGIN, S. YU.: Einführung in robuste Systeme von Differentialgleichungen. -- Universitätsverlag Leningrad
1988.
17.21
RABINOVICH, M. I.; TRUBEZKOV, D. I.: Einführung in die Theorie der Schwingungen und Wellen. -- Nauka
Moskau 1984.


Allgemeine Verfahren
Alle im Abschnitt Iterationsverfahren angegebenen Verfahren sind zur Bestimmung reeller Wurzeln von
Polynomgleichungen anwendbar. Das NEWTON-Verfahren ist bei Polynomgleichungen besonders geeignet, da es
rasch konvergiert und die benötigten Werte
werden können. Ist der Näherungswert

und
für eine Nullstelle

ziemlich genau, dann kann die Korrekturgröße

mit Hilfe des HORNER-Schemas schnell berechnet
der Polynomgleichung

schon

mit Hilfe der Fixpunktgleichung
(19.22)

iterativ verbessert werden.


Numerische Mathematik
19.1
CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P.: Numerical Methods for Engineers. -- McGraw-Hill Book Co. 1989.
19.2
COLLATZ, L.: Numerical Treatment of Differential Equations. -- Springer 1966.
19.3
DAVIS, P.J.; RABINOWITZ, P: Methods of numerical integration. -- Academic Press 1984.
19.4
DE BOOR, C.: A practical guide to splines. -- Springer-Verlag 1978.
19.5
ENGELN-MÜLLGES, G.; REUTTER, F.: Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit FORTRAN 77Programmen. -- Bibliographisches Institut 1988.
19.6
ENGELN-MÜLLGES, G.; REUTTER, F.: Numerische Mathematik für Ingenieure. -- Bibliographisches Institut 1987.


19.7
ENGELN-MÜLLGES, G.; REUTTER, F.: Numerik-Algorithmen. Entscheidungshilfe zur zur Auswahl und Nutzung. -VDI-Verlag, Düsseldorf 1996.
19.8
GOLUB, G., ORTEGA, J.M.: Scientific Computing. -- B. G. Teubner 1996.
19.9
GROSSMANN, CH.; ROOS, H.-G.: Numerik partieller Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner 1992.
19.10
HÄMMERLIN, G.; HOFFMANN, K.-H.: Numerische Mathematik. -- Springer-Verlag, 4. Auflage 1994.
19.11
HEITZINGER, W.; TROCH, I.; VALENTIN, G.: Praxis nichtlinearer Gleichungen. -- C. Hanser Verlag 1984.
19.12
KIEBASI´NSKI, A.; SCHWETLICK, H.: Numerische lineare Algebra. Eine computerorientierte Einführung. -Verlag H. Deutsch 1988.
19.13
KNOTHE, K.; WESSELS, H.: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. -- Springer-Verlag 1992.
19.14
LANCASTER, P; SALKAUSKA, S.K.: Curve and Surface Fitting. -- Academic Press 1986.
19.15


LOCHER, F.: Numerische Mathematik für Informatiker. -- Springer-Verlag 1992.
19.16
MAESS, G.: Vorlesungen über numerische Mathematik, Bd. 1 u. 2. -- Akademie-Verlag 1984-1988.
19.17
MEINARDUS, G.: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. -- Springer-Verlag 1964.
19.178
MEINARDUS, G.; MERZ, G.: Praktische Mathematik. Für Ingenieure, Mathematiker und Physiker, Bd. 1 u. 2. -Bibliographisches Institut 1979-82.
19.19
MEIS, T.; MARKOWITZ, U.: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. -- Springer-Verlag 1978.
19.20
MÜHLIG, H.; STEFAN, F.: Approximation von Flächen mit Hilfe von B-Splines. -- Wiss. Z. TU Dresden 1991.
19.21
MULANSKY, B.: Glättung mittels zweidimensionaler Tensorprodukt-Spline-Funktionen. -- Wiss. Z. TU Dresden
1990.
19.22
MYSCHKIS, A.D.: Angewandte Mathematik für Physiker und Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1981.
19.23
REINSCH, CHR.: Smoothing by Spline Functions. -- Numer. Math. 1967.


19.24
SAMARSKII, A.A.: Theorie der Differenzenverfahren. -- Akademische Verlagsgesellschaft 1984.
19.25
SCHWARZ, H.R.: Methode der finiten Elemente. -- B. G. Teubner 1984.
19.26
SCHWARZ, H.R.: Numerische Mathematik. -- B. G. Teubner 1986.
19.27
SCHWETLICK, H.; KRETZSCHMAR, H.: Numerische Verfahren für Naturwissenschaftler und Ingenieure. -Fachbuchverlag 1991.
19.28
SPÄTH, H.: Spline-Algorithmen zur Konstruktion glatter Kurven und Flächen. -- Oldenbourg-Verlag 1983.
19.29
STOER, J.; BULIRSCH, R.: Numerische Mathematik, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1989-90.
19.30
STROUD, A.H.: Approximate calculation of multiple integrals. -- Prentice Hall 1971.
19.31
STUMMEL, F.; HAINER, K.: Praktische Mathematik. -- B. G. Teubner.
19.32
TÖRNIG, W.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1990.


19.33
ÜBERHUBER, C.: Computer-Numerik 1, Computer-Numerik 2. -- Springer-Verlag 1995
19.34
WELLER, F.: Numerische Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. -- Verlag Vieweg 1995.
19.35
WERNER, J.: Numerische Mathematik, Bd. 1 u. 2. -- Verlag Vieweg 1992.
19.36
WILLERS, F.A.: Mathematische Maschinen und Instrumente. -- Akademie-Verlag 1951.
19.37
WILLERS, F.A.: Methoden der praktischen Analysis. -- Akademie-Verlag 1951.
19.38
ZURMÜHL, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. -- Springer-Verlag 1984.


Normierte Räume
●
●
●
●

Begriff des normierten Raumes
Banach-Räume
Geordnete normierte Räume
Normierte Algebren


Kapitel 12:

Funktionalanalysis

1. Begriff der Funktionalanalysis Die Funktionalanalysis entstand, als man erkannte, daß viele Probleme aus
verschiedenen Disziplinen, z.B. aus den Natur- und Technikwissenschaften und aus der Ökonomie,
gemeinsame Strukturen aufweisen. Man entdeckte allgemeingültige Prinzipien, die in enger Wechselwirkung
mit der mathematischen Analysis, der linearen Algebra, der Geometrie sowie anderer Gebiete der Mathematik
entstanden und entwickelte eine einheitliche Begriffswelt.
2. Unendlichdimensionale Räume Viele Probleme, deren mathematische Formulierung auf unendliche
Gleichungs- und Ungleichungssysteme, Differential- oder Integralgleichungen, Approximations-, Variationsund Optimierungsprobleme u.a. führt, sprengen den viel zu engen Rahmen des endlichdimensionalen Raumes
und verlangen als natürliche Grundlage einen unendlichdimensionalen Raum, in dem sie im allgemeinen mit
Hilfe einer Operatorenbeziehung formuliert, untersucht und gelöst werden können.
3. Lineare und nichtlineare Operatoren Waren es am Anfang der Formierung der Funktionalanalysis - etwa
in der ersten Hälfte dieses Jahrhunderts - vorwiegend lineare oder linearisierte Probleme, die die Entwicklung
einer Theorie linearer Operatoren motivierten, so bestimmen in den letzten Jahrzehnten, hauptsächlich aus
den Erfordernissen praktischer Anwendungen der Funktionalanalysis resultierend, auch immer mehr
nichtlineare Phänomene und ihr Zusammenspiel mit den gut entwickelten linearen Methoden das aktuelle Bild
der Funktionalanalysis, was zur Herausbildung der Theorie nichtlinearer Operatoren führte. Charakteristisch ist
eine zunehmende Orientierung auf Anwendungen bei der Lösung von Differentialgleichungen, bei den
numerischen Methoden, in der Optimierung usw., wodurch Denkweisen und Methoden der Funktionalanalysis
für Ingenieure und andere Anwender unverzichtbar werden.
4. Grundstrukturen: Im vorliegenden Kapitel können nur die Grundstrukturen umrissen werden: die


gebräuchlichsten Typen von Räumen und einige Klassen von Operatoren in diesen Räumen. Die abstrakte
Begriffswelt wird an einigen Beispielen erläutert, die auch in anderen Kapiteln, teilweise eigenständig, erörtert
worden sind, deren Lösbarkeit oder Eindeutigkeit der Lösung dort aber nur postuliert oder im Einzelfalle
speziell gezeigt werden konnte. Es wird ersichtlich, daß die Funktionalanalysis für derartige und weitere
Fragestellungen aus ihrem abstrakten Verständnis heraus eine ganze Reihe von allgemeinen
Zusammenhängen in der Form mathematischer Sätze zur Verfügung stellt, die den Anwender in die Lage
versetzen, die Lösung konkreter Probleme in Angriff zu nehmen.

●

Vektorräume
Metrische Räume
Normierte Räume
Hilbert-Räume
Stetige lineare Operatoren und Funktionale
Adjungierte Operatoren in normierten Räumen
Kompakte Mengen und kompakte Operatoren
Nichtlineare Operatoren
Maß und Lebesgue-Integral

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●
●
●
●
●


Beispiele von Banach-Räumen
Beispiel A

(12.87a)
Die so entstehenden normierten Räume auf ein und demselben Vektorraum
und nennt sie für
von

im Falle von

bezeichnet man oft mit
euklidische und im Falle

unitäre Räume .

Beispiel B
(12.87b)


Beispiel C
(12.87c)
Beispiel D
(12.87d)

Beispiel E
(12.87e)

Beispiel F

(12.87f)

Beispiel G


(12.87g)


Funktionalanalysis
12.1
ACHIESER, N.I.; GLASMANN, I.M.: Theorie der linearen Operatoren im HILBERT-Raum. -- Berlin 1975.
12.2
ALIPRANTIS, C.D.; BURKINSHAW, O.: Positive Operators. -- Academic Press Inc., Orlando 1985.
12.3
ALIPRANTIS, C.D.; BORDER, K.C.; LUXEMBURG, W.A.J.: Positive Operators, Riesz Spaces and Economics. -Springer-Verlag 1991.
12.4
ALT, H.W.: Lineare Funktionalanalysis -- Eine anwendungdorientierte Einführung. -- Springer-Verlag 1976.
12.5
BALAKRISHNAN, A.V.: Applied Functional Analysis. -- Springer-Verlag 1976.
12.6
BAUER, H.: Maß- und Integrationstheorie. -- Verlag W. de Gruyter 1990.


12.7
BRONSTEIN, I.N.; SEMENDAJEW, K.A.: Ergänzende Kapitel zum Taschenbuch der Mathematik. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig 1970; Verlag H. Deutsch 1990.
12.8
COLLATZ, L.: Funktionalanalysis und Numerische Mathematik. -- Springer-Verlag 1964.
12.9
DUNFORD, N.; SCHWARTZ, J.T.: Linear Operators Teil I bis III. -- Intersciences Publishers New York, London
1958, 1963, 1971.
12.10
EDWARDS, R.E.: Functional Analysis. -- Holt, Rinehart and Winston, New York 1965.
12.11
GAJEWSKI, H.; GRÖGER, K.; ZACHARIAS, K.: Nichtlineare Operatorengleichungen und
Operatordifferentialgleichungen. -- Akademie-Verlag 1974.
12.12
GÖPFERT, A.; RIEDRICH, T.: Funktionalanalysis. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 22), 1980; Verlag
H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 22), 1980.
12.13
HALMOS, P.R.: A HILBERT Space Problem Book. -- Van Nostrand Comp. Princeton 1967.
12.14
HEUSER, H.: Funktionalanalysis. -- B. G. Teubner 1986.


12.15
HUTSON, V.C.L.; PYM, J.S.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory. -- Academic Press,
London 1980.
12.16
HEWITT, E.; STROMBERG, K.: Real and Abstract Analysis. -- Springer-Verlag 1965
12.17
JOSHI, M.C.; BOSE, R.K.: Some Topics in Nonlinear Functional Analysis. -- Wiley Eastern Limited, New Delhi
1985.
12.18
KANTOROWITSCH, L.V.; AKILOW, G.P.: Funktionalanalysis (in Russisch) -- Nauka, Moskau 1977.
12.19
KOLMOGOROW, A.N.; FOMIN, S.W.: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. -- Akademie-Verlag 1975.
12.20
KRASNOSEL'SKIJ, M.A.; LIFSHITZ, J.A., SOBOLEV, A.V.: Positive Linear Systems. -- Heldermann Verlag Berlin
1989.
12.21
LJUSTERNIK, L.A.; SOBOLEW, W.I.: Elemente der Funktionalanalysis. -- Akademie-Verlag, 4. Auflage 1968,
Nachdruck: Verlag H. Deutsch 1975.
12.22
MEYER-NIEBERG, P.: Banach Lattices. -- Springer-Verlag 1991.


12.23
NEUMARK, M.A.: Normierte Algebren. -- Berlin 1959.
12.24
RUDIN, W.: Functional Analysis. -- McGraw-Hill, New York 1973.
12.25
SCHAEFER, H.H.: Topological Vector Spaces. -- Macmillan, New York 1966.
12.26
SCHAEFER, H.H.: Banach Lattices and Positive Operators. -- Springer-Verlag 1974.
12.27
TRENOGIN, W.A.: Funktionalanalysis (in Russisch). -- Nauka, Moskau 1980.
12.28
YOSIDA, K.: Functional Analysis. -- Springer-Verlag 1965.


Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
●
●
●

JACOBI-Verfahren
GAUSS-SEIDEL-Verfahren
Relaxationsverfahren


Orthogonalisierungsverfahren
●
●

Lineare Ausgleichsaufgaben
Orthogonalisierungsverfahren


Lineare Unabhängigkeit
Eine endliche Teilmenge

eines Vektorraums

heißt linear unabhängig , wenn aus
(12.14)

folgt. Anderenfalls heißt sie linear abhängig . Hat man
Vektoren aus
von

und

, dann ist aufgrund der Vektorraumaxiome

. lineare Unabhängigkeit der Vektoren

beliebige
trivialerweise das Nullelement

bedeutet die Darstellung des Nullelements

ausschließlich nur mit

. Dieser wichtige Begriff der linearen

Abhängigkeit ist aus der Linearen Algebra gut bekannt und diente bereits zur Definition eines Fundamentalsystems
von Lösungen für homogene Differentialgleichungen. Eine unendliche Teilmenge
wenn jede endliche Teilmenge von
Beispiel

linear unabhängig ist. Anderenfalls heißt

heißt linear unabhängig ,
wieder linear abhängig .


Bezeichnet man mit
gleich

ist, dann liegt

die Folge, deren Glieder bis auf das
im Raum

-te alle gleich

sind und das

und demzufolge in jedem Folgenraum. Die Menge

ist linear unabhängig in allen diesen Räumen. Im Raum

ist z.B. das

Funktionensystem

linear unabhängig, wohingegen die Funktionen
(s. trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache).

linear abhängig sind

-te Glied


Kovariante und kontravariante Basisvektoren
●
●

Kovariante Basis
Kontravariante Basis


Kapitel 4:

Lineare Algebra

●

Matrizen
Determinanten
Tensoren
Lineare Gleichungssysteme
Eigenwertaufgaben bei Matrizen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●


Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
●
●
●

Potenzen
Wurzeln
Logarithmen


Kapitel 1:

Arithmetik

●

Elementare Rechenregeln
Endliche Reihen
Finanzmathematik
Ungleichungen
Komplexe Zahlen
Algebraische und transzendente Gleichungen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●
●


Einige Eigenschaften der Logarithmen
1. Jede positive Zahl besitzt für jede beliebige positive Basis ihren Logarithmus, ausgenommen zur Basis
2. Logarithmen einer gemeinsamen Basis

unterliegen den folgenden Rechenregeln:
(1.19a)

(1.19b)
Um nach diesen Regeln Summen und Differenzen zu logarithmieren, sind diese vorher, falls möglich, in Produkte
oder Quotienten umzuwandeln.
Beispiel


Logarithmieren des Ausdrucks

:

Oft wird die inverse Umformung benötigt, d.h. die Darstellung eines Ausdrucks mit einigen Logarithmen
verschiedener Größen in den Logarithmus eines einzigen Ausdrucks.
Beispiel

3. Logarithmen verschiedener Basis sind zueinander proportional, so daß sich die Logarithmen zu einer Basis
über die Logarithmen zur Basis

berechnen lassen:
(1.20)

Man nennt

auch den Transformationsmodul.


Definitionen
Potenzen sind gemäß der folgenden Tabelle definiert.
Basis

Exponent

Potenz

beliebig reell,

rational:

positiv reell

(

,

ganz,

)

(

-te Wurzel aus

hoch

)


irrational:

positiv


Rechenregeln
Für die Potenzen gelten bei Beachtung der Definitionsbereiche für Basis und Exponent die folgenden Rechenregeln:
(1.12)

(1.13)

(1.14)
(1.15)
Dabei ist

der natürliche Logarithmus von

Eine spezielle Potenz ist

und

seine Basis.


(1.16)
Man beachte besonders:

für


Untergruppen und direkte Produkte
●
●
●

Untergruppen
Normalteiler
Direkte Produkte


Bäume
●
●
●
●

Bäume
Wurzelbäume
Reguläre binäre Bäume
Geordnete binäre Bäume


Gerüste
●
●
●

Gerüste, Satz von CAYLEY
Matrix-Gerüst-Satz
Minimalgerüste


Beispiel für Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Beispiel
Von 3 gleichartigen Maschinen eines Betriebes produziert die erste 20 %, die zweite 30 % und die dritte 50
% der Gesamtproduktion. Dabei verursacht die erste 5 %, die zweite 4 % und die dritte 2 % Ausschuß ihrer
eigenen Produktion. Zwei typische Fragen der Qualitätskontrolle sind dann:
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig dem Lager entnommenes Stück Ausschuß?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein zufällig gefundenes Ausschußstück z.B. von der
ersten Maschine produziert wurde?
Man wählt folgende Bezeichnungen:

●

: Produkt der

-ten Maschine (

) mit
.

●

.


●

●

: Ausschußstück aus der gesamten Produktion.
: Ausschußwahrscheinlichkeit der ersten Maschine =
und

; analog gilt

.

Damit können die gestellten Fragen wie folgt beantwortet werden:
a)

.
b)
.


Beispiele nichtlinearer Operatoren
Für nichtlineare Operatoren gilt der für den linearen Fall erwähnte Zusammenhang zwischen Stetigkeit und
Beschränktheit im allgemeinen nicht mehr.
Bei der Behandlung nichtlinearer Operatorengleichungen, z.B. nichtlinearer Randwertprobleme oder
Integralgleichungen, treten häufig die in den folgenden Abschnitten aufgeführten nichtlinearen Operatoren auf.
●
●
●

Nemytskij-Operator
Hammerstein-Operator
URYSOHN-Operator


Asymptotisches Verhalten der FOURIER-Koeffizienten
Wenn eine periodische Funktion
auch die Ausdrücke

mit ihren Ableitungen bis zur
und

gegen Null.

-ten Ordnung stetig ist, dann streben für


Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen
●
●
●
●

Mittlerer quadratischer Fehler einer Funktion
Konvergenz einer Funktion im Mittel
DIRICHLETsche Bedingungen
Asymptotisches Verhalten der FOURIER-Koeffizienten


Kapitel 18:

Optimierung

●

Lineare Optimierung
Nichtlineare Optimierung
Diskrete dynamische Optimierung

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●


Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
1.
folgt

Aus

(16.31)
2.
und
(16.32)
3.
Für endlich viele, paarweise einander ausschließende Ereignisse

,

gilt
(16.33)
4.a
Für beliebige Ereignisse

gilt


(16.34a)
4.b
Speziell für

gilt:
(16.34b)

5.
Gleichwahrscheinliche Ereignisse: Sind alle Ereignisse

eines vollständigen

Ereignissystems gleichwahrscheinlich, so gilt
(16.35)
6.
Ist

als Summe von
Ereignisse für das Eintreten von

der Ereignisse
günstig sind, und es gilt dann

darstellbar, so sagt man, daß


(16.36)


Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
●
●
●
●

Häufigkeiten
Definition der Wahrscheinlichkeit
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Beispiele für Wahrscheinlichkeiten


BOOLEsche Funktionen, BOOLEsche Ausdrücke
●
●
●

BOOLEsche Funktionen
BOOLEsche Ausdrücke
Wertverlaufsgleiche BOOLEsche Ausdrücke


Meßfehler und ihre Verteilung
●
●
●
●
●
●
●

Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen
Meßfehlerverteilungsdichte
Fehlernormalverteilung
Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen
Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen
Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit
Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit


Geeignete Umformung
Die Funktion wird auf eine für die Grenzwertberechnung geeignete Form gebracht.
Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C


Berechnung von Grenzwerten
Zur Berechnung von Grenzwerten werden die Sätze über Grenzwerte von Funktionen sowie eine Reihe von
Umformungen benutzt:
●
●

Geeignete Umformung
BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel


Kapitel 2:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Funktionen und ihre Darstellung

Funktionsbegriff
Elementare Funktionen
Polynome
Gebrochenrationale Funktionen
Irrationale Funktionen
Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen
Trigonometrische Funktionen
Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
Hyperbelfunktionen
Areafunktionen
Kurven dritter Ordnung
Kurven vierter Ordnung
Zykloiden
Spiralen
Verschiedene andere Kurven
Aufstellung empirischer Kurven
Skalen und Funktionspapiere


●

Funktionen von mehreren Veränderlichen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis


Bernoullische und Eulersche Zahlen
●
●
●
●

Erste Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Zweite Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Erste Definition der EULERschen Zahlen
Zweite Definition der EULERschen Zahlen


Zweite Definition der BERNOULLIschen Zahlen
Manche Autoren gehen zur Definition der BERNOULLIschen Zahlen von der folgenden Darstellung aus:
(7.60b)
Dadurch erhält man die Rekursionsformel
(7.60c)
wobei nach Anwendung des binomischen Satzes überall

durch

zu ersetzen ist. Für die ersten Zahlen gilt:

(7.60d)


Es besteht der Zusammenhang
(7.60e)


Differentialgleichungen, allgemein
9.1
ARNOLD, V.I.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1979.
9.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
9.3
BRAUN, M.: Differentialgleichungen und ihre Anwendungen. -- Springer-Verlag 1991.
9.4
COLLATZ, L.: Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner 1990.
9.5
COLLATZ, L.: Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen. -- Akademische Verlagsgesellschaft 1963.
9.6
COURANT, R.; HILBERT, D.: Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1968.
9.7


FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
9.8
FRANK, PH.; MISES, R. V.: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Bd. 1 u. 2. -Verlag Vieweg 1961.
9.9
GOLUBEW, V.V.: Differentialgleichungen im Komplexen. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1958.
9.10
GREINER, W.: Quantenmechanik, Teil 1. -- Verlag H. Deutsch 1992.
9.11
GREINER, W.; MÜLLER, B.: Quantenmechanik, Teil 2. -- Verlag H. Deutsch 1990.
9.12
HEUSER, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch. -- B. G. Teubner 1991.
9.13
KAMKE, E.: Differentialgleichungen, Bd. 1-2. -- B. G. Teubner, Leipzig 1969, 1965.
9.14
KAMKE, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen, Teil 1 u. 2. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig 1977.
9.15
KUNTZMANN, J: Systeme von Differentialgleichungen. -- Berlin 1970.


9.16
LANDAU, L.D.; LIFSCHITZ, E.M.: Quantenmechanik. -- Akademie-Verlag 1979, Verlag H. Deutsch 1992.
9.17
MAGNUS, K.: Schwingungen. -- B. G. Teubner 1986.
9.18
MEINHOLD, P.; WAGNER, E.: Partielle Differentialgleichungen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 8),
1975; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 8), 1979.
9.19
MICHLIN, S.G.: Partielle Differentialgleichungen in der mathematischen Physik. -- Verlag H. Deutsch 1978.
9.20
PETROWSKI, I.G.: Vorlesungen über die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner,
Leipzig 1954.
9.21
PETROWSKI, I.G.: Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1955.
9.22
POLJANIN, A.D.; SAIZEW, V.F.: Sammlung gewöhnlicher Differentialgleichungen. -- Verlag H. Deutsch 1996.
9.23
REISSIG, R.; SANSONE, G.; CONTI, R.: Nichtlineare Differentialgleichungen höherer Ordnung. -- Edizioni
Cremonese 1969.


9.24
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil 2. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
9.25
SOMMERFELD, A.: Partielle Differentialgleichungen der Physik. -- Verlag H. Deutsch 1992.
9.26
STEPANOW, W.W.: Lehrbuch der Differentialgleichungen. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1982.
9.27
WENZEL, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 und 2. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL,
Bd. 7/1, 7/2), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 7/1, 7/2), 1981.
9.28
WLADIMIROW, V.S.: Gleichungen der mathematischen Physik. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1972.


Tabellen
21.1
ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions. -- Verlag H. Deutsch 1984.
21.2
APELBLAT, A.: Tables of Integrals and Series. -- Verlag H. Deutsch 1996
21.3
BRYTSCHKOW, JU.A.; MARITSCHEW, O.I.; PRUDNIKOW, A.P.: Tabellen unbestimmter Integrale. -- Verlag H.
Deutsch 1992.
21.4
EMDE, F.: Tafeln elementarer Funktionen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1959.
21.5
GRADSTEIN,I.S.; RYSHIK, I.M.: Summen-, Produkt- und Integraltafeln, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1981.
21.6
GRÖBNER, W.; HOFREITER, N.: Integraltafel, Teil 1: Unbestimmte Integrale, Teil 2: Bestimmte Integrale. -Springer-Verlag, Teil 1, 5. Auflage 1975; Teil 2, 5. Auflage 1973.


21.7
JAHNKE, E.; EMDE, F.; LÖSCH, F.: Tafeln höherer Funktionen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1960.
21.8
MADELUNG, E.: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers. -- Springer-Verlag, 7. Auflage 1964.
21.9
MAGNUS, W.; OBERHETTINGER, F.: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen
Physik. -- Springer-Verlag 1948.
21.10
MEYER ZUR CAPELLEN, W.: Integraltafeln. -- Springer-Verlag 1950.
21.11
MÜLLER, H.P.; NEUMANN, P.; STORM, R.: Tafeln der mathematischen Statistik. -- C. Hanser Verlag 1979.
21.12
POLJANIN, A.D.; SAIZEW, V.F.: Sammlung gewöhnlicher Differentialgleichungen. -- Verlag H. Deutsch 1996.
21.13
SCHÜLER: Acht- und neunstellige Tabellen zu den elliptischen Funktionen, dargestellt mittels des JACOBIschen
Parameters

. -- Springer-Verlag 1955.

21.14
SCHULER, M.; GEBELEIN, H.: Acht- und neunstellige Tabellen zu den elliptischen Funktionen. -- Springer-Verlag


1955.
21.15
SCHÜTTE, K.: Index mathematischer Tafelwerke und Tabellen. -- München 1966.


Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil II

0,00

0,00

5, 0

, 1776

, 3276

, 3085

+0, 1479

27, 24

24, 34 3691

4045

5, 1

0, 1443

0, 3371

0, 3216

0, 1137

29, 79

26, 68 3308

3619

5, 2

0, 1103

0, 3432

0, 3313

0, 0792

32, 58

29, 25 2966

3239

5, 3

0, 0758

0, 3460

0, 3374

0, 0445

35, 65

32, 08 2659

2900

5, 4

0, 0412

0, 3453

0, 3402

+0, 0101

39, 01

35, 18 2385

2597

5, 5

, 0068

, 3414

, 3395

, 0238

42, 69

38, 59 2139

3226

5, 6

+0, 0270

0, 3343

0, 3354

0, 0568

46, 74

42, 33 1918

2083

5, 8

0, 0917

0, 3110

0, 3177

0, 1192

56, 04

50, 95 1544

1673


5, 9

0, 1220

0, 2951

0, 3044

0, 1481

61, 38

55, 90 1386

1499

6, 0

+0, 1506

, 2767

, 2882

, 1750

67, 23

61, 34 1244

1344

6, 1

0, 1773

0, 2559

0, 2694

0, 1998

73, 66

67, 32 1117

1205

6, 2

0, 2017

0, 2329

0, 2483

0, 2223

80, 72

73, 89 1003

1081

6, 3

0, 2238

0, 2081

0, 2251

0, 2422

88, 46

81, 10 09001

09691

6, 4

0, 2433

0, 1816

0, 1999

0, 2596

96, 96

89, 03 08083

08693

6, 5

+0, 2601

, 1538

, 1732

, 2741 106, 3

97, 74 07259

07799

6, 6

0, 2740

0, 1250

0, 1452

0, 2857 116, 5

107, 3

06520

06998

6, 7

0, 2851

0, 0953

0, 1162

0, 2945 127, 8

117, 8

05857

06280

6, 8

0, 2931

0, 0652

0, 0864

0, 3002 140, 1

129, 4

05262

05636

6, 9

0, 2981

0, 0349

0, 0563

0, 3029 153, 7

142, 1

04728

05059

7, 0

+0, 3001

, 0047

, 0259

, 3027 168, 6

156, 0

04248

04542

7, 1

0, 2991

+0, 0252

+0, 0042

0, 2995 185, 0

171, 4

03817

04078

7, 2

0, 2951

0, 0543

0, 0339

0, 2934 202, 9

188, 3

03431

03662

7, 3

0, 2882

0, 0826

0, 0628

0, 2846 222, 7

206, 8

03084

03288

7, 4

0, 2786

0, 1096

0, 0907

0, 2731 244, 3

227, 2

02772

02953


7, 5

+0, 2663

+0, 1352

+0, 1173

, 2591 268, 2

249, 6

02492

02653

7, 6

0, 2516

0, 1592

0, 1424

0, 2428 294, 3

274, 2

02240

02383

7, 7

0, 2346

0, 1813

0, 1658

0, 2243 323, 1

301, 3

02014

02141

7, 8

0, 2154

0, 2014

0, 1872

0, 2039 354, 7

331, 1

01811

01924

7, 9

0, 1944

0, 2192

0, 2065

0, 1817 389, 4

363, 9

01629

01729

8, 0

+0, 1717

+0, 2346

+0, 2235

, 1581 427, 6

399, 9

01465

01554

8, 1

0, 1475

0, 2476

0, 2381

0, 1331 469, 5

439, 5

01317

01396

8, 2

0, 1222

0, 2580

0, 2501

0, 1072 515, 6

483, 0

01185

01255

8, 3

0, 0960

0, 2657

0, 2595

0, 0806 566, 3

531, 0

01066

01128

8, 4

0, 0692

0, 2708

0, 2662

0, 0535 621, 9

583, 7

009588

01014

8, 5

+0, 0419

+0, 2731

+0, 2702

, 0262 683, 2

641, 6

008626

009120

8, 6

+0, 0146

0, 2728

0, 2715

+0, 0011 750, 5

705, 4

007761

008200

8, 7

, 0125

0, 2697

0, 2700

0, 0280 824, 4

775, 5

006983

007374

8, 8

0, 0392

0, 2641

0, 2659

0, 0544 905, 8

852, 7

006283

006631

8, 9

0, 0653

0, 2559

0, 2592

0, 0799 995, 2

937, 5

005654

005964


9, 0

, 0903

+0, 2453

+0, 2499

+0, 1043 1094

1031

005088

005364

9, 1

0, 1142

0, 2324

0, 2383

0, 1275 1202

1134

004579

004825

9, 2

0, 1367

0, 2174

0, 2245

0, 1491 1321

1247

004121

004340

9, 3

0, 1577

0, 2004

0, 2086

0, 1691 1451

1371

003710

003904

9, 4

0, 1768

0, 1816

0, 1907

0, 1871 1595

1508

003339

003512

9, 5

, 1939

+0, 1613

+0, 1712

+0, 2032 1753

1658

003036

003160

9, 6

0, 2090

0, 1395

0, 1502

0, 2171 1927

1824

002706

002843

9, 7

0, 2218

0, 1166

0, 1279

0, 2287 2119

2006

002436

002559

9, 8

0, 2323

0, 0928

0, 1045

0, 2379 2329

2207

002193

002302

9, 9

0, 2403

0, 0684

0, 0804

0, 2447 2561

2428

001975

002072

10, 0

, 2459

+0, 0435

+0, 0557

+0, 2490 2816

2671

001778

001865


Kapitel 21:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Tabellen

Häufig gebrauchte Konstanten
Physikalische Konstanten
Potenzreihenentwicklungen
Fourier-Entwicklungen
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Elliptische Integrale
Gammafunktion
Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil I
Besselsche Funktionen (Zylinderfunktionen) Teil II
Legendresche Polynome (Kugelfunktionen)
Laplace-Transformationen
Fourier-Transformationen
Z-Transformationen
Poisson-Verteilung
Normierte Normalverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung


●
●
●

Fishersche F-Verteilung
Studentsche t-Verteilung
Zufallszahlen


Beweismethoden
Im wesentlichen unterscheidet man drei Beweismethoden:
●
●
●

direkter Beweis,
indirekter Beweis,
vollständige Induktion.

Außerdem spricht man noch vom konstruktiven Beweis.
●
●
●
●

Direkter Beweis
Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
Vollständige Induktion
Konstruktiver Beweis


Summen und Produkte
●
●
●
●

Definition von Summen
Rechenregeln für Summen
Definition von Produkten
Rechenregeln für Produkte


Anwendung von Computeralgebrasystemen
●
●

Mathematica
Maple


Nutzung von Computern
●
●
●
●

Interne Zeichendarstellung
Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
Bibliotheken numerischer Verfahren
Anwendung von Computeralgebrasystemen


Begriff des normierten Raumes
●
●

Axiome des normierten Raumes
Einige Eigenschaften normierter Räume


Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
●
●
●
●
●

Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
Hopf-Bifurkation
Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
Symmetriebrechung


Spezielle Formeln
(1.28)
(1.29)

(1.30)
(1.31)

Der Ausdruck

wird nach dem binomischen Satz berechnet.

(1.32)


(1.33)

(1.34)

(1.35)


Berechnung der Binomialkoeffizienten
Die Berechnung der Binomialkoeffizienten kann mit Hilfe der folgenden Formeln erfolgen:
(1.38)

(1.39)

(1.40)

(1.41)


(1.42)

(1.43)

Für beliebige reelle Zahlen

ist der Binomialkoeffizient wie folgt definiert:
(1.44)

Beispiel


Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
1. Die Binomialkoeffizienten wachsen bis zur Mitte der Binomischen Formel (1.36a) an, um danach wieder
abzunehmen.
2. Die Binomialkoeffizienten der Glieder, die gleichen Abstand vom Anfang bzw. vom Ende der Binomischen
Formel haben, sind einander gleich.
.
3. Die Summe der Binomialkoeffizienten in der Binomischen Formel -ten Grades beträgt
4. Die Summe der Binomialkoeffizienten, die an den ungeraden Stellen stehen, ist gleich der Summe der an
den geraden Stellen stehenden.


Potenz einer Differenz

(1.45)


Verallgemeinerung für eine beliebige Potenz
Die Formel (1.36a) für den binomischen Satz kann auch auf negative und gebrochene Exponenten ausgedehnt
werden. Für

ergibt

eine konvergente unendliche Reihe :
(1.46)


Lage der Kurve relativ zum begleitenden Dreibein
Für die gewöhnlichen Kurvenpunkte liegt die Raumkurve in der Umgebung des Punktes
auf einer Seite der
Rektifizierungsebene und schneidet sowohl die Normal- als auch die Schmiegungsebene (linke Abbildung).


Die Projektionen eines kleinen Kurvenabschnitts um den Punkt
näherungsweise die folgende Gestalt:

auf die drei Ebenen haben dabei

1. Quadratische Parabel auf die Schmiegungsebene (zweite Abbildung);
2. kubische Parabel auf die Rektifizierungsebene (dritte Abbildung);
3. semikubische Parabel auf die Normalebene (vierte Abbildung).
Wenn die Krümmung oder die Windung der Kurve im Punkt
ist, also wenn
Band 2, Teil 7).

gleich 0 sind oder wenn

ein singulärer Punkt

ist, dann kann die Kurve auch eine andere Gestalt haben (s. Lit. 22.2,


Kapitel 3:

Geometrie

●

Planimetrie
Ebene Trigonometrie
Stereometrie
Sphärische Trigonometrie
Vektoralgebra und analytische Geometrie
Differentialgeometrie

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●
●


Krümmung und Windung
●
●
●

Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie
Windung einer Kurve
FRENETsche Formeln


Erzeugung der Normalform
Die praktische Durchführung der Transformation (4.134) erfolgt über die Hauptachsentransformation (4.128).
Anschaulich bedeutet dieses Vorgehen, daß zunächst das Koordinatensystem einer Drehung mit der
Orthogonalmatrix U der Eigenvektoren von A unterworfen wird, so daß die Form
(4.135)
entsteht, in der L die Diagonalmatrix von A ist. Daran schließt sich eine Drehung mit der Diagonalmatrix D an, deren
Diagonalelemente

lauten. Die Gesamtransformation wird dann durch
(4.136)

beschrieben, und man erhält:

(4.137)


Singulärwertzerlegung
●
●
●

Singulärwerte und Singulärwertvektoren
Singulärwertzerlegung
Anwendung


Spezielles Eigenwertproblem
●
●
●
●

Charakteristisches Polynom
Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen
Hauptachsentransformation quadratischer Formen
Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten


Lineare Algebra
4.1
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
4.2
BERENDT, G.; WEIMAR, E.: Mathematik für Physiker, Bd. 1. -- VCH, Weinheim 1990.
4.3
BOSECK, H.: Einführung in die Theorie der linearen Vektorräume. -- Verlag H. Deutsch 1984.
4.4
BUNSE, W.; BUNSE-GERSTNER, A.: Numerische lineare Algebra. -- B. G. Teubner 1985.
4.5
FADDEJEW, D.K.; FADDEJEWA, W.N.: Numerische Methoden der linearen Algebra. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1970.
4.6
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 -- Verlag H. Deutsch 1993.


4.7
JÄNICH, K.: Lineare Algebra. -- Springer-Verlag 1993.
4.8
KIEBASI´NSKI, A.; SCHWETLICK, H.: Numerische lineare Algebra. Eine computerorientierte Einführung. -Verlag H. Deutsch 1988.
4.9
KLIN, M.CH.; PÖSCHEL, R.; ROSENBAUM, K.: Angewandte Algebra. -- Verlag H. Deutsch 1988.
4.10
KLINGENBERG, W.: Lineare Algebra und Geometrie. -- Springer-Verlag 1993.
4.11
KOECHER, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. -- Springer-Verlag 1992.
4.12
LIPPMANN, H.: Angewandte Tensorrechnung. Für Ingenieure, Physiker und Mathematiker. -- Springer-Verlag
1993.
4.13
MANTEUFFEL, K.; SEIFFART, E.; VETTERS, K.: Lineare Algebra. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig (MINÖL, Bd. 13),
1975; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 13), 1978.
4.14
NICKEL, H. (HRSG.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1990.


4.15
OSE, G. (HRSG.): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 4. -- Verlag H. Deutsch 1995.
4.16
PFENNINGER, H.R.: Lineare Algebra. -- Verlag Verlag H. Deutsch 1991.
4.17
RASCHEWSKI, P.K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis. -- Verlag H. Deutsch 1995.
4.18
REICHARDT, H.: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1968.
4.19
SCHULTZ-PISZACHICH, W.: Tensoralgebra und -analysis. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 11),
1977; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 11), 1979.
4.20
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Teil III,1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1989-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
4.21
ZURMÜHL, R.; FALK, S.: Matrizen und ihre Anwendung - 1. Grundlagen. -- Springer-Verlag 1992.


Grundbegriffe und Bezeichnungen
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Ungerichtete und gerichtete Graphen
Adjazenz
Schlichte Graphen
Knotengrade
Spezielle Klassen von Graphen
Darstellung von Graphen
Isomorphie von Graphen
Untergraphen, Faktoren
Adjazenzmatrix
Inzidenzmatrix
Bewertete Graphen


Durchlaufungen von ungerichteten Graphen
●
●
●

Kantenfolgen
Eulersche Linien
Hamilton-Kreise


Kurvenintegrale erster Art
●
●
●
●
●

Definitionen
Existenzsatz
Berechnung des Kurvenintegrals erster Art
Kurvenelemente
Anwendungen des Kurvenintegrals erster Art


Lokale Elemente einer Kurve
In Abhängigkeit davon, ob ein variabler Punkt

auf der Kurve in der expliziten (3.425), Parameter- (3.426) oder

Polarkoordinaten-Form (3.427) gegeben ist, wird seine Position durch
Betrachtung wird mit
oder

●
●
●
●
●

ein beliebig nahe bei

bezeichnet.
Bogenelement
Tangente und Normale
Konvexe und konkave Seite einer Kurve
Krümmung und Krümmungskreisradius
Krümmungskreis

oder

bestimmt. In der weiteren

gelegener Punkt mit den Parameterwerten


Mantelflächen von Rotationskörpern
(Siehe auch GULDINsche Regel)
1. Flächeninhalt eines durch Rotation der Kurve

um die

-Achse entstehenden Mantels (s. linke

Abbildung):
(8.61a)


2. Flächeninhalt eines durch Rotation der Kurve

um die

-Achse entstehenden Mantels

(s. rechte Abbildung):
(8.61b)

Zur Berechnung von Flächen, die kompliziertere Körper begrenzen, s.
Anwendung von Doppelintegralen und Anwendung des Oberflächenintegrals 1. Art.
Allgemeine Formeln zur Berechnung von Flächen mit Hilfe von Doppelintegralen sind in der Tabelle Anwendung von
Doppelintegralen angegeben.


Anwendungen in der Geometrie
●
●
●
●

Flächeninhalte ebener Flächen
Bogenlängen ebener Kurven
Mantelflächen von Rotationskörpern
Volumina


Elliptische Integrale
●
●

Unbestimmte elliptische Integrale
Bestimmte elliptische Integrale


Kurvenintegrale zweiter Art
●
●
●
●
●
●

Definitionen
Projektion auf die x-Achse:
Projektion auf die y-Achse:
Projektion auf die z-Achse:
Existenzsatz
Berechnung der Kurvenintegrale zweiter Art


Möglichkeiten, eine Raumkurve zu definieren
●
●
●

Koordinatengleichungen
Vektorgleichungen
Positive Richtung


Grundbegriffe
●
●
●
●
●

Punkt, Gerade, Strahl, Strecke
Winkel
Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
Winkelpaare an geschnittenen Parallelen
Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß


Winkel in der Geodäsie
●
●

Neugradeinteilung
Richtungswinkel


Kompakte Mengen und kompakte Operatoren
●
●
●
●
●

Kompakte Teilmengen in normierten Räumen
Kompakte Operatoren
Fredholmsche Alternative
Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum
Kompakte selbstadjungierte Operatoren


Kompakte Operatoren
●
●
●

Begriff des kompakten Operators
Eigenschaften linearer kompakter Operatoren
Schwache Konvergenz von Elementen


Ereignisse
●
●

Ereignisarten
Rechenregeln


Kapitel 10:

Variationsrechnung

●

Aufgabenstellung
Historische Aufgaben
Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen
Variationsaufgaben mit Funktionen mehrerer Veränderlicher
Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Ergänzungen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●
●


Variationsaufgaben mit Funktionen einer
Veränderlichen
●
●
●
●
●
●

Einfache Variationsaufgabe und Extremale
Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen
Variationsaufgaben in Parameterdarstellung


Historische Aufgaben
●
●

Isoperimetrisches Problem
Brachistochronenproblem


Tangentialebene und Flächennormale
●
●
●

Definitionen
Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
Singuläre Flächenpunkte (Kegelpunkte)


Möglichkeiten, eine Fläche zu definieren
●
●

Gleichung einer Fläche
Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche


Spezielle Koordinatensysteme
●
●
●

Geographische Koordinaten
SOLDNER-Koordinaten
GAUSS-KRÜGER-Koordinaten


Eulersche Linien
●
●
●
●

EULERsche Linien, EULERsche Graphen
Konstruktion einer geschlossenen EULERschen Linie
Offene EULERsche Linien
Chinesisches Briefträgerproblem


Algebra und Diskrete Mathematik, Graphentheorie
5.28
BIESS, G.: Graphentheorie. -- Verlag H. Deutsch 1979.
5.29
EDMONDS, J.: Paths, Trees and Flowers. -- Canad. J. Math.

(1965), 449-467.

5.30
EDMONDS, J., JOHNSON, E.L.: Matching, Euler Tours and the Chinese Postman. -- Math. Programming
(1973), 88-129.
5.31
NÄGLER, G., STOPP, F.: Graphen und Anwendungen -- B. G. Teubner 1995.
5.32
SACHS, H.: Einführung in die Theorie der endlichen Graphen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1970.
5.33


VOLKMANN, L.: Graphen und Diagraphen. -- Springer-Verlag 1991.


Rückführung auf die einfachste Form
Jeder gebrochen rationale Ausdruck kann auf die Form eines Quotienten zweier teilerfremder Polynome gebracht
werden. Dazu werden nur elementare Umformungen benötigt wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
von Polynomen und Brüchen sowie Kürzen von Brüchen.
Beispiel

Aufsuchen der einfachsten Form von


Partialbruchzerlegung, Fall 2
Wenn die Gleichung

für das Polynom des Nenners reelle Wurzeln besitzt, diese aber mehrfach auftreten,

dann erfolgt die Zerlegung nach der Formel

(1.51)

Beispiel

Die Koeffizienten

werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.


Partialbruchzerlegung, Fall 3
Wenn die Gleichung

für das Polynom des Nenners auch einfache komplexe Wurzeln besitzt, hat die

Zerlegung die Form

(1.52)

Die quadratischen Nenner

ergeben sich aus der Tatsache, daß mit einer komplexen Wurzel auch

die zugehörige konjugiert komplexe Zahl eine Wurzel der betreffenden Polynomgleichung ist.
Beispiel


Die Koeffizienten

werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt.


Partialbruchzerlegung, Fall 4
Wenn die Gleichung

für das Polynom des Nenners mehrfache komplexe Wurzeln besitzt, dann erfolgt

die Zerlegung nach der Formel

(1.53)

Beispiel


Die Koeffizienten
bestimmt.

werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten


Definition
Unter einer endlichen Reihe wird die Summe
(1.56)
verstanden, deren Summanden in der Regel nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Die Summanden
sind Zahlen und heißen Glieder der Reihe.


Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 1
Faktorenzerlegung auf der linken Seite der Gleichung führt, falls sie gelingt, direkt von
(1.159a)
auf die Wurzeln der Gleichung
(1.159b)
Beispiel


Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 3, Verwendung von Hilfsgrößen
Mit

aus Gleichung (1.156b) wird
(1.161)

gesetzt, wobei das Vorzeichen von
mit ihrer Hilfe die Wurzeln
folgenden Tabelle bestimmt.

mit dem von

und

übereinstimmen muß. Daraufhin werden die Hilfsgröße

in Abhängigkeit von den Vorzeichen von

und

und
aus der


Beispiel

Probe:

im Rahmen der Rechengenauigkeit anstelle von 0.


Normalform und Anzahl der Lösungen
1. Normalform:
(1.156a)
oder nach Division durch

und Substitution von
(1.156b)

mit
(1.156c)

und

(1.156d)

2. Anzahl der Lösungen: In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante


(1.157)
ergibt sich:

❍

für

eine reelle Lösung (eine reelle und zwei komplexe Wurzeln),

❍

für

drei reelle Lösungen (drei verschiedene reelle Wurzeln),

❍

für

eine reelle Lösung (eine dreifache reelle Wurzel) im Falle

oder zwei reelle

Lösungen (eine einfache reelle Wurzel und eine zweifache reelle Wurzel) im Falle
3. Eigenschaften der Wurzeln der kubischen Gleichung: Sind

und

die Wurzeln der kubischen

Gleichung (1.156a), dann gilt:
(1.158)

Hinweis: Zur Lösung der Gleichung 3. Grades werden in den nächsten drei Abschnitten drei Methoden betrachtet.
Eine vierte Lösungsmethode beruht auf Näherungsmethoden.


Normalform und Anzahl der Lösungen
1. Normalform:
(1.150a)
oder nach Division durch
(1.150b)
2. Anzahl der reellen Lösungen: In Abhängigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante
(1.151a)

ergibt sich:

❍

für

gibt es 2 reelle Lösungen (2 reelle Wurzeln),

❍

für

gibt es 1 reelle Lösung (2 zusammenfallende Wurzeln),

❍

für

gibt es keine reelle Lösung (2 komplexe Wurzeln).

3. Eigenschaften der Wurzeln der quadratischen Gleichung: Sind
quadratischen Gleichung, dann gilt:

und

die Wurzeln der


(1.152)


Kapitel 14:

Funktionentheorie

●

Funktionen einer komplexen Veränderlichen
Integration im Komplexen
Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen
Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen
Algebraische und elementare transzendente Funktionen
Elliptische Funktionen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●
●


Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
Die Wichtigkeit vollständiger metrischer Räume resultiert u.a. auch aus der Gültigkeit einer ganzen Reihe
bedeutender Sätze und Prinzipien, die aus der reellen Analysis bekannt und nützlich sind und die man gern für den
Fall unendlichdimensionaler Räume zur Verfügung haben möchte.
●
●
●

Kugelschachtelungssatz
BAIREscher Kategoriensatz
BANACHscher Fixpunktsatz


Integralgleichungen
11.1
DRABEK, P., KUFNER, A.: Integralgleichungen. -- B. G. Teubner 1996.
11.2
FENYÖ, S.; STOLLE, H.W.: Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen Bd. 1 bis 4. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1984.
11.3
FRANK, PH.; MISES, R. V.: Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, Bd. 1 u. 2. -Verlag Vieweg 1961.
11.4
HACKBUSCH, W.: Integralgleichungen. -- B. G. Teubner 1989.
11.5
KANTOROWITSCH, L.W.; KRYLOW, W.I.: Näherungsmethoden der höheren Analysis. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1956.
11.6


KUPRADSE, W.D.: Randwertaufgaben der Schwingungstheorie und Integralgleichungen. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1956.
11.7
MICHLIN, S.G.: Vorlesungen über lineare Integralgleichungen. -- Berlin 1962.
11.8
MICHLIN, S.G.; SMOLIZKI, CH., L.: Näherungsmethoden zur Lösung von Differential- und Integralgleichungen. -Leipzig 1969.
11.9
MUSCHELISCHWILI, N.I.: Singuläre Integralgleichungen. -- Akademie-Verlag 1965.
11.10
SCHMEIDLER, W.: Integralgleichungen mit Anwendungen in Physik und Technik. -- Akademische
Verlagsgesellschaft 1950.
11.11
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. IV/1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1993, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.


Definitionen
1. Rechts offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall Die Definition des uneigentlichen Integrals für
eine Funktion
Definitionsintervall

, die ein rechts offenes Definitionsintervall
besitzt, aber im Punkt

den Grenzwert

oder ein abgeschlossenes
hat, lautet in beiden

Fällen:
(8.85)
Wenn dieser Grenzwert existiert, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral (8.77), und man spricht von einem
konvergenten uneigentlichen Integral . Existiert der Grenzwert nicht, dann existiert bzw. konvergiert auch das Integral
nicht, und man spricht von einem divergenten uneigentlichen Integral .
2. Links offenes oder abgeschlossenes Definitionsintervall Die Definition des uneigentlichen Integrals für
eine Funktion
Definitionsintervall
Definition (8.85):

, die ein links offenes Definitionsintervall
besitzt, aber im Punkt

den Grenzwert

oder ein abgeschlossenes
, erfolgt in Analogie zur


(8.86)
3. Zwei halboffene angrenzende Definitionsintervalle Die Definition des uneigentlichen Integrals für eine
Funktion

, die im gesamten Intervall
, d.h., für eine Funktion

definiert ist, aber im Punkt

definiert ist, ausgenommen einen inneren Punkt
, die in zwei angrenzenden halboffenen Intervallen

den Grenzwert

mit
und

besitzt, lautet:

(8.87a)

Dabei streben die Zahlen
wohl aber

und

unabhängig voneinander gegen Null. Wenn der Grenzwert (8.87a) nicht existiert,

(8.87b)
dann heißt der Grenzwert (8.87b) der Hauptwert des uneigentlichen Integrals , auch CAUCHYscher Hauptwert .


Geometrische Bedeutung
Die geometrische Bedeutung der Integrale unstetiger Funktionen (8.85), (8.86) und (8.87a) besteht darin, daß mit ihnen
Flächeninhalte von Figuren ermittelt werden, die sich längs einer vertikalen Asymptote ins Unendliche erstrecken, wie sie
in den folgenden drei Abbildungen dargestellt sind. Dabei entspricht die linke Abbildung (8.85), die rechte (8.86) und die
untere (8.87a).


Beispiel A
;

Fall (8.86), singulärer Punkt bei

.

(konvergent).


Beispiel B
;

Fall (8.85), singulärer Punkt bei

.

(divergent).

Beispiel C
;

Fall (8.87a), singulärer Punkt bei

.

(konvergent).

Beispiel D


; Fall (8.87a), singulärer Punkt bei

.

(divergent).


Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●
●

Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
CLAIRAUTsche Differentialgleichung
Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in vollständigen Differentialen


Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●
●

Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung
Geometrische Darstellung und Charakteristik des Systems
CAUCHYsches Problem


Quantitative Beschreibung von Attraktoren
●
●
●
●
●
●

Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
Entropien
Lyapunov-Exponenten
Dimensionen
Seltsame Attraktoren und Chaos
Chaos in eindimensionalen Abbildungen


Algebra und Diskrete Mathematik, Zahlentheorie
5.18
BUNDSCHUH, P.: Einführung in die Zahlentheorie. -- Springer-Verlag 1992.
5.19
KRÄTZEL, E.: Zahlentheorie. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1981.
5.20
PADBERG, F.: Elementare Zahlentheorie. -- BI- Wissenschaftsverlag 1991.
5.21
RIVEST, R.L., SHAMIR, A., ADLEMAN, L.: A Method for Obtaining Digital Signatures and Public Key
Cryptosystems. -- Comm. ACM

(1978), 12 - 126.

5.22
SCHEID, H.: Zahlentheorie. -- BI- Wissenschaftsverlag 1991, 2. Auflage Spektrum Akademischer Verlag 1995.
5.23
SCHMUTZER, E.: Grundlagen der theoretischen Physik, Bd. 1, 4. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1991.


Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme
●
●
●

CHOLESKY-Verfahren
HOUSEHOLDER-Verfahren
Regularisiertes Problem


Kapitel 20:

Computeralgebrasysteme

●

Einführung
Mathematica
Maple
Anwendungen von Computeralgebrasystemen
Graphik in Computeralgebrasytemen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●


Maple
Maple verfügt über eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Behandlung von Aufgaben der Analysis. Neben der
Differentiation von Funktionen gehören dazu die Berechnug unbestimmter und bestimmter Integrale, die Berechnung
mehrfacher Integrale und die Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen. Grundelemente der Theorie analytischer
Funktionen werden zur Nutzung angeboten. Zahlreiche Differentialgleichungen können gelöst werden.
●
●
●
●

Differentiation
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
Lösung von Differentialgleichungen


Mathematica
●
●
●
●

Gleichungen
Lösung von Gleichungen
Lösung transzendenter Gleichungen
Lösung von Gleichungssystemen


Maple
●
●
●
●

Wichtige Operationen
Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
Lösung transzendenter Gleichungen
Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen


Aufbau und Umgang mit Computeralgebrasystemen
●

Hauptstrukturelemente


Objekttypen
Computeralgebrasysteme arbeiten mit einer Vielzahl von Objekttypen. Objekte sind die dem jeweiligen System
bekannten Zahlen, Variablen, Operatoren, Funktionen usw., die mit dem Start des Systems latent geladen sind und
aufgerufen bzw. vom Nutzer entsprechend der Syntax definiert werden können.
Klassen von Objekten wie etwa Zahlenarten oder Listen usw. nennt man Typen .
Die meisten Objekte werden durch ihren Namen identifiziert, den man sich zur Objektklasse Symbol zugehörig
denken kann und der bestimmten grammatikalischen Regeln genügen muß.
Der Nutzer gibt in die Eingabezeile eine Folge von Objekten, d.h. deren Namen, entsprechend der vorgeschriebenen
Syntax ein, schließt die Eingabe mit einem dafür vorgesehenen Sonderzeichen und/oder einem speziellen
Systemkommando ab, worauf das System mit der Abarbeitung beginnt und in weiteren Zeilen das Ergebnis darstellt
(Eingaben können sich über mehrere Zeilen erstrecken).
Die nachfolgend beschriebenen Objekte bzw. Objekttypen und -klassen stehen in der Regel in allen
Computeralgebrasystemen zur Verfügung, wobei auf Besonderheiten bei der Besprechung der einzelnen Systeme
eingegangen wird.


Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete
●
●
●
●

Formelmanipulation
Numerische Berechnungen
Graphische Darstellungen
Programmierung in Computeralgebrasystemen


Spezielle Möglichkeiten der Arbeit mit Computeralgebrasystemen
Die meisten Computeralgebrasysteme können mit externen Dateisystemen und Dateien kommunizieren, d.h. Daten
ex- und importieren. Neben einem Grundvorrat an Definitionen und Befehlen, der bei jedem Start des Systems
geladen wird, bieten die meisten Systeme umfangreiche Bibliotheken mit Zusatzpaketen spezieller mathematischer
Gebiete an, die nach Bedarf zugeladen werden können (s. Lit. 20.4).
Computeralgebrasyteme ermöglichen Programmierungen zum Aufbau eigener Programmpakete.
Die Möglichkeiten von Computeralgebrasytemen sollten jedoch nicht überschätzt werden. Wenn für ein Integral kein
geschlossener Ausdruck existiert, dann kann auch mit Hilfe eines Computeralgebrasytems keiner gefunden werden.
Bezüglich der auftretender Fehler s. Abschnitt Numerische Probleme auf Computern.


Wichtige Fälle vektorieller Felder
●
●
●

Zentrales Vektorfeld
Sphärisches Vektorfeld
Zylindrisches Vektorfeld


Kapitel 13:

Vektoranalysis und Feldtheorie

●

Grundbegriffe der Feldtheorie
Räumliche Differentialoperationen
Integration in Vektorfeldern
Berechnung von Feldern
Differentialgleichungen der Feldtheorie

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●
●
●
●


Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Das lineare Gleichungssystem (4.112a) ist unlösbar, wenn sich im obigen 2. Fall
System einen Widerspruch.
Beispiel

ergibt. Dann enthält das


Nach 3 Austauschschritten (z.B.
)
erhält man:

Das Verfahren endet mit dem 1. Fall:
Man setzt
Lösung

und

und

sind unabhängige Variable.
ist ein Parameter. Damit lautet die


Beschreibung von Schwingungen
●
●
●
●

Problemstellung
Superposition oder Überlagerung von Schwingungen
Vektordiagramm für Schwingungen
Dämpfung von Schwingungen


Unterabschnitte
●
●

Erste Form der Darstellung ( TAYLORsche Reihe):
Zweite Form der Darstellung:

TAYLORsche Reihe für Funktionen von einer Veränderlichen
Stetige Funktionen

, die für

alle Ableitungen besitzen, können oftmals mit Hilfe der TAYLORschen

Formel als Summe einer Potenzreihe dargestellt werden.

Erste Form der Darstellung ( TAYLORsche Reihe):
(7.87a)
Diese Reihenentwicklung ist für die

-Werte richtig, für die das Restglied

beim Übergang


gegen Null strebt. Dabei ist zu beachten, daß der Begriff Restglied nur dann mit dem in diesem Buch
eingeführten Begriff gleichen Namens identisch ist, wenn die Formel (7.87a) zutreffend ist, d.h. angewendet werden
darf.
Für das Restglied gibt es die folgenden Darstellungen:
(7.87b)

(7.87c)

Zweite Form der Darstellung:
(7.88a)

Die Ausdrücke für das Restglied sind:

(7.88b)


(7.88c)


Fuzzy-Mengen
●

●
●
●
●

Leere, universelle, normale und subnormale Fuzzy-Mengen,
Fuzzy-Teilmengen
Toleranz einer Fuzzy-Menge
Schnitt einer Fuzzy-Menge
Ähnlichkeit von Fuzzy-Mengen
und
Umwandlung kontinuierlicher und diskreter fuzzy-wertiger Mengen:


Hauptachsentransformation quadratischer Formen
●
●
●

Definition
Eigenschaften der reellen quadratischen Form
Erzeugung der Normalform


Eigenschaften der reellen quadratischen Form
1. In einer reellen positiv definiten quadratischen Form

sind alle Hauptdiagonalelemente der zugehörigen

reellen symmetrischen Matrix A positiv, d.h., es ist
(4.132)
Für die positive Definitheit stellt diese Gleichung eine notwendige Bedingung dar.
2. Eine reelle quadratische Form

ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Eigenwerte der

zugehörigen Matrix A positiv sind.
3. Eine reelle quadratische Form

deren zugehörige Matrix A den Rang

hat, kann durch die

lineare Transformation
(4.133)
in eine Summe rein quadratischer Glieder, die sogenannte Normalform


(4.134)
mit beliebig vorgegebenen positiven Werten

überführt werden.


Methoden zur Definition einer reellen Funktion
●
●

Angabe einer Funktion
Analytische Darstellung reeller Funktionen


Verschiedene ebene Definitionsbereiche
●
●
●
●
●
●
●

Definitionsbereich einer Funktion
Zweidimensionale Gebiete
Drei- und mehrdimensionale Gebiete
Methoden zur Definition einer Funktion
Definitionsbereich einer Funktion
Formen der analytischen Darstellung einer Funktion
Abhängigkeit von Funktionen


Abbildungen
Eine Abbildung

●

der Menge

in die Menge

heißt

injektiv, wenn
(12.18)

●

surjektiv, wenn für
(12.19)

●

bijektiv, wenn

sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

wird Definitionsbereich des Operators
mit

Teilmenge
oder

bezeichnet wird.

genannt und mit
aus

oder

bezeichnet, während die

Wertebereich des Operators

heißt und mit


Homomorphismus und Endomorphismus
Seien

und

zwei Vektorräume über ein und demselben Körper

und

eine lineare Teilmenge aus

.

heißt linear, lineare Transformation,linearer Operator oder Homomorphismus, wenn

Eine Abbildung
und

für beliebige

stets gilt:
(12.20)

Für einen linearen Operator
für allgemeine Operatoren
Operators

und wird mit

Abbildung des Vektorraumes

bevorzugt man in Anlehnung an lineare Funktionen die Bezeichnung
steht.

ist der Nullraum oder Kern des

bezeichnet. Als Endomorphismus von
in sich. Ist

, während

bezeichnet man eine lineare

eine injektive lineare Abbildung, so ist die aus

durch
(12.21)

definierte Abbildung
Vektorraum

linear und heißt Inverse oder Umkehrabbildung von

, so nennt man eine lineare Abbildung

. Ist

der

ein lineares Funktional oder eine Linearform.


Fuzzy-Logik
●
●
●
●
●
●

Grundlagen der Fuzzy-Logik
Verknüpfungen unscharfer Mengen
Fuzzy-wertige Relationen
Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation
Defuzzifizierungsmethoden
Wissensbasierte Fuzzy-Systeme


Weitere Formeln
●
●
●

DELAMBREsche Gleichungen
NEPERsche Gleichungen und Tangenssatz
L'HUILIERsche Gleichungen


Maß und Lebesgue-Integral
●
●
●
●
●

Sigma-Algebren und Maße
Meßbare Funktionen
Integration
-Räume
Distributionen


-Algebra
Sei

eine beliebige Menge. Ein nichtleeres System

von Teilmengen aus

heißt

- Algebra , wenn

1.
impliziert

und

2.
impliziert

Jede

-Algebra enthält die Mengen

und

.

, mit abzählbar vielen Mengen auch deren Durchschnitt sowie mit

zwei Mengen auch jeweils deren Differenzmengen.
Im weiteren bezeichne

die durch die Elemente

wobei die Rechenregeln und Ordnungseigenschaften aus

und

erweiterte Menge (Zahlengerade)

in natürlicher Weise auf

übertragen werden. Die

,


Ausdrücke
Wert

erhalten.

und

sind dabei nicht zugelassen, während

und

den


Eigenschaften der Laplace-Transformation

●

Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich
Rechenregeln zur Laplace-Transformation
Bildfunktionen spezieller Funktionen

●

Diracsche

●
●

-Funktion und Distributionen


Bildfunktionen spezieller Funktionen
●
●
●
●
●

Sprungfunktion
Rechteckimpuls
Impulsfunktion
Stückweise differenzierbare Funktionen
Periodische Funktionen


Stetige lineare Funktionale
●

Definition
Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz

●

Stetige lineare Funktionale in

●


Invariante Tensoren
●
●
●
●

Definition
Deltatensor
Epsilontensor
Tensorinvarianten


Weitere Grundgesetze
●
●

Umformungen
NAND-Funktion und NOR-Funktion


Einführung
●
●
●

Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen
Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete
Aufbau und Umgang mit Computeralgebrasystemen


Beschränkung auf Mathematica und Maple
Die zur Zeit bekannten Systeme unterliegen der Weiterentwicklung. Insofern kann jede konkrete Darstellung nur den
aktuellen Stand reflektieren. Im folgenden soll eine Einführung in die grundlegende Struktur solcher Systeme und ihre
Anwendung in wichtigen mathematischen Bereichen gegeben werden. Damit diese Einführung gleichzeitig als
Anleitung für erste praktische Schritte bei der Arbeit mit Computeralgebrasystemen dienen kann, werden die
Darlegungen konkret auf die beiden Systeme Mathematica (Version 2.2) und Maple (Version V) beschränkt. Diese
Auswahl ist willkürlich; jedoch scheinen diese beiden Systeme gegenwärtig die größte Verbreitung gefunden zu
haben. Eine Konversion von Mathematica nach Maple ist möglich. Die dazu notwendigen Dateien werden in
Handbüchern auf einer CD-ROM mitgeliefert (s. Lit. 20.8).


Komplexe Wurzeln
Komplexe Wurzeln können auch als Lösungen von Polynomgleichungen mit reellen Koeffizienten auftreten, aber nur
paarweise konjugiert komplex, d.h., wenn
mit der gleichen Vielfachheit. Mit

eine Wurzel ist, dann ist auch
und

eine, und zwar
woraus

folgt, gilt
(1.169)
Wird in (1.167a) das Produkt eines jeden Paares derartiger Faktoren gemäß (1.169) ersetzt, dann ergibt sich eine
Zerlegung des Polynoms mit reellen Koeffizienten in reelle Faktoren gemäß

(1.170)


Dabei sind

reelle Wurzeln des Polynoms

. Es hat außerdem

Paare von konjugiert

komplexen Wurzeln, die man als Nullstellen der quadratischen Faktoren
erhält. Die Zahlen

und

.

sind reell, und es gilt


Lösung von Gleichungen n-ten Grades
Im allgemeinen sind Gleichungen mit

nur noch näherungsweise lösbar. In der Praxis werden aber auch

schon zur Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades Näherungsmethoden angewendet. Eine näherungsweise
Lösung von Gleichungen -ten Grades zur Ermittlung aller Wurzeln einer algebraischen Gleichung -ten Grades,
einschließlich der komplexen, ist mit der Methode von BRODETSKY-SMEAL möglich (s. Lit. 1.9, 19.38). Die
Berechnung einzelner reeller Wurzeln algebraischer Gleichungen kann auch mit Hilfe der allgemeinen
Näherungsmethoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen erfolgen. Zur Bestimmung komplexer Nullstellen
algebraischer Gleichungen wird das BAIRSTOW-Verfahren angewendet (s. Lit. 19.22).


Gleichungen mit reellen Koeffizienten
●
●
●

Komplexe Wurzeln
Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten
Lösung von Gleichungen n-ten Grades


Definitionen
●
●

Determinante
Unterdeterminanten


Determinanten
●
●
●

Definitionen
Rechenregeln für Determinanten
Berechnung von Determinanten


Rang einer Matrix
●
●
●

Definition
Aussagen zum Rang von Matrizen
Regel zur Ermittlung des Ranges


Divergenz in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
1. Divergenz in kartesischen Koordinaten
(13.47a)

mit
(13.47b)

Das Skalarfeld

ist durch das Skalarprodukt aus Nablaoperator und Vektor

gemäß
(13.47c)

darstellbar und zeichnet sich daher durch Translations- und Drehungsinvarianz, also durch
skalare Invarianz aus.
2. Divergenz in Zylinderkoordinaten


(13.48a)

mit
(13.48b)
3. Divergenz in Kugelkoordinaten
(13.49a)
mit
(13.49b)


Regeln zur Berechnung der Divergenz
(13.51a)
(13.51b)
(13.51c)
(13.52)
(13.53)


Tensoren in kartesischen Koordinaten
●
●
●
●
●

Definition
Tensor 0. Stufe
Tensor 1. Stufe
Tensor 2. Stufe
Rechenregeln


Natürliche, ganze und rationale Zahlen
●
●
●
●

Definitionsbereiche und Bezeichnungen
Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen
Arithmetische Operationen
Darstellung der rationalen Zahlen


Superposition komplexer Potentiale
Ein von mehreren Quellen, Senken und Wirbeln erzeugtes Feld ergibt sich rechnerisch durch additive Überlagerung
der durch sie erzeugten Einzelfelder, d.h. durch Addition ihrer komplexen Potentiale bzw. Stromfunktionen.
Mathematisch gesehen ist das durch die Linearität der LAPLACEschen Differentialgleichung
möglich.

und


Definition und grundlegende Eigenschaften
●
●
●

Definition
Beispiele für Gruppen
Gruppentafeln


Grundbegriffe
●
●
●
●

Typen dynamischer Systeme, Orbits
Fluß einer Differentialgleichung
Diskrete dynamische Systeme
Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme


Kapitel 6:

Differentialrechnung

●

Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen
Differentiation von Funktionen von mehreren Veränderlichen

●

Detailliertes Inhaltsverzeichnis

●


Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung einer Funktion von zwei
Veränderlichen
Stellt man eine Funktion
durch den Flächenpunkt

als Fläche in einem kartesischen Koordinatensystem dar und legt man
eine Ebene parallel zur

-Ebene, dann gilt
(6.36a)


Dabei ist

der Winkel zwischen der positiven

-Achse und der Tangente an die Schnittkurve der Fläche in dem

betreffenden Punkt mit einer Ebene, die parallel zur
von der

-Ebene verläuft. Die Messung von

erfolgt, ausgehend

-Achse zur Tangente an die Schnittkurve, im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers. Dabei ist der

Blick von der positiven

-Achse gegen die Schnittebene gerichtet. In Analogie zu

ist

gemäß
(6.36b)


definiert.
Bezüglich der Ableitung nach einer gegebenen Richtung s. Richtungsableitung bzw. nach einem Volumen
s. Volumenableitung.


Partielle Ableitungen
●
●
●
●
●

Partielle Ableitung einer Funktion
Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung einer Funktion von zwei Veränderlichen
Begriff des Differentials
Haupteigenschaften des Differentials
Partielles Differential


Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung
●

●

Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen


Vollständiges Differential n-ter Ordnung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher
Das vollständiges Differential

-ter Ordnung einer Funktion mehrerer Veränderlicher ergibt sich zu
(6.48)


Berechnung der Stammfunktion
●
●

Zweidimensionaler Fall
Dreidimensionaler Fall


Problemstellung
Zu bestimmen sind Zahlenwert und Fehler einer Größe

, die über die Funktion
abhängt. Die Werte

den unabhängigen Variablen

Zufallsgrößen angesehen werden und lassen sich als Mittelwerte
bestimmen. Ihre Streuung ist

von
können als Realisierungen von

je einer Meßreihe mit

Meßwerten

. Es ist zu untersuchen, wie sich die Fehler der Variablen auf die Funktion

auswirken. Die Funktion

muß differenzierbar sein, ihre Variablen

müssen stochastisch unabhängig sein, sie dürfen aber beliebigen Verteilungen mit unterschiedlichen Streuungen
genügen.


n Funktionen von m Veränderlichen, gegeben durch ein System von n Gleichungen
Die Berechnung der partiellen Ableitungen erster und höherer Ordnung erfolgt nach dem gleichen Schema, wie es in
den vorangegangenen Fällen demonstriert wurde.


Differentiation von Funktionen von mehreren
Veränderlichen
●
●
●
●

●

Partielle Ableitungen
Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung
Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren Veränderlichen
Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen
Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen


Funktion von zwei Veränderlichen
Gegeben sei eine Funktion sowie ein funktionaler Zusammenhang, der die unabhängigen Variablen, die Funktion und deren
partielle Ableitungen enthält:
(6.62a)
(6.62b)
Wenn

und

durch neue Variable

und

, gegeben durch
(6.63a)

substituiert werden, können die partiellen Ableitungen erster Ordnung aus dem Gleichungssystem
(6.63b)
mit den neuen Funktionen

und

von

und

berechnet werden zu
(6.63c)

Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung werden mit denselben Formeln berechnet, aber indem sie nicht auf

sondern


auf dessen partielle Ableitungen

und

angewendet werden, z.B.

(6.64)
Die höheren partiellen Ableitungen können in derselben Weise berechnet werden.
Beispiel
Der LAPLACE-Operator soll in Polarkoordinaten ausgedrückt werden:
(6.65a)
(6.65b)
Gang der Rechnung:


Analog wird

berechnet, so daß man erhält:

(6.65c)

Hinweis: Wenn Funktionen mit mehreren Veränderlichen substituiert werden sollen, können ähnliche Substitutionsformeln
hergeleitet werden.


Differentialgleichungen
●

Gewöhnliche Differentialgleichungen
❍ Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Existenzsatz, Richtungsfeld
■ Existenz einer Lösung, LIPSCHITZ-Bedingung
■ Richtungsfeld, Vertikale Richtungen
■ Allgemeines Integral
■ Wichtige Integrationsmethoden
■ Trennung der Variablen
■ Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
■ Exakte Differentialgleichung
■ Integrierender Faktor
■ Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
■ BERNOULLIsche Differentialgleichung
■ RICCATIsche Differentialgleichung
■ Implizite Differentialgleichungen
■ Lösung in Parameterform


LAGRANGEsche Differentialgleichung
■ CLAIRAUTsche Differentialgleichung
■ Singuläre Integrale und singuläre Punkte
■ Singuläres Element und singuläres Integral
■ Bestimmung singulärer Integrale
■ Singuläre Punkte einer Differentialgleichung
■ Differentialgleichung mit gebrochenlinearem Quotienten auf der rechten Seite
■ Differentialgleichung mit Quotienten aus zwei beliebigen Funktionen auf der rechten
Seite
■ Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Methode der sukzessivem Approximation nach PICARD
■ Integration durch Reihenentwicklung
■ Graphische Integration von Differentialgleichungen
■ Numerische Integration
Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgleichungen
■ Grundlegende Betrachtungen
■ Existenz einer Lösung
■ Zurückführung auf ein System von Differentialgleichungen:
■ Existenz eines Lösungssystems:
■ LIPSCHITZ-Bedingung:
■ Allgemeine Lösung
■ Konstanten und geometrische Bedeutung:
■ Berechnung eines ersten Integrals:
■ Erniedrigung der Ordnung
■ Fall 1
■

❍


Fall 2
■ Fall 3
■ Fall 4
Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
■ Klassifizierungen
■ Fundamentalsystem von Lösungen
■ Erniedrigung der Ordnung
■ Superpositionssatz
■ Zerlegungssatz
■ Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mittels Quadraturen
■ Methode der Variation der Konstanten:
■ Methode von CAUCHY:
Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
■ Operatorenschreibweise
■ Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
■ Satz von HURWITZ
■ Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
■ 1. Fall
■ 2. Fall
■ EULERsche Differentialgleichung:
Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
■ Normalform
■ Homogene Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
■ Inhomogene Systeme linearer Differerentialgleichungen 1. Ordnung
■

■

■

■


Systeme zweiter Ordnung
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
■ Allgemeine Methoden
■ BESSELsche Differentialgleichung
■ Definierende Gleichung:
■ BESSEL- oder Zylinderfunktionen:
■ BESSEL-Funktionen mit imaginären Variablen:
■

■

■

LEGENDREsche Differentialgleichung
■ LEGENDREsche Polynome oder Kugelfunktionen 1. Art:
■ Eigenschaften der LEGENDREschen Polynome 1. Art:
■ LEGENDREsche Funktionen oder Kugelfunktionen 2. Art:
■ Hypergeometrische Differentialgleichung
■ LAGUERREsche Differentialgleichung
■ HERMITEsche Differentialgleichung
Randwertprobleme
■ Problemstellung
■ Begriff des Randwertproblems
■ Selbstadjungierte Differentialgleichung
■ STURM- LIOUVILLEsches Problem
■ Haupteigenschaften der Eigenfunktionen und Eigenwerte
■ Entwicklung nach Eigenfunktionen
■ Nichtsinguläre Fälle
■ Singuläre Fälle
■

❍

Formeln für BESSEL-Funktionen


●

Partielle Differentialgleichungen
❍ Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen
■ Integration der homogenen partiellen linearen Differentialgleichung
■ Integration der inhomogenen linearen und der quasilinearen partiellen Differentialgleichung
■ Geometrische Darstellung und Charakteristik des Systems
■ CAUCHYsches Problem
■ Nichtlineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung
■ Allgemeine Form der partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung
■ Kanonische Systeme von Differentialgleichungen
■ CLAIRAUTsche Differentialgleichung
■ Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
■ Lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung in vollständigen Differentialen
❍ Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
■ Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen
■ Allgemeine Form
■ Charakteristiken
■ Normalform oder kanonische Form
■ Verallgemeinerung:
■ Klassifikation und Eigenschaften der Differentialgleichungen
2. Ordnung mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen
■ Allgemeine Form
■ Lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten


Integrationsmethoden für lineare partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung
■ Methode der Variablentrennung
■ Lösung der Saitenschwingungsgleichung
■ Lösung der Stabschwingungsgleichung
■ Lösung der Membranschwingungsgleichung
■ Lösung des Dirichletschen Problems
■ Lösung der Wärmeleitungsgleichung
■ RIEMANNsche Methode zur Lösung des CAUCHYschen Problems der hyperbolischen
Differentialgleichung
■ GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen für elliptische
Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Variablen
■ GREENsche Methode zur Lösung von Randwertproblemen mit drei
unabhängigen Variablen
■ Vergleich der RIEMANNschen und der GREENschen Methode
■ Operatorenmethoden
■ Näherungsmethoden
Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft
und Technik
■ Problemstellungen und Randbedingungen
■ Problemstellungen
■ Anfangs- und Randbedingungen
■ Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen
■ Wellengleichung
■ Homogenes Problem
■ Inhomogenes Problem
■

❍


■

■
■

Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
■ Dreidimensionale Wärmeleitungsgleichung
■ Dreidimensionale Diffusionsgleichung
Potentialgleichung
Schrödinger-Gleichung
■ Begriff der SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Bestimmung und Abhängigkeiten
■ Besonderheiten
■ Zeitabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Zeitunabhängige SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Kräftefreie Bewegung eines Teilchens in einem Quader
■ Problemstellung:
■ Lösungsansatz:
■ Lösungen:
■ Spezialfall Würfel, Entartung:
■ Teilchenbewegung im radialsymmetrischen Zentralfeld
■ Problemstellung:
■ Lösungsansätze:
■ Lösung der Radialgleichung:
■ Lösung der Polargleichung:
■ Lösung der Azimutalgleichung:
■ Gesamtlösung für die Winkelabhängigkeit:
■ Parität:
■ Linearer harmonischer Oszillator
■ Problemstellung


Lösungsansatz und Lösungsgang
■ Physikalische Lösungen:
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
■ Physikalisch-mathematische Problemstellung
■ Begriff des Solitons
■ Wechselwirkung zwischen Solitonen
■ Nichtlineare Evolutionsgleichungen
■ KORTEWEG-DE-VRIES-Gleichung
■ Auftreten
■ Gleichung und Lösungen
■ Nichtlineare SCHRÖDINGER-Gleichung
■ Auftreten
■ Gleichung und Lösungen
■ Sinus- GORDON-Gleichung
■ Auftreten
■ Gleichung und Lösungen
■ Weitere nichtlineare Evolutionsgleichungen mit Solitonlösungen
■

❍


Wichtige Integrationsmethoden
●
●
●
●
●
●
●

Trennung der Variablen
Homogene Gleichungen oder Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen
Exakte Differentialgleichung
Integrierender Faktor
Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
BERNOULLIsche Differentialgleichung
RICCATIsche Differentialgleichung


Näherungsmethoden zur Integration von Differentialgleichungen 1. Ordnung
●
●
●
●

Methode der sukzessivem Approximation nach PICARD
Integration durch Reihenentwicklung
Graphische Integration von Differentialgleichungen
Numerische Integration


Stabilitätstheorie
●
●
●
●
●
●
●

Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
Stabilität periodischer Orbits
Klassifizierung periodischer Orbits
Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen


Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
●
●
●

Fortsetzbarkeit der Lösungen
Phasenporträt
Satz von Liouville


Problemstellung
●
●
●

Begriff des Randwertproblems
Selbstadjungierte Differentialgleichung
STURM- LIOUVILLEsches Problem


Charakteristiken
Charakteristiken der linearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung heißen die Integralkurven der
Differentialgleichung
(9.80)
Zu den drei Typen von Differentialgleichungen können hinsichtlich der Charakteristiken die folgenden allgemeinen
Aussagen getroffen werden:
1.
Hyperbolischer Typ: Es existieren zwei Scharen reeller Charakteristiken.
2.
Parabolischer Typ: Es existiert nur eine Schar reeller Charakteristiken.
3.
Elliptischer Typ: Es existieren keine reellen Charakteristiken.
4.
Eine Differentialgleichung, die sich aus (9.79a) durch Koordinatentransformationen ergibt, besitzt die gleichen
Charakteristiken wie (9.79a).
5.
Wenn die Schar der Charakteristiken mit einer Schar der Koordinatenlinien zusammenfällt, dann fehlt in
(9.79a) das Glied mit der zweiten Ableitung der unbekannten Funktion nach der betreffenden unabhängigen


Variablen. Im Falle der Differentialgleichung vom parabolischen Typ fehlt hierbei auch noch das Glied mit der
gemischten Ableitung.


Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
●
●
●
●

Operatorenschreibweise
Lösungen der homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Satz von HURWITZ
Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten


Zweidimensionaler Fall
Wenn die Integrabilitätsbedingung (8.127) erfüllt ist, dann ist über einen beliebigen Integrationsweg innerhalb des
Gültigkeitsbereiches von (8.127), der einen beliebigen festen Punkt
verbindet (s. Abbildung), die Stammfunktion

mit dem variablen Punkt

gleich dem Kurvenintegral:

(8.131)
Bei praktischen Rechnungen ist es bequem, einen zu den Koordinatenachsen parallelen Integrationsweg zu wählen,
d.h. einen der beiden Abschnitte

oder

, wenn dieser nicht außerhalb des Gültigkeitsbereiches von

(8.127) liegt. Somit gibt es zwei Formeln für die Berechnung der Stammfunktion
Differentials

:

und des vollständigen


(8.132a)

(8.132b)


Grundlegende Betrachtungen
●
●

Existenz einer Lösung
Allgemeine Lösung


Integralrechnung
8.1
APELBLAT, A.: Tables of Integrals and Series. -- Verlag H. Deutsch 1996.
8.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
8.3
BRYTSCHKOW, J.A.; MARITSCHEW, O.I.; PRUDNIKOV, A.P.: Tabellen unbestimmter Integrale. -- Verlag H.
Deutsch 1992.
8.4
COURANT, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1971-72.
8.5
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
8.6
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.


8.7
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 u. 3. -- Verlag H. Deutsch 1993-94.
8.8
GÜNTHER, P. (HRSG.): Grundkurs Analysis, Bd. 3. -- B. G. Teubner, Leipzig 1973.
8.9
HARBARTH, K.; RIEDRICH, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 4), 1978; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 4) 1978.
8.10
JOOS, G.E.; RICHTER, E.: Höhere Mathematik. Ein kompaktes Lehrbuch für Studium und Beruf. -- Verlag H.
Deutsch 1994.
8.11
KAMKE, E.: Das LEBESGUE-STIELTJES-Integral. -- B. G. Teubner; Leipzig 1960.
8.12
KNOPP, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. -- Springer-Verlag 1964.
8.13
KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig, (MINÖL, Bd. 5), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 5), 1979.
8.14
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K., HRG. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1 bis 4. -- S. Hirzel


Verlag 1989.
8.15
MANGOLDT, H. V.; KNOPP; LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. IV. -- S. Hirzel Verlag 1975.
8.16
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
8.17
PFORR, E.A.; SCHIROTZEK, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen. -- BSB B.
G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 2), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 2), 1978.
8.18
SCHELL, H.-J.: Unendliche Reihen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 3), 1974; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 3), 1978.
8.19
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
8.20
STÖCKER, H. (HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1995.
8.21
TRIEBEL, H.: Höhere Analysis. -- Verlag Harri Deutsch 1980.
8.22


ZACHMANN, H.G.: Mathematik für Chemiker. -- VCH, Weinheim 1990.


Trennung der Variablen
Wenn eine Differentialgleichung auf die Form
(9.6a)
gebracht werden kann, dann kann sie auch in der Form
(9.6b)
dargestellt werden, in der die Variablen
Gleichung (9.6a) durch

und

voneinander getrennt in zwei Termen auftreten. Dazu ist die

zu dividieren. Für das allgemeine Integral ergibt sich
(9.7)

Sollten für irgendwelche Werte
und

oder

die Funktionen

ebenfalls Integrale der Differentialgleichung.

oder

Null werden, dann sind


Beispiel
.


Lösung in Parameterform
Gegeben sei eine Differentialgleichung in der impliziten Form
(9.14)
Ein Verfahren, zu einer Auflösung nach
genau

Integralkurven verlaufen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

a) In dem Punkt

besitze die Gleichung

reelle Wurzeln

mit

insgesamt

.

b) Die Funktion
es gelte

zu kommen, geht von dem Satz aus, daß durch einen Punkt

und ihre ersten Ableitungen seien für

stetig, und

.

Wenn sich eine gegebene Gleichung nach

auflösen läßt, dann zerfällt sie in

Gleichungen von der eben


beschriebenen Form, nach deren Lösung man
Form

oder

Integralkurvenscharen erhält. Sollte sich eine Gleichung in der

darstellen lassen, dann erhält man, indem

Hilfsveränderliche verstanden wird, durch Differentiation nach

bzw.

gesetzt und

eine Gleichung in

als

bzw.

,

die nach der Ableitung aufgelöst ist. Ihre Lösung zusammen mit der Ausgangsgleichung (9.14) ergibt dann die
Lösung in Parameterform.
Beispiel
Es ist die Differentialgleichung
Differentiation nach

zu lösen. Man setzt

und erhält

und Setzen von

liefert

oder

Die Auflösung dieser in

linearen Gleichung ergibt

Ausgangsgleichung für

ergibt die Lösung in Parameterform.

.

. Einsetzen in die

.


Erste Glieder einiger Potenzen einer Potenzreihe
(7.79)
(7.80)

(7.81)

(7.82)


(7.83)

(7.84)


Prinzip
Die Differentialgleichung

-ter Ordnung
(15.48a)

mit den Anfangswerten

geht durch LAPLACE-

Transformation in die Gleichung

(15.48b)

über. Dabei ist

die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung.


Differentialgleichung 1. Ordnung
Original- und Bildgleichung lauten
(15.49a)
(15.49b)

wobei

. Für

ergibt sich dann

(15.49c)

(15.50a)

(15.50b)


(15.50c)


Differentialgleichung 2. Ordnung
Original- und Bildgleichung lauten
(15.51a)
(15.51b)

Für

ergibt sich dann

(15.51c)

Fallunterscheidungen:
(15.52a)


(15.52b)

(15.53a)
(15.53b)

(15.54a)

(15.54b)

Die Lösung

erhält man dann durch Faltung der Originalfunktionen des Zählers von

mit

.

Die Anwendung der Faltung wird man zu vermeiden und die rechte Seite möglichst direkt zu transformieren suchen.
Beispiel


Die Bildgleichung für die Differentialgleichung

mit

und

lautet

.
Durch Partialbruchzerlegung des zweiten und dritten Terms der rechten Seite, wobei man die
quadratischen Ausdrücke nicht in Linearfaktoren zerlegt, erhält man die Darstellung

und nach gliedweiser Transformation (s. Tafel der Korrespondenzen) die Lösung
.


Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
●
●
●
●
●
●

Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
Lineare Differentialgleichungen
Stabilitätstheorie
Invariante Mannigfaltigkeiten
Poincaré-Abbildung
Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen


Fall 4
ist eine Funktion von x allein:
(9.32a)
Die allgemeine Lösung erhält man durch

-malige Integration in der Form
(9.32b)

mit
(9.32c)

Hierbei ist zu beachten, daß
Änderung von

keine zusätzliche willkürliche Konstante ist, denn eine Änderung von

zieht eine

wegen
(9.32d)

nach sich.


Normalform oder kanonische Form
Zur Transformation der Differentialgleichung (9.79a) in die Normalform der linearen partiellen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung gibt es die folgenden Möglichkeiten:
1. Transformation in die Normalform: Die Differentialgleichung (9.79a) kann durch die Einführung neuer
unabhängiger Veränderlicher
(9.81a)
in Übereinstimmung mit dem Vorzeichen der Diskriminante (9.79b) auf eine der folgenden drei Normalformen
gebracht werden:
(9.81b)

(9.81c)


(9.81d)
Glieder, die keine partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der unbekannten Funktionen enthalten, sind durch Punkte
angedeutet.
2. Transformation in die Normalform (9.81b) beim hyperbolischen Typ: Wenn im hyperbolischen Fall zwei
Charakteristikenscharen als Koordinatenlinienscharen im neuen Koordinatensystem (9.81a) gewählt werden,
mit

d.h., wenn für die Gleichungen der Charakteristikenscharen
gesetzt wird, dann geht (9.79a) über in

(9.81e)
Diese Form heißt auch Normalform der Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ . Von hier gelangt man zur
Normalform (9.81b) mit Hilfe der Substitution
(9.81f)
3. Transformation in die Normalform (9.81c) beim parabolischen Typ: Für die Schar
wird die einzige in diesem Falle gegebene Charakteristikenschar gewählt, wobei für
beliebige Funktion von

und

gewählt werden kann, die aber nicht von

abhängen darf.

4. Transformation in die Normalform (9.81d) beim elliptischen Typ: Wenn die Koeffizienten
analytische Funktionen sind, dann definiert die Gleichung der

eine


Charakteristiken im elliptischen Falle zwei konjugiert komplexe Scharen von Kurven
. Wird
Gleichung in die Normalform (9.81d) über.

gesetzt, dann geht die


Verallgemeinerung:
Alle Aussagen zur Klassifizierung und Transformation auf die Normalform gelten auch für Gleichungen der
allgemeineren Form
(9.82)
in der die gesuchten Funktionen
nicht mehr nur linear auftreten.

und ihre partiellen Ableitungen

und

im Gegensatz zu (9.79a)


Fall 1
, d.h.,

tritt nicht explizit auf:
(9.29a)

Durch die Substitution
(9.29b)
kann die Ordnung der Differentialgleichung von

Beispiel

auf

reduziert werden.


mit der

Die Verringerung der Ordnung um 1 erfolgt für die Differentialgleichung
Substitution

, die auf

und damit auf
da

die Lösung

und
. Durch Kürzung mit

liefert, die in der allgemeinen Lösung für

führt
geht keine Lösung verloren,
enthalten ist.


Fall 2
, d.h.,

tritt nicht explizit auf:
(9.30a)

Die Ordnung der Differentialgleichung kann durch die Substitution
(9.30b)
von

auf

verringert werden. Wenn in der Ausgangsgleichung die ersten

Ableitungen fehlen, dann

lautet die Substitution
(9.30c)
Beispiel


Die Ordnung der Differentialgleichung

wird durch die Substitution

erniedrigt, so daß sich die CLAIRAUTsche Differentialgleichung

allgemeinen Lösung

ergibt. Daraus erhält man

. Aus der singulären Lösung der CLAIRAUTschen

Differentialgleichung
der zu lösenden Differentialgleichung.

erhält man die singuläre Lösung

mit der


Fall 3
ist eine homogene Funktion in

,

,

,...,

:
(9.31a)

Eine Erniedrigung der Ordnung kann durch die Substitution
(9.31b)
erreicht werden.
Beispiel
Die Differentialgleichung

wird durch die Substitution

mit der Ableitung

umgeformt. Die Ordnung wird dabei um 1 erniedrigt. Man erhält

folgt oder

.

, woraus


Partielle Differentialgleichungen aus Naturwissenschaft
und Technik
●
●
●
●
●

Problemstellungen und Randbedingungen
Wellengleichung
Wärmeleitungs- und Diffusionsgleichung für ein homogenes Medium
Potentialgleichung
Schrödinger-Gleichung


Allgemeine Vorgehensweise
Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion mindestens zweier Variablen:

. Da

die FOURIER-Transformation eine Integration bezüglich einer Variablen darstellt, ist die andere Variable bei der
Transformation als konstant zu betrachten. Hier wird

variabel und

fest gewählt:
(15.102)

Auch bei der Transformation von Ableitungen bleibt eine Variable fest, hier wieder

:
(15.103)

Für die Ableitungen nach

ist vorauszusetzen, daß sie mit dem FOURIER-Integral vertauschbar sind:
(15.104)

Damit erhält man im Bildbereich eine gewöhnliche Differentialgleichung. Außerdem sind die Rand- und
Anfangsbedingungen in den Bildbereich zu transformieren.


Allgemeine Vorgehensweise
Die Lösung einer partiellen Differentialgleichung ist eine Funktion mindestens zweier Variabler:

. Da

die LAPLACE-Transformation eine Integration bezüglich einer Variablen darstellt, ist die andere Variable bei der
Transformation als konstant zu betrachten:
(15.57)

Auch bei der Transformation von Ableitungen bleibt

fest:

(15.58)


Für die Ableitungen nach

ist vorauszusetzen, daß sie mit dem LAPLACE-Integral vertauschbar sind:

(15.59)

Damit erhält man im Unterbereich eine gewöhnliche Differentialgleichung. Außerdem sind die Rand- und
Anfangsbedingungen in den Bildbereich zu transformieren.


Physikalisch-mathematische Problemstellung
●
●
●

Begriff des Solitons
Wechselwirkung zwischen Solitonen
Nichtlineare Evolutionsgleichungen


Laplace-Operator
●
●
●

Definition
Darstellung des Laplace-Operators in verschiedenen Koordinaten
Spezielle Verknüpfungen von Nabla- und LAPLACE-Operator


Zusammenfassung
Ein Vektorfeld ist durch die Angabe seiner Quellen und Wirbel im gesamten Raum vollständig und eindeutig
bestimmt, falls alle diese Quellen und Wirbel im Endlichen liegen.


Problemstellungen und Randbedingungen
●
●
●

Problemstellungen
Anfangs- und Randbedingungen
Inhomogene Bedingungen und inhomogene Differentialgleichungen


Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen Mathematik
●
●

Berechnung mehrfacher Integrale
Lösung partieller Differentialgleichungen


Nablaoperator, Laplace-Operator
●
●
●
●
●

Nablaoperator
Rechenregeln für den Nablaoperator
Vektorgradient
Zweifache Anwendung des Nablaoperators
Laplace-Operator


Spezielle Verknüpfungen von Nabla- und LAPLACE-Operator
(13.77)

(13.78)

(13.79)

wobei

(13.80)


Eine Funktion von einer Veränderlichen
Eine Funktion von einer Veränderlichen

sei gegeben durch die Gleichung
(6.51a)

Durch Differentiation dieser Gleichung nach

ergibt sich mit Hilfe von (6.49b)
(6.51b)

und
(6.51c)
Differentiation von (6.51b) liefert auf die gleiche Weise
(6.51d)
so daß man unter Berücksichtigung von (6.51b) erhält
(6.51e)
Durch analoges Vorgehen berechnet man


(6.51f)
was nach

aufgelöst werden kann.


Eine Funktion von mehreren Veränderlichen
Eine Funktion von mehreren Veränderlichen

sei gegeben durch die

Gleichung
(6.52a)
Die partiellen Ableitungen

(6.52b)

werden in Analogie zum eben demonstrierten Fall ermittelt, aber mit Hilfe der Formeln (6.50b). Auf dieselbe Weise
werden die partiellen Ableitungen höherer Ordnung berechnet.


Zwei Funktionen von einer Veränderlichen
Zwei Funktionen von einer Veränderlichen

und

seien gegeben durch das

Gleichungssystem
(6.53a)
Differentiation von (6.53a) gemäß (6.49b) liefert
(6.53b)
(6.53c)
Die zweiten Ableitungen
Berücksichtigung von

und
und

werden in derselben Weise durch Differentiation von (6.53b) unter
berechnet.


n Funktionen von einer Veränderlichen
Funktionen von einer Veränderlichen
System von

seien gegeben durch ein

Gleichungen
(6.54a)

Differentiation von (6.54a) mit Hilfe von (6.49b) liefert

(6.54b)

Auflösen von (6.54b) liefert die gesuchten Ableitungen
Auf die gleiche Weise werden die Ableitungen höherer Ordnung bestimmt.

.


Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen
Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen

seien gegeben durch das

Gleichungssystem
(6.55a)
Differentiation von (6.55a) nach

und

mit Hilfe von (6.49b) liefert

(6.55b)

(6.55c)


Auflösen des Systems (6.55b) nach

und des Systems (6.55c) nach

Ableitungen erster Ordnung.
Die Ableitungen höherer Ordnung werden auf gleiche Weise berechnet.

ergibt die partiellen


Parameterintegrale
●
●
●

Definition
Differentiation unter dem Integralzeichen
Integration unter dem Integralzeichen


Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
In der folgenden Tabelle sind die -ten Ableitungen für die einfachsten Funktionen zusammengestellt.
Tabelle Ableitungen höherer Ordnung einiger elementarer Funktionen
-te Ableitung

Funktion

(für ganzzahliges

und

ist die

-te Ableitung gleich 0)


für gerades

,

für ungerades

für gerades

,

für ungerades


Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen
Tabelle Ableitungen elementarer Funktionen in Intervallen, in denen diese definiert
und die auftretenden Nenner
Funktion
(Konstante)

Ableitung
0

1

0 sind
Funktion

Ableitung


)

Weitere Ableitungen elementarer Funktionen können aus der Umkehrung der Integrationsergebnisse in der Tabelle
Unbestimmte Integrale elementarer Funktionen gewonnen werden.
Hinweis: Bei der Lösung praktischer Aufgaben ist es zweckmäßig, vor dem Differenzieren einer Funktion diese, sofern das


möglich ist, in eine Summe umzuformen, indem Klammerausdrücke aufgelöst und ganzrationale Teile abgespaltet werden oder
der Ausdruck logarithmiert wird.
Beispiel A

Beispiel B


Eigenschaften der Z-Transformation
●
●
●
●
●

Diskrete Funktionen
Definition der Z-Transformation
Rechenregeln
Zusammenhang mit der Laplace-Transformation
Umkehrung der Z-Transformation


Arithmetische Reihen
●

Definition
Arithmetische Reihe 1. Ordnung

●

Arithmetische Reihe

●

-ter Ordnung


Analytische Funktionen
●
●
●
●

Definition der analytischen Funktion
Beispiele analytischer Funktionen
Eigenschaften analytischer Funktionen
Singuläre Punkte


Stetigkeit, Differenzierbarkeit
●
●
●
●

Definition der komplexen Funktion
Grenzwert der komplexen Funktion
Stetigkeit der komplexen Funktion
Differenzierbarkeit der komplexen Funktion


Dimensionen
●
●
●
●

Metrische Dimensionen
Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé
Beispiele von Attraktoren


Beispiele von Attraktoren
●
●
●

Hufeisen-Abbildung
Dissipative Bäcker-Abbildung
Solenoid oder Solenoid-Attraktor


Bäume und Gerüste
●
●

Bäume
Gerüste


Rechenschema
Das Rechenschema für den Schritt von

nach

zur genäherten Lösung der Anfangswertaufgabe

(19.93) lautet:

(19.99)

Die weiteren Schritte erfolgen nach demselben Schema. Der Fehler des RUNGE-KUTTA-Verfahrens gemäß (19.99) ist
von der Größenordnung
Beispiel

, so daß bei geeigneter Wahl der Schrittweite eine sehr hohe Genauigkeit erzielt wird.


mit

.

ist in einem Schritt, d.h.

folgende Tabelle). Der auf 8 Dezimalen genaue Wert lautet 0,01041860.

, zu bestimmen (s. die


Kantenfolgen
●
●
●
●

Kantenfolgen
Zusammenhängende Graphen, Komponenten
Abstand zweier Knoten
Problem des kürzesten Weges


Fourier-Reihen
●
●
●
●
●

Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe
Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen
Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
Fourier-Reihe und Fourier-Integral
Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen


Tensoren mit speziellen Eigenschaften
●
●

Tensoren 2. Stufe
Invariante Tensoren


Mehrfache multiplikative Verknüpfungen
●
●
●
●
●

Doppeltes Vektorprodukt
Gemischtes Produkt
Formeln für mehrfache Produkte
Formeln für Produkte in kartesischen Koordinaten
Formeln für Produkte in affinen Koordinaten


Skalarprodukt und Vektorprodukt
●
●
●

Skalare Multiplikation
Vektorielle Multiplikation
Eigenschaften der Produkte von Vektoren


Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
●
●
●
●

Vergleichskriterium
Quotientenkriterium von d'Alembert
Wurzelkriterium von Cauchy
Integralkriterium von Cauchy


Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten
Formal betrachtet wird mit komplexen Zahlen
Binomen, nur daß

in der gleichen Weise gerechnet wie mit gewöhnlichen

zu berücksichtigen ist. Bei Divisionen komplexer Zahlen durch eine andere komplexe

Zahl wird zuerst der Imaginärteil des Nenners beseitigt, indem Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl
des Nenners multipliziert werden. Das ist möglich, weil
(1.141)
eine reelle Zahl liefert.
Beispiel


.


Rechnen mit komplexen Zahlen

●

Addition und Subtraktion
Multiplikation
Division
Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten
Potenzieren einer komplexen Zahl

●

Radizieren oder Ziehen der

●
●
●
●

-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl


Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
●
●

Normalisierte Dezimalzahlen
Grundoperationen des numerischen Rechnens


Elementare Rechenregeln
●
●
●
●
●
●
●
●

Zahlen
Beweismethoden
Summen und Produkte
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Algebraische Ausdrücke
Ganzrationale Ausdrücke
Gebrochenrationale Ausdrücke
Irrationale Ausdrücke


Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind
In diesem Abschnitt werden die folgenden Bezeichnungen benutzt:
Manteloberfläche,

●
●
●
●
●

- Höhe,

Zylinderförmige Körper
Kegelförmige Körper
Kugel und Teile von Kugeln
Torus oder Kreisring
Tonnenkörper

- Grundfläche.

- Volumen,

- Gesamtoberfläche,

-


Berechnung des Doppelintegrals
Die Berechnung des Doppelintegrals wird auf die nacheinanderfolgende Berechnung zweier Integrale zurückgeführt,
die je nach dem verwendeten Koordinatensystem verschieden aussieht.
●
●
●

Berechnung in kartesischen Koordinaten
Berechnung in Polarkoordinaten
Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten


Begriff des Doppelintegrals
●
●
●

Definition
Existenzsatz
Geometrische Bedeutung


Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten
Es werden nur Punkte betrachtet, die invariant sind gegenüber Koordinatentransformationen. Die Bestimmung von
Maxima und Minima wird unter Bestimmung von Extremwerten im Kapitel Differentialrechnung betrachtet.
●
●
●
●

Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung
Scheitel
Singulärer Punkt
Asymptoten


Algebra und Diskrete Mathematik, Gruppentheorie
5.9
ALEXANDROFF, P.S.: Einführung in die Gruppentheorie. -- Verlag H. Deutsch 1992.
5.10
BELGER, M., EHRENBERG, L.: Theorie und Anwendungen der Symmetriegruppen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig, (MINÖL Bd. 23), 1981; Verlag H. Deutsch (MINÖA Bd. 23), 1981.
5.11
FÄSSLER, A.; STIEFEL, E.: Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendungen. -- Birkhäuser-Verlag 1992.
5.12
HEIN, W.: Struktur und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen. -- Springer-Verlag 1990.
5.13
LIDL, R., PILZ, G.: Angewandte abstrakte Algebra I. -- BI-Wissenschaftverlag 1982.
5.14
MARGENAU, M., MURPHY, G.M.: Die Mathematik für Physik und Chemie. -- B. G. Teubner, Leipzig 1964; Verlag
H. Deutsch 1965.


5.15
MATHIAK, K., STINGL, P.: Gruppentheorie für Chemiker, Physiko-Chemiker, Mineralogen. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1970.
5.16
STIEFEL, E., FÄSSLER, A.: Gruppentheoretische Methoden und ihre Anwendung. -- B. G. Teubner 1979.
5.17
ZACHMANN, H.G.: Mathematik für Chemiker. -- VCH, Weinheim 1990.


Punktspiegelung am Koordinatenursprung
●
●

Tensorverhalten bei Rauminversion
Geometrische Deutung


Grundlegende Begriffe und Formeln, ebene Koordinatensysteme
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Ebene Koordinaten und ebene Koordinatensysteme
Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten
Polarkoordinaten
Krummlinige Koordinaten
Koordinatentransformationen
Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt
Abstand zwischen zwei Punkten
Koordinaten des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes)
Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis:
Goldener Schnitt:
Flächeninhalte
Gleichung einer Kurve


Symmetrie
●
●
●
●

Zentrale Symmetrie
Axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie
Kongruente Dreiecke, Kongruenzsätze
Ähnliche Dreiecke, Ähnlichkeitssätze


Geodätische Anwendungen
●
●
●
●

Geodätische Koordinaten
Winkel in der Geodäsie
Koordinatentransformationen
Vermessungstechnische Anwendungen


2. Grundaufgabe WWW
Gegeben: 3 Winkel
Bedingungen:

1. Lösung: Gesucht


(3.191a)

(3.191b)
2. Lösung: Gesucht
(3.192a)

(3.192b)

(3.192c)

(3.192d)
Proben:
(3.193a)
(3.193b)


Grundformeln und Sätze
●
●
●
●

Zyklische Vertauschungen
Sätze
Weitere Beziehungen
Strecken im Dreieck und Fläche


Ebene Trigonometrie
●
●
●

Rechtwinklige ebene Dreiecke
Berechnungen in schiefwinkligen ebenen Dreiecken
Geodätische Anwendungen


Polardreieck
●
●

Pole und Polare
Polardreieck


Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel
●
●
●
●
●
●
●

Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel
Spezielle Koordinatensysteme
Sphärisches Zweieck
Sphärisches Dreieck
Polardreieck
Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke
Dreikant


Sphärische Trigonometrie
Bei geodätischen Messungen, die sich über größere Entfernungen erstrecken, muß die Kugelgestalt der Erde
berücksichtigt werden. Dazu ist eine Geometrie auf der Kugel erforderlich. Insbesondere werden Formeln zur
Berechnung sphärischer Dreiecke benötigt, also für Dreiecke, die auf einer Kugel liegen. Das wurde schon im alten
Griechenland erkannt, und so kam es neben der Entwicklung der ebenen Trigonometrie zur Entwicklung der
sphärischen Trigonometrie, als deren Begründer HIPPARCH (um 150 v. u. Zeit) anzusehen ist.
●
●
●

Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel
Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke
Berechnung sphärischer Dreiecke


Orthodrome
●
●
●
●
●
●
●
●

Begriffsbestimmung
Gleichung der Orthodrome
Winkel-Rückversetzung
Nordpolnächster Punkt und Äquatorschnittpunkte
Bogenlänge
Kurswinkel
Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Schnittpunkt mit einem Meridian


Kleinkreis
●
●
●
●
●
●
●

Begriffsbestimmung
Kleinkreisgleichungen
Bogenlänge
Kurswinkel
Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
Tangierpunkte
Schnittpunkte mit einem Meridian


Loxodrome
●
●
●
●
●
●

Begriffsbestimmung
Gleichung der Loxodrome
Bogenlänge
Kurswinkel
Schnittpunkt mit einem Breitenkreis
Schnittpunkte mit einem Meridian


Spezielle Formeln
Im rechtwinklig sphärischen Dreieck ist einer der drei Winkel gleich
ebenen rechtwinkligen Dreieck bezeichnet.

Wenn wie in der Abbildung
und

ein rechter Winkel ist, dann heißt die Seite

Die Seiten und Winkel werden analog zum

Hypotenuse,

und

heißen Katheten;

sind die Kathetenwinkel. Aus den Gleichungen (3.172a) bis (3.186) folgt für
(3.187a)
(3.187b)


(3.187c)
(3.187d)
(3.187e)
(3.187f)
(3.187g)
(3.187h)
(3.187i)
(3.187j)
Treten bei bestimmten Aufgaben andere Seiten und Winkel auf, z.B. anstelle von

die Größen

dann können die erforderlichen Gleichungen durch zyklische Vertauschung gewonnen werden.

,


1. Grundaufgabe SSS
Gegeben: 3 Seiten
Bedingungen:

1. Lösung: Gesucht


(3.188a)
oder
(3.188b)

(3.188c)
2. Lösung: Gesucht
(3.189a)

(3.189b)

(3.189c)

(3.189d)
Proben:
(3.190a)


(3.190b)


4. Grundaufgabe WSW
Gegeben: 1 Seite und die zwei anliegenden Winkel, z.B.
Bedingungen: Keine.


1. Lösung: Gesucht

bzw.

und
(3.199a)
(3.199b)

kann im I. oder II. Quadranten liegen. Zwei Entscheidungsmöglichkeiten:
❍ Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber oder
❍ Durchführung einer Kontrollrechnung:
(3.200)
2. Lösung: Gesucht

bzw.

und
(3.201a)
(3.201b)

(3.201c)
3. Lösung: Gesucht

und (oder)

(3.202a)


(3.202b)

(3.202c)
(3.202d)
4. Lösung: Gesucht

(3.203a)

(3.203b)

(3.203c)
(3.203d)


(3.203e)

(3.203f)

Probe: Doppelte Berechnung von
Hinweis: Die Lösung der 4. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden.
Dazu wird von

das sphärische Lot auf

bis

gefällt.


5. Grundaufgabe WWW
Gegeben: 2 Seiten und der einer Seite gegenüberliegende Winkel, z.B.
Bedingungen: Siehe Fallunterscheidung.

Lösung: Gesucht: beliebige fehlende Größe
(3.204)


Zwei Werte

sind möglich. Es sei

spitz und

stumpf.

Fallunterscheidung:
1.
d.h. 0 Lösungen.
2.
d.h. 1 Lösung

.

3.
d.h. weitere Fallunterscheidungen sind notwendig:

3.1.

Weitere Fallunterscheidung:

3.1.1.
1 Lösung:
3.1.2.

.


1 Lösung:
3.2.

.
Weitere Fallunterscheidung:

3.2.1.

,
d.h. 2 Lösungen

3.2.2.

.
,

d.h. 0 Lösungen.
Fortführung: Weitere Berechnung mit einem Winkel oder 2 Winkeln
Hinweis Die Lösung der 5. Grundaufgabe kann auch durch Zerlegung des vorliegenden schiefwinklig sphärischen
Dreiecks in zwei rechtwinklig sphärische Dreiecke herbeigeführt werden, wobei die Seiten

und

auftreten.


Dazu wird von
das sphärische Lot auf
bis
gefällt.
Formeln zur 5. Grundaufgabe bei Zerlegung in zwei rechtwinklige sphärische Dreiecke:
1. Weg:
(3.205a)
(3.205b)
(3.205c)
(3.205d)
2. Weg:


(3.206a)

(3.206b)

Probe: Doppelte Berechnung von


Berechnung der Ansatzkoeffizienten
Man bestimmt die Ansatzkoeffizienten
(19.145a) für alle Ansatzfunktionen

durch die Forderung, daß der Ansatz (19.147) die Variationsaufgabe
erfüllt, d.h., in (19.145a) wird

für

und

für

gesetzt. Auf diese Weise ergibt sich das lineare Gleichungssystem

(19.151)
zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten. In (19.151) bedeuten:
(19.152)

Bei der Berechnung von
die Gebiete

und

Schraffur gekennzeichnet.

ist zu beachten, daß Beiträge zur Integration nur die Fälle liefern, in denen
keinen leeren Durchschnitt haben. Diese Gebiete sind in der folgenden Tabelle durch


Hilfstabelle zur FEM

Flächenstückauswahl

Graphische
Darstellung

Dreiecke
von


0


Die Integration erfolgt jeweils über ein Dreieck mit dem Flächeninhalt
Ableitungen nach

, so daß die Anteile der partiellen

ergeben:
(19.153a)


Analog erhält man für die Anteile der partiellen Ableitungen nach

:
(19.153b)

Die Berechnung der rechten Seite

von (19.151)ergibt:

(19.154a)

wobei mit
(s. Abbildung).

das Volumen der von

über

beschriebenen Pyramide der Höhe 1 bezeichnet wird


Wegen
(19.154b)

Damit ergeben die Variationsgleichungen (19.151) das lineare Gleichungssystem
(19.155)
für die Bestimmung der Ansatzkoeffizienten.


Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz reeller Zahlen
Für alle reellen Zahlen

gilt
(1.111)

Der Absolutbetrag der Differenz zweier reeller Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe bzw. größer oder gleich der
Differenz der Absolutbeträge dieser Zahlen.


Definition des Vektors, Rechenregeln
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Skalare und Vektoren
Polare und axiale Vektoren
Modul (Absolutbetrag des Vektors) und Raumrichtung
Gleichheit von Vektoren
Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren
Spezielle Vektoren
Linearkombinationen von Vektoren
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Zerlegung von Vektoren


Begriff des Dreifachintegrals
●
●

Definition
Existenzsatz


Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke
●
●
●

Allgemeine Aussagen
Grundformeln und Anwendungen
Weitere Formeln


Anwendungen in Mechanik und Physik
●
●
●
●
●

Weg eines Punktes
Arbeit
Druck
Trägheitsmomente
Schwerpunkte, GULDINsche Regeln


Dualitätsaussagen
a)
Besitzen beide Probleme zulässige Punkte, d.h.,

, dann gilt
(18.21a)

und für beide Probleme existieren Optimalpunkte.
b)
Die Punkte

und

sind genau dann Optimalpunkte des jeweiligen Problems, wenn gilt:
(18.21b)

c)
Ist

über

nach oben bzw.

über

nach unten unbeschränkt, so ist

bzw.

.
d)
Die Punkte

und

sind genau dann Optimalpunkte der jeweiligen Aufgaben, wenn gilt:


(18.21c)

An Hand der letzten beiden Beziehungen kann man aus einer nicht entarteten Optimallösung
Problems eine Lösung

des dualen

des primalen Problems aus dem folgenden linearen Gleichungssystem ermitteln:
(18.22a)
(18.22b)
(18.22c)

Zur Lösung des dualen Problems kann das Simplexverfahren verwendet werden.


Einsatzgebiete der dualen Aufgabe
Die Bearbeitung des dualen Problems kann in den folgenden Fällen von Vorteil sein:
a)
Wenn für das duale Problem eine Normalform leichter zu finden ist, geht man von der primalen zur dualen
Aufgabe über.
b)
Wenn im primalen Problem die Anzahl der Restriktionen groß gegenüber der Anzahl der Variablen ist, so kann
bei der Lösung des dualen Problems mit dem revidierten Simplexverfahren der Rechenaufwand verringert
werden.
Beispiel


Für das Beispiel aus Abschnitt Ecke und Basis gilt ohne Schlupfvariablen.
Primales Problem:

Duales Problem:


NB :

Wird das duale Problem nach Einführung von Schlupfvariablen und Aufstellung eines ersten
Simplextableaus mit dem Simplexverfahren gelöst, dann ergibt sich unter Vernachlässigung der
mit

Schlupfvariablen in der Lösung:
Daraus kann eine Lösung

des primalen Problems über das System

ermittelt werden, d.h.,
folgt

.
für

, so daß schließlich
mit

.


Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben
●
●

Konvexe Optimierung
Quadratische Optimierung


Problemstellung und theoretische Grundlagen
●
●
●

Problemstellung
Optimalitätsbedingungen
Dualität in der Optimierung


Haupteigenschaft der Parabel
(Definition der Parabel) Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte

die von einem festen Punkt,

dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der Leitlinie, gleich große Entfernung besitzen.

Hier und in den folgenden Formeln in kartesischen Koordinaten wird die Normalform der Parabelgleichung


angenommen. Dann ist
(3.343)
wobei

der vom Brennpunkt ausgehende Radiusvektor des Parabelpunktes ist.


Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen
●

Durchschnitt und Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen

●

Tabelle der

- und

-Normen


Tabelle der - und

-Normen
Tabelle der

Autor

-Norm

- und

-Normen,

-Norm

ZADEH

Durchschnitt:

Vereinigung:

LUKASIEWICZ

beschränkte Differenz

beschränkte Summe

algebraisches Produkt

algebraische Summe


drastisches Produkt

drastische Summe

HAMACHER

Produkt

Summe

EINSTEIN

Produkt

Summe

FRANK


YAGER

SCHWEIZER

DOMBI

WEBER


DUBOIS

Hinweis zur Tabelle: Es existiert eine Ordnungsrelation für die in der Tabelle aufgelisteten
Rückgabewerte:

- und

-Normen bezüglich ihrer
(5.269)


Umwandlung kontinuierlicher und diskreter fuzzy-wertiger Mengen:
Wird eine kontinuierliche fuzzy-wertige Menge, dargestellt durch ihre Zugehörigkeitsfunktion, diskretisiert, so entsteht
eine Menge von Singletons. Umgekehrt kann durch Interpolation von Zwischenwerten eine diskrete Menge in eine
kontinuierliche Menge umgewandelt werden.


Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors
●
●
●

Definitionen
Darstellung der Koordinaten mit Hilfe von Skalarprodukten
Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten


Kanten, Ecken, Raumwinkel
●
●
●
●

Kante
Ecke
Dreiseitige Ecken
Raumwinkel


Tensoren 2. Stufe
●
●

Rechenregeln
Hauptachsentransformation


Gleichung der Einhüllenden
Die Gleichung der Einhüllenden wird aus (3.461) berechnet, indem
wird:

aus dem folgenden Gleichungssystem eliminiert

(3.462)

Beispiel
Es ist die Gleichung der Geradenschar zu bestimmen, die dadurch entsteht, daß die Enden einer Strecke
entlang der Koordinatenachsen gleiten.


Die Gleichung der Kurvenschar lautet:
oder

Durch Eliminierung von

ergibt sich mit

als Einhüllende eine Astroide.


Kegel und Halbordnung
●
●

Kegel
Halbordnung


Kanonische Normalformen
Unter den kanonischen Normalformen eines BOOLEschen Ausdrucks

versteht man die kanonischen

Normalformen der zugehörigen BOOLEschen Funktion
Oft bereitet die Überprüfung der Wertverlaufsgleichheit zweier BOOLEscher Ausdrücke durch Umformung Probleme.
Hilfreich sind dann die kanonischen Normalformen: Zwei BOOLEsche Ausdrücke sind genau dann wertverlaufsgleich,
wenn die zugehörigen eindeutig bestimmten kanonischen Normalformen Zeichen für Zeichen übereinstimmen.
Beispiel
Die Ausdrücke

und

sind untereinander wertverlaufsgleich, weil beide die kanonisch disjunktive (bzw. konjunktive) Normalform
haben.


Lösungsverhalten
Aus der im Ergebnis der GAUSS-Schritte erhaltenen Matrix (4.116) liest man für das zu lösende inhomogene lineare
Gleichungssystem ab:

1. Fall: Das System ist unlösbar, wenn eine der Zahlen

von Null verschieden

ist.
2. Fall: Das System ist lösbar, wenn gilt
Weiterhin ist zu unterscheiden:
a)
b)

Die Lösung ist eindeutig.
Die Lösung ist nicht eindeutig;

Unbekannte sind als Parameter frei wählbar.

Im Falle der Lösbarkeit werden die Unbekannten sukzessiv, mit der letzten Gleichung beginnend, aus dem
gestaffelten Gleichungssystem, das zu (4.116) gehört, bestimmt.
Beispiel A


Nach drei GAUSS-Schritten
hat die erweiterte Koeffizientenmatrix die Form
Die Lösung ist eindeutig, und aus dem zugehörigen gestaffelten linearen Gleichungssystem folgt
.

Beispiel B

Nach zwei GAUSS-Schritten hat
die erweiterte Koeffizientenmatrix
die Form
Eine Lösung existiert, aber sie ist nicht eindeutig. Man kann eine Unbekannte als freien Parameter wählen,


z.B.

und erhält:


Integration trigonometrischer Funktionen
Hinweis: Die Tabelle Unbestimmte Integrale enthält eine große Anzahl von Integralen mit trigonometrischen
Funktionen.
●
●

Substitution
Vereinfachte Methoden


Lyapunov-Exponenten
●
●
●
●

Singulärwerte einer Matrix
Definition der Lyapunov-Exponenten
Berechnung der Lyapunov-Exponenten
Metrische Entropie und LYAPUNOV-Exponenten


Entropien
●
●

Topologische Entropie
Metrische Entropie


Symmetrie 4. Art
Wenn die Funktion

ungerade ist und außerdem der Symmetrie 3. Art genügt (s. linke Abbildung), dann gilt für

die Koeffizienten
(7.104)

Wenn die Funktion

gerade ist und außerdem der Symmetrie 3. Art genügt (s. rechte Abbildung), dann gilt für

die Koeffizienten

(7.105)


Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
Wenn die periodische Funktion

von Punkten

mit

kompliziert ist oder im Intervall

nur für ein diskretes System

bekannt ist, muß die Berechnung der FOURIER-

Koeffizienten näherungsweise erfolgen. Dabei kann z.B. bei der Auswertung von Meßergebnissen die Zahl
groß sein. In diesen Fällen wendet man die
Methoden der numerischen harmonischen Analyse an.

sehr


Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen
●
●

Symmetrien verschiedener Art
Formen der Entwicklung in eine FOURIER-Reihe


Symmetrien verschiedener Art
●
●
●
●

Symmetrie 1. Art
Symmetrie 2. Art
Symmetrie 3. Art
Symmetrie 4. Art


Symmetrie 2. Art
Wenn

eine ungerade Funktion ist, d.h. wenn

(s. Abbildung), dann gilt für die

Koeffizienten
(7.102)


Evoluten und Evolventen
●

Evolute


Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses
eigetreten ist, die sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeit

unter der Bedingung, daß das Ereignis
oder

bereits

wird definiert durch
(16.37)

Es gilt:
1.
Falls

und

, so ist
(16.38a)

2.
Falls

, so ist
(16.38b)


Zylinderförmige Körper
●
●
●
●
●
●

Zylinderfläche
Zylinder
Gerade Kreiszylinder
Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
Zylinderabschnitt, auch Zylinderhuf
Hohlzylinder


Äquivalenzklassen, Zerlegungen
●
●

Äquivalenzklassen
Zerlegungssatz


Grundbegriffe
●
●
●

FOURIER-Darstellung periodischer Funktionen ( FOURIER-Analyse)
FOURIER-Reihe
Komplexe Darstellung der FOURIER-Reihe


Konstruktion einer geschlossenen EULERschen Linie
Ist

ein EULERscher Graph, dann wähle man einen beliebigen Knoten
, einen Kantenzug

, den man nicht mehr fortsetzen kann. Enthält

bilde man ausgehend von einem Knoten

, der von

enthaltenen Kante indiziert, einen Kantenzug
und

Kantenzug zu
EULERsche Linie.

aus ganz

und konstruiere, ausgehend von

noch nicht alle Kanten von

durchlaufen wird und in

so

mit einer nicht in

den man nicht mehr fortsetzen kann. Die beiden Kantenzüge

setze man zu einem geschlossenen Kantenzug von

durchläuft, von

in

zusammen, indem man von

aus

durchläuft, und danach über die noch nicht benutzten Kanten von

bis
den

fortsetzt. Eine Fortsetzung des Verfahrens liefert nach endlich vielen Schritten eine geschlossene


Sätze von Fermat, Euler und Wilson
●
●
●

EULERsche Funktion
Satz von FERMAT-EULER
Satz von Wilson


Geometrische Veranschaulichung
●
●
●
●
●

Vektordarstellung
Gleichheit komplexer Zahlen
Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
Exponentialform einer komplexen Zahl
Konjugiert komplexe Zahlen


Unterabschnitte
●

Zusammenhang zwischen EULERschen und BERNOULLIschen Zahlen

Zweite Definition der EULERschen Zahlen
Zur Definition der EULERschen Zahlen kann man in Analogie zu (7.60c) von der Rekursionsformel
(7.61b)
ausgehen, wobei auch hier nach Anwendung des binomischen Satzes überall

durch

zu ersetzen ist. Für

die ersten Zahlen gilt:

(7.61c)


Es besteht der Zusammenhang
(7.61d)
Tabelle Erste EULERsche Zahlen

1

1

5

50521

2

5

6

2702765

3

61

7

199360981

4

1385

Zusammenhang zwischen EULERschen und BERNOULLIschen Zahlen
Zwischen den EULERschen und den BERNOULLIschen Zahlen besteht der Zusammenhang
(7.62)


Verschiedene andere Kurven
●
●

Kettenlinie oder Katenoide
Schleppkurve oder Traktrix


Exponentialfunktionen und logarithmische
Funktionen
●
●
●
●
●
●

Exponentialfunktion
Logarithmische Funktionen
GAUSSsche Glockenkurve
Exponentialsumme
Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion


Definition
Eine Gleichung
algebraisch ist.
Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

Beispiel D

ist transzendent, wenn wenigstens eine der Funktionen

oder

nicht


Beispiel E

Beispiel F

In manchen Fällen kann die Lösung transzendenter Gleichungen z.B. durch geeignete Substitutionen auf die Lösung
algebraischer Gleichungen zurückgeführt werden. Im allgemeinen können transzendente Gleichungen jedoch nur
näherungsweise gelöst werden. Im folgenden werden einige Fälle betrachtet, die sich auf algebraische Gleichungen
zurückführen lassen.


Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische
●
●
●
●
●

Definition
Exponentialgleichungen
Logarithmische Gleichungen
Trigonometrische Gleichungen
Gleichungen mit Hyperbelfunktionen


Gaußsche Quadraturformeln
Setzt man in (19.81) als Integrationsintervall

, und wählt man als Stützstellen die Nullstellen der

LEGENDREschen Polynome (s. auch Tabelle LEGENDREsche Polynome) , dann können die Koeffizienten
bestimmt werden, daß die Formel (19.81) Polynome bis zum Grad
LEGENDREschen Polynome liegen symmetrisch zum Nullpunkt. Für die Fälle

so

exakt integriert. Die Nullstellen der
und 3 erhält man:


(19.82)

Hinweis: Durch die Transformation

Intervall
dann:

läßt sich das allgemeine Integrationsintervall auf das

transformieren. Mit den obigen für das Intervall

gültigen Werten für

und

gilt


(19.83)


Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes
Ein relatives Maximum oder Minimum kann bei einer stetigen Funktion nur in den Punkten auftreten, in denen die
Ableitung entweder verschwindet oder nicht definiert ist. Das bedeutet: In den Kurvenpunkten, die relativen
Extremwerten entsprechen, verläuft die Tangente entweder parallel zur

-Achse (linke Abbildung) oder parallel zur

-Achse (mittlere Abbildung) oder sie existiert gar nicht (rechte Abbildung).


Allerdings handelt es sich hierbei nicht um hinreichende Bedingungen, was an Hand der Punkte

in der

folgenden Abbildung erkennbar ist, für die diese Bedingungen erfüllt sind, in denen es aber keine Extrema gibt.


Wenn eine stetige Funktion relative Extremwerte besitzt, dann wechseln Maxima und Minima einander ab, so daß
zwischen zwei benachbarten Maxima stets ein Minimum liegt und umgekehrt.


Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen
●
●
●
●
●

Definition
Geometrische Bedeutung
Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Veränderlichen
Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen


Geometrische Bedeutung
Geometrisch betrachtet entspricht der relative Extremwert einer Funktion zweier Veränderlicher, die in einem
kartesischen Koordinatensystem als Fläche dargestellt ist, einem Punkt

, in dem die Applikate der Fläche größer

oder kleiner ist als die Applikate aller beliebigen anderen Punkte in hinreichend kleiner Entfernung vom Punkt
d.h. in einem Gebiet kleiner Ausdehnung, das den Punkt

enthält.

,


Wenn die Fläche im Punkt

der ein relatives Extremum darstellt, eine Tangentialebene besitzt, dann verläuft diese

parallel zur

-Ebene (linke und mittlere Abbildung). Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür,

daß im Punkt

ein Maximum oder Minimum vorhanden ist. In der rechten Abbildung zeichnet sich die Fläche im

durch eine horizontale Tangentialebene aus, doch besitzt die Funktion dort kein Extremum, sondern einen
Punkt
Sattelpunkt.


Seiten
Summe der Seiten: Die Summe der Seiten liegt zwischen

und

:
(3.166)

Summe zweier Seiten: Die Summe zweier Seiten ist größer als die dritte, z.B.
(3.167)
Differenz zweier Seiten: Die Differenz zweier Seiten ist kleiner als die dritte Seite, z.B.
(3.168)


Allgemeine Aussagen
Für ein EULERsches Dreieck mit den Seiten

und

denen die Winkel

Beziehungen, die in den folgenden Abschnitten zusammengestellt sind.
●
●
●

Seiten
Winkel
Flächeninhalt

und

gegenüberliegen, gelten


Bestimmung der Kurve durch fünf Punkte
Durch fünf vorgegebene Punkte kann eine und nur eine Kurve 2. Ordnung gehen. Wenn drei dieser Punkte auf einer
Geraden liegen, dann ergibt sich ein zerfallender Kegelschnitt .


Ungleichheit der Produktmatrizen
Falls die beiden Produkte

und

gebildet werden können, ist im allgemeinen

Kommutativgesetz der Multiplikation gilt im allgemeinen nicht. Gilt aber
miteinander vertauschbar.

d.h., das
, dann heißen

und


Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen
●
●
●
●
●

Wahrer Wert und seine Näherungen
Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
Fehler des arithmetischen Mittelwertes einer Meßreihe
Absoluter und relativer Fehler
Absoluter und relativer Maximalfehler


Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen
Eine realistische Einschätzung eines Meßergebnisses ist nur möglich, wenn der zu erwartende Fehler mit angegeben
wird; Fehlerangaben sind unverzichtbarer Bestandteil eines Meßergebnisses. Aus den Angaben muß zu erkennen
sein, welche Fehlerart mit welchen Vertrauensgrenzen und bei welcher Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben wird.
●
●

Angabe der definierten Fehler
Vorgabe beliebiger Vertrauensgrenzen


Dichte und Verteilungsfunktion
In den meisten Fällen der Praxis kann davon ausgegangen werden, daß die Meßfehler normalverteilt sind, und zwar
mit dem Mittelwert

und einer Streuung

, d.h., für die Dichtefunktion

und die Verteilungsfunktion

von Meßfehlern soll gelten:

(16.175a)
und
(16.175b)

Dabei ist

die Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung (s. auch Tabelle Normierte

Normalverteilung). Im Falle von (16.175a,b) spricht man auch von der Fehlernormalverteilung .
In der folgenden Abbildung ist die Dichte der Fehlernormalverteilung (16.175a) mit Wende- und Schwerpunkt


dargestellt.

Die nächste Abbildung zeigt das Verhalten der Dichte der Fehlernormalverteilung bei drei verschiedenen Werten der
Streuung.


Die Wendepunkte liegen bei den Abszissenwerten
Maximalwert der Kurve bei

beträgt

, die Schwerpunkte der Flächenhälften bei
. Mit wachsendem

. Der

verbreitert sich die Kurve, wobei

der Flächeninhalt unter ihr konstant gleich Eins bleibt. Die Verteilung besagt, daß, gemessen am absoluten Betrag,
kleine Fehler häufig vorkommen, große selten.


Trigonometrische Interpolation
Einige spezielle trigonometrische Polynome, die mit den Näherungskoeffizienten

und

gebildet werden,

haben wichtige Approximationseigenschaften. Zwei davon sind:
. Das spezielle trigonometrische Polynom

1. Interpolation: Es sei

(19.211)

mit den Koeffizienten (19.210) erfüllt an den Stützstellen

(19.209) die Interpolationsbedingung

(19.212)

Infolge der Periodizität von

ist

.


2. Approximation im Mittel: Es sei

. Das spezielle trigonometrische Polynom
(19.213)

mit
bezüglich der

und den Koeffizienten (19.210) approximiert die Funktion
Stützstellen

im diskreten quadratischen Mittel

(19.209), d.h., die Fehlerquadratsumme

(19.214)

Die Formeln (19.210) bilden den Ausgangspunkt für verschiedene Verfahren zur effektiven Berechnung der FOURIERKoeffizienten.


Unterschied zum Maximalfehler
Die Angabe des absoluten oder relativen Maximalfehlers (16.197, 16.198) bedeutet, daß kein Ausgleich zwischen
den Meßergebnissen durchgeführt wird. Bei der Ermittlung des absoluten oder relativen Fehlers mit Hilfe des
Fehlerfortpflanzungsgesetzes (16.209) oder (16.212) wird mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit innerhalb eines
festgelegten Vertrauensintervalls zwischen den Meßergebnissen

ausgeglichen.

Die Vorgehensweise erfolgt in der in Abschnitt Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen angegebenen Weise.


Fehlerangabe
Die Fehlerangaben können wie in Abschnitt Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen dargestellt, entweder mit Hilfe der
definierten Fehler oder mit Hilfe der

-Quantile des Freiheitsgrades

erfolgen.

Beispiel
Es ist das Endergebnis für
verschiedenen Standardabweichungen

Meßreihen mit den verschiedenen Mittelwerten

und den

anzugeben. Eine der Meßreihen stammt aus dem Beispiel mit 10 direkten

Messungen gleicher Genauigkeit.
Tabelle Fehlerangaben zu einer Meßreihe


Man berechnet
berechnet man

und wählt

sowie

und erhält

. Für die Standardabweichungen ergibt sich

und

.

. Mit

. Das Endergebnis lautet


Spezialfälle
1. Linearer Fall: Ein häufig auftretender Fall ist die Addition der Fehlerbeiträge linear eingehender
Fehlergrößen mit

:
(16.210)

Beispiel
Am Ausgang des Impulsverstärkers eines Detektorkanals zur Spektrometrierung von Strahlungen wird eine
Impulsbreite festgestellt, die auf drei Anteile zurückgeführt werden kann:
1.
Statistische Energieverteilung der Strahlung des zu spektrometrierenden Übergangs einer Energie
, charakterisiert durch

,

2.
statistische Umsetzungsprozesse im Detektor mit

,

3.
elektronisches Rauschen des Verstärkers der Detektorimpulse
Für die Gesamtimpulsbreite ergibt sich

.


(16.211)
2. Potenzgesetz: Oft treten die Variablen

in der Form
(16.212)

auf. Durch logarithmische Differentiation ergibt sich der relative Fehler zu
(16.213)
und hieraus ergibt sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz für den mittleren relativen Fehler

(16.214)

Beispiel
Die Funktion
Standardabweichungen sind

habe die Form

, die
. Der relative Fehler ergibt sich dann zu


Gebräuchlichste empirische Formeln
In diesem Abschnitt werden einige der einfachsten Formeln für die Anpassung an empirische funktionelle
Abhängigkeiten aufgeführt und die dazugehörigen Kurvenbilder dargestellt. Auf jeder der Abbildungen sind mehrere
Kurven für verschiedene Werte der in die Formeln eingehenden Parameter eingezeichnet worden. Der Einfluß der
Parameterwerte auf die Form der Kurven wird in den folgenden Abschnitten untersucht.
Bei der Auswahl einer geeigneten Funktion ist zu berücksichtigen, daß meist nur ein Teil der dazugehörigen Kurve
zur Reproduktion der empirischen Daten benötigt wird, und zwar meist beschränkt auf ein bestimmtes Intervall der
unabhängigen Variablen. Daher wäre es z.B. falsch anzunehmen, die Formel
geeignet, wenn die Kurve der empirischen Daten ein Maximum oder Minimum besitzt.
●
●
●
●
●
●
●

Potenzfunktionen
Exponentialfunktionen
Quadratisches Polynom
Gebrochenlineare Funktion
Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
Kurve 3. Ordnung, Typ II

ist nur dann gut


●
●
●
●
●

Kurve 3. Ordnung, Typ III
Kurve 3. Ordnung, Typ I
Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
Exponentialsumme
Vollständig durchgerechnetes Beispiel


Parameterbestimmung
Die wichtigste Methode zur Bestimmung der Parameterwerte ist die Methode der kleinsten Quadrate. In vielen Fällen
können jedoch noch einfachere Methoden mit Erfolg eingesetzt werden, z.B. die Mittelwertmethode .
●
●

Mittelwertmethode
Fehlerquadratmethode


Matrizenschreibweise
In Matrizenschreibweise haben die Normalgleichungen (19.177) und die Fehlerquadratsumme (19.176) die folgende
übersichtliche Form:
(19.179a)
mit

(19.179b)

Würde man an Stelle der Forderung, die Fehlerquadratsumme zu minimieren, in den

Punkten

die

Interpolationsforderung stellen, dann ergäbe sich das Gleichungssystem
(19.180)
ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem im Fall
Multiplikation mit

, das in der Regel keine Lösung hat. Durch

erhält man aus (19.180) das Normalgleichungssystem (19.177) bzw. (19.179a). Aus


numerischer Sicht ist es jedoch günstiger, zur Lösung von Ausgleichsaufgaben auf (19.180) das HOUSEHOLDERVerfahren anzuwenden, das eine Lösung im Sinne der minimalen Fehlerquadratsumme (19.176) liefert.


Überbestimmte Gleichungssysteme
Das lineare Gleichungssystem
(4.117)
besitze eine rechteckige Koeffizientenmatrix

mit

Die Matrix

der rechten Seite seien bekannt. Gesucht sei der Vektor

und der Vektor
Wegen

spricht man von einem überbestimmten System . Sein

Lösungsverhalten und gegebenenfalls seine Lösung können z.B. mit dem Austauschverfahren bestimmt werden.

.


Skalares Feld oder skalare Punktfunktion
Wird jedem Punkt

eines Raumteiles ein Zahlenwert (Skalar)

zugeordnet, dann schreibt man
(13.6a)

und bezeichnet diese Gleichung als Skalarfeld . Beispiele für Skalarfelder sind Temperatur, Dichte, Potential usw.
eines Körpers. Man kann ein skalares Feld

auch durch
(13.6b)

beschreiben, wobei

der Ortsvektor des Punktes

(s. Spezielle Vektoren) bei fest gewähltem Pol 0 ist .


Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art

(13.113)

(13.114)

(13.115)


Die Existenzsätze für diese Integrale können in Analogie zu den für Oberflächenintegrale 2. Art angegebenen formuliert
werden.
Bei der Berechnung der Zweifachintegrale werden zunächst die Projektionen von
(s. Abbildung), wobei eine der Variablen

oder

auf die Koordinatenebenen gebildet

durch die beiden anderen mit Hilfe der Flächengleichung für

ausgedrückt werden muß.

Hinweis: Integrale über eine geschlossene Fläche werden durch die Darstellungsweise
(13.116)


gekennzeichnet.
Beispiel A

Es ist

zu berechnen, wobei über das Ebenenstück

zu integrieren ist, das

zwischen den drei Koordinatenebenen eingeschlossen ist. Die obere Seite soll die positive sein:

;
.

In Analogie dazu berechnet man die beiden anderen Integrale. Das Ergebnis lautet:

Beispiel B

.


über das gleiche

Es ist

Ebenenstück wie in Beispiel A zu integrieren:
.

Die beiden anderen Integrale werden in Analogie dazu berechnet. Das Ergebnis lautet:
.

Beispiel C

zu berechnen,

Es ist

wobei über das gleiche Ebenenstück wie in Beispiel A zu integrieren ist: Die Ausführung der Rechnung liefert
.


Oberflächenintegrale
●
●
●
●

Vektor eines ebenen Flächenstückes
Berechnung von Oberflächenintegralen
Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern
Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art


Definition
Von einem konservativen Feld oder einem Potentialfeld spricht man, wenn der Wert

des Kurvenintegrals (13.96a)

in einem Vektorfeld nur von der Lage der Punkte
und
abhängt und nicht vom konkreten Integrationsweg
zwischen diesen beiden Punkten.
Der Zahlenwert des Umlaufintegrals in einem konservativen Feld ist stets gleich Null:
(13.103)

Ein konservatives Feld zeichnet sich immer durch Wirbelfreiheit aus:
(13.104)
Umgekehrt ist diese Gleichung die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß das Feld konservativ ist.
Dazu muß weiterhin vorausgesetzt werden, daß die partiellen Ableitungen der Feldfunktion nach den enthaltenen
Koordinaten stetig sind und der Definitionsbereich von
einfach zusammenhängend ist. Für ein dreidimensionales
Feld hat dieser, Integrabilitätsbedingung genannte Zusammenhang in kartesischen Koordinaten die Form


(13.105)


Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld
●
●
●
●
●
●

Kurvenintegral im Vektorfeld
Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik
Eigenschaften des Kurvenintegrals
Kurvenintegral als Kurvenintegral 2. Gattung allgemeiner Art
Umlaufintegral eines Vektorfeldes
Konservatives oder Potentialfeld


Zusammenhang zwischen Gradient, Kurvenintegral und Potential
Wenn die Beziehung
ist

gilt, dann ist

das Potential des Feldes

, und umgekehrt

ein Potentialfeld oder konservatives Feld. In der Physik ist in Übereinstimmung mit (13.107) das negative

Vorzeichen zu berücksichtigen.


Berechnung des Potentials eines konservativen Feldes
Ist die Funktion

in kartesischen Koordinaten gegeben,

, dann gilt für das

vollständige Differential ihrer Potentialfunktion:
(13.108a)

Dabei müssen die Koeffizienten

der Integrabilitätsbedingung (13.105) genügen. Die Bestimmung von

erfolgt über das Gleichungssystem

(13.108b)

Praktischerweise berechnet man das Potential durch Integration über drei zu den Koordinatenachsen parallele,
Anfangs- und Endpunkt der Integration miteinander verbindende Strecken (s. Abbildung):


(13.109)


Berechnung von Feldern
●
●
●
●

Reines Quellenfeld
Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld
Vektorfelder mit punktförmigen Quellen
Superposition von Feldern


Vektorfelder
●
●
●
●
●
●

Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion
Wichtige Fälle vektorieller Felder
Koordinatendarstellung von Vektorfeldern
Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen
Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
Feldlinien


Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV
Für beliebige ganze Zahlen

gilt:
(5.155)

Deshalb kann das kgV

auch ohne Kenntnis der Primfaktorenzerlegung von

EUKLIDischen Algorithmus ermittelt werden.

und

unter Zuhilfenahme des


Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen
Für
gilt
(1.74a)
(1.74b)
Für
gilt
(1.74c)


Arithmetik
1.1
ASSER, G.: Grundbegriffe der Mathematik. Mengen, Abbildungen, natürliche Zahlen. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1980.
1.2
BOSCH, K.: Finanzmathematik. -- Oldenbourg-Verlag 1991.
1.3
HEILMANN, W.-R.: Grundbegriffe der Risikotheorie. -- Verlag Versicherungswirtschaft 1986.
1.4
ISENBART, F., MÜNZER, H.: Lebensversicherungsmathematik für Praxis und Studium. -- Verlag Gabler,
2. Auflage 1986.
1.5
DÜCK, W.; KÖRTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H.
Deutsch 1989.
1.6


Fachlexikon ABC Mathematik. -- Verlag H. Deutsch 1978.
1.7
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch 1993.
1.8
GOTTWALD, S.; KÜSTNER, H.; HELLWICH, M.; KÄSTNER, H.: Mathematik Ratgeber. -- Verlag H. Deutsch 1988.
1.9
HEITZINGER, W.; TROCH, I.; VALENTIN, G.: Praxis nichtlinearer Gleichungen. -- C. Hanser Verlag 1984.
1.10
NICKEL, H. (HRSG.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1990.
1.11
PFEIFER, A.: Praktische Finanzmathematik. -- Verlag Harri Deutsch 1995.
1.12
WISLICENY, J.: Grundbegriffe der Mathematik. Rationale, reelle und komplexe Zahlen. -- Verlag H. Deutsch
1988.


Chi-Quadrat-Verteilung, Teil II

-Verteilung: Quantile


Fishersche F-Verteilung, Teil I
= 0,05
FISHERsche

-Verteilung: Quantile

für


Fishersche F-Verteilung, Teil II
= 0,01
FISHERsche

-Verteilung: Quantile

für


Definition
Eine geodätische Linie ist eine Kurve auf einer Fläche, deren Hauptnormale in jedem Flächenpunkt in die Richtung
der Flächennormalen fällt (s. auch geodätische Linie, sphärische Geometrie).
Beispiel
Auf einem Kreiszylinder sind die geodätischen Linien Schraubenlinien.


Projektion eines orientierten Flächenstückes auf eine Koordinatenebene
Wenn ein begrenztes Stück

einer orientierten Fläche auf eine Koordinatenebene projiziert wird, z.B. auf die

Ebene, dann kann dieser Projektion
(s. Abbildung).

auf die folgende Weise ein Vorzeichen zugeordnet werden

-


Fällt der Blick von der positiven Seite der
des Flächenstückes

-Achse aus auf die

, dann gibt man der Projektion

-Ebene und sieht man dabei die positive Seite
das positive Vorzeichen, im entgegengesetzten

Falle das negative (linke bzw. rechte obere Abbildung).

Liegt das Flächenstück so, daß man zum Teil seine Innen- und zum Teil seine Außenseite sieht, dann ergibt sich
als algebraische Summe der Projektionen dieser Teile, die einmal von der Innen-, zum anderen von der
Außenseite zu sehen sind (linke untere Abbildung). Die rechte untere Abbildung zeigt die Projektionen des
Flächenstückes

und

eines Flächenstückes

, von denen die eine negativ, die andere positiv zu nehmen

ist.
Die Projektion einer geschlossenen orientierten Fläche ist gleich Null.


Invariante Mannigfaltigkeiten
●
●
●
●

Definition, Separatrixflächen
Satz von Hadamard und Perron
Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für
Homokline und heterokline Orbits


Grundformeln und Anwendungen
●
●
●
●
●
●
●
●

Sinussatz
Kosinussatz oder Seitenkosinussatz
Sinus-Kosinussatz
Winkelkosinussatz oder polarer Kosinussatz
Polarer Sinus-Kosinussatz
Halbwinkelsatz
Halbseitensatz
Anwendungen der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie


Oberflächenintegrale zweiter Art
Das Oberflächenintegral zweiter Art , auch Integral über eine Projektion , ist wie das Oberflächenintegral erster Art
eine Erweiterung des Begriffs Doppelintegral.
●
●

Begriff des Oberflächenintegrals zweiter Art
Berechnung des Oberflächenintegrals zweiter Art


Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten
Die Darstellung eines skalaren Produkts zweier Vektoren durch seine kontravarianten Koordinaten liefert Formel
(3.275). Die entsprechende Formel für kovariante Koordinaten lautet
(3.285)
wobei

die metrischen Koeffizienten im System mit den reziproken Vektoren sind. Ihr

Zusammenhang mit den Koeffizienten

lautet

(3.286)

wobei

die Unterdeterminante der im Nenner stehenden Determinante ist; sie entsteht durch Streichen der

Zeile und Spalte des Elements
durch kovariante Koordinaten gegeben ist, der Vektor
Wenn der Vektor
Koordinaten, dann ist ihr Skalarprodukt gleich

dagegen durch kontravariante


(3.287a)
und analog gilt
(3.287b)


Lineare und affin-lineare Teilmengen
●
●
●
●
●

Lineare Teilmenge
Affiner Teilraum
Lineare Hülle
Beispiele für Vektorräume von Folgen
Beispiele für Vektorräume von Funktionen


Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
(2.176)
(2.177)

(2.178)

(2.179)


Hyperbelfunktionen des halben Arguments
(2.181)

(2.182)

Das Vorzeichen vor der Wurzel ist positiv für

und negativ für

zu nehmen.

(2.183)

(2.184)


Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
(2.88)
(2.89)
(2.90)

(2.91)
(2.92)
(2.93)


(2.94)

(2.95)

(2.96)

(2.97)

(2.98)

(2.99)


Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen mit komplexen Zahlen
●
●
●
●
●
●
●

●
●

werden in der Funktionentheorie betrachtet.

Funktionen eines Winkels
Trigonometrische Funktionen gleichen Winkels
Trigonometrische Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel
Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
Trigonometrische Funktionen für große Werte n der Winkelvielfachen
Trigonometrische Funktionen des halben Winkels
Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
Produkte trigonometrischer Funktionen
Potenzen trigonometrischer Funktionen


Fourier-Integral
●
●

Fourier-Integral in komplexer Darstellung
Äquivalente Darstellungen des Fourier-Integrals


Formeln zur trigonometrischen Interpolation
●
●

Formeln für die FOURIER-Koeffizienten
Trigonometrische Interpolation


Begriffe, analytische Grundlagen
●
●
●
●

Lösungsansatz
Quadratische Integrierbarkeit
Orthonormalsystem
Fourier-Reihen


Eigenschaften der Fourier-Transformation
●
●
●
●
●

Fourier-Integral
Fourier-Transformation und Umkehrtransformation
Rechenregeln zur Fourier-Transformation
Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation
Bildfunktionen spezieller Funktionen


Sinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 6

Nr.

54

=


55

,

,

56
0,

,

,

57

,

,


58

59

60

61

62


Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 7

=

Nr.

1

1,
0,


2

,
,
0,

3

Ci
0,

,

4

(Integralkosinus)


5

,

0,

6

0,

,

7

,

8

,

9


10

11


Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 7

=

Nr.

12

13

14
,
0,


15

16

17

18

19

20

21

, 0

Re

1


22

23


Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 7

Nr.

24

25

=


26
,
0,

27

28

29

30


31

32

33

34


Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 7

Nr.

35

36

37

=


38

39

,

,

0,

40

,

,


41

,

,

42

43

44

45


Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 7

=

Nr.

46

0 ,


47

,

,

,

0,

0


49

50

0 ,

51

52


53

54


Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 6 von 7

Nr.

55

56

57

=


58

59

60

61

62


63

64

65


Kosinus-Fourier-Transformationen Seite 7 von 7

Nr.

66

67

68

=


69

70

71

72


73

74

75


Sinus-Fourier-Transformationen Seite 1 von 6

=

Nr.

1

1,
0,


2

,
,
0,

3

4

,

0,

5

0,

,


6

7

,

0,

8

0,

,

9

10


11


Sinus-Fourier-Transformationen Seite 2 von 6

Nr.

12

13

14

15

=


16

17

18

19

20

21

22

, 0

Re

2


23


Sinus-Fourier-Transformationen Seite 3 von 6

Nr.

24

25

26

=


27

28

29

30

31

,
0,


32

33

34


Sinus-Fourier-Transformationen Seite 4 von 6

Nr.

35

36

=


37

38

39

40


41

42

43

44

45


Sinus-Fourier-Transformationen Seite 5 von 6

=

Nr.

46

,

,


47
,

0,

48

,

,

49

50


51

52
,

,
0,


53
0,

,
0,


Laplace-Transformationen, Seite 6 von 6
Nr.

66

67

68


69

70

71

72

73


74


Poisson-Verteilung
●
●

Poisson-Verteilung, Teil I
Poisson-Verteilung, Teil II


Integraltransformationen
15.1
BERG, L.: Operatorenrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1972-74.
15.2
BLATTER, C.: Wavelets - Eine Einführung. -- Vieweg 1998
15.3
DOETSCH, G.: Handbuch der LAPLACE-Transformation, Bd. 1 bis 3. -- Birkhäuser Verlag 1950-1958.
15.4
DOETSCH, G.: Anleitung zum praktischen Gebrauch der LAPLACE-Transformation. -- Oldenbourg-Verlag, 6.
Auflage 1989.
15.5
FETZER, V.: Integral-Transformationen. -- Hüthig Verlag 1977.
15.6
FÖLLINGER, O.: LAPLACE- und FOURIER-Transformation. -- Hüthig, 6.Auflage 1993.


15.7
GAUSS, E.: WALSH-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler. -- B. G. Teubner 1994.
15.8
GELFAND, I.M.; SCHILOW, G.E.: Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen), Bd. 1 bis 4. -- Deutscher Verlag
der Wissenschaften 1962-66.
15.9
HUBBARD, B.B.: Wavelets. Die Mathematik der kleinen Wellen. Birkhäuser 1997.
15.10
JENNISON, R.C.: FOURIER-Transforms and convolutions for the experimentalist. -- Pergamon Press 1961.
15.11
LOUIS, A. K.; MAASS, P.; RIEDER, A.: Wavelets. Theorie und Anwendungen. -- B. G. Teubner Stuttgart 1994.
15.12
OBERHETTINGER, F.: Tabellen zur FOURIER-Transformation. -- Springer-Verlag 1957.
15.13
OBERHETTINGER, F.; BADIL, L.: Tables of LAPLACE Transforms. -- Springer-Verlag 1973.
15.14
PAPOULIS, A.: The FOURIER-Integral and its Applications. -- McGraw-Hill 1962.
15.15
STOPP, F.: Operatorenrechnung. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 10), 1976; Verlag H. Deutsch,


(MINÖA, Bd. 10), 1978.
15.16
VICH, R.: Z-Transformation, Theorie und Anwendung. -- Verlag Technik 1964.
15.17
VOELKER, D.; DOETSCH, G.: Die zweidimensionale LAPLACE-Transformation. -- Birkhäuser Verlag 1950.
15.18
WAGNER, K.W.: Operatorenrechnung und LAPLACEsche Transformation. -- J.A. Barth Verlag 1950.
15.19
ZYPKIN, J.S.: Theorie der linearen Impulssysteme. -- Verlag Technik 1967.


Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze
●
●

Fredholmsche Lösungsmethode
Fredholmsche Sätze


Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum
Sei

ein kompakter Operator. Dann ist

Grenzwert (in

) einer Folge von

endlichdimensionalen Operatoren. Die Nähe zum endlichdimensionalen Fall ersieht man unter anderem aus
folgendem:

●

Ist

ein endlichdimensionaler Operator und

Existenz von
●

Ist
1.

und

.

ein kompakter Operator, dann sind äquivalent:
es

und ist stetig,

2.
, d.h.

ist injektiv,

3.
, d.h.

ist surjektiv.

, dann folgt aus der Injektivität von

die


Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
●
●
●

Formulierung der Aufgabe
Lösungsansatz
Lösungen


Näherungslösung durch Diskretisierung
Eine FREDHOLMsche Integralgleichung 2. Art
(11.15)
kann näherungsweise in Form eines linearen Gleichungssystems dargestellt werden. Es sei vorausgesetzt, daß die
Funktionen

und

für

stetig sind.

Das Integral in (11.15) soll durch die linksseitige Rechteckformel angenähert werden. Man könnte aber auch eine
beliebige andere Quadraturformel anwenden. Mit den äquidistanten Punkten
(11.16a)
erhält man die Näherung
(11.16b)
Man ersetzt in dieser Beziehung

durch eine Funktion

, die (11.16b) exakt erfüllt:
(11.16c)


Zur Auswertung dieser Näherungslösung benötigt man die Funktionswerte der Funktion
. Setzt man in (11.16c) nacheinander
man ein lineares Gleichungssystem für die

gesuchten Funktionswerte

in den Stützstellen
, so erhält

. Mit den Abkürzungen
(11.17a)

lautet dieses Gleichungssystem

(11.17b)

Das System besitzt die Koeffizientendeterminante

(11.17c)

Diese Determinante hat dieselbe Struktur wie die Koeffizientendeterminante, die bei der Behandlung von
Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen auftritt. Das Gleichungssystem (11.17b) besitzt eine eindeutige Lösung
für alle

mit

. Diese Lösung besteht aus Näherungen für die Funktionswerte der gesuchten Funktion


in den Stützstellen. Die Zahlen

mit

sind Näherungen für die Eigenwerte der

Integralgleichung. Die Lösung von (11.17b) läßt sich gemäß der CRAMERschen Regel als Quotient darstellen:
(11.18)
Dabei entsteht

aus

, indem die

-te Spalte durch

ersetzt wird.


Prinzipielle Vorgehensweise
Im allgemeinen ist die Auflösung des unter Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
aufgestellten unendlichen linearen Gleichungssystems nicht einfacher als die Lösung des Ausgangsproblems. Durch
geeignete Wahl der Orthonormalsysteme

und

kann jedoch die Struktur der Kernmatrix K so

beeinflußt werden, daß sich das Gleichungssystem einfach lösen läßt. Das folgende Verfahren konstruiert zwei
Orthonormalsysteme, die eine Kernmatrix liefern, deren Koeffizienten

nur für

und

ungleich

Null sind.
Mit der Methode des voranstehenden Abschnittes werden zunächst zwei orthonormierte Lösungssysteme
bzw.

der homogenen Integralgleichung bzw. der dazu transponierten homogenen Gleichung bestimmt,

d.h., alle Lösungen dieser zwei Integralgleichungen lassen sich durch Linearkombination der Funktionen
bzw.

darstellen. Diese Orthonormalsysteme sind nicht vollständig. Mit dem folgenden Verfahren werden

diese Systeme durch schrittweises Hinzufügen von Funktionen

, zu vollständigen


Orthonormalsystemen ergänzt.


Definition und Darstellung
Die trigonometrischen Funktionen werden über geometrische Betrachtungen hergeleitet. Daher wird ihre Definition
sowie die Angabe des Arguments im Grad- oder Bogenmaß in der Geometrie besprochen.
●
●
●
●
●
●

Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
Sekans
Kosekans


Kanonische Primfaktorenzerlegung
●
●

Primfaktorzerlegung
Positive Teiler


Abhängigkeit von Funktionen
●
●
●

Spezieller Fall zweier Funktionen
Allgemeiner Fall mehrerer Funktionen
Analytische Bedingung für die Unabhängigkeit


Allgemeiner Fall mehrerer Funktionen
In Analogie zum Fall zweier Funktionen gilt, daß

Funktionen

von

Veränderlichen

in einem gemeinsamen Definitionsbereich abhängig sind, wenn irgendeine von ihnen als Funktion
der anderen ausdrückbar ist, d.h., wenn es für jeden Punkt des Gebietes eine Identität der Art
(2.271)
gibt. Wenn keine solche Funktion existiert, dann spricht man von unabhängigen Funktionen.
Beispiel
Die Funktionen

und
sind abhängig, da

gilt.


Geometrische Bedeutung des Integrals mit unendlichen Integrationsgrenzen
Die Integrale (8.77), (8.78a) und (8.78b) sind die Flächeninhalte der Figuren, die in den folgenden 9 Abbildungen
dargestellt sind.


Beispiel A
(divergent).


Beispiel B
(konvergent).

Beispiel C
,
(konvergent).


Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen
●
●
●
●

Definitionen
Geometrische Bedeutung des Integrals mit unendlichen Integrationsgrenzen
Hinreichende Konvergenzkriterien
Zusammenhang zwischen uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen


Beispiele analytischer Funktionen
1. Funktionenklassen Die elementaren algebraischen und transzendenten Funktionen sind mit Ausnahme
einzelner isolierter singulärer Punkte in der gesamten
Punkten Ableitungen beliebig hoher Ordnung.

-Ebene analytisch. Sie besitzen in allen regulären

Beispiel A
Die Funktion

mit

und

ist überall analytisch.

Beispiel B
Die Funktion

, definiert durch die Gleichungen

keinem Punkt analytisch.
Beispiel C
Die Funktion

mit

ist analytisch.

, ist in


Beispiel D
Die Funktion

mit

ist analytisch.

2. Ermittlung der Funktionen
oder
Wenn die Funktionen
und
jede für sich der LAPLACEschen
Differentialgleichung genügen, sind sie harmonische Funktionen. Ist eine der beiden harmonischen Funktionen
bekannt, z.B.

, dann kann die zweite bis auf eine additive Konstante als konjugierte harmonische Funktion

mit Hilfe der
CAUCHY-RIEMANNschen Differentialgleichung ermittelt werden:
(14.6)
Analog kann

ermittelt werden, wenn

bekannt ist.


Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen
Logarithmus
Mit Hilfe der Definition der Hyperbelfunktionen (2.156) bis (2.161) können die Areafunktionen über die
Logarithmusfunktion ausgedrückt werden:
(2.201)
(2.202)

(2.203)
(2.204)


Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen
(2.205)

(2.206)

(2.207)

(2.208)


Formeln für negative Argumente
(2.212)
(2.213)
(2.214)
Während
Argumente nicht definiert.

und

ungerade Funktionen sind, ist

(2.202) für negative


Definition der zyklometrischen Funktionen
Die Vorgehensweise wird am Beispiel der Arkussinusfunktion gezeigt, die in der ersten der vier folgenden
Abbildungen dargestellt ist.


Der Definitionsbereich von

wird in die Monotonieintervalle
zerlegt. Spiegelung von

an der Winkelhalbierenden

mit
liefert die

Umkehrfunktionen
(2.133a)
mit den Definitions- und Wertebereichen


(2.133b)

Die Schreibweise
Arkusfunktionen

ist gleichbedeutend mit
und

Analog erhält man die übrigen
die in der zweiten, dritten und vierten Abbildungen

dargestellt sind. Die Definitions- und Wertebereiche der Arkusfunktionen und die gleichbedeutenden
trigonometrischen Funktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.


Tabelle der Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen
Funktionen
Tabelle Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen
Gleichbedeutende
Arkusfunktion

Definitionsbereich

Wertebereich
trigonometrische
Funktion


. Für

erhält man den Hauptwert der jeweiligen zyklometrischen Funktion,

der ohne Index geschrieben wird (z.B.

).


Beziehungen zwischen den Hauptwerten
(2.135)

(2.136)

(2.137)

(2.138)


(2.139)

(2.140)


Formeln für negative Argumente
(2.141)
(2.142)
(2.143)
(2.144)


Summe und Differenz von arccos x und arccos y
(2.147a)

(2.147b)

(2.148a)

(2.148b)


Summe und Differenz von arctan x und arctan y
(2.149a)

(2.149b)

(2.149c)

(2.150a)

(2.150b)


(2.150c)


Einige Funktionstypen
●
●
●
●
●
●
●

Monotone Funktionen
Beschränkte Funktionen
Gerade Funktionen
Ungerade Funktionen
Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen
Periodische Funktionen
Inverse oder Umkehrfunktionen


Stetigkeit einer Funktion
●
●
●
●

Begriff der Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle
Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten
Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen
Eigenschaften stetiger Funktionen


Eigenschaften der Jacobischen Funktionen
Mit den Substitutionen
(14.107)
lassen sich für die JACOBIschen Funktionen die in der folgenden Tabelle aufgeführten Eigenschaften angeben, wobei
und

beliebige ganze Zahlen sind.
Tabelle Perioden, Nullstellen und Pole der JACOBIschen Funktionen
Perioden
Nullstellen

sn
cn
dn
Der Verlauf von sn

, cn

und dn

ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Pole


Außerhalb ihrer Polstellen gelten für die JACOBIschen Funktionen die folgenden Beziehungen:
(14.108)

(14.109a)

(14.109b)


(14.109c)

(14.110a)
(14.110b)
(14.110c)
Weitere Eigenschaften der JACOBIschen und weiterer elliptischer Funktionen s. Lit. 14.12, 14.18.


Hyperbelfunktionen und inverse Hyperbelfunktionen
Siehe in den Abschnitten Hyperbelfunktionen bzw. Inverse Hyperbelfunktionen.


Definition und Beispiele
1. Definition: Von einer algebraischen Funktion spricht man, wenn die Funktion das Ergebnis endlich vieler
algebraischer Operationen mit diesen Veränderlichen und eventuell noch mit endlich vielen Konstanten ist.
Ganz allgemein kann eine komplexe algebraische Funktion

wie ihr reelles Analogon implizit als

Polynom
(14.63)
definiert werden. Solche Funktionen müssen sich durchaus nicht immer nach
2. Beispiele algebraischer Funktionen:
a) Lineare Funktion

auflösen lassen.

(14.64)
b) inverse Funktion
(14.65)
c) quadratische Funktion
(14.66)
d) Quadratwurzelfunktion
(14.67)


e) gebrochenlineare Funktion
(14.68)


Real- und Imaginärteile der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen
Tabelle Real- und Imaginärteile der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen


Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
Tabelle Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen


Funktionentheorie
14.1
ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions. -- Verlag H. Deutsch 1984.
14.2
ALBRING, W.: Angewandte Strömungslehre. -- Theodor Steinkopff Verlag 1970.
14.3
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
14.4
BEHNKE, H.; SOMMER, F.: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. -- SpringerVerlag 1976.
14.5
BETZ, A.: Konforme Abbildung. -- Springer-Verlag 1964.
14.6
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 2. -- Deutscher Verag der Wissenschaften 1964;
Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.


14.7
FISCHER, W.; LIEB, I.: Funktionentheorie. -- Verlag Vieweg 1992.
14.8
FREITAG, E.; BUSAM, R.: Funktionentheorie. -- Springer-Verlag, 2., erweiterte Auflage 1994.
14.9
GREUEL, O.: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 9),
1978; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 9), 1978.
14.10
JAHNKE, E.; EMDE, F.: Tafeln höherer Funktionen. -- B. G. Teubner, Leipzig 1960.
14.11
JÄNICH, K.: Funktionentheorie. Eine Einführung. -- Springer-Verlag 1993.
14.12
KNOPP: Funktionentheorie. -- Verlag W. de Gruyter 1976.
14.13
LAWRENTJEW, M.A.; SCHABAT, B.W.: Methoden der komplexen Funktionentheorie. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1966.
14.14
MAGNUS, W.; OBERHETTINGER, F.: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen
Physik. -- Springer-Verlag 1948.


14.15
OBERHETTINGER, F.; MAGNUS, W.: Anwendung der elliptischen Funktionen in Physik und Technik. -- SpringerVerlag 1949.
14.16
RÜHS, F.: Funktionentheorie. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1976.
14.17
SCHARK, R.: Funktionentheorie für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1993.
14.18
SMIRNOW: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1954, Verlag H.
Deutsch 1987-91, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
14.19
WUNSCH, G.: Feldtheorie. -- Verlag Technik 1975.


Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge
Eine Funktion

besitzt an der Stelle

den Grenzwert

wenn für jede Folge von

, die innerhalb des Definitionsbereiches liegen und gegen
Folge der Funktionswerte

gegen

-Werten

konvergieren, die zugehörige

konvergiert.


Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche
a) Der Begriff des Grenzwertes einer Funktion von mehreren Veränderlichen wird analog zum Fall der Funktion
von zwei Veränderlichen definiert.
b) Kriterien für die Existenz eines Grenzwertes einer Funktion von mehreren Veränderlichen erhält man durch
Verallgemeinerung der Kriterien, die für Funktionen von einer Veränderlichen gelten, d.h. durch Zurückführung
auf den Grenzwert einer Folge sowie über das
Konvergenzkriterium von CAUCHY.


Von höherer Ordnung unendlich groß
Eine Funktion

Grenzübergang
wachsen.

wird von höherer Ordnung unendlich groß als eine Funktion

ihre Absolutbeträge sowie der Absolutbetrag des Quotienten

wenn beim

über alle Grenzen


Von höherer Ordnung unendlich klein
Eine Funktion

wird von höherer Ordnung unendlich klein als eine Funktion

höherer Ordnung, wenn beim Grenzübergang
gehen.

d.h., sie verschwindet von

ihre Absolutbeträge sowie der Quotient

gegen null


Null oder unendlich von gleicher Größenordnung
Zwei Funktionen

und

Absolutbetrag des Quotienten

gehen gegen null oder unendlich von der gleichen Größenordnung, wenn der

beim Grenzübergang

einem endlichen Grenzwert zustrebt.


Gesamtdarstellungen der höheren Mathematik
22.1
ABRAMOWITZ, M.; STEGUN, I. A.: Pocketbook of Mathematical Functions. -- Verlag H. Deutsch 1984.
22.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
22.3
BERENDT, G.; WEIMAR, E.: Mathematik für Physiker, Bd. 1 u. 2. -- VCH, Weinheim 1990.
22.4
BRONSTEIN, J.N.; SEMENDJAJEW, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. -- B. G. Teubner Leipzig 1976,
17. Auflage; Verlag H. Deutsch 1977.
22.5
BRONSTEIN, J.N.; SEMENDJAJEW, K.A.: Taschenbuch der Mathematik. -- B. G. Teubner Leipzig 1989, 24.,
neubearbeitete Auflage; Verlag H. Deutsch 1989,
22.6
BRONSTEIN, J.N.; SEMENDJAJEW, K.A.: Taschenbuch der Mathematik, Ergänzende Kapitel. -- Verlag H.


Deutsch 1991.
22.7
DALLMANN, H.; ELSTER, K.-H.; ELSTER, R.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1-3. -- Gustav Fischer
Verlag 1991.
22.8
DRESZER, J.: Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. -- Verlag H. Deutsch 1975.
22.9
DÜCK, W.; KÖRTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H.
Deutsch 1989.
22.10
Fachlexikon ABC Mathematik. -- Verlag H. Deutsch 1978.
22.11
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
22.12
FISCHER, H.; KAUL, H.: Mathematik für Physiker, 1. -- B. G. Teubner 1990.
22.13
HAINZL, J.: Mathematik für Naturwissenschaftler. -- B. G. Teubner 1985.
22.14


JOOS, G.; RICHTER, E.W.: Höhere Mathematik für den Praktiker. -- Verlag H. Deutsch 1994.
22.15
Kleine Enzyklopädie Mathematik. -- Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1967. -- Gekürzte Ausgabe: Mathematik
Ratgeber. -- Verlag H. Deutsch 1988.
22.16
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K., HRG. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1 bis 4. -- S. Hirzel
Verlag 1989.
22.17
MARGENAU, H.; MURPHY, G.M.: Die Mathematik für Physik und Chemie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 196567.
22.18
Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte. -- BSB B.G. Teubner, Leipzig,
(MINÖL, Bd. 1 bis 23), 1973 bis 1981.
Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und sonstige anwendungsorientierte Berufe. -Verlag Harri Deutsch, (MINÖA, Bd. 1-23) 1973-1981.
22.19
NETZ, H.; RAST, J.: Formeln der Mathematik. -- C. Hanser Verlag 1986.
22.20
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.


22.21
PHILIPPOW, E.: Taschenbuch Elektrotechnik. -- Verlag Technik 1968.
22.22
PLASCHKO, P.; BROD, K.: Höhere mathematische Methoden für Ingenieure und Physiker. -- Springer-Verlag
1989.
22.23
PRECHT, M.; VOIT, K.; KRAFT, R.: Mathematik für Nichtmathematiker, Bd. 1 u. 2. -- Oldenbourg-Verlag 1991.
22.24
ROTHE, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil I bis IV. -- B. G. Teubner 1958 1964.
22.25
SCHMUTZER, E.: Grundlagen der theoretischen Physik, Bd. 1 u. 4. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1991.
22.26
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. 1 bis 5.-- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 im Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren
Mathematik.
22.27
STÖCKER, H.: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. -- Verlag H. Deutsch,
3. Auflage 1995.


22.28
ZEIDLER, E. (HRSG.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. -- B. G. Teubner, Teil 1 1996, Teil 2 1995.


Definitionsbereich einer Funktion
In der Analysis werden meistens Funktionen betrachtet, die mit Hilfe von Formeln definiert sind. Dabei werden alle
die Wertesysteme der unabhängigen Variablen in den Definitionsbereich einbezogen, für die der analytische
Ausdruck der Funktion Sinn hat, d.h. für die er eindeutig bestimmte endliche und reelle Werte annimmt.
Beispiel A
Der Definitionsbereich ist die gesamte Ebene.

Beispiel B


Den Definitionsbereich bilden alle Wertesysteme

, die die Ungleichung

erfüllen. Geometrisch betrachtet stellt dieser Definitionsbereich das in der folgenden
Abbildung dargestellte offene Gebiet im Innern eines Kreises dar.

Beispiel C


: Den Definitionsbereich bilden alle Wertesysteme

, die die Ungleichung

erfüllen, d.h., der Definitionsbereich ist ein abgeschlossenes Gebiet, das aus
einem Streifen zwischen zwei parallelen Geraden besteht.

Beispiel D


Der Definitionsbereich besteht aus allen
Wertesystemen, die die Ungleichungen
aus allen Punkten, die über einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 gelegen sind.

erfüllen, d.h., er besteht


Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
●
●
●
●

Hyperbelsinus
Hyperbelkosinus
Hyperbeltangens
Hyperbelkotangens


Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe einer Kreissektorfläche
Die Funktionen
mit

sind über die Strecken

definiert, wobei als Argument der Zentriwinkel

am Einheitskreis
dient.


Zu dieser Definition hätte auch die Fläche
Mit dem Zentriwinkel

des Sektors

benutzt werden können (schattiert gezeichnet).

gemessen in Radianten, ergibt sich für

ergeben sich die gleichen Definitionsgleichungen wie in (3.3), (3.4), (3.5) zu

gerade

Somit


Eigenschaften bestimmter Integrale
Die wichtigsten Eigenschaften der bestimmten Integrale, die im folgenden erläutert werden, findet man
zusammengefaßt in der Tabelle Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale.
●
●
●
●
●
●
●
●

Hauptsatz der Integralrechnung
Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel
Variable obere Integrationsgrenze
Zerlegung des Integrationsintervalls
Weitere Sätze über Integrationsgrenzen
Mittelwertsatz und verallgemeinerter Mittelwertsatz
Abschätzung des bestimmten Integrals
Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale


Definition und Existenz des bestimmten Integrals
●
●
●

Definition
Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
Existenz des bestimmten Integrals


Eigenschaften stetiger Funktionen
●
●
●
●
●
●
●

Stetigkeit von Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen
Stetigkeit mittelbarer Funktionen y=f(u(x))
Satz von BOLZANO
Zwischenwertsatz
Existenz einer inversen Funktion
Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Satz von WEIERSTRASS


Algebraische Funktionen
●

Definition und Beispiele


Eigenschaften analytischer Funktionen
●
●

Betrag einer analytischen Funktion
Nullstellen, Beschränktheit, Maximalwert


Meßbare Funktion
Sei

eine

-Algebra von Teilmengen einer Menge
die Menge

beliebiges

Eine komplexwertige Funktion

Ist

die

. Eine Funktion
in

heißt meßbar, wenn beide Funktionen

-Algebra der LEBESGUE-meßbaren Mengen aus

ist die Menge
damit meßbar.

heißt meßbar , wenn für

und

und

liegt.
meßbar sind.

eine stetige Funktion, dann

(s. Stetige Operatoren) für jedes

offen und


Hinweis
Es gibt noch viele andere Möglichkeiten, Funktionspapiere zu konstruieren und anzuwenden. Obwohl heute in den
meisten Fällen leistungsfähige Computer zur Auswertung von Meßergebnissen zur Verfügung stehen, werden in der
Laborpraxis häufig noch Funktionspapiere verwendet, um mit deren Hilfe aus einigen wenigen Meßwerten eine
Aussage über funktionelle Zusammenhänge zu bekommen oder Näherungswerte für Parameter zu erhalten, die beim
Einsatz von numerischen Verfahren (s. nichtlineare Quadratmittelaufgaben) als Startwerte benötigt werden.


Definition und Darstellung
●
●

Definition
Darstellungen


Eigenschaften stetiger Funktionen
●
●
●
●

Nullstellensatz von BOLZANO
Zwischenwertsatz
Satz über die Beschränktheit einer Funktion
Satz von WEIERSTRASS über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes


Abschätzung des bestimmten Integrals
Der Wert eines bestimmten Integrals liegt zwischen den Produkten des kleinsten und des größten Funktionswertes
und

des Integranden im Intervall

mit der Länge des Integrationsintervalls:

(8.50)
Die geometrische Bedeutung dieses Satzes ist an Hand der folgenden Abbildung zu erkennen:


Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen
Genügt der Definitionsbereich

einer Funktion

als Summe einer geraden Funktion

der Bedingung ,,aus

und einer ungeraden Funktion

folgt

``, dann ist

darstellbar:
(2.11)

Beispiel
(s. auch
Hyperbelfunktionen).


Mittelwert
Der Mittelwert

der Zufallsveränderlichen

lautet:

(16.106a)
Im konkreten Fall lautet der Mittelwert

zur Stichprobe

(16.106b)
Häufig ist es vorteilhaft, zur Berechnung des Mittelwertes einen Schätzwert

einzuführen, der beliebig gewählt

werden kann, aber nach Möglichkeit in der Nähe des zu erwartenden Mittelwertes
Meßreihen die

liegen soll. Wenn z.B. in großen

mehrstellige Zahlen sind, bei denen sich lediglich die letzten Stellen von Meßwert zu Meßwert

ändern, ist es einfacher, mit den kleineren Zahlen
(16.106c)
zu rechnen. Es gilt dann


(16.106d)


Stichprobenfunktionen
●
●

Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor
Stichprobenfunktionen


Streuung
Die Streuung

der Zufallsveränderlichen

mit dem Mittelwert

lautet:

(16.107a)
Im konkreten Fall lautet die Streuung

zur Stichprobe

(16.107b)
Mit dem Schätzwert

ergibt sich

(16.107c)


Für

wird wegen

die Korrektur

.


Median (Zentralwert)
Sind

Elemente einer Stichprobe der Größe nach geordnet, so heißt Median
-ter Stelle stehende Wert, im Falle

gerade der Mittelwert aus den an

im Falle
-ter und

ungerade der an
-ter Stelle

stehenden Werten.
Im konkreten Fall lautet der Median

zur Stichprobe

, deren Elemente der Größe nach

geordnet sind

(16.108)


Spannweite
(16.109a)
Im konkreten Fall lautet die Spannweite

zur Stichprobe
(16.109b)

Jede spezielle Realisierung einer Stichprobenfunktion wird mit Ausnahme der Spannweite
Buchstaben bezeichnet, d.h., im konkreten Fall werden zur Stichprobe
und
Beispiel

berechnet.

mit kleinen
die Werte


Der laufenden Produktion von permanentdynamischen Lautsprechern wird eine Stichprobe von 15
Lautsprechern entnommen.

Das interessierende Merkmal
man:

1

1,01

6

1,00

11

1,00

2

1,02

7

0,99

12

1,00

3

1,00

8

1,01

13

1,02

4

0,98

9

1,01

14

1,00

5

0,99

10

1,00

15

1,01

sei die Luftspaltinduktion

, gemessen in Tesla. Daraus berechnet

.
.
.


Grundlagen
●
●

Definition und Darstellung
Wertebereiche und Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen


Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen hängt davon ab, in welchem Quadranten des Einheitskreises der
bewegliche Radius

liegt.

Das Vorzeichen kann aus der Tabelle entnommen werden.
Tabelle Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen


Quadrant

Größe des Winkels

I

+

II

+

+

+

+

+
+

+

III
IV

+

+

+
+


Funktionsverlauf ins Unendliche:
Das ist die am häufigsten auftretende Unstetigkeit. In der folgenden Abbildung tritt sie in den Punkten
auf.

und


Beispiel A


Die Kurve ist auf der linken Abbildung
dargestellt:

Die Unstetigkeit ist von der Art des Punktes
Die symbolische Bezeichnung

Beispiel B

bzw.

steht für links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert.


Die Unstetigkeitsstelle ist von der
Art des Punktes
Beispiel C
Die Unstetigkeitsstelle ist von der Art des

Punktes

aber mit dem Unterschied, daß die Funktion

im Punkt

nicht definiert ist.


Skalen und Funktionspapiere
●
●

Skalen
Funktionspapiere


Potenzfunktionen
●

Typ

●

Typ


Fuzzy-Relationenprodukt
●
●
●

Verkettung oder Fuzzy-Relationenprodukt
Verknüpfungsregeln
Fuzzy-logisches Schließen


Fuzzy-Relationen
●
●
●
●
●

Modellierung fuzzy-wertiger Relationen
Kartesisches Produkt
Eigenschaften fuzzy-wertiger Relationen
-faches kartesisches Produkt
Rechenregeln


Eigenschaften fuzzy-wertiger Relationen
(E1)
Da unscharfe Relationen nur spezielle unscharfe Mengen sind, gelten prinzipiell die für unscharfe Mengen
ausgesprochenen Aussagen auch für unscharfe Relationen.
(E2)
Alle für unscharfe Mengen erklärten Verknüpfungen lassen sich auf unscharfe Relationen anwenden; sie
liefern als Resultat wieder unscharfe Relationen.
(E3)
Der Begriff des -Schnittes läßt sich auf Grund der vorangegangenen Überlegungen mühelos auf unscharfe
Relationen übertragen.
(E4)
Der Träger als 0-Schnitt einer unscharfen Relation

ist eine gewöhnliche Relation von

(E5)
Mit
die Objekte

wird der Zugehörigkeitswert bezeichnet, d.h. der Grad, mit dem die unscharfe Relation
zutrifft. Der Wert
daß

auf

bedeutet, daß
nicht zutrifft.

auf

auf

voll zutrifft, der Wert


(E6)
Es sei

eine unscharfe Relation, dann wird die zu

inverse unscharfe Relation

definiert durch
(5.281)
Beispiel
Die inverse Relation

bedeutet ,,im wesentlichen kleiner als``; die Vereinigung

Beziehung ,,im wesentlichen kleiner oder ungefähr gleich`` beschrieben werden.
(S. Modellierung fuzzy-wertiger Relationen.)

kann als


Pendel auf beweglicher Unterlage: Defuzzifizierung
1. Ergebnis: Die Entscheidungslogik liefert keinen scharfen Wert für den Stellwert, sondern eine FuzzyMenge. D.h., mit der Methode erhält man eine Abbildung, die jedem Tupel
von Meßwerten eine Fuzzy-Menge, nämlich

von

zuordnet.
Defuzzifizierung bedeutet, daß ein Stellwert berechnet werden muß. Die Schwerpunktsmethode und die
Maximum-Kriterium-Methode liefern als Stellgröße die Werte

bzw.

2. Bemerkungen:
a)
Die ,,wissensbasierte`` Trajektorie soll so in der Regelbasis verlaufen, daß der Endpunkt im Zentrum
geringster Regelabweichung liegt.
b)
Durch die Defuzzifizierung wird ein Iterationsprozeß eingeleitet, der letztlich in die Mitte der Regelfläche
führt, d.h. die Stellgröße Null liefert.
c)
Jedes nichtlineare Kennfeld kann durch Wahl geeigneter Parameter beliebig genau approximiert
werden.


Einschränkung für den eindimensionalen Fall
Bei Fuzzy-Systemen mit nur einer Eingabe

werden oft Fuzzy-Mengen verwendet, die durch

Dreieckfunktionen dargestellt, die sich auf der Höhe 0,5 schneiden werden. Solche Fuzzy-Mengen genügen drei
Bedigungen:
1.
Für jede Regel
Ausgabe über

gibt es eine Eingabe

für die nur eine Regel erfüllt ist. Für diese Eingabe

berechnet. Dadurch ist die Ausgabe des Fuzzy-Systems an

festgelegt. Man kann daher sagen, das Fuzzy-System interpoliert die Stützstellen
Forderung, daß an den Stützstellen

nur die eine Regel

hinreichend, aber nicht notwendig. Für zwei Regeln
bedeutet diese Forderung, daß

wird die

Stützstellen
. Die

gilt, ist für eine exakte Interpolation

und

, wie sie im folgenden betrachtet werden,

gilt. Zur Erfüllung der 1. Bedingung muß


sein. Das ist eine hinreichende Bedingung für eine exakte Interpolation der
Stützstellen.
2.
Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stützstellen sind höchstens 2 Regeln erfüllt. Sind
solche Stützstellen mit den Regeln
Ausgabe

und

so berechnet sich für Eingaben

und

zwei
die

zu
(5.314)

mit von

abhängigen

und

sowie

Der eigentliche Verlauf der Interpolationskurve zwischen

und

wird von der Funktion

daher als Kurvenverlauf bezeichnet. Sie hängt nur von den Erfüllungsgraden
Zugehörigkeitsfunktionen

und

oder kurz
der Zugehörigkeitsfunktionen ab.

an der Stelle
und

und

ergeben, d.h., es ist

bestimmt. Diese wird

ab, die sich als Werte der
und

Der Kurvenverlauf hängt nur vom Verhältnis


3.
Die Zugehörigkeitsfunktionen sind positiv, so daß die Ausgabe

eine Konvexkombination der Konklusionen

ist. Daher gilt:
(5.315)
bzw. für den allgemeinen Fall
(5.316)

Für konstante Konklusionen bewirken die Terme
Kurvenverlaufes

und

lediglich eine Verschiebung und Streckung des

Sind die Konklusionen von den Eingangsvariablen abhängig, dann wird der Kurvenverlauf in

verschiedenen Abschnitten unterschiedlich verzerrt. Dadurch kann sich eine andere Ausgangsfunktion ergeben.
Verwendet man für die Eingabe

linear abhängige Konklusionen und Zugehörigkeitsfunktionen mit konstanter

Summe, dann ist die Ausgabe

mit von

abhängigen

und einer Konstanten

, so daß

sich Polynome 2. Ordnung als Interpolationsfunktionen ergeben. Diese Polynome kann man zur Konstruktion eines
Interpolationsverfahrens mit Polynomen 2. Ordnung verwenden.
Allgemein ergibt sich aus der Wahl von Polynomen

-ter Ordnung als Konklusion ein Interpolationspolynom


-ter Ordnung. Daher können die konventionellen Interpolationsverfahren, die lokal mit Polynomen
interpolieren (beispielsweise mit Splines), auch mit diesen Fuzzy-Systemen durchgeführt werden.


Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische
Statistik
16.1
BANDEMER, H.; BELLMANN, A.: Statistische Versuchsplanung. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL,
Bd. 19/2), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 19/2), 1979.
16.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
16.3
BEHNEN, K., NEUHAUS, G.: Grundkurs Stochastik. -- B. G. Teubner, 3. Auflage 1995.
16.4
BEYER, O. et al.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig,
(MINÖL, Bd. 17), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 17), 1980.
16.5
BEYER, O. ET. AL.: Stochastische Prozesse und Modelle. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 19/1),
1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖL, Bd. 19/1), 1980.


16.6
CLAUSS; FINZE; PARTZSCH: Statistik für Soziologen, Pädagogen, Psychologen und Mediziner, Bd. 1. -- Verlag
H. Deutsch 1995.
16.7
DÜCK, W.; KÖSTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch
1989.
16.8
FISZ, M.: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften,
11. Auflage 1988.
16.9
HARTMANN; LEZKI; SCHÄFER: Mathematische Methoden in der Stoffwirtschaft. -- Deutscher Verlag für
Grundstoffindustrie.
16.10
HEINHOLD, J.; GAEDE, K.-W.: Ingenieurstatistik. -- Oldenbourg-Verlag 1964.
16.11
HOCHSTÄDTER, D.: Statistische Methodenlehre. -- Verlag H. Deutsch 1993.
16.12
HOCHSTÄDTER, D., KAISER, U.: Varianz- und Kovarianzanalyse. -- Verlag H. Deutsch 1988.
16.13


HÖPCKE, W.: Fehlerlehre und Ausgleichrechnung. -- Verlag W. de Gruyter 1980.
16.14
KOLMOGOROFF: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. -- Springer-Verlag 1977.
16.15
LAHRES: Einführung in die diskreten MARKOFF-Prozesse und ihre Anwendungen. -- Verlag Vieweg 1964.
16.16
MANTEUFFEL, K.; STUMPE, D.: Spieltheorie. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 21/1), 1977; Verlag H.
Deutsch, (MINÖA, Bd. 21/1)1979.
16.17
OSE, G. (HRSG.): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 4. -- Verlag H. Deutsch 1991.
16.18
PISCHLER, J.; ZSCHIESCHE, H.-U.: Simulationsmethoden. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 20),
1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 20), 1978.
16.19
PRECHT, M.; VOIT, K.; KRAFT, R.: Mathematik 1 für Nichtmathematiker. -- Oldenbourg-Verlag 1990.
16.20
R`ENY, A.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1966.
16.21
RINNE, H.: Taschenbuch der Statistik. -- Verlag H. Deutsch 1995


16.22
SOBOL, I.M.: Die Monte-Carlo-Methode. -- Verlag H. Deutsch 1991.
16.23
STORM, R.: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik und statistische Qualitätskontrolle. -Fachbuchverlag, 10. Auflage 1995.
16.24
TAYLOR, J.R.: Fehleranalyse. -- VCH, Weinheim 1988.
16.25
WEBER, E.: Grundriß der biologischen Statistik für Naturwissenschaftler, Landwirte und Mediziner. -- Gustav
Fischer Verlag 1972.
16.26
WEBER, H.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure. -- B. G. Teubner 1992.
16.27
ZURMÜHL, R.: Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker. -- Springer-Verlag 1984.


Funktionaler Zusammenhang
Zwischen den Merkmalen

und

bestehe ein funktionaler Zusammenhang, der durch die

theoretische Regressionsfunktion
(16.144)

beschrieben werden soll. Die Funktionen
Variablen. Die Koeffizienten

unabhängigen

sind konstant und treten in (16.144) linear auf. Man spricht deshalb im Falle von

(16.144) auch von linearer Regression , obwohl die Funktionen

Beispiel

sind bekannte Funktionen von

beliebig sein können.


, ein vollständiges

Die Funktion
quadratisches Polynom in zwei Variablen mit
und
theoretische Regressionsfunktion der linearen Regression.

, ist ein Beispiel für eine


Methoden zur Definition einer Funktion
●
●

Definition mittels Tabelle
Definition mittels Formeln


Gerade
●
●
●
●

Gleichung der Geraden
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Schnittpunkt von Geraden
Winkel zwischen zwei Geraden


Punkt, Gerade, Strahl, Strecke
●
●
●

Punkt und Gerade
Strahl und Strecke
Parallele und orthogonale Geraden


Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze
Die Gesetze der großen Zahlen geben Zusammenhänge zwischen der relativen Häufigkeit
Ereignisses

und deren Wahrscheinlichkeit

wieder.
●
●

Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli
Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy

eines zufälligen

bei einer großen Anzahl von Wiederholungen des Versuches


Asymptotische Potenzreihen
1. Begriff der asymptotischen Reihe: Eine Reihe
, die für

heißt asymptotische Potenzreihe der Funktion

definiert ist, wenn

(7.93)

für jedes

schreibt man auch

gilt. Dabei wird in

.

2. Eigenschaften asymptotischer Potenzreihen:
a) Eindeutigkeit:

das LANDAU-Symbol ,,groß O`` verwendet. Für (7.93)


Existiert für eine Funktion

die asymptotische Potenzreihe, dann ist sie eindeutig, aber durch eine

asymptotische Potenzreihe ist eine Funktion nicht eindeutig bestimmt.
b) Konvergenz:
Von einer asymptotischen Potenzreihe muß keine Konvergenz gefordert werden.
Beispiel A
ist eine asymptotische Reihe, die für alle

mit

konvergiert.

Beispiel B
,

Wiederholte partielle Integration ergibt für das Parameterintegral

das für

konvergiert, die Darstellung

mit

. Wegen


gilt

und damit

(7.94)
Die asymptotische Potenzreihe (7.94) ist divergent für alle

und dem

-ten Glied den Wert

-ten

hat. Trotzdem ist diese divergente Reihe zur Funktionswertberechnung von

gut geeignet. So erhält man z.B. für

Abschätzung

, da der Betrag des Quotienten aus dem

mit Hilfe der Partialsummen

.

und

die


Gleichungen 1. bis 4. Grades
●
●
●
●

Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
Gleichungen 4. Grades


Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 1
Faktorenzerlegung führt von
(1.153a)
oder
(1.153b)
falls sie gelingt, direkt auf die Wurzeln
(1.153c)
Beispiel


Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 2
Die Anwendung von Lösungsformeln führt
a)
für die Form (1.150a) auf die Lösungen
(1.154a)

oder

(1.154b)

wobei die zweite Formel bei geradzahligem
b)

vorteilhaft ist.


Für die Form (1.150b) führt sie auf die Lösungen
(1.155)


Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 1, Faktorenzerlegung
Faktorenzerlegung der linken Seite von
(1.164a)
führt, falls das gelingt, direkt auf die Wurzeln
(1.164b)
Beispiel


Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 2
Die Wurzeln der Gleichung (1.164a) stimmen für

mit den Wurzeln der Gleichung
(1.165a)

überein, wobei

und

irgendeine reelle Wurzel der kubischen Gleichung

(1.165b)
ist.


Überzählige Wurzeln
Nach der Umformung einer algebraischen Gleichung auf die Normalform kann es vorkommen, daß
Lösungen besitzt, die keine Lösungen der Ausgangsgleichung sind. Es sind zwei Fälle möglich, Verschwinden des
Nenners und irrationale Gleichungen, die in den nächsten beiden Abschnitten betrachtet werden.
●
●

Verschwinden des Nenners
Irrationale Gleichungen


Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen
Für das spezielle Eigenwertproblem A

bzw.

symmetrischen Matrix A die folgenden Aussagen:
●
●

Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems
Hauptachsentransformation, Ähnlichkeitstransformation

(4.124) gelten im Falle einer reellen


Lineare Diophantische Gleichungen
●

DIOPHANTische Gleichungen und Lösbarkeit

●

Lösungsverfahren für

●

Reduktionsverfahren für


Lösungsverfahren für
Es sei
(5.161a)
eine lösbare DIOPHANTische Gleichung, d.h. ggT
dividiert man die Gleichung durch den ggT

Um eine spezielle Lösung der Gleichung zu erhalten,
und erhält

Wie unter GgT als Linearkombination beschrieben, berechnet man nun den ggT

mit ggT
mit Hilfe des

EUKLIDischen Algorithmus, um schließlich eine Darstellung von 1 als Linearkombination von

und

zu erhalten:

Durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung kann man sich davon überzeugen, daß das geordnete Paar
ganzer Zahlen eine Lösung der vorgegebenen DIOPHANTischen Gleichung ist.
Die Lösungsgesamtheit der Gleichung (5.161a) erhält man wie folgt: Ist

irgendeine spezielle Lösung, die


man auch durch Probieren erhalten haben könnte, dann ist die Menge aller Lösungen:
(5.161b)
Beispiel A
. Man dividiert durch 3, denn 3= ggT
und
Paar

Daraus folgt
(s. GgT als Linearkombination). Das geordnete

ist eine spezielle Lösung der Gleichung

Beispiel B
Die Lösungsmenge der Gleichung

ist

.


Verschwinden des Nenners
Wenn eine Gleichung die Form eines Bruches
(1.147a)

mit den Polynomen

und

hat, dann ergibt sich die Normalform durch Multiplikation mit dem Nenner:

(1.147b)
ihre Wurzeln stimmen mit denen der Ausgangsgleichung überein, ausgenommen die Fälle, in denen eine Wurzel
der Gleichung

zugleich auch Wurzel der Gleichung

In diesen Fällen ist der Bruch zuerst durch
entgegengesetzten Falle würde die Gleichung

zu kürzen, eventuell durch
eine Wurzel

ist.
falls das möglich ist. Im
enthalten, die entweder keine


Wurzel der Ausgangsgleichung ist oder in dieser als Wurzel geringerer Vielfalt auftritt.
Beispiel A
oder

Wenn nicht mit

gekürzt wird, dann genügt die Wurzel

der Gleichung

nicht aber der Gleichung (1), weil sie auch den Nenner zu Null macht.
Beispiel B

Wenn nicht mit

gekürzt wird, dann ergibt sich die Gleichung

dreifachen Wurzel
Die Gleichung (2) besitzt aber nur die einfache Wurzel

mit der


Auftreten
Die KdV-Gleichung tritt auf bei der Behandlung von
●
●
●
●

Oberflächenwellen in flachem Wasser,
anharmonischen Schwingungen in nichtlinearen Gittern,
Problemen der Plasmaphysik und
nichtlinearen elektrischen Netzwerken.


Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren
●
●

Koordinatengleichungen
Positive Richtung auf einer Kurve


Gleichung und Lösungen
Die NLS-Gleichung für die Evolutionsfunktion

und ihre Solitonlösung lauten:
(9.132)

(9.133)
Hier ist

komplex. Das NLS-Soliton ist durch die 4 dimensionslosen Parameter

charakterisiert. Die Einhüllende des Wellenpakets bewegt sich mit der Geschwindigkeit

Im Falle von
charakterisiert:

, die

. Im Unterschied zum KdV-Soliton (9.128)

Phasengeschwindigkeit der eingehüllten Welle ist
können hier die Amplitude (über

und

) und die Geschwindigkeit (über

wechselwirkenden Solitonen werden diese durch

) unabhängig voneinander gewählt werden.
willkürlich wählbare Parameter

. Falls die Solitonen verschiedene Geschwindigkeiten


haben, zerfällt die

-Solitonenlösung asymptotisch für

in eine Summe von

individuellen Solitonen der

Form (9.133).

Die Abbildung zeigt eine Darstellung des Realteiles von (9.133) mit

und

.


Zuordnung eines Systems linearer Funktionen
Zur Lösung von (4.107) wird dem linearen Gleichungssystem

ein System linearer Funktionen

zugeordnet, auf das das Austauschverfahren anzuwenden ist:
(4.112a)
ist äquivalent zu
(4.112b)
Die Matrix

ist vom Typ

ist ein Spaltenvektor mit

Gleichungen muß nicht mit der Anzahl
Austauschverfahrens wird

Komponenten, d.h., die Anzahl

der Unbekannten übereinstimmen. Nach Abschluß des

gesetzt. Das Lösungsverhalten von

Austauschschema abgelesen werden.

der

kann unmittelbar aus dem letzten


Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
Das lineare Gleichungssystem (4.112a) ist genau dann lösbar, wenn für das zugeordnete System linearer Funktionen
(4.112b) einer der folgenden zwei Fälle gilt:
1. Fall: Alle

lassen sich gegen gewisse

austauschen. Das bedeutet, das

zugehörige System linearer Funktionen ist linear unabhängig.
2. Fall: Mindestens ein

ist nicht mehr gegen ein

austauschbar, d.h., es gilt
(4.113)

und es ist

Das bedeutet, das zugehörige System linearer Funktionen ist linear abhängig.


Pseudotensoren

-ter Stufe

In Verallgemeinerung der Begriffe Pseudoskalar und Pseudovektor ist ein Pseudotensor
gekennzeichnet, daß er sich unter einer reinen Drehung (Drehungsmatrix
ter Stufe verhält, sein Spiegelungsverhalten sich aber um einen Faktor
Pseudotensoren höherer Stufe s. Lit. 4.2.

mit

-ter Stufe dadurch
) wie ein Tensor

unterscheidet. Beispiele für

-


Lineare Systeme, Austauschverfahren
●
●
●
●

Lineare Systeme
Austauschverfahren
Lineare Abhängigkeiten
Invertierung einer Matrix


Definition und Lösbarkeit
●
●

Lineares Gleichungssystem
Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems


Austauschverfahren
●
●

Austauschschema
Austauschregeln


Darstellung und Konvertierung von Zahlen
●
●

Gleitpunktzahlen
Zahlen verschiedener Basis


Spezielle Zahlen
In Mathematica sind einige spezielle Zahlen enthalten, die häufig benötigt werden und mit beliebiger Genauigkeit
aufgerufen werden können. Dazu gehören

mit dem Symbol Pi,

mit dem Symbol E,

als

Umrechnungsfaktor von Gradmaß in Bogenmaß mit dem Symbol Degree, Infinity als Symbol für
schon benutzte imaginäre Einheit I.

sowie die


Gradient in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Mit

gilt:
(13.37a)

wobei sich ergibt:

(13.37b)


Weitere Eigenschaften des Gradienten
1.
Der absolute Betrag des Gradienten ist in den Punkten größer, in deren Umgebung die Feldliniendichte größer
ist.
2.
Der Gradient verschwindet (
Minimum von

), wenn sich in dem betrachteten Feldpunkt ein Maximum oder

befindet. Dort entarten die Niveauflächen bzw. Niveaulinien zu einem Punkt.


Gradient in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
1. Gradient in kartesischen Koordinaten
(13.34)
2. Gradient in Zylinderkoordinaten (

)
(13.35a)
(13.35b)

3. Gradient in Kugelkoordinaten (

)
(13.36a)
(13.36b)


Darstellung von Graphen
Endliche Graphen können veranschaulicht werden, indem man jedem Knoten einen Punkt in der Ebene zuordnet und
zwei Punkte genau dann durch eine gerichtete oder ungerichtete Kurve verbindet, wenn der Graph die
entsprechende Kante besitzt. In den folgenden vier Abbildungen sind Beispiele gezeigt.


Die untere rechte Abbildung zeigt den PETERSEN-Graph , der dadurch bekannt geworden ist, daß er für viele
graphentheoretische Vermutungen, deren Beweis allgemein nicht gelang, als Gegenbeispiel diente.


Transportnetze
●
●

Transportnetz
Maximalstrom-Algorithmus von FORD und FULKERSON


Exakte Formulierung
Eine Funktion von zwei Veränderlichen
nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl

besitzt einen Grenzwert
eine zweite positive Zahl

wenn sich
angeben läßt, so daß gilt
(2.274a)

für alle Punkte

des Quadrates

(2.274b)


Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel
●
●
●
●
●

Sphärische Kurven, Großkreis und Kleinkreis
Sphärischer Abstand
Geodätische Linien
Messung des sphärischen Abstandes
Schnittwinkel, Kurswinkel und Azimut


Anwendungen bestimmter Integrale
●
●
●

Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals
Anwendungen in der Geometrie
Anwendungen in Mechanik und Physik


Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor
●
●
●
●

Grundgesamtheit
Stichprobe
Zufällige Auswahl mit Hilfe von Zufallszahlen
Zufallsvektor


Permutationen
1. Definition: Permutation

nennt man eine Anordnung von

Elementen in einer bestimmten

Reihenfolge.
2. Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung: Für die Anzahl

der Permutationen von

verschiedenen Elementen gilt
(16.1)
Beispiel
In einem Hörsaal wurde eine Reihe mit 16 Sitzplätzen von genau 16 Studenten besetzt. Es gibt
Möglichkeiten für die Sitzordnung.
3. Anzahl der Permutationen mit Wiederholung: Für die Anzahl
Elementen, darunter

gleichen

, gilt

der Permutationen von


(16.2)

Beispiel
Eine Reihe von 16 Sitzplätzen im Hörsaal wird von 16 Studenten mit ihren Taschen belegt. Unter den 16
Taschen befinden sich 4 gleiche. Dann gibt es
4. Verallgemeinerung: Für die Anzahl
Gruppen mit jeweils

Möglichkeiten für die Anordnung der Taschen.
der Permutationen von

gleichen Elementen

Elementen, eingeteilt in
, gilt
(16.3)

Beispiel
Aus den fünf Ziffern 4, 4, 5, 5, 5 können
werden.

verschiedene fünfstellige Zahlen gebildet


Genau eine Drehachse
a)
Sind Drehungen um beliebige Winkel möglich, d.h.

, so ist das Molekül linear, und die

Symmetriegruppe ist unendlich.
Beispiel A
Beim Molekül des Kochsalzes vom Typ Na--Cl gibt es keine horizontale Spiegelung. Die
dazugehörige Symmetriegruppe aller Drehungen um

wird mit

bezeichnet.

Beispiel B
Das Molekül

besitzt eine horizontale Spiegelung. Die zugehörige Symmetriegruppe wird durch

die Drehungen und diese Spiegelung erzeugt und mit

bezeichnet.

b)
Die Drehachse ist

-zählig,

sie ist aber keine Drehspiegelungsachse der Ordnung


Gibt es keine weiteren Symmetrieelemente, dann wird
erzeugt, d.h.

von einer Drehung

In diesem Fall wird

Gibt es noch eine vertikale Spiegelung

um den Winkel

ebenfalls mit

so gilt

um

bezeichnet.
, und

wird mit

bezeichnet. (s. Definition und grundlegende Eigenschaften von Gruppen).
Existiert dagegen eine horizontale Spiegelung
bezeichnet und ist für ungerades

so gilt

zyklisch (s. Untergruppen).

Beispiel A
Beim Wasserstoffperoxid treten diese drei Fälle in der oben angegebenen Reihenfolge für
bzw.

ein (Drehachse rot).

wird mit


Beispiel B
Das Wassermolekül

besitzt als Symmetrieelemente eine zweizählige Drehachse und eine

vertikale Spiegelungsebene. Folglich ist die Symmetriegruppe des Wassermoleküls isomorph zur
Gruppe

die ihrerseits isomorph zur KLEINschen Vierergruppe

ist.

c)
Die Drehachse ist -zählig, ist aber gleichzeitig Drehspiegelungsachse der Ordnung
Fälle zu unterscheiden.
Gibt es weiter keine vertikale Spiegelung, so gilt
bezeichnet.
Beispiel

und

Dabei sind zwei

wird auch mit


Ein Beispiel ist das Molekül Tetrahydroxy-Allen mit der Formel

Gibt es eine vertikale Spiegelung, dann ist
bezeichnet wird.
Beispiel

eine Gruppe der Ordnung

(Drehachse rot).

die mit


Für

ergibt sich

Allen-Molekül (Drehachse rot).

d.h. die Diedergruppe der Ordnung 8. Ein Beispiel ist das


Beispiel Moleküle
●
●
●
●

Räumliche Darstellung
Keine Drehachse
Genau eine Drehachse
Mehrere Drehachsen


Beispiele für Halbgruppen
Beispiel A
Zahlenbereiche bezüglich Addition oder Multiplikation.
Beispiel B
Potenzmenge bezüglich Vereinigung oder Durchschnitt.
Beispiel C
Matrizen bezüglich Addition oder Multiplikation.
Beispiel D
Menge
aller ,,Wörter`` (strings) über einem ,,Alphabet``
(Worthalbgruppe ).

bezüglich Hintereinanderschreibung

Hinweis: Bis auf die Multiplikation von Matrizen und die Hintereinanderschreibung von Wörtern sind alle in den
Beispielen vorkommenden Operationen kommutativ; man spricht dann von kommutativen Halbgruppen.


Beispiele zum Lemma von Jordan

●

●
●
●

Berechnung des Integrals

Integralsinus
Sprungfunktion
Rechteckimpuls


Definition
Oft auftretende algebraische Strukturen haben besondere Namen bekommen. Eine Menge
assoziativen binären Operation

heißt Halbgruppe ; Bezeichnung

versehen mit einer


Anwendungen der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie
Mit Hilfe der angegebenen Grundformeln können z.B. Entfernungen und Azimute bzw. Kurswinkel auf der Erde
bestimmt werden.
Beispiel A
Es ist die kürzeste Entfernung zwischen Dresden
zu berechnen.

und Alma Ata


Lösung: Die geographischen Koordinaten
Meridianen liegende Seiten
eingeschlossenen Winkel

und der Nordpol
und
Für
(3.173a)

des Dreiecks
folgt aus dem Kosinussatz

liefern zwei auf
sowie den


(3.182)

also

Der Großkreisabschnitt

(3.161a) die Länge 4694 km.

gemäß

Beispiel B
Es sind die Kurswinkel

und

bei Abfahrt und Ankunft sowie die Entfernung in Seemeilen für eine

Schiffsreise auf einem Großkreis von Bombay
zu berechnen.

nach Dar es Saalam

hat


Lösung: Die Berechnung der zwei Seiten
im sphärischen Dreieck

sowie des eingeschlossenen Winkels

mit Hilfe des Kosinussatzes

den geographischen Koordinaten
(3.173c)

mit


liefert
sm ergibt sich

, und wegen

sm.

Mit dem Seitenkosinussatz

(3.173a) erhält man

und

Somit ist

und

.

Hinweis: Die Verwendung des Sinussatzes zur Berechnung von Seiten und Winkeln ist nur dann sinnvoll, wenn aus
der Aufgabenstellung ersichtlich ist, ob diese spitz oder stumpf sind.


Invariante Mannigfaltigkeiten
●
●
●

Definition, Separatrixflächen
Satz von Hadamard und Perron für diskrete Systeme
Transversale homokline Punkte


Begriff des Hilbert-Raumes
●
●
●

Skalarprodukt
Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften
Hilbert-Raum


Kegelförmige Körper
●
●
●
●

Kegelflächen
Kegel
Gerade Kreiskegel
Gerader Kreiskegelstumpf


Kugel und Teile von Kugeln
●
●
●
●

Kugel
Kugelausschnitt
Kugelabschnitt
Kugelschicht


Wertesystem der Variablen
Das Wertesystem eines Arguments aus zwei Variablen
Koordinaten

und

und

kann als Punkt der Ebene mit den kartesischen

dargestellt werden; einem Wertesystem aus drei Variablen

drei kartesischen Koordinaten

entspricht ein Punkt mit

im dreidimensionalen Raum. Systeme aus vier und mehr Koordinaten kann

man sich nicht mehr anschaulich vorstellen. In Analogie zum dreidimensionalen Raum spricht man aber bei
Systemen aus
Koordinaten

Variablen

von einem Punkt im

-dimensionalen Raum mit den kartesischen

In dem im vorigen Abschnitt betrachteten Beispiel B

Variablen ist das Wertesystem ein Punkt im vierdimensionalen Raum mit den Koordinaten
und

mit vier


Darstellungen
●
●

Wertesystem der Variablen
Funktion u=f(x,y) zweier unabhängiger Variabler


Maßstab
Maßstab

nennt man im Karten- und Zeichenwesen das Verhältnis von Strecken

Koordinatensystem

relativ zu einer Strecke

Maßstabsumrechnung für Strecken: Mit
als Index für Karte gilt:

in einem

in einem anderen Koordinatensystem

als Modul oder Maßzahl und

als Index für Natur und
(3.89a)

Für zwei Strecken

mit verschiedenen Modulen

gilt:
(3.89b)

Maßstabsumrechnung für Flächen: Wenn die Flächen gemäß

berechnet

werden, gilt:
(3.90a)
Für zwei Flächen

mit verschiedenen Modulen

gilt:
(3.90b)


Topologische Konjugiertheit von diskreten Systemen
●
●

Definition
Satz von GROBMAN und HARTMAN


Horner-Schema
●
●

Reelle Argumentwerte
Komplexe Argumentwerte


Formeln für negative Argumente
(2.168)
(2.169)
(2.170)
(2.171)


Hyperbelfunktionen einer Variablen
(2.162)
(2.163)
(2.164)
(2.165)

(2.166)

(2.167)


Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes
Die entsprechenden Formeln sind der Übersichtlichkeit wegen in der folgenden Tabelle zusammengefaßt.
Tabelle Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen gleichen Arguments für


Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome)
Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome) werden durch direkte gliedweise Integration berechnet:

(8.11)


Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung:
●
●
●
●

1. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell und einfach
2. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell, einige von ihnen sind mehrfach
3. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind einfach komplex
4. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind mehrfach komplex


Unbestimmtes Integral
●
●
●
●
●
●

Stammfunktion oder Integral
Integrationsregeln
Integration rationaler Funktionen
Integration irrationaler Funktionen
Integration trigonometrischer Funktionen
Integration weiterer transzendenter Funktionen


Definition
Stammfunktion oder Integral einer gegebenen Funktion
definiert ist, wird eine differenzierbare Funktion
deren Ableitung gleich

, die in einem zusammenhängenden Intervall
genannt, die in demselben Intervall definiert ist und

ist:
(8.1)

Da bei der Differentiation einer Funktion eine additiv auftretende Konstante verschwindet, existieren zu einer
gegebenen Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Die Differenz zweier Stammfunktionen ist eine Konstante.
Daher können die Bilder aller Stammfunktionen

zu einer gegebenen Funktion durch

Parallelverschiebung einer bestimmten Stammfunktion in Richtung der Ordinatenachse erzeugt werden.


Existenz
Jede in einem zusammenhängenden Intervall stetige Funktion besitzt dort eine Stammfunktion. Im Falle von
Unstetigkeitsstellen wird das Intervall in Teilintervalle zerlegt, in denen die Ausgangsfunktion stetig ist.


Die gegebene Funktion
unteren.

befindet sich im oberen Teil der Abbildung, die Stammfunktion

im


Kurvenintegral allgemeiner Art
●
●
●

Definition
Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art
Umlaufintegral


Integralrechnung
●

Unbestimmtes Integral
❍ Stammfunktion oder Integral
■ Definition
■ Existenz
■ Unbestimmte Integrale
■ Integrale elementarer Funktionen
■ Tabelle der Grundintegrale
❍ Integrationsregeln
■ Integrand mit konstantem Faktor
■ Integration einer Summe oder Differenz
■ Umformung des Integranden
■ Lineare Transformation im Argument
■ Logarithmische Integration
■ Substitutionsmethode
■ Partielle Integration
■ Nichtelementarer Integrale


Wichtige Integrationsregeln für unbestimmte Integrale
Integration rationaler Funktionen
■ Integrale ganzrationaler Funktionen (Polynome)
■ Integrale gebrochenrationaler Funktionen
■ Vier Fälle bei der Partialbruchzerlegung:
■ 1. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell und einfach
■ 2. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell, einige von ihnen sind mehrfach
■ 3. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind einfach komplex
■ 4. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind mehrfach komplex
Integration irrationaler Funktionen
■ Substitution zur Rückführung auf Integrale rationaler Funktionen
■ Substitutionen zur Rückführung auf Integrale rationaler Ausdrücke, die trigonometrische und
Hyperbelfunktionen enthalten
■ Integration binomischer Integranden
■ Elliptische Integrale
■ Unbestimmte elliptische Integrale
■ Bestimmte elliptische Integrale
Integration trigonometrischer Funktionen
■ Substitution
■ Vereinfachte Methoden
■

❍

❍

❍

■

Integrand der Form

■

Integrand der Form

■

Integrand der Form

und
und
:


■

:

Integrand der Form
:
❍ Integration weiterer transzendenter Funktionen
■ Integrale mit Exponentialfunktionen
■ Integrale mit Hyperbelfunktionen
■ Anwendung der partiellen Integration
Bestimmte Integrale
❍ Grundbegriffe, Regeln und Sätze
■ Definition und Existenz des bestimmten Integrals
■ Definition
■ Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summe
■ Existenz des bestimmten Integrals
■ Eigenschaften bestimmter Integrale
■ Hauptsatz der Integralrechnung
■ Geometrische Interpretation und Vorzeichenregel
■ Variable obere Integrationsgrenze
■ Zerlegung des Integrationsintervalls
■ Weitere Sätze über Integrationsgrenzen
■ Mittelwertsatz und verallgemeinerter Mittelwertsatz
■ Abschätzung des bestimmten Integrals
■ Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
■ Berechnung bestimmter Integrale
■ Hauptmethode
■ Umformung bestimmter Integrale
■ Methoden zur Berechnung komplizierter Integrale
■

●

Integrand der Form


Integration durch Reihenentwicklung
■ Graphische Integration
■ Planimeter und Integraphen
■ Numerische Integration
Anwendungen bestimmter Integrale
■ Allgemeines Prinzip zur Anwendung des bestimmten Integrals
■ Anwendungen in der Geometrie
■ Flächeninhalte ebener Flächen
■ Bogenlängen ebener Kurven
■ Mantelflächen von Rotationskörpern
■ Volumina
■ Anwendungen in Mechanik und Physik
■ Weg eines Punktes
■ Arbeit
■ Druck
■ Trägheitsmomente
■ Schwerpunkte, GULDINsche Regeln
■

❍

■
■
■
■

des Bogenstückes:

2. Schwerpunkt
einer geschlossenen Kurve:
3. Erste GULDINsche Regel:
4. Schwerpunkt eines Trapezes:

5. Schwerpunkt
einer beliebigen ebenen Figur:
■ 6. Zweite GULDINsche Regel:
Uneigentliche Integrale, STIELTJES- und LEBESGUE-Integrale
■

❍

1. Schwerpunkt


Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
■ Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen
■ Definitionen
■ Geometrische Bedeutung des Integrals mit unendlichen Integrationsgrenzen
■ Hinreichende Konvergenzkriterien
■ Zusammenhang zwischen uneigentlichen Integralen und unendlichen Reihen
■ Integrale mit unbeschränktem Integranden
■ Definitionen
■ Geometrische Bedeutung
■ Über die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung
■ Hinreichende Bedingung für die Konvergenz eines uneigentlichen Integrals mit
unbeschränktem Integranden
Parameterintegrale
■ Definition
■ Differentiation unter dem Integralzeichen
■ Integration unter dem Integralzeichen
Integration durch Reihenentwicklung, spezielle
nichtelementare Funktionen
■

❍

❍

■

Integralsinus (

)

■

Integralkosinus (

■

Integrallogarithmus (

■

Integralexponentialfunktion (

)
, für

als CAUCHYscher Hauptwert)
, für

als CAUCHYscher Hauptwert)


GAUSSsches Fehlerintegral und Fehlerfunktion
■ Gammafunktion
■ Definition
■ Eigenschaften der Gammafunktion
■ Verallgemeinerung des Begriffs der Fakultät
■ Elliptische Integrale
Kurvenintegrale
❍ Kurvenintegrale erster Art
■ Definitionen
■ Existenzsatz
■ Berechnung des Kurvenintegrals erster Art
■ Kurvenelemente
■ Anwendungen des Kurvenintegrals erster Art
❍ Kurvenintegrale zweiter Art
■ Definitionen
■ Projektion auf die x-Achse:
■ Projektion auf die y-Achse:
■ Projektion auf die z-Achse:
■ Existenzsatz
■ Berechnung der Kurvenintegrale zweiter Art
■ Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform:
■ Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form:
❍ Kurvenintegral allgemeiner Art
■ Definition
■ Eigenschaften des Kurvenintegrals allgemeiner Art
■

●


Umlaufintegral
❍ Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Integrationsweg
■ Zweidimensionaler Fall
■ Dreidimensionaler Fall
■ Berechnung der Stammfunktion
■ Zweidimensionaler Fall
■ Dreidimensionaler Fall
■ Verschwinden des Umlaufintegrals
Mehrfachintegrale
❍ Doppelintegral
■ Begriff des Doppelintegrals
■ Definition
■ Existenzsatz
■ Geometrische Bedeutung
■ Berechnung des Doppelintegrals
■ Berechnung in kartesischen Koordinaten
■ Berechnung in Polarkoordinaten
■ Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten
■

●

■

Anwendungen von Doppelintegralen
Dreifachintegral
■ Begriff des Dreifachintegrals
■ Definition
■ Existenzsatz
■

❍

Ebene Flächenelemente in der

-Ebene


■

Berechnung des Dreifachintegrals
■ Berechnung in kartesischen Koordinaten
■ Berechnung in Zylinderkoordinaten
■ Berechnung in Kugelkoordinaten
■

Volumenelemente
■ Anwendungen von Dreifachintegralen
Oberflächenintegrale
❍ Oberflächenintegrale erster Art
■ Begriff des Oberflächenintegrals erster Art
■ Definition
■ Existenzsatz
■ Berechnung des Oberflächenintegrals erster Art
■ Explizite Darstellung der Fläche
■ Parameterdarstellung der Fläche
■ Flächenelemente gekrümmter Flächen
■ Anwendungen des Oberflächenintegrals erster Art
❍ Oberflächenintegrale zweiter Art
■ Begriff des Oberflächenintegrals zweiter Art
■ Begriff einer orientierten Fläche
■ Projektion eines orientierten Flächenstückes auf eine Koordinatenebene
■ Definition des Oberflächenintegrals zweiter Art über eine Projektion auf eine
Koordinatenebene
■ Existenzsatz für das Oberflächenintegral zweiter Art
■

●

Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten


Berechnung des Oberflächenintegrals zweiter Art
■ Explizite Vorgabe der Flächengleichung
■ Vorgabe der Flächengleichung in Parameterform
Oberflächenintegral allgemeiner Art
■ Eigenschaften des Oberflächenintegrals
■ Eine Anwendung des Oberflächenintegrals
■

❍


Methoden zur Berechnung komplizierter Integrale
Wenn die Berechnung eines unbestimmten Integrals sehr kompliziert ist oder wenn es sich nicht durch elementare
Funktionen ausdrücken läßt, dann ist es in einer Reihe von Fällen durch Anwendung verschiedener Methoden
(manchmal ,,Kunstgriffe`` genannt) trotzdem möglich, den Wert des Integrals zu berechnen. Dazu gehören die
Integration von Funktionen mit komplexen Veränderlichen, wie sie in den Beispielen zur Anwendung des
Residuensatzes und des Lemmas von JORDAN demonstriert werden, und auch die Differentiation eines Integrals
nach einem Parameter:
(8.51)

Beispiel


. Parametereinführung

:

.

Anwendung von (8.51) auf

:

.

. Ergebnis:

Integration:

.


Berechnung bestimmter Integrale
●
●
●
●
●
●
●

Hauptmethode
Umformung bestimmter Integrale
Methoden zur Berechnung komplizierter Integrale
Integration durch Reihenentwicklung
Graphische Integration
Planimeter und Integraphen
Numerische Integration


Anwendung der partiellen Integration
Wenn der Integrand Logarithmen, inverse trigonometrische Funktionen, inverse Hyperbelfunktionen oder Produkte
von

mit

oder

enthält, kann die Lösung durch einfache oder mehrfache

Anwendung der partiellen Integration herbeigeführt werden.
In einigen Fällen führt die wiederholte Anwendung der partiellen Integration wieder auf das ursprünglich gegebene
Integral. Dann wird seine Berechnung auf die Lösung einer algebraischen Gleichung zurückgeführt. Auf diese Weise
werden z.B. die Integrale

berechnet, wozu eine zweimalige partielle

wird in beiden Fällen die Funktion des gleichen Typs gewählt, also entweder
Integration erforderlich ist. Als Faktor
die Exponential- oder die trigonometrische Funktion.
Die partielle Integration wird auch in den Fällen
eingesetzt, wobei

ein Polynom ist.


Grundbegriffe, Regeln und Sätze
●
●
●

Definition und Existenz des bestimmten Integrals
Eigenschaften bestimmter Integrale
Berechnung bestimmter Integrale


Hauptmethode
Die Hauptmethode zur Berechnung eines bestimmten Integrals ist der Weg über den Hauptsatz der
Integralrechnung, d.h. die Berechnung des unbestimmten Integrals, z.B. unter Benutzung der Tabelle Unbestimmte
Integrale. Dabei ist darauf zu achten, ob beim Einsetzen der Grenzen uneigentliche Integrale entstehen.
Heute werden verbreitet Computeralgebrasysteme zur analytischen Berechnung von unbestimmten und bestimmter
Integralen eingesetzt.


Definition des Integrals im Komplexen
●
●
●

Bestimmtes komplexes Integral
Unbestimmtes komplexes Integral
Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem komplexen Integral


Bestimmtes und unbestimmtes Integral
●
●

Definition des Integrals im Komplexen
Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale


Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 432 bis 439


Integrale mit Hyperbelfunktionen, Nr. 440 bis 446


Integrale mit Exponentialfunktionen, Nr. 456 bis 464


Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 472 bis 479


Integrale mit logarithmischen Funktionen, Nr. 480 bis 487

Mit

sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.


Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 496 bis 503


Integrale mit inversen trigonometrischen Funktionen, Nr. 504 bis 511


Integrale mit

Das Integral wird für

, Nr. 1 bis 8

oder bei ganzzahligem

und gebrochenem

angewandt; in diesem Fällen wird


nach dem binomischen Lehrsatz entwickelt.


Integrale mit

, Nr. 9 bis 16


Integrale mit

, Nr. 17 bis 24


Integrale mit

, Nr. 25 bis 30


Wenn der Nenner des Gliedes unter dem Summenzeichen verschwindet, dann ist ein solches Glied durch das
folgende zu ersetzen:


Integrale mit

, Nr. 31 bis 39


Integrale mit

, Nr. 40 bis 48


Integrale mit

, Nr. 49 bis 56


Integrale mit

, Nr. 57 bis 69


Integrale mit

, Nr. 70 bis 82


Integrale mit

, Nr. 83 bis 96


Integrale mit

, Nr.97 bis 100


Integrale mit

, Nr. 101 bis 104


4. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind mehrfach komplex
(8.16a)
a) Form der Zerlegung:

(8.16b)

b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Konstanten werden mit Hilfe der Methode der
unbestimmten Koeffizienten bestimmt.


c) Integration des Ausdrucks

mit

in folgenden Schritten:

) Umformung des Zählers gemäß
(8.16c)

) Zerlegung des gesuchten Integrals in zwei Summanden, wobei sich der erste direkt integrieren läßt:
(8.16d)

) Der zweite Summand wird ohne den konstanten Faktor mit der folgenden Rekursionsformel
berechnet:

(8.16e)


Beispiel

.
Mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten ergibt sich das Gleichungssystem

,

woraus folgt

also:

. Da gemäß (8.16e) gilt:

, ergibt sich
schließlich:


.


Integrale mit

und

, Nr. 109 bis 116


Andere Integrale mit

, Nr. 117 bis 120


Integrale mit

, Nr. 121 bis 132


Integrale mit

, Nr. 133 bis 145


Integrale mit

und

, Nr. 146 bis 156


Integrale mit

, Nr. 157 bis 163


Integrale mit

, Nr. 164 bis 170


Integrale mit

, Nr. 171 bis 177


Integrale mit

, Nr. 178 bis 184


Integrale mit

, Nr. 185 bis 191


Integrale mit

, Nr. 192 bis 198


Integrale mit

, Nr. 199 bis 205


Integrale mit

, Nr. 206 bis 212


Integrale mit

, Nr. 213 bis 219


Integrale mit

, Nr. 220 bis 226


Integrale mit

, Nr. 227 bis 233


Integrale mit

, Nr. 234 bis 240


Integrale mit

, Nr. 241 bis 246


Integrale mit

, Nr. 247 bis 254

.


Integrale mit

, Nr. 255 bis 260

.


Integrale mit

, Nr. 261 bis 267


Integrale mit anderen irrationalen Ausdrücken, Nr. 268 bis 272


Rekursionsformeln für Integral mit binomischem Differential, Nr. 273


Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 305 bis 312


Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 345 bis 353


Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 361 bis 368


Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 282 bis 289

Das bestimmte Integral

nennt man Integralsinus und bezeichnet es mit

Als Reihenentwicklung (s. auch Berechnung des Integrals) ergibt sich:

.


Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 400 bis 408


Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 290 bis 296

Mit

sind die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.


Integrale mit Sinusfunktion, Nr. 297 bis 304


Integrale Kosinusfunktion, Nr. 329 bis 336

Mit

sind die EULERschen Zahlen bezeichnet.


Integrale mit Kosinusfunktion, Nr. 337 bis 344


Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 369 bis 376


Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 377 bis 384


Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 385 bis 391


Integrale mit Sinus- und Kosinusfunktion, Nr. 392 bis 399


Einführung und Klassifikation
●
●

Definitionen
Zusammenhang mit Differentialgleichungen


Lineare Integralgleichungen
●

●

Einführung und Klassifikation
❍ Definitionen
❍ Zusammenhang mit Differentialgleichungen
Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
❍ Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
■ Lösungsansatz im Falle von Produktkernen
■ Bestimmung der Ansatzkoeffizienten
■ Diskussion der Lösung, Eigenwerte und Eigenfunktionen
■ Transponierte Integralgleichung
❍ Methode der sukzessiven Approximation, Neumann-Reihe
■ Iterationsverfahren
■ Konvergenz der NEUMANNschen Reihe
❍ Fredholmsche Lösungsmethode, Fredholmsche Sätze
■ Fredholmsche Lösungsmethode
■ Näherungslösung durch Diskretisierung
■ Bestimmung der Resolvente


Fredholmsche Sätze
❍ Numerische Verfahren für Fredholmsche Integralgleichungen 2. Art
■ Approximation des Integrals
■ Semidiskretes Problem
■ NYSTRÖM-Verfahren
■ Kernapproximation
■ Tensorprodukt-Approximation
■ Spezieller Spline-Ansatz
■ Kollokationsmethode
Fredholmsche Integralgleichung 1. Art
❍ Integralgleichungen mit ausgearteten Kernen
■ Formulierung der Aufgabe
■ Lösungsansatz
■ Lösungen
❍ Begriffe, analytische Grundlagen
■ Lösungsansatz
■ Quadratische Integrierbarkeit
■ Orthonormalsystem
■ Fourier-Reihen
❍ Zurückführung der Integralgleichung auf ein lineares Gleichungssystem
■ Problemstellung
❍ Lösung der homogenen Integralgleichung 1. Art
❍ Konstruktion zweier spezieller Orthonormalsysteme zu einem gegebenen Kern
■ Prinzipielle Vorgehensweise
■

●


Algorithmus
❍ Iteratives Verfahren
Volterrasche Integralgleichungen
❍ Theoretische Grundlagen
■ Methode der Umwandlung
■ Umwandlung durch Differentiation
■ Umwandlung durch partielle Integration
❍ Lösung durch Differentiation
❍ Neumannsche Reihe zur Lösung der Volterraschen Integralgleichungen 2. Art
❍ Volterrasche Integralgleichungen 2. Art vom Faltungstyp
❍ Numerische Behandlung Volterrascher Integralgleichungen
2. Art
Singuläre Integralgleichungen
❍ Abelsche Integralgleichung
❍ Singuläre Integralgleichungen mit Cauchy-Kernen
■ Formulierung der Aufgabe
■ Existenz einer Lösung
■ Eigenschaften des Cauchy-Integrals
■ Hilbertsches Randwertproblem
■ Zusammenhang
■ HILBERTsches Randwertproblem
■ Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
■ Homogene Randbedingungen
■ Inhomogene Randbedingungen
■

●

●


■

Lösung der charakteristischen Integralgleichung
■ Homogene charakteristische Integralgleichung
■ Inhomogene charakteristische Integralgleichung


Lösung des Hilbertschen Randwertproblems
●
●

Homogene Randbedingungen
Inhomogene Randbedingungen


Berechnung des Integrals

Dem gesuchten reellen Integral wird auf folgende Weise ein komplexes Integral zugeordnet:

.

Das letzte dieser Integrale ist Bestandteil des komplexen Integrals

. Die Kurve

besteht aus


dem oben definierten Halbkreisbogen

und dem Stück der reellen Achse

komplexe Integrand hat in der oberen Halbebene nur die singuläre Stelle

und

. Der

. Nach dem Residuensatz gilt:

so daß

Aus

ergibt sich unter Beachtung des Lemmas von JORDAN:

.

Auf ähnliche Weise wurden weitere Integrale der Tabelle Bestimmte Integrale berechnet.


Laplace-Transformation
●
●
●

Eigenschaften der Laplace-Transformation
Rücktransformation in den Originalbereich
Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation


Integraltransformationen
●

●

Begriff der Integraltransformation
❍ Allgemeine Definition der Integraltransformationen
❍ Spezielle Integraltransformationen
❍ Integraltransformationen von Funktionen einer Veränderlichen
❍ Umkehrtransformationen
❍ Linearität der Integraltransformationen
❍ Integraltransformationen für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
❍ Anwendungen der Integraltransformationen
■ Prinzipielle Bedeutung
■ Schema der Operatorenmethode
Laplace-Transformation
❍ Eigenschaften der Laplace-Transformation
■ Laplace-Transformierte, Original- und Bildbereich
■ Definition der Laplace-Transformation
■ Konvergenz


Inverse Laplace-Transformation (Rücktransformation)
Rechenregeln zur Laplace-Transformation
■ Additions- oder Linearitätssatz, Ähnlichkeitssätze
■ Verschiebungssätze
■ Dämpfungssatz
■ Differentiation im Originalbereich
■ Differentiation im Bildbereich
■ Integration im Originalbereich
■ Integration im Bildbereich
■ Divisionssatz
■ Differentiation und Integration nach einem Parameter
■ Faltung
■ Faltung im Originalbereich:
■ Faltung im Bildbereich (komplexe Faltung):
Bildfunktionen spezieller Funktionen
■ Sprungfunktion
■ Rechteckimpuls
■ Impulsfunktion
■ Stückweise differenzierbare Funktionen
■ Periodische Funktionen
■

■

■

■

Diracsche
-Funktion und Distributionen
■ Verallgemeinerte Funktionen
■

Approximationen der

■

Eigenschaften der

-Funktion
-Funktion


❍

Rücktransformation in den Originalbereich
■ Rücktransformation mit Hilfe von Tabellen
■ Partialbruchzerlegung
■ Reihenentwicklungen
- eine absolut konvergente Reihe

■

- eine meromorphe Funktion

Umkehrintegral
❍ Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation
■ Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
■ Prinzip
■ Differentialgleichung 1. Ordnung
■ Differentialgleichung 2. Ordnung
■ Differentialgleichung n-ter Ordnung
■ Gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen
Koeffizienten
■ Partielle Differentialgleichungen
■ Allgemeine Vorgehensweise
■ Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung für ein homogenes Medium
■ Problemstellung:
■ LAPLACE-Transformation:
■ Rücktransformation:
Fourier-Transformation
■

●

■


❍

Eigenschaften der Fourier-Transformation
■ Fourier-Integral
■ Fourier-Integral in komplexer Darstellung
■ Äquivalente Darstellungen des Fourier-Integrals
■ Fourier-Transformation und Umkehrtransformation
■ Definition und Existenz der Fourier-Transformation
■ 1. Definition der Fourier-Transformation:
■ 2. Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion:
■ 3. Nicht Fourier-transformierbare Funktionen:
■ Fourier-Sinus- und Fourier-Kosinus-Transformation
■ Exponentielle Fourier-Transformation
■ Tabellen der Fourier-Transformation
■ Spektralinterpretation der FOURIER-Transformation
■ Rechenregeln zur Fourier-Transformation
■ Additionssatz, Ähnlichkeitssatz
■ Verschiebungssatz
■ Dämpfungssatz
■ Differentiation im Bildbereich und im Originalbereich
■ Integration im Bildbereich
■ Integration im Originalbereich und PARSEVALsche Formel
■ Faltung
■ Vergleich von Fourier- und Laplace-Transformation
■ Bildfunktionen spezieller Funktionen
■ Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -a|t|
■ Bildfunktion zur Exponentialfunktion mit dem Argument -at


Bildfunktion zum bipolaren Rechteckimpuls
■ Bildfunktion zur gedämpften Schwingung
❍ Lösung von Differentialgleichungen mit Hilfe der Fourier-Transformation
■ Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen
■ Partielle Differentialgleichungen
■ Allgemeine Vorgehensweise
■ Lösung der eindimensionalen Wellengleichung für ein homogenes Medium
■ Problemstellung:
■ Fourier-Transformation:
■ Rücktransformation:
Z-Transformation
❍ Eigenschaften der Z-Transformation
■ Diskrete Funktionen
■ Definition der Z-Transformation
■ Originalfolge und Bildfunktion
■ Eigenschaften
■ Grenzwertsätze
■ Rechenregeln
■ Translation
■ Summation und Differenzenbildung
■ Dämpfung und Faltung
■ Differentiation und Integration der Bildfunktion
■ Zusammenhang mit der Laplace-Transformation
■ Umkehrung der Z-Transformation
❍ Anwendungen der Z-Transformation
■

●


Allgemeine Lösung linearer Differenzengleichungen
■ Differenzengleichung zweiter Ordnung (Anfangswertaufgabe)
■ Differenzengleichung zweiter Ordnung (Randwertaufgabe)
Wavelet-Transformation
❍ Signale
❍ Wavelets
■ Mittelwert
■ Moment
■ Ordnung
■ Ortogonalität
❍ Wavelet-Transformation
❍ Diskrete Wavelet-Transformation
■ Schnelle Wavelet-Transformation
■ Diskrete Haar-Wavelet-Transformation
❍ Gabor-Transformation
WALSH-Funktionen
❍ Treppenfunktionen
❍ WALSH-Systeme
■

●

●


Treppenfunktionen
Bei der Approximation von Funktionen spielen orthogonale Funktionensysteme, z.B. spezielle Polynome oder
trigonometrische Funktionen, eine wichtige Rolle, weil sie glatt, d.h. hinreichend oft differenzierbar in dem
betrachteten Intervall sind. Es gibt aber auch Probleme, z.B. die Übertragung der Bildpunkte eines gerasterten
Bildes, für deren mathematische Behandlung glatte Funktionen nicht geeignet sind, sondern sich Treppenfunktionen ,
also stückweise konstante Funktionen besser eignen. WALSH-Funktionen sind sehr einfache Treppenfunktionen. Sie
nehmen nur die zwei Funktionswerte + 1 und - 1 an. Diese zwei Funktionswerte entsprechen zwei Zuständen, so daß
WALSH-Funktionen besonders einfach in Computern realisiert werden können.


Numerische Integration
Wenn der Integrand eines bestimmten Integrals sehr kompliziert ist, sich nicht elementar integrieren läßt oder nur in
Form von diskreten Funktionswerten vorliegt, z.B. als Wertetabelle, dann sind sogenannte Quadraturformeln und
andere Methoden der numerischen Mathematik anzuwenden.


Integrale mit Hyperbelfunktionen
Integrale mit Hyperbelfunktionen, die die Funktionen

und

im Integranden

enthalten, werden gewöhnlich berechnet, indem die Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunktionen ersetzt werden.
Die meist auftretenden Fälle
Methoden integriert, wie sie bei den trigonometrischen Funktionen zur Anwendung kommen.

werden mit


Vereinfachte Methoden
●

Integrand der Form

und

●

Integrand der Form

●

Integrand der Form

●

Integrand der Form

:

●

Integrand der Form

:

und
:


Tautologien der Prädikatenlogik
Die Verneinung prädikatenlogischer Ausdrücke wird durch folgende Tautologien beschrieben:
(5.22)
Damit sind die Quantoren

und

durcheinander ausdrückbar:
(5.23)

Weitere Tautologien der Prädikatenlogik sind:
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
Außerdem gelten folgende Implikationen:
(5.28)
(5.29)
(5.30)
(5.31)


(5.32)
Die Umkehrungen dieser Implikationen gelten durchweg nicht. Insbesondere muß man beachten, daß verschiedene
Quantoren nicht vertauschbar sind (s. letzte Implikation).


Arithmetische Operationen
Die arithmetischen Operationen sind mit reellen Zahlen stets durchführbar und ergeben stets wieder eine reelle Zahl.
Eine Ausnahme ist die Division durch Null. Das Potenzieren und seine Umkehrung sind ebenfalls im System der
reellen Zahlen möglich; aus jeder positiven reellen Zahl lassen sich beliebige Wurzeln ziehen; zu jeder positiven
reellen Zahl gibt es einen Logarithmus mit beliebiger positiver Basis, ausgenommen die Eins als Basis.
Eine Verallgemeinerung des Zahlbegriffs in der Analysis führt zu den komplexen Zahlen.


Einführung des Begriffs Pseudotensor

●

Vektorprodukt bei Rauminversion
Skalarprodukt bei Rauminversion
Spatprodukt bei Rauminversion
Pseudovektor und schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe

●

Pseudotensoren

●
●
●

-ter Stufe


Stetige Operatoren
Sei

eine Abbildung des metrischen Raumes
.

heißt stetig im Punkt

in den metrischen Raum

, wenn für jede Umgebung

eine Umgebung

des Punktes

existiert, so daß gilt:
(12.74)

heißt stetig auf der Menge
zur Stetigkeit auf

, wenn

in jedem Punkt der Menge A stetig ist. Äquivalente Eigenschaften

sind:

a)
Für einen beliebigen Punkt
stets
b)

und eine beliebige Folge
, also

impliziert

mit

gilt
.


Für eine beliebige offene Teilmenge

ist das Urbild

eine offene Teilmenge in

.

c)
Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge
Teilmenge in

ist das Urbild

.

d)
Für eine beliebige Teilmenge

gilt

.

eine abgeschlossene


Kurswinkel
Setzt man den Sinus- und Seitenkosinussatz zur Berechnung von
der Ergebnisse und anschließende Auflösung nach dem Kurswinkel

und

ein, so ergibt eine Division

:
(3.215)

Hinweis: Mit den Formeln (3.214a), (3.215), (3.212a) und (3.212b) lassen sich die Koordinaten des nordpolnächsten
Punktes

einer durch zwei Punkte

und

festgelegten Orthodrome berechnen.


Geometrie
3.1
BÄR, G.: Geometrie. -- B. G. Teubner 1996.
3.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
3.3
BÖHM, J.: Geometrie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag Verlag H. Deutsch 1988.
3.4
DRESZER, J.: Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. -- Verlag H. Deutsch 1975.
3.5
EFIMOW, N.V.: Höhere Geometrie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag Vieweg 1970.
3.6
FISCHER, G.: Analytische Geometrie. -- Verlag Vieweg 1988.
3.7


Kleine Enzyklopädie Mathematik. -- Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1967. -- Gekürzte Ausgabe: Mathematik
Ratgeber. -- Verlag H. Deutsch 1988.
3.8
KLINGENBERG, W.: Lineare Algebra und Geometrie. -- Springer-Verlag 1993.
3.9
KLOTZEK, B.: Einführung in die Differentialgeometrie, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1995.
3.10
KOECHER, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. -- Springer-Verlag 1992.
3.11
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. II. -- S. Hirzel Verlag 1978.
3.12
MARSOLEK, L.: BASIC im Bau- und Vermessungswesen. -- B. G. Teubner 1986.
3.13
MATTHEWS, V.: Vermessungskunde Teil 1 u. 2. -- B. G. Teubner 1993.
3.14
NICKEL, H. (HRSG.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. -- Verlag H. Deutsch 1990.
3.15
PAULI, W. (HRSG.): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 2 Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der
Ebene. -- Verlag H. Deutsch 1989.


3.16
RASCHEWSKI, P.K.: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis. -- Verlag H. Deutsch 1995.
3.17
SCHÖNE, W.: Differentialgeometrie. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 6), 1975; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 6) 1978.
3.18
SCHRÖDER, E.: Darstellende Geometrie. -- Verlag H. Deutsch 1980.
3.19
SIGL, R.: Ebene und sphärische Trigonometrie. -- Verlag H. Wichmann 1977.
3.20
STEINERT, K.-G.: Sphärische Trigonometrie. -- B. G. Teubner 1977.


Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Tabelle Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Art der Auswahl bzw. Zusammenstellung von
Elementen

Permutationen

Kombinationen

Variationen

aus

Anzahl der Möglichkeiten
ohne Wiederholung

mit Wiederholung


Hinweis zum Begriff des Vektorprodukts zweier Vektoren
Im Bereich der Multivektoren oder vollständig alternierenden Tensoren, die hier nicht vorgestellt werden können, gibt
es das sogenannte progressive, alternierende oder äußere Produkt, das im klassischen dreidimensionalen Falle das
bekannte Vektorprodukt darstellt.


Funktionswerte für ausgewählte Winkelargumente im Grad- oder Bogenmaß
.
Tabelle Werte der trigonometrischen Funktionen für
Winkel Bogen

und


Winkel im Bogenmaß
Funktionswerte im Bogenmaß, d.h. in der Einheit Radiant, können mit Hilfe von
(2.74)

umgerechnet werden (s. Einheit des Grad- und des Bogenmaßes).


Wertebereiche und Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen
●
●
●
●

Winkelbereich zwischen 0 und 360 Grad
Funktionswerte für ausgewählte Winkelargumente im Grad- oder Bogenmaß
Beliebige Winkel
Winkel im Bogenmaß


Reduktionsverfahren für
Gegeben ist die lösbare DIOPHANTische Gleichung
(5.162a)
mit

und ggT

Wäre ggT

dann müßte man die Gleichung noch durch ggT

dividieren. Nach

der Umformung
(5.162b)
betrachtet man

als ganzzahlige Konstante und erhält eine lineare DIOPHANTische Gleichung in

Unbekannten, die genau dann lösbar ist, wenn ggT

ein Teiler von

ist.

Die Bedingung
(5.162c)
ist genau dann erfüllt, wenn es ganze Zahlen

gibt, für die gilt:
(5.162d)


Das ist eine lineare DIOPHANTische Gleichung in zwei Unbekannten, die mit Hilfe des Lösungsverfahrens für
gelöst werden kann. Ist ihre Lösung bekannt, dann hat man nur noch eine lineare DIOPHANTische Gleichung in
Unbekannten zu lösen.
Die beschriebene Reduktion ist fortsetzbar, bis man schließlich eine lineare DIOPHANTische Gleichung in zwei
gelöst werden kann.
Unbekannten erhält, die mit dem Verfahren für
Aus den zwischenzeitlich berechneten Lösungsmengen für DIOPHANTische Gleichungen in zwei Unbekannten muß
man nun nur noch die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ablesen.
Beispiel
Es ist die DIOPHANTische Gleichung
(5.163a)
ist ein Teiler von 3.

zu lösen. Sie ist lösbar, denn ggT
Die DIOPHANTische Gleichung

(5.163b)
in den Unbekannten

ist genau dann lösbar, wenn ggT

zugehörige DIOPHANTische Gleichung
Daraus folgt
der lösbaren DIOPHANTischen Gleichung

ein Teiler von

ist. Die

hat die Lösungsmenge
und gesucht ist nun die Lösungsmenge
bzw.
(5.163c)


für jedes
Die Gleichung (5.163c) ist lösbar wegen ggT
und

Es gilt
Die Lösungsmenge ist
Daraus folgt
so daß sich die Lösungsmenge von (5.163a) zu
ergibt.


Kongruenzen
Es sei

eine natürliche Zahl mit

gleichen Rest, so nennt man

und

Lassen zwei ganze Zahlen

und

kongruent modulo m und schreibt dafür

bei Division durch
mod

den

oder

Beispiel
mod 5 ,

Hinweis: Offensichtlich gilt
Kongruenz modulo

mod 5 ,

mod

mod 5 .

genau dann, wenn

ein Teiler der Differenz

ist. Die

ist eine Äquivalenzrelation in der Menge der ganzen Zahlen. Es gilt:
(5.164a)
(5.164b)
(5.164c)


Rechenregeln
(5.165a)
(5.165b)
(5.165c)
(5.165d)


Allgemeine Bedingungen zur Lösbarkeit
Eine Kongruenz

ggT

für
für

ist genau dann lösbar, wenn

ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, dann gibt es für

für
eine Lösung, für

und
zwei und

vier Lösungen modulo

Für Kongruenzen der allgemeinen Form
(5.178a)
sind
(5.178b)
notwendige Bedingungen für die Lösbarkeit. Sind alle diese Bedingungen erfüllt, dann ist die Anzahl der Lösungen gleich
für

und

gleich

für

und gleich

für

.


Eigenschaften quadratischer Kongruenzen
Es gelten folgende Eigenschaften:
(5.177a)

(5.177b)

(5.177c)

(5.177d)

(5.177e)
(E6)

Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Sind

und

zwei verschiedene ungerade Primzahlen, dann gilt:


(5.177f)

Beispiel

.


Zufallszahlen
Zufallszahlen sind Realisierungen von Zufallsgrößen, die bestimmten Verteilungen genügen. Auf diese Weise kann
man verschiedene Arten von Zufallszahlen unterscheiden.
●
●
●

Gleichverteilte Zufallszahlen
Zufallszahlen mit anderen Verteilungen
Tabelle von Zufallszahlen


Physikalische Konstanten
Die Tabelle enthält diejenigen physikalischen Werte, die in der Veröffentlichung ,,Die Festlegung der fundamentalen
physikalischen Konstanten 1986`` (E.R. Cohen und B.N. Taylor, Review of Modern Physics, Vol. 59, No. 4, Oktober
1987) enthalten sind und auf dem CODATA Bulletin No. 63, November 1986 basieren.
Die Zahlen in den runden Klammern stellen die Standardabweichung der letzten Ziffern des Wertes dar.
●
●
●
●
●
●
●
●
●

Fundamentalkonstanten
Spezielle elektrische Konstanten
Thermodynamische Konstanten
Konstanten der Atom- und Kernphysik
Magnetische Momente von Elementarteilchen
COMPTON-Wellenlänge von Elementarteilchen
Ruhemassen und Ruhenergien von Elementarteilchen
Wechselwirkungskonstanten der Elementarteilchenphysik
Astronomische Größen


Definition
Die wichtigsten Funktionenreihen sind die Potenzreihen der Gestalt
(7.75a)
oder
(7.75b)
wobei die Koeffizienten

und die Entwicklungsstelle

konstante Zahlen sind.


Definition, Konvergenz
●
●
●

Definition
Absolute Konvergenz und Konvergenzradius
Gleichmäßige Konvergenz


Unendliche Reihen
7.1
APELBLAT, A.: Tables of Integrals and Series. -- Verlag H. Deutsch 1996.
7.2
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
7.3
COURANT, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1971-72.
7.4
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
7.5
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
7.6
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 bis 3. -- Verlag H. Deutsch 1993-1995.


7.7
HARBARTH, K.; RIEDRICH, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 4), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 4), 1978.
7.8
KNOPP, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. -- Springer-Verlag 1964.
7.9
KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig (MINÖL, Bd. 5), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 5), 1980.
7.10
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K., HRG. F. LÖSCH: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 1 bis 4. -- S. Hirzel
Verlag 1989.
7.11
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
7.12
PLASCHKO, P.; BROD, K.: Höhere mathematische Methoden für Ingenieure und Physiker. --Springer-Verlag
1989.
7.13
PFORR, E.A.; SCHIROTZEK, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen. -- BSB B.
G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 2), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 2), 1978.
7.14


SCHELL, H.-J.: Unendliche Reihen. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 3), 1974; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 3), 1978.
7.15
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
7.16
STÖCKER, H.(HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1995.
7.17
TRIEBEL, H.: Höhere Analysis. -- Verlag H. Deutsch 1980.


Definition
Neben der Reihe
(7.31a)
mit Gliedern, die verschiedene Vorzeichen haben können, wie z.B. in einer alternierenden Reihe, wird auch die Reihe
(7.31b)
betrachtet, deren Glieder die Absolutbeträge der Glieder der Reihe (7.31a) sind. Wenn die Reihe (7.31b) konvergent
ist, dann ist es auch die Reihe (7.31a). In diesem Falle spricht man von der absoluten Konvergenz der Reihe (7.31a).
Wenn die Reihe (7.31b) divergent ist, dann kann die Reihe (7.31a) entweder auch divergent oder konvergent sein. Im
letzten Falle spricht man von der bedingten Konvergenz der Reihe (7.31a).
Beispiel A
Die Reihe


(7.32a)

in der

eine beliebige konstante Zahl ist, konvergiert absolut, da die Reihe mit dem absoluten Glied

konvergiert. Dies zeigt ein Vergleich mit der geometrischen Reihe (7.15):

(7.32b)

Beispiel B
Die Reihe

(7.33)
konvergiert bedingt, wie (7.35b) und ein Vergleich mit der divergenten harmonischen Reihe (7.16) zeigen, die das
allgemeine Glied

hat.


Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen
1. Stetigkeit: Wenn

stetige Funktionen in einem Definitionsbereich sind
in diesem Gebiet gleichmäßig konvergiert,

und wenn die Reihe
dann ist ihre Summe

in dem gleichen Gebiet eine stetige Funktion. Wenn die Reihe in einem endlichen
in diesem Gebiet Unstetigkeitsstellen

Gebiet nicht gleichmäßig konvergiert, dann kann ihre Summe
besitzen.
Beispiel A

(7.72a) ist

Die Summe der Reihe
unstetig:

Beispiel B

für

und

für

.


Die Summe der Reihe

(7.71a) ist eine stetige Funktion: Die

Reihe ist ungleichmäßig konvergent, aber nicht in einem endlichen Gebiet, sondern auf der gesamten
Zahlengeraden.
2. Integration und Differentiation gleichmäßig konvergenter Reihen: Im Gebiet

der gleichmäßigen

Konvergenz darf eine Reihe gliedweise integriert werden. Ebenso darf eine konvergente Reihe gliedweise
differenziert werden, wenn die dadurch entstehende Reihe gleichmäßig konvergent ist. Das heißt:
(7.74a)

(7.74b)


Rechnen mit Potenzreihen
●
●
●
●

Summe und Produkt
Erste Glieder einiger Potenzen einer Potenzreihe
Quotient zweier Potenzreihen
Umkehrung einer Potenzreihe


Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
●
●
●

Unendliche Reihe und ihre Summe
Konvergente und divergente Reihen
Reihenrest


Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen
Die Räume
●
●
●
●
●
●
●
●

und

seien jetzt als BANACH-Räume vorausgesetzt.

BANACH-STEINHAUS-Satz, Prinzip der gleichmäßigen Beschränkheit
Satz von der offenen Abbildung
Satz vom abgeschlossenen Graphen
Satz von Hellinger und Toeplitz
Satz von Krein und Losanowskij
Inverser Operator
Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators
Methode der sukzessiven Approximation


Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren
●
●
●

Beschränktheit und Norm linearer Operatoren
Raum linearer stetiger Operatoren
Konvergenz von Operatorenfolgen


Einige spezielle Reihen
●
●

Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
Bernoullische und Eulersche Zahlen


Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe
●
●
●
●

Koordinatentransformation
Lineare Vektorfunktion
Gemischte Koordinaten
Rein kovariante und rein kontravariante Koordinaten


Darstellung der Koordinaten mit Hilfe von Skalarprodukten
Die kovariante Koordinate eines Vektors
Grundvektor des Koordinatensystems:

ist gleich dem skalaren Produkt dieses Vektors mit dem zugehörigen
(3.282)

Die kontravariante Koordinate eines Vektors
reziproken Grundvektor:

ist gleich dem skalaren Produkt dieses Vektors mit dem zugehörigen
(3.283)

In kartesischen Koordinaten stimmen die oberen mit den unteren Formeln überein:
(3.284)


Kartesische und Zylinderkoordinaten
1. Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Zylinderkoordinaten:
(13.18)
2. Darstellung der Zylinderkoordinaten durch kartesische Koordinaten:
(13.19)


Kartesische und Kugelkoordinaten
1. Darstellung der kartesischen Koordinaten durch Kugelkoordinaten:

(13.20)

2. Darstellung der Kugelkoordinaten durch kartesische Koordinaten:

(13.21)


Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten und kartesische Koordinaten
1. Darstellung des sphärischen Vektorfeldes durch kartesische Koordinaten:
(13.22)
2. Darstellung des zylindrischen Vektorfeldes durch kartesische Koordinaten:
(13.23)
Untersuchungen in Kugelfeldern führt man vorteilhafterweise unter Verwendung von Kugelkoordinaten durch, d.h. mit
, Untersuchungen in Zylinderfeldern unter Verwendung von Zylinderkoordinaten, d.h. mit
. Für ebene Felder (s. Abbildung)


gilt
(13.24)
für Kreisfelder
(13.25)


Regelmäßige Vielecke
Seiten und Winkel: Regelmäßige Vielecke zeichnen sich durch die Gleichheit aller Seiten und aller Winkel
aus. Für regelmäßige
Zentriwinkel:

-Ecke, d.h. für regelmäßige Vielecke mit

Seiten, gelten die folgenden Aussagen.

(3.39)

Außenwinkel:
(3.40)


Innenwinkel:
(3.41)
Seitenlänge:
(3.42)

Flächeninhalt:
(3.43)

wobei

der Umkreis- und

der Inkreisradius sind.


Unendliche Reihen
●

●

Zahlenfolgen
❍ Eigenschaften von Zahlenfolgen
❍ Grenzwerte von Zahlenfolgen
Reihen mit konstanten Gliedern
❍ Allgemeine Konvergenzsätze
■ Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
■ Unendliche Reihe und ihre Summe
■ Konvergente und divergente Reihen
■ Reihenrest
■ Allgemeine Sätze über die Konvergenz von Reihen
❍ Konvergenzkriterien für Reihen mit positiven Gliedern
■ Vergleichskriterium
■ Quotientenkriterium von d'Alembert
■ Wurzelkriterium von Cauchy
■ Integralkriterium von Cauchy
❍ Absolute und bedingte Konvergenz


Definition
■ Eigenschaften absolut konvergenter Reihen
■ Alternierende Reihen
❍ Einige spezielle Reihen
■ Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
■ Bernoullische und Eulersche Zahlen
■ Erste Definition der BERNOULLIschen Zahlen
■ Zweite Definition der BERNOULLIschen Zahlen
■ Erste Definition der EULERschen Zahlen
■ Zweite Definition der EULERschen Zahlen
■ Zusammenhang zwischen EULERschen und BERNOULLIschen Zahlen
❍ Abschätzung des Reihenrestes
Funktionenreihen
❍ Definitionen
❍ Gleichmäßige Konvergenz
■ Definition, Satz von Weierstrass
■ Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Reihen
❍ Potenzreihen
■ Definition, Konvergenz
■ Definition
■ Absolute Konvergenz und Konvergenzradius
■ Gleichmäßige Konvergenz
■ Rechnen mit Potenzreihen
■ Summe und Produkt
■ Erste Glieder einiger Potenzen einer Potenzreihe
■

●


Quotient zweier Potenzreihen
■ Umkehrung einer Potenzreihe
Entwicklung in Taylor-Reihen, MacLaurinsche Reihe
■ TAYLORsche Reihe für Funktionen von einer Veränderlichen
■ Erste Form der Darstellung ( TAYLORsche Reihe):
■ Zweite Form der Darstellung:
■ MACLAURINsche Reihe
■ TAYLORsche Reihe für Funktionen von zwei Veränderlichen
■ Erste Form der Darstellung:
■ Zweite Form der Darstellung:
■

■

TAYLORsche Reihe für Funktionen von
Veränderlichen
❍ Näherungsformeln
❍ Asymptotische Potenzreihen
■ Asymptotische Gleichheit
■ Asymptotische Potenzreihen
Fourier-Reihen
❍ Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe
■ Grundbegriffe
■ FOURIER-Darstellung periodischer Funktionen ( FOURIER-Analyse)
■ FOURIER-Reihe
■ Komplexe Darstellung der FOURIER-Reihe
■ Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen
■ Mittlerer quadratischer Fehler einer Funktion
■ Konvergenz einer Funktion im Mittel
■ DIRICHLETsche Bedingungen
■

●


Asymptotisches Verhalten der FOURIER-Koeffizienten
Koeffizientenbestimmung für symmetrische Funktionen
■ Symmetrien verschiedener Art
■ Symmetrie 1. Art
■ Symmetrie 2. Art
■ Symmetrie 3. Art
■ Symmetrie 4. Art
■ Formen der Entwicklung in eine FOURIER-Reihe
Koeffizientenbestimmung mit Hilfe numerischer Methoden
Fourier-Reihe und Fourier-Integral
■ FOURIER-Integral
■ Grenzfall einer nichtperiodischen Funktion
Hinweise zur Tabelle einiger Fourier-Entwicklungen
■

❍

❍
❍

❍


Teilbarkeitskriterien
●
●

Bezeichnungen
Kriterien


Verfahrensweise
●
●
●

Kurvenbildervergleiche
Rektifizierung
Parameterbestimmung


Syntax zweidimensionaler Graphik
Der zweidimensionale Plot-Befehl hat die prinzipielle Struktur
(20.90)
Das erste Argument

kann folgende Bedeutung besitzen:

a) eine reelle Funktion einer unabhängigen Variablen, etwa

;

b) ein Operator einer Funktion, der z.B. mit dem Pfeilsymbol erzeugt wurde;
c) die Parameterdarstellung einer reellen Funktion in Form einer Liste

, wobei

den Laufbereich des Parameters angibt;
d) mehrere, in geschweifte Klammern eingeschlossene Funktionen, die gemeinsam dargestellt werden sollen;
e) eine Liste von Zahlen (gerade Anzahl), die fortlaufend als

-Koordinaten von Punkten interpretiert

werden.
Der Vollständigkeit halber sei hinzugefügt, daß auch durch Prozeduren erzeugte Funktionen das erste Argument im
Befehl sein können.


Das zweite Argument

ist der Laufbereich der unabhängigen Variablen; er ist in der Form

einzugeben. Wird kein Argument eingegeben, so nimmt Maple automatisch den Laufbereich
möglich, einer oder beiden Grenzen den Wert
Darstellung der

-Achse mit

Das dritte Argument
Form

und/oder

an. Es ist

zuzuordnen. In diesem Fall wählt Maple eine

.

steuert den Darstellungsbereich der abhängigen (vertikalen) Variablen. Auch er ist in der

einzugeben. Wird er fortgelassen, so nimmt Maple die sich aus der Funktionsgleichung ergebenden

Werte für den jeweiligen Bereich der unabhängigen Variablen. Dies kann problematisch werden, wenn in diesem
Bereich z.B. eine Polstelle liegt. Daher sollte man, wenn nötig, diesen Bereich begrenzen.
Als weitere Argumente können eine oder mehrere Optionen folgen, die in der folgenden Tabelle dargestellt sind.
Tabelle Optionen des Plot-Befehls
Bewirkt die Darstellung einer parametrischen Eingabe in
Polarkoordinaten (der erste Parameter ist der Radius, der
zweite das Argument).
Legt die minimale Anzahl der generierten Punkte fest
(Voreinstellung 49).
Setzt die horizontale Auflösung der Darstellung in pixel
(Voreinstellung

).


Setzt die Anzahl der Skalenstriche auf der

-Achse

Veranlaßt die Verbindung mit kubischer Spline-Interpolation
(Voreinstellung).
Veranlaßt lineare Interpolation.
Zeichnet nur die Punkte.

Setzt den Titel für die Graphik,

muß ein String sein.

Zur Darstellung mehrerer Funktionen durch Maple in einer Graphik werden diese in der Regel in verschiedenen
Farben oder in unterschiedlicher Linienstruktur erzeugt.
Die auf der Windows-Oberfläche laufende Version von Maple V/2 bietet die Möglichkeit, direkt an der Graphik über
entsprechende Menüs Veränderungen wie z.B. das Verhältnis von horizontaler zu vertikaler Abmessung, die
Rahmung des Bildes usw. vorzunehmen.


Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in Parameterform:
Mit den Parametergleichungen des Integrationsweges
(8.115)
ergeben sich die folgenden Formeln:

(8.116a)

(8.116b)


(8.116c)

(8.116d)

(8.116e)

Dabei sind

bzw.

die Werte des Parameters

für den Anfangspunkt

bzw. den Endpunkt

Bogenstückes. Hier wird im Gegensatz zum Kurvenintegral erster Art die Forderung
Hinweis: Bei der Umkehrung des Integrationsweges, d.h., beim Vertauschen der Punkte
Integrale ihr Vorzeichen.

des

nicht erhoben.
und

, ändern die


Vorgabe der Gleichung des Integrationsweges in expliziter Form:
Mit den Gleichungen
(8.117)
für den Integrationsweg im Falle einer ebenen bzw. räumlichen Kurve und mit den Abszissen
und

, wobei die Forderung

(8.114) die Abszisse

und

der Punkte

nicht mehr unbedingt zu erfüllen ist, tritt in den Formeln (8.112a) bis

an die Stelle des Parameters

.


Eigenschaften des Kurvenintegrals

(13.97)

(13.98)

(13.99)


(13.100)


Definition
Kurven- oder Linienintegral einer Vektorfunktion

nennt man den Skalar

, genommen über ein Bogenstück

(s. Abbildung),


(13.96a)


Berechnung des Kurvenintegrals in fünf Schritten
1.
Einteilung des Weges

(s. Abbildung) durch Zwischenpunkte
in

kleinere Teilbogenstücke, die

angenähert werden.

durch die Vektoren
2.
Wahl von Punkten

mit den Radiusvektoren

, die im Innern oder auf dem Rande eines jeden

Teilbogenstückes liegen können.
3.
Skalare Multiplikation der Funktionswerte

in den so ausgewählten Punkten mit

4.
Addition aller auf diese Weise erhaltenen
5.

Produkte.

.


Berechnung des Grenzwertes der erhaltenen Summe

für

, also für

.
Wenn der Grenzwert existiert und von der Wahl der Punkte

und

unabhängig ist, dann wird er als

Kurvenintegral
(13.96b)

bezeichnet. Die Existenz des Kurvenintegrals (13.96a,b) ist gesichert, wenn die Vektorfunktion

Bogenstück

stetig sind und wenn letzteres stetige Tangenten besitzt. Eine Vektorfunktion

wenn die zu ihrer Beschreibung notwendigen drei skalaren Funktionen, ihre Komponenten, stetig sind.

und das

ist stetig,


Laplace-Transformationen, Seite 1 von 6
Nr.
1
2

3

4


5

6

7

8

9

10


11


Laplace-Transformationen, Seite 2 von 6
Nr.

12

13

14

15


16

17

18

19

20

21


22

23

24

25


Laplace-Transformationen, Seite 3 von 6
Nr.

26

27

28


29

30

31

32

33

34


35

36

37

38


Laplace-Transformationen, Seite 4 von 6
Nr.

39

40

41


42

43

44

45


46

47

48

49

50

51


52


Laplace-Transformationen, Seite 5 von 6
Nr.

53

54

55


56

57

58

59

60

61


62

63

(s. BESSEL-Funktion)

64

(s. BESSEL-Funktion)

65


Elemente der Ergodentheorie
●
●
●
●
●

Ergodische dynamische Systeme
Physikalische oder SBR-Maße
Mischende dynamische Systeme
Autokorrelationsfunktion
Leistungsspektrum


Lemma von Jordan
In vielen Fällen lassen sich reelle uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsgebiet durch komplexe
Integrale über geschlossene Wege berechnen. Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen zu vermeiden,
benutzt man das Lemma von JORDAN , das sich auf Integrale der Form

bezieht, wobei
Radius

der in der oberen Halbebene der

ist (s. Abbildung).

-Ebene gelegene Halbkreisbogen um den Nullpunkt mit dem


Das Lemma von JORDAN unterscheidet folgende Fälle:
a)

:
Strebt
ist

in der oberen Halbebene und auf der reellen Achse für

gleichmäßig gegen Null und

eine positive Zahl, dann gilt für

(14.58a)
b)

:


Strebt der Ausdruck

für

gleichmäßig gegen Null, dann gilt diese Aussage auch im Falle

.
:

c)

.

Liegt der Halbkreis unterhalb der reellen Achse, dann gilt die enstsprechende Aussage auch für
d)
Der Satz gilt auch, wenn es sich statt um einen vollen Halbkreis um einen Teilbogen handelt.
e)
Der entsprechende Sachverhalt liegt für Integrale der Form
(14.58b)

vor, wenn
.

einen Halbkreis bzw. Teilbogen in der linken Halbebene mit

darstellt, bzw in der rechten mit


Computeralgebrasysteme
20.1
BENKER, M.: Mathematik mit Mathcad. -- Springer-Verlag 1996.
20.2
BURKHARDT, W.: Erste Schritte mit Mathematica. -- Springer-Verlag, 2. Auflage 1996.
20.3
BURKHARDT, W.: Erste Schritte mit Maple. -- Springer-Verlag, 2. Auflage 1996.
20.4
CHAR, GEDDES, GONNET, LEONG, MONAGAN, WATT: Maple V Library, Reference Manual. -- Springer-Verlag
1991.
20.5
DAVENPORT, J.H., SIRET, Y.; TOURNIER, E.: Computer Algebra. -- Academic Press 1993.
20.6
GLOGGENGIESSER, H.: Maple V. -- Verlag Markt & Technik 1993.


20.7
JENKS, R.D.; SUTOR, R.S.: Axiom. -- Springer-Verlag 1992.
20.8
KOFLER, M.: Maple V, Release 4, --Addison Wesley, (Deutschland) GmbH, Bonn 1996.
20.9
MAEDER, R.: Programmierung in Mathematica, Second Edition. -- Addison Wesley 1991.
20.10
WOLFRAM, S.: Mathematica, Second Edition. -- Addison Wesley 1992.


Der Funktionaloperator map
Der Operator map kann in Maple benutzt werden, um einen Operator bzw. eine Funktion auf einen Ausdruck bzw.
dessen Komponenten anzuwenden. Sei z.B.

ein Operator, der eine Funktion repräsentiert. Dann liefert

den Aussdruck
das Resultat

Beispiel

. Entsprechend erhält man mit
.


Funktionen und Operatoren
●
●
●
●

Funktionen
Operatoren
Differentialoperatoren
Der Funktionaloperator map


Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen
Maple stellt die speziellen Erzeugungsanweisungen

zur Verfügung, die allerdings mit dem

Spezialpaket linalg zugeladen werden müssen.
Dieses Spezialpaket erlaubt die Arbeit mit einer Vielzahl von Operationen der linearen Algebra. Hier soll nur erwähnt
werden, daß die Multiplikation von Matrizen mit der Operation &
der Evaluierungsfunktion evalm aufgerufen werden müssen.

ausgeführt werden kann und alle Operationen mit

Beispiel
Mit der Matrix

und dem Vektor

aus dem vorigen Beispiel wird

Die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor ergibt wieder einen Spaltenvektor. Eine
Multiplikation in der umgekehrten Reihenfolge hätte zu einer Fehlermeldung geführt.


Tabellen- und feldartige Strukturen
Maple besitzt zur Konstruktion tabellen- und feldartiger Strukturen die beiden Befehle table und

. Mit
(20.44)

erzeugt Maple eine tabellenartige Struktur, in der

eine Indexfunktion ist und

eine Liste von Ausdrücken,

die Gleichungen als Elemente enthält. In diesem Fall benutzt Maple die linken Seiten der Gleichungen als
Numerierung der Tabelleneinträge und die rechten Seiten als die jeweiligen Tabelleneinträge. Enthält die Liste nur
Elemente, so nimmt Maple die natürliche Numerierung der Tabelleneinträge, beginnend mit der 1, an.
Beispiel


Ein erneuter Aufruf von
Tabelle zurück; beim Aufruf

oder

liefert nur die Symbole

oder

zurück. Erst mit

gibt Maple die

erhält man die Komponenten der Tabelle in der Form

Liste der

Gleichungen für die Tabellenwerte. Hieran erkennt man, daß das Evaluierungsprinzip für diese Strukturen von der
Regel abweicht. In der Regel evaluiert Maple einen Ausdruck bis zum Ende, d.h. bis keine weiteren Umformungen
mehr möglich sind. Im gegebenen Fall wird die Definition zwar zur Kenntnis genommen, jedoch die weitere
Auswertung unterdrückt, bis sie mit der speziellen Anweisung op ausdrücklich gefordert wird.
Die Indizes von

erhält man als Folge mit dem Befehl

, eine Folge der Glieder mit


.

Beispiel
Für die obigen Beispiele gilt
und entsprechend z.B.
Mit dem Befehl
(20.45)
lassen sich spezielle Tabellen (Felder) erzeugen, die mehrdimensional sein können und ganzzahlige Laufbereiche für
jede Dimension besitzen.


Eindimensionale Felder
Mit

erzeugt man z.B. ein eindimensionales Feld der Länge 5 ohne explizite Elemente, mit
ebenfalls, jedoch mit den angegebenen Komponenten.

Solche eindimensionalen Felder interpretiert Maple auch als Vektoren. Mit der Typprüfungsfunktion
erhält man

. Fragt man jedoch

, so wird daraus

hängt mit der schon erwähnten Spezialform der Evaluierung zusammen. Erst nach
man mit

die gesuchte Antwort

.

. Das
bekommt


Zweidimensionale Felder
Entsprechend definiert man zweidimensionale Felder, etwa mit
(20.46)
Die so definierte Struktur versteht Maple als Matrix der Dimension
entsprechenden Matrixelemente.
Beispiel

ergibt einen Vektor. Eine Matrix bekommt man z.B. mit

Diese wird mit

. Die Werte von

sind die


Maple hat hier die nicht festgelegten Werte des Feldes (der Matrix) durch die Einträge
charakterisiert. Weist man jetzt allen oder einigen dieser Einträge durch Zuweisungen Werte zu, etwa durch
so führt ein erneuter Aufruf von

zur Ausgabe der Matrix mit den nunmehr festgelegten Werten:

Mit dem Aufruf

stellt Maple die erzeugte Matrix mit ihren Elementen dar, da diese in der Definition explizit angegeben sind. Die
optionalen Dimensionsangaben sind hier nicht nötig, da durch die vollständige Angabe der Matrixelemente die
Definition eindeutig ist. Kennt man allerdings von einer Matrix nur einige Werte, so muß der jeweilige Laufbereich


angegeben werden; Maple ersetzt die nichtdefinierten Werte durch ihren formalen Wert:

Als optionale Argumente können Indexfunktionen der Art diagonal, identity, symmetric,
antisymmetric, sparse benutzt werden. Man erhält damit die entsprechenden Matrizen.
Beispiel


Syntax des plot3d-Befehls
Der Befehl ist in vier verschiedenen Formen verfügbar:
. In dieser Form ist

a)

unabhängiger Variabler, deren jeweilige Laufbereiche von

eine Funktion zweier
und

festgelegt werden. Das

Ergebnis ist eine räumliche Fläche.
b)

. Hier ist

ein Operator oder eine Prozedur mit zwei Argumenten, z.B. mit dem

Pfeiloperator erzeugt, die Laufbereiche beziehen sich auf diese Argumente.
. Die drei Funktionen

c)

der beiden

Parameter
und definieren die Parameterdarstellung einer räumlichen Fläche, begrenzt durch die
Laufbereiche der beiden Parameter.
d)

. Das ist die äquivalente Form der Parameterdarstellung, wobei

Operatoren oder Prozeduren in zwei Argumenten sein müssen.
Alle weiteren Argumente des Operators plot3d interpretiert Maple als Optionen. Die möglichen Optionen sind in der


folgenden Tabelle dargestellt. Sie sind in der Form

zu benutzen.

Tabelle Optionen des Befehls plot3d
setzt die minimale Zahl der generierten Punkte
(Voreinstellung ist

)

legt die Dimension des Rechteckgitters fest, auf dem die
Punkte generiert werden
spezifiziert die Achsenbezeichnungen (string erforderlich)

ist ein Wert von POINT, HIDDEN, PATCH,
WIREFIRE. Hiermit wird die Art der Darstellung der
Oberfläche festgelegt
kann die Werte BOXED, NORMAL, FRAME oder NONE
annehmen. Hiermit wird die Darstellung der Achsen
spezifiziert
spezifiziert das zu benutzende Koordinatensystem. Werte
sind
cartesian, sperical, cylindrical. Voreinstellung
ist cartesian


nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und bestimmt die
Betrachtungsperspektive. Voreinstellung ist 1 (orthogonale
Projektion)
spezifiziert die Winkel des Raumpunktes im sphärischen
Koordinatensystem, von dem aus die Oberfläche betrachtet
wird
gibt den Bereich der -Werte, für die die Oberfläche
dargestellt wird. Voreinstellung ist die gesamte Oberfläche
In der Regel sind fast alle Optionen über die entsprechenden Menüs im Zeichnungsfenster erreichbar und
entsprechend einstellbar. Auf diese Weise kann man nachträglich die Anschaulichkeit der darzustellenden
Oberfläche wesentlich verbessern.


Zusätzliche Operationen aus dem Paket plots
Das schon erwähnte Bibliothekspaket plots liefert weitere Möglichkeiten für die Darstellung räumlicher Strukturen.
Besonders soll hier die Darstellung von Raumkurven mit dem Befehl

erwähnt werden. Dieser

erwartet als erstes Argument eine Liste mit drei Funktionen eines Parameters, das zweite Argument muß den
Laufbereich dieses Parameters festlegen. Darüber hinaus sind die Optionen des Befehls plot3d zugelassen, sofern
sie für diesen Fall sinnvoll sind. Für weitere Informationen zu diesem Paket muß auf die Literatur verwiesen werden.
Beispiel
Es sollen die beiden mit
(20.96a)
und
(20.96b)
erzeugten Graphiken einer perspektivisch dargestellten Kugel und einer perspektivisch dargestellten räumlichen
Spirale gezeigt werden:


Grundtypen von Zahlen in Maple
Maple kennt die in der folgenden Tabelle aufgeführten Grundtypen von Zahlen.
Tabelle Zahlenarten in Maple
Zahlenart

Typ

Ganze Zahl

integer

Kette beliebig vieler Ziffern

Bruchzahlen

fraction

Bruch zweier ganzer Zahlen

Gleitpunktzahlen float

Darstellungsform

oder in wissenschaftlicher Notation

Mit Hilfe der Typprüfungsfunktionen gemäß Tabelle können weitere Eigenschaften ganzer Zahlen erfragt werden:
1. Rationale Zahlen (Typ rational): Rationale Zahlen sind in Maple die ganzen Zahlen und die Brüche,
wobei ein Bruch, der zur ganzen Zahl vereinfacht werden kann, von Maple nicht als Bruch (Typ fraction)
erkannt wird.
2. Gleitpunktzahlen (Typ float): Setzt man hinter eine ganze Zahl den Dezimalpunkt (

), so wird sie


automatisch als Gleitpunktzahl interpretiert.
3. Gemeinsamkeiten: Alle drei Zahlenarten haben die Typen realcons, numeric und constant. Die
letzten beiden Typen treffen auch für komplexe Zahlen zu.
4. Komplexe Zahlen: Komplexe Zahlen werden mit der imaginären Einheit I wie üblich gebildet. Die Zahl I ist
vom Typ radnum, also die Wurzel einer rationalen Zahl. Ihre Definition lautet intern
(20.34)
Der hier verwendete Befehl alias bietet die Möglichkeit, abkürzende Benennungen für Funktionen, Definitionen und
andere mathematische Symbole einzuführen. Er ist in der Form
(20.35)
aufzurufen. Hier sind die

Gleichungen, die das abkürzende Symbol über vorhandenen Maple-Funktionen

definieren. Beim Aufruf der Funktion zeigt Maple neben der gerade definierten Abkürzung auch alle anderen schon
vorhandenen alias an. Will man die Abkürzung wieder aufheben, so ist

aufzurufen.


Spezielle Zahlen
Maple kennt eine Reihe spezieller Zahlen der Mathematik wie z.B. Pi, E, gamma.


Invariantes Maß
●
●

Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
Natürliches Maß


Berechnung von Polarkoordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten

Für zwei Punkte
orientierten Strecke

und

in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit der von

und den Richtungswinkeln

gilt:

nach


(3.91a)
(3.91b)
(3.91c)
(3.91d)
Der Quadrant des Winkels

dem Taschenrechner

Tasten

oder

hängt von den Vorzeichen von

mit vorzeichentreuen Werten

einen Winkel

und

und

ab. Wird bei Rechnungen mit

eingegeben, dann erhält man mit den

, zu dem je nach Quadrant die in der folgenden Tabelle

angegebenen Gon-Werte zu addieren sind.
Richtungswinkel bei vorzeichentreuer Streckeneingabe über

Quadrant

I

II

III

oder

IV


Anzeige im Rechner
Richtungswinkel

gon

gon

gon

gon


Koordinatentransformation zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen
Bei der Einbindung örtlich bestimmter Punkte in eine Landeskarte ist die Transformation des örtlichen Systems
in das Landessystem

erforderlich.


Das System

ist gegen das System

Richtungswinkel im System

sind mit

Systemen und die Koordinaten eines Punktes

um den Winkel

gedreht und um

parallel verschoben. Die

bezeichnet. Gegeben sind die Koordinaten von
im

und

in beiden

-System. Die Transformation erfolgt mit den folgenden

Beziehungen:
(3.94a)
(3.94b)
(3.94c)
(3.94d)
(3.94e)

(3.94f)
(3.94g)
(3.94h)
(3.94i)
(3.94j)


Hinweis: Die folgenden zwei Formeln können zur Probe verwendet werden.
(3.94k)
(3.94l)
Wenn die Strecke

auf der

-Achse liegt, vereinfachen sich die Formeln zu
(3.95a)

(3.95b)
(3.95c)
(3.95d)
(3.95e)
(3.95f)


Koordinatentransformationen
●
●

●

Berechnung von Polarkoordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten
Berechnung von rechtwinkligen aus polaren Koordinaten beim polaren
Anhängen eines Punktes
Koordinatentransformation zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen


Informationen
Informationen über eingebaute Objekte und deren Haupteigenschaften kann man mit folgenden Befehlen ausgeben
lassen:

Information über das Objekt mit dem Namen

ausgeben.

Ausführlichere Information über das Objekt ausgeben.
Informationen über alle Mathematica-Objekte, deren Namen mit B beginnen, ausgeben.
Es ist auch möglich, über spezielle Operatoren Informationen zu erhalten, z.B. mit
Zuweisungsoperator.

über den


Standardfunktionen
Mathematica kennt eine Vielzahl mathematischer Standardfunktionen, die in der folgenden Tabelle aufgelistet sind.
Tabelle Standardfunktionen
Exponentialfunktion

Exp[x]

Logarithmusfunktionen Log[x], Log[b,x]
Trigonom. Funktionen

Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x]

Arcusfunktionen

ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], ArcSec[x], ArcCsc[x]

Hyperbol. Funktionen

Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], Coth[x], Sech[x], Csch[x]

Areafunktionen

ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x], ArcCoth[x], ArcSech[x], ArcCsch[x]

Alle diese Funktionen sind auch für komplexe Argumente verfügbar.
In jedem Fall ist auf Eindeutigkeit der Funktionen zu achten. Bei reellen Funktionen muß gegebenenfalls ein Zweig
der Funktion ausgewählt werden; bei Funktionen mit komplexem Argument ist der Hauptwert zu wählen.


Spezielle Funktionen
Mathematica kennt auch eine Anzahl spezieller Funktionen. Die folgende Tabelle listet einige auf:
Tabelle spezieller Funktionen
BESSEL-Funktionen

und

BesselJ[n,z], BesselY[n,z]

Modifizierte BESSEL-Funktionen

BesselI[n,z], BesselK[n,z]

LEGENDREsche Polynome

LegendrP[n,x]

Kugelfunktionen

SphericalHarmonicY[l,m,theta,phi]

Weitere Funktionen können mit entsprechenden Spezialpaketen zugeladen werden. (s. auch Lit. 17.1).


Reine Funktionen
Mathematica bietet die Möglichkeit, sogenannte reine Funktionen zu nutzen. Das sind Funktionen ohne spezielle
Namen. Man bezeichnet sie mit
der Variablen

. Mit

wird der Ausdruck für die Funktion in

bezeichnet.
(20.15)

und mit
(20.16)
Man kann für reine Funktionen eine vereinfachte Schreibweise nutzen. Sie lautet

, wobei die zu

benutzende Variable mit # gekennzeichnet wird. Anstelle der vorhergehenden zwei Zeilen kann man also schreiben
(20.17)
Es lassen sich auch reine Funktionen mehrerer Veränderlicher definieren:
oder in Kurzform
die Elemente

, wobei die Variablen in

durch

bezeichnet werden. Die Benutzung des Zeichens & zum Abschluß ist sehr wichtig, da

hieran erkannt wird, daß der vorstehende Ausdruck als reine Funktion zu betrachten ist.


Syntax der Graphikdarstellung
●
●

Aufbau von Graphikobjekten
Graphische Darstellung von Funktionen


Aufbau von Graphikobjekten
Wenn ein graphisches Objekt aus den Primitiven aufgebaut werden soll, ist zunächst eine Liste der entsprechenden
Objekte mit ihren Hauptangaben zu erstellen, etwa in der Form
(20.78a)
wobei die Objekte selbst wieder Listen von Graphikobjekten sein können. So sei Objekt 1 z.B.
und entsprechend
, mit speziellen Graphikanweisungen versehen, so ist es mit der
Will man eines der Graphikobjekte, etwa
entsprechenden Anweisung in einer Liste zusammenzufassen
Die Anweisung gilt für alle nachfolgenden Objekte in der gleichen Klammer, auch für eventuell weiter verschachtelte,
jedoch nicht für solche außerhalb der Listenklammer.
Aus den erzeugten Objekten werden zwei unterschiedliche Graphiklisten festgelegt:

die sich im zweiten Objekt durch die Strichdicke des Kreises unterscheiden. Mit dem Aufruf


(20.78b)
erhält man die in der Abbildung dargestellten Bilder.

Beim Aufruf des zweiten Bildes wurde die Option

eingefügt. Das führt zur Ausgabe des


Achsenkreuzes mit einer von Mathematica gewählten Markierung auf den Achsen und der entsprechenden
Skalierung.


Integrand der Form

:
(8.31a)

1. Eine der Zahlen

oder

ist ungerade: Zurückführung auf die Fälle

oder

.

Beispiel A
.

Beispiel B
.


2. Die Zahlen
und
sind beide gerade: Zurückführung auf die Fälle
der Potenz und Verwendung der trigonometrischen Formeln

oder

durch Halbierung

(8.31b)

Beispiel

.


BESSEL-Funktionen
Mit den Aufrufen

(20.84)
werden Graphiken der BESSEL-Funktion

für

Aufruf
nebeneinander dargestellt werden können (s. Abbildung).

und

erzeugt, die danach mit dem


Exponentialfunktionen
Eine Kurvenschar mit mehreren Exponentialfunktionen erzeugt Mathematica mit folgenden Eingaben:

braucht nicht definiert zu werden, da sie in
Das sind die Definitionen der beteiligten Funktionen. Die Funktion
Mathematica eingebaut ist. In einem zweiten Schritt werden die folgenden Graphiken erzeugt:

Das gesamte Bild erhält man mit (s. Abbildung):
Auf die Anbringung von Text an den Kurven wurde hier verzichtet. Das wäre mit der Graphikprimitiven
gewesen.

möglich


Lineare Funktion plus Areakotangensfunktion
Unter Berücksichtigung der im Abschnitt Areafunktionen dargestellten Eigenschaften der Funktion
folgendermaßen graphisch darstellen:

sich

Die große Präzision der
gewünschten

läßt

-Werte nahe 1 und

wurde gewählt, um hinreichend große Funktionswerte für den

-Bereich zu erhalten. Als Resultat erhält man die folgende Abbildung:


Begriff und Bedeutung
Listen sind in Mathematica wichtige Instrumente für die Manipulation ganzer Gruppen von Größen, die vor allem in der
höherdimensionalen Algebra und Analysis von großem Wert sind. Da auch allgemein Ausdrücke vielfach Ähnlichkeiten mit
Listen besitzen, wird der Umgang mit Listen zu einem Musterbeispiel für Manipulationen auf bestimmten Klassen von
Ausdrücken.
Unter einer Liste versteht man die Zusammenfassung mehrerer Objekte zu einem neuen Objekt, der Liste, wobei in der Liste
zunächst alle Objekte gleichwertig sind und sich nur durch ihren Standort in der Liste voneinander unterscheiden. Die
Aufstellung einer Liste erfolgt mit der Angabe
(20.11)
Zur Erläuterung der Arbeit mit Listen wird eine konkrete Liste benutzt, die mit

bezeichnet wird:
(20.12)

Mathematica benutzt bei der Wiedergabe der Liste die Kurzform: Einschluß in geschweifte Klammern.
In der folgenden Tabelle sind Befehle dargestellt, die auf Elemente bzw. mehrere Elemente zugreifen und dann eine
,,Unterliste`` ausgeben.
Tabelle Befehle für die Auswahl von Listenelementen


wählt das erste Element aus

wählt das letzte Element aus

oder

wählt das

-te Element aus

erstellt eine Liste aus den Elementen mit den angegebenen Nummern

äquivalent zur vorherigen Operation
ergibt die Liste der ersten

Elemente von

ergibt die Liste der Elemente von

ergibt die Liste ohne die ersten

ergibt die Liste ohne Elemente von

Beispiel

bis

Elemente

bis


Für die Liste

in (20.11) gilt z.B.


Verschachtelte Listen
Die Elemente von Listen können wiederum Listen sein, so daß verschachtelte Listen entstehen. Setzt man z.B.

und analog für

und

dargestellt werden soll. Mit
Resultat erhält man mit

, so entsteht eine verschachtelte Liste, die hier wegen ihres Umfanges nicht explizit
greift man auf das
. Im betrachteten Beispiel wird

-te Element der

-ten Unterliste zu. Das gleiche


Des weiteren liefert
eine Liste, die aus den mit

oder
numerierten Listen besteht, welche jeweils die mit

numerierten

Elemente enthalten.
Beispiel
Für das oben betrachtete Beispiel etwa

Aus diesen Darlegungen ist das Prinzip der Verschachtelung von Listen erkennbar. Es macht keine Mühe, Listen mit
der Verschachtelungsstufe 3 und höher zu entwerfen und auf diese mit entsprechenden Auswahloperationen zu
wirken.


Operationen mit Listen
Mathematica bietet eine Reihe weiterer Operationen, mit denen Listen abgefragt, erweitert oder verkürzt werden
können:
Tabelle Operationen mit Listen
liefert eine Liste der Positionen, an denen

prüft, ob

Element der Liste ist

prüft, ob

nirgendwo in der Liste auftritt

fügt

an den Anfang der Liste hinzu

fügt

am Ende der Liste hinzu

in der Liste auftritt


fügt

an der Stelle

zur Liste hinzu

löscht die Elemente mit den Nummern

ersetzt das Element an der Stelle

aus der Liste

durch

Beispiel
Mit Delete kann man z.B. die Liste

wobei jedoch in der Ausgabe die

um das Glied

verringern:

durch ihre Werte - sie sind selbst Listen - ersetzt erscheinen.


Spezielle Listen
Mathematica stellt eine Reihe von Operationen bereit, die spezielle Listen aufbauen. Eine dieser Operationen, die
häufig bei der Arbeit mit mathematischen Funktionen eine Rolle spielt, ist Table:
Tabelle Die Operation
erzeugt eine Liste mit

Werten von

erzeugt eine Liste von Werten von

von

das gleiche wie letztes, nur in Schritten

Beispiel

bis


:

Tabelle der Binominalkoeffizienten zu

Mit Table können auch mehrdimensionele Tabellen hergestellt werden. So erhält man mit

mehrstufige verschachtelte Tabellen, so etwa aus
die Binominalkoeffizienten bis zur Stufe 7:

Mit der Operation Range lassen sich speziell fortlaufende Zahlenlisten erzeugen:

Entsprechend wirken
Stufen 1 bzw.

erstellen.

und

, die Zahlenlisten von

bis

in den


Aufstellung geeigneter Listen
Eine Reihe spezieller (Listen-) Anweisungen steht für die Definition von Vektoren und Matrizen bereit. Eine einstufige
Liste der Art
(20.13)
läßt sich jederzeit als Vektor im
spezielle Operation

-dimensionalen Raum mit den Komponenten
erzeugt die Liste (den Vektor)

auffassen. Die
. Mit Vektoren dieser

Art kann symbolische Vektorrechnung betrieben werden.
und

Die oben eingeführten zweistufigen Listen
aufgefaßt werden. In diesem Falle wäre

das Element der Matrix in der

ist eine Rechteckmatrix vom Typ (6,5), mit
Mit der Operation

können als Matrizen mit den Zeilen

und den Spalten

-ten Zeile und der

-ten Spalte. Mit

eine quadratische Matrix vom Typ (5,5) gegeben.

wird eine Matrix vom Typ

erzeugt, deren Elemente mit


gekennzeichnet werden. Mit
von 1 bis

werden die Zeilen numeriert,

. In dieser symbolischen Form läßt

läuft von 1 bis

numeriert die Spalten und läuft

sich darstellen:
(20.14a)

wobei für die Elemente gilt:
(20.14b)
Die Operation

erzeugt die

-stufige Einheitsmatrix.

wird eine Diagonalmatrix mit den Elementen von liste auf der

Mit der Operation
Hauptdiagonalen erzeugt.
Die Operation

gibt die Dimension einer Matrix, deren Struktur durch liste gegeben ist.
eine matrixartige Darstellung von liste . Eine weitere Möglichkeit

Schließlich erhält man mit
zur Definition von Matrizen lautet: Es sei

eine Funktion der ganzen Zahlen

eine Matrix vom Typ
sind.

und

. Dann kann mit

definiert werden, deren Elemente die jeweiligen


Beziehungszeichen
gleich

ungefähr gleich

kleiner oder gleich

identisch gleich

kleiner

größer oder gleich

gleich per definitionem

größer

ungleich, verschieden von

sehr viel kleiner

sehr viel größer

entspricht


Griechisches Alphabet
Alpha

Beta

Gamma

Delta

Epsilon

Zeta

Eta

Theta

Iota

Kappa

Lambda

My

Ny

Xi

Omikron

Pi

Rho

Sigma

Tau

Ypsilon

Phi

Chi

Psi

Omega


Konstanten
const

konstante Größe (Konstante)
Eulersche Konstante
Verhältnis des Kreisumfanges zum Kreisdurchmesser
Basis der natürliche Logarithmen


Aussagenlogik
,

Aussagen
,

Negation der Aussage
,

Konjunktion, logisches UND

,

Disjunktion, logisches ODER
Implikation, WENN
Äquivalenz,

, DANN

GENAU DANN, WENN


Mengen und Gruppen
Mengen
Menge der natürlichen Zahlen

Menge der ganzen Zahlen

Menge der rationalen Zahlen

Menge der reellen Zahlen

Menge der positiven reellen Zahlen

dimensionsionaler euklidischer Vektorraum

Menge der komplexen Zahlen
Abschließung der Menge

oder Komplement von

ist echte Teilmenge von
Differenz zweier Mengen

bzgl. einer Grundmenge
ist Teilmenge von
symmetrische Differenz


kartesisches Produkt

Relationenprodukt

ist Element von

ist nicht Element von

Kardinalzahl der Menge

leere Menge, Nullmenge

Durchschnitt zweier Mengen

Durchschnitt von

Mengen

Vereinigung zweier Mengen

Vereinigung von

Mengen

für alle Elemente

es existiert ein Element

Isomorphie von Gruppen

Äquivalenzrelation

Restklassenaddition

Restklassenmultiplikation

orthogonale Zerlegung des Raumes

KRONECKER-Produkt

Teilmenge aller

aus

mit der Eigenschaft


Menge aller
Abbildung
supp

mit der Eigenschaft
aus dem Raum

in den Raum

Träger (support)
Supremum: Kleinste obere Schranke der nach oben beschränkten, nichtleeren Menge

Infimum: Größte untere Schranke der nach unten beschränkten, nichtleeren Menge


Intervalle
abgeschlossenes Intervall, d.h.
offenes Intervall, d.h.
linksoffenes Intervall, d.h
rechtsoffenes Intervall, d.h.


Vorzeichen, Potenzen, Logarithmen, Fakultät
Vorzeichen (signum) der Zahl

, z.B. sign

, sign0 = 0

Absolutbetrag der Zahl
in der

-ten Potenz

Quadratwurzel aus

-te Wurzel aus

Logarithmus der Zahl

zur Basis

, z.B.

dekadischer Logarithmus (Basis 10) der Zahl

, z.B.


natürlicher Logarithmus (Basis

) der Zahl

, z.B.
Fakultät, z.B.:
speziell:

; speziell:

;


Zahlentheorie
teilt
teilt

nicht

ist kongruent zu

modulo

, d.h.

ggT

größter gemeinsamer Teiler von

kgV

kleinstes gemeinsames Vielfaches von

Binomialkoeffizient

ist durch

teilbar


LEGENDRE-Symbol


Marizen und Determinanten
Matrix

mit den Elementen

transponierte Matrix
inverse Matrix
Determinante der quadratischen Matrix
Einheitsmatrix
Nullmatrix
KRONECKER-Symbol:

für

und

Hinweis: In Kapitel 17 stehen für Matrizen kursiv gesetzte Buchstaben.

für


Vektoren, Tensoren und Graphen
Spaltenvektor im
Einheitsvektor in Richtung
Norm von

Vektoren im

Basisvektoren (orthonormiert) des kartesischen Koordinatensystems

Koordinaten (Komponenten) des Vektors


Betrag, Länge des Vektors
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

skalares Produkt

vektorielles Produkt

gemischtes Produkt (Spatprodukt)

,

Nullvektor
Tensor
Graph mit der Knotenmenge

und der Kantenmenge


Geometrie
orthogonal (senkrecht)

parallel

gleich und parallel

ähnlich, z.B.:
) Winkel, z.B.:

Dreieck

Bogenstück, z.B.:

rad

; proportional
)

Radiant

als Maß für Winkel und Kreisbogen, z.B.:


Komplexe Zahlen
(mitunter

) Imaginäre Einheit
Imaginärteil der Zahl

Realteil der Zahl
Betrag von

Argument von
oder

Die zu
z.B.:

konjugiert komplexe Zahl, Ln

Logarithmus (natürlicher)
einer komplexen Zahl


Kreisfunktionen, Hyperbelfunktionen
Sinus

Kosinus

Tangens

Kotangens

Sekans

Kosekans

Areasinus

Areakosinus

Areatangens

Areakotangens

Areasekans

Areakosekans

Hauptwert von Arkussinus

Hauptwert von Arkuskosinus

Hauptwert von Arkustangens

Hauptwert von Arkuskotangens

Hauptwert von Arkussekans

Hauptwert von Arkuskosekans

Hyperbelsinus

Hyperbelkosinus


Hyperbeltangens

Hyperbelkotangens

Hyperbelsekans

Hyperbelkosekans


Grenzwerte, Summen, Produkte, Funktionen
ist Grenzwert der Folge

. Man schreibt auch

für

z.B.:

ist Grenzwert der Funktion

für
für

LANDAU-Symbol ,,klein o`` bedeutet:
LANDAU-Symbol ,,groß O`` bedeutet:
für

, wenn

gegen

strebt

für

;


Summe, in der

,

Produkt, in dem

,

(der Laufindex) von 1 bis

(der Laufindex) von 1 bis

Bezeichnung einer Funktion, z.B.:

läuft

läuft


Differenz, Ableitungen, Differentialoperatoren
Differenz oder Zuwachs, z.B.:
Differential, z.B.:
Bildung der ersten, zweiten,

erste, zweite,

,

-ten Ableitung

-te Ableitung der Funktion


Bildung der ersten, zweiten,

,

-ten partiellen Ableitung

Bildung der zweiten partiellen Ableitung zunächst nach

erste, zweite,

, dann nach

partielle Ableitung der Funktion

Differentialoperator, z.B.:
Gradient eines skalaren Feldes

Divergenz eines Vektorfeldes
Rotation eines Vektorfeldes

Nablaoperator, hier in kartesischen Koordinaten (auch HAMILTONscher

Differentialoperator genannt, nicht zu verwechseln mit dem HAMILTON-


Operator der Quantenmechanik)
LAPLACE-Operator

Richtungsableitung, d.h. Ableitung eines skalaren Feldes

Richtung des Vektors

nach der


Integrale
bestimmtes Integral der Funktion

zwischen den Grenzen

Kurvenintegral 1. Art bzgl. der Raumkurve

und

mit der Bogenlänge

Integral über eine geschlossene Kurve (Umlaufintegral)


Doppelintegral über einem ebenen Flächenstück

Oberflächenintegral 1. Art über einer räumlichen Fläche

Oberflächenintegral 2. Art über einer geschlossenen Oberfläche

Dreifachintegral oder Volumenintegral über dem Volumen


Regel zur Ermittlung des Ranges
Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang von Matrizen nicht. Elementare Umformungen in diesem
Zusammenhange sind:
1. Vertauschung zweier Zeilen miteinander oder zweier Spalten miteinander,
2. Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einer Zahl und
3. Addition einer Zeile zu einer Zeile oder einer Spalte zu einer Spalte.
Zur Bestimmung ihres Ranges kann man daher jede Matrix durch geeignete Linearkombinationen der Zeilen so
umformen, daß in der

-ten Zeile

mindestens die ersten

Elemente gleich Null

werden (s. Prinzip des GAUSSschen Algorithmus). Die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren in
der so umgeformten Matrix ist dann gleich ihrem Rang


Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen

●

Typen der Ruhelagen
Periodische Orbits

●

Eigenschaften der

●

-Grenzmenge


Produkt AB zweier Matrizen A und B
Das Produkt

zweier Matrizen

Spaltenanzahl des linken Faktors
Typ

und

gleich der Zeilenanzahl des rechten Faktors

ist, dann muß die Matrix
vom Typ
mit der

, auch skalares Matrixprodukt genannt, läßt sich nur bilden, wenn die

vom Typ

. Hierbei ist

sein, und das Produkt
gleich dem Skalarprodukt der

ist. Wenn

eine Matrix vom

ist eine Matrix
-ten Zeile des linken Faktors

-ten Spalte des rechten Faktors B:
(4.23)


Dynamische Systeme
●
●

Grundbegriffe
Invariante Mengen


Spezielle endliche Reihen
(1.60)

(1.61)

(1.62)
(1.63)

(1.64)

(1.65)


(1.66)

(1.67)

(1.68)

(1.69)


Exponentialsumme
(2.257a)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.


Die Diskussion der Funktion erfolgte im Abschnitt Exponentialsumme (s. Gleichung (2.61)).
Wenn die

-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz

bilden und

irgend drei

aufeinanderfolgende Werte der gegebenen Funktion sind, dann rektifiziert man gemäß
(2.257b)
Nachdem

und

mit Hilfe dieser Gleichung bestimmt sind, wird wieder rektifiziert gemäß
(2.257c)


Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen
●
●
●
●

Kovariante und kontravariante Basisvektoren
Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe
Rechenregeln


Umformungen
(5.18a)
(5.18b)
(5.18c)
(5.18d)


Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle
●
●

Einkaufsproblem
Rucksackproblem


Bellmannsche Funktionalgleichungen
●
●

Eigenschaften der Kostenfunktion
Formulierung der Funktionalgleichungen


Poisson-Verteilung, Teil II
Wertetabelle der Poissonverteilung:

4,0

:

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0

0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123

1

0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111

2

0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998

3

0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994

4

0,195367 0,175467 0,133853 0,091126 0,057252 0,033737

5

0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727

6

0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090


7

0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116

8

0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756

9

0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756

10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099262 0,118580
11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020
12 0,000642 0,003434 0,011264 0,026350 0,048127 0,072765
13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376
14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384
15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431
16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930
17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786
18

0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893

19

0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370

20

0,000004 0,000030 0,000159 0,000617

21

0,000001 0,000010 0,000061 0,000264

22

0,000003 0,000022 0,000108

23

0,000001 0,000008 0,000042


24

0,000003 0,000016

25

0,000001 0,000006

26

0,000002

27

0,000001


Normierte Normalverteilung, Teil I


Normierte Normalverteilung, Teil II


Normierte Normalverteilung, Teil III


Zahlenbeispiel
.
,

,
,

,
,

,
,

,
,

,
,

Aufgrund der Ganzzahligkeit der Gewichte

ist

enthält für alle Stufen und alle Zustände

die Funktionswerte

. Exemplarisch werden die Größen

.

. Die Tabelle
und die jeweilige Entscheidung
, und

berechnet.


Die optimale Politik lautet

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
19; 0

2

0; 0

3; 0 4; 1 7; 1 9; 0 10; 1 13; 1 13; 1 15; 0 16; 0 19; 1

3

0; 0

3; 0 3; 0 6; 1 9; 1 9; 0 10; 0 12; 1 15; 1 16; 1 16; 0

4

0; 0

3; 1 3; 1 3; 1 6; 0 9; 1 10; 1 10; 1 10; 1 13; 0 16; 1

5

0; 0

0; 0 0; 0 0; 0 6; 0 7; 1

7; 1

7; 1

7; 1 13; 1 13; 1

6

0; 0

0; 0 0; 0 0; 0 6; 1 6; 1

6; 1

6; 1

6; 1

6; 1

6; 1


Numerische Mathematik
●

●

Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
❍ Iterationsverfahren
■ Gewöhnliches Iterationsverfahren
■ Newton-Verfahren
■ Regula falsi
❍ Lösung von Polynomgleichungen
■ Horner-Schema
■ Reelle Argumentwerte
■ Komplexe Argumentwerte
■ Lage der Nullstellen
■ Reelle Nullstellen
■ Komplexe Nullstellen
■ Numerische Verfahren
■ Allgemeine Verfahren
■ Spezielle Verfahren
Numerische Lösung von Gleichungssystemen


Lineare Gleichungssysteme
■ Dreieckszerlegung einer Matrix
■ Prinzip des GAUSSschen Eliminationsverfahrens
■ Dreieckszerlegung
■ Anwendung der Dreieckszerlegung
■ Wahl der Pivots
■ Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
■ Orthogonalisierungsverfahren
■ Lineare Ausgleichsaufgaben
■ Orthogonalisierungsverfahren
■ Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
■ JACOBI-Verfahren
■ GAUSS-SEIDEL-Verfahren
■ Relaxationsverfahren
❍ Nichtlineare Gleichungssysteme
■ Gewöhnliches Iterationsverfahren
■ Newton-Verfahren
■ Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren
Numerische Integration
❍ Allgemeine Quadraturformel
❍ Interpolationsquadraturen
■ Rechteckformel
■ Trapezformel
■ Hermitesche Trapezformel
■ Simpson-Formel
❍

●


Quadraturformeln vom Gauß-Typ
■ Gaußsche Quadraturformeln
■ Lobattosche Quadraturformeln
❍ Verfahren von Romberg
■ Algorithmus des Romberg-Verfahrens
■ Extrapolationsprinzip
Genäherte Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen
❍ Anfangswertaufgaben
■ Eulersches Polygonzugverfahren
■ Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
■ Rechenschema
■ Hinweise
■ Mehrschrittverfahren
■ Prediktor-Korrektor-Verfahren
■ Konvergenz, Konsistenz, Stabilität
■ Globaler Diskretisierungsfehler und Konvergenz
■ Lokaler Diskretisierungsfehler und Konsistenz
■ Stabilität gegenüber Störung der Anfangswerte
■ Steife Differentialgleichungen
❍ Randwertaufgaben
■ Differenzenverfahren
■ Ansatzverfahren
■ Schießverfahren
Genäherte Integration von partiellen
Differentialgleichungen
❍

●

●


Differenzenverfahren
❍ Ansatzverfahren
■ Kollokationsmethode
■ Fehlerquadratmethode
❍ Methode der finiten Elemente (FEM)
■ Aufstellung einer Variationsaufgabe
■ Triangulierung
■ Ansatz
■ Berechnung der Ansatzkoeffizienten
■ Bemerkungen
Approximation, Ausgleichsrechnung, Harmonische
Analyse
❍ Polynominterpolation
■ Newtonsche Interpolationsformel
■ Interpolationsformel nach Lagrange
■ Interpolation nach Aitken-Neville
❍ Approximation im Mittel
■ Stetige Aufgabe, Normalgleichungen
■ Diskrete Aufgabe, Normalgleichungen, Householder-Verfahren
■ Methode der kleinste Quadrate
■ Matrizenschreibweise
■ Mehrdimensionale Aufgaben
■ Nichtlineare Quadratmittelaufgaben
■ Prinzipieller Lösungsweg
■ GAUSS-NEWTON-Verfahren
❍

●


Tschebyscheff-Approximation
■ Aufgabenstellung und Alternantensatz
■ Prinzip der TSCHEBYSCHEFF-Approximation
■ Eigenschaften der TSCHEBYSCHEFFschen Polynome
■ Remes-Algorithmus
■ Folgerungen aus dem Alternantensatz
■ Bestimmung der Minimallösung nach REMES
■ Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung
❍ Harmonische Analyse
■ Formeln zur trigonometrischen Interpolation
■ Formeln für die FOURIER-Koeffizienten
■ Trigonometrische Interpolation
■ Schnelle Fourier-Transformation (FFT)
■ Numerischer Aufwand bei der Berechnung der FOURIER-Koeffizienten
■ Komplexe Darstellung der FOURIER-Summe
■ Numerische Berechnung der komplexen FOURIER-Koeffizienten
■ Schemata zur FFT
Darstellung von Kurven und Flächen mit Hilfe von Splines
❍ Kubische Splines
■ Interpolationssplines
■ Definition der kubischen Interpolationssplines
■ Bestimmung der Spline-Koeffizienten
■ Ausgleichssplines
❍ Bikubische Splines
■ Eigenschaften
❍

●


Bikubische Interpolationssplines
■ Eigenschaften
■ Tensorprodukt-Ansätze
■ Bikubische Ausgleichssplines
❍ Bernstein-Bézier-Darstellung von Kurven und Flächen
■ Prinzip der B-B-Kurvendarstellung
■ B-B-Flächendarstellung
Nutzung von Computern
❍ Interne Zeichendarstellung
■ Zahlensysteme
■ Bildungsgesetz
■ Konvertierung von Zahlensystemen
■ 1. Konvertierung von Dualzahlen in Oktal- bzw. Hexadezimalzahlen:
■ 2. Konvertierung von Dezimalzahlen in Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen:
■ 3. Konvertierung von Dual-, Oktal- oder Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen:
■ Interne Zahlendarstellung
■ Festpunktzahlen
■ Gleitpunktzahlen
■ Normalisierte halblogarithmische Form:
■ IEEE-Standard
❍ Numerische Probleme beim Rechnen auf Computern
■ Einführung, Fehlerarten
■ Normalisierte Dezimalzahlen und Rundung
■ Normalisierte Dezimalzahlen
■ Grundoperationen des numerischen Rechnens
■

●


Addition:
■ Subtraktion:
■ Multiplikation:
■ Division:
■ Resultatfehler:
■ Vermeidung der Auslöschung:
■ Genauigkeitsfragen beim numerischen Rechnen
■ Fehlerarten
■ Eingangsfehler
■ Verfahrensfehler:
■ Rundungsfehler:
■ Beispiele zum numerischen Rechnen
Bibliotheken numerischer Verfahren
■ NAG-Bibliothek
■ IMSL-Bibliothek
■ FORTRAN SSL II
■ Aachener Bibliothek
Anwendung von Computeralgebrasystemen
■ Mathematica
■ Kurvenanpassung und Interpolationsverfahren
■ 1. Kurvenanpassung:
■ 2. Interpolation:
■ Numerische Lösung von Polynomgleichungen
■ Numerische Integration
■ Numerische Lösung von Differentialgleichungen
■

❍

❍


■

Maple
■
■
■
■

Numerische Berechnung von Ausdrücken und Funktionen
Numerische Lösung von Gleichungen
Numerische Integration
Numerische Lösung von Differentialgleichungen


Begriff des Oberflächenintegrals erster Art
●
●

Definition
Existenzsatz


Explizite Vorgabe der Flächengleichung
Ist die Fläche

durch die Gleichung
(8.158)

explizit vorgegeben, dann wird das Integral (8.157c) nach der Formel
(8.159a)

berechnet, wobei gilt
des Flächenstückes

. Die Oberflächenintegrale der Funktion

über die Projektionen

auf die anderen Koordinatenebenen werden analog berechnet:
(8.159b)

wobei

die Gleichung der Fläche

nach

aufgelöst ist und

zu setzen ist.


(8.159c)

wobei

die nach

aufgelöste Gleichung der Fläche

ist und

zu setzen ist. Wenn

die Orientierung der Fläche geändert wird, d.h., wenn die Außen- mit der Innenseite vertauscht wird, dann ändert das
Integral über die Projektion sein Vorzeichen.


Vorgabe der Flächengleichung in Parameterform
Ist die Fläche

durch die Gleichungen
(8.160)

in Parameterform vorgegeben, dann berechnet man die Integrale (8.157a,b,c) nach den folgenden Formeln:
(8.161a)

(8.161b)

(8.161c)

Dabei sind die Ausdrücke

die Funktionaldeterminanten der Funktionenpaare


aus der Menge
des Flächenstückes

, die von den Variablen
.

und

abhängen,

ist der Variabilitätsbereich von

und


Satz von der offenen Abbildung
Der Satz besagt, daß ein linearer stetiger Operator, der
offene Menge in

für jede offene Menge

aus

.

auf

abbildet, offen ist, d.h., das Bild

ist eine


Spezielle Eigenschaften
Ein beliebiger Operator

heißt demistetig im Punkt

, wenn für jede (in der Norm von
in
Punkt von

schwach zu

) zu

konvergente Folge

konvergiert.

die Folge

heißt demistetig auf der Menge

, wenn

in jedem

demistetig ist.

In diesem Abschnitt wird eine andere Verallgemeinerung des aus der reellen Analysis bekannten Monotoniebegriffs
eingeführt. Seien jetzt

ein reeller BANACH-Raum,

nichtlinearer Operator. Dann heißt

monoton , wenn für
gilt. Ist

sein Dual,

und

ein

die Ungleichung

ein HILBERT-Raum, dann ist das Skalarprodukt gemeint,

während im Falle eines BANACH-Raumes bzgl. der Bezeichnung auf Abschnitt Fortsetzung von linearen Funktionalen
verwiesen wird. Der Operator

heißt streng monoton wenn es eine Konstante

gibt, so daß


für

Ein Operator

heißt koerzitiv , wenn

gilt.

gilt.


Existenzaussagen
Existenzaussagen für Lösungen von Operatorengleichungen mit monotonem Operator können hier nur exemplarisch
angegeben werden: Ist der Operator

, der einen reellen separablen BANACH-Raum

für beliebiges

abbildet, monoton, demistetig und koerzitiv, dann hat die Gleichung
Lösung. Ist zudem der Operator
also der inverse Operator

eine

streng monoton, dann ist die Lösung sogar eindeutig, in diesem Falle existiert
.

Für einen monotonen demistetigen Operator
, wobei
bijektiv mit stetigem

in

im HILBERT-Raum
stetig ist. Wenn

mit

gilt

als streng monoton vorausgesetzt wird, dann ist

.

Konstruktive Näherungsmethoden für die Lösung der Gleichung

mit monotonem Operator

HILBERT-Raum basieren auf der Idee des GALERKIN-Verfahrens oder Lit. 12.11, 12.21.

im


Mit dieser Theorie kann man ebenfalls mehrdeutige Operatoren
Monotoniebegriff durch
wird (s. Lit. 12.14).

behandeln, auf die der
und

verallgemeinert


Regeln zur Berechnung der Rotation
(13.61)

(13.62)

(13.63)


Separierbarkeit
Die Funktion

heißt separierbar , wenn sie mit zweiargumentigen Funktionen
und mit Funktionen

in folgender Form geschrieben werden kann:

(18.119)


Minimumvertauschbarkeit
Eine Funktion

heißt minimumvertauschbar , falls gilt:

(18.120)

Diese Eigenschaft ist zum Beispiel dann erfüllt, wenn
monoton wachsend ist, d.h., wenn für alle

für jedes

bezüglich des zweiten Argumentes

gilt:

(18.121)

Für die Kostenfunktion des dynamischen Optimierungsproblems wird nun die Separierbarkeit von
Minimumvertauschbarkeit aller Funktionen

, gefordert.

und die


Folgende häufig Verwendung findende Klassen von Kostenfunktionen genügen beiden Bedingungen:

(18.122)

Die Funktionen

lauten

(18.123)

bzw.

(18.124)


Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode
●
●

Optimale Einkaufspolitik
Rucksackproblem


Bestimmung der minimalen Kosten
Mittels der Funktionalgleichungen (18.126,18.127) werden, mit
mit

Funktionswerte

beginnend, für abnehmende

bestimmt. Dies erfordert für jedes
. Für jedes

eines Optimierungsproblems über dem Entscheidungsbereich
Minimalstelle
Sind die Mengen

als optimale Entscheidung für die erste Stufe eines mit

ausgewählten Stützstellen

ergibt sich dabei eine

unter Umständen an

berechnet werden, woraus mittels Interpolation gegebenenfalls

Zwischenwerte ermittelt werden können. Mit
gefunden. Die Ermittlung einer optimalen Politik
kann auf 2 Arten erfolgen.

die Lösung

beginnenden Teilprozesses

nicht endlich oder auch sehr groß, dann können die Werte

alle

ist der Optimalwert der Kostenfunktion für den Prozeß
sowie einer zugehörigen Zustandsfolge

.


Problemstellung
Das Problem der Bestimmung einer optimalen Einkaufspolitik aus Abschnitt Einkaufsproblem
(18.131a)

(18.131b)

führt auf die Funktionalgleichungen
(18.132a)
(18.132b)


Zahlenbeispiel
.
,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

1. Rückwärtsrechnung: Die Funktionswerte

werden an den Stützstellen

bestimmt. Es genügt dann, die Minimumsuche nur für ganzzahlige Entscheidungen
durchzuführen.


Gemäß Variante 2 der BELLMANNschen Funktionalgleichungsmethode werden nur die Werte
bestimmt.

Zeile der Tabelle eingetragen. Exemplarisch wird

=0 1
j=1

in die letzte

2

3

4

5

6

7

8

9 10

75

2

59

56 53 50 47 44 41 38 35 32 29

3

44

39 34 29 24 21 18 15 12 9

6

4

24

21 18 15 12 9

6

4

2

0

0

5

22

18 14 10 6

4

2

0

0

0

0

6

6

4

0

0

0

0

0

0

2

0

0

2. Vorwärtsrechnung:

Als Minimalstelle ergibt sich

und somit

und alle nachfolgenden Stufen wiederholt. Die optimale Politik lautet

. Dieses Verfahren wird für


Problemstellung
Gegeben sei das bereits betrachtete Rucksackproblem
(18.133a)

(18.133b)

Da ein Maximumproblem vorliegt, lauten die BELLMANNschen Funktionalgleichungen jetzt
(18.134a)
(18.134b)


Da lediglich die Entscheidungen 0 und 1 auftreten, empfiehlt sich die Anwendung der Variante 1 der
Funktionalgleichungsmethode. Es ergibt sich für

:

(18.135)

(18.136)


Ecke und Basis
●
●
●

Definition der Ecke und Satz über die Ecke
Basis
Ecke mit maximalem Funktionswert


Problemstellung und geometrische Darstellung
●
●

Formen der linearen Optimierung
Beispiele und graphische Lösungen


Beispiel Herstellung zweier Produkte:
Für die Herstellung zweier Produkte

und

werden die Ausgangsstoffe

und

dem folgenden Schema sind die für die Erzeugung einer Produkteinheit ( PE ) der Produkte

benötigt. Aus
und

erforderlichen Mengeneinheiten ( ME ) der Ausgangsstoffe sowie die verfügbaren Materialkontingente zu entnehmen.
Der Verkauf einer Produkteinheit von

bzw.

erbringt einen Gewinn von 20 bzw. 60 Gewinneinheiten ( GE ).

Gesucht ist ein Produktionsprogramm, das maximalen Gewinn sichert, wobei mindestens 10 Produktionseinheiten
von

erzeugt werden sollen.
Schema 1
ME

pro PE ME

pro PE ME

pro PE


Kontigent
Bezeichnet man mit

bzw.

12

8

0

6

12

10

630

620

350

die Anzahl der Produkteinheiten von

Aufgabe:

Einführung von Schlupfvariablen

führt auf:

bzw.

, dann ergibt sich die folgende


Fallunterscheidung
Ziel der Lösung des Hilfsprogramms mit dem Simplexverfahren ist es, die künstlichen Variablen aus der Basis zu
entfernen. Wird eine künstliche Variable zur Nichtbasisvariable, dann kann die zugehörige Spalte im Tableau
gestrichen werden. Man ermittelt so einen Maximalpunkt

1.

:
besitzt keine Lösung.

Das System
2.

und unterscheidet:

:
Falls sich unter den Basisvariablen keine künstlichen Variablen befinden, ist sofort ein Tableau für die
ursprüngliche Aufgabe gegeben. Anderenfalls wird so lange aus einer zu einer künstlichen Variablen
gehörenden Zeile ein Pivotelement

gewählt, ein Austauschschritt ausgeführt und anschließend die

Pivotspalte gestrichen, bis alle künstlichen Variablen aus dem Tableau entfernt worden sind.
Durch die Einführung von künstlichen Variablen kann die Dimension des Hilfsproblems stark anwachsen. Mitunter ist
es nicht notwendig, zu jeder Gleichung eine künstliche Variable zu addieren. War das System der


Nebenbedingungen vor der Einführung von Schlupfvariablen gegeben durch
mit

, dann sind nur in den ersten beiden Systemen

künstliche Variable erforderlich. Für das dritte System können die Schlupfvariablen als erste Basisvariable gewählt
werden.
Beispiel
Im Beispiel unter Ecke und Basis ist nur in der ersten Gleichung eine künstliche Variable erforderlich:

Das ermittelte Tableau ist mit

optimal. Durch Streichen der zweiten Spalte erhält man ein erstes

Tableau für das Ausgangsproblem. Schema 6a, b


Übergang zum neuen Simplextableau
●
●

Nichtentarteter Fall
Entarteter Fall


Bestimmung eines ersten Simplextableaus
●
●

Hilfsprogramm und künstliche Variable
Fallunterscheidung


Modell
Ein von

Erzeugern

Verbrauchern

in den Mengen
mit dem Bedarf

einer Produkteinheit vom Erzeugnis
Produkteinheiten zu

zum Verbraucher

produziertes Erzeugnis soll zu
transportiert werden. Die Kosten des Transportes
betragen

. Von

werden

transportiert. Gesucht ist eine, die Transportkosten minimierende Aufteilung der Erzeugnisse

auf die Verbraucher. Es wird vorausgesetzt, daß die Gesamtkapazität der Erzeuger gleich dem Gesamtverbrauch ist,
d.h.

(18.23)
Man bildet die Kostenmatrix C und die Verteilungsmatrix X:


(18.24a)

(18.24b)

Ist die Bedingung (18.23) nicht erfüllt, dann werden zwei Fälle unterschieden:
a)
Für
Transportkosten

wird ein fiktiver Verbraucher

mit dem Bedarf

und den

eingeführt.

b)
Für

wird ein fiktiver Erzeuger

mit der Kapazität

und


den Transportkosten

eingeführt. Zur Bestimmung eines optimalen Verteilungsplanes ist das

folgende Optimierungsproblem zu lösen:
(18.25a)

(18.25b)

Das Minimum dieses Problems wird in einer Ecke des zulässigen Bereiches angenommen. Von den
Nebenbedingungen sind
vorausgesetzt werden soll,

linear unabhängig, so daß eine Ecke im nicht entarteten Fall, der hier
positive Komponenten

besitzt. Die folgende Bestimmung eines

optimalen Verteilungsplanes wird als Transportalgorithmus bezeichnet.


Straf- und Barriereverfahren
Das Grundprinzip dieser Verfahrensklasse besteht darin, daß ein Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen durch
Modifikation der Zielfunktion in eine Folge von Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen umgeformt wird. Die
modifizierten Probleme können z.B. mit Verfahren für unrestringierte Aufgaben gelöst werden. Bei geeigneter
Konstruktion der modifizierten Zielfunktionen ist jeder Häufungspunkt der Folge der Lösungspunkte dieser
Ersatzprobleme eine Lösung der ursprünglichen Aufgabe.
●
●

Strafverfahren
Barriereverfahren


Spezialfall linearer Restriktionen
Sind die Funktionen

linear, d.h.

, dann kann ein einfacheres Richtungssuchprogramm

aufgestellt werden:
(18.91)

(18.92a)
(18.92b)

Die Wirkung der Wahl verschiedener Normen
folgenden Abbildung gezeigt.

bzw.

ist in der


Die in einem gewissen Sinne beste Wahl der Norm ist
Richtungssuchprogramm ermittelt man das

, denn mit dem

, das den kleinsten Winkel mit

bildet. Dann ist das

Richtungssuchprogramm jedoch nicht linear und erfordert einen höheren Rechenaufwand. Dagegen ergibt sich mit
ein System linearer Nebenbedingungen

, so

daß das Richtungssuchprogramm z.B. mit dem Simplexverfahren gelöst werden kann.
Um zu sichern, daß das Verfahren der zulässigen Richtungen für quadratische Optimierungsprobleme
mit

in endlich vielen Schritten zum Ziel führt, wird das

Richtungssuchprogramm durch die folgende Konjugationsvorschrift ergänzt: Ist in einem Schritt
ist ein ,,innerer`` Punkt, dann wird dem Richtungssuchprogramm die Bedingung

, d.h.


(18.93)
hinzugefügt. Weiterhin werden entsprechende Bedingungen aus vorhergehenden Schritten beibehalten. Die Bedingungen
(18.93) werden erst fallengelassen, wenn ein Schritt

gesetzt wird.

Beispiel

.
1. Schritt:
.

Start mit

Richtungssuchprogramm:

Strahlmimierung:

Maximal zulässige Schrittweite:

.

mit

.


.
2. Schritt:
.

Richtungssuchprogramm:

.
3. Schritt:
.
Richtungssuchprogramm:
,


.

Das nächste Richtungssuchprogramm liefert

. Daher ist

der Minimalpunkt (s. Abbildung).


Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Gegeben ist das konvexe Optimierungsproblem
(18.94)

. Eine zulässige Abstiegsrichtung

mit

eine zulässige Richtung, dann wird
von

und

zeigt aus

im Punkt

wird auf folgende Weise ermittelt: Ist
gesetzt. Anderenfalls liegt

hinaus. Mittels einer linearen Abbildung

auf eine lineare Teilmannigfaltigkeit des Randes von

auf dem Rand

wird der Vektor

projiziert, die von einer Teilmenge der in

aktiven

Restriktionen gebildet wird. Die Projektion auf eine Kante zeigt die folgende linke Abbildung, die Projektion auf eine
Seitenfläche die rechte Abbildung.


Unter der Voraussetzung der Nichtentartungsbedingung, d.h. für alle

sind die Vektoren

,

linear unabhängig, ist eine solche Projektion gegeben durch
(18.95)

Dabei besteht
bilden, in die

aus allen den

, deren entsprechende Nebenbedingungen die lineare Teilmannigfaltigkeit

projiziert werden soll.


Algorithmus
Das Verfahren der projizierten Gradienten besteht aus folgendem Algorithmus:
Starte mit

, setze

und gehe nach folgendem Schema vor:

I:
Ist

zulässige Richtung, dann wird

Anderenfalls wird

aus den Vektoren

gesetzt und mit III fortgesetzt.
mit

gebildet und zu II übergegangen.

II:
Es wird

Ist

und gilt

gesetzt. Ist

, wird mit III fortgesetzt.

, dann ist

ein Minimalpunkt. Die lokalen


KUHN- TUCKER-Bedingungen
Ist

, dann ist ein

mit

sind offensichtlich erfüllt.
zu wählen, die

-te Zeile aus

zu streichen und II zu

wiederholen.
III:
Berechnung von

sowie von

und Übergang mit

zu I.


Bemerkungen zum Algorithmus
Wenn
auf der
nicht

nicht zulässig ist, wird dieser Vektor zunächst in die Teilmannigfaltigkeit geringster Dimension,
liegt, abgebildet. Ist

senkrecht auf dieser Teilmannigfaltigkeit. Gilt

, dann wird durch Weglassen einer aktiven Nebenbedingung die Teilmannigfaltigkeit um eine

Dimension erweitert, wodurch

Da

, dann steht

häufig aus

eintreten kann (s. Abbildung mit Projektion auf eine Seitenfläche).

durch Hinzufügen bzw. Streichen einer Zeile entsteht, kann die aufwendige Berechnung


von

erleichtert werden, indem die Kenntnis von

genutzt wird.

Beispiel
Lösung des Problems vom vorigen Beispiel.

1. Schritt:

,

I:
.
III:
Die Schrittweite wird wie im vorigen Beispiel ermittelt:

.

2. Schritt:
I:
.
II:


.
III:
.
3. Schritt:
I:
.
II:
.
II:
.
III:


.
4. Schritt:
I:
.
II:
.
Daraus folgt, daß

Minimalpunkt ist.


Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Es wird das Optimierungsproblem
(18.106)
über dem beschränkten Bereich

, der mit konvexen Funktionen

durch

beschrieben ist, betrachtet. Ein Problem mit nichtlinearer, aber konvexer Zielfunktion

wird in

diese Form überführt, indem
(18.107)
als weitere Nebenbedingung aufgenommen und
(18.108)

mit

gelöst wird.

Die Grundidee des Verfahrens besteht in der iterativen linearen Approximation von

in der Nähe des


Minimalpunktes

durch konvexe Polyeder, womit das Ausgangsproblem auf eine Folge linearer Programme

zurückgeführt wird.
Zunächst wird ein Polyeder
(18.109)
bestimmt. Aus dem linearen Programm
(18.110)

wird ein bezüglich

optimaler Eckpunkt

von

erhalten. Ist

, dann ist die Optimallösung des

Ausgangsproblems gefunden. Anderenfalls wird eine Hyperebene

die den Punkt

von

trennt, ermittelt, so daß das neue Polyeder
(18.111)

erhalten wird.
Die Abbildung zeigt eine schematische Darstellung des Schnittebenenverfahrens.


Lagrange-Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
Die LAGRANGE-Funktion zum Problem (18.46a,b) ist
(18.48)
Die KUHN- TUCKER-Bedingungen lauten mit
(18.49)
für den zulässigen Bereich:
Fall I:
a)

Fall II:
,

a)
,

b)

,

.

d)

,

a)

(18.50a)

, b)

b)
, c)

c)
d)

Fall III:

,
.

, (18.50b)
,

c)
d)

.

(18.50c)
(18.50d)


Duales Problem
Ist
positiv definit, dann kann das zu (18.46a) duale Problem (18.44a) explizit in folgender Weise formuliert
werden:
(18.51a)

(18.51b)

Setzt man den Ausdruck

für

in die duale Zielfunktion

ein, dann entsteht das

äquivalente Problem
(18.52)
für das gilt: Ist

eine Lösung von (18.46a,b), dann besitzt (18.52) eine Lösung

, und es gilt


(18.53)
Das Problem (18.52) kann durch die äquivalente Formulierung
(18.54a)

(18.54b)
ersetzt werden.


Spezielle Richtungen
1. Kegel der zulässigen Richtungen Der Kegel der zulässigen Richtungen in

ist definiert durch
(18.34)

wobei Richtungen mit
hinreichend kleine

bezeichnet sind. Ist

-Werte in

, dann liegen alle Punkte des Strahls

für

.

2. Abstiegsrichtung Eine Abstiegsrichtung im Punkt

ist ein Vektor

, für den es ein

gibt

mit:
(18.35)
In einem Minimalpunkt existiert keine Abstiegsrichtung, die zugleich auch zulässig ist.
Ist

differenzierbar, so folgt aus

Nablaoperator bezeichnet, so daß

die Abstiegseigenschaft der Richtung
den Gradienten der skalaren Funktion

. Mit

an der Stelle

ist der
darstellt.


Aufgabenstellung
Die quadratische Optimierung umfaßt Aufgaben der Form
(18.46a)
(18.46b)
Dabei ist

eine symmetrische

Der zulässige Bereich

-Matrix,

eine

-Matrix und

.

kann alternativ in folgende Darstellungen überführt werden:
(18.47a)
(18.47b)


Aufgabenstellung, gleichmäßige Suche
1. Aufgabenstellung: Es sei

auf

unimodal und

mit

Intervall

und

, bestimmt werden. Dabei heißt

, eine unimodale Funktion im Intervall

, falls

auf jedem abgeschlossenen

genau einen lokalen Minimalpunkt besitzt.

Teilintervall

2. Gleichmäßige Suche: Man wählt

Werte

ein globaler Minimalpunkt. Dann soll ein

(

ganzzahlig) so, daß

für

Wert, dann liegt der Minimalpunkt

. Ist
im Intervall

notwendige Anzahl von Funktionswertberechnungen kann mittels

gilt, und berechnet die

unter diesen Funktionswerten ein kleinster
. Die für die geforderte Genauigkeit


(18.66)
abgeschätzt werden.


Eindimensionale Suche
Viele Optimierungsverfahren beinhalten als Teilaufgabe die Minimierung einer Funktion
ist dabei eine Näherung
●
●

für den Minimalpunkt

ausreichend.

Aufgabenstellung, gleichmäßige Suche
Verfahren des Goldenen Schnittes und Fibonacci-Verfahren

für

. Oft


Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
Das Verfahren von WOLFE ist zur Lösung von quadratischen Problemen der folgenden speziellen Form geeignet:
(18.55)
Für die hier beschriebene Version des Verfahrens wird
der Ermittlung einer Lösung

als positiv definit vorausgesetzt. Die Grundidee besteht in

des dem Problem (18.55) zugeordneten Systems der KUHN- TUCKER-

Bedingungen:
(18.56a)
(18.56b)
(18.56c)
(18.57)
Die Formeln (18.56a,b,c) stellen ein lineares Ungleichungssystem mit
Variablen dar. Auf Grund der Bedingung (18.57) muß entweder

Ungleichungen und
oder

gelten.


Daher besitzt jede Lösung von (18.56a,b,c,18.57) höchstens

von Null verschiedene Komponenten und muß

folglich eine Basislösung von (18.56a,b,c) sein.
Lösungsgang: Mit Hilfe des Simplexverfahrens wird zunächst eine zulässige Basislösung (Ecke)
bestimmt. Die zu den Basisvariablen von

des Systems

gehörenden Indizes bilden die Indexmenge

. Um eine

Lösung des Systems (18.56a,b,c) zu finden, die auch (18.57) erfüllt, formuliert man das folgende Hilfsproblem:
(18.58)
(18.59a)
(18.59b)
(18.59c)
(18.60)
Für eine Lösung

dieses Problems, die gleichzeitig (18.56a,b,c) und (18.57) erfüllt, muß

Als zulässige Basislösung für das System (18.59a,b,c) ist

gelten.

bekannt, die gleichzeitig der

Bedingung (18.60) genügt. Eine zu dieser Basislösung gehörende Basis wird aus den folgenden Spalten der
Koeffizientenmatrix


(18.61)

zusammengesetzt. In (18.61) bedeuten

Einheitsmatrix,

Nullmatrix und

Nullvektor entsprechender Dimension.

a)
Spalten, die zu

mit

gehören,

b)
Spalten, die zu

mit

gehören,

c)
alle

Spalten zu

,

d)
die letzte Spalte, dafür wird aber eine geeignete der unter b) und c) bestimmten Spalten wieder weggelassen.
Ist

, dann ist zwar der Austausch nach d) nicht möglich, es ist dann aber

bereits ein Lösungspunkt.

Man kann nunmehr ein erstes Simplextableau aufstellen. Die Minimierung der Zielfunktion erfolgt mit dem
Simplexverfahren unter der folgenden Zusatzregel, die
Bleibt in einem Austauschschritt

sichert:
Basisvariable, dann darf

nicht Basisvariable werden und


umgekehrt.
Für positiv definites

führt das Simplexverfahren unter Beachtung der Zusatzregel zu einer Lösung des Problems

(18.58,18.59a,b,c, 18.60) mit

. Für positiv semidefinites

kann auf Grund der eingeschränkten

Pivotelementwahl der Fall eintreten, daß kein Austauschschritt mehr ausgeführt werden kann, ohne die Zusatzregel zu
gilt. Man kann zeigen, daß in diesem Fall

verletzen, obwohl

überhaupt nicht verkleinert werden kann.

Beispiel

In diesem Falle ist

lediglich positiv semidefinit. Eine zulässige Basislösung von
,

a) die Spalten 3 und 4 von

ist

. Als Basisvektoren werden gewählt:

,

b) die Spalten 1 und 2 von

, c) die Spalten von


und d) die Spalte

anstelle der 1. Spalte von

.

Aus diesen Spalten wird die Basismatrix gebildet und die Basisinverse errechnet. Durch Multiplikation mit der Matrix
(18.61) sowie des Vektors

mit der Basisinversen ergibt sich ein erstes Simplextableau:
Schema 9


Auf Grund der Zusatzregel kann in diesem Tableau nur
nach einigen Austauschschritten

gegen

ausgetauscht werden. Als Lösung erhält man

. Die letzten zwei Gleichungen von
lauten:

. Man kann deshalb den Umfang des

Problems zu Beginn der Rechnung reduzieren, indem man die freien Variablen
eliminiert.

und

aus dem System


Prinzip
Dem streng konvexen Optimierungsproblem
(18.62)
ist das duale Problem
(18.63a)

(18.63b)

zugeordnet. Die Matrix
Die Variablen

und

ist positiv definit und besitzt positive Diagonalelemente

.

sind über die folgende Beziehung miteinander verknüpft:
(18.64)


Iterationslösung
Das duale Problem (18.63a,b), das nur die Nebenbedingung

enthält, kann mit Hilfe des folgenden einfachen

Iterationsverfahrens in Schritten gelöst werden:
a)
Setze

(z.B.

Berechne

für

),

.

b)
gemäß

(18.65a)

(18.65b)
c)


Falls ein Abbruchkriterium, z.B.
an Stelle von

wiederholt.

Unter der Voraussetzung, daß ein
Minimalwert

, nicht erfüllt ist, wird Schritt b) mit

mit

existiert, konvergiert die Folge

und die mittels (18.64) gebildete Folge

Dagegen konvergiert die Folge

nicht immer.

gegen die Lösung

gegen den
des Ausgangsproblems.


Optimierung
18.1
BECKMANN, M.J.: Spieltheorie, dynamische Optimierung, Lagerhaltung, Warteschlangentheorie, Simulation,
unscharfe Entscheidungen. In: Grundlagen des Operations - Research (Hrsg. TOMASGAL). -- Springer-Verlag
1992.
18.2
BIESS, G.: Graphentheorie. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 21/2), 1980; Verlag H. Deutsch,
(MINÖA, Bd. 21/2), 1980.
18.3
DÜCK, W.; KÖSTH, H.; RUNGE, W.; WUNDERLICH, L.: Mathematik für Ökonomen, Bd. 2. -- Verlag H. Deutsch
1980.
18.4
ELSTER, K.-H.: Einführung in die nichtlineare Optimierung.-- B. G. Teubner 1978.
18.5
GOEBEL: Variationsrechnung in BANACH-Raümen, (Beiträge zur Analysis 2). -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1971.


18.6
GROSSMANN, C.; KLEINMICHEL, H.: Verfahren der nichtlinearen Optimierung. -- B. G. Teubner, Leipzig 1976.
18.7
KOSMOL: Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben. -- B.
G. Teubner, 2. Auflage 1992.
18.8
KLÖTZLER, R.: Mehrdimensionale Variationsrechnung. -- Birkhäuser Verlag 1970.
18.9
KRABS, W.: Optimierung und Approximation. -- B. G. Teubner.
18.10
KRELLE, W.; KÜNZI, H.P.; RANDOW, R. V.: Nichtlineare Programmierung. -- Springer-Verlag 1979.
18.11
Optimierung und optimale Steuerung. Lexikon der Optimierung. -- Akademie-Verlag 1986.
18.12
OSE, G. (FEDERFÜHRUNG): Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Bd. 4. -- Verlag H. Deutsch 1991.
18.13
PIEHLER, J.: Einführung in die lineare Optimierung -- BGB B.G. Teubner 1970.
18.14


PONTRJAGIN, L.S. ET AL: Mathematische Theorie der optimalen Prozesse. -- Deutscher Verlag der
Wissenschaften 1964.
18.15
SEIFFART, E.; MANTEUFFEL, K.: Lineare Optimierung. -- BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 14), 1974;
Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 14), 1981.


Problemstellung
●
●

Nichtlineares Optimierungsproblem
Minimalpunkte


Entarteter Fall
Ist in einem Simplextableau nach erfolgter Pivotspaltenwahl die Festlegung der Pivotzeile nicht eindeutig möglich,
dann wird das neue Tableau eine entartete Ecke darstellen. Geometrisch ist eine entartete Ecke als Zusammenfallen
mehrerer Ecken in einem Punkt interpretierbar. Für eine solche Ecke gibt es mehrere Basen. Somit kann der Fall
eintreten, daß einige Austauschschritte ausgeführt werden, ohne zu einer neuen Ecke zu gelangen. Es sind sogar
Beispiele konstruierbar, die nach einigen Schritten ein bereits betrachtetes Tableau ergeben, so daß unendlich viele
Zyklen auftreten können.
Beim Auftreten einer entarteten Ecke ist es möglich, das Gleichungssystem durch Addition von
geeigneten

) zu den Restriktionskonstanten

(mit einem

so zu stören, daß diese und alle folgenden Ecken des

gestörten Systems nicht mehr entartet sind und das Optimum des gestörten Problems mit dem des ungestörten
Problems übereinstimmt, wenn man in der Lösung
setzt. Algorithmisch wird diese Störung durch einen
Zusatz zum Simplextableau erreicht, worauf hier nicht eingegangen werden soll.
Werden die Pivotspalte und im nicht eindeutigen Fall die Pivotzeile ,,zufällig`` gewählt, dann ist eine Zyklenbildung in
den meisten praktischen Fällen unwahrscheinlich.


Z-Transformationen, Teil II
Nr. Originalfolge

11

12

13

Konvergenzbereich


14

15

16

17

18

19


20

21


Anwendungen
Die Anwendung des SCHWARZschen Spiegelungsprinzips vereinfacht die Berechnung und Darstellung von ebenen
Feldern mit geradlinigen Begrenzungen: Ist der gerade Rand eine Stromlinie (isolierender Rand in der linken
Abbildung), dann sind alle Quellen als Quellen, alle Senken als Senken und alle Wirbel als entgegengesetzt
drehende Wirbel zu spiegeln. Ist der gerade Rand eine Potentiallinie (stark leitender Rand in der rechten Abbildung),
dann sind alle Quellen als Senken, alle Senken als Quellen und alle Wirbel als gleichsinnig drehende Wirbel zu
spiegeln.


Rotation in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
1. Rotation in kartesischen Koordinaten

(13.57a)

Das Vektorfeld

ist durch das Vektorprodukt aus Nablaoperator und Vektor

gemäß
(13.57b)

darstellbar.
2. Rotation in Zylinderkoordinaten
(13.58a)
mit


(13.58b)

3. Rotation in Kugelkoordinaten
(13.59a)
mit


Quotient zweier Potenzreihen

(7.85)
Diese Formel ergibt sich, indem der Quotient als Reihe mit unbestimmten Koeffizienten angesetzt und mit der NennerReihe ausmultipliziert wird, worauf die Koeffizienten der entstehenden Reihe durch Koeffizientenvergleich mit der ZählerReihe bestimmt werden.


Prinzipieller Lösungsweg
Der prinzipielle Lösungsweg soll am eindimensionalen diskreten Fall gezeigt werden. Die Ansatzfunktion
hänge nichtlinear von einigen Parametern ab.
Beispiel A
. In dieser Exponentialsumme treten die Parameter

und

nichtlinear

auf.
Beispiel B
. In diesem Ansatz sind

Die Abhängigkeit der Ansatzfunktion
Bezeichnung

und

die nichtlinearen Paramter.

von einem Parametervektor

soll durch die


(19.185)
zum Ausdruck gebracht werden.
Es seien

Wertepaare

gegeben. Zur Minimierung der Fehlerquadratsumme

(19.186)

führen die notwendigen Bedingungen

auf ein nichtlineares

Normalgleichungssystem, das iterativ z.B. mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens gelöst werden muß.


GAUSS-NEWTON-Verfahren
Einen anderen Lösungsweg, der bei praktischen Aufgaben in der Regel gegangen wird, vermittelt das GAUSSNEWTON-Verfahren, das zur Lösung der nichtlinearen Quadratmittelaufgabe (19.24) beschrieben worden ist. Die
Übertragung auf die jetzt vorliegende nichtlineare Approximationsaufgabe (19.186) erfordert die folgenden Schritte:
1. Linearisierung
der Ansatzfunktion

nach TAYLOR bezüglich der Parameter

. Dazu müssen Näherungswerte

bekannt sein:

(19.187)

2. Lösung
der linearen Ausgleichsaufgabe


(19.188)

mit Hilfe des Normalgleichungssystems
(19.189)
oder nach dem HOUSEHOLDER-Verfahren. In (19.189) sind die Komponenten der Vektoren

und

durch
(19.190a)

(19.190b)

gegeben. Die Matrix

wird analog zu

in (19.179b) gebildet, indem man

ersetzt.

3. Berechnung
einer neuen Näherung durch

durch


(19.191)

wobei

ein Schrittweitenparameter ist.

Durch Wiederholung der Schritte 2 und 3 mit

an Stelle von

usw. erhält man für die gesuchten Parameter

Folgen von Näherungswerten, deren Konvergenz sehr stark von der Güte der Startnäherung abhängt. Mit Hilfe des
Schrittweitenparameters

läßt sich aber zunächst eine Verkleinerung der Fehlerquadratsumme erzielen.


Zusammenhang
Mit der Lösung der charakteristischen Integralgleichung hängt das HILBERTsche Randwertproblem eng zusammen.
Ist

eine Lösung von (11.74b), dann ist (11.76a) eine in

und

holomorphe Funktion mit

. Gemäß der Formeln von PLEMELJ und SOCHOZKI (11.76c) gilt:

(11.77a)
Die charakteristische Integralgleichung lautet mit
(11.77b)
(11.77c)


HILBERTsches Randwertproblem
Gesucht ist eine in

und

holomorphe, im Unendlichen verschwindende Funktion

Randbedingung (11.77c) erfüllt. Eine Lösung

des HILBERTschen Problems ist in der Form (11.76a)

darstellbar. Zufolge der ersten Gleichung von (11.77a) ist damit eine Lösung
Integralgleichung bestimmt.

, die auf

der charakteristischen

die


Homogene charakteristische Integralgleichung
Ist

die Lösung des zugeordneten homogenen HILBERTschen Problems, dann folgt aus (11.77a) die

Lösungsdarstellung der homogenen Integralgleichung
(11.82a)
Für

existiert nur die triviale Lösung

. Für

lautet die allgemeine Lösung
(11.82b)

mit einem Polynom

höchstens vom Grad

.


Pseudovektor und schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe
Das Tensorprodukt der axialen Vektoren

und

einen Tensor 2. Stufe mit den Komponenten

ergibt gemäß (4.73a)
Da sich jeder Tensor 2. Stufe als

Summe eines symmetrischen und eines schiefsymmetrischen Tensors 2. Stufe darstellen läßt, gilt wegen (4.80)
(4.101)

Der schiefsymmetrische Anteil in dieser Gleichung ergibt bis auf den Faktor
Vektorprodukts

so daß man den axialen Vektor

als schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe

gerade die Komponenten des
mit den Komponenten

auch


(4.102a)

mit

(4.102b)

auffassen kann, dessen Komponenten die Transformationsformel (4.100b) für Tensoren 2. Stufe erfüllen.
Damit kann man jeden axialen Vektor (Pseudovektor oder Pseudotensor 1. Stufe)
schiefsymmetrischen Tensor 2. Stufe

als

auffassen, wobei gilt

(4.103)


Grenzwertsätze
Analog zu den Grenzwerteigenschaften der Bildfunktion der LAPLACE-Transformation (15.11b) gelten für die ZTransformation die folgenden Grenzwertsätze:
a)
Wenn

existiert, dann ist
(15.113)

Dabei kann

auf der reellen Achse oder längs eines beliebigen Weges nach

verlaufen. Da die Reihen
(15.114)

(15.115)


offensichtlich ebenfalls Z-Transformierte sind, erhält man analog zu (15.113):
(15.116)
Auf diese Weise kann man die Originalfunktion

aus ihrer Bildfunktion

bestimmen.

b)
Wenn

existiert, so ist
(15.117)

Man kann den Wert von

aus (15.117) aber nur ermitteln, wenn man weiß, daß der Grenzwert existiert,

denn die obige Aussage ist nicht umkehrbar.
Beispiel
. Daraus folgt

, aber

und

existiert nicht.


Pendel auf beweglicher Unterlage: Modellierung der Aufgabe
Für die Menge

(Winkelwerte) seien sieben linguistische Terme, nämlich negativ groß (ng), negativ mittel (nm),

negativ klein (nk), etwa Null (eN), positiv klein (pk), positiv mittel (pm) und positiv groß (pg) gewählt und
entsprechend für die Eingangsgröße

(Werte der Winkelgeschwindigkeit).

Für die mathematische Modellierung muß jedem dieser linguistischen Terme eine Fuzzy-Menge über Graphen
zugeordnet werden, wie es unter Fuzzy-Inferenz gezeigt wurde. Festlegung der Wertebereiche:

●

Winkelwerte:

●

Winkelgeschwindigkeitswerte:

●

Kraftwerte:

Die Partitionierung der Eingangsgrößen
dargestellt.

.

und

und der Ausgangsgröße

ist in der folgenden Abbildung


Die Startwerte sind in der Regel aktuelle Meßwerte, z.B.


Pendel auf beweglicher Unterlage: Regelauswahl
Von den gemäß Tabelle 49 möglichen Regeln (

) sind 19 praxisrelevant, und von diesen werden die folgenden

beiden Regeln R1 und R2 betrachtet.
Tabelle: Regelbasis mit 19 praxisrelevanten Regeln

ng nm nk eN pk pm pg
ng

pk pg

nm

pm

nk

nm

nk pk

eN

ng nm nk eN pk pm pg

pk

nk pk

pm

nm

pg

ng nk

pm


R1:
Ist

positiv klein (pk) und

etwa Null (eN), dann ist

Prämisse mit
Ausgabenmenge durch einen

positiv klein (pk). Für den Erfüllungsgrad der
ergibt sich die

-Schnitt der Ausgabe-Fuzzy-Menge positiv-klein (pk) in der Höhe

(s. Abbildung Teil c))

(5.308)

R2:
Ist
positiv mittel (pm) und
etwa Null (eN), dann ist
Prämisse ergibt sich in Analogie zu Regel 1 mit

positiv mittel (pm). Für den Erfüllungsgrad der

die Ausgabenmenge (s. Abbildung


Teil f))

(5.309)


Pendel auf beweglicher Unterlage: Entscheidungslogik
Die Auswertung mit der min-Operation der Regel
Die entsprechende Auswertung für die Regel

liefert die Fuzzy-Menge in den Abbildungsteilen a - c.
zeigen die Abbildungsteile d - f. Aus der Fuzzy-Aussagenmenge

(Abbildungsteil g) wird letztlich die Stellgröße mit einer Defuzzifizierungsmethode berechnet.
a)
Auswertung der erhaltenen Fuzzy-Mengen, die mittels Operatoren zusammengefügt wurden
(s. max-min-Komposition). Die Entscheidungslogik liefert:
(5.310)
b)
Für den Funktionsgraphen der Fuzzy-Menge nach Maximumsbildung ergibt sich


(5.311)

c)
Für alle anderen 17 Regeln ergibt sich ein Erfüllungsgrad Null für die Prämisse, d.h. sie liefern Fuzzy-Mengen,
die selbst Null sind.


Vollständig durchgerechnetes Beispiel
Beispiel Vollständig durchgerechnetes Beispiel auf der Grundlage einer Tabelle mit Meßwerten
1. Aufgabenstellung: Es ist eine empirische Formel für die in der folgenden Tabelle vorgegebene
Abhängigkeit zwischen

und

zu suchen.

Tabelle zur Annäherung empirischer Daten

0,1 1,78 0,056

0,007 -1,000

0,250

0,301

0,252

0,252

1,78

0,2 3,18 0,063

0,031 -0,699

0,502

0,176

+0,002

-0,097

3,15

0,3 3,19 0,094

0,063 -0,523

0,504

0,125

-0,099

-0,447

3,16

0,4 2,54 0,157

0,125 -0,398

0,405

0,097

-0,157

-0,803

2,52

0,5 1,77 0,282

0,244 -0,301

0,248

0,079

-0,191

-1,134

1,76

0,6 1,14 0,526

0,488 -0,222

0,057

0,067

-0,218

-1,455

1,14


0,7 0,69 1,014

0,986 -0,155 -0,161

0,058

-0,237

-

0,70

0,8 0,40 2,000

1,913 -0,097 -0,398

0,051

-0,240

-

0,41

0,9 0,23 3,913

3,78 -0,046 -0,638

0,046

-0,248

-

0,23

1,0 0,13

7,69

8,02

0,000 -0,886

0,041

-0,269

-

0,13

1,1 0,07 15,71

14,29

0,041 -1,155

0,038

-0,243

-

0,07

-

0,079 -1,398

-

-

-

0,04

1,2 0,04

30,0

2. Auswahl der Näherungsfunktion: Ein Vergleich der Kurve, die auf der Grundlage der Daten in
der Tabelle erhalten wurde (nächste Abbildung), mit bisher betrachteten Kurven zeigt, daß die
Formeln

(2.254) oder

Abbildungen geeignet sein könnten.

(2.256a) mit den folgenden


3. Parameterbestimmung: Nimmt man Formel (2.254), dann sind

Rechnung zeigt aber, daß die Abhängigkeit zwischen

und

und

zu rektifizieren. Die

weit entfernt von Linearität ist.

Zur Überprüfung der Eignung von Formel (2.256a) wird die Kurve der Abhängigkeit
für

erzeugt sowie die für

und

für

und


In beiden Fällen ist die Übereinstimmung mit einer Geraden ausreichend, so daß die Formel
für die Näherung geeignet ist. Zur Bestimmung der Konstanten
lineare Abhängigkeit zwischen
Bedingungsgleichungen
Gleichungen führt auf

und

und

wird eine

mit der Mittelwertmethode gesucht. Addition der
in zwei Gruppen zu je drei


woraus sich

und

vom Typ

ergibt. Zur Bestimmung von
addiert, was
ergibt, so daß aus
berechneten

mit der Formel
Werte-Tabelle als

werden alle Gleichungen

folgt

-Werte sind in der letzten Spalte der obigen

angegeben. Die Fehlerquadratsumme beträgt 0,0024. Benutzt man die durch

Rektifizierung gewonnenen Parameter als Startwerte zur iterativen Lösung der nichtlinearen
Quadratmittelaufgabe

dann erhält man
Fehlerquadratsumme 0,000 0916.

mit der minimalen

Die


Bestimmung der Minimallösung nach REMES
Nach REMES geht man zur numerischen Bestimmung der Minimallösung wie folgt vor:
1.
Man bestimmt eine Alternantennäherung
gleichabständig oder als Extremstellen von

gemäß (19.200), z.B.
.

2.
Man löst das lineare Gleichungssystem

und erhält als Lösung die Näherungen
3.

und

.


Man ermittelt eine neue Alternantennäherung

Fehlerfunktion

, z.B. als Extremstellen der

. Dabei genügt es, Näherungen für diese Extremstellen zu

verwenden.

Durch Wiederholung der Schritte 2. und 3. mit

und

an Stelle von

und

usw. erhält man

Folgen von Näherungen für die Koeffizienten und die Alternantenpunkte, für deren Konvergenz Bedingungen
angegeben werden können (s. Lit. 19.29). Man kann das Verfahren, das die Grundidee des sogenannten REMESAlgorithmus wiedergibt, abbrechen, wenn z.B. von einem gewissen Iterationsindex

an

(19.201)

mit hinreichender Genauigkeit gilt.


1. Definition
Zu einem Vektorfeld

läßt sich durch Bildung der negativ genommenen Volumenableitung ein vektorielles

Feld, das Feld seiner Rotation bilden (in Zeichen:

oder mit Hilfe des Nablaoperators

):

(13.55)


2. Definition
Zu einem Vektorfeld

läßt sich ein zweites Vektorfeld, seine Rotation bilden, indem die folgenden Schritte

durchgeführt werden:
a)
Aufspannen eines kleinen Flächenstückes um den den Punkt
beschrieben werden, der in die Richtung der Normalen
Fächenstückes ist. Der Rand des Flächenstückes sei mit

. Dieses Flächenstück soll durch den Vektor
zeigt und dessen Betrag gleich dem Inhalt des
bezeichnet (s. Abbildung).


b)
Berechnung des Umlaufintegrals

c)
Untersuchung des Grenzwertes

längs der Randkurve

des Flächenstücks.


wobei die Lage des Flächenstückes ungeändert bleibt.
d)
Änderung der Lage des Flächenstückes mit dem Ziel, den Maximalwert einen Maximalwert des gewonnenen
Grenzwertes zu ermitteln. Das zugehörige Flächenstück habe den Flächeninhalt

und die Randkurve

.
e)
Bestimmung des Vektors
im Punkt , dessen Betrag gleich dem gefundenen Maximalwert des
Grenzwertes ist und dessen Richtung mit der Normalen des Flächenstückes zusammenfällt. Es gilt dann:

(13.56a)

Die Projektion von
des Vektors

auf die Flächennormale

des Flächenstücks mit dem Inhalt

in beliebig vorgegebener Richtung

, ergibt sich zu

, d.h. die Komponente


(13.56b)

Die Feldlinien des Feldes

werden Wirbellinien des Vektorfeldes

genannt.


Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
(13.60a)
mit

(13.60b)


Strukturstabile Differentialgleichungen
●
●

Definition
Strukturstabile Systeme in der Ebene


Diskrete dynamische Systeme
●
●
●

Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen
Invariante Mannigfaltigkeiten
Topologische Konjugiertheit von diskreten Systemen


Strukturelle Stabilität (Robustheit)
●
●
●

Strukturstabile Differentialgleichungen
Strukturstabile diskrete Systeme
Generische Eigenschaften


Auftreten
Die NLS-Gleichung tritt auf

●

in der nichtlinearen Optik, wo der Brechungsindex
z.B. beim KERR-Effekt, bei dem

●

von der elektrischen Feldstärke
mit

abhängig ist, wie

gilt, und

in der Hydrodynamik selbstgravitierender Scheiben, wo sie die Beschreibung von galaktischen Spiralarmen
gestattet.


Sachverhalt
Ist eine komplexe Funktion
gehört, ist sie auf
symmetrisch zu

in einem Gebiet

stetig und bildet sie die Gerade

analytisch, zu dessen Rand ein Stück einer Geraden
auf eine Gerade

liegen, auf Punkte abgebildet, die symmetrisch zu

ab, dann werden Punkte, die
liegen (s. Abbildung).


Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
●

●

Kombinatorik
❍ Permutationen
❍ Kombinationen
❍ Variationen
❍ Zusammenstellung der Formeln der Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
❍ Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
■ Ereignisse
■ Ereignisarten
■ Rechenregeln
■ Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
■ Häufigkeiten
■ Definition der Wahrscheinlichkeit
■ Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
■ Beispiele für Wahrscheinlichkeiten
■ Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes


Bedingte Wahrscheinlichkeit
■ Unabhängige Ereignisse
■ Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
■ Beispiel für Ereignisse in einem vollständigen Ereignissystem
Zufallsgrößen, Verteilungsfunktionen
■ Zufallsveränderliche
■ Verteilungsfunktion
■ Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften
■ Verteilungsfunktion bei diskreten und kontinuierlichen Zufallsgrößen
■ Flächeninterpretation der Wahrscheinlichkeit, Quantil
■ Erwartungswert und Streuung, Tschebyscheffsche Ungleichung
■ Erwartungswert
■ Momente n-ter Ordnung
■ Streuung und Standardabweichung
■ Gewogenes und arithmetisches Mittel
■ Tschebyscheffsche Ungleichung
■ Mehrdimensionale Zufallsveränderliche
Diskrete Verteilungen
■ Zweistufige Grundgesamtheit und Urnenmodell
■ Urnenmodell
■ Binomialverteilung
■ Hypergeometrische Verteilung
■ Poisson-Verteilung
Stetige Verteilungen
■ Normalverteilung
■

❍

❍

❍


Normierte Normalverteilung, Gaußsches Fehlerintegral
■ Logarithmische Normalverteilung
■ Dichte, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Streuung:
■ Exponentialverteilung
■ Weibull-Verteilung
■ Bemerkungen:
■ Chi-Quadrat-Verteilung
■ Fisher-Verteilung
■ Student-Verteilung
❍ Gesetze der großen Zahlen, Grenzwertsätze
■ Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli
■ Grenzwertsatz von Lindeberg-Levy
Mathematische Statistik
❍ Stichprobenfunktionen
■ Grundgesamtheit, Stichproben, Zufallsvektor
■ Grundgesamtheit
■ Stichprobe
■ Zufällige Auswahl mit Hilfe von Zufallszahlen
■ Zufallsvektor
■ Stichprobenfunktionen
■ Mittelwert
■ Streuung
■ Median (Zentralwert)
■ Spannweite
❍ Beschreibende Statistik
■

●


Statistische Erfassung gegebener Meßwerte
■ Statistische Parameter
Wichtige Prüfverfahren
■ Prüfen auf Normalverteilung
■ Prüfen mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitspapiers
■ Prinzip des Wahrscheinlichkeitspapiers:
■ Anwendung des Wahrscheinlichkeitspapiers:
■ Chi-Quadrat-Test
■ Verteilung der Stichprobenmittelwerte
■ Statistische Sicherheit des Stichprobenmittelwertes
■ Normalverteilung der Stichprobenmittelwerte
■ Vertrauensgrenzen für den Mittelwert
■ Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei bekannter Streuung
■ Vertrauensgrenzen für den Mittelwert bei unbekannter Streuung
■ Vertrauensgrenzen für die Streuung
■ Prinzip der Prüfverfahren
Korrelation und Regression
■ Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen
■ Zweidimensionale Zufallsgrößen
■ Test auf Unabhängigkeit zweier Merkmale
■ Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen
■ Bestimmung der Regressionsgeraden
■ Vertrauensgrenzen für den Regressionskoeffizienten
■ Mehrdimensionale Regression
■ Funktionaler Zusammenhang
■

❍

❍


Vektorschreibweise
■ Lösungsansatz und Normalgleichungssystem
■ Hinweise:
❍ Monte-Carlo-Methode
■ Simulation
■ Zufallszahlen
■ Gleichverteilte Zufallszahlen
■ Zufallszahlen mit anderen Verteilungen
■ Tabelle von Zufallszahlen
■ Beispiel für eine Monte-Carlo-Simulation
■ Benutzung der relativen Häufigkeit
■ Benutzung des Mittelwertes
■ Anwendungen der Monte-Carlo-Methode in der numerischen Mathematik
■ Berechnung mehrfacher Integrale
■ Integral einer Variablen
■ Doppelintegral
■ Hinweis:
■ Lösung partieller Differentialgleichungen
■ Methode der Irrfahrtsprozesse:
■ Lösungsprinzip:
■ Weitere Anwendungen der Monte-Carlo-Methode
Theorie der Meßfehler
❍ Meßfehler und ihre Verteilung
■ Meßfehlereinteilung nach qualitativen Merkmalen
■ Meßfehlerverteilungsdichte
■

●


Meßprotokoll
■ Meßfehlerverteilungsdichte
Fehlernormalverteilung
■ Dichte und Verteilungsfunktion
■ Parameter zur Charakterisierung der Breite der Fehlernormalverteilung
■ Zusammenhang zwischen Standartabweichung, mittlerem und wahrscheinlichem Fehler
sowie Genauigkeit
Meßfehlereinteilung nach quantitativen Merkmalen
■ Wahrer Wert und seine Näherungen
■ Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
■ 1. Wahrer und scheinbarer Fehler der Einzelmessung einer Meßreihe
■ 2. Mittlerer quadratischer Fehler der Einzelmessung oder Standardabweichung der
Einzelmessung:
■ 3. Wahrscheinlicher Fehler:
■ 4. Mittlerer Fehler:
■ Fehler des arithmetischen Mittelwertes einer Meßreihe
■ Absoluter und relativer Fehler
■ Absoluter und relativer Maximalfehler
Angabe von Meßergebnissen mit Fehlergrenzen
■ Angabe der definierten Fehler
■ Vorgabe beliebiger Vertrauensgrenzen
Fehlerrechnung für direkte Messungen gleicher Genauigkeit
Fehlerrechnung für direkte Messungen ungleicher Genauigkeit
■ Gewicht einer Messung
■ Standardabweichungen
■

■

■

■

■
■


Fehlerangabe
Fehlerfortpflanzung und Fehleranalyse
■ Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
■ Problemstellung
■ TAYLOR-Entwicklung
■ Näherung für die Streuung
■ Spezialfälle
■ Unterschied zum Maximalfehler
■ Fehleranalyse
■

❍


Stetigkeit von Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen
Sind

und

auf einem Intervall

stetig, dann sind dort auch

stetige Funktionen, wobei im Falle des Quotienten noch

vorausgesetzt werden muß.

, und


Zufällige Auswahl mit Hilfe von Zufallszahlen
Bei gehortetem oder geschichtetem Material, z.B. Betonplatten, ist eine zufällige Entnahme besonders schwierig oder
sogar unmöglich. Dann kann eine Tafel von Zufallszahlen verwendet werden (s. z.B. Tabelle Zufallszahlen).
Auf dem Intervall

kann man mit vielen Taschenrechnern gleichmäßig verteilte Zufallszahlen erzeugen, indem

man z.B. mit der Taste RAN völlig regellos angeordnete Zahlen zwischen

und

aufruft.

Daraus lassen sich durch Aneinanderreihen der Ziffern nach dem Komma mehrstellige Zufallszahlen bilden.
Häufig werden Zufallszahlen auch in Tabellen angegeben. In der Tabelle Zufallszahlen sind zweistellige
Zufallszahlen angegeben, die auch zu mehrstelligen Zufallszahlen zusammengefaßt werden können.
Beispiel


Aus einer Lieferung von 70 gestapelten Rohren soll eine zufällige Stichprobe vom Umfang 10 entnommen
werden. Dazu werden die Rohre von 00 bis 69 numeriert. Mit Hilfe einer zweistelligen Zufallszahlentafel
wird das System festgelegt, nach dem die Auswahl geschehen soll, z.B. horizontal, vertikal oder diagonal.
Sollten sich dabei Zufallszahlen wiederholen oder treten Zahlen auf, die größer als 69 sind, dann werden
diese weggelassen. Die Rohre mit den Nummern der entsprechenden Zufallszahlen gehören dann zur
Stichprobe. Steht nur eine Tafel mehrstelliger Zufallszahlen zur Verfügung, dann werden bestimmte
Zweiergruppen ausgewählt.


Definition mittels Formeln
Funktionen von mehreren Veränderlichen lassen sich auch durch eine oder mehrere Formeln definieren.
Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C


Gleiche Tilgungsraten
Die Tilgung erfolgt unterjährig, es werde aber keine unterjährige Verzinsung mit Zinseszins vereinbart. Es werden
folgende Bezeichnungen verwendet:
Schuld (Verzinsung nachschüssig mit

Tilgungsrate

),

,

Anzahl der Tilgungsraten pro Zinsperiode,
Anzahl der Zinsperioden bis zur endgültigen Tilgung der Schuld.
Für den Schuldner ergibt sich außer der Zahlung der Tilgungsraten noch die folgende Belastung durch Zinsen:
1. Zinsen

für die

-te Zinsperiode:
(1.86a)

2. Gesamtzinsen

zur Tilgung einer Schuld

Die Zahlung erfolge in

Raten bei


Zinsperioden zu

Zinsen:

(1.86b)

Beispiel
Eine Schuld von 60 000.-DM wird jährlich mit 8% verzinst. 60 Monate lang sollen nachschüssig jeweils
1000.-DM getilgt werden. Wie hoch sind die jeweils an den Jahresenden anfallenden Zinsen? Die Zinsen
für jedes Jahr berechnet man aus (1.86a) mit

und

. Sie sind in

der folgenden Tabelle aufgelistet. Die Gesamtzinsen hätte man auch mit Hilfe von (1.86b) gemäß
12200.-DM ermitteln können.

1. Jahr:

4360.-DM

2. Jahr:

3400.-DM

3. Jahr:

2440.-DM

4. Jahr:

1480.-DM


5. Jahr:

520.-DM
12200.-DM


Dreidimensionaler Fall
Ist die Bedingung (8.129c) erfüllt, dann kann die Stammfunktion für den Integrationsweg
mit der Formel

(s. Abbildung)

(8.133)

berechnet werden. Für die anderen fünf möglichen Integrationswege mit Abschnitten, die parallel zu den
Koordinatenachsen verlaufen, ergeben sich fünf weitere Formeln.


Beispiel A
. Die Bedingung (8.129c) ist erfüllt:

. Anwendung der Formel (8.132b) und Einsetzen von

(
sind) liefert

darf nicht gewählt werden, da die Funktionen

und

im Punkt

unstetig


.

Beispiel B
.
Die Bedingungen (8.129c) sind erfüllt. Anwendung von (8.133) und Einsetzen von
liefert:

.


Allgemeines
Eine Ungleichung wird gelöst, indem man sie schrittweise in äquivalente Ungleichungen umformt. Wie bei der Lösung
einer Gleichung werden die Summanden von der einen Seite auf die andere gebracht, wobei jeweils das Vorzeichen
zu wechseln ist. Weiter können beide Seiten der Ungleichung mit ein und derselben Zahl, die ungleich Null sein muß,
multipliziert oder dividiert werden, wobei der Sinn des Ungleichheitszeichens erhalten bleibt, wenn diese Zahl positiv
ist, sich aber ändert, wenn sie negativ ist. Eine Ungleichung 1. Grades kann auf diese Weise immer auf die Form
(1.125)
gebracht werden, eine Ungleichung 2. Grades im einfachsten Falle auf die Form
(1.126a)
oder
(1.126b)
und im allgemeinen Falle auf die Form
(1.127a)


oder
(1.127b)


Definitionen
●
●
●

Ungleichungen
Identische, gleichsinnige, ungleichsinnige und äquivalente Ungleichungen
Lösung von Ungleichungen


Lösung von Ungleichungen
Ungleichungen können ebenso wie Gleichungen unbekannte Größen enthalten, die gewöhnlich durch die letzten
Buchstaben des Alphabets bezeichnet werden. Die Lösung einer Ungleichung oder eines Systems von
Ungleichungen zu suchen, bedeutet zu bestimmen, innerhalb welcher Grenzen sich die unbekannten Größen
bewegen dürfen, damit die Ungleichung oder alle Ungleichungen des Systems richtig bleiben.
Lösungen können für alle fünf Typen von Ungleichungen gesucht werden; meistens treten die reinen Ungleichungen
vom Typ I und II auf.


Addition und Subtraktion
1. Addition und Subtraktion einer Größe:
(1.104a)
(1.104b)
Durch Addition oder Subtraktion ein und derselben Größe auf beiden Seiten ändert sich der Sinn der Ungleichung
nicht.
2. Addition von Ungleichungen:
(1.105a)
(1.105b)
Zwei gleichsinnige Ungleichungen können seitenweise addiert werden.
3. Subtraktion von Ungleichungen
(1.106a)


(1.106b)
Von einer Ungleichung kann eine andere ihr ungleichsinnige Ungleichung glied- oder seitenweise subtrahiert werden,
wobei das Ungleichheitszeichen der ersten Ungleichung erhalten bleibt. Im Unterschied dazu lassen sich
gleichsinnige Ungleichungen nicht gliedweise subtrahieren.


Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl, Ungleichung bezüglich
der Kehrwerte
1. Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl:
(1.107a)

(1.107b)

(1.107c)

(1.107d)

Wenn eine Ungleichung beidseitig mit einer positiven Zahl multipliziert oder durch eine positive Zahl dividiert wird,
dann bleibt der Sinn der Ungleichung erhalten; ist dagegen die Zahl negativ, dann muß der Sinn des


Ungleichheitszeichens umgekehrt werden.
2. Ungleichung bezüglich des Kehrwertes:
(1.108)


Abschreibung mit verschiedenen Abschreibungsarten
Da bei der geometrisch-degressiven Abschreibung der Restwert Null für endliches
es zweckmäßig, von einem bestimmten Zeitpunkt an, z.B. nach

nicht erreicht werden kann, ist

Jahren, von der geometrisch-degressiven zur

so fest, daß von diesem Zeitpunkt an die Abschreibungsraten der
linearen Abschreibung überzugehen. Man legt
geometrisch-degressiven Abschreibung kleiner sind als die der linearen Abschreibung. Aus dieser Forderung folgt:
(1.101)
Dabei gibt
das letzte Jahr der geometrisch-degressiven Abschreibung und
Abschreibung auf Null an.

das letzte Jahr der linearen

Beispiel
Eine Maschine mit dem Anschaffungswert 50 000.-DM soll in 15 Jahren auf Null abgeschrieben werden,
und zwar

(1.101) folgt

Jahre lang geometrisch-degressiv mit jeweils

d.h., nach

vom Restwert, danach linear. Aus

Jahren ist es zweckmäßig, von der

geometrisch-degressiven zur linearen Abschreibung überzugehen.


Ungleichungen
Ungleichungen sind Verknüpfungen zweier algebraischer Ausdrücke durch eins der folgenden Zeichen:
Typ I

(,,größer``)

Typ III

(,,verschieden von, ungleich``) Typ IIIa

(,,größer oder kleiner``)

Typ IV

(,,größer oder gleich``)

Typ IVa

(,,nicht kleiner``)

Typ V

(,,kleiner oder gleich``)

Typ Va

(,,nicht größer``)

Typ II

(,,kleiner``)

Gemäß dieser Verknüpfungen können 5 Typen von Ungleichungen unterschieden werden. Die Zeichen unter Typ III
und IIIa, IV und IVa sowie V und Va besitzen jeweils die gleiche Bedeutung, so daß sie sich gegenseitig ersetzen
lassen. Wenn sich das Zeichen IIIa auf Größen bezieht, für die die Begriffe ,,größer`` oder ,,kleiner`` nicht definiert
sind, z.B. bei komplexen Zahlen oder Vektoren, dann läßt es sich durch das Zeichen III ersetzen. In diesem Abschnitt
werden nur reelle Zahlen benutzt.


Variationsrechnung
10.1
BLANCHARD, P.; BRÜNING, E.: Variational methods in mathematical physics. -- Springer-Verlag 1992
10.2
KLINGBEIL, E.: Variationsrechnung. -- BI-Verlag 1988.
10.3
KLÖTZLER, R.: Mehrdimensionale Variationsrechnung. -- Birkhäuser Verlag 1970.
10.4
KOSMOL, P.: Optimierung und Approximation. -- Verlag W. de Gruyter 1991.
10.5
MICHLIN, S.G.: Numerische Realisierung von Variationsmethoden. -- Akademie-Verlag 1969.
10.6
ROTHE, R.: Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure, Teil VII. -- B. G. Teubner, Leipzig
1960.


10.7
SCHWANK, F.: Randwertprobleme. -- B. G. Teubner, Leipzig 1951.


Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion
Wird jedem Punkt

eines Raumteiles ein Vektor

zugeordnet, so schreibt man
(13.12a)

und bezeichnet (13.12a) als Vektorfeld .
Beispiele für Vektorfelder sind das Geschwindigkeitsfeld der Teilchen einer strömenden Flüssigkeit sowie Kraft- und
Feldstärkefelder.

Ein Vektorfeld

kann auch durch

(13.12b)

beschrieben werden, wobei

der Ortsvektor des Punktes

zeichnet sich dadurch aus, daß alle

-Werte und alle

bei fest gewähltem Pol 0 ist. Ein ebenes Vektorfeld

-Werte jeweils in einer Ebene liegen (s. auch Analytische


Geometrie der Ebene).


Chi-Quadrat-Verteilung, Teil I

-Verteilung: Quantile


Studentsche t-Verteilung, Teil I

STUDENTsche

-Verteilung: Quantile

bzw.


Studentsche t-Verteilung, Teil II

STUDENTsche

-Verteilung: Quantile

bzw.


Allgemeine Eigenschaften
Summe der Innen- und Außenwinkel: Wenn
der Innenwinkel

die Zahl der Seiten eines Vielecks ist, dann ist die Summe

(3.38)

die der Außenwinkel gleich

Flächeninhalt: Der Flächeninhalt wird durch Zerlegen in Dreiecke berechnet.


Ereignisse, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
●
●
●

Ereignisse
Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz von Bayes


Produkte trigonometrischer Funktionen
(2.115)

(2.116)

(2.117)

(2.118)


(2.119)

(2.120)

(2.121)


Z-Transformationen, Teil I
Zur

-Transformation s. Definition, Rechenregeln, Umkehrung.
Nr. Originalfolge

1

2

3

Bildfunktion

Konvergenzbereich


4

5

6

7

8

9

10


Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung
●
●
●

Definition
Konforme Abbildung durch affine Differentialtransformation
Orthogonale Systeme


Eigenschaften
Da die Bildfunktion

gemäß (15.110) eine Potenzreihe bezüglich der komplexen Veränderlichen

ist, folgt

aus den Eigenschaften von Potenzreihen im Komplexen:
a)
Für eine Z-transformierbare Folge

und divergiert für

konvergiert für
gleichmäßig konvergent. Mit

, so daß die Reihe (15.110) absolut

. Für

ist die Reihe sogar

ist der Konvergenzradius der Potenzreihe (15.110) bezüglich

bezeichnet. Konvergiert die Reihe für alle
Folgen setzt man

gibt es eine reelle Zahl

, so setzt man

. Für nicht Z-transformierbare

.

b)
Ist

Z-transformierbar für

, dann ist die zugehörige Bildfunktion

eine analytische


Funktion für

und gleichzeitig die einzige Bildfunktion von

eine analytische Funktion für
genau eine Originalfolge

. Dabei heißt

und auch für
regulär für

Potenzreihenentwicklung der Form (15.110) besitzt und

. Für die Umkehrung gilt: Ist
regulär, dann gibt es zu
, wenn
gilt.

eine


Kapitel 22:
●
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Literatur

Arithmetik
Funktionen und ihre Darstellung
Geometrie
Lineare Algebra
Algebra und Diskrete Mathematik
Differentialrechnung
Unendliche Reihen
Integralrechnung
Differentialgleichungen
Variationsrechnung
Integralgleichungen
Funktionalanalysis
Vektoranalysis und Feldtheorie
Funktionentheorie
Integraltransformationen
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik
Dynamische Systeme und Chaos


●
●
●
●
●

Optimierung
Numerische Mathematik
Computeralgebrasysteme
Tabellen
Gesamtdarstellungen der höheren Mathematik


Gewöhnliche Differentialgleichungen und
Abbildungen
●
●
●
●

Dynamische Systeme
Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
Diskrete dynamische Systeme
Strukturelle Stabilität (Robustheit)


Dynamische Systeme und Chaos
●

Gewöhnliche Differentialgleichungen und Abbildungen
❍ Dynamische Systeme
■ Grundbegriffe
■ Typen dynamischer Systeme, Orbits
■ Fluß einer Differentialgleichung
■ Diskrete dynamische Systeme
■ Volumenschrumpfende und volumenerhaltende Systeme
■ Invariante Mengen
-und
-Grenzmenge, absorbierende Menge
■ Stabilität von invarianten Mengen
■ Kompakte Mengen
■ Attraktor, Einzugsgebiet
Qualitative Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
■ Existenz des Flusses und Phasenraumstruktur
■ Fortsetzbarkeit der Lösungen
■ Phasenporträt
■

❍


Satz von Liouville
Lineare Differentialgleichungen
■ Hauptsätze
■ Autonome lineare Differentialgleichungen
■ Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten
Stabilitätstheorie
■ Lyapunov-Stabilität und orbitale Stabilität
■ Satz von Lyapunov über asymptotische Stabilität
■ Klassifizierung und Stabilität der Ruhelagen
■ Stabilität periodischer Orbits
■ Klassifizierung periodischer Orbits
■ Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen
■ m-dimensionale eingebettete Tori als invariante Mengen
Invariante Mannigfaltigkeiten
■ Definition, Separatrixflächen
■ Satz von Hadamard und Perron
■

■

■

■

Lokale Phasenporträts nahe Ruhelagen für
■ Homokline und heterokline Orbits
Poincaré-Abbildung
■ Poincaré-Abbildung für autonome Differentialgleichungen
■ Poincaré-Abbildung für nichtautonome zeitperiodische
Differentialgleichungen
Topologische Äquivalenz von Differentialgleichungen
■ Definition
■ Satz von Grobman und Hartman
■

■

■


❍

Diskrete dynamische Systeme
■ Ruhelagen, periodische Orbits und Grenzmengen
■ Typen der Ruhelagen
■ Periodische Orbits

Eigenschaften der
-Grenzmenge
■ Invariante Mannigfaltigkeiten
■ Definition, Separatrixflächen
■ Satz von Hadamard und Perron für diskrete Systeme
■ Transversale homokline Punkte
■ Topologische Konjugiertheit von diskreten Systemen
■ Definition
■ Satz von GROBMAN und HARTMAN
❍ Strukturelle Stabilität (Robustheit)
■ Strukturstabile Differentialgleichungen
■ Definition
■ Strukturstabile Systeme in der Ebene
■ Strukturstabile diskrete Systeme
■ Generische Eigenschaften
■ Definition
■ Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme
■ Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme
Quantitative Beschreibung von Attraktoren
❍ Wahrscheinlichkeitsmaße auf Attraktoren
■ Invariantes Maß
■ Definition, auf dem Attraktor konzentrierte Maße
■

●


Natürliches Maß
■ Elemente der Ergodentheorie
■ Ergodische dynamische Systeme
■ Physikalische oder SBR-Maße
■ Mischende dynamische Systeme
■ Autokorrelationsfunktion
■ Leistungsspektrum
Entropien
■ Topologische Entropie
■ Metrische Entropie
Lyapunov-Exponenten
■ Singulärwerte einer Matrix
■ Definition der Lyapunov-Exponenten
■ Berechnung der Lyapunov-Exponenten
■ Metrische Entropie und LYAPUNOV-Exponenten
Dimensionen
■ Metrische Dimensionen
■ Fraktale
■ Hausdorff-Dimension
■ Kapazitätsdimension
■ Selbstähnlichkeit
■ Auf invariante Maße zurückgehende Dimensionen
■ Dimension eines Maßes
■ Informationsdimension
■ Korrelationsdimension
■

❍

❍

❍


Verallgemeinerte Dimension
■ Lyapunov-Dimension
■ Lokale Hausdorff-Dimension nach Douady-Oesterlé
■ Beispiele von Attraktoren
■ Hufeisen-Abbildung
■ Dissipative Bäcker-Abbildung
■ Solenoid oder Solenoid-Attraktor
❍ Seltsame Attraktoren und Chaos
■ Chaotischer Attraktor
■ Fraktale und seltsame Attraktoren
■ Chaotisches System nach Devaney
❍ Chaos in eindimensionalen Abbildungen
Bifurkationstheorie, Wege zum Chaos
❍ Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen
■ Lokale Bifurkationen nahe Ruhelagen
■ Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Differentialgleichungen
■ Sattelknoten-Bifurkation und transkritische Bifurkation
■ Hopf-Bifurkation
■ Bifurkationen in zweiparametrigen Differentialgleichungen
■ Spitzen-Bifurkation
■ Bogdanov-Takens-Bifurkation
■ Verallgemeinerte Hopf-Bifurkation
■ Symmetriebrechung
■ Lokale Bifurkationen nahe einem periodischen Orbit
■ Satz über die Zentrumsmannigfaltigkeit für Abbildungen
■

●


Bifurkation eines zweifach zusammengesetzten semistabilen periodischen Orbits
■ Periodenverdopplung oder Flip-Bifurkation
■ Abspaltung eines Torus
■ Globale Bifurkationen
■ Entstehung eines periodischen Orbits durch Verschwinden eines
Sattelknotens
■ Auflösung einer Sattel-Sattel-Separatrix in der Ebene
Übergänge zum Chaos
■ Kaskade von Periodenverdopplungen
■ Intermittenz
■ Globale homokline Bifurkationen
■ Satz von Smale
■ Satz von Shilnikov
■ Melnikov-Methode
■ Auflösung eines Torus
■ Vom Torus zum Chaos
■ Hopf-Landau-Modell der Turbulenz:
■ RUELLE-TAKENS-NEWHOUSE-Szenario:
■

❍

Satz über den Glattheitsverlust und die Zerstörung eines Torus
Abbildungen auf dem Einheitskreis und Rotationszahl
■ Äquivalente und geliftete Abbildung
■ Rotationszahl:
■

■

■
■

Differentialgleichungen auf dem Torus
Standardform einer Kreisabbildung
■ Standardform:

:


■
■

Teufelstreppe und ARNOLD-Zunge:
Goldenes Mittel, FIBONACCI-Zahlen:


Algebra und diskrete Mathematik
●

Logik
❍

❍

Aussagenlogik
■ Aussagen
■ Aussagenverbindungen
■ Wahrheitstafeln
■ Ausdrücke der Aussagenlogik
■ Wahrheitsfunktionen
■ Grundgesetze der Aussagenlogik
■ Weitere Grundgesetze
■ Umformungen
■ NAND-Funktion und NOR-Funktion
■ Tautologien, mathematische Schlußweisen
Ausdrücke der Prädikatenlogik
■ Prädikate
■ Quantoren
■ Ausdrücke des Prädikatenkalküls


Interpretation prädikatenlogischer Ausdrücke
■ Tautologien der Prädikatenlogik
■ Beschränkte Quantifizierung
Mengenlehre
❍ Mengenbegriff, spezielle Mengen
■ Elementbeziehung
■ Teilmengen
❍ Operationen mit Mengen
■ VENN-Diagramm
■ Vereinigung, Durchschnitt, Komplement
■ Grundgesetze der Mengenalgebra
■ Weitere Mengenoperationen
❍ Relationen und Abbildungen
■

●

-stellige Relationen
■ Binäre Relationen
■ Relationenprodukt, inverse Relation
■ Eigenschaften binärer Relationen
■ Abbildungen
Äquivalenz- und Ordnungsrelationen
■ Äquivalenzrelationen
■ Äquivalenzklassen, Zerlegungen
■ Äquivalenzklassen
■ Zerlegungssatz
■ Ordnungsrelationen
■ HASSE-Diagramme
■

❍


Mächtigkeit von Mengen
■ Mächtigkeit, Kardinalzahl
Klassische algebraische Strukturen
❍ Operationen
❍

●

-stellige Operationen
■ Eigenschaften binärer Operationen
■ Äußere Operationen
Halbgruppen
■ Definition
■ Beispiele für Halbgruppen
Gruppen
■ Definition und grundlegende Eigenschaften
■ Definition
■ Beispiele für Gruppen
■ Gruppentafeln
■ Untergruppen und direkte Produkte
■ Untergruppen
■ Zyklische Untergruppen:
■ Verallgemeinerung:
■ Gruppenordnung, Links- und Rechtsnebenklassen:
■ Satz von LAGRANGE:
■ Normalteiler
■ Direkte Produkte
■ Definition:
■ Basissatz für ABELsche Gruppen:
■

❍

❍


Abbildungen zwischen Gruppen
■ Homomorphismen und Isomorphismen
■ Satz von CAYLEY
■ Homomorphiesatz für Gruppen
Anwendungsbeispiele für Gruppen
■ Symmetrieoperationen, Symmetrieelemente
■ Symmetriegruppen
■ Beispiel Moleküle
■ Räumliche Darstellung
■ Keine Drehachse
■

❍

Genau eine Drehachse
■ Mehrere Drehachsen
Ringe und Körper
■ Definitionen
■ Ringe
■ Körper
■ Körpererweiterungen
■ Unterringe, Ideale
■ Homomorphismen, Isomorphismen, Homomorphiesatz
■ Ringhomomorphismus und Ringisomorphismus
■ Homomorphiesatz für Ringe
Vektorräume
■ Definition
■ Lineare Abhängigkeit
■ Lineare Abbildungen
■

❍

❍


Unterräume, Dimensionsformel
■ EUKLIDische Vektorräume, EUKLIDische Norm
Elementare Zahlentheorie
❍ Teilbarkeit
■ Teiler
■ Elementare Teilbarkeitsregeln
■ Primzahlen
■ Definition und Eigenschaften
■ Sieb des ERATOSTHENES
■ Primzahlzwillinge, Primzahldrillinge, Primzahlvierlinge
■ Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
■ Kanonische Primfaktorenzerlegung
■ Primfaktorzerlegung
■ Positive Teiler
■ Teilbarkeitskriterien
■ Bezeichnungen
■ Kriterien
■ Größter gemeinsamer Teiler
■ EUKLIDischer Algorithmus
■ Größter gemeinsamer Teiler als Linearkombination
■ Kleinstes gemeinsames Vielfaches
■ Zusammenhang zwischen dem ggT und dem kgV
■ FIBONACCI-Zahlen
■ FIBONACCI-Folge
■ FIBONACCI-Rekursionsformel
■

●


Satz zum EUKLIDischen Algorithmus
Lineare Diophantische Gleichungen
■ DIOPHANTische Gleichungen und Lösbarkeit
■

❍

❍

■

Lösungsverfahren für

■

Reduktionsverfahren für

Kongruenzen und Restklassen
■ Kongruenzen
■ Rechenregeln
■ Restklassen, Restklassenring
■ Prime Restklassen
■ Primitive Restklassen
■ Lineare Kongruenzen
■ Simultane lineare Kongruenzen
■ Quadratische Kongruenzen
Quadratische Reste modulo
■ Eigenschaften quadratischer Kongruenzen
■ Allgemeine Bedingungen zur Lösbarkeit
■ Polynomkongruenzen
Sätze von Fermat, Euler und Wilson
■ EULERsche Funktion
■ Satz von FERMAT-EULER
■ Satz von Wilson
Codes
■ RSA-Codes
■

❍

❍


■
■
■
■
●

●

Internationale Standard-Buchnummer ISBN
Pharmazentralnummer
Einheitliches Kontonummernsystem EKONS
Europäische Artikelnummer EAN

Kryptologie
❍ Aufgabe der Kryptologie
❍ Kryptosysteme
❍ Mathematische Präzisierung
❍ Sicherheit von Kryptosystemen
■ Methoden der klassischen Kryptologie
■ Tauschchiffren
■ VIGENERE-Chiffre
■ Matrixsubstitutionen
❍ Methoden der klassischen Kryptoanalysis
■ Statistische Analyse
■ KASISKI-FRIEDMAN-Test
❍ One-Time-Tape
❍ Verfahren mit öffentlichem Schlüssel
■ Konzept von DIFFIE und HELLMAN
■ Einwegfunktionen
■ RSA-Verfahren
❍ DES-Algorithmus (Data Encryption Standard)
❍ IDEA-Algorithmus (International Data Encryption Algorithm)
Universelle Algebra
❍ Definition


Kongruenzrelationen, Faktoralgebren
❍ Homomorphismen
❍ Homomorphiesatz
❍ Varietäten
❍ Termalgebren, freie Algebren
Boolesche Algebren und Schaltalgebra
❍ Definition und Grundgesetze
❍ Dualitätsprinzip
❍ Endliche BOOLEsche Algebren
❍ BOOLEsche Algebren als Ordnungen
❍ BOOLEsche Funktionen, BOOLEsche Ausdrücke
■ BOOLEsche Funktionen
■ BOOLEsche Ausdrücke
■ Wertverlaufsgleiche BOOLEsche Ausdrücke
❍ Normalformen
■ Elementarkonjunktion, Elementardisjunktion
■ Kanonische Normalformen
❍ Schaltalgebra
Algorithmen der Graphentheorie
❍ Grundbegriffe und Bezeichnungen
■ Ungerichtete und gerichtete Graphen
■ Adjazenz
■ Schlichte Graphen
■ Knotengrade
■ Spezielle Klassen von Graphen
❍

●

●


Darstellung von Graphen
■ Isomorphie von Graphen
■ Untergraphen, Faktoren
■ Adjazenzmatrix
■ Inzidenzmatrix
■ Bewertete Graphen
Durchlaufungen von ungerichteten Graphen
■ Kantenfolgen
■ Kantenfolgen
■ Zusammenhängende Graphen, Komponenten
■ Abstand zweier Knoten
■ Problem des kürzesten Weges
■ Eulersche Linien
■ EULERsche Linien, EULERsche Graphen
■ Konstruktion einer geschlossenen EULERschen Linie
■ Offene EULERsche Linien
■ Chinesisches Briefträgerproblem
■ Hamilton-Kreise
Bäume und Gerüste
■ Bäume
■ Bäume
■ Wurzelbäume
■ Reguläre binäre Bäume
■ Geordnete binäre Bäume
■ Gerüste
■

❍

❍


■
■
■

Matchings
■ Matchings, Satz von TUTTE
■ Alternierende Wege, Satz von BERGE
■ Ermittlung maximaler Matchings
❍ Planare Graphen
❍ Bahnen in gerichteten Graphen
■ Bogenfolgen
■ Zusammenhängende und stark zusammenhängende Graphen
■ Algorithmus von DANTZIG
❍ Transportnetze
■ Transportnetz
■ Maximalstrom-Algorithmus von FORD und FULKERSON
Fuzzy-Logik
❍ Grundlagen der Fuzzy-Logik
■ Interpretation von Fuzzy-Mengen (Unscharfe Mengen)
■ Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen
■ Eigenschaften unscharfer Mengen
■ Fuzzy-Linguistik
■ Zugehörigkeitsfunktionen
■ Trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen
■ Glockenförmige Zugehörigkeitsfunktionen
■ Fuzzy-Mengen
❍

●

Gerüste, Satz von CAYLEY
Matrix-Gerüst-Satz
Minimalgerüste


■

■
■

Leere, universelle, normale und subnormale Fuzzy-Mengen,
Fuzzy-Teilmengen
Toleranz einer Fuzzy-Menge
Schnitt einer Fuzzy-Menge

Ähnlichkeit von Fuzzy-Mengen
und
■ Umwandlung kontinuierlicher und diskreter fuzzy-wertiger Mengen:
Verknüpfungen unscharfer Mengen
■ Konzept für eine Verknüpfung (Aggregation) unscharfer Mengen
■ Praktische Verknüpfungen unscharfer Mengen
■ Durchschnitt und Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen
■

❍

Tabelle der - und -Normen
■ Kompensatorische Operatoren
■ Erweiterungsprinzip
■ Unscharfe Komplementfunktion
Fuzzy-wertige Relationen
■ Fuzzy-Relationen
■ Modellierung fuzzy-wertiger Relationen
■ Kartesisches Produkt
■ Eigenschaften fuzzy-wertiger Relationen
■

❍

■
■
■

-faches kartesisches Produkt
Rechenregeln

Fuzzy-Relationenprodukt
■ Verkettung oder Fuzzy-Relationenprodukt
■ Verknüpfungsregeln


Fuzzy-logisches Schließen
Fuzzy-Inferenz oder Fuzzy-Implikation
Defuzzifizierungsmethoden
Wissensbasierte Fuzzy-Systeme
■ Methode MAMDANI
■ Methode SUGENO
■ Kognitive Systeme
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Modellierung der Aufgabe
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Regelauswahl
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Entscheidungslogik
■ Pendel auf beweglicher Unterlage: Defuzzifizierung
■ Wissensbasiertes Interpolationssystem
■ Interpolationsmechanismen
■ Einschränkung für den eindimensionalen Fall
■

❍
❍
❍


Funktionalanalysis
●

Vektorräume
❍ Begriff des Vektorraumes
❍ Lineare und affin-lineare Teilmengen
■ Lineare Teilmenge
■ Affiner Teilraum
■ Lineare Hülle
■ Beispiele für Vektorräume von Folgen
■ Beispiele für Vektorräume von Funktionen
❍ Linear unabhängige Elemente
■ Lineare Unabhängigkeit
■ Basis und Dimension eines Vektorraumes
❍ Konvexe Teilmengen und konvexe Hülle
■ Konvexe Mengen
■ Kegel
❍ Lineare Operatoren und Funktionale
■ Abbildungen


Homomorphismus und Endomorphismus
■ Isomorphe Vektorräume
❍ Komplexifikation reeller Vektorräume
❍ Geordnete Vektorräume
■ Kegel und Halbordnung
■ Kegel
■ Halbordnung
■ Ordnungsbeschränkte Mengen
■ Positive Operatoren
■ Vektorverbände
■ Vektorverband
■ Positiver und negativer Teil, Modul eines Elements
Metrische Räume
❍ Begriff des metrischen Raumes
■ Kugeln und Umgebungen
■ Konvergenz von Folgen im metrischen Raum
■ Abgeschlossene Mengen und Abschließung
■ Abgeschlossene Mengen
■ Abschließung
■ Dichte Teilmengen und separable metrische Räume
❍ Vollständige metrische Räume
■ Cauchy-Folge
■ Vollständiger metrischer Raum
■ Einige fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen
■ Kugelschachtelungssatz
■

●


BAIREscher Kategoriensatz
■ BANACHscher Fixpunktsatz
■ Einige Anwendungen des Kontraktionsprinzips
■ Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
■ FREDHOLMsche Integralgleichungen
■ VOLTERRAsche Integralgleichungen
■ Satz von PICARD-LINDELÖF
■ Vervollständigung eines metrischen Raumes
❍ Stetige Operatoren
■ Stetige Operatoren
■ Isometrische Räume
Normierte Räume
❍ Begriff des normierten Raumes
■ Axiome des normierten Raumes
■ Einige Eigenschaften normierter Räume
❍ Banach-Räume
■ Reihen in normierten Räumen
■ Beispiele von Banach-Räumen
■ Sobolew-Räume
❍ Geordnete normierte Räume
■ Kegel im normierten Raum
■ Normierte Vektorverbände und Banach-Verbände
❍ Normierte Algebren
Hilbert-Räume
❍ Begriff des Hilbert-Raumes
■

●

●


Skalarprodukt
■ Unitäre Räume und einige ihrer Eigenschaften
■ Hilbert-Raum
❍ Orthogonalität
■ Eigenschaften der Orthogonalität
■ Orthogonale Systeme
❍ Fourier-Reihen im Hilbert-Raum
■ Bestapproximation
■ PARSEVALsche Gleichung, Satz von RIESZ-FISCHER
❍ Existenz einer Basis. Isomorphe Hilbert-Räume
Stetige lineare Operatoren und Funktionale
❍ Beschränktheit, Norm und Stetigkeit linearer Operatoren
■ Beschränktheit und Norm linearer Operatoren
■ Raum linearer stetiger Operatoren
■ Konvergenz von Operatorenfolgen
❍ Lineare stetige Operatoren in Banach-Räumen
■ BANACH-STEINHAUS-Satz, Prinzip der gleichmäßigen Beschränkheit
■ Satz von der offenen Abbildung
■ Satz vom abgeschlossenen Graphen
■ Satz von Hellinger und Toeplitz
■ Satz von Krein und Losanowskij
■ Inverser Operator
■ Satz von Banach über die Stetigkeit des inversen Operators
■ Methode der sukzessiven Approximation
❍ Elemente der Spektraltheorie linearer Operatoren
■

●


Resolventenmenge und Resolvente eines Operators
■ Spektrum eines Operators
■ Spektrum, Definition
■ Vergleich mit der linearen Algebra, Residualspektrum
Stetige lineare Funktionale
■ Definition
■ Stetige lineare Funktionale im Hilbert-Raum, Satz von Riesz
■

❍

Stetige lineare Funktionale in
❍ Fortsetzung von linearen Funktionalen
■ Halbnorm
■ Fortsetzungssatz von HAHN-BANACH (analytische Form)
❍ Trennung konvexer Mengen
■ Hyperebenen
■ Geometrische Form des Satzes von Hahn-Banach
■ Trennung konvexer Mengen
❍ Bidualer Raum und reflexive Räume
Adjungierte Operatoren in normierten Räumen
❍ Adjungierter Operator zu einem beschränkten Operator
❍ Adjungierter Operator zu einem unbeschränkten Operator
❍ Selbstadjungierte Operatoren
■ Positiv definite Operatoren
■ Projektoren im Hilbert-Raum
Kompakte Mengen und kompakte Operatoren
❍ Kompakte Teilmengen in normierten Räumen
❍ Kompakte Operatoren
■

●

●


Begriff des kompakten Operators
■ Eigenschaften linearer kompakter Operatoren
■ Schwache Konvergenz von Elementen
❍ Fredholmsche Alternative
❍ Kompakte Operatoren im Hilbert-Raum
❍ Kompakte selbstadjungierte Operatoren
Nichtlineare Operatoren
❍ Beispiele nichtlinearer Operatoren
■ Nemytskij-Operator
■ Hammerstein-Operator
■ URYSOHN-Operator
❍ Differenzierbarkeit nichtlinearer Operatoren
❍ Newton-Verfahren
❍ Schaudersches Fixpunktprinzip
❍ Leray-Schauder-Theorie
❍ Positive nichtlineare Operatoren
❍ Monotone Operatoren in Banach-Räumen
■ Spezielle Eigenschaften
■ Existenzaussagen
Maß und Lebesgue-Integral
❍ Sigma-Algebren und Maße
■

●

●

-Algebra
■ Maß
Meßbare Funktionen
■ Meßbare Funktion
■

❍


Eigenschaften der Klasse der meßbaren Funktionen
Integration
■ Definition des Integrals
■ Einige Eigenschaften des Integrals
■ Konvergenzsätze
■ Satz von RADON-NIKODYM
■

❍

❍
❍

-Räume
Distributionen
■ Formel der partiellen Integration
■ Verallgemeinerte Ableitung
■ Distribution
■ Ableitung einer Distribution


Funktionentheorie
●

Funktionen einer komplexen Veränderlichen
❍ Stetigkeit, Differenzierbarkeit
■ Definition der komplexen Funktion
■ Grenzwert der komplexen Funktion
■ Stetigkeit der komplexen Funktion
■ Differenzierbarkeit der komplexen Funktion
❍ Analytische Funktionen
■ Definition der analytischen Funktion
■ Beispiele analytischer Funktionen
■ Eigenschaften analytischer Funktionen
■ Betrag einer analytischen Funktion
■ Nullstellen, Beschränktheit, Maximalwert
■ Singuläre Punkte
❍ Konforme Abbildung
■ Begriff und Eigenschaften der konformen Abbildung
■ Definition


Konforme Abbildung durch affine Differentialtransformation
■ Orthogonale Systeme
Einfachste konforme Abbildungen
■ Lineare Funktion:
■ Inversion
■ Gebrochenlineare Funktion
■ Quadratische Funktion
■ Quadratwurzel
■ Summe aus linearer und gebrochenlinearer Funktion
■ Logarithmus
■ Exponentialfunktion
■ Schwarz-Christoffelsche Formel
Schwarzsches Spiegelungsprinzip
■ Sachverhalt
■ Anwendungen
Komplexe Potentiale
■ Begriff des komplexen Potentials
■ Komplexes Potential des homogenen Feldes
■ Komplexes Potential von Quelle und Senke
■ Komplexes Potential eines Quelle-Senke-Systems
■ Komplexes Potential des Dipols
■ Komplexes Potential eines Wirbels
Superpositionsprinzip
■ Superposition komplexer Potentiale
■ Erzeugung neuer Felder
■

■

■

■

■


Erzeugung durch Integration
■ Erzeugung mit dem Maxwellschen Diagonalverfahren
❍ Beliebige Abbildung der komplexen Zahlenebene
Integration im Komplexen
❍ Bestimmtes und unbestimmtes Integral
■ Definition des Integrals im Komplexen
■ Bestimmtes komplexes Integral
■ Unbestimmtes komplexes Integral
■ Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem komplexen Integral
■ Eigenschaften und Berechnung komplexer Integrale
■ Vergleich mit dem Kurvenintegral 2. Art
■ Abschätzung des Integralwertes
■ Berechnung komplexer Integrale in Parameterdarstellung
■ Unabhängigkeit vom Integrationsweg
■ Komplexes Integral über einen geschlossenen Weg
❍ Integralsatz von Cauchy, Hauptsatz der Funktionentheorie
■ Integralsatz von Cauchy für einfach zusammenhängende Gebiete
■ Integralsatz von Cauchy für mehrfach zusammenhängende Gebiete
❍ Integralformeln von Cauchy
■ Analytische Funktion innerhalb eines Gebietes
■ Analytische Funktion außerhalb eines Gebietes
Potenzreihenentwicklung analytischer Funktionen
❍ Konvergenz von Reihen mit komplexen Gliedern
■ Konvergenz einer Zahlenfolge mit komplexen Gliedern
■ Konvergenz einer unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern
■

●

●


Potenzreihen im Komplexen
■ Konvergenz
■ Konvergenzkreis
■ Ableitungen und Integrale von Potenzreihen, Konvergenzkreis
❍ Taylor-Reihe
❍ Prinzip der analytischen Fortsetzung
❍ Laurent-Entwicklung
❍ Isolierte singuläre Stellen und der Residuensatz
■ Isolierte singuläre Stellen
■ Meromorphe Funktionen
■ Elliptische Funktionen
■ Residuum
■ Residuensatz
Berechnung reeller Integrale durch Integration im Komplexen
❍ Anwendung der Cauchyschen Integralformeln
❍ Anwendung des Residuensatzes
❍ Anwendungen des Lemmas von Jordan
■ Lemma von Jordan
■ Beispiele zum Lemma von Jordan
■

●

■

■
■

Berechnung des Integrals

Integralsinus
Sprungfunktion


Rechteckimpuls
■ Fresnelsche Integrale
Algebraische und elementare transzendente Funktionen
❍ Algebraische Funktionen
■ Definition und Beispiele
❍ Elementare transzendente Funktionen
■ Natürliche Exponentialfunktion
■ Natürlicher Logarithmus
■ Allgemeine Exponentialfunktion
■ Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen
■ Inverse trigonometrische Funktionen und inverse Hyperbelfunktionen
■ Real- und Imaginärteile der trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen
■ Absolutbeträge und Argumente der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen
❍ Beschreibung von Kurven in komplexer Form
Elliptische Funktionen
❍ Zusammenhang mit elliptischen Integralen
❍ Jacobi-Funktionen
■ Definition
■ Meromorphe und doppelperiodische Funktionen
■ Eigenschaften der Jacobischen Funktionen
❍ Thetafunktionen
❍ Weierstrasssche Funktionen
■

●

●


Vektoranalysis und Feldtheorie
13.1
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
13.2
BREHMER, S.; HAAR, H.: Differentialformen und Vektoranalysis. -- Berlin 1972.
13.3
DOMKE, E.: Vektoranalysis: Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. -- BI-Verlag 1990.
13.4
FOCK, V.: Theorie von Raum, Zeit und Gravitation. -- Berlin 1960.
13.5
KÄSTNER, S.: Vektoren, Tensoren, Spinoren. -- Berlin 1964.
13.6
REICHARDT, H.: Vorlesungen über Vektor- und Tensorrechnung. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1968.
13.7


SCHARK, R.: Vektoranalysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1992.
13.8
SCHMUTZER, E.: Relativistische Physik. -- B. G. Teubner, Leipzig 1968.
13.9
WUNSCH, G.: Feldtheorie. -- Verlag Technik 1971.


Definition
Unter einer konformen Abbildung versteht man die Abbildung der
Funktion

in allen Punkten

, in denen

- in die

-Ebene mit Hilfe einer analytischen

ist.
(14.8)

Die konforme Abbildung besitzt die folgende Haupteigenschaft: Alle Linienelemente

erfahren bei der Überführung in Linienelemente

und dieselbe Drehung um den Winkel

im Punkt

im Punkt

dieselbe Streckung im Verhältnis

. Dadurch werden geometrische Gebilde

in einem infinitesimalen Gebiet in ähnliche Figuren transformiert, behalten also ihre Form bei (s. Abbildung):


Geometrische Gebilde endlicher Abmessungen werden zwar verzerrt dargestellt, die Schnittwinkel zwischen den
Kurven bleiben aber erhalten, u.a. auch die Orthogonalität der Kurvenscharen (s. Abbildung).


Konforme Abbildungen haben in der Physik, Elektrotechnik, Hydro- und Aerodynamik sowie in anderen
Anwendungsgebieten der Mathematik weite Verbreitung gefunden.


Orthogonale Systeme
Die Koordinatenlinien

und

der

-Ebene werden durch konforme Abbildungen in zwei

orthogonale Kurvenscharen transformiert. Allgemein kann mit Hilfe der analytischen Funktionen eine Vielfalt
orthogonaler Systeme krummliniger Koordinaten generiert werden. In der Umkehrung gilt, daß zu jeder konformen
Abbildung ein orthogonales Kurvennetz existiert, das in ein orthogonales kartesisches Koordinatensystem abgebildet
wird.
Beispiel A
Im Falle

ist die Orthogonalität gestört.


Beispiel B


Im Falle
bleibt die Orthogonalität erhalten, ausgenommen den Punkt
wegen
.
Die Koordinatenlinien gehen in zwei Scharen konfokaler Parabeln über (s. Abbildung), der 1. Quadrant der
-Ebene in die obere Hälfte der

-Ebene.


Geometrie
●

Planimetrie
❍ Grundbegriffe
■ Punkt, Gerade, Strahl, Strecke
■ Punkt und Gerade
■ Strahl und Strecke
■ Parallele und orthogonale Geraden
■ Winkel
■ Winkelbegriff
■ Winkelbezeichnungen
■ Winkel an zwei sich schneidenden Geraden
■ Winkelpaare an geschnittenen Parallelen
■ Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß
❍ Geometrische Definition der Kreis- und Hyperbel-Funktionen
■ Definition der Kreis- oder trigonometrischen Funktionen
■ Definition am Einheitskreis
■ Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen


Definition der trigonometrischen Funktionen mit Hilfe einer Kreissektorfläche
■ Geometrische Definition der Hyperbelfunktionen
Ebene Dreiecke
■ Aussagen zu ebenen Dreiecken
■ Summe zweier Seiten, Summe der Winkel
■ Vollständige Bestimmung des Dreiecks
■ Seitenhalbierende und Winkelhalbierende
■ Inkreis und Umkreis
■ Höhe und Mittellinie des Dreiecks
■ Arten von Dreiecken
■ Symmetrie
■ Zentrale Symmetrie
■ Axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie
■ Kongruente Dreiecke, Kongruenzsätze
■ Kongruenz:
■ Kongruenzsätze:
■ Ähnliche Dreiecke, Ähnlichkeitssätze
Ebene Vierecke
■ Parallelogramm
■ Rechteck und Quadrat
■ Rhombus
■ Trapez
■ Allgemeines Viereck
Ebene Vielecke
■ Allgemeine Eigenschaften
■

❍

❍

❍


Regelmäßige Vielecke
Ebene Kreisfiguren
■ Kreis
■ Winkel im Kreis
■ Strecken im Kreis
■

❍

Umfang, Flächeninhalt, Zahl
■ Kreisabschnitt (Kreissegment) und Kreisausschnitt (Kreissektor)
■ Kreisring
Ebene Trigonometrie
❍ Rechtwinklige ebene Dreiecke
■ Grundformeln und Sätze
■ Berechnung von Seiten und Winkeln im ebenen rechtwinkligen Dreieck
❍ Berechnungen in schiefwinkligen ebenen Dreiecken
■ Grundformeln und Sätze
■ Zyklische Vertauschungen
■ Sätze
■ Weitere Beziehungen
■ Strecken im Dreieck und Fläche
■ Grundaufgaben zur Berechnung ebener schiefwinkliger Dreiecke
❍ Geodätische Anwendungen
■ Geodätische Koordinaten
■ Geodätische rechtwinklige Koordinaten
■ Geodätische Polarkoordinaten
■ Maßstab
■ Winkel in der Geodäsie
■

●


Neugradeinteilung
■ Richtungswinkel
■ Koordinatentransformationen
■ Berechnung von Polarkoordinaten aus rechtwinkligen Koordinaten
■ Berechnung von rechtwinkligen aus polaren Koordinaten beim polaren
Anhängen eines Punktes
■ Koordinatentransformation zwischen zwei rechtwinkligen Koordinatensystemen
■ Vermessungstechnische Anwendungen
■ Vorwärtseinschneiden durch zwei Strahlen
■ Vorwärtseinschneiden ohne Visier
■ SNELLIUSsche Aufgabe des Rückwärtseinschneidens
■ Rückwärtseinschneiden nach CASSINI
■ Bogenschnitt
Stereometrie
❍ Geraden und Ebenen im Raum
■ Zwei Geraden
■ Zwei Ebenen
■ Gerade und Ebene
❍ Kanten, Ecken, Raumwinkel
■ Kante
■ Ecke
■ Dreiseitige Ecken
■ Raumwinkel
❍ Polyeder
■ Prisma
■

●


Parallelepiped
■ Quader
■ Würfel
■ Pyramide
■ Pyramidenstumpf
■ Tetraeder
■ Obelisk
■ Keil
■ Reguläre Polyeder und EULERscher Polyedersatz
Körper, die durch gekrümmte Flächen begrenzt sind
■ Zylinderförmige Körper
■ Zylinderfläche
■ Zylinder
■ Gerade Kreiszylinder
■ Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
■ Zylinderabschnitt, auch Zylinderhuf
■ Hohlzylinder
■ Kegelförmige Körper
■ Kegelflächen
■ Kegel
■ Gerade Kreiskegel
■ Gerader Kreiskegelstumpf
■ Kugel und Teile von Kugeln
■ Kugel
■ Kugelausschnitt
■

❍


Kugelabschnitt
■ Kugelschicht
■ Torus oder Kreisring
■ Tonnenkörper
Sphärische Trigonometrie
❍ Grundbegriffe der Geometrie auf der Kugel
■ Kurven, Bogen und Winkel auf der Kugel
■ Sphärische Kurven, Großkreis und Kleinkreis
■ Sphärischer Abstand
■ Geodätische Linien
■ Messung des sphärischen Abstandes
■ Schnittwinkel, Kurswinkel und Azimut
■ Spezielle Koordinatensysteme
■ Geographische Koordinaten
■ SOLDNER-Koordinaten
■ GAUSS-KRÜGER-Koordinaten
■ Sphärisches Zweieck
■ Sphärisches Dreieck
■ Polardreieck
■ Pole und Polare
■ Polardreieck
■ Eulersche und Nicht-Eulersche Dreiecke
■ Dreikant
❍ Haupteigenschaften sphärischer Dreiecke
■ Allgemeine Aussagen
■

●


Seiten
■ Winkel
■ Flächeninhalt
■ Grundformeln und Anwendungen
■ Sinussatz
■ Kosinussatz oder Seitenkosinussatz
■ Sinus-Kosinussatz
■ Winkelkosinussatz oder polarer Kosinussatz
■ Polarer Sinus-Kosinussatz
■ Halbwinkelsatz
■ Halbseitensatz
■ Anwendungen der Grundformeln der sphärischen Trigonometrie
■ Weitere Formeln
■ DELAMBREsche Gleichungen
■ NEPERsche Gleichungen und Tangenssatz
■ L'HUILIERsche Gleichungen
Berechnung sphärischer Dreiecke
■ Grundaufgaben, Genauigkeitsbetrachtungen
■ Rechtwinklig sphärisches Dreieck
■ Spezielle Formeln
■ Grundaufgaben für rechtwinklig sphärische Dreiecke
■ NEPERsche Regel
■ Schiefwinklig sphärisches Dreieck
■ 1. Grundaufgabe SSS
■ 2. Grundaufgabe WWW
■

❍


3. Grundaufgabe SWS
■ 4. Grundaufgabe WSW
■ 5. Grundaufgabe WWW
■ 6. Grundaufgabe WWS
Sphärische Kurven
Orthodrome
■ Begriffsbestimmung
■ Gleichung der Orthodrome
■ Winkel-Rückversetzung
■ Nordpolnächster Punkt und Äquatorschnittpunkte
■ Bogenlänge
■ Kurswinkel
■ Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
■ Schnittpunkt mit einem Meridian
Kleinkreis
■ Begriffsbestimmung
■ Kleinkreisgleichungen
■ Bogenlänge
■ Kurswinkel
■ Schnittpunkte mit einem Breitenkreis
■ Tangierpunkte
■ Schnittpunkte mit einem Meridian
Loxodrome
■ Begriffsbestimmung
■ Gleichung der Loxodrome
■

■
■

■

■


Bogenlänge
■ Kurswinkel
■ Schnittpunkt mit einem Breitenkreis
■ Schnittpunkte mit einem Meridian
■ Schnittpunkte sphärischer Kurven
■ Schnittpunkte zweier Orthodromen
■ Schnittpunkte zweier Loxodromen
Vektoralgebra und analytische Geometrie
❍ Vektoralgebra
■ Definition des Vektors, Rechenregeln
■ Skalare und Vektoren
■ Polare und axiale Vektoren
■ Modul (Absolutbetrag des Vektors) und Raumrichtung
■ Gleichheit von Vektoren
■ Freie, gebundene und linienflüchtige Vektoren
■ Spezielle Vektoren
■ Linearkombinationen von Vektoren
■ Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
■ Zerlegung von Vektoren
■ Koordinaten eines Vektors
■ Kartesische Koordinaten
■ Affine Koordinaten
■ Richtungskoeffizient oder Entwicklungskoeffizient
■ Skalarprodukt und Vektorprodukt
■ Skalare Multiplikation
■

●


Vektorielle Multiplikation
■ Eigenschaften der Produkte von Vektoren
■ Mehrfache multiplikative Verknüpfungen
■ Doppeltes Vektorprodukt
■ Gemischtes Produkt
■ Formeln für mehrfache Produkte
■ Formeln für Produkte in kartesischen Koordinaten
■ Formeln für Produkte in affinen Koordinaten
■ Metrische Koeffizienten und reziproke Grundvektoren:
■ Anwendung auf kartesische Koordinaten:
■ Skalares Produkt in Koordinatendarstellung:
■ Vektorprodukt in Koordinatendarstellung:
■ Spatprodukt in Koordinatendarstellung:
■ Vektorielle Gleichungen
■ Kovariante und kontravariante Koordinaten eines Vektors
■ Definitionen
■ Darstellung der Koordinaten mit Hilfe von Skalarprodukten
■ Darstellung des Skalarprodukts mit Hilfe von Koordinaten
■ Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra
Analytische Geometrie der Ebene
■ Grundlegende Begriffe und Formeln, ebene Koordinatensysteme
■ Ebene Koordinaten und ebene Koordinatensysteme
■ Kartesische oder DESCARTESsche Koordinaten
■ Polarkoordinaten
■ Krummlinige Koordinaten
■

❍


Koordinatentransformationen
■ Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten und umgekehrt
■ Abstand zwischen zwei Punkten
■ Koordinaten des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes)
■ Teilung einer Strecke im gegebenen Verhältnis:
■ Goldener Schnitt:
■ Flächeninhalte
■ Flächeninhalt eines Dreiecks:
■ Flächeninhalt eines Vielecks:
■ Gleichung einer Kurve
Gerade
■ Gleichung der Geraden
■ Allgemeine Geradengleichung:
■ Geradengleichung mit Richtungskoeffizient:
■ Geradengleichung durch einen vorgegebenen Punkt:
■ Geradengleichung für zwei vorgegebene Punkte:
■ Geradengleichung in Achsenabschnittsform:
■ Normalform der Geradengleichung (auch HESSEsche Normalform ):
■ Geradengleichung in Polarkoordinaten:
■ Abstand eines Punktes von einer Geraden
■ Schnittpunkt von Geraden
■ Schnittpunkt zweier Geraden:
■ Geradenbüschel:
■ Winkel zwischen zwei Geraden
Kreis
■

■

■


Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten
■ Parameterdarstellung des Kreises
■ Kreisgleichung in Polarkoordinaten
Ellipse
■ Elemente der Ellipse
■ Gleichung der Ellipse
■ Brennpunktseigenschaften der Ellipse, Definition der Ellipse
■ Leitlinien der Ellipse
■ Durchmesser der Ellipse
■ Tangenten an die Ellipse
■ Krümmungskreisradius der Ellipse
■ Flächeninhalte der Ellipse
■ Ellipsenbogen und Ellipsenumfang
Hyperbel
■ Elemente der Hyperbel
■ Gleichung der Hyperbel
■ Brennpunktseigenschaften der Hyperbel, Definition der Hyperbel
■ Leitlinien der Hyperbel
■ Tangenten an die Hyperbel
■ Asymptoten der Hyperbel
■ Konjugierte Hyperbeln
■ Durchmesser der Hyperbel
■ Krümmungskreisradius der Hyperbel
■ Flächeninhalte in der Hyperbel
■ Hyperbelbogen
■

■

■


Gleichseitige Hyperbeln
■ Parabel
■ Elemente der Parabel
■ Gleichung der Parabel
■ Haupteigenschaft der Parabel
■ Durchmesser der Parabel
■ Tangente an die Parabel
■ Krümmungskreisradius der Parabel
■ Flächeninhalte in der Parabel
■ Länge des Parabelbogens
■ Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte)
■ Allgemeine Gleichung der Kurven zweiter Ordnung
■ Invariante einer Kurve zweiter Ordnung
■ Gestalt der Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte)
■ Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung
■ Bestimmung der Kurve durch fünf Punkte
■ Polargleichung der Kurven zweiter Ordnung
■ Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Mittelpunktskurven
■ Transformation der Kurvengleichungen 2. Ordnung auf die Normalform.
Parabolische Kurven
Analytische Geometrie des Raumes
■ Grundlegende Begriffe und Formeln, räumliche Koordinatensysteme
■ Rechts- und Linkssysteme
■ Kartesische Koordinaten
■

❍


Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
■ Krummlinige dreidimensionale Koordinaten
■ Zylinderkoordinaten
■ Kugel- oder räumliche Polarkoordinaten
■ Richtung im Raum
■ Transformation rechtwinkliger Koordinaten
■ Parallelverschiebung:
■ Drehung der Koordinatenachsen:
■ Eigenschaften der Transformationsdeterminante:
■ EULERsche Winkel:
■ Skalare Invariante:
■ Abstand zwischen zwei Punkten
■ Teilung einer Strecke
■ System aus vier Punkten
■ Gleichung einer Fläche
■ Gleichung einer Zylinderfläche:
■ Gleichung einer Rotationsfläche:
■ Gleichung einer Raumkurve
Gerade und Ebene im Raum
■ Ebenengleichungen
■ Allgemeine Ebenengleichung:
■ HESSEsche Normalform der Ebenengleichung:
■ Achsenabschnittsform der Ebenengleichung:
■ Gleichung einer Ebene, durch drei Punkte:
■ Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte, parallel zu einer Geraden:
■

■


Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, parallel zu zwei Geraden:
■ Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einer Geraden:
■ Abstand eines Punktes von einer Ebene:
■ Gleichung einer Ebene durch die Schnittlinie zweier Ebenen:
■ Zwei und mehr Ebenen im Raum
■ Winkel zwischen zwei Ebenen, allgemeiner Fall:
■ Schnittpunkt dreier Ebenen:
■ Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingung für Ebenen:
■ Schnittpunkt von vier Ebenen:
■ Abstand zweier paralleler Ebenen:
■ Gleichungen für die Gerade im Raum
■ Gleichung einer Geraden im Raum, allgemeiner Fall:
■ Gleichung der Geraden in zwei projizierenden Ebenen:
■ Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und parallel zum Richtungsvektor:
■ Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte:
■ Gleichung einer Geraden durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene:
■ Abstand eines Punktes von einer in Komponententarstellung gegebenen Geraden:
■ Kürzester Abstand zwischen zwei in Komponentendarstellung gegebenen Geraden:
■ Schnittpunkte von Ebenen und Geraden:
■ Schnittpunkt zweier Geraden:
■ Winkel zwischen zwei Geraden:
■ Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene:
Flächen zweiter Ordnung, Gleichungen in Normalform
■ Mittelpunktsflächen
■ Ellipsoide
■

■


Hyperboloide
■ Kegel
■ Paraboloide
■ Geradlinige Erzeugende einer Fläche
■ Zylinder
■ Flächen zweiter Ordnung, allgemeine Theorie
■ Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Mittelpunktsflächen
■ Gestalt der Flächen 2. Ordnung, Paraboloide, Zylinder und Ebenenpaare
Differentialgeometrie
❍ Ebene Kurven
■ Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren
■ Koordinatengleichungen
■ Positive Richtung auf einer Kurve
■ Lokale Elemente einer Kurve
■ Bogenelement
■ Tangente und Normale
■ Tangente im Punkt M:
■ Gleichungen der Tangente und der Normalen:
■ Positive Richtung von Kurventangente und Kurvennormale:
■ Steigung der Tangente:
■ Abschnitte der Tangente und Normale, Subtangente und Subnormale:
■ Winkel zwischen zwei Kurven:
■ Konvexe und konkave Seite einer Kurve
■ Krümmung und Krümmungskreisradius
■ Krümmung einer Kurve:
■

●


Krümmungskreisradius einer Kurve:
■ Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius:
■ Krümmungskreis
■ Krümmungskreis und Krümmungskreismittelpunkt:
■ Koordinaten des Krümmungskreismittelpunktes:
Ausgezeichnete Kurvenpunkte und Asymptoten
■ Wendepunkte und Regeln zu ihrer Bestimmung
■ Explizite Definitionsform der Kurve
■ Andere Definitionsformen
■ Scheitel
■ Singulärer Punkt
■ Arten singulärer Punkte:
■ Bestimmung von Selbstberührungs-, Knick- und Abbrechpunkten:
■ Bestimmung von Mehrfachpunkten (Fälle a) bis e) sowie i) und j)):
■ Algebraische Kurven, gegeben als Polynom in x und y:
■ Asymptoten
■ Definition:
■ Vorgabe der Funktion in Parameterform:
■ Vorgabe der Funktion in expliziter Form:
■ Vorgabe der Funktion in algebraischer impliziter Form:
Allgemeine Untersuchung einer Kurve nach ihrer Gleichung
■ Kurvenkonstruktion von explizit gegebenen Funktionen
■ Kurvenkonstruktion von implizit gegebenen Funktionen
Evoluten und Evolventen
■ Evolute
■

■

■

■


Evolvente oder Involute
■ Einhüllende von Kurvenscharen
■ Charakteristische Punkte
■ Geometrischer Ort der charakteristischen Punkte einer Kurvenschar
■ Gleichung der Einhüllenden
Raumkurven
■ Möglichkeiten, eine Raumkurve zu definieren
■ Koordinatengleichungen
■ Vektorgleichungen
■ Positive Richtung
■ Begleitendes Dreibein
■ Definitionen
■ Lage der Kurve relativ zum begleitenden Dreibein
■ Gleichungen der Elemente des begleitenden Dreibeins
■ Definition der Kurve als Schnitt zweier Flächen:
■ Definition der Kurve als Funktion eines Parameters t in der Parameterform und als
Vektorgleichung:
■ Definition der Kurve als Funktion der Bogenlänge s in der Parameterform und als
Vektorgleichung:
■ Krümmung und Windung
■ Krümmung einer Kurve, Schraubenlinie
■ Windung einer Kurve
■ FRENETsche Formeln
Flächen
■ Möglichkeiten, eine Fläche zu definieren
■

❍

❍


Gleichung einer Fläche
■ Krummlinige Koordinaten auf einer Fläche
Tangentialebene und Flächennormale
■ Definitionen
■ Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen
■ Singuläre Flächenpunkte (Kegelpunkte)
Linienelement auf einer Fläche
■ Differential des Bogens
■ Messungen auf der Fläche
■ Übereinanderlegen von Flächen bei Verbiegung
Krümmung einer Fläche
■ Krümmung von Kurven auf einer Fläche
■ Hauptkrümmungskreisradien
■ Klassifizierung der Flächenpunkte
■ Krümmung einer Fläche
Regelflächen und abwickelbare Flächen
Geodätische Linien auf einer Fläche
■ Begriff der geodätischen Linien
■ Definition
■ Gleichung der geodätischen Linie
■

■

■

■

■
■


Summe und Produkt
Konvergente Potenzreihen dürfen innerhalb ihres gemeinsamen Konvergenzbereiches gliedweise addiert,
miteinander multipliziert und mit einem beliebigen konstanten Zahlenfaktor multipliziert werden. Das Produkt zweier
Potenzreihen ergibt sich zu

(7.78)


Lineare Algebra
●

Matrizen
❍ Begriff der Matrix
■ Matrizen A vom Typ (m,n)
■ Reelle und komplexe Matrizen
■ Transponierte oder gestürzte Matrizen
■ Adjungierte Matrizen
■ Nullmatrix 0
❍ Quadratische Matrizen
■ Definition
■ Diagonalmatrizen
■ Skalarmatrix S
■ Spur einer Matrix
■ Symmetrische Matrizen
■ Normale Matrizen
■ Antisymmetrische oder schiefsymmetrische Matrizen
■ HERMITEsche Matrizen oder selbstadjungierte Matrizen


Antihermitesche oder schiefhermitesche Matrix
■ Einheitsmatrix E
■ Dreiecksmatrix
Vektoren
Rechenoperationen mit Matrizen
■ Gleichheit von Matrizen
■ Addition und Subtraktion
■ Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
■ Multiplikation zweier Matrizen
■ Produkt AB zweier Matrizen A und B
■ Ungleichheit der Produktmatrizen
■ FALKsches Schema
■ Multiplikation zweier Matrizen mit komplexen Elementen
■ Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren
■ Hinweis zum Begriff des Vektorprodukts zweier Vektoren
■ Rang einer Matrix
■ Definition
■ Aussagen zum Rang von Matrizen
■ Regel zur Ermittlung des Ranges
■ Inverse oder reziproke Matrix
■ Orthogonale Matrizen
■ Unitäre Matrix
Rechenregeln für Matrizen
Vektor- und Matrizennorm
■ Vektornormen
■

❍
❍

❍
❍


Matrizennormen
Determinanten
❍ Definitionen
■ Determinante
■ Unterdeterminanten
❍ Rechenregeln für Determinanten
❍ Berechnung von Determinanten
Tensoren
❍ Transformation des Koordinatensystems
■ Lineare Transformation
■ EINSTEINsche Summenkonvention
■ Drehung des Koordinatensystems
❍ Tensoren in kartesischen Koordinaten
■ Definition
■ Tensor 0. Stufe
■ Tensor 1. Stufe
■ Tensor 2. Stufe
■ Rechenregeln
❍ Tensoren mit speziellen Eigenschaften
■ Tensoren 2. Stufe
■ Rechenregeln
■ Hauptachsentransformation
■ Invariante Tensoren
■ Definition
■ Deltatensor
■

●

●


Epsilontensor
■ Tensorinvarianten
Tensoren in krummlinigen Koordinatensystemen
■ Kovariante und kontravariante Basisvektoren
■ Kovariante Basis
■ Kontravariante Basis
■ Kovariante und kontravariante Koordinaten von Tensoren 1. Stufe
■ Kovariante, kontravariante und gemischte Koordinaten von Tensoren 2. Stufe
■ Koordinatentransformation
■ Lineare Vektorfunktion
■ Gemischte Koordinaten
■ Rein kovariante und rein kontravariante Koordinaten
■ Rechenregeln
Pseudotensoren
■ Punktspiegelung am Koordinatenursprung
■ Tensorverhalten bei Rauminversion
■ Begriff der Rauminversion:
■ Transformationsmatrix:
■ Geometrische Deutung
■ Einführung des Begriffs Pseudotensor
■ Vektorprodukt bei Rauminversion
■ Skalarprodukt bei Rauminversion
■ Spatprodukt bei Rauminversion
■ Pseudovektor und schiefsymmetrischer Tensor 2. Stufe
■

❍

❍

■

Pseudotensoren

-ter Stufe


●

Lineare Gleichungssysteme
❍ Lineare Systeme, Austauschverfahren
■ Lineare Systeme
■ Austauschverfahren
■ Austauschschema
■ Austauschregeln
■ Lineare Abhängigkeiten
■ Invertierung einer Matrix
❍ Lösung linearer Gleichungssysteme
■ Definition und Lösbarkeit
■ Lineares Gleichungssystem
■ Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
■ Anwendung des Austauschverfahrens
■ Zuordnung eines Systems linearer Funktionen
■ Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems
■ Unlösbarkeit des linearen Gleichungssystems
■ Cramersche Regel
■ Gaußscher Algorithmus
■ GAUSSsches Eliminationsprinzip
■ GAUSS-Schritte
■ Lösungsverhalten
❍ Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
■ Überbestimmte lineare Gleichungssysteme und lineare Quadratmittelprobleme
■ Überbestimmte Gleichungssysteme
■ Lineares Quadratmittelproblem


GAUSS-Transformation
■ Hinweise zur numerischen Lösung linearer Quadratmittelprobleme
■ CHOLESKY-Verfahren
■ HOUSEHOLDER-Verfahren
■ Regularisiertes Problem
Eigenwertaufgaben bei Matrizen
❍ Allgemeines Eigenwertproblem
❍ Spezielles Eigenwertproblem
■ Charakteristisches Polynom
■ Reelle symmetrische Matrizen, Ähnlichkeitstransformationen
■ Eigenschaften bezüglich des Eigenwertproblems
■ Hauptachsentransformation, Ähnlichkeitstransformation
■ Hauptachsentransformation quadratischer Formen
■ Definition
■ Eigenschaften der reellen quadratischen Form
■ Erzeugung der Normalform
■ Hinweise zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten
❍ Singulärwertzerlegung
■ Singulärwerte und Singulärwertvektoren
■ Singulärwertzerlegung
■ Anwendung
■

●


Differentialrechnung
●

Differentiation von Funktionen einer Veränderlichen
❍ Differentialquotient
■ Differentialquotient oder Ableitung einer Funktion
■ Geometrische Bedeutung der Ableitung
■ Differenzierbarkeit
■ Links- und rechtsseitige Ableitung
❍ Differentiationsregeln für Funktionen einer Veränderlichen
■ Ableitungen elementarer Funktionen
■ Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen
■ Grundregeln für das Differenzieren
■ Konstantenregel
■ Faktorregel
■ Summenregel
■ Produktregel
■ Quotientenregel
■ Kettenregel


Logarithmische Differentiation
■ Ableitung der inversen Funktion
■ Ableitung einer impliziten Funktion
■ Ableitung einer Funktion in Parameterdarstellung
■ Tabelle Differentiationsregeln
■ Graphische Differentiation
Ableitungen höherer Ordnung
■ Definition der Ableitungen höherer Ordnung
■ Ableitungen höherer Ordnung der einfachsten Funktionen
■ Leibnizsche Regel
■ Höhere Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung
■ Ableitungen höherer Ordnung der inversen Funktion
Hauptsätze der Differentialrechnung
■ Monotoniebedingungen
■ Satz von FERMAT
■ Satz von ROLLE
■ Mittelwertsatz der Differentialrechnung
■ Satz von TAYLOR für Funktionen von einer Veränderlichen
■ Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Bestimmung von Extremwerten und Wendepunkten
■ Maxima und Minima
■ Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremwertes
■ Relative Extremwerte einer differenzierbaren, explizit gegebenen Funktion
■ Bestimmung der globalen Extremwerte
■ Bestimmung der Extremwerte einer implizit gegebenen Funktion
■

❍

❍

❍


●

Differentiation von Funktionen von mehreren
Veränderlichen
❍ Partielle Ableitungen
■ Partielle Ableitung einer Funktion
■ Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitung einer Funktion von zwei Veränderlichen
■ Begriff des Differentials
■ Haupteigenschaften des Differentials
■ Partielles Differential
❍ Vollständiges Differential und Differentiale höherer Ordnung
■ Begriff des vollständigen Differentials einer Funktion von mehreren
Veränderlichen (totales Differential)
■ Differenzierbarkeit
■ Vollständiges Differential
■ Geometrische Bedeutung
■ Ableitungen und Differentiale höherer Ordnungen
■ Partielle Ableitung zweiter Ordnung
■ Differential zweiter Ordnung einer Funktion von einer Veränderlichen
■ Vollständiges Differential zweiter Ordnung
■ Vollständiges Differential n-ter Ordnung
■ Vollständiges Differential n-ter Ordnung einer Funktion mehrerer
Veränderlicher
❍ Differentiationsregeln für Funktionen von mehreren
Veränderlichen
■ Differentiation von zusammengesetzten Funktionen
■ Differentiation impliziter Funktionen


Eine Funktion von einer Veränderlichen
■ Eine Funktion von mehreren Veränderlichen
■ Zwei Funktionen von einer Veränderlichen
■ n Funktionen von einer Veränderlichen
■ Zwei Funktionen von zwei Veränderlichen
■ n Funktionen von m Veränderlichen, gegeben durch ein System von n Gleichungen
Substitution von Variablen in Differentialausdrücken und
Koordinatentransformationen
■ Funktion von einer Veränderlichen
■ Funktion von zwei Veränderlichen
Extremwerte von Funktionen von mehreren Veränderlichen
■ Definition
■ Geometrische Bedeutung
■ Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von zwei Veränderlichen
■ Bestimmung der Extremwerte einer Funktion von n Veränderlichen
■ Bestimmung der Extremwerte unter Vorgabe von Nebenbedingungen
■

❍

❍


Vektoranalysis und Feldtheorie
●

Grundbegriffe der Feldtheorie
❍ Vektorfunktion einer skalaren Variablen
■ Definitionen
■ Ableitung einer Vektorfunktion
■ Differentiationsregeln für Vektoren
■ Taylor-Entwicklung für Vektorfunktionen
❍ Skalarfelder
■ Skalares Feld oder skalare Punktfunktion
■ Wichtige Fälle skalarer Felder
■ Koordinatendarstellung von Skalarfeldern
■ Niveauflächen und Niveaulinien
❍ Vektorfelder
■ Vektorielles Feld oder vektorielle Punktfunktion
■ Wichtige Fälle vektorieller Felder
■ Zentrales Vektorfeld
■ Sphärisches Vektorfeld


Zylindrisches Vektorfeld
■ Koordinatendarstellung von Vektorfeldern
■ Vektorfeld in kartesischen Koordinaten
■ Vektorfeld in Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen
■ Kartesische und Zylinderkoordinaten
■ Kartesische und Kugelkoordinaten
■ Kugel- bzw. Zylinderkoordinaten und kartesische Koordinaten
■ Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
■ Feldlinien
Räumliche Differentialoperationen
❍ Richtungs- und Volumenableitung
■ Richtungsableitung eines skalaren Feldes
■ Richtungsableitung eines vektoriellen Feldes
■ Volumenableitung oder räumliche Ableitung
❍ Gradient eines Skalarfeldes
■ Definition des Gradienten
■ Gradient und Richtungsableitung
■ Gradient und Volumenableitung
■ Weitere Eigenschaften des Gradienten
■ Gradient des Skalarfeldes in verschiedenen Koordinaten
■ Gradient in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Gradient in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
■ Rechenregeln
■

●


Differentialausdrücke
Vektorgradient
Divergenz des Vektorfeldes
■ Definition der Divergenz
■ Divergenz in verschiedenen Koordinaten
■ Divergenz in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Divergenz in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
■ Regeln zur Berechnung der Divergenz
■ Divergenz eines Zentralfeldes
Rotation des Vektorfeldes
■ Definitionen der Rotation
■ 1. Definition
■ 2. Definition
■ Rotation in verschiedenen Koordinaten
■ Rotation in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten
■ Rotation in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
■ Regeln zur Berechnung der Rotation
■ Rotation des Potentialfeldes
Nablaoperator, Laplace-Operator
■ Nablaoperator
■ Rechenregeln für den Nablaoperator
■ Vektorgradient
■ Zweifache Anwendung des Nablaoperators
■ Laplace-Operator
■ Definition
■

❍
❍

❍

❍


Darstellung des Laplace-Operators in verschiedenen Koordinaten
■ Spezielle Verknüpfungen von Nabla- und LAPLACE-Operator
❍ Übersicht zu den räumlichen Differentialoperationen
■ Vektoranalytische Ausdrücke in kartesischen, Zylinder- und
Kugelkoordinaten
■ Prinzipielle Verknüpfungen und Ergebnisse
■ Rechenregeln für Differentialoperatoren
Integration in Vektorfeldern
❍ Kurvenintegral und Potential im Vektorfeld
■ Kurvenintegral im Vektorfeld
■ Definition
■ Berechnung des Kurvenintegrals in fünf Schritten
■ Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik
■ Eigenschaften des Kurvenintegrals
■ Kurvenintegral als Kurvenintegral 2. Gattung allgemeiner Art
■ Umlaufintegral eines Vektorfeldes
■ Konservatives oder Potentialfeld
■ Definition
■ Potential eines konservativen Feldes
■ Zusammenhang zwischen Gradient, Kurvenintegral und Potential
■ Berechnung des Potentials eines konservativen Feldes
❍ Oberflächenintegrale
■ Vektor eines ebenen Flächenstückes
■ Berechnung von Oberflächenintegralen
■ Oberflächenintegrale und Fluß von Feldern
■

●


Oberflächenintegrale in kartesischen Koordinaten als
Oberflächenintegrale 2. Art
❍ Integralsätze
■ Integralsatz und Integralformel von Gauß
■ Integralsatz von Gauß
■ Integralformel von Gauß
■ Sektorformel
■ Integralsatz von Stokes
■ Integralsätze von Green
Berechnung von Feldern
❍ Reines Quellenfeld
❍ Reines Wirbelfeld oder quellenfreies Wirbelfeld
❍ Vektorfelder mit punktförmigen Quellen
■ Coulomb-Feld der Punktladung
■ Gravitationsfeld der Punktmasse
❍ Superposition von Feldern
■ Diskrete Quellenverteilung
■ Kontinuierliche Quellenverteilung
■ Zusammenfassung
Differentialgleichungen der Feldtheorie
❍ Laplacesche Differentialgleichung
❍ Poissonsche Differentialgleichung
■

●

●


Arithmetik
●

Elementare Rechenregeln
❍ Zahlen
■ Natürliche, ganze und rationale Zahlen
■ Definitionsbereiche und Bezeichnungen
■ Eigenschaften der Menge der rationalen Zahlen
■ Arithmetische Operationen
■ Darstellung der rationalen Zahlen
■ Irrationale und transzendente Zahlen
■ Reelle Zahlen
■ Haupteigenschaften
■ Arithmetische Operationen
■ Zahlenintervall
■ Kettenbrüche
■ Kommensurabilität
❍ Beweismethoden
■ Direkter Beweis


Indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch
■ Vollständige Induktion
■ Konstruktiver Beweis
Summen und Produkte
■ Definition von Summen
■ Rechenregeln für Summen
■ Definition von Produkten
■ Rechenregeln für Produkte
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
■ Potenzen
■ Definitionen
■ Rechenregeln
■ Wurzeln
■ Logarithmen
■ Definition
■ Einige Eigenschaften der Logarithmen
■ Spezielle Logarithmen
■ Logarithmentafeln
■ Rechenschieber
Algebraische Ausdrücke
■ Definitionen
■ Einteilung der algebraischen Ausdrücke
Ganzrationale Ausdrücke
■ Darstellung in Form eines Polynoms
■ Zerlegung eines Polynoms in Faktoren
■

❍

❍

❍

❍


Spezielle Formeln
■ Binomischer Satz
■ Binomialkoeffizienten
■ Berechnung der Binomialkoeffizienten
■ Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
■ Potenz einer Differenz
■ Verallgemeinerung für eine beliebige Potenz
■ Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome
❍ Gebrochenrationale Ausdrücke
■ Rückführung auf die einfachste Form
■ Bestimmung des ganzrationalen Anteils
■ Partialbruchzerlegung, allgemeiner Fall
■ Partialbruchzerlegung, Fall 1
■ Partialbruchzerlegung, Fall 2
■ Partialbruchzerlegung, Fall 3
■ Partialbruchzerlegung, Fall 4
■ Umformung von Proportionen
❍ Irrationale Ausdrücke
Endliche Reihen
❍ Arithmetische Reihen
■ Definition
■ Arithmetische Reihe 1. Ordnung
■

●

Arithmetische Reihe
Geometrische Reihe
Spezielle endliche Reihen
■

❍
❍

-ter Ordnung


❍

Mittelwerte
■ Arithmetisches Mittel
■ Geometrisches Mittel
■ Harmonisches Mittel
■ Quadratisches Mittel
■

●

Vergleich der Mittelwerte für zwei positive Größen

Finanzmathematik
❍ Prozentrechnung
■ Prozent
■ Aufschlag
■ Abschlag oder Rabatt
❍ Zinseszinsrechnung
■ Zinsen
■ Zinseszinsen
■ Einmalige Einzahlung
■ Regelmäßige Einzahlungen
■ Unterjährige Einzahlungen
❍ Tilgungsrechnung
■ Tilgung
■ Gleiche Tilgungsraten
■ Gleiche Annuitäten
❍ Rentenrechnung
■ Rente
■ Nachschüssig konstante Rente


■

Kontostand nach
Rentenzahlungen
❍ Abschreibungen
■ Abschreibungsarten
■ Lineare Abschreibung
■ Arithmetisch-degressive Abschreibung
■ Digitale Abschreibung
■ Geometrisch-degressive Abschreibung
■ Abschreibung mit verschiedenen Abschreibungsarten
Ungleichungen
❍ Reine Ungleichungen
■ Definitionen
■ Ungleichungen
■ Identische, gleichsinnige, ungleichsinnige und äquivalente Ungleichungen
■ Lösung von Ungleichungen
■ Eigenschaften der Ungleichungen vom Typ I und II
■ Sinnänderung des Ungleichheitszeichens und Transitivität
■ Addition und Subtraktion
■ Multiplikation und Division einer Ungleichung mit einer Zahl, Ungleichung bezüglich der
Kehrwerte
❍ Spezielle Ungleichungen
■ Dreiecksungleichung für reelle und komplexe Zahlen
■ Ungleichungen für den Absolutbetrag der Differenz reeller Zahlen
■ Ungleichungen für verschiedene Mittel
■ BERNOULLIsche und Binomische Ungleichung
■

●

Rentenbarwert und Rentenendwert


CAUCHY-SCHWARZsche Ungleichung
■ TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
■ Verallgemeinerte TSCHEBYSCHEFFsche Ungleichung
■ HÖLDERsche Ungleichung
■ MINKOWSKIsche Ungleichung
❍ Auflösung von Ungleichungen 1. und 2. Grades
■ Allgemeines
■ Ungleichungen 1. Grades
■ Ungleichungen 2. Grades
■ Allgemeiner Fall der Ungleichung 2. Grades
Komplexe Zahlen
❍ Imaginäre und komplexe Zahlen
■ Imaginäre Einheit
■ Komplexe Zahlen
❍ Geometrische Veranschaulichung
■ Vektordarstellung
■ Gleichheit komplexer Zahlen
■ Trigonometrische Form der komplexen Zahlen
■ Exponentialform einer komplexen Zahl
■ Konjugiert komplexe Zahlen
❍ Rechnen mit komplexen Zahlen
■ Addition und Subtraktion
■ Multiplikation
■ Division
■ Allgemeine Regeln für die vier Grundrechenarten
■

●


■

Potenzieren einer komplexen Zahl

Radizieren oder Ziehen der
-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl
Algebraische und transzendente Gleichungen
❍ Umformung algebraischer Gleichungen auf die Normalform
■ Definition
■

●

Systeme aus
algebraischen Gleichungen
■ Überzählige Wurzeln
■ Verschwinden des Nenners
■ Irrationale Gleichungen
Gleichungen 1. bis 4. Grades
■ Gleichungen 1. Grades (lineare Gleichungen)
■ Gleichungen 2. Grades (quadratische Gleichungen)
■ Normalform und Anzahl der Lösungen
■ Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 1
■ Lösung quadratischer Gleichungen, Methode 2
■ Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen)
■ Normalform und Anzahl der Lösungen
■ Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 1
■ Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 2, Anwendung der Formel von CARDANO
■ Lösung der kubischen Gleichungen, Methode 3, Verwendung von Hilfsgrößen
■ Gleichungen 4. Grades
■ Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 1, Faktorenzerlegung
■ Lösung der allgemeinen Gleichung 4. Grades, Methode 2
Gleichungen n-ten Grades
■ Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Gleichungen
■

❍

❍


Wurzeln
■ Fundamentalsatz der Algebra
■ Wurzelsatz von VIETA
■ Gleichungen mit reellen Koeffizienten
■ Komplexe Wurzeln
■ Anzahl der Wurzeln einer Gleichung mit reellen Koeffizienten
■ Lösung von Gleichungen n-ten Grades
Rückführung transzendenter Gleichungen auf algebraische
■ Definition
■ Exponentialgleichungen
■ Logarithmische Gleichungen
■ Trigonometrische Gleichungen
■ Gleichungen mit Hyperbelfunktionen
■

❍


Abschreibungsarten
Bei Gütern, die z.B. durch Abnutzung oder Alterung eine Wertminderung erfahren, wird jährlich eine Abschreibung
vorgenommen. Durch eine solche Abschreibung während eines Bilanzjahres wird der Anfangswert zu Beginn des
Jahres auf den Restwert am Ende des Jahres reduziert. Es werden folgende Bezeichnungen verwendet:
Anschaffungswert,
Nutzungsdauer (in Jahren),
Restwert nach

Jahren
Abschreibungsrate im

-ten Jahr.

Die Abschreibungsarten unterscheiden sich vor allem durch die Festlegung der Abschreibungsraten :
Lineare Abschreibung , d.h. gleiche Jahresraten,
Degressive Abschreibung , d.h. fallende Jahresraten.


Funktionen und ihre Darstellung
●

Funktionsbegriff
❍ Definition der Funktion
❍ Methoden zur Definition einer reellen Funktion
■ Angabe einer Funktion
■ Analytische Darstellung reeller Funktionen
❍ Einige Funktionstypen
■ Monotone Funktionen
■ Beschränkte Funktionen
■ Gerade Funktionen
■ Ungerade Funktionen
■ Darstellung mit Hilfe gerader und ungerader Funktionen
■ Periodische Funktionen
■ Inverse oder Umkehrfunktionen
❍ Grenzwert von Funktionen
■ Definition
■ Zurückführung auf den Grenzwert einer Folge


■
■
■
■
■
■

■

Unbestimmte Ausdrücke der Form

oder

■

Unbestimmte Ausdrücke der Form

:

■

Unbestimmte Ausdrücke der Form

■

Unbestimmte Ausdrücke der Form

TAYLOR-Entwicklung
Größenordnung von Funktionen und LANDAU-Symbole
■ Von höherer Ordnung unendlich groß
■ Von höherer Ordnung unendlich klein
■ Null oder unendlich von gleicher Größenordnung
■ LANDAU-Symbole
■ Polynome
■ Exponentialfunktion
■ Logarithmusfunktion
■

❍

Konvergenzkriterium von CAUCHY
Unendlicher Grenzwert einer Funktion
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert einer Funktion
Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich
Sätze über Grenzwerte von Funktionen
Berechnung von Grenzwerten
■ Geeignete Umformung
■ BERNOULLI-L'HOSPITALsche Regel
:

:
:


Stetigkeit einer Funktion
■ Begriff der Stetigkeit und Unstetigkeitsstelle
■ Definition
■ Häufig auftretende Arten von Unstetigkeiten
■ Funktionsverlauf ins Unendliche:
■ Endlicher Sprung:
■ Hebbare Unstetigkeit:
■ Stetigkeit und Unstetigkeitspunkte elementarer Funktionen
■ Ganzrationale Funktionen oder Polynome
■ Eigenschaften stetiger Funktionen
■ Stetigkeit von Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen
■ Stetigkeit mittelbarer Funktionen y=f(u(x))
■ Satz von BOLZANO
■ Zwischenwertsatz
■ Existenz einer inversen Funktion
■ Satz über die Beschränktheit einer Funktion
■ Satz von WEIERSTRASS
Elementare Funktionen
❍ Algebraische Funktionen
❍ Transzendente Funktionen
■ Exponentialfunktionen
■ Logarithmische Funktionen
■ Trigonometrische Funktionen
■ Inverse trigonometrische Funktionen
❍ Hyperbelfunktionen und inverse Hyperbelfunktionen
❍

●


Zusammengesetzte Funktionen
Polynome
❍ Lineare Funktion
❍ Quadratisches Polynom
❍ Polynom 3. Grades
❍ Polynom n-ten Grades
❍ Parabel n-ter Ordnung
Gebrochenrationale Funktionen
❍ Umgekehrte Proportionalität
❍ Gebrochen lineare Funktion
❍ Kurve 3. Ordnung, Typ I
❍ Kurve 3. Ordnung, Typ II
❍ Kurve 3. Ordnung, Typ III
❍ Reziproke Potenz
Irrationale Funktionen
❍ Quadratwurzel aus einem linearen Binom
❍ Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
❍ Potenzfunktion
Exponentialfunktionen und logarithmische Funktionen
❍ Exponentialfunktion
❍ Logarithmische Funktionen
❍ GAUSSsche Glockenkurve
❍ Exponentialsumme
❍ Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
❍ Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
❍

●

●

●

●


●

Trigonometrische Funktionen
❍ Grundlagen
■ Definition und Darstellung
■ Sinus
■ Kosinus
■ Tangens
■ Kotangens
■ Sekans
■ Kosekans
■ Wertebereiche und Funktionsverläufe der trigonometrischen Funktionen
■ Winkelbereich zwischen 0 und 360 Grad
■ Funktionswerte für ausgewählte Winkelargumente im Grad- oder Bogenmaß
■ Beliebige Winkel
■ Winkel im Bogenmaß
❍ Wichtige Formeln für trigonometrische Funktionen
■ Funktionen eines Winkels
■ Trigonometrische Funktionen gleichen Winkels
■ Trigonometrische Funktionen von Summe und Differenz zweier Winkel
■ Trigonometrische Funktionen für Winkelvielfache
■ Trigonometrische Funktionen für große Werte n der Winkelvielfachen
■ Trigonometrische Funktionen des halben Winkels
■ Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen
(Additionstheoreme)
■ Produkte trigonometrischer Funktionen
■ Potenzen trigonometrischer Funktionen


Beschreibung von Schwingungen
■ Problemstellung
■ Superposition oder Überlagerung von Schwingungen
■ Vektordiagramm für Schwingungen
■ Dämpfung von Schwingungen
Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen)
❍ Definition der zyklometrischen Funktionen
❍ Tabelle der Definitions- und Wertebereiche der zyklometrischen Funktionen
❍ Zurückführung auf die Hauptwerte
❍ Beziehungen zwischen den Hauptwerten
❍ Formeln für negative Argumente
❍ Summe und Differenz von arcsin x und arcsin y
❍ Summe und Differenz von arccos x und arccos y
❍ Summe und Differenz von arctan x und arctan y
❍ Spezielle Beziehungen für arcsin x, arccos x, arctan x
Hyperbelfunktionen
❍ Definition der Hyperbelfunktionen
❍ Graphische Darstellung der Hyperbelfunktionen
■ Hyperbelsinus
■ Hyperbelkosinus
■ Hyperbeltangens
■ Hyperbelkotangens
❍ Wichtige Formeln für Hyperbelfunktionen
■ Hyperbelfunktionen einer Variablen
■ Darstellung einer Hyperbelfunktion durch eine andere gleichen Argumentes
❍

●

●


Formeln für negative Argumente
■ Hyperbelfunktionen der Summe und der Differenz zweier Argumente (Additionstheoreme)
■ Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
■ Formel von MOIVRE für Hyperbelfunktionen
■ Hyperbelfunktionen des halben Arguments
■ Summen und Differenzen von Hyperbelfunktionen
■ Zusammenhang zwischen den Hyperbel- und den trigonometrischen Funktionen mit Hilfe
komplexer Argumente
Areafunktionen
❍ Definitions- und Wertebereiche
❍ Areasinus
❍ Areakosinus
❍ Areatangens
❍ Areakotangens
❍ Darstellung der Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus
❍ Beziehungen zwischen den verschiedenen Areafunktionen
❍ Summen und Differenzen von Areafunktionen
❍ Formeln für negative Argumente
Kurven dritter Ordnung
❍ Semikubische Parabel
❍ Versiera der Agnesi
❍ Kartesisches Blatt
❍ Zissoide
❍ Strophoide
Kurven vierter Ordnung
■

●

●

●


Konchoide des NIKOMEDES
❍ Allgemeine Konchoide
❍ PASCALsche Schnecke
❍ Kardioide
❍ CASSINIsche Kurven
❍ Lemniskate
Zykloiden
❍ Gewöhnliche Zykloide
❍ Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden
❍ Epizykloide
❍ Hypozykloide und Astroide
❍ Verlängerte und verkürzte Epi- und Hypozykloide oder Epi- und Hypotrochoide
Spiralen
❍ ARCHIMEDische Spirale
❍ Hyperbolische Spirale
❍ Logarithmische Spirale
❍ Evolvente des Kreises
❍ Klotoide
Verschiedene andere Kurven
❍ Kettenlinie oder Katenoide
❍ Schleppkurve oder Traktrix
Aufstellung empirischer Kurven
❍ Verfahrensweise
■ Kurvenbildervergleiche
■ Rektifizierung
❍

●

●

●

●


Parameterbestimmung
■ Mittelwertmethode
■ Fehlerquadratmethode
Gebräuchlichste empirische Formeln
■ Potenzfunktionen
■

❍

■

Typ

■

Typ

Exponentialfunktionen
■

Typ

■

Typ

Quadratisches Polynom
■ Gebrochenlineare Funktion
■ Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
■ Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
■ Kurve 3. Ordnung, Typ II
■ Kurve 3. Ordnung, Typ III
■ Kurve 3. Ordnung, Typ I
■ Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
■ Exponentialsumme
■ Vollständig durchgerechnetes Beispiel
Skalen und Funktionspapiere
■

●

■


Skalen
❍ Funktionspapiere
■ Einfach-logarithmisches Funktionspapier
■ Doppelt-logarithmisches Funktionspapier
■ Funktionspapier mit einer reziproken Skala
■ Hinweis
Funktionen von mehreren Veränderlichen
❍ Definition und Darstellung
■ Definition
■ Darstellungen
■ Wertesystem der Variablen
■ Funktion u=f(x,y) zweier unabhängiger Variabler
❍ Verschiedene ebene Definitionsbereiche
■ Definitionsbereich einer Funktion
■ Zweidimensionale Gebiete
■ Einfach zusammenhängende Gebiete
■ Zweifach zusammenhängende Gebiete
■ Mehrfach zusammenhängende Gebiete
■ Nicht zusammenhängende Gebiete
■ Drei- und mehrdimensionale Gebiete
■ Methoden zur Definition einer Funktion
■ Definition mittels Tabelle
■ Definition mittels Formeln
■ Definitionsbereich einer Funktion
■ Formen der analytischen Darstellung einer Funktion
❍

●


Abhängigkeit von Funktionen
■ Spezieller Fall zweier Funktionen
■ Allgemeiner Fall mehrerer Funktionen
■ Analytische Bedingung für die Unabhängigkeit
Grenzwerte
■ Exakte Formulierung
■ Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche
■ Iterierte Grenzwerte
Stetigkeit
Eigenschaften stetiger Funktionen
■ Nullstellensatz von BOLZANO
■ Zwischenwertsatz
■ Satz über die Beschränktheit einer Funktion
■ Satz von WEIERSTRASS über die Existenz des größten und kleinsten
Funktionswertes
■

❍

❍
❍


Trigonometrische Funktionen gleichen Winkels
Die entsprechenden Formeln sind in der folgenden Tabelle zusammengefaßt. In ihnen ist vor dem Wurzelzeichen ein
positives oder negatives Vorzeichen zu setzen, je nachdem, in welchem Quadranten sich der Winkel befindet.
Tabelle Trigonometrische Funktionen gleichen Arguments (

)


Funktionen eines Winkels
(2.75)
(2.76)
(2.77)

(2.78)
(2.79)
(2.80)

(2.81a)


(2.81b)


Potenzen trigonometrischer Funktionen
(2.122)

(2.123)

(2.124)

(2.125)

(2.126)


(2.127)

ermittelt man
Für große Werte von
nacheinander angewendet werden.

und

, indem die Formeln für

und


Algebra und Diskrete Mathematik, Kryptologie
5.24
BAUER, F. L.: Kryptologie -- Methoden und Maximen. -- Springer-Verlag 1993.
5.25
HORSTER, P.: Kryptologie. -- BI-Wissenschaftsverlag 1985.
5.26
SCHNEIDER, B.: Angewandte Kryptologie -- Protokolle, Algorithmen und Sourcecode in C. -- Addison-WesleyLongman 1996.
5.27
WOBST, R.: Methoden, Risiken und Nutzen der Datenverschlüsselung. -- Addison-Wesley-Longman 1997.


Algebra und Diskrete Mathematik, Fuzzy-Logik
5.34
BANDEMER, H., GOTTWALD, S.: Einführung in Fuzzy-Methoden - Theorie und Anwendungen unscharfer
Mengen. -- Akademie-Verlag, 4. Auflage 1993.
5.35
DRIANKOV, D., HELLENDORN, H., REINFRANK, M.: An Introduction to Fuzzy Control.-- Springer-Verlag 1993.
5.36
DUBOIS, D., PRADE, H.: Fuzzy-Sets and System-Theory and Applications. -- Academic Press, Inc., London
1980.
5.37
GOTTWALD, S.: Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendungen. -- Akademie-Verlag 1989.
5.38
GRAUEL, A.: Fuzzy-Logik. Einführung in die Grundlagen mit Anwendungen. -- BI Wissenschaftsverlag,
Mannheim 1995.
5.39


KAHLERT, J., FRANK, H: Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control. Eine anwendungsorientierte Einführung mit
Begleitssoftware. -- Verlag Vieweg 1993.
5.40
KRUSE, R., GEBHARDT, J., KLAWONN, F.: Fuzzy-Systeme. -- B.G.Teubner 1993.
5.41
ZIMMERMANN, H-J.: Fuzzy Sets. Decision Making and Expert Systems. -- Verlag Kluwer-Nijhoff 1987.
5.42
ZIMMERMANN, H-J., ALTROCK, C.: Fuzzy-Logik, Bd. 1, Technologie. -- Oldenbourg-Verlag 1993.


Algebra und Diskrete Mathematik
●
●
●
●
●
●

Algebra und Diskrete Mathematik, allgemein
Algebra und Diskrete Mathematik, Gruppentheorie
Algebra und Diskrete Mathematik, Zahlentheorie
Algebra und Diskrete Mathematik, Kryptologie
Algebra und Diskrete Mathematik, Graphentheorie
Algebra und Diskrete Mathematik, Fuzzy-Logik


Trigonometrische Summe und Fourier-Reihe
●
●

Grundbegriffe
Wichtigste Eigenschaften von Fourier-Reihen


Winkelbereich zwischen 0 und 360 Grad
Die sechs trigonometrischen Funktionen sind in der folgenden Abbildung in allen vier Quadranten für einen vollen
Winkelbereich von

bis

bzw. einen vollen Bogenbereich von 0 bis

gemeinsam dargestellt.


In der folgenden Tabelle ist ein Überblick über die Definitions- und Wertebereiche der trigonometrischen Funktionen
gegeben. Das Funktionsvorzeichen, das vom Quadranten abhängt, in dem das Funktionsargument liegt, kann aus
der zweiten Tabelle entnommen werden.
Tabelle Definitions- und Wertebereiche der trigonometrischen Funktionen
Wertebereich

Definitionsbereich

Wertebereich

Definitionsbereich


Tabelle Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen

Quadrant

Größe des Winkels

I

+

II

+

+

+

+

+
+

+

III
IV

+

+

+
+


Optimierung
●

Lineare Optimierung
❍ Problemstellung und geometrische Darstellung
■ Formen der linearen Optimierung
■ Gegenstand
■ Allgemeine Form
■ Formulierung mit vorzeichenbeschränkten Variablen und Schlupfvariablen
■ Zulässiger Bereich
■ Beispiele und graphische Lösungen
■ Beispiel Herstellung zweier Produkte:
■ Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme
❍ Grundbegriffe der linearen Optimierung, Normalform
■ Ecke und Basis
■ Definition der Ecke und Satz über die Ecke
■ Basis
■ Ecke mit maximalem Funktionswert
■ Normalform der linearen Optimierungsaufgabe


Normalform und Basislösung
■ Ermittlung der Normalform
Simplexverfahren
■ Simplextableau
■ Übergang zum neuen Simplextableau
■ Nichtentarteter Fall
■ Entarteter Fall
■ Bestimmung eines ersten Simplextableaus
■ Hilfsprogramm und künstliche Variable
■ Fallunterscheidung
■ Revidiertes Simplexverfahren
■ Revidiertes Simplextableau
■ Revidierter Simplexschritt
■ Dualität in der linearen Optimierung
■ Zuordnung
■ Dualitätsaussagen
■ Einsatzgebiete der dualen Aufgabe
Spezielle lineare Optimierungsprobleme
■ Transportproblem
■ Modell
■ Ermittlung einer zulässigen Basislösung
■ Lösung des Transportproblems mit der Potentialmethode
■ Zuordnungsproblem
■ Verteilungsproblem
■ Rundreiseproblem
■

❍

❍


Reihenfolgeproblem
Nichtlineare Optimierung
❍ Problemstellung und theoretische Grundlagen
■ Problemstellung
■ Nichtlineares Optimierungsproblem
■ Minimalpunkte
■ Optimalitätsbedingungen
■ Spezielle Richtungen
■ Notwendige Optimalitätsbedingung
■ Lagrange-Funktion und Sattelpunkt
■ Globale Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Hinreichende Optimalitätsbedingung
■ Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Notwendige Optimalitätsbedingung und Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Dualität in der Optimierung
❍ Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben
■ Konvexe Optimierung
■ Konvexe Aufgabe
■ Optimalitätsbedingungen
■ Quadratische Optimierung
■ Aufgabenstellung
■ Lagrange-Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
■ Konvexität
■ Duales Problem
❍ Lösungsverfahren für quadratische Optimierungsaufgaben
■

●


Verfahren von Wolfe
■ Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
■ Verfahren von Hildreth-d'Esopo
■ Prinzip
■ Iterationslösung
Numerische Suchverfahren
■ Eindimensionale Suche
■ Aufgabenstellung, gleichmäßige Suche
■ Verfahren des Goldenen Schnittes und Fibonacci-Verfahren
■ Minimumsuche im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum
Verfahren für unrestringierte Aufgaben
■ Verfahren des steilsten Abstieges (Gradientenverfahren)
■ Anwendung des Newton-Verfahrens
■ Verfahren der konjugierten Gradienten
■ Verfahren von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)
Gradientenverfahren für Probleme mit Ungleichungsrestriktionen
■ Verfahren der zulässigen Richtungen
■ Richtungssuchprogramm
■ Spezialfall linearer Restriktionen
■ Verfahren der projizierten Gradienten
■ Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
■ Algorithmus
■ Bemerkungen zum Algorithmus
Straf- und Barriereverfahren
■ Strafverfahren
■

❍

❍

❍

❍


Barriereverfahren
❍ Schnittebenenverfahren
■ Aufgabenstellung und Lösungsprinzip
■ Verfahren von Kelley
Diskrete dynamische Optimierung
❍ Diskrete dynamische Entscheidungsmodelle
■

●

-stufige Entscheidungsprozesse
■ Dynamische Optimierungsprobleme
Beispiele diskreter Entscheidungsmodelle
■ Einkaufsproblem
■ Rucksackproblem
Bellmannsche Funktionalgleichungen
■ Eigenschaften der Kostenfunktion
■ Separierbarkeit
■ Minimumvertauschbarkeit
■ Formulierung der Funktionalgleichungen
Bellmannsches Optimalitätsprinzip
Bellmannsche Funktionalgleichungsmethode
■ Bestimmung der minimalen Kosten
■ Bestimmung der optimalen Politik
Beispiele zur Anwendung der Funktionalgleichungsmethode
■ Optimale Einkaufspolitik
■ Problemstellung
■ Zahlenbeispiel
■

❍

❍

❍
❍

❍


■

Rucksackproblem
■ Problemstellung
■ Zahlenbeispiel


Computeralgebrasysteme
●

Einführung
❍ Kurzcharakteristik von Computeralgebrasystemen
■ Allgemeine Zielstellungen für Computeralgebrasysteme
■ Spezielle Möglichkeiten der Arbeit mit Computeralgebrasystemen
■ Beschränkung auf Mathematica und Maple
■ Ein- und Ausgabe bei Mathematica und Maple
❍ Einführende Beispiele für die Hauptanwendungsgebiete
■ Formelmanipulation
■ Numerische Berechnungen
■ Graphische Darstellungen
■ Programmierung in Computeralgebrasystemen
❍ Aufbau und Umgang mit Computeralgebrasystemen
■ Hauptstrukturelemente
■ Objekttypen
■ Zahlen
■ Variable und Zuweisungsoperatoren


■
■
■
●

Operatoren
Terme und Funktionen
Listen und Mengen

Mathematica
❍ Haupstrukturelemente
❍ Zahlenarten in Mathematica
■ Grundtypen von Zahlen in Mathematica
■ Spezielle Zahlen
■ Darstellung und Konvertierung von Zahlen
❍ Wichtige Operatoren
❍ Listen
■ Begriff und Bedeutung
■ Verschachtelte Listen
■ Operationen mit Listen
■ Spezielle Listen
❍ Vektoren und Matrizen als Listen
■ Aufstellung geeigneter Listen
■ Operationen mit Matrizen und Vektoren
❍ Funktionen
■ Standardfunktionen
■ Spezielle Funktionen
■ Reine Funktionen
❍ Muster
❍ Funktionaloperationen
■ Inverse Funktion


Differentiation
■ Nest
■ NestList
■ FixedPoint
■ FixedPointList
■ Apply
■ Map
Programmierung
Ergänzungen zur Syntax, Informationen, Meldungen
■ Kontexte, Attribute
■ Informationen
■ Meldungen
■

❍
❍

●

Maple
❍

❍

❍
❍
❍

Hauptstrukturelemente
■ Typen und Objekte
■ Eingaben und Ausgaben
Zahlenarten in Maple
■ Grundtypen von Zahlen in Maple
■ Spezielle Zahlen
■ Darstellung und Konvertierung von Zahlen
■ Gleitpunktzahlen
■ Zahlen verschiedener Basis
Wichtige Operatoren in Maple
Algebraische Ausdrücke
Folgen und Listen


Tabellen- und feldartige Strukturen, Vektoren und Matrizen
■ Tabellen- und feldartige Strukturen
■ Eindimensionale Felder
■ Zweidimensionale Felder
■ Spezielle Anweisungen zu Vektoren und Matrizen
❍ Funktionen und Operatoren
■ Funktionen
■ Operatoren
■ Differentialoperatoren
■ Der Funktionaloperator map
❍ Programmierung in Maple
❍ Ergänzungen zur Syntax, Informationen und Hilfe
■ Nutzung der Maple-Bibliothek
■ Umgebungsvariable
■ Informationen und Hilfe
Anwendungen von Computeralgebrasystemen
❍ Manipulation algebraischer Ausdrücke
■ Mathematica
■ Multiplikation von Ausdrücken
■ Faktorzerlegung von Polynomen
■ Operationen auf Polynomen
■ Partialbruchzerlegung
■ Manipulation nichtpolynomialer Ausdrücke
■ Maple
■ Multiplikation von Ausdrücken
❍

●


Faktorzerlegung von Polynomen
■ Operationen auf Polynomen
■ Partialbruchzerlegung
■ Manipulation allgemeiner Ausdrücke
Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen
■ Mathematica
■ Gleichungen
■ Lösung von Gleichungen
■ Lösung transzendenter Gleichungen
■ Lösung von Gleichungssystemen
■ Maple
■ Wichtige Operationen
■ Lösung von Gleichungen mit einer Unbekannten
■ Lösung transzendenter Gleichungen
■ Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
Elemente der linearen Algebra
■ Mathematica
■

❍

❍

■

■
■
■

Allgemeiner Fall
Eigenwerte und Eigenvektoren

Maple

Lösung linearer Gleichungssysteme
■ Eigenwerte und Eigenvektoren
Differential- und Integralrechnung
■

❍

Spezialfall


■

■

Mathematica
■ Berechnung von Differentialquotienten
■ Operator der Differentiation
■ Differentiation von Funktionen
■ Unbestimmte Integrale
■ Integration gebrochenrationaler Funktionen
■ Integration trigonometrischer Funktionen
■ Hinweis:
■ Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
■ Bestimmte Integrale
■ Mehrfachintegrale
■ Lösung von Differentialgleichungen
Maple
■ Differentiation
■ Unbestimmte Integrale
■ Integrale gebrochenrationaler Funktionen
■ Integrale von Wurzelfunktionen
■ Integrale mit trigonometrischen Funktionen
■ Hinweis:
■ Bestimmte Integrale, Mehrfachintegrale
■ Bestimmte Integrale
■ Mehrfachintegrale
■ Lösung von Differentialgleichungen
■ Allgemeine Lösung
■ Lösung mit Anfangsbedingungen


●

Graphik in Computeralgebrasytemen
❍ Graphik mit Mathematica
■ Grundlagen des Graphikaufbaus
■ Graphik-Primitive
■ Graphikoptionen
■ Syntax der Graphikdarstellung
■ Aufbau von Graphikobjekten
■ Graphische Darstellung von Funktionen
■ Zweidimensionale Kurven
■ Exponentialfunktionen
■ Lineare Funktion plus Areakotangensfunktion
■ BESSEL-Funktionen
■ Parameterdarstellung von Kurven
■ Darstellung von Flächen und Raumkurven
■ Graphische Darstellung von Oberflächen
■ Optionen für 3D-Graphik
■ Dreidimensionale Objekte in Parameterdarstellung
❍ Graphik mit Maple
■ Zweidimensionale Graphik
■ Syntax zweidimensionaler Graphik
■ Beispiele für zweidimensionale Graphiken
■ Exponential- und Hyperbelfunktionen
■ BESSEL-Funktionen
■ Parameterdarstellung
■ Spezialpaket plots


■

Dreidimensionale Graphik
■ Syntax des plot3d-Befehls
■ Zusätzliche Operationen aus dem Paket plots


Exponentialfunktionen
●

Typ

●

Typ


Quadratisches Polynom
(2.249a)
Mögliche Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.


Wegen der Diskussion des quadratischen Polynoms s. Gleichung (2.42).
Die Koeffizienten

und

werden in der Regel nach der Fehlerquadratmethode bestimmt; aber auch hier ist eine

Rektifizierung möglich. Nach der Wahl irgendeines Datenpunktes

wird rektifiziert gemäß
(2.249b)


Bilden die gegebenen

-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz

so rektifiziert man gemäß

(2.249c)
In beiden Fällen wird nach der Ermittlung von

und

aus der Gleichung
(2.249d)

berechnet, wobei

die Anzahl der gegebenen

-Werte ist, über die summiert wird.


Gebrochenlineare Funktion
(2.250a)

Wegen der Diskussion der gebrochenlinearen Funktion s. Gleichung (2.47). Der typische Kurvenverlauf ist in der
folgenden Abbildung gezeigt.


Nach der Wahl irgendeines Datenpunktes

wird gemäß
(2.250b)

rektifiziert. Nach der Bestimmung von

und

wird die gewonnene Formel in der Form

(2.250c)

hingeschrieben. Manchmal reicht auch die Form

(2.250d)

Dann wird

und

im zweiten.

rektifiziert oder

und

im ersten Falle und

sowie


Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom
(2.251)
Mehrere mögliche Kurvenverläufe dieser Funktion sind in der folgenden Abbildung dargestellt.


Die Funktion wurde im Abschnitt Quadratwurzel aus einem quadratischen Polynom diskutiert (s. Gleichung (2.53)).
Wenn die neue Variable

eingeführt wird, dann läßt sich die weitere Rechnung auf den Fall des

Quadratischen Polynoms zurückführen.


Verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve
(2.252)
In der folgenden Abbildung sind mehrere Kurvenverläufe dieser Funktion dargestellt.


Die Diskussion der Funktion erfolgte im Abschnitt verallgemeinerte GAUSSsche Glockenkurve (s. Gleichung (2.62)).
Die Einführung der neuen Variablen
Polynoms.

ermöglicht die Zurückführung auf den Fall des Quadratischen


Kurve 3. Ordnung, Typ II
(2.253)

In der folgenden Abbildung sind mögliche Kurvenverläufe dieser Funktion dargestellt.


Die Diskussion der Funktion dieses Typs erfolgte im Abschnitt Kurve 3. Ordnung (s. Gleichung (2.49)).
Diese Aufgabe kann ebenfalls durch Einführung einer neuen Veränderlichen
Quadratischen Polynoms zurückgeführt werden.

auf den Fall des


Kurve 3. Ordnung, Typ III
(2.254)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion sind in der folgenden Abbildung gezeigt.


Wegen der Diskussion der Kurve 3. Ordnung s. Gleichung (2.50).
Auf den Fall des Quadratischen Polynoms kann auch diese Aufgabe durch Einführung der neuen Variablen
zurückgeführt werden.


Kurve 3. Ordnung, Typ I
(2.255)

Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.


Wegen der Diskussion der Kurve 3. Ordnung dieses Typs s. Gleichung (2.48).
Hier kann die Aufgabe ebenso wie die vorangehenden auf den Fall des Quadratischen Polynoms zurückgeführt
werden, diesmal durch Einführung der neuen Variablen


Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion
(2.256a)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.


Die Diskussion der Funktion erfolgte im Abschnitt Produkt aus Potenz- und Exponentialfunktion (s. Gleichung (2.63)).
Wenn die empirischen

-Werte eine arithmetische Folge mit der Differenz

bilden, dann wird gemäß
(2.256b)

rektifiziert. Dabei wird mit
bzw.

bzw.

bezeichnet. Bilden jedoch die

die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte von
-Werte eine geometrische Folge mit dem Quotienten

, dann erfolgt

die Rektifizierung gemäß
(2.256c)

Nachdem

und

bestimmt sind, wird die gegebene Gleichung logarithmiert, um

in (2.249d). Wenn die gegebenen

-Werte keine geometrische Folge bilden, sich aber jeweils zwei

auswählen lassen, daß ihr Quotient den konstanten Wert
wie im Falle einer geometrischen Folge der
die Differenz zweier Werte von
ergeben (s. Beispiel).

ebenso zu bestimmen wie
-Werte so

ergibt, dann gilt für die Rektifizierung die gleiche Formel

-Werte, wenn

bezeichnet, deren zugehörige

gesetzt wird. Dabei ist mit
-Werte den konstanten Quotienten


Bei der Gründung des Verlags Harri Deutsch im Jahre 1961 wurden die langjährigen Erfahrungen aus der Fachbuchhandlung
Harri Deutsch an der Universität Frankfurt in die Verlagskonzeption eingebracht.
Aus der Nähe zur Universität ergaben sich insbesondere die Programmschwerpunkte in den Gebieten Naturwissenschaften,
Mathematik und Technik.
Dem Selbstverständnis des Verlags entsprechend, werden seit Bestehen didaktisch ausgereifte und preisgünstige Lehrbücher und
Nachschlagewerke mit hohem Informationsgehalt für Studenten, Dozenten und Praktiker dieser Fächer bereitgestellt.
Mit großem Erfolg arbeitete der Verlag Harri Deutsch in seiner Anfangsphase mit ostdeutschen und osteuropäischen Verlagen
zusammen. So konnte renommierte Fachliteratur durch Lizenzausgaben einem wesentlich breiteren Interessentenkreis zugänglich


gemacht werden.
Inzwischen wurden wichtige Teile des Verlagsprogramms völlig überarbeitet und um neue Titel erweitert. Mit dem Einsatz
zukunftsweisender Technik konnte das Verlagskonzept auch unter veränderten Rahmenbedingungen bewahrt werden.
Konsequent wird die Verlagsproduktion entsprechend den Erfordernissen des elektronischen Zeitalters ausgebaut.
Große Teile des Programms sind am Niveau von Fachhochschule und Universität orientiert, die Bandbreite reicht jedoch von
populärwissenschaftlichen Darstellungen über Literatur für die Mittel- und Oberstufe an Gymnasien bis hin zu
Forschungsmonographien.
Ausführliche Informationen zu den Produkten des Verlags Harri Deutsch finden Sie unter http://www.de.uu.net/shop/HD/verlag/
Wenn Sie künftig aktuelle Verlagsinformationen per E-Mail wünschen, schicken Sie uns bitte eine E-Mail mit dem Subject
"Verlags-Info".


Das Label "hades"
Wissenschaftliches Publizieren muß sich seit der Entwicklung der elektronischen Medien neuen Herausforderungen stellen. Die
Anforderungen an Produkte und Produzenten übersteigen die der klassischen Verlagsobjekte.
Um die Chancen der neuen Informationsmärkte wahrzunehmen, hat der Verlag Harri Deutsch unter dem Markenzeichen harri
deutsch electronic science - kurz: "hades" - seine Aktivitäten im Bereich des elektronischen Publizierens gebündelt.
Die ersten Projekte unter dem Label "hades" sind die Reihen DeskTop und cliXX, in denen elektronische Nachschlagewerke
(DeskTop) und interaktive Lehrgänge (cliXX) für Schüler, Studenten, Lehrer, Wissenschaftler und Praktiker entwickelt werden.
Dabei werden HTML-Strukturen verwendet, weil
●
●
●
●

sie on- und offline (CD-ROM) nutzbar sind,
sie plattformunabhängig laufen,
sie die Einbindung multimedialer Komponenten erlauben und
die entsprechenden Browser den Nutzern sowohl in lokalen Netzen als auch zu Hause vertraut sind.

Folgende Werke sind verfügbar oder in Vorbereitung:
W. Bauer u. a.: cliXX · Physik


1997, Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 48,- (unverbindliche Preisempfehlung), ISBN 3-8171-1553-9.
Als einführender Lehrgang in die Physik vermittelt die CD-ROM Grundwissen aus den Gebieten Mechanik, Wärmelehre,
Schwingungen und Wellen.
Der Lehrgang wendet sich an Ingenieur- und Universitätsstudenten mit Physik im Nebenfach, ist aber aufgrund der
multimedialen Aufbereitung auch in der Sekundarstufe II schon sinnvoll einsetzbar. Der Lernerfolg wird unterstützt durch
interaktiv zu lösende Aufgaben mit jeweils neu generierten Zahlenwerten, Lösungshilfen und Kontrollen.
N. Treitz: cliXX · Physik in bewegten Bildern
1999, Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, ca DM 39,- (unverbindliche Preisempfehlung) , ISBN 3-8171-1577-6.
Wie schon in seinem Buch Brücke zur Physik (ISBN 3-8171-1518-0) behandelt der Autor auch auf der Multiplattform-CDROM in unkonventioneller Weise ein breites Themenspektrum der Physik. Die CD-ROM ermöglicht, physikalische
Zusammenhänge nicht mehr nur statisch in Grafiken, sondern durch dynamische Animationen im QuickTime-Format
darzustellen.
Die durch Hyperlinks vernetzte HTML-Struktur verbindet tabellarische Themenüberblicke, kurze einführende und
erklärende Texte, Animationen physikalischer Modelle, gefilmte Experimente, Programmsequenzen in Pascal sowie
Aufgaben mit Lösungen.
Darüberhinaus enthält die CD-ROM stereoskopische Animationen: Mit der beiliegenden Stereo-Brille erscheinen
geometrische Objekte als frei im Raum schwebend.
Die CD-ROM ist geeignet für Lehrkräfte, Studienanfänger und Schüler der Sekundarstufe II.
M. Sietz u. a.: cliXX · Chemie
1999, Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, ca DM 38,- (unverbindliche Preisempfehlung), ISBN 3-8171-1488-5.


Als einführender Lehrgang in die Chemie vermittelt die CD-ROM Grundwissen aus den Gebieten Allgemeine und
Anorganische Chemie, Organische Chemie, Hydrochemie und Biochemie. Neu ist dabei die modellhafte, teils vereinfachte
Darstellung, die auf ein chemisches Grundverständnis für umweltrelevante Themen abzielt.
Der Lehrgang wendet sich an FH- und Universitätsstudenten mit Chemie im Nebenfach. Aufgrund der multimedialen
Aufbereitung und der spezifischen Ausichtung ist cliXX · Chemie auch schon in der Sekundarstufe II fächerübergreifend
einsetzbar.
Durch das umfangreiche Glossar, die Versuchsprotokolle und die Klausuren mit Lösungen eignet sich CD-ROM gut zum
Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.
I. N. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik mit Multiplattform-CD-ROM
1999, 4., überarbeitete und erweiterte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 78,- , ISBN
3-8171-2014-1.
Dieses Werk ist im deutschsprachigen Raum für viele Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften ein
unverzichtbares Buch geworden. Aber auch im Berufsalltag erfüllt das erprobte Standardwerk thematisch und methodisch
die Erfordernisse der Zeit.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches der
Mathematik als HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks und farbigen, bildschirmgerechten Abbildungen.
H. Stöcker u. a.: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren mit Multiplattform-CD-ROM
1999, 4., korrigierte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 58,- , ISBN 3-8171-1573-3.
Von elementarer Schulmathematik über Basiswissen für Abiturienten bis zum Aufbauwissen für Studierende und als
Informationspool und Nachschlagewerk für Berufspraktiker liefert das Standardwerk den mathematischen Hintergrund.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches


mathematischer Formeln und moderner Verfahren als vernetzte HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks, farbigen,
bildschirmgerechten Abbildungen und multimedialen Zusatzkomponenten.
H. Stöcker u. a.: Taschenbuch der Physik mit Multiplattform-CD-ROM
1997, 3., völlig überarbeitete und erweiterte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 68,, ISBN 3-8171-1580-6.
Ein Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaftler, die im physikalisch-technischen Sektor tätig sind. Eine
Formelsammlung für Studierende dieser Fachrichtungen, die den relevanten Stoff leicht auffinden möchten.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches der Physik
als vernetzte HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks, farbigen, bildschirmgerechten Abbildungen und multimedialen
Zusatzkomponenten wie Filmen im QuickTime-Format.
W. Schröter u. a.: Taschenbuch der Chemie mit Multiplattform-CD-ROM
1995, 17., korrigierte Auflage, im Bundle mit Multiplattform-CD-ROM auf HTML-Basis, DM 58,- , ISBN 3-8171-1555-5.
Das Taschenbuch gliedert sich in die Hauptteile Allgemeine Chemie, Anorganische Chemie und Organische Chemie.
Diese werden ergänzt durch Abschnitte über Sondergebiete, makromolekulare Werkstoffe und die Nomenklatur chemischr
Verbindungen. Begriffe werden definiert, Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen hergeleitet, ihre Anwendung wird vielfach anhand von Beispielen - erlätert.
Die dem Buch beiliegende CD-ROM aus der DeskTop-Reihe enthält den kompletten Inhalt des Taschenbuches der
Chemie als vernetzte HTML-Struktur mit zahlreichen Hyperlinks, farbigen, bildschirmgerechten Abbildungen und
multimedialen Zusatzkomponenten.


Weitere Informationen finden Sie auf der Internetseite des Verlages Harri Deutsch.


Taschenbuch der Mathematik:

Vorwort zur 1. Auflage der CD-ROM
Die Erfahrung der letzten Jahre zeigt, daß es ein weit verbreitetes Interesse gibt, Nachschlagewerke und Handbücher auf dem
eigenen Computer zur Verfügung zu haben. Auch auf dem Gebiet der Mathematik kann es von Vorteil sein, die Möglichkeiten
der CD-ROM zu nutzen.
Daher wurde in Übereinkunft zwischen Autoren und Verlag entschieden, das ,,Taschenbuch der Mathematik``, bekannt unter
dem Namen ,,BRONSTEIN``, parallel zum Buch, aber auch als Einlage in der 4. Auflage, als CD-ROM herauszubringen.
Grundlage bildet die wesentlich erweiterte und überarbeitete 3. Auflage des Buches, das sich seit der Neuübersetzung des
russischsprachigen Originals (3. Auflage, Moskau 1953) als 1. Auflage im Jahr 1996 zu einem umfangreichen Nachschlagewerk
entwickelt hat.
Die 3. Auflage des anwendungsorientierten Klassikers ,,Bronstein``, die die Grundlage für die Erarbeitung der CD-ROM bildet,
wurde ebenso wie die vohergehenden Auflagen in einem Maße angenommen, daß auch sie in weniger als zwei Jahren vergriffen
war. Damit ergab sich neuerlich die Gelegenheit, einzelne Kapitel zu erweitern und bekannt gewordene Formulierungs-, Formel-,
Druck- und Layoutfehler auszumerzen. Zahlreiche Hinweise aus der Leserschaft fanden dabei dankbare Aufnahme.
Rückmeldungen und Informationen werden auch in Zukunft erbeten.


Abgesehen von zahlreichen kleineren Verbesserungen und Ergänzungen in allen Kapiteln galt bei dieser Überarbeitung den
Kapiteln Arithmeitik, Funktionen, Lineare Algebra, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektoranalysis und Feldtheorie,
Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik sowie Numerische Mathematik die besondere Aufmerksamkeit.
Einige Abschnitte sind neu hinzugekommen. Zu ihnen gehören z.B. die Abschnitte Beweismethoden in Kapitel 1, Skalen und
Funktionspapiere in Kapitel 2, Kryptologie in Kapitel 5, DIRACsche -Funktion und Distributionen in Kapitel 15,
Wavelets in Kapitel 15 sowie Interpolationsformel von LAGRANGE in Kapitel 19.

In einzelne Kapitel wurden weitere Tabellen aufgenommen, die das praktische Arbeiten erleichtern. Hier sind insbesondere die
Tabellen zu den Differentiations- und Integrationsregeln, zu den Flächen- und Volumenelementen in verschiedenen Koordinaten
sowie eine Tabelle mit Zufallszahlen zu nennen. Tabellen, die im Buch über zwei Seiten reichen oder eine ganze Seite
einnehmen, wurden aufgetrennt oder aufgelöst, um bei der Betrachtung der HTML-Seiten ein allzu häufiges Verschieben des
Bildes (scrollen) zu vermeiden.
Allen Lesern und Fachkollegen, die uns durch ihre wertvollen Stellungnahmen, Bemerkungen und Anregungen zu einzelnen
Abschnitten der 3. Auflage des Buches die Überarbeitung erleichtert haben, möchten wir an dieser Stelle unseren herzlichen
Dank sagen. Besonderer Dank gebührt Herrn Prof. Dr. G. BRECHT, Itzehoe und Herrn Dr. T. H. Kick, Ludwigsburg, die sich mit
vielen Kapiteln des Buches auseinandergesetzt haben.

Die Erarbeitung der CD-ROM erforderte umfangreiche technische Vorbereitungen und die Umsetzung der LATEX-Vorlage in
die HTML-Spache. Wir danken in diesem Zusammenhang besonders den Herren Prof. Dr. A. ANDREEFF, Dresden, Dipl.Phys. K. Horn sowie dem VERLAG HARRI DEUTSCH für die ausgezeichnete Zusammenarbeit.


Dresden, im März 1998

Koautoren
Einige Kapitel und Abschnitte sind in Zusammenarbeit mit Koautoren enstanden.

Kapitel bzw. Abschnitt

Koautor

Sphärische Trigonometrie (3.4.1 bis 3.4.3)

Dr. H. NICKEL, Dresden

Sphärische Kurven (3.4.4)

Prof. L. MARSOLEK, Berlin

Algebra und Diskrete Mathematik (5, außer 5.4, 5.5, 5.8) Dr. J. BRUNNER, Dresden
Zahlentheorie, Kryptologie, Graphen (5.4, 5.5, 5.8)

Doz. Dr. U. BAUMANN, Dresden

Fuzzy-Logik (5.9)

Prof. Dr. GRAUEL, Soest

Nichtlin. part. Differentialgleichungen, Solitonen (9.2.4) Prof. Dr. ZIESCHE, Dresden
Integralgleichungen (11)

Dipl.-Math. I. STEINERT, Düsseldorf

Funktionalanalysis (12)

Prof. Dr. M. WEBER, Dresden


Elliptische Funktionen (14.6)

Dr. N. M. FLEISCHER, Moskau

Dynamische Systeme und Chaos (17)

Doz. Dr. V. REITMANN, Dresden

Optimierung (18)

Dipl.-Math. I. STEINERT, Düsseldorf

Computeralgebrasysteme (19.8.4, 20.)

Prof. Dr. G. FLACH, Dresden


Danksagung
Die Erarbeitung der CD-ROM erforderte umfangreiche technische Vorbereitungen und die Umsetzung der LATEX-Vorlage in
die HTML-Spache. Wir danken in diesem Zusammenhang besonders den Herren Prof. Dr. A. ANDREEFF, Dresden, Dipl.Phys. K. Horn sowie dem VERLAG HARRI DEUTSCH für die ausgezeichnete Zusammenarbeit.

Dresden, im März 1998


"Real Informationsdesign" ist eine Gruppe von vier
Produktgestaltern, die mit einem festen Stamm freier
Mitarbeiter seit 1994 interaktive Produkte konzipiert, gestaltet
und produziert. Neben CD-ROMs und Benutzungsoberflächen
softwaregesteuerter Geräte (Interface-Design) entstehen in der
Fabriketage von Real auch Konzepte für Präsentationen im
Internet. Die vier Designer legen Wert auf eine Gestaltung,
die sparsam und den Inhalten angemessen ist. Die Vorteile der
neuen Technologien lassen sich durch gezielten Einsatz
sinnvoller und witziger Interaktionen nutzen, nicht aber durch
möglichst viele aufwendige Effekte.
Neben hades arbeitet Real Informationsdesign u.a. für Bosch,
Blaupunkt, den Rat für Formgebung/German Design Council,
Ogilvy & Mather, das Design Zentrum Hessen, den
Hessischen Rundfunk und den Rowohlt-Systhema-Verlag.


Kunden
Blaupunkt, Hildesheim
Buchhändlervereinigung, Frankfurt
Bosch, Hildesheim
Dacon, Bad Vilbel
Design Zentrum Hessen, Darmstadt
Frankfurter Buchmesse
Hessisches Ministerium für Wissenschaft und Kunst
Hessischer Rundfunk, Frankfurt
Hessische Gesellschaft für Demokratie und Ökologie
Kittelberger, Reutlingen
Mediaplex, Kronberg
ms+, Werbeagentur Frankfurt
Rat für Formgebung, Frankfurt
Rowohlt-Systhema-Verlag, München
Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main


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© 1998 by Verlag Harri Deutsch AG Thun.
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Summenwerte einiger Reihen mit konstanten Gliedern
(7.38)
(7.39)
(7.40)
(7.41)
(7.42)
(7.43)

(7.44)


(7.45)

(7.46)

(7.47)

(7.48)

(7.49)

(7.50)

(7.51)

(7.52)

(7.53)


(7.54)

(7.55)

(7.56)

(7.57)

(7.58)

(7.59)

Mit

sind die EULERschen Zahlen, mit

die BERNOULLIschen Zahlen bezeichnet.


Differentialgleichungen
●
●

Differentialgleichungen, allgemein
Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen


Nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Solitonen
9.29
DODD, R.K., EILBECK, J.C., GIBBON, J.D., MORRIS, H.C.: Solitons and Nonlinear Wave Equations. -- Academic
Press 1982.
9.30
DRAZIN, P.G., JOHNSON, R.: Solitons. An Introduction. -- Cambridge University Press 1989.
9.31
GU CHAOHAO (Ed.): Soliton Theory and Its Applications. -- Springer-Verlag 1995
9.32
LAMB, G.L.: Elements of Soliton Theory. -- Wiley 1980.
9.33
MAKHANKOV, V.G.: Soliton Phenomenology (übers. aus dem Russ.). -- Verlag Kluwer 1991.
9.34
REMOISSENET, S.: Waves Called Solitons. Concepts and Experiments. -- Springer-Verlag 1994.


9.35
TODA, M.: Nonlinear Waves and Solitons. -- Verlag Kluwer 1989.
9.36
VVEDENSKY, D.: Partical Differential Equations with Mathematica. -- Addison-Wesley 1993.


Häufig gebrauchte Konstanten
3, 141592654
0, 017453293

0, 000290888

0, 000004848

1 rad=1

57, 29577951
0, 01


0, 001
2, 718281828
0, 434294482

2, 302585093

0, 577215665

EULERsche Konstante


Variationsrechnung
●
●

●

●

●
●

Aufgabenstellung
Historische Aufgaben
❍ Isoperimetrisches Problem
❍ Brachistochronenproblem
Variationsaufgaben mit Funktionen einer Veränderlichen
❍ Einfache Variationsaufgabe und Extremale
❍ Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
❍ Variationsaufgaben mit Nebenbedingungen
❍ Variationsaufgaben mit höheren Ableitungen
❍ Variationsaufgaben mit mehreren gesuchten Funktionen
❍ Variationsaufgaben in Parameterdarstellung
Variationsaufgaben mit Funktionen mehrerer Veränderlicher
❍ Einfache Variationsaufgabe
❍ Allgemeinere Variationsaufgaben
Numerische Lösung von Variationsaufgaben
Ergänzungen


❍
❍

Erste und zweite Variation
Anwendungen in der Physik


Algebra und Diskrete Mathematik, allgemein
5.1
AIGNER, M.: Diskrete Mathematik. -- Verlag Vieweg 1993.
5.2
BELKNER, H.: Determinanten und Matrizen. -- Verlag H. Deutsch 1988.
5.3
BURRIS, S.; SANKAPPANAVAR, H. P.: A Course in Universal Algebra. -- Springer-Verlag 1981.
5.4
DÖRFLER, W.; PESCHEK, W.: Einführung in die Mathematik für Informatiker. -- C. Hanser Verlag 1988.
5.5
EHRIG, H.; MAHR, B.: Fundamentals of Algebraic Specification 1. -- Springer-Verlag 1985.
5.6
METZ, J.; MERBETH, G.: Schaltalgebra. -- Verlag Verlag H. Deutsch 1970.
5.7


WECHLER, W.: Universal Algebra for Computer Scientists. -- Springer-Verlag 1992.
5.8
WINTER, R.: Grundlagen der formalen Logik. -- Verlag H. Deutsch 1996.


Symmetrie 3. Art
Wenn für

gilt (s. Abbildung), dann ergeben sich die Koeffizienten zu

(7.103a)

(7.103b)


Symmetrie 1. Art
Wenn

eine gerade Funktion ist, d.h. wenn

(s. Abbildung), dann gilt für die Koeffizienten

(7.101)


Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik
Wenn

ein Kraftfeld darstellt, d.h.

wenn ein Massenpunkt

längs des Weges

, dann ist (13.96a) die Arbeit, die die Kraft

bewegt wird (s. Abbildungen und auch (8.130)).

verrichtet,


Funktionen und ihre Darstellung
2.1
ASSER, G.: Einführung in die mathematische Logik, Teil I bis III. -- Verlag H. Deutsch 1976-1983.
2.2
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1. -- VDI-Verlag 1995.
2.3
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1964;
Verlag H. Deutsch 1989-1992, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
2.4
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch 1993.
2.5
GÖRKE, L.: Mengen - Relationen - Funktionen. -- Verlag H. Deutsch 1974.
2.6
HASSE, M.: Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik. -- Verlag H. Deutsch 1970.


2.7
Handbook of Mathematical, Scientific and Engineering. Formulas, Tables, Functions, Graphs, Transforms. -Research and Aducation Association 1961.
2.8
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
2.9
SIEBER, N.; SEBASTIAN, H.J.; ZEIDLER, G.: Grundlagen der Mathmatik, Abbildungen, Funktionen, Folgen. -BSB B. G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 1), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 1), 1978.
2.10
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. 1. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
2.11
STÖCKER, H. (HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten, Bd. 1. -- Verlag H. Deutsch 1995.


Poisson-Verteilung, Teil I
Wertetabelle der POISSON-Verteilung:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0

0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812

1

0,090484 0,163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,329287

2

0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,075816 0,098786

3

0,000151 0,001091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757

4

0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964

5

0,000002 0,000015 0,000057 0,000158 0,000356

6

0,000001 0,000004 0,000013 0,000035


7

0,000001 0,000003

0,7

0,8

0,9

1,0

2,0

3,0

0

0,496585 0,449329 0,406570 0,367879 0,135335 0,049787

1

0,347610 0,359463 0,365913 0,367879 0,270671 0,149361

2

0,121663 0,143785 0,164661 0,183940 0,270671 0,224042

3

0,028388 0,038343 0,049398 0,061313 0,180447 0,224042

4

0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031

5

0,000696 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819

6

0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409

7

0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003437 0,021604

8

0,000001 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008102

9

0,000001 0,000191 0,002701

10

0,000038 0,000810

11

0,000007 0,000221

12

0,000001 0,000055


13

0,000013

14

0,000003

15

0,000001


Typ
(2.245a)
Typische Kurvenverläufe für unterschiedliche Varianten des Exponenten
Abbildung.

von dieser Gleichung zeigt die folgende


Kurven mit teilweise ähnlichem Verlauf liefern die folgenden Funktionen:
●

Parabel

-ter Ordnung mit der Gleichung

●

Umgekehrte Proportionalität mit der Gleichung

●

Reziproke Potenz mit der Gleichung

(2.45),
(2.46),

(2.51),


●

Potenzfunktion mit der Gleichung

(2.54),

Rektifiziert wird durch Logarithmieren gemäß
(2.245b)


Typ
(2.246a)

Hier handelt es sich um die gleichen Kurven wie für
Richtung um

verschoben.

(2.245a) des vorigen Abschnittes, aber in

-


Wenn

gegeben ist, dann wird rektifiziert gemäß
(2.246b)

Ist

unbekannt, dann wird zunächst

bestimmt und danach gemäß
(2.246c)

rektifiziert. Zur Bestimmung von

werden drei Punkte mit den Abszissen- und Ordinatenwerten

beliebig,


und

sind, kann

gewählt, so daß

korrigiert und als Mittelwert der Größen

gilt. Nachdem

gewählt werden.

bestimmt worden


Keine Drehachse
a)
Existiert überhaupt kein Symmetrieelement, so ist

d.h., außer der Identität

läßt das Molekül

keine Symmetrieoperationen zu.
Beispiel
Das Molekül Halbacetal ist nicht eben und besitzt vier verschiedene Atomgruppen.

b)
Ist

eine Spiegelung bzw.

eine Inversion, so ist

bzw.

und


damit jeweils isomorph zu
Beispiel
Das Molekül der Traubensäure kann im Mittelpunkt

gespiegelt werden (Inversion).


Räumliche Darstellung
Es erfordert viel Routine, um alle Symmetrieelemente eines Objektes zu erkennen. In der Literatur, z.B. in 5.15, 5.16,
5.17, ist ausführlich beschrieben, wie man die Symmetriegruppen von Molekülen erhält, wenn alle
Symmetrieelemente bekannt sind. Zur räumlichen Darstellung der Moleküle kann die aus der folgenden Abbildung
ersichtliche Symbolik verwendet werden:

Das Zeichen oberhalb C bedeutet, daß sich hier die OH-Gruppe über der Zeichenebene befindet, das Zeichen rechts
neben C, daß sich die

-Gruppe unter ihr befindet.

Die Bestimmung der Symmetriegruppe kann in Abhängigkeit davon erfolgen, ob es keine Drehachse gibt, genau eine
oder mehrere (s. die nächsten drei Abschnitte).


1. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell und einfach
(8.13a)
a) Form der Zerlegung:
(8.13b)

mit

(8.13c)

b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Zahlen

können auch mit Hilfe der Methode der

unbestimmten Koeffizienten berechnet werden.
c) Integration gemäß
(8.13d)

Beispiel


,

;

.


2. Fall: Alle Wurzeln des Nenners sind reell, einige von ihnen sind mehrfach
(8.14a)
a) Form der Zerlegung:

(8.14b)

b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Konstanten

werden mit Hilfe

der Methode der unbestimmten Koeffizienten berechnet.
c) Integration gemäß
(8.14c)

Beispiel


.
Die Berechnung der Konstanten mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten ergibt:

. Die Integration erfolgt gemäß

.


3. Fall: Einige Wurzeln des Nenners sind einfach komplex
(8.15a)
mit

(8.15b)

a) Form der Zerlegung:

(8.15c)

b) Methode der unbestimmten Koeffizienten: Die Konstanten werden mit Hilfe der Methode der


unbestimmten Koeffizienten berechnet.
c) Integration des Ausdrucks

gemäß

(8.15d)

Beispiel
. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten

liefert

.

, wobei in
diesem Falle das Glied mit der Funktion arctan fehlt.


Integration weiterer transzendenter Funktionen
Hinweis: Die Tabelle Unbestimmte Integrale enthälte eine große Anzahl von Integralen transzendenter Funktionen.
●
●
●

Integrale mit Exponentialfunktionen
Integrale mit Hyperbelfunktionen
Anwendung der partiellen Integration


Integrand der Form

und

1. Integrand der Form
(8.27)

2. Integrand der Form
(8.28)


Integrand der Form

und

1. Integrand der Form

:
(8.29a)

a) Fall

, ungerade:
(8.29b)

b) Fall

, gerade:
(8.29c)

Die Potenz wird auf diese Weise halbiert. Nach Auflösen der Klammer für

wird gliedweise integriert.


2. Integrand der Form

:
(8.30a)

a) Fall

, ungerade:
(8.30b)

b) Fall

, gerade:
(8.30c)

Die Potenz wird auf diese Weise halbiert. Nach Auflösen der Klammer wird gliedweise integriert.


Integrand der Form

:

(8.32a)

Durch Wiederholung dieses Verfahrens der Potenzerniedrigung ergibt sich für gerades
schließlich das Integral

bzw. ungerades

(8.32b)


Integrand der Form

:
(8.33)

Die Lösung erfolgt durch Integration wie im Falle

.


Integrale mit Exponentialfunktionen
Integrale mit Exponentialfunktionen können in Integrale mit rationalen Funktionen im Integranden überführt werden,
wenn sie in der Form
(8.34a)

gegeben sind, wobei

rationale Zahlen sind. Dazu sind zwei Substitutionen erforderlich:

1. Substitution von

führt auf ein Integral
(8.34b)

2. Substitution von

, wobei

das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der Brüche

ist, führt auf ein Integral mit einer rationalen Funktion.


Differentialrechnung
6.1
BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs, Bd. 1 u. 2. -- Verlag H. Deutsch 1979.
6.2
COURANT, R.: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 u. 2. -- Springer-Verlag 1971-72.
6.3
FETZER, A.; FRÄNKEL, H.: Mathematik Lehrbuch für Fachhochschulen, Bd. 1, 2. -- VDI-Verlag 1995.
6.4
FICHTENHOLZ, G.M.: Differential- und Integralrechnung, Bd. 1 bis 3. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften
1964; Verlag H. Deutsch 1989-92, seit 1994 Verlag H. Deutsch.
6.5
GELLRICH, R.; GELLRICH, C.: Mathematik, Bd. 1 u. 3. -- Verlag H. Deutsch 1993-1994.
6.6
HARBARTH, K.; RIEDRICH, T.: Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G.
Teubner, Leipzig (MINÖL, Bd. 4), 1976; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 4) 1978.


6.7
JOOS, G.E.; RICHTER, E.: Höhere Mathematik. Ein kompaktes Lehrbuch für Studium und Beruf. -- Verlag H.
Deutsch 1994.
6.8
KNOPP, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. -- Springer-Verlag 1964.
6.9
KÖRBER, K.-H.; PFORR, E.A.: Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen. -- BSB B. G. Teubner,
Leipzig, (MINÖL, Bd. 5), 1974; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 5), 1980.
6.10
MANGOLDT, H. V.; KNOPP, K.: Einführung in die höhere Mathematik, Bd. 2 u. 3. -- S. Hirzel Verlag 1978-81.
6.11
PAPULA, L.: Mathematik für Ingenieure, Bd. 1 bis 3. -- Verlag Vieweg 1994-1996.
6.12
PFORR, E.A.; SCHIROTZEK, W.: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer Variablen. -- BSB B.
G. Teubner, Leipzig, (MINÖL, Bd. 2), 1973; Verlag H. Deutsch, (MINÖA, Bd. 2) 1978.
6.13
SMIRNOW, W.I.: Lehrgang der höheren Mathematik, Bd. II u. III. -- Deutscher Verlag der Wissenschaften 1953;
Verlag H. Deutsch 1987-1991, seit 1994 Verlag H. Deutsch unter dem Titel Lehrbuch der höheren Mathematik.
6.14


STÖCKER, H. (HRSG.): Analysis für Ingenieurstudenten. -- Verlag H. Deutsch 1995.
6.15
TRIEBEL, H.: Höhere Analysis. -- Verlag Harri Deutsch 1980.
6.16
ZACHMANN, H.G.: Mathematik für Chemiker. -- VCH, Weinheim 1990.


Typ
(2.247a)
Typische Kurvenverläufe dieser Funktion zeigt die folgende Abbildung.


Wegen der Diskussion der Exponentialfunktion s. Gleichung (2.55).
Rektifiziert wird durch Logarithmieren gemäß
(2.247b)


Typ
(2.248a)

Hier handelt es sich um die gleichen Kurven wie für die Exponentialfunktion
vorangegangenen Abschnitts, aber in

-Richtung um

verschoben.

(2.247a) des


Es wird

bestimmt und durch Logarithmieren rektifiziert gemäß
(2.248b)

Zur Bestimmung von

und

werden drei Punkte mit den Abszissen- und Ordinatenwerten

gewählt, so daß

beliebig,

gilt. Nach der Bestimmung von


kann

nachträglich als Mittelwert der Größen

erneut bestimmt werden.