/
Текст
Л.ГДОННЕЛЛ ;
БАЛКИ,
ПЛАСТИНЫ
И ОБОЛОЧКИ
Перевод с английского
Л. Г. КОРНЕЙЧУКА
Под редакцией
Э. И. ГРИГОЛЮКА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9.8 2
22Л5
Д67
УДК 531
ИИ8 № 33 j
! НЕ БОЛЕЕ 1Й КНЙГЙВ]
\ ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ 1
КОЛОХЗА
ОСКОР^А
LLOYD HAMILTON DONNELL
BEAMS, PLATES
AND SHELLS
McGRAW-HILL
BOOK COMPANY
Доннелл Л. Г. Балки, пластины и оболочки: Пер. с апгл./Под ред.
Э. И. Григолюка.— М.: Нау^а. Главная редакция физико-математической
литературы, 1982.—568 с. -
Книга написана известным американским специалистом в области ме-
механики твердого деформируемого тела. В ней рассматривается классиче-
классическая теория балок, ее усовершенствование на основе плоской теории упру-
упругости и других представлений. Разбираются многие примеры изгиба и вы-
выпучивания стержней. Теория тонких пластин изложена на основе гипотез
о нормальном элементе при малых и конечных прогибах. В случае толстых
пластин показывается применение соотношений теории упругости. Вопросы
общей теории, оболочек обсуждаются для анализа общих соотношений,
получения упрощенных схем и практического применения теории. Пред-
Представляет .интерес анализ выпучивания цилиндрических оболочек.
Книг-а Предназначена для специалистов в области теории упругости
в теории оболочек, аспирантов и студентов втузов.
Табл. 18, илл. 132, библ-. 156 назв. v
1703040000^141
053@2)-82
Copyright
1976 by McGraw-Hill, Inc.
Перевод на русский язык
Издательство «Наука».
Главная редакция _
физико-математической литературы,
1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. редактора. J*
Предисловие ........¦••' *
Список основных обозначений- ........... 1"
Глава 1. Общие принципы ....... И
§ 1.1..Введение . . • . . . ¦ • : ¦ • • • • • • **
| 1.2.. Некоторые основные положения . 15
§ 1.3. Нагрузки, напряжения, деформации, перемещения ... 17
§ 1.4. Энергетические методы . ¦ . . . _ 23
§ 1.5. Зависимости напряжений от деформаций 28
§ 1.6. Совместные действия - напряжений. Теория разрушения 32
§ 1.7.. Пластическое, течение, пластичность . . . ... . 41
§ 1.8. Коэффициенты запаса. Вопросы "проектирования ... . 47
Глава 2. Классическая теория балок , . . . 53
§ 2.1. Аппроксимация Кирхгофа — Лява . ....... 53
§ 2.2. Классическая теория балок 54
§ 2.3.. Решение по классической теории балок . . . . . . 63
§ 2.4. Поперечно нагруженные балки со свободно опертыми
концами . . . .- '. .. . ¦ '. ... . . . . ; . . 70
§ 2.5. Продольно нагруженные балки со свободно опертыми кон-
концами. Сжато-изогнутые стержни 77
§ 2.6. Нагруженный вдоль оси стержень, шарнирно закрепленный
по концам. Нелинейный случай . 88
§ 2.7, Балки с концевыми условиями, отличными от свободно
опертых 90
§ 2.8. Энергетический метод в применении к балкам . ' . ". . 99
Глава 3. Усовершенствования классической теории балок . . . 110
§ 3.1. Теория упругости, общие положения <- .. . . . . . 110
§ 3.2. Двумерная теория упругости . . -— . . .. . . . 139
. § 3.3. Приложение теории упругости для плоского напряженного
состояния к задачам о балках . - .' 151
§ 3,4. Некоторые поля локальных напряжений для балок . . . 171
§ 3.5. Поправки к прогибам, получаемым па классической теории
балок . , . , , , . . i , , 192
Глава 4 Классическая теория плдстин 209
§ 4.1. Введение в теорию пластин . . 209
§ 4.2. Соотношения, связывающие перемещения и деформации 212'
| 4.3. Уравнения равновесия ~ 219
§ 4.4. Малые прогибы свободно опертых прямоугольных пластин 232
§ 4.5. Прямоугольные пластины с граничными условиями, отли-
отличающимися от свободного опирания ....... 242
§ 4.6. Применение энергетического метода к пластина)! . . . 259 '
§ 4.7, Круговые пластины при осесимметричном перемещении 280
Глава 5. Большие прогибы пластин. Толстые пластины . . , , 288
§. 5.1. Большие прогибы ,..-...,...,. 288
§ 5.2. Толстые пластины — решения в рядах с помощью функции
v. нагружения , 304
1»
4 ¦ х ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5.3. Толстые пластины. Другие решения, локальные подя на-
напряжений 328
§ 5.4. Решения уравнений теории упругости для пластин с не-
нагруженными поверхностями 345
§ 5.5. Уточненные условия, задаваемые на краях пластины . . . 361
§ -5.6.' Толстые пластины — поправки к прогибам, получаемым по
классической теории пластин 377
Глава 6. Классическая теория оболочек 387
§ 6.1. Введение в теорию тонких оболочек 387
- § 6.2. Общие соотношения между перемещениями и деформация-
деформациями для тонких оболочек . 391
§ 6.3. Упрощения соотношений, связывающих перемещения и
деформации 406
§ 6.4. Общие уравнения равновесия тонких оболочек .... 425
§ 6.5. Упрощения и решения общей теории тонких оболочек 438
§ 6.6. Общие теории тонких оболочек для частных случаев . . . 444
§ 6.7. Некоторые частные решения задач для тонких оболочек 453
Глава 7. Круговые цилиндрические оболочки ....... 477
§ 7.1. Применение теории малых прогибов 477
§ 7.2. Выпучивание тонких цилиндрических оболочек при осевом
сжатии 488
§ 7.3. Потеря устойчивости тонкостенных цилиндрических оболо-
оболочек при боковом давлении.. 515
§ 7.4. Выпучивание тонкостенных цилиндрических оболочек при
кручении 527
§ 7.5. Применение уравнений теории упругости к исследованию
толстостенных цилиндрических оболочек 547
§ 7.6. Толстостенные цилиндрические оболочки. Поправки к клас-
классическим значениям прогибов • 558
Перечень трудов Л. Г. Донпелла 562
Алфавитный указатель 564
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Ллойд Гамильтон Доннелл — известный в США и у нас в
стране специалист по теории оболочек. Он завершил в 1930 г.
в Мичиганском университете докторскую диссертацию, посвя-
посвященную распространению продольных, волн и удару, под руко-
руководством С. П. Тимошенко. В 1933 г. он решил задачу об устой-
устойчивости тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки
конечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа
связала имя Л. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории
пологих оболочек. Л.' Г. Доннелл записал для нелинейной теории
пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся
обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма
дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндри-
цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Дон-
пелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида
именуются ныне как уравнения Доннелла — Муштари." Работы
Л. Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы сре-
срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках
нелинейной теории не прошли незамеченными для специалистов.
Л. Г. Доннелл родился 20 мая 1895 г., в 1911 г. он поступил
и в 1915 г. окончил Мичиганский.университет, впоследствии ра-
работал в нем. После защиты докторской работы он перешел в
Калифорнийский технологический институт к Т. Карману, слу-
служил в Иллинойском технологическом институте. Л. Г. Доннелл
был главой Отделения механики Американского общества инже-
инженеров-механиков, организатором известного американского жур-
журнала Applied Mechanics Reviews. Он был генеральным председа-
председателем Первого национального конгресса США по прикладной
механике в 1951 г. ¦
Поэтому появление первой и единственной книги автора,
работавшего под руководством великого Тимошенко и такого
деятеля, как Теодор Карман, заставляет обратить на нее осо-
особенное внимание.
Предлагаемый вниманию читателя перевод с английского кни-
книги «Балки, пластины и оболочки», вышедшей в серии «Моно-
«Монографии по инженерным наукам», содержит рассмотрение клас-
классической и уточненной теорий изгиба стержней, классической и
уточненной теорий изгиба пластин, проблемы выпучивания обо-
оболочек, вопросы общей теории оболочек и больших прогибов
тонких упругих пластин. Каждому из этих вопросов по-
посвящена огромная литература, особенно, если учесть, что
6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
разбираются- и вопросы- напряженно-деформированного состояния
при малых прогибах, и колебаний, и устойчивости, и больших
прогибов. В целом книга самобытна, интересна отбором матери-
материала, его нестандартным обсуждением. Разумеется, автор не обо-
обошел и рассмотрение трактовок вопросов выпучивания и конечных
прогибов упруго деформируемых систем.
Для столь широкой проблемы, которая указана в. заголовке,
объем книги сравнительно небольшой. Материал подан сжато,
нестандартно, с сугубо личным отбором,
Книга состоит из семи глав. В главе 1 разобраны общие
принципы механики деформируемых твердых тел. Глава 2 отве-
отведена классической теории изгиба стержней. В главе 3 содержится
усовершенствованная теория изгиба упругих стержней. Глава 4
включает в себя классическую теорию упругих тонких пластин
(малые прогибы, колебания, устойчивость, конечные прогибы).
В главе 5 дается теория больших прогибов тонких пластин и
теория малых прогибов толстых пластин. В главе 6 представ-
представлены соотношения классической теории оболочек (уточненные
и упрощенные варианты теории). В заключительной главе рас-
рассматривается круговая цилиндрическая оболочка (малые колеба-
колебания и линеаризированная устойчивость).
Представленный автором перечень литературы очень краток,
он дан автором в подстрочных примечаниях. Это в основном
ссылки на его собственные работы.
В целом можно сказать, что книга Л. Г. Доннелла представ-
представляет интерес своим отбором. задач для обсуждения, характером
обсуждения решений задач, общим взглядом на проблему рас-
расчета упругих стержней, пластин и оболочек. Разумеется, пред-
представленный материал не в состоянии охватить всю проблему.
Редактор считает необходимым предъявить автору претензии в
. смысле ссылок на литературные источники и во многих других
отношениях. В частности, невозможно, например, согласиться
-« попыткой автора называть совокупность гипотез теории изгиба
прямых, стержней Бернулли — Эйлера гипотезой Кирхгофа —
Лява, невозможно принять такое же утверждение в теории пла-
пластин. Такие вольности могут иметь очень грустные последствия.
Преследуемая автором краткость выражения достигает иные,
печальные цели. Поэтому в ряде случаев редактор вынужден
был вносить в текст неизбежные коррективы.
В приложении к переводу приводится перечень публикаций
Л. Г. Доннелла, в оригинале этот перечень отсутствует.
Редактор выражает надежду, что книга Л. Г. Доннелла будет
в целом положительно принята отечественным читателем.
Э. И. Григолюк
Москва,
январь 198-1 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание этой книги охватывает три основные темы: тео-
теорию изгиба балок (в частности, теорию балок прямоугольного
поперечного сечения, служащую как бы введением и одновре-
одновременно частным случаем двух остальных_тем), теорию пластин
и теорию оболочек. Каждой из этих тем посвящена обширная
литература, причем, как правило, монографии, посвященные этим
темам, являются весьма интересными. Предлагаемая трактовка
представляется в лучшем случае как введение к этим темам
с несколько необычным акцентом на такие интересные с прак-
практической точки зрения аспекты, как ошибки, возникающие при
различных широко используемых аппроксимациях, и методы
получения, когда это диктуется необходимостью, уточненных
результатов.
Книга не претендует на охват самых последних достижений
в этих областях, в особенности в такой весьма разработанной
и продолжающей активно развиваться области, как теория обо-
оболочек. Автор никогда не был школяром в смысле прилежного
штудирования всей мировой литературы, относящейся к данной
отрасли знаний, а так как книга была написана спустя ряд лет
после отхода от активной научной и педагогической деятельно-
деятельности, .автор не чувствовал себя во всеоружии для того, чтобы
сделать_обзор- всех современных исследований.
Напротив, эта книга является очень личной, представляющей
изложенное с собственной авторской точки зрения. Приведенная
библиография не столь уж обширна, в ней главным образом
и без излишней скромности цитируются собственные работы ав-
автора. Сделано это, разумеется, не потому, что автор считает
свои работы более важными, ч§м остальные, а скорее в связи
с тем, что это именно те работы, с которыми он наилучшим
образом знаком, а также и потому, что он верит или, по крайней
мере, надеетсд, что его работы достойны упоминания даже в том
случае^ когда другие авторы в своих работах далеко обошли его
собственные результаты.
• 8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Среди многих вопросов, которые могут возникнуть при чтении
зтой книги, наиболее очевидным является вопрос: почему автор,
решив при изложении пользоваться скалярной формой записи
уравнений, не заимствует, по крайней 'мере, такие принятые
в математике формы сокращения записи, как использование ниж-
нижних индексов для обозначения операции дифференцирования.
Ответом по этому конкретному поводу (а аналогичные ответы
могут быть даны п на другие подобные вопросы) является то,
что зти индексы понадобились для других целей. А по, возможно,
не очень скромному мнению автора, сокращения типа d^FJdx^ —
= Fx,xxxx или Fx_ix являются не чем иным, как математическим
жаргоном, не дающим большой экономии места, но в гораздо
большей степени при этом вносящим путаницу, по крайней мере,
у недостаточно искушенного в математике читателя, отвлекая
его внимание от весьма реальных трудностей по-настоящему
сложной области знаний. С другой стороны, такие символы, как
оператор Лапласа и производные от него операторы, экономят
так много места и используются столь широко, что имеет смысл
- дать понятие о них читателям, которые возможно не знакомы
с ними.
Говорить о собственных заслугах нелегко. Во-первых, необ-
необходимо извиниться за то, что многие результаты представлены
без соответствующих ссылок на тех авторов, которые их по-
получили первыми. В некоторых случаях недостаток ссылок связан
е незнанием новых публикаций (это большей частью относится
к тем разделам книги, в которых, насколько может судить автор,
содержится новый материал) — подобный недостаток является,
по-видимому, простительным в наше время спонтанного увели-
увеличения числа научных исследований. Менее простительным яв-
является отсутствие ссылок из-за невнимательности или простого
незнания автора работы, результаты которой столь давно всем
хорошо знакомы, что начинают восприниматься как часть об-
общественного достояния и используются как широко известные
принципы.
При подготовке рукописи к печати только несколько человек
смогли познакомиться с отдельными ее частями. Автор с благо-
благодарностью принял замечания «Бо» Элмроза и Элфриды Тангл,
которые npo4iifafln первые главы книги, и особенно Илая Штерн-
Штернберга, который прочитал первую и большую часть третьей глав
ПРЕДИСЛОВИЕ 9
и сделал много ценных замечаний, особенно в связи с вопросами,
касающимися истории теории упругости. Очевидно, только автора
можно винить в имеющихся в книге ошибках как типограф-
типографских, так и по существу; автор будет весьма признателен
каждому, кто возьмет на себя труд указать ему на любые ошиб-
ошибки или упущения, которые он постарается учесть при первой
же представившейся возможности.
Самая большая помощь автору была оказана со стороны
Дугласа Мастз — здесь трудно найти такие слова благодарности,
которые бы выразили всю глубину признательности автора.
Д. Мастэ был учеником, сотрудником автора и, наконец, руко-
руководителем лекционных циклов в университете города Хьюстона,
что и послужило толчком к написанию этой книги. Он был не
только основным инициатором этого издания, но оказывал ог-
огромную помощь и моральную поддержку в годы написания кни-
книги, кроме того, он взял на себя подготовку ее к изданию — без
него зта книга не была бы написана.
Ллойд Доннелл
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Е, G, v, т — соответствующие характеристики материала: модуль
упругости, модуль сдвига G = E/[2(i + v)], коэффициент
Пуассона, характеристика прочности материала (т„ — пре-
предел текучести и т. д.); -
а, е, F, М — напряжение, деформация, сила и изгибающий мо-
момент, отнесенные к единице длины поперечного сечения,
в тексте встречаются с индексами, обозначающими на-
направление;
и, v, w в их, Щ, и, — перемещения точки срединной поверхно-
поверхности в произвольной точки в. направлении осей соответ-
соответственно х, у, г;
х, у, г — прямоугольные и цилиндрические координаты (ж —
в радиальном, у — в окружном направлениях);
с и h = 2с — полу.толщина и толщина балки, пластины и обо-
оболочки;'
& — энергия деформации;
у2т —оператор вида V2 = (д2/дхг + д2/ду2+d2jdz2), который т
раз применяется к некоторой функции.
Глава 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
§ 1.1. Введение
Большая часть этой- книги основана на лекциях, которые
были прочитаны автором по курсу теории оболочек в Хьюстон-
Хьюстонском университете в 1966 г. Уравнения теорий плоских пластин
и балок рассматриваются не только как введение, но и как
частный случай теории оболочек. Предметом обсуждения явля-
являются главным образом упругие, однородные, изотропные кон-
конструкции с постоянными толщинами и размерами поперечных
сечений — сказанное соблюдается везде, кроме специально ого-
оговоренных случаев.
При достаточно полном охвате основных вопросов особый
упор делается скорее на инженерные аспекты, чем на математи-
математический подход, которому в последнее время уделяется все боль-
большее внимание. Таким образом, книга адресована главным обра-
образом инженеру, которому интересны приложения к реальным
задачам. Однако она будет интересна также и желающим спе-
специализироваться в области теории оболочек как приложении
к более абстрактным математическим исследованиям, которые
зачастую отводят минимум внимания как физическому смыслу
приводимых в них математических выкладок, так и вообще
уместности их в тех реальных задачах, с которыми приходится
иметь дело инженерам и научным работникам.
Кроме физического (исследование напряжений) смысла, зна-
значительное внимание уделено различным пренебрежениям и апп-
аппроксимациям, которые включают в себя и так называемые точ-
точные решения. Зачастую говорят, что поскольку реальные задачи
слишком сложны, если изучать их во всей полноте, их прихо-
приходится заменять упрощенными, идеальными математичесйими
моделями, которые оказываются более приспособленными для ис-
исследования. Но подобный взгляд на вещи является довольно
опасным, так как побуждает нас забыть о тех допущениях,
которые были сделаны в действительности, и удовлетворяться
решениями, полученными в рамках идеализированного подхода.
Как инженеры, мы имеем дело не с идеализированными оболоч-
оболочками, а, с такими сложными конструкциями, как, например,
крылья самолетов. Здесь приходится решать, что же является
теми главными характеристиками, которыми невозможно пре-
пренебречь ни при каких возможных исследованиях, и учесть их
12 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
но в то же время, рассматривая пути лучшей аппроксимации
реальной задачи, нам следует пренебречь второстепенными об-
обстоятельствами.
Как правило, любые полезные упрощения оказываются при-
приемлемыми только в определенных границах их приложения,
потому-то и существуют различные типы теорий оболочек для
соответствующих областей применения. Наибольшая трудность
в теории оболочек состоит в том, чтобы выяснить, какие упро-
упрощения являются приемлемыми для соответствующих областей
применения, а также указать границы их применимости. Грани-
Границы применимости и точность различных представленных теорий
обсуждаются в конце глав 3, 5. и 7. Понимание физического
смысла аппроксимаций и значение отбрасываемых членов урав-
уравнений являются, очевидно, первым шагом в попытке прийти
к некоторым разумным заключениям.
Часть первой главы отводится обсуждению таких вопросов,
как свойства материалов и теории разрушения, а также вопросу
проектировочных расчетов (определению коэффициентов запаса
и т. д.). Такие вопросы, очевидно, не относятся непосредственно
к теории оболочек, но они тесно связаны с поисками рациональ-
рациональных подходов в любых областях проектирования и в то же
время слишком часто полностью игнорируются.
Все выкладки проводятся в общепринятых математических
обозначениях (или, точнее говоря, в скалярной форме, так как
большая часть встречающихся чисел представляет собой некото-
некоторые физические характеристики). Векторная и тензорная сим-
символика при записи математических соотношений дает прекрас-
прекрасную возможность стенографировать, т. е. выписывать в лаконич-
лаконичной форме определенные математические операции, но мнение
автора по этому поводу таково, что все это, за некоторым
исключением, не является внутренней потребностью и полезным
для инженеров, поскольку свободное владение этими обозначе-
пиями может оказаться необходимым для чтения литературы,
где этот язык используется, однако здесь все дело, именно только
в языке — так же, как изучение немецкого или русского языка
необходимо для чтения соответствующей литературы.
Разумеется, эти разделы математики весьма важны для за-
записи сложных теорий, но теории, выдвигаемые в такой форме,
редко могут быть непосредственно использованы для решения,
конкретных численных задач. Как правило, для того чтобы ре-
решать численные задачи, векторные и тензорные обозначения
должны быть прежде всего переписаны в соответствующей ска-
скалярной форме. Когда такие сложные зависимости, как соотно-
соотношения теории оболочек, записываются в тензорной форме, то
аппроксимации обычно вводятся путем перевода их в скалярную
форму, но при этом физический смысл и оправданность этих
аппроксимаций могут быть не очень ясны. Если же не вводить
§ 1.1] ВВЕДЕНИЕ 13
никаких аппроксимаций, то полная задача, вероятно, окажется
более громоздкой, чем в случае использования прямого подхода.
Обозначения, использованные повсюду, будут, естественно,
характеризовать те физические величины, к которым они отно-
относятся. Так как их значения будут всегда ясны, мы можем
использовать одни и те же обозначения для различных физи-
физических величин, встречающихся в тексте.
Хотя проблемы, которые мы будем изучать, являются главным
образом статическими, мы обобщим излагаемые методы на случай
применения их к динамическим задачам путем использования
принципа Даламбера, т. е. добавления, кроме действительных
сил, которые воздействуют на тела и обусловлены действием
других тел либо путем контакта, либо действием на расстоянии,
еще так называемых инерционных сил - и трактовки их как
действительных сил, каковыми они, конечно, не являются. Таким
образом, при обсуждении уравнений равновесия будет в даль-
дальнейшем подразумеваться, что в них включены и уравнения дви-
движения, а в число действующих сил будут включаться с помощью
принципа Даламбера инерционные силы.
Как принято в научной литературе (в отличие от справочной),
физическим величинам, присутствующим -в приводимых нами
соотношениях, не будут приписываться конкретные значения.
Все правильно составленные физические соотношения должны
быть непротиворечивыми в безразмерной форме, т. е. все члены,
которые добавляются, отбрасываются или приравниваются, долж-
должны представлять собой одни и те же физические величины или
их комбинации. В статических задачах, куда входят только такие
физические величины, как длина и сила, эти величины могут
измеряться в любых единицах, если при их использовании со-
соблюдается условие их совместности всюду.
Динамические задачи включают в себя также такие величи-
величины, как время и масса, так как сила инерции, действующая
на тело, подсчитывается как произведение массы тела на его
ускорение и направляется в сторону, противоположную ускоре-
ускорению. Инерционные силы могут в дальнейшем измеряться в тех
же единицах, что и реальные силы, если только используется
совместная система единиц длины, силы, времени и массы; это
означает, что единицы измерения следует выбирать таким об-
образом, чтобы единичная сила могла придать единичной массе
единичное ускорение.
В табл. 1.1 приводятся четыре системы единиц, первые две
из которых обычно используются в технических, две последние —
в абстрактных науках. Результаты получаются одинаковыми,
если повсюду используются любые, но совместные единицы из-
измерений длины, силы и времени, поэтому на практике следуют
такому правилу: за массу тела принимают W/g, где W — вес
14
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ .
[ГЛ. I
тела (т. е. действующая на тело сила, обусловленная гравита-
гравитацией), a g— его ускорение, обусловленное гравитацией; вес W
и ускорение g должны измеряться для одного и того же поло-
положения, чего можно достичь, если использовать их номинальные
величины, которые они приобретают на уровне моря на широте
Гринвича.
Учет влияния кривизны, так же как, например, и перво-
первоначально существующего или возникающего изгиба,— дело ис-
исключительно сложное. Один из методов, служащих для преодо-
преодоления вытекающих отсюда трудностей и использовавшийся ав-
автором в течение многих лет в его преподавательской практике,
Таблица 1.1
Систеиа единиц
Англия — США, техни-
техническая
Метрическая, - техннче-.
екая
CGS , метрическая
СИ (Международная си-
етема единиц)
Длина
фут
метр
сантиметр
метр
сила
фут-
килограмм
дина
Ньютон
Время
секунда
секунда
секунда
секунда
Масса
слаг
метрический
слаг
грамм
килограмм
состоит в том, чтобы вводить аппроксимации с самого начала,
причем именно те аппроксимации, котбрые можно было - бы
оправдать только путем интуитивных физических представлений.
Это может показаться неубедительным, при этом неудовлет-
неудовлетворительными являются и следствия, поскольку'мы вынуждены
выносить суждения на основе различающихся результатов, к ко-
которым пришли бы на таком пути различные авторы.
Для того чтобы избежать как этих трудностей, так и "упомя-
"упомянутого выше формального математического подхода, в начале
главы 6 приводится использующая минимум аппроксимаций об-
общая теория оболочек, которая может б_ыть применена к любым
частным случаям, если сделать те пренебрежения, которые пред-
представятся подходящими в конкретном случае. Таким образом,
вместо того чтобы опираться на весьма смутные представления
о введенных аппроксимациях, читатель может рассмотреть все
представленные прямо перед его глазами члены уравнений и без-
безошибочно разглядеть, что будет отбрасываться и каков физиче-
физический смысл как оставленных, так и опущенных членов уравне-
уравнений. Возможно, это вызовет удивление, но оказалось, что воспро-
воспроизвести такую общую теорию в. скалярной форме, не делая
попыток упростить ее уменьшением числа неизвестных по срав-
f 1.2J ' ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 15
нению с общей формой, не столь уж трудно — такая задача в
действительности ненамного сложнее построения теорий с вводи-
вводимыми в них ограничениями для частных случаев.
Начинающий читатель подготавливается для подобного *рас-
смотрения предварительным обсуждением несложных частных
случаев балок и плоских пластин, описываемых _в главах 2 — 5.
Они важны сами по себе и иллюстрируют большую часть при-
привходящих факторов, методы постановки задач и влияние аппро-
аппроксимаций, которые обычно делаются в более сложной теории
оболочек, где это влияние гораздо труднее установить. Исполь-
Использование подходящих координатных систем и обозначений позво-
позволяет без труда продемонстрировать, как более простые и более
легко понимаемые случаи оказываются частными случаями весь-
весьма общих соотношений, и таким образом пояснить смысл этих
последних соотношений.
В книгу включено много примеров, но задачи в ней отсут-
отсутствуют. Читателям, которым не жалко потратить время на то,
чтобы закрепить свои знания, предлагается после каждого вывода
проделать выкладки самостоятельно, без обращения к тексту,
где вывод часто дается только в общих чертах. Удивительно, как то,
что кажется очень простым, когда проделывается другими, ока-
оказывается не таким легким делом, когда приходится браться за
это самому. В любом случае принцип «делай сам» является луч-
лучшим способом действительно усвоить и запомнить что-либо.
§ 1.2. Некоторые основные положения
Теория оболочек и ее специальные случаи — теории плоских
пластин и стержней — являются ответвлениями механики, ко-
. торая в свою очередь является основным разделом физики.
Механика может быть определена как область науки, которая
имеет дело с соотношениями между силами, действующими на
тела, и их движением. Общая концепция движения включает
в себя перемещение, а, также и быстроту изменения перемещения
во времени или скорость, быстроту изменения скорости во вре-
времени или ускорение и т. д. Относительные перемещения раз-
различных частей тела в общем случае вызывают деформации,
которые связываются с перемещениями соответствующими гео-
геометрическими соотношениями. .
Силы, действующие на такие тела, как оболочки, со стороны
других тел либо контактным путем, либо передаваясь на рас-
расстоянии, являются нагрузками, последние включают в себя ре-
реакции, которые мы выделяем из -других нагрузок только для
удобства. Кроме сил, действующих на тело как на целое, нас
будут интересовать силы, действующие на отдельные части тела,
и в частном случае сюда включаются силы, действующие на две
смежные поверхности, т. е. напряжения.
16 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
По существу, нас будут интересовать напряжения,_поскольку
опыт показывает, что их интенсивность1 связана с возможностью
разрушения материала, а также и с деформациями (а отсюда
и с перемещениями) с помощью соотношений, определяемых
характеристиками материала. Силы, приложенные к. телу, свя*
заны друг с другом условиями равновесия этого тела; таким
образом, мы получаем возможность связать воедино весь диапазон
интересующих нас факторов. . .
В теории оболочек мы имеем дело с нагружением и движе-
движением тел, у которых один размер, толщина, мал по сравнению
с другими размерами. Такие тела имеют в поперечном направ*
лении гораздо меньшее сопротивление перемещению, чем в дру-
других направлениях. Поэтому мы главным образом будем иметь
дело с этими поперечными перемещениями (или прогибами),
с нагрузками, вызывающими их, и с возникающими при этом
деформациями и напряжениями.
Подводя итоги, укажем, что в теории оболочек, так же как
и во всех задачах механики сплошных сред твердого деформи-
деформируемого тела (т. е. задачах, в которых рассматриваются тела
из материала, непрерывно распределенного по всему объему),
мы интересуемся прежде всего выявлением связей между
нагрузками, напряжениями, деформациями и перемещениями.
Разумеется, при этом могут быть включены в рассмотрение и
другие физические величины, например температура в задачах
о тепловых напряжениях, а также время и масса в инерционных
нагрузках в задачах динамики, но более удобно сконцентрировать
наше внимание на упомянутых выше четырех основных вели-
величинах, а другие физические величины принимать bq. внимание
только либо при определении этих четырех, либо на основе свя-
связей между ними. Для удобства эти величины и вид связей между
ними выписаны в табл. 1.2.
Уравнения равновесия могут быть использованы также и в
задачах механики жидкости, но неограниченные относительные
Перемещения, которые допускаются для жидкостей, требуют при-
применения несколько отличного подхода, где более удобными ока-
оказываются иные соотношения. В этой книге не рассматриваются
температурные эффекты, но влияние температурных напряжений
можно учесть с помощью добавочного слагаемого аТ в выраже-
выражении для нормальных деформаций, вызываемых обычными на-
нагрузками, тде а — коэффициент линейного температурного рас-
расширения материала. Т — повышение температуры по отношению
к ненагруженному состоянию.
Можно спорить по поводу того, что окончательно доказатель*
ство истинности уравнений равновесия, так же как и соотноще-<
ний между напряжениями и деформациями, во многом основы-*
вается на эксперименте. Однако уравнения равновесия являются
1.3]
НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ, ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
17
в идейном смысле ясными соотношениями и вытекают из логики
здравого смысла, они подтверждаются как точные многочислен-
многочисленными экспериментами, и, таким образом, заслуживают того,
чтобы рассматриваться в качестве физических законов. С другой
стороны, несмотря на все историческое значение открытия Гуком
его закона, это соотношение на практике почти всегда, а воз-
возможно, именно всегда является приближенным.
Например, хотя отклонения от идеального упругого поведения
или упругий гистерезис могут и не обнаружиться в простых
опытах, их присутствие имеет следствием усталостные явления
1 .Таблица 1.2
Физические величи-
величины
Нагрузки \
Напряжения{
Деформации 1
Перемещения 1
Фориа соотношения
Уравнение равновесия
Зависимость напряжений
от деформаций
Соотношения между пере-
перемещениями и деформациями
Тип соотношения
Физический закон
Эмпирический закон, полу-
получаемый из экспериментов
Геометрические и логиче-
логические представления
или выделение тепла при быстро* повторяющихся диклах напря-
напряжений. Вне упругой области зависимость напряжения от дефор-
деформаций может, как правило, быть выражена с помощью эмпири-
эмпирических формул или кривых, поэтому здесь приближенный ха-
характер таких соотношений еще более резко выражен. Когда-
нибудь нам, возможно, удастся записать такие соотношения,
исходя из законов, учитывцощих внутримолекулярные силы, но
еще неизвестно, будут ли иметь смысл такие зависимости в
обычных процедурах расчета.
§ 1.3. Нагрузки, напряжения, деформации, перемещения
Существует целый ряд важных вопросов, которые следовало
бы обсудить в связи с упомянутыми в заголовке предметами
нашего разговора в данном разделе, но удобнее рассматривать
эти понятия независимым образом, не углубляясь в специфику
их взаимосвязи. Многие из этих понятий хорошо известны и
поэтому обычно считаются бесспорными, но существуют неко-
некоторые связанные с ними аспекты, которые не являются широко
известными, но они все достаточно . существенны, чтобы потра-
потратить время и на их обсуждение.
Нагрузки. Так же, как и в первом обсуждении сделанных
нами аппроксимаций, является поучительным выявить и пере-
2 Л. Г. Доннелл
18 ' ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
числить те нагрузки, которые мы должны как-то аппроксими-
аппроксимировать либо не учитывать вовсе, поскольку для большей части
задач они оказались несущественными; нам следует сознавать то,
как и почему это делается, так как для некоторых специальных
задач все это может оказаться весьма важным.
Во многих случаях мы пренебрегаем весом конструкции и
частью реакций, которые обусловлены весом, либо потому, что
они являются несущественными по сравнению с другими на-
нагрузками, либо потому, что легче рассмотреть влияние других
нагрузок, а вызванные ими реакции наложить на начальные
условия нагружения, связанные с учетом собственного вееа и
вызываемых им реакций; условия, при которых указанные на-
нагружения могут быть наложены друг на друга, будут обсуждены"
ниже в § 1.4. Когда мы рассматриваем вес, т. е. действие силы
притяжения массы Земли на массу исследуемого тела,' мы ис-
используем-номинальный вес и полагаем, что сила притяжения
действует равномерно на все тело, и пренебрегаем ее изменени-
изменениями по высоте и положению вследствие неоднородности Земли,
„ее отклонением от сферической формы так же, как и малыми из-
изменениями по величине и направлению в объеме тела вследствие
разницы в положении различных частей тела.
Разумеется, в обычной- практике мы пренебрегаем такими
очень малыми силами, как -гравитационные воздействия со сто-
стороны соседних малых тел, а также Солнца, Луны и т. д.,
рассеянными магнитными и электростатическими • силами, ра-
радиационным давлением и т. п., но мы, как правивло, пренебре-
пренебрегаем также и очень большой силой атмосферного давления,
действующего на поверхность каждого тела, за исключением
тех случаев, когда на части тела почему-либо и как-то поддер-
поддерживается в~акуум. Мы вправе пренефечь атмосферным давлени-
давлением в большей части случаев, поскольку его влияние для всех
тел в целом почти исчезающе мало. Однако оно вызывает малые
сжимающие напряжения и направленную вверх подъемную.силу
(вследствие разницы высот, а отсюда и разницы давления на
верхнюю и нижнюю поверхности тела), равную весу вытеснен-
вытесненного воздуха (удельный вес равен приблизительно 1 кг/м3 на
уровне моря), и которая, разумеется, является основной силой
для аппаратов, которые легче воздуха. Мы также часто прене-
брегаетя или как-то аппроксимируем изменения по величине и на-
направлению сил давления воздуха, которые возникают при дви-
движении тела в атмосфере, но их следует учитывать при определе-
определении сил сопротивления воздуха, подъемной силы и т. п.
В обычной инженерной практике имеют дело с макроявле-
макроявлениями, т. е. с усредненными по объемам и площадям размерами,
которые являются наиболее" важными для создаваемых машин
и сооружений; наиболее поразительным примером этого явля-
§ 1.3] , НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ, ПЕРЕМЕЩЕНИЯ * 19
*
ется трактовка реального тела как сплошной среды, что возможно
только потому, что те величины, которые важны для нас, колеб-
колеблются около среднего значения таких величин огромного числа
. отдельных молекулярных сил, масс и движений.. Так, по отно-
отношению к движениям, вызывающим инерционные нагрузки, ко-
которые на самом деле действуют на интересующие инженерную
практику тела, мы можем пренебречь даже значительными
тепловыми движениями молекул, так как их влияния оказыва-
оказываются практически одинаковыми для любого тела; в. отличие от
коллоидной частицы здесь тепловое перемещение частиц в жид-
жидкости вызывает броуновское движение, наблюдаемое в микроскоп.
В другом крайнем случае мы игнорируем движения в кос-
космическом масштабе: вращением Земли вокруг собственной оси
и вокруг Солнца, движениями солнечной системы и Галактики
и т. д. Скорости эти очень велики, но они почти постоянны
по величине, а радиусы кривизны частей Галактики огромны.
Наиболее важным из этих космических движений является вра-
вращение Земли вокруг собственной оси, которое вызывает центро-
центробежную инерционную силу, составляющую на экваторе почти
треть процента от веса; как правило, мы будем брать все это
в целом в качестве номинального веса, хотя эта сила и не
имеет постоянного направления всюду, за исключением эквато-
экватора. Во многих задачах мы можем также игнорировать движение
таких тел, как суда и различные аппараты, а также и движу-
движущиеся части машин, когда движения достаточно медленные,
а действующие нагрузки достаточно велики.
Напряжения. Как уже обсуждалось выше, для того чтобы
рассмотреть все грани поведения деформируемых тел (а все
тела являются деформируемыми), мы должны изучать не только
все тело в цело'м, но и каждую его часть. Силы, которые дей-
действуют на характерную часть -тела, состоят из той части нагру-
нагрузок, действующих на все тело в целом, которая прикладывается
именно к этой выделенной части, а также _из сил, которые
передаются на рассматриваемую часть от соседних частей тела
(т. е. напряжения). Таким образом, уравнения равновесия, со-
составленные для таких частей, как для свободных тел, дают нам
соотношения между нагрузками и напряжениями.
На рис. 1.1 показаны консольная балка, на которую дей-
действуют приложенная по ее верхнему краю нагрузка и собствен-
собственный вес, и две части или элементы а и Ъ этой балки. На эле-
элемент а действуют приходящийся на этот элемент вес, част!
приложенной по верхнему краю балки нагрузки, а также силы,
приложенные к другим сторонам элемента и вызываемые воз-
воздействием окружающих элементов (напряжения). На элемент Ь
действует вес, а также напряжения, возникающие на всех его
сторонах.
20 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
Напряжения, возникающие на каждой из сторон, обычно
направлены под некоторым углом, и для удобства будем разде-
разделять их на нормальные и сдвигающие составляющие, нормаль-
нормальные и касательные к грани; деформации; соответствующие этим
напряжениям, будем обозначать соответственно как нормальные
и сдвигающие. Jia этих схемах вырезанных элементов нет не-
необходимости указывать знак и величину напряжений; подробное
обсуждение зависимости между касательными напряжениями на
различных сторонах элементов, а также других вопросов будет
приведено в § 3.1. Все показанные силы, именно все силы,
Рис. 1.1.
являются внешними силами по отношению к телам, на которые
они действуют. Используемое иногда понятие внутренних сил
является излишним и отчасти даже вводящим в заблуждение
и поэтому здесь не будет использоваться. Важно зафиксировать
в сознании представление о теле вместе с действующими на
него силами1). ч
Здесь нет нужды делать какое-либо различие между силами,
распределенными по верхней грани элемента а, и распределенны-
распределенными силами, приложенными к остальным граням. Последние, по
существу, являются силами молекулярного взаимодействия, глав-
главным образом электростатического (в этом смысле даже контакт-
контактные силы в действительности обусловлены взаимодействием на
расстоянии, но наше обычное, общепринятое представление о кон-
контактных силах тем не менее является полезным и справедли-
справедливым!), и вызываются действием молекул, расположенных вне гра-
границ элемента, на молекулы, лежащие внутри этой границы. Един-
Единственное реальное различие между силами, действующими на
верхнюю грань и действующими на остальные грани, состоит в
том, что молекулы, лежащие вне верхней границы элемента, ле-
лежат также и вне самого тела, в то же время такие же молекулы,
лежащие вне остальных границ, принадлежат самому телу, одна-
однако вообще-то вводить подобное различие во всем том, что каса-
касается малого элемента, нет необходимости.
И в самом деле, сжимающее напряжение на верхней грани
консольной балки, вызываемое нагрузкой, действующей на балку,
') Понятие внутренних сил является основополагающим в механике де-
деформируемых тел, и автор, разумеется, сам пользуется непрестанно этим
понятием.— Прим. ред. •
§ 1.3] НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ, ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. 21
только ненамного отличается от сжимающего напряжения на го-
горизонтальной поверхности, лежащей немного ниже верхней по-
поверхности, а напряжения на горизонтальных поверхностях, лежа-
лежащих еще ниже, изменяются постепенно и непрерывно по мере пе-
перехода от верхней поверхности к нижней. Другими словами, рас-
распределенная нагрузка на верхней поверхности в действительно-
действительности является частью — продолжением — напряженного состояния
или поля напряжений, которое имеет место во всем теле.-
Сказанное справедливо для всех нагрузок, вызываемых контак-
контактами с другими телами... В случае сосредоточенной нагрузки, при-
приложенной в точке на внешней поверхности, поле напряжений ста-
становится просто более концентрированным по мере приближения
к точке приложения, т. е. напряжения становятся более высоки-
высокими на тех элементах, которые расположены ближе к этой точке,
и так до тех пор, пока в самой точке не получается напряжение
с теоретически бесконечно большой интенсивностью на бесконеч-
бесконечно малой площадке (или, как это имеет место в практических слу-
случаях, с большой, но конечной интенсивностью вследствие разви-
развития деформаций в окрестности точки приложения нагрузки, так
как в действительности такого явления, как сосредоточенная на-
нагрузка, не существует, что обсуждается на стр. 191).
Напряжения и деформации. Выше понятие напряжения ис-
использовалось до некоторой степени не вполне точно. В дальней-
дальнейшем мы будем использовать это понятие для обозначения только
напряжения, понимаемого как сила, отнесенная к единице пло-
площади, которая должна быть умножена на площадь, по которой
' она распределена (или бесконечно малую площадь, если напря-
напряжение переменное), для того чтобы получить отнесенную к пло-
площади силу и использовать ее в уравнениях равновесия. Величина
равномерно распределенного напряжения, действующего на опре-
определенной площади, таким образом, определяется как действующая
на некоторой площади сила, деленная на эту площадь, в то вре-
время как в случае переменного напряжения его величина в некото-
некоторой точке определяется как предел этого соотношения при стрем-
стремлении к нулю площади области, окружающей эту точку. Эти оп-
определения, а также соответствующие определения для деформа-
деформаций о^ень хорошо известны, однако менее известным является
вопрос о том, что мы имеем в виду под словами площадь и длина,
так как все размеры деформируемого тела при нагружении изме-
изменяются.
Будем считать, что границы элементов тела закреплены в этом
теле и притом так, что они двигаются и деформируются вместе с
телом; например, можно нанести краской очертание контура внеш-
внешней грани такого элемента на поверхности полосы из мягкой ре-
резины и наблюдать, как изменяется форма этого контура при сжа-
сжатии полосы. Каждая грань элемента имеет начальную площадь,
когда элемент находится в ненапряженном состоянии, т. е. когда
22 ОБЩИЕ-ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
в нем отсутствуют напряжения (в частности, отсутствуют напря-
напряжения, обусловленные нагрузками, действующими на.тело,частью
которого является элемент; в большей части тел имеются неко-
некоторые начальные напряжения, не связанные с нагрузками, но при
расчетах, как правило, ими следует пренебрегать, так как, по-ви-
по-видимому, они очень сильно изменяются от образца к образцу, а их
величину определить нелегко; такие напряжения и их значения
будут обсуждены ниже в § 1.7).
Кроме начальной площади грани элемента, будет- иметь место
конечная площадь при изучаемом напряженном и соответственно
деформированном состояниях. Величина среднего нормального
или касательного напряжения при таком напряженном состоянии
может быть определена как отношение нормальной или касатель-
касательной силы к начальной или конечной площади. Любое из опреде-
определений справедливо и может быть использовано для правильного
описания действительных условий. Аналогичные вопросы возни-
возникают при определении деформаций; например, малые нормаль-
нормальные деформации можно определить как отношение изменений не-
некоторых размеров либо к начальным, либо к' конечным значени-
значениям этих размеров.
Какие бы из этих определений не использовались, все соотно-
соотношения, включающие в себя напряжения или деформации (а сюда
входят все соотношения, приведенные в табл. 1.2), должны быть
совместными с этими определениями, т. е. теоретические соотно-
соотношения должны устанавливаться, а результаты экспериментов дол-
должны быть ^гроинтерпретированы в соответствии с выбранными
оиредеяениями. Как правило, будут использоваться определения,
основанные на использовании начальных площадей и размеров
(как это принято на практике), так как это приводит к простей-
простейшим формам соотношений и толкований. Таким образом, напря-
напряжение определяется как сила, деленная на начальную площадь
поверхности, на'которую действует сила, а нормальная деформа-
деформация— как изменение длины, поделенное на начальную длину. Ко-
Конечно, этот вопрос не столь важен, когда деформации малы, как
это имеет место при упругих деформациях твердых материалов,
но важен и может стать причиной некоторой путаницы при изу-
изучении резиноподобных материалов и исследовании пластических
деформаций мягких материалов.
Перемещения. Перемещения точек тела часто имеют практи-
практическое значение и сами по' себе и, что уже отмечалось, как отно-
относительные перемещения различных точек, вызывающие деформа-
деформацию. Точки тела считаются закрепленными в теле и задаются сво-
своими начальными координатами в координатной системе, которая
обычно считается фиксированной относительно Земли, движени-
движением которой, как правило, пренебрегают. В динамических задачах
может оказаться желательным использовать подвижную систему
координат, которая связывается с. определенными точками тела;.
S 14]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
23
Рис. 1.2.
в этом случае перемещения можно разделить на две составляю-
составляющие: перемещение как жесткого тела, соответствующее движе-
движению ненагруженного тела вместе с системой координат, п пере-
перемещение точек тела относительно системы координат — послед-
последнее определяет деформации и в общем случае обе составляющие
являются причиной возникновения инерционных сил, которые
должны учитываться как нагрузки.
Перемещение точки относительно системы координат можно
описывать различными способами, но лы будем выражать его
через компоненты перемещения, касательные к линиям координат
в начальном положении точки. Так, если используется полярная
система координат (рис. 1.2) и точка тела движется от начально-
начального положения Р к конечному положению Р', перемещение выра-
выражается через'компоненты ит и и9, на-
направленные из начальной точки Р ка-
касательно к радиальной и окружной ко-
координатным линиям. Может показать-
показаться, что проще выразить перемещение
как разность между координатами то-
точек Р' и Р, но в общем случае это
приводит к большим трудностям. Разу-
Разумеется, для случая прямоугольных ко-
координат нет разницы в том, какое»
определение используется, но во многих случаях более подходя-
подходящими оказываются иные координатные системы. Мы будем
использовать координатные оси, лежащие в срединной поверхно-
поверхности ненагруженного стержня или пластины и перпендикулярные
к ней, а в случае оболочек — совпадающие с линиями кривизны
срединной поверхности, о чем говорится в главе 6.
§ 1.4. Энергетические методы * .
Рассмотрим теперь соотношение между основными величина-
величинами. Принцип равновесия достаточно понятен, и в настоящее вре-
время ни он, ни геометрические соотношения между деформациями
и перемещениями не нуждаются в обсуждении. Здесь, однако,
удобно обсудить тот-факт, что для случая упругого тела, т. е. для
тела, чей материал можно считать подчиняющимся закону Гука,
а напряжения не превышают предела упругости, уравнения рав-
равновесия можно заменить целиком либо частично рассмотрением
энергии упругой деформации, т. е. потенциальной энергии, накоп-
накопленной при упругом.деформировании тела (например, энергия,на-
энергия,накопленная при заводе часовой пружины), которую можно подсчи-
подсчитать как сумму работ, совершаемых при деформировании каждой
части тела.
Наложение. Из всех различных сформулированных к настоя-
настоящему времени принципов будет использоваться только принцип
24 • . ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
возможной работы, так как он будет отвечать всем нашим целям
и не требует условия выполнимости наложения, как это имеет
место в других энергетических методах. Условие выполнимости
наложения состоит в том, что результаты действия на одно и то
же тело комбинации систем нагрузок должны представлять собою
простое наложение, т. е. суммирование, результатов действия
каждой системы нагрузок в отдельности; например, если система
нагружения А при действии на тело вызывает в определенном
направлении и определенном месте сжимающее напряжение ал,
а другая система нагружения В вызывает напряжение ов, то на-
нагрузки А и В, действуя совместно, должны создавать напряжение
величиной аА + Ов', аналогичное имеет место для деформаций и
относительных перемещений. Условие наложения применимо толь-
только тогда, когда имеется линейная связь между нагрузками и на-
напряжениями, а также деформациями и перемещениями, это в
свою очередь требует не только того, чтобы материал подчинялся
закону Гука, но и того, чтобы относительные перемещения были
бесконечно малыми, с тем чтобы можно было пренебречь измене-
изменениями в геометрии рассматриваемой задачи, обусловленными пе-
перемещениями. Балки, пластины и оболочки являются сравнитель-
сравнительно жесткими в срединной поверхности, а изменения геометрии
этой поверхности редко являются важными, однако изменение гео-
геометрии, обусловленное изгибом в податливом поперечном направ-
направлении, часто оказывается существенным, и в таких случаях
нельзя использовать принцип наложения.
Принцип виртуальной работы. Так как этот принцип не зави-
зависит от принципа наложения, его можно использовать как для
больших, так и для малых перемещений. Принцип только утвер-
утверждает, что при бесконечно малом возможном изменении переме-
перемещений работа, которую совершают нагрузки, т. е. все действую-
действующие на тело внешние силы, равна изменению энергии упругой де-
деформации. Возможное изменение перемещения есть перемещение,
изменяющееся непрерывно в зависимости от координат и не нару-
нарушающее граничные условия, что, например, случается, если рас-
рассматриваются перемещения и повороты точек, в которых наложен-
наложенные связи не допускают их. Следует отметить, что действитель-
действительные перемещения могут быть большими, а малыми должны быть
только их изменения. Такие малые возможные перемещения на-
называются виртуальными перемещениями, отсюда — и наименова-
наименование принципа; слово «виртуальное» является традиционным,'и в
дальнейшем в этой книге ему не будет придаваться иной смысл.
Если бы изменения перемещений нарушали граничные усло-
условия, то мы исследовали бы систему, отличающуюся от исходной.
Если, эти изменения были бы не очень малы, мы бы изучали си-
систему при нагрузке, которая уже не являлась реальной, а была
некоторой другой нагрузкой, которая потребовалась для создания
указанных перемещений. Принцип виртуальной работы может
g 1.4] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 25
рассматриваться как приложение в простой форме общего прин-
принципа сохранения энергии, если ограничиться, как и в данном слу-
случае, механической работой, и поэтому его легко запоминать и при-
применять, не боясь ошибиться. Теоретически сходные принципы
можно было бы применять к задачам для неупругого материала,
но это повлекло бы за собой гораздо большие и, возможно, не оп-
оправданные на практике усложнения.
Принцип возможной (виртуальной) работы может быть выве-
выведен из уравнений равновесия и наоборот, что указывает на их
взаимозаменяемость. Представим себе, что тело заменяется экви-
эквивалентной системой частиц, соединенных невесомыми упругими
пружинами. Пусть и, v, w — перемещения характерной частицы
в направлении осей х, у, z, a du, dv, dw — изменения этих пере-
перемещений. Затем для каждой частицы запишем уравнения равно-
равновесия 2 fx = О, 2 fy = О, 2 /г = 0, умножим каждое из этих урав- ,
нений соответственно на перемещения du, dv, dw каждой частицы
и сложим все уравнения. В получающемся при этом выражении
произведения компонент нагрузок на компоненты перемещений
(в направлении нагрузок и в месте их приложения) складывают-.
ся в работу* совершаемую нагрузками; когда соответствующие
произведения, включающие силы, возникающие из-за действия
пружин, складываются с отрицательным по знаку изменением "энер-
"энергии упрупЬй деформации, их сумма получается равной нулю.
Точно'так же уравнения равновесия могут быть выведены из
соотношения между энергией упругой деформации и совершае-
совершаемой нагрузками работой, задаваемого принципом виртуальных ра-
работ, путем применения вариационного исчисления. Это нетрудно
сделать, когда можно воспользоваться простыми выражениями
для энергии деформации, но это нелегко сделать с более сложны-
сложными выражениями для энергии деформации, подобными тем, что
выводятся из более точных общих соотношений между деформа-
деформациями и перемещениями (см. главу 6) и которые включают в се-
себя множество различных соотношений и многочисленные проме-
промежуточные параметры. В любом случае представляется более ес-
естественным выводить уравнения равновесия так же, как будем
делать и мы, непосредственно из физического смысла задачи в со-
соответствии с простым законом равновесия.
Некоторые приближенные соотношения, выведенные непо-
непосредственно из условия равновесия, не совпадают с теми, которые
получаются из энергетических соображений с использованием
аналогичных аппроксимаций в выражениях для энергии деформа-
деформации; исследователи с математическим складом ума могут указать
случаи, при которых такие соотношения теряют силу. Легко по-
показать, что точные соотношения позволяют успешно выдержать
такую проверку, но этот факт еще не означает, что эта проверка
в любом случае является мерой степени точности приближенных
выражений, хотя она указывает на степень совместности получен-
26 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
ных соотношений. Некоторые более приближенные и полученные
при определенных ограничениях соотношения успешно выдержи-
выдерживают подобную проверку, в- то время как общепризнанные более
точные и широко применяемые соотношения не удовлетворяют им.
Принцип возможной работы применим также и к случаю обоб-
обобщения статических задач на динамику путем использования
принципа Даламбера и включения в число нагрузок инерционных
сил. В этом случае работа, проделанная инерционными силами,
в действительности представляет собой изменение кинетической
энергии, во упомянутый принцип может применяться таким же
образом, как и в статических задачах. ь
В частности, при использовании энергетических методов мож-
можно на основании общих соображений или экспериментов задавать-
задаваться формой или модой перемещения, которая бы аппроксимирова-
аппроксимировала действительную форму, и, используя принцип возможной рабо-
работы, определить его величину; этот способ называется методом Ре-
лея по имени его автора. Иначе говоря, перемещение может быть
описано в форме ряда по компонентам перемещений с неизвестны-
неизвестными амплитудами, которые после суммирования могут соответство-
соответствовать точному значению перемещения, амплитуды определяются
из принципа возможной работы; этот способ обычно называют
методом Релея — Ритца1), и с его помощью получают теорети-
теоретические точные решения в виде бесконечных рядов. Так как рас-
рассмотрение энергии деформации связано с осреднением искомых
величин по всему телу, эти ряды обычно быстро сходятся для
таких величин, как прогибы балок и критические нагрузки или
частоты колебаний, которые зависят от условий, в которых нахо-
') Этот метод был развит лордом Релеем (Джоном Уильямом Стрет-
том) и изложен им,.в частности, в его книге «Теория звука» (Strutt John
William (Baron Rayleigh). The theory of sound. 2nd ed.—New York: Dover
Publications, 1945, v. 1.—504 p., v. 2—480 p.) Первое английское издание
вышло в 1877 г. (т. 1, 326 стр.) и в 1878 г. (т. 2, 302 стр.), второе — в 1894—
1896 гг., третье — в 1926 г. Русский перевод третьего английского издания:
Стре.тт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука:—М.; Л.: Гостехиздат, 1955.
Математическое обоснование этого метода было дано швейцарским физи-
физиком Вальтером Ритцем (R i t z W. Uber eine neue Methode zur Losung ge-
wisser Variationsprobleme der mathematischen Physik.— Journal reine und
angewandte Math. (Crelle), 1908, Bd 135, № 1, SS. 1—61. Gesammelte Werke.— .
Paris: Gauthier-Villars, 1911, SS. 192—250). Интересно отметить, что Релей
применял свой метод и для определения низших частот упругих колебаний
(Rayleigh J. W. Some general theorems relatings to vibrations.— Proc.
London Math. Soc, 1873, v. 4, pp. 357—368; Scientific papers. V. 1.—Camb-
1.—Cambridge: Univ. Press, 1899, pp. 170—181) и для нахождения высших частот
(Rayleigh J. W. On the calculation of the frequency of vibration of a
system in its gravest mode, with an example from hydrodynamics.— Philos.
Mag., ser. 5, 1899, v. 47, pp. 556—572; Scientific papers. V. 4.— Cambridge:
Univ." Press, 1903, pp. 407—412; Rayleigh J. W. On the calculation of
Chladni's figures for a square plate.—Philos. Mag. Ser. 6, 1911, v. 22, pp. 225—
229; Scientific papers. V. 6 —Cambridge: Univ. Press, 1920, pp. 47—50).—
Прим. ред. - . . ¦
§ 1.4] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ' 27
дится все тело. Энергетические методы в гораздо меньшей степе-
степени пригодны для вычисления локальных характеристик типа на-
напряжения в точке, поскольку сходимость в подобных случаях оказы-
оказывается довольно медленной. О подобных случаях речь пойдет ниже.
Как видно из приведенного в конце главы 2 примера, реше-
решения, получаемые энергетическим методом, дают в общем случае
завышенные значения жесткости, а следовательно, критической
нагрузки и частоты колебаний исследуемого тела, но это дает,
по крайней мере, границу изменений для указанных величид. Ска-
Сказанное объясняется тем, что используемая неточная форма, кото-
которой соответствует усеченный ряд (один член ряда — в методе Ре-
лея шш несколько членов — в методе Релея — -Ритца), может рас-
рассматриваться как точная форл1а при наличии дополнительных
связей, которые прикладываются к телу, чтобы заставить ето
принять выбранную форму, и которые несколько уменьшают
прогибы и тем самым заметно увеличивают жесткость.
Метод решения, предложенный И. Г. Бубновым1), отчасти
аналогичен энергетическому методу, но здесь он не будет исполь-.
зоваться, лоскольку, по-видимому > не имеет преимуществ по срав-
сравнению с энергетическим методом в рассматриваемых нами случа-
случаях и уступает последнему в простоте и удобстве физического тол-
толкования.
Появле'ние мощных вычислительных машин сделало возмож-
возможным развитие таких приближенных методов численного решения,
как метод конечных элементов, в котором конструкция разбивает-
разбивается на конечное число частей, и большое количество соотношений
описывающих условия равновесия каждого элемента, и условие
совместности между соседними элементами решаются непосред-
непосредственно или с помощью энергетического подхода2). Такие методы
чрезвычайно широко распространены из-за их большой гибкости.
Они лучше подходят для решения отдельных задач, чем
для построения общих решений целого класса задач, и должны,
') Метод Бубнова- состоит в том, что решение исходного дифференци-
дифференциального, уравнения заменяется условием ортогональности этого уравнения,
в которое внесено выбранное представление для искомой функции, к самой
искомой функции. Этот метод впервые был предложен в 1911 г. Иваном
Григорьевичем Бубновым A872—1919 ггД (см. Бубнов И. Г. Отзыв
о работе проф. С. П. Тимошенко «Об устойчивости упругих систем».— Сб. Спб.
ин-та инж. путей сообщ., 1913, вып. 81, с. 33 — 36, см. также перепечатку
этой работы в сборнике: Бубнов И. Г. Избранные труды.— Л.: Суд-
промгиз, 1956, с. 136—139; Строительная механика корабля. Часть II.— Gn6.:
тип. Морского мин-ва, 1914, § 22, с. 515—544) и применим к любым диффе-
ренциальным уравнениям и их системам. Подробнее о методе И. Г. Бубнова,
его истории и развитии см. работу: ГриголюкЭ. И. О методе Бубнова.
К шестидесятилетию его создания.— В кн.: Исследования по теории пластин
п оболочек, вып. 11, Изд. Казанского ун-та, Казань, 1975, с. 3—41.— Прим.
ред.
2) Но также и с помощью метода И. Г. Бубнова.— Прим. ред.
28 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. i
разумеется, использовать основные принципы, с которыми мы в
основном и будем иметь здесь дело. За подробностями, связанны-
связанными с их использованием, читатель отсылается к специальным ра«
ботам по этим вопросам.
§ 1.5. Зависимости напряжений от деформаций
Обсуждаемые в данной книге приложения будут относиться к
случаю упругого материала, для которого зависимости напряже-
напряжения от деформаций выражаются хорошо известным и относитель-
относительно .простым законом Гука, который будет формально выписан в
§ 3.1 при обсуждении задач, теории упругости. Реальные матери-
материалы не следуют этому закону в точности. Некоторые, подобно чу-
чугуну, обладают слабо , нелинейной зависимостью напряжения от
деформаций. Но даже те, у которых на первый взгляд эта зависи-
зависимость линейна вплоть до предела упругости, демонстрируют едва
заметное различие в поведении при нагружении и разгрузке (уп-
(упругий гистерезис, который имеет, по-видимому, существенное зна-
значение в связи с усталостью материалов1); при этом обнаруживают-
обнаруживаются и температурные эффекты, проявляющиеся в различии темпе-
температурных постоянных при изотермическом (при очень медленном
изменении деформаций) и адиабатическом (при очень быстром
изменении деформаций) нагружении, они до некоторой степени
аналогичны электростатическим эффектам. Подобные отклонения
от закона Гука, как правило, не важны для практических задач
и не будут рассматриваться здесь.
Уравнения равновесия и соотношения, связывающие деформа-
деформации и перемещения и аналогичные тем, что выведены в главе 6
для произвольной оболочки, не ограничиваются случаем упругого
материала и могут быть применены ко всем материалам при раз-
различных условиях их работы. Частично, кроме упоминавшихся
вопросов общности, в оставшейся части этой главы будут обсуж-
обсуждены некоторые аспекты более общих зависимостей напряжений
от деформаций, такие, как близко связанные с этими вопросами
теории разрушений, коэффициенты запаса и т. п., что лежит в ос-
основе всех расчетов.
Наиболее типичная и в то же время иллюстрирующая многие
важные особенности зависимость напряжения от деформаций по-
получается при испытании на растяжение образца из малоуглероди-
малоуглеродистой стали. Если испытание проводится таким образом, что при
этом удается избежать влияния инерции испытательной машины,
то результаты обычно весьма похожи на кривую, изображаемую
сплошной линией на рис. 1.3. Предел пропорциональности (pro-
(proportional) Тр, который определяется как конец первоначально пря-
прямолинейного участка диаграммы, можно считать совпадающим
(настолько близко, насколько можно измерить) с пределом упру-
упругости (elastic) те, определяемым как наибольшее напряжение,
вплоть до которого образец будет упруго восстанавливать свои
S i.5]
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
29
Деформация
Рис. 1.3.
первоначальные размеры при снятии напряжения. Предел теку-
текучести (yield) tv — напряжение,, при котором имеют место дефор-
деформации при постоянном напряжении, а предел прочности (ultima-
(ultimate) Tu — не требует объяснения. Следует сразу отметить, что мас-
масштаб этой диаграммы сильно искажен для того, чтобы сделать ее
более наглядной. По вертикальной оси координаты отложеныдоч-
ти в масштабе, а упругая (elastic) деформация ге сильно увели-
увеличена по сравнению с пластической деформацией на оставшейся
части диаграммы, которая должна
быть в действительности в несколько
сот раз больше, чем упругая дефор-
деформация ге.
Изображенное напряжение пред-
представляет собой полную растягиваю-
растягивающую нагрузку, поделенную на началь-
начальную площадь поперечного сечения.
Оно, разумеется, есть только сред-
среднее растягивающее напряжение,
возникающее в поперечном сечении,
но вплоть до начала образования шей-
шейки напряжение будет почти равномерно распределено в той ча-
части образца, которая используется для замеров, так что оно будет
близко к действительным напряжениям, возникающим в каж-
каждой точке поперечного сечения. Образование шейки, т. е. локаль-
локальное пластическое течение на небольшой длине образца (вследст-
(вследствие неустойчивости процесса равномерного пластического течения),
начинается вблизи точки перегиба Р, где кривизна зависимости
напряжения от деформации изменяет свой знак (от вогнутости,
направленной вверх, до вогнутости, направленной вниз). Отсюда
следует, что диаграмма больше отражает изменение формы об-
образца вследствие образования шейки, чем характер поведения
материала, и действительная сопротивляемость материала, которую
можно было бы измерить как отношение силы сопротивления
к соответствующей ей' площади поперечного сечения, обуслов-
обусловливает подъем после точки Р до момента разрушения так, как
это показано пунктирной линией.
Посредине шейки (рис. 1.4, а), где имеет место наибольшая
деформация в этот период, картина деформирования оказывается
более сложной. Растягивающее напряжение здесь не только не-
неоднородно с концентрацией напряжения на крае, как это показа-
показано на рис. 1.4, б, но вследствие искривления внешней поверхно-
поверхности шейки напряжения на внешних волокнах по обеим сторонам
центра шейки имеют направленные наружу радиальные компо-
компоненты (рис. 1.4, а). При этом в материале развиваются большие
радиальные напряжения, которые равны нулю на поверхности и
увеличиваются по направлению к центру (рис. 1.4, в); они соот-
соответствуют продольному растягивающему напряжению. Все ска-
30 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. i
занное приводит к показанной на рис. 1.4, г сложной форме раз-
разрушения, которая будет обсуждаться в § 1.6 применительно к те-
теориям разрушения.
Все • эти сложности, обусловленные образованием шейки, не
влияют на пределы пропорциональности и текучести, что очень
удачно, так как именно они являются наиболее важными характе-
характеристиками при расчетах. Прежде считалось общепринятым осно-
основывать расчет на пределе прочности, но теперь этот подход счита-
считается устаревшим, н теперь при расчете за основу берут предел
^oe оазрушение
при gs
Внутренний разрыв
при растяжении
у рры
г, .;. , при растяжении
¦ о) В) г,
Рис. 1.4?
.текучести. Однако представляется вполне логичным при расчете
таких конструкций, как подъемные механизмы, тросы которых на-
нагружаются равномерным растяжением помогут оставаться равно-
равномерно растянутыми почти до момента разрушения, использовать
предел прочности; в подобных случаях можно было бы с большей
эффективностью применять материалы с различными отношени-
отношениями t«/Tj,, проводя расчет по пределу прочности, а не по пределу
текучести. Для тел, нагружаемых большим числом циклов знако-
знакопеременного и просто переменного растягивающего напряжения,
представляется логичным проводить расчет по пределу усталости
материала, который определяется как наибольшее изменяющееся
значение напряжения, которое может выдержать материал для
очень большого числа циклов, тогда как для тел, для которых
главнейшей характеристикой является жесткость, при расчете в
качестве главной меры прочности может оказаться модуль упру-
упругости Е.
В большей части расчетных случаев в качестве основы для
расчета можно использовать либо предел текучести (напряжение,
при котором могут появиться большие и обычно недопустимые
пластические деформации), либо предел упругости, т. е. напря-
напряжение, вплоть до которого нигде не возникает пластическая де-
деформация. Очевидно, оба эти напряжения до некоторой степени
неопределенны, и во многих случаях трудно установить и найти
их значения. Из накопленного опыта следует, что величины. тр
или тс, определяемые из экспериментов, сильно зависят от чувст-
чувствительности приборов, используемых для определения первого от-
отклонения от линейности или первого признака остаточного изме-
изменения размеров; с помощью более чувствительных приборов по-
получаются более низкие значения, и можно предположить, что если
§ 1-5]
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
31
бы приборы были достаточно чувствительны, то эти величины по-
получались бы равными нулю. Предел текучести определяется в эк-
экспериментах достаточно точно, чтобы служить характеристикой
для малоуглеродистой стали, но большая часть материалов, кото-
которые используются в настоящее время, не имеют настоящего, в том
смысле, как он был определен первоначально, предела текучести,
зависимость напряжения
от деформации
&ля реального материала , ¦
Диаграмма
зависимости
от деформации
дРЯ
идеализированного-
материала \
Пврсбог.а
Зависимость напряжения от уела
найлона диаграммы
^идеализированного материала
•v ¦ f Тангенс Зс f
4 us/ia' 4
наклона
диаграммы зависимости
напряжения от Реформации
Ю
Деформация
в)
Рис. 1.5. •
диаграммы зависимости'напряжения от деформации для этих" ма-
материалов выглядят подобно изображенной на рис. 1.5, а (рис. 1.5
взят из работы автора1)). ¦" .
Условные предел упругости и предел текучести. Понятие о пре-
пределе упругости как о напряжении, при котором возникает первая
пластическая деформация, или о пределе текучести как о напря-
напряжении, при котором пластическое течение становится очень боль-
большим, настолько полезно при расчетах, что появились многочис-
многочисленные предложения по поводу того, что принимать за пределы
упругости и пределы текучести для материалов, для которых эти
характеристики либо невозможно определить, либо они не суще-
существуют вообще. Эти пределы рассматриваются как напряжения,
при которых остаточная деформация, полная деформация или угол
наклона кривой зависимости напряжения от деформации имеют
определенные, но достаточно произвольно выбранные величины;
') Donnell L. H. Suggested new definition for proportional limit and
yield point.- Mech. Eng., 1938, v. 60, pp. 837-838.
32' ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
подобные величины нельзя считать вполне приемлемыми для той
цели, для которой они были выбраны первоначально, и скорее во-
вообще неприемлемыми для других.
Более рациональный подход состоит в использовании для этой
цели предела пропорциональности и предела текучести идеализи-
идеализированного материала, который обладает свойствами, аналогичны-
аналогичными реальным материалам и который настолько, насколько это воз-
возможно, близок по поведению реальному материалу, так что для
инженерных приложений разница могла бы быть и несуществен-
несущественной. На рис. 1.5,6 показано, как это можно было бы сделать1).
Если вместо построения зависимости напряжения от деформации,
как это сделано на рис. 1.5, а, построить зависимость напряжения
от угла наклона кривой зависимости напряжения от деформации,
то получим кривую, подобную изображенной на рис. 1.5,6 сплош-
сплошной линией.' Подобные кривые зависимости напряжения от дефор-
деформации можно построить для всех материалов. Указанные кривые
можно с достаточной точностью аппроксимировать двумя пока-
показанными пунктиром прямыми линиями: вертикальная линия в точ-
точке с абсциссой Е и наклонная линия, которая пересекает сплош-
сплошную линию в точках с абсциссами Е/А и ЗЕ/А. Эти пунктирные
линии определяют кривую, описывающую зависимости напряже-
напряжения от угла наклона диаграммы напряжения — деформации для
идеализированного материала; зависимость напряжения от дефор-
деформации для этого материала показана на рис. 1.5, в, где за истин-
истинные пределы пропорциональности (proportional) и текучести
(yield) можно было бы принять тР и т„, т. е. напряжения, соот-
соответствующие точкам пересечения наклонпой пунктирной линии с
вертикальной пунктирной линией и с вертикальной осью коорди-
координат (рис. 1.5,6). Воспользовавшись ими в качестве условного пре-
предела пропорциональности и условного предела текучести для ре-
реального материала, можем записать
хр = 1,5тзВ/4—0,5тв/4, ту =
где rE/i и Тзе/4 — напряжения, при которых тангенс угла наклона
диаграммы зависимости напряжения от деформации составляет
соответственно Е/А и ЗЕ/А. Аналогично может оказаться полез-
полезным при исследованиях в пластической области аппроксимировать
поведение зависимости напряжения от деформации с помощью
аналитического представления линий, изображенных на рис. 1.5, в,
и штриховых линий, представленных на рис. 1.5,6.
§ 1.6. Совместные действия напряжений. Теория разрушеиия
Сложность такого вопроса, как механическое поведение мате-
материалов, видна из того, что так долго пришлось рассматривать
только некоторые аспекты поведения материалов при статическом
') См. упомянутую на с. 31 работу автора.
§ 1.6] ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ \ ОШиЦМ I оа
одноо'сном растяжении. В то же время упругое поведение при на-
наиболее сложных комбинациях- напряжений описывается относи-
относительно просто обобщенным законом Гука, изложенным в § 3.1,
большая часть многочисленных монографий по пластичности ка-
касается формулировки на основе данных по одноосным испытани-
испытаниям того, как будет происходить пластическое течение при двух-
и трехосном напряженных состояниях, имеющих место на прак-
практике. Дальнейшее усложнение было бы связано с рассмотрением
поведения неоднородных (неизотропных) материалов или мате-
материалов, свойства которых зависят от времени, учетом влияния
усталости, температуры, коррозии и т. п.
При такого рода обсуждении можно только надеяться при-
привлечь внимаиие к некоторым более важным вопросам, которые
часто остаются незамеченными. Некоторая информация о пове-
поведении материалов при различных усдовиях может быть получена
из других статических испытаний, таких, как испытания на сжа-
сжатие и кручение, или динамических испытаний, испытаний на ус-
усталость и на ударную вязкость по Изоду. Так же, как. и при ис-
испытаниях на растяжение, имеются трудности в выполнении и ин-
интерпретации этих испытаний. Нетрудно реализовать при испыта-
испытаниях наиболее сложные трехосные напряженные условия (т. е.
случаи возникновения напряжений в трех направлениях), но часто
трудно или даже невозможно количественно оценить результаты
опытов, так как неизвестны распределения напряжений, особенно
после того, как возникли хотя бы незначительные пластические
деформации.
Рассматривая равновесие малого элемента, который ограничен
поверхностями с известными напряжениями и поверхностями, на-
напряжение на которых надо найти, можно определить нормальное
и касательное напряжения на плоскостях, расположенных под
произвольным углом в рассматриваемой точке, выразив их через
известные нормальное и касательное напряжения на трех .(обычно
взаимно перпендикулярных) плоскостях. Таким путем можно по-
показать, что описание произвольного трехосного напряженного со-
состояния может быть упрощено путем выбора трех "взаимно пер-
перпендикулярных главных плоскостей, на которых отсутствуют
касательные напряжения, а присутствуют только главные нор-
нормальные напряжения; обозначим эти Главные нормальные напря-
напряжения через d, a2, а3. Они представляют собой в алгебраическом
смысле максимальное и минимальное нормальные напряжения
(рассматриваем растягивающее напряжение положительным, сжи-
сжимающее — отрицательным) на любой площадке, _ проходящей че-
через эту точку. Существуют ,также главные касательные напряже-
напряжения о12, o2s, oij их величины соответственно равнй (о4 — 02)/2,
(о2 —03)/2, (а3 —а4)/2, и, расположены они на площадках,
наклоненных под углом 45 к площадкам, на которых возни-
возникают соответственно напряжения Oi и о2, о» и о3, о3 и о\;
3 Л. Г. Доннелл i
КОЛОХ2А
34 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ _ [ГЛ. 1
среди этих трех значений имеется максимальное касательное
напряжение.
"Таким образом, для стержня, растягиваемого одноосным на-
напряжением ах, главные напряжения равны ах, 0, 0, а главными
., касательными напряжениями будут ох/2, 0, ох/2. В пластине при
равных двухосных напряжениях ох = оу — о главные нормальные
напряжения равны о, о, 0, а максимальное касательное напряже-
напряжение равно .не (о*— о)/2 = 0, как иногда ошибочно полагают, а со-
составляет (о — 0)/2 = а/2. В обоих случаях, когда пластическое те-
течение возникает, оно связано с касательным напряжением, а не
с наибольшим нормальным напряжением.
* В задачах для балок, пластин и оболочек, как известно, значи-
значительные напряжения обычно, возникают только в одной плоско-
-ети (плоское напряженное состояние, см. § 3.2), скажем, нормаль-
нормальные напряжения ох .и оу, возникающие на площадках, перпенди-
перпендикулярных осям х и у, и касательное напряжение о^, возникаю-
возникающее на этой поверхности в плоскости ху. В таких случаях в •
элементарных учебниках сопротивления материалов показывается,
что главное нормальное и касательное напряжения равны
°i — (ах + сгу)/2 + ст12, а2 — (ах + сгу)/2 — (т12, аа = 0-, A.1)
Теоретически в эксперименте можно получить любое трехос-
трехосное напряженное состояние, кроме случая трех растягивающих -
напряжений^ нагружая тонкостенную трубу комбинацией осевого
растяжения' или сжатия и одновременно внутренним или внеш-
внешним давлением. Результатам такого испытания можно дать коли-
количественную оценку даже после возникновения Пластического
течения, благодаря тому, что напряжения распределены практиче-
практически равномерно по толщине и могут быть найдены из несложно-
несложного статического анализа. Подобные, а также и более простые
испытания неоднократно проводились ранее, и здесь либо многое
( уже - обнаружено, либо с большой степенью достоверности до-
домыслено то, каким путем происходят в материале пластиче-
пластическое течение и разрушение в общем случае напряженного со-
состояния.
По-видимому, в общем случае могут возникнуть три типа раз-
разрушения, т. е. отклонения от упругого поведения. При первом ти-
типе (пластическое течение или текучесть) течение молекул являет-
является сложным процессом, но оно в основном, вероятно, представляет
собой движение молекул по одной стороне плоскости скольжения
вдоль этой плоскости относительно молекул, расположенных на
другой стороне; при этом движении отдельные молекулы разры-
разрывают свои обусловленные действием межмолёкулярных сил связи
с молекулами, расположенными напротив, и как бы начинают
скользить, как по смазке, причем не ранее, чем будут установле-
§ 1.6] ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ - 35
ны межмолекулярные связи с остальными молекулами; таким пу-
путем возникают остаточные деформации, но материал еще остает-
остается целостным. При втором типе — когезионном (или внутреннем)
разрыве при растяжении — процесс также является сложным, но
он должен состоять большей частью в непосредственном отрыве
части расположенных на юдвой стороне плоскости, на которой воз-
возникают растягивающие напряжения, молекул от молекул, находя-
находящихся по другую сторону плоскости; это происходит до тех пор,
пока не произойдет разрыва межмолекулярных связей у доста-
достаточно большого» числа мрлекул; растягивающее напряжение, при
котором происходит когезионный (или внутренний) разрыв при
растяжении,, будет обозначаться через тс (cohesive stress).
Третий, не столь хорошо распознаваемый тип представляет со-
собой хрупкое разрушение при сдвиге; он аналогичен первому, за
исключением того, что молекулы, лежащие по одну сторону плос-
плоскости скольжения, разрывают свои йвязи с молекулами, лежащи-
лежащими на другой стороне, еще не успев установить межмолекулярную
связь с одной из ближайших молекул, и в результате тело распа-
распадается на части по определенной поверхности скольжения. Сла-
Слабая межмолекулярная связь, характеризуемая относительно низ-
низким значением тс, а также присутствие в плоскости, по которой
происходит сдвиг, растягивающего напряжения будут способство-
способствовать скорее такому хрупкому разрушению, а не разрушению пу-
путем пластического сдвига, тогда как высокое значение тс и налй1-
чие сжимающего напряжения на площадке будут благоприятст-
благоприятствовать пластическому разрушению; очевидно, именно эти обстоя-
обстоятельства и характеризуют собой" картину явления.
Все эти три типа разрушения проиллюстрированы испытанием
на растяжение образца из малоуглеродистой стали (см. рис. 1.4).
Окончательному разрушению предшествует развитие^ значитель-
значительного пластического" течения. Непосредственно перед тем, как про;
исходит разрушение, в материале вблизи оси шейки возникают не
только значительные растягивающие напряжения о4, но также и
несколько меньшие по величине радиальные сжимающие напря-
напряжения с2 = с3. Поэтому максимальные касательные напряжения
оказываются существенно более низкими по сравнению с макси-
максимальным растягивающим напряжением d, чем в случае одноос-
одноосного растяжения, и благодаря прогрессирующему уменьшению
площади поперечного сечения напряжение а^ в конце концов до-
достигает значения, близкого к сопротивлению внутреннему раз-
разрыву при растяжении тс, вблизи оси шейки возникает когёзи-
онное разрушение (т. е. внутренний разрыв при растяжении). На
внешней поверхности шейки радиальное растяжение отсутствует,
поэтому касательные напряжения имеют свое полное значение, в.
отличие от случая одноосного растяжения. Следовательно, может
произойти разрушение при сдвиге и, по крайней мере частично,
из-за высокого значения растягивающего напряжения на поверх-
3*" ¦ . ¦
36 общие Принципы [гл. 1
ности сдвига имеет место хрупкое разрушение при сдвиге под уг-
углом примерно 45° к оси. Конечно, этот процесс сложен, и прежде
чем произойдет разрушение, материал при пластическом течении
'деформационно упрочнится, чему примером служит повышение
сопротивления материала (см. рис. 1.3) после прохождения плос-
плоской площадки текучести (такое деформационное упрочнение про-
происходит главным образом в продольном нанравлении, так что ма-
материал по своим механическим свойствам уже не является изо-
изотропным); такое деформационное , упрочнение подразумевает
увеличение сопротивления пластическому сдвиговому течению и
необязательно возникает при двух других типах разрушения.
Для того чтобы описать начало пластического течения и внут-
внутренний разрыв при растяжении любого материала, очевидно, не-
необходимо знать величины прочностных характеристик т„ и те
(одноосные растягивающие напряжения, при которых начинается
соответственно пластическое течение и внутренний разрыв при
растяжении, если до этого не происходит каких-либо иных видов
разрушения) вместе с законами, связывающими их с величинами
0i, 02, 0з, при которых эти типы разрушения могут появиться в
случае более сложных напряженных состояний. Здесь же потре-
потребовалось бы дополнительное условие для задания величин а^-Ог,-
а3, при которых могло бы произойти хрупкое разрушение" при
сдвиге с третьей характеристикой прочности; это условие могло
бы связывать только две характеристики прочности вместе с ка-
касательными и нормальными напряжениями, возникающими на
поверхности возможного разрушения. Об этом мало что известно,
. но в разумных пределах можно кое-что предположить.
Без сомнения, отношение тс/т„ является мерой пластичности
материала. При простых напряженных состояниях материалы с
высокими по сравнению с единицей значениями этого отношения,
т. е. с высоким сопротивлением* внутреннему разрыву при растя-
растяжении и относительно низким сопротивлением началу пластиче-
пластического течения, оказываются неработоспособными из-за перехода
в пластическое состояние и поэтому называются пластичными,
тогда как материалы с низким значением этого отношения ока-
оказываются неработоспособными из-за хрупкости и называются
хрупкими. Однако разные материалы оказываются неработоспо-
неработоспособными по различным причинам, определяемым типом
напряженного состояния. Так; Т. Карман показал, что образец из
мрамора при испытаниях на сжатие может течь подобно образцу
из мягкой меди, если его нагрузить боковыми сжимающими на-
напряжениями того же порядка величины, что и продольное сжатие,
таким путем увеличивая сжимающие напряжения на плоскостях
скольжения. Простейший путь получения внутреннего разрыва
при растяжении в пластичном материале — нагрузить растяжением
образец с глубоким надрезом (рис. 1.6). Это вызывает касатель-
касательные напряжения в наклонных сечениях, подобных показанному на
§ 1.6] ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ 37
рисунке штриховой линией, но, как можнб при этом видеть,
площадь, по которой должен одновременно происходить сдвиг, очень
велика по сравнению с площадью поперечного сечения в надрезан-
надрезанной части, в котором действуют растягивающие напряжения; по-
поэтому внутренний разрыв при растяжении (т. е. когезионное раз-
разрушение) появляется еще до того, как возникнет заметное пласти-
пластическое течение (однако очень локализованные зоны пластического
течения могут появиться в углах дна выточки).
Очевидно, определение момента возникновения пластического
течения для хрупкого материала требует сложного оборудования
для передачи на стороны сжимаемого образца давления, поэтому
аккуратное непосредственное опреде- »
ление величины тс для пластичного
материала оказалось неосуществимой ¦*
задачей. Здесь нельзя нагрузку,
при которой происходит разрушение, рис ^ 6
просто разделить на площадь попе-
поперечного сечения в надрезанной части
(см. рис. 1.6). Так получают среднее напряжение, но, в отличив от
случая пластического разрушения, при этом может начаться
хрупкое разрушение с образованием трещины в~. очень малой
области, которая оказывается очень сильно нагруженной из-за
концентрации напряжения (в этом случае концентрация напря-
напряжения очень высока); поскольку образец при этом ослабляется и
на конце трещины возникает высокая концентрация напряжения,
то разрушение произойдет в первоначально менее напряженном
сечении. Возникающие в углах надреза малые зоны пластичности,
которые снижают концентрацию напряжения, не позволяют точ-
точно рассчитать концентрацию напряжения, развивающуюся в мо-
момент зарождения трещины. Подобные затруднения имеют место
и с- другими типами испытаний, которые можно было бы приду-
придумать для измерения величины тс в мягком материале.
Все испытания на хрупкое разрушение приводят к большим
разбросам, так как трещина может зародиться в любом из де-
дефектов, которых невозможно избежать и которые имеются во всех
образцах. С другой стороны, испытания, где имеет место пласти-
пластическое течение, приводят тс относительно близким результатам,
так как небольшие зоны пластического течения могут появляться
вокруг дефектов или других источников концентрации напряже-
напряжения, не только не вызывая ослабления образца, а на самом деле
уменьшая концентрацию напряжения, что будет обсуждаться в
следующем параграфе при рассмотрении роли пластичности.
Обобщенные условия разрушения. Несмотря на трудности
определения таких прочностных характеристик, как хе, известно
большое количество законов, описывающих разрушение. Разру-
Разрушение при произвольном напряженном состоянии изотропного
материала, чьи свойства не зависят от'времени, можно полностью
38
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
[ГЛ. 1
описать поверхностями в трехмерном пространстве главных на-
напряжений аи о2, о3, подобных показанным на рис. 1.Т1). При дви-
движений из начала координат, т. е. из точки, где напряжения рав-
равны нулю, при быстром росте величины некоторой комбинации на-
напряжений (т. е. если двигаться из начала координат в определен-
определенном направлении) в конце концов в определенной точке произой-
произойдет один из видов разрушения; геометрическое место таких точек
образует поверхность разрушения. Каждому типу разрушения
соответствует определенная поверхность разрушения, они будут
пересекаться, но интерес представляют только те части поверхно-
поверхностей, которые находятся на кратчайшем расстоянии от начала
Поверхность внутреннего
разрыва лри растяжении
Поверхность xpt/moso
розрдшения при сдвиге
Поверхность рашшетт
тем/чеши
Рис. 1.7.
координат, если рассматривать первичное разрушение, т. е. раз-
рушениеу которое происходит первым. Все то, что расположено
выше поверхностей разрушения, не представляет никакого инте-
интереса, так как образец сломается и, следовательно, выйдет из строя,
как только будет"достигнута эта поверхность; несколько выше
поверхности текучести образец еще остается целым, но вся карти-
на^становится более сложной, чем та, что обсуждается ниже. Сей-
Сейчас же ограничимся обсуждением первичных разрушений.
С достаточной достоверностью установлено, что разрушение
при пластическом течении зависит от всех главных касательных
напряжений, а не просто от наибольшего из них, и происходит
при достижении упругой энергией, накопленной при "деформиро-
"деформировании сдвигом, своего предельного значения. Это условие задает
поверхность разрушения при пластическом течении в форме круго-
кругового цилиндра с осью-ОС (см. рис. 1.7), проходящей через начало
') D on n е 11 L. H. A study of triaxial stresses and failure of material.—
Office of Naval Research, Report, 1955.
§ 1.6]. ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ ' 39
координат О и составляющей одинаковые углы со всеми тремя
координатными осями. Радиус цилиндра должен быть таким, чтобы
поверхность цилиндра пересекала каждую из трех осей о4, о2, а,
на расстоянии т„ от начала координат, так как это является усло-
условием возникновения пластического течения при одноосном растя-
растяжении. Из более осторожного предположения о зависимости возник-
возникновения пластического течения только от максимального каса=
тельного напряжения получается цилиндрическая поверхность
несколько меньшего размера с поперечным сечением в форме рав-
равностороннего шестиугольника, вписанного в круговой цилиндр и
пересекающего оси о4, о2, о3 в тех же точках..
Предположение о том, что внутренний разрыв при растяже-
растяжении возникнет, когда максимальное главное напряжение достигнет
тс, дает соответствующую поверхность разрушения в виде трех
плоскостей, параллельных плоскостям OiO2, 02о3 и o3Oi и отстоя-
отстоящих на расстоянии тс от каждой из плоскостей, таким образом,
они принимают форму трехгранной крыши на конце цилиндра'
разрушения текучестью. Возможно, что если бы было известно
истинное положение вещей, то обнаружилось бы, что разруше-
разрушение вследствие внутреннего разрыва при растяжении, так же как
и в случае пластического разрушения, должно зависеть от всех
трех главных напряжений, а не только от наибольшего из них,
и соответствующая поверхность разрушения была бы симметрич-
ла относительно оси ОС. "Во всяком случае такое предположение
дает достаточно хорошее приближение к описанной выше более
распространенной ацпроксимации. Выбрав поверхность внутренне-
внутреннего разрыва при .растяжении в форме конуса, касательного к упо-
упомянутым трем плоскостям (см. .рис. 1.7), получим, что предсказы-
предсказываемые отсюда величины будут находиться в безопасной области,
что желательно в случае разрушения, данные по которому сопро-
сопровождаются таким разбросом.
Поверхность хрупкого разрушения при сдвиге, если она су-
существует (можно представить себе, что для некоторых материа-
материалов она лежит вне области пересечения других поверхностей),
может быть представлена в форме некоторой конической поверх-
поверхности, расположенной-между поверхностями для пяастического
разрушения и внутреннего разрыва при растяжении, где как ка-
касательные, так и растягивающие напряжения достаточно велики
(см. рис. 1.7). Составная поверхность разрушения представляет
собой, таким образом, трубу, закрытую на растягиваемом конце,
но открытую на сжатом конце, что соответствует предположению о
том, что материалы могут противостоять неограниченному равно-
равномерному трехосному сжатию.
Так как предложенная составная поверхность симметрична
относительно оси ОС, то она может быть полностью описана дву-
двумерной (а следовательно, и более удобной) кривой,- представляю-
представляющей собой сечение составной поверхности произвольной плоско-
40
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
[ГЛ.Л
стью, проходящей через ОС. Такая кривая представлена на
рис. 1.8. Горизонтальные и вертикальны^ координаты этой кри-
кривой находятся следующим образом: пусть Р — произвольная точ-
точка трехмерной поверхности с координатами at, о2, о3; пусть точ-
точка Q с координатами а, а, а (которые должны быть определе-
определены) — проекция точки Р на ось ОС, чьи концы имеют координаты
0, 0, 0 и тс, тс, Тс (см. рис. 1.7). Тогда по теореме Пифагора
Обобщенное насательное
напряжение
хрупкое
разрушение
при Шигв
ев
Внутренний
разрыд при
растяжении
сжатие
• Внутренний/
разрыв при
растяжении
Рис. 1.8.
(см. рис. 4.6 и соответствующий текст в § 4.2) квадрат расстоя-
расстояния между двумя точками равен сумме квадратов разностей меж-
между координатами точек. Отсюда получаем
ОС* = х\
= Зт|
/17J _2 | _2
Of =^ d + 02
at, OQ* = За2, PQ* =
Но так как_ прямая PQ перпендикулярна к прямой OQ, то ОР2 =
= PQ2 + OQ2y откуда, используя полученные выше соотношения,
находим а = (ot + а» + о»)/3. Подставляя это значение в выра-
выражение для OQ, получим, что расстояние от начала координат до
произвольной точки с координатами qu o2, а^ по направлению,
параллельному оси ОС, равно (а1 + а2 + а3)/1/3; эта величина мо-
может рассматриваться как обобщенное нормальное напряжение.
'Подставляя величину а в выражение для PQ, найдем, что длина
перпендикуляра к ОС, проведенного из начала" координат в точ-
точку с координатами Oi,a2, a3, равнаУ.(о1—a2J+(a1—a»J+(a2—o3)Vl/3;
эта величина пропорциональна хорошо известному октаэдри-
ческому касательному напряжению, равному корню квадратному
из выражения для энергии упругой деформации сдвига, и может
рассматриваться как обобщенное касательное напряжение.
Так как пластическое течение возникает, когда, скажем, о=т„,
0а = о3 = 0, радиус цилиндрической поверхности пластического
§ 1.7] ПЛАСТИЧНОСТЬ 41
разрушения равен
Т(т, - ОJ + (т„ - 0)а + @ - 0OV3 = V2/3ry,
' и отсюда условие текучести принимает вид
(Ol - о2J + (о-х - а3J + (о, - о3J = 2т*. A-2)
Для- плоского напряженного состояния с компонентами ах, ои
Оху с учетом соотношения A.1) имеем
Ох — охоу + Оу + Зо1у = т?. A.3)
Уравнение определяющей конической поверхности разруше-
разрушения (вследствие внутреннего разрыва при растяжении) с верши-
вершиной в точке С и касательной к плоскостям, проходящим через
точку С и параллельным плоскостям OiO2 и т. п^ получается, если
положить jQ/QC = PQ/(,OC-OQ) = tgQ = i/t2. В результате
имеем уравнение поверхности
У2[(о. - ОгУ + (О,-- О3J + (О2 - СзJ] * + О. + О, + О3 - Зтс.
Разнообразные типичные кривые приведены на рис. 1.8 для
пластичного и хрупкого материалов, характеризуемых соответст-i
венно большими и малыми- значениями отношений тс/т„.
§ 1.7. Пластическое течение, пластичность
Площади под кривыми, изображенными на рис. 1.8 сплошны-
сплошными линиями, относятся-к областям упругой деформации, где соот-
соотношения между нагрузками, напряжениями, деформациями и
перемещениями формулируются в рамках теории упругости или
приближенными теориями, подобными классической теории обо-
оболочек. Область, расположенная выше линий хрупкого разруше-
разрушения, как уже отмечалось, не представляет практического интере-
интереса. Штрихованные области, расположенные между горизонтальной
линией начала пластического течения и пунктирными линиями
хрупкого разрушения, представляют собой области пластического
течения, где соотношения между нагрузками, напряжениями, де-
деформациями и перемещениями формулируются в рамках теории
пластичности. Как уже констатировалось выше, никакие прило-
приложения ни этой теории, ни теорий более сложной структуры, учи-
учитывающих зависимость свойств от времени, здесь обсуждаться не
будут,.но общее условие равновесия оболочек и связывающие дв-,
формации с. перемещениями соотношения, которые будут выводить*
ся ниже, применимы ко всем подобным случаям. Что касается
соотношений, связывающих напряжения с деформациями, которые
и отделяют эту область от упругой, то приведем здесь только не-
некоторые соображения общего характера. Если направление плас-
пластического деформирования не меняется на противоположное, то
42 . ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
с- достаточной точностью можно предположить, что напряжения и
деформации связаны друг с другом взаимно однозначным соотно-
соотношением (деформационная теория пластичности),; существуют не-
некоторые экспериментальные подтверждения для следующих
обобщений: отношение между некоторым главным' касательным
напряжением и соответствующей ему деформацией сдвига равно
- аналогичному отношению для всех овталъных главных касатель-
касательных напряжений; если построить зависимость октаэдрического
касательного напряжения или обобщенного касательного напря-
напряжения (см.- рис. 1,8) от соответствующей деформации сдвига, то
экспериментальные точки для всех видов напряженного состоя-
состояния окажутся близкими к некоторой общей линии, на которую
можно смотреть как на обобщенную кривую зависимости напря-
напряжения от деформации.
Если "же имеет место изменение направления .деформирования
на противоположное, то функция, описывающая связь между
напряжением и деформацией, уже не будет единственной. Напри-
Например, если при испытании на растяжение войти в пластическую
область, а затем образец разгрузить, то в зависимости напряже-
напряжения от деформации появится разрыв в точке изменения на противо-,
тюложное направление нагружения и деформирования (рис. 1.9),
при разгрузке материал следует штриховой
Разрыва линии зависимости напряжения от деформации,
"параллельной упругому участку - начальной
кривой, и в результате приобретает остаточную
деформацию е<,ст. Таким образом, материал
может находиться в двух деформированных
состояниях А ж В при одном и том же нена- '
груженном напряженном- состоянии. В таких
случаях необходимо лроводить поточечное иссле-
I Деформация дование деформирования с помощью бесконеч-
бесконечно малых шагов (теория приращений) или, в
Рис. 1.9, крайнем случае, с помощью таких шагов, на
протяжении каждого из которых не_ происхо-
происходит изменения направления деформирования на противоположное.
Значение пластичности. Относительно пластичности и пласти-
пластического течения можно,' не вдаваясь в детали расчета этого про-
процесса, сделать несколько важных общих замечаний. Хорошо
известно^ что пластичность, возникающая при определенных на-
напряженных состояниях, принадлежит к числу наиболее важных
свойств конструкционных материалов. Главным образом они важ-
важны потому, что небольшие и безобидные локализованные пласти-
пластические течения, -которые вызывают пренебрежимо малые общие
изменения формы, приводят к выравниванию распределения на-
напряжений и, таким образом^ к уменьшению концентрации напря-
напряжения, неравномерности распределения контактных сил, возни-
возникающих из-за несовершенной подгонки деталей, обусловленных
§ 1.7] ' ПЛАСТИЧНОСТЬ • 43
обработкой начальными напряжениями (величина которых может
быть порядка предела текучести) и т. д. Поэтому, как правило,
вполне допустимо проводить расчет машин и конструкций, сде-
сделанных из пластичных материалов и находящихся при более
или менее постоянных условиях нагружения, с помощью элемен-
элементарных аналитических методов сопротивления материалов (вклю-
(включая сюда классические теории балок, пластин, оболочек), в кото-
которых игнорируются -приведенные' выше факторы и предполагает-
предполагается простейшее из возможных-распределений напряжений, после
чего величина этих напряжений обычно определяется из рассмот-
рассмотрения только условия равновесия.
С исключением из этого правила можно встретиться в том
случае, когда в конструкции повсюду имеет место трехосное на-
напряженное состояние с равными по величине напряжениями; как
уже обсуждалось выше, это может повлечь за собой хрупкое по-
поведение материалов, в обычных условиях рассматриваемых как
пластичные. Однако дйн обычных конструкций подобное условие
не характерно. Конечно; как известно, трехосное растягивающее
напряжение возникает в центре конца трещины в растянутой поло-
полосе, и в то же время довольно широко распространено разрушение
путем разрыва при растяжении, возникающее в сварных судовых
обшивках и баках, возможно, благодаря быстрому распространен
нию очень локализованных и в других случаях совершенно безо-
безопасных усталостных трещин. Однако в этом случае три растяги-
растягивающих напряжения, по-видимому, далеко не равны между собой
и разрушения прослеживаются~в районе включений в малоуглеро-
малоуглеродистой стали, наличие которых сильно уменьшает ее пластичность
при низких температурах, при которых и случается разрушение.
Для хрупких материалов и, как об этом будет сказано в этом
разделе ниже, для материалов с усталостным нагружением подоб-
подобные методы сопротивления. материалов должны быть заменены
рассмотрением начальных напряжений, которые могут присут-
присутствовать,, и более точным исследованием напряжений, возникаю-
возникающих при нагружении, в рамках теории упругости (см. § 3.1) или
с помощью экспериментальных методов исследования напряже-
напряжения. Начальные напряжения в хрупких материалах возникают
при лит-ье, закалке, сварке и т. п.. и также могут быть высоки-
высокими. Определение величины начальных напряжений -в отдельном
образце методом неразрушающего контроля нелегкое дело, но
такие напряжения могут быть уменьшены частичным или полным
отжигом, а иногда" простым изменением технологического процес-
процесса. Усталостное разрушение, так же как и хрупкое разрушение»
обычно всегда ускоряется присутствующими дефектами. Эти
виды разрушений связаны главным образом с растягивающими,
а не сжимающими напряжениями частично, по крайней мере
из-за того, что зарождающиеся или развивающиеся трещины смыт
каются при сжатии. Вследствие поверхностного окисления ж
44 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
других факторов начальные дефекты и трещины с большей ве-
вероятностью возникают на поверхности тел, а именно там прини-
принимают наибольшие значения растягивающие напряжения при
нагибе; отсюда следует, что иногда полезно намеренно создавать
начальные сжимающие напряжения на поверхности с помощью
упрочняющих операций в пластичных или с помощью закалки в
хрупких материалах.
Расчет несущей способности. Уверенность инженеров в сущест-
существовании пластических свойств у используемых ими материалов,,
которые спасают их от последствий незрелости создаваемых ими
конструкций и применяемых методов расчета, в действительности
представляет собой применение принципа расчета по предельным
состояниям, хотя и редко признается таковым. Этот принцип, при-
применимый ¦ только к статически нагруженным конструкциям, изго-
изготовленным из пластичных материалов, устанавливает предельную
несущую спосебность по нагрузке конструкций как минимальную
нагрузку, которой может сопротивляться в некотором поперечном
сечении весь объем материала, когда напряжения в нем достига-
достигают предела текучести, вместо нагрузки, при которой максимальное
напряжение достигает некоторой определенной величины. Ниже
этой нагрузки часть материала, сопротивляющегося нагружениюА
должна быть упругой, и поэтому деформироваться он может толь-
только при малых упругих деформациях; отсюда следует, что общие
перемещения в конструкции должны иметь величину порядка упру-
упругих перемещений. С другой стороны, при более высоком уровне
нагружения перемещения могут расти без ограничения, пока не
наступит разрушение. Несмотря на разумность такого теорети-
теоретического допущения, очевидно, что действительные величины пе-
перемещений будут зависеть от геометрии конструкции. Представ-
Представляют ли они существенное ограничение для работоспособности
конструкции или нет, зависит от предназначения конструкции:
для большей части конструкций — имеют значения, но для дета-
деталей машин — зачастую нет. По поводу методов определения несу-
несущей способности следовало бы сделать некоторые замечания
относительно возможности для пластических деформаций оста-
оставаться локальными, прежде чем будет достигнут предел несущей
способности и как результат — образование шейки и разрушение
еще до того, как будет достигнут теоретический предел несущей
способности.
Для материалов, подобных малоуглеродистой стали, для кото-
которых можно принять, что они сохраняют постоянной способность
сопротивляться при пластическом течении, метод, связанный с
определением несущей способности, может быть очень упрощен
заменой сложного расчета упругой конструкции с высокой сте-
степенью статической неопределимости на несложное исследование
сопротивления изгибу (где допускается, что все изгибные напря-
напряжения равны ± tv) в точках балки с максимальным изгибающим
§ 1.7] ПЛАСТИЧНОСТЬ 45
моментом (пластических шарнирах), постоянного растягивающего
напряжения в оттяжках (когда предполагается, что растягиваю-
растягивающие напряжения в поперечном сечении равномерно распределены
и равны т„) и критическим сжимающим напряжением в стерж-
стержнях. Эти предположения, как правило, превращают конструкцию
в простую, статически определимую. Для того чтобы задавать
более реалистические оценки действительных пределов нагруже-
ния конструкции, чем получаемые при расчете упругих конструк-
конструкций, по зтому метвду в некоторых случаях можно (в запас проч-
прочности) допустить существование более высоких нагрузок; зто
может означать при расчете узлов, подобных растяжкам, что ло-
локализация пластического течения в местах соединений не вызы-
вызывает преждевременного разрушения, т.. е. разрушения еще др то-
того, как будут достигнуты ожидаемые общие деформации.
Степень пластичности, необходимая для различных целей. Раз-
Различные методы, которые используются для того, чтобы увеличить
прочность материала — термообработка, холодная обработка,
' в некоторых случаях легирование — также обычно снижают его
пластичность; комбинацию высокой прочности и высокой плас-
пластичности (вязкость) получить трудно, и обычно за зто приходится
расплачиваться тем или иным способом. Поэтому' увеличение ис-
использования высокопрочных материалов делает актуальным воп-
вопрос, насколько большой должна быть пластичность для различных
целей. Простой ответ на него, конечно, не может быть дан, а. во
многих конкретных случаях он неизвестен. Однако можно ска-
. зать, что большая степень пластичности свойственна малоуглеро-
малоуглеродистой стали, а другие очень пластичные материалы нужны толь-
только для таких применений, как штамповка, в то время как для
обсужденных выше целей обычно достаточно относительно неболь-
небольшой степени пластичности. Это действительно так, несмотря на то,
что инженерные инструкции по технологии, основанные пе на
чем-то большем, чем накопленный опыт успешного применения
материалов с высокой степенью пластичности, часто требуют су-
существования излишне высокой степени пластичности.
Сказанное наглядно иллюстрируется различием между обыч-
обычными чугуном и стеклом, которые обладают довольно сходными
прочностными свойствами. Оба материала обладают нулевой плас-
пластичностью в соответствии со стандартными способами измерения
зтой характеристики (относительное удлинение и уменьшение
площади при испытаниях на растяжение). Тем не менее каждый
без труда может сделать разметочный кернер на чугуне, чего не
скажешь про стекло. Это означает, что обычный чугун обладает
пластичностью, достаточной для многих целей даже тогда, когда
пластичность слишком мала, чтобы ее можно было измерить гру-
грубыми стандартными методами; успешбое использование чугуна
в широкой инженерной практике (где обычное стекло было бы,
безусловно,невозможно применять) подтверждает зто. Различие
46 - • ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. i
между чугуном и стеклом выявляется в испытаниях, подобных ис-
испытаниям на ударную вязкость по Изоду, где измеряется энергия,
накопленная при разрушении надрезанного образца при изгибе;
результаты этих испытаний показывают,, что пластические свой-
ства'материала могут быть весьма малыми и не обнаруживаться
с помощью стандартных статических испытаний, но тем не менее
они могут оказывать существенное влияние на его поведение.
Циклические напряжения (в особенности их участок растя-
растяжения, как уже отмечалось выше), которые повторяются большое
число раз, вызывают даже в пластических материалах усталост-
усталостное разрушение, которое во многом напоминает статическое раз-
разрушение в хрупких материалах; разрушение начинается с воз-
никновения трещины и не сопровождается сколько-нибудь замет-
заметным пластическим течением. Поэтому в таких случаях нельзя
полагаться на существование пластических свойств материала и
следует использовать методы расчета хрупких материалов, подоб-
подобные тем, что обсуждались ранее. Стали обычно имеют для каж-
каждого типа цикла напряжений, которые могли бы бесконечно по-
повторяться без наступления разрушения, пороговые величины, на-
называемые, пределом выносливости, но большая часть других ма-
материалов может выдержать только определенное число циклов:
заданного типа. Это критическое число может быть очень боль-
большим, но всегда остается конечным для малых циклических на-
напряжений. Машины тица транспортных устройств испытывают
большое число различного вида циклов напряжений, и простей-
простейшее „допущение о том, что разрушение может произойти, когда
доли усталостной долговечности, соответствующие каждому виду
циклов (равные числу соответствующих циклов, разделенному
на соответствующее критическое число), в сумме составляют еди-
единицу, подтверждается данными некоторых экспериментов.
Другой крайний случай— материал с вязко-упругими свойст-
свойствами, которые в обычных условиях нежелательны и при исследо-
исследовании которых необходимо учитывать временные эффекты,—весь-
эффекты,—весьма благоприятный, так как эти свойства способствуют тому, что за
определенное время вследствие возникновения пластических де-
деформаций происходит выравнивание напряжений. По-видимому,
все материалы обладают некоторыми вязко-упругими свойствами
в дополнение к остальным своим свойствам и демонстрируют это
даже при простых напряженных состояниях, что иллюстрируется
тем обстоятельством,, что тонкие каменные блоки, используемые
"усак несущие балки (а согласно некоторым расчетам — даже сталь-
стальные мосты) за многолетний период дают, как было обнаружено *),
прогиб, который можно измерить.
1) См. дискуссию Л. Г. Доннелла по статье: Goodyear stress change recor-
recorder.— Goodyear — Zeppelin Report, 1939, M102.7, p. 8—9, а также библиогра-
библиографию, приведенную в справочнике: SESA. Handbook of Experimental Stress.
Analysis, 1949, p. 242.
§ 1.8] - КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА 47
§ 1.8. Коэффициенты запаса. Вопросы проектирования')
Наконец, следует остановиться на вопросах выбора коэффици-
коэффициентов запаса при проектировании и на связанных с ними вопро-
сахт Целые научные, монографии и множество научных статей по-
посвящаются вопросам, касающимся изменению проектных стои-
стоимостей, весов и т. п. более, чем на 10 или 20%, в то же вретяя
общего обсуждения коэффициентов запаса, которые могут оказать
на результат проектирования во много раз большее влияние,
обычно не проводится или читателя отсылают к одному дли двум
написанным на неудовлетворительном научном уровне парагра-
параграфам в книгах по сопротивлению материалов.
Начать мо_жно было бы с вопроса: откуда, собственно, взялись
те коэффициенты запаса, которыми с таким доверием пользуются
инженеры? Не брались ли просто с потомка значения этих коэф-
коэффициентов, скажем, между двумя и четырьмя? Такой путь иног-
иногда возможен, но иногда использование подобного подхода в прак-
практической деятельности чревато возможными осложнениями. По-
видимому, всё" же история возникновения большей части широко
распространенных значений коэффициента запаса такова.
^ Много лет назад некто занимался сооружением ответствен-
ответственной постройки. Он располагал немногим для достижения успеха,
hq сделал лучшее из того, что мог, и задал достаточное, чтобы быть
в безопасной зоне, значение^коэффициента запаса, используя свой
опыт, здравый смысл и инженерную интуицию. (Автор выражает
надежду, что при этом важное место занимала инженерная интуи-
интуиция, которая в лучшей своей форме включае*' в себя взвешивание
в уме средних значений, многих коэффициентов, тщательно ото-
отобранных на основе широкого обобщения Опыта; у отдельных опыт-
опытных специалистов такое интегрирование в уме может дать удиви-
удивительно точные .результаты, но это едва ли можно рекомендовать
для широкого использования, если в распоряжений имеются бо-
более рациональные средства.)
- Пусть, скажем, некий проект был рассчитан и осуществлен по
всем правилам. Построенная конструкция выполняет свои функ-
функции, и не возникает оснований для серьезного беспокойства, тог-
тогда следующий конструктор и следующий, кто должен был спроек-
спроектировать подобную конструкцию, прибегают к тем же методам ис-
исследования и тем же коэффициентам запаса. Так продолжается
до тех пор, пока некто, задумаясь о стоимости материалов, выго-
выгоде снижения веса и т. п., не скажет: «Я думаю, что этот коэф-
коэффициент ,запа($а превышает необходимый»,— и после этого спроек-
спроектирует свою конструкцию с меньшим коэффициентом запаса. Mq-
. жет быть, при этом все обойдется благополучно, и тогда его
') Здесь воспроизводится .изложение беседы, которая состоялась у авто-
автора несколько лет назад.
48 - общие принципы [гл. 1
собратья — инженеры станут подражать ему и также начнут
использовать этот коэффициент. Возможно, что такое случится
несколько раз и коэффициент запаса, используемый повсеместно,
будет становиться все меньше и меньше, пока, наконец, не нач-
начнут появляться во множестве случаи разрушения, и инженеры не
заявят: «Мы зашли слишком далеко»,—и увеличат значение ко-
коэффициента. Таким образом, с помощью процесса проб и ошибок,
путем, который прокладывался так, как указывалось выше, был
достигнут компромиссный вариант, который был не слишком рас-
расточительным по материалу и не приводил к слишком большим
разрушениям.'
Где-то при этом процессе некоторые его этапы может выпол-
выполнить группа выдающихся и достойнейших авторитетов, собрав-
собравшись за круглым столом конференции, при этом результатом та-
такого обсуждения может стать появление некоторых инженерных
нормативных указаний, но процесс размышления, вероятно, во-*.
многом остается прежним. Нет причин скептически относиться
к этому цроцессу. Каждый шаг логичен, и окончательный резуль-
результат оказывается иногда самым идеальным из тех, которые могли
быть кем-либо достигнуты, поскольку при этом во внимание при-
принимаются некоторые довольно разнообразные экономические и
практического характера факторы, которые на самом деле учиты-
учитываются в лучшем и в более полном виде, чем это можно было бы
надеяться проделать каким-либо теоретическим анализом.
Однако не нужно, заглядывать слишком далеко, чтобы увидеть
существование .ограничений для такого процесса. Первое из
них.— как узнать, является ли это число постоянным, не зависит
ли оно от длины, высоты, материала, скорости, положения, т. е.
от всех переменных, которые входят во все задачи, даже когда
речь идет о расчете конструкций одного и того же класса. Из
экспериментов получается некоторое среднее значение коэффици-
коэффициента, которое оказывается не слишком плохим при обычных зна-
значениях всех этих переменных. Однако можно получить более при-
приемлемые результаты,. если использовать для различных случаев
различные коэффициенты; по-видимому, мы смогли бы исклю-
исключить большую часть случаев, при которых могут возникнуть раз-
разрушения, используя в определенных случаях более высокое значе-
значение коэффициента запаса, и вполне безопасно сэкономить мате-
материал, используя в иных случаях более низкое значение коэффи-
коэффициента запаса. Второе — как узнать, какое влияние окажет на
обычное значение коэффициента запаса изменение методов рас-
расчета, используемых материалов и т. д.? В общем случае, если
улучшить метод расчета и тем самым уменьшить количество не-
неточностей и неопределенностей, которые учитываются коэффици-
коэффициентом запаса, то это позволило бы снизить значение коэффициен-
коэффициента запаса. И наконец, такой метод оценки коэффициента запаса
нельзя применять, начиная работу в новой области, здесь почти
§ 1.8] КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА 49
все следует принимать во внимание, в некоторых случаях.—даже
царапины.
Могут возникнуть другие трудности и сложности. Например,
когда напряжения пропорциональны нагрузкам, то не делается
различия между коэффициентами запаса по напряжениям, так
называемым рабочим напряжениям, и по нагрузкам. Но имеется
много случаев, когда напряжение не пропорционально нагрузке,
и тогда следует делать различие в jxom, каким коэффициентом за-
запаса надо воспользоваться. В некоторых областях, например в
аэрокосмических конструкциях, является общепринятым выби-
выбирать коэффициент запаса по нагрузке, в то же время в большин-
большинстве других областей его принято выбирать по напряжениям.
Когда неизвестно, какой именно из них надо выбирать, можно
воспользоваться каким-либо из наиболее проверенных методов,
но это не является решением вопроса; легко находиться в безо-
безопасной области, воспользовавшись большим значением коэффи-
коэффициента запаса (за исключением, несомненно, хорошо известных
случаев, когда увеличение количества материала идет быстрее,
чем увеличивается коэффициент запаса), но на крайний случай
это лучше, чем ничего. Но все зто — признание неудачи в попытке
понять то, что мы делаем, и, разумеется, это несовместимо со
стремлением к максимальной эффективности. _
В чем же состоит правильная постановка задачи, которую
нужно использовать, приступая к этому вопросу? Для того чтобы
ответить на. зтот вопрос, мы должны спросить себя, что послужи-
послужило причиной появления коэффициента запаса и что мы ожидаем
от применения его. Коэффициенты запаса используются, очевидно,
по той причине, что наши методы анализа проблемы выбора соот-
соответствующего проекта далеки от совершенства. Мы не можем
принять во внимание все входящие коэффициенты, а наша трак-
трактовка тех коэффициентов, которые были нами рассмотрены,
имеет далеко не стопроцентную точность. Это вовсе не означает,
что решение вопроса кроется в улучшении методов анализа. Ра-
Разумеется, нам сл'едует добиваться настолько, насколько это воз-
возможно, повышения точности, принимая во внимание затраты
усилий на решение этой задачи, но при этом всегда надо идти
на компромиссы, рассматривая экономические и временные фак-
факторы, которые определяют, какие усилия мы можем себе позво-
позволить затратить на проведение этого анализа. Если изготавлива-
изготавливается только одна машина и ее цена ненамного превышает стои-
стоимость материалов, то Можно провести грубый анализ и использо-
использовать завышенный коэффициент запаса, чтобы гарантировать безо-
безопасность работы конструкций, так как затратить средств больше,'
чем будет экономиться при проведении исчерпывающего анализа,
очевидно, нецелесообразно. Но когда экономия веса оказывает
большое влияние на эффективность или огромный выпуск продук-
продукции позволяет путем накопления небольшой экономии на каждой
4 Л. Г. Доннелл
50 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
единице продукции получить значительный экономический эф-
эффект, тогда стоит затратить больше времени и средств на анализ.
Когда же затраты времени и средств оказываются, оправданны-
оправданными то мы можем снизить -и сделать более точными допустимые,
границы для всех многочисленных факторов, учитываемых в ре-
реальной проблеме проектирования. В таком случае нужда в коэф- •
фициенте эанаса отпадает.
Существуют два .основных средства, которыми можно улуч-
улучшить как обычный подход к этому вопросу, так и понимание его.
Согласно первому нужно постараться выделить, проанализировать
и подстраховаться от различных неопределенностей, которые при-
присутствуют в любой конкретной проблеме. А согласно второму"—
"постараться разобраться в своих намерениях относительно того,
чего мы хотим достичь с помощью коэффициента запаса.
Рассмотрим первое из предложенных средств — что это за
неопределенности, которые входят в задачу? Можно ли позволить
себе смешать их всех вместе, сделав на них общую поправку?
Более разумно попытаться должным образом сделать на -них по-
поправку, постаравшись разделить их и установить, какой должна
быть поправка на каждую упомянутую неопределенность. Рассмот-
Рассмотрим- вопрос о том, как выбирать коэффициент запаса: по напряже-
напряжению или по нагрузке? Где в действительностигкроятся неопределен-
неопределенности? Является ли величина нагрузки, которая была установлена,
или величина напряжения, которую устанавливают, причиной, вы-
вызывающей разрушение? Наиболее вероятно, что некоторая.неопре-
деленность относится й обоим этим величинам и что при этом
имеются неопределенности также и во всех остальных парамет-
параметрах, которые принимаются во внимание при расчетах. Например,
все размеры', которые входят в~ различные расчеты, подвержены
некоторым изменениям из-за допусков и ошибок изготовления и
из-за изменения их эксплуатации вследствие износа, коррозии и
т. н. Скорости, плотности, коэффициент трения, упругие констан-
константы и все остальные данные, которые входят в расчеты, также
подвержены некоторому изменению и неопределенности, влияние
чего можно с достаточной точностью учесть путем назначения
общего коэффициента запаса. Более того, допущения, которые
делаются относительно связей между различными величинами
Тт. е. формула или теория, которую мы кладем в основу), и допу-
допущение о том, что это представляет собой критическое условие,
которое будет определять разрушение,— все это также^ в изйеет-
ной^мере сомнительно. Тогда, когда можно не стремиться полу-
получать или использовать более полные и точные формулы или про-
проверять все возможные соотношения, которые могут быть крити-
критическими, когда делается обстоятельный" обзор этих неопределен-
неопределенностей, присутствующих в расчетах, по-видимому, было -бы более
правильно попытаться дать оценки каждому из сделанных допу-
допущений, чем не делать такой попытки.
§ 1.8] КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА 51
4
Это предложение может быть выполнено, если использовать
наиболее неблагоприятные значения, которые можно мысленно
допустить для каждой величины, входящей в задачу, а также
если можно применить наиболее неблагоприятное соотношение
между ними, а затем вообще не использовать коэффициент эапа-
са как таковой. С другой стороны, можно использовать номиналь-
номинальные значения каждой величины,-входящей в расчет, при этом
каждую величину умножить на парциальный коэффициент запаса,
который представлял бы-собой отношение наиболее неблагоприят-
неблагоприятного значения к номинальному значению этой величины, и на
аналогичный коэффициент для учета неточностей в соотношении.
Такие индивидуальные или парциальные коэффициенты за-
запаса имеют более постоянное и универсальное применение, чём
обычный применяемый в артиллерийской практике коэффициент
запаса. Установление значения такого парциального коэффициен-.
та запаса есть нечто, .что, по крайней мере, можно как-то охватить
умом, и на основе последующей проверки с помощью эксперимен-
экспериментов, а также на основании общих соображений можно в итоге по-
получить разумные значения величин коэффициентов. Иной путь
состоит в том, что группа инженеров с помощью комитетов по
разработке норм или путем обсуждения технических публика-"
ций, или на технических советах могут- объединить в общий
фонд свой опыт.л совместно выпустить общие руководства, прави-
правила, рекомендованные предельные значения величин и т. п. для"
этих парциальных коэффициентов запаса, чтобы как-то помочь
конструктору в его работе. Но это немедленно подняло бы вопрос
о необходимости рассмотреть второе из двух обсуждаемых поло-
положений — необходимо понять, что же представляет собою то, чего
желают достичь с помощью коэффициента запаса.
Если проанализировать наши пожелания, то обнаружится,
что практически никогда мы, на самом деле, не хотели бы полно-'
стью исключить возможность разрушения. Конечно, нам ^5ы хо-
хотелось сделать именно так, если бы это ничего нам не стоило, но
мы не хотим платить ту цену, которая в действительности по-
потребовалась бы. Это справедливо даже в случае машин или конст-
конструкций, чье разрушение создает угрозу для человеческой жизни,
например, неужели мы будем проектировать корабли такими,
чтобы они могли перенести наихудшую комбинацию шторма и
катастроф, которые когда-либо могли бы случиться за все сущест-
существование человечества? По крайней мере, ранее мы никогда так
не делали и сомнительно, чтобы это удалось, если даже захотеть
попытаться сделать так; человек есть существо, склонное к рис-
риску, и предпочитает существование небольшого риска возможности
почти бесконечного сохранения жизни, потере эффективности, за-
заковыванию в кандалы своего инстинкта творить, т. е. всему тому,
что потребовало бы полного исключения возможности разруше-
разрушения. Единственное, что мы на самом деле стремимся сделать,.так
4* . »>
52 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ [ГЛ. 1
ft
это снизить вероятность разрушения до определенного уровня.
А уже этот уровень зависит от области применения, и даже для
одной и той же области применения наши соображения по его
поводу изменяются в зависимости от общественных или индиви-
индивидуальных стандартов. Если требуется сделать рациональную кон-
конструкцию, то нужно выбрать возможные неблагоприятные вели-
величины или парциальные коэффициенты-запаса таким образом, что-
чтобы свести вероятность разрушения к некоторому заданному уров-
уровню. Обычно при этом можно рассмотреть возможность нескольких
видов разрушения, и уровень вероятности, который требуется
снизить, отличается для каждого вида. Частичное разрушение,
которое сопровождается незначительными распространениями,
а также потерей, времени на восстановление конструкций, может
допускаться чаще, чем те разрушения, которые могут повлечь за
собой потери жизни или здоровья. Занимаясь всем ^тим, нам сле-
следовало бы использовать теорию вероятности, а это включило бы
в себя рассмотрение того, что вероятность совпадения многих не-
независимых событий (таких, как получение в действительности
каждой величиной своего наиболее неблагоприятного значения) ¦
намного меньше, чем вероятность каждого события в отдельности.
Глава 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК
§ 2.1. Аппроксимация Кирхгофа —Лява1)
Классические теории пластин и оболочек, подобно классической
(элементарной) теории балок, основываются на упрощающих пред-
предположениях, впервые для балок предложенных Я. Бернулли,
но для пластин и оболочек впервые использованных соответствен-
соответственно Г. Кирхгофом и А. Лявом: прямые линии, нормальные к сре-
срединной поверхности до деформации, остаются прямыми и нор-
нормальными к срединной поверхности и после деформаций не изме-
изменяют своей длины. Это означает, что если известны начальное и
конечное положения точек на срединной поверхности, то будут
также известны начальное и конечное положения всех точек, при-
принадлежащих оболочке, поэтому любые деформации можно выразить
через перемещения только срединной поверхности. Это дает огром-
огромное упрощение, сводя проблему пластин или оболочек от трехмер-
трехмерной к двумерной, а в случае балок — к одномерной задаче.
Аппроксимация указанного выше типа включает в себя пре-
пренебрежение влиянием на деформирование как поперечных дефор-
деформаций, так и. по перечных напряжений. В случае балки это влияние
выражается в возникновении деформаций поперечного сдвига или
изменений углов, вызываемых поперечными касательными на-
напряжениями, поперечных нормальных деформаций, вызываемых
поперечными нормальными" напряжениями (т. е. растягивающими
или сжимающими напряжениями в направлении толщины, напри-
например, сжимающими напряжениями цри нагрузке, показанной на
рис. 1.1, а), поперечных нормальных деформаций, вызываемых
продольными напряжениями (вычисляемыми с помощью коэффи-
1) Автор называет аппроксимацией Кирхгофа — Лява многие неодно-
неоднозначные вещи. Принято гипотезы о ненадавливаемости продольных элемен-
элементов и жестком нормальном сечении называть гипотезами Бернулли; одна
из них, относящаяся к сечению, нормальному первоначальной оси стержня,
в дальнейшем остающемуся нормальным к деформированной оси стержня,
автором именуется аппроксимацией Кирхгофа — Лява. Гипотезы о~ нена-
ненадавливаемости плоскостей пластины, эквидистантных срединной плоскости,
и о жестком нерастяжимом нормальном к первоначальной недеформирован-
ной срединной плоскости пластины элементе, который остается нормаль-
• ным и к деформированной срединной плоскости пластины, называют гипо-
гипотезами Кирхгофа. Здесь же гипотеза о нормальном элементе в пластине
автором названа аппроксимацией Кирхгофа — Лява. Гипотезами Кирхго-
Кирхгофа— Лява принято называть аналогичные гипотезы для оболочек. Причем
эти гипотезы использовались и до А. Лява, в частности Релеем A873 г.).—
Прим. ред.
54 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК " [ГЛ. 2
циента Пуассона) и аналогично продольных нормальных дефор-
деформаций, вызываемых поперечными нормальными напряжениями.
Продольные деформации, вызываемые продольными напряжения-
напряжениями, являются единственными деформациями, рассматриваемыми в
классической теории балок. Аналогичные подходы применяются
в теориях пластин и оболочек. В действительности, после дефор-
деформирования упомянутые выше линии из-за деформации попереч-
поперечного сдвига не являются направленными точно по нормали к сре-
срединной поверхности и не остаются более прямыми, так как их
деформация изменяется в зависимости от расстояния до средин-
срединной поверхности, а из-за поперечных нормальных деформаций
они уже не имеют прежней длины.
Как будет показано ниже, в главе 3 и далее, для большинства
представляющих практический . интерес условий нагружения
ошибки, обусловленные этой аппроксимацией, пренебрежимо ма-
малы для узких балок, а также тонких пластин и оболочей; изго-
изготовленных из однородных материалов, поэтому указанная аппрок-
аппроксимация будет использоваться при формулировке большинства
представленных здесь общих теорий. Однако ниже будет также
изучена величина обусловленных этой аппроксимацией ошибок
для различных условий и будет построена аппроксимация второ-
второго порядка с поправками на отброшенные члены; во многих слу-
случаях эти поправки делают вычисления не слишком сложными и
при этом сохраняют многие преимущества подхода Кирхгофа —
Лява. Важна знать условия, когда аппроксимация Кирхгофа —
Лява приемлема, а когда требуются уточнения. Наиболее просто
это может быть проделано в приложении к теории балок: более
того, элементарную теорию балок, можно сравнить, с более точной
теорией, которая получается из двумерной теории упругости.
Выводы, полученные для балок, обычно применимы также в
теориях пластин и оболочек, и в последующих главах эти случаи
будут обсуждаться. Будет обнаружено, что поправки обычно не-
необходимы только для составных конструкций (таких, как решет-
решетчатые балки или пластины и оболочки, изготовленные из слоис-
слоистых материалов), у которых центральная часть облегчена и имеет
сравнительно низкое сопротивление поперечному сдвигу, или для
однородных конструкций, у которых амплитуда волны прогиба
имеет порядок величины толщины (например, для толстых мас-
массивных конструкций или для высоких частот колебаний, для ко-
которых характерны волны небольшой длины).
§ 2.2. Классическая теория балок
В данной главе будут рассмотрены некоторые приложения
теории балок, иллюстрирующие важные стороны теории пластин
и оболочек, которые труднее объяснить и оценить в самых общих
случаях. С этой целью достаточно рассмотреть прямые балки по-
§ 2.2]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК
55
стоянного прямоугольного поперечного сечения с высотой h — 2с,
нагруженные симметрично относительно вертикальной плоскости
симметрии zx (рис. 2.1, а), так что перемещения будут иметь мес-
место главным образом в этой плоскости. Для удобства положим ши-
ширину балки равной единице, как это показано на рисунке, при
этом изгибающий момент Мх, поперечная сила Fxz и осевая сила
Fx представляют собой отнесенные к единице ширины момент и
силы и демонстрируют способ подстановки индексов, используе-
используемый ниже и при исследовании пластин и оболочек. Для балок
прямоугольного поперечного сечения с ширино,й, отличйой от
i \"\.\
м
Г
V нч
J
г гад
IJ-dx.~
z(w)
Рис: гл.
единицы, для того чтобы получить значения полного момента и
сил,, действующих в поперечных сечениях и на концах балки,
силовые факторы Мх, Fxz и Fa надо умножить на ширину.
Многие из представленных теорий будут применены к балкам
непрямоугольного поперечного сечения, что будет обсуждаться
в § 2.3. Для того чтобы одновременно охватить две области, т. е.
пластины и оболочки, а также балки более общего вида, основные
уравнения, которые применяются к балкам произвольного попе-
поперечного сечения, будут даны в двух формах, включающих h или
с для первой области, и момент инерции / и площадь поперечно-
поперечного сечения А — для второй. При использовании уравнений с / и
А величины Мх, Fxz, Fx и р следует брать такими, чтобы дни вы-
выражали соответственно суммарные изгибающий .момент, попереч-
поперечную и осевую силы, а также нагрузку, отнесенную к~ единице
длины.
Из нагрузок на балку действует нанравленная вниз (см. рису-
рисунок) нагрузка единичного давления р = р[х) (из обозначения еле-
56 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
дует, что давление р есть функция расстояния х и только х), ко-
которая равномерно распределена по ширине и изменяется
в направлениях х. В центре тяжести торцов может быть прило-
приложена также и сила FK. При таком нагружении балка при-
приобретает малое поперечное перемещение w(x) в направле-
направлении оси z.
На малый элемент балки длиной их действуют напряжения,
которые деформируют его так, как это показано на рис. 2.1, б.
Просуммированные по всему поперечному сечению касательные
- напряжения дают равнодействующую — поперечную силу Fxt;
нормальные напряжения дают приложенную в центре тяжести
поперечного сечения нормальную силу Fx и изгибающий момент
Мх; все эти силовые факторы в общем случае изменяются вдоль
оси х (рис. 2.1,в). Очевидно, Fxz и Мх суть поперечная сила и
изгибающий момент, изучаемые в курсах элементарного сопротив-
сопротивления материалов, которые могут быть определены из условия
равновесия на одной из сторон отрезанной части балки, осевая
сила Fx может быть определена аналогичным образом из условия
равновесия этой части балки в осевом направлении. Система ко-
координат, обозначения и выбор положительных направлений соот-
соответствуют общепринятым, и в то 5йе время они логично связаны
с теми, которые используются ниже для пластин и оболочек, с тем
чтобы прослеживалась связь между более общими теориями и
более простыми теориями,' предназначенными для специальных
случаев. .
Предполагается, что угол наклона линии прогибов мал по срав»
нению с единицей. Для большинства имеющих практическое
значение задач это справедливо даже тогда, когда прогибы дос-
достигают таких величин, которые будут заходить в так называемую
область больших перемещений.- Углы наклона порядка единицы
маловероятны, кроме исключительных случаев, куда входят тон-
тонкий стержень (задача эластики) или тонкостенные пластины или
оболочки, которые изгибались в формы, способные перейти в их
исходную форму, изготовлялись из материалов,-подобных резине,
или деформировались с глубоким проникновением в пластическую
область; к подобным случаям применяются общие соотношения,
полученные в главе 6, но для других случаев они не будут ис-
использоваться. Поэтому на данном этапе не будет делаться разли-
различия между задаваемым в виде dw/dx углом наклона, что по опре-
определению есть тангенс угла поворота срединной поверхности в
точке, и синусом этого угла или самим углом, измеренным в ра-
радианах, а также различия между косинусом такого угла и еди-
единицей. Поэтому угол между- двумя поперечными сечениями
(рис. 2.1, в) после деформирования можно представить как ско-
скорость, с которой изменяется угол наклона dw/dx при перемеще-
перемещении вдоль оси х, умноженную на пройденное в этом направлении
расстояние, обозначенное через их.
$ 2.2] - КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВАЛОК 57
Кроме ошибки, обусловленной использованием тангенса угла
в качестве самого угла; в действительности могут иметь место
перемещения в направлении оси х, которые должны быть рас-
рассмотрены наряду с поперечным перемещением иг, отсюда следует,
что величину dx надо просто заменить на cfo(l--f e*m), где гхт —
осевая деформация срединной (middle) поверхности, о которой
разговор пойдет ниже. Математически точное выражение
ld2w/dxi)/[l + {dw/dxYV1 для кривизны, выражающей зависи-
зависимость прогиба w от координаты х, в данном случае может не при-
применяться, так как здесь перемещения в направлении оси х не
рассматриваются. Ошибки, вызываемые такими аппроксимация-
пи, пренебрежимо малы для задач о балках, которые будут рас-
рассматриваться. •
Из-за относительного цоворота (d?w/dx2)dx двух поперечных
сечений возникают суммарные продольные деформации растяже-
растяжения Sxmdx — zfflw/dx^dx, где вя»—относительная деформация
растяжения срединной поверхности, a z — расстояние от ср"един-
ной поверхности. Разделив Это выражение на начальную длину
dx всех продольных волокон, получим продольные деформации
растяжения
езс = exm z ,2 * B.1а)
• ах
#
Умножив это соотношение на модуль упругости материала Е,
получим продольные растягивающие напряжения
о» = <Ухт + ох, = Егхт - Ez ф^, B.16)
ах
где о*™ и aXf — сответственно равомерно распределенная мем-
мембранная (membrane) и линейно изменяющаяся изгибная (flexu-
ral) части продольного нормального напряжения (рис. 2.1,6).
Умножив напряжение на площадь dz элемента, на который оно
действует, и проинтегрировав выражение для этой приходящейся
на малый элемент силы по всему поперечному сечению, т. е. по
z от — h/2. до h/2, получим продольную / растягивающую силу
Fx = ЕЫхт = (Sxmh. Умножив эту силу на z, найдем ее момент от-
относительно срединной поверхности, а проинтегрировав моменты
для каждого элемента по всему поперечному сечению, вычислим
h/2
изгибающий момент Мх = j axz dz:
-h/2
Далее рассмотрим условие равновесия моментов от всех сил,
приложенных к малому элементу (рис. 2.1,в), относительно оси,
перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через центр
58 ._. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК - {ГЛ. 2
тяжести элемента. Моментом от силы dFxz пренебрегаем как бес-
бесконечно малым по сравнению с моментом от силы F« при стрем-
стремлении dx к.нулю. Используя выражение B.2) и считая, что бал-
балка имеет постоянное поперечное сечение, получим
" . •' Fxzdx - (Мх + dMx) + Мх = О, FXZ = ^, B.3)
хг I2 dx3 ~~ dx3'
Важно отметить, что когда главная часть величины типа изги-
изгибающего момента Мх обращается в нуль, так как при подста-
подстановке в уравнение равновесия значений, соответствующих проти-
противоположным сторонам элемента, они взаимно уничтожаются, то
"изменение величины (в данном случае dMx) становится уже
главной частью4 и именно ее надлежит рассматривать. С другой
стороны, если в уравнении сохраняются главные части величин
типа FXI, тогда изменением этих величин (в данном случае dFXI)
можно пренебречь, потому что, как указывалось выше, их вклад
стремится к нулю по сравнению с вкладом главных частей при
стремлении dx к нулю и удержание их не приводит в какому-ли-
какому-либо заметному уточнению. Многочисленные приложения такого
приема будут представленьГ в нижеследующих разделах.
Из условия равновесия сил, действующих на малый элемент
в направлении оси х, с учетном соотношений B.3а) получим
Из этих уравнений можно видеть, что для случая, когда осе-
осевое нагружение отсутствует везде, кроме концов, любое измене-
изменение Fx вдоль оси будет нелинейной величиной, пропорциональ-
пропорциональной старшим степеням прогиба w или произведению прогиба w
на его производные. Даже для рассмотренного ниже случая боль-
больших прогибов эта величина будет мала, поэтому, не совершая
большой ошибки, силу Fx можно ечитать постоянной по длине
балки и равной приложенным по концам осевым нагрузкам. Если
отсутствуют осевые нагрузки или ограничения осевому смещению
на концах, величины е*^ и Охт или Fx могут быть без большой
ошибки везде приравнены нулю. Отсутствие на концах закрепле-
закрепления от смещения в осевом направлении подразумевает наличие
на одном конце катка или подобного ему опорного устройства,
но на практике даже без такого условия осевые напряжения и
деформации не играют, по-видимому, заметной роли до тех пор,
пока балка не закрепляется по обоим концам и одновременно про-
прогибы не достигают порядка высоты балки (случай, который рас-
рассмотрен ниже в § 2:6).
Для случая балки, на которую действует распределенная осе-
осевая сила fx, отнесенная к единице длины в направлении оси х,
§ 2.2] КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК , . 59
уравнение равновесия сил в направлении оси х можно представить
в виде dFxd- fx dx — 0, dFJdx = — fx, опустив нелинейный член
Fai d^w/dx1. Несколько задач подобного типа будут рассмотрены
ниже (уравнения (З.ЗДа), C.3'Ш в § 3.3).
Уравнение поперечного изгиба. Окончательно из рассмотрения
равновесия сил, действующих на элемент вдоль оси z, с учетом
уравнений B.3) получаем . _, . ' -
^ ^^ Р + /^, B.3в)
а с учетом уравнений B.2) или B.3а) и равенства Fx — Gxmh —
+_FA. B.4)
ax
x ax ax
Для случая действия «только поперечной нагрузки F* = от =
=0 уравнение B.4) принимает вид.
Eh3 dtw „.А ,п / \
т—р или Е1—т = р. B.4а)
12 dxl . • - dx* ¦ ¦ V
Следует отметить, что уравнения B.3), B.36), B.3в) являют-
являются точными уравнениями равновесия, в то время как уравнения
B.2), B.3а), B.4), B.4а) — аппроксимации Бернулли.
^Уравнение B.4) представляет собой условие равновесия при-
приходящихся на единицу длины балки сил, стремящихся вызвать и
.стремящихся не допустить возникновения прогибов в слабом (по-
(поперечном) направлении; указанное уравнение, а также соответ-
соответствующие уравнения для пластин и оболочек являются главны-
главными соотношениями для всех теорий. Рассмотрим физический
смысл различных членов уравнения B.4). Их ,знаки зависят от
выбранного правила знака и не имеют особого физического
смысла. _
Первый член Eld^w/dx^ представляет собой сопротивление
прогибу, подсчитанное как вариация- поперечной силы f», мо-
момент которой уравновешивает вариацию изгибающего момента
Ма, который возникает из-за изменения кривизны; т. е. имеем
йзгибное сопротивление прогибу, пропорциональное изгибной
жесткости EI балки. Второй член р представляет собой попереч-
поперечную нагрузку, стремящуюся вызвать прогиб или, если он пред-
представляет собой распределенную реакцию, стремящуюся Пред-
Предотвратить его; в первом случае он обычно не зависит от проги-
прогиба ю, в то-время как во втором он мбжет быть пропорциональ- •
ным прорабу w (случай сплошного упругого основания).
Третий член представляет собой поперечную обусловленную
кривизной d^/dx2 компоненту некоторой осевой силы Fa, кото-
которая, может при этом иметь место. Первые два члена являются
линейными (первого порядка) членами относительно прогиба,
. 60 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК ' [ГЛ. 2
\ г
т. е. они либо не зависят, либо изменяются пропорционально пер-
первой степени прогиба w и его производных. Выражение d?wjdx*
в третьем члене также имеет первый порядок. Если сила Fa не
зависит от прогиба, обусловленного осевой нагрузкой, приложен-
приложенной на концах и так, что она остается постоянной при изгиба-
изгибании, то третий член также имеет первый порядок и уравнение
линейно относительно прогиба w. Если сила Fx отрицательная,
т. е. сжимающая, то эта сила стремится вызвать прогибы; если
она достаточно велика (достигает критического значения по Эй-
Эйлеру)), то она удерживает балку в изогнутом состоянии без помо-
помощи какой-либо поперечной нагрузки; если же она меньше эйле-
ревой нагрузки, то увеличивает прогиб, вызванный лвдбой попе-
поперечной нагрузкой, которая может при этом иметь место. Если си-
сила FK положительная, т. е. растягивающая, то она. препятствует
изгибу и уменьшает его.
Осевая сила Fx может также вызываться прогибом. Так быва-
бывает, если опоры балки препятствуют движению концов балки на-
навстречу- друг другу, как в случае, рассмотренном ниже в § 2.6.
Тогда, если балка изгибается поперечными силами, то осевая ли-
линия ее будет растягиваться, так как она при этом искривляется
и, следовательно, становится длиннее, чем была первоначально,
а опоры будут создавать действующую на балку растягивающую
силу Fx, которая будет возрастать пропорционально квадрату про-
прогиба. Так как FK умножается на d?w/dx2, то третий член в этом
случае будет возрастать пропорционально третьей степени про-
прогиба и уравнение станет нелинейным относительно w. Когда про-
прогибы малы, такие члены высокого порядка пренебрежимо малы
по величине по сравнению с членами первого порядка, но они
становятся очень существенными с увеличением прогибов (это
справедливо до тех пор, пока не станет заметной ошибка, обус-
обусловленная использованием вместо тангенса угла значений само-
самого угла). Если балка первоначально не имела такой же длины,,
как и расстояние между местами закрепления концов, те при
этом возникает начальная сила Fx, которая изменяется с увеличе-
увеличением прогибов; в результате получаем комбинацию упомянутых
выше случаев — начальную силу, дающую член первого порядка
малости, и ее изменение, дающее член более высокого порядка
малости. ,
Три обсужденных -выше слагаемых в уравнении равновесия
в поперечном направлении бало,к являются типичными членами,
присутствующими в аналогичных, уравнениях пластин и оболо-
оболочек, поэтому все рассуждения, приведенные выше, в равней сте-
степени применимы и к этим более общим случаям.
Теории нитей и мембран. В тех случаях, когда Fx — растя-
растягивающая сила и, таким образом, третий член характеризует соп-
сопротивление изгибу, изгибная жесткость EI может равнятвея ну-
нулю, и тогда уравнение применяется к исследованию гибких' ни-
§ 2.2] КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК 61
тей, таких, как цепи, канаты или кабели, подверженных растя-
растяжению. Напряжения типа От,, которые равномерно распределены
по толщине, называются мембранными (membrane) напряжения-
напряжениями, поскольку мембраны, подобные мыльной пленке, воздушно-
воздушному шару или дирижаблю с тканевой обшивкой, имеют неболь-
небольшую или вообще не имеют изгибнои жесткости и так же, как
и в упомянутых выше цепях, канатах и кабелях, в них следует
полагать существование только напряжений, обусловленных на-
нагрузками, которые, они несут. В криволинейных балках, а также
оболочках мембранные напряжения на концах малого элемента
имеют поперечные составляющие, которые обусловлены как кри-
кривизной, образующейся при перемещении, так и начальной" кри-
кривизной.
Для конструкций типа мембранных можно построить упрощен-
упрощенные мембранные теории, опустив члены, связанные с изгибом.
Мембраны могут терять несущую способность при сжимающем
напряжении, поэтому они могут использоваться в тех случаях,
когда внутреннее давление (надутые конструкции) или другие
силы поддерживают стенку в растянутом состоянии, т. е. когда
главные напряжения в плоскости стенки растягивающие. Мем-
Мембранные теории могут также применяться и к оболочкам, чьи
стенки обладают заметной изгибнои жесткостью, если они. имеют
такие форму и нагрузку, что изгибная часть сопротивления пре-
пренебрежимо мала. Подобное имеет место для оболочек с осесим-
метричными формой и нагрузкой, а следовательно, и прогибами;
¦большое мембранное сопротивление создается при очень малом
изменении кривизны, за исключением окрестностей разрывов не-
непрерывности в форме оболочки или в характере распределения
нагрузки, а "также для поверхностей, которые являются почти
плоскими и нормальными к оси симметрии. Здесь могут возник-
возникнуть существенные изгибные напряжения. Подобными конструк-
конструкциями являются стальные баки, сделанные в форме, которую при-
приняли бы резиновые баллоны при сходных нагрузках.
Напряжения в балках. Как уже отмечалось вначале, рассмат-
рассматриваемыми в классической теории балок напряжениями являются
продольные напряжения ах, соответствующие силе Fx и моменту
Мк, а также поперечные касательные напряжения Gxz, соответ-
соответствующие силе Fxz (см. рис. 2.1,6). Так же, как в элементарном
сопротивлении материалов, первое напряжение может быть вы-
выражено через Fx и, Мх, а второе — из условия равновесия в про-
продольном направлении элемента, ограниченного двумя близко рас-
расположенными поперечными ' сечениями и горизонтальной плос-
плоскостью, лежащей на расстоянии z от срединной поверхности.
Продольное напряжение' ах с учетом B.16) и B.2) имеет вид
d*w Лх !2Mxz F Mxz
2 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
Поперечное касательное напряжение о„, получающееся в рам-
рамках элементарного сопротивления материалов, а для более обще-
общего случая пластин, обсуждающегося в § 4.3, для прямоугольного
поперечного сечения записывается в форме
aKZ = -f(^-^H = ^(^-^). B.5а)
Поперечное касательное напряжение распределено по парабо-
параболическому закону и имеет максимальное значение 3Fxz/BhJi), "что
в полтора раза больше средней величины _Fxz/h. Оно принимает
нулевые значения на верхней и нижней кромках поперечного
сечения, что должно иметь место в том случае, если верхняя и
нижняя поверхности балки свободны от касательных нагрузок.
Касательные напряжения на всех четырех гранях бесконечно
малого прямоугольного элемента, как это показано в § 3.1, долж-
должны быть равны по величине; отсюда для расположенного на верх-
верхней или нижней части балки бесконечно малого элемента типа
элемента а (рис. 1.1) касательное напряжение на вертикальных
гранях должно быть равно нулю, так как оно равно нулю на
верхней или нижней грани.
Напряжения, определяемые выражениями B.5) и B.5а), явля-
являются напряжениями, возникающими в Ьечениях', перпендикуляр-
перпендикулярных оси (а в случае касательных напряжений — в сечениях, па-
параллельных оси). В общем случае имеются напряжения и в се-
сечениях, проведенных под произвольным углом, поэтому можно
представить себе, что некоторые "из них могут оказаться больше
тех, что возникают в сечениях, нормальных к оси. В данной
произвольной точке наибольшее из нормальных напряжейий в се-
сечениях, проведенных под различными углами, является главным
напряжением, которое может быть найдено, как было показано
в § 1.6, по формуле A.6) и имеет в /этом случае величину о4 =
= ах/2 + У(о*/2J+ (охг|J (здесь не учитываются поперечные нор-
нормальные напряжения). Ограничивая обсуждение балками пря-
прямоугольного поперечного течения, у которых Fx = от = 0, и ис-
используя для ах и axz выражения B.5) и B.5а), найдем главное
напряжение в точке, лежащей на расстоянии z от оси:
В этом выражении QMJh2 является максимальной величиной
напряжения ах, которая обычно и используется при расчетах. Вы-
Выражение в фигурных скобках представляет собой коэффициент,
на который надо умножить указанное напряжение, чтобы полу-
получить максимальное напряжение в любой точке сечения, располо-
расположенного под произвольным углом к поперечнбму сечению; он
принимает значение, равное единице на верхей и нижней кром-
§ 2.3] РЕШЕНИЕ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 63
ках (z/h — ± 1/2) поперечного сечения, и Здесь встает вопрос,
может.ли этот коэффициент в каких-либо точках принимать зна-
значения, большие единицы. • , .
Вычисления, проведенные для различных, значений FXIh/DM)
и при изменении z/h от нуля до ±1/2, показывают, что выраже-
выражение в фигурных скобках никогда не,достигает значения, равного
единице, за исключением случая, когда Fxzh/(iMx) =
= o*2max/°a:max->^>92> т- е> когда величины напряжения попереч-
поперечного сдвига имеют тот же порядок, что и продольные напряже-
напряжения от изгиба; в. этом случае аппроксимация Бернулли уже не яв-
является достаточно хорошей. Когда имеются мембранные напря-
напряжения, достаточно велика вероятность того, что главные напря-
напряжения на площадках, расположенных под непрямым углом, могут
превысить напряжения на нормальных сечениях, так как на этих
площадках поперечные касательные напряжения и нормальные
напряжения могут быть в некоторой точке близки к своему мак-
максимальному значению, в то время как при отсутствии мембран-
мембранных" напряжений поперечные касательные напряжения равны
нулю там, где нормальное напряжение максимально, и наоборот.
§ 2.3. Решение по классической теории балок
Концевые условия для балок. Решение уравнений равновесия
B.40 или B.4а) должно удовлетворять не только этим уравнени-
уравнениям, но также и граничным условиям в точках (обычно- располо-
расположенных на концах), в которых балка закрепляется. Эти урав-
уравнения обычно имеют четвертый порядок, т. е. они содержат в Ка-
Качестве старшей производную четвертого порядка от и? по а; или
dkw/dxk. Наиболее общее решение такого уравнения, т. е. наибо-
наиболее общее выражение для w как функции от х, которое будет
удовлетворять уравнению, будет содержать четыре произвольные
константы интегрирования (произвольные постольку, поскольку
это касаетея~~уравнения, но, разумеется, не произвольные приме-
применительно к физической задаче), которые могут,быть использова-
использованы для удовлетворения двум условиям в каждом из двух мест
вдоль балки, где имеются закрепления. Если эти места находят-
находятся ла концах балки, как это обычно бывает, наиболее общие вы-
выражения концевых условий с учетом выражений B.2) и B.3) та- "
ковы:
w = Мх¦= 0 (т. е. w = 0 и Мх= 0) и, следовательно, w = —~ = О
dx
для шарнирной опоры (свободно опертого конца);
w == ~^- = О для защемленного (заделанного) конца;
'¦ А, "Ар " - B'6)
Мх — Fxz — 0, т. е. —s = —г = 0 для свободного конца.
dx dx
64 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
Если вертикальная опора не жесткая, а упругая, то условие
w = 0 можно заменить на $ш = ±Р„ = ±(Eh3/i2)dsw/dx3, где $—
мера жесткости опоры (сила, отнесенная к единице вертикаль-
вертикального перемещения), а знаки соответствуют левому и правому
концам балки. Аналогично для случая упругого сопротивления
повороту условие Мх = 0 можно заменить на $'dw/dx = ±Mx =
= ±(Eh3/l2\)d?w/dxz, где знаки опять соответствуют левому и пра-
правому концам балки, а р' — мера жесткости относительно поворо-
поворота конца балки (т. е. момент, отнесенный к углу поворота в ра-
радианах). Величина р' имеет отрицательный знак, когда поворот
вызывает момент, который стремится увеличить поворот, что мо-
может встречаться в элементах ферм или рам, когда к отдельным
элементам присоединяются узлы для предотвращения выпучи-
выпучивания1).
Условия w = 0 и dw/dx = 0 могут применяться также и в том
случае, когда закрепления накладываются в промежуточных точ-
точках балки. Однако условия, сформулированные относительно по-
поперечной силы Fxz или изгибающего момента Мх для случая про-
промежуточных опор, становятся более сложными, так как величины
поперечной силы или изгибающего момента, вызываемых опо-
опорами, равны соответственно Fxz или Мх только на конце балки.
Для подобных случаев наиболее просто изучать по отдельности
. части балки, расположенные по обеим сторонам опоры, удовлет-
удовлетворив условиям непрерывности, т. е.*прогиб w и углы наклона
dw/dx обеих частей балки у концевых опор одинаковы, а попе-
поперечные силы и изгибающие моменты, возникающие .в обеих час-
частях балки над опорой, находятся в равновесии.
Прежде чем покончить с этим вопросом, следует обратить
внимание на то, чта в физических задачах условия на опорах
редко являются четко выраженными, как это подразумевалось в
приведенном выше обсуждении, и в некоторых случаях требу-
требуется более детальное их исследование, в результате получаются
более сложные, чем упоминавшиеся, граничные условия (но не
большее их число). Например, в шарнире всегда имеет место
некоторое трение, хотя и очень небольшое. Отсюда момент в
шарнирной опоре будет равен не нулю, а моменту трения, ко-
который может быть постоянным или пропорциональным реакции,
возникающей в опоре, или нечто еще более сложное. Если, шар-
шарнирная опора представляет собой простое опирание одной сторо-
стороной балки или пластины на жесткую опору, то вследствие того,
что опора расположена не по центру, при повороте будет возни-
возникать тангенциальная сила трения, которая вызовет как момент,
так и осевую нагрузку; когда прогибы велики, концы будут стре-
') Donnell L. H. The critical axial compression of tension a bar, for
all possible positive and negative end fixities.— Contributions to applied mec-
mechanics Reissner anniv. volume.— Ann. Arbor, 1949, pp. 183—196.
S 2.3] РЕШЕНИЕ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 65
миться «сблизиться» и тангенциальная сила трения будет изме-
изменяться по направлению.
Балка или пластина из мягкой резины, прикрепленные на кон-
конце или крае к стальной стенке, соответствуют простому теорети-
теоретическому условию закрепления или заделке по границе. Однако
если стальная балка или пластина приварена к стальной стенке,
то изгибные напряжения, возникающие в стенке, почти не изме-
изменяются сначала, а затем на расстоянии порядка толщины h рас-
рассеиваются и становятся малыми. То же справедливо для защем-
защемленного конца, но в этом случае в дополнение к деформациям
в месте защемления должно возникать некоторое проскальзыва-
проскальзывание на защемленном крае, где концентрация напряжения теоре-
теоретически была бы бесконечной, если бы не было проскальзывания.
Влияние моментов трения в шарнирных опорах аналогично
уменьшению длины балки или размеров пластины или оболочки,
тогда как влияние деформаций или проскальзывания в опорах
типа защемления аналогично увеличению длины или размеров
на величины, изменяющиеся в диапазоне от близкого к нулю зна-
значения для шарниров, свободных от трения, или для балки из ре-
резины, опертой на стальную стенку, до, вероятно, максимального
значения, равного примерно половине толщины (или толщине
при учете опор на обоих концах).
Концевые условия, подобные приведенным в выражениях
B.6), которые рассматривают только результирующие силы и мо-
моменты на конце или углы наклонов, а также прогибы срединной.
поверхности (или какой-либо другой специфической поверхно-
поверхности), можно назвать интегральными концевыми условиями. Пол-
Полное удовлетворение действительным условиям на каждом" конце
в общем случае означает удовлетворение уже некоторым другим,
отличным от приведенных в выражениях B.6)), условиям, при-
причем число этих условий значительно больше двух. Точные крае-
краевые условия в задаче о балке включали бы в себя определение
напряжений, перемещений (или соотношений между ними)
в каждой точке поперечного сечения, а это дает теоретически
бесконечное число условий. Некоторые из этих условий могут
случайно оказаться удовлетворенными решениями уравнений B.4)
и B.4а), которые получены для данного случая, так как любое
решение описывает некоторое напряжение и перемещение в каж-
каждой точке поперечного сечения, и может случиться, что именно
они и будут требуемыми напряжениями и перемещениями. Но в
общем случае это маловероятно, и при решении уравнения чет-
четвертого порядка, полученного на основе аппроксимации Бернул-
ли, можно быть уверенным, что удовлетворяются только два ус-
условия (т. е. на каждом конце следует изменять произвольно толь-
только два условия). Конечно, нужно использовать эти два условия,
чтобы получить по возможности наилучшую аппроксимацию, удов-
удовлетворив условиям по результирующим напряжениям во всех
5 Л. Г. Доннелл
бб . КЛАССИЧЕСКАЯ .ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
точках поперечного сечения или по перемещениям срединной по-
поверхности; все это удовлетворяет условиям на концах почти с та-
такой же степенью точности, с какой удовлетворялись условия для
других точек по длине балки. Для большинства практических
задач этого оказывается достаточно, и было бы нецелесообразно
удовлетворять условиям более точно, на концах, чем в остальных
местах, хотя это можно было,бы сделать путем наложения раз-
различных решений. Практические пути- получения, где это требует-
требуется, более подходящих аппроксимаций обсуждаются в главе 3.
Математические решения. Уравнения B.4) и B.4а) приобре-
приобретают различные формы, требующие различных типов решений,
к<#да они применяются к различным физическим задачам. Эти
решения будут упоминаться при обсуждении соответствующих
задач, но некоторые общие замечания могут быть полезны и
здесь. Эти замечания будут посвящены линейному случаю, т. е.
тому случаю,, когда степени больше единицы и произведения
функции w или ее производных ве рассматриваются, хотя иног-
иногда возможно непосредственное получение решений нелинейных
уравнений, некоторые случаи которых обсуждены в § 5.4, но го-
гораздо чаще приходится прибегать к другим методам, подобным
энергетическому.
Для целей обсуждения решений члены уравнений B.4) или
B.4а) можно разбить на два типа: зависящие от w и не завися-
зависящие от w. Первый тип содержит первый и третий члены урав-
уравнения B.4) и некоторую часть нагрузки р, которая изменяется
в зависимости от w подобно распределенным реакциям, которые
действуют на балку, лежащую на упругом основании, или инер-
инерционным силам в задачах поперечных колебаний, которые про-
пропорциональны второй производной от w по времени. Второй
тип содержит ту часть нагрузки р, которая представляет собой
поперечные нагрузки, приложенные таким образом, чтобы их ве^
дичина могла считаться независимой от прогиба.
Затем в самом общем случае решение может быть представ-
представлено как сумма двух решений: 1) частного решения, которое
удовлетворяет уравнению в целом, т. е. любое выражение для w,
которое после подстановки в члены, содержащие w, позволяет »
сумме с членами, не содержащими w, получить нуль; 2) реше-
решения однородного уравнения, получаемого отбрасыванием членов,
которые не зависят от w, т. е. выражений для w, которые поел©
подстановки в члены, содержащие w, обращают их сумму в нуль.
Общее решение однородного уравнения будет содержать
столько постоянных интегрирования, каков порядок уравнения,
что позволяет удовлетворить концевым условиям. Сумма частно-
частного и общего решений однородного уравнения есть общее решение
уравнения равновесия, т. е. наиболее общее выражение для w
(оно может принимать различные, но эквивалентные формы), ко-
которое будет удовлетворять уравнению равновесия. Конечно, его
§ 2.3] РЕШЕНИЕ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ- 67
можно найти непосредственно; отдельно однородная часть реше-
решения находится только для удобства, с тем чтобы решать основ-
основную часть задачи, применимую для различных видов нагрузок,
только один раз, а не для каждого типа нагрузки.
Что же касается частного решения, которое должно удовлет-
удовлетворять уравнению в целом, то в общем случае невозможно найти
такое решение в явной (не в виде рядов) форме, если поперечная
нагрузка не является непрерывной, например когда в нее входят
сосредоточенные силы или скачкообразно изменяющиеся распре-
распределенные нагрузки. Т. е. не существует такой единственной функ-
функции w, которая после подстановки в члены уравнения, содержа-
содержащие w, давала бы разрывную функцию, которая в сумме с раз-
разрывной функцией нагрузки давала бы нуль для всех значений х,
т. е. во всех точках по длине балки. В таких случаях можно ис-
исследовать по отдельности лежащие между точками разрыва части
балки, удовлетворив условиям непрерывности в местах сты-
стыковки этих частей, подобно тому как это делалось при обсуж-
обсуждении упругих промежуточных опор. Однако в задачах для пла-
пластин и оболочек это довольно редко встречается на практике,
а для балок обычно нетрудно взять частное решение в виде бес-
бесконечного ряда, отдельные члены которого не давали бы в сумме
с нагрузочным членом нуль, но сумма ряда равна нулю. Далее
будет показано, что в общем случае можно найти такие ряди,
которые для подавляющего большинства приложений сходятся
быстро, т. е. ряды, которые дают очень хорошие аппроксимации
при удержании только нескольких первых членов ряда. Вслед-
Вследствие указанных обстоятельств для всех поперечных нагрузок,
8десь, как правило, будут для удобства использоваться представ-
представления решений в рядах, даже в случае непрерывных' нагрузок, та-
таких, как равномерно распределенные, для которых можно полу-
получить решение в явном виде.
В линейном случае однородное уравнение обычно имеет хоро-
хорошо известное явное решение; последовательное изложение мето-
методов отыскания таких решений содержится в "учебниках по- матё-
_матике. Если коэффициенты-при членах уравнения постоянны
(что.не так для члена FJPwjdx*, если осевые силы распределены
по длине, а не приложены только в качестве концевых нагрузок!),
то общепринятым способом нахождения решения является зада-
задание w в виде экспоненциальной функции w = е°*, где с — произ-
произвольная постоянная. Так как эта функция сохраняет одинаковую
форму после произвольного числа дифференцирований, множи-
множитель е"* может быть исключен из уравнения, после чего остается
алгебраическое характеристическое уравнение относительно с.
Это алгебраическое уравнение будет иметь ту же степень, что
и порядок дифференциального уравнения (в нашем случае чет-
четвертую), так что оно будет удовлетворяться соответствующим
числом значений (корней) с. Тогда каждая записанная с испвль-
68 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
зованием этих значений и умноженная на произвольную кон-
* станту экспоненциальная функция должна быть решением диффе-
дифференциального уравнения, решением также будет и их сумма. Ес-
Если т корней имеют одинаковые значения, то можно показать,
что экспоненциальные функции, записанные с использованием
этого общего корня и умноженные на ж, х2, х3, ..., ж, также
являются решениями. Если некоторые из корней с являются ком-
комплексными, то соответствующие экспоненциальные функции мож-
можно преобразовать в тригонометрические и гиперболические функ-
функции, воспользовавшись формулами sin or = (eiac — e~icx)/Bi),
cos ex = (eicx + e~icx)/2, shcr = {ecX- e~cx)/2, chcx = (ecx + e~cx)/2.
Если производные либо все четные, либо все нечетные, эту про-
процедуру можно сократить,, сразу задав решение в виде тригономет-
тригонометрических или гиперболических функций, так как они сохраняют
одинаковую форму, если их дифференцировать четное число раз.
Если w — функция более чем одной независимой переменной,
например х и t в динамической задаче для балок или х и у в
статических задачах для пластин и т. д., то разрешающее урав-
уравнение в частных производных в общем случае можрт быть реше-
решено путем разделения переменных, например путем задания про-
прогиба w как произведения экспоненциальной на тригонометриче-
тригонометрическую или экспоненциальную функцию от различных переменных.
Например, в динамических задачах ¦ для балок прогиб w можно
задать в виде произведения функций синуса или косинуса от t
и неизвестной функции Х(х) только от переменной ж. Тогда, но-
скольку присутствуют только четные производные по t, все чле-
члены будут содержать эти функции синусов или косинусов в каче-
качестве общего множителя, после сокращения которого остается
обыкновенное дифференциальное уравнение для функции Х(х),
которое может быть решено так, как это было описано выше.
Балки с поперечным сечением произвольной формы. Выше
уже отмечалось, что существующие подходы к расчету балок пря-
прямоугольного поперечного сечения в определенных случаях приме-
применимы и для поперечных сечений других форм. Для простоты ог-
ограничимся обсуждением только случаев поперечной нагрузки и
ехт = 0, но получающиеся выводы применимы также и для са-
самого общего случая. На рис. 2.1, г показано поперечное сечение
балки с постоянным по длине произвольного вида поперечным
сечением: ось х до деформирования проходит через центры тя-
• жести поперечных сечений. Пусть балка имеет перемещение v
в направлении оси у и w —. по оси z. Характерный элемент попе-
поперечного сечения имеет площадь АА и содержит, как показано,
точку с координатами у, z. Тогда, используя те же рассуждения
и аппроксимации, что и при выводе соотношения B.16), для про-
продольного нормального напряжения на элементе йА получим
¦ BЛ>
§ 2.3] РЕШЕНИЕ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Щ
Умножив это напряжение на dA и проинтегрировав элемен-
элементарную силу, действующую на элемент dA, по всей площади. А
поперечного сечения, найдем
Fx= -E^\'zdA — E^\ \ydA=O, так как [zdA=
dx { dx { 1 { . r
для осей у и 2, проходящих через центр тяжести.
Интегрируя моменты относительно осей у и z от этих элемен-
элементарных сил, получим моменты внутренних сил относительно этих
осей Л/„ (в остальных местах книги этот момент обозначается
MJ и Мг, которые равны моментам внешних сил, действующих
на участке балки от рассматриваемого поперечного сечения до
одного из концов, т. е. изгибающим моментам относительно осев
у и z: .
d2w С d*v f ,. „т d2w „T d2v
B.7ad
PzdAE)ydA EIEh
где Iv (в остальных местах книги обозначается через /), 1г, 1»—^
соответственно осевые моменты инерции относительно осей у ш
\Z, проходящие через центры тяжести поперечного сечения, ¦
центробежный момент инерции относительно тех же осей. Решив
уравнение B.7а) относительно dzw/dx2 и d?v/dx2, получим
MyIz — MzIyz d2v _ Мг1у — Mylyz
Напряжения изгиба можно выразить через изгибающие мо-.
менты Mv и Mz, воспользовавшись уравнением B.7). Угол накло-
наклона нейтральной оси можно найти, положив равным нулю <г« в
уравнении B.7), откуда уравнение угла найлона принимает вид
z/y = -(dT-v/dxyid'w/dx") = (MJV - MvIyz)/(MJy2 - MVIJ.
Если центробежный момент инерции равен нулю, что всегда
имеет место по крайней мере для одной системы перпендикуляр-
перпендикулярных осей координат, называемых главными осями, то соотноше-
соотношения B.76) принимают вид Mv = —EIyd2w/dxi и Мг = —EltfvtAjf.
Сравнивая с соотношением. B.2), можно видеть, что уравнения
B.2)—B.4), а также уравнения, которые будут получены впос-
впоследствии на основе уравнений B.4) и B.5) (но в общем случае
не из B.5а)), могут быть использованы (с соответствующими ин-
индексами) в форме, включающей момент инерции / для попереч-
поперечного сечения произвольной формы, при условии, что изгибающие
моменты действуют з плоскостях, проходящих через главные оси
поперечного сечения. Если изгибающие моменты действуют не
70 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
в этих плоскостях, то их можно разложить на составляющие,
действующие в этих плоскостях.
Оси симмметрии всегда являются главными осями, так как
центробежный момент инерции относительно этих осей, что мож-
можно легко показать, обращается в нуль вследствие симметрии.
Для симметричных поперечных сечений (подобных прямоуголь-
прямоугольным поперечным сечениям, которые изучались выше) вследствие
вимметрии момент относительно оси х от поперечных касатель-
касательных напряжений дает нуль; если момент от внешних нагрузок
относительно оси х также равен нулю, как это имеет место во
вбех случаях, которые будут рассматриваться, то в балке не воз-
возникает кручения. Если поперечное сечение несимметричное или
нагрузки приводят к моменту относительно оси х, то может воз-
возникнуть как изгиб, так и кручение стержня, изучение таких слу-
случаев выходит за рамки данной книги.
Здесь не будут обсуждаться методы исследования балок, ос-
основанные на построении эпюр изгибающих моментов, определе-
определений площадей и моментов площадей этих эпюр, так как эти очень
полезные методы охватываются, курсами элементарного сопротив-
сопротивления материалов и не пригодны для изучения двумерных кон-
конструкций типа пластин и оболочек. Вместо этого будут использо-
использоваться" математические решения дифференциальных уравнений
С применением там, где это необходимо или удобно, представле-
представления решения в форме рядов. Подобные методы интересны не
только с точки зрения приложения к балкам, они представляют
всобый интерес как более простое истолкование методов, которые^
как правило, являются самыми полезными для пластин и обо-
ободочек.
§ 2.4. Поперечно нагруженные балки со свободно
опертыми концами
Для балки длиной I, левый конец которой, как показано на
рис. 2.2, совмещен с началом координат, условия опирания на'
концах:
при х = 0 ж х = 1 имеем w = tfw/dx1 = 0
будут удовлетворяться, если взять выражение для прогиба w в
форме ряда по синусам
ш=У,ш.Вт^, т=1,2,3,...,; B.8)
т
так как выражение для dfwldx1 будет иметь вид аналогичного
ряда по синусам (каждый член которого уиножен на —тгя?/1г)
и sin mnO/l = sin тл1/1 = 0. Уравнение B.4а) также можно удов-
\
§ 2 4j ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННЫЕ БАЛКИ 71
летворить, если нагрузка р представляется аналогичной функци-
функцией от х:
p=2"P"»sin—• B.8а)
т
Подставляя выражения B.8) и B.8а) в уравнение B.4а), по-
получим
121-
S
sin
Очевидно, это уравнение справедливо при условии, что каж-
каждый коэффициент ряда, стоящего слева, равен соответствующему
коэффициенту ряда справа (и в общем случае это условие един-
единственное, при котором уравне-
уравнение удовлетворяется для любо- р
го х), для чего должны выпол-
выполняться следующие соотношения:
, „
¦ ¦ t t ¦ f-1 ¦ ¦
Рис-2-2-
Подставляя это выражение для ivm в представление B.8), по-
получим
1* yi Р тпх /*>' 10V
Как известно из курсов математики, функция р(х), представ-
представленная в виде ряда B.8а) по синусам, может иметь практическв
любую форму, т. е. указанным рядом можно представить любое
желаемое распределение поперечной нагрузки, «ели задать соот-
соответствующие значения для коэффициентов рт. На рис. 2.3, а пв-
казаны три первых члена такого ряда по синусам. На рис. 2.3, о
показано, что если два первых члена (т. е. члены с нечетными
номерами т = 1, 3, ...), которые симметричны относительно се-
середины балки, сложить вместе в соответствующих долях, то полу-.
чим обозначенную сплошной линией кривую, которая приближен-
приближенно представляет равномерное распределение нагрузки; с другой
стороны, если взять эти члены в соответствующих долях и вы-
вычесть друг из друга (рис. 2.3, в), получим начало процесса аа-
проксимации нагрузки, сосредоточенной в середине пролета. Для
того чтобы получить несимметричное распределение нагрузки,
следует использовать также и члены с четными номерами т, ко-
которые имеют антисимметричные формы относительно середины
пролета (т. е. они симметричны'по каждую сторону от середины,
но различаются знаками). Можно показать, что с помощью ком-
72 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
бвнации достаточного числа членов ряда можно с любой желае-
желаемой точностью построить любую форму нагрузки.
В отличие от полных рядов Фурье, которые содержат члены
в синусами и косинусами, такой простой ряд, как ряд по сину-
еам, не может дать в концевых точках значения, отличного от
точного нуля, но если удержать достаточное число членов, пра-
правильное значение может достигаться на очень близком расстоя-
вии от концов. В действительности сходимость почти не наруша-
нарушается даже в том случае, когда нагрузки принимают вблизи кон-
концов большие значения, так как часть нагрузки, располагающаяся
¦близи концов, мало влияет на прогибы и изгибные напряжения.
14-1
m=i
' в)
Рис. 2.3.
Соответствующие значения коэффициентов ртп можно найти
е помощью процедуры гармонического анализа. Это определяет-
определяется тем обстоятельством, что члены такого ряда по синусам (а так-
также некоторых других рядов, таких, как аналогичные ряды по
косинусам, ряды с комбинацией синусов и косинусов или ряды
Фурье и т. д.) ортогональны или нормальны друг другу на ин-
интервале от х = 0 до х = I. Это означает, что интеграл по этому
интервалу от произведения двух различных членов ряда равен
нулю. С другой стороны, квадрат любого члена равен в этом слу-
случае среднему значению ординаты, равному точно 1/2, так что
интеграл от 0 до I равен 1/2.
Эти факты легко проверить по таблицам интегралов, а их
обоснованность продемонстрирована на рис. 2.4. Очевидно, про-
произведение любого симметричного (с нечетным номером т) члена
на антисимметричный (с четным номером т) будет давать ан-
антисимметричную форму, как показано на рис. 2.4, а, а положи-
положительные и отрицательные площади при этом всегда уравновеши-
уравновешиваются. Но не так уж очевидно то, что положительные и отри-
отрицательные площади будут уравновешиваться для произведения
двух различных симметричных и антисимметричных членов, хо-
хотя если сделать грубый чертеж, можно видеть, что это предполо-
предположение вполне разумно; на рис. 2.4, б, например, видны две по-
положительные площади и одна отрицательная, но положительные
§ 2.4] ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННЫЕ БАЛКИ 79
площади заметно меньше, чем отрицательная. С другой стороны,
квадрат любого члена будет иметь все ординаты положительны-
положительными, величиной от нуля до единицы, и, как можно видеть ия
рис. 2.4, в, среднее значение ординат составляет 1/2.
Для того чтобы определить значение коэффициента рт в вы-
выражении B.8, а), умножим его левую и правую части на множи-
множитель dxsin(mnx/l) и проинтегрируем по длине I. Тогда в правой
sinffit-sin 2*5.
a)
¦ _ _- ;—-^.
¦
;i
Рис, 2.4.
части уравнения только произведение этого множителя на «со-
«соответствующий член ряда дает интеграл, который отличен да
нуля:
г
J, s. . тпх ,
р (х) sm —— dx — «
( . пх , , . тпх\ . тпх', 1 {п ...
^sin-j-+ ... + pmsm-j- sin-rda; = /?mT, B.1^
о
j
2 L / \ • nnx ,
0
Подстановка в выражение B.10) дает
i
. тпх С . . . тпх
81П]р(ж)8т
га 0 х
С помощью выражения B.12) можно найти прогиб и;(з:) для
любого вида распределения нагрузки р(х), а также продольные
изгибные и касательные напряжения по формулам B.5) и B.5а).
Равномерно распределенная нагрузка, действующая на балку
со свободно опертыми концами. Если р —р„ — постоянная вели-
величина, то интеграл .
1 'г
С ¦ .- тпх , С . тпх , Рп^ i л Ы
\ р0 sin -у- dx = /?0 j sm -у- da; = — ^ (cos тля — cos 0)
74 КЛАССИЧЕСКАЯ- ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
, ; * •
равен 2ро1/(тп) для нечетных значений т и нулю —для четных.
Тогда выражение B.12) принимает вид^
*8i р„ ^ri f . тпх , tot: \ ,„101
W = ~ImF**U*m~r (и» = 1,3,5,...). B.13)
Для такой симметричной нагрузки максимальный прогиб бал-
балки постоянного поперечного сечения возникает в середине проле-
пролета балки, т. е. при х —1/2, откуда
1 . я , 1 • Зя
7sin т + F sin^r
Если использовать первый член ряда, получим w =
=G4p»/?fe3)/6,38. Точное значение числа в знаменателе — 6,4, так
что значение, полученное с использованием одного члена ряда,
только на 0,4% превышает точное; при использовании: двух чле-
членов получаемое значение настолько близко к тонкому, насколько
этого можно достичь с помощью логарифмической линейки.
Для приведенного выше ряда 1—1/35 + 1/55 — ... известна
«го сумма 5я*/1536, откуда непосредственно следует точное зна-
значение для максимального прогиба. Многие решения в форме ря-
рядов, ^которые будут получены или могут быть получены метода-
методами, которые будут описаны ниже, имеют известные выражения
для суммы (их можно найти в курсах по теории функций или в
справочниках), которые превращают эти решения в явные. Одна-
Однако из опыта автора следует, что при проведении численных ис-
исследований рядов, которые будут в дальнейшем рассмотрены,
требуемую точность в большинстве случаев можно получить, оце-
жив несколько членов ряда и обрезав ряд, когда последующие
члены становятся пренебрежимо малыми, что требует меньше
времени, чем попытка вычисления или -нолучения оценок для
суммы ряда.
Сосредоточенная нагрузка, действующая на балку со свобод-
свободно опертыми концами. Рассмотрим случай сосредоточенной на-
нагрузки Р, приложенной в точке х = х0. Для того чтобы рассчи-
рассчитать этот случай, можно рассмотреть распределенную нагрузку
j»==iVA, равномерно распределенную на бесконечно малой дли-
;¦», А балки, центрированную относительно точки приложения си-
силы Р, и равную нулю на всей остальной длине балки, как пока-
аано на рис.2.5.
Тогда интеграл, j p (x) sin (rnnx/l) dx будет, очевидно, равен
о
щулю везде, кроме участка длиной Д. Так как эта длина беско-
§ 2.4] ПОПЕРЕЧНО НАГРУЖЕННЫЕ БАЛКИ 75
нечно мала, величину sin (тлх/.l) можно взять постоянной по
всей длине и равной sin (mnxjl); вследствие этого интеграл бу-
будет равен Л (Р/А)&т(тлхо/1)—Psmbnnxo/l). Отсюда выражение
B.12) принимает вид
Если сосредоточенная нагрузка приложена в середине проле-
пролета, то х0 = 1/2. Для такой симметричной нагрузки максимальный
прогиб также будет в середине пролета, где х = 1/2:
2АР1* у sin2.(шя/2) 24Р!3 у 1 . . „ _. - .„.
% ^ (m = 1,3.5). B.16)
Используя только один член этого ряда, получим Ют** *»
= PI3/D8,7ED, что на 1,5% ниже точного значения; при двух
членах — ниже на 0,3% и т. д.
Аналогично можно найти. решения для случая нескольких со-
сосредоточенных нагрузок или комбинации сосредоточенных
7W.777?
Z(U»
\1\
Рис. 2.5.
и распределенных нагрузок. Иди, так как здесь рассматриваются
решения для упругих балок при малых прогибах, когда переме-
перемещения, деформации и напряжения изменяются линейно в зави-
зависимости от нагрузок, решения, полученные для частей нагрузок,
могут быть наложены друг на друга, т. е. перемещение или на-
напряжение в каждой точке для всей нагрузки могут быть подсчи-
подсчитаны как алгебраическая сумма перемещений или напряжений
в данной точке от различных составляющих нагрузки.
Свободные колебания балка со свободно опертыми концами.
В случае балки, на которую действует ускорение в поперечной
направлении, нагружение р обеспечивается силой инерции, обус-
обусловленной ускорением d2w/df (здесь, разумеется, нужно исполь-
использовать частные производные, так как прогиб w будет функцией
как координаты х, так и времени t). Поскольку w представляет,
собой направленное вниз перемещение, то dw/dt — направленную
вниз скорость, a dwVdf — направленное вниз ускорение, вызыва-
вызывающее направленную вверх силу инерции (которую можно пред-
представить себе как псевдосопротивление ускорению). Цоэтому наг
грузка, действующая на элемент балки длиной .da!, равна pdx.fr
•$J " КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК § [ГЛ. 2
=—ph dx d2w/dt2, где р — плотность материала, h dx — объем,
ghdx — масса элемента. Уравнение B.4а) можно переписать при-
применительно к данному случаю в следующем виде:
Eh3 34ш , дги> Eh2d*w Ек2 д*и> д2и> ,п лн\
р^ИЛИ = BЛ7)
жде к — радиус инерции поперечного сечения.
Уравнение B.17) и граничные условия могут быть удовлетво-
удовлетворены, если взять w в форме
w=wmsinr^sm2nNnt, B.18)
где т — произвольное целое число. Это выражение для прогиба
удовлетворяет граничным условиям: при х = О и х = I имеем
w = d'w/dx* = О —. и описывает колебание, чья амплитуда (оп-
(определяемая как максимальное перемещение в любом месте и в
любой момент времени) обозначается через wm и чья форма (или
мода), колебания описывается выражением sin (mnx/l). Коэффи-
Коэффициент sin 2nNmt изменяется от 0 до +1, далее до 0, далее до— 1 и
«братно до 0, повторяя весь цикл еще раз, как только время t
начнет изменяться от 0 до i/Nm. Следовательно, в единицу вре-
времени состоится Nm циклов или колебаний и Nm представляет час-
частоту колебаний т-й моды, т. е. формы sin (mnx/l).
Выражение B.18) является точным явным решением уравне-
уравнения B.17), так как если его подставить в это уравнение, то по-
получим равенство
*4"У wm sin — sin 2nNmt = 4я*ЛГЦ, wm sin ~ sin 2nNmt, B.19)
моторое выполняется для всех значений х и t, если
. B.20)
- Отметим, что частота не зависит от амплитуды wm, но очень
сильно зависит от т, т. е. от формы колебаний. Наименьшая или
фундаментальная частота соответствует т = 1, т. е. колебанию
ио одной полуволне синуса. Следующая гармоника при т — 2
имеет в четыре раза большую частоту и т. д.
При малых перемещениях такие колебания с различной час-
частотой могут быть наложены друг на друга, а математически это
можно описать с помощью ряда B.18) (выражающего признак
суммирования), приравняв, как это делалось в соотношении
(B.9), каждый коэффициент ряда, стоящего в левой части равен-
равенства B.19), соответствующему коэффициенту ряда, стоящего
еправа, как это было сделано с уравнением B.9). Однако по су-
существу это оаначало бы скорее наложение отдельных явных ре-
решений, чем решение в рядах типа обсуждавшегося ранее, где
требуется, чтобы все члены ряда вместе давали одно решение.
§ 2.5] СНГАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ . 77
Пользуясь приведенным выше решением для1 высших гармо-
гармоник, следует помнить, что оно основывается, согласно аппрокси-
аппроксимаций Бернулли, на пренебрежении деформациями и напряже-
напряжениями поперечного сдвига и что при этом рассматриваются ус-
ускорения только в поперечном направлении. Эта аппроксимация
хороша до тех пор, пока длина полуволны прогиба Ит велика по
сравнению с толщиной h. Для более коротких волн необходимо
учитывать влияние деформаций и напряжений поперечного
сдвига и продольные ускорения (инерцию вращения). Это сде^
лано в § 3.5 в формуле C.65) для Nm.
§ 2.5. Продольно нагруженные балки со свободно
опертыми концами. Сжато-изогнутые стержни ;
Продольно сжатый стержень с начальными искривлениями.
Все реальные стержни имеют определенную величину начально-
начального искривления, т. е. искривление в ненагружевном состоянии.
Тщательно изготовленные балки, например стержни, вырезаемые
из более длинных стержней и подвергнутые операции правки,
будут иметь меньшее искривление, чем не столь тщательно из-
изготовленные. Даже если на внешних поверхностях балок не бы-
было заметных искривлений, там, однако, всегда присутствовали бы
«эквивалентные» искривления (отклонение от прямой линии «уп-
«упругой оси», действительной оси балки), обусловленные упругой
неоднородностью и анизотропией материала (например, из-за по-
ликристаллической структуры металлов, наличия включений, по-
полостей и т. д.)
Начальные искривления обычно не важны для балок, несу-
несущих только поперечную нагрузку; в задачах о выпучивании они
могут стать очень важными.
В последующем обсуждении будет предполагаться, что ось z
направлена в сторону самого слабого сопротивления — выпучи-
выпучивание при оеевом сжатии обычно будет происходить именно в этом
направлении. Если взять оси у и z (рис. 2.1, г) в качестве глав-
главных осей поперечного сечения (т. е. осей, относительно которых
центробежный момент инерции поперечного сечения, как гово-
говорилось в § 2.3, равен нулю), то наименьшим момент инерции от-
относительно произвольной оси, проходящей через центр тяжести,
будет относительно одной из таких осей, скажем оси у. Если
имеющиеся на концах закрепления одинаковы относительно из-
изгиба в любом направлении, то выпучивание произойдет при наи-
наинизшей нагрузке путем изгибания относительно этой оси, т. е.
в направлении оси z. Если не очевидно, какое из направлений
является слабейшим, то следует исследовать выпучивание в обо-
обоих направлениях.
Рассмотрим свободно опертый по концам стержень, централь-
центральная линия которого имеет начальное отклонение wo{x) от прямо-
78 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК 1ГЛ, 1 ,
/
линейной координатной оси а:, проходящей через центры тяже-
тяжести концевых сечений стержня (рис. 2.6): /
„, _ V и, «sin mnx ' 19 9А
m
-Как известно, таким рядом можно представить любую фор-
форму (включая эксцентричное приложение нагрузки)) и каждый из
коэффициентов wom при отдельных членах будет являться неко-
некоторым частным значением для каждой отдельной балки.
Предположим теперь, что стержень нагружен сжимающей си-
силой Р = — FK, направленной вдоль оси х (см. рис. 2.6). При та-
таком нагружении возникнет поперечное перемещение w(x),
Рис. 2.6.
вызывающее дополнительное смещение центральной линии от
оси х, как показано на рис. 2.6. Это перемещение можно выра-
выразить с помощью аналогичного ряда
w = ^wmSm^. v B.22)
Предположим, что в этом случае отсутствует боковая нагруа-
ка р; если она имеется, то ее можно рассмотреть, представив в ви-
виде аналогичного ряда, и при этом найти, что ее влияние такое
же, как'если бы вызываемый действием только ею одной Прогиб
представить как начальное отклонение от прямолинейной формы,
наложенное.на отклонение, задаваемое выражением B.21).
-В этом случае моменты сопротивления изгибу будут равны
нулю, когда перемещение w равно нулю, и будут зависеть толь-
только от одного прогиба w. С другой стороны, перерезывающая си-
сила, обусловленная осевой нагрузкой Р, будет равна нагрузке Р,
умноженной на полную кривизну, зависящую от обоих проги-
прогибов wQ и w. Уравнение, соответствующее B.4), в данном случае
примет вид • •
Подставляя выражения B.211) и B.22) в уравнение B.23) и
приравнивая коэффициенты при соответствующих членах рядов
по синусам в- правой и левой, частях уравнений, получим
*—* с т _.2_2 и; •
wP(w + шот), wm = Vjg//U>|^r B-24)
СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
79
', Прогиб w первоначально искривленного стержня при дей-
действии осевого сжатия Р составит
тгп*Е1/(Р1г) —
Sin-
тпх
01
I
•sin
nx
02^
2nx
Рассмотрим теперь, как перемещение будет изменяться в за-
зависимости от нагрузки -Р. При Р = 0 знаменатель в выражении
B.25) обращается в бесконечность и прогиб w становится рав-
равным нулю. Когда Р принимает значение, равное кгЕ1/1г (эйлеро-
(эйлерова критическая нагрузка), коэффициент при первом члене ста-
станет равным Woi/O и устремится к* бесконечности, в то же время
коэффициент при втором члене примет значение, "равное wai/%,
при третьем члене — wai/d> и т. д. Так как в реальном стержне
коэффициенты при начальном отклонении wot, w0, и т. д., верот
ятно, не будут больше чем wol (обычно они тем меньше, чем
старше номер /га), можно видеть, что важ&н только первый член
в ряде -для начального отклонения (член, представляющий фор-
форму, по которой стержни в действительности выпучиваются). На
рис. 2,7, а очень хорошо видно, как возрастают различные члены
лпаотичаское "сгрузка
течете I
Рис. 2.7.
ряда B.250 при изменении нагрузки Р от нуля до птЕ1/1г и сколь
несущественны в этом случае высокие гармоники выражения для
прогиба.
Идеальный продольно сжатый стержень. В чисто теоретиче-
теоретическом случае идеального продольно сжатого стержня прогиб w0
и его коэффициенты wolf w0, и т. д. должны быть равны нулю.
Когда нагрузка Р достигает значения лгЕ1/Р, коэффициент лри
первом члене в выражении B^5) становится неопределенным:
0/0. Теоретически прогиб и>„ может оставаться равным нулю (ма-
(математически это означает, что при исследовании устойчивости
80 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
имеет место тривиальное решение w = 0 уравнения равновесия
в поперечном направлении), но на практике на него обязательно
действуют случайные поперечные силы: составляющие от силы
веса, небольшое движение воздуха и т. п. Как уже указывалось
ранее, подобная непрерывно распределенная нагрузка создает
прогибы, влияние которых подобно начальному отклонению от
прямолинейной формы, и тогда член wt возрастает скачком (ли-
(линия АВ на рис. 2.7,6). Если нагрузка Р возрастает до значе-
значения, лишь ненамного превышающего значение п2Е1/Р, то даже
небольшого возмущения, обусловленного неизбежно присутствую-
присутствующими колебаниями или звуковыми волнами, достаточно, чтобы
привести к таким же результатам. Теоретически нечто подобное
может случиться и с членом wt, когда нагрузка Р достигает зна-
значения АпгЕ1/1г, но на практике, разумеется, стержень потеряет
устойчивость задолго до того, как будет достигнута эта нагрузка.
То, что столь крупные результаты достигаются очень малыми
средствами,— обычное явление. Резонанс в колебательной систе-
системе без трения, вызываемый очень малым колебательным возму-
возмущением, является тому примером (между явлениями резонанса
и выпучивания имеется очень близкая аналогия). Зависимость
подъемной силы находящегося в потоке вязкой жидкости кры-
крыла — еще один такой пример; теоретически для невязкой идеаль-
идеальной жидкости отсутствует циркуляция вокруг крыла, а следова-
следовательно не возникает и подъемная сила, но наличие на задней
кромке, где течения над и под крылом встречаются с первона-
первоначально различными скоростями, даже минимальнейшего вязкого
трения достаточно, чтобы локально уравнять эти скорости, созда-
создавая таким образом циркуляцию и подъемную силу.
При исследовании потери устойчивости идеального продольно
сжатого стержня, нет необходимости, да и бессмысленно исполь-
использовать в выражении B.22) знак суммирования для w, так как
все эти члены обратятся в нуль, кроме одного члена, для которо-
которого минимальна нагрузка, вызывающая потерю устойчивости; од-
однако нижний индекс и множитель т в выражениях, подобных
B.22), необходимо использовать, если заранее нет уверенности
в том, какая форма потери устойчивости будет соответствовать
наименьшей нагрузке. Приведенное выше обсуждение можно рас-
рассматривать как физическую интерпретацию математической за-
задачи на собственные значения.
Существует очень важное различие между задачами устойчи-
устойчивости и задачами о поперечном изгибе. При определении крити-
критических нагрузок сжимающая сила Р оказывается конечной, ког-
когда прогибы равны нулю или же бесконечно малы. Когда рас-
рассматривается случай малых начальных отклонений, напряжения
от силы Р существенно велики по сравнению с напряжениями,
вызываемыми силами и моментами, обусловленными изгибом.
Это означает, что аппроксимация и отбрасывание членов, кото-
§ 2.5] СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ 81
рые могли бы быть законными, когда речь шла о силах и момен-
моментах, вызываемых прогибами, могут оказаться недостаточно обос-
обоснованными при намного больших значениях силы Р. Ниже будут
встречаться подобные примеры.
Для идеального продольно сжатого упругого стержня, если
сжимающая сила не превышает критического эйлерова значения,
стержень будет возвращаться в первоначальную прямолинейную
форму, если ему задать малый прогиб в виде Wtsininx/l) и за-
затем отпустить; состояние стержня, предшествовавшее заданию в
нем перемещений, опишем как условие устойчивого равновесия.
Если силу Р можно было бы довести до значения, намного пре-
превышающего критическое, не допуская выпучивания, а затем
стержню задали бы некоторое смещение и снова отпустили, то
он стал бы неограниченно изгибаться дальше, т. е. выпучиваться;
говорят, что это было условие неустойчивого равновесия. Если
нагрузка Р в точности равна критическому значению и стержню
придаются прогибы небольшой величины, а затем его отпускают,
то стержень останется в состоянии равновесия в изогнутом поло-
положении; будем говорить, это есть условие нейтрального равнове-
равновесия при малых перемещениях.
В дальнейшем исследование в рамках линейной (при малых
прогибах) теории условий, при которых конструкция или элемент
конструкции с идеальными формой и упругостью могут нахо-
находиться в состоянии нейтрального равновесия при нагрузках,
заставляющих их выпучиваться, будем называть классической
задачей устойчивости. До сравнительно недавнего времени теоре-
теоретические исследования задач устойчивости были ограничены та-
такими идеализированными решениями. Инженеры, которым при-
приходилось использовать такие элементы в проектируемых ими ма-
машинах и конструкциях, давно уже обнаружили, что зти решения
иногда имеют малую „связь с действительным поведением кон-
конструкций. Такие исследования в рамках классической устойчи-
устойчивости дают удовлетворительные результаты для очень тонких
сжатых стержней, но из-за ограничений на упругое поведение ре-
реальных материалов наибольшее применение находят результаты,,
полученные эмпирическим путем. Когда классические теории ус-
устойчивости стали применяться для более сложных элементов,,
было найдено, что нелинейное поведение — только один из слу-
случаев серьезного расхождения между теориями и экспериментами.
Например, классическая теория устойчивости предсказывает во-
много раз большую, чем действительная, способность к сопро-
сопротивлению очень тонких цилиндрических оболочек при осевом1
сжатии; с другой стороны, классическая теория предсказывает
только часть действительной предельной прочности тонких шар-
нирно опертых или защемленных по краям пластин при сжатии*
или сдвиге (хотя эта теория предсказывает, когда начнется вы-
выпучивание). Эти расхождения становятся тем большими, чеш
6 Л. Г. Доннелл
82 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
тоньше материал и, следовательно, меньше среднее напряжение,
так что они не связаны с неупругими эффектами.
Адекватные теории даже более необходимы для более слож-
сложных случаев, чем для случая простых стержней, так как большое
число параметров не позволяет практически охватить все возмож-
возможные комбинации этих переменных эмпирическими методами. Раз-
Развитие азрокосмической промышленности, где была необходимость
экономить вес, потребовало более реалистических подходов к изу-
изучению многих задач потери устойчивости с рассмотрением ее
только тех факторов, которые уже учитывались в классических
подходах к задачам устойчивости, но и многих других, которые
иногда оказывали существенное влияние на поведение реальных
образцов — нелинейное и линейное^поведение материалов, конеч.-
ные перемещения, начальные несовершенства конструкций, кото-
которые всегда имеют место, инерция и тому нодобное. Здесь наблю-
наблюдается параллель с историей развития механики жидкостей —
первоначальное увлечение теоретиков идеальными жидкостями,
неспособность ответить на многие практические вопросы и логи-
логическое обращение к эмпирическим методам, пока, наконец, зада-
задачи, связанные с азрокосмической техникой, не вынудили рассмот-
рассмотреть важные дополнительные факторы, оказывающие влияние на
реальные явления1).
Продольно сжатый стержень на упругом основании. В отли-
отличие от продольно сжатого стержня со свободно опертыми кон-
концами, пластины и оболочки, как правило, выпучиваются с обра-
образованием большого числа волн. Подобный тип выпучивания и
многие вытекающие из него следствия иллюстрируются простым
случаем продольно сжатого стержня на сплошном упругом осно-
основании. Рассмотрим свободно опертый по концам продольно сжа-
сжатый стержень, лежащий на расположенных вдоль него упругих
шзхш
z(w) •
Рис. 2.8. -
опорах в виде ряда из большого числа маленьких пружин, по-
помещенных между стержнем и жестким основанием. Предполо-
Предположим, что основание приспосабливается к начальным искривле-
искривлениям так, как зто показано на рис. 2.8 и как зто имеет место в
случае железнодорожного рельса, лежащего на основании из
утрамбованного гравия. Когда стержень изгибается, упругая опо-
опора создает удельную распределенную отпорную силу, пропорцио-
') D о n n е 11 L. H. Recent developments in the study of buckling prob-
problems.—Appl. Mech. Revs, 1952, v. 5, № 7, pp. 289—290. ,
§ 2.5] ' СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ 83
нальную прогибу w и равную 0ы>, где 0 — отпорная сила, отне-
отнесенная к единице длины и единице прогиба и характеризующая
жесткость упругого основания. Добавив силу p — -^$w в уравне-
уравнение B.23), запишем уравнения .B.4) применительно к рассмат-
рассматриваемому случаю:
Воспользовавшись выражениями B.21) и. B.22) соответствен-
соответственно для Wo и w, вновь приравняв коэффициенты при соответству-
соответствующих членах, решив полученные соотношения относительно wm
и подставив wm в выражение B.22), получим
Общий член этого ряда резко возрастает при достижении силой
значения
Член, соответствующий минимальному значению этого выра-
выражения, будет неограниченно возрастать.первым и первым устре-
устремится к бесконечности. Предположим на время, что величина т
может принимать любые значения ,(в действительности,- чтобы
удовлетворить граничным условиям, она должна быть целым чис-
числом), и положим производную от выражения B.28) по т или по
(т2п2/РI/Е1/$ равной нулю. Решив полученное соотношение от-
относительно критического (critical) значения величины тп, соот-
соответствующего члену ряда, который первым начинает неограничен-
неограниченно возрастать, найдем
Подставляя это значение обратно в выражение B.28), полу-
получим критическую силу" РСг:
Рс^гУЩ, B.зо)
после чего выражение B.27) можно записать в виде
84
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК
[ГЛ. 2
На рис. 2.9, а шжазана зависимость Р/Рсг от Wm/wom для
mcr = 2, а на рис. 2.9, б — аналогичная зависимость для тсг = 8.
Можно видеть, что (в отличие от свободно опертого стержня, для
которого значение тсг равно единице!) когда тСТ велико по срав-
сравнению с единицей, компоненты начального отклонения от прямой
линии, которая соответствует значениям тп, близким к mcr, так-
также становятся очень большими при возрастании нагрузки: Р, чем
нельзя пренебрегать при рассмотрении напряжений и вопроса
о моменте возникновения пластических деформаций в материале.
Когда величина ш велика, игнорирование условия целочислен-
ности дает небольшую погрешность. Когда величина m мала,
/77 = /, U
a)
задача может быть исследована при помощи диаграмм, подобных
приведенным на рис. 4.17 (§ 4.4) для задач устойчивости пластин.
Нагрузка для продольно сжатого стержня, при которой воз-
возникает текучесть. Возвращаясь к рис. 2.7, а, относящемуся к слу-
случаю свободно опертого продольно сжатого стержня, можно ви-
видеть, что если стержень остается упругим, нагрузка Р, действую-
действующая на реальный искривленный стержень, будет асимптотически
стремиться к эйлеровой критической нагрузке- пгЕ1/1г для иде-
идеального стержня, но никогда в точности не будет ец равна. Дей-
Действительно, как только нагрузка Р и соответственно перемеще-
перемещение w увеличиваются, среднее значение сжимающего напряже-
напряжения, возникающего в поперечном сечении, будет увеличиваться
с ростом Р (т. е. координаты (см. рис. 2.7, а) по вертикальной
оси), в то же время изгибные напряжения будут увеличиваться
с ростом прогиба w (т. е. координаты по горизонтальной оси).
Максимальное напряжение, равное сумме упомянутых двух, воз-
возникает в поперечном сечении, расположенном в середине длины
стержня, на вогнутой стороне, где максимальны сжимающие нап-
напряжения от изгиба. Напряжения будут одноосными, и поэтому
§ 2.5] | СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ 85
пластические деформации возникнут, когда напряжения достиг-
достигнут предела текучести т„ материала. Пренебрегая высшими гар-
гармониками" (w2 sin Bnx/l) и т. д.) прогибов, которые в зтом случае
очень малы, условие текучести можно взять, используя выраже-
выражение B.24), в виде
_ Р Mxh _ p Eh(.-d*w
~ h + 21*
Величина wOi, амплитуда гармонической компоненты началь-
начального прогиба, которая имеет форму полуволны синусоиды, будет
зависеть от способа изготовления стержня, а для одинаково изго-
изготовленных стержней она будет изменяться также в зависимости
от средних значений длины I и толщины h, очевидно, будучи тем
больше, чем тоньше стержень. Если стержень вырезается из бал-
балки, имеющей небольшую постоянную кривизну, то величина wOi
зависит от Z2, а для одного и того же знач§ния I она, очевидно,
для тонкого стержня была бы больше, чем для толстого. Поэто-
Поэтому вполне оправданно предположить, что среднее значение, амп-
амплитуды u?oi будет иметь значение
U12
B.33)
U12
—г-
ял
где h — удвоенное расстояние от нейтральней оси до наиболее
удаленного волокна, я2 — вводится для упрощения окончательных
результатов, U — безразмерное число (коэффициент неравномер-
неравномерности), которое в общем виде зависит только от способа изготов-
изготовления стёрж'ня. Этот коэффициент имеет большой разброс, но
окончательный результирующий разброс будет намного меньше,
-чем мог бы быть, если предположить, что амплитуда m?Oi не за-
зависит от характерных размеров стержня. Следует отметить, что
изменения коэффициента U приводят к весьма малым изменениям
разрушающей нагрузки. Практически всегда изменения разруша-
разрушающих нагрузок, обусловленные изменениями начальных дефектов,
можно учесть коэффициентом запаса, с которым и должны иметь
дело инженеры. Приняв во внимание систематическую часть этих
изменений, можно устранить значительную часть неопределенно-
неопределенностей, которые в противном случае пришлось бы учитывать как
непредсказуемый разброс, или не подвергать каждый отдельный
образец замерам и испытаниям.
Выше величина woi трактовалась как геометрическое несовер-
несовершенство, но и другие, упоминавшиеся выше, несовершенства,
обусловленные анизотропией, неодно'родностями и т. д., так же
как и случайные возмущения (которые есть причины в большин-
большинстве практических задач считать гораздо менее важными, чем не-
86 " КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
совершенства),—все это одинаково влияет на устойчивость, и ве-
величину И7О1, а отсюда и коэффициент U можно считать связан»
ными с некоторым эквивалентным геометрическим отклонением,
которое дает такой же суммарный эффект, как и все эти причи-
причины, взятые вместе. Возможное максимальное значение такого
полного эффекта есть, конечно, арифметическая сумма значений
различных эффектов, но его действительное значение, очевидно,
намного больше, чем в случае учета только одного эффекта гео-
геометрии, так как различные эффекты как бы уничтожают друг
друга при суммировании. Эти вопросы являются важными для
всех задач устойчивости, особенно в случае осевого сжатия ци-
цилиндрической оболочки, что будет рассмотрено в главе 7. Сравни-
Сравнительно просто исследование этих факторов проводится на сжатом
стержне, но вместе с тем оно проливает свет и на прочие случаи.
Подставив выражение B.33) в соотношение B.32) и решив
его относительно Р, найдем нагрузку Р, при которой начнут по-
появляться пластические деформации1)
р _ р -т
~А А~~""т
а, UE
где 2JV=i + _?L + -2r. B.34)
в в
Здесь А — площадь поперечного сечения, Od— классическое (clas-
(classical)) критическое напряжение, которое в данном случае является
эйлеровым напряжением, равным
(к — радиус инерции поперечного сечения). %
Из сопоставления результатов, получаемых по этой формуле,
с результатами испытаний на действительную потерю устойчиво-
устойчивости и проверок искривленности реальных стержней значения ко-
коэффициента неравномерности, которые можно ожидать, изменяют-
изменяются от почти 5 • 10~5 (минимальные значения для стержней, изготов-
изготовленных с особой тщательность^) в смысле прямолинейности) до
100 • 10~5 (максимальные значения для обычных конструкций). На
рис. 2.10 представлены результаты (сплошные линии), следующие
из формулы B.34), сопоставленные р некоторыми полученными по
общепринятым эмпирическим формулам (штриховые линииJ).
¦ . ') D о n n в 11 L. H., Wan С. С. Effect of imperfections on buckling of
thin cylinders and columns under axial compression.— J. AppL Mech., 1950,
v. 17, № 1, pp. 73—83; Discussion on the paper.— J. AppL Mech., 950, v. 17,
№ 3, pp. 340—342; русский перевод: Доннелл Л., У а н К. Влияние не-
неправильностей в форме на устойчивость стержней и тонкостенных цилинд-
цилиндров при осевом сжатии.— Механика. Сб. перев. и обз. иностр. период,
лит-ры, 1951, № 4 (8), с. 91—107. _
2) См. там же.
§2.5]
СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
87
Можно показать1), что формула B.34) применима к-стерж-
к-стержням всех типов, если напряжение осг взять как классическое кри-
критическое напряжение для рассматриваемого стержня (т. е. сред-
среднее осевое напряжение, при котором происходит потеря устойчи-
устойчивости и которое подсчитывается по классической теории изгиба
в предположении об идеально сосредоточенной нагрузке, о совер-
совершенных ферме и упругости материала) и если в некоторых слу-
случаях использовать несколько большие значения коэффициента
U, чем те, что были даны выше для случая свободно опертого
по концам стержня. Выражение B.34) можно, таким образом,
1,0
Ату
0,5
Ф-па Рэнмша-Pummepa-
короткие
стержни
0,5
1,0
Рис. 2.10.
0,5
рассматривать как универсальную формулу для продольного сжа-
сжатого, стержня для определения значения нагрузки, при которой
в стержне начнут возникать пластические деформации. В случае
защемленного по концам стержня указанный выше коэффици-
коэффициент .. U следует умножить на множитель величиной- от 1 до 1,5.
В случае стержня на упругом основании определение условия
возникновения пластических деформаций аналогично приведен-
приведенному выше, но из рассмотрения влияния на напряжения всех
составляющих перемещения, особенно при значениях величины
т, близких к критическим тсг, видно, что среднее значение ко-
коэффициента U следует умножить на коэффициент 2 — 1/т^.
а максимальное значение CL— на коэффициент 3 — 21т%.. .
Предельная несущая способность продольно сжатых стержней.
После того как возникли пластические деформации, как показы-
показывают эксперименты, предельная несущая способность больше
у тонких стержней из прочных материалов (область длинных
стержней, характеризуемая тем, что отношение т/осг велико по
сравнению с единицей). Однако для невысоких стержней из ма-
') Donnе 11 L. H., Tsiер V. С. A universal column formula for load
at which yielding starts.— NACA, Tech. Note, 1955, № 3415. В этой статье
имеются некоторые экспериментальные подтверждения формулы B.33).
88 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
лопрочных материалов (область коротких стержней, характери-
характеризуемая малыми значениями xv/aei) предельная несущая способ-
способность может оказаться значительно выше, чем значение, полу-
получаемое щ выражения B.34), и для некоторых случаев она мо-
может служить основой для получения большей расчетной прочно-
прочности, обусловленной более высоким сопротивлением стержня.
Эти общие выводы, вытекающие из экспериментов, могут быть
получены также и из следующего рассуждения. После возникно-
возникновения пластических деформаций пластическая область будет по-
постепенно разрастаться от точки, в которой она возникла. Кривая,
описывающая зависимость нагрузки от прогиба, будет лежать
ниже, чем в случае предположения об упругом поведении, но так
как пластическая область разрастается достаточно плавно, зави-
зависимость нагрузки от прогиба будет касаться соответствующей за-
зависимости для упругого случая в точке, соответствующей началу
возникновения пластических деформаций, как зто показано на
рис. 2.7,а штриховой линией. Благодаря этому факту становится
очевидным, что для области коротких стержней, для которых пла-
пластические деформации начинаются при низких значениях
Р/(п2Е1/1г), где кривые для упругого случая близки к вертикаль-
вертикальной оси (например, точка S на рис;. 2.7, а), предельная нагрузка,
соответствующая точке, где кривая для пластического случая на-
начинает отклоняться и становится горизонтальной, должна быть
значительно выше, чем нагрузка, соответствующая началу воз-
возникновения пластических деформаций. С другой стороны, для об-
области длинных стержней (которой соответствует, например, точ-
точка L), где кривая для упругого случая близка к горизонтальной
линии, разница между двумя этими нагрузками мала.
§ 2.6. Нагруженный вдоль оси стёржепь, шарнирно
закрепленный по концам. Нелинейный случай
Этот случай сам по себе не представляет особого практическо-
практического интереса, но он иллюстрирует очень важный принципы ко-
конечного прогиба или большого прогиба в нелинейных задачах
пластин и оболочек, получить решение для которых намного труд-
труднее. С целью проиллюстрировать эти принципы достаточно обра-
обратиться к следующему простому случаю.
1 На рис. 2.1f, а показана нагруженная вертикальной нагрузкой
¦р = pt sin inx/l) балка длиной I, концы которой могут свободно
поворачиваться, но не могут перемещаться в горизонтальном нап-
направлении. Условия шарнирного закрепления и уравнение B.4)
могут быть удовлетворены, если прогиб w задать в виде w =
= u?i sftt (пх/l), где H?i — прогиб в середине пролета балки. Пусть
А1 — разность между длинами изогнутой и не изогнутой осей
стержня. Тогда, как видно из рис. 2.11,6 и представления для
биномиального ряда A + а)" = 1 + па + п(п — 1)аг/2 + ... » 1 + па,
8 2.6]
НЕЛИНЕЙНЫЙ СЛУЧАЙ
89
справедливого для малых по сравнению с единицей значений а,
равномерно распределенная часть осевого напряжения Охт при-
примет вид
о о
Подставив выражения для w, p и Охт в уравнение B.4), разделив
-" Сопротивление обусловлено
только изгибом
¦ ¦
0.2 0,4 0,6 0,а ¦ 7,0 w./h
в)
Рис. 2.11.
на sin (nx/l) и сделав приведение подобных членов, получим
Первое слагаемое, стоящее в правой части соотношения B.36),
характеризует сопротивление нагрузке -pi> обусловленное изгибом.
На*рис. 2.11, в это элементарное соотношение показано штрихо-
,вой линией, сплошная линия описывает полное соотношение
B.36); можно видеть, что элементарная линейная теория дает
90 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
хорошую аппроксимацию до тех пор, пока прогиб мал, скажем,
"порядка wt^0,ih, по сравнению с высотой поперечного сечения
стержня (для Wt = 0,ih ошибка при отбрасывании нелинейного
члена составляет 3%). Для больших прогибов часть нагрузки, со-
соответствующая второму слагаемому Oxmhdfw/dx2 в правой части
соотношения B.36), быстро. растет и поэтому должна быть учте-
учтена. Для достаточно-больших прогибов, скажем, при M?t>3A, соп-
сопротивлением, обусловленным изгибом и нредставленным первым
слагаемым в правой части соотношения B.36), можно пренебречь
. по сравнению со вторым слагаемым, т. е. стержень может рассмат-
рассматриваться как гибкая нить, канат или трос (для wt = 3,3й ошибка
при отбрасывании слагаемого, характеризующего изгиб, составля-
составляет 3%, разумеется, в предположении, что материал остается уп-
упругим). Все сказанное с качественной стороны характеризует
также и большие прогибы пластин и оболочек.
§ 2.7. Балки с концевыми условиями, отличными
от свободно опертых
Метод наложения. Решения для случая малых прогибов сво-
свободно опертых по концам балок, подобные обсужденным выше,
можно распространить и ва другие виды условий на концах, на-
наложив на них решения для показанной на рис. 2.12 балки с ну-
нулевой поперечной нагрузкой вдоль длины и нагруженной на кон-
концах х*=0 ъ х = 1 изгибающими моментами Д/, и М2 и поперечны-
поперечными силами Fai = F = {M2 — MJ/I. Для этого случая прогиб w и
углы поворотов концевых сечений Qt и 82, как известно, равны
в, = BЛ/, + М2I/№1), в2 = Ш, + 2М2)Ш6Е1). S "
Эти выражения можно получить, подставив часть к;* приве-
приведенного ниже выражения B.47) в концевые условия: при х — 0
имеем м? = 0 и cPw/dz2 = — MJiEI), при х = I имеем м? = 0 и
diw/dx2 — — М2/(Е1), решив получающуюся систему уравнений от-
относительно Со, С„ Сг, Ct и использовав выражении 6j = (dw/dx)x=0,
62 = — (dw/dx)x=*i. Точное решение этого случая представлено
ниже в § 3.3 и, как обнаруживается, совпадает с этим йлассиче-
ским решением. Случай, когда Л/, = Мг и F = 0, называется чис-
чистым изгибом. Когда один из изгибающих моментов Л/4 или М2
равен нулю, то получаем решение для консольной балки, заде-
заделанной на одном конце и нагруженной на другом конце силой F,
которая представляется касательными напряжениями, распреде-
распределенными вдоль торца по параболическому закону.
Например, случай действия поперечной нагрузки на шарнир-
но опертую по концам балку можно свести к защемленное по
концам балке при такой же нагрузке наложением этого решения
на~ решение для изгибающих моментов Л/, и М2, которые подби-
§ 2.7] ИНЫЕ КОНЦЕВЫЕ УСЛОВИЯ 9J
раются таким образом, чтобы обеспечить концевым сечениям уг-
углы поворота, которые' были бы равны, но противоположно на-
направлены углам поворотов в случае балки со свободно опертыми
концами. Аналогично случай действия поперечной нагрузки и сво-
свободного опирания по концам может быть сведен к случаю такой
же нагрузки, действующей на балку, заделанную на левом конце
и свободную от закрепления на правом конце, путем наложения
этого решения при Л/2 = 0 и силе F, равной, но противоположно
направленной реакции на правом конце, найденной для случая
свободно опертого конца; затем всей балке должен быть придан
<\
А.
*-(мг-м,)А
z(ai)
Рис. 2.12.
поворот как жесткого тела, достаточный, чтобы сделать- поворот
на левом конце равным нулю.
В качестве приложения рассмотрим случай действия равно-
равномерно распределенной нагрузки р — р0 на свободно опертую по
концам балку, прогибы которой описываются выражением B.13).
Соответствующие вычисления можно сделать, воспользовавшись
B.13) в виде полного ряда, но для простоты вместо этого вос-
воспользуемся точным решением, w = po(x4 — 2lx3 + l3x)/BAEI),
к которому сводится выражение B.13), откуда dw/dx = роDх3 —
—ЫхгЛ-13)/BАЕ1). Чтобы получить случай действия равномерно
¦ распределенной нагрузки на балку с заделанными концами, возь-
возьмем Mt - Мг = М3, ©! = е8 => М1/BЕ1) = - (dw/dx)x=0=(dw/dx)x^,=
=—l3p0/BAEl), откуда получаем М = — 12р0/12. Наложением двух
случаев прлучаем полный прогиб w = р9(хк — 21Х3 + 13х — 13х +
+ 1гхг)/BШП = ро(*4 - 21Х3 + M/L2№I); максимальный прогиб
при х = 1/2 составляет и>тах = 24р0/C84Б/).
Аналогично, чтобы получить случай равномерно распределен-
распределенной нагрузки для закрепленной на левом и незакрепленной на
правом концах балки, возьмем М2—0, F = — MJI = ро1/2, откуда
находим М1 = — l2pj2. Чтобы сделать угол наклона на левом
конце равным нулю, введем поворот как жесткого тела w = Сх.
Наложением этих трех случаев получаем
w = Cx+ пЛхк - 21х3 + Рх - Ц3х + ЫV - :
dw/dx = С + роDа;3 - 121хг + 12Рж - Ы3)/BШ).
Выбрав константу С равной С = Ър<,13/B4Е1), чтобы обратить
в нудь угол наклона при ж = 0, окончательно получим и? =
9T КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
= po(xi ~А1х3 + Ы2х2\)/B4Е1), а максимальный прогиб будет при
x = l: uw = РроПШ).
Описанный метод, вероятно, является самым простым путем
исследования различных концевых условий для балок. Однако
в представленной выше форме он обычно не применяется для
пластин и оболочек, поэтому в дальнейшем займемся другими
методами, которые, кроме того, будут полезны и для этих случаев.
Нормальные формы" колебаний. Для концевых условий, отлич-
отличных от свободного опирания, иногда более удобно помещать на-
начало координат в середине проле-
пролета балки (рис. 2.13). Это упро-
__х щает исследования балок с сим-
симметричными, т. е. с одинаковыми,
концевыми условиям» при сим-
-, . *1"? метричном нагружении (в этом
Рис. 2.13. случае могут быть использованы
симметричные функции типа
четных полиномов, косинуса и гиперболического косинуса) или
несимметричном нагружении (в этом случае могут быть использо-
заны нечетные полиномы, синусы и гиперболические синусы);
для других случаев это обычно неудобно.
Уравнения B.17|) применяются к различным постоянного по-
поперечного сечения балкам, на которые действуют поперечные ус-
ускорения. Общее решение этого уравнения может быть найдено
описанным в § 2.3 способом и применительно к показанной на
рис. 2.13 балке может быть представлено в виде
w='?iWm (Am sin (Cmxla) + Bm sh $mx/a) + Cm cos (cmx/a) +
m
+ Dmch(cmx/a))sin2nNmt, m = 1, 2, 3, ..., B.38)
где ст может принимать различные значения (не обязательно
целочисленные), а Nm — частота свободных колебаний по форме,
соответствующей одному из этих значений. Подставив выражение
B.38) в уравнение B.17) и приравняв коэффициенты при соот-
соответствующих членах рядов, стоящих справа и слева, получим
формулу для определения частоты свободных колебаний:
ртЛ ст „ с\Ъ
— -jr— - *ijT i V jft} 1V m ,
P a 2na
Величина wn в выражении B.38) будет оставаться произволь-
произвольной, что соответствует произвольной амплитуде свободных коле-
колебаний. Таким образом, имеем пять неопределенных постоянных
Cm, Am, . ¦., Dm. Так как уравнение B.171) имеет четвертый поря-
порядок, то с его помощью можно определить только четыре из этих
постоянных. Тогда одной из них можно задать такое значение,
чтобы сделать более удобными остальные. Например, можно-, ес-
если это желательно, сделать максимальную величину выражения,
§ 2.7] ИНЫЕ КОНЦЕВЫЕ УСЛОВИЯ 93
стоящего в скобках, равной единице и, таким образом, сделать
wm амплитудой колебания.
Соответствующее значение ст и три коэффициента можно оп-
определить из четырех условий на концах, подобных приведенным
в соотношениях B.6). Затем по величине ст из формулы B.38а)
определяют частоту Nm и вместе с соответствующими значения-
значениями коэффициентов — форму колебаний, описываемую выражени-
выражением, стоящим в скобках в B.38). Ка^уЖе упоминалось выше, ве-
величина wm остается произвольной.
В качестве примера рассмотрим свободные колебания защем-
защемленной на обоих концах балки. Для простоты рассмотрим пер-
первые симметричные формы колебаний. Для таких колебаний ко-
коэффициенты Ат и Вт при антисимметричных членах выражения
B.38) можно положить равными нулю. Для того чтобы удовлет-
удовлетворить условию защемления по концам, подставим х = ± а в вы-
выражение B.38) для w и для производной dw/dx, найденной из
B.38), и положим получающиеся выражения равными нулю; тог-
тогда получим
Ст cos ст =. — Dm ch cm, Cm sin cm = Dm sh cm. ^ B.390
Положив Cm = 1/cos cm и решив уравнение B.39) относитель-
относительно Dm и Cm, получим Z)m = — 1/ch cm и
tgcm = -thcm. V ¦ B.40)
Уравнение B.40) может быть решено относительно ст сле-
следующим методом: строится график функции tg ст + th cm в зави-
зависимости от ст и измеряются величины ст, при которых этот гра-
график пересекает ось абсцисс, любую желаемую точность можно
получить, используя все более крупный масштаб областей, при-
примыкающих к этим точкам. Таким путем находим, что последова-
последовательность значений коэффициентов имеет вид си с2, с3, ...=
=2,365; 5,498; 8,639; ...; (т— 1/4)я (в дополнение к тривиально-
тривиальному решению ст = 0, когда движение полностью отсутствует). Каж-
Каждое из этих значений, будучи подставленным в формулу B.38а),
выражения для коэффициентов Ст и Dm и для прогиба B.38),
дает "значение частоты и соответствующую ей форму колебаний.
Антисимметричные формы колебаний можно исследовать точ-
точно так же, положив коэффициенты Ст и Dm равными нулю и по-
поступив подобным описанному выше образом с остальными коэф-
коэффициентами. В таблице 2.1 приводятся значения коэффициентов
ст, полученные таким путем, для всех комбинаций свободно опер-
опертых, защемленных и свободных концов.
* С помощью таблиц интегралов можно убедиться, что ряды,
описываемые выражением B.38), для любого из случаев, пред-
представленных в таблице 2.1, ортогональны на интервале, равном
длине балки. Это означает, что интеграл по длине балки от про-
произведения любого члена ряда со всеми слагаемыми, стоящими в
Таблиц а 2.1
Постоянные для форм
я частот свободных колебаний балки с ра
злнчными
концевыми условиями
Концевые условия при -
Защем-
Защемление
Симметр
Защем-
Защемление
Антисиги
"' [*=0
ичные формы
*
[метричные ф
Шарнир
Шарнир
Шарнир
Защемление
Защемление
Свободный
конец
ас—а
Защемление
Защемление
эрмы
Шарнир
Защемление
Свободный
конец
Защемление
Свободный
конец
Свободный
конец
А
га
Q
1 '
1
1
1
sincm
В
т
0
1
0
1
-shcm
1 1 '
8hcm
—L— U — 1ДСО8 Ст—СП Ст)
A=—B=l/(sin cm-(-sh cm),
-C=I>=l/(co9 cm+ch cj
C==jD=--1/(cos cm — ch cm)
с
т
1
соаст
0
0
0
0
t
D
т
л
0
0
0
0
с
т
Ь,1<ё%; ... ; (т-1/4)я,...
tg cm=th ст, ст=8,927;
7,069; ... ; (т+1/4)я; .... '
sin с_=0, с„=тп=п', 2я; Зя;...
1,
tgcm=thcm, cm=3,926;
7,069; ...; {т+Ш)п; ...
tg cm=ihcm, cm=3,926;
7,069; ... ; (т+1/4)я; ...
cos Cjnchcm=l, cm=4,730;
7,853; ...; (m+l/2)jt; ...
cos cmch cm=1, em = 1,875;
4,694; 7,855;...; (т-И/2)я;,...
4,694; 7,855; ...; (т+1/2)я; ...
§ 2.7] . ИНЫЕ КОНЦЕВЫЕ УСЛОВИЯ 95
скобках в выражении B.38), на какой-либо другой член (соответ-
(соответствующий другому значению т) равно нулю. Уравнение B.17)
и его решение B.38) можно также использовать для задач с дру-
другими концевыми условиями, подобными упругому закреплению.
Однако полученные для таких случаев ряды, как правило, неор-
неортогональны.
Исследование с помощью нормальных форм колебаний задач
о поперечном изгибе стержней. Для получения решений уравне-
уравнений B.4а) для поперечно нагруженных стержней, с концевыми
условиями, подобными представленным в таблице 2.1, можно ис-
использовать нормальные формы колебаний балок с теми же гра-
граничными условиями точно так же, как функции синуса ранее в
§ 2.4 использовались для балок с обоими свободно опертыми кон-
концами1). . '
В качестве примера рассмотрим случай защемленной по обо-
обоим концам балки с симметричной относительно середины ее про-
пролета нагрузкой, взяв за координаты концов балки х = ± а
(рис. 2.13). В этом случае прогиб будет симметричным и может
быть описан симметричными формами колебаний при защемлен-
защемленных концах, которые удовлетворяют концевым условиям. Исполь-
Используя ряд, построенный по указанным формам таким же образом^
как в § 2.4 был испЬльзован ряд по синусам, для прогиба wix)
и нагрузки р(х) получим
2 cos
2 os (с xla) ch(cmxja) \
где ст = 2,365; 5,498; ...; (т— 1/4)л; ... Подставляя эти вы-
выражения в уравнение B.4а) и приравнивая коэффициенты при
соответствующих членах ряда, которые в этом случае имеют од-
одну и ту же форму, найдем-
Eh3 ст „ 12а4
W Р W
-J2"—Г Wm Рту Wm= - « Р"Ч
т B 43V"
ш_ 12а* У Рт ( C0S(Cmx/a) ch(c^a) \ V' f
Eh*
a) \
Так как члены этих рядов ортогональны друг другу на интер-
интервале от х = — о до х = а, коэффициенты рт можно определить
тем же.способом, что и в гармоническом анализе, умножив обе
части выражения B.42) на [cos (cmz/a)/cos cm — ch(cma;/a)/clfc,Jd;r
') Однако функциями прогиба- для балки с концевыми условиями иных
видов, отличных от свободного опирания, уже не так просто пользоваться»
как в случае функций синуса.
96 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВАЛОК [ГЛ. 2
и проинтегрировав на этом интервале. Используя таблицы интег-
интегралов и формулы преобразований тригонометрических и гипербо-
гиперболических функций, а также соотношение B.40) tg cm = — tg cm,
можно записать
а
—а V
cos (cmx/a) ch (cmx/a) =
x
cos (cnx/a) ch (cnxla)
соае»
.сов(стх/а) _ ch(cmx/a) ^ , _ / 1 1
ooscm chc ]аХ[ +
cm
= [A + tg2 cm) + A - th2 cm)] ар,» = 2аРт. B.44)
Решив это соотношение относительно рт и подставив резуль-
результат в выражение B.43), получим
_. 6а8 ^ 1 / cos (cmx/a) ' ch (cmx/a)
X
a
COS I
X
Применяя решение B.451) к случаю сосредоточенной нагруз-
нагрузки Р, приложенной в середине (ж = 0) пролета балки, получим,
что стоящий в этом выражении интеграл равен P(l/coscm —
—l/chcn), а максимальный прогиб в точке х = 0 имеет вид
- 1?*. У J_ /_J L
М'Ш.йх ^~~ о с г f J a I л mi • v
?»EiX ¦'¦* г* \ COS С_, Си. С.
' ^ Ра3 ({ - 1,403 - 0Д86J
где / = hs/i2. Удерживая один представленный в выражении
B.46) член ряда, получим wmax = Pa3/B4,8?7). Точное значение-
для множителя в знаменателе равно 24, таким образом, значение,
полученное при удержании одного члена' ряда, всего на 3,3%,
меньше точного, при удержании двух членов —на 0,5%, трехчле-
трехчленов—на 0,2%. Указанные функции формы в общем случае нель-
нельзя использовать тем же самым способом для решения уравнения
B.4) при наличии осевого нагружения. Это связано с тем, что#
в отличие от четвертой производной, вторая производная от функ-
функций, подобных B.38) или B.41), не имеет того же вида, что и
исходная,- так как тригонометрические члены функции изменя-
изменяют свой знак, а гиперболические — знака не меняют. Однако ре-
решение можно получить ценой существенного усложнения, ис-
$ 2.7] ИНЫЕ КОНЦЕВЫЕ УСЛОВИЯ 97
пользуя ортогональность исходного ряда, чтобы подставить на
место каждой измененной функции в виде бесконечного ряда,
члены которого были бы такими же функциями, что и исходная.
Этот метод будет объяснен и проиллюстрирован в § 4.5 в приме-
применении к аналогичным, но более сложным задачам для пластин.
Решение задач об изгибе стержня с учетом частного и одно-
однородного решений. Метод исследования задач о поперечном нагру-
жении стержня с помощью функций нормальных форм интересен
как приложение ортогонального ряда, отличного от простого три-
тригонометрического ряда, и в какой-то степени полезен для задач
о пластинах и оболочках. Как об этом уже говорилось в § 2.3,
наиболее общий метод состоит в том, чтобы представить решение
уравнения B.4а) в виде w = wp jr wh. Здесь wp — частное (parti-
(particular) решение, т. е. любая функция, которая удовлетворяет урав-
«ению B.4а) независимо от граничных условий, wh — общее ре-
решение однородного (homogeneous) уравнения, получаемого из
B.4а)- оставлением только тех членов, которые содержат функцию
w и которые в том случае, когда р представляет собой простую^
не зависящую от w поперечную нагрузку, имеют вид (Eh"/12) X
XdWdz4-= 0 или d^wldx^ = 0. Очевидно, что такое комбиниро-
комбинированное решение также будет удовлетворять уравневию B.4а),
а общее решение однородного уравнения четвертого порядка бу-
будет содержать вполне достаточно произвольных постоянных ин-
интегрирования, чтобы удовлетворить концевым условиям. Комби-
Комбинация wt + wh является, конечно, общим решением уравнения
B.4а), т. е. решением, которое содержит (не обязательно в един-
единственной форме) все возможные решения этого уравнения. Этот
метод является, по существу, тем же, что и метод наложения в
случае балок, но приведенные ниже представления являются бо-
более общими и применимы к пластинам и оболочкам, так что сто-
стоит изучить все то же опять, но с другой точки зрения.
В качестве частного решения удобно взять ряд по функциям
синусов, использовавшийся ранее для свободно опертых концов,
Если начало координат помещается на левом конце, то решение
уравнения B.4а) можно взять в виде
w— Л wmsm
Если р{х) взять в форме B.8а), чтобы удовлетворить уравне-
уравнениям B.4а), и еще добавить соотношения B.9) —B.11), то для
любого вида нагружения р(х) из соотношений B.9а) и B.11)
можно найти коэффициенты wm, которые будут иметь такие же
значения, как ранее найденные для случая свободного опирания
по концам. Постоянные Со, Си С2, Са могут быть затем использо-
использованы для удовлетворения любых граничных условий.
Для случая, когда, например, левый конец защемлен, а пра-
правый свободен, подставив выражение B.47) в граничные условши
.7 Л. Г. Доннелл
98 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
при^ж = 0w = dw/dx = 0, при x = l'w= dfw/dx3 = 0, получим
С0 = 0, C1l + C2P + cll* = 0,
' (я/1) 2 mwm -f С1! = О, 2С2 + 6C3Z = 0.
т
Определив с помощью выражений B.9а) и B.11!) величину wm,
из третьего уравнения системы B.48) можно найти Clt а из вто-
второго и четвертого — получить С2 и С).
Как уже указывалось, для симметричных граничных условий
и нагружения пройде всего поместить начало координат в сере-
середину пролета балки (см. рис. 2.13), Взяв в B.47) только нечет-
нечетные значения т, подставив (ж + а) вместо х в ряд ро синусам,
проделав тригонометрические преобразования и воспользовавшись"
симметричными (с четными степенями) степенными членами, за-
запишем выражение B.471) в виде
w = У. wm sin —5- cos—7—- 4-Co -+¦ С2х2 (m = 1, 3, 5, ...). B.49)
m
На коэффициентах wm при гармонических компонентах не от-
отражается смещение начала координат, и величины Wm можно по-
получить также .из соотношений 42.9а) и ^2.11).
Исследование защемленной по концам балки, нагруженной
поперечной нагрузкой, путем нахождения частного решения в об-
общего решения однородного уравнения. Для защемленных концов
условия при а: = ± a w = dw/dx = 0 дают
~ B.50)
С22
*а m m
Вновь подставив эти значения в выражение B.49), получим
2 1 . тп ' тпх тп а — х2 \ /пгл\
a;mlsm-2-cos—j——-г-, 5—I. B.51)
Отсюда находим максимальный "прогиб, возникающий в сере-
середине пролета балки при х = 0:
= 2л Wm sin ~2~ + С° = 2i Wm[SIn ~2 Г* Г
Для случая приложенной в середине пролета силы Р с уче-
том^значений шт, получаемых из соотношения B.15) тгри х0 = 1/2,
выражение B.52) принимает вид
_ 2Р13 V« sia (тоя)/2 / . тп тп
B.52а)
§ 2.8] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 99
I . - ¦ -
Удерживая в этом ряде только первый член, получим uw =
={Р13/Е1)/227;. при двух членах знаменатель равен 190,3, при
трех 193,8, при четырех 191,6 и т. д. Точное значение равно 192.
Итак, были приведены несколько иллюстраций методов реше-
решения с помощью рядов с использованием аналогичных случаев,
с тем. чтобы полученные результаты можно было сравнить с из-
известными. Для практических задач правильный ответ, разумеет-
разумеется, не будет известен, но, как можно видеть из сравнения ре-
результатов, полученных с использованием достаточно большого чис-
числа членов ряда, при этом можно получить ясное представление
о том, когда не опасно'использовать усеченный ряд. Однако име-
имеется случай благополучного с математической точки зрения схо-
сходящегося ряда, где подобный вывод нельзя получить с достаточ-
достаточной надежностью при помощи исследования только нескольких
первых членов, тем не. менее рассмотренные здесь решения в ря-
рядах являются такими, которые можно назвать практически схо-
сходящимися рядами, для которых подобные трудности не возни-
возникают. '
Нагруженные вдоль оси стержни. Для задач, включающих в
себя случаи осевого' нагружения в сочетании или без с попереч-
поперечным нагружением, однородное уравнение, получаемое из B.4),.
можно записать в виде dlwl-dxl — [f2oixm/(J?A2)Jd2u;/dx2 = 0. Если
поперечная нагрузка отсутствует, это уравнение является резуль-
результирующим и частное решение не требуется. Если сила Fx, а от-
отсюда и напряжение о"*™ постоянны, как это имеет место в клас-
классической задаче устойчивости, то это уравнение линейное, одно-
однородное, с постоянными коэффициентами. . ~
Общее решение этого однородного уравнения для случая, ког-
когда Fx и Оет, постоянны, может быть записано, как уже
говорилось в § 2.3, в виде А +Вх + С sm(-l2axm/Eh2)i/2x +
+ Dcos (—l2axm/Eh2)i/2x, где величина- от отрицательна (сжима-
(сжимающее напряжение), или в виде А + Вх + С sh {l2axm/Eh2)i/2x +
+ Dcb.A2axm/Eh2y/2x; где величина а^п положительна .(растяги-
.(растягивающее" напряжениеI. Это решение всесторонне исследовалось в
статьях, упоминавшихся в подстрочных ссылках при обсуждении
уравнения B.6). Для более широкого рассмотрения этого предме-
предмета читатель отсылается к соответствующим курсам математики.
§ 2.8. Энергетический метод в применении к балкам
Энергия упругой деформации в упруго деформированной бал-
балке. Как уже обсуждалось в § 1.4, энергия упругой деформации,
накопленная при упругом деформировании тела, является сум-
суммой работ, совершаемых при деформировании кададой части те-
тела. Никакой работы не совершается лри движении как жесткого
тела, находящегося в равновесии, т. е. движении тела как цело-
целого, которое не включает каких-либо изменений формы тела, так
7* "" -
100 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
как при таком движении работа, совершаемая уравновешенными
силами, действующими на тело, дает в сумме нуль и не соверша-
совершается работа по деформированию тела. Тогда, не совершая ника-
никакой ошибки, можно предположить, что балка совершает движе-
движение типа жесткого тела так, что одна сторона малого элемента
остается неподвижной и силы, приложенные к этой стороне, не
совершают работы; таким образом, вся работа совершается при-
приложенными к другой стороне силами при их движении относи-
относительно неподвижной стороны.
В элементе балки единичной ширины, высотой dz, длиной dx
(см. рис. 2.1, а и 2.1,6) длина изменяется на величину гх dx и,
правый конец будет двигаться в направлении х относительно ле-
левого конца. Сила, действующая в направлении оси х на правом
конце, представляет собой напряжение
сг*+ dax, умноженное на площадь dz,
на которой она действует. При измене-
изменении длины на >zxdx эта сила изменяется
линейно от нуля до конечного значения
(ax + dax)dz, как это показано штрихо-
Рис. 2.14 вой линией на рис.2.14. Проделанная
работа представляет собой площадь
области под штриховой линией и равна (вх + dax)dz zxdx/2. Работа,
совершаемая приращением dax напряжения, бесконечно мала по
сравнению с работой, совершаемой главной частью* напряжения
ах, при стремлении dx к нулю, и ею можно пренебречь.
Взяв для «„ и ок выражения B.1а) и B.16) и проинтегриро-
проинтегрировав их по длине балки, получим энергию упругой деформации
ft/2
= -j- J dx J ахгх dz=
-ft/2
ft/2
e С , f Г, . -daw , ,/ АЛ],
Так как 'd2w/dx* и гхт не изменяются по z, а из соотношения
B.36) следует, что сила Fx = Ehsxm практически постоянна вдоль
х, то получим
*--iir«+-#J(-^*-i':+*J-(-?)V
B.53)
где I, А, I—соответственно длина, площадь и момент инерции
поперечного сечения балки; интегрирование проводится по всей
длине балки.
Первый член этого выражения' lFl/BEA) представляет со-
собой накопленную энергию растяжения при действии одной осе-
§ 2.8] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД JOf
t
вой силы Fx, совершающей работу по упругому изменению дли-
длины оси. Этот член следует учитывать в случае, подобном описай-
ному в § 2.6, где рассматривалась балка, у которой наложенные-
связи препятствуют осевым смещениям на концах, если иссле-
исследовать эту балку энергетическим методом, а не пользоваться
уравнениями равновесия; этот метод, как было показано, удобен
для применений. В случаях осевой нагрузки, когда концы могут
свободно перемещаться в осевом направлении, как в случае эа->
дачи о потере устойчивости, работа, совершаемая внешней осевой
нагрузкой при упругом изменении длины оси, обращает в нуль
только упомянутую выше энергию осевой упругой деформации в=
уравнениях, следующих из принципа возможной работы, и поэто-
поэтому принято опускать оба этих члена. Однако работу, совершае-
совершаемую внешней осевой нагрузкой на пути, равном уменьшению-
расстояния между концами вследствие искривления (изменения
кривизны) центральной линии, необходимо ^__^
учитывать, как это будет сделано в случае, рас-
рассмотренном ниже в этом разделе.
Имеется также энергия упругой деформа-
деформации, накопленная благодаря действию концевой
силы Fxt на пути, равном деформации сдви-
сдвига, которая ею вызывается, как это представле-
представлено на изображении малого элемента (рис. 2.15). " р ?*"
В соответствии с аппроксимацией Вернул- ис> " '
ли этой деформацией сдвига пренебрегают,
а следовательно, пренебрегают и соответствующей ей энергией'
деформации. Но эту энергию следует- учитывать, если требуется;
изучить энергетическим' методом'связанные с этой аппроксимаци-
аппроксимацией эффекты, что будет сделано другими метбдами в § 3.5.
Следовательно, упругую энергию деформации при изгибе все- .
го стержня постоянного поперечного сечения при простом попереч-
поперечном нагружении можно взять в виде
где интегрирование проводится по длине 'балки.
Точные (в рамках ограничений, накладываемых аппроксима-
аппроксимацией Бернулли) решения задач о балках можно получить, пред-
представив прогиб w в виде бесконечного ряда с неизвестными коэффи-
коэффициентами, каждый член которого удовлетворяет концевым усло-
условиям и который может сходиться к истинной форме прогибов, и
определив коэффициенты с помощью принципа возможной рабо-
работы (метод Релея — Ритца). При использовании принципа возмож-
возможной работы^ как будет показано ниже, в качестве виртуальных пе-
перемещений берутся перемещения, которые вызываются малым
изменением одного из неизвестных коэффициентов. Таким путем
можно получить столько уравнений, сколько имеется неизвестных.
|02. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК - . [ГЛ. 2
Если аторая производная cPw/dx* используемого ряда ортого-
ортогональна на интервале, представляющем собой длину балки, то вы-
выражение B.54) для энергии упругой деформации будет содержать
только члены с квадратами неизвестных коэффициентов, так как
все члены, содержащие произведения коэффициентов, обратятся
в нуль при интегрировании. Так как изменение энергий дефор-
деформации есть скорость, с которой она изменяется в зависимости- от
отдельных коэффициентов (т. е. частная производная по коэффи-,
циенту), умноженная на изменение коэффициента, то каждое
уравнение, вытекающее из принципа возможной работы, будет
содержать только одно неизвестное, и тогда его можно найти для
определенности. , . ¦
Если же используются неортогональные ряды, то выражение
энергии деформации будет ^содержать, кроме квадратов, еще и
произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут
в общем случае содержать все, илн по крайней мере более од-
одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений.
Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число
членов, которое практически Можно использовать. При использо-
использовании подобных методов в~ задачах для пластин и оболочек, осо-
особенно в случае, когда краевые условия отличаются от условий
свободного опирания или прогибы не малы по сравнению с тол-
толщиной ипоэтому должна использоваться нелинейная теория, урав-
уравнения, вытекающие из принципа возможной работы (которые час-
часто представляют_единственный.практический путь получения ка-
какого-либо решения вообще), могут_оказаться настолько трудными
для решения, что на практике "используются, если позволяют вре-
время и средства, один член (метод Релея) или в лучшем случае
несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать,
насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость
аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколь-
насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций ^
можно представить истинную форму, которая в свою очередь мо-
может быть только грубо определена из экспериментов. Хотя в
случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли-_
j6o имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы мож-
можно в сильной степени прояснить путем простых иллюстраций на
задачах о балках.
Внешние нагрузки могут рассматриваться сохраняющими по-
постоянное значение при виртуальных бесконечно малых измене-
изменениях перемещении, и каждая из них, разумеется, совершит рабо-
работу, равную произведению силы на переме.щение в месте прило-
приложения и в направлении действия силы. Таким образом, силы ре-
реакции все будут совершать работу, так же как и реактивные мо-
менты в шарнирных опорах или защемлениях, так как либо мо-
момент, либо угол поворота в направлении действия момента будут
равны нулю. С другой стороны, силы или моменты в упругих ре-
§ 2.8] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 103
акциях будут в общем случае совершать работу, так как сила или
момент будут действовать на некотором перемещении или угле
поворота.
Рассмотрим сначала некоторые точные решения, в рядах. Ес-
Если используются те же ряды, что я- ряды, применявшиеся в ме-
методе, основанном на рассмотрении уравнений,равновесия,,то энер-
энергетический метод дает такие же результаты, но такие .случаи
полезны для иллюстрации применения энергетического метода.
Поперечно нагруженный стержень со свободно опертыми кон-
концами. В случае балки со свободно опертыми концами, совместив
начало координат с левым концом балки, удовлетворим условиям
на концах^ задав прогиб w в виде ряда B.8) по синусам. Под-
Подставив этот ряд в выражение B.54), получим
П*Е1 Г/ .' .^mnxY j П*Е1- V 4 2 /о сеч
= —^Г J \m*wmsin r-j-J dx_= —^5- 2t mwm. B.55)
Прогиб dwm sin {.max/1), который обусловлен малым измене-
изменением dwm коэффициента wm, является виртуальным (малым, ве.
противоречащим условиям на концах) прогибом. При таком воз-
возможном црогибе изменение энергии деформации <В (рассматривае-
(рассматриваемой в соответствии с выражением B.55) как функция от всех
коэффициентов wm) является скоростью изменения S в зависимо-
зависимости от Wm,. умноженной на величину dwm, на которую изменяется
wm, т. е. {d&Jdwm)dwm.
Так как изменение прогиба является бесконечно малым, то
можно считать, что поперечная нагрузка р(х) остается неизмен-
неизменной при изменении прогиба (нагрузка р и прогиб w зависят .друг
от друга, но в данный момент рассматри-
рассматриваются, как показано Ца рис. 2.16, только
малые изменения w). Отсюда получаем
работу pdxdwm sin {тях/D, совершаемую
нагрузкой на длине dx балки. (Когда р и
и): пропорциональны, можно вычислить ! _
суммарную работу, совершаемую нагруз- Рис. 2.16.
кой на всем перемещении, а работа, со-
совершаемая на возможном перемещении, тиожет быть .найдена как
частная производная от этой работы по wm, умноженная на
dwm; однако этот метод не- будет здесь ¦рекомендован, так как
он не самый легкий и требует вдумчивого применения,)
Согласно принципу возможной работы для всей балки имеем
= dwm \ p (x) sin ^~ x dx. B.56)_
104 . КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
Отметим, что з'десь опущен знак суммирования, так как
является частной производной от энергии & по одному
вз определенных коэффициентов и поэтому равна нулю для всех
других коэффициентов. Заметим также, что величина dwm может
<5ыть Ёынесена за знак интегрирования, так как она не зависит
«т х. Разделив соотношение B.56) на dwm, решив это соотноше-
соотношение относительно wm и вновь подставив полученную величину
а выражение B.8), с учетом I = h3/l2 получим выражение B.12),
которое может затем применяться, как и ранее говорилось, для
любого вида распределения нагрузки р(х).
Свободные колебания свободно опертых по концам балок.
Предположим, что прогиб w. аналогично выражению B.18) зави-
зависит от j и от времени t: w = wmsin (mnx/l) sm2nNmt, тогда в со-
соответствии с выражением B.17) из § 2.4 получим р (#г t) =
= — phjJw/dt2 = i^Nmphwm sin (mnx/l) sin 2nNmt. Трактуя по-
подобно тому, как это делалось в § 1.4, инерционную нагрузку
«ак обычную нагрузку, для малого возможного' прогиба
dwmsin(mnx/l)sin2nNmt запишем уравнение, вытекающее из
иринципа.возможной работы:
r i
sin 2nNmt dx. B.57)
Подставив сюда полученные выше выражения для прогиба w
я нагрузки р, цроинтегрировав и поделив результат на sin22nNmt,
получим такой же результат, как и найденное ранее B.20).
Продольно сжатый стержень со свободно опертыми концами.
Рассмотрим сначала идеализированный случай первоначальна
идеально прямого продольно сжатого стержня. Если заранее не
известно, что стержень будет терять увтойчивость по форме одной
полуволны синуса, то перемещение w можно взять в общей фор-*
ме B.8), которая может описать любую возможную форму потери
устойчивости. Так же, как и в обсуждаемом в § 2.6 случае, стер-
стержень укоротится из-за прогиба w на величину А1 (рис. 2.11,6)
i i
Ы = J (ds - dx) = j [(dx2 + dw2I'* — dx] =
§ 2.8] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Тогда работа, совершаемая силой Р на виртуальном прогибе
dwm sin (тях/l), равна P(dkl/dwm)dwm, а из принципа возможной
работы следует
B.58б>
p _ т*л2Е1
I2
Как уже говорилось выше, нагрузка Р может принимать раз*
личные значения, соответствующие значениям т, равным 1, 2,
3, ..., т. е. теоретически стержень может находиться в равновесии
при различных деформированных состояниях, каждому из кото-
которых соответствует различная нагрузка Р, но практическое значе-
значение имеет самое низкое значение нагрузки Р при та = 1.
Для стержня с начальными искривлениями ш0, задаваемыми,
допустим, выражением B.21), и прогибами w при нагружении,
задаваемыми выражением B.22), изгибные напряжения будут
равны нулю, когда равен нулю прогиб w, и будут зависеть толь-
только от прогиба w, так что можно еще применять выражения B.54)
и B.55) для нахождения энергии деформации. Укорочение, обус-
обусловленное начальной кривизной (т. е. разницей между длиной
искривленной центральной линии и расстоянием между концами),
является таким же, как и укорочение, представляемое выраже-
выражением B.58а) с подстановкой w0 вместо w, точно так же укороче-
укорочение вследствие прогиба w описывается тем же выражением
B.58а) с подстановкой w + w0 вместо w. Чистое укорочение нахо-
находится как разность между указанными двумя укорочениями:
AZ = -^- 2 щ2 l(W™ + "'отJ —
j?2*(wtm + 2womwn). B.59а)
Уравнение принципа возможной работы в этом случае имеет
вид
и 7i EI тть л
B.596)
Последнее выражение совпадает с B.24), полученным из рас-
рассмотрения равновесия.'
Энергетический метод для получения приближенных решений..
Итак, выше было приведено достаточно примеров, иллюстрирую-
иллюстрирующих применение энергетического метода к исследованию различ—
106 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
ных случаев нагружения,'. откуда ясно видно, что при использо-
использовании его с точными решениями в рядах (т. е. решениями, кото-
которые могут "сходиться к точный в рамках классической теории ба-~
лок) энергетический метод дает простой альтернативный способ
постановки задачи. Однако, как будет видно позднее^ энергетиче-
энергетический метод иногда дает результаты, отличающиеся от тех, что
получаются методом, основанным -на рассмотрении отдельных
членов уравнений равновесия, даже тогда, когда используются
одни и те же ряды, хотя оба метода сходятся к одному и тому
жй точному решению. _
Когда, используется только один или несколько членов ряда, .
энергетический метод часто дает удовлетворительную аппрокси-
аппроксимацию в тех случаях, когда из рассмотрения условий равновесия^
практически трудно получить решение. Доказано, что использо-
использование энергетического метода в сечетании с функцией перемеще-
перемещения произвольного вида (в случае балки — с функцией w(x)), ко-
которая удовлетворяет условиям на, концах и приближенно описы-
описывает, прогиб, т. е. имеет общую форму, предсказанную либо
интуицией^ либо экспериментом, будет давать весьма хброшую ап-
аппроксимацию; если функция содержит несколько неизвестных па-
параметров, которые модифицируют"форму прогиба и при определе-
определении на основе энергетических принципов {при использовании в
качестве возможных • перемещений, вызываемых малым измене-
изменением каждого из параметров) могут дать\ форму, близкую к точ-
точной, то реэулТ/f ат будет даже еще лучше. - "
Хотя в сказанном есть доля истины, по многим причинам все
это очень неопределенно. Некоторые оценки степени аппроксима-
аппроксимации' которую желательно достичь, можно получить из сопостав-
сопоставления максимальных значений прогибов, найденных энергетиче-
скимтиетодом с использованием различных функций, задающих_
форму прогибов, для простого. случая, подобного защемленной по
концам балке с нагрузкой, приложенной в середине \ пролета.
В таблице 2.2 представлены виды функции и>(х) для этого слу-
чад и соответствующие значения коэффициента прогиба К в фор-
формуле wma = Pl3/(.KEI), которые были получены с помощью прин-
принципа возможной работы так же, как в приведенных выше приме-
примерах,- I = 2а — длина балки. -
Первая функция w(x) является точной и определялась в рам-
рамках элементарного сопротивления материалов. Она применима
только для л'ой части-балки, которая заключена между началом
координат и сосредоточенной нагрузкой* приложенной в^середине
пролета; с учетом симметрии полную энергию деформации можно
оолучить, взяв удвоенную энергию для этой части балки. Как
уже- указывалось в: § 2.3, можно ожидать отсутствия .решений не в
цвде ряда (т. е. решений в явной форме) для описания перемеще-
перемещения вдоль всей балки, в которой имеются разрывы, подобные тем,
которые вызываются сосредоточенными нагрузками, однако, лро-
§2.81
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
гиб w ж наклон dw/dx должны быть непрерывными по длине бал-
балки, а. изгибающий момент,.а отсюда и кривизна dhv/ds? имеют
разрыв в месте приложения сосредоточенной нагрузки. Когда вы-
выбранная функция является точной, энергетический метод даеу
точный результат. _ . " . • .-
Вторая и третья функцшипрогибов таблицы 2.2 такие же, как
использованные, ранее соответственно в уравнениях B.41) и
B.51), полученных из уравнения равновесия, а для второй функ-
функции результаты совпадают с полученными ранее. Однако в слу-
случае третьей функции прогибов сопоставление результатов, ^гред-
ставленных в таблице, показывает, что энергетический метод в
' - . . Таблица ?.2:
Сравнение коэффициентов прогибов для нагруженной
в середине пролета защемленной по концам балки, '
полученных энергетическим методом для различных функций прогибов-
1
2
3
4
5
6
Полошениё""начала ко-
координат
Левый конец
Середина пролета N
Середина пролета
•
Середина пролета
Левый конец
Левый конец
ш„Cаа:*—2*3), только от х—0 до.
х=а -" .
2 wm(cos (cmz/a)—A _,ch "(етх/а))-,
ТП
ст=2,365; 5,498;...;
Am=cos <rm/ch<rm=—0,1328; 0,0^8;...
2wm[sin (тя/2) Cos_{7nirta;/Q—
m^m ' - •
m*=Q, 2, 4,... -
2wra(l—cos {mnx/a)),
TO - "
m=l, 2, 3, ...
2 [sin (тяхП)— < ¦ -
m
—m/(m+pV*in ((пН-?)яа:/г)],
p=2, 111=1, 3, 5.
Один
.член
192
(ТОЧНО)
198,7
-
201,3
204,8
-
194,8
w
274
Два
член*
t
193,5
193,5
195,1
192,6
249~
этом случае приводит к результатам^ отличающимся от црлучен-
ных из рассмотрения уравнения равновесия и значительно луч*
ше сходящимся! Различие в этом случае связантг с наличием »
выражении для прогиба w(x) члена с хг, который обращается »
нуль при взятии четвертой производной d^w/da^'p уравнении рав-
равновесия, но не исчезает в выражений для энергии деформащо^
содержащем вторую производную й*и>1йз?* Улучшенная сходи-
сходимость решений, полученных энергетическим методом,, возможно*
108 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БАЛОК [ГЛ. 2
может служить частичным оправданием упоминавшегося выше
•оптимистического взгляда на энергетический метод.
Четвертая функция прогиба таблицы 2.2 является типичной,
•степенной функцией, которая может быть взята в различных фор-
формах и приводит к простым интегралам, хотя практически в этом
•случае сходимость решения не всегда оказывается хорошей. Пя-
Пятая функция прогиба таблицы 2.2, содержащая члены в виде раз-
разности между единицей и синусом, по-видимому, является наибо-
наиболее широко используемой и наиболее удобной для случая защем-
защемления по обоим концам (или двух защемленных краев в случае
пластин и оболочек), так как ее легко использовать и для этого
«лучая решение хорошо сходится. Однако, несмотря на это,
' в отличие от других функций прогиба, ее можно использовать толь- •
ко для случаев защемления по концам. При т = 2 для данной
конкретной нагрузки этот член обращается в нуль (в общем
случае он не равен нулю), так что двучленное решение было по-
получено для те = 1 и тга = 3. ¦ ^
Последняя шестая функция прогиба таблицы 2.2 была бы
•очень удобна, если бы давала более точные результаты, так как
¦она очень гибкая (при р = 2 удовлетворяет условию защемления
ло обоим концам, в то время как при р = 1 удовлетворяет усло-
условиям защемления на одном конце и свободно опертого на дру-
другом), и ее можно нормировать или ортогонализировать, вместе с
¦аналогичными членами, содержащими синус (однако с двумя не-
неизвестными коэффициентами при большинстве членов). Причина,
по коЮрой эта функция дает такие плохие результаты для за-
защемления на конце, не случайна — ее можно предсказать без
всякого доказательства. Хотя формально функция удовлетворяет
условию защемления на концах (равенство нулю прогиба и угла
еакяона), содержащиеся в ней функции синуса все имеют нуле-
нулевую кривизну на концах, поэтому любая их комбинация также
¦будет иметь там нулевую кривизну, в то время как защемление
«онца всегда требует наличия момента в защемлении, препят-
препятствующего повороту, который в противном случае может произой-
произойти на конце. Все другие функции прогиба имеют некоторые по-
положительные кривизны на концах, которые при использовании
¦большого числа членов ряда будут сходиться к истинному значе-
значению кривизны. Если для этих целей такой тип функций оказы-
оказывается непригодным, то он может оказаться довольно полезным
и важным при иллюстрации трудностей использования этих
функций, которые ожидают исследователей.
В общем, все решения в рядах, независимо от того, использу-
используется энергетический метод или рассматриваются дифференциаль-
дифференциальные уравнения равновесия задачи, сходятся лучше (или дают
более точные результаты, когда используются только несколько чле-
членов ряда) в задачах подобных определению прогибов или крити-
критических нагрузок, которые зависят от некоторым образом осред-
S 2.8] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 109
ненных по всей длине условий (или в случае пластин или оболо-
чек — по всей площади), чем тогда, когда исследуются локальные
свойства типа изгибающего момента в отдельной точке, которые
зависят от условий в этой точке. Это связано с тем, что интегри-
интегрирование, проводимое при использовании энергетического метода
и гармонического анализа или его эквивалента в сочетании с рас-
рассмотрением уравнений равновесия, является, по существу, про-
процессом осреднения. Ряды, построенные по функциям, указанным
в шестой строке таблицы 2.2, могут никогда не сойтись к точному
значению изгабающего момента на концах, хотя и будут сходить-
сходиться (правда, очень медленно) к точному значению уже на неболь-,
шом расстоянии от концов.
Можно заметить, что все приближенные значения коэффици-
коэффициентов прогибов, приведенные в таблице 2.2, превышают точные,
т. е. предсказанные прогибы являются меньшими, чем они долж-
должны были бы быть. Энергетический метод дает точное решение,
когда выбрана точная форма прогибов, а неточная форма может
рассматриваться как точная для случая введения1 дополнитель-
дополнительных связей (например, соответствующим образом распределенных
упругих реакций), вынуждающих тело принять заданную форму.
Так как введение различного вида ограничении—приводит к
уменьшению прогибов, то приближенное решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям на концах и получаемое энергетическим методом,
всегда демонстрирует, что тело имеет большую жесткость и бо-
более высокие критические нагрузки, а также частоты колебаний,
чем на самом деле.
Глава 3. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ БАЛОК
§ 3.1. Теория упругости, общие положения
В классической трехмерной теории упругости используется за-
закон Гука (ограничимся здесь изотропными материалами) и точно
выполняются другие соотношения таблицы 1.2 (§ 1.2) (уравнения
равновесия и геометрические соотношения, связывающие" дефор-
деформации и перемещения) без введения аппроксимаций типа Кирх-
Кирхгофа — Лява.
Однако предполагается, что относительные перемещения до-
достаточно малы', чтобы можно было пренебречь влиянием измене-
изменения геометрии, обусловленным ими, тг е. изменением формы тела
и геометрическими соотношениями между нагрузками. Как гово-
говорилось в § 1.4, в теориях балок,- пластин и оболочек, вероятно,
важны только те изменения геометрии, которые обусловлены из-
изгибом в слабом поперечном направлении, и те, по-видимому, важ-
важны только для длинных балок и тонких пластин и еболочек, для
которых соответствующая аппроксимация Бернулли является на-
настолько великолепной аппроксимацией, что более точные методы
теории упругости не требуются. Такие конечные деформации при-
приводят к нелинейным уравнениям и рассматриваются в § 2.6, и
5.1 и более полно — в главах 6 и 7. •
Обозначения координат и напряжений. Ниже будет использо-
использована правая прямоугольная система координат; которую можно
интерпретировать правилом, согласно которому при направлении
большого пальца правой руки вдоль оси х остальные пальцы
укажут направление поворота, необходимого для совмещения оси.
у с осью z (буквы используют в алфавитном порядке х, у, z),
как-показано на рис. 3.1.
Типичный, элемент исследуемого тела, грани которого парал-
параллельны осям (см. рис._ 3.1), может иметь на всех шести гранях
напряжения, вызываемые воздействием соседних элементов (или
в случае, если грань образует часть внешней поверхности тела,
при внешнем нагружении). Разложим, как показано на рис. 3.1,
возникающее на каждой грани напряжение на составляющие,
параллельные координатным осям. Составляющие, "перпендику-
"перпендикулярные граням, называются нормальными напряжениями и обоз-"
начаются соответственно направлению индексами х, у, z, кото-
которые, разумеется, совпадают с направлением нормали к стороне,
на которой они возникают, например показанное на рисунке на-
напряжение а'х. Тангенциальные составляющие называются каса-
касательными напряжениями и обозначаются двумя индексами, пер-
первый цз которых рбозначает направление нормали к грани, на ко-
§3.1]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
111
торой возникает напряжение, второй — направление напряжения,
как, например, показанные на рисунке напряжения cw и с».
За положительное направление нормальных напряжений при-'
нимается направление от элемента, т. е. напряжение растяжения.
Если это положительное нормальное напряжение, возникающее
на грани, совпадает с направлением соответствующей координат-
координатной -еси, то для двух касательных напряжений, возникающих на
гой же грани, за положительные примем
направления, совпадающие с направлени-
направлением остальных координатных осей; для
нормального напряжения положительное
направление противоположно соответству-
соответствующей координатной оси, для касательных
напряжений положительными будут на-
направления, также, противоположные коор-
координатным осям. Таким образом, если на-
направление положительно, напряжения
имеют направление, указанное на рис. 3.1,
если отрицательное — они, разумеется,
имеют противоположное направление.
Ла рис. 3.2 представлены проекции
малых элементов на плоскость ху. На
рис. 3.2,а показаны два смежных элемен- -,. '
та, имеющих общую сторону АВ (на рисунке они отодвинуты друг
от.друга с тем, чтобы дать место для нанесения стрелок и обо-
обозначений). Можно видеть, чтв если приведенное правило знаков
использовать для напряжений, вовзникаюЩих на всех элементах,
то напряжения, возникающие на гранях АВ смежных_элементов,
ч-4 В
г J.
вх
Ь
Г
а;
Рис. 3.2.
будут являться и действием и противодействием, каковьши они,
конечно, и должны быть. Правило знаков соответствует приме-
применявшемуся ранее (см. рис. 2.1,-б).
Симметрия. Если АВ является плоскостью симметрии напря-
напряжений, то касательные напряжения, такие, как с*,, должны быть
112 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
равны нулю на этой грани, поскольку в противном случае они не
могут быть зеркально отображены из рассмотрения условия сим-
симметрии. Напряжения должны быть симметричными относительно
плоскости, если тело и действующие на него нагрузки симметрич,-
ны относительно плоскости, за исключением, возможно, случаев
неустойчивости или колебаний.
Уравнения равновесия. Выше не делалось различия между
компонентами напряжения на противоположных гранях элемен-
элемента. Однако в общем случае напряжения изменяются от точки к
точке, т. е. они являются функциями координат, и обозначаются
следующим образом: ах = ах{х, у, z) и т. д. Если ах— нормальное
растягивающее напряжение в точке, лежащей на расстоянии х
от начала координат, то нормальное растягивающее напряжение
в точке, отстоящей^на малом расстоянии dx, будет равно сумме
напряжения ах и скорости dajdx изменения напряжения ах, ум-
умноженной на величину dx, на которую изменяется координата х,
т. е. равно ах + dajdx dx, как это показано на рис. 3.2, б.
Влиянием изменения напряжений вдоль бесконечно малых
граней элементов на равновесие элементов можно пренебречь.
Для того чтобы показать, что это возможно, на рис. 3.2, в пред-
представлены напряжения о^, возникающие на двух противополож-
противоположных гранях, вместе с изменениями, которые они претерпевают
вдоль граней и при переходе от одной грани элемента к противо-
противоположной. Можно видеть, что в уравнении равновесия моментов
силы, обусловленные напряжением аху, образуют пару сид с пле-
плечом dx. Моменты, обусловленные всеми изменениями напряже-
напряжений а*,, относительно, скажем, центра элемента, являются малы-V
ми величинами высшего порядка, т. е. они содержат на один или
более множителей dx или dy больше, чем содержит момент от
напряжения а^, и, следовательно (так как все плечи моментов и
площади граней имеют одинаковый порядок величины, а напря-
напряжение fJxy и его производные обычно являются конечными), они
стремятся к нулю быстрее, чем момент от Оху при 'стремлении
размеров элементов к нулю.
В уравнении равновесия сил 2 fy = 0 напряжения а^ уравно-
уравновешивают друг друга, но остается приращение напряжения
(.daxy/dx)dx при- переходе от одной грани к другой, и его следует
учесть. Приращения напряжений вдоль граней, уравновешивают •
друг друга, а компонента (d2ajdy dx)dy dx является малой вели-
величиной, более высокого порядка, чем {doxy/dxYdx. Аналогичные ар-
аргументы могут быть приведены и для нормальных напряжений.
Следовательно, необходимо только рассмотреть собственно напря-
напряжения и их приращения при переходе от одной грани элемента
к противоположной ей грани, которые все считаются равномерно
распределенными, а их равнодействующие, следовательно, можно
считать приложенными в центре грани, как это показано на
рис. 3.2, б. • . -
§ 3.1] , ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ - Ц5
Пренебрежение малыми величинами более высоких порядков
не приводит к ошибке, если речь не идет об изменениях геомет-
геометрии при деформировании, вызванных конечной деформацией, пре-
пренебрежение которой обычно дает аппроксимацию, которая может
быть важной в зависимости от конкретных случаев. В данном
случае умножение напряжения на первоначальную, а не конеч-
конечную площадь не дает ошибки, так как напряжение определяется
относительно первоначальной площади; однако деформация вызы-
вызывает изменения в направлениях и величинах плеч пар сил, пре-
пренебрежение которыми приводит к некоторбй погрешности.
Из сказанного выше следует, что условие равенства моментов
относительно оси, параллельной оси z, дает
{Оху dy dz)dx — iavx dx dz)dy — 0, C.1)
где GXydy dx является силой (единичное напряжение аху, умножен-
умноженное на площадь dy dz грани, на которой оно возникает), dx — пле-
плечо этой силы, создающей момент, и т.. д. Из равенства C.1) и
аналогичных уравнений моментов относительно осей, параллель-
параллельных осям х я у, иожно видеть, что
Oij/ = Оух, Оуг = Огу, Ozx = Охг. C.2)
Это означает, что порядок, в котором записаны "индексы для
касательных напряжений, не имеет значения и для простоты в
дальнейшем будут использоваться' только следующие индексы:
Оху, Оуг, Oxz.. Но приводимые выше рассуждения по поводу двой-
двойных индексов потребуются в дальнейшем для сил и моментов,
соответствующих таким напряжениям, проинтегрированным по
толщине оболозки, так как в этом случае порядок индексов в
общем случае не имеет значения.
Кроме трех уравнений равновесия моментов для элемента",-
должны удовлетворяться три уравнения равновесия сил. В этом
случае главные части напряжений, возникающих на противопо-
противоположных гранях элемента, уравновешивают друг друга (напряже-
(напряжение ах на левой грани уравновешивает главную часть напряжения
ах на правой стороне (см. рис. 3.2, б) и т. д.), так что основными
величинами в этом случае являются изменения (.ffajdx)dx напря-
напряжений при переходе от одной грани элемента к противоположной
ей грани. Площадь, на которой действует напряжение {dajdx)dx,
равна dy dx; таким образом, результирующая сила, равна
[(dax/dx)dx]dy dz. Рассмотрев аналогичные изменения других
напряжений о*у и axz, которые направлены вдоль оси х (трехмер-
(трехмерный случай этих напряжений представлен на рис. 3.1), и предпо-
предположив, что там же может быть также отнесенная к единице объ-
объема и направленная вдоль оси х объемная сила Вх (т. е. действу-
действующая на весь объем материала сила, подобная гравитационной,
магнитной или силе инерции), запишем уравнение равновесия
8 Л. Г. Доннелл
114 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
сил, действующих вдоль оси х:
^ dx} dy dz + (-^?? dy] dxdz + P^p dz) dx dy + (BxLx dy dz =0-
* • * '" C-3)
Сократив на dx dy dz и составив аналогичные уравнения для дру-
других осей, получим три уравнения равновесия сил классической
теории упругости:
где Ву я Be — отнесенные к единице объема объемные силы в
направлении соответственно осей у и z.
Закон Рука. Приведенные выше уравнения равновесия и -со-
-соотношения между деформациями и перемещениями, которые бу-
будут приведены ниже в § 3.6, не ограничиваются случаем упруго-
упругого материала и. могут быть применены к пластическим (или с
другим типом поведения) материалам. В теории упругости ис-
используется, естественно, закон Гука, связывающий упругие на-
напряжения и деформации. Для изотропных материалов, как было
найдено из экспериментов, это дает
— -(а — — ) — — (о — ' — ¦>
— ±(а — _ \
Е \ г х vl' C.5)
2A+V)'
ехд = 7Г О"хр=
где нормальные деформации ех, еу, ег представляют собой изме-
изменения длины, отнесенные к единице первоначальной длины в на-
направлении соответствующих осей х, у, z; деформация сдвига е*,
(а аналогично evl и в**) представляет собой изменения угла "меж-
"между гранями, нормали к которым первоначально были направлены
параллельно осям х и у; так же как и jj случае касательных" на-
напряжений, порядок индексов при деформациях сдвига не имеет
-значения. Положительное направление" нормальной и сдвиговой
деформаций можно взять таким же, как и "у соответствующих
нормального и касательного напряжений. Здесь Е, v, G— соответ-
соответственно модуль упругости (модуль Юнга), коэффициент Пуассона
а модуль сдвига.
§.3.1]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Коэффициент Пуассона v, определяемый как абсолютная ве-
величина отношения поперечной деформации и продольной дефор-
деформации, которые обусловлены продольными нормальными напря-
напряжениями, принимает значения, изменяющиеся от близких к нулю-
для некоторых пористых материалов до примерно равных одной
второй (это' значение соответствует нулевому- изменению объема)
для резины или для эквивалентной модели материала, проявляю-
проявляющей свойства пластического течения. Для большинства материа-
материалов, используемых в инженерной__драктике^ этот коэффициент
имеет значение, близкое к 0,3, это же значение, за исключением
специально оговоренных случаев, используется и в данной книге,
когда формулы, содержащие коэффициент Пуассона v, сводятся
к "приближенным числовым значениям.
Связь между модулями G, Е и коэффициентом-v. Три послед-
последние соотношения C.5) можно получить из геометрического соот-
соотношения между изменением углов квадратного элемента при дей-
действии касательного (shear) напряжения о, (рис. „ 3.3, а) и изме-
G* " -
<*s %
Рис. 3.3.
нением длины его диагоналей, в которых будут действовать со-
соответственно растягивающее (tensile) at и сжимающее (compres-
sive) ffc напряжения. Из условия равновесия треугольного элемен-
элемента (рис. 3.3, б) в направлении а< (умножив показанные на рисун-
рисунке напряжения на площади, на которых они действуют, и поло-
положив длину диагонали и размер, перпендикулярный плоскости
рисунка, равными единице) можно видеть, что at = ex cos 45° X
X sin 45° + ак sin 45° cos 45° = <т.. Аналогично для элемента, пока-
показанного на рис. 3,3, е, получаем о\. = а,.
Часть ABC элемента, показанного на рис. 3.3, а, деформиру-
деформируется в А'В'С1 (рис. 3.3, г). Отрезок ОВ вследствие действия на-
напряжения Ot получит относительное удлинение Ot/E и вследствие
действия напряжения ос — удлинение vaJE, таким образом, пол-
полное увеличение длины составит В В' = OB(at + vac)/E = OB( 1 +
+ \)aJE. Отрезки АО ж ОС укоротятся соответственно на А А' и
ССУ. Если деформации малы, то можно считать, что точка D рас-
располагается в середине отрезка ВС, и тогда BE = В В' sin 45е,
ВТ) = OB sin 45°. Используя эти соотношения, получим . ej2 =
116
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК
[ГЛ. 3
--ВВ'/ОВ
A + v)aJE, откуда
Е
2A
.C.5а)
что и было использовано в соотношениях C.5). Для v == 0,3 полу-
получим G = 0.385Я.
Условие сплошности. Все элементы тела должны не только
находиться в равновесии, но все изменения их формы, вызван-
вызванные возникающими в них деформациями, должны быть точно по-
подогнанными друг к другу и после деформации, в противном слу-
случае между элементами будут происходить либо раскрытие тре-
трещин, либо перекрытие элементов (т. е. части разных элементов
будут занимать одновременно одно и то же место). Это условие
сплошности или совместности деформации выполняется путем
удовлетворения геометрических соотношений между деформация-
деформациями и системой перемещений их, щ, иг, являющихся непрерывны-
непрерывными функциями х, у, z и направленными вдоль осей х, у, z. Из
цешенйй одних только уравнений равновесия C.4) не вытекает
единственно возможное распределение напряжения; по возмож-
возможности они должны также удовлетворять представленным уравне-
уравнениями C.5) (или каким-либо иным условиям связи напряжения
с деформацией для рассматриваемого материала) условиям сплош-
сплошности, взятым вместе « соответствующими соотношениями между
деформациями и перемещениями.
Соотношения между деформациями и перемещениями. На
рис. 3.4, а, так же как и на рис. 3.2, представлен вид на грани
АВ и ВС элемента со стороны оси z. Характерная точка в нена-
ненапряженном теле имеет начальное положение В с координатами х,
Рис. 3.4
у, z. При деформировании тела точка В перемещается в свое ко-
конечное положение В', Обозначим компоненты ее перемещения в
направлении осей х, у, z соответственно через в*, в„, в, (переме-
(перемещение в, направлено под прямым углом к чертежу и не может
быть показано); Так как перемещения являются непрерывными
функциями координат, то компонентами перемещения точки С,
§3.1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ tt7
которая отстоит на расстояние dx по направлению оси х, будут
их + dujdx dx, щ + dujdx dx, ut + dujdx dx;
аналогичное имеет место и для точки А, как видно из рисунка.
Влияние этих различных перемещений становится более ясным,
если разбить их на две группы: перемещения и*,'в,,, иг, которые
являются общими для всех точек и показаны на рис. 3.4, б (т. е.
перемещение как жесткого тела, которое оставляет неизменной
первоначальную длину dx, dy, dz граней и прямые углы между
ними), й изменения перемещений, показанные на рис. 3.4, в, ко-
которые и обусловливают все деформации.
Из рис. 3.4, в видно, что с учетом того, что'точка С при пере-
перемещении в точку С проходит расстояние (dujdx)dx в направле-
направлении, перпендикулярном чертежу, и по теореме Пифагора для
трехмерного случая (см. рис. 4.6 и соответствующий текст в
§ 4.2), а также теореме о биномиальном разложении, для дефор-
деформации гх в направлении оси х можно записать:
В'С — ВС
ВС dx
C.56)
где многоточие означает опущенные производные еще более вы-
высокого порядка. Ошибка подобной аппроксимации стремится к
нулю для теоретически бесконечно малых деформаций, которые
постулируются в классической теории упругости, и мала — когда
эта теория применяется к жестким инженерным материалам,
работающим 'в упругой области, так как производные от перемеще-
перемещений представляют собой сами деформации или части их, макси-
максимальные значения которых составляют примерно 0,001 для малоуг-
малоуглеродистой стали и 0,01 для высокопрочных сталей или алюминие-
алюминиевых сплавов, жестких пластиков и т. д. Полное изменение
угла ABC, как можно увидеть, проделав подобные аппроксимации,
составит ABC = е*, « (diijdy)dy/dy + (dtiy/dx)dx/dx = dujdy +'
+ дщ/дх; аналогичное имеет место и для остальных деформаций.
Следовательно, соотношения между деформациями и перемеще-
перемещениями можно взять в виде
_дия _диу _диг
е* ~ дх ' е» ~ ду ' е"~ 17'
да дир ви «и, ' дгГ дих C.6)
If8 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ ВАЛОК . [ГЛ. 3
Перемещения как жесткого тела. Из соотношений C.6) можно
видеть, что перемещения равны
«х = И*0 — &*У + QyZ, иг = И„о — QxZ + QZX,
и, ¦= иг0 — 8„х + Qxy, C.6a)
где и*о Що, и*,, Qx, 9„, Qz — постоянные, не вызывающие деформа-
деформаций. Они являются наиболее общего вида перемещениями как
жесткого тела, • относящимися к телу, которое перемещается на
расстояния ю*0) и„о> мг0 в направлении осей х, у, z, и его поворо-
поворотами как целого на углы 8», &„, 8г вокруг осей х, у, z. Такие пе-
перемещения могут быть добавлены,- если потребуется, к переме-
перемещениям, вызывающим деформации, чтобы удовлетворить гранич-
граничные условия и же вызвать в теле деформаций (а следовательно,
и напряжений). Пользуясь энергетическим методом, работой, со-
совершаемой нагрузками на перемещениях как жесткого тела* мож-
можно пренебречь, так как работа, совершаемая уравновешенной си-
системой сил, на таких перемещениях равна нулю. —
Упрощения уравнений теории упругости. Уравнение C.4) и
соотношения C.5) и C.6) являются основными в классической
теории упругости, как это обобщено в таблице, 1.2 (§ 1.2); им
должны удовлетворять напряжения, деформации и перемещения,
возникающие в упругом теле. Обычно деформации как таковые
не представляют интереса, тогда как напряжения и перемещения,
как правило, требуются при решении практических задач для
определения возможности возникновения разрушения и деформи-
деформирования в изучаемых телах, а также для удовлетворения гранич-
граничных условий. Деформации можно исключить, приравняв выраже-
выражения -C.5) ддя деформаций выражениям C.6), записанным через
перемещения, что дает
-а7=Ж (<Ь - VO-* - vov),
дих 8иу _ 2 A + у) Оиу диг _ 2A+у) " C.7а)
дУ "+• дх Ё а*<" 17+ ~ ~E~QU
диг ~, дих _ 2A+у)' '
или после решения этой системы уравнений относительно напря^
жений— ¦ ¦
§ 3.1] - ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ~ 119
_ Е /9их диЛ _ Е /да Эи\
°*!i - 2 A + v) \ду "г дхГ yz ~ 2Ll+v) \д7 + 1у~)\ C.7Д)
Oxi ~ 2 A + v) \5г^ ~^" "аГу*
где е = dajdx + dujdy + dujdz— сумма нормальных деформа-
деформаций, которая (при малых деформациях) равна относительному
увеличению объема -и называется дилатацией или расширением.
Используя выражения C.7а) для "dujdx, dujdy, dujdz, можно
выразить величину е через сумму нормальных напряжений 0:
Исходные уравнения теперь можно было бы свести к уравне-
уравнениям равновесия C.4) и соотношениям C.7а) и C.76), которые
включают в себя только напряжения и перемещения. Их можно,
еще более упростить, исключив либо напряжения, либо переме-
перемещения. Так, подставив соотношения C.76) в уравнения C.4) и
полагая, что в данном случае объемные силы отсутствуют, исклю-
исключим напряжения и получим три основных уравнения теории уп-
упругости в перемещениях Ux,-^y, иг. Они могут быть записаны в
следующей компактной форме: ~ ~ ¦ у.
У2"« + Г=^Й = 0' "где ,а.4-х,у,г. C.8)
В этих уравнениях символ V2 = дг/дхг + дг/дуг + дг/дгг — опе-
оператор, т. е. символ, предусматривающий некоторый порядок про-
проведения специфических операций; в данном случае — суммирова-
суммирование вторых производных по х, у; z функций, м& которые воздей-
воздействует оператор, т. е. их — в первом, щ — во втором, иг — в треть?
ем уравнении. Более простые и знакомые операторы д/дх, д/ду и
d/dz воздействуют на функцию, е соответственно в первом, вто-
втором и третьем уравнениях.
Оператор V2 произносится как «набла в квадрате» и называ-
называется оператором Лапласа в честь великого французского матема-
математика. Если применить, как это описывалось выше, операторы
д/дх, д/ду, d/dz соответственно к первому, второму и третьему
уравнениям4-C.8) и просуммировать эти уравнения, получим
V2e = 0, а отсюда с учетом- соотношения C.7с) V*e = 0. Уравне-
Уравнения, в которых утверждается, что лапласиан функции равен ну-
нулю, называются уравнениями Лапласа, а функции, которые подобно
е и 0 удовлетворяют им, называются гармоническими функция-
функциями; ниже будет дано много примеров с этими функциями.
Три дифференциальных уравнения C.8) содержат три неиз-
неизвестных функций и*, щ, иг. Если имеются три алгебраических
уравнения, содержащие три неизвестных, в общем случае можно
исключить две неизвестные и решить их с помощью хорошо из-
120 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ-ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 9
вестных процессов относительно каждой из трех-неизвестных. Не-
Нечто подобное можно сделать и с дифференциальными уравнения-
уравнениями и с функциями, относительно которых они записаны. Напри-
/Мер, в первых Двух уравнениях C.8) имеется только один член
с иг, в первом уравнении зто дгиг/дгдх, во втором dzujdydz.
Тогда к первому уравнению можно применить оператор d/dyt
т. е. продифференцировать по у левую и правую (которая, есте-
естественно, в данном случае равна нулю) части этого уравнения,
при этом они по-прежнему останутся равными друг другу. Ана-
Аналогично применяем оператор д/дх ко второму уравнению, тогда
члены, содержащие иг, примут вид д2иг/дх ду dz; вычтя одно урав-
уравнение из другого, получим уравнение, содержащее только функ-
функции их и щ. Применяя соответствующий оператор к первому или
второму уравнению, а также к ¦третьему уравнению, можно ана-
аналогичным образом исключить из третьего уравнения один за дру-
другим члены, содержащие иг, и таким путем получить уравнения,
содержащие только их и и„. Аналогично, исключая из этих урав-
уравнений члены, содержащие щ, окончательно получим уравнение
V4ux = 0, которое содержит только функцию их, оператор V4 оп-
определен ниже. Точно так же можно показать, что V4mv = 0,
V4 0
Символ V2m используется для того, чтобы показать, что опе-
оператор Лапласа V2 последовательно применяется т раз. В только
что рассмотренных случаях имеем т = 2 ж V2m = V4 (читается,
как «набла в четвертой») = (д2/дз? + дг/ду2 + дг/дт?) (дг/дэ? +
+ дг/дуг + dz/dz2). Функции в^гда их, иу, иг, которые удовлетворя-
удовлетворяют уравнению Vfraa = 0, называются бигармоническими функция-
функциями. В описываемом случае они должны быть связаны друг с дру-
другом, как видно из, соотношений C.8), но в общем случае бигармо-
нические функции представляют собой очень .широкий класс
функций, включающий, очевидно, все гармонические функции;
ниже также будут даны примеры этих функций. Вся эта симво-
символика может показаться не столь уж необходимой, но на нее стоит
потратить время, так как она широко используется здесь и вооб-
вообще в физике.
Сумма гармонических функций (или нескольких бигармони-
ческих функций) является, очевидно, также гармонической (или
бигармонической) функцией. Аналогично, результат применения
к гармонической (или бигармонической) функции, любого опера-
оператора, который дает нуль, будучи применен к нулю, и для которо-
которого не имеет значения порядок применения в комбинации с опе-
операторами V2 или V4, дает другую гармоническую (или бигармо-
ническую) функцию. Так, поскольку перемещения являются би-
бигармоническими функциями,1 напряжения ах, а„ и т. д. из соот-
соотношений C.76) также бигармонические функции.
Бигармонические функций можно связать с гармоническими
следующим путем. Пусть имеем <p = /if>, где <р(ж, у, z) является
S 3.1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
бигармонической функцией, ty(x, у, z) — гармоническая функция,
•а /(#» У> z) — определяемая функция. Подставляя /ф в уравнение
V4(p = О, учитывая V2tj>= 0, получим
+ 4[{d2f/dx2)(d2\p/dz2)
+ 8i(d2f/dx ду)(д2Ц/дх ду) + №f/dy dz)(d2q/dy dz) +
+ (d2f/dzdx)(d2q/dzdx)]=0.
Так как функция if и ее производные в общем случае не рав-
иы нулю или могут быть связаны иным образом, кроме соотноше-
соотношения V2if> = 0, приведенное выше соотношение может в общем
случае равняться только нулю, если d2f/dx2 = d2f/dy2 = d2f/dz2 =
=const (это означает, что V2/ также равняется константе),
a d2f/dx ду — d2f/dy dz = d%f/dz дх = 0. Эти условия ограничивают
возможные виды функции / случаями константы, функции от х,
у, z или х2 + у2 + z2 (или х, у, и х2 + у2 для функции двух пере-
переменных х ж у). Тогда произведение любой гармонической функ-
функции на одну из этих функций является бигармонической функ-
функцией. Можно показать, что самого общего вида бигармоническая
.•функция может быть представлена в виде суммы такого произ-
произведения и другой независимой гармонической функции, например
<р = xtyi + if>2j где ifi и if2 — независимые гармонические функции.
В более общем виде можно показать, что если функция ф
.удовлетворяет условию У2т+2\р = 0, то /if удовлетворяет условию
V2m+4(/if>) = 0, где / — функция, описанная выше. В рассмотрен-
рассмотренном ранее случае было т = 0.
Когда оператор Лапласа ^2 применяется к функции только
двух переменных типа х и у, то производные по z равны, разу-
разумеется, нулю, и, приведенные выше операторы принимают вид
V2 = д2/дх2 + д2/ду2 и - V4 = {д2/дх2 + д2/ду2)(д2/дх2 + д2/ду2) =
= дЧдх1 + 2дЧдх2ду2 + &Чдук. В дальнейшем эти операторы часто
<5удут использоваться.
Здесь следует отметить, что искусственная «эскалация»1) по-
порядка дифференциального уравнения путем воздействия на него
дифференциальным оператором приводит к уравнению, которое
не идентично исходному в том, что оно имеет больше решений,
¦чем исходное. Дополнительные решения не связаны с физическим
¦соотношением, которое могло бы описать исходное уравнение.
Например, общее решение уравнения B.2) Mx = — EId2w/dx2 со-
содержит две произвольные постоянные интегрирования, которые
можно использовать для удовлетворения условий на концах. Если
') Этот термин и некоторые смыслы его толкования родились в голове
«втора в ходе переписки с С. Батдорфом.
122 "Усовершенствования теории балок __ ^ [гл.»
на уравцение B.2) воздействовать оператором d/dx, то оно станет
уравнением третьего порядка, чье общее решение содержат три
постоянные. Поэтому третья постоянная обязана своим' появлени-
появлением только искусственному математическому преобразованию и
• при использовании ее для удовлетворения физических концевых
условий ей нельзя придать какой-либо механический смысл. Ос-
Остальные эффекты, связанные с эскалацией, обсуждаются нише
в связи с уравнениями (fh36) и G.3д).
Уравнения C.8) относятся к случаю отсутствия объемных сил.
Если в уравнениях равновесия C.4) удержать массовые силы
Ва — Вх, By, Вг, то, используя соотношения C.76) для напряже-
напряжений, вместо уравнений C.8) получим следующие:
•• '-* = w- C;8a)
Для случая динамики при использовании принципа Даламбера
получим Ba = — pd2ua/df, где р—тдассег, отнесенная к единице
объема, i— время. .
Если требуется упростить основные уравнения путем исклю-
исключения не напряжений, а перемещений, то к уравнению C.7а)
можно нрименить оператор V2 и к соотношению C.8) — операто-
операторы д/дх, д/ду и d/dz, используя выражение C.7в) для замены е
на 0, после чего получившиеся уравнения можно легко преобра-
преобразовать для исключения их, и„, иг и' получить следующие шесть
соотношений: - •
ax,y,z,
A.'+ v) V2^•+ дЩ да 00 = 0, где «0 = ху, yz, zx> ' '
Однако в общем случае эта процедура имеет некоторые не-
неудобства, так как в результате приводит к девяти соотношениям:
шести соотношениям C.86) плюс три уравнения равновесия C.4),
связывающие шесть напряжений (эти девять соотношений, оче-
видно^нв являются независимыми, но, по-видимому, приемлемого
пути сведения их числа к шести, вполне достаточного для реше-
решения задачи, нет), вместо только трех основных уравнений C.8).
Когда необходимо найти" перемещения, их можно получить, вы-
выразив через напряжения с помощью соотношений C.7а), при этом
необходимо решать сравнительно неприятную задачу интегриро-
интегрирования первых трех соотношений и последующего определения
произвольных функций интегрирования с тем, чтобы удовлетво-
удовлетворить в наиболее общем виде последним трем соотношениям.
Намного проще начать решение »адачи с определения* из урав-
уравнений C.8J перемещений, поскольку напряжения можно затем
очень легко выразить через перемещения с помощью соотношений
C.76). В частном случае двумерных задач теории упругости мож-
можно получить единственное сравнительно простое уравнение (явля-
(являющееся- для большинства случаев применения достаточно хоро-
§ з.1] теория Упругости 123
шей-аппроксимацией) для определения напряжений, и оно тради-
традиционно используется даже тогда, когда требуется найти переме-
перемещения. Но, как будет показано, при необходимости отыскать пе-
перемещения, что является обычным случаем, даже в этом случае
проще начать с нахождения перемещении.
Простые решения уравнений теории упругости. Многие реше-
решения находятся из уравнений C.8). Некоторые простые решения
довольно очевидны, как, например, перемещения жесткого тела,
описываемые соотношениями C.6а).
Другим набором- простых, но важных для практики решений
являются те, что включают только линейные изменения напряже-
напряжений. Например, можно легко проверить, что соотношения C.8) и
C.76) удовлетворяются следующими решениями;
у, Uz=—-j-z, ax = sx, C.8в)
*)Sx«x, и, = 0,- ' <гчг = *чг, C.8г)
2f zUi
- C,8д)
\2
a,v <3-8e>
uz = ^ , Oxy = SxtlZ,
где sx, sxy — постоянные напряжения, остальные напряжения рав-
равны нулю. Аналогичные решения можно легко получить, когда
напряжение ov пропорционально у, напряжение о„ постоянно или
пропорционально z или х, о* — постоянно или -пропорционально
X ИЛИ у, Gyz — ПОСТОЯННО ИЛИ ПрОПОрЦЙОНаЛЬНО X, GXz — ПОСТОЯННО
или пропорционально у. Полученные выше решения и аналогич-
аналогичные решения, получаемые взаимной перестановкой х и у, явля-
являются особенно полезными в двумерных задачах для пластин,
рассмотренных ниже (например, при удовлетворении краевых
условий), а также в задачах о балках прямоугольного поперечно-
поперечного сечения, рассматривающихся ниже в § 3.3 (см. рис. 3.8). -
Более, общие решения уравнений теории упругости. Все опи-
описанные выше решения являются просто специальными случаями,
вытекающими из более общего типа решений. Присутствие в
уравнениях C.8)~ оператора V2 сразу же подсказывает попыт-
попытку искать решение в форме гармонических, бигармонических или
аналогично определяемых полигармонических функций.
124 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК *, [ГЛ. 3
Рассматривая первые гармонические функции, заметим, что,
если просто взять перемещения в виде таких функций, то полу-
получить решения, очевидно, нельзя из-за наличия вторых слагаемых
в уравнениях C.8), поэтому приходится пытаться выразить пере-
перемещения в виде суммы произведений степеней координат на гар-
гармонические функции или производные от этих функций по коор-
координатам. Так как каждое слагаемое такой суммы должно" иметь
размерность длины, то выполнение условия соответствия размер-
размерностей требует, чтобы степени координат в этих слагаемых уве-
увеличивались с увеличением порядка производных, как< например,
в гипотетическом выражении -ф + xidty/dy) — y'2(d2ty/dy dz).
Два простейших выражения такого типа включают в себя ну-
нулевые степени координат (т. е. постоянные величины), умножен-
умноженные на первые производные от гармонической функции, и первые
степени координат, умноженные на саму функцию. Первые из
этих выражений можно представить в наиболее общем виде так:
где « =^= х, у, z, V2t|) = 0, аа, Ъа, са — числовые коэффициенты, ко-
которые надо определить. Объемное расширение равно
- <3-8з>
При подстановке этих выражений в уравнения C.8) видно,
что, так как V2(dty/da) = (d/da)V2ty = О, уравнения теории упру-
упругости удовлетворяются только в том случае, если объемное расшире-
расширение е равно нулю или постоянной величине. Учитывая, что вторая
производная от г|) в общем случае не равна ни нулну, ни постоян-
постоянной величине, видим, что при этом имеется только четыре реше-
решения (кроме тривиального, в котором все коэффициенты равны ну-
нулю): 1) Ъх = — ау, 2) Су = — Ь2, 3) at = — сх, 4) ах = Ъу = сг (так чт»
е = axv2oj) = 0), остальные коэффициенты в каждом решении рав-
равны нулю. Все это показано в табл. 3.1 в качестве решений (а„, Ъгт
сх, сг взять равными единице).
Второе из упомянутых выше выражений можно записать в
виде
иа = {аах + bay + caz) i|>, где a = х, у, z, V2i)? = 0. C.8и>
Здесь аа, Ъа, са — числовые коэффициенты, которые требуется оп-
определить. Подставляя эти выражения в уравнения C.8) и фор-
формулируя условия, при которых эти уравнения удовлетворяются,
путем разделения переменных и использования уравнения V2ij)=s
= 0, как это было сделано в только что рассмотренном случае, най-
найдем, что решения такого типа невозможны.
Некоторые решения уравнений C.8)
Таблица 3.1
»>-
uz =
N
ux
\
У
"z
где Vs
l
0
2
0
dz
dy
12
d2
—т "*"•
дх ду
d\
dzdx
3
/
<7tb
0
13
<Э2Ф
dxdy
d\ _
°y- xv\
d\
dydz
52^i
dz*
«,,,,..,-o.t-<s-
4
17
dip
dy
IF
14
й2ф
5z dx~
d\
dydz
) ^„
-4V).
5
X1x~~
1
, 52Ф
dxdy
4
d*
, tdy
Л-2A-
6
2/——
5z
7
217
Z1F
dx
8
УЪ~у' ~dz~
~dx '
9
OXJ
ZH Xdx
_— a
— Ь
XHx +
15 | 16 ' | 17
_v A _
" dxdy
ф а2ф
д2ф ^ й2ф
5z дх дх ду
.. d\ d\ ,
J dydz dy2
+ KzV\-y^
vd\ . d\
dz2 dydz
dy
,Й2Ф_ГЙ2Ф _
йа:2 dz dx
-Xz^ + y^L
52(p й2ш
dx dy dy dz
n n
5z 5a: ^za
v), V\{x,y,z)~O,<b~x*L + y°!L + z°SL
0
dip
5z
V%txy
11
dz dy
Z~dx ~X~dz
игр игр
„ dy dx
18
дФ Зф ,
d« dx
дф d(f
ду+УдУ
дФ д<р г
dz
5z
1
i26 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
Наиболее общий вид остающихся выражений для перемеще-
перемещений, которые включают в себя степени координат не выше первой
и первые производные от гармонической функции, может быть
•записан так: .
иа = a<j$ + (Ьах + сау + daz) || -f (еах +'fay + gaz) || +-
+ (hax + iay + jaz)d^, C.8к)
где а = х, у, z, V2^ = 0. - .
Числовые коэффициенты аа, Ъа, ... и т". д. необходимо опре-
определить. После подстановки этих выражений в уравнения C.8) и
приведения подобных членов лз решения системы уравнений, по-
получающихся при выполнении условий равенства, которым должны
удовлетворять коэффициенты при одинаковых членах, найдем
еще семь решений 5—11 (таблица 3.1).
Интересно отметить, что решения разбиваются на два типа..
К первому типу относится комбинация трех увязанных решений,
которые можно получить одно из другого циклической переста-
перестановкой координат х, у, z (т. е. заменой z на у, у на z, г на г) в
обоих индексах перемещений и в выражениях для перемещений;
решениями такого типа являются решения 1—3, 5—7 и 8—10.
"Ко второму типу относится единственное решение, которое оста-
остается неизменным при циклической подстановке, к t этому типу
относятся решения 4 и 11.
Любые решения уравнений C.8) могут быть, разумеется, ум-
умножены на любую портоянную (т. ё. выражения для их, щ, иг мо-
могут быть умножены на одну и ту же постоянную), и при этом
<>ни не перестанут быть решениями,. Аналогично решения могут
¦быть налажены путем добавления выражения для функции их
из одноцо решения к этой функции из другого решениями точно
также для щ и иг. Новые формы решений могут быть получены
также воздействием одного и того же дифферендиального опера-
оператора на выражение" для иХ) щ и щ с заменой переменных под-
подстановкой вместо функции ф функции \P(if>, x, у, г), для которой
v24f = 0, когда ?2г|5 = 0 (для примера: W = хЦ/дх +уд^/ду +
+ zdty/dz и т. п.).
. Решения 1—4 были опубликованы Д.. Доугаллом1): в 1914 г.,
-тогда как решения 4—7 были опубликованы П. Ф. Папковичем2)
в 1932 г. (а спустя несколько лет и независимо Г. Нейбером3)),
~') Doitgall J. An analytical theory of the equilibrium of an isotropic
•elastic rod of circular section.—Trans, Roy. Soc. Edinburgh, 1913 A914), v. 49,
JVI 4, № 895—978. —
2) П а п к о в и ч П. Ф. Выражение общего интеграла основных уравне-
уравнений' теории упругости через гармонические функции.— Изв. АН СССР. Сер. -
ааатем. и естеств: в., 1932, № 10, с. 1425—1435.
*) N е u b е г Н. Ein neuer Ansatz zur Losung raumlicher Probleme der
Jllastizitatstheorie.— Z. angew. Math, und Mech., 1934, Bd 14, № 4, SS. 203—212.
§ 3.1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 127
но некоторые из этих решений использовались другими авторама
ранее. Эти первые семь решений являются наиболее важными»
первые три — вследствие их простоты, четыре следующих D—7) —
так как было доказано, что сумма их (при использовании неза-
независимой гармонической функции в каждом из них) дает полно»
общее рещение уравнений C.8), т. е. теоретически они содержат
все возможные решения. Однако хотя теоретически полное лбще&
решение должно подходить для любых случаев, другие решения,-
в частности такие простые, как решения 1—3, могут оказаться-
для специальных случаев более удобными.
Подобная проверка всех возможных решений, содержащих
квадраты или произведения координат и производные от гармо-
гармонических функций не выше первой, указывает на отсутствие та-
таких решений. Аналогичный разбор для случая степеней коорди-
координат не выше первого порядка и вторых производных от гармони-
гармонических _ функций указывает на наличие большого количества-
решений, включая те, которые были получены Д. Доуталлом »
дополнение к его решениям 1—4. Однако полезность таких реше-
решений сомнительна, так как для всех этих решений нужно еще до-
доказать, чзо они существуют как сумма решений 1—4 с производ-
производными от решений 5г-11.
Из-за того, что уравнения C.8) являются дифференциальны-
дифференциальными уравнениями второго порядка, любые решения, выраженные-
через бигармонические функции ф (т. е. решения, которые исполь-
используются для дифференциального уравнения четвертого порядка-
У*ф==О и зависят от него), должны включать в себя по крайней1
мере вторые производные от функций ф в выражениях для пере-
перемещений. Самое общее выражение для таких решений с постоян-
постоянными коэффициентами и вторыми производными от'ф имеет.видг
ва~вуТ* ' гТ
C.8л>
а = х, у, z, у*ф = О,
где аа, Ъа и т. д. необходимо определять. Подставляя эти выра-
выражения в уравнения C.8), выполняя необходимые условия для?
коэффициентов ао, Ъа и т д. путем приведения подобных членов-
и используя уравнение V*(p = O, получим три решения 12—14
таблицы 3.1. OgH были опубликованы итальянским математиком:
К. Сомильяно в 189& г., который доказал, что их комбинация~дает
общее решение уравнений C.8).
Три бигармонические функции, входящие в общее решение-
Сомильяно, очевидце, не являются полностью независимыми, по-
потому что, как-уже говорилось выше, каждая бигармоническая
функция может быть выражена, через две независимые гармони-
гармонические функции, а из решения Папковича следует, что общее ре-
128 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
шение должно содержать только четыре, а не шесть независимых
гармонических функций. Эта связь между общими решениями Пап-
ковича и Сомильяно (единственные общие решения, которые
всюду были признаны как достаточно строго обоснованные) мож-
можно в какой-то степени объяснить следующим образом.
Так как бигармоническая функция ср может быть выражена
через две гармонические функции -ф4 и tJ32, скажем как ср = а% +
+ "ф2, полная функция х$ в действительности также представляет
собой бигармоническую функцию, т. е. исходная бигармоническая
функция.в действительности выражается в виде суммы некоторой
Ангармонической функции х\$1 и гармонической функции -ф2. Если
сказанное проделать для каждого из трех решений 12, 13 и 14,
то три бигармонических решения типа х^ (включая три незави-
независимые гармонические функции) будут, очевидно, независимыми
друг от друга, тогда как гармонические решения типа *ф2т по-види-
по-видимому, не являются независимыми и содержат только одну не-
независимую гармоническую функцию. Таким образом, полное ре-
¦шение содержит только четыре линейно независимые гармони-
гармонические функции, те же самые, что и в решении Папковича.
Вопросы линейной независимости решений могут оказаться
глсключительно важными при отыскании решений для частных за-
задач, так как, если не обратить „своевременно внимание на усло-
условие независимости решений, то, как известно, много времени мо-
может быть потеряно при численном исследовании на первый
взгляд независимых решений, которые не могут быть использо-
использованы вместе для удовлетворения граничных условий, потому что
на самом деле они оказываются линейно зависимыми.
На важность четырех сравнительно простых решений 1—4
таблицы 3.1 указывает тот факт, что они могут быть легко полу-
получены из общего решения, представленного решениями 12—14.
Если символом д(\Ъ)/дх обозначить решение, получаемое воздей-
воздействием оператором dtd'x на выражения для их, щ и иг в решении
13 и т. д., то легко проверить, заменив V2cp на ср, что справедливо
^следующее: решение 1 равно [дA3)/дх — д{12)/ду\/%, решение 2
T.d(U)/dx-dA3)/dzil, решение 3 равно [d(l2)/dz-д№)/дх]/Х,
решение 4 равно [дA2)/дх +дA3)/ду + 3A4)/32]/A-Л). Это ра-
разумеется, не означает, что комбинация решений 1—4 обязатель-
обязательно будет представлять собой общее решение (новее решение, по
'лученное взятием производной, подобной д/дх,, от старого реше-
решения, является менее общим, чем старое решение, потому что
при этом обращаются в нуль функции,- зависящие только от у
или z), но вместе с тем это наводит на мысль, что указанная ком-
комбинация представляет очень широкий класс решений.
Интересно отметить, что, кроме указанных воотношений меж-
между системами решений 1—4 и 12—14, аналогичным образом можг
но получить соотношения и между другими системами решений,
например: d(l)/dz + дB)/дх + дC)/ду = 0 и дA)/дх- д{2)/дг =
§ 3.1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ |29
/
= д(А)/ду, а также еще два соотношения, получаемые цикличе-
циклической перестановкой х, у, z и решений 1, 2, 3, соотношение
дгA2)/дх2 + дг{13)/,дхду + д2Ш/дгдх+{1-2\)ЧЧ12)=0 и еще
два соотношения, получаемые циклической перестановкой х, у, z
и решений 12, 13, 14.
С помощью рассуждений, подобных приведенным выше, и с
помощью решений, содержащих степени координат не выше пер-
первой и не выше второй производной от бигармонической функции,
получаются решения 15—18, приведенные в таблице 3.1. Реше-
Решения 12—14 и 15—17 допускают упоминавшуюся выше цикличе-
циклическую перестановку, тогда как решение 18 — единственное, не ме-
меняющее форму при циклической перестановке х, у, z. Возможно,
существует бесконечно большое число более сложных решений,
но их полезность находится под вопросом.
Так как получаемые в рамках теории упругости решения в по-
полигармонических функциях становятся более общими, если уве-
увеличивать порядок последних, аналогичный, но менее подробный
разбор был сделан в связи с решениями уравнений C.8) в триж-
трижды гармонических функциях W, удовлетворяющих соотношению
VexV = 0. Из-за возрастания сложности подробного разбора таких
решений их изучение было ограничено только симметричными,
относительно х и у решениями, т. е. решениями, подобными 4
и 14, а также комбинациями 12 и 13 или 1, 2 и 3, которые оста-
остаются неизменными при взаимньптерестановках х и у в индек-
индексах и в выражениях для производных. Подобные решения исклю-
исключительно полезны при исследовании пластин (ось z перпендику-
перпендикулярна поверхности пластины). Это исследование приводит к отри-
отрицательному, но, по-видимому, не имеющему большого значения
результату, а именно: все такие решения, содержащие производ-
производные о* функции W не выше четвертого или не выше пятого по-
порядка (как говорилось в предыдущем случае, они содержат по
крайней мере четвертые производные), могут быть представлены,
как было обнаружено, в виде комбинаций более простых уже
известных решений, подобных решениям 12, 13 и 14, в которых
функция ф заменена выражением v2^.
Возможны также решения, отличные от приведенных в табли-
таблице 3.1 типов, которые могут оказаться удобными для частных
случаев. Например, можно получить решения, содержащие так
называемые обобщенные гармонические или обобщенные бигармо-
нические функции ij) и ф, определяемые соответственно соотно-
соотношениями У2^ = [(х, у, z) или V'<p = /(a;> у, z). Такие функции
содержат гармонические или бигармонические функции, когда
функция / равна нулю, плюс другие функции, когда / не равна
нулю. Для примера можно проверить, что если ^(я, у) является
функцией х и у, удовлетворяющей уравнению
VS|> = U + ВЦх2 + у2) + (С + D)xy + E(x + y) + F + Q, C.8м)
9 Л. Г. Доннелл
130 ^ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. *
то уравнения теории упругости C,8) удовлетворяются выраже-
нняын ••_•'•' .ч ~
у,/'-.. Щ' Ах*
2 " 2 *'C.8н)
Выражение для в, получается из и» при взаимной перестанов-
перестановке х ж у. Подобнее решения можно получить, задав произволь-
произвольные,, выражения для функции /и перемещений с неизвестными
коэффициентами и воспользовавшись для .определения этих коэф-
коэффициентов уравнениями C.8).
-. "Примеры, имеющие наибольшее практическое значение, бу-
будут даны ниже, как, например, выражения C.12а), приведенные'
в следующем параграфе. Практическое приложение дано в гла-
главе 5 (выражение E.79и>), когда для важного случая этот тип
решейия^допускает более • простой вывод, чем обычные решения.
Приложения решений к физическим, задачам. Распределение
перемещений и напряжений в физической задйче должно' удов-
удовлетворять уравнениям C.8) и C.76), а граничные условия — тре-
требованию, чтобы напряжения или перемещения на поверхностях,
соответствующих границам ^физического тела, принимали задан-
заданные значения дяяфаспредеденных сия яли для перемещений щь/
этих границах. Такое распределение можно взять в качестве точ-v
ного решения физической задачи. Однако если в области, лежат
щей внутри границ т§ла, распределение содержит особую точку
(например, в центре диска ^становится бесконечно большим натфя-
жбние) или если тело является многосвязным, подобно кольцу, тог-
Зщ некоторые решения, полученные для напряжений, содержат
Щ'только те напряжения, которые обусловлены действием лишь
Внешней нагрузки, но будут включать в себя начальные напряже-
напряжения," подобные таким, которые тем или иным путем вызывают ло-
йальные растяжения или сжатия материала, как, скажем, в цент-
центре диска или в некотором сечении кольца. Во всех телах могут
существовать (и, как правило, существуют) тачальные напряже-
напряжения, появление которых обычно связано с операцией штамповки,
что уже* обсуждалось в § 1.7, но они не входят в решения, иолу^
«чаемые в рамках теории упругости, за исключением упомянутых
едучаев. Интересно отметить "здесь, что если получение решения
качать с нахождения однозначных решений для перемещений,
удовлетворяющих уравнениям C.U), то для многосвязных тел
"трудности не возникают. ;
Решения уравнений теория упругости, включающих объёмные
силы. Решение уравнений C.8а) для задач, в которых учитыва-
учитываются объемные силы,, можно найти какюбщее решение однород-
§ 3.1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ s . 131
ных уравнений, получаемых из исходных приравниванием пра-
правой части нулю, т, е., решений уравнений ($.8), которые обсужда-
лись ранее и представлены в таблице 3.4, плюс частное решение
уравнений (&8а). .
В качестве простого примера такого частного решения урав-
нений C.8а) рассмотрим случай действия гравитационной объемной
силы или веса на тело из Однородного материала. Для этого слу-
случая J5K == i5y = 0, Вг = Ч' где f — постоянная плотность (масса, от:
несенная к "Единице объема) материала! Простое решение для
этого случая имеет вид ¦,/'+.
Fz4,—' C.8о)
где * - __ ' ¦ ,
~А + В + 2A - 2v)(C-+ D).+ 4A ~^)F ==- 2(t+ v)(l - 2v)-\/E.
Bee, кроме одного; коэффициенты A, B,~7..,F могут быть
равными Hj^ro или выбраны таким вбразом, чтобы помочь удов-
удовлетворить граничным условиям вместе с решениями уравнений
C.8). . . ¦ * . — \ ; "".",.'
Более; сложнце решения уравнений C.8а)
их = A +У [- 6с* + B — vI z2 - A - v) x\] zz,
C.8п)
удовлетворяют условиям ВХ — В„='О, В,=*ч, а также следуюдейл
условиям: при г= ± с вт= :оуг =* о» == 0 — и- могут быть полезяы.
при исследовании влияния веса (или постоянного вертикального
ускорения) на напряженно-деформированное состояние, горизон-
горизонтально расположенной пластины толщиной .h — 2$. Пример реше-
решения с помощью удержания первых членов ряда выражения E.32).
для переменной объемной силы будет дан виже.
Цилиндрические координаты. Основные соотношения теории
упругости аналогичным образом могут быть записаны и в иных,
отличных от прямоугольной, системах координат. Более" той»,'
приведенные выше соотношения с помощью зависимостей, связы-
связывающих между собой координаты и перемещения о напряжения-
напряжениями, соответствующими этим двум координатным системам, могут
быть преобразованы к иным системам координат. Для примера
на рис. 3.5, в показана связь между цилиндрической и_прямв-'
угольной системами координат.ОКоордината % остаётся неизменной
для обеих систем, а координаты гиу заменяются радиальной
9* - -., ¦ ".¦ -
132
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК
[ГЛ. 3
и угловой координатами гиб, аналогичными тем, что имеют
место в двумерных полярных системах координат. Малень-
Маленькие квадратики, изображенные на рисунке в некоторых углах,
указывают на то, что эти углы прямые, поскольку из чертежа
это не очевидно.
Как видно из рисунка, имеется следующая связь между коор-
координатами некоторой точки Р в двух рассматриваемых системах:
х = г cos 0, y = r sin 0, г = Ухг + у2, 0 = arctg -^-. C.9а)
Йеремшцение точки Р в конечное положение Р' можно описать
с помощью компонент их, щ, иг или иг, Ие, и*. Проведя штриховые
S)
В)
Рис. 3.5.
линии, параллельные компонентам перемещения иг и »е, найдем,
кроме очевидного иг = uz, следующие зависимости:
и, = щ cos 0 + иу sin 0, ие = щ cos 0 + их sin 0
или, разрешая их относительно их и щ:
их = Иг eos 0 — ие sin 0, иу ¦— ur sin 0 + ие cos 0. C.96)
На рис. 3. 5, б показан ограниченный поверхностями, нормаль-
нормальными к направлениям г, 0, г, бесконечно малый элемент вместе
с нормальными и касательными напряжениями, возникающими
в нем. Сравнивая этот элемент с представленным на рис. 3.1, ви-
видим, что напряжения аг остаются одинаковыми в обеих коорди-
координатных системах. Касательные напряжения, возникающие на
гранях, нормальных к оси z, можно обозначить либо как агг и
Овг, либо как аХг и oyz; поскольку они возникают на гранях равных
§ 3.1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 133
площадей, то результирующая напряжений огг и Оег должна быть
равна результирующей о„ и oyz, что в векторной форме представ-
представлено на рис. 3.5, в. Отсюда получаем, что az = о* и
On = Oxz COS 6 + Оуг Sin 0, Оег = Oyz COS 6 — O*z Sin 6
или, разрешая относительно охг и оуг,—
О*г = Огг COS 6 — Ов2 Sin 6, О„г = ОГг Sin 6 + Овг COS 6. C.9в)
Предполагая для удобства, что бесконечно малые элементы,
представленные на рис. 3.5, г, имеют в направлении оси z единич-
единичную толщину и равную единице длину гипотенузы, из условия
равновесия элемента в направлении осей г и 0 можно, очевидно,
получить
От = ох cos2 0 + ov sin2 0 + 2оху sin 8 cos 6,
а6 = оу cos2 8 +-ах sin2 0 + 2оху sin о cos 0, C.9г)
Ore = (av — Ox) sin 8 cos 0 + o^Ccos2 8 — sin2 0).
Решая эту систему относительно ох, о„ и о2, придем к соотноше-
соотношениям, получающимся циклической перестановкой индексов Ое и
о*, Or и о„, ог6 и вху. Разности между касательными напряжениями
на верхней и нижней поверхностях этих элементов также входят
в эти соотношения равновесия, но они являются малыми величи-
величинами более высокого порядка по сравнению с представленными.
Соотношения C.96)—C.9г) позволяют решение для переме-
перемещений и напряжений,1 записанное в прямоугольной системе коор-
координат, представить в цилиндрических координатах. Для того что-
чтобы представить все соотношения теории в цилиндрических коор-
координатах, необходимо получить соотношения между производны-
производными в этих двух системах координат. Используя выражения C.8а),
получим
дг х ~ дг у ¦ г\ 9Q — у —sin 9
^_^ _ _ АЛЛ 1Л & C1TI Н -
л tUi3 U, ^ "^^ DILI \J, „ —- 5 о^ f
дх г v ду г дх х* _|_ у* г
50 " х х , cos 0
д _ д дг д дВ _ fl д _ sin 0 _д_
~дх~ ~ ~д7~дх~ + 'Ш~дТ~ cosb дг г бб'
д _ д дг д dQ _ . fl _д_ СОЗ 0 _5_
~dj ~~д7 ~Щ~ + 9" ~ду~ ~ sin и <дг + г ~5ё'
д2 д д I с, д sin 9 д \ I а д , sin 9 д
—s- = -— -~ == COS 6 -^ ^q- COS 6
gx2 дх дх \ дг г dQ jy дг
sin 9 д \
C.9д)
134 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК ' [ГЛ. 3
д- . „ q д2 . 2 г, ( 1 д1 д
sln е + cos 9 Н
= sln
ду ду
. „ q д . 2 г, ( 1
sln е —Г + cos 9 —
д2 \ г
дх ду I q^ г дг г дд
\ i
, л • , П\ / 1 9г id
^ e - sm2 e)\-.— - — -
"Порядок применения нескольких _операций дифференцирова-
дифференцирования, разумеется, не имеет значения, а отсюда не имеет значения
и порядок применения операторов, включающих в себя только
операции дифференцирования. В общем случае порядок примене-
применения операторов, которые, кроме операций взятия производных,
содержат иные операции (например, оператор V2 в цилиндриче-
цилиндрических координатах содержит коэффициенты 1/г и 1/г2), очень ва-
важен, и следует строго соблюдать порядок применения операторов.
Д'ак, например, Шдг)[A/г)д/дг], очевидно-, не то же самое; что
.[(i/r)d/dr](d/dr). Исключением из этого правила.является случай,
когда все операторы имеют эквиваленты в иных системах коор-
динат^ содержащие-только операцию взятия производных; тогда
порядок приложения не имеет значения даже тогда, когда опе-
операторы содержат и другие операции. Например, так как опера-
оператор (д/дх){д1ду) эквивалентен (д/ду) (д/дх), то его эквивалент
[cos G д/дг — (sin Q/r)d/dQ][sin G д/дг + (cos Q/r)d/dQ] остается неиз-
неизменным (что- легко проверяется) и при изменении порядка диф-
дифференцирования, хотя в иных случаях это не очевидно."
Используя соотношения C.86) и C.9д), а также равенство
sin20 + eos2G = 1, найдем
дх ""
дх " .ду ^ dz
I й д sin 9 д \ . „ ¦ а\
= 008 0-^- —-^g- (urcosG — u0sinG)
COS 8 .
дг
C.9e)
3.1] ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ • 135
Аналогично первое из уравнений C.8) приводится к виду
ur cos G —
( Г/ ди
COS
Подобным же образом преобразовав второе из уравнений C.8),
умножив первое из этих "уравнений на cos G ~ второе — на sin G и
сложив их, а затем умножив первое из уравнений на sinG, а вто-
второе — на cos В и вычтя из первого уравнения второе, получим два
уравнения, которые вместе с третьим из уравнений C.8) образуют
три основных уравнения теории упругОсти^в цилиндрических коор-
координатах: ¦ ' "
Соотношения C.76) между напряжениями и перемещениями
также преобразуются к виду ' _ ¦ .
( i д"г , диА Е - /^Цг, НУ
I г Г + ТГр °rz - 2.(l + v)\ir+ № j-
Как легко проверить, соотношения C.7в) применимы также
и в случае цилиндрических координат.
Осесимметричный случав. Если тело или нагрузка симмет-
симметричны относительно оси z, то можно с уверенностью предполо-
предположить, что возникающие- напряжения и деформации также сим-
симметричны относительно этой оси, за исключением, по-видимому,
¦ задач устойчивости и колебаний, которые" здесь не будут рас-;
сматриваться. Вследствие осевой симметрии окружное перемеще-
перемещение в»- можно положить равным нулю, .кроме того, имеем дит/д% =
136 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК ' [ГЛ. 3
= duz/dQ — 0. Тогда основные уравнения C.9ж) и соотношения
C.9з), связывающие напряжения и перемещения, приводятся к
виду *¦
+ ? - ? = 0, V*uz + _J_ | = 0,. C.10а)
где .
Qj2 г дг q^ ' дг г dz
Е (диг уе
Е (dUz ¦ W ^ - Е Г-ё + 4^1 C-106)
Огв = oez = 0.
Последние равенства подтверждают упомянутый выше вывод
о том, что касательные напряжения на плоскостях'симметрии (в
данном случае любой плоскости, проходящей через ось z) равны
нулю. Физический смысл важного члена и,1г в выражении для
0е очевиден: если увеличивать радиуе на перемещение иг, то дли-
длина окружности увеличивается от 2яг до 2nr(r + uf), вызывая
окружные деформации [2я(г + иг) — 2яг1/Bяг) = ujr.
Следует отметить, что в осесимметричном случае не обяза-
_ тельно равны нулю все производные по 0. Например, очевидно,
что duJdQ не равно/нулю; действительно, так как в общем слу-
случае имеем их = ит cos G — ив sin 0, то для данного случая получаем
duJdQ = — ur sin 0. Это следует помнить, проводя преобразование
непосредственно к осесимметричному случаю в прямоугольной
системе координат.
Так же, как и записанные в прямоугольной системе коорди-
координат соотношения C.8г) и т. п., можно получить простые решения
в цилиндрических координатах с.линейной зависимостью от на-
напряжений, которые важны пр^ получении решений для осесим-
метричного случая:
иг = A — v)-^r, uz = — 2v-^z, ar = aQ = s, C.4Ов)
ur = (l —v)-|rrz, uz= — -|-( ~v r2 + vz2y or = o& = sz,
(З.Юг)
где s — постоянная величина; не представленные напряжения
считаются равными нулю.
Общие решения уравнений теории упругости в цилиндриче-
цилиндрических координатах. В таблице 3.1а представлены соответственно
пронумерованные решения таблицы 3.1 в цилиндрических коор-
координатах, полученные описанным выше способом. Остальные ре-
§3.1]
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
137
шения, фигурирующие в таблице 3.1, содержат функции sin 6 или
cos 6 в выражениях для перемещений и напряжений при переходе
Таблица 3.1а
Некоторые
N
"г
"е-
1
_1_*|>
г дв
~~дТ
0
где У2|ф(г,
решения уравнении C.9 ж)
4
дг
1 d^j)
7?
&Ф
dz
9, *) =
7
5г
z dl|)
- /• с^9
Л|> _
г dz
-уф
10
г дг
0
+ 2Н
= 0, V2q>(r, 9, 2) =
11 | 14
т ^Э
z"d7~
dz
d^
de
52Ф
dzdr
1 д\
г двдг
д\
dz2
0, Л. = 2A -v)
15
52Ф -
drd9
г дв
dw
дг
1 d\
г dB2~
— Л-rV ш
д ф
59 dz
1 »
д\
dzdr
r d9dz
. d ф |
дгдв
+ 71
д\
к цилиндрическим, координатам, что делает их менее удобными
и общими, чем те, что представлены в таблице 3.1а.
Общие решения теории упругости для осесимметричного слу-
случая. Для осесимметричного случая имеют место только переме-
перемещения ит и иг, функции ф = ij?(r, z) и ф = ф(г, z) не зависят от в,
поэтому все члены приведенных в таблице 3.1а решений, которые
содержат производные дф/д0"шш 5ф/сЮ, обращаются в нуль. Одна-
Однако ^решения 4, 7, 10, 14 и 18 удовлетворяют уравнениям теории
упругости C.10а) для осесимметричного случая, если выражения
для иг и иг взять в форме, представленной в таблице 3.1а; пере-
перемещение и» в этом случае, разумеется, равно нулю, так как
V2!|)(r, z) = 0 И У4ф(г, Z) =0.
138 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ ВАЛОК [ГЛ. 3
Принцип Сен-Венана. Прежде чем перейти к рассмотрению
следующего случая, следует вспомнить очень важное обобщение,
касающееся влияния определенного типа нагрузок на распреде-
распределение упругих напряжений, которые являются очень полезными
при оценке порядка ошибки, которая вносится при некоторых
определенного вида упрощениях. Принцип Сен-Венана', -сформу-
-сформулированный известным ученым и инженером, жившим в девят-
девятнадцатом веке, утверждает, что если'система цагрузок, приложен-
приложенная на малой области упругого тела, заменяется статически экви-
эквивалентной аналогично приложенной системой, то влияние возни-
возникающих в теле напряжений будет носить локальный характер,
становясь пренебрежимо малым уже на расстояниях от области
приложения, сопоставимых с размером этой области; отсюда сле-
следует, что если система нагрузок является самоуравновёшенной, то
её можно заменить нулем и тем самым она может быть либо снята,
либо приложена, вызывая при этом только локальные изменения
распределения напряжений.
Формулировка, которая является более строгой и позволяет
избежать или застраховаться от некоторых довольно экзотиче-
экзотических классов исключений^ состоит в следующем1); «Самоуравно-
«Самоуравновешенная система нагрузок, приложенная к малой области одно-
однородного упругого~тела, обычно воспринимается-главным образом
материалом, примыкающим к этой области, возникающие при этом
напряжения быстро затухают при удалении .от этой области и
становятся пренебрежимо малыми на расстояниях, больших по
сравнению с размерами области нагружещш, сказанное можно
предполагать с уверенностью, если только форма не такова, что
очевидным образом позволяет, поддерживать напряженное сос-
состояние ив более отдаленной части материала. С теми же самыми
оговорками можно сказать, что если система сил с неуравновешен-
неуравновешенными силовыми компонентами (как показал Р. Мизес2), это не
всегда справедливо для неуравновешенных моментов) уравнове-"
шивается сравнительно далеко" отстоящими силами, то ее тиожно
заменить статически эквивалентной системой, причем силы в
системах будут иметь одинаковый порядок величины и интен-
интенсивности и приложены к той же самой малой области тела3).
') Donnell 1. Н. About Seint-Venant's principle.— J. Appl. Mech.
Trass. ASME, Ser. E, 1962, v. 84, pp. 752—753.
2) M i s e s R. On Saint-Venant principle.— Bull. Amer. Math, Soc, 1945,
v. 51, pp. 555—562.
. 3) Если к области с максимальным размером s прикладывается си-
система /, котарая уравновешивается силами; приложенными на больших по
сравнению с s расстояниях, то добавление уравновешенной системы F,
приложенной к некоторой области, обычно не изменяет заметно напряже-
напряжений наибольших по сравнению с s расстояниях от области приложения
нагрузки. Однако даже уравновешенная система вызывает некоторое на-
напряжение в конечном теле, и если не наложить ограничения на величину
силы F по сравнению с силами /, то всегда можно определить такие си-
§ 3.2]
ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
139
напряжения на расстояниях, больших по сравнению с размерами
области приложения нагрузки, не будут значительно изменяться».
На рис. 3.6 представлены две иллюстрации принципа Сён-Ве-
нана, взятые из хорошо известных в теории упругости решений,
Радиалшаз сжимающее напряжение <зл>
радное кольцевому растяаиёающему напряжению
Отв.ервтие
в пластине
Сферическая палаало
в сплошном твердом теле '
0-J
Рис. з:б.
которые служат примером количественной характеристики этого
принципа. На рис. 3.6, а, демонстрирующем известное решение
Ляме для толстых колец, нагруженных внутренним давлением
(см. выражение E.79д) в § 5.4), показана самоуравновешенная
система сил, состоящая из равномерно распределенного давления
р, приложенного по внутренней поверхности, кругового отверстия
в бесконечной трубе. В дальнейшем будет показано, что окруж-
окружные и радиальные напряжения (речь идет только о напряжениях,'
вызываемых давлением р) изменяются от р на границе области
обратно пропорционально квадрату расстояния до центра отверс-
отверстия и уменьшаются до величины 1/9 на расстоянии от границы
области, равном ее главному размеру, т. е. диаметру. На рис. 3.6, б
показана сферическая полость в бесконечном теле; в этом случае
напряжения изменяются обратно пропорционально кубу расстоя-
расстояния. Эти результаты типичны для дву- и трехмерных случае*.
Другие иллюстрации к-"этому принципу будут даны в § 3.4 и 5.3.
§ 3.2. Двумерная теория упругости
С уже упоминавшимися ограничениями перемещения и напря-
напряжения, удовлетворяющие уравнениям C.8) и C.76), а также гра-
граничным условиям, являются точными решениями, постольку,
лы F, которые создадут напряжения той же или большей величины, чем те,
что создаются'системой сил / на любом расстоянии от области приложения.
Явление, изученное Е. Штернбергом и Р. Эйбенксом (S t е г п Ь е г g E.,
Eu banks R. A. On the concept of concentrated loads and an extension of
¦ the uniqueness theorem in the linear theory of elasticity.— J. Rat. Mech. Analy-
Analysis, 1955, v. 4, № 1, pp. 135—168), заключается в том, что различного вида
особые точки, эквивалентные в том смысле, что они представляют одну и
ту же сосредоточенную нагрузку, могут создавать в конечной .области раз^
личные системы напряжений, представляя пример этого класса, в котором
система сил F становится очень .большой при стремлении размеров обла-
области к нулю."
140 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ ВАЛОК [ГЛ. 3
поскольку может считаться точной линейная теория сплош-
сплошной среды. Подобные решения трехмерной теории упругости
не легко получать. Во многих практических задачах напряжения
большей частью или полностью являются двумерными, и тогда
может быть использована упрощенная теория, в которой условия
равновесия или сплошности удовлетворяются только для двух на-
направлений. Имеется два типа практических задач, в которых мож-
можно допустить такие двумерные состояния. Первый тип представ-
представляет собой тонкий плоский лист со свободными от нагрузки по-
поверхностями при краевых нагрузках, которые действуют в плос-
плоскости ху срединной поверхности и равномерно распределены по
толщине. Ко второму типу относится случай длинного цилиндри-
цилиндрического тела с нагрузками, приложенными к его поверхности в
плоскостях поперечных сечений и равномерно распределенными
по длинен-тонкий слой, расположенный между двумя соседними
поперечными сечениями, находится в условиях, аналогичных воз-
возникающим в тонком листе из первого типа, за исключением того,
что в общем случае здесь на поверхностях могут возникать нор-
нормальные напряжения.
Плоское напряженное состояние. В первом случае тонкого
листа предполагалось, что напряжения ах, ov и аад (которые, ра-
разумеется, распределены равномерно по толщине краев) повсюду
в листе распределены равномерно по толщине и что напряжения аг,
Охг и aVz (которые, разумеется, равны нулю на поверхностях) рав-
равны нулю повсюду в листе. Этот случай называется плоским напря-
напряженным состоянием.
Некоторое представление о физических условиях, которые
определяют, насколько будет аккуратным это предположение в
каком-либо частном случае, можно получить из следующего обсуж-
обсуждения. В общем случае в поперечном направлении будут возни-
возникать Деформации ег, что обусловлено главным образом влиянием^
коэффициента Пуассона при возникновении напряжений ах и ау.
Если деформации ег равны' нулю и постоянны по всему листу,
так что как внешние, так и остальные поверхности, параллельные
срединной поверхности, остаются плоскими, то нетрудно увидеть,
что если удовлетворяются уравнения равновесия и условия
сплошности в направлениях осей х и z/, то уравнения равновесия
и условия сплошности можно удовлетворить и в направлении оси
z, если напряжения аг, а« и оуг равны нулю, а напряжения ах, оу
и dxy равномерно распределены по толщине, как и было предпо-
предположено ранее; ниже будет показано, что в подобном случае это
предположение представляет собой точное решение трехмерной
задачи.
Однако, как правило, деформации ег, а отсюда и изменения их
не будут постоянными по толщине, а будут изменяться некото-
некоторым нелинейным образом в листе, как.это изображается в утри-
утрированном виде штриховыми линиями на рис. 3.7, а. Можно ви-
§ 3.2] ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 141
деть, что первоначально плоскоа поперечное сечение, подобное
АВ, не может оставаться плоским, как это показано, так как оно
будет пересекать внешние поверхности под углами, отличными от
прямых, и поэтому на поверхностях возникнут деформации е« и
sVz. Так как напряжения ахг и ayz, а отсюда и деформации ежг и
гуг равны нулю на ненагруженных поверхностях, поперечные се-
сечения должны в действительности становиться искривленными
подобно CD, с тем чтобы пересекать поверхности под прямыми.
' A
i
I
I
С
P/—
/
1
\
' E
xi-'
i
В
ю
Рис. 3.7.
углами. Эта кривизна поперечных сечений должна изменяться
вдоль листа со скоростью изменения толщины, а соответственно
расстояния типа ОР и СЕ, которые первоначально были равными,
в общем случае больше не будут равными, и деформации гх уже
пе будут одинаковыми в срединной и на внешних поверхностях.
Деформации ех, е„, е*у и напряжения а*, а„, Ощ, будут изменяться
по толщине, что, возможно, будет сопровождаться возникновением
напряжений az, a« и ауг во внутренних областях листа, которые
не учитываются в теории плоского напряженного состояния.
Ошибка, которая связана с этим пренебрежением, будет ма-
мала, если коэффициент Пуаесона материала очень мал (как в слу-
случае некоторых пористых материалов), так что изменение толщи-
толщины будет очень мило. Ошибки будут малы й в случае других'
материалов, если расстояния в плоскости полосы, на которых на-
напряжения ах и ау изменяются на величину порядка 100%, вели-
велики по сравнению с ее толщиной, так как в этом случае толщина
будет изменяться постепенно. В случаях концентрации напряже-
напряжения в окрестностях отверстия, надреза или других разрывов, име-
имеющих размеры, сопоставимые с толщиной, ошибка будет уже
существенной.
Если толщина изменяется линейно в зависимости от х~ж у,
так что поверхность, первоначально параллельная срединной по-
поверхности, остается плоской, как показано на рис. 3.7, б, то попе-
поперечные сечения приобретают форму круговых арок, которые пе-
пересекаются со всеми поверхностями под прямыми углами, а рас-
расстояния типа О'Р'\я С'Е' могут оставаться неизменными. Так,
можно показать, что решение в этом случае будет также точным
трехмерным решением, независимо от того, как велика толщина,
142 . . УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛ0К [ГЛ. 3
при условии, что деформация гг равна нулю или постоянна,' или
же изменяется по линейному закону вдо^ь листа, так что внеш-
внешние его" поверхности остаются плоскими. Однако отсюда не сле-
следует, что это — единственный тип точного решения для пластин
с ненагруженными поверхностями; как будет показано в § 5.4, '
возможны и другие типы точных решений."
^Требующееся, согласно принципу Сен-Венана, равномернее
распределение усилий, приложенных на краях, можно заменить
. произвольным распределением, которое было бы статически
эквивалентным исходному на каждом элементарном участке края, .
что не оказало бы значительного влияния на распределение на-
напряжений, за исключением узкой зоны, ширина которой равна
толщине; если потребуется, то в этой зоне можно ввести локаль-
локальные поправки, подобные тем, что обсуждались в § 3.4.
Плоское напряженное состояние. По тем же причина», что
и обсужденные выше, решения будут точными, если на поверхно-
поверхностях имеются такие напряжения аг, которые делают деформацию
ег равной нулю, равномерно распределенной или же линейно из-
изменяющейся по х и у. В этом случае" так как поверхности боль-
большинства аналогично нагруженных листов остаются плоскими,
то их можно, было бы состыковать вместе и образовать таким об-
• разом длинное цилиндрическое тело, на которое действуют при-
приложенные по его поверхности и лежащие в плоскостях попереч-
поперечных сечений нагрузки, равномерно распределенные вдоль направ-
направления z; полосы скрепляются вместе, и напряжения аг образуют
пары действие — противодействие на соединяемых поверхностях,
так что на крайних поперечных сечениях следует -приложить
только внешние нагрузки, эквивалентные напряжению az. Если
при преобладающем влиянии особенных граничных условий наг-
нагрузки на концевых сечениях имеют различное, но статически
эквивалентное распределение, то, согласно принципу Сен-Венана,
это не будет иметь существенного влияния нигде, за исключением
краевых зон, имеющих протяженность порядка величины разме-
- ров поперечных сечений.
. Более того, если деформация «« не равна нулю, то ее можно
сделать равной нулю наложением задаваемых уравнениями C.18)
в § 3.3 условий нагружения, состоящих только из линейно изме-
изменяющихся напряжений az, приложенных к каждому концевому
сечению;- эта нагрузка создает только. линейно изменяющееся
напряжение az во всех поперечных течениях, которое затем мож-
можно вычесть из другого найденного напряжения oz. Следовательно,
никакой потери общности не произойдет, если ограничиться слу-
случаем, когда *z — 0; этот случай называется плоским деформиро-
деформированным состоянием. . /
Соотношения между напряжениями я деформациями при
плоских напряженном и деформированном состояниях. Для слу-
случая плоского 'напряженного состояния, положив в соотношении
g 3.2] ¦ ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ . 143
C.5) напряжения сг, о\г и ауг равными нулю, найдем
е« =-g-(ах — voy), еЬ-=-д{оу — \ох), гг = — -^ (ах + а„),
¦ _ 2A +у) \ ~ C.11a)
или, разрешив первые два. соотношения относительно напряже-
напряжений Ох И Су,
__ Е ( __ ' Е , . -
ах - i _ а Ле* + vev)' av - ¦ . _ 2 ^ег/ + ve*b
ГЯ11б^
Поперечная деформация для решения двумерных задач теории
упругости" не требуется, но полезна для проверки, не является
ли двумерное решение точным; из приведенной выше дискуссии
следует, что решение для плоского напряженного состояния бу-
будет точным, если сумма сх + ау является линейной функцией от
х и у. Поперечная деформация используется, также для экспери;
ментального определения суммы двух.главных напряжений путем
замера изменений толщины, после чего в сочетании с результата-
результатами, получаемыми с помощью фотоупругости измерений, из кото-
которых определяют разницу между главными напряжениями, мож-
можно подсчитать главные напряжения. * -
Для случая плоского деформированного состояния, положив
в соотношениях C.5) деформацию ег равной нулю и исключив
с помощью третьего соотношения из первых двух соотношений
сг, можно деформации еж, еи и ЪхУ представите в следующей фор-
форме (деформации гхг, еуг и напряжения oxz, оуг будут в этом слу-
случае равны нулю):- ¦ /
(З.Иг)
Видно, что соотношения (З.Нг) совпадают с C.11а), получен-
пыми для плоского напряженного состояния, за исключением
того* что вместо- модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона v под-
подставляются соответственно Е/A — v2) и v/(l — v); для коэффици-
коэффициента Пуассона, величина которого для большинства инженерных
материалов составляет примерно 0,3, указанные модифицирован-
модифицированные постоянные будут соответственно выше примерно на 10%
и 40%,
Точные решения двумерной задачи. На основе интуитивных
рассуждений было установлено, что'решения для двумернбго слу-
144 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛ^К - [ГЛ. 3
(
чая являются точными трехмерными решениями, когда деформа-
деформация ъг линейно изменяется в зависимости, от х и у, скажем, в ви-
виде гг = ах + Ъу +с, где а, Ь, с — постоянные. Для того чтобы
решение стало двумерным, нужно, чтобы выполнялись следующие
равенства: а» = огу = 0 и dajdz — dav/dz = dojdz =daxy/dz = О,
т. е. напряжения должны быть функциями только от х и у или
равны нулю.
Этим условиям, а также точным условиям теории упругости
C.8) и C.76) можно удовлетворить различными способами. На-
пример, путем подстановки можно проверить, что все они удов-
удовлетворяются, если взять
Е Jhj> . „, v 2 Е дг|?
, uz = — v (ax + by + c) z,
1 + v
откуда, используя соотношения C.76), получим
где
У2-ф = A + v)(ax + bt/) - A - v)c.
Так как az = оя = ауг = 0, то решения C.12а) являются реше-
решениями для плоского напряженного состояния. Функция вида
ф = ty(x, у) аналогична той, которую традиционно называют функ-
функцией напряжения, хотя столь же логично ее было бы называть
функцией перемещения. В любом случае это есть функция, кото-
которая определяет напряжения и перемещения через соотношения
типа C.12а).
С помощью последнего из соотношений C.12а) функция может
представляться довольно широким классом функций, куда вхо- .
дят все гармонические функции плюс-большое количество допол-
дополнительных функций, так как коэффициенты а, Ь, с могут прини-
принимать любые значения, включая нуль, однако их класс гораздо
более ограничен, чем класс бигармонических функций. Таким
образом, выражения C.12а) можно применять к большому диапа-
диапазону физических задач, которые, вероятно, включают в себя^все
те задачи о плоском напряженном состоянии, для которых воз-
возможно получение таких простых решений. Ниже будут построены
§ 3.2] ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 145
приближенные решения для более многочисленных задач о плос-
плоском напряженном состоянии, для которых найти такие простыв
точные решения не представляется лозможным.
Для частного случая, когда коэффициенты а, Ь, с равны ну-
нулю, выражения C.12в) принимают вид
Е ''_ дЦ Е _ dip
(i + v) Ux-^~dT> (i + v) иу---~дГ'
- *Ч (ЗЛ2б)
uz — и, ах
г2) °утт»
ау ах
Tdf'az==Oxz=ayz = liz = 0i C.12в)
где V2i|) (х, г/) = 0.
Так как здесь аг = вг = 0, то это несколько более ограничен-
ограниченное решение удовлетворяет уравнениям как для плоского напря-
напряженного; так и для плоского деформированного состояний,
и в этом случае соотношения C.11а) и (З.Иг) между напряжени-
напряжениями и деформациями совпадают.
Решения, подобные описанным, отыскиваются^; помощью ме-
метода проб и ошибок. После того как найдены перспективные фор-
формы выражений для перемещений, можно, разумеется, отыскать
подходящие числовые коэффициенты, обозначив их соответствую-
соответствующими индексами, подставив выражения для перемещений в соот-
соответствующие уравнения и решив получившиеся уравнения отно-
относительно коэффициентов. Поиск может быть упрощен и система-
систематизирован также и численным путем. Так, применяя оператор
d/dz к первым четырем уравнениям C.7а) и используя условие
dajdz = dajdz — дОху/dz = dajdz-— 0, найдем, что dzujdxdz =
= дгиу/ду dz = dzuz/dzz = 0 и dzujdy dz = —dzuv/dzdx. Используя
условия аХ1 = Оуг — 0, из последних двух уравнений C.7а) най-
найдем, что dUy/dz = — dujdy и dujdz — —duz/dx. Применяя опера-
операторы д/дх и д/ду к этим двум последним соотношениям, из этих
и ранее найденных соотношений легко получить, что дгиг/дхг =
=d2uz/dy2 = д2иг/дх ду = d2njdy dz •= d2ujdz дх = 0. С помощью
полученных соотношений нетрудно показать, что первое из основ-
основных уравнений C.8) можно записать в форме
= -2va, (ЗЛ2Г)
второе уравнение имеет тот же вид, за исключением взаимной
перестановки х и у, а и Ь, третье уравнение удовлетворяется тож-
тождественно. Таким образом, основные уравнения упрощаются и сво-
сводятся к двум уравнениям относительно пх и щ.
If) Л. Г. Доннелл
146 ' УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БА^бк [ГЛ. 3
Если ослабить условие az = 0, то можну получить более общие,.
решения следующего вида:
Е 53ш "
ду3 />У 2(lfv)
д ш •-,> dw bz
l + v у дх3 дх 2(l + v) '
Еиг = (аж + Ьг/ + с) z, -
откуда, используя уравнение C.76), находим
у {ах + Ъу + с) ' #V . v(az + by + с)
v)(l-2v) ' U« дз?ду "I". (l + v)(l-2v)
. , A - у) (ад + Ъу + с) .
"f (l + v)(l —2v) '
" C.13a)
где
"Здесь с'—независимая постоянная величина. Отсюда можно пе-
перейти к случаю плоского деформированного состояния ег =
=^dujdz = 0, положив а = Ь = с = 0. Следовательно, для плоского
деформированного состояния имеем
Е д3а> _, дер Е - -
Ux = -—;; VV —: , , , __ Мц =
uz = ег = О,
5a; 9i/ дх ду *
C.136)
где V^(-a;, у) = с'.
В этом решении функцию (fix, у) можно представить как про-
произвольное решение в виде бигармонической функции, удовлет-
ввряющей всем задачам для плоского деформированного состоя-
состояния. Более того, как уже обсуждалось выше, нетрудно показать,
что более общее решение C.13а) в действительности представля-
представляет собой наложение решения C.136) для плоского напряженного
состояния и простых решений, которые будут рассмотрены ниже,
главным" образом для случая цилиндра с ненагруженной боковой
поверхностью и с одним' и тем же линейно изменяющим-
§ 3.2] Двумерная теория упругости . 147
ся нормальным напряжением C:18) аг = ах + Ъу + с% действую-
действующим во всех поперечнике сечениях, включая концевые сечения.
Отсюда следует, что ограйичение решением C.136) для более про-
простого плоского деформированного состояния не влечет потери
общности. \ . . . -
Приближенное общее решение для плоского напряженного
состояния. Для исследования найряжений в балке прямоугольного
поперечного сечения, которая нагружена по верхней' и нижней,
поверхностям или торцам, но имеет свободные от нагрузок боко-
боковые поверхности или грани, необходимо получить решение для
плоского напряженного состояния, а большинство представляю-
представляющих интерес случаев не охватывается точными решениями
C.12а) — C.12в). Для того чтобы получить приближенное (но бо-
более, точное, чем в рамках классической теории балок) общее ре-
решение для плоского напряженного состояния, начнем с предпо-
предположения, что az = aXz = OyZ = 0. Тогда при равных нулю объемных
силах в .направлении оси z третье уравнение равновесия системы
C.4) удовлетворяется тождественно, а первые два принимают вид
-i^L+JfsL+fl^o/ $L+^ + Bw=0. C.14а,
дх i- ду • ' -*' ду дх у > }
v
Уравнения равновесия C.14а), соотношения <C.11б) и C.6)
соответственно между напряжениями и деформациями, а также
доформациями и перемещениями являются основными соотноше-
ниями теории плоского напряженного состояния. Подставляя
в соотношения C.116) выражения C.6) для деформаций через
перемещения, получим
Эти выражения можно также найти из соотношений C.76), ~
положив о, = 0 в третьем соотношении, исключив dujdz из этих
соотношений, найдя выражение для е: е = [A — 2v)/(l — v)] X
X (дих/дх + diiy/dy), и подставив это выражение в первые два^со-
отношения. ' ¦ ~ •
Подставив выражения C.146) в уравнения C.14а); получим
два основных уравнения для двух перемещений'и» и щ:
C.14в)
10*
148 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛ0К [ГЛ. 3 ,
Этим уравнениям можно удовлетворить7 несколькими путями.
Обсуждаемый ниже путь является таким/же простым, как и лю-
любое общее решение. Как легко проверит^ подстановкой, при Вх =
=ВУ = 0 уравнения C.14в) будут удовлетворены, если, взять
„ д3ф <?3ф „ д3ф ч д3а> /о ... .
Еих = —^ v—^—-, Ещ=—\ v V' C.15а)
ду3. дх*ду у дх3 дх ду2
где V4qp(a;, у) —с, с — произвольная постоянная. Тогда из выра-
выражений C.146) получаем
•дх ду дх ду дх ду -I'tV)
СТг = 0.
Если имеются постоянные объемные силы Вх и Z?y, то нужно
к выражениям C.15а) для Еих и ?¦«„ добавить соответственно
\Byxy — Вх(х2 + \уг)/2 и \Вхху — Bv(y2 + vx2), а в выражениях
C.156) для ах и О;,.— соответственно Вкх и 5уг/. Для переменных
Вх и 5У можно получить частные решения уравнений C.14в), как
это описано ниже, применительно к уравнениям E.32), и сложить
с решениями C.15а) и C.156) однородных уравнений, получае-
получаемых приравниванием нулю правой части уравнений C.14в).
Перемещение пг обычно не является существенным в задачах
плоского напряженного состояния, но оно требуется для того, что-
чтобы полнее понять сделанные аппроксимации. Из выражений
C.11а) и C.156) имеем: ег = dujdz = — (V/E)(ax + oy) =
= (х/Е)У2д2<р/дхду, откуда Euz = -vzVzd2<p/dxdy + f(x, у). Если
предположить симметричность относительно срединной поверхно-
поверхности, так что перемещение uz будет равно нулю при z = 0, то бу-
будем иметь, что произвольная функция интегрирования fix, у)
равна нулю и Еиг = — \%Угд2ц>/дх ду. Тогда объемное расширение
равно е = [A — 2\)/Е]У*д\/дхду. Используя приведенные выше
выражения для их, иу, uz и е, найдем, что третье из точных урав-
уравнений C.8) трехмерной задачи удовлетворяется тождественно, но
левые части первых двух уравнений принимают вид V2d<p/di/ —
—vVzd3(p/dx2dy и Vidq>/dx — vV2d3<p/dxdyz и в общем случае будут
равны нулю только тогда, когда v = 0; аналогично удовлетворя-
удовлетворяются первые четыре выражения C.76) (включая важное условие
а! = 0), но последние имеют вид а*« = [— vz/2(l + \)]Угд*ф/дхгду
и о„2 = С— vz/2(l +х)]У2д3у/дхду2, а напряжения" а», и ауг будут
равны нулю также только при v = 0.
Таким образом, видим, что решения C.15а) и C.156) будут
точными, если материал имеет коэффициент Пуассона, равный
нулю. Для остальных материалов уравнения равновесия удовлет-
удовлетворяются, но условие сплошности и условие отсутствия каса-
касательных напряжений на поверхностях . балки выполняются
только приближенно. Ошибки пропорциональны выражениям
3.2] ДВУМЕРНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 149
рду и уЧ2д3у/дхду2, т. е. пропорциональны коэффици-
коэффициенту Пуассона v и скоростям изменения напряжений о», ау и о*,,
в направлениях осей х и у; все это находится в полном соответ-
соответствии с интуитивными доводами, выдвинутыми в начале этого
раздела. •
Если в выражениях C.15а) и C.156) для плоского напряжен-
напряженного состояния вместо модуля Е и коэффициента v подставить со-
соответственно Е/{1 — v2) и v/(l — v2), то выражения для напря-
напряжений ах, оу, Оху и перемещений их и- иу совпадут с такими же
выражениями* C.136) для случая плоского деформированного
случая. Но за исключением распределения напряжений н пере-
перемещений в направлении осей х и у, эти два случая совершенно
различны.
Другое решение уравнения C.14в) для случая равных нулю
объемных сил имеет вид
=_A_v)JJL_2JJL Ещ = A + v) J?s-t C.15b)
где V4<p = 0, откуда, используя выражение C.146), получаем
(зл5г)
v ; v . дх2ду
Это решение ¦ дает значительно более сложные выражения для
напряжений, но его преимущество в том, что производные имеют
более низкий порядок. Так как это решение удовлетворяет тем
же самым исходным соотношениям, то оно приводит к одинако-
одинаковым с.C.15а) и C.156) выражениям для перемещений и напря-
напряжений. Другое решение подобного типа можно получить взаим-
взаимной перестановкой х и у в обеих производных и в индексах вы-
выражений C.15в) и C.15г).
Традиционная теория упругости для плоского напряженного
состояния. Как можно легко проверить, уравнения равновесия
C.14а), не содержащие членов с объемными силами, будут удов-
удовлетворяться, если принять; что
д Ф д ф д ф /о л а \
^ ^ $ (ЗЛба)
где (fix, у) — функция, названная в честь ее автора функцией
напряжения Эри. Условия сплошности выполняются при удовле-
удовлетворении выражений C.6) между деформациями и непрерывными
перемещениями. Для случая плоского напряженного состояния
150 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ ВАЛОК [ГЛ. 3
можно исключить деформации, приравняв выражение C.6) для де-
деформаций через перемещения выражения, C.11а) для деформаций
через напряжения. С учетом выражений' для напряжений C.16а)
это дает¦
— v—^,. Е-^г— = —?- — v-
дх ду2 дх2 ' ду д0? ду
а2
ду ^ дх j^ -^^ ~> дхду-
Затем, исключив перемещения, применив операторы дг/ду2, д2/дх2
и —дг/дхду соответственно к .лервому, второму и третьему из
этих выражении и сложив их, получим
V4cp = O. ¦' C.16в)
Бели нужно получить перемещения, их можно найти, проин-
проинтегрировав первые два уравнения C.166) соответственно по i и
у, подставив получающиеся при этом выражения для их и щ
в третье уравнение и определив наиболее общий вид функций ин-
интегрирования, которые будут удовлетворяться ниже. Так как пе-
перемещения представляют интерес как ввиду их практической
важности, так и в связи с необходимостью удовлетворения гра-
граничных условий, обычно в дальнейшем будет, как правило, удоб-
удобнее использовать выражения C.15а) и C.156), которые, по су-
существу, совпадают с выражениями C.16а) и C.166), если на них
воздействовать оператором д2/дхду, что позволяет получить выра-
выражения для перемещений без операции интегрирования; естест-
естественно, они содержат те же самые аппроксимации и приводят
к тем же результатам.
Если функция ф удовлетворяет уравнению V2qp = 0, т. е. если
функция q> является как .гармонической, так и бигармонической,
то выражения (ЗЛба) и C.166) совпадают с C.126) и C.12в)
и являются точными решениями. В этом случае соотношение
0Я + 0„ = О имеет место также и для других решений C.15а)"
и C.156), C.15в) и C.15г) и аналогичных им для плоского напря-
напряженного состояния, и таким образом все эти решения являются,
точными решениями трехмерной задачи теории упругости. ' /
Общие точные и антисимметричные решения для пластин.
Кроме приведенных выше широко применяющихся приближен-
приближенных решений для плоского напряженного состояния, можно полу-
получить общие точные решения трехмерной теории упругости .для
пластин с ненагруженными поверхностями; сюда входят напря-
напряжения и перемещения, нелинейно распределенные вдоль оси z.
В добавление к рассмотренным до сих пор случаям, где нагрузки
были симметричными относительно срединной поверхности (мем-
(мембранный случай), аналогичные аппроксимации и точные реше-
решения могут быть получены для случаев антисимметричных отно-
§ 3.3] . ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . 151
сительно срединной поверхности нагрузок (случай изгиба). Так
как все эти типы решений особенно ролезны при удовлетворении
граничных условий для пластин при поперечном нагружении,
они будут обсуждены ниже в главе 5 (§ 5.4).
Большая точность явных решений обычно имеет небольшое,
значение до тех пор, пока в каждой точке границы удовлетворя-
удовлетворяются точные условия по напряжениям и перемещениям, а не те
интегральные граничные условия, включающие результирующие
напряжений или перемещений срединной поверхности,. которыми,
как правило, и ограничиваются. Этот вопрос обсуждается ниже
в § 5.5. ^
§ 3.3. Приложение теории упругости для плоского
напряженного состояния к задачам о балках
В последующем .-изложении переменная г/' заменяется на Z
с тем, чтобы не путать данный случай с. рассмотренным ранее
случаем балки. Тогда соотношения C.15а) и C.156) принимают
вид -
- v
д
Произвольная функция ф(аг, z), удовлетворяющая уравнению
<p = c представляет собой, если проинтегрировать- выражения
C.17), возможное плоское напряженное состояйие. Для того что-
бы представить решение частной физической задачи, необходимо
только (с учетом всего ранее сказанного относительно сингуляр-
сингулярных точек и многосвязных тел), чтобы были, удовлетворены гра-
граничные условия; т. е. напряжения или перемещения на поверхно-
поверхностях, образующих границы физического тела, должны иметь зна-
значения, соответствующие распределенным силам или перемещени-
перемещениям на этих границах в физической задаче. Универсального^
прямого пути получения функции ф не существует; это будет
делаться отдельно для каждого конкретного случая. Те решения,
которые были найдены к настоящему времени, получены, опробы-
ванием подходящих функций и использованием интуиции, с тек
чтобы с помощью и того,-и другого удовлетворить заданным гра-
граничным условиям. г *•
Общее решение уравнения V*q> = с можно взять в виде сум-
суммы: общего решения уравнения У4ф = 0, т. е. всех бигармониче-
152 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
ских функций, и частных решений, которые при подстановке
в оператор V4<p дают постоянную. Таких частных решений суще-
существует только три вида, это функции хк, хгъг и z4 с произвольны-
произвольными коэффициентами. Все три соответствуют равным нулю напря-
напряжениям о» и ог, а также постоянному значению ояг и отличаются
только перемещениями как жесткого тела; следовательно, можно
выбрать одну из этих функций, скажем x2z\ и не обращать вни-
внимания на две остальные. Таким образом, как видно, уравнение
V4<p = с можно заменить уравнением V4<p = 0, за исключением
случая присутствия постоянной компоненты напряжения о**,
когда можно сложить функцию x2z2, взятую с произвольным ко-
коэффициентом, с функцией ф и умножить коэффициент при ахг на
4/A + v) (так как с = V Vz2 = 8).
Решения в степенных рядах. Простейшими решениями уравне-
уравнения V4q> = 0 являются комбинации степенных рядов вида
ф = 22 cmxt>zi, C.17а)
где cPq — коэффициенты, которые нужно определить. В таблице
3.2 представлены удовлетворяющие выражениям C.17) различные
комбинации напряжений и перемещений, которые получены с по-'
мощью подобных степенных рядов для <р = <рт. Каждая из них,
представляемая одной строкой таблицы, может быть, разумеется,
умножена на произвольную постоянную, и получающиеся реше-
решения можно комбинировать любым необходимым образом.
Те члены ряда, для которых р + q < 4, не описывают напря-
напряженного состояния и дают самое большее только перемещения
как жесткого тела, поэтому они опускаются. Первым трем из
представленных решений (т = 1, 2, 3) соответствует р + q = 4,
следующим четырем р + q = 5, следующим четырем р + q = 6~
и последним четырем р + д = 7; таблицу можно было бы продол-
продолжать до бесконечности, но представленных решений достаточно
для исследования задач о балках прямоугольного поперечного се-
сечения как с нулевой, так и равномерно распределенной попереч-
поперечной нагрузкой. Два первых решения тождественно удовлетворяют
уравнению V4<p = 0, третье решение, как говорилось выше, удов-
удовлетворяет условию равенства выражения V4<p произвольной по-
постоянной. Все остальные члены степенных рядов нужно скомби-
скомбинировать таким образом, чтобы было выполнено условие V4<p = О,
указанное требование уменьшает число независимых решений
до четырех для каждого значения суммы р + q; можно было бы
отыскать и другие формы решений, но они представляли бы со-
собой простую комбинацию указанных четырех решений для каж-
каждого значения p + q.
Вид функций фт, из которых было получено это решение,
не требуется для приложений. Однако с целью проверки укажем
Таблица 3.2
Получаемые с помощью степенных рядов решения
для плоского напряженного состояния
m
1*
2*
3*
4*'
5*
6*
7*
8*
9*
10
11
12
13
14
15
X
Г
z
Z
-z2
z2 — х2
2xz
z3
2
2гз_зА
— х3
1
а;
z
х2
*2-z2
2xz
—3x2z
х3
-z3
1
2zz
2
— X
-z2
х*
z3
3xz2
3x z
_ Eux
X
— vx
A + v) z
'z2 +vx2
•2
2
XZ g X
(l + v)X
С 2 XS \
3
3
"J 2+V 3
j. г 3 г
xz -j- v^; г
B + v) 4
4
_A Ж2г2 _ Z. j.4
-x3z + B+v) xz%
Z4 Sv 2 2
T T "~
1+ 2v 4
4 •''
Euz
—vz
z
(l + v)x
xz
x2 + vz2
2
— vxz
2
A + -J.» .
(H-v)X
x(A-^)
.,2 2 + V r3
з
a;3 2
з VT~
B + v) 4-
4 *
3 X2Z?, vz4
2 4 _
X Z + VXZ
^4 + ilx2z2-
1 + 2v 4
4
+ B + v) a:3z
Звездочкой отмечено точное решение трехмерной задачи, так как сум-
сумма ах + оу линейна относительно х
н y.
154 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
ИХ ВИД
Ф, = xz*M, фз = -A + vW/<4v),
ф4 = (Ъх"г - z5)/120, / ф6 = (Ъхг13 - 2*)/60,
ф8=(л:5г-.гг5)/60, ф9 =X3a:5z - 10a:V + 3a:z5)/180,
Ф,„ = (I5x"z2 - 2хв - ze)/360, ф„ = Bа:7 - 21x5z2 + lxze)/UQ,
ф14.= (х> - 35Л4 + 14.rze)/840,
причем функции ср2, ф5, ф?, фи, ф1з, ф15 имеют тот же вид, чт<к
и соответственно ф1, ф4, фв, фю, Ф12, ф14 при взаимной перестанов-
перестановке х и z. -
К настоящему времени найдено большое количество других
типов функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа, т. е. гармо^
нических функций таких, как arctg (x/z), In ixz + z2), х/(хг + z2),
(x2 - z2)/-(x2 + z4, (a:4-6x2z2 + z4)/(a:2 + z2L, которые также удов-
удовлетворяют уравнению V4if> = 0. Как уже говорилось выше, для
получения бигармонических функций эти функции можно умно-
умножить на функции «.вида f — x,~f = z или / = х* + z2._
Решение в экспоненциальных функциях. Как уже говорилось
выше, решения могут быть получены путем разделения пере-
переменных и последующего построения аналитического решения.
Так, можно взять функцию ф как произведение неизвестной
функции qt z на экспоненциальную функцию от х или на функ-
функцию, которая может быть представлена с помощью экспоненци-
экспоненциальной функции, такую, как тригонометрическая или гиперболи-
гиперболическая функцш1! так как производные от всех этих функций
имеют ту же общую форму, что и исходная- функция. Неизвест-
Неизвестная функция от z -может быть, затем найдена путем решения
обыкновенного дифференциального уравнения, которое получает-
получается после сокращения на функцию от х.
Таким образом, взяв функцию от х в виде cos cmx, найдем,
что .уравнение V4<p = 0 удовлетворяется, если взять
Ф = 2 (cos <тхУс3т [(Ат - 2Dm) sh cmz + (Вт - 2С^) ch cmz +
+ Cmcmz sh cm z + Dmcmz ch cmz], C.176)
где cm, Am, Bm, Cm, Dm — произвольные постоянные (показанные
комбинации этих постоянных вводятся для упрощения выраже-
выражений для напряжений и перемещений). Все производные от функ-
функции ф имеют сходную «гиперболо-тригонометрическую» форму,
но с различными коэффициентами. В таблице, 3.3 представлены
эти коэффициенты в выражениях для перемещений и напряже-
напряжений, которые находятся из уравнений C.17). Если вместо функ-
функции cos cmx используется sincmo:, то в выражениях для напря-
напряжений и перемещений производится взаимная перестановка
sin cmx, и cos cmx и изменяются па противоположные знаки при
напряжениях. _
§ 3.3]
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
155
Если Ст = ТУт — 0, то решение трехмерной задачи теории уп-
упругости является точным, так как при этом ах + az = 0; т. е. ес-
если взять только два первых слагаемых в квадратных скобках
в выражении для функции ср, то ф "будет также решением урав-
уравнения V?((p = 0. Для того чтобы • получить решение для уравне-
уравнения Vecp = 0, можно к выражению, стоящему в квадратных
скобках, добавить даа слагаемых ?'m(cmzJsh cmz и Fm{cmzYch c^z,
Таблица 3.3"
•* -
Решения в риперболо-тригонометрических функциях
для плоекого. напряженного состояния
Eux
Еиг
Ох
*г
°xz
S()+
т
cos cmz
si& cmx
cmsin V
cmsfn cmx
cmcos стх
U )shcmz +
¦
(i+v)Am-2Dm
-вт-ст
вт-ст
Ат
( ) ch emz +
(l+vMm+
(l+v)Bm-2Cm
-Am-Dm
Am-Dm
Bm
XshTmzJ:.
(l+v)^m
d+v)Cm .
Dm
Cm . >
()CmZ x
Xch cmz]
d+v)Cm
d+v)Z>m
-Cm
Cm
Dn -
для уравнения Ve<p = 0 — еще два слагаемых, содержащих третью
степень от cmz, и т. д. (как уже говорилось 'ранее, для тех
же целей можно было бы использовать функции х и хг + гг, но,
как правило, это менее удобно). -
у
--X—
—
—1
1b.
Рис.
f
3.8.
*
Аналогичные решения могут быть получены подстановкой
e~cmz вместо sh cmz и e°mZ вместо ch cmz, или взаимной перестанов-
перестановкой х иг/, а также перестановкой тригонометрических и гипер-
гиперболических (или экспоненциальных) функций."
Приложение решений в степенных функциях. На рис. 3.8 по-
показано физическое толкование некоторых решений из табли-
таблицы 3.2. Первое решение (т = I1), очевидно, можно представить как
156 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
случай пластины, находящейся при равномерном растяжении
в горизонтальном направлении, как показано на рис. 3.8, а.
Для этого случая можно сделать вывод, что точное решение по-
получается без применения каких-либо математических выкладок,
так как, если пластину разбить на равные прямоугольные эле-
элементы, как это представлено на рисунке, и если на все эти эле-
элементы воздействовать одинаковым растягивающим напряжением
в направлении оси х, то они будут находиться в равновесии;
и так как они будут растягиваться на одну и ту же величину в
направлении действия напряжения и сожмутся на одну и ту же
величину в направлении, перпендикулярном действию напряже-
напряжения, то эти элементы будут оставаться по-прежнему точно по-
подогнанными друг к другу. Нетрудно видеть, что к такому же
заключению приходим и в случае произвольного стержня цилинд-
цилиндрической формы с горизонтальными образующими.
Точно так. же пятое решение (тп = 5) соответствует пласти-
пластине с горизонтально направленными напряжениями, постоянны-
постоянными в горизонтальном и линейно изменяющимися в вертикальном
направлениях. Если ось х лежит в горизонтальной срединной
плоскости прямоугольной пластины, то этот случай соответству-
соответствует чистому ,изгибу (рис. 3.8, б). Если ось х не проходит через
срединную плоскость, то можно считать, что на пластину дейст-
вует комбинация осевого нагружения и чистого изгиба (рис. 3.8, в).
Опять же, как видно из рисунка, нетрудно заключить, что
если пластину разбить на два равных прямоугольных элемента,
то допущение о линейном изменении напряжений ах на концах
приводит к постоянному значению напряжения ах во всех попе-
поперечных сечениях, удовлетворяет условию равновесия (за исклю-
исключением вертикальных компонент напряжений ах, обусловленных
кривизной, которые в рамках классической теории упругости по-
лагаютея бесконечно малыми) и условию плотной подгонки всех
элементов друг к другу; сказанное можно распространить на
любой стержень цилиндрической формы.
Обобщая сказанное, можно считать, что если на обоих кон-
концевых поперечных сечениях цилиндрического стержня действу-
действуют одинаковые линейно распределенные нормальные напряже-
напряжения, то во всех промежуточных поперечных сечениях будут воз-
возникать точно так же распределенные нормальные напряжения,,
и они будут единственными напряжениями. Более строго с по-
помощью выражений C.8в) и C.8д) подстановкой можно прове-
проверить, что для случая действия линейно распределенных напря-
напряжений oz решения вида
C.18)
Еих = — v \±- [х2 - д2 + ~ J + Ъху +
Еиу^= - v [-у [у* - х* + J-J + аху + сг/J,
§ 3.3]
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
157
Euz = (ах + Ьг/ + с) 2, ог = ах -f- Ьг/ + с,
аж = 0у = Оху = O"yz = O"a:z = 0
удовлетворяют точным уравнениям C.8) и C.76) для трехмер-
трехмерной задачи теории упругости; если стержень имеет цилиндриче-
цилиндрическую форму с образующими, параллельными оси 2, то на его бо-
боковой поверхности будет отсутствовать нагрузка, а на концевых
поперечных сечениях нагрузка будет изменяться по линейному
закону; аналогичное имеет место и для направлений вдоль
осей х и у.
Если тела, подобные показанным на рис. 3.8, о—3.8, в, явля-
являются длинными и тонкими и нагружены на концах неравномер-
неравномерно распределенными или линейно изменяющимися (но вместе
с тем статически эквивалентными тем, которые рассматрива-
рассматривались в теории изгиба балок) силами, то, согласно принципу Сен-
Венана, напряжения будут практически такими же, как и в опи-
описанном выше случае, за исключением примыкающих к концам
областей, длина которых имеет порядок толщины стержня.
Свободно опертая балка прямоугольного поперечного сече-
сечения при действии равномерно распределенной нагрузки. Так
как имеются другие случаи, в которых простые физические рас-
рассуждения, использовавшиеся выше, могут затруднить получение
I
f
a'
\
\
I
t"
\g
i
,7
*
4
1
/><sy-r
1,0
mm шлассич.)
0 ¦ г it 6 8 io
а/с
Рис. 3.9.
правильного решения, то обычно приходится прибегать к помо-
помощи математики. Хотя девять решений, приведенных в табли-
таблице 3.2, описывают каждое свою практическую задачу, подобную
той, что показана на рис. 3.9, а, можно составить из них необхо-
необходимую комбинацию. Для того чтобы проделывать это системати-
систематически, можно воспользоваться *гем, что известны распределен-
распределенные силы на' границах и решение по элементарной балочной
158 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
теории и заключить, что напряжение ах должно иметь слагаемые,
которые линейно изменяются по направлению z и нелинейно —
по х, напряжение az, по-видимому, постоянно в направлении х
и изменяется -по направлению z, в то время как напряжение а»,
по-видимому, линейно изменяется в направлении х и имеет ком-
компоненты, которые постоянны либо изменяются в зависимости
от z2. • -
Снова обращаясь к таблице 3.2, видим, что решения при
т = 2, 5, 7, 14 соответствуют указанным напряжениям, поэтому
допустим, что ф = С2ф2 + С5ф5 + С7ф7 + С14ф14. Тогда из таблицы
3.2 находим напряжения
ах = Cbz + Сы Bz3 - 3x*z), az = С2
Подставляя эти выражения в граничные условия при х = ± а:
с с . с __
J' oxdz = О, J oxz-dz = О, J axZdz = ± рва, при z — с: аг = о„ = О
—с —с -с " . .
и при z = — c: Oz = p0, ozx = 0, найдем, что должны быть удовлет-
ворены следующие пять уравнений:
= ро>
С2 + С,с - С14с3 = 0, С7 — ЗС14с2 = D, ?2 - С7с + С14с3 = - рв.
¦ •' . C.20)
Для удовлетворения пяти уравнений имеется только четыре
неизвестных, но неизвестных было бы пять, если принять верти-
вертикальную реакцию на концах в качестве этой неизвестной, тоща
было бы получено точное значение для этих "решений, так как
7>ёшения, приведенные в таблице 3.2, удовлетворяют уравнени-
уравнениям равновесият-В любом случае получаем, что уравнениям C.20)
можно удовлетворить следующими величинами коэффициентов:
" г - Р° Г - Зр° (п* 2с* ) Г -* Зр° Г - р»
-•C.21)'
Умножив эти коэффициенты на соответствуюпфш выражения
для напряжений и перемещений из таблицы 3.2 и сгруппировав
их (и добавив к иг постоянное по величине перемещение как
жесткого тела, с тем чтобы сделать перемещение иг равным ну-
нулю в середине (z = 0) концевых сечений х = ± а)г получим
Зр с 17 *« 2 + 5v 2 + у \ 2v 1
Еих = ~f-[(*a2 - ^Г * 5 + —Г~ z2j z + —J x,
Зрос Г/ 5а2-х2 ; 8 + 5v
^ ^» + g V
§ 3.3] ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕНнбЕ СОСТОЯНИЕ 159
5 + 2v 1 + 2v_' Л 2 _ _4i_]
I 3 I'
<3.22)
-(-2+ 3z-z3), о^ =
где z, х, а — безразмерные величины, равные z/c, х/с, ale.
Решение в рамках классической теории балок для этого слу-
случая дает такое же выражение для касательного напряжения ахг,
равное нулю повсюду напряжение аг и-заключенные между
звездочками части решений для нормального напряжения ах и
перемещений Еих и Еиг (за элементарное значение перемеще-
перемещения их берется то, которое соответствует повороту поперечного
сечения' относительно центральной оси, т. е. tcx = — zduz/dx).
Учитывая, что г может принимать значения от нуля до едини-
единицы, а х — от нуля до а, можно видеть, чтр дополнительные чле-
члены в решении C:22), согласно теории упругости, которыми пре-
пренебрегают в решениях по Классической теории балок~имеют ве-
величину порядка произведения 1/а2 на величину членов, которые
учитываются в классическом решении. Отношение а = а/с =
= 2а/Bс) является отношением длины балки к ее высоте и слу-
служит мерой ее удлинения. При а > 6 отбрасываемые в классиче-
классической теории члены имеют величину, составляющую всего не-
несколько процентов от величины оставленных членов, и для боль-
большинства . практических задач их можно не учитывать. Для а <
< 6, т. е. для коротких, массивных балок, классическое решение
может оказаться недостаточно хорошим, а для "величин а, близ-
близких к единице, т. е. для того случая, когда обычно чаще исполь-
используется т"ермип блок, а не балка", классическая теория балок-дает
для напряжений и перемещений полностью неправильные резуль-
результаты. На рис. 3.9, б дано сопоставление максимальных значений
ах, Ог и иг со значениями, следующими из классической теории
балок" для различных величин отношения а.
Это. решение, полученное из уравнений теории упругости,
само имеет органичение при описании практических физиче-
физических задач, состоящее главным образом в том, что при удовлет-
удовлетворении заданных условий да результирующие силы и моменты
на концах, действительное распределение сил по концам не та-
такое, какое можно было бы встретить в практической задаче; Из
выражений C.22) на концах При х — ± а имеем .
- о-ж=-§-Eг3-.32), C.22а)
а вертикальные. реакции создаются касательными напряжения-
напряжениями ахг, распределенными по параболическому закону по высоте
160 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
концевых поперечных сечений точно так же, как по высоте
внутренних поперечных сечений, что показано на рис. 3.9, а. Со-
Согласно принципу Сен-Венана силы, вызываемые еамоуравнове-
шенными напряжениями оя, можно отбросить, а силы, соответст-'
вующие напряжениям ахг, заменить более удобными для прак-
практического употребления реакциями типа сосредоточенных^ или
почти сосредоточенных сил, приложенных к нижним углам, при
этом условия изменяются незначительно, за исключением кон-
концевых зон, длина которых равна высоте 2с балки. В § 3.4 будут
построены поля локальных напряжений, которые будут уточ-
уточнять распределения напряжений в этих концевых зонах, и тогда
выражения C.22) с этими уточнениями дадут хорошую аппрок-
аппроксимацию для малых, равных единице или двум, значений па-
параметра а. Эти результаты иллюстрируют, а также являются са-
сами типичными случаями, когда напряжения и перемещения, по-
получаемые из элементарных классических теорий, отличаются от
более точных значений.
Балки прямоугольного поперечного сечения, нагруженные
концевыми изгибающими моментами и поперечными силами.
Этот случай балки со свободными от нагрузок сторонами и с
приложенными на концах изгибающими моментами и попереч-
поперечными силами Спри х = 0 и х = I имеем Мх = Mt = Мг; FXI =
= Шг — М{)/1) показан на рис. 2.12. Так~ же, как и в описан-
описанном выше случае, учитывая то,-что известны концевые условия
и классическое решение, предположим, что напряжение ах изме-
изменяется по линейному закону в зависимости от х, напряжение аг,
по-видимому, равно нулю, тогда как касательное напряжение
o*z, по-видимому, является постоянным в направлении оси х vs
изменяется в зависимости от z2 в направлении оси z. Этим тре-
требованиям удовлетворяют решения т = 3, 5, И из таблицы 3.2,
поэтому в качестве возможного выбираем решение в форме ц> =
С + С + С
Концевые условия имеют вид: при х = 0 имеем j сгж^г =0,
—с
о • с
J oxzdz = Мл и ' J aZxdz=(Mi—Mx)ll', при х = l имеем J oxdz=Ot
—с -с
с с
J axzdz = М2 и j Ozx dz == (М2—MJ/l; при z=±c имеем аг =
— с —с
= ахх = 0. Отсюда получаем четыре уравнения
сс-С с3) М*~М^ С-Сс*-0
Ь3С ^ц g I j ,; U3 I'll'- — «А
§ 3.3] ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ - 161
решениями которых будут
с»- Si ' 5~17~' "~" 4Л ' ( '
С помощью таблицы 3.2, прибавив (см. выражения C.6а)) по-
поворот 0„ как жесткого тела (т. е. прибавив 8,гк их- и — QyXKut),
выбранный таким образом, чтобы сделать перемещение иг рав-
равным нулю" при z = О, x = 0 и х = 1, получим следующие выраже-
выражения для напряжений и перемещений:
^ d-O,
C-25)
- B + v) z3 - Щ
~Ш
ГД Aх - х2 - vz2)} A = 11с).
Нетрудно проверить с помощью выражений B.5) и B.5а), что
выражения для напряжений совпадают с теми, что получаются
из классической теории балок, тогда как выражение для
Еиг при z = 0 совпадает с решением, получаемым из клас-
классической теории балок и обозначаемым через w в выражении
B.37), хотя вертикальное перемещение. точек, не лежащих в
срединной поверхности, содержит дополнительные члены, кото-
которые обусловлены деформациями поперечного сдвига и в класси-
классической теории балок не рассматриваются.
^Для того чтобы приведенные выше решения соответствовали
истине, изгибающие моменты и поперечные силы на концах бал-
балки должны прикладываться в виде распределенных нормальных
и поперечных сил, которые должны изменяться так же, как на-
напряжения во внутренних поперечных сечениях, получаемые по
классической теории.
В общем, все классические решения для балок, пластин и
оболочек предполагают, ч?о реакции на концах или краях при-
прикладываются в виде распределенных по параболическому закону
поперечных сил, а изгибающие моменты на концах или краях
прикладываются в виде распределенных по линейному закону
сил, подобных тем, нто возникают во внутренних сечениях. Эти
концевые распределения будут статически эквивалентны, дей-
действительным распределениям сил и изгибающих моментов, ка-
КИхМи бы они ни были, а отсюда, в соответствии с принципом
Сен-Венана, они мало будут влиять на напряжения и относи-
относительные перемещения, за исключением зон вблизи концов или
11 Л. Г. Доннелл
162 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК ' [ГЛ. 3.
краев, где распределения могут быть уточнены наложением по-
полей локальных напряжений так, как это будет сделано в следу-
следующем разделе.
Как уже обсуждалось в § 2.7, для т?ого чтобы получить ре-
решения для равномерно нагруженных балок с другими условиями
на концах, можно воспользоваться комбинацией» решений C.22)
и C.25), но, йак указывалось выше, .они будут удовлетворять
интегральным условиям- на концах. В частности, при рассмотрев
нии защемленных кондов будем иметь заданным горизонтальное
смещение их на концах, часть этого смещения нелинейна и,-сле-
и,-следовательно, искажает концевое поперечное сечение, при этом по-
получаются более точные значения прогибов • и напряжения на
концах, чем определяемое по классической теории банок; этот
вопрос будет обсуждаться в $ 3?4.
Решения уравнений теории упругости в гнперболо-тригоно-
метрических рядах. Рассмотрим представленный на рис. 3.9, в
случай бесконечно длинной балки высотой h = 2 с приложен-
приложенным по верхней поверхпости распределенным давлением, изме-
изменяющимся по циклическому закону с длиной, полуволны, равной
I. Поместив, как показапо на рисунке, начало координат на
' нижней поверхности, запишем граничные условия: ог = axz =¦= .0
при z = 0;
az — — ^^Рт s^n~j~ и axz = 0 при z = — h C.26)"
(#»= 1,2,3, ...)•
Подставляя в эти условия выражения для ах и а12 из таблицы
.3, получим,-что они будут удовлетворяться при * •
Ст = —г Вт=0, Ат = Dm = атрт/ст, Ст = утрт/ст, , C.27)
где
_ Хтsh К shV+^mch^m . . , ' \mnh
Затем подстановкой найденных значений Ат, Вт, Ст, Dm в выра-
выражения, приведеннные в таблице 3.3, моя^но получить напряже-
напряжения и перемещения.
Как уже обсуждалось в § 2.4, с помощью функции нагруже-
ния —2 Рт sin (mnx/1) можно представить любое распределение
т
нагрузки по верхней поверхности на интервале от х = 0 до х = I
(распределение на участке от х =* I до х — 21 антисимметрично
относительно точки х = I; если добавить ряд по функциям коси-
косинуса, образовав полный ряд Фурье, то можно воспроизвести лю-
любой вид распределения от х = 0 до х = 21). Соответствующие
§ 3.3J ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 163
коэффициенты рт можно найти из гармонического анализа, для
балки длиной I они примут выражения, совпадающие с B.11).
Нетрудно проверить, что напряжения, возникающие на концах
части балки, простирающейся от х = 0 до х = I, статически экви-
эквивалентны реактивным силам на концах балки со свободно опер-
опертыми концами. Если длина I велика по сравнению с высотой
h, то, согласно принципу Сен-Венана, знание точного распреде-
распределения напряжений вблизи шарнира важно только^ вблизи кон-
концов. Если I невелико па сравнению с h, то учет точного распре-
распределения концевых сил может оказаться важным, поэтому, для
того чтобы выполнить необходимое условие на концах, нужно
наложить на концы поля локальных напряжений подобно тому,
как это сделано в § 3.4.
Для бесконечной балки с циклически изменяющейся нагруз-
нагрузкой с длиной цикла, равной 2^ когда длина цикла становится,
малой по сравнению с h, напряжения все более сосредоточивают-
сосредоточиваются у нагруженной поверхности балки и в пределе становятся за-
заметными только в узком слое, имеющем глубину порядка I, вели-
величина этих напряжений легко находится с помощью выражений
C.32) и C.33), приводимых ниже. Этот случай более подробно
обсуждается в § 3.5 (рис. 3.21). ч
Решение в рядах по функциям нагружеиия. Упомянутые вы-
выше и не рассматриваемые в классической теории балок методы
определения перемещений и напряжений являютея довольно
трудными._ Другой тип решения, который особенно удобен для
нахождения наиболее существенных цоправок к классической те-
теории, состоит в представлеаии прогибов и напряжений для пря-
прямоугольного поперечного сечения балок с непрерывными нагруз-
нагрузками в виде рядов по функциям, описывающим распределение
нагрузки по верхней и нижней поверхностям балки'). В йодоб-
ных рядах первые -члены дают величины, соответствующие клас-
классической теории балок, следующие члены представляют собой
наиболее существенные поправки к ним и содержат производ-
производные высших порядков от функции нагружеиия (т. е. детали,
уточняющие характер изменения нагрузки), следующие далее
члены содержат производные еще более высоких порядков и
т. д. Вычисление всех членов ряда позволяет в пределе полу-
чить точное решение уравнений теории упругости для плоско-
плоского напряженного состояния. Это, по существу, является при-
применением общего метода последовательных приближений.
Пусть и(х) и Ьг{х) — направленные вдоль оси распределен-
распределенные силы, отнесённые к единице площади, постоянные по шири-
ширине верхней (z.= — с) и нижней (z = с) поверхностей балки пря-
прямоугольного поперечного сечения зысотой h — 2с (рис. 3.10).
') Donnell L. H. Bending of rectangular beams.—Trans. ASME, Ser. E,
1952, v. 74, p. 123. - "! „
11'
164
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК
[ГЛ. 3
Для простоты объемные силы полагаются отсутствующими; для
того чтобы их учесть, нужно сложить решения C.8о) и C.8п).
Используя выражение C.17), а. также (для упрощения оконча-
окончательных выражений) безразмерные обозначения z = z/c и х =
= х/с, видим, что ряд, представляющий решение, должен удов-
удовлетворять уравнению V4(p = 0 и граничным условиям на верх-
верхней и нижней поверхностях: при z = .1 имеем az — — bz, axz = 0;
при
b-lc
L
с
= j axz dz
z1 = — 1 имеем az — — tz, axz = 0. Кроме того, из уравнений
B.3в) получаем следующее
соотношение: —dFxz/dx =
= —d2MJdx2 — tz — bz, ' где
с с
Fx = j oxz dz и Мх
—с —с
— соответственно удельная
поперечная сила и удельный
изгибающий момент, прихо-
приходящиеся на единицу шири-
ширины балки; эти условия рав-
равновесия с- точки зрения по-
получения решения являются излишними, так как любое выраже-
выражение C.17) удовлетворяет уравнениям равновесия, но они полезны
для замены интегралов от функций нагружения, присутствующих
в решении, на более общие понятия поперечной силы и изгибаю-
изгибающего момента. Путем проверки убеждаемся, что приведенные вы-
выше уравнение и граничные условия удовлетворяются, если взять
функцию ф в виде
Рис. 3.10.
7 (tz - bz)/dx
~7 + (blZ2 +>ct) d~b{tz — bt)/dx~l'
+ /i) d~3 (tz - b2)/dx~3 + ...
a2zd~3 (tz —.bz)/dx~3 + (b2z2 + c2z)
~1 (tz —
/2z) d (tz
bz)/dx
Производные с отрицательными порядками означают, разумеет-
разумеется, интегралы, и подобная форма используется для сокращения
записи, т. е. традиционное обозначение, dm{dnaJd^n)/d^m =
= dm+na/d$m+n, которое обычно используется только при поло-
положительных значениях т и п, в данном случае используется как
при положительных, так и при отрицательных значениях т и
п. Вопрос о постоянных интегрирования, который возникает при
пользовании такими сокращениями, будет обсуждатьср ниже.
Подставляя это представление для ф в приведенные выше
уравнения, а также в граничные условия и используя выраже-
выражения C.17) для ах, az и oxz, получим соотношения, из которых
последовательными вычислениями легко определить коэффициен-
коэффициенты ан Ьи ..., и число этих соотношений вполне достаточно для
§ 3.3] ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 165
нахождения всех коэффициентов. Таким путем последовательно
определяются коэффициенты Ь, = 0, dt = — 1/16, е, = 3/8, at =*
= 3/2 и т. д., подставляя которые в выражения C.17) и в при-
приведенные выше соотношения для Fxl и Мх получаем следующие
выражения в форме ряда для перемещений и напряжений:
2 + Зу 6 2 —у 4 ,• 70 — 87v a 26 —765v
-Щ- z 160" г + 5600 z 252000
dx2 12 dx2 '
C.28)
3z ^ , 5z3-3z^ . , Г/ 3z5 fz3 , 87z ^ v/
•x
' +
40 . dx2
20 4
В этих выражениях функция wch которая, согласно B.2)
и B.4а), равна ,-
wel = C/Bс3?)) Л'4 (tz - bz)/dx~4 =
~2Ma/da:~2 = - C/Bс3?т)) J d
представляет собой вертикальное перемещение срединной по-
поверхности, соответствующее классической теории балок. Другие
способы нахождения wct были обсуждены в главе 2; они рас-
рассматриваются также и в элементарных курсах сопротивления
166 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК. [ГЛ. 3
материалов. Члены, стоящие в рядах перед звездочками, со-
соответствуют классической теории балок; следующие за ними
члены рядов, описывающих напряжение, были получены
Ф.~ Зеевальдом') в 1927 г. Используя приведенные выше
условия, имеем
С С . , ~ С
J ах dz = Fx = О, J axz dz = Мх,_ j oxz dz = FXZ.
-с -Г -c -.
Для отнесенных к -единице площади распределенных по верх-
верхней _. и нижней поверхностям балки касательных нагрузок tx(x)
и Ьх(х), постоянных по ее толщине и направленных вдоль оси
хг)) (см. рис. 3.10), уравнения совпадают с теми, которые обсуж-
обсуждались вйше, но граничные условия имеют иной вид: при z = 1
имеем аг — 0, ахг — —Ъх; при z = —1 имеем cz = 0, ozx——tx.
Методом подбора убеждаемся, что этим и остальным условия^
можно удовлетворить, если -представить функцию <р в виде
<р = (axz3 + b,i) d-*(tx - bx)/dx~2 +
- + (ciz5 + dii»-+ eiz)(tx -Ьх) + • • ¦ + агсГ* (tx + bx)fdx~9 +
Подставив это представление во все уравнения и граничные ус-
условия и найдя отсюда коэффициенты а,, Ь„ ..., так же, как и
прежде, найдем для этого случая:
bx) dx + -i- Jjvz (tx -bx)-
') Seewald F. Die Spannungen und Formanderungen von Balken mit
rechteckigem Querschnitt— Abhandl. Aerodyn. Inst. Tech. Hochschule
(Aachen), 1924, Bd 7, SS. 11—33; см. также Timoshenko S. Theory of
elasticity.— 1st ed.— New York: McGraw-Hill Book Co., 1934, p. 44; русск.
перевод 3-го изд.: Тимошенко С. П. Теория упругости.—М.: Наука,
1975, см. с. 131.
2) В о 1 е у В. А., Т о l.i n s I. S. On the^stresses and deflections of rec-
rectangular beams.— Trans. ASME, Ser. E, 1956, v. 23, № 3,.pp. 339—342.
§ 3.3] ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . 167
",*(*«-»¦) , /l + 2v 4 5-f6v_2 , 87 + 70v) <*(*»+»«) , 1
X dx ¦" \ 16 Z ~~40~Z "*" 2800 / dx • + * * * I»"
°*=- 4- J^ -"^ -3z <*>+
dx
5ж»-
Г z2-l.rf(^-M , z3-~zd(t
* ~ L dx~~ di г —4—
5;
h
]
24 dx3 40 dxs ^ •' • J»
C^29)
1
20
Сходимость и применение решений в виде рядов по функци-
функциям нагружения. Вопрос, который немедленно возникает, связан
со сходимостью рядов, входящих в подобные выражения. Инте-
Интерес представляет то, что может быть названо практической
сходимостью, т. е, возможность получения хорошей аппроксима-
аппроксимации при удержании сравнительно небольшого числа Чиенов ря-
. Д9, а не сходимость- в строгом математическом смысле, которая
иногда весьма мало что значит для практических нриложений.
Простую и практически удобную проверку такой сходимости мо-
можно' получить сопоставлением результатов, получаемых из выра-
выражений C.28) и C.29), с точными значениями, подучаемыми из
выражений C.27) для нормальных или тангенциальных нагру-
нагрузок, изменяющихся по гармоническому закону в виде tt =*
. = tt cos Ых/l), при различных отношениях длины полуволны I
нагрузки к высоте h = 2с балки. J3to сопоставление показывает,
что отрезки ряда, включающие производные по. х от функций t,
и bz или 4 и Ьх, сходятся при отношении .l/h, меньшем примерно
единицы, т. е. при изменениях нагрузками своего направления на
интервалах, величина которых примерно равна или меньше вы-
высоты балки. В_ приведенных выше выражениях члены ряда, cor
•держащие такие производные, были заключены в квадратные
скобки.
Ряды лучше сходятся для нагрузки, изменяющейся цо гар-
гармоническому закону с более длинной полуволной; они сходятся
тем быстрее, чем больше длина нолувол'ны, так что при l/Ji > 1
для получения даже очень хорошей аппроксимации нет необхо-
необходимости удерживать последние члены приведенных выше рядов.
168 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
Более того, эти ряды дают точные, в явной форме решения для
любой нагрузки, представляемой в форме степенного ряда от х,
поскольку, очевидно, производные от та^ой функции обращают-
обращаются в нуль. Если проделать, подобно тому как это представлено в
соотношениях B.11), гармонический анализ такого степенного
ряда, то, естественно, найдем, что ряд содержит бесконечное чи-
число гармонических компонент с амплитудами, уменьшающимися
при уменьшении длины I полуволны. Это указывает на то, что
простое присутствие гармонических компонент, для которых от-
отношение l/h меньше единицы, еще не означает с необходи-
необходимостью, что ряд сходится для всех нагрузок в целом; сходятся
они иди нет, зависит от относительной величины амплитуд раз-
различных гармоник, которыми представляется .нагрузка.
Общие члены, которые были записаны для,таких рядов1),
указывают на то, что ряды C.28) и C.29) не относятся к числу
некоторых довольно экзотических функциональных рядов, после-
последующие члены которых Сначала уменьшаются по величине, а
затем начинают увеличиваться. Поэтому можно с уверенностью
пользоваться полными выражениями C.28) и C.29) для любой
нагрузки, для которой найдено, что значимость каждого после-
последующего члена постоянно уменьшается вплоть до последних
членов, которые являются (или обещают быть) пренебрежимо
малыми. Более того, даже если это и не так, можно удерживать
в ряде члены вплоть до тех, что взяты в квадратные скобки, и
получать при этом значительно более хорошую аппроксимацию,
чем по классической теории балок, даже для разрывной функ-
функции нагружения (для которой не всегда существуют производ-
производные, стоящие в квадратных скобках).
Более хорошую аппроксимацию для .разрывной функции на-
нагружения можно получить, заменив ее гармоническим рядом
и применив его в полных выражениях C.28) и C.29) для гар-
гармоник, у которых отношение l/h значительно больше, чем еди-
единица (скажем, при l/h ^ 1,5)/ а укороченные, вплоть до квад-
квадратных скобок, выражения C.28) и C.29) — для гармоник с
более короткой полуволной. Таким образом, можно получить
хорошую аппроксимацию для любого вида нагружения, за исклю-
исключением ближайшей окрестности сильных разрывов типа сосредо-
сосредоточенных нагрузок; поправки для таких случаев будут даны ни-
* же в § 3.4 (рис. 3.14 и 3.15).
Суммируя, можно сказать, что представление решения в ви-
виде рядов по функциям нагружения дает: 1) точные в явной
форме решения для случая степенных функций нагружения,
2) быструю сходимость рядов, представляющих решение, к точ-
') Lee С. W., Donnell L. H. A study of thick plates under tangential
loads applied on the face.— Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Providen-
Providence, Rhode Island, 1958.— New York, 1958, pp. 401—409.
§ 3.3] ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ. 169
ному решению -для достаточно гладких нагрузок, 3) простое
улучшение результатов классической теории балок либо более
существенное уточнение, но вытекающее из более сложного ре-
решения, для общего вида нагрузок.
Условия на концах и примеры. В предыдущем изложении
обсуждался только вопрос удовлетворения условий по сторонам
балки. Для удовлетворения концевых условий можно было ис-
использовать постоянные интегрирования, соответствующие членам
с' отрицательной степенью (или-, интегралам) в выражении для
функции ф, оставляя только те, которые не нарушают осталь-
остальных условий (условие V4<p = 0 и граничные условия на верхней
и нижней поверхностях). Оставленные члены соответствуют тем,
что находились для.других изученных ранее решений для ба-
балок, т. е. при наложении произвольных осевых сил или конце-
концевых изгибающих моментов и соответствующего поперечного
сдвига, задаваемых выражениями C.25), плюс перемещения как
жесткого тела. Этого достаточно, чтобы удовлетворить инте-
интегральным концевым условиям, т. е. заданным унтегралам от на-
напряжений, возникающих на торцевых поверхностях, или задан-
заданным перемещениям и углам наклонов срединной поверхности.
Удовлетворение более детальным требованиям по напряжениям
или перемещениям по всей нлощади концевых поверхностей
можно получить, как уже обсуждалось ранее, наложением полей
локальных напряжений, подобно тому, как это сделано в § 3.4.
В качестве примера приложения представлений C.28) в слу-
случае свободно опертой по концам балки с равномерно распреде-
распределенной но верхней поверхности нагрузкой р„ (рис. 3.9, а)
положим tz = Ра, Ьг = 0. Используя представления F^ =
= - с J (и - bz) dx,Mx = с ) Fxz dx, wcl = - C/Bc?)) J dx j Mx dx
получим Р„ = рас(х + С1), Mx = — p0c2(x2/2 + CiX + C2), wct —
= C/7„с/2?)(х4/24 + С1х3/6 + С2хг/2 + С(,х + С4). Подбирая , коэф-
коэффициенты Cu Сг, ... таким образом, нтобы удовлетворить усло-
условиям свободного опирания на концах: при х = ± а имеем Мх =
= 0, Wd = игB=о) = 0 (в- последнем условии требуется также учи-
учитывать и вертикальные перемещения как жесткого тела), полу-
получим выражения, идентичные выражениям C.22), которые были
найдены иным и до некоторой степени более трудоемким мето-
методом.
Тем же самым способом из представлений C.28) можно по-
получить в явной форме точные решения и для нагрузок, изме-
изменяющихся по линейному и квадратичному законам, но для на-
нагрузок, описываемых степенными функциями более высокого по-
порядка, требуется удерживать большее, чем это показано, число
членов ряда. Ограничившись для экономии места только получе-
получением выражений для напряжений, в случае линейно изменяю-
изменяющегося но длине балки давления, приложенного по ее верхней
170 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
- ч —" "*
поверхности, получим: t* = PiX, Ьг = 0, FKZ = — q?,(x72 + d),
Mx — — ег/?,(х8/6 + C,x + Сг). Выбирая коэффициенты d и Сгъ
. соответствии с условием свободного опирания на концах при
х ¦= 0 и х== I, находим
ax = ^-Bz2+ t2^ х2 — 6У5)гх, az = ^ Cz - г3 — 2) х,
C.30а)
axz = -q4(z2 — 1) (Зх2 — I2) — z* + 6z2/5 — 1/5],
где \==1/с. Аналогично, для* случая приложенной по верхней
поверхности нагрузки tt = A — х2/&к)ргг которая изменяется по
параболическому закону и принимает значения рг в середине
пролета и нуль на концах балки, при свободном опирании на
концах х = ±а получаем
откуда
10 ^ а2,
105z5 + 70z3 — 87z 3z2 — :
1400аа ~ 6.2
C.306)
где а = л/с.
Аналогичные решения в явной форме получаются из пред-
представлений • C.29) для случая касательных нагрузок, описывае-
описываемых степенными функциями от х. Например, если положить все
постоянные интегрирования равными нулю, то для балки, за-
защемленной на правом конце и свободной (за исключением име-
имеющейся там самоуравновешенной системы напряжений) на ле-
левом конце х = 0, и нагруженной отнесенной к единице площади
равномерно распределенной по верхней -поверхности тангенциаль-
тангенциальной силой tx = ?о, получим следующие выражения для напря-
напряжений:
ох"= —?- Cz — 1) х, о2 = 0, охг = -¦—-р (Згг — 2z — 1); C.31а)
§ 3.4J ЛОКАЛЬНЫЕ. НАПРЯЖЕНИЯ 171
в случае линейно изменяющейся отнесеннной к единице площа-
площади тангенциальной силы tx = ?iX, приложенной к верхней по-
верхности, получаем • - , ,
о, =§ [5 C« - 1) х3 - lOz31+ 10*2 + 6* - А
20 L . . 6j C.316)
и т. д. Другие концевые условия можно получить наложением
известных решений для осевых нагрузок на концевые моменты,
возникающие на концах, полей локальных, напряжений, кбторые
обсуждаются в следующем параграфе, и перемещений как жест-
жесткого тела.' -
§ 3.4. Некоторые поля локальных напряжений для балок
Решения для плоского .напряженного состояния типа, обсуж-
обсужденного в предыдущем разделе, позволяют получать почти точные
решения для большого числа практических задач о балках, эа
исключением тех решений, которые обычно относятся к различ-
различным, но статически эквивалентным действительно действующим
нагрузкам, приложенным на небольших участках поверхности
балки. Согласно принципу Сен-Венана разница между напряже-
напряжениями, вызванными действительным нагружением, и напряже-
напряжениями; вызванными статически эквивалентным нагружением,
представляет собой поле локальных напряжений, т. е. некоторое
распределение локальных напряжений. '
Распределенная но гармоническому закону нагрузка, действу-
. ющая на полубесконечную пластику. Приведенные ниже решения
уравнения C.17) представляют собой очень простую иллюстра-
иллюстрацию таких полей локальных напряжений. Их можно получить тем)
же способомт~что и выражения C.26) и C.27), либо непосредст-
непосредственно из этих выражений; когда применяется последний способ,
то в результате приходят к специальным более простым случаям!
таких решений, а именно: s .
. C.32),
nx —яг/l Яг
172
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК
[ГЛ. 3
Эти выражения представляют собой перемещения и напряжения,
возникающие при действии распределенной по гармоническому за-
закону нормальной нагрузки, приложенной к краю полубесконечной
¦ пластины (рис. 3.11, а). Решения вида
= -%-cos
^\, C.33)
nx —mil
e
. nx —mil I a nz\
r«=gsm—e A ——J'
представляют собой перемещения и напряжения для аналогичного
вида тангенциальной нагрузки, показанной на рис. 3.11,6.
Как можно видеть, влияние таких самоуравновешенных систем
нагрузок быстро падает с глубиной и становится пренебрежимо
р pas
Рис! 3.11.
малым на расстоянии от поверхности порядка длины волны 21. Эти
решения можно было бы в дальнейшем использовать, получая хо-
хорошую аппроксимацию для случая действия нагрузок, приложен-
приложенных по одной стороне балки высотой порядка 21 или выше, так
как напряжениями, которые должны возникать на противополож-
противоположной стороне балки, можно для большинства практических случаев
пренебречь; эти решения можно комбинировать для получения
иных случаев распределений нагрузки. Найденные решения полез-
полезны также при удовлетворений условий на краях пластины, па ко-
§ 3.4]
ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
173
торую действует поперечная нагрузка, что будет рассмотрено .в
§ 5.3; при таком применении пластина должна иметь значитель-
значительную ширину, равную или большую 21.
Следует помнить, что, как уже обсуждалось в § 3.2, эти реше-
¦ нйя являются приближенными (так как функция ср является би-
гармонической, а не гармонической функцией от а; и г) и не будет
служить хорошей аппроксимацией, если высота балки (или толщи-
толщина пластины) мала по сравнению с 2Z. В § 5.4 будут приведены
решения, полученные без этих ограничений. '
Сосредоточенные нагрузки. Как легко проверить из выражений
C.9ж) и C.9з), сосредоточенная сила (сосредоточенная в плот
скости "пластины, но равномерно распределенная по ее толщине),
приложенная в вершине клинообразной бесконечной пластины
(рис. 3.12, а) или к краю полубесконечной пластины (которую
р
ё)
Рис. 3.12.
можно рассматривать как клин с углом раствора, равным 180°),
вызывает простую систему радиальных напряжений, показанных
на рисунке, состоящую только из радиально направленных нор-
нормальных напряжений, величина которых изменяется по закону
косинуса угла, измеряемого от линии действия силы, и обратно
пропорционально расстоянию от вершины клина. Если начало ко-
координат с осями х и у помещается в вершину клина или точку
приложения нагрузки, то распределения напряжений и соответ-
соответствующих им перемещений можно описать с помощью решения
уравнения C.17):
+¦ (Ах3 - Bz3) la (х2 + z2) + Bx2z - Axz2]/Q,
174 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
откуда получаем
Еих = А A — v) arctg -i — В In (z* + z.2) -
3 A + v) Azx + 8Дж2 + A1+ 3v) Дг8
_ 2ж2 (Аг - Дж) _ 2д2(Аг-Дж) _ 2гж(Л* — Дж)
(*2 + 22)8 * 2~ (*а + *8J ' "~ (** + *s)a '
где функция ф удовлетворяет уравнению V*<p = Oj а коэффициенты
А и В зависят от величины и направления силы, а "также от нап-
направления прямолинейных границ тела. Величина Епг совпадает
(за исключением слагаемых, определяющих перемещения как
жесткого тела) с Еих при взаимной перестановке х и z, а также
А и В.
Сосредоточенная нагрузка, приложенная к углу. Рассмотрим в
качестве примера случай вертикальной реакции Р (силы, отне-
отнесенной к толщине пластины), которая приложена к нижнему углу
балки, которую будем считать бесконечно высокой и длинной, как
показано на рис. 3.12,6. Постоянные А и В можно определить из
условия равновесия свободного тела, на которое действует сила
Р, например на часть тела, которая на рисунке заштрихована и
расположена слева- от линии х = а. Расстояние а должное быть ко-
конечным, так как напряжения обращаются в бесконечность в нача-
начале координат, поэтому при бесконечном а приходится им'еть дело
с неопределенными величинами. - -
~ Единственными силами, действующими на это тело, являются
сила Р и напряжения ах и ахг, возникающие на стороне х = а.
Искомое решение дает равные нулю силы на линиях Ох и Oz,
проходящие через вершину клина, а силы, действующие на ниж-
нижнюю горизонтальную поверхность, бесконечно удаленную от линии
Ох, можно положить равными нулю, так как площадь этой поверх-
поверхности конечна, а напряжения стремятся к нулю на бесконечности.
Отсюда из условия равновесия требуется, чтобы для каждой еди-
единичной толщины пластины выполнялись следующие условия:
§ 3.4] ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ . 175
откуда получаем
А = -~?-&1,0ЖР, В = -=^- щ - (С6815Р. C.36)
л — 4 я — 4
Эти результаты будут использованы ниже.
Сосредоточенная нагрузка, действующая на полубесконечную
пластину. В случае, представленном на рис. 3.12, в, из условия
симметрии относительно оси z коэффициент В можно положить-
равным нулю, так как относительно этой оси нормальные напря-
напряжения Ох и о* должны быть симметричными, а касательное напря-
напряжение Охг —'¦ антисимметричным. Из условия' равновесия сил, дей-
действующих на показанный на рисуяке заштрихованным элемент в
вертикальном, направлении, имеем _j
2Aa*dx
= -пА, C.37) ¦
А = — Р/п. - -
Аналогично, для случая, показанного на рис. 3.12, г, из условия
симметрии получаем, что А =0, а из условия равновесия "В гори-
горизонтальном направлении требуется, чтобы выполнялось условие
Q — — J Oxz(z=a)dx, откуда B — Q/я. Эти задачи были реше-
—оо i
ны Ж. Вуссинеском') и другими авторами.
Хотя'напряжения, обусловленные действием таких сосредото-
сосредоточенных нагрузок, уменьшаются обратно пропорционально рае-
стоянию от точки приложения,-такое распределение напряжений,'
вызванных неуравновешенной нагрузкой, не является локальным; -
распределением напряжений, подобным тому, которое имеет место
при самоуравновешенной системе сил, при которой вызываемые ею
напряжения уменьшаются пропорционально более высоким сте-
степеням расстояния. Однако, используя эти результаты, можно стро-
строить .полезные для приложений самоуравновешенные системы.
Равномерно распределенные нагрузки, приложенные, по краю
полубесконечной пластины. Рассмотрим» полубесконечную пласти-
пластину, по краю которой приложена равномерно распределенная на уча-
участке —а<х'<а сжимающая нагрузка Р (рис. 3.13,а). Тогда
функцию ф, перемещения и напряжения, обусловленные действием
') Boussijiesq J. Application des potentiales. A l'etude tie Fe^uilibre
et du mouvement des solides elastiques, principalement au calcul des deforma-
deformations "et des pression que produisent, das cos solides. Memoire suivi de notes
etendues sur divers points de physique mathematique et d'analyse.— Parish
Gauthiers — Villars,, 1885, 721 j?. ' - / —
176
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК
[ГЛ. 3
части р dx' нагрузки, можно найти из соотношений C.34) и C.37)
подстановкой х — х вместо х, рdx' вместо Р и А-= — Р/п, В = 0.
Те же величины для полной нагрузки можно найти, проинтегри-
проинтегрировав эти выражения по х' от —а до(а. Например, напряжения
о» в произвольной точке О с координатами х и z, обусловленные
действием всей нагрузки,-равны
(x-x')dx'
2pz f
- Bx) x'
dx'
где x и z при интегрировании рассматриваются как постоянные.
Рис. 3.13.
Таким путем, используя обозначения а = (х — a)/z, p =
найдем
"¦** / /• ft
0*= •?-( arctg a —arctg f$ jH 2.
02 = i (arctg а - arctg P + -5-j - -i-j)
C.38a)
Наложением решения C.34) при В — 0 и Л = —Р/я =*=
= — 2000й/п (см. выражение C.37)) для сосредоточенной норма-
нормальной сжимающей силы, равной 2000, на решения C.38а) для
р = — 1000 получим поле локальных напряжений для уравнове-
уравновешенной системы сил, показанной на рис. 3.14, а. Хетка значений
напряжений в точках, расположенных с интервалами, равными
2а, показана на рис. 3.14,6 (значения напряжений подсчитыва-
лись с точностью до целого числа, т. е. с точностью до одной де-
десятой процента от максимального напряжения). Для получения
такого порядка точности достаточно воспользоваться правилами
округления числовых результатов вычислений. На рисунках 3.14, в
и 3.14, г представлено аналогичное поле напряжений, полученное
наложением двух распределенных нагрузок, одна из которых рас-
распределена по ширине а и равна р = 2000, другая — по ширине
2а и равна р=—1000. Как видно, эти результаты могут
§ 3.4J
ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
177
12 л. Г. Доннелл
178 "УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК * [ГЛ. 3
быть применены без существенной ошибки для случая нагрузок,
приложенных по одной поверхности прямоугольной балки, высота
которой имеет порядок, равный 8а и более, так нто напряжения-
напряжениями на противоположной стороне можно пренебречь; их можно
комбинировать различными путями; значения для напряжений в
точках, отличных от представленных на рисунке, можно найти
с помощью графических построений. " ¦ —
Аналогично для случая распределенной тангенциальной наг-
нагрузки (рис. 3.13, б) получаем:
°x " \l+«" 1 + P" °l + eV
' ' ' C.386)
-1 (arctg а
«2 1 Ч-
arctg ft - ^ +
На рис. 3.14, б и 3.14, е показано поле локальных напряжений,
возникающее при действии изображенной на рисунке распределен-
распределенной нагрузки, которая уравновешивается сосредоточенной танген-
тангенциальной-вилой, приложенной в середине пролета. В этом случае
бесконечные напряжения возникают не только в месте приложе-
приложения сосредоточенной нагрузки, но благодаря влиянию последнего
члена в выражении 43.386) для ах также и на концах участка
приложения распределенной нагрузки.
Поправки к напряжениям, определяемым по классическим тео-
теориям балок для сосредоточенных нагрузок. Классическая теория
балок удовлетворяет условию равновесия, а разница между дей-
действительными напряжениями, вызываемыми локальными нагруз-
нагрузками, приложенными по одной стороне балки, и напряжениями,
получаемыми для аналогичного случая нагружения по классиче-
классической теории, образует поле локальных напряжений. Такие поля
локальных напряжений, будучи просуммированы с классически-
классическими-решениями, дадут точное распределение напряжений в окрест-
окрестности точки приложения нагрузки.
Такое поправочное поде для случая действия сосредоточенной
нагрузки можно найти, взяв балку длиной, равной четырем ее вы-
высотам, вне этого участка значениями локальных напряжений мож-
можно пренебречь. Затем для случая действия сосредоточенной нагруз-
нагрузки,-приложенной в середине одной из сторон балки, можно вос-
воспользоваться решением Буссинеска C.34) и C.37), устраняя за-
задаваемые этим решением напряжения на другой стороне балки* с
помощью соотношений C.28) и C.29), затем вычитая отсюда клас-
классическое решение и устраняя осевые силы и изгибающие мо-
моменты на концах путем наложения получаемых в рамках теории
упругости элементарных решений, которые обсуждались ранее
применительно к случаям равномерно распределенных осевых
§3.4}
ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
179
напряжений и чистого изгиба. Подобные вычисления для случая
аналогичных задач для пластин будут даны в § 5.3.
Иным способом, с помощью тригонометрических рядов, реше-
решение C.27) этой задачи было получено Т. Карманом и Ф. Зееваль-
дом1), при этом они использовали интегралы Фурье, которые вГ
этом случае Сходятся довольно плохо. Эти результаты (т. ё. раз-
разность между действительными значениями напряжений и напря-
напряжениями, соответствующими классической теории изгиба балок)
представлены на рис. 3.15, причем из этих результатов вычиталось
представленное на рис. 3.14, б решецие, с тем чтобы превратить
\/////^///////А
а)
\1000(С1кима/ощяя нагрузив ¦¦
2000а)
h=8a
lazrfb*zQ^^
'V-
Рис. 3.15.
сосредоточенную нагрузку в нагрузку, распределенную на корот-
коротком участке. Таким путем устраияетея физически нереальная кар-
картина распределения напряжений вблизи сосредоточенной нагруз-
нагрузки, где напряжения стремятся к бесконечности. Решения, пред-
представленные на рис. 3.14,6 или 3.14, г," можно, разумеется, сло-
сложить с решениями, представленными на рис. 3.15, с тем чтобы
перейти либо к случаю сосредоточенной нагрузки, либо к случаю
') Kirman Т. Uber die Grundlagen der Balkentheorie.— Abh. Aerodyn.
Inst, Tech. Hochschule, Aachen, 1927* Bd 7, SS. 3—10; Seewald F. Die
Spannimgen und Pornandel-ungen von Balken mit rechtechigen Querschnitt.—
Abh. Aerodyn. Inst. Techn. Hochschule, Aachen, 1927, Bd 7, SS. 11—33.
12* .-"¦•'
180 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
различных распределенных нагрузок. Выражения C.34), C.37) и
C.38а) позволяют впоследствии детализировать определение нап-
напряжений вблизи места приложения нагрузки.
Учет концевых условий. Проблема удовлетворения действи-
действительных концевых условий в какой-то мере является более труд-
трудной, чем проблемы определения напряжений в средней части
балки, так как любое поле локальных напряжений, которое вво-
вводится для уточнения] граничных условий, не должно включать
в севя нормальные или касательные напряжения на соседних
верхней и нижней поверхностях балки. Согласно прийципу Сен-
Венана поправки на концах должны быть самоуравновешенными,
т. е. их равнодействующая должна быть равна нулф, что и поз-
позволяет представлять их полем локальных напряжений.
Идеальным решением проблемы было бы получение полей
локальных напряжений, которые удовлетворяли бы упомянутым,
выше условиям на верхней и нижней поверхностях; при этом на
торцевых поверхностях возникали бы самоуравновешенные рас-
распределения нормальных или касательных напряжений, которые
можно было бы произвольным образом комбинировать, с тем
чтобы получить любые желательные распределения самоуравно-
самоуравновешенных сил или соответствующих им перемещений на концах.
Желательно, чтобы члены ряда были ортогональными на этом
интервале, чтобы можно было легко определять необходимую
комбинацию членов.
Г. Хорвей^) построил ряд, куда входили функции напряжений
Эри ф„ C.16а), каждая из которых бралась в форме произведе-
произведения функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую
-только от z, и которые удовлетворяют всем указанным выше
условиям, за исключением условия совместности C.16в), которое
удовлетворяется приближенно с помощью энергетических прин-
принципов путем подбора соответствующих форм и коэффициентов
для функций от х. Сопоставление с более точными решениями
показывает, что при этом получается весьма близкая аппрокси-
аппроксимация. Для облегчения использования таких решений следует
составить таблицы значений этих функций.
Применительно к'случаю, изображенному на рис. 3.16, а,
ахот, ряд можно записать в виде Ф = 2 фп = 2 (angn + bnhn) fn,
я п *
где п = 2, 3, 4, 5, ..., четные члены относятся к симметричному
(мембранному) нагружению, а нечетные — к антисимметричному
(изгибному) нагружению. Слагаемые angnfn описывают нормаль-
нормальные, а 'слагаемые bnhnfn — тангенциальные нагрузки на конце
х = 0. Каждая функция /„ зависит только • от z, функции gn и
hn — только от х, а„ и Ьп — числовые коэффициенты, которые
') Ног way G., Born J. S. Tables of self-equilibrating functions.—
J. Math, and Phys., 1955, v. 33, № 4, pp. 360—373.
§3.4]
ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
181
можно определить методом, аналогичным гармоническому анали-
анализу, когда с помощью полного ряда воспроизводят любое жела-
желательное распределение самоуравяовешенных напряжений, возни-
возникающих в ковцевом поперечном еечении. В некоторых случаях
применения, которые встретятся ниже, этому требованию можно
удовлетворить, с помощью только одного или двух членов ряда,
¦////,
/
/
'///У
¦'///////Л
'////////Л
\
.1
к
а)
4L
5
поэтому при определении коэффициентов ап и Ъ-п не нужно будет
использовать упомянутую ортогональность членов ряда.
4 Первые восемь функций /„ (z = z/c) имеют вид
U = j?
- 5z + 85z3 - 323z5 + 323z7) /„
C.39)
17zs)/2,
«• /5 = 4 VП (- 3z
h = ^., /lbl3(- 1 + 45z2 - 255^4- 323z«) /„ /,= /ll z/a.
182' УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК ' [ГЛ. 3
Формулы для функций gn и hn (x = х/с) суть
sin pnXj, hn = е—»* (_L sin pnXj, *C.40)
где а„ = а2, а„ ... = 2,075149,. 3,655963, 5,258543, 6,942082,
8,728814, 10,627227, 12,640404, 14,769022; р„ = (J2, p.,, ...=
= 1,142910, 1,538202, 2,062104, 2,681885, 3,404732, 4,235321,
5,174922, 6,222861.
Напряжения определяются^из выражений C:16а) при замене
у на г: . ¦ -
°г=5?=2 (й»7?+Ъп 1?
дх дг
у(а д*п ъ »куи
п
На конце х = 0 функции hn н dgj&x равны нулю, а функции
gn и dhj&x равны единице, так что выражения для напряжений
ох и о„ упрощаются, в результате имеем
^/» „ V. dfn . ¦ -
формы этих нормальных и тангенциальных нагрузок на концах,
соответствующие первым четырем членам ряда, представлены
соответственно на рис. 3.16, б и 3.16, в.
Как можно легко проверить, граничные условия: при z — ±c
u=il имеем о% = ох1 = 0 — удовлетворяются.
Можно также проверить, что
J fnfn'dz = 1 при п = «',* C.40а)
1 -
J fnfn'dz- 0 при пфп'.. - C.406)
—1
1
—1
Обычяо ортогональность функций /„ на интервале от —1 до +4
(см. 3.406) используется при определении коэффициентов а?п и
Ьл так, лтобы при этом с помощью полного функционального
ряда получить необхрдимое распределение напряжений oxix=*»
и ©«<*=#) на торцевых поверхностях.
Для этого необхрдимо проинтегрировать по z выражения
для этих напряжений, с тем чтобы они содержали только сами
фужкщвн /„, а не их производные, так как производные от функ-
§ 3.4] ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 18J
ций"/„ яв ортогональны. По этой причине необходимо далее ин-
интегрировать no z выражение для ах дважды, а выражение для
Oxz — один раз. Как показано в цитированной выше работе, для
мембранного случая симметрии относительно срединной поверхно-
поверхности Ы — четное) пределы интегрирования следует брать такими:
г
J
dz'
C.40в)
OtzW\x=o)dz' = — У Ь«/«-
¦ J
—1 . n
В практических задачах левые части этих соотношений являются
известными функциями от z; назовем их соответственно sx(z)
и sx2(z). Тогда, так же как и в гармоническом анализе, опреде-
определим каждый в отдельности коэффициент ап и Ьп, умножив обе
части этих соотношении на dz и соответствующую функцию /„
и проинтегрировав обе части от —1 до 1. Тогда из соотношений
C.40а) и C.406) получим
an = J fnsxdz, bn= J fnsxzdz. C.40r)
Для изгибного случая антисимметрии (га — нечетное) преде-
пределами интегрирования будут
г д.г<
\ dz' J вх (z")CC=<»dz* = 2 anfn,
5 . -1 ~ C.40д)
- " Г "
В качестве приложения этих* функций можно показать из
сопоставления выражении C.22а) и C.39), что определяемое
функцией - ~
C.41)
дополнительное поле локальных напряжений накладывается по
концам на напряжения для равномерно нагруженной свободно
опертой по концам балки, решение4 для которой было представ-
представлено выражением C.22), откуда были исключены нежелательные
напряжения ох, возникающие на концах балки. На рис. 3.16, г
показано поле таких лекальных напряжений для рл = 1000. -
Сосредоточенная реакция в углах. Чтобы получить полные
в рамках теории упругости решения для балок, необходимо за-
заменить реакции на концах, создаваемые поперечными силами,
распределенными по закону параболы по концам балки, в ка-
184
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК
[ГЛ. 3
кой-то мере более вероятной реакцией такой, как сосредоточен-
сосредоточенная реакция, приложенная в углу. Для того чтобы продемонстри-
продемонстрировать, как можно получить подобные результаты, построим
поле "локальных напряжений, создаваемых самоуравно'вешенной
системой сил (рис. 3.17, о), которые при наложении на направ-
направленный вверх сдвиг; создаваемый реакциями суммарной величи-
величины Р, сводят реакции к сосредоточенным в углах силам1).
Такую систему нагрузок нельзя получить наложением рас-
распределений касательных сил, показанных на рис. 3.16, в, так как
все они в угловых точках имеют амплитуду, равную нулю. По-
Поэтому рассмотрение начнем с показанного на рис. 3.12, б случая,
О1 " 0
Qr Q? Or Or Or
h'lc
где представлены напряжения, определяемые выражениями (.3.34)
и C.36), и присоединим сюда показанный на рис. 2.12 случай
нагружения, решение которого описывается выражением C.25)
при Mt—0, M2 = —Pl, F = —Р. Таким путем получаем требу-
требующиеся концевые нагрузки, но первый случай нагружевжя со-
сопровождается возникновением на верхней поверхности балки не-
нежелательных напряжений аг и о*г; они получаются подстановкой
:) Доннелл Д. Концевые реакции стержней.—В кв.: Проблемы ме-
механики твердого деформируемого тела.—Л.: Судостроение, 1970. с. 161—165.
§ 3.4] ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 185
z = — h и соотношений C.36) в выражения C.34):
,— 4РА2 nh-2x Whx nh — 2x
^ ° я2 _ 4 G+~аТ* ( '
Для устранения этих распределенных по верхней поверхности
сил сложим стоящие перед квадратными" скобками в выражениях
C.28) и C.29) (см. рис. 3.10) члены, положив bz = bx — O и
с учетом C.42) tz = оЧвер*п и^ахЦшерх). Присутствующие в выра-
выражениях, C.28) значения функции tz и интегралов от нее, с учетом
х = ж/с, z = z/c и Р' = 16/[(я2~-4)с] «2,725 Р/с и уравнений
B.3) и B.4), равны
Г Fxz Р' X
= —- dx = — D + пх) arctg -5- -f Cxx ,-f C2,
-Clt- C.43)
•Л/.
- х
Аналогично получаем, что функция tx, а также интегралы и
производные от нее, встречающиеся в выражениях C.29), име-
имеют вид
J
р/х(я —х) . ?*«_ _ р, 4п — 8х — Зпх2 + 2х3
Х~ B + 4J' dx -Г B + 4K
Таким образом, теперь мы исключили с верхней поверхности
балки силы, при; этом отсутствуют также и силы на нижней
поверхности, но одновременно/ были добавлены нежелательные
напряжения oz и axz на торцевой поверхности. Эти напряжения
ог и о«, возникающие на конце, получаются, если в выражениях
C.43) и C.44) положить х = 0 и полученные значения подста-
подставить соответственно в первое и третье из соотно*шений C.28)
и.C.29):
ах = |g B5 - 63z + I5z2 - 45z3) + CC2z - C3 -f 3C3z)/2 + . ..,
Схг = 3 (P' +-4d) A - z2)/16. . . C.45)
Для того чтобы сделать равнодействующие силы и изгибаю-
изгибающие моменты этих напряжений равными нулю по всему концу,
используем постоянные интегрирования d, Сг и С%, поэтому все
то, что расположенно слева, будет представлять собой самоурав-
новещенную систему сил, которую можно сделать равной нулю
с помощью самоуравновешенных систем, напряжений C.39) и
186 ^СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. Э
C.40). Приняв j ox dx = J (T,zdz= \с[хгс1г = 0.ш решив полу-
-1 —1 —1
чившиеся в результате уравнения, найдем
- Ct = -Р74, С2 = 0, С, = яР78. C.46)
Подставив эти значения в выражения C.45), получим
4 (- 1 + 3z2) + .У11 v 4 Cz. — 5z3). C.47)
V ;^40(я24)с V / \ /
= /У
24<я2-4)с
Если в выражении для напряжения о, выделить, как это
сделано в выражении C.47), члены с четными- и нечетными сте-
степенями х, то можно увидеть, что напряжения на конце х = О
можно обратить в нудь добавлением полей-напряжений, описы-
описываемых, с учетом выражений C.39) и C.40), функциями напря-
напряжений ф2 + <jp3 = a2f2g2 + «з/з?з, где . '
ПР ЗпР ,п /о\
а, = г-5 -—, а, = —з —. (о. 4»)
2 24(па-4)с 3 40(я2-4)« \ 7
Таким образом, для показанного на рис. 3.17,а случая име-
имеется полное решение в виде суммы соответствующих напряже-
напряжений, для" которых решения описываются следующими комбина-
комбинациями выражений: 1) C.34) vtr C.36); 2) C.25) и условиями
М{ = 0, Л/2 = -Р/; 3) C.28), C.29), C.43), C.44), C.46) при
Ь = Ъ' = 0; 4) функциями напряжений <р2 + q>s из C.39), C.40),
C.48). Необходимо иметь в виду, что начажГ координат распо-
располагается в вершине угла, к которому прикладывается нагрузка
для комбинации 1), и в центре торцевого сечения для остальных
комбинаций. Проделав такие же вычисления для точки, лежа-
лежащей: на срединной поверхности на расстоянии с от конца, полу-
получим, например, для нагрузки Р/с =• 1000, следующие значения
напряжений: -
- вх = (-194) + (О) + @ + 0-85 + 10) + B3 + 0) = -246,
о« = A94) + (-750) + E91 + 59) + (О - 11) =83.
. На рис. 3.17, б представлены значения напряжений для этого
случая, подсчитанные в точках, расположенных с интервалом
с/2. Как видно, эти напряжения становятся очень малыми на
расстоянии от конца порядка двух высот* балки.
„. В качестве иллюстрации применения этого поля локальных
напряжений на рис. 3.18 показано действительное распреде-
распределение напряжений для случая короткой прямоугольного попе-
поперечного^ сечения балки с длиною, равной четырем ее высотам,
нагруженной равномерно распределенным по верхней поверхности
3.4]
ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
187
ч
СМ
II
<;'
-*"
-¦
]
I
j
188 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
давлением р0 = 100 и опертой по нижним углам. Оно было
"получено наложением напряжений, соответствующих решениям
C.25) или C.28) при 1г = р0 и Ъг = 0, и возникающих на концах
полей локальных напряжений, представленных на рис. 3.16, г и
3.17 и умноженных ра коэффициенты соответственно 0,1 и 0,4.
Для сравнения в скобках представлены напряжения, следующие
из классической теории. Разница между истинными результата-
результатами и следующими из классической теории становится несколько
менее заметной для более длинных балок.
Оценка краевых эффектов для пластин и оболочек на основе
соответствующих решений для балок. Поля локальных напряже-
напряжений, подобные описываемым выражениями C.39) и C.40) и толь-
только что рассмотренному случаю, используются для уточнения
концевых условий для балок путем наложения этих полей на
решения, которые удовлетворяют только интегральным краевым
условиям, и по крайней мере приближенно удовлетворяют дей-
действительным краевым условиям. в каждой точке на концах.
В теории пластин и оболочек имеют место те же проблемы,
состоящие в том," что получаемые решения удовлетворяют только
интегральным краевым условиям; и' указанное выше распреде-
распределение напряжений, соответствующее задаче теории упругости для
плоского деформированного состояния и аналогичное описанным
выше уточнениям по теории плоского напряженного состояния
для концов балки, может быть наложено на такие же решения
для пластин и оболочек, записанные для отдельных участков
краев, так, чтобы десйтвительно удовлетворить краевым условиям
в каждой точке.
Применение подобного подхода в случае пластин и оболочек
не приведет к таким же уточнениям, как для балок, особенно
если края криволинейные или условия быстро изменяются вдоль
края, но это лучше, чем ничего, когда важно получить точные
условия на краях и когда, как обычно, не имеется лучшего ме-
метода уточнения; при этом достаточно хорошая аппроксимация
получается, если" радиус кривизны и расстояние, на котором
происходит заметное изменение краевых условий, велики по срав-
сравнению с толщиной, что, как правило, справедливо даже для
сравнительно толстых пластин и оболочек.
При использовании уравнений C.5) или (З.Ив) видно, что
в плоском деформированном состоянии присутствуют те же са-
самые напряжения ох, с^ и а»2, что и в решениях для плоского на-
напряженного состояния, и дополнительно еще имеет место напря-
напряжение оу — v(a* + az), которое вводится, чтобы выполнялось ус-
условие е, = (a, — va* — vaz)E = 0. Поскольку напряжения (ГХ и az,
а отсюда и дополнительные напряжения оу, в рассматриваемых
полях локальных напряжений будут самоуравновешенными и
существенно локализованными в окрестности концов, с доста-
достаточной достоверностью можно предположить, что они создают.
§ 3.4] ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 189
незначительные общие деформации гу; разумеется, некоторые
локальные деформации будут возникать, если условия таковы,
что они подходящим образом измеояются в направлении у, но
их влияние не столь велико, если эти изменения будут достаточно
плавными, как это имеет место в большинстве практических
случаев. Эти вопросы будут обсуждены и проиллюстрированы
в §§ 5.2 и 5.3.
Прогиб консольной балки. При обсуждении выражения C.25)
для перемещений в балке, представленной на рис. 2.12, было
указано, что искажение торцевых сечений делает сложным удов-
удовлетворение реальных условий для защемленных концов. Теперь
можно вернуться к изучению такого случая. В качестве приме-
примера рассмотрим случай натруженной отнесенной к единице шири-
ширины силой F консольной балки,, правый конец которой-помещен
в точку х = I (рис. 2.12); балка изготовлена ,из сравнительно
гибкого материала, который присоединен к абсолютно жесткой
стенке так, что можно считать перемещения их и иг равными
нулю на этой стенке, т. е. при х = 0. Полагая в выражении
C.25). М2 = 0, Mi = -Fl и х = 0, получим
ия(ж=в) = ^ [6 A +-v) - B + v) z2 + 21я] z,
Чтобы сделать перемещения на стенке равными нулю, можно
воспользоваться полями локальных напряжений, описываемых
выражениями C.39) и C.40). Из выражений C.166) нельзя по-
получить перемещения, соответствующие упомянутым полям на-
напряжений, так как они не являются точными решениями урав-
уравнений теории упругости. Но достаточно хорошую аппроксимацию
для перемещений их и nz можно получить, проинтегрировав нор-
нормальные деформации соответственно в горизонтальном и верти-
вертикальном направлениях. Так, взяв х = °° и z =¦ 0, получим пере-
перемещения для случая защемления:
X Г j I
ux = — ¦— j (ax — va2) dx' = — ~ 2 -^ J (angn + bnhn) dx' —
<x> « L oo
d 1
dx J
if с V d2 ' Г C.50)
«* = F (a* ~ va») dz' ^ "f 2d T~2 (a"?n + fc'ift«) \ h di! —
190 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
Для того чтобы получить равными нулю значения переме-
перемещений их и ut на стенке, потребовалось бы использовать полные
ряды для полей локальных напряжений. Однако на поворет, а
отсюда и на прогиб поперечного сечения балки, прилегающего
к стенке, оказывает влияние только перемещение их в этом сече-
сечении (из выражения C.49) следует щ = 0 при х = 0 и z — 0).
Сопоставление первых из выражений" C.49) и C.50) указывает
на то, что перемещение их на стенке можно сделать равным ну-
нулю, воспользовавшись только членом с коэффициентом аг. С уче-
учетом этого члена, после подстановки представлений C.39) и C.40)
при х = 0. в первое уравнение C.50), суммирования первого из
выражений C.49) и перемещения их„ как жесткого тела и пово-
поворота в,, определяемого выражением C.6а), получим следующее
представление для полного перемещения их в стенке:
i. 4 Cz - 5Z3) a3 J^ + и* + в„г. C.51)
Приравнивая сумму членов, содержащих множители z* и z, a
также постоянный член нулю и решая ^получающуюся систему
уравнений относительно as, ихв и в^, получим, что перемещение
их в стенке будет равно нулю, если
=, 0, а3 = - 0,0269 B + v) у, ¦
C.52)
Теперь можно определить суммарный прогиб центральной
оси, т. е. значение uz при z = 0. Подетавляя выражения C.39)
и C.40) в соотношения C.50) для перемещений и полагая г = 0,
получим, что эти перемещения равны нулю для поля локальных-
напряжений. Прибавляя к третьему соотношению C.25) величи-
ву — 6^ и выражение C.6а) и полагая z =_0, лолучим прогиб w
центральной оси консольной балки при действий нагрузки F,
приложенной на конце:
X I OtJ' X : О lO ~
-IV ~ M2(Z=O) = —3- \-^ -j H
.C.53)
Стоящие в скобках слагаемые в выражении для- м>ю„ пред-
представляют собой поправку к классическому значению ZFl'/iEh").
Как можно видеть, в случае тонкой балки эта "поправка несу-
§ 3.4] ЛОКАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ igj
щественна, порождая добавку порядка 3% к классическому зна-
значению прогиба при l/h = 5. Этот поправочный коэффициент име-
имеет значение промежуточное между значениями, получаемыми
добавлением к прогибу балки длины балки, умноженной на сред-
среднее и максимальное значения деформ'аций поперечного сдвига.
Действительные сосредоточенные нагрузки. В предыдущих об-
обсуждениях теоретическое понятие сосредоточенной нагрузки счи-
считалось не требующим дополнительного пояснения; оно очень
удобно и в то же' время является достаточно точным при вычис-
лении условий на малых (скажем, на расстояниях, больших 21/А,
где А — некоторая площадь,-опеределение которой будет дано
ниже) расстояниях от теоретической точки приложения.. Однако
следует отдавать себе отчет в том, что в непосредственной бли-
близости от этой точки нагрузка должна быть распределенной по
малой, но конечного размера площадке. Размер этой площадки
может быть определен из условия возникновения пластического
течения материала одного или обоих тел в окрестности точкв
контакта, в этом случае за величину площади можно взять Ау~
= P/av, где Р — нормальная нагрузка, а ау — меньший из преде-
пределов текучести обоих материалов.
Если материал остается при деформирований упругим,, то
площадь контакта .определяется по широко известной теории
контактных напряжений Герца1), которая основана на допуще-
допущении того, что в окрестности точки контакта криволинейных по-
поверхностей решение Буссйнеска_ для нагрузки, действующей на
полубесконечное тело, может быть использовано без серьезной
ошибки для удовлетворения Заданным условиям по перемеще-
перемещениям на поверхности-контакта. В решении Герца площадь кон-
контакта зависит от угла между плоскостями главных кривизн двух-
контактирукщих тел, но ее приближенное значение равно Aei —
= 2,6(Р/2ГсJ/3. Здесь Е' представляет собой среднее .арифмети-
.арифметическое величин Е/{\ — v2) ' для обоих материалов, Ь — средняя
кривизна (величина, обратная радиусу кривизны) поверхностей
в точке контакта, т, е. среднее арифметическое четырех кри-
кривизн— по две главные-кривизны для каждого тела (для вогнутой
поверхности кривизна принимается отрицательной). В рассмат-
рассматриваемом упругом случае максимальное напряжение возникает
в 'центре эллиптической формы области контакта, оно в полтора
раза превышает среднее напряжение Р/Ае,', рднако при рассмот-
рассмотрении возможности разрушения, по-видимому, вполне безопасно"
, ') Hertz H. Uber die Beriihrung fester elbstischer Кбгрег.— J. reine und
angew. Math., 1882, Bd 92, № 1—2, SS. 156—171; Gesammelte Werke. Bd 1.—
Leipzig: J. A. Barth, J895, SS. 155—173; Timoshenko S. Theory of elasti-
elasticity.— New York — London: McGraw-Hill Book Co., 1934; см. также русск. пе-
перевод 3-го изд.:4 Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упруго-
упругости.- М.: Наука, 1975; с. 411.
492 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
пользоваться средним напряжением, так как в центральной части
этой области возникает благоприятное напряженное состояние
трехосного сжатия (так как сжатый материал стремится расши-
расшириться, но этому препятствует окружающий материал). Если
выполняется условие P/Aet < ау, т. е. если Р/Ае! < Р/Ау или
Aei > Ау, то материал остается упругим. Если Aet < Ау, то можно
предположить возможность возникновения локального пластиче-
пластического течения.
§ 3.5. Поправки к прогибам, получаемым
"по классической теории балок
Аппроксимация Бернулли, которая положена в основу чвсех
классических теорий, порождает два потенциально важных типа
ошибок. К первому типу относится ошибка определения напря-
напряжений, которая обсуждалась при рассмотрении балок в послед-
последних двух разделах; такими ошибками обычно можно пренебречь
в случае статического нагружения конструкций из пластичного
материала, как об этом говорилось в § 1.7, но их следует при-
принимать во внимание, если рассматриваются хрупкие материалы
или условия усталостного разрушения.
Второй тип ошибок связан с определением деформаций; обыч-
обычно они важны только при определении прогибов. Как правило,
неучитываемые эффекты увеличивают прогибы, соответствующие
классическим теориям, в которых рассматриваются только проги-
прогибы, обусловленные изгибом; т. е. балки так же, как и пластины
и оболочки, в действительности являются более гибкими, больше
прогибаются при поперечном нагружении и имеют меньшее со-
сопротивление выпучиванию и более низкие собственные частоты,
колебаний, чем определяемые на основе только классических
теорий.
Для балок сплошного поперечного сечения из однородного
изотропного материала эта ошибка пренебрежимо мала, если бал-
балка длинная и на нее действует обычного типа нагрузка; однако
эта ошибка может оказаться серьезной, если балка очень корот-
короткая или на нее действуют приложенные "на небольшом расстоя-
расстоянии друг от друга нагрузки, противоположные по направлению.
Ошибка, очевидно, будет заметной для балок с произвольными
длинами и нагрузками, если они изготовлены из трехслойного
материала, имеют полки или решетчатую конструкцию, Укогда
большая часть материала сосредоточена вблизи внешних поверх-
поверхностей, что является наиболее эффективным с точки зрения со-
сопротивления изгибающему моменту. Когда внутренняя часть
балки облегчена, но остается достаточно прочной, чтобы выдер-
выдерживать поперечные силы, то напряжения и деформации попереч-
поперечного сдвига будут иметь тот же порядок величины, что и напря-
напряжения и деформации изгиба; поэтому следует ожидать, что до-
§ 3.5]
ЛОПРАБКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
193
полнительные прогибы, обусловленные напряжениями и дефор-
деформациями поперечного сдвига, будут иметь тот же порядок
величины, что и прогибы от изгиба, определяемые по классиче-
классической теории.
Использованные в § 3.4 подходы, основанные на. рассмотре-
рассмотрении уравнений теории упругости, дают, разумеется, точные зна-
значения прогибов, а также точные значения напряжений, но эти
подходы, как правило, являются неоправданно сложными при
исследовании прогибов и весьма непрактичными в таких случаях,
как трехслойные и решетчатые конструкции. Хорошую аппро-
аппроксимацию точных значений перемещений можно получить с по-
помощью сравнительно простой поправки к классической теории
балок, что и составит предмет обсуждения в данном разделе.
Схематичное исследование балки с поперечной «илой, прило-
приложенной в середине пролета. Влияние деформаций, которыми
пренебрегают в классической теории, можно исследовать раз-
различными путями. Предлагаемое ниже исследование свободно
¦опертой балки прямоугольного поперечного сечения, на которую
действует приложенная в середине пролета сосредоточенная на-
нагрузка Р (рис. 3.19, а), довольно грубое, но вполне приемлемое,
ПрогиО~ S'f,
обусловленный
изгиоом созласно
классической
теории балок
, . /7рсгио~г\,
i _ РГ 1!1±у)Ь1 оо~исловленный
" ' — " деформациями
поперечного сдвига
ПсогийSn,
ос/условленный
поперечными
нормальными
напряжениями
Рис. 3.19.
так как ясно показывает относительный вклад различных факто-
факторов, которые оказываются замаскированными при более изощрен-
изощренных способах исследования. Суммарный прогиб в середине пролета
можно рассматривать как сумму трех составных частей б/, б,
и б„, относящихся к трем случаям, которые можно рассматри-
рассматривать действующими независимо друг от друга, как-это показано
на рис. 3.19, 6 — 3.19, г. При этом б/— прогиб при изгибе (йехш
ral), обусловленный искривлением балки при удлинении нижних
волокон и укорочении верхних, сопровождающихся возникнове-
возникновением, как показано на рис. 3.19, б, продольных изгибных напря-
13 л. Г. Доннелл
194 ' УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК ' [ГЛ. 3
жений. Это перемещение представляет собой прогиб, описыва-
описываемый классической теорией балок, которая изучается в элемен-
элементарных курсах сопротивления материалов и в справочниках
задается формулой {>, = P13/(A8EI) = Pl3/DEh3), получаемой из
выражения B.16).
Перемещение 5, является прогибом, обусловленным дефор-
деформациями поперечного сдвига (shear) (рис. 3.19, в). Если ввести
грубую аппроксимацию, приняв, что напряжения поперечного
сдвига равномерно распределены по поперечному сечению (вме-
(вместо имеющегося в действительности неравномерного распределе-
распределения с нулевыми значениями на нижней и верхней кромке), то
поперечные сечения останутся плоскими и вертикальными. Од-
Однако углы между поперечными сечениями и нижней и верхней
поверхностями изменятся из-за, деформации сдвига es = P/iZhG),
где Р/2 — полная поперечная сила, PJBh) — касательные напря-
напряжения, равномерно распределенные по условию, G — модуль, уп-
упругости при сдвиге. Тогда, как видно из рисунка, из выражения
C.5а) можно получшъ S, = e.l/2 = Pl/DhG) = A + v)Pl/BhE).
Перемещение б„ обусловлено поперечными нормальными
(normal) напряжениями (рис. 3.19, г). Перемещения, связанные
с поперечными нормальными деформациями, которые вызыва-
вызываются поперечными и продольными напряжениями и приводят
только к небольшому изменению расстояний до центральной оси,
очень малы. Однако заметный .эффект благодаря влиянию коэф-
коэффициента "Пуассона производится .при продольном растяжении
материала, расположенного непосредственно в месте приложения
нагрузки Р (аналогичное расширение имеет место и в месте
приложения реакций Р/2, но его влияние на прогибы пренебре-
пренебрежимо мало). Чтобы сделать напряжения и деформации конеч-
конечными, будем рассматривать нагрузку Р как равномерно распре-
распределенную на малой длине А. В материале, расположенном не-
непосредственно под нагрузкой, будет возникать вертикальное
сжимающее напряжение Р/А, в то время как на нижней поверх-
поверхности -вертикальное напряжение будет, разумеется, равно нулю.
Распределение напряжений между верхней и нижней поверхно-
поверхностями носит сложный характер (см..рис. 3.15), но в данном слу-
случае достаточно принять' грубую аппроксимацию и считать, что
вертикальное напряжение возникает только в малой прямоуголь-
прямоугольной области ^алки шириной А и высотой h (см. рис. 3.19, в) и
изменяется по линейному закону от значения Р/А на верхней
поверхности до нуля на нижней. Благодаря этому предположе-
предположению .вследствие влияния коэффициента Пуассона верхняя часть
балки расширится в горизонтальном направлении на "величину
(P/A)(v/E) • (А/2) = vP/BE) по каждую сторону от центральной
линии, причем это расширение будет изменяться по линейному
закону до нуля от верхней до нижней поверхности. Вертикаль-
Вертикальная грань повернется на угол (vP/BE))h = vP/BhE), рравая
§ 3.5] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 195
часть балки повернется на тот же угол, что вызовет обусловлен-
обусловленный поперечными нормальными напряжениями прогиб 6„ =
=> —(vP/BhE))(l/2) ==» —vPl/DhE); знак минус указывает на то, что
"прогиб направлен вверх. Если такая же нагрузка была бы при-
приложена к нижней^ поверхности балки, как это показано штриха-"
ми на рис. 3.19, а, то материал, примыкающий к месту приложе-
ния этой нагрузки, укоротится в горизонтальном направле-
направлении,, а результирующий прогиб будет иметь те же величину и на-
направление. .
Приведенные выше выражения для прогибов б/, 6„ 6„, а так-
также полный (total) прогиб б( можно записать в виде
s Pf s- PI3 2(l+v)fc2 .. PI3
PI3 (л „ B + v)ft2
I
Второе слагаемое, стоящее в скобках в выражении для б(, пред-
представляет собой: поправку к элементарной формуле, получаемой
по классической теории. Можно видеть, что прогиб, обусловлен-
обусловленный поперечным нормальным напряжением, пропорционален и
в то же врем,я существенно меньше, чем прогиб, обусловленный
деформациями поперечного сдвига. Поэтому последний может
быть учтен, если прогиб, обусловленный поперечным сдвигом,
умножить на коэффициент порядка единицы; эксперименты по-
показывают^ что этот вывод не ограничивается данным случаем,
а является довольно общим.
Общий анализ, метод Тимошенко1). В соответствии со ска-
сказанным суммарный прогиб центральной оси произвольной балки
постоянного поперечного сечения будем представлять в виде
wt = wf + ws. Определим wf как прогиб при изгибе (flexural),
рассматриваемый в классической теории и обусловленный удли-
удлинением и укорочением продольных волокон при возникновении
продольных изгибных напряжений. Определим ws как прогиб,
обусловленный только деформациями поперечного сдвига (shear)
и вычисляемый при введении допущения о равномерном распре-
распределении касательных напряжений по всему поперечному сече-
сечению; однако ниже будет введен числовой коэффициент, который
позволит учесть как прогиб, обусловленный поперечными нор-
нормальными напряжениями, так и ошибки, связанные с заменой,
параболического закона распределения напряжений и деформгГ-
ций поперечного сдвига равномерным распределением по всему
поперечному сечению.
') Тimoshenko S. P. Strength of materials. Part I. 3rd ed.— New
York: Van Nostrand, 1956; русск. перевод: Тимошенко СП. Сопротив-
Сопротивление материалов. Часть I.— M.: Физматгиз, 1960.
13* .
196
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК
[ГЛ. 3
Так как прогибы w, не вызывают относительного поворота
поперечных сечений, то такой поворот целиком обусловлен про-
прогибами Wj, которые представляют собой те же самые прогибы,
которые в главе 2 обозначались просто через w. Поэтому урав-
уравнение B.2) принимает вид Мк=- —Eld?wt/dx2 (которое при этом
уже не является следствием введенной аппроксимации), а из ана-
аналогичных рассуждений получаем, что поперечная компонента"
силы Fx, действующая на элемент длиной dx (рис. 2.1, г), равна
Fxidfwf/dx^dx. Здесь в уравнениях равновесия, в отличие от
рассматривавшихся ранее, имеется еще один член, а именно,
момент Fxdws, связанный с прогибами, обусловленными сдвигами
поперечных сечений (рис. 3.20, а).
*__?»—,
Z(IVS
Уравнения моментов для малого элемента балки длиной fix,
в отличие от уравнений B.3), принимают вид
Fxzdx — dMx — Fxdw, = 0 C.55а)
или
dx dx fix3 dx '
тогда как уравнения равновесия для поперечных сил —
dFxz + p dx + Fx —i dx = 0 C.556)
dx
ИЛИ
A»,
dx
<ta
.2 *
Исключая отсюда Fxl и учитывая wt =¦ wt + ws, Придем к сле-
следующим уравнениям:
El-
или
17
El
d2ws
K1J
= P
d2wf
C.56)
dx1
d*wf
§ 3.5] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ J97
Эти уравнения можно сопоставить с уравнениями B.4) для слу-
случая менее точной классической теории.
Переходя далее от уравнений равновесия к перемещениям,
отметим, что так как сдвиговые перемещения wx оставляют по-
поперечные сечения параллельные друг другу и после деформиро-
деформирования, то угол наклона dwjdx в любой точке будет равен де-
деформации поперечного сдвига в этой точке, если поперечные
сечения остаются вертикальными. Если поперечные сечения не
сохраняют вертикального положения,'» то угол наклона будет ра-
равен сумме Вхг и некоторой постоянной С4. Взяв гхг = <5XZ/G =
= FXZ/{GAB), где G и А,-—соответственно модуль сдвига и пло-
площадь поперечного сечения части ¦ балки, на которую, согласно
принятому предположению, действует равномерно распределен^
ное касательное- (shear) напряжение, и воспользовавшись в
жением C.55а) для FXI, получим
dw* р д Г EI Лр' 4 F* dw* лГ
е + с ++C
или —¦
W* I A ,
GA. / ~ dx GA
S
При записи уравнения C.57) опущен член FJ(.GAS), так как
он имеет величину порядка деформации, которая для обычного
конструкционного материала, работающего' в упругой области,
очень мала по сравнению с единицей. Интегрируя уравнение
C.57) по х, получим
,2
^ = -^-^ + С^ + С0, C.58)
тогда суммарный прогиб будет равен
-.I'-l.\Wf + cix^C0. . C.59)
Члены Cix и Со представляют собой соответственно поворот и пе-
перенос как жесткого тела и обычно равны нулю, так как таким
перемещениям как жесткого тела в реальных балках препят-.
ствуют закрепления на концах. Хотя в совершенно исключи-
исключительных случаях их можно было представлять отличными от ну-,
ля, они равны нулю в обычных рассматриваемых ниже задачах,
подобных представленным на рис. 3.20, б и 3.20, в, так что и в
дальнейшем они будут полагаться равными нулю.
Балка произвольной формы поперечного сечения при произ-
произвольном нагружении. Второе слагаемое в скобках выражения
C.59) представляет собой поправку к классическому значению
прогиба W/, обусловленного только изгибом. Как обсуждалось
198 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
в начале этого раздела, поперечные нормальные напряжения
пропорциональны напряжениям поперечного сдвига и поправку
на них и на допущение о равномерном распределении напряже-
напряжений поперечного сдвига по всему поперечному сечению можно
сделать, умножив указанную выше поправку на некоторое число -а,
близкое к единице. В результате получим
- C-60)
Балка прямоугольного поперечного сечения при произвольном
яагружении. Для случая однородной балки прямоугольного по-
поперечного сечения аналогичный результат получается из выра-
выражений C:28), которые являются решением уравнений теории;
упругости, где учитываются все напряжения и деформации. Если
в выражениях C.28) учесть, что при х = 0 иг = wt и wci = wu
Mx = -EIdzwi/dx2 = -(Eh3/12)diWt/dy, ft = 2c, то получим, ис-
иользуя только первые два члена ряда,
Сравнивая -выражения C.60) и C.60а) для случая прямо-
прямоугольных поперечных сечений, получим с учетом C.5а) значе-
значение а, точное для этого случая (и по крайней мере приближен-
приближенное значение для остальных слоев) формы поперечных сечений:
3(8+5v) . ¦ ,
a~20(l + v) ' • {
GAS~ ¦ h/2 - 40 П ' a~20(l
Для любой задачи при получении действительного суммарного
прогиба wt при нагружениях р и Fx требуется подставить в вы-
выражение C.60) найденное значение аи, добавив к нему уравне-
уравнение C.56), рассмотреть систему уравнений.
Балка прямоугольного поперечного сечения при гармониче-
гармоническом нагружении. Выражения C.60) и C.606) основаны, разу-
разумеется, на некоторых аппроксимациях. Они ничего не говорят
о том, как изменяются прогибы в направлении оси z, и они не
обеспечивают достаточной точности при весьма малых отноше-
отношениях l/h. Для определения границ применимости этих выраже-
выражений необходимо сравнить их с точной теорией. Решение уравне-
уравнений такой теории упругости в гиперболо-тригонометрических
рядах приведено в таблице 3.3, оно применялось (см. (,3.27))
для случая циклически изменяющейся нагрузки, распределенной
по верхней поверхности длинной балки прямоугольного попереч-
поперечного сечения. Для нагрузки р = Pi sin Ых/l), изменяющейся по
синусоидальному закону (рис. 3.2t,a), имеем т = 1, Ст = л/1,
§ 3.5] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ' 199
X = nh/l; тогда вертикальное перемещение принимает вид
+ [A - v) eh ¦? X - A + v) \ X ch ± x] X sh x}/(sh2 X - X2). C.61a)
Для этого, случая прогиб, получающийся из выражений C.60)
и C.56), можно найти,.взяв^ ws = Wf &ъ-Ых/1) и wt = Wt sin Ых/l).
-z
¦ v
w
Срединная
1^у
jr.--
штяя
поверхность
гИяаосичёоная теория ¦
0,1 О,г
0,$
Низ
Ур. C.60)
Ур.
Подставив эти представления в указанные выражения и учтя
Fx = 0, р = Pi sin (ях/Й, / = Л712, Л, = ft, G;= ?/[2A + v)] и вьи
ражение C.606) для коэффициента х, исключая Wf, найдем
8ШТ-
200 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
Прогиб, соответствующий классической (classical) теории, полу~
чается из выражения B.10) при т = 1:
Wei = w = —\ sin -у. C.61в)
, На рис. 3.21, б представлена зависимость отношения ujwa от
значений Ь/1 — Я/я. Прогибы, описываемые точным выражением '
<3.61а), показаны для трех поверхностей: для верхней поверх-
поверхности — штрихпунктирной линией, для срединной поверхности —
штриховой линией и для нижней поверхности — штриховой с
двумя точками линией. Прогибы, описываемые выражением
К3.616), получающимися из выражения C.60), показаны штри-
штриховой линией. Для отношения h/l, изменяющегося от 0 до 0,3,
т. е. от очень коротких длин волн до полуволн с длиной, равной
утроенной высоте балки, прогиб, задаваемый выражением C.60),
неотличим от точного значения перемещения- срединной поверх-
поверхности, а при h/l —0,3 он на 21% превышает прогиб, соответ-
соответствующий классической теории. При таком значении h/l точные
значения прогибов на нижней и верхней поверхностях_начинают
расходиться со значениями прогибов на срединной поверхности,
^отличаясь от них пока только на несколько процентов.
На рис. 3.21, в эти же результаты представлены для всего
диапазона изменения отношения h/l от нуля до бесконечности
(подобный график1) очень удобен, позволяя единой кривой ох-
охватить полный диапазон изменения параметров). Можно видеть,
что, когда отношение h/l превышает 0,3, прогибы на верхней,
срединной и нижней поверхностях начинают сильно расходиться,
и когда отношение l/h становится равным нулю,'т. е. для очень
коротких длин циклов изменения нагрузки, перемещения средин-
срединной и нижней поверхностей становятся' равными нулю и пере-
перемещения, так же как и напряжения, сосредоточиваются в тон-
тонком слое вблизи нагруженной поверхности. Хохя выражения
C.60) и C.606) дают довольно близкие значения прогибов сре-
срединной поверхности при отношениях h/l вплоть до единицы, они
не описывают всей картины при отношениях h/l, меньших 0,3,
так как в них не делается различия для сильно различающихся
перемещений на верхней, срединной и нижней поверхностях.
Приложение выражений C.60) и C.60а). Как указывалось в
§ 3.3, участок балки от х = 0 до х — 1, показанный на рпс. 3.21,-я,
приближенно соответствует напряженно-деформированному со-
состоянию свободно опертой по концам балки длиной I. Получен-
Полученные выше результаты указывают на то, что выражение C.60а),
так же как и более общее выражение C.60), взятое при а = 1,1,
с достаточной точностью описывают прогибы для коротких балок
')' D о n n е 11 L. Н.. A chart for plotting relations between variables over
their entire real range.— Quart. Appl. Math., 1943, v. 1, pp. 276—279.
§3.5]
ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
20*-
с длиной, не превышающей трех ее высот, на которые действует
нагрузка, не изменяющаяся по направлению.
Для балок с широкими полками, двутавровых или трехслон*
ных касательное напряжение в действительности почти равно-
равномерно распределено по высоте стенки или заполнителя, которые
воспринимают почти всю поперечную силу, а влияние попереч-
поперечных нормальных напряжений будет существенно менее важным
по сравнению со значительно возрастающим влиянием попереч-
поперечного сдвига. Тогда для тонкостенных балок таких, как двутавр,
. в качестве А, следует брать площадь поперечного сечения стенки
и* кроме того, полагать E/G = 2A + v). Для трехслойной балки
в качестве А, берется площадь поперечного сечения заполнителя,
G — модуль упругости при сдвиге материала заполнителя в на-
направлении сдвига, EI — жесткость при изгибе балки в целом,
которая обычно может быть подсчитана из рассмотрения только
несущих слоев. \
Для решетчатых балок, подобных показанным на рис. Ь22?
EI снова Представляет собой жесткость при изгибе всей балки
Рис. 3.22.
в целом, вычисленной из рассмотрения нижней и верхней полок,
GAS подсчитывается по эквивалентной балке, имеющей такун*
же жесткость при поперечном сдвиге. Возьмем At и Аг как пло-
площади (суммарная площадь обоих раскосов в показанном на
рис. 3.22, а случае), а также Gt и б2, как показано,— в качестве
углов, под которыми установлены раскосы. Предположим, что
раскосы воспринимают все "поперечное усилие Fxl и что она
шарнирно закреплены по концам (с помощью продольных эле-
элементов). Из условия равновесия в поперечном направлении части»
балки, лежащей по одну сторону сечения, которое разрезает
раскосы, получаем, что осевые напряжения в раскосах соответ-
202 . УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
ственно равны st = FXJ (A t cos Qt), s2—Fxz/{A2cos02). Изменение
длины раскосов составляет o\=Si h'/(E cos Qi)=Fxth'/(AiE cos2 QJ,
<бг — FKzh'/(A2E cos2 62). Как можно видеть из рис. 3.22, г, при иг-
игнорировании любым- изменением длины сравнительно мощных
полок при поперечном сдвиге, получаем следующее соотношение:
&'(tg0i —tg92)e« = 6i/cos0i + 62/cos 02. Определяя отсюда дефор-
деформацию е„ и приравнивая ее FXZ/(GA,), находим
s4)- ( }
В качестве примера применения формулы C.62) рассмотрим
свободно опертую по концам балку длиной I, на которую дей-
действует нагрузка р — pi sin (пх/1), вызывающий прогиб wt —
— WfSiu(nx/l), обусловленный изгибом. Подставив эти выраже-
выражения в C.60а), получим, что суммарный прогиб такой балки, име-
имеющей прямоугольное поперечное сечение и изготовленной из од-
однородного изотропного материала, равен
id, = [1 + я2(8 + 5v W40Z2] w, « A + 2,34h2/nwh
Рассмотрим регулярной структуры решетчатую балку, спроекти-
спроектированную таким образом, чтобы максимальное напряжение в
раскосах было равно максимальному напряжению при изгибе
в полках. Для .простоты возьмем Al—A2 = Ai, 0i = &2 = 0. Ус-
Условие равенства этих напряжений с учетом выражений C.55а)
и B.5) дает ¦ ¦ . ~
n3ElW.t
4d cos е/шах \Ad cos 9 dxs J max I3 A. cos Э
Bh>d*wf
Решая, получаем Ad = 2nl/(lh' cos 0)\ Используя это решение в
выражениях C.62), C.60), C.606), находим, что при 9 = 30° сум-
суммарный (total) прогиб равен
iPtot =. [1 + i,inh'/Bl sin 0 cos в)]ц7У » A + i,0h'/l)w,.
. Из- полученного следует, что ошибка при определении прогибов
по элементарной теории, балок сплошного сечения составляет
3%, когда параметр, характеризующий удлинение, равен IIh = 9,
я 9% дри l/h — 5. С другой стороны, ^для рассмотренного решет-
решетчатого стержня ошибка составит 3% при значении этого пара-
параметра l/h' = 133 и 9% при Z//j' = 45; при l/h' — 5 полный про-
прогиб в 1,85 раза превышает обусловленный изгибом прогиб, по-
получаемый по классической теории балок. Во столько же раз
уменьшается критическая нагрузка для свободно опертого по
' концам продольно сжатого стержня, так как его прогибы пред-
§ 5.5] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 20$
ставляют собой по форме такую же полуволну синуса, как в
в рассмотренном выше случае.
Поперечные колебания балок. Этот случай является несколь-
несколько более сложным, поскольку при достаточно коротких длинах
волн колебаний вследствие влияния поперечных напряжений и
деформаций становится важной так называемая инерция враще-
вращения или инерция поворота, т. е. инерция, обусловленная пово-
ротами поперечных сечений балки, куда входят продольные ус-
ускорения, и ее следует рассматривать наряду с обычными попе-
поперечными ускорениями. Элемент однородной балки' „длиной das
имеет равный /р dx момент инерции масс относительно нейтраль-
нейтральной оси, где /*— момент инерции площади поперечного сечения,
р —" плотность. Угол поворота элемента по часовой стрелке равев
dWj/dx (см. рис. 2.1); отсюда угловое ускорение по часовой стрел-
стрелке составляет d3mt/dxdt2, оно порождает направленный^ против
часовой стрелки момент инерции Ip{dJwt/dxdf.)dx^ который дол-
должен быть учтен в уравнении равновесия моментов.
Уравнения C.55а) и C.556) равновесия моментов и проекций
сил в поперечном направлении (А и к — суммарная площадь и
радиус инерции поперечного сечения) принимают вид
dF d Wf д Wf д w±
dx ~ dx* V dx2df ~~ , dt2
ИЛИ
Введя обозначение wf — wm sin inx/l) sin 2niVm? и подставив его»
в выражение C.60), получим полный прогиб wt = [14-
+(aEI/GAe)(m2n2/l2)]wf. Подставляя это соотношение в уравне-
уравнение C.64) и решая последнее относительно частоты Nm, найдем
1-1/2
?Р. C.65>
Сопоставляя эту формулу с формулой B.20), видим, что учет
деформаций поперечного сдвига и инерции вращейия уменьшает
частоту на величину поправочного коэффициента р. Для сплош-
сплошного стержня, используя соотношения k2 = I/A — h2/12 и C.606),.
получим, что aEA/GA. = 3(8 + 5v)/10» 2,85, откуда поправоч-
поправочный коэффициент принимает вид A + 3A7mzh*/l2)~i/2. Для 1/т="
— 10Д, т. е. если длина полуйолны формы колебаний равна де-
десяти высотам h балки, поправочный коэффициент р равен при-
примерно 0,985, для 11т = ЪЬ, имеем 0,860. Ниже эвдй величины!
204 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
колебания балочного Г?ипа уже могут не быть наиболее важной
формой, появляются другие типы колебательных движений, ко-
которые нужно изучать в рамках теории упругости; рассмотрение
подобных колебаний выходит за пределы этой книги.
Строго говоря, в приведенных выше выкладках выражение
для силы Fxz в уравнении C.55а), а следовательно, и в получа-
получающемся из него уравнении C.60), должно быть дополнено вве-
введением слагаемого Ipd3wt/dxdf, описывающего инерцию враще-
вращения, как это было сделано в уравнении C.64). Это немного из-
изменило бы второй член, стоящий в скобках в формуле C.60).
Однако этот член сам по себе является малым поправочным
членом, поэтому введение малой поправки к малому поправоч-
поправочному члену было бы бесполезным улучшением, так, это могло
«казаться заметным только вне пределов применимости теории,
которая обсуждалась в последнем разделе.
Решения для общего вида нагружения. Соотношение C.60)
и уравнение C.56) можно применять для .любых видов нагру-
йсения. Для свободно опертых балок, например, можно пред-
представить:
ymsm—у-, wt = 2^ wtm sin —у—.
m
Подставляя эти выражения в соотношения C.60), найдем
Wfm = WtJll + an2m2EI/(l2GAs)].
Используя эти выражения, а также представление
Р =
в уравнении C.56) и применяя соотношение B.11) к коэффици-
коэффициентам рт, получим
fn2EI mi
I
о п \ ( / \ • 7ПКХ 7
miFx wtm = \ р (х) sin —r- ах.
21 [ I2 l+an2m2El/(l2GAs)
C.66)
Для случая р = 0 это соотношение удовлетворяется, как уже ука«
зывалось выше, следующим значением критической сжимающей
силы: P = -Fx = Ы2Е1/П/[ 1 + anzEI/{l2GA.)].
Если Fx — 0, а р(х) является сосредоточенной поперечной на-
нагрузкой Р, приложенной в середине пролета балки, то анало-
аналогично тому, как было получено выражение B.16), можно за-
записать
2Р13 V» 1 + m2n2aEl/(l2GA.) _ . mn PlS
C.66а)
§ 3.5] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 205
Взяв в соответствии с формулой C.606) для балки сплошного
прямоугольного поперечного сечения следующее выражение:
aEI/{GAa) = (8 + 5v)fe740, получим, что стоящее в C.66а) в
скобках выражение приближенно равно A+ 2,85fe7Z2), что мож-
можно сравнить с более грубым приближением C.54).
Условия на концах. В приведенных выше примерах все кон-
концы были свободно опертыми и поэтому условиям на них было
легко удовлетворить', представив wf, w, и и^как функции сину-
синуса. В более общем и точном, чем в B.6), виде можно записать
для свободного опирания wt = Мх = 0, откуда получаем wt =
= dzWj/dxz = 0; для защемленного, как показано на рис. 3.22,5,
конца имеем wt==dwt/dx = 0; для свободного конца Mx = Fxz — 0,
откуда dzw}/dxz — d3w,/dx3 = 0 и т. д.
Например, для консольной балки, защемленной на конце
х = 0 и нагруженной на конце х = 1 силой Р = Fxl1 условиями .на
конце х = 0 являются: wt = dwj/dx = 0, при х = I dzw,/dxz = 0,
d3w,/dx3 = —Р/Е1. Уравнения C.56) и C.60) в этом случае прини-
принимают вид diwj/dx1' = 0 и Wt^Wf — ^Wf/dx2, где f = aEI/(GAa).
Общее решение первого из этих уравнений можно записать * сле-
следующей форме: м>/=С0 + Ctx + Сгхг + С3х3; тогда из второго урав-
уравнения получаем wt ={Са + 2*{Сг)+ (С, — 6^С3)х +Сгхг + С3х3. Здесь
концевые условия принимают вид Са — 2«{Сг = 0, С\ = 0, 2С2 +
+ 6С31 — 0, С3 = —Р/FЕ1). Решая эти уравнения, найдем- Со =
=*Ч1Р/{Е1\ С2==1Р/{2Е1), следовательно, прогиб будет wt =
= {P/2EI){lx2 — x3/S + 2^x). Взяв коэффициент а в соответствии
с формулой C.606), найдем, что третье слагаемое в последней скоб-
скобке равно (8 + 5v)(8 + 9v), и, таким образом, оно оказывается мень-
меньшим, чем получаемое, согласно выражению C.53), для балки прямо-
прямоугольного поперечного сечения, которая закреплена так, что тор-
торцевое сечение остается плоским и вертикальным. Если концевое
условие dwt/dx = 0 заменить на dw,/dx = —(v/10)d3wf/dx3, то ш*-
лучим прогиб, совпадающий с C.53), поэтому последнее условие
может быть взято в качестве условия для защемленного конца
при получении выражения C.53).
В настоящее время расчет балок с упругими опорами или
статически неопределимых балок не представляет , трудностей.
Рассмотрим балку с равномерно распределенной нагрузкой ин-
интенсивностью р с граничными условиями следующего вида: при
х = 0 имеем wt = 0, $rdwf/dx = EId2w,/dx2 (упругое защемление^
§ — момент, создаваемый в опоре при повороте на один радиан);
при х = 1 имеем f>wt=EId3wf/dx3, d"wt/dx2 = 0 (упругая опора,
? — сила, возникающая в опоре при равном единице прогибе).
Уравнения C.56) и C.60) имеют'общие решения wf = Cfi + Cix + -
С2 + С3 */ЩЕ1) и wt = (Со - 2^С2) + (С, - 6^С3)х +
]хг + С3х3Л-рхЧ{2Ш1)^ Подставив эти выражения
в четыре условия на концах, получим систему уравнений, из
которой можно определить постоянные Со, Сц С2, С3. Следует
206 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ ВАЛОК, 1ГЛ. 3
отметить, что статически неопределимые конструкции, подобные
рассмотренным, могут иметь начальное напряженное состояние
и без внешних нагрузок типа р, которое может возникнуть, ска-
скажем, при поднятии правой опоры на величину б, что привело
бы к изменению третьего концевого условия: при х — I имеем
( + )EId3/d3
$t ,
Зависимость нагрузки от прогиба wt. Уравнение C.60) опи-
описывает связь между прогибами wt и wf, а. выше было показано,
как, используя это уравнение и уравнение C.56), получить вы-
выражение для прогиба wt для произвольного нагружения. Но
обычно более удобно иметь дело с одним уравнением, которое
описывало бы связь непосредственно между суммарным проги-
прогибом wt и нагрузкой независимо от вида функции wf. Очевидным
путем получения этого уравнения является решецив уравнения
C.60) Относительно wf и подстановка полученного решения в
уравнение C.56), но форма уравнения C.60) такова, что это
нельзя сделать непосредственным путем. Однако если функции
wt и wf связаны уравнением C.60), функцию wf можно пред-
представить в виде ряда wt = wt + ad2wt/dx2 + bdk\utldxk +... Подстав-
Подставляя выражение C.60) в этот ряд, получим wt = ws + (a — |5) X
Xd2wf/dx2 + (b-a$)diwf/dxi+..., где $ = aEI/(GA.). Это равен-
равенство-тождественно удовлетворяется только при а = $, Ь = а$ = $г
п т. д., т. е. когда функция ws имеет вид wf = [l + laEI/GAs) X
Xd2/dx'2+(aEI/GAsJdi/dxi+...]wt. Подставляя эту функцию в
уравнение C.56), получим
Если уравнение C.67), в котором показан только один попра-
поправочный член, использовать в случае синусоидального нагруже-
нагружения и так же, как это было проделано с уравнением C.56), срав-
сравнить с точным решением, то обнаружится, что ^ходимость в этом
случае намного быстрее, чем при использовании уравнения
C.56), особенно для коротких балок. Это и не удивительно, так
как уравнение C.56) \ эквивалентно C.67) только тогда, когда
берется полный ряд с поправочными членами, а ряд сходится
быстро только для длинных балок. Однако если поправочный
коэффициент уменьшить на 10% по сравнению со значением,
которое использовалось в выражениях C.60) и C.606) при а ==
= 3(8 + 5v)/22(l + v) в случае однородной прямоугольного по-
поперечного сечения балки и при х = 1 для других балок, то про-
прогибы, получаемые из уравнения C.67), будут отличаться от по-
получаемых по точной теории всего на несколько процентов при
отношениях высоты к длине от нуля до 0,3, вне этого диапазона
даже уравнения C.60) и C.56) не могут достаточно правильно
описать полную картину. Решения, найденные из уравнения
S 3.5] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 207 '
i
C.67) с учетом упомянутых выше модификаций, показаны пунк-
пунктирной линией на рис. 3.21, б и 3.21, в.
Таким образом, уравнение C.67) с одним представленным
в этом уравнении поправочным членом можно использовать в
указанном диапазоне, если для однородной балки прямоугольно-
прямоугольного поперечного сечения взять aMI/(GA,) = (8 + 5v)fe744, а для
балок с облегченной внутренней частью взять а = 1, где А3 —
площадь подеречного сечения стенки для двутавровых балок,
GA, — произведение модуля упругости при сдвиге на площадь
поперечного сечения заполнителя для трехслойных балок, для
решетчатых балок GA, определяется по формуле C.62) и т. д.
Как можно ожидать, поправку, учитывающую влияние дефор-
деформаций и напряжелий поперечного сдвига, нужно вводить только
для члена, связанного с изгибом, т. е. члена, содержащего же-
жесткость на изгиб EI, а для члена Fxdzwt/dxz поправка не требу-
требуется. Уравнение C.67) может использоваться для решения зад&ч
о балка* точно так же, как в предыдущем разделе использова-
использовалось уравнение B.4), уравнение включает несколько больше
арифметических операций и не представляет трудностей с мате-
математической точки зрения, по крайней м.ере для' свободно опер-
опертых балок, где используется решение в рядах: для более слож-
сложных концевых условий, которые включают в себя перемещения
wt и Wf, столь же легко можно применить уравнения C.60) и
{3.56).
Решение уравнения C.56) четвертого порядка содержит че-
четыре постоянные интегрирования, которыми можно воспользо-
воспользоваться для удовлетворения условий на концах, подобных приве-
приведенным в B.4). Как можно было видеть, постоянные интегриро-
интегрирования, которые фигурировали при выводе уравнения C.60), оп-
определяли только движение как жесткого тела, р так как урав-
уравнение C.67) даже при удержании бесконечного числа членов
физически эквивалентно уравнению C.60), то и не следует ожи-
ожидать от него большой помощи при удовлетворении концевых
условий. Таким образом, новые уравнения C.56) и C.60) или
C.67), подобно их менее точным аналогам, полученным в рам-
рамках классических теорий, включают в себя тот смысл, что удов-
удовлетворяются интегральные условия на^ концах, сформулирован-
сформулированные относительно результирующих усилий и моментов на концах
или пдогибов центральной оси. Удовлетворение в более уточнен-
уточненном смысле концевых условий может быть достигнуто путем
использования дополнительных решений в рамках теории упру-
упругости, что обсуждалось в первом разделе этой главы. '
Иную форму уравнения, непосредственно связывающего по-
поперечную нагрузку р и прогиб wt, можно получить более про-
простым путем из -уравнений C.28). Если вместо первых двух сла-
слагаемых в выражении для uz = wt в функции wcl =~wt поступить
так же, как делалось при выводе уравнения C.60а), и, исполь-
208 УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕОРИИ БАЛОК [ГЛ. 3
зуя уравнения B.2) и B.4а), записать ^го в функции от р, то
получим уравнение
?^ Ц^сА ¦ C.67а)
которое может оказаться весьма удобным при решении некото-
некоторых задач.
Область применения различных аппроксимаций. Область при-
применения элементарной классической теории балок, а также их
различных модификаций и усовершенствований, которые обсуж-
обсуждены выше, может быть выявлена путем рассмотрения связи
между следующими тремя параметрами: толщиной h, макси-
максимальным прогибом wmax и длиной полуволны основной формы
прогиба I, за которую можно" взять расстояние между точками
перегиба, т. е. точками^ где кривизна изменяет знак. Для сво-
свободно опертых балок, на которые действуют лоперечные оди-
одинаково направленные нагрузки или продольно сжимающая на-
нагрузка (при потере устойчивости), за I можно взять длину бал-
балки; для аналогично нагруженных защемленных по концам балок
за I можно принять половину длины балки; для нагрузок, цик-
циклически изменяющихся по направлению, за I можно взять поло-
половину длины цикла.
Если концы балки закреплены от смещения в осевом направ-
направлении, необходимо принять во внимание нелинейный член
OxmhcPw/dx1; как это было сделано в § 2.6; пока прогиб wmaXi
мал по сравнению с h (wmaI</j), при максимальных значениях
прогиба порядка wmu% = 0,lh ошибка составляет 3%, при ipmax —
= 0,21—10%. При wmax> h член, связанный с изгибом, можно
опустить и рассматривать балку как нить, при этом ошибка со- -
ставит 10% для wma = 2h и 3% для wmai = 3fe. Ошибками, свя-
связанными с заменой тангенса угла наклона углом наклона и т. д.,
можно пренебречь пока и>Шах<?, скажем, при «;тм=?0,1?.
Классическая теория балок достаточно точна при l~> h, ошиб-
ошибка при l=jlOh и I — 5h составляет соответственно 3%- и 10%
по прогибам, критической нагрузке и частоте колебаний и соот-
соответственно 0,3% и 1% — по напряжениям от изгиба.
Глава 4. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
§ 4.1. Введение в теорию пластии
* Силы к моменты, действующий' на малые элементы пластин.
Как уже указывалось, использование гипотез Бернулли сводит
классическую теорию балок, по существу, к одномерному слу-
случаю, где нормальная и поперечная силы Fx, Faz, а также изгиба-
изгибающий момент Мх, действующие в поперечных сечениях, можно
выразить через перемещения срединной поверхности, которые по-
полагаются функцией только продольной координаты х. Взяв в ка-
качестве плоскости ху плоскость срединной поверхности пластины
постоянной толщины ft = 2с (рис. 4.1), а в качестве третьей ко-
координатной оси, как и в случае балок,— ось z, нормальную к
срединной поверхности, получим нормальную Fx и поперечную
Z(W)
Рис. 4.1.
Fxz силы, а также изгибающий момент Мх, действующие так же,
как и в балках, в сечениях, нормальных к оси х, и соответству-
соответствующие нормальную Fy и поперечную Fyt силы, а также изги-
изгибающий момент Му, действующие в сечениях, нормальных к оси у.
Кроме этих сил и моментов, которые аналогичны тем, которые
обычно имеют место в балках, в пластинах в общем случае дей-
действуют касательные силы Fxy и Fy* и крутящие моменты Мщ
и Мух, показанные на рисунке. С помощью аппроксимации Кирх-
Кирхгофа все эти силы и моменты можно выразить через перемеще-
14 л. Г. Доннелл
210 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН {ГЛ. 4
ние срединной поверхности, которое является функцией только
двух координат х и у; таким образом, классическая теория пла-
пластин является существенно двумерной теорией. Так же, как это
имело место в случае балок, символами Fx, Мх и т. д. обознача-
обозначаются силы и моменты, отнесенные к единице длины поперечного
сечения, в котором они действуют; отсюда следует, что если
малые элементы имеют размеры dx и dy в . направлении осей
х и у (см. рис. 4.1), то суммарные силы, действующие на сторо-
сторонах малого элемента, суть Fxdy, Mxdy, Fvdx, M^dy, Fyidx и т. д.
Силы Fx, Fv, Fxy и Fyx являются мембранными силами, возни-
возникающими при растяжении и сдвиге пластины в плоскости ху,
и представляют собой такие же- силы, как и получающиеся при
интегрировании по толщине напряжений, определяемых в соот-
соответствии с задачей теории упругости для плоского напряженно-
напряженного состояния. Касательные силы Fxy и Fyx имеют в общем случае
тот же порядок величины, что и нормальные силы Fx и Fy. Мо-
Моменты Мх, Му, Мху и Мух, так же как и лоперечные силы FXI
и Fyi (которые уравновешивают изменения этих моментов), пред-
представляют собой изгибающие моменты и силы, которые возника-
возникают при изгибе тнластин из плоскости ху. Крутящие моменты Мху
и Мух в общем случае -имеют тот же порядок величины, что и
изгибающие моменты Мх и Му.
Подобно напряжениям ах в теории балок, напряжения ах,
с„ и аху, возникающие в поперечных сечениях пластин, м,Ъжно
разделить на постоянные компоненты, аналогичные тем, что име-
имеют место в задаче теории упругости для плоского напряженного
состояния и составляют мембранные силы Fx, Fxy и т. д., и ком-
компоненты^ которые" изменяются. по линейному закону, принимая
нулевое значение в срединной поверхности, и которые состав-
составляют изгибающие моменты Мх, Мху и т. д. Поперечные силы Fxz
и FyZ, как и в случае балок, являются следствием распределен-
распределенных по параболическому закону касательных . напряжений.
Хотя силы, действующие в поперечных сечениях пластин,
отчасти аналогичны силам, действующим в поперечных сечениях
балок (правда, в первом случае они уже не одномерные), от-,
сюда вовсе не следует, что пластину можно рассматривать и со-
соответственно этому рассчитывать как систему пересекающихся
под прямым углом балок; пластины отличаются от такой систе-
системы несвязанных балок многими факторами, среди которых один
очевиден: изгибание по двум направлениям и кручение пластин
существенно связаны друг с другом. Материал узкой балки мо-
может свободно^ расширяться или сжиматься в" направлении ши-
ширины балки в зависимости от связанного с величиной коэффици^
ента Пуассона влияния продольных напряжений, элементы же
. пластины не могут свободно расширяться или сжиматься в этом
направлении; благодаря наличию такой связи при исследовании
Соответствующего случая поведения пластин модуль упругости
§ 4.1]
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПЛАСТИН
211
Е, который описывает жесткость материала балок, в общем слу-
случае следует заменять несколько большим по величине модулем
?7A — V2). Для случая'ширбкой балки или пластины со свобод-
свободными краями, нагруженных так же, как балка, необходимо,
как будет показано в § 4.5 (см. рис. 4.22), использовать про-
промежуточное между двумя этими значениями модуля.
Имеется еще одно важное обстоятельство, которым пластины
существенно отличаются от балок. В пластинах при действии
краевых нагрузок, лежащих в срединной плоскости, можно по-
получить мембранные' силы, аналогичные тем, которые, имеют ме-
место в плоских задачах теории упругости, так -же как и в случае
осевых нагрузок, приложенных к балкам. Но в балках мембран-
мембранные силы могут вызвать поперечные перемещения только в том
случае, когда опирание балки таково, что оно препятствует осе-
осевым смещениям, как в случае, обсужденном "в § 2.6. G другой
стороны, мембранные силы в общем случае вызывают попереч-
поперечное перемещение пластин независимо от того, имеются ли та-
такие связи или они отсутствуют.'Это объясняется тем, что пере-
перемещения в плоскости пластины в общем случае не могут про-
происходить беспрепятственно, как при осевом перемещении сво-
свободно опертой балки,— различные части пластины стремятся
перемещаться на различные расстояния, поэтому такие переме-
перемещения влияют друг на друга. Например, рассмотрим круговую
пластину при действии поперечной нагрузки; диаметральные
элементы пластины (рис. 4.2, а) искривляются и^х концы стре-
стремятся сблизиться (рис. 4.2, б). Даже в том случае,, если радиаль-
радиальному перемещению не препятствуют граничные опоры, оно огра-
. ~ Рис. 4.2.
ничивается внешней частью пластины, работающей как кольцо
(рис. 4.2, в); в результате поперечные натрузки заставляют внут-
внутреннюю часть растягиваться в радиальном направлении, а внеш-
внешнюю часть сжиматься в окружном направлении.
Другой путь описания указанного влияния поперечных пере-
перемещений пластины состоит в том, чтобы считать, что при изгибе
пластины в нераэвертывающуюся поверхность некоторые ее ча-
части будут растягиваться, а другие — сжиматься или сдвигаться
в плоскости пластины с тем, чтобьГ деформировать первоначаль»
212
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
[ГЛ. 4
но плоскую пластину в неразвертывающуюся изогнутую поверх-
поверхность. (Это указывает на то, что мембранные "напряжения не
будут возникать при деформациях, при которых образуются
развертывающиеся поверхности, если, как и в рассмотренном
в § 2.6 случае балки, края не закрепляются от перемещений в
плоскости пластины.) Ниже будет показано, что возникающие
при поперечных перемещениях мембранные силы обусловливают
нелинейные эффекты, пропорциональные отношению прогиба к
толщине в степени, большей единицы, и поэтому они являются
несущественными, когда это отношение мало по сравнению с
единицей, но становятся главными факторами, когда это отноше-
отношение больше единицы.
§ 4.2. Соотношения, связывающие перемещения
и деформации
Приближенный анализ. Обозначим компоненты перемещений
точек срединной поверхности пластины в направлении осей х,
у и z соответственно через и, v и w (см. стоящие в скобках обо-
обозначения при координатных осях на рис. 4.1). Эти перемещения
и, v и w являются, разумеется, произвольными функциями
от х и у.
Показанная на рис. .4.3 точка р принадлежит срединной по-
поверхности, а точка Р является некоторой точкой пластины, рас-
р 1
г
и
и
Р .
7
о'
а)
S)
положенной на расстоянии z по нормали, восставленной в точ-
точке р к срединной поверхности; точки р' и Р' представляют собой
те же точки в деформированном, согласно гипотезе Кирхгофа,
состоянии. Если перемещение w отсутствует, то точка Р будет
иметь такое же перемещение и (или не показанное на рисунке
перемещение v), как и точка р (рис. 4.3, а). Если же, кроме
того, имеются и перемещения w, переменные в надравлениях
осей х и у, то нормаль к срединной поверхности будет поворачи-
поворачиваться приблизительно на угол dw/dx в плоскости, показанной
на рис. 4.3, б, а точка Р дополнительно переместится на расстоя-
расстояние z dw/dx в отрицательном направлении оси х. Полное пере-
перемещение U точки Р в направлении оси х и аналогичное
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
213
перемещение V в направлении оси у имеют вид
' U = u-zdw/dx, V = v-zdw/dy. ,D.1).
Деформации в слое пластины, параллельном срединной поверх-
поверхности и отстоящем на расстоянии z от нее, получаются заменой
в соотношении C.6) их и иу на U и V:
ех = dU/dx = ди/дх - zd2w/dx\ е, = dV/ду = dv/dy - zd2w'/dy\
езд = dU/ду + dV/дх = ди/ду + dv/дх - 2zd2w/dx ду.
Однако существуют, разумеется, и другие компоненты де-
деформации, обусловленные перемещением w, которые чв приведен-
приведенном обсуждении не рассматривались. Это — деформация типа
изученной в § 2.6 применительно к балкам (см. рис. 2.11, б),
которая связана с поворотом элементов. На рис. 4.4, а показаны
две смежные произвольные точки О и Р, первоначально отстоя-
отстоящие на расстоянии dx друг от друга, и их новые положения
Рис. 4.4
О' и Р' после того, как. возникли перемещения, являющиеся
функциями 'координат х и у. Можно видеть, что элемент ОР
растягивается в направлении оси х, что дает дополнительную,
кроме рассмотренных выше, деформацию, возникающую в нем,
которая с_учетом формулы для биномиального разложения равна
(ХУР' _ ОР)/ОР = [ 1 + Ш/дхJ11/2 - 1» {dwIdxYII. Разумеется,
в направлении оси у может иметь место аналогичная деформа-
деформация, равная C2ш/Зж2)/2.
. Здесь также в общем случае будет возникать деформация
поперечного сдвига, для которой несколько сложнее выписать
соотношения главным образом из-за трудности изображения та-
214 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
кой пространственной диаграммы на чертеже. На рис. 4.4, б
показаны- две стороны ОР и OQ произвольного элемента с раз-
мерйми dx и dy в плоскости, параллельной срединной поверхно-
поверхности; угол POQ до возникновения перемещения является, разу-
разумеется, прямым. Можно видеть, что после возникновения jr точ-
точках Р, О и Q неодинаковых перемещений w (для простоты по-
постоянная часть перемещения не показана)' угол P'OQ' уже не
остается'более прямым. Изменение этого угла, которое представ-
представляет собой сдвиг, обусловленный изменением перемещения w,
можно определить следующим образом. Угол QOP' будет оста-
. ваться прямым, что на рисунке показано маленьким квадрати-
квадратиком. Тогда, если поворачивать угол. QOP' вокруг отрезка ОР\
пока точка Q не совместится с Q", получим, что угол Q"OQ'
будет равен POP' = dw/dx (здесь, как обычно, предполагается,
что углы наклона достаточно малы, чтобы считать углы прибли-
приближенно равными тангенсам и синусам этих углов). Тогда, в рам-
рамках обычной аппроксимации, получаем длины сторон QQ' =
= (dw/dy)dy, Q"Q' = (dw/dx) QQ'= (dw/dx)(dw/dy)dy и угол
"O' "'/d(/(/
QQ y Qy
Следовательно, полные деформации в слое пластины, парал-
параллельном срединной поверхности и отстоящем от нее на расстоя-
расстоянии z, можно записать в виде
ди , i IdwY d2w dv
+ ) Z е
du , dv dw dw „ d2w
\
~d?Zl
D-2)
Последние слагаемые в этих выражениях содержат множитель z
и представляют собой деформации изгиба (flexural), равные ну-
лнГ на срединной поверхности и изменяющиеся по линейному
" закону в зависимости от расстояния z до срединной поверхности;
- будем обозначать эти части • деформаций как е«/, eVf и езд/.
Остальные деформации, не зависящие от z, являются мембран-
мембранными (membrane) деформациями, которые обозначатся как е*т,
бут и б*?™. Таким образом, имеем ex = ie»n + €x/ и т. д.
Точная формулировка соотношении, связывающих перемеще-
перемещения и деформации. Приведенный выше вывод ясно демонстри-
демонстрирует, какие из входящих в выражения для деформаций члены
являются наиболее важными, но они содержат дополнительно
ряд аппроксимаций, основанных на гипотезе Кирхгофа, включая
допущение того, что. различные компоненты деформаций не за-
зависят друг от друга. Предлагаемый точный (но в рамках гипо-
гипотезы Кирхгофа) анализ деформаций приводит к очень сложным
выражениям, которые включают в себя много различных членов,
не существенных для большинства практических задач, но более
аккуратно их значениям изучить мы не в состоянии.
§4.2]
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
215
На рид. 4.5, а показаны точка о и ?межные точки р и qf
расположенные на осях ж и у на расстояниях dx и dy от точки
о; все они лежат в недеформированной срединной поверхности,
которая совпадает с плоскостью ху с началом координат, для
удобства помещенным в точку о. Там же показаны соответству-
соответствующие произвольные точки О, Р и Q, которые лежат на восста-
восставленных, из точек о, р и q нормалях к срединной поверхности
в плоскости, отстоящей на расстоянии z от'срединной поверхно-
поверхности. На рис. 4.5, б показаны положения о', р', q' и О' точек о,
р, q и О после деформирования. Если перемещение точки о в на-
направлении оси х равно и, то перемещение точки р такое же, как
1* р *¦! **
х(и,Щ #¦'
dx
и точки О, за исключением того, что его координата х увеличи-
увеличивается на dx} и должно быть равно сумме перемещения и и ско-
скорости изменения этого перемещения вдоль оси х, умноженной на
величину приращения х, т. е. и + (dufdx)dx; аналогичные выра-
выражения можно получить и для остальных перемещений, как для
точки о, так и для q. Координаты х, у и z точек о', р' и q' пред-
представлены в верхней половине таблицы 4.1.
Таблица 4.1
о'
р'
9'
О''
Р'
Q'
и +
U + U
X
и
ди\
ди
и
+ -w)d*
аи
V
V
V
dV
. *+
w +
W +
W +
z
w
dw
1x~dx
dw
w
dW
dW
~didV
216 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
Теперь -можно вычислить точные координаты точек О , ис-
используя то, что в соответствии с гипотезой Кирхгофа, длина о'О'
.остается равной z, а углы р'о'О' и q'o'O' остаются прямыми.
По теореме Пифагора О'р'2 = о'р'2 + z2, О'д>% = o'q'2 + z2. По той
же теореме квадраты расстояний О'р'3, о' р'2, O'q'2, o'q'2 и О'о'2
можно подсчитать как суммы квадратов разностей между коор-
координатами х, у и z концевых точек; таким образом, имеем (рис. 4.6):
ТВг =~АСг + ВСг = {Шг + CD2) + ВС1. = {хв- хАУ + (ув - уАУ +
+ (zB — zAY. Обозначая, как это показано на рис. 4-5', в неиз-
неизвестные координаты точки О' через U, V и W и используя таб-
таблицу 4.1 для нахождения координат точек о', р' и q', предста-
представим равенства Q^2 = о7?5 + z2, ~0rqT2 = "^ + z2, O7^ = z2B сле-
следующем виде:
+¦?) ^+<* -
и - Uf + (у - FJ + (и; — W7J = z2.
Эту систему трех уравнений надо решить относительно трех
неизвестных U, V, W. Раскрывая скобки в левых частях первых
двух уравнений и вычитая из них последнее уравнение, получим.
D 4)
Решив систему D.4), выразим разности (u—U) и (у — V)
через (w—W), подставим их в соотношения D.3), вновь решим
полученное, в результате уравнение относительно (w — W) и в
итоге найдем .
V = v+snz, W= w + s{l + l)z,
где
dw(. dv\ . dwdv dw(. . dy\ . dwdu
i du . dv . dudv dudv r , , , , ,. . ,40,-1/2
в 4.2]
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
217
Так как точка Р отличается от точки О только малым при-
приращением dx ее координаты х, то для перемещения точки Р
в направлении оси х получим U + (dU/dx)dx и т. д., как это
показано на риС' 4.5, вив таблице 4.1. И наконец, из получен-
полученных точных выражений для координат х, у, z точек О', Р' и О'
•с помощью теоремы Пифагора можно определить выражения для
длин отрезков О'Р', O'Q' и P'Q' и отсюда по теореме косинусов
иайти угол P'O'Q' для деформированного состояния, после чего
находим деформации
ех = (О'Р' — dx)/dx, гу = (O'Q' — dy)ldy,
.€=
[{O'P'2+O'Q'2-P'Q'2)/{2O'P'-O'Q')}.
¦ Рис. 4.6.
Однако если в эти выражения подставить представления для
V, V и W из D.5), то получим исключительно сложные соотно-
соотношения, смысл которых будет
трудно разглядеть. Для того что-
чтобы представить деформации в
виде сумм простых по- виду
•слагаемых, как это было сде-
сделано в выражении D.2), раз-
разложим по. формуле для бино-
биномиального разложения в ряд
функцию, представляющую со-
¦бой степень с показателем
—1/2, в степенной ряд и удер-
удержим только несколько членов
этого ряда, предположив, что производные от перемещений ма-
малы по сравнению с единицей. Тогда из соотношений D.5) полу-
получим s = [l + BZ+Z2 + m2 + n2)]-1/2»l-BZ + Z2 + m2 + га2)/2 +
+ 3B1 + Р + т2 + п2J/8 + .... Сохраняя только члены не выше
второго порядка (т. е. квадраты или попарные произведения)
относительно производных от перемещений, получим 's =
= 1-(ди/дх)-Ш/ду) - (dw/dxJ/2 - (dw/dyY/2 + (ди/дх)Х
X (dv/ду) + (du/dy)(dv/dx) + (ди/дхJ + (dv/дуJ; здесь имеется че-
четырнадцать членов третьего поряка и большое количество членов
-более высокого порядка. Продолжая этот процесс, найдем
U = u+ [-(dw/дх) + (du/dx)(dw/dx) + (dv/dx)(dw/dy)]z,
V = v + [- (dwldy) + (ди/ду) (dw/дх) + (ди/ду) (dw/ду)] z,
W = w + [1 - (dw/dxf/2 - (dw/dyf/2] z,
•откуда перейдем к выражениям для деформаций:
S«, I (SwY I (dvJ Г d2w д*и dw
d2vdw
du d2w
218 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН 1ГЛ. 4
dv , . 1 (dw'f . 1 (du\2 . Г cPw-. d2u dw . d2v dw . dv d2w
— (Щ
du , dv . du>div dudv dudv . Г „ d2w , o d2u dw ,
-L ??? HE.
d~y ~T~ dis ~Т~дх ду дхдх ду ду + [~' -IxTy + Z dxdy
Кроме членов высшего порядка Жалости относительно производ-
производных от перемещений, которые были опущены в выражениях
D.6), там были опущены и члены с z2, как, например, член
(d2w/dx dyYz42 в выражении для е*.
Сравнивая_между собой выражения D.6) .и D.2), видим, что
уточненные выражения для деформаций содержат, как и ожи-
ожидалось, ряд дополнительных членов второй степени, а также чле-
члены еще более высокой степени, которые содержали множитель
z^ и были опущены. Важно представлять себе относительный
вклад этих различающихся между собой членов в практические
задачи. Ограничимся случаями, когда как деформации, так в
углы наклонов поверхности прогибов dw/dx и dw/dy малы по
сравнению с единицей. Деформации должны быть малыми при
упругом деформировании жесткого материала и, как правило,
малы в тонких пластинах и оболочках даже при появлении пла-
пластического течения или в случае, резиноподобного материала,
поскольку деформации, включающие в себя сжатие в произволь-
произвольном направлении, ограничены возможностью потери устойчиво-
устойчивости; большие деформации могут возникнуть только в- случаях,
подобных раздуванию резиновых мембран, где главные мембран-
мембранные напряжения являются растягивающими. А большие углы
наклонов, как уже обсуждалось в § 3.2, могут, возникнуть только
в случае очень тонких пластин, которые изгибаются в развер-
развертывающуюся поверхность, или пластин,- изготовленных из рези-
резиноподобного материала или пластически деформированных, как,
например, при операциях прокатки; для пластин, применяемых
в различных конструкциях, допустимые деформации и углы на-
наклонов . поверхности прогибов, обычно очень малы по сравнению
¦ с единицей даже в той области, которую будем называть об-
областью больших прогибов.
Рассмотрим сначала мембранную часть деформаций. Если на-
нагрузки прикладываются только по краям и в плоскости пластин,
при этом перемещения w отсутствуют (т. е. имеет место случай
задачи теории упругости для плоского напряженного состояния),
то первые члены "в выражениях для деформаций ди/дх, dv/dyt
ди/ду и dv/дх будут являться основными, причем для тех слу-
случаев, которые будут рассматриваться ниже, они будут весьма
малыми по сравнению с единицей. Квадраты или попарные про-
§ 4.3] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 219
изведения этих членов будут при этом пренебрежимо малы по
¦сравнению с ними самими и, следовательно, представляют собой
уточнения, которыми в классической линейной теории упругости
пренебрегалось. - • '
С другой стороны, для случая, когда при поперечной нагруз-
нагрузке или при выпучивании (при действии приложенных на кон-
.цах нагрузок или без них, только вследствие закрепления кон-
кондов) появляются прогибы, перемещения и и v будут иметь по-
порядок где-то между'нулем и величиной, при которой можно
-отбросить обусловленные наклоном деформации второго порядка
малости. Например, в выражении для гх величина ди/дх не пре-
превышает (dw/dx)z/2 и поэтому должна быть очень мала, так как
мала величина dw/dx; это означает, что перемещения и и v
-намного меньше перемещений w. Поэтому среди членов, описы-
описывающих деформацию изгиба, такие членьц как [du/dx)(d2w/dxz),
должны быть очень малыми по сравнению с главными ответ-
ответственными за изгиб членами, такими, как d2w./dxz; подобную ар-
аргументацию можно было представать и для таких сравнительно
малозначащих членов, как (д2и/дхг)(дм/дх) и как те члены, ко-
которые содержат множитель z\
Для комбинации плоского напряженного состояния и попе-
поперечного нагружения нельзя привести столь же четкие рассуж-
рассуждения, . но эксперименты указывают, что в подобных случаях,
если деформации и углы наклонов поверхности прогибов малы,
важными оказываются также только те члены, которые присут-
присутствуют в выражениях D.2). Для таких крайних случаев, как
раздувание резиновой мембраны или операции прокатки, когда
деформации и углы наклонов имеют величину порядка единицы,
соотношений типа D.6), где сохраняются только члены вто-
второго порядка, будет, по-видимому, уже недостаточно, и может
оказаться необходимым воспользоваться точными соотношения-
соотношениями D.5), не пытаясь представлять выражения для деформаций
в виде суммы простых членов. В главе 6 будет показано, что
лгожно получить численные решения, используя соответствую-
соответствующие точные выражения для оболочек, частный случай которых
представляют выражения D.5). В данной главе"мы ограничимся
рассмотрением уравнений D.2), которые очень удобны для боль-
большинства инженерных приложений.
§ 4.3. Уравнения равновесия
Выражения для сил и моментов, действующих в поперечных
течениях. Вторым шагом в исследовании пластин является под-
подстановка выражений D.2) для деформаций в соотношения, свя-
связывающие напряжения и деформации для рассматриваемых ма-
материалов, с тем, чтобы. получить напряжения а», о„ и аед в слое,
параллельном срединной поверхности и отстоящем от нее на
расстоянии z (рис. 4.7). Для случая упругого материала соот»
220
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
1ГЛ. ¦
ношения между напряжениями и деформациями определяются,
естественно, законом Гука. Так как слои пластины, параллель-
параллельные срединной плоскости, сравнительно свободно могут распш-'
ряться или сжиматься в поперечном направлении, такие слои
можно считать находящимися в состоянии плоского напряжен-
напряженного состояния, следовательно, соотношения, связывающие на-
напряжения с деформациями, можно взять в
форме C.116), приведенной в § 3.2').
Третий шаг состоит в получении сил Fz,
Fy.
относительно
у
y, Fxy и Fyx и моментов Мх, Му,
, и Му*
срединной плоскости путем
интегрирования по высоте поперечного
сечения сил, действующих на малый эле-
мент с шириной dz, и моментов этих сил
относительно срединной поверхности. Вепо-
миная, что через Fx обозначены силы, отне-
отнесенные к единице ширины поперечного
сечения, получим, что суммарная сила в
направлении оси х, действующая по всей
стороне элемента, к которому она прило-.
жена (см. рис. 47), равна Fxdy = J axdy dz — dy\ axdz, откуда на-
находим Fx = J ox dz, где интегрирование проводится от —с до с
и т. д. Таким образом, приходим к следующим соотношениям:
Рис. 47.
С
Fx = f ax dz = hox
Fy =
aydz = ho
ym,
4 4
= J axy dz = hcrxym, Mx = j oxz dz,
с с
My = j OyZ dz, Mxy = Myx = j
D.7>
Можно видеть, что при использовании обозначений с двой-
двойными индексами F^, Fy*, М^, М^ порядок индексов не играег
в случае пластин никакой роли, так же как и в случае Вапря-
же'ния аху, поэтому в дальнейшем для пластин будут использо-
использоваться только обозначения Fxy и Мху. Подобного типа выражений!
для поперечных сил Fxz и Fyz не существует, так как соответству-
соответствующие этим силам деформации поперечного сдвига здесь не учи-
учитывались, и поэтому пока еще нет способа их определения. Ниже-
силы FXI и Fyz и соответствующее им распределение касательных
напряжений будут определены из условий равновесия, как это»
было сделано в случае балок.
') Этот вопрос более полно рассматривается в § 6.4 при обсуждении!
выражений F.21).
§ 4.3]
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
J.
221,
Уравнения равновесия. Последние необходимые соотношения
находятся из рассмотрения равновесия малого элемента пла-
пластины с размерами dx, dy, h (см. рис. 4.7). Для-простоты на
рис. 4.8 показана только срединная поверхность этого элемента
с действующими на него силами (рис. 4.8, в) и моментами от
сил, действующих на торцевых сечениях, относительно средин-
срединной поверхности (рис. 4.8, г). Требуется " записать уравнения
равновесия сил в направлении осей х, у и z:
и моментов сил относительно осей, проходящих, скажем, через
центр тяжести элемента и совпадающих по направлению с коор-
координатными осями:
S m* = о. 2 *% =. о. 11т* = °-
Покажем,, что суммарные силы и моменты, действующие на
малый элемент, получаются умножением сил и моментов, от-
отнесенных к единице длины сечения, на первоначальную длину
Перемещения относительно
противоположных сторон
Повороты относительно
противоположных^ сторон
Рис. 4,8.
сечения, в котором они действуют. Как уже говорилось в § 3.1
применительно к напряжениям, влиянием изменения сил и мо-
ментов' вдоль сторон элемента можно пренебречь как малыми
величинами высшего порядка, а силы и моменты, а также при-
приращения, приобретаемые ими при переходе от одной стороны
элемента к противоположной, могут рассматриваться приложен-
приложенными к центру тяжести второй, как это прказано на рисунке.
Хотя после приложения к малому элементу сил и моментов
он приобретает вследствие деформирования новую, формат, на
рис. 4.8, в показаны истинные величины сил, так как, по опре-
222 - КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН ^ (ГЛ. 4
делению, напряжения на некоторой поверхности равнялись от-
отношению действующих сил к первоначальной площади и при
нахождении сил использовались исходные размеры. Выражения
для моментов, представленные на рис. 4.8, г, не совсем точны,
так как хотя силы имеют истинные величины, но толщина h
пластины и плечи сил изменяются из-за деформации е*. Ошибка
при этом очень мала, так как влияния деформаций гг на поло-
положительные и отрицательные напряжения изгиба (которые, как
правило, являются наибольшими из действующих) в значитель-
. ной степени уравновешивают друг друга; во всяком случае из-
тяенения плеч пары сил ограничены малым диапазоном порядка
одного процента для' жестких материалов, работающих в уп-
упругой области.
Деформация элемента, кроме того, слегка смещает и повора-
поворачивает линии действия сил и изменяет плечи пар сил, что, ра-
разумеется, отражается на уравнениях равновесия. Большинство
этих перемещений и поворотов не важны для практических
-задач, но будет поучительно рассмотреть их, прежде чем игно-
игнорировать некоторые из- них. Поскольку движение как жесткого
тела не влияет на равновесие, необходимо рассмотреть только
перемещения и повороты центра тяжевти одной стороны отно-
относительно центра тяжести противоположной стороны (рис. 4.8, а).
Для облегчения исследований этой задачи можно, при жела-
желании, вместо координатных осей' х, у и z взять оси х', у' ¦ и z',
направления которых совпадают с направлениями действующих
яа элемент сил, начало координат поместить в центре тяжести
деформированного элемента, причем оси х' и у' берутся как
касательные, а ось z' — как нормаль
к срединной поверхности (рис. 4.9),
, так что равнодействующая давле-
— ния р направлена вдоль оси %'\
а векторы, представляющие силы и
моменты, действующие на краях эле-
элемента, составляют примерно равные
углы с осью z'. Другим важным об-
обстоятельством является то, что все
Рис. 4.9. перемещения и повороты содержат
множитель dx или dy, поэтому
рассматривать следует только те члены, которые содержат.
кервые степени этих множителей; таким ббразом, разности меж-
между косинусом угла поворота и единицей или между углом и
синусом или тангенсом этого угла являются малыми величинами
высшего порядка, поскольку они практически пропорциональны
квадратам углов.
На рис. 4.8, а показаны компоненты перемещений, а на
рте. 4.8, б — компоненты поворотов сторон, на которых они изо-
изображены, относительно противоположных сторон. Для обозна-
§ 4.3] . УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 22а
чения моментов и поворотов воспользуемся векторами с малень-
маленькими круговыми стрелками, указывающими направление момен-
момента или поворота; векторы изображены направленными вдбль мо-
моментов и поворотов, направление стрелок соответствует правилу
правой руки: стрелка направлена вдоль большого пальца правой*
руки, когда направление момента или поворота совпадает с на-
направлением остальных пальцев. Векторы моментов и векторы^
представляющие малые повороты, подобные рассмотренным здесь,,
могут быть разбиты на составляющие точно так же, как и ос-
остальные векторные величины, хотя это будет не совсем пра-
правильно в случае больших поворотов.
На рис. 4.8, а деформации е*т, »ут и в^ представляют собой
мембранные части соответствующих деформаций вх, ву и е^,, т.- е.
деформации срединной поверхности. Через вхг и вуг обозначены
средние значения деформаций ^поперечного сдвига, т.' е. тех де-
деформаций, которые имели бы место, если бы напряжения попе-
поперечного сдвига были равномерно распределены по поперечному
сечению. Хотя величины деформаций гХ1 и вуг неизвестны, их
можно определить с помощью поперечных сил FX1 и Fyl, опре-
определяемых в первом приближении путем пренебрежения дефор-
деформациями вхг и вуг; эти деформации затем- используются во вто-
втором приближении (см. выражения F.236)).
Рак уже обсуждалось ранее, показанные на рис. 4.8, а* и 4.8, &
наиболее важные перемещения и повороты при деформировании
обусловлены кривизной и кручением; их выражения содержат
члены вида д%и>/дхг, д%ю/дуг и d*w/dxdy, так как даже сравни-
сравнительно толстая пластина является более податливой на изгиб,,
чем при деформировании в своей плоскости. Наиболее важным
эффектом, связанным с этими поворотами, является появление-
поперечных составляющих (подобных составляющей Fxdzw/dx2 »
теории балок) мембранных сил Fx, Fv и F^, которые в задачах
выпучивания являются, как уже отмечалось в § 2.5, очень боль-
большими по сравнению с другими силами и моментами. Ниже бу-
будем записывать уравнения равновесия с учетом только тех важ-
важных обстоятельств в картине деформирования малого элемента,."
которые обязательно должны рассматриваться в задачах выпу-
в дальнейшем будет обсуждаться значение и опу-
опущенных членов. .
Члены, которые присутствуют в уравнениях равновесия, мож-
можно отнести к следующим типам:
1) Внешние силы, которые действуют на элемент, например-
сила р dx dy, которая входит в уравнение равновесия сил в по-
поперечном направлении 2 h — 0, где р(х, у) — отнесенная к еди-
единице площадя распределенная нагрузка, нормальная к поверх-
поверхности и совпадающая по направлению с положительным на-
направлением оси z (см. рис. 4.8, в). В рамках аппроксимации^
полученной на основе гипотезы Кирхгофа, не делается различия.
224 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
между тем, Приложена эта нагрузка к верхней или нижней по-
- верхности или она приложена к некоторой промежуточной по-
поверхности; этой нагрузкой может быть и объемная сила p/h,
отнесенная к единице объема и действующая на единичный объ-
объем hdxdy'. Влияние изменения площади или ббъема при дефор-
деформировании невелико. Подобные распределенные внешние силы
могут' быть направлены по касательной в направлении оси х
или у или создавать моменты благодаря расстоянию h между по-
подобными касательными силами, приложенными по верхней и
нижней поверхностям; например, если направленные вдоль оси х
распределенные касательные силы tx и Ъх действуют на верхней
и нижней поверхностях, то они входят в уравнение 2/ж = 0 в
виде члена (tx+bx)dxdy и в уравнение 2ту = 0 в виде члена
{tx — bx)hdxdy. Подобные силы можно легко учесть, но для про-'
«тоты в дальнейшем в уравнения будет включаться только по
перечная нагрузка р, которая представляет собой наиболее об-
общий случай нагружения для практических задач, но вместе с
тем и наиболее ответственный, так как нагрузка действует в наи-
наиболее слабом поперечном направлении.
Для задач, в которых должно рассматриваться влияние пере-
перемещений на действие нагрузок, будем считать, что нагрузка р
остается нормальной к поверхности и после деформирования,
как это было бы в том случае, если бы нагрузка представляла
собой давление жидкости. Нагрузки, которые либо с самого на-
начала, либо после деформирования действуют "под некоторым уг-
углом к поверхности, могут рассматриваться как комбинация нор-
нормальной нагруцки р и касательных нагрузок типа tx, причем
предполагается, что направление их остается касательным и
после деформирования.
2) Учитываются только изменения .сил или моментов при пере-
переходе от поперечного сечения на одной стороне к сечению на
противоположной стороне, главные части сил и моментов взаим-
взаимно уничтожаются; например, в уравнение 2/z = 0 будут вклю-
включаться слагаемые (dFxz/dx)dx dy и (dFyz/dy)dx dy. Тот факт, что
векторы сил и моментов в действительности направлепы под не-
некоторыми малыми углами к направлению, относительно которого
рассматривается условие равновесия, из-за поворота сечений,
в которых они действуют, можно игнорировать, так как разности
между косинусами этих углов и единицей являются малыми
величинами высшего порядка.
3) Компоненты векторов сил или моментов, первоначально
направленные под прямым углом к направлению, относительно
которого рассматривается условие равновесия, вследствие пово-
поворота поперечных сечений, на которых они действуют, могут дать
малые составляющие в указанном направлении. Для таких чле-
членов изменениями векторов при переходе от сечения на одной
§4.3]
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
225
стороне к сечению на противоположной стороне можно прене-
пренебречь, так как в уравнениях учитываются главные части векто-
векторов, а их изменения являются малыми величинами более вы-
высокого порядка по сравнению с самими векторами. Так, в наи-
наиболее важном уравйении равновесия в поперечном направлении.
2/,= 0 имеются следующие слагаемые: FKdy(d*w/dxz)dx (анало-
(аналогично члену Fx(d*w/dz2)dx в уравнении B.4)), Fydxid^w/dy^dy,
а также Fxydx{dzw/dxdy)dy + Fxydy(diw/dxdy)dx =
= 2Fty(dzw/dx dy)dx dy, что показано на рис. 4.10. Эти члены
играют важную роль ,в задачах устойчивости даже в случае ма-
малых перемещений, так как силы Fx, Fv и F^ имеют конечные
dx
Рис. 4.10.
величины еще до того, как возникают прогибы; эти члены яв-
являются нелинейными и существенны только при прогибах по-
порядка толщины и более. Членами Fxzdy{d*w/dx*)dx в уравнении
2)/х = 0 и Fyzdx{d%w/dy2)dy в уравнении ^Jy = 0 пренебрегаем,
так как силы Fxz и Fyz равны нулю до возникновения перемеще-
перемещений и значительно меньше сил Fx, Fy и Fxy в обычных задачах
того типа, которые будут рассматриваться" ниже, как уже говори-
говорилось в связи с хравнением B.36) для балок».
4) И наконец, в уравнении равновесия моменов имеются мо-
моменты от противоположно направленных сил, действующих на
противоположных сторонах малого элемента и образующих пары
сил с плечами, равными расстоянию между линиями действия
сил. Наиболее важными из таких пар являются те, для которых
в качестве плечей выступают стороны Малого элемента, напри-
например (Fxydy)dx в уравнении ^ту=0- Здесь также можно пренеб-
пренебречь изменением силы idFxz/dx)dx, разницей между косинусом
угла поворота и единицей, а также малыми изменениями плеча
пары сил, обусловленным искривлением (рис. 4.11, а), поскольку
все они являются величинами более высокого порядка малости.
Влияние деформации Bxmdz на длину плеча пары сил такое же,
как и влияние малого момента Fxdyexzdx в том же уравнении,
15 Л. Г. Доннелл
226
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
(ГЛ. 4
показанного на рис. 4.11, б; и то и другое не имеют значения
для твердых материалов, работающих в упругой области, так
как деформации малы и составляют всего один процент от еди-
единицы, поэтому они также не будут учитываться.
Заметим, что все слагаемые в уравнениях равновесия содер-
содержат множитель dxdy. Разделив их на этот множитель, получим
следующие шесть уравнений равновесия: **
дх
l3
ду
дх*
2F:
*" дх ду
tj-t^O,
ду
__
У**
^ту'=0:
2т, = 0:
вМ„.
D.8)
Среди опущенных членов, отличных от упоминавшихся выше,
имеются члены типа 3):
в уравнении 2 "** = 0, которое перестает быть тождеством.
Лодобные члены очень малы при малых деформациях и углах
.а)
Рис. 411.
наклонов; опыт указывает на то, что все они являются менее
существенными по сравнению с членами, которые будут встре-
встречаться в обычных рассматриваемых ниже задачах.
Рассмотрим первые два уравнения 2/х = 0 и 2 Л = 0 си-
системы Г4.8). Используя соотношения D.7) и разделив эти урав-
уравнения на h, получим
3<т._ •- дОю,^ ~ dG-.-л до~.1тл ,, Л
XT» j ХУТп ^__ Г\ . УТП i *У1П Л / Z Q\
дх ду - ' ди ' дх ' '
§ 4.3] _ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 227
Эти уравнения совпадают с уравнениями C.14а), за исключе-
исключением индекса т, и они могут быть удовлетворены, если так
же, как ив выражениях C.16а), взять
Для случая упругого материала, используя выражения C.11а),
D.10) и D.2), для того чтобы мембранные деформации, запи-
записанные через мембранные напряжения, приравнять таким же.
деформациям, выраженным через перемещения, получим
_ * / \ _1 i ( д*Ч дг<р\ __ ди i (ди>
т -Гв (<Jxm ~ Wym) _J -g- \-j^ - V -jj j - -^ + -j- |^-
dv
. • ' ." D11)
_ 2(l + v) _] 2 A -F v) d\ '. du , dv dw aw
Далее применим операторы дг/ду\ д*/дх* и д*/дхду соответствен-
соответственно к первому, второму и третьему соотношениям и сложим их,
как это было сделано при выводе уравнения C.16в), что дает
\дх ду j
1 / ay а«ф Л _^ д*у
* ^ дх* дх%* J дз?ду
2 A + у) А> _ _ ga» -
Я дх*дуг~ дхду2
I дги>\г _ dw
~\дхду) дх
Складывая эти соотношения и умножая шгс Е, получим
Это весьма важное уравнение было получено Т. Карманом')..
Сравнивая его с уравнением C.16в), видим,, что мембранные
') Karman T. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau.—EnzyMopadie
der mathematischen Wissenschaften. Bd 4. Mechanik. Heft 5, № 31.—Leipzig:
B. G. Teubner, 1914, SS. 695—770; Karman Th. CoUected works. V. 1.—
London: Butterworths Scient Publ., 1956, pp. 208—273. В действительности
это уравнение впервые получил А. Фёппль: F 5 р р 1 A. Vorlesungen iiber
technische Mechanik. Bd. 5.—Miinchen: Oldenburg Verlag, 1907, SS. 132—
144.—^Прим. ред.
15* '
228 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
напряжения в пластинах можно получить наложением любых
напряжений, удовлетворяющих уравнению плоской задачи тео-
теории упругости (т. е. уравнению V*<p = O и граничным условиям),
и напряжений, удовлетворяющим уравнению D.13), так как
такбе наложение, очевидно, удовлетворяло бы уравнению D.13).
Так можно сделать в том случае, когда решение берется в виде
Ф = Ф„ + фА, где ф„ — частное /particular) решение, т. е. функция,
удовлетворяющая уравнению D.13) независимо от граничных
условий, а Фа — решение однородного (homogeneous) уравнения,
получающегося из уравнения D.13) при оставлении в нем толь-
только тех членов, где присутствует функция ф, т. е. если прирав-
приравнять нулю правую часть уравнения. Последнее, согласно урав- •
нению C.16в), включает в себя все решения для плоского
напряженного состояния, которые теоретически включали бы
достаточно произвольные функции интегрирования, чтобы удов-
удовлетворить интегральным граничным условиям, налагаемым на
усилия и перемещения в плоскости пластины по всем четырем
краям прямоугольной пластины или по соответствующим гра-
границам при иной форме пластины. Наиболее часто используемые
и полезные решения однородного уравнения для плоского
напряженного состояния, включающие степенные и гиперболо-
трйгонометрические функции, обсуждались ранее в § 3.3.
Следующее, очень важное заключение, которое мбжно сделать
из рассмотрения уравнения D.13), состоит в том, что так как
относящееся к мембранным напряжениям частное решение ф,
связано с поперечным перемещением w через квадраты или
попарные произведения соответствующих производных от функ-
функции w, эта часть мембранных напряжений демонстрирует влия-
влияние больших прогибов или конечных перемещений, которое не-
незначительно, когда прогиб w мал, и становится заметным только
при больших .прогибах w; насколько при этом велик должен
быть прогиб w, трудно определить' из нростых соображений, но
опыт указывает, что, как и в соответствующем случае балок,
рассмотренном в *§ 2.6, эта часть частного решения, описываю-
описывающего мембранные напряжения, становится существенной только
тогда, когда прогиб w становится соизмеримым с толщиной.
Следовательно, при w «S 0,2/г такими мембранными напряжения-
напряжениями можно пренебречь, положив правую часть уравнения D.13)
равной нулю. В подобном случае могут возникать еще и мем-
мембранные напряжения, соответствующие плоской задаче теории
упругости и вызываемые действующими в плоскости пластины
краевыми нагрузками, но это плоское напряженное состояние
не будет зависеть от поперечных нагрузок и вызываемых ими
прогибов. Таким образом, когда прогиб w мал, два вида нагру-
нагруженных состояний пластины — мембранное и изгибное, обуслов-
обусловленное поперечным нагружением,— могут исследоваться по от-
отдельности, а затем суммироваться.
§ 4.3] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 229
Для удовлетворения приведенных выше уравнений D.9) мож-
можно было бы вместо выражений C.16а) с функциями напряжений
Эри воспользоваться выражениями C.156), но это не дало бы
никаких преимуществ, поскольку, как видно из соотношений
D.11), в данном случае перемещения в плоскости пластины
зависят как от прогиба w, так и or напряжений ох, о„ и о«„
и поэтому не могут быть получены из выражений C.15а).
Рассмотрим теперь остальные уравнения равновесия D.8).
Для случая упругого материала, используя соотношения C.116)
между напряжениями и деформациями и D.2) между деформа-
деформациями и перемещениями, для Мх, Му и М^, запишем:
¦ " с Г ¦ с
Мх = I axz dz = к \ {sx — v&y) z dz = •
J. 1 — \ J
Eh3 (d*w . d2w\
ТГл 2n 7T + VTT И Т. Д.
или в такой форме:
Eh3 2Ес
3
Здесь D — произведение модифицированного модуля упруго-
упругости Е/A — V2) на момент инерции поперечного сечения единичной
длины относительно срединной поверхности пластины, в теории
балок это соответствует величине EI для балки единичной шири-
ширины. Величина D характеризует сопротивление изгибу пластины
и называется ее изгибной жестлостью. Подставляя выражения
D.14) в уравнения D.8) 2тх = 0 и 2 Щ = 0. полУчяш следую-
следующие выражения для поперечных сил Fxz и Fyt:
dxz дхду
з »' • D-15)
-D 4^)>
4+^
\дх ду ду
Выражения для напряжений. Теперь можно объединить вы-
выражения для различных возникающих в пластинах напряжений,
включая напряжения поперечного сдвига. Используя выражения
C.116), D.2), D.10) и D.14), получим нормальные и касатель-
касательные напряжения, направленные вдоль осей х ж у.
О» = Охт + О xh
230 КЛАССИЧЕСКАЯ' ТЕОРИЯ ПЛАСТИН {ГЛ. 4
* Е ^
Я - ** -
^ 2l5a: j ^ 2\дх)\~ h '
<9у _ Е Ldu dv dw dw\ _ Рху
"хцт —¦ - ( ~Г
Выражения для ст„ аналогичны выражениям для а„ при замене
в них и и ж соответственно на р и_#.
Поперечные касательные напряжения можно найти так же,
как и в теории балок, рассмотрев равновесие части элемента
пластины,-расположенного по одну сторону от плоскости, парал-
параллельной срединной поверхности (рис. 4.12). Для простоты на
рисунке показаны- только силы, действующие в направлении*
оси х. Из условия равновесия действующих в этом - направле-
с
нии сил следует: <зхгйх dy= ] (дах/дх-\-даху/ду) dx dy dzf'. Из урав-
~ . г _ —'¦
нений D.9) получаем, что стоящее в скобках выражение равно
нулю; тогда, используя D.16), находим _
с _ •
Oxz = J {daxf/dx + dax1Ji!dy) d?! =
г
e
E Г д'ш , д*ш . .. . Л
или с учетом D.15) —
Выразкёниедля оуг такое, как и для а», если х заменить на у.
. Уравнение равновесия в поперечном направлении. Наконец,
подставляя выражения D.15) в уравнение 2/* = 0 из D.8) и
используя выражения D.7) и D.10), можем записать важное
уравнение равновесия в поперечном направлении!
дх"
ИЛИ
§4.3]
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
231
32ф
я —— yj I Ti!'"' .' 1 ¦
D.18)
~ ^ ^ ^ V Их2 ^ дх2 ду2 дхду дхду)* V
Можно видеть, что уравнение B.4) для балок является специ-
специальным случаем уравнения D.48) при д/ду = 0 (т. е. функции
не изменяются в направлении оси у}, за исключением того, что
в случае балок подставляется модуль Е вместо Е/{1 — v2), так как
балки могут свободно расши-
расширяться или сжиматься в попе-
поперечном направлении. Другие
уравнения* для балок, как мож-
можно убедиться из аналогичных
рассуждений, являются специ-
специальными случаями соответству-
соответствующих уравнений пластин.
Общие решения задач для
пластин. Функция напряжений
ф(ж, у) определяет мембранные
напряжения, тогда как прогибы
w(x, у) определяют напряжения Рис. 412.
изгиба. Эти две функции долж-
должны удовлетворять уравнениям D.13) и D.18), а также граничным
условиям, наложенным на силы и перемещения как в плоскости
пластины, так и из нее. В общем случае граничные •условия
вдоль каждой из четырех сторон прямоугольной пластины со-
состоят из\ двух условий на мембранные силы, а также переме-
перемещения и или v в плоскости пластины, они являются мембранными
условиями, связанными с функцией ф, которая должна быть
решением уравнения D.13). Кроме того, Для случая шарнирного
опирания или -защемления краев (другие граничные условия
имеют более сложный вид и будут рассмотрены ниже в § 4.5)
граничные условия вдоль каждой из стерон содержат по два
условия, налагаемые на изгибающие моменты или силы, на ntf-
перечное перемещение или поворот из плоскости пластины; они
являются изгибныйи граничными условиями, связанными с про-
прогибом w, который должен .удовлетворять уравнению D.18). На-
Например, для полностью защемленного края, параллельного оси х,
следует удовлетворить условиям^ и = v ¦= w = dw/ду = D вдояь
краев; первые два условия — мембранные, два последних — из-
гибные. -
Каждое из уравнений D.13) и D.18) .имеет четвертый норядок
по г- и j/, ъ е. они содержат четвертые производные по ж и у.
Они теоретически определяют две функции ф н w и достаточное
число произвольных функций интегрирования, с тем чтобы удов-
удовлетворить четырем условиям, записанным для каждой^ из че-
четырех сторон прямоугольной пластины. Эти условия удовлетвсь
232 . ' КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
ряются с помощью решений однородных уравнений, получаемых
при оставлении членов, содержащих только функции фиш
соответственно в уравнениях D.13) и D.18); эти решения сум-
суммируют с частными решениями этого уравнения и получают,
таким образом, полное решение исходных уравнений задач.
На этот раз ограничимся рассмотрением пластин прямоуголь-
прямоугольной формы, используя прямоугольные координаты. Для пластин
иной формы обычно оказывается более удобным использовать
такую координатную систему, чтобы одна из координат являлась
постоянной вдоль границ, как, например, в случав полярных
координат для круговых или кольцевых пластин. Основные
уравнения для пластин в произвольной системе координат мож-
можно легко вывести из общей теории оболочек, представленной
в главе б, там же можно найти некоторые обсуждения этого
уравнения; круговые пластины рассматриваются в конце этой
главы.
Непосредственное решение системы двух D.13) и D.18) не-
нелинейных дифференциальных уравнений не является простым
делом, но' к настоящему времени предложен ряд непрямых
методов решения типа решения с помощью рядов или энергети-
энергетических методов. Подобные нелинейные случаи конечного про-
прогиба, так же как и улучшения в рамках малых прогибов клас-
классической теории пластин (которые позволяют удовлетворить более
полным граничным условиям, чем те, что обсуждались выше и
формулировались относительно равнодействующих сил и момен-
моментов, а также прогибов срединной поверхности), будут рассмот-
рассмотрены в главе 5. В оставшейся части данной главы будут
рассматриваться некоторые практические задачи, для которых
могут быть использованы линейные решения для малых проги-
прогибов, получаемые по классической теории пластин.
§ 4.4. Малые прогибы свободно опертых
прямоугольных пластин
Если поперечное перемещение w мало (это означает, как
уже говорилось, что оно мало по сравнению с толщиной К), то
правую часть уравнения D.13) можно положить равной нулю
и мембранные напряжения, если таковые имеются, можно опре-
определять независимо от прогиба w. Если имеются действующие
в срединной плоскости пластины краевые нагрузки, то мембран-
мембранные напряжения можно определять независимо от поперечных
прогибов из рассмотрения задачи о плоском напряженном состо-
состоянии, с тем чтобы, например, установить распределение мембран-
мембранных напряжений, стремящихся вызвать выпучивание, а затем
перейти к исследованию потери устойчивости в классической
постановке. Уравнение D.18) при этом становится линейным
относительно функции w, так как напряжения вхт, оут и а*^,,
§ 4.4]
СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ ПЛАСТИНЫ
233
если они существуют, можно считать постоянными относительно
w. функциями, если прогиб w мал. Тогда решения уравнения
D.18) в принципе не очень отличаются от решений уравнения
B.4) для балок, которые были рассмотрены в главе 2; приведен-'
ные ниже примеры показы-
показывают имеющиеся различия.
Поперечно нагруженная
пластина со свободно опер-'
тыми краями. Для случая,
когда мембранные напряже-
напряжения Cm, Оут И а^т раВНЫ Ну-
лю, уравнение D.18) прини-
принимает вид z
Z)V*u7 = p. D.19) ' Рис. 4.13.
Для показанной на рис. 4.13 прямоугольной пластины
со свободно опертыми краями при ж = О, х — а, у = 0 и у = Ь
интегральные краевые условия таковы:
w = Мх — О или w
-f v -^-f- = 0 при х — О ш х — а,
w = Mv — 0 или w = -^- + v -^-f- = 0 при у = 0 и х = Ь.
Эти условия удовлетворяются, если взять
(!»,»= 1, 2, ЗГ...).
D.20)
Уравнение D.19) также будет удовлетворяться при
где коэффициенты рт„ с помощью гармонического анализа,
аналогичного использованному для балок, можно определить так,
чтобы представление D.22) соответствовало любому желаемому
распределению нагрузки .р(х, у), при этом используется то об-
обстоятельство, что члены такого ряда ортогональны в области
0<ж<а, 0<у<Ь. Для того чтобы определить произвольный
коэффициент ртп, умножим обе .части представления D22) на
sin (mnx/a) sin (ппу/Ъ) и проинтегрируем по площади пластины
тпх
ппу .
0
тпх
sin
ппу ,
а Ъ
= YY Ртп'
234
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
[ГЛ. 4
откуда
ly. D.23)
0 0
Подставив выражения D.21), D.23) в уравнение D.19) ж при-
приравняв коэффициенты при-соответствующих членах, решим по-
полученные соотношения относительно wmn и подставим найденное
значение в представление D.21), так же как это было сделано
в случае балок при получении выражения. B.12), в результате
найдем - ¦
. тпх_ . ппу а Ь ' -
4а„
D.24)
Это выражение можно использовать при. произвольной попереч-
поперечной нагрузке точно так же, как выражение B.12) использовалось
для балок.
Свободно опертая по краям пластина прн равномерной попе-
поперечной нагрузке. Для_лластины, на которую действует равно-
равномерно распределенная поперечная нагрузка р = Ро, выражение
D.24) сводится к виду -
тлх ппу Т
164 Я11С 8Ш ~Т~
Максимальный -прогиб имеет место при х = а/2 ж у = Ь/2; для
квадратной пластины,, где а ='Ь, он равен
- & + 7S + SB + • • ¦") «Р.ОО4О6 4^. D.26)
Если удержать только первый член ряда, то прогиб будет равен
0,00416 akpJD, что примерно на 2,5% превышает точное зна-
значение. •- . ¦
При численной оценке такого двойного ряда степень важно-
важности членов можно выявить с помощью следующей схемы:
mn-
D.27)
g 4.4] ' СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ ПЛАСТИНЫ . 235
Наиболее важным членом является член с номером т, п = 1,1;
для случаев симметрии относительна х ж у важность членов
уменьшается-в соответствии c'm + га, т. е. следующими наиболее
важными членами (запятые для простоты опускаются) являются
члены с номерами 21 и 12, затем 31, 22 и 13 и т. д., которые
выделены на схеме D.27) диагональными линиями. Бели по х
или т ряд сходится быстрее,' чем по у или п (или наоборот),
то степень важности членов будет уменьшаться в соответствий
с номерами т + сга,тде с отлично от единицы, что соответствует
проведению под некоторым иным углом, диагональных раздели-
разделительных линий на схеме D.27). Например, если отношение alb
в выражении D.24) больше единицы, то сходимость будет 'более
быстрой пр направлению оси у или по п и • разделитель-
разделительные линии на схеме следует проводить более близко к вер-
вертикали. _ :
В случае, подобном рассмотренному выше, где имеется сим-
симметрия конструкции и нагрузки относительно центра пластины
по осям х и у, все члены тв рядах обратятся в нуль, за исклю-
исключением тех, которые имеют нечетные номера как т, так и п,
поэтому останутся-только члены с такими номерами тп, кото-
которые показаны на схеме D.27) подчеркнутыми. Среди слагаемых,
стоящих в скобках выражения D.26)," первое соответствует,
mn = ii, второе — сумме равных значений для номеров-31 и 13,
тогда как третье — то же для номеров, 33, 51 и 15. Можно ви-(
деть, что вклад этих слагаемых-уменьшается-в соответствии с
указанной закономерностью. : ' «'
Используя в выражении D.16) представление D.25) и от-
отбрасывая нелинейные члены, получим, что изгибные и каса-
касательные напряжения вследствие кручения соответственно равны
(нелинейные члены не-учитываются) *
« п Or \ . тпх - ппу l.
т +v-^2-jsin—^— sin—j-
2- да
тпх ппу - D.28)
спя ——— г.пя —— V '
¦cos- b
(л2 \*
Выражение для ov совпадает с ах, если а, т и х заменить соот-.
ветственно на 6, n и у. Бели а<6,_то напряжение о, бу-
будет больше с,. Для квадратной пластины а = Ъ и максималь-
максимальное изгибное- напряжение будет при г = й/2, х — у*=а/2,
тогда как максимальное напряжение кручения будет при z = h/2,
236
x = у = 0:_
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
24(l-v)aV
: 0,273
[ГЛ. 4
-V* Pot I 2 | 1 | 2 • _ 1^.
л h • |_ , . J
«0,244 —
24(l-v % Г 2 i 2 I
^ [/ "*" 25 "*" 81 "*"_ 169 "*¦ - ' * J :
v)«2/>n
D.29)
\
(
\
4
где, как и ранее, приведенные слагаемые, соответствуют членам
ряда с номерами тп = 11, 31 + 13, 33, 51 +15.
Эти результаты поучительны с различных точек зрения.
Be-первых, видно, что максимальное значение касательного на-
напряжения, которое вызывается кручением, весьма близко (со-
1 ставляя примерно 66%) к значению
максимального изгибного напряже-
напряжения. Так как безопаснее напряже-
напряжение при сдвиге может составлять по-
яодину или менее от напряжения при
растяжении, то напряжение круче-
кручения, по крайней мере, столь же важ-
важно, как и изгибное напряжение,
однако иногда это обстоятельство
ускользает от внимания инженеров,
возможно, потому, что им более зна-
знакомы балки, а не пластины, и они
. стремятся смотреть на последние
так, как если бы они состояли .из
набора балок.
Во-вторых, как уже говорилось
ранее, ряды для- напряжений сходятся гораздо медленнее, чем
для прогибов. Тем не менее точное значение напряжения только
на один процент выше для oIvh примерно на два процента ниже
для Оху при указанном в формулах D.29) числе членов ряда. Если
же удержать только первый, член, то результат будет уже на две-
двенадцать процентов превышать точное значение для ах и будет
слишком заниженным для а^.
Легкий путь расширить возможности получения уточненных
значений сумм таких рядов состоит в том, что на графике на-
наносятся в виде кривой последовательные значения этих сумм и
ватем экстраполяцией путем гладкого продолжения указанной
кривой определяются суммы, соответствующие удержанию вто-
второстепенных членов. На рис. 4.14, например, нанесены « виде
37+7J 53 +
+ 57+75
Рис. 4.14.
§ 4.4] СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ ПЛАСТИНЫ 237
точек значения сумм тех членов ряда для о^тах), которые рас-
расположены между соответствующими наклонными разделитель-
разделительными линиями на схеме D.27); по этим точкам проводится
кривая, которая затем путем экстраполяции продолжается (штри-
(штриховая линия), и таким образом получают значения членов ряда,
стоящих после рассмотренных. Высокая точность может полу-
получаться путем подсчета каждого последующего или каждого пя-
пятого и г. д. члена и последующей интерполяции. Вместо опре-
определения необходимых ординат эти суммы можно определять
приближенно, измерив площадь, лежащую под кривой, с по-
помощью планиметра и разделив на величину, характеризующую
протяженность области, площадь^ которой находилась, в гори-
горизонтальном направлении (простой графический эквивалент ме-
метода интегралов Фурье). Если члены ряда имеют противополож-
противоположные знаки, как в случае ряда для ах, можно построить две
кривые, одна из них будет характеризовать сумму соответству-
соответствующих положительных членов, другая — отрицательных; можно
также построить кривую для парных^— суммы отрицательного
и положительного — членов. Можно воспользоваться и более
сложным подходом и вообще другим методом, дающими лучшую
сходимость, но при практическом выполнении вычислительной
работы такие методы, используемые ,в сочетании с самым про-
простым анализом, как правило, приводят к экономии времени.
Свободно опертая по краям пластина при сосредоточенной
нагрузке. Для сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в точ-
точке с координатами х0, у0, заменяем, так же как' и -при
выводе выражения B.15) для балок, данную нагрузку равно-
равномерно распределенной по бесконечно малой квадратной обла^
сти со стороной А и с центром в точке х0, г/о нагрузкой
Р/Д2; вне этой области нагрузка равна нулю. Тогда интеграл
о ь
J dx \ р(х, у) sin (mnx/a) sin (nny/b)dy в выражении D.24) будет
о "о
равен нулю всюду, кроме этой малой_ квадратной области, где
sin Xmnx/a) sin inny/b) можно заменить на sin lmnxo/a) sin {nityjb),
тогда интеграл будет равен Р sin (mnxo/a) sin (.nrtyo/b). Как и в
случае балок, решения для нескольких сосредоточенных нагру-
нагрузок или нескольких действующих на отдельные малые элементы
пластины нагрузки, в совокупности образующие распределенную
нагрузку, можно получить, в силу линейности постановки, ме-
методом наложения.
Такие решения для прогибов w в форме рядов хорошо схо-
сходятся даже в точке приложения нагрузки. Однако соответству-
соответствующие ряды для вторых производных от функции w, входящих
в выражения для изгибных напряжений, не сходятся в точке
приложения сосредоточенной нагрузки. Решение в явном виде
для такого случая, подобно рассматривавшемуся в § 4.7 случаю
238 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
для круговой пластины, показывает, что кривизны, определяе-
определяемые согласно классическим теориям пластин и оболочек, в ука-
указанной точке обращаются в бесконечность. В действительности
же этот результат является ошибочным и связан с ограничени-
ограничениями классической теории. Напряжение должно быть, разумеется,
бескрнечным непосредственно в той точке поверхности, к которой
прикладывается действительно сосредоточенная нагрузка, но в
остальных точках оно на самом деле конечно. Этот вопрос будет
обсуждаться в § 5.3, где будет получено выражение, правильно
описывающее распределение напряжения при действии на пла-
пластину или оболочку сосредоточенной нагрузки.
Свободные колебания свободно опертой- по краям пластины.
Функция w(x, у, t): f
м?= wmnsin^sm-^sm2nNmnt (m,п = 1, 2,3, ...).D.30)
описывающая колебания с амплитудой wmn, частотой Nmn коле-
колебаний в единицу времени t и формой (или модой), содержащей
т полуволн в направлении оси х ш~п полуволн в направлении
оси у, разбивается прямоугольной сеткой на стационарные
моды. Поперечной нагрузкой является инерционная нагрузка
р = —f>hd2w/dtz, где р — плотность материала.7 Подставляя значе-
значения w ш р ъ уравнение D.19), получим
. _. ( т . г? \2 . тпх : ппу . о ЛТ .
n*D I —j + -p-- J wmn sin -j- sin —f- sin 2nNmnt = (
^phA^NlnWmnsm^sm-^-sin2Nmnnt, D.31)
откуда находим частоту: ' - -¦ '
¦n'
¦ - v. D.32)
Подобный результат будет отличным приближением для низших
форм колебаний тонких пластин, т. е. когда длины полуволн
велики по сравнению с толщиной или a/m>h, b/m^h. Также,
как и в случае балок, для высших форм необходимо рассматри-
рассматривать деформаций поперечного едвига и инерцию вращения, как
это сделано в § 5.6.
Устойчивость свободно опертой по краям пластины при сжа-
сжатии по краям. Предположим, что на пластину действуют крае-
краевые сжимающие напряжения sx, равномерно распределенные
вдоль сторон ж=*0 и х = а, и st — вдоль сторон у— О и у =—6
(рис. 4.15).* Тогда решением задачи о плоском напряженном
состоянии при.подобном нагружении (которое, как уже говори-
8 4.4] СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ ПЛАСТИНЫ 239
лось выше, считается приложенным до момента потери устойг
чивости, а также, согласно классической постановке задачи устой-
устойчивости, и при возникновений бесконечно малых перемещений
в ходе потери .устойчивости) . . ._
являются именно «ти напряже-
напряжения Охт = — Sx, Oym=* — Sv, ПОСТО*
янные по "всей пластине. Поте-
Потеря устойчивости может, про*-
• исходить по форме вида
-' .-(то, в = 1,2,3, ..".). D.33) Рис 415.
которая удовлетворяет краевым условиям. Подставляя эти вы-
выражения в уравнение D.18), получим
4_ / т . п \2 . тпх . . ппу
D ( ~~г+~7) Wmn S1-n ~т~Sln ь =
о, / m2 , п \ ~~ тпх . пщ
= я A? ?х +"?"s') Wmn sin~~T~sln ь
ь*
откуда, "сокращая на и?™, sin (.mjtx/a) sin (nny/b), находим
D.35)
Уравнение D.35) определяет величины Sx и Sv, а отсюда s» и *„,
при которых пластина может находиться в равновесии в дефор-
деформированном состоянии. Существует множество решений, соот-
соответствующих различным значениям тип, однако практический
интерес представляют только те из них, которым соответствуют'
наинизшие значения sx и sv. Имеются два напряжения s, и «„
и только одно .уравнение D.35), чиз которого они могут -быть
определены;. если задано одно из этих напряжений (или, воз-
возможно, задано фиксированное значение ^х отношения), то урав-
уравнение D.35) можно использовать для определения другого на-
напряжения. На рас. 4.16, а показаны полученные на основе
уравнения D.35) линий, представляющие зависимость Sx от 8„
в случае квадратной (а = Ь) пластины для различных величин
т. и га. Оплошная- линия, образованная иа- участков линий,
наиболее близко расположенных от начала координат, относит-
относится к наиболее интересной с практической точки зрения части
зависимости, так как если напряжения увеличиваются, а отно-
отношение их остается постоянным, т. е. если двигаться вдоль луча,
проведенного в некотором направлении из начала координат,
240
.КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
[ГЛ. 4
то потеря устойчивости наступит при пересечении лучом первой
линии, а уровень нагрузок, соответствующий штриховым ли-
линиям, никогда не будет достигнут. Можно видеть, что, когда
оба напряжения являются сжимающими, потеря устойчивости
происходит с образованием \ одной полуволны в обоих направ-
направлениях (т. е. при /ran =11). Это будет справедливо и в случае,
когда одно из напряжений является растягивающим (т. е. или
--Сжатие
Рис. 416.
sx, или sy отрицательно), если только растягивающее напряжение
не превышает половины значения ^сжимающего напряжения,
действующего в другом направлении. Если же растягивающее
напряжение больше указанной величины, то потеря устойчиво-
устойчивости происходит с образованием двух полуволн в направлений
сжатия (тп равно 21 или 12), пока нагрузка не станет соответ-
соответствовать точке, где кривые, соответствующие номерам 31 или 13,
пересекают кривые с номерами 21 или 12 (что имеет место при
очень высоких растягивающих напряжениях), при этом образу-
образуются три полуволны в направлении сжатия и т. д. На рис. 4.16,6
аналогичные графики построены для а = 1Ь.
Если задано одно из напряжений или их отношение, то все
отношения alb могут быть охвачены одним графиком. Наиболее
важным является случай одноосного сжатия. Например, при
sx = 0 номер п появляется только в правой части выражения
D.35); так как величина п должна принимать наименьшее из
возможных значений, т. е. единицу, с тем чтобы и величины
Sa или sx принимали наименьшие значения; физически это
означает, что пластина будет терять устойчивость с образова-
образованием всегда только одной полуволны в направлении, перпенди-
перпендикулярном направлению сжатия. При этом выражение D.35)
сводится к следующему виду:
~~ [~а~ ^Шь
D.36)
§ 4.4]
СВОБОДНО ОПЕРТЫЕ ПЛАСТИНЫ
241
13
8
2-
чЛ
да
Рис-
На рис. 4.17 представлены кривые, описывающие зависимость
параметра Sx, характеризующего сжатие, от отношения alb для
т = 1, 2, 3, ... Практический интерес/ представляют только
нижние участки зтих кривых, показанные сплошными линиями,
так как, если при заданном отношении а/Ъ увеличивать sx, а также
Sx, то потеря устойчивости про-
произойдет при нагрузках, соот-
соответствующих нижним участкам
кривых, а кривые, лежащие
выше (штриховые линии), со-
соответствуют нагрузкам, кото-
которые никогда не могут быть ре-
реализованы. Вплоть до значений
а/Ъ, соответствующих точке
пересечения кривых при т =>
= 1 н т = 2 (эту точку можно
найти, положив ib/a + a/bY —
= B&/а_+а/2йJ, откуда следует
alb = У2), пластина будет те-
рять устойчивость с образова-
нием одной полуволны в на-
направлении оси х. Тогда до значений а/b, соответствующих точке
пересечения кривых при т = 2 и т = 3, определяемой из урав-
уравнения B6/й + й/26J'= Cb/a+ a/ZbY, пластина будет терять ус-
устойчивость с образованием двух полуволн и т. д.
Для значений alb, превышающих единицу, величина Sx
близка к четырем (причем всегда в безопасную сторону), т. е.
можно записать:
Sx = (¦?¦ + у)' при alb < 1, Sx » 4 при 'а/Ъ > 1. D.37)
Штриховая линия SX = A является огибающей кривых для раз-
различных значений т. Такая огибающая' является зависимостью,
которая получается, если игнорировать краевые условия, кото-
которые ограничивают формы волн, образующихся при потере устой-
устойчивости, определенными специфическими волнами, -в данном
случае такими, для которых т должно в действительности при-
принимать целочисленные значения. Если игнорировать этот факт
и отыскивать минимум S, использовав в выражении D.36)
условие dSJdm — 0, то получим т = alb (это означает, что пла-
пластина стремится терять устойчивость по формам, представляю-
представляющим в плане квадраты) и ?» = 4.
Описанная выше ситуация типична для многих задач устой-
устойчивости пластин и оболочек. То те самое имебт место в случае
рассмотренного в § 2.5 'продольного сжатия свободно опертого
стержня, лежащего на упругом основании. Формулу B.28) в
этом случае можно взять в виде Р' =* Р($Е1)~Ш = (т*/Ь* + LVm1),
18 л. Г. Доннелл
242 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН - [ГЛ. 4
где Ь*=>1($/Е1)иг/п, и, построив зависимость Р' от L или L* для
различных значений т, получить графики, аналогичные приве-
приведенным на рис. 4.17. Начальные отклонения от идеально плоской
формы,. которые всегда имеют место в реальных пластинах,
можно рассмотреть точно так же, как они рассматривались в
§ 2.5 для случая балок; энергетическим методом влияние^а-
чалыйлх несовершенств будет рассмотрено в § 4.6.
§ 4,5, Прямоугольные пластины с граничными условиями,
отличающимися от свободного опиранпя
Граничные условия Кирхгофа1). Методы рассмотрения связан-
связанных с прогибом м? граничных условий при изгибе, которые были
изложены в § 2.7 применительно к балкам, могут быть, как пра-
правило, без дополнительного большого изменения или затруднения
применены к задачам пластин или оболочек. Однако дополнитель-
дополнительно к сказанному в § 4.1 имеется еще одна сторона, поскольку
изложенные там теории пластин и оболочек, основанные на гипо-
гипотезе Кирхгофа, значительно отличаются от случая поперечно на-
нагруженных балок. Как видно из рис. 4.1, на каждой стороне
малого элемента -имеется три силовых фактора: обусловленные^
.изгибом силы и моменты, например FKt, Мя в Мщ, на стороне,
нормальной к оси х, в то время как для поперечно нагруженной
балки имеется только два силовых фактора: FKZ и Мх. Но и урав-
уравнение B.4) для балок и соответствующее уравнение D,18) для
пластин имеют четвертый порядок, и полное решение для них
содержит только необходимое число постоянных интегрирования
для балок и произвольных ^функций (заданных по всей длине
края пластины) интегрирований для пластин, что позволяет удов-
удовлетворить двум условиям на каждом конце или крае. __
- На этот недостаток уравнения четвертого порядка D.18) обыч-
обычно не обращается внимания (как это делалось в § 4.4), если
краевые условия таковы*что препятствуют любому перемещению
w вдоль края, как, скажем, в. случае свободнЪ опертых или за-
защемленных краев или упруго сопротивляющегося повороту края.
Это связано с тем, что опоры на таком крае могут, очевидно, со-
сопротивляться действию поперечных сил типа Fxz, а также крутя-
крутящих моментов типа Af*», а величины сил, которые при подобном
сопротивлении должны возникнуть в опоре на крае, вак правило,,
практически не имеют большого значения. Поэтому в подобных
случаях обычно бывает достаточно удовлетворить краевому усло-
условию w = О и условию относительно либо момента Мх, либо пово-
рота,-соответствующего этому моменту.
%) KirchhoffG. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer
elastischen Scheibe.— Journal fur die reine und angewandte_Mathematik (Crel-
le), 1850, Bd 40, № 1, SS. 51—88J перепечатка — Gesammelte Abhandlungen.
—Leipzig: j; A. Barth, 1882, SS. 237—272..— Прим. ред.
§ 4.5] ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 243
С другой стороны, прм упругом, а не жестком опирании отно-
относительно перемещения w необходимо использовать выражение
для суммарной поперечной силы, которая должна создаваться
опорой, с тем чтобы выдерживать поперечный сдвиг и крутящий
момент. А для свободногокрая все силы и моменты на'нем долж-
должны быть равны нулю, например, вдоль свободного края, нормаль-
нормального к оеи х, имеем • следующие условия: „F« = Мк = Д/«у =¦ О,
тогда как; решая уравнения классической теории пластид могкно
\
\
]
\
\
\
\
1
\ \
\ \
л \
¦* \
Рис. 4.18.
удовлетворить только двум из этих условий на каждом крае. Что-
Чтобы справиться с этой ситуацией, Г. Кирхгоф вычислил приведен-
приведенную поперечную силу, которая полагалась эквивалентной комби-
комбинированному влиянию силы FKt и момента Мщ,', эту эффективную
поперечную силу можно взять равной некоторой постоянной, ум-
умноженной на прогиб w в случае упругого по отношению к проги-
прогибу w закрепления, и равной нулю в случае свободного края, та-
таким образом объединив два граничных условия в одно.
На рис.14.18, а показаны два смежных элемента шириной dx,
примыкающих к краю, нормальному к оси у. На один действует
обусловленный напряжениями a^t крутящий момент M^dx, из-
изменяющийся по линейному закону в зависимости от расстояния
до срединной поверхности; следующий элемент лежит на */2йх
далее вдоль оси х, и на него действует крутящий момент [Af«y +
+ (dMxu/dx)dx]dx, обусловленный теми же,, лишь немного изме-
изменившимися напряжениями о*»/. Г. Кирхгоф заменяет эти момен-
16* .
244 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
ты, которые в действительности вызываются распределенными гори-
горизонтальными касательными напряжениями, парами сил, которые
создаются поперечными силами (показаны штриховыми линиями),
имеют величину Мх и приложены к каждому из концов первого
элемента (эти силы создают-момент Mxydx, так как расстояние
между силами, образующими пару, равно dx), и поперечными си-
силами Мху + (dMxy/dx)dx, действующими, как показано на рисунке,
по концам второго элемента. Главные части двух поперечных сил
на разделяющей линии между двумя элементами взаимно унич-
уничтожаются, при этом остается , направленная вниз сила
(дМху/дх) dx. Если то же проделать со всеми элементами, то по-,
лучим аналогичные (но сильно изменяющиеся) отстоящие друг
от друга на расстоянии dx поперечные силы, которые эквивалент-
эквивалентны некоторой отнесенной к единице длины сечения распределен-
распределенной силе [(dMxJdx)dx\/dx = dMxuIdx, показанной на рис. 4.18, б
и 448, в.
Суммируя эти распределенные поперечные силы, которые вво-
вводятся для замены распределенного крутящего момента Мху' и со-
соответствующей поперечной силы Fyi, получим приведенную по-
поперечную силу Кирхгофа. С учетом соотношений D.14) и D.15)
она равна
*уг = tyz + —fT— = —
дх'ду дуа дхЧ
. D.38)
dsw
Тогда условие свободного края при у = у0 принимает вид
= w D-39)
dsw '/0 . ds
+ Bv)
аналогичные по форме условия можно записать и для свободного
края, нормального к оси х. Условие упругого относительно пе-
перемещения w опирания вдоль края* нормального к оси у, имеет
вид aw = ± Fyz, где а — коэффициент, характеризующий жест-
жесткость опоры, и т. д.
Так как моменты от горизонтальных касательных напряже-
напряжений, распределенных по толщине h, заменяются эквивалентной
системой, иногда доказывается, что, согласно принципу Сен-Ве-
нана, некоторая погрешность, возникающая при замене еилы Fvt
и момента Мху на силу Fxz, будет существенной только в приле-
прилежащей к краю зоне шириной, равной толщине h пластины. Одна-
Однако на самом деле все не совсем так просто,^поскольку, хотя глав-
главные части введенных поперечных сил Мщ, взаимно уничтожаются
на каждой из внутренних разделительных линий по краю пла-
пластины, они ничем не уравновешиваются на концах края. При вы-
§ 4.5] ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 245
шеизложенном подходе действительные распределенные моменты
М не просто заменяются распределенными поперечными силами
/д но также и сосредоточенными поперечными силами
на концах края, равными той величине, которую имеет в этих
точках момент М^, и направленными так, как показано на
рис. 4.18, в. Сосредоточенные силы, соответствующие двум смеж-
смежным краям,-суммируются в этом угле, образуя таким образом сум-
суммарную поперечную силу, приложенную к углу и равную, как по-
показано на рисунке, удвоенной величине, которую принимает мо-
момент Мху в угловой точке.
Эти сосредоточенные силы отстоят друг от друга на расстоя-
расстоянии, равном длине или ширине пластины, поэтому принцип Сен-
Венана мало что дает в смысле обоснования того, что было сдела-
сделано. Эти силы обычно не столь важны, если углы оперты или
защемлены, так как при этом они не могут влиять на прогибы
пластины, а величина реакций, как правило, не является критиче-
критической. Приведенная поперечная сила является хорошей аппрокси-
аппроксимацией при вычислении прогибов или критических нагрузок,
которые зависят от условий, осредненных по всей пластине.
Однако если ничто не препятствует возникновению в угле пла-
пластины перемещения w из-за того, что смежные стороны свободны
или упруго закреплены, а согласно предшествующему обсужде-
обсуждению в углах пластины возникают сосредоточенные поперечные
силы, то эти угловые силы будут обязательно оказывать значитель-
значительное влияние на напряжения и прогибы. Отсюда возникает вопрос,
существуют ли в действительности подобные угловые силы в фи-
физически реальной задаче или они являются фиктивными, т. е. обу-
обусловлены только ошибками, которые связаны с методом исследо-
исследования, и не существуют на самом деле.
_ Этот вопрос является, вообще говоря, дискуссионным, но, по-
видимому, следует считать, что ответ на него зависит от истинных
условий на опорах. При фиксированных опорах, которым соответ-
соответствуют пластины, приваренные к жесткой стенке или раме, гори-
горизонтальные касательные напряжения, которые обусловливают
крутящий момент во внутренних еечениях, несомненно, оказыва-
оказывают непосредственное сопротивление соответствующим горизон-.
тальным поперечным силам, создаваемым опорой; поэтому в этом
случае угловые силы, обусловленные некоторыми различными до-
допускаемыми распределениями крутящих моментов, являются,
без сомнения, фиктивными. Они также должны быть фиктивными
для случая свободного края, где оба фактора — поперечный сдвиг
и крутящий момент (каждый в отдельности) должны быть на са-
самом деле равны нулю, а не уравновешиваться приведенной попе-
поперечной силой. Если теоретическое решение для смежных неза-
незакрепленных сторон требует введения фиктивной силы в неза-
незакрепленном угле, то можно либо исключить эту силу, добавив
в качестве внешней нагрузки равную ей силу, либо, что гораздо
246 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН - СЛ. 4
лучше, использовать более полное решение, которое позволяет
уйти от ограничений, налагаемых аппроксимацией Кирхгофа.
С другой стороны, некоторые типы опор не могут оказывать
сопротивления горизонтальным обусловленным изгибом касатель?
ным напряжениям, и для них поперечные силы должны оказы-
оказывать сопротивление как поперечному сдвигу, так и крутящему
моменту в пластине, как указывалось выше; при этом, очевидно,
возникает если не действительная сосре-
сосредоточенная сила, то высокая концентра-
концентрация распределенной касательной сильцчто
будет обсуждаться ниже в § 5.5.
Следует отметить, что здесь рассматри-
рассматриваются только результирующие силы к
моменты или осредненные перемещения
(перемещения срединной поверхности)
z[w) та краях, которые и составляют все, что
Рис. 419. можно ожидать от классической тео-
теории. В действительности следовало бы
удовлетворять в каждой точке по высоте края некоторое специ-
специального вида условие; согласно принципу Сен-Венана замена та-
таких условий условиями, сформулированными относительно ре-
результирующих силовых факторов или осредненных перемещений,
оказалась бы заметной только » пограничной зоне вблизи края
с шириной, равной толщине, и их можно уточнить о помощью
локальных полей напряжений, подобных тем, что обсуждались
применительно к балкам в § 3.4, а применительно к пластинам
будут обсуждаться в §г§ 5.2 и 5.3.
Использование нормальных форм колебаний в задачах о пла*
стинах. В § 2.7 нормальные формы колебаний балки с защемлен-
, ными, свободно опертыми или еврбодными концами .использова-
.использовались для решения задач о поперечно нагруженных балках с оп-
определенными условиями на концах. С использованием нормаль-
нормальных ,форм колебаний балок' с соответствующими условиями на
концах можно решать также и общие задачи для пластин с учетом
произвольной комбинации из защемления и свободного опирания
на краях, однако при этом возникают дополнительные сложности.
В качестве примера выражение B.41), полученное для балки
с защемленными концами, можно преобразовать^ используя анало-
аналогию, в двойной тригонометрический ряд для Пластины со сторо-
нами 2а и 26 (рис 4.19), защемленной по всем краям и нагружен-
нагруженной симметрично:
?„тп /«»(ет*'а) . сЬ (етх/а) \ / cos (enVlb) j» ('пу'Ь)
\ с h Д cos«B ch«B
D.40)
§ 4.5J -' ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ • 247
где ст — коэффициенты, определяемые из уравнения tgcm + thcm =
= 0, Cm = ct, с„ с„ ... = 2,365, 5,498,...., (ш-1/4)я; сп = ст: Как
можно легко убедиться, выражение D.40) удовлетворяет условиям
защемления на краях:
w — — = 0 n при х = ±о; м? = —^- = 0 при у = ±Ъ. D.41)
Четвертые производные от функций XJ,x) и Yn(y) соответ-
соответственно по х и 1/ являются функциями того же вида, что Хт(у)
и Yn(y), однако вторые производные будут функциями иного ви-
вида, так как при дифференцировании функция cosicmx/a) изменя-
изменяет знак, a ch i.cmx/a) — нет. Из-за этого невозможно получить
простое решение уравнения D.18) или D.19), выраженное через
вти функции, как это было при использовании функций синуса.
К. Йенгар и К. Нарасимхан в своей'работе1) эту трудность
обошли, использовав ортогональность членов ряда D.40) в обла-
области —а<х<а и -~Ъ<у<Ъ и заменив каждый член ряда, ко-
который, как говорилось выше, меняет свой знак, бесконечным ря-
рядом гге такой же тригонометрической функции. — , ч"
В качестве примера рассмотрим потерю устойчивости по сим-
симметричной форме показанной на рис. 4.19 пластины, защемлен-
защемленной по всем; краям, когда на нее действует сжимающее равное
единице давление s, распределенное по всем четырем краям.
Подставим в уравнение D.18) Охт = Оут =я — s, тогда, воспользовав-
воспользовавшись выражением для прогиба w D.40), получим
"? + ~5" т~ ' D.42)
i Ч / 4 , О, 4 | у. у _1_ О а /i'a z.2 у' V"'
|А . Ъ } Ъ .
соя (cmx/a) ' ch(emx/i) , cos
An*= coscra + chcm * Yn - ¦ cos<rn + chcn
где S = a2hs/D, Как уже говорилось выше, представим функции
Х'т и Y'm в виде ряда ¦ J '
Х'т = 2 dmpXp, Y'n = 2 й„дУд, v ¦' D.44)
где коэффициенты imP ,и йв, можно определить так же, как это
') lyengar К. Т. S., Narasimhan К. D. Buckling of rectangular
plates with clamped' and simply supported edges.— Publications de L'Institut
Mathematique, Nouvelle serie, 1965, v. 5 A9), pp. 161—165.
248 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ТЛ. 4
принято в гармоническом анализе:
а * а а
J X'mXpdx = j (dmi-X"! + ... + dmpXn + ...) Xpda; = d
mp
. ¦ dmp = j X'mXpdxi j X'dcj. . D.45)
Выполнив, интегрирование и воспользовавшись условием th cm +
+ tg cm = 0 и равенствами sin2 a = 1 — cos2 a, sh2 a = eha a — 1,
найдем
a
p
—a
Xp dx = 2a,
2thcm ! л 1
mXp dx = 8cpa т j- - (при р -ф m)t
°р-Сш
откуда, используя найденные выше значения ст, получаем
dtnpt dnq = dn d12 d13 = 0,550 — 0,435 — 0,340
dzl d22... -0,0805 0,818 ... D.46)
d31 ' \ — 0,0255 ;
Подставляя выражения D.44) для Хт и Ym в соотношение
D.42), получим равенство, содержащее Хт и Yn в функции от х
н у; для того чтобы оно удовлетворялось тождественно для любых
х и у, сумма коэффициентов при подобных членах, содержащих
Хт и Yn (т. е. для каждой комбинации т, п), должна равняться
нулю. Так как для каждой комбинации т и п имеется свое зна-
значение коэффициента wmn, то приходим к бесконечной системе
линейных однородных уравнений относительно неизвестных wmn.
Последовательным исключением этих неизвестных получаем
уравнение относительно параметра нагрузки S той же степени,
что и число использованных комбинаций т и п\ математически
это эквивалентно тому, чтобы положить равным нулю определи-
определитель матрицы, составленной из коэффициентов при wmn-
Эти коэффициенты получим, если при записи соотношения
D.42) используем только выбранные комбинации /пил. Для
случая квадратной пластины (а/Ь = 1) при удержании только
трех первых комбинаций тп = 11; 21, 12 соотношение 14.42)
§45]
ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ "УСЛОВИЯ
249
принимает вид
+ D + 4)X2Y1]-S[c22d2,
-f- W12 1 [2^^ (^11^21^1^1
h \6i + 4) XjY^ — ^[сгйг!-
¦XT -XT ¦ / 2
LI"* 1 "T~ \ 1
+ d21d12x2:
Xi^i + (elt
11 1
in +
c\d22)X
d^d22Xl
cid22)X1
2^1]} +
Y2] } = 0.
D.47)
Отсюда, собирая в выражениях для коэффициентов при ц;и, w2i,
Wi2 множители при произведениях XmYn, получим табл. 4.2.
Таблица 4.2
г12 — sc\c
'fa
-\- ( ) Wei
Ол2„2j j ____ Сл"J
Используя только одну комбинацию тп = 11 и значения сг и
du, приведенные выше, придем к уравнению2cJ(l+dJi)—25с*с?ц—
= 0 или S = a?hslD = c\+ (l + d|i)/du= 2,3652A + 0,5502)/0,550*,
откуда s=13,24ZV(a2fo). Аналогично, приравняв нулю детерминант,
соответствующий случаю тп =11, 21, находим s = 13;13Z)/(a2fe),
для всех трех комбинаций s = 13,08Z)/(a2fe). Эти величины хо-
хорошо соответствуют тем, кбторые получаются для этой задачи
другими методами.
Хотя такого типа решения не столь уж просты, они представ-
представляются приемлемыми благодаря своей гибкости, а для случая
замещенных краев очень простого вида решения не может быть
вообще. Это решение м'ожет быть использовано в "таком же об-
общем виде т*ля случаев поперечного нагружения в задаче о коле-
колебаниях, а также для случая потери устойчивости при произволь-
произвольной комбинации равномерных сжимающих нагрузок. Однако это
решение неприменимо в случае упруго подкрепленных или сво-
свободных краев, если использовать приведенную поперечную силу,
250 КЛАССИЧЕСКАЯ' ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
так как для пластины с такими краевыми условиями получаются
ряды с неортогональными членами.
Использование частных решений и общих решений однород-
однородных уравнений. Для случая действия только поперечной нагруз-
нагрузки однородное уравнение, соответствующее уравнению D.19), име-
имеет вид V4ip = 0. Решения для уравнения такого типа обсуждались
^Защемление в § 3.3. Для получения частно-
"^ го решения уравнения D.19) в
случае. йроизвольного типа на-
гружения можно воспользовать-
воспользоваться выражением D.21). В ка-
Защемлвнив—' — честве типичного варианта на
; Z{W) ~ рис. 4.20 показана пластина
Р 4 20 со сторонами а и 2Ъ (края х =
?с> • : • = 0 и х — а свободно оперты,
края у = ±Ъ защемлены) при
действии поперечной нагрузки р(х, у). Для простоты ограничим-
ограничимся нагрузками, симметричными относительно оси х. Воспользо-
Воспользовавшись выражением D.21) с учетом смещения осей и взяв ре-
тпениё однородного уравнения V4m? = 0 в виде C.176) с удержа-
удержанием симметричных относительно оби у членов ряда, представим
решение для w в следующей форме; "
тпх „„о ппу . . .
Wm b
m n
-+2 sinJ^ (B™ ch^ + C- ^-sb^),; D.48)
m= 1, 2, 3,;..., 7г=1,3,5,...
Тогда можно удовлетворить уравнение D.19), если для нагрузки
использовать представление
а *
тпх ппу
ь
о . — ь
где коэффициенты ртп можно, как и раньше, найти методами
гармонического анализа:
-ь
Подставляя выражения D.48) и D.49) в уравнение D.19) (о уче-
учетом того, что при применении оператора V4 к гиперболо-трнгоно-
мётрическим функциям в выражении D.48) 'получается нуль),
§ 4.51 ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 251
находим
~Т +T2")
/
2 \2
wmnsm
mnx
л
.26.
. mnx
п
COS
nny
26 *
D.51)
m n
Приравнивая коэффициенты при соответствуннцих членах и ис-
используя выражение D.50), найдем
-?» D-52)
Краевые условия таковы:
W~ дхг -VV - - Л" - " - D.53)
w '= -?- = 0
Подставляя выражение D.48) в условия D.53), видим, что усло-
условия прн х = 0 и х = а удовлетворяются тождественно, тогда как
условия при у = ±Ъ дают
2 sin ~ [Bm ch X + Ст% sh Ц = 0,
2 ¦*¦ =Г [ f 2 Т «^ т ^") - *¦ (^i + с-)sI^ - D.54)
—tfCmChk = 0,
где ^ -• тяЪ/л. Для того чтобы эти условия удовлетворялись
на края! у = ± Ь, т. е. для всех х, стоящие в скобках выражения
в равенствах D.55) должны равняться нулю. Решая получающу^
юся нрм этом систему-уравнений относительно Вт и Ст, с учетом
равенства ch2A, — sh2A, = 1 получаем
пП . пп
Подставляя выражения D.52) ж D.55) в выражение D.48),
252 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
найдем решение
а Ь
СС тпх ппу
\ dx I p sin -, cos 2ij
„,_ 2fl Wo -ь 4inmJU:*
)J. D.56)
Выражение D.56) применимо к лю,бому виду распределения
нагрузки р. В случае равномерно распределенной нагрузки р = р0
интеграл равен нулю для четных т и — 8ab sin (.nn/2)pj{n2mn)
для нечетных. Тогда максимальный прогиб для квадратной пла-
пластины <а/B&) = 1, X = тп/2) равен
тя . гая
, гая тп пп
TshTsinT
тп тп тп
-ir + sh -n- ch -n-
4 I
3,613\ 1 /, 10,84\ 1 /¦ 87,4\
7346 О^" 7345]' ЗОО^1 3110]
neD L4 I 7'346/ ЗОО1^" 7,345]' ЗОО^1 3110] •••J~
-К» =1,3,5,...). D.57)
Три удержанных члена соответствуют тп = 11, 13, 31. Точное
значение знаменателя равно 521, так что результат, соответствую-
соответствующий удержанию'трех членов ряда, всего примерно на 0,2% ниже
точного. При удержании только первого члена тп = 11 получа-
получаемый результат превышает точный примерно на 10%» при удер-
удержании первых двух членов — примерно на 3°/о.
Устойчивость при сжатии пластин .со свободно опертыми
противоположными краями. Рассмотрим пластину, на которую
действуют равномерйые сжимающие наиряжейия о*™ = — sx, а„т =я
= — sy со свободно опертой парой противоположных сторон
(ж = 0 и х = а). Краевые условия при х = а я х = 0 и> = дги?/дхг4-
+ \д2ю/ду2 = 0 будут удовлетворены, если принять jv= Y sin mnx/a,
где Y(y) — функция только аргумента у. Подставляя это пред-
представление, а также р = 0, а«»т = 0 в уравнение D.18) и разделив
обе части получающегося равенства на sin тпх/а^ получим
01 + М?_сувО, D.58)
§ 4.5] ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 253
где
«V
Это обыкновенное однородное дифференциальное уравнение, со-
содержащее только четные производные от У, можно удовлетво-
удовлетворить с помощью тригонометрических или гиперболических функ-
функций. Взяв функцию У в виде произведения некоторой постоян-
постоянной на функции shay или chay и подставив ее в уравнение
D.58), можно решить получающееся уравнение относительно а;
аналогично, если взять У в виде произведения постоянной на
функции sin Ру или cos Ру, можно найти р. Таким путем находим
общее решение уравнения равновесия D.18) в поперечном на-
направлении для рассматриваемого случая:
тпх
w = sin -jj— [A sh ay + A' ch ay + В sin By -f В' cos By], D.59)
где a = Y— «М- /З^Тс, В = ]/d +
Подставляя выражение для u> в условия на краях у —О
и у = Ь, получим четыре уравнения, из которых можно исклю-
исключить постоянные А, А', В,.В' (одна из этих постоянных — про-
произвольная, что отражает тот факт, что критические напряжения
не зависят от величины перемещения), и записать, таким образом,
уравнение относительно аир, откуда можно определить крити-
критические напряжения. Это уравнение совпадает с тем, что получа-
получается из определителя матрицы, соЬтавленной из коэффициентов че-
четырех уравнений. В качестве простого примера возьмем случай,
когда все четыре стороны пластины свободно оперты и, следова-
следовательно, краевые условия таковы: при у = 0иу = Ьш = d2w/dy2 +
+ vdzw/dx2 = 0; они удовлетворяются тождественно, если А = А' =
= В' = 0, sinpfe=O. Отсюда следует, что р = ия/Ь; приравняв эту
величину Yd + Vd2 + с, получим выражение D.35), найденное
ранее для этого же случая.
Устойчивость при сжатии пластины, три стороны которой
свободно оперты, одна — нб закреплена. Для пластины, у кото-
которой стороны ж = 0, х = а и у = 0 свободно оперты, а сторона
у = Ь не закреплена, краевые условия при у = Оиу = Ь, с уче-
учетом выражений D.39), имеют вид
u; = -T + v--T = 0 приу = 0,
ду дх
а + v а = "Г + B — V) —5 = О При у = О.
ду2 П ду2 ду*^К ' дх2 ду V
Видко, что первые два условия при у = 0 будут удовлетворены,
если в выражении D.59) положить А' —В' =-Q. Подставляя
254
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
[ГЛ. 4
"получающееся при этом выражение D.59) в. два последних усло-
условия D:60) на краях и сократив на sin (.mnx/a), получим
Aala2 - B - v)d ch <xB = #B[B2 + B - \)e] cos Bb = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, кото-
который в этом случае совпадает с соотношением, получающимся.
Ур №.61 а) и (hJSS)
(V-&25)
Л
Рис. 421.
при делении одного уравнения на другое, получим следующее
соотношение, связывающее величины sx, sy, m и геометрические
"характеристики пластины "
as—
а [а2-B—v)e]
thaft =
D.61)
Случай, когда на пластину вдоль незакрепленного края дей-
действует-равномерное сжимающее напряжение sx, sB = d; был рас-
рассмотрен С. П. Тимошенко *) в 1907 г. с использованием анало-
аналогичного уравнения. Он показал, что наименьшее значение sx, при
котором могут возникнуть перемещения, обусловленные потерей
устойчивости, будет нри т= 1, т. е. пластина всегда теряет ус-
устойчивость по одной полуволне «инуса, как это показано на
рис. 4.21, о. Решая уравнение D.61) относительно напряжения sx,
найдем его критическое значение .:
с Jcn^D/lh^hS " f4fi1nN
Зависимость к от alb при v = 0,25 показана на _рис. 4.21,6
сплошной линией, асимптотически стремящейся к значению к =
= 1/2, когда о велико по сравнению с Ъ. Штриховая линия соот-
соответствует приближенному решению той же задачи, приведен-
приведенному в § 4.6, при v = 0,3. Это решение имеет практическое при-
применение в таких задачах, как локальная потеря устойчивости
') Тимошенко €. П. К вопросу об устойчивости сжатых жласти-
нок.— Ивв. Киевск. политехи, ин-та, 1907, кн. 2, о. 35—94
§ *-5] ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 255
полок тонкостенных стержней. Так, каждая полка равносторон-
равностороннего уголка, работающего как продольно сжатый стержень, сое-
соединяется с другой полкой шарнирно (так что каждая лз них
может терять устойчивость по форме, показанной на рисунке,
не влияя друг на друга)'). В общем случае полки тонкостенных
балок имеют один край незакрепленный и различные граничные
условия на остальных трех краях.
Устойчивость" пластины, сжатой на свободно опертых краях
с двумя другими свободно опертыми краями. В этом случае мо-
может быть проведена аналогия между продольно сжатым стерж-
стержнем и односторонне сжатой пластиной. Этот случай вызывает
особый интерес, так как проливает свет на часто обсуждаемое
обстоятельство, связанное с тем, что при изгибе широкой плас-
пластины в качестве эффективного модуля упругости используется
модифицированный модуль E/(l — v2), в то время как для.очень
узкой балки — просто модуль Е, так как ее материал может сво^ "
бодно расширяться и сжиматься в направлении ширины. Рас-
Рассматриваемый случай показывает, что же имеет место между,
этими двумя крайними, случаями,
Рассмотрим пластину со свободно опертыми краями ж = 0 й
х = а и незакрепленными краями у = ±Ь при действии на нее
равномерно распределенного сжимающего в направлении оси х
напряжения sx (рис. 4.22, а). Проверкой ^убеждаемся, что в этом
случае цотеря устойчивости происходит при наинизшем значении
сжимающего напряжения sx, если - форма- потери устойчивости
имеет вид полуволны синуса в направлении оси х (как и в слу-
случае"" свободно опертого сжатого стержня) и симметрична относи-
относительно этой-оси, поэтому в выражении D.59) антисимметричные
члены надо положить равными нулю. Тогда в соответствии с
D.58) и D.59) можно записать „ ¦ "
w = sin — (A' ch ay + В' cos $y),
а = Y— d +
D.62)
Выражение hsj?/{.n2D)' приобретает простой физический
смысл, если трактовать пластину как свободно опертый сжатый
стержень Эйлера с длиной а, моментом инерции поперечного
сечения 2bh"/l2 и приведенным модулем упругости Е\ который
неизвестен и связанно sx формулой Эйлера 2ЬА$а=я*Е'BЬЛУ12)/а\
') Bridget F. J., Jerome С. С, V о s s е 1 е г А. В. Some new expe-
experiments on buckling of thin-walled construction.—Trans. ASME, 1934, v. 56,
J* 8, pp. 569—578. - ¦
256
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
[ГЛ. 4
Используя Р = Eh3/[i2(l — v2)], связь между Е' и sx можно
выразить соотношением
"~' =у\ D.63)
Е
Подставляя D.63) в выражение. D.62), получим_с = (nVa*)(if2—1),
a= (я/а)У1 + f, P = i(n/oiVl — y, где-1 = У—1. Параметр р за-
записан в таком виде, поскольку, как ожидается, величина Е'
Сдобадный
нрап
и'ь ["' Левая
„Л часть ур. (к67)
' Г л
0М-
СдаВпдный
г(ш) "Рай
а)
0,1-
часть gp. (U.67)
1,00
i и н'
Н М I
Рис. 4.22.
примет значение, промежуточное между Е и Е/A— \г), и тогда
параметр уг и> следовательно, у будут равны или меньше едини-
единицы. Используя равенство cos i0 = ch 9, выражение D.62) можно
записать в следующем виде:
D.64)
Выражение D.64) удовлетворяет условиям свободного опи-
рания на краях х = 0 и х = о, а условия на незакрепленных
N
§ 4.5] ИНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 257
краях имеют, согласно D.39), вид
-Ti + VT~? =.ГГ + B - v -т— = 0 при у.= ± Ъ. 4.65
д(/ дх ду дх ду
Подставив выражение D.64) в соотношения D.65) и разде-
разделив получающиеся равенства" на sin Ых/а) и jtVa2 или п /а3,
получим
= /Г=1 [у + A - v)] В' sh
D-66)
Исключая А' ж В' делением первого уравнения на второе, полу-
получим уравнение для определения у и, следовательно, sx: i
67)
Видно, что у — функция от Ъ/а и v. В то время как попытка
аналитического решения такого уравнения относительно f пред-
представляется безнадежной, оно легко может быть решено графи-
графически. На рис. 4.22, б представлены кривые, построенные для
правой части уравнения D.67) в4 зависимости от. Т при v = 0,3,
и кривые, построенные для левой части в зависимости от Ыа.
Точка пересечения этих кривых дает значение f для соответ-
соответствующего отношения Ыа.
Результаты, полученные с помощью подобных вычислений,
изображены на рис, 4.22, в сплощной линией. Левая часть этого
графика, соответствующая малым значениям отношения" 2Ъ/а,
относится к узким пластинам и, как можно видеть, когда шири-
ширина 26 стержня мала по сравнению с его длиной, в качестве
эффективного модуля следует брать Е, как это делалось при
исследовании балок в главе 2. В другом крайнем случае, соот-
соответствующем правой части графика, пластина является широкой
по сравнению с ее длиной и поэтому следует, рассчитывая плас-
пластину как балку, использовать приведенный модуль E/(l— v2).
Однако можно видеть, что переход от одного случая к другому
не является резким и в средней части этого графика при 2Ь/а=
= 1 (квадратная пластина), -рассчитывая пластину как балку,
для соответствующего модуля следует брать среднюю величину
между Е и E/(l—v2). Эти результаты могут быть применены
при решении любой задачи, где расчет пластины с незакреплен-
незакрепленными краями допустимо свести к расчету балки, взяв в качестве
17 л. Г. Доннелл
258 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
я длину первой полуволны прогиба, как об этом говорилось в
конце § 3.5. Следует подчеркнуть, что эти результаты, ни в коей
мерв не влияют на исследования пластин или обояочек по тео-
теориям пластин и оболочек, обсуждаемым в этой главе и в ос-
остальной части книги; при таких исследованиях должным образом
учитываются все подлежащие рассмотрению обстоятельства, ког-'
да используется D = Eh3/li2(i — v2)], как показывалось ранее.
В этом случае интерес также представляет форма деформи-
деформирования. Ее можно получить, определив с помощью любого из
уравнений D.66) отношение A'JB и подставив его в выражение
D.64), при этом остается один неопределенный множитель, соот-
соответствующий произвольной амплитуде прогибов при потере, ус-
устойчивости. Как обнаруживается, кривизна дги>1дуъ в направле-
направлении оси у имеет знак, противоположили* знаку кривизны дгю]дхг
в направлении оси х, что следует из того факта, что прогиб w
является тригонометрической функцией от х, но гиперболиче-
гиперболической — от у. Таким образом, если при потере устойчивости плас-
пластины ее вогнутость по оси х направлена вверх, то по оси у ее
вогнутость направлена вниз, как зто показано штриховыми ли-
линиями яа рис. 4.22, а. Такой тип искривления поверхности назы-
называется автикластическим или седлообразным. Отношение между
кривизнами в плоскостях zx и zy показанных на рис. 4.22, в
штриховых линий для незакрепленных краев при у = ±Ь точна
равно взятому со знаком минус коэффициенту Пуассона v, что
показано горизонтальной штриховой линией. Это связано с тем,
что на незакрепленных краях нет напряжения ау, а изгибные
напряжения aXf вызывают деформации в направлении оси у
(обусловленные эффектом Пуассона), равные произведению де-
деформаций в направлении оси х на —v.
С другой стороны, в середине такой широкой пластины воз-
возрастает сопротивление изгибу в направлении оси у, по-видимому,
в основном за счет значительного кручения, которое вызывает
антикластический изгиб. Поэтому вдоль центральной линии у = О
кривизна в плоскости zy много меньше'кривизны в плоскости zx,
умнбженной на —v, и принимает нулевое значение в случае бес-
бесконечно широкой пластины (а/2Ь => 0), как это показано штри-
штриховой линией на рис. 4.22, в. Все эти результаты справедливы
для очень малых прогибов на начальном этапе изгиба, когда
нелинейные мембранные напряжения пренебрежимо малы и эта
тенденция быстро увеличивается при возрастании 'напряжений.
Антикластическая поверхность является, конечно, неразвертыва-
ющейся, и поэтому такая форма хорошо сопротивляется мемб-
мембранным деформациям, поэтому у широких пластин при больших
по сравнению с толщиной прогибах кривизна в плоскости zy
практически равна нулю уже на небольшом расстоянии от не-
незакрепленных ¦ концов, где она должна иметь указанное выше
значение.
§ 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОД 259
§ 4.6. Применение энергетического метода к пластинам
Энергия упругой деформации в деформированной пластине.
Как говорилось выше, энергия упругой деформации деформиро-
деформированного тела равна сумме работ, совершаемых при деформирова-
деформировании каждого малого элемента тела. В качестве малых элементов
можно взять элементы, толщина которых равна толщине пласти-
пластины, с объемом dxdyh и подсчитать,, как это делалось в случае
балок, работу результирующих сил и моментов, приложенных к
сторонам элемента, или, наоборот, можно взять элемент с бес-
бесконечно малым размером также и в направлении оси z, имеющий
объем/' dx dy dz и содержащий произвольную точку пластины- с
координатами х,,у, z, и подсчитать работу, совершаемую напря-
напряжениями, возникающими на его гранях, при деформировании
этого элемента. Попытаемся воспользоваться последним подходом.
В соответствии с гипотезой Кирхгофа поперечные деформа-
деформации не учитываются, поэтому не рассматриваются также игпопе-
речные касательные напряжения а„, ау1, и поперечное нормаль-
нормальное напряжение о», возникающие на гранях элемента, так как
они не совершают работы на нулевых (в соответствии с этой
гипотезой)- относительных деформациях в своём направлении.
Из остальных напряжений о*, а„, а*», которые возникают на гра-
гранях элемента, напряжение ах дает суммарные силы <sx dy dz, на-
направленные в противоположные стороны и приложенные к двум
граням1 элемента, нормальным к оси х. Эти7(ве грани смещаются
относительно друг друга в, направлении действующих напряже-
напряжений на расстояние sxdx. Так как силы, действующие на тело,
находящееся в равновесии, не совершают работы при переме-
перемещении как жесткого тела, то можно принять, что одна из гра-
граней неподвижна, так что сила, действующая на нее,, не совер-
совершает работы, тогда как другая грань перемещается на указан-
указанное выше расстояние, и ""поэтому сила, действующая на~ нее,'
совершает работу (axdydz)(sxdx)/2. Разумеется, множитель 1/2
в предыдущем выражении связан с тем, что сила изменяется
по линейному закону в зависимости от перемещения от нуля до
своего конечного значения ах dy dz, как об этом говорилось в § 2.8
применительно к балкам. Изменение напряжения-ах является ма-
малой величиной более высокого порядка по сравнению с самим
напряжением и стремится к нулю при стремлении к нулю dx.
Напряжение ау совершает соответствующую работу (о, dx dz) X
XtEvdy)/2. ¦ х .
На рис. 4.23 изображены четыре силы, действующие по четы-
четырем граням элемента и обусловленные касательным напряжением
Озд. Вновь учитывая, что на перемещениях как жесткого тела
работа не совершается, примем, что верхняя грань изображен-
изображенного элемента неподвижна. Тогда сила a^dxdz, действующая на
нижнюю грань элемента, совершает работу {дт dx dz){ъщДу)/2 на
17* .. - "
260 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
перемещении Exydy этой грани в направлении действия силы. Си-
Силы, действующие на другие грани, не совершают работы при этом
перемещении, так как перемещение вертикальных граней состав-
составляет прямой угол с направлениями сил, приложенных к этим
граням (за исключением составляющих
более высокого порядка малости, для ко-
которых суммарная работа для двух граней
в любом случае равна нулю).
Суммарная энергия деформации плас-
пластины равна сумме работ, совершаемых
при деформировании всех элементов, или
if Г Г -
8 — iy \ dx \ dy \ (ожеж -\-оугу + cxyExy) dz,
& J J J
Рис. 4.23.
D.68)
где интегрирование проводится по всей площади пластины в нап-
направлениях осей х ж у. Используя соотношения между напряже-
напряжением и деформацией, определяемые законом Гука C.11а) и
C.116), для того чтобы выразить деформации через напряжения
или напряжения через деформации, соотношение D.68) можно
представить в следующих формах:
с
8 = ± J dx J dy J [al - 2vaxay + a2y+2A + v) <?„] dz
= п^г) J dx J ** j (Ц + 2^v +¦ 4 + 4-" 4) dz. D-69)
ИЛИ
Наконец, можно воспользоваться выражениями D.16) для то-
того, чтобы представить каждое напряжение в виде суммы соот-
соответствующих мембранного и изгибного напряжений, например,
о* = oOT + axf = (дгу/дуг) - [Ez/A - v2)] (d2w/dx* + vd2w/dy2) и
аналогично для .напряжений о„ и аху. Когда такая сумма мемб-
мембранных и изгибных членов возводится в квадрат или перемно-
перемножается на аналогичную сумму, то получаем квадраты или пар-
парные произведения мембранных членов, которые не зависят от
z, произведения мембранных членов на изгибные, которые пропор-
пропорциональны z, и квадраты или попарные произведения изгибных
членов, которые пропорциональны- 2?. При этом интеграл от про-
произведения мембранных членов на изгибные равен нулю, так как
ft/a
Г z dz — 0. Это означает, что энергия деформации, обусловлен-
-V ¦ . '
ной мембранными напряжениями, и энергия деформации, "обус-
"обусловленной изгибными напряжениями, являются несвязанными
g 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 261
или невзаимодействующими. Подставив эти выражения в D.69)
и разделив слагаемые, относящиеся к мембранной и изгибной
энергиям, можем записать полную, энергию деформации как сум-
сумму изгибной (flexural) и мембранной (membrane) энергий 8 —
где
I ,
[дд) * г
[дхду)
D.71)
Здесь, как обычно, V2 = дг/дхг + дг/ду\ D =^А7[12A - v2)].
Вместо представления мембранных напряжений через функ-
функцию напряжения ф можно с помощью выражений D.16) запи-
записать их через перемещения и, v, w. Таким образом, получаем
другое выражение для энергии 8т'-
2A — v2)J J 1\дх 1 дх ду
\—м(ди dv\2 . (ди dv\!dw\2 . Idv . du\2
' дх} дх ду ' 4. LV 9х, 1 \ ду j J J " v '
Для малых перемещений, которые и будут рассматриваться
ниже до конца этой главы, потребуется рассматривать только
энергию изгибпых деформаций 8f, определяемую выражением
D.70). Как уже говорилось в § 2.8, энергетический метод дает
точное решение, если используются точные выражения для пе-
перемещений. . . v
Свободно опертая пластина при поперечных нагрузках. За-
Задавая, как показано на рис. 4.1.3, уравнения сторон пластины
в виде х — 0, х = а, у = 0, у = Ь, получим, что граничные усло-
условия будут удовлетворяться, если взять выражение для прогиба
w в виде двойного ряда по синусам:
тпх . ппу ., _„«
sin ~ , ( *•'«}
а Ъ
т п
После подстановки этого представления для прогиба в выраже-
выражение D.70) часть слагаемых в этом случае взаимно уничтожится,
в результате получим т
~ " D.73).
Рассмотрим возможное перемещение dwmnsin {тпх/а) sin (nny/b),
вызываемое малым изменением dwmn коэффициентов wmn. Изме-
Изменение внутренней энергии деформации 8 при таком возможном
262 - КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
перемещении будет представлять собой скорость, с которой энер-
энергия & изменяется в зависимости от коэффициентов wmn:L т. е.
d&ldwmn, умноженную на величину dwmn, изменения? wmn, или
{d&/dwmn)dwmn. Поперечную нагрузку р(х, у) при указанном ма-
малом вбзможном перемещении можно считать постоянной, поэтому
совершаемую ею работу возьмем как выражение (р dxdy)dwmnX
X sin (mnx/y) sin (nny/b), проинтегрированное По всей площади
пластины. В соответствии с* принципом возможной работы по-
получаем . . .
Я*Ы) | , .
*"»» ШП~ 8а3 \ ' 6г
а Ь
в о
откуда следует
а Ь
, f . Г . .. . тяж . nny ,
= dvfym J dx J p (x, y) sin -j- sin -^ dy,
4a3 1 Г 7 Г / \ • mnx ¦ nny-,
Wmn = "ггтг 7 ;—г \dx\p (*. y)~sm -~r sin~r dj/-
2 + ± 2
m2 + ±- re2 о о
2
Подставляя это выражение вновь в D.72), получаем выражение,
совпадающее с D.24), которое было получено ранее из уравне-
уравнения равновесия с помощью гармонического анализа.
Пластина с подкрепляющими ребрами. Энергетический метод
особенно удобен при исследовании составных конструкций, сос-
составленных из нескольких частей с различными геометрическими
параметрами. При использовании подходов, основанных на рас-
рассмотрении условий равновесия таких конструкций, необходимо
составлять уравнения для каждой части в отдельности и добав-
добавлять условия неразрывности, которые отражают тот факт; что
перемещения частей в местах их соединения непрерывны, а си-
силы, с которыми они действуют друг на друга, представляют собой
действие и равную ему реакцию. Применяя энергетический ме-
метод с выбранными выражениями для перемещений, удовлетворя-
удовлетворяющими условиям непрерывности, необходимо только использовать
-суммарную энергию деформации, полученную суммированием
внутренних энергий деформаций, накапливаемых в каждой части
при таких перемещениях, и решать задачу точно так же, как и
в случае отдельное пластины.
Для примера рассмотрим пластину, показанную на рис. 4.24, а,
имеющую ребра жесткости .или усиления, направленные парал-
параллельно реи у и отстоящие на расстояниях xi, хг, ..'., ж<, ... от
оси у. Она может также иметь рёбра, параллельные оси х и
отстоящие на расстояниях Уь Уг, ..., Уи ... от оси х. В данном
§ 4.6]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
263
случае будем предполагать, что-~ребра крепятся симметрично
относительно срединной поверхности пластины, лежащей в плос-
плоскости ху (рис. 4.24, а), и что они изготовлены из относительно
тонкого материала и имеют открытого профиля поперечное се-
сечение (типа швеллера, двутавра или Z-образного профиля); npff
0,1 0,3 0,5
s/1
Рис. 4.24
этом их жесткость на кручение мала по сравнению с их изгибной
жесткостью, и, таким образом, ею можно пренебречь. Тогда сум-
суммарную энергию деформации можно, с учетом выражений B.54)
и D.70), представить в виде
Л
¦ о
dx, D.75)
где Eh — жесткость при изгибе относительно срединной поверх-
поверхности ребра с координатой х = х{ и т. д.
Если ребро имеет жесткость на кручение такую, что ею нель-
нельзя пренебречь^ что обычно бывает в том случае, ~ когда ребро
имеет форму замкнутой трубы, то к выражению D.75) следует
добавить выражение для энергии деформации кручения; по ана-
аналогии для этой энергии можно записать
dx, D.75а)
где GJi — жесткость при кручении, определяемая как крутящий
момент, необходимый для закручивание единичной длины ребра
с координатой х = ж< на единичный угол (один радиан)') и т. д.
') Timoshenko S. P. Strength of materials. 2nd ed.—New York: Van
Nostrand Co., Parjt II, 1941, pp. 265—293;'русск. перевод 3-го изд-я: Тимо-
Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Часть II.—М.: Наука, 1965,
с. 204-241.
264 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
Имеется еще третий тип энергии деформации, который связан
с закручиванием ребер, хотя он и не является строго крутиль-
крутильным. Если ребро закручивалось с постоянной скоростью круче-
кручения, то выражение D.75а), которое описывает энергию деформа-
деформации, соответствующую касательным напряжениям и деформаци-
деформациям, возникающим при кручении, будет достаточно. На практике
скорость кручения, как правило, не постоянна, и части ребра,
расположенные вне пластины, будут при этом подвергаться также
и изгибу в плоскости пластины из-за переменности скорости
кручения. Так как такому изгибу подвергаются все части ребра,
то обычно бывает достаточно рассмотреть полки ребер, поскольку
они, как правило, наиболее удалены от пластины и дают наи-
наибольший вклад в жесткость в плоскости пластины. Момент инер-
инерции // каждой полки двутавровой балки, используемой в каче-
качестве подкрепляющего ребра, можно приближенно взять равным
половине момента инерции всего поперечного сечения относи-
относительно стенки как оси, который приводится в справочниках по
строительной механике.
Тогда для ребра, расположенного параллельно оси у на рас-
расстоянии хА от оси у, прогиб полки в направлении оси х составит
U = с dw/dx, где с означает расстояние полки до срединной по-
поверхности пластины. В соответствии с выражением B.54) энер-
энергий деформации изгиба каждой полки в направлении оси х при
этом примет вид
Ы№\ *у=*Цп\(*л* dy; D.75б)
При этом расстояние между концами полок также уменьшится
на величину
id )()dj/' D'75в)
что следует принимать во внимание при записи работы внеш-
внешних сил в задачах устойчивости. Аналогичные выражения при-
применяются и для любых других ребер, параллельных осям х и у.
Если ребра расположены несимметрично относительно - сре-
срединной поверхности пластины, например, если они прикреплены
к одной из поверхностей пластины (что обычно имеет место на
практике), то выражение D.75) будет давать несколько занижен-
заниженные значения энергии деформации изгиба, так как часть плас-
пластины, примыкающая к ребру, присоединена к нему, и, таким
образом, она деформируется вместе с-ним и, следовательно, дей-
действует как дополнение к ребру и значительно увеличивает эф-
эффективную жесткость ребра. Таким образом, в этой части плас-
§ 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 265
тины в дополнение к изгибным напряжениям, аналогичным воз-
возникающим в остальных частях пластины, будут развиваться
мембранные напряжения, соответствующие изгибу как части
ребра. i
Такое поведение пластины как части прикрепленного ребра
(или подобных пластине полок тонкостенных балок с широкими
полками) изучалось Т. Карманом'). Мембранная деформация в
пластине должна иметь такую же величину, как и деформация
ребра в месте присоединения ребра к пластине; деформация в
пластине при удалении от ребра уменьшается по экспоненциаль-
экспоненциальному закону медленно, если ребро изгибается по длинным вол-
волнам, и быстро — при изгибе по коротким волнам. Т. Карман вы-
вычислил эффективную ширину К расположенной по обеим сторо-
сторонам ребра, пластины для случая равномерного деформирования,
сведя этот случай к задаче о бесконечной пластине, подкреплен-
подкрепленной ребром, деформации в которой уменьшаются по экспонен-
экспоненциальному закону. На практике в большинстве случаев пластина
имеет достаточную ширину, чтобы предположение о бесконечной
ширине давало хорошее приближение, но для того чтобы охва-
охватить случай более узкой пластины, были проведены дополнитель-
дополнительные расчеты для определения эффективной ширины, которая
при деформировании ребра была бы эквивалентна случаю опре-
определения деформаций, уменьшающихся / по экспоненциальному
закону, в пластине ограниченной ширины.
Найденная таким образом ширина каждой стороны ребра сос-
составляет Я, = 2^/C + 2v — v2)jt « 0,81^1, где в качестве I можно
взять первоначальную длину полуволны.(т. е. расстояние между
узлами) прогиба ребра при изгибе. Числовой коэффициент f
принимается равным единице для пластины с бесконечной ши-
шириной и, как показано на рис. 4.24, в, он зависит от отношения
s/l, где s — ширина той части пластины, которая, как можно
мысленно себе представить, взаимодействует с ребром. На
рис. 4.24, а значения st и &i являются значениями упомянутой
величины s по каждую сторону от ребра, измеряемыми от оси у,
s2 и s2, то же для следующего ребра и т. д.; здесь предполагает-
предполагается, что можно суммировать влияния, оказываемые на пластину
со стороны различных ребер.
Если ребро изготовлено из того же материала, что и плас-
пластина, и прикреплено к пластине с помощью узкого сварного шва
или ряда близко расположенных заклепок, то элементарные рас-
расчеты показывают, что момент инерции / ребра относительно оси,
') К а г m a n Th: Die mittragende Breite — Beitrage zur techniache Mec-
hanik und technische Physik.— Berlin: J. Springer, 1924, SS. 114—127; см. так-
также Timoshenko S. P. Theory of elasticity.— New York: McGraw-Hill
Book Co., 1934, pp. 157—161; русск. перевод 3-го изд.: Тимошенко СП.,
Гудьер Дж. Теория упругости.—М.: Наука, 1975,-с. 272—278.
266 . КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
проходящей через центр тяжести поперечного сечения ребра,
увеличится, так как прибавляются две эффективные ширины
пластины, при этом эффективный момент инерции /' относитель-
относительно оси, проходящей через новый центр тяжести поперечного
сечения, равен
/' — / i Ае т IA
5.52Л
где А — площадь поперечного сечения ребра; е — расстояние от
центра тяжести поперечного сечения ребра до срединной поверх-
поверхности пластины (для симметрично установленных ребер в = 0);
h — толщина пластины; значения X, %' и у, у' относятся к об-
областям, лежащим тю обеим сторонам ребра. Если ребро и плас-
пластина изготовлены из различных материалов, то второе слагае-
слагаемое, стоящее в -знаменателе выражения D.76), надо умножить
на отношение модулей упругости материалов ребра и пластины;
если ребро прикрепляется к пластине с помощью редко постав-
поставленных заклепок, то между ребром и пластиной будет возникать
некоторое проскальзывание, и потому это второе-слагаемое сле-
следует несколько увеличить, однако все это не имеет большого
значения, если расстояние между заклепками мало по сравнению
с I, что, как правило, бывает на практике.
Взаимодействие между ребром jh пластиной можно было бы
исследовать и другим* путем, рассмотрев перемещения и и v сре-
срединной поверхности, которые будут появляться даже при малых
перемещениях, если используются несимметричные ребра. Сле-
Следует задаться выражениями для перемещений и и v с 'неизвест-
'неизвестными коэффициентами, записать выражения для результирую-
результирующих деформаций в ребре и пластине и неизвестные коэффици-"
енты определить энергетическим методом- вместе с неизвестными
коэффициентами в выражениях для прогиба w. Этот метод пред-
представляется более прямым и потенциально-более полным, но яв-
является значительно более трудоемким (так как число неизвест-
неизвестных коэффициентов утраивается), чем представленные ранее
методы по определению энергии деформации подкрепленной пла-
пластины, где рассматриваются все факторы, которые могут ока-
оказаться важными.
В качестве простого, примера использования изложенного вы-
выше подхода рассмотрим нагруженную равномерно распределен-
распределенным поперечным давлением р0 пластину с одним симметрично"
расположенным параллельно оси х ребром, форма поперечного
сечения которого показана на рис. 4.24, б. Выбрав для прогиба
w выражение в форме D.72), где тип принимают в силу сим-
симметрии только нечетные значения, для записи- энергии дефор-
деформации воспользуемся выражением D.75). Энергия деформации
§ 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД . - 267
V
ребра при пренебрежении энергией кручения имеет вид
а >
W л1 f/VV 9 • пни • гея \ ,
.= -j- —^ J [2d 2*т Wmn sm т~sm "г
гея \2
= х "Т"!" К" ~~ "^ + "*« ~ v -J+ 81 («'si — ззб
D.77)
В соответствии с принципом возможной работы на возможном
перемещении dwmn sinimnx/a) sin (nny/b) можно записать
а ь
Ь
откуда
dwmn = podwmn Us sin— sm-т2- dy,
-1 - О О
EI я4 о" dO /V» . ге'я\ , . гея 4аЬ
т7 "г" (^ u;"ln sin т!du;mn Sln Т =
7 "г" (^ u;"ln sin т!du;mn Sln Т „^
. ¦ ¦ ,. D.78),
Таким образом, в подобных случаях, вследствие того, что при
вычислении энергии деформации ребра интегрирование проводит-
проводится только в одном направлении, для определения каждого ко-
коэффициента wmn. получаем уже не простые формулы, а систему
совместных уравнений . ¦
1 -4- У —г I + Z?il w<,i — АЫ (w44 — w4e. -+- ...) = s-2,
*¦ ОЯ
D.79)
„г\2
h • ~
ъ*! \
Удерживая в разложении только один член, для коэффициента
получаем
Wn = «;max = ——^ 1б8^°, ¦-, • D.80)
¦-Т-) +2?г
268 . КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЛАСТИН [ГЛ. 4
Для квадратной пластины (а = Ъ) с ребром, размеры которо-
которого показаны на рис. 4.24, б, момент инерции ребра равен / =
=/г63/12 000, а максимальный прогиб —
1 + 2000 ff
Для очень толстой пластины, скажем, с b/h = 20, влияние реб-
ребра, отраженное в члене с Ъ lh%, невелико. Но для тонкой плас-
пластины, например с b/h > 100 ребро, вес которого составляет одну
десятую от веса пластины, может снизить прогиб в пять и бо-
более раз; использование ребер с более эффективными профилями
поперечных сечений, таких, как швеллер, делает такое сравнение
еще более впечатляющим. Если читатель пожелает углубить ре-
решение этой задачи путем использования большого числа членов,
то он обнаружит, что при этом имеет место хорошая сходимость,
а также то, что сделанные выше выводы сохраняют свое зна-
значение.
Если ребро, показанное на рис. 4.24, б, несимметрично и рас-
расположено на одной стороне пластины, а не так, что одна поло-
половина его высоты расположена над, пластиной, а другая — под
пластиной, то при а=Ь получим* s/l = s'/l — 1/2, "f = f' « 1,
а- эффективный момент инерции, согласно выражению D.76),
будет равен
'
Г =
hb
3
/a /'
12000 + 1 + 2,76 (hb/10) m/(ah) ~~ 12 000 \ *-+ I + 0,27Qmb/a
D.82)
Заменяя в системе уравнений D.79) / на /', в первых двух урав-
уравнениях вместо 2EI получим 2?7[1 + 3/A + 0,2766/а)], в третьем ^
уравнении вместо 162гЕГ получим 162 Е1П + 3/A + 0,828 b/a)] и
т. д. В формуле D.81) при а — Ъ и удержании только одного
члена слагаемое с 62//г2 следует умножить на коэффициент [1 +
+ 3/A + 0,276)] = 3,35. Так. как этот коэффициент тем меньше,
чем лучше форма ребра, то, очевидно, отсюда следует, что го-
гораздо эффективнее располагать подкрепляющее ребро с одной
стороны пластины, что будет более удобным мС с технологической
точки зрения. Это, разумеется, связано с тем, что значительная
часть подобной конструкции выполняет двоякую функцию и как
пластина, и как часть подкрепления, тем самым сильно увели-
увеличивая эффективный момент инерции подкрепления.
Применение энергетического метода для решения задач ус-
устойчивости. В таких задачах при возможном перемещении наибо-
наиболее значительной работой, которую совершают внешние силы
(в случае упругого закрепления краев следует присоединить и
работу сил в упругих опорах), является работа, совершаемая
§ 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ *1ЕТ0Д 269
краевыми нагрузками в плоскости срединной поверхности, кото-
которые действуют на краевых перемещениях и и v. Вычисление
этих перемещений su и v довольно сложная задача, включающая
в себя определение соотношения между функциями ф и w, оп-
определяемого выражением D.13), и соотношений между функ-
функцией ф и перемещениями, определяемых -выражениями D.11).
Для сложных задач, в которых имеется различное распределе-
распределение краевых сил на противоположных краях или большие на-
начальные отклонения, такие полные решения, по-видимому, нуж-
нужны. Однако в представляющих "практический интерес более прос-
простых случаях, которые будут рассматриваться ниже и в которых
имеются одинаково распределенные па противоположных краях
силы и нулевые или малые начальные отклонения, достаточно
и в то же время намного проще просуммировать по всей плас-
пластине вклады в относительные смещения краев в направлении
действия краевых сил, которые обусловлены искривлением сре-
срединной поверхности при потере устойчивости; мембранные на-
напряжения и деформации в срединной поверхности можно пред-
предположить неизменяющимися при бесконечно малом возможном
перемещении, так что можно рассматривать только смещения,
обусловленные искривлением.
Потеря устойчивости при сжатии свободно опертых пластин.
Рассмотрим, например, характерный малый элемент dx dy плас-
пластины, нагруженной краевыми силами, которые создают мембран-
мембранные напряжения Охт. При перемещении w(x, у) расстояние dy
между его сторонами в направлении оси х будет уменьшаться
вследствие искривления элемента, в плоскости zx. На рис. 4.4, а
гипотенуза О'Р' представляет теперь искривленный недеформи-
рованный элемент, чья длина остается равной dx, расстояние
ОР между его концами по горизонтали уменьшается вследствие
искривления от dx до {1 — (ди>/дхJ}1/2, т. е. на величину
dx — {1 — {dw/dx)zYndx « (dw/dxJdx/2. Полная работа, совер-
совершаемая внешними силами, вызывающими напряжение о*™, может
быть представлена в виде . ' .-
--f §dx§hoxm@fdy,^ D.83a)
где интегрирование проводится по области, занимаемой пласти-
пластиной, а работа является отрицательной, так как перемещение и
напряжение направлены в противоположные стороны. Работа,
совершаемая силами, вызывающими мембранное напряжение оут,
имеет такое же выражение, за исключением взаимной переста-
перестановки хну.
При исследовании устойчивости идеальных образцов действи-
действительное перемещение w считается бесконечно малым и, если
это необходимо, оно может быть взято в качестве возможного
перемещения. Тогда, согласно принципу возможной работы, вы-
270 ¦ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
ражение D.83а) для работы внешних сил можно непосредствен-
непосредственно приравнять выражению —D.73), описывающему изменение
энергии деформации. Используя представление D.72) для про-
прогиба w, можно удовлетворить краевым условиям для свободного
опирания. Рассмотрим, например, важный случай равномерно
распределенной по краям х = 0 и х = а сжимающей нагрузки sx
(см. рис. 4.15). Тогда получаем напряжение От = — sx, соответ-
соответствующее функции напряжения Эри <р = —зжуг/2, и в результате
можем записать
D-836)
Потеря устойчивости произойдет, когда напряжение sx достигает
наименьшего значения, соответствующего условию D.836). Так
как все члены, стоящие нод знаком суммирования, положитель-
положительны, то, очевидно, это случится, когда амплитуды всех слагаемых
будут равны нулю, за исключением наименьшей, и. в этом сла-
слагаемом га будет иметь свое наименьшее из возможных значений,
т. е. единицу. Тогда соотношения D-836) и D.36) совпадают, и
значение т, соответствующее минимуму sx, находится из зави-
зависимости, приведенной на рис. 4.17. . _
В случае несовершенного образца* имеющего начальные от-
отклонения we, при увеличении нагрузки будет увеличиваться и
смещение w от этого начального положения, и поэтому оно
должно рассматриваться при данном, подходе как конечное. По-
Поэтому уменьшение расстояния ОР по горизонтали (см. рис. 4.4, а)
должно определяться как бесконечно малое изменение Аш сме-
смещения w, откуда с учетом того, что приращение Аи; бесконечно
мало по сравнению с w или w0, получаем
д (wn +w + Дмл\2 j- (д (w. + мЛ\з а~ Г/ д (wn + и>) ,
' " I dx >J 2 l дх ^
a (w0 +_w)\*] dC_To д (W6 + w) dAw , (dAwY I dx
Y] dx^ Т.
)\Т=[2.
dx - I J 2 Г. dx dx ' Vdx J J 2
w)
дх - дх
Mojkho принять, что при изменении Аи; напряжение о«т и крае-
краевые силы, вызывающие их, остаются постоянными, поэтому рабо-
работа краевых сил будет равна
§ 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 271
Еели начальное отклонение мало, можно предположить, что
при этом мембранные напряжения распределяются так же, как и
в задаче теории упругости о плоском напряженном состоянии
плоской пластины. Взяв тот же самый, что и изученный ранее,
случай равномерного сжатия о"«т = ~sx и используя для про-
прогиба w представление D.72) и такое же представление для на-
начального прогиба w0 с коэффициентами ьоШл в выражениях D.73)
и D.84а), запишем принцип возможной работы, требующий,-что-
требующий,-чтобы при возможном перемещении Aw = dwmn sin (fnnx/a) sin (ппу/Ъ)
(вспомним, что энергия деформации зависит только от переме-
перемещения w) имело место соотношение ^ -
as j .n%D
dwmn — —г- \m- + -y re2 wmndmmn =
4a V of
а Ь
f , f, , тл mnx . пли Г, , , nx . ли .
= J dx J hsxdwmn — cos -j- sm-^ [^(ш011 + wu) cos — sm-^- +...
0 0.
, / i4 ТПЛХ . ПЛУ , 1 ,
... + m (wOmn 4- Wmn) cos-^- sin-^ + . .. \dy =
0 0
а ч womn т^ wmn
Wmn == 2
¦ ni/ J mb r fl
6 hs \ a mb-
Это выражение соответствует выражению B.24) для балок и
может исследоваться аналогичным образом. Если ш0, а следова-
следовательно, и шОтп равны нулю, то должен равняться нулю и зна-
знаменатель правой части, чтобы не равнялся нулю прогиб при
потере устойчивости, откуда следует
. Я2О Imb , а \2 /7 о, ч
Sx = "Л \~ + ~^ъ)' - " D.84в)
здесь число волн в направлении оси у предполагается равным
единице, так. как при этом,' очевидно, получается наименьшее
значение критической нагрузки. Эт.о совпадает с формулой- D.36),
полученной из рассмотрения условия равновесия. В этом реше-
решении предполагается, Чтокак ш0, так и__'ш малы по сравнению
с h. Если одна из этих величин имеет порядок толщины А, то
уже нельзя далее предполагать, что напряжение о»™ равномерно
распределено, и игнорировать нелинейные мембранные напря-
напряжения, сопровождающие перемещения при потере устойчивости,
что будет показано в § 5.1.
Потеря устойчивости свободно опертых пластин при сдвиге.
Как и в рассмотренном выше случае сжатия, вычисление изме-
272 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
нения расстояния между внешними силами при потере устойчи-
устойчивости вследствие искривления срединной поверхности влечет за
собой появление нелинейных членов в выражениях D.2) для
мембранных деформаций. При этом подсчитанные деформации
определялись только искривлением без учета перемещений и и
v, тогда как в данном случае интерес будут представлять пере-
перемещения и и v, вызванные только искривлениями без деформа-
деформаций^ выражения должны совпадать с точностью до знаков.
Так, при сдвиге, если рис. 4.4, б толковать так же, как это
делалось с рис. 4:4, а, можно показать, что, рассматривая для
удобства защемленной только одну сторону dy недеформирован-
ного элемента dxdy, получаем, что перемещение противополож-
противоположной стороны в направлении у. вследствие искривления, вызывае-
вызываемого перемещением w{x, у), равно (dw/dx)(dw/dy)dy. Если дей-
действуют касательные напряжения о*,^,, то вызывающие их внеш-
внешние силы совершают работу на перемещении этой стороны, ко-
которая при суммировании равна
a^m—^dy, D.85)
здесь интегрирование проводится по всей области, занимаемой
пластиной, а знак минус обусловлен тем, что направления пе-
перемещения и напряжения противоположны друг другу. Работа,
связанная с перемещением стороны dx, равна нулю, так как это
перемещение направлено под прямым углом к напряжениям,
действующим на них.
Аналогично, если имеется начальное отклонение. w0, то пере-
перемещение одной стороны dy при малом изменении Aw прогиба
w будет равно
Aw) d(wo + w)d (w0 +
dx~, - Ту dx dy
»0+">) , dAw) 9 (w + w
+ )
цТу
) dAw 9 (w0 +
dx dy + dy dx jaVf
в результате получаем для работы, совершаемой краевыми сила-
силами, вызывающими напряжение о*,^,, следующее выражение:
J ha^m ГЬТ Щ + ~y dl—J dV- D-86>
Рассмотрим показанный на рис. 4.25, а случай свободно опер-
опертой пластины, на которую действуют равномерно распределен-
распределенные по краям ж = 0, х = а, у — 0 и у = Ъ сдвигающие силы sxy>
отнесенные к единице длины стороны. Если начальный w0 и
дополнительный w прогибы малы по сравнению с толщиной h,
§ 4.6]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
27?
то можно в качестве мембранных напряжений принять равно-
равномерно распределенные касательные напряжения Охит = s*v, соот-
соответствующие функции напряжения Эри ф = — s«, ху. Для того
чтобы удовлетворить граничным условиям, зададим „прогиб w- в
виде D.72), для начального отклонения w0 зададим аналогичное:
О 0,2' 0,6 1,0
6) а/Ь
Рис. 4.25.
выражение с коэффициентами womn, которые для каждого конк-
конкретного случая считаются известными. Тогда принцип возмож-{.
ной- работы с учетом выражений D.73) и D.86) требует, чтобы
при возможном перемещении Ди> = dwmn sin (mnx/a) sin (nny/b}
выполнялось следующее соотношение:
д& , nhD I „ , а2 Л* '
owmn 4a V - Ъ )
о а Ь
= -^ dwmn ]^x]ZiZi I ^OPI + WPt) ( mQ Sin ^T C0S^ X
0 0 P 1
, . nny any . . mnx pnx . any nnyX] ,
Xsin-p cos^ + np sin cos?—sm^x cos—^ dy*
о о a a b 0 j}
откуда, вычисляя интегралы от произведений функций синусов
и косинусов, находим
S
18 л. Г. Доннелл
— и>рв)"
тпР°
p q
D.87)
274 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН (ГЛ. 4
где суммы (/те + р) и (п+ q) принимают только, нечетные значе-
яия; S ='я*Ы)/C2а3/1вч/). Выписывая соотношение D.87) для
каждой комбинации тип, получаем две системы уравнений, од-
одна из которых содержит только члены с четными суммами (т+п),
другая — с нечетными. Из первой системы путем проб и прове-,
рок получается наименьшее значение s^; она имеет вид
>11 — -Tt{u>022+Wm)+ ... =0,
=0, D.88)
4" (и>оц + wu) + 165 И + ^Т) и>и + 4"
S ( 1 + 9-^г- I W13+ ... =0,
4 / 2 \2
-5-К22 + «'гг) + S {9 -j- -pf-1 u;31 + • • • = 0,
Приравнивая нулю определитель этой системы для произвольно
выбранного отношения alb, получим уравнение..относительно S,
решая которое определим затем и критическое значение s^,.
Штриховыми линиями на рис. 4.25, б показана зависимость без-
безразмерной величины а = я*Ь/C2 aS) — cPhSxJD для случая
идеально плоской пластины (w0 = 0), полученная С. П. Тимо-
Тимошенко1) с помощью такой же системы уравнений с удержанием
иного числа членов ряда. Сплошной линией показана, по-види-
по-видимому, наиболее точная зависимость для а с учетом того, что точ-
точное (в рамках гипотезы Кирхгофа) значение а, которое получили
Р. Саутуэлл и С. Скан, для длинной полосы {alb = 0) равно
« = 52,8.
Упомянутые выше результаты для идеально плоской пластины
были получены энергетическим методом, но их можно получить
и и$ рассмотрения уравнений равновесия. Подставляя выражение
D.?2) для функции w в уравнение D.18) и полагая о,™ = avm =
~^ р = 0, получаем
2 \2 . тпх . ппу
Wmn Sin—— Sin —г?- =
') Timoshenko S. P. Theory of elastic stability.—New York:
McGraw-Hill Book Co., 1936, pp. 357—362; русск. перевод: Тимошен-
§ 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 275-
Это уравнение можно удовлетворить, заменив каждую функцию
косинуса рядом по функциям синуса, как это делалось с при-
примененными в § 4.5 нормальными балочными формами. Пусть
тпх ппу. 'V 'V' « . рпх . qny
COS-^- COS—jf- = 2d2d CmnP1 Sln ~^~ S1Q g~'
PI .
Определяя коэффициенты Cmnpq в соответствии с методом гармо-
гармонического анализа, находим
а Ь
п 4 С ¦, С . рпх тпх . any nny 7 .
Cmnpq = •-? \аХ \ Sin -i-^~ COS —~ Sin -*у- COS—~- dy =
0 0 .
_ 16. РЧ
где суммы (.т + р) и (re+g) принимают только нечетные зна-
значения. Подставляя эти коэффициенты в выражение D.90), а это<
выражение — в соотношение D.89), получим уравнение, содержа-
содержащее только функции синуса от аргументов х и у. Так как это-
соотношение-должно удовлетворяться-для всех значений х и у,.
сумма коэффициентов при подобных функциях синуса должна
равняться нулю, а из этого условия получаем систему уравнений,
совпадающую с системой D.88). - -
Как найдено теоретически и экспериментально, форма про-
прогибов при потере устойчивости дливной узкой полосы при сдвиге
образует одну полуволну в поперечном направлении и несколько»
полуволн той же длины в продольном направлении. В отличие-
от волны простой формы в виде синусоиды в случае потери ус-
устойчивости, при сжимающих напряжениях, здесь образуются ко-
косые волны с узлами, расположенными чгод углом, так что лри
этом пластина изгибается с более резкими изломами в направ-
направлении сжатой диагонали, чем^в направлении растянутой диаго-
диагонали. Эта тенденция еще более усиливается в случае тонких плас-
пластин, когда црогибы становятся. большими по сравнению с тол-
толщиной: растянутая диагональ становится почти прямолинейной,,
а сжатая диагональ изгибается с большим числом полуволн; эта
форма сходна с той, которая образуется при сдвиге руками тон-
тонкого листа бумаги или ткани. Такие* большие прогибы при по-
потере устойчивости "будут обсуждаться в главе 5.
Из уравнения D.88) можно легко найти отношение коэффи-
коэффициентов разложения в ряд функции прогибов. Для квадратной-
ко СП. Устойчивость упругих систем.— М.; Л.: Гостехиздат, 1946, с. 318—
324. S о u t h a w е 11 R. V., S k a n S. W. On the stability under shearing-
forces of a flat elastic strip.—Proc. Roy. Soc. of London. Ser. A, 1924, v. 105,.
pp. 582—607.
18*
276 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
пластины (а = Ь) имеем: S = 0,031, wZ2 — 0,28 wiU- wi3 = w3i —
= —0,072 wn. Подставляя эти значения в выражение D.72), по-
получим форму потери устойчивости в случае малых прогибов,
показанную на рис. 4.25, в, где коэффициент берется равным
единице. Причина образования более резких изломов кривизны
в сжатых, а не в растянутых диагональных направлениях доволь-
довольно очевидна.
Приближенное решение для пластины с тремя свободно опер-
опертыми краями и одним краем, свободным при сжатии в направле-
направлении свободного края. Рассмотрим применение к пластинам эпер-
гетического метода как приближенного метода, выбрав для про-
прогиба форму, которая выглядела бы правдоподобной. Если лист
тонкого картона теряет устойчивость по форме, показанной на
рис. 4.21, а, то линии, первоначально параллельные оси у, оста-
остаются по виду прямолинейными, т. е. лист картона- выглядит
изогнувшимся по форме простого вида
w = i#ij/ sin—г-. D.92)
Эта форма удовлетворяет краевым условиям D.60) на краях
х = 0, х = а и у = 0, но не удовлетворяет им на свободном крае
при у = Ъ. Тем не менее в соответствии с результатами, полу-
полученными для случая пластины с двумя свободными краями
(см. рис. 4.22, а), можно ожидать, что по крайней мере для широкой
пластины потеря устойчивости будет происходить по форме
{4.92), близкой к развертывающейся поверхности, почти по всей
пластине; единственное место, где наблюдается сильное откло-
отклонение от, этой формы, располагается вблизи свободного края. От-
Отсюда будет интересно сравнить решение *) энергетическим мето-
методом с использованием представления D.92) с довольно сложным
«точным» решением, получаемого из выражения D.61) при sy = 0.
Подставляя представление D.92) для w в соотношение D.70),
получаем выражение для энергии деформации
а 6
1 +2(l-v)^— «;lCos — j \dy =
4a
. D.93)
Согласно принципу возможной работы на возможном перемеще-
пх
нии Aw = dwrf sin — с использованием выражения D.84а) при
') См. Приложение, написанное Л. Доннеллом к статье Т. Кармана:
Karman Th. The strength of thin plates in compression.—Trans. ASME,
1932, v. 54, pp. 53-54
§ 4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД- 277
Wo = 0 работа внешней силы sx равна
я2Ь2
а Ь 2 3
nb h
, Г , Г dAw dw , n b hs
—т- Ил I /"/'У* I _____ _____ /77/ _____________ 7/) /777)
' J J й fli " 6a 1 1
я2 J'
откуда получаем
„ _ Л I i2 , 6A-
где выражение, стоящее в скобках, соответствует коэффициенту
к; зависимость для него представлена на рис. 4.21, б. Штрихо-
Штриховая линия построена для v = 0,3. Если используется такое же
значение коэффициента Пуассона v = 0,25, что и примененное
ранее при получении точного решения, показанного на графике
сплошной линией, то получаемая при этом кривая будет почти
неотличима от той; что соответствует точному решению, всего
лишь на один процент превышая представленные на графике
значения. Как уже отмечалось в § 2.8, приближенное решение,
получаемое энергетическим методом и удовлетворяющее краевым
условиям, всегда несколько выше, чем точное значение крити-
критической нагрузки, но эта закономерность выполняется не всегда,
если, как и в данном случае, краевые условия ле удовлетворяются.
Устойчивость подкрепленных пластин. Эта важная задача
является слишком специфической *), чтобы обсуждать "ее много-
многочисленные особенности в книге по общей теории, но несколько
замечаний Тя примеров, связанных с этим, можно привести. Так
же, как и в других задачах, где рассматриваются конструкции
€ заделкой, наиболее приемлемым с тбчкй зрения практического
применения является решение энергетического типа, где в рабо-
работу, совершаемую внешними силами на возможных перемещениях,
необходимо, разумеется, включить и работу, совершаемую на-
нагрузкой, если таковая имеется, воспринимаемой подкрепляющими.
ребрами. Возможные формы потери устойчивости, которые долж-
должны рассматриваться с целью определения той, которая возник-
возникнет при наименьшем значении нагрузки, здесь более разнообраз-
разнообразные, чем в случае неподкрепленной пластины. Сюда входят: по-
потеря устойчивости вместе с рёбрами; потеря устойчивости между
ребрами, при которой ребра влияют на формы вьшучиваиия при
') По поводу приближенных, но очень прозрачных решений этой зада-
задачи см. Donnell L. H. The stability of isotropic or orthotropic cylinders or
flat or curved panels, between and across stiffeners, with any edge conditions
between hinged and fixed, under any combination of compression and shear.—
NACA, Techn. Note, 1943, № 918.
278 - • - КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. i
потере устойчивости пластины и подвергаются кручению при от-
отсутствии изгиба из плоскости пластины; и, наконец, локальная
потеря устойчивости таких частей ребра, как, например, высту-
выступающие тонкостенные полки. ~
В качестве примера рассмотрим свободно' опертую по краям,
пластину со сторонами х~= О, х — а, у = 0 и у=Ь, имеющую
подкрепление в виде двутавровой балки,-прикрепленной :одной^
полкой к пластине по линии у — 6/2. Начальные отклонения от
идеальной формы учитываться не будут,^ предполагается, что
полка и ребро подкрепления изготовлены из одного материала,
а условия нагружения таковы, что потеря^ устойчивости в них
.происходит при том же самом сжимающем напряжении о*==— $х.
¦ Выражение для прогиба w возьмем в виде двойного ряда по си-
синусам D.72). Тогда энергия деформации ребра, с учетом выра-
выражений B.54), D.75а) и D.756) и принятых в них обозначений^"
(формулы D.7.6) для /-'), примет вид • '** .
, • : • D.95>
Дли возможного , перемещения dwmn sin (тях/а) sin (nny/b) изме-
изменение энергии деформации ребра может быть записано так:.
, я4 Г mtEP /V • п'я \ -. ияг
dwmn -j- -j— | 2л Wmn- Sin —?— I Sin -5- -f
2
n'n
Работа, совершаемая на возможном перемещении действующей
на ребро внешней нагрузкой s,, с учетом соотношений B.58а) и
DЛ5в), равна , ¦ . _
а
йГ /.•-,... \2 х Л ¦' i -Z-. \2Т
. J<!/=b/2) *
-О ' '
= dw,
»'
os—j- cos-yl. D.97)
/ 1
Приравнивая друг*другу выражения, D.96) ж D.97) и суммируя
их с выражением. D.846) при н?рт» = 0, из условия того, что
энергия пластины остается неизменной, после деления на
§4.6] ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД ', 279"
я2Ь dwmrjDa) и группировки слагаемых получим
J
+ — ] —-J— — Asx И ? «W sm -j- j sin -%- ¦+•.
-!f.=0. _D.98)
Второе из трех слагаемых равно нулю для четных значений п
или и', тогда как третье слагаемое равно нулю для нечетных,
значений. Поэтому уравнения D.98) распадаются на две системы
уравнений. В одной системе, каждое уравнение содержит асе
коэффициенты wmn с нечетными значениями nf из определителя
этой системы находится значение напряжения «*, при котором
происходит общая (т. е. вместе с ребром) потеря устойчивости.
Вторая система получается для чётных значений п, из нее на-
находится значение sx, при котором устойчивость теряют участи
пластины, расположенные между ребром и ее краями. Каждая
система содержит^нисло т, которое выбирается из условия ми-
минимума Sx. Если взять квадратную пластину, (а = Ъ) и в каждой
системе оставить только ~т>дно слагаемое, то" для п = 1 ил =~2
соответственно получим '
,aD\m + — j. +'2т'ЕГ . —
' . o .—^—-(общая потеря устойчивости),
Hit "x"' ал -
a2s й8/) (m + —J + 8 (a2G/ + ra2m2c2i5/g) (потеря УСТОЙЧИВОСТИ
* у— = пластины между ребра-
_-'- Ч " D.99)
При общей вместе с" ребром потере устойчивости наименьшее
значение критической нагрузки соответствует м = 1, тогда как
в случае местной потере устойчивости частей пластины, располо-
расположенных между ребром и краями, необходимо проверить значе-
значения т =-±г 2 или 3. После нахождения формы, по которой про-
происходит потеря-устойчивости при наименьшем значении нагруз-
нагрузки в», можно вновь вернуться к уравнению D.96) с тем, чтобы,
испольауя большее число слагаемых, уточнить величину sx для
тех одной или нескольких форм, которые' считаются важными.
280
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
[ГЛ. 4
§ 4.7. Круговые пластины при осесимметричном
перемещении
Основы теории. До сих пор рассматривались только пластины
прямоугольной формы с использованием прямоугольной системы
координат и методов, основанных на рассмотрении уравнений
равновесия или энергии. Хотя это не только простейший, но так-
также и наиболее важный тип пластин, приведенное обсуждение
было бы не полным без, по крайней мере, беглого рассмотрения
других типов пластин. Кроме прямоугольной, наиболее важной
системой координат, используемой в теории пластин, является по-
полярная система координат, удобная главным образом для кру-
круговых пластин. Для простоты здесь будем рассматривать случай-
осесимметричных деформаций, вызываемых осесимметричным на-
гружением, круговых пластин или их осесимметричных форм пот
тери истойчивости, а также колебаний; общий случай может быть
выведен из общих теорий оболочек, приведенных в главе 6. Слу-
Случай осесимметричной пластины проще случая прямоугольной
пластины тем, что решения изменяются только вдоль одного на-
направления — вдоль радиуса. Расстояние, измеряемое от средин-
срединной поверхности, и перемещение, нормальное к этой поверхности,
будем обозначать так же, как и в прямоугольных координатах,
г (to)
Рис. 4.26.
соответственно через z и w, а расстояние и перемещение средин-
срединной поверхности в радиальном направлении обозначим через г и
и (рис. 4.26, а).
Согласно гипотезе Кирхгофа и с той же степенью аппрокси-
аппроксимации, что и полученная в выражениях D.2), деформация в ра-
радиальном направлении ег будет, очевидно, такой же, как и де-
деформация ех из выражений D.2), если заменить х на г. Произ-
Произвольная точка Р (рис. 4.26, а) первоначально имеет координату
г, после перемещения — координату г + и — (dw/dr)z. Следова-
Следовательно, относительная окружная деформация равна
{2n[r + u- (dw/dr)z\ - 2nr}/Bnr) = и/г - (dw/dr}z/r.
§ 4.7] КРУГОВЫЕ ПЛАСТИНЫ 281
Отсюда получаем
du , 1 ( dw\2 d w и ¦ dw z *» *f\f\\
6r = —+т к- Tz, ee = - . D.100)
dr ' 2 \ dr I dr r dr г ч '
В выражении ee нет нелинейных- членов, так как в силу сим-
симметрии в этом направлении не возникает поворота" малого эле-'
мента. Используя выражения D.7) с соответствующей заменой
индексов жиг/наги9и закон Тука C,116) для случая упру-
упругого материала, можно записать следующие выражения для сил
и моментов, отнесенных к единице длины сечения:
Eh . v_
D.101а)
-^r + v^j. D.1016)
В рассматриваемом случае в силу симметрии имеем Fre = Мтв =
= 0. Так же, как и в выражениях D.16), напряжения равны
arm = Fr/h, a^f = 12 Mrz/h3 и т. д.
На рис. 4.26, б показаны силы и моменты, действующие на
малый элемент. В общем случае Fr, Mr и удельная поперечная
сила Frz зависят от г. В силу симметрии F» и М9 не зависят от
угла Э, поэтому здесь поперечная сила Fez отсутствует и тож-
тождественно удовлетворяются уравнения zj/e = 0 и ZjriQ = 0. Вслед-
Вследствие того, что приложенные к противоположным сторонам эле-
элемента силы Fedr направлены под углом dQ друг к другу и дают
в радиальном направлении составляющую (Fedr)dQ, аналогично
возникает и момент [Medr)dQ в окружном направлении. Благода-
Благодаря углам между противоположными сторонами, обусловленным
прогибами, в уравнении равновесия в поперечном направлении
появляются силы Frr dQid^w/d^dr (малые величины более вы-
высокого порядка отбрасываются) и (Fedr)dQ(dw/dr) (эта сила свя-
связана с поворотом упоминавшейся выше радиальной силы FsdrdQ
на угол dw/dr), учет которых важен в задачах устойчивости и
как нелинейных членов — в задачах о больших прогибах. Как
уже говорилось, в связи с уравнениями B.36) и D.8), появляю-
появляющимися вследствие прогибов пластины радиальными компонен-
компонентами поперечной силы Frz можно пренебречь.
Учитывая, что произведением бесконечно малых можно пре-
пренебречь по сравнению с самими бесконечно малыми, уравнения
равновесия для моментов в окружном направлении можно-запи-
можно-записать в виде
2 пгв = (Mr + dMr) (r + dr) dQ - Mrr dQ — (Medr) dQ -
— {FrzT dQ) dr = Mrdr dQ + dMrr dQ — Medr dQ — Frzr dQdr = O
282 " КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН [ГЛ. 4
и аналогично для уравнений 2 U =^ О и 2 /z = 0. Разделив эти
уравнения на г dQ dr, получим
= O:^ + ^L=.O, D.102a)
2
/z = O:p + if + ^ + Fri^ + l±^L = O, D.1026)
m^ 0: *lZlb._+?*L = Fn, . D.102b)
Подставляя в уравнение D.102в) выражение D.1016) для Мг
и Мв, находим виражение для Fri:
d1>w i I'l^w 1 dw
D.103)
после подстановки которого в уравнение равновесия в попереч^
ном направлении D.1026) получаем
. Как уже обсуждалось в связи с уравнениями D.13) и D.18),
при малых прогибах в уравнении D.101а) можно пренебречь
нелинейным членом (dw/dr)z/2, сделав тем самым силы F, и F»
независимыми от прогиба w. Тогда в- задаче устойчивости можно
рассмотреть задачу о плоском напряженном состоянии, представ-
представленную уравнениями D.101а) и D.102а), найти распределение
сил F, и Fe и затем при решении уравнения D.104) положить
их постоянными, независимыми от прогиба w; в задаче о малых
прогибах при поперечном нагружении можно принять Fr = F^ —
= 0. Только при прогибах порядка толщины необходимо учиты-
,вать нелинейный член и решать совместно уравнения D.101а) и
D.104). .
Малые прогибы дисков при поперечной нагрузке. В этом
.случае уравнение D.104) принимает вид
А 2Л'"' 1 Л , 1 d
Если в этом уравнении оставить только члены с w, положив
р = 0, то получим обыкновенное дифференциальное уравнение
четвертого порядка, решением которого будет
и; = С„ + С.г» + С2 In r + C,^ In г. D.105)
Это решение можно прибавить к любому частному решению
уравнения D.104а), с тем чтобы удовлетворить двум краевым
условиям по гу и dwjdr или по М, и Ftl на внешнем контуре и
§ 4.7] КРУГОВЫЕ ПЛАСТИНЫ 283
аналогичным условиям на внутреннем контуре для диска с от-
отверстием или с жесткой центральной вставкой.
Диск при равномерно распределенной поперечной нагрузке.
В качестве-простого примера приложения изложенной выше тео-
теории рассмотрим диск, на который Действует постоянная нагруз-
нагрузка р = Ра. Положив Fr = Fe = 0, легко находим частное решение
/>or7F4.D) уравнения D.104а), которое в сумме с решением
D.105) однородного уравнения дает
Условие непрерывности в центре с учетом симметрии и выраже-
выраже= 0. 'D.107)
ния D.103) имеет вид -^- = Frz = 0 или
4 ^4гт4^
dr drs r dr2 r2 dr
Подставляя выражение D.106) для w и удовлетворяя этому ус-
условию, найдем
^* + С0 + С1Г*. С4.108)
Диск со свободно опертым краем при равномерной попереч-
поперечной нагрузке. Если внешний край диска г = а свободно оперт,
то с учетом выражения D.1016) получаем
к = Мг = 0 или «; = ^ + --^ = 0 ^при г-а. DЛ09)
dr r dr . __
Подставляя в эти условия выражение D.108) для w и решая
полулающиеся уравнения относительно Со и С\ и вновь подстав-
подставляя найденны'е Со и С, в выражение D.108), найдем , v "
г _ 5 + v У* г _ 3 + v ^оа2
l+v32Z>' .
*
ро E + у 4 6 + 2v 2 2 , 4\ -5 + v Роа
Подставляя это выражение для w в D.1Q16), получим выраже-
выражение для Мт:
Момеш1 Л/е равен моменту М, при г = 0 и меньше Л/г во всей
остальной области, занимаемой диском.
Диск с защемленным Краем при равномерной поперечной на-
нагрузке. В этом случае
w = Jg. = 0 лри . г= о, D.112)
284
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
(ГЛ. 4
поэтому, подставляя в эти условия выражение D.108) для
имеем
4
г _ роа
°~64D'
2
Р°а
32?>'
4
Р°а
64Z?'
откуда для выражения D.1016) получаем.
le
D.114)
Вновь момент Мв равен Мг при г — 0 и меньше Л/г во всей осталь-
остальной области, занимаемой диском. Таким образом, видим, что
максимальный прогиб при защемленном крае составляет пример-
примерно одну четверть от максимального прогиба диска со свободно
опертым краем, а максимальное напряжение возникает на крае
и составляет примерно 0,6 от соответствующего напряжения в
диске со свободно опертым краем.
Случай равномерной нагрузки, распределенной по части диска.
В качестве примера задачи такого типа- рассмотрим случай диска
радиуса а, свободно опертого по внешнему контуру, на который
действует отнесенная к единице площади равномерно распреде-
распределенная по внутренней части с радиусом г = Ъ поверхности сжи-
сжимающая нагрузка р = р0, внешняя часть поверхности диска не
нагружена. Тогда к внутренней нагруженной части диска при-,
меним уравнение D.108). Используя для ненагруженной внеш-
внешней части штрихи при обозначениях перемещений, нагрузок, мо-
моментов и т. д., для рассматриваемой части диска можем записать
и/ = Со + С'хг* + С'г In -j- + C'3r2 In
D.114а)
= Л/; = 0 ,или и/ =
^г~ = 0 при г =
D.1146)
Из условия непрерывности на границе г = 6, разделяющей обе
области, требуется, чтобы
лли
d2w
v dw
а также Frz = Fzr или-
drS + r dr2
dw'
D.114в)
Ar
dw'
dr ¦
§ 4.7] КРУГОВЫЕ ПЛАСТИНЫ 285
С помощью шести неизвестных коэффициентов Со, Си СОг
d, C2, С3 можно удовлетворить шести краевым условиям
D.1146) и D.114в). Подставляя в эти краевые условия выражения
D.108) для w >и D.114а) для w' и решая получающуюся систему
уравнений, с использованием обозначения Р' —• b2p0/(QW) по-
получим
2P'
__ 1-+ v'
C0=|2-C + v)—A-v)-^
D.114r)
При b = а нагрузка р0 распределена по всему диску и значе-
значения коэффициентов Со и С\ совпадают с приведенными в выра-
выражениях D.110). Другой крайний случай, когда Ъ стремится -к
нулю и полная нагрузка становится равной nb2p0~P; получаем,
случай сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в центре диска.
Для этого случая С'2 = 0 и С'3 = P/(8nD), тогда как Со', С'ъ w\
и т. д. совпадают с Со, Ct, w и т. д., полученными несколько иным
способом и приведенными ниже (см. D.117) и D.118)).
Диск с сосредоточенной нагрузкой, приложенной в центре..
Рассмотрим диск с сосредоточенной нагрузкой Р, приложенной
в центре. На всей поверхности диска отсутствует поперечная
нагрузка, за исключейием особой точки в центре. Следовательно,.
р и частное решение уравнения D.104а) можно положить равны-
равными нулю, a w можно взять как решение однородного уравнения
D.105).
Условие непрерывности, ааключающееся в том, что в силу
симметрии угол наклона dw/dr должен равняться нулю, выпол-
выполняется. Однако поперечная сила Frz не будет равняться нулю.
Условие на силу Frz можно сформулировать, рассмотрев равнове-
равновесие в поперечном направлении внутренней части диска с радиу-
радиусом г. Единственными поперечными силами, действующими на
эту часть, являются нагрузка Р и отнесенная к единице длины
постоянная сила Fri,. действующая по окружности 2пг (рис. 4.27),
откуда получаем 2nrFrz + P = 0. С учетом выражения D.103) два
условия в центре можно записать в следующем виде:
при г = 0
dw П W Р П I * dw
286
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИН
{ГЛ. 4
Подставляя сюда выражения <4.105) для w, получим, что условия
удовлетворяются, если
С ° с w С + Сг +
Ш
гЧп
Диск со свободно опертым краем при действии сосредоточен-
сосредоточенной нагрузки. Подставляя выражение D.116) для w в условия
D.109) для свободно опертого края г = о, находя из получаю-
лцихся уравнений коэффициенты Со и С4 и подставляя найденные
коэффициенты обратно в выражение D.116), найдем
DH7)
Используя зто выражение для и>, выражение. D.1016) приведем
ж виду
Отсюда следует, что значения изгибающих моментов, получаемые
по этому регпению в рамках классической
теории пластин, становятся бесконечны-
бесконечными в точке приложения сосредоточенной
нагрузки, о чем уже упоминалось в § 4.4.
Как уже говорилось, этот результат
ошибочный, что связано с ограничениями
классической теории. В действитель-
действительности напряжения являются' конечными
всюду, за исключением точки прило-
приложения сосредоточенной нагрузки, что
•будет показано в § 5.3, где будут приведены поправки к клас-
классической теории.
Диск с защемленным краем при действии сосредоточенной
нагрузки. Если подставить выражение D.116) для w в условие
D.112) для защемленного края г = а, то получим-
Рис. 4.27.
D.119)
Из выражений D.1016) находим
vP
in \ a
р
4я
lnJL+_v A
D120)
л/г
§ 4.7] КРУГОВЫЕ ПЛАСТИНЫ . 287
Таким образом, максимальный прогиб составляет 0,4 от
максимального прогиба для пластины со свободно опертым краем
при действии сосредоточенной нагрузки, приложенной в центре
пластины. Если сосредоточенная нагрузка Р равна суммарной;
величине распределенной нагрузки па2р0 в случае действия рав-
равномерно распределенной нагрузки, максимальный прогиб в месте
приложения сосредоточенной нагрузки в четыре раза превышает
максимальный прогиб для соответствующей распределенной на-
нагрузки в случае защемленного края и почти в 2,5 раза-в случае
свободно опертого края, изгибающий момент на внешнем защем-
защемленном контуре при действии сосредоточенной нагрузки в два
раза превышает соответствующий момент в случае распределен-
распределенной нагрузки. Как уже говорилось выше, изгибающие моменты
в центре, задаваемые приведенными выражениями, нельзя срав-
сравнивать.
Глава 5. БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИН.
ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ
§ 5.1. Большие прогибы
При обычном применении классических теорий изгиба упру-
хих балок и пластин делаются два важных типа пренебрежений:
-а) пренебрегается нелинейными эффектами конечных деформа-
деформаций, т. е. эффектами изменения геометрии исследуемого объекта
при развитии деформации; б) вводится гипотеза Кирхгофа (т. е.
пренебрегается поперечными напряжениями и деформациями с
¦соответствующим упрощением граничных условий) и игнориру-
игнорируются условия локального напряженного состояния в окрестности
¦сосредоточенных нагрузок и т. д.
Эти два типа пренебрежений могут исследоваться по отдель-
отдельности, так как случаи, в которых они оба играли бы существен-
существенную роль, очень редки, но даже если они и случаются (как, на-
например, в случае толстой пластины, изготовленной из резинопо-
добного материала), мало вероятно, чтобы появился значительный
взаимный эффект, т. е. влияние одного пренебрежения на другое,
поэтому, не совершая серьезной ошибки, для каждого типа пре-
пренебрежений можно делать отдельную поправку. Пренебрежения
типа а) нелинейными эффектами, которые будут изучаться з дя1н-
ном разделе, обычно оказываются заметными только при нело-
нелокальных, общих перемещениях длинных балок и тонких пластин,
нагруженных, как правило, 'в одном направлении, поскольку су-
существующие ограничения на упругие деформации в случае обыч-
обычных конструкционных материалов делают невозможным появле-
появление таких величин упругих деформаций, при которых сказывался
бы нелинейный эффект. В подобных случаях допущение Кирх-
Кирхгофа дает прекрасное приближение.
Пренебрежение типа б) будет изучаться в § 5.2, а также и в
данном ^параграфе. Упомянутые пренебрежения оказываются су-
существенными только для толстых пластин, у которых толщина
не слишком мала по сравнению с остальными размерами или по
сравнению с длиною участка, на котором нагрузка изменяет свое
направление на противоположное, а также для тех пластин, для
, которых вследствие усталостных явлений или потери материалом
пластических свойств возникли большие локальные напряжения.
Влияние кривизны. В главе 4 рассматривались задачи, свя-
связанные с тонкими плоскими пластинами, прогибы w срединной
поверхности которых были малы по сравнению с толщиной h;
§ 5.1) БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ 289
мембранные деформации и напряжения, обусловленные проги-
прогибом, очень малы при таких условиях. Если еще до того, как нач-
начнут развиваться прогибы, имеются конечные мембранные на-
напряжения, вызываемые краевыми, силами, действующими в плос-
плоскости пластины, то при таких малых прогибах они изменятся
незначительно.
Напротив, когда изгибаются искривленные пластины, т. е.
оболочки, то в их плоскости возникают перемещения ц и v сре-
срединной поверхности и соответственно мембранные деформации
и напряжения, которые пропорциональны первой степени прогиба
и существенны даже при малых прогибах; то же справедливо и
для плоских пластин с начальными прогибами порядка толщины,
так как в действительности- они являются пологими оболочками.
Резюмируя, отметим, что когда прогибы первоначально плос-
плоских пластин достигают порядка толщины, становятся, как пра-
правило, существенными нелинейные перемещения и и v, а также
результирующие мембранные напряжения, и именно эти случаи
будут обсуждаться в данном параграфе. Когда в оболочке раз-
развиваются прогибы порядка толщины, то перемещения и и v,
а также результирующие мембранные напряжения изменяются
линейно в зависимости от начальной кривизны и нелинейно — от
прогибов. При желании можно полагать нелинейные перемеще-
перемещения и мембранные напряжения также зависящими от кривизны,
но в этом случае прогибы вызывают не начальную, а текущую
кривизну, т. е. полную кривизну в случае плоских пластин и из-
изменение кривизны в случае оболочек.
Связь мембранных и изгибных напряжении. Как уже говори-
говорилось выше, влиянием нелинейных эффектов на кривизну (напри-
(например, при замене угла наклона поверхности прогибов, т. е. тан-
тангенса угла поворота нормали, самим углом и т. д.) можно, как
правило, пренебрегать, если прогибы имеют порядок толщины,
и это влияние не будет существенным до тех пор, пока прогибы
не станут соизмеримыми с другими размерами, такими, как дли-
длина или ширина пластины. Здесь не будут рассматриваться зада-
задачи последнего типа, но более полное обсуждение количественной
стороны этого вопроса будет дано в главе 6.
Краевые условия. Независимо от того, изменяются ли пере-
перемещения и и у и результирующие мембранные напряжения в
пластинах и оболочках линейно или нелинейно, если они важны,
то необходимо рассматривать не только их влияние на уравнения
равновесия и энергию деформации, но также и на краевые ус-
условия. Краевые условия, связанные с изгибом, обсуждались ра-
ранее, и в связи с этим можно сделать следующее обобщение. Для
края, нормального к оси х, имеем
w = О, Мх = —т + v —5" = 0 Для свободно опертого края,
дх ду
19 л. Г. Доннелл
290
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ. $
Odw n
, -z-^ — " для защемленного края,
¦Mm =F'XZ= О или ?%¦ + v^ =0, ~ + B - v) d3w
дх ay дх
= 0 E.1)
для свободного края.
Для того же края мембранные краевые условия таковы:
* к— г хщ = ^ (или —g- -== ggg = и, когда для представления
мембранных напряжений используется функция
напряжений Эри), "если отсутствует сопротивле-
сопротивление перемещению в срединной поверхности;
E.2)
и = v — 0, если невозможны перемещения
верхности.
в срединной по-
поАналогичные мембранные и изгибные условия имеются на крае,
нормальном к оси у; они получаются заменой в условиях E.1) и
Х5Л2) х и и на у и v. В зависимости от физического содержания
задачи возможны также и комбинации этих условий такие, как
промежуточные условия упругого закрепления,, что для случая
балок обсуждалось при рассмотрении выражений B.6).
Для примера на рис. 5.1, а показано поперечное сечение пла-
пластины, опертой по краям на хорошо смазанные шарниры, а на
рис. 5.1, б показана пластина, прикрепленная краями к несме-
щающимся опорам с хорошо смазанными шарнирами типа рояль-
рояльных петель. В обоих случаях изгибные краевые условия могут
Рис. 5.1.
рассматриваться как шарнирные, так как имеется лишь прене-
пренебрежимо малое сопротивление повороту на краях. Как видно из
показанного пунктирными линиями, если прогибы малы, то нет
необходимости делать различие между этими двумя случаями,
§ 5.1] БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ 291
поскольку наблюдается лишь незначительная тенденция стяжки
на краях, и поэтому оказывается небольшой разница между тем,
есть ли сопротивление подобной тенденции или нет. С другой
стороны, если прогибы велики, как показано штриховыми ли-
линиями, то эти случаи оказываются совершенно различными.
В случае 5.1, б, где стяжка не допускается, возникают большие
краевые силы F, необходимые для недопущения сближения кон-
концов. В случае 5.1, а такие силы также будут отсутствовать, но
в отличие от соответствующего случая для балки, здесь будут
возникать также и некоторые' мембранные * напряжения, если
пластина деформируется в нёразвертывающуюся поверхность.
В аналогичных случаях для выпуклой оболочки, показанной
на рис. 5.1, в и 5.1, г, можно заметить в представленном случае
тенденцию к расхождению краев или, наоборот, их сближению,
если вогнутость направлена вверх, _а нагрузка по-прежнему —
вниз, причем даже при малых прогибах. Если эти рисунки пред-
представляют соответствующие варианты с балками, то балка на
рис. 5.1, г будет работать и как арка, и как балка (или, если
вогнутость направлена вверх,— и как ванта, и как балка), тогда
как балка на рис. 5.1, в выдерживает нагрузку только за счет
изгиба. .. .
Решения для больших прогибов с помощью метода, основан-
основанного на рассмотрении уравнений равновесия/ Когда прогиб w
конечный, т. е. не мал по сравнению с толщиной, должны удов-
удовлетворяться оба условия D.13) и D.18), а если краевые условия
содержат перемещения и и v, то для того чтобы „ удовлетворить
этим условиям, эти перемещения нужно определять из уравнения
D.11). Как уже упоминалось ранее, решение системы дифферен-
дифференциальных уравнений типа D.13) и D.18) является трудной за-
задачей. Однако можно использовать тот факт, что производные,
а также квадраты и произведения таких функций, как стеленные,
экспоненциальные, а также тригонометрические и гиперболиче-
гиперболические функции, связанные с ними, являются или могут быть
превращены в функции такого же типа, что и исходные. На-
Например, ~ '
sin a sin Ь =*tcos (а— Ъ) — cos (a + b)]/2,
cos a cos Ь =« [cos {а — Ъ) + cos (а + Ь)]/2, E.3)
sin a cos Ъ => [sin (а — Ъ) + sin (а + Ь)]/2.
Таким рбраздм, выражая и>, ф, и и v в виде рядов по таким
функциям, можно приравнять затем коэффициенты при подоб-
подобных членах и свести исходные уравнения к нелинейным алгеб-
алгебраическим. В то время как обычно не просто удовлетворить всем
возможным вариантам краевых условий, некоторые интересные
результаты были получены упомянутым способом с помощью
тригонометрических функций для прямоугольных пластин
19*
292 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
С. Леви!) и с помощью полиномов для осесимметричных пластин
С. Уэем2).
Решение с помощью уравнений равновесия задачи о больших
прогибах свободно опертых пластин. Для прямоугольных свободно
опертых по краям пластин отыскивать решение можно начать с
задания прогиба w и поперечной нагрузки р в форме D.21) и
D.22), которая ранее, использовалась для линейного случая, т. е.
в виде двойных рядов по функциям синуса от х и у:
V* 'V' . тпх . пли V* V* . тлх . пли /Е- /ч
w — 2и 2j wmn sm -— sin -r~, p = 7, Л, Pnm sm sin —-. E.4)
m n m n
Приведенное выражение для w удовлетворяет изгибным краевым
условиям E.1), заданным на краях х = 0, х==>а, у = 0 и у — Ъ
пластины, показанной на рис. 4.13, а коэффициенты ртп можно
найти с помощью выражений D.23) для произвольной попереч-
поперечной нагрузки р(х, у). Тогда функцию напряжений Эри ф можно
ваять в виде суммы ф = фР + фл частного (particular) фр и общего
решений однородного1 (homogeneous) уравнения фл, соответствую-
соответствующего уравнению D.13). Для того чтобы удовлетворить уравне-
уравнению D.13), функция фР должна быть функцией типа произведе-
произведения косинусов с четными значениями т и га, а в качестве фл
можно использовать любое решение однородного уравнения
V^,, = 0, удовлетворяющее мембранным краевым условиям. Для
удовлетворения уравнений D.11), когда учитываются перемеще-
перемещения и и v, функцию и можно взять в виде произведения синуса
и косинуса, & v — произведения косинуса и синуса от х и у на
соответствующие функции интегрирования.
При использовании решений в форме рядов эти ряды необ-
необходимо где-те обрывать и остаточными членами пренебрегать.
Для иллюстрации такого типа решений воспользуемся почти са-
самым простым из возможных решений, содержащим приведенные
ниже слагаемые, являющиеся наиболее важными с точки зрения
вклада в решение для многих практических задач такого ряда:
. лх . ли . пх . ли
w—wnsm—sin"T"' P — Pusm—sin"T'
* " r% 2лх 2лу ,r r,
по
и — щ + щх + и20 sin —, v — v0 + v$ + i>02sin—.
Подставляя эти выражения в уравнение D.13), используя триго-
тригонометрические формулы типа E.3) и приравнивая коэффициенты
') L e v у S. Bending of rectangular plates with large deflections.—
NACARept., 1942, № 737.
2) Way S~ Bending of circular plates with large deflections.—Trans.
ASME, 1934, v. 56, № 8, pp. 627—636.
§ 5.ij БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ 293
ч
при подобных членах, получим
1 . пх . лу\*] *В»\Л1. . 2пх\(, . 2пу\
— S1I1 Sill -^ I = s-s- 11 + COS 1 + COS —^ —
2ях
а
откуда
„ Еа 2 ЕЪ г /с г>\
Фго == 2и;11>Фо2= г^И- E-Ь)
Подставляя эти значения q^o и фОг, а также выражения E.5)
в уравнение D.18) и в первые два уравнения D.11) (линейная
часть третьего уравнения удовлетворяется тождественно, но для
удовлетворения Нелинейной части требуется удерживать большое
число членов ряда, чтобы избежать ошибок, связанных с усече-
усечением рядов) и используя тригонометрические формулы, получаем
?sin?+-' <5-7a)
sx — vsu п w\\ 2пу . *я ш<
* ^ COS —- -\ ^ COS
8а2 Ь 862 «
nx . ny ,2 я ш2 / 2лх 2яу . \ /с „й.
Т smTJ = ^^A + cos — - cos— + • • .j, E.76)
8bz а Ы2
где многоточия обозначают члены, содержащие тригонометриче-
тригонометрические функции (например, вида sin (.nx/a) sin (Зпу/b) в первом
уравнении); они не входят в число членов, которые следует
удерживать, и отбрасываются. Эти соотношения будут выполнять-
выполняться для любых значений х и у, если равны суммы коэффициентов
294 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ - [ГЛ. S
при подобных членах в обеих частях равенств. Отсюда с учетом
D = Eh3/A2U - v2)) находим
Рп__ *'*4i
12(l-v2)a4\ 1 + Ь2/ + Яа2 Г* + б2 Syj + 16а*
¦ " E,8а)
Поперечно нагруженная пластина, края которой закреплены
от смещения в ее плоскости. Ив уравнений E.5) видно, что ус-
условия: при х -—' 0 и х = а имеем и ==10, при у. = 0 и у = Ь имеем
v = 0 (см. рис. 4.13)—удовлетворяются, если и0 ¦= г>о =" Щ =• ^i =*
==•0. Подставляя и4 = у4 = 0 в выражения E.86) и решая послед-
последние относительно sx и sv, получим
Подставив эти величины з выражения E.8а), после сокращения
найдем
Для сауч&я—а/Ь = 0, соответствующего очень широкой пластине
длиной а, очевидна схожесть выражения E.10) и выражения
B.36) для узкой балки (см. рис. 2.11) с аналогичными нагруз-
нагрузкой и условиями на концах.
Приведенное выше выражение является приближенным реше-
решением для пластины, на которую действует распределенная по зат.
кону синуса нагрузка р = рЛ1 sin (пх/а) sin (ny/b). Но это выра-
выражение можно также рассматривать как более грубое приближен-
приближенное решение для иных видов распределений нагрузок, взяв его
в качестве первой (а для случая простых видов распределений,
следовательно, и наиболее важнойТ гармонической составляющей
для~иных видов распределений. Так, из выражения D.23) полу-
о ь
чаем рп = D/дЬ) J dx J р0 sin (nxla) sin (ny/b) dy = 16ро/я8, где р =>
0 0
= Pa — равномерно распределенная нагрузка. Подставив найден-
найденное значение pit в выражение E.10) и построив-«зависимость
* 5.1]
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
295
параметра нагрузки {1 — \2)а1р<,/{Е№) от параметра, характери-
характеризующего прогиб wh/h = wmtI/h для случая квадратной пластины
а = Ъ, получим зависимость, представленную на рис. 5.2 верхней
штриховой линией. Верхняя сплошная линия описывает реше-
решение для такого же случая (т. е. равномерно распределенная на-
нагрузка, действующая на квадратную свободно опертую по краям
пластину), что и рассмотренный С. Леви (см. ссылку на стр. 292),
здесь использовался тот же подход, но при этом удерживалось
достаточное число членов ряда, с тем чтобы получить решение с
300
200
100
. сближа,
Точное решение (С. Леди) >j
- У р. ШЛО)-
Точное решение (С.ЛеВи)//'^cm'Z'feJoT
Линейная теория,
урАЛБ)
точностью, достаточной для построения графика. Можно видеть,
что сравнительно простое решение E.10) почти совпадает с точ-
точным вплоть до значений «w/fe — 0,8 и является неплохой ап-
аппроксимацией в случае больших прогибов. Если стоящий в выра-
выражении E.10) член с \wJhY умножить на' эмпирический множи-
множитель, равный 1,23, то для указанного диапазона получим близкие
к точным значения.
Линейное решение для этого случая, которое было получено^
в главе 4 (см. выражение D.26)), показано на рисунке пунктир-
пунктирной линией; оно, как видно, будет не вполне хорошей аппрокси-
аппроксимацией лишь при прогибах, превышающих мт„«0,ЗА. Линей-
Линейное решение, полученное из выражения E.10) при отбрасывании
члена, содержащего (w,,/ftK, совпадает с выражением D.26), когда
в последнем удерживается только один член ряда, и их практиг
чески невозможно различить на графике. Выражение E.10) яв-
является, без сомнения, даже более чем хорошей аппроксимацией
для случая синусоидальной формы нагрузки, для которой оно и
строилось, но оно будет недостаточно точным решением для того
случая, с которым оно сравнивается.
Поперечно нагруженная пластина, края которой могут сво-
свободно смещаться как целое в ее плоскости. Бели в соотношении
E.8а) положить
296 БОЛЬШИЕ! ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
/
то получим
E.11)
В этом случае края не могут свободно смещаться в плоскости
пластины в каждой своей точке, так как мембранные напряже-
напряжения на краях sx д sv равняются нулю только в среднем. При этом
еще появляются отнесенные к единице длины силы на краях1
х = О и х = а величиной hax(x=0, *=<») = h(d2q>/dy2) = ~Dnzh/b2) X
X ф02 cos Bпу/Ъ) — —л2ЕгРц/(8аг) cos Bлу/Ъ) и аналогичные силы
на краях у = 0 и у = Ъ. Но, как видно иэ последнего выражения
E.5), перемещение и не изменяется в направлении оси у,, а пере-
перемещение v — в направлении оси х, т. е. края остаются прямыми.
Отсюда следует, что соотношением. E.11) описывается случай
такой пластины, у которой края шарнирно прикреплены к жест-
жестким стержням, которые могут свободно скользить в направлении,
перпендикулярном краю.
Соотношение E,11) в графическом виде представлено на
рис. 5.2 в виде нижней штриховой линии для случая, когда Рн =
= 16ро/п2 и а = Ъ. Результаты С. Леви для того же случая, по-
полученные путем удержания большого числа членов ряда, пред-
представлены на графике в виде нижней сплошной линии. Сопостав-
Сопоставление зтих результатов с результатами, представляемыми линия^-
ми, лежащими выше, и соответствующими результатам для краев,
крторые не могут смещаться, указывает на очень большую роль
мембранных краевых условий в том случае, когда перемещения
достаточно велики, чтобы мембранные деформации и напряжения
оказались заметными. Линеаризованный случай, получаемый при
отбрасывании в соотношении E.11) члена, содержащего (wtl/hK,
совпадает со случаем, описываемым соотношением E.10) и пред-
представленным на рис. 5.2 штрихами; это подтверждает сделанный
ранее вывод о том, что мембранные краевые условия важны толь-
только при больших прогибах.
Предельная сжимающая нагрузка для пластины. Рассмотрим
первоначально плоскую свободно опертую пластину, которую
равномерно сжимают вдоль края в направлении оси х. Это усло-
условие является приближением того случая, когда края пластины
заострены и закреплены вертикально в раме из стержней с V-об-
разными вырезами; горизонтальные верхний и нижний стержни
опираются на относительно жесткие плиты испытательной ма-
машины; вертикальные стержни вдоль боковых сторон могут уко-
укорачиваться настолько, чтобы при этом не возникала вертикаль-
вертикальная нагрузка при сближении плит. Это условие аппроксимирует
также случай панелей, расположенных между подкрепляющими
ребрами, в большой тонкой пластине, которая подкреплена си-
S 5.1J БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ 297
стемой ребер открытого профиля в направлении осей х и у и
сжата в направлении оси х.
Когда панель сжимается в направлении оси х, которую выби-
выбирают как вертикальную, в нец возникают равномерные сжимаю-
сжимающие напряжения и деформации в этом же направлении, которые
увеличиваются до тех пор, пока напряжение не достигнет кри-'
тического значения, при котором происходит выпучивание па-
панели. Если после возникновения выпучивания продолжать сжи-
сжимать пластину, то напряжение и, следовательно, деформация в
направлении оси х будут оставаться почти постоянными в сере-
середине нагруженной стороны. Но вертикальные стороны панели
не могут выпучиваться, так как в прямолинейном состоянии их
будут поддерживать стержни с пазом или ребра, к которым они
фактически прикреплены; таким образом, деформация, а отсюда
и напряжение в панели вблизи вертикальных сторон будут про-
продолжать увеличиваться при дальнейшем сжатии панели и полная
нагрузка, которую сможет выдержать панель, может стать на-
намного большей той, при которой произошло первичное выпучи-
выпучивание панели.
Предельная (ultimate) для панели нагрузка Р^н достигается,
когда напряжения на вертикальных краях панели достигают не-
некоторого определенного значения. В качестве этого предельного
значения можно взять такое значение вертикального мембранного
(membrane) напряжения <з*т на крае панели, которое было бы
равно критическому напряжению о> в ребре {rib), к которому
прикреплен край (полагаем, что материал панели имеет тот же
самый модуль упругости, что и ребро, в противном случае, так
как деформации должны быть одинаковыми, напряжение с*™ на
крае панели будет равно напряжению ov, умноженному на от-
отношение модулей упругости панели и ребра).
Критическое напряжение ребра о> необходимо находить так,
как об этом говорилось в § 4.6. Если ребра присоединены с од-
одной стороны листа, то эффективную ширину листа, которую сле-
следует учитывать при определении изгибной жесткости ребра,
нужно брать несколько меньшей той, что указывалась в § 4.6,
вследствие того, что лист уже потерял устойчивость. Поскольку
этот вопрос является сложным и здесь имеется возможность
только слегка коснуться его, то с запасом за эффективную ши-
ширину листа, взаимодействующего с каждым вертикальным реб-
ребром, берется ширина Ь каждой панели, умноженная на отноше-
отношение критического напряжения, при котором в панели возникает
первичное выпучивание, к напряжению в ребрах, когда достига-
достигается предельная нагрузка, если она меньше, чем эффективная
ширина, которая использовалась при расчетах с йомощью выра-
выражений D.76). - v.
Напротив, предельное значение напряжений в вертикальном ,
крае панели можно достичь, когда в результате возникнет пласти-
298 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. i
ческое течение в матер„иале панели в некоторой точке этого края,
так как после возникновения пластического течения сильно
уменьшается сопротивление выпучивания материада панели
(вследствие радикального изменения угла-наклона кривой зави-
зависимости напряжения от деформации, который можно рассмат-
рассматривать как эффективный модуль упругости материала при произ-
произвольном деформировании). При, этом неизбежно возникает ло-
"кальная потеря устойчивости, которая предшествует общей поте-
потере устойчивости, когда суммарная нагрузка либо увеличивается
немного, либо вообще не увеличивается. Методом проб убеждаем-
убеждаемся, что пластическое течение возникает сначала в углах панели
при комбинированном действии мембранных и изгибных напря-
напряжений. Действительным условием, которое ограничивает предель-
предельную нагрузку Pin, воспринимаемую панелью (условие , потери
устойчивости ребра или возникновение пластических деформаций
материала панели)! будет, разумеется, то, которому соответствует
наименьшее значение Pv.it.
Для исследования этого случая можно использовать уравне-
уравнение E.8а). Допускается, что вертикальные края могут свободно
перемещаться в поперечном направлении в плоскости панели,
поэтому можно положить sv —' 0, а поперечную нагрузку взять
равной рн = 0. Тогда правую и левую части уравнения E.8а)
можно разделить на пгЬ,юи1аг (так как и>и =5^0) и получить
Щ
Предельная нагрузка панели в предположении, что ребро те-
теряет устойчивость. В этом случае, используя выражения D.16),
E.5) и E.6), получим
'д\\ ***<
Охт(у=0,Ь) = \-Л) ¦ = «* IT" = — Ог, E.13)
\оу / (у=О,Ь) -оа
где аг — напряжение, при котором теряет- устойчивость ребро.
Исключая и>и из уравнений т E.12) и E.13), в результате полу-
получим следующее соотношение:
_ $*Ьк - Р«» _. " Ь2{а2 + Ъ2) Л/"Е h
¦~\/~Ёо~к2 уШ~к2 6(l — \2Уа2 а4 + Зб4
где Pun = —sxbh — предельная сжимающая нагрузка для панели,
так как sx—среднее по ширине панели значение напряжения <тж.
Для квадратной пластины, где а = Ъ и v = 0,3, имеем
§ 5.1]
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
299
Эта зависимость E.14а) между безразмерными параметрами
РиН/{УЕаЛ2) и УЕ/Grh/b, которая получена при удержании одно-
одного члена ряда в разложении для прогиба w, представлена на
рис. 5.3 верхней штриховой линией; верхняя сплошная линия
Ограничение
лластичесним
Заформаиинм
в пластине
Ограничение
па устойчивости
ребра
Решение E.77)
Т.Иармана
Jit
Vs 6-
Рис. 5.3.
соответствует сравнительно точному решению, полученному
С. Леви тем -же способом с удержанием шести членов в разло-
разложении для w.
Предельная нагрузка выпучивания при допущении пластиче-
пластического течения. Вновь в соотношении E.12) положим ау = рп — 0.
Условие текучести задается соотношением A.3) (см. § 1.6)
<**— GxPy + ву-{~ 30"^= х\. Используя для напряжений выражения
D.16), E.5) и E.6) и полагая х = у — О, z = h/2, получим *
s*— ¦
8а2
8Ьа
+ 3,
11
= 4 E.15)
Теперь можно снова без труда исключить wit из уравнений
E.12) и E.15), но получающееся в результате общее выражение
довольно громоздко, поэтому рассмотрим только, к чему оно сво-
сводится для случая квадратной пластины а = Ь при v = 0,3. Его
можно представить в следующей форме:
+ 8,08.45 -
+ —,А == 0,
E.16)
300 , БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
откуда
А = -4,045 + {54.3Я2 + 1/(ЗЯ2)}1/2.
Здесь
л . s*hb - рии о_
Задавая значения величины В, можно легко определить величи-
величину А. Характер зависимости этих величин, ¦ определяемый соот-
соотношением E.16), представлен на рис. 5.3 нижней штриховой ли-
линией, в то время как решение С. Леви, полученное аналогичным
способом при удержании шести членов ряда в разложении для
w и для несколько отличающегося условия текучести, представ-
представлено нижней сплошной линией.
Решение Т. Кармана для приведенной ширины. Задача опре-
определения предельной нагрузки для пластины является, несомнен-
несомненно, додачей о больших прогибах пластины, как уже упоминалось
выше. Однако когда эксперименты') по сжатию тонких пластин
в V-образных пазах впервые показали, что предельная прочность
пластин из данного материала почти пропорциональна квадрату
толщины и почти не зависит от других размеров, Т. Карман2)
получил формулу для определения прочности совершенно иным
и гораздо более простым способом, который давал исключительно
хорошее совпадение с результатами испытаний.
Рассуждения Т. Кармана сводились к тому, что для пластин,
которые являются очень тонкими по сравнению с другими раз-
размерами, нагрузка, которую может выдержать пластина до момен-
момента потери устойчивости, пренебрежимо мала по сравнению с на-
нагрузкой, которую могут выдержать две узкие полоски пластины
с приведенной шириной X, примыкающие к ее боковым сторонам
и искусственно удерживающие ее от потери, устойчивости до тех
пор, пока сжимающее напряжение в них не достигнет предель-
предельной величины о, которая может представлять собой наименьшее
из двух напряжений: критического 0 = 0г для ребра, к которому
прикрепляются стороны пластины, и предела текучести о = xv
материала пластины.
Предельная нагрузка Puit, которая может восприниматься
пластиной, берется как предельное напряжение о, умноженное
на площадь 2%h, на которой оно, по предположению, возникает,
т. ч./Рии — 2Xha. Задача определения приведенной ширины К яв-
является обратной обычной задаче устойчивости пластины, в кото-
которой имеется пластина известной ширины Ь, а определяется сжи-
') S chum an L., Back G. Strength of rectangular flat plates under
edge compression.— NACA Rept, 1930, № 356.
2) Karmdn T. The strength of thin plates in compression,— Trans.
ASME, 1932, v. 54. pp. 53—54 (приложение к этой статье было написано-
Л. Доннеллом).
§ 5.1] БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ 301
мающее напряжение sx, при котором пластина может находить-
находиться в равновесии в изогнутом состоянии. Здесь же требуется най-
найти неизвестную ширину пластины, которая будет находиться в
равновесии в изогнутом состоянии при известном сжимающем
напряжении о. В обоих случаях получается одно и то же соот-
соотношение между шириной полоски и напряжением, единственное
различие состоит в том, что принимать за известное и что за не-
неизвестное.
Если сделать грубое предположение, что две полоски с при-
приведенной шириной, примыкающие к сторонам пластины, образу-
образуют вместе одну пластину шириной 2% при напряжении а, то
можно воспользоваться соотношением D.37), предположив, что
длина а больше, чем меньшая ширина, равная 2%. Таким обра-
образом, находим Sx = b2hsJ(n2D) = 4. Взяв b = 2К и sx = c при D =
= ?A3/A2(l_-v2))«?/i3/10,9 и найдя отсюда К, получим Я =
= 0,952У?/а h. С другой стороны, если предположить, что примы-
примыкающие к боковым сторонам полоски приведенной ширины пред-
представляют собой пластину, свободно опертую по трем сторонам в
незакрепленную на четвертой, которой она соединяется со сред-
средней частью пластины, можно использовать уравнение D.61а),
взяв к = 0,5, поскольку длину а пластины можно принять боль-
большой по сравнению с малой шириной. Положив b = X и я» =* о,
получим sx = 0,5n2D/(b2h) или a = Q,5ix,2D/(k2h). Отсюда можно
определить К — 0,676Vi?/aA. Используя это значение X при опре-
определении предельной нагрузки, которую может выдержать пла-
пластина, найдем . .
р
_ИИ $¦ = 1,91 (внутренние края полосок эффективной
vEah ширины жестко соединены друг с другом),
Рим E>1?)
. . 9 — 1,35 (внутренние края полосок эффективной
yEah,- ширины свободны).
Значения ,Рии/УЕак2), соответствующие формулам E.17),
представлены на рис. 5.3 штриховыми линиями. На практике
внутренние края полосок приведенной ширины X не являются,
по существу, незакрепленными, но они менее прочно соединены
друг с другом, чем в случае, когда две полоски на самом деле
жестко скрепляются по своим внутренним краям. Таким образом,
полоски находятся в некотором промежуточном между этими
двумя состояниями, но, по-видимому, ближе к состоянию свобод-
свободных краев, скажем, при отношении Puit/'(VEah?) » 1,5. Это значе-
значение близко к тому, - что показывают эксперименты с тонкостен-
тонкостенными листами, закрепленными в пазах. Эксперименты с панеля-
панелями в виде подкрепленных листов показывают, что они лучше
согласуются с кривыми, полученными по теории пластин конеч-
конечного прогиба.
302
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ. 5
Однако результаты этих сопоставлений могут носить в какой-
то степени случайный характер, поскольку реальные пластины
имеют несовершенства, которые не были рассмотрены, а краевыв
условия при испытаниях, несомненно; не точно соответствовали
тем, что рассматривались в сходных точных теориях. При этом
всегда имеется некоторый отход средней части вертикальных
сторон от V-образного паза и трудно дахь достаточно точное
объяснение тому, какая часть нагрузки воспринимается панелями
и какая — ребрами при экспериментах с подкрепленными листа-
листами и т. д. Очевидно, что приведенное выше обсуждение этого
важного вопроса не полно, но зтот вопрос является слишком
специальной областью и требует большего места^ чем можно от-
отвести в подобных данной книгах. ,
- Предельная сдвигающая нагрузка выпучивания пластаны.
Исследование потери_ устойчивости пластины, на которую дейст-
действуют сдвигающие силы, приложенные, на краях, не является
легким делом даже тогда, когда прогибы полагаются бесконечно
малыми, и естественно, что строгое исследование этого случая
становится даже еще более трудным, когда прогибы становятся
большими. Однако, как уже упоминалось в § 4.6, некоторые про-
простые и приближенные и в то же время значительные выводы
можно сделать относительно предельных условий, реализующихся
при нагружении тонкой панели большими деформациями
сдвига1). • '
На рис. 5.4 показана пластина, заключенная в раму из четы-
четырех стержней, через которые к пластине передаются равномерно
Напряже-
Напряжения пере-
передаваемые
пластиной
на
стержень
чу
Напряже-
mir пере-
передаваемые
стержнем
на
пластину
ху
j
а)
9
Рис. 5.4.
В)
распределенные сдвигающие' усилия и реакции от пластины к
стержням (для простоты показаны только реакции, приложенные
к нижнему стержню). Предположим также, что стержни соеди-
соединены друг с другом шарниром или являются слишком тонкими,
') См. статью Wagner H. Ebene Blechwandtrager mit sehr diinnem
Stegblech.— Zeit. Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, 1929, Bd. 20, № 8,
SS. 200—207.
§ 5.1] БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ 303
чтобы как. жесткая рама воспринимать сколько-нибудь^ значи-
значительную часть сдвигающей нагрузки. При увеличении сдвигаю-
сдвигающей нагрузки происходит выпучивание панели в момент, когда
сдвигающая нагрузка, отнесенная к единице, площади, достигнет
величины предела устойчивости s^, задаваемого графиком на
рис. 4.25, б. В данном примере ^имеются мембранные касатель-
касательные (shear) напряжения о»ут = о, = s, равномерно распределен-
распределенные по пластине, и, ка№ это показано на рис. 3.3 и видно из вы-
вывода формулы C.5а), имеются главные сжимающие (compressive)
и растягивающие (tensile) напряжения з направлении под углом
45°. к краям о\. = а< = а, == «зд. Они показаны на рис. 5.4, а как
действующие на нижний стержень.
После того как ^пластина выпучивается, условия, -конечно,
становятся- более сложными, но при этом, как правило, в плас-
пластине возникает все больше и больше волн в направлении сжатия,
тогда как. в направлении растяжения она остаётся почти неиска-
неискаженной. Для очень тонких пластин не будет большим отклоне-
отклонением от истины предположить, что сжимающее напряжение в
пластине остается, по существу, постоянным и равным ае = «*„
и направленным под углом 45 к горизонту, тогда как макси-
максимальные растягивающие напряжения, также направленные под
углом 45 к горизонту, могут увеличиваться, как показано на
рис. 5.4, б, пока, как показано на рис. 5.4, в, они не достигнут
некоторого предельного (limiting) значения т«, которое опреде-
определяется прочностью материалов пластины или ее подкреплений.
В качестве такого предельного растягивающего напряжения мож-
можно взять предел текучести (yield) ти материала, если_в задачу
расчета входит не допустить появления пластических деформа-
деформаций или если требуется- определить несущую способность пласти-
пластины как напряжение, йри котором происходит разрыв пластины
(оно может -значительно отличаться от предела прочности (-ulti-
(-ultimate) -г* материала, определяемого из испытаний на стандартных
образцах, из-за радикального отличия в форме), или как напря-
напряжение, при котором в пластине может произойти отрыв пласти-
пластины от мест крепления ее к стержню при действии нормальных
и сдвигающих нагрузок, отнесенных к единице длины стержня,
которые вычисляются ниже. Хотя растянутые волокна будут ме-
менее искривлены по сравнению со сжатыми, они" будут иметь
некоторую- кривизну, которая изменяется от точки к точке, что
приводит в результате к изменяющемуся растягивающему на-
напряжению со средним значением ат((, где а — числовой коэффи-
коэффициент, который, для очень тонких пластин близок, по-видимому,
к единице.
Взяв площадь горизонтальной грани, проходящей через ги-
гипотенузу малого треугольного элемента пластины, показанного на
рис. 5.4, в, равной единице, получим, что площадь граней, лежа-
лежащих под углом 45°, будет равна 1/V2. Если напряжения на этих
304 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
сторонах составляют, как показано, атк и взд, получим^ что ^
марные силы на них будут равны соответственно ат;(/У2 и s*]/V2.
Из условий равновесия элемента в горизонтальном и вертикаль-
вертикальном направлениях следует, что касательное о» и растягивающее
Of напряжения на горизонтальной стороне малого элемента со-
соответственно равны ст«—(ати/ V% + Sxy/ Vz)/V2— {axu+ sxy)l2 и
at = (атн/ УН — Sxy У~2)/уг2 = (ат^ — sxy)/-2. Поэтому край листа
может передавать на стержень отнесенную к единице длины
сдвигающую силу (атп + s«q,)A/2, при этом будет возникать также
отнесенная к единице длины растягивающая сила (ат„ — s^)h/2,
нормальная к стержню. Если и с другой стороны стержня име-
имеется аналогичная панель, то нормальные силы, передаваемые от
двух панелей, будут в основном взаимно уничтожаться, в про-
противном случае стержень должен рассчитываться на изгиб этой
нормальной силой. Для очень тонкой панели напряжение «*» мо-
может быть пренебрежимо малым по сравнению с т».
§ 5.2. Толстые пластины — решения в рядах
е помощью функции нагружения
Известен ряд точных в явном виде решений трехмерной за-
задачи теории упругости, которые описывают интересные для
практики задачи о пластинах, за исключением деталей, относя-
относящихся к граничным условиям; они, согласно принципу Сен-Ве-
нана, обычно имеют существенное Значение только вблизи кра-
краев, где, как это обсуждается ниже, могут быть применены уточ-
уточняющие поправки. Так же, как и в случае балок, большая
часть, если не все, этих решений, так же как несколько обоб-
обобщенных точных решений в явном виде для случая отсутствия на-'
грузок на поверхностях пластины (они могут использоваться
как при удовлетворении краевых условий, так и для других ва-
важных целей), представляют собой решения в рядах по функци-
функциям нагружений на верхней и нижней поверхностях, которые ана-
аналогичны решениям C.28) и C.29) для балок. Эти решения в
рядах сходятся к точным решениям для произвольного типа глад-
гладких функций нагружения и обеспечивают, вообще говоря, наи-
наиболее важные уточнения результатов, получаемых по классиче-
классической теории пластин при самых общих условиях нагружения.
Поэтому логично начать изучение толстых пластин именно с та-
таких решений в рядах.
Решение в рядах по функциям нагружения для -пластин, нор-
нормальная нагрузка1). Как и ранее в случае балок, первые члены
рядов соответствуют классической теории, вторые члены дают
') Donnell L. H. A theory for thick plates.—Proc. 2nd U. S. Nat.
Congr. Appl. Mech., Ana Arbor, Mich., 1954.—New York, 1955, pp. 369—373.
§ 5.2]
ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ
30S
наиболее существенные поправки к классической теории и со-
содержат старшие производные от нагрузок и т. д. При удержа-
удержании, все большего числа членов в пределе получаем подход в
рамках точной задачи трехмерной теории упругости.
Для простоты будем рассматривать случай, когда объемные'
силы равны нулю. В отличие от поверхностных сил, объемные
силы обычно однородны или изменяются несложным образом,,
поэтому здесь можно использовать явные решения, подобные
C.8н), суммируя их, если необходимо, с решениями для поверх-
поверхностных сил. ' '
Пусть функции нагрузок ^(х, у) и Ьг(х, у) представляют
нормальные давления, т. ё. распределенные отнесенные к едини-
единице площади силы, направленные вдоль оси z и приложенные со-
ответствено к верхней и нижней поверхностям пластины, как
это показано на рис. 5.5. Введем безразмерные координаты х =.
= х/с, у = у/с, г = z/c, где с — половина толщины пластины.
Определим затем функции tz(x, у) и Ьг(х, у) соотношениями
v*t, ="*», vibz = &z, E.18a>
где операторы V2, V4, ... совпадают с операторами V2, V4, ...,.
если в последние вместо х, у, г подставить соответственно х, уу
z, т. е. V2 = 52/5х2 + dVdy2, ... Следует, конечно, иметь в виду,
S)
2 . ¦ 2
в) ю
z а)
Рис. 5.5.
что когда операторы, подобные V2 и V2, применяются к функци-
функциям перемещения, как, например, это имеет место в уравнениях
C.8), последние будут включать в себя вторые производные ш>
z (или z), так как, в отличие от функций нагруженйя, переме-
перемещения являются функциями йе только от z, но и от х и у. Со-
Сопоставление уравнений E.18а) и D.19) показывает, что функ-
функции tz или — Ьг имеют физический смысл первого приближения
для прогиба w, умноженного на постоянную, равную 2?УCA —
— v2)c). To же самое справедливо и для выражения для переме-
перемещения иг в E.19), которое будет вычислено ниже.
В первом члене ряда для перемещения^иг в соответствии с
классической теорией игнорируется изменение иг по координате z>
20 Л. Г. Доннелл
306 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ^~[ГЛ. 5
при этом uz представляет собой перемещение w срединной по-
поверхности. Используя уравнение E.18а) и обозначение D =
= JEA3/12(t-v2)=2?cVC(l-vz)), уравнение D.19) можно пере-
переписать в следующем виде: i?V4u2 = p или [2Ec3/3il — vz)]V*uz =
= ?*-&* или 12?/3A-гг)с]У'Иг = У4иг-Ьг). Это уравнение
<5удет удовлетворено, если взять для иг следующее представ^
ленда: uz = [3A — vz)c/2#Ktz — Ьг). Произвольные функции, по-
появляющиеся в этом процессе интегрирования, необходимы,
конечно, для удовлетворения краевых условий и будут рас-
рассмотрены ниже. Это выражение возьмем в качестве первого чле-
члена ряда для иг. Что же касается первых членов рядов для пе-
перемещений их и щ, то, поскольку в классической теории малых
прогибов такие перемещения полагаются равными нулю на сре-
срединной поверхности, а также не учитываются деформации попе-
поперечного сдвига, можно в соответствии с тем, как это показано на
рис. 4.3 или как видно из выражения D.1), взять
их = - z dujdx = С- 3A -,v2)c/2E]z d(i,t - bz)/dx,
uy = -z dujdy = [- 3A"- v2)c/2E]z3(t, - bj/dy.
Полные ряды должны удовлетворять трем основным уравне-
уравнениям C.8) теории упругости и следующим краевым "условиям на
верхней и нижней поверхностях пластины:
оХ1 = 0,.xst = — tz при z = — с (или z =• — 1), .
, Он* = 0,-а* — — Ьг при z = с (или z = 1),
где для напряжений используются выражения C.76). Первые
члены приведенных выше рядов- удовлетворяют этим условиям
только в том случае, если отбросить в них все слагаемые,, содер--
жащие функции V2tz и V2bz, *a также старшие производные от
лих. Путем проверок можно подобрать выражения для вторых
членов рядов с неизвестными коэффициентами при них; при
втом обнаруживается, что эти коэффициенты можно определить
таким образом, чтобы были удовлетворены все вышеприведен^
ные условия, «ели опустить члены, содержащие функции V4tz —
— tz, V4bz = bz и старшие производные от них. Удерживая в этих
рядах три члена, можно удовлетворить всем условиям, если отт
бросить члены, содержащие функции V6tz = Vztz, V6bz = Vzbz; их
старшие производные й т. д. При каждом таком введении до- *
полнительных членов в рядах для функций дагружения пренебре-
пренебрегаем увеличением порядка на порядок операторов вида V2, таким
образом' удовлетворяя всем условиям, за исключением все более-
ж более тонких особенностей изменения нагрузки, а отсюда
и производимых ею перемещений и напряжений.
Проверкой .убеждаемся, что имеется простая процедура пост-
построения соответствующих членов таких рядов, что будет видно
из выражений E.19). Каждый член представляет собой произве-
§ 5,2] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 307
дение функции tz — bz или tz + bzn& полином от z, и в то же
время как при применении оператора V2 функции увеличивают"
свой порядок^ старшая степень полинома по z уменьшается на
две единицы. При вычислении неизвестных коэффициентов при
членах полинома на каждом подобном шаге нет необходимости
подставлять в уравнения и краевые условия все предшествую-
предшествующий члены, единственное, что необходимо,— это использовать-
отброшенные на предыдущем шаге члены и добавить к ним но-
новые члены. Однако поскольку краевые условия E.186) аг = —%
и gz — —Ьг уже были удовлетворены ранее, т. е. поскольку напря-
напряжение <5г имеет соответствующее значение на верхней и нижней -
поверхностях, то любая добавка к qz за счет дополнительных
членов должна быть равна нулю, т. е. эти краевые условия при-
примут вид: при z = — 1 и z = 1 имеем az = 0.
Используя эту процедуру, получим в результате выражение
E.19). Напряжения определяются с помощью выражений. C.76)
через производные от перемещений, а отнесенные к единица
длины поперечного сечения- результирующие силы Fx и моменты
Мх и т. д. получаются интегрированием по толщине напряжений:
или моментов от них относительно срединной поверхности. При
выводе этих выражений для удельных сил и удельных моментов
удобно пользоваться Следующими формулами, где / =г/(х, у) —
функция, зависящая только вт х и у:
с 1 1
Fa = j aadz = с j aadz = с j B zmf) dz = ,
-c ;-l -l
. fO (m — нечетное),
~ 12 ^r / (m
с 1 1
Ma= j aaz dz = c2 ^ eaz di = c2 ff2 (zm/) z]dz =
—c —l -1
Ш (т.— четное),
' ч
~~ нечетное)-
Дополнителвные члены рядов (включая постоянную часть
— bz) члена uz, которая не требовалась для данных членов)
можно найти, продолжая указанный процесс. Выражения для
общих членов рядов ,для лапряжений были получены Ч. Ли
и опубликованы в статье, цитируемой ниже при выводе выраже-
выражений E.32). Выражения для перемещений, напряжений, сил и мо-
моментов суть
U4 , 5B-v)z3-3B4-v)z ч^
- Ьг) + w X
20*
308 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
- 35 C - у) z5 - 70 A - 3v) z3 + (87 - 157v)
2800 '
, — 175 A + v) z4 + 210 E — 3v) z2 — 227 + 157v . _ h\ _ A —v)s
+ 2800 "z z> 2
¦ [35 B+v) zs - 105 B—3v) z4+3 G0— 157v) Z2+... +3 G0+157v) z2+.,
"*" L 16 800
x v2 (t, - fez) -
с \ dx ~*~ 'dy ^ dz
Г—105z5^-70z3 + 87z a2 . _ , . _ v C5z2 + 210za — 157z)
L 2800 lh?"z z} 2Ш ; x
x ^ - V + -г- (,т2+v)«-+^+• • •
~ 'V' (* ^) 4 (*+6
4-
3(l-v)
20 V2(*2 b^)+ 2
5.2] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 309
— 35 C — у) z5 — 70 A — 3v) z3 + (87 — 157v).z , , .
= 2800 ; ^2 ~ °*>+
1
JL{^v(t,- ь.) + [-5'4 + "'-' (,,- ь.)
?±lL у ((, - ь,у-%L у («, + Ьг)
Й1(*г-Ь*) +•••]}• С5-19)
Выражения для иу, о„, о„г, ^, г Му совпадают с приведенными
для их, <5Х, Gxz, F-x, Mx при взаимной перестановке х и у.
Пластина с изменяющейся по гармоническому закону нор-
нормальной нагрузкой. В качестве простого приложения получен-
полученных результатов распространим их на случай гармонически из-
изменяющейся нагрузки, приложенной к верхней поверхности
пластины1) (рис. 5.6, а):
~T~C0S~F~ (л», n= 1, 3, 5, ...), &2=0,
E.20)
где а = а/с, b = b/c. Уравнения E.18а) удовлетворяются, если
взять
. a V* V' Pmn тих
^^f cosco
При подстановке этих представлений в выражения E.19) видно,
что выражения для щ и их содержат только функции косинуса
соответственно от тлх/а и от тату/b, выражения для о*, 0„ и иг
содержат обе функции косинуса, при этом удовлетворяются
') Lee G. W. A three-dimensional solution for simply supported thick
rectangular plates,—Nucl. Engng and Design, 1967, v. 6, № 2, pp. 155—162.
310
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ. 5
следующие краевые условия:
о~ = и„ = ц, = 0
ау = их — uz =
при х = ± -|-7
ПРИ У = ± •
E.22)
2 '
Отсутствие нормальных напряжений" на крае пластины озна-
означает, разумеется, что изгибающие моменты и нормальные силы
отсутствуют на краях. Поэтому краевые условия отчасти напо-
напоминают те, что представлены на рис. 5.6, а, т. е. пластина опи-
опирается на короткие расположенные по краям к^атки, трение дос-
достаточно велико, чтобы препятствовать скольжению вдоль оси.
Э.Репсснер
Кпассичесноя
теория
Максимальное
напряжение
изгиба в толстой
квадратной пластине,
нагрузка в форме
палу волны синусоиды
Ч.Ли,ф-пы E.гЪ)
Рис. 5.6.
Однако касательные напряжения а«, оуг и с», не равны нулю
на краях. Реакции обеспечиваются за счет распределенных по
параболическому закону поперечных касательных напряжений,
описываемых первыми членами в выражениях для о„ и ауг;
Приближенно их можно представить в виде реакций, распреде-
распределенных вдоль нижних поверхностей краев, путем наложения ва-
варианта плоского деформированного состояния при локальном
поле напряжений (см. рис. 3.17) типа рассмотренного ранее в
§ 3.4. Остальные члены в выражениях для напряжений о„ и ayz
являются самоуравновешенными и могут быть аналогичным об-,
разом исключены путем наложения Поля типа плоского дефор-
деформированного состояния и поля локальных напряжений, описы-
описываемых выражениями C.39) и C.40) (см. рис. 3.16). Метод исклю-
исключения напряжений 0<ц/ будет обсужден ниже в § 5.4 и 5.5.
§ 5.2] - ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ , 311
Максимумы напряжений и прогибов расположены в центре
пластины, т. е. далеко от краев, и, следовательно, на них мало
влияют указанные краевые условия. Подставляя представления
E.20) и E.21) в выражения E.19), получим выражения для них
в виде бесконечных числовых рядов вида
Для случая квадратной пластины {а ==Ъ)' с нагрузкой в виде по-
полуволны косинусоиды {т = п = 1) получаем
_ 3A+у) а2
Gx(x=y=0,z=l) —¦> -¦ 2 jPllTT
15 а2 3150 а4 + ••* '
E.23)
_бA-у2)Рц а4с [" я2(8-Зу) fea
^ ~~ я4 Е Л4 .20A — v) а2
я4 B27 — 157v) ft4 .
16в00 A — v) а* '
где- первые члены в квадратных скобках соответствуют резуль-
результатам, определяемым по классической теории пластин.
На рис. 5.6, б и 5.6, в представлены значения стоящих в
скобках выражений (они представляют собой отношение 0* и w
к их значениям, следующим из классической теории пластин),
найденные из выражений E.23), полученных Ч. Ли. Штриховы-.
ми линиями показаны* также результаты, получаемые на основе
развитой Э. Рейсснером теории толстых пластин'), где удовлет-
удовлетворяются почти те же самые краевые условия. Можно видеть,
что две теории толстых пластин, которые строятся совершенно
различными путями, находятся в хорошем соответствии и дают
прогибы на 20%, а напряжения на 2% большие, чем получае-
получаемые по классической теории для пластины, у которой ширина
в пять раз больше толщины.,
Сходимость рядов ло функциям вагружения. Ряды E.23) в
областях, указанных на рис. 5.6, б и 5.6, в% сходятся быстро, по-
поэтому легко получить и решение для изменяющихся по гармони-
гармоническому закону нагрузок, у которых длины полуволны а/т Э* h
и Ып > h, и их можно комбинировать с целью получения репГе-
!)Reissner E. Effect of transverse shear deformation on bending of
elastic plates.— J. Appl. Mech., 1945, v. 12, № 2, pp. A69 — A77.
312 - БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. Ь
ний при других, видах распределений нагрузок. Однако, как мо-
можно видеть, аналогично тому, что имеет место в подобном слу-
случае для балок, отрезки рядов, содержащие производные от функ-
функций tx или Ь„, которые входят в квадратные скобки в выражени-
выражениях E.19), сходятся плохо и начинают расходиться, когда длины
волн становятся того же порядка, что и толщина, или меньше.
По аналогии с найденными для балок выражениями C.28) и
C.29) можно вывести, что ряды E.19) для нормальных нагру-
нагрузок, так же как и другие ряды по функциям нагружения, при-
приведенные ниже, будут давать близкие к точным результаты и
быстро сходиться для нагрузок, которые изменяются не слиш-
слишком быстро, и их можно уверенно использовать в полном виде
при численных исследованиях, если обнаружено, что ряды дей-
действительно сходятся.
С другой стороны, в точках разрывов нагрузки производные
от функций tz или Ьх, которые требуются для стоящих в квад-
квадратных скобках членов, обычно не существуют, и там, где они
существуют, если нагрузка изменяется быстро, можно сделать
возможной сходимость рядов, удержав только члены рядов и от-
_ бросив члены в квадратных скобках. Значения, полученные та-
таким путем, будут всегда улучшать те, что следуют из классиче-
классической теории, но найденные при этом напряжения, в частности,
могут оказаться недостаточно точными в непосредственной бли-
близости или в некоторой окрестности от точек разрыва нагрузки.
Как уже обсуждалось выше применительно к балкам, такие
функции нагружения можно заменить гармоническими, т. е.
тригонометрическими рядами, использовав либо полные выраже-
выражения E.19) для гармонических составляющих с длиной полу-
полуволны, равной I, для которой отношение l/h значительно боль-
больше единицы, либо отрезки рядов вплоть до квадратных скобок,
в случае, если длины полуволн окажутся короче. Поправки к на-/
пряжениям в окрестностях приложения сосредоточенной нагруз-
нагрузки приводятся ниже в § 5.3, а поправки для других видов раз-
разрывов могут быть получены аналогичными методами.
Решения в рядах. Так же, как в случае балок, решения в ря-
рядах вида E.19) для пластин содержат точные явные решения
для случая нагрузок, которые можно представить в виде степен-
степенных функций от х и у, а также решения для случая, когда име-
имеется только краевая нагрузка. В качестве примера первого слу-
случая, когда в выражениях E.19) нагрузка U берется пропорцио-
пропорциональной х4, х2у2 или у4, получим явное решение для пластины с
равномерно распределенной по верхней поверхности нагрузкой;
когда 1г берется в виде функции, пропорциональной соответству-
соответствующим пятым степеням х и у, то получаем решения для линейно
изменяющейся нагрузки и т. д. Однако, в то время как каждое
такое решение будет иметь определенный физический смысл, со-
соответствующие им краевые условия, как правило, уже не будут
§ 5.2] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ „ 313
иметь простой вид и не будут соответствовать тем, которые имеют
важное значение в практических задачах. Для того чтобы удов-
удовлетворить частным краевым условиям, к величинам tz и Ьг, ко-
которые удовлетворяют уравнениям E.18а), можно прибавить про-
произвольные гармонические функции, т. е. функции, удовлетворя-
удовлетворяющие уравнениям
V4t* = 0, V4bz = 0. E.24).
Как уже обращалось внимание в цитированной выше статье
Ч. Ли, решения этих уравнений являются достаточно общими,
чтобы удовлетворить двум условиям на каждом крае для каждо-
каждого из приведенных выше уравнений или четырем суммарным ус-
условиям на каждом крае. В действительности имеются по край-
крайней мере пять условий, которым необходимо.удовлетворять в са-
самом общем случае, например три условия на результирующие
силы и два — на результирующие моменты на каждой из сторон
(см. рис. 4.1) или соответствующие перемещения. Поэтому в" об-
общем случае можно использовать подход Кирхгофа, для того что-
чтобы удовлетворить только интегральным краевым условиям, если
не пользоваться наложением дополнительных условий, что будет
обсуждаться ниже в § 5.5.
Равномерно нагруженные свободно опертые толстые пласти-
пластины. Решений уравнений E.24) в виде степенных функций, ана-
аналогичных представлениям C.17а), недостаточно для удовлетво-
удовлетворения важных для практики краевых условий. Используя их в
комбинации с решениями уравнений E.24) в форме гиперболо-
тригонометрических рядов и решениями для случая действия
только краевых нагрузок, полученных из решений E.19) в выве-
выведенных ниже E.32) в рядах для нормальной и касательной на-
нагрузок, Ч. Ли в статье, цитированной выше при рассмотрении
представления E.20), получил решение, удовлетворив следующие
краевые условия:
. Мх = wZ(Z=o) = Fx = Uy(z=0) = 0 при х = 0 и х = а,
ъ E-25)
Mv = uz(z=o) = Fy = uX(z=o) = 0 при y=do~Y
для пластины с равномерно распределенной нагрузкой t, = р„,
Ьг = 0 (рис. 5.7» я). Эти условия почти соответствуют случаю
пластины, опертой по краям на катки, как зто' показано на
рис. 5.6, а и приведенное выше обсуждение ^зтих условий пол-
полностью распространяется и на данный случай.
Для экономии места здесь будет дан упрощенный вариант
этого решения, удовлетворяющий только первым двум из каждых
четырех условий E.25), куда входят условия на изгибающие, мо-
моменты и1 прогибы на краях, которые в основном и влияют на
максимальные прогиб и напряжение, которые возникают в цент-
314
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ.-5
ральной .. ^асти пластины. Используя только симметричные от-
относительно у функции; уравнениям E.18а) можно удовлетво-'
рить, если положить Ь, = Ои принять
= || х«
E.26)
где а = а/с. Подставляя это представление в выражения E.19)
ь/г
6/2
Шнсцмальнъш
лрогив
срединной
мовермешпи
<?-ла(Ш)иЧ.Ла
3, Рей стер
Максимальное
напряжение ,.
изгиба Столетов
квадратной пластине,
равномерно
распределенная
Классическая
теория -\
Рис. 5.7.
для Мх, My и uz(JC=0) и используя краевые условия E.25) для мо-
моментов и прогиба, получим
2Ct = 0, ^. а2 Н- 6С3а + 2С2 = 0,
3 2
2-^ sin
а
2Bm] cham+(l
am) = O, E.27)
24
§ 5.2] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 315
10 A — v) \~Т &2 + 6Сза + 2СУ 4200 A - v) Po = °'
8-Зу 227-157V Q -
°° ~ 5(l-v) °2 4200 A - v) Ро "" '
О = -§• X* + С3х* + С2Х2 + dx + Со +
sin ~^Т^ ^m ch am + ^т0С
m
227 — 157v
4200A —v)
где am = mnb/Ba).
Эти условия удовлетворяются, если
г J- — л_Л/"-а3г, /- 227-157у
^з 12 Poi - ^2 — и> 4i — 4" ^fl' ° 4200 A — v)
2mV . тяж (Г,. . ,, . /о , 4v т2я^\ D I , . ,
-р- sin -j- j (t - v) Лт + f 2 + -|-—r jBm cham +
. ' • ' "" E.28)
2. mnx [I .- 8 — 3v т2я2 n \ , r, , 1
sin—j- Un — 5A_v)-^2-#m 1 ch am + 5mam shа„,| =
В последних двух уравнениях, правые части раскладываются с
помощью гармонического анализа в ряд по функциям синуса:
sinimnx/a), после чего»каждое из этих уравнений будет тожде-
тождественно удовлетворяться только в том случае, если будут обра-
обращаться в нуль суммы коэффициентов при каждом члене ряда по
синусам. "Сократив полученные соотношения на sftr(mna:/a) и ре-
решив получающуюся в результате систему уравнений относитель-
относительно коэффициентов Ат и Вт, получим
Г1ГТ
тап° ch a
E.29)
m
Подставляя полученные выше значения С, Си С2, С3, Ат и Вт
в выражения "E.19) для иг(г=0), найДем, что прогиб Wm»x средин-
срединной поверхности, в. центре квадратной пластины с а = Ь или
316 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ > • 1ГЛ.
ат = тл/2 равен
. тп (. . . тп
- 12(l-v8)aV0
тя
sin-у
п» я ch ~o~ j
: 0,00406 ф[1+4,б(А)] E.30)
где первое слагаемое в квадратных скобках дает значение, соот-
соответствующее классической теории (см. формулу D.26)).
Этот прогиб представлен на графике рис. 5.7, б; он практиче-
практически совпадает с результатами, полученными Ч. Ли, который
удовлетворял всем краевым условиям E.25). Им очень близки
и значения, полученные при использовании теории толстых пла-
пластин Э. Рейсснера с удовлетворением трех из этих условий, все
они дают значение прогиба, на 20% превышающее найденное по
классической теории для пластин, у которых ширина в пять раз:
больше толщины. На рис. 5.7, в показаны значения максималь-
максимальных изгибных напряжений, вычисленных Ч. Ли с помощью вы-
выражений E.19) и найденных по теории Э. Рейсснера для того
же случая.
Решение в рядах по функции нагружения для касательных
нагрузок1). Вновь обращаясь к рис". 5.5, обозначим, как показа-
показано на рис. 5.5, через tx(x, у) и Ьх(х, у) распределенные силы, от-
отнесенные к единице площади и действующие в направлении оси
х соответственно на верхнюю и нижнюю поверхности. (Все на-
нагрузки берутся противоположно направленными положительному-
направлению соответствующих напряжений, с тем чтобы это со-
соответствовало случаю нормальных нагрузок, которые, очевидно,
правильнее брать как сжимающие, а не растягивающие.) Опре-
Определим далее символы tx(x, у) и Ьх(х, у) с помощью следующих
обозначений:
&,. E.31a)
Условия на верхней и нижней поверхностях имеют вид
о.-0,ов--ft, пр.,--*,
ovz = 0, axz — — bx при z = 1.
Эти нагрузки можно разделить на антисимметричную н сим-
симметричную части, как это показано на рис. 5.5, в и 5.5, г. Для
') Lee С. W., Donnell L. H. A study of thick plates under tangen-
tangential loads applied on the faces.— Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Pro-
Providence, Rhode Island, 1958.—New York, 1958, pp. 533—552.
g 5.2] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 317
первой части, которая представляет собой распределенные пары
сил, стремящиеся изогнуть пластину, первые члены ряда полу-
получаются из классической теории пластин. Для этого требуется
в уравнениях равновесия D.8) положить р¦"= Fx — Fv^= F^ — ft
и к правой части уравнения 2 ту = 0 добавить (после деления
на dx dy) слагаемое c(tx + Ъх). Затем, проводя те же выкладки,
что и ранее, исключая Fxz и Fyz и используя выражения D.14),
получим, что уравнение D.19) преобразуется к виду D^iw =
= — cd(tx + bj/dx. Отсюда, учитывая представление E.31а)г
запишем, так же как и в случае нормальной нагрузки, первые
члены ряда, описывающего решение 2Еиг = -*3A — v2)c5(tc +
+ Ъх)/дх, 2Еих = 3A - v2)cz 3*(t + Ъх)/дх\ 2Еиу = 3A - v2)cz X
дЧ + Ъ)/дд
у
Симметричную часть нагрузки (см. рис. 5.5, г) в первом при-
приближении можно взять равномерно распределенной по толщине
как массовая сила Вх в двумерной- задаче теории упругости. За-
Затем из уравнений C.14в) можно найти перемещения их и г/„, по-
положив В, = 0 и подставив вместо Вх нагрузку (tx — bx)/Bc). Пе-
Перемещение иу можно исключить из этих уравнений, применив
операторы — д*/дх ду ко второму и последовательно операторы
L(l — v)/(l + \)\дг/дх2 и [2/A + v)]5V%2 к первому уравненин>
и сложив получившиеся три уравнения. Аналогично можно ис-
исключить перемещение их, применив оператор — д*/дх ду к пер-
первому и операторы [A - v)/(i + \)]д*/ду2 и [2/A + v)]57da;2 к»
второму уравнениям и сложив результаты. Таким образом, с
учетом представлений E.31а) получаем следующие выражения
первых членов рядов для перемещений их и щ при симметрич-
симметричной касательной нагрузке:
-A - v2)cd2(t*- Ъх)/дх2 - 2A + v)cd2(tx - Ъх)/ду\
2Еиу = A + vJc52(t« - Ъх)/дх ду.
Поперечное перемещение uz возникает только за счет влияния ко-
коэффициента Пуассона. Считая, что премещение uz равно нулю
на срединной поверхности, и используя выражения C.6), C.11а),
C.116) и приведенные выше выражения для их и щ, найдем
гг = — v (ах + оу)/Е = — v (гх + Еу)/A — v) =
= -v {dujdx + duy/dy)/(i - v),
откуда следует 2Еиг = v(l + v)czV25(t« - Ъх)/дх.
Основываясь на найденных первых членах, построим,' точно
так же как и в случае нормальной нагрузки, ряд, члены которого
удовлетворяли бы уравнениям C.8) теории упругости и краевым
318 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
условиям-E.31б). Таким образом, получим
2 дх* 2 дх*
5B 1 у) «'.-"F - у) z 32V2 (t, + Ъх) _ 32V2 (t, + Ь,)
3B-y)z2-B + y)
12 дх* , п 6 ду*
105 C — у) z6 — 70 G — у) z3 + 3 E4 + 17v) z д2 (*х + &х)
8400 — .. Ят2
. z3 - 3z ^ (*« + »«) 15C-v)z-30(l + v)z + (l + 29v)w
6 5y2 720 X
r~- 360 .
v)c. ^ /3(l-y)z,f - ,,
—^l (* + b) +
105C —v)z6 —70B7 —v)z3 +3A453 4-17v)z
¦ ; —
v)z4-70E+v)z2
= 55
- : = 2855
(l+v)z8-C-v)z
j ' Г
35 B + v) z6 - 35 F + v) a4 + 3 G0-17v) z* + ... „, lt
: j-g v Vх
3 B + v) z6 - 10 B - v) z3 + C0 - 29v).z 2 IT
-i ; ^ ¦ V (lx — Ox) -f- . . . jj,
8400
S 5.2]
ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ
31»
Для экономии места выписаны выражения только для переме-
перемещений и объемного расширения. Из этих выражений с помощью,
выражений C.76) легко получаются напряжения, например:
ах = EWuJdx)/c + ve/(l - 2vtf/(l + v) =
= d'(tx + bj/dx3[3(l -\>)z/2] + V25(t» + bj/5x[3vz/2l + ... =
= д/Ыдг/дхг + v дУдуЧ (tx + bJ3z/2 +...
и т. д. -
Последующие члены ряда находятся путем продолжения
описанного процесса либо из выражений для общего члена ря-_
да для напряжений, приведенных в цитированной выше статье.
Выражения для тангенциальных нагрузок ty и Ьу, действующих
в направлении оси у, имеют тот же вид, что и в случае танген-
тангенциальных нагрузок tr и Ъх при взаимной перестановке перемен-
переменных х и у как в индексах, так и в производных.
Решения для толстых пластин, к которым приложены тан-
тангенциальные нагрузки и которые- имеют специфические краевые-
условия, можно найти точно так же, как и в обсужденном выш&
случае нормальной нагрузки. Например, 'в
если взять
- , . тпх ппу
х — х — Qmn в 6
(т, л=1, 2, 3, ...), E.33а)
то уравнения E.31а) будут удовлетворять-
удовлетворяться при
"B-0)
Рис. 5.8.
.„ _ „х _ _, ^-г^гдаь2J — а -os T •
_ E.336)
Подставляя эти величины в выражения
E.32) и используя соотношения C.76),
найдем, что краевые условия E.22) удовлетворяются. Для слу-
случая квадратной пластины (а = Ь и т = п = 1) имеем для толстой
пластины условие нагружения, показанное на "рис. 5.8, и краевые
условия, обсужденные ранее для пластины, показанной на
рис. 5.6t о. В этом случае прогиб в центре пластины рав^н-
* . D + v) (hY _ n«(87-17v) / h\< \
"^«Kl-vjW 16860A--») U/ + •"]"
=
n3Eh3 _
E.33b)
Решение в рядах по функциям нагружения в цилиндрических
координатах при нормальной нагрузке. Решения в рядах для
нормальной и касательной нагрузок в других системах коорди-
320 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. I'
нат можно получить либо тем же способом, что и использовав-,
шийся в случае прямоугольной системы координат, либо запи*
сать выражения E.19) и E.32) в других координатных системах"
так, как это обсуждалось в конце § 3.1. В качестве иллюстрации
рассмотрим важный для практики случай цилиндрических коор-4
динат.
Возьмем нормальные удельные давления tz и Ьг на верхнюю^
~а нижнюю поверхности как функции от переменных г и 0, т. в.
tz(r, 0) и bz(r, 0), и воспользуемся представлениями E.18а), где"
V* = V2V* и V2 = d7dr2+(l/r)d/dr+(l/r2M7de2. Затем, исполь-
используя выражения E.19) и C.9д), из соотношения C.96) находим,
что выражения для s, и ui в точности совпадают с выражением
<5.19) для Их, если вместо д/дх подставить соответственно д/дг
ж A/т)д/дд (где т = г/с), например:
в, = A + v)(c/E)d/{-3{l ~ v)z(t, - bz)/2 + .. }дт.
Выражения для иг и е остаются такими же, как и приведенные,
в E.19), (но при этом, разумеется, обозначения V2t tz и т. д. име-
имеют, как указывалось ранее, иной смысл). Затем с помощью вы-
выражений C.9з), зная перемещения и объемное расширение, мо-
можно найти напряжения.
Решение в рядах по функциям нагружения в цилиндриче-
цилиндрических координатах при тангенциальной нагрузке. В случае про-
произвольного вида тангенциальной нагрузки переход от прямо-
прямоугольной к цилиндрической системе координат оказывается намно-
намного более трудным, так как, в отличие от случая нормальной на- J
грузки, направления нагрузки не остаются постоянными. Соотно-
Соотношения между удельными тангенциальными нагрузками tAr, 0) и
Ьг{г, 0), приложенными соответственно к верхней и нижней по--
верхностям в радиальном направлении, и tiir, в) и Ьв(г, 9)— в
«кружном направлении и тангенциальными нагрузками в напра?
влениях осей хну, рассматривавшихся в соотношениях E.32),"
имеют тот же вид, что и полученные ранее, соотношения C.9в)
между касательными напряжениями огг, оге и ои, о2„ (см. рис.
3.5, в), а именно:
tx = tr cos 0 — tв sin 6, ty = tr sin 0 + tв cos 0; E.34a)
для случая нагрузок, приложенных к нижней поверхности, в
этих соотношениях нужно заменить t на Ъ.
Присутствие в этих выражениях для функции ^ и т. п. пе-
переменной 0 значительно усложняет получение решения в цилин-
цилиндрических координатах, которое нужно находить, добавляя к вы-
выражениям E.32) аналогичные выражения для tv и &„, получае-
получаемые заменой в этих выражениях х на у и с учетом соотноше-
соотношений C.96), C.9д) и E.34а). Однако, как обнаруживается, при
этом можно получить выражения вида E.35), которые, наконец;,
и будут искомыми решениями.
§ 5.2] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 321
Для упрощения записи сложных выражений введем обозна-
обозначения s, s', . .. вида
s = a (tr + br) + Р (*е + Ы. d = а (*г ~ М + Р (*е — &б),
s' = р (fr + 6r) - a (te -f бе), d' = р (tr - Ьг) - а («в - Ьв)»
E.346)
s - а (tr + Ьг) + Р (te + be), d = а (tr — br) + р (te - be),.
8' = p (t; + ь;) - a (t9+ь;), d' = p (t; - ь;) -«(t; - ь;).
Здесь а, Р и ^ суть операторы
«-Я-+7- Р=ТЙ' V = 4 E-34В)
а функции tr, to, t'r, t'% определяются следующими выражениямж:
= pfr, V4pte = pfe, V4ate = ate; E.34r)
функции br, b9, b'ri be определяются из аналогичных выражений
при замене t на Ь. Из выражений E.346) и E.34г) следует, что
V4s = s, V4d.= d, V4s' = s', V4d' = d'. Здесь также следует иметь
в виду, что порядок применения операторов должен строго со-
соблюдаться, т. е. в выражении V4atr следует применять сначала
оператор а, а затем оператор V4.
Существуют различного вида соотношения между приведен-
приведенными выше операторами и оператором V2 (воздействующим на
функции tr и т. д.) вида сф = Ру, V2 = Gq+р2. В частности, ни-
ниже будут использоваться следующие равенства (которые легко
проверяются):
E.34д)
(Pa - 2ap + Yp) / = 0.
¦ Тогда выражения для перемещений и объемного расширения
принимают вид
_ 5B~v)z32~F~v)Z TV's - zpW +
+ 3 B - у) z*- B + v) vV4d + Цр_1 pv2d, +
- , [ 105 C - v) z5 - 70 G - v) z3 + 3 E3 + 17v) z z8-3z R , _
+ L 8400~~ Y«+—6~ Ps
_ 15 C - v) z4 - 30 A + v) z2 + A + 29v) , 15z4 - 30z2 + 7R „ ]\
' : 720 У . 360 P» "I"- - - Jj»
21 Л. Г. Доннелл
322 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ . [ГЛ. 5
zVVV
, [105 C - v) a5 — 70 G — v) a8 + 3 E3 + 17v) z йл z8 —3z ,
+ L 84oo ps-—— Vs -
15 C- v) z4 - 30 A + v) za + A + 29v)aу, 15z4—30z2 + 7 ,, 'I)
E.35)
720 Pd + 360
_(l+v)ef 3(l-v), 15vz-D + v)v2, , v —л ,
' U* Ё { 2 S ~ 20 V S+ -g- zV Й +
A + v) z3 — C — v)z ,
—& d~
. 16800
105z5^-70z3-51zt72
720^
11
Jj"
Можно ^показать, что эти выражения удовлетворяют уравне-
уравнениям теории упругости C.9ж) и, с учетом выражений C.9з) для
напряжений, краевым условиям:
при z = — I oz=0, Grz = — tr, oez = —?e,
- '• . E.35a)
при Z4= 1 Oz = 0, Orz = —6r, Oez = —&e.
Проверка уравнений C.9ж) и краевых условий: при z = — 1
и z == 1 oz = 0 не является сложной. Однако проверка осталь-
остальных краевых условий требует некоторого пояснения и возмож-
возможных оговорок. Рассмотрим, например, условие: дри z = — 1 име-
имеем Oez = — ?е. Подставляя выражения E.35) в, условия C.9з),
найдем, что выражения для Овг могут быть записаны в следую-
следующем виде:
О„=--Р4 + ТЯ-РС-ТА E.356)
где А = V2atr, В = V2pt^, С = V2pte, D = V2ate. Используя этк
обозначения для А, В, С и D,_ -а также V4 = V2v2, выражения
E.34г) можно представить в форме
ah. E.35в)
Применяя к первому и третьему из этих выражений оператор р,
§ 5.2] ¦ ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 323
а ко второму и четвертому выражениям — оператор Bа —If) и
используя тождества E.34д) и оператор К = 2а2 + [52 — fa-, полу-
получим
_
ЩО = Bа2'- )U ^D) $4
Если эти соотношения подставить в равенство E.356), предвари-
предварительно применив к "последнему оператор X, то придем к следу-
следующему равенству: - -
Яо9« = - %U, E.35д)
из которого с очевидностью следует требуемое условие ов1 = — te.
Аналогичные результаты можно получить тем же самым спосо-
способом и для трех остальных краевых условий.
Равенством типа -E.35д) могут быть описаны и другие виды
краевых" условий и, как можно убедиться непосредственной под-
подстановкой выражений E.35), последние также-будут удовлетво-
удовлетворять необходимым условиям. Рассмотрим, например, случай
круговой пластины, на которую действуют равномерно распреде-
распределенные касательные усилия t» = be = t, tr = br = О, где t — некото-
некоторая постоянная. При добавлении к ним., постоянного сжимающе-
сжимающего усилия о» = t/уь, где ц —¦ коэффициент трения, лее это будет
соответствовать случаю несмазанного диска, сжатого между не-
неподвижной поверхностью и поверхностью, которая поворачивает-
поворачивается вокруг центральной оси диска, или между двумя поверхно-
поверхностями, вращающимися вокруг общей оси с различными скоро-
скоростями, как это имеет место в муфте сцепления.
. Из выражений {5.346) следует: s = d = d' = 0, s' = — 2t/r.
Используя E.34г), получим: tr=tr=br=br=be=te=s=d=d'= О,
te = be = fH/45 + /, s' = - 2*rs/9 - 2a/, где fir, G) -общее ре-
решение однородного уравнения V4ccte = 0 или V*abe = 0,
которое может быть использовано для удовлетворения краевых
условий на внутреннем и внешнем контурах диска. Если отбро-
отбросить функцию /, из выражений E.35) найдем
E.35е)
Можно видеть, что при этом краевые условия E.35а). удовлетво-
удовлетворяются. В отличие от предыдущих решений в форме рядов по
функциям нагружения, это решение для равномерно распреде-
распределенной тангенциальной нагрузки не является явным. Оно также
неприменимо в случае дисков без центрального отверстия, по-
поскольку содержит особую точку г = 0 в центре. Для диска, у ко-
21*
324 . БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
торого радиус велик по сравнению с его толщиной, это решение схо-
сходится быстро. Решения для нагрузок, пропорциональных коор-
координатам в степени выше первой, так же как и другие решения
в рядах по функциям нагружения, будут явными; их можно
применять к сплошным дискам и к дискам с отверстием.
Решение в рядах по функциям нагружения при осесиммет-
ричной нормальной нагрузке. Наиболее важными для практики
задачами для пластин, как и в случае прямоугольных пластин,
являются задачи, в которых пластина и нагрузка являются сим-
симметричными относительно оси, скажем х, иТгри этом можно
предположить (за исключением, как обычно, задач устойчивости
и колебаний), что прогибы и напряжения также осесимметрич-
ны. Положив в приведенных выше выражениях в виде рядов по
функциям нормальной нагрузки в цилиндрической системе ко-
координат Не = dur/dQ = duz/dQ = 0, для случая осесимметричных
нагрузок tz и Ъг получим:
_ (l+v)c d / 3A — v)z ,. _ , . 5B-v)z3-3B+3v)z
Ur - —g dJ. 1 2 llz °z) + ' 20 X
x v«(t.-ь.) +|v*
4^ f ^^ (t - b) + 15V.»-3(8-3v) у2
uz =
, — 175 A + v) z4 + 210 E —fty) z2 - 227 + 157v . , . - .
_j_ _ 2800"— » ' ' —
2 (fz + bz) +
35 B + v) z6 — 105 B — 3v) г* + 3 G0 — 157v) z2 2 , _, _
IB 800 ¦ V ^z °2>
_v (¦'-«) v»(tz + bz)+...|},
¦" —
— 105z6 — 70z3 -f- 87z d2 — 35z5 — 210z3 -f- 157z у d
2800 Hr* + 2800 г Й Iх
g 5.2] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ 325
d 13 (s2 - 1) у2 .
IF 1 4 (*
E.36)
где Оо имеет тот же вид, что п ov при замене d?/dr2 на A/г) X
Xd/dr; V2 = d2/dr2 + (l/r)d/dr. Функции tz и bz определяются из
следующих уравнений:
. v4tz = v2v% = *z, v4bz = 6г. E.37)
Следует иметь в виду, что порядок применения операторов, со-
содержащих независимые переменные, не может быть изменен;
таким образом, в выражении для ог первым к функции (tz — b2)
должен быть применен оператор V2, а затем — оператор dVdr2
и т. д.
Диск с равномерно распределенной нормальной нагрузкой.
Как и в случае иных подобных решений, выражения E.36) со-
содержат точные явные решения для функций нагружения, кото-
которые имеют вид степенных функций от--г. Так, для диска, на ко-
который действует равномерно распределенное по верхней поверх-
поверхности давление р0, имеем: tz — р0, Ьг = 0. Тогда общие решения
уравнений E.37) можно записать в виде
С', In г + С'^ In г.
C3r2 In г,
E'38)
Слагаемые, содержащие коэффициенты Со, Со, . • •, можно "ис-
"использовать для удовлетворения краевых условий и получения
общих решений обыкновенных однородных дифференциальных
уравнений » четвертого порядка V4tz = 0 и V4bz = 0. В действи-
действительности при последующем применении решения уравнения
v4bz = 0 не будут вносить вклада в удовлетворение краевых ус-
условий, но тем не менее можно, представить себе случай} где это
имеет место.
Для сплошных дисков без начальных напряжений коэффици-
коэффициенты Cs, C3, С2 и С3 следует положить равными нулю, так
как в противном случае при подстановке в выражения E.36) бу-
будут получаться бесконечно большие напряжения в центре диска
при г = 0. Для диска, имеющего отверстие, эти коэффициенты
могут использоваться для удовлетворения условий на контуре
отверстия. .
326
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ. 5
С помощью оставшихся коэффициентов и равном&рно распре-
распределенных мембранных напряжений ov = ае = а„, которые, как бы-
было показано выше, так же как и напряжения, представленные на
рис. 3.8, удовлетворяют уравнениям равновесия и соотношениям
совместности (подобные напряженные состояния будут обсуждать-
обсуждаться ниже в § 5.4), можно удовлетворить и условия вида
r= \ ardz=O, Мг = j o"rzdz=0, w=
1
-1
на чвнешнем крае г — а свободно опертого диска. Подобные кра-
краевые условия являются не более полными, чем те, которые удов-
удовлетворяются решениями D.106) — D.111) по классической теории
пластин, но при этом появляется возможность точно удовлетво-
удовлетворить условия вдалж от краев. Получаемое в результате решение
может получиться не таким точным, как в классической теории,
вблизи краев, но если выполнить условия, налагаемые на ре-
результирующие усилия и моменты на краях, то величины ошибок,
согласно принципу С«н-Венана, .будут ограничены, по крайней
мере постольку, поскольку это касается напряжений, ограничен-
ограниченных областью шириной, равной толщине, где решение можно
уточнить суммированием полей локальныхлапряжений, что бу-
будет подробно обсуждаться в § 5.3.
Тогда для случая свободно опертого сплошного диска радиу-
радиуса а, подставляя в соотношение для Ет, Мт и w выражения
E.38) при С г = С3 = Се = Сг — <72 = Сз = 0 и полагая эти со-
соотношения равными нулю при г = а = а/с, получим следующие
краевые условия:
1
- 2 A + v) С} + 1р0 =-0,
E.39)
w __ 3(l-v2) (а4
Т Ш 164
откуда найдем
0=3.
о _ 4 '
5 +
8-—3v С
~ 10(i-v) \
227 — 157v
4200(l-v)
80
160 A + v) ^' -
2 , 227+ 1414v-'661v2
а ^ 4200(l-v) Jl + v*
Подставляя эти значения в выражения E.36) для напряжений",
§ 52] ТОЛСТЫЕ ПЛАСТИНЫ ч 327
находим
l^ l^} E.41)-
при этом максимальный прогиб равен
_ + у РУ \, 8(8+v.+ v2) С с \2] ,, ,„
u>(*=o)(r=o) - jq^ 64FL1 + 5E + v) A - v) Ы J' E'42)
где первое слагаемое, стоящее в квадратных скобках, соответст-
соответствует решение D.110) по классической теории нластин. Попра-
Поправочный коэффициент, определяемый вторым слагаемым, стоя-
стоящим в скобках, приближенно равен 3,6/а2, что практически сов-
совпадает с тем, что дается выражением E.30) для квадратной
пластины, если длину стороны квадратной пластины заменить
величиной, несколько большей, чем диаметр диска'.
Решение в рядах по функции нагружения при осесимметрич-
ной тангенциальной нагрузке. Решение для этого случая можно
получить из выражений E.35), положив в соотношениях
E.346) — E.34г) д/дд = р = U = Ьв = ив = 0, что дает s = a(tr +
+ br), d.—a(tr — br), s' = d' — O, и определив tr и br из уравне-
уравнений V4tr = tr и V4br = br; однако такое решение имеет недоста-
недостаток, поскольку, как видно из E.35), краевые условия атг удов-
удовлетворяются неоднозначно. 7 . ~~
Напротив, как можно показать, для рассматриваемого осе-
симметричного случая при получении простого и немногозначного
решения в рядах можно применить метод, который использовался
выше при получении выражений C.29), где для последующих
членов задаются выражения такого вида, чтобы на каждом ша-
шаге удовлетворялись уравнения C.10а) и краевые условия вида:
ог — 0, Or* = — Ь, при г = 1,
л ' . ¦ - E.4-3)-
аг = 0, а„ = — tT при г = — 1,
где Ьг и tr суть нагрузки, которые представлены на рис. 5.5, б,
если заменить- х на t. Таким образом, найдем следующие выра-
выражения," в которых tr и br определяются из соотношений
Г=ЪГ, где А2=^ (±+ 1)=^+.-^-^-, E.44)
„ _ (i + v)c/. 1—v ,. , . 3(l-^v)z ., * . .
, 3B-v)z2-B+v) и .. 5B-v)z3-F-v)z ,.
Ч j2—'— '*г ~ °г> : го ^г + г> "*"
328 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ " [ГЛ. 5
i [ - 15 C - v)-z4 + 30 A + у) z2 - A + 29v) А2 ,, , , ,
+ [ т ; A (tr-br)- +
, 105 C-v) z5 - 70 G - v) z3 + 3 E3 + 17v) z л2 и , и ч , ]\
Н 8400 ¦ ^r + °r) + • • • JJ>
vz
0
, 175 A + у) z4 - 70 E + у) z2 + (87 - 17v) „
A 2Ш : (f
3 B + у) z5 - 10 B - y) z3 + C0 - 29y) z ¦ A 2
7^ д
35 B + y) z6 - 35 F + У) z4 + 3 G0 - 17v) z2 + ¦ ¦ ¦
: fl :
, 3z ^ ( u \ i 3z + 1 /* j,\
+ — (tr + br) + j2~ (fr — br)
3z ^ ( u \ i 3z2 + 1 /* j,\ 5z3 — z
(t + b) +(f b)
Напряжения можно без труда определить из выражений C.106).
- В отличие от предыдущих решений, в рядах по функциям на-,
гружения выражения E.45) не содержат явных решений для
функций нагружения в форме полиномов, поскольку благодаря
присутствию в соотношениях E.44) слагаемого вида 1/г2 слагае-
слагаемые, стоящие в выражениях E.45), никогда не обращаются в
пуль для таких функций. Однако решения в рядах для произ-
произвольных гладких функций нагрузок должны, как и в предыду-
предыдущих случаях, сходиться быстро.
§ 5.3. Толстые пластины. Другие решения, локальные
поля напряжений
Полубесконечное тело при действии распределенной по гар-
гармоническому закону нагрузки. Решения C.32) и C.33) двумерных
задач описывают перемещения и напряжения, создаваемые
нормальной или тангенциальной приложенной к краю полубеско-
полубесконечной пластины нагрузкой, которая равномерно распределена
§ 5.3] ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИИ 329
по толщине и изменяется по гармоническому закону вдоль края.
Такие решения, как было указано, полезны при исследовании
случая приложения нагрузки по одной поверхности балки пря-
прямоугольного поперечного сечения, когда длина волны изменяю-
изменяющейся по гармоническому закону нагрузки мала по сравнению о
толщиной (высотой) стержня (но не мала по сравнению с шири-
шириной этой поверхности, поскольку при этом двумерная теория уп-
упругости будет недостаточно точна), в этом случае напряжения
на противоположной поверхности балки могут быть настолько
малыми, что ими можно пренебречь. Подобные решения, очевид-
очевидно, удобны также и с точки зрения удовлетворения краевых ус-
условий для пластины; в этом случае необходимо только, чтобы
длина волны изменяющейся по гармоническому закону нагруз-
нагрузки была мала по сравнению с относительно большой шириной
пластины, с тем чтобы напряжения на противоположном крае
были пренебрежимо малы. Применение решений C.32) и C.33)
к подобным случаям, а также и к антисимметричным их анало-
аналогам обсуждаются ниже в §§ 5.4 и 5.5.
Можно также получить и трехмерный аналог решений C.32)
и C.33), описывающий распределение перемещений и напряже-
напряжений, вызываемых нагрузкой, изменяющейся по гармоническому
закону по поверхности полубесконечного тела. Так же как и в
решениях C.32) и C.33), напряжения уменьшаются по экспо-
экспоненциальному закону с удалением от поверхности и становятся
бесконечно малыми на расстояниях от поверхности, больших по
сравнению с большей из двух длин волн, по которым изменяет-
изменяется нагрузка. Поэтому подобное трехмерное решение может быть
использовано при изучении действия приложенной по одной по-
поверхности пластины нагрузки, когда длины волн малы по срав-
сравнению с толщиной. Такие решения, будучи приближенными, яв-
являются более простыми, чем точные решения, так же как для
двумерного случая решения C.32) и C.33) оказываются .более
простыми, чем точные решения C.28) и C.29) или приводимые
в таблице 3.3.
Приводимые ниже решения были получены следующим обра-
образом: сначала для их, иу и иг выбирались выражения в форме,
аналогичной C.32) и C.33), с неизвестными коэффициентами,
затем определялись эти коэффициенты, с тем чтобы были удов-
удовлетворены уравнения C.8) и условие равенства нулю на поверх-
поверхности двух из напряжений аа, а» и ayz, задаваемых выражения-
выражениями C.76). Направляя ось z нормально к поверхности и помещая
на этой же поверхности начало координат, получим следующие
решения для случая действия нормального к поверхности давле-
давления р cos Xx cos Yy:
их = ±j^- sin Xx cos Yye~Zz A - 2v — Zz) -^ P,
330 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ • [ГЛ. 5
иу *= 1±1 cos Xx sin Ууе-ЙA - 2v - Zjs) ¦? д
Мг = ±±Д cos Xx cos Уi/e-zz [ - 2 A - v) - Zs] -у
ax = cos Хж cos Yye~Zz (X2 + 2vY2 — X4z) -^ p,
Z
oy = cos Xx coi-Yye-Zzi2vX2 + Y* - v»z2j J_
_
e~Zz
oz = cos Xx cos Yye~Zz A
aKZ= sinXxcos
a^z = cos Xx sin
-l + 2\l-ZzJ?-p, " E.46a)
/ Z
где X = n/Zx, Y = я/7,,, 4 и 1„ — длины волн в направлениях осей
жиг/, Z2 = X2+.P.
Аналогично можно записать решение для случая отнесенной
к единице площади поверхности, к которой она приложена, тан-
тангенциальной нагрузки q sin Xx cos Yy, направленной вдоль ©си х:
их = i+1 sin Xx cos Yye~Zt [- 2 A - v) X2 - 2У2 + X4z\ -\ q,
Uy = 1+Д cos Xx sin Уг/е* Bv + Zz) -^fq, . "
Uz = -ii^- cos Хж cosTye~Zz A — 2v + Zz) — g,
a, = cos Xx cos Гг/гГ2* [ — 2X2 — 2 A + v) Y2 + X2Zz]~ g,
av = cos Хж cos Yye ~z% (— 2\X* + F2Zz) ~ g,
Z •
az = cos Хж cos Yye~Zz (— Xz) g,_
Okz = sin Хж cos Yye A -—^-J g,
avz = cos Хж sin Yye~Zz( — т-^ г"| g,
a^ = sin Хж sin Yye~Zz [A - 2v) X2 + Y2 - X*Zz)) ~ q. E.466)
z
Такое же решение для случая распределенной по поверхно-
поверхности по гармоническому закону тангенциальной нагрузки, направ-
направленной вдоль оси .у, можно, разумеется, получить взаимной пе-
перестановкой ж, у, X и У в выражениях E.466), и те же решения
§ 5.3] ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 331
могут использоваться и для нижних поверхностей, если поме-
поместить в них начало координат и направить ocb~"z вверх. Напря-
Напряжения распределены так же, как и показанные на рис. 3.11 для
двумерного случая. Выражения E.46а) можно получить, пОдста-
вив бигармоническую функцию ф = [.A + v)/E] cos Xx cos Yye~z' ><
XBv + Zzip/Z3 в основное решение теории упругости 14 в таб-
таблице 3.1 и использовав равенство Z2 — X2 + Yb, аналогичное
справедливо и для выражений E.466). В отличие от приближен-
приближенных решений C.32) "и C.33), полученных при рассмотрении пло-
плоского напряженного состояния, решения E.46а) являются точ-
точными решениями задач трехмерной теории упругости, поэтому
здесь не накладываются ограничения на отношение длин волн
нагрузки ко всем размерам, кроме толщины.
Нагрузки, распределенные по гармоническому закону по двум
поверхностям пластин. Дальнейшие рассуждения^ довольно оче-
очевидны. Так, в выражениях E.46а) и E.466) Z может принимать
значения ±{Х? + У2I'2, но выше использовались только отрица-
отрицательные значения. Однако можно воспользоваться экспонентами
с положительными и отрицательными показателями или, чт.о
более принято и удобно, комбинацией этих" экспонент, которые
называются гиперболическими синусами и косинусами,' и полу-
получить точное решение для произвольной величины давлений, рас-
распределенных по гармоническому закону как по верхней, так
и по нижней поверхностям пластин. Например, при записи ре-
решения 14, приведенного в таблице 3.1, можно' использовать би-
бигармоническую функцию
<р = cos Xx cos YfU chZx + B sh Zx + CZ ch,Zx + DZx sh Zx).
E.47a)
Определяя функции V2q> и V4(p, найдем, что эта функция ярляется
бигармонической (или же гармонической, если С = D = 0), если
снова взять. Z2 = X2 + У2. Затем можно выразить перемещения
их = д*у/дгдх, щ =-д*у/ду dz, иг = дгу/д!?-2A-ч)Ч2<р, а с но-
мощью выражений C.76) — напряжения. Используя краевые
условия
аХг = 0, аг = — Ъг cos Xx cos Fy при z=^c, х = 1,
.; 45*476)
Су* = А С* — — tz COS Xx COS Гу Щ)И Z = —С, Z— —1
для определения коэффициентов А, В, Си D, получим, что крае-
краевые условия E.476) удовлетворяются при 4 -
' в = _ ¦
332 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
Решения E.47а)—E.47в) можно рассматривать как трехмер-
трехмерный аналог приведенного в таблице 3.3 решения для плоского
напряженного состояния без каких-либо последующих аппрокси-
аппроксимаций или ограничений на длину волны функции нагружения.
Решения E.46а), E.466), как и E.47а)—E.47в), можно за-
записать в форме рядов, подставив Хт = тп/1, У„ = nn/l, A = Ama
и т. д. и просуммировав результат по т и п. Подобные ряды
можно дополнить, используя вместо косинуса функции синуса
от аргументов х и у или от одного из них. Таким путем распре-
распределенные nt> верхней и нижней поверхностям нагрузки, явля-
являющиеся произвольными функциями от х и у, могут быть пред-
представлены в виде бесконечных рядов, и с их помощью вычисля-
вычисляются перемещения и напряжения. Так же как и в случаях,
представленных в таблице 3.3, можно получить и другие реше-
решения путем замены тригонометрических функций экспоненциаль-
экспоненциальными и наоборот (но все три функции от х, у и.г не могут быть
только тригонометрическими, так же как и только экспоненци-
экспоненциальными).
. Были рассмотрены три типа решений задачи о толстых пла-
пластинах с нагрузками, приложенными к их поверхностям: решения
в виде рядов по функциям нагружения в явной форме (если они
являются полиномами), подобные. E.19) и E.32); совершенно
отличные от только что указанных решения, в которых исполь-
использовались функции E.47а) или аналогичные им, которые являют-
являются явными решениями, когда нагрузки имели гармонический
характер распределения, или бесконечными рядами для иных
видов нагрузок; и, наконец, более простые, хотя и приближен-
приближенные, решения E.46а) и E.466), которые являются хорошими
приближениями только для нагрузок с короткой длиной волны.
Подобно соответствующему решению для балок вида C.28),
C.29), типа приведенных в таблице 3.3 или C.26) и C.27), а.
также C.32) и C.33), каждое из этих типов решений имеет свою
область применения и свои ограничения, свои достоинства и не-
недостатки. Так как каждое из них получается из дифференциаль-
дифференциальных, уравнений четвертого порядка, они способны удовлетворить
только двум краевым условиям на каждом конце балки или на
каждом-крае пластины. Более сложные краевые условия могут
быть удовлетворены путем наложения решений, получаемых в
рамках теории упругости в том числе и для ненагружен'ных по-
поверхностей, что было рассмотрено для балок в § 3.4, а для пла-
пластин будет рассмотрено в §§ 5.4 и 5.5.
Сосредоточенная нормальная нагрузка, приложенная к полу-
полубесконечному пространству. Так же, как и в соответствующем
рассмотренному в § 3.4 двумерном случае сосредоточенной на-
нагрузки, приложенной к краю полубесконечной пластины, данная
нагрузка не создает истинного поля локальных напряжений, по-
подобного создаваемому уравновешенной системой нагрузок, хотя
§ 5.3] ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 333
возникающие напряжения изменяются примерно обратно ¦ про-
пропорционально квадрату расстояния от точки приложения нагруз-
нагрузки, Однако, так же как и в двумерном случае, о помощью таких
сосредоточенных нагрузок могут быть построены важные для
практики самоуравновешенные системы сил.
Возьмем точку приложения к поверхности полубесконечного
пространства сосредоточенной нагрузки Р в качестве начала ци-
цилиндрической системы координат (рис. 3.5, а) с осью z, направ-
направленной nov нормали к поверхности внутрь пространства; сжи-
сжимающая нагрузка Р направлена по оси z. Тогда расстояние от
любой точки тела до начала координат равно' корню квадрат-
квадратному из величины (г* + z2); если напряжения пропорциональны
отрицательной степени этой величины, то они будут удовлетво-
удовлетворять очевидному условию — в этой точке напряжения стремятся
к бесконечности и уменьшаются всюду при удалении от этой
точки. Основываясь на общем решении 14 (таблица 3.1а), где
для осесимметричного случая ие = О логично предположить, что
решения будут иметь вид, при котором бигармоническая функ-
функция ф является отрицательной степенью от {г1 + z2) или некото-
некоторой подобной функцией.
Подставляя функцию <р = (г8 + z2)" в уравнения V2<p =
= Шдг2+Шг)д/дг + д*/дг2]<р = 0 и У4ф = V2V2cp = О, получим
из первого уравнения 2nd + 2n){r* + Z2)" = 0, из второго
2A — 2п){п — 1)(г2 — z^)"~2 = 0; эти уравнения "удовлетворяются
соответственно при п = 0, п = —1/2 и п = 1/2, п = 1.. Случай
п =¦ 0 является тривиальным, так как соответствует случаю от-
отсутствия напряжений, но остальные решения вида {г! + г2)~1/г,
(r2 + z2I/2 и (r^ + z2) являются существенными. Более того, как
уже отмечалось в § 3.1, на основе этих решений можно получить
неограниченное чибло других решений, воспользовавшись любым
оператором, который дает нуль при применении его к нулю и
для которого порядок применения в сочетании с операторами
V2 или V4 не имеет значения. Поэтому любая производная по
z или, напротив, любой интеграл по z от этих решений также
является решением. Так, если применить оператор д/dz к обеим
частям соотношения V2qp .== 0, то получим (d/dz)V2(p = V2{dq>/dz) =
= 0 (при этом порядок применения операторов не имеет значе-
значения: вместо д/dz можно использовать д/дг, поскольку второе
слагаемое в V^p содержит множитель 1/г).
Подобным способом из первого решения (г2 + z2)~1/2 получаем
ряд решений вида z In [z + (г2 + z2I/2] - (г2 + z2I/2, In [z + (г2 +
+ z2I/2], (r' + z2)-1'2, z(rt + z*)-*/2 и т. д., где каждое из после-
последующих получается применением оператора д/dz к предыдущему
решению. Аналогично, из второго решения (г2 + z2I/2 .получаем:
<r2 + z2)ln[z + (r2 + z2I/2J, (r' + z2I'2, z(r2 + z2)-1/2, z2(r2 + z2)-3/2
и т. д. Первые из этих рядов содержат гармонические функции,
вторые — бигармонические функции и могут бь1ть получены из
334 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
первых умножением на % или (г2 + z2). Из третьего первоначаль-
первоначально полученного решения (г2+ z2) также можно получить ряд
„Решений, но они оказываются бесполезными для данной задачи,
так как не дают выражений для лапряжений с необходимыми от-
отрицательными экспонентами. Все эти решения можно, разумеет-
разумеется, умножать на произвольную постоянную и как угодно комби-
- пировать.
При использовании этих решений в задачах о сосредоточен-
сосредоточенных нагрузках требуется только выполнение условия бесконеч-
бесконечности напряжений в начале координат; в силу симметрии их
равнодействующая не может быть чем-либо иным, кроме силы,
направленной вдоль оси z. Значение этой сосредоточенной на-
нагрузки Р можно получить, рассмотрев условие равновесия Р =
о"
=—\2nraxdr, которое можно легко выполнить для любого z,
о
отличного от. нуля (присутствие в этом условии особой точки
в начале координат является- усложнением, необходимым с ма-
математической точки зрения). Что же касается -остального, то
требуется только выполнение следующих краевых условий: при
z = 0 и г?=,0 имеем ах = сгг = 0. Если для каждого приведен-
приведенного выше решения записать соответствующие выражения для
ог ж о"„, то нетрудно определить, какой должна быть их комби-
комбинация и какова величина для выполнендя этих условий.
"Таким образом, используя общее решение 14 (табл. 3.1а)
и уравнения C.10а), можно найти следующее решение:
Ф = {i-^ {- A - 2v) z In[z ++r* + zY2] - 2v(H + z*I/2}( 1
=r- + Shzr}± ^ + z2>~1/2 +zr (r2 + z2)~3/2]'
gP [C - 2v) (r* + Z*)-1/2 - r2 (r2 + z*)~ml
1
A - 2v) P f _ J_
r2
J ~ [-7 (r2 + z^/2 + -^ (i-+ Z2)-5/2] »},
Ore = cJer = 0. _ E.48)
Это решение было получено французским математиком Ж. Бус-
еинеском в 1885 г. _ '
Решения для самоуравновешенных систем нагрузок, состоя-
состоящих "~из нескольких сосредоточенных нагрузок, например ежи-
§ 5.31 ' ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ' НАПРЯЖЕНИЙ . 335
мающая нагрузка Р и две растягивающие силы Р/2, симметрично
расположенные по обе стороны от Р, можно легко получить
путем наложения. Поскольку перемещения и напряжения в не-
некоторой точке в цилиндрической системе координат для различ-
различных нагрузок будут иметь различные направления, то удобнее
представить решение E.48) в-прямоугольной, системе координат.
Используя соотношение г2 = х2 + у2, получим следующее выра-
выражение для функции <р: .
as-
ф = т I- d -2v)z ltftz + (*2 + у" + z2I/2l -_
i/2+.z2)^2}. E.48a)
Затем с помощью этой функции и решений 14 (табл. 3.1), а
также выражений C.76) определяются перемещения и напряже-
напряжения. Аналогичным образом можно получить решение для сосре-
сосредоточенной тангенциальной силы, приложенной к точке на но- -
верхности полубесконечного пространства. ___
Нормальная нагрузка, распределенная по границе полубеско-~~
вечного пространства. Решение для случая распределенной нор-
нормальной нагрузки можно, разумеется, получить наложением, за-
записав решение i5«48) для каждого малого "элемента нагрузки
и просуммировав их, путем интегрирования по области нагру-
жения. Однако получающиеся при этом интегралы не всегда
легко вычисляются. В качестве примера рассмотрим отнесенную
к единице площади сжимающую нагрузку р„ (т. е. сжимающее
напряжение), равномерно-распределенную _.
по круговой области на границе тголубес- ГТТТТТ t '
конечного пространства с радиусом Ъ и wsmJmwm/мшл
пентром в начале координат.
В силу симметрии задачи вычисления
интегралов в выражениях для перемеще-
перемещений и напряжений в точках z = z, r = 0,
лежащих на оси z, не представляют труда.
На рис. 5.9 показан малый элемент обла-
области г d6 dr, на -который действуетнормаяь-
ная нагрузка por d0 dr. Вследствие симмет-
симметрии перемещение пг и напряжение о„ на
оси равны нулю. Перемещение в, и напря-
напряжение d в точках, лежащих на оси, цме-
ют одинаковые направления^ для всех элементарных нагрузок,
и поэтому могут быть получены простым суммированием.. С уче-
учетом выражений E.48) получаем -
Ь 2Я
j" dr J г [C - 2v) (г2
336 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ГГЛ. 5
Ь 2Я
= - ^ f dr f г (г2 + z2)~5/2d0 = po [z3 (Ь2 + z2)-372 - 1].
E.49)
Напряжения <тг и а0, возникающие в точках z = z, r = 0, ле-
лежащих на оси z, при действии давления на элементарные пло-
площадки, расположенные под различными углами 0, имеют раз-
различные направления, поэтому - равнодействующая напряжений
Or и Оо, направленная вдоль оси z и обусловленная учетом этих
напряжений на всех элементарных площадках, на которых при-
приложена нагрузка, не может быть найдена путем простого сум-
суммирования. Однако в силу симметрии величины этих результи-
результирующих напряжений а, и о0 должны быть одинаковыми для
всех, направлений, поэтому они должны быть равны друг другу
и соответствующему напряжению" в данном направлении, ска-
скажем, результирующему напряжению ах, направленному вдоль
оси х. Так как напряжения ах, возникающие от всех элементар-
элементарных нагрузок, направлены в одном и том же направлении по
оси х, то результирующее напряжение можно найти простым
суммированием. Из выражений C.9г), учитывая, что агв = 0, по-
получаем ох,— ar cos20 + do sin2 0. Из выражений E.48) находим
напряжения ат и а0 в точке г, 0, z, обусловленные действием
нагрузки Р, приложенной вдоль оси z, но эти же выражения
можно использовать также и для определения подобных же на-
напряжений в лежащей на оси точке при действии нагрузки
pordQdr, приложенной в некоторой точке г, б, z, путем простой
подстановки pordQdr вместо Р и в + я вместо 0. Учитывая, что
sin2@ + я) = sin2 0, cos2 @ + я) = cos2 б, получим следующие вы-
раясения для напряжений в точках z = z, r = 0:
Ъ 2Я
аг = (Те = ах = °
e [" ? + -?
+ z(r2 + z2)"872]) = %?- \lA + v) \(b2 + z2)~1/2 - -1 —
- z2 (b2 + z2)~3/2 + —} d0. E.50)
При z -*¦ 0, т. е. в центре области приложения нагрузки, при-
приведенные выше выражения принимают вид: иг = 2A — \г)рйЪ/Е,
az = — р0, а, = Оо = — A + 2v)pJ2.
§ 5.3J ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 337
Нормальная нагрузка, распределенная по круговой области
на границе полупространства (общий случай). На рис. 5.10,<г
представлен вид из конца оси z на круговую область, по которой
равномерно распределена нагрузка, с радиусом Ъ и центром в
начале координат О; там же показана произвольная точка Q
с координатами z, x, для которой необходимо определить пере-
перемещения и напряжения, обусловленные упомянутой нагрузкой.
В действительности имеют место, два случая, которые требуют
отдельного рассмотрения: случай, представленный на рисунке,
когда точка Q располагается вне области приложения нагрузки.
Рис.. 5.10. /
и случай, когда она лежит внутри этой области. Будем рассмат-
рассматривать только первый случай, что. будет достаточно для получе-
получения результатов, приводимых ниже на рис. 5.11; второй случай
может быть изучен аналогичными методами.
Распределенную нагрузку можно разбить на элементарные
нагрузки различными способами. На рисунке представлена эле-
элементарная нагрузка p<,r d0 dr, где .расстояние г изменяется от
х—Ъ до х+Ъ, а угол 0 — от—0i до 0i (рис. 5.10,6). Из пока-
показанного на рисунке треугольника имеем
б^агссов *'+„г'-Ь'. "- E.51)
Здесь снова перемещение иг и напряжение аг имеют одно*
и тоже направление для всех элементарных нагрузок, и требует-
требуется только простое суммирование их. С учетом выражений E.48)
получаем
х+Ь ei
A + v) р,
и, =
2пЕ
х-Ь
l+v)P0
J dr J [C-
ъ е
~~ пЕ
х-Ь
E.52)
х-Ь ~вх х-Ь
22 л. Г. Доннелл
338 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ , [ГЛ. 5
Перемещение иг от каждой элементарной нагрузки отличает-
отличается от требующегося результирующего перемещения ит направле-
направлением на угол &, поэтому компоненты элементарных перемещений
леобходимо суммировать, умножив их на cos 8:
х+Ь °1
dr \ cos 8 р— + -
х—Ь — 6Х
х+Ь
J
J
ь
+ SLZM± (Г2 + Z2)-l/2 + zr (Г2 + z2)-8/2l d/._ E53)
Напряжения а, и as для точек, лежащих на оси z, вычисля-
вычисляются аналогично изложенному, за исключением изменения пре-
пределов интегрирования:
х+Ь в1 Х+Ь в1
ог= \ dr ] roxdQ, Стд= J ^г I iVydB*-
Взяв напряжение ах таким, как- и ранее, а также учитывая со-
«тношение ov==arsin2e + ae cos*6 и выражения E.48), получим
•следующие выражения для напряжений о> и о»:
х+Ь
х-Ь
ж+Ь
J . U sin 2Q± + B (8X —| sin 28X) —
+ Tsin20i)K E.54)
J Г— A sin 28J -j- 5 (8j + у sin 28^ —
ж-де
i i
= -i - i- (r2 + z2)~1/2, В = zr (r2 -j- zs)-3/2, ..
Используя соотношения C.9в) и учитывая, что ov = 0 и что
для элементарных нагрузок справедливо о„ = огг cos 8, из E.48)
§ 5.3] ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 33»
получаем результирующее напряжение оГ2: — "
Х+Ь в1 ' Х+Ь б1. :
атг = J dr J rcixzdQ = - ^ j dr J cos 0z2r2 (r2 + z2)/2d0 =
x— b —6j ж—Ь —6
x+b
f
+
= — -^- f gin б^2/-2 (r2 + г2)^/-. E.55>
ж-Ь
Вследствие того, что 6i является довольно сложной функцией
от г, непосредственное интегрирование по г приведенного выше
выражения, как правило, невыполнимо. Однако можно легко про-
провести численное или графическое интегрирование для любых
встречающихся на практике значений х. Результаты, представ-
представленные на рис. 5.11, были получены с помощью графического-
интегрирования путем подсчета подынтегральных выражений
для восьми значений г, построения соответствующей кривой и
подсчета площади, лежащей род этой кривой.
На рис. 5:11, б показано поле локальных напряжений, обус-
обусловленных самоуравновешенной системой сиЛг-изображенных на-.
рис. 5.11, а. Она состоит из отнесенной к единице площади рав-
равномерно распределенной растягивающей нагрузки р0 = —1000,
действующей на круговую область радиуса Ъ границы полупро-
полупространства, которую уравновешивает сосредоточенная сжимающая,
сила Р = — пЬгр0 = ЮООяЬ2, приложенная в центра области; на-
напряжения, вызываемые силой Р, находятся из выражений E.48).
Напряжения подсчитываются в точках, лежащих в плоскости
симметрии и отстоящих друг от друга на расстоянии, равном 2Ь..
Напряжения, показанные на рисунке диагональными стрелками,,
являются св. На рис.-5.11, в .и 5.11, г представлены аналогичные*
результаты, полученные для самоуравновешенной системы на-
нагрузок, состоящей из такой же растягивающей нагрузки р0 =
= —1080, равномерно распределенной по области с радиусом bv
которая уравновешивается другой распределенной по концентри-
концентрической круговой области с радиусом Ь/2 сжимающей нагрузкой:
с интенсивностью,, равной 4000 (суммарная "интенсивность на-
нагрузки на этой маяой области равна, как видно, 4000 — 1000 =
= 3000). Аналогичным образом могут быть рассмотрены и дру-
другие самоуравновешенные системы нагрузок.
Можно видеть, что напряжения в подобной самоуравновешен-
самоуравновешенной системе быстро затухают, как это и следует; из принципа
Сен-Вёнана. Цоскольку значения, показанных на рисунке напря-
напряжений задаются с точностью до целого числа, то на некотором*
расстоянии от поверхности нагружения их величина не превы-
превышает 0,05% от значения приложенной нагрузки. Поэтому пред-т
22* . - '
340
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
гга. 5
ставленной на рисунке картиной распределения напряжении
можно без большой погрешности пользоваться и для пластин
-3-0 tt-2 °Хо
°Xo °Xo °Xo
S)
Рис. 5.И.
толщиной h и даже несколько меньшей толщины, если нагрузка,
как показано, распределена по одной поверхности.
Поправки к классической теории пластин в случае приложе-
приложения сосредоточенной нормальной нагрузки. Как и в аналогичном
случае действия сосредоточенной нагрузки на балку, который
обсуждался в § 3.4, разница между истинными напряжениями,
вызываемыми сосредоточенной нагрузкой, действующей на одну
из поверхностей пластины, и напряжениями, получаемыми для
того же случая согласно классической теории, образует поле ло-
локальных напряжений, которое, будучи наложенным на классиче-
классическое решение, дает корректные значения напряжений.
Это поле локальных поправочных напряжений будем опреде-
определять с помощью того же общего приема, что и предлагавшийся
в качестве возможного подхода для случая соответствующей за-
§ 5.3] ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 341
дачи для балки. Будем рассматривать круговую прилежащую
к месту приложения нагрузки область пластины диаметром 2а,
равным учетверенной толщине пластины; вне этой области ло-
локальными напряжениями будем пренебрегать. Затем воспользу-
воспользуемся решением E.48) Ж. Буссинеска для сосредоточенной при-
приложенной к одной из поверхностей пластины нормальной нагруз-
нагрузки, пренебрегая нормальными и касательными напряжениями
на противоположной поверхности пластины, которые следуют из
этого решения при использовании выражений E.36) и E.45).
Затем можно вычесть классическое решение D.118) для случая
сосредоточенной нагрузки, приложенной в центре диска с диа-
диаметром, равным учетверенной толщине; остальные произвольные
результирующие силы, приложенные к краю круговой части рас-
рассматриваемого диска, могут быть устранены с помощью решений
для чистого растяженця и чистого изгиба.
Эта процедура вполне практически осуществима, но в пред-
предложенной форме она имеет один существенный недостаток. Как
уже говорилось при обсуждении решения D.118), классическая
теория предсказывает бесконечно большое значение изгибающего
момента в точке приложения сосредоточенной нагрузки, а поэто-
поэтому и бесконечно большие изгибающие напряжения в каждой
точке линии, нормальной к срединной поверхности и проходя-
проходящей через точку приложения нагрузки и соответствующую точку
на противоположной поверхности пластины. В действительности
же напряжения имеют конечные значения всюду, за исключе-
исключением точки приложения нагрузки. Следовательно, корректирую-
корректирующее поле локальных напряжений должно иметь бесконечно боль-
большие напряжения противоположного знака в остальных точках
на этой линии. Но при наложении этого корректирующего поля
напряжений на классическое решение в этих точках будут по-
получаться неопределенные величины вида бесконечность минус
бесконечность, которые не дают ключа к определению точных
конечных значений, которые в действительности здесь принима-
принимают напряжения.
Во избежание подобного затруднения вместо сосредоточенной
нагрузки, приложенной к одной из поверхностей пластины, рас-
рассмотрим равномерно распределенное давление р0, приложенное
по малой области круговой формы, диаметр которой равняется
четверти толщины пластины, т. е. ее радиус равняется Ь = с/4.
Процедура получения корректирующего поля напряжений в рас-
рассматриваемом случае, показанном на рис. 5.12, а, аналогична той,
что была описана выше, за исключением того, что поле напря-
напряжений, представленное на рис. 5.11, б, будет вычитаться из точ-
точного решения, для сосредоточенной наврузки, и вместо решения
D.118) будет использоваться классическое решение^ D.114а)—
D.114г) для случая диска с распределенной нагрузкой. Таким
путем получаются всюду конечные,напряжения; если необходимо
342
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ. 5
в окончательном корректном решении перейти от распределен-
распределенной к сосредоточенной нагрузке, требуется только к этому реше-
решению прибавить поле, представленное на рис. 5.11, б.
1000 ед.дф.-Ь9,1 hz
-inn T I- сумморюй С1/ш '
~iUUU I
Ню' -v' W;%^Wi^'1 i^Voi^°o^Vo \
¦Щл -^L-34 "?L-2 1L/ 1L/ ZL^ 7±o ' °Xd \
15
}*?*?*&&&,
°X~i °Xo °Xo °Xo
" Вычисление ноля корректирующих напряжений. При выводе
выражений E.48) для сосредоточенной нормальной нагрузки,
приложенной к полубесконечному пространству, начало- коорди-
координат Помещалось на его границе. Для удобства сопряжения с
другими решениями преобразуем выражения E.48) с учетом
того, что начало координат помещается в срединной плоскости
пластины, т. е. вместо z берется z + с; одновременно будут ис-
использоваться- безразмерные координаты г = r/c, z = zlc, а вместо
Р — выражение nczp0/lQ. Таким образом,^ получаем следующие
выражения для напряжений:
• (l-2v)p0
32
--2v).
2
г
2z
+ (г2 + z2 + 2z + l)-3/2j (z + 1)j, E.56)
§ 5.5] ЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 343
az =— % (* + IK(г2 + z2 + 2z + 1Г5/2Г
На нижней поверхности пластины (z = с, ъ = 1) напряжения
равны о1 = Зр0(гг + 4)-5/2 -и о„ =-3j?0r(r2 + 4)/78. Для того
чтобы получить нижнюю поверхность свободной от нагрузок,
сложим решения E.36) и E.45), где tt = tT = t» = t, = 0, — bt +
+ Зр0(г2 + 4)-5/2/4 = 0, -br-3i?or(r2 + 4)-5/2/8-=O. Легко убе-
убедиться, что уравнения 15.37) и E.44) удовлетворяются следующи-
следующими выражениями:
ь<= - т^'+8)eh т+м ^ + Ф1/2 +
+ Аг In г + 42г2 In г + Аа + Aj\
= - g ch у + § (г2 + 4)/2 + 4Л2 In г + ЦА% + AJ, . E.57)
V*bz = -^Eг2 - 8) (г2 + 4)"9/2, ...;
%=-g(r2 + 4) + §-r + ^ + 52r,
A2br=br=-|j0r(r2.+ 4)-B/2, - E.58)
А*ЪТ = -^/>ог (Зг2 - 16) (г2 + 4)-/2Г.
где А±, Аг, Аг, Аг, В\, Вг могут принимать произвольные значе-
значения и использоваться для удовлетворения краевого условия ра-
равенства нулю окончательного значения напряжения на краевой
поверхности г = 4 исследуемого диска. В действительности на-
напряжения Се и о„ получаются в пределах точности результатов,
представленных на рис. 5.12, равными нулю и без помощи этих
постоянных; напряжение ог можно сделать одинаково близким
по величине к нулю путем наложения простого растяжения на
чистый изгиб, что учитывается с помощью упомянутых констант
напряжения, но более просто последние находятся из выражений
C.10в) и (З.Юг). Отсюда получим, -что эти постоянные равны
нулю. ' '
Классическое решение с учетом соотношений D.114а)—
D.114в), а^ также значений v = 0,3, а = 4с, Ь = с/4, Р'=
*=Ь>„/F41)) = 3A-?2)рД2048Яс) для этого случая из D.114в)
дает .
344 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
о 2
С'г = ~ [3 + v - ^]256(;+V = - 0,009911?, E.58a)
°ip°
Ь*~~ 4096Я' ^ 128ZT
Используя выражение D.108) для перемещения w и обозначение
D = 2Ес3/3A — v2), получим следующие выражения для напря-
напряжений при г ^ с/4:
_ . . . , v dw
Or —
1 _ v2 (^ + г
2.6C,] = @,1079 - l,238r2) Paz,
I dw
2(i + v)C1\ = @,1079- 0,
E (c2 - z2) fdsw 4_±d%L_±dw\ _ E.59)
2 (l — V2) [ dr3 Г di? ~ r2 dr.J ~~
Йг-г=-0,375р0A-Ог.
4 (l — v2) D
Аналогично, используя выражение D.114а) для w' и соответству-
соответствующие формулы для напряжений, получим следующие выражения
для напряжений при г>с/4:
[- 2,бс;+^ с; - (з,з+2,6 in |) с;] = ¦
"~ \ r2 ' 4/ 105 '
^2 Г n />^i' 0,7 л' ^' Q 1 Ofiln _?.\ /-i'I /
®+ 1641-3047 In-f№,
Для получения поправки к классическому решению (т. е. для
нахождения добавки к классическому решению до точного ре-
решения) его надо вычесть из точного. Точное решение .получается,
как уже описывалось выше, наложением решения E.48) на ре-
решения E.36) и E.45), где функции Ь2 и Ьг берутся из E.57) и
§ 5.4] ' НЕНАГРУЖЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ . 345
E.58), и добавлением таких значений решений (З.Юв) и (З.Юг),
чтобы суммарное напряжение аг обращалось в нуль при г = 4;
таким путем получается точное решение для диска с сосредото-
сосредоточенной, нагрузкой, которое затем сводится к эквивалентной рас-
распределенной нагрузке, что использовалось при получении клас-
классического решения с помощью наложения поля локальных на-
напряжений, представленного на рис. 5.11, б.
На рис. 5.12 показаны окончательные результаты, где р0 при-
принималось равным 1000.
§ 5.4. Решения уравнений теории упругости для пластинч
с ненагруженными поверхностями
Введение. Полагая равной нулю нагрузку в любом из при-
приведенных в § 5.2 решений в рядах по функциям нагружения,
получим точные решения в явной форме для пластин со свобод-
свободными от нагрузки поверхностями, которые можно использовать
для удовлетворения краевых условий для пластин. Подобные.
решения, разумеется, полезны для задач, где задана только при-
приложенная к краю нагрузка (такие задачи о плоском напряжен-
напряженном состоянии рассматривались в § 3.2, где для них были полу-,
чены только приближенные общие решения), а также для соот-
соответствующих задач изгиба с учетом антисимметричной краевой
нагрузки.
Конечно, возможны и другие решения для задачи о пласти-
пластинах с ненагруженными поверхностями; теоретически их можно
получить непосредственно из общих решений уравнений теории
упругости, приводимых в таблице 3.1; здесь будет получено одно
из таких решений (см. выражения E.68) и E.69)). Даже те
решения, которые будут получены из решений в рядах по функ-
функциям нагружения, теоретически можно получить непосредствен-
непосредственно из общих решений, приведенных в таблице 3.1, но это было бы
весьма трудно, сделать даже в том случае, если известно,
как прийти к этому решению, за исключением такого очевидного
случая, как приведенное ниже решение E.62).
Решения, содержащие гармонические функции. Если, напри-
например, в выражениях E.19) положить tz — bz = tz— bz = 0 и, кро-
кроме того, взять V2(tz + bz) = — {2/v)$(x, у), где V2i|) = 0, с тем
чтобы были удовлетворены уравнения E.18а), то получим при-
приведенные выше точные решения C.126) и C.12в) для плоского
напряженного состояния. Новое решение можно получить, поло-
положив в выражениях E.19) tz = bz = tz + bz = 0, tz — Ьг =
= — BЛЗA — v)]} J tydx, где V2i|) = 0. Полагая функцию if гармо-
гармонической, удовлетворим уравнениям E.18а) (хотя эти уравнения
будут удовлетворены и в том случае, если положить функцию if>
бигармонической, что приведет к более общему решению, пока-
показанному ниже). С учетом соотношения дг$/дх2 + дг$/ду2 = О
346 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
получаем следующие решения:
Е dib E dib E
Oz = oxz = oyz = 0, v2i|) (ж, jr) = 0.
Это решение можно также получить из выражений E.32), если
положить tx — bx = tx — h* = 0 и представить функцию t, + Ъх в
том же виде, что и приведенный выше для функции tz — bt.
Точное решение E.61) является антисимметричным (изгиб-
ным) аналогом точного симметричного (мембранного)- решения
C.126) и C.12в). Использование показывает также, что поскольку"
решения C.12а) дают йесколько 45олее общий вариант решений
C.126) и C.12в), если использовать функпии, которые были наз-
названы полигармоническими, то и решения E.61) могут быть ана-
аналогичным путем распространены на более общий случай:
Ей д\р . , - , а „ . '
Euv
Ей л -
¦'• ' а + Ъх2у + vcz2);
eN>"- , «N> i. ¦ E.61а)
= z—^- — aza; + cz, av = z—%- — byz + cz, ч ¦
ду j9a; " -
Oz = СТжг = OyZ = 0,
V2i|> (ж, jr)r= aa; + by — A — v) c,
где a, b, с — произвольные постоянные.
Другие решения, содержащие гармонические функции. Оста-
Останавливаясь сначала на симметричном случае, положим в выраже-
выражениях E.32) tx = bx = tx + bx = O и возьмем 1* — Ь*-= — fodx, где
^'ф^О, с тем чтобы удовлетворялись уравнения E.31а). Таким
путем приходим к выражениям для перемещений, антисиммет-
антисимметричных относительно х ш у, здесь следует учитывать, что они не
остаются одного и того же вида, если переставлять местами х и
у как в обозначениях координат, так, и в индексах. Эти выраже-
выражения имеют вид
EuJ(l + v) = [A — v)/2]dyldx + Jд\1дуЧя-\- '
+ [v Cz2
§ 5.4] НЕНАГРУЖЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 347
Euyl(\ + v) = - [A + v)/2]d(p% + [vCz2 -
Euzl{\ + v) = - (v/2) zV V
Подобное, но в то же время иное решение можно получить пере-
перестановкой х ж у как в обозначениях координат, так и в индексах
(то же самое можна было бы найти из -решения в рядах по функ-
функциям нагружения iy и Ьу). Эти два решения можнр_-нредставить
в более удобной форме, сложив их (т. е. просуммировав выраже-
выражения для каждого перемещения) или вычтя друг из друга.
Так, если вычесть одно решение из другого и использовать со-
соотношения V2(p = d2ty/dx ду и V2q> = 0, то получим
Еих q^) Еиу ду . n ~ .
- 1 + v ду ' 1 + v дх ' г ~~ ' -
— — а — а-8Ф а = д8* E.62)
°х аУ дхду' °ху ду* '
Oz = oxz = ауг = 0, V2i|) (x, у) = 0. -
Хотя это решение и выглядит совершенно непохожим, оно, по-
существу, является тем же решением C.126), C.12в), из которого
оно может быть получено, если в последнему применить оператор
д/дх, учесть соотношение d2ty/dx2 = — д2$/дцг (оно следует из
V2ij7 = 0) й затем проинтегрировать по у. Однако для некоторых
случаев эта форма может быть более удобной. Очевидно, что, по
существу, она совпадает с решением 1, приведенном в таблице
3.1, если в последнем 1|з есть функция только от я: и- у.'
Таким же способом антисимметричное решение E.61) можно
представить в следующем виде: * __
l+v ду ' l+v ™ дх ' l + v
о- = — о„ =
») = 0,
который можно раесмвтривать как обобщение решений C.12а) и
E.61а).
Решения, содержащие бигармонические функции. Если вместо
вычитания вьппеупомянутых функций сложить их, умножить на
(l + v) и затем прибавить к ним решение {3.126), C.12в), в кото-
котором использовалось представление \|> = (v/6) V2<p=a0, где V4<p = 0,
то получим следующее точное симметричное (мембранное) реше-
решение, содержащее бигармоническую функцию <pf
n С д ш , dw , v »г7!> ^Ф /с е/\
348 ¦ Большие прогибы
2A + v)
2Г72 ^V
V ^ '
<Э2ф
;—i
2V7? <Эф А
дх ду ' xz yz '
х" дх ду ' 2(l-fv) дх ду
Если ф является гармонической функцией, т. е. имеет место
V2<p = V2ij> = 0, то последние слагаемые в приведенных выше вы-
выражениях обращаются в нуль кроме того, выполняются соотно-
(д2ц>/ду2) dx— — (д2(р/дх2) dx = — дгр/дх, .. ., и тогда
это решение совпадает с решением C.1'2б), C.12в).
Для антисимметричного (изгибиого) случая можно получить-
аналогичное точное решение, содержащее би^армоническую функ-
функцию, положив в выражениях E.19) tz = bz = tz + Ьг = 0 и U — Ьг =
= — 2/3, где ^4ф = 0, с тем чтобы были удовлетворены уравнения
E.18а). Результирующее решение может быть упрощено, если к
нему прибавить решение E.61), где введено обозначение 1|з =
= — [B + 3v)/10]V^, при этом V^ = 0. Тогда окончательное точ-
точное антисимметричное решение принимает вид:
дх
ду
2 - у ау2 дер
Z V
¦ = — A — V) ф -f [ С" jj- Z2 I У^ф,
2 —
^ + v
,dy2 dx
. й2ф 2 — v «г,,
— V) Z -r-rI g Z3V2
' дх ду о
az = 0, VV*,2/)=-0. \ E.65)
Если функция ф опять является не только бигармонической, но
и гармонической, то, используя соотношения ^2ф = — ^2ф/A — v) =
= 0 и д^/дх2 + д2^/ду2 ~ 0, можно свести это решение к виду
E.61).
§ 5.4] - НЕНАГРУЖЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 349
До сих пор обсуждались только точные решения задачи о
пластинах со свободными от нагрузки поверхностями. Близкие
по характеру решения C.126), C.12в) и E.62) для мембранного
случая, а также E.61) и E.63) для случая изгиба имеют несколь-
несколько ограниченную область применения, поскольку они основаны
на использовании гармонических функций. Эти функции (а они
являются более простыми, а поэтому и более удобными для ис-
использования, если только можно ими ограничиться) содержатся
и в более общих решениях E.64) и E.65), которые основаны на
использовании бигармонических функций.
Приближенные решения, основанные на использовании би-
бигармонических функций. Достоинства общности и удобства могут
быть соединены ценой введения приближений, с чей во многих
случаях можно примириться, путем отбрасывания членов, содер-
содержащих ^2ф в выражениях E.64) и E.65) для перемещений и на-
напряжений, в то же время сохраняя предположение, что функция <р
является бягармонической. В выражениях E.65) необходимо сох-
сохранить напряжения аХг и ayz, с тем чтобы можно было удовлет-
удовлетворить уравнениям равновесия C.4); эти уравнения удовлетворя-
удовлетворяются приводимыми ниже выражениями и должны удовлетворять-
удовлетворяться любым приближенным решением. Таким образом, получаем
JJ-"» " ду '
2 2
uz = az = o%x =-osz = 0, ст* = —-f-, oy = —|-, E.64a>
E.65a)
У4ф 5= 0. ч
Можно видеть, что решение E.64а) является, по существу,,
обычным решением в функциях Эри задачи теории упругости
для плоского напряженного состояния C.16а) — C.16в), тогда как
решение E.65а) является его антисимметричным аналогом, со-
содержащим такие же приближения. Можно также видеть, что
ошибки в традиционном решении, так же как и в его относящем-
350 " БОЛЬШИЕ ПРОГИБЩ [ГЛ. 5
«я к случаю изгиба аналоге, возникают за счет игнорирования
"большинства нелинейных (по z) высокого порядка (по х и у)
членов, содержащих V2<p. Это соответствует обсуждению ошибок,
имевшему место в § 3.2. Решения E.64) и E.65) демонстрируют
¦средство устранения этих ошибок ценой некоторого усложнения
«ак в применении этих решений, так и в удовлетворении краевых
условий. В то время как приближенные решения E.64а) и E.65а)
удовлетворяют уравнениям равновесия, они только частично удов-
удовлетворяют условиям C.7а) или C.76) отсутствия разрывов по
напряжениям и перемещениям.
Точные решения, получающиеся из общих решений, пред-'
¦ставленных в таблице 3.1. В таблице 3.1 имеется только одно
решение, в котором перемещение пг в направлении оси z (нор-
(нормальной к срединной поверхности пластины) равно нулю — это
решение 1, которое-можно записать в виде EuJ{l + v)— д^/ду,
Euv/(i+-\) => — &¦§/дх, Bj=3, где ^г^{х, у, z)= 0. To, что пере-
перемещение пг равно нулю, и связанный с этим обстоятельством
факт, что е = дг^/дх8у—дг^/дхду + 0 = 0,- означает, что, соглас-
согласно C.76), напряжение о» = 0. Более того, оба напряжения оХ1 и
GyZ пропорциональны первой производной от функции ф по z.
В силу сказанного легко удовлетворяются краевые условия (на-,
чало координат помещается на срединной поверхности) вида
при z = ±c az — oxr = оуг — 0. E.66)
Простейший и, по-видимому, наиболее удобный способ удов-
удовлетворить этим краевым условиям состоит в том, что 'функция ф
берется в виде тригонометрического ряда по z, например
¦ф (х, у, z) = 2 tm (ж, У) cos -^-. EЛ>7а)
Из условия того, что функция т|) гармоническая, следует
откуда, поскольку функция cos (mnz/2c) в общем случае не рав-
равна нулю, получаем
% ^^ ^.. E-676)
Тогда окончательно решение принимает вид:
¦ Еи* -У д^т cos mnz
v
т
Ей
§ 5.4] ^НЕНАГРУЖЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ . 351
дхду wa 2c
т-
E-68>
—¦г-2
"fm . тяг
ТО —з S1I1 —т:
Я ~,/ге ."• sin-
2c
Очевидно, что краевые условия E.66) будут удовлетворяться,- ес-
если то — целое четное число, то =» 2, 4, 6, ... Эти условия удовлет-
удовлетворяются также при то = 0, но при этом решение E.68) стано-
становится идентичным более простому приведенному выше решению
E.62), так как, согласно E.676), в этом случае V^m == 0, и тогда
в выражении для напряжения Оху получаем (.cP^Jdy* — 321фт/ЗЛУ2 =
^y
Выражения E.68) определяют симметричные (мембранные)
решения. Подставляя в выражения E.67а) вместо cos (mnz/2c)
функции sin (тояг/2с), получим аналогичный .антисимметричный
случай (изгиб): ~
E.69)
4с^
где для того, чтобы были удовлетворены краевые условия E.66),
ю должно принимать нечетные целые значения, то = 1, 3, 5, ...
352 " БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
Решения основного содержащегося в соотношениях E.68) и
E.69) уравнения ^г^т(.х, у) = Ci|>m, где С — положительная посто-
постоянная, должны представлять собой экспоненциальные или содер-
содержащие их функции от х и у, поскольку единственным условием
для этих функций является то, что они должны иметь такой вид,
как и их вторые производные. Так, можно взять tymix, у) = g(x)K(y),
где g и h могут быть экспоненциальными, гиперболическими или
тригонометрическими функциями. Для того чтобы постоянная С
была положительной, не более чем одна из этих функций может
быть тригонометрической. Взяв одну из них в виде экспоненци-
экспоненциальной функции типа g = е~ах, где х — расстояние от края пла-
пластины, можно получить локализованное решение, которое имеет
смысл только в окрестности этого края.
Решения в цилиндрических координатах для пластин со сво-
свободными от нагрузки поверхностями. Все приведенные выше ре-
решения для нагруженных по краям пластин со свободными от на-
трузки поверхностями могут, разумеется, быть записаны в иных
системах координат. Например, используя соотношения C.96) и
C.9з), можно получить следующие решения в цилиндрических
координатах. Из выражений C.12а) следует симметричное (мем-
(мембранное) решение,, записанное через гармоническую функцию:
Е _ ftp Е __ 1 д\р Е _
1 + v Ur ~ W 1 + v Щ-~^~~Ш~' 1 + v Uz~ VC '
с,
<тг = отг = (т8г = 0, V2i|> (г, 0) = - A - v) с
E.70)
или с учетом выражений E.62):
Е _ 1 ay Е _ д\р __ п
1 + v r dQ 1+v dr
1 д\ 1 ftp - д2\р ',епл\
ст = о-е= — -^Ж~— -щ-, стг8=-^, E.71)
at = arz = oez = 0, V2i|> (r, 0) = 0.
Из выражений E.61а) определяется антисимметричное реше-
решение (изгиб)гзаписанное через гармоническую функцию:
Е __„ -дУ_ Е_
~~дТ>
E.72)
§ 5.4]
НЕНАГРУЖЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
353
= z
_
или с учетом выражений E.63) —
Е г Эф Е
_ г
1 + v "г ~~ Т
Ог = _ ае = z ^
r, 9) = 0.
' 1 + v
я2..
Е С Эф ,д
, = aez = Q, E.73)
Наиболее общее точное симметричное решение E.64), выра-
выраженное через бигармоническую функцию, принимает вид:
Еит =
Euz= -
ar =
д?
дг
2 '
E.74)
д / 1 Эф
1 2 Эф \
г V Э9 J '
2A+v)
oz = arz = aer = 0, У4ф (г, 9) = V2V> = 0.
Выраженное через бигармоническую функцию точное антисим-
антисимметричное решение E.65) принимает вид:
Е .. Эф 2 — v
. 1 + V "г ~ ' y'Zdr ~~
6
дг
Е
z Эф
г ЭО
2-У ^ V72
vV^ + d
[ста /. \ д2а> 1
V«9 - A - v) -^ J
й2(У2ф
2,—v
2 3 л. Г. Доннелл
354 ~ БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. S
Для того чтобы записать выражения E.68) в цилиндрических
координатах, запишем решение 1 из таблицы 3.1, а в виде
Еит/( 1 + v) =* (Шд^/дв, Eujk 1 + v) = - fy/dr, uz = О ;
й, кроме того, возьмем ф(т", 0, z) = 2 фт ('"i 9) c°s {mnz/2c). Из ус-
m
ловия V2t})G-, 0, z) = 0 следует, что V2,j)m(r, 0) = то2я2'фт/Dс2); от-
отсюда с учетом C.9з) получаем:
Eur _ 1 -у 9ijpm- тяг
1 + V ~ r ?—М-С0\ 2c >
EuQ ^ fl\|j mnz ,
T+V = -2-ir-ces-2T-' «, = е = аг = О,.
m
m
,г„2 ' агфл i mnz
2( т2я2 ДЧ
Ore = Z г~ -Ф"» TT~ C0S
m ч 8c
дв 2с
•7/1 _ »
?re = 2, 4, 6, ... Аналогично преобразуются и выражения
E.69): •
¦ЬЧ 1
14- v г ^"" т 2с
т
Еиа -^1 иут . mnz
- т
- ' ¦ -¦- тяг
5.4] НЕНАГРУЖЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 355
ov
где m = 1, 3, 5, ...
Решения присутствующих в выражениях E.76) и E.77) урав-
уравнений вида V2r|?m(r, Э) = пг2я2т|)т/D<!) мощно взять "в форме фт =
= 2 umnln (mnrl2c) sin и0 или фт = 2 атп-Я»(тяг/2е) sin и0, где
п п
атп — числовые коэффициенты, /„ и Кп — модифицированные
функциц Бесселя соответственно первого и второго рода n-го по-
порядка аргумента тпг/Bс)^ Можно, разумеется, заменить sinraQ
на cos п0, где п — целое число. Функция /„ конечна при г = 0 и
стремится к бесконечности при г -*¦ °°, тогда как функция Кп —
наоборот; эти функции удобны при решении задач соответственно
для "дисков без отверстия или для бесконечных пластин с отвер-
отверстием; обе эти функции могут быть использованы для удовлетво-
удовлетворения краевых условий на внутренней и внешней границах колец.
Применение решений для пластин со свободными от нагрузки
поверхностями. Очевидно, что обсужденные выше решения удоб-
удобны как для решения задач для пластин, на которые действуют
только краевые нагрузки, так и для удовлетворения краевых ус-
условий в других задачах для пластин. В §§ 3.3 и 3.4 рассматрива-
рассматривались только мембранные (плоское напряженное состояние) задачи
подобного типа,, и сейчас имеется возможность построить реше-
решения для аналогичных антисимметричных задач (изгиба) с по-
помощью выражений типа E.61) и E.65а). Можно также исполь-
использовать выражения E.64), E.65) или E.74), с тем чтобы сделать
точными симметричные или антисимметричные решения, которые
не являются точными; это не всегда является простым делом, по-
потому что присутствие в точных решениях нелинейных по z чле-
членов может усложнить процедуру удовлетворения краевых уело-""
вин. Ниже будут приведены некоторые примеры- применения всех
этих решений. . . .'"...
Поля напряжений, обусловленные распределенными по гар-
гармоническому закону краевыми нагрузками. Решения типа
C.32), C.33) (см. рис. 3.11) особенно удобно потому, что подоб-
подобного типа распределения по гармоническому закону можно легко
комбинировать, с тем чтобы получить практически любое желае-
желаемое распределение краевых нагрузок или перемещений. Заменяя
в случае пластин, нагруженных по краю х = 0, х на у и z на х
и используя выражения E.64а) и обозначения х' = пх/l и у'_—
2з* , ¦ ¦ '
356 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ , [ГЛ. 5
= стг/Л, можно переписать выражения C.32) и C.33) в следую-
следующем виде:
Ф = — cos У'е~х> (а
я .
= -L cos у'е-' (a + ir=^b + Ъх\
Ей j /2
& ***'('Ъ + Ъ*) E.78а)
ах = cos г/'е~*' (—а — Ъх')^
а у = cos г/'е-ж' (я — 2Ь +
аху = sin г/'е-*' (— а + Ь —
Щ = Gz = Ожг = СХуг = 0.
Величины а и & в выражениях E.78а) могут быть выбраны
таким образом, чтобы получались различные варианты нагрузок
и перемещений на крае. Например, используя представления
с
Fx= у axdzvi т. п., можем получить для края х = 0: при а = Ъ —
—с
— Fx0cosyr имеем FX = FXO cos у', Fxy = 0; при я = 0,
имеем Fxv = Fxy0 sin у', Fx = 0; для a==2b/(l + v) и b —
— nEux0/[C — v)l]. имеем их = ux0 cos у', а„ = 0; для . а —
= —A — v)b/(l +v) и & = — nEuvJ[(.3 — v)l] имеем щ = uy0 sin г/',
Подобным же образом для соответствующего случая с изги-
изгибом, используя выражения E.65а). и условие w = иг(г=0), полу-
получаем:
г2
ф= -§cosye~x (a-ij-bx'),
iq^ = — z cos г/'е-*' (— я + & — to'),
==—zsmye~x (—я —
=
E.786)
оу = z cos у'е-*' (— а — jz^b — &a/J,
Оку = z sin г/'е-*' (я — Ъ + &*0, сг = 0,
§ 5.4] НЕНАГРУЖЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 35Т
Для примера в выражениях E.786) величины а и Ъ могут"
быть выбраны таким образом, чтобы с помощью, представления-
с
Мх= ) oxzdzvi т. п. получались следующие распределения на-
С
грузок и перемещений на крае х = 0: при а = Ь = — 3A —
/L2(l + v)c3J имеем Мх = Мх0 cos у', Л/^ = 0; при а = ЗМх\,0/
/[(l+.v)c3] и Ь = A — v)a/2 имеем Д^, = Л/тао sin у', Л/Ж=Ю; дл*г
а = 0 и & = — nE(dw/dx)of[(l + v)Z] имеем w = 0, dw/dx =
= (dw/dxH cos у'. Последний случай может быть очень полезен1
.при использовании наложения на различные виды решений для-
свободна опертых краев, с тем чтобы сделать равным нулю угол"
наклона на крае и, таким образом, свести эти решения к реше-
решениям для условия защемленного края. •
Точные решения для нагрузок, распределенных вдоль кра»
по гармоническому закону. Подобно решениям C.32) и C.33)
приведенные выше решения являются хорошими приближения-
приближениями только в том случае, если I велико по сравнению с с. Для по-
получения точного решения, не связанного каким-либо ограничен
нием, можно воспользоваться той же самой функцией напряже-
напряжений ф, что и использованная в решениях E.64а) и E.65а), а, так-
также E.64) и E.65). Для симметричного случая, используя о^оз-
начения Я = vn2c2/[3(l + v)Z2J,~Wa; — ux(cp) = 1 uxdz\l(zc) т. д.,.
из выражений E.64) получаем:
- гг^=4-cos у'е~х> [а + (гт^ + %)ь + Ьх\
1 ~ OAiX ^ С U I i 1 Л I С/ ^^ C/iA/ И
1+v
' " Fk , _ ,
сж = -gj = cos у е * (- а - %Ъ - „+ „ E78в>
ау = -? =z cos у'е-я' [а _B — Я) & + Ьж'],
/ .
аху=-- -^ = sin у'е-*' [- а + A - Я) & - ЬжЧ,
Для края ж = 0 это решение дает: для Ъ = а/A — Я) ==> — FM/Bc)
имеем FX = FM cos у', ^ = 0; для Ь = -а/% = РЩ1о/{2с)- имеем
/^г, == Fxyt) sin у', Fx == 0; для Ъ = — а/[Я гЬ A — v)/(l + ^)] =
=.—я?ЪуО/[C—v)Zl u'y=u'yOsmy', u'x = 0; для Ъ = a/[2/(l+v) —Я] =
= пЕих0/'[C — v) Z] имеем их = и'хй cosy', u'y = 0.
358 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
Для антисимметричного случая, испоЛьзуя обозначения
> = B-— v) я2с2/[5 A - v) 1% М*= J axzdz, Fx2= j axidz
• . —с ' —с
и, т. д.,- из выражений E.65) получаем:,
Ею I2
ЗЛГ Г / 2 \
—з" = cosy'e~x' а — 1г^— — М-)& + &
3-Л^„ , ¦, Г • ( 2\ , \ * - 1 г]
—?¦= cosy е~х —а — 1т—¦—rM-jo — ox ,
Jr V " E'^8г)
—P~= sinу e-«' la — A — p,) b + bx'\,
¦ = -p sin i/'e~*' <6), а г = 0.
Это решение на крае ж = 0 дает: при Ь==о/A,—|г) =
=~ 3A — v)Jlfe/[2(l + v)cs] имеем Mx^=MMcosy', Л/*» = 6; для
i = a/[2/(l-v)-jib3(l-v)V[2(l+v)cs] имеем "ЛГ,,-1
,=.^0 sin i/', ЛГ« ==Л; для 6 = — ZVBjiV) = - пШди;/дх),/М + v)fl
имеем dw/дх = (dw/dxH cos У, м; = 0.
Мвжно показать, что точные решения E.78в), E.78г> отлича-
отличаются от решений E.78а), E.786) только такими величинами, как
Л. или fi, которые пропорпиональны сг/Р и являются-пренебрежи-
являются-пренебрежимо малыми, когда длина полуволны I очень велика по сравнению
« толщиной 2с. Даже в- том случае, жогда точные и приближен-
приближенные решения дают на крае х = 0 одни и те же значения отнесен-
яых к единице -длины результирующих сил или моментов, тем не
менее имеется некоторое различие в распределении удельных
усилий, но это не имеет значения в том случае, если эти решения
используются для удовлетворения интегральных краевых условий;
«ели же они используются для удовлетворения точных краевых
условий, то Нужно просто взять дополнительные поля напряже-
ашй, несколько отличающиеся от тех, которые обычно использу-
используются в произвольном случае.
Как уже говорилось выше, решения для различных длин волн
Г можно комбинировать в бесконечные ряды, используя для этого
точные решения для компонент с более короткими длинами волн
и более простые приближенные решения для компонент с более
длинными волнами. Если вместо экспоненциальной функции е~х
используются функции гиперболического синуса sha;' и гипербо-
§ 5.4] НЕНАГРУЖЕННЫЕ: ПОВЕРХНОСТИ 359
лического косинуса chx', то любое из приведенных выше решений'
может быть распространено на случаи произвольных нагрузок,,
приложенных по обеим поверхностям, или по противоположным
рторонам прямоугольной пластины, аналогично решениям с. ги-
гиперболо-тригонометрическими функциями, приведенными в Таб-
Таблице 3.3 для симметричной задачи. Аналогичные независимые ре-
шения_.хакого типа можно получить из выражений E.68) и
E.69); при: Этом можно удовлетворить большему числу условий
на краях.
Полные решения. Приведенные выше решения являются пред-
предварительными дополнительными решениями, которые используют-
используются при удовлетворении условий^ заданных на краях. В качестве
примера использования решений для пластин со свободными От
нагрузки поверхностями для получения решения полных задач,
где заданы только краевые нагрузки, рассмотрим случай диска
с концентрическим отверстием (или трубу, так как решение бу-
будет точным и не ограничено малыми толщинами пластин) с внут-
внутренним радиусом а и внешним Ъ. Будем рассматривать случай
равномерно распределенных давлений pi и ро соответственно на
внутренней* и внешней поверхностях. Для такого осесимметрич-
ного случая выражения E.7ОУ принимают вид:
Е . а* ' Е :
"г = — —I, ____ иг = — VCZ, -
Лг% ' dr* E,.79a)
Щ = Ог = OrQ == Отг = О"9г =: 0, •
Общим решением последнего обыкновенного дифференциального"
уравнения второго порядка будет следующее:
tp.= — (I — v)c^-f dlnr-f e, . E.796)
где d и -в — произвольные постоянные интегрирования. Подстав-
Подставляя это выражение в краевые условия:
при r = a ог = Р(,
, 45.79^
, При Г = О Or = Ро -
— и решая получающиеся уравнения относительно постоянных
end (постоянную в можно положить равной нулю, поскольку
это не порождает перемещения или* напряжения), найдем
360 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ , [ГЛ. »
Тогда решение для этого случая примет вид:
-_[(!- v) г2 + A + у)&2Ь2^-[A-у) г2 + A + v) а2} ъ\
иг — — — ¦ ...._.
,?(б2~а2> ' . . - ; E.79д)
Эта задача была репгена Г. Ляме в 1852 г. Использование в вы-
выражениях E.79а) постоянной с позволило получить в данном слу-
случае более простое решение, чем те, что нужны в других случаях.
Для соответствующего антисимметричного случая (изгиба)
краевые условия можно записать в виде:
Or = — PiZ при г = а,
. ' E.80а)
Or — — PaZ при Г = р,
где рг и ра — удельные давления на единичном расстоянии от сре-
срединной поверхности, создающие отнесенные к единице длины мо-
моменты т{ = 2c3pi/S и т0 = 2с3р0/3 соответственно на внутренней
и внешней поверхностях >(с — половина толщины). Этот случай
можно решать так же, как и рассмотренный выше симметричный
^мембранный) случай. Поскольку имеется симметрия относитель-
относительно оси вращения, то уравнение E.72) можно записать с учетом
симметрии, откуда имеем
Е <Мр Е , v ,
! + T <79 = z^f + cz, E.806)
dr dr
(Г) = - A - -V) С.
Используя выражение E.796) для функции я|з и определяя, как и
выше, постоянные с, d и е, придем к тем же выражениям E.79г),
что и в рассмотренном выше мембранном случае. Подставляя
"в выражения E.806) полученные результаты, обнаруживаем, что
величины wr, Or и о^ совпадают с аналогичными из выражений
<5.79д), за исключением дополнительного коэффициента z, фигу-
фигурирующего "в каждом случае; при этом снова имеем аг=<Тгг'=О.
Величина uz имеет вид
_ U1 - у) г2 + 2W] (Ъ2ро - a2Pi) + 2 A + у) Л2 (р0 - Pi) In r
uz . 2E{b2_a2 ¦ .
E.80в)
§ 5.5] УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ 36ft
Произвольная постоянная е вновь полагается равной нулю, по-
поскольку ей соответствуют в этом случае только перемещения как
жесткого тела.
Выражения (З.Юв) и (З.Юг) являются специальными случая-
случаями приведенных выше задач, когда а = О, т. е. когда диск не име-
имеет отверстия и р0 = s.
§ 5.5. Уточненные условия, задаваемые на краях пластиш*
Условия, задаваемые на краях пластины, частично уже об-
обсуждались в §§ 4.4 и 4.5. В данном параграфе вопрос будет рас-'
смотрен более полно и вместе с тем сжато будет повторено то, о
чем говорилось ранее. Применяя классическую теорию, обычно
полагают (и совершенно справедливо) достаточным, если можно
удовлетворить тому, что для удобства было названо интегральны-
интегральными условиями, задаваемыми на краях, и что представляет собо»
условия на отнесенные к единице длины края результирующие-
усилия и моменты или на перемещения некоторой конкретной1
поверхности, как, например, срединная поверхность. В действи-
действительности даже эти условия обычно удовлетворяются только при-
приближенно, поскольку используется кирхгофовское допущение.
Применяя теории второго приближения типа толстых пластике
или даже более точные решения, удовлетворяющие трехмерной
теории упругости, можно попытаться в силу возникающих труд-
трудностей также удовлетворять краевым условиям не более слож-
сложного вида, чем интегральные условия, задаваемые на краях, По-
Подобная практика позволяет получать достаточно точные значения
напряжений и перемещений в средней части пластины на доста-
достаточно больших по сравнению с толщиной расстояниях от краев
пластины, но таким путем нельзя получить очень точные резуль-
результаты на краях или вблизи них, где напряжения зачастую явля- *
ются достаточно высокими.
Более того, можно предположить, что ошибки, возникающие
при этом, могут иметь существенное влияние также и на напря-
напряжения и перемещения, возникающие в средней части пластины.
Это особенно справедливо в случае использования гипотезы Кирх-
Кирхгофа, поскольку при этом распределенные касател>ные напря-
напряжения, обусловленные крутящим моментом, можно заменить ком-
комбинацией распределенных поперечных касательных напряжении
и сосредоточенных поперечных сил, приложенных к углу каждого-
края — сил, которые отстоят друг от друга на расстояниях поряд-
порядка наибольшего размера пластины. На практике для опоры на
крае, которая конструируется таким образом, чтобы она не мегла
непосредственно сопротивляться обусловленным крутящим мо-
моментом касательным напряжениям, направленным параллельно,
краю, представляется вполне разумным предположить, что попе-
поперечные силы у опор оказывают сопротивление возникающим язи
362,
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ. 5
крае как поперечному сдвигу^ так и крутящему" моменту в соот-
соответствии с допущением Кирхгофа; ниже будет показано, что это
является правильным только приближенно. Поперечные силы,
«невидно, стремятся к тем значениям, которые предсказываются
гипотезой Кирхгофа, если толщина пластины стремится к нулю,
¦поэтому для тонких пластин в этом случае является вполне при-
«млемым использование этой гипотезы.
С другой стороны, в случае свободного или защемленного края,
когда пластина приваривается к сравнительно жесткой стенке,
касательные напряжения, параллельные краю, должны быть в
первом случае равны нулю, а во втором — непосредственно соп-
сопротивляться реактивным касательным напряжениям, ~ вызывае-
вызываемым стенкой; в этих случаях сосредоточенные в углах нагрузки,
существование которых следует из кирхгофовских допущений,
являются, очевидно, функцией, и возможно, что допущение их
существования приводит к серьезному искажению результатов.
Таким случаем, очевидно, был бы, например, случай, когда ис-
использование гипотезы Кирхгофа потребовало бы введения сосре-
сосредоточенной- нагрузки, приложенной к свободному углу пластины,
т. е. к углу, образованному пересечением, двух смежных незак-~
репленных краев.
Разумеется, более надежно, а при использовании более точных
теорий и намного более последовательно, стремиться настолько,
насколько это возможно, удовлетворить тому, что принято Назы-
Называть точными условиями, задаваемыми на краях, определяемыми
как действительные условия, налагаемые на напряжения или на
перемещения, возникающие в каждой точке края. Так, для.упо-
для.упоминавшихся выше предельных случаев, на свободном крае, па-
параллельном плоскости xz, должны обязательно быть равны нулю
напряжения с^ 0х» и <5уг в каждой точке края, а край мягкой ре-
резиновой пластины, приклеенный к абсолютно жесткой стальной
етене, должен иметь, по. существу, равные нулю перемещения
вдоль осей х, у и z в каж-
каждой точке края.
* Математические требо-
требования при удовлетворении
условия, задаваемых на
крае пластины. На рис.
5.13, а показаны три вели-
величины напряжений или пе-
перемещений, чьи значения
должны быть заданы в
Рис. 5.13;
каждой точке на каждом крае пластины, если требуется удов-
удовлетворить точным условиям, задаваемым на краях. На
рис. 5.13, б показаны соответствующие величины, которые
должны быть заданы для того, чтобы удовлетворить
интегральным граничным условиям, задаваемым на краях,
§ 5.5] — УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ 36$
а именно — три отнесенные к единице длины результирующие
силы; получаемые интегрированием напряжений по толщине на
узкой полосе, показанной на рисунке заштрихованной, и два мо-
момента, получаемых аналогичным образом от моментов, создаваем
мых двумя напряжениями относительно средней точки полосыь
(поперечные касательные напряжения не-создают момента); по-
показанные на рисунке стрелки могут изображать три перемещения.
и, v и w или два поворота dwldx и dw/dy срединной поверхности,
пластины в-рассматриваемой точке. , . „'
На первый взгляд может показаться^ что задание пяти вели-
величин, которые требуются для удовлетворения интегральных усло-
условий на краях, более сложное дело, чем задание трех величин для
точных краевых условий. В действительности они, разумеется,
являются намного более простыми, поскольку представляют со-
собой функции только, от одной координаты — расстояния вдоль
края, в данном случае — координаты х; -с другой Стороны, • три
величины, фигурирующие в точных краевых условиях, должеп»
задаваться яа всей площади края, т. е. они являются функциями
от двух координат, в данном случае — от х и z. * *V
Интегральные условия, задаваемые на краях. Рассмотрим сна-
сначала случай более простых интегральных условий, задаваемых
на краях. Для этой цели можно воспользоваться общими решени-
ями E.64)^ E.65), а такж"е E.68), E.69), подученными в § 5.4.
Первые из упомянутых решений E.64), <5.65); выраженные че-
через бигармоническйе функции,"" включают в себя в качестве ^спе-
^специальных случаев или приближений все остальные решения в
прямоугольной системе координат, приведенные в § 5.4. и ранее
в §§ 3.2 и 3.3 в рамках двумерной теории упругости; они также
¦включают в себя решения однородных уравнений, получаемые
из любого решения для пластин с поперечной нагрузкой прирфвг
ниванием нулю функции, представляющей боковую нагрузку -
(что выражает тот факт, что они сами были получены таким Же-
образом из обобщенных решений в рядах по функциям нагрузке-
ния). Поэтому при последующем излЪжении выражения "E.64V
E.65) будут использоваться вместо всех остальных условий, co-v
держащихся в них. Для простоты в дальнейшем будет говориться
только "о характерных напряжениях и отнесенных к единице
длины силах и моментах; лри этом имеется в виду, что любые
из них могут быть заменены соответствующими перемещениями.
или поворотами срединной-поверхности.
-Поскольку решения E.64), E.65) выраж-аются через бигар-
бигармоническйе "функции" <р, определяемые из уравнения в частных
производных четвертого порядка- V4<p(;r, у)=0, с помощью каж-
каждой из них можно удовлетворить условиям на две изменяющие^-
ся в зависимости от расстояния вдоль той стороны, на которой
они действуют, характеристики, заданным на всех четырех кра-
краях прямоугольной пластины. Таким образом, антисимметричные*:
364 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ {ГЛ. 5
решения E.65) могут удовлетворять условиям на две связанные
¦с изгибом характеристики Му и Fv, заданным на краях, парал-
параллельных плоскости xz, и условиям на две соответствующие ха-
характеристики, заданным на двух других краях. Аналогично,
¦симметричное решение E.64) может удовлетворять условиям, на-
налагаемым на мембранные силы Fv и Fyx, и на две соответствую-
лцие характеристики, задаваемые на двух других краях; как уже
говорилось в предыдущих главах, их можно положить равными
нулю, когда прогибы очень малы по сравнению с толщиной (слу-
(случай малых прогибов); в этом случае выражения E.64) не
потребуются. '
Таким образом, остаются только крутящие моменты Мт и
¦Мху, с которыми что-то надо делать. В классической теории плас-
пластин, для того чтобы избавиться от этих моментов, вводится гипо-
гипотеза Кирхгофа, согласно которой эти моменты комбинируются
•с поперечными силами Fyz и Fxz, с тем чтобы в результате полу-
получились поперечные силы Fyz- и Fx вида D.38); как будет пока-
. зано ниже, в общем случае эт-о представляет собой 'допущение.
Для того чтобы избавиться от моментов Мух и Мху, не используя
гипотезы Кирхгофа, воспользуемся теперь независимым анти-
антисимметричным решением E.69). Так как оно выражено через
'функцию ty(x, у, z), определяемую из л дифференциального урав-
уравнения второго порядкд Угт!рт(х, y)~ (m2nV4c2)i|3m, имеется толь-
только один член (которым, очевидно, мог бы быть первый член
лри /и = 1), с ломощью которого можно удовлетворить условиям;,
на одну изменяющуюся в зависимости от расстояния вдоль края,
на который она действует, характеристику на всех четырех кра-
краях пластины; в случае Mvx — на краях, параллельных плоскости
-a:z, в случае Мху — на двух других краях. Для аналогичных це-
целей решение, до некоторой степени совпадающее с первым чле-
членом общего решения E.69), было использовано Э. Рейсснером и
другими авторами.
Точные условия, задаваемые на краях. А. Грином1) был
предложен общий точный метод удовлетворения точных условий,
заданных на краях пластины,- но здесь будет рассмотрен более
простой, удобный для указанных целей, общий метод, который
является приближенным, но в то же время достаточно точным
в большинстве случаев. Сначала рассмотрим случай малых про-
прогибов, в котором силы Fv и Fyx (или Fx и Fxy — на краях, па-
параллельных плоскости yz) можно взять равными нулю. Как,уже-
говорилось в начале этой главы и в других местах, только в та-
уом исключительном случае, как случай толстой пластины, из-
изготовленной из резиноподобного материала, следует рассматри-
рассматривать такие последствия больших прогибов, как возникающие при
') Green A. E. Elastic equilibrium of isotropic plates and cylinders.—
froc. Roy. Soc. London, 1949, \s. 195, tf»1043, pp. 533-552.
§ 5.51 УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ . 365
этом -мембранные силы, и одновременно учитывать вследствие
того, что пластина толстая, точные краевые условия.
Предлагаемый метод состоит в том, что сначала удовлетво-
удовлетворяются интегральные краевые условия, налагаемые на напряже-
напряжения ау и ayz (рис. 5.13), и точные краевые условия — на Оух (или
на соответствующие перемещения), а также соответствующие
условия на краях, параллельных плоскости yz. Это можно сдр=-
лать точно, используя антисимметричные общие решения E.65)
и E.69).. Единственная разница между этими способами удовлет-
удовлетворения интегральных краевых условий, как уже говорилось
ранее, состоит в том, что используются все члены выражений
E.69), это позволяет удовлетворить условиям, налагаемым на
напряжения о^, полностью на всем крае, а не просто условиям,
налагаемым на момент Мух. В результате остается-удовлетворить
условию относительно разности между напряжениями оу и ayz
или их равнодействующими Му и Fyz. Так как эта разность об-
образует самоуравновешенную систему, то с помощью полей ло-
локальных напряжений можно найти поправки типа краевых по-
поправок Хорви, как об этомлуже говорилось в § 3.4 (см. выраже-
выражения C.39) и C.40)), а также в разделе, озаглавленном «Оценка
краевых эффектов для пластин и оболочек на основе соответст-
соответствующих решений для балок». Величина, п принимает только не-
нечетные целочисленные значения п = 3, 5, Л . (см. рис. 3.16, б и
3.16, ц), так как поправки будут антисимметричными. |
Для случая больших прогибов, когда силами Fv и Fyx нельзя
пренебрегать, в краевых поправках Хорви могут быть исполь-
• зованы симметричные общие решения E.64) и E.68) (удержи-
(удерживаются все члены) и четные целочисленные значения п. Пред-
Представляется вероятным, что эта симметричная система условий
не будет зависеть от антисимметричной системы, рассмотренной!
выше, и может исследоваться; отдельно. . '—
Приведенные описания теоретических методов удовлетворе-
удовлетворения интегральных и точных условий, задаваемых на краях, мо-
могут показаться в какой-то степени -сложными и запутанными.
Для того чтобы пояснить способ их применения, ниже будут да-
даны примеры каждого типа вычислений.
Удовлетворение интегральных краевых условий без исполь-
использования приближения по Кирхгофу; квадратная пластина при
равномерной поперечной нагрузке. Для того чтобы проиллюстри-
проиллюстрировать уточное решение для случая интегральных краевых ус-"
ловий, рассмотрим тонкую пластину с краями х = ±а нр±«
с верхней и нижней поверхностями z = ±ct на которую» действу-
действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью />о,. на-
направленная по оси z. Воспользуемся классической теорией плас-
пластин, и для случая поперечной нагрузки условия на крае х = а
запишем в виде
и; = 0, Мх = 0, Мзд = 0. E.'81а)
366 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ _ [ГЛ. 5
Аналогичным образом записываются условия на трех остальных
'краях. ~~- ' ' __ '
. Можно видеть, что эти условия отличаются от упоминавших-
упоминавшихся ранее интегральных условий типа ?4.20), задаваемых на
краях при свободном закреплении (или свободном опирании),
которые формулировались согласно классической теории пластин,
поскольку они включают в себя условия равенства нулю на кра-
краях крутящих моментов М^; это условие выполнялось- автома-
автоматически вследствие использования гипотезы Кирхгофа.
Ненамного более сложным .представляется удовлетворить ус-
условия., E.81а) с помощью выражений типа E.30), получаемых
по точной теории поперечного нагружения, вместо использова-
использования приближенной классической теории пластин. Но, помимо не-
некоторой непоследовательности, состоящей в том, что приближен-_
ные -условия удовлетворяются с помощью точной теории плас-.
тин, это не будет отвечать поставленной задаче г=-проверить
справедливость использования в классической теории пластин
допущений Кирхгофа, особенно в связи с сосредоточенными по-
поперечными силами, возникающими в углах в соответствии с эти-
этими допущениями. На самом же деле при использовании точ-
точной теории поперечного нагружения,. очевидно, получаются прак-
практически те -же сайые поперечные сшей, но тогда уже не воз-
возникает повода для разговора о том, являются ли полученные
результаты, следствием того, что не использовались допущения
Кирхгофа или не рассматривались деформации поперечного
сдвига в теории поперечного нагружения^
Поскольку для простоты будет рассматриваться квадратная -
пластина., которая симметрична относительно осей х и у и для
которой все соотношения сохраняют вид при взаимной переста-
перестановке х и у (т. е. все выражения и уравнения не изменяются
при взаимной перестановке х и у в обозначениях координат и ин-
индексов), то если условия E.81а) удовлетворяются на крае х — а,
аналогичные.. условия будут автоматически удовлетворяться на
трех других краях (при условии, что все выражения, которые ис-
используются при удовлетворении краевы» условий, имеют анало-
аналогичный симметричный вид, который приводится ниже).
Для удовлетворения' условий {5.81а) воспользуемся наложе-
наложением трех решений; решения, полученного -подстановкой приве-
приведенного ниже решения в выражения D.14), "решения E.65) и
первого члена (при т. = 1) решения E.69). В последних двух4
полагается равной нулю нагрузка на поверхностях. Возьмем
w = Вцг-.о), а также -
-е
с е
= \ Oxyzdz, Fyz = \oyZdz. E.816)
Для удовлетворения упоминавшихся выше условий симметрии
§ 5.5J УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ 367
возьмем выражение для w по классической теории пластин, по-
поручаемое так же, как и выражения D.25) для других краевых^
условий, и для функций ф и ijJi, входящих в выражения E.65)
и E.69), в следующем виде:
гая гея
4 mTsmT
V4 Г л I тпх ,тку тпх тщ\ .
Ф = 2 [А™ [cos ~п ch ST + ch ~2Г cos ГJ +
Ш sh ^ + — sh *E? cos^)], E.81r)
зт^], / E81 д)
l , 171 С \
где Ym = tH +
Легко проверить, что эти выражения удовлетворяют уравне-
уравнениям V4(p = 0 и ^2|ф! = Ы2/Ас2)%р1 и условиям симметрии для: w,
Мх, Мху. - •
Можно показать, что при использовании выражений E.65)
получается, что более последовательно было бы отбросить те
члены, в которых' содержится оператор V2, применяемый к про^
изводным от« функции ф (или, если используются выражения
E.61), взять функцию ty как бигармоническую), поскольку их
точность сопоставима с тем, что получается по классической тео-
теорий пластин (или традиционной двумерной,теории упругости).
Для того чтобы избежать какой-либо неопределенности в оцен-
оценке точности получаемых результатов, в приведенных ниже ре-
решениях эти члены были сохранены, но расчеты показали^ что
при тех отношениях ширины пластины к ее толщине, которые
были использованы Ча/с —20), эти члены были очень малы по
сравнению с остальными и давали пренебрежимо малый вклад,
в окончательные результаты. - - _
Перемещения w(x^a) по классической теории и w — az(J=0),
определяемые выражениями ' E.69), равны нулю. Подставляя
выражение E.81г) в решение ~С5,65) и1 учитывая - условие
cos (твл/2) = 0, из первого краевого условия ы?(*=а) = 0 получим
уравнение
- A - v) Ат + —1-. Dm ch -= A - v) Dn -y~ sh ^- X
m (I - ,aJ J
3G8 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ (ГЛ. 5
которое удовлетворяется при
4 2 2 \
ТПП .* тП , m П.С \ т\ /г ал \
— ъ-г + щг;Y?)Dn' E'81e)
Согласно классической теории изгибающий момент Мх(х^а) ра-
равен нулю. Подставляя выражение E.81г) в решения E.65) и
E.81д) в E.69), снова получаем, что все слагаемые во втором
краевом условии Л/«(«=0) = 0 пропорциональны cos (mny/2a), по-
поэтому с учетом E.81е_) получающееся уравнение удовлетворяет-
удовлетворяется при
F — л*с m ch (WJI/2) {а . (8 + v) тУс2
Третье, и последнее, краевое условие Mxyix=a) — 0. является
наиболее сложным и трудным для удовлетворения, потому что
4 оно не содержит одни и те же функции от у. Подставим выра-
выражения E.81в) в решение D.14), E.81г) в E.65) и E.81д) в E.69)
(а также выражение для поперечной реактивной силы Fx4x=t)
на крае, ^оторое дано ниже) и запишем краевое условие
Мху{Х=а) = 0. Затем получающееся в результате выражение упро-
упрощается, если взять v,= 0,3, sin2 (гея/2) = 1 (так как ге — нечет-
нечетное) и разделить его на 64A — v)m[ch (лит/2)] с7(я4а). Наконец,
для того чтобы ислючить функции от t/, умножим все слагаемые
на sin (m'ny/2a)dy, где п = 1, 3, 5, ..., и проинтегрируем от
— а до а. С учетом выражений E.81е) и E.81ж) получаем для
каждого значения т' систему уравнений следующего вида:
2{<Wm*m (аРо) — [2,504лг (стгт — bm,mfm) + 2,275dm>mgm] Dm} = 0,
E.81з)
где числовые коэффициенты атгт, ет, ... суть|
- .'If. m'ny . mny , f1 (ПРИ ™' = m)y
an,m = - J sin -gi sm -gJL dy = (Q (цри m, ф ^
—a
, mn a
7 2 [ . m'ny i mny 7 , .-. mn
bm>m = — j sm—^-&h.-^-dy-\- th-g-amrw =
a ch ~2— —a
4m . m'n . mn , ., mn
sin—s-sm—s- + th—я-
n(m'2 + m2)'
a
sin (тп/2) С . m'ny mny , mny , . mn
a ch (mn/2) J 2a 2a 2a 2
—a
't . mn j mn mn m'2_mz\ mn
g 5.5] " УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ , 369"
, sin (тя/2) Г . т'пц , , ч , , ., , ч
dm'm = „ .и л, я/ sm —5^- sh (vm!/) dy + th (vma) am.m =
.2 . т'я . тя . ti . v
(Ута) + m Л74 (Vma) 2 2
_ a3 sin (тя/2) V* ^
m ~" C3 m ch (тя/2) ^d (OT2 +»2J '
4 _ тя *Ь тя \ 0,593т2я2е2
0,208ж2я2с2 \ Г. . , mV
Так как каждое из уравнений системы E.81з) содержит не-
неизвестные коэффициенты Dm, то последние можно найти из
решения этой системы. Поскольку автор не располагал ЭВМ,
то приводимые ниже результаты были получены только при ис-
использовании первых трех уравнений (т' = 1, 3, 5) относитель-
относительно первых трех коэффициентов~Dm. В результате было получено:
Dt = 11,32 ара, D3 = 0,00069 ар0, D, = -0,00013 арй при а/с = 20.
Аналогично находится выражение для реактивной попереч-
поперечной силы FXZ(X=a) =/?:
л поп sin тя/2
-1,032 ^—
sin тя/2 , . ч (тя/2)
т3я3с8
я3с8 / , тя. тяг/ . тя ", тяг/ \ 11 /с О/) ч
г ish ~cos -&-sin ~ch w ¦¦( }
На рис. 5.14 сплошной линией показано распределение по-
поперечной реакции, получающееся при указанном расчете с Tpev-
мя коэффициентами Dm. Пунктирная линия дает почти идентич-
идентичные результаты, полученные другим методом А. Кроммом1) для
ale = 20, который также использовал интегральные краевые ус-
') Kromm A. Verallgemeinerte Theorie der Plattenstatik.— Ingrg. Arch.,
1953, Bd 21, № 4, SS. 266—286; Uber die Randquerkrafte bei gestutzten Plat-
ten.— Z. angew. fur Math, imd Mech., 1955, Bd 35, № 6/7, SS. 231—242.
24 Л. Г. Доннелл
370
БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ
[ГЛ. 5
-г.
- Предлагаемая теория
¦А.Кромм
^Классическая теория,
испальзующая
гипотезу Кирхгофа
Рис. 5.14.
ловия, не прибегая к кирхгофовскому приближению, он же рас-
рассмотрел влияние поперечного сдвига/ Штриховая линия с со-,
средотвченной реакцией в углу изображает результаты, следуго-
Щйе из, обычного классического решения для пластины с исполь-
вованием гипотезы Кирхгофа* которое получается при удержа-
удержании одного члена в выражении E.81и). Близость между резуль-
результатами, полученными здесь, и результатами А. Кромма указы-
указывает на то, что различие между его результатами и обычными
классическими результа-
результатами обусловлено' глав-
главным образом тем, что
в решении А. Кромма
Щ15агр0 условие Л/эд^а,Г= 0 удов-
¦Щ; летворяется без исполь-
'=-¦. зования кирхгофовских
допущений, а не тем, что
учитывается - поперечный
'. сдвиг.
Можно видеть, что
кирхгофовское приближе-
приближение дает довольно гру-
грубое соответствие с точным
распределением, реакций,- при этом части кривых, изображаю-
изображающих внутренние силы, лежащие выше оси х (см. рис. 5.14),
и соответствующих отрицательным .значениям силы Fxz, .имеют
примерно одинаковые формы и заключенные между ними ж осью
х площади. Лежащая ниже оси х часть кривой, дающей точное
распределение усилий и соответствующей положительным значе-
значениям FKZ, располагается вблизи угла Пластины, и площадь, огра-
ограниченная этой кривой и осью х, приближённо соответствует сосре-"
доточенной нагрузив в углу, получающейся при использовании
гипотезы Кирхгофа (полная сосредоточенная в,^пглу реакция
имеет вдвое большее, чем показано, значение — другая ее поло-
половина ..относится к соседней стороне). Очевидно, что классиче-
классический по Кирхгофу результат является точным в пределе, если
c/a^Q. .
Удовлетворение точных краевых условий, задаваемых на
краях; пластина с круговым отверстием при чистом изгибе. Для
иллюстрации описанного выше метода удовлетворения точных
краевых условий для пластины и для проверки его точности в
v случае, когда край пластины имеет произвольную кривизну,
рассмотрим случай пластины с круговым цилиндрическим отвер-
отверстием, которая нагружена равномерно распределенным изгибаю-
изгибающим моментом Мх = Л/о, отнесенным к единице длины краев, ко-
которые параллельны .оси у и достаточно удалены от отверстия.
Пластина имеет толщину h = 2с, начало координат прямоуголь-
прямоугольной или цилиндрической систем координат (см. рис. 3.5Х поме-
§ 5.5] . - УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ 371
щается1) на срединной поверхности в центре. отверстия, которое
имеет радиус а, или диаметр -d = 2e.
Этот случай особенно удобен, так как является одним из не-
немногих (возможно, даже единственным) случаев изгиба пластин,
для которых можно получить для сравнения точное'решение;
для этого случая имеются и несколько менее точных подходов,
на которых можно продемонстрировать влияние применения раз-
различных типов приближенных методов. Первоначально исследова-
исследование будет ограничено вычислением коэффициента концентрации
напряжения, т. е. отношения между максимальными значениями
нормальных напряжений, которые возникают при наличии отвер-
отверстия и при отсутствии его, поскольку именно эта величина пред-
представляет главный интерес при практическом применении. "Счи-
"Считая, что угол 0 измеряется от оси х, легко показать, чта_т|)чные
краевые условия из соотношений C.5) и C.9г) принимают вид
приг-Роо _ ' Г ~~ X
Мг = J Щ-z dz = -у- A + cos 26),
¦ - - ¦ -^rc " • ' ~- • .
Mtq — \ ar(,z dz = — -yS- sin 26,
¦ ' ~c „ E.82a]
с с . с •
j ardz = J przdz — J arddz-=^ 0;
—с t —с —с
Or = Orz = Ore — 0 при г = a. E.826)
Конкретный характер распределения напряжений при г[-*¦ оо для
обсуждаемого случая не имеет значения, поскольку он не будет
влиять на условия, которые нужно знать в районе отверстия.
Для удовлетворения условий E:82а) при г-*-°° воспользуемся
выражениями E.75) и E.77), а вместо условий E.826) возьмем
следующие:
при г= а
е с ' с ¦ - .
J errdz = 0, J ozz dz = 0, j arzdz = 0, az6 = 0. ' E.82b)
—с —с —e , t
'Затем можно использовать вариант для полей локальных на-
напряжений Хорви нр"и плоском ¦ деформированном состоянии,"
с тем чтобы добавить поправочные напряжения b>, oz, On и вд
для сведения остающихся _ самоуравновешенных напряжений о,
') Доннелл Л. Г. Об удовлетворении полных граничных условий на
краю пластины.—В кв.: Успехи мех. деформ. сред.— М.: Наук^ 1975,
с 227-235.
24*
372 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
и огг к нулю (первоначальный вариант для случая плоского на-
напряженного состояния, разумеется, не включает каких-либо на-
напряжений Ore или се*, не удается здесь и предложить какой-
либо простой вариант плоского напряженного состояния, где бы
эти напряжения учитывались, однако изменение условий вдоль
кромки позволило бы получить такие напряжения, которые мог-
могли бы быть рассмотрены при дальнейшем усовершенствовании
метода). Однако, в данном случае нет необходимости детального
определения этих поправочных напряжений, поскольку, как по-
показано ниже, они не потребуются для вычисления коэффициен-
коэффициента концентрации напряжения.
Как и следовало ожидать, проверкой убеждаемся, что макси-
максимальным напряжением в пластине с отверстием будбт касатель-
касательное напряжение Ое в точке с координатами г = а, 6 = я/2, z = с.
Поле поправочных локальных напряжений для огг не влияет на
напряжение Ое в этой точке, но влияет на напряжение вт. Как
уже говорилось, в дальнейшем будем пользоваться вариантом с
плоским деформированным состоянием для этих полей локаяь-
, ных напряжений. Сказанное попросту ^означает, что на поля
плоского напряженного состояния. Д. Хорви (которые f данном
случае состоят из напряжений ar,az и огг, нормальных к кром-
кромке) налагается направленное параллельно кромке напряжение,
в данном случае Ое, такой величины," чтобы деформации, парал-
параллельные кромке, стали равными нулю, т. е. чтобы имело место
?е ^ (°е — voz^-xoz)/E—0. Это допущение, которое в данном,
расчете является главным, оправдано вследствие локального и
самоуравновешенного характера добавочного поля напряжений.
При z—-c имеем- ог, = О, отсюда - следует ое = vor = —vor, где
ат — задаваемое выражениями E.75) и E.77) радиальное напря,-
жение, с которым должно взаимодействовать локальное поле
напряжений. Тогда полное касательное напряжение после всех
поправок равно ое + ое = ое — vorr, где" о9 и ог — касательное и
радиальное напряжения, описываемые выражениями E.75) и
E.77). Отсюда получаем коэффициент концентрации напряжения
к = ^\. E.82т)
Для того чтобы довести дело до конца, возьмем функцию
ф(г, в) из выражения E.75) как самое общее решение уравнения
V4<p(r, 6)=0 для случаев, когда функция <р не зависит от 6 и
пропорциональна cos 26:
Ф = К + V2 + с0 In г + d0r2 In r) + (^ + Ь2 + с2г2 + d2A cos26,
. ^ E.82д)
где а0, а2, ... — коэффициенты, подлежащие определению.
§ 5.5] УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ 373
Аналогично в решении E.77) функцию ifm(r, 0) возьмем как
произведение функций, зависящих только от г и от в:
фт (г, в) = атКг №f\ sin 26, E.82е)
где От— числовой коэффициент общего члена ряда, К2(тяг/2с) —
модифицированная функция Бесееля второго рода (так лак
функция должна быть ограниченной. при г -*¦ °°) и второго по-
порядка от аргумента тлг/2с. Тогда общее решение E.77) прини-
принимает вид:
yip (г, 9, z) = 2л У>т (г, 9) sm-^- = ? атК2[-%-) sm 26 вш -%-х
т т > \ '
f+т = — Z а™к*cos 2е sm
mnz
m
иг = аг === О,
ог= —^е== — — ^flmf— ^2 з~^2 cos ш~27"'
2 2 • /-с ot>»\ . Оп . тяг E.82ж)
2am{K2 — 2Кг) sm29 sin -^—4
8c2
in
iamK9 cos 29 cos ¦
~о—
m
Я2 V4 ' • г>л
sm 26 cos
-5
с
где jRT2 (тлг/2с) и jRT2 (тяг/2с) — соответственно первая и вто-
вторая производные от функции К2 по аргументу тпг/2с; т = 1,
3, 5, ...
Подставляя выражения E.82д) для or, orz и оге в^E.75) и
E.82ж) в краевые условия E.82в), получим, что для их удовлет-
удовлетворения необходимо, чтобы выполнялось
ЗМ ЗЛТ
Л ^ 0^ ^,С2 = 81Г-^-5. E.823)
Подставляя эти величины, а также выражения для напряже-
напряжений <jr, orz и огв в краевые условия E.82в), видим, что можно со-
сократить множитель cos 29 (так как эти краевые условия долж-
должны удовлетворяться для всех значений угла 9, если выполняют-
выполняются остальные условия), если постоянная часть выражения оР
равна нулю, что дает
е- = шЧг- <5-82*>
4 A — v) с
374 * БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ , . ¦ ГГЛ. i,
В данное решение не входит коэффициент а0. Условие J ordz = О
удовлетворяется тождественно, тогда . из условия J arzdz = 0
—с ' '-:
с учетом выражений E.82з) и E.82и) для нечетных значений л»
получаем . ~ '
,
с
Подставляя это выражение в условие j orz dz = 0, находи^
—с
Наконец, из условия огв = 0, принимающего вид
j
используя выражения E.82к) и E.82л) и применяя р
ч«ский анализ, т. е. умножая соотношение "E»82м) йа
sin {m'nz/2c)dz и интегрируя от —с до с, -получаем уравнения,
из ^которых находим коэффициенты о™. При этом окончательный
результат можно несколько упррститъ, используя стандартные
соотношения между функциями К^, К-2, и К2, Ко. В результате
получим
144 , 72B--v) 36 B - у)\ Г с
E.82н)
где т" — конкретное значение т. Таким образом, для каждого
значения- т' получаем систему уравнений^ относительно коэффи-
коэффициентов а.т; определив их, подставляем в выражения E.82к) я
E.82л). Используя эти выражения, а также выражения E.82з)
и E.82и), с помощью выражений E.75) и E.77) дащ напряжений
а» и 0, по формуле E.82г) определяем коэффициент концентрации
§5.5]
УТОЧНЕННЫЕ УСЛОВИЯ
375
напряжений в следующей форме
,. _ « , (* + V>
с\2
+ 7—Л + № ^ Л-4-Н. E-83)
1/4 от отношения тол-
толcJa = h/d представл&на
?*-
6
Зависимость коэффициента к при v =
щины пластины к диаметру отверстия
на взятом из работы1) рис. 5.15
в виде сплошной диагональ-
диагональной линии. Имеет место быст-
быстрая сходимость для малых зна-
значений отношения hid и доволь-
довольно хорошая — вплоть до пока-
показанных на рисунке наибольших
значений, что можно видеть
по пунктирной линии, кото-
которая была построена с исполь-
использованием" только первых трех
членов при т == 1,3,5. При этрм
нет необходимости использо-
использовать для вычисления ЭВМ, так
как обнаруживается, что вклада
последующих членов можно,
очевидно, оценить е точностью
построения графика, подставляя
полученные такнм образом Пер-
Первые три члена в четвертое урав-
уравнение, далее четыре члена под-
подставляются в пятое уравнение
и т. д.; таким образом, представ-
представленные результаты были полу-
получены путем решения системы не
выше третьей степе'ни. Во время работы над этой книгой внима-
внимание автора было привлечено решением этой задачи, опублико-
опубликованным Э. Рейсснером2), где были получены во многом совПа-_
дающие результаты, найденные иным способом. ' -.. ,
На рис. 5.15 имеется также горизонтальная сплошная линия,
соответствующая значению к = 1,769, найденному Д. Гудьиром3)
с помощью антисимметричного аналога классической двумерной
1,8
-
/щ
1 II 1
Д. АлбЩ?
у
/ .-¦ Л.Доннвлл
//¦ Ш-1Л5)
' Ч.Ли,Г.К.онли.
- Д.Гудьир
i i i 1.1
о
0,5
Рис. 5.15.
в h
1,0
') См. статью автора, упомянутую на с. 371. '
2) R e i s s n е г Е. On transverse bending of plates, including the effect
of transverse shear deformation.— Int. J. Solids and Struct., 1975, v. li, № 5,
pp. 569—573. . *
3) G о о d i e r J. N. The influence of circular and elliptical holes on the
transverse flexure of elastic plates.— Phil. Mag., 4936, v. 22, № 142, pp. 69—80L
376 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ' [ГЛ. 5
теории упругости; этот результат справедлив только для очень
больших отверстий в очень тонких пластинах?- На рисунке двумя
штриховыми линиями представлены также два полученных ра-
ранее решения для этого случая по трехмерной теории упругости.
Одно из этих решений было получено Ч. Ли и Г. Конли1), кото-
которые использовали ^решение, эквивалентное E.75), и первый член
решения E.77) и удовлетворяли только интегральным краевым
условиям. Оно является существенным улучшением классическо-
классического двумерного решения, дающим, по существу, точные значения
для коэффициента к для значений отношения h/d вплоть до 1/4
и достаточно хорошее приближение — до значений h/d, несколько
превышающих 0,5. В* решении, полученном Д. Албласом2), точ-
точные условия, заданные на краях, удовлетворяются с помощью
упоминавшегося ранее метода Грина и, как можно видеть, ошг
только незначительно отличается от полученного здесь более про-
простого решения при близких к единице значениях h/d, для кото-
которых Д. Албласом и были выполнены расчеты.
Заключение. Указанные результаты, полученные для харак-
характерного напряжения в характерной и критической точке, служат
довольно сильным доказательством применимости представленно-
представленного общего приближенного метода для удовлетворения точных ус-
условий, заданных на краях. Блестящие результаты, получающиеся
даже в том случае, когда край имеет очень малый радиус кривиз-
кривизны, равный половине толщины пластины (при этом также быстро
изменяются условия вдоль края — от максимального значения до
нуля На расстоянии, меньшем полутолщины полосы, но скорость
изменения в рассматриваемой точке равна нулю), указывает на
то, что этот метод может применяться и давать высокую точ-
точность не только для пластин, но также для случаев, когда имеет-
имеется кривизна из срединной поверхности, а не только в этой по-
поверхности, т. е./ для оболочек, по крайней мере тогда, когда нет
ничего лучшего.
Как уже упоминалось, расчеты не проводились для отверстий
с отношением толщины к диаметру h/d большим единицы; труд-
трудность проведения таких расчетов значительно возрастает, а при
использовании данного метода при увеличении этого отношения
будет, по-видимому, увеличиваться погрешность. Однако инте-
интересно отметить, что ясное представление о том, как должен изме-
изменяться коэффициент концентрации напряжения к для- больших
значений h/d, можно получить, заметив, что в пределе, когда это
отношение стремится к бесконечности, 1. е. когда диаметр отвер-
отверстия становится очень малым, изменения изгибных напряжений
') Lee С, W., С о n I e e G. D. Bending and twisting of thick plates with
a circular hole.— J. Franklin Inst., 1968, v. 285, № 5, pp. 377—385.
- s]i A1Ы a s J. B. Theory of the three-dimensional state of stress in a pla-
plate'with a hole.— Dissert. Techn. Hogeschool, Delft.— Amsterdam: H. J. Paris,
1957.
5.6]
ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
377
Точное
решение
Предпола-
Предполагаемое
решение
7\2,62
по толщине пластины становятся все менее и менее существен-
существенными. Поэтому в пределе концентрация напряжения должна стать
такой же, как и в расположенном в по-
полубесконечном пространстве отверстии, з
нормальном к свободней от нагрузок ^
верхности, это полупространство растя- -
гиваётся на бесконечности силами, парал-
параллельными его свободной поверхности. Ре-
Решение1) для этого случая дает значение
коэффициента концентрации напряжения,
равное 2,62 при коэффициенте Пуассона,
равном v = 1/4 (см. рис. 5.15). Положив 2
значение этого коэффициента равным 2,62
(см. рис. 5.16, где кривая продлевается
для значений отношения hid, стремя-
стремяДвумерная
- аппроксимация
d/h
рис 5.16.
0.
д , р
щихся к бесконечности, заданием значе- °
ний отношения d/h от 1 до 0 на правом
конце), получаем общий характер изме-
изменения коэффициента к для всего диапазона значений h/d от
нуля до бесконечности.
§ 5.6. Толстые пластины"-^ поправки к прогибам,
получаемым по классической теории пластин
Общее введение. Как уже говорилось в § 3.5 в связи с рас-
рассмотрением балок, использование гипотезы Бернулли, пренебрега-
пренебрегающей влиянием поперечных деформаций и напряжений, что, как
известно, делается во всех классических теориях балок, пластин
и оболочек, приводит к ошибкам при определении не только на-
напряжений, но также и деформаций, а отсюда — и таких переме-
перемещений, как прогибы. Ошибки при определении напряжений редко
имеют существенное значение, когда на конструкцию, сделанную
из пластических материалов, действует постоянная нагрузка, но
их следует рассматривать, когда речь идет об усталости или хруп-
хрупких материалах; эти ошибки можно устранить, используя методы
теории упругости, рассмотренные применительно к балкам в
§§ 3.3, 3.4 и к пластинам в §§ 5.2—5.5.
Ошибки определения деформаций и перемещений начинают
сказываться при несколько иных обстоятельствах. Как правило,
они не существенны при обычных нагружениях удлиненных или
тонкостенных'конструкций. По-видимому, они становятся сущест-
существенными в тех случаях, когда расстояния между узлами или точ-
точками, в которых нагрузка принимает нулевые значения или из-
') Youngdahl С. К, Sternberg. E. Three-dimensional stress con-
concentration around a cylindrical hole in a semi-infinite elastic body.— Trans.
ASME, 1966, v. E33, № 4, pp. 855-865.
378" _ БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ . [ГЛ/5
меняет знак, не"очень велики по сравнению с толщиной либо из-
за того, что нагрузка быстро изменяется (например, на коротких
интервалах принимает прямо противоположные значения), либо
потому, что толщина не очень мала по сравнению с другими раз-
размерами, т. е; речь идет о толстостенности конструкции.
Кроме того, ошибки определения деформаций и перемещений
по классическим теориям начинают, по-видимому, сказываться в
конструкциях, внутренняя часть которых в основном сопротивля-
сопротивляется только поперечному сдвигу и слабо сопротивляется изгиба-
изгибающему моменту, она облегчена настолько, что начинает сопро-
сопротивляться поперечному сдвигу не лучше, „чем внешняя ее часть^
сопротивляется изгибным напряжениям; в этом случае следу-
следует ожидать, что деформации поперечного сдвига и прогибы от
этих деформаций будут того, же порядка по величине, что и в слу-
случае изгиба, который рассматривается в классических теориях.
Обычными примерами таких конструкций являются решетчаты©
балки, а также трехслойные балки, пластины и оболочки. Реаль<="
ные прогибы всегда больше, чем рассматриваемые в классических *
теориях, поэтому сопротивление выпучиванию и частоты колеба-
колебаний" всегда имеют более низкие значения, чем это следует из клас-
классических теорий.
Улучшения, вводимые рассмотрением в^рамках теории упру-
упругости в §§-3.3, 3.4, 5.2—5.5, приводят, разумеется, к точным, или
почти точным, значениям для деформаций и перемещений, а так-
также и для напряжений. Однако эти методы, как правило, трудно
или невозможно применять к конструкциям типа ферм или кон--
струкциям, изготовленным из слоистых материалов, но, во всяком
случае, если главное внимание уделяется ошибкам при определе-
определении прогибов, то можно воспользоваться поправками к классиче-
классической теории,- которые' получаются гораздо более простым спосо-
способом. Такие поправки основываются на прибавлении прогибов, обу-
обусловленных поперечными деформациями (главным образом де-
деформациями поперечного сдвига), к прогибам, возникающим
вследствие изгиба и рассматриваемым в классических теориях.
Такой тиц поправок впервые был использован С. П. Тимошенко
для балок, а для пластин, по-видимому, автором').
Получение поправок к прогибам, определяемым по классиче-
классическим теориям. Как и при рассмотрении балок в § 3.5, предста-
представим суммарный (total) прогиб wt срединной поверхности произ-
произвольной пластины в виде
wt = W/ + iP.i . !~ E.84а>
Через wf обозначим прогиб от изгиба (flexural), рассматриваемый,
') См. дискуссию автора по статье Reissner E. Effect of transverse
shear deformation on bending' of elastic plates.— J. Appl. Mech., 1945, v. i2r
№ 2, pp". A66 — A77; см. с. А69 — A70; кроме того, см. лекции автора по тео-
теории оболочек: Donnell L. H. Shell theory. Proc. 4th Midwestern Gonf.
on Solid lilech.— Univ. Texas, 1959, pp. 1—17. ,
§ 5.6] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ • , 379
в классической теории пластин и обусловленный., изгибом и кру-
кручением пластины. Формулы D.14)' для изгибающих момёнто» Мх,
Му и Мхц могут рассматриваться как точные, если вместо w брать.
wf (по крайней #мере для малых перемещений и на достаточном
удалении от разрывов в функции нагружения или формы).
Определим w, как обусловленный поперечным сдвигом (shear)
прогиб, используя допущение, что касательные напряжения рас-
распределены по толщине пластины равномерно, а не по параболи-
параболическому закону, как обычно. Тем не менее, так же как это дела-
делалось в" случае балок, умножим полученную таким образом вели-
величину прогиба tv, на числовой коэффициент а, который должен
иметь величину порядка единицы, но. подбирается таким образом,
чтобы учесть ошибки, возникающие * не только ^вследствие допу-
допущения неточного распределения поперечных касательных напря-
напряжений, но также: и вследствие пренебрежения дополнительными
прогибами, обусловленными поперечными нормальными напряже-
напряжениями, которые, как было показано в § 3.5, изменяются так же,
как и те, что обусловлены поперечным сдвигом; это позволяет
учесть их С помощью одного-единственного коэффициента.
Из рассмотрения равновесия моментов суммарные поперечные
силы Fxz и Fyz определяются выражениями D.15) с заменой в по-
последних w на Wf и имеют вид - .
_
Строго говоря, в правой части этих уравнений^ должны появиться
дополнительные члены, аналогичные члену F^dwjdx, который был
вюгючен в уравнение 43.55а) и продемонстрирован на рис. 3.20, а.
Эти члены имеют вид: Fxdw,/dx + Fyxdwjdy в выражении для F^
и Fydwjdx + F^dwjdx в выражении для Fyz. Эти несущественные
члены будут отброшены, поскольку, как было показано при рас-
рассмотрении выражений C.57) для соответствующего случая балки,
все эти члены, что можно показать, очень малы по сравнению^ с
Fxz и Fyz; отношение первых ко вторым имеет порядок отношения
упругой деформации ^к единице.
Вновь перейдем от уравнений равновесия к соотношениям меж-
между перемещениями, деформациями и напряжениями. Здесь снова
получим, как и в случае балки, что, поскольку обусловленное по-
поперечным сдвигом перемещение ws оставляет поперечные сече^
ния параллельными друг другу, углы наклона dwjdx и dwjdy в
произвольной точке' будут равны деформациям ezx и <еу1 в этой
же точке, если поперечные сечения сохраняют вертикальное поло-
положение. Как видно из рис. 3.20, б и 3.20, в, для консольной или
свободно опертой балки поперечные сечения при пе^емер^ениях
ive должны оставаться вертикальными. И соображения, дсоторые
380 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
приводились после вывода формулы C.59), что это является об-
общим правилом (любое отклонение от которого приводит к переме-
перемещениям и поворотам как жесткого тела, которые невозможны при
всех обычных случаях закрепления на краях), вчравной степени
применимы и к пластинам.
Отсюда, используя выражения C.5а) и E.846), получаем
V2
дх bxz в Gh 6 A — v) дх f „ g4 .
?^_„ _ «<V _ «^z _ ah2 d-2
dy. ~ E*z ~ ~G Gh ~ 6 A - v) dy V Wf-
Два уравнения E.84в) мЪгут быть удовлетворены только при
L
ws (х, у) = - ^L-. V2^, E.84г)
откуда с учетом E.84а) получаем
Приведенное соотношение между суммарным прогибом wt и
прогибом Wj, обусловленным действием только одного изгиба,
можно затем подставить в уравнение равновесия D.18) и найти
суммарный прогиб, вызываемый поперечной нагрузкой />(ж, у), и,
еслг таковые имеются, сжимающими нормальными нагрузками,
отнесенными к единице длины поперечных сечений и направлен-
направленными вдоль осей z и у, Fx и Fy, а также удельное сдвигающее
усилие Fxy. Уравнение D.18) теперь можно записать в виде
d^ ^ ^ E.84e)
В стоящий слева член вместо w подставляется wt, так как этот
член характеризует внутреннее сопротивление в поперечном на-
направлении, определяемое из рассмотрения перемещений, связан-
связанных только с изгибом. Стоящие в правой части уравнения компо-
компоненты Fx, Fv и fw поперечной силы пропорциональны, очевидно,
полным кривизнам и кручению, поэтому в последних трех слагае-
слагаемых вместо w подставлен прогиб wt.
Два уравнения E.84д) и E.84е) независимо от вида нагруз-
нагрузки можно, исключив функцию Wf, свести к одному уравнению,
решая которое можно найти суммарный прогиб wt, критические
нагрузки или частоты колебаний, уточненные путем учета влия-
влияния деформаций и напряжений поперечного' сдвига, аналогично
тому, как в соответствующих случаях для балок использовались
уравнения C.60) и C.56).
Соотношение, непосредственно связывающее нагрузку и про-
прогиб и?,. С другой стороны, точно так, же как и при получении
•уравнения C.67) для балок, из уравнений E.84д) и E.84е) мож-
§ 5.6] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 381
но исключить функцию Wj и получить общего вида соотношение
между нагрузкой и прогибом и?,. Для этого разложим функцию-
w, в ряд
Wf=wt + aV2wt +'bVVt + • • • у E.84ж>
Подставляя выражение E.84д) дли wt в представление E.84ж)г
получим соотношение
которое будет удовлетворяться при
aft2 , , aft2 ( aft2
° a
6 A - V)) ' - •
После подстановки этих значений в представление E.84ж) ж
уравнение E.84е) получаем
E.84з>
Найденное уточенениё классического уравнения D.18) пласти-
пластины в форме прямого соотношения между нагрузкой и точным зна-
значением суммарного прогиба в точности соответствует двум урав-
уравнениям E.84д) и E.84е) при использовании полного ряда, стоя-
стоящего в квадратных скобках правой части уравнения E.84з). Ес-
Если рассматривать уравнение D.18) как первое приближение, то-
уравнение E.84з) при удержании только двух первых членов ря-
ряда [l + afe2V2/6(l — v)] представляет собой второе приближение,,
которого оказывается вполне достаточно для практических цел^й,
если необходимые поправки малы,
Определение коэффициента а. Выражения E.19) дают точное,,
основанное на уравнениях теории упругости соотношение между
прогибом wt и поперечной нагрузкой р, которое можно предста-
представить в виде ряда, аналогичное уравнению E.84з) для случая дей-
действия только поперечной нагрузки. При tiz(z=o) = wt, tz — bz = pf
tz + Ъг — 0, V2 = c2v2 = fe2V2/4, используя оператор и подставляя"
обозначение E.18а) во второе выражение E.19), получаем
Уравнение E.84и), подобно уравнению C.67а) для балок, пред-
представляет само по себе соотношение между поперечной нагрузкой^
р и прогиЕюм Wi, которое может быть полезным для некоторых:
382 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ • [ГЛ. 5
задач. Для того чтобы представить уравнение E.84и) в форме,
аналогичной E*84з), представим нагрузку в виде ряда
р = Z) A + .4V2 + 5V4 + ...)VAwt-+ ... ¦ E.84к)
Подставляя соотношение E.84 и) в представление E.84 к), найдем
откуда следует
„ (8-^зу)* „ _ да -
40A v)' ¦
40A — v)' ¦ U0(l — v)
или с учетом E.84к) имеем - ~
= P. E.84.)
Сравнивая уравнения E.84л) и E.84з), записанные для слу-
случая действия только поперечной н'агрузки, можно видеть', что для
уточнения тех допущений, которые были сделаны при выводе со-
соотношений E.84в) и E.84г),-следует взять
Представляется вполне разумным использовать это значение для
<зс^как наилучшую из возможных оценок для всех типов нагрузок^
-С учетом сказанного соотношение E.84д) можно переписать в
следующем виде: •
ж совместно с ура'внением E.84е) использовать для получения-на-
получения-наиболее точного решения для частных случаев нагрузки произ-
произвольного вида. .--_-.
_Для того чтобы использовать полученный выше результат для
получения наилучшей формы соотношения, непосредственно свя-
связывающего нагрузку р и прогиб 'Wu нужно подставить найденное
выше значение а в уравнение E.84з). Однако при усечении сто-
стоящих в скобках рядов для получения наиболее хорошего и вместе
•с тем простейшего по форме второго приближения можно вспом-
вспомнить также, что при усечении аналогичных рядов в уравнении
C.67) для балок было обнаружено, что с некоторым приближени-
•ем при усечении ряда можно слегка модифицировать последний
удерживаемый член; так, если оставляются' только два первых
члена, то, "уменьшая второй член примерно на 10% (хотя все
члены, стоящие в выражении, являются положительными, харак-
характерно, что при рассмотрении реальных случаев они будут иметь
противоположные знаки), получаем возможность с достаточной
точностью заменить полный ряд усеченным в важной, для прак-
§ 5.6] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 383
тического применения области. Сделав естественное допущение о
том, что проделанное можно распространить и на пластины, пред-
представим уравнение E.84 з) в следующем виде:
v ' . ' х " • E.85>
Приложение к трехслойным пластинам. Сделаем допущение,,
которое, несомненно, является очень близким рриближением для
реальных, трехслойных пластин, о том, что-поперечный сдвиг це-
целиком воспринимается-заполнителем, поперечные касательные на-
напряжения равномерно распределены по толщине заполнителя,,
а нормальные поперечные напряжения играют пренебрежимо ма-
малую роль в подобном случае. Тогда, записывая соотношения
E.84 с) для трехслойных пластин, можно считать коэффициент а
равным единице, отчего выражение для деформации е„ примет
вид FxJ(G'ti), где С — модуль сдвига-для материала заполните-
заполнителя при деформациях поперечного сдвига, ti — толщина заполни-
заполнителя. Обозначая изгибную жесткость^грехслойной пластины дере»
D' (например, при неучете влияния -заполнителя эта жесткость
равна D' =E{h* -h'*)/H2{i—**)}), получаем, что Е„ =
= — D'{d/dx)V2wf и вместо первого из соотношений E.84в) —
Если и далее продолжать в том же духе, то получим уравнения,
аналогичные E.84 д), E>84е) и E.84 з), за исключением того, что-
вместо D подставляется изгибная жесткость D' и вместо ah*/
/[6(l-v)] = (8-3v)u7[40(l-v)] подставляется D'KG'h'). Если
в ряде, стоящем в квадратных скобках ^уравнения iE.84 з), требу-^.
ется сохранить только два члена, то для ,учета вклада остальных
членов ряда второй член нужно уменьшить на 10%.
Приложение к задаче устойчивости свободно опертой пласти-
пластины, сжатой по краям. Для того чтобы проиллюстрировать приме-
применение поправок к- прогибам, получаемым по кла6енче,ской теории
пластин, рассмотрим случай, изучаемый » § 4.4 {формулы D.36)
и D.37)) по классической-теории пластин, показанной на рис. 4.15
шарнирно опертой пластины, на которую действует равномерное
одноосное сжатие sx (здесь sv^=0). Этот случай не имеет большо-
большого практического значения, поскольку, как станет ясно в дальней-:
нтем, накладываемое на обычные конструкционные материалы
ограничение, состоящее в том, что напряжения должны оставать-
оставаться упругими, делает уточнения способности сопротивляться выпу-
выпучиванию, определяемой в рамках классической теории, незначи-
незначительными, и малоинтересными. Однако этот случай очень подхо-
подходит для иллюстрации, а сравнительно просто получаемое распро-
384 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ * [ГЛ. 5
странение его на случай трехслойных ч пластин может иметь
большое практическое значение.
Используя известный из классической теории (что, разумеет-
разумеется, применимо также и в данном случае) факт, что наинизшей
формой, по которой происходит потеря устойчивости-при одноос-
одноосном сжатии, является одна полуволна в направлении, нор-
нормальном к направлению сжатия (в данном случае в направлении
оси у), запишем (т — целое число)
E.866)
^^ E.86в)
Подставив эти выражения в формулу E.84н) и разделив на функ-
функции синуса, найдем
^Я^Ж <5-86г)
Подставив выражения E.866) и E.86в) в уравнение E.84е) при
Fx ='aji и р = Fy = Fxy = 0 и учтя формулу E.86г) для Wt, по-
после деления на Wt sin(mnx/a) sininy/b) получаем
Ь% / тЪ
1 + '40(l-v)az
•Сравнивая эту формулу с формулой D.36), видим, что поправка
.для поперечных деформаций определяется выражением, стоя-
стоящим в квадратных скобках. Например, "при a/h = 20 и т = 2,4
классическая теория давала слишком высокое критическое напря-
напряжение, отношение которого к классическому равнялось бы соот-
соответственно sd,03 и 1,11. Однако такое число волн потребовало
.для отношения а/Ъ соответственно значений 2 и 4, а для кри-
критических напряжений—примерно 0,04 Е и 0,15 Е. Такие на-
напряжения без превышения'предела упругости могли быть достиг-
достигнуты только для^ягких пластиков и резиноподобных материалов;
поправка к ^-критическому напряжению в случае жесткого мате-
материала, нагружаемого в пределах упругости, всегда мала.
Этот же случай можно рассмотреть, подставив выражение
E.86в) для wt в уравнение E.85), откуда имеем
' тЬ_ _а_\ Г1 _ 0,9я2Д'
n*D ~ \ а ~* ть)\ G'h'a2
—«- Sx = \ —г 1 ——;-I т -\ г • E.86е)
Я2/) \а ^ mbjy G'h'a2 \ b2 ) \
а2 \]
г •
Из этой формулы следуют те же с^амые значения поправочных
коэффициентов, что и при a/h = 20 и щ = 2,4.
Сказанное можно легко распространить на сходный и важный
для практики случай потери устойчивости трехслойной пласти-
§ 5.6] ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 385
ны. Для такого же случая действия одноосной сжимающей си-
силы Fx, отнесенной к единице ширины поперечного сечения, где
Fx = hsx, подставляя D = D' и соотношение (8 — 3v)AV[40(i —
— у)] =D'/(G'h') в формулу E.86е), получаем
Частота поперечных колебаний пластины. Подобно соответст-
соответствующему случаю колебания балки этот случай усложняется тем
обстоятельством, что, когда становится существенным влияние
поперечных деформаций, становится также существенным влия-
влияние ускорения внешних волокон пластины в ее плоскости (таи
называемая инерция поворота или инерция вращения в балках).
Поскольку прогиб w,, обусловленный деформациями поперечного
сдвига, не вызывает поворотов поперечных сечений при введении
допущения о равномерном распределении поперечных касатель-
касательных напряжений (здесь имеются некоторые незначительные пе-
перемещения в плоскости пластЪны, соответствующие искажению
поперечных сечений при действительном (по параболическому
закону) распределении этих напряжений), то при подсчете влия-
влияния инерции вращения необходимо рассматривать только пере-
перемещения wf от изгиба в рамках классической теории пластин.
В соответствии с выражениями D.1) перемещение малого эле-
элемента dx dy dz в направлении оси х вследствие изгиба равно
—z<dwf/dx, что дает увеличение оказывающей сопротивление силы
инерции на величину р Их dy dz x d3wf/dx df, где р — плотность
материала, t — время. Суммарный момент такого сопротивления
относительно оси у элемента dxdyh, получаемый интегрировани-
интегрированием от — h/2 до h/2 приведенного выше выражения для силы,
умноженного на плечо, равен ph3dx dy(d3w/dx df)/12. Разделив
эту величину на dx dy, прибавляем ее к правой части уравнения
равновесия моментов 2 Щ — 0 из уравнений D.8). Подставляя
в это уравнение выражения D.14) и находя отсюда поперечную
силу Fxz, проделаем аналогичные выкладки для силы Fyz, тогда
получим следующие модификации соотношений D.15) и E.846):
E.87а)
»
Поперечные силы Fx2 и Fyz можно теперь выразить через де-.
формации поперечного сдвига соответственно dwjdx и dwjdy,
как это делалось в выражениях E.84в), и получить новые моди-
модифицированные выражения для прогибов w, и wt, аналогичные
выражениям E.84г), E.84д) или E.84н), если в них заменить вы-
выражение DVzwf на выражения, стоящие в скобках в E.87а). Од-
25 л. Г. Доннелл
386 БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ [ГЛ. 5
нако, как уже говорилось при обсуждении формулы C.65) для
балок, это было бы нецелесообразно, поскольку давало бы малую
поправку к малому поправочному члену w, и было несуществен-
несущественным всюду, за исключением случаев волн, настолько коротких,
что они не вошли бы в область применимости предлагаемой тео-
теории, по существу, второго приближения.
Важным случаем применения полученных выше новых выра-
выражений для поперечных сил Fxz и Fvz является вывод уравнения
D.3) равновесия сил в поперечном направлении 2 fz = 0. Ис-
пбльзуя выражения E.87а) и полагая Fx = Fy = /^ = 0, р =
= — ph d*wt/dt2, получим
_ «*-*¦.¦ E.876,
Задав представления для прогиба в виде
- . Т1г . тпх . ппу у п лт j.
Wf=Wj smx—^— sin —т2- sm 2nNmnt,
„7 . mnx . ппу . о дг ^
wt = Wt sin sm —r?- sin 2nNmnt,
а о
где Nmn — число свободных колебаний в единицу времени, и под-
подставив их в уравнения E.876) и E.8.4н), исключим из этих урав-
уравнений Wt; тогда, разделив полученное соотношение на
Wt sin {mnx/a) sin (nny/b) sin2nNmnt, для v = 0,3 находим
*- - 7
X (W? + -j пЛ I1'2 « ^„.„(клаее,,,.) U-^(m* + ^n A j,
E.87r)
где Л^тп^нлассич.) — частота, получаемая по классической теории
(формула D.32)). В приведенной выше-формуле слагаемое (8 —
— 3v)/40(l — v) связано с учетом деформаций поперечного сдви-
сдвига, а слагаемое 1/12 — вследствие учета инерции вращения.
Область применения различных приближений. Как и при об-
обсуждении этого вопроса в конце главы 3 применительно к бал-
балкам, можно сделать обобщающде выводы относительно области
применения классической теории пластин и различных ее усо-
усовершенствований, которые обсуждались выше, в виде соотноше-
соотношений между тремя определенными выше величинами h, u?mai и I;
представленные там соотношения и ограничения можно с одина-
одинаковым успехом применять и к пластинам с введением соответст-
соответствующих "дополнительных определений. Так, вместо нелинейного
члена Oxmh d^w/dx2 следует ввести члены Fxd^w/dx2, Fyd^iv/dy* и
F^w/dxdy, а под длиной / полуволны следует понимать наи-
наименьшую из длин полуволн в направлении осей хну.
Глава 6. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
§ 6.1. Введение в теорию тонких оболочек
Гипотеза Кирхгофа — Лява. Как в случае стержней и пла-
пластин, здесь будет использоваться термин классическая теория
пластин "для всех теорий, основанных на допущениях Кирхго-
Кирхгофа — Лява, о которых говорилось в § 1 главы 2: прямые отрез-
отрезки, нормальные до деформирования к срединной поверхности,
остаются прямыми, нормальными к срединной поверхности,
и не изменяют своей длины после деформирования. В действи-
действительности после деформирования эти отрезки, разумеется, в об-
общем случае уже не будут строго нормальными к срединной" по-
поверхности в силу появления деформаций поперечного сдвига, не
останутся прямыми, поскольку упомянутые деформации изменя-
изменяются с удалением от срединной поверхности и не сохранят по-
постоянной свою длину вследствие возникновения поперечных нор-
нормальных деформаций. ~
Как уже подчеркивалось ранее, ошибки, связанные с введе-
введением этого допущения, ^пренебрежимо малы для тонких оболочек
из однородного материала- с обычными условиями нагружения,
т. е. для оболочек, чья толщина мала по сравнению, с радиусом
кривизны и соответствующим радиусом кручения и сравнима с
длиной полуволны нагрузки, определяемой как расстояние меж-
между узлами или точками изменения знака нагрузки; на практи-
практике это означает, что толщина также мала по сравнению с таки-
такими размерами, как ширина или длина искривленных панелей.-
Большая часть представляющих практический интерес задач от-
относится именно к указанной категории задач для Тонких оболо-
оболочек, которые и рассматриваются в этой и в большей части сле-
следующей главы.
Как уже говорилось ранее, упрощение, которое можно полу-
получить в таких случаях благодаря использованию гипотезы Кирх-
Кирхгофа — Лява, является очень значительным, так как позволяет
перемещение в каждор точке оболочки, а отсюда и деформации,
а также напряжения определять -через перемещение од-
одной поверхности, например срединной поверхности оболоч-
оболочки. Результатом является сведение трехмерной задачи к дву-
двумерной. " - . '
Общие соображения о влиянии кривизны. Некоторые сообра-
соображения по этому вопросу приводились во введении к § 5.1 и при
25* -
388
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 6
обсуждении рис. 5.1 в связи с краевыми условиями. На рис. 6.1
показано, как начальная кривизна искривленной поверхности,
подобной срединной поверхности тонкой цилиндрической оболоч-
оболочки, влияет на условия распределения прогибов по всей поверх-
поверхности (знак минус означает прогиб, направленный внутрь обо-
оболочки, плюс — наружу). На рисунке показана стенка цилиндри-
цилиндрической оболочки, деформированная по гармоническому закону как
(V) (UIJ
—уст
-г)
Рис. 6.1.
в осевом, так и в окружном направлениях, что изображено на
рис. 7.5. Оболочка приобретает такие прогибы при действии ана-
аналогичным образом распределенной поперечной нагрузки (кото-
(которая может представлять собою только одну какую-то гармониче-
гармоническую составляющую более общего случая распределения на^
грузки), или, как следует из экспериментальных и теоретических
исследований, обсуждаемых ниже в § 7.2, когда оболочка теряет
устойчивость при осевом сжатии.
На рис.. 6.1, а показано, как круговой формы сечение между
двумя узлами стремится раздаться в направлении узлов при пе-
перемещениях, направленных внутрь (подобно искривленной ш?ас-
тине на рис. 5.1, в), и стянуться в узлах, когда сечение имеет
прогибы, направленные наружу. На рис. 6.1, б показано, как эти
тенденции взаимно усиливают друг друга в общем узле, когда
для гармонического типа распределения прогибов возникают про-
противоположно направленные (внутрь и наружу) прогибы. Обозна-
Обозначим поперечные перемещения или прогибы через w, а перемеще-
перемещения в окружном направлении — через v; на рис. 6.1, в показан
характер перемещений v, которые вызываются направленными
внутрь (знак минус) или наружу (знак плюс) перемещениями
§ 6.1] ВВЕДЕНИЕ 389
w. Наконец, на рис. 6.1, г показано, как в свою очередь окруж-
окружные перемещения v вызывают осевые п&ремещения и, которые
стремятся повернуть поперечные сечения стенки, показанные
штриховыми, линиями, в направлении стрелок. Показанные пе-
перемещения и, v, w относятся к тем местам оболочки, где эти
перемещения, изменяющиеся по гармоническому закону, прини-
принимают максимальные значения.
Так, перемещения w вызываются непосредственно нагрузкой.
Эти перемещения w вызывают перемещения v, которые в общем
случае намного меньше, чем перемещения w. В свою очередь
перемещения v вызывают перемещения и, которые намного
меньше, чем перемещения у, и поэтому гораздо меньше переме-
перемещений w. Однако указанная зависимость определяется разме-
размером волны и строго справедлива только в том случае, когда дли-
длины волн меньше, чем окружные и другие общие размеры оболоч-
оболочки, что характерно для гармоничеснях составляющих деформа-
деформаций, обычно возникающих в оболочках. В специальном случае,
как, например, чистый изгиб цилиндрической трубы, рассмот-
рассмотренный ниже с помощью уравнения G.3г), когда образует-
образуется только одна волна в окружном направлении, а в продоль-
продольном направлении имеет место волна бесконечной длины,
перемещение v может иметь ту жа величину, что и перемеще-
перемещение w.
Такая форма распределения перемещений соответствует при-
приводимым ниже выражениям F.12), которые были определены
для тонкой цилиндрической оболочки, выпучивающейся при осе-
осевом сжатии. Определены также амплитуды перемещений и, v, w,
которые приводятся в таблице 6.4 (при pq = 11 они соответствуют
первой, или фундаментальной, гармонической составляющей),
подтверждается высказанное выше преположение об относитель-
относительных величинах этих перемещений в цилиндрической оболочке.
В других типах оболочек перемещения и могут и не быть мень-
меньше, чем перемещения v, но оба они будут существенно меньше,
чем перемещения w, в таких распространенных случаях", как рас-
расчет на прочность при поперечном нагружении или исследование
потери устойчивости.
Разделение теорий. В предыдущем обсуждении упоминались .
классические теории, а не одна классическая теория оболочек.
Даже в более простом случае плоских пластин было обнаружено,
что удобно выделять решения, получаемые на основе допуще-
допущений Кирхгофа — Лява для специальных случаев, таких, как тео-
теории малых и больших перемещений. В случае произвольных
оболочек разнообразие чрезвычайно велико^ так же как и велики
серьезные усложнения, обусловленные наличием кривизн; необ-
необходимые упрощения справедливы только в определенных обла-
областях, что делает целесообразным разбиение оболочек на много-
многочисленные классы.
390 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
Более того, предложенные различными авторами, но для од-
одних и тех же приложений теории часто несколько отличаются,
по-видимому, вследствие того, что упрощения вводятся на раз-
различных этапах построения теории, что различным образом влияет
на окончательные результаты, или вследствие того, что решение
о том, какого типа упрощение законно при заданных условиях,-
делаетея на основе интуиции, которая н& у всех одинакова. Так
же, как ранее было показано В. Койтером *) и другими, здесь бу-
будет продемонстрировано, что различия между разными теориями,
предназначенными для одних и тех же задач, обычно несущест-
несущественны, поскольку включенные ,члены имеют малое значение. Но
даже если это и так, то все равно остается вопрос о том, какие
члены являются необходимыми и какие простейшие формы мо-
могут быть приняты для решений различных задач.
В связи со сложностями, появляющимися при учете кривизны,
и обсужденными выше трудностями, связанными с тем, что упро-
упрощения вводятся на основе интуитивных представленний или'на
различных стадиях выкладок, здесь исследования тонких оболо-
оболочек начнем с построения общей теорииг) без введения каких-либо
упрощений, за исключением использования гипотезы Кирхгофа —
Лява. Даже несмотря на то, что впоследствии будет обнаружено,
что большую часть этих усложнений можно без всяких опасений
исключить даже в самом общем случае, целесообразно, для того
чтобы проделать все эти упрощения достаточно надежным и ра-
рациональным образом, начать с установления полной картины,
с тем чтобы можно было сделать оценки как всем оставленным,
так и всем отброшенным членам. Как уже упоминалось в начале
книги, этот процесс оказывается не более трудным, чем попытки
построения множества специальных теорий на основе интуитив-
интуитивных соображений.
В то время как точная общая теория может быть сформулиро-
сформулирована, что уже делалось ранее, в более компактной форме с по-
помощью тензорных обозначений и тензорного анализа, то же са-
самое можно без труда сделать с помощью более простого матема-
математического аппарата, если не пытаться отбрасывать промежуточ-
промежуточные члены при построении теории в общем виде: Более того,'это,
по-видимому, легче, чем использовать тензорную форму записи,
если ставится задача дать полученным уравнениям яоную физи-
физическую интерпретацию, причем эти уравнения несложно преобра-
преобразовать к форме, которая легко применима в практических задачах.
') Koiter' W. Т. A consistent first approximation in the general theory
of thin elastic shells.—Proc. IUTAM Sympos. Theory Thin Elastic Shells,
Delft, 1959.—Amsterdam, 1960.
a) Donnell L. H. General thin shell-displacement-strain" relations.—
Proc. of 4th US Nat. Congr. of Appl. Mech., Berkeley, Calif., 1962, v. 1— Ox-
Oxford — London — New York — Paris: Pergamon Press, 1962, pp. 529—535.
§ 6.21 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 391
§ 6.2. Общие соотношения между перемещениями
и деформациями для тонких оболочек
Системы координат. В качестве координатных линий будем
использовать линии кривизны недеформированной срединной по-
поверхности оболочки и нормаль к зтой поверхности. Эти линии кри-
кривизны определяются как линии, вдоль которых равна нулю кри-
кривизна, и, как показывается в теории поверхностей, всегда суще-
существуют по крайней мере две такие системы линий, и зти системы
являются ортогональными, т. е. касательные к двум таким лини-
линиям в точке их пересечения взаимно перпендикулярны. Очевидно,
что пересечение плоскости симметрии оболочки с ее срединной
поверхностью, является линией кривизны, поскольку любое кру-
кручение на этой линии будет нарушать условия симметрии; для
большинства представляющих практический инхерес типов обо-
оболочек это обстоятельство определяет систему линий кривизны!
Для большей части практических задач теории оболочек гра-
границы располагаются либо вдоль, либо перпендикулярно к этим
линиям симметрии, а отсюда следует, что они совпадают с линия-
линиями кривизны и координатными линиями. Как уже отмечалось
ранее, условия, заданные на краях, наиболее легко удовлетворя-
удовлетворяются, когда края совпадают с координатными линиями, и в слу1
чае плоских пластин координатные системы выбирались именно
из зтих соображений. В случае оболочек использование линий
кривизны в качестве координатных линий дает столь большие
преимущества с точки зрения упрощений теории, что делает
оправданным использование таких координат даже в тех немно-
немногочисленных случаях, когда нет возможности сделать так, чтобы
они совпадали с граничными линиями.
Линии кривизны, проходящие через некоторую точку. По-
Поскольку простых геометрических рассмотрений оказывается до-
достаточно для рпределения положения и кривизн линий кривизны
в случаях, которые будут рассматриваться здесь, а также и в
большинстве практических
случаев, здесь не будет при-
приводиться полная математиче-
математическая теория поверхностей.
Однако много интересного
можно узнать именно из рас-^
смотрения условий в некото-
некоторой точке криволинейной по-
поверхности. ' в)
На рис. 6.2, а показаны
точка О непрерывной криво-
криволинейной поверхности, явля-
являющейся срединной поверхностью оболочки, и прямоугольная си-
система координат с началом в точке О. Возьмем "плоскость ху,
392 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
касательную к поверхности в точке О. Это означает, что если
определять поверхность с помощью расстояния z(x, у) от пло-
плоскости ху до этой поверхности, то в точке О получим
х=у**0, Z=|l = |- = 0. F.1а)*
Примем скорость д/дх изменения в направлении оси х накло-
наклона поверхности dz/9x в направлении оси х за кривизну кх поверх-
поверхности вдоль оси х; аналогично и в направлении оси у. Таким об»
разом, имеем
• дх \дх!
Примем также скорость изменения д/дх в направлении оси х на-
наклона dz/dy поверхности в направлении оси у за кручение кку
поверхности вдоль оси х:
д
дх\ду}-~дхду~КхУ Л .'
Поскольку порядок применения операции дифференцирования не
играет роли, то кручение вдоль оси у, определяемое как скорость
д/ду изменения в направлении оси у наклона dz/dx в направле-
направлении оси х, имеет в одной >и той же точке О одно и то же выраже-
выражение и числовое значение. Однако это равенство можно применять
только к взаимно перпендикулярным направлениям, таким, как
направления ортогональных осей х и у; кручения в точке О по-
поверхности в других направлениях могут быть совершенно различ-
различными. Величины, обратные кх, ку и к^, называются радиусами
кривизны и кручения в соответствующих направлениях.
Рассмотрим теперь новые оси х' и у', проходящие через точку
О в плоскости ху под углом 0 к осям х ж у (см. рис. В.2, б, где
показан вид в направлении оси z). Из этого рисунка можно ви-
видеть, что координаты точки Р, ле^жащей неподалеку от точки О,
в двух системах координат связаны следующими соотношениями:
х = i/'sin0 + x'cos0, у = i/'cos0 — x'sin0. F.1г)
Пусть требуется определить кривизны кх, ку и кручение кху по-
поверхности, выразив их тем же способом, что и ранее, через кри-
кривизны кх, ку, кху и угол 0.. Это можно сделать, выразив производ-
производные функции z(x, у) по х и у через производные функции
z(x', у') по х' и у', используя соотношение F.1г) и правила диф-
дифференцирования.
Однако физический смысл проделанного можно увидеть из
другого. В окрестности точки начала координат О можно заменить
непрерывную функцию z(;r, ^/), описывающую рассматриваемую
поверхность, двойным степенным рядом
§ 6.2] , ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИЙ 393
так же как ряд Маклорена используется для представления функ-
функции одной переменной. В этом ряде должны отсутствовать члены
с нулевыми и первыми степенями (т. е. члены, для которых
т + га==0 или m + ri—.i), с тем чтобы он удовлетворял условию
F.1а), тогда как члены со вторыми степенями (иг + п = 2) долж-
должны иметь вид
для того чтобы удовлетворить соотношениям F.16) и F.1в). Мож-
Можно добавить сюда и члены со степенями более высокими, чем
вторая (т. е. иг + п > 2У, с тем чтобы этот ряд приближенно опи-
описывал действительную поверхность на больших расстояниях от
точки О, но вторые производные-' от всех этих членов будут со-
содержать переменные х или у, и поэтому будут равны нулю
в начале координат при х = у = 0. Поэтому выражение F.1е)
с теми членами, которые в нем фигурируют, полностью опреде-
определяет кривизны и кручение действительной поверхности в точке О.
Подставляя значения х и у, задаваемые соотношениями F.1г),
в выражение F.1е), приравнивая получающееся выражение для z
выражению z = (к'х/2) х'2 + (К/?) У'* + к'хух'у', которое может '
быть получено точно так же, как и F.1е), и группируя члены с
одинаковыми независимыми переменными^' , у' и х'у', получим
к'х = кх cos2 0 + ку sin2 6 — 2кХу sin0 cos 0, "
ку = ку cos2 0 -j- kx sin2 0 -f 2kxy sin0 cos 0, , F.1ж)
к'ху — кху (cos2 0 — sin2 0) — (ку — кх) sin 0 cos 0.
Полагая равным нулю кручение кху относительно осей х и
у и используя известные соотношения между тригонометрически-
тригонометрическими функциями, найдем угол 0 (см. рис. 6.2, б) между линиями
кривизны и координатными линиями х ж у, для которых извест-
известны кривизны кх, ку и кручение к^
4 А ' 2ft
uBycos20- (ку — u.)-|-sin2e, 0=-j-arctg fc ™k ' FЛз)
Значения кривизн 'кх и ку поверхности в направлении линий
кривизны можно найти, подставив выражение F.1з) для 0 в пер-
первые два соотношения F.1ж).
Так как тангенс угла не изменяется от прибавления к углу
величины я (или кратной ей), угол 0 + я/2 также должен опреде-
лять^линию кривизны, что подтверждает существование двух сис-
систем линий кривизны и их ортогональность.
Очевидно, имеется близкая аналогия между вышесказанным
и определением, главных осей инерции плоской фигуры или тела,
т. е. осей, для которых центробежный момент инерции равен
нулю, а также вычислением главных напряжений в деформиро-
394
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 6
ванном теле в точках, лежащих в плоскостях, на которых каса-
касательное напряжение равно нулю.
Геометрические соотношения между точками, принадлежащи-
принадлежащими стенке оболочки. На рис. 6.3, относящемся к исходному поло-
положению, показана точка о (проекция произвольной точки О на
срединную поверхность) с ортогональными линиями кривизны,
обозначенными через аи § и проходящим'и через точку о. Будем
считать аир независимыми непрерывно изменяющимися пара-
параметрами, имеющими постоянные значения соответственно на ли-
линиях р и а, и примем значения этих параметров" в произвольной
точке в качестве координат этой точки. Возьмем а и E в качестве
координат дочки о, а в качестве координат точек р и q, лежащих
в окрестности точки о на осях а и. $ в направлении возрдстания
координат, соответственно aj- da, $ и а, {5 + dp.
Z,z(w)
Рис. 6.3.
Такие координатные системы, как прямоугольная декартова
или соответствующая цилиндрическая, имеют один и тот же мас-
масштаб по всем осям, поэтому расстояния, измеряемые вдоль коор-
координатной линии, пропорциональны им при выборе соответствую-
соответствующих единиц измерения и равны разности координат-. Но сказанное
не будет справедливым для полярных координат или для произ-
произвольной ортогональной системы координат. Для того чтобы вы-
вычислить деформации, необходимо рассмотреть действительные
расстояния между точками. Поэтому введем переменные масш-
масштабные коэффициенты А и В, с помощью которых расстояния
между"точками о и р, а также о и q определяются соответственно
как A da и В d$; здесь А и В, а также их первые производные
полагаются непрерывными функциями от а и [J.
Возьмем правую прямоугольную координатную систему с ося-
осями XYZ и началом координат в точке о; оси X и У проводятся
касательно в точке о'к ортогональным осям а и j}. Положитель-
Положительное направление осей соответетвует направлению возрастания а
н р, а положительное направление оси Z определяем по правилу
правой руки. Эти оси являются фиксированными, поскольку коор-
координатные линии аир связываются с не деформированной средин-
срединной поверхностью.
§ 6.2] ( ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ " 395
Аналогичные триады осей строятся и в точках р и q\_ они не
обозначаются, но на рис. 6.3 показаны сплошными прямыми ли-
линиями, проходящими через точки р и q. Вследствие кривизны по-
поверхности и связанности координатных линий с поверхностью эти
тройки в общем случае будут поворачиваться относительно осей
XYZ, т. е. относительно показанных на рисунке пунктирных ли-
линий, проходящих через точки р и q и параллельных осям XYZ.
Эти углы поворотов относительно осей XYZ показаны на
рис. 6.3. Углы для триады в точке р Являются, очевидно, непре-
непрерывными функциями от da, и поэтому их можно представить в
виде степенного ряда по da. В этих рядах постоянный член отсут-
отсутствует, так как при da, равном нулю, равны нулю и угли." В ряде
для угла поворота относительно оси X отсутствует также и член
с первой степенью, поскольку линия тх, является линией кривиз-
кривизны! вдоль которой отсутствует кручение. Тогда, если до конца
выкладок сохранять члены со степенями выше первой или с
произведением da d$, находим, что все они стремятся к нулю
быстрее остальных членов при стремлении dot, и d$ к нулю, поэто-
поэтому ими можно пренебречь, как малыми величинами более высо-
высокого порядка. Для упрощения всеми этими членами будем пре-
пренебрегать с самого начала,- .
Поэтому в качестве углов поворотов триад осей в точке р
относительно осей XYZ возьмем, как показано на рис. 6.3, соот-
соответственно О, a da и с da; а и с вместе со своими первыми про-
производными полагаются непрерывными функциями а и j$ и по фи-
физическому смыслу представляют собой кривизны цоверхности в
направлении оси а и линии а, умноженные на А. Функции а и с
считаются положительными, когда ось, касательная к линии а в
точке р, при повороте стремится к первому квадранту координат-
координатной системы XYZ, как это показано на рис.- 6.3. Аналогично вза-
взаимной перестановкой р и q, а и §, А я В, X и У, а и Ь, е и d
получаем для показанной на рис. б.З триады в точке -q повороты
на углы b d$, 0, d d$ относительно осей XYZ. Ниже для основных
типов оболочек будут приведены вычисленные значения функ-
функций А, В, а, Ь, с, d в виде таблицы 6.2. Физическая размерность'
этих характеризующих геометрию функций будет, разумеется,
зависеть от смысла координат аи [J, которыми могут быть, на-
например, длины или углы.
Координаты точек срединной поверхности в осях XYZ. Вос-
Воспользуемся фиксированными осями XYZ, проходящими через точ-
точку о, как главными осями, и определим координаты XYZ точек
о, р и q, принадлежащих срединной поверхности, и соответствую-
соответствующих им точек О, Р и Q в исходном и деформированном состоя-
состояниях. Точные значени^ расстояний между любыми из этих "точек
несложно определить по теореме Пифагора, выразив их через
координаты в этой фиксированной системе прямоугольных коор-
координат. Найденные выражения для координат X, У, Z для сме-
396
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 6
/da
щенного положения точек представлены в таблице 6.1. Займемся
теперь выводом этих выражений для координат.
До .смещения координатами X, Y, Z точки о были 0, 0, 0. Для
точки р координаты Y, Z, а также разность между координатой
X и смещением A da можно представить в виде степенного ряда
по A da, где постоянный и первой степени члены отсутствуют, так
как линия а касательна к оси X. Поэтому, игнорируя степени 4а.
более высокого порядка, чем первый, по той же причине, что и
указанная выше, В качестве координат X, Y, Z точки р до смеще-
смещения можно взять A da, 0, О, аналогично для точки q берем соот-
соответственно 0, В dp, 0. На рис. 6.4 и 6.5 приведены соответствую-
соответствующие схемы.
На рис. 6.4 показаны точки о, р и q в смещенных положениях
и не представлены их исходные положения. Компоненты переме-
перемещений точки о, касательные к линиям а и |5 и нормальные к не-
деформированной срединной поверхности, т. е. заданные относи-
относительно осей X, Y, Z, обозначаются соответственно через» и, v и те.
Предполагается, что смещения
и, v и w, а также их первые и
вторые производные являются
непрерывными функциями от
а и р (в динамических задачах
они могут быть также и функ-
функциями времени, но здесь речь
будет идти только о ^перемен-
^переменных аир). Тогда компоненты
перемещений точки ' pf каса-
касательные к линиям аи ри нор-
нормальные к недеформированной исходной Срединной поверхности,
т. е. направленные вдоль необозначенных осей триады, изображен-
изображенных сплошными линиями в точке р (см. рис. 6.3), должны
равняться u+(du/da)da, v + (dv/da)da, w + (dw/da)da, *ак это
показано на рис. 6.4, так как отличие точки р от точки о заклю-
заключается только в малом изменении координаты на da вдоль оси а.
Тогда после перемещения координатами X, Y, Z точки о бу--
дут и, v и w, а координатами точки р относительно необозначен-
ной триады, изображенной сплошными линиями в точке р (см.
рис. 6.3), будут соответственно и+ (du/da)da, ... Для того чтобы
найти координаты X, У, Z точки р, необходимо рассмотреть то
обстоятельство, что местная система координат в точке р сме-
смещается относительно координатных осей XYZ на расстояние A da
в направлении оси X и поворачивается на углы a da и с da отно-
относительно осей Y и Z. Опуская степени da выше первой, как ма-
малые величины более высокого порядка, можно взять синусы этих
углов как а da и с da, а косинус положить равным единице. Снова
опуская члены, содержащие более выеокие степени da, можем
записать координату X точки р после смещения в следующем
Рис. 6.4.
§ 6.2]
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
397
-^ da\ — (v + ^- da\ с da— (w + -^- da\ & da =
(w + -^- da\
= A da+ и + U?L — Cv — &w\ da = и + A + f) A da;
виде:
аналогичные выражения можно получить для остальных коорди-
координат точки р и координат точки q; все эти выражения приведены
в таблице 6.1. В этих выражениях через /, g, h,i,j, к обозначены
следующие функции: -
F'2)
/
(через k обозначается также и толщина оболочки, что специально
оговаривается там, где может возникнуть путаница).
Таблица 6.1
Координаты сместившихся точек
Точка
о
Р
3
О
Р,
Q
z
и
u+(l+f)A da
u+iB d$
и
U+A+F)A da
U+IB dp
Y
V
v+gA da
v+(l+])B dp
V
V+GA da
V+(l+J)B dp
z
w
w-\-hA da
w+kBd$
w
W+HAda
W+KBd$
Координаты произвольной точки. Определив координаты XYZ
«межных точек о, р, q, лежащих на срединной поверхности, мож-
можно перейти к рассмотрению соответствующих им произвольных
точек О, Р, Q, которые располагаются на одинаковом расстоянии
¦z (— c^z^c, где с — постоянная полутолщина) от точек о, р, q,
измеренном по нормали к срединной поверхности. [В действи-
действительности точки, расположенные на одинаковом расстоянии от
¦срединной поверхности перед смещением, не будут лежать на та-
таком же расстоянии после перемещения вследствие поперечных
деформаций, вызываемых напряжениями, направленными по осям
«и р, и обычно очень малыми напряжениями в поперечном на-
направлении. При обычных условиях для тонкой оболочки влияние
398
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. в
допущения о постоянстве указанных расстояний очень невелико.
Для оболочек с переменной толщиной расстояние мЪжно взять в
виде функции z(a, р) = ?с(а, р), где ? принимает значение' ±1,
с — переменная полутолщина. Сделать это не представляет боль-
большого труда, но делает громоздкими окончательные результаты,
поэтому здесь приводятся результаты для постоянных z и с]
Рассмотрим сначала произвольную точку О, которая показана
на рис. 6.4 для смещенного положения, на рис. 6.3 — в исходном
положении. Координаты X, Y, Z точки О в исходном положении
суть 0, 0, 2. Координаты для смещенного положения можно най-
найти с помощью координат точек о, р, q и_того обстоятельства, что,
согласно гипотезе Кирхгофа — Лява, оО = z ж углы Оор и Ooq
являются прямыми. Тогда, поскольку треугольники Оор и Ooq
являются прямоугольными, можно получить три соотношения
Ъ~р* = o~f '+ z\ ~6q* = ol? + z\ 7Го* = z\ F.3)
где i)oz, Op1, ... можно представить как сумму квадратов разности
между координатами точек О, о, р и q в системе координат. XYZ.
Теперь известны все эти координаты, за исключением трех не-
неизвестных координат точки О, которые обозначим через U, V, W
(рис. 6.5). Записав соотношения F.3) через эти координаты и ре-
решив систему трех уравнений относительно трех неизвестных,
получим ~ v
smz, V=v + snz, W=w+s(i + t)z, F.4)
где
F>5)
Так как координатами точки О в системе ^координат XYZ с на-
началом в точке о являются U, V и W, а точки Р и р отстоят от
точек О ж о только на малое рас-
стояние da вдоль оси а, коорди-
натамИ тонки Р в системе коор-
динат с началом в точке р. будут
d u+(9U/da)da, V+(dV/da)da,
а W+(dW/da)da, как это показано
l яш на Рис# ^'^* Затем можно найти^
+da~°'xc координаты X, 7, Z точки Р, расг
смотрев перемещения и поворот
триады координатных осей с на-
чалом в точке р относительно ко-
ординатной системы XYZ с нача-
началом в точке о, точно так же, как
это было сделано при определении координат X, Y, Z точки р.
Можно видеть, что координаты точек Р и Q в координатной си-
Рис. 6.5.
§ 6.2] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 399
стеме XYZ связаны с координатами точки О в той же системе
точно так же. как координаты точек р и q связаны с-координата-
с-координатами точки о. Для того чтобы можно было воспользоваться сказан-
сказанным, для произвольных точек вводятся такие же обозначения,
как и для точек, принадлежащих срединной поверхности, только
с прописными буквами. Таким образом, координаты X, Y, Z,
приведенные в таблице 6.1, относятся как к точкам о, р, q, так и
к точкам О, Р, Q, в последнем случае надо только учитывать, что
следует использовать прописные буквы и следующие обозначения:
Выражения для деформаций-. Таким образом, получены точ-
точные в рамках ограничений, налагаемых гипотезой Кирхгофа —
Лява, выражения для координат в произвольного вида фиксиро-
фиксированной системе прямоугольных координат трех произвольных то-
точек, расположенных на одинаковом расстоянии от верхней и ниж-
нижней поверхностей оболочки и отличающихся только малыми изме-
изменениями координат аир. Координаты начальных положений
этих точек можно найти из выражений, ^полученных для коорди-
координат при смещенном положении, если положить и = и = w = 0. Из
этих значений легко вычисляются лагранжевы деформации (т. jj.
деформации в точке и в направлении, связанных с оболочкой)
для произвольной точки О, лежащей в плоскости, определяемой
тремя точками.
Деформации в направлении, нормальном к этой плоскости,
согласно гипотезе Кирхгофа — Лява, равны нулю либо.очень ма-
малы (в соответствии с введенным определением деформации). Хотя
в действительности они не равны нулю или не так уж малы, тем
не менее там, где справедлива эта гипотеза, их влиянием в прак-
практических задачах можно пренебречь.
Деформацию в. плоскости можно полностью описать с по-
помощью трех независимых величин, которые в свою очередь мож-
можно определить различными путями. Если деформации конечны,
то с математической точки зрения удобнее брать их в виде двух
нормальных деформаций и деформации сдвига, обозначаемых сле-
следующим образом: пусть 8х, by, 8s—стороны малого треуголь-
треугольника, чьи стороны 8х и ,6j/ первоначально составляли прямой
угол.и имели длину бх0 и бу0. Тогда три деформации в плоско-
плоскости треугольника с прямым углом при вершине приближенно
400 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
определяются следующими выражениями:
когда бх0 и бг/о стремятся к нулю.
Три точки О, Р, Q являются вершинами такого первоначально
прямоугольного треугольника, поэтому Для начального положения
имеем PQ2 = ОРг + OQ2, т. е. и — v = w = 0. [В общем случае это
будет справедливо только потому, что в качестве координатных
линий берутся линии кривизны. Можно'также заметить, что та-
такие точки, как О и Р, в действительности лежат на криволиней-
криволинейной линии, что ОР в действительности не являются в точности
касательными к этим линиям в точке О и т, д. Ошибки, которые
возникают при неучете этих обстоятельств, пропорциональны бо-
более высоким степеням da или d$, и ими можно пренебречь как
малыми величинами более -высокого порядка, как это уже дела-
делалось ранее в аналогичных случаях.]
Возьмем направления х и у в качестве осей а и [}, в качестве
отрезков бх, 8у и 8s_ возьмем отрезки OP, OQ и PQ, в качестве
8х0 и бг/о примем ОР и OQ, когда и = v = w = 0. Взяв ОРг как
сумму квадратов разностей между координатами точек О и Р
в координатной системе XYZ и т. д. и подставив найденные зна-
значения в выражения F.7), получим формулы для нормальных
^деформаций в направлениях а и ? и деформации сдвига:
• — F+ ^2 + G% + д2)/2 + &zlA — (&zlAf12
Г2 + /2 + К2)/2 + bz/B — (bz/Bf/2
A - Ьг/Д):
FI + GJ + HK
2 , F-8)
Деформации срединной поверхности, получаемые из выраже-
выражений F.8)| если положить z = 0 (или если взять op, oq я pq ъ ка-
качестве бх, 8у и 6s и т. д.), имеют сравнительно простой вид
(z = 0). F.8a>
е«е = g + i + fi + gj + hk
Если пренебречь составляющими деформаций, пропорциональны-
пропорциональными z2 и еще более высоким четным степеням z (анализ этих со-
составляющих, проведенный в § 6.3, указывает на их малую зна-
значимость), то эти деформации можно взять в качестве мембранных
деформаций еат, sfm, еа$т.
§ 6.2] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 40t
Линейные соотношения, получаемые при отбрасывании более
высоких степеней, чем: первая, или произведений перемещений;,
а также их производных, полезны при исследовании, задач, где-
перемещения можно рассматривать как бесконечно малые. В этом
случае имеем: т — —h, п =?= —к, l = f + j, s — 1 — I, U = u — hz,
V = v-kz, W=±w + z, F = f-(dh/da-ck)z/A-az/A, G =
= g- (дк/да + ch)z/A, ..., F72 =¦-[/- {dh/да - ck)z/A]az/A +,
+ (az,MO2, G2 = 0, ...
Таким путем получаются следующие исключительно про-
простые линейные соотношения, точйые в рамках гипотезы Кирхго-
Кирхгофа — Лява:
ер = Г/ -(-щ- dh\zlB jl A - bz/B),^ "F.8б>
ch)zlA ]| (* ~ azM) + [1-{щ + dk) Z/B]\x
X(l-bz/B),
Обычно используемые так называемые инженерные деформа-
деформации имеют несколько более сложный вид:
е^ e = arcsin ^ -. F.9>
Как хорошо известно, выражения F.7) и F.9) сводятся к одному
и тому же виду, если сделаны упрощения, 'основанные на допу-
допущении малости деформации по сравнению с единицей.
Определение функций А, В, а, Ь, с и d для специальных ти-
типов оболочек. Эти функции, определяемые геометрией оболочки,
не. являются полностью независимыми. Например, первые два
из приведенных ниже соотношений можно получить приравнива-
приравниванием разности между длинами противоположных сторон малого
элемента срединной поверхности, обусловленной изменением мас-
масштабных коэффициентов, разности, получаемой при относитель-
относительных поворотах двух других сторон, как это показано ниже на
рис. 6.11. В целом это можно представить1) следующим образом:.
дА п дВ ал да , дЬ ,
-щг = -Вс> ж = -м> "Ж^-Ь ^ = ~ad'
Ж + ^ = аЬ- {6ЛО)
Эти соотношения, в частности первьце два, окажутся весьма по-
полезными в дальнейшем и могут быть использованы для проверок,
') Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity.—
4th ed.— Cambridge: University Press, 1927; русск. перевод: Л я в А. Мате-
Математическая теория упругости.— М.; Л.: ОНТИ, 1935.
26 л. г. Доввелл
402
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 6
ло, как правило, все функции легко определяются из простых
геометрических рассмотрений.
В таблице^в.2 представлен наиболее общий способ определе-
вия параметров а и р, а также результирующих выражений для
Тип оболочки
1. Пластина, де-
декартовы коорди-
координаты
2. Пластина, по-
полярные коорди-
координаты
3. Прямоугольные
цилиндрические
координаты, ра-
" диусR
4 .* Пря моугольные
цилиндрические
координаты с"
постоянным ра-
радиусом R
5. Kohvc угол по-
*^ 9 ^ ».^#Л* J Щ4 ^ mJ 4* V^•* AAV
'лураствора X
6. Сфера, радиус R
7. Произвольная
цилиндрическая
оболочка
Координаты
л
а,
Е?
м
:ле]
1
S
§
НЭ1
g. .
S
о
ю
s
о
II »о
а
X
г
X
X
X
ф
X
Э
У
е
е
е
е
и
Масштабные
коэффициенты
А
1
1
. 1
1
1
cosX
R
1
в
1
г
1
R
xtgX
йапф
1
Коэффициенты
¦поверх-
¦поверхности
а
0
0
0
0-
о
1
о
ь
0
0
1
R
1
cos A»
sin<p
ЬМ
Табл И]
кривизны
внутри по-
поверхности
с
0
0
0
0
о
0
о
d
0
-d
0
0
—sin X
~— СОЗф
о
ц& 6.2
Рис.
6.6,0
6.6, б
6.7, о
•
6.7, б
- -
6.8
6.9
6.15
-
функций А, В, а, Ь, с и d для тех случаев, которые обычно пред-
представляют интерес для практики: плоские пластины в прямоутоль-
вых и полярных координатах, круговые цилиндрические оболочки
с окружной или угловой координатами, произвольные цилиндри-
цилиндрические, конические и сферические оболочки. Во всех этих случа-
случаях не возникает проблем с выбором линий кривизны, поскольку
по крайней мере одна .из двух систем линий кривизны мо-
может быть взята в виде пересечений плоскостей симметрии со сре-
срединной поверхностью, другая система, разумеется, будет состав-
составлять прямые утлы с этими пересечениями. Эти случаи изображе-
изображены на рис. 6.6—6^9 таким образом, чтобы сохранилось сходство
с изображенной на рис. 6.3 срединной поверхностью и уем самым
физическая связь каждого специального случай с общим сдела-
§ 6.2]
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
405
лась настолько, насколько это возможно, ясной, хотя это не все-
всегда представляется удобным.
На рис. 6.6, а показан простейший случай плоской пластины
с прямоугольными координатами (а = ж и Р = г/), для которого
масштабные коэффициенты А и В могут быть, очевидно, взяты
равными единице, а функции кривизны а,~Ъ, си d — нулю.
На рис. 6.6, б сказанное справедливо в радиальном г направлении'
(которое берется в качестве оси а) для случая полярной системы
координат (а = г, §=6). В окружном направлении малому изме-
изменению параметра {$=& соответствует дуга длиной rdQ=BdQ и
поворот на угол dQ =• —d dQ направления координатной линии
в точке q относительно такой же линии в точке о, принадлежа-
принадлежащей срединной поверхности без поворота самой поверхности, при.
№>
6) г(ш)
Рис. 6.6.
этом имеем В = г, Ь = 0~и d = — 1 (знак минус берется потому^
что поворот направлен из первого квадранта координатной си-
системы XYZ).
Ось
цилиндра
Рис. 6.7.
Рис. 6.7, а (а = х, $ = у) и 6.7, б (а = х, {$ = 9) относятся к
случаю прямой круговой цилиндрической оболочки, гд& исполь-'
зуются окружная и угловая координаты, для которых все одина-
одинаково ясно. В этом случае, так же как и в следующих двух слу-
случаях конической и сферической оболочек, координатная система
выбирается таким образом, чтобы координаты Z, z и перемещений
26* . -
04
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 6 „
w имели положительное направление внутрь оболочки, как и в
общем случае, показанном на рис. 6.3.
•Случай конической оболочки представлен на рис. 6.8, а, где
в качестве координат используются расстояния вдоль оси х =' а
в. поворот вокруг оси 9 = § (измеряемый по часовой стрелке, если
ось перпендимляр-
чпя плоскости
пая плоское/
чертежа'
Рис. 6.8.
вершит
касательного
к сфере
конуса
Рис. 6.9.
смотреть из вершины конуса). В направлении оси х действи-
-тельные расстояния вдоль срединной поверхности, показанные
в истинную величину на рис. 6.8, б, равны x/cos%, где X — угол
полураствора конуса, отсюда получаем, что масштабный коэф-
коэффициент А равен 1/cosA,. Очевидно, что в данном случае в точке
р нет поворотов ни внутрь, ни из срединной поверхности, поэто-
поэтому функции а и с равны нулю.
§ 6.2] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 405
i
В направлении оси 6 все несколько сложнее. Из сечения, про-
проведенного через ось, проходящую через точки ^> и р
(см. рис. 6.8, б), видно, что радиус дуги oq (неискаженная форма
которой показана на рис. 6.8, о), образуемой изменением угловой
координаты 9 на величину d%, равен х tg X, поэтому .длина дуги
равняется xtgXdQ, а масштабный коэффициент В равен xtgX.
Это, очевидно, является результатом поворота на угол dQ конца
q сегмента oq, принадлежащего координатной линии, этот пово-
поворот необходимо разложить на его составляющие в срединной по-
поверхности и не лежащие в ней, что можно представить в вектор-
векторной форме, так как рассматриваются малые повороты.
Соответствующая векторная диаграмма, показывающая это
разложение в неискаженном виде, представлена на рис. 6.8, в.
Каждый вектор вращения направлен вдоль- оси вращения, его
длина пропорциональна величине угла поворота, а направление
определяется правилом правой руки, т. е. его, направление ука-
указывается большим пальцем правой руки/когда остальные пальцы
устанавливаются в направлении вращения. Ось результирую-
результирующего поворота на угол dQ, очевидно, параллельна оси конуса.
Как видно из рис. 6.3, ось поворота составляющей d d$ = d dQ,
обусловленной кривизной координатной линии од в срединной
поверхности, нормальна к поверхности в точке q. Ось поворота
другой составляющей b d$ = b d&, обусловленной кручением, каса-
касается срединной поверхности и составляет прямой угол с отрезком
oq в точке q. Таким образом, из векторной диаграммы получаем
Ь = cos х и d = —sin X (знак минус берется потому, что зта со-
составляющая дает направление поворота первого квадранта коор-
координатной системы XYZ, противоположное направлению, -показан-
пому на рис. 6.3).
В случае сферы (см. рис. 6.9») обозначим через R радиус сре-
срединной поверхности, в качестве Координат возьмем двеь утла:
угол в широтном направлении ф = а, измеряемый от полюса Pt,
и угол меридиональный 9 = {}, измеряемый при повороте вокруг
диаметра PtP2 по часрвой стрелке от Pt к точке Р2. На рис. 6.9, б
показано сечение, проведенное через диаметр РА и точки о и
р. Длина дуги ор равна A dq> = Rdq>, где A =R. Здесь имеет место
поворот a d<p = dq> в точке р самой срединной поверхности и от*
«утствует поворот линии из срединной поверхности, поэто-
поэтому здесь имеем а = 1, с = 0. Если изобразить конус с осью ОРуРг,
касающихся сферической поверхности по линии oqf то, как видно
из рис. 6.9, б, его угол полураствора будет равен Я = 90" — <р,
а расстояние до зтой- линии от вершины составит х = R sin <p/tg X.
Значения В, Ъ и d для сферы должны быть поэтому такими же,
как и только что найденные для конуса с теми же величинами
Случай произвольной цилиндрической оболочки обсуждается
ниже на стр. 453.
406 ' КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
§ 6.3. Упрощения соотношении, связывающих
перемещения и деформации
Общие соображения. Выражения F.8) совместно с выражени-
выражениями F.2), F.4), F.5) и F.6) определяют связь между деформа-
деформациями во всех точках оболочки и перемещениями срединной по-
поверхности. Поскольку излагаемая теория ограничена случаями,
для которых гипотеза Кирхгофа — Лява представляет хорошее
приближение, можно попытаться воспользоваться некоторым уп-
упрощением, которое из этого следует: Предположение о малости
деформаций поперечного сдвига приводит к неравенствам вида
(d3w/da3)z/A < d2w/da2, но они сами по себе, по-видимому, не
приведут к необходимым упрощениям.
Использование гипотезы Кирхгофа — Лява также обычно
ограничивает применение излагаемой теории областью тонких
оболочек, для которых az/A <1 и Ъг/В < 1, откуда появляется
возможность упростить выражения F.8) для деформаций. Стоя-
Стоящие в числителе выражений для ео и ер члены вида az/А и Ъг/В
являются существенными при малых перемещениях, и если их
опустить, то не получим равными нулю деформации для основ-
основного случая, когда и = v = w = 0. Однако если пренебречь слага-
слагаемыми az/B и Ъг/В в знаменателе" выражений для деформаций,
полагая тем самым знаменатель равным нулю, то ошибки поряд-
порядка отношения толщины к радиусу будут сделаны только в значе-
значениях деформаций в специфических точках. При определении про-
прогибов и критических нагрузок, которые зависят от осредненных
условий, эти ошибки будут практически бесконечно малыми-в об-
области, занимаемой стенкой оболочки. Ошибка при определении
энергии деформации примерно равна квадрату отношения тол-
толщины к радиусу, т. е. ошибка составляет одну десятую процента,
когда толщина равна одной тридцатой радиуса. Отсюда видно,-
что для тонких оболочек, а в случае нахождения прогибов, крити-
критических нагрузок и т. п. это справедливо и для относительно тон-
тонких оболочек, не делая серьезной погрешности, знаменатель в вы-
выражениях F.8) можно положить равным единице. Однако, хотя в
дальнейшем будет показана справедливость сказанного, это тре-
требует своего обоснования, так -как кажущиеся незначительными
члены могут оказаться существенными на последующих стадиях
исследований; все это подробно обсуждается при выводе уравне-
уравнения F.36).
Излагаемая теория' применима к тонким оболочкам при не-
неограниченных перемещениях и деформациях, например при
перемещениях, сопоставимых с радиусом кривизны, и де-
деформациях порядка единицы. Для' задач, включающих в
себя как большие перемещения, так л большие деформации, по-
видимому, невозможны иные упрощения, кроме тех, которые
только что обсуждались, и расчеты следует проводить с помощью
§ 6.3] УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ - 407
выражений F.2), F.4)—F.6) и модифицированных соотношений
F.8) или эквивалентных им; соотношений. Совсем не столь уж
непрактичным является использование таких непрямых соотно-
соотношений, включающих промежуточные величины типа /, т, U и F,
при численных исследованиях, что будет показано в последнем
параграфе этой главы. Для более обычных задач, где перемеще-
перемещения могут быть большими, а деформации относительно малы,
оказывается возможным дальнейшее и весьма эффективное упро-
упрощение даже для довольно общего случая, что и будет составлять
основной предмет обсуждения в оставшейся части этого раздела.
Деформации неизбежно малы по сравнению с единицей при
упругом деформировании таких материалов, как металлы, бетон
и жесткие пластмассы. Но в тонких оболочках деформации также
обязательно малы даже при возникновении в них пластического
течения или когда они изготавливаются из таких материалов, как
резина или подобных ей. Это объясняется тем, что для тех слу-
случаев, когда применима гипотеза Кирхгофа — Лява, изгибные де-
деформации малы Даже при перемещениях порядка толщины,
а мембранные деформации при сжатии в произвольном направле-
направлении ограничены из-за возможности потери устойчивости. Боль-
Большие деформаций возможны только в таких довольно мало рас-
распространенных случаях, как раздувание резиновых баллонов, где
мембранные напряжения являются полностью или почти пол-
полностью растягивающими, они возможны также и в тонких оболоч-
оболочках из иных материалов. .
Как уже упоминалось выше, при малых деформациях, несмот-
несмотря на то, что перемещения могут стать неограниченными, в ин-
инженерных задачах деформации можно записывать с помощью
выражений F.7), F.8) и F.8а), F.86). Для упругого материала
их можно использовать вместе с элементарными формулами,пред-
формулами,представления закона Гука и внутренней энергии деформации с тем,
чтобы сформулировать принцип возможной работы.
По-видимому, было бы интересно указать, что имеет место
соотношение s = {A + 2еат) A + 2ерт) — е|рт]~1/2, как это легко
проверить с помощью . соотношений F.5) и F.8а). Если дефор-
деформации всюду малы, то те их части, которые не зависят от z либо
зависят от z или z2, также должны быть малы, и, следовательно,
величина s должна быть близкой к единице. Однако, положив ве-
величину s равной единице, получим в результате только незначи-
незначительную часть упрощений, которые будут- представлены ниже.
Сопоставление точных и приближенных выражений для де-
деформаций в случае продольно нагруженной цилиндрической обо-
оболочки '). Точные выражения для деформаций. Для того чтобы про-
продемонстрировать применимость точных выражений для деформаций
')Donnell L. H. General shell displacement-strain relations.— Arch.
Mech. Stosow., 1965, v. 17, № 2, pp. 277—284'
408 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
F.8) и соотношений F.2), F.4)—F.6) и сравнить их с обычно ис-
используемыми приближенными выражениями, были выбраны слу-
случай осевого сжатия идеальной прямой круговой цилиндрической
оболочки, для материала которой справедлив закон Гука, и обыч-
обычные энергетические методы. Эта задача является важной, и по
ней имеется обширная литература, а из многочисленных экспери-
экспериментов известно, что схема распределения прогибов при потере
устойчивости состоит в простом периодическом повторении одной
и той же выпучины и что, кроме того, для оболочек, за исключе-
исключением коротких, не является обязательным точное удовлетворе-
удовлетворение краевых условий. Это связано с'тем, что в более длинных ци-
цилиндрических оболочках в продольном направлении возникает
при потере устойчивости множество волн, и на волны в середине
пролета, где при испытаниях возникали критические условия,
мало влияют ограничения, налагаемые на краевые волны. Более
подробно этот случай будет обсуждаться в § 7.2. Этот случай яв-
является очень характерным, так как все шесть мембранных и
изгибных напряжений имеют одинаковый порядок величины,
а составляющие прогиба, которые будут использоваться при
исследовании, представляют обширный набор типовых про-
прогибов.
Для цилиндрической оболочки толщиной 2с и радиусом R
обычные цилиндрические координатные линии являются линиями
кривизны. Возьмем в качестве осевой координаты а — х, в каче-
стве^чжружвой {} = у, кроме того, имеем А—В — 1, а = с = d = 0,
Ъ = \/R (см. рис. 6.7, а и таблицу 6.2). Йодставляя указанные
соотношения в выражения F.8) и полагая величины A — az/A),...
равными единице, можно записать деформации в следующем
виде (многоточия относятся к членам с более высокими степе-
степенями z): -
= Чт +. eVlz + %2z2/2 + • • •»
~ ехУ1г + 8ж922 " • • •
где
sxm = f + (f2 + g*
ъхут = ё + i + fi + gl + hit.
«и = У + «' + if + kk' + A + 21 + i* + f + k*)/R, F.11)
«и = i'2 + i'2 + k'2 + (f +**' + IV
«хи'= ?''+ i' + tf + ^ + if + Jg'
+ (g
в*и = fi' + g'f + h'k' + exyi/R,
§ 6.3] УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 409
, ди dv , dw . ди . __ dv jv_ •
дх * dx * dx ' dy ' dy R '
i. __ dw v ,, _ d (ms) , _ d (ns) , ,, _ d (s + Is)
/С~"д7+"д"> ; - dx -- g ёГ~' ffi ~ ax '
7 ~ dy Д ' 9y + Й'
Здесь т, в, l" и s определяются из выражений F.5).
Как уже говорилось выше, здесь нет необходимости удовлет-
удовлетворять точным краевым условиям. Тогда из. наблюдаемого во
всех экспериментах условия симметрии для каждой волны, кото-
которая образуется при потере устойчивости, перемещения можно
полностью описать следующими выражениями:
J pXn'x qn'y
ПО wS „ tUO „ ,
P 9
pXn'x . qn'y
Sm-~
7 ^ ^ T7-
v = h2d2*vpicos
¦ ¦ p'kn'x qn'y
Sln —W~ C0S —
где h — толщина, е — среднее относительное укорочение оболоч-
оболочки, сумма р + q принимает только четные значения, т. е. р и q
могут иметь следующие значения:
00
02
\\
13
20
/
/
21
/
/
z
33
40
\
60
...
F.13)
Число окружных полуволн п', отношение К между длинами
окружных и продольных волн для первого члена с pq= 11,
а также коэффициенты WPq, VPq и Upq являются неизвестными
величинами, которые нужно определить. Представления F.12)
соответствуют форме потери устойчивости, о которой говорилось
раньше в связи с рис. 6.1, г.
Если представления F.12) подставить в выражения F.11) и
воспользоваться известными формулами для квадратов и произ-
произведений тригонометрических функций, подобными приведенным
в таблице 6.3, то выражения для каждой из определяемых вели-
величин будут содержать тригонометрические функции только одного
типа, коэффициенты при которых можно сгруппировать в виде
140 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
некоторого ряда.. Таким образом, получаем двойные ряды для
функций /, j, I, s, /'-, /', еж и еу с членами в виде произведений
двух функций косинуса, функции к, п и к' — в виде произведе-
произведений функций косинуса и «инуса, h, m, h' — в виде произведений
функций синуса и косинуса и q, i, q', i', 6*y — в виде произведе-
произведений функций синуса и синуса аргументов соответственно х и у.
Тогда энергия деформации
с
<У = j dx j dy j \d + 2\гхгу + е* + —j^- ejU dz F.14)
—с
представляет собою функцию от неизвестных коэффициентов Я,
п', Wpq, VPq и Upq, которые можно определить обычным способом
с помощью принципа возможной работы. При этом приходится,
конечно, решать систему нелинейных алгебраических уравнений,
порядок которой равен числу этих коэффициентов. _
Приближенные выражения для* деформаций. Когда п' велико
по сравнению с единицей, как это имеет место в рассматриваемом
случае, приближенные выражения, обычно используемые для
деформаций в тонкой цилиндрической оболочке при больших пе-
перемещениях, принимают вид
•z,
Когда п мало, к выражению для деформации еу следует приба-
прибавить член — wz/Rz, а другие члены, связанные с изгибом, будут
при этом несущественными, второстепенными, что подтвердится
ниже при выводе выражений F.20). При использовании подоб-
подобного приближения непосредственно для вычисления энергии де-
деформации алгебраические уравнения, которые должны удовлет-
удовлетворять условию минимума энергии, получаются линейными отно-
относительно коэффициентов Vpq и Uvq, что значительно упрощает
решение.
Работу можно в дальнейшем еще более упростить, используя
в выражениях C.16а) для мембранных напряжений функцию Эрй
ф. Она тождественно удовлетворяет уравнениям равновесия в на-
направлении осей х ж у, аналогичным уравнениям двумерной тео-
теории упругости, и поэтому не учитывающим влияние начальной
кривизны и конечных перемещений на условия равновесия в на-
направлении осей х и у. Приравнивая мембранные (не зависящие
от координаты г) напряжения F.15) мембранным деформациям,
выраженным через функцию ф с помощью закона Гука, из
§ 6.3] УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ' 411
выражений C.11а) получаем
(
дх ду — Е
Исключая функции и ш v путем применения оператора дг/дуг к
первому из выражений F.16), оператора дг/да? ко второму и опе-
оператора — дг/дх ду к третьему, а затем складывая все три полу-
получающиеся в результате выражения, получим уравнение1):
Располагая зтим уравнением, нужно только задать выражение
для прогиба w (удовлетворяющее, если это необходимо, краевым
условиям) и, интегрируя уравнение F.17), найти функцию ф,
используя формулы преобразований для квадратов и произведе-
произведений тригонометрических функций. Затем можно применить прин-
принцип возможной работы, используя выражения D.70) и D.71) для
энергий соответственно изгибных и мембранных деформаций. Эти
выражения были получены для пластин, но в выражении F.15)
используются такие же выражения для изгибных деформаций,
т. е. {diw/dxz)z и т. д., как и для пластин, а влияние кривизны
на мембранную энергию учитывается членом (l/IDd^w/dx2 в вы-
выражении F.17). Затем следует решить систему уравнений, поря-
порядок которой равен числу неизвестных, состоящих из параметров
К, п и используемых коэффициентов WPq. Применяя уравнение
F.17) в тех случаях, для которых краевые условия оказываются:
существенными, .следует помнить сделанное выше предупрежде-
предупреждение о том, что решения, получаемые путем повышения порядка
дифференциального уравнения при применении оператора д*/дхг
и ему подобных, бесполезны для удовлетворения таких условий.
Сопоставление приближенных и точных выражений для де-
деформаций. В опубликованной в 1963 г. статье Б. Элмроз2) ис-
использовал этот приближенный метод и при зтом последовательно
') Donnell L. H. A new theory for the buckling of thin cylinders un-
under axial compression and bending.—Trans. ASME, 1934, v. 56, pp. 795—806.
При 1/Д = 0 (плоская пластина) эта теория совпадает с теорией конечного
прогиба пластин Фёппля — Кармана (К а г m a n T h. Festigkeitsprobleme
in Maschinenbau.— Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften. Bd. 4.
Mechanik. Heft 3, № 27.—Leipzig: B. G. Teubner, 1910, SS. 311:—385
(cm. c. 349); Karman Th., Collected works. V. 1.—London: Butterworths
Scientific Publ., 'pp. 141—207)-. См. также приведенное ниже уравнение
F.31к).
2) А1 m г о t h В. О. Postbuckling behavior of axially compressed circular
cylinders.— AIAA Journal, 1963, v. 1, № 3, pp. 630-633.
412
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[гл. а
увеличивал число членов ряда .для функции прогиба w до тех
пор, пока представленная на рис. 6.10, а зависимость среднего
напряжения о от^укорочения е не переставала заметно изменять-
изменяться при этом. Он обнаружил, что необходимо использовать по
крайней мере семь членов с тем, чтобы с достаточной точностью
исследовать этот случай в закритической области. Для того что-
чтобы получить сопоставимые результаты с помощью точных соот-
соотношений F.11) и обычных энергетических процедур, необходимо
решить систему, содержащую семнадцать нелинейных уравне-
уравнений, что может оказаться недоступным даже для больших ЭВМ.
Однако в данном случае нет необходимости получать замкнутое
решение по точной теории; приближенную теорию можно срав-
сравнить с точной, просто проделав параллельные расчеты по обеим
4 члена
Мембранная
потенциальная
энергия
Иъгид~ная
потенциальная
энергия
W
40 w SS
"пи
в) l
Рис. 6.10.
. теориям, определив деформации и энергию деформации по выра-
выражениям F.11) и F.15), используя при этом одни и те же значе-
значения для параметров X, п' и коэффициентов WPq, Vpq и Upq.
При любых вычислениях, проводимых с помощью рядов, не-
необходимо удерживать какое-то конечное число членов ряда. Если
начать с определенного числа членов ряда (т. е. определенных
значений р и q), то число членов будет значительно увеличивать-
увеличиваться каждый раз при перемножении рядов, но в данном случае до-
достаточно удержать в каждом ряде по десять членов, используя
значения pq, представленные в матрице F.13). Этд значения "до-
"достаточно хорошо описывают развитие высших гармоник в на-
направлении оси х и отражают тот известный факт, что член с но-
номером 20 является более существенным, чем член с домером 02.
Эти члены использовал в своем окончательном решении Б. Элм-
роз, который любезно предоставил значения параметров Я и п', '
а также коэффициентов WSq, которые были получены в его реше-
§ 6.3] УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 413
нии. Соответствующие -значения коэффициентов Vfq и Urq были
найдены из соотношений F.16), которые- записывались в виде,
разрешенном относительно производных от перемещений и и у,
а затем первое и второе соотношения интегрировались, произволь-
произвольные функции интегрирования определялись с помощью третьего-
соотношения.
Хорошо известно, что соотношения приближенной теории мо-
могут быть описаны через параметры, которые отражают все упру-
упругие и геометрические свойства цилиндрической оболочки. Тогда
результаты расчетов сводятся к единственному соотношению, ко-
которое может быть применено ко всем цилиндрическим оболочкам,,
как это показано на рис. 6.10, а. При использовании точной тео-
теории уже не удается"выделить в качестве параметра отношения
R/h радиуса к толщине. Поэтому полученные результаты могут
несколько различаться для различных отношений R/Ji, но эти
различия будут очень малыми, поскольку точная и приближенная
теории дают, по существу, одинаковые результаты. В расчетах
принималось R/h = 1000 (было бы не реально, используя намного'
более низкие значения R/h, полагать, как это делается в данном
случае, что материал остается упругим при рассматриваемых;
здесь очень больших перемещениях), но полученные в результате
выводы можно не ограничивать именно этим значением отноше-
отношения и считать, что они типичны для произвольных тонких оболо-
оболочек. Для такого значения отношения радиуса к толщине члены,
стоящие в знаменателях выражений F.8), не влияют на числен-
численные результаты, получаемые с точностью, с которой проводились
расчеты. ~ - -
Результаты применения известных тригонометрических соот-
соотношений вида cos х cos у = [cos (х — у) + cos (х + у)]/2 и
sin х cos у = [sin (х — у) + sinXx+ у)]/2 к произведениям или к
квадратам тригонометрических рядов можно свести в таблицу
(см. таблицу 6.3).
Результаты сопоставления приближенных и точных выраже-
выражений для деформаций. Расчеты, о которых говорилось в предыду-
предыдущих параграфах, проводились для трех значений относительных
укорочений: е = 10-4Х2,51; 5,70; 10,63 (или e/ed = 0,415; 0,95;:
1,75), эти решения были отмечены на рис. 6.10, а кружочками.
Им соответствуют максимальные прогибы w^^ = 8,3h, 29,6A ш
53fih (h — толщина), которые распространяются далеко в область
больших прогибов. Окончательные подробности, связанные с вы-
вычислением деформаций, представлены в таблице 6.4, где приво-
приводятся значения амплитуд каждой изменяющейся по гармониче-
гармоническому закону составляющей деформации. Там же даны макси-
максимальные значения изгибных деформаций (на поверхности z — с
оболочки). Незаполненные места в таблице относятся к величи-
величинам, равным нулю или меньшим той погрешности, с которой про-
проводились расчеты.
414 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
"Габл-ица 6.3
а) Коэффициенты при членах ряда, представляющего собой произведение
двух рядов
22 sin sin X
Х22 sin sin
22 cos cos
(=1/4)
-oo
—
—
ее'
tr
tgg'
hh'
a'
20
—
—
—ее'
cf'
fc'
-hh'
hf
ih'
11
с
с'
eg'.
gc'
fg'
gf
gh'
hg'
gf
ig'-
!
02
—
—
-ее'
eh'
he'
-tr
-ff
if
40
—
—
-cf
-fc'
-gg'
-hf
-ih'
31
/
/'
-eg'
-gc'
-gh'
-hg'
22
g
g'
ее'
-of
-fc'
—ch'
-he'
cf
¦iC
fh'
hf
13
h
h'
-eg'
-gc'
-fg'
-gf
60
—
—
-//'
33
/•'
eg'
go-'
*
б) Коэффициенты
B2 sin sinJ
22 cos cos
(-1/4)
B2 coscosJ
•
(=1/4)
22 cos cos
B2 sin cos)8
00
—
c2
f
g2
f
a
4a2
262
c2
2d2
2e2
/2Ч
g*
Л2
2ia
f
—
26a
ca
при членах
20
—
-с2
2c/
—A2
2hf
6
8ab
ibe
c2
2c/
idg
Ы
A2
.2A;
6
46e
-ca
11
с
2cg
2fg
2gh
2gi
с
8ac
ibc
46/
4cd
2cg
Mh
ief
2fg
2gh
2gi
с
4bc
46/
Ряда,
02
—
-с2
2cA
-f
2fj\
d
Bad
ibg
c2
2cA
f2
2fi
—
46*r
c2
представляющего собой квадрат
40
—
-2cf
-g*
—2hj
e
8ae
26a
46i
2c/
«¦
2A/
- -
e
-2b2
ibi
31
/
-2cg
-2gh
f ,
8a/
46c
4ce
2c^
idf
Uj
4/i
2gh
" /
—46c
ice
22
g
c2
-2c/
—2cA
- 2c/
2fm
g
bag
8bd
c2
2c1.
2ch
2c/
keg
2fh
g
—c»
2c/
13
h
-2cg
-2fg
-
h.
Sah
ibh
46/ ¦
4cd
2cg
iej
Zfg
-
h
Ш
ibj
60 ""
—
-/2
i
8ai
46«
/8
/2
_
i
—ibe
ряда
33
/•
2c?
i
8D
Ш
2cg
idf
ieh
Hi
i
—ibh
-2cg
§ 6.31
УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 41S
Продолжение табл. 6.5
(=1/4) .
2 2 cos cos
B2 cossinJ
(=1/4)
22 cos cos
00
2e2
P
g*
A2
P
—
2d*
P
A2
20
2c/
iei
-A2
2hj
—
c2
2c/
idg
A2
2hf
11
2cg
4</
2fg
2gh
с
icd
2cg
Ш
2fg
2gh
02
2cA
P
2fj
d
—c2
2cA
—P
40
-2c/'
—g2
-2hj
—
2c/
g%
2hj
31
-2cg
4/i
—2gh
1
2cg
idf
Ы]
2gh
22
-2cA
2c/
beg
2/A
g
-c2
-2c/
2cA
2c/
2/A
13
2cg
ie;
2fg
u
A
-4cd
-2cg
—tfg
60
-P
—
P
/*
33 .
4eA
4»;
i
-2cg
—idf
В приведенных в таблице 6.4 результатах, найденных по точ-
точным выражениям F.11) "для деформаций, значения слагаемых
ei2z2/2, e,2zV2, e^z2, а также и содержащих еще более высокие
степени z других слагаемых, входящих в выражения для дефар-
маций, не представлены в таблице, поскольку было обнаружено,,
что их величины меньше погрешности^ с которой проводились
расчеты. Эти члены, конечно, соответствуют симметричному рас-
распределению деформаций, и поэтому их следует прибавить к мем-
мембранным деформациям е»», &ут и е,**,. Для этого были вычислены
их средние значения по толщине, т. е. значения 1/Bс) X
с ¦
Х J (8a2z2/2) dz = еж2с2/6 и им подобные. Наибольшее из найден-
—с
ных числовых значений для таких оередненных величин этих
частей деформаций равнялось 0,2 в тех же безразмерных едини-
единицах, что и приводимые в таблице 6.4 значения, которые даны с
точностью до единицы (указанное максимальное значение 0,2 бы-
было получено для окружной мембранной деформации е, = ету при
ы;тах = 53,6 и pq = 22; такое же, но отрицательное значение было
получено при pq = 11).
Пренебрежимо малая величина этих составляющих деформа-
деформаций, пропорциональных как z2, так и более высоким степеням z
также облегчает вычисление с помощью выражения F.14) анер-
анергии деформации в виде двух отдельных частей — энергий мем-
мембранной и изгибной деформации. Результаты этих вычислений
приводятся в таблице 6.5 и на рис. 6.10, б. Из выражения F.14>
видно, что перекрестные произведения мембранных частей де^рр-
416
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ:.
О СМ
t- t-
СО чн
со
о оо t^
й й 7 °2-
i i ' з
8S8 J
СМ т4 -<н СО
S S
8
?- о с- см ю
СО СМ чн -<-с
СО чн чн
т
N О * sj 1П
О) " f I -*
чн esi | I |
ОЗ СО СМ
1 I I
t» Я 1Я Я CO
CO vJH ОЭ 1 ОЭ
vj< СО I
со см чн см чн do
1Л CM CO I I CM
т< Ч Я
СО I
CO CO Г тн I CM
1П 1П I I I I
CO -г?"
о со
4 4-f
1П Щ
CO 1П CM
^ CO I
-54
—7932
7820
184
8003
|-7843
130
| -23
ОЭ
in
CM
ЧН
t
| 479
in
208
-187
136
CM CO
v}< CO
CM
ш
I
со со о ^ ^
О СМ СМ 00 О
СО СО I
со О
00 00 СО
о о см
СМ ' СМ |
со
О
S
ю см см со см ю
СО СО СМ СО I СМ
о со оз
О чн СО
со «о 1
со
§ 3
- I
00
I
¦ со со о
5 со1 М
о
00
CO
I
2J in t^ ^ i>. со t^
О СО СО 1П' t>- I th
, CM -rt I -JJl ^ I со
o-o ' 1 t
о
as
оз
оэ
CO О чн
CO CM
ОЭ ^ tH SJ1
¦^ CO СЯ
я
см vo см см 2
а В о" о P
Ж в ? 11
1-
CM
CM
Й fa w
? v "э N В
Sj Ct) Л Си Си Си
<Ъ " '
3
<Ъ
«
ш
ей
+ II + + +
СМ
1П
см_
сГ
иипвМофэИ
Продолжение табл. 0.4
оо
20
11
02
40
31
22
13
60
33
32
fo
О)
dv/дх+ди/ду
+ (dwldx) (dwldy)
= 8жг/т(приближ.)
+ (dwldx)vlR
+ (dvldx) (dv/dy-wlR)
+ (duldx) (ди/ду)
—6 570
6 515
-55
-139
112
—3
-85
-6260
6334
74
-185
148
37
-2374
2438
' 64
-99
-32
-67
1274
—1327
—53
18
—45
-80
2672
-2750
-78
35
-42
—1
-86
I
so
— cd2w/dx2
— cd2wldy2
— '2cd2wldx dy
гху1
68
68
60
59
942
926
474
471
-153
—168
43
43
—1
30
30
52
52
-78
-78
—35
—36
-t-553
-559
278
284
-1
-1
-64
-68
11
12
21
20
323
318
-163
—161
б) Значения деформаций, вычисленные для b/ecJ=0,95, ютах=29,6 h
0,257
9,33
pq
l0Zpq
io%'
00
4700
20
5200
—3
—264
и
20 300
2 428
-308
27,2
02
-310
253
-20,3
.40
880
33
-17,2
31
1780
372
44
-13,5
22
-1950
188
56
-13,6
13
-460
—102
-6
6,2
60
—20
7
-11,3
33
330
-51
-26
3,1
418
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. б
со
со
о
CD
СО
eg
со
о
со
о
о
1М
о
о
—187
1
269
318
!2
-со
123
1
1
-142
—292
CM
CO
1
О со
1- -CD
1
sf
1
1
eg
CO
1
+
-64
1
CO
CO
1
IM
CO
CM
1
Ю
СЛ
CO
1
Ю
1
CO
1
I
IS
e
•E
b
1
CM
•*
1
1
CO
CM
Ю
- см
-. fu
H c^
+
—63
1
Ю
со
1
127
CM
CO
1
1
1
1
см о
+ II
-1756
о
CM
c€
CM
1
5444
1687
Ш
00
1
%
со
ем
CO
in-
1
-46
s
1
§
1769
Ч11
00
-5465
—1678
CM
CM
en
1
344
CM
Ю
•*
%
+
CO
t~
co
CM
со
—21
СЛ
5?
о
r—
i
5
II
-14
CM
1 ¦
1
138
.""
CO
CM
1
119
со
r—
1
1
№
y)v
+
CO
CM
CO
T
-f
s
CM
1
"¦11
о
CO
1
1-
a.
+
CM
00
CO
eg
^H CO-
COCO
со
CO
*
^ О
1
•^H CO
СЛ
•rt CO
CO
~ g
«Эк Л
^S* со
+ II
1089
o:
о
-1958
-3006
¦¦
CD
CO
СЛ
CM
1
•5
3
t
»ОТХииЬвкйофэИ эй
-1123
CM
J
2045
3051
834
CM
{dwldy
45s
<ъ
si
2-
+
ПГИ"
1
CO
-
CM
о
1
хближ
&
II
edgi
"T
1
-40
-50
1
T
1
Я"
<5
I
+
-18
1
T
s
1
dvldy-
2.
+
,
duldy)
<s
2-
-1
CM
CO
1
CO
со
1
I
8
II
§ 6.3]
УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
419
К
О
К
к
о
к:
с
CO
со
о*
со
со
СМ
СМ
со
о
см
о
-
о
см
о
о
о> о> t>-
CM CD
* 1
CSl
1
N О т<
| оо т
-23
-339
174
СО 00 СП
Vj< t- -r*
1
—54
СП Ю VJH
ю оо ю
00 vj<
S
.eg"
"Н "=* eg
<о <о >
а а «
Я» Я, "8
U U СМ
III
»0Р X
ИЕйгеийофэй
энно,шеИ
•а
со
00
||
it
н
я
g
S
II
-8.
со
К
ft
1
S
чени
ев
К
СО
'и4
со
со
о
со
со
см
см
-со
&
<?
см
о
о
см
о
о
о>
р.
с^
а
о
о
t^
t^
о
чн
о
СО
5150}
§
СП
ю
ю
ю
о
.АЛ СМ
1
1
СО т<
чн
чН чН
со
со
СО |
ч'
г« с»
СО СО
О О
н
чн
,25
о
CS1_
о"
со_
1
о"
со_
csT
1
о
csf
ч-t
v?
со"
1
38,3
127
i
ао
со
1
СО
оо
см
ю
-242
i
CSl
чН.
ю
- С-3 *
1
<§
CS1
СП
ч-t ^
чн
CS1
1
ю
т
1
я
11,4
as
см
«?*
I
+
1
_СМ
СО
со
1
с-
54
—128
со
CS1
СП
1
[б лиж.
II
ииЬвисГофэИ
^
CSl CS1
«~ «
1? "«¦
со со
?. 2-
+ н»
энннв<3
со
1
1
CS1
ю
со
~*
со
.1
я
-128
~*
со
1
си
о
и
1
а?
II
01 X
9иэи
27*
420
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 6
от
о
CD
СО
со
о
о
о
сг
о
00
ЧГЧ
см
см
00
-227
о
1
со
ю
475
1
.
900
1
ю
1
¦5
1
-2
to
СП
см
1
со
СП
00
1
со
т
215
00
о>
ю
1
90S
786
со
ЧГЧ
to
й
2-
+
1
СО
00
1
с
1
ч
со
см
1
со
1
со
1
S
(приближ
?
«Г8
Л
СМ
!>.
1
см
1
со
т
00
1
со.
1
¦5
to
й
2-
+
*(
1
со
\
-чн СО'
1 1
¦чН СЧ
1 1
—14
СМ
1 Т
см
СМ
- s
•
CSj
~| и g
из ^ а
3- S* со5*
+ + II
см
1
1
-42
—429
250
1
duldy
—i—
н
to
ре
[офэИ
a
СП
со
со
со
сЯ
204
to
й
to
+
ЭИ]
см
со
см
-43
со
1
t
II
шед
I
СМ
1
см
1
1
й
+
9иэ
1
дх) {dvldy
5
2-
+
п
СМ
-43
т
dx) {duldy
„(точное)
2- а
+ II
С1
g
СП
S
о»
со
S
см
'В
1
-Эй 3
см
со
1
со
со
СО
S3
135
см
§
г,
'о
1
нпол
со
ЧГЧ
СО
1
1
-208
464
1
Пд хд\спг
СМ
1
1«1оф
леи
§6.3]
УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
421
маний (т. е. не зависящих от координаты z), присутствующие в
выражении для энергии деформации, обращаются в нуль в облас-
области, ограниченной поверхностями стенки оболочки. С другой сто-
стороны, поскольку перекрестные произведения между мембран-
мембранными и изгибными частями деформации, а также компоненты"
Таблица 6.5
Энергии деформаций, вычисленные по приближенной и точной теориям
. 8/8с/
max
Энергия мембран-
мембранных деформаций
Энергия изгибных
деформаций
Приближенная
теория
Точная теория
Приближенная
теория
Точная теория
1,75
53,6ft
0,085
0,353
0,189-
0,190
0,95
29,6h
0,074
0,075
0,137
0,137
0,42
8,3ft
0,070
0,070
0,036
0,036
деформации, пропорциональные z2, в нуль не обращаются, то
вследствие малости указанных составляющих можно также от-
отбрасывать и слагаемые в выражении для энергии деформации,
содержащие эти перекрестные произведения, причем даже для
довольно больших перемещений порядка пятидесяти толщин обо-
оболочки. Полученный вывод совпадает с выводами В. Койтера1) и
других авторов.
Заключение. Среди представленных в таблице 6.5 значений
энергии деформации, которые были подсчитаны в размерности,
характеризующей площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс
(см. рис. 6.10, о), те, что вычислялись с помощью приближенных
выражений для деформаций F.15), практически совпадали с най-
найденными по точным выражениям-(б.И), за исключением значе-
значений энергии мембранных деформаций при очень больших проги-
бых порядка 53,6Л, т. е. более чем в пятьдесят раз превышающих
толщину оболочки. При таком прогибе- приближенное значение
составляет менее четверти точного значения. При несколько мень-
меньшем прогибе приближенное значение энергии мембранных дефор-
деформаций немного меньше, чем точное, но вместе с тем для обычных
случаев применения их можно считать достаточно близкими. Ска-
Сказанное указывает на то, что приближенные выражения для мем-
мембранных деформаций вполне приемлемо учитывают влияние кри-
кривизны и что добавление слагаемого {dw/dxY/2 в выражение для
') См. сноску на с. 390.
422 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
деформации ех и т. п. требуется для прогибов, по-видимому, не
более чем в тридцать раз превышающих толщину. Это ограниче-
ограничение не такое уж серьезное, так как точные выражения для мем-
мембранных деформаций довольно просты и с ними удобно работать,
поэтому указанные точные "выражения будут использоваться в
приводимой здесь самой общей теории тонких оболочек.
Очень важно, что энергии изтибных деформаций, определяе-
определяемые с помощью приближенных выражений для деформаций, весь-
весьма близки тем, что определяются с помощью точных выражений;
причем при самом большом прогибе, превышающем те прогибы,
которые могут встретиться в практических задачах. Это наводит
на мысль о возможности значительного упрощения общей.теории
тонких оболочек, так как в большинстве тех случаев, когда она
применяется, имеются изгибные деформации и те "части дефор-
деформации, которые пропорциональны степеням z более высоким, чем
первая.
Однако, прежде чем делать окончательные выводы, следует
напомнить, что вычисление энергий деформаций представляет
собою процесс осреднения, который может оказаться нечувстви-
нечувствительным к значительным различиям между составляющими де-
, формаций, если при подсчете энергии деформации эти составля-
составляющие взаимно гасят вклад друг друга. В таблице 6.4 представ-
представлены не только значения отдельных слагаемых в. выражениях
для деформаций, но также и сами деформации для широкого диа-
диапазона изменения составляющих форм прогибов.
Займемся сначала сопоставлением изгибных деформаций на
внешней поверхности z — c, приведенных в первой части табли-
таблицы 6.4 для и;тах —&3,6Л. .Наибольшее расхождение наблюдается
в окружных деформациях, для которых приближенное выражение
имеет простой, вид—сдгю/ду2, а точное значение деформации
обозначается через evl и определяется из выражений F.11). Но
даже и здесь наибольшее расхождение значений составляет около
9% для pq = 02 и 6°/<гдля pq— 13; для очень" малых деформаций
максимальное расхождение не превышает одного процента. Сред-
Среднее расхождение для всех изгибных. деформаций составляет два
процента, для малых деформаций — один^процент. Эти величины
для таких очень больших прогибов определенно указывают на
неоправданность сохранения исключительно точных выражений
для изтибных деформаций в общей теории тонких оболочек. Для
несколько меньших прогибов и>тах, равных 29,6fe и 8,3h, точные
значения изгибных деформаций не по дочитывались, так как мож-
можно предположить, что при таких прогибах расхождение было бы
ещё меньше.
Интересно отметить, что приближенные выражения для из-
изгибных деформаций, использованные в описанном сопоставлении,
совпадают с такими же выражениями" для плоских пластин, где
не • учитываются ни большие прогибы, нп начальная кривизна.
§ 6.3] УПРОЩЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ 423
Как уже отмечалось ранее, при мал'ом числе окружных волн сле-
следовало бы рассмотреть влияние начальной кривизны. Усложнения
точных выражений связаны главным образом с учетом влияния
больших прогибов, и в дальнейшем они не будут приниматься во
внимание, но, поскольку это сравнительно просто, будет остав-
оставлено все, что связано с учётом начальной кривизны.
Сопоставление точных и приближенных выражений для 'мем-
'мембранных деформаций также обнаруживает большие расхождения
при больших прогибах. Довольно большие расхождения имеют
место и при средних прогибах «w = 29,6fe, но при этом обнару-
обнаруживается довольно хорошее совпадение при малых прогибах.
Это указывает на то, что приближенные выражения F.15) не
следует использовать при прогибах, в восемь или десять раз пре-
превышающих толщину, по крайней мере в случае исследования ло-
локальных условий. ¦
Важно отметить, что, как видно из таблицы 6.4, различие меж-
между приближенными и точными значениями деформаций .не свя-
связано с дополнительными членами, появляющимися только в точ-
точной теории и имеющими тот же порядок величины, что и члены,
общие для двух теорий. На самом деле дополнительные члены,
включающие перемещение v, составляют по абсолютной величине
в среднем около 3% от величины общих членов, а дополнитель-
дополнительные члены, включающие перемещение и, намного меньше этих
членов. Простое- сравнение порядков величин различных членов
могло бы привести к полностью ошибочному впечатлению, что
дополнительными членами можно пренебречь. На самом же деле
они являются существенными, потому что общие для обеих тео-
теорий члены практически взаимно уничтожаются, а дополнитель-
дополнительные члены, содержащие перемещение v, имеют тот же порядок,
что и их разность. Дополнительные члены, содержащие переме-
перемещение и, малы даже по сравнению с этими разностями и в дан-
данном случае могут быть опущены без серьезной погрешности. Од-
Однако в общей теории оболочек различие между перемещениями
к и у не так легко обнаруживается, а удержание членов с этими
Двумя перемещениями ненамного сложнее, чем удержание толь-
только одного члена. ,
Упрощенные выражения для деформаций. Как уже отмеча-
отмечалось выше, упрощение точных выражений для деформаций будет
проводиться" путем- комбинирования довольно простых точных
выражений F.8а) для мембранных деформаций с такими же про-
простыми выражениями для изГйбных деформаций, получаемых
линеаризацией тех входящих в точную теорию слагаемых дефор-
деформаций, которые содержат координату z, и отбрасыванием членов,
содержащих более высокие степени z._ В большинстве случаев
обнаруживается, что достаточно сохранить знаменатели в выра-
выражениях F.8) для деформаций, умножив числители каждого сла-
слагаемого соответственно на 1 + 2az/A +..., 1 + ibzlB +.... 1 +
424 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
+ b/B)z + ... и затем, отбросив слагаемые, содержащие
координату z и являющиеся нелинейными по перемещениям или
по производным от них, а также все члены, содержащие высшие сте-
степени z. Допустимость подобных операций обосновала не только
малостью, как было найдено выше, величин этих членов, но так-
также и полным исследованием влияния таких членов, сделанным
ниже при выводе уравнения F.36).
Так как функции т, п, I и s в выражениях F.4) всегда умно-
умножаются на z, можно положить, что s— 1/A + I) » 1 — I, U=u —
— hz, V = v — kz, W = m + z и т. д. Таким образом, получаем
следующие гораздо более простые выражения для деформаций:
eg = / + (i2 + /2 + /Ь2)/2 - /cPz, F.18)
. '' ' Ea» = g + i + fi + gj + hk-Vh + ka)z,
где: '
/ => (ди/да — вли — cv)/A, g = (dy/da + си)/А,
. i =*(du/d$ + dv)/B, i={dv/d$-bv-&u)/A,
ha = (dh/да -ek- &f)/A, h = (dw/да + &u)/A,
ka = (dk/da + ck-ag)/A, к = (dw/d$ + bv)/B, F.19)
A, = {dh/d$ + dk- Ы1/В,
Arp = (дкЩ -Ah- bj)/B.
Физический смысл двух функций fes и ка, стоящих в выражениях
для деформаций сдвига при изгибе, будет указан ниже
(рис. 6.13, г).
Эти соотношения для произвольных оболочек, связывающие
деформации и перемещения, справедливы для любых практиче-
практических задач, включая задачи для тонких оболочек из обычных кон-
конструкционных материалов, работающих в упругой области. Мож-
Можно отметить, что в примере Б. Элмроза, на котором основывается
сделанный вывод, предполагалось, что материалы имеют макси-
максимальное значение относительной деформации порядка от 0,001
(малоуглеродистая сталь), до 0,01 (высокопрочные стали, жесткие
пластики и т. п.). Выражения F.8) не ограничены такими малы-
малыми деформациями, и поэтому они могут быть полезны при иссле-
исследовании резиноподобных" материалов или обычных материалов
при пластическом течении, где деформации могут иметь величину
порядка единицы.
Однако ниже будет предполагаться, что деформации малы по
сравнению с единицей, как и в упомянутых выше материалах,
но из осторожности на. промежуточных этапах выкладок не будут
отбрасываться деформации, сравнимые с единицей, это будет
делаться на последнем этапе, а до этого этапа все деформации
предполагаются еущественными. Более общие исследования кон-
g 6.4] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 425
струкций с деформациями порядка единицы приводят к большим
теоретическим усложнениям, что явно указывает на необходи-
необходимость изменения формулировки или замены закона Гука (даже
если материал является упругим и для определения деформаций
используются выражения F.7) и F.9)). Подобные рассмотрения
выходят за рамки данной книги.
Общие выражения F.18) для деформаций оболочек, записан-
записанные через перемещения и, v и w, а также функции масштаба и
кривизн А, В, a, Jb, с и d (см. рис. 6.3) легко применяются к обо-
оболочке произвольного типа подстановкой соответствующих значе-
значений а, §, А, В, a, b, с и d из таблицы 6.2. Например, для цилинд-
цилиндрической оболочки, взяв в качестве окружной координаты $ = у,
получим
dv w Г/ dw v у (d^ w у f ewY]L_
:, F.20)
d2w
dv . du . dw I dw v \ . dv I dv '" I i
x" dx ¦ du dx I du R I dx \ du R '
_du_ _du_ _ К
~dx dy \
d2m ,1 dv1 du
_
dxdy "г" R dx R dy
Представление об относительной важности членов, стоящих в
этих выражениях для определенных случаев, можно получить из
рассмотрения приведенных в таблице 6.4 результатов. Дальней-
Дальнейшие возможные упрощения будут обсуждены ниже в § § 6. 5 и 6. 6.
§ 6.4. Общие уравнения равновесия тонких оболочек
Для случая упругого материала, когда материал следует зако-
закону Гука, явные решения можно получить, рассмотрев вместо урав-
уравнений равновесия принцип возможных работ, воспользовавшись
выражением F.14) для энергии упругой деформации и вы-
выражениями F.18) для деформаций. Однако энергетические методы
имеют много недостатков таких, как тот, что с их помощью мож-
можно получить решения только в виде рядов, которые в случае ис-
исследования локальных явлений сходятся, как уже отмечалось ра-
ранее, медленно. Поэтому в данном параграфе будут полуяены об-
общие уравнения равновесия тонких оболочек. Для tojo чтобы при-
придать, выбираемым соотношениям между деформациями и перемеще-
перемещениями необходимую общность, будем стараться сначала вводить
только такие допущения, которые соответствуют основополагаю^
426 . КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
щей гипотезе Кирхгофа — Лява, в результате придем к упроще-
упрощению, которое, как было показано выше, является справедливым и
которое связано с игнорированием влияния больших прогибов
на изгибные деформации, при этом оболочки считаются тонкими,
а деформации — малыми.
Теоретически уравнения равновесия могут быть получены из
рассмотрения энергии деформации с помощью методов вариацион-
вариационного исчисления, но, как уже говорилось в первой главе, это будет
нелегко сделать, используя громоздкие выражения F.8) или F.18)
для деформаций; кроме того, в этом случае физический смысл
будет менее ясен, чем при непосредственном получении этих урав-
уравнений, как это будет показано ниже из простого—рассмотрения
условий равновесия.
Влияние кривизн и деформаций. Поскольку деформации и
напряжения определялись через начальные длины к площади, .то
при определении -величины сил, приложенных к сторонам малого
элемента стенки оболочки, необходимо принять во внимание толь-
только его исходную геометрию. Но при подстановке этих сил в усло-
условия равновесия необходимо определить их плечи, направление и
линии действия, а также их зависимость от окончательной гео-
геометрии элемента.
Соотношения, связывающие напряжения и деформации. Для
дальнейшего потребуются соотношения, связывающие деформа-
деформации, выражения для которых уже получены, и напряжения для
подстановки их в уравнения равновесия. Для случая упругого
материала, который здесь рассматривается, эти соотношения, ра-
разумеется, определяются законом Гука. Поскольку направления а
и р взаимно перпендикулярны, как и направления х и у, для ко-
которых были записаны соотношения C.5) и C.11а) — (З.Ид), то
можно воспользоваться этими выражениями закона Гука, подста-
подставив в них индексы а и $ вместо индексов х и у.
Но здесь встает вопрос, до некоторой степени ставящий в
тупик,— является ли приемлемым условие плоского напряженного
состояния для стенки оболочки, т. е. oz= 0, как это делается в те-
теории пластин и что является общепринятым в теории оболочек?
Или необходимо использовать соотношения между деформациями
и напряжениями для плоского деформированного состояния, т. е.
испб*льзовать условие ег= 0, поскольку при реализации гипотезы
Кирхгофа — Лява нормали считаются нерастяжимыми при дефор-
деформациях и именно это условие действительно выполняется?
В действительности же напряжения аг всегда возникают (и
при этом здесь они могут иногда играть более заметную роль,
чем в теории пластин, поскольку эти напряжения вызываются,.
очевидно, составляющими в поперечном направлении напряже-
напряжений <та или Op, когда вследствие начальной ,кривизны между
этими напряжениями, возникающими на противоположных
кромках малого элемента,"" образуется угол, отличный от
§ 6.4] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 427
180°)." Кроме того в действительности в этом случае возникают и
деформации ег, обусловленные главным образом влиянием эффек-
эффекта Пуассона при больших напряжениях аа и о>. Но учет этих,
действительно имеющих место напряжений и деформаций также
привел бы к слишком большим усложнениям (эти сложности
встретятся в следующей главе при исследовании задач о толстых
оболочках, где эти напряжения и деформации слишком значи-
значительны, чтобы ими пренебрегать, но учитываться они будут толь-
только для случая малых прогибов).
Можно было бы согласиться, что с точки зрения выполнения
условия совместности деформаций уместнее было бы использо-
использовать теорию для плоского деформированного состояния, но сов-
совместность становится бессмысленной при сопоставлении одного
приближения (игнорирование малых поперечных деформаций для
упрощения соотношений между перемещениями и деформациями)
с другим, полностью не связанным с этим приближением (игнори-
(игнорирование неизвестных поперечных деформаций или напряжений
для того, чтобы упростилось соотношение между деформациями и
напряжениями в направлениях осей аир). __^
Единственным, что действительно известно, является-то, что
для тонких оболочек напряжения az будут малы по сравнению*с
напряжениями <та и ае. Рассмотрим, например, влияние величины
отношения толщины к радиусу оболочки на связь между этими
напряжениями. Простейшей проверкой этому является элементар-
элементарная котельная теория, т. е. случай тонкостенного цилиндра ради-
радиуса R, нагруженного равномерно распределенным внутренним
давлением р; в этом случае среднее окружное напряжение равно.
Ш/Юр, тогда как величина поперечного нормального напряжения
изменяется от нуля до р. Влияние величины отношения толщины
цилиндра к длине полуволны распределенной нагрузки может
быть оценено на примере свободно опертой балки длиной I с рав-
равномерно распределенной нагрузкой р, в этом случае величина
максимально изгибающих напряжений превышает (l/h)*p, тогда
как величина поперечного нормального напряжения также изме-
изменяется от нуля до р.
Таким образом (за исключением условий локального характе-
характера таких, как те, что возникают в окрестности сосредоточенной
нагрузки, которые нельзя рассматривать по классической теории,
но которые можно уточнить аналогично тому," как это сделано
Для случаев, представленных на рис. 3.15 и 5.12), становится
очевидным, что напряжения о2 стремятся к нулю по сравнению
с напряжениями оа и о>, когда толщина оболочки стремится к
нулю по сравнению с другими ее размерами. С другой стороны,
если вводится допущение о том, что поперечные нормальные- де-
деформации равны нулю, то при этом фактически допускается су-
существование напряжений а2, которые необходимы для того, чтобы
сделать эти деформации равными нулю, хотя.действительные на-
428 КЛАССИЧЕСКАЯ-ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. В
пряжения о» определяются из совершенно иных соображений и
являются, почти как правило, значительно меньшими и вполне
определенно не противоположными но направлению тем напря-
напряжениям, которые требуются, чтобы сделать деформации равными
нулю. w
Таким образом, наилучшим приближением, которое может
быть сделано и которое может рассматриваться как прекрасное
приближение для случая" тонких оболочек, является предположе-
предположение о том, что стенка оболочки находится в условиях плоского
напряженного состояния, откуда следует, что выражения C.116),
заменив жиг/ соответственно на ее и Р, можно представить в
следующем виде:
Силы и моменты, приложенные к сторонам малого элемента.
На рис. 6.11 показана срединная поверхность и две задние сто-
стороны малого элемента оболочки до деформирования. Площадь
Рис. 6.Н..
показанной на рисунке заштрихованной малой площадки грани, нор-
нормальной к оси а, равна [В d$ — (bd$)zldz = (B — bz)d$dz. В соот-
ветствии с тем, как это обычна делается (и как делалось при
изложении теории оболочек), обозначим через F и М соответ-
§ 6.4] ¦ ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 429
ственно силы и моменты, отнесенные к единице длины попереч-
поперечного сечения вдоль срединной поверхности. Тогда полная нор-
нормальная сила на этой стороне элемента равна
с
FaB d$= j аа {В — bz) fZp* dz,
—с
и аналогично определяются силы F, а также моменты, приложен-
приложенные к остальным сторонам, откуда имеем
F.22)
с с
а = J (l — -JL ZJ zcradz, ifafJ = J (l - ~ zj zgraPdz.
Выражения для сил F$, Fpa и моментов М$,М$а можно найти из
этих же выражений, заменив а, а и А соответственно на §, b и В.
Индексы при обозначающих силы и моменты буквах F и М
имеют (что было и ранее и что является общепринятым) тот же
смысл, что и такие же индексы при определяющих эти силовые
факторы напряжениях: первый индекс соответствует направле-
направлению нормали к поверхности, на которой действуют напряжения,
а второй — направлению напряжения; когда оба направления
совпадают, используется только один индекс. (В случае моментов
можно было бы выдвинуть доводы в пользу того, чтобы второй
индекс соответствовал направлению координатной оси, особенно
когда моменты изображаются,- как на рис. 6.12, в векторной
форме, но это привело бы к путанице в обычных, используемых
на практике обозначениях для других величин.) - .
Для тонких оболочек может оказаться законным для упроще-
упрощения выражений F.22) пренебрежение стоящими в скобках члена-
членами bz/В й slz/A по сравнению с единицей, при этом получаем
F»a = Fan и Мца = Мац. Для оболочек, представленных в таблице
6.2, члены bz/В и aiz/A равны либо .нулю, либо отношению попе-
поперечной координаты z (которая не. может быть более полутолщины
оболочки) к радиусу кривизны. Если же упомянутые члены
Удерживаются, то в выражениях для сил F будут присутство-
присутствовать члены вида Ъ/В или а/А, умноженные на изгибные деформа-
деформации, а в выражениях для моментов М аналогичные члены умно-
умножаются на мембранные деформации.
Возникает вопрос, могут ли эти члены стать существенными,
когда часть из этих деформаций значительно больше остальных
деформаций, например когда число окружных волн, возникаю-
возникающих при деформациях цилиндрической оболочки, очень мало или
очень велико. Но в элементарном случае цилиндрического котла,
430 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК _ [ГЛ. 6
когда число этих волн равно нулю, эти члены характеризуют
только приближенное изменение окружных напряжений по тол-
толщине и являются важными в случае толстых цилиндров, но пре-
пренебрежимо малы в случае тонкостенных цилиндрических, оболо-
оболочек. А если число окружных волн достаточно велико и указанные
члены становятся существенными, то длина волны деформации
уже не будет велика по сравнению с толщиной, что является од-
одним из требований, предъявляемых при использовании классиче-
классической теории оболочек.
В силу сказаннего здесь будут использоваться именно прибли-
приближения, поэтому в выражениях F.22) для сил F и моментов М
будут бпущены слагаемые вида bz/В и az/A. Однако, учитывая,
что малые члены могут оказаться довольно существенными на
заключительных этапах- вывода уравнений, в дальнейшем будет
проведен полный анализ. влияния этих членов при получении
уравнения F.36). Имея в виду, что, как обнаруживается, эти чле-
члены являются пренебрежимо малыми, не будем учитывать и влия-
влияние на изменение плеча сил в выражениях для моментов, очевид-
очевидно, менее существенных поперечных деформаций.
Если ввести эти упрощения в выражения F.21) для напряже-
напряжений и выражения F.18) для деформаций и проинтегрировать эта
выражения, то получим следующие выражения отнесенных к еди-
единице длины" поперечного сечения сил и моментов через деформа-
деформации, а следовательно, и перемещения:
^a=^(<5am + VEpm), Fq = С (еРт + V8am),
_ F.23)
М а3 = М Pa = - -Цр D (ft, + ft.),
где eam, eg™ и eesm можно взять такими же, как и еа, е» и еаР,
определяемые выражениями F.8а) при z = 0; Aa, ht, ka и kp
определяются из выражений F.19); С и D — соответственно мем-
мембранные.и изгибные жесткости стенки оболочки, равные
2Ес „
Если воспользоваться значениями А, В, а,.Ь, с и А, взяв их из
первой строки таблицы 6.2, то приведенные выражения сведутся
к соответствующим выражениям D.14) и D.16) для пластин.
Умножив эти выражения для отнесенных к единице длины
поперечного сечения сил и моментов на длину по срединной
поверхности той стороны малого элемента, на которой они дей-
действуют, получим выражения для суммарных сил и моментов, дей-
действующих на малый элемент (см. рис. 6.12, а и 6.12," б). Сила,
§ 6.4]
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
431
действующая на сторону oq в направлении а, равна BFad$.
На сторону, противоположную стороне oq, которая отличается от
последней изменением координаты а на da, действует сила, рав-
равная {BFa + [?(BFa)/da,]da}d$, аналогичные выражения могут быть
b,dfli Ве„,ЛЗ \Asazda . ddfi\ л,Л* j^W*
'о)Л^(и)
s)
V^-s. \/AF,da ^p^^^^jf.
eFaap
В dp
q<ASfr,tfad/
'AM^dcc
Рис. 6.12.
получены для остальных сил и моментов, действующих на сторо-
стороны, противолежащие сторонам oq и ор. Вследствие использования
гипотезы Кирхгофа — Лява нельзя записать аналогичные выра-
выражения для отнесенных к единице- длины поперечного сечения
поперечных сил Fat и Р$г, но они существуют, и их необходимо
учитывать при рассмотрении уравнений равновесия (из которых
можно определить их величину), хотя в задачах о тонких обо-
оболочках, для которых гипотеза „Кирхгофа — Лява является хоро-
хорошим приближением, они должны быть малы по сравнению с
силами Fa, Ft и Fa!>. " .
Из рисунков видно, что полные силы* и моменты вызываются
отнесенными к единице площади внешними силами и моментами
р, /а и т. д. Моменты могут вызываться и касательными силами,
направленными в противоположные стороны по верхней и ниж-
нижней поверхностям, при этом результирующие силы могут быть
равны разности между такими касательными силами или, как в
432 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
случае нормальной нагрузки р, нормальными силами, действу-
действующими на верхнюю или нижнюю поверхности (классическая тео-
теория оболочек нб делает различия между этими случаями), а так-
также объемными (типа сил притяжения) и инерционнными силами.
Относительные перемещения и повороты сторон элемента
после деформирования. На рис. 6.12, в и 6.12, г показаны соответ-
соответствующие перемещения и повороты той стороны малого элемента
стенки оболочки, на которой они изображены, относительно про-
противоположной стороны. Как уже говорилось ранее, для того что-
чтобы эти выражения можно было использовать в уравнениях рав-
равновесия, в них должны входить начальные перемещения и пово-
повороты, а также вызываемая ими деформация. Ниже будет показа-
показано, как получаются такие выражения.
Обращаясь к рис. 4.8, который аналогичен рис. 6.12 для част-
частного случая плоских пластин, можно видеть, что все перемеще-
перемещения и повороты содержат только одно приращение dx или dy
координат, чему в общем случае соответствует A da или В dp.
В общем случае выражения для перемещений и поворотов долж-
должны содержать те же члены, что и в случае плоских пластин, и не-
некоторые дополнительные члены. Поэтому любые дополнительные
члены, содержащие более одного приращения da или d$, можно
опустить как малые величины более высокого порядка, которые
в пределе обращаются в нуль при стремлении величины прира-
приращения к нулю. Поэтому синусы или тангенсы, а также косинусы
углов поворотов можно брать равными соответственно самим уг-
углам или единице. Поэтому теми частями перемещений, которые*
содержат деформации, уже включающие в себя одно из прираще-
приращений координат и любое изменение его,' обусловленное кривизной,
можно пренебречь, как в случае плоских пластин.
Перемещения входят в уравнения равновесия только как
плечи сил, действующих на противоположных сторонах малого
элемента. На рис.- 6,13, а показано поперечное сечение элемента
и соответствующие силы. Можно видеть, что любое плечо для
силы Fa и любая разность между величиной Ada и плечом силы
Fax будет содержать более одного приращения da, поэтому этими
членами можно пренебречь. Таким образом, выражения для пере-
перемещений совпадают с такими же для плоских пластин
(см. рис. 4.8, а), если в последние вместо dx и dy подставляются
соответственно Ada vi Вd$, а в индексах вместо х и у — соответ-
соответственно а и р. На время в выражениях для перемещений в на-
направлениях аир удерживаются члены A + еат) и (l + eSm), по-
потому что позже при составлении уравнения равновесия моментов
относительно оси z большая часть слагаемых взаимно уничтожа-
уничтожается и остаются члены»содержащие деформации.
Как и в случае плоских пластин, остаются неизвестными зна-
значения деформаций поперечного сдвига eaz и Ерг, которыми до сих
пор пренебрегали в соответствии с гипотезой Кирхгофа — Лява.
§ 6.41
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
433
Их средние значения можно определить, разделив средние зна-
значения касательных напряжений Faz/h и Ft.zlh при поперечном
Ada
Обусловленный деформацией
увол поворота относительно
оси /3
Ada
VTada
Ada
(A±°-~dB)da
Op
= (A-Bcd/3)da
, (A-az)*
Нормаль и_ ; <xda(eaJ5m-k z)
срединной Ц '
поверхнооти\ шуслоВпенный
8 точке р деформацией
do i/после увол поборота
деформаций относительно
оси а
Asamda
'•Обусловленный
дформсгцией р
увол поворота
dfi
, s-.y уволпооорота ,<r,,,xh
шг/юн* относительно <а ог>П/з
(A-az)ka
д) . г)
Рис. 6.13.
сдвиге на модуль сдвига G — E/2A + v). Используя обозначения
F.23а), получаем
2
-«-1--V-TT' --1-V-T- ^6-236)
Однако любые члены, содержащие поперечные сдвиги, очевидно,
являются несущественными для того случая, когда применима
гипотеза Кирхгофа — Лява, за исключением, возможно, задач о
потере устойчивости, где эти деформации умножаются на конеч-
конечные значения сил, вызывающих потерю устойчивости.
Поворот вокруг оси Р стороны, противоположной стороне oq,
относительно стороны oq показан на рис. 6.13,6. На рисунке
представлен вид стороны ор малого элемента, содержащей при-
принадлежащую срединной поверхности саму линию ор и нормали
к срединной поверхрсти в точках о и р (которые являются угло-
угловыми точками для малого элемента). Разумеется, в общем случае
сторона элемента не является плоской поверхностью ни до, ни
после деформирования, но отклонение от плоской1 формы поверх-
поверхности будет пропорционально da, и влияние его на последующий
анализ будет малой величиной более высокого порядка.
28 Л. Г. Доннелл
434 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
Угол Между нормалями, проведенными к срединной поверхно-
поверхности в точках о и р, первоначально будет равен a da. Дополнитель-
Дополнительный угол поворота при деформировании вызывается относитель-
относительной деформацией еа = ъат — haz, которой соответствуют различ-
различные суммарные деформапии в волокнах, лежащих на различных
расстояниях z от срединной поверхности. Как видно из рисунка,
этот угол с учетом выражений F.8а) и F.19) равен
[A datam — {A — »z)dd{zdm — haz)]/z. Прибавляя к этой величине
начальный поворот a da и отбрасывая слагаемые az/A и ъат,
как малые по сравнению с единицей величины, что имеет место
,в случае тонких оболочек и при рассмотрении малых деформа-
деформаций, получим, что суммарный относительный поворот равен
i + Ah)d
Любой начальный поворот вокруг оси а стороны, претиволе-
окащей стороне oq, относительно oq представлял бы кручение, ко-
которое здесь равно нулю, поскольку oq является линией кривизны.
Соответствующий поворот, связанный с деформированием, не-
несколько труднее поддается анализу, поскольку на этот поворот
оказывают влияние условия, действующие в трехмерном про-
пространстве, а не в двумерном, как это, по существу, имело место
в предыдущем случае. Однако окончательную картину деформи-
деформирования можно представить в том же духе, что и в предыдущем
случае.
На рис. 6.13, в ¦ показано действительное положение после
перемещения грани малого элемента, 'содержащей отрезок oq
(здесь снова оставляется без внимания тот факт, что эта грань
уже больше не является плоской). Благодаря тому, что началь-
начальное кручение элемента равно нулю, в начале перемещения (в
течение которого эта сторона будет полагаться недеформируемой)
проекция нормали к срединной поверхности в точке р на этом
рисунке будет совпадать с нормалью, проведенной через точку о
(влияние кривизны, учитываемое коэффициентом с, является ве-
величиной более высокого порядка малости и имеет1 порядок квад-
квадрата величины da). Из-за Возникновения при перемещениях
мембранных деформаций сдвига eapm проекция нормали, прове-
проведенной через точку р, будет смещаться относительно нормали,
проведенной через точку о, на расстояние A da eapm, не завися-
зависящее от z.
Кроме того, будет возникать и перемещение, пропорциональ-
пропорциональное координате z и части — kaz поперечной сдвигающей дефор-
деформации; другая часть — h$z изгибной деформации не влияет на
перемещение. На рис. 6.13, г показано, почему это происходит.
Поперечная сдвигающая деформация вызывает поворот на вели-
величину (А — &z)ka грани элемента, содержащей ор,-. относительно
оси ор в указанном на рисунке направлении, вызывающий опи-
описанное выше перемещение, и новорот (S — bz)h$ грани элемента,
содержащей oq, относительно оси oq; этот поворот не влияет
J 6.4] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 435
на изученное" выше перемещение, так как это перемещение про-
происходит в направлении; перпендикулярном плоскости рис. 6.13, в.
Как распределяется при этом деформация поперечного сдви-
сдвига видно из обозначений ка и йв в выражениях F.19), откуда
следует, что главным членом в ка является (l/A)d[(l/B)dw/d$]/d<x;
физически он означает скорость изменения в направлении оси а
угла наклона срединной поверхности к оси f} и соответствует
тому типу поворота содержащей ось ор Стороны малого элемен-
элемента, который показан на рисунке. С другой стороны, главным
членом в выражении для Лв является (l/B)dUl/A)dw/da]/d$, ко-
который характеризует скорость изменения в направлении оси [J
угла наклона к оси а и соответствует показанному на рисунке
повороту сторрны, содержащей ось oq, но он не дает вклада в~
поворот стороны, содержащей ось ор. Интересно также отметить,
что величина ка появляется в члене G, фигурирующем в выра-
выражениях F.82, таК'же как и член д/да, присутствующий в выра-
выражении для мембранной сдвигающей деформации, где предпола-
предполагается, что величина G в действительности описывает возникаю-
возникающее вследствие сдвига перемещение содержащей ось ор стороны
малого элемента, тогда как член / из выражений Х6.8) аналогич-
аналогичным образом описывает перемещение стороны, содержащей ось
oq. Если разложить ка в ряд по функциям от перемещений, то
обнаружится, что выражение Для ка не содержит функции от
перемещения и (которое может вызвать угловое перемещение
стороны, содержащей ось oq, а не ось ор), а является только
функцией от перемещений w и v (которые могут вызвать угло-
угловые перемещения стороны, содержащей ось ор). Аналогично, вы-
выражение для hg содержит только перемещения w я и. - ¦
Тогда из рис. 6.13, в, показывающего перемещения вследст-
вследствие упомянутых выше причин, можно видеть, что поворот нор-
нормали, проведенной через точку р, относительно оси а (а отсю-
отсюда — и стороны, противоположной той, которая содержит отрезок
ор) равен [Adaеа$т —(A — az)da(Ea»m — kaz)]/z. Представляя это
выражение в виде ряда и в случае тонких оболочек пренебрегая
в этом разложении малыми по сравнению с единицей слагаемы-
слагаемыми az/A, получим, что этот поворот равен (Ака + asaRm)da.
Окончательно начальный угол поворота вокруг реи z грани,
противоположной той, которая содержит отрезок oq, относитель-
относительно последней (см. рис. 6.11) равен (dA/d$)da,/B = —cda( Допол-
Дополнительный поворот, обусловленный деформацией, показан на
рис. 6.13, д. Можно видеть, что он равен [д{Аеат)д$]йа/В. При-
Прибавляя к нему начальный поворот, получим {dlA(l+Eam)]/d$}da/B;
зто выражение совпадает с выражением для начального поворо-
поворота, если считать деформации пренебрежимо малыми по сравне-
сравнению с единицей. Выражения для поворотов стороны, противопо-
противоположной той, которая содержит отрезок ор, относительно. послед-
последней находится аналогичным образом.
28*
Уравнения равновесия произвольной оболочки
Таблица 6.6
О Внешние
силы и
моменты
1
2
3
4
5
6
ABf*
ABffi
АВр
АВта
ABrho
2) Изменение сил и момен-
моментов по ширине малого
элемента
d{BFa} д(АР^)
да ^ ар
d(AF?) d{BF^)
^' ар ^ да,
d(BFaz) д(АМ^а)
да ^ ар
^д(ВМа) О(АМ^а)
'да ар
а(АМ$ d{BMafi)
ар да
3) Составляющие сил и моментов, возникающие на ¦
противоположных краях и обусловленые углами
между гранями элементов
+ AFfid - BFa(ic - BFaz (a + Aha) -
+ BFac - ^pad _ AF^ (b + Bk^) -
-^az(^a+a6apm)=0
+ BFa (a + Aha) + AFp (b + Bk? +
+ ^»'аЭ (*a + eaPm j) + ^^(fcp + г^п |)= 0
+ B.Wac - AWpad -
+ ^p (*э + 8apm |) - ^a [К + 8aPm 3) +
4) Моменты, обусловленные
возникающими на противо-
противоположных гранях силами
-AB(Faz + F^a^m-
-AS(Fp2 + Fa2eapm-
- Vp* ~ Fap6az) = °
+ ^«A + ePm)-
— Fa$ A + earn) —
-eaPm(^p-'P'a) = 0
§ 6.4] / ' ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 437
Уравнения равновесия. Представленные на рис. 6.12 соот-
соотношения можно теперь использовать для записи шести уравне-
уравнений равновесия, которые устанавливают тот факт, что суммы
всех сил, действующих на малый элемент стенки оболочки в
направлении осей а, [} и z, a также всех моментов относительно
осей а, р и 2, равны нулю. Эти шесть уравнений приводятся в
таблице 6.6. Каждое слагаемое, представленное на рис. 6.12, со-
содержит множитель da df} (слагаемые, содержащие произведения
приращений более высокого порядка, отбрасываются как малые
величины более высокого порядка), поэтому уравнения делятся
па этот сомножитель, причем пятое уравнение делится на —1,
шестое уравнение — на АВ. Настолько, насколько это возможно,
те члены уравнений, которые представляются главными, ставятся
на первое место, а те, которые представляются менее существен-
существенными,— на последнее место.
Аналогично тому, как это было сделано при выводе уравне-
уравнений D.8), ниже приводится перечень четырех типов членов урав-
уравнений.
1) Внешние силы и моменты. После деления на da, d$ силы
п моменты в соответствии со сказанным ранее имеют вид ABfa,
ABfp, ABp, ABma, АВте, 0. Среди них сила АВр, которая дей-
действует в направлении нормали к поверхности оболочки и которую
можно представить как давление, приложенное к верхней по-
поверхности; она является одной из наиболее часто встречающих-
встречающихся в практических задачах. По краям могут быть также прило-
приложены другие внешние силы и моменты, но они не воздействуют
на рассматриваемый произвольный малый элемент стенки не-
непосредственно, а просто образуют один из силовых Е. или момент-
ных М факторов, действующих на крае этого элемента.
2) Изменение сил и моментов по ширине малого элемента.
Рассмотрим для примера силу BFad$, действующую на стороне
oq в направлении оси а, и ту же силу плюс добавок
ld(BFa)/daldd d$, действующие на противоположной стороне.
Главные части BFad$, содержащие только приращение d$ одной
координаты, уравновешиваются по обеим сторонам, за исключе-
исключением малых составляющих этих сил, направленных по осям [J
и z и ¦ равных произведению величины этих сил на малые углы
с da и (а + Л/га)йамежду гранями малого элемента, на которых
они возникают, и, следовательно,— между ними; эти силы рас-
рассматриваются ниже в пункте 3). Изменение силы, действующей
в направлении а, без .учета составляющих, обусловленных этими
малыми углами, равно ld(BFa)/da\da d$; так как здесь уже при-
присутствуют два приращения da и d$', то влиянием этих углов,
каждый из которых содержит еще одно приращение, можно пре-
пренебречь как "величинами более высокого порядка малости. Та-
Таким образом, после деления на da d$ остается только действую-
действующая в направлении оси^а сила d{BFa)/da. Перечисленные во вто-
438 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
ром столбце таблицы 6.6 силы л моменты подобного типа явля-^
ются наиболее ванфыми в любой теории оболочек.
3) Составляющие сил и моментов, возникающие на противо-
противоположных гранях и обусловленные наличием угла между ними.
Две силы подобного типа-, представленные в третьем столбце
таблицы 6.6 для второго и третьего уравнений, были определены
в предыдущем пункте. Некоторые из сил и моментов подобного
типа являются важными для всех теорий оболочек, а некоторыми
можно пренебречь во всех теориях в зависимости от величин
сил и углов между ними.
Как уже отмечалось выше, поперечные силы Fax и FBz долж-
должны быть малы по сравнению с силами Fa, Ff и Fa$ в случае
тонкой оболочки. В задачах устойчивости одна или обе из этих
сил зызывают выпучивание и являются конечными по величине,
тогда как деформации, а также силы и моменты, возникающие
при перемещениях, связанных с потерей устойчивости, все еще
остаются бесконечно малыми. В выражениях для углов вели-
величины Aha, Вк$ и т. д. являются, как правило, малыми по срав-
сравнению с а, Ь, с и d в задачах о малых прогибах, но они могут
увеличиваться и становиться почти столь же или даже более
важными в задачах о больших прогибах. Члены, содержащие
произведения деформаций на кривизны, по-видимому, никогда
не играют большой роли.
4) -Моментные пары, обусловленные силами, приложенными
на противоположных гранях, и перемещениями граней, на кото-
которых они возникают, как плечей этих пар. Например, главные
части сил AFfiXda при перемещении Вга$т вдоль оси а тех гра-
граней, на которых они возникают, дают момент ABF^za(im относи-
относительно оси $. Как и ранее, можно доказать, что влияние изме-
изменений сил и углов между гранями являются малыми величинами
более высокого порядка. Вновь, как и ранее, некоторые из по-
подобного типа слагаемых, приведенные в таблице 6.6, оказыва-
оказываются важными, некоторые — нет в соответствии с критерием,
обсуждавшимся в предыдущем разделе.
§ 6.5. Упрощения и решения общей теории
тонких оболочек
В этом параграфе будут рассматриваться возможности упро-
упрощения соотношений общей теории оболочек, полученных выше,
и условия их разрешимости.
Общие методы и-условия получения решений. Соотношения
F.18) связывают мембранные и изгибные деформации при пере-
перемещениях и, у л w. Соотношения F.23) связывают деформации
с силами Fa, F$ и Fa$, а также моментами Ма, М$ и Ма$; возни-
возникающими в поперечных сечениях. И наконец, в таблице 6.6
приводятся шесть уравнений равновесия, связывающие эти силы
§ 6.5] УПРОЩЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ 439
и моменты друг с другом, неизвестные поперечные силы Faz и
Fpr, а также известные внешние силы и моменты р, fa и т. д.,
приложенные к малому элементу оболочки. Считается, что Свой-
Свойства материала, толщина стенки и геометрические характери-
характеристики А, В, а, Ь, с и d также известны.
Если представленные в таблице 6.6 силы F и моменты М
выразить с помощью соотношений F.18) и F.23) через и, v и
w, то получим шесть дифференциальных уравнений относитель-
относительно пяти неизвестных функций и, v, щ Faz и Fiz. Теоретически
эти пять неизвестных функций можно определить из первых
пяти уравнений равновесия. Полученное таким путем решение
задачи для тонкой оболочки удовлетворяет не только условиям
равновесия сил в. направлении осей а, Р и z и моментов отно-
относительно осей а и [}, нр, если, выразить Fa, F(, Fd$, Мв, Ма и Ма(
через непрерывные функции перемещений и, v и w, также и не
менее важному условию непрерывности деформаций в направ-
направлении осей аир (которое настолько, насколько это возможно,
удовлетворяется с помощью4гипотезы Кирхгофа — Лява).
Последнее уравнение равновесия моментов относительно оси
z не будет приниматься во внимание. Главные члены этого урав-
уравнения ABFfa и ABFafi не представлены, поскольку они тожде-
тождественно равны друг другу и взаимно уничтожаются аналогично
тому, как это имело место в уравнениях D.8)" для пластин.
Остальные члены этого уравнения, представленные в табли-
таблице 6.6, соответствуют тем несущественным, членам, которые
были опущены при записи уравнений для пластин; неполное
удовлетворение условиям равновесия остальных второстепенных
членов представляет собой неустранимую ошибку, связанную с
выбранной формой записи этих уравнений.
Упрощение общих уравнений. Теперь из четвертого и пятого
уравнений, представляющих условие равновесия моментов отно-
относительно осей р и а, можно определить силы Faz и Fft. Полу-
Полученные при этом выражения можно существенно упростить, уч-
учтя тот факт, что скобки в конце этих выражений содержат мо-
ментные пары типа упомянутых в пункте 4), которые при малых
деформациях обусловливают силы Faz и Fez. Так, из четвертого
уравнения, используя соотношения F.236) для гаг- и &iz и третье
из соотношений F.23) для eeBm, для четвертого члена в скобкаХг
где ер* так же, как и в выражениях F.236), должно, очевидно,
принимать некоторое среднее значение по поперечному сечению,
получаем следующее соотношение: /^[2/A — \)lFai/C — — FB,8gpm,
если пренебречь вторым слагаемым, стоящим в скобках. Анало-
Аналогично, первый и третий члены принимают вид Faz{l — [2/A —
— v)]FJC) иля в случае малых деформаций Faz, так как, соглас-
согласно выражениям F.23), FJC — относительная деформация.
Содержащие функции кривизны q и d четвертый и пятый
члены первого, второго, четвертого и пятого уравнений из таб-
440 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
ляцы 6.6 выражаются через второй и третий члены тех же урав-
уравнений. Разлагая последние члены в ряд и учитывая соотно-
соотношения F.10) для end, перепишем, например, четвертое урав-
уравнение в следующем виде: В{дМа/да) + МоХдВ/да) + AidM^/d^) +
^ - М^дВ/да) + Ма^(дАЩ) = В(дМа/да) +
+ Ша -М,)дВ/да + Ша, + Меа)(дА/д$), где указан-
указанные члены имеют более простой, хотя и не более короткий, чем
исходный, вид.
Очевидное упрощение можно сделать, опустив в первых двух
уравнениях члены — AFpzbsaSim .и —BFat&&a$m, а в третьем урав-
уравнении— член ABFafiEapmin/A + Ъ/В). Например, умножив в пер-
первом уравнении слагаемые в скобках, содержащие еарт,"на z/B,
получим, что первое слагаемое h$z представляет собой относи-
относительную деформацию, тогда как второе слагаемое г(.Ъ/В)ъа$т
представляет собой умноженную на z относительную деформа-
деформацию, отнесённую к радиусу кривизны, т. е. является малой ве-
величиной для тонких оболочек; более того, даже первый член,
как это показывается в следующем разделе, не является таким
уж важным. Хотя подобные аргументы могут показаться недо-
недостаточно строго обоснованными, трудно представить себе какие-
нибудь практически важные задачи для тонких оболочек при
малых деформациях, где указанные выше члены могли бы ока-
оказаться существенными.
Стоящие в третьем уравнении такие члены, как BFaAha,
AFpBkf и т. д., являются важными в задачах устойчивости, где
Fa, F$ или Fas могут представлять собою конечные по величине
силы, вызывающие выпучивание и возникающие в начальный
момент выпучивания. Однако нелинейные члены первых двух
уравнений, в которые входят поперечные силы, подобные чле-
членам —BFaAha и —AFaBhi, из первого уравнения, имеют иную
природу, так'как поперечные силы Faz и F^ малы по сравнению
даже с силами типа Fa и т. д. Соответствующими членами пре-
пренебрегали, при получении уравнений D.8). для пластин, и ими
же, несомненно, следует пренебречь в задачах для сравнительно
больших прогибов (или прогибов порядка толщины), которые
рассматриваются ниже. Но эти члены будут сохранены в теории
самого общего вида с тем, чтобы быть уверенным в возможно-
возможности применения этой теории для случая очень больших про-
прогибов порядка пятидесяти толщин, которые были рассмотрены
в § 6.3.
— С учетом сказанного и обозначений Faz = BFaz, Fpz ¦=
уравнения равновесия принимают вид
ABfa + В6^ + А8-^. + |f (Fa-
М
§ 6.5] УПРОЩЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ' 441
- F[z (Ь + ВЦ) - F'azAka = О, F.24)
~f
где
F'az =
+Т [В 1йГ + А '^W + i(Ma - Мр>'+ $ (MaP + Ща)\' F-25)
в
Разности между силами FaB и FBa. и моментами Л/ав и Л/Ва
являются малыми величинами для тонких оболочек, и для боль-
большинства приложений ими можно пренебречь, как это показыва-
показывается при обсуждении уравнений F.36). Уравнения F.24) и F.25)
вместе с соотношениями F.18) и F.23) образуют наиболее об-
общую теорию тонких оболочек. Эти уравнения, а также их моди-
модификации, полученные ниже для частных случаев, можно свести
к уравнениям оболочек конкретных геометрических форм про-
простой подстановкой соответствующего вида геометрических пара-
параметров, подобных тем, что приводятся в таблице 6.2.
Начальные отклонения от идеальной формы. Пусть wo(a, ^)
представляет собой начальное боковое (т. е. в 'направлении оси
z) отклонение ненагруженной оболочки от заданной теоретиче-
теоретически формы, а w{a, 0 — боковое перемещение при нагружении.
Деформации, появляющиеся при нагружении, можно подсчитать
как разность между деформациями, обусловленными прогибом
(wo + w), и деформациями, обусловленными только одним про-
прогибом w0. Все члены в выражениях F.18Кдля деформаций, ко-
которые являются линейными относительно w,- остаются неизмен-
неизменными; так, для входящей в выражение для кривизны к произ-
производной dw/d§ имеем d(w0 + w)/d$ — dwjd§ = dw/d$. Останутся
неизменными также и все изгибные деформации, так как они
являются линейными относительно w. Но нелинейные части мем-
мембранных деформаций в выражениях F.18) изменятся. Например,
член с hz/2 в выражении для еа — гат принимает вид
Пд(м>0 + и>)/да + ам]2- (ди>0/да)*}/{2Аг). Как будет показано
ниже на примере соотношений F.29е), подобные выражения мо-
могут быть значительно упрощены в конкретпых случаях.
Решения и краевые условия. Как указывалось выше, пред-
представления F.25) можно использовать для исключения F'az и Fp2
442 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
в уравнениях F.24), которые после введения в них соотношений
F.23) и F.18) будут содержать только известные функции и
три неизвестные перемещения и, v и w. Затем эти три диффе-
дифференциальных уравнения необходимо решать относительно трех
неизвестных функций предпочтительно в несвязанной форме, где
получается одно уравнение, содержащее только w, а два других
уравнения связывают соответственно аи w, a также v и ш
(ограничения, налагаемые на такие решения, будут обсуждаться
на стр. ,472). Проведение таких выкладок для общей теории гро-
громоздко, но ниже будет показано, как это можно сделать для ча-
частных случаев.
Три уравнения F.24) теоретически не только могут быть раз-
разрешены относительно перемещений, но они должны при этом
содержать достаточно произвольных функций интегрирования с
тем, чтобы можно было удовлетворить по крайней мере наиболее
важные краевые условия. Так как два первых уравнения систе-
системы F.24) будут иметь второй порядок, то достаточно удовлетво-
удовлетворить двум мембранным условиям на перемещения и и v или
на мембранные усилия Fa, F» и Fat по-четырем краям искрив-
искривленной панели. Третье уравнение будет иметь четвертый поря-
порядок, л подобно уравнению D.18) или D.19) для плоских пла-
пластин его решение должно удовлетворять двум изгибным усло-
условиям на перемещения w или углы наклона, а также на моменты
или поперечные силы, возникающие на четырех краях искрив-
искривленной панели^ ~
Следует напомнить здесь, что, как только что говорилось,
не исключена возможность в некоторых случаях удовлетворить
дополнительные, кроме тех, что уже были сформулированы, крае-
краевые условия, не используя для этого дополнительных решений.
Если даже не обращать внимания на краевые условия, то любое
получаемое решение будет описывать некоторого вида напряже-
напряжения и перемещения в каждой точке края, при этом может ока-
оказаться, что они являются именно теми напряжениями или переме-
перемещениями, ради которых исследовалась задача. Число условий, ус-
установленное выше, соответствует рассматриваемым уравнениям.
Большая часть оболочек, разумеется, не имеет формы иск-
искривленной панели, поэтому часть или все краевые условия за-
заменяются условиями непрерывности в тех сечениях, которые в
-других задачах могли бы быть краями панели. Так, в замкнутой
цилиндрической оболочке имеется два края, тогда как два дру-
других краевых условия заменяются условием, состоящим в том,
что перемещения и тому подобные величины должны быть пе-
периодическими функциями в окружном направлении для обеспе-
обеспечения условия сплошности для направленных вдоль оси попе-
поперечных сечений. В случае замкнутой еферической оболочки от-
отсутствуют края, но имеются условия сплошности в направлениях
долготы и широты. -
§ 6.5] УПРОЩЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ 443
Во многих случаях удовлетворение двух мембранных и двух
изгибных' условий будет достаточно для практических целей, на-
например для свободно опертых или защемленных краев, тогда
как в других случаях, например при незакрепленных краях, ги-
гипотеза Кирхгофа — Лява для случая совместного действия. по-
поперечных сил и крутящих моментов может быть использована
для удовлетворения по крайней мере интегральных краевых "ус-
"условий с большим числом таких же, как и в случае плоских пла-
пластин, ограничений и приближений, которые уже обсуждались
в § 4.5 и § 5.5. Удовлетворение интегральных краевых условий,
т. е. условий, налагаемых на равнодействующие силы или мо-
моменты, а также перемещения одной поверхности, "такой, как
срединная,, было бы достаточно для задач, ограничивающихся
тем, что было определено понятием «тонкие» оболочки, но если
скажется необходимым удовлетворить в каждой точке попереч-
поперечных сечений более полные условия, то в большей части задач
для оболочек можно применить, достигая весьма высокую точ-
точность, вспомогательные методы и решения, которые обсуждались
в связи с плоскими пластинами. Более детальное обсуждение и
примеры применения всего сказанного к цилиндрическим обо-
оболочкам будет дано в главе 7.
Другой метод решения задачи о тонкой оболочке был пока-
показан на примерах уравнения D.1'3) для плоской пластины и урав-
уравнения F.17) для круговой цилиндрической оболочки. Согласно
этому методу решение для мембранных напряжений (или сил)
выражается через, функцию напряжений ср(а, $У^- которая удов-
удовлетворяет первым двум уравнениям F.24) и после подстановки
в третье уравнение сводит число неизвестных функций к двум:
Ф и w. Подобное удовлетворение уравнений равновесия должно
быть дополнено удовлетворением- условия непрерывности в на-
направлениях аир, которое может быть сведено к приравниванию
выражений для трех мембранных деформаций, выраженных че-
через функцию ф, их выражениям через непрерывные функции
перемещений и, v, w. Получающиеся в результате три уравнения
сводятся к одному путем исключения и и v, таким путем полу-
получается второе из двух уравнений, содержащих только две неиз-
неизвестные функции ф и w, которые находятся из решения этих
уравнений. Подобно уравнениям D.13) и D.18) для' плоских
пластин эти два уравнения будут иметь четвертый порядок и
теоретически будут содержать такое же число функций для удов-
удовлетворения краевых условий, как и обсуждавшиеся выше три
уравнения относительно функций и, v и w.
Хотя этот метод может упростить решение, очевидно, что пер-
первые два уравнения системы F.24) для произвольной тонкой обо-
оболочки не могут быть удовлетворены с помощью обычной функции
напряжения Эра. Даже если не учитывать члены, содержащие
444 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
функции Faz и F$z, представляется сложным, если не невозмож-
невозможным, удовлетворить эти уравнения с помощью функции напря-
напряжения более сложного типа. И даже если это препятствие пре-
преодолеть, представляется безнадежной задача исключения функ-
функций и и v из уравнений, получаемых с помощью выражений для
мембранных деформаций, записанных для общего случая, когда
функции А, В, а, Ь, с, d, описывающие геометрию оболочки, за-
зависят от а и р. Однако этот метод применим для оболочек опре-
определенной геометрии, что будет показано в § 6.7.
§ 6.6. Общие теории тонких оболочек
для частных случаев
Выделение частных случаев теории с сохранением при этом .
общности, достаточной для того, чтобы применять эту теорию
к оболочкам различных типов, подобных перечисленным в таб-
таблице 6.2, можно проводить различными путями. Весьма плодот-
плодотворными, как оказалось, являются два пути, основанные на ис-
использовании оценок: А) типа отношения максимального прогиба
к толщине, В) типа соотношений между полуволной деформации
наименьшей длины и радиусом (или толщиной), последние со-
соотношения, по-видимому, определяют относительное значение
мембранных и изгибных частей деформации. Кроме того, име-
имеются некоторые геометрические ограничения, которые примени-
_мы не только к тому типу задач оболочек, для которого они
предназначены, например, для осесимметричного случая, который
будет рассматриваться ниже.
А. Случаи, выделяемые величиной отношения прогиба к тол-
толщине. Ниже будут выделены три случая: 1) очень большие про-
прогибы, где применяется представленная выше теория и ее урав-
уравнения F.24), дополняемые соотношениями F.18), F.23), F.25);
2) большие прогибы, величина которых имеет порядок толщины;
3) малые прогибы, величина которых столь мала, что можно пре-
пренебречь вызываемыми ими изменениями в геометрии оболочек, в
результате чего получаем- теорию, линейную относительно проги-
прогибов н их производных.
Большие прогибы. Если "считать типичным рассмотрен-
рассмотренный в § 6.3 случай, некоторые результаты по которому приведе-
приведены на рис. 6.10, б, то вариант упрощений, использованный при
записи выражений F.15) для деформаций, дает хорошее прибли-
приближение при отношениях wmejh порядка 10 и более. По-видимому,
было бы слишком оптимистично распространять подобный вывод
на общий случай, основываясь на хотя и представительном, но
единственном примере, однако видно, что использование такого
типа упрощения вплоть до прогибов порядка толщины, скажем,
до значений wmsjh от 1/5 до 5, дает ошибку в безопасную сто-
сторону и вместе с тем отвечает потребности большинства практи-
§ 6.6] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 445
ческих задач. Для рассмотренного в § 6.3 случая упрощение со-
состояло в том, что квадраты или произведения производных от
функции v it и полагались малыми по сравнению с прогибом w;
это согласуется с выводом, сделанным в этой главе в разделе,
озаглавленном «Общие соображения о влиянии кривизны», а
именно: перемещения и и v, как правило, малы по сравнению с
прогибом w (однако в таком исключительном случае, как чистый
изгиб цилиндрической трубы, квадраты производной от переме-
перемещения v следует учитывать обязательно).
В. общем случав главными членами функций /, g, i и / явля-
являются производные от и и v, а в функциях h и к — производные -
от прогиба w. Остальными слагаемыми, содержащимися в функ-
функциях / и /, являются (a/A)w и (b/B)w. Порядок их равен отноше-
отношению толщины к радиусу и не превышает порядка величины глав-
главных членов. Второстепенные члены в функциях /, g, i и / содер-
содержат величины с/А или А/В, которые в некоторых случаях
превышают величины а/А и Ъ/В, но так как они умножаются на
малое перемещение и или v, они также- не должны превышать
порядка величины главных членов. Отсюда представляется вполне
допустимым пренебрежение квадратами и произведениями /, g,
i и / по сравнению с h или к.
С учетом сказанного выражения F.18) для мембранных де-
деформаций могут быть упрощены для случая сравнительно боль-
больших прогибов и в результате примут вид
eatm = g + i + hk. (б.26а)
Некоторые аналогичные упрощения можно, по-видимому, проде-
проделать и с выражениями для ha,.h^, ka и up в случае изгибных де-
деформаций, но так как зти * деформации входят в перемещения
линейно, то с точки зрения вычислительной процедуры это оказы-
оказывается не столь уж важным. Поэтому в данном случае соотноше-
соотношения F.23) оставляются неизменными, то же справедливо для вы-
выражений F.25) и третьего уравнения системы F.24). В первых
двух уравнениях системы F.24) вполне допустимо для рассмат-
рассматриваемого случая пренебречь нелинейными членами, содержащими
деформации поперечного сдвига, в результате чего получааем
F.266)
Общая теория оболочек малого прогиба (лине-й-
ная) при поперечном или ином обычном н~агруже-
нии. В этом случае, когда прогибы малы по сравнению с толщи-
толщиной, скажем, wma/h < 1/5, следует просто вычеркнуть все члены,
нелинейные относительно перемещений, т. е, содержащие квадра-
446 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК . [ГЛ. в
ты или произведения перемещений или их производных. В ре-
результате мембранные деформации принимают вид
?ат=/> Цт = 1, 8арт = g + i- F.27a)
Соотношения F.23) остаются неизменными, входящие в них
функции /, ha и т. д. находятся из выражений F.19). Что же ка-
касается уравнений равновесия, то соотношения F.266) и F.25)
остаются неизменными для первого, второго, четвертого и пятого
уравнений.. В третьем уравнении (наиболее важном из всех, так
как оно описывает равновесце сил, стремящихся деформировать
оболочку в направлении наименьшей жесткости — направлении
малой толщины) нелинейные члены BFaAha и т. д. следует от-
отбрасывать для случая действия обычной поперечной нагрузки,
что дает
O. F.276)
Общая теория малых прогибов для исследова-
исследования устойчивости в классической постанов ке.
При исследованиях в. классической постановке границы устойчиво-
устойчивости оболочек, которые могут иметь такой предел (например', иде-
идеальные цилиндрические или конические оболочки при равномерном
осевом нагружении или кручении, они же и сферические оболоч-
оболочки при равномерном внешнем давлении), деформацию можно раз-
разделить на два вида: докритическую, происходящую в тот период,
когда величины сил Fa, Ft или Fatt нарастают вплоть до той гра-
границы, когда оболочка становится неустойчивой, и критическую
деформацию, при которой эти силы остаются, по существу, неиз-
неизменными.
Следует отметить, что' в данном обсуждении будет-предпола-
будет-предполагаться, что краевые условия, таковы, что позволяют в докритиче-
ском состоянии краям таких оболочек, как цилиндрические и ко-
конические, свободно расширяться или сжиматься точно так же,
как и срединным частям этих оболочек, поэтому образующие ос-
остаются прямолинейными, в противном случае будут возникать ло-
локальные деформации на концах оболочек, которые в процессе
выпучивания будут играть роль начальных несовершенств или
отклонений от идеальной геометрической формы. По существу,
понятие устойчивости является чисто академическим, так как
реальные оболочки всегда имеют несовершенства, но. тем не ме-
менее оно является полезным понятием даже S тех случаях, когда,
как будет показано ниже, оно не приводит к хорошему соответ-
соответствию с реальными значениями критических нагрузок. Для ис-
исследования влияния начальных несовершенств, таких, как откло-
отклонения от идеальной формы или эквивалентные им несовершенст-
несовершенства, уже к началу нагружения имеющие величину порядка толщи-
§ 6.6] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 447
ны и увеличивающиеся еще больше цри достижении максимума
сопротивления, обычно применяется теория очень больших или
больших прогибов.. Эти вопросы будут освещены более полно и
проиллюстрированы несколькими примерами в следующей главе.
В процессе потери устойчивости оболочками рассматриваемого
типа силы Fa, Ft или Fa» остаются неизменными, т. е. они не яв-
являются функциями возникающих при потере устойчивости переме-
перемещений, поэтому входящие в эти перемещения члены, подобные
BFaAha, являются линейными (при этом, разумеется, будут воз-
возникать также и дополнительные силы Fa,- Ft и Fa», вызываемые
и растущие вместе с этими перемещеними, но ими можно пре-
пренебречь, так как для определения границ устойчивости, достаточ-
достаточно рассмотреть бесконечно малые перемещения при потери устой-
устойчивости).
В докритическом состоянии в оболочках рассматриваемых ти-
типов изгиб будет незначительным, и поэтому пренебрежимо малы-
малыми будут поперечные силы F^ и Р$г ц изгибные деформации
ha и т. д. Отсюда следует, что третье уравнение равновесия мож-
можно, сохраняя достаточную точность, свести к такому же виду
F.28), как И в- обсуждаемой ниже безмоментной теории
АВр + BFaa + AFpt = 0. F.27в)
Это уравнение связывает внешнее давление р и результирующие
силы Fa и Ft.
Если теперь уравнение F.27в) вычесть из третьего уравнения
системы F.24), записанного для момента потери устойчивости,
то-получим следующее уравнение равновесия сил в направлении
оси z, используемое при исследовании устойчивости: "' * -
яг" ЯР'
~df + "ар + АВ [F«ha + F*ke + f«p (*« + hM = °> <6-27r>
где через Fa, Ff и Fa$ обозначены мембранные силы, возникающие
в момент начала потери устойчивости и остающиеся, в соответст-
соответствии с введенной гипотезой, неизменными при потере устойчивости,
поэтому содержащие. эти силы члены будут линейными отно-
относительна перемещений. Это уравнение, как уже говорилось выше,
может использоваться вместе с соотношениями F.25) и F.266).
В. Случаи, выделяемые соотношением между длиной полу-
полуволны прогибов и радиусом. В данной классификации можно вы-*
делить три или четыре различных случая, имеющих практическое
значение. Как уже упоминалось в начале этого параграфа, отно-
отношение важной характеристики — половины длины волны дефор-
деформирования (скажем, расстояния между узлами) » каждом из
направлений к радиусу кривизны оболочки в этом же направле-
направлении имеет большое значение, так как оно характеризует относи-
относительный вклад двух типов возникающих в оболочке деформа-
448
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. в
дий —мембранной и изгибной. Отсюда полный диапазон приме-
применения этого критерия захватывает как случаи, когда наименьшее
из этих отношений является весьма большим, и поэтому изгиб
является настолько несущественным, что им можно пренебречь
(безмоментная теория), так и другие крайние случаи, когда наи-~
большее из этих отношений весьма мало и, по крайней мере, ли-
линейными мембранными деформациями можно пренебречь,' при
этом к задаче об оболочках можно применять теорию плоских
пластин.
На рис. 6.14 представлен в виде диаграммы упомянутый пол-
полный диапазон изменения критерия применительно к частному
случаю круговых цилиндрических оболочек, деформация которых
Общая теория произвольных оболочек
I
'/исло волн
по окружности^
безмаментная
теория
О
Теория пологих одалочек
Теория
плоских
пластин
у/
дл. полуволны
радиус
изменяется в окружном направлении в виде п волн синусоиды
или косинусоиды; дальнейшее обсуждение этого вопроса будет
дано в § 7.1 (см. также рис. 7.2), Для тех случаев, когда п = О
или 1, в окружном направлении не происходит значительного из--
гиба; если то же самое справедливо и для продольного направле-
направления, то эти случаи можно исследовать с помощью безмоментной
теории. Если длина полуволны в продольном направлении велика
по сравнению с диаметром, то первый из этих случаев может быть
«сследован с помощью элементарной котельной теории, а вто-
второй — с помощью элементарной теории изгиба, в которой цилин-
цилиндрическая оболочка рассматривается как балка (так как окружная
деформация в виде одной волны вызывает поперечный перенос
поперечного сечения без искажения его формы) с поправкой на
влияние поперечного сдвига, как об этом говорилось в. § 3.5, если
длина полуволны в продольном направлении очень велика.
Если длина полуволны в продольном направлении просто ве-
велика по сравнению с толщиной, то случай п = О может быть рас-
рассмотрен с помощью применения элементарной теории балок к со-
составляющим стенку оболочки продольным панелям, лежащим на
упругом основании, обусловленном радиальными составляющими
окружного напряжения, которые оказывают сопротивление про-
прогибам подобно тому, как это имеет место для продольно сжатого
§ 6.6] * ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 449
стержня, рассмотренного в § 2.5 (см. уравнение B.31)). Эти слу-
случаи будут обсуждаться ниже в § 7.1.
В другом крайнем случае, когда п "очень велико и, следова-
следовательно, длина полуволны деформирования мала по сравнению с
радиусом (но велика по сравнению с толщиной, если применяется
классическая теория), прекрасное приближение дала бы теория
плоских пластин, изложенная в главе 4. Однако она представ-
представляется не очень удобной для использования, так как область ее
применимости была бы слишком узкой и трудно выделяемой.
Полная общая теория оболочек может применяться, разумеет-
разумеется, ко всему диапазону изменения параметров, но ее модифика-
модификация, известная как теория пологих оболочек,, оказывается очень
полезной и дает хорошее приближение для верхнего диапазона
значений п, не превышающего, скажем, 3 или 4 (и не столь уж
плохое приближение для таких низких значений, как 2) или, что
то же самое, когда длина полуволны изменяется от нуля до еди-
единицы или чуть более.
Наименование «теория пологих оболочек;» часто вводит в за-
заблуждение, так как при этом кажется, что такая теория примени-
применима только к таким пологим оболочкам, как сферический сегмент
или купол, чья высота достаточно мала по сравнению с диамет-
диаметром его основания; в действительности, как можно было видеть,
она применима и к оболочкам, которые совсем не являются поло-
пологими, при условии, что при их деформировании возникает несколь-
несколько волн. Но это наименование хорошо установилось, и вполне
приемлемо его интерпретировать так, как это делалось здесь, т. е.
применяя его только к части оболочки, лежащей между узловыми
линиями деформированной оболочки или нагрузки.
Мембранная теория. Если пренебречь изгибными де-
деформациями, положив ha = hv = ka = kv = 0, откуда соответствен-
соответственно получаем Ма = М$ = Ма$ = Faz =; F$z = О, то неизменными
останутся соотношения F.8а) и выражения для сил F из F.23).
При этом потребуется удовлетворять только первым трем урав-
уравнениям равновесия, которые принимают вид
dFa &Fafi дв „ дА
да д& да * Р' <ЭВ р '
АВр + BFa& + AF-pb = 0.
Последнее уравнение совпадает с уравнением F.27в), но силы
Fa и Fp должны быть либо растягивающими, либо, если они яв-
являются сжимающими, они должны быть меньше критического
значения, так как потеря устойчивости всегда сопровождается
изгибом (предпочтительной формой потери устойчивости может
считаться та, для которой потенциальная энергия является наи-
наилучшим компромиссом между мембранной и изгибной энергиями).
29 Л. г. Доинелл
450 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ~ [ГЛ. 6
Сказанное относится к случаю очень больших прогибов. Для
относительно больших или малых прогибов мембранная теория
остается такой же, за исключением подстановки представлений
F.26а) или F.27а) в соотношении F.8а) для мембранных дефор-
деформаций. Тип задач, к которым _ применима безмоментная теория,
рассматривался на стр. 59 при обсуждении уравнения B.4).
Теория пологих оболочек. Для большого класса за-
задач оболочек, к которым применима эта теория оболрчек; сохра-
сохраняют свой вид все силы и моменты, но в выражениях для них и
в уравнениях равновесия отбрасываются члены, которые оказы-
оказываются малыми по сравнению с другими членами, когда наиболь-
наибольшее из значений отношения длины полуволны к радиусу кри-
кривизны меньше единицы. Хотя возможных на этой основе прене-
пренебрежений не очень много, тем не менее в результате получают-
получаются очень важные упрощениями в этот класс попадает множество
важных практических задач.
Чтобы сравнить члены в полученном таким путем выражении,
можно взять w — hW cos (Ana/la) cos (.Bn^/l^h v = hVcos{ ) sin( ),
и = hU sin. ( ) cos (). Предполагается, что la&/A ^ lr l^b/B < 1,
что величина W значительно больше, чем V или U, и может
быть значительно больше единицы при очень ."больших прогибах,
порядка единицы при сравнительно больших прогибах и значи-
значительно меньше единицы при малых прогибах. При этом в клас-
классической теории тонких оболочек имеем IJh > 8, УК 3* 8.
Используя эти критерии, можно обнаружить, например, что
второе слагаемое в выражении F.19) для к равно первому сла-
слагаемому, умноженному на (l/n){lJb/B)V/W, и поэтому без су-
существенной ошибки этим слагаемым можно пренебречь, анало-
аналогично можно поступить с третьим слагаемым в выражении для
На. и т. д. Таким образом, для пологих оболочек можно получить
I = {% + dv)/B, ] = (* - Ы, - du)lBf * - %I
Для^ указанных трех возможных величин прогибов соответствен-
соответственно имеем
**т = / + (f + g2 + hz)/2, f + hV2, ft
4m = j + (i2 + f + ky2, j+№, U •• F-296)
e«Pm == g + i + fi + gj + hk,, g + i + khx g + i,:
Выражения F.23) для сил и моментов, а также четвертое и
пятое уравнения равновесия F.25) остаются без изменения.
§ 6.6] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 451
Единственное изменение в остальных уравнениях равновесия
состоит в том, что слагаемые Fai& в первом и„ F$zb во втором
уравнениях оказываются- малыми по сравнению со цторым и
третьим членами этих уравнений. Тогда, для случая очень боль-
больших прогибов первое уравнение принимает вид
ABfa + В-^ + A -gp- -h ж (Fa - Ft) + 2^-Fa|3 -
_ -AFazha-BF'^h^O, F.29b)
для средних и малых прогибов получаем
d^ d^ ^(Fa-F,) + 2^Fa, = 0. F:29r)
Второе уравнение имеет аналогичный вид, если заменить а на
Р, А на В и /г на /с. Третье уравнение ^равновесия совпадает" с
уравнением F.24) для очень больших и средних прогибов, с урав-
уравнениями F.276) (поперечная нагрузка) или F.27г) (при опреде-
определении критических нагрузок) для малых прогибов.
Начальные отклонения пологих оболочек. Как
уже отмечалось при обсуждении теории малых прогибов, влия-
влияние начальных несовершенств может быть очень велико при по-
потере устойчивости оболочек или других конструкций; это влия-
влияние необходимо исследовать в рамках теории больших прогибов,
так как начальные отклонения обычно уже имеют порядок ве-
величины толщины. Поскольку эксперименты показывают, что
тонкие оболочки теряют устойчивость с образованием большого
числа_волн -вдоль некоторой окружности, можно пользоваться
теорией пологих оболочек. - . .
Кроме того, хорошо известно^ что хотя начальные отклоне-
отклонения от идеальной теоретической формы носят обычно случайныв-
характер, их можно разделить на отдельные компоненты, и толь-
только те составляющие, которые будут иметь такую же или почти
такую же форму, как и прогибы, возникающие при потере устой-
устойчивости, являются важными, так как , они быстро растут при
больших прогибах, возникающих при потере устойчивости, тогда
как остальные компоненты сохраняют близкую к первоначаль-
первоначальной форму, как это было показано на примере сжатых стержней
в начале § 2.5. .
Следовательно, разумно, и вместе с тем проще игнорировать
другие компоненты и рассматривать только ту - компоненту на-
начального отклонения ,и>о, которая совпадает с формой прогибов,
w, возникающих при потере устойчивости. Для удобства примем
-Wo=K=±w, Я=1 + 2^,. - - F.29д)
где К — постоянная, зависящая от координат а и (I конкретного
29* ¦ '
52 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
типа исследуемых оболочек. Для идеального образца оболочки
К=1. Для реальных несовершенств образцов величина этой по-
постоянной будет различной для каждого образца и характеризует
геометрию, материал и метод изготовления каждого типа оболо-
оболочек. Подставляя представление F.29д) в соотношения F.296)
для пологих оболочек среднего прогиба, получим следующее вы-
выражение для деформации гат — f + ld(w0 + w)/dalz/2Az— ldwjda\2/
12Аг = f + К{дш/да)г/2А2, а также для деформаций ePm и га»т:
earn - I + ^г \-fa) » гЬ™~ J -r
Kdwdw
F.29e)
Общая теория тонких оболочек для осесиммет-
ричного случая. При осесимметричных нагрузках и конст-
конструкциях р берется в качестве окружной координаты, при этом
v = с = /ir= w^b == 0,' другие же функции, входящие в уравнения,
не зависят от р. Поэтому в соотношениях F.18) g = i = k = h!i =
'= ka = ewPn = 0, и тогда
f = Ш/да ~ aw)A, h = (dw/da + m)/A, / = (~hw - du)/B,
h^= (dh/да - af)/A, k^^i-dh- hj)/B, '
ва = / + (/2 + h2)/2 — haz, ee = / + /V2 — k^z (очень большие
прогибы),
га = f + А?/2 — haz, eB = / — /eez (большие
прогибы),
F.30а)
га = / — /iaz, ее = / — kpZ (малые
прогибы).
В соотношениях F.23) F^ = Ма$ = 0, ¦ тогда выражения F.25)
принимают вид
^d^ ^^ Fp2 = O. F.306)
Й наконец, уравнения F.24) сводятся к двум уравнениям
Кр(а + Л/*а) = 0,
(б.ЗОв)
a (a + АК) + AFp (Ь + Bftp) = 0
для случая очень больших прогибов. Для больших прогибов
имеем
ABfa +Bd?l+d?{Fa- Fp) + F'az* = 0,
dF' ' • F-ЗОг)
АВр + -^ + BFa (а + Ah*) + A Ft (Ь + 5/ср) = 0.
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 453
Для малых прогибов вместо этих двух уравнений получим
of'- (для поперечных
ЛВр_+ -gfl + BFaa + AFfi = 0 нагрузок), F.30д)
dF'az ' (для исследования
~9сГ "^ (^а^а + ^р&р) = 0 устойчивости).
Теория пологих оболочек для о с»е симметрич-
симметричного случая. В этом случае, соотношения F.30а) остаются
без изменений, за исключением .
h = (dw/da)/A, ha^idh/даУА, fc, = -dft/B. (б.ЗОе)
Уравнения равновесия также остаются неизменными, за исклю-
исключением того, что в первых уравнениях систем (б.ЗОв), (б.ЗОг) и
(б.ЗОд) можно опустить слагаемое Fa2a.
§ 6.7. Некоторые частные решения задач
для тонких оболочек
В главе 7 будет-"приведен ряд решений .частных задач. В дан-
данном параграфе будут обсуждаться некоторые интересные и важ-
важные типы решений.
Произвольные цилиндрические оболочки. Главная трудность,
возникающая при попытке получить большое число частных ре-
решений в общей форме для обсуждавшихся в последнем разделе
случаев, как уже указывалось, состоит в том, что геометрические
параметры А, В, а, Ь, с и d должны рассматриваться как функ-
функции координат а и E, это делает получение решений в общей
форме невозможным или чрезвычайно сложным. Поэтому здесь
будут рассматриваться имеющие постоянные коэффициенты А и
В оболочки, для которых эти трудности значительно уменьшаются.
Этот класс оболочек является, разумеется, достаточно ограни-
ограниченным, но он включает в себя некоторые из наиболее важных,
типов оболочек, встречающихся в практических задачах. Из со-
соотношений F.10) при постоянных А и В следует, что c = d = O,
и поэтому срединную поверхность можно развернуть в плоскую
поверхность, причем координатные линии образуют при этом
прямоугольную сетку (в этот класс входят, разумеется, плоские
пластины). Для того чтобы координатные линии оставались ли-
линиями кривизны, нужно, чтобы развернутую срединную поверх-
поверхность можно было свернуть в криволинейную оболочку только
одним способом, так, чтобы одна система координатных линии,
параллельных, скажем, оси а, оставалась прямолинейной, эти
линии будут образующими произвольной цилиндрической поверх-
454 - КЛАССИЧЕСКАЯ.ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК ^ [ГЛ.6.
ности, другие координатные линии, параллельные линии $, обра-
образуют перпендикулярные сечения этой поверхности.
Можно видеть, что кривизна а поверхности в направлении
оси а равна нулю, а кривизна b = b(p) является^ункцией толь-
только одной координаты р. Эта функция определяет тип цилиндри-
цилиндрической оболочки; например,
если b постоянная величина,
то оболочка является' пря-
прямым круговым цилиндром,
О/ *\ / \ / \ который обычно называется
\^-^_у С ) \ / цилиндрической оболочкой, в
,, отличие от произвольной ци-
е) т линдрической оболочки, ког-
р Да Ь-Ь(р).
Рис. 6.15. Более того, если коорди-
координата а = х является действи-
действительным расстоянием вдоль образующей, а {} = у — действительное
расстояние, измеряемое вдоль срединной поверхности в направле-
направлении, перпендикулярном оси х (т. е. вдоль окружности поперечного
сечения срединной поверхности цилиндрической оболочки), то
масштабные коэффициенты А и В будут равны единице {А —
— В = 1); а Ь будет представлять собой действительную кри-
кривизну; например, когда b — постоянная величина, то b = 1/R,
где R — радиус цилиндрической ободочки. Кроме того, имеем
Fxz = Fxz и Fyz = Fyz. Суммируя сказанное, для произвольной
цилиндрической оболочки можем записать
а = х, р = у, В = А = 1,/a = c = d = 0, Ъ = Ъ(у). F.31аГ
Для того чтобы показать, насколько широк диапазон форм
поперечных сечений, потенциально важных для практики и вхо-
входящих в этот тип оболочек, рассмотрим такие оболочки^ которые
Можно описать с помощью простой функции b = bt + b2 cos (ny/P);
для замкнутой трубы Р является периметром срединной линии
поперечного сечения с величиной, несколько большей 2ix/bi. Если
bi = 0, получается гофрированный лист, поперечное сечение ко-
которого показано на рис. 6.15,а; когда fci мало по сравнению с
Ъг, получаем криволинейный гофрированный лист, показанный
на рис. 6.15,6. Ёсли-ге = 0 или 6 = 0, получаем прямой круговой
цилиндр с радиусом, равным соответственно R — l/(bi + b2) или
R = 1/&1. Если п = 2, можно получить эллипсообразное поперечное
сечение, показанное на рис. 6.15, г, или, если Ъ2 несколько боль-
больше, *чем Ьи то получается гантелеобразная форма (рис. 6.15, д).
Если п = 3 или п — 4, получается трех- или четырехлепестковой
формы сечение, которое аппроксимируется треугольником или
квадратом со скругленными краями и т. д. С помощью более слож-
сложных функций можно, разумеется,' получить поперечные сечения
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ - 455
любой желаемой формы, согласующиеся с необходимостью полу-
получать малые значения отношения толщины к минимальному ра-
радиусу кривизны, что и требуется при использовании теории топ-
топких оболочек.
Исследование больших прогибов произвольных цилиндриче-
цилиндрических оболочек с помощью теории пологих оболочек. Для того
чтобы получить решения типа решений уравнений D.13) и D.18)
для плоских пластин, в которых мембранные напряжения выра-
выражаются через функцию^ напряжения, яеобходимо ограничиться
рассмотрением тех задач, которые могут быть исследованы с
помощью теории пологих оболочек, т. е. тех задач, для которых
в каждой точке оболочки длина волны деформирования ненамно-
ненамного больше, чем радиус кривизны? A/Ь) в этой точке. При этом
можно рассматривать сравнительно большие прогибы, имеющие
порядок. толщины. Могут быть также рассмотрены отклонения
ги0 от идеальной конфигурации, совпадающие по форме с проги-
прогибом IV, тогда величины wo/w и К = 1 + 2wt/w являются постоян-
постоянными вдоль х и у. . " -J—
Подставляя соотношения F.29е) и F.31а) в выражения!
F.29а) и F.296) для случая больших прогибрв, получим
, du dvydw.du.dv,
дх дх дх Оу дх F.316)
, . dw , д w , j, d w • , d w
du . К (dw\i dv , , К (dw\2
dv du „ dw dw , F.31b)
Из уравнения F.29г) следуют такие уравнения равновесия
сил в направлении осей аир:
dF dF dF dF
^ ^° J^-ir-0' F-31г)
Для общего случая, когда /х и /„ являются объемными силами,
имеющими потенциал, найдем
тогда уравнения F.31г) тождественно удовлетворяются с по-
помощью функции напряжения ц>{х, у), для которой справедливы
' соотношения
456 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
где h — толщина. При р = 0 функция <р является функцией Эри
для мембранных напряжений, определяемых соотношения-
соотношениями C.16а).
Подставляя выражения F.31в) в соотношения F.23) и F.25),
получим -
^^ F.31ж)
при этом обновное третье уравнение равновесия сил в попереч-
поперечном направлении из системы F.24) с помощью соотношений
F.31е) и F.31ж) можно представить в форме
дт„ дт„
F.31з)
Второе уравнение, включающее только функции w и ф, мож-
можно получить из условия непрерывности деформаций в направ-
направлении осей аир, откуда следует
К Гдш >з
2 [дх)
= __bu, + 1-(_), F.31b)
2A + v) J'a;;, _] 2A + у) й2ф _ ду ди dw ди>
Eh — J ? дхду~~ дх + ду + дх ду'
Применяя оператор д2/ду2 к первому соотношению, оператор
дг/'дхг — ко второму (учитывая, что b — функция, зависящая
только от у) и —дг/дх ду — к третьему и складывая результаты,
можно исключить из этих соотношений функции и и v. В резуль-
результате можно получить следующее уравнение:
fx df
F.31 к)
Если не учитывать присутствующие в этом уравнении констан-
константы К и внешние объемные силы fx и /„, а также то обстоятель-
обстоятельство, что Ъ может являться функцией г/, это уравнение совпада-
совпадает с уравнением F.17), опубликованным (также с упомянутой
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 457
константой К) автором в 1934 г.; оно представляет собой обобще-
обобщение уравнения Т, Кармана для идеальных плоских пластин,
опубликованного в 1910 г.1). Два нелинейных члена, стоящие в
правой части уравнения F.31к), определяют влияние нелиней-
нелинейных мембранных напряжений, возникающих при больших про-
прогибах; слагаемое ЕЪ дгш/дхг отражает влияние линейных мембран-
мембранных напряжений, обусловленных начальной кривизной.
При прогибах, равных нулю, и действии только объемных
сил уравнение F.31к) принимает вид V4<p = 0, аналогичный
уравнению C.16в) для плоского напряженного состояния теории
упругости. Очевидно, что любые решения этого уравнения (в том
числе в виде степенных рядов или гиперболо-тригонометрических
функций, рассматривавшихся в § 3.3) можно прибавить к реше-
решениям уравнения F.31к) и использовать для удовлетворения двух
краевых условий, налагаемых на мембранные силы или переме-
перемещения и и у срединной поверхности по всем четырем краям кри-
криволинейной панели, либо эквивалентных условий непрерывности
деформаций. Точно так же решения уравнения V4u7 = 0 можно
прибавить к решениям уравнения F.31з) и использовать для
удовлетворения условий, задаваемых на поперечные силы или
моменты, либо на поперечные смещения или углы наклона.
Решения нелинейных дифференциальных- уравнений, подоб-
подобных F.31з) и F.31к), получать трудно,, поэтому задачи иногда
решают с помощью стандартных энергетических методов, зада-
задавая соответствующие, аналогичные F.12), представления для и,
v и w с неизвестными • коэффициентами , Upq, Vpq и Wpq. Эти
представления можно подставить в выражения для деформаций
F.31в), последние подставить в выражение D.69) для энергии
деформации и затем воспользоваться принципом возможных ра-
работ с тем, чтобы получить уравнения, число которых равнялось
бы числу неизвестных коэффициентов.
При этом требуется решать системы уравнений высокого по-
порядка, но их число можно уменьшить втрое, воспользовавшись
очень удобной комбинацией применения уравнений равновесия
и энергетических методов, использованной автором в 1934 г. в
статье2), в которой было получено уравнение F.17). Согласно
этому методу задается только представление для-прогиба w,
форма которого выбирается либо из эксперимента, где можно
легко произвести измерения или с достаточной точностью уста-
установить форму визуальным наблюдением. Подставляя это пред-
представление (а также известные величины /х и fa, если таковые
будут) в уравнение F.31к), получим выражение для V4<p, из ко-
которого, как правило, не представляет труда найти функцию ф,
после чего можно воспользоваться соотношениями D.70) и D.7 О
') См. сноску к уравнению F.17) на с. 411.
2> Там же.
458 - КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК . [ГЛ. 6
для энергии деформации и принципа возможной работы так, как
это делалось раньше; единственно, что при этом потребуется оп-
определить неизвестные коэффициенты в выражении для прогиба
w. Как уже указывалось при обсуждении уравнения F.17), вы-
выражение для энергии изгибной деформация в точности совпада-
совпадает с таким же выражением для случая пластины, так как выра-
выражения для деформаций изгиба F.316) такие же, как и в случае
пластин, а влияние кривизны в выражении D.71) на энергию'
мембранных деформаций определяется членом ЕЬ дгт/дхг в урав-
уравнении F.31к) для неизвестной функции <р (влияние нагрузок %
и /v, если таковые имеются, учитываются членами dfe/дй и
dfjdy). - ' •
Решения для круговых цилиндрических оболочек. Как уже
говорилось в конце § 6.5, наиболее удобной формой для уравне-
уравнений теории оболочек является, по-видимому, несвязанная форма,
в которой имеется одно уравнение, содержащее только # прогиб
w и нагрузку, и четыре уравнения, связывающих функции и, v,
Fax и F^ с прогибом iv. Для многих практических задач доста- .
точно получить сравнительно точное решение только одного
уравнения.относительно прогиба w, выражающее важное усло-
условие равновесия сил" в наиболее слабом поперечном направлении,
в то же время остальные уравнения, полученные из рассмотрения
-услбвий равновесия сил в направлении осей а и f$ и моментов
относительно этих осей, потребуются для удовлетворения крае-
краевых условий, когДа только последние не являются защемлением
или свободным опиранием, так как в этом случае "требуется
только задание функции_ы> и ее производных.
Несомненно, получение такого решения в общей форме или
невозможно, или лишено практического смысла (кроме случая
цилиндрических оболочек) из-за сложностей, связанных с уче-
учетом переменности кривизны. Но этот тип оболочек является, по-
видимому, самым важным типом оболочек с точки зрения прак-
практических задач. Характеристики цилиндрических оболочек при-
приводятся в строке 3 таблицы 6.2. Соотношения F.2) при этом
имеют вид .
а = xt р = у, -А = В = 1, а = с-= d = О, Ь = 1/Д,
' = -?-« z = ^'h = -di*1-^Ж* " * F-32)
. dv w ¦. dw , v ' i
' ¦ } ~ Ту ~ ~R '- ~ ~W + ~R'
Циже будут приведены некоторые решения для указанных обо-
• лочек, многие из которых будут использованы в главе 7.
Большие прегибы пологих круговых цилиндрических оболо-
оболочек. Этот случай, разумеется, включается в только что найден-
найденное решение для прогиба w и функции напряжения «р, описыва-
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 459
ющей мембранное напряжение, для случая больших прогибов
произвольных цилиндрических оболочек, определяемых теорией
пологих оболочек; это решение переходит в решение для цилин-
цилиндрических оболочек, если положить b = 1/R, где R — постоянный
радиус круговой цилиндрической оболочки.
Для этого случая можно также получить по крайней мере
частичное решение в несвязанной чрорме, которое может оказать-
оказаться полезным в некоторых случаях. Для этого можно использовать'
уравнения F.316), F.31в) и F.31г) в том виде, как они есть,
учитывая, что b теперь является постоянной величиной. Вместо
того чтобы удовлетворять уравнениям F.31г) с помощью функ-
функции напряжения, ^запишем их через функции перемещений, ис-
используя соотношения F.23), F.316) и F.31в):
F32а)
Zu +-уц+ $KTw -^) + J?KZu, + ± = О,
где постоянная С~определяется из F.23а). а X, Y и Z представ-
представляют собой следующие операторы:
v_ д* , i — v о2 v_ д2 ,i-i 02 i+"v а2
дх2 2 5j,2 > '__ 5х2 ' 2 №' 2 axcty
F-32в)
Применяя оператор У к первому и оператор Z ко второму урав-
уравнениям и вычитая второе уравнение из первого, можем исклю-.
чить v. Аналогично можно исключить функцию и, применяя
оператор Z к первому и оператор X ко второму уравнениям и
вычитая после этого первое уравнение из второго. В результате
получим уравнения ,
Следующий шаг в получении несвязанного уравнения состо-
состоит в использовании уравнений F.32в) для'исключения функций
и и v из третьего уравнения равновесия; это уравнение совпада-
совпадает с уравнением F.24^ если последнее записать, используя~Ьо-
отношения F.316), F.31в), F.31ж) и F.231, через перемещения.
460 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
Единственным путем, которым это можно проделать для подоб-
подобного нелинейного случая больших прогибов,. является представ-
представление этих уравнений в виде и = V-4P, где Р — правая часть пер-
первого уравнения, и аналогично для функции v. Символ v~4 явля-
является интегральным оператором, смысл его состоит в том, что
и(х, у) является функцией, при применении к которой оператора
V4 получается функция Р. Получающееся в результате этой про-
процедуры интегродифференциальное уравнение содержит в качест-
качестве неизвестной функции только прогиб iv, и теоретически его
можно было бы решить относительно прогиба w, но практиче-
практическая ценность такого решения была бы сомнительна.
И на самом деле, как уже указывалось ранее, полезность да-
даже таких традиционных пар дифференциальных уравнений, как
уравнения F.31з) и F.31к) или D.13) и D.18) для плоских пла-
пластин, сомнительна, так как такие системы совместных нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений редко можно решить непо-
непосредственно, а решения в рядах, которые при этом следует при-
применять, могут иметь, а могут и не иметь преимущества перед
обычным энергетическим методом. Но подход, основанный на ис-
использовании уравнения равновесия в сочетании с энергетическим
методом, описанным выше применительно к уравнению F.31к),
имеет очень заметные преимущества, поэтому такой же способ
можно применить и к уравнению F.32в), где также задается
выражение для w с неизвестными коэффициентами, а соответст-
соответствующие выражения для перемещений и и v определяются из
•уравнений F.32в), а окончательное решение задачи определяется
с помощью энергетических методов. Использование уравнения
F.31к), несомненно, предпочтительнее в «тех случаях, когда тре-
требуется удовлетворить краевые условия относительно мембранных
сил, а уравнения F.32в) могут оказаться более удобными, когда
краевые условия задаются относительно перемещений и и v.
Малые прогибы пологих круговых цилиндрических оболочек.
Разумеется, любая-теория больших прогибов может быть исполь-
использована также и для задач, где рассматриваются только малые
прогибы, если отбросить нелинейные члены. Например, в случае
малых прогибов и действия только нагрузки р уравнения F.31з)
и F.31к) принимают вид
^ V.«<p = -ЕЪ 4^-. F.32г)
д
, V.<p Ъ ^
дх дх
Для того чтобы в этом случае получить несвязанную форму
решения, можно воспользоваться-соотношениями F.316), где по-
положить Ь = 1/Л, и уравнениями F.31г) и F.31ж). Мембранные
деформации суть
ди dv ¦ w dv . ди
Вхт== ~дх~? Bvm — ~д?~ ~R В +
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 461
Уравнения F.32а) и F.32в) принимают вид
±
J_
л
д w д
дх дх ду
V)
_в^_1 +l+_v(z/ _
дх ду2 J Ее v
3
д w
дх'ду дус
F-ЗЗв)
где X, Уи Z определяются выражениями F.326).
Для экономии места сложим уравнение F.276), записанное
для обычной нагрузки, и уравнение F.27г), записанное примени-
применительно к задачам устойчивости (предполагается, что нагрузкой р
в задачах устойчивости можно пренебречь,- так как она уравно-
уравновешивается членом Fv/i?, который не выписан). Это уравнение
примет вид
dF OF
Р + -?- + -^ + Fxhx + Fvky + Fxv (kx + hy)=0 (б.ЗЗг)
или, если воспользоваться выражениями F.31ж) для Fxz и Fyz,
а также F.23), F.316) и F.31в) для Fy —
Далее из этого уравнения можно исключить функции и и v,
применив к нему оператор V4 и вычитая затем два уравнения
(б.ЗЗв), предварительно применив к ним операторы соответствен-
соответственно (vC/R)d/dx и (C/R)d/dy. Результирующее уравнение содержит
только неизвестную функцию прогиба w и известные нагрузки и
имеет вид1)
• Eh3 Eh д*ш _ I *rnx *"„ г ?w
+ Л3 д* ~ V [Р+ + * * +
12(l-v2) + Л3 дх* ~ V [Р+ дх + ду
J.P ^™ I OP
ду2
') D о n n e 11 L. H. Stability of thin-walled tubes under torsion.— NACA
Rept, 1933, № 479; русск. перевод Доннелл Л. X. Устойчивость тонко-
тонкостенных труб при кручении.— В кн.: Прочность и устойчивость конструкций
в самолетостроении.— М.: ЦАГИ, 1937, с. 29—57.
462 ' КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК . [ГЛ. в
Первое твдагаемое, стоящее в правой части, характеризует сопро-
сопротивление изгибу, а второе слагаемое, обусловленное наличием
кривизны оболочки,— сопротивление мембранным усилиям от
нагрузок, задаваемых правой частью этого уравнения. ~"
Так же, как и в уравнении (б.ЗЗг), из которого получено урав-
уравнение- F.34), в последнем' отбрасываются члены с F*, Fw и F^,
если это уравнение применяется к задачам, где рассматривается
обычное нагружение, тогда как при применении уравнения F.34)
к исследованию потери устойчивости в классической постановке
предполагается, что нагрузка отбрасывается, так как она уравно-
уравновешивается не показанным здесь членом Fv/R. Уравнения малых
прогибов, подобные F.34), не могут применяться одновременно
к задачам с обычными нагрузками и к задачам о потере устой-
устойчивости; как уже говорилось ранее, в таких случаях следует ис-
использовать теорию больших прогибов. Все сказанное применимо
также и «"уравнению F.36), выведенному ниже.
Уравнения (б.ЗЗв) и F.34), ^впервые опубликованные (за ис-
исключением членов, учитывающих внешние нагрузки Шц, ту, fx,fv)
в 1933 г., стали известны как уравнения Доннелла и_рредстав-
ляли собой, "по-видимому, впервые опубликованные как теорию
пологих оболочек, так и вариант несвязанных уравнений оболо-
оболочек. Как было доказано, они очень полезны, особенно основное
уравнение F.34), описывающее условие равновесия в попереч-
поперечном направлении, которое^-в случае цилиндрических оболочек со
свободно опертыми или защемленными краями мож^ет дать явное
решение, если игнорировать сравнительно малозначащие условия
на перемещения и и v. Уравнения (б.ЗЗв), а также выражения
(|5.31ж) необходимы при удовлетворении остальных типов усло-
условий на краях. Более подробно область применимости этих урав-
уравнений будет рассмотрена в' § 7.1, рис. 7.2.
Малые прогибы произвольных круговых цилиндрических обо-
оболочек. Можно также получить несвязанное решение и для слу-
случая малых прогибов круговых цилиндрических оболочек, на ко-
которые не накладывается ограничение, связанное с пологостью
оболочки; это решение может быть ьраспрос*ранено на весь дна*
пазон параметров геометрии оболочек, представленный на
рис. 6.14. Этот случай, кроме того, предоставляет первую .благо-
.благоприятную возможность проверить степень важности многочислен-
многочисленных малых членов, яодобных слагаемому Ъг/В в выражениях
F.22). До сих пор этими членами пренебрегали, но вместе с тем
они являются потенциально существенными и могут служить
основной причиной как различий между результатами, получен-
полученными разными авторами, так и споров, вызванных этим. Подобные
члены имеют порядок даже меньший, чем отношение толщины
-к радиусу, и, таким образом, для тонких оболочек они являются
малыми по сравнению с членами, с которыми они суммируются.
Однако уже показывалось, что сравнительно малозначащие чле-
§ 6.7] \ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 463
ны могут превратиться в существенные на последующих этапах
вывода уравнений.
Здесь сказанное сказывается возможным по следующей при-
причине. Главные внутренние силы, входящие в- основное уравнение
равновесия поперечных сил, принадлежат к двум классам: 1) си-
силы, обусловленные изменением поперечных сил (сопротивление
изгибу при прогибах); 2) поперечные составляющие мембран-
мембранных сил, обусловленные наличием кривизны или кручения. Не-
Некоторые члены, принадлежащие ко второму классу и входящие
в уравнение равновесия поперечных сил, содержат множитель
R /с2, который отсутствует в других членах. Вследствие этого те
члены, которые имеют порядок Величины с7Д2, умноженной на
соответствующие различным членам множители, при подстанов-
подстановке в уравнение равновесия поперечных сил будут иметь такой
же порядок, как основные члены..
Степень значимости этих членов невозможно предсказать,
пока их влияния не будут сопоставлены на некоторой общей ос-
основе,- а зто можно сделать только из рассмотрения окончатель-
окончательных несвязанных уравнений, выражающих условия равновесия
сил в поперечном направлении, так как не-существует удобного
способа сравнения относительных значений членов уравнения;
в которы» входят перемещения в' плоскости срединной поверх-
поверхности с членами, .содержащими прогибы. Так как зачастую члены
уравнений частично или полностью взаимно погашают друг дру-
друга, то результаты могут оказаться ошибочными, если рассматри-
рассматривается только часть неосновных членов, поэтому ниже в урав-
уравнениях будут сохраняться все члены. t
Члены с коэффициентом с2/Д2 входят в выражения для мем-
мембранных сил, а имеющие такое же значение члены, содержащие
мембранные деформации, входят в выражения для изгибных мо-
моментов тремя способами: 1) с помощью слагаемых вида bz/B
п az/A из выражений F.22), характеризующих изменение ши-
ширины элемента4 вследствие кривизны; 2) с помощью аналогич-
аналогичных слагаемых, стоящих в знаменателях выражений F.86) для
деформаций; 3) с помощью, поперечного нормального^ напряже-
напряжения а2, обусловленного влиянием кривизны на изгибные напря-
напряжения, которые благодаря коэффициенту Пуассона вызывают
деформации в срединной поверхности. (Влияние поперечных де-
деформаций на плечи пар сил в выражении для момента носит не-
нелинейный характер и ноэтому не учитывается в теории малых
прогибов.) -
Поперечное нормальное напряжение oz, обусловленное изги-
изгибом и кривизной. Благодаря кривизне напряжения изгиба вы-
вызывают напряжения о* в средней части стенки оболочки, анало-
аналогичные напряжениям, возникающим в области шейки, образую-
образующейся при растяжении образца (рис. 1.4, о), за исключением
того обстоятельства, что в последнем случае кривизны имею»
464 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. в
противоположные направления в областях, лежащих выше и ни-
ниже оси, тогда как продольные напряжения имеют одинаковое-
направление, точно так же в предыдущем случае кривизны име-
имеют одинаковое направление, а продольные напряжения направ-
направлены в противоположные стороны. Так как напряжение ах пред-
представляет собою малую поправку при исследовании тонких обо-
оболочек, то при вычислении его можно воспользоваться первыми
аппроксимациями выражений для изгибных напряжений аа) и G$f.
Линеаризуя соотношение F.18) и используя соотношения C.116)
между напряжениями и деформациями для двумерного случая,
получим
F F
(h + vk) z> СТЭ/ = — TZy (up + vAa) z, F.35a)
где ha и к$ определяются из соотношений F.19).
Соответствующие поперечные силы, действующие на части
dz толщины оболочки, показанной на рис. 6.11 заштрихованной,
суть
-^- dz (A daB ф) + (oaf dzB d$) a da +(a&fdz A da) b 3j3. F.356)
В зто- выражение обычно входят напряжения кручения аар/, за
тем исключением, что при этом не будет кручения относительно
осей а и р. На этот элемент будут действовать, разумеется, и дру-
другие силы, обусловленные мембранными напряжениями оат и <У$т,
поперечными касательными напряжениями <raz и о>2, а также
внешней поперечной нагрузкой р (т. е. теми силами, которые
входят в уравнение равновесия в поперечном направлении); все
эти поперечные силы действуют в одном направлении по всему
поперечному селению элемента толщиной 2с, и что бы они не до-
добавляли к напряжению, все это не может быть рассмотрено
в рамках теории тонких оболочек, так как их влияние зависит от
того, как прикладывается нагрузка р. Влияние напряжений из-
изгиба на поперечное напряжение ог учтем, если приравняем нулю
выражение F.356); подставив сюда соотношения F.35а), после
деления на A daB d$ dz получаем уравнение
^t = J37 [(ha + v*p) -5- + (ftp + vA«) 4-] 2, F.35b)
которое будет удовлетворяться вместе с условиями на краях?
при z = ±с имеем az, если взять')
]1^' <6-35г>
') Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity.—
4th ed.—Cambridge: Univ. Press, 1927, 643 p., см. с. 533, уравнение D3);
русск. перевод: Л я в А. Математическая теория упругости.— М.; Л.: ОНТИ,
1935, 674 с, см. с. 558. -
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 465
Разрешая первые два соотношения C.5) между напряжения-
напряжениями и деформациями для трехмерного случая (заменив х и у со-
соответственно на а и р) относительно напряжений оа и о>, полу-
получим выражения, являющиеся вторыми аппроксимациями для на-
напряжений оа, оэ и оа$:
•ар= т^{ч+vea) + т^az>
_ Е
Стар - 2 A + v) еар,
где будут использоваться точные соотношения F.86) для дефор-
деформаций еа, еэ и еаэ, а также выражение F.35г) для напряжения
az. Полученные соотношения представляют собой совместные вто-
вторые аппроксимации, так как выражение F.35г) имеет то_т же по-
порядок, что и малые члены в F.86Х,
Уточненные выражения для сил и моментов для цилиндриче-
цилиндрических оболочек. Ограничимся случаем цилиндрических оболочек,
так как для общего случая указанные выражения имеют слиш-
слишком громоздкий вид. В силу сказанного, используя соотношения
F.32), представим соотношения F.35г)," F.35д), F.86) и F.22)
в виде
F.358)
причем выражения для моментов аналогичны выражениям для
сил с соответствующим индексом, если добавить к подынтеграль-
подынтегральным выражениям множитель z. Далее из соотношений F.35д),
где а и Р заменяются соответственно на х и у, F.35е) и F.35ж)
находятся ог, гх и е^, которые подставляются в приведенные вы-
выше выражения для сил и моментов. Когда в эти выражения вхо-
входят множители вида 1/A — z/R), последние представляются в ви-
виде 1 + z/R + z2/R2 + ..., в котором удерживается столько членов
ряда, сколько требуется, чтобы сохранить все слагаемые с с2,
30 л. Г. Доннелл
466 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. В
входящие в указанные выражения. Таким образом, получаем
i . dv w . с2 |"l — v — v2d2u> v (d2w . w
+ v'v+l U +
' f du : du w ¦ с2 Г v2 d2w 1 ( d2w , w
а2
ЗЯ \дх ду R
F.35И)
В этом случае уравнения равновесия моментов F.25) относи-
относительно осей х ж у принимают вид
дМх дМ дму дм^
откуда, Сиучетом F.35и), получаем
'и ' i-va2«
2 1 F.35л)
Уравнения равновесия сил из системы F.24) в направлении осей
х а у будут иметь вид ^ .
Подставив в эти уравнения силы F, согласно выражениям F.35и)
в F.35л), найдем
'v = W, (а.35н)
где
l-_v а2 .
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ . . 467
. 1 — V ду*) ^
Как и ранее, исключим перемещение v из системы (б.Збн),
применив оператор Y' к первому уравнению системы и Z — ко
второму и вычтя второе иэ первого; аналогично исключается пе-
перемещение и применением оператора Z к первому уравнению а
X' — ко-второму и вычитанием второго уравнения из первого, в
результате получим .
(X'Y'-ZZ)u = {Y'W-ZW), iX'Y''- ZZ)v = (JET- ZW\).
Что же касается третьего уравнения равновесия поперечных
сил, то снова сложим уравнение F.276), записанное для случая
обычного нагружения, с уравнением F.27г), записанным для за-
задач устойчивости, с тем, чтобы получить уравнение (б.ЗЗг), сде-
сделав такую же оговорку, как и ранее, относительно отбрасывания
нагрузки р при использовании уравнения в задачах устойчивости
при внешнем давлении. Хотя это уравнение совпадает с уравне-
уравнением, которое было получено для случая пологих оболочек, те-
теперь в нем используются более сложные выражения F.35и) и
F.35л) для сил F и F.19-) для фуннций hx, ky, кх и 1ц, входящих
в выражения для критических сил. При этом уравнение (б.ЗЗг)
принимает вид
у2 Л 2-уЛ
^ ^ Fyky + Fxyikx + hy). F.35p)
Затем исключим функции перемещений и и v, применив опе-
оператор (Х'У—ZZ) к уравнению и затем воспользовавшись вы-
выражениями F.35п) для тех членов, которые содержат функции
30* . '
468 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОДОЧЕК [ГЛ. В
и и v. Это равносильно применению оператора (Х'У — ZZ)
к членам, содержащим пр.огиб w или внешнюю нагрузку, а затем
операторов, содержащих функцию и (типа дг/дх*), к выражению
{Y'W — ZW) и операторов, содержащих функцию v, к выраже-
выражению (X'W — ZW). Подобные операции допустимы, так как для
рассматриваемых операторов порядок их применения не имеет
значения.
Прежде чем записать окончательную форму результирующего
уравнения, рассмотрим, чем оно отличается от упрощенного урав-
уравнения F.34) для пологих оболочек. Отличие полностью опреде-
определяется дополнительными членами, присутствующими в новом
уравнении, наиболее важным из которых является дополнитель-
дополнительный к V*w член, .стоящий в левой части уравнения; этот член
(что справедливо для всех решений, относящихся к этому слу-
случаю) можно представить в следующей форме:
D Г™™/' diw . diw diw\ diw д*и> , д*тЛ
¦ -г* \R2V2 К—5 + с2Г1_ + с3 +Ct-T + c6rs-i + ce--s\.
R [_ \ дх дх ду ду J дх дх ду ду J
F.35с)
В строке 1 таблицы 6.7 приведены значения коэффициентов си
с2, , которые получены в соответствии с указанным выше под-
подходом, где учитывались все малые члены. В строке 2 приводятся
значения тех же коэффициентов, найденных в рамках столь же
точных уравнений, за исключением того, что в них не учитыва-
учитывалось напряжение cz. В строке 3 приводятся значения, которые
находятся при неучете напряжения cz и отбрасывании остальных
малых членов, как это делалось в предыдущих обсуждениях в
данной главе, выражения для деформаций, сил и моментов бе-
берутся согласно выражениям-F.20) и F.23).
В остальных строках таблицы представлены полученные раз-
разными авторами решения для цилиндрических оболочек при про-
произвольных нагрузках, которые были представлены в несвязанной
форме, включая сюда хорошо известное решение В. Флюгге, ко-
которое уже много лет используется в качестве эталона. Решение
Ч. By и Ч. Ли, которое подробно обсуждается ниже в § 7.5, яв-
является наиболее интересным из них. Оно не предназначалось
в качестве решения для тонкостенной цилиндрической оболочки
и было получено в качестве побочного результата при нахожде-'
нии решения в рядах для функции нагружения толстостенного
цилиндра; это решение получалось последовательно по шагам
без предварительного угадывания характера окончательного ре-
результата, начиная с решения уравнения F.34) и удовлетворения
уравнений трехмерной теории упругости на каждом шаге.
Решение Л. Морли было получено на основе модификации
-уравнения F.34), которая эмпирическим путем выбиралась та-
таким образом, чтобы указанное решение было близко к решению
§6.7]
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
469
В. Флюгге в тех областях нагрузки, для которых хорошо извест-
известно, что в них уравнение F.34) не является точным. Л. Морли
получил, что указанные члены можно записать в компактной
форме 2у6и> + у4и> или просуммировать с членом, содержащим
у8и> с .тем, чтобы получить еще более компактную форму
Т а б л и ц а 6.7
Коэффициенты при членах, содержащихся в уравнении F.36) и отсутствую-
отсутствующих в уравнении F.34)
1. Удерживаются все малые
члены
2. Удерживаются все малые
члены, кроме содержащих
3. Отбрасываются все малые
члены
4. Ч. By н Ч. Ли (см. §7. 5)
5. В. Флюгге1)
Л. Морли 2) или Д. Сим-
мондс при л=Я*=1
Д. Симмондс 3) Яри Я=
=Я*=0
>
2v+v2
2v
V
12(l-v2)
5
2v
2
0
I
>
6-v
6—2v
5
6
6-2v
4
2
С
<
>
J
2
2
_2
2
2
2
2
!
<
'h
<o
j
4+v—3v2
4-3v2
1-v2
12A—v2)
5
0
- 1
0
3
h
3
4-v
4—2v
3
4
4-2v
2
0
к
1
1
1
1
1
1
1
1) F 1 ii g g e W. Stresses in shells,—Berlin — Gottingen — Heidelberg:
Springer, 1960, см. гл. 5. '
2) M о г 1 e у Li. S. D. An improvement of Donnell's approximation for
thin-walled circular cylinders.—Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1959, v. 12, № 1,
pp. 89—99.
3) S i m m о n d s J. G. A set of simple, accurate equation? for circular
cylindrical elastic shells. — Int. J. Solids and Struct., 1966, v. 2, № 4,
pp. 525—541.
V4(V2 + i)zw; это до некоторой степени упрощает применение
уравнения в тех случаях, когда нагрузка р и прогиб w являются
тригонометрическими функциями от х и у. Однако вследствие
того, что коэффициенты в -уравнении, полученном Л. Морли
(а частично и в решении Д. Симмондса), подбираются таким об-
образом, чтобы получить желаемые результаты для определенных
частных случаев применения, а не получаются на основе исполь-
использования фундаментальных принципов, как это было сделано нами
н В. Флюгге, что заставляет сомневаться в их точности при ис-
использовании в неисследованных задачах даже в тех случаях, ког-
когда эти задачи принадлежат тому же диапазону изменения вели-
470 . КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОВОЛОЧЕК • [ГЛ. в
чин длин волн, что и тот, для которого были подобраны коэффич
цивйты. - -
Сопоставление значений коэффициентов, приведенных в таб-
таблице 6.7, показывает, что все они, несмотря на большое различие
методов получения, этих уравнений, имеют одни и те же значения
для с3 — 2 и Сь= 1. Это указывает на то, что эти члены являют-
являются очень существенными и, как можно показать, эти -значения
для св и для слагаемого d*w/dya, входящего в с3, являются необ-
необходимыми для того,-чтобы был возможен переход к теории кру-
круговых колец в случае dw/дх = 0 (и таким путем получить, напри-
например, правильное критическое значение равномерно распределен-
распределенного давления для длинных труб, теряющих устойчивость по
овальной форме, как будет цоказано ^ниже в § 7.31). В давно
опубликованном исследовании1.) автора все существенные эле-
элементы изложенного выше обсуждения (в том числе и касающие-
касающиеся малых членов) были доведены до окончательного результата в
виде решения для прогиба w; там оба этих члена были оценены
как существенные и сохранены, однако остальные были непра-
неправильно (хотя и в виде рабочей гипотезы) отброшены как несу-
несущественные.
На самом деле>-по-видимому, очень важным является только
одно условие для этих коэффициентов, а именно: с2 = 2 + сь. На
важность этого условия также указывает и то обстоятельство*
что все эти самые различные уравнения удовлетворяют ему. Ни-
Ниже, в § 7.1, показывается для случая ге= 1, что это есть условие
того, что решения сводятся к элементарному, но точному реше-
решению для случая чистого продольного изгиба цилиндрической тру-
трубы как стержня. Абсолютная величина коэффициента с5 (а* отсю-
отсюда и с2 в силу упомянутого условия) является, по-видимому, на-
намного менее важной. Это подтверждается тем, что, как правило,
его значения задавались самыми различными, начиная от четырех
jb кончая нулем. В действительности же, по-видимому, не имеет-
имеется известного элементарного решения, подобного обсужденным
выше, с помощью которого можно, было бы проверить его вели- -
чину. - . . ,
; ^ Можно видеть, что значимость членов оказывается менее яс='
ной при уменьшении порядка производной по у и увеличении по-
порядка производной по ж, а это указывает на то,, что члены с ко-
коэффициентами d и с4 являются, по-видимому, несущественными.
Их. несущественность подтверждается тем, что в различных тео-
теориях эти коэффициенты принимают различные значения, тогда
как неизменность значений коэффициентов с3, св и с2 — с5 указы-
указывает на их важность. Имеется элементарный случай, когда де-
') D о n n е 11 L. H. A discussion of thin shell theory.— Proc, 5th Inter-
Internal» Congr. Appl. Mech., Cambridge, Mass., 1938.—New York: J. Wiley and
Son, 1939, pp. 66—70. . "
§ 6.7] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 471
формация и нагРУзка осесимметричны (dw/dy = 0), для него по-
показано, что очень ^хорошая аппроксимация получается и в том
случае, когда эти коэффициенты полагаются равными нулю. Ес-
Если сделать это, то решения для оболочек сводятся к элементар-
элементарному случаю балки Хлредставляемой продольным элементом, вы-
вырезанным из стенки оболочка), лежащей на упругом основании,,
что обусловлено влиянием кривизны по окружной координате,
как это показано в § 7.1 при ге = 0. Так как это элементарное-
решение для оболочки известно как очень хорошая аппроксима-
аппроксимация для тонких оболочек, то эти члены будут отбрасываться (от-
(отрицательная величина для с, и равная ей, но положительная ве-
личина/для с4, полученные в решении Ч. By и Ч. Ли, являются, по-г
видимому, нужными, но только в случае толстых оболочек).
Сопоставление решений для строк 1,- 2 и 3 показывает, что
малые члены имеют незначительное влияние на окончательные
результаты, как и предполагалось ранее. Поэтому для коэффи-
коэффициента с5 в строке 3 будет браться значение с5 = 3, полученное
при игнорировании малых членов. Это делается как для просто-
простоты, так и, что более важно, для лучшего соответствия с другими
теориями оболочек, которые обсуждались в первом параграфе
этой главы, так как теперь оказывается уже очевидным, что рас-
рассмотрение малых членов не -окупается их влиянием на решение.
Имеются аргументы в пользу__выбора коэффициента с5 = 4, как.
это следует из расчетов, проведенных Ч. Bjrn Ч. Ли, поскольку
это достаточно проето и может привести к более точным резуль-
результатам; однако такой выбор, естественно, не является строгим.
Таким образом, для произвольных малых прогибов тонкой
круговой цилиндрической оболочки получаем
.Ehd*w
: dmy - д2и> „ (d2
+ + F+Fta
v
<6-зв)
Затем можно преобразовать и упростить наподобие уравнения
F.36) также и уравнения F.35п) для перемещений и и у, а так-
также уравнения F.3.5л) для сил. Fa» и Fvz. Проделав это, получаем,
что функций ц, v, F*z и Fvz, определяемых уравнениями F.33в)
472 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
и F.31ж) для пологих круговых цилиндрических оболочек и ис-
используемых для удовлетворения краевых условий, которые обсуж-
обсуждались вместе с уравнением F.34), вполне достаточно для задач
весьма произвольного вида круговых цилиндрических оболочек.
Относительная величина членов, входящих в уравнение F.36),
но отсутствующих в "уравнении F.34), по .сравнению с членами,
общими для двух уравнений, будет обсуждаться ниже в § 7.1
(см. рис. 7.2).
' Ограничения на несвязанные уравнения. Уравнение F.36),
а, также более простые уравнения пологих оболочек (б.ЗЗв) и
F.34), очевидно, имеют тенденцию к повышению порядка, урав-
уравнения, поэтому необходимо было бы сделать предупреждение в
связи с использованием таких уравнений при рассмотрении урав-
уравнения C.8). За исключением упомянутого повышения порядка,
' приводящего к некоторому усложнению с точки зрения матема-
математики, указанные уравнения по своему физическому смыслу соот-
соответствуют, по крайней мере частично, основным уравнениям тон-
*ких оболочек F.18), F.23), F.24) и F.25). Не следует полагать,
что при этом нужно будет удовлетворять большему числу крае-
краевых условий, чем то, что обсуждалось для этих основных урав-
уравнений (а именно: на каждом из. четырех краев панели задаются
два условия на изгйбные факторы и два условия мембранного
типа или эквивалентные им условия), не считая наложения до-
дополнительных независимых решений. Все это будет обсуждаться
ниже в связи с рассмотрением уравнения G.3д).
Другим неудобством повышения порядка уравнений, требую-
требующегося для получения несвязанных уравнений, является то, что
при дифференцировании, очевидно, обращаются в нуль некото-
некоторые простые функции и, таким образом, пропадают некоторые1
типы решений. Например, исходные уравнения равновесия попе-
речньрс сил типа уравнения (б.ЗЗг) могут быть удовлетворены
только при постоянной окружной силе Fy, соответствующей по-
постоянной по величине боковой нагрузке р. Но несвязанные урав-
уравнения для цилиндрических оболочек, представленные в табли-
таблице 6.7, вместе с краевыми условиями и условиями совместности
деформаций могут быть удовлетворены только в том случае, ког-
когда wt= w0, и = щх, где w0 и щ — постоянные, и все внешние силы
равны нулю; отсюда получаем постоянное значение силы Fv —
—Civui + w<j)/R и равную нулю нагрузку р, что является, по-ви-
по-видимому, невозможным случаем.
Может быть, чисто психологически было бы удобнее приме-
применять интегральный оператор V-4 к уравнению относительно про-
прогиба w и оператор V-2 к уравнениям относительно перемещений
и и v, сведя, таким образом, эти уравнения к следующим типам:
Z)V4u;+ V-4[...]='? + ...и. V2M = V-2[...] и т. д. Подобная запись,
вновь придает этим уравнениям исходную физически обоснован-
обоснованную форму, которая дает исследователям более реалистическое-
§ 6.7] ЧАСТЩЛЕ РЕШЕНИЯ 473
представление о числе и виде имеющихся произвольных функ-
функций интегрирования. Однако это привело бы к усложнению ме-
метода (получения несвязанных уравнений), главная идея которого
состояла в тех упрощениях, к которым он приводил. К счастью,
аномальные решения типа упоминавшихся выше, которые мо-
могут быть потеряны при повышении порядка уравнений, относят-
относятся, по-видимому, к простым случаям, которые можно исключить
путем сравнения со значительно более просто получаемыми эле-
элементарными решениями.
Потеря устойчивости тонких сферических оболочек, нагружен-
нагруженных внешним давлением. Получение решений энергетическим ме-
методом. В предыдущих обсуждениях упор был сделан на решения
для оболочек, получаемых из рассмотрения уравнений равнове-
равновесия, и только кратко упоминалось об энергетических подходах
и то для случая применения комбинации энергетического метода
и подхода, основанного на рассмотрении уравнений равновесия.
Ряд решений, получаемых энергетическим методом, будет приве-
приведен в следующей главе — они будут относиться к цилиндриче-
цилиндрическим оболочкам.
Решения задач оболочек, получаемые энергетическим методом,
действительно весьма удобны в тех случаях, когда ожидаемое
решение в большей степени зависит от интегральных и в мень-1
шей — от локальных условий, как, например, в задачах устойчи-
устойчивости и колебаний или в задачах определения общих значений
прогибов при поперечных нагрузках. Рассмотрим задачу устой-
устойчивости' тонкой сферической оболочки,. нагруженной равномер-
равномерным внешним давлением. Хотя окончательная картина выпучи-
выпучивания такой сферической оболочки имеет несимметричную и
сложную форму, эксперименты показывают, что потеря устойчи-
устойчивости, как правило, начинается с образования небольшой, круго-
круговой вмятины; оставшаяся часть данного параграфа будет, посвя-
посвящена изучению условий возникновения такой вмятины и ее ха-
характеристики.
Как следует из экспериментов, стенка ободочки всегда имеет
небольшие возмущения формы, это наблюдается даже на неболь-
небольшом расстоянии вне области, где происходит выпучивание; поэто-.
му для оболочек типа сферического сегмента или купола, даже-
скорее, чем для замкнутой сферической оболочки, условия на
крае купола должны мало влиять на выпучивание, если диаметр
купола значительно превышает диаметр вмятины. Выпучивание
будет, естественно, стремиться возникать в наиболее слабых мес-
местах стенки либо вследствие меньшей толщины, либо наличия
начального отклонения от сферической формы, но вместе с тем
выпучивание будет стремиться возникать на достаточном удале-
удалении от края с тем, чтобы на нем не сказалось Подкрепляющее
влияние опор -на крае, если таковые имеются. Отсюда следует,
что если мы игнорируем подкрепляющее влияние краевых опор,
474 КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
что мы и будем делать в дальнейшем, то полулаемые результаты'
могут быть применены не только к замкнутым сферическим обо-
. лочкам, но и с достаточно хорошим приближением к куполам,
чей диаметр в несколько раз превышает диаметр вмятины, при-
приближенный размер которого обозначен на рис. 6.16, а через I.
Для изучения этого явления можно, очевидно, воспользовать-
воспользоваться осесимметричной теорией оболочек, положив, что ось симмет-
симметрии проходит через центр вмятины. Можно использовать, также
и теорию пологих оболочек, так как проведенные на основе тако-
такого'допущения расчеты показывают, что диаметр вмятины доста-
достаточно мал по сравнению с радиусом оболочки, чтобы соответ-
соответствовать этому допущению. Поскольку все реальные оболочки
имеют несовершенства того же порядка величины, что и толщи-
толщина, то в дальнейшем будет использоваться теория больших про-
прогибов. "
Из соотношений F.30а) и (б.ЗОе) для случая больших проги-
прогибов осееиммётричных пологих оболочек получаем следующие вы-
выражения для деформаций: •
%lA'l--Qm + *u)IBl F.37a)
«.--!¦?¦/".' ((ЦМ)
ер = / — k$z, ea& = 0.
Для случая сферический оболочки с учетом приведенного в ше-
шестой строке таблицы 6 имеем . -
ди
, 1 [ dw \2 __ d2w г
~W+iR\dV) 5ф2 R ]•
F.37в)
При проведении" расчетов для этого случая, которые были вы-
выполнены автором в 1959 -г.*) и результаты которых будут пред-
представлены здесь, удерживались в соответствующих выражениях
члены {w/Rz)z, которые отбрасывались в теории пологих оболо-
оболочек. Поскольку эти члены являются несущественными, когда
преобладают условия, характерные для пологих ободочек, то и
их влияние на полученные результаты пренебрежимо мало.
Подходящими выражениями для перемещений w и и, кото-
которые могли бы дать такое же распределение этих перемеще-
перемещений, как и представленное штриховыми" линиями на взятом из
>) Donnell L. H. Shell theory.— Proc. 4th Midwest. Conf. Solid Mech,
Austin.— Texas, 1959, pp. 1—17.
§6.7]
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
475
упомянутой статьи автора рис. 6.16, а, будут.
Wm rpm, и = he-**2 2 Um (pm+1 (m = 0, 2,4, . . .
F.37г);
где коэффициент а определяет размер вмятины, а коэффициенты
Wm и Um— ее глубину и форму, все эти коэффициенты должны
определиться на основе принципа возможных работ. Энергия
деформаций &', и работа &\, соЪершаемая равномерным внеш-
внешним давлением, с учетом выражения D.69), имеют вид
я с
&»= "_ 2 J sin ф пц> J D +
V ° - "с
я
^Гв =2яЛгр j si
ее) dz,
F.37Д)
Для удобства пределы интегрирования даны для всей поверхно-
поверхности сфер^ Небольшое различие было бы лишь в том случае,
если они были "записаны только для части сферы, так как инте-
интегралы будут практически равны нули вне окрестности вмятины.
В этом случае удобно также принцип возможной работы при-
принять в следующем виде:
да
dW
dU
= 0, где 8 = 8*—8*• F.37е)
В статье автора, опубликованной в 1959 г., упоминавшиеся
выше раечеты проводились только * с удержанием первого члена
а)
Рис. 6.16.
в ряде для прогиба w и двух первых' членов — для перемеще-
перемещения и; соответствующие результаты показаны сплошной'линией
на рис. 6.16, б в' виде зависимости нагрузки от прогиба. Было
476 " КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 6
найдено, что диаметр границы вмятины (рис. 6.16, а) составляет
/«7УЖ - F.37ж)
Так как кривая зависимости нагрузки от прогиба может
продлеваться до бесконечности в случае упругого материала,
предельному значению давления будет соответствовать точка,
в которой впервые в оболочке возникнут пластические деформа-
деформации, после чего можно ожидать резкого падения сопротивления
нагружению. При движении вдоль кривой увеличиваются как
мембранные, так и изгибные напряжения, причем мембранные
напряжения определяются главным образом вертикальной коор-
координатой точки на кривой, изгибные напряжения — горизонталь-
горизонтальной координатой. Если пластические деформации возникают в
точке Pi при достаточно большом продвижении вдоль кривой, то
предельное значение внешнего давления можно определить по
формуле
В экспериментах, описанных Т. Карманом и X. Цзяшж1), раз-
размеры вмятины были близки к тем, которые задавались форму-
формулой F.37ж), тогда как давление, при котором происходило вы-
выпучивание, было примерно в два раза меньше, чем получаемое
по формуле F.37з), что указывает, по-видимому, на то, что
пластические деформации возникают в. точках типа Р2
(рис, 6.16, б).
Этими результатами устанавливается, по крайней мере, ха-
характерный размер вмятины, образующейся при выпучивании,
и указывается на то, что эта вмятина достаточно мала для того,
чтобы соответствовать теории пологих оболочек, так как" из фор-
формулы F.37ж) следует
. -|L»7/^, F.37и)
а Ъта величина значительно меньше единицы для любой реаль-
реальной тонкой оболочки.
') Karman Т. L., -Tsien H. S. The buckling of thin cylindrical shells
under axial compression.— J. Aeronaut. Sci., 1941, v. 8, № 8, pp. 303—312.
Глава 7. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Введение. Представляется желательным и вместе с тем ло-
логичным в этой, последней, главе в полном объеме исследовать
применение принципов построения теории оболочек на одном
конкретном типе оболочек, как примере использования в слу-.
чае оболочек произвольного типа, так как охват всего разнооб-
разнообразия оболочек в полном объеме представляется нереальным.
Причина выбора круговой цилиндрической оболочки в качестве
типового объекта исследования вполне очевидна, так как эта
оболочка является и простейшим типом, и в то же время обла-
обладает наибольшим количеством характерных свойств оболочек
произвольного типа, о ней больше известно по сравнению с дру-
другими типами и, кроме того, она является наиболее важным ти-
типом оболочек с точки зрения практического применения.
§ 7.1. Применение теории малых прогибов
В качестве простого, но важного примера применения урав-
уравнений F.34) или F.36) рассмотрим показанную на рис. 7.1
цилиндрическую оболочку длиной L, радиусом R, свободно опер-
опертую по краям и нагруженную изменяю- ' ;
щейся по гармоническому закону радиаль- /~ Р*--
ной распределенной нагрузкой р. Урав- 't^ay
нению F.34) или F.36), так же как и !/(°г- :—:
условию непрерывности деформаций в U ^-
окружном направлении и условиям равен- рис 7 l
ства нулю на краях радиальных переме-
перемещений и изгибающих моментов Мх, можно удовлетворить следу-
следующими выражениями: «
/ • тпх -пи VV . тпх . пу
mnsin~r~sin r~' pT" 2d2dPmnSln~l~sin r »
m n
' ' G.1a)
где тип — целые числа. В результате получаем соотношение,
связывающее Wmn и Ртп для каждой комбинации значений т и п.
Если в виде аналогичных рядов по произведениям косинуса на
синус и синуса на косинус представить функции соответственно
и и v, то можно удовлетворить также и уравнениям (б'.ЗЗв), где
перемещения и и v могут и не принимать нулевые значения на
краях, если того требует физический смысл задачи. Однако, как
видно из рис. 6.1, перемещение и должно быть меньше перемеще-
478 Цилиндрические оболочки [гл.
ния v и гораздо меньше прогиба w, поэтому условие на переме-
перемещение и является сравнительно маловажным, даже если действи-
действительно имеются реальные физические ограничения для возник-
возникновения перемещений и на краях.
Оценка важности членов, присутствующих в уравнении F.36)
и отсутствующих в уравнении F.34). Длины полуволн прогибов
согласно выражениям G.1а) в направлении осей х и у суть
lx = L/m, Ztt= nR/n или L = mlx, R = nly/n. G.16)
Подставляя представления G.1а) в уравнение F.36), заменяя,
согласно G.16), L и R, после умножения на 12 A — v2) l%/(n*Eh3w)
левую часть уравнения F.36) можем представить при v = 0,3 в
следующей форме:
Стоящие в скобках члены представляют собой те четыре слагае-
слагаемых, которые содержатся в уравнении F.36) и отсутствуют в
уравнении F.34). Если положить в. последнем слагаемом ly/h =
— 10, т. е. взять это отношение с минимально допустимым, соглас-
согласно гипотезе Кирхгофа — Лява, значением, то можно легко под-
подсчитать отношения абсолютных значений каждого из этихГчеты-
рех слагаемых к наибольшему из оставшихся двух членов (т. е.
общих для обоих уравнений членов) для всего диапазона измене-
изменения параметров IJR з lv/lx от нуля до бесконечности.
Найденные в результате таких вычислений отношения отбро-
отброшенных членов к оставленным в уравнении F.34) представлены
на рис. 7.2. Заштрихованными на графиках показаны те области
изменения параметров ly/R и 1у/1х, для которых, безусловно, мож-
можно использовать более простое уравнение 46.34), так как при
этом отброшенные члены никогда не принимают значений, превы-
превышающих .один процент от оставленных членов. Но весьма хоро-
хорошую аппроксимацию можно получить, используя уравнение ~
¦F.34), даже в том случае, если величины отброшенных членов
не превышают 10% от величин оставленных. В таком приближе-
приближении можно принять, что более простым уравнением можно поль-
пользоваться почти во всей области, показанной на графике, за ис-
исключением верхнего квадранта. Это означало бы, что более прос-
простое уравнение F.34) могло бы давать значительно более точные
результаты, если одна из длин полуволн в окружном или про-
продольном направлениях меньше, чем радиус, но им не следует
пользоваться, если длины обеих полуволн больше чем радиус-
Сказанное не обязательно имеет какое-то значение для теорий
§7.1]
ТЕОРИЯ МАЛЫХ ПРОГИБОВ
479
пологих оболочек вообще, так как частный случай цилиндриче-
цилиндрической оболочки характерен тем, что только одна из кривизн в нем
Рис. 7.2.
отлична от нуля; аналогичным образом могут быть рассмотрены
и другие случаи. . ¦ • -г
Цилиндрическая оболочка, нагруженная боковым давлением.
Очевидно, выражения G.1а) могут быть использованы для произ-
произвольного вида боковой нагрузки (включая и сосредоточенные на-
нагрузки) путем применения двойноге гармонического анализа ана-
аналогично использованному для исследования пластин. Коэффици-
Коэффициенты Ртп можно определить, умножив обе части второго из вы-
выражений G.1а> на sin(nMtayL)sin(nt//.R} и проинтегрировав по-
всей срединной поверхности:
h 2ЯН
тп* -„:п пу ," nRL р п ?v
—у— sm д— ау s— f«in' V' •""¦}
Всевозможные виды распределения других типов нагрузок, вхо-
входящих в уравнение F.34) или' F.36), могут быть исследованы
аналогично, если функции т^ и /* взять в виде рядов по произве-
произведениям косинуса на синус, а функции mv и /и"по произведениям
синуса на косинус.
В соответствии со сказанным при нахождении прогиба w и ве-
величин, зависящих от него, следует использовать уравнение F.36)г
если компоненты напряженно-деформированного состояния имеют
длинные волны, а более простое уравнение F.34) можно исполь-
использовать в случае коротких волн. Но на самом деле это, по-видимо-
по-видимому, не является существенным до тех пор, пока распределенная
нагрузка сама изменяете»- в обоих направлениях по длинным
волнам. Для других видов нагрузок (например, сосредоточенная
сила) компоненты деформированного состояния с большой дли-
длиной волны дают незначительный вклад в суммарный прогиб, по-
поэтому использование уравнения F.34) .не приведет к очень боль-
большой погрешности.
480 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 1ГЛ. 7
Свободные колебания цилиндрических оболочек. Проведение
изложенных выше процедур не составляет труда, поэтому рас-
рассмотрим в качестве примера~~несколько иной тип задачи — свобод-
свободные колебания тонкой цилиндрической оболочки. Так же, как и
ранее при рассмотрении стержней (см. уравнения B.18) — B.20))
и пластин (уравнения D.30)—D.32)), зададим прогиб как функ-
функцию координат х и у, а. также времени t:
„2
ITT « ШЛХ . Till • П ЛТ i -, О W /Г7 f\r"\ -
w = Wmn sin —?— sin—n^- sin 2nNmnt, p = — ph —5—, G.26)
где p — плотность материала, Wmn '— амплитуда колебаний, 7Vmn —
частота колебаний в том случае, когда колебания происходят с
образованием тп полуволн в продольном направлении _и п волн —
в окружном.
Подставив представления G.26) в уравнением F.36), после де-
деления на выражения для прогиба w получим соотношение
чГ'/а? о\4- '
Hfl \ I ТП 71 . Tt \
12(l-v2) Ц"!2""^2"/ ~
R* A L2 'Л
mV
-^-)', G.2в)
откуда легко получить частоту, эта частота, так же как и в дру-
других линейных (упругих, с малыми прогибами) задачах колеба-
колебаний, не зависит от амплитуды.
Так как при получении соотношения G.2в) использовалось
уравнение F.36) более общего вида, то полученные результаты
могут быть применены к случаям колебаний с произвольной дли-
длиной волн, вплоть до такой, которая уже не является большой по
сравнению с толщиной; в этом случае требуется учитывать попе-
поперечные деформации и инерцию вращения, как это делалось для
пластин в уравнении E.87г).
Локальное поле напряжений для удовлетворения краевых ус-
условий. Как уже указывалось в § 5.3—5.5 и § 6.5, ряд полей ло-
локальных- напряжений, которые использовались для удовлетворе-
удовлетворения краевых условий для пластин, могут быть применены с
достаточной точностью и для тонких оболочек. Такие поля ло-
локальных напряжений являются общими решениями однородных
уравнений, получаемых из уравнений F.36), F.34) и (б.ЗЗв),
если в последних положить равными нулю внешние нагрузки
§ 7.1] ТЕОРИЯ МАЛЫХ ПРОГИБОВ . 481
да;3 da;fy2 * дЛу 5/ '
В скобки заключены члены, входящие в уравнение F.36) и от-
отсутствующие в уравнении F.34).
Ограничимся здесь обсуждением главным образом применения
наиболее важных типов локальных полей напряжения в пластинах,
описываемых выражениями E.78а) и E.786), в качестве аналогов
для тонкой цилиндрической оболочки; попутно следовало бы вы--
сказать соображения пе поводу условий, которым должны удов-
удовлетворять поля локальных напряжений, построенные для пластин
или балок, чтобы их можно было с сохранением достаточной точ-
точности использовать в случае произвольных оболочек.
Краевая нагрузка, распределенная по гармоническому закону,
мембранный случай. Простейшим решением уравнений G.3а) и.
G.36) является прогиб w, равный нулю или некоторому постоян-
постоянному значению; в этом случае первое уравнение удовлетворяется
тождественно, а два других сводятся к виду ^4а = 0 и V4p = 0. Ре-
Решение в виде E~.78а) при их = и, t^ = v, щ = ш удовлетворяет
всем этим условиям, из чего можно заключить, что это решение
для пластин с распределенными по гармоническому закону крае-
краевыми нагрузкатии в равной .степени применимо в рамках теории
тонких оболочек к задаче о нахождении мембранных сил на
краях цилиндрической оболочки, распределенных в окружном
направлении по гармоническому закону. Таким образом, решение
E.78а) при a = 2b/(l + v), Ь = ?яих0Л3A-v)Z], взяв 1 = пЙ/п,
можно наложить на решение G.1а) с. тем, чтобы получить равные
нулю значения функции и на краях (в случае очень короткой
цилиндрической оболочки аналогичная поправка получается за^
меной е~** функциями sha;' и спя' для удовлетворения условийs
на обоих краях одновременно).
Краевая нагрузка, распределенная по гармоническому закону,
случай изгиба. Этот случай является более сложным, чем мемб-
мембранный, так как возникновению прогибов w, которые сопутству-
сопутствуют этому случаю, препятствуют как радиальные составляющие ок-
окружных напряжений, так и другие факторы, связанные с кривиз-
кривизной, не говоря уже об изгибжщ жесткости, подобной имеющейся
в случае плоской пластины. Поэтому в дальнейшем потребуются
более общие решения уравнений G.3а) и G.36).
Для замкнутой цилиндрической оболочки этим уравнениям и
условию непрерывности деформаций в окружном* .направлении
31 Л. Г. Доннелл
482 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
можно удовлетворить следующими выражениями:
w=cos-~X1(x), u = cos-^-X2(x), v=sin-^-X3(x),
G.3в)
где п — целое число, X — либо степенные функции от х, либо
экспоненциальные функции, либо, выражающиеся через экспонен-
экспоненциальные функции гиперболические и тригонометрические
функции.
Решение одинаково удобно записывается либо через функции
cos-(ny/R), либо через sin Ыу/R), эти функции не дают линейно
независимых решений, так как на самом деле это будет одно и
то же решение при соответствующем повороте в окружном нап-
направлении координатных осей, однако в конкретных задачах бы-
бывает удобно пользоваться либо одной из этих функций, либо их
комбинацией. Если рассматривается задача о незамкнутой цилин-
цилиндрической оболочке типа криволинейной панели со сторонами,
параллельными одйОй из координатных осей, то параметр п уже не
должен быть целым числом и его можно принимать таким, чтобы
облегчить удовлетворение условий на краях, параллельных коор-
координатной оси, можно также использовать и другие типы функций
от координаты у. Здесь обсуждение будет ограничено рассмотре-
рассмотрением замкнутых цилиндрических оболочек и решений типаG.3в).
Случай п= 1. Этот случай является специальным, и решения
для него наиболее просто получить, задав X как степенную функ-
функцию от х, а не в виде экспоненциальных функций, как в случае
п = О, 2f 3, ..., поэтому остановимся сначала на этом варианте.
При га = 1 прогибы w, пропорциональные cos (у/В), вместе с соот-
соответствующими перемещениями, пропорциональными sin (ny/R),
вызывают поперечное перемещение всего поперечного сечения
цилиндрической оболочки без изменения его круговой формы и,
таким образом, соответствуют случаю изгиба длинной цилиндри-
цилиндрической трубы. В случае чистого изгиба трубы под действием мо-
моментов Мо, приложенных на ее концах, можно положить
-(а;г), и~ С соз-^-BRx), v = С sin -^ (х2 - 2v Я2).
. G.3г)
Подставляя эти выражения в полные уравнения G.3а) и G.36)
(более простая форма уравнения без членов, стоящих в скобках,
приводит в этом случае к неправильным результатам, что можно
было бы ожидать, рассмотрев кривые на рис. 7.2), получим, что
эти уравнения удовлетворяются тождественно; коэффициенты в
выражениях G.3г) выбирались, естественно, такими, чтобы были
удовлетворены эти и последующие краевые условия. Если пер-
первое из выражений G.3г) подставить в уравнение G.3а), где коэф-
коэффициент 5 при втором слагаемом заменяется на с2, а коэффи-
§ 7.11 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ПРОГИБОВ 483
циент 3 при четвертом слагаемом — на с,, как это сделано в таб-
таблице 6.7 (§ 6.7), то найдем, что-для удовлетворения уравнения
G.3а) требуется выполнение условия с2 — с6 = 2, что уже отме-
отмечалось при обсуждении этой таблицы.
Используя выражения F.20) и F.23), найдем, что Fv •»F*, —• 0,
2ЯН
Fx = С cos iy/RJEhR, Мо= j FXR cos (y/R) dy = 2nCfihR3f отку-
o
да С2 = M0/BnEhR3). Легко проверить, что это решение дает та-
такие же поперечные перемещения и относительные повороты по-
поперечных сечений, а также напряжения, как и элементарная
классическая теория балок, если цилиндрическую трубу рассмат-
рассматривать как простую балку.
Таким же способом можно исследовать и другие случаи изгиба
цилиндрических труб как балок, например как консольной балки,
нагруженной приложенной на конце сосредоточенной силой (обу-
(обусловленной поперечными силами Fxz и Fyz, определяемыми выра-
выражениями F.25)), или балки с равномерно распределенными наг-
нагрузками р, fx или /„, используя для представления G.3в) функции
X более высокой степени от х. Подобные решения будут более точ-
точными, чем те, что следуют из элементарной теории балок, так как
в них более точно учитываются деформации поперечного сдвига
(которые не рассматриваются в упомянутом выше случае чистого
изгиба), однако цри этом было бы хорошо провести сопоставление
с уточненной теорией балок, описанной в § 3.5.
Полное решение упрощенных однородных уравнений. Общее
решение уравнений G.3а) и G.36), в которых были опущены сла-
слагаемые, стоящие в скобках, т. е. однородных уравнений, получае-
получаемых исключением нагрузочных членов в уравнениях (б.ЗЗв) и
F.34) и соответствующим упрощением применительно к случаю
цилиндрических оболочек, были получены Н. Хоффом1) с помощью
экспоненциальных представлений функций X из выражений
G.3в) относительно аргумента х. Так как нас в основном интере-
интересуют прогибы, утлы наклонов и изгибающие моменты, которые
могут быть выражены только через одну функцию радиального
перемещения, то вполне достаточно здесь рассмотреть общее ре-
решение для прогиба w, представив его в следующем виде:
[nJ±.\ G.3д)
где
Р=± 4-(i/ir+-?-+?), g==(^+^._v), G.3e)
') Hof f N. J. Boundary-value problems of the thin-walled circular cylin-
cylinders,- J. Appl. Mech., 1954, v. 21, № 1, pp. 343-350,
31*
484 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ , [ГЛ. 7
-У
Здесь для всех корней берутся только положительные значения,
р и q — действительные числа. -Рассматривая коэффициенты а и.
Ъ как произвольные и беря как положительный, так и отрицатель-
отрицательный знаки в формуле для /?,'из выражений G.3д) и G.3е) полу-
получаем четыре линейно независимых решения, которые соответст-
соответствуют четвертому порядку исходного уравнения равновесия сил в
поперечном направдении, из которого были получены уравнения
F.34), F.36) и G.3а)~более высокого порядка.
G другой стороны, решение Н. Хоффа содержит четыре неза-
независимых решения, которые можно получить, взяв со знаком плюс
или минус член /ц в выражениях G.3е) для р и q; указанные
воеемь решений соответствуют восьмому порядку уравнения G.3а).
Однако в дальнейшем мы убедимся, что получаемые из выраже-
выражений G.3д) и G.3е) решения при положительных значениях i/~fi
не противоречат физическому- смыслу задачи, тогда как значения
ур, взятые со знаком минус, лишены физического смысла. По-
Поэтому можно сделать вывод, что получаемые при отрицательных
значениях У ц четыре решения, будучи решениями уравнения
G.3а) с формальной точки зрения, обусловлены только чисто ма-
математическими преобразованиями, которые привели к повышению
порядка уравнения, и не связаны с физическим содержанием за-
задачи, поэтому эти решения не будут рассматриваться.
; Положительные и отрицательные значения р из выражения
G.3д) соответствуют экспоненциальным функциям с положитель-
положительным и отрицательным аргументом (или их комбинациям, извест-
известным как гиперболические функции) и могут быть использованы
при удовлетворении условий на обоих краях очень короткой ци-
цилиндрической оболочки. Для простоты ограничимся отрицатель-
отрицательными ^значениями р и, следовательно, экспоненциальными функци-
функциями с отрицательным аргументом, подобным E.78а) и E:786),
которые дают решения столь быстро затухающие, что для того,
чтобы это не привело к серьезным ошибкам, их можно применять
для произвольных, но коротких цилиндрических оболочек.
Случай п = 0. Этот случай относится к осесимметричной зада-
задаче, где перемещения не зависят от координаты у. Выражения
G.3е) дают при этом неопределенные значения р и q, так как
здесь имеем reVf = 0/0. Наиболее просто точные значения р и q
можно получить, вновь вернувшись к уравнению G.3а). В этом слу-
случае прогиб w не зависит от координаты у, поэтому, все производ-
производные по у обращаются в нуль; это означает, что все члены, стоя-
стоящие в скобках, также обращаются в нуль, поэтому" более простое"
уравнение F,34) будет давать такие же результаты в этом слу-
§ 7.1] ТЕОРИЯ МАЛЫХ ПРОГИБОВ « . - 485
чае, как и более точное уравнение F.36). В результате получаем
следующее уравнение: dBw/dxs + Djx/fl4)dtu'/da:4 = 0 (отметим, что
к этому же уравнению придем, положив в уравнении F.35с) и
таблице 6.7 Ci = C4 = 0). Подставляя выражение G.3д) в это урав-
уравнение и умножая результат на Rs/epx/R, найдем
Ш + Ва) sin (qx/R)+Ua-ВЫ cos Cqx/R) = 0, G.3ж)
где -
_ А == (р± — 28p"q2 + 70/?У - 28p2q" + q') + 4ц(р4 - 6p*q* + ?'),"
G.3а)
Уравнение G.3ж) может быть удовлетворено при любых значе-
значениях ж, если АЪ + Ва — 0 и A a — Bb==0. Исключая из этих со-
соотношений а и Ъ (если а' и Ъ равны нулю, то решения отсутст-
отсутствуют), найдем Аг + В* = 0, что для действительных значений Л
и В возможно только при А*=В = 0. Положив выражение для
G.3з) "равным нулю, получим р = q. Подставляя: это значение в
уравнение А —0, найдем соотношение р'— /?4ц = 0, которое удов-
удовлетворяется при р — q = 0 или прир == q =У^ц=угЗ A — v) У Rlh
Первое решение приводит к w = Ъ, что соответствует мембранно-
мембранному случаю, рассмотренному выше, тогда как второе совпадает е
решением для балки, лежащей на упругом основании1). Здесь в
качестве балки выступает продольная полоса шириной и высотой
h, вырезанная из стедки и имеющая изгибную жесткость
Edyh3/[12(l-v2)). - ' ' G.3и)
Здесь вместо модуля упругости Е необходимо использовать мо:
дуль Е/{1 — V) для плоского деформированного состояния, так как
волокна ТЗалок не имеют возможности свободно расширяться или
сжиматься в поперечном направлении или в направлении оси у.
Таким образом, имеем балку на сплошном упругом основании с
коэффициентом постели
G.3к)
т. е. основание создает при единичном прогибе отпбрную силу
Р, действующую на единицу длины балки. Это значение § мож-
можно получить иным путем»_заметив, что радиальное перемещение
w вызывает колйцевую деформацию wlR, которую нужно умно-
умножить на модуль упругости Е для того, чтобы получить кольце-
кольцевое напряжение, на h для того, чтобы получить кольцевую силу,
') См., например, Ximosbenko S. Strength of materials. Part II.—
2nd ed.—New York; Van Nostrand, 1941, p. 2; русск. перевод 3-го америк.
издания: Тимошегнко СП. Сопротивление материалов. Часть II.— Ж.:
Наука, 1965, с. -11—29. Устойчивость такого стержня при осевом сжатии
рассматривалась в § 2.5, см. формулу B.3Q).
32 Л. Г. Доннелл
486 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
действующую на единицу длины, и на угол dy/R, чтобы полу-
получить опорные радиальные составляющие кольцевых сил, располо-
расположенные под углом друг к другу и действующие на каждую сто-
сторону элемента.
Случай. п> 1. Соотношения G.3е) дают значения р и q при
п > 1 для любых значений ц. Как уже говорилось ранее, для то-
того чтобы можно было пользоваться гипотезой Кирхгофа — Лява,
нужно, чтобы выполнялось условие lv = nR/n > 10й, откуда сле-
следует, что [г должно принимать значения, намного большие чем
28и2. Например, для [х = 36w2 из выражений G.3е) при я = 2,3,
10, 100 получаем соответственно: р = ± 4,10, ± 5,42, ± 14,0,
± 112,3 и q = 2,99; 3,48; 5,36; 13,75.
Из выражения G.3д) с учетом F.20) и F.23) имеем ,
-|^ = -i- cos ^- в?*'* [(pa + qb) cos^ + (рЪ - qa) sin-f-],
Мх = -4- cos -^- ePx'R i[(p2 - q2 - vrc2 + v) a + 2pqb] cos -Ц- +
+ [-2pqa + (p2 - g2 - vm2 + v) b) sin_^ J. G.3л)
Для случая, когда при х = 0, имеем ы> = 0, dw/dx = {dw/dxH X
X cos (ny/R), a = 0, b = (R/q)idu?/dxH, откуда получаем
cos
/ • qx , p
COS -—¦ Л SH
D nu I ax
— —5- {dwldx)u cos —~- eP*/B 12p cos -^—(-
• , P2 - q2 + V A - n2) . qx ) G.3m)-
На рис. 7.3 штриховыми линиями показана зависимость nw от
параметра nx/R для обсуждаемого случая, когда имеем а = 0,
b = (R/q)(dw/dx), ц = Збге2, w = 2; 3; 10; 100 с использованием
указанных выше отрицательных значений /7. Как можно видеть,
кривые," соответствующие этим решениям, ложатся близко к оси
абсцисс уже при х — R для п = 2 и при х « 8/?/я для очень
большого числа и; таким образом, эти решения могут быть ис-
пйльзованы для удовлетворения условий на одном крае цилинд-
цилиндрической оболочки соответствующей длины, причем условия на
другом крае не оказывают влияния на это решение.
Это решение можно наложить на решения типа G.1а) для
свободно опертых краев с тем, чтобы получить равный нулю
угол наклона на каждом крае и тем самым получить решение
для случая защемленных краев. Для случая очень коротких ци-
цилиндрических оболочек для тех же целей можно использовать
аналогичное решение как с положительными, так и отрицатель-
отрицательными .значениями р. , .
§ 7.1] " ТЕОРИЯ МАЛЫХ ПРОГИБОВ 487
Для сравнения на рис. 7.3 сплошными линиями представле-
представлено аналогичное решение, получаемое из выражений E.786) для
пластин. Можно видеть, что в случае задачи изгиба^ решение для
пластины не может быть использовано для цилиндрических обо-
оболочек даже при довольно больших значениях п. Как и следова-
следовало ожидать, при малых значениях п прогибы оболочек затухают
намного быстрее, чем прогибы пластин благодаря обусловленно-
обусловленному кривизной дополнительному сопротивлению прогибам; и сно-
снова, как и ожидалось, указанное влияние кривизны уменьшает-
уменьшается с ростом'п.
Почти вертикальная штрихпунктйриая линия соответствует
4 .
решению при [х = Зби2, п = 2 и отрицательным значениям • у \х
в выражениях G.3е); можно видеть, что из полученных результа-
результатов следует невозможность заметного влияния кривизны, поэто-
му соответствующие этому влиянию решения следует--отбросить,
как об этом говорилось выше. Для сравнения нижней
ховой линией показана за-
зависимость для [х = 144 п2, 0/)
п _= 2; сопоставление со '
случаем [х = 144 п2, п = 2,
как и следовало ожидать, 0,1VI
показывает слабую чув-
чувствительность к отношению
радиуса к толщине.
Выражения G.3е) и при- L ° чnx/R
веденные выше результаты "" \. рис. 7.3.
для п > 1 были получены на
основе упрощенных уравнений F.34) для цилиндрической обо-
оболочки. Решения однородного уравнения, соответствующего более
точному неоднородному уравнению F.36), не имеется. Если
взять lv = лй/2 и 1Х = R,' то при п = 2 имеем ljly = R/ly « 0,6,
откуда, как следует из1 рис. 7.2, получаем, что первый член, сто-
стоящий в скобках уравнения G.3а), составляет примерно 4%,
а другие члены — менее одного процента от значений членов,
входящих в уравнения обеих теорий оболочек. Для больших зна-
значений п можно взять ly = nR/n и lx = 8R/n, откуда имеем 1У/1Х «
«0,4, ly/R== п/п; лрц этом использование более простой теории
приводит даже к еше меньшей ошибке.
Для целей последующих проверок было получено решение
для наиболее неблагоприятного случая п = 2, при этом брались
значения р и q, задаваемые выражениями G.3е), проверялись
малые положительные и отрицательные поправки к ним и про-
проводилась графическая интерполяция с тем, чтобы" удовлетворить
полное уравнение G.3а). Таким путём было найдено, что при^
п = 2, [х = 36 и2 = 144 более точные уравнения цилиндрических
оболочек удовлетворяются при р =- ± 4,08 и q — 2,96, более про-
32*
\ ЦП--2
-г
/' 2 /
f-N 2"t /
ч^^Теория пластин
'488 ¦ " цилиндрические оболочки - ггл. 7
стые уравнения — при р = ± 4,10 и q = 2,99. Построенные для
этих значений кривые практически совпадают с кривыми, изо-
изображенными на рис. 7.3. Поэтому можно сделать вывод, что .вы-
.выражения G.3е), основанцые, на более простой теории, вполне
приемлемы для исследования влияния распределенных по гармо-
гармоническому закону изгибных краевых нагрузок на тонкие ци-
цилиндрические оболочки. . *
§ 7.2. Выпучивание тонких цилиндрических оболочек '
при осевом сжатии
Введение. Существует -три основных типа выпучивания тон-
тонких цилиндрических оболочек, соответствующих трем типам мем-
мембранных напряжений: оеевым и окружным нормальным напряже-
напряжениям, а'также касательным напряжениям в продольных ипопереч-
ных сечениях. Для того чтобы вызвать выпучивание, осевые и
кольцевые напряжения должны* быть, разумевши, сжимающими.
Самыми распространенными видами нагружения, вызывающими
выпучивание, являются осевое сжатие равномерно распределен-
распределенным- сжимающим напряжением, чистый изгиб, при котором воз-
возникают сжимающее напряжение, постоянное^"осевом направле-
направлении и изменяющееся ¦ в окружном направлении на длине, полу-
ойружности, постоянное кольцевое сжимающее напряжение,
обусловленное равномерным внешним давлением или вакуумом
внутри оболочки, а также постоянное касательное напряжение,
вызываемое простым кручением.
Часто встречаются и некоторые другие комбинации напря-
напряжений, такие, как осевое и кольцевое сжимающие напряжения,
вызываемые внешним давлением или внутренним вакуумом, дей-
действующим на закрытые торцы и боковую поверхность Цилиндри-
Цилиндрической оболочки,-а также'комбинации нормальных осевых и ка-
картельных напряжений, обусловленные изгибом вместе с попереч-
поперечным сдвигом, или кручение, сочетающееся с осевым сж'атием или
растяжением (в последнем случае, раауме'ется, кручение должно
быть достаточно большим, чтобы преодолеть стремление растяги-
растягивающих сил воспрепятствовать выпучиванию).
То, 4tj> было ранее названо исследованием устойчивости
идеальной формы и выполненной из упругого материала цилиндри-
цилиндрической оболочки в тсяассической постановке, включает в себя
два зтапа. Первый, где исследуется распределение напряжений
в период, предшествующий потере устойчивости, вплоть до того
момента, когда они достигают критических значений, является
самым простым, так как в рассматриваемом случае тонких ци-
цилиндрических оболочек будет достаточно использовать элементар-
элементарные теории изгиба трубчатых балок, котельную теорию или тео-
теорию сжатия и кручения тонкостенных труб.
I 7.2] " ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 489
Второй этап соответствует моменту возникновения потери ус-
устойчивости и состоит в исследовании условий, при которых нагру-
нагруженная цилиндрическая оболочка может находиться в равно-
равновесии, будучи в деформированном состоянии. Обычно такому
состоянию равновесия соответствует множество различных форм,
по которым происходит деформация, поэтому здесь требуется найг
ти такую форму-, которой бы соответствовала наименьшая из
возможных нагрузок, после чего можно считать, что потеря ус-
устойчивости произойдет именно при этой нагрузке. Как уже гово-
говорилось в § 2.5 применительно к более простому случаю сжатых
стержней, теоретически действительно совершенный образец, не
имеющий дефектов, мог бй находиться в равновесии ияе выпучи-
выпучиваться даже тогда, когда нагрузки становятся равными или даже
превышают критические значения, при которых образец мог бы
находиться в равновесий} потеряв устойчивость; однако, нужно
быть-реалистами и допускать возможность существования малых
отклонений от идеальной формы, которые будут способствовать
возникновению выпучивания, хотя их величины являются слиш-
слишком малыми, чтобы оказывать заметное влияние ла критическую
нагрузку (ем. обсуждение продольно сжатых идеальных стерж-
стержней в § 2:5)_. ¦ . -
-С другой стороны, при исследовании выпучивания реальных
цилиндрических оболочек^ необходимо принимать во внимание то
обстоятельство, что все конструкции, независимо -от тога, на
сколько тщательно они изготавливаются, имеют дефекты настолько
большие, что они не только способствуют возникновению выпучи-
выпучивания, но оказывают влияние на величину критической нагрузки
и сам процесс выпучивания; в дальнейшем бу*дет показано, что
на некоторые Типы нагрузок это влияние велико, на некоторые —
весьма мало.
' В понятие дефекты включались начальные отклонения от за-
заданной идеальной геометрической формы или эквивалентные от-
отклонения от однородного, изотропного упругого поведения (бла-
(благодаря, например, поликристаллической структуре конструкцион-
конструкционных металлов или наличию включений, полостей и т. д.), а также
отклонения, возникающие в процессе нагружения, или возмуще-
возмущения, подобные тем, что создаются случайными боковыми нагруз-
нагрузками, такими, как вес. Для того чтобы запустить в ход механизм
потери устойчивости, может оказаться-достаточным даже малых
нестационарных возмущений, таких, как акустические волны, ви-
вибрации, передаваемые через фундаменты, случайные вибрации
или воздушные вихри и т. д.; однако опыт показывает,, что таки-
такими преходящими возмущениями при исследовании, практических
задач можно пренебрегать по сравнению с имеющими более посто-
постоянный характер дефектами, о которых говорилось выше. Это явля-
является очень счастливым обстоятельством, так как последние явля-
являются обычными свойствами образца или известными условиями, в
490 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
которых он будет использоваться на практике, что дает, таким
образом, какую-то надежду предсказать некоторую систематиче-
систематическую часть таких влияний и, таким образом, рассматривая толь-
только эту часть, не учитывать некоторые изменения, которые в про-
противном случае надо было бы рассматривать как непредсказуемый
случайный разброс.
Когда учитываются дефекты в реальных образцах, оба этапа,
относящиеся к докритическому и критическому состояниям в
классической постановке, сливаются в один, так как процесс
выпучивания, аналогично простому случаю продольно сжатых
стержней, расмотренному в § 2.5, начинается почти одновременно
с началом роста нагрузки. Поскольку несовершенства формы или
эквивалентные им несовершенства упругого поведения материала
имеют порядок толщины, для такого вида исследования оболочек
необходимо использовать теорию больших прогибов. В нижесле-
нижеследующих трех разделах будут обсуждаться все типы задач, упоми-
упоминавшиеся выше.
Устойчивость идеальной тонкостенной цилиндрической обо-
оболочки при равномерном осевом сжатии. Рассмотрим идеальную
свободно опертую цилиндрическую оболочку радиуса R, длиной
L и толщиной h, нагруженную осевой сжимающей силой Р.
Предполагается, что при этом на докритическом этапе нагруже-
ния возникает постоянное осевое сжимающее напряжение 0 =
= — ах = P/BnRh), остальные, мембранные и изгибные напряже-
напряжения равны нулю. Когда достигается классический предел устой-
устойчивости 0 = 0С; = — FJh, где 0сг — осевое сжимающее напряже-
напряжение, соответствующее критическому напряжению в классической
(classical) постановке, сила Fx определяется из выражения
F.27г). Предполагается также, что цилиндрическая оболочка
имеет достаточную длину для того, чтобы краевые условия не-
небыли близки к критическим (эксперименты показывают, что для
этого должно выполниться условие L > 1,57?) и в то же время
достаточно коротка (скажем, выполняется Ь<30Д), с тем чтобы
можно было не рассматривать возможность потери устойчивости
оболочкой как длинного трубчатого стержня.
Вследствие влияния коэффициента Пуассона при осевом сжа-
сжатии возникают также кольцевые и соответствующие им радиаль-
радиальные деформации va/E, что приводит к увеличению радиуса на
величину w = vRa/E. Если "в процессе нагружения это радиаль-
радиальное перемещение не допускается на краях благодаря соответст-
соответствующему закреплению краев, то образец, первоначально действи-
действительно имеющий цилиндрическую форму, при достижении напря-
напряжениями критического значения уж не будет иметь такую форму
и уже не будет способен вести себя согласно той схе,ме потери
устойчивости, которую мы предполагали исследовать. Поэтому
й дальнейшем предполагается для данного случая, что краевые
подкрепления допускают свободное радиальное перемещение, а
S 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОВОЛОЧБК 491
обсуждение влияния отклонений от цилиндрической формы будет
дано ниж?
Для, этапа, при котором происходит -выпучивание, положив в
уравнение F.34) Fx = — haci и взяв равными нулю остальные
нагрузки, стоящие в правой части, получаем, что, поскольку все
члены уравнения содержат четные производные от прогиба w,
это уравнение и краевые условия вида
при х = 0 й х = L имеем w =. Мх = О,
можно удовлетворить, если прогиб имеет задаваемую, выражением
G.1а) ф°РмУ w — Wsin (mnx/L) sio,(ny/R), а напряжение Оы по-
постоянно; таким ббразом, цилиндрическая оболочка может нахо-
находиться в равйовесии при такой форме прогибов, если напряжение
ос; имеет определенное значение, которое и требуется найти. Сле-
Следует отметить, что благодаря тому условию, что напряжение асц
а отсюда и Сила Fx постоянны, уравнения, подобные F..34) и
используемые для исследования задач устойчивости в классиче-
классической постановке, не являются, нелинейными, как это иногда оши-
ошибочно утверждается.
Значение напряжения aci, при котором может существовать
равновесие при наличии деформированного состояния, находится
путем подстановки приведенного выше выражения для прогиба w
в уравнение F.34), откуда и определяется напряжение 0С;. Полу-
Получаемый результат можно представить в следующем виде:
G.4а)
где Vl2(i-v*)R
л _ Rh (т2я4ь2 + n2/R2J
/l2 (I - v2) mV/?2
То обстоятельство, что в этой формуле не присутствуют функции
от* а; и у, а также W, показывает, что напряжение не зависит
не только от координаъ но также и от амплитуды W прогиба^
'Формула G.4а) указывает на то, что теоретически имеется
бесконечное число форм прогибов, характеризующихся различны-
различными значениями т и п, при которых цилиндрическая оболочка
может находиться в равновесии в деформированном состоянии.
Каждой из таких форм соответствует различное значение постоян-
постоянного сжимающего напряжения oei, но, как уже говорилось ранее,
потеря устойчивости будет происходить тогда, когда будет дос-
достигнуто наименьшее из требующихся критических напряжений.
Так как тип должны принимать целочисленные значения
для того, чтобы были удовлетворены краевые условия и условие
непрерывности деформаций в окружном направлении, то выделе-
выделение таких значений т. и п, которые дают наименыпе& из возмож-
возможных значений напряжения aei, для любого заданного примера —
не простое дело. Однако когда тип очень велики (что оказы-
492 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ . [ГЛ. 7-
вается вполне правдоподобно, за исключением значений т для
очень коротких цилиндрических оболочек), хорошее приближе-
приближение можно получить, пренебрегая условием того, что эти числа
должны быть целыми числами; после определения тех значений
тип, при .которых напряжение ас! принимает минимальное зна-
значение, результат можно уточнить путем проверки комбинации це-
целочисленных значений тип, близких к уже найденным, и вы-
выбора .той комбинации, которой соответствует минимальное значе-
значение напряжения вы. '
Рассматривая как непрерывную функцию оъ т и_ п напря-
напряжение ach а отсюда и параметр А, получаем, что их минимальное
значение будет получено при daJdA = 0, что дает А = 1 (так
к.йк 0,9 + 1/0,9» 2,01, 1 + 1/1 = 2, 1,1 + 1/1,1 « 2,01). Наименьшее
из возможных значение напряжения вы *) равно
-v2)
G.46)
Этот результат зависит только от отношения to к п, & не от их
величин. Тогда в соответствии с излагаемой теорией одному и тому
же_ критическому напряжению может соответствовать осесиммет-
ричная форма прогибов, когда" цилиндрическая оболочка выпучи-
выпучивается и либо принимает форму, аналогичную сильфону, при
ге = 0, lx = L/m = n{Rh/[21/3(l — vz)]Y1', либо образует двоякопе-
риодическую систему волн, показанную на рис. 6.1 и 7.5, где отно-
отношение между длинами волн в окружном и продольном направле-
направлениях равно К =-ЛД» = nmR/UL),n= Vl2<l~v2) УЖ/(Я + 1/Х).
Осесимметричный случай совпадает со случаем потери устоичи-
' вости сжатыми, лежащими на упругом основании полосами, вы-
вырезанными продольными сечениями, из стенки цилиндрической
бболочки,. если взять их изгибную жесткость в соответствии с вы-
выражением {7.3и), коэффициент пестели i§ — по формуле G.3к) (уп-
(упругое основание образуется за счет взаимодействия между смеж-
смежными полосами), а критическую нагрузку определить по формуле
B.30), приведенной в § 2.5.
Сравнение результатов, получаемых в рамках классической
постановки задачи устойчивости, с экспериментальными резуль-
результатами. Для тонких цилиндрических оболочек при продольном
сжатии было получено большое количество экспериментальных
данных. Эти результаты указывают на то, что, хотя толстостёй-
ные цилиндрические оболйчки за пределом упругости выпучива-
!) Этот результат, по-видимому, впервые.был опубликовав Р. Лоренцем
(смг L о г е nz R. Die nicht achsensymttietriscbe Knickimg dflnnwandiger
Milzylinder.—Pbysikal. Zeitschrift, 1911, Bd 12, №7, SS. 241—260):
/ -'
j ч
1 1
1
§ 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 493
ются по осесимметричной, сильфонообразной форме, тонкостен-
тонкостенные цилиндрические оболочки всегда выпучиваются с образова-
образованием большого числа небольших волн, для которых отношение
Я длин волн в окружном направлении к длинам волн в продоль-
продольном направлении близко к единице *и имеет в среднем значение
Я = 0,75; для "такого отношения длин волн излагаемая теория дает
число волн по окружности, равное га» 0,87VR/h.
К сожалению, это теоретическое значение числа волн, а также
значение критического напряжения, определяемое формулой G.46),
плохо согласуются со значениями^-определяемыми из экспери-
экспериментов, как это видно из рис. 7.4, где отмечены области, занимае-
занимаемые экспериментальными точками, взятыми из опубликованных
работ. Как можно видеть, рас^
хождение тем больше, чем
тоньше стенка оболочки, за
исключением результатов, от-
относящихся к очень толстостен-
толстостенным цилиндрическим оболочкам, о,5^
разрушение которых, какТГудет
показано ниже, наступало при
более низких значениях напря-
напряжения, по-видимому, из-за на-
наступления пластического тече- V . WOO W00. 5000
ния. В некоторых экспёримен- -
тах критические напряжения со- Рие. 7.4
ставляли всего 10 или 15% от ,
того, что предсказывалось классической теорией устойчивости,
которая была здесь изложена. ¦
Имеются многочисленные публикации, в которых делается
попытка объяснить это противоречие. Первое объяснение, кото-
которое приходит на ум, состоит в том, что теория недостаточно точ-
точна. Конечно, упрощенное уравнение F.34), использованное
выше, имело ограничения, которые обсуждались, но выпучивание
с образованием коротких волн, на которое в. этом случае^указы-^
вают и теория, и эксперимент, относится к то'й области, где, как
доказано, это уравнение должно быть весьма точным. Если сюда
добавить члены, входящие в уравнение F.36) или в любые дру-
другие соответствующие различным теориям уравнения, - представ-
представленным в таблице 6.7, то получаемые из них результаты будут
практически не отличаться от тех, которые следуют из формулы
G.46). Дополнительные члены, будучи учтены, устранят неопре-
неопределенность в отношении 'между окружными и осевыми длинами
волн, но, если попытаться прлучить решение, задавшись таким
отношением^ то указанные дополнительные члены станут изоли-
изолированными'й приведут к невозможным с физической точки зре-
зрения результатам. Истина заключаемся в том, что эти члены в дант
ном случае очень-налы, и каким бы путем не проводить оценки, их
494 Цилиндрические оболочки [гл. 7
Влияние все равно оказывается несущественным по сравнению с
истинной причиной указанного расхождения. Эта причина, несом-
несомненно, кроется в обсуждаемой ниже большой чувствительности
процесса потери устойчивости по формам, в которых имеется
• большое число волн в окружном направлении, к несовершенствам
и влияниям больших прогибов. Как было показано выше, осесим-
метричная (т. е. с нулевым числом окружных волн) форма выпучи-
выпучивания является, по существу, балочной формой потери устойчи-
устойчивости, которая нечувствительна к таким несовершенствам; таким
образом, цилиндрические оболочки имеют весьма низкое сопро-
сопротивление выпучиванию с образованием болыного числа волн в
окружном направлении.
Пренебрежением условия того, что тип должны быть це-
целыми числами, разумеется, также не объяснить это расхождение;
в самом деле, в большей части экспериментов выпучивание проис-
происходило только на части поверхности оболочки, в осевом и окруж-
окружном направлениях, где тип могли на принимать целочисленные
значения. Некоторые исследователи пытались объяснить низшие
значения, получаемые в' экспериментах, указанием' на то, что кра=_
евые условия, которые не удовлетворяются при анализе, похожи
на те, что приводят к указанному выше результату в краевых
областях, которые являются гораздо более слабыми, чем средняя
часть оболочки, для которой использованный нами подход являет-
является точным. Такое ослабление на краях возможно, но, даже если
оно и имеет место, таким путем нельзя объяснить указанные
расхождения. Это связано с тем, что практически во всех^экспе-
риментах (и в подавляющем большинстве практических случаев
применения) края были защемлены, и поэтому здесь было далеко
до возникновения выпучивания в прилежащих к краям областях,
эти краевые области были, несомненно, более жесткими, чем"сред-
няя часть цилиндрических оболочек, так как образующиеся при
выпучивании деформации полностью отсутствовали вблизи краев,
как можно видеть из типичной картины потерявшей устойчивость
цилиндрической оболочки (рис. 7.5); влияние защемленных крае»
на сопротивление средней части, по-видимому, мало, и даже если
оно и. имеется, то направлено в сторону увеличения этого сопро-
сопротивления.
Приложение теории больших прогибов к исследованию выпу-
выпучивания продольно сжатых цилиндрических оболочек. Если ви-
видимые из рис. 7.4 большие несоответствия нельзя объяснить не-
несовершенством классической теории устойчивости, то отсюда 'сле-
'следует, что они .обусловлены факторами, которые не рассматривают-
ся в классической теории устойчивости, а именно — начальными
несовершенствами и учетом больших прогибов. Статья автора'),
опубликованная в 1934 г., была, по-видимому, первой, где учи-
') См. статью, упомянутую при обсуждении уравнения F.17) н?Г с. 411.
§ 7.2]
ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
495
тывались эти факторы применительно к обсуждаемой задаче. Од-
Однако, за исключением- построения практической теории больших
прогибов для тонких цилиндрических оболочек, которая представ-
представляется уравнениями F.17) и F.31к) и которая использовалась
практичееки всеми последующими исследователями этой проб-
проблемы, это исследование было не совсем удовлетворительным из-за
значительных упрощений, сделанных для того, чтобы _с помощью
этой теории можно было получать решения, а также из-за ограни-
ограничения, обусловленного разрушением при возникновении пласти-
пластического течения. Т. Карман и В. Цзян') были,по-видимому, пер-
первыми, кто продемонстрировал, какой удивительный эффект мо-
может быть достигнут, если использовать вместо линейной теории
¦й
% \
Щ \
, • ¦ . Рис. 7.5.
теорию больших прогибов при исследовании выпучивания ци-
цилиндрических оболочек с идеальной формой, что подтверждается
кривыми, представленными на рис. 6.10, а.
При исследовании этой задачи по теории больших прогибов
с учетом начальных несовершенств будет использоваться уравне-
уравнение F.31к) при Ъ = 1/R и U= f у = 0. Вместо использования пар-
парного ему уравнения F.31з) относительно прогиба w, что потребо-
потребовало бы совместного решения двух нелинейных уравнений в час-
частных производных, применим комбинацию метода, основанного
на использовании уравнения равновесия, и энергетического мето-
метода, что обсуждалось в § 6.7 при рассмотрении этих двух уравне-
уравнений. Согласно 3tqmY подходу задается выражение для прогиба
w с неизвестными коэффициентами, далее путем интегрирования
уравнения F.31к) определяется . функция ф и заканчивается
решение использованием принципа возможной работы, согласно
которому^ вычисляется энергия деформации по выражениям
D.70) и D.71). Число нелинейных алгебраических уравнений, ко-
которые требуется решать совместно при использовании описыва-
описываемого подхода, ограничено числом неизвестных коэффициентов в
выражении для прогиба w и длинами волн исходных членов урав-
уравнений. . '
') См. статью, упомянутую при обсуждении формулы F.37.3) на с. 476.
496 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
рассмотрим сначала применение теории больших прогибов к
цилиндрическим оболочкам идеальной формы, в этом случае по-
постоянная К из выражений (б.31и) равна единице, и при /* — /„ = О
это уравнение совпадает с F.17). Эта задача уже рассматрива-
рассматривалась в связи с обсуждением последнего уравнения, но. не полно и
для совершенно иных целед; теперь дополним обсуждение этого
вопроса. - .
Условие свободного опйрания на краях w = Mx = 0 можно
легко удовлетворить с помощью выра'женияс F.12) для прогиба
w путем соответствующего выбора начала координат и парамет-
параметра Я; как уже отмечалось выше при обсуждении теории малых
прогибов, в случае образования большого числа волн выбор пре-
пределов изменения параметра % не играет существенной роли, по-
поскольку влияние условий на краях быстро затухает, за исключе-
исключением случая очень коротких цилиндрических оболочек, которые
не будут здесь рассматриваться. Будет предполагаться также,
что условия на краях цилиндрической оболочки такие же, как
и в средней ее части; это означает, что опоры на краях должны
допускать любые радиальные перемещения в узлах (практически
это означает, что такие условия на краях рассматривать можно,
так как области, примыкающие к краям, остаются не выпучив-
выпучившимися в тех экспериментах, о которых говорилось выше)/
В связи с этим следует упомянуть, что, помимо радиального
"перемещения vRo/E, наружу вследствие влияния коэффициента
Пуассона при равномерном осевом сжатии,~создающем напряже-
напряжение о, появляется тенденция к возникновению радиальных пере-
перемещений, направленных внутрь, так как при образовании окруж-
окружных волн будет создаваться общее растяжение в окружном на-
направлении; ниже сказанное учитывается введением pq = 00.
Т. Карман и X. Цзян использовали описанный выше метод и
удерживали четыре члена, стоящих слева от штриховой линии в
F.13): pq = OO, 20, ljh 02; член c>g = ll является основным,
обеспечивающим периодическую в обоих (окружном и осевом)
направлениях систему .волн, тогда как остальные-члены слегка
видоизменяют эту основную форму для-уменынения потенциаль-
потенциальной энергии. На практике член ъ-pq = 00 пропадает "при диффе-
дифференцировании, которое проводится в уравнение F-.17) и 'выра-
'выражениях D.70), и в дальнейшем этот член не рассматривается,
хотя при желании его величину можно найти из условия paBeH*-
ства нулю среднего 'кольцевого напряжения. При этой-остаются
неизвестными параметры Wei, Wn, >W20, Я, и re, которые должны
определяться из энергетических. рассмотрений либо следует за-
.давать значения для них. Для удобства, обозначив амплитуду
основного члена-через Wn = а, запишем WM/Wn == Ъ, WOt/Wi =*
= с, Woo/Wu = d, тогда выражение для прогиба w примет вид
• w = .ah I cos—д— cos-^-i о cos— |-ccos—^- -f- ay G.4b)
S 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 497
Т. Карман и X. Цзян полагали Ъ равным c и для определения
параметров а и Ъ использовали энергетический подход (при этом
они также определяли параметр d) для различных заданных зна-
значений параметров X и п, в результате полудались соотношения,
близко соответствующие кривой на рис. 6.10,а с обозначением
«4 члена». Точки максимумов всех кривых имели следующее из
классической теории значение, равное 1,0. Д. «Цветет и Р. Джонс1)
уточнили эти решения, найдя, параметры X и га также из энерге-
энергетических рассмотрений,- и получили одну кривую, по. существу
совпадающую с кривой с обозначением «4 члена» на рис. 6.10, а.
Б. Элмроз уточнил это решение, воспользовавшись удержанием
еще большего числа 'членов в разложении F.13), и получил -все
кривые, приведенные на рис. 6.10, а.
Поведение выпучивающихся при осевом сжатии цилиндриче-
цилиндрических оболочек, описываемое этими кривыми, находится в силь-
сильном противоречии с теми представлениями, которые складывались
на основе опытов с продольно сжатыми стержнями, теряющими
устойчивость в упругой области, когда стержень, потеряв устой-
устойчивость, сохраняет способность оказывать сопротивление сжимаю-
сжимающей силе до тех пор, пока прогибы не станут достаточно боль-
большими, и только ¦ потом эта способность несколько снижается.
Носящее катастрофический характер падение способности сопро-
сопротивляться в послекритическом режиме сжимающей нагрузке в
случае -цилиндрической оболочки указывает на то, что, во-первых,
разрушение должно носить мгновенный характер, так как сразу
же после возникновения выпучивания сопротивление резко сни-
снижается и создается в основном за счет инерционных сил; этот
вывод подтверждается экспериментами на цилиндрических обо-
оболочках. Во-вторых, что является даже более важным, резким из-
изломом, подобно лезвию бритвы, форма кривой, описывающей со-
сопротивление оболочки продольному>.сжатию, указывает на чрезвы-
чрезвычайно высокую чувствительность к несовершенствам при таком
типе потери устойчивость, тогда как реальный образец, с несовер-
несовершенствами дает непрерывную без острых изломов кривую, описы-
описывающую способность к сопротивлению при сжатии образца; эта
кривая лежат ниже и внутри кривой, получаемой из решения для
совершенного образца, ири этом чем уже последняя кривая, тем
ниже лежит сглаженный пик первой кривой, как зто показано
ниже на рис. 7. 8. —¦ _ ,'
\ Несмотря на всю логичность подобной аргументации, были
предложены и другие интерпретации этих результатов. Когда бы-
была получена только одна кривая с обозначением «4 члена» было
выдвинуто предположение, что нижняя точка или «седловина»
') Legget D. M. A., Jones R. M. The behaviour of,a cylindrical shell
under axial compression' when the buckling load has been exceed.— Aeronaut.
Res. Concil Repts and Mem., 1942, _№ 2190.
498 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
этой кривой, которая соответствовала примерно одной трети от
критического значения в классической теории устойчивости, яв-
является очень стабильным условием и ее можно использовать при
расчетах как безопасное и довольно стабильное значение. В свя-
связи с этим можно, во-первых, сказать, что ордината этой нижней
точки неявно связана с ординатой пиковой точки, причем, прежде
чем достичь нижней точки, надо еще в ходе нагружения пройти
пиковую точку, тогда как для некоторых условий, особенно для
больших значений отношения R/h, эта величина не является ста-
стабильной, и при других условиях ее использование будет приводить
к неэкономичным проектам, так как они соответствуют значитель-
значительно более высокому сопротивлению оболочки. Как следует из рабо-
работы Б. Элмроза, в некоторых случаях такой минимальной точки
не существует; если использовать бесконечное число членов ряда
и одновременно применять более точную теорию больших проги-
прогибов, которая, как Показано в § 6.3, необходима при этом, кривая
зависимости нагрузки от перемещения будет, по-видимому, асим-
асимптотически стремиться к нулю.
Другая возможная интерпретация основывается на том, что
процесс представляется как перескок цилиндрической оболочки
от одного равновесного состояния к другому некоторым специфи-
специфическим образом от точки, скажем,.!? (рис. 6.10, а) к точке Q,
•причем напряжения, при которых, как считается, происходит этот
скачок, берутся такими, чтобы потенциальная энергия оболочки
в точке Q была равна потенциальной энергии в точке Р. Пред-
Предполагается, что, при равенстве этих энергий любые случайные
возмущения могут вызвать перескок от одной конфигурации к
другой. Принятие такой концепции было облегчено (а возможно,
и вызвано) присвоением ярлыка мгновенного по своему характе-
характеру разрушения оболочкщ когда это явление характеризовалось
как явление перескока или прощелкивания.
В действительности в идее, состоящей в том, что для любой-
системы требуются только малые спусковые возмущения для того,
чтобы изменить одна состояние на другое при одном и том же
или даже значительно сниженном уровне потенциальной энергии,
содержится некоторый с научной точки зрения порок. Если бы
это было так, то можно было бы смело рассчитывать на нечто в
термине «неустойчивое состояние» — порыв ветра перебрасывает
воду, задержанную плотиной, 'на скалы, лежащие у подножия
плотины, где ее потенциальная энергия станет гораздо меньше
и т. д. Все, что можно сказать определенно, так это то, что если
одно состояние связано с другим некоторым непрерывным пере-
переходным участком, в каждой точке которого энергия имеет
тенденцию уменьшаться, то переход будет происходить самопро-
самопроизвольно, так же как вода сама находит себе дорогу от континен-
континентального водораздела к морю. Можно не сомневаться, что доста-
достаточно большой импульс может преодолеть препятствие, но никем
§ 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 499
не было показано, что некоторый «импульс» меньший, чем осе-
осевая сила, достигающая своего пикового состояния, мог бы пере-
перевести цилиндрическую оболочку из состояния, характеризующего-
характеризующегося точкой Р, в состояние с точкой Q.
Причина того, что подобные «объяснения» получили широкое
распространение, кроется, по-видимому, в удобстве. Они дают рас-
расчетчикам определенные данные, необходимые для расчета обо-
оболочек на прочность, ту прочность, которую они должны были бы
иметь, поддерживая престиж правдоподобной «теории» даже в
том случае, когда эти данные не имеют отношения к действитель-
' ным факторам, определяющим прочность,, когда им не имеется
иного оправдания, кроме того, что они дают значения, распола-
располагающиеся между 0,15 и 0,6 от классического значения, и подтвер-
подтверждающиеся подавляющим большинством экспериментальных дан-
данных, и даже тогда," когда эти данные оказывались слишком зани-
заниженными в одних случаях и не обеспечивающими достаточный
запас прочности в других. Не располагая такими данными, ин-
инженерам приходится лицом к лицу сталкиваться с той внушаю-
внушающей страх правдой, что каждая: из создаваемых ими конструкций
обладает различными дефектами, которые в значительной степени
влияют- на их прочность и которые только в отдельных случаях
можно определить с помощью методов неразрушающего контроля.
Но инженеры вынуждены жить и работать в реальном мире и,
как будет видно в дальнейшем, значительная часть указанных
изменений различных параметров может быть предсказана за-
заранее и с запасом надежности.
Эквивалентная .величина реальных дефектов. В § 2.5 на прос-
простом случае выпучивания стержней с начальными прогибами при
продольном сжатии было показано, что составляющая начального
эквивалентного отклонения от идеальной формы, которая совпа-
совпадает с формой, по которой происходит выпучивание, является
даже более чем важной в критический период выпучивания.
Поэтому все остальные компоненты будут игнорироваться и на-
начальное эквивалентное отклонение будет задаваться в следующем
виде:
wo.= aoh (cos cos"~/r "^ os—W—^ сcos R ~^~ )'
G.5а)
Главная амплитуда этого- начального отклонения аналогична
амплитуде wOi важнейшей составляющей отклонения продольно
сжатого стержня, которая в" соответствии с формулой B.33) рав-
равна wui = W/nz)lJh; в этой формуле I — длина полуволны вьгау-
чины (в случае'свободно опертого стержня равна его длине),
h — толщина, С//я2 — безразмерный параметр или харатеризую-
Щий амплитуду начального прогиба коэффициент, средняя вели-
величина которого зависит главным образом от условий изготовления;
500 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
множитель л2 вводится для упрощения окончательных резуль-
результатов.
Так как условия изготовления стержней и цилиндрических
оболочек не слишком разнятся между собой —действительно,,
один и тот же лист можно использовать для изготовления как
стержня, так и цилиндрической оболочки,— то представляется
разумным выбрать формулу для амплитуд начальных отклонения
в цилиндрических оболочках, аналогичную B.33). Если формы
начальных прогибов в стенку цилиндрической оболочки не имеют
предпочтительных направлений, то представляется логичным за-
заменить в этой формуле для продольно сжатого стержня I* на
произведение UJ, в случае цилиндрической. оболочки, где I* =
¦= nR/{%n), lv = nR/n — длины полуволн первых членов выраже-
выражений G.4в) и G.5а) для и? и и>„. •
На самом же деле при этом имеется некоторое предпочтитель-
предпочтительное направление для тонкостенных цилиндрических оболочек,
так как большинство оболочек, испытывавшихся в Эксперимен-
Экспериментах, и практически все оболочки, применяющиеся на практике,
изготавливаются путем изгиба плоских листов, а это изгибание
в цилиндрическую поверхность приводит к сплющиванию- волн,
вытянутых в окружном направлении (рис. 7.6, а), в большей сте-
степени, чем волн, вытянутых в осевом направлении (рис. 7.6, Т>).
Для того чтобы учесть это обстоятельство и одновременно ос-
оставить коэффициент U безразмерным, можно заменить фигури^
рующий в формуле для стержня множитель Р наD+а4~в> тем
самым подчеркивая влияние на выражение для*4 начального от-
отклонения тех его составляющих, которые показаны на рис. 7.6, б
и которые не так уменьшаются в процессе изготовления. "Так
как длина полуволны 1У в окружном направлении не должна,
очевидно, иметь отрицательной степени, число а должно иметь
значения, лежащие между нулем и единицей, и при недостатке
определенных данных будет использоваться его промежуточное
значение" 0,5. В результате-имеем
a0h = (U/n2)l1x'5l°v'5/h, . -
откуда
о, = Ш?7(Г'W), K=*l + 2wo/W=*l + 2ai/a.. G.56)
Что касается величины коэффициента U; который характери-
характеризует величины начальных прогибов, то обнадеживающим является
тот факт, что одни и те же значения этого коэффициента позво-
позволяют объяснить результаты экспериментов не только в случае
продольно сжатых стержней и цилиндрических оболочек, но так-
также и в случае кольцевого сжатия цилиндрической оболочки рав-
равномерно распределенным боковым давлением, который будет
рассмотрен в следующем параграфе; Случай кручения цилиндри-
цилиндрической оболочки ранее не был исследован с помощью точно та-
§ 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 501
кого же критерия, но те исследования, которые были сделаны,
показывают, по крайней мере," некоторую возможность приме-
ния такого подхода также и в этом случае. Сказанное указывает
на самое замечательное, что имеется в этой формуле для началь-
начальных, прогибов, одинаково Пригодной для каждого случая, и объ-
объясняет имеющиеся расхождения между классической теорией ус-
устойчивости и результатами экспериментов, которые различаются
в весьма широком диапазо-
диапазоне — от исключительно малых
расхождений в случае пра-
дольно сжатых стержней, уме-
умеренного расхождения в , слу-
чае цилиндрических оболочек
при внешнем давления и до Рис- 7.6.
очень больших расхождений в
рассматриваемом случае продольно сжатых цилиндрических обо-
оболочек. . v
В то время как величины эквивалентных начальных отклоне-
отклонений от идеальной формы подсчитывались во всех этих исследова-
исследованиях таким образом, чтобы объяснить результаты экспериментов,
здесь важно обратить внимание на то обстоятельство, что в слу-
случае продольно сжатых стержней действительные значения этих
начальных отклонений могут быть замерены и действительно
замерялись1)' независимо и, как было обнаружено, находятся в
удовлетворительном соответствии с вычисленными их значениями.
Следует также указать, что эквивалентные отклонения означают
геометрические отклонения от заданной формы, которые одина-
одинаково влияют на потерю устойчивости комбинации этой и
смежных форм геометрических несовершенств, а также несовер-
несовершенств в упругих свойствах материалов, случайных боковых
нагрузок, обусловленных весом образца и т. д.; все эти не-
несовершенства действительно могут . присутствовать в типовых
образцах.
Тот факт, что начальные прогибы, необходимые для объясне-
объяснения результатов экспериментов для продольно сжатых стержней
и цилиндрических оболочек, являются сравнимыми, может пока-
показаться удивительным с точки, зрения обсуждавшегося выше слу-
случая, в котором процесс формообразования цилиндрической обо-
оболочки из плоского листа приводил к значительному уменьшению
геометрических несовершенств — этот факт может проверить каж-
каждый, свернув сильно смятый лист бумаги или другого материала
в тоненькую трубку. В качестве по крайней мере частичного объ-
объяснения этого обстоятельства можно обратить внимание на то,
что имеется важный компенсирующий фактор, который увеличи-
увеличивает эффективную величину несовершенств в цилиндрических
') См. формулу B.34).
502
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
оболочках, но не в стержнях; этот факт состоит в том, что в экс-
экспериментах на устойчивости цилиндрических оболочек выпучива-
выпучивание обычно происходит только на небольшой части поверхности
оболочки, поэтому контролировать необходимо только наихудшую
в этом смысле часть стенки оболочки; размер этой части должен
быть достаточным, ч^тобы на ней поместились только несколько
волн, для которых эффективная величина коэффициента U может
оказаться намного большей, чем его среднее значение для всей
оболочки. Очевидность сказанного подтверждается довольно вы-
выразительным графиком (см. рис. 7.7, взятый из работы автора4),
'{плащодь Волны/1 У ^площадь стенки
Рис. 7.7.
на котором представлены результаты экпериментальных исследо-
исследований по определению критических напряжений в зависимости
от отношения площади, занимаемой одной волной, к площади
.всей стенки оболочки.
Расчет на прочность цилиндрических оболочек с начальными
прогибами. Для этих расчетов, которые были проведены автором
совместно с Ч. Ваном2) в 1948 г., использовалось уравнение
F.31к) при h — \IR и U — fy = O. Для прогиба w будет использо-
использоваться представление G.4в) (хотя, как уже указывалось ранее,
слагаемое d не будет использоваться при расчетах). Согласно
сказанному выше, вместо того чтобы пытаться решать уравнение
F.31к) совместно с уравнением F.31з) и найти таким образом
') Donnell L. H., Wan С. С. Effect of imperfections on buckling of
thin cylinders and columns under axial compression.— J. Appl. Mech., 1950,
v. 17, № 1, pp. 73—83; Discussion on the paper. J. Appl. Mech., 1950, v. 17,
№ 3, pp. 340—342; русск. перевод: Д о н н е л л Л., У а н К. Влияние не-
неправильностей в форме на устойчивость стержней и тонкостенных цилинд-
цилиндров при осевом сжатии.— Механика. Сб. перев. и обз. иностр. период, лит-ры,
1951, № 4 (8), с. 91—107. Эта работа была представлена в качестве доклада
на 7-м Международном конгрессе по прикладной механике (Лондон, 1948).
2) См. там же.
§ 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 503
функции ииф, воспользуемся подходам, основанным на /Приме-
/Применении уравнения равновесия и энергетического метода, где урав-
уравнение F.31к) используется для определения функции ф, выражен-
выраженной через неизвестные параметры а, 6, с, Я и и, содержащиеся в
представлении для прогиба w, после чего эти неизвестные опре-
определяются с помощью принципа возможных работ. Для удобства
при расчетах будут использоваться вместо а и п величины а и к,
зависящие or Ъ, с и К. Из формул G.56) найдем
2 2 / \ 2 ' TrD G'6a)
О D О D I ~l ' i О D l~ 1 ^ Z. *
Z/l Z/l \ О / ^Л Я ' ™
Подставляя выражение F.12) в уравнение F.31к) и исполь-
используя формулы для произведений и квадратов тригонометрических
функций, представленных в таблице 6.3, получим
Ek2n2ah f_ _\nx _ _пу , A^2Xnx 1л\ А ,& . CoShHf X
геи , 00, 2Япо; 2пу . ,, ЗХпх пу .
X Cos-^f- + oZbc Cos—я— cos -к2 + 4о cos „ cos-^- +
И. It It H H
+ w %nx Ъпу 2Xnx , 2ny I /rj net\
Из этого уравнения находим функцию напряжения Эри ф, опре-
определяющую распределение мембранных напряжений, которая, как
легко проверить, имеет вид •
E%2ahR \ 1 — Ак(Ъ + с) ЬИ? И± —
2_l.^2 Co R Co R
_ E^ahR Г
п2 L
2kbc 2%пх 2пу Ш> ЗКпх пу
?у ^* tt ^^^iС! ^ f\W ^^/*\С
1 "~П v*u»¦' п _ ,_ о чО too "' rj t/ua „ ^—
(Я2+1J
^Cosi^+J^±cosib?_
(Я2 + 9J '.Л Л 16я4
Слагаемое —oj/2/2 является единственными из решений одно-
однородного уравнения У4ф = 0, которое будет использоваться в даль-
дальнейшем; помимо слагаемых в виде таких степенных функций
можно было бы включить и решения этого уравнения в виде
гиперболо-тригонометрических функций и воспользоваться ими
для удовлетворения краевых условий более сложного вида, но
это только бы усложнило без особой необходимости и без того
сложную задачу. Из уравнения F.31е) находим осевое мембран-
504 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
ное напряжение ax = Fx/k = d2q>/dy2. Гармонические слагаемые,
присутствующие в выражении G.6в), дают значения напряжения
0"ж, которые либо равны нулю, либо являются величинами с чере*-
дующимися положительными и отрицательными значениями в
окружном направлении, причем их равнодействующая по длине
окружности равна нулю. Отсюда получаем, что среднее значение
напряжения ах равно: ох = д(—оу*/2)/ду* = —о, где о —среднее
значение осевого сжимающего напряжения в цилиндрической
оболочке.
Разница между значениями осевого перемещения и на обоих
краях цилиндрической оболочки представляет собой суммарное
укорочение этой оболочки, которое при делении ^на длину дает
среднее относительное укорочение, которое обозначим через е.
Для тоге чтобы найти е, не обязательно использовать довольно
сложную процедуру определения перемещения с помощью ин-
интегрирования первых двух из уравнений F.31и) для функций
и и и, а также находить произвольные функции интегрирования
из третьего уравнения. Достаточно указать, что относительное
укорочение в каждой точке, определяемое из первого уравнения
системы F.31и), имеет вид
A-ife-4LS' PA)
дх ~ ВД ду\ gj
Если в правую часть этого соотношения подставить выражение
G.6в) для -функции ф и выражение G.4в) для прогиба w и вос-
воспользоваться формулами для произведений и квадратов тригоно-
тригонометрических функций, то получим выражение, в котором будет
содержаться много периодических членов, которые не будут
давать вклад в "среднее укорочение цилиндрической оболочки в
осевом направлении, а также непериодические члены а/Е +
¦+kX2ha(i+8b2)/DR). Отсюда получаем, что среднее относитель-
относительное укорочение цилиндрической оболочки в осевом направлении
можно записать в виде
• G.6д)-
Это выражение может быть представлено в следующей безраз-
безразмерной форме после деления на деформацию eci=oci/E =
.= й/(УЗA — vz)R), определяемую из формулы G.46):
а _ е ' к%га (l + 8Ь2) п « .
—-— — — . \/.ое^
Подставляя выражения-G.4в) для прогиба w и G.6в) для
функции ф в выражения D.70) и D.71) для энергии реформации
(как уже говорилось ранее, в используемом приближении будут
применяться те же выражения для изгибных деформаций, что и
применяемые в теории пластин, эти же выражения используются
S 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК " 505
и здесь), интегрируя в окружном направлении и по длине L, а
также используя выражения G.56) для параметра К ж G.6е) для
напряжения о, получим следующее- выражение, пропорциональ-
пропорциональное суммарной энергии деформации:
-akF^- + (-pi\ G.6ж)
г*де А, В, С, D и F являются функциями: только параметров Ь,
с и X:
~Г
G.6в)
8Ь2).
Выражение G.6ж) для энергии деформации содержит вели-
величины UR/h, e/jza и пять неизвестных параметров <х, Ь, с, % ж к.
Простейший способ использования принципа возможной работы
для определения этих пяти неизвестных состоит в задании отно-
отношения" е/ес; как постоянной величины, что соответствует случаю,
когда цилиндрическая оболочка нагружается сжимающей силой
в жесткой испытательной машине. Тогда для данной цилиндри-
цилиндрической оболочки оказываются заданными оба параметра г/ъс1 и
UR/h, а отсюда, так как длина оболочки остается неизменной, сле-
следует, что внешняя осевая сжимающая сила не будет совершать
работу на возможных перемещениях таких, которые обусловлены
малыми изменениями пяти неизвестных. Отсюда, согласно прин-
принципу возможной работы, частные производные от выражения для.
энергии деформации и, следовательно, от правой части выраже-
выражения G.6ж2 по каждой из неизвестных а, Ъ, с, А, и к можно по-
положить равными нулю, что дает пять _ уравнений, из совместного
решения которых определяются пять неизвестных (сказанное,
разумеется, эквивалентно выбору таких значений этих неизвест-
неизвестных, которые доставляли бы минимум энергии деформации).
Результирующие уравнения являются нелинейными относи-
относительно этих неизвестных и сложными. В то время, когда эта
работа была выполнена A948 г.), еще не было ЭВМ. Решение
отыскивалось методом проб и попыток, когда задавались значения
для Ъ, с и х, и графическим построением определялись значения
33 л. Г. Доннелл
506
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
- [ГЛ. 7
остальных неизвестных, после чего строилась зависимость a/<sct
от e/sc! для различных значений UR/h (рис. 7.8). Эта работа бы-
была очень трудной, так как выбираемые значения для Ъ, с и я дол-
должны были находиться в очень узком диапазоне, с тем чтобы по-
получать действительные значения для остальных неизвестных.
Тем не менее были получены решения для всех пяти неизвест-
неизвестных для верхней четверти диапазона изменения величины a/aci.
Когда усилия были направлены на расширение диапазона по-
построенных'зависимостей в нижнюю область, трудности значитель-
значительно возросли, но в то же самое время величины неизвестных Ъ,
с и х, которыми при этом надо было задаваться, как оказалось,
принимали следующие стабильные значения: & = 0,18, с = 0,03
и Я = 0,728. Поэтому расчеты были продолжены с помощью ре-
решения более простого типа, когда неизвестные Ь, с и Я полага-
полагались постоянными, имеющими указанные выше значения, а в
качестве неизвестных выступали только две неизвестные функ-
функции и я к.
Можно отметить, что значение Я = 0,728 согласуется о ре^
"зультатами экспериментов, величина Ь, как видно, в шесть р^з
превышает величину с, поэтому допущение Т. Кармана и X. Цзя-
на, а также Д.. Леджета и Р. Джонса о том, что выполняется
равенство с = &, было не очень удачным. На самом деле элемен-
элементарные физические соображения указывают на то, что параметр Ъ
имеет гораздо большее значение, чем с. В статье автора *), опуб-.
') См. статью, цитированную в связи-с уравнением F.17), с. 411.
§ 7.2} ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОВОЛОЧЕК 507
линованной в 1934 г., были использованы только те члены урав-
уравнения, которые содержали а и Ь, там же были представлены
рис. 7.9, а и 7.9, б, а также приведены следующие соображения
по этому поводу: «Удержанию только первого (т. е. а) члена со-
соответствует рис. 7.9, а. Очевидно, что в поперечном сечении рр
в материале возникает в среднем кольцевое растягивающее уси-
усилие, тогда как на материал в
поперечном сечении' qq дей-
действуют в среднем сжимаю-
сжимающие усилия, самоуравнове-
самоуравновешенные в окружном направ-
направлении. Налагая на это со-
состояние осесимметричное де-
деформированное " СОСТОЯНИе, рис уд
представленное на рис. 7.9, б • • •
(соответствующее содержащему параметр b члену ряда для про-
прогиба), можно аннулировать эти средние кольцевые сжимающие
и растягивающие усилия, и хоти нри этом имеется изгиб в про-
продольном направлений, суммарная внутренняя энергия сильно
умейьшается». С другой стороны, ничего подобного нельзя про-
процитировать по поводу параметра с. -"
Подставляя указанные выше значения i, с ц 1 в выражение
G.6е) для напряжения айв выражение G.6ж) для энергии де-
деформации, полагая равными нулю производные по а и к от по-
получающегося в' результате выражения для энергии деформации,
после упрощений получим -.
— = — 0,ЗЗЗак, G.6и)
- aci - *е1 ' ' - А /
- 0*22te/8d _ \k(k-i,<HUR/h)f* " ~ \
*2- 1,057* + 0,513 Ч 0,278-0,287* J *- ('->
Затем, задавая значения UR/h и к (значения к, как было найде-
найдено, являются приемлемыми, если они лежат между 0,5 и 2UR/h),
можно найти, a, e/eci и <s/ecu Полученные таким путем величины'
о/асг, е/еС! и UR/h представлены на рис. 7.8 в виде кривых с точ-
точками максимумов,- проверка последних по формулам- G.6и) и
G.6к) показала близкое соответствие. Кривая потери устойчи-
устойчивости в упругой области, представленная на взятом из работы
автора1) рис. 7.10, построена от пиковых точек, представленных
на рис. 7.8 (подобных точке р на кривой, . соответствующей
UR/h = 0); каждой-пиковой точке_соответствует система значе-
значений о/вы и UR/h. '
') См. статью, упомянутую ори-вбсуждении уравнения F.17) на с. 41k
J8*
508
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
Чиста упругое дыпучидание
Начало выпучибания
Начало
пластического течения
0,1
Часть этой кривой для значений UR/h между 0 и 0,1 являет-
является достаточно точной, так как пиковые точки кривых, описываю-
описывающих зависимость a/aci от e/eci (ряс. 7.8), лежат на почти прямой
линии, представляющей нагружение в упругой области цилиндри-
цилиндрической оболочки идеальной формы без образования прогибов.
Для точек, близко лежащих к этой линии, прогибы малы, поэто-
поэтому вполне допустимо использовать здесь теорию сравнительно боль-
больших прогибов и, как мож-
можно видеть из рис. 6.10, а,
представление решения в
рамках этой теории с по-
помощью четырех членов
дает весьма точные ре-
результаты. Правая часть
кривой потери устойчи-
устойчивости в упругой области,
соответствующая UR/h >
> 0,1, носит умозритель-
умозрительный характер, но доста-
достаточно точно отражает об-
общую тенденцию рассмот-
рассмотренной зависимости.
Разрушение, обуслов-
обусловленное возникновением
пластического течения. Все
. приведенные результаты
основывались на допущении того, что материал сохраняет свой
упругие свойства. Если же после прохождения пиковой точки
на кривых (рис. 7.8) возникает пластическое течение, что, разу-
разумеется, вполне возможно, то способность оболочка оказывать,
сопротивление нагрузке будет падать даже быстрее, чем это по-
показано на рис. 7.8, и разрушение будет носить еще более резкий
характер. Упругость испытательной машины или ебседних эле-
элементов реальной конструкции, куда входит сжатая оболочка,
также способствует усилению внезапности наступления разруше-
разрушения, так как при зтом освобождается накопленная энергия. Но
цилиндрическая оболочка должна нагружаться плавно и посте-
постепенно вплоть до пиковой точки с тем, чтобы не проявлялись ди-
намй^ческие эффекты, а то, что будет происходить после этого,
обычно не представляет особого интереса для практики.
Однако как мембранные, так изгибные напряжения увеличи-
увеличиваются с ростом нагрузки от точки О до пиковой точки р. Для
некоторых типов материалов и параметров геометрии пластиче-
пластическое течение может возникнуть в определенной точке цилиндри-
цилиндрической оболочки при значениях нагрузки, промежуточных между
О и р и, как показывают эксперименты, разрушение происходит
при нагрузках, ненамного превышающих упомянутую нагрузку.
Рис. 7.10.
§ 7.2] » ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 509
В этом случае возможны два вида разрушения при потере устой-
устойчивости. Первый вид имеет место при условиях чисто упругого
поведения материала в цилиндрических оболочках, в которых из-
за того, что они имеют очень тонкую стенку или изготовлены и»
материала с высоким значением предела текучести, пластические
деформации не возникают, до тех пор, пока не будут пройдены
пиковые точки типа р.-Второй вид возникает в цилиндриче-
цилиндрических оболочках с более толстыми стенками или изготовленных из
'материала с более низким значением предела текучести и обус-
обусловлен возникновением пластических деформаций еще до того,
как будет достигнут упомянутый пик.
Воспользуемся энергетическим критерием текучести A.2):
К - о2J + К - огзJ + (о2 - а3K = 2т2., G.7а)
где Oi, o2 и а3 — главные напряжения в точке с наибольшим
значением напряжения, т„ — предел текучести материала. Соглао-
по формулам A.1) имеем
. Г , .2 I 1/2
°-1 = *2 = * о""' ± 4 у) +°lv\ . Оз = 0. G.76)
Подставляя эти формулы в выражение G.7а), получим условие
текучести в следующем виде:
О* — ах°у + °у + ЗОху = Ту. * G-7в)
Напряжения представляют собой сумму мембранных и изгибных
напряжений —
их —
°У
°ху— ¦
ду2 1
дх2 .1
52Ф
дхду
— V
Ez
-V
1
ч*
/ д'
2[д)
Ez
+ v
2 1
d2w
дхду'
2
ду
о
дх
Проверкой убеждаемся, что условие по напряжениям являет-
является, по-видимому, самым неблагоприятным в узлах основной фор-
формы деформирования (/?<?¦= 11) на внутренней поверхности, т. е.
при
Х Z G7д)
Используя представления G.4в) и G.6в) для прогиба w и функ-
функции <р, а также задав значение параметрам Ь, с -и х, запишем ус-
условие текучести G.7в) в виде
510 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
где - ' ¦ . -
X = 0,149оЛ + 0,605 -?- + 0,457 (к - 1,61 ~)t
Y = 0,296afc - 0,218а + 0,258 (к — 1,612?-\,
- Z = -0,135afc + 0,200а + 0,560 [к- 1,61-^р).
Используя системы значений а, к, UR/h и a/aci, получаемые
из формул G.6и) и G.6к) для точек, лежащих в окрестности
пиков на рис.7.8, можно из формулы G.7е) найти xy/(UE). Тра-
фическим построением были получены кривые, описывающие
зависимость о/ае{ от UR/h при постоянных значениях Xy/{UE);
они представлены па рис. ЧАО штриховыми линиями. Другой
способ определения условий разрушения оболочки вследствие воз-
возникновения пластического течения состоит "в" построении кривых
¦xvR/Eh = (xJUE) (UR/h), представленных ¦ на рис. 7.10 пунктир-
пунктирными линиями.
Сопоставление с результатами экспериментов. На взятом из
работы^ автора1) рис. 7.11, а представлены кривые для критиче-
критических напряжений при потере устойчивости в упругой области
и- некоторый подходящие для данного случая кривые, взятые из
рис. 7.10 и относящиеся к выпучиванию, начинающемуся с воз-
возникновения пластических деформаций, и представляющие собою
огибающие экспериментальных течек; как можно видеть, теоре-
теоретические кривые приближенно отражают характер зависимости
критического напряжения от характеризующего -тонкостенность
оболочки параметра R/h, определяемого из экспериментов.
Для указанного значения параметра U, характеризующего
начальные прогибы оболочки, теоретическая кривая приближен-
приближенно проходит через середину области, занимаемой эксперименталь-
экспериментальными точками. Допущение более высоких значений для пара-
параметра U подняло бы, разумеется, теоретическую кривую и соот-
соответствующие ей нижние значения, а для того чтобы полностью
"охватить этой кривой экспериментальные точки, соответствующие
разрушению оболочки .в упругой области, следовало бы задать
значения параметра U в диапазоне от 0,0001 до 0,0004. -,
Указанный диапазон требующихся для параметра U значений
не должен вызывать удивления, если учесть, что эксперименты
проводились как на образцах, изготовленных очень тщательно,
для того чтобы свести имеющиеся дефекты к минимуму, так и
на образцах, полученных из прокатанных листов, которым при
обычных условиях употребления не требовалось иметь строго
плоскую поверхность, эти образцы иногда имели такие отклоне*
ния от идеальной цилиндрической формы, что их можно было
') См.' статью, упомянутую в примачании на с. 411.
§7.2]
ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Б11
Теория для упругой
потери
устойчивости
наблюдать невооруженным глазом. Для сравнения укажем что
значения параметра U, необходимые для. точного воспроизведе-
воспроизведения-результатов, получаемых из обычных эмпирических формул -
для продольно сжатых стержней (см. рис 2.10, где отношение
,. Теория для цилиндрических
оболочек- из целлулоида
Эксперимент на цилиндри-
чесних оболочках
из целлулоида
/Теория для цилиндри-
цилиндрических оболочек
из мягкой стдли
''Теория для упругой
потери
^^устойчивости
\U-O,000f5
,\ Энсперимент
'но цилиндрических оболочках
из мягкой i стали
1,0
~О,8
0,6
0,1
Малые волны ('на kO% дальше,
локальная чем g случае продольного
овальная гжптия1
вмятина (ДЗо) .сжатия)
Л. Брозье'
wo ¦ wo- .
•в)
Рис. 7.11. ¦
можно взять порядка 1000, так как эмпирические формулы
предназначались для продольно сжатых стержней из конструк-
конструкционной стали), располагались в диапазоне от 0,0002 до 0,0010.
На рис. 7.11, а представлены также две кривые для случая'
когда выпучивание начинается с возникновения пластических
ет-Тпййп ПРИ значения^ параметра XJWE) (здесь полагаем
и — U.UUU15J, соответствующих двум- группам - экспериментов —
одна для Цилиндрических оболочек из целлулоида »),¦ другая для
образцов из малоуглеродистой стали, по крайней мере часть из
которых, по-видимому, разрушалась вследствие возникновения
512 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
пластических деформаций1). Более чем удивительное совпадение
результатов, получаемых по теории, в которой рассматривается
разрушение вследствие возникновения пластических деформаций,
в результатами экспериментов видно из рис. 7.11, б, где приве-
приведены результаты испытаний двух групп сравнительно толстых ци-
цилиндрических оболочек, изготовленных из двух различных алю-
алюминиевых сплавов2).
Применяя полученные выше результаты к задачам расчета
конструкций, если при этом имеются некоторые сомнения относи-
относительно того, будет ли происходить разрушение в упругой области
или дрй пластических деформациях, теоретический расчет сдедует
проводить для обоих типов разрушения, после чего выбирается
меньшее из найденных значений критических нагрузок.
Значения и, определяемые в соответствии с упомянутым выше
решением, где учитываются большие прогибы и наличие дефектов,
оказываются меньшими, чем те, что следуют из классической тео-
теории устойчивости, но не меньше тех, что находились в эксперимен-
экспериментах (см. рис. 7.4), располагаясь примерно в середине между этими
двумя крайними значениями.
Выпучивание тонкостенных цилиндрических оболочек при чис-
чистом изгибе. Так как даже наименьшее значение п, получаемое из
экспериментов, примерно равно десяти, угол, охватывающий каж-
каждую полуволну, составляет 18° и меньше, а сжимающее напряже-
напряжение в каждой полуволне, располагающейся в середине сжатой сто-
стороны цилиндрической оболочки при изгибе, будет практически
постоянным; даже при образовании группы из четырех полуволн
среднее напряжение только на 10% меньше максимального напря-
напряжения от изгиба. Это обстоятельство, а также тот факт, что даже
ири равномерном сжатии разрушение обычно возникает только на
части оболочки по окружности, указывает на то, что тонкостен-
тонкостенные цилиндрические оболочки должны выпучиваться при изгибе
ири достижении максимальным изгибающим напряжением величи-
величины р", умноженной па величину критического напряжения при
осевом сжатии, где р" — число, близкое к единице. Эксперименты
на однотипных образцах, испытывавщихся при осевом сжатии и
изгибе, показывают на стабильное значение р" = 1,43). Этот слу-
случай исследовадся только в классической постановке задачи ус-
устойчивости, там также были получены практически те же самые
значения i[J.
На рис. 7.11, в показана кривая для случая потери устойчиво-
устойчивости цилиндрической оболочкой при чистом изгибе с образованием;
небольших волн (их число было на 40% больше, чем в приведен-
') Wilson W. M., Newmark N. М. The strength of thin cylindrical
shells as columns.— Univ. Illinois, Engng Experim. Stat. Bull., 1933, № 255.
2) См. дискуссию по статье автора, упомянутой в примечаний на с. 502.
3) См. статью A934 г.) автора, упоминавшуюся при рассмотрении урав-
уравнения F.17) на с. 411.
§ 7.2] ВЫПУЧИВАНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 513
ном на рис. 7.10 случае продольного сжатия цилиндрической обо-
оболочки), и дается сопоставление с кривой, полученной Д. Яо1) для
случая локальной потери устойчивости при изгибе с образованней
човальной формы поперечного сечения (две волны в окружном нап-
направлении и одна выпучина в продольном направлении, амплитуда
которой затухает от центра выпучины по экспоненциальному за-
закону). Д. Яо в своем исследовании использовал члены, связанные
с учетом больших прогибов, которые, как было показано ранее,
являются существенными; такой тип потери устойчивости, как
правило, наблюдается при выпучивании вследствие изгиба толсто-
толстостенных труб, подобных резиновым шлангам, и толстых металли-
металлических труб, выпучивающихся за пределом упругости.
Нижние участки зтих двух кривых показаны жирными линия-
линиями, отмечающими момент, при котором трубы с различным отноше-
отношением радиуса к толщине в первый раз теряют устойчивость таким
путем. Можно видеть, что в соответствии с зтими исследованиями
трубы с (R/h) < 80 должны разрушаться с предварительным обра-
образованием ова'льной формы поперечного сечения, тогда как более
тонкие трубы должны разрушаться с предварительным образова-
образованием малых волн при потере устойчивости; зтот результат вполне
согласуется с обычными представлениями.
Л. Бразье.2) представил очень интересное исследование цилинд-
цилиндрической трубы при чистом изгибе, где он вводил предположение
о том, что постоянная овальная форма поперечногр сечения обра-
образуется по всей длине трубы. Когда происходит изгиб, результи-
результирующая кривизна упругой оси труби стремится снизить сопротив-
сопротивление трубы так же, как начальная кривизна криволинейной тру-
трубы, к которой приложен изгибающий момент, направленный та-
таким образом, чтобы увеличить кривизну. Последний случай был
исследован Т. Карманом3), который показал, что благодаря нали-
наличию кривизны оба сжимающих напряжения на вогнутой стороне
и растягивающие напряжения,на выпуклой стороне, возникающие!
па краях малого элемента, имеют равнодействующие, которые на-
направлены к середине трубы и, таким образом, стремятся сплющить
первоначально круговую форму поперечного сечения в овальную
(эти деформации были бы пренебрежимо малы в сплошном кри-
криволинейном стержне, но, очевидно, становятся более существен-
') Yao J. С. Large-deflection analysis of buckling of a cylinder under
bending.— Trans. ASME, 1962, v. E29, № 4, pp. 708—714.
2) Brazier L. On the frexure of thin cylinrdical shells and other thm
sections.—Proc. Roy. Soc, 1927, v. A116, № A773, pp. 104—114.
3) Karman T. Uber die Formanderung diinnwandiger Rohre.— VDI —
Zeitschrift, 1911, Bd 55, № 45, SS. 1889—1895; The collected works, V. 1.— Lon-
London: Butterworths, 1956, pp. 304—320. См. также Timoshenko S. Strength
of materials, Part II.—2nd ed.—New York: Van Nostrand, 1941. см. с. 107;
русск. перевод 3-го америк. издания: Тимощенко С. П. Сопротивление
.материалов. Часть II.— М.: Наука, 1965, см. с. 158.
514 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ' [ГЛ. 7
-яыми в случае полых стержней). Влияние на момент инерции
поперечного сечения не столь уж важно, но направленные к цент-
центру поперечного сечения смещения более коротких волокон на вог-
вогнутой стороне и более длинных волокон на выпуклой вызывают
поворот концов трубы, который суммируется с теми поворотами,
которые приобрела нервоначально прямая труба, тем самым сни-
снижая приведенную жесткость на изгиб трубы.
Л. Бразье получил зависимость изгибающего момента от кри-
кривизны первоначально прямолинейной трубы и построил кривую,
которая вначале имела такой же наклон, как и в случае элемен-
элементарной теории изгиба балок, а затем этот наклон уменьшался,
пока не становился нулевым, в точке максимума этой кривой изги-
изгибающий момент имел то свое максимальное значение, которое мо-
может выдержать труба. К сожалению, предельный изгибающий мо-
момент, который находится таким образом и не зависит от отноше-
отношения R/h, как это показано штриховой линией на рис. 7.11, в;
является неправдоподобно низким, в этом исследовании сказыва-
сказывается, по-видимому, отсутствие учета влияния больших, прогибов,
что могло бы увеличить способность трубы сопротивляться изгибу.
Независимое решение для рассмотренного Л. Бразье случая
можно легко получить из решения Т. Кармана, если использО-
вать текущее значение кривизны вместо постоянного "ее значения,
как было сделано у Т. Кармана. Т. Карманом была получена при-
приближенная формула
е=
(
где 0 — относительный, угол поворота при изгибе концов трубы
длиной I, Й' — начальный радиус кривизны осевой линии криво-
криволинейной трубы. Если взять Rr бесконечно большим, как это
имеет место в первоначально прямой трубе, эта формула сведется
к формуле & = М1/(Е1) элементарной теории балок. Вместо этого
возьмем R' = 1/&, т. ё. рассмотрим случай постоянного радиуса
кривизны. Подставив это выражение в формулу Т. Кармана,
получим
<"->
где % = ЦгШШ), Mcl = nERh*J1b(l-\z) — изгибающий момент,
соответствующий максимальному напряжению а&. Построив зави-
зависимость отношения MIMd от параметра Я, получим кривую, кото-
которая, так же как и в решении Л. Бразье, имеет в начале угол на-
- клона касательной, соответствующий элементарной теории изгиба
балок, который затем уменьшается. Угол наклона становится
близким к нулю при отношении М/Мы, близком к 1,0, что можно
принять в качестве эффективного предельного значения для отно-
§ 7 3] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ БОКОВОМ ДАВЛЕНИИ 615
шения М/Мы. Это значение представляется намного более реали-
реалистическим, чем значение 0,55, полученное Л. Бразье; случай»
соответствующий этому значению отношения М/Ме1, можно рас-
рассматривать как третий возможный тип разрушения, который, одна-
однако, требует концевых условий некоторого специального типа, т. ei.
изгибающие моменты должны прикладываться таким образом,,
чтобы концевые сечения могли принимать овальную форму.
§ 7.3. Потеря устойчивости тонкостенных цилиндрических
оболочек при боковом давлении
Введение. Случаи йотери устойчивости цилиндрическими обо-
оболочками, при однородном боковом сжатии, обусловленном внешним
распределенным давлением {или внутренним вакуумом У, и при
однородном касательном напряжении, обусловленном кручением,
отличаются одним важным обстоятельством от случая осевог.а
сжатия. В "обоих предыдущих случаях возникающие при потере
устойчивости волны прбгибов распространяются в осевом нацрав^-
лении от одного края цилиндрической оболочки до другого, тогда
как в последнем случае, конечно, много волн в осевом направле-
направлении возникает только в случае очень короткой оболочки. Вслед-
Вследствие сказанного в последнем "Ълучае_нельзя игнорировать услор
вия на краях. Здесь имеет место аналогия между случаем; потери
устойчивости обычного стержня при продольном сжатии и случаем
продольно сжатого стержня на упругом сплошном основании, где
потеря устойчивости происходит с образованием большого числа
волн; однако благодаря той скорости, с которой затухают по дли-
длине цилиндрической оболочки, периодически изменяющиеся изги-
изгибающие моменты (например, такие, как те, что потребовались бы
в случае защемленных краев), что видно из рис. 7.3, влияние .
краевых условий в случае цилиндрических оболочек мало.
Кроме того, имеются также два встречающихся на практике
и Отличающихся друг от друга типа нагружения цилиндрических
оболочек внешним давлением: 1) внешнее давление прикладывает-
прикладывается не только к внешней поверхности цилиндрической оболочки, но
также и к закрытым торцам оболочки, как это имеет место в ваку-
вакуумной камере или корпусе подводной лодки; 2) внешнее давление
действует только на внешнюю поверхность цилиндрической обо-
оболочки, как, например, это имеет место в котельных трубах. В ти-
типе 1) создается, разумеется, комбинация кольцевого обжатия й
осевого сжатия, однако осевое сжатие слишком мало, чтобы вли-
влиять на характер потери устойчивости; такая комбинация столь ши-
широко распространена на практике, что представляет собой основной-
случай, который следует рассматривать одновременно со случаем,
простого кольцевого обжатия, что 'будет сделано ниже.
Устойчивость идеальной тонкостенной цилиндрической оболоч-
оболочки при внешнем давлении. В докритическом состоянии нагруже-
нагружения предполагается, что для тонкостенных цилиндрических обо-
516 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
лочек может быть использована элементарная котельная теория,
еогласно которой внешнее давление или внутренний вакуум р,
действуя на стенку цилиндрической оболочки, создает однородное
кольцевое напряжение о„ = —Rp/h, а если это давление действует
иа закрытые торцы оболочки, то оно создает постоянное осевое
напряжение ох =—Rp/{2h), остальные напряжения равны нулю.
При достижении критического состояния имеем о„ = Fy/h, <sx =
= FJh или Fy = — Йр, Fx = —Rp/2, где силы Fv и Fx определяют-
ея из уравнения F.27г).
При рассмотрении этого случая в рамках классической теории
устойчивости можно использовать наиболее подходящие здесь
уравнения F.34) или F.36). Из собственного опыта и* на основе
лроведенных испытаний мы знаем, что число волн в окружном на-
иравленни уменьшается при увеличении длины оболочек и прини-
принимает свое минимальное значение, равное двум, только для очень
коротких оболочек; в этом случае следует использовать полное
уравнение F.36). Однако если попытаться охватить с помощью
уравнения F.36) всю область изменения геометрии оболочек тог-
тогда, когда это не представляет трудностей с теоретической точки
зрения, то в результате получим соотношение, связывающее три
величины: р/Е, R/h и R/L; получение с помощью этого соотноше-
соотношения численных результатов является сложной алгебраической за-
задачей, требующей для решения утомительных графических по-
построений. С другой стороны, с помощью уравнения F.34) получа-
получаются результаты, которые могут быть сразу же представлены через
два параметра и изображены в виде единственной кривой на гра-
графике, численные расчеты при этом несложны и, как видно из
рис. 7.2, обеспечивают вполне достаточную точно'сть в диапазоне
цилиндрических оболочек малой и средней длины, представляю-
представляющих наибольший практический интерес.
Одно из этих уравнений в сочетании с одним из самых важ-
важных типов краевых условий (свободное опирание) w = v = Mx = 0
можно удовлетворить, если поместить начало координат в
поперечном сечении, лежащем в- середине пролета оболочки,
и взять
w ¦= W cos ^r cos тг- G.8а)
Li ft ~*
Это выражение подставляется в уравнение F.34) дри ,Fy = — Rp,
Fx = —aRp/2, здесь а = О, когда цилиндрическая оболочка на-
нагружается только внешним боковым давлением, и а = 1, если
такое же давление действует и на закрытые торцы оболочки.
Умножая для упрощения результат на L8/(n4?fe3w), получим сле-
следующее соотношение:
\\ G.86)
§ 7.3]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ БОКОВОМ ДАВЛЕНИИ
517
где
G.8в)
Хотя теоретически п должно быть целым числом, для того
чтобы удовлетворить условию непрерывности в окружном направ-
направлении, это условие не является столь уж важным для цилиндри-
цилиндрических оболочек малой и средней длины, которые здесь и рас-
рассматриваются и для которых, как будет показано, п велико. Рас-
Рассматривая п, а отсюда и N как число, которое может принимать
произвольное значение, наименьшее значение давления р, при
котором возможно равновесие в деформированном состоянии по
форме G.8а), найдем из условия dPJdN = 0, отсюда после упро-
упрощений получаем
G.8г)
Из уравнения G.86) и G.8г) можно легко исключить величи-
величину N и прлучить соотношение, связывающее параметр нагрузки
Р и параметр геометрии f
для любой заданной величи-
величины а. Результаты подобных
вычислений не удается пред-
представить в виде простой фор-
формулы, подобной G.46) для
случая продольного сжатия,
но наиболее удобный вид
их представлен на рис. 7.12
в виде штриховых линий при
а = 0 и сплошных линий
при а = 1. JH3 соотношения
T/h/Rn = nl/N/x можно ви-
видеть, что в указанной обла-
области число п больше 6 или 7
даже при достаточно малых,
порядка 100, значениях отно-
отношения R/h, и еще больше
для более тонкостенных ци-
цилиндрических оболочек.
На рис. 7.12 также представлены в виде светлых кружочков
все результаты экспериментов, которые стали доступными к то-
тому времени, когда были проделаны указанные расчеты с учетом
больших прогибов. Все образцы при потере устойчивости образо-
образовывали одну волну в продольном направлении, что совпадает со
сделанными предположениями, а число волн в окружном направле-
518 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
нии очень хорошо совпадает с теоретическими данными. Экспери-
Эксперименты1) были выполнены при наличии приложенного к закрытым
торцам давления (а = 1),~но способность оболочки сопротивлять-
сопротивляться потере устойчивости, измеряемая в виде параметра Р, в сред-
среднем была на 20 или 30% ниже теоретического значения; причи-
причины такого расхождения должны быть отнесены в основном за
счет начальных прогибов.
Две экспериментальный точки оказались выше теоретической
кривой — это может означать, что либо теория не точна, либо кра-
краевые условия в эксперименте были далеко не такими податливы-,
ми, как это полагалось в теории. Теория, несомненно, дает блестя-
блестящую аппроксимацию, но все эксперименты были выполнены для,
вообще говоря, защемленных краев. Для таких краевых условий
теория будет, несомненно, давать результаты значительно более
высокие, чФм получаемые из экспериментов. Однако получать ре-
решения в этом случае намного труднее, чем отыскивать простое
решение для рассмотренных выше свободно опертых краев. Это
решение можно найти тем же способом, что и в задаче о потере
устойчивости при кручении, подробности которого обсуждаются
в § 7.4, «о здесь этот случай не будет рассматриваться, так как
очевидно, что это приведет только к увеличению расхождения
между критическими значениями, получаемыми в классической
постановке задачи устойчивости, и большей частью эксперимен-
экспериментальных данных, что еще требует своего объяснения. При. об-
обсуждении влияния начальных несовершенств ниже будут еще рас-
рассматриваться как краевые условия свободного опирания, так и
краевые условия защемления.
Как" уже говорилось выше, приближенное уравнение F.34)
является не очень хорошим приближением в таком крайнем слу-
случае, каким является очень длинная труба, для которой число волн
в окружном направлении имеет минимальное, равное двум, зна-
значение. В этом случае, по крайней мере для средней части трубы,
можно игнорировать изменение прогиба w в осевом направлении
и полагать .
w = W.coa jf. . ~ ~ G.8д)
'Подставив это представление в уравнение F.36), взяв Fy = —Rp
') Kir stein A. F., Slan,kard R. С. An experimental investigation
of the shell-instability, strength of a machined, ringstiffened cylindrical shell
under hydrostatic pressure (model -BR-4A).— David W. Taylor Mod. Basin,
Rept, Д956, № 997; Kir stein A. F., Wenk E. Observation of snapthro ugh
action in thin cylindrical shells under external pressure (model BR-4A).—
David W. Taylor Mod, Basin, Rept, 1956, № 1062; Windenburg D. F.,
Trilling C. Collapse by instability of thin cylindrical shells under exter-
external pressure.—Trans. ASME, 1934; v. 56, № 11, pp. 819—825; David W. Taylor
Mod: Basin, Rept, 1934, № 385.
S 7.3] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ БОКОВОМ ДАВЛЕНИИ 519
и умножив результат на /?5, найдем •
. <7.8е)
Если точно так же воспользоваться уравнением F.34), то получим
№Л12A-^)Д3]} -28=.р24B2), P = Eh3/[m-v2)R3],
т. е. здесь поправочный коэффициент- составляет 4^3. Ошибка сни-
снижается очень быстро с ростом числа п(и; диапазоне, представлен-
представленном на рис. 7.12, она должна быть незначительной.
По существу, такие же, как и упоминавшиеся выше результа-
результаты по устойчивости свободно опертой идеальной цилиндрической
оболочки, нагруженной внешним равномерно распределенным дав-
давлением, были получены в не столь простой форме Р. Мизесом1).
Расчет на устойчивость цилиндрических оболочек с начальны-
начальными прогибами при внешнем давлении. В изложенных ниже расче-
расчетах, которые были выполнены автором2) в 1956 и 1958 гг., рас-
рассматривался только случай а = 1, так как для этого случая имеют-
имеются результаты экспериментов и он наиболее широко встречается
на практике. Поскольку используемый здесь метод совпадал с тем,
который применялся при исследовании случая потери устойчиво-
устойчивости при осевом сжатии и который весьма подробно был описан
в § 7.2 (см. уравнения G.5а), G.56), G.6а)-G.6к), G.7а)-G.7еЛ,-
то нет необходимости вдаваться здесь во все его подробности.
Конечно, имеется много важных различий между случаями по-
потери устойчивости при внешнем давлении и осевом сжатии. Так,
здесь длины волн прогибов в осевом направлении, возникающих
при потере устойчивости, уже не будут произвольными, а будут
ограничены длиной цилиндрической оболочки. Будет также пока-
показано, что описывающая зависимость нагрузки от, параметра дефор-
деформации кривая, получаемая по теории больших прогибов, не содер-
содержит в себе участков с прощелкиванием; в действительности же,
как правило, сопротивление оболочйи продолжает расти после На-
Начала выпучивания, и соответственно предельная нагрузка, при ко-
') Mise.s R. Der kritische Aussendruck fur allseitig belastete zylindri-
sche Rohre,— Festschrift zum 70 Geburststag von~Trof. Dr. A. Stodola.— Zu-
Zurich, 1929, SS. 418—430; P. Мизесом было опубликовано (см. М i s e s R. Der
Kritische Aussendruck zylindrische Rohre.— VDI — Zeitschrift, 1914, Bd 58,
№ 9, SS. 75Q—755) также и решение для случая а = 0, в котором, очевид-
очевидно, имелись некоторые незначительные описки, на ^которые было указано
Д. Винденбургом (см. Windenburg D. F. David Taylor Mod.— Basin,
Rept, 1831, № 309). " •
2) Donne 11 L. H. Effect of imperfoctions on buckling of thin cylin-
cylinders under external pressure.— Trans. ASME, 1956, v. 23, Щ 4, pp. 569—575;
Effect of imperfections on buckling of thin cylinders with fixed edges under
external pressure.— Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Providence, Rhode
Island, 1958,— New York, 1958, pp. 305—311.
520 - ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
торой происходит разрушение, определяется возникновением пла-
пластических деформаций.
Как и ранее, возьмем уравнение F.31к) с' Ъ — 1/R и /* = /,, = 0,
а также воспользуемся комбинацией метода, основанного на рас-
рассмотрении уравнения равновесия, и энергетического подхода. Для
случая свободного огшрания, поместив начало координат в середи-
середине пролета оболочки, для прогиба w можно взять выражение:
w = ah cos -д- cos -|- + ЬI cos —g- + 0,3 cos —g-j \, G.9a)
для случая защемленных краев примем!
8^4-ь), G.96)
где K = nR/(nL); а, Ъ и п — параметры, которые должны опреде-
определяться из энергетических соображений.
Первые слагаемые этих представлений для прогибов (т. е. те же
части этих выражений, которые не содержат параметр Ъ) удовлет-
удовлетворяют наиболее важным краевым^ условиям: при х = L/2 и х =
= — L/2 соответствейно имеем w = Мх = 0 и w = dw/дх — 0. Вто-
Вторые слагаемые прогибов (в приведенных ваше представлениях они
пропорциональны параметру Ъ) могут описывать как направлен-
направленный внутрь оболочки прогиб при внешнем давлении (который не
учитывался в описываемой классической постановке задачи устой-
устойчивости), так и более важный осесимметричный направленный
внутрь оболочки прогиб, который существует во всех теориях ко-
конечного прогиба, чтобы частично компенсировать нелинейные
окружные деформации, обусловленные образованием волн в окруж-
окружном направлении с линейными деформациями относительно кри-
кривизн в окружном направлении.
В случае защемленных краев вторые слагаемые прогибов так-
также удовлетворяют условиям защемления на краях, как это, оче-
очевидно, и должно быть. В случае свободно опертых краев условие
является более сложным. Второе слагаемое, стоящее в скобках в
выражении G.9а), должно равняться нулю,-чтобы вторая состав-
составляющая прогиба удовлетворяла условию свободного опирания на
краях, как это имеет место для рассматриваемого случая цилинд-
цилиндрической оболочки. С другой стороны, для, по-видамому, еще бо-
более важного случая (например, внешний корпус подводной лодки)
цилиндрического отсека, представляющего собой один из целого
ряда отсеков, образующих корпус лодки и разделенных открытого
профиля шпангоутами переборок (так, что они являются жестки-
жесткими в радиальном направлении, но имеют малое сопротивление кру-
кручению), первая составляющая волнообразной формы прогиба дол-
должна быть направлена внутрь в одном отсеке и наружу в соседнем
с ним отсеке, узловые линии при этом совпадают со шпангоутом;
с другой стороны, осесимметричные вторые составляющие прогиба
§ 7.3] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ БОКОВОМ ДАВЛЕНИИ 521
будут направлены внутрь во всех отсеках, причем касательные к
этим составляющим в местах крепления шпангоутов должны иметь
горизонтальное направление, для чего и вводится множитель 1/3
при втором слагаемом в круглых скобках выражения G.9а). Ис-
Используемое значение множителя 0,3 является компромиссным
между указанными крайними случаями; его точное значение, по-
видимому, не оказывает существенного влияния на результаты.
Вновь, так же как и в случае осевого сжатия, будем рассматри-
рассматривать только те Составляющие w0 начальных прогибов, которые сов-
совпадают с формой прогиба w, но при этом в формуле G.56) заменяют
а на аа = UK- 1)/2], где а0 = (U/л2) Й'в#в/Л"- Взяв за 1Х и ^рас-
^расстояния между узлами основных форм выпучины, получим 1У —
= nR/n и lx = nR/(%n) для свободно опертых краев и lx = nR/BKn)
для случая защемленных краев. Используя выражения X =
= nR/(nL) и n = nR/(%L), 'найдем
К = 1 -1 5-?~ (свободно опертые края),
Гл.» G-9в>
К = 1 -\ ., - (защемленные края).
an h у2
Как и ранее, воспользуемся обозначением к = Kahn2/BR), отку-
откуда получим
UR
7 ahn i I UR i л \
к — -?д- Н—— -г- (свободно опертые края),
, ahn2 . 1 UR . . \ ¦ г>
к — -~тг Н Ть~Т~ (зшЦемленные края).
Подставляя выражение для прогиба w в уравнение F.31к)„
используя тригонометрические формулы для квадратов и произве-
произведений тригонометрических функций, представленных в таблице
6>3 и использованных при выводе уравнения G.66) для случая осе-
осевого сжатия, и интегрируя полученное в результате выражение
для V'q^ найдем такое же, как и G.6в), выражение для функции
Ф для свободно опертых краев:
Ф = —»— а —з гг. cos —5- cos -§¦ — A; I—-, rns iKnx j-_Cos-^ —
Y я2Я LU +1) R R \16^4 R lb R)
iu пУ I a ¦ 3,7 2knz . 2,7 4\nx\ ,
-•kb cos ¦? I1+щгм?cos—+AйГй? cos —)+
Г4 [cos ~F + зо cos ~r~ j I+ Cl + СгУ
34 л. Г. Доннелл
522' - ¦ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
Для случая защемленных краев имеем
4 2кпх пу
!. G.9e)
Из условия равновесия в осевом направлении на одном крае
цилиндрической оболочки, используя выражение C.16а) и при-
приведенные выше выражения для функции ф,-получим как для
случая свободного опирания, так и для случая защемления Сле-
Следующее соотношение:
— »
гяя гяя
='h \ axmdy = h \ —~dy = AnRhC2, С2 =—|г. G.9ж)
о __ о
Простейшим способом определения постоянной С4._ и измене-
изменения объема, ограниченного срединной поверхностью оболочки
при ее деформировании (что потребуется при использовании
принципа возможной работы), является, по-видимому, нахожде-
нахождение выражений для непериодических по координате у частей
перемещений и и v. Обозначив эти части через и' и v', подста-
подставив приведедные выше выражения для прогиба w и функции ф
в уравнение F.31иГ (при р = 0) и проинтегрировав первые два
уравнения соответственно по х и у, после определения произ-
произвольных функций интегрирования из третьего уравнения, для
случая свободного опирания по краям найдем
^(^, + 0,8^^-0^^-0,27 sin
#(C,-vC1)«J G.9з)
Е
, Г ahk- . 2 /Л1
§ 7.3] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ВОКОВОМ ДАВЛЕНИИ 523
Для случая защемления получаем
2) s.n4Ъг* J +
lE R J 17.9и)
Для выполнения условия непрерывности перемещений переме-
перемещение у' в окружном направлении должно" быть равно нулю (те
части перемещения v, которые являются периодическими отно-
относительно координаты у и которые опущены в выражении для v,
очевидно, удовлетворяют условиям непрерывности). Используя,
приведенные выше выражения и соотношения G.9ж), находим Ci:
Сг = off" — "^Tj~ (свободно опертые края),
Ък Щ ^? (
Сх = -а- (Ък — Щ — ^jj? (защемленные края).
Уменьшение AF объема цилиндрической оболочки равно
?/2 2ЯЯ
ДУ = ni?2_(u'(K=_L/2) — Щх=из)) + J dx J w~dym " G.9л)
" ¦ -ь/2
Используя обозначения -
Р = RmLpl(hmE), y = L/ /Ж, у = AV/(Rhf^ G.9м)
и выражения G.9а), G.96), G.9г), G.9з), G.9и), уравнение G.9л)
можно переписать в следующей форме:
+ А; (Я,2 + v + 3,62Я,2Ь2) (свободно опертые края)г
—v2) n2(i — v2
+ к (я,2 + J+ 2Я,2Ь2У1 (защемленные края). G.9н)
Теперь можно подставить выражения ~{7.9а), G.96), G.9д),
G.9е) для прогиба w и функции ф в выражения D.70) и D.71)
для энергии деформации е. Используя формулы G.9ж) и G.9к)
для постоянных Ci и Сг, получим в результате уравнение отно-
относительно внешнего давления р, которое заменяется параметром Р
34*
524 , ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
с учетом G.9н):
я2 (W V /,,, л/Тин\иъ ы I in
' — К л -г- I [1о,О0 -|- /С (Л,!
+ (х*Л - /К ^J Г^ (^ + 16.6&2j + Я, + 6,35Ь2 +
Для случая защемления на краях найдем
"¦ П г„ П ' ' > - ' I 121. У к Л I Г9Ч ^h
v3 V 8 h I
J G.9п)
где Я.1, %i и т. д. являются функциями только Я,.
Выражения G.9о) и G.9п) для энергии деформации содер-
содержат только-параметры URNi и f (которые считаются известными
для цилиндрической оболочки любого вида), а также У, X, к, Ъ.
Неизвестный параметр % = aR/(nL) содержит число п, тогда
как параметр к, задаваемый выражением G.9г), содержит ве-
величину а, таким образом, вместо исходных неизвестных п, а, Ъ
вводятся новые неизвестные величины %, к, Ъ.. Так же как
и в случае осевого сжатия, где при использовании принципа
возможной работы осевое укорочение принималось в качестве
постоянной, с тем лтобы исключить работу, совершаемую внеш-
внешними силами; будем считать здесь объем V, а следовательно,
и изменение AV постоянными (что теоретически возможно в том
случае, когда цилиндрическая оболочка погружена в несжимае-
несжимаемую жидкость, находящуюся в абсолютно жестком контейнере)
при возможных изменениях Я,, к и Ъ. Отсюда следует, что, со-
согласно принципу возможной работы, внешнее давление р не бу-
будет совершать работы при таких возможных изменениях ука-
указанных параметров,'.и тогда находим д&/д% = dSJdk = д&/дЬ = 0.
Из получающихся в результате трех уравнений можно найтд
величины Я,, к и Ь, выраженные через UR/h, f и V, после чего
можйо получить выражения для а, п, Р, а также шкр.
Несмотря на то, что эти три уравнения являются нелиней-
нелинейными относительно неизвестных, показано, что их можно решить,
если задаться значениями некоторых величин и найти другие их
решения с помощью графического построения и т. д. В случае
защемленных краев встретились большие трудности, поэтому для
определения Я, применялся приближенный метод, проверка кото-
§7.3]
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ БОКОВОМ ДАВЛЕНИИ
525
рого показала его пригодность. Дальнейшие детали этих вычис-
вычислений приводятся в статьях автора 1956 и 1958 гг., упоминав-
упоминавшихся в начале раздела, посвященного расчету на устойчивость
цилиндрических оболочек с начальными прогибами при внешнем
давлении.
р
0,8
0.07
/С-— 0,05
' _,-- 0,06
край '
Свободно
1 т опертый
>' край
i i 1
* 6
а)
v
to
' ° 0,01 0,0h 0,06 0,08
б) ~ь
Рис. 7.13.
На рис. 7.13 представлены некоторые результаты проведен-
проведенных расчетов. Типичные кривые, описывающие зависимость на-
нагрузки от параметра - деформации для цилиндрических оболочек
средней длины, параметр геометрии ч которых имеет значение
Ч = L/~iRh =i-9,7, приведены на рис. 7.13, а, взятом из работ ав-
автора1). Сопоставление этих кривых с аналогичными кривыми
для случая осевого сжатия, приведенными на рис. 7.8, указыва-
указывает значительную разницу в послекритическом доведении. На
рис. 7.13, а видно, что для случая защемленных краев практиче-
практически не происходит падения способности оказывать сопротивление
после выпучивания оболочки, тогда как для свободно опертых
краев имеет место небольшое падение. Для коротких цилиндри-
цилиндрических оболочек такого дадения не наблюдалось ни в одном
случае, и кривая зависимости нагрузки от параметра деформа-
деформации монотонно возрастает, если выполняется условие упругого
поведения материала.
Вследствие этого, как уже отмечалось в начале данного об-
обсуждения, большая часть случаев разрушений цилиндрических
оболочек, нагруженных внешним давлением, должна начинаться
при возникновении пластических деформаций в наиболее напря-
напряженной точке. Пробы и результаты испытаний показывают, что
пластические деформации впервые возникают в следующих
') См. статьи автора, упомянутые в примечании 2) на с. 519.
526
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
точках:
х = nR/Bkn), у = nR/Bn), z = h/2 (свободно опертые края),
G.9р).
х = О, у = я/?/« или х — у = О, z = ±Л/2 (защемленные края).
Подставляя G.7г), а также выражение для прогиба w и функ-
функции ф G.9а), G.96), G.9д), G.9е) в выражение G.7в), получим
соотношение, связывающее Р, UR/h, а тйсже rv/(UE) или
xvR/{Eh), как это делалось при получении соотношения G.7е)
для случая осевого сжатия. Эти результаты, относящиеся к слу-
случаю свободно опертых краев_д~того же значения if = 9,7, которое
шщользовалось при получении зависимостей на рис. 7.13,а, вос-
воспроизведены на рис. 7.13,6, взятом из работ1) автора. Как можно
видеть, эти кривые очень напоминают кривые рис. 7.10, полу-
полученные для случая цилиндрических оболочек при осевом сжатии.
Однако кривыми, подобными представленным на рис. 7.13,6,
неудобно пользоваться, так как при этом надо строить различные
системы таких кривых для различных значении параметра f,
„s/2 _.; ¦ -
•Защемленный
¦ p
0 0,5 7,0 7,5 г;о 2;5 з,о °
а)
Свободно опертый M'poi,
i i
JPhc. 7.14.
установить взаимосвязь между которыми бьшо бы трудно. К сча-
счастью, было обнаружено, что, по крайней мере для исследованной
области, графики зависимостей параметра нагрузки Р от соот-
соответствующих значений {xJE)iR/Wh) ={xyR/(.Eh)]/l/UR/h прак-
практически сливаются в одну кривую для всех значений парамет-
параметров y и rJi/(Eh). Эти кривые представлены на рис. 7.14, а, по-
полученном в работе2) автора. Сходные по характеру кривые,
относящиеся к потере устойчивости в упругой области, можно
') См. упомянутые ла с. 519 работы автора.
*) См. статью автора, упомянутую на с. 519.
S 7.4] ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУНЕНИИ . 527
включить сюда, построив кривые XyR/iEh) = 1/2, которые будут
практически совпадать с кривыми, относящимися к потере устой-
устойчивости в упругой области, как это модено видеть на рис. 7.13,6,
при ^ = 9,7. Точки зависимости параметра нагрузки Р от пара-
параметра (Tv/E)l/R/Wh) в случае свободно опертых краев не ло-
ложатся так близко к соответствующей кривой, как это имеет ме-
место в случае защемления, но они располагаются с максимальным
отклонением" примерно ±10% от значения параметра Р и, по-
видимому, обе кривые на рис. 7.14,а дают удовлетворительную
картину сопротивления тонких цилиндрических оболочек нагру-
жению внешним давлением для обоих случаев краевых условий,
что можно было ожидать, принимая во внимание неопределён-
неопределённости, свойственные реальным цилиндрическим оболочкам е на-
начальными прогибами.
На рис. 7.14, б представлены аналогичные рис. 7.14, а зависи-
зависимости с той разницей, что графики представляют зависимости
параметра нагрузки Р от параметра (%v/E)llR/\h для различных
значений параметра U, там же светлыми кружочками нанесены
результаты экспериментов, взятых из рис. 7.12. Как можно ви-
видеть, для достижения соответствия с результатами Эксперимен-
Экспериментов требуется задавать значения параметра U в диапазоне от
0,0001 до 0,0008, что согласуется с тем, что было получено при
исследовании продольно сжатых стержней и цилиндрических
оболочек.
§ 7.4. Выпучивание тонкостенных цилиндрических
оболочек при кручении
Введение. Как уже упоминалось в начале последнего раздела,
рассматриваемый в этом параграфе случай аналогичен случаю
цилиндрической оболочки при окружном обжатии, так как в
обоих случаях образующиеся при потере устойчивости волны
распространяются от одного края оболочки до другого и услози-
ями на краях нельзя пренебрегать. В обоих указанных случаях
число п волн в окружном направлении велико для цилиндриче-
цилиндрической формы коротких оболочек и оболочек средней длины; это
число уменьшается ири увеличении, длины и принимает свое
минимальное значение п = 2 только для—очень длинных труб.
Так же, как и в_ предыдущем случае, из рис. 7.2 видно, что
приближенное. уравнение F.34) __(которое первоначально было
получено для исследования потери устойчивости при кручении)
дает превосходное приближение всюду, за исключением предель-
предельного случая п = 2, где значения критического напряжения за-
завышаются примерно на 13.%.
Вследствие образования в цилиндрической оболочке спираль-
спиральных волн, краевые условия уже не удается удовлетворить таким
простым способом, как зто можно было сделать при получении
528 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
решения G.46) в классической постановке задачи устойчивости
продольно сжатой цилиндрической оболочки и решений G.86)
и G.8г) (см. рис. 7.12) для цилиндрических оболочек при боко-
боковом обжатии. В дальнейшем изложение будет сначала следовать
опубликованной автором в 1933 г. работе'), в которой впервые
было получено удовлетворительное общее решение этой задачи,
основанное на уравнениях F.34) и (б.ЗЗв); в случае п = 2 это
решение будет уточнено путем использования уравнения F.36).
Устойчивость идеальных тонкостенных цилиндрических обо-
оболочек при кручении. При докритическом состоянии нагружения
предполагается, что в тонкостенных цилиндрических оболочках
касательные напряжения равномерно распределены по попереч-
поперечным сечениям оболочки и равны о^ = T/BnR2h), где Т — кру-
крутящий момент, приложенный к цилиндрической оболочке. Когда
достигается критическое значение напряжения, получаем axv =
= S — — Fxy/h, где сила F*,,'определяется из уравнения F.27г)
(знак минус не имеет принципиального значения в этом случае,
его использование обусловлено различием между введенным пра-
правилом знаков здесь и тем, что было использовано в работе
1933 г.).
Для критического состояния нагружения будут использовать-
использоваться следующие обозначения:
л — (\ — v2^ — — В — V\ — v2 — — И — у i — "' ^!_
л-{1 у ) Е 2 , а - у 1 v E h , п - 2 Rh,
(
Поместив, как и ранее, начало координат в середину пролета
цилиндрической оболочки, зададим перемещение в виде
W = 2 Wm COS ^ \yY X
m
2 л . п l^-m
Um sin -5- \-г
где /г — целое число, Ят — число, которое может быть комплекс-
комплексным. Однако проверкой убеждаемся, что важные для использо-
использования значения Я являются действительными числами, а величи-
величина Хт/к представляет собой тангенс угла наклона спирали (или
') См. статью автора, упомянутую при обсуждении уравнения F.34)
на с. ,461.
§ 7.4] ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ 529
приближенно сам угол), который соответствующая составляющая
компонента перемещения, возникающего при потере устойчиво-
устойчивости, составляет с осью оболочки.
Из экспериментов,' а также из точного решения для длинных
плоских полос, при действии чистого сдвига1), что является пре-
предельным случаем для цилиндрических оболочек при кручении,
когда их длина стремится к нулю; известно, что угол наклона
образующихся при кручении прогибов имеет максимальное зна-
значение, равное примерно 45° для очень коротких труб, и быстро
падает при увеличении длины. Эксперименты, а также резуль-
результаты, следующие из приведенного ниже решения (см.
рис. 7.17,6), указывают на то, что все величины Хт/к являются
достаточно малыми, чтобы можно было пренебречь их квадра-
квадратами по сравнению с единицей, не делая при этом серьезной
ошибки для всех, за исключением очень коротких, цилиндриче-
цилиндрических оболочек. Это обстоятельство лежит в основе тех упроще-
упрощений, которые в значительной степени уменьшают работу, свя-
связанную с проведением вычислений, в противном случае она была
бы практически невыполнимой, так как во время выполнения
этого исследования было бесполезно рассчитывать на помощь
ЭВМ.
Подставляя представление G.106) в уравнения F.34) и
(б.ЗЗв), получаем, что для того, чтобы эти представления могли
удовлетворять указанным уравнениям для всех значений жиг/,
должны выполняться следующие соотношения для каждого зна-
значения т:
/с8 A-+ хЪ/к*J + з/ f . )\*т = 6АУ>Хт, G.10в)
V1 + Кт/к I
Если.в выражении G.10г) пренебречь величиной hm/к2 по
сравнению с единицей, получим упрощенные выражения для
UmVlVm
Ошибка, обусловленная введением такой аппроксимации, равна
нулю, когда L/R = 0, так как в таком крайнем случае п стре-
стремится к бесконечности, a U'm и Vm становятся равными нулю;
к такому же выводу можно было бы прийти, заметив, что в по-
подобном крайнем случае цилиндрическая оболочка превращается в
') Southwell R. V., Skan S. W. On the stability under shearing
forces of a flat elastic strip.— Proc. Roy. Soc, 1924, v. A105, № A733, pp. 582—
607.
530 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
плоскую полосу. Ошибка также будет пренебрежимо мала и в
другом крайнем случае; когда L/R -*¦ °°, так как при этом вели-
величина %т/к становится весьма малой. Ошибка будет также мала и
для любого промежуточного случая, поскольку, когда величина
Хт/к не мала по сравнению с единицей^ принимает большие значе^
ния величина п, лоэтому Um и Vm становятся мало значащими ве-
величинами. Например, когда L/R = 2, ошибка по величине V- со-
составляет примерно 3%, а по Um — примерно 14%, но исследова-
исследование окончательных результатов показывает, что при этом величина
Vm играет мало заметную роль (становясь существенной только
тогда, когда отношение L/R велико)", тогда как величина Um, как
правило, несущественна! Поэтому выражения G.10д) можно ис-
использовать для всего диапазона значений, принимаемых Um и
Vm, не делая при этом серьезной ошибки.
Упрощение соотношения G.40в) является несколько более
сложным делом, но его можно выполнить различными способа-
способами. Простейшее состоит, разумеется, в том, чтобы попросту пре-
пренебречь значениями ^т/&2 по сравнению с единицей; в резуль-
результате получаем следующее соотношение:
.Я*, - 2nsBJXm + п«Л/3 = 0. G.10е)
Оно дает очень неважную аппроксимацию в случае весьма корот-
коротких труб, когда' Хщ/к2 не слишком мало по сравнению с едини-
единицей, но является прекрасной аппроксимацией для длинных труб
и труб средней длины, й отсюда ^ожно получить большую часть
результатов, относящихся к области, представляющей практиче-
практический интерес.
Для случая более коротких цилиндрических оболочек можно
получить вполне удовлетворительную аппроксимацию,, взяв
. #/A + *V*') = #', _G.10ж)
где Н' при отыскании решения полагается не зависящим от
Я™. В результате находим ~ _ " ;
* (ki + 3H'2)^n + 2ke^a-6ABXm + ks = 0. ." G.10з)
Ошибка, вносимая таким допущением, равна нулю при
L/R — 0, так как при этом Н — 0 (ошибка также очень мала при
L/R -*- <», когда очень мала величина кт/к). Для промежуточных
случаев соотношение G.10а) дает, исключительно хорошее пер-
первое приближение, поскольку, когда ошибка, возникающая вслед-
вследствие пренебрежения величиной Хт/к, очен& велика, величина Н
очень мала и не является существенной-. Однако, когда это по-
потребуется, можно получить значительно более подходящее при-
приближение, взяв Н = Я'A +Xm/&2)i где Ят/й2 берется как сред-
средневзвешенное значений Кп/кг, найденных с помощью первого
§ 7.4] ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ 531
приближения. Воспользовавшись этим, найдем, что значение А
(а следовательно, и 5), найденное для данного значения Н с по-
помощью второго приближения для той области, где две аппрокси-
аппроксимации наиболее отличаются друг от друга (т. е. при Н« 10),
примерно на. 20% меньше тех, что получаются из первого при-
приближения; отсюда следует, что если обычный жизненный опыт
является достаточно надежным, то ошибка второго приближения
не превысит нескольких процентов, что и подтверждается экс-
экспериментами. __
Краевые условия. Оба уравнения G.10е) и G.10з) имеют чет-
четвертый порядок относительно Л,т, поэтому они имеют четыре
корня для любой комбинации значений параметров Н или / (эти
параметры всегда являются известными величинами), а также
п или к, А или В (которые являются неизвестными). Для того
чтобы удовлетворить уравнениям G.10д), G.10е) или G.10з) и
заданным условиям, надо найти четыре аначения %т и соответ-
соответствующие значения Wm, Um.n Vm, в результате найдем необходи-
необходимое соотношение между п или к, А или В, а также Н или J.
Как уже говорилось ранее, имеется возможность удовлетворить
двум изгибным и двум мембранным условиям на всех краях.
Условия на продольных поперечных сечениях заменяются усло-
условиями сплошности, которые выполняются автоматически, .так
как перемещения задаются в виде периодических в окружном
направлении функций. Краевые условия п"ри х = ± L/2 имеют вид
w = 0, -г- = 0 (защемленный край),
n aV . >ш п ' . .. (
w = 0, —г ~г v—о- = 0 (свободно опертый край).
дх ду
Кроне того, в обоих случаях имеем v = 0, и = 0.
Подставляя в эти краевые условия представление G.106) для
перемещений и и v, а также прогиба w и формулы G.10д) для
Um и Vm, упрощая получающиеся соотношения настолько, на-
насколько это возможно, путем деления на общие множители и
приведения подобных членов, с помощью тригонометрических
формул для синусов и косинусов суммы двух углов найдем, что
все условия, кроме мало значительного условий и = 0 для сво-
свободно опертых краев, можно-удовлетворить для всех значений у,
если взять
^jWmlm sin %m = 0, 2 Wmhn cos %m = 0 (защемленные края),
т га -
2 Wmtfm sin km = 0, 2iWmfmcos%m = 0 (свободно-опер- GЛ0к)
т т тые края).
532 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
Р. Саутуэлл и С. Скан1) получили такие же краевые условия
для предельного случая — плоской полосы при чистом сдвиге —
и показали, что им можно удовлетворить, если четыре корня Ят
связаны следующими соотношениями:
(Ях — Я2) (Я3 — Я4) sin (Ях — Я3) sin (Я2 — Я4) =
= <ЯХ — Я3) (Я2 — Я4) sin (Ях — Я2) sin (Я3 — Я4) (защемленные края),
(Ях — Яг) (Я| — Я4) sin (Ях — Я3) sin (Я2 — Я4) = G.10л)
= (Я? — Я3) (Я2 — Я4) sin (Ях — Я2) sin (Я3 — Я4) (свободно
опертые края).
Проверкой убеждаемся, что в случае плоской полосы четыре
корня Ят можно записать в следующем виде:
Я4=*а + Ь, Я2 = а —Ь, Я3 = — а + гс, Я4 = — а — гс, G.10м)
где a, b и с положительные действительные числа, г2 = -г-1. Под-
Подставляя выражения G.10м) в краевые условия G.10л) и исполь-
используя хорошо известные соотношения между тригонометрическими
и гиперболическими функциями, запишем:
4а2 = Ь2 — с2 + „¦.-,,. (защемленные края), G.10н)
4а2 = . — \гг (свободно опертые края), G.10о)
2 2 лОС
b "~с ~ N tg 2b
где величину N =th 2с/[1 — cos 4a/(cos 2b ch 2c)] можно положить
равной единице для тех значений a, b и с, которые, как убеж-
убеждаемся проверкой, нам необходимо рассматривать.
Общее уравнение, корнями которого являются выражения
G.10м), имеет вид
[Ят - (а + Ь)] [km - (а - Ь)] ГЯт - (-а + гс)] [km - (-а - гс)] = 0
или
Х4 - Bа2 + Ь2 - с2) Xi - 2а (Ь2 + с2) Яст + (а2 - Ь2) (а2 + с2) = 0.
G.10п)
Приравнивая коэффициенты этого уравнения коэффициентам
уравнения G.10е), полученного из рассмотрения условий равно-
равновесия и являющегося хорошей аппроксимацией для длинных и
средней длины цилиндрических оболочек, найдем
2а + Ь2 - сг = 0, а(Ь2 + с2) = пьВ],
3BЬ2)B + 2)8/2 ' Р
') См. их статью, упоминавшуюся при обсуждении уравнения G.106)
па с. 529.
§ 7.4]
ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ
533
Теперь с помощью соотношений G.Юр) и G.Юн) или G.10о)
легко исключить параметры а, Ь и с аналитическим или графи-
графическим путем и получить системы соответствующих значений
п'Р и nbBJ, например, типа представленных в верхней части
таблицы 7.1. Отсюда для любого из значений п = 2, 3, 4, ...
можно вычислить соответствующие значения / и В.
Таблица 7.1
а
ь
' С
Защемленные края
2,75
4,10
5,62
7,36
1,728
1,669
1,641
1,623
4,25
6,03
8,13
' 10,54
Свободно
2,16
3,21
3,81
5,17
1,342
1,391
1,414
1,449
а
3,33
4,74
5,57
7,44
b
с
348
2 236
8 442
25 620
n'BJ
B/J1'*
57,7
160,6
387
839
опертые края
135
822
1 707
6 046
k
Защемленные края
1,977 •
2,03
2,14
2,47 -
2,91 ¦
3,53
3,86
1,804
1,796
1,781
1,751
¦ 1,721
1,691
1,678
¦ 4,334
4,52
4,81
5,22
5,59
5,95
6,06
1,96
2,18
2,71
4,40
6,21
10,92
17^60
•
27,8
78,3
125,7
297
Я'
Я
0,67
2,58
13,0
53,6
377
2180
0
1,69
5,30
20,1
69,5
426
2300
Свободно опертые края
1,445
1,53
1,70
2,15
2,56
2,94
1,383
1,390
1,395
1,404
1,404
1,410
2,977
3,16
3,43
4,06
4,46
4,72
1,18
1,73
2,61
4,63
7,11
11,60
1,52
6,07
33,1
131
726
0
3,69
10,38
43,6
153
783
1,49
1,293
1,36
1,47
1,29
1,182
1,20
1,29
А
7,39
7,73
9,47
17,04
36,3
128
440
4,40
6,22
10,06
23,3
55,3
180
На рис. 7.15, взятом из работы автора'), представлены указан-
указанные зависимости между параметром В (который определяет кри-
") Donne 11 L. H. Stability of thin-walled tubes under torsion.—NASA,
Rept, 1933, № 479; русск. перевод: Доннелл Л. X. Устойчивость тонко-
тонкостенных труб при кручении.— В кн.: Прочность и устойчивость конструк-
конструкций в самолетостроении.— М.: ЦАГИ, 1937, с. 29—57.
534
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
тическое напряжение S) и параметром /, представленном на ло-
логарифмической шкале для нескольких значений га. Практическое
значение имеет только тот участок каждой кривой, который ле-
лежит ниже других кривых, т. е." участок, заключенный между
¦смежными кривыми; он характеризует наинизшее значение кри-
критического напряжения, при котором возможно равновесие в вы-
выпученном состоянии. В каждой области, охватываемой таким
участком кривой, потеря устойчивости теоретически происходит
•с соответствующим каждому такому участку числом волн.
Сбою,
оперты,
¦ крой
Точная теория
а- •¦•¦ еФ-ла G.70т)
Эксперименты адтара:
числа указывают
количество воли
..-¦ "Формула Е.Шберина
(v-цЗ, t/p-мало;
7. 2 3 ч 6 8 №
Рис. 7.15.
Кривые, полученные указанным способом для п = 3, 4, 5 и б,
показаны сплошными линиями, а кривые для п = 2 — Штрихо-
Штриховыми линиями. Как уже говорилось в начале этого раздела, се-
¦отношения G.10р) получены с помощью уравнения F.34) и яв-
являются не очень точными при п — 2. Если провести все те же
рассуждения, взяв вместо уравнения F.34) уравнение F.36), то
получим соотношения, аналогичные GЛ0р), за исключением того,
что во втором соотношении пъВ] заменяется на (пъ — п?)В1, а
в третьем соотношении член п8/2 заменяется на, (га8 — 2п° + га*)/2.
С учётом указанных уточнений получены изображенные сплош-
сплошными линиями кривые для га = 2, которые, как уже упоминалось
^ыше, дают значения для В, а отсюда и для критического напря-
напряжения S, примерно на 13% ниже тех, что получаются с помощью
менее точных соотношений G.Юр). Эти модифицированные со-
соотношения можно, разумеется, использовать и для других зна-
значений га, но получаемые результаты изменятся ненамного, даже
в случае га = 3.
Как видно из рис. 7.15, для очень больших значений /, ска-
скажем / > 20, кривые, соответствующие двум типам: краевых ус-
g 7.4] ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ 535
ловий, сливаются в одну, асимптотически стремящуюся к пря-
прямой линии. Уравнение этой линии можно получить различными
способами, например из условия, что при увеличении / неогра-
неограниченно увеличиваются а и с, тогда как величина b стремится -
к значению л/2. Отсюда, согласно соотношениям G.10р) в преде-
пределе получаем с2 = 2а2. Используя это соотношение, из второго и
третьего модифицированных соотношений, пренебрегая величиной
Ь по сравнению с а, находим
2а3 = Ы* - u3)BJ, 9а* = Ы' - 2п* + п4)/2.
Возведя первое соотношение в степень 3/4 и разделив его, для
исключения" а, на второе соотношение, получим, положив л =2,
что результирующее соотношение можно представить в вид&
следующей формулы:
(J (для/>20), G.10с)
которая практически совпадает с формулой, полученной для это-
этого случая Е. Шверином') в 1924 г. и представленной на рис. 7.1S
пунктирной прямой.
На рис. 7.15 приводится дюжина или около того эксперимен-'
тальных точек. Они €ыли получены на цилиндрических оболоч-
оболочках с защемленными краями; цифры, стоящие при этих, точках,,
соответствуют наблюдаемым числам волн, образовавшихся при
потере устойчивости. Можно видеть, что полученные в экспери-
экспериментах значения критических нагрузок в среднем примерно на
10% меньше получаемых из теоретических решений, что свиде-
свидетельствует в несколько большем влиянии начальных прогибов,,
чем это имело место в случаях продольного вжатия или бокового
давления. Число. волн в окружном направлении, наблюдаемое в*
экспериментах, довольно хорошо соответствует тому, что пред-
предсказывается теорией.
В левой части представленного на рис. 7.15 графика, где
малы значения параметра /, а число п принимает свои наиболь-
наибольшие значения, волнистые линии представляют собой нижние-
участки кривых для различных значений чисел п и практически
совпадают с пунктирными линиями de, являющимися огибающи-
огибающими волнистых линий. Этими огибающими можно, не совершая*
большой ошибки, пользоваться для определения критического'
напряжения при / < 1/2 или П > 3. Уравнения этих огибающих
можно найти, выбирая такие значения чисел п, которые бы соот-
соответствовали минимальным значениям функции S или В, не об-
') Schwerin E. Die Torsionsstabilitat des dunftwandingen Rohres.—
Proc. 1st Internat. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924.— Delft: Technische Bock-
handel en Drukkarij J. Waltman, 1925, SS. 255—265; Z. angew Math. und>
Mech., 1925, Bd 5, № 3, SS. 235—24a
536 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ ' [ГЛ. 7
ращая внимания на то, что теоретически число п должно при-
принимать только целые значения. ,
Эти уравнения можно легко получить, используя приведен-
приведенные в таблице 7.1 значения для п^ВЛЫ'РУ" = ВИик. Построив
зависимость последнего параметра от га8/2, получим, что мини-
минимальное значение параметр B/Jl/i, а отсюда и В или S для лю-
любых значений /, принимает при га8/2 = 2236 (для защемленных
краев) или га8/2 = 822 (свободно опертые края), его значения при
этом равны соответственно 1,293 и 1,182. Отсюда следует, что
наименьшие критическая нагрузка и соответствующее ей число
волн в окружном направлении находятся из следующих соот-
соотношений:
В = l,293/t/4, n = 2236t/8//t/4 = 2,62//J/t (защемленные края),
G.10т)
В = 1,182/4/\ п = 822"8//'/4 = 2,31//J/t (свободно опертые края).
Для того чтобы полностью охватить область, к которой отно-
относятся как короткие цилиндрические оболочки, так и цилиндриче-
цилиндрические оболочки средней длины, необходимо использовать различ-
различные переменные. Умножив приведенные выше выражения для
В на VI —vzL/h и для п на L/2R, получим соотношения G.10т)
в следующем виде:
Л = 1,293 Я3", k = 2,62Hl/i (защемленные края, ,,',
А = 1,182 #3/\ к =* 2,31 Я'/4 (свободно опертые края).
Эти соотношения . использовались для построения правых
участков кривых, представленных ниже на рис. 7.17, а и 7.17, в.
Для того чтобы эти графики можно было применять для более
коротких цилиндрических оболочек, следует вместо уравнения
G.10е) использовать уравнения G.10ж) "и G.10з).
Поступая точно так же, как и выше, приравняв коэффициен-
коэффициенты при соответствующих членах уравнений G.10п) и G.10з),
поделенные на (&4 -\-ЗН' ), получим следующие уравнения для
определения параметров a, b и с:
2а2 + Ь2 - с2 = - , 2fc ,, а (Ь2 + с2) = ^ ,,
¦ к+Ж к+Ш G.10ф)
Теперь надо из этих уравнений, используя один из видов крае-
краевых условий G.10н) и G.10о), исключить параметры a, b и с и
получить необходимые соотношения относительно к, Н' и А.
В данном случае это будет труднее сделать, чем в предыдущем
случае, где использовалось уравнение G.10е). Частные4 соотно-
§ ?-41 . ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ '537
/
шения между этими параметрами были найдены следующим
образом.
В первом приближении значениями параметров b и с зада-
задаются, после»чего параметр а определяется из условия (у.Юн) или
G.10о). Затем из уравнения, получаемого делением третьего из
соотношений G.10ф) на первое, находим параметр к'; далее из
первого соотношения определяется параметр- Н', из второго А.
Для получения второго приближения из уравнения G.10ж) опре-
определяется величина Н, при этом используются средневзвешенные
значения %т/к2, найденные с помощью параметров a, b и с,
вычисленных в первом приближении. Проверкой убеждаемся, что
члены, содержащие А3 и Я4, очень малы по сравнению с членами,
содержащими Ki и Я2, так что мы сделаем ошибку в один процент
или около того, если отбросим указанные члены и возьмем
G.10х)
В результате получаются соответствующие значения А и Н,
удовлетворяющие уравнениям равновесия и краевым условиям и,
таким образом, характеризующие возможные формы потери ус-
устойчивости. Но первоначальный выбор параметров b и с основы-
основывался на догадке, поэтому для различных значений этих пара-
параметров можно получать все более низкие значения А и, следо-
следовательно, S для одного и того же значения Н. Поэтому требу-
требуется находить такие значения b и с, которые соответствовали бы
найнизшим значениям А для каждого значения параметра Н.
Если попытаться подбирать значения b и с вслепую, то задача
оказалась бы Очень трудной, так как для них существует только
узкая область изменения, которой соответствовали бы действи-
действительные значения параметров а, к, А и Н. ^
К счастью, зам известны значения b и с для крайних случа-
случаев, когда Н = 0 — решение, которое получили Р. Саутуэлл и
С. Скан для плоского листа при сдвиге, и Н¦-*¦ °° — решение, по-
полученное нами и приведенное выше. Этим случаям соответству-
соответствуют точки р и q на рис. 7.16, взятом из работы автора '). Необхо-
Необходимые значения b и с, относящиеся к промежуточным значениям
Н, располагаются, очевидно, на кривых, соединяющих точки р и
q. Путем проверки нескольких лежащих в области между точ-
точками р и q точек, нанося результат^ на график 7.17, а, изобра-
изображающий зависимость критического напряжения для цилиндри-
цилиндрической оболочки при кручении от параметра геометрии Н, гра-
графическим путем получаем кривые, представленные на рис. 7.16;
изображенные на них точки соответствуют точкам, лежащим вы-
выше сплошных и штриховых линий.
!) См. статью автора, упомянутую на с. 461.
35 Л. Г. Доннелл
538
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ( 7
Значения найденных таким путем величин а, Ь, с, к, Н', Й и
А приводятся в нижней половине таблицы 7.1 и изображаются
на рис. 7.17. На рис. 7.17,6 изображена зависимость угла 6-на-
6-наклона образующихся при потере устойчивости волн от параметра
Н геометрии оболочки, на рис. 7.17, в — зависимость параметра
к, характеризующего число образующихся при потере устойчи-
устойчивости волн, от того же парамет-
параметра Н. Приближенные значения
: угла 0, который составляют с осью
-оболочки образующиеся при
потере устойчивости волны, нахо-
находятся по формуле
0 s» arctg ¦
42-
3,6
—
Точни, найденные
чиспенным путем
piH-0
7,36
1,71'. 7,80'
Рис. 7.16.
G.10Д)
На этом же. рисунке черными
точками изображены эксперимен-
экспериментальные результаты для метал-
металлических цилиндрических оболо-
оболочек, которые были опубликованы
к моменту написания этой
книги; все они относятся к слу-
случаю оболочки с защемленными краями. Как можно видеть, клас-
классическая теория устойчивости хорошо предсказывает формы про-
прогибов, по которым выпучиваются оболочки, и общую тенденцию
зависимости критических напряжений, которая очень хорошо, про-
прослеживается для широкого диапазона изменений размеров, про-.
порций и материалов, имевших место в экспериментах, результа-
результаты которых здесь представлены, но экспериментальные значения
критических напряжений постоянно лежат ниже тех, что~ следуют
из классической теории устойчивости, отличаясь минимально на
40% и максимально почти.на 100% от теоретических значений.
Для объяснения подобного расхождения; необходимо рассмотреть
начальные прогибы.
Сопоставление критических напряжении, получаемых в клас-
классической постановке, при различных условиях нагружения. Преж-
Прежде- чем приступить к рассматриваемому вопросу, отметим, что
критические напряжения, получаемые в классической постановке
задачи устойчивости для трех основных елучаев: осевого сжа-
сжатия, бокового давления и кручения, можно непосредственно срав-
сравнивать, построив, как это показано на рис. 7.18, зависимости
безразмерного критического напряжения oli/iEh) от параметра
геометрии оболочки *( = L/1/Rh, где о — критическое, напряжение
для каждого из указанных случаев. Видимые из подобного со-
сопоставления различия могут быть легко и убедительно объясне-
объяснены различным влиянием в этих трех случаях двух главных
§7.4]
ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ
539
Эвщемленные края
Свободно опертые нрая
Первое приблитете Зля
защемленных нраев
• Эксперимент,
защемленные
И I III I ' 1 I I » I I ll I I I I I i 111 I I ! I
IRh
540 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
стабилизирующих факторов: 1) кривизны, 2) закреплений, не до-
допускающих возникновения прогибов, *а отсюда и образования
волн. Для длинных цилиндрических оболЪчек влияние закрепле-
закрепления на краях несущественно, и главным фактором является кри-
кривизна. В случае осевого сжатия полностью используется стаби-
стабилизирующее влияние кривизны стен-
стенки цилиндрической оболочки, в чем
легко убедиться, сравнив сопро-
сопротивление выпучиванию при про-
продольном сжатии скрученного листа
бумаги с сопротивлением плоского
листа. Кривизна имеет незначитель-
незначительное или не столь важное стабилизи-
стабилизирующее влияние в случае выпучива-
выпучивания при боковом давлении — длин-
- ный лист бумаги противодействует
волнообразованию в окружном на-
направлении в скрученном состоянии
не лучше, чем до скручивания. Вы-
Рис. 7.18. пучивание при сдвиге является про-
промежуточным между указанными дву-
двумя случаями; волны располагаются под острым к оси углом, и по-
поэтому кривизна оказывает свое влияние только частично.
Для коротких цилиндрических оболочек влияние закрепле-
закрепления на краях оказывается очень существенным в двух случаях —
выпучивание с образованием волн в окружном направлении и
выпучивание при сдвиге, поскольку эти волны простираются от
одного края оболочки до другого, и, таким образом, на них ока-
оказывают значительное влияние условия закрепления относительно
прогибов на краях. С другой стороны, как уже обсуждалось ра-
ранее, условие закрепления на краях мало сказывается в случае
выпучивания при продольном сжатии (за исключением случая
очень короткой цилиндрической оболочки, который здесь не рас-
рассматривается); по длине оболочки прогибы равны нулю во вся-
всяком случае в каждом узле.
Определение критических напряжений при кручении цилинд-
цилиндрических оболочек с начальными прогибами. Эта задача иссле-
исследовалась Ц. Лу '), -который использовал методы, в какой-то мере
близкие тем, что были описаны в двух предыдущих разделах,
') Loo Т. Т. Effects of large deflections and imperfections of the elastic
buckling of cylinders under torsion and axial compression.— Proc. 2nd
U. S. Nat. Congr. of Appl. Mech., Ann. Arbor, Mich., 1954.—New York, 1955,
pp. 345—357; русск. перевод: Л у Цзу-дао. Влияние больших перемещений
и несовершенств образца на потерю устойчивости в упругой зоне цилинд-
цилиндров при кручении и осевом сжатии.— В сб. перев. иностр. статей: Вопросы
прочности цилиндрических оболочек.— М.: Оборонгиз, 1960, с. 218—241. Эта
работа была представлена автором в качестве докторской диссертации в
Иллинойсском технологическом институте в 1952 г.
§ 7.4] . ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ " 541
посвященных случаям осевого сжатия и бокового равномерного
давления.
В рассматриваемой работе прогиб задавался в следующем ви-
виде (выбор начала координат и обозначений аналогичен использо-
использовавшимся ранее):
= ah I cos p;Vjx + г/j cos ^ + 6cos-^- . G.11a)
W —
Начальный прогиб был взят с амплитудой w0 — (ao/a)w. В пред-
представлении G.11а) использовалась также и постоянная состав-
составляющая, аналогичная d в представлении G.4в), но это слагае-
слагаемое обращалось в нуль при дифференцировании и не влияло на
получаемые результаты. Полагая Яо ¦= 0, это представление мож-
можно также применять и в случае осевого сжатия цилиндрической
оболочки, так как оно близко к представлению G.4в), за исклю-
исключением последнего сравнительно малосущественного члена, про-
пропорционального с.
Как и- в предыдущих исследованиях цилиндрических оболочек
с начальными прогибами по теории конечных прогибов, представ-
представление G.11а) подставлялось в уравнения F.31к), где полага-
полагалось Ь = 1/Д, это уравнение интегрировалось, и из него опреде-
определялась функция мембранных напряжений ф, при этом использо-
использовалось решение — Sxy (или —ог/72 в. случае задачи о продольном
сжатии) однородного уравнения. Полученное в результате вы-
выражение для функции ф и представление G.11а) для прогиба w
подставляются .затем в выражения D.70) и D.71) для энергии
деформации, откуда, так же как и в ранее обсуждавшихся слу-
случаях, с помощью принципа возможной работы определяются не-
неизвестные а, п, Хо и Ъ.
Однако, для того чтобы уменьшить значительные математи-
математические трудности, встречающиеся при решении получающихся
в результате четырех нелинейных уравнений, было сделано уп-
упрощающее предположение, что параметр Ао/А: (который, очевид-
очевидно, представляет собой тангенс угла 0 наклона волн, образующихся
при деформациях, а следовательно, этот параметр рацен самому
углу 0) и число п волн имеют те же значения, что и опре-
определяемые в рамках классической теории устойчивости. Эти зна-
значения для цилиндрических оболочек как длинных, так и средней
длины, т. е. таких оболочек> которые и использовались в боль-
большей части экспериментов, задаются правыми участками кривых,
представленных на рис. 7.17, б и 7.17, в. Используя данные для
случая защемленных по краям цилиндрических оболочек (что со-
соответствует условиям, реализующимся -в экспериментах, хотя
представление G.11а) для прогиба w удовлетворяет только одному
наиболее важному среди остальных краевому условию w = 0),
542 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
с учетом G.10у) найдем
n = E,24R/L)#1/4, %Jk « 9 = 1,44/Я1/4. G.116)
При использовании принципа возможной работы с целью оп-
определения остальных неизвестных а и Ъ работа внешних сил
считается, как и в двух предыдущих случаях, равной нулю, так
как' кручение или относительный поворот концов цилиндриче-
цилиндрической оболочки полагается постоянной величиной относительно
этих неизвестных. Угол'закручивания равен (dv/дх + dn/dy)L/R.
Us третьего выражения F.31и) получаем
^_,д^ 2(Г+у) д\ „ dw dw П \\ъ\
дх ~^ ду ~~ Е дхду д* ду ' \1-Л*.в)
Подставляя представление G-На) для прогиба w и найденное вы-
ражевие для функции ф в это-соотношение, используя тригоно-
тригонометрические формулы для получающихся в результате произве-
произведений тригонометрических функций и отбрасывая периодические
члены, которые не влияют на среднее значение величины
{ди/ду + dv/дх), которую обозначим через ^ху, запишем соотноше-
соотношение G.11в) с учетом обозначения ?/2A +v) = & в следующем
виде:
Подставляя это выражение для S, выражения G.116) для п
и Яо, а также выражение К=1 + 2ао/а в выражение для энергии
деформации е и полагая де/да = 0, дг/db = 0 (считая "f*«> а сле-
следовательно, и кручение постоянными), можем исключить пара-
параметры а и Ъ из двух полученных в результате уравнений. Таким
путем для нескольких значений параметра L2/(Rh) были найдены
соответствующие им значения (S/G)(Lz/h2), ^xy(L2/h2) и а0.
Указанные результаты для L2/{Rh) =я 20 представлены на
рис. 7.19, а (рис. 7.19 взят из статьи1) Ц. Лу). Как можно видеть,
сопротивление оболочки возрастает постепенно, так что чисто
' упругой потери устойчивости не происходит. Для указанного,
а также для других значений параметра L2J{Rh) выпучивание"
может, разумеется, начаться появлением пластических деформа-
деформаций, но этот случай не был рассмотрен Ц. Лу, что не так уж и
важно, поскольку большая часть из использовавшихся в экспе-
экспериментах образцах имела более высокие значения параметра
L2/(Rh) и, по-видимому, они теряли устойчивость в упругой об-
области. На рис. 7.19, б кривые, построенные для случая L2/(Rh) =
= 200, демонстрируют наличие максимума при <хо<О,1; анало-
аналогичные результаты были получены и для более высоких значе-
') См. сноску на с. 540.
§ 7.4]
ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ
543
ний W(Rh). На рис. 7.20, взятом из упомянутой статьи Ц. Лу,
темными кружочками представлены максимальные (peak) значе-
значения (S/G)(L2/hz), которые были получены для различных значе-
значений Lz/(Rh) и а0, штрихввыми линиями, изображены зависимости,
соответствующие эмпирической формуле, которая приближенно
Йг
,SL
/30
w
110
no
г ао=О
1//om~
III ,
¦—.
.—-—
г
I
100
150 L7 . ZOO
¦ sj
Рис. 7.19.
отражает» полученные результаты (безразмерное критическое
напряжение 8С1 = ЕЪ,гА/{\—чг)Ьг связано с параметром L2/{Rh)
зависимостью, представленной на рис. 7.17, а):
1 — -—-={,{kao(L2IRh) ¦ - . G.11д)
К сожалению, эти результаты нельзя непосредственно сопо-
сопоставить с теми, которые приведены в двух предыдущих разделах,
посвященных рассмотрению
случаев продольного сжатия и
бокового давления, так как
Ц. Лу использовал для опреде-
определения параметра а„ не форму-
формулу G.56), которая применялась
в остальных случаях, а иную
формулу
, = Un\ „ *Л.. Г. G.11е)
1,0,
0,6
о,"
-*-. гатоа
WOO-
Ф-лаA.11д) "'
а„-
Рис. 7.20.
Однако некоторые сопоставления можно сделать, исходя из
того обстоятельства, что случай продольного сжатия цилиндри-
цилиндрической оболочки также был рассмотрен Ц. Лу, "если' в представ-
представлении GЛ1а) положить. Яо = 0 и воспользоваться такими же ме-
методами, как и те, что применялись в изложенном выше 'случае
кручения. Для задачи о продольном сжатии им было получено,
544
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
Область
1,OV экспериментальных
\,' ~ ~ - - значений
0,8
0,5
0,"
О
Ц.Лу, 1/0=0,00005"
_|
8 70
Рис. 7.21.
что кривая, построенная для Uo = 0,00005, лежала близко к кри-
'вой, представленной на рис. 7.10 с U = 0,0001, а для значения
Uo = 0,00005 он получил кривую, показаннудо на рис. 7.21 ') и
относящуюся к случаю потери устойчивости при кручении. Если
считать, что эта же кривая может
быть отнесена и к случаю С/ = 0,0001,
то можно видеть, что, как следует
из работы Ц. Лу, для объяснения
результатов экспериментов на ус-
устойчивость в случае кручения дос-
достаточно введения даже несколько
меньших по величине начальных про-
прогибов, чем это требуется в других
случаях. Какой бы ни была причина
указанного расхождения в теорети-
теоретических результатах, очевидно, что из-
изложенные выше, общие методы ис-
исследования влияния начальных про-
прогибов очень хорошо объясняют общие
тенденции экспериментальных ре-
результатов во всех рассмотренных случаях при условии, что разме-
размеры имевшихся* там начальных прогибов были по крайней мере
одного и того же порядка.
Потеря устойчивости цилиндрических оболочек при комбини-
комбинированном нагружении. Методы, используемые при исследоварии
устойчивости в классической постановке, так же как и исследо-
исследования устойчивости реальных цилиндрических оболочек с на-
начальными прогибами, излагавшиеся в предыдущих трех разде-
разделах, могут быть применены и в случае выпучивания цилиндри-
цилиндрических оболочек при произвольной комбинации нагрузок. Один
такой пример был приведен в § 7.3, где при а = 1 исследовалось
одновременное действие на цилиндрическую оболочку бокового
давления и некоторого продольного усилия. Для этого случая из
экспериментов было известно, что форма потери устойчивости
аналогична форме потери устойчивости при действии только од-
одного продольного сжатия; в более общем случае было бы, разу-
разумеется, необходимо рассмотреть возможность потери устойчи-
устойчивости с образованием более чем одной .волны в продольном на-
направлении при нижнем значении критической нагрузки. Как и
всегда при теоретических исследованиях потери устойчивости,
исследователь долже^ недременно рассмотреть все возможные
формы потери устойчивости, которым могут соответствовать наи-
низшие значения критических нагрузок, а случай Комбинирован-
Комбинированного нагружения осложняется тем обстоятельством, что предпоч-
предпочтительные формы потери устойчивости могут изменяться (как в
') См. упомянутую в сноске на с. 540 статью Ц. Лу.
§ 7.4] ВЫПУЧИВАНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ 545
только что упомянутом случае) при изменении относительных
величин соответствующих типов нагрузок1).
Помощь экспериментов как ориентира, так и критерия теоре-
теоретических исследований особенно важна здесь. Оба метода иссле-.
дования — экспериментальный и теоретический — каждый имеют
свои область применения и ограничения, сильные и слабые
стороны, как во всех областях знания. Так как их сильные и сла-
слабые стороны проявляются в различных областях, они дополняют
друг друга и это взаимное дополнение особенно важно в такой
сложной области, как потеря устойчивости оболочек. Испытатель-
Испытательная машина, приспособленная для экспериментов с цилиндриче-
цилиндрическими оболочками при произвольной комбинации осевого сжатия,
изгиба, кручения, и внутреннего вакуума, описана в работе2) ав-
автора, посвященной выпучиванию при кручении.
Несмотря на упоминавшиеся выше сложности, приближенные,
но очень полезные соотношения между критическими напряже-
- ниями при комбинации двух типов нагружения и при действии
каждой из нагрузок в отдельности можно получить из рассмот-
рассмотрения на удивление простых кривых взаимодействия и формул.
Например, пусть о и S — сжимающее нормальное осевое и каса-
касательное напряжения, возникающие в стенке цилиндрической
оболочки при нагружении, а о0 и 5„ — значения этих напряже-
напряжений в момент наступления разрушения при действии только од-
одного продольного сжатия и только одного кручения. Тогда, по-
построив график зависимости а/а0 от S/So, можно получить кривую,
показывающую, когда наступит разрушение при всех возможных
комбинациях этих двух типов напряжений. Эта кривая будет,
очевидно, проходить через точки Р(а/а0 = 1, S/So = 0) и (Ко/оо =
= 0, S/S0 = i), как это видно из рис. 7.22, а (рис. 7.22 взят из
статьи Бриджета и др.3). Более того, можно привести некоторые
элементарные рассуждения относительно угла наклона кривых в
этих точках. Кривая должна быть симметрична относительно оси
о/о0, так как для таких симметричных конструкций, какими яв-
являются цилиндрические оболочки, изменение знака касательного
напряжения не должно иметь значения. Отсюда следует, что кри-
кривая должна пересекать ось о/оо под прямым утлом, что на ри-
рисунке показано короткой горизонтальной линией. С другой сто-
') Подобная точка зрения была высказана в обширном, но выполнен-
выполненном приближенным энергетическим йетодом исследовании Л. Г. Доннелла:
Donnell L. В. Stability of isotropic or orthotropic cylinders of flat or curved
panels, between and across stiffeners, with any edge conditions between hin-
hinged and fixed, under any combination of compression and shear.— NACA,
Techn., Note, 1943, № 918.
2) См. статью автора, упомянутую при обсуждении уравнения F.34)
на с. 461.
3) Bridget Е J., Jerome С. С, Vоssе,1 ег А, В. Some new exp.e^
riments on buckling of thin-walled construction.— Trans. ASME, 1934, v, 56,
№ 8, pp. 569—578. ' -- . ... „
546
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
роны, кривая не будет симметричной относительно оси S/So, но
должна пересекать ее, образуя положительный угол, как это вид-
видно иэ рисунка, так как сжатие, очевидно, уменьшает, а растяже-
растяжение увеличивает касательное, напряжение, которое конструкция
может выдерживать, не
теряя устойчивости.
Указанные две точки
доЛжна- соединять неко-
некоторая кривая, приблизи-
приблизительный вид которой изо-
изображен штриховой лини-
линией. Было бы разумно пред-
-положить, что эта кривая
будет непрерывной (даже
если по углам наклона или,
более того, по кривизнам
эта кривая может быть
разрывной в точках, где
происходит смена форм
потери устойчивости в со-
Р'ис. 7.22.' '
ответствии с изменением
пропорций между действующими нагрузками) и что ее можно
аппроксимировать следующим уравнением кривой:
G.12а)
которая, очевидно, проходит через точки Р и Q (см. рис. 7.22, а).
Так как влияние какой-либо из действующих нагрузок должно,
по-видимому, увеличиваться с ростом ее величины, то числа тп
и га должны быть, очевидно, положительными,- тп > О, га > 0. "Для
того чтобы кривая была симметрична относительно оси о/оо, га
должно принимать целочисленные значения, но зто ограничение
можна снять, если рассматривать только участок кривой для по-
положительных значений S/So. Единственное требование при этом
состоит в том, чтобы касательная к кривой в точке Р была го-
горизонтальной, что выполняется при п > 1. Требование того, что-
чтобы кривая проходила через точку Q не под прямым углом, как
это показано-на рис. 7.22, а, будет выполняться при 0<-тп<1.
Распространяя указанные рассуждения на случай действия
трех нагрузок (см. рис. 7.22, б), получим уравнение поверхности,
описывающей взаимодействие этих нагрузок —
Xm±Ym' +Zn=l, G.126)
где, например, можно положить X = q/o0, "Z = S/S<,, Y — анало-
аналогичное отношение для кольцевых напряжений (или внешних
давлений); в этом случае имеем га > 1, 0 < тп < 1, 0 < тп' < 1.
$ 7.5] ТОЛСТОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ ' 54
На рис. 7.22,- в представлены результаты экспериментов на
тщательно изготовленных цилиндрических оболочках с размера-
размерами R — 25,4 мм, L = 152,4 мм, h = 0,05 мм, которые испытыва-
лись на упомянутой выше машине при действии комбинации
продольного сжатия и кручения1). Показанная кривая представ-
представляет собой кубическую параболу с тп = 1, и = 3 (см. уравнение
G.12а)) и хорошо аппроксимирует как результаты данных экспе-
экспериментов, так и любых других. -~
§ 7.5. Применение уравнений теории упругости
r исследованию толстостенных цилиндрических оболочек
Введение. В §§ 7.1—7.4 были рассмотрены малые и большие
прогибы, а также обычные и вызывающие потерю устойчивости
нагрузки для тонкостенных цилиндрических оболочек; при этом
применялась классическая теордя оболочек, основанная на ги-
гипотезах Кирхгофа — Лява. Для завершения рассмотрения теории
цилиндрических оболочек необходимо обсудить также и те слу-
случаи, где эти приближенные гипотезы неприменимы. В этом слу-
случае имеется ряд решений для цилиндрических оболочек, кото-
которые удовлетворяют уравнениям теории упругости и точным ус-
условиям на краях, а также на внутренней и внешней поверхно-
поверхностях. Они большей частью ограничиваются такими простыми слу-
случаями нагружения, как осевое растяжение, или сжатие, чистый
изгиб и кручение цилиндрического стержня, или случаем дей-
действия по внутренней и внешней поверхностям осесимметричной
нагрузки, для- которого решение б^шо приведено ранее (см. ъы-
ражения E.79д), E.806) и E.80в)). Однако, так же как и в слу-
случае стержней и пластин, эти и гораздо более общие решения со-
содержатся в решениях в рядах по функциям нагружения. В. по-
последующем обсуждении мы ограничимся случаем нагружения,
нормальным к внутренней и -внешней поверхностям, который яв-
является важнейшим случаем с точки зрения практического
применения.
Общее решение в рядах ло. функциям нагружения для толсто-
толстостенных цилиндрических оболочек. В решений этой трудной за-
задачи успеха добились Ч. By и Ч. Ли2). Так же как и в анало-
аналогичных задачах для стержней и пластин, рассматривавшихся в
§§ 3.3 и 5.2, они начали с первых членов, задаваемых уравнё*
няем классической теории изгиба, в дйлном случае уравнением .
F.34) (хотя, как будет видно в дальнейшем, рви могли бы, до^
видимому, несколько облегчить свою работу,. используя бодее
') См. сноску 3 на с. 545.
2): W u С. G., L е е С. W. A refined theory for circular cylindrical shells.—¦_
Prepr. lstvlnt. Conf. Struct. Mech. React. Technol., Berlin, 1971, V. 4, Part J,
pp. Jl-5/1 - Jl-5/20. , ' "
548
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
линдричесние
tf0
р№,У>
точное уравнение F.36)). Вторые члены представляют собой наи-
наиболее важные поправки к классической теории и включают в се-
себя старшие производные от. функций нагружения и т. д. Если
определить все члены, то в пределе получим точное решение
трехмерной задачи теории упругости, при этом также будут удов-
удовлетворены точные граничные условия на внутренней и внешней
поверхностях.
Системы координат и их обозначения. На рис, 7.23 показаны
обычные продольная, угловая и радиальная (положительное на-
направление — вне оболочки) координаты z, 0 и г, которые были
Цилиндрические координаты для оболочни введены впервые на рис. 3,5 и ис-
использовались при выводе основ-
основных уравнений теории упругости
C.9ж) в этих координатах; на
этом же. рисунке показана система
координат, для оболочки, кото-
которая уже использовалась ранее
и будет использоваться' в данном
случае; в случае цилиндрической
оболочки эта система координат
представляет собой осевую, окруж-
окружную и радиальную (направленную
внутрь оболочки) координаты
х, у и z. Очевидно, для того
чтобы перейти от старой, системы координат к последней, надо
вместо z, 0, г, пг, ие и пТ взять соответственно х, y/R, R — z, их,
щ и — uz, где R — постоянный радиус срединной поверхности;
толщина, как это видно из рисунка, равна h = 2с. .
Соотношения упругости для трехмерной задачи теории упру-
упругости. Для полуления более простой формы результирующих вы-
выражений, введем безразмерные обозначения х = x/R, у = y/R,
г = z/R, с = c/R. Деля единицу на r = R — z, получим
Цилиндрические
координаты
для пространственной
¦задачи теории упрувооти
Рис. 7.23.
G.13а)
4
Используя приведенные тождества, три основных уравнения
C.9ж) теории упругости, которым должны удовлетворять иско-
искомые решения, можно записать с учетом новых координат и обо-
обозначений для перемещений в следующем виде:
2и„ ди.
2z + 3z2
§ 7.5] ТОЛСТОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ 549
«ут—P«w-(« + P)^j=°. GЛ36)
?V ди,
где
a = 2(l-v)»l,4, p = -l-2v«0,4. G.13в)
Граничные условия. Обозначив распределенное по внешней
"поверхности нормальное давление через q(x, у), по внутрен-
внутренней—через р(х, у), как это показано на рис. 7.23, запишем ус-
условия, задаваемые на этих поверхностях, в следующем виде:
при z — c имеем oz = — q, o?—oXz — 0, при z = — c имеем о* ==
= — р, ауг = ахг = 0т Используя выражение (З.9з) и приведенные
выше тождества, можем представить эти условия в нойых коор-
координатах относительно новых перемещений, что дает:
при z — c или z = 1 имеем
ди. ' ди» - ¦
A)^ + fA + 2
ди„ (ди \ ди
^A 2){^ ) 0 '^
при z = — с или z — — 1 имеем
0, ? + ? = 0. <7.13г)
Решение с помощью рядов. Зададим новые функции d(.r, у)
и s(^, у) как решения следующих определяющих уравнений:
, Ad = d = p-q, As = s=p + q, G.13д)
550 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
где А — оператор следующего вида: - ^
3A-v2)
Я° L«i • ' G-13е)
G.13ж)
Как отмечалось в § 5.2 при обсуждении уравнений E.18а)
(эти уравнения представляют- собой разрешающие соотношения
для пластин, соответствующие уравнению G.13д) для цилиндри-
цилиндрических оболочек), эти уравнения совпадали с уравнением D.19)
равновесия в поперечном направлении для тонких пластин
bv4u;=j)i если прогиб W заменялся на 3A — v?)e(tz — Ъг)/BЕ).
Интересно и вместе с тем важно отметить, что уравнения G.13д)
аналогичным образом " относятся тк полученным нами наиболее
точным уравнениям F.36) равновесия в поперечном направлении
для тонкостенных цилиндрических оболочек. Иэ сравнения урав-
уравнения F.36), записанного для случая действия боковой нагрузки,
с уравнениями G.13д) видно, что если прогиб w заменить на вы-
выражение (i?/2i?)V4d (такое соответствие устанавливается при удер-
удержании первого члена в выражении для функции игB=0) — w, ко-
которое приводится ниже), то видно, что два уравнения остаются
неизменными, за исключением членов, обозначенных в табли-
таблице 6.7 через с4 и с4, и малого отличия в членах, обозначенных
через с2 и с*. Как уже отмечалось при обсуждении таблицы 6.7,
члены, обозначенные через d и с4, а также точные значения чле-
членов вида Сг и с5 = с2 — 2 являются несущественными в^ задачах,
где применяются классические теории, основанные на примене-
применении гипотезы Кирхгофа — Лява (но, разумеется, ими нельзя пре-
пренебрегать в задачах о толстостенных цилиндрах, которые сейчас
нами рассматриваются).. ,
Так как уравнения D.19) для тонких пластин являются обще-
общепризнанными и не вызывающими сомнения, соответствие между
Уравнением F.36) и уравнениями G.13д) (члены этих уравнений
?>ыли получены в ходе последовательных выкладок_.без привле-
привлечения каких-либо дополнительных соображений по поводу окон-
окончательного результата, начиная с простого уравнения F.34); при
этом на каждом шаге удовлетворялись точные уравнения теории
упругости") является убедительным подтверждением возможности
применения уравнения F.36) в такой гораздо более сложной и
спорной области, как теория оболочек, и подтверждает зыводы
работы Ч. Bjr и Ч. Ли.
§ 7.5] ТОЛСТОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ 551
Начиная рассмотрение с членов, присутствующих в уравнении
F.34), зададим выражения для последующих членов с неизвест-
неизвестными коэффициентами и с увеличенными на два порядка произ-
производными от функций d и s и степенью переменной z. Получен-
Полученное, та.кйм образом, соотношение подставляем в уравнения тео-
теории упругости й соответствующие им граничные условия, откуда
можно найти все неизвестные коэффициенты, кроме коэффициен-
коэффициентов при тех членах, которые содержат еще более высокие поряд-
порядки производных от функций d и s, эти члены используются на
следующем niafe. Указанным способом были получены следую-
следующие представления в виде рядов для перемещений:
1+V з , 3 —15у 2 \ ¦ "I дЧ \( v2
12 + 38V-H5V2 U 1 ^Г/2-v 8-jv N
^ 30а ] ^ J ^ дх 5у4 [\ 6а lte ]
l— v
5+llv оЛл- ' 1 d"s f/v.eS 24 + 13v+13v'
v2
10 - I9v + 1Ду
60S CZ + - 12 600а C
')+ ¦¦•]+¦¦•)+
, 16 — Ну
Z --ш-е
552 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ • [ГЛ. 7
- v „ , 14 + 15v — 74v2
2S-1 +—ТЕ
у4 с/ u 11 -± -r ov — v2 4 v + 19v2 з 2 , 108 — 229v — 229v2 4\
*-*»-- И 24a 60a CZ + 12 600a C"/
I —v 4 1 +v 2 2i 123 + 2327v ,
8a 4a ' 4200a
2 —v о
—Z '
) \ - -- - j - ¦
6 + 13v — 9v2 2
30a
C Z
4
§ 7.5] ТОЛСТОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ 553
12 -f 68v— 55v2 ,
30a C
, S4d(/v 9-
v о _ c2z ^ 54d /5v + 2v2^4 24+Hv + 26v2
5d /5v + 2v^4
V ~^T \ 24a 60a
flx2 V 2a Z + 30a
(„„ / v „ 14+llv
c|Vstz ^Sr-c
)
4 v 2 Л . } . („„ / v „ 14+llv Л
^c J+"-)+c|Vstz ^Sr-cJ
10-44v+'9v2
/75-71v+16v2 „
I2 + 3v + v2 ™s _ 20 + v -' 19v2 -23, 3150 - 3869v + 229v2
\ 120a L 180S -CZ ~l 12^0to X
- ¦ G.14)
36 л. Г. Доннелл
554 ¦ цилиндрические оболочки [гл. 7
Ч. By и Ч. Ли получили также выражения для шести напря-
напряжений') (использованные там обозначения <р, г|) и s в наших
обозначениях означают соответственно #4d/r, /f's/r и у, коорди-
координата 'z и перемещение uz имеют положительное направление на-
наружу оболочки, т. е. имеют знаки, противоположные использован-
использованным в данной книге). Эти выражения для напряжений слишком
громоздкие, и здесь они не будут воспроизводиться, но их, разу-
разумеется, можно без труда получить, используя приведенные вы-
выражения для перемещений, из выражений C.9е) и C.9з).
Решения G.14) в рядах по функциям нагружения для цилин-
цилиндрической оболочки гораздо сложнее, чем соответствующие реше-
решения в простых рядах для балок и пластин, что в основном свя-
связано с использованием разложений G.13а) для представления
как отдельных членов уравнения, так и целых выражений в виде
бесконечных рядов. Была исследована возможность получения
решения в виде простого ряда также и для данного случая пу-
путем умножения основных разрешающих уравнений C.9ж) на г2
и первых двух основных граничных условий на г для того, что-
чтобы таким образом избавиться от г в знаменателе, и при этом
отпала необходимость в выражениях G.13а). Было обнаружено,
что решение в виде простых рядов для получающихся в резуль-
результате уравнений, очевидно, можно получить, используя следующее
представление для перемещений:
\cmnpqi 2 ^ У г" 2 ^ * 1
иг = 2 \cmnpqi 2 ^ У г" 2 ^ * 1 G.15а)
и аналогичных представлений, где . вместо функции d. использу-
используется функция s; функции d и s определяются из уравнений
G.13д) By — Ли; т = 1, 2, 3,' ...; р = 2(т + 1), 2т, ..., 2, 0; q =
= 0, 2, ...,.,2771, 2(т + 1); п = -1,1,3, -..., Bт - 1); t = Q, 1, 2,...
..., Bт— 1). Выражения для перемещений их и щ аналогичны
выражению для иг, за исключением того, что выражение для их
имеет на единицу меньший, чем выражение для иг показатель р,
а выражение для щ — показатель q (слагаемые с отрицательными
производными отбрасываются); кроме того, для выражения" их
имеем п^=0; 2, ..., 2(т-1); i = 0, 1, 2, ..., 2(т-1). Постоян-
Постоянные коэффициенты С зависят ^только от отношения" с толщины
•стенки к диаметру оболочки и могут быть найдены без особых
трудностей (многие из этих- коэффициентов равны нулю) путем
подстановки' упомянутых выше представлений для перемещений
в основные уравнения, приведения подобных членов и решения
пблучающихся в результате алгебраических уравнений.
Во всяком случае описанный способ получения решения де-
демонстрирует возможности применения очень полезного общего
метода решения в рядах по функциям нагружения для улучше-"
') См. их работу, упомянутую на с. 547. .
§7.5]
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ
Еис. 7.24.
ния и расширения возможностей классических теории, когда те
применяются к оболочкам, а также' к стержням и пластинам;
число членов рядов, которые представлены в выражениях GJ4),
должно обеспечить хорошее приближение в случае достаточно
толстостенных цилиндрических оболочек (как, например, это вид-
видно из рис. 7.24).
Сходимость выражений G.14). Ограничения для выражений
G.14), а также содержащиеся в них различные тлпы^ решений
аналогичны тем, на кото-
которые обращалось внимание
при обсуждении выражений
C.28) для балок и E.19) для
пластин. Точно так же, как
и в этих полученных ранее
рядах, сходимость выраже- 1,о '
ний G.14) будет лучшей для ,.
нагрузок, у которых длина
полуволны велика по срав- 0&--
нению с толщиной, но
последний приведенный в
этих выражениях член, куда входят производные десятого
порядка от функций d и s, а также опущенные члены с произ-
производными более высокого порядка, будут сходиться плохо или
-даже расходиться, когда компоненты Нагрузки, имеют длины
волн порядка толщины или меньше.
Условия на границах толстоетенной цилиндрической оболочки.
Так же как и в случае балок и пластин, средства удовлетворе-
удовлетворения условий на границах содержатся в выражениях G.14) и пред-
представляют собой решения однородных уравнений, получаемых из
уравнений G.13д),"если положить р = q — 0:
Ad = O, As = O. G.156)
Решения этих уравнений аналогичны решениям уравнений
G.3а), которые обсуждались ранее в § 7.1. Как уже отмечалось,
эти ре!пения соответствуют соотношениями, имеющим более высо-
высокий, чем это требуется в соответствии с физическим смыслом
задачи, порядок, но, несмотря" на это, нельзя рассчитывать, что
с помощью этих решений можно удовлетворить граничным усло-
условиям более точным, чем интегральные. Для удовлетворения более
полных или точных граничных условий требуется произвести
наложение дополнительных полей' локальных ..напряжений, ко-
которые получаются из рассмотрения уравнений трехмерной задачи
теории упругости. Методы, рассматривавшиеся в § 5.5 для тол-
толстых пластин, можно, как уже отмечалось ранее, применять, по-
получая прекрасную аппроксимацию для толстостенных цилиндри-
цилиндрических и. иных оболочек, если пренебречь кривизной (как об
этом говорилось в § 7.1, такой подход особенно удобен при гра-
36*
556 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
ничных условиях мембранного типа). Некоторые решения, осно-
основанные на использовании полей локальных напряжений, были
получены для толстостенных цилиндрических оболочек, например
для случая осесимметричного напряженно-деформированного со-
состояния '), а приближенное решение было получено для сплош-
сплошного цилиндра2) и может быть использовано для полых цилинд-
цилиндров^ или применено к ним путем вычитания решений для толсто-
толстостенного цилиндра, и для отверстия.
Приложения, равномерное нагружение. Поскольку выражения
G.14) представляют собой ряды сложной структуры, они, в от-
отличие от решений, следующих из соответствующих теорий для
балок и пластин, не содержат точных решений в явном виде,
подобных известному решению E.79д) Г. Ламе, для диска или
толстостенных цилиндрических оболочек, нагруженных равно-
равномерно распределенным внутренним и внешним давлениями. Од-
Однако для этого случая можно, конечно, получить решение в рядах
из выражений G.14), и было бы интересно сравнить его с реше-
решением Г. Ламе с целью проверки сходимости и точности, которую
можно провести с теми немногими членами ряда, который дается
в указанных выражениях.
Для этого было бы достаточно сопоставить выражения для
радиального перемещения, которое обозначим через uz. Поло-
Положи^ d = I)xk и s = Sxi и подставив- эти представления в уравне-
уравнения G.13д), в которых, принимаем р(х, у) = ра и q(x, у) = pir
найдем
D
24Г| с3R + cR3\ ¦ 24 (±c3R+cR3)
Подставляя выражения для d и s в выражение G.14) для uz, ис-
используя все присутствующие хам члены, а также представление
1/[Dс3#/5)+сЯ3]=A/сЯ3)Л1+Dс75Я2)] = A/еД»)[1 -Dс75Д2)+
+ DcV5i?2J+ ...], получим перемещение иг, выраженное ч,ерез
известные функции:
Е lt R
1-v с _ 3 + v с2 ) z 1 + v / z2 , z3 , i
Л 4 Я*"- R+'—Vtf+"tf+'" \Po~
') Lee C. W. Analysis of thick-walled cylinders under axisymmetric ed-
edge loads.—Proc. 1st Internet. Conf. on Pressure Vessels Technology. Part I.
Design and Analysis. ASME, 1969, pp. 369—377.
2) Horvay G., Mirabal J. The end problem of cylinders.—Trans.
ASME, 1958, v. E25, № 4, pp. 561-570.
§ 7.5] , ТОЛСТОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ 557
1 1 — v с l+3vc2' \ / v , 1 — v с
2 2 Л 4 л2 "Т12Т.2 Л
З + vc2 , Ь , 1+v/,2 , , , ,| , GЛ5г)
Для сравнения взятое из E.79д) выражение для иг (равное
взятому со знаком- минус выражению для uz, приведенному вы-
выше) также можно представить в виде ряда, используя - представ-
представление G.13а) для 1/г и полагая r = R — z, a=>R — c, p=R + c.
Проделав эти выкладки,, получим, что решение Г. Ламе в рядах
в точности совпадает с решением G.15г). Теперь можно без тру-
труда сравнить значения, получаемые при удержании тех членов, -
которые показаны выше, с точными значениями, ^ получаемыми
из решения Г. Ламе в явной форме. На рис. 7.24' показано со-
соотношение между значениями, получаемыми для прогиба w —
= uHZ=0) при удержании в рядах нескольких членов, и точными
значениями. Из этого результата следует, что при удержании
нескольких членов в ряде G.14) можно получить удовлетвори-
удовлетворительную аппроксимацию для значений c/R, соответствующих ци-
цилиндру с очень толстой стенкой.
Нагрузки, распределенные по гармоническому закону. Пусть
для самого общего случая применения выражений G.14)«имеем
¦^ ^ „ . тх . пу V ^ ^ . тх . пу
Р ~ Zj Z_i "тп S1Q ~п S1Q ~^i С[ = 7, 7* V""* ^ " ^'^ ~ТГ'
т п т п ¦
" ¦ • G.15д)
d'V' ^ _ . тх .1 пц ^ ^ с . т . пу
= ?±^итп S1H -щ- S1U —, S = ^Tj ^TjOmnSin-^Sin —, v
m n m n
где п должно принимать целочисленные значения для выполне-
выполнения условия сплошности рассматриваемой замкнутой цилиндри-
цилиндрической оболочки, для т этого не требуется. В данном исследо-
исследовании граничные условия рассматриваться не будут — получен-
полученные результаты будут справедливы, во всяком случае, для сред-
средней части длинной толстостенной цилиндрической оболочки; по
крайней мере наиболее важным условиям свободного опирания
на краях можно было, очевидно, удовлетворить, если соответст-
соответствующим образом поместить начало координат и выбрать соот-
соответствующее значение т (а также п, если рассматривается ци-
цилиндрическая панель).
Подставляя представления G.15д) в уравнения G.13д) и при-
приравнивая коэффициенты при соответствующих гармонических
членах, найдем
n "mn Vmn n "mn~T~t<mn /7 <с„\
Umn = -& , Ьтп = j- , {1-.1Ое)
r-58 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. 7
где
Лтп = С
+ ут* + 4то2п2 + и4] + ± т*. G.15ж)
Эти значения можно подставить в выражения G.14) для пере-
. мещений или в выражения для напряжений, получаемые из них.
Например, максимальным напряжением, вероятно, является на-
напряжение ау на внутренней поверхности z — c в точках макси-
максимумов амплитуд, нагрузки, т. е. при х = nR/Bm) и у —nR/Bn).
Первые члены ряда для напряжения оу при указанных значе-
значениях х, у и z суть
8 + 2v
\1 — v 3A —v)
¦
/ \1 —v ¦/
— 77Ъ
GЛ5з)
§ 7.6. Толстостенные цилиндрические оболочки.
Поправки к классическим значениям прогибов,
Как уже отмечалось в §§ 3.5 и 5.6 при рассмотрении балок
и пластин, нет необходимости использовать довольно сложные
подходы, основанные на рассмотрении уравнений теории упру-
упругости, полученных выше, когда единственное, что требуется,—
это" найти поправки к прогибам, получаемым, согласна класси-
классической теории, для учета влияния поперечных деформаций. Me-
g 7.6] ШШРАВКИ^К КЛАССИЧЕСКИМ РЕШЕНИЯМ 55
тод, предложенный С. П. Тимошенко и состоящий в том, что
суммарный прогиб. wt складывается из чисто изгибного прогиба
wf, получаемого согласно классической теории, и поправочного
прогиба, обусловленного только влиянием поперечных (главным
образом сдвиговых) деформаций, может быть применен также
и в случае' пологих оболочек. Так как в этом случае можно взять
поперечные силы Fxz и Fyz согласно выражениям F.31ж), а эти
выражения совпадают (при тпх = тпу = 0) с такими же выраже-
выражениями D.15) или E.846) для плоских пластин, все выкладки, за-
задаваемые выражениями E.84в) — E.84д), могут быть применены
и к случаю пологих оболочек точно так же, как и к случаю
пластин.
Следовательно, суммарный прогиб wt. можно найти, решив
совместно уравнения E.84д) и F.34), в последнем уравнении
функция w. в первом члене (который характеризует сопротивле-
сопротивление нагрузкам, обусловленное изгибом) заменяется на vou a w
во втором члене (который характеризует мембранное сопротивле-
сопротивление- нагрузкам) заменяется на ~wt. Прямое соотношение между
нагрузкой и прогибом wf можно также получить способом, кото-
которым были получены соотношения E.84ж) и E.84з), что дает
вместо уравнения F.34) следующее уравнение для случая дейст-
действия поперечной нагрузки:
Это уравнение может быть применено к случаям трехслойных
конструкций так же, как это делалось при рассмотрении соотно-
соотношения E.86а), и случаям различного вида нагрузок, добавляемых'
к правой части, как это делалось в уравнениях F.34), или E.85).
Другое решение. Подобно уравнению C.67а) длят балок и
уравнению E.84и) для пластин, можно получить также соотно-
соотношение между суммарным прогибом и нагрузкой с помощью вы-
выражения G.14) для прогиб'а иг в. виде ряда. Взяв z = 0, s = 0 и
Uz(z=o) = wt, получим
Е 1 V74J , 2f 3 — l5v d*d 12 тЬ 68v — 55v
f 3 — l5v d*d
[ 20 дх*
60(l-v)
3v e*i 8-3v ]
¦„¦] 4Г227-^57у a.
v aJ —c [8400Av) V a
•20A-v) dy* ~ 20A-v) v aJ —c [8400A-
G.166)
где Ad = p, A — определяется выражением G.13е). Полученное
соотношение имеет более сложный вид, чем G.16а), но его.при-
его.применение не ограничено случаем пологих оболочек.
На рис. 7.25, б и 7.25, в представлены получаемые в виде ря-
рядов соответственно из уравнений G.16а) ^и G.166) прогибы, от-
560
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
[ГЛ. 7
'несенные к прогибам, получаемым из точного уравнения F.34)
классической теории пологих оболочек; эти отношения брались
для случая нагрузки р, распределенной по гармоническому за-
закону; согласно выражению G.15д), при и~к = 2, 3, 8 и раз-
различных значениях c/R. Положим здесь q = s = 0 и возьмем сум-
суммарный прогиб в следующем виде: Щ = 22 Wmnsin (mx/R)X
Xsininy/R). На рис. 7.25, а представлены аналогичные зависи-
зависимости, полученные при использовании уравнений F.36) более
1,0
в)
Рис. 7.25.
точной классической теории, и поправки к результатам, получае-
получаемым по классической теории, где ошибки обусловлены использо-
использованием упрощений типа пологих оболочек, на рис. 7.25, б пред-
представлены поправки к тем случаям, где ошибки обусловлены не-
неучетом поперечных деформаций, тогда как на рис. 7.25, в даны
поправки для ошибок, обусловленных действием обоих указан-
указанных выше .факторов.
Область применимости различных аппроксимаций. Так же
как это делалось в приведенных в конце глав 3 и 5 обсуждений
задач для балок и пластин, здесь можно рассмотреть области
применений различных классических-теорий оболочек, а также
направления возможного усовершенствования их путем введения
соотношений между определенными величинами1):
h — толщина, R — радиус кривизны, I — длина основной полу-
полуволны прогиба или расстояние между точками перегиба, ы?тах —
максимальный прогиб.
Классические теории, в которых не учитываются поперечные
деформации, обычно применяются, когда h < I, h < R. Вследст-
Вследствие сложности различных типов классических теорий, установить
определенные верхние пределы для отношений h/l и h/R нелег-
нелегко. Попытку сделать это представляет диаграмма на рис. 7.26.
') Подобные сопоставления можно сделать с различных точек зрения,
см., например, Гольденвейзер А. Л. О двумерных уравнениях общей
линейной теории тонких упругих оболочек.— В кн.: Проблемы гидромеха-
гидромеханики и механики сплошных"оред.— М.: Наука, 1969, с. 161—176.
§7.8]
ПОПРАВКИ К КЛАССИЧЕСКИМ РЕШЕНИЯМ
561
О,!
Рис. 7.26.
На этом рисунке линии изображают те значения h/l и h/R, для
которых ошибка определения величины прогиба w или напряже-
напряжения оу не превышает 5%, что определилось путем сравнения ре-
результатов, полученных по уравнениям F.34) или F.36) класси-
классических теорий и соответствующих им соотношений, с результа-
результатами, полученными с .помощью более точных уравнений G.15з),
G.16а) и G.166) при изменяющейся
по гармоническому закону нагруз- 0,1
ке, действующей на цилиндрическую
оболочку, что дается первым из вы-
выражений G.15д) при т = п.
Согласно этой схеме классич.еские
теории пологих оболочек могут при- J,
меняться для значений h/l и h/R, R
соответствующих области, заштри-
заштрихованной накрест, тогда как полные
классические теории должны исполь-
использоваться для области значений, по-
показанной косой штриховкой, а более
точные теории, основанные на рас-
рассмотрении уравнений теории упруго-
упругости и имеющие решения типа решений в рядах G.14), должны
использоваться в области, лежащей вне указанных двух первых
областей. Очевидно, такое рассуждение не дает точного ответа
на все случаи, но из них следуют грубые оценки для границ при-,
менимости классических теорий.
Как и в случае балок и пластин, можно сказать, что линей-
линейные теории, в которых не учитываются нелинейные мембранные
деформации, применимы при wmKL/h < 0,2. Для прогибов до
WmxJh = 10 обычно бывает достаточно использовать только квад-
квадраты углов наклонов, т. e>Adw/daV и (дш/д$)г, в выражениях
для мембранных деформаций в классических теориях. Для слу-
случая еще больших прогибов следует использовать полные выраже-
выражения F.18); они не включают в себя никакие нелинейные эффек-
эффекты, обусловленные изгибными деформациями, но такие эффекты,
по-видимому, вряд ли когда-либо требуется учитывать при прак-
практическом использовании классических теорий. Нелинейные, не-
неклассические теории, т. е. теории, в которых рассматриваются
влияния как конечных деформаций, так и поперечных деформа-
деформаций могли бы понадобиться только в таких задачах, как большие
прогибы толстостенных оболочек. Такие прогибы могут проис-
происходить в упругой области только при резиноподобном материале,
для которого, по-видимому, будут неприменимы простые линей-
линейные соотношения между деформациями и напряжениями; подоб-
подобные случаи не входят в круг вопросов, рассматриваемых ц этой
книге.
ПЕРЕЧЕНЬ ТРУДОВ Л. Г. Д0ДНЕЛЛА
1. Stress distribution in rotating discs of ductile material after the yield point
has been reached.—Trans. ASME; 1929, vol. 51, № 16, pp. 173—180 (m
collaboration with A. Nadai).
2. Longitudinal wave transmission and impact;— Trans. ASME, 1930, vol. 52,
№ 2. pp. 153—166. ¦ - - ¦ ' .
3. The strength of thin plates in compression.— Tra'ns. ASME, 1932, vol. 54,
№ 3, pp. 53—54 (in collaboration with Th. Karman and E. E.techier).
4. The flexibility of corrugated pipes under longitudinal forces and bending.—
Trans. ASME, 1932, vol. 54, № 4, p. 69.
5. The problem of elastic stability.— Trans. ASME, 1933, vol. 55, № 4,
pp. 141—149.
6. Stability of thin-walled tubes under torsion.— NACA Report, 1933, № 479,
24 p.; русск. перевод: Доннелл Л. Г. Устойчивость тонкостенных труб
при кручении.— В кн.: Прочность и устойчивость конструкций в само-
самолетостроении.— М.: ЦАГИ, 1937, с. 29—57.
7. Some new experiments.on buckling of thin-walled construction by F. J. Brid-
Bridget, С. С. Jerome, and A. B. Vosseller.— Trans. ASME, 1934, vol. 56, № 8,
v^pp. 569—578. (Report of research suggested by and done under direction
of L. H. Donnell.)
8. A new theory for the buckling of thin-walled cylinders under axial comp-
compression and bending.—'Trans. ASME, 1934, vol. 56, № 11, pp. 795—806;
Froc. 4th Internet. Congr. Appl. Mech., Cambridge, 1934.— Cambridge;
Univ. Press, 1935, pp. 174—188. • .
9. Model measurement and airship stress analysis,— Daniel Guggenheim Air-
Airship Institute Publication, 1935, № 3, pp. 8—141.
10. Stress concentration at the ends of a long reinforcement.— National Geo-
4 graphic Society. Stratosphere Series, 1936, №-2, p. 245.' _
11. Preliminary fatigue studies on aluminum alloy aircraft girders.-r- NACA
Tech: Note, 1938, № 637, 36 p. - ' ¦
12. Stress model of a complete airship structure.— Trans., ASME, 1938, vol. 60,
№ 2, pp. 67—77 (in collaboration with E. L. Shaw and W. C. Potthoff).
13. Suggested new definitions for proportional limit and yield point—Mecha-
point—Mechanical Engineering, 1938, vol. 60, № U, pp. 837—838.
14. A discussion of thin shell theory.— Proc. -5th Internet. Congr. Appl. Mech.,
Cambridge, Mass., 1938.—New. York: J. Wiley and Son, 193Э, pp. 66—70.
15. On the application of Southwell's method for the analysis of buckling da-
data.— Contribution to the Mechanics of Solids. Stephen Timoshenko 60th
"~ Anniversary volume.— New York: MacMillan Co., 1938, pp. 27—38.
16. Stress concentrations due to elliptical discontinuties in plates under edge
. forces.— Applied Mechanics. Karman Anniv. Volume, Vol. 2.— Calif. Inst.
Technol., 1941, pp. 293—309.
17. Analysis of spoked rings.— Journal Appl. Mech., Trans. ASME, 1941, vol. 63,
№ 2j. pp. A67 —A73 (in collaboration with H. B. Gibbons and E. L. Shaw).
18. Some refinements in methods of graphical integration.— Journal of the
Franklin Institute, 1942, vol. 233r№ 4, pp. 331—348.
19. Plastic flow as an unstable process.— Journal Appl. Mech., Trans. ASME,
1942, vol. 64, № 2, pp. 91-95.
20. A chart for plotting relations between variables over their entire real ran-
range.— Quart. Appl. Math., 1943, vol. 1, pp. 276--27Э.
21. Stability of isotropic or orthotropic cylinders and flat of curved panels,
between and across stiffeners, with any edge conditions between hinged
ПЕРЕЧЕНЬ ТРУДОВ Л. Г. ДОННЕЛЛА. * 563
and fixed, under any combinations of compression and shear.— NACA,
Technical Note, 1943, № 918.
22. Discussion on paper by E. Reissner.— Journal Appl. Mech., Trans. ASME,
1946, vol. 13, № 3, pp. 249—250.
23. The critical axial compression or tension of a bar, for all possible positive
and negative end fixities.— Contributions to Applied Mechanics. Reissner
Anniversary Volume, ed. J. W. Edwards. Ann Arbor, 1949, pp. 183—196.
24. Mechanical gages and extensometers.— S. E. S. A. Handbook, of Experi-
Experimental Stress Analysis.— New Y6rk: John Wiley, 1949, pp. 72—117 (in col-
collaboration with W. T.' Savage).
25. The effect of imperfections on buckling jof thin cylinders and columns un-
under axial compression.— Journal Appl. Mech., Trans. ASME, 1950, vol. 72,
№ 2, pp. 73—83 (in collaboration with С. С. Wan), Русск. перевода Дон-
- .нелл Л. Г., Уан К. Влияние неправильностей в форме на устойчивость
стержней и тонкостенных цилиндров при осевом сжатии.— Механика.
Сб. перев. и обз. иностр. период, лит-ры, 1951, № 408) t с. 91—107;
26. Bending of rectangular beams.— Journal Appl. Mech., Trans. ASME, 1952,
vol. 4. № 1, pp. 123—124; Proc. of Eighth Internet. Congr. Appl. Mech.,
Istanbul, University of Istanbul, 1953, pp. 135.
27. Recent developments in the study of buckling problems.— Appl. Mech. Rev.,
1952, vol. 5, № 7, pp. 289-290.
28. General solution for nonuniform hinged-end columns.— Journal" Appl.
Mech., 1954, vol. 21, №, pp. 196—197.
29. A theory for thick plates.— Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Univ.
' ol Michigan, Ann. Arbor, 1954.—New York: 1955, pp. 396—373. ...
30. A universal column formula fpd load at which yielding starts.— NACA,
Technical Note, 1955, № 3415, 48 p. (in collaboration with V. C. Tsien).
34. Study of .triaxiab stresses and failure of material.— Office of Naval Re-
Research, Washington, D. C., Report, 1955.
32. Effect of imperfections on buckling of thin cylinders under external pres-
pressure.— Journal Appl. Mech., Trans. ASME, 1956, vol. 23, № 4, pp. 569—575.
33. A study of thick plates under tangential loads applied on the faces.— Proc.
3rd U. S. Nat. Cong. Appl. Mech., Providence, Rhode Island, -1958.— New
York, 1958, pp. 401—409 (in-collaboration with С W. Lee).
'34. Effect of imperfections on buckling of thin cylinders with fixed edges
under external pressure.— Proc. 3rd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech., Provi-
Providence, Rhode Island, 1958.— New York, 1958, pp. 305—311. .
35. Shell theory. Invited Lecture.— Proc. 4th Midwestern Conference Solid
Mechanics, University of Texas, 1959, Austin,--Texas, Univ. of Texas,
pp. 1—17.
36. Stability of frames in presence of primary bending moments.— J. Eng.
Mech. Div., Proc. ASCE, 1961, vol. 87, № 4, pp. 19—34 (in collaboration
with E. F. Masur, I. C. Change).
37. About Saint-Venant's principle.— Journal Appl. Mech., Trans. ASME, 1962,
vol. 29, № 4, pp. 752—753.
38. General thin shell displacement — strain relations.—Proc 4th U. S. Nat.
Congr. AppL Mech., Berkeley, Calif., 1962. Vol. 1. Oxford — London—
New York — Paris: Pergamon Press, 1962, pp. 529—535.
39. Concentrated loads' on inflated structures.— AIAA Journal, 1963, vofc-l,.
№ 8, pp. 1823—1828.
40. Discussion of paper'by John С Yao.—Journal Appl. Mech., Trans. ASME,
• • Ser. E, 1963, vol. 30, № 3, pp. 472-473.
41. General shell displacement-strain relations.— Archiwum Mechaniki Stoso-
wanej, 1965, vol. 17, № 2, pp. 277—290. "
42. Концевые реакции стержней.— В кн.: Проблемы механики твердого де-
деформируемого тела.— Л.: Судрстроение, 1970, с. 161—165.
43. Об удовлетворении полных-граничных условий на краю пластины.—
В кн.: Успехи механики деформируемых сред.— М.: Наука, 1975, с. 227—
235. . " •
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алблас Д. (Alblas J. В.) 376
Балка 53 ,
— произвольной формы поперечного
сечения 68
— прямоугольного поперечного сече-
сечения 70, 198
, колебания 75
—, равномерно распределенная по-
поперечная нагрузка 70
— решетчатая 201
-, концевые условия 63
— свободно опертая 70
— , сосредоточенная нагрузка 74
¦—, уравнение равновесия 59
—, , концевые условия 65
—, , решения 70
Батдорф С. (Batdorf S. В.) 121
Безмоментная теория оболочек 449
Бигармонические функции 120, 347
Боли Б. (Boley В. А.) 166
Большие прогибы диска 325
пластин 288
,, краевые условия 289
Борн Д. (Born J. S.) 180
Бразье Л. (Brazier L.) 513
Бриджет Ф. (Bridget F. J.) 255 '¦
Бубнов И. Г. 27
Буссинеск Ж. (Boussinescf J.) 175
Бэк Д. (Back G.) 300
Вагнер Г. (Wagner Н.) 302
Венк Э. (Wenk E.) 518
Вильсон У. (Wilson W. М.) 512
Винденбург Д. (Windenburg D. F.)
518, 519
Восселер A. (Vosseler А. В.) 255, 545
By Ч. (Wu С. G.) 548
Гармонические функции 120, 316
Герц Г. (Hertz H.) 191
Гиперболо-тригонометрические ряды
162
Гипотезы Бернулли 53
— Кирхгофа 242
— Кирхгофа — Лява 53, 387
Гольденвейзер А. Л. 560
Григолюк Э. И. 27
Грин A. (Green A. E.) 364
Гудьир Д. (Goodier J. N.) 375
Деформации 21
— балок
— оболочек 399, 423
сферических 474
цилиндрических 455
— остаточные 42
— пластин 57, 117
Деформированное состояние плоское
142
Джером Ч. (Jerome С. С.) 255, 545
Джонс P. (Jones R. М.) 497
Доннелл Л. Г. (Donnell L. Н.) 31, 38,
46, 64, 82, 138, 163, 168, 184, 276,
277, 300, 316, 371, 378, 390, 407, 411,
461, 470, 474, 502, 519, 535, 545
Доугалл Д. (Dougall J.) 126
Жесткость мембранная 430
— при изгибе оболочек 430
пластин 229
Закон Гука 28, 114
Зеевальд Ф. (Seewald F.) 166, 179
Изгибающие моменты в балках 55,57
в оболочках -428
в пластинах 219
Изгибная жесткость балок 57
оболочек 430
пластин 229
Интегральные условия на краях 363
Йенгар К. (Iyengar К. Т. S.) 247
Касательные напряжения попереч-
поперечные 62
— силы 210
Карман Т. (Karman Т.) 179, 227, 265,
300, 411, 476, 513
Кирхгоф Г. (Kirchhoff G.) 242
Кирштейн A, (Kirstein A. F.) 517
Койтер В. (Koiter W. Т.) 390
Колебания балок защемленных 93
¦ со свободно опертыми концами
75, 104
с учетом поперечного сдвига-203
— оболочек 480
— пластин 238 *
, уточненная постановка 385
Конли Г. (Conlee G. D.) 376
Консольные балки 189
Кромм A. (Kromm A.) 369
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
565
Коэффициент запаса 47
— концентрации напряжения в пла-
пластине 372, 374
— Пуассона 114
Краевые условия для пластин 233,
242 .
уточненные 361
Критическая сила для сжатого
стержня 83
Леви С. (Levy S.) 292
. Леггет Д. (Legget D. М. А.) 497
Ли Ч. (Lee С. W.) 168, 309, 316, 376,
548,556.
Линейная теория оболочек 445
¦ пластин 230
Локальные напряжения 171
Лоренц Т. (Lorentz R.) 492
Лу Ц. (Loo Т. Т.) 540
Ляв A. (Love A. E. Н.) 401, 464
. Мембранные силы 210
Метод Бубнова 27
— Релея — Ритца 26
— Тимошенко 195
— энергетический 99
Мизес P. (Mises R.) 138, 519
Мирабаль Д. (Mirabal J.) 556
Модуль сдвига 114
— упругости Юнга 30, 114
Морли Л. (Morley L. S. D.) 469
Нагрузки 17
— равномерно распределенные 175
— сосредоточенные 173, 191
Напряжения 18
— в балка* 61 . .
— в пластине с отверстием 371
— главные касательные 33
нормальные 33
— касательные 110
— нормальные 110
Напряженное состояние двумерное
139
плоское 140, 142 " .
Начальное отклонение оболочек 441
— пологих 451
Нарасимхан К. (Narasimhan К. D.)
247
Нейбер Г. (Neuber H.) 126
Несущая способность 44
Нити гибкие 60
Ньюмарк Н. (Newmark N. М.) 512
Оболочки 387
—, геометрические соотношения 394
—, гипотезы Кирхгофа — Лява 387
—, деформации 399
—, —, точные и приближенные вы-
выражения 407, 411
Оболочка*, закон Гука 428
классификация теорий 444
классическая теория 387
краевые условия 441
системы координат 391
уравнения равновесия 425, 435
• Объемные сипы 114
Оператор Лапласа 119, 121
Папкович П. Ф. 126
Перемещения 22. 57
— в балке 116
— в пластине 212
— как жесткого тела 118
Пластины 209
—, большие прогибы 288
—, , несмещающиеся края 294
—, , одноосное сжатие 296
—, , , приведенная ширина
300
—, при сдвиге 302
—, — —, смещающиеся края 296
— круговые 280
, деформации 281
— ¦—, малые прогибы при попереч-
поперечной нагрузке 282
, перемещения 281 *
, равномерная нагрузка, свобод-
свободное опирание 283
, , защемленный край 283
, сосредоточенные нагрузки 286
— прямоугольные 242
— — подкрепленные 262
— —, произвольные граничные ус-
условия 242
— — свободно опертые 233
— — — —, колебания 238
', поперечные нагрузки 233
, , равномерно распре-
распределенные 234
, устойчивость при сжатии
238
— с отверстием 370
Пластический шарнир 45
Пластичность 41
Подкрепляющие ребра 262
— ¦— несимметричные 264
¦ симметричные 264
Пологие цилиндрические оболочки,
большие прогибы 458
, малые прогибы 460
Полубесконечное пространство 328
, сосредоточенная нагрузка 332
Поля корректирующих напряжений
342
Поперечное касательное напряжение
в балке 62
Предел пропорциональности 28
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
, Предел-текучести 29 - Толстые пластины, большие проги-'
условрый 31 бы периодически изменяющаяся
Предел упругости 28 . нагрузка 309
— — условный 31 , , решение в рядах для
* Предельная нагрузка пластины 296 произвольной поперечной нагруз-
при сдвиге 302 v ки 304
— при сжатии 299 . . - — _, , сосредоточенная 'нагруз-
стержня 87 ка 332 __
Принцип виртуальной работы.24 /сходимость решения 311
— возможной работы 26 _, трехмерная теория 328
— Даламбёра 13 Трехслойные пластины 383
— наложения 23 Триллинг Ч. (Trilling С) 518 "
— Сен-Венана 138
Уан К. (Wan С. С.) 86, 502
Разрушение 30, 32 Уравнения равновесия для балок 59
т- обобщенные условия 37 уточненные 113
Рейсснер Э. (Reissner E.) 311, 375, для оболочек 425
378 для пластин 221
Релей (Стретт Дж. В. Rayle- — теории упругости 114
dgh J. W. S.) 26 /цилиндрическая система ко-
Решение Ляме для толстых колец ординат 135
139 Условия на краях интегральные 363
Ритц В. (Ritz W.) 26 точные 364
Ряды гиперболо-тригонометрические —сплошности для балок 116
162 _ Устойчивость подкрепленных пла-
— по функциям нагружения 163 стин 277
, сходимость 167 — прямоугольных пластин при сдви-
— степенные 152 *¦ ¦ ¦ ге 271
, комбинированное закрепле-
Сйутуэлл P. (Southwell R. V.) 274, ние 252, 255
529 _ при сжатии 238, 269
Симмондс Д. (Simmonds J. G.) 469 —-, энергетический метод 268
Силы в балках 57 — сферической оболочки 473
— в пластинах 219 — трехслойных пластин 385
— в оболочках — цилиндрических - оболочек 438
— контактныеЭ5 , влияние граничных условий
— объемные 15 ¦ ' 521 .
Системы координат в оболочках" 391 ¦ —, конечные* прогибы 494 .
Скан С. (Skan S. W.) 274, 529 при боковом давлении 515
Сленкард P. (Slankard R. С.) 517 при изгибе 512
Степенные ряды 152, 155 - — ¦ при комбинированном нагру-
Стержни сжатые 77 жении 544
, на упругом основании 82 . при кручении 527
——, нелинейная задача 88 , идеальные' краевые ус-
, несущая способность 87 ловия 531
: , начальные несовершен-
Теория балок классическая 55 ства 499, 502, 519 ' .
уточненная 110 , — прогибы 540
— пологих оболочек 450 , осевое сжатие 438
— упругости 139 , /сравнение с экспери-
, решения для пластин 345 ментом 492
Тимошенко С. П. (Timoshenko S.) при пластических деформа-
166, 191, 195, 254, 263, 265, 274, 485, циях 508
513 . Уэй С. (Way S.) 292"
Толинц И. (Tolins I. S.) 166
Толстые пластины, большие проги- Фёппль A. (Foppl A.) 227 ¦ •
бы 304 Флюгге В. (Fliigge W.) 469, 511
—¦—, , касательные нагрузки Формы колебаний балок 92
316 Функции Бесселя 373
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
567
Хорвей Г. (Horway С.) '180, 556
Хофф Н. (Hoff N. I.) 483 .,
Дзян В. (Tsien V. С.) 87
Цзяи X. (Tsien Н. S.) 476
Цилиндрические координаты 131, 352
— оболочки -477 -
, боковое давление 479
, задание граничных условий
480
, свободные колебания 480
толстостенные 547
, граничные условия 555
, решение в рядах 549
, сходимость решений 555
, уточнение классических ре-
решений 558
Шверин Э. (Schwerin E.) 535
Шейка 30
Штернберг Э. (Sternberg E.) 139, 377
Шуман (Schuman L.) 300
Эйбенкс P. (Enbanks R. А.) 139 .
Экспоненциальные функции 154
Элмроз Б. (Almroth В. О.) 411
Энергетические методы 23, 99
—-—, расчет пластин неподкреплен-
ных 261
, подкрепленных 262
Энергия упругой деформации балки
100
—— — пластины 259
Эффективная ширина пластины 265
Юнгдаль Ч. (Youngdahl С. К.) 377
Яо Д. (Yao J. С.) 513
Ллойд Гамильтон Доннелл
БАЛКИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ
Редактор Я. Л. Рябенькая
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректор М. Л. Медведская »
ИБ № 11517
Сдано в набор 26.02.82. Подписано к печати 10.10.82.
Формат 60X90Vie. Бумага тип, J«R 3. Обыкновенная
гарнитура. Высокая печать, Условн. печ. л, 35,5. Уч.-
изд. л. 40,91. Тираж 6000 экз. Заказ JMJ 100. Це-
Цена 4 р. 80 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физино-математической литературы
117071, Моснва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25