/
Текст
PROF. S. P. TIMOSZENKO
KURS
..1
WYTRZY Ml\LOSCI
..1
Ml\TERJl\LOW
PRZELOZYL Z IV-GO WYDl\NI1\ ROSYJSRIEGO 1 UZUPELNIL
M. T. HUBER
INZYNIER. DOKTOR Nl\UR TECHNICZNYCH, PROFESOR L WOWSKIEJ POLITECHNIKI. CZLONER CZYNNY
1\Kl\DEM]1 Nl\UK TECHNICZNYCH W Wl\RSZ
WIE 1 TOWl\RZYSTWl\ NfiUKOWEGO WE LWOWIE
WYD1\NE Z Z1\POMOGl\ MINISTERSTWR H1\NDLU 1 PRZE-
MYSLU, OR1\Z MINISTERSTW1\ ROBÔT PUBLICZNYCH.
)J!!cu. BAZAASC1
DJ)pAIOOA i SJll,AD NO'J
QB.UDZl4DZ - B
moWA 1. - GOAMU II.
.-,:i.
,\i;:
",
,
, "
j
fJjr
.
1.'1""O!/II"
: :
:'
I":,;,
l\\i t \ ! '
\ t
,
.}f\:.=\:
.:: ::':>
;",""',
;:i
,1
"
. L WOW - W1\RSZ1\W1\
RSIl\ZNICl\ POLSR1\ T-Wl\ N1\UCZYCIELI SZROL WY.lSZYCH
MCMXXI
281NI
tt J h tIll1fll1'
\"'\."'.t
-
"'. IJÇ/j.
Z ZAKt.ADU DRUKARSKIEO
ORAFIA. WE LWOWIE
-
PRZEDMOWl\ TLUMf\CZJ\
Przymusowym wywczasom w rosyjskiej niewoli zawdzi
czam poznanie dziel prof. S. P. T i-
m 0 s zen k i, ktôrego wybitne prace na polu mechaniki technicznej byly mi przedtem znane z pu
blikacji francuskich i niemieckich. Jego "R u r s S 0 pro ti w 1 en j a mat e r j al 0 w" odznacza si
tak
cennemi zaletami, ze nawet w innych warunkach nie zawahatbym si
w wyborze tej wlasnie ksié!zki
dIa jej przyswojenia naszej literaturz.e. Niewiele bowiem mo:inaby przytoczyé dziel z tej dziedziny,
ktôreby, zachowujé:!c techniczny charakter i przyst
pnosé wykladu, osiqgn
ty r6wnie wysoki poziom
naukowy. Nawet bardzo poczytne i przez technik6w r6:inych narodowosci cenione ksiq:iki z tego
zakresu nie Sq wolne od licznych niescislosci, a przytem powtarzajq bezkrytycznie niekt6re poglqdy
dawnych autorytet6w, uznane w nauce za bl
dne. T akich usterek nie znalazlem w kursie prof.
Timoszenki, mimo cale bogactwo i obfitosé tresci.
W przekladzie opuscilem rozdzial VII (99 48-53) traktujqcy 0 momehtach bezwladnosci figur
plaskich, albowiem te rzeczy mo:ina znalezé w kazdej prawie ksié:!zce poswi
conej mechanice og61-
nej lub statyce wykreslnej. Natomiast dodalem niekt6re uzupelnienia na podstawie wlasnych prac,
przewaznie nieznanych autorowi oryginalu. Te dodatki (Iub tez drobne zmiany) odr6znÏlem w r
ko-
pisie uj
ciem w klamry.
Mam nadziej
, ze ksiqzka uczyni zadosé piekqcej potrzebie polskich technik6w, albowiem od
"Wykladu wytrzymalosci materjal6w" Wl. l{lugera z r. 1875 nie posiadamy nowszego
kompletnego kursu poIitechnicznego dIa tego tak nieslychanie waznego dzialu mechaniki techni-
cznej (Prof. L. R a ras i n ski w Warszawie z-dqzyl niestety wydaé tylko pierwsz(! cz
sé swej inte-
resujqcej "Wytrzymalosci tworzyw").
Szczeré! podzi
k
winienem prof. S. P. Timoszence za prawdziwie kolezenskie i bezintere-
sowne poparcie mej pracy w trudnych warunkach jenca wojennego, a Ministerstwu handlu
i p r z e m y sI u, oraz Min i s ter s t w u r 0 b 6 t pub Ii c z n y c h za wydatnq pomoc materjaln(!, kt6ra
umozliwila wydanie ksiqzki przy obecnem naszem przesileniu gospodarczem. Wyrazy wdzi
cznosci
nalezq si
takze "Technicznemu Towarzystwu wydawniczemu" w Warszawie, kt6re
zrezygnowalo wspanialomyslnie z swych praw do r
kopisu, nabytych jeszcze w r. 1917 w Moskwie.
We Lwowie w styczniu 1921 r.
M.T. HUBER
1*
\,
\.
WSTE;P
Przy projektowaniu budowli i maszyn gra nader waznq rol kwestja dobrania wymiar6w dia
oddzielnych cz sci, czyIi element6w konstrukcyjnych. .Rby t kwestj rozstrzygnqé, naIezy przede-
wszystkiem okreslié sily zewn trzne, ktôre b di! dzialaé na konstrukcj . a nast pnie znalezé z nich
sily wewn trzne, powstaji!ce w poszczeg6lnych elementach. Dia zapewnienia bezpieczenstwa i trwa-
losci konstrukcji, trzeba obraé wymiary poszczeg6Inych cz sci tak, azeby sily wewn trzne nie
przekraczaly pewnych norm, ustanowionych dIa rozmaitych materjal6w konstrukcyjnych na pod-
stawie doswiadczainego badania ich w y t r Z y mal 0 s ci.
Og61 metod analitycznych, sluzqcych do wyznaczenia sil wewn trznych, tudziet sposobôw,
ktôremi poslugujemy si przy doswiadczalnem badaniu wytrzyÎnalosci materja16w konstrukcyjnych,
stanowi przedmiot nauki 0 wytr zym alosci.
W wykladzie tego przedmiotu mozna wysuwaé na pierwszy plan bqdz to cz sé teoretyczni!,
bqdz tet doswiadczalnq, zaletnie od celu, jaki mamy przed sob q , atoli w og6lnym rozwoju nauki
okazuje si , te obiedwie cz sci Sq zarôwno wazne. T eoretyczne spekulacje mogq si okazaé bez-
plodnemi, 0 ile si nie opierajq na doswiadczeniach:Tak samo i oddzielne doswiadczenia bez teore-
tycznego uog61nienia nie wystarczajq do wyprowadzenia prawidcl potrzebnych do racjonalnego
obliczenia i nie poslut q do dalszego rozV(oju nauki.
Scisly zwiqzek mi dzy rozlicznemi dzialami techniki konstrukcyjnej a nauk q 0 wytrzymalosci,
zapewniajqcy tej nauce coraz to nowe zakresy zastosowania i wprowadzajqcy w zycie racjonalne
metody obliczen, powstal dopiero niedawno li!cznie z olbrzymim rozwojem sp6lczesnej techniki.
Dawni intynierowie i architekci obchodzili si bez obIiczen. Przy obiorze wymiar6w szli po omacku,
drogq czystej empirji. Nowe budowle byly zwykle kopjami dawniejszych. Typy budowli zmienialy
powoli swôj wyglqd, a same budowle byly niejako objektami doswiadczalnemi. Skoro budowla no-
wego typu okazala si trwalqf to slutyla za wz(ir dia nast pnych. R westja ekonomji nie grala szcze-
gôlnej roli i dlatego potrzebnq trwalosé zabezpieczano nadmiernem powi kszaniem wymiarôw. Da-
wano zbyt grube sdany, stawiano pot tne kolumny i slupy, nie liczqc si z iIoscÏi! spotrzebowa..
nych materja16w budowlanych, z ilosci q ludzkiej pracy i z czasem potrzebnym do wzniesienia
budowli.
Pierwsze naukowe prawidla, ktôre si staly poczqtkiem nauki 0 wytrzymalosci, pojawily si
w pierwszej polowie XVII-go wieku. Slawny Galileusz zwr6cil uwag na" to, te mechanika cial
sztywnych nie wystarcza do roz)N'iqzania kwestji wytrzymalosci, te nalezy p6jsé dalej i uwzgl dnié
fizyczne wlasnosd materjal6w, ich wytrzymalosé i zdolnosé do pewnej zmiany ksztaltu pod wply..
wem sil zewn trznych. W zwiqzku z dzialalnosci q budownicz q GaIiIeusza, powstaly kwestje wy"
trzymalosci belek. T emu zadaniu poswi cil GaIiIeusz szczegôlnq uwag i udalo mu si rozwii!zaé
zagadnienie zgi cia belki jednym koncem utwierdzonej (np. zamurowanej w scianie), a obciqtonej
na drugim swobodnym koncu. Dalszym rozwojem teorji zgi cia belek, wa.tnej dIa zastosowan
praktycznych, zaj ql si francuski uczony Cou 1 0 m b. Liczne wyniki j ego badati nie stracily po
dzis dzien swojej wartoscÎ. Wzorami Coulomb'a poslugujemy si dotychczas przy badaniu skr ce-
nia okri!glych pr t6w i przy wyznaczaniu naporu cial sypkich na ograniczajijce je sciany.
6
W XVIII-ym wieku rozwijali dalej teorj wytrzymalosci znakomici matematycy Daniel i Ja-
kôb Bernoulli; Euler i Lagrange zajmowali si teorjq zgi cia pr tôw. Interesujqc si matema-
tycznq stronq zagadnienia zwracali uwag przedewszystkiem na calkowanie rôwnania rôzniczko-
wego zgi tej osi pr ta i rozpatrywali rôzne mozIiwe postacie rôwnowagi zgi tych pr tôw. Praktyczne
znaczenie traktowanych zadan pozostalo nierozpe.trzonem, a wynikôw otrzymanych przez matema-
tykôw nie wyzyskali technicy. Osobliwie interesujqcym jest los pewnego zagadnienia, rozwiqzanego
przez Eulera. Chodzilo 0 stalosé rôwnowagi prostego dlugiego pr ta, sciskanego w kierunku osi
silami dzialajqcemi na jego oba konce. Wiadomo, ze pod wplywem takich sil moze pr t utracié
pierwotnq prosti'l, postaé i n wyboczyé si ". Otôz Euler znalazl wyrazenie matematyczne dIa tej
wartosci sciskaji'l,cej sily, po ktôrej przekroczeniu nastqpi wyboczenie pr ta, ale wzôr jego pozostal
na razie bez praktycznego zastosowania. StosujqC formul Eulera tam, gdzie jej stosowaé nie wolno,
zadecydowali bardzo rychlo inzynierowie nnieprawdziwosé teorji" i przy rozwiqzywaniu zagadnien
wytrzymalosci sciskanych pr tôw, zacz Ii si poslugiwaé lormulami empirycznemi rôznego rodzaju.
Dopiero w stosunkowo niedawnym czasie, w zwiqzku' z obliczaniem dlugich pr tôw, stosowanych
w konstrukcji zelaznych mostôw, pojawila si kwestja poprawnosci wzoru Eulera. Wyjasniono
granice stosowalnosci tego wzoru i obecnie uzywajq go powszechnie w technice. .RIe na to potrzeba
bylo pôUora stulecia, aby pogodzié teorj z praktyk q .
Rozwôj teorji wytrzymalosci materjatôw, w pierwszej polowie XIX-go wieku, zawdzi czamy
glôwnie pracy inzynierôw francuskich. Pierwsza Francja polozyla jako fundament wyzszego wy-
ksztaIcenia techniczllego obszerne przygQtowanie matematyczlle; a zllajomosé matematyki pozwolila
frallcuskim illzynierom opracowywaé z powodzeniem rôzllorodne dzialy nauk technicznych. W tym
czasie pojawia si ksii'l,zka N a vie r'a: nRésumé des leçons données à l'Ècole royale des ponts et
chaussées" (1824 r.), kt6ra, zawierajqc kompletny wyldad wytrzymalosci materjalôw, nie stracÏla po
dzis dzien swego zllaczenia. W tymze czasie zapoczqtkowano ogôlnq teorj r6wnowagi cial spr -
zystych, rozwijajqcq si dalej w nauk nteorji spr zystosci".
W zajemne zblizenie teorji i techlliki sprzyjalo szczeg61llie rozwojowi nauki 0 wytrzymalosci.
Budownidwo most6w, kolejnictwo i spôIczesna budowa maszyn, nastr czajq wciqz nowe i nowe
zad allia. Od badania wytrzymalosci poszczegôlnych pr tôw trzeba bylo przejsé do studjum ulda-
dôw zIoiOllych z takich pr tow. Takie uklady llabraly szczegôlnego znaczenia praktycznego w zwiijzku
z konstrukcjq mostôw zelaznych. DIa obliczenia mostôw wypracowano metody wykreslne, grajqce
obecnie bardzo WaZllij rol . Spôtczesna budowa maszyn, dopuszczajijca niekiedy bardzo wielkie
pr dkosci ruchu elementôw maszynowych, zmusita do zwrôcenia bacznej uwagi na wplyw sÏl bez-
wladnosci. Pokazalo siç, ze sily te wywolujq niekiedy znaczne napr zenia w elementach i mogij
nawet byé powodem zniszcze-nia maszyn. Nie rzadkie np. Sij przypadki neksplozji" Ml zamacho-
wych i szybko wiruji'l,cych krijzk6w turbin parowych. W zwicv:ku z powi kszeniem pr dkosci ruchu
wzrasta tez i zllaczenie powstajqcych przytem drgan. W niekt6rych warunkach mogq drgania wy-
wolaé bardzo wielkie napr zenia dodatkowe i sprowadzié zniszczenie maszyny. Cz sto zda-
rzaji'l,ce si p kni cia watôw w motorach Diesel'a, stojq zapewne takze w zwiijzku z powstajq-
cemi podczas ruchu drganiami i uderzeniami. Z podobnemi zadaniami, odnoszqcemi si do wplywu
uderzen i drgan na sily wewn trzlle, spotykamy si przy obliczaniu mostôw kolejowych. Doswiad-
czenia i liczlle teoretyczne badania wykazujq, ze pod dzialaniem obciqzen poruszajqcych si po
moscie powstajq napr zenia znacznie wi ksze od tych, jakie mozna obserwowaé w przypadkach
spoczynku owych obci zen.
Nie b dziemy wyliczaé catego szeregu nowych zagadnien nauki 0 wytrzymalosci, ktôre zkolei
stawia spôtczesna technika. Zauwazymy tylko, ze rozwiqzanie rozlicznych kwestji z nauki 0 wytrzy-
malosci, komplikuje si jeszcze w wielu przypadkach przez dodatkowe warunki, dyktowane pozqdanq
ekonomji'l, konstrukcji. Spôtczesny inzynier musi budowaé nietylko trwale, ale i tanio. Wypada pro-
jektowaé konstrukcje silne, trwale, przy najmniejszem potrzebowaniu materjatôw, pracy ludzkiej
i za u. Wiele t ôrczej energji zwrac si obecnie w tym kierunku, dzi ki czemu technika osiqgn la
Wlelkle sukcesy 1 stworzyla znacznq hczb nowych typôw konstrukcyj 0 przedziwnej lekkosci.
Wskutek szybkiej zmiany typôw konstrukcyjnych i wielkiej rôznorodnosci materjal6w, nie
mo:ina teraz przy obiorze wymiar6w czçs.ci skladowych isé drogq czystej empirji; niema czasu
7
czekaé, az praktyka pokaze zachowanie si poszczegôlnych konstrukcji w warunkach rzeczywistych.
Wszystko nalezy przewidzieé i naprzôd obmysleé. Tego mozna dokonaé tylko rachunkiem opartym
na naukowych podstawach i widzimy istotnie, ze z rozwojem techniki budowlanej, z powi kszeniem
wartosci ludzkiej pracy i udoskonaleniem wlasnosci materjalôw, idzie w parze coraz wi ksze zna-
czenie teorety-cznyeh obliezen, coraz wi kszej dokladnosci wymaga siç, wprowadzajijc stopniowo
w zakres badan warunki dopelniajijce, ktôre mozna bylo pominijé przy pierwszych obliezeniach,
robionych "z grubsza".
Rôwnolegle z wzrostem znaczenia badan teoretycznych zwi ksza si takze donioslosé labora-
torjôw. Pierwotnem zadaniem laboratorjôw mechanicznych bylo badanie wytrzymalosci i spr zystych
wlasnosci rozmaitych materjalôw budowlanych. Obecnie rozszerzylo si ich pole dzialania; obok
badania materjalôw zajmujij si Iaboratorja takze -badaniem calych elementôw konstrukcyjnych,9
a nawet modeli calych konstrukeji. T akie doswiadczenia majij niekiedy charakter sprawdzajijcy
i sluzij do przekonania si 0 slusznosci poprzednich badan teoretycznyeh; cz sto jednak majij tez
i samodzielne znaczenie.
Zagadnienie teehnÏczne wyptywajqce z codziennych potrzeb praktyki nie zawsze moze oeze-
kiwaé na zupelne rozwiqzanie teoretyczne; w tych wi c przypadkach, kiedy teorja nie dostarcza
rozwiijzania bezposredniego, kiedy nie mozna ujqé w rachunek wszystkich okolicznosci kompIikujij-
cych zadanie, uciekamy si do doswiadczen. Badamy na modelach wytrzymalosé konstrukcji i otrzy-
mujemy tij drogq odpowiedt potrzebnij dIa praktyki. Doswiadczenia tego typu grajij waznq rol
w najnowszych czasach w zwiijzku z budowq olbrzymich zelaznyeh mostôw. Niezwykle rozmiary
budowli zniewolity projektujijcych inzynierôw do stworzenia element6w konstrukcyjnych nowego
typu, rôzniqcego si znacznie od przyj tych ogôlnie i uzywanych dotyehczas. Zupelne rozjasnienie
kwestji wytrzymalosci takich elementôw mozna bylo uzyskaé tyIko drog q specjaInych doswiadczen.
Wzajemne zblizenie teorji i teehniki w zakresie nauki 0 wytrzymalosci, Idôre zaznaezylismy
powyzej, mozna zauwazyé i w innyeh dzialach umiej tnosci technicznych. Znaczenie teorji i rola
naukowego badania w technice wciqz wzrasta, co oczywiscÏe wplywa na wymagania stawiane spôl-
czesnemu inzynierowi i musi si odbié na stanie wyzszego wyksztalcenia technicznego. Nie wy-
starcza juz rzemieSInÏcze wyuczenie si , przygotowujqce inZyniera do szablonowej pracy w jakiej-
kolwiek ciasnej specjalnosci; potrzeba takze inZy'nierôw-teoretykôw z obszernem przygotowaniem
naukowem i z uzdolnieniem do badan Iaboratoryjnych. Popyt na inzynier6w tego typu zaznacza
si zwlaszeza w krajach wiodijeych prym w przemyslowym rozwoju, gdzie wyt tona walka 0 byt,
zmusza poszczegôlne przedsi biorstwa pracowaé nieustannie nad dalszem udoskonaleniem swoich
wyrob6w. Rby uczynié zadosé tej potrzebie, wprowadzono w niektôrych niemieckich politechnikach,
caty szereg nieobowiijzkowych wykladôw tresci matematyeznej, ktôre katdemu ch tnemu slucha-
czowi pozwalajq posiijsé powazne przygotowania matematyczne, nie ust pujijce w obszarze uniwer-
syteckiemu. Ustanowiono stopien naukowy doktora-inZyniera, udzielany za naukowe opracowanie
zadan technicznych, a nie rzadkie Sq wypadki, w kt6ryeh prywatne przedsiçbiorstwa, oceniajqce znacze-
nie naukowego przygotowania, wysylajq swoich inzynier6w do zakladôw naukowyeh dia sluch-ania wy-
klad6w uzupelniajqcych i uzyskania stopnia doktorskiego. T akze w niekt6rych uniwersytetach nie-
mieckich pojawila si dqznosé do wzajemnego zblizenia teorji z technikij. Ustanowiono w tym eelu
katedry nauk technicznych, urzijdzono laboratorja inzynierskie, zorganizowano seminarja, w kt6rych
mogq razem pracowaé teoretycy i inZynierowie. Jako przyklad mozna przytoczyé uniwersytet w Ge-
tyndze, gdzie na czele tego ruchu stojq tacy uczeni, jak f. KI e i n, C. Ru n g e i L. P r and t 1. Dzi ki
ich energji powstaly stale wyklady 0 charakterze technicznym, zalotono laboratorja techniczne,
a sluchacze wydzialu matematycznego mogq uez szczaé na caly szereg kursôw stosowanej mate-
tyki i mechaniki, mogq braé udzial w seminarjaeh poswi conych sp6lczesnym technicznym za-
gadnieniom, np. rozmaitym dzialom elektrotechniki, hydrauliki, statyki budowli i teglugi powietrznej.
Taka wspôlna praca teoretykôw i inzynierôw sprzyja gl bszemu naukowemu opracowaniu
kwestji technicznych i poruszajijc nowe zagadnienia, wspôldziala w dalszym rozwoju czystej nauki.
W t m zjednoczeniu tkwi rçkojmia przyszlych wielkich zdobyczy nauki i techniki.
cz Sé 1
ROZCIl\Gl\NIE 1 SCISKf\NIE
ROZDZI1\L 1
ROZCIl1G1\NIE 1 SCISRl\NIE W GR1\NICl\CH SPR iYSTOSCI
9 1. PO JECI1\ Z1\S1\DNICZE
W n.;techanice og61nej uwata si dala stale za doskonale sztywne, czyli przyjmuje si , te od-
leglosci mi dzy oddzielnemi punktami dala nie zmieniaj si pod dzialaniem sil zewn trznych.
T akie zalotenie odpowiada pierwszemu przybliteniu i wystarcza przy traktowaniu calego szeregu
zagadnieil statyki, dynamiki i astronomji, skoro jednakte przejdziemy do badania warunk6w trwa-
losci budowli i maszyn, to napotykamy zadania bardziej zlotone, w ktôrych nalety wzié:!é poo
uwag zdolnosé cial stalych do zmiany swej postad pod wplywem sil zewn trznych. Warunki
rôwnowagi dala idealnie sztywnego okazuj si i tutaj koniecznemi warunkami r6wnowagi, atoli
nie Sq warunkami w y s t arc z a j c e m i i trzeba je uzupemié na podstawie badail fizycznych wla-
snosci cial. Jako fundament sluty zwykle hipoteza molekulama. Wedlug niej uwatamy dala za zlo-
zone z bardzo matych cZqsteczek, pomi dzy kt6remi dzialajq sily wewn trzne, zwane mi dzyczq-
steczkowemi. SHy te przeszkadzajq katdej zmianie wzajemnego polotenia cZqsteczek i pojawiajq
si bqdzto jako sily p r z y ci lB'.. l .g jezeli jakies wplywy zewn trzne dqz do powi kszenia na-
turalnych wzajemnyëli- ôàlegl osci cz steczek, bqdz tez jako sily odpychajqce , jezeli pOOobne przy-
czyny dqzé:! do zmniejszenia tych:ie odleglosd.
}etelLna kie cialo dziala uklad sil w r6wnowadze, to pod ich wplywem zmieni daio swI!
postaé geometrycznq, czyli odksztaici si ; oddzielne cZqsteczki b dq zmieniaé swoje wzajemne
polozenia tak dIugo, at nastqpi rôwnowaga mi dzy silami zewn trznemi i wewn trznemi (mi dzy-
cZqsteczkowemi). _Sily zewn trzne wykonujq przytem prac zamieniaj cq si w energj P9tencjalnq
odksztalconego dala. Uderzajqcym w oczy przykiadem nagromadzenia energji jest ka:ida zgi ta spr -
_ yna powozowa lub zwini ta spr Zyna zegarowa. Jezeli zmniejszamy sHy zewn trzne, ktôre wy wo:.
laly odksztalcenie, to dalo dqty w wi kszym lub mniejszym stopniu do odzyskania pierwotnej po-
staci i od«! ai c î cio_wo pr c£ "y anéJ na <?? ztalcenie.
T wl asnosé cial powracania do pierwotnej postaci i nagromadzania w sobie energji poten-
cjalnej w ;posôb odwracalny, naiywamy s p r z y f <2.S cI 'l: "Jezeli dalo oddaje calkoWitl! praè wy-
latoné:! na - wywolanie . odksztalcenia (czyli krôtko "praq odksztalcenia") i powraca dokladnie do
pierwotnej postaci, to nazywamy je dos k 0 n ale s p r ty s t e m. Przy niezupelnem odzyskaniu po-
staci pierwotnej okrdla si s top i e il s p r z y s t 0 s cj _ iala stosunkiem pracy oddanej do pracy
spotrzebowanej na odksztalce;J.ie. Liczne materjaly budowlane okazujq si praktycznie jako doskonale
spr tyste w dosé obszernych granicach i zadaniem konstruktora jest obraé takie wymiary elemen-
tôw konstrukcyjnych, przy kt6rych odksztalcenia nie przekraczajq granic spr Zystosci. W6wczas
10
mogi}, konstrukcje trwale spelniaé swoje zadanie, albowiem z ustaniem dzialania sit zewn trznych
powr6ci}, do pierwotnej postaci.
Og6lna teorja r6wnowagi cial spr'Èzystych jest przedmiotem t e 0 r j i s p r z ys t 0 s c i. W wy-
kladach nauki 0 wytrzymalosci poprzestajemy na rozpatrywaniu najprostszych zagadnien, maj(!cych
zarazem najwi ksze praktyczne znaczenie. Przedewszystkiem zajmujemy Sl badaniem odksztatcen
pr tôw ksztaltu graniastostupa lub walca. Przyjmuj(!c, ze poprzeczne rozmiary pr ta Si}, male w po-
rôwnaniu z jego dtugoscii}" mozemy w wi lu przypadkach uproscié znacznie zadanie i znalezé roz-
wii'!zanie drogi}, elementarni'!. Qg6ln.a meJod ._,ktô:rij b dziemy siç poslugiwaé w dalszym ci(!gu, po-
lega na tem, ze pomyslanym przekrojem dzielimy odksztalcone cÎalo na dwie cz sci i rozpatrujemy
warunki r6wnowagi jednej z nich. Jezeli cale dalo bylo w r6wnowadze, to b'Èdzie w r6wnowadze
i rozpatrywana cz sé dala; trzeba tylko na powierzchni przekroju dzialaé sitami zast pujqcemi
dzialanie odcl tej cz sci na cZ'Èsé rozpatrywani},. Te sity, rozmieszczone w spos6b cii'!gly na popro-
wadzonym przekroju, przedstawiaji'! uklad r6wnowazi'!cy sily zewn trzne dzialaji'!ce na rozpatrywan(!
cz sé ciata. W przypadku pr'Èt6w 0 postaci graniastoslupa lub walca b dziemy braé pod uwagç
przekroje plaskie, zwyk1e normalne do osi pr ta. Jezeli sily zewnçtrzne dzialaji'!ce na jedni'! cz sé
pr ta sprowadzaji'! si'È do jednej sily, kt6rej linja dzialania lezy w osi pr ta, to mamy do czynienia
z przypadkiem rozcii'!gania (fig. a) lub sciskania (Hg. b) (rys. t). Na rysunku rozpatrujemy
lewi}, cz sé pr ta, a sily wewn trzne "\Y przekroju m n przedsta-
wiaji'! dzialanie prawej czçsci na lewi'!. W tych przypadkach, kiedy
sily zewnçtrzne dzialaji},ce na jedn(! cz sé pr ta sprowadzajq siç
do pary sil, lezi'!cej w plaszczyznie prostopadlej do osi pr ta,
mamy do czynienia ze zjawiskiem skr'Ècania (Hg. c). Gdy wre-
szcie sily zewn trzne dzialaji'!ce na rozpatrywanq cz sé pr ta spro-
wadzaji'! si'È do pary lezé}cej w plaszczyznie r6wnoleglej do osi
pr'Èta, to powstaje przypadek z gin a nia (hg d).
We wszystkich przytoczonych przykladach mozna bez tru-
dnosd znalezé przy pomocy statyki wypadkowi'! sil zewn trznych,
dzialaji'!cych na przekr6j mn. W przypadku rozcii'!gania lub sci-
skania otrzymujemy jedné} sil lezi'!ci'! na osi prçta. Przy skr -
caniu znajdujemy wypadkowi'! par sil, kt6rej plaszczyzna jest
prostopadla do osi pr'Èta. Nakoniec w przypadku zgi cia lezy para sil, do kt6rej si'È sprowadzaji'!
sily wewn'Ètrzne rozmieszczone w przekroju m n, w plaszczyznie przechodzi'!cej przez os pr ta.
Te wyniki otrzymane na podstawie r6wnan statyki ciala sztywnego nie wystarczaji'! jednak
do zawyrokowania 0 wytrzymalosci pr'Èta; do tego trzeba jeszcze poznaé prawo rozmieszczenia sit we-
wn'Ètrznych w przekroju. Okazuje si'È bowiem, ze cialo stawia dop6ty skuteczny op6r silom we-
wn trznym, dop6ki nat zenie sit wewn trznych, czyli na p i é.1) nie przekroczy nigdzie pewnych
granic. Z najprostszem zadaniem b'Èdziemy mieli do czynienia w tym przypadku, kiedy napi'È cia
rozkladaji}, si rôwnomiernie w przekroju i wsz dzie maji'! jeden i ten sam kierunek. Dziel(!c wy-
padkow(! tych napi é przez pole przekroju pr ta znajdziemy sH przypadaj(!ci'! na kazdi}, jednostk
pola tego przekroju. Wielkosé ta charakteryzuje zupelnie nat zenie 2) wewn trznych sil spr'Èzystosci dzia-
laji)cych w plaszczyznie naszego przekroju; nazwiemy j(! kr6tko napr zeniem. W og6lnym przy-
padku b'Èdzie rozkJad napi'Èé w przekroju nier6wnomiernym, podobnie jak np. nier6wnomiernym
jest rozklad naporu cieczy na sciany naczynia. DIa okreslenia wielkosci wewnçtrznych sit spr'È-
zystosci w kazdym punkcie przekroju uogôlnimy wprowadzone pojçcie napr zenia. Dajmy na to,
ze chodzi 0 dowolny punkt N przekroju prçta. Wydzielmy okolo te go punktu z przekroju element
pola ô Fi znajdzmy wypadkowi}, napi é okreslaji},cych dzialanie odci'Ètej cz sci pr ta na czçsé roz-
patrywané}, ale tylko na obszarze pola ô F.
P I P
f {j .- L- - - - - i -
n
p ml p
fi S b - 1- - := - - l -
n m
fis C. ff - --t n - {-
f's d et: - - 3)
Rys 1
1) [!ak przetluroaczylem osYJski wyraz "usilje" odpowiadaJqcy bardzo dobrze angielsklemu .,stress", nie mogllc
SIÇ S:OIC z wprowadzonym Ju1: dawno przez prof. J. J. Boguskiego (przy przekladach z angielskiego) terminem
"wysd ].
') [W znaczemu "intensltas"].
11
Niechaj fi P b dzie wielko ci tej wypadkowej, natenczas $ranica do kt6rej zd za wartosé stosunku
oP
TF' .
. (1)
gdy (') F d zy do zera, b dzie charakteryzowaé natçzenie wewnçtrznych sil spr Zystosci. T wiel-
ko é bçdziemy nazywaé .E rçzeniem w punkcie N plaszczyzny przekroju Ô F. Jej wymiarem jest
si 1 a: (d 1 u g 0 s é) ,a zatem techniczn jednostk naprçzenia b dzie kilogram !), na centymetr kwa-
dratowy (kg/cm 2 ). Stosownie do tego okre lenia b dzie napr zenie odpowiadaj ce naporawi cieczy
na sciany naczynia w kazdym punkcie proporcjonalne wzglçdem glçbokosci h, w kt6rej lezy roz-
patrywany punkt i r6wne ci zarowi slupa cieczy 0 podstawie r6wnej l cm l , a wysokosci h.
9 2. PR1\WO HOORE'}\
Przy badaniu rozci gania albo sciskania pryzmatycznych pr t6w chadzi 0 to, éJ.by znalezé
wzajemn zalezno 6 mi dzy wielko ci sil wewn trznych, a odpowjadaj c im zmian dIugosci
pr ta. Dajmy na to, ze dany pr t (rys. 2) 0 dlugo ci 1 podlega dzialaniu sil rozci gaji},cych rozIo-
zonych r6wnomiernie na obu przekrojach koncowych. Pod dzialaniem tych sil przedluzy
si pr t a pewnq wielkosé À.
Jezeli pr t podzielimy w my li na podluzne elementy, 1. z. w 16 k n a, to okazuje siç ze
wszystkie elementy znajduji}, si w tychze samych - warunkach, wszystkie wydluzi}, si
o tç sam wie1ko é. ...:. ()
Przetnijmy pr t plaszczyzni}, 60, prostopadl q do kierunku sil rozd gajqcych; skoro
odrzucimy dolni}, cz sé, to dIa r6wnowagi g6rnej cz sci trzeba na przekr6j 00 dzialaé
silami wewn trznemi (napi ciami), kt6rych wypadkowa jest r6wna P i skierowana pio-
nowo w dôt. Zwazywszy, ze te napi cia okre lajq dzialanie dolnej czçsci na g6m ,
a wszystkie wl6kna znajdujq siç w tych samych warunkach, ,mozemy przyji!é roz d napi é
w plaszczyznie poprzecznego przekroju jako r6wnomierny. W lakim przypadku wielkosé
p
p=- .
F
P
tH
r- .
,
"
p
Rys.2
. (2)
okresla wartosé napr zenia w kazdym elemencie obranego przekroju, a zatem i dowolnego innego
przekroju prostopadlego do osi.
Do okreslenia odksztalcenia pr ta b dziemy uzywaé stosunku przedtuzenia J. do pierwotnej
dlugQscÏ. l, ja o liczby ni zal znej od tejze. Ten stosunek.
1-
e=T .
. (3)
nazywa si wydluzeniem w z gl d n e m, albo w la s ci w e m 2). Liczne daswiadczenia nad rozci -
ganiem i sciskaniem pr t6w sporzqdzonych z rozmaitych materjal6w konstrukcyjnych wyka-
zaly, iz dop6ki napr zenia nie przekrocz pewnych granic (charakterystycznych dIa kazdego ma-
terjalu), mozna z dostateczn dokladnosci q przyjqé ich wielkosé za proporcjonalnq wzgl em odpo-
wiedniego wydluzenia wla ciwego t. j.
P = Ee, albo e = . . (4)
T prost zalezno é mi dzy napr zeniem i odpowiadajqcem mu wydluzeniem sformulowaI najpierw
H 00 k e (czytaj H uk) w r. 1676. Ten angielski uczony znalazl do wiadczalnie, ze wydluzenie pr tajest
..-....r_ ,...",
1) [To znaczy ciçzar kilograma. 1 kg/cm 2 jako jednostka napr tenia nosi takze l1azw : "nOWB atmoslera"].
2) [Liczba e przedstawia zarazem bezwzglçdne wydlutenie jednostki dlugo ci kt6regokolwiek wl6kna rozciQganego
pr ta i dlatego nazywaj'lii! ta!Ue wydluteniem jednostkowem].
12
wprost proporcjonalne wzgl dem obciqzajé}cej sily i dlugosci, a odwrotnie wzgl dem pola prze w
kroju pop ze cznego, czyli
-'
Pl
À=-'
EF
. (5)
--.... '" 4-
Stalé} E nazywamymodulem, sprç, yst2-ffi<:;j przy rozcié}ganiu l ). Wielk sé E.b dzie oczywiscie
dU! r6 cE materjal6w r6zna. Nawet dia jednego i tego samego. materJalu ]ema o ul spr :
zystosci wartosci stalej, lecz waha si nieco w zaleznosci od rozhcz?ych .domles ek 1 plerwot eJ
obr6bki. Sq i takie materjaly, w kt6rych wartosé modulu spr zystoscl zalezy od klerunku rOZclé}w
gania. Np. przy rozciqganiu krysztaJ:6w zmienia si E w zaleznosci od tego, do kt6rej z osi jest
kierunek sil rozciqgajé}cych r6wnolegly. W dalszym ciqgu b dziemy siç zajmowaé prawie wylé}cznie
odksztalceniami takich cial, tq!y£h wtë!sI)osci.spr zy te sc! we w&zystkich kierunkach jednakowe.
Takie ciala noszé! nazwç izotropowych, albo r6wnokierunkowych.
.- Oto szereg wartosci modulu E:
. Materjal
E kglcm 2
Zelazo spawalne .
Zelazo zlewne i stal .
Glin wyci any .
" odlewany .
Miedz wycié}gana
" odlewana.
Nikiel. ..
Cynk wyciqgany
Dçbina wzdluz w16kien
SosnÏna" "
Surowiec szary .
1,9 . 10" do 2,1 lOb
2,0 . 10 6 do 2,2 . 10 11
7,5 . 10 5
6,6 . 10 5
1,2". 10 10
1,1 . lOb
. 1 2,2. lOh
4,1 . 10 5
10,8 . 10 4
9,2 . 10 4
8,0 . 10 5 do 1,05 . 10 6
Prost y zwié}Zek proporcjonalnosci miçdzy napr zeniem p, a odpowiadajé}cem wydluzeniem e za-
chodzi, jak juz nadmienilismy, tylko w pewnych granicach. T ç wartosé p, przy kt6rej zaczynajé!
siç dostrzegalne zboczenia prawa Hooke'a, nazywajq gr a n i c é} pro p 0 r c j 0 na 1 nos c i. Ta wielkosé
zalezy nietylko od natury materjalu, lecz takze i od jego poprzedniej obr6bki mechanicznej. Dia nie w
kt6rych materja16w jest granica proporcjonalnosci wcale wysoka, dia zelaza kowalnego np. r6wna
si okolo 2000 kg/cm' (dia stali jeszcze wi cej), u innych zas materjal6w mozna juz przy niewiel w
kich naprçzeniach zauwazyé zboczenia od prawa Hooke'a.
Przy doswiadczeniach z rozcié}ganiem notuje si pr6cz granicy proporcjonalnosci drugq wiel-
kosé charakteryzujé}cq spr zyste wlasnosci materjalu; jest ni gral!ja,.:;prezy t..Q..tçJ. Tak na w
zwano wartosé naprçzenia, wzgl dnie wydluzenia wlasciwego, po kt6rej przekroczeniu pojawiajé! si
pierwsze odksztalcenia trwal e, t. j. nie znikajqce po usuni ciu dzialania sHy rozcié}gajqcej. DIB
JI .
napr zen mniejszych od napr zenia na granicy spr zystosci powinien materjal zachowywaé siç
jako doskonale spr zysty (ob. 1). 1\toli obserwacja tak pojmowanej granicy spr zystosci (teore-
tycznej graniey sprçzystosci) jest nader trudné} i zalezné} od dokladnosci srodk6w pomiaru. Z tego
powodu przez granie sprçzystosci rozumiemy zwykle tç wartosé naprçzenia, przy kt6rej trwale
odksztalcenie jest pewnq okresloné! cz sciq odksztalcenia calkowitego (praktyczna gr. spr.). Wiel w
kosé ta zalezy zatem od uIDowy.
1) [l\nglicy nazywaj,! E "mo d ulem Y 0 ung'a". W polskiejliteraturze technicznej utarla siç nazwa "s p6lczynnik
sprçtysto cl", odpowiedniejsza raczej dIa odwr6conej warto ci 1: E. Nie przypisujqc w tym przypadku kwestji nazw
przesadnej waznogci (jak to np. czyni Bach), zaznaczymy jednak, te znaczenie stalej E okreglalaby najlepiej nazwa:
"modul rozci'lgania spr tystego", l:E zag: "sp61czynnik rozciqgania sprçtystego"].
13
T akie materjaly, jak kamien, beton i zelazo lane posiadaj bardzo nisk granic proporcjo-
nalnosci. Juz przy stosunkowo niewielkich naprçzeniach pojawiaj,,! siç u nich zboczenia od prawa
Hooke'a 1). Znalezion doswiadczalnie zaleznosé miçdzy wydluzeniami, a odpowiedniemi naprçze-
niami przedstawiamy z korzysci w y k r es e m, czyli dia g r a m e m. Na osi poziomej np. odcinamy
wydluzen e jednostkowe e (rys. 3), a na osi pionowej odpowiadaj,,!ce im naprçzenia p, wtedy kazdy
stan rozcl ganego prçta przedstawia siç na plaszczyznie ep oddzielnym punktem, a caly proces
rozci gania przedstawi siç pewn linj(! Dm'. Linja ta bçdzie oczywiscie
prost Dm, dop6ki naprçzenia s proporcjonalne wzglçdem wydJ:uzen, czyli P
dop6ki nie przekroczono granicy sprçzystosci. DIa takich materjal6w, jak
zelazo lane, rosn nastçpnie odksztalcenia prçdzej anizeli naprçzenia i otrzy-
mamy dalej krzywq mm', zwr6conq wypuklosci q ku g6rze (ku osi p). Skoro
przejdziemy od rozciqgania do sciskania, to otrzymamy linj Dm", ktôra
dIa zelaza lanego przedstawia siç podobnie, jak na rys. (3) i sklada siç
z prostej wychodzqcej z punktu 0 i krzywej zwr6conej wypuk.losci q w d6t
(ku osi p). Czçsci prostolinjowe diagramu S,,! czçsto bardzo kr6tkie i wsku-
tek tego niedostrzegalne przy zwyklych doswiadczeniach technicznych
z zelazem lanem, w kt6rych stosujemy od razu dosé znaczne naprçzenia.
atoli obiedwie czçsci majq to samo nachylenie wzglçdem osi, czyli nalez,,! do jednej i tej samej
prostej ). Postaé linji m'm" mozna w kazdym poszczeg61nym przypadku znaIezé doswÏadczalnie.
Poz danem byloby niekiedy okresIié jq analitycznie. Istnieje nie malo formuP) og6lnej postaci
m
p
e
Rys.3
e = ({p),
kt6re z wiçksz lub mniejszq dokladnosci przedstavdajq zaletnosé miçdzy pie. RaZda z nich
zawiera pewne stale znalezione z doswiadczen. lm wiçcej takich stalych, tem wi ksza oczywiscie
dokladnosé, z kt6r formula odtwarza wyniki doswiadczetL Obecnie stosujq najczçsciej do zelaza
lanego i kamieni formulç potçgow
e = apm, .
. (6)
w kt6rej a i m przedstawiajq stale doswiadc"Z-aÏnè. - '-
W przypadku m = 1 daje powyzszy wz6r prawo Hooke'a, a sp6tczynnik a., zwany spôl-
czynnikiem wydl.uzenia jest w6wczas odwr6con,,! wartoSci q modulu spr zystosci E. Gdy m > 1, to
otrzymujemy krzyw zwr6con,,! wypuk.losci do gôry. podobnie jak krzywa rozciqgania telaza
lanego, jezeli zas m < 1, to odpowiadaj ca krzywa zwraca siç wklçstosci q do g6ry, a naprçzenia
rosn pr dzej niz wydluzenia. Ze zjawiskiem tego rodzaju spotykamy siç np. przy rozcië'!ganiu
sk6rzanych pas6w.
Jako przyklad przytoczymy kilka formul z doswiadczen Bac ha:
e = 1 pl.083 dia rozcÎqganego zelaza lanego
1338000
e = - 25 00 pl.132 dIa sciskanego granitu
e - - - ....0,7 dIa rozcië'!ganej sk6ry (z pas6w transmisyjnych).
- 415 fi
Doswiadczenia wykazaly 4), te przy dosé wielkich wartosciach naprçten daje wz6r potç-
gowy wyniki zupelnie zadawalaj,,!ce. a zalemosé (6) miçdzy e i p odpowiada, przy stosownym
.
1) Przy bardzo malych naprçteniach motna a priori spodziewai5 si , te ka.tdy materjal podlegai5 musi prawu
Hooke'a (P. t.). .. 1
DIa telaza Ianego potwierdzily to subtelne dogwiadczenia Grüneisena puy napr teniach 0 do 9 kg/cm. (Be-
richte d. Deutschen phys. Gesellschalt. 1906). . .
») [W przekladzie podkreglono to zdanie jeszcze silniej od autora, poniewaz w wielu nawet wyb1tnych kSliltkach
motna si spotkaé z odmiennem bl dnem mniemaniem].
8) R. Mehmke: "Zum Gesetz der elastischen Dehnungen". . f. Math. u. Ph. 1897.
"') C. Bac h: "EIastizitiit u. Festigkeit". Wyd. V, str. B1. Berlin 1905.
14
doborze stalych «i m, ze znaczn"! dokladnoscÎ,,! rzeczywistosci. Niezgodnosé formuly pot go-
wej z doswiadczeniem przy bardzo malych naprçzeniach, objasnia przytoczona powyzej rozprawa
Grüneisena 1).
3. OPO:lNIENIE SPREZYSTE
o
Dotychczas przyjmowalismy, ze kazdej okreslonej wartoscÎ naprçzenia rozcÏ,,!gaj,,!cego odpowiada
pewne wzglçdne wydluzenie e, ktôre siç wytwarza bardzo rychlo podczas dzialania sily rozci"!ga-
j,,!cej prçt. Dokladniejsze doswiadczenia wykazuj,,! jednak, ze na wielkosé odksztalcenia ma pewien
wplyw czas nawet w tych granicach, w ktôrych mozna je uwazaé za doskonale 'sprçzyste. Odksztal-
cenie rosnie z czasem, coraz to wolniej, zbIi:iaj,,!c siç niejako asymptotycznie do okreslonej war-
toscÏ, przy ktôrej dopiero zachodzi rownowaga sil zewnçtrznych i wewnçtrznych.
Podobniez nie znika zupelnie odksztalcenie sprçzyste natychmiast po usuniçciu
sil zewnçtrznycn, lecz dopiero po pewnym czasie, przyczem prçdkosé zanikania
szybko male je. Zjawisko to nosi nazwç .QP 0 z nie nia s p r ç z ys t ego. Gra ono
wain,,! rolç przy odksztalcaniu cial pochodzenia organicznego, jak powrozow,
rzemieni i t. p. U metali, w granicach naprçzeii, dopuszczalnych przez technikç
konstrukcyjn,,!, niema opôznienie sprçzyste znaczenia praktycznego i inzynier nie
potrzebuje siç z niem liczyé :2).
o wiele wiçksz rolç gra to ciekawe zjawisko w dziedzinie fizyki, gdzie posiada juz obszern,,!
literaturç ). Badania wykazuj,,!,. ze opôznienie sprçzyste pojawia siç w tym slabszym stopniu, im
bardziej jednorodnym jest materjal. W krysztalach warcu np., jezeli zachodzi wog6le op6znienie
sprçzyste, to tylko tak male, ze> nie przekracza blçd6w przy najdokladniejszym pomiarze odsztal-
cenia. prawda, ze i w tym przypadku nie brak pewnych zmian wydluzenia z czasem, jednakowoz
wielkosé tego pozornego opôznienia sprçiystego i charakter zaleznoscÏ od czasu objasniajq siç
zupelnie, jezeli uwzglçdnié termÏczne i elektryczne zmiany ciala przy odksztalceniu 4).
Rys.4
4. ENERG]J\ ODRSZTJ\LCENI1\ PRZY ROZCIl1G1\NIU
Niechaj na dolny koniec prçta umocowanego gôrnym koiicem w polozeniu plOnowem dziala
obci,,!zenie, kt6rego wielkosé wzrasta stopniowo od zera do wartosci P Wtedy zwi,,!zek miçdzy
calkowitem wydluzeniem 1., a wielkosci,,! sily przedstawi w granicach wainoscÏ prawa Hooke'a
prosta Oa (rys. 5).
Wetmy pod uwagç dowolny stan prçta okreslony punktem m. Jeieli odpowiedniej wartoscÏ
rozci aj,,!cej sily udzielimy nieskoiiczenie malego przyrostu, to wydluzenie prçta wzrosnie 0 d J..
1) [Formula pot gowa ma charakter dogwiadczalno-praktyczny i nie moze mieé zgola pretensji do miana "prawa''.
kt6remi iq obdarzajq niekt6re nasze podrçczniki pod wplywem pewnego odlamu niemieckiej literatury technicznej Gdyby
istniala formula prz dstawiajqca uog61nienie prawa Hooke'a, to musialaby przedewszystkkm, w granicach bardzo maly(.h
wartogci e i p, daé si przeksztalcié na formul Hooke'a, albo, co na jedno wychodzi, musialaby krzywa przedstawiajqca
uog6lnion'l formul mieé w poczqtku sp6lrz dnych charakter linji prostej nachylonej pod kqtem ostrym do obu osi.
Dia kaidego punktu na tej cz gci mialby stosunek p: e wartogé prawie stalq i okrdlalby modul spr zystogci E w odpo-
wiednim przedziale malych napr zert i odksztalce:ti. Tymczasem wz6r pot gowy (6) nie dopuszcza tego przeksztalcenia,
gdyz krzywa. kt6ra go przedstawia, jest w poczqtku sp6lrz dnych styçzIlé! do osi P w przypadku m > 1, zd w przypadku
m < 1 jest styczm do osi e, jak si latwo przekonaé przy pomocy r6zniczkowania. W pierwszym przypadku bylby zatem
modul spr zystogci dia nieskortczenie malych napr zet'i niesk06czenie wielki, w drugim zag nieskortczenie maly, co jest
oczywistq niedorzecznotci'l. Mimo to posiada formula pot gowa pewne zalety praktyczne, kt6re w znacznej czçgci uspra-
wiealiwiajq jej rozpowszechnienie. Z pogr6d formul z dwiema stalemi, pozwala ona najlatwiej obliczyé te stale z danego
szeregu dogwiadczeti, przy pomocy przeksztaicenia logarytmiczne o
log p= log a+ m log e,
Punkty 0 sp6lrzçdnych log e, log p lezq bowiem wtedy lia li n p -prostèj, kt6rej polozenie wzgl dem osi okregla \\ artogé
stalych log a i m. Nadto, 0 ile 1fie chodzi 0 przedzial malych napr ze:ti, nie majqcy zwykle znaczenia w nauce 0 wytrzy-
malogci, zalicza siç (wedlug przytoczonej powyzej pracy Mehmke'go) formula potçgowa do najdokladniejszych z pogr6d
rozlicznych proponowanych wzor6w z dwiema stalemi].
') [0 iIe nie zajmuje si samodzielnem badaniem spr zystogci i wytrzymalogci materjal6w).
3) 1\. Winkelmann: "Handbuch d. Physik". 1 Bd. t908. Str. 796.
) l\. J off : "Elastische Nachwirkung im kristallinischen Quarz". l\nn. d. Phys. IV Foige. Bd. 20. J. 1906.
..
15
î 0 tylez obnizy si obciqzenie, wykonujqc przytem prac elementarnq r6wnq iloczynowi sily
i przesuni cia. Na rys. (5) przedstawia si ta praca polem zakreskowanego paska elementarnego.
Przechodzqc teraz kolejno od jednego stanu do stanu nieskoiiczenie bliskiego, mozemy obliczyé calko-
wit q prac T, wykonanq przez sil obciqzajqcq przy jej zmianie od zera do pewnej
koncowej wartosci P. Na rys. (5) wyobraza t prac pole tr6jk q ta, a zatem
P}.. Fil }..IEF
T=T= 2EP = '
przy uwzgl dnieniu r6w. (5).
IHeby otrzymaé wynik niezalezny od rozmlarow badanego pr ta, obli-
czymy prac odniesioné} do jednostki obj tosci. Zwazywszy, ze objçtosé prçta
jest r6wna FI, znajdziemy:
T 1 P }.. 1 pl
FI =27'T= 2"pe= 2E
Praca ta przekszta ka sl - widocznie na energj potencjalnq odksztalconego prçta i jezeli jego
materjal jest doskonale spr zysty, to przy zmiejszaniu obciqzenia zamieni siç energja potencjalna
napowr6t w prac . Pomin lismy przytem zmiany termiczne i elektryczne towarzyszqce odksztaice-
niu pr ta, -albowiem te interesujqce zjawiska nie majq, jak dotqd, praktycznego znaczenia ').
IH:eby mieé wyobraienie 0 ilosci energji, jaka moze byé nagromadzona w rozciijganym pr cie \
w granicach stosowalnosci prawa Hooke'a, obliczymy jq w przypadku zelaza 0 granicy proporcjo-
nalnosci 2000 kg/cm i i module spr zystosci E = 2 . lOG kg/cm!. Przy pomocy r6w. (7) znajdziemy, , j
ze w jednym centymetrze szesciennym takiego zelaza motna nagromadzié 1 kg/cm l energji. Dia
kauczuku zas mozna przyjqé E = 10 kg/cm 2 , a granic spr zystosci 20 kg/cm 2 , wobec czego energja
nagromadzona w 1 cm s kauczuku mote osiqgnqé wartosé 20 kg/cm i .
p
cr
-j
. (7)
'.)
Rys.5
9 5. ZMI1\N1\ ROZMI1\ROW POPRZECZNYCH PRZY ROZCIl\G1\NIU
Rozciijganiu pr t6w towarzyszy zmniejszenie poprzecznych rozmiar6w i do zupelnego scha-
rakteryzowania wlasnosci spr zystych ciala r6wnokierunkowego nie wystarcza sam modul spr -
zystosci E, lecz trzeba jeszcze podaé wielkosé okreslajqcq skurczenie poprzeczne przy rozciqganiu
podluznem.
Jezeli przez e oznaczymy wzgl dne wydluzenie w kierunku rozciqgania, to wielkosci q odpo-
wiadajijcego poprzecznego skurczenia jest (je, przyczem (j jest ulamkiem wlasciwym, lezqcym mi -
dzy granicami 0 a 0,5. Nazywamy go liczb q (stosunkiem) Poisson'a na czesé francuskiego ma-
tematyka, kt6ry spr6bowal oznaczyé (j e drogij analitycznq na podstawie molekularnej hipotezy budowy
materji. Z obliczenia Poisson'a wyniklo, ze dia wszystkich cial r6wnokierunkowych powinno
byé (j stale i r6wne f. P6zniejsze bardzo liczne doswiadczenia nie potwierdzily jednakze tego
wniosku teoretycznego i okazaly, te liczba Poisson'a jest dia r6znych materjalôw r6zna. Liczba ta
jest obok E drugq stalq charakteryzujqcq spr zyste wlasnosci materjal6w r6wnokierunkowych.
Oto wartosci cr dia niekt6rych materjai6w i ):
Materjal (j Il Materjal cr
1elazo kowalne 0,28 Cynk. 0,27
Stal. . 0,29 Brqz 0,36
Miedz. . . 0,34 Rorek. 0,00
Nikiel. . . 0,33 Rauczuk 0,47
Glin (aluminium). 0,36 Parafina . . 1 0,50
1) W literaturze technicznej zajmuje si tl! kwestjil interesuj'lca ksiq.tka C. Kriemlera: "Einführung in die ener-
getische Baustatik". Berlin 1911.
2) Tablica zawiera grednie wartogci z danych w "Handbuch d. Phys." Winkelmann'a. Nowsze bardzo dokladne
oznaczeBia a przeprowadzil Williams (Phil. Mag. 1912).
16
Znajqc wartosé a mozna obliczyé zmian obj tosci pr ta przy rozcÎqganiu w granicach pro-
porcjonalnosci. Dlugosé pr ta powi ksza siç w stosunku (1 + e) : 1, a rozmiary poprzeczne zmniej-
szajq si w stosunku (1 - O'e) : 1. Obj tosé przy rozciqgni ciu ma siç przeto do obj tosci pierwotnej
jak (1 + e) (1 - ae)2 do 1. Zwazywszy, ze e i ae Sq bardzo malemi ulamkami, mozna z pominiçciem
malych wyzszego rzçdu napisaé:
(l+e) (l-ae)i=l+e (1-2a),
a zatem stosunek przyrostu i obj tosci przy rozciqganiu pr ta do objçtosci piêrwotnej bçdzie r6wny:
[1 +e (t - 20') - 1] : 1 = e (1 - 2a).
Materjaly, u kt6rych wartosé 0' jest blisk q 0, Ii, zmieniajq, jak widzimy z powyzszego wyrazenia,
bardzo nieznacznie swojq obj tosé przy rozciqganiu. Nieprawdopodobnem jest, aby istnialy ciala,
dIa kt6rych 0' > 0,5, gdyz w takim rarie rozciqganie wywolywaloby zmniejszenie objçtosci ciala.
Przechodzqc od rozciqgania do sciskania prçt6w, otrzymamy s p ç c z nie nie (r 0 z s Z e r zen i e)
_P? P r zee zn e, przyczern w granicach proporcjonalnosci ma a tç sarni! wartosé liczbowq,.E o przy
rozciqganiu.
. -.. U rnaterja16w takich, jak zelazo i stal jest wzgl dne wydluzenie w granicach proporcjonalnosci
bardzo male, wskutek czego mozna nie uwzgI dniaé zrniany przekroju poprzecznego przy obliczaniu
napr zeii i rnodulu E, a wszystkie rachunki mozna odnosié do pierwotnego pola przekroju poprze-
cznego. 1\Ie dIa materjal6w zdolnych do wielkich odsztalceii spr zystych, jak kauczuk, trzeba przy
obliczeniu E wziqé pod uwag i zmian przekroju, co znacznie kornplikuje rachunek 1).
ROZDZIl\L II
ROZCIl\Gl\NIE 1 SCISRl\NIE POZI\. GRI\.NICl\MI PROPORCJONl\LNOSCI
6. DI1\GRl\M ROZCI1\Gl\NIl\
Dotychczas zajrnowalismy siç rozpatrywaniem rozciqgania i sciskania w granicach proporcjo-
nainosci. przy daiszym wzroscie odksztaJcenia ustaje waznosé prawa Hooke'a; mi tlzy wydluze-
niami a odpowiadajqcemi im naprçzeniami zachodzi zaleznosé bardziej zlozona i dIa r6znych
rnaterjal6w rozmaita. T ç zaleznosé przedstawia si zwykle wykreslnie. Na jednej z osi prosto-
kqtnego ukladu sp61rzçdnych odcina y wieikosci proporcjonalne wzgIçdem .wydluzefi, a na drugiej
odpowiadajqce wartosci napr zeIÎ. Otrzymanq tym sposobem krzywq nazywamy dia g r a m e m, albo
wykresem rozciqgania. Maszyny uzywane do badania ma-
terja16w przy rozciqganiu Sq zwykle zaopatrzone w aparat kre-
sI(!cy diagram samoczynnie. Otrzymany z dQswiadczenia dia-
gram charakteryzuje wcaie dobrze wlasnoscÏ materjalu i dlatego
rozpatrzymy nieco szczeg610wiej jego postaé dIa zelaza kowal-
nego i stali, materja16w, z kt6remi najczçsciej mamy do
czynienia przy obliczeniach.
Na rys. (6) widzimy takie krzywe dIa zelaza spawainego,
rni kkiej i twardej stali. Wszytkie trzy diagramy majq cz sé
poczé!tkowQ prostolinjowQ, bardzo slabo nachylonq wzgIçdem osi
rz dnych. Ta czçsé odpowiada prawu Hooke'a.
Od granicy proporcjonalnosci (oznaczonej na krzywej
() 2 4 1 8 fI! I.l Il '1 1'1 NJ Z dIa zeiaza spawalnego literQ JI) zaczynajQ odksztalcenia
wzrastaé siIniej anizeli napr zenia, linja diagramu zakrzywia
siç, zwracajQc wypuklosé ku g6rze. W dalszym cié!gu po-
jawia siç nagle szybko postçpujé!ce wydluzenie prçta bez jednoczesnego wzrostu sily rozcié!-
gajqcej. Na diagrarnie odpowiada temu zjawisku mniej w:içcej prosta pozioma, zaczynajé!ca si
P"i'J,,'
1'/JI}(J
6/JOO
20.
1()(}tJ,
Rys.6
1) O. Frank: "Die l\nalyse endlicher Dehnungen u. die Elastizitiit d. Rautschuks". l\nn. d. Rhys. 1906. str. 602.
w punkcie B 1). Przy datszem zwi kszaniu obcÎ<!zenia odzyskuje materjal ponownie odpomosé
przeciw rozciilgajilcej sile i rz dne wykresu znowu rosnil tak diugo, dop6ki nie pojawi si na bada-
nym pr cie "szyjka", 1. j. miejscowe zw zenie przekroju mn
(rys. 7). Od tej chwili koncentruj<! si dalsze odsztalcenia w oko-
licy szyjki. Poniewaz przy tem zmniejsza si znacznie przekr6j
poprzeczny, wi c dalsze wydluzenie zachodzi przy zmniejszajqcej
si sile. Calkowity diagram ma przeto wyglild przedstawiony
na rys. (8).
W diagramie wyr6zniamy trzy wazne punkty: Punkt fI, od.
powiadajilcy granicy proporcjonalnosci, punkt B, zwany punktem
krytycznym 2) i nakoniec punkt D, okreSlajilcy wielkosé sily
potrzebnej do rozerwania pr ta. Poprzednio wprowadzilismy juz
poj cÏe (praktycznej) granicy spr zystosci (ob. 1). Rozumielismy
przez ni t wartosé napr zenia rozcii!gajqcego, przy kt6rej trwale
odksztalcenie osi ga pewnil, ustaloné! przez umow , cz sé odksztalcenia calkowitego. U ielaza kowal-
nego i stali sq trwale odksztalcenia do punktu A nadzwyczaj male, wskutek czego bardzo cz sto m6-
wimy 0 granicy spr zystosci, majilc na mysli "granic proporcjonalnosci" tych materjal6w. Punkt
krytyczny lezy oczywiscÏe powyzej granicy spr zystosci. Zboczenia od prawa Hooke'a w cz sci AB
diagramu objasniaji! zwykle niejednolitoscii! budowy materialu i nier6wnomiernoscié! rozkladu napr -
zen w przekrojach poprzecznych rozcié!ganego pr ta S). Wskutek tych przyczyn powstajé! lokalne
przeciilZenia materjalu towarzyszé!ce miejscowym trwalym odksztalceniom. Czem doskonalszy ma-
terjal, tem mniejsza cz sé AB, tem blizej siebie lezé! granica proporcjonalnosci i punkt krytyczny.
Zjawiska, odpowiadajë}ce puriktowi krytycznemu, wskazujq na t , ze w materjale zachodz
w owej chwili znaczne zmiany. Jezeli powierzchnia rozdilganego pr ta zelaznego jest polerowana,
to przy zblizaniu si do punktu krytycznego moma dostrzec na niej pojawienie si linij nachylo-
nych do osi pr ta. Nazywajil je linjami L üders'a od niemieckiego intyniera, ktôry je pierwszy
zauwazyl. Do badania tych linij uzywa si specjalnego mikroskopu. Zaznaczyé wypada, te zasto-
sowanie mikroskopu do badania wlasnosci metali zaj o w ostatnich latach wielu badaczy i dopro-
wadzÏlo do calego szeregu ciekawych odkryé. Og61 metod stosowanych przy tych badaniach naleZ)'
do dziedziny met a log r a f j i.
Badania mikroskopowe wykazujib ze takie materjaly jak zelazo skladajil si z ziarn krysta-
licznych, rozdzielonych substancjil 0 innym skladzie, a linje Lüdersa, przedstawiajilce si nieuzbro-
jonym oczom jako w;p:iutkie bruzdy z 'podniesionemi brzegami, okazujil si pod mikroskopem jako
zbi6r krysztal6w, kt6re doznaly przesuni é w plaszczyznach sp6jnosci 1). Pierwsze linje Lüdersa
pojawiaji! "si w postaci cieniuchnych kreseczek natychmiast po przekroczeniu granicy proporcjo-
nalnoscÏ i Sil bardzo czulym objawem tego przekroczenia b). Przy dalszem rozci aniu pojawiajé!
si dwa uldady linij przecinajilcych si wz jemnie i nachylonych pod jednym i tym samym kqtem
do osi pr ta. Rilt ten okazuje si charakterystycznym dIa kai ego metalu 6). Na pojawienie si
trwalych odksztalcen wskazuje nadto, obok linji Lüdersa, podwyzszenie temperâlûry pr fa. Dop6ki
17
p
o
Rys. 7
Ry..8
1) Bardziej szczeg610we badania wykazujl!, te od tego punktu mote odkszta1cenie wzraslal: nawet przy zmniejszeniu
si wartogci rozciqgaj'lcej siIy. To zmniejszenie zag jest tem znaczniejsze, im ostrotDiej zblizaé siç z wartogci q obCÎ'ltenia
do punktu krytycznego. Interesuj'lce wyniki otrzymal w tej dziedzinie 1\. M. Dragomirow. Dokiadne zdj\Jcie diagramu
w okolicy punktu krytycznego uzyskal na drodze fotqgraficznej prof. W. E. Dalby: "Load.Extension diagrams obtained
PhotographicaUy". Engineering 1902. Str. 503.
2). [Nazwa "punkt krytyczny", uzywana w literaturze angielskiej, odpowiada niemieckiej "Fliessgrenze" albo "Streck-
grenze", co tlumaczono u nas przez "granicç plynnogci", lub "granicç plyni cia" (w "Techniku" wprowadzono termin
"granica ciastowatogci"). Za odpowiedniejszll od tych ostatnich uwatamy nazw "gr. plastycznogci"].
S) 1\. M. Smith: .,The elastic breakdown 01 non-Ierrous metals". Engineering 1909. Str.593.
Mn6stwo danych dogwiadczatnych podaje Hartm ann w ksiqzce: .,Ph nom nes qui accompagnent la d lormation
permanente" 1900.
Ob. takze W. Mason: Proc. 01 Phys. Soc. London 1911. 23, str. 305.
) I. 1\. Ewing: ..The strength 01 materials".
5) M.l\. W or op aj ew: "Ob opredjelienij naprjazenij i "delormacij w bru!.iach bolszoj kriwizny". hw. Riew. Pol.Inst. 1910.
6) Rejto. 1 R eibung". 1897.
. " finere
Kun wytrzymatofcl meterjetcsw
2
18
nie przekroczymy granicy spr i:ystosd.. towarzyszy odksztalceniu obnizenie temperatury, czego
mozna si bylo spodziewaé na podstawie rozwazan termodynamicznych. To obnii:enie jest jednak
bardzo male i mozna je wykazaé tylko przy pomocy termo"elementu r czulego galwanometru. Z po"
jawieniem si odksztalcen trwalych zamienia si odpowiadajijca praca odksztalcenia za posrednictwem
"tarda wewn trznego" na cieplo i temperatura pr ta podwyzsza si silnie 1).
Pojawienie si trwalych odksztalcen wywoluje takZe naglij zmian magnetycznej przenikliwosci 2).
7. WPL YW CZIlSU NIl WYDLU2ENIl\
Przy rozpatrywaniu rozciqgania w granicach proporcjonalnosci nadmienilismy jui:, ze wydlu"
ienie rosnie nieco z czasem i nazwalismy to zjawisko op6znieniem spr iystem. Po przekroczeniu
granicy spr zystosci staje si wplyw czasu daleko silniejszym. Mierzijc wydluzenie przy pomocy
rozpowszechnionego aparatu zwierciadelkowego, powi kszaj<!cego wydluzenia 500 razy, mozna wy"
godnie obserwowaé powolny wzrost wydluzenia przy niezmiennem obciqzeniu. W takim przypadku
m6wi q , ze materjal "ply ie". Jezeli obciqzenie przekroczylo pewni! granic , to takie wydluzanie
prçta moie z czasem zakonczyé si rozerwaniem.
Szczeg6lnie siIny wptyw czasu zachodzi u takich materjal6w, jak
cynk i o16w. Ogromne znaczenie ma dIa nich pr dkosé, z jaki! rosnie
obcii!ienie. Le Ch a tel i e r zrobil w tym kierunku interesuji!ce doswiad"
czenie. Rozcii!gaji!c E!.. ty cynkowe przekonal si , ze do rozerwania pr ta
w cii!gu jednej minuty potrzeba bylo napr zenia 2400kg{cm l , zas przy
doswiadczeniu trwaji!cem cali! godzin wystarczalo 1150kg{cm 2 . Jezeli
dalej przedlui:yé trwanie doswiadczenia, to moi:na jeszcze nieco zmniej-
szyé wielkosé napr zenia rozrywaji!cego. Zauwai:ymy nadto, ze wplyw
czasu objawia si najsilniej w pierwszej chwili dzialania obciijzenia,
poczem po pewnym przeciqgu czasu staje si przyrost wydlui:enia nie"
dostrzegalnym.
U takich materja16w jak i:elazo kowalne i stal jest wplyw czasu
() S II) f,f 20 2S JO% daleko slabszy, wszelako diagramy rozcii!gania zmieniaji! si nieco, za"
leznie od pr dkosci, z jaki! rosnie obcii!zenie przy do"
swiadczeniu. Na rys. (9) przedstawiono diagramy, odpo" So!"'ft/71
wiadaji!ce rozrywaniu zelaznego drutu S). Linja peina przedstawia wynik doswiadcze-
nia dokonanego w przeci u pi ciu min ut, kreskowana zas - wynik doswiadczenia
/J/JtJ
5000 razy powolniejszego. Wplyw czasu okazuje si tutaj .znacznie slabszy, jak
w przypadku cynku i w praktyce mozna przyji!é, ze wydluzenie zelaznego prçta,
wywolane obciqi:eniem wzrastaji}cem stopniowo w cii!gu kilku minut nie zmieniloby
siç przy dluzszem dzialaniu obciqi:enia.
JezeIi, rozcii!gni}wszy prçt poza punkt krytyczny, pozwolimy obcii}zeniu dzialaé 2d/J
nan przez dluzszy czas, to opr6cz powi kszenia wydluzenia moi:emy jeszcze stwier"
dzié istotne zmiany wlasnoscÏ materjalu. Okazuje si np., ze po takiej operacji staje
si zelazo twardszem, do rozerwania prçta potrzeba wi kszego obciqzenia nii: pier" /O()(}
wotnie, a calkowite przedlui:enie przy rozerwaniu staje siç mniejszem. [M6wii}c
inaczej powiçksza si wytrzymalosé materjalu, a zmniejsza jego plastycznosé]. 0
Na rys. (10) przedstawiono wyniki dwu doswiadczen nad wyzarzonym i:ela" 0 j JO /5 X
znym drutem 4). Linja peina przedstawia diagram rozcii!gania przy cii}glym wzro" Rys.l0
scie obc ij:ien a. przy ?rugiem doswia czen.iu d?prowadzono obdi}zenie do stanu odpowiadaji}cego
punktowl d d agram 1 po wolo o obcIé zemu dZlalaé odtqd stale przez 45 1 {2 godzin. Pod wplywem
dalszego powlçkszema ObCli}zema otrzymano nastçpnie kreskowanij cz sé diagramu a c d.
1) Hort: Zeit. d. V. d. Ing. 1906. Str. 1831.
1\. Dinnik: "Opredielenie prediela uprugosti po izmienieniu temperatury tiela". Izw. Riew. Pol. Inst. 1909,
2) L. Fraichet: Revue d'artillerie. Fevr. 1904. '
8) I. l\. Ewing: "The strength 01 materials".
4) J. 1\. Ewing: "On Certain Eflects 01 Stress on soit Iron Wires". Proc 01 Roy. Soc. 1880.
p"ikt
7I}fJ()
..... .-
l, /,-
. ,
ço,o
soœ
.tHJi
JO/JfJ
2f)(){)
/(J/JO
Rys.9
< tI
19
9 8. PODWYZSZENIE PUNRTU RRYTYCZNEGO [CZYLI GR1\NICY PLR.STYCZNOSCI]
Prze}{roczeniu punktu krytycznego towarzysz(!, jakesmy widzieli, znaczne zmiany w materjaIe
dIa praktyki jest rzeczé! zasadniczej wagi wyjasnié wplyw tych zmian na wlasnoscÏ spr zyste
i wytrzymalosé materjalu. Juz Ger s t ne r robil pierwsze doswiadczenia w tym kienmku i prze-
konal si , ze wydluzenie spr zyste, stanowié!ce poza punktem krytycznym niewielké! cz sé calko-
witego wydluzenia nie przestaj e byé proporcjonalnem wzgl dem obcié!zenia.
Jezeli zmniejszamy obci(!zenie pr ta po rozcié!gni ciu go do punktu fi diagramu (rys. Il),
to przy powrotnym przebiegu odksztalcen otrzymamy np. prosté! lIB, r6wnoleglé! do poczé!tkowej
prostej CD. W rezultacÏe pozostaje trwale wydluzenie pr ta okresIone odcin-
kiem CB. Tak rozcié!gni ty pr t objawia znaczné! zmian swoich wlasnoscÎ. P" ...
S()(){}
Przy powt6rnem obcié!zeniu wywolujé! juz bardzo nieznaczne sily wydluzenie
trwale, a na ich wielkosé wywiera wielki wplyw czas. T akie obnizenie gra-
niey spr zystosci jest zwlaszcza widoczne, jezeli powtarzamy obcié!zenie 4(){}()
natychmiast po ukonczeniu opisanego doswiadczenia. Skoro pozwolimy pr -
towi "wypoczé!é" i powt6rne doswiadczenie robimy po uplywie dluzszego lD(l()
czasu (np. po miesié!cu), to mozna stwierdzié odzyskanie spr Zystych wla- .D
snosci materjalu, kt6ry znowu podlega wcale dokladnie prawu Hooke'a. Gra-
201J4
nica proporcjonalnosci okazuje si przytem znacznie podwyzszoné! i moze
osié!gné!é wartosé tego napr zenia, kt6re wywolalo rozci(!gni cie pr ta przy
poprzedniem doswiadczeniu. Na diagramie przedstawia to prosta BF. Po- /(J()O
cZé!wszy od punktu F otrzymujemy dalszé! krzywé!, kt6ra jest jakby prze-
dluzeniem krzywej DA. Nagla zmiana wydluzen, zachodzé!ca przy punkcie F,
ma takiz sam charakter, jak w poprzedniem doswiadczeniu przy punkcie C
na rys. (6). Powoduj(!c znaczne wydluzenie p tal osié!gamy przeto przesu-
ni cie punktu krytycznego w g6r 1).
Jezeli poprzednio rozcié!gni ty pr t poddamy wstrzé!snieniom, albo ogrzejemy nieco (do 100° C),
to pokazuje si , ze wlasnosci spr zyste powracajé! znacznie pr dzej. DIa ilustracji podamy wyniki
kiIku doswiadczen z pr h m staIowym i). Na rys. (12) przedstawia diagram ff pierwsze doswiadczenie,
zas diagram B powt6me rozcié!ganie pr ta po uplywie 10 mi-
nut od ukonczenia pierwszego. Widzimy tutaj znaczne zbo-
czenia od prawa Hooke'a juz przy nieznacznych obcié!zeniach.
Linj C nakoniec otrzymano dIa tegoz pr ta po ogrzewaniu
go przy temperaturze 100° C przez crlery minuty.
T aide podgrzanie, jak widaé z diagramu, przywr6cilo
materjalowi calkowicie jego spr zyste wlasnosci. DIa wyra-
zistoscÎ rysunku przesuni to nieco punkty pocz(!tkowe diagra-
m6w wzgI dem siebie.
Pierwsze rozcié!gni cie zeIaznego pr ta poza punkt kry-
tyczny podwyzsza granic proporcjonalnosci i zmniejsza jego
rozcié!gliwosé, a wi c dziala podobnie jak harlowanie na stal.
Z té! okolicznosci(! naIeZy si liczyé w praktyce, aIbowiem
zeIazne elementy konstrukcyjne podIegajé! cz sto obr6bce "na
zimno" i przy tem doznaj(! znacznych odksztalcen trw61ych.
Np. wskutek krajania bIachy nOZycami staje si naraZona na
obr6bk kraw dz b1achy twardsz(! i przy zginaniu takiej blachy
pojawlaJé! si cz sto p kni cia, poniewaz materjal utracil w tem miejscu znaczné! cz sé swej pl a-
s t y c z nos c i, t. j. zdolnosci do znoszenia odksztalcen trwalych. Podobne zjawisko mozna obser-
wowaé przy przebijaniu otwor6w na nit y w zelaznych blachach. Brzeg otworu staje si twardszym
P ,*".,
70{}(j
4(),
(j(j()(J
SOOQ
3000
2000
1000
Rys. 12
o s
B
10 15
20%
Rys 11
1) Objagnienie mechanizmu tego zjawiska mozna znalezi5 w interesuj'lcej ksilltce W. R 0 s e nh a i n'a: "1\n introduction
to the Study of Physical MetaIlurgy". Il wyd. r. 1915, str. 247.
Il) 1. Mu i r: Phil. Trans. of. Roy. Soc. 1899.
2*
2Ô
od reszty materjalu. Przy rozciqganiu wst gÎ, zaopatrzonej w otwory przebijane, nÎe mote slWàt-
dniala cz sé materjalu nadqZy"é za odksztalceniem reszty i wskutek tego przenOSZq si na ni q
wi ksze napr zenia, wywolujqc latwo rysy i p kni cia.
F\Zeby zapobiec szkodliwemu dzialaniu przebijania dziur, zast puje si przebijanie kosztowniej-
szem wierceniem. DIa oszcz dnosci przebija si otwory mniejszym kalibrem, a nastçpnie powiçksza
si swidrem do zqdanej srednicy, usuwajqc przez to stwardnialq warstw materjalu z korzysci q dIa
trwalosci 'konstrukcji.
Opisanq wlasnosci q twardnienia zelaza kowalnego, wskutek znacznych odksztalceii, poslugujq
si nierzadko w technice. Tak np. cylindry pras hydraulicznych poddaje siç niekiedy najpierw
cisnieniu wewn trznemu przekraczajqcemu znacznie to najwiçksze cisnienie, przy kt6rem prasa
bçdzie pracowaé. Tym sposobem zapewnia si na przyszlosé niezmiennosé srednicy cylindra
i szczelne przyleganie tloka. przytem nalezy zauwazyé, ze podobna operacja osiqga cel i zwi ksza
. trwalosé konstrukcji tylko wtedy, gdy element poprzednio rozciqgniçty bçdzie i nadal narazony
wylqcznie na ciqgnienie, Doswiadczenia wykazaly bowiem 1), ze u pr t6w z zelaza kowalnego roz-
ciqganych poza punkt krytyczny pojawiajq siç przy sciskaniu jako oznaki oslabienia: trwale
odksztalcenie i zboczenia od prawa Hooke'a, juz przy stosunkowo niewielkich obciqzeniach.
W tych przeto wypadkach, w kt6rych przygotowawcze odksztalcenia majq na celu zabezpie-
czenie niezmiennosci konstrukcji, nalezy stosowaé odksztalcenia tego samego rodzaju, co odksztal-
cenia, na kt6re b dzie naraiona odnosna cz sé konstrukcji podczas jej funkcjonowania, to znaczy:
element motna poprzednio narazié na znaczne rozciqgni cie, jezeli na przyszlosé bçdzie tylko
ciqgniony, zas na skurczenie, jezeli ma byé nadal wylqcznie sciskany.
Zelazo naraione juz raz na odksztalcenia trwale, moze odzyskaé pierwotn q plastycznosé przez
wyzarzenie, 1. j. ogrzewanie przy temperaturze czerwonego zaru (okolo 700 0 C) przez mniej
wi cej pOl godziny i nastçpne powolne ostudzenie. Badania mikroskopowe swiadczq, ze t q drogq
wracajq do pierwotnej postaci owe krysztalki, kt6re doznaly trwalych odksztalceii postaciowych przy
przekroczeniu punktu krytycznego. W zwyldych warunkach walcowania zelaza i stali opuszcza
materjal maszyn przy tak wysokiej temperaturze, ze niknie prawie wplyw obr6bki na wysokosé
punktu krytycznego [0 ile produkt walcowania jest dosé masywny. Cienkie blachy, wstçgi i ksztal-
t6wki okazuji} tem wiçksz q wytrzymalosé i mniejszq plastycznosé, im Sq cieiisze]. Zwylde targowe
zelazo zachowuje si po wyzarzeniu prawie tak samo, jak w stanie naturalnym. Inna sprawa
Z obr6bki} zelaza na zimno; jej towarzyszy zawsze znaczne podwyzszenie punktu krytycznego.
1\zeby zapobiec szkodliwym nast pstwom twardosci materjalu, uciekamy siç w praktyce czçsto do
wyzarzenia czçsci, kt6re podlegaly obr6bce na zimno.
9. B1\D1\NIE MET1\LI Z1\POMOCI\ "PR6BY ROZRYW1\NI1\"
Pr6ba rozrywania jest podstawowem doswiadczeniem przy badaniu wytrzymalosci metali.
Badanemu pr towi nadajemy przekr6j kolowy (rys. 13) Iub prostokqtny (rys. 14). Najistotniejsze
znaczenie przy tych doswiadczeniach ma osiowe przeniesienie sily rozciqgajqcej. DIa pr t6w wal-
=
t:;.
illIC
I --
=
Rys. 13
Rys. 11
cowych osiqga siç to latwo zapomocé) specjaInych podkladek kulistych. W przypadku plaskich pr6bek,
uchwyconych zwykle przy pomocy nasiekanych klin6w, jest przeniesienie sily z natury rzeczy mniej
doskonale. T 0 tez pr t6w tego ksztaltu uzywa si tylko wtedy, gdy zachodz q szczeg6Ine trudnosci
sporzqdzenia pr ta okrqglego z danego materjalu, np, przy badaniu blach i cienkich ksztalt6wek.
1) Bauschinger: Mm. aus d mech. techn. Lab. in München 1886.
21
IH:eby zapewnié jak najbardziej r6wnomierny rozklad naprçzen w przekroju poprzecznym
i stworzyé warunki, w kt6rych p kni cie powinno zajsé w srodkowej cz sci prçta, nadaje si pr w
towi pr6bnemu postaé uwidocznion,,! na rys. (l3). Staly przekr6j srodkowej czçsci zwi sza si
lagodnie ku koncom opatrzonym "glowami".1\zeby przy oddzielnych doswiadczeniach otrzymywaé
z pewnosci,,! wyniki por6wnywalne unormowano sciSle postaé pr6bki. Srodkowa czçsé walcowa
normalnego prçta ma grubosé 2 cm i dlugosé 22 cm. Przy doswiadczeniach robi siç pomjary tylko
na srodkowej dlugosci 20 cm (dlugosé rachunkowa). Nadmiar diugosd czçsci walcowej sluzy
do tego, aby uchylié wplyw zmiany przekroju w zgrubionych koncach na odksztakenia i napr -
.ienia w badanej cz sci. Stosunek dlugosci rachunkowej do grubosci r6wna siç zatem dia prçta
normalnego 10. Zwi,,!zek ten moina przedstawié w postaci:
1 = 10d = 11,3 V - d' = 11,3 VF .
. (8)
Przy pomocy powyzszego wzoru obliczamy dlugosé rachunkow,,! pr6bnych pr t6w 0 przekroju
odmiennym od kolowego.
Przy pr6bie rozrywania notuje si :
l} Obciqzenie odpowiadaj,,!ce punktowi krytycznemu;
2} najwi ksze obci,,!zenie potrzebne do rozerwania, czyli "obci,,!zenie rozrywaj,,!ce";
3} zwi kszenie dlugosci rachunkowej przy rozerwaniu i
4) zw zenie przekroju poprzecznego w miejscu wyksztakenia si szyjki.
Dziel,,!c obci,,!zenie rozrywaj,,!ce przez pole przekroju poprzecznego znajdujemy wi lkosé
"napr zenia rozryw.aj,,!cego". B dziemy je nazywaé dorazn,,! wytrzymalosci q mate-
rjalu przy rozrywaniu. Ta nader wazna technicznie stala waha siç jednakZe dIa jednego i tego
samego materjalu w dosé obszernych granicach, jak widaé z nast puj,,!cej tablicy.
Materjal
Doraz. wytrz. W ydluzenie
przy rozcÏqg. calkowite
w kgf cm 'l w procentach
3500 do 4000 12do20
3300 " 4000 8 " 20
3300 " 4500 25 " 28
4400 " 6500 23 " 27
5000 " 5500 20 " 25
5500 " 6500 22 " 27
11000 " 11500 8
6500 " 7000 16 do 18
11000 " 13000 8 " 10
.1 1200 " 1800
1 2000 " 2300 35 do 38
'1 2000 6 " 20
.1
3400 do 3700 6
930 " 1000 8 do 13
1500 5
lelazo spawalne na sworznie i nit y . . . . . . . .
lelazo spawalne w postaci blach w kier. walcowania
lelazo zlewne . . -. .
Stal zlewna [mi kka] _
Stal tyglowa [mi kka].
SÏjl.I nikIowa . . . . .
Stal niklowa hartowana .
Stal chromo-niklowa . .
" " "twarda
lelazo lane . . . . . . .
Mied£ w postad blachy walcowanej
Brqz [zwykiy] . . . .
Metal delta, odlew . . .
Glin (aluminium) lany .
" walcowany lub kuty
Pomiar calkowitego wydluzenia pr ta sluzy do okreslenia s top nia p 1 as t y c zn 0 sc i mate w
rjalu. Dlugosé rachunkow,,! prçta .dzieli siç zwykle przed doswiadczeniem na centymetry. Na tej
podzialce mozna potem stwierdzié, ze wydluzenia poszczeg61nych czçsci bardzo si r6zniiJ od
siebie; najwi ksze odksztatcenia zachodz q w okolicy miejséa pçkniçcia.
22
Wydluzenie dlugosci rachunkowej pr ta wyraza si zwykle w odsetkach tejze dlugosci.
J ezeli /1 oznacza dlugosé rachunkowq pr ta pO rozerwaniu, a 1 dlugosé pierwotnq, to
Il - 1 . 100
1
okrèsla przedluzenie w odsetkach. [Doswiadczenia pokazaly, co zreszt q mozna bylo przewidzieé
a priori, ze postaé pr ta pr6bnego miewa cz sto znaczny wplyw na wyniki koncowe, t. j. na wiel
kosé naprçzenia rozrywajqcego i wydluzenia przy rozerwaniu]. l\zeby przeto zapewnié por6wny-
walnosé wynik6w r6znych doswiadczen, nalezy uzywaé pr t6w pr6bnych 0 jednej i tej samej
postaci. Jezeli zas to nie jest mozliwe, to przynajmniej trzeba zachowaé zwiqzek mi dzy dlugoscÏ q
rachunkowq a przekrojem, okreslony wzorem (8).
Odstçpstwa od tej reguly mogq doprowadzié do znacznych r6znÏc zwlaszcza w warlosci
rozciqgniçcia, t. j. calkowitego wydluzenia przy rozrywaniu pr t6w z tego samego materjalu
o r6znej postaci. GI6wna przyczyna tkwi w tem, ze nie wszystkie cz sci pr ta rozciqgajq si
jednakowo; najwi ksze rozciqgni cie przypada na czçsé odpowiadajqcq szyjce. lm dluzsza ta cz sé
w por6wnaniu do caJ:ej rachunkowej dlugosci, tem wi ksze wypadnie procentowe rozciqgni cÏe.
Nawzajem, przyczyny utrudniajqce wyksztalcenie szyjki, wywo-
...---r--c-.. lujq zmniejszenie procentowego przedluzenia. Prçty np. z wyto-
czonem dokola wyzlobieniem (rys. 15) rozciqgajq siç mniej niz
pr ty 0 stalym przekroju. Wplyw takich zlobk6w jest tem zna-
czniejszy, im mniejszq czçsé dlugosci pr ta zajmujq. Pçkni cie
zachodzi oczywiscie w oslabionym przekroju. Wytworzeniu siç szyjki przeszkadzajq przytem
sijsiednie czçsci pr ta 0 wiçkszym przekroju.
Obok wartosci rozciqgniçcia uzywa siç takze do oceny plastycznosci materjalu s k u r c zen i a
poprzecznégo w szyjce. Jezeli oznaczymy przez F pole przekroju pierwotnego, a przez FI pole
najmniejszego przekroju po rozerwaniu, to
okresla precentowe skurczenie przekroju poprzecznego.
Wysoki stopien plastycznosci objawia si jako bardzo cenna wlasnosé materja16w w tych
przypadkach, kiedy jakéiS konstrukcja podlega opr6cz obciqzen statycznych' takze dzialaniu uderzen
i wstrzqsnien. Materjal kruchy, t. j. materjal 0 niskim stopniu pla-
stycznosci moze sprowadzié w tych warunkach calkiem nieoczeki-
wane katastrofy.
Przy odbiorze wi kszych partyj zelaza i stali z fabryk, ustana-
wia siç pewne techniczne warunki, kt6rym materjal winien qynié
zadosé. Zwykle poprzestaje si na zqdaniu, aby doratna wytrzymalosé
i procentowe rozciqgniçcie nie byly nizsze od pewnych granic, obra-
nych zaleznie od celu, do kt6rego sluzyé b ie konstrukcja. T ak np.
na mosty zqda siç zelaza 0 rozciqgliwosci nie mniejszej jak 16 do 20%.
Na kotly parowe uZywa siç zelaza 0 jeszcze wiçkszej plastycznosci,
czyli, jak siç wyraZajq praktycy, jeszcze mi kszego. NaleZy zauwazyé,
ze rozciqgliwosé i wytrzymalosé zwyklego zelaza i stali, stojq ze
sob q w dosé scislym zwiqzku. Skoro podwyzszyé wytrzymalosé ze-
laza kowalnego np. przez zwi szenie zawartosci w gla, koniecznej,
.1 jak wiadomo, przymieszki w kazdym zelazie technicznem, to jedno-
czesnie obniza si rozciqgliwosé. Z wiqzek tego rodzaju unaocznia
rys (16) zawierajqcy szereg diagram6w rozciqgania zelaza i stali. Za-
w:a tosé w gla odsetkach aznaczona na kazdym d agr mie.. [Istniejij takze przymieszki, jak np.
mkiel, wplywaJqce korzystme tak na wytrzymalosé Jak 1 plastycznosé. Blizsze szczeg61y nalezq
do materjaloznawstwa i technologji].
Rys. 15
o
U1yc/-f U 4nte
Rys. 16
F-;.Fl .100
0./1
23
10. PR1\Cf\. POTRZEBN1\ DO ROZERWf\.NIf\.
Pokazali my juz pierwej (w 4), ze pole zawarle mi dzy krzYWé! diagramu, osié! odci tych
i koncowé! rz dn(! okreSla prac wykonan(! przy rozciqganiu. WieIkosé tego pola mozna zawsze
przedstawié wzorem (rys. 17):
T = lj . OH . CD,
w ktôrym oznacza OH rozci(!gni cie pr ta przy rozerwaniu, CD - najwi kszé! warto ç sily rozci(!-
gaj(!cej, 1) - 1. zw. nspôlczynnik pelno ci". Ta liczba jest widocznie mniejsza od jeclnosci
i, jak wykazaly doswiadczenia L. T etm aj era, waha si dIa jednego i tego samego materjalu w tak
ciasnych granicach, ze praktycznie mozna j(! uWaZaé za stalé! charakterystyczné! dIa materjalu. 1\zeby
otrzymaé wieIkosé niezalezné! od rozmiarôw pr ta, podzielimy prac
przez jego obj to é. Znaleziona t(! drog(! npraca wlasciwa" ma-
terjalu przedstawia si wyrazeniem
T OH CD
IF =fj','F=1J e pmax
Tutaj oznacza e wydlu:ienie wzgI dne, a pmax - najwi sze ci q -
gnienie (napr :ienie rozci(!gaj(!ce). Wfasciwa praca wyloZüna na ro-
zerwanie moze do pewnego stopnia charakteryzowaé odpornosé ma-
terjalu na uderzenia. Pod tym wzgl dem b dzie materjaJ: tem Iepszy,
im wi ksz(! si okaze ta praca.
W budownidwie dopuszcza si nieraz zeIazo 0 dorafnej wytrzy-
malo ci lez(!cej ponizej pewnej normy, jezeli ten ubytek wynagradza
wi ksza rozci(!gIiwosé. Praktyczna mozIiwosé takiej kompensaty wyrël1:a si specjalnemi formu-
lami, w kt6re wchodzi tak dorazna wytrzymalosé R, jak i rozciqgIiwosé e. Przy dostawach zeIaza
na mosty z(!dajq np., aby byl zachowany warunek
R + 2 e > 85,
w kt6rym R ma byé wyra:ione w kg/mm l , a e w odsetkach. f\. wi c, dajmy nà to, zelazo 0 roz-
ci(!gliwosci 20% winno mieé dorafnq wytrzymalosé nie mniejszq od 45 kg/mm t .
W tych przypadkach, w kt6rych nie rozporzqdzamy caJ:kowityrn diagramem, mozna wyznaczyé
prac przy rozrywaniu z trzech danych,odpowiadajqcych obciqzeniu na granicy proporcjonaInosci OA,
najwi kszemu obci(!:ieniu CD i calkowitemu wydluzeniu OH. Do tego sluzy przyblii:ony wz6r
2
lE:: OH. OA + 30H(DC- OA),
E
. l ' II
--------- --- - 1
A" ,
1 f 1
o
,.1
( .......
H
IJ
Rys. 17
oparty na przyj ciu, ze pole diagrarnu sklada si z prostok(!ta OAH'H i odcinka paraboIicznego
o podstawie OH i wysokosci DC - AO. Warto é pracy wla ciwej potrzebnej do rozerwania niekt6-
rych materjal6w podajemy poni:iej.
Materjal
1 P 1 kg. m.
raca w asc. W-------s-
cm
ZeIazo spawalne
n zlewne
Mi kka staI .
2. do 7
6 do 8
8 i wi cej
11. SCISR1\NIE
W granicach proporcjonaIno ci jest zwiqzek mi dzy skr6ceniem pr ta a sH q ciskajqc(! zupelnie
oznaczony wartô ci(! modulu spr zystosci przy sciskaniu, kt6ry r6wna si zawsze modulowi spr -
Zystosci przy rozci(!ganiu i dIatego b dziemy go oznaczaé tq sarnq Iiterq E. Poza granicami pro-
porcjonalnosci staje si zaIeznosé mi dzy odksztaJ:ceniami a nap! zeniarni bardziej zlozonq i przed-
stawiamy jq zwyk1e wykreS1nie. Diagrarny ciskania wyglqdajq rozmaicie, zaIeznie od tego, czy
badany materjaJ: jest kruchy, czy tez pIastyczny. DIa materjal6w kruchych, jak :ieIazo Iane 1 kamien,
24
p"'<%..,.z
------- - (1= 40PP 77 -----
uwidocznionC! na rys. (18), kt6ry przedstawia wynik jednego
Diagram ten m02:na oczywiscie zastC!pié formulq analitycznq.
Zadowalajqc si przybli2:eniem, jakie daje for-
mula pot gowa, moi:emy dia tegoi: doswiadczenia
napis<,!é
beton i t. d. ma diagram postaé
z doswiadczen Bacha z granitem.
2/60
pl.13
e 250000
Rilka diagram6w dia materja16w piast y-
cznych zestawiono na rys. (19). U zelaza kowal-
nego znajdujemy i tutaj punkt krytyczny [gra-
nic plastycznosci], cechujqcy si naglq zmianq
kierunku lipji diagramu na poziomy, poczem
znowu linja sic;} podnosi i cz sto wygina p6-
zniej wklc;}slosci q ku osi rz dnych (osi naprc;}-
e zen}, a wi c przeciwnie jak przy rozciC!ganiu. Ta
r6i:nica jest jednak raczej pozorna i tlumaczy
sic;} latwo rozszerzeniem poprzecznem przy sci-
skaniu, dzic;}ki kt6remu staje si pole przekroju coraz wi kszem i coraz wic;}kszego potrzeba
obciqï:enia nawet w6wczas, gdyby cisnienie na jednostk pola mialo pozostaé stalem 1}.
l tJtI
----------------------------
7()()
,Jso
Rys. 18
1000
P Kf/;c11 2
1 /
V 1/
J
/ 7
... / I).., V /
1 'ô ",$i
'/: .....0 c,f::V V
0 V r\ ,,/
/ () /
/Î /
0 f /' V
o 1 V 11'1 1/
JI V 1 . /'
/' V
o 1 l/ ----.....
L...- V
l--I-'"
Id
ri
;;
//000
1000.
9000
8000
7000
600
JOO
40(},
300
!2(J{)O
o
0,1
0,2
0.3
0.-'
0.5
06
fJ.7l
Rys. 19
Powtarzaj c sciskanie, moma u i:elaza kowalnego i stali dostrzec tak samo, jak przy
powt6rnem rozciqganiu, podwyi:szenie punktu krytycznego, zwi kszenie twardosci i wplyw czasu
1) [DIa materja16w 0 wysokim stopniu plastycznogci, jak np. miedi, nie ma nawet linja diagramu granicy praktycznej,
gdyi powiçkszaj c cié}gle obciqzenie, zamieniamy w k06cu pierwoto'l postaé slupka na cienki krqzek 0 rednicy kilkakrotnie
zwiekszonej, a kontynuowaniu d wiadczenia staje na przeszkodzie ograniczona sila maszyny. Gdyby my byli w stanie
powi kszaé obci'lienie bez granic, to i grubo é kr'!zka malalaby z pewnogci'l dalej, a linja diagramu zblizalaby siç asympto-
tycznie do prostej r6wnoleglej do osi sil W odieglogçi 1 od tejze (1- pierwotna dlugogt slupka)].
25
przy obciijzeniach przekraczajé!cych punkt krytyczny. Naprçzenia, odpowiadajé!ce punktowi kry-
tycznemu, majq przytem w przyblizeniu t samé! wartosé, co przy rozciijganiu l}.
Doswiadczenia nad sciskaniem napotykajé! na szereg powaznych trudnosci. W celu zapew-
nienia r6wnomiernego rozkladu napr'izen w plaszczyznie przekroju poprzecznego jest pozqdanem,
aby obserwowana cz sé sciskanego pr ta byla mozliwie odlegla od jego kODC6w i dlatego nale-
zaloby uZywaé dosé dlugich pr t6w; wtedy jednak kazda najmniejsza niedokladnosé w osiowem
dzialaniu sîty, najmniejsze poczqtkowe skrzywienie pr ta i najmniejsza niejednolitosé materjalu
wywolujq pr dzej czy p6zniej wygiçcie pr ta, zwane w tym przypadku nwyboczeniem". Skoro
zas wezmiemy slupki dostatecznie niskie, aby wyboczenia uniknijé, to mamy z nOWq trudnosciij
do czynienia. Maszyna do badania wywiera nacisk na podstawy slupka zapomOCq starannie
obrobionych plyt stalowych. Przy sciskaniu zwi kszajq si rozmiary poprzeczne slupka, ale
u podstaw napotyka to rozszerzenie na przeszkod w postaci sît tarda w plaszczyznie przy-
legania plyt do slupka. Sily te Sq oczywiscÏe skierowane ku srodkowi podstawy, wskutek czego
mamy w poblizu podstaw do czynienia nie z prostem sdskaniem, lecz ze zjawiskiem wielce
zlozonem. Z powodu tych trudnosci nie robi si zwykle doswiadczen nad sciskaniem dIa metali.
DIa oceny ich wytrzymalosci i spr Zystosci przy sciskaniu wystarczajq dane z doswiadczen
przy rozcié!ganiu, jezeli przyjmiemy (zgodnie z dotychczasowemi badaniami), :ie dIa zelaza kowal-
nego, stali i innych jeszcze metali odpowiadajq granica proporcjonalnosci i punkt krytyczny przy
seiskaniu napr'izeniom tej samej wieikosci co przy rozciqganiu. Co si'i tyczy dorafnej wytrzyma-
losci przy rozgniataniu, to dIa materjal6w plastycznych niepodobna podaé jakichkolwiek okreSlonych
wartosci, gdyz przy doswiadczeniach nie mozna doprowadzié do wyraZnego zniweczenia sp6jnosd.
Przy badaniu materja16w kruchych rezygnujemy raczej z pr6by rozcié!gania na korzysé pr6by
sdskania, kt6ré! przeprowadzamy az do zupelnego pokonania sp6jnosci. Do tego uzywa si pr6bek
o postaci kostek r6:inej wielkosci [zaleznie od sily maszyny, kt6ré! dysponujemy]. Z zelaza lanego
robi si'i kostki 0 dtugosci kraw dzi 3 cm, z kamienia 5 lub 7 cm. Przy badaniu bardzo niejedno-
litych materja16w, jak np. beton, wypada stosowaé jeszcze wi ksze rozmiary.
Przez dorazné! wytrzymalosé przy sdskaniu naleZ)' analogicznie do rozcié!gania rozumieé iloraz
z obdé!zenia rozgniatajijcego przez pole przekroju. 1\le wielkosd tak obliczone na podstawie
doswiadczen z kostkami nie b'idq wlasciwie okreslaé takiej wytrzymalosci, albowiem wplyw tarcia
na podstawach kostki jest tak znaczny, ze nie mozna uwazaé rozkladu cisnien za r6wnomierny.
WieJkosci n wytr zym alo s ci k 0 stk ow e j" maj(! tylko wzgl -
dne znaczenie i mogq w przyblizeniu okreslaé stosunek wy-
trzymalosci przy sciskaniu odpowiadajé!cych kruchych ma-
terja16w.
Wplyw tarda na podstawach odbija si'i wyraznie na
sposobie, w jaki p ka i kruszy si'i materjal sciskanej kostki.
Z kostki pozostaje po doswiadczeniu cZ'isé 0 postaci przed-
stawionej na rys. (20). Materjal przylegajé!cy do' plyt ma-
szyny pozostaje caJym, a odpadajé! tylko z bocznych sdan cz sci
wypchni te niejako przez dwa przeciwlegle ostroslupowe kliny
z materjalu niepozbawionego sp6jnosd. Zupelnie inaczej wy-
glé!da zgnieciona kostka, jezeli usunqé tarcie na podstawach
przez posmarowanie parafiné! 2). Wtedy powstajé! P'ikni'icia
r6wnolegle do sdan bocznych i dzielé!ce kostk na kilka cz'i-
sei. Wartosé otrzymanej przytem wytrzymalosci jest znacznie Rys. 20
mniejszij, niz przy zgniataniu kostki zwyklym sposobem. Dia .
zmniejszenia wplywu larda uzywajé! tez czasem podkladek z mi'ikszego materjalu, co jednakze
przysparza nowe zr6dlo bl'id6w. Najracjonalniej byloby nadaé pr6bkom postaé walc6w 0 tyle
wysokich, azeby wplyw tarcia w glowach na zgniecenie w srodkowej cz sci stm si mozliwie
,. ."..",.., f ., .............._...
. .. w....
"
. '
t, .
.' ,-4_
J' '. -... ..:'
',,1"
1"' ..,
.
fJ.'i ,
",
.,;{, ',:"
:l-.,/_' '}'tt F"
. , '.:i/", .
..' 1 """
Jo,.'
. '
'.-i' .
1} Moore: Bull. of. Univ. Illinois Nr. 68.
2} 1\. Fi:ippl: MilL aus d. mech. techn. Lab. in München. HeU 27.
26
maly, a zarazem nie tak wysokich, azeby si pojawil zakl6caj cy wplyw wyboczenia. Odpowiedni
stosunek wysokosci do srednicy slupka mozna znalezé doswiadczalnie 1).
Na zakonczenie podajemy tablic wartosci doraznej wytrzymalosci przy sciskaniu dIa nie-
kt6rych materjal6w.
lelazo Jane .
Granit . . .
Piaskowiec
Wapien.
Cegla .
Beton .
Sosnina )
;:a ie u .w 6 ie : :
.1
: 1
5000 do 8000 kg! cm
800 " 2000 "
500 " 1800 .,
400 " 2000 "
150" 300 "
60" 400
245
345
320
"
: 1
"
"
12. WPL YW TEMPERATURY
Podane powyzej wyniki doswiadczeii nad wytrzymalosci materja16w odnoszq si do badati
w zwyklej temperaturze pokojowej. 1\Ie w praktyce zachodzi niekiedy potrzeba oceny wytrzymalosçi
takze przy wysokiej temperaturze, na jak np. s narazone kotly parowe, cylindry motorow wybu-
chowych i t. d. Przeprowadzone w tym kierunku badania 2) wykazaly, ze znaczne podwyzszenie
Hff
fJ ihz
5tal xlewna
R90
1
1
1
.
-")
o
....
N
,
"""
'tI
t::
"toi
IIJ
J-
o
1
1
'2400
,2J60
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
031>
1370
1
1
1
1
1
1
1
.100
12JO
1
1
1
1
1
1
1
OSSO 570. C
,
1
200
/00
IJCJ
500
temperait/ra
Rys.21
temperatury z m nie j s z a wogole wytrzymalosé, jakkoIwiek u zelaza kowalnego i staIi zachodzi
maximum wytrzymalosci przy temperaturze 200 do 300 Q C. Daleko wrazliwszq na podwyzszenie
temperatury jest jednakze rozciqgliwosé. Probki odlewu stalowego np. okazuj przy temperaturze
1) Por. L. PrandtI und Rinne: Neues Jahrb. f. Mineralogie. 1907.
') R. Baumann: .,Die FestigkeitseigenschaUen der Metalle in Wijrme und RaIte", 1907.
27
okolo 200 0 tyIko trzeciij cz sé tej rozcié!gIiwosci,jakij posiadajé! w zwyklej temperaturze. DIa bré!zu spada
rozciqgliwosé przy 400 0 C prawie do zera. Podane ponizej diagramy (rys. 21 i 22) przedstawiajé! przej-
rzyscie zmiany wytrzymalosci i plastycznosci ze wzrostem temperatury dIa nielct6rych materja16w.
-
1::
Q)
.
::s
.....
J.9.J
;:!
'1:
,
J.
QI
N
o
s..
::!\
N
L
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
020
100 zoo 300
temflendura
<t()(J
.5.50 · ('
Rys 22
Obnizeniu temperatury do - 80°C towarzyszy, jak wykazaly doswiadczenia, powi kszenie
wytrzymalosd przy rozciijganiu i zmniejszenie rozcié!gliwosci. Wyniki niekt6rych doswiadczen
podaje ponizsza tablica 1).
1 Dorai. Calkowite Skurcze-
1
Materj al T empera- wytrz. przy wydluze- nie prze-
tura (lC rozcié!g. nie kroju
kg/cms % %
1 80 1 4270 23,8 1 32,6
-
Zelazo zIewne . . . - 20 4170 26,2 34,9
----1 + 20 3970 27,7 39,9
- 80 4520 23,4 61,9
Mi kka stal . . . . . . - 20 4360 33,3 61,6
+ 20 4040 32,8 62,7
- 80 8440 10,9 23,8
Stal spr Zynowa . . . . - 20 8420 14,0 24,1
+ 20 7720 16,0 1 28,8
1
.--
+ 20 8800 10,7 60,8
Stal niklowa. . . . . . +200 9100 .8,7 60,0
+400 7300 7,0 74,0
1) Szereg nowych danych mozna znaleti5 w pubIikacji F. C. Lea. Engineering 1914. Sir. 487.
28
ROZDZI1\L III
o N}\PR .iENIJ\CH PRZY ROZCIl1GJ\NIU 1 SCISKJ\NIU
13. N1\PREZENI1\ W PRZYP1\DRU PROSTEGO ROZCIl\G1\NI1\
Napr zenie w danym punkcie 0 odksztalconego ciala okreslamy og6Inie w nast pujqcy spos6b:
Prowadzimy przez punkt 0 przekr6j powierzchni q mn (rys. 23), rozdzielajqcq dane dalo na dwie
cz sci A i 8, i rozpatrujemy r6wnowag jednej z tych cz scÏ np. IL Opr6cz
sH zewn trznych (obciqzeii) na ni q dzialajqcych, musimy teraz wziqé pod
uwag sily wewn trzne, czyli napi cia w przekroju mn, okresIajqce dzialanie
odci tej cz sci B na cz sé rozpatrywanq. Rozklad tych sH na powierzchni mn
b dzie wog6Ie nier6wnomiernym i azeby okreslié ich nat zenie w jakimkoIwiek
punkcie 0, obierzemy element ô F naIei:qcy do powierzchni m n i zawierajqcy
punkt O. Ten element Iezy oczywiscie w plaszczyznie stycznej do mn
w punkcie O. Niech napi cia dzialajqce na element ôF majq wypadkowq ôP.
Wtedy przez wielkosé napr i:enia w danym punkcie 0 dan ego elementu ôF rozumieé b dziemy
granic stosunku
Ry.. 23
ôP
ôF '
a jako kierunek napr zenia wezmiemy kierunek wypadkowej ôP. Przez obrany punkt 0 mozna
poprowadzié nieskoiiczonq ilosé plaskich element6w rozmaicie nachylonych. Kai:demu z nich b dzie
odpowiadaé pewne napr zenie. [Og6l tych napr ze1Î. okresla "stan napi cia" w rozpatrywanym
punk cie). Latwo zrozumieé, ze napr i:enia w poszczeg6Inych elementach
nie mogq byé od siebie zupelnie niezaIei:ne, Prawo zmiany napr :ienia
w zaleznosci od kierunku plaskiego elementu znajdziemy najpierw dIa
najprostszego stanu napi cia, jaki zachodzi przy rozcÏqganiu Iub sciskaniu
pryzmatycznych pr t6w. Rozldad naprçze6. w przekroju prostopadlym P
do osi pr ta rozpatrywalismy juz powyzej (ob. 1); teraz przejdziemy
do przekroj6w nachylonych do osi (rys. 24).
Odrzuciwszy w mysli g6rnq cz sé prçta odci tq przekrojem P q,
wezmy pod uwagç cz sé dolnq. Rierunek plaszczyzny przekroju okreslimy
kqtem , jaki tworzy jej normalna zewn trzna n z osi q pr ta (osi q X-6w).
Pole przekroju p q rowna si F: cos -3-. SHy zast pujqce dzialanie odrzu-
conej cz sci pr ta na cz Sé rozpatrywanq sprowadzajq si do wypadko-
wej P skierowanej ku g6rze. W plaszczyznie p q r.ozkladajq si napr zenia r6wnomiernie, ka:ide
bowiem w16kno pr ta doznaje takich samych odksztalceii. Wielkosé napr zenia P,'t w dowolnym
punkcie przekroju pq, znajdziemy, dzielqc wypadkowq P przez pole przekroiu; a zatem
Pcos-3-
p = -,
czyli wielkosé napr i:enia zalei:y od nachylenia przekroju p q. Rierunek zas jest wido-
cznie identyczny z kierunkiem osi X-6w.
Roz16i:my teraz napr i:enie po/} na skladowq normalnq pn i stycznq Pl. Z rys. (25)
wynika, i:e
AX
1
n
1
1
Il'
1
11 :
1
Hy.. 24
y ,
,.(1,)
,p
pn = p,'} cos,') = ; cos 2 -3- = pcos"-3-, 1
Pl = p,'} sin -3- = sin-3-cos-3- = sin 2-3 = E- sin 2-&, , .
F 2F 2
. (9)
Rys. 25
jezeli przez p oznaczymy napr i:enie w przekroju prostopadlym do osi. 1\ zatem na p r i: e nia
no r mal n e osiqgajq najwi kszq wartosé p w przekrojach normalnych, a na p r ç:i en i a s t y..
29
t z n e przekrojach nachylonych do osi pod kqtem 1} = 45°. Nadto widaé ze znalezionych
lormul, ze
1 1
(Pt)max = 2' (Pn)max = 2' p
Pomy lmy sobie dwa nieskOl1czenie bliskie i r6wnolegle przekroje Pt qt i pq, (rys. 26) i dzia-
lajmy na przekr6j Pt q 1 napi ciami zast pujqcemi dzialanie cz sci 1 na cz sé II, to nieskonczenie
cienka warstwa PQqtPl b dzie pod wplywem tych sH w r6wnowadze. Naprç-
zenia normalne dqz q , jak widaé z rysunku, do zwi szenia wzajemnej odle-
glosd obu przekroj6w; naprçzenia styczne zas do wzajemnego przesuniçcia
tychze. Te ostatnie nazywamy dlatego taki:e napr zeniami p r z e su w a j ilC e m i,
albo scÏ naj qcemi.
Por6wnajmy napr zenia w przekrojach wzajemnie prostopadlych (rys. 21).
Jezeli nachylenie jednego przekroju, np. pq, okresla kilt :t, to 270° + okresli
nachylenie drugiego (r s), a odpowiadaj qce napr zenia skladowe b dq wedlug (9):
p'n = pcos 2 (270 0 + ) = psin 2 {t,
p't = sin (180 0 + 2,3) =. - sin 23.
Szczeg6lnie waznq jest wlasnosé napr zen scinajqcych przedstawiona drugiem z powy:iszych
r6wnan, kt6re wyraza, ze:
Napr çz enia styczne w d wu przekroj ach wzaj emnie prostopa-
dlych Sq co do bezwzglçdnej wartosCÎ r6wne. [R6:inica znak6w alge-
braicznych wskazuje na to, ze kierunki obu napr zen nie Sq jednobiezne, t. zn., ze
idqc w mysli z biegiem strzalki jednego napr i:enia po powierzchni rozpatrywanej
cz sci ai: do krawçdzi przeciçcia si obu przekroj6w i przechodzqc nast pnie na
przekr6j drugi, napotykamy strzalkç 0 biegu przeciwnym].
Zaznaczymy nakoniec, ze stosownie do r6wnan (9) b dzie dIa .'J = 90 0
pn = Pt = 0,
to znaczy, ze w przekrojach podluznych pr ta niema zadnych napr zen, czyli, te
sqsiednie podluzne elementy (" wl6kna ") prçta nie przenoszq na siebie nawzajem
zadnych sil l ).
Powyzsze wywody dokonane na przypadku sily rozciqgajqcej P zastosujemy
takZe latwo w przypadku sily sciskajqcej. Wystarczy tylko odwr6cié kierunki naprç:ieii.
W dalszym ciqgu um6wimy si uwazaé napr zenia ciqgnélce, czyli ci q g nie nia, za dodatnie,
a cÏsn,!ce, czyli ci sni e nia, za ujemne i).
1\ zatem:
p'n + pn = p,
p't = - Pt.
'X.
p
r
Rya. 27
Rys.26
14. ROZRL1\D N1\PRE2EN W PRZYP1\DRU ROZCII\G1\NI1\ LUB SCISR1\NI1\ W DWU
RIERUNR1\CH WZ1\JEMNIE PROSTOP1\DLYCH [CZYLI W DWUWYMI1\ROWYM ST1\NIE
. N1\PIECI1\]
Niechaj na dwie pary przeciwleglych scian prostopadlosciennego prçta AB (rys. 28) dzialajq r6wno-
miernie rozlozone napi cia normalne 0 wypadkowych Px, Py r6wnoleglych odpowiednio do osi X, Y
tegoz prostopadloscianu. Pola odpowiadajqcych scÏan prostopadloscianu oznaczymy przez Fx i Fy.
1) [1 en wniosek pozostaje oczywigcie watnym tylko tak dlugo, dop6ki spelniaj'l si zalozenia, z kt6rych wyply;«a
r6wnomierny rozklad napr te1i w kazdym przekroju prostopadlym do osi pr ta. Z chwil'l np. tworzenia siç szyjki przy
rozrywaniu prçta, upadaj'l te zaloienia i pojawia siç wzajemne oddzialywar..ie wl6kien. Podobniet ma siç rzecz w przy-
padkach prçt6w zlotonych podluZnie z r6Znych materjal6w, np. drutu miedzianego z "dusz'l" stalow'l i t. p.].
') [Odwrotnq umowç napotykamy w podr C'lnikach fizyki].
30
Napr :ienia w przekrojach prostopadlych do osi X, wzgl dnie Y b dë1 oczywiscie 110rmalnemi
i okresIë1 si r6wnaniami
Px Py
px = - py = c-
F x ry
ObIiczymy teraz napr zenia w przekroju m n, prostopadlym do plaszczyzny
rysunku i wyznaczonym zapomocë1 kë1ta -3. Przytem b ziemy rozpatrywaé dzia"
y lanie g6rnej cz sci pr ta na cz sé doInë1. Calkowite napr zenia znajdzÎemy, jak
latwo zauwa:iyé, sumujë1c napr zenia wywolane ciC!gnieniem w kierunku osi X"ow
i napr zenia wywolane cië1gnieniem w kierunku osi Y"ow. Wyrazenia dIa pierw"
szych otrzymalismy powyzej (row. 9), trzeba w nich tyIko zamiast PiF wsta"
wié Px i Fx. 31r
DIa otrzymania drugich wystarczy zastqpié w row. (9) {} przez 2 +-3,
a PiF przez P y i Fy. W ten spos6b znajdziemy
pn = px cos 2 .':1 + py sin i -3-, . (10)
Pt = x sin 2 -3- - P; sin 2.':1- = (Px - py) sin 2 .':1 (11)
Z otrzymanych wzor6w wynika z latwosciC!, ze najwi ksze napr zenia styczne w przekrojach
prostopadlych do plaszczyzny X Y sC! nachyIone do osi pod kë1tem 45". Ich wieIkosé okresIa r6wnanie:
Px - py
(pt),ax = 2 - '. (12)
Co si tyczy napr ze1Î. normaInych, to, szukajqc w znany spos6b krancowych wartosci prawej
strony r6wnania (10), znajdujemy, ze pn osiqga najwi kszq, wzgl dnie najmniejszq wartosé dia
.':1 = 0 i -3 = 90". Jedna z nich jest zatem rowna px, a druga py. Jezeli np. px> py, to (Pn)max = px,
a (Pn)min = py; skoro zas w szczeg6Inym przypadku px = py, to i wszystkie pn Sq sobie r6wne, a Pt;:: O.
Latwo wykazaé, podobnie jak w poprzednim paragrafie, ze napr zenia styczne w dwu wza-
jemnie prostopadlych przekrojach Sq sobie rowne co do bezwzgl dnej wartosci.
Rozpatrzylismy napr zenia w plaszczyznach prostopadlych do plaszczyzny X ¥. Je:ieli
w szczeg61nosci zwr6cirny uwag na plaszczyzny r6wnolegle do osi X lub Y, to napr :ienia w nich
b dq okreslone terni samemi wzorami, co dIa prostego rozcië1gania, albowiem sily rozciqgajqce
r6wnolegle do plaszczyzny przekroju nie mogë1 w nim wywolaé zadnych napr :ie1Î..
W wywodach niniejszego paragrafu przyj lismy, ze napr zenia px i py Sq ciqgnieniami. Gdyby
jedno z nich, albo obadwa byly cisnieniami, lo wystarczy oczywiscie zmienié odpowiednio znaki
algebraiczne, azeby z uzyskanych formul korzystaé w kazdym przypadku.
4X
1
Ry. 28
15. ELIPS1\ N1\PRE2EN
Prawo zmiany napr zenia w zaIe:inosci od kqta .':1-, wyrazone wzorami (10) i (11) mo:ina z ko-
rzysci q przedstawié wykreslnie.
DIa ka:idego plaskiego elementu m n, prostopadlego do plaszczyzny X ¥ i przechodzqcego przez
dany punkt 0 kreslimy odcinek 0 fI, przedstawiajqcy co do kierunku i wielkosci napr zenie w eIe-
mencie m n. przy zmianie polozenia elementu zmienia si oczywiscie wielkosé
i kierunek odpowiadajqcego naprc;}zenia, a punkt fI opisuje przytem pewnq krzywq.
1\zeby znaIefé jej rownanie, ustawimy wyrazenia dIa sp6lrz dnych x i y punktu fI.
Z rys. (29) widaé, ze
x
éJ
A
, 1
x = pnCOS"' + Pt sin-3-,
= pn sin ...'t - Pt cos -3-.
Powstawieniu w powy:isze rownaniazamiastp. i PI ich wartosci (10)i (ll) otrzymamy:
y x = Px cos -3-, y = py sin .':1-,
a rugujqC z tych r6wnan kqt -3- znajdziemy
Xi yi
- + -- = 1
px i p/ '
czyli r6wnanie elipsy 0 p610siach px i Py. Nazywamy jq elipsq napr :ien. [Z tego geometry"
cznego obrazu widaé odrazu, :ie dane napr zenia normalne px i py okreslaj(! krancowe wartosci
Ry.. 19
11
1. j. maximum Iub mÎnimum napr i;e6 w mnogosci rozpatrywanych element6w. W przekrojach
odpowiadajqcych tym napr :ieniom nie ma oczywiscÏe napr ze6 stycznych. Nazywajq je p r z e-
krojami g16wnemi, a odpowiadajqce im napr zenia napr i;eniami gI6wnemi]. W przy-
padku, gdy jedno z napr ze6, np. Pn staje si zerem, mamy do czynienia z prostem rozcii!ganiem
w kierunku osi X-6w. Elipsa zamienia si w6wczas w odcinek prcstej. Je:ieli Px = Pn to eIipsa staje si
kolem, a zatem nap.r zenia we wszystkich rozpatrywanych eIementach Si! r6wne i prostopadle do
eIement6w. Napr :ienia styczne zas znikaji! w tym przypadku, jak widaé z wzoru (11). Mamy wtedy
do czynienia z r6wnomiernem [dwuwymiarowem) rozcif!ganiem w plaszczyznie X Y.
16..PRZEDSTIlWIENIE N1\PRE2EN SPOSOBEM MOHR'1\ (ROlO N1\PRF;2EN)
W ykreSlona dia punktu 0 elipsa napr zen nie pozwala jeszcze z samego rysunku odnalezé
latwo kierunek napr zenia dIa dowoInie obranego przekroju i naodwr6t. T ej niedogodnosci nie
posiada inny geometryczny obraz rozkladu napr ze6, polegajf!cy na
przedstawieniu wykresInem formul (10) i (11).
Na osi X dowoInie obranego prostokqtnego ukladu sp61rz dnych
odmierzamy odcinki 0 A i 0 B, przedstawiajqce w pewnej skali
napr zenia px i py. Na rys. (30) przyj to, ze px > py > O. Na
odcinku JI B = px - py, jako na srednicy, zakresIamy p6lkoIe. Sp6!-
rz dne punkt6w tego p61koIa okreSlaji!, jak latwo okazaé, wielkosci
napr zen skladowych pn i Pt. Oznaczywszy bowiem 'przez , kf!t,
jaki tworzy z osiq X na rys. (29) normaIna zewn trzna prze-
kroju elementarnego mn i odmierzywszy nast pnie jego dwukrotnC! wartosé 2 na rys. (30),
jako k(!t srodkowy JI CD nakreslonego kola, znajaujemy wartosé rz dnej punktu D:
DE=DCsin2 = P 2 &-sin2i!-,
zas wartosé odcÏ tej:
OE = OC - CE = px +py - - Py cos(" - 2{t) =
2 2
= Px cos 2 + py sin 2 {ta
1\ zatem odci tai rz dna punktuD przedstawiajé!odpowiednio wieI-
kosci napr zenia normaInego i stycznego okreSlone wZor. (10) i (11).
Jezeli jedno z napr zen danych np. py staje si zerem (proste rozcÏ(!ganie), to kolo napr ze6
dotyka osi Y w poczé!tku 0 (rys. 31). Jezeli zas jedno z napr ze6 b dzie cisnieniem, to odcinamy je w kie-
runku ujemnym na osi odci tych. Rys. (32) przedstawia szczeg6lny przypadek, w kt6rym px = - PY'
--... ---=......
Rys. 30
--- --- -- ---..:
ob
Rys 31
Rys 32
17. ZWIl\ZER MIF;DZY ODRSZT1\LCENIEM 1 NIlPRE2ENIEM W DWUWYMI1\ROWYM
STIlNIE N1\PIF;CI1\
Niechaj na materjalny prostopadloscian fI B rys. (33) dzialajé! napr zenia rozci(!gaié!ce px i Py w kie-
runkach osi X i Y. Gdyby zachodzÏlo tyIko jedno z nich, np. px, to odpowiadajé!cem wydluzeniem
wzgI dnem w kierunku X byloby 'i , przyczem E oznacza modul spr zystoSci X
przy rozcié!ganiu. Ille na wydluzenie w kierunku X ma takZe wplyw cif!gnienie
w kierunku Y, a mianowicie zmniejsza je 0 (J , przyczem (JjestIiczb(!Poisson'a.
Wypadkowe wydlu:ienie wlasciwe w kierunku osi"X okreSla przeto wz6r:
e = px -(J PY
x E E
. (13)
y
Ilnalogicznie znajdujemy
Ry.. 33
e = py _(J px
y E E
jako wydluzenie wzgI dne w kierunku osi Y.
. (14)
32
Wyraziwszy przy pomocy wzor6w (13) i (14)naodwr6t naprçzenia przez odksztalcenia otrzymamy:
px = E (ex + ae y ), 1
1 - (j'2
E (e" + ae.) 1
. (15)
py =
1 - (j'II
Ostatnie wzory pozwalajq latwo odpowiedzieé na nast pujqce pytanie: Jak wielkie mUSZq byé
napr zenia py, kt6reby przeszkodzily prostopadloscianowi, rozciqganemu w kierunl<u X, skurczyé
si w kierunku Y? Podstawiwszy w formulach (1 '5) e y = 0, znajdziemy:
E E
px = ex, py -= û--e x , a zatem
1 - û ll 1 - ail
py = ûpx.
'Y
18. ROZKL1\D N1\PREIEN W TR6JWYMI1\ROWYM ST1\NIE N1\PIECIJ\
Jezeli na sciany materjalnego prostopadloscianu fI B (rys. 34) dzialajq r6wnomiernie rozlo-
zone napi cia Px, Py, Pz w trzech kierunkach r6wnoleglych do osi X Y i Z, natenczas m6wimy
o tr6j"wymiarowym stanie napi cia. Odpowiadajqcemi napr teniami w przekrojach prosto-
padlych do osi b dq widocznie:
Px Py Pz
px=-, py=-, pz=-.
Fx F y Fz
Jezeli wezmlemy pod uwa@ przekroje r6wnolegle do jednej z osi np. Z
(a do innych dowoh\ie nachylone), to przynalezne im napr zenia b dq
zalezne tylko od sil prostopadlych do tejze osi, a wi c od sil Px i Py.
Y Sily Pz, jako r6wnolegle do tych przekroj6w, nie wywolajq w nich zadnych
napr zeii. W takim razie napr zenia normalne i styczne w tych przekrojach
okreslq r6wniez formuly (10) i (11) w 9 14. Zmian tych napr zeii przy
obrocie przekroju okolo osi Z przedstawia odpowiednie kolo Mohr'a 1 (rys. 35)
zakreslone na odcinku fI B = px - Pn jako na srednicy. Podobnem rozu-
mowaniem znajdzieR1Y, ze napr zenia w przekrojach r6wnoleglych do osi X,
wzgl dnie Y, przedstawiajq si kolami III, wzgl dnie II, 0 srednicach B C = pz - py i (; fI = px - pz.
T q drog q mozna latwo zbadaé napr zenia dia trzech uklad6w plaszczyzn. Co si tyczy przekroj6w
nachylonych do wszystkich trzech osi, to mozna dowiesé, te odpowiadajqce im napr zenia przed-
stawiajq si sp6lrz dnemi punkt6w lezqcych mi dzy trzeba p6lkolami w polu zakreskowanem na
rysunku. (Dow6d moi:na znalezé np. w dziele J\. F 1) p p 1 a: "V orl.
üb. techn. Mech." Bd. V). Wykres wykonano przy zalozeniu, ze
px > pz > py > O. W takim przypadku najwi ksze wog6le napr zenie
normalne, odpowiadajqce najdluzszej odciçtej, jest r6wne pxo Naj-
wi ksze zas napr zenie styczne mierzy siç najwi kszq rzçdnq i od-
powiada punktowi D na p6lkolu 1. Z konstrukcji tego p6lkola wyni-
ka, ze plaszczyzna najwi kszego naprçzenia stycznego jest r6wno-
l gla do osi Z-6w i polowi kqt mi dzy osiami X a Y. Nadto
(p) - OD - PX-Py
tmax- - ,
2
'"
czyli na j w i k s zen a p r zen i e sc i n a j q c e w t r 6 j w y mi a r 0 w y m s tan i e na p i ci a j est
r 6 w n e polo w i e r 6 z n i c y m i d z y n a j w i k s z e min a j m nie j s z e m n a p r zen i e m n 0 r-
malnem.
W szczeg6lnym przypadku
Rys 34
o
A
.
1
-h-_--.I
Ry.. 3)
Px=py=pz=p
zlewajq si punkty fi, B i C w jeden, np. 0, a promienie wszystkich trzech k61 stajq si zeramÏ.
Punkt 0 okresla wtedy w zupelnosci stan napi cia, a poniewaz lezy na osi odci tych, wi c napr -
33
zenÎa styczne w kazdym dowolnym przekroju Sê! rôwne zeru, a normaIne Sq wszystkie r6wne
odci tej punktu 0, t. j. p. W tym przypadku mieIibysmy do czynienia z wszechstronnem r6wno-
miemem rozciê!ganiem. [T aki stan napi cia bylby niewqtpIiwie interesujê!cym, gdyby si daJ: zreaIi-
zowaé. Natomiast bardzo latwo wywolaé wszechstronne rôwnomierne sciskanie, zanurzywszy cialo
jednolite w cieczy znajdujê!cej si pod wysokiem cisnieniem].
9 19. ODRSZTJ\LCENI1\ PRZY TR6}WYMIJ\ROWYM ST1\NIE NllPI CI1\
J\zeby otrzymaé wydluzenie wzgl dne w ierunku jednej z osi sp6lrz dnych, np. osi X, naIezy
wziqé pod wag nietylko wydluzenie Px , wywolane napr zeniem px, Iecz takze skrôcenia a py i a Pz ,
E E E
wywolane napr zeniami rozciqgajqcemi w kierunku osi Y i Z. CaJ:kowite wydluzenie w kierunku
osi X wyrazi si zatem formu1ê!:
e = -a ( J!:L + )
x E E E
Rni;l.Iogiczne wzory otrzymamy dIa wydluzen w kierunku Y i Z. Po prostem przeksztalceniu
napiszemy wszystkie trzy formuly w postaci:
1
ex = E [px - a(py + pz)]
1
e y = E [py - a (Pz + px)] . (16)
1
ex = E [Pz - a (Px + py)]
W przypadku wszechstronnego r6wnomiernego rozciqgania Iub sciskania, t. j. gdy
px = py = pz = :i: p, b dzie
ex = e y = e z = e = :i: 1!..- (1 - 2 a)
,E
Jezeli V o oznacza pierwotnq obj tosé (przed odksztalceniem), a D obj tosé odksztalconego
prostopadloscianu, to
v = V o (1 + e)S,
aIbo z pomini ciem wyrazôw zawierajqcych e 2 i eS, ze wzgl du na to, ze e jest bardzo male:
v = V o (1 + 3 e).
WzgI dnq zmianq obj tosci b dzie przeto
v - v 3p
o = 3e = :i: - (1 - 2a).
V o E
Przy prostem rozciqganiu nazwalismy modulem sprçzystosci (modulem Young' a) stosunek
napr zenia rozciqgajqcego do wywolanego niem wzgl dnego wydluzenia. 1\nalogicznie b dziemy
nazywaé modulem spr zystosci przy odksztalceniu obj tosciowem, t. zn. przy wszechstronnem roz-
ciqganiu lub sciskaniu, stosunek napr zenia p do odpowiadajqcego wzgl nego rozszerzenia lub
skurczenia obj tosci, czyli odksztalcenia obj tosciowego wlasciwego. Oznaczywszy t wieIkosé
przez k, mamy tedy:
k= E
3 (1 - 2a)
[Z ostatnich wzorow mozna,. podobnie jak w 9 (5) wywnioskowaé, ze a musi byt mniejsze od 0,5,
aIbowiem w razie przeciwnym wywolywaloby wszechstronne rozciqganie zmniejszenie objçtosci,
zas sciskanie jej zwi kszenie, co wypada uwazaé a priori za wykIuczone].
Kurs wytrzymalo'ci materjal6w
3
M
ROZDZI1\L IV
j
Zf\STOSOWf\NIF\. OTRZYMflNYCH WYNIKOW
9 20. STOPIEN BEZPIECZENSTWll, CZYLI PEWNOsé
Tak zwane obliczenie pr t6w, narazonych na rozci ganie lub sciskanie, polega na rozwi zaniu
zadan dwojakiego rodzaju. W jednym przypadku trzeba znalezé najwi ksze obci zenie pr ta z danego
materjalu 0 danych rozmiarach, kt6re ten pr t trwaIe wytrzymywaé b dzie. W drugim zas jest
obci zenie dane, a szukamy wymiar6w pr ta, odpov.tiadaj cych warunkom jego wytrzymalosci. DIa
rozwii1zania tych zadan naIezy najpierw odpowiedzieé na nast pujqce pytanie: Jakie najwi ksze
cÏqgnienie lub cisnienie mozna dopuscié w danym materjale? Ot6z na podstawie badan doswiadczal-
nych nad rozciqganiem i sciskaniem, znamy granic proporcjonalnosci, punkt krytyczny i doraz n i1
wytrzymalosé danego materjalu. Stosownie do tych wynikôw nalezy ustalié t wartosé napr zenia,
kt6r(! dIa danego materjalu uznajemy za bezpieczn (dopuszczaIn )I), 1. j. zapewniaji1c trwaly
uZytek projektowanej konstrukcji. Widzielismy, ze napr zenia przekraczaj ce niewieIe granic pro-
porcjonalnosci, powodujé! trwale odksztalcenia u materjal6w takich, jak zelazo kowaIne i stal; te
odksztalcenia wzrastajq z czasem i mog doprowadzié do znacznych zmian postaci eIemèntu kon-
strukcyjnego. T 0 jest oczywiscie niedopuszczaIne, wobec czego musimy wymiary elementu kon-
strukcyjnego obieraé tak, aby napr zenia nie przekraczaly granicy proporcjonaInosci. Wogôle nie
przekracza napr zenie, uznane za bezpieczne, wielokrotnej cz sci doraznej wytrzymalosci dan ego
materjalu. Jezeli przez Rf oznaczymy dorazn wytrzymalosé danego materjalu, a przez R odpo-
wiadajqce napr zenie bezpieczne, to
R'
R=-
n'
przyczem n oznacza 1. zw. stopien bezpieczefistwa, czyli pewnosé. Obiôr stosownej war-
tosci dIa n, albo, co na jedno wychodzi, obiôr wielkosci napr zenia bezpiecznego, przedstawia nader
wazne zadanie, aIbowiem trwalosé i koszt konstrukcji zalezy nietylko od dokladnosci obliczenia,
lecz takZe od mniej Iub wi cej udatnego obioru napr zen bezpiecznych. Obrawszy za wysokie war-
tosci mozemy w rezultacie otrzymaé konstrukcj niedostatecznie trwal ; przy napr zeniach bez-
piecznych zbyt malych b dzie bezpieczefistwo zapewnione, ale zato konstrukcja ci zka, nie-
ekonomiczna.
Przy r6znorodnoscÏ warunk6w, w ktôrych funkcjonujq czçsci skladowe budowli i maszyn,
tudziez przy wahaniu si wytrzymalosci jednego i tego samego materjalu, niepodobna raz na zawsze
unormowaé napr zefi bezpiecznych. W kazdym dziale techniki mozna napotkaé swoiste normy,
przewa.znie ustalone praktyki1. Tutaj zrobimy tylko par ogôlnych uwag, ktôre trzeba mieé na
wzgl dzie przy obiorze stop nia pewnosci.
W naszych rozwazaniach uwazalismy materjaly za ciala jednolite i r6wnokierunkowe, wskutek
czego b d nasze wnioski tem dokladniejsze, iI11 mniej zbacza materjal od przyj tycb: warunk6w.
DIa zelaza kowalnego i stali b d nasze wywody bardziej dokiadne, niz np. dia drzewa lub kamienia.
Stopieli bezpieczelistwa, kt6ry w znacznej mierze zalezy od stopnia dokladnosci obliczen, powinien
byé przeto mniejszym w przypadku zelaza kowalnego i stali, a wi kszym dia mniej doskonalych
materjal6w budowlanych. W praktyce obiera si cz sto w pierwszym przypadku "czterokI:otnq"
pewnosé, 1. j. n = 4, w drugim zas przyjmuje si n = 8 do 10.
Na obi6r wielkosci napr zenia bezpiecznegO' wplywa tez w znacznym stopniu dokladnosé w okre-
sleniu sil zewn trznych, dzialaj cych na eIement, kt6ry obliczyé mamy. Niekiedy mozna te sily
tylko w przyblizeniu ocenié, a niepewnosé oceny trzeba oczywiscie pokryé powi kszeniem stopnia bez-
pieczenstwa, nazywanym trafnie przez 1\ngIikôw "sp6J:czynnikiem niewiadomosci" (factor of ignorance).
. 1) [W znany podr czn ku: "Technik uzyto przymiotnika "dopuszczaIny" wyl'lcznie na oznaczenie wielko ci naprç-
zema, unormo aneJ przeplsaml wtadz. UznaJilc pewni}, potytecznogé tego rozr6inienia poj é, nie bçdziemy jednak przc-
strzegaé go cl e, gdyt niema obawy nieporozurnienia].
35
Spos6b dzialania siJ zewn trznych ma takze ogromny wplyw na wytrzymalosé pr ta. W przy-
toczonych dot d doswiadczeniach wzrastalo obci zenie stopniowo od zera do koncowej warlosci.
W praktyce mamy cz sto do czynienia z silami dzialaj cemi nagle i obcié!zeniami zmiennemi.
Ponizej postaramy si ocenié wplyw tych okolicznosci na wytrzymalo é materjaJu, a tymczasem
przyjmiemy, ze napr zenie bezpieczne R obrano i rozwiqzemy obadwa podstawowe zadania, napo-
tykane przy obliczaniu pr t6w narazonych na rozci ganje lub sciskanie.
Jezeli danem jest pole przekroju poprzecznego F, to obci zenie bezpieczne P okresla oczy-
wiscie formula:
P = F.R
. (17)
Jezeli dane jest obciqzenie, to odpowiadaj ce pole przekroju poprzecznego znajdziemy z.wzoru:
P
F=- . (18)
R
Wzory (17) i (18) wyprowadzone dIa pr t6w pryzmatycznych, przy zalozeniu r6wnomiernego
rozkladu obciqtenia na koficu pr ta, stosuje si ci sto do pr tôw 0 przekroju zmiennym i do przy-
padk6w, w kt6rych sily zewn trzne nie rozmieszczajq si r6wnomiernie na przekrojach koncowYch.
Zobaczymy ponizej, :le ta okolicznosé moze doprowadzié do wielkich bl d6w w ocenieniu wielkosci
napr zefi.
[Zwazywszy, ze pojawienie siç dostrzegalnych odksztalceti trwalych pod wplywem pewnego ()bd'lzenia jest najcz ciej
juz oznak,! niebezpieczetistwa. zagrazajqcego elementowi konstrukcyjnemu, wypada uwazaé odpowiadaji}ce napr zenie za
naprçzenie nie b e z pie c z n e. Nalezaloby tedy okr lat stopieti bezpiecze6stwa nie w odniesieniu do napr zenia rozrywa-
Ï'lcego, lecz raczej do naprç:tenia na granicy pIastyczno ci. Byloby to racjonalniej jeszcze i z tego wzgl du, poniewa:t
naprçzenie na granicy plastyczno ci waha si dIa jednego i lego samego materjalu w cill niejszych granicach, anizeli naprç-
zenie rozrywajqce (dora£na wytrzymalo é). Tak pojmowany stopie6 pewno ci Ti b dzie widocznie liczb,! znacznie mniejsz'l,
niz ta, kt6ra okre la stopieti pewnogci przeciw rozerwaniu. DIa zelaza kowalnego i stali otrzymamy np. n = 1,5 do ,
zamiast n = 4.
Og61nemu rozpowszechnieniu tego sposobu okreglenia stopnia pewno ci stoi na przeszkodzie nie tyle mo:te ta oko-
liczno é, i:t wiele materjal6w konstrukcyjnych nie posiada wyrainej granicy plastyczno ci, ile przyzwyczajenie in:tynier6w
(zwlaszcza niemieckich, a za ich przykladem i naszych) do dawniejszego sposobu.
Z katdego z obu powyzszych sposob6w okregIenia stopnia bezpieczeIÎ.slwa wypadaloby, :te liczba ta. a' zarazem
i warto é naprç:tenia bezpiecznego powinna byé dia jednego i tego samego malerjalu niezale:tnl1 od bezwzgl dnej wielko ci obeiq-
:tenia. fitoli w praktyce przedstawia siç ta rzecz cz to inaczej. Dia most6w zelaznych np. przyjmuje si powszechnie n.apr -
:tenie bezpieczne tem wiçksze, im wi kSZél jest rozpi to é, a poniewa:t ze wzrostem rozpiçto ei wzrasta i ci :tar wlasny kon-
strukcji, wi c napr zenie bezpieczne ro nie wraz z obci'lzeniem.Obiagniaj,! to zwykle t. zw. "sp6lczynnikiem dynamicznym",
przez kt6ry mnozy siç wielkogé obci'lzenia ruchomego, aby skompensowaé Diedokladno ci zwyklego obliczenia statycznego,
przyjmuj'lcego obci'l:tenie w spoczynku. Podczas ruchu obeiqzenia powstajq bowiem napr zenia d()datkowe tem wy:tsze, im
wiçksze sq ci :tary ruchome w por6wnaniu do eiçiaru talego konstrukcji. To tlumaczenie wzrostu wartogci naprçzenia
bezpiecznego z W2.rostem stosunku obciq:tenia stalego do obeiêlzenia ruchomego jest w przypadku most6w oczywi cie sluszne,
ale pomija wog61e jeszcze drugq watnq ok()Iiczno é, na kt6rq do nh dawna. zdaje si , nie zwracano uwagi, a kt6ra poIega
na nieco odmiennem pojmowaniu stopnia bezpiecze6stwa. Sila zewnçtrzna. dzialajêlca na dany pr t, jako element kon-
strukcyjny, sklada si zwykle z dwu czçgci: stalej Q, pochodzêlcej od ci zaru wlasnego konstrukcji i zmiennej P.
Pierwsza jest ci le okre lona, przynajmniej teoretycznie, wieIk é zag drugiej normuje si d() t dow()Inie, biorêlc pod uwag
rozmaite mozliwe w przyszlo ci obciqzenia ruchome i ich polo:tenie. Dia dach6w np. uwzgl dnia si nap6r wiatru i obci'l-
:tenie gniegiem, dia most6w drogowych ci :tar pojazd6w, walk6w parowych. tlumu Iu1izi, nap6r wiatru i obciq:tenie niegiem.
Jak widzimy, nie da siç lutaj gci le okregIié wielko é obeiqzenia zmiennego; mo:temy tylko na podstawie wieloletnich obser-
wacyj i do wiadczen podaé w przyblizeniu granic , kt6rej takie obeiqzenie przekroczyé nie moie. Zwykle jednakie nie bie-
rzemy wartogei t j granicy za podstawç obliczenia, albowiem ona odpowiada malo prawdopodobnym, chociaz mozliwym
obciêlteniom. Prz jmujemy wi c obci'lzenie mniejsze, bardziej zbli:tone do zachodz,!cych w rzeczywistogci, liczilC slusznie
na to. ze w razie wyjqtkowego zaj cia najwiçkszego mozIiwego obciqzenia, b dzie trwalo é kODStrukcji zabezpiecz()na przez
do é wysoki stopieti pewnogci. Zwazywszy, ze ci zar wlasny zmienit siç nie moze, wystarczy w tyIp celu postawié zqdanie,
aby dop.iero przy n-krotnem obciélZeniu ruchomem, przyj tem za podstawç obliczenia, osiqgn lo naprçzenie P wartogé nie-
bezpiecznq. Wyrazimy to r6wnaniem
Q + nP = F,Pnieb.
Tak pojmowany stopieti pewnogci n prowadzi do napr ze6 bezpiecznych, rosIlilcych r6wniez wraz z slosunkiem Q: P, jak
siç to praktykuje przy obliczaniu mosl6w. W samej rzeczy napr :tenie pr ta ()bliczonego przy pomocy powyzszej formuly,
. Q + P G + P . ., .. 1 (dl Q 0) (dia P 0) " t
t. J. P = - = Pnieb waha SIÇ teoretyczme ml dzy granlcamI - Pnieb a = ,a Pnieb = 1 Jes
F Q + nP n
tem wi ksze, im wiçkszi}, wartogé ma stosunek Q: P, t. j. obcil!tenia stalego do obciq:tenia zmiennego.
3*
36
Jest rzeczq jasn te tak pojmowany stopien bezpiecze6stwa musiaIaby okre la.é liczha nieco wi ksza od te j, kt6ril
go okregIano dotychczas, ale zarazem nie uIega w'ltpIiwogci, ze nowe okr lenie pewnogci jest racjonalniejsze od dawnego,
zakorzenionego silnie w umyslach intynier6w.
W odmiennych, niz budowle, warunkach znajdujq si ruchome czçgci skladowe niekt6rych maszyn. Obciqzeniem
zmiennem S'l u nich sily bezwladno ci, proporcjonalne wzgl dem ci zaru w1asnego. Tutaj zatem wystarczy najczç ciej
dawne pojmowanie stopnia bezpieczenstwa, prowadz'lce do warto ci napr :tenia bezpiecznego, niezaIeznej od rozmiar6w
eIementu.
Zwiçkszenie wartogci naprçzenia bezpiecznego, stosownie do nowego okregIenia pewno ci, ma dia wielkich konstrukcyj
budowlanych ogromne znaczenie praktyczne, gdyz podwyzsza granicç mozliwych rozpiçtogci i zmniejsza koszta budowli].
21. WPLYW OBCII\ZENlR DZlRL1\JI\CEGO N1\.GLE
b
0, 1
r-- ---J -..
Przy stopniowem wzrastaniu obciqzenia przedstawia si zaleznosé mi dzy wydluzeniami À
a sil q P w granicach proporcjonalnosci linjq prost q Da (rys. 36). DIa kazdej wartoscÏ À znajdziemy
z rysunku odpowiadajqcq wartosé P. Pole trôjkqta Da b, jak okazano powyzej (ob 4), przedstawia
energj potencjalnq, nagromadzonq w pr cie przy odksztalceniu. Razdej war w
o tosci À odpowiada zupelnie okreslona Bosé energji V:
V P À À' EF. 1 d . . - P À E
=2=21 ,po uwzg memu, ze Ji=, .
Jezeli obciqzenie wzrasta stopniowo, to zachodzi ciqgle rôwn<>waga mi dzy
silami zewn trznemi i wewn trznemi. Praca wykonana przez obciqzenie prze w
ksztalca si calkowicie w energj odksztalcenia. Przy naglem dzialaniu obci q w
zenia zamienia si cz sé pracy sily ci zkosci w energj kinetycznq spadajqcego
ci zaru, ktôry nabywa pewnej pr kosci i dzi ki temu przekracza polozenie rôwnowagi. Pr t otrzyw
muje w pierwszej chwili wydluzenie wi ksze, niz przy stopniowem wzrastaniu obciqzenia, wskutek
czego powstajq drgania. Szczegôlowo rozpatrzymy to zjawisko w cz sci dynamicznej, lutaj poprze-
staniemy na wyznaczeniu wartosci najwi kszego wydluzenia, co da si wykonaé na podstawie najw
elementarniejszych rozwazan.
Najwi ksze wydluzenie pr ta zajdzie w6wczas, kiedy pr dkosé opadajqcego ci aru, a wi c
i jego energja kinetyczna stajq si zerem. W owej chwili zamienila si praca sily ci Zkosci zupelnie
w energj potencjalnq odksztalconego pr ta. Jezeli przez À oznaczymy wartosé najwi kszego wydiu w
zenia, to praca obciqzenia P b dzie rôwna Pl.. Wartosé energji potencjalnej, odpowiadajqcej spr -
zystemu wydluzeniu 0 À wyrazono powyzej. Porôwnanie obu wielkosci daje
Pl. = À'EF
21 '
z czego wynika 1.= 2Pl , albo wydiuzenie wzgl dne
EF
2 P .. 1 . P
e = E' Jeze 1 P = Ji
Widzimy przeto, ze przy naglem dzialaniu obciqzenia P powstaje w pierwszej chwili wydlu w
zenie, a zatem i napr zenie dwa razy wi ksze od odpowiadajqcych wielkosci, otrzymanych
przy stopniowem wzrastaniu obciqzenia, czyli innemi siowy, od wydJ:uzenia i napr zenia przy
obciqzeniu s t a t y c z ne m tejze samej wielkosci. (W dalszym ciqgu wytwarzajq si wahania okoio
polozenia rôwnowagi, odpowiadajqcego obciqzeniu statycznemu, ktôre rychio ustajq, czyli "wygaw
sajq", wskutek tarda wewn trznego i innych opor6w mniejszego znaczenia.
1\.nalogicznem do powyzszego rozumowaniem latwo znaleté, ze, jezeli odwr6cimy nagle kiew
runek danego obciqzenia statycznego, to powstaje w pierwszej chwili odksztalcenie i napr .tenie
t rz y raz y w i k s z e od odpowiednich wielkosci statycznych. Zauwazyé jednak trzeba .te te
wyniki nie Sq zupelnie scisle, gdyz przy rozpatrywaniu przemian energji, pomin lismy bezwl dnosé
sam ego pr ta. Popelniony blqd b dzie widocznie tem mniejszy, im mniejszq wartosé ma stosunek
ci zaru wlasnego pr ta do obciq.zenia].
p
Rys. 36
. (19)
37
Majê!c np. obliczyé przekrôj pr ta obciê!zonego sta1ê! silê! Po i obci zeniem P, dzialajê!cem nagle,
uzyj emy rôwnania:
F= Po+ 2P
R
[Od obci zenia nagle dzialajê!cego nalezy odrôznié obci zenia uderzajqce, ktôrych dzialanie
rozpatrzymy pôzniej}.
9 22. ZNUZENIE MET1\LI
W rôznorodnych konstrukcjach wszelkich gal zi techniki mamy bardzo cz sto do czynienia
z obci zeniami zmiennemi. Sily wewn trzne, wywolane niemi, w poszczegôlnych cz sciach sklado-
wych mog przytem doznawaé znacznych wahnien swej wartosci. Gdy np. przejezdza pociê!g kole-
jowy przez most, zwi kszajê! si przewaznie sily wewn trzne, wywolane juz przedtem ci zarem
wlasnym mostu, ale nierzadko zmniejszajê! si niektôre, a nawet zmieniajê! swôj znak. Podczas
ruchu maszyny parowej jest trzon Uokowy i korbowy narazony naprzemian na rozci anie
i sciskanie. Napi cia. lin i laficuchôw u maszyn do podnoszenia ci zar6w zmieniajê! takze swojê!
wielküSé podczas pracy maszyn. Znacznym zmianom podlegaj rôwniez sily wewn trzne spr zyn
rôznego rodzaju, osi wozôw drogowych i kolejowych, walôw motorôw i t. p.
}uz praktyka wykazala, ze wahania wielkosci sil wewnçtrznych wywierajê! bardzo szkodliwy
wplyw na trwalosé materjalu i ze elementy, narazone na dzialanie wielokrotnie zmiennych obciê!zefi
p kajê! niekiedy przy napr zeniach znacznie mniejszych od doraznej wytrzymalosd, a nawet mniej-
szych od granicy proporcjonalnosci dan ego materjalu. To zjawisko, studjowane dotê!d tylko na me-
talach, otrzymalo nazw zn u zen i a met al i. Z wykle prôby rozrywania, opisane powyzej (9 9),
nie wystarczajê! do oSê!dzenia, 0 ile materjal okaze si wytrzymalym przy napi ciach zmiennych.
Jezeli bowiem pr t zelazny, narazony przez dluzszy czas na dzialanie czçsto zmieniaj cych si
obcii!zefi, sprôbujemy rozerwaé w zwykly sposôb, to nie dostrzezemy zadnego uszczerbku pierwotn j
wytrzymalosci. Procentowe wydluzenie i poprzeczne skurczenie nie doznajê! rowniez zmiany. Inny
wszakze wynik otrzymujemy, doprowadzajê!c pr t do rozerwania przez wielokrotne powtarzanie
zmian obciê!zenia. P kni cie posiada WQwczas taki sam wyglê!d, jak dIa materjalu zupeJ:nie kruchego.
Zanim przeprowadzono doswiadczalne badania nad znuzeniem metali, uwzgl dniali inzynie-
rowie szkodliwy wplyw zmiennych napi é, mnoz c obciê!zenie czynnikiem wi kszym od jednostki.
Pierwsze doswiadczenia w tym kierunku wykonal W. Fairb airn, ale dopiero obszerne badania
W o.h 1 e r'a L) rzucily wi cej swiaUa na kwestj znuzenia metali.
9 23. DOSWIl\DCZENI1\ WOHLER'1\
Najistotniejsze wyniki, do ktôrych doszedl Wohler w ciqgu dziesi cioletniej pracy doswiadczalnej
(1860 do 1870), Si! nast pujê!ce:
1) Materjaly, jak zelazo kowalne i stal, mozna doprowadzié do rozerwania napr zeniem
m nie j s z e m od doraznej wytrzymalosci, skoro tylko wielkosé napr zenia zmienimy dostateczni!
ilosé razy.
2) Liczba zmian napr zenia, potrzebna do rozerwania pr ta, zale:zy nietylko od wielkosci
najwi kszego napr zenia, lecz takze od r ô z n i c y mi dzy krancowemi wartosciami napr zeii.
3) lm ta rôznÏca mniejsza, tem wi kszej liczby wahan w wartosci napr zenia potrzeba do
wywolania p kni cia materjalu.
4) Mo:ina znalezé takê! gr an i c z n ê! w a rt 0 s é r6znicy mi dzy najwi kszem a najmniejszem.
napr zeniem, przy ktôrej materjal wytrzymuje praktycznie dowolnê! liczb zmian, [jezeli jedna
z granic, mi dzy ktôremi waha si napr enie, jest dani!].
5) Ta graniczna wartosé rôznicy napr zeii jest tem mniejsza, im WYZSZê! wartosé ma naj-
wi ksze napr :ienie.
1) Wëihler: "Über die Festigkeitsversuche mit Eisen u. Stahl". Zeitschr. f. l3a\1w. 1870. Obacz takZe W. L. Rirpi-
C1:ew, Wiestnik Ob-stwa Tecbnologow z 19J4 r,
38
l\zeby pokazaé, jak si zmienia liczba potrzebnych do rozerwania wahnien przy zmianie
r6znicy mi dzy krancowemi wartosciami napr zen, przytoczymy tablic dIa przypadku, w kt6rym
napr zenie wahalo si mi dzy ciqgnieniem a cisnieniem 0 rownej bezwzgI dnej wartosci 1).
Najw. ciijgnienie 1 Najw. cisnienie 1 Roznica napr zen 1 Liczba wahnien
kg/cm 2 kgi cm2 kg/cm!! przed p kni ciem
1 - 1
+ 2400 1 - 2400 4800 56 430
2250 2250 4500 99 000
2100 2100 4200 183 145
1940 1 1940 3880 479490
1810 1 1810 3620 909 840
1650 1650 3300 3 632 588
1510 1 1510 3020 4917 992
1350 1350 2700 19186791
1200 1 1200 2400 e32 250 000)
1 1 bez p kniçcia
Te doswiadczenia wykonano na pr tach z zelaza spawaInego firmy amerykanskiej Phoenix C !!).
Dorazna wytrzymalosé tego zeIaza przy zwyklem rozrywaniu okazala si rownij 3600 kg cm!!, roz-
cÏqgliwosé okolo ZO %<
DIa lepszego przegIqdu przedstawiono wyniki tych doswiadczen wykreslnie na rys. (37)
Jako odci te mamy tutaj liczb wahan napr zenia w miljonach, jako rz dne zas odpowiadajqce war-
tosci roznicy napr zeii w kg/cm .
Okazuje si , ze punkty otrzymane
z doswiadczeii tworzq krzywq posia-
dajqc,! asymptot rownoIeglq do osi
odci tych, a odpowiadajqcq tej grani-
cy roznicy napr zen, kt6rej przekro-
czenie musi doprowadzié do roze-
rwania pr ta po skoiiczonej liczbie
wahnien obciqzenia. Ta granica row-
na si tutaj 2400 kg/cm!!, aodpowiada-
jqce krancowe wartosci napr zenia
Sq: + 1200kRlcm 2 i -1200kglcm 2 .
7 Te wartosci lezq ponizej zwyklej
. 8 granicy proporcjonalnosci zelaza
spawalnego, a dorazna wytrzyma-
losé przewyzsza je trzykrotnie.
Jezeli napr zenie, nie zmieniajqc znaku, waha si mi dzy zerem a pewnq wartosci q dodatni q ,
to dIa doprowadzenia do p kni cia potrzeba wi kszych napr zeii< W tym przypadku daly doswiadczenia
z poprzednim materjalem wyniki nast pujqce:
P 1t 1f
QOO()
.1000
4000
3000
o
u
2000
/000
o
1
2 J ? 5
licr.ba d7san W TndjonlJch
6
Rys. 37
Najw. naprçzenia 1 Najmn. napr zenia 1 R6znica napr zel1 1 Liczba wahniel1
(kg/cm 2 ) 1 (kgfcm 2 ) (kgfcm 2 ) przed p kni ciem
+ 3600
3300
3000
2700
2.100
3300
3300
o
o
o
o
o
1500
1800
3600
3300
3000
2700
2400
1800
1500
800
106910
340 853
409 481
10 141 645
2 373 424
( 4000000 )
bez p kniçcia
1) Te wyniki olrzymano z do wjadcze6 nad zginaniem okrqglych pr t6w; bezpogednic do wiadczenia z pr tami
rozci'lganemi i gciskanemi przeprowadzil O. Re y n 0 1 d s (ob. 9 24).
S) Liczby wzi to z ksi'lzki Unwin'a ..Testing 01 Materials 01 construction".
39
Granica nitsza lIapr te6. niebezpiecznych wypada tutaj 2400 kg/cm', ma przeto wartoS'é dwa razy wj kszq, nit w poprzednim
przypadku. JeZeli minimum napr tenia obierzemy wi ksze od zera, to ta granica bçdzie leief jeszcze wytej, a odpowiada-
jqca r6tnica miçdzy maximum a minimum naprçzvnia zmniejszy si .
W ponizszej tablicy zestawiono te krat'icowe wartogci napr zeli. przy kt6rych prçt wytrzymywal dowolnie wielkq
liczb waha6. napr tenia. .
Dia lwardszego materjalu wypadajij, ni.eco odmienne stosunki. Jako przyklad pI'z)!\oc7.)'my wyni.ki dO "fiiadczefl.
Wëihlera z stalq ziewn'l Rruppa 0 dorainej wytrzymalogci 7700 kg/cm' i rozciqgliwo ci ]2%.
1 WytS%ëI granica 1 W yf.sza iranica
Rodzaj obciqzenia najw. napr tenia rdtnicy napn:ten
1 w kgJcm' w kgJcm'
Od ciqgnienia flo r6wnego mU eignienia . + 12oo=tRf 1 2400
Od ciqgnienia do zera . . . . + 24oo=-jRf 2400
Doraina wytrzymalo é . . . ./ +3600= Rf 0
'1 WYZSZ8 grêlnica 1 WY2sza granica
Rodzaj obci'lzenia najw. D8pr .feDia r6:t,picy napr<:te"
1 w kg(cm' w kg/cm'
Od ciqgnienia do r6wnego mU ci nienja . 2250 = 0,29 Rf 4500
Od ciqgnienia do zera . . . . . . 3750 = 0,49 Rf 3750
Doraina w)'lrzyma\o é . . . . 7700 \)
W r. 1874 powt6rzyl Spa n g e n ber g dogwiadczenia Wëihlera i otrzymal mniej wi cej te same wyniki. T akiemi samemi
maszynami i sposobami badania poslugiwali siç B. B a k e r i Ba u s chi n g r. Poczqtkowe dogwiadczenia Bauschingera potwier-
dzily rezultaty Wohlera, ale daIsze badania ogloszone przez fi. F 0 p pl a, daly w przypadku wahania siç napr ze6. mi dzy
ciqgnieniem a r6wnem mu ci nieniem. znacznie wiçksze warto ci granicy napr zeti ad otrzymanych przez WohIera J ).
. 24. DOSWIJ\DCZENIJ\ O. REYNOLDS'J\ i J. H. SMITH'1\ 2). [WPLYW CZ STOSCI W1\-
H1\N OBCI1\ZENI1\ N1\ GRF\NICE N1\PREIEN ROZRYW1\J1\CYCHl
W tych do wiadczeniach b}1y pr ty narazone naprzemian na ciqgnienie i ci nienie silami bezwladnogci ci taru paru-
szaj'lcego si do g6ry i na d61. Stosunek mi dzy wielko ciami ci'lgnienia i cignïenia zalezny od prlAdkc ci ruchu maszyny
plf!A
1000
,(,HZ
l
\,.
+"ii; """ o '1
\5' '
" ......... (éld, '-,..
" :D(1.s L -.... -- lt;; !Uo' le à ')/r.o
'--- ) - - o 6( ol, té .-
...... ,..c e77.
--- r--o-. /:111 Ide i::LC kif DOo o f J '300
r.. JJÛ..1t.
Q. !D oc -
i'Ul Q d c -\ en e , 7.
- Pl" f '"
- -- . Ud. . ( 1 II\r cbr.
...,. ?là ml!,!
-
;' 3 l. ! 6 7
lic:x.blJ obroto w ma3xyny w.set/rtJch t YS1ec!l
.8
5000
4000
3000
2000
o
Rys. 38
1) MiUeil. aus d. mech. techn. Labor. in München. HeU XIII u. XXV.
2) ..On a Throw.Testing Machine for Reversais of Mean Stress". Phil. Trans Roy. Soc. 1902.
40
wahal siç przytem od 1,12 do 1,18. Podczas gdy u Wi5hlera byla czçstogé zmian. niewielka, 60 do na mi ut , to maszyna
Reynolds'a dawala 1300 do 2400 zmian na minutç, przyczem siç po azalo, e wI ksza czçstogt; o mt.a dal J ;-varto t na rç:
zenia rozrywajqcego. Widaé to dobrze z wykrdlonego por6wnama wymk6w bada6 Reynolds a 1 SmIth a z badamaml
WohIera (rys. 38), odnoszqcemi siç do teIaza zlewnego 0 dorainej wytrzymalo ci 4000 kg/cm 2 i rozciqgliwo ci 29% 1}.
Szczeg61nie szkQdliwy wplyw ma powi kszenie czçsto ci wahal1 na materjaly kruche. DIa por6wnania przytaczamy ponitej
wyniki do wiadcze6. z teIazem zlewnem 0 dorainej wytrzymalo ci 38COkg/cm 2 , punkcie krytycznym 2700kg/cm 2 i rozei'l-
gliwogci 29°Jo, a stalq zIewnq 0 dorainej wytrzymalo ci 9100kg/cm', punkcie krytycznym 6200kg/cm 2 i rozciqgliwo ci3,8%.
lelazo zIewne
R6tnica naprçzeti (kg/cm 2 ) Cz stogé wahnie6 Stosunek r6tnicy naprçzeti
niezbçdna dia rozerwania na minutç do naprçtenia w punkcie
po 1 miljonie wahniel1 krytycznym
3800 (Wi5hler) 60 do 80 -
3300 1337 1,22
3000 1516 1,12
2400 1744 0,89
1940 1917 0,72
Stal zlewna
R6tnÎca naprçzeti (kgjcm 2 )
niezb dna dia rozerwania
po 1 miljonie wahnieti
Czçstogé wahnien
na minut
Stosunek r6tnicy naprçteti
do naprçtema w punkcie
krytycznym
4270 (Wohler) 60 do RO
3150 1320 0,50
2880 1660 0,46
2630 1820 0,42
2060 1990 0,33
W przeciwstawieniu do d wiadczel1 Wohlera przy malej cz sto ci, okazuje siç przy bardzo wielkiej czçstogci wahnie6.
wytrzymalogé badanej stali nie wiçksza od zelaza zlewnego, jakkolwiek dorazna wytrzymalo é przewytsza przeszlo dwu-
krotnie takqt wytrzymalo t zelaza zlewnego.
25. DOSWI1\DCZENIJ\ STJ\NTON'J\ 1 BJ\IRSTOW'J\
W tych dogwiadczeniach badano zwykle- gatunki telaza kowalnego i stali, napotykane w praktyce. Prçty do do-
gwiadcze6. brano w ich naturalnym stanie i nie poddawano ich wytarzeniu. Maszyna, s!uzqca do badania, byla zbudowana
na lej samej zasadzie, co maszyna O. Reynolds'a i wykonywala normalnie 800 obrot6w na minutç. Pokazalo si , ze przy
takiej cz stogci zbliZaj'l siç wyniki dogwiadczeti bardziej do wynik6w Wohler'a nit Reynolds'a. Z do wiadczeti Stanton'a
i Bairstowa wynika nawet, te zmiana czçstogci od 60 do 800 na minutç nie ma istotnego wplywu na granicznq warto é
r6znicy naprçte:6.. Dziçki specjalnym. urzqdzeniom motna bylo przy dogwiadczeniach zmieniaé stosunek najwiçkszego
ci'lgnienia do ci nienia mi dzy granicami ],40 a 0,72. Przy tych zmianach okàzala siç graniczna r6tnica naprç:leti stalq.
Stosunek granicznej r6tnicy napr te6 do granicy proporcjonalnogci podaje dIa niekt6rych materja16w tablica nastçpuj'lca:
1 M...,;., Granica Punkt Doraina Stosunek granicznej
proporc. krytyczny wytrzyma- Rozci'lgli- r6tnicy naprçte6.
logt; wo w 0J0
do granicy \ do dorainej
w kgfcm 2 proporc. wytrzym. 2 }
Bessem. stal Nr.3. 4340 4560 7470 12.9 1,13 0,33
" " Nr.2. 3930 4400 6860 17,0 1,21 0,35
" " Nr.l. 3360 3730 4480 22,8 1,25 -
leI. zlewne Nr.2. 2250 2480 4440 24,6 1,80 0,46
" " Nr.l. 1670 2100 3430 28,0 1,76 0,43
leI. spawalne Nr. 2 . 2100 2300 4020 23,8 1,44 0,37
" " Nr.1. 2240 2580 3730 27,0 1,51 0,45
1) 1\. Morley: "StrengIh of materials". 1908. Str. 75.
I} Liczby tej ostatniej kolumny odpowiadajq wahaniom naprçteti mi dzy ciqgnieniem i r6wnem mu ci nieniem;
pierwszej np., t. j. 0,33, odpow,:iada :;1: 2450 kg/cm'.
41
W najnQwszych czasach przeprowad 1 B. Hopkinson bardzo interesuj'lce do wiadczenia nad dzialaniem zmiennych
napiçé przy wielkiej czçstogci wahati. Przy pomocy elektromagnesu udalo mu si doprowadzié czçstogé walmiel5. do 7000
na minutç, przyczem si pokazalo, te graniczna r6ïnica miçdzy ciqgnieniem a r6wnem mu ci nieniem jest przy takiej
czçstogci znâcznie wiçksza, aniieli przy cz stogci 1000 do 2000 na minut . B. Hopkinson przypimje ten wynik okoIiczn ci,
ze. przy bardzo kr6tkiem dzialaniu obci'lzenia jest gran!ca sprçzy o ci wyzszib niz w przypadku dzialania statycznego 1).
26. Nl\PREZENI1\ BEZPIECZNE PRZY ZMIENNYCH NI\PI CI1\CH
Jak widaé z przytoczonych doswiadczeii, poprzestawano przy badaniu znuzenia metaIi gt6wnie
na dwu wartosciach stosunku najwi kszego napr zenia do najmniejszego. W jednym przypadku
zmieniato si naprçzenie od zera do pewnej wartosci dodatniej, w drugim zas bylo napr zenie
naprzemian ci gnieniem i cisnieniem 0 tej samej bezwzgI dnej wartosci. W praktyce mamy jednak
do czynienia z najr6znorodniejszemi stosunkami mi dzy najwi kszem a najmniejszem napr zeniem,
azeby wi c przy obliczeniu zuzytkowaé dane doswiadczaIne, wypada interpoIowaé hipotetycznie
odpowiednie wartosci najwiçkszego napr zenia, kt6re pr t zniesie przy dowolnie wieikiej liczbie
wahan napr zenia. Najdogodniej wykonaé to wykreSlnie w spos6b nast puj cyi):
Obieramy prost e' a (rys. 40), dowoinie nachylon do osi odci tych, kt6rej rz dne uwazamy
za Pmln. Gdybysmy od kaZclego punktu tej prostej odci li w kierunku osi rzçdnych graniczne war-
tosci r6znicy napr zeii /::,., to otrzymalibysmy krzyw , wystarczaj c(! do obIiczenia w kaZdym przy-
padku. Z doswiadczeii znamy tylko par punkt6w tej krzywej, ale dziçki samemu tyIko prze-
P Jr 9
en'
,. 4.DDtJ
.. .JOQQ
+ 200Q
...'t>
'lJ
+ 1000 f..
, fr
Q,/
. .
0 li1'2jéJ x.erollXJ ){
- ,QOO
2000 /i
Rys. 40
swiadczeniu 0 regularnoscî jej przebiegu mozemy jq wykresIié z wystarczaj(!ci! dIa praktyki dokla-
dnosci q . Wykres mazna zast pié r6wnaniem analitycznem, oczywiscie mozliwie najprostszem.
Przytoczymy jednê! postaé tego r6wnania roipowszechnion w praktyce, a przystosowan do wyni-
k6w Wôhlera dIa zelaza kowalnego i mi kkiej stali:
pmax = R' (1 + pmin ) . (20)
3 2 pmax
1) PrOC. 01. the Roy. Soc. 1\. Vol. 74; Vol. 86, r. 1912.
2) fi. Morley: "Strength 01 materials., 1908, str. 79.
Stromeyer (Engineering 1914, str.421) podaje metodç oznaczenia zdoln ci
miennych obci zeti z do wiadcze6 kr6tkotrwalych,
materjalu do wytrzymywania prze-
Il
42
RF oznacza tutaj, jak poprzednio, doraznij wytrzymalosé materjalu. Rrzywa, okreslona tem r6wna-
rôwnaniem, jest, jak latwo zauwazyé, parabolij. W przypadku pmin = Pmax, t. j. gdy obciijzenie si'È
nie zmienia, wypada z formuly (20) istotnie pmax = RF, jak byé powinno. Jezeli pmin = 0, t. j. gdy
napr ienie zmienia siç od zera do pewnej wartosci dQdatniej, daje formula pmax = RF. Nakoniec
w przypadku, gdy naprçzenie waha siç miçdzy ciijgnieniem, a r6wnem mu cisnieniem, czyli
Pmax = - pmin, znajdziemy z formuly pmax = RF.
3
Obiedwie ostatnie wartosci szczeg6lne odpowiadajij przytoczonym powyiej wynikom doswiad-
czen Wühlera. DIa trzech sposobôw dzialania obciijzenia majij siç do siebie krancowe wartosci
napr zen jak 3 = 2 = 1. T aki sam stosunek naIezy oczywiscie zachowaé mi dzy napr zeniami bez-
piecznemi. Na podstawie tych rozwazan zestawiono ponizej umieszczonq tabIic'È naprçzen bezpie-
cznych przyjmowanych przy obliczaniu elementôw maszynowych 1). Podane w niej normy dIa
napr'Èzen bezpiecznych przedstawiajij pewne srednie ,wartosci, od kt6rych mozna znacznie odstijpié
w szczeg6Inych przypadkach. Bardziej szczeg610we dane, odnoszijce siç do napr zen dopuszczaI-
nych, mozna znalezé w odpowiednich dziafach konstrukcji maszyn 2).
S
Z
o
S
Napr'Èzenia dopuszczalne w kg/cm'
Materjal J
Obc. stale Obe. waha si'È 1 Obc. waha si'È
od 0 do + , od - do +
1
elazo spawalne . . 900 600 1 300
. 1
" zIewne . . . 900 do 1200 600 do 800 1 300 do 400
tal zlewna . 1200 do 1500 800 do 1000 1 400 do 500
. . 1
elazo lane . . . . ." . 300 200 100
dlew stalowy . 600 do 900 400 do 600 200 do 300
tal spr zynowa . . . 7500 1 5000 -
1
z
Napr zenia bezpieczne w konstrukcjach inzyniersko-budowlanych przyjmuje si zwykle zna-
cznie wyzsze. Tak np. dopuszczajij nowe normy niemieckie dIa konstrukcyj zelaznych w wi za-
rach dachowych do 1600kglcm ' , a w mostaeh do 1400kg{cm 2 . Tak wysokie napr zenia tlumaczij
si poczçsci mniejszym stopniem zmiennosci obciijzenia; nadto wi ksza prostota konstrukcyj inzy-
merskich pozwala stosowaé formuly obliczenia z wiçksz q dokladnosci q S).
9 27. PRZYCZYNY ZJl\.WISRl\. ZNUZENIl\. METl\.LI
Mimo bardzo liczne doswiadczenia nie mozna uwazaé zjawiska znuzenia metaiï za zupelnie
zbadane. Najistotniejszq roI'È gra tutaj zapewne ta okolicznosé, ze nawet najdoskonalsze materjaly kon-
strukcyjne, jak zelazo kowalne i staI, nie Sij cialami doskonale spr zystemi i po usuni'Èciu obciij-
zema nie powracajij zupelnie dokladnie do pierwotnego stanu. Te zboczenia od doskonalej spr'È-
zystosci, niedostrzegalne przy doraznem badaniu rozciijgania, sumujij si'È powoli i stajq si wido-
czne po wiçkszej liczbie zmian obciijzenia.
T en fakt, ze przy nieustannych zmianaeh nietylko wielkosci, Iecz takze i znaku naprçzenia,
zachodzi p'Èkni cie nawet przy napr :ieniach nizszych od granicy proporcjonalnosci. objasniajq
1) C. Bach: "Die Maschinen-Elemente", 1908.
2) W ksiqice P. Stephan'a: "Die Festigkeitseigenschaften der Ronstruktionsmaterialien des Maschinenbaues",
Berlin, r. 1911, mozna znaleié wiele danych co do napr te6 dopuszcz8lnych w budowie maszyn,
1) [Nizsze normy napr ze1'i bezpiecznych dia konstrukcyj maszynowych podyktowala inzynierom praktyka jeszcze
z tego powodu, poniewaz wymogi sztywnogci konstrukcyj sq z natury rzeczy wog6le wi ksze dIa maszyn. anizeli dIa kon-
strukcji budowlano-'ntynierskich].
43
doraZnem podwyzszeniem tej granicy podczas zwyklego rozciqgania; takie rozci ganie bowiem nie
jest niczel11 innem, jak tylko rodzajem obr6bki na zimno, kt6ra, jak wiadomo, podwyzsza wog6le
granic proporcjonalnosci. Jezeli jednak rozciqganie i sciskanie nast puj(! naprzemian wielokrotnie,
to, jak wykazaly badania Bauschingera 1), obniza si granica proporcjonalnosci, dqz(!c jednakze do
pewnej granicznej wartosci, kt6r nazwano na t u raI n granic q spr zystosci. .1\zeby zatem nie-
ustanne wahania si napi da mi dzy dodatni q i r6wn(! jej ujemnq wartosd q nie doprowadzily do
p kni cia, powinno napr zenie nie przekraczaé tej naturalnej granicy spr ystosci i).
W bardzo scislym zwiqzku ze znuzeniem metali stoi zjawisko hi sterezy. Dokladne badania
wykazaly, ze nawet przy niewielkich odksztalceniach, nie dochodzqcych do granicy proporcjonal-
nosci, zachodz q pewne procesy 0 charakterze nieodwracalnym, tak, jakby kazde dzialanie sil pozo-
stawialo pewien slad na wlasnosciach materjam. W danej chwili okazuj(! si te wlasnosci funkcjami
wszystkich poprzednich stan6w materjalu. Do takich nieodwracalnych proces6w nalez(! zmiany
wlasnosci magnetycznych i termo-elektrycznych 3), a takze zjawiska cieplne. Przy odksztaIceniu
zmienia si temperatura badanego ciala i zaczyna si wymiana ciepla mi dzy cialem, a srodowiskiem
otaczaj cem. Taki proces bywa zwykle nieodwracalnym i jest pol(!czony z rozpraszaniem energji
cieplnej. Nieodwracalnosé warunkujq nadto, opr6cz wyliczonych przyczyn, niedoskonala spr zystosé
materjalu i napr zenia poczqtkowe, kt6re w nim powstaly pod wplywem pierwotnej obr6bki.
DIa wyznaczenia energji, rozpr6szonej przy odksztalceniu, poslugujemy si najdogodniej
diagramem (rys. 41). przy odksztaIceniu wskutek sily wzrastaj(!cej od zera do pewnej wartosci
otrzymujemy linj Oca, zwykle bardzo malo r6zni(!cq si od prostej. Jezeli nast pnie
zmniejszamy stopniowo sH az do zera i otrzymamy linj ac' b, nie nakrywa.j(!c(!
poprzedniej, to pole 0 cac' b okreSla t cz sé energji, kt6ra przyj la postaé nie-
odwracalnq, czyli rozpr6szyla si . T ak si objawia hi s ter e z a S p r z ys t a. Czem
mniejsze pole diagramu histerezy, tembardziej zbliza si materjal do dala idealnie
spr zystego item mniejszego wplywu mozna oczekiwaé od powt6rnych obciqzen.
Na tej zasadzie zrobiono pr6b ocenienia zdolnosci materjalu do znoszenia prze-
miennych obciqzen przy pomocy diagramu odpowiadajqcego jednemu obcië!Zeniu
i odciqzeniu prôbnego pr ta 4).
Jeszcze jasniejszy obraz rozpraszania energji przy odksztalceniach otrzymamy, obserwujqc
drgania wywolane silami spr zystosci. Skoro pobudzimy pr t do drgan, to po niedlugim czasie
zauwaZymy zmniejszanie si amplitudy; wahania stopniowo "wygasaj " (zamierajq). Jak wy azaly
badania doswiadczalne, nie wystarczajq do objasnienia tego zjawiska opory zewn trzne; ono wska-
zuje wyraznie na powstawanie w materjale pr ta obok sil spr i:ystosci, majqcych potencjal, jeszcze
innych sB wewn trznych, rozpraszajqcych energj , czyli, innemi slowy, wskazuje na istnienie
l zw. tarcia wewn trznego. Studjum wygasania drgaii mote rzucié pewne swiaUo na zjawisko
znuzenia metali 5).
Lord Relvin zauwai:yl, ze jezeli zmusié pr t do drgan przez dluzszy przeciqg czasu, np. kilka
dni, to zamieranie drgan staje si szybszem, jak gdyby tarcie wewn trzne si wzmoglo. T 0 samo
zjawisko cz sciowej zamiany energji na prac wewn trznq b dzie zachodzié przy wielokrotnie
powtarzanem obciqzeniu. lm ta praca wi ksza, im szybsze wygasanie drgaii, tem blizej do poko-
nania sp6jnosci materjalu, tem wyrazniejsze oznaki znuzenia.
Do wyjasnienia zjawiska znuzenia metali przyczynHo si znacznie zastosowanie badania
mikroskopowego. Okazalo si , ze niespodziewane zlamania element6w, naraZonych na dzialanie
przemiennych obciqzen, dadz q sie w wielu przypadkach objasnié obecnosci q mikroskopijnych
p
(J
.J
Rys. 41
1) Mitteil. aus d. mech.-techn. Laborat. in München. HeU XIII.
2) T. Stanton and L. Bairstow: "On the Resistance 01 Iron and Steel to rev sals 01 direct Stress". Min. 01
Proc. Civ. eng. 1906.
8) 1. fi. E win g: "The strength, 01 materials". str. 55.
4.) Frolowskij: "Gisterezis".
B. Hopkinson: "The elastic Hysteresis 01 steel". Engineering, r. 1912, sir. 827.
5) H. Le Chatelier: "Sur l'essai des m taux par amortissement des inouvements vibratoires". Revue de M4-
tallurgie, r. ]909.
M. fi. Guiller: "Intervention de l'amortissement dans l'essais de 1er". Tamze, r. 1909.
44
szczelin w materjale 1). Takie szczeIiny powodU;q znaczne nier6wnomiemosci w rozkladzie napr zeii
[w otoczeniu szczelin powstajq, jak zobaczymy ponizej, naprçzenia 0 wiele wiçksze od tych, jakieby
powstaly bez szczeIin], a rozwijajqc si stopniowo, doprowadzajé! ostatecznie pr t do pçkni cia.
Proces stopniowego zniweczenia sp6jnosci u krysztalk6w zeIaza pod dzialaniem przemiennych
napi é badal szczeg610wo prof. I..R. E win g ). Do doswiadczeii sluzylo szwedzkie zeIazo 0 doraznej
wytrzymalosd 3700 kg/cm' i rozciqgliwosci 27%. Przy pomocy mikmskopu sIedzono zmiany, zacho-
dzqce w oddzieInych krysztalach wskutek wahania napr zeii od ciqgnienia do r6wnego mu cisnienia.
Juz przy stosunkowo niewieIkich naprçzeniach :1: 1100 kg/cm' mozna bylo dostrzec, po dostatecznej
Iiczbie wahan, ze niekt6re krysztaly w najbardziej narazonych czçsciach prçta pokrywaly si rysami.
Badanie mikroskopowe wykazalo, ze te rysy Sq zewnçtrznym objawe.m przesuniçé zachodzqcych
w plaszczyznach sp6jnosci poszczeg6Inych kryszta16w. Przedluzajqc dzialanie przemiennych obci q -
zen na obserwowany element, mozna bylo widzieé, jak niekt6re z tych przesuniçé, przeksztalcaly
siç stopniowo na szczelinki. Przy dalszych powtarzaniach wahnieii naprçzenia zuzywa si nieod-
wracaIna czçsé pracy odksztakenia przewaznie na zniszczenie sp6jnosci materjalu okolo tworzqcej
siç szczeIiny. Wskazuje na to produkt zniszczenia - delikatny pylek, pojawiajqcy si na brzegach
szczeliny. Ta okolicznosé, ze cala praca niszczqca koncentruje siç w okreslonym przekroju, wy-
jasnia, dIaczego nie zmieniajq siç plastyczne wlasnosci pozostalej masy prçta i dIaczego charakter
zlomu, uwarunkowany rozwojem poczqtkowej szczeliny, jest taki sam, jak u materja16w kruchych.
9 28. ROZCIl1GRNIE [ SCISR1\NIE PRETÇ>W 0 ZMIENNYM PRZERRO JU
Wzory do obliczeii, oznaczone powyzej liczbami (17) i (18), stosuje si czçsto do pr t6w
o przekroju zmie'nnym, jakkolwiek wyprowadzilismy je: dIa przypadku stalego przekroju. Otrzy-
mane przytem wyniki mogq byé zadowaIajqce, 0 iIe niema w prçcie naglych zmian przekroju.
W przeciwnym razie staje si niezbçdnem uzupelniajqce badanie rozkladu napr zeii w miejscach,
gdzie nagle zmiany przekroju zachodz q . Zagadnienie jest wielce zlozone i nie dopuszcza elemen-
tarnego rozwiqzania. Poprzestaniemy przeto na przytoczeniu ostatecznych wynik6w
dIa kilku wazniejszych prostych przypadk6w. Te wyniki pozwolq nam wysnué szereg
og6Inych wniosk6w, majqcych wazne znaczenie praktyczne.
Jako pierwszy przyklad rozwa:iymy rozciqganie pr ta JI B (rys. 42), 0 szero-
kosci Iinjowo zmiennej, a grubosci stalej. W dowoInym przekroju poprzecznym m n
bçdzie rozklad ciqgnieii wcale nier6wnomiemym, a stopieii tej nier6wnomiemosci za-
lezy od wielkosci kqta y. Pewnego wyobrazenia 0 prawie rozkladu napr zeii mozna
nabraé przy obserwacji odksztalceii. W tym celu nalezy sporzqdzié model pr ta
z miçkkiego .kauczuku i opatrzyé go na scianach bocznych ukladem linij r6wnoleglych
do m n. przy rozciqganiu sÎl q P zakrzywiajq siç te linje, a odleglosé mi dzy ni mi
zwiçksza siç niejednakowo w r6znych punktach. Najwi ksze odksztalcenie, odpo- ttnttH1Tn
wiadajqce najwiçkszym ciqgnieniom, powstanq w osi pr ta, najmniejsze na brzegach.
....2r':"
Dokladne badania wykazaly, :ie r6mica miçdzy najwi kszem, a sredniem naprç- J1
zeniem przy wartosci y = 10°, nie przekracza 1,3%. W tym przypadku mozna zatem PI l '.B n
z dostatecznq dokladnosci q poslugiwaé si wzorami, wyprowadzonemi dIa pr t6w A - r _
pryzmatycznych. Przy y = 30° osiqga r6znica mi dzy najwiçkszem naprçzeniem , 1
a jego sredni q wartosci q juz 13%. Dalsze zwiçkszenie kqta y pociqga za sob q 1
oczywiscie jeszcze wi kszq nier6wnomiernosé w rozkladzie naprçzeii. U 11 W Il HI
o wiele wiçksze znaczenie praktyczne posiada drugi przyklad, a mianowicie Rys. 43
rozciqganie wstçgi, oslabionej okrqglym otworem w srodku (rys. 43). W plaszczyznie przekroju poprze-
cznego m n, przechodzqcego przez srodek otworu rozlozq si napr zenia najbardziej nier6wnomiernie.
Rys. 42
1) T. l\ndrews: "Microscopic internai flaws inducing fracture in Steel". Engineering, r. 1896, sir. 35.
2) "On the fracture of, metals under repeated aUernations of 5tress. Phil. Trans. of Roy. Soc., r. 1903.
Ob. takie: W. L. Rirpiczew: "Ob ustalosti metallow w zwiazi s ich kristalIiczeskim strojeniem". Wiest. Obszcz.
-Technologow r. 1914.
M.l\. Woropajew: "Ob ustalosti czuguna". Izw. Riew. Pol. Inst. 1914.
Stromeyer: Engineering 1914, str. 421.
45
Ten rozIdad motna znalezC: drogi! anatitycznq, jeieli grednica ot oru 2r jest mala w por6wnaniu doszeroko ci wstçgi.
Wtedy okregla naprçteme P' w dowolnym punkcie B rozpatrywanego przekroju, wz6r 1 }:
P'=J?- ( 2+..è.+ 3 r4 ) ,"
2 p p4
w kt6rym p oznacza odleglogé punktu B od rodka otworu, a P gredniq wartogé naprçzenia.
Na rysunku przedstawiono prawo rozktadu napr zen zakreskowanym diagramem. Na brzegu
otworu, gdzie p = r, znajdujemy:
p' = 3 p,
czyli najwi ksze napr zenie ma pot r Ô j n ij w a ri 0 s é tego, ktôre obliczamy zwykl q formul , wypro-
wadzonij dIa pr tôw pryzmatycznych. Jezeli otwôr okrqgly zastijpimy eliptycznym 0 osi dluzszej,
skierowanej prostopadle do rozci gajijcej sily, to przewyzka napr zenia na brzegach otworu b ie
jeszcze wi ksz . Stopien nierôwnomiernosci w rozldadzie napr zen wzrasta wraz ze stosunkiem
osi wielkiej do osi malej elipsy 1). Z tego widaé, ze wijska szczelina, prostopadla. do kierunku ,"oz-
ciijgaj cej sily, wywoluje oIbrzymie Iokalne napr zenia w materjale; skoro zas szczelina ma kieru-
nek do sily rôwnolegly, to nie ma prawie wptywu na rozldad napr zeii.
[Podczas gdy pierwsza szczelina prçt rozci'lgany bardzo oslabia, to druga nie ma na jego wytrzymalo é tadnego
wplywu. Nie trudno zrozumiet, te. calkiem przeciwnie bçdzie siç rzecz miala w przypadku ciskania prçta. Naprçzenia
na kot'ir acb poprzecznej szczeliny bçd'l wprawdzie w pierwszej cbwili dzialania obci'lzenia bardzo wielkie w stosunku
do gredniej wartogci, jakkolwiek jeszcze male w por6wnaniu do *artogei niebezpiecznej, atoli w miarç powiçkszania obci'l-
zenia szczelina siç zwiera i daIszy wzrost naprçzeli b dzie juz r6wnomierny. W rezuItaeie zatem nie dostrzezfmy zmniej-
szenia dorainej wytrzymalogci, jeteli tylko szczelina byla dostatecznie Wilska. Natomiast szczeliny podlutne w wiçkszej
iloki mogq bardzo oslabié prçt gciskany, gdyz takie szczeliny majil w przypadku gciskania tendencj do otwierania siç.
T 0 obj nia prawie zupelnie malq wytrzYlJliilogé, jakil okazuje drewno, zwlaszcza z drzew szpilkowycb, przy gcïskaniu silq
r6wnoIegiq do wl6kien. w por6wnaniu do wytrzymalogci przy rozciilganiu w tymze kierunku).
Przyjmijmy teraz, te oslabienie wst gi uskuteczniono zapomocij pôtkolistych wyc é na
brzegach (rys. 44). Przyblizony rozklad napr zen w przekroju najbardziej zw zonym m n przed-
stawia zakreskowany diagram. Jezeli promien wyci é jest maJy w por6wnaniu do szerokosci
wst gi, to napr zenia w punktach A A s dwa razy wi ksze
od sredniej wartosci napr zenia S). Nadajqc wyci ciorri postaé
wydluzonq, w kierunku prostopadlym do sily dziatajqcej,
otrzymamy napr zenia jeszcze wi ksze.
"Ostre" zmiany przekroju poprzecznego napotykamy
w praktyce bardzo cz sto. Do badania wytrzymatosci zaprawy
cementowej uzywa si np. pr6bek w postaci ôsemki (rys. 45),
ktôre rozciijgane w kierunku dlugosci sHij P, p kajq oczywi-
scie w przekroju oslabionym m n. Iloraz z sily rozrywajqcej
przez pole oslabionego przekroju uwaza si za wartosé dora-
fnej wytrzymalosci zaprawy cementowej. Ta wartosé b dzie
jednak niewqtpliwie mniejszq od rzeczywistej wytrzymalosci,
ktôrqbysmy znalezli rozrywajqc pr t pryzmatyczny z tego
samego materjalu, albowiem wskutek ostrej zmiany przekroju poprzecznego, nie b zje rozklad
napr zen w przekroju m n r6wnomiernym, a p kni cie rozpocznie si w najsilniej naprçzonych
miejscach, na brzegach zw zonego przekroju.
fiteby ocenié stopiet'i nier6wnomiernogci w rozkladzie napr tet'i, robil l\. Foppl dog",iadczenia z modelem gumo-
wym 4 }. Proste r6wnolegle aa i bb, wykregIone na plaskich cianach modelu, zamienialy siç przy :{ozciqganiu na krzywe,
zwr6cone ku sobie wypuklo ciq. Odksztalcenia na btzegach okazaly si przytem okolo cztery razy wiçksze nit w grodku.
UHUIUU
p
Rys.44
Rys.45
1} Rirsch: Zeitschrift d. V. deutsch. Ing. r. 1898.
S. Timoszenko: ,,0 wlianij kruglych otwierstij na raspredjeIienie napriazenij w plastinkach". Izw. Kiew. Polit.
lnst. r. 1907.
2} C. E. ln glis: Engineering, 1913, str. 415.
G. Roi 0 s 0 w: "Ploskaja zadacza teorij uprugos6", 1909.
8} 1\. Leon: "Ueber die Spannungsverteilung in der Urngebung einer halbkreisformigen Rerbe lt . Mill d. mecb. tech.
Labor. Wien, 1908.
4) fi. Foppl: "Festigkeitslehre", 1905. Str. 9.
46
Te do wiadczenia nie mogly oczywi cie posluiyé do ilo ciowego znaczenia najwi kszych napr zel1, ('0 powÎodJo sî p6iniej
Coker'owi przy zastosowaniu pr6bek ze szkla.i badania rozkladu napr ien przy pomocy spolaryzowanego wiaUa 1).
Pokazalo si , te najwiçksze naprçienia na Qrzegach zw zonego przekroju Sê! okolo 1,75 razy wiçksze od redniej war
togci naprçzenia.
[St'ld moznaby latwo wysnué wniosek, ze badanie pr6bek pryzmatycznych z takiej samej zaprawy cementowej
powinno daé znacznie wiçksze (okolo 1,75 razy) wartogci dorainej wytrzymalogci. Iitoli do wiadczenie nie potwier-
dzilo na razie tego wniosku. Na podstawie SWOilh dogwiadczeti twierdzi nawet Bal.h 2), ze raczej ma siç rzecz przeciwnie.
jednak:l:e musimy to twierdzenie uwataé co najmniej za przedwczesne. W swoich do wiadczeniach utywal Bach pr t6w
pryzmatycznych 0 znacznie wi kslychrozmiarach przekroju od przekroju zwyklych pr6bek 6semkowatych. Inne zag dogwiadcze-
nia wykazaly niejednokrotnie. te ten sam cement objawia tem wi kszi'! dorainq wytrzymalo é, im mniejsze si'! rozmiary pr6bki.
Jedni t!6 macz i! to zjawisko innemi warunkami procesu t zenia zaprawy cementowej w wielkiej masie, niz w malej; sq jednak
tacy, jak np. znakomity lizyk W. Voigt, kt6rzy wog61e nie posiadajil tej wiary zakorzenionej glçboko w umyslach iniy-
nier6w, zg niebezpieczel1stwo p kniçcia lub przekroczenia granicy spr zysto ci zalezy w danym materjale _jedynie od wiel-
kogci napre:l:e6 i od pewnych stalych, wlagciwych materjalowi. Istotnie przeczq temu liczne lakty, na kt6re bqdito nie zwra-
cano.dot'ld uwagi w kolach technik6w, bqdi tez blçdnie je tlumaczono. Ci drudzy twierdzq przeto, te warunki wytrzy
malo ei zaleZ'l wog61e nietylko od wielko ci napr :l:el1 i od stalych charakterystycznych dia materjalu, lecz takze od rozmiar6w
ciala, a nawet od rozmieszczenia naprçien. Powr6cimy jeszcze do tej interesujilcej i wainej kwestji w odpowiedniem
miejscu; tutaj nadrnienimy tylko, ze w naszym przypadku sq prawdopodobnie obadwa poglqdy potrzebne do obja-
gnienia zjawiska].
To samo zjawisko miejscowego powi kszenia napr zen spotykamy przy rozciijganiu zwyklego
sworznia (rys. 46, fige a). W przekroju m n, oddalonym od miejsca dzialania sil zewn trznych,
mozna przyj é r6wnomierny rozkJ:ad napr zen, ale dIa przekroju a a przy
g16wce sworznia b dzie takie zalozenie bardzo dalekiem od rzeczywistosci.
Najwi ksze napr zenia powstanij na konturze przekroju, najmniejsze w jego
srodku. Stopien nier6wnomiernosci w rozkladzie napr zen b dzie zalezeé
od krzywizny powierzchni lijcz cych gl6wk z trzonem sworznia. lm wi ksza
ta krzywizna, tem wi kszij b dzie nadwyzka napr zenia. Gdy niema zupelnie
powierzchni przejsciowej (fig. b), to teoretyczne rozwiijzanie daje nieskonczenie
wielkie napr zenia na konturze 3).
Jako og6lny wniosek mozemy wyglosié regul nast pujijC : Z mi a n y
wielkosci przekroju poprzecznego wywoluj CA za wsze nier6wnomierny rozklad
napr zen; stopien nier6wnomiernosci jest tem wyzszy, im ostrzejsza zmiana
przekroju.
a Wl a 1J 'I-
II1.U!7 m
'.U+H.- -IWW
fi . a. fi . 1>.
Ry.. 46
9 29. ROZRYW1\NIE PRET6w 0 ZMIENNYM PRZERROJU
Wnioski, odnoszqce si do wplywu ostrych zmian przekroju na rozklad napr zen, s prawdziwe
tylko tak dtugo, dop6ki materjaJ: podlega prawu Hooke'a. Skoro tylko w jakiemkolwiek miejscu
napr zenie przekroczy granic proporcjonalnosci, to prawo rozkladu napr zen zmienia si . Z chwilij
pojawi.enia si odksztalcen trwalych zaczynajé! wog6le napr zenia rozkladaé si bardziej r6wno-
miernie, a ostatecznie b dzie wplyw ostrych zmian przekroju na wielkosé obci zenia rozrywaj cego
rozmaity, zaleznie od zdolnosci materjalu do odksztalcen plastycznych. W materjalach 0 znacznej
rozci gliwosci, jak np. zelazo kowalne, miedz, mi kka stal i t. p., wywolujij ostre zmiany przekroju
zwi kszenie doraznej wytrzymaJ:osci (mierzonej ilorazem sily rozrywajijcej przez pole najmniejszego
przekroju). Latwo to objasnié, maj c na wzgl dzie dwie okolicznosci, wplywaj ce r6znie na wielkosé
dorêiZnej wytrzymalosci:
1) Dzi ki obecnosci ostrych zw zen przekroju poprzecznego b dzie rozklad napr zen w miejscu
oslabionem nier6wnomiemym.
2) przy rozciijgàniu pr ta az do przerwania b dzie wytworzenie szyjki utrudnione wskutek
obecnosci zgrubionych cz sci pr ta w sijsiedztwie miejsca p kni cia.
1) Coker: Engineering, 1912.
!II) C. Bach: "Elastizitât u. Festigkeit".
a) Filon: Phil. Trans. of Roy. Soc. Vol. 198.
47
Pierwsza okoticznosé powinna wywolaé zmmejszenie obcÎi!zenia rozrywajqcego,- ale jej wplyw
staje si niewieIkim w przypadku materjal6w pIastycznych. Po przekroczeniu granicy proporcjonal-
nosci b dq napr zenia w najbardziej narazonych miejscach wzrastaé powoIniej, niz odksztalcenia
i podczas dalszego rozciqgania wygladzajq si coraz bardziej nier6wnosci w rozkladzie napr zell.
Druga okolicznosé mu si natomiast sprzyjaé powi kszeniu dorainej wytrzymalosci, a jej wplyw,
jak pokazuje doswiadczenie, przewaza przy rozrywaniç. pr t6w z zeIaza kowalnego i miedzi.
Dia przykladu przytoczymy wyniki do wiadczeti Bacha nad zelaznemi prçtami z wytoczonem wyzlobieniem (rys. 47).
J".S
i -I -t' + i - -t ' 1-- -W- +
-2S - /$ __ .
fi il
fig b
fis c.
Rys. 47
Postaé pr ta
Dorazna wytrzy-
malogé
(kglcm 2 )
Skurczenie poprze-
czne przekroju
w%
WaIcowa (bez :il6bka)
Fig. a
Fig. b
Fig. c
4250
4420
5020
5890
66
63
55
50
Inne wyniki otrzymamy dIa materja16w kruchych. Tutaj przewazajqce znaczenie ma pierwsza
przyczyna. Materjal nie znosi wi kszych odksztalceti trwalych i dIatego nierôwnomiernosé rozkladu
napr zell zachowuje si do chwili p kni cia.
Doswiadczenia nad pr tami szkIannemi z okrqglym otworem (rys. 43) wykazaly np. 1) dorafnq
wytrzymalosé 0 40% mniejszq niz u pr t6w pryzmatycznych.
Na podstawie wszeIkich dotychczasowych doswiadczeti mozna wyprowadzié wniosek, ze ostre
zmiany przekroju, wywolujqce znaczne nadwyzki napr zenia, nie okazujq szkodliwego wplywu na
wytrzymalosé, jezeli obciqzenie zachowuje wartosé stalq, a materjal jest niezbyt
kruchy. Zupelnie inaczej przedstawia si rzecz, gdy pr t podlega dzialaniu obciqzeii zmiennych.
W tym przypadku moze, jak wiadomo, nastqpié p kni cie przy napr zeniach mniejszych od zwyklej
granicy proporcjonalnosci, a wi c kiedy wszelkie wnioski, odnoszijce si do nier6wnomiernosci
rozkladu napr zeI1, pozostajq wazne. Doswiadczenia przeprowadzone w tym kierunku przez 1\. F 0 p-
p l'a 2) wykazaly istotnie, ze ostre zmiany przekroju poprzecznego, znacznie
pomniejszajij wytrzymalosé pr t6w na obciqzenia powtarzajqce si wieIo-
krotnie.
Pokazalo si np., ze wytrzymalogé pr t6w, przedstawionych na rys. (48) i rozerwa- .=-?
nych przy jednej i tej sa me j, lecz niewielkiej liczbie zmian obciilienia, majil siç do siebie
kolejno jak 100: 70 : 89. Gdyby dobraé wieIkogtï napr zen tak, aby p kni cie pr t6w na-
sl'lpilo dopiero po kiJku miljonach wahniet'i obci'lzenia, to r6:lnice wytrzymalo ci bylyby jeszcze
wi ksze. fi ,g,1l Ji g 1J /'1 g c
Jest rzecz'l ciekawq. te taki sam stosunek mi dzy wytrzymalogciami claje doraine rozry- Rys.48
wanie pr t6w 0 tych samych rozmiarach, ale sporzildzonych ze szkla. Widzimy przeto, te
w przypadku przemiennego obci'lzenia graiil ostre zmiany przekroju takq samil rol u materja16w plastycznych, co przy
doraznem obci'lzeniu u materjal6w zupelnie kruchych, zmniejszaÎilc znacznie wytrzyma1o é prçt6w.
') 1\. L e 0 n: ., über die Zerstorungen in tunnelartig gelochten Gesteinen". Mitleil. aus d. mech -techn. Labor.
Wien 1910.
- "Kerbgrosse u. Rerbwirkung", Wien 1902.
2) Mitleil. aus d. mech.-techn. Laborat. München, HeU 31.
48
9 30. WPLYW CII ZRRU WLRSNEGO. PRETY 0 ROWNOMIERNEJ WYTRZYMRLOSCI
PRZY ROZCIl1GI\NIU
Dotychczas bralismy pod uwag przy obIiczeniu napr zen tyIko sily zewn trzne, dzialajijce
na konce pr ta, ale niekiedy trzeba si Iiczyé z jego wlasnym ci zarem. Niechaj np. na pr t JI B
/. rys. 49), utwierdzony pionowo w gôrnym koncu, dziata sila P, rozlozona rôwnomiernie)
A na koncu doInym. W doInym przekroju b dzie oczywiscie panowaé napr zenie
P
p=-,
F
w gôrnym zas b dij napr zenia wi ksze, gdyz muszij rôwnowazyç nietylko sil P, lecz
takze ci zar wlasny pr ta. Oznaczywszy przez r ci zar jednostki obj tosci, znajdziemy
zatem napr zenie w gôrnym przekroju:
B
nu
P + Fly + 1 "
Pt = F = P y.
Ry.. 49
Przy obliczeniu ze wzgI du na wytrzymaiosé nalezy wziijé pod uwag gôrny przekrôj,
jako przekrôj niebezpieczny. T utaj napr zenie powinno nie przekraczaé wartosci dopuszczaI-
nej R, a zatem:
P + Fly = R
F <'
Sti1d obliczymy niezb dni1 wielkosé pola przekroju pr ta:
F= P
R-ly
. (21)
Z otrzymanej formuly widaé, ze wplyw ci zaru wlasnego rosnie szybko wraz z diugosciij
pr ta. Gdy bylo 1 = !l, to znalezlibysmy F = 00, t. zn. nie mozna skonstruowaé pr ta czyniC!cego
y
zadosé zi1danemu warunkowi wytrzymalosci, jezeli jego dlugosé rôwna si ilorazowi \ z napr zenia
dopuszczaInego przez ci zar wlascÏwy pr ta.
Gdyby Iy = R', l j. doraznej wytrzymalosci materjalu, to pr t przerwie si pod samym
wlasnym cÏ zarem. [Odpowiadajijcq dlugosé 1 = R' : y nazywamy dl u go S ci q z e r w a nia danego
materj alu].
Rzeby ocenié, przy jakiej dlugosci ma wptyw ci zaru wlasnego praktyczne zn aczenie, obli
czymy t dlugosé granÏczni!, przy ktôrej np. pr t zelazny moze uniesé bezpiecznie tyIko swôj
wlasny ci zar. Rladqc R = 1000 kg/cm', ci zar wlascÏwy zeIaza (kowaInego) y = 7,6 kg/dm s =
= 0,0076 kg/cm s , znajdujemy
1 =!l = 1000 cm = 1316m.
y 0,0076
[Przy dlugosci kilku a nawet kiIkunastu metrôw, mozna zatem najcz sciej pominijé przy obIi
czeniu ci zar wlasny pr ta wiszijcego pionowo].
T eoretycznie mozna znalezé tak q postaé pr ta 0 przekroju zmiennym, azeby w kazdym
przekroju byi()'l' napr zenie jednakowe i rôwne dopuszczalnemu; b dzie to oczywiscie zarazem
pr t 0 najmniejszym ci zarze przy danych warunkach wytrzymalosci. Dolny przekrôj pr ta Fa znaj
dziemy z rôwnania:
P
Fa = -.
R
Nazwijmy pole przekroju odleglego 0 x od koiica przez Fx, a przez Qx ci zar odpowiedniej'
doInej cz sci pr ta, natenczas
Fx R = P + Qx
W przekroju nieskonczenie bliskim, t. j. odleglym od koiica 0 X + dx, b dzie:
(Fx +dFx)R = P+ Qx+ Fxydx .
(a)
. (b)
49
Ostatni wyraz po Pra,wej stronie przedstawia ci zar etementu zakreskowanego na rys. (51).
Odjijwszy r6w. (a) od r6wnania (b) znajdziemy
RdF. F d Ib dFx _ -l dx.
x = x Y x, a 0
Fx R
y y
R X + C R X '
log Fx = Lx + C, albo l'x = e = Co e
R
Stê}d po zcaJ:kowaniu otrzymamy
Rys 51
Stala dowolna Co = e C powinna czynié zadosé warunkowi krailcowemu, t. j. dla x = 0 ma byé
Fx = Fo. 1\ zatem Co = Fo i ostatecznie r6wnanie
.lx
R
Fx = Fo e
(22)
okresla analitycznie postaé pr ta 0 r6wnomiernej wytrzymalosci.
W praktyce stosuje si cz sto dIa latwiejszego wykonania, zamiast ciê}glej zmiany prze-
kroju, zmian stopniami (rys. 52). Przy wyznaczeniu nast pujijcych po sobie przekroj6w poprze-
cznych latwo dojsé do formuly og6lnej. Pole FI przekroju najnizszej cz sci 0 dl:ugosci 11 znaj-
dziemy przy pomocy formuly (21):
Ry.. 52
t
P
F 1 =
R -11 '(
Przechodzijc do cz sci drugiej od dolu mozemy do wyznaczenia F 2 uzyé
tego samego wzoru, jezeli zamiast sily obciqZajijcej wstawimy sil wewn trznij
przeniesionq przez cz sé pierwszq, t. j. FI R. 1\ zatem
F 2 = F 1 R _ PR
R - 1 2 y (R -Il y) (R -/ 2 y)
.Rnalogicznie mamy dIa n-tej cz sci
Fn = Fn-lR _
R-/ny
Jezeli 11 = 1 2 = ... = , to
n
P
Fn=7f
P Rn-l
(R -Il y) (R -1 2 y) . . . (R -ln y)
1
. (1- . kr
. (23)
Obliczenie przekroj6w poprzecznych poszczeg6Inych cz sci pr ta nie przedstawia teraz
zadnych trudnosci. Przy zwi kszaniu liczby cz sci n w nieskoiiczonosé przechodzi na granicy
wz6r (23) w formul (22).
31. OBLICZENIE ROZPII;;TYCH CIEGIEN 1)
..
[Sznury, liny, gi tkie druty, laiicuchy i t. p. elementy konstrukcyjne zdolne do przeniesienia
w kierunku swej dlugosci tylko sit rozciqgajijcych nazywamy wog6le ci gnami2). Ci gna miewajij
najcz sciej przekr6j staly i Sq obciijzone wlasnym ci zarem].
Rozpatrzmy ci gno w r6wnowadze zawieszone koiicami na dwu stalych punktach A i B (rys. 53).
Chodzi 0 znalezienie postaci r6wnowagi ci gna i wielkosci napi ia w kazdym punkcie. Obierzmy
poczqtek sp6lrz dnych 0 w najnizszym punkcie ci gna. Styczna pozioma w tym punkcie niech
1) Wiele wskaz6wek co do literatury przedmiotu i tablie dIa obliczeti przewod6w elektrycznych znajdzie czytelnik
w ksi'!tce R. Weira: "Beanspruchung u. Durchhang von Freileitungen" 1910.
2) Nazwa wprowadzona przez Romitet Redilkcyjny "Technika".
Kun wytrzymalofCI matorjal6w
4
50
b dzie osii! X-6w; za normalna skierowana w g6rç osi q Y-6w.. Napiszmy warunki r6wnowagi dIa
cz sci ci gna wydzielonej przekrojami 0 Y i kg. Oznaczywszy przez H napi cie w najnizszym
punkcie, a przez T napi cie w przekroju kg (oba na-
:1( B '-1 pi cia uwazamy za styczne do krzywej zwisania), znaj-
-- - ?,: k dziemy z warunku rzut6w na os X-6w:
1 ! H = T cos a.
1 .
l' X Przy ustawieniu warunku rzut6w na os Y-6w wyst -
puje takze ci zar wlasny ci gna. Jezeli si ograni-
czymy do przypadk6w najcz stszych w praktyce,
w kt6rych luk ulworzony przez ci gno jest bardzo
"plaski", to ci zar wydzielonej czçsci mozna w przy-
blizeniu przyjqé r6wny q x, przyczem q oznacza ciç-
zar jednostki dlugosci ci gna. (Dlugosé luku zastqpiono tutaj dlugosci q jego rzutu). .R zatem:
qx = Tsina.
y
. (a)
Rys. S3
. (b)
Z podzielenia r6wnan (a) i (b) wypada:
t g a= dy = qx
dx H'
a po zcaJ:kowaniu
qx 2
y = 2 H + C.
Z warunku y = 0 dIa x = 0 wynika, te stala C = O. .R zatem
qx 2
y=-
2H
jest przyblizonem r6wnaniem postaci r6wnowagi ci gna.
Wstawiwszy za x kolejno wartosci odpowiadajqce punktom zawieszenia, t. j. x = - m x == n,
znajdziemy rz dne
_ qm 2 _ qn 2
fi - 2H ' f2 - 2H
Gdy punkty zawieszenia lezq w r6wnej wysokosci, to fi = {2 = f, m = n = , a wiçc
2
q l. 12
f=-, albo H=
8H 8f
Ta formula pozwala obliczyé napiçcie ciçgna z danei. s t r z al k i zwisania f i rozpiçtosci 1.
W og6Iniejszym przypadku nier6wnej wysokôsci punkt6w zawieszenia JI i B znajdziemy
/2 - /1 = h = -9- (n 2 - ml) = (n - m)
/ 2H 2H
uwzgIçdniajqc, te m + n = 1. Slqd
1 Hh l Hh
n=-+-, m=----
2 ql 2 ql-
Podstawiajqc olrzymane wartosci dIa min w formuly (c), bçdziemy mogli obliczyé napiçcie H
przy danej wartosci h.
[Do obliczenia H motna jeszcze utyé nastçpuj<,!cego rachunku: Z r6wnat'i (c) znajdziemy z latwogciq
m = Yj; , n = ry; V 2 : ' a zatem
m + 11 = 1 = (Yj; + Vf;) V 2 : , czyli
q ( 1 )
H = 2' Yj; + YT.
. (c)
. (24)
. (24 a)
Tym wzorem b dziemy obllczaé napi cie. jezeli s'l dane wielkogci fh f2 i " np. z pomiaru na wykonanej konstrukcji].
1
[Czasami mofe zaj é potrzeba obIiczenÎa warto ci H, jezeli daRe sq tylko punkty zawi£>szenÎa, a wiçc h i " a nadto
rzeczywista dlugogé citgna s uwazanego w pierwszem przyblizeniu za nierozciqgliwe. W tym celu musimy najpierw wyrazié
dlugogé luku krzywej przez sp6lrzçdne jej punkt6w kot'icowych. Dlug é luku OB:
5.= )r 1+ (*r dx= Jl+ (' : n+dX'
Przy za10zeniu zrobionem poprzednio, ze luk jest bardzo plaski, a wiçc : bardzo male, mozemy rozwinqé wyraze-
nie pod znakiem calkowania w szereg i opmkiwszy wyrazy male tych wyzszych rz d6w napisaé
= : [1+ ( r JdX.
albo po wykonaniu calkowania
5 2 =n[1 + ( ) l
Podobniez bçdzie:
Ss=m[] + (q;f] .
Zwazywszy, ze m + n 1
z czego wyplywa:
znajdziemy po dodaniu obu powyzszych r6wnati i latwem przeksztalceniu:
1 q'
Ss + 52 = 5 = 1 + 6' Hi (l1-31mn),
1 2 5-1 H
mn=--2--.
3 1 qi
1\ zatem wielko ci min Sq pierwiastkami kwadratowego r6wnania
5-1 Hi Ii
z2-lz=2----.
1 q2 3
Uwzglçdniajqc, ze zalozenie 'i > "- poci'lga za sob'l nier6wno é n > m , znajdziemy sl'ld
m = - V 2 s-l 1ft - l /"
2 lq'12'
1 V s-l 1ft 1
n = 2" + 2 -. Cf - U ll ,
a po wstawieniu tych warto ci w r6wnanie uzyskane przez odjçcie od siebi e rcSwnat1 (c)
H =.9!. V 2 s-I 1ft _ll"
h 1 q" 12
Rozwi'lzawszy to r6wniez wzglçdem H otrzymamy nakoniec formulç
H= ql
(T-I)-( )"] .
. (24b)
pozwalajqCél obliczyé naplçcle ciçgna 0 danym ci zarze jednostkowym q. dlugo ci s, rozpi tœci 1 i r6znicy wysoko ci
punkt6w zawieszenia 11. pod warunkiem, ze luk utworzony przez ci gno jest dostatecznie plaski, aby przedsi wziçte uprosz-
czenia daly wystarczaj'lcq dokladnogé.
W rzeczywistogci zmieni siç wskutek napi cia H dlugogé ci gna s w przyblizeniu na
s'=5[1+ :F]
. (24c)
jeteli pominiemy niewielk q zmienno é napiçcia wzdlut ciçgna. Po wslawieniu tej wartœci we wz6r (24b) i uporzqdkowaniu
wzglçdem niewiadomej H, otrzymaliby my r6wnanie stopnia trzeciego niedogodne do rozwiqzania. Zwykle doidziemy prç-
dzej do celu drogq kolejnych przyblizeti, to znaczy, obliczymy najpierw Hz formuly (24b), potem odpowiadajqce s' z (24c),
a podstawiwszy s' na miejscu s w formule (24b) obliczymy nowq warto 6 napi cia, dajmy na to, Hf. przy pomocy kt6rej
mozemy znalefl': dokladniejsz'l warto é s" dlugo ci luku i t. d. Niekiedy bçdzie H' jut dostatecznie przyblizonq wartogci q
napiçcia, co nietrudno pozna6 po malej wartœci rcSznicy H - Hf].
32. WPLYW TEMPER1\TURY
Dlugo 6 ci gna zmienia siç lakze wskutek zmiany temperatury i jakkolwiek ta zmiana jest nieznaczna. to jednak
moze mie6 ogromny wplyw na wielko é napiçcia, wzgl dnie na zwisanie, jezeli luk utworzony przez ciçgno jest bardzo
plaski. Oznaczmy przez '0 strzalkç ciçgna przy temperaturze fo i szukajmy napiçcia i strzalki przy temperaturze t. W tym
celu wyprowadzimy najpierw wz6r wyrazajiiCY dlugo é ciçgna s przez jego rozpiçtogé 1 i strzalkç f, przy zaloteniu, te
4*
52
punkty zawieszenia leZq w r6wnej wysokogci. W poprzednim paragrafie otrzymali 1!1Y w przypadku bardzo plaskiego luku
zwisania y = 2 , albo na podstawie lormuly (24): y= 4 ;,,2 . Dlugogé luku 5 obliczymy wedlug wzoru:
1 1 1
5=2 \ 2V 1 + ( ) 2dx=2 2[1 + ( 8 : r]2dX,
)0 0
albo, rozwijaj'lc lunkcj pod znakiem calkowania w szereg i pomijaj'lc wyrazy male wyzszych rz d6w, znajdziemy:
1
5 = 2 [1 + (8 X r] dx=2 ( ; + : Ç) = 1 (1 + )
Otrzyman'l lormul b dziemy w dalszym ci'lgu stosowaé przy badaniu zgiçcia belek; w zagadnieniu zajmuj'lcem
nas obecnie. mamy wedlug niej:
( 8 10 2 )
5 0 =1 1 +312.
Podwyzszeniu temperatury od t o do t odpowiadaé b dzie zwi kszenie dlugo ci ci gna 0
la (t-t o ),
przyczem a oznacza sp61czynnik wydluzenia termicznego materjalu ci gna. Poniewaz przedluzeniu towarzyszy zwiçkszenie
strzalki zwisania, wi c napi cie przewodu musi siç zmniejszyé z warto ci Ho na pewn'l warto é H (przez H oznaczyli my
wprawdzie napi cie w najnizszym punkcie, ale przy malych strzalkach mozna z wieIk'l dokladnogci'l uwazaé napi cie
wzdluz ci gna za stale). Dlugo ci'l ci gna przy nowej temperaturze t b dzie tedy:
H-H o
S=So+la{t-t o )+ EF l.
Ostatni wyraz w tej lormule przedstawia sprçtyste skr6cenie ciClgna wywolane zmniej-
szeniem napi cia. W stawiwszy zamiast 5 i 50, H i Ho wyrazenia tych wielkogci przez
strzalki zwisania 1 i 10' znajdziemy:
1(1+ {:} =C(I+ O: }+la{t-to)+ 8qi ( - /O },
z czego dia wyznaczenia 1 otrzymamy r6wnanie trzeciego stopnia:
[ 8 '02 q12 1 ] 3 3 .ql
1 8 -1 3P+a{t-/ o )- 8EF 10 g'2_ 64EF =0
Obliczywszy stqd " znajdziemy nader latwo i H.
Niekiedy dogodniej otrzymaé wielkogé 1 nie w postaci lunkcji pierwotnej strzalki '0'
lecz jako lunkcjç pierwotnego napi cia Ho. W6wczas p!:'zeksztalcimy r6w. (26) przy
pomocy (24) na nast puj'lce:
18_1 [ . q212 +a{t-/o)- HO ] 12_ ql' =0
24 Ho 2 EF 8 64EF .
'./Y" X To r6wnanie mozna jeszC'ze nieco upro cié, wprowadzaj'lc zamiast Ho pierwotne napr -
zenie Po = o i zamiast ci zaru jednostki dlugo ci ci gna q, ciçzar jednostki objçtogci
Y= . W ten spos6b otrzymamy:
[ 1 y 2 12 P ] 3 3 y C'
1 8 - 1 - - + a (t - ' 0 ) - -.L -C2 - - - "'" 0
24 Po2 E 8 64 E
Podobniez motna rozwiëjzaé zadanie obliczenia napiçcia ci gna wskutek dodatkowego obci'lzenia, kt6re np. zachodzi
u przewod6w elektrycznych wskutek powloki lodowej, naporu wiatru i t. d.
R6wnania (27) i (27') maj'l postaé
y
JxuhJny plmu'1JJtrk '
Rys. 54
. (25)
. (26)
. (27)
. (27')
f3=af+b,
jezeli a i b oznaczaj'1 dane wieIkogci. Pierwiastki tego r6wnania znajduje si najpro ciej wykregInie (rys. 54). W tym celu
odmierzamy wartogt , na osi odciçtych i kr limy krzyw'l OR 0 r6wnaniu y"'" f8. Punkt przeciçcia R tej krzywej
z prost'l mn, okr lonil r6wnaniem y=af + b, wyznaczy szukanq wartogé ON strzalki f.
[9 32a. DORLl\.DNIE]SZl\. TEOR]l\. ROZPIETYCH CIEGIEN]
(Jeteli ci gno zwisa znacznie w stosunku do rozpi to ci, to przyblitone obliczenie paragralu (31) moze nie byé
wystarczaj'lce. .flzeby znaleié dokladnq postaé r6wnowagi ciçgna, musimy przyblizony warunek r6wnowagi, okrdlony
r6wnaniem (b) ( 31), zastqpit gcislym
q5= Tsin a,
z Itt6rego przez r6znic:zkowanie otrzymamy:
qd5= d lTsin a).
53
Poniewat T = (r6w. (a) w 31), wi c zamiast powyzszego r6wnania mozemy napisaé
cos 0:
qds=d(Htgo:),
a podstawiwszy za ds i tg 0: ich analityczne wartogci, z najdziemy st'ld:
q VI + (= )' = H .
Og6ln'l calk'l tego r6wnania r6tniczkowego jest
1 H [: (.x +C) --!r (x + C)- I
Y =-- e +e +C'
2 q J '
o czem si latwo przekonaé przez dwukrotne r6zniczkowanie i rugowanie stalych dowoinych C i cr. Przy naszym obiorze
ukladu sp6lrzçdnych (rys. 53) wyplywa z warunku = = 0 dia x = O. ze C = 0: zag z warunku y = 0 dla x = 0 wynika
cr = - H . 1\ zatem r6wnanie
q
1 H ( - 1: ) H
Y=-2"q e +e -q
. (a)
okre la dokladnie postaé r6wnowagi ci gna (krzywa laticuszkowa). Jeteli pocz'ltek sp6lrzçdnych obnizymy 0 dlu-
gogé , zwan'l parametrem laticuszkowej. to r6wnanie uprogci siç jeszcze i przybierze lormç najpowszechniej uZywaD'l:
q
q.x q.x
1 H ( 1T + -H"" )
y=-- e e
2 q
. (a')
DIa dlugo ei luku lat'icuszkowej pomiçdzy pocz'ltkiem sp6lrz dnych a dowoinym punktem (x,y) znajdziemy w znany
spos6b wz6r:
( 1 H - )
s.x= 2' q e - e
Celem por6wnania z przyblizonq formulq paragralu (31) zasl'lpimy funkcje wykladnicze przez rozwini eie
:1: q.x
-n- qx 1 ( qx ) , 1 ( qx ) 3
e =1:1:--+-.-:1:--+.....
H 1.2 H 1.2.3 H
. ([3)
a znajdziemy:
s - x ( 1 + q'x' + if.x' + . . . . . . )
x- 6 1P 120 Hf
Zatrzymuj'lc dwa pierwsze wyrazy w szeregu po prawej stronie otrzymamy formul
b dzie widocznie 0 tyle wystarczaj'lc'l, 0 ile
p zyblizonq, kt6rej dokladno é
Dlugogt luku laticuszkowej
r6w. (0:) w postaei
qX <1 cz y li x< .
H' q
da si z korzygciq wyrazié przez rzçdn'l y punktu
kortcowego. Napiszmy w tym celu
qx qx
+ H 1 H ( H"" + -H"" )
y q=2'q,e e ,
podniegmy je obustronnie do kwadratu i odejmijmy nastçpnie kwadraty obu stron r6wnania ([3), natenczas znajdziemy
(y + r - sx 2 = ( r ,
z czego po uproszczeniu i rozwi'lzaniu wzgl dem S.x wynika:
sx= -V Y(Y+2 )
. (y)
Skoro obliczymy wedlug tego wzoru dlugo é obu czçgti laticuszkowej OA i OB (rys. 53) i dodamy je do siebie, to
otrzymamy calkowitq dlugo é ci gna
s= Vtt (tl + 2 ) + -V t2 (t. + 2 )
Rozwi'lzuj'lc to r6wnanie wzgl dem znajdziemy:
q
H 1 si-hi S V s'-h'
q = 2' (11 + tl) hl - 11 M2 ----;il'
. (8)
. (E)
przyczem, jak powyzej h = '2 - Il.
54
Znaieziona formula moze poslutyé do obliczenia napi cia w najnitszym punkcie. jeteli s'l dane 5. ft, f2 i q. DIa
obliczenia najwi kszego napi cia w g6rnym k06cu ci gna nalety wyznaczyé kierunek styczn j w tym punkcie. Ot6t
d 1 ( .!!l£... - qx )
y H H
tga:= dx =2" e -e .
albo uwzgl dniaj'lc r6w. (13):
1
St'ld cos a: = -
JI 1 + tg 2 a:
t g a:-£.
-H
1
v q 5"
1+ H2
H
a zatem
JI H2 + q 2 5 2 '
T= = JI H2+q252.
cos a:
Wstawiwszy nakoniec wartogt 5 z r6w. (y) otrzymamy
T=H+qy.
Najwiçksze napiçcie (w punkcie zawieszenia B)
T.=H + qf2
. ( )
jest zatem wi ksze od poziomej skladowej H 0 ci zar wlasny kawalka ciçgna 0 dlugogci 12'
W praktyce wyst'lpié! zwykie jako wieIkogei dane, przedewszystkiem 1 i h, a nast pnie q i H, a raczej T 2 . Jezeli
h, 1. q i H przyjmiemy jako dane, to do obliczenia 5 nie moze posluzyé r6wnanie (8), gdyz zawiera jeszcze inne niewia-
dome /1 i f2' Pol6zmy dIa uproszczenia : = c, Il 12 ..../'. fi = /' - , 12 = /' + i rozwi'lzmy r6w. (1)) wzgI dem 1'.
a Otrzymamy
1 , V c' 1
=5 S'-ho +"'4- c
Dlugo ci Sj" S2 obu czçgei ci gna OA i OB okreglajé! wedlug (y) r6wnania:
. (1:)
St = Jl fdfl + 2e).
52 = Vf2 Π+ 2e).
albo wedlug (I3J r6wnania:
1 ( - '; )
SI="2C e -e ,
1 ( ..!!. -.!!.. )
51=Ze,ec-e c .
fi zatem
m - m
c(e c -e- c )=Vfdfl+ 2C ),
1 ( - )
"2 c e - e = Vf. (f. + 2 e),
Rozwié!zawszy pierwsze z tych r6wnati wzgI dem m, a dmgie w zgl dem n i d odawszy w yniki znajdziemy:
1 = m + n = clog l( 1 + + V + 2 )(] + + V : + 2 ) ]
Podstawmy tutaj wedlug (1:) wartogei
11=1'-È-=s ll +-.!..-c-È-, 1
2 r S'-hO 4 2
1 , h lI e" 1 h
12= +2"='5r s"_h" +4'-c+"2'
. (&)
(,)
a olrzymamy r6wnanie:
i. log [(At + JI .A 1 2 - 1) (As + JI .A22- 1 )]
c
. (11:)
przyczem
AI = V + 1- ( ) O _..!..È-,
s'-hO 4 c 2 e
A - V s' 1 ( 5 ) " 1 h
2- -+- - +--.
s"_h" 4 c 2 e
To r6wnanie naletaloby rozwiqzaé wzgl dem 5, a nast pnie obliczyé Il i f2 przy pomocy formul (,). Nie da siç to zrobié
og6Inie, jak latwo zauwazyé, w rachunku zag liczbowym mozemy pierwsz'l przyblizonq warto é 5 znaIdé z formuly
[ 1 ( h ) 2 1 ( ql ) 2 ]
5=11+"2 T + 24 H',
55
otrzymanej przez rozwiqzanie r6wnania (24b) wzgIçdem s, a w razie potrzeby poprawié j'l przy pomocy (11:) jak'lkolwiek
metodq przyblizenia. Zwatywszy, ze r6w. (11:) wyraza zwiqzek mi dzy trzema wieIkogciami .!!.-, i. i!...., nie trudno zreszi'l
cee
uloiyC: tablic uproszczajqc'l znakomicie znalezienie dokladnej warto ci s.
W szczeg6lnym przypadku r6wnej wysokogei punkt6w zawieszenia, t. j. gdy h = 0, Il = 12 = przeksztalcajq siç
wzory (E), (1]), (1) i (11:) na nast pujilce:
H 5' l
-q=8ï-2 '
f= V ( !iY + .!.s,-B.,
q 4 q
= 2 log [1 + + V f (f + 2)],
i. = 2 log [ !.... + l fl+l ( ) . ]
c 2 c V 1;-4; c '
(E')
(1]')
(1')
(lé)
H . k d .
przyczem c = -, la poprze mo.
q
Ostatnia formula (11:') jest odwr6ceniem nastçpuj'lcej:
1 1 1 1
5=C (e 'lC _e -'le)
. ((3')
Co si tyczy wp1ywu zmiany temperatury, to dokladne obIiczenia nie daj'l wynik6w praktycznych wskutek zbytniej
zawilogci r6wnan, nie dopuszczajqcych og6lnego rozwiqzania wzgl dem niewiadomych. Na szcz cie nie sq takie obliczenia
i potrzebne, gdyz wplyw temperatury jest znaczny tylko przy malych strzalkach zwisania. a wtedy wzory przyblizone do
poprzedniego paragralu daj'l dokladno é zupelnie zadowalajqcq].
33. OBLICZENIE LIN DRUCI1\NYCH
Z obIiczeniem lin drucianych mamy do czynienia przy projl?ktowaniu kolei linowych. transmisyj, wind g6rniczych
i t. p. 0 wytrzymalogei takich lin wyrokuje siç zwykle nn podstawie danych dœwiadczalnych, jakkolwiek teorja moie
dostarczyé pewnych waznych wskaz6wek, odnosz'lcych si do rozkladu napr zert i to drog'l bardzo prostych rozwaza6 1). Tutaj
ograniczymy siç do najprostszego przypadku, w kt6rym lina sklada si z prostego drutu grodkowego, t. zw. ..duszy.
i nawini tych na niej drut6w zewnçtrznych. Jeteli przyjmiemy, ze katdy plaski przekr6j poprzeczny liny pozostaje plaskim
podczas jej rozcii}gania, to, pomijaj,!c poprzeczne skurczenie przy rozciqganiu. znajdziemy latwo zalezDog6 pomi dzy odpo-
wiedniemi wydluzeniami duszy i drut6w zewn trznych. Obierzmy dwa przekroje poprzeczne liny mn
i m' n' (rys. 55) w odleglogci wzajemnej L. Z drut6w zewn trznych odcinajê! te przekroje dlugogé .
cos Ip
jeteli Ip oznacza kqt nachylenia drutu do osi Iiny. Wskutek rozcii}gania zwi kszy si odle,glogt prze-
kroj6w 0 6L, co uwydatnili my na rysunku przesuni ciem przekroju mn w polotenie m"n". Punkt a
drutu zewn trznego, przedstawionego linj'l Oa przesunie si r6wnolegle do osi liny i zajmie polo-
tenie c, przyczem ac = 6.L. Z bardzo malego tr6jk'lta prostokqtnego abc znajdziemy wydluzenie
rozpatrywanej cz ei drutu zewn trznego lfI Il
bc = 6. Lcos Ip,
Rys. 55
przyczem pomijamy bardzo malq zmian kqta Ip wywolan'l wydluteniem liny. Dzielqc tç wielkogé przez pierwotni}
L
dlugo é
cos Ip
znajdziemy wzglçdne wydlutenie drutu zewn trznego
e,,=6.Lcoslp: = tJ. L L COS'Ip.
cos Ip
Jeteli wszystkie druty sq z tego samego materjalu, to z prawa Hooke'a wynika jako wielkog6 napiçcia w duszy
6L
So=EF-r'
a w na7 tym drueie
SI=EF. 1 L cos'cp.
1) H. Benndorl: ..Beitriige zur Theorie der Ikahtseile". Zeitschr. d. ost. Ing. u. l\rch. Ver. 1904.
[Ob. takte ksi'lzkç inz. R. Milkowskiego p. t. "Prowolocznyj kanat w tieorij i gornoj praktikie". Chark6w
1898-1904].
[W polskiej literaturze posiadamy obszerne opracowanie teorji lin mt. H. Czopowskiego p. t. "Obliczenie lin
drucianych". Przeglqd techn. z r. 1905].
56
Niech b dzie n liczh'l drut6w zewn trznych. RzutujilC wszystkie napiçcia w przekroju na kierunek sily rozciëtga-
jqcej P otrzymamy warunek r6wnowagi w pœtaci:
So +nSicoscp=EF l: { (1 +ncosscp)=P,
st'ld znajdziemy
s - P
o - ] + n cos' cp
Odpowiadajqce napr zenia w drutach okregl'l zatem formuly
P 1
Po= F l+ncos 8 cp'
SI
Pcos'cp
1 + n cos s cp
P cos'cp
Pl= F 1 +ncos'cp
Na podstawie tych wynik6w mozna wywnioskowaé, te lina druciana ma wytrzymalo é mniejsz'l od sumy wytrzy-
malogci drut6w, z kt6rych si skia da, gdyz 0 ile kqt cp jest r6tny od zera, to
P
F(n+1) < Pi < po.
Wytrzymalogé zalezy od kqta cp i ubywa, gdy ten kilt wzrasta. [Wydluzenie sprçzyste liny okazuje siç natomiast
wi ksze od wydluzenia pr ta 0 tym samym przekroju i z tego saml?go materjalu, albowiem
L P P ]
--y;-= EF(1 +ncosscp) > EF(n+ 1) .
Do wiadczenia potwierdzajq z dostateczn'l dokladno eiq te wyniki rozwaza6 teoretycznych. Wedlug bada6 do wiadczal-
nych Tetmajera 1 ) waha siç zmniejszenie wytrzymalo ei zaleznie ôd konstrukcji od 8,4% do 13,7%.
[Mimo to mote lina okazaé siç znacznie wytrzymalsz'l od jednego pr ta z tego samego materjalu 0 przekroju r6wnym
sumie przekroj6w wszystkich drut6w liny. Do wiadczenie bowiem poucza, ze dora:ina wytrzymalo 6 drutu z danego materjalu
jest tem wi ksza, im drut jest cie szy. Spostrze:iono to ju:i dawno 2) i ustanowiono lormulç empiryczn'l dIa doratnej
wytrzymalo ci drut6w:
H= + : .W
w kt6rej d oznacza grubogé drutu, a R'o i c stale charakterystyczne dia materjalu. Inzynierowie obja niaj'l to zjawisko
znanym im dobrze wplywem obr6bki IJa zimno, kt6ra w tym przypadku polega na przeciqganiu przez drutownicç. l\toli
to tlumaczy tylko mniej istotnq cz gé zjawiska, gdyz wy:iarzenie nie zmienia formy zaleznogci R' od d, wywolujqc tylke
pewne obnizenie warlo ci stalych R'o i c. Wobec tego twierdz'l specjaligci-technologowie, te przyczynél wiçkszej wytrzy-
maloscl cie6szych drut6w jest ich szybsze ostyganie po wyzarzeniu. Takie objagnienia dyktuje tecbnikom zakorzeniona
glçboko wiara w prostotç zjawisk wytrzymalo ci (por. uwagi na kol1cu 28), wiara poparta pozornie ogromnq ilogciél
dogwiadcze1'i. Zwykle do wiadczenia nad cialami dogt duzych rozmiar6w pozwalajq rzeczywigeie s'ldzit, ze np. wartogé
ilorazu z sily rozrywaj'lcej przez przekr6j pr ta jest niezalezna od wielkogci i postaci przekroju, ze zatem warto é ta okre la
stal'l wlagciw<! materjalowi, kt6rq dlatego nazwano wytrzymalo ciq materjalu. Skoro jednakze przejdziemy do cial
o wyj'!tkowo malych rozmiarach, to, jak widzimy na przykladzie cienkich drut6w, sprawa przedstawia si calkiem inaczej
Mniemana stala R' okazuje si zaleznél od grubogci drutu, a wiçc od linjowych rozmiar6w przekroju poprzecznego. Dla-
czegoz nie zauwazono tego na grubych prçtach, uzywanych w zwyklych do wiadczeniach? Odpowiedi bardzo prosta: Bo
wskutek malej rzeczywistej warto ci stalej c w wyrateniu (a) dia R' znika praktycznie warto t wyrazu : wobec R'o,
jezeli tylko d jest dostatecznie wielkie.
Zwi kszenie wytrzymalo ci cienkich drut6w je t najprawdopodobniej objawem t. zw. wytrzymalogci powierz-
chniowej, to znaczy tych zjawisk sp6jnogci, kt6re zachodzq r.a swobodnej powierzchni cial, a wlagciwie w bardzo cien-
kiej molekularnej warstwie zewn trznej cial. Fizycy wiedz'l od dawna, :ie ta warstwa powierzchowna objawia sp6jnog6 zna-
cznie wiçkszq niz wnçtrze ciala, dia kt6rego miarq sp6jno ei jest t.zw. wytrzymalo é obj togciowa. W szczeg6lnie
uderzajqcej postaci wystçpuje 10 zjawisko u cieczy, kt6re, nie posiadajqc prawie :iadnej wytrzymalo ci objçtogciowej, obja-
wiajq, jak wiadomo z nauki 0 wloskowatogci, pewnq daj'lCêl siç dobrze zmierzyé wytrzymalogé powierzchniow'l. Przyjmujqc
analogiczne zjawisko u cial stalych mo:iemy teoretycznie uzasadnié lormui (a) dia wytrzymalogci drut6w. W tym celu
oznaczymy wytrzymalogé objçto ciowq przez Ho, a wytrzymaiogé powierzchownej warstwy 0 grubogci przez R'l'
Wtedy sila rozrywaj'1ca Pw rozdziela si na dwie cz ci, z kt6rych jedna dziala na zmniejszony przekr6j dru tu 0 polu
(d /) ,11: d k .. d 2 " (d-2 )'11:
- 2L,.l "4' a ruga na prze r6) warstwy powlerzchownej, kt6rego pole r6wna siç --:r- - 4 . 1\ zatem:
PID=(d-2,6)' R'o + [d:" _ (d-:,6)''' ]H 1 . -
d2
Dzielqc obustronnie przez F= 4 otrzymamy wytrzymalogé drutu
= (1- 2 r Ho + [1- (1- 2f r ]R'I=R'=R'o +4 ( - 1:) (Hl-Ho) . (b)
1) L. T etmaj er: "Die angewandte Elastizitiits u. Festigkeitslehre". Wien 1905.
") Fizyk G. Quincke, technolog K. Karmarsch,
57
Wielkogé 6 b dzie bardzo malq tego samego rz du, co odleglogci mi dzyczqsteczkowe, a v.i c w przypadku naj-
cieï1szych nawet drut6w technicznych mozna ( ) i pomin'lé wobec . Wskutek tego przybiera nasza formula postaé
R'=R'o + 4l::,(R' -R'o) . (c)
zgodn'l z empirycznym wzorem (a), przyczem okazuje si , ie stala
c=46 (R't-R'o),
okreglaj'lca wytrzymalo é powierzchniow'l, jest zalezna od grubogci warstwy powierzchownej i r6inicy mi dzy wylrzyma-
lo cÎ'l tej warstwy, a wytrzymalogd'l wn trza.
Wz6r (c), wzgl dnie (a), stalby si oczywigcie bardzo niedokladnym, gdyby warlo é d zbIitala si do l::,. W takim
jednak przypadku, nie maj'1cym na razie praktycznego znaczenia, lecz nader interesujqcym ze stanowiska og6lno nauko-
wego, nalezaloby zastosowaé nieuproszczonq formul teoretyczn'l (b), kt6ra, co prawrla, wymaga jeszcze dogwiadczalnego
sprawdzenia ].
34. Z1\G1\DNIENI1\ ST1\TYCZNIE NIEWYZN1\CZ1\LNE
Przy obliczaniu pr t6w narazonych na rozciqganie lub sciskanie napotykamy niekiedy przy-
padki, w kt6rych si!a wewn trzna w pr cie jest niewiadomq, nie dajqcq si oznaczyé przy pomocy
samych tylko og6lnych warunk6w r6wnowagi. Takie przypadki nazywamy statycznie nie-
wyznaczalnemi. DIa znalezienia niewiadomych sil trzeba wziqé pod uwag odksztalcenia pr tôw
i dlatego ostateczne wartosci si! b dq wogôle zaleme od rozmiar6w i spr zystych wlasnosci pr t6w.
Jako przyklad rozpatrzymy najpierw przypadek przedstawiony na rys. (56). Na trzech r6wno-
leglych pr tach 1, II, III wisi ci zar P. Do obliczenia sU wewnCj)trznych w pr tach
dostarcza statyka w tyrn przypadku tylko dwu r6wnan; w celu ustawienia trzeciego trzeba
si uciec do rozwazania spr zystych odksztalcen. DIa uproszczenia przyjmiemy, ze
caly uklad jest symetryczny wzgl dem linji dziatania sHy P; wydluzenia wszystkich 1 U ID
trzech pr t6w b dq wtedy r6wne Gezeli samo cialo obciqzajqce P uwazamy za
sztywne). 1\ zatern:
,
f
'-
Z powodu zalozenia
r6wnowagi daje:
Bi SI S2 S3
T = E 1 F 1 = E 2 F 2 = E3Fs
symetrji b dzie El = Es, FI = Fs, a wi c SI = S3' Warunek
(a)
Sl+ S 2+ S s=2S 1 +S 2 =P.
Z r6wnan (a) i (b) latwo teraz obliczyé niewiadome SI i S2'
Podobny przypadek zachodzi przy obliczeniu pr tôw zlozonych z r6znych materjal6w, jak
np. slup6w zelazno-betonowych (rys. 57). Jezeli srodek pola przekroju zelaznych wkladek
i srodek pola przekroju betonowego lezq w tym samym punkcie na linji dzialania sily
sciskajqcej P, to rnozna widocznie przyjqé r6wnomierny rozklad odksztalcen w calym
przekroju. Zakladajqc nadto waznosé prawa Hooke'a i odr6zniajqc odpowiednio wielkosci
odnoszqce si do zelaza i betonu wskaznikami f i b, mamy:
e -PI-Pb
- E I - & '
(}
z czego wynika: PI : Pb = El : & = !!..
1\ zatem sto sun ek napr z ert zel aza i b et onu nie z alezy od wi el kos ci
przekroj6w, lecz tylko od wartosci n stosunku modul6w spr zystosci
t y ch mat e r j a 16 w 1). Diagram rozkladu iïapr zen jest na rysunku uwidoczniony
przez zakreskowanie.
[Do obliczenia bezwzgl dnej warto ci naprçieï1 posluty jak poprzednio r6wnanie r6wnowagi:
P = Fb pb + FI pt = Fb Pb + !! FI Pb, z czego
p
pb = Fb + n FI .
(b)
Rys 56
p
8
Rys. 57
1) [Zwazywszy, te beton okazuje znaczne zboczenia od prawa Hooke'a, naleZy w powyzszem rozwazaniu rozumieé
przez Eb pewnq redniq warto é stosunku naprçtenia do odpowiadaj'lcego mu wzgI dnego wydluzenia. czyli t. zw. gredni
modul spr zysto ci. Liczba n bçdzie zatem okreglaé stosunek modulu spr zystogci zelaza do redniego modulu spr zystogci
betonu i b dzie siç wahat w dO é obszernych granicach zaletnie od wartogci napr ienia, W praktyce przyjmuje si !!. = 10 do 15].
58
Powyzsze wyniki wyrataj'l nast puj'lce proste prawidla obliczenia:
Napr zenie betonu jest r6wne n apr zeniu, kt6reby powstalo w slupie betonowym litym,
o przekroju r6wnym sumie przekroju betonu i .!!-krotnego przekroju zelaza w danym slupie.
Napr tenie zag zelaza jest E-krotnem napr zeniëm betonu.
Przekr6j 0 polu Fb +.!!Ff nazywamy kr6tko sprowadzonym (zredukowanym) przekrojem betonu].
W poprzednim wywodzie przyj lismy, ze pr t zelazny wewnqtrz betonu jest narazony na
proste sciskanie. Toby bylo sluszne tylko wtedy, gdyby beton nie przeszkadzal rozszerzeniu po-
przecznemu zelaza, 1. j. jezeliby Iiczba Poisson'a C5 miala t samq wartosé dIa betonu, co dia zelaza.
[W rzeczywisto ci jest G betonu znacznie mniejsze od G zeIaza, wskutek czego doznaje zelazo poprzecznego ciskania
od otaczajqcego betonu. Nawzajem wywieraj'l wkladki zelazne na beton cignienie dzialaj'lce podobnie, jak ci nienie cieczy,
zamkniftej w grubogciennej rurze, dziala na tç rur . Wielkogé tego ci nienia da si nawet wyznaczyé teoretycznie, ale
tyIko w przypadku, gdy odIeglo é okr lego pr ta od konturu przekroju betonu jest znaczna w por6wnaniu do jego gru-
bogci 1). Latwo zrozumiet:, ze dzialanie roz5adzajqce zelaznych pr t6w moze byé dIa betonu niebezpieczne tylko w prze-
eiwnym skrajnym przypadku malej odIeglogci tych pr t6w od zewn trznej powierzchni slupa. Jak dot'ld, zapobiega si
temu przestrzeganiem pewnych regul praktycznych bez naukowego uzasadnienia].
W ukladach statycznie niewyznaczalnych nie moze dlugosé ktôregokolwiek pr ta zmieniaé si
niezaleznie od dlugosci innych pr t6w, wskutek czego blCj)dy w dlugosci, popetnione przy sporzij-
dzeniu pr t6w, albo zmiany dlugosci, wywolane ogrzaniem, mogq wywolaé znaczne sily wewn trzne
bez udzialu obciqzert. Powracajqc do poprzedniego naszego przykJ:adu (rys. 56), przyjmijmy dIa
uproszczenia rozwazart, ze wszystkie pr ty Sq zrobione z jednego i tego samego materjalu i majij
jednakowe przekroje 0 polu F. 'Jezeli np. pr t srodkowy sporzqdzono nieco dluzszy od skrajnych,
to przy zestawieniu (montowaniu) ukJ:adu wypadnie go nieco scisnqé r dopiero wstawié na przezna-
czone miejsce. Dqznosé pr ta Il do odzyskania pierwotnej dlugosci wywola oczywiscie napi cia
rozciqgajqce w pr tach 1 i III.
Jezeli oznaczymy przez X sil sciskajqcq w prCj)cie II, to sily rozciqgajqce w pr tach 1 i III
b dq r6wne tX. Wielkosé X znajdziemy latwo z warunku r6wnej dlugosci pr ta srodkowego i pr -
tôw zewn trznych po zestawieniu. Niech ô 1 oznacza nadwyzk dlugosci pr ta II; jego dlugosé
zatem rôwna si
XI
1 + ôl- EF '
a dlugosci pt' t6w skrajnych
XI
1 + 2EF .
XI XI
1 + BI - EF = 1 + 2EF '
X 2 BI
PX=F=TT E
jako wartosé napr zenia w pr Cle II wywolanego niedokladnosci q wykonania. (N a p r zen i e
zesta wcze).
1\zeby nabyé wyobrazenia 0 wielkosci takich napr zeii obliczymy je np. dia przypadku, w kt6-
rym nadwyi;ka dlugosci zelaznego pr ta r6wna si 0,001 dlugosci projektowanej. Wtedy
2
px = 3 . 0,001 .2. 10 6 kg/cm" = 1333 kg/cm".
Napr tenia pr t6w skrajnych Sq dwa razy mniejsze. Przy dzialaniu obciqzenia P sumujq Sl
napr zenia wywolane bl dami wykonania z naprçzeniami wywolanemi obciqzeniem.
Z takiem samem zadaniem mamy do czynienia przy podwyzszeniu temperatury srodkowego
pr ta z If) na 1 stopni. Swobodnemu wydluteniu pr ta II przeszkadzajij inne pr ty i w rezultacie
powstanie w pr cie II cisnienie, a w 1 i III ciqgnienie. Dia wyznaczenia tych napr zeii, kt6re
nazwiemy kr6tko termicznemi, mozna utyé poprzednich wywod6w, wstawiwszy tylko na
Warunek r6wnosci daje przeto:
z czego wynika:
f) Por. M. T. Huber: "Obliczenie wymiar6w belek betonowych ohustronnie uzbrojonych.. Czasop. techniczne.
1906. Dst. 2: "Dzialanie uzbrojenia geiskanego".
59
mleJsce BI wartosé termicznego wydluzenia pr ta a (1 - 1 0 )1, przyczem a oznacza sp6lczynnik
wydluzenia termicznego.
Silny wplyw niedokladno ci w rozmiarach i rôznic temperatury na wielkosé napr zen, wywo-
luje znaczne trudnosci przy zestawianiu konstrukcyj statycznie niewyznaczalnych i obniza stopien
dokladnosci obliczen, co wypada kompensowaé obnizeniem norm dla napr zen dopuszczalnych.
9 35. 0 NllPREZENIllCH W SCI1\N1\CH NllCZYN 1)
Tutaj zajmiemy si tylko takiemi zagadnieniami, w ktôrych grubo é scianki jest bardzo mala
w por6wnaniu do rozmiar6w naczynia i do promieni krzywizny powierzchni zewn trznych. Te
zadania nasuwajq si przy obliczeniu zbiornikôw dIa wody, gazu, kotl6w parowych i l d. Naczy-
niom tego rodzaju nadaje si zwykle postaé powierzchni obrotowych i ohiera si rozmiary tak,
aby odksztalcenia wywolane naporem plynu na ciany byly male. W takim przypadku mozna
pominqé zmiany krzywizny scian, ich wygi cia i przyjqé r6wnomierny rozkiad napr zen przez
cal q grubosé scianki. (Miejsca, do ktôrych si to zalozenie nie stosuje, zaznaczymy w rozdz. XVII).
B dziemy oznaczaé przez
ô grubosé scianki naczynia (w cm),
q cisnienie na sciank (w kR/cm"),
Pt P2 glôwne promienie krzywizny powierzchni polowiqcej grubosé scianki (w cm), przyczem P 2 jest
promieniem odpowiadajqcym przekrojowi poludnikowemu.
DI& ustawienia podstawowego rôwnania rôwnowagi wytniemy ze scianki element nieskon-
czenie bliskiemi przekrojami poludnikowemi i dwoma przekrojami normalnemi do poludnika
(rys. 58). Niech oznaczajq dS 2 i dS t dlugosci bokôw
wyci tego elementu lezqce odpowiednio wzdluz polu-
dnika i w kierunku don prostopadlym. Rqty mi dzy po-
prowadzonemi przekrojami b dq oczywiscÏe odpowiednio
1 ds l . dS 2 N .' 1 t h
rowne - 1 -. apr zema norma ne w yc prze-
Pt P 2
krojach Pt i P2 okreslajq sily zewn trzne dzialajqce na
brzegi elementu 0 polach Ô . dS 2 i Ô . ds l'
Wielkosci tych sil Sq zatem r6wne:
Ptd .B i P2dst.
(Napr zenia styczne na brzegach Sq wykluczone przez
symetrj ). Opr6cz tego dziaia na powierzchni elementu
cisnienie plynu q, dajqce sil q dS 1 ds 2 . (Ci zar wlasny
mozna najcz ciej pominqé). Napiszmy teraz warunek Il
rôwnowagi rzutujqC wszystkie sily na kierunek normalnej
do powierzchni elementu (wystawionej w srodku). Razda
z sil Pt dS 2 . ô, dzialajqcych na przeciwlegle brzegi ele-
mentu 0 dlugosciach ds 2 , tworzy z plaszczyznq stycznq
do jego powierzchni kqt 2 1 dSt a zatem rzut jednej sily
Pt
--
/j
Il
If
--"------
--1
il.:;.
__1
'
p tl.t/f.
1
;---p;
1 ' 1
10-- -dj;- -_
Rys.58
r6 1 dS t d S>
na normalnq jest z pomini ciem nieskonczenie malych wyzszego rz du wny _ 2 - Pt S2' u,
Pt
zas suma aIgebraiczna rzutôw obu sil
= ô . l!..!.. dS t . ds.,.
Pl -
1) L. Forchheimer: ..Die Berechnung ebener u. gekrümmter Behiilterbôden". Berlin 1909.
Brauer: ..Festigkeitslehre". Str. 128.
F. Bleich: ..Die Eisenkonstr. im stiidt. Gaswerk Wien-Leopoldau". Eisenbau 1913. Str. 51.
H. L 0 r e n z: .. T echnische Elastizitatslehre". Str. 26.
60
Podobniez b dzie sumi! rzut6w obu sil, dzialaji!cych na brzegi elementu 0 dlugosciach ds 1 :
6 . P2 dS l . ds 2 0
P2
Przy kierunkach sil przyj tych na rysunku, b zie przeto warunkiem r6wnowagi r6wnanie:
6 . Pl dS 1 dS 2 + 6 . P2 dS 1 dS 2 = qds l ds 2 ,
Pl 2
czyli Pl + P2 = !L . (28')
Pl P2 6'
Latwo zauwaïyt, ze w rozpatrywanym elemLncie powstaje jeszcze trzecie napr zenie 0 kierunku prostopadlym do
tamtych dwu, kt6re na powierzchni stykaj'lcej si z pIynem ma warto é cignienia q tego plynu i zmniejsza si id'lc w gl'lb
gcianki ku powierzchni zewn trznej az do zera, wzgl dnie do warto ci cignienia zewn trznego. l\toli to naprçienie jest
przy poczynionych zalozeniach zawsze bardzo male w por6wnaniu do Pt i P2' wobec czego mozna je p omin 'l6.
Otrzymane r6wnanie zastosujemy do niekt6rych szczeg6lnych przypadk6w.
1) Naczynie kuliste, podlegaj,!ce dzialaniu r6wnomiernie rozlozonego wewn trznego
cisnienia q, rozszerzy si nieco, zachowuj c jednaki:e postaé kulist . Z symetrji wynika, ze
Pl = P2 = P,
a r6w. (28) da nam
P = ' . (29)
albo, gdy mamy obliczyé grubosé scianki przy dopuszczalnej wartosci R napr zenia p:
6 = . . (29 a)
Jezeli naczynie kuliste jest narazone na (r6wnomiernie rozlozone) cisnienie zewn trzne, to
trzeba tylko zmienié znak we wzorze (29). Zamiast ci gnien powstan,! w sciance cisnienia.
2) Kociol walcowy (rys. 59) jest narazony na zewn trzne stale cisnienie q. Rozpatrzymy
osobno napr zenia w punktach walcowej cz sci kotla, a osobno napr zenia w dnach, przyczem
przyjmiemy, ze rozwazane punkty s dosé odlegle od miejsca pol czenia den
z cz sci walcowi!. DIa punkt6w cz sci walcowej jest P2 = CX>, a z r6w. (28)
otrzymamy
m
1
1
1
1
1
!
P _ qPl
1 - 6 .
. (30)
n
Tutaj PI oznacza oznacza OCZYW]SCle promien walca. Napr zenia PI di!zi! do
rozerwania kotla wzdlut tworz,!cej walca. Nazwiemy je napr zeniami 0 b w Ow
dowemi. .H.zeby znalezé napr zenia podluzne, czyli cii!gnienia P:u przetnijmy kociol plaszczyzn
prostopadl do osi walca i rozpatrzmy warunek r6wnQwagi jednej cz sci. Napr zenia P2 rozmiesz-
czone r6wnomiernie na pierscieniowem polu przekroju, dadz sil wypadkow
P = 21CPl Ô. P2'
dzialaj cQ w osi walca. T sil r6wnowazy nap6r pary na dno kotla 0 wielkosci 1C PI 2 q. 1\ zatem:
21CP1 Ô . P2 = 1CP I 'q,
Rys. 59
P = qPI
2 26
Napr zenia podluzne SQ przeto dwa razy mniejsze od napr zen obwodowych.
Co si tyczy napr zen w dnach, to w przypadku ich kulistej formy mozna zastosowaé wprost
wz6r (29) wyprowadzony dIa naczynia kulistego. Przy innej postaci den wypadnie udaé si na
drog og61nij, wskazan w nast pnym przykladzie.
3) Na c z y nie na pei n ion e w 0 d ij doznaje w katdym punkcie sciany cisnienia proporcjonalw
nego wzgl dem gl bokosci y. Cisnienie to q = y y, jezeli y oznacza ci zar jednostki obj tosci wody (lub
innej cieczy). Wywolany temi cisnieniami calkowity nap6r na naczynie r6wna si oczywiscÏe
ci :iarowi wody w naczyniu. Dajmy na to, ze ci zar ten jest zr6wnowazony napr zeniami P2
rozmieszczonemi r6wnomiernie na swobodnej kraw dzi naczynia, kt6rego przekr6j poludnikowy
skijd
. (31)
przedstawia rys. (60). O symetrji naczynia jest przytem pionowa. Rierunek napr zeii P2 b dzie
stycznym do linji przekroju poludnikowego. Obliczmy teraz napr zenia odpowiadaj1lce punktom
dowoinego rôwnoleznika mn 0 promieniu r i gl bokosci y (mierzonej od zwierciadla wody). Napr -
zenia poludnikowe P2 znajdziemy podobnie, jak w poprzedniem zada-
niu. Przez r6wnoleznik m n poprowadzimy przekrôj pobocznic1l stozka
mkn. Napr zenia P2 rozmieszczone r6wnomiernie w tym przekroju,
sprowadzaj'l si do wypadkowej sily dzialaj1lcej w kierunku osi Y
(w gôr ). Jej wielkosé
P = 2:rrr.ô,P2cOSq>.
Sila P rôwnowaZY si z ci zarem wody Q 0 obj tosci ograniczonej
pobocznic1l walca m t q n i dnem dan ego naczynia. T en ci zar okresla
latwa do wyprowadzenia formula:
Q=2:rrY >YdX.
y 1 \r
P2 = ôcoscp r Jo xydx,
sk1l d na podstawie r6wnania przekroju poludnikowego mozemy wyznaczyé wielkosé P2' Do obli-
czenia Pt posluzy r6w. (28).
Szczeg6lowo wykonamy obliczenie w prostym przypadku, gdy naczynie ma postat slotka (rys. 61). W6wczas jeden
z promieni krzywizny staje si niesko6czenie wieIkim, drugi z r6wna si
h-y
ln=-tgcr.
cos cr.
Podstawowe r6wnanie (28) przybierze postaé:
J!.L = yy a zatem Pi = Pi yy = X- tg cr. y (h-y).
Pi l)' l) 1) cos a
Napr zenia r6wnoJeznikowe Pt znikajq przeto w zwierciedle wody
i u wierzcholka stoika. W przekrojach poyednich zmieniaj'l si wedlug
diagramu parabolicznego i osiqgaj'l najwiçksz,! warto t dia y ' gdzie
yh' 19a
Rys.61 (Pt)max = cos cr. .
Naprçtenia poludnikowe Pt (dzialaj,!ce w przekroju r6wnoletnikowym) obliczymy przy pomocy og61nej formuly (a):
P'= ' rr x(h-xcotgcr.)dx= (h 2 - 3 r cotga: ) .
u cos cr. r Jo u cos a
Ze wzglldu na ta, te promiet1 r wyrata si przez y wzorem
r= (h-y)tgcr.
p, = 6 Y " tgcr. (h-y)(h+2y).
u cos cr.
H. zatem i to napr zenie zmienia si z glçboko cié! wedlug diagramu parabolicznego i staje si zerem dIa y h, l j. w wierz-
cholku stozka, a osi'lga najwiçksz'l wartogt dIa y = : .
( ) 3 y h' tgcr.
p, max = 168 cos a .
Jezeli postaé naczynia jest tego rodzaju, ze przekr6j poludnikowy posiada
zalom (rys. 62), to promieii krzywizny P2 staje si w tem miejscu zerem, a pod-
stawowe rôwnanie przybiera postaé:
l2.+J!..L=E-
Pt 0 ô '
'z kt6rej wynikaloby Pt = CX>, 0 ile P2 nie jest przypadkowo zerem.
. .Rzeby w tym przypadku umotliwié rôwnowag w rozpatrywanem ITIle)scu,
przy poczynionych na wstçpie zalozeniach co do napr zeii, trzeba widocznie na
r6wnoleznik zalomu dzialaé odpowiedniemi napi iami S. Gdyby tych napi é nie
bylo, to w miejscu zalomu powstalyby wielkie odksztalcenia wywolane zgi ciem scianki. DIa uni-
kni cia tych odksztalceii wzmacnia siç zwykle w praktyce rôwnoleznik zalomu osobnym pierscieniem.
1\ zatem
. (a)
1]\
ft;.
x
y
otrzymamy
61
If"
ty
Rys. 60
Rys. 62
62
},-, A
.J L"
'
Jako przyklad przedstawiono na rys. (63) zwykly typ zbiornika na wod w kolejowych wodo-
ciqgach. Kuliste dno jest poli!czone ze scianki! wa1cowi! za posredniclwem ki!t6wek, kt6rych profil
uwidoczniono w punktach fI i D. Te ki!t6wki tworzi! pierscien dosé
ï sztywny, aby przeszkodzié niepozqdanym odksztalceniom scianki. Po-
damy tutaj przyblizone obliczenie pierscienia podporowego, oparte na
zalozeniu scianek idealnie gibkich. W danym przypadku przyjmiemy wiçc,
ze scianki mogq byé narazone tylko na rozcii!ganie. Cii!gnienia P2 powsta-
jqce w dnie zbiornika pod wplywem naporu wody, a nachylone w miejscu
L. zalomu pod kqtem a do poziomu, rozkladamy na poziomi! i pionowi!
œ skladowq (fig b). Ta ostatnia przenosi si bezposrednio na podporç scianki
bocznej, pierwsza zas wywoluje sciskanie pierscienia podporowego [po-
dobnie, jak napiçcie sprych kola rowerowego, wywoluje sciskanie w obr -
czy]. Skladowa pozioma, przypadaji!ca na jednostkç dlugosci pierscienia
ma wartosé
r
o
Fig.a.
{I .b.
L_ p
S = pô. cos a.
DIa wyznaczenia naprçzen sciskajqcych w pierscieniu rozpatrzymy
rôwnowag polowy pierscienia odciçtej przekrojem srednicowym (rys. 64). Na kazdy element
pierscienia, odpowiadajqcy ki!towi srodkowemu d cp, przypada zewnçtrzny nacisk pô. cos a. p. d <p.
Jeteli przez P oznaczymy silç wewnçtrznq w pierscieniu, zastçpuji!Ci! dzialanie
odciçtej czçsci na czçsé rozpatrywanq, to rzutuji!C wszystkie sily na kierunek P
otrzymamy:
Rys. 63
a zatem
:Ir
2 P = 2 : S p sin cp. d Cf> = 2 S p,
P = S p = pô. p cos a.
napiçcia P przez pole przekroju
1
-- -- p
p
Rys.64
Dzielqc wielkosé
w pierscieniu.
Rwestjç statecznosci sciskanego pierscienia rozwazymy w rozdziale poswiçconym statecznosci
ukladôw sprçzystych.
pierscienia, znajdziemy wartosé cisnienia
36. 0 TEORJRCH WYTRZYM1\LOSCI
Przy obliczeniu prçtôw rozcii!ganych lub sciskanych rozwiqzuje siç kwestja wytrzymalosci
bez szczeg61nych trudnosci. Posiadamy poddostatkiem danych doswiadczalnych co do granicy pro-
porcjonalnosci, punktu krytycznego i doraznej wytrzymalosci dIa rozmaitych materjalôw konstrukcyj-
nych, posiadamy takze wskaz6wki co do granicznych naprçzen przy powtarzaji!cych siç obcii!zeniach.
Wedlug tych danych oznacza siç w kazdym poszczeg6lnym przypadku wielkosci naprçzen dopuszczal-
nych R. Skoro jednak przejdziemy do bardziej zlozonych zadan rozciqgania lub sciskania w dwu
kierunkach wzajemnie prostopadlych [dwuwymiarowy stan napiçcia], z jakiemi np. mielismy do
czynienia przy obliczaniu scianek naczyti, albo do jeszcze ogôlniejszych przypadk6w rozciqgania
i sciskania w trzech kierunkach wzajemIiie prostopadlych (rys. 34), to zauwazymy przedewszyst-
kiem mozliwosé nieskonczonej rozmaitosci stosunk6w, zachodzqcych miçdzy wartosciami napr -
zen px, py i pz (naprçzen skladowych). Rzeby w tych przypadkach zawyrokowaé 0 wytrzyma-
losci, trzebaby, biorqc sciSle, dIa kazdej z osobna wartosci stosunku naprçzen skladowych przepro-
wadzié szereg doswiadczen celem wyznaczenia granicy proporcjonalnosci, punktu krytycznego
i doraznej wytrzymalosci. Pomimo wielk q waznosé takich badan, posiadamy dotychczas bardzo
niewiele danych doswiadczalnych w tym kierunku i dlatego w przypadkach zlozonego stanu na-
piçcia musimy wyrokowaé 0 wytrzymalosci na podstawie doswiadczen nad prostem rozciqga-
niem i sciskaniem.
W dalszym cii!gu bçdziemy uwazaé dwa jakiekolwiek przypadki stanu napiçcia za przyp'adki
rôwnej wytrzymalosci, jezeli przy proporcjonalnem powiçkszeniu naprçzen (skladowych) dojdziemy
w obu przypadkach razem do granicy niebezpiecznej. Jako taki! mozna uwazaé albo punkt
krytyczny, albo pçkniçcie. Zdocydujemy siç na obiôr punktu krytycznego [gr. plastycznosci] za
63
granicq niebezpiecznq, a tyIko dIa materjal6w, kt6re tego punktu nie posiadajq, b ziemy przez
granic niebezpiecznq rozumieé granic proporcjonaInosci. U takich bowiem materjalôw jak zeIazo
kowalne i mi kka stal, pojawiajq siç po przekroczeniu punktu krytycznego znaczne odksztalcenia
trwale, niedopuszczalne w konstrukcjach. '
Rys. (65) przedstawia dwa przypadki stanu napi cia, a mianowicie proste rozcié!ganie przy
napr zeniu p (fig. a) i tr6jwymiarowy stan napi cia 0 napr zeniach px, py i Pz, przyczem przyj to,
ze px > py > pz. Stosownie do umowy zrobionej powyzej b dziemy m6wié 0 r6wnej wytrzymalosci
[albo 0 rôwnej pewnosci] w obu przypadkach, jezeli dIa osié!gni cia punktu
krytycznego trzeba tak p, jakotez px, py i pz, powiçkszyé w tym samym
stosunku.
Mamy dosé danych doswiadczalnych, aby ocenié wytrzymalosé [wzgl -
dnie stopieti bezpieczetistwa] w przypadku, przedstawionym na fig. (a), nie
majqc jednak naj z sciej takich danych dIa przypadku na fig. (b), musimy
siç uciec do jakiejs hipotezy okreslajqcej te czynniki, kt6re majq decydu-
jqcy wplyw na pojawienie siç odksztalceti trwalych lub na p kniçcie. Naj-
lig. (a)
prostsza mozliwa hipoteza polegalaby na przyjçGÎu, ze sama tylko wielkosé
naprçzenia rozstrzyga 0 wytrzymalosci, ze zatem w obu naszych przy-
padkach zajdzie punkt krytyczny przy jednem item samem najwi kszem ciqgnieniu (p = Px).
T 0 zapatrywanie wygloszone juz przez Galileusza, fundatora nauki 0 wytrzyrnalosci, podzielaly
i p6zniej liçzne powagi w dziedzinie teorji sprçzystosci i wytrzyrnalosci materjal6w. Przyjqwszy
t hipotezç (hipotezç najwiçkszego napr zenia), doszlibysrny do wniosku, ze i w drugim
przypadku nalezy obraé tç samq warlosé napr zenia dopuszczalnego, co i w pierwszym, a obli-
czenia wytrzymalosci nalezaloby wog6le wykonywaé na podstawie najwiçkszego naprçzenia. T aIde
zalozenie uprosciloby bez wqtpienia obliczenie, wszelako doswiadczenie wskazuje dobitnie na to,
ze wielkosé naprçzenia nie moze sluZyé do okreslenia wytrzymalosci materjalu przy og6lnyrn
stanie napi cia [czyli inaczej do okreslenia wytçzenia ("die 1\nstrengung") materjalu)1). W sa-
mej rzeczy wykazaly doswiadczenia 1\. FoppI'a ), ze przy wszechstronnem r6wnorniernem sciskaniu
znosi materjal bez uszkodzeti naprçzenia przewyzszajqce wielokrotnie wartosé jego dorafuej wytrzy-
maloscÏ przy prostem sciskaniu.
Obok hipotezy Galileusza, rozpowszechnionej zwiaszcza wSr6d inzynier6w angielskich i "arne-
rykatiskich, powstala we F rancji (P 0 n c e 1 e t, de Sa i n t - V é n a nt) druga teorja wytrzymalosci,
wedle kt6rej okresla wyt zenie materjalu nie wielkosé naprçzenia, lecz wielkosé wydluzenia wla-
sciwego (hipoteza najwi kszego wydluzenia). Z punktu widzenia tej teorji wypadaloby
w rozpatrywanych powyzej przypadkach (rys. 65) uwazaé wytçzenia za r6wne wtedy, gdy wiel-
koscÏ najwiçkszych wydluzeti Sq w obu jednakowe. Ustaliwszy R jako wielkosé naprçzenia bez-
piecznego przy pro stem rozciqganiu, okreslamy temsamem wielkosé dopuszczalnego wydluze-
nia e = R : E. Najwiçksze wydluzenie w drugim przypadku (fig. b) okresIa oczywiscie (przy zalo-
zeniu px > py > Pz) formula
p
!;g. (b)
Ry.. 6S
1
ex = E [Px - cr(py + pz )].
Stosownie do drugiej hipotezy mialby zatem warunek r6wnego wyt zenia w obu przypadkach
postaé:
e = e , czyli px -- cr (py + pz) = R . (32)
Wielkosé px - cr (py + pz) zowi q n aprçzeniem sprowadzonem aIbo zredukowanem.
Jezeli py + pz jest dodatnie, to jak widaé z otrzymanej formuly px > R. Rozciqganie w pewnym
kierunku stawaloby siç tedy mniej niebezpiecznem, jezeli mu towarzyszq ciqgnienia w kierunkach
poprzecznych.
1) [Bylo to zreszt'l do przewidzenia, aIbowiem niepodobna sobie wyobrazit, aby wszechstronne cignienie 0 dowolnej
wielkogci moglo byé wog6Ie niebezpiecznem dIa materjalu dostatecznie jednolitego].
2) 1\. Foppl: .Die l\bhangigkeit der Bruchgefahr von der l\rt des Spannungszustandes". Mitt. aus d. mem-
techn. Lab. München 1910.
64
St d wynikaloby takZe, ze wartosé napr zenia bezpÎecznego dIa scianki kotla watcowego
mozna przyj é wi ksz , nit w przypadku prostego rozciqgania. Wielkosé dopuszczalnego ci gnienia
obwodowego Pl (9 35) nalezaloby wyznaczyé z formuly:
Pl - ap2 = R,
czyIi, ze wzgI du na t , ze Pl = 2 P2 w walcowej cz sci kotla:
2R
Pl = 2 - cr'
Przy cr = 1: 3 otrzymalibysmy dopuszczaIn wartosé Pl 0 20% wi ksz od R. Rtoli doswiadczenia
nie potwierdzajq tych wnioskôw 1), domagajqc si raczej zmniejszenia dopuszczalnej wartosci Pl'
Mimo to b dziemy w dalszym ciqgu podawaé formuly oparte na drugiej hipotezie obok formul
poprawniejszych, wynikajqcych z trzeciej nowszej hipotezy, aby ulatwié czytelnikowi zrozumienie
wzorow dotqd ogo]nie rozpowszechnionych i wykazaé odpowiadaj ce roznice. [Powstaj ce przez to
obci zenie ksiqzki nie da si unikn é tak dlugo, az zniknq z praktycznych podr cznikow formuly
oparte na hipotezie najwi kszego wydluzenia zastqpione racjonalniejszemi).
Trzecia teorja, zapocz tkowana juz przez Coulomb'a, a czyniqca zadosé Iicznym nowszym
doswiadczeniom zwlaszcza z plastycznemi metalami l). przyjmuje, ze 0 wytrzymalosci materjalu
decyduje wartosé najwi kszych napr zeii scinaj cych. Z punktu widzenia tej teorji b dzie wyt zenie
w obu przypadkach przedstawionych na rys. (65) to samo, jezeli najwi ksze napr zenia scinaj ce
s w obu przypadkach rowne. Obrawszy dIa napr zenia bezpiecznego przy prostem rozci ganiu
lub sciskaniu wartosé R, przyjmujemy tem samem jako wartosé bezpieczn napr i:enia scinaj -
cego 0,5 R, gdyz przy linjowym stanie napi cia jest (pt)max = P (9 13). Co sj tyczy napr zen
w przypadku przedstawionym na fig. (b), to, jak wiadomo z 9 (18), jest najwi ksze napr zenie
scinajqce rowne polowie roznicy mi dzy najwi kszem a najmniejszem napr i:eniem normalnem.
Warunek rownego wyt zenia materjalu w obu przypadkach otrzyma przeto postaé:
.!l = px - PY , czyli px - py = R . (33)
2 2
Ta formula wyrai:a, ze w ogoInym stanie napi cia powinna rozmca mi dzy najwi kszem (alge-
braic-znie) a najmniejszem napr zeniem normalnem rownaé si napr zeniu dopuszczalnemu przy
prostem rozciqganiu.
przy dwuwymiarowym stanie napi cia, jaki np. panuje w (przyblizeniu) w sciankach naczyn,
jest trzecie napr zenie rowne zeru, jezeli wi c Pl > P2 > 0, to formula (33) przybierze postaé
Pl - 0 = R, czyli Pl = R.
W tym wi c przypadku wynik trzeciej hipotezy zgadza si z wynikiem pierwszej. Przy rozciqganiu
w dwu kierunkach wzajemnie prostopadlych okresla wyt zenie materjalu wartosé wi kszego z obu
napr zen.
[Jak juz zaznaczono powyzej, stosuj'l siç wyniki dogwiadczeti. nad metalami plastycznemi wcale dobrze do trzeciej hipo-
tezy, kt6ra jest takte w zupelnej zgodzie z przewidywan'l "a priori" nieograniczon'l wytrzymalQ ciq puy r6wnomiernem
wszechstronnem gciskaniu. Wtedy bowiem r6tnica miçdzy najwi kszem a najmniejszem napr zeniem staje siç zerem, czyIi
1) We ha g e: Min. d. techn. Versuchsanstalten zu Berlin. 1888, str. 89.
[Druga hipoteza nie odpowiada r6wniet wynikom dogwiadczeti. nad wszechstronnem ciskaniem. lecz dziçki roz-
powszechnieniu na calym prawie kontynencie Europy, jeszcze przed dogwiadczalnem sprawdzeniem, kr6luje po dzig dzieti.
w przewataii!cej Iiczbie ksi'ltek 0 wytrzymalogci materjal6w, nawet takich, kt6rych autorowie Si! przegwiadczeni 0 blçdnogci
hipotezy. Wielkq rolç gra tutaj sila przyzwyczajenia praktycznych intynier6w, kt6rzy poslugujél siç zwykle gotowemi wzo-
rami oblicze6, przedrukowanemi przez innyth praktyk6w w coraz to nowych wydaniach znanych podrçcznik6w techni-
cznych, jak np. "Hütte" i t. p.].
2) J. J. Guest: "On the Strength of ductile materials under combined Stress". PMI. Mag. 1900. V.50.
C. fi. Smith: "Some experiments on solid steel bars under combined Stress". Engineering, Vol. LXXXVIII.
W.l\. Scoble: "Ductile materials under combined Stress". Phil. Mag. 1906 i 1910.
L. B. Turner: "The elastic breakdown of materials submitted to compound Stresses". Engineering. Vol. LXXXVI.
.S. P. Timoszenko: "Formuly slotnago soprotiwlenja s toczki zrjenja razlicznych teorij procznosti". Izw. Pet.
Polit. Inst. 1905.
T. Rê!.rmê!.n: "Festigkeitsversuche unter allseitigem Druck". Z. Il. V. d. 1. 1911.
6S
tadna dowolnie wielka warto é clgnienia nie staje siç niebezpiecZDq dIa materjalu. 1\te ten sam wynik otrzymaliby y
przy wszechstronnem r6wnomiernem rozci aniu, co juz nie przemawia do przekonania i raczej budzi pewne wqtpIiwogci.
Prawda, te taki stan napiçcia nie da siç praktycznie urzeczywistnié, te zatem zarzuty tego rodzaju nie obnitajq wieIkiej
praktycznej wartogci trzeciej hipotezy, wszelako napominaj'l one do ostroznogci w uog6Inianiu wynik6w do wiadcze6. nad
wytrzymalogci'l i wskazujq na wlagciw'l rolç owej bipotezy jako watnej reguly praktycznej. Motna jq stosowaé z calem
zaulaniem tyIko do tych materjal6w, jakie byly przedmiotem dogwiadczeti. i do tych stosunk6w napr zen (skiadowych),
kt6re niezbyt wiele siç r6zni'l od badanych dogwiadczalnie. Wetmy np. taki materjal, ja1! szklo, w por6wnaniu z metaIami techni-
cJ:nami nadzwyczaj jednolity, r6wnokierunkowy i podlegaj'lcy w bardzo obszernych granicacb prawu Hooke'a. Tymczasem
trzecia hipoteza nie stosuje si zupelnie do szkla, gdyz poci'lga za sobq widocznie r6wnogé napr ten bezpiecznych przy
rozciqganiu i gciskaniu, podczas gdy wytrzymalogé przy gciskaniu szkla jest kilkakrotnie wiçksz'l od wytrzymalogci przy
rozciqganiu. Na szkle moina takte obserwowaé objawy wytrzymalogci powierzchniowej wyst pujqce tutaj jeszcze jaskrawiej
nit na drutach metalowych.
Z tych i innych jeszcze lakt6w do wiadcz8lnych, 0 kt6rych bçdzie mowa przy innej sposobnogci, okazuje siç, ie zja-
wiska wytrzymalogci sq bez por6wnania bardziej zlozone od zjawisk sprçiystogci i prawdopodobnie nawet nie dadzq siç
okreglié ci Ie stalemi charakterystycznemi dIa materjalu, analogicznie do stalych sprçzystogci. DIatego tet nie musz'l
Iiczyé na trwale powodzenie i mne proste hipotezy 0 jednej lub dwu stal) ch, jakie napotykamy w nowszej Iiteraturze t),
jakkolwiek mogq r6wniet dostarczyé pozytecznych regul praktycznych].
9 37. SCISR1\NIE RUL 1 W.RLC6W
Z przypadkami gciskania kul i walc6w spotykamy siç tak w konstrukcji maszyn (Iozyska kulowe i walkowe), jak
i w budowlach inzynierskich (Iotyska podporowe most6w, przeguby wie!.kich skIepieti. i 1. p.). Rozklad napr ze6 w otocze-
niu miejsca stykania si jest wielce skomplikowany i nie da si znaIe£é drog'l elementarn'l'). Ograniczymy siç zatem do
podania wynik6w, kt6remi motna siç poslugiwaé przy obliczeniach 8).
Przy gciskaniu dwu kul z silq P (rys. 66) powstanie wskutek odksztalcen powierzchnia stykania mn, ograniczona
konturem kolowym 0 promieniu a bardzo malym w por6wnaniu do promieni TI i T2 obu kul. Wielko é tego promienia
okrel'Ua wz6r:
a = 1,11 V p. T1 T, .
E TI + T 2
otrzymany z og6lnego, podanego przez Herlz'a po podstawieniu
powierzchni stykania rozkladaj'l siç cignienia nier6wnomiernie, a
siç z lormuly
. (34)
tp
arto ci liczby Poisson'a cs = 0,3. Na
najwiçksze cjgnienie w rodku oblicza
Pmu. = 0,388 V PE' ( T1 + T, ) 2 = 15
Tt T, , :!ta'
W szczeg61nym przypadku przyciskania kuli do plaskiej gciany, t. j. gdy TI = T, T2 = 00, przeksztac'l
siç powytsze formuly na nastçpuj'lce:
...3rp-
a = 1,11 V if T
. (35)
. (34)'
-v PE2
pmu. = 0,388 -r
T
. (35)'
Rys. 66
W ostatnim wzorze motna zauwatyé wybitn'l cech , odr6zniaj'lcq go od wzor6w dla naprçtet1 otrzymywanych
poprzednio. W rozpatrywanych dot'ld przypadkach byla zaleinogé napr tenia od sily zewnçtrznej zawsze Iinjowa, wskutek
czego naprçzenia PI i Pt, wywolane odpowiednio si\ami Pt i P, dzialaj'lcemi kazda zosobna, sumowaly siç w przypadku
jednoczesnego dzialania obu sil. Przy gciskaniu dwu kul nie sumujq siç dziaIania silzewnçtrznych, albowiem naprçzenie
zmienia siç proporcjonalnie wzgl dem trzeciego pierwiastka z sily. fiby np. wywolaé naprçtenie dwa
ruy wi ksze, trzeba uzyé 8 razy wiçkszej sily, oczywigcie przy zaloieniu, te nie przekroczymy przytem nigdzie granicy
proporcjonalnogci. [Stopien pewnogci n, okregIony stosunkiem obci'ltenia niebezpiecznego do obCÎlltenia dopuszczalnego,
b dzie zarazem r6wny stosunkowi szdcian6w naprçzenia niebezpiecznego i dopuszczalnego].
1) O. Mohr: "Wekhe Umstiinc1e bedingen die Elastizitiitsgrenze..... Z. d. V. d. 1. 1910, str. 1524.
M. T. Huber: "Wlagciwa praca odksztalcenia jako miara wytçtenia materjalu". Czasop. techn. 1904, Ob. takze:
1\. Foppl u. L. Foppl: "Drang u. Zwang", tom 1, r. 1920, str.5O.
Roth: "Die Festigkeitstheorien und......, Zeitschr. f. Math. u. Ph. 48. 1902.
') Og6lne rozwi'lzanie odnognego zagadnienia teorji sprçzysto ci znaIazl w r. 1882 H. Hertz. Ob. Gesamm. Werke.
Bd. 1. "Ueber die Berührung lester elastischer Korper u. über die Harte-. Opracowaniem szczeg616w watnych zwlaszcza
dla zastosowaft technicznych zajmuj'l siç nastçpuj'lce rozprawy:
M. T. Huber: "Zur Theorie der Beriihrung lester elastischer Ki5rper", finn. el. Phys. 1904.
Th. Fri es en dorf: "Teorja statja soprikasajuszczich sia twiordych tiel". Petersburg 1905.
1\. N. Dinnik: .Udar i statje uprugich tjel". Izw. Riew. Pol. Inst. 1909.
S. Fu c h s: "Hauptspannungstrajektorien....... Phys. Zeitschr. 14. 1913.
M. T. Huber u. S. Fuchs: "Spannungsverteilung bei der Ber. zw. elast. Zylinder. Phys. Zeitschr. 15. 1914.
1) Wyw6d lormul znajdzie czytelnik takze w dzieIe autora p. t. "Kurs teorij uprugosti". Czçgé 1. 1914. str. 221.
Kurs wytrzymelo ci met.rj.Mw
5
66
Jeteli przyjmiemy dIa pma"- oznaczonq wartogé, to, jak widaé z r6w. (35)', akre limy temsamem warto é stosunku
P: T' w przypadku przyciskania kuli do plaskiej ciany. W6wczas mazemy takZe napisaé
P= ktfJ.
przyezem d oznacza grednic kuli, a stala k da siç wyrazit przez E i przyj t'l warto é pmax. Wartogé k da si takZe azna-
czyé bezpo rednia drogq do wiadczalnq '), a st(!d motna obliczyé odpowiedniq warta é bezpieczn'l dIa pmax. T'l drog'l zna-
Ieziono np. dia kulek lotyskawych z hartawanej stali a granicy proporcjanalnogci okalo 10000 kg/cm' i E = 2120000 kg/cm'J,
jako granicznél wartogé k = 50 kg/cm\ co odpawiada wedlug farmuly (35)' pmax = 37450 kgjcm'J.
Do tak oIbrzymieh warlo ci mote zatem dojgé napr zenie w rodku powierzchni zetkni cia bez niebezpiecze stwa
dIa materjalu dziçki tej akoliczno ci, ze element podlegaj'lcy temu napr teniu jest zarazem, jak uczy teorja, ciskany
poprzecznie z obu stron naprçteniami 0 wieIkogci akola 0,8 pmax Stan napi cia lega elementu uzmyslawia rys. (67). W sku!ek
tego mierzy si wytçtenie materji!lu w my 1 trzeci j hipotezy r6tnicq pmax - 0,8 pmax = 0,2 pmax, kt6rej wartagé w naszym
przypadku r6wna si 7490 kgfcm'J. [Toby odpowiadalo nawet dogé znacznej pewnagci prze-
eiw osiqgni ciu granicy proporcjonainogei materjalu
10000 8
n= 7490 8 = - 2.4
'YP :
48jJ ?--
jest widocznie wartogei'l tej pewnogci].
Teorja wskazuje jednak jeszcze na inne miejsee niebezpieczne na pawierzchni sty-
kania, a mianawicie na abwodzie kola zetkni cia, gdzie r6tnica miçdzy najwi kszem i naj-
mniejszem napr teniem jest r6\11na 0;267 pmu, co odpowiada w naszym przypadku wartogci
wytçtenia r6wnej okolo. 10000 kgjcm 2 , a wi c graniey proporcjonalnogci. Trzecia hipoteza
nadaje siç przeta i lutaj wcale dobrze, podczas gdy pierwsza i druga zupe1nie zawodzi 'J).
JeteIi kula 0 promieniu Tt dotyka wydr'lzonej powierzchni kuIistej 0 promieniu T, (rys. 68),
ta mo:tna r6wniet poslugiwaé siç wzorami (34) i (35), uwatajqc jednak w nich T'J za ujemne. Latwo
zauwa:tyt. ze kuIa wytrzyma w tym przypadku wi kszy nacisk. [Tutaj moze siç takze zdarzyé,
te a nie wypadnie male w por6wnaniu do T1> jak przyi to w teorji. Dogwiadczenie poucza jednak
(por. przytaczoné! powytej pracç Stribeck'a), ze gl6\\ne wyniki, 1. j. wieIkagé a i calkowite odksztaJ..
cenie w kierunku dzialaj'lcego nacisku, wzglçdnie zblizenie grodk6w kuI, dagadzajq wzoram teore-
tycznym bardzo dobrze az do a = i- T, jakkolwiek nie ulega wqtpliwogd, ze w poblitu obwadu
ko.la zetkni cia b dzie rzeczywisty stan napi cia r6znié siç coraz bardziej od teoretycznego w miar
wzrostu a i to na korzygé bezpieczetistwa. Dziçki temu motna przy nieco wi kszych warto ciach a
zadowolnié siç obliczeniem wedlug wyt tenia w radku kola zetkniçcia. Przytem nale:ty pamiçtaé, te jeteli R oznacza
warto é bezpiecznq napr zenia przy prastem rozciqganiu lub gciskaniu dIa materjalu kul, a R' dorainq wytrzymalogt. to
dIa otrzymania tego samego stapnia bezpiecze6stwa n = Fr : R trzeba przyjélé w obliczeniu kuI wedlug formuly (35) jako
wartogé naprçtenia dopuszczalnego
Rys.67
!
Rys. 68
3 3
R*=Fr: vn =- y RFr2.
1\ zatem
R* = 0,2 pmax = 0,0776 f E 2 ( Tt :f: T, ) 2 P,
Tt T,
Z czego obliczymy dapuszczalne oci'ltenie przy n- kratnej pewnogei:
P = 2140R'a ( ) 2 . (358)
nE' TI :f: T,
Podane formuly teoretyczne daj'l jeszcze jedn'l cenn'l wskaz6wk dia praktyki, a mianowicie zalecaj'l bardzo wymownie
utywanie na kulki lozyskawe materjalu 0 jak naj\\'yzszej wytrzymalogci, wzgl dnie najwyzszej granicy spr zysto ci, albo-
wiem podwyzszenie tej granicy do 2, 3,...m-krotnej wartogci zwi ksza dopuszczalne obciqzenie kulki 8, 27,... m' - razy.
Ogromne znaczenie wysokiej graniey spr zystagci materjalu na kuIki 10Zyskowe i piergcienie je obeimuj'lce wylonHo si
powoli z dogwiadczet5. praktycznych bez udzialu teorji, ale ile trudu, koszt6w i zawod6w moznaby bylo oszczçdzié, gdyby
wczegniej zaj to si zastosowaniem teorji, oceni kaidy intynier, znajqcy historjç rozwaju latysk kuIk()wych].
1) Stribeck: "Kug9Uager rur beliebige Belastungen". Z. d. V. d. 1. 1901.
Schwinning: "Versuche über die zuliissige Belastung von Rugel- und Rollenlagern". Z. d. V. d. 1. 1901.
t) rTo bylo powodem, te nawet wybitni inZynierowie.badacze, stojélCY na tradycyjnym groncie drugiej hipotezy, stra-
cili zaulanie do wzor6w teoretycznych. niewqtpliwie bardzo dokladnycb, dop6ki promie6 kola zetkniçcia jest maly wobec
promienia kuIi (jedno z gl6wnych zalaten teorji Hertz'a), albowiem sprawdzonych przez Iiczne bardzo staranne dogwiadcze-
nia. Zarniast szukaé objagnienia dIa oIbrzymich warto ci naprçtefi bezpiecznych przez rewizjç podstaw teorji wytrzyma-
logci - jedynie racjonaID'l drog'l - odrzucili paprastu lormuly dokladne, zastÇpujélc je przyblitonemi, zbudowanemi tak,
aby wypadala ta sama wartogé napr tenia bezpieeznego, co w przypadku prostega razciqgania lub gciskania. Takq metodç
nalety stanowczo, jako nienaukow'l, odrzucié. Nie pajawilaby siç ona zapewne, gdyby nie zakorzeniona w umyslach inzy-
nier6w wiara w prostotç zjawisk wytrzymalo ci, 0 kt6rej pisali my ju:t poprzednio. Dia ilustracji moze poslutyé znany
podr cznik C. Ba ci:t'a "Elastizitiit u. F estigkeit"].
67
Przechodzqc do gciskania walc6w ograntczymy sîç do przypadku, w kt6rym walce dotykajl! siç wzdluz two-
rzqcych (rys. 69). Obci'lzenie przypadajqce na jednostkç dlugo ci walca oznaczymy przez P' i przyjmiemy, ze dlugogé
walca jest wielka w por6wnaniu do rednicy. Wtedy szerokogé paska zetkniçcia, wylworzonego przy wzajemnym nacisku
walc6w, okreg)a lormula:
b=3,04 VP' .
E T1 + T,
Najwiçksze cignienia zachodz'l w Iinji rodkowej paska zetkni cia. Ich wielkogé ohli-
czamy wzorem:
(36)
J
pm8X = 0,418 Y prE. T1 + T, . (37)
T1 T,
RladélC w powyzszych lormulach T1 = T, T, = 00, otrzymamy odpowiednie wzory dIa puy-
ciskania waIca 0 promieniu T do plaskiej ciany, a mianowicie:
b = 3,04 V T . . (36)' pmax = 0,418 Y E . . (37)'
Ry>. 69
[Z odwr6cenia lormul (37) i (37)' widaé, ze obciqZenie walc6w odpowiadaiqce
danej wartogci najwiçkszego napr zenia jest proporcjonalne wzgIçdem kwadratu tej wartogci.
Zwiçkszaj'lc zatem 2, 3,...n-krotnie warlogé naprçzenia bezpiecznego. powiçkszamy zarazem odpowiednie obciqzenie bez-
pieczne walca 4, 9,...n2..razy. Ten watny wynik wskazuje podobnie,jak powyzej dia kul, na praktyczl1e znaczenie wysokiej
granicy sprçzysto ci materjalu. StosujqC np. walki 10Zyskowe z twardej stali, zamiast 0 wiele ta1iszego zelaza Ianego, moZna
dziçki tej okoIicznogci zmniejszyé koszt lozyska belek mostowychI.
Przy danej wartogci pm.x jest obeiiltenie P' proporcjonalne wzglçdem promienia walca przyciskanego do plaskiej
gciany, czyIi, co na jedno wychodzi, obciqzenie odniesione do jednostki przekroju osiowego P: d.l jest stale (d m-ednica,
1 dlugogé walka). Dia walk6w z twardej stali dopuszczai'l w konstrukcji lozysk mostowych ci enia 6000 do 7000 kg/cm'
co odpowiada wartmki P: dl = 50 do 70 kg/cm .
Normy urzçdowe [w tym przypadku przesadnie ostrozne] dopuszczaj'l np. w Rosji tylko P:dl = 30 do 35kglcm'.
[Stosownie do trzeciej hipotezy, kt6ra oddala tak dobre uslugi w przypadku kul, okaze siç i w przypedku walc6w
warto é bezpieczna najwi kszego ci nienia wytSZ'l od naprçzenÎa dopuszczalnego R przy prostem ciskaniu, albowiem
w rodku paska zetkniçcia doznaje materjal tr6jwymiarowego stanu napiçcia okre Ionego naprçzeniami px (0 kierunku
r6wnoleglym od osi walca), py (0 kierunku prostopadlym do lej OSt i do kierupku nacisku) i pz (0 ki(,l"unku dzialania
nacisku P'). Wszystkie trzy naprçtenia S'l cignieniami, przyczem py = pz = Pmax, z Px = 0,6 Pmax.
Wytçzenie materjalu okrdli wedlug trzeciej hipotezy r6znica
pmax - 0,6 pmax = 0,4 PIDJ1X
i ta wielko é ma byé r6wna wartogci bezpiecznej naprçtenia R, czyli
Pmax = 2,5 R.
Obcil1tenie walc6w, przy kt6rem jest ten warunek spelniony, mozna uwataé za bezpieczne].
5*
CZF;sé II
SCINI\NIE 1 SRRI;Cl\NIE
ROZDZIRL v
S CINl\N JE
9 38. PROSTE SCINRNIE
Przy rozpatrywaniu jednoczesnego dzialania rozcii!gania i sciskania w dwu wzajemnie prosto w
padlych kierunkach ottzymalismy wzory (10) i (11) dIa napr .len pn i Pt w przekroju wyznaczo w
nym kqtem . T eraz zatrzymamy si przy szczeg6lnym przypadku, w kt6rym
Px= - py= p,
t. j. gdy mamy ciqgnienie wzdlu.l osi X w 6w i r6wne mu cisnienie w kierunku osi ¥w6w. Naj-
wi ksze napr .lenia styczne zachodz q w przekrojach nachylonych do osi X i ¥ pod ki!tem 45°.
Jezeli takiemi przekrojami wydzielimy z ciala element m 11 p q (rys. 70) i' zasti!pimy dzialanie reszty
ciata na ten element silami, to na sciany elementu b di! dzialaé tylko napr .lenia scinajqce. Napr w
zenia normalne, jak widaé z formuly (10), stajq si zerami. Wielkoscii! napr w
t X zen stycznych b dzie
P _ px - py _ P ..
t- 2 -,
_y jest to wi c ta sama wielkosé, jak q posiadaji! obadwa napr .lenia w kie-
runku X i ¥. Stan napi cia, w jakim si znajduje element m npq, nazwiemy
prostem (albo czystem) scinaniem. Pod wplywem napr .len stycznych,
dzialajqcych na sciany elementu m n p q zamieniajq si proste ki!ty elementu na
ukosne. Je.leli podstawa m 11 p q byla pierwotnie kwadratem, to po odksztalceniu
zamieni si na romb. Przekqtna pionowa nq wydlu.lY si , a pozioma mp skr6ci
si 0 t sami! wielkosé, a poniewaz wydlu.lenia i skr6cenia Si! wielkosciami bardzo malemi, wi c dlugosé
boku rombu b dzie, z pomini ciem malych wY.lszego rz du, r6wna pierwotnej dlugosci boku kwadratu
Niechaj mnpq (rys. 11) przedstawia kwadratowq podstaw elementu przed
odksztalceniem, a m n' p' q romb otrzymamy z kwadratu wskutek dzialania napr .len
stycznych Pt, odpowiadajqcych prostemu scinaniu. Ten romb obr6cono na rysunku
w taki spos6b, .le jeden z jego bok6w zlewa si z bokiem m q kwadratu m n p q.
Odcinek mn' nazywa si bezwzgl dnem posuni ciem kraw dzi np wzgl -
dem kraw dzi m q. Stosunek
Rys. 70
lfi n'
-=tg!3,
mn
okreslaj i!CY odksztalcenie przy prostem scinaniu, nazywamy po sun i ci e m w z g 1 d n e m, albo
wlasciwem. Zwazywszy, .le mamy do czynienia tylko z bardzo malemi odksztalceniami, mo.lemy
n n' iL- p
EJ 1f 14
1 1
m
q
Rys.71
69
podstawié w przyblizeniu k t zamiast tg , czyIi przyj é, ze posuni cie wzg' dne r6wna si
zmianie k ta pierwotnie prostego.
Podobnie jak przy prostem rozcii!ganiu ustanowilismy zwii!zek mi zy wydluzeniem wzgl -
dnem, a odpowiadaj cem mu ci gnieniem, tak ustawimy teraz zaleznosé mi dzy posuni ciem wzgl -
dnem a odpowiadaj cem mu napr zeniem stycznem Pt.
Przy rozpatrywaniu rozci gania i sciskania w dwu wzajemnie prostopadlych kierunkach
ustawilismy nast puj cy zwi zek mi dzy napr zeniami px i py a odpowiadaj cemi odksztal:-
ceniami ex i e y :
e - px _ l!L
x - EUE'
W przypadku czystego scinania jest
px = - py = Pt,
py px
e y = E- cr E "
a zatem
Pt .
ex = - e y = e = E (1 + cr).
DIa ustawienia szukanego zwi zku mi dzy 13 i Pt trzeba tylko wyrazié f3 przez e. Z rys. (72)
czytamy:
t ( _ ) = Op' _ Op(l-e} = l- e.
g 4 2 On'-On(l+e} l+e
Ze wzgl u na t , ze f3 i e s bardzo male, mozna pomini!wszy wiel-
kosci male wyzszych rz d6w napisaé: .
X n
l-e
-=1-2e
l+e '
fi
( fi fi ) tg4-tg2
tg --- =
4 2 fi fi
1 +tg-tg-
4 2
1--
2
= 1 - 13,
l+
2
a zatem
Rys.72
1 - f3 = 1 - 2e i f3=2e . (38)
l j. posuni cie wzgl dne r6wna si co do wartosci bezwzgl dnej podw6jnemu wydIui:eniu wzgl -
dnemu jednej przek tnej, albo podw6jnemu skrôceniu wzgl nemu drugiej. Wyraziwszy e przez Ph
otrzymamy:
a 2 (1 + cr)
1-'= E pt.
Otrzymana formula daje szukany zwi zek mi dzy napr zeniami stycznemi przy czystem
scinaniu a wielkoscii! posuni cia wzgl dnego. Posuni cie wzgl (Jne jest zatem proporcjonalne wzgl -
dem odpowiadaj cego napr zenia scinaji!cego. Oznaczywszy
E
0= 2(1 + cr} . . (39)
moi:emy to wyrazié r6wnaniem:
a_
1-'- 0
. (40)
ZaIei:nosé f3 od Pt jest przeto taka sama, jak zalei:nosé e od p przy prostem rozci ganiu lub
sciskaniu, tylko zamiast modulu spr :iystosci E mamy tutaj wielkosé analogiczni! 0, kt6ri! b dziemy
nazywaé mod ulem spr :iystosci przy pro stem scinaniu [albo kr6cej modulem spr -
z y s t 0 S ci po s tac i 0 w e j. Ostatnia nazwa tl:umaczy si tem, i:e proste scinanie jest tym szcze-
g6lnym rodzajem odksztalcenia, kt6re nie zmienia obj tosci elementu, lecz tylko jego postaé geome-
tryczn ]. Skoro znamy wielkosci E i cr, to moi:emy obliczyé 0 ze wzoru (40); przy cr = wypada
3
0=8£.
Jak zobaczymy ponizej, latwiej znalezé doswiadczalnie 0, anii:eli cr, wobec czego zwykIe
oblicza si cr z formuly (40).
70
9 39. ENERGJR POTENC JRLNR SCINRNIR
Wyobraimy sobie kostk 0 kraw dzi l, na lct6rej sciany prostopadte do plaszczyzny rysunku
dzialajq sily styczne r6wnomiernie rozlozone i rosnqce podczas dzialania w spos6b ciëJ,gly od zera
do koncowej wartosci Q. Pod dzialaniem tych sH kostka si odksztalci i jezeli np. przyjmiemy
podstaw .fI D za unieruchomionq, to sciana widoczna przybierze postaé rombu ABC D. Sity
zewn trzne wykonujq przytem prac , zamieniajqcq si w energj potencjalnij odksztalcenia. Rby jq
obliczyé postëJ,pimy najprosciej tak, jak to czynilismy w przypadku prostego rozciqgania (ob. 9 4).
Na osi odci tych odmierzymy posuni cie bezwzgl dne S sciany Be w odniesieniu do sciany A D,
a na osi rz dnych - odpowiadajëJ,ce wartosci sil scinajqcych. W granicach proporcjonalnosci
otrzymamy linjowq zaleznosé mi dzy terni wielkosciami. Prac sB dzialajijcych na scian Be
przedstawi, jak przy rozciijganiu, pole tr6jkijta i praca ta b dzie si r6wnaé
T- QS ..
- 2
Co si tyczy sil dzialajqcych na sciany boczne, ta ich praca przy rozpatrywanem odksztal-
ceniu jest r6wna zeru, gdyz przesuni cia Sij prostopaclle do kierunku sil.
Z waZywszy, ze
Qi
S = l = FG '
przyczem F oznacza pole sciany, mozemy prac sil zewn trznych przy prostem scinaniu przed-
stawié w jednej z dwu form nast pujijcych:
Q"I ' '
T = 2FG = ZFG/.
Jezeli ten wynik podzielimy przez obj tosé kostki FI, to znajdziemy energj potencjalnij odnie-
sionij do jednostki obj tosci, czyli "wlasciwij prac odksztalcenia":
.I...- _ Pt" _ WG
Fi - 2a - 2
. (41)
9 40. 0 NRPREZENIRCH BEZPIECZNYCH PRZY SCINRNIU
Wielkosé napr zen dopuszczalnych, wzgl dnie "stopien bezpieczenstwa", zaIezy w znacznej
mierze od stopnia pewnosci obliczen i od sposobu dzialania sil zewn trznych, wobec czego nie
mozemy podaé tutaj okreslonych wielkosci napr zen bezpiecznych dIa poszczeg61nych materja16w.
Stosowniejszem na to miejscem Si! dzialy konstrukcyjne nauk technicznych. W og6lnym wykladzie
nauki a wytrzymalosci, na podstawie danych doswiadczalnych i opartych na nich teoryj wytrzyma-
losci, mozna odpowiedzieé tylko na pytanie: Jaki stosunek powinien zachodzié mi dzy napr ze-
niami bezpiecznemi przy prostem rozciijganiu i czystem scinaniu, jezeli w obu przypadkach dadzëJ,
si napr zenia dokladnie wyznaczyé?
WychodZijc z pierwszej hipotezy (por. 9 36) doszlibysmy do wniosku, ze dIa zapewnienia
tego sam ego stopnia bezpieczenstwa przy czystem scinaniu powinny dopuszczalne napr zenia sci-
najijce byé r6wne napr zeniom dopuszczalnym przy prostem rozciijganiu. T akiego wniosku
doswiadczenie nie potwierdza i w praktyce juz od dawna uzywajq nizszych norm dIa napr zeiÎ
scinajijcych niz dIa ciijgnien.
Na podstawie drugiej hipotezy, 1. j. hipotezy najwi kszego wydluzenia okreslaloby wartosé
bezpiecznij Rt napr zenia scÏnajijcego r6wnanie:
Rt (1 + 0) R
E =E'
przedstawiajqce warunek r6wnych wydluzeii w obu przypadkach. R oznacza przytem, jak poprze-
dnio, wartosé dopuszczalnëJ, ciqgnienia. Z tegoby wynikalo:
Rt = . (42)
1+0'
71
Przy wartosci cr = 0,25 do 0,33 wypada
Rt = 0,8 R do 0,75 R.
Druga hipoteza poleca przeto przyjqé Rt mniejsze od R, jednakze stosunek Rt: R okresIa jeszcze
liczb(! znacznie wi ksz(! od te j, kt6r(! daly Iiczne doswiadczenia z metalami plastycznemi, t. j. 0,5.
Mimo to s(! powyzsze wartosci stosunku Rt: R rozpowszechnione' w podr cznikach i w prak:tyce.
Nakoniec trzecia hipoteza daje R _ 0 5 R (
t - , . 43)
albowiem prostemu rozci(!ganiu towarzyszy najwi ksze napr zenie scinajqce r6wne polowie ci(!gnie-
nia. T en wynik jest zupelnie zgodny z doswiadczeniami nad plastycznemi metalami, naIezy go
zatem stosowaé przedewszystkiem do zeIaza kowaInego i stali. DIa zeIaza Ianego i kamieni ni
Înoze byé r6w. (43) waznem juz z tego powodu, poniewaz wytrzymalosé tych materja16w przy
sciskaniu jest kilkakrotnie wi kszq od wytrzymalosci przy rozci(!ganiu }. W materjalach takich jak
drewno, b dzie wytrzymalosé na scinanie zaIezna od polozenia przekroju wzgl dem kierunku wl6-
kien. Najmniejsze napr zenie scinaj(!ce znosi drewno w kierunkach r6wnoleglych do wl6kien,
a wi c i w kierunkach do nich prostopadlych; [najwi ksze zas w plaszczyznach nachyIonych do
wl6kien pod k(!tem 45°. T utaj posiadamy stosunkowo malo danych doswiadczalnych, g16wnie dIa-
tego, poniewaz konstrukcje drewniane nie nadaj(! si z natury rzeczy do tak dokladnych obIiczen,
jak telazne, a nawet kamienne].
9 41. ZRSTOSOW1\NIR
Czyste scinanie w takiej postaci, jak(! przyjmowalismy dotychczas, nie zdarza si w prak:tyce
i nie da si nawet urzeczywistnié doswiadczaInie, gdyz niepodobna dzialaé na sciany prostopadlo-
scianu r6wnomiernie rozlozonemi napr zeniami stycznemi bez wywolania przytem napr zen nor-
maInych. Praktyczne znaczenie czystego scinania jest po cz sci zwi ane z odksztalceniami przy
skr caniu i zginaniu, kt6re rozpatrzymy ponizej, w cz sci zas z obIiczeniem niekt6rych szczeg6l6w
konstruk.cyjnych, sluz(!cych do pol(!czenia cz sci maszyn i konstrukcyj intyniersko- budowlanych.
Jakkolwiek te obliczenia S(! bardzo niedoskonale z teoretycznego punktu widzenia, to jednak: zatrzy-
mamy siç na kilku przykladach, napotykanych cz sto w praktyce.
Obliczenie sworznia. Pod dzialaniem sil rozci(!gaj(!cych P (rys. 74) mote zajsé trwale
rozdzielenie sworznia JI B w plaszczyznach m n i ml fil, nazwane w praktyce s ci ci e m w tych
plaszczyznach. Przy obliczeniu trzeba srednic sworznia oznaczyé z wa- 2.f
runku, aby najwiçksze naprçzenie scinaj(!ce nie przekroczylo danej war-
toscÏ bezpiecznej Rt. Te najwiçksze napr zenia powstaj(! niew(!tpliwie
w punktach lez(!cych, jezeli nie na owych przekrojach, to w kaZdym
razie bardzo blisko nich; nie znaj(!c jednakze prawa rozkladu naprçzen,
nie motemy znaIefé dokladnie ich wartosci. Praktyka przecina t trudnosé,
przyjmuj(!c w obliczeniu r6wnomierny rozklad napr ze:ti scinaj(!cych, co
prowadzi do formuly
nd l
P: < Rt.
Scisle rozwiqzanie pewnych zadan z teorji spr zystosci 1) wykazuje,
te rozklad napr ze:ti w przekrojach, narazonych na sciçcie, jest dalekim
od r6wnomiernego. Szczeg61nie wielkie s(! napr zenia w miejscach dzialania sH scinajqcych, a wi c
w naszym przypadku w punktach m m' n i n'. (W elementarnych sposobach obIiczenia, wylozonych
p
Rys 74
1) [Puy braku danych dog\¥iadczalnych motna dIa takich materjal6w przyj'lé Rt r6wne redniej wartogci z polowy do.
puszczaInego ci nienia R+ i dopuszczalnego cignienia R-, czyli
1
Rt =4' <R++R_) .
Rt = Y R+.R-.
W pr7ypadku R+ = R- przechorlz<1 obie formuly widocznie w formwi (43)].
2) Ob. Filon. Phù. Trans. Roy. Soc. (ser. 1\). Vol. 201 1903.
(43 a)
Iub jeszcze lepiej wedlug Mohra
. (43b)
72
ponizej w rozdziaIe 0 zgi ciu, dochodzi si wlasnie w tych miejscach do napr zen scinajqcych
r6wnych zeru}. Zadanie kompIikuje jeszcze ta okoIicznosé, iz pod dzialaniem sit zewn trznych
sworzen zgina si nieco i w plaszczyznach m n i m' n' powstanq nie tylko styczne, ale i normaIne
napr zenia. Te wszystkie kompIikujqce okoIicznosci pomija si przy zwyklych obIiczeniach w prak-
tyce i stosuje si do obIiczenhi f r6wnanie napisane powyzej. Jest to na razie usprawiedliwione,
dop6ki sprawdzona przez doswiadczenie scisIejsza teorja nie dostarczy lormul dokladniejszych.
Niedokladnosé obliczenia wypada skompensowaé zmniejszeniem wartosci napr zenia dopuszczalnego.
Ob Ii c zen i e nit 6 w. Nit y Sq narazone g16wnie na sci cie w plaszczyznach przyIegania nito-
wanych cz sci (rys. 75). Zadanie jest tutaj widocznie jeszcze bardziej zlozone, niz w przypadku
jednego sworznia, gdyz nie tyIko nie znamy prawa rozkladu napr zen w przekrojach nit6w, Iecz
takZe rozkladu sily P, dzialajqcej na polqczenia, na poszczeg6lne nity. W praktyce post puje si
zatem podobnie jak w poprzednim przykladzie, t. j. przyjmuje
p si r6wnomierny rozklad sily na wszystkie nity. Stqd formula
---- obliczenia:
nd J
P: n < Rt,
w kt6rej n oznacza liczb przekroj6w nit6w narazonych na
scinanie, a d grubosé nitu. W przypadku przedstawionym na
rys. (75) j est widocznie n = 8.
W rzeczywistoscÏ nawet srednia wartosé napr zenia sci-
najqcego w nitach r6zni si znacznie od te j, jakaby wypadla
z podzielenia sily przez n-krotny przekrôj nitu, albowiem znacznq cz sé sily P r6wnowazy tarcie
w plaszczyznie stykania polqczonych cz scÏ. Tarde powstaje dzi ki temu, ze nit y zaklada si na
gorqco; po ostygni ciu nit y si kurczq i przyciskajq silnie do siebie lqczone blachy 1). [Rzeczywiste
srednie napr zenia b dq zatem mniejsze od obIiczonych, wobec czego moznaby wartosé Rt przyjqé
wi kszq niz przy obIiczeniu sworzni. Jak widzimy Sq nity wog6le narazone nietyIko na scinanie
i zginanie lecz nadto na rozcÏqganie w kierunku swej osi. Zaznaczymy jeszcze, .te srednica nitu
jest w pewnym zwiqzku z grubosci q lqczonych cz sci. Z wiqzek ten
wynika po cz sci z wymog6w konstrukcyjnych, w cz sci zas z wa-
runku racjonaInego wyzyskania wytrzymalosci materjalu. Zajmiemy P
si nim na innem miejscu].
Scinanie w polqczeniach belek drewnianych.
W przyktadzie przedstawionym na rys. (76) jest drewno naratone
na ki cie w plaszczyznach m n j ml nt r6wnoleglych do sil zewn -
trznych P. Tutaj oczywiscÏe b dzie rozklad napr zen r6wniez nier6wnomierny. Najwi ksze napr -
zenia powstanq kolo punkt6w m i nt. Mimo to rachuje si w praktyce wedlug formuly:
Srednie napr zenie :, < Ri.
1
},
<P {Î} <ii.{D-
Rys. 75
tf
Rys. 76
ROZDZIRL VI
SKRF;Cl\NIE
9 42. SRRECRNIE PRETR ORRl\GLEGO
Przy doswiadczaInem. badaniu skr cenia utwierdza si zwykle jeden koniec pr ta, a na drugi
dziala si parq sil Iezqcq w plaszczyznie prostopadlej do osi pr ta. Doswiadczenie poucza, ze
dop6ki moment pary skr cajqcej nie przekracza pewnej granicy, to kqt skr cenia, czyli kqt obrotu
1) Bach. Z. d. V. d. Ing. 1912.
Ru dei 0 f f: "V ersuche mit Nietverbindungen.. . · . Berlin 1912. Ostatnia praca ogwietla fundamentalnq rol tarda
przy prawicliowem dzialaniu pol cze1i nitowych.
73
swobodnego konca wzgl dem utwierdzonego, jest proporcjonaIny wzgl dem tego momentu. Przy
powi kszeniu dlugosci pr ta zwi ksza si k(!t skr cenia proporcjonalnie wzglçdem dlugosci. Gdy
zwi kszamy grubosé pr ta, to k(!t skrçcenia zmniejsza siç nader szybko. Jak wykazaly doswiadczenia
W e ri h e i m'a jest k(!t skrçcenia odwrotnie proporcjonaIny wzgl dem czwarlej potçgi srednicy prçta.
Wyniki doswiadczen mozna przedstawié formul(!:
Ml
cp = k{ï4'
w ktôrej oznacza. cr - k<!t skr cenia. M - moment skr caj(!cy. 1 - dlugosé pr ta, d - jego
srednicç, wreszcie k - sp6lczynnik zalezny od sprçzystych wlasnosci materjalu.
Wzôr dIa k(!ta skrçcenia da siç latwo V!yprowadzié drog(! analityczn(!. W tym celu zrobimy
zalozenie odpowiadaj<!ce kolowej symetrji naszego przypadku, ze przekroje poprzeczne pr ta nie
doznaj(! wskutek skrçcenia zadnego odksztalcenia, a tylko obracaj(! siç okolo osi prçta. W tych
warunkach b d(! elementy prçta nara:ione na czyste scinanie. Jakoz wyobrazmy sobie na po-
wierzchni bocznej prçta sieé kwadratôw elementarnych, utworzon(! przez kontury kolowe prze-
kroj6w poprzecznych 0 wzajemnej odleglosci dx i tworz(!ce walca (rys. 77). Wezmy pod uwagç
element, ktôrego scianç zewnçtrznij tworzy kwadracik m n P q. Przy skr -
caniu przesunie siç sciana m n elementu wzglçdem p q i zajmie nowe polo-
zenie m' n'. BezwzgIçdn(! wielkosciij posuniçcia bçdzie mm', a posuniçcie
wzglçdne okresli formula:
mm'
=_.
dx
J ezeli przez cp oznaczymy kijt obrotu jakiegokolwiek przekroju poprze-
cznego wzglçdem pewnego obranego przekroju, np. lez(!cego na utwierdzo-
nym koncu prçta, to rôznica k(!tôw obrotu dwu nieskonczenie bliskich prze-
krojôw a b i a' b' b dzie d cp, a zatem posuniçcie wzglçdne
= rd cp .
przyczem r oznacza promlen przekroju kolowego. Gdy zamiast elementu
na waIcowej powierzchni prçta wezmiemy element lez(!cy wewn(!trz pr ta na walcu wspôlosiowym
o promieniu p < T, to ten element bçdzie rôwniez narazonym na czyste scinanie, a odpowiadajijce
mu posuniçde wzglçdne okresli widocznie formula
dcp
p = p. dx .
Stosownie bowiem do naszego zalozenia pozostanie kazdy promien przekroju i po skr ceniu prostym,
a tylko obrôci siç wzglçdem pierwotnego polozenia 0 k(!t cp.
Znajijc wielkosé kijta , obliczymy wielkosé odpowiadaj<!cego napr zenja scÏnajéIcego Ph mno-
ZijC przez modul spr zystosci postaciowej G, czyli
dcp
Pt = G p dx .
T e napr zenia b d(! oczywiscie dzialaé niety]ko na sciany elementu lezijce na przekrojach poprze-
cznych, lecz tak:ie na sciany do nich prostopadle i lezQce na przekrojach osiowych. (Pierwsze
majij kierunek prostopadly, drugie zas rôwnolegly do osi prçta). Niech rys. (78)
przedstawia przekrôj a b skr conego prçta. Naprçzenie w dowolnym elemende
pola d F tego przekroju jest prostopadle do promienia 0 M i wedlug powy:iszej
fonnuly proporcjonalne wzglçdem p, l j. wzglçdem odleglosd elementu od srodka
przekroju. Najwiçksze zatem naprç:ienia sdnajQce wyst(!pi Q na obwodzie przekroju;
ich wartosci(! bçdzie dcp
(Pt)mex = Gr dx .
Wykres1iwszy w kazdym punkcie dowolnego promienia ON przekroju poprze-
cznego wektor przedstawiajijcy naprç:ienie w tym punkcie, widzimy, te konce
tych wektor6w lezij na prostej 0 H. W ten sposôb, przez rozpatrywanie odksztalcen pr b1 zna-
letlismy prawo rozkladu naprçten w plaszczyznie przekroju poprzecznego. Do oznaczenia wielkosci
Ry.. 78
-
Ky.. 77
74
napr zen potrzeba jeszcze jednego rôwnania, ktôrego nam dostarczy statyka. Poniewaz sily zewn -
trzne dzialaj(!ce na koniec skr conego pr ta tworz(! par sil 0 momencie M, lez(!c(! w plaszczyznie
prostopadlej do osi pr ta, wi c sHy spr zystosci w dowolnym przekroju poprzecznym ab, okresla-
jl!ce dzialanie gôrnej cz sci pr ta na doln<!, musz(! si takze sprowadzaé do pary sil rôwnowaz<!cej
tamt<!. Maj(!c ogôlne wyrazenie dia napr zenia w dowoInym punkcie przekroju, mozemy obliczyé
moment pary wypadkowej sil wewn trznych wzgl dem srodka przekroju O. Moment sily pt d F,
dzialaj<!cej na element pola d F, polozony w odleglosci p od srodka 0, jest widocznie rôwny
dcp
ptdF. p = G p dx dF . p.
Sumowanie momentôw, odpowiadaj(!cych wszystkim elementom pola lez(!cym mi dzy okr gami
o promieniu p i p + d p, przedstawia si w bardzo prost y sposôb, aIbowiem Pt. p jest dia tych
element6w stale, czyli
Pt . P . d F = PtP d F.
Tutaj oznacza d F pole pierscienia utworzonego przez okr gi 0 promieniach p i p + dp. Wielkosé
tego pola, z pomini ciem nieskonczenie malych wyzszych rz d6w, r6wna si 2 fi pd p, a zatem sumé!
moment6w sil wewn trznych odpowiadaj(!cych polu tego pierscieni-a jest
2 fi pli G . d p.
W celu otrzymania og6lnej sumy moment6w dIa calego przekroju, trzeba powyzsze wyrazenie
zcalkowaé w granicach p = 0 i p = r. .R zatem moment skr caj(!cy:
l dcp dcp r TC r 4 dcp
M = 2 fi pli G - d p === 2 fi G - pli d p = - G -.
o d.x d.x 0 2 dx
der _ M
d.x - a fir" .
. 2
Przez calkowanie otrzymujemy wyrazenie dIa k<!ta skr cenia
CPx = Mx + C.
G fil"-
. 2
Jezeli x b dziemy mierzyé od przekroju utwierdzonego, to 'P = 0 przy x = 0, a w] c C = O. Podsta-
. dl kr . k "' , .fir4 l . b .
WlWSzy a prze OJU oncowego x = 1 2 = p l J. 1 e g u n 0 w e m u m 0 men t 0 w i b e z-
wladnosci kola przekroju, znajdziemy Ml
'PI = G/ p . (44)
[Na otrzymanej formule teoretycznej dia ké!ta skr cania widzimy jasno zupeln(! zgodnosé z przy-
toczonym powyzej wzorem empirycznym, jezeli stalej k nadamy znaczenie : . Nasze zalozenie
. okazalo si przeto slusznem].
Po podstawieniu wartosci ' znalezionej powyzeJ, w wyrazenie dia Pt otrzymamy og6ln(!
formul dia napr zenia scÏnaj(!cego w skr canym pr cie:
Mp
Pt = 4'
Mr
(Pt)mllX =--r
p
Wzorami (44) i (45) poslugujemy si przy obliczeniu okrQglych wal6w. Wz6r (44) pozwala
rozwil!zaé dwa watne zadania techniczne:
1. Z dan ego momelltu skr cajQcego i rozmiar6w walu znalefé k(!t skr cenia.
II... Z.obserwowanego ké!ta skrçcenia i danych rozmiarow walu znalezé wielkosé momentu
skrçcaj(!cego.
SÏé!d
z kt6rej dia p = r znajdziemy:
. (45)
75
Z tem zagadnieniem spotykamy si przy wyznaczeniu dzielnosci (pracy na sekund ) maszyny
na podstawie pomiaru kqta skr cenia 1).
Formula (44) pozwala nadto wyznaczyé drogq doswiadczalnq modul spr zystosci postaciowej G
[zwany tez modulem skr cenia]. Wystarczy w tym celu zmierzyé kQt skr cenia, odpowiadajQcy
danemu momentowi skr cajQcemu i rozmiary pr ta, a we wzorze (44) pozostanie tylko jedna niewia-
doma G. StosujQc do pomiaru kqta aparat zwierciadlowy, mozemy znalezé G ze znacznil dokladnosci Q .
Otrzymane formwy teoretyczne dadz Q si latwo uog61nié dIa przekroju pierScieniowego. W po-
blizu osi panujil, jak widzielismy, bardzo male napr zenia, wobec czego mozemy z korzysci q dia
ci zaru wlasnego walu, a takZe dIa jego sztywnosci, zastosowaé wal wydrQzony. W praktyce napo-
tykamy waly wydrqzone u wi kszych maszyn parowych, gdzie ich srednica dosi ga nierzadko 50 cm,
a takze w motorach lotniczych i w motorach DieseI'a. Przy wyprowadzeniu podstawowej formuly naIezy
tylko zmienié granice calkowania. Jezeli ro i f 1 oznaczaj wewn trzny i zewn trzny promien walu, 10
M = 21(G d d CP rr1pSdp,
x )ro
M = G dcp ( 31:T 1 " _' 1(T04 ) .
dx 2 2
DIa napr zeii w wydrqzonych walach otrzymamy zas wyraZenie:
( ) MT1 MT 1
Pt mBX = 1[f 1 4 _ 1[ r o" =--r;-
2 2
z czego
43. SRRECRNIE PR T6w 0 PRZERRO JU PROSTORl1TNYM
NaprlAtenie powstajqce przy skrçcaniu prlA16w nieokrqglych nie dadz'l silA wyznaczyé drog elementarnq. Zagadnienie
komplikuje siç w tym przypadku wielce z powodu nieuniknionego zakrzywienia przekroj6w poprzecznych. Widzimy je np. na
zalqczonej lotogralji (rys. 79) zdj tej z silnie skr conego prostokqlnego prita, na kt6rym poprzednio nakreglono sieé kwadra-
t6w. Jak latwo dostrzet:, odko;zlalcaj'l si postaeiowo najsilniej kwadraciki odpowiadaj'lce rodko-
wym punktom bok6w prostokqtnego przekroju. Tarn wi c powstanq najwilAksze naprlAtenia gcinaj'lce.
Natomiast u wierzcholk6w prostok'lta, t. j. na bocznych krawlAdziach pr ta, nie doznajq kwadraciki
r"'"
dostrzegalnej zmiany, t. zn., ze napr :tenia styczne w tych miejscach sq r6wne zeru.
[Ten ostatni wynik latwo przewidzieé z teoretycznego rozwatania. Wog61e przy skr caniu
zwyklym sposobem nie mogq istnieé skonczone naprlAzenia einaj'lce w wierzcholkach dowolnego
przekroju pr ta, jeteli kilt w e w n ç tr z n y w tych wierzcholkach jest m nie j s z y od n. Gdyby
bowiem takie naprlAzenie zachodzilo w plaszczyinie przekroju poprzeunego, to mialoby w roz-
patrywanym wierzcholku r6zn'l od zera skladowq p't prostopadlq przynajmniej do jednej z obu
stycznych konturu, wychodzqcych z tego wierzcholka. To zag byé nie mo:ie, albowiem wedlug
prawa r6wno ci odpowiadajqcych naprlA:ie6 stycznych w dwu przekrojach wzajemnie prosto-
padlych, wy:;tqpiloby napr tenie slyczne 0 tej samej wielkogci p't i na swobodnej gcianie prçta,
wolnej wog6le od sil powierzchniowych (z wyj tkiem tych miejsc, w kt6rych prlAt jest uchwy-
cony odpowiadaj'lcemi elementami konstrukcyjnemi. sluz'lcemi do przeniesienia
sil). Inaczejma siç rzecz w przypadku, gdykqtwewn trzny jest wi kszy
od ". W takim wierzcholku powstaj'l, jak. zobaczymy ponitej, napi cia styczne
wog6le tem wi ksze, im bardziej ten kqt przewytsza "J.
Nie wdaj'lc siç tutaj w przyblizone sposoby obliczenia naprçze6. ogra-
niczymy siç do podania wynik6w gcislego rozwi'lzania. kt6re motna znaleié
w wykladach teorji SprlAzystogci 1). Rys. (80) przedstawia przekr6j poprzeczny
prçta. NajwilAksze napr tenia zachodzq w grodkach dlu:iszych boMw prosto-
k'lta fJ. i B. Ich wieIkogé okregla lormula
M
(pt}max=- b 1 .
po C
w kt6rej po oznacza sp6lczynnik liczbowy zaletny jeszcze od stosunku b: c bok6w prostok'lta. Szereg wartogci po podaje
ponitej tabIica fJ., kt6r'l z wystarczajqca dIa praktyki dokladnogci'l motna zasl'lpié przyblitonym wzorem:
M
(pt}m.x = (3 b + 1,8 c) bl el .
y
r
b
0;
.
1
1
B
X
,
l
L.".
Rfa. 80
. (46)
;,:,;_<f'I
. ..d. .
"'.- .
ë"' ::_
- ,
< t:
,'{ .
,: t,:,
-
. :\ {:! ':.
::::r;-
f. "r
. . "1: .'
l_ __ ;.
'c t:.
'- "'. ;';j -
.
.. ,
,.. .
.......,. =+t -- .'--L,
i " ,--, .
.., {.,..
, ,
( ,"\. ,:A; : $. 1 .
' +.-:....oh
'l,_ '\ :j ,*
r "-'_4.',
,:t .=.';:\ t -
Rys. 79
1) Wskaz6wki co do aparat6w do pomiaru kqta skr cania znajdzie czyteJnik w Z. d. V. d. Ing. 1914, str. 615.
1) Znalazl je najpierw Barr de Saint-Venant; por.dodah k do 156kursuNavier'a:..Laresistancedescorps
solides", 1864. '
76
T.RBLIC.R JI.
b 1 1 1 1,5 1 1,75 1 2 1 2,50 1 3 1 4 1 10 1 CXJ
--
C
p.= 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,312 0,333
CI: = 0,]41 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,312 0,333
y= 1 0,572 0,469 - 0,307 - 0,186 0,074 0
Do obliczenia k'lta skr cenia cp sluzy wz6r:
Ml
cp = aGbc s
Wartogé sp61czynnika liczhowego CI: podaje r6wniez tablica JI.
Niekiedy wypada obliczyé napr zenia styczne w innych jeszcze punktach obwodu przekroju prostoké!tnego. Do tego
motna utyé dalszych wynik6w liczbowych znalezionych przez de Saint- Venant' a. Napr ienie w punkcie odpowiadajqcym
ttodkowi kr6tszego boku prostokqta Otrzymamy przy pomocy trzeciego wiersza tablicy JI, gdzie y oznacza stosunek tego
naprlAtenia do najwilAkszego, okrdlonego wzorem (46).
. (47)
44. SRR CRNIE W PRZYPRDRRCH INNYCH POSTRCI PRZERROJU
De Saint-Venant rozwiilzal zagadnienie skr cenia jeszcze dia wielu innych przekroj6w, nie majqcych przewatnie
d04d zastosowania praktycznego. DIatego poprzestaniemy na przedstawieniu teoretycznych wynik6w dia przypadku prze-
kroju eliptycznego. Oznaczywszy odpowiednio przez 2a i 2b wieIké! i malq og elipsy, mamy nastçpuj'lce wyraienie dIa
kqta skrçcenia:
MI(a 2 + b 2 ) 4n 2 Mll p
cp = nGasb s = F4 G
F b 1 k . r n aB b n a b B b . t b 1 d ... 1 .
przyczem = a n oznacza po e prze rOJu poprzecznego, a Jp = -r + -r legunowy momen ezw a no"cl e IPSY,
L j. calk postaci (' p 2 dF. NajwilAksze napr tenia cinaj'lce zachodz'l na ko1icach osi malej. Ich wielkogé okre la formula:
)(F)
2M
(Pt)max = - b 2 . (49)
na
kt6ra dia a = b przybiera postaé wyprowadzon'l powyiej dia przekroju kolowego.
Co siç tyczy innych postaci przekroju poprzecznego, to zaznaczymy, te wyratenie dIa k'lta skr cenia da si zawsze
przedstawié w formie:
. (48)
Ml
cp=-
C
C omacza tutaj stal'l zalezné! od spr iystych wlasnogci materjalu, tudziez od rozmiar6w i ksztallu przekroju. B dziemy j
nazywai': sztywnogci'l skrçcania. De S.-Venant okazal dia calego szeregu kontur6w, ie moina otrzymaé do é do-
kladn'l warto é C, jeieli dany przekr6j zast'lpié eliptycznym 0 r6wnem polu i r6wnym momencie
be1:wladno ci 1';1. Dodaé jednak trzeha wainy warunek, aby dany przekr6j byl pelny. Wtedy motna
si przeto poslugiwaé formulq (48). DIa przekroj6w z otworami traci wz6r de S. Venaunt'a zu.
pelnie sw'l wainogé.
Przejrzysty obraz rozkladu napr ze6 moina otrzymaé przy pomocy pewnej analogji, na
kMrq zwr6cil uwaglA prof. PrandtJ1). ]eteli otw6r 0 tym samym konturze, co dany przekr6j,
nakryjemy cienk'l spr tyst'l blonq i obciqtymy j'l r6wnomiernie rozloionem ci nieniem, to po-
wierzchnia ugi cia blony posluiy do poznania prawa rozmieszczenia napr te6 stycznych w plasz-
czyinie poprzecznego przekroju.
Przeciqwszy ow'l powierzchniç ukladem plaszczyzn r6wno odleglych i r6wnoleglych do
plaszczyzny konturu, otrzymujemy uklad krzywych 0 wlasno ciach nastlApujilcych:
1) Styczna w dowolnym punkcie krzywej wskazuje kierunek naprlAtenia cinaj'lcego w tymte
punkcie. ,
2) G sto é krzywych charakteryzuj'lca nachylenie powierzchni blony jest proporcjonalna
wzgl dem wielko ci napr te1i stycznych.
3) Obj to é V zawarta mi dzy plaszczyzn'l konturu a powierzchniq ugilAcia jest proporcjo-
nalna wzgl dem sztywno ci skr cenia pr ta C, a mianowicie:
: :
' 1
1
Rys.81
C 4GS V.
p
Tutaj oznacza S - napi cie blony odniesione do jednostki dlugo ci konturu, a p - ci nienie wywarte na blonlA.
Te trzy twierdzenia umotliwiajil otnaczenie rozkladu naprçte6 przy najr6inorodniejszych konturach przekroju poprze-
1) ]ahresb. d. deutschen Malh.-Vereinigung. 1904, str. 32.
77
cznego 1). Rys. (81) przedstawia uldad krzywych okre Iajqcych w powyzszy spos6b stan odksztalcenia blony, a zarazem
stan napiçcia w przekroju skr conego pr ta, dIa przypadku konturu prostok'ltnego. Widzimy tutaj najwi ksz'l g stogé
krzywych w !:rodku dluzszych bok6w, t. j. tam, gdzie zachodzq najwi k napr :tenia !:cinajqce; w wierzcholkach za
te naprçienia znikajq 2).
9 45. Z11.STOSOW1\NII\.
Przy obliczeniu wal6w wyst puje zwykle jako wielkosé dana, nie moment skr cajé!cy M,lecz
d z i el nos é (m 0 c) maszyny, t. j. praca przeniesiona przez wal w j ednej sekundzie. Z tego mozna
oznaczyé moment, jezeli znamy Ïlosé obrot6w walu na minut 11. Wtedy bowiem robi wal w jednej sekun-
dzie :0 obrot6w,czyliobraca si 0 ké!t<p=2n 6 ' a zatem moment pary Mwykonuje pra:c M<p= 3 Mn.
Jezeli N oznacza dzielnosé maszyny w nkoniach parowych", to 15 N b dzie wyrazaé dzielnosé
w kgmlsek, a 75.100.N w kgcmlsek. Lqczqc oba wyrazenia na pracç w r6wnanie
3t
30 Mn = 7500 N,
znajdzie y stqd moment skr cajé!cy M, a wstawiwszy jego wartosé we wz6r (45) otrzymamy:
( ) _ 7500. 30 . N = N 36. 10 5 (kgl 2 )
Pt m8X - 1 n ni d 3 cm .
-n 2 nr d
2
T utaj oznacza d srednic obliczanego walu. I\.zeby grubosé walu czynHa zadosé warunkowi wytrzy-
losCÎ, trzeba za (pt)max wstawié Rt i rozwié!zaé r6wnanie wzgl dem d. Do obliczenia wal6w nara-
zonych wylé!cznie na skr canie poslu .ty przeto fo rmula:
olt d = V Ji 36 . 10 5 = '""' V- N 36 . 10' . (50)
> n' tr 2 Rt n' Rt
Co si tyczy wielkosci napr zeii dopuszczalnych, to ona zalezy w znacznej mierze od spa-
!Sobu dzialania sU zewn trznych i od stopnia zmiennosci momentu skr caj cego. Stala wartosé
momentu jest w praktyce prawie wykluczona. Najcz sciej zmienia si moment skr cajqcy w dosé
obszernych granicach wskutek niejednostajnosci biegu maszyn i si! bezwladnoscÎ k61 osadzonych
na wale. T kwestj rozpatrzymy szczeg6lowo w przedostatniej cz sci, poswi conej zagadnieniom
dynamiki. Tutaj zaznaczymy tylko, ze napr zenia bezpieczne wypada obnizyé znacznie w przy-
padkach wi kszej niejednostajnosci momentu skr cajqcego.
Opr6cz przyczyn dynamicznych zniewalajq do obnizenia napr zen dopuszczalnych przy zasta-
sowaniu r6w. (50) takZe napr zenia dodatkowe (nadwyzki napr zeiÎ) w miejscach zmiany grubosd
walu (rys. 83). W takich miejscach rozklad napr zeiÎ, jakkolwiek oczywiscie kolowo symetryczny,
r6zni si znacznie od rozkladu znalezionego dIa watu 0 sta- f f.
lym przekroju. Ta okolicznosé ma wazne znaczenie prakty- · ; B r - f t7 ! L.
czne, albowiem waly posiadajq bardzo cz sto miejscowe L -1-- _ ---.....
zmiany przekroju wedtu fige (a) i (b), a wtedy wartosé naj-
wi kszych napr zeiÎ zalezy w wysokim stopniu od promie- /ig.l1. fj r b
nia p krzywej przejsciowej, tqczqcej w osiowym przekroju
Rys 83
obadwa przekroje walu. Prof. I\.. Foppl S) zwr6ci! pierwszy
uwag na rol krzywizny powierzchni walu w miejscu zmiany w przekroju i okazal, te w przy-
padku przedstawionym na fige (a) pracuje przewaznie zewn trzna cz sé materjalu. Obliczenie spro-
wadza si w przyblizeniu do oznaczenia napr zen w wale wydrqzonym, kt6rego srednica zeWJl trzna
r6wna si 2 r, a grubosé sciany 1,5 p.
1) Ob. .H.nthes. Dinglers pol. Journal. 1906, Str' 342.
2) Wyznaczeniem naprçzet1 przy skrçcaniu prçt6w rurowych zajmuje si cenna praca R. Bredt'a w Zeitschr. d. V.
d. Ing. 1896, a narlto podr cznik H. Lorenza: "Technische Elastizitiitsiehre" str. 101. Ob. takie S. P. Timoszenko:
"Teorja uprugosü", cz. l, str. 162, wyd. z r. 1914.
3) Zeitsch. d. V. d. Ing. 1906, str. 1032.
78
Dalszem opracowaniem tego tematu zajql si Willers 1 ), kt6ry przy pomocy metod wykre lnych, roztrzqsnql caty
szereg przypadk6w i podal spos6b dokladniejszego obliczenia. Ograniczymy si do przytoczenia nastçpujê}cych wynik6w:
W przypadku przedstawionym na Hg. (b) zachodzq najwiçksze napr zenia w miejscach min, gdzie promie6 walu
jest r6wny R- p. J ieli p jest male wobec R, to te napr tenia majq dwukrotnq warto é napr zen obliczonych dIa walu
o stalym przekroju wedlug formuly (45). W przypadku przedstawionym na fig. (a) kompIikuje siç zadanie przez to, ie
warto é najwiçkszych napr tet1 zalezy nietylko od stosunku R: T, lecz takie od promienia p krzywej przej ciowej. lm ten
promie6 jest mniejszy, tem gwaltowniejsze przej cie od jednego przekroju walu do drugiego item wieksze pawstanq nad-
wyzki naprçiefi. Najistotniejsze wyniki przedstawiajêl diagramy na rys. (84) i (85). Pierwszy z nich odpowiada stalej war-
to ci stosunku p; T= 0,1, a jego rzedne wyznaczaj'l warto é najwi kszego naprçzenia cinaj'lcego w zaleznogci od warto ci
p 1f1J/C/fa
_______________________ : ___b
F:
i!lfT
.
. :iI.
r., :
tt IL
o
____________ _ ____ _ _ _ _ ___6
QI & 0,.1 0.4 J' 0.6 0.7 0.8 0..1 J
R- r
r
([
:! :!-r
.
:<)è . :
. k 1
s 0 0 l
::! 0..:1"
<::.: - "-
o
0;>0 *0 o 2tI %0
q
r
Ry.. 84
Rys. 85
stosunku (R - T) ; T odmierzonego na osi odciçtych. Rz dne prostej a b przedstawiajq wartogé naprçienia na powierzcbni
cienszej cz ci walu w znacxnej odleglogci od miejsca zmiany przekroju. Jak widaé z rysunku, otrzymujemy tem wi ksz'l
nadwytk naprçienia, im wi kszy jest promie6 R w por6wnaniu do r. Wielko é nadwyzki zbIita si przytem asympto-
tycznie do warlogci odpowiadaj'lcej walowi z krêlikiem, gdy R staje si bardzo wielkiem wobec T. Drugi diagram odpo-
wiada stalej warto ci stosunku T; R = 3 : 4 i okregla rz dnemi warto!fé najwiçksi:ego napr ienia cinajqcego w zaleino ci
od stosunku p : r. Jak naletalo oczekiwaé, objawia si zmniejszenie promienia p powiçkszeniem nadwyzki napr zenia. .
Na podstawie wykonanych obliczen dochodzi Willers do wniosku, ze przy uzywanych zwykle stosunkach przy przej-
ciu z cie6szej do grubszej czçgci walu moina przyj'lé dIa najwi kszych naprçte6 wart() é r6wnq 1,75 najwiçkszego naprç-
tenia w wale 0 stalym promieniu T, czyli rachowaé wediug wzoru
M 28 M
(pt)max = 1,75 ----- . - . (51)
1 1C d"
-nT' '
2
00
j;"gO
Opr6cz zmian grubogci, mogq byé przyczyn'l zwiçkszenia napr te6 w walach podluine wykroje, np. ilobki na kliny
i l p. Teoretyczne badania wykazalyt), te w przypadku p610kr'lglego wykroju (rys. 86, fig. a) jest naprçtenie na dnie
tlobka dwa razy wiçksze od tego, kt6reby zachodzilo na powierzchni walu bez Zlobka, pod wa-
runkiem, te promie6 zlobka jest maly w por6wnaniu do promienia walu. Jeteli kontur zlobka po-
siada kilt y wklçsle. jak np. w ilobku prostokqtnym na fig. (b), to naprçienia w wierzcholkach
tych kêlt6w rosnq teoretycznie w niesk06czono é. [Znaczy to praktycznie, te w tych miejscach
zajdq odksztalcenia trwale, oczywigcie na bardzo malym obszarze przekroju, juz przy bardzo
malych silach zewnçtrznych]. Podwyiszenie naprçze6 mogq takte wywolaé otwory podluzne, jakie
siç trafiajq jako bl dy w materjale. Niesk06czenie maly otw6r walcowy uzmyslowiony k61eczkiem m
na rys. (86), fig. (b), wywoluje teoretycznie podwojenie warto ci naprçie6 w punkcie konturu
leiqcym najblizej powierzchni walu, jeteli otw6r let y bIisko tej powierzchni.
Wszystkie wyliczone przypadki podwyiszenia naprçten maj'l charakter czysto miejscowy i trudnoby je bylo obser-
wowaf przy zwyklych pr6bach wytrzymalo ci pr t6w na skr canie.
Jeteli badamy doswiadczalnie pr t z zelaza kowalnego, m,i kkiej stali, lub innego materjalu
zdolnego do znacznych odksztalceii trwalych, to takie odksztalcenia powstan<! najpierw W owych
miejscach. narazonych na lokaIne nadwyzki napr zeii, wskutek czego przy dalszem zwi kszaniu
momentu skr caji}cego, b dzie rozklad napr zeii w tych miejscach i w ich otoczeniu r6znié si
znacznie od teoretycznego. [R6.znica polega mianowicie na bez por6wnania wi kszej r6wnomier-
;Jg.a
Rys.86
1) Zeitschr. f. Math. u. Ph. 1907, str. 325.
Ob. takte: 1\. Timpe. Math. finn. T. 71, 1911, str. 480.
2) Larmour: Phil. Mag. 1892, str. 76.
G. Filon: Lond. Phil. Trans. 193 (1900), str.309.
79
noscÎ rzeczywistego rozkladu miejscowego od znalezionego drog Q ana1itycznij, przy zalozeniu nie-
ograniczonej waznosci prawa Hooke'a}. Ta okolicznosé wyjasnia bardzo dobrze, dlaczego czynniki
wywoluj,!ce miejscowe nadwer zenia materjalu nie majQ dostrzegalnego wplywu na wielkosé do-
raznej wytrzymalosci przy skr caniu pr t6w 1). 1\.by nadwyzki naprçzen stwierdzié doswiadczalnie,
trzebaby uzywaé pr t6w z materjalu kruchego, np. ze szkla, albo wykonywaé doswiadczenia przy
powtarzajij,cem si obci,!zeniu '). Przy zmiennych napi ciach moze w miejscach przeciQzonych roz-
poczij,é si zniszczenie sp6jnosci, jako objaw znuzenia materjalu. Ta ostatnia okolicznosé ma szcze-
g6lne znaczenie dIa konstrukcji maszyn, gdzie mamy przewaznie do czynienia ze zmiennemi na-
pi ciami. [T em tez tlumaczy si cz sciowo, dlaczego przy zwyklych sposobach ob1iczenia przyjmuje
praktyka znacznie mniejsze napr zenia dopuszczalne w konstrukcji maszyn, aniteli w budowlach
inzynierskich}.
9 46. ENERGJ1\ POTENCJ1\.LN1\ PRZY SRRI:;C1\.NIU
Jezeli na swobodny koniec pr ta utwierdzonego drugim koncem dziala para skr cajQca, kt6rej
moment wzrasta w spos6b ciij,gly, to sily pary wykonujQ podczas odksztalcenia pr ta prac , zamie-
niajij,cQ sj w energj potencjalnQ tego pr ta. DIa wyznaczenia energji potencjalnej zastosujemy
znowu (podobnie jak w 9 4) wykreslne przedstawienie pracy. Na osi odci tych odmierzamy kQty skr -
cenia 'P, a jako rz dne odpowiadajQce wartosci momentu skr cajqcego. W ten spos6b otrzymamy
pochylQ prost'! O.ll (rys. 87), przyjmuj,!c naturalnie, te przy odksztakeniu
nie przekraczajij, napr zenia nigdzie granicy proporcjonalnosci. Wezmy jaki-
kolwiek chwilowy stan pr ta, okreslony punktem m. 1\.by od tego punktu przejsé
do nieskonczenie bliskiego m t , trzeba momentowi skr cajij,cemu udzielié
przyrostu dM, przyczem kqt skr cenia wzrosnie 0 d'P. Praca sît zewn -
trznych przy obrocie 0 kij,t d'P przedstawi si polem zakreskowanego paska
diagramu. Calkowit Q zas prac sil wewn trznych przy zmianie kqta skr -
cenia od 0 do 'P wyznaczy pole tr6jk Q ta 0 If 8, albo wyrazenie
M'P
--Y.
If
lf
-1
.
.
1
!
01 'B---
._. qJ----!
Ry..87
Przy pomocy zwiqzku mi dzy M a 'P mozna energj potencjalnQ wyrazié jako funkcj jednej
tub drugiej z tych wielkosci. W stawiwszy za 'P wartosé z (44) otrzymamy dIa pr ta okrqglego:
Mil ( )
v= -, . . 52
2Gl p
za w zaleznos€Ï od 'P przedstawi si energja potencjalna wyrazeniem:
V Glp 2 ( 53 )
= -rr- 'P .
DIa dowolnej postaci przekroju poprzecznego mielismy
Ml
'P = -C-.
a zatem energja skr cenia
W poszczeg6lnych przypadkach
skr caniu C.
1 Mil (
V=2c- . . 54)
trzeba tylko wstawié odpowiedni Q wartosé sztywnosci przy
9 47. OBLICZENIE SPRF;lYN SRUBOWYCH
Przyjmijmy, ze oba konce spr zyny 0,0 (rys. 88) lezQ w osi waIca, na kt6rym zreszt Q two-
rzy os (linja srodkowa) spr zyny linj srubowq. Niechaj g6my koniec b dzie utwierdzony, a dolny
obciQzony sil q P. Przy obliczeniu chodzi nietylko 0 wielkosé napr zen, lecz tak.ie 0 wydtuzenie
1) H. Moore. Univ. of lIIinois Bull. Vol. VII. 1909. Nr.42.
2) 1\. Foppl. Mitl aus d. mech. Lab. München. Heft 31, 1909.
80
calej sprçzyny pod wplywem danego obciqzenia. DIa uproszczenia przyjmiemy, ze kqt a, jaki two-
rzy styczna do Iinji srubowej z poziomem jest tak maly, .te sHç P mozna w przyblizeniu uwazaé
za prostopadl q do tej stycznej 1). W6wczas bçdzie kazdy element dlugosci drutu tworzqcego sprç-
i;ynç narazony gl6wnie na skrçcanie momentem P . R, 0 czem siç latwo
przekonaé w sposôb nastçpujqcy: Przecinamy sprçzynç w punkcie m plasz-
czyznq przechodzqcq przez os walca 00' i rozpatrujemy warunek rôwno-
-wagi g6rnej czçsci. 1\.by zachowaé jej r6wnowagç, trzeba na przekrôj dzia-
laé sHami zewnçtrznemi, zastçpujqcemi dzialanie na ni q czçsci odciçtej. Na
odciçt q czçsé doInq sprçzyny dziala tyIko sHa P Iezqca w plaszczyznie
poprowadzonego przekroju w odleglosci R od jego srodka. Nie zmienimy
warunk6w r6wnowagi, jezeli w srodku przekroju umiescimy jeszcze dwie
sily P (fig b) znOSZqce siç nawzajem, z ktôrych jedna jest geometrycznie
r6wna danemu obciqzeniu; wtedy dzialanie odciçtej czçsci na gôrnq spro.
wadza siç do sily P dzialajqcej na srodek przeprowadzonego przekroju i do
pary sH 0 momencie P . R, dzialajqcej w plaszczyznie w przyblizeniu pro-
stopadlej do linji srubowej, a wiçc do pary skrçcajqcej. [0 iIe grubosé 2 r
drutu, z ktôrego sporzqdzono sprçzyn , jest mala w por6wnaniu do pro-
mienia R, to para skrçcajqca wywola w przekroju sprçzyny prawie taki
sam rozklad naprçzen scinajqcych, jak przy skr caniu prostego pr ta]. Co si tyczy sily P dziala-
jqcej na srodek przekroju, to ona moze wywolaé tyIko napr zeni_a scinajqce, ktôre dIa uproszczenia
bçdziemy w pierwszern przyblizeniu uwazaé za rozlozone r6wnomiernie. Najwiçksze napr zeni
wypadkowe zajdzie zatem w punkcie a i obIiczymy je wzorem:
PR P P ( R )
(Pt)max = + 5rr 2 = 5rr l 2-,:- + 1 .
- 5r r B
2
Poniewa.t wedlug zaznaczonego powyzej zalozenia jest 2 R : r liczb q dosé wielk q , wi dodaj-
nik 1 po prawej stronie mozna wobec niej opuscié, czyli mozna pominqé wplyw sHy scinajqcej P
wobec dzialania momentu skrçcajqcego P R. Stqd formula praktyczna do obliczenia wytrzymalosci
spr Zyny : 2 P R
(Pt)max = --;rrs.
W podobny spos6b mozna obIiczyé spr Zyny stozkowo-srubowe Il). RiIka przyklad6w obliczenia
znajdzie czyteInik w wydanym przez autora zbiorze zadan B).
1\.zeby obliczyé wydluzenie sprçi;yny uzyjemy wyrazenia dIa energji potencjalnej, przyczem
wezmiemy pod uwagç tyIko odksztalcenia wywolane skr ceniem, inne bowiem grajq tylko drugo-
rzçdnq roI . W takim razie mozemy zastosowaé wzor (52), w ktôrym za 1 trzeba podstawié dlu-
gosé drutu rôwnq w przybIizeniu n . 2R5r, jezeli n oznacza liczb zwoj6w. 1\. zatem
v= P2RI. n. 2nR .
2Ql p
Z drugiej strony jest praca odksztalcenia, t. j. praca sil zewnçtrznych r6wna PÀ. jezeli À ozna-
cza calkowite wydluzenie sprçi;yny. Dopôki bowiem naprçzenia nie przekroczq granic proporcjo-
nalnosci, b dq odksztalcenia sprçi;yny wzrastaé proporcjonalnie wzgI dem wieIkosci sily, a praca
przedstawi si polem tr6jk q tnego diagramu. podobnie jak w przypadkach rozciqgania lub skrçcania
prostego pr ta. Warunek rôwnosci pracy sil zewn trznych i energji potencjalnej w przypadku
odksztalcen zupelnie spr zystych daje:
P}..
2'= 5r
p
o
m
p
Ra
if
p
0; {(oS b
!p
Rys. 88
pl! RB n
QI '
p
1) Do wiadczalne sprawdzenie przybliionych wzor6w do obliczenia spr tyn rubowych znajduje siç w pracy Z 8-
charias'a: .Untersuch. an zylindr. Schraubenledern". MiU. u. Forschungsarb. Helt 106.
') Ob. V. Meyer. Zeitschr. d. V. d. Ing. ]900, Str. 179], a takte Engineering, 1912, str. 207.
8) S. P. Timoszenko: ,,sbornik zadacz". Wyd. 3-cie 1915.
81
z czego znajdziemy:
1. = P 4 n R3 .
. Gr'
. (55)
Podobnie moina znaIezé wzory dIa spr Zyn 0 przekroju prostok tnym lub kwadratowym, poslu-
guj(!C si og6Inq formulé! (54). Po sporzqdzeniu podlegaj(! spr zyny zwykIe hartowaniu, a ponie-
waz hartowana stal posiada bardzo wysok(! granic proporcjonalnosci, wi c normy napr zen bez-
piecznych dia spr zyn Si! bardzo wysokie: Rt waha si w granicach 4000 do 8000 kgf cm j .
Kun wytrzymBlo ci malerjaMw
6
cz sé III
ZGINl\NIE PROSTYCH PRF;T6w 1)
ROZDZIl\L VIII
WEWN TRZNE SIL y SPR zYSTOSCI PRZY ZGINI\.NIU PR T6w PRYZMI\.-
TYCZNYCH
9 54. POJF;CIE ZGINRNIR
Zjawisko zginania charakteryzuje si wog6Ie tem, ze przekroje poprzeczne pr ta prostego,
pierwotnie r6wnolegle, nachylajq si wzgI dem siebie, przyczem os pr ta si zakrzywia. DIa wyzna-
czenia wewn trznych sil spr zystosci przy zginaniu, zastosujemy poprzedni q metod . Rozcinamy
zginany pr t na dwie cz sci i rozpatrujemy r6wnowag jednej z nich. Dzialanie drugiej cz sci na
cz sé rozpatrywanq zast pujemy przytem silami wewn trznemi rozlozonemi w poprowadzonym prze-
kroju w spos6b ciqgly. W przypadku rozciqgania sprowadzaly si te sily do wypadkowej dzialajé),cej
wzdluz osi pr ta. Przy scinaniu sprowadzaly si do sily Iezqcej w plaszczyinie przekroju. Przy
rozpatrywaniu skr cania sprowadzalismy wszystkie sHy wewn trzne dzialajqce w plaszczyinie prze-
kroju do pary si! lezqcej w pJaszczyinie prostopadlej do osi pr ta. Przy badaniu zginania otrzy-
mujemy wog6le zlozony uklad sil, lecz na razie ograniczymy si do prostszego przypadku "c z y-
stego zginania", w kt6rym sHy wewn trzne, dzialaj ce na przekr6j jakiejkolwiek odci tej cz sci
pr ta, sprowadzajq si do pary lezqcej w plaszczyznie osi pr ta, a wi c prostopadlej do przekroju.
SHy zewn trzne dzialajqce na cz sé odci tq sprowadzajq si w6wczas r6wniez do takiejze pary.
Taki przypadek bardzo latwo zrealizowaé w spos6b przedstawiony na rys. (104). Belka wystajqèa
poza podpory A i B jest obciqzona symetrycznie na koncach silami P.
Wtedy juz z warunku symetrji wynika, ze reakcje podp6r Sq takze r6wne P.
DIa jakiegokolwiek przekroju lezqcego mi dzy podporami tworzé), sily
zewn trzne odci tej cz sci par 0 momencie r6wnym P 8. Mozemy jeszcze
uproscié nasze zadanie, zakladajqc symetrj przekroju wzgl dem plaszczy-
zny rysunku, kt6ra jest zarazem plaszczyznq obciqzenia. W takich wa-
runkach zajdzie zgl cle w tejze plaszczyznie, a sily wewn trzne w przekroju poprzecznym spro-
wadz si do pary lezqcej w tej plaszczyznie. Co si tyczy prawa rozkladu napr zen w przekroju,
to kwestja ta nie da si rozwiqzaé przy pomocy samej statyki, do tego potrzeba pewnych uzupel-
ni8j cych zalozen, opartych po cz sci na doswiadczeniu, a po cz sci na pewnych przypuszczeniach.
Slusznosé przypuszczen wynika z tego, ze doswiadczenie potwierdza osnute na nich wywody.
Te przypuszczenia stwierdzono takze scislemi badaniami teoretycznemi, podawanemi w wykladach
teorji spr tystosci.
P ro-:
A Â
tp
:.(7'1 P
 B
fp
Rys. 104
1) W tej cz ci opuszczono w przekladzie rozdzial VII, traklujl!CY 0 momentach bezwladnogci ligur plaskich, ponie-
wa:t te rzeczy mozna znalefé w ksi'ltkach pogwi conych statyce wykreglnej, lub mechanice og6lnej.
83
55. DRNE DOSWI1\DCZ1\LNE
Przy doswiadczalnem badaniu zgi cia mozna obserwowaé przesuni cia poszczeg6Inych punkt6w
pr ta (ich ugi cia) i odksztalcenia oddzielnych element6w. Przy obserwacji ugi é przedstawia si
ich zaleznosé od wielkosci sil zewn trznych najdogodniej wykreslnie. Odmierzajqc na osi odci tych
wielkosci ugi cia f, a na osi rz dnych odpowiadajqce wartosci sil zginajqcych P, znajdziemy, te
dIa materja16w podlegajqcych prawu Hooke'a zachodzi w pewnych granicach
zaleznosé linjowa mi dzy fi P. Diagramem b dzie wtedy odcinek prostej AB p
(rys. 105) nachylonej do osi sp6lrz dnych. Przy dalszym wzroscie sil powstajq
odksztalcenia lrwale i Iinja diagramu zakrzywi si wypuklosci q do g6ry. Po-
dobnie jak przy rozciijganiu mozna tutaj zauwazyé zjawisko p6dwyzszenia gra-
niey proporcjonalnosci i wplyw powtarzajqcych si obciqzen.
Co si tyczy odksztalcen poszczeg6Inych element6w zginanego pr ta, czyli A
bel k i, to widaé odrazu, ze po stronie wypuklej Sq elementy narazone na roz-
ciqganie, a po stronie wkI slej na sciskanie (rys. 106). To calkiem oczywiste
zalozenie nie odrazu weszlo do teorji zgi cia. Slawny Galileusz, fundator nauki
o wytrzymalosci materjal6w 1), nie zwracal wcale uwagi przy badaniu zgi cia
na zmian postaci belki i rozpatrywal jq jako cialo ideainie: sztywne. Nast pni
badacze zauwazyli, ze elementy po stronie wypuldej belki Sq rozciqgane, a do-
piero znacznie p6zniej przekonano si 0 sciskaniu element6w po stronie wkl -
slej. Rozstrzygajqce znaczenie mialo w tym kierunku doswiadczenie wykonane
przez Du h a me l'a. W tem dQswiadczeniu obciqzono srodek drewnianej belki,
podpartej w obu koncach (rys. 107), sil q P. G6rnq cz sé belki naderZni to
w kilku miejscach pil q do polowy jej grubosci i szpary w ten spos6b utwo-
rzone wypelniono przylegajqcemi szczelnie deszczulkami. Jezeliby oddzielne
w16kna zginanej belki byly narazone tylko na rozciqganie, to taka operacja
oslabilaby znacznie belk , kt6ra wytrzymalaby zatem 0 wiele mniejsze obci q -
zenie, niz belka cala. Jezeli zas w g6rnej cz sci belki zachodzi sciskanie w16-
o r kien, to szczelne wypelnienie naderzni é powinno zniesé ich wplyw na zmniej-
M /y szenie wytrzymalosci przy zginaniu, co wlasnie potwierdzily doswiadczenia
.u . Duhamel'a.
Il d Nasuwa si teraz kwestja rozkladu napr zen na wysokosd belki. Skoro
, ,belk 0 przekroju poprzecznym prostokqtnym opatrzymy na bocznych scia-
.. .nach prostokqtnq siatk q (rys. 108) i obciqzymy w spos6b przedstawiony na
tf '.1(. rys. (104), t. j. narazimy na czyste zginanie, to po zgi ciu mozna dostrzec,
ï ze proste ab i cd, pierwotnie prostopadle do osi belki, pozostajq prostemi
I/ \ ]; " i prostopadlemi do zgi tej osi. Elementarne prostokijty siatki skrzywiajq si ,
ale ich kqty wierzcholkowe pozostajq proste. ]ezéli zrobimy bardzo prawdo-
\ ! podobne przypuszczenie, ze takie same odksztalcenia zachodz q i wewnéltrz
belki, to przekroje poprzeczne pozostajq przy odksztalceniu plaskiemi, a zgi -
\ il cie belki polega na tem, ze kazdy przekr6j obraca si wzgI dem sqsiedniego
' f ' 0 pewien kqt elementarny 8 a. Poniewaz g6rne w16kna Sq rozciqgane a dolne
\ ! sciskane, wi c musi mi dzy niemi Iezeé warstwa pierwotnie plaska i pozioma,
kt6rej w16kna nie zmieniajq swej dJ:ugosci. Nazywamy jq wa r s t W q 0 b 0-
j t n q. SIad tej warstwy na plaszczyznie rysunku naznaczono linjC), MN. Po-
wyzsze przyj cia wystarczajq do ustawienia prawa rozkladu napr :ien w prze-
krojach poprzecznych belki. Niech b dzie p promieniem krzywizny Iinji MN, a ds wzajemnij odle-
glosci q przekroj6w a b i cd przed zgi ciem. Z wa:iywszy, ze dlugosé ds odpowiednich cz sci w16-
kien warstwy oboj tnej nie zmieni si wskutek zginania, mozemy napisaé
ds=pda.
r
f
Rys. 105
rn rJ
ffJ' n'
Rys. 106
Kys. 107
Rya. 108
1) W przedmowie do dziela Navier'a ..Résume! des leçons sur la résistance des corps solides", Paris 1864, umiegcil
de S.-Venant interesujï!cy szkic historyczny rozwoju nauki 0 wytrzymalogci materjal6w.
6'"
84
Dlugosci odcink6w innych w16kien lezi!cych mi dzy obranemi przekrojami zamieniaji! si widocznie
na dlugoscÏ proporcjonaIne wzgl dem odleglosci od srodka krzywizny. Oznaczmy zmian dlugosci
w16kna przez 6. ds, a odleglosé wl6kna od warstwy oboj'itnej przez Z (obiedwie wielkosci b'idziemy
pojmowaé jako algebraiczne). Po zgi ciu b dzie p + Z odlegloscii! wl6kna 0 dlugosci ds + 6 ds od
srodka krzywizny, a zatem .
dS+-lds p+z
----=--,
ds p
czyli
1:.ds z
e=([S=p.
Ten wynik wyraia, ze wzgl dne wydluze nia wl6ki en s g proporcj onal ne wzgl -
dem ich odleglosci od warstwy obohtnej. Najwi kszych zatem wydtuien doznaji! wI6-'
k n a s k r a j n e, t. zn. najbardziej oddalone od warstwy ohoj tnej. Mierzqc te wydluzenia podczas
doswiadczenia moiemy oczywiscie oznaczyé poloienie warstwy oboj tnej. W naszym przypadku
wykazaly liczne doswiadczenia, ie warstwa oboj tna leiy w polowie wysokosci prostokqtnego prze-
kroju belki. [przekonamy si niebawem, ie ten wynik jest konsekwencjq Iinjowego rozkladu wy-
dluzen, prawa Hooke'a i warunk6w r6wnowagi].
Wydluzeniom i skrôceniom w16kien zginanej belki mUSZq widocznie towarzyszyé linjowe
odksztalcenia poprzeczne. Najoczywistszem jest to dIa wlôkien leiqcych na powierzchni belki, na
kt6rq :iadne sily zewn trzne nie dzialajq. Rozszerzenia, wzgl dnie skurczenia poprzeczne wlôkien
b di!, jak wiadomo z 9 (5), r6wne Ci . e, jezeli CI oznacza Iiczb Poisson'a. RozdzieIiwszy w mysli
belk na poprzeczne wl6kna poziome, widzimy, ie takie wl6kna doznajq powyiej warstwy obo-
j tnej skrôcen, a poniiej wydluzen. Gdyby wlôkna podluine nie przeszkadzaly sobie wzajemnie
przy odksztalceniu poprzecznem, co zajdzie niewqtpliwie w przypadku przekroju bardzo wqskiego
w stosunku do wysokosci, to odksztalcenia poprzeczne bylyby rôwnie:i proporcjonalne wzgl dem
odleglosd od warstwy oboj tnej i przedstawialyby si wyraieniem
, z
e = Cie = CI-
P
W6wczas powstaloby niejako zgi'icie przekroju poprzecznego do krzywizny 0 bezwzgl dnej war-
toscÏ -.!, = Ci . , a 0 kierunku promienia wprost przeciwnym kierunkowi promienia krzywizny
p p
zgi tej osi pr ta. G6ma powierzchnia belki bylaby poprzecznie wkl sla, a dolna wypukla (rys. 109).
Doswiadczenia okazaly, ie takie odksztatcenie zachodzi istotnie nawet przy sto-
Ô sunkowo znacznej szerokosci przekroju prostoki!tnego 1). G21em okiem moina
je dostrzec przy zginaniu pr t6w z mi kkiego kauczuku. U belek metalowych
mozna wyznaczyé poprzeczne zgi cie przekroju (w jego plaszezyznie) przy po-
moey doldadnych aparat6w zwierciadelkowych.
J [Z tego do wiadczalnego faktu mozemy wysnué wniosek, ze podluzne w16kna belki nie wy-
_ 'f:' wierajq na siebie nawzajem zadnego l\w,'gi godnego dzialania przy czystem zgiçciu. To jednak b dzie
C prawdziwem 0 tyle, 0 ile szerokogé przekroju nie jest zbyt wielka w por6wnaniu do jego wysoko ci.
Wog61e nie trudno siç przekonaé, przy pomocy geometrycznych rozwazan, ze zwi,!zek (61 a) jest
w puypadku wiçkszych odksztalcen tylko mniej lub wiçcej przyblizony. W samej rzeczy poprzeczne
zakrzywienie warstwy grodkowej, kt6r,! nazwaligmy warstwq obojçtn,!, nie jest motliwe bez jednoczesnych odkszfalce6
podlutnych tej warstwy i, co zatem idzie, bez naprçien podluznych. Te naprçienia musialyby byé w punktach p i q (rys. ]09)
eiqgnieniami, gdyt promien krzywizny odpowiednh h wl6kien podluinych jest widocznie nieco wiçkszy od promienia wl6kna
rodkowego (przy zaloieniu zgiçcia gl6wnego wypuklo ciq do g6ry), kt6re wskutek tego byloby nawzajem podlutnie ci-
skane. To nie mo:ie pozostaé bez wplywu na zaIeino é e' od z, ale ten wplyw bçdzie tak dlugo znikomo maly, dop6ki
szerokogé prostok'ltnego przekroju jest mala w por6wnaniu do promieni krzywizny, przy tej samej wysoko ci, albo dop6ki
szerokogé przekroju nie jest wielka wobec jego wysoko d: Latwo to zrozumieé biorqc pod uwag przypadek skrajny bar.
dzo wielkiej szerokogei. Wyobrazmy sobie np. czyste zginanie prostok'!tnego kawalka blachy. Wtedy moina golem okiem
dostrzec zakrzywienie w plaszczyznie zginania, natomiast zakrzywienie poprzeczne jest zgola. niewidoczne, i dopiero przy
utyciu subtelnych aparat6w daloby siç stwierdzié na brzegach blachy. Przewazajqca czç t grodkowa blachy nie bierze
udzialu w poprzecznem zakrzywieniu i przybiera postaé pobocznicy walca].
. (61)
. (61a)
Rys. 109
1) Cornu. C. R. 1869, T. 64, sir. 333.
85
9 56. 0 N1\PREZENIRCH W PRZYP1\DHU CZYSTEGO ZGIN1\NI1\
Wskutek przyj cia, ie poprzeczne przekroje pr ta pozostaji! plaskiemi, a wl6kna podluzne
nie uciskajq siebie nawzajem, sprowadza si zjawisko czystego zginania do rozcii!gania i sciskania.
wl6kien belki. Majqc we wzorze (61) wyrazenie dIa wydluzenia
wzgl dnego, otrzymamy zaraz odpowiadajqce napr zenie pz,
mnozqc je przez modul spr zystosci E. 1\ zatem
z
pz = E-
p
T 0 r6wnanie wyraza Iinjowe prawo rozkladu napr zeti
w przekroju i przedstawia si wykreslnie diagramem zlozonym .
z dwu trôjk q t6w (rys. 110). Zauwaiymy przytem, ze dodatnie wartosci z rachu-
jemy od warstwy oboj tnej w kierunku od sl'odka krzywizny.
Otrzymawszy prawo rozkladu napr zeÎi, oznaczymy ich wielkosé przy
pomocy r6wnati statyki. Niechaj rys. (111) przedstawia jeden z poprzecznych
y przekrojôw belki. Obierzmy srodek ci zkosci przekroju za poczi!tek prosto-
kqtnego ukladu spôlrz dnych, ktôrego os X-6w jest osi q beIki, a os Z-6w
lezy w plaszczyznie pary zginajqcej (plaszczyznie obcii!ienia). Wedlug uczy-
nionego powyzej zalozenia b dzie os Z osi q symetrji przekroju, a zatem
plaszczyzna X Z b dzie plaszczyznq symctrji belki. Ze symetrji wnosimy,
ze ta plaszczyzna b dzie zarazem plaszczyznq zginania, a przeto Slad
warstwy oboj tnej na plaszczyznie rysunku, ktôry nazwiemy 0 si i! 0 b 0 j tn i!, musi byé
rôwnoIegly do asi ¥. Sily zewn trzne, dzialaji!ce na rozpatrywanq cz sé beIki, sprowadzajq si
do pary sil, Iezqcej 'w plaszczyznie Z X. DIa rôwnowagi trzeba, aby sily wewn trzne w po-
prowadzonym przekroju sprowadzaly si takze do Pilty 0 momencie tej samej wieIkosci, Iecz
przeciwnego znaku. J eieli d F oznacza element pola przekroju poprzecznego, to przypadajqce nan
napi cie przedstawi wyrazenie:
loLf -F
----
I ------ r
o .f...
f:,..
__ _ a.
. (62)
Rys, 110
z
Rys. 111
z
pzdF= E-pdF,
a rzutujqC wszystkie napi cia na osie sp6lrz dnych, otrzymamy
X = r pz d F = E , z d F, ¥ = 0, Z = O.
) p .
Rieby napi cia w plaszczyznie poprzecznego przekroju sprowadzaly si do pary sil musi byé
zdF= 0;
a zatem, przyjqwszy hipotez plaskich przekroj6w, doszIismy z warunk6w rôwnowagi do wniosku,
z e 0 s 0 b 0 h t n a p r z e c h 0 d z i p r z e z sr 0 d e k ci z k 0 s ci p r z e k r 0 j u. T en wyoik stwier-
dzono doswiadczeniami 1).
Dowiedziemy teraz, ze para wypadkowa napi é w przekroju Iezy w plaszczyznie Z X, czyIi,
.te ich moment y wzgl dem osi X i Z Sq' r6wne zeru. Ot6i moment pary wypadkowej wzgl dem
osi X jest r6wny zeru, poniewaz wszystkie napi cia Si! do tej osi rôwnoIegle. DIa oznaczenia mo-
mentôw wzgI dem osi Z-6w, trzeba kazde napi cie eIementarne E d F pomnozyé przez odpo-
p
wiadajé),ce rami y i zesumowaé otrzymane iloczyny eIementarne. Szukanym momentem b dzie tOOy:
Er E1%Y
.w z = -p zydF =--P'
RIe os Z jest wedlug zalozenia osi q symetrji przekroju, a zatem osie Y i Z Sq g16wnemi
osiami bezwladnosci, a I zy = O. Wskutek tego znika widocznie i og6Iny moment napi é wzgI dem
1) [Oczywi cie w granicach wazno ci prawa Hooke'a; poza temi granicami wychodzi o oboj tna ze rodka prze-
kroju, a wielko é i kierunek jej przesuni cia zalei,! od postaci przekroju i od diagramu wydluieti materjalu].
86
osi Z-6w. W ten spos6b okazalismy, ze sily wewn trzne sprowadzajq si do pary lez<!cej w plasz-
czyinie Z X dzialania sil zewn trznych.
Zanim przejdziemy do wyznaczenia napr zeii, uog6lnimy nie co nasz dow6d. Dotychczas wy-
chodzilismy dIa prostoty z zalozenia, ze os Z-6w jest osi q symetrji poprzecznego przekroju belki.
T 0 nam pozwolilo wywnioskowaé, ze plaszczyzna zginania schodzi si z plaszczyznq dzialania sil,
te zatem os oboj tna 0 Y jest prostopadla do tej plaszczyzny. Ot6z warunek prostopadlosci osi
oboj tnej do plaszczyzny dzialania si! spelnia si i w og6lniejszym przypadku zgi cia. Jak bowiem
latwo zauwazyé, stosowalismy w poprzednim wywodzie warunek symetrji tylko raz, a mianowicie
przy obliczeniu momentu M z i dowiedlismy, ze ten moment r6wna si zeru, poniewaz lyz = O. lUe
moment odsrodkowy lyz staje si zerem nietylko dIa przekroj6w symetrycznych, lecz takze dIa
przekroj6w 0 dowolnej postaci, jezeli tylko osie Y i Z Sq g16wnemi osiami bezwladnosci przekroju.
Z tego wynika, ie przy dzialaniu par zginajqcych w plaszczyinie Z X, przechodzqcej przez jednq
z glôwnych osi bezwladnosci przekroju poprzecznego, b dzie druga os g16wna sluzyé jako os obo-
j tna, poniewaz tylko pod tym warunkiem mogq wewn trzne sily spr zystosci zr6wnowaiyé par
sil zewn trznych 0 momencie M.
Plaszczyzny, przechodzqce przez os belki i jednq z g16wnych osi bezwladnoscÏ przekroju po-
przecznego, b dziemy nazywaé plaszczyznami gl6wnemi. (W dalszym ciqgu przyjmujemy
zawsze, ze kierunek gl6wnych osi nie zmienia si wzdluz belki). Na podstawie powyzszych wywo-
d6w mozemy wyslowié twierdzenie nast pujqce:
Przy dzialaniu par zginajqcych w jednej z gl6wnych plaszczyzn belki,
zachodzi zgi cie w tejze plaszczyznie.
Ten przypadek zginania jest praktycznie najwazniejszy. Og61niejszy przypadek, w ktôrym
plaszczyzna par zginajqcych jest nachylona do plaszczyzn gl6wnych, rozpatrzymy ponizej.
Do wyznaczenia napr zen pz posluzy drugi rodzaj warunk6w r6wnowagi, 1. j. warunek momen-
t6w. Jezeli os oboj tnq (os Y-6w) obierzemy za os moment6w, to og61ny moment sil zginajqcych
wzgl dem tej osi rôwna si oczywiscÏe momentowi pary M, zas surnq algebraicznq moment6w sil
wewn trznych pzdF b dzie ZPzdF. Wstawiwszy za pz wartosé z rôw. (62) i przyrôwnawszy
otrzyrnane wyrazenie do M znajdziemy
z 2 dF=M,
aIbo, poniewai calka po lewej stronie okresla geometryczny moment bezwladnosci przekroju poprze-
cznego wzgl dem osi Y, kt6ry oznaczymy przez ly, wi c
1 M
P = Ely
Ta formula pozwala z danej wartosci M i rozmiarôw belki obliczyé p. Rrzywizna jest od-
p
wrotnie proporcjonalna wzgl dem iIoczynu Ely. WielkoscÏ Ely i Elz b dziemy w dalszym ciqgu
nazywaé gl6wnemi sztywnosciami belki i oznaczaé odpowiednio przez B y i B z . Znajqc
krzywizn , mozemy obIiczyé napr zenie w dowolnem w16knie, odleglem 0 Z od osi obojçtnej, zapo-
mOCq rôw. (62), kt6re po wstawieniu wartosci p z (63) przybierze postaé:
Mz
pz = 1;
Rrancowe wartosci napr ieii zajd q oczywiscie we w16knach najbardziej oddalonych od osi
obojçtnej, czyli krôtko we wlôknach skrajnych. Oznaczywszy przez hl i h 2 odleglosci w16-
kien skrajnych od osi obojçtnej (rys. 111) otrzymamy:
Mh l Mh 2
Pmu = ' pmin = -- 1
y y
Rai:d q z dwu czysto geometrycznych wielkosci
ly W . ly - W
hl = l 1 h 2 - 2
. (63)
. (64)
(65)
87
nazwiemy modulem przekroju 1). Napr zenia skrajne b dê! rôwne, jezeli ht =h 2 , a wi c i W t = W 2 = W.
Przekroje czyniqce zadosé temu warunkowi b dq najodpowiedniejsze dia belek z materjal6w 0 r6wnej
wytrzymalosci przy rozciqganiu i przy sciskaniu. Wogôle mozemy napisaé zamiast (65)
M
Pmax = W . (66)
gdyz to r6wnanie pozwala obliczyé kazde z dwu napr zeii kraiicowych, jezeli znamy odpowia"
dajqcq wartosé modulu przekroju W.
9. 57. ZGIECIE UROSNE
Zgi cie nazywamy ukosnem, gdy plaszczyzna pary zginajqcej nie jest zarazem plaszczyznq gl6wn
belki. Okazemy przedewszystkiem, ze wtedy plaszczyzna zgi cia nie b dzie si schodzié z plaszczyzn
dzialania si! i ze wskutek tego os oboj tna nie b dzie prostopadl q do plaszczyzny obciqzenia.
Niechaj rys. (112) przedstawia poprzeczny przekr6j belki, na kt6rym uklad sp6trz dnych Y Z
odpowiada gl6wnym centralnym osiom bezwladnosci przekroju. V V niech b zie Sladem plaszczyzny
pary zginajqcej. Przypusémy, ze i w danym przypadku plaszczyzna zgi "
cia schodzi si z plaszczyznC), dzialanîa sil, a wtedy osi q oboj tnij bylaby
prosta VV prostopadla do V V. Gdyby to przyj cie bylo sluszne, to odpo-
wiadajijce wewn trzne sily spr zystosci sprowadzilyby si do pary sil,
lezijcej w plaszczyznie VV, a ich moment wzgl dem VV powinienby byé y
r6wnym zeru. Znajdziemy wyrazenie dIa tego momentu Mu.
Na podstawie formuly (62) b dzie napi cie, przypadajijce na element r
pola dF, polozony w odleglosci u od osi oboj tnej VV, r6wne
E E... d F. Rys. 112
P
Dia obliczenia momentu Mu trzeba kaz e napi èie elementarne pomnozyé przez odpowiada-
jqce rami V i nast pnie otrzymane iloczyny zesumowaé- 1\ zatem:
Mu=-Ê- \ uv dF = -Ê-Iuv.
p '" p
Oloz ta wielkosé nie staje si zerem, poniewaz osie U i V nie Si.!, wedIug zalo:ienia, gl6wnemi
osiami bezwladnosci przekroju poprzecznego (ob. 9 50). Nasze przypuszczenie, ze os oboj tna jest
prostopadlij do plaszczyzny dzialania sil, nie odpowiada przeto rzeczywistosci.
Oznaczmy przez 0:. kijt, jaki tworzy os oboj tna n n z osi Y (rys. 113), a przez ev kijt mi -
dzy V V (plaszcz)"Znij pary zginajijcej) i osiij Z. Niechaj kierunek momentu zginajijcego b dzie
Z taki, ze po prawej stronie n n powstajij w przekroju cisnienia, a po lewej
1 ciqgnienia. Moment pary zginaj cej M, przedstawiony na rysunku wekto-
rem 0 k, prostopadlym do plaszczyzny U U, da si rozlozyé na skladowe:
Mx = Msincp; My = Mcoscp.
Te skladowe dzialajij w plaszczyznach X Y i X Z, kt6re Si.! g16wnemi
plaszczyznami zginanej belki; napr zenia wywolane przez My i Mx mozna
zatem obIiczyé wedlug formuly (64) poprzedniego paragrafu. Calkowite na-
pr zenie w jakimkolwiek punkcie przekroju znajdziemy, sumujqc napr ze"
nia, obliczone oddzielnie dIa My i Mr.. Przy tem sumowaniu trzeba oczy
wiscie uwzgl dnié i znak napr zenia. Z naszego zalozenia co do kierunku
momentu M wynika, ze My wywoluje ciqgnienia w 1 i Il éwiarlce przekroju, a cisnienia w III i IV
éwiartce. Moment zas M,. wywoluje w II i III éwiartce ciqgnienia, a w 1 i IV cisnienia. Calkowite
napr zenie w dowolnym punkcie M 0 spolrz dnych y i Z b dzie przeto rowne:
Myz _ M,.y = M ( zcosCP _ ysin'P ).
I y 1,. ly Ix
T 0 napr zenie jest linjowq funkcjij sp6lrz dnych punktu.
1) Uzywajq tez niezbyt szcz liwej nazwy: ,.moment oporu".
88
Jezeli w ka:idym punkcie przekroju przedstawié napr zenie wektorem, oczywiscÏe prosfopadlym
do plaszczyzny przekroju, to koiice tych wektor6w b'Jd q lezeé w jednej plaszczyznie. Linja prze-
ci'Jcia tej plaszczyzny z plaszczyznq przekroju poprzecznego b'Jdzie osi q oboj'Jtnq, albowiem w tej
linji Sq napr zenia r6wne zero. R6wnanie osi oboj'Jtnej otrzymamy, przyr6wnywujqc powyzsze
wyrélZenie dia napr'Jzen do zera, czyli:
Z cos cp _ y sin cp = 0 . (67)
ly ]z
Rqt nachylenia tej prostej wzgl'Jdem osi Y wyznaczy r6wnanie:
tg a. = = J 1y tgcp . «(8)
y z
Gdy w szczeg6lnosci
ly = lz,
t. j. gdy elipsa bezwladnoscÏ staje si'J kolem, a kazd q par OS] wzajemnie prostopadlych
uwélZaé za osi gl6wne, to
mozna
tg a. = tg cp,
czyli plaszczyzna zgi cia schodzi si'J z plaszczyznq zginajqcej pary.
Przy pomocy eIipsy bezwladnosci mozna znalezé latwq konstrukcj'J osi oboj'Jtnej. Niech b dzie
ly=Fry2; Iz=FT72;
przyczem Ty i Tz oznaczajq gl6wne promienie bezwladnoscÎ przekroju poprzecznego. R6w. (68) da
si'J teraz napisaé w postaci
tg a. = T y : tgcp . (68)'
Tz
Napiszmy jeszcze r6wnanie stycznej do eJipsy bezwladnosci w dowolnym punkcÏe Yo, Zo tej
elipsy, a mianowicie:
y Yo + Z Zn = 1
Tz2 Ty2 .
T angens kqta nachylenia tej stycznej do osi Y r6wna si'J
Yo Ty2
- - - ----"2'
Zo Tz
1ezeli punkt YoZo obierzemy w miejscu przeci'Jcia si'J prostej UU z eIipsq bezwladnosci, to
: = - tgcp,
a tango kqta nachylenia stycznej do elipsy w tym punkcie r6wna si'J
T 2
tg cp.
Tz
Por6wnawszy ten wynik z wyrélZeniem dla tg a w formule (68)', widzimy, ze os oboj'Jtna jest
r6wnolegla do stycznej, poprowadzonej w punkcie przeci'Jcia si plaszczyzny pary zginajqcej z elipsq
bezwIadnoscÎ przekroju. Mozemy to wyrazié jeszcze w spos6b nast pujqcy:
Rierunek plaszczyzny pary zginajqcej i kierunek odpowiadajqcej osi obo-
j tnej Sq kierunkami sprz zonemi wzgl dem centralnej elipsy bezwIadnoscÏ
przekroju.
T 0 twierdzenie, znalezione jednoczesnie przez B r e s s e' a ide Sa i n t - V e n a n t'a, pozwala
wyznaczyé wykreslnie kierunek osi oboj'Jtnej z wielk q Iatwosci q . Z rys. (113) widaé dobrze, ze
im wi'Jksza r6znica obu promieni bezwladnosci, tem bardziej zbliza si plaszczyzna zgiçcÎa do
plaszczyzny najmniejszej sztywnosci belki. Co si'J tyczy najwi'Jkszych napr'Jzen rozcÎ q -
gajqcych i sciskajqcyCh, to oczywiscÎe zajd q one w punktach najbardziej oddalonych od osi oboj 'Jtnej.
[Przy nieco zawilszej postaci przekroju najdogodniej znalezé te punkty drogq wykreg)nq_ DIa przekroju prostok'l'
tnego np. let/! punkty najwi kszych naprç:te6 zawsze w wierzcholkach prostokqta].
Wielkosé napr zen wyznaczamy, sumujqc napr'Jzenia wywolane kazdym z moment6w skIa-
dowych My i M z zosobna.
89
58. ZGINRNIE BELRI SIt.1\MI PROSTOP1\OLEMI DO OSI
Zatrzymamy si teraz na przypadku najcz sciej spotykanym, w kt6rym si!y zginaji!ce 1ezi!
w jednej z gl6wnych pJaszczyzn beJki. Niechaj rys. (114) przedstawia uklad sil w r6wnowadze
p l' P 2"" P 5' dzialaj cych na belk JI B. PoprowadZmy dowolny prze- c:1.
kr6j poprzeczny ab i rozpatrzmy warunki rôwnowagi jednej cz ci
belki, np. prawej. 1\zeby zachowaé jej r6wnowagç, trzeba na przekr6j ab
dzialaé napi ciami, zast puj cemi wplyw odrzuconej cz sci na cz sé
rozpatrywanij. T e napi cia tworzq oczywiscÏe uklad r6wnowazny ukla-
dowi si! zewn trznych P l' P 2 i P g, dzialajijcych na odrzuconq lewq
cz sé belki. Mozna je sprowadzié do jednej sily pionowej Q dziala-
jijcej w srodku przekroju ab i do pary silo momencie M. Sila Q jest wedlug prawidcl statyki
r6wna sumie algebraicznej sil danych, 1. j.
Q=P1- P 2- P g,
a moment pary r6wna si sumie algebraicznej moment6w sil dzialajqcych na cz sé odci ti! wzgl -
dem srodka przekroju, czyli M - P 1 _ P 1 _ P 1
- 1 1 2 2 g g'
Za dodatni kierunek sily b dziemy przytem uwazaé taki, przy kt6rym sila dqzy do przesu-
ni'Jcia lewej cZ'Jsci belki z dolu do g6ry. Rierunek moment6w zas przyjmiemy jako dodatni, jezeli
dqzy do obrotu lewej cz sci belki w kierunku wskaz6wki zegara. Sil'J Q nazywamy sH q poprze-
czni! albo seinajqcq, wielkosé M zas momentem zginajqcym. [1\ zatem: SHa poprze-
czna Q, dzialajqca w pewnym przekroju belki jest geometrycznie r6wna wy-
padkowej wszystkich sil zewn trznych, dzialahcych na leWij cz st: belki
odci tij danym przekrojem. Moment zginajijcy M w danym przekroju belki jest
sumij algebraicznij moment6w wszystkich sB zewn trznych, dzialaji!cych na
1 e Wij cz s é b.elki 0 dei tij owym przekro j em, wzgl 'Jdem srodka te go przekroj u].
Gdybysmy zredukowali w ten sam spos6b sily dzialajijce na prawq cz sé belki, to otrzyma-
libysmy widocznie sil'J Q' i par M', tej samej wielkosci co Q i M, ale przeciwnego kierunku,
gdyz wszystkie sily dzialajqce na prawi! i lewij cZ'Jsé muszi.! czynié zadosé warunkom r6wnowagi,
czyli Q + Q' = 0 i M +M' = O. CZ'Jsto okaze si'J dogodniejszem obliczenie dIa cz sci prawej nii
dIa lewej, azeby wi c cie popasé w sprzecznosé, trzeba przy obliczeniu dIa prawej cz sci trzymaé
si odwrotnej umowy co do znak6w. .
SiJ:y wewn'Jtrzne w rozpatrywanym przekroju b di! okreslaé napr'Jzenia w elementach jego
pola. Te sily wewn'Jtrzne i odpowiadajqce im napr'Jzenia rozkladamy, jak zwykle, na styczne i nor-
malne. W szystkie sily wewn trzne muszi! byé w r6wnowadze z silami zewn trznemi, dzialaji.!cemi
na cz sé odci'Jt q , z czego wynika, ze sila poprzeczna Q r6wnowaZY si'J z samemi stycznemi silami
wewn'Jtrznemi, a normaJne sily wewn trzne r6wnowazq zosobna moment zginajqcy M. WyraZamy to
kr6cej slowami: Sila poprzeczna wywoluje napr'Jzenia scinajqce, a moment zginajqcy wywoluje napr -
zenia normalne w rozpatrywanym przekroju. Te ostatnie znajdziemy zatem tak samo, jak w przypadku
czystego zgi cia momentem M. Pozostaje jeszcze zaj é si wyznaczeniem napr ien scinajqcych.
Do tego dostarcza statyka tylko jedno r6wnanie, kt6re powiada: Suma algebraiczna rzut6w napi é
we wszystkich elementach przekroju na os pionowq r6wna si sile poprzecznej Q. Prawo rozkladu
napr zen scinajqcych b'Jdzie mozna znalezé na podstawie pewnych przypuszczeii. Poswi cimy temu
nast pny paragraf, a tutaj wyprowadzimy jeszcze pewien zwiqzek mi dzy M a Q, kt6ry gra waZnq
rol przy obliczaniu belek.
Przesunmy przekr6j ab (rys. 114) w kierunku X 0 element dlugosci belki dx. Jezeli nad
przekrojem nie bylo sUy skupionej, to takie przesuni cie nie wywol:a zmiany sily poprzecznej Q,
natomiast moment M przyrosnie 0 wielkosé dM, okreSlonq widocznie r6wnaniem:
dM = P 1 dx-P 2 dx - Pgdx= Qd.x,
dM _ Q
dx -
czyli pochodna momentu zginajqcego wzgl'Jdem x [1. j. zmiana momentu w pewnem
miejscu belki, odniesiona do jednostki dlugosci] r 6 w na s i sile pop r z e c zn e j Q.
x
c;
Rys. 114
z kt6rego wynika
. (69)
90
59. N1\PRF;ZENIE SCINl\Jl1CE PRZY ZGINRNIU
l\zeby otrzymaé prawo rozldadu napr zen scinaji!cych, zwr6cimy si do rozpatrzenia odpo.
wiadaji!cych odksztalcen. Wiemy, ze napr zenia styczne, dzialaji!ce na sciany elementu prostopadlo.
sciennego, wywoluji.! jego odksztalcenie postaciowe. W skutek odksztalcen tego rodzaju, wl6kna m n
i p q zginanej beIki (rys. 115), pierwotnie normalne do plaszczyzn przekrojôw
poprzecznych ab i cd, tworzij po zgi ciu z odpowiadajqcemi plaszczyznami
'przekrojôw poprzecznych kqty ukosne. Element m n p q przybiera postaé
m t n 1 Ptq1" PoniewaZ zmiana kijt6w jest w r6znych punktach przekroju
rôzna, wi c musi jej towarzyszyé zakrzywienie przekroju. Unje al b t i CI dl
przedstawiajq na rys. (115) przyblizonq postaé tych zakrzywionych prze-
kroj6w. Najwi ksze odksztalcenie postaciowe element6w zachodzi tutaj w war-
stwie oboj tnej. Na g6rnej i dolnej scianie belki w punktach al CI i b t d 1
nie uIegajq kqty proste eleme t6w zadnej zmianie. Opisane zjawisko latwo zaobserwowaé zginaji!c
pr ty z kauczuku. W tym celu trzeba tylko bocznij scian pr ta pokryé sieci q malych kwadrat6w.
DIa takich materja16w, jak zelazo kowalne i stal, Si.! zakrzywienia przekroj6w bardzo male
i nie zwracano na nie dlugo zadnej uwagi; przyjmowano poprostu, ze we wszystkich przypadkach
zginania pozostajq przekroje plaskiemi, jak przy "czystem zgi ciu". Dopiero przez. zbadanie zakrzy-
wienia przekrojôw poprzecznych udalo si S. Venant'owi ustalié prawo rozkladu napr zen stycznych.
Pokazalo si , ze zakrzywienia przekroj6w nie wplywajij na wielkosci wyclluzen i skrôcen podluznych
wl6kien belki. Element y m n i p q, otrzymujijce wydluzenia przy obrocie przekroju a b wzgl dem cd,
nie zmieniajij swej dlugosci przy zakrzywieniu przekroj6w poprzecznych, lecz zajmujij tylko nowe
polozenia ml nt i Pl q l' Z tego powodu ciqgnienia i cisnienia, uwarunkowane obrotem przekro-
j6w ab i cd, a zalezne od wielkosci momentu zginajijcego, nie zmieniij. si przy zakrzywieniu
przekroj6w, zaleznem od wielkosci napi é stycznych, a wi c i od sily poprzecznej.
Przy elernentamem wyprowadzeniu prawa rozkladu napr zen stycznych przyjmiemy, ze prze-
kr6j poprzeczny jest prostoki!tem. W dalszym ciijgu b dzie mozna wyw6d uog6lnié i dIa innych
postaci przekroju. Niechaj ab (rys. 116) przedstawia przekr6j poprzeczny belki. Odrzucamy lewq
cz sé belki, a jej dzialanie na cz sé prawij zast pujemy silami spr zystosci. Napr zenia normalne
(ciijgnienia i cisnienia) Sij r6wnowazne momentowi zgi- d.r-
najqcemu M, zas napr zenia styczne muszq byé r6wno. -= n_n;('
aZne J sile poprzecznej. Q, obec cz go. przyjmiemy !e ( - ; 1; t z
Jako rownolegle do OSI Z-ow. PrzYJmlemy nadto, ze I Tf
wielkosé napr zenia stycznego w jakimkolwiek punkcie r 1
poprzecznego przekroju zalezy ty]ko od odleglosci tego - , 1
punktu od osi oboj tnej 0 Y. W takim razie napr zenia . t 1
styczne we wszystkich elementach, lezqcych na jakiej- b i fi d
kolwiek prostej P Pl r6wnoleglej do 0 Y, b di! wielkosci q
stalq, a zatem b dzie stalq i zmiana k q t6w u tychze
element6w, czyli przekr6j poprzeczny zakrzywi si pocllug powierzchni walcowej. Tworzqce tej
powierzchni b dq r6wnolegle do osi Y-6w. Powyzsze przypuszczenia co do kierunku i rozkladu
napr zen stycznych Sq, jak wykazuje doldadne rozwiqzanie tegoz zadania w teorji spr zystosci,
bardzo bliskië rzeczywistosci. W przypadku kwadratowego przekroju poprzecznego nie przekraczajq
zboczenia 6%., w przypadku przekroju prostokqtnego 0 stosunku wysokosci do po-dstawy r6wnym 2,
nie przekracza blqd 2%. Przy w zszych prostokijtach jest blqd jeszcze mniejszy. Zauwazymy, ze
wyznaczenie napr zen stycznych ma najwi ksze praktyczne znaczenie wlasnie dIa wijskich prze-
kroj6w poprzecznych.
WykaZemy teraz, ze napr zenia styczne w plaszczyznie przekroju poprzecznego warunkujq
pojawienie si naprçzen stycznych i w plaszczyznach r6wnole lych do warstwy oboj tnej. W tym
celu pomi dzy dwoma bliskiemi przekrojami ab i cd (rys. 116) wydzielimy przez calij szerokosé
belki elementamy prostopadloscian m n P q 0 scianach m n i p q r6wnoleglych do warstwy oboj tnej.
Wezmiemy pod uwag naprçzenia styczne, dzialajijce na sciany wydzielonego elementu. Na
scian mp dziala napr zenie styczne Pt, skierowane w g6r , kt6re zast puje dzialanie lewej odciçtej
C,C
Rys. I!S
q
z
tl,
y
b
b,
Rys, 116
91
cz sci belli na praWq, napr zenie styczne zas na scianie n q b dzie mieé kierunek wprost prze-
ciwny, poniewaz ono przedstawia dzialanie prawej cz sci belki na lew(!. Wielkosé tego napr zenia
r6zni si bardzo malo od napr zenia na scianie m p, gdyz przekroje ab i cd obrano bardzo blisko
siebie. Przy zblizaniu tych przekroj6w mUSZq napr zenia na scianach m pin q zdélZaé w granicy
oczywiscie do dzialania i r6wnego mu przeciwdzialania. Napi cia styczne na scianach m pin q
sprowadzajq si do pary sil (0 momencie]:
b . PI . dx . dz.
Tutaj oznaczylismy przez b wymiar wydzielonego prostopadloscianu w kierunku osi Y, l j.
szerokosé belki. Iizeby wydzielony element byl w r6wnowadze, musimy przyj(!é, ze na scia-
nach m n i P q, r6wnoleglych do warstwy oboj brej, takze dzialaj(! napr zenia styczne, r6wnolegle
do osi X-6w. Jeze1i P'I jest wielkosci q tych napr ze1Î., to ich momentem b dzie:
b . p' 1 . d x . d z.
Warunek r6wnowagi wydzielonego elementu daje:
b Ptdxdz = b p( dxdz, ski!d PI = p't,
czyli: napr zenie styczne w jakimkolwiek elemencie poprzecznego przekroju r6wna si napr zeniu
stycznemu w plaskim elemencie, przesuni tym przez tenze sam punkt r6wnolegle do warstwy obo-
j tnej. 0 istnieniu napr zeii stycznych w plaskich elementach, r6wnoleglych do warslwy oboj tnej,
mozna si przekonaé drogq doswiadczalnq. Jezeli dwa jednakowe pr ty 0 przekroju prostokqtnym
zlozymy i zginamy sil q dzialajqcq w srodku ich rozpi tosci, to przy zakrzywieniu odksztalca si
kaZdy pr t samoistnie; dolne wlôkna kazdego pr ta rozcii!gajq si , g6rne sciskajq, a koncowe prze-
kroje, lezqce pi rwotnie w jednej plaszczyznie, obracajq si (i przesuwaji!
wzgl dem siebie),jak pokazano na rys. (117). W powierzchni przylegania r; ------------(--------
scian m n i ml nt obu pr t6w, zachodzi przytem oczywiscie slizganie.
1\zeby temu Slizganiu przeszkodzié i zmusié pr ty do dzialania jako
calosé, mUSZq w powierzchni przylegania dzialaé napi cia styczne
o kierunkach wskazanych na rysunku. W praktyce osiqgamy tego
rodzaju wzajemne polqczenie dwu belek (drewnianych) przy pomocy
k1in6w lub klock6w, przedstawionych na rys. (118). Przy zgi ciu Sq belü
narazone nadzialanie sil scinajqcych. (Narys. (118), fig. (b) przed-
stawiono sily Q, dzialajqce na klocek C i di!z(!ce do sci cia kIocka
w plaszczyznie p qI. Po tych przygotowawczych uwagach mozna
bez szczeg6lnych trudnosci znalesé prawo rozldadu napr zeii
stycznych w plaszczyznie przekroju poprzecznego.
Niechaj M oznacza wielkosé momentu zginaji!cego w do-
wolnie obranym przekroju ae belki przedstawionej na rys. (119).
Szukajmy napr zeii stycznych dIa punkt6w przekroju poprze-
cznego, lezqcych w odleglosci Z od warstwy oboj tnej, czy1i
na prostej p q" r6wnoleg1ej do osi oboj tnej przekroju. Te na-
pr zenia b dq co do wielkosci r6wne napr zeniom stycznym
w plaszczyznie cCt> r6wnoleglej do warstwy oboj tnej i prze-
chodzqcej przez prost q p q. 1\zeby znalesé ich wartosé, roz-
patrzymy warunek r6wnowagi elementu aa t cc t , ograniczonego
dwoma nieskonczenie b1iskiemi przekrojami poprzecznemi a e
i ill eu plaszczyznq cC t i zewn trznq powierzchni q belki. Je-
zeli na t q powierzchni pomi dzy przekrojami al el i ae nie
dzialajq zadne sily zewn trzne, to wypadnie nam rozpatrzyé tylko napi cia, dzialaji!ce na
sciany ac, a 1 c t i cC I wydzielonego elementu. Na sciany a C i a t C t b é! dzialaé, obok napr zen nor-
malnych, zaleznych od wielkosci niomentu zginajqcego M, takze i napr zenia styczne. Na scian
cC t dzialajq tylko napr zenia styczne Ph kt6rych wielkoscÏ szukamy. Zestawmy rzuty na os X-6w
wszystk.ich sil, dzialajqcych na element a al CCt" Napi cia styczne w p1aszczyznie cC I jako r6wno-
legle do osi X-6w, dadz q przy rzutowaniu sil :
b. dx . Ph
Rys. 117
H "¥
t.fb fig.a..82t
fis.o.
Rys.118
Rys. 119
92
jezeli b jest szerokosci q przekroju poprzecznego beIki. Napi cia styczne na scianach ac i dl C l
dadz q przy rzutowaniu zero, poniewaz zakrzywienie przekroj6w przy zgi ciu jest bardzo male, wobec
czego mozna kierunek tych napi é uwazaé za prostopadly do osi X-6w. Co si tyczy napr zen
normalnych na tychze scianach, to prawo ich rozkladu jest nam znane. W jakimkolwiek punkcie
przekroju al', Iezqcym w odIeglosd Zt od osi oboj tnej, mamy:
MZ 1
PZl = --r-'
y
Znak minus napisaIismy dlatego, poniewaz przy obranym na rysunku kierunku osi Z-6w odpo-
wiada dodatnim wartosciom M i Z 1 cisnienie pz 1. J ezeli ze sciany a e wydzielimy pasek 0 szero-
koscÏ dz]> to przypadajijce nan normalne sily wewn trzne dajq wypadkowq 0 wielkosci
MZ l bd
T zp
Rzutujqc na os X-6w napi cia normalne, dzialajqce na scian ae, otrzymamy sil :
b
,2 Zl bdz p
ly d
W tenze sam spos6b znajdziemy rzut na os X-6w napi é normaInych na scianie al CI' Jezeli
wielkosé momentu zginajqcego w przekroju dl e p nieskonczenie bliskim ae, oznaczymy przez
M + dM, to sumq rzut6w odpowiadajqcych napi é normalnych b dzie:
h
_ M+dM f2Zlbdzl'
ly \
Na podstawie .tych wynik6w napiszemy jako warunek r6wnowagi eIementu aea 1 CI:
h h
M+dM("i M 2
- - 1 , Z t b d Z 1 + T Z 1 b d Z 1 + b Pt d X = o.
y . z Y 't Z
z czego:
h
dM Zt bdz 1 QSz
Pt = d x ly b = ly. b
T utaj zuzytkowalismy formul (69), a. opr6cz tego oznaczylismy dia. uproszczenia literq Sz wiel-
h
kosé Zl bdz p przedstawiajqcq moment statyczny cz sci przekroju powyzej pq, wzgl dem osi
oboj tnej. DIa prostokqta jest b ( h )
Sz = 2" ,-i - Z2 ,
Wstawiwszy t wartosé w (10) znajdziemy, ze wieIkosé napr zen stycznych w plaszczyznie prze-
kroju zmienia si wedlug prawa parabolicznego:
Pt = (hl _ Z2) = ( _ Z2)
ly b 2 4 21 y 4
Najwi kszq wartosé osiqgajq te napr zenia w warstwie oboj tnej, t. j. dIa Z = 0,
a mianowicie:
. (70)
[Â
. (a)
Qht. Qht. 3 Q
(pt)max = 81 y = -l'E b [£ 8 = TF
przyczem3F = b h oznacza pole prostokqtnego przekroju poprzecznego.
Z formuly (11) wnosimy, ze najwi ksze napr zenie styczne przekracza
1 i--krotnie jego sredni q wartosé, W elementach przekroju najbardziej oddalonych
od osi oboj tnej, zyli przy
Rys.12O Z = :t: - jest Pt = O.
Gdy wykreslimy pionowy odcinek JI B = h, t. j. wysokosci belki (rys, 120) i w kazdym jego punkcie
wystawimy poziome odcinki, r6wne odpowiadajqcym wartosciom Ph to oczywiscie otrzymamy para-
/Jo
, (71)
k
93
bol . Jej osii} syrnetrji b dzie 0 X. Pole tej paraboli, pomnozone przez szerokosé belki h, okresli
wypadkowq wszystkich napi é stycznych. Ta wypadkowa musi si rownaé sile poprzecznej Q, co
latwo sprawdzié. W samej rzeczy pole naszej paraboli rôwna si :
Qh 2 2 U,
--sr'3 h ="b'
y
a mnozqc t wielkosé przez b, otrzymujemy Q.
9 60. ROZRLRD NRPREIEN: SCINRJl\CYCH W PRZERROJU ROLOWYM.
W przypadku kolowego przekroju poprzecznego nie mozna zadnq miarq uzasadnié przyj cia,
ze napr zenia styczne majq kierunek osi 0 Z, lezqcej w plaszczyznie dzialania sB zginajqcych. Jezeli
wezmiemy prost q pq (rys. 121), odleglq 0 Z od osi oboj tnej, to w rôznych punktach tej prostej
b dzie nachylenie napr zeii stycznych wzgl dem osi 0 Z roz
maite. Rtoli z warunku symetrji mozna wywnioskowaé, ze kie
runek napr zenia stycznego w punkcie c schodzi si z kierun
kiem 0 Z. W punktach zas p i q mUSZq napr zenia styczne
mieé kierunek stycznych p r i q r do obwodu przekroju. Nie--
chaj bowiem m n q s (fig. b) przedstawia prostokqtny element
pola przekroju poprzecznego, obrany przy konturze JI B. Wy
dzielmy z belki prostopadloscienny element 0 podstawie m n q s
i scianie bocznej m n, naIezqcej do zewn trznej powierzchni
belki. Gdyby napr zenie styczne w elemencie przekroju m n q s
mialo kierunek 0 D, r6zny od kierunku mn stycznego do kon
turu przekroju, to moznaby je rozlozyé na skladowe: OE, rôwnÜ""
legle do mn i OF prostopadle do mn. Rozwazajqc rôwnowag Rys.121
elementarnego prostopadloscianu, przekonalismy si juz nie
jednokrotnie (ob str. 91), ze istnienie napr zenia stycznego pt na pewnej scianie tego prostopadlo
scianu pociqga za sob q istnienie napr zeii stycznych tejze samej wielkosci i na scianach prosto
padlych do Pt. W naszym przypadku zatem widzimy, ze istnienie napr zenia 0 F wymaga istnienia
t iegoz napr zenia na scianie m n, Iezqcej na powierzchni belki. Jezeli ta powierzchnia Uak to
najcz sciej bywa] jest wolna od sil zewn trznych, to 0 F musi si rôwnaé zeru i, co zatem idzie,
napr zenia styczne w punktach Iezqcych na konturze przekroju mUSZq mieé kierunek stycznych
do kO!1turu. W ten sposôb ustalilismy kierunek napr zenia stycznego w punktach p, q i c. Poniewaz
te trzy kierunki schodz q si w jednym punkcie, przeto przyjmuje si , ie kierunki napr zeii w innych
punktach prostej p q przechodz q rôwniez przez ten punkt r. DIa wyznaczenia wielkosci napr zeii
wypadnie uczynié jeszcze jedno przyj cie, podobne jak w przypadku przekroju prostokqtnego,
a mianowicie, ze pionowe skladowe napr zeii stycznych we wszystkich punktach prostej p q majq
wielkosé stalq, zaleznq tylko od odleglosci z. Na podstawie powyzszych dwu zalozeii mozemy teraz bez
trudnosci znaIezé wieIkosé pionowej skladowej napr zenia, idqc t q sami} drogq, co w przypadku
przekroju prostokqtnego. Wyprowadzone tam r6wnanie rôwnowagi pozostaje w moey; podobniez
zachowa SWq waznosé i formula (70) dIa wielkosci napr zeii, tylko b dzie okreSlaé nie wielkosé
calego napr zenia, Iecz wielkosé jego skladowej pionowej. Skladowq poziomq, a zatem i calkowit q
wiçlkosé napr zenia stycznego latwo juz wtedy znalezé, poniewaz kierunek napr zenia jest znany.
Rzeby wykazaé 0 ile powyzsze upraszczajqce zalozenia Sq zblizone do prawdy, zauwazymy, ze
wartosé najwi kszych napr zeii stycznych, obIiczona na podstawie tyeh zalozeii dIa przekroju kolo
wego, rôzni si od wynikôw scislego rozwiqzania teorji spr zystosci 0 5 % . Tak q dokladnosé mozna
uwazaé za wystarczaji!cq do praktycznych celôw.
Obliczmy wielkosé napr zeii stycznych w punktach prostej pq (rys. 122). Pionowq skladowq
napr zeii b dzie, na podstawie formuly (70):
QSz
ly (p q)
. (70)'
94
Tutaj podstawilismy dlugosé odcinka pq zamiast szerokosci belki b; Sz oznacza moment sta-
tyczny cz sci przekroju, lezqcej powyzej p q, wzgl dem osi oboj tnej. Dia obliczenia Sz rozlozymy
odpowiadajqcq cz sé przekroju na elementy prostemi r6wnoleglemi do p q; nie ch b dzie m n jednym
z elementarnych pask6w. Dia wygody rachunku obierzemy kqt a za zmiennq niezaleznq; wtedy dlu-
gosé paska m n r6wna si 2 r sin a, szerokosé paska - d (r cos a) = r sin a d et,
odleglosé paska od osi 0 Y r6wna si r cos a, a zatem:
Sz = 2rsina. rsinada. rcosa = 2r s Siniad(Sina) = 2 S sinscp.
Wstawiwszy to w wyrazenie (70)' i zwai:ywszy, ze
p q = 2 r sin cp,
znajdziemy dia pionowej skladowej napr zenia stycznego wielkosé:
Qrisinicp _ Qrll(1-cosicp) _ Q(ri-z i )
3I y 3/ y - 3I y
Pozioma skladowa napr zenia stycznego b dzie mieé r6znq wartosé w rôznych punktach prostej p q;
najwi kszq osiqgnie widocznie w p i q (rys. 121), a mianowicie [na podstawie formuly (72)]:
Q r 2 sin i cp
31 ctgcp.
y
Wielkosci q calkowitego napr zenia stycznego w punktach p i q b dzie przeto:
Q 2'2 Q i'
r sm cp Vt + t 2 = r smcp .
31 cg cp 31
y y
12
Rys. 122
. (72)
Najwi ksZq wartosé osiqgajq napr zenia styczne na osi oboj tnej 0 Y, t. j. dIa cp = ' a mia-
nowicie :
Qr i Qr ll 4 Q
(P)max=3r= 3 - 3E"
y -1I:r 4
4
Tutaj oznacza F pole przekroju poprzecznego. Otrzymana formula poucza, :le najwi ksza war-
tosé napr zenia stycznego rowna si - : jego wartosci sredniej.
. (73)
61. ROZKLl\D NI\PREZEN: SCIN1\Jl\CYCH W PRZERROJU DWUTEOWYM
Belkom zelaznym nadaje si cz sto przekr6j dwuteowy, przedstawiony na fYs. (123), [zwany
takze przekrojem II. Zalety takiego przekroju wykazemy ponizej. Przy obliczeniu napr zeii stycznych
uzywa si tych samych zalozeii, co w przypadku przekroj.u prosto-
kqtnego, czyli przyjmuje si , ze te napr zenia Sq r6wnolegle do osi Z
i :le one Sq r6wne dIa wszystkich punktôw, rôwnoodleglych od osi ¥.
Wieikosé napr zen okresli zatem formula:
_ QSz
Pt = Iy. (szerokosé przekroju)
Przy obliczeniu napr zenia w jakimkoIwiek punkcie wqskiej cz sci
przekroju (scianka beIki) trzeba wziqé szerokosé b 1 , a dia rozszerzonej
cz sci przekroju (stopka belki) szerokosé b.
Zauwazymy, ze powyzsza formula daje bardzo dokladne wyniki
dIa punktôw oddalonych od stopek, natomiast w miejscach polqczenia Rys. 123
stopek ze sciank q jest zupelnie niezadowalajqcq. Obliczajqc bowiem napr zenia dIa punkt6w
prostej al b 1 (rys. 123), Iezqcej nieco powyzej miejsca polqczenia, wypada braé w rachunek szero-
kosé stopki b, zas dIa punkt6w prostej cd, Iezqcej nieco ponizej miejsca polqczenia, trzeba podstawié
d]a szerokosci przekroju wartosé b 1 ; nasza formula prowadzi tedy do naglej zmiany wielkosci napr -
zenia w rozpatrywanem miejscu polqczenia. W rzeczywistosci zmieniajq si napr zenia w spos6b
ciqgly, a prawo ich rozkladu w owem miejscu r6zni si znacznie od tego, ktôre wyraza formula.
6-
fis. 0
95
Jezeli prawo rozkladu napr zeii stycznych na wysokosci przekroju przedstawimy wykreslnie,
jak to uczynilismy dia przekroju prostokqtnego, to otrzymamy fig. (b) (rys. 123). Prawo zmiennosci
napr zeii stycznych w stopkach wypada takiez samo, jak prostokqta, a mianowicie [formula (a)]:
Pt = 2 ( - ZI) .
Y
Odpowiadajqcq temu r6wnaniu paraboI wykropkowano na fig. (b) w srodkowej cz sci. DIa
punkt6w scianki okresli wielkosé napr zen stycznych formula:
Pt= QS% = [ bh2 _ bh 1 2 ( l- )-bl ZI ] ,
b lly b 1ly 8 8. b 2
kt6ra przedstawia rôwniei: paraboliczne prawo rozkladu napr zen na wysokosci przekroju. Naj"
wi ksze i najmniejsze napr zenie styczne w sciance belki otrzymamy, podstawiajqc odpowiednio:
z = 0 1 Z = :1: 1 .
Wtedy:
Q b h' h 1 b
(pt)max= 8b 1 [1-{-t) (1--t)}
1 Y
Q b h 2 ( h 2 )
(pt)min = 8b J 1 - h12 .
1 Y
Gdy b l jest male w por6wnaniu do b, to wielkosci pmax i Pmin r6zni q si od siebie niewiele.
Zauwai:ymy jeszcze jednq okolicznosé, majqcq praktyczne znaczenie. Jak widaé z rys. (123) i z for"
mul dia napr i:en stycznych, przenosi si na stopki belki tyIko nieznaczna cz sé sily scinajqcej Q,
a przewai:na jej cz sé przypada na sciank belki. W ziqwszy np.:
b = 12cm, b l = 1,2cm, h = 30 cm, hl = 26 cm, ly= 11200cm\
znajdziemy dIa scianki
(Pt)min = 0,0250 Q.
(pt)max = 0,0326 Q,
Na samq sciank przenosi si 0,94 QI).
9 62. 0 NRPREZENIRCH GLOWNYCH W ZGINRNEJ BELCE
Poslugujqc si formulami poprzednich paragrafôw, mozemy znalezé wielkosé napr i:en normalnych
i scinajqcych w plaszczyznie dowolnego przekroju poprzecznego zginanej belki. W praktycznych
obliczeniach poprzestaje si zwykle na tem; z wielkosci znalezionych tym sposobem napr zen
wyrokuje si 0 wytrzymalosci obliczanej belki. [Jest to najcz sciej dopuszczalne dziçki tej okoli"
cznosci, i:e w miejscach najwi kszych napr zen normalnych niema z reguly naprçzen scinajqcych
i nawzajem, tam, gdzie napr i:enia scinajqce osiqgajq najwi ks.zq warlosé, niema napr zen nor"
malnych, albo tez te napr zenia grajq podrz dnq rol ]. Sq jednakze przypadki, gdzie taki rachunek
nie wystarcza i trzeba dokladnie okreslié miejsce niebezpieczne i panujqcy w niem stan napi cia.
Rozpatrzmy stan napi cia w dowolnym punkcie A przekroju belki (rys. 124). Tutaj Z
znamy napr zenia w elemencie JI m przekroju poprzecznego i w elemencie If n
poziomego przekroju. Jei:eli przez ten punkt poprowadzimy przekroje elemen"
tame nachylone do poprzednich i prostopadle do plaszczyzny ZX, to napr "
zenia w tych przekrojach b dq zalezne od ich kierunku. Niechaj P q b dzie
jednym z tych przekroj6w. Zamiast szukaé napr zen w tym przekroju,
mozemy pr-zejsé do nieskonczenie bliskiego przekroju r6wnolegiego mn. Na"
pr zenia w p q i m n b dq si widocznie rôznié od siebie nieskonczenie mato,
gdyz napr zenia zmieniajq si wog6le od punktu do punktu w sposôb ciqgly.
Napr zenia w plaskim elemencie m n mozna latwo znalezé z warunk6w rôwnowagi tr6jgraniastego
elementu 0 podstawie Amn. Dlugosé kraw dzi tego elementu, prostopadlych do plaszczyzny rys u
x
Rys. 124
1) [Dokladniejsze rozwi'lzania dia niekl6rych praktycznie watnych przekroj6w znajdzie czytelnik w pracy Dr. Z.
Fuchs'a p. t. "Zur Berechnung der Schubspannungen in gebogenen Stiiben". Z. d. V. d. Ing., r. 1914, str. 1330].
96
prZYJmlemy r6wnq 1. Niechaj JImn (rys. 125) przedstawia nasz element w wi kszej skaU. Na
scian pionowq dziala napr zenie normalne pn i styczne Pt, zas na scian poziomq tylko napr
zenie styczne Pt. Nieznane napr zenia na scianie m n oznaczymy
przez p'n (normalne) i p't (styczne). Co si tyczy znak6w algebrai
cznych napr zeii, to um6wimy si uwazaé kierunki obrane na ry-
sunku za dodatnie. Niechaj F oznacza pole sciany m n, nachylonej
do sciany poziomej fi n pod kqtem a. Wtedy pola scian JI m i JI n
b dq odpowiednio r6wne Fsina i Fcosa. WielkoscÏ napi é, przy-
f} padajqcych na kazd q ze scÏan elementu, otrzymamy, mnozqc napr
zenia przez odpowiadajqce pola.
Mamy tutaj do czynienia z plaskim ukladem sil, a wi c z trzema
Rys.125 analitycznemi warunkami r6wnowagi: dwa warunki rzut6w i jeden
warunek moment6w. Do znalezienia dwu niewiadomych p'n i p't wystarczq dwa r6wnania, wobec
czego napiszemy tylko obadwa warunki rzut6w. Jako kierunki osi rzut6w obierzemy przytem kie-
runki niewiadomych napr zeii p'n i p' t, gdyz wtedy kazde z otrzymanych r6wnaii b dzie zawieraé
tylko jednq niewiadomq. RzutujqC na kierunek p'n mamy:
p'n F + Pt F cos a sin a + Pt F sin a cos a - pn F sin' a = 0,
zas rzutowanie na kierunek p't daje:
p' t F + Pt F cos 2 a - Pt F sin 2 a - pn F sin a cos a = 0,
z czego otrzymujemy:
p'n = PnSinla - Pt sin2a = (l-cos2a)-pt Sin2a, }
1 sin2a
p t = pn 2 - Pt cos 2 a.
Znalezione r6wnania okreSlajq zaleznosé napr zeii p'n i p't od kqta a. Szukajmy ich wartosci
kraiicowych w znany analityczny spos6b. DIa p'n mamy warunek:
dp'n . 2 2 2
da = pn sm a - Pt cos a,
m
--ii
I! 1
:
1
A
Il
. (74)
skqd
2pt
tg2a= -
pn
To r6wnanie daje w obr bie 360° dwie wartosci dIa a, r6zni q ce si od siebie 0 90°, gdyz
tg 2 a = tg (2 a + 180°) = tg 2 (a + 90°). Jednej z nich odpowiadaé b dzie widocznie maximum, a dru-
giej minimum, poniewaz druga pochodna:
dl 1
d ,n - 2pncos2a+4ptsin2a
zmienia sw6j znak przy zmianie na a + 90°. przy pomocy r6w. (75) otrzymujemy:
sin2a= :1: y tg2a =:1: Pt , l
1 + tg' 2 a J pn 1 + 4 Pt:/
cos 2 a = :1: Y .1 - :1: y- pn 1
1 + tg. 2 a Pn' + 4 Pt'
Obré,lwszy przy sin i cos najpierw znak -, a potem +, i wstawiwszy w pierwszq z formul (74),
otrzymamy nast puji!ce kraiic owe wartoscÏ nap r zeii normal nych:
1 _ PD ( 1 + Pn ) + 2 Pt' _ pn + 1 1 ,r------; 1
pmax- 2. YPnl+ 4Pt2 Jrpni+ 4pt' -2 2V pn 2 +4pt,
1 pn 1 v 1 2
pmin= 2-2 pn + 4Pt .
Napr zenia pmax i pmin nazywamy napr zeniami g16wnemi, a odpowiadajqce im kierunki,
okreSlone r6wnaniem (75), k i e r u n k ami g 16 w ne m i. Por6wnywujqc r6wnanie warunk we :n = 0
(75)
. (76)
. (77)
97
z wyrazeniem dIa p't (rôw.14), widzimy, ze gdy d:: n =0, to i p't= 0, czyli, ze w przekro-
jach gl6wnych (gdzie pn jest max. albo min.) niema napr zen scinajqcych. [Rozpatrzony
tutaj stan napi cia nie jest przeto og6lniejszym od tego, kt6rym siç zajmowalismy w 14). Wy-
cÏqwszy w rozpatrywanem miejscu belki plaszczyznami 0 kierunkach g16wnych element prosto-
padloscienny, otrzymamy przypadek jednoczesnego rozciqgania lub sciskania w dwu wzajemnie
prostopadlych kierunkach. Z tego mozna od razu wywnioskowaé, ze najwi ksze napr zenia scina-
jqce zachodz q w plaszczyznach nachylonych do kierunk6w g16wnych pod kqtem 45° (ob. 14).
W artogci q najwi kszych napr zeiÎ stycznych b dzie zas polowa r6znicy najwi kszego i najmniej-
szego z napq zeiÎ normalnych, czyli na podstawie f ormul (77) :
(Pt)max = V p n JI + 4pt Il . (78)
Ilzeby pokazaé, jak si wyznacza wielkosé i kierunek napr zeiÎ g16wnych, przerobimy przy-
klad liczbowy.
Pr t 0 przekroju prostokqtnym lOX20 cm ll , lewym koiÎcem utwierdzony, jest narazony na zgi-
nanie obciqzeniem P = 1000 kR swobodnego prawego koiÎca (rys. 126), Znajdziemy wielkosé i kie-
runek g16wnych napr zeiÎ w punkcie JI, oddalonym od warstwy obo-
j tnej 0 = 5 cm, a od sily Pol m. Napr i:enie normalne w ele- %
mencie JI m ma wartosé:
M z 1000 . 100. 5 . 12
pn = 1 = -10.20. 75 kg/cm 2 .
Napr zenia styczne w elementach 11 m i 11 n wyznaczymy z formuly:
. _ QSz _ 1000. 10 . 5 . 7,5 . 12 _ 5 63 k 1 Il Ry..I26
Pt - l b - 10 . 10 . 20s -, g cm .
Obadwa napr i:enia opatrzymy znakiem +, zgodnie z umOWq, kt6rq zrobilismy przy wywodzie
formul (75) i (77), gdyi: z warunk6w r6wnowagi prawej czçsci belki wypadajq kierunki oznaczone
strzalkami na rys. (126). Formula (75) daje:
t 2 - }pt - 2.5,63 - 01501
g a - pn - 75 ' ,
skqd 2 a = 8° 32', albo 2 a = 188° 32';
a zatem: a = 4° 16', albo a = 94° 16'.
Znajdujemy tedy dwa wzajemnie prostopadle elementy, kt6rym odpo
Wielkosciami gl6wnych napr ze iÎ b dq:
pm.x = i,n + - VPn ll + 4JJtll = 37,5 + -} V75 2 + 4.5,63 J1 -75,42kg!cm 2 ,
pmin = n --} V Pn 2 + 4pt 2 = - O,42kglcm 2 .
I\zeby wyznaczyé, kt6remu z powyzej znalezionych element6w odpowiada pmax, a kt6remu
pmin, zauwazymy, ze przy wywodzie otrzymalismy pmex, bior<!c wyrazenia (76) dIa sin 2a: i cos 2a
ze znakiem -. Przy naszych danych Sq pn i Pt wielkosciami dodatniemi, przeto odpowiadajqcy
kqt 2u b dzie lezeé w lII-ciej éwiartce (sin i cos ujemne), a znalezione napr zenie pmex = 75,42 kg cm:!
b dzie dzialaé w elemencie plaskim, nachylonym pod kqtem a = 94° 16'. Przytem trzeba oczywiscie
kqt a odmierzaé tak, jak to przyj to przy wyprowadzeniu podstawowych formul, co uwidoczniono
na rys. (126), gdzie ten element przedstawia prosta pq.
Znajdziemy teraz kierunki i wielkosci napr zeiÎ g16wnych w punkcie fit lezi}cym 5 cm poni-
zej warstwy oboj tnej. Wielkosé i znak Pt pozostaje bez zmiany, natomiast p" zmienia swô-j znak
na przeciwny. .1\ wi c:
"
'"
fIl-FFi
tJ[J
tiJOcm- -1 1O-
P'
,;
Pll= - 75 kg/cm 2 ,
tg2a = _ 2.5,63 = _ 0,1501,
75
Pt = + 5,63 kg/cm!;
2a = 180° - 8°32' = 171°28'
Kurs wylrzymalofci materjald'w
7
98
a = 360° - 8°32' = 351°28',
a = 85° 44', albo a = 175°44'.
pmax = - 7: + V C;- ) J + 5,63 2 = + 0,42 kg/cm 2 .
To napr zenie odpowiada elementowi plaskiemu, dIa kt6rego
sin 2 a = _ 2 Pt = _ 5,63 ,
V pn J +4Pt 2 37,9
albo
czyli
pn 37,5
cos 2 a = - = + --.
-V pn 2 + 4 Pt 2 37,9
Poniewai: sin 2 a jest ujemne, a cos 2 a dodatnie, wi c 2 a lezy w IV -ej éwiartce i odpowiadaj(!ca
wartosé a = 175°44'. Na rys. (126) przedstawia p' q' element plaski 0 tem nachyleniu.
Najwi ksze napr zenia styczne w punktach JI i Al maj(! wielkosé wsp6ln(! i r6wnq:
V( 75 ) ' "
(pt)max = 2 + 5,63' = 37,9 kg/cm .
JezeIi wezmiemy punkty najbardziej odlegle od warstwy oboj tnej, to odpowiadaj(!ce napr -
zenia styczne stajq si zerem, a zatem napr zenie normalne pn b dzie jednem z napr zerî glôwnych;
drugie napr zenie gl6wne rôwna si oczywiscie zero. W punktach lez(!cych w warstwie oboj tnej
znikajq napr zenja normalne pn, a napr zenia glôwne, jak widaé z 'ormul (77), b d(! r6wnej wiel-
kosci i przeciwnego znaku. W tych punktach mamy zatem do czynienia ze stanern napi cia, odpo-
wiadajqcem czysternu scinaniu.
Napr zenie gl6wne znajdujerny najdogodniej wykreSlnie przy pomocy
kola Mohr'a. Znaj(!c napr zenie normalne i styczne, mozemy wyznaczyé
dwa punkty kola Mohr'a, odpowiadajqce napr zeniorn w dwu wzajemnie
. ; pl'iOstopadlych -elernentach plaskich. Niech b dq D i Dl terni punktami
Jj j (rys. 127). Poniewaz te punkty przedstawiaj(! napr zenia w dwu wza-
jemnie prostopadlych przekrojach elementarnych, wi c promienie, popro-
wadzone do nich ze srodka kola Mohr'a, mUSZq tworzyé kqt 180°, czyli
punkty D i Dl rnusz(! lezeé na srednicy kola. L(!cz(!c je prost(! D Dl' znaj-
dujerny srodek kola e, jako punkt przeci cia si lej prostej z osi q odci -
tych. Po opisaniu kola promieniem De, otrzymamy na osi odci tych od-
cinki O.fI i 0 B, r6wne co do wielkosci napr zeniom gl6wnym pmBX i pmin.
[Prornien kola okresla warlosé (pt)mBx, zas kqty 0 CD
i 0 CD 1 przedstawiaj(! podw6jnq wartosé k q t6w, jakie
tworzq kierunki g16wne z przekrojem .!ln na rys. (125)
lub (126)].
Znalazlszy dIa jakiegokolwiek punktu pmBx, pmin
i odmierzywszy od tego punktu odcinki, przedstawia-
jqce te napr zenia tak co do wielkosci jak i kierunku,
wykreslirny latwo odpowiadajl}cq elips napr zen. Na
rys. (128) uwidoczniono elipsy napr zen dia kilku
punkt6w przekroju ab. Elipsy odpowiadajqce naj-
wyzszemu i najnizszernu punktowi przekroju prze-
ksztalcajq si na odcinki prostych poziornych, ponie-
waz jedno z g16wnych l18.pr zen staje si zerem. We
warstwie oboj tnej, gdzie gl6wne napr zenia S(! co
do wielkosci r6wne, przeksztalca si elipsa na kolo.
W r6znych punktach zginanej beIki majl} napr zenia gl6wne rozne kierunki. Rys. (128) uzmy-
sfawia jeszcze dwa uklady krzywych, majqcych t wlasnosé, :le styczna w dowolnym punkcie
-Î!..-.'II
mill /J
Rys. 127
Ry . 128
kaZdej krzywej wskazuje kierunek napr zenia
padku daje jeden uklad krzywych kie-
runki cié!gnien gl6wnych, a drugi kie-
runki cisnien g16wnych. T akie krzywe
nazywajq si trajektorjami napr -
zen. Na rys. (129) przedstawiono roz-
klad napr zen w przypadku zgi cia belki
o przekroju prostokqtnym, w obu kon-
cach podparlej i obciqzonej ci zarem q 1,
rozlozonym r6wnomiernie na calej dlu-
gosci. Fig. (b) przedstawia dia r6znych
przekroj6w belki linjowy rozklad napr -
zen normalnych i paraboliczny rozklad
napr zen slycznych. Napr zenia normaI-
ne rosné! ku srodkowi rozpi tosci ; od-
wrotnie zachowujq si napr zenia sty-
czne, kt6re osiqgajq najwi kszq warlosé na podporach. Fig. (a) przedstawia lrajeklorje napr zen
dIa tejze belki 1).
99
gMwrtego w punkcie stycznosci. W aszym przy-
jig.â
_ ___ !! .l!0-4_____
1
..t.
Rys. 1:19
63. 0 NRPREZENffiCH MIEJSCOWYCH
F ormuly otrzymane powyzej dIa naprç:ieti normalnych i !>tycznych przy zginaniu, mozna uwazaé za zupelnie zado-
walaj'lce dia punkt6w, kt6rych odleglo é od miejsca dzialania silzewn trznych nie przekracza najwi kszego wymiaru poprze.
cznego przekroju belki 2 }. Dlatego daIsze wywody b d'l tem pewniejsze. im mniejsze s'l poprzeczne wymiary w por6wnaniu
do dlugogci prçta. W pobli:iu miejsc bezpo rednio obcié!zonych powstajé! mie j seo w e naprçz nia, kt6re mogq w znacznym
stopniu zmodyfikowaé wyprowadzone dolychczas prawa rozkladu napr ie6. W przypadku sil skupionych przedstawia si
wyznaczenie naprç:ien miejscowych, jako zadanie ztozone, nie dajqce si rozwj,!z é drogq eIementarnq. Pewne wy'obratenie
o rozkladzie naprçzen w miejscu dzialania sily skupionej moze daé rozwiqzanie zadania 0 rozkladzie napr zeti w nast pu-
jqcym przypadku: Na prostolinjowy brzeg ab nieograniczonej cienkiej plyty dziala
[prostopadle do brzegu] sila P, lez'!ca w plaszczyinie plyty (rys. 130). cisle rozwii!-
zanie pokazuje, ze w danym przypadku zachodzi radjalny rozklad ci nieti. W kazdym
punkcie plyty panuje proste ci nienie w kierunku promienia r, l'lczé!cego rozpalry-
wany punkt z punktem 0, w kt6rym dziata si!a P. Wielkώ napr tenia okre la
formula: 2 P cos-&
P = - --;ï6 --r
T\ltaj oznacza 0 grubogé ptyty, a ,'1- kilt nachylenia promienia r do kierunku sily P.
Jak widaé, naprçienia malejq szybko w miar oddalania si\! elementu plyty od punktu
dzialania sily.
W przypadku obcii!tenia, rozloionego r6wnomiemie na g(\rnej powierzchni
bèlki prostoki!tnej, moina miejscowe naprçzenia obliczyé w przy-
blizeniu drog,! elementarn . W tym celu rozpatrzymy r6wno-
wag elementu belki mnpq (rys. 131), ograniczonego dwoma prze-
krojami poprzecznemi 0 wzajemnej odlegiogci d x i przekrojem po-
ziomym, oddaIonym 0 Z od warstwy obojçlnej. W tym ostatnim
przekroju powstani! cignienia p'z, wywolane obcii!teniem na g6r-
nej powierzchni belki. kt6re oczywi cie dia Z = + muszq mieé
warto é : ' za dia Z = - warto é O. Dia dowolnego z znaj.
Rys.!:131
dziemy ich warto é z warunku rzut6w na og pionow,! wszystkich .
sil zewnçtrznych dzialajqcych na rozpatrywany elemen1. W tym warunku wyst,!piq widocznie tylko nast pujqce sily:
1° Obcii!zenie qdx g6mej podstawy elementu ze znakiem -.
2° Wypadkowa z cignieniem p'z na doln'l podstaw. , 1. j. + p'zbdx.
(f
P10
,
6
-(
lf);
AI ; :
/' :
1
,
,
Ry-s. 130
. (79)
tZ r
X __ Z h
o y
b. .J
!J - (/;r b.
J
1) Par interesuj,!cych konstrukcyj znajdzie czytelnik w artykule J. Wa gner'a: "Kurven reiner Schubbeanspruchung
der geraden Balkentrager mit rethteckigem QuerschniU". Zeitschr. d. &.il. Ing. u. .flrch. Ver. 1911, str. 615.
2) Ob. I. Le win: "Wiestnik Inzenier6w 1915".
7*
100
30 Wypadkowa z naprçiçt'i cinaj'lcycb pt na gcianie mp, t. j. + pt d Fi
-4,0 Wypadkowa z napr tet'i gcinajqcych (Pt + dX) na gcianie nq, t. j.
- (Pt+ dx)dF.
QSzl dpt SZl dQ
pt = ly b ' a zatem dX dx = ly b . dx dx,
. . d Q d d
zwa:iywszy zag, ze sHa poprzeczna zmniejsza siç 0 qdx puy przejgciu od przekroju X do x+ dx, naplszemy dx x = -q x
Rzçdni! dowolnego punktu gcian bocznycb oznaczymy przytem przez ZI' Stosownie do tego bçdzie po e d F paska elemen
tarnego gciany bocznej mp lub nq r6wnaé siç bdz 1 . Po podstawieniu tych wartogci w powyzsze calkl otrzymamy:
h h
\ptdF= f. \2SZ1dZt; \ .. (Pt+dPt)dF= Q-I;dX ("2SZ1dZl'
y z z
Warunek rownowagi przybiera tedy postaé:
JlI.k wiadome
r
1
h h
Q 2 Q-qdx [2
p'zbdx-qdx+ T SZI dZ I - ly ,Szl dZ I =0.
y z ..z
/;
.
,
.
,
.
.
.
L_ ____________J
z czego wynika:
Rys. 132
h
p'z= (1- :y 2SZ1dZl).
.. z
Wstawiwszy w miejsce momentu statycznego SZl i momentu bezwladno ci ly ich warto'ci:
Sz = ( - Zl ) ly = bh" ,
t 2 4 ]2
znajdzie po wykonaniu calkowania i uproszczeniu:
, q ( Z ZB )
pZ= 2b 1+31l- 4 hi
Prawo rozmieszczenia napr :teti p'z wzdlui wysokogei przekroju przedstawia wykr lnie rys. (132).
. (80)
ROZDZIRL IX
OBLICZENIE BELEK
9 64. WYZNRCZENIE RERRCYJ PODPOROWYCH
Wylozywszy metody wyznaczenia napr zen w belkach zginanych, przejdziemy do zastosowan
praktycznych. Obliczenie takich belek musimy rozpoczqé od wyznaczenia sU zewn trznych, kt6re
moina podzielié na dwie grupy: Do pierwszej nalezq obciqzenia, jakie belka ma dfwigaé. T e s
zazwyczaj zgôry dane i nalezq do kategorji sil czynnych. Belka przenosi obciijzenia na podpory,
wywierajqc na nie naciski i doznaj(!c nawzajem reakcyj, rôwnych i wprost przeciwnych naciskom
podporowym. Reakcje podpôr, jako sily bieme, stanowiij drugq grup sil zewn trznych. Ogôl sil
zewn trznych, t. j. pbciqienie i reakcje danej belki, mu si czynié zadosé og6lnym warunkom r6wno-
wagi, to tei te warunki posluz q przedewszystkiem do obliczenia nieznanych reakcyj. Jezeli liczba wa-
runk6w do tego nie wystarcza, to mamy ,do czynienia z zagadnieniem statycznie niewyznaczalnem.
Brakujqce r6wnania warunkowe ustawiamy w6wczas na podstawie rozpatrywania odksztalceii belki.
Ograniczajqc si do przypadk6w, w kt6rych wszystkie sHy zewnçtrzne lezq w jednej plaszczyznie,
otrzymamy trzy analityczne warunki r6wnowagi 1) :
"2: X =0, "2: Y::a: 0, "2:M=O,
1) W dalszym ci gu przyjçto plaszczyznç dzialania si!: za plaszczyzn X ¥, og belki za og X.6w, a og ¥-6w skiero-
wano pionowo w gorç.
z kt6rych dadz q siç wyznaczyé trzy niewiadome. DIa statycznej wyznaczalnosc;i potrzeba zatem,
aby reakcje sprowadzaly siç do trzech element6w, czyli daly siç okreslié trzema wielkosciami
algebraicznemi. Rozr6zniamy nastçpujqce sposoby podparcia belki:
a) Utwierdzenie. M6wimy, ze belka jest zupelnie utwierdzonq w punkcie 0 jej osi (rys. 133),
jezeli przekr6j poprzeczny ab, odpowiadajqcy temu punktowi, nie zmienia swego polozenia i kie-
runku przy zgiçciu belki. Uklad sH wewn trznych w przekroju
podporowym ab, zapobiegajqcy przesuniçciu i obrotowi tego prze-
kroju, da siç wog61e sprow dzié do jednej sHy R, dzialajqcej na
jego srodek dçzkosci i do jednej pary 0 momencie M. W ten
spos6b sprowadza si wyznaczenie reakcyj podporowych w przy-
padku zupemego utwierdzenia kotica belki do znalezienia trzech
element6w: 1) wielkosci momentu utwierdzenia M, 2) wiel-
kosci r e a k c j i R i 3) kierunku sHy R. W yznaczenie wielkosd
i kierunku R mozna oczywisde zastqpié wyznaczeniem dwu skladowych sily R, wziçtych w kie-
runkach osi sp61rzçdnych. .
[Utwierdzenie realizuje siç w praktyce przez zamurowanie k01\:ca belki, przygrubowanie i t. p. Utwierdzenie mote byt
niezupelnem w dwojakiem znaczeJ1iu: 1) Przekrdj podporowy, a z nim cata belka, mote siç przesuwaé w kierunku osi belki.
Wtedy re cja R musi byé, przy pominiçeiu tarcia. prostopadlq do osi i tworzy przeto jeden eIement niewiadomy. Drugim
jest oczywigcie moment utwierdzenia M. 2) Przekr6j podporowy moze siç obrdeié okolo osi prostopadlej do plaszczyzny
rysunku 0 pewien maly kqt . Liczba niewiadomych element6w nie zmniejsza si wtedy i r6wna si znowu 3]. .
b) Podparcie stale (rys. 1.3 ) w punkcie 0 osi belki zachodzi w6wczas, gdy punkt 0 jest
unieruchomiony, ale odpowiadajqcy mu przekr6j moze siç obracaé
okolo tego punktu. Reakcje podporowe przedstawia w tym przypadku
jedna sîta R, przechodzqca przez punkt O. Jako niewiadome wyst -
pujq: 1) wielkosé R i 2) kierunek sily R, albo tez dwie skladowe tej
sily wziçte w kierunku osi sp6Irz dnych.
[Stale podparcie urzeczywistnia siç w praktyce n1ljdoskonalej przy pomocy prze-
gubu, umieszczanego. co prawda, nie zawsze w osi belki. To tl6maczy jasno sposdb scl1ematycznego oznaczenia slalego
punklu podparcia, zastosowany na rys. (134) i innych].
C) Po d.p a r ci e rue h 0 m e zachodzi wtedy w punkcie 0 osi belki (rys. 135), jezeli ten punkt
ma jeden stopien swobody, t. j. moze si przesuwaé tylko w jè-
dnym kierunku. Zwykle nim bywa kierunek osi belki, ale wog6le
mozna przepisaé kazdy inny kierunek. Odpowiadajqcy przekr6j
moze przytem obracaé siç okolo punktu O. Reakcja R musi tutaj
widocznie przechodzié przez punkt 0 i byé prostopadl q do kie-
runku mozliwego przesuniçcia (z pomini ciem tarda), a zatem do
jej okreSlenia wystarcza jeden element, t. j. wielkosé R.
[Podparcie ruchome wykonywa siç w praktyce najdoskonalej przez przymocowanie przegubu do plyty opartej na
walkach r6wnoleglych, mogqcych siç toczyt na nieruchomej podstawie (lotysko walkowe). Sté}d scbematyczny rys. (135)].
Z powyzszych rozwazan wynika, ze belka b dzie statycznie wyznaczalnq tylko w nastçpujq-
cych trzech przypadkach:
1. Belka iednym koncem utwierdzona (rys. 136). Moment utwierdzenia oblicza siç
z warunku moment6w: .
M= -(PI11 +P 2 ' 2 +P a ' a ).
Reakcja R w punkcie 0 jest pionowa, bo nie ma danych sil
zewnçtrznych poziomych. Z warunku rzut6w wypada:
R=P 1 +P 2 +P 3 -
II. B elka na d wu podporac h: stalej i ruchomej.
Najcz sciej mamy do czynienia z przypadkami szczeg6lnemi,
w kt6rych sily Sq prostopadle, a kierunek przesuni cia ruchomej podpory r6wnolegly do osi
belki (rys. 137). Wtedy reakcje podp6r mUSZq byé dia r6wnowagi prostopadfe do osi belki. Ich
wartosé znajdujemy najdogodniej Z warunku moment6w, obierajqc za srodek moment6w naprzemian
to jeden, to drugi punkt podparcia. Oznaczywszy odleglosé podp6r, czyli rozpi tosé belki
il ------------ ---- - -
Rys. 134
R)"'. 136
101
Rys. 133
i-- n -- n -- n __ m - - n__
a b
Rys. 135
102
przez l, a reakcje terni samemi literami, kt6re posfuzyfy do oznaczenia punktôw podparcia, otrzy-
mamy w odniesieniu do rys. (137) warunek moment6w wzgl dem punktu JI:
BI + PtI! + PJ!. + PgIg = 0,
z czego wypada
B _ _ P lIt + P 2 1 2 + P g I g .
- 1
Znak minus wskazuje, i:e kierunek reakcji B jest przeciwny
kierunkowi sil danych.
III. Belka na trzech podporach ruchomych
rys. (139). W tym przypadku, maj,!cym raczej teoretyczne
znaczenie, przedstawia kazda reakcja podporowa jeden niewia-
domy element, a mianowicie wielkosé reakcji. Z trzech r6wnan
r6wnowagi dadz,! si te wielkosci wyznaczyé z latwoscii'l, wy-
jqwszy osobIiwy przypadek, w kt6rym wszystkie trzy reakcje
przecinaj,! si w jednym punkcie, mog'!cyrn lei:eé taki:e w nie-
skonczonosci. Wtedy bowiem nie jest belka ustalonq w plasz
czyznie dzialania sil, lecz moi:e si obr6cié okolo owego punktu . Rys !39
o nieskonczenie maly k,!t. Odpowiadaj,!ce warunki r6wnowagi przestajq byé r6wnaniami od siebie
niezaleznemi, wskutek czego niewiadome przedstawiaj,! si w postaci nieoznaczonej.
Powracajqc jeszcze do przypadku II-go, zauwai:ymy, i:e w praktyce konstruuje si jedn,!
z podp6r jako ruchom,! tylko dIa be]ek 0 znacznej rozpi tosci. Mniejsze belki kladzie si zwykle
na podporach nieruchomych. Przy zgiçciu takich belek pod wplywem obciqzenia silami pionowemi
pojawiaj,! si nietylko reakcje pionowe JI i B, lecz taki:e
i poziome H (rys. 138), zapobiegaj,!ce zblii:eniu konc6w
belki. Wywolane terni sHami podlui:ne ci,!gnienia S,! przy
zwyklych rozmiarach belek male i moi:na je pominqé
w por6wnaniu z napr i:eniami wskutek zginania. Przeko-
namy si 0 tem zapomocq nast pujqcego rozwai:ania: Je-
R},_ 138 i:eliby jedna z podp6r byla ruchom'!, to przy zgi ciu zbli-
i:ylyby si podpory nawzajem 0 dlugosé Ô l, r6wn,! r6i:nicy mi dzy dlugosci,! zÇlkrzywionej osi belki,
a dtugosci,! jej rzutu poziomego. Przy malych ugi ciach moi:na w przybIii:eniu Iinj ugi cia
o strzalce f zastqpié parabol,!, kt6rej dlugosé luku r6i:ni si od dlugosci ci ciwy, jak wiadomo z (32), 0
8 fi
01 = ---
3 1
Przy nieruchomych podporach musz'! mieé sily podlui:ne H widocznie tak q wielkosé, aby wywo-
lane niemi przedlui:enie belki bylo dokladnie r6wne znalezionemu powyi:ej zbIizeniu podp6r. Odpo-
wiadajqce wydfui:enie wzgl dne i cÏ,!gnienie wyrazaj,! zatem formuly:
. ôl 8f' 81 2
e = T = 3 P' p = 311- E.
Il l ---JP
1, t r
A . --------------
-- -- --
f £ 1
f>f
L:.
a t
?'"
Ry, 137
.
,
,
.
A
A j tB
Il 1 1 If
-- -------- -----I-f--- r------ - - -
0. ,
1- __-i
. (25)
W zelaznych konstrukcjach np. nie dopuszcza si zwykIe ugi é wi kszych nad - o l.
Wstawiwszy t wartosé i wartosé E = 2.10 b kgfcm 2 , znajdziemy p= 21 kg/cm:.!. Jest to wielkosé
kosé bardzo mala w por6wnaniu do napr zenia dopuszczalnego, wobec czego mozna smiafo pomi-
nqé podluzne ci,!gnienia przy obliczeniu takich belek. Zato w przypadku zginania cienkich pr t6w
i blach mogi'l te cii'lgnienia, jak zobaczymy p6Zniej, odegraé wazniejszq rol .
65. DI1\GR1\M MOMENT6w ZGINIlJI\CYCH 1 DI1\GR1\M SIL POPRZECZNYCH
Przy obIiczeniach belek wypada wyznaczaé wielkosé napr zen normalnych i stycznych
w r6znych przekrojach poprzecznych. W tym celu, jak okazano powyzej, trzeba znaé wielkosé
momentu zginajqcego M i sHy poprzecznej Q w odpowiadajqcych przekrojach. Ili:eby uproscié
szukanie p r z e k r 0 j 6 w nie b e z pie c z n y c h, przedstawiamy wykreslnie zmiennosé momentu zgi-
zginajqcego i sily poprzecznej wzdJ:uz osi beIki, obierajqc t os za os odci tych i odmierzajijc jako
rz dne odpowiadajijce wartosci M, wzgl dnie Q.' W ten sposôb otrzymujemy t. zw. wykresy,
czyli di agra m y m 0 men tô w zginaj ijcych i sH poprzecz n y ch. Ronstrukcj tych diagra-
môw przedstawimy najdogodniej na szczegôlowych przykladach.
Obranij za os X-ôw os belki ustawimy w mysli poziomo, a os Y-ôw skierujemy pionowo
w dôt Moment zginajijcy b dziemy uwazaé za dodatni, jezeli odpowiadajijca para sil zewn trznych
obracalaby lewij odci tij cz sé belki w kierunku wskazôwki na
zegarze, czyli, jezeli wywolane tym momentem wygi cie osi jest
skierowane wypuklosci q w dôl (rys. 140). Sil poprzecznij zas
przyjmiemy za dodatniij, jezeli wyznaczona z sil zewn trznych
Iewej odci tej cz sci beiki jest skierowana w gôr .
Beika jednym koncem utwierdzona, a na drugim
swobodnym obciijzona sHij P (rys. 141). Moment zgina-
jijcy M w jakimkoIwiek przekroju ab, odieglym 0 x od konca
utwierdzonego, obliczymy najdogodniej sprowadzajijc do srodka prze-
kroju sily dzialajqce na prawq odci tij cz sé beiki. l\ zatem:
M = - P(I- x).
T emu rôwnaniu odpowiada trôjkijtny diagram moment6w wyznaczony
wartosciami
M(x=l) = 0 M(x=o) = - Pl.
W ykres sil poprzecznyçh przedstawia si jako prostokijt 0 wysokosci P,
gdyz uwzgl dniwszy umow {;o do znaku sily poprzecznej, znajdu-
jemy w dowoinym przekroju Q = P. To samo wynika na podstawie
formuly (69).
J ezeli bel ka j est 0 b ci ij z 0 n a u k 1 a de ID s H s k u p ion y ch
P l' P 2'''' (rys. 142), to w ka:idym przedziaie mi dzy dwiema sijsie-
dniemi silami b dzie okresIaé moment inne wyrazenie i tak w I-szym ·
przedziâIe (licz c od strony prawej):
Ml = - Pl (11 - x),
r:-- f JP
!
- / -----.
a, [..1'1
l 1 :
Pl T :
, 1
. :
'T ' s
p- _ ; -+- 1 ,;
i_ _ _ 1 1
Ry..141
w II-gim:
103
\ y a
If; ' f1
" ---i-> - X
MIl = - P 1 (11 - x) - P 2 (1 2 - x),
Ry.. 140
w I1I-cim zas:
Mm = - Pl (11 - x) - P 2 (12 - x) + P 3 (13 - x).
W obr bie kazdego przedzialu zmienia si moment zginajijcy Iinjowo.
Przy przejsdu z jednego przedzialu w drugi zmienia si nachylenie
prostej diagramu, ktôry przedstawia si przeto jako wielobok (fig. a).
Sila poprzeczna jest w ka.zdym przedziaie stala, a wi c jej diagram
sklada si z prostokqtôw (fig. b). 1 w tym przypadku latwo sprawdzié
formul (69), .rômÏczkujqc wyrazenia dIa momentôw zginajijcych
w rôznych przedzialach. Wielkosé tych pochodnych daje widocznie
tang. kijta nachylenia prostej diagramu moment6w w odpowiadajqcym
przedziale. Zauwazymy jeszcze, ze w miejscach dzialania sil skupio- Ry..I42
nych zmieniajq si analityczne wyrazenia dia momentôw, a po-
chodne, dajijce wielkosé sily poprzecznej zrywajq ciqglosé. Rozklad napr zen w tych miejscach
(ob. formul 79) nie da si okreslié na podstawie zwyklych formul dIa napr zen stycznych i nor...
malnych. .
Belka w obu koncach podparta i obciijzona sHij skupionq P (rys. t:t3). Z wa-
runku momentôw wzgl em prawego i Iewego punktu podparcia znajdziemy reakcje:
1I - P(l-c) B _ .?c .
- l' - 1
104
Moment zginajqcy w dowoinym przekroju po Iewej stronie sily P przedstawi formula:
MI = + P (l -;- c) x.
10 X
po prawej zas
- P(l-c) Pc
. Mu = + 1 X - P (x - c) = -T (1 - x).
Moment zmienia si zatem linjowo w kazdym z obu prze"
dzia16w i jest wsz dzie dodatni. Najwi kszq wartosé osiqga
moment zginajqcy w przekroju pod sil ç P, t. j. dIa X = C,
a mianowicie:
Przy przeJSClU na praWq stron . sily P zmienia sila poprzeczna zarazem wielkosé i znak, gdyz
ad reakcji A trzeba odjqé P, czyIi:
Qu= P(I-c) _P= _ Pc .
1 .1
Diagram sit poprzecznychprzedstawia si jako Iinja lamana RSTV, tworzqca z osi q X"ow dwa prostokqty.
jezeli na belk w obu koncach podpart q dziaia
uklad ci zar6w skupionych Pl' P 2 ,... (rys. 144), to latwo znaIefé t q ! j Y II; 1 1/ te
samq drogq wieloboczny diagram moment6w .Il CD E B i schodko- . A " i .
watq linj sB: poprzecznych MN P Q R S T U. Najwi kszq wartosé lJk :..0;
osiqga moment widocznie pod jednym z ci za-row. (W obranym przy- ! C Il,'I:II,.f
kladzie pod ci iarem P2)' W przekroju, gdzie zachodzi M max , zmie" A "I!I "!I 'H'III!I, :0
nia sila poprzeczna swoj znak, czyli linja sH poprzecznych przecina : :' " :
os X-6w. To wynika bezposrednio ze zwif!,Zku -1;- ,;II -.--111.:... iF-
t'Ii ,,',1 1 ,
Q = _ !Y . i l !!1-' f, 1 /' , fi, .
dx . 1 0
, '
:r !. pomocy twierdz nia, .wyraz.onego .lem r6wnaniem, mozna upro- If S il!!I!,h , 1 .1 {j
SCIC szukame przekroju mebezpIecznego. Wystarczy w tym celu T'
wykreslié linj sil poprzecznych, a tam, gdzie ona przecina os
X ôw, lezy przekrôj niebezpieczny. .
Belka w obu koiic ch podparta i obciqzona rowno-
miernie na calej rozpi tosci (rys. 145). Jezeli q oznacza
obciqzenie jednostki dlugosci belki, to calkowite ôbciqzenie r6wna
si q 1. Obie reakcje Sq oczywiscie rowne -l q 1. Moment zginajqcy
w dowolnym przekroju belki m n znajdziemy, biorqc moment wszyst-
kich sil lezqcych po jednej stronie (np. lewej) rozpatrywanego prze-
kroju wzgl dem jego srodka. Moment reakcji JI bçd ie r6wny
ql
+T x ,
zas moment obciqzenia ciqglego na przestrzeni x jesf r6wny
x qx'
-qx'2=- '
1\ zatem moment zginajgcy
M =!li x _ qx 2 = qX(I-x) .
2 2 2
Rys. 143
Rys, 145
M _ Pc(l-c) .
m8x- 1
o
1[1
Diagram moment6w ma postaé linji lamanej MN P, kt6ra
z osii.} X-ow tworzy tr6jk q t. Sila poprzeczna w przedziale po
lewej stronie siiy P jest dodatnia i r6wna reakcji .II, czyli:
QI = P(I,C) .
lU
A
Rys. 144
105
Odpowiadajqey diagram jest parabol q . Maximum momentu zginajqeego zaehodzi, jak si latwo prze
konaé w srodku rozpi tosci, ezyli dia x = i ma wartosé:
1
M max = 8 qll .
]ezeliby obciqzenie q 1 skupié w srodku rozpi tosci, to Mrr.ax byloby dwa razy wi ksze. SH q po-
przecznq w przekroju m n jest widocznie:
ql
Q=-2- qx .
Linja sil poprzecznych jest zatem prost'!, przecinaj,!c,! os X 6w w srodku
gdzie zachodzi M max .
Gdy obei gzen i e ciqgle j est rozlozo ne r6wno-
miernie tylko na pewnej cz sci rozpi tosci (rys. 146),
to poiozenie przekroju niebezpiecznego znajdziemy najlatwiej
kreslqc linj sil poprzecznych. Z warunku moment6w wzgl dem
prawej podpory znajdziemy reakcj :
qc'
1I= .
Reakcjq prawej podpory b dzie zas:
qc 2 qc
B=qc-fI=qc- 21 =2f(21-c).
Sila poprzeczna na Iewej nieobciqzonej cz sci belki b dzie widocznie
r6wna reakcji lewej podpory. Odpowiadajqcq cz sé linji sH poprze
cznych przedstawi odcinek prostej MN r6wnolegiej do osi X-6w.
W dowolnym przekroju m n cz€sci obciqi:onej b€dzie si!q poprzeczn<!:
qc 2
Q=21- q(x + c -l).
Temu wyrazeniu odpowiada prosta nachylona NP (Hg. b). Jej
punkt przeci cia z osi q X -ow okreSla polozenie przekroju, w kt6-
rym zachodzi M max . Co si tyczy Iinji momentow zginajqcych, to
dIa nieobciqzonej cz sci belki b dzie ni prosta nachylona wzgI -
dem osi X-6w, gdyz moment zginajqcy zmienia si'È wedlug prawa:
_ _ qc
MI - fl.x-2Tx.
--
- l
1-s2
. ' 1
l -
'.J. ,
--,
,
,
,
figc
Rys 147
r-
rozpi tosci, t j. tam
(' -
.). - ----,m
il III'mm
: ln f:j,
1
l '
>'J'If//'
fis '.a.
T
. . 1 -- r
. ::
. fi8 b : :
:: $..
p;
1 II-
figc
Rys 146
w cz sci obciqzonej zas zmienia si ten moment wedlug prawa
parabolicznego:
Mu = flx - !L(x + c-l)I.
2
Przekr6j, kt6ry odpowiada najwi kszemu momentowi zginajêlcemu,
znajdziemy z warunku:
dM q c 2
d XII = 2l- q (x + c - 1) = 0,
skqd (1 - C)I + /1
x= 21 .
Diagram moment6w zginajqcych przedstawiono na lig. (c).
Jezeli na belk dziala jednoczesnie obciqzenie
ciqgle i uklad ci zarow skupionych (rys.147), to w celu
wykreslnego przedstawienia zmiennosci momentu zginaÏqcego
wzdluz belki najdogodniej skonstmowaé osobno diagram momen
.
.
.
,
,
,
1
.
.
.
,
,
1
,
,
,
.
106
t6w wywofanych obcÏqzeniem
1.
A'
;iw
. /
A: fIs a
1.
---JI}
JI
lP,x
'----+
-'t. B C;
1
fis b.
A . , 1
fis c.
A. C
figl/
A
/i8.C
Ry.. 148
cÏqglem, a osobno dia sil skupionych. Odmierzajqc rz dFle
pierwszego diagramu na d61, a drugiego do gory od Qsi
X-6w (lig. b), otrzymamy widocznie zqdany wykres mo
ment6w wywolanych obciqzeniem calkowitem. T ak samo
mozna postqpié i przy konstrukcji diagramu sil po-prze-
cznych (fig. c).
Jezeli podpory nie lez,! na koiicach belki, to szukanie
linji moment6w i sil poprzecznych nie ulegnie zadnej zasadni-
czej zmianie. Pewne wlasciwosci tego przypadku przedsta
wimy na przykladzie belki wystaj,!cej, czyli wsporni
k 0 w e j (rys. 148), obci,!zonej dwiema si!ami skupionemi Pl
i P 2' Z warunku moment6w wzgI dem punktu podparcia fi
znajdujemy reakcj prawej podpory:
B - Pl1t +P 2 L 2
- l '
c
skierowan<! widocznie w g6r : Natomiast wartosé reakcji lewej
podpory, 1. j.
fi - P P _ B - Pt (l -11) + P 2 (1 - 1 2 )
- 1+ 2 - 1
moze wypasé dodatnia aIbo ujemna. W tym ostatnim przy-
padku b dzie reakcja skierowana z gory na d6l, a odpowia-
daj,!ce àiagramy moment6w i si! poprzecznych przedstawiaj,!
figury (h) i (c). W przypadku reakcji A skierowanej w gor
przecina Iinja si! poprzecznych dwa razy os (fig. c') w punk
tach, gdzie moment zgi cia osiqga najwi ksz,! dodatni q i ujemnq
wartosé.
66. OBLICZENIE N1\.PREZEN NIEBEZPIECZNYCH
Maj,!c diagramy moment6w i si! poprzecznych znajdziemy latwo te przekroje, w kt6rych na
Iezy oczekiwaé szczegôInie wieIkich, a wlasciwie niebezpiecznych napr zen, ezyli p r z e k r 0 j e
nie b e z pi Be zn e. Najwi ksze ciqgnienia i cisnienia otrzymamy oczywiscÏe w przekrojach, gdzie
moment zginajqcy osiqga najwi ksz,! wartosé. Najwi ksze zas napr zenia scinaj<!ce b d,! odpowiadaé
przekrojom 0 najwi kszej wartosci sily poprzecznej Q. Jakkolwiek napr zenia scinaj,!ce panuj,!
takze i w przekrojach ukosnych w16kien skrajnych, to jednak w obliczeniach technicznych ograni
ezajq si zwykle do rozpatrzenia napr zen w eIementach Iez,!cych w plaszczyznie przekroju po-
przecznego i przyjqwszy pewnq postaé przekroju obierajq jego wymiary tak, aby te napr zenia nie
przekraczaly ustaIonych norme Wtedy formuly obliczenia majq postaé nast puj<!c,!:
lI! =R Q'!'. ax _R
W <' lb < t.
Tutaj wieIkosci 1 i W odnoszq si do g16wnej osi bezwladnoscÏ przekroju, kt6ra jest zarazem osi<!
oboj tn'!, a b oznacza szerokosé przekroju.
DIa napr zenia dopuszczalnego R przyjmuje si t samq wartosé, co przy prostem rozciq
ganiu, wzgI dnie "sciskaniu. Co si tyczy styeznego napr zenia dopuszczaInego Rt, to dIa metaIi
plastycznych wypada wziqé Rt = 0,5 R (zob. 36), dIa innyeh zas materja16w, stosownie do szcze-
g6lowych danych doswiadczalnych.
[Nadto nalezaloby uwzgl dnié, zaleznie od postaci przekroju i sposobu dzialania sil, stopiet'i niedokladnogci lor-
muly dia pt].
Je:ieIi zaehodzi dzialanie obci,!zen zmiennych, to trzeba odpowiednio zmienié dopuszezalnq
wieIkosé napr i:en, przyczem nalezy si kierowaé wywodami, otrzymanemi przy rozpatrywaniu
zjawiska znuzenia metaIi.
107
Latwo zrozumlec, ze powyzszy sposôb obliczenia wystarczy w przypadkach przekrojôw 0 zwar-
tej postaci, jak np. prostokijtnego i kolowego, wtedy bowiem widaé od razu, ze w mi ejscach, gdzie
napr zenia normalne mogij osié!gné!é wartosé niebezpiecznq, nie grajé! zadnej roli napr zenia styczne
i nawzajem. Skoro jednakze mamy do czynienia z przekrojami smuklemi, jak np. przekrôj T (teowy),
lub I (dwuteowy) walcowanych ksztaltôwek, to, 0 ile w danym przekroju poprzecznym schodzij si
razem znaczne wartosci momentu zginajé!cego i sily poprzecznej, mozna w nim znalezé miejsca,
gdzie jednoczesnie obadwa rodzaje napr zen osiqgaj(! wyjé!tkowo wielkie
wartosci, gdzie zatem wypadnie obliczyé napr zenia glôwne, a:ieby mozna
okreslié wyt zenie materjalu na podstawie jednej z teoryj wytrzymalosci,
przedstawionych w 9 36. T akiem miejscem b dzie np. w belce 1 (rys. 149) A 1
punkt lit, lub B1> gdyz tam napr zenia normalne Sq malo co mniejsze od
wartosci skrajnych, a napr zenia scinaj(!ce rôwniez malo si rôznié! od najw
wi kszej wartosci, jaké! osi(!gajé! w osi oboj tnej. Tarn tez powstajé! napr -
zenia g16wne
_Pn + l v 2 +4 2
PmBx-2 '2 pn Pt ,
A
.
:0
y
ml.
A,
----- ---
Il
_Pn 1 1 r 1 + 41
pmm - 2 - 2 JI pu Pt ,
/i;
(por. 9 62), kt6re mogé! byé niebezpieczniejsze dIa materjalu ad napr w R n B
zen we wlôknach skrajnych i srodkowych. Ry.. 149
Dajmy na to, ze w rozpatrywanym przekroju m n (rys. 149) panuje moment zginaJqcy i sila poprzeczna 0 wartoS:cia(,h:
M = 5 10 5 kgcm, Q 15 10 8 kg.
Wtedy najw. napr zenie w punkcie A b dzie (wymlary przckroju wzi to z przykladu w 9 61 i przyj to, ze w A zllchodzi
rozciqganie, a w B gciskanie):
M 5 . 10 3 . 15 670 k 1 1
pn = W = 11200 = g cm-.
Dia punktu At zag sq napr zenia normalne i styczne odpowiednio r6wne:
pn = 670 . = 580 kgfcm 2 , pt = 375 kg/cm ' .
15
Napr zenia gl6wne, obliczone wedlug formul powyzej prz ytoczonych, maj'l tutaj nast puj ce wllrtogci:
p.aBX = 580 +}- V 580 2 + 4.37511 = + 764 kg/cm"
2 2
pmm= 580 -.! V 580 ' + 4.375 2 = -184kgJcm 2 .
2 2
Ich r6znica, (okregIaJ'lca wyt zenie materjalu wedlug III hipotezy), t J. pmax - pmm = 948 kgfcm!, lest 0 wiele wiçkszq od
odpowiadajqcych r6tnic we w16knach skrajnych
(670 kgJcm 2 ) i w16knie S:rodkowem (2 . 375 = 750
kg/cm 2 ). Takze przy zastosowaniu 1 lub II hipo-
tezy otrzymahbygmy najwi ksze wy zenie ma-
terjalu w punkcie At. Ocenç wytrzymalogci ta-
kiej belki nalety przeto oprzeé na obhczeniu na-
pr ze:6. g16wnych w roiejscu At.
Rys. (150) przedstawia rozmieszczenie na-
pr ze:6. gcinajqcych. normaJnych i g16wnych na
wysokoS:ci przekroju 1 0 rozmiarach uwidocznior
nych na rysunku. przy zaloteniu, ze Q=40 .1Q1 kg,
M = 203. 10 4 kgcm. 1 w tym przypadku znajdu-
jemy nalwi ksze wartogci napr ze6 gl6wnych
w miejscach polqczenia stopek xe ciankq belki.
1\zeby ustawié og61ne wzory do obli-
czen praktycznych, musimy si oprzeé
na ktôrejs z teoryj wytrzymalosci. Razda z nich prowadzi oczywiscie do odmiennych formul. Ze
wzgl du na to, ze smukle przekroje stosujemy tylko do belek walcowanych z zelaza kowalnego
i stali, okazuje si jedynie racjonalné! teorja III, wedlug ktôrej 0 wytrzymalosçi decyduje najwi ksza
r6znÏca napr zen g16wnych. Warunek wytrzymalosci b dzie mieé przeto postaé:
pmax - pmm = Vpn l + 4Pt 2 < R.
...
"
" -
1Jc'"
I:n
--,------
L- I!kn --t
h$ b.
Rys 150
. (83)
108
DIa porôwnania napiszemy jeszcze warunek wytrzymalosci na podstawie I1-giej hipotezy,
ktôra uwaza najwi ksze wydluzenie za miar wyt zenia materjalu. B dzie nim widocznie:
pmax - (j Pmin < R,
albo, po wyrai:eniu napr zen glôwnych przez pn i Pt w pl:aszczyznie przekroju î wstawieniu () = 0,3
(dIa i:el. kowalnego i stali):
0,35 pn + 0,65 V pn Il + ,{ Pt Il < RI) . . (82)
W naszych obliczeniach nie uwzgI dnilismy jeszcze trzeciej kategorji napr zen, t. j. cisnien
pionowych, wywolanych bezposredniem dzialaniem obciqzenia. Te cisnienia mogq takze graé waznq
rol przy wyznaczeniu wytçzenia materjalu, niestety jednak dadz q siç tyIko w szczegôhlych przy-
padkach oznaczyé z jak tak(! doldadnosci(!. W 63 obliczylismy je dIa belki prostokqtnej, obci q -
zonej rôwnomiernie.
[Przy takiemze obciqz"niu mozna cignienia pionow" obliczyé i dia b"lki I, gdzie one osiqgajq widocznie najwi kszq
warto é w ciance tuz pod g6rn'l stopkq_ W przypadku obciqzen skupionych musimy poprzestaé na ocenie zgrubsza wiel-
ko!:ci tych napr iet'i, biorqc do pomocy do!:wiadczenie i zast pujqc ci iar skupiony obci'lieni"m rozlozonem r6wnomiernie
. na odpowiedniej dlugogci. Wszystkich rachunk6w tego rodzaju niepodobna najcz gciej uj'lé w og6lne formuly, z kt6rychby
np. moina obliczyé wymiary przekroju 0 danym ksztalcie, jezeli sq dane obciqzenia, a wi c M i Q, tudziez wartogé naprçienia
dopuszczalnego. Zwykle wypadnie obraé przekr6j na razie tak, aby dogadzal tylko jednemu z warunk6w, a mianowicie,
aby napr ienie normalne we wi6knach skrajnych, wywolane najwi kszym momentem zginaj'lcym nie przekraczalo przyj tej
wielko!:ci dopuszczalnej, a dopiero potem wyszukaé miejsca niebezpieczne, obliczyé w nich napr :tenia gl6wne z uwzglçdnie-
niem wszystkich wplyw6w i sprawdzié, czy najwiçksza r6tnica napr zen g16wnych nie przekracza r6wnicz dopusJ:czalnej
warto ci naprçzenia przy prostem rozci'lganiu. Jasnem jest przytem, ie norma dIa napr ienia dopuszczalne20 powinna byé
tem wyiszq, im dalej idziemy w uwzgl dnieniu rozmaitych wplyw6w, czyli im dokladniej wyznaczamy wyt ienie materjalu.
Gdyby my byli w stanie obliczyé ci!:le warto é napr ieti niebezpiecznych we wszelkich warunkach, jakim w przyszlogci
podlegaé b dzie dany element konstrukcyjny, to nicby nie przeszkadzalo podej é z warlo ciq n8pr ienia dopuszczalnego
blisko naturalnej I!ranicy sprçiysto ci],
Na zakonczenie zaznaczymy, i:e przy obliczeniu wysokich belek dwuteowych nie wolno siç
ograniczyé do sprawdzenia warunkôw wytrzymalosci, lecz trzeba zwrôcié szczegôlnq uwagç na sto-
pien statecznosci konstrukcji. Niewystarczajqca statecznosé zniewala niekiedy do obnii:enia wartosci
naprçi:enia dopuszczalnego. Do tej kwestji powrôcimy przy ogôInem badaniu statecznosci uklad6w
sprçzystych.
67. OBLlCZENIE BELER NITOW1\.NYCH RSZT1\.LTU 1
W konstrukcjach ielaznych majq bardzo obszerne zastosowanie belki dwuteowe, zlozone z pio-
nowej scianki, czterech kqtôwek i jednej lub kilku par nakladek, polqczonych nitami w jedn(! calosé.
Nitowanie odbywa siç przy wysokiej temperaturze nitu, wskutek czego nit y sciskajq po ostygniçciu
cz sci polqczone tak silnie, i:e belka zachowuje siç jak lita. 1\.toli obecnosé otworôw na nit y moze
w znacznej mierze zmodyiikowaé prawo rozkladu napr i:en w przekroju, jakie otrzyma1ismy dIa
belki litej. Jak pokazaly badania teoretyczne i doswiadczalne, moze wielkosé naprçzen wzrôsé zna-
cznie w poblizu otworôw. Przy rozciqganiu blach zwiçkszajq otwory wartosé napr zenia w tr6j-
nas6b ( 28); przy czystem scinaniu, kt6re zachodzi w warstwie obojçtnej belki, rosnq naprçzenia
na brzegach otworôw nawet w czwôrnasôb Il). Te wyniki odnoszq si , co prawda, do otworôw nie-
zapelnionych. Je:ieli otwôr jest wypelniony nitem, to rozklad naprçzen bçdzie oczywiscie odmienny
ri, jak siç zdaje, znacznie korzystniejszy]. Warto takZe zapami taé, ze szczegôlnie szkodliwy wplyw
na wytrzymalosé belki wywieraj(! podlu:ine otwory, umieszczone wzdluz warstwy oboj tnej ') [oczy-
wiscie, jezeli w przekroju przechodzqcym przez otwôr zachodzi znaczna sila poprzeczna przy sto:'
1) [Ten wz6r najbardziej rozpowszechniony w podr cznikach, jest nietylko nieracjonalny, ale nawet, jak widzimy,
bardziej zloiony od uzasadnionego do!:wiadczalnie wzoru (83). Z tego powodu tlumacz wysunqJ na pierwszy plan wz6r (83).
oparty na trzeciej teorji wytrzymalogci, pomijajqc nadto w g16wnym tekscie najprostszy wz6r:
pmax < R . (81)
wyplywaj'lcy z hipotezy najwi kszego napr tenia, r6wniei nie potwierdzonej przez do wiadczenie].
2) S. P. Timoszenko: .,0 wlianij kruglych otwierstij...", Izw. Rij. Pol. Inst. 1907.
S) Pfleiderer. "Der Einfluss von Lochern oder Schlitzen...". Mitt. u. Forschungsarbeiten, Heft 97, ]911.
109
sunkowo malym momencie zginajqcym]. Oprôcz otworôw mogq znacznie oslabié belk nacl cla na
jej powierzchni. Pewne wyobrazenie 0 powstajqcych przytem nadwyzkach napr zen mozna nabyé
na podstawie tego, co powiedziano poprzednio 0 pr tach z wytoczonym zlôbkiem (karbem). Szcze-
gôlnie szkodliwe dzialanie takich napr zen miejscowych oka:ie si przy obcirp;eniach powtarzajq-
cych si i w przypadku belek z materjalôw kruchych. W praktyce, jak dotqd, malo si liez,! z wy-
liczonemi przypadkami przeciqzenia materjalu, a wplyw oslabienia przekroju uwzglç-
dniajq z gruba, wstawiajqc np. zamiast ly w formule:
Mz
pz= 1-
y
moment bezwladnosci "netto" , jaki otrzymamy po odj ciu momentu bezwladnosci
otwor6w od momentu bezwladnosci calego przekroju. r- _ "ci
Co si tyczy napr zen stycznych w sciance, to ich wartosé powi ksza siç e ç
wskutek otworôw na nity. Sila poprzeczna przenosi si h jak wiadomo, prawie cal- __->-- 0 Y
kowicie na ciank , a poniewai szereg otworôw na nity w odstçpach e zmniejsza /; - -->-
pole przekroju cianki w stosunku e - d, jezeli d oznacza srednic nit6w (rys. 151),
e
wi c rednia warto é napr zeii scinajqcych wzrosnie w stosunku d ' Dlôtego
e-
uzywajq do oznaczenia najwi kszych napr zen scinajqcych w belkach nitowanych
nast pujijcej formuly:
QS e
(Pt)max = Th . e- d'
. (84)
Rys. 151
Tutaj oznacza 1 moment bezwladnosci calego przekroju wzgl dem osi oboj tnej, S moment sta-
tyczny polowy przekroju wzgl m tej osi, zas b grubosé sciankï: 1 i S oblicza si przytem zwykle
bez potrqcenia otworow na nity.
Przedstawimy teraz te przyblizone sposoby, jakich uzywajq w praktyce do obliczenia odst pu
nit6w e. Grubosé nit6w stosuje si do grubosci Iqczonych cz sci, ale zaleznosé t rozpatrzymy na
,., innem miejscu. Przy obliczeniu nit6w sluz(!cych do polq-
L. {J (J czenia k q t6wek ze sciank q , kt6re b dziemy nazywaé kr6tko
&A' -::::; nitami "poziomemi" (rys. 152), przyjmuje si najniekorzy
;::j -: E:$' stniejsze warunki, pomijajqc tarcie mi dzy polqczonemi-
!J .. - f ---{l --= ! cz sciami i przyjmujqc mozliwosé sciçcia nit6w w plaszczy-
2 - \ : znie przylegania k q t6wek do scianek. fueby oznacz y é
\ -(1 !
\ i wielkosé sily przypadajqcej na jeden nit, rozpatrzymy dwa
\ ! przekroje poprzeczne ab i a' b ' , polowiqce odst p mi dzy
, 1
_0 ___): ___ 'tP.-____ /______ s od mi nitô . rzy zgi l ciU h belki prze d n si si h na nit A l
rozmca napr zen norma nyc , przypa aJqcyc I}a po a
Rys 152 przekroj6w k q t6wek i nakladek. Na element pola d F le-
wego i prawego przekroju dzialajq odpowiednio napi cia ¥ z d F i 1 Z d F, jezeIi przyjmiemy,
y y
ze rozklad napr zeii jest taki sam, jak dIa belki litej. T 0 przyj cie jest rôwnowazne z przypuszcze-
niem, ze nit y lqczqce (tak poziome, jak i pionowe) zachowuj,! si jak zupelnie sztywne i wskutek
tego nie zachodz,! wzgl dne przesuni cia nakladek, kqtôwek i scianki. Biorqc pod uwag odksztal-
cenie nitôw znalezlibysmy, ze belka nitowana jest nieco slabsza od Iitej. To oslabienie nie prze-
kracza jednak.ie w zwyklych warunkach 6% 1). Sumuj,!c teraz rôZnic napr i:en bezwzgl dnych
M --; MI Z d F na calem polu F, otrzymamy jako warlosé sily T przeniesionej na nit:
y
T = M - Ml (' z d F M - M I . S'.
ly) ly
1) Por. l\rnovlevil:, Zeitschr. f. fuch u. Ing.-wesen. 1910, str. 57.
hÔ
Przez S' oznaczylismy tutaj moment statyczny przekrojôw k'!tôwek i nakladek wzgl dem osi obo-
. Oy U 1 d .' . M - Mt . t , d . ri ,. t k dM Q m . d b
J tnej . wzg nIaJ'!c, ze e Jes sre ni,! wa OSCl,! s osun u d x = l zy 0 ra-
nemi przekrojami, czyli M - Ml = e Q, znajdziemy dIa T wzôr:
QeS'
T = --r- . (85)
y
Poniewaz nit y poziome S,! narai:one na sci cie w dwu plaszczyznach (po obu stronach scianki),
wi c sredni q wartosé napr i:enia scinaj,!cego w nicie obliczymy z wzoru:
2T 2QeS'
Pt = :!rd i = 1:!rif2
T 0 rôwnanie pozwala obliczyé odst p nitôw e z danydr wartosci d i napr zenia dopuszczalnego.
przy obliczeniu belek dwuteowych Iitych wskazalismy juz na waznosé wyznaczenia napr zeii
glôwnych w punktach przekroju odpowiadaj,!cych przejsciu scianki w stopk . Z t q sam,! okoliczno-
sci,! wypada si liczyé i przy obrachowaniu belek nitowanych. W najniekorzystniejszych warun-
kach okaz,! si tutaj punkty lezqce na wysokosci nitôw poziomych, gdyz wedlug naszych przy-
puszc;zen (pomini cie tarcia) oprôcz napr zeii scinajqcych pt", odpowiadaj,!cych ogôlnemu odksztal-
ceniu samej scianki, przenoszq si w tem miejscu na sciank sily T za posrednictwem nitôw. Te
sity dqz q do sci cia scianki w ptaszczyznie przechodz,!cej przez srodki nit6w. Przyjmuj,!c rôwno-
mierny rozklad napr zen scinaj,!cych, znajdziemy ich wartosci z rownania:
, T
Pt = (e - d) b '
(86)
albo po podstawieniu za T wartosci z (85):
, ",S' e
pt=-TiJ e-d
Do obliczonych napr zeii pt' trzeba dol,!czyé jeszcze wymienione powyzej napr zenia p/', powsta-
jqce w sciance pod wplywem sily poprzecznej Q. Okresli je formula:
"QS" e
Pt =-. --,
Ib e - d
w ktôrej S" oznacza moment statyczny cz sci scianki, lezqcej powyzej Iinji srodkôw nitôw, wzgl -
dem osi oboj tnej. T cz sé uwidoczniono na rys. (152) g stszem zakreskowaniern. Oznaczywszy
przez S = S' + S" moment statyczny g sto zakreskowanej cz sci calego przekroju, przedstawimy
napr zenie wypadkowe wzorem:
, " QS
Pt=Pt +Pt = Tb
ktôry w polqczeniu ze zwykl q formulq:
e
-- ,
e-d
. (87)
Mz
pn = /-
dIa napr zenia normalnego pozwoli obliczyé napr zenia glôwne wedlug wzoru:
: } = i n I 11 ( P; r + Pt
[Powy:isze rachunki wydaj si na pierwszy rzut oka jako bardzo niepewne, gdyz z jednej stron)'
zaniedbujq tarcie mi dzy nitowanemi cz sciami, ktôre, jak wykazaly doswiadczenia gra : dominu-
j'!Cq rol , a z drugiej strony nie licz,! si zupelnie z nierôwnomiernosciami rozklad napr zen,
wywolanemi przez otwory.1\le bI dy wywola:rie terni obiema niedokladnosciami maj,! znaki przeciwne
i zdarzyé si moze, ze si nawzajem znios<!, tak iz przyblizony zgruba rachunek b dzie wcale
dobrze odpowiadaé rzeczywistosci. Praktyka, jak si zdaje, przemawia za tem, ze w tym przypadku
nie zawiodla inzynierôw intuicja. W kazdym jednak razie ostroznosé nie zawadzi i przy obliczeniu
w powy.iszy spos6b belek nitowanych b dzie wskazanem obnizyt napr zenia dopuszczalne w po-
rôwnaniu do wartosci uznanych za bezpieczne dIa belek litych].
111
Nowsze doswiadczenia z nitowanemî belkamî 1 pokazuj , te ich zlamanie zachodzi zwykle
wskutek niewystarczajqcej statecznosci pasa sciskanego, albo niestatecznosci stosunkowo cienkiej
scianki pionowej 1).
68. OBLICZENIE ZLOZONYCH BELER DREWNI1\NYCH
.
W przypadkach wielkich moment6w zginajqcych uzywa si dia lepszego wyzyskania materjalu
belek zlozonych z dwu, a wrazie potrzeby z trzech, przyczem najcz sciej lqczy si je klinami
(dyblami) i srubami w spos6b przedstawiony na rys. (153). Dzialanie klin6w objasnilismy juz w 59.
Sruby zas majq widocznie gl6wnie konstrukcyjne znaczenie. Rozpatrzmy przypadek belki podw6jnej
o szerokosci b i wysokoscl 2h. Jezeli e oznacza odst p klin6w, to sHé! scÏnaj,!ca T, przypadajqca
na jeden klin, b dzie r6wna wypadkowej z napr zeii scinajqcych Pt, jakieby dzialaly w poziomym
srodkowym przekroju 0 polu b . e, gdyby belka byla lit q , czyli
T=bept. .
1\ poniewaz
QS 3 Q
Pt = J1} = 2' 2 b h '
! !,! 1 l
' .. ': zh
,/_. - {' ,. "'
WI C
T = -} e . . (88) Rys. ISJ
Przy obliczeniu klin6w przyjmuje si zwykle gl bokosé wr bu (3 do 4 ç,m) i ozna<;za si szerokosé
a z warunku, aby op6r przeciwko zgnieceniu wl6kien wr bu byl r6wny oporowi klina przeciwko
sci ciu. Znajqc wymiary klina, a zatem i wartosé sily T, kt6rq moze zniesé z zqdanym stopniem
bezpieczeiistwa, mozemy obliczyé odst p klin6w e z formuly (88). T en odst p nie b dzie wog61e
stalym, lecz zmienia si odwrotnie proporcjonalnie wzgl dem wartosei sHy poprzecznej Q. Wskutek
oslabienia belek wr bami wstawia si we wz6r dia obliczenia najwi kszych napr zen normalnych
( ) Mmax
Pnmax=- w
wartosé
W = [ b (2h)S b (2e):! ] . h
12 12' .
W miejscach, gdzie przypadajq sruby lqczqce, trzeba nadto uwzgl dnié oslabienie przekroju przez
otw6r na srub . Pr6cz tego zmniejsza si napr zenie dopuszczalne w por6wnaniu do tego, jakie
przyjmujemy dia belek litych 0 30 % i).
Belki poziome,
b-,'-' A
;-- ' ,
. . '-Ii
-\0
lezqce
69. OBLICZENIE PLl1TWI
na pochylej polaci dachu i podtrzymuj<!ce jego pokrycie, nazywamy
platwiami (1. p. platew). Zwykle dzialaj<! one jako belki w obu kon-
cach podparte i r6wnomiernie obciqzone, obliczamy je wiçc wedlug
najwi kszego momeRtu
Ry.. l S
1
M IJUlx = 8 q P.
Ze wzgl du na wyst pujqcy tutaj przypadek zgi eia ukosnego, znajdujemy
najdogodniej wartosé najwi kszego napr i:enia normalnego, rozlozywszy
moment na moment y skladowe, dzialaj ce w plaszczyznach gl6wnych
belki. Jezeli przekr6j jest prostokqtem (rys. 155) 0 podstawie b i wysoko-
sei h, nachylonej do pionu pod kqtem IX, to najwi ksze napr zenie nor-
w pukcie}J. Latwo okazaé, ze jego wielkosé okresla formula:
6 M co s IX + 6 M sin IX
PH = b h 2 - b 2 h
malne powstaje widocznie
1) Ob. F. Moore. University of Illinois Bulletin 68, 1913.
2) Wedlug dogwiadczeti prof. E. Kidwell'a (Michigan College of Mines) r6wua si wytrzymalogt belki zlotonej 75Of.
wytrzymalo ci odpowiadajqcej belki Jitej przy zastosowanj.u kIin6w dçbowych, a 80% przy klinach zelaznych.
112
Ze wzgl du na to, .le
b cos a. + h sin a. = C,
przyczem C jest sum rzut6w bokôw b j h na poziom, da si powyzsza formula napisaé w postaci:
6Mt:.
Pl! = b 2 h 2 .
. Na platwie ielazne utywa si z korzy ciq ksztalt6wek Z (rys. 156), kt6rych przekr6j ma osie gl6wne nachylone do
gcianki i stopki. PoniewaZ stopki lezq w plaszczyinie polaci dachu, nachylonej do poziomu pod k'!tem 0:, wi c moze siç
zdarzyé, te plaszczyzna gl6wna platwi b dzie zorjentowana pionowo i :te,
powstanie zgiçeie w tejze plaszczyinie. Zajdzie to oczywi cie przy k,!cie
nachylenia dachu r6wnym k'!towi nachyIenia osi Y (fig. a) przekroju do
stopki. Wtedy plaszczyzna zginania bçdzie odpowiadaé najwi kszej sztywno-
ci przekroju, czyli 'platew b dzie pracowaé w najkorzystniejszych warunkach
kt6rych, praktycznie biorqc, nie zmieniq male odchylenia warto ci kqta 0:.
W przypadku obciqzenia belki silami prostopadlemi do
JeJ osi, a nie le.lQcemi w jednej plaszczyznie, rozkladamy
kaM q sil na dwie skladowe, Ie.lQce w gl6wnych plaszczy-
znach belki i badamy zgiçcie w kazdej plaszczyznie
zosobna. Wezmy np. belkç fJ.B (rys. 157, fig. a) w obu koncach podpart q i obcîQzonQ silami
Pt, P 2 , Pg. Niech b dq XY i XZ plaszczyznami gl6wnemi belki. Znajqc kQty nachylenia a., 13,... (Hg. b)
danych sil wzglçdem plaszczyzny X Y, latwo obliczyé ich skladowe. W plaszczyznie X Y zachodzi zgi -
cie pod wplywem sil P'I = PI cos a., p'. = P 2 cos 0 = P",
P' s = Ps cos ; za w plaszczyznie X Z b dQ silami zginaj ce-
mi: P"t = Pt sin a., P", = P, sin 0 = 0, P"s = Ps sin . DIa tych
sillatwo skonstruowaé diagramy momentôw zginajqcych abcde
i a' b' c' d'. Przekr6j niebezpieczny b dzie widocznie le.leé
w miejscu dzialania jednej z sil, jednakowoz niekoniecznie
w prze!croju, gdzie moment ma najwi kszq wartosé, albowiem
naprçzenia zalezQ nietylko od wielkosci momentu, lecz takze
od kqta nachylenia plaszczyzny momentu wzgl dem plaszczyzn
gtôwnych. Przy wyznaczeniu napr zen trzeba sumowaé na-
prçzenia wywolane zgiçciem w kazdej z plaszczyzn glôwnych
zosobna: Jezeli moment y w plaszczyznach X Y i X Z ozna-
czymy odpowi dnio przez M z i My, to naprçzenia normalne p
w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego okresli wz6r:
p = Mzy -t: Myz .
/z /y
Znaki algebraiczne nalezy przytem obraé w zaleznoscÏ od kie-
runku moment6w.
z
--------
fig.a.
(i!;j.b.
Rys. 156
9 70. OBCIl1ZENIE RUCHOME
p-
I
r 1 f3.ël...
e
,
1
':Ji }I
I .Ç
r'-s. b.
'"'
..
Rys. 157
W przypadku obciqzl<f! ruchomych, iaki zachod.Li np. u mosl6w, zurawi i t. p., komplikuje siç zadanie przez to, te
dia ka:idego rozpatrywanego przekroju belki trzeba najpierw znaleié najniekorzystniejsze polo:tenie ruchomeg() obciqil<nia.
W najprostszyth przypadkach mozna kwestj rozwiqzaé bez wszelkich trudno ci drogq analitycznq. Weimy np. belkç 0 roz-
piçto ci 1 (rys. 158), obciqzon,! jednym ciçzarem ruchomym P. Przy wszelkiem polozeniu ci zaru bçdzie diagram momen-
t6.w zghajqcych mieé postaé tr6jk'!ta. Wierzcholek tr6jk'ltu, odpowiadai'!cy najwiçkszemu momentowi zginaj,!cemll, lezy pod
--X--, E:i :tarem, a wielko!fé tego momentu okre la r6wnanie:
Hp ê- X M. TlBX = - - (l,-X) .
Przy przesumçclU ciçtaru zmienia siç M mBx wedlug prawa paraboli i osiqga naj-
Rys. H8 wiçkszq warto é przy x = . Co si tyczy sily poprzecznej, to pr y dowolnem polo:teniu
ci taru ma sila poprzeczna po kazdej jego strol!ie wartogé stal'l i r6wn,! odpowiadajqcej reakcji podporowej. fiteby otrzy-
maé najwiçkszq wartogé reakcji, trzeba ci :tar przysuD'lé do jednej z podp6r; a zatem
QmBx = P.
113
Jezeli na belkç dziala uklad dwu ciçzar6w 0 stalej wzajemnej odleglogci d (rys. 159). to diagram moment6w zgiçcia
,est czworok'ltem. Dajmy na to, :te Pt > P 2 , natenczas najkorzystniejsz m b dzie to polo:tenie, kt6remu odpowiada maximum
momentu pod ciçtarem Pt- Oznaczywszy przez x odleglo é tego ci taru od lewej podpory, znajdziemy jako wartœé me-
mentu w przekroju x:
Z warunku
x
M = Y [Pt (l-x) +P 2 (I-x- d}].
dM
dx = 0 otrzymamy:
x = (l-d. Pt; pJ '
a po wstawieniu tej wartogci w wyrazenie dia M, znajdziemy naiwiçkszy moment zgi-
naj'lcy. DIa otrzymania najwiçkszej wartogci slly poprzecznej trzeba oczywigcie przy-
sun<!é ci zary calkiem do Iewej podpory.
Metodç analitycznq motna zastosowaé do poszukiwania poloteti niekorzystnych tak:te wtedy, gdy ruchomy uklad
ci zar6w sklada si z wi kszej ich liczby. ale prostsze i bardziej przejrzyste rozwi'lzame otrzymamy, stosujilC metod wy-
kre lnq, W tym celu naznaczamy na belce szereg przekroj6w i dia katdego z nich wyszukujemy te polotenia oblÏqteJ5.,
przy kt6rych Q i M przybieraj'l najwi ksze warto ci. Dajmy na to, :te chodzi 0 przekr6j mn (rys. IbO). fizeby odpowie-
dzieé na pytanie, jak trzeba rozmiegcié obciqtmie dia otrzymania w tym przekroju Qmax,
rozpatrzymy najpierw dzialanie ;ednego ciçtaru 0 wielkogci 1. Przy poloieniu uwido-
cznionem na rysunku, sila poprzeczna w przekroju m n jest r6wna Iewej reakcji podpe-
rowej 1; x . Prawo jej zmiennogci przy przesuwaniu ci taru przedstawiaiil rz dne po-
chylej prostej C' B' (fig. b},odeinajqcej nad Iew'l podpor'l rzçdn,! r6wné! 1 (jednostce sily).
Kiedy ci :tar. r6wny 1. znajduje si na lewo od przekroju mn, to sil poprzeczn'l w tym
przekro;u otrzymamy, odejmujqc od reakcji lewej .podpory jednostkç sily. Na fig. (b)
wykonano to odejmowanie wykr lnie przez poprowadzenie prostej if' Dr /1 B' C. Ujemne
rZc.Jdne tej prostej na przestrzeni Iewej czçgci belki okre ,! zmianc.J sily poprzecznej
w przekroju m n przy przesuwaniu jednostki ci zaru na tejte cz ci. Calkowity obraz
zmienno ci siIy poprzecznej w przekroju mn przedstawiq zakreskowane pola (fig. b).
przyczem znaki obrano wedlug przyj tej umowy. Odcinki prostych C' Br i Ii' D', ogra-
niczajqce zakreskowane pola, przedstawiaj'l Ii n j ç w pl Y w 0 w é! dia sHy poprzecznej
w przekroju m n. Przy jej pomocy latwo obliczyé Q dia dowolnego ukladu obciq1e:6.
Gdy mamy jeden ci tar p. polotony w jakimkolwiek przekroju belki, to trzeba zmierzyt
rz dnc.J linji wplywowej w tylJl przekroju. a jej wieIko é y, przedstawiajqc'l sil poprze-
cznq, powstali! pod wplywem obciqzenia r6wnego jednostce, pomnotyé przez wielkogé ci zaru P. Jeteli z mamy uklad
ciçzar6w Pb P 2 ..... to silç poprzecznq przedstawi wyratenie:
Q=PtYt +P 2 Y2+'" (a)
DIa otrzymania najwi kszej dodatniej warto ci Q trzeba obciq:tyé praw'l cz t rozpi togci i ustawit ci tary taIt, aby
suma (a) przybrala najwi kszq wartogé. Najwi kszq ujemn'l wartogé Q znajdziemy obciqtywszy lewq cz t rozpi to ci.
Skonstruujemy teraz linj wplyWOW'l dia momentu zginai'lcego w przekroju mn. J{>teli ci tar 1 Ie:ty na prawej cz gci
belli (fig. a), to momentem w przekroju mn bçdzie: 1; x Bt. To wyratenie okre a rzçdne prostej BITC", odcinaii!cej
u Iewej podpory rzçdn,! r6WIl<! Bt. Skoro przesuniemy ci :tar na lewq cz gé belki, to moment w przekroju mn bçdzie
r6wny 1 . (11- x) a i przedstaWÎll go rz dne prostej ifIT C", odcinaj'lcej u podpory B" rz dDll r6wn'l a. Linja wplywowa
if" C" B" daje nam prawo zmiennogci momentu w mn przy przesuwaniu ei iaru r6wnego ]. W przypadku obciqtenia
danym ruchomym ukladem ci :tar6w Ph P 2 ,... znajdziemy wielko t momentu zginajqtego w przekroju mil, mierz'lc odpo-
wiadaj'lce rz dne Yi> Yb'" i obliczaj'lc sumç
m
L .r---
A . fj
. &
-a.-fi (] --
(" fiS.B. ,
A , 1 Il , '' il
, "
--=
Rys. 160
C f)
-1 / C -;/:",
A f G=€) ------.....,..1 ] t.
1 .-J'1
l ,p
1 .
J!
Rys_ 159
P t Yl + P 2 Y2 + ...
Przy badaniu wytrzymalo ci w przekroju mn trzeba ci tary ustawit tak, aby suma (b) przybrala najwi ksz'l wartœt.
(b)
71. POROWNRNIE PRZERROJOW POPRZECZNYCH 0 ROlNEJ POSTl\CI
Majqc dane sily zginajqcej i rozmiary przekroju poprzecznego, mozemy oznaczyé stan napi cia
w dowolnym punkcie i zarazem ocenié stopien bezpieczenstwa belki. Przy projektowaniu mamy
jednak przed sob q zagadnienie odwrotne; chodzi mianowicie 0 t , aby znaIezé przekr6j poprzeczny
dIa belki, czyniqcy zadosé nietylko warunkowi wytnymalosci, Iecz takze warunkowi ekonomji.
Innemi slowy nalezy przy danych wlasnosciach materjalu nadaé tak q postaé przekrojowi poprze-
cznemu, azeby belka byla nietyIko dostatecznie wytrzymalq, lecz takZe, aby jej ci zër byl mozliwie
maly_ W r6znych dziedzinach techniki wypracowala praktyka najodpowiedniejsze typy przekroj6w
poprzecznych. T utaj zwr6cimy uwag na g16wniejsze wlasnosci typ6w najwi cej uzywanych.
Kun wytrzymalofci materjal6w
8
114
Przy czystem zginaniu majq warunki wytrzymalosci postaé:
Mh l - R i Mh 2 =R
-r<: 1 1 < 2'
przyczem hl i h 2 oznaczaj odpowiednio oddalenia rOzcié!ganych i sciskanych w16kien skrajnych
od osi oboj tnej, a Rl i R 2 wartosci dopuszczalnego ciqgnienia i cisnienia. Je.leli materjal jest
tego rodzaju, .le RI = R2' to powinno byé hl = h 2 , a zatem
1 1
hl = h 2 = W.
Warunki wytrzymalosci sprowadzajq si w6wczas do jednego nast pujqcego:
M
-=R
W < .
Z tego warunku wyznaczamy potrzebnq wielkosé modulu przekroju W. Poniewa.l ci .lar belki jest
proporcjonalny wzgl dem pola przekroju F, wifC przekr6j b dzie tem korzystniejszy, im wi kszy
jest stosunek W: F. 3
[T en stosunek ma wymiar dlugosci, wobec czego jeszcze dogodniej b dzie uzyé stosunku W: F Y
jako miary "w y d a t nos ci" przekroju, poniewaz jego wymiarem j est zero].
Postaramy si oswietlié zwiqzek mi dzy modulem W l a polem F przekroju poprzecznego
w kilku szczeg61nych przypadkach. 1
a) Prostokqt 0 podstawie b i wysokosci h; W = 6bhi, F = bh.
Stqd W h
F = 6 = 0,167 h,
, - =..!... 1I'h =0167 1nï J
3 6 V b ' V-b '
LF
czyli przekr6j tem korzystniejszy im wi ksze h w por6wnaniu do b. Powi kszenie wysoko ki h
ogranicza jednak warunek statecznosci, kt6ry rozpatrzymy p6zniej ( 56).
b) Rolo. W = 3C 3 , F= 3Cr i , a wi c = =0,125 d.
Por6wnajmy wartosci stosunku W: F dia przekroju kwadratowego i kolowego 0 tej samej
wielkosci pola. Wtedy bok kwadratu h jest ze srednicq kola zwiqzany r6wnaniem:
h= dViC ,
2
a zatem dia tego kwadratu b dzie
W h dViC
F=6=12= 0,147d.
Por6wnywujqC t wartosé z odpowiadajQcym wynikiem dia przekroju kolowego, widzimy,
.le przekr6j kwadratowy jest korzystniejszy.
[Stosunek W: ë i posiada dia kola warto é ..Ir- = 0,141. Por6wnywujqc j'l z odpowiadaj£!Cêl wartogciq dia prosto-
4rn
k'lta, znajdziemy latwo, te dia wszelkich warto ci dogadzajqcych warunkowi
h:b > 0,713
jest przekr6j prostok'ltny korzystniejszy od kolowego]. .
Przekrôj prostokqtny i kolowy napotykamy przewaznie w przypadku belek drewnianych. Bel
kom zelaznym nadaje si racjonalniejsze przekroje poprzeczne. Zwazywszy, ze przy zginaniu jest
wytrzymalosé materjalu nale.lycie" wyzyskanq tylko we w16knach skrajnych, wypada przy projekto
waniu przekroju skupiaé materjal jak naj alej od osi oboj tnej. Jeze!iby wszystek materjal byl roz
mieszczony w dwu cienkich paskach 0 wzajemnej odleglosci h (wysokosé belki), to teoretycznie
byloby to najkorzystniejszem. Moment bezwladnoscÏ w tym przypadku 1 = F ( ) 2, zas modul
przekroju W = 1: = h . Stosunek W: F otrzymalby wartosé 0,5 h. W praktyce mUSZq obie
115
cz sci przekroju byé poli!czone cianki!, a grubosé scianki musi byé wystarczaj ca, aby wytrzymaé
napr zenia styczne, uwarunkowane sHi! poprzeczn . W ten sposôb dochodzimy do przekroju dwu-
teowego (przekroju I).
c) Belki dwuteowe bywajl'! nitowane i walcowane. W ostatnim przypadku zachodzi mi dzy
modulem a polem przekroju dosé staly stosunek
W: F = od 0,31 h do O,30h.
T en stosunek latwo znalezé przy pomocy tablic dIa belek 1, ktôre zawierajl'! wartosci W, F i h.
Belki dwuteowe ml'!jl'! jeszcze t wyzszosé nad wysokiemi belkami prostoki!tnemi, ii; Si! sztywniejsze
w kierunku prostopadlym do plaszczyzny scianki.
[1 tutaj oczywigcie nie motna i é zbyt daleko z powi kszClniem smuklogci przekroju, juz to 'l powodu niebezpiecze1i-
stwa napr te1i miejscowych, juz tet ze wzgl d,! na warunek stateczno ci. Belki nitowane miewajq ksztalty smuklejsze, ale
za to wzmacnia si i usztywnia ich gciankç t. zw. zebrami].
d) P r z e k r 0 j e ru r 0 w e (rys. 161). Juz Galileusz zwrôcil uwag na korzysd zastosowania
przekrojôw wydrijzonych zamiast pelnych. Pierwsze mosty zelazne
o wi kszej rozpi tosci wykonano jako beIki rurowe. PôZniej zastij- l
piono cienkie scianki pionowe kraté! i tak powstaly spôlczesne typy
belek kratowych. _
e) 0 przekrojach poprzecznych geometrycznie po-
do b n y c h. Skoro przekrôj poprzeczny belki zmienimy na geometry- j
cznie podobny, to pole przekroju F, modul W i moment bezwladnoscÏ 1
zmienil'! si odpowiednio jak kwadrat, szescian i czwarta pot ga linjo-
wych wymiar6w przekroju. Oznaczywszy przez Fo, W o i 10 wielkosci odnoszl'!ce si do okreslo-
nego profilu, otrzymamy przy n-krotnem powi kszeniu jego wymiaru linjowego wielkosci:
F= n'Fo, W = ni W o , 1 = n'/o.
Z tego mozna wysnué kiIka wnioskôw maji!cych praktyczne znaczenie. Przyjmijmy np., ze
belka zgina si pod wplywem obcié!zenia rozlozonego r6wnomiernie na powierzchni. Jak si zmie-
nil'! napr zenia przy proporcjonalnem powi kszeniu wszystkich wymiarôw belki, jezeli nat i;enie
obcié!zenia pozostaje bez zmiany? Calkowite obcil'!zenie rosnie przytem widocznie jak kwadrat wy-
miarôw Iinjowych, a wi c moment zginajl'!cy b dzie wzrastaé proporcjonalnie wzgl dem szescianu
tychze wymiarôw. Poniewaz modul przekroju wzrasta w tymze samym stosunku, przeto najwi ksze
napr zenia zginajl'!ce nie .ulegni.! widocznie zmianie. Belki geometrycznie podobne b dl'! przy wy-
mienionem obciqi;eniu r6wnowytrzymalemi.
Skoro obcii!zenie rosnie proporcjonalnie wzgl dem szescÏanu linjowych wymiarôw, jak np.
ci zar wlasny belki, to moment zginajl'!CY b dzie wzrastaé przy proporcjonalnem zwi kszeniu wszyst-
kich wymiarôw jak czwarta pot ga wymiaru linjowego, podczas gdy modul przekroju rosnie pro-
porcjonalnie wzgl dem szescianu tegoz wymiaru. Napr zenia, wywolane ci i;arem wlasnym, wzra-
stajl'! zatem, w przypadku belek geometrycznie podobnych, proporcjonalnie wzgl dem rozpi tosci.
Znaczenie napr zen wskutek ci zaru wlasnego rosnie z rozmiarami konstrukcji. DIa belki okreSlo-
nego typu, przy danej wytrzymalosci materjalu, mozna latwo znalezé t graniczni! rozpi tosé, przy
kt6rej napr zenia wskutek ci zaru wlasnego osil'!gajl'! wartoscÏ napr zen dopuszczalnych uzytego
materjalu. Dalsze zwi kszenie rozpi tosci staje si mozebnem tyIko przez powi kszenie wytrzyma-
losci materjalu. Ogromne rozpi tosci, jakie napotykamy teraz w budownictwie mostôw i znaczne
dlugosci sp6lczesnych wieIkich okr tôw staly siç mozliwemi tylko przez zastosowanie wyborowego
materjalu, np. stali 0 wysokiej wytrzymalosci.
JezeIi poprzeczne przekroje belek SI'! geometrycznie podobne, to mi dzy polem Fi modulem
przekroju W zajdzie zwil'!zek: 2
F = cr W ll , . (a)
przyczem wieIkosé Iiczbowego spôtczynnika cr zalezy jedynie od postaci przekroju, czyli jest dIa
danej postaci sta1êl. Przy obiorze rozmiarôw poprzecznych wychodzimy z fonnuly:
M
W=}f'
[ EB
Rys. 161
8*
116
w kt6rej M jest wielkosci q najwi kszego momentu zgi cia, a R napr zeniem dopuszczalnem. Wtedy
pole przekroju poprzecznego wyrazimy, na podstawie (a), wzorem:
2
F = ex ( r ,
zas dIa ci zaru wlasnego belki otrzymamy wyrazenie:
Fly= exly( )i
Tutaj oznacza y ci zar jednostki obj tosci materjalu. Ci zar belek 0 geometrycznie podobnych prze-
2
krojach, rosnie przeto przy tej samej rozpi tosci proporcjonalnie wzgl dem M'3'.
Jezeli belk w obu koncach podparti! i r6wnomiernie obcii!zonë zasti!pimy dwiema belkami
o rozpi tosci dwa razy mniejszej, to wskutek tego moment zginaji!cy zmniejszy si cztery razy,
a ci zar dwu belek b dzie mniejszy od ci zaru pierwotnej belki 4 i = 2,52 razy.
Gdy trzeba jakqkolwiek przestrzen 0 rzucÎe poziomym prostoki!tnym nakryé ukladem r6wno-
odleglych belek, poloionych r6wnolegle do jednego z bokôw prosto i!ta, a obciqZenie przeniesione na
belki jest rozlozone r6wnomiernie na polu tegoz prostokqta, to przy zmniejszeniu liczby belek n-razy
zwi ksza si tylez razy obciqzenie przypadaji!ce na kazdi! z belek, a zarazem i wielkosé momentu
2
zginajqcego. Ci iar kaidej belki wzrosnie n '3'-razy, a poniewaz liczba belek jest n-razy mniejsza,
wi c og61ny ci zar belek zmniejszy si w stosunku 1: n !.
Przy doborze przekroju wypada cz sto kierowaé si nietylko warunkami wytrzymalosci, lecz
takie warunkiem dostatecznej sztywnosci belki, scharakteryzowanej wielkosci q El. Nierzadko ogra-
niczamy warlosé strzalki ugi cia, jaki! belka moze otrzymaé pod wplywem danych obciQzeli. Latwo
si przekonaé, ze zadowalajqc warunki wytrzymalosci nie zawsze czynimy jednoczesnie zadosé
warunkowi sztywnosci. Przy tych samych najwi kszych napr zeniach normalnych uginaji! si belki
o rozmaitych przekrojach poprzecznych niejednakowo. Jezeli p jest promieniem krzywizay w prze-
kroju niebezpiecznym, a h wysokoscii! przekroju, to wartosé najwi kszych wydluzeli i skr6celi,
a zarazem i warlosé odpowiadajqcych napr zen, jest okreslona stosunkiem : p (form. 61). Przy
stalej wartosci tego stosunku, czyli przy stalem najwi kszem napr zeniu normalnem, b dzie pro-
mien krzywizny tem wi kszy, a zatem ugi cia tem mniejsze, im wi ksza jest
wysokosé belki h. .
f) P rz e k r 6 j s z y n y k ole j 0 w e j (rys. 162) jest niesymetry-czny wzgl -
dem osi oboj tnej, jednakze zwykle tak uksztaltowany, aby ht = h 2 .
[Opr6cz wielu wzglçd6w konstrukcyjnych decydowaly tutaj 0 ksztalcie wymogi znacznej
sztywnogci we wszystkich kierunkach przy dostatecznej wytrzymalogci, przyczem uwzgI dniono
takze napr tenia miejscowe i cieranie gl6wki szyny wskutek ruchu pocÎ'lg6w).
g) Przekr6j teowy (T) i przekr6j przedstawiony obok niego na rys.(163)
Si! uzywane przy budowie okr t6w. Te przekroje nie Si! widocznie tak korzystne,
Rys. 162 jak przekr6j 1, tak z powodu rozmieszczenia materjalu, jak i nier6wnosci skraj-
nych napr zeil. Skoro za miar wydatnosci tych przekroj6w przyjmiemy znowu
stosunek modulu do pola przekroju, to dIa uzywanych w praktyce 1
profil6w ostatniego przekroju b dzie:
W
fi' = od 0,23 h do 0,22 h. - -
Obi6r podobnych przekroj6w dIa zelaza kowalnego usprawiedliwiaji!
tylko wzgl dy konstrukcyjne. Inaczej ma si rzecz, jezeli materjal
belki ma r6znq wytrzymalosé przy rozciQganiu i sciskaniu (np. ze- Rys. 163
lazo Jane). Wtedy b dzie odpowiedniejszi! postaé przekroju niesymetryczna wzgl dem osi oboj tnej
i tak dobrana, aby napr zenia we wlôknach skrajnych byly proporcjonalne wzgl dem odpowiednich
117
wartosci napr zen dopuszczalnych przy rozciqganiu i sciskaniu. Z tego wynika, ze stosunek ht : h 2
powinien byé r6wny stosunkowi napr zen bezpiecznych. Wezmy np. przekr6j U (rys. 164). Przy
rozmiarach uwidocznionych na rysunku jest srodek ci zkosci przekroju '_1-
odIegly 0 3 cm od osi 00. Jezeli doIne wl6kna skrajne Si! rozci ane,
a g6rne sciskane, to najwi ksze wartoscÏ cisnien i ciqgnien majq si do
siebie jak 7: 3. Zmieniajqc wyrniary rarnion i podstawy (scianki) profilu,
mozna dojsé do kai:dej dowolnej wartosci stosunku najwi kszego ciqgnie-
nia do najwi kszego cisnienia.
Na zakoticzenie zwr6cimy uwagç jeszcze na jednq okolicznogé, majqcil niekiedy praktyczne znaczenie. Modul prze-
kroju W okrdla wieIkogci najwi kszych naprçze6. normalnych przy zgi ciu, nalezy jednak pamiçtaé, :te modul przekroju nie
zawsze siç zmniejsza ze zmniejszeniem pola przekroju. Bywajq przypadki, w kt6rych przez odci cie pewnych cz gci przekroju
motna W powiçkszyé. Tak siç zachowujq przekroje, u kl6rych warstwa wl6kien skrajnych jest wilska w por6wnaniu do
szerokogci grodkowych czç ci przekroju. Dia przekroj6w takich np. jak kw a d rat ow y przy zginaniu w plaszczyinie prze-
k'ltnej, kolowy, tr6jk'ltny i t. p., powiçksza siç zrazu W, jezeli nie\\ielkq grubo é wl6kien skrajnych usuniemy. U pierwszego
z wymienionych przekroj6w mozna w ten spos6b wywolaé zwiçkszenie W, dochodz4ce do 5%, co latwo okazaé nastçpu-
j,!cym rachunkiem:
4
Momentem bezwladno kwadratu 0 boku a (rys. ]65) wzgl dem przek tnej jest 1 = 2 ' a odpowiednimodul prze-
(' k . W a8N Od W .. L_ . kr k 6 ' k '" 6 .. 6
rOJu = . e Jmy z przeACoJu za es owane tr J 'lty ClçClwamt r wneon 1 r wno-
leglemi do osi oboj tnej if B. Przyjmijmy m C = m'D = '" = ex a i obliczmy moment bezwladnogci
obei tego przekroju, rozlozywszy go na kwadrat lImbm' 0 boku a(l- ex) i dwa r6wnoleglo
boki bmnB i bBrfm'. W ten spos6b otrzymamy:
a 4 (1-0:)8
It= 12 (1+30:),
f J
If} : ,'1
0, '''/', C :-, ,0)10
--, --.
Rys 164
A
a zatem modul przekroju
w = a 4 (1- 0:)8 (1 +30:)V2 .
12 a (1 - o:)
Rys 165 Jak si latwo przekonaé, osi'lgnie W maximum przy 0: = . Po wstawieniu tej wartogci w wy-
wyrazenie dIa W znajdziemy warto é W max 0 5% wi ksz,! od warto ci odpowiadajqcej przekroJowi pierwotnemu. le ciçcie
warstwy skrajnej powiçksza w tym przypadku zrazu wartogé W, zrozumieé latwo, zwazywszy, ie W = 1 : +, a ubytek 1
wskutek ciçcia jest zrazu stosunkowo mniejszy, nii ubytek wysokogci h.
[)
ROZDZIRL X
LINJI\ UGI CII\ BELKI
72. ROWNRNIE LIN JI UGIF;CIR
Przy obliczeniach zachodzi cz sto potrzeba wyznaczenia nietylko wielkoSci napr zen, wywo-
lanych w be1ce dzialaniem danych obciqzen, lecz takze i wielkosci odpowiadajqcych odksztalcen.
Niekiedy wymaga si , aby wartosé najwi kszego ugi cia belki (strzalka ugi cia) nie przekraczala
danej cz sci rozpi tosci 1. Od kwestji postaci ugi tej osi rozpoczynamy rozwiqzanie takich zaga-
dnien, przy kt6rych og61ne warunki r6wnowagi nie wystarczajq do znalezienia reakcji podporo-
wych. Zbyteczne podparcia okreslajq warunki dodatkowe dIa zgi tej osi i terni warunkami poslu-
gujemy si w celu wyznaczenia reakcji.
Obierzmy pierwotnQ os belki (ustawioni! poziomo) za os X-6w, a os Y-6w skierujmy piol1,oWO
w g6r . Zakrzywiona postaé belki b dzie zupelnie okreslona r6wnaniem zgi tej osi 0 postaci og61-
nej y = f(x). T ego r6wnania dostarczy znaleziona poprzednio formula (63) 1):
1 M
P = El '
1) Tç lormul otrzymaljgmy dia przypadku czystego zgiçcia. 0 de zmienia siç krzywizna osi wskutek napr :i:e6 gcï-
najqcych objdnimy poniüj (ob. 81). Wplyw tych napr :te6 (uwarunkowanych silq poprzecznq,) jest zwykle niewielki
i dlatego pomijamy go przy rozwiqzywaniu zadat1 praktycznych.
118
skoro w niej zasti!pimy krzywizn 1 : p znanem wyrazeniem rôzniczkowem. W ten sposôb
rôwnanie rôzniczkowe ugi tej osi, czyli 1 i n j i u g i ci a w ogôlnej postaci 1) : .
y d'y
dx 2 M
:1: =
[ 1 + ( ) 2 ] t
otrzymamy
. (89)
.x
o
Zamiast tego rôwnania b dziemy uzywaé prawie wyli!cznie uproszczo-
Rys.166 nej przyblizonej formy, ktôra powstaje z powyzszej przez opuszczenie
w mianowniku wyrazu ( : ) 2. Najcz sciej bowiem mamy do czynienia z ugi ciami bardzo ma-
lerni w por6wnaniu do rozmiar6w belki, przyczem i wartosé jest bardzo malym ulamkiem,
tem bardziej zatem mozna pomini!é kwadrat tej wielkosci wobec jednostki. Przyblizone rôwnanie
linji ugi cia ma przeto postaé:
d'y
El dJl2 =:1: M . . (90)
Co do znakôw zauwai;ymy, ze w 58 um6wilismy si uwazaé moment zginaji!cy za dodatni
jezeli on dqZy do obrotu odci tej lewej cz sci belki w kierunku wskaz6wek zegara. T en moment
wywoluje widocznie w rozpatrywanym przekroju zakrzywienie osi belki, skierowane wypuldoscÏ q
w stron ujemnych Y-6w (rys. 166). Przy takiem zakrzywieniu rosnie wartosé pochodnej ze
wzrostem x, a przeto druga pochodna jest dodatnia i w naszem r6wnaniu (90) trzeba zatrzymaé
znak plus.
przy zmianie polozenia osi sp61rz dnych, albo przy odmiennej umowie co do znakôw mo-
mentu zginaji!cego, mote si zmienié i znak w r6w. (90), wobec czego przy rozwii!zywaniu szcze-
g6lowych zadan Iepiej ustalaé znak za kaZdym razem zosobna, obierajqc go w ten spos6b, aby
obie cz sci r6wnania (90) byly tego sam ego znaku t).
73. UGIECIE BELRI JEDNYM RQNCEM UTWIERDZONEJ
Niech obciq.zenie belki sklada si z sily skupionej P, dzialajqcej na jej swobodny koniec
i ci zaru q l, rozlozonego r6wnomiernie na calej dlugosci 1 beIki (rys. 167). Momentem zginajqcym
w przekroju m n b dzie z uwzgI dnieniem prawidla znakôw, przyj tego
w 65:
X
n
--x -
- -- --- 1 ----
_______,_!. v
/ -
fls.b.
q(l-x)'
M = - P(l- x) - .
2 .
Rôwnanie Iinji ugi cia przybierze tedy postaé:
d'y q(l-x)'
El-= -P(l-x ) ---.
dx l 2
Calkujqc obustronnie raz, otrzymamy:
dy ( Jl' ) q ( XII )
EI-=-P IJl-- -- "x-lx 2 +_ +C
dx 2 2 3
Rys. 67
. (a)
1) Krzywiznil odpowiadaji1 c q elementowi belki 0 dlug ci ds b dzie = dcp (rys 166) Poniewat t g cp - dy a wi<>c'
p ds .. - dx ' " .
1 d (arctg*) d (arctg*)
p ds dx + ( : ) t'
Wykonawszy r6zniczkowanie, dojdziemy do wyratenia po lewej stronie. r6w. (89).
2) [W bardzo wielu ksi'ltkach przyjmujq stale, ze dodatnia og Y-6w jest skierowana pionowo w d61. a dodatni moment M
zgina belkç wklçsiogciq ku g6rze. Tej umo ie odpowiada oczywi cie znak - po prawej stronie r6w. (90). Natomiast kierunkowi
dodatnich Y-6w, przyj temu na rys. (166), odpowiada (przy tej samej umowie co do znaku M) znak + po prawej stronie r6w. (9OH.
119
przyczem C oznacza dowolnl! stalq calkowania. Oznaczymy jl! latwo z warunku podparcia belki.
Lewy koniec belki jest w naszym przypadku utwierdzony, a wi c odpowiadajqcy mu przekr6j
poprzeczny 0 nie obraca si przy ugi ciu, czyli zakrzywiona os belki b dzie styczm do osi 0 X
w punkcie O. Napiszemy przeto:
DIa x = 0 jest : = o.
Z tego warunku wynika, ze w rôw. (a) trzeba przyjqé C = O. Podstawiajqc teraz w tem r6wnaniu
x = l, obliczymy kqt nachylenia stycznej na prawym koncu belki, a mianowicie:
(d y ) _ Pli qi'!
\ dx x=l- - 2EI - 6"EI . (91)
Pierwszy wyraz po prawej stronie daje nam kqt nachylenia stycznej wywolany sHi! P, drugi
zas kqt wywolany obciqzeniem q 1. 1\zeby otrzymaé ugi cia belki y, trzeba zcalkowaé znowu rôwna-
nie (a). Uwzgl dniajqc, ze C = 0, znajdziemy:
( 1 xl X S ) q ( 12 Xi 1 x 3 1'4 )
Ely=- P 2-6 -2 --y- -3+12 + D . . . (b)
Stal q dowolnq D wyznaczymy z drugiego warunku podparcia, ktôry powiada, te lewy utwier-
dzony koniec belki jest nier chomy, 1. j.:
y = 0 przy x = O.
Temu warunkowi czyni widocznie zadosé wartosé D = O. Rôw. (b) pozwala wyznaczyé wielkosé
ugi cia y w dowolnym przekroju, czyli jest rôwnaniem linji ugi cia. Najwi ksze ugi cie zajdzie
oczywiscie u prawego koiica belki; znajdzifmy je podstawiajqc x = 1, a wi c:
P JS q 1 4
( El y) =----
x=1 3 8'
Stqd:
P {S q 1 4
Yx=1 = - 3EI - BEI
. (92)
Pierwszy czlon tego wyrazenia przedstawia ugi cie wskutek sily skupionej P, drugi zaS ugi cie
wskutek obciqzenia q 1. Jezeli P = q " to te ugi cia majq si do siebie jak 8: 3. Znak ugi cia wy-
padJ: ujemny, poniewaz belka ugina si w stron ujemnych Y-6w.
9 74. UGIECIE BELRI W OBU RONC1\CH PODPIlRTEJ
Skoro belk AB (rys. 168) zgina sila skupiona P, dzialajqca w srodku rozpi tosci i r6wno-
miernie rozlozone obciqzenie q J, to najwi ksze ugi cie zajdzie widocznie w srodku C. Wielkosé
tego ugi cia mozna znalezé przy pomocy wynik6w
poprzedniego paragrafu. Rrzywa ugi cia b dzie oczy-
wiscie symetryczna wzgl dem srodka C, a styczna
do niej w tym punkcie b dzie r6wnolegla do osi X.
Razda polowa belki znajduje si zupelnie w tych
samych warunkach, co poprzednio rozpatrywana
belka, jednym koncem ufwierdzona. Jezeli wezmiemy Rys. 168
poo uwag praWq polow belki B C, to mozna jq _
C . b . k J B . 1 P ql k . J
uwataé za belk utwierdzonq k?ncem 1 0 ClqZOnq na oncu SI q 2 + 2' s lerOWani! w gor .
T sil przedstawia reakcja podporbwa belki AB. Pr6cz tego dziala na rozpatrywanq belk B C
obciqzenie r6wnomiernie rozlozone 0 kierunku przeciwnym owej reakcji. Na podstawie formuly (92)
wyznaczymy wywolane terni silami ugi cie konca 8, l. j.
( +!ll) ( (
f - 2 2 2
- 3EI
1 4
q(z) PP 5 qI4
8El - 48E/ +384Er
. (93)
120
Ugi cie belki AB w przekroju C przedstawi oczywiscie r6wnie:i wyra:ienie (93), tylko z przeciwnym
znakiem. Pierwszy wyraz okresla ugi cie, wywolane silil P, drugi zas ugi cie wskutek obci :ienia
r6wnomiernie rozlo:ionego q 1.
Je:ieli sila skupiona obci :ia belk nie w srodku rozpi tosci (rys. 169), to szu-
kanie r6wnania linji ugi cia komplikuje si nieco. Zale:inie od tego, po kt6rej stronie ci :iaru P
obieramy przekr6j, wypadaj(! dwa r6:ine wyrazenia analityczne dia momentu zginaj(!cego i dlatego
r6wnanie . rô:iniczkowe linji ugiçcia ma odmiennil postaé dia ka:idej z obu cz sci belki. Dia lewej
cz sci b zie niem:
d1y Pc
El dx l =Tx.
Calkujilc raz, znajdziemy prawo zmiennosci kilta na-
chylenia stycznej w postaci:
El dy = Pc x 2 +D
d.x 1 2 '
przyczem D oznacza dowolnil stal(! calkowania. Powtôrne calkowanie daje:
Pc X S
Ely =T(;+Dx+D u
Vr- J'h-JII
A t-- c .0.0.'
fi
'_'h -,-- 1-. ._-
,p
1 OU Co- -i RA
.
. w
Rys. 169
jako r6wnanie linji ugi cia lewej cz ci belki. NOWil stali! dowolnil DI latwo wyznaczyé z warunku,
:ie lewy koniec beIki jest podparty, a wi c ugi cie tego kotica r6wna si zeru, czyli:
y = 0 przy x = o.
T emu warunkowi czyni zadosé DI = o. Wyznaczenie stalej D jest mo:iliwe tylko po rozpatrzeniu
r6wnania linji ugi cia dIa prawej cz sci belki.
Wyznaczenie wartosci stalych calkowania mo:ina znacznie uproscié przy pomocy nast pujil-
cego sposobu. Wyraziwszy moment zginaj(!cy w dowolnym przekroju prawej cz sci belki przez sily
leiqce po Iewej czçsci tego przekroju, otrzymamy r6wnanie r6:iniczkow linji ugi cia prawej
cz sci '!l postaci:
d 2 y Pc
El dx 2 = TX-P{x-cl).
WynilC pierwszego i drugiego calkowania mo:ina przedstawié w nast pujqcej formie:
El dy =- P E.. Xi _ P{x- CI)? + C
dx 1 2 2 '
El - Pc X S P{x-C l )2 C C
y-T6- 6 + x+ 1.
Otrzymalismy tedy cztery stale dowoIne: D, DI dIa lewej cz sci beIki i C, CI dIa prawej,
atoli dzi ki powy:iszej formie r6wnania linji ugi cia prawej cz sci belki sprowadza si liczba stalych
do dwu. W samej rzeczy, w miejscu dzialania sily P, 1. j. dIa x = CI' mUSZq obie gal zie linji ugi cia
mieé wsp61ni! stycznq i wsp6Inq rzçdn , a zatem:
I PC x" +D I = I PC X2 _ P{X-C t )2 +C I
1 2 x = CI 1 2 2 X=Cl '
, '
1 PIC s +Dx + Dllx= C) = I C a - P X{;:Cl)S +Cx+ Cll x =Cl .
St d wynika: C= D i (;1 = Dt.
Sprowadziwszy Iiczbç stalych do dwu, mo:ie'h1y je zi'ialefé z warunk6w na koiicach belki.
Z warunku podporowego na lewym koiicu wynika, jak widzielismy, te Dl = C t = o. Na prawym
koiicu jest ugiçcie tak:ie r6wne zeru, a wiçc kladqc x = 1 w r6wnaniu prawej galçzi linji ugiçcia,
otrzymamy, dIa wyznaczenia stalych CiD, r6wnanie:
Pc _ P{l-cJs CI - 0
1 6 6 + -.
121
Uwzgl dniaj c, ze 1- CI = c, znajdziemy:
C = D = Pc(c'-lt) .
61
R6wnaniem linji ugi cia dIa lewej cz sci belki b zie przeto:
Ely = Pcx (xl! + (;2 _ [J)
61
. (94)
Przedstawiony spos6b mozna stosowaé i w og61niejszym przypadku zginania belki ukladem sB skupio-
nych. Ustawiajqc dIa kaidej cz ci belki mi dzy dwiema s siEdniemi silami odpowiadaj'lce r6wnanie r6zniczkowe i caI-
kujqc je. znajdziemy, te og61na Iiczba stalych dowolnych jest r6wna dwukrotnej Iiczbie owych cz ci. Skoro jednakZe
przedstawimy wyniki calkowania w takiej postaci. jak to uczynili my powyiej w przypadku obci ienia belli jerlnl! silq
skupioDil, to liczbç stalych calkowania sprowadzimy do dwu. Oznaczywszy przez R lewq reakcjç podporowq, Ph P"P I ,...
sHy zginajqce, Ch , C 3 ,... ich odleglo ci od lewej podpory i nakoniec przez 1 rozpi to é belki, otrzymamy nastçpuÎ'!ce
r6wnania r6tniczkowe linji. ugiçcia w kolejnych przedzialach beIki, rozpoczynajqc od lewej podpory:
d 2 y
1. El dx 2 = Rx,
II.
d 2 y
El dx 2 = Rx - Pt (x- £1.),
d 2 y
El dx' =Rx-PI(x-cd - P, (x- c,),
III.
1.
Pierwsze calki tych r6wnati przedstawimy w postaci:
El dy = Rx' + C
dx 2 .
EI = Rx' _ Pdx-Ct)' +C t
dx 2 2 '
El dy = Rx"- _ Pt Ix- Ct)' _ P,(x-c,)' + C,
dx . 2 2 2 '
II,
III.
1.
Calkujqc powi6rnie otrzymamy wyratenia:
Rx 3
ElY=T+ Cx+D,
El - Rx8 Pt (x- £1.)B + C + D
y-T- 6 1 X l'
El = Rx8 _ P 1 (x-c t )3 + p,(x-c,)3 + C X + D
y 6 6 6 ' "
II.
III.
Z warunku, :te na granicy I-go ill-go przedzialu, t. j. przy x= C1, muszq obadwa odpowiadaj'lce r6wnania dat tç samq
wartogé ugiçcia i nachylenia stycznej, wynika:
C = C t i D = DI'
Podobnie:t z r6wnogci ugiçé i k'lt6w nachyIenia stycznych dla X = c" na granicy II-go i III-go przedzialu, wnosimy, :te:
C 1 = C t D 1 = D,.
PowtarzaÏèlc to rozumowanie dla katdej pary sqsiednich przedzial6w, znajdziemy:
C=C 1 =C,=C 3 ="'; D=D1=D,=D3='"
Pozostaje zatem rzeczy cie wyznaczyé tyIko dwie stale dowolne. bez wzgIçdu na ùogé przedziaI6w. Z warunk6w podparcia
obu kotic6w belli otrzymamy:
D=D,,=D,=...=O C=4=C,=...= [_ R" + Pn(l-;Cn)B ].
1 6 n=1,2,3_.
Te wyniki znajdujemy, przyr6wnywuj'lc do zera ugiçcia lewego i prawego podpartego ko6ca belki. Wyznaczywszy
stale, napiszemy latwo r6wnania linji ugiçcia dIa kazdego przedzialu belki. Tym sposobem mo:ina siç poslugiwaé tak:te
w przypadku, gdy, opr6cz siI skupionych, dziala na beIkç i obciq:tenie p'lgle. Trzeba tyIko. aby prawo zmiennogci obci/!-
tenia wzdluz beIki dalo siç przedstawié jedn,! i l'l sam,! lunkcj'l x we wszystkich przedzialach. Tak siç rzecz ma np. przy
obcillZeniu r6wnomiernie rozlozonem, lub zmieniajl!cem siç linjowo na calej dlugo ci belki.
122
Powr6cimy teraz do zgi cia belki jednq sil q skupionq i roztrzqsnremy r6wnanie(94).
Przy polozeniu obciqzenia przyj tem na rysunku (169), 1. j. gdy c < c 1 , zachodzi najwi ksze ugi cie
oczywiscie w lewym przedziale belki. Przyr6wny wujqc poch odnq wyrazenia (94) do zera, znajdziemy:
x = V (/2_C 2 ) . (95)
jako wartosé odci tej odpowiadajqcej najwi kszemu u gi ciu. Odp owiadajijca wartosé ugi cia
Pc V I (/ 2 2 ) 8 ( 9 6)
Ym." = - 9 El1 "3 - c -
Zauwazyé wypada, ze przekr6j, w kt6rym zachodzi najwi ksze ugi cie, lezy zawsze blisko srodka
rozpi tosci belki. Gdy ci zar P dziala w srodku belki, to najwi ksze ugi cie powstaje w obciqto-
nym przekroju. Odsuwajqc P od srodka coraz dalej, otrzymamy w granicy c = 0, a polozenie prze-
kroju odpowiadajqce najwi kszemu ugi ciu okresli wedlug wzoru (95) odci t :
1
x= 113 = 0,577/.
W ten spos6b odleglosé przekroju 0 najwi kszem ugi ciu od srodka belki nie przekracza nigdy
0,077/. Zwazywszy, te okolo miejsca najwi kszego ugi cia zmienia si ugi cie malo ze zmianq .
odci tej x (wlasnosé funkcji w poblizu max. lub min.), dochodzimy do nast pujqcego wniosku:
W przypadku obcfqzenia belki sil q skupionq, mozna z dostatecznq dokladnosciij przyjqé, ze ugi cie
belki w srodku rozpi tosci r6wna si najwi kszemu ugi ciu; popelniony przytem blqd, jak zoba-
czymy dalej, nie przekracza w najniekorzystniejszym przypadku 2,50fo. Podstawiwszy w r6w. (94)
zamiast x wielkosé --}, otrzymamy ugi cie srodka belki:
Pc
(Y)"=f = - 48El (3LI - 4c l ) . (97)
Opr6cz zgi cia belki wypadnie niekiedy wyznaczyé kijty obrotu przekroj6w ko1icowych. Po-
niewat te kqty Sij male, wi c b dziemy je mierzyé bezwzgl dnij wartosci q pochodnej w ko1icach
belki. Przy pomocy r6w. (94) znajdziemy kqt obrotu 1 Je ego koiica belki, ldadqc x = 0 w r6wnaniu:
dy Pcx' Pc(ll - Ci)
El-=-- .
dx 21 61
1\ zatem:
ç;; /
o .--- P !
... .. .., -.... Bt ",'"
-....
Pc(12 - c 2 ) . ( 98 )
J =- 6Ell
Wartosé ..'I-J wypadla ujemna, albowiem przy obranym ukladzie sp61rz dnych (rys. 170) jest po-
chodna ujemna. W dalszym ciqgu um6wimy si , aby kqt ,'!-1 mierzyé od osi OX w kierunku
wskaz6wki zegara i dlatego b dziemy opuszczaé znak - w formule (98). Ta formula dostarczy
nam takte wartosci kqta obrotu ,'!-2' jeteli w niej c zast q -
pimy przez 1- C, czyli:
,'!- _ Pc(l- c)(21- c)
2 - 6 Ell
. (99)
Rqt 2 b dziemy mierzyé od osi belki w kierunku
przeciwnym wskaz6wce zegara. Gdy ci tar P znaj-
1
duje si w srodku belki, 1. j. C::2 2' to
PL'
,'!-1 =,'!-2 = 16El . (100)
Rozpatrzymy teraz szczeg61owo przypadek kraiicowy, w kt6rym c dqty do zera, czyli sila P
zblita si do prawej podpory. Jeteli przytem sii P b dziemy powi kszaé wedlug takiego prawa,
aby Pc pozostawalo stalem, to otrzymamy w granicy zginanie belki parij sii 0 momencie M = P c,
Rys.170
123
dzialaj c na praw' koniec belki. Rôwnanie zgi tej osi znajdziemy dIa t6go przypadku, klad,!c
w wyrazeniu (94) c = 0 i Pc = M. .1\ zatem:
Mx
Ely = 61 (x 2 -12) . . (lOI)
R6zniczkujijc 10 r6wnanie wyznaczymy k'!t nachylenia stycznej:
dy M
dx = 6ElI (3.r-12). . (102)
N k d k . d . t . t . 1 . dy 0 Wt d
ajwi sze ug] Cle zaj zie w prze rOJu, g zle s yczna Jes pozlOma, czy 1 =. e y
3xl - 12=0, a st d
1 3
Ji. = V3 = 0,577 1.
Wstawiwszy znalezion warlosé x w wyrazenie (101), otrzymamy najwi ksze ugi cie:
M P MIl
f= JI = 0 ,0641- EI .
9 3.EI
Ugi cie w srodku r6W11a si
Mi' M 1 2
16EI = 0,06 5 El
. (103)
jest wi c okolo 2,5°/ 0 mniejsze od f.
Podstawiajijc w wyra.zenie (102) wartosci x = 0 i x = l, znajdujemy k,!ty nachylenia stycznych
koiicowych :
.ML. ML
1= 6EI 1 2= 3EI
T ymi wzorami wypadnie nam cz sto poslugiwaé si przy rozpatrywaniu
nych przypadk6w zgi cia belek.
. (104)
statycznie niewyznaczal-
9 75. UGI CIE BELRI W OBU RONC.1\CH PODP1\RTEJ POD WPl.YWEM OBCIl1ZENI1\
ROWNOMIERNIE ROZLOZONEGO. (Rys. 171)
Jezeli q oznacza obcië'!zenie jednostki dlugosd belki, to reakcje podporowe b dë'!:
lJ.=B=!Il,
. 2
a moment zginaj cy w dowolnym przekroju m n:
ql qx 2
M=-x--.
2 2
R6wnanie r6zniczkowe linji ugi cia ma zatem postaé:
d'y ql qJi. 1
El-=-x--.
dx l 2 2
Rys. 171
Po zcalkowaniu otrzymamy:
El dy = !Il ...1 _ qx' + C ( )
dx 4.... 6 . \a
Stalê3 C m9zna wyznaczyé z warunku symetrji linji ugi cia wzgl dem srodka belki, t. zn. z warunku:
dy 1
dx =0 dIa x="2.
Odpowiadaj cem r6wnaniem warunkowem jest:
qP qA qP
16 - 48 + C = 0, a st d C = - 24 .
Podstawiwszy otrzyman wartosé C w r6w. (a) i wykonawszy powt6rne calkowanie, znajdziemy:
_ qlx B q qlBx C
E1V-12----z4-24"+ p
124
Stala dowolna C t mu si byé rôwna zeru, poniewaz dIa x = 0 jest y = o. Ostat znie napiszemy dIa
danego przypadku r6wnanie linji ugi cia belki w nast puji'!cej postaci:
q I s ( Xi X S )
y= - 24EI X 1-2[i+p .
Najwi ksze ugi cie zajdzie widocznie w srodku rozpi tosci; znajdziemy je z rôw. (b), podsta-
. . . [n t
Wl8JijC W mem x = 2. n za em:
. (b)
5q[4
Ymex = - 384EI
Rijty obrotu koiicowych przekrojôw beiki b dij co do wielkosci rôwne, a wyznaczymy Je
z rôw. (a), kladqc C = - i x=O. W ten spos6b otrzymamy:
q [S
1 = 24 El .
. (c)
76. SRLRDRNIE SRUTROW DZIRLRNI]\ SIL
Rozpatrzylismy powy:iej przypadki dzialania na belk sily skupionej, obciq:ienia rôwnomiernie
rozlo:iQnego i pary silo Przy pomocy otrzymanych wynikôw mo:ina znacznie uproscié obliczenie
ugi é i ki'!tôw obrotu koiicôw beIki, powstalych pod dzialaniem obciqzeii bardziej zlozonych, poslu-
gujijC si zasad q skladania sk utkô w dzi alani a sil, czyli zasadi! su p erp ozy cj i. Dopôki
odksztalcenia Si'! male, a rozklad sil taki, ze ich dzialanie nie zaIezy od 6dksztalceii t), mozna prze-
suni cie ka:idego punktu odksztalconego ciala otrzymaé jako sum przesuni é, wywolanych poszcze-
gôlnemi silami zosobna. _
Dajmy na to, te na belk , w obu koiicach podpart q , dziala u k 1 a d s il s k u p ion y c h. Przy
obliczeniu ugi cia w srogku mo:ina zastosowaé form. (97). DIa wszystkich sil lezi!cych na prawej
polowie beiki b dzie oznaczaé l' odieglosé od prawej podpory, zas dIa si! dzialaji!cych na. Iew<!
polow b dzie c odleglosciij od Iewej podpory. Calkowite ugi cie otrzymamy przez sumowanie ugi é,
powstaji!cych pod wpJywem oddzieinych sit W przypadku obciijzenia ruchomego b dzie ugiçcie
w srodku tem wi ksze, im bli:iej srodka znajduje si obciqzenie. Jezeli nad osiij beiki wykreslié
krzywij, ktôrej rz dne, odpowiadaji!ce odci tym c na prawej polowie beIki, r6wnajij si (ob. form. 97):
c
48 El (31 2 - 4c2)
i przedlu:iyé ji'! symetrycznie nad lewi! polowi!, to obliczenie ugl cla, wywolanego w srodku belki
danym ukladem sil, upraszcza si znacznie. Wystarcza ka:idij z sil p6mno:iyé przez odpowiedni q
rz n krzywej (rys. 172) i dodaé otrzymane wyniki. Rz dna
krzywej w dowoinym punkcie beIki C okresla W obranej po-
dzialce ugi cie srodka beIki, wywolane jednostki! obciijzenia,
umieszczoni'! w tymze punkcie C. Nasza krzywa jest zatem t. zw.
Ii n h w pl Y w 0 w ij dIa ugi cia belki.
Od ukladu sil skupionych latwo przejsé do obcii!zenia ciij-
glego, rôwnomiernie rozlozonego. Jezeli q de jest obciijzeniem
elementu dlugosci belki de, polozonego w odst pie c od prawej podpory (0 < c < ), to odpowia-
dajijcem ugi ciem w srodku bçdzie:
Rys. t 72
qcdc ( 3[2-4 1 )
48 El c .
Calkowite ugi cie znajdziemy, sumujijc ugi cia wywolane obcii!zeniami eIementarnemi, a WIÇC:
1
f = 2 (2 qcdc (3111 -4c1) = 2- qlt, .
)0 48 El 384 El
Gdy obciqzenie jest rozlozone rôwnomiernie tyIko na pewnej cz sci rozpi tosci, to przy obliczeniu
ugi cia, trzeba tylko zmienié w odpowiedni spos6b granice calkowania.
1) Przypadki, w kt6rych przesuni cia punkt6w prçta, wywolane odksztalceniem, okazujf! istotny wp1yw na dzialanie
sil, rozpatrzymy w rozdz. XV.
Jako przyklad bardziej zlozony rozpatrzymy zgiçcie belki wspornikowej (z wystajqcemi ko:1l.cami) pod wply-
wem sil skupionych Ph P 2 i P 3 (rys. 173). Dajmy na to, ze chodzi 0 znalezienie ugiçcia na k06cu C i w grodku rozpi -
togci F. Przy rozwi'lzaniu zadania og61nym sposobem, naletaloby dia
kazdego z czterech przedzial6w belki CR, RF, FB i BD napisaé osobne
r6wnanie r6tniczkowe, potem zcalkowaé wszystkie r6wnania i wyznaczyé
dowolne stale z warunk6w kra6cowych. Rozwi'lzanie uprogeimy znacznie
przez zastosowanie zasady superpozycji. Jakot weimy pod uwag ugi cie
w punkcie F. Wplyw sily Pt i P 2 na to ugi cie jest widocznie odpowiednio
r6wnowazny z wplywem momentu zginajqcego - Pt Ci> W przekroju podpo-
rowym R i momentu - P 2 C2 W przekroju B. Same wielkogci sit Pr i P,
nie graj'l tutaj roli. Od nich zalezq tylko reakcje podp6r i sily poprzeczne w wystajqcych cz gciach belki (wspornikach).
Ugiçcie wywolane parami sil. dzialaj'lcemi w przekrojach podporowych, obliczymy przy pomocy wzoru tI03). Ugi cie W
wskutek sily P okregli wz6r (97). 1\ zatem ugiçcie wypadkowe punktu F przedstawi wyraienie:
f = { 31!-4 ' ) _ PtCtl' _ P 2 c 2 1 '
48£1 C 16£1 16£1 .
Podobniez znajdziemy przy pomocy wzor6w (98) i (104) kqt nachylenia ,']1 zgi tej osi w punkde Il, a mianowicie:
,'] _ . , 2 - c' _ Pt c11 _ P 2 C2 1
t - 6£1 1 3£1 6£1'
Dia wyznaczenia ugi cia punktu C rozwazymy zginanie wspornika R C. Jeteliby styczna do linji ugiçcia w punkcie R byla
poziomq, to szukane ugi cie okregIilaby (bez wzgl du na znak) formula:
Pt C t 8
3£1 .
125
p
£ F- -
.___ F+ B: .__ _
. . --- -- )[ ..
-- '-----'" "-
- t:. ----,- . 1 --- ---:-..- Cr
, /!} D
-
Rys. 173
lUe przekr6j R obr6cil si 0 kqt ,']17 wskuiek czego zajd'l dodatkowe przesuni cia punkt6w wsporJ1ika. Dia punldu C jest
to prz suni cie (co do bezwzgl dnej wartogci) r6wne CI ,']t, a zatem ugi cie wypadkowe punktu C r6wna siç:
PI Ct 8
3£1 -Ci,']t.
Pozostaje jeszcze wstawié w miejsce ,']t wartogé znalezioDil powyzej.
Szereg przyldad6w zastosowania zasady superpozycji, b dziemy mieIi ponitej przy rozpabywaniu statycznie nie-
wyznaczalnych przypadk6w zgi cia.
17. LIN}1\. UGIECI1\. J1\.RO RRZYWF\ SZNUROWR
Dia znalezienia Iinji ugi cia wypada, jak widzie1i my, calkowaé r6wnanie:
d1y
El dx l = M.
T 0 calkowanie mozna takze wykonaé wykre lnie. Dia objasnienia metody wykreSlnej, przedsta-
wimy konstrukcj , kt6r si poslugujq przy szukaniu
moment6w zginajijcych w belce obcii!Zonej w spos6b
ci ijgly.
Niechaj m n (rys. 175) przedstawia 1 i n j 0 b c i ij z e-
n i a belki AB. Jej rz dnym nalezy przypisaé wymiar sily
podzielonej przez dlugosé, aby pole paska elementar-
nego q d x okreslalo obciijZenie przypadajqce na element
dlugo ci belki d x. Dia znalezienia moment6w zginajijcych
dzielimy pole (powierzchni ) obciqzenia rz nemi
(wykropkowanemi na rys. 175) na kilka cz sci i zast pu-
jemy kazd q cz sé sH q skupionij w jej srodku ci zkosci.
Jezeli dia otrzymanego w ten spos6b uldadu sH skupio-
nych wykreslimy wielobok sznurowy, to rz ne tego wie-
loboku, odpowiadajqce punktom podzialu, okreSl dokladnie
wielkosci moment6w zginajqcych w tycb punktach. Te
wielkosci znajdujemy, jak wiadomo, mnozqc owe rzçdne,
mierzone w podzialce dlugo ci, przez odleglo é biegunowq H, mierzonq w podzialce
sB. W innych punktach s momenty, przedstawione rz dnemi wieloboku, widocznie nieco wi ksze
od moment6w, odpowiadajijcych danemu obciqzeniu ciqglemu. Powi kszaj c liczbç cz sci, na kt6re
podzielilismy powierzchni obciqzenia, zwi kszymy ZaI'azem liczb bok6w odpowiadajijcego wielo-
y
m
-'
.
1
--'n
..;'--
! Il
BX
.
.
. 1
1 ::p
[ _--J-)
---- /'i8. éJ.
L
,0
,
.
,
.
---H-------J
fh;. b.
Rys. 174
126
boku sznurowego, a zmniejszymy r6znic mi dzy momentami, okreSlonemi przez rzçdne wieloboku,
a momentami odpowiadaj,!cemi danemu obci,!zeniu. W granicy zamieni si przeto wielobok sznu-
rowy na krzyw,! sznurowij, przedstawiajijcij seisle diagram moment6w zginaj,!cych przy danem
obciijzeniu ci,!glem 1).
Ustawimy teraz r6wnanie r6zniczkowe naszej krzywej sznurowej. Styczna do krzywej
w jakimkoIwiek punkcie ,V tworzy z osi q X kijt <p. Poprowadfmy w wieloboku sH odpowiadajqcy
promieii 0 F, to dIa ké!ta nachylenia stycznej otrzymamy:
qy _ _ FL . (a)
dx - OL
jezeli 0 L oznacza promieii poziomy 0 wielkosci H. Przy przejsciu od punktu N do nieskoiicze-
nie bliskiego punktu Nt zmienia styczna sw6j kierunek. Jezeli stycznej w Ni odpowiada promieii
OK, natenczas dIa tango ké!ta nachylenia stycznej w Ni mozna napisaé wyrazenie:
dy + d ( dy ) = _ R L . . (b)
dx dx OL
Odejmujijc od (b) r6wnosé (a), otrzymamy:
d( dY ) _ FR _ qdx ''}
dx - OL - H '
a zatem r6wnaniem r6zniczkowem krzywej sznurowej b dzie:
d 2 y .
H dx 2 = q . (105)
linji ugIçcla polega na zupelnej zgodnosci tego r6wnania z r6wnaniem
r6zniczkowem zgi tej osi belki El = M. Nat zeniu obci q -
zenia q odpowiada w r6wnaniu linji ugiçeia wielkosé momentu
zginaj,!cego M, zas odleglosci biegunowej H - wielkosé sztyw-
nosei belki przy zginaniu El. DIa wykreslenia linji ugi cia
trzeba sobie przedstawié belk pod wplywem pewnego fikcyj-
nego obciijzenia ciijglego, zmieniaj,!cego si wedlug tego samego
prawa, co i moment zginajqcy M i skonstruowaé dia tego obei q -
zenia krzywq sznurOWij, przyj,!wszy za odleglosé biegunowq
wielkosé El. Przy tej konstrukcji wypadnie pole obciqzenia po-
dzielié na cz sci, obliczyé pole kazdej cz sei, a wielkosé tego
pola odciqé w pewnej podzialce na wieloboku silo Poniewaz wy-
miarem rz dnych linji obcié!zenia jest w danym przypadku:
sila X dlugosé (moment), wi c pola bçd q mieé wymiar sUa X (dlu-
gosé)'. Jest to zarazem i wymiar sztywnosei belki El. Obrawszy
teraz pewnq podzialkç dIa wielkosci 0 wymiarze: sila X (dlu-
goSé)2, b dziemy w tej podzialce odeinaé elementy pola obei q -
ï:enia na wieloboku sil, jakotez odleglosé biegunowq. Odpowia-
dajqca krzywa sznurowa bçdzie mieê r6wnanie r6.tniczkowe
identyczne z r6wnaniem r6zniczkowem linji ugiçcia belki. DIa
otrzymania przy pomocy tej krzywej ugi é beIki, trzeba popro-
.wadzié bok zamykajë'!cy tak, aby uczynié zadosé warunkom na koiicach belki i od tego boku mie-
rzyé rz dne. Objasnimy to blizej na szczeg610wych przykladach.
I. Bel k a w 0 b u k 0 ii cac h po d par t a. Przy obcié!zeniu sHij skupionij P w srodku belki
przedstawia siç diagram moment6w jako tr6jk q t r6wnoramienny MN P (rys. 175, fig. a) 0 wyso-
Wykreslna konstrukcja
"Y t. p
A -'J:'-f .. B X
k . 6
. -------1 ----------: 6
r': ____L__________ _____.----________:__.l
ci 'jY .
. fij.tl.
.
1
tf: . . , ;p
: 1: 1 : . : 4 : x
S ]W T
". . . 1 .'
U ' : : y
f Y
.0
j;g.b.
Rys. 175
1) [TIA kuywq kre!Uimy w praktyce z dostatecznq dokladnc ciil, wpisujqc W otrzymany wielobok sznurowy luki para-
boliczne, styczne do bok6w w punktach, odpowiadajqcych rz\!dnym, kt6remi podzieliIigmy obciqzenie na C% ei].
", FR = qdx, poniewat odcinek wyznaczony dwoma promieniami na wieIoboku sil musi si r6wnac5 wypadkowej
wszystkich sil mi dzy odpowiadilj'lcemi bokami wieloboku sznurowego. W rozpatrywanym przypadku jest ta wypadkowa
r6wna obeillZeniu qdr miçdzy przekrojami, przechodz'lcemi przez Ni Nt.
127
kosci ' . T en tr6jki!t uwazamy za powierzchniç obcii!zenia i dzie1i!c go np. na 4 cz sci 0 tei sa"
mej szerokosci r6wnej , kresIimy odpowiadajijcy wielobok sznurowy dia odleglosci biegunowej
H = El, a nast pnie wpisujemy w wielobok krzywi! sznurowi!- Odleglosé biegunow odmierzamy
przytem oczywiscie w podzialce fikcyjnych sil, kt6rych wymiarem jest: sila X (dlugosê)i. R6wna"
niem r6zniczkowem lewej czçsci tej krzywej b dzie:
cJ.1y - P
El dx' = M = 2 x. . (c)
Gdybysmy mierzyli rz dne y od dowolnej prostej x'x' (fig a) w plaszczyznie X Y, zamiast od
osi X"ôw, to i te rzçdne czyni}yby zad osé r6wnaniu (c), Zmiana polozenia osi, od ktôrej mierzymy
rzçdne, jest bowiem rôwnoznaczna z podstawieniem w r6w. (c) wielkosci Y1 = Y - ax - b zamiast
wielkosci y. 1\by otrzymaé ugiçcia belki bçdziemy mierzyé rzçdne krzywej sznurowej od linji za M
mykajijcej S T, lijczi!cej punkty przeci cia krzywej z pionowemi, przechodzi!cerni przez podpory
belki A i B. Przy takim obiorze boku zamykajijcego nietylko czynimy zadosé r6wnaniu (c) lecz takze
i warunkom podporowym; y staje siç zerem przy x = 0 i x = 1. W przekrojach posrednich bçdzie
przeto y dawaé rzeczywiste ugi cie belki i to w tej samej skali, w kt6rej wykonano rysunek belki. T aka
konstrukcja nie dalaby siç jednak najczçsciej wykonaé, albowiem dopuszczalne ugiçcia nie przekra-
czajij 2 OO do 5 0 rozpiçtosci. Dlatego zwiçkszamy podzialk y
ugiçé wielokrotnie zapomocij stosownego zmniejszenia odleglosci r - //'8. tl.
biegunowej. Skoro np. zamiast H = El odmierzymy jako odle- Pl :
glosé biegunowij 10 1 0 El, to otrzymamy rzçdne Iinji ugiçcia 100 ra" : : ,
lA : ! B X
zy wiçksze. DIa pewnego pomymanego obci;p;enia pozostaje bo" -. , J . .7 .' .
wiem moment okreS1on y il o cz y nem z odle g losd bie g unowe J ' H :--7----- -t--_..:-J._.n+--_ '---;
. 1 1 l' .
i rzçdnej krzywej sznurowej stalym, jakiekolwiek obierzemy H. l{ . 1 : :: . R
II. Belka jednym koncem utwierdzona. Przy D fi!
obciijzeniu sHi! P dzialajê}ci! na swobodny koniec belki (rys. 116)
przooslawia siç linja momenl6w jako prosla C B nachylona E
F ...
wzglçdem osi X. Przyjijwszy pole trôjkqta .JI C B za powierzchniç
obciijzenia fikcyjnego, kreslimy dIa tego obcii!zenia krzywq
sznurOWij MN P Q, kt6rej r6wnanie r6zniczkowe ma postaé: G .3 .0 r;g. lJ.
.----H.._.---
d'y
EICfXi = M = -pei-x). Rys.176
1\zeby otrzymat ugiçcia belki, nalezy rz dne y mierzyé od prostej M R, stycznej do krzywej sznu-
rowej W punkcie x = 0, odpowiadajijcym miejscu utwierdzenia. Przy takim obiorze linji zamyka-
ji!cej czynimy zadosé warunkowi kraiÎcowemu u lewej podpory, a mianowicie: (y)x= o o. Drugi
warunek, 1. j. ( ) x=O 0, b dzie r6wniez spelniony, poniewaz biegun 0 obralismy tak, aby Iinja
zamykaj ca M R Il 0 a wypadla pozioma.
18. WYRRE LNO"I\NI\LITYCZNY SPOSÔB WYZNl\CZENIl\ UGmCI1\ BELER
ZwaZYWSZY. te ugi cie belki okreslaji! rzçdne wieloboku sznurowego, wykremonego dia linji
moment6w jako linji ob9iijZenia, mozemy zastqpié ko'hstrukcj krzywej sznurowej obliczeniem
moment6w dIa tego fikcyjnego obci;p;enia i drogi! znalezt ugiçcia. Rombinujé!c W ten spos6b
przejrzysty obraz geometryczny linji momentôw z prostym rachunkiem, omijajijcym najczçsciej
calkowanie, mozemy doisé do celu nawet prçdzej, nl:i metodi! og6ln Do objasnienia sposobu
posluzi! nastçpuji!ce przyklady:
J. Belka fIR w obu ko:iicach swobodnie podparta i obciijzona W sr6dku sHi! P
(rys. 177). Linja moment6w przedstawia si jako tr6jk .JI CR 0 wysokosd l . UWaZajijc go za linj
128
b . . tr . lk . t rl J fik . b '. . P [ 1 P [2 ate flk
o cl zema 0 zymuJemy ca OWl il wa o:.c cYJnego 0 clilzema 4" . 2 = -8' a z m . cyjna
reakcja rôwna si\} : ' lizeby wyznaczy ugi\}cie belki, wystarczy obliczy moment M, wywolany
fikcyjnem obciijzeniem i podzielié go przez odleglos biegunowij, ktôra si rôwna sztywnosci belki El.
1\ zatem ugi cie w dowolnym punkcie:
M
y= El
. P [2 [ P fi 1 1 P [S
W srodku belki Jest M = 16' 2-16' 3' 2= 48 '
. (106)
a zatem strzalka ugi cia
1 PIs
f= El '48'
co otrzymalismy juz poprzednio (wzôr 93) drogij ogôlni!.
Tangens ki!ta nachylenia stycznej do linji ugi cia znajdziemy teraz przez r6znic kowanie
rawnania (106), czyli: dy 1 dM Q
dx = El dx = El .
przyczem Q oznacza sil poprzecznil, powstala wskutek fikcyjnego obcii!zenia. Zastosujemy t for-
mul do obliczenia k",t6w nachylenia stycznych do linji ugi cia na podporach. Tutaj sÏla poprzeczna
. d . lk ' J ak .. PIS t k kt
Jest co 0 Wle O:.CI rowna re CJl -ï6' a za em szu ane '" y:
P[S
-3 1 = -3 2 = 16 El '
Rys. 177
. (107)
.1\by warlosci k",tôw zgadzaly si i co do znaku z reakcjami podporowemi, wywolanemi fikcyjnem
obciqi:eniem, przyjmiemy za dodatnie: obrat Iewego kotka belki w kierunku wskazowki zegara,
a prawego w kierunku przeciwnym.
II, Belka IIB w obu koticach swobodnie podparta i zginana obcii!zeniem
rozlozonem rôwnomiernie 0 wielkosci qkglm (rys. 178), Diagram momentôw jest para-
bolij Il C B, ktôrej rz dna wierzcholkowa r6wna si\} + q IS.
Odpowiadaji!ce calkowite obciqi:enie fikcyjne rôwna si
2 qlS 1 ak . d J" q[' R t
3 8 ' a re CJe po porowe rownaJ Sl 24' il Y na-
chylenia linji ugi cia na podporach wypadaj", z wzoru (107),
a mianowicie:
q[a
1 = 2 = 24EI .
. (108)
Rys.178
W celu obliczenia strzalki ugi cia zaznaczymy, ze srodki ci zkosci wycinkôw parabolicznych JI C D
i Be D lezq w odleglosci 1 5 6 1 od pionowych podporowych 1). Fikcyjnym momentem zginajijcym
w srodku belki b dzie przeto:
M = q [S .l. _ q la . = q [ 4 t '! k .. f M 5 q [4
24 2 24 16 384 ' a s rzal a ugl cla = El = 384 ' El .
1. Wedlug znanego wzoru dia odka ei kogci ligur plaskich mamy:
1
\2 ( qi QX'i )
) 0 TX-T xdJt 5
K c = ..! = 16 "
2 ( QI QX'i )
-x-- dx
2 2
o
III. Be Ik a w 0 bu koti c a ch s wo bodn ie podpart a i ob ci (!zona sB (! sk up ion(! P
w do w 01 n y ID P r z e k r 0 j u (rys. 179). Diagram moment6w przedstawia siç jako tr6jk t Il' C' B'.
l\zeby znalefé ugi cia, przyjmiemy linjç JI' C' B' za linj obciqzenia ci glego, ktorego wielkosé r6wna
si polu tr6jk q ta JI' C' B'. DIa znalezienia reakcji podporowych, wywolanych pomyslanem obciC!ieniem,
wyznaczymy polozenie srodka ci zkosci 0 tr6jk q ta JI' C' B'. Odleglosé
pionowej, przechodz(!cej przez 0, od prawego kotica B' bçdzie r6wna
(b + 1). Reakcje podp6r otrzymajC! przeto wartosci:
JI'= Pab . b+l . =_ Pdb(b+ .l)_,
2 3 1 61
B'= Pab a+l . = Pab(a+_l) .
2 3 1 1
R(!ty obrotu kOllC6w belki okresI(! wzory:
it = Pd b (b + J) = _ P el b (d + J) .
1 61E/' " 61El
Ugi cie obcié!ionego przekroju znajdziemy, utworzywszy dIa tego miejsca wyrazenie na moment M
wskutek pomyslanego obci(!zenia:
Pab(b + J) Pa 2 b a Pa 2 b l Pa1b l
M = 61 . a - ZI- . '3 = 31 ' z czego f = 31 El .
Ugi cie jakiegokolwiek przekroju Iewej cz sci belki w odleglosci x od Iewej podpory:
= [ Pdb(b + _ Px 2 b . j = Pbx(JI- :.2_X ) .
Yt El 61 . x 21 3 61EI
DIa dowolnego przekroju po prawej stronie sily P b dzie ugi cie w odleglosci Xl od prawej podpory:
Pax l (l'- a' - Xl)
Y2 - 6lEI .
Otrzymane wyniki latwo doprowadzié do zgodnosci z tem, co znaleziono poprzednio przez calko-
wanie r6wnania r6zniczkowego.
TV. Poslugujqc si metodë} wykreslno-anaIityczn(!, latwo otrzymaé formuly dia k(!t6w 1 i t 2
(rys. 180) przy zgi ciu belki par si!, dzialajé!c(! na jej koniec, np. A. Reakcjami podpo-
rowemi b dq w tym wypadku:
M M
ff=--C' B=+T'
Diagram moment6w zginaj(!cych przedstawia si jako tr6jk q t
.A' C' B'. Uwazajé!c (.' B' za Iinj obciqienia, znajdziemy dIa ad-
powiadaj(!cych fikcyjnych reakcyj wartosci:
JI' = _ .H 1 i B' = Ml .
3 2 3 2
Szukane k(!ty obrotu stycznych koiicowych okreSlé! przeto wzory:
Ml Ml
it 1 = 3El ' it 2 = 6EI '
ji t
tl (:, -. _:J B
->v <. _- -
t1;<f'..---------- .
-./
Rys. 180
V. Belka JIB j ednym koiicem utwierdzona,
a, na drugim swobodnym obcié!zona sHé! P (rys. lSl).
Diagram moment6w ma postaé tr6jk q ta prostok(!tnego il' C' B'
o wysokosci PI, r6wnej momentowi utwierdzajqcemu. Uwa-
zajqc ten diagram za linj obciq:zenia, otrzymamy ugi cia z for-
muly (106), jezeli obliczymy fikcyjne moment y; Do tego
potrzebna jest znajomosé fikcyjnych reakcyj, kt6re musz(! czynié
zadosé warunkom podporowym. W poprzednich przykladach
belek obu koncami sw-obodnie podparlych wyznaczalismy
i fikcyjne reakcje tak, jak dIa belki w obu koncach podpartej,
poniewaz ugi cia na podporach, a wi c i fikcyjne moment y
Kurs wytrzymalo ci materjaldw
129
-! B
Â
Pub
-,,-
I.y.. 11
A
-.-.-- 1----.
Rys 181
9
130
w tych punktach, musz byé r6wne zeru. Tutaj jednakze w mleJscu utwierdzenia JI jest y-O
i 0, a wi c fikcyjny moment i sHa poprzeczna musz byé r6wne zeru, co wymaga przy-
j cia, ze koniec JI' jest swobodny, a fikcyjna reakcja i moment utwierdzenia wyst pi na koncu fj'.
Pf2 . , M Pl 2 lU. . k '
Pierwsza ma widocznie wiélkosé B' = 2' moment utwierdzema zas = T' 3'. gI cle on-
ca B (strzalka ugi cia) przedstawia zatem wyrazenie:
M PlS
f= El = 3E1 '
, . B' 1 P l2
zas tangens k ta nachylenia stycznej rowna SI E J = 2' E J .
VI. Belka wystaj ca (wspornikowa), swobodnie podparta na koticu JI i w punkcie B,
a obci zona na drugim koticu C sH skupion P (rys. 182). Moment y zginaj ce, przedstawione
tr6jk tnym diagramem JI' D' C' s widocznie ujemne. Uwazajqc je za fikcyjne obcié!zenie rozpa-
trzymy odpowiadaj ce warunki podporowe. Reakcje podporowe mozna przyjqé tylko w punktach
fi' i C'; gdybysmy bowiem umiescili reakcj w jakimkolwiek posrednim punkcie, to fikcyjna sHa
poprzeczna doznalaby w tem miejscu naglej zmiany, kt6rejby odpo-
' 1 __. _m r.,___ D l'.. wiadal zalom w. linji u i c.ia. Taki z.as z lom )est oczywis ie
- " - .0, Ih ! C wykluczony. Pomewaz ugI cle w punkCle JI Jest rowne zeru, WI C
__ ._-/ . ..-.-'' f w punkcie JI' nalezy umiescié tylko reakcj . W un cie zas C'. tr eba
.....: nadto dzialaé momentem podporowym, odpOWlada)é!cym UglC ClU f
w tym punkcie. Wielkosé reakcji fI' znajdziemy z warunku, ze mo-
ment zginaj cy wskutek fikcyjnego obciqzenia w przekroju B jest
r6wny zeru, bo ugi cie jest zerem. F\ zatem:
fI'l = - Pc l .l. z cze g o JI' = _ Pc.!.. .
2 3 ' 6
Wtedy reakcja C' wypadnie z r6wnania:
JI'+C'= c(l+c) cz y li C'=_Pc ( - 3 L+ C 2 ) '
Rys. 182 . 2
Moment podporowy M w punkci(> C' znajdziemy jako moment wszystkich sil fikcyjnych, dziatajq-
cych na belk fI' C', wzgl dem punktu C', a wi c:
M= Pc(!+c) .Lt 2c _ Pei (l+c)=PcIJl_+c).
2 3 6 3
T eraz mozemy bez trudnosci wyznaczyé ugi cia i kqty nachylenia stycznych w r6znych przekro-
jach belki. Dzielqc np. wielkosci fi' i M przez El, otrzymamy:
{j =_ Pc( -I"= Pc'2.(I+C) .
1 6El' le 3El
T e:l same wyniki mozna otrzymaé pros cie j, poslugujqC si zasad q superpozycji.
79. BELKI 0 ROWNOMIERNEJ WYTRZYMI\LOSCI PRZY ZGIN1\NIU
Dotqd przyjmowaIismy zawsze, :le pr ty narazone na zginanie majq postaé symetryczn .
Rozmiary pr ta obieraIismy w ten spos6b, aby w przekroju niebezpiecznym, 1. j. w przekroju, gdzie
moment zginaj cy ma najwi ksz wartosé, uczynié zadosé warunkowi wytrzymalosci. Rzecz jasna,
ze wyznaczone w ten spos6b rozmiary przekroju poprzecznego b d dIa wszystkich innych prze-
kroj6w, z wyj tkiem przekroju niebezpiecznego, zbytecznie wielkie. Moglibysmy je zmniejszyé bez
uszczerbku dia wytrzymatosci, dobierajqc wymiary kazdego przekroju stosownie do zachodzqcego
w nim momentu zginaj cego i sily ppprzecznej. Wtedy w kazdym przekroju otrzymamy wyt zenie
materjalu r6wne dopuszczalnemu i dalej nie mozna p6jsé ze zmniejszeniem rozmiar6w bez osla-
bienia belki. Otrzymana takim sposobem postaé pr ta nosi nazw belki 0 r6wnomiernej wytrzy-
131
maloscÎ. W licznych przypadkach, kiedy mozna pomin é wplyw sit poprzecznych, wyprowadzamy
og6lny warunek, kt6remu powinna czynié zadosé taka postaé belki z podstawowej formuly
M
W=R.
M zmienia si wzdluz belki i wedlug tego samego prawa naIezy zmieniaé modul przekroju W.
Przyjmujemy przytem, ze wz6r powyzszy, wyprowadzony dIa pr t6w pryzmatycznych, mozna z do-
statecznem przyblizeniem zastosowaé do pr t6w 0 przekroju zmiennym. B dzie to niew tpIiwie
slusznem, 0 He zmia!1Y przekroju Sq dosé lagodne.
DIa por6wnania przytoczym} dokladne rozwié),zanie zadania w przypadku, przedstawionym na rys. (]83). Belka jednym
koncem utwierdzona, a na drugim obcié),zona sili! P, ma postaé klina 0 stalej grub ci
w kierunku prostopadlym do plaszczyzny rysunku. W dowolnym punkcie B przekroju m n
okre lajq naprçzenie normalne i styczne wzory nastçpujqce 1):
My ( tg « ) 3 P y2 ( tg u ) 3
P =- - sin 4 ,'t p =- - sin4 t.
11 1 « , t 1 r1.
Tutaj oznacza 1 moment bezwladno ci przekroju m n, y rz dnq punktu B, S- kilt, jaki two-
rzy wektor AB z kierunkiem sily i 2 « kqt wierzcholkowy k1ina. Przy malej warlogci k'lta fi
r6tni siç czynnik ( t « ) s sin 4 ,'t malo od jednostki, wobec czego rozklad napr ze6 normal-
nych r6zni si bardzo malo od Iinjowego rozkladu w przypadku stalego przekroju. Znaczna na-
tomiast r6znica zachodzi w rozkladzie napr ieti stycznych, kl6re slaj4 siç zerem dia y=O, a we wl6knach skrajnyc.h osiij,-
gajq naiwi kszq warto é okolo 3: ' 1. J. trzy razy wi ksz'l od warto ei redniej 1).
.:t'
Ry.. 183
_4
0',
/.
Rozpatrzymy teraz par przyklad6w beiek 0 r6wnomiernej wytrzymalosci.
Beika jednym koncem utwierdzona i obci zona na drugim, swobodnym, sil
s k u p ion q P (rys. 184). Moment zginajqcy w dowolnym przekroju 0 odci tej x, mierzonej od
kotica 13, jest bez wzgl du na znak, r6wny Px. 1\ zatem przy
postaci r6wnej wytrzymalosci musi W.czynié zadosé warunkowi:
Px
W = consL = R - (a)
Zadanie jest widocznie jeszcze nieoznaczone nawet wtedy, gdy
obierzemy jako postaé przekroju, dajmy na to prostokqt. Ozna-
czonem staje si zagadnienie dopiero, gdy postawimy waru-
nek tlodatkowy, ze np. podstawa prostok ta ma byé stalq. W6wczas
wysokosé y b dzie si zmieniaé wedlug r6wnania:
m l 1(:,
- 1 f'
-'. - --_ __IR
-.1" r
n P'
Rys. 184
m
= 6Px =R= 6PI
W b y2 b hl ,
jezeli przez h oznaczymy wysokosé przekroju
nia. Stqd:
x
h
w miejscu utwierdze-
n
.l'-
.Py
hl
yi = T X '
czyli kontur belki otrzyma w widoku postaé paraboli, kt6rej wierzchol-
kiem jest swobodny koniec belki (rys. 185). Poniewaz pole paraboli rowna si + pola opisanego
prostokqta h l, wi c znaieziona postaé r6wnomiernej wytrzymalosci dalaby okrqglo 33% oszcz -
dnosci na materjale 1».
Hys. 185
1) Ob. S. P. Timoszenko: "Tieorja uprugosti". 1914, str. 130.
2} [Ten wynik prowadzi napoz6r do sprzeczno ci ze znanym rozkladem parabolicznym w przypadku stalego pr2.e-
kroju prostokqtnego. W rzeczywisto ci ;ednak ta sprzecznogé nie zachodzi, poniewai, przy okre loDfj wielko ci przekroju mn,
i danym momencie M w Iymze przekroju, sprowadza si przedstawione rozwiqzanie dia u = 0 do szczeg61nego przypadku
czystego zginania. W istocie, gd staje sie zerem, to punkt dzialania sily P oddala siç do nieskoticzono ci, a wiçc sila P,
okreglajqca warto é sily poprzecznej znika wobec momentu M].
") [Przy zalozeniu, ze ci iar wlasny belki jest znikomy w porownaniu do obciqzenia P].
,*
132
[W rzeczywisto ei trzeha ze wzglçdu na sil poprzecznq zmodyfikowaé nieco otrzymany ksztalt belki. Na swobodnym
koticu belki jest wprawdzie moment zerem, ale sila poprzeczna ma tlj samq warto:1ié, co w innych przekrojach, wskutek
czego musi p ekr6j na koticu 6elki mieé warlo!!:é skoticzonq. Wywolane przez to zwi kszenie i1o ci materjalu bCldzie wi-
docznie nieznaczne. 0 ile stosunek 1: h jest do é wielki].
Co siç tyczy ugiçcia belki 0 r6wnomiemej wytrzymalo ci, to oczywi cie b dzie ono wi ksie, aniieli dia belki 0 sta-
Iym przekroju i da si obliczyé przy pomocy r6wnania r6zniczkowego lil1ji ugi cia z lem samem mniej wi cej przyblize-
niem, do jakiego prowadzi przyjçcie linjowego rozkiadu naprljzeti dia belki 0 zmiennym przekroju. Latwo zrozumieé, ze to
przyblizenie bçdzie tem znaczniejsze, im lagodniejsza zmiana przekroju wzdluz belki, czyli im mniejsz.e kqty nachylenia
tworz<! z osiq belki styczne do jej przekroj6w poludnikowych. P zeprowadzaj c rachunek dia naszego przypadku, musimy
w r6wnaniu r6zniczkowem Iinji ugi cia
d 1 y
EI- =Px
dx 2
uwataé 1 za zmienne i wstawié zan warto'é
3
l = !!. h S ( ) "2'.
]2 1
1\ zatem:
3 3 _ 1
d 2 y _ 12Pxl 12PI x '2'
dx 2 - Ebhsx t = Ebh s -
3
dy = 12P{ 2 t + C
dx Ebh8 X .
Sta1il dowoln'l C wyznaczymy z warunku, aby dia X = 1 byl kqt nachylenia stycznej r6wny zeru. Stqd:
24Pl2 2Pl2
C=- Ebhs =-EI---;'
przyczem 10 = bl 8 jest momentem bezwladno'ei przekroju w miejscu utwierdzenia. Powt6me calkowanie daje:
3
_ 12PI i_ 24Pl2 C
y - Ebh8 4 X Ebh8 x+ l'
Z warunku: dia x = 1 jest y = 0, znajdujemy warto'é stalej
8PIs
CI = Ebh 3 .
Ta stala okregJa zarazem ugi cie swobodnego kotica belki, t. j.:
2Pl8
f= 3Elo '
kt6re przeto wypada d w a raz y wi ksze, niz u belki 0 stalym przekroju b h. Oszczçdnogé mater jalu jest okupiona zmniej-
szeniem sztywno'ci pr ta.
Je:ieli przyjmiemy jako warunek dodatkowy dia okreslenia postaci belki 0 r6wnomiernej wy-
trzymalosci, ze wysokosé prostokqtnego przekroju pozostaje stalq, natenczas zmienna
szerokosé, kt6rq oznaczymy przez y, dogadza r6wnaniu:
6Px 6Pl
h 2 y = b h2 = const.,
przyczem b oznacza szerokosé przekroju utwierdzonego. Stqd
b
y = T x,
czyli szerokosé zmienia si linjowo. Dosé materjalu na tak q belk jest widocznie dwa razy mniej-
sza, anizeli w belce 0 stalym przekroju b h.
Linja ugi cia naszej belki jest lukiem kola, albowiem
M 12Px 12Pxl Pl
El = EhSy - Ebh 3 x = -El o = const.,
jest stalq. Stqd latwo znalezé strzalk ugi cia f (rys. 186), poslugujqc
1: 1 = 1 : (2 P - n.
z kt6rej po opuszczeniu malej wielkosci 1 2 w obec 2 pl wypadnie:
Ii. 1 2 Pl Pf3
1=2j)=2 E10 = 2E10 .
wi ksze, anizeli w przypadku stalego przekroju 0 momencie bez-
Ry'. 186
czyli krzywizna
si proporcjq
Ugi cie jest zatem 0 50°/0
wladnosci 1 0 -
133
Znaleziony ksztalt belki 0 rôwnamiernej wytrzymalosci ma oddawna zastosowanie praktyczne
do gibkich spr zyn. Niechaj Il Be przedstawia rzut poziomy spr zyny (rys. 187). Przy znacznej
wielkasci zginajqcej sHy wypada szerokosé lIe w miejscu utwierdzenia bardzo wielka i wskutek
tego niewygadna. T trudnosé omija siç w spos6b nastçpujqcy: Wyobraimy sobie spr zyn IIBC
poci tq na parzyst q liczb pask6w w sposôb przedstawiony na gôrnej figurze rys. (t87). Jezeli te
paski ulozymy na sobie tak, jak ta uwidoczniano na figurze dolnej (w dwu rzutach) i zapewnimy
wzajemne przyleganie pask6w podczas zginania, to z pomini ciem tarcÎa, b dzie tak przeksztalcona
spr zyna dzialaé w warunkach bardzo zblizonych do p<>przednich. W prakty- ,JI
cznem wykonaniu tworzq kazde dwa pa ski lezqce obok siebie jedné} calosé, co 1::: ". n " B
jednakze nie wplywa zupelnie na dzialanie spr zyny. Latwo zauwazyé, ze gi tkosé 1.
spr zyny zalezy w tych samych zreszt q warunkach ad gruboscî h. Z warunku .
wytrzymalosci wypada bowiem dIa przekroju utwierdzonego: '. .
Pl W,h Plh . ':;_ ::: . .
W"=R' a zatem lo= 2R " ===
W stawiwszy t wartosé we wz6r dia f, otrzym,amy: .
f= I , -- - .... y!. 1 ;-' JJ
czyli strzalka ugi cia jest adwrotnie proporcjonalnq wzgl dem grubosci h. lm ciensze Sq wst gi,
z ktôrych spr zyna jest ziozona, tem wi ksza b'Èdzie gi tkosé (podatnosé) spr .iyny ').
Belka W obu koncach podparta i obciqiona r6wnomiernie na calej dlugo ci 1 rys. (188). Przyj-
miemy przekr6j prostok'l'ny 0 stalej szeroko ci b. Momentem zginai cym w dowolnym przekroju mn bçdzie:
__ qI _ qx
M--x--.
2 2
-(f( Jeteli zmiennq wysoko é belki oznaczymy przez y, to dia jej obliczenia mamy
r6wnanie: 6 ( ql qX2 ) 6qP
cr P TX-T = const. = 8bh 2 '
- . y
l/J przyczem h oznacza wysoko é przekroju w odku rozpiçto ci. Sti%d:
Rys. 188 4 hl
y2 = -p (lx-x'),
czyli kontur belki w widoku jest elipsq 0 osi wielkiej 1. a malej h.
Przy szukaniu postaci belki 0 rôwnomiernej wytrzymalosci nie braIismy dotychczas pod uwag
napr .ieii scinajqcych. Tem si Uumaczy, ze np. dIa belek jednym koiicem utwierdzonych otrzy-
malismy ksztalty, u kt6rych pole przekroju poprzecznego na drugim koncu, obciqzonym sH q sku-
pionq, staje si zerem. Skoro ,uwzgl dnimy scinanie, to wypadnie przekr6j poprzeczny skonczony
i nalezy go dobraé tak, aby najwi ksze napr zenie styczne nie przekroczylo dopuszczalnej wartosci.
Belki nitowane ksztaHu 1.
U belek nitowanych osiqga si zmiennosé przekroju zapomOCq r6znej ilosci nakladek 0 stalej
grubosci. Wskutek tego przekr6j nie oze si zmieniaé w spos6b ciqgly, lecz stopniami. Tok
rachunku przedstawimy na liczbowym przykiadzie belki
o rozpi tosci 10 m, niosqcej r6wnomiernie razlozone
obciqzenie sOOOkglm. Rozmiary belki wyznaczymy tak,
aby najwi ksze napr zenia normalne nie przekraczaly
1000 kg/cm'. r, :
S.,fJ-J : : :
Paraboliczny diagram mamentôw przedstawia ry- J L .:.
sunek (t89). Najwi kszemu momentowi w srodku belki C' = b A 1 fi l h
118.. ,
M mBx = . 5000.10 2 kgm=625.10 4 kgcmodpowiada w- = Rys:;'189
= 6250cm S . Przekr6j z trzema pakladkami 0 rozmiarach uwidocznionych na fig. (b). posiada, po
odliczeniu otwor6w na nit y modul W 1 = 6250 cm s , w sam raz odpowiadajqcy M mBx :II).
= :>0_11
Ir
l} Rilka interesujqcych przypadk6w belek 0 zmiennym przekroju rozpatrzyl H. Blasius wart. "Trager kleinster
Durchbiegung und Stiibe grosster Rnicklestigkeit bei gegebenem Materialverbrauch c , Z.1. Math.
u. Phys. Bd. 62. Str. 182.
2} [T ak dokiadne dobranie przekroju udaje siç rzadko, gdyi wymiary gcianki i nakladek okre la iq okrcUsle liczby mm, wzglç-
dnie cm. Zwykle zatem wypadnie przyjqé przekr6j 0 nieco wi kszej warto ci W, od wymaganej przez warunek wytrzyma1ogci].
134
Zdjçwszy po jednej nakladce, otrzymujemy przekrôj 0 module W =-= 4980 cm 3 . Dopuszczal-
nym momentem zginajqcym dIa tego przekroju b dzie M 2 =4980.1000 = 498. 1O kgcm.
Po zdjçciu dwu nakladek mamy W 3 =3640cm s , a odpowiadajqcy moment Ms=364.1O kgcm.
Nakoniec przekr6j bez naldadek, zlozony ze scianki i czterech k q t6wek ma W 4 = 2280 cm lJ ,
a M 4 =228. 10 4 kgcm.
1\zeby teraz wyznaczyé dlugosé nakJadek, kreslimy na diagramie moment6w (Hg. a) proste
r6wnolegle do osi belki fI B, kt6rych rzçdne przedstawiajq wielkosci moment6w Ml' M 2' M 3 i M j'
Odpowiadajqce im ciçciwy paraboli okreslajq widocznΣ' teoretycznie potrzebne dtugosci nakla
dek. T ç dtugosé nalezy powiçkszyé 0 wielkosé koniecznq dIa polqczenia nitami z zewn trznemi
czçsciami belki. Otrzymany w ten spos6b ksztalt belki zbliza siç dosé dobrze do teoretycznej po-
staci r6wnomiernej wytrzymalosci i daje znacznq oszczçdnosé materjalu. Zato ugiçcie takiej belki
bçdzie wiçksze nizby bylo, gdybysmy obrali przekr6j wszçdzie staly.
Linjç ugiçcia moznaby wyznaczyé analitycznie, podzieliwszy belkç na czçsci 0 przekroju sta
Jym, ale 0 wiele prosciej dochodzimy do ceIu drogêt wykresInêt, wskazanq w 9 77. Zmianie prze-
kroju w oddzieInych czçsciach odpowiada zmiana odleglosd biegunowej H = El. Niechaj np.
czçsci 1. i 5 diagramu moment6w (rys. 190) odpowiadaj êt przekrojom z jednq nakladk q , czçsci 2 i 4
Il --- przekrojom z dwiema nakladkami, a czçsé 3
przekrojowi 0 trzech nakladkach. Wy-
kresImy wieIobok sil fikcyjnych 1, 2, 3,
4, 5 (fig. b), kt6rych wielkosé przedstawia
w znanej skali odpowiednie pola powierz-
chni moment6w, uwazanej za powierzchniç
obciqzenia. Obierzmy biegun 0 w odle
glosci H, rôwnej najwiçkszej sztywnosci
belki i poprowadfmy zen dwa promienie
ograniczajqce odcinek 3, odpowiadajqcy
czçsci beIki z trzema nakladkami. DIa wy-
kreslenia nastçpnych- promieni obieramy bieguny 0 1 , 0 1 w odlegtosci H;, r6wnej sztywnosci belki
przy dwu nakladkach i z tych iegun6w prowadzimy promienie do poczqtku odcinka 2 i konca
odcinka 4. Nakoniec dIa odcink6w skrajnych obieramy bieguny 02' O 2 w odleglosci Hu odpowiada
jqcej sztywnosci belki przy jednej naldadce i kreslimy promienie skrajne. Wykresliwszy tera1 wie-
lobok sznurowy 0 bokach r6wnoIeglych do odpowiednich promieni i wpisawszy wen w znany spo
sôb krzywq sznurOWq, otrzymamy linj ugiçcia belld w skaIi n-razy wiçkszej od skaIi dlugosci
rysunku belki, jezeli odleglosci biegunowe odmierzylismy w skali
n razy mniejszej od skaIi siJ fikcyjnych 1, 2,... 5.
Zamiast zmieniaé odIeglosé biegunowq dIa wykreslenia
wieloboku sznurowego, mozna przeksztalcié stosownie powierz-
chniç moment6w, jako powierzchniç fikcyjnego obcié!zenia.
W tym celu zatrzymujemy np. czçsé srodkowq (rys. 190, fig. a),
odpowiadajqcé! przekrojom 0 momencie bezwladnosci Il' a rZ
dne czçsci 2 i 4 powiçkszamy w stosunku Il: 1 2 , jezeli 1 2 ozna-
cza moment bezwladnosci przekroju w tych czçsciach. T ak
samo zwi kszamy rzçdne czçsci 1 i 5, w kt6rych momentem bezwladnosci przekroju jest rj) a mia-
nowicie w stosunku 1, : Is. Rreslqc dIa tak przeksztalconej powierzchnj fikcyjnego obciqzeni krzywq
sznurOWq przy odleglosci biegunowej H = E1 11 otrzymamy r6wniez linjç ugiçcia belki, albowiem
wartosé krzywizny okreSla ulamek :1 ' a zamiast zmiejszaé jego mianownik, kladé!c kolejno
po Il wartosé 1 2 i 1 3 , moina to samo osiqgné!é przez zwiçkszenie licznika M w stosunku Il : 1
i I l : 13' Rys. (191) przedstawia _ przeksztalconq w ten spos6b powierzchniç moment6w z rys. (189),
odpowiadajqcq rozpatrywanemu powyzej przykladowi liczbowemu.
:-.
: \
l ; ;J\
t
nf'
Hg. (a)
Rys. 190
lig. (b)
Ry.. 191
135
30. WPL YW SPOSOBU ROZLOZENIR OBCIl\ZEN N1\ WIELKOsé MOMENTU ZGIN1\JI\-
CEGO 1 STRZ1\LRE UGIECI1\ BELER
Przy obliczeniu belek wypada nieraz zastqpié dane obciqzenie, rozlozone na niewielkiej cz gci rozpi to ci, innem
obci'lzeniem temuz statycznie r6wnowaznem. Cz sto np. zast\Jpuj my obeiqzenie, rozmieszczone na niewielkim odcinku b
(rys. 192) jedn'l silq skupionq w rodku ci zkogci powierzchni obciqzenia. Jak si\;
odbija taka zamiana obci'lzenia na wielko ci najwi kszego momentu zginajqcego, na
wielko ci ugi cia i kqtach obrotu kOJlcow belki? fiby odpowiedzieé na to pytanie
zastosujemy z korzygciq spos6b wykre!!lno.analityczny. Zast'lpienie obciqzenia ci q -
glego sil'l skupionq wywoluje zmian diagramu moment6w tylko na dlugo i b obti q -
zonej cz gci llig. b). Zamiast Iinji lamanej fI CB, odpowiadaj'lcej sile skupionej,
otrzymamy przy rozlozeniu obciqzenia na odcinku b krzywolinjowy kontur m n p.
R6znice moment6w przy dwu r6znych sposobach obciqienia b dé! si\J zmieniat wi-
docznie wedlug tcgo samego prawa, co wielko ci moment6w zginajqcych dIa be-
leczki mt nt (Hg. c) 0 dlugo ei b, podpartej w punkcie D, kt6ry lezy na pionowej
rodka ci zko ci powierzchni obciqzenia mt Pi qt nt. Najwiçksza r6znica moment6w
przy obciqieniach majqcych ten sam kierunek zajdzie w punkcie D.
Jezeli obciqzenie jest rozloione r6wnomiernie na odcinku b, to
q b = P,
A
{i:g,.êl.
B
Â>
i>'
----,
....-b. -'
1 .: :C:
m'
, .
-1-ic,
'IJ! :
/i9.b. : : :
/i .,.(' c p, ;.iWq,
1;::;. ..m, n
.
.
.
.
1
--,
:./3
-'t:
Ry , 192
a najwi ksza r6znica moment6w r6wna siç:
qb' _ Pb
8-T
Zmienno é r6znicy moment6w przedstawiono na rys. (193). Zwazywszy, ie mt Pt
cznych w mi i nt> znajdziemy, ze pole zakreskowanej powierzchni moment6w r6wna si\J:
1 q b i q b 8 P b 2
3-T b = 24 =24'
Gdy obciilzenie odcinka b zmienia si wedlug prawa tr6jké!ta (rys. ]94), to
P= qo l?...
2
. . . . . . (a
i PI ni Sq lukami parabol, sty!
. (b) f! .., .--- . qb 1
n,T
-..
:-_.h,...
Rys. 193
R6znice moment6w na obci'lzonej dlugo ci b SI! identyczne z momentami zginajqcemi dIa beleczki mt D nt tejze dlugo ei,
podpartej w D. Najwi\Jkszq r6inicé!, odpowiadajqc'l punktowi D jest:
qob b
- 4--' 6
Pole powierzchni moment6w, zakreskowanej na lig. (b), r6wna si :
1
2 \ 2'2Q o X . . dx= qob S = Pb'
) b 23 9648
o
Jeze!i zàlozymy, ze wszystkie sily obci'lzajqce odcinek b (rys. 192) majq jeden i ten sam
kierunek, to najwi ksze r6znice moment6w przy przejgciu od sily skupionei do innego ukladu sil,
rozmieszczonych na dlugo ci b, powstané! w przypadku, gdy luk m n p stanie si linjé! prosté!.
t. j. gdy sHç P zasté!pimy dwiema silami Pt i P;, dzialajé!cemi po koncach odcinka b. ZmÏana
r6znic moment6w wzdluz odeinka b, da si w6wczas przedstawié momentami zginajé!cemi
dia belki, wyobrazonej na rys. (195). Najwi ksza r6znica odpowiada punktowi D i r6wna siç
PPb
_Jp ' W szczeg61nym przypadku
Pb
4
a odpowiadajqce pole powierzchni ment6w, zakreskowane na rys. (195), réwna si
Pb 2
-S .
W podobny spos6b mozna zbadaé r6znice moment6w, wywolane przez wszelkie inne zaSl4pienie obcié!zenia na od-
cinku b obciqzeniem statycznie r6wnowaznem. W najog6lniejszym przypadku da si warto najwiçkszej r6znicy, czyli
blild wielko ci momentu, przedstawié lormulq:
.
_._ b __fl__'::'
fiS , . j'is. a
m . '.' /1
, ! L f
. : /J b .
:..- X' -' -- n .-....
Rys. 194
mamy r6znicç r6wnq
Pb
12
. (c)
. (d)
P
Pt = P2 = --
2
Ry..195
'.
. (e)
. (1)
ôM=k P4 ' . . (g)
w kt6rej P oznacza wypadkowlj, obci'lienia odcinka b, k za sp61czynnik, zalezny od rozkladu obcié!zenia. Przy zastqpieniu
sily skupionej P dwiema r6wnemi silami (jak powyzej) b dzie ten sp6lczynnik r6wny 1. W przypadku zast'lpienia sily P
obei'lzeniem r6wnomiernem q b jesl k = -. Nakoniec, przy obLÎlj,ieniu wedlug prawa tr6jkqta (rys. 194), wypada k = }.
136
DIa oceny wzgl dnego blçdu wielko ci moment6w zginajqcych, por6wnamy znalezione powyzej warto ci 6M z war-
. Pcc!
togciil momentu pod ci\1tarem P, dzialajé!cym w punkcie D (rys. 192). Ten moment r6wna Sl ----r-' a zatem wzglçdny
b14d momentu mozna przedstawié wyraieniem:
k Pb : PCCI = kbl .
4 1 4c-c1
Je:ieli odcinek b nie lezy blisko podjJ6r, czyli, gdy c i CI s'l tego sam ego rzçdu, co rozpiçtogé 1, to wzglçdny bl'ld b dzie rz du f- .
Rozpatrzmy teraz, jak te zamiany obciqzen odbijq siç na wielko ci ugi é belki. fizeby znaleié ugi cia belki W obu kon-
cach podpartéj, trzeba wyobrazié sobie t belk obciqionq powierzchnié! moment6w. Moment zginéljqcy wskutek otrzyma-
nego tq drogq fikcyjnego cbciqienia, podzielony przez sztywr.o é belki E l, da nam szukane ugi cie w dowolnym przekroju
belki. Skoro cz t beIki b (rys. 192) jest r6wnomiernie obcié!iOna, to przy zastqpieniu tego obciqienia sHi! P skupioné!
w punkeie D, zmniejszamy powierzchni moment6w 0 wielko é 2 (formula b). Reakcja lewej podpory, wywolana fikcyj-
nem obciqieniem, zmniejszy si 0 P2 2 . +, co spowoduje zmniejszenie momentu zginajqcego (wskutek tegoi fikcyjnego
b . . ) . k . D bl '" . lk " é Pb2 CCt D ' ) t k El t '"
o clê!zenla w prze roJU , w przy lzemu, 0 Wle 0.. -24' - r' zle qc en wyni przez , 0 rzymamy zmmeJszeme
ugiçcia. uwarunkowane puez zastqpienie sily skupionej obcié!ieniem r6wnomiernem na dlugogci b. Zast pujqc silç skupion
obci'lzeniem tr6jk q tnem (rys. ]94), zmniejszamy powierzchni momentôw 0 wielkogé 2 (wz6r d). Temu odpowiada
zmniejszenie ugi cia r6wne P b 2 C Ct
48 LEI '
dwiema silami r6wnemi Pt = P = ' to otrzymarny zmniejszenie powiel zchni moment6w
. (h)
Skoro sH skupionq zastqpimy
6 Pb' d . d .
r wne --g-' a 0 pOWla aJ'lce
zmniejszenie ugi cia bçdzie r6wne
Pb' cc!
8' lEI '
W najog61niejszym przypadku moina ta zmniejszenie przedstawié wzorem:
6f=k" Pb" .
8 LEf
. (i)
Porôwnywujqc ten wynik z ugi ciem
PeSc}'
f= 3lEI '
wywolanem sHI! skupionq w miejscu jej dzialania, znajdziemy
_ 3kt b 2
f - 8 CCI
. (j)
jat..o wyraienie dia wzgl dnego bl du ugiçcia.
Gdy wielkogci C i c t s'l tego samego rz du, co 1, to wzgl dny
blqd UglÇClél' b dzie rz du ; . Z przybli:ieniem sily P
b
rz du -.
1
u i eie belki zastqpienie j-akiegokolwiek obciq-
tejze, dowolnem innem obciët:ieniem (statycznie
do jednej z podp6r, wzglçdny blé!d (j) rœnie, zblizajqc si do wielkogci
Znalezione wyniki pozwalajé! latwo ocenié >"plyw, jaki wywiera na
zenia, rozpostartego na calej rozpiçto ci belki, lub na znacznej cz ci
r6wnowaznem).
Jako przyklad we:imiemy belkç r6wnomiernie obciqtonq (rys. 19f».' Zast pujqc
na kaidym odeinku 0 dlugo ei b obci'l:ienie r6wnomierne sil'l skupionq P= q b, zwiçkszamy
pole powierzchni moment6w 0 :2 . t (form. b). Reakcje podporowe, wywolane od-
. d ' fik ' b '.' . k . P b 2 [ U
powla a)qcem cYlnem 0 clqzenlem, POWIÇ szq Sl 0 . 2 b' tworzywszy wyra-
ienie dIa odpowiadaj'lcej zmiany momentu zgiçcia. powstalego wskutek obciqtenia fikcyj-
nego i podzieliwszy je przez El, znajdziemy nast pujl!cy wz6r dia zmiany ugiçcia f
w dowclnym przekroju m n:
6f= ( Pb 2 'CI- Pb' . . .!.. ) = .!C. ( I- ) ( k )
24 2b 24 b 2 El 48EI pl 1 l'
Rys. 196
Jeielibygmy obciqzenie r6wnomieme kazdego odcinka zastqpili dwiema silarni Rys 197
2
dzialajllcemi na koncach odcinka, to doszIibymy do obciqienia przedstawionego na rys. (197). Takiej zamianie towarzyszy
zmniejszenie powierzchni moment6w, a zatem i zmniejszenie ugiçé. Z formul (b) i (f) wynika, te zmniejszenie powierzchni
. ( Pb 2 Pb" ) 1 Pb' 1 .
mcment6w r6wna Sl --g-- b = --.z-' 1J: wz6r (k) przyblerze przeto w danym przypadku postaé:
6 f =- . ( t- ) (1)
24E 1 [2 1 1 .
137
Jako drugi przyklad weimiemy przypadek obci<jzenia belki, przedstawiony na rys. (198). przy zast'lpieniu tego obciq-
" . . 1 . k . . P qob
zema SI ami S U p lOneml _ 2 ' dziala J "i). ceml . W "' rodkach CI D Zko "' CI kazd t 1 k t6 t . k .
_ " ',," ". "ego z roj q w, 0 rzymamy ZW1 szeme po-
Pb' 1
wierzchni moment6w 0 48 b (ob. wz6r dl, a wi c zamiast formul}' fk) ma-
my teraz:
& 1 - qoJl b 2
- ]92£1 p'
t(]_c:)
. lm)
Skoro za obci<jzenie, przedstawione na rys. (198), zast<jpimy obciq:i:eniem r6wno- Rys.l98
miernie r o z loz ' onem q qo t . . " . h . t6 Z
= -i' 0 zmmej'izy Sl powll'rzc ma momen w, a z ni q i ugi\!cic belki. mniejszenie pola mo-
ment6w r6wna siç na podstawie wzor6w (hl i Id):
( P !!2. _ P b 2 ) l ,
24 48 b
a zatem zamiast formuly (k) otrzymamy:
&f=- l: Ï :" c; (1-. }).
W podobny spos6b moina zbadaé i inne przypadki zastqpienia jl'dnego obciqzenia innem statycznie r6wnowaznem
pierwszemu.
81. WPL YW N1\PREZEN SCIN1\Jl\CYCH NI\. UGn:;CIE BELEK
Puy wywodzil' podstawowego r6wnania r6zniczkowego dia zgi tej osi belki (r6w. 90) uwzgl dniJigmy tylko dzialanie
momentu zginajqcego M. Zakrzywienie osi przedstawialo siç jako skutek rozciqgania podluznych wl6kien po jednej stronil'
warstwy oboj tnej i gciskania takichzl' w!6kien po drugiej stronie. Przy tem zalozeniu poprzeczne przekroje belki pozostaji!
plaskiemi i prostopadlemi do zgi tej osi. W og61niejszym przypadku zginania belki dzialajé! w plaszczyinie przekroju po-
przl'cznego opr6cz napr zen normalnych jeszcze i naprçzenia styczne, [uwarunkowane wielkogci q sily poprzeczoej QI. Wy-
wolane niemi odksztalcenia mogq w pewnych warunkach okazaé istotny wplyw na ugi cie belki. Ten wplyw ocl'nimy w na-
st pujqcy spos6b: .'
Przl'z YI oznaczymy ugiçcia, uwarunkowane dzialaniem samych moment6w zginajqcych. a przez y; ugi cia wywo-
lanl' sH q poprzeczné!; natl'nczas b dzie calkowitem ugiçciem w jakimkolwiek przekroju
y = YI + Y2'
Stosownie do tego przedstawi krzywiznç linji ugi cia wyrazenie:
cr- X _ d' J'.I. d'Y2 .
d}(2 - d:x' + d:x 2
Pierwszy wyraz po prawej stronie przedstawia krzywizn okre!'Hon'l r6wnaniem (90J, drugi zag daje krzywiznç wywolan<j
!':cinaniem. Poniewaz chodzi 0 wyznaczl'nie krzywizny osi belki, wi c trzeba wzi'lé pod uwagç napr ienia gcinajqce w l'le.
mentach polo:i:onych w !':rodkach ciçzkogci przekroju. DIa tych element6w da siç kqt odksztalcenia postaciowego przed-
stawié wzorem:
kQ k dM
;3 = Fa = Fa =cfx '
w kt6rym k jest sp6lczynnikil'm, zale:i:nym od postaci przekroju poprzecznego (ob. wzory 71 i 73). Gdy I nie zmienia si
wzdtui belki, to cinanie nie wywola oczywi cie zakrzywienia osi, a dodatkowe ugi cie Y2 bçdzie wyraiaé linjowa funkcja x.
Krzywizna :: , uwarunkowana zmian'l ké!ta f3 wzdluz osi belki, jest z tym kqtem zwié!zana r6wnaniem:
Y2 __ _dI1 .
dx' - dx
Znak minus pochodzi sté!d. poniewai dodatnim warto ciom pochodnej : odpowiada widocznie zakrzywienie osi wypuklo-
ci,! ku g6rze, a wi c przeciwnie, nii przy dodatnich warto!':ciach . [Uklad sp6lrz dnych obrano jak powy:i:cj w 72
i nastçpnych}. Uwzgl dniwszy powyzsze r6wnanie, jakotei zwiqzek mi dzy YI i M, okregIony poJ,istawowem r6wnaniem (90)
otrzymamy: d'y, __.k.. d'M =_ kEI . ( d2Yl \
d:x 2 - Fa dx 2 Fa dx 2 d:x 2 "
R6wnaniem r6:i:niczkowem linji ugi cia belki b dzie przeto:
EI ( d2Y1 + d'Y' ) =El d'y =M_ !!.flI !! . (a)
d:x 2 dx 2 d:x 2 FQ d:x 2
Jako przyklad rozpatrzymy zgiçcie belki jednym koncem utwierdzonej pod obei'lieniem zlozonem
z r6wnomiernie rozlozonego q 1 i skupionego na swobodnym koncu P (rys. ]67). Moment zginajqcy okre!':li w tym przy-
padku wyrazenil':
M=-P(l-x)- (l-xJ2.
138
R6wnanie r6zniczkowe (a) linji ugiçcia belki przybierze postaé:
El d y =-PIl-x)- q (l_XJ2+ kEl q.
dx 2 2 FG
Calkuji!c je, znajdujemy:
. ( IX 2 X" ) q ( PX2 lx" ""' ) kEl qx J
Ely=-P 2 --6 -2 -2- 3 + f2 +-FG -2 +Cx+D.
Stala dowolna D ma wartogé 0, poniewai ugiçcie utwierdzonego k06ca belki r6wna sil'l O. Co si tyczy stalej C, to ona
jest co do wielkogci r6wna kqtowi nachylenia wzgl dem osi X stycznej do linji ugi cia w utwi rdzonym koticu belki. Ten
kqt . r6wna si zeru, jeieli ustalenie kol'ica jest tego rodzaju, ie nie dopus:1.cza obrotu elementu osi belki przy zgi ciu,
atoli r6wna si k . P ;d.! ' jeteli ustalenie nie pozwela tylko na obr6t elementu pola, wydzielonego z przekroju poprze-
cznego w j go rodku ci :i:ko cj. W tym ostatnim bowiem przypadku element osi belki, poloiony u przekroju utwierdzo-
nego, tworzy z osiq X-6\\ kqt, r6wny kqtowi odksztalcenia postaciowego wskutek sily poprzccznej P+ q l, a zatem
( ) =_k +ql .
dx x-O Fa
Zaleznie od sposobu utwierdzenia b dzie tedy r6wnanie linji ugi cia mieé jedn'l z nastçpujqcych postaci:
El y =_p ( I_ _ "_ ) __l{ ( I X2 _ +!'. ) +k EI q ,
2 6 2 2 3 12 Fa 2
( lx' X" ) q ( 12X' lx" X' ) El qx' P+ql
Ely=-P -2--6 -22---3 + H +k Fa 2--kEIFG.x.
W przypadku 0 b ci '!Z en i.a sam q ,s il é! s k u p ion q P, okre li calkowit'l strzalk ugi cia przy drugim sposobie
utwierdzenia ') wz6r:
f= / ( H- E r. ) ,
3E 1 G 1 2
przyczem r oznacza promiel1 bezwladno ci przekroju. Drugi wyraz w nawiasie odpowiada Ug' ClU, uwarunkowanemu dzia-
laniem sily poprzecznej. Dia takich przekroj6w, jak prostokqt i kolo, jest to dodatkowe ugiçcie niewielkie i moina je naj-
czç ciej pominqé. Tak np. dia belki 0 przekroju prostokqtnym i stosunku rozpiçtogci do wysokogci
h r' h 2 1 E
T=O,I, mamy: 12= ]21 2 =ï 200 ' k=I,5, (r=2(I+a)= 2,6,
wobec czego ugi cie doclatkowe wynosi mniej nii 1 % ugi cia gl6wnego (uwarunkowanego samemi momentami zgi cia). Zato
dia przekroju l moie wplyw napr zeti stycznych byé znacznie wi kszym, jak to si oke:i:e z nast pnego przykladu.
W przypadku belki w obu koncach podpartej i r6wnomiernie obei'lionejnapiszemyr6wnanier6:i:niczkowe(a)
zgi tej osi w postaci:
d'y ql qx 2 kEI
EI-=-x- - - +-- q
dx' 2 2 Fa'
Jego calki! og6ln'l bçdzie:
qlx 8 qX kEl qx'
ElY=-ï2- - 24 - + F{.i 2' + Cx i D.
Z warunku, ze ugi cia na k06cach belki t. j. dia X = 0 i x = 1 stajq si zerem, znajdujemy:
ql8 kEI ql
D=O; C=-----.-.
24 Fa 2
Dodatkowe ugi cie, uwarunkowane napr :ieniami cinaji!cemi, okregli przeto r6wnanie:
Y2 = If (q t - q ;X ) = - - ,
z kt6rego czytamy, te dodatkowe ugi cia sq proporcjonalne wzglçdem rzçdnych diagramu momen-
t6w. Ten wniosek pozostaje wainym i dIa innych przypadk6w obciqzenia belki w obu koncach podpartej, z wyji!tkiem
przypadku zginania paf'! sil Mo> dzialajqcq na jeden koniec belki. W 6wczas bowiem okre 1i kqt 1\ r6wnanie
13= --. Mo,
FG 1
czyli pozostaje wzdluz belki stalem. Wobec tego nie mogq napr zenia styczne przyczynié si do zakrzywienia osi belki,
il poniewai jej kotice spoczywajq na podporach 0 stalej wysokogci, wi c nie bçdzie wcale dodatkowego ugiçcia wskutek
napr zen cinajqcych.
Powr6ciwszy teraz do belki r6wnomiernie obciilionej, znajdziemy ugiçcie jej grodka, kt6re b dzie zarazem strzalk'l
ugi cia> w postaci:
_ 5 q 1', k q 1 2
f - 384 . E-l T -Fa 8'
1) ITyIko ten spos6b odpowiada do é dobrze praktycznym sposobom utwierdzenia w przypadkach, gdy zachodz q
sily poprzeczne].
139
Tutaj drugi wyraz przed tawia dodatkowe ugi cie wskutek naprçz n cinaiqcych. Szukamy wielko ci tego
ugi cia dia belki l, dobranej w ten spos6b, aby najwi ksze napr zenia styczne i normalne byly dokladnie
wiadajqcym napr teniom dopuszczalnym Rt i R. W6wczas
!!.g,!, x = kql = Rt
F 2F
5 q l' _ 5 R 1 2 _ k _ q I _ Rd
384 . Er -24Eh FG 8 - 4G
Stosunek strzaiki ugi cia wskutek sil poprzecznych do strzalki ugi cia wskutek moment6w bçdzie:
Rt 1 5 R,. 6 RI E h
'2: Il = 4Q : 24' Eh = 5 If G T'
Przy wado ciach RI = 0,5 RiE = 2,6 G staje si ten stosunek r6wnym:
h
f2 : fi = l,56 1 .
dodatkowego
r6wne odpo-
M max ql2h
W--812=R,
a zatem
Widaé z tego, ze u kr6tkich belek moze wplyw napr ze6 gcinaj'lcych na ugi cie osi'lgn é znaczni! warlo é i nie
nalezy go zaniedhywaé ' ). Zauwa:i:ymy wszelako, ze w praktyce wypada zwykle obieraé wi kszq grubo é cianki od po-
trzebnej ze wzgl du na wytrzymalooé, dia zapewnienia wystarczaj cej statecznogci cianki. Nadto zmniejsza :!>iç przekr6j
pas6w belki od rodka ku podporom. Obie te okoliczno ci zmniejszaji! wado é stosunku 12 : 'I i nieco usprawiedliwiaii!
praktykowany zwykte spos6b obliczenia ugiçé, przy kt6rym poprzestaje siç na wyznaczeniu fi z pomini ciem ft..
ROZDZI1\L XI
ST}\ TYCZNIE NIEWYZNl\ CZl\LNE PRZYP l\DKI ZGIF;CIl\ BELER
9 82. ZBI:;DNE UST1\LENI1\
Przy rozpahywaniu r6znych sposob6w podparcia wyjasnilismy, w jakich warunkach wystar-
czajq rôwnania r6wnowagi do wyznaczenia reakcyj podporowych. Jezeli liczba niewiadomych, przed-
stawiajqcych reakcje, jest wi ksza od liczby r6wnaii r6wnowagi, to zagadnienie staje si statycznie
niewyznaczainem i dIa znalezienia reakcji trzeba si uciec do rozwazan odksztalcenia belki. W przy-
padku belek spoczywajqch na dwu podporach rozr6zniamy dwa glôwne sposoby ustalenia konc6w
prowadzqce do statycznej niewyznaczalnosci reakcji, a mia-
nowicie:
1. Oba koiice belki utwierdzone (rys. 199,
fig. a), wskutek czego obadwa przekroje podporowe m n
i m J n \ Sq unieruchomione.
Il. Je den k 0 nie c ut w i e r d z 0 n y, a dru g i po d-
party (Iig. b), czyli na jednym koiicu unieruchomiony
przekr6j, a na drugim srodek przekroju 2).
Przy pierwszym sposobie ustalenia koncôw belki
sprowadza si znajdywanie reakcyj do okreslenia szesciu
niewiadomych wielkosci: dwu moment6w ulwierdzenia M
i M J, dwu skladowych pionowych reakcyj Y, Y 1 i dwu
skladowych poziomych reakcyj X. X \.
W drugim przypadku mamy pi é niewiadomych element6w reakcyj podporowych, gdyz Ml =0.
przy dzialaniu samych obciqzeti pionowych dajq warunki rôwnowagi przedewszystkiem X = - Xl'
czyIi reakcje poziome Sq co do wielkosci rô \\ ne, a wprost przeciwne co do kierunku. Okazalismy
!
fiS. éI.
y
X m
. n
!
fis.l.
Rys. 199
1) Bardziej szczeg610we studjum kwestji wplywu napr ze6 stycznych na zginanie motna znale:ié w kursie 1. G. Bu-
b n 0 w a: Stroitielnaja mechanika korablja. CZ'igé l, str. 308.
2) [Bioré!c ci le, naletaloby w drugim sposobie odr6znié jeszcze dwa mozliwe przypadki podparcia drugiego kOlica,
t. j. podparcie rue h 0 m e i s t ale. Podobnie:i: moze byé i utwierdzenie s t ale lub rue h 0 m e. Pierwsze odpowiada zupelnemu
unieruchomieniu przekroju, drugie za ustala tylko kierunek plaszczyzny przekroju, pozwalajijc jednocze nie na przesu-
niçcia w kierunku osi belki. W obec tego ilo é statycznie niewyznaczalnych przypadk6w belki z ustalonemi kolicami b dzie
wlticiwie znacznie wi kszq. Mimo to wystarczy rozpatrzyé tylko powyisze dwa przypadki, jako praktycznie najwatniejsze
i typowe. PoznïÎwszy je, mo:i:e czytelnik zalatwié bez trudnogci i...inneJ.
140
JUZ pierwej ( 61), ze przy tak ma!ych ugiçciach, jakie dopuszczamy najczçsciej w praktyce, mozna
sily podlui:ne X pominqé i przyjqé, :le obciqi:eniom pionowym odpowiadajq tylko pionowe reakcje
y i Y 1> Wtedy pozostajq przy pierwszym sposobie ustalenia cztery niewiadome: M, M l' Y i YI'
a tylko dwa rôwnania rôwnowagi; dwie przeto niewiadome Sq statycznie niewyznaczalne, czyli
zbçdne (zbyteczne, nadliczbowe), gdyz odpowiadajq zbçdnym ustaleniom koncôw belki. Przy
drugim sposobie ustalenia bçdziemy mieé tylko jednq wielkosé statycznie niewyznaczalnq.
Jako zbçdne ustalenia w obu rozpatrywanych przypadkach 1 i Il wypada uwazaé utwierdzenia.
Gdyby ich nie bylo, otrzymalibysmy belki w obu ko6cach podparte, a wiçc statycznie wyznaczalne.
Wprowadzajqc dodatkowe ustalenia nakladamy wogôle na zgiçcie belki warunki uzupelniajqce, ktô"
remi mozemy siç posluzyé do znalezienia zbçdnych niewiadomych. Wprowadzajqc np. utwierdzenie
zapobiegajqce obrotowi koiica belki, wprowadzamy temsamem jako zb dnq niewiadomq moment
pary utwierdzajqcej, czyli moment utwierdzeQia. Skoro zatem koniec belki nie moze siç obracaé,
to styczna do linji ugiçcia belki w utwierdzonym przekroju musi mieé pierwotny kierunek osi belki.
Z tego warunku uzupelniajqcego mozemy obliczyé moment utwierdzenia. T ym sposobem mozna,
przy rozpatrywaniu statycznie niewyznaczalnych przypadkôw zgiçcia, ustawié zawsze tyle rôwnaii
uzupelniajqcych, île mamy zbçdnych niewiadomych Te uzupelniajqce rôwnania uklada siç naj-
prosciej przy pomocy zasady superpozycji. Bçdziemy przeto stosowaé nastçpujqce postçpowanie:
Najpierw usuniemy wszystkie zbçdne ustalenia i sprowadzimy w ten sposôb dane zadanie do zada"
nia statycznie wyznaczalnego. Latwo teraz znalezé ugiçcie belki i kqt nachylenia stycznej w dowol"
nym przekroju. Potem dobieramy zbçdne niewiadome tak, aby dogodzié warunkom ustalenia.
9 83. ZGIECIE BELKI ROWNOMIERNIE OBCIl\ZONEJ, W JEDNYM KONCU UTWIERDZO-
NEJ, 1\ W DRUGIM PODP1\RTEJ (rys. 200)
Usunqwszy utwierdzenie, odpowiadajqce zbçdnej niewiadomej, otrzymujemy belkç w obu kort"
c!ich podpart q , dIa ktôrej w 9 75 znaleflismy r6wnanie linji ugiçcia:
q II ( Xi Xl
Y = - 24 E l X - 2x-/ i + x J8 )
i kqty obrotu koiicôw:
,'}t :: J 2 = 2% I'
przyjmijmy teraz, ze na t q samq belk dziala w lewym
kç6.cu tylko para sil 0 momencie M. Odpowiednie r6wna-
ko6.ca 3'1> otrzymamy z formul (101) i (104), jezeli w nich
Rys. 200
nie ugiçtej osi i kqt obrotu lewego
zamiast x wstawimy (l- x), czyli:
Y=;l( - ; _ l; ), :i'1= :r; (
Mamy tedy rozwiqzane dwa elementarne przypadki zgiçcia przedstawione figurami (a) i (b) na
rys. 201. Skladajqc je znaleflibysmy rozwiqzanie naszego zagadnienia, gdyby moment utwierdze"
nia M byl znany. Pozostaje przeto jeszcze dobraé wartosé M tak, aby dogadzala warunkom pod"
porowym lewego kofica. Otôz ten koniec nie moze siç
obr6cié, a zatem kqt ,\, uwarunkowany ciqglem obciqze....
niem, musi byé co do wielkosci r6wny, a co do znaku
przeciwny kqtowi :'r' 1. Por6wnywujqc otrzymane powyzej
wyrazenia dia tych k q t6w, znajdziemy:
qlS _ Ml
24£1 - - 3E I
Stqd
q l2
Mo = - -8 . (109) Rys.201
awo zmiennosci momentu zginajqcego wzdluz belki otrzymamy, jezeli od rzçdnych paraboli, jako
dlagramu moment6w dia obciqzenia r6wnomiernego belki w obu ko6.cach podpartej, odejmiemy rzçdne
141
prostej BD (rys. 202), przedstawiajqcy moment y wywoiane paré} sH M, dzialajqcq na lewy koniec
belki. R6znica rz dnych jest uwidoczniona na rysunku zakreskowaniem. Najwi ksza wartosé mo-
mentu, r6wna q Ii, zachodzi w miejscu utwierdzenÏa. Tu
lezy zatem przekr6j niebezpieczny 1).
Reakcje podpôr JI i B otrzymamy sumujqc reakcje
wskutek obciqzenia ciqgiego z reakcjami wskutek pary sit
o momencie M. Pierwszemu ukladowi obciqzen odpowiadajq
rôwne reakcje 0 wielkosci q2 / , skierowane w g6r . Dzia-
laniu pary sB M odpowiada na lewej podporze reakcja
= qi ' skierowana r6wniez w gôrç, na prawej zas reakcja tej same] wielkosci, lecz skierowana
w dm. 1\. zatem:
, --... -
i - =--u: i - -i
!f- - -/1- --J
Ry.. 202
ql ql 5
Il=T+ -S=sql,
ql ql 3
B=----= -ql
2 8 8
. (110)
W przekroju C, gdzie moment zmieniajqc sw6j znak staje siç zerem. zmienia sw6j znak i krzy-
wizna Iinji ugi cia, czyli powstaje punkt przegiçcia. Poiozenie punktu C znajdziemy z warunku,
te moment y wywolane obciqzeniem ciqglem i parq M, znOSZq siç nawzajem. Oznaczywszy przez a
odlegiosé przekroju C od prawej podpory, otrzymamy:
q 1 q 1 q ai 3
8' a=2- a - -2' a stqd a=4"l.
Nakoniec znajdziemy ugiçcia belki superponujé}c ugiçcia, wywoiane zosobna obciqzeniem cÎqgfem
paré} sil 0 momencie M, a mianowicie:
q I ( Xi X S q p. ( Xi XII 1 X ) q 1 ( 3 Xi 5 XII x 4 )
y = - 24 El X - 2x -V + X p- ) - 8 El .2- 6i - 3 = 24 -El - 211 + 2'[3 - f4 .
DIa znalezienia strzalki ugi cia przyr6wnamy do zera pochodnq i z tego warunku, uproszczo-
nego do postaci
15 3
xi--Ix + -/z=O
8 4 '
1 --
x = 16 (15 - J 33) = 0,5791.
otrzymamy
Podstawiwszy tç wartosé w
wyrazenie dIa y, mamy strzalkç ugi cia
ql4
f= 185 El
Przy rozwiqzaniu naszego zadania przyj lismy moment pary utwierdzajqcej jako "zbçdnq nie-
wiadomq". Odpowiadajqcem. zbçdnem ustaleniem" okazuje siç t , kt6re przeszkadza obrotowi lewego
konca. Moznaby jednak isé innq drogq, a mianowide przyjqé za zbçdnq niewiadomq reakcjç pod-
porowq prawego konca belki. Wtedy zbçdnem ustaleniem
byioby oczywiscie to, kt6re przeszkadza swobodnemu ugiç-
du tego konca. Odrzucajqc zbçdne ustalenie, dochodzimy
znowu do statycznie wyznaczalnego przypadku zgi cia, a mia-
nowicie do zginania belki jednym koncem utwierdzonej (rys. 203,
fig. a). Pod dziaianiem obciqzenia ciqglego ugiqfby siç koniec
belki B 0
Rys. 2( 3
ql4
fl = 8 Er
\) Dest to ta sama warto é, iaki! ma naiwi kszy moment VI rodku belki W obu kOl1cach podpartej i tak SBmo obci'l-
:ionej. W tym przypadku zatem nie wplywa utwierdzenie kotica na zwiçkszenie odJ:!ornogçi belki].
142
W rzeczywistosci jest ten koniec podparty, a wi c jego ugi cie jest rôwne zeru; reakcja B musi
przeto mieé tak q wielkosé, aby wywolane przez nié! ugi cie (fig. b)
BJ3
f2 = 3 El
byio r6wne co do wielkosci fi' Sti!d rôwnanie
q [4 B [3
8El = 3EI '
kt6rego rozwiqzanie wzglçdem B daje:
3
B=- q [
8 '
zgodnie z wynikiem (110). Maj(!c reakcjç B, znajdziemy resztç niewiadomych, t. j. moment utwier-
dzenia i reakcjç j\ z r6wnati r6wnowagi.
Hozwi :iemy jeszcze to zadanie z uwzglçdnieniem wplywu napr zen cinaj'lcych na zgi cie. Usuwaj'lc prawq pod-
por i zastçpuj,!c jej dziatanie silé} B, skier wanq ku g6rze, dobieramy wieiko é tej sily tak, aby ostateczne ugi cie prawego kotlca
belld bylo r6wne zeru. Skoro przyjmiemy, ze w miejscu utwierdzenia nie obraca siç element przekroju, to element osi
obraca siç 0 kqt
k(ql-B)
Fa
a ugi cie kotica beiki, przy jednoczesnem dzialaniu sily Bi obcié!,zeniu ql, przedstawi si (ob. 81) wyrazeniem:
_B._ ( 1 -1- ) _.!l. ( 1 + 4_"--E !:. ) .
3EI a 1% 8EI . a l'
Przyrôwnawszy je do zera i wprowadziwszy dia skr6cenia wielkog
kE ri
1>=- --,
a 1 2
dojdziemy do nastçpuj,!cego wyrazenia dia prawej reakcji podporowej:
3 1 + 4ô
B = _o. q 1 -- -
8 ]+3ô
9 84. ZGIF;CIE BELKI JEDNYM KONCEM UTWIERDZONEJ 1\ DRUGIM PODP1\RTEJ POD
DZI1\L1\NIEM SILY SRUPIONEJ
Jako wielkosé statycznie niewyznaczalnq obierzemy moment utwierdzajqcy M, kt6ry zapobiega
obrotowi lewego kOiica belki (rys. 204, fig. a). USlm(!Wszy zbçdne ustaIenie, otrzymamy belkç W obu
koticach podparté! (fig. b). Lewy koniec obr6ci si przytem 0 kqt } l' okreslony wzorem (98):
1'1 ,_1 ----____.
( , 1 ..-::.- () -""
_- r. -
'\ .., _ L"\
? ;
;;gC
PC([2_C 2 )
:J = - ---- .
1 6lEI
Moment utwierdzenia JI musi mieé tak q
nim samym kqt obrolu (fig. ,)
,'j' =_MJ._
1 3EI
byl co do wielkosci r6wny, a co do znaku przeciwny
Do wyznaczenia M otrzymuj my wiçc r6wnanie:
Ml PC([2_C 2 )
-3-ËT --- 6[Ê I --,
wielkosé, aby wywotany
ff ;tA Pf-""- - e " '-l D
r
-
t1,--- .--...--..-. l ,.-, , "'
;; 8. à, Pr'--- {' -----i
', .. = >LJ _-,, \
{7p' '-.-.- - ,v _______ :.;i}&
Ii.s.l - -:- -'-
ké}towi ,'J 1 .
Sté}d
Pc(I2-d il )
M=----,
2[2
, Majqc wyrazenie dIa momentu utwierdzaj cego, mozemy wielkosci
reakcyj podporowych If i B znalezé z warunk6w r6wnowagi. Reakcj B znajdziemy np. z warunku
moment6w wzglçdem punktu /j, t. j.
Bl-P ( l-c ) = _ Pc(ls-.c ) .
2[2
B= P(I-c)i(21 + c)
213
z kt6rego
. (111)
Rys. 204
. ( l12)
143
Rôwnanie linji uglçcla otrzymamy dodawszy do ugiçé, wywolanych sHi! skupionq, ugiçcia
powstale wskutek pary utwierdzajqcej.
Z wyrazenia(lll} widaé, jak si zmienia wielkosé momentu utwierdzajqcego w zaIeznosci od c, t. j.
od polozenia obciqzenia. Dia c = 0 i c -= 1 jest M - O. Najwiçksza wartosé M odpowiada polozeniu ci -
zaru, kt6re znajdziemy latwo z warunku d d M = 0, czyIi Ii - 3 c 2 O. 1\ zatem dIa c == -!- jest
c J 3
PI
M max = .. _ = 0,192PI . (1l3)
3t 3
c(l -Ci}
]ezeli dia kazdej wartosci c wystawimy rzçdne 0 wielkosci 21 t ,to otrzymana w ten
spos6b krzywa (rys. 205) pozwala znalezé latwo wielkosé momentu utwierdzajqcego przy ukladzie
sH skupionych np. P p P2' Pli' P 4 . Niech bçdzie YI rzçdnq krzy-
wej odpowiadajqcq polozeniu ciçzaru Pl; wtedy iIoczyn
_ Pl C (12 - c )
P t Y1 -- 2/'.
jest niczem innem, jak wielkosci q momentu utwierdzenia wy-
wolanego ciçzarem Pl' Przy jednoczesnem dzialaniu ciçza-
rôw P 1 , P 2 , P ,... bçdzie moment utwierdzajqcy
M =PIYI -+ P 2 Y2 + ... PY.
Rrzywa ff.CB jest Iinjq "\\ plywowq dIa momentu utwier-
dzajqcego. Rzçdna tej linj( w dowolnym przekroju belki okresla
widocznie wielkosé momentu zginajqcego, jaki powstaje wskutek obciqzenia owego przekroju jednostk q
sily. Przy pomocy linji wplywowej latwo znalezé wielkosé momenlu utwierdzajqcego i dia przy-
padku obciqzenia rôwnomiernie roz!ozonego, okreslonego wielkosci q q kg . Obierzmy w odleglo-
m
sei C od prawej podpory element dlugosci belki d c, to przypadajqce nan obciqzenie bçdzie r6wne q d c.
T 0 obciqzenie, uwazane za skupione, wywoluje moment utwierdzenia:
C(li - t!)
dM - - -- 2[2 qdc.
Dia otrzymania momentu utwierdzajqcego, wywolanego obciqzeniem calkowitem, trzeba zlozyé dzia-
lania obciqZen elementarnych, a zatem:
M = _ C W - l, 2) q d c = _ q 1 2 .
)0 Ut 8
Zarazem widzimy, ze moment utwierdzajijcy .1-1 r6wna siç iloczynowi pola ograniczonego Iinjq
wplywowq i osi q belki przez q.
Rozpatrzmy teraz zmianç momentu zginajqcego wzdluz belki. W tym celu trzeba moment y,
uwarunkowane dzialaniem sHy P, skladaé z momentami wywolanemi parq utwierdzajqcq M. Uwzglç-
dniajqc znaki moment6w znajdziemy latwo, ze prawo zmien-
nosci moment6w zginajqcych wzdluz belki przedstawiajq pio-
nowe odcinki w zakreskowanej powierzchni na rys. 206.
Najwiçkszy moment zachodzi widocznie albo na utwierdzo-
nym koncu belki, gdzie
PC(l2-C')
M - 21 t '
albo tez w przekroju obciqzonym, gdzie
Mc= PC( -C) _T PC(;I;C2) = (I_c.)i(21+(). (114)
C
1
1
£ tImOJ J{ , ;.
C) QO( . Vi
I p I p : p l p *
+ 'J , .
.(J.J77 -
Rys. 205
(:-
...
o
o
.
1
'1
Ry . 2t6
Skoro w
' 1 J' l t
szczego nOSCl C = '2 ' 0
3 3 ( 1 4 ) 5
M=- 16 PI , M C = 16 PI -2.L 3' = 32 Pl,
niebezpieczny znajduje siç w miejscu utwierdzenia.
a przekr6j
144
d . d k . dMc 0
o pow]a a warun OW] -crc = ,
1 -
c = 21 (1 3 - 1 ) --= 0,366 I.
Odpowiadaj<1cq wartosci(! najwiçkszego momentu jest
3
(Mc)max= 8(2 J 3 - 3) P 1=0,174Pl.
Najwi kszy moment dodatni
z kt6rego znajdziemy
W przypadku dzialania obciqzet'i ruchomych najdogodniej poslugiwaé si Iinjami wplywowemi. Jeteli na osi fi B
(rys. 207) wystawimy rz dne 0 wielkogci lwz. 112):
Kiedy ciç:iar przejdzie na prawq stronç przekroju. ta moment zgil'aj'lcy bçdzie r6wny:
1 . (I - X)2 (21 + x) x
---21 s --- a- 1 . (a- x )= 21 8 [2JB- il (31 _X2)] . . (b)
Krzywe Il'' Cff i Cff B" (Hg. b), kt6rych rz dne okre laj(! wyrazenia (a) i (b), sq
linjami wplywowemi dIa rp,omentu zginaj(!cego w przekroju mn. Na fig. (b) przedsta-
wiono takze lin je wplywowe dIa moment6w W dwu innYlh przekrojach. przyczem po-
dzialkç rzçdnych obrano trzy raz y wi kszq od podzialki odciçtych.
Al
fIS el.
.
1
.
,
L..--.-.. _.
.
_---0
1
-- a,J / -":
- j 1
-H-----
i/----_---:
Hy<_ 207
] (l- x)'(2l +x)
-21 8
to otrzymana w ten spos6b krzywa Il BI przedstawia linjç wplywow,! dIa reakcji pod-
porowej B. (Odciçté! c przekroju obciqzonego zastqpiligmy we wzorze tH2) wielko ciq x,
mierzonli tak samo od prawej podpory). Rzçdna krzywej JI Bh w dowoinym przekroju przed-
5>tawia wielkogé reakcji B, wywolanej jednostkq ei :zaru, umieszczonq w tymte przekroju.
Sila poprzeczna w przekroju m n, przy dzialaniu obci(!zenia po lewej stronie ad
tego przekroju, r6wna siç reakcji B, wobec czego cz ê linji Il B J na Iewo od prze-
kroju mn mOZe slu:zyé za linjç wplywowq dia sHy poprzecznej w mn. Z przejgciem
ci zaru na prawq stronç belki staje siç sila poprzeczna r6wn'l reakcji B mniej wielko é
ciçzaru. czyli B - 1 T ç r6znicç przedstawia Iinja III B r6wnolegla do JI BI' Linja JI n m B
ograniczajqca wraz z osié! beiki zakreskowani! powierzchniç jest zatem liniq wply-
WOWq dIa sil poprzecznych Q. Przy obcil)zeniu uklarlem si! skupionych Ph P 2 ,... bçdzie
sil poprzeczni! okregIaé suma PI YI + P',}"2 + ..., przyczem Yh Ys,... oznaczajq rzçdne
linji wplywowej z odpowiedniemi znakami
Szukajmy teraz linji wplywowej dIa momenlu zginajqcego w przekroju mn. Do-
p6ki ciçzar znajduje siç po Iewej stronie przekroju. r6wna siç moment zginajqcy mo-
mentowi reakcji B i przedstawia siç wyra eniem:
1 . (l_x)2 (2e + x)
21 8 il .
. (a)
g. 85. ZGIECIE BELKI OBU RONC1\MI UTWIERDZONEJ
przy takiem ustaleniu belki mamy dwie wielkosci statycznie niewyznaczalne. Jako takie obie-
rzemy moment y utwierdzajqce Mp. i M B (rys. 208), kt6re zapobiegajq obrotowi koncow belki przy
zginaniu. Usunqwszy odpowiadajqce "zb dne ustalenia"
otrzymamy przypadek statycznie wyznaczalny belki w obu
koncach podpartej. Poo dziataniem sity skupionej P obraca
si lewy koniec belki 0 kqt (form. 91:$): .
_ Pc(l'! - c»)
1- 61Ef -' Rys.2(i8
Poniewaz ten koniec jest utwierdzony, wiçc moment y podporowe
AIp. i MIJ(rys. 209, Hg. b i c) mUSZq byé takie, aby wywotane nie mi kqty
obrotu (form. 104):
{} '= Mp. l "= MBI
1 3 El 1 6 El
daty w sumie kqt rowny co do wielkosci, a co do znaku przeciwny
kqtowi ,'1 \. Stqd r6wnanie warunkowe:
PC(l'l-c'l) 1
61E I -- =- 6El (2M R +M B ).
Pr---- l' --'-, -
----":-----..__.;ft _ fI __ ._ _: J
rY -él - - - '"8 -' ___
A ,,,,"-,'
{ -, <:,}e:-- -(l'.','" B
£à --. t' . .-.--'à
n;, lis. b. _
. A !. LJ" - - .
H ---.,,-0.--- (7.----. '-
f .,- , "'; --.-, B
g;z riS. c ' l1"
Ry<. 2( 9
%,J .4
t....LJ.
j't 4- -- ._u
PI
r--- -. (' "--0;""1 1'1
.-' 1 ----- ,-:-l/ fi
145
W podobny sposôb ustawimy i drugie rôwnanie odnoszqce si do prawego kOllca belki (wz. 99):
Pc(l-c)(2l-c) = --.l- ( 2 M M )
6lEI 6El B + H.
Rozwiqzawszy je, znajdziemy:
M - _ Pc'(l-c) M Pc(l- C)2 . (115)
H- 1 11 ' B=- 1 11
Wyznaczywszy M H i M B z warunkôw odksztalcenia belki, obliczymy reakcje podporowe.II i B
z warunkôw rôwnowagi. Warunek momentôw wzgl em punktu podparcia B daje:
IIl= -M1\ +Pc+M B ,
11 - Pc + -Mfi+MB _ Pc + Pc(l-c)(2c-l) !
-l 1 -l la
B=P-fl= P(I-c) Pc(l-c)(2c-l)
1 la -
W przypadku szczegôlnym obciQzenia w srodku belki, l j. dIa c = ' b dzie fi = B = '
Pl
M fi = M B = - - . (117)
8
Poslugujqc si wzorami (115) latwo przedstawié wykreslnie zaleznosé momenrow podporowych od
polozenia ci zaru. Wykreslmy krzywq dia momentu MH, odmierzajé!c w kazdym przekroju rz dn
wielkosci c 2 (I-c):II, a otrzymamy Iinj wplyWOWq dIa mo- C
mentu podporowego M fi (rys. 210). Maximum momentu zacho-
dzi dIa c = ; l. Przy obciqi:eniu ukladem ci zar6w skupionych
Pu P2' P 3"'. b dzie
M fi = ptYt + P 2 Y2 + PaYs +...
Jezeli belka d wiga ci zar rôwnomiernie rozlozony q kg/m, to
odpowiadajqce moment y podporowe Sq rôwne, a i h wielkosci
znajdziemy mnozqc pole wplywowe .Ji C B przez q. Moment pod-
porowy d MR, powstajqcy pod dzialaniem obciqzenia elementarnego q d c, lezqcego W odleglosd c od
prawej podpory, b dzie bowiem:
z czego
. (116)
: p
. :.L /__
-..!ll--
B
i
.
1
1
,
Rys.210
.. ..
J
dM _ _ qdc.c'(l-c)
1\ -- 1 2 '
a moment M H wskutek calego obciqzenia otrzymamy przez sumowanie elementôw dMl\:
M _ ' c'(l-c)dc _ _ ql'
fi - - q II - 12
. 0
Zmian momentu zginajqcego wzdluz belki przy danem polozeniu ci zaru P znajdziemy, zlozywszy
momenty uwarunkowane sil q P (dzialajqcq na belk
w obu koncach podpartq) z momentami wywolanemi
dzialaniem na belk kazdej z par M 1\ i M B Z osobna.
Biorqc pod uwag znaki momentôw, otrzymamy dia-
gram momentôw przedstawiony na rysunku (211) za-
kreskowam,! powierzchniél. Najwi kszy moment ujemny
odpowiada jednej z podpôr, dodatni zas przekrojowi
Rys. 211 bezposrednio obciqzonemu. Ostatni q wielkost latwo
obIiczyé przy pomocy rysunku, a mianowicie:
M _ Pc(l-c) Pc(l-C)2 l-c PcI(l-c) _ 2P&(l-c)'
c- 1 - l2 '-,--- l' '1- IS
Najwi kszél wartosé b dzie mieé Mc przy c = ' t. j.
Pl
(Mc)mu: = + 8
. (118)
. (119)
(120)
Kurs wytnym.l""'i maierllÙdw
10
Diagram moment6w dia obci zenia r6wnomiernie rozlozonego przedstawia na rys. (212) zakresko-
IICB ., k . d . ql' d .
wana powierzchnia. Parabola 0 na)Wl sze) rz ne) 8 a)e
wielkosci moment6w zginajqcych w przypadku podparcia obu kon-
c6w, zas prosta DE rôwnolegla do osi belki i odcinajqca rz dne
o wielkosci q l' przedstawia m menty zginajqce wskutek obu par
12
utwierdzajilcych (wz. 118). Zwazywszy, ze te moment y Sil ujemne,
nalety rz dne prostej DE odjqé od rz dnych paraboli JI C B.
Przy dzialaniu obciqzet'i ruchomych najdogodniej przeprowadzié obliczenie belki zap.omoc Iinij wplywowych. Odmie-
rzywszy od osi belki wielko ci:
1. x + 1. x(l-x) (2x-l)
-r- 1 8 '
146
Rys. 212
otrzymamy krzyw B fIt (rys. 2]3) pr7edstawiajqcq Iinjç wplywow dia reakcji JI
(wz. 116). Sila poprzeczna Q w dowolnym przekroju belki r6wna siç reakcji JI,
dop6ki jednostka ci zaru Iezy po prawej stronie przekroju. Z przej ciem ciçzaru
na lewi! stronç trzeba przy obliczeniu Q odiqé od reakcji jednostkç ci zaru,
wskutek czego lmja wplywowa dia Q przedstawi si odcinkami dwu krzywych
r6wnoleglych RtB i fIB I . Prawej cz gci belki odpowiada krzywa }Jt B, lewej za
krzywa A Bt.
fi:teby
Rys. 213
skonstruowa Iinj wplywowq dia momentu zginajqcego M w do-
wolnym przekroju mn, zauwatymy, ze dop6ki ci :tar znajduje siç na prawej
czçgci belki, to
M M JI [ Lx 1. x (1- X)(2 x - 1) ] 1 . Xi (1- x)
= a + al = at -, + 18 - Ii '
Rys. 214
skoro zag ci zar przejdzie na Iewil stron przekroju, to
n
Rys. 21S
M=Ba+}fB'
Na rysunku (214) wykre Iono lin je wplywowe dIa przekroj6w polo:tonych
vi odleglo ci l, ; l, : l, 1 i lod prawej podpory. Podzialka rz dnych
jest crlery razy wi ksza ad podzialki odci tych t).
W przypadku dowolnego obciilzenia stalego znajdujemy
moment y POdpOl:owe najprosciej sposobem wykreslno-anality-
cznym (por. 9 78). W tym celu usuwamy zbyteczne ustalenia
i badamy zgi cie belki w obu koncach podpartej. Niechaj
JIDB (rys. 215) przedstawia diagram moment6w zginajqcych
dia dan ego obciilzenia. Oznaczywszy przez £2 pole diagramu, a przez C srodek ci zkosci tego
pola znajdziemy kqty obrotu konc6w belki z wzor6w:
Ob Da
1 = lEI {J2 = TET.
Momenty podporowe nalezy tak dobraé, aby wywolane niemi
obroty koiic6w znosily si z powyzszemi. StosujqC gotowe
wzory (104) dIa zgi cia belki momentem dzialajqcym na jej
koniec otrzymamy r6wnania:
Mal MBI Db MBI MIi.I na
3El + 6El = - lEI ' 3El + 6El = - lEI '
Stqd: 20 20
M1\=-p(2b-a), M B =-i2(2a-b) . (121)
Znalazlszy w ten spos6b wielkosci statycznie niewyznaczalne, wyznaczymy latwo inne elementy
zgi cia, poslugujqc si zasadil superpozycji.
Powyzsza metoda da si latwo uogôlnié w przypadkach zmiennego przekroju belki. Okaza-
lismy juz w 9 79, ze zginanie belek 0 przekroju zmiennym sprowadza si do zginania belek
1) Szczeg6l0we tablice Iinij wplywowych dia belki w obu kot1cach utwierdzonej mo:tna znaleté w lIsiqice 1\. Lede-
rer'a: "l\nalytische Ermittl. u. finweRd. v. EinllussIinien".
147
pryzmatycznych, jezeli rz dne powierzclmi momentôw zredukujemy zapomoc(! czynnika ] , przy-
czem 1 oznacza moment bezwladnosci rozpatrywanego przekroju belki, a Jo staly moment bez-
wladnosci pewnego przekroju, obranego zresztij dowolnie. Uwazaj c zredukowan powierzchni
momentôw za powierzchni obci tenia, znajdziemy k ty obrotu konc6w, podzieliwszy przez Elu
reakcje podporowe wywolane fikcyjnem obciijteniem. Poniewat te kijty s dzi ki utwierdzeniu r6wne
zeru, wi c trzeba reakcje podporowe wskutek fikcyjnego obci tenia przyr6wnaé do zera, aby otrzy-
maé dwa rownania 0 niewiadomych M1\ i M B . Ich postaé og6Inq znajdziemyw nast pujqcy spos6b:
Jeteli oznaczymy przez M: moment zginajqcy dIa belki w obu koncach podpartej (rys. 216)
i uwzgl dnimy, te powierzchnie moment6w odpowiadajijce
parom utwierdzaj cym M1\ i M B Sij tr6jk q tami AC Bill D B,
to calkowitym momentem zgi cia w dowoInym przekroju x
bçdzie: 0 l-x x
Mx=Mx + Mll-r-- + M BT .
Rzçdne zredukowanej powierzchni moment6w okre i za-
tem wyrazenie:
[ Mo+M1\ l-x +MB ] '
1 xli
a reakcj podporow B wskutek fikcyjnego obciij.lenia przedstawi wz6r:
B = 10 [ ('1 M xdx + M1\ CI (I-x)xdx + Ma ('1 XldX ] .
")0 1 1 o 1 1 )0 1
.Rnalogiczne rownanie mozna napisaé i dIa reakcji A. Wyraziwszy 1 jako funkcj x, wykonawszy calko-
wanie i przyr6wnawszy do zera wyratenia dIa A i B, otrzymamy szukane r6wnania do obliczenia M 1\ i M B.
Yi
:"-"'.r - -:
Rys. 216
. (122)
85. BELRI Z RONC.RMI SPREZYSCIE UTWIERDZONEMI
W powyzszych przykladach mozna bylo zauwa.zyé, .le utwierrlzenie konc6w belki wywoluje
zmniejszenie ugiçcia, a zwykle i zmniejszenie napr zen. 1\zeby jednak formuly wyprowadzone
dIa belek utwierdzonych, mozna bylo stosowaé z zupelnem zaufaniem w jakimkolwiek danym przy-
padku, trzeba koniecznie sprawdzié, czy utwierdzenie jest z u pei n e, czyli dos k 0 n ale, to znaczy,
czy istotnie wyklucza obr6t konc6w belki. W tych bowjem przypadkach, w kt6rych pod dzialaniem
sil zewn trznych zajdzie choéby bardzo maly obr6t konc6w beIki, skutek utwierdzenia widocznie
siç zmniejsza, a dzialanie belki zbliza si do dzialania w warunkach zwyklego podparcia koiic6w 1).
Cz stokroé motna przyjijé kijt obrotu jako proporcjonalny wzglçdem momentu dzialajqcego na
utwierdzony koniec i jeteli po usuni ciu sil zewn trznych odksztalcenia znikajq, to m6wimy
o utwierdzeniu sprçzystem. Oznaczmy przez cr kijt obrotu konca pod wplywem momentu
zginajê;!cego M, natenczas przy utwierdzeniu spr ystem cr = kM. Sp6lczynnik k charakteryzuje
stopien sztywnosci utwierdzenia. Doskonalemu utwierdzeniu odpowiada k = 0, swobodnemu pod-
parciu k = 00. Jezeli wartosé k jest znana, to zagadnienie
zgiçcia belki jest zupelnie okreslone.
Jako przyklad znajdziemy wielkosé moment6w podpo-
rowych dIa przypadku przedstawionego na rys. (217). Sita
skupiona P dziala na srodek rozpi tosci belki 0 spr Zyscie
utwierdzonych koncach A i B. Pod wplywem tego obciijZe-
nia obr6cél siç koiice belki 0 jeden i ten sam kijt 0/ (przy zalozeniu r6wnej sztywnosci utwierdzenia na
obu koncach). Oznaczmy przez M wielkosé powstajijcych przy tem moment6w podporowych; natenczas:
M - .
_k
l p B
lA -...._ .. \1' jV /'---
t1 ------------------- il
Rys. 217
1) [Bior c gci e, nie mamy w rzeczywistogci nigdy do czynienia z utwierdzeniem zupemem, gdyz wszelki materjaJ,
otaczaj cy nawet najdokladniej koniec utwierdzony, doznaje odksztalce6 pod dzialaniem sil zeWD trznych i wskutek tego
dozwala na pewien obr6t tego ko1ica. M6wimy wtedy 0 utwierdzeniu niezupelnem, albo niedoskonalem].
Wskaz6wki co do r6znych sposob6w ustalenia ko1ic6w, stosowanych do belek zeIaznych. tudzie.t co do stopnia
sztywno ci tych ustaleti, znajdzie czytelnik w ksiélZce F. Pietzker'a: "Festigkeit der Schilfe". Berlin 1911. str. 21.
10.
Gdyby konce belki byly podparte i mogiy obracaé si zupeJnie swobodnie, to wskutek obciqzenia
SUil P obrôcilyby si 0 kilt: P 12
S = 16£1 ' przyczem widocznie S> 'Ir.
R6znica S - 'Ir = cp jest wlasnie tym kiltem, 0 jaki obracajq si konce wskutek dzialania moment6w
podporowych M. Poniewaz te moment y Sil co do wielkosci r6wne, a co do kierunku wprost prze-
ciwne, wi c kilty obrotu konc6w majq wartosci:
MI Ml MI
Si =S2= 3El + 6El = 2El
1\ zatem dia cp mozemy napisaé: MI'
S-\}f= - 2El '
Podstawiwszy tu zamiast \}f i S ich wartosci, otrzymamy:
PLI Ml
16El - kM = - 2El '
Przy wartosci k = 0, znajdziemy stild M = - l , a wi c jak w przypadku doskonalego utwier-
dzenia; dia k = 00 otrzymamy M = 0, t. j. swobodne podparcie konc6w.
W szczeg6lnie prosly sposôb da si okreslié wartosé spôlczynnika k w przypadkach, gdy
konce zginanego pr ta Sij przytwierdzone do pr tôw 0 znanych wymiarach. Zadania tego typu
napotykamy przy obliczeniu ram z sztywnemi w zlami 1).
We1.my np. ram prostok'ltnq (rys. 218), obci ton'l silami P, dzialai'lcemi na
rodki pr t6w Bei AD. Ra:tdy z pr t6w ramy zachowuje si jak belka w obu koli-
cach spr ¥cie utwierdzona i obliczenie sprowadza si\) widocznie do wyznaczenia mo-
ment6w utwierdzenia, t. j. moment6w zginajqcych w wçzlach ramy. DIa uproszczenia
przyjmiemy, :te pr ty przeciwIegle majq ten sam przekr6j. Odksztalcenie ramy b dzie
wtedy symetryczne wzgl€dem linji dzialania si! P i b dzie wygl dat mniej wi€cej w spo-
s6b przedstawiony na rysunku; moment y wçzlowe zag bçd'l oczywigcie r6wne. Wy-
dzielmy z ramy pr t poziomy B C, to na jego kot'ice musimy dIa r6wnowagi dzialal
pionowemi reakcjami, r6wnemi i momentami wçzlowerni M (rys. 218). Takie same
momenty b dq, zginaé prçty pionowe, u kt6rych pionowe reakcje wystçpujq jako sily
rozciQgajqce. [Reakcje poziome u tych pr t6w sq oczywi cie wykluczone, poniewa:t nie-
ma sit zewn trznych, kt6reby si z niemi r6wnowatyly]. Dzi ki sztywno ci wçzl6w obr6cë!
si\) kot'ice pr t6w, schodzqce siç w jednym w :tle, 0 jeden i ten sam kqt cp. Wezmy pod
uwagç koniec C pr ta B C. Gdyby ten prçt byl swobodnie podparty na kolicach, to te
k06ce obr6cilyby si 0 kilt : 1 ; momenty M wywolajë! jednak obr6t w stronç prze-
. k Ma dk .
clwnë! 0 ilt TÊT' a wypa owym ké}tem obrotu b dzle:
Pal Ma
cP = 16EY- 2El .
Prçt pionowy CD zakrzywia si tyIko pod dzialaniem momentu M (wplyw sily podlu-
tnej jest przy malych zakrzywieniaçh znikomy; b dziemy si\! z nim liczyt w przy-
padkach prçt6w bardzo smuklych, 0 czem p6:tniej). Odpowiadajë!CY kë!t obrotu kolico-
wych przekroj6w M b
cP, = 2El, .
Z sztywno ci pot'lczeli wçzlowych wynika warunek cP = CPt> czyli
Pal Ma Mb Pa 1
16El - 2El = 2El, ; a s d M 8 b 1 .
1+--
a 11
148
P
B .----- -------- C__ I
. .
\ '
, .
.
1
.
1
l '
1 __ _ (J --.- ..+
1
1
1
1
1
1
1
1
.
.
A '--- .--
_ --_ou jF
1
,
1
.
, 1
'If}J
f .:
_______11011
,
1
1
.
. 1
..,. :--
1
.
.
'])'
IJl1
Rys. 218
. (123)
b
. (124)
1} Szczeg610we badanie ram r6znego rodzaju mo:tna znaIeté w ksiq:tce B j 0 rns tad'a: "Die Berechnungv. steifen Rahmen".
Ob. tak:te ksiil:tkç RleinIogel'a, pogwi conq tej samej kwestji.
Rilka interesujë!CYch przyklad6w obliczenia ram znajduje si w artykulach:
W. l\ndr e, Zeitschr. f. Brückenbau z r. 1915, str. 35 i 105.
L. Herzka, Eisenbau zr. 1915, str. 27.
G. Raufmann: tam:te w r. 1913, str. 266, ,
Warto é momentu w zlowego, czyli momentu podporowego dIa kaidego z prçt6w ramy, zalety, jak widzimy, od slosunk6w
dlugogci i sztywno ci pr t6w poziomych do pionowych. Gdy Il staje si bardzo wieikiem wobec 1, to ulamek 1
1+ l..
a Il
staje siç r6wnym jedno ci, a moment"podporowy dqty do warlogci a , kt6rl! znalezli my dIa przypadku zupelnego utwi{'r-
dzenia ko6c6w. Przy gi tkich prçtach pionowych ma powyzszy ulamek malq wartogé i moment podporowy M b dzie maly.
Znajl!c warto é M, mozemy bez trudnogci obliczyt ugi cia pr t6w i wielkogci napr ieti.
Rozwazymy jeszcze jedno zadanie, jakie napotyka si przy obliczeniu most6w. Na prostok'ltnl! ram fIB CD, pod-
partI! w punktach fI i D, dziala sUa pozioma H (rys. 219). Rozmiary ramy,
sztywno ci poszczeg61nych pr t6w i przyblizona postaé odksztalcenia sq uwi-
docznione na rysunku. W skutek sztywno ci w zl6w powstan'l w nich momenty
M i Ml' 0 kierunkach oznaczonych strzalkami. Je:teli nadto przyjmiemy,:te sUa H
rozdziela siç po polowie na w zly B iCI), io wszystkie sHy zewn trzne, dziala-
jl!ce na ka.tdy z prçt6w, b dq okreg)one. Rozpora B C b dzie siç zginaé jak
beIka w obu ko6cach podparta. Na podstawie znanych wzor6w znajdziemy
kilt obrotu Iewego kotica
Mb Mb Mb
CP=3Er;- 6E1, = 6ET, .
Podobniet bçdzie dia rozpory JI D
M 1 b
<Pl = 6ETo .
Rozpatruj<1c prçt fI B jako beIk doinym koticem utwierdzonq moiemy ustawié
zwii}zek miçdzy k'ltami <P i <PI' Na wytworzenie kqta <P skladaji} si trzy przy-
czyny: a) obr6t prçta w plaszczyznie utwierdzenia 0 kilt <PI> b) zgi cie pr ta sHi!
' dzialajilCB na g6rny koniec, kt6re wywoluje obr6t tego ko6ca 0 kilt . 2 Tl
i wreszcie c) dzialanie momentu zginajqcego M, ktc:5re wywoluje obr6t g6mego
Mh )
kot'iCB w przeciwnq stronç 0 kilt ETI . fi zatem:
Hh 2 Mh
<P=<Pl+ 4El j - ET 1 '
a1bo, po wstawieniu wartogci za Cf' i <Pl:
= 1 + Hh' __ Mh (8)
6ET 2 6Elo 4ET 1 El 1
Drugie r6wnanie miçdzy M i MI otrzymamy z warunku moment6w sB zewn trznych pr ta fIB, a mianowicie:
M + MI = Hh
2
bh h
-+-
M = H 6ETo 2ET 1
b b 2h
3E1;+ 3ETo +£1;
W szczeg6Inym przypadku bardzo sztywnej rozpory dolnej, otrzymamy, kladqc E 10 = 00:
M= Hh . 1
4 1 + 1L
6h 1 2
Wielko é momentu M zalety w6wczes od stosunku Tl : T,. Przy T. = 0, t. j. przy bardzo gi tkiej rozporze g6rnej, wypada
M = O. Katdy ze slup6w (pr t6w pionowych) bçdzie siç zathowywaé, jak belka dolnym k06cem utwierdzona. Jeteli zd
g6rna rOJpora jest r6wniet bardzo sztywna w porownaniu do slup6w, to podstawiwszy T, = 00 mamy:
M= Hh
4
Z obu r6wne6 (a) i (b) znajdziemy:
149
RB
r
E,£
c
-== ;
,.
. "
El,,' :
1
h
;::::: -
. l'
E{/<rl
/, --
1
1
(b)
. (125)
. (126)
. (127)
1) To przypuszczenie odpowiada pomini ciu skr6cenia rozpory B C i zblitenia siç jej k06c6w przy zgiçciu w po-
r6wnaniu z przesuniçciami punkt6w B i C.
2) Ten wynik otczymamy, zwazywszy, te para sil, dzialajl!ca na prçt jednym k06cem utwierdzony, wywoluje zgiçtie
w luk kola. Rrzywizna bçdzie r611l11a ::1 ' Il kilt obrolu drugiego k06ca znajdziemy, pomnotywszy krzywiznç przez dIu-
gogé Mu h.
W tym przypadku bçdi! stupy naraione na zgi cie i rozci'lganie w spos6b przedstawiony na rys. (220). Sila rozci'lgaj,!ca
. 2M d . da k .. d . B C
o wartogcl b 0 powla rea C)l po porowe) rozpory .
Ostatni wynik mozna zastosowaé do oceni nia wplywu podlugowatych otwor6w, wyciçtych w war.
stwic oboj tnej zginanych belek. Rys. (221) przedstawia bl'Ikç jednym kolicem utwierdzoni! i zginani!
si1é! P. W warstwie obojçtnej znajduje siç podlugowaty otw6r 0 dlugogc! It i szerokogci 8. P pro ad m
na koficach otworu przekroje II 1ft, B BI (rys. 222) i rozpatrzmy sIly zewn trzne wydzlelone) meml
cz gci belki. Dzialanie usuni tej lewej cz gci sprowadza siç do pary sH 0 momencie Mo = PIs, wywo-
luji!cej CÎl!gnienia i cignienia w przekroju, tudziet do sily P. Wplyw tej sily da siç ocenié przy pomocy
formul wyprowadzonych dIa ramy z doskonale sztywnemi rozporami. Cz gci fi BEF i lIi Bt E F bçdl!
naraione dodatkowo na zginanie momentami P t , dzialaj'lcemi w przekrojach k06cowych i na sily
podluzne 0 wielkogci 2 P l : 2a = 1 . Przytem oznacza a odleglogé grodk6w ciçzkogci przekroj6w
obu czç ci od grodka pierwotnego cale go pn.ekroju, przyjçtego jako symetryczny wzglçdem osi obo-
j tnej. Oznaczywszy opr6cz tego przez W modul przekroju poprzecznego beIki, a przez W t i FI modul
i pole przekroju ka:tdej z czçgci lIBEF i lIt Bt EF, znajdziemy wartogé najwiçkszych naprç:ten uwarunkowanych sil'l P
zapomoc'l wzoru:
150
T
Ry.. 220
_ Plt + Plt .
PI- 4aF 4W t
Do tego trzeba dol czyé naprçzenia wywolane zginaniem calej belki przez moment Mo. Ze wzglçdu na to, :te istnienie
;n.-l ..-;...[ .--; .fl
. ,
-'-'- n - - - ' : . 4 - -'-'- - ._.-
,
1 .
B
F
1t
p
Ry.. 221
Rys. 222
otworu modyfikuje znacznie rozklad tych naprçzed, weimiemy dIa pewno ci ich najwiçksz'l wartogé jako dodajnik
t. j. Pt = . Najwi ksze calkowite napr i;enia okregli zatem wz6r:
P= Mo + Pli ( + ) . (]28)
W 4 aF W 1
potwierdzony z dostateczni! dokladaogciq dogwiadczeniami 1).
87. BELR.R DWUPRZESLOW.R
Belk spoczywajqcq na wi cej nit dwu podporach nazywamy ci q g 1 q albo w i e 1 0 p r z -
slow/!_ Czçsé belki ciqglej lezqcej mi dzy dwiema po sobie nast pujqcemi podporami nazywa si
prz slem_ W dalszym ciqgu przyjmiemy, te jedna z podpôr jest nieruchomé!, a inne mogq si
przesuwaé w kierunku osi belki, majé!cej zwykle polotenie poziome. Wtedy pod wplywem obcié!zeii
pionowych powstanq tylko pionowe reakcje. R6wnania r6wnowagi sprowadzajé! si w danym przy-
padku do dw6ch, z kt6rych motna wyznaczyé dwie niewiadome. Pozostale niewiadome
wystçpuj jako "zbyteczne" i do ich wyznaczenia trzeba zastosowaé metod , jaké! poslugiwali my
si przy szukaniu moment6w podporowych belek z utwierdzonemi koncami. Zaczniemy od naj-
prostszego przypadku belki spoczywaj(!cej na trzech podporach. Jako wielkosé statycznie niewyzna w
czaIné! przyjmiemy reakcj srodkowej podpory. Ta podpora stanowi "zb dne ustaienie", zapobiega-
jé!ce pionowemu przesuni ciu pewnego przekroju belki. Usuné!wszy srodkow(! podpor otrzymamy
belk w obu koncach swobodnie podpart q . DIa takiej belki znajdziemy bez trudno ci ugi cie wskutek
danego obciq.ienia w dowolnym przekroju poprzecznym, a zatem i w przekroju odpowiadajqcym
srodkowej podporze. Nast pnie obliczymy osobno ugi cie, jakieby wywolala sila pionowa dowolnej
wielkosci, dzialajqca na przekr6j nad srodkowé! podporé!. Jeteli wieikosé i kierunek tej sily wyzna-
1) Ob. przytoczony powytej (str. 147) artykul PlIeiderer'a.
151
czymy z warunku, aby wywolane nié! uglçcle owego przekroju znioslo siç z ugi ciem powstalem
wskutek danego obciélzenia, to znajdziemy zarazem reakcjç srodkowej podpory.
Jako przyklad rozpatrzymy najpierw przypadek belki r6wnoprzçslowej, dfwigajqcej
r6wnomiernie rozlozone obciélzenie q kg m. Po usuni ciu srodkowej podpory B (rys. 223)
beika si ugnie, a odpowiadajqcem ugiçciem przekroju B jest
podlug wzoru (93): .
f = !JJ 2l)4 .
384 El
Jezeli na ten sam przekr6j bçdzie dzialaé sHa pionowa B, skie
rowana do g6ry, to ona wywola ugiçcie przeciwnego znaku
o wartosci bezwzgI dnej
P (21)3
fI = 48EI .
Rys.223
Pozostaje teraz dobraé wartosé P tak, aby oba ug] CIa siç zniosly, czyli aby bylo:
5 q (21)4 B (21)8
384 . -EI- = 48£1 .
& 5 5
B = 1f 2q1 = 1f Q . . . (129)
jezeli przez Q oznaczymy calkowite obciélzenie belki. Znaleziona tym sposobem sÏla B daje nam
wielkosé szukanej reakcji srodkowej podpory. Reakcje podp6r skrajnych b dq z powodu symetrji
r6wne, a wi c ich wsp61nq wartosci q b dzie
1 5 3
2(Q-1f Q ) = 16 Q.
Majqc reakcjç srodkowej podpory, znajdziemy z latwosci q diagram moment6w zginajqcych. Linja
moment6w wywolanych obciélzeniem r6wnomiernie rozlozonem po usuniçciu srodkowej podpory
jest paraboi q RDC. Wskutek sily skupionej B powstajél moment y przedstawione diagramem tr6j-
kqtnym 11 EC. Przy jednoczesnem dzialaniu obciqzenia i reakcji B okresli moment y zginajqce
r6.lnica rzçdnych obu diagram6w, uwidoczniona na rys. (223) przez zakreskowanie. Moment zgi-
najqcy w dowoinym przekroju, odieglym 0 x od Iewej podpory, okreSli formula:
3 qx'
M = 16 QX-T.
T en moment osiqga najwiçkszél wartosé dodatni q dIa x = 1:
Mm"" = 1 8 qI'
. (130)
zas najwiçksz q wartosé ujemnq nad srodkowq podporq:
ql'
M min = -8
. (131)
J:!!fl . (I,+b
,f-----l----.2(f+!,
,_4 1
.. '?B
. .
L-.__./__.-L-.__I,
Wetmy teraz pod uwagç przypadek obciélzenia sH q skupionq P, odlegl 0 b od prawej poo-
pory skrajnej (rys. 224). Dia wi kszej og61nosci wywod6w
przyjmiemy, .le rozpi tosci prz sell i Il s nier6wne. Gdy
usuniemy zbytecznq srodkowQ podporç, to pod dzialaniem
sHy P obnizy si przekr6j B, a odpowiadajqce ugiçcie okres1i
wz. (94), a mianowicie:
f = Pb 1 (l + 1 1 )'- b ' - l' .
6EI(1 + 11)
Rys. 214
T eraz obierzemy dia reakcji srodkowej podpory tak wiel-
152
kosé B, kt6raby zniosla ugi cie wywolane sH P. Wskutek sily B ugnie siç jej punkt dzialania
o wielkosé B 121 2
f1 = 3 El(l Il)
(por. 78, przyklad III). DIa wyznaczenia B otrzymamy przeto r6wnania:
B1 2 1 1 2 Pbl[(1+1 1 )t-b t -1 2 ] kt B- Pb[(21+/t)/l-b 2 ] . (132)
3 El (l + 1 1 ) = 6 El (1 + II) z orego - 211 1 2
W szczeg61nym przypadku r6wnych przçsel (1 = 11) bçdzie:
B = Pb (3/ 2 _ b t ) . (133)
2/ 3
Maj,!c reakcj srodkowej podpory, znajdziemy latwo inne elementy zgiçcia przy pomocy zasady
superpozycji. Zmianç momentu zginaj(!cego wzdluz belki, przedstawia na rysunku zakreskowane pole.
88. WPLYW PODWYZSZENIl\ LUB OBNIZENIl\ SRODROWEJ PODPORY
Przy wywodach poprzedniego paragralu zakladaligmy, te wszystkie trzy podpory lez dokladnie w tej samej wyso-
kogci. Tutaj rozpatrzymy na prostych przykladach, jaki wplyw na nasze obliczenia moze wywrzei5 obnizenie, lub podwyz-
szenie grodkowej podpory. Wezmy znowu przypadek dwu r6wnych prz sel obciqzonych r6wnomiernie i przypu émy, te
rodkowa podpora jest niisza od skrajnych 0 wielkogé 8. Wtedy r6wnanie dia wy.znaczenia B przybierze postaé:
Q(2l)8 = B(21)8 + 8
384 - El 48EI '
Reakcje podp6r skrajnych b dq r6wne:
a stqd:
B= Q + 6E1.8
8 1 8
. (134)
Q+ 3E/8 .
16 1 8
Moment zginajqcy nad rodkowq podporq z mniejszy siç i bçdzie r6wny:
M= ( Q + 3El.8 ) I_ = _ ( 1- 24E/8 )
16 1 8 2 8 q 1 4
. (135)
Drugi wyraz w nawiasie przedstawia wplyw obniZenia 8 na wielkogé momentu podporowego M, Wetmy np. belk zelaznq
(E = 2.10 8 kg/cm ) 0 wysoko ci h = 0,11. Dajmy na to, te najwi ksze napr tenia w belce, obIiczone przy zalozeniu r6wnej
wysoko ci podp6r sq r6wne:
M ql2 h 2
pmax = -=-. -= 800 kg/cm
W 81 2 .
W takim przypadku
24E18 3Eh8 300 8
ql' - 21 i p.nax =Sh'
Iak widaé, wystarcza obnizenie grodkowej podpory 0 8 = 0,01 h, aby naprçzenia zmienily si prawie 0 40 Ofo. Ta okoliczno i5
obnita w znacznym stopniu pewnogé wszelkich ra('hunk6w, odnoszqcy(.h si do belek ci'lglych i zniewala w takich przy-
padkach do obni:tenia normy naprçzeti dopuszczalnych.
89. ROWNl\NIE TRZECH MOMENTOW 1)
Spos6b, przyjçty powyzej dIa wyznaczenia reakcji srodkowej podpory belki dwuprzçslowej,
mozna takze zastosowaé przy dowolnej liczbie podp6r posrednich. Naprzyklad w przypadku beiki
na czterech podporach usuniemy dwie podpory srodkowe i znajdziemy ugiçcia w odpowiadaj cych
im przekrojach, jakie powstaj(! pod wplywem danych obci,!zen. Potem w punktach podparcia dzia w
lamy dwiema silami pionowemi 0 takiej wielkosci i kierunku, aby wywolane niemi ugi cia zniosly
siç z ugiçciami wskutek obci zen danych. Te sily bçd,! wlasnie szukanemi reakcjami podp6r. Przy
wiçkszej liczbie podp6r staje siç jednak taka metoda niedogodnq, albowiem kazde z otrzymanych
r6wnan zawiera wszystkie niewiadome. Zadanie upraszcza siç, jezeli obierzemy jako wielkosci sta w
1) To r6wnanie ustawil pierwszy int. Bertot (Comptes rendus de la Société des Ing. eivils; 1855, str. 278). Dalszy
rozw6j teorji belek ciqf;(lych zawdziçczamy gl6wnie nast puji!cym autorom:
Mohr: "fibh. aus d. Glbiete der techn.Mcchanik".
Win k le r: "Beitr. z. Theorie d. kontin. Brockentrager". Ziviling. 1862.
W e y r au ch: "fillg. Theorie der kontin. u. einf. Trager-. Leipzig 1873.
Müller-Breslau: "Die graph. Slatik d. Baukonstruktionen c . T. Il, cz. 2-ga.
tycznie niewyznaczalne, nie reakcje, lecz m 0 men t y po d po r 0 w e, t. j. momenty zginaj ce w prze
krojach lez cych nad podporami. Rys. (225) przedstawia dwa po sobie nast puj ce prz sla belki cii}
glej. Przez A' 0, A' l' A' 2,." oznaczy-
my kolejne punkty podparcia, przez A -, A; A 4
Il' 1 2 "" rozpi tosci prz sel. Wyobra-
zmy sobie nasz belk wieloprz -
slow , przeci ti} przekrojami podporo-
wemi. RaZde z prz sel mozna w6w-
czas uwazaé za belk w obu koncach
cz sciowo utwierdzoné}. Moment y pod-
porowe b di} momentami utwierdza-
j cemi. Jezeli potrafimy je obliczyé,
to wyznaczymy nast pnie z latwoscii}
momenty zginaj ce, sily poprzeczne
w dowoInym przekroju i reakcje pod-
por belki cié}glej. Niechaj krzywa
Au-t" C n /f n ll przedstawia tak Iinj
moment6w M wydzielonego prz sla
beIki, jakaby powstala, gdyby nie bylo
moment6w podporowych, czyli w przy-
padku swobodnego podparcia obu konc6w prz sla. Diagram moment6w wywolanych oddzieInie
samemi tyIko momentami utwierdzaji}cemi Mn-' i Mn, dzialaji}cemi na swobodnie podparte konce
rozpatrywanego prz sla, przedstawia si jako trapez 1\n-l" D F /fn". Przyj wszy znak tych momen-
t6w zgi cia, jak to zwykle bywa, za przeciwny znakowi moment6w wskutek obcii}zen, otrzymamy
dia gram moment6w wypadkowych, przez odejmowanie rz dnych obu diagram6w. Na rysunku przed--
stawia go zakreskowana powierzchnia. Wielkosé moment6w w jakimkolwiek przekroju odleglym 0 x
od lewej podpory An-l" okresli przeto wyrazenie:
o In-x x 1)
Mx = Mx + Mn-t-,;:-+ M0-r.:
St d znajdziemy sil poprzeczni} w tymze przekroju:
Q = dM x = dM + Mn-M n - I = QO + _ Mn -M n - I
x dx dx ln x 10
Tutaj oznacza Q sil scinaji}ci}, jakaby powstala przy swobodnem podparciu obu koncow prz sla.
Oznaczywszy wartosé Q: dIa x = 0 przez An, zas dIa x = ln przez - Bn, widzimy, ze lIn i Bn nie
s niczem innem, jak reakcjami belki w obu koncach poppartej i dzwigaj cej to samo obcii}zenie,
co n-te prz slo. Wtedy sila poprzeczna po obu koncach Il-go prz sla wyrazi si wzorami (wedlug 137):
[Q ] A + Mn-Mn-l [Q ] B M n -M n - 1 . (138)
x x=O = n ln' x x=ln = - n + ln
Otrzymane formuly mozna zastosowaé do dowolnego prz sla, wstawiaji}c tylko odpowiednii} war
tosé za n. Zuzytkujemy je dIa znalezienia reakcji podpory An', jako r6znicy wartosci sily poprze-
cznej w przekrojach nieskonczenie bIiskich po prawej i lewej stronie podpory. SHa poprzeczna
z lewej strony
153
.----.l...-.._.
( ._..__.
. -. fA-'--' '?d
A A
,
.. . .I M ____---1
{ (1;,..- . IJ: A '1_. )'!;.Î"\
A Â
l1l, c,,'f
--.
Ry.. 225
. (136)
. (137)
[Q J B Mn-Mn-l
x xdn = - n + 10 '
zas po stronie prawej:
[Q J A MO+I-Mn
x x=O = 0+1 + 1 .
0+1
1\ zat m reakcja Il-tej podpory:
A'= (Q ) (o+l)_ (Q ) (0) = n + B + Mn+I-Mn _ Mn-Mo-l,
n x x='II x xdn J 10+1 n 1 1
n+l 0
. (t 9)
1) Przy obiorze znak6w moment6w kierujemy siç poprzedniem prawidlem, t. j. bierzemy momenty podporowe Mn-I
i Mn ze znakiem +, jezeli one wywolujl! zgiçcie belki wypuklo cil! w d61.
154
Jezeli jaki ciçzar skupiony znajduje si nad sam podporq, to nalezy go oczywiscie dolqczyé do
reakcji obIiczonej wedlug lormuly (139).
Przy pomocy wzor6w (136), (137) i (139) mozna wszystkie potrzebne do obliczen elementy
wyrazié przez moment y podporowe. Pozostaje jeszcze ustawié dostatecznq Iiczb rownan dIa obIi-
czenia tych moment6w. Do tego posluzy warunek ci glosci kierunku stycznej do Iinji ugi cia, zasto-
sowany w punktach podparcia. Unje ugiçcia s siednich prz sel musz w punkcie podparcia mieé
wsp6lnq stycznq. Otrzymamy stqd tyle r6wnan, iIe jest niewiadomych moment6w podporowych.
DIa uproszczenia rachunku przyjmiemy, ze przekr6j belki jest staly, a wszystkie podpory sc! w r6wnej
wysokosci. Do obliczenia k q t6w nachylenia stycznych do Iinji ugi cia, uzyjemy metody wykreslno-
analitycznej ( 78). Uwazajqc powierzchniç moment6w za powierzchniç obciqzenia, znajdziemy kqt
nachylenia jako iloraz z reakcji, powstalej wskutek likcyjnego obciqzenia, przez sztywnosé belki.
W ten spos6b otrzymamy dIa prawego konca n-go 'przçsla:
= ( Mn/n + M n - 1 1. + Qo an )
2 El 3 6 ln'
przyczem Qo oznacza wielkosé powierzchni moment6w R n - I " CnRn" (rys. 225), odpowiadajqcej
obciqzeniu n-go przçsla, zas an odci t srodka ciçzkoscÏ tego pola. Podobniez bçdzie dIa lewego
konca (n + 1)-go przçsla:
/ = ( Mn ln + 1 + Mn + 1 ln + 1 + Qn + 1 h n + 1 ) .
El 3 6 ln + 1
Obie czçsci linji ugi cia bçd q mieé w punkcie podparcia An' wsp6lnq stycznq, jezeli iJ 2 = - ..'1/, czyli
Mn ln Mn-lin Qo an Mn ln + 1 Mn + 1 ln + 1 Qo + 1 h n + 1
+ 6 +----r.;-= - -- 6 - /n+1 '
skqd
M 1 M (1 1 ) " 1 Qo an Qo + 1 h n + 1
n-\ n + 2 n n + n + 1 + Mn + 1 n + 1 = - 6 _ 1 - 6 1
n . n + 1
Znalezione r6wnanie zawiera wielkosci trzech po sobie nastçpujqcych moment6w podporowych.
Napisawszy analogiczne r6wnania dIa kê1Zdej pary sqsiednich przçsel, otrzymamy tyle r6wnan, iIe
jest posrednich podp6r, a zatem tyle, île jest niewiadomych moment6w podporowych 1).
Jezeli jeden, albo oba kooce belki Sq utwierdzone, to do r6wnao postaci (140) trzeba dol czyé
warunki utwierdzenia. Dajmy na to, ze lewy koniec belki nie moze si obracaé, natenczas zwiqzek
miçdzy momentem Mo w przekroju utwierdzonym, a momentem podporowym Ml znajdziemy jako
warunek, ze kilt
. (140)
= ( M1/1 Mo/t Q1 b 1 ) =0
1 El 6 + 3 + 1 .
. 1
T akiez r6wnanie mozna ustawié i w przypadku utwierdzenia prawego konca. Te r6wnania wraz
z r6wnaniami (J 40) posluz do wyznaczenia moment6w podporowych w miejscach utwierdzenia.
R6wnania, wyra:iajqce zwi'lzek mi dzy trzema po sobie nast puj'lcemi momentami podporowemi, moina latwo uog61-
nié w przypadku nier6wnej wysoko!ici podp6r. Oznaczmy przez n i n+1 k ty nachyIcwia prostych, l'lcz'lcych punkty
An.' podpareia w n-tem i (n + l)-szem przç Ie (rys. 226); wtedy kilt y, jakie kot\-
---- ---.tA cowe styczne tworZ'l z poziomem, zalezq nietylko od obci zenia przçsla i mo-
: ----r ------.---e21;;. : 'R"f3n-1 ÂfIoJ ment6w podporowych, Iecz takie od wielko ci l'ln, n+l,... Wz6r dIa k ta -&2'
: A, _h,_ utworzonego z poziomem przez stycznq do Iinji ugiçcia w puncie .lfn, przy-
:.....- ...l--. n . bierze teraz postaé:
.fI
Rys.226 -&2= l (M;ln + Mn 6 tln + .Dï:n) _ I\'
Zupelnie w ten sam spos6b otrzymamy dIa Iewego kotica n + 1).go przçsla:
-& '= ( Mn In+1 + Mn+lln+l . + Dn-\-I bn-\-l ) _ A
1 El 3 6 In+l ....n+l.
Warunek -&2 = - -&1' prowadzi do r6wnania:
Mn-lin + 2 Mn (ln + 1.,+1) + Mn+lln+1 = - 6 Dn l a n - 6 Dnt l bn+t + 6 El ( n - n+l)
n n+l
. (141)
1) W sprawie uproszcze1i przy rozwi'lzywaniu tego ukladu r6wna6 ob. pracç P. M. Frandsen'a w "Eisenbau" 1913,
str. 440.
155
Wielkogé moment6w podporowych zalety tedy od polozenia podp6r. Wplyw obnizenia podpory jest tem wiçkszy, im wi kszl!
jest sztywno é beIki Er.
W powyiszym wywodzie przyj ligmy, ze polozenie podp6r, a wi c i kilty f3n, n+l,... Séj z g6ry dane; st'ldjednak
nietrudno przejgé do przypadku, w kt6rym nier6wna wysokogé podp6r jest uwarunkowana ich sprç:tystem nosiadaniem- pod
dzialaniem odpowiadajilcych nacisk6w podporowych. Przyjmijmy, ie podatno!ié wszyslkich podp6r jest jednaka i :te jej wieI-
ko é okrdla naeisk D potrzebny do osiadania podpory 0 jednostk dlugo!fci; nalenczas wieIko!:é osiadania n-tej podpory
pod wplywem nacisku na ni'l dzialajl!cego (wz. 139) okregIi wyrazenie:
h = 1:1 n' =-.!.- ( a +B + Mn+I-Mn Mn-Mn-I ) ( )
n D D "n+1 n ln-J-I ln . a
Podobne wyrazenie mozemy ustawié dia wszystkich podp6r i, jezeli podpory Ieialy pierwotnie na r6wnej wysoko ci, 10 dIa
k'lt6w (3, wchodz'lcych w r6w. (141), olrzymamy oczywigeie wyratenia:
hn - h n -1 hn+1 - h n
(3n = l ' f3n-H = 1 .
n n-J-I
Wstawiwszy te warlogci kqt6w w r6w. (141) i zastqpiwszy w nich wielkogci osiadania podp6r h odpowiadaj'lcemi wyra:te-
niami (a), dojdziemy do r6wna dIa belki cil!glej, spoczywaj'lcej na spr zystych podporach. Latwo zauwatyé, ze le r6wna-
nia b dq zawieraly juz ni trzy, Iecz pi é po sobie nastçpuj'lcych moment6w podporowych 1).
9 90. SZCZEGÔLOWE PRZYPRDRI OBCIl\ZENIIl BELRI CIl\GLEJ
W poprzednim paragrafie sprowadzilismy obliczenie belki wieloprz slowej do rozwiilzania
ukladu r6wna1i injowych. Zadanie moma jeszcze uproscié obliczywszy wprz6d wyrazenia °ï: n
i Ont b n + 1 dIa najczçs iej napotykanych przypadk6w obci zenia 2). Tutaj podamy dwa najprostsze
n+1
przyklady takiego rachunku.
I. Obciilzenie rozlozone r6wnomiernie na calej belce (qkglm). Unje moment6w
s w tym przypadku parabolami. Wielkosé pola On okresla formula:
2 ln"
û n =3 Q s /n ,
a r6wnanie (140) przybierze postaé:
Mn-lin + 2M n (ln + In+l) + Mn+1 In+1 = - (ln Il + In+ll) . (142)
W przypadku dwu prz sel r6wnych i kODC6w podpartych b dzie Mo = M"J. =0, zas moment nad
podpor srodkowil wypadnie z r6w. (142):
ql2
M\=-s-:-.
Ten sam wynik otrzymalismy juz poprzednio Ïnnil drogil (wz. 131). W przypadku trzech r6wnych
przt:sel b dzie:
Mu=Ms=O, M 1 =M 2 =M.
Wielkosé M znajdziemy z r6wnania:
StQd
2M.21 + MI=- 1 211.
q12
M=--.
10
Diagram moment6w zginajQcych przedstawia
rysunek (227). PoslugujQc si wzorem (139)
znajdziemy zaraz nast pujQce wielkosci reakcyj podporowych:
ql 11 1 11
Ri =}f2=ql + 10 =lO q/ , Ro=lIs =2'(3ql 2 1O QI)=O.4ql.
Do wykreslenia linji sil poprzecznych, przedstawionej na fige (b), uï;yjemy wzoru (137).
r
1) Zastosowanie tych r6wnat'i do obIiczenia most6w 0 beikach ci'lglych i most6w pontonowych znajdzie czyteInik
w przytoczonej powyiej ksi'lzce Müller-Breslau'a, t. II 2.
S) DIa obciélZeti, zmieniajl!cych si wedlug prawa tr6jk<1ta, trapezu i paraboIi, podano odpowiadajqce wzory w Be-
ton u. Ei sen z r. 1915, str. 209.
156
Jezeli liczba pudp6r jest wielka, a prz sla rowne i obci zenie, jak powyzej, stale na calej dlu M
gosci belki, to dIa podp6r srodkowych, dosé odleglych od konc6w, mozna uwazaé momenty za
r6wne, czyli napisaé: M - M - M +1 = M
n-l- n- n .
Wtedy otrzymamy z r6w. (142):
q[B qll
6MI=-T' M=-12'
Momenty podporowe maj,! zatem t sam,! wielkosé, co moment y utwierdzenia belki w obu kon-
cach poziomo utwierdzonej. (Mozna to bylo przewidzieé juz na podstawie tej okolicznosci, ze sty-
czne do linji ugi cia na podporach belki 0 nieskonczenie wielu rôwnych prz slach musz byé,
przy powyzej przyj tem obci(!zeniu, poziome). DIa przypadku obci(!zenia rozlozonego r6wnomiernie,
istniej tablice wartosci moment6w i reakcyj podporowych 1). Przy ich pomocy mozna bez trudnosci
dokonaé obliczenia belek wieloprz slowych.
II. Obci(!zenie silami skupionemi w n-tem i (n + 1)-szem prz sle. Pola On i On+l
(rys. 228) majQ teraz postaé tr6jk t6w An-ICnRn i RnCn+IRn+t. Rz dne ich wierzcholk6w maj
wartosé:
.f .- -"d-,., P C d
n..., 1 1 n n n
: f 1
, : ln In+1
1
: a zatem pola tr6jk q t6w okreslél wzory:
1
; 1 1
(L fl /L., On = 2 P n C n d n , On+: = 2 P n+' Cr+l d n + t .
. "...: ) Polozenie srodk6w ci zkosci On i On+1 tych pô]
L' 1 A".,; wyznacz(! odci te:
'.:-(] {J' 1 b. .
n_ --7 , _ " "-:- -- On: :nn ,. _ _ .; ! a = + (ln + c n ), b n + 1 =+ (ln+l + d n + 1 ).
r,; ln..,
Rys.228 R6wnanie (140) przybierze przeto postaé:
M 1 +2M(1 +1 )+M 1 __ PnCndn(/n+Cn) Pn+tCn+ldn+t(/n+l+dn+l ). ( 143 )
n-t n n n n+1 n+1 n+t - 1 1
n n+t
M.-
, 1":;'
P n+1 Cn+1 d n + 1
,
9 91. ROWNl\NIE DWOCH MOMENTOW 1)
Przy pomocy r6wnania trzech moment6w sprowadzamy obliczenie belki ci(!glej do rozwiQzania
ukladu r6wnan linjowych. T 0 rozwi(!Zanie da si latwo wykonaé tylko w przypadku niewielkiej
liczby prz el. Z rosné!c liczbQ podp6r wzrasta i liczba r6wnan, a razem z ni praktyczne tru-
dnosci obliczenia, wobec czego wypada szukaé sposob6w upraszczaj cych zadanie. Najpr dzej pro M
wadzi do celu spos6b osnuty na t. zw. twierdzeniu 0 dw6ch momentach. Przy jego zastosowaniu
unikamy rozwi,!zywania ukladu r6wnan i mamy do czynienia tylko z rozwi zywaniem oddzielnych
r6wnalÎ 0 jednej niewiadomej. Patrz c na wykres moment6w (rys. 225), latwo zauwazyé, ze mo-
ment w dowolnym przekroju jakiegokolwiek przçsla mozna znalefé, jezeli znamy moment y zgina M
jQce w dwu jakichkolwiek punktach tego przçsla. Diagram momentôw jest bowiem ograniczony
krzYWQ, zupelnie okreslon obci zeniem rozpatrywanego prz sla, tudziez prost , ktôrej polozenie
zalezy od moment6w podporowych. Znaj c wartosci moment6w w dowolnych dwu punktach, znajM
dziemy dwa punkty tej pros te j, a tem same i caly diagram moment6w. Odpowiedni konstrukcjç
wykonano na rys. (225) dIa n-go przçsla przy zalozeniu, ze dane SQ moment y zginaj ce w prze M
krojach, odpowiadaj cych punktom C n i Hn. Wedlug danego obciqi;enia wykreslono krzywQ
Rn-t" C n An". Od punkt6w C n i Hn odmierzono na rzçdnych odcinki C n C n ' i Hn Hn " przedstawia M
j(!ce dane momenty. Prosta DF, przechodz ca przez otrzymane punkty Cn' i Hn', okresla wraz
z krzyw(! A n - I " CnAn" prawo zmiennosci momentu zginaj cego na dlugosci rozpatrywanego przg-
sla. Skoro d konamy tej konstrukcji dIa n-go prz sla, to dIa jej przeprowadzenia w s(!siedniem
1) Ob, ..Hütte", cz. 1, sir. 452 (VII wyd. z r. 1909).
Bardziej szczeg610we tablice znajduj'l siç w ksi'lice: 1\. Cart et L. Portes: "Calcul des ponts m ta1iques par la
m thode des lignes d'influence".
1) To r6wnanie wyprowadzil Maurice L vy. Ob. "La statique graphique". II partie, Paris 1866.
157
(n+ 1)-szem prz gle wystarcza znajomogé momentu zginaj cego tylko w jednym dowolnie obranym
punkcie; drugi jest okreslony wartosci momentu Mn, wsp61nego dIa n-go i (n+ 1)-ga prz slao
Przechodz c w ten spos6b ad prz sla do prz sla, otrzymamy zupeJ:ny diagram moment6w belki ci glej.
W jakimkolwiek przekroju x (rys.225) n-go prz sla i w przekroju XI prz sla (n+l)-go wyra-
zaj si moment y zginaj ce odpowiednio r6wnaniami:
M _ M o M In-x M x M M o M In+l- XI M Xt
x- x + n-I- l + n- I ' x = x + n 1 + n+I- 1 '
n ni. n-t-I n-t-I
(wedlug wz. 136). Obliczywszy z powy:iszych r6wnan Mo-l, Mn+' i wstawiwszy ich wartosci
w r6wnanie trzech moment6w:
Mn-lin + 2 Mn (ln + In+l) + M n +! In+1 = - 6 On l an - 6 Onr bn-t-t ,
n 0+1
otrzymamy:
(Mx-M )/nl (Mx. -M )ln+tl [ x/n (ln-t-t-XI)In-t-1 1 6 Onan 6Ûn-t- l bn+l
1 -x + X +M n 2(/ n +/ n +I)- / - - =-- 1 - / .
n 1 Il X Xl Il n-t-l
W to r6wnanie wchodzi, pr6cz moment6w M. i Mx., jeszcze moment podporowy Mno Mozna
go jednak wyrugowaé, obrawszy wielkosci X i Xl tak, aby sp6lczynnik przy Mn stal si zerem,
czyli, aby si speJ:nH warunek:
2 ( 1 + 1 ) _ xln _ ( /n-t- 1 - X t)ln+ 1 _ 0 .
n n+1 I n -x Xt
Wtedy otrzymamy mi dzy Mx i Mx zaleznosé:
j
(Mx-MxO)/n l (Mxj-Mxtl')/n+,2 60 n a n 6ü n + 1b n-t- 1
ln - X Xt ln In-t-l
kt6ra nosi nazw r6wnania dwu moment6w. Moment y Mxo i Mx ° w przekrojach X i Xl Sq
.
tutaj wielkosciami znanemi, obIiczonemi jak dia belki w obu koticach podpartej. przekroje X i Xt, zwié}-
zane r6wnaniem (144), b dziemy nazywaé przekrojami "odpowiadaj cemi" w s siednich prz slach.
W przypadku belki ci glej z koticami swobodnie podpartemi, mamy dwa przekroje, w kt6rych
moment y s znane, a mianowicie przekroje po obu koticach belki, gdzie te momenty staj si
zerami. Zacznijmy od lewej podpory A,/ (rys. 229). Odpowiadaj cy przekr6j w drugiem prz sIe
znajdziemy przy pomocy r6w. (144). ' 1
Przyjmuj c w niem x=O, otrzy- 1 l'Iii :' c
mamy: jli 11/'"
2(1 1 + 1 2 )_ 1 2 (/ 2 -XI) =0. II
XI ,
1\ zatem punkt F 2 odpowiadaj é}CY : Ail .
f-.x; l 1
Ro', dzieli drugie prz slo w stosunku: . ---
.
1 2 -Xl - k 2 = 2(1t + 1 2 ) . (146)
Xt 1 2 Ky.. 229
Wstawiajé}c znalezion takim sposobem wartosé Xt w r6w. (145) i klad c w niem x=o i Mx=O,
wyznaczymy wielkosé Mx t momentu zginaj cego w przekroju F 2 . Od przekroju F 2 przechodzimy
do odpowiadaj cego mu przekroju F3 w trzeciem prz sle. Polozenie przekroju wyznaczymy znowu
na podstawie r6w. (144). Uwzgl dniaj c oznaczenie przez k 2 wartoscÏ stosunku In- x dIa drugiego
. X
prz sla i oznaczajqc przez k3 stosunek podzialu trzeciego prz sla przez Fs, mozemy row. (144)
napisaé w postaci:
2(1 2 ' + 1.) - k 12 - k3/3 = 0, skqd h3 = 2 + 2 (2 - ) -
232
Wyznaczywszy w ten spos6b polozenie F3 i wstawiwszy w rown. (145) zamiast Mx wielkosé ma-
mentu w F 2 , znajdziemy moment w przekroju F 3 - Tak post pujé}C dalej, znajdziemy momenty w prze-
krQjach F 4 , F3'" Przy przejsciu od przekroju Fn do Fn+' okreslimy polozenie FO+l stosunkiem kn+t-
Wielkosé hn+' jest zwiQZana z k n r6wnaniem (144), kt6re mozna napisaé w postaci:
2 (ln + I n + l ) - : - ko,-tlO+l = o. Stqd kn+l = 2 + 1;1 (2 - ). - (148)
. (144)
. (145)
. (147)
158
Wyznaczenie momentu zginajQcego w kazdem nowem prz le wymaga przeto rozwiqzania dwu
r6wnan, z kt6rych kazde zawiera tylko jednQ niewiadomq. T q drogq unikamy rozwiqzywania zlo-
zonego ukladu r6wnan, do kt6rych prowadzi cz sto poslugiwanie si r6wnaniem trzech moment6w.
Znalazlszy moment y zginajqce w F 2 , Fs, F4"" i uwzgl dniwszy, ze na koncach belki Sq moment y
r6wne zeru, mamy wielkosci moment6w w dwu przekrojach prawego skrajnego prz sla (prze-
kroje 1I/ i FJ na rys. 229) i w jednym prze!rroju kazdego z pozostalych prz sel. To zas wystarczy,
jak wykazalismy, do przeprowadzenia linji lamanej AD' CI C 2 CslI/, a zatem i do konstrukcji dia-
gramu moment6w.
9 92. WPLYW OBCIl1ZENIR JEDNEGO PRZESLR
Jeteli w jakiemkolwiek przç le nie ma obeiqzenia, to odpowiadajqce pole moment6w przedstawia dia tego przçsla
linja prosta. We1my jako przyklad belkç siedmioprz slowi! i przyjmijmy, te tylko przçslo grodkowe jest obciqzone (rys.230)
c
Rys. 230
i to r6wnomiemie. przy swobodnem podparciu k06c6w belki bçd'l momenty podporowe
Mo =M 7 =0.
Dia wyznaczenia pozostalych moment6w zastosujemy r6w. (140) do katdej pary s'lsiednich przçseJ. zaczynajqc od lewej
podpory lIo. DIa pierwszych dwu prz sd otrzymamy.:
2M I (l. + l,) + M,l, =0, czyli - - 2(11 + l,) -k,.
MI - l,
Momenty podporowe M, i MI maj'l zatem znaki przeciwne. Linja moment6w w drugiem prz gle przedstawia si jako
prosta BI B" przecinaj'lca og w punkcie N,. Polotenie tego punktu jest zupelnie okreglone stosunkiem k, i nie zalezy wcate
ad sposobu obciqtenia Prz Sel, let'lcych na prawo od rozpatrywanego. Przy jakiemkolwiek obeiqteniu tych przçsel b dzie
moment zginaj'lcy w N, zerem i tam powstanie punkt przegiçcia. Latwo zauwazyé, te otrzymany punkt N, jest identyczny
z punktem F" znalezionym powytej przy zastosowaniu r6wnania dwu moment6w (por. wz. 146).
Rozpatrzmy teraz przçslo drugie i trzecie. R6w. (140) przyjmuje dIa nich postaé:
Mil, + 2M,(I, + la) +Mala =0.
Slë1d, uwzglçdniaj'lc znalezion'l wartogé stosunku MI: Mt, otrzymamy:
Ma =-_ 2(1, + la) + l.L. l, - -ka
M. la la 2(11 + l,)
i ks = 2 + ( 2 - ) .
la k,
Poniewat - ka jest widocznie Iiczbq ujemn'l, wiçc Ma i M, maj'l znaki r6zne. Prosta B, Ba, nachylona do osi, jest linj'l
moment6w dla trzeciego przçsla. Punkt Na odpowiada w tem przç le punktowi przegiçcia przy dowolnem obciQieniu wszyst-
kich przçsel Iei'lCYch na prawo. Jego poloienie okre la w zupelnogei wielkogé ka; jest one identyczne z poloteniem
punktu Fz znalezionego poprzednio (wz. 147). Tak'lt drog znaleilibygmy dalsze stale punkty Na, N",... jako punkty prze-
giçeia, gdyby byly obciqtone tyIko przçsla 1e2'lce na prawo od rozpatrywanych. Wielkogci k,. h s , k"." nie zaIet od
owych obci'lte6 i S'l zupelnie okreglone stosunkiem rozpiçtogci przçsel. Wartogé k n +l wyrata siç przez k n zapomoc og61
nej formuly (148). W przypadku r6wnych rozpiçtogci znajdziemy latwo:
k, = 4, ka =3,75, ka = h" =...3,73.
J etelibygmy szli ad prawego koxica beIki, to zupelnie takim samym sposobem znaleiliby my stale punkty 06' 06' 0"..-
jako punkty przegiçcia przy obciqzeniu belki po lewej stronie rozpatrywanego przçsla. Wprowadziwszy dIa tego przypadku
oznaczenie:
M n -l =-k' n
Mn '
159
otrzymamy do obliczenia k' n og6lne r6wnanie:
k'n = 2 + In+l ( 2--'!- )
ln k n+l
. (148)'
Okre liwszy polozenie stalych punkt6w N 2 , Na'... 0 6 , OS,",, mozemy latwo wykre lié diagram moment6w zginaiqcych,
gdy znane sq warto ci moment6w podporowych Ma i M., odpowiadajqce prz slu obei'lzonemu. Do tego trzeba bçdzie tylko
poprowadzié przez stale punkty lin je lamane 8 3 8 2 BI /fo i 8. 8 5 8 6 fi7. fiieby znaleié Ma i MI' llstawimy r6wnania trzech
moment6w, biorqc pod llwag najpierw prz slo trzecie i czwarte, a nast pnie czwarte i PÎllte. Te r6wnania majq postaé:
M" 13 + 2 Ma (l3 + 1.) + Mil. = _ 6 O. b l ,
1.
Mal. + 2 M. (l. + Is) + M51s = - 6 or. ,
kt6rll latwo przeksztalcié na nastçpuj'lc'l:
M.l. +M31. [2+ : (2 + z: )] =-6 O .b. ,
M3 1 .+ M . l .[2+ ;: (2+ : )]=-6 O .B. .
Zwatywszy, te
M 2 =_ Ms 1
M3 k3 M. =-k;'
motemy przy pomocy wzor6w (148) i (148)' przedstawié powyzsze r6wnania w prostszej postaci:
M M 60.b4 M 1 ' 60.B.
.1. + ahk.=r- , 8 .+M.llk.=---, ,
St'ld
M _ 6 0 1 (b.k'.-B.)
3- l."(l-k.k'.) ,
M _ 60.(a.k.-b.)
1 I."(l-k.k'.).
W najog61niejszej formie, przy obciqzeniu n-go przçsla, napiszemy dia odpowiadajqcych moment6w podporowych wyratenia:
M 60 n (b n k'n-Bn) M 6 0 n(Bnkn-bn) . (149)
n-l""" 1 2 n(1-k n k'n)' n= l2n(l-knk'n)
W ten spos6b obliczenie belki ci'lglej przy obcÎllzeniu jednego prz sla sprowadza si do wyznaczenia stalych k 2 , ka,'" k'2, k'3,' ..
nI! podstawie wzor6w (]48) i (148)', oraz do obliczenia M n -l i Mn wedlug wz. (149). Liczby kt, ka,'" k'2, k'3,... Si! zawsze
wi ksze od 2, a zatem momenty podporowe malej'l szybko w miar oddaleni;! od obci'lzonego prz sla.
Przyjmijmy np., te wszystkie prz sla belki, przedstawionej na.rys. (230), Si! r6wne, a na rodkowym przç le znaj-
duje si r6wnomiemie rozlozone obciqienie q kglm; wtedy:
kt =4, ka =3,75, k.=3,73, k'6=4, k's = 3,75, k'i = 3,73,
60 1 b l _ -.!. 18
-4q,.
1\ zatem (wedlug wz. 149):
1
M 3 =M.= - 18,9 qP ,
1
Mt =M6"""+ 4.3,75 M3'
1
Mt=Mo - 375 M3'
,
Tak szybkie zmniejszanie siç moment6w podporowych pozwala przy obliczeniu beIek 0 wielkiej liczbie przçsel pomijaé
zupelnie wplyw prz sel bardziej oddalonych od prz sla rozpatrywanego. Gdyby w naszym przylcladzie wziqé pod uwag
tylko przçsla sqsiadujqce bezpogrednio z obciqionem prz'lslem czwartem, ID otrzyma1ibygmy
1
M a =M.=-2QqI2.
Mt= M15 =0,
Wart ci i MI r6tni'l siç tylko 0 5% od znaIezionych powytej, Skoro odrzucimy przçsla skrajne i rozpatrzymy belkç
piçcioprzçslowi!. to wypadnie M" = M: = - 119 q P. Ta wieIkogé r6tni siç od rzeczywistej, w przybliteniu 0 t %.
93. Nl\JNIERORZYSTNIEJSZE OBCII\ZENIE BELRI CII\GLEJ
J eteli na belkç ciqgl'l dzialajll opr6cz stalych sil jeszcze obciqienia ruchome, to przy obliczeniu zachodzi kwestja
najniekorzystniejszego polotenia obci tenia. W obliczeniach belek mostowych zastçpuje si zwykle obciqtenia ruchotl1e
obciqieniem r6wnowainem. rozloionem r6wnomiernie na poszczeg6lnych prz slach belki. Nie trudno wybraé te przçsla,
kt6re na1ezy obci'lzyé w katdym szczeg61nym przypadku, skoro uwzgl dnimy wyniki poprzedniego -u, odnosZllce siç do
wplywu obei'ltenia jednego przçsla. Zaczniemy od rozpatrzenia tego polozenia o-bciiltet5., kt6remu o-dpowiada najwi ksza
wartogé momentu zginaj'lcego. Dajmy na to, te chodzi 0 przekr6j nad n- podporq. fueby otrzymaé najwiçksZ4
160
ujem warto é Mn, trzeba obcilltyé przedewszystkiem przçslo note i ln + l)-sze. a z daIszycb prz sel nalety obeiilzyt
co drugie, jak to uwidoczniono na fjg. (a) (rys. 231). Taki rozklad obciqzenia tlumaczy siç jasno til okoliczno ciq, ze na
koticach obcÎ'lzonego prz sla poifstajéj, momenty ujemne, a znaki daIszych moment6w podporowych zmieniajq si kolejno. Dia
otrzymania za naiwi kszej dodatniej warlogci Mn trzeba obciqzenia rozmie cié oczywigcie w spos6b przedstawiony na fig. (b).
f.tt/nar
.. l \Î;,:..IJ'2; n:\:I' l
n- 'R-J no;: n-/ n n+/
f}"B-a
ç + 7'
Tiir.T
L:. n 4 "'n -.]
fig.!;
fl£)maa:
Frr: c.
n ;. 'l-r n n-r n---t b
l -
"
....'
Ry.. 231
Ryo. 232
Rozpatrzymy teraz rozmaite przekroje na dlugœci n-go przçsla. Rys. (232) przedstawia diagram moment6w, odpo-
wiadaj'lCY obciqteniu tego prz sla (pozostale prz ..la wolne od obci'lzenia). Bçdziemy w nΣm rozr6znii!é trzy przedzialy.
Je:teli rozpatrywany przekr6j lezy pomi dlY (n-])-szq podporq, a pczekrojem mn (rys. 232), to obciqzenie. spoczywaj ce
na n-tem prz gJe, wywola w niem moment zginajélCY ujemny. Moment tego sam ego znaku powstanie takte w przekroju
wskutek obciéj,zf!nia wszystkich tych prz sel. kt6rym odpowiada ujemny moment podporowy Mn-l. DIa otrzymania naj-
wi kszej wartogci momentu ujemnego w rozpalrywanym przekroju. nale:ty przmo rozmiegcié obciqzenie w spos6b, przed
n -.1
f!,-g êl
{-.tf/ma",
!lldj' I!: I'lll\nHi! !
/7-2 n , n
n z
o. n..J
1 fi'T11TTTITfi
t..." '" C:. I'} J
figé/.
(-/1)max
pnrrnmr.!
n-L n-' "' n n-, n-2
f"1'": r- 1
' n...j t..J.,,#
C n -"
fl1jmoz
n-J 0. "-7 0.1') _1 û n ù n .. r
,r "liW/"
6 n _ 2 /..;;>r;..,
I r-'Ti
''' l'l-
/}8"0
(
f'},J -.';n-2
(-11 /ma.x
Il'II)JIHI6111111!1H!
11-/ n n...,
1?1
WIffi'
-11'"
f i..R lJ
Rys. 233
Rys. 234
stawiony na fig. (a) (rys. 233). Najwi kszemu zag momentowi dodatniemu odpowiada rozmieszczenie obciéj,zenia wedlug
fig. (b). Przejdimy teraz do przekroj6w leiqcych w przedziaie miçdzy przekrojem mn, a stalym punktem N n . Obei'!-
zenie rozmÎeszczone na n-tem prz le wywola w tyctt przekrojach moment zginajéj,cy dodatni. DIa otrzymania najwi kszego
momentu ujemnego musi note prz slo pozostaé nieobcii!zone. z innych ZCig pczçsel trzeba obciqzyé te, kt6rym odpowiada
ujemny moment podporowy M n -1. Rozklad obciqzeti przedstawia fig. (a) na rys. (234). Na fig. (b) uwidoczniono rozmieszcze-
nie obci'lzeti, odpowiadajqce najwiçkszemu dodatniemu momentowi zginajqcemu w tychie przekrojacb. Jeteli rozpatrywany
przekr6j lety w przedziale NnOu. t. j. mi dzy punktami stalemi, to wskutek obci zenia n-go przçsla powstanie w niem
q f'1iT1"1'T.T'
n-4 ln ...; Don 2
fi g. et
( tf)...tI%
'1-/, n./ £1-2
.
f"'1
n-,j
[' 1 ':J11'lr
£/-4 Ô n - J
/'t . EL
(! tlN'JO.L
J1T'lTi rf'T"TT-
b1/ ..! Il IZ An ...; n"'2
1
.J:"TITmmr
n-; ,]-_
àn .J
r,g 2>
(-11 }maz
:
'1-2 ,,-/ I.:J. n /1"'J
"' n... /'1 J
é1
Qn'1ld
£1-.(1 n-.1
I/t;. b
n-fii
'1-/
n
Tl.., '7-2
n-;
n_jJ
Ry..235
Rys.236
moment zginaKCY dodatni.l\by otrzymac5 jego najwi kszi! warlogc5 nalety opr6cz n-go prz sla obciqzyé po lewej stronie wszystkie
te przçsla. kt6rym odpowiada dodatnia warto t momentu podporowego Mn-l; po prawej zag wszystkie prz sla, kt6rym od-
powiada dodatnia wartogé Mn. Rozmieszczenie obciqze6 przedstawiono na fig. (a) (rys. 235). Dia otrzymania najwiçkszej
warto ci momentu ujemnego trzeba rozmiegcié obciqtenie wedlug fig. (b).
Przejdziemy nakoniec do rozpatrzenia najniekorzystniejszego obciilzmia beIki ciçglej ze wzgl du na sily poprzeczne
w dowolnym przekroju n-go prz sla. Z wzoru (137) wnosimy. te na n-tem przçgJe trzeba rozmÎegcié obci'lzenie tak samo.
jak na beh.-e w obu koticach podpartej. Co si tyczy innycb przçsel, to dIa otrzymania Qmax nalezy obciqzyé te z nich.
kt6rym odpowiadaji! dodatnie warlogci Mn. a ujemne warlogci Mn-l. F\zeby zag otrzymàé Qmin trzeba widocznie obci iyc5
te przçsla, kt6re poprzednio byly nieobciéj,zone. Og6lne rozmÎeszczenie obciqzeti przedstawiono na rys. (236).
161
9 94. LIN]E WPLYWOWE DL1\ BELEI{ CIl1GLYCH
Zastqpienie ruchomego uIdadu ciçzar6w skupionych r6wnowainem obciilieniem ci."glem, rozloionem r6wnomiernie,
upraszcza znacznie obliczenie belek ciqglych, ale, posluJ:!ujqc si tq metodq, motna niekiedy popelnié zn/lune bl dy w obli-
czeniu najwiçkszych warto ci wielkogci statycznych. fizeby dokladniej zbadaé dzialanie ruchomych ci iar6w skupionych,
wypada uciec siç do linji wplywowych. Jako przyklad rozpatrzymy konstrukcj tych linij dia najprostszego przypadku belki
o dwu r6wnych prz sla(h (rys. 237). Zaczniemy od linji wplywowej dla momentu podporowego VI' odpowiadajqcego pod-
porze Ifl. Przyjqwszy jednostkç ciçtaru w przekroju x lewego plZ sla i zastosowawszy og6Iny wz. (143), znajdziemy:
l.x(l2- x 2 )
MI =- 41 2
. (150)
:-""-'-J: ---'
A, A Odcin.;.' dia W"'j """"ci X odpo""',,,,' ......... M, joko nçdo<,
otrzymamy linj wp1ywowq dla Mt w lewem przçgle. DIa prawego prz sla
.",.- - : 4/. oInymomy""" """" ln",O, poI_.. ",""">"0;' .,_1I.!'Y'. 231).
; 1 ,: : (R:t dne linji wplywowej, jako ujemne. odmierzyli my w d61). Przyr6wnawszy
:-- fT ...... 1 : h dn dM. d " d . . .. k d d . d
:...-- ___./ _. _ ' 1 poc 0 q ---crx- 0 zera, znai Zlemy, ze naJWl sza rz na 0 pOWla a war"
Rys. 237 togci x = fi .
Szukajmy teraz linji wplywowej dla momentu zginaj cego w jakimkolwiek przekroju pieraszego przçsla. w odleglogci a
od lewej podpory. Na podstawie wzoru (]36) mamy:
a
Ma=M...o+M. T .
M.O
1.(I-x) a
1
1 ( ) _ l.x(l-a)
. a-x - 1 .
Linja wplywowa dla pierwszego przçsla b dzie mieé dwie galçzie. Dop6ki eietar znajduje siç na lewo od rozpatrywanego
przekroju (x < a),
Po przej ciu ci Zaru na prawi} cz c: prz sla (x > a), otrzymamy:
M.o= 1.(1- x)a .
1
Odpowiadaji}ce r6wnanie linji wplywowej bçdzie mialo dia lewej czçgci postaé:
M - Lx (l-a) _ 1.X(ll_X 2 } ...!.= ( 1- ..!. ) + ...!.
· 1 4P 1 x 4 1 4P l'
z dia cz ci prawej postaé:
M 1.(I-x)a _ l.x(f2-x 2 ) ..!.= ( I_ + ) .
... 1 41 2 ' 1 1 4 X 41 2
Na lig. (a) i (b) (rys. 288) przedstawiono lin je wplywowe dIa dwu polote6
przekroju. W pierwszym przypadku a < + " a linja wp1ywowa nie przecina
osi X-6w; wszyslkie rzçdne w pierwszem przç le dodalnie. W drugim puy-
padku przecina linja wplywowa o X-6w w punkcie. kt6rego odciçti! x latwo
znaletc: z r6wnania:
( Sa ) ;x8 a
M...=x ] -4 T + 41 1 'T=O.
/'IB.à
, :/1
. .
a
: 1
-iJ--"'"
____[ ..J----:
'--I
,.-__" 0 -' . m
l'i.g. lJ
.
1 1fT
:---
Rys. 238
Majqc takie fin je wplywowe, nie trudno obraé polotenie obciqtenia w pierwszem
prz e tak. aby w danym przekroju zaszlo M m ... x . Pczy obciilzeniu prawego przçsla ma moment zginaj,!cy w rOi:patrywa-
nym przekroju prz sla lewego warto é:
a
Ma=MtT'
Linja plywowa ma przeto w drugiem prz le tç samq postaé co Iinja wplywowa dia momentu podporowfgo MI, tylko jej
rzçdne Si! zmniejszone w stosunku a: 1.
Reakcja lewej podpory
JI ' II MI
Ù = o+T'
jeteli przez lIo oznaczymy reakcj , obliczonq jak dia belki w obu koticach podpartej. Dop6ki jednostk.a ci zaru znajduje
siç na lewem przç le w odIeglo ci x od Iewej podpory, otrzymamy:
II '_ 1.(I-x)
0- 1
1. x(I'-x')
4P
Kun wylrzymalofci m..terj..l6w
11
162
Odpowiadaj4 c q linj wptywow,! .iiI C wykrdlono na rys. (239). Gdy ci :tar przechodzi na prawe przçslo, to:
.Il ' MI
"=1'
a odpowiadaÎ<!ca linja wplywowa ma takqt postaé, jak dia MI' Dia jej wykre enia trzeba tyIko rz dne linji wplywowej dia
MI' mierzone w pocb:ialce moment6w, podzielié przez dlugogé 1.
Poslugujqc siç linjq wplywOWél dia reakcji /4' latwo skonstruowaé linj
C wplywowq dia sily poprzecznej w jakimkolwiek przekroju m n. Dop6ki jednostka
ciçiaru znajduje siç na prawo od przekroju m n, sila poprzeczna r6wna siç
reakcji Ifo'. Po przej!kiu obciqzenia na lewq Stronç przekroju, trzeba od
reakcji Ifo' odjqé jednostkç ciçzaru, aby otrzymaé sil poprzecznq. W ten spo-
A p s6b wykre ono na rys. (239) linjç wplywowq dia sily poprzecznej, ogranicza-
. jqcq zakreskowane pole.
o TA'. W przypadku belek wieloprzçslowych rozpoczniemy od obliczenia liczb
k i k', okreglajé!cych punkty stale N i O. Nastçpnie dzielimy kaide przçslo
na kilka r6wnych czç ei i umieszczamy jednostkç ciç:iaru kolejno w kaidym
punkcie podzialu. Umie eiwszy ciçzar, obliczamy najbli:tsze moment y podpo-
rowe wedlug wzor6w (149). Pozostale momenty podporowe znajdujemy przy
pomocy liczb k i k'. Tecaz motna wyznaczyé w kaidym przekroju moment
zginajqcy i silç poprzecznq zapom0Cé! wz. (136) i (]37). Skoro dokonamy
wszystkich tych obliczeli rlta okreglonego poIotenia jednostki ciçtaru. przenosimy ci tar na przekr6j nastçpujqcy i powta-
rzamy rachunek. Wykonawszy obliczenia dia wszystkich naznaczonych przekroj6w, bçdziemy miet dostateczné} ilogé danych
do konstrukcji linji wplywowej. Zmudne rachunki mozna przytem znacznie skr6cié przez uzycie gotowych tablic 1), poda-
jqcych rzçdne Iinij wplywowych w r6tnych przekrojach belki.
,
1
.
,
i ln
L--.. 1-.
A
.
1
1
1
1
--1",.--'-:
Ry.. 239
9 95. BELRI CIl\GLE 0 PRZERRO JU ZMIENNYM
We wszystkich naszych wywodach przyjmowalismy dot d, ze sztywnosé belki jest na calej
dlugo ci stala. 1\toli w praktyce mamy prawie zawsze do czynienia z belkami 0 przekroju zmien-
nym. jakkoIwiek dIa uproszczenia obIicze:6. przyjmuje si i w tych przypadkach stalq wartosé El.
Powstale wskutek tego bl dy, jak mozna wnosié z rachunk6w szczeg610wych dIa kilku szczeg6I-
nych przypadkôw i ), Sq, wogôIe môwiqc, niewielkie. Jezeli wi ksza dokladnosé jest pozqdanq, to
post pujemy drogq kolejnych przyb1izen w spos6b nast puj cy: DIa danych obci ze:6. i rozpi tosci
prz sel obliczamy moment y i reakcje podporowe, jak dia belki 0 stalym przekroju. Stosownie do
tych wieIkosci dobieramy nast pnie wymiary przekrojôw poprzecznych. DIa otrzymanej w ten spo-
s6b belki 0 przekroju zmiennym, b dq moment y podporowe widocznie r6zne od obliczonych po-
przednio i dIatego wypadnie powt6rzyé rachunek uwzgI dniajqc obrane wymiary. Na znaIezionych
z drugiego obliczenia wartosciach moment6w i reakcyj podporowych mozna juz poprzestaé i wedlug
nich obraé ostateczne rozmiary przekrojôw poprzecznych. Dalsze powtarzania oblicze:6. Sq zbyteczne,
gdyz one zmienHyby bardzo malo wyniki drugiego rachunku. Przy powt6rnem obliczeniu trzeba,
jak widzimy, wyznaczyé momënty podporowe i reakcje dIa belki 0 zmiennym przekroju. Mozna
tego dokonaé albo obieraj(!c za wielkosci statycznie niewyznaczalne reakcje podp6r, jak to uczy-
nilismy w przypadku belki dwuprz slowej (9 87), aIbo tez poslugujqc si r6wnaniem trzech mo-
mentôw, kt6re nalezy teraz uog6lnié dIa belki 0 przekroju zmiennym. Zwiqzek mi dzy trzema po
sobie nast puj(!cemi momentami podporowemi znajdziemy tak, jak w przypadku przekroju stalego,
jezeli wezmiemy pod uwag , ze dwa s siednie prz sla majê! na srodkowej podporze wsp6ln stycznq
do Iinji ugi cia. Jezeli :>2 oznacza k t obrotu prawego ko:6.ca n-go prz sla, a .'J / k(!t obrotu lewego
ko:6.ca (n + l)-go przçsl to rôwnanie trzech moment6w wyrazi warunek
-3- 2 =--3-/
. (a)
1) Szczeg610we tablice dia belek r6wnoprz slowych na trzech i czterech podporach wydal Lederer p. t. "l\nalyt.
Ermittel. u. 1\nwend. v. Einllusslinien".
Liczne tablice dIa belek wieloprz slowych znajdujq siç w przytoczonej poprzednio ksiélzce: 1\. Car t et L. Port e s,
tudzie:l w artykule Du puy et Gue n 0 t w 1\nnales d. Ponts et Chaus es, 1897.
') Ob. Koechlin'a: "Rpplications de la statique graphique, r. 1889, sir. 343.
163
Rqty 2 i S-'I otrzymamy najprosciej sposobem wykresIno analitycznym, wyznaczajqc je jako
reakcje podporowe wskutek fikcyjnego obciqzenia ciqglego, zmieniajqcego sif wedlug prawa . Wsta
wiwszy w miejsce M jego wartosé, znajdziemy dIa n go prz sla:
M _ Mo,n + Mn-I (ln - x) Mnx
Er - El Ell n + Elin '
DIa (n + l)-go prz sla otrzymamy anaiogicznie:
M _ Mo,n+l + Mn (ln+l - x) Mn+1X
El - El Elln+l + Elln+1 .
W obu powyzszych r6wnaniach oznacza x odciftq, mierzonq od lewego koiica odpowiadajqcego
przfsla. Nacisk na srodkowq podpor lIn, wywolany fikcyjnem obciqzeniem lewego przfsla bfdzie:
= r i ("n Mo.nxdx + Mn_l ,ln (ln - x)xd x_ + Mn ('ln x 2 dx - J .
:! ln) El ln El ln ) El
_«-0 .0 o
Podobniez b dzie nacisk na t sarnq podpor wskutek fikcyjnego obciqzenia prawego prz sla:
' = r(n+l M",n+l(ln+l-Xtd + Mn (n+l (ln+l- x )ldx + Mn-t-l rln+1 ( l,,+,--x)xdx l-
1 10+1 L)o El. In-t-I \ El In+1 \ El J
Wykonawszy calkowanie i wstawiwszy wyniki w r6w. (a), otrzymamy szukany zwiqzek mi dzy
trzema momentami 1).
9 96. ZGIECIE BELER, SPOCZYWRJllCYCH NR SPREZYSTEM PODLOZU
W calym szeregu zadaii technicznych mamy do czynienia ze zgi ciem belek, podpartych
sprfzyscie na calej swej diugosci 2). W tych warunkach znajdujq si np. podklady koIejowe, podluznice
podparte gfsto ulozonemi poprzecznicami i t. p. 1\zeby w ka:idym z tych przypadk6w otrzymaé
rozwiqzanie zadania, musimy znaé dokiadnie spr zyste wlasnoscÏ podloza i ustawié zaleznosé mi -
dzy naciskami a odpowiadajqcemi im osiadaniami tego podloza. Przyjmiemy, ze poddanie si
podloza jest w dowoinym punkcie proporcjonalne wzgI dem crsnienia wywarlego na podloze. Takie
przypuszczenie nie moze byé oczywiscie scisle, ale jest najprostsze i jak dotqd, daje wyniki zado-
waIajqce 8). Zalozywszy nadto, te zginany pr t jest
zlqczony z podlozem w ten spos6b, ze w plasz .
czyznie stykania mogq si pojawié nietyIko cÏsnie-
nia, ale i ciqgnienia, rozpoczniemy od nastfPujq
cego przypadku:
Na bardzo dlugi pr t dziala w srodku sila sku
pion a P (rys. 240). Umiesémy poczqtek sp6Irz
dnych w punkcie dzialania sHy i skierujmy os X-6w,
lezqcq w osi pr ta na prawo, a os ¥-6w pionowo w g6r . Pod dzialaniem sily P wygnie sif prft
tak, ze Iinja ugi cia b dzie zwr6cona w punkcie 0 wypuklosci q w kierunku ujemnych Y 6w.
R6wnaniem zgi tej osi prfta b dzie:
!y
m
I,P
1 t
o
X
J>-
1
ri
Rys. 240
d 2 y
El dx 2 = M.
1) Obliczeniem belek ciilglych 0 zmiennym przekroju zajmuje si nowa ksiqzka Suter'a (Berlin 19]6).
2) Odnogne zadanie opracowal najpier.w Winkler w ksiilzce: ..Die Lehre v. d. EJastizitiit u. Festigkeit a z r. 1867.
Ob. takze: MülIer-Breslau, die graph. Statik. d. Baukonstr. T. Ir, cz. 2-ga, str. 229.
S. P. Timoszenko: ..Rurs tieorij uprugosti"', cz. II, str. 4, \\yd. z r. ]916.
Szereg zada6 z dziedziny obIiczenia nawierzchni koIejowej znajduje si w ksiqzce Zimmermann'a: "Die Berechnung
d. Eisenbahn-Oberbaues", r. 1888.
3) fi. Foppl: " Mitt. aus d. Mech. techn. Labor.". München, Heft 27. R. 1900.
11.
164
Wefmy poo uwagç przekr6j poprzeczny mn i oznaczmy
zyste podloze na belkç, odniesiony do jednostki dlugosci
w przekroju m n, to w sé!siednim przekroju, odleglym 0
Q + d Q = Q + P . d x; a zatem:
przez p nacisk wywarty przez spr -
belki. Jezeli Q jest sH q poprzecznq
d x od m n bçdzie sH q poprzeczné}
dQ
--p
dx - .
R6tniczkujqC dwa razy r6wnanie linji ugiçcia i uwzglçdniajqc, ze
dM dlM dQ
dX = Q, a dx!J = dx = p,
otrzymamy:
d'y
El dx' = p,
. (151)
Wedlug przyjçcia, uczynionego powyzej, jest nacisk p w dowolnym punkcie proporcjonalny wzglç-
dem osiadania podloza, czyli proporcjonalny wzglçdem ugiçcia prçta. Oznaczywszy spôfczynnik
proporcjonalnosci przez k, mozemy r6w. (151) napisaé w postaci:
d'y
EI- = - k y . (151)'
dx'
Znak - po prawej stronie znaku r6wnosci pochodzi stqd, poniewaz dodatnim ugiçciom y odpowia-
daj<! ujemne naciski podloza (skierowane w d61). Otrzymalismy tedy r6wnanie r6zniczkowe linjowe
ze stalemi sp61czynnikami. Ogôlna calka tego rôwnania zawiera cztery stale dowolne, kt6re trzeba
wyznaczyé z warunkôw kraticowych prçta. Wprowadziwszy oznaczenie:
Ct = 4El . . (152)
mozemy og61nq calkç przedstawié w formie 1):
C ax C ax . C -ax C -ax .
y = te cos 0: X + 2e smo:x + se coso:x + te smax
. (153)
W naszem zadaniu wystarczy wyznaczyé wartosé stalych dia jednej, np. prawej galçzi Iinji ugiçcia
druga bowiem gal bçdzie do niej symetrycznq. Wartosé ugiçcia w przekrojach bardzo oddalonych
od miejsca obciqzonego dé!zy oczywiscÏe do zera. Zwazywszy, ze jednoczesnie dqzy wartosé e ax do
nieskoticzonosci, widzimy, ze dia spelnienia powyzszego warunku nalezy przyjqé CI = C 2 = o.
Wtedy rôwnanie linji ugiçcia dia prawej polowy nieskoticzenie dlugiej belki przybierze postaé:
- a x (C
y = e s coso:x + C, sin a x).
Do wyznaczenia stalych Cs i C 4, posluzq warunki w punkcie dzialania sily P. T utaj z powodu
symetrji jest styczna pozioma, czyli
zaS sila poprzeczna po prawej
(!!L ) - 0
,dx ><=0-
stronie przybiera dIa x = 0 wartosé - ,
2
[ El dsy ] =-
dx s ><=0 2
. (a)
czyIi :
. (b)
lY- .. 4
1) Zwatywszy, te V - :1 = V2 V . , otrzymamy cztery pierwiastki r6wnania
c.(l +i), a(l-i), a(-1 +i), a(-l-i). Odpowiadaj'lce calki szczeg6Ine r6wnania (15])' b d przeto:
eaU+i)x aU-i)z a(-I+i)x a(-I-l)x
,e ,e ,e .
pomocniczego :
U 1 d . . «xl -axi 2 axi -«ri
wzg maJ c, te e + e = cos ax, za e - e = 2 i sin a x, dochodzimy do og6lnej calki (153).
165
Poniewa:i y'=ae- ux [ C 3 (cOsu.x+sinax)+G,,(COS((x-sinux)], wi c z warunku (a) wyplywa
C 3 = C", a y mozna przedstawié wyrazeniem:
-a.X
y = Ce (cosax + sin a x),
z czego dalej wynika:
, 2C -ax.
y =- ae smux,
y" = 2C ai e- ax (sinax- cosux),
, C - a.x
y" = 4 ale COSu.x.
Stosownie do znalezionego wyraZenia dIa trzeciej pochodnej napiszemy warunek (b) w postaci:
4Ca s = - 2 I ' skqd C = - 8 1 . s '
Szukanem r6wnaniem linji ugi cia pr ta b dzie przeto:
P 1 - a.x . P
y = BEI a3 e (cosux + smax) = - 8E/(("J 1J
Przy pomocy wyrazen dIa y" i y"', latwo ustawié nast pujqce wzory dIa momentu zginajqcego M
i sily poprzecznej Q w dowolnym przekroju belki:
. (154)
p -CJ.X P
M = - 4a e (sinax - cosax) = -4a 111'
P - a.x P
Q=-Ze coSaX=-Z112-
Najwiçksze ugi cie zachodzi w punkcie x = 0 i ma wartosé:
P 1 Pa
f= BEI aS = 2k .
. (154)'
Jak widaé z r6w. (154) ma linja ugi cia ksztalt falisty. Dlugosé fali odpowiada zmianie k ta ltX 0 23t
i r6wna si :
2 L = 2a 3t = 23t V 4 ;1
. (155)
-!lX
Wysokosé fal male je szybko w miar oddalenia od miejsca obciqzonego, dzi ki czynnikowi e
Na rys. (241) przedstawiono Iinj ugi cia (w przesadnej podzialce wysokosci), a w tablicy nizej
y
p
-iL
1
: !
l '
.l : L .
-' .
--- - - -...,
x
Ry.. 241
umieszczonej podano wartosci funkcji fJ, fJl i 1]2' okreslaj cych zmianç ugi cia, momentu
i sily poprzecznej wzdluz belki.
160
nx
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
0,7
1 l "(
0,8
0,9
It:r
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
:1 4:Jl
2,4
rj
0,5
1,0000
0,9901
0,9651
0,9267
0,8784
0,8231
0,7628
0,6997
0,6446
0,6354
0,5712
0,5083
0,4476
0,3899
0,3355
0,2849
0,2384
0,2079
0,1959
0,1576
0,1234
0,0932
0,0667
0,0439
0,0244
0,0080
0,0000
-0,0056
-0,0166
-0,0254
-0,0320
- 0,0369
-0,0403
-0,04226
-0,04314
- 0,04321
-0,04307
- 0,04224
-0,04079
-0,03887
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
'Tf
3,2
3,3
3,4
3,5
Tablica wartosci lunkcji Il,1 1 1> 1,_.
Il}
1, ססoo
08100
0,6398
0,4888
0,3564
0,2415
0,1431
0,0599
0,0000
- 0,0093
- 0,0657
-0,1108
-0,1457
- 0,1716
-0,1897
0,2011
0,2068
- 0.2079
0,20i7
-0,2047
- 0,1985
-0,1899
-0,1794
-0,1675
- 0,1548
-0,1416
-0,1340
-0,1282
-0,1149
- 0,1019
-0,0895
-0,0177
- 0,0666
-0,05632
--0,04688
- 0,04321
-0,03831
-0,03060 1
-0,02374
0,01769 1
l- J ClX 1 _ I___ _
-I,OOO 0,03659 -0,01241
-0,900 1 :Ï -0,03407 -0,00787
-0,8024 3,8 -0,03138 - 0,00401
-0,7077 3,9 - 0,02862 -0,00077
-0,6174 fi 131: -0,02786 0,00000
0,5323
0,4530
0,3798
-0,3224
-0,3131
-0,2527
- 0,1988
-0,1510
- 0,1091
- 0,0729
-0,0419
- 0,0158
0,0000
0,0059
0,0235
0,0376
0,0484
0,0563
0,0618
0,0652
0,0668
0,0670
0,0669
0,0658
0,0636
0,0608
0,0573
0,0534
0,04929
0,04501
0.04321
0,04069
0,03642
0,03227
0,02828
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
· 4:Jl
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
7 4 :Jl
6,0
6,1
6,2
8/ 4 :Jl
6,3
6,4
6,5
91 4 'l
.
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
- 0,02583
- 0,02309
-0,02042
- 0,01787
- 0,01546
- 0,01320
- 0,01112
- 0,00921
0,00898
- 0,00748
-0,00593
- 0,00455
0,00334
- 0,00229
-0,00139
- 0,00063
0,00000
0,00001
0,00053
0,00095
0,00127
0,00152
0,00169
0,00180
0,00185
0,00187
0,00187
0,00184
0,00179
0,00172
0,00162
0,00152
0,00141
0,00129
0,00120
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
0,00189 1
0,00403
0,00572
0,00699
0,00791
0,00852
0,00786
0,00898
o 00898
0,00892 1
0,00870
0,00837
0,00795
0,00746
0,00692
0,00636
0,00579
0,00578
0,00520
0,00464
0,00409
0,00356
ll.!
0,02450
0,02097
0,01770
0,01469
00139]
0,01197
0,00953
0,00735
0,00544
0,00377
0,00234
0,00113
0,00011
0,00000
- 0,00072
-0,00139
-0,00191
- 0,00230
- 0,00259
-0,00277
-0,00287
- 0,00290
--0,00290
-0,00287
-0,00279
-0,00268
-0,00254
0,00307 -0,00238
0,00261
0,00219
0.00187
0,00181
0,00146
0,00115
0,00087
0,00063
0,00042
0,00024
0,00009
0,00000
-0,00221
-0,00202
-0,00187
-0,00184
-0,00165
-0,00147
-0,00129
-0,00113
-0,00097
-0,00082
-0,00069
- 0,00060
167
Posluguj c si t tablic i zasadé! superpozycji, mozna fatwo obliczyé dlugé! belk , spoczy-
wajé!c na spr zystem podlozu i obcii}zoni} dowolnym ukladem sil. Trzeba tylko, aby sHy byly
dosé odlegle od koncow belki.
lm wi ksza jest sztywnosé belki i podatnosé podloza (im mniejsze k), tem wi ksza wypada
dlugosé fali 2 L, tem dluzszy zatem powinien byé pr t, aby go mozna bylo u.wazaé za nieskon-
czenie dlugi, jak w powyzszem rozwi zaniu. T en abstrakcyjny przypadek jest najprostszy ze
wzgl du na wyznaczenie stalych calkowania, a otrzymane wyniki mozna z dostateczn dokladnosci
zastosowaé do rzeczywistych pr tôw, jézeli ich dlugosé 1 > 4 L. W przypadku kr6tszych pr t6w, trzeba
oczywiscie zmienié warunki krancowe. Nie mozna juz przyjmowaé, ze poddanie si podloza na
koncach pr ta jest rowne zeru, natomiast nale:iy przyji}é. ze tam znika moment zginaji}cy i sila
poprzeczna. Ostatecznie mamy nast puji}ce warunki dIa wyznaczenia stalych dowolnych:
1 1
1) y" = 0 przy x = 2; 2) y'" = 0 przy x = 2;
3) .v' = 0
nrzy
x=o;
4) '" P 0
y = - 2EI przy x = .
Rozwii}zanie tego zadania mozna zastosowaé np. do badania rozkladu cisnien ptyty tozyskowej na
mur (uwazaj c plyt za pr t na spr zystem podlozu). Stopien nier6wnomiernosci w rozkiadzie
1£
cisnien wzrasta z dlugoscii} pr ta. Gdy 1 = -, to cisnienie i ugi cie na koiicach staji} si zerem.
u
Ugi cie zas w srodku r6wna si 1):
Pa
1,09 2k .
,
. (156)
W podobny spos6b szuka Sl rozkladu cisnien na grunt w przypadku betonowej plyty funda-
mentowej 2).
Bardziej ziozonem jest zagadnienie zgi cia podkladu kolejowego (rys. 242). Tutaj trzeba roz-
patrywaé dwie cz sci linji ugi cia: jedna od x = do x = - a, a drug mi dzy srodkami szyn,
kt6re posredniczi} w dzialaniu ci zarow P. Do kazdej CZ SCI stosuje si og6lna calka (153), ale
stale dowolne trzeba wyznaczyé dIa ka:idej cz sci zosobna. W tym celu wypadnie ustawié 8 rownan
dIa znalezienia tyluz stalych dowolnych. Na koncach podkladu moment zginaji}cy i sila poprzeczna
Si} rowne zeru, a zatem napiszemy dwa rownania J.
warunkowe: IP JI P
1 j L'''O--l
IftHff ff1"ttfmtmff1! ' "ffmf.fff1!tt X
--I- ._
y" = 0 y'" = 0 przy x = .
W srodku podkladu jest styczna do linji ugi cia z po-
wodu symetrji pozioma, a sUa poprzeczna r6wna si
zeru. Otrzymamy wi c jeszcze dwa r6wnania nast -
puji}ce:
y' = 0 i y'" = 0 dIa x = o.
Pozostale cztery rownania mozna ustawié na podstawie warunk6w na grenicy obu cz sci. Obiedwie
cz sci linji ugi cia maji} tutaj widocznie: 1) jednakie ugi cie y, 2) wsp6lni} stYCZDi}, czyli r6wne
warlosci y', 3) te same wartosci momentu zginaji}cego, a zatem rowne wartosci y" i 4) sila poprze-
czna przy przejsciu z jednej cz sci do drugiej zmienia si 0 wielkosé P, co wyraza r6wnanie:
[ '" fI' J P
Y II-Y 1 x=f-a = El .
Rozwi zanie otrzymanych w ten spos6b osmiu rownan nie przedstawia zasadniczych trudnosci,
ale wymaga uci zliwych rachunk6w S).
Rys. 242
1) Ob. Winkler'a: "Theorie d. Brücken"', str. '184.
2) Zastosowanie teorji do obliczenia lundamentu dok6w ;najdzie czytelnik w Zeitschr. 1. Bauwesen z r. 1908, str. 471.
') To zadanie traktuje szczeg61owo Zimmermann w ksiqzce przytoczonej powyiej, a takie D. Bobylew w "Sborn.
lnst. lnz. Put. Soobszcz." z r. 1902.
168
9 97. BELRI N1\ SPRI:;ZYSTYCH PODPORl\CH
Przy pomocy wynikôw poprzedzaj cego paragrafu moma znalezé przyblizone rozwiqzanie dIa
przypadku zgi cia belki, spoczywaj cej na szeregu podp6r spr zystych.
Przyjmiemy, ze belka RB (rys. 243) spoczywa na podporach 0 jednakowej podatnosci, kt6re
lez w r6wnych odst pach na jednym poziomie. T aki przypadek zachodzi np., jezeli rozpatrywana
!p belka jest podparla ukladem jednakowych belek poprzecznych. Przy do-
4. . . /J statecznej g stosci podp6r, nacisk wywarty na belk .JI B jakimkoIwiek
-- --+-+- --_: ci zarem skupionym P, b dzie si rozldadaé na kilka poprzecznic i wa-
: . : If. runki zgi cia belki b dé} w przyblizeniu takie, jak w przypadku cÏé}glego
!R spr zystego podloza. l\zeby mieé moznosé zastosowania otrzymanych
powyzej formul (154)' i (156) dIa ugi cia, trzeba okreslié wartosé wiel-
kosci k, charakteryzujé}cej podatnosé podloza. Niech b d Rt, R 2 ,. ..
naciskami, przeniesionemi przez belk .JI B na poszczegôlne poprzecznice.
Te naciski b dé} proporcjonalne wzgI dem odpowiadajé}cych ugi é, a sp6lczynnik proporcjonalnosci
mozna bez trudnosci znalezé w ka:idym szczegôlnym przypadku.
Przypusémy np., :ie poprzecznice s w obu koiicach podparle, a belka podluzna spoczywa na
srodku poprzecznic (rys. 244). Obnizenie punktu pOOparcia wywolane ugi ciem poprzecznicy
r6wna si :
Ry.. 241
RIS
f = 48 El' -,
[..../... ..-f..j
przyczem oznacza 1 rozpi tosé poprzecznicy, a El' jej sztywnosé. Ry.. 244
Jezeli, jak to bywa u most6w, dwie belki podluzne, obciqZone jednakowo, spoczywajé} na po-
przecznicach CD (rys. 245) w r6wnej OOleglosci od jej podp6r, to ugi cie poprzecznic pod belkami
podlu:inemi b dzie:
Rys.245
f - e2(31-4e) R
- 6E'[' .
Najprosciej mozna to wykazaé metodé} wykreslno-analitycznê!. Wyobrazmy
sobie poprzecznic obciqzonq powierzchnié} moment6w CEFD. Wskutek tego
fikcyjnego obciq:ienia powstané} reakcje podporowe:
C = D = R e(l- e)
2
i momenty zginajqce w przekrojach poo belkami podlu:inemi:
M = Rc(/-e) _ Re 2 . _ c'(31-4e) R
c 2 e 2 3- 6 .
Podzieliwszy znalezionq wartosé Mc przez sztywnosé belki E'I', otrzymamy powy:isze wyrazenie
dIa ugi ia. Z wzor6w dIa ugi cia znajdziemy w pierwszym przypadku:
48E'I'
R = IS f,
6E'1'
R = c2(31-4C/ '
Zastqpmy teraz reakcj R, jako sil zewn trznq belki podluznej, obcié}Zeniem, rozlo:ionem r6wnomiernie
na dlugosci a, r6wnej odleglosd podp6r (rys. 246). Wielkosé tego obciqzenia
okresli wyraZenie:
w drugim zas
R
p=--
a
Wtedy belka b dzie pod dzialaniem obciijzenia ciijglego, przedstawionego
Iinjé} schodkowatij. lm wi kszij jest liczba pOOp6r, na ktôre si przenosi
nacisk wskutek d zaru P, lem bardziej zblizy $i to obcié}zenie do obciqzenia zmieniajqcego si
w spos6b cÏqgly wedlug prawa: R
p=-;:=-ky,
-ft1- o 0-- O-r 0-4:'
\f
oG 0
Rys. 246
169
jezeli y oznacza ugl C]e beIki podluznej w rozpatrywanym przekroju. DIa rozwazanych powyzej
szczegôlnych przypadkôw ma spôlczynnik k wartosci nast puj ce:
48E'1' 6E']'
1) k= ais ; II) k= ac'(31-4c) . (151)
Wyznaczywszy k i sprowadziwszy w ten sposôb nasze zadanie do zginania belki na spr zystem
podlozu, mozemy wieIkosé ugi cia w obciqzonem miejscu obIiczyé wedlug wzoru (154)', albo (156).
Od ugi cia latwo przejsé do nacisku, kt6rego doznaje jakakolwiek poprzecznica od beIki podluinej.
W tym ceIu trzeba pomnoiyé cisnienie ky przez odst p podp6r a. Wstawiajqc zamiast y warlosé
najwi kszego ugi cia (wz. 154'), otrzymamy:
Pa.a
Rmax = ---y- . . (158)
dIa przypadku, w kt6rym belka podtuzna jest przymocowana do poprzecznic, a (stosownie do wz. 156)
Pa.a
Rmax = 1,09 ---y- . (158)'
dIa przypadku, gdy konce belki podluznej mogq si swobodnie podniesé.
Jezeli nacisk beIki podluznej przenosi si na niewieIk q liczb poprzecznic, to do wyznaczenia
reakcji R mozna uzyé warunku, ze w miejscach skrzyzowania si jest ugi cie beIki podtuinej
i poprzecznej wsp6lne. Og6lny tok rachunku objasnimy na najprostszym przykiadzie. Dwie belki
podluzne, obciqZone w srodku silami skupionemi P, spoczywajq na trzech poprzecznicach (rys. 247).
Przy zalozeniu symetrji b d reakcje podpôr skrajnych rowne i na podstawie statyki mozna
napisaé: P=R 1 +2R2. (a) :- a .-(. a..._ tp LP
Opr6cz tego wypada z poprzednio wyprowadzonego wzoru: 9 -- ---"-- - ' - -- -']; J; 1- t I- J
! (31 4 ) .d (31 4 ) 'f. ---i'- f 'c .('4
fI = c 6El' C RI> 12. = - 6E-:j, C R 2 , R . u/Ç
a st d: c2(31-4c)
1 = Il - 12. = 6 E']' (RI - R 2 ). Rys.247
T ç samq wielkosé / moiemy znaIefé drugq drogi}, rozpatruji}c ugi cie beIki podluznej. Linja ugi cia
tej beIki b dzie mieé z powodu symetrji styczni} poziomij nad srodkowq podporq, wobec czego
moina kaidij polow belki traktowaé jako belk jednym koncem utwierdzonij i zginan sH R 2 ,
dzialajijcij na drugi koniec. Wowczas:
R.,a s
f=/1-/2 = 3EJ '
przyczem oznacza a odst p poprzecznic, zas El sztywnosé belki podluznej. Z por6wnania obu
wyrazeii dIa Il - 12 otrzymamy:
R 1 -R 2 =2yR 2 .
. (b)
jezeli oznaczymy
1 aS 6 E' J '
y= 2" 3EJ . c!(31 -4c) '
Rozwiijzujijc uklad r6wnafi (a) i (b), znajdujemy:
1 +2y
RI = 3 + 2y P,
R 2 = 1 P
3+2y
. (159)
r
t r tR tR t n
7 'f Podobni} drogq latwo rozwiqzaé zadanie rozkladu obciqzenia na 5 po-
Rys.248 przecznic (rys. 248). Wzory"dla wyznaczenia reakcji bçd q nast pujqce:
R 1 + 18)" + 7y2 P R 1 + 11 y . P R 1 - 3r .p ( 160 )
1= 5+34y+7y.' 2= 5+34y+7y. ' s= 5+34y+7y. .
przy wartosci y>.!.. otrzymujemy R g ujemne, skoro zatem belka podluzna nie jest przymoco-
3
wana do poprzecznicy, to obcië'!zenie przeniesie si tylko na 3 poprzecznice. Przy powiekszeniu
110
liczby poprzecznic, na kt6re si przenosi obciqzenie, staje si wskazana droga do rozwiqzania
dosé dlugq .).
DIa por6wnania obu metod obliczenia weimiemy nastçpuj'lcy przyklad liczbowy: Szyna 0 sztywno ci E] = 2.10" kg.cm
przenosi obciqzenie na 3 drewniane podklady, maj'lce sztywnogé E' l' = 23. lOS kg.cm'. Odst p mi dzy osiami poprzecznic
a = 50 cm, dlugogé poprzecznicy 1 =- 21Ocm, odstçp mi dzy szynami [- 2c = 170cm. Na podstawie znaIezionych wzor6w
otrzymamy:
aiE']' 1+2'(
Y = El c 2 (31- 4c) = 0,653; RI = 3 + 2Y P = 0,53 P.
Jeteli reakcje skupione zastqpimy rozmieszczonemi w spos6b eiqgly i obliczymy !!rodkowq reakcj z formuly (158)', to
wypadnie: k = 1250kg;cm ' , a: = 0,0199, RI = 0,54 P. Jezeli szyny 0 tei samej szlywno!!ci przenoszq nacisk wywolany ei -
iarem P na 5 poprzecznic 0 sztywno!!ci E' l' = 12.10" kg.cm 2 i wzajemnej odleglogci a = 40 cm, to k=819 kgicm , a: = 0,0]79,
a wedlug wzoru (158)' reakcja !!rodkowej popory RI =0,39 P. Obliczenie tejie reakcji wedlug formuly (160) daje taki sam
wynik RI = 0,39P. Z przytoczonych przyklad6w widaé, ze wz. (158)' daje, nawet przy niewielkiej liczbie podp6r, zadowa-
lajqce wyniki i naIezy si nim poslugiwaé przy obIiczaniu poprzecznic mostowych. Do tegot wniosku dochodzimy przy
zasl:osowaniu metody przyblizonej do obliczania szyn l ).
ROZDZlflL XII
ZGINf\NIE BELEK Z Mf\TERjf\lU NIEPODLEGl\Jl1CEGO PRl\WU HOOKE'}\
9 98. WYZN1\CZENIE N1\PREZEN NORMRLNYCH SPOSOBEM 1\N1\LITYCZNYM
Przy wyprowadzeniu podstawowych lormul teorji zgi cia polegalismy na zalozeniu, ze plaskie
przekroje poprzeczne pr ta pozostajq i po zgiçciu plaskiemi. W takim przypadku wydluzenia i skr6-
cenia poolu:inych elementow zginanego pr ta Sij proporcjonalne wzgl dem ich odleglosd Z od war-
stwy oboj tnej. Przyjé!wszy, ze materjal podlega prawu Hooke'a, przeszlismy od odksztalceii do
napr zeii i znaJeilismy, i:e te ostatnie zmieniajq sili}
r6wniei: Iinjowo w zalei:nosci od z. Wyniki otrzymane
té! drogq moi:na stosowaé z wielk q dokladnosci q przy
obliczaniu belek z i:elaza kowalnego i staJi, 0 ile 00-
ksztalcenia nie przekraczajq granic spr i:ystosci. Takie
materjaly, jak i:eJazo lane, kamieii i beton, okazujq, jak
wiqdomo, znaczne zboczenia od prawa Hooke'a i kwestja
rozmieszczenia naprli}i:eii komplikuje si u nich znacznie.
Z doswiadczeii okazalo si , i:e i w tym przypadku plaskie
przekroje poprzeczne pozostajq po zgi ciu plaskiemi )
lecz Iinjowemu rozkladowi odksztalceii odpowiada bar-
dziej zloi:one prawo rozkladu napr i:eii. DIa znalezienia
tego prawa trzeba najpierw z doswiadczeii nad rozci q -
ganiem i sciskaniem okreslié zaJeznosé mi dzy odksztal-
ceniami i napr i:eniami. Wiemy jui:, ze u takich ma-
terjal6w, jak zelazo lane lub kamieii, rosnq napr i:enia
wolniej od odksztalceii; dlatego tei: Iinja przedstawia-
jqca zmian napr zeii normalnych na wysokosci prze-
kroju belki ma ksztalt uzmyslowiony na rys. (249).
Zamiast . prostej JI' B', odpowiadajqcej rozkladowi napr i:eii w przypadku wai:nosci pr wa Hooke'a,
otrzymuJemy esowatq krzywij fI 0 B, przecinajqcq os Z-6w po tej stronie srodka ci zkosci przekroju,
zt
r--- P --:
! 1 : B
l '
r -------- ------- -B.. ']r---
. --- J -- /..: / .11
. '-JI
-, . -- ": ,"'_b b, -- - Ii
___ _ ,-J.. --..:- _-- --- ¥
ft" dTSM __:__ __ r:J "
4:- ...:_ _____________ _I-_.______________
A: A'
=-- .-- e ---
Rys. 249
1) Ob. Proskurjakow: nStrojitielnaja miechanika", cz. I, str. 265.
1) Ob. S. Timoszenko: "R' woprosu 0 procznosti rels". Sborn. lnst. lnt. Put. Soobszcz. r. 1915.
[Pokrewne zadania rozpatruji! nast puj'lce prace:
R. Skibitiski: ..Beitrag zur Berechnung des Querschwellenoberbaues", Zeit. d. ost. Ing. u. firch. Ver. 1899.
Dr. R. Wqtorek: Nawierzchnia poprzeczna pod dzialaniem sil pionowych". Czas. techn. 1908].
1) Ob. interesujilcq pracç: Eugen Meyer. ..Die Berechnung d. Durchbiegung von SUiben deren Material d
Hooke'schen Gesetze nicht folgt". Ph. Z. r. 1907. ,.
171
gdzie lezq wl6kna sciskane. Mozna wyznaczyé polozenie punktu 0, odpowiadajqcego osi oboj tnej
przekroju i obliczyé napr zenia. jezeli wpierw wyrazimy analitycznie zwiqzek mi dzy odksztalce w
niami i napr zeniami.
Przyjllwszy dia tego zwiqzku (przyblizonq) formulç potçgowq (6) 1) otrzymamy dia wzgl dnego wydluzenia e wl6kien,
rozciqganych (g6rnych na rys. 249) wyrazenie:
m Z
e=fJ.tp 1= p' z czego
1
( z ) --;;;-.
P= a;p 1,
dia gciskanyeh za :
. fa)
m Z
-e= p 2=--,
p
1
a wi c p = (- :1' ) .
Wielko ci , ((2, ml> m, sq przytem stalemi spr zysto ci materjalu, p promlemem krzywizny warstwy oboj ej,
a p oznacza bezwzgl dni! wartogé napr zenia. Gdy zamiast z weimiemy odleglo ci hl i h, wl6kien skrajnych, to na pod-
stawie powyzszego otrzymamy dia najwi kszyeh ciqgnie6 Pt i najwiçkszych ci nie1l. p" wzory nast pujqce:
1 1
Pt = ( ) Pt = ( ) . (b)
p p
Stqd
Pt ml hl
p,m, = h.
(161)
Z por6wnania formul (a) i (b) znajdziemy:
pmI Z
Ptml = 1ï;
p m 3
p" m,
Z
-11;
. (c)
t. j, m.te pot gi cié!gnie6 lub ci nie6 majq si do siebie, jak odleglo ei odpowiadajqcych wl6kien od osi oboj tnej. Przy
ml = m, = 1 dochodzimy do linjowego rozkladu napr te6..
Przejdziemy teraz do wyznaczenia polotenia osi oboj tnej, tudziez wielko ci PI i p,. Do tego posluzq r6wnania r6wno-
wagi. Przy zginaniu pr ta parami sil 0 momencie M, muszq wewnçtrzne sily sprçzystogci sprowadzaé sj takZe do pary sil,
a zatem rzuty wszystkieh napi é normalnych na o X-6w dadzq w sumie zero, ich moment og61ny zag bçdzie r6wny M. (Dia
uproszczenia zakladamy, ze plaszezyzna dzialania sil jest zarazem plaszczyznil symetrji przekroju). Z tego wynikajé! r6wnania:
Cht (h.
Jo pdF= )0 pdF;
('ht ('h,
)0 pdF.z+ )0 pdF.(-z)=M
. (d)
Wstawiwszy tutaj zamiast p warto ei z (e) i dolilCZYWSZY r6w. (161), oraz r6wnanie: hl + h, = h, otrzymamy dostateczn'l
liczbç warunk6w, do znalezienia niewiadomych hi> h., Pt i p".
W szczeg61nym przypadku przekroju prostokqtnego 0 szeroko ci b, napiszemy r6wn. (d) w postaei:
h 2- h
JJ_ tzmtdz_ 'zm, dz=O
1 1 '
- 0 - 0
htmt h,m,
1
. (d,
1 1
b ht 1+- b h2 1+-
-1f-- Z m tdz +4 Z m'dz=M.
- 0 -- 0
htmt h,m,
Po wyk-onaniu kwadratur przybierze pierwsze z tyeh r6wna6 postaé:
mt m.
-htPt--h,p,=O
mt+l m,+1
(162)
1) Badaniem zgiçcia na podstawie formuly pot gowej zajql siç najpierw C. Bach. Ob. jego: .EIastizitât u. Festigkeit",
wyd. z r. 1905, str. 224, a nadto:
W. Schüle. Dinglers polyt. Journ. r. ]902, str. 149.
Tiraspolskij, Biulet. Polit. Obszczestwa z r. 1902.
M. T. Huber, Z teorji zgiçeia belki prostokqtnej na podstawie "prawa pot gowego". Wiad. mat. 1903.
Pinegin, MitleiI. über Forschungsarb., Zeszyt 48, str. 43.
H. Herbert, Diss. Gottingen, r. 1909.
1. Petermann, Diss. Berlin, r. 1914.
112
PrZYKWSZY jakQkolwiek okr lonil wartogé dia P1, znajdziemy na podstawie (]61) wyratenie dia P2. Po IiI1stawieniu go
w r6w. (162) bçdziemy mog1i znaleit sto:l.unek item samem wyznaczyt polozenie osi obojçtnej. DIa znalezienia war-
tœci M skorzystamy z drugiego z r6wnali (d)'. Wykonawszy calkowania otrzymamy:
ml b h l + m, b h l - M ( 163 )
2ml+1 P1 1 2m,+1 "" - . .
Poniewaz wielko ci hl i h, sq juz znane, wi c otrzymane r6wnanie pozwaill. z wielko ci Pt znaleié odpowiadajë!Cél warto é M.
Je:teli materjat podlega prawu Hooke'a, to ml = m, = 1, a" = , hl = h, = ' a r6w. (]63) upraszcza si do postaei:
bph' bph ' bh'
+---u-=M, z kt6rej p=M: T ,
Dochodzimy tedy do znanej lormuly dia naprç:iet'i. we wl6knach skrajnych.
99. PRZYBLIZONY SPOS6B :WYZNl\CZENIl\ Nl\PREIEN NORMRLNYCH 1)
Przybli:tony spos6b obliczenia naprçzefi normalnych potega na lem, ze zamiast rozkladu naprçtet'i., przedstawionego
krzywq lfOB (rys. 249), przyjml1je si tak w cz ci belki rozci ganej, jak i eiskanej rozklad Iinjowy, okre lony prostemi
OB, i DA,. TakÏe przyjçcie jest r6wnoznaczne z przypuszczeniern, ze materjal podlega prawu Hooke'a tak przy rozciqganiu,
jak i ciskaniu, ale sp61czynnik sprçiysto ci El czç ci rozcÎi!ganej jest r6zny od sp6lczynnika sprçzysto ci Et czç ci
gciskanej. Wtedy najwiçksze ci gnienia Pt i ci nienia PI okregl widocznie wzory:
P, = E"h, P, = E,h, . (a)
p p
Przeprowadzimy obliczenie tych napr ieli dia przekroju prostok'llnego 0 szerokogci b. Latwo okazaé, te w tym przypadku
przedstawii! wypadkowq z ci4gniet'i. NI i wypadkow z ci nieti N, lormuly:
NI= Ptbhl N,= p,bh, .
2 2
Poniewat sily wewnçtrzne w pr:zekroju sprowadzajq si do pary sil, wi c
NI = N" czyIi Pth l = p,h,
Wstawiwszy za P1 i Pt wyra:tenia (8.), otrzymamy:
E"ht ' = E,h,', albo hl':h,2= E,:El'
Uwzglçdniaj c, :te hl + 11, = h, znajdziemy tedy:
. (b)
h _ h'JI-Ea
1- +-VE,
hJ-E"
11,= + y
. (164)
Te formuly okr ajq polozenie osi obojçtnej w zaleino ci od stosunku sp61czynnik6w spr Zysto5;ci przy rozciqganiu i ciska- .
niu. Utw6rzmy teraz moment wszystkich sil wewn trznycb w przekroju. Zwatywszy, te te sily sprowadzajq siç do pllI'Y,
znajdziemy ich og61ny moment, mnoiqc wypadkow'l N (lub N') sil zgodnie skierowanych przez rami pary, r6wne, jak
widaé z rysunku. ; h. fi zatem:
M=N. h = p,bhlh
3 3
PI bh '
3
Jr
+ VE,
. (c)
a sb!d:
3M ( llEl )
P = bh' ] + Il E. .
(165)
Poslugujqc siç tym wzorem mozna przy danym momencie sil zewn trznych znalefé wilrto é najwiçkszych ci gnieii..
Jeteli przyjmiemy El =E" to otrzyrnamy lormulç (66), wyprowadzonq dia materjal6w podlegeljqcych prawu Hooke'a.
W dalszym ciqgu bçdzie nam jeszcze potrzebny zwiqzek miçdzy M il promieniem krzywizny p. Otrzymamy go naj-
prowej, wstawiwszy w r6w. (c) zamiast Pt wyrilienie (a). 1\ zatem:
M= E 1 h 1 bh! 1 blf 4 E,
3p . -vE; + V = p12. rVE + 11 El)'
. (166)
1) [Wyznaczenie napt te:ti z r6wnan wyprowadzonych w poprzednirn paragrafie prowadzi nawet w najprostszym przy-
padku przekroju prostokiAtnego do rachunk6w zbyt :zawilych dia praktycznych zastosowati. Zwazywszy nadto, te stale spr -
tystoSci materjaln niepodlegaj'!,cego prawu Hooke'a nie daj siç latwo wyznaczyé i wahaj siç w dogé obszernych grani-
cacb, mozemy cz sto poprzestaç na obliczeniu przybliionem].
173
Otrzymany wzdr mo:tna doprowadzié do zgodno ei z wz. (63}, wyprowadzonym dIa materjal6w podIegajllcych prawu
Hooke'a, oznaczywszy przez
E'= -
(tEl + J -E.)i
"sprowadzony modul spr'l:tystogci". Wtedy rdw. (]66) przybierze postaé:
E' bh 3
M--.-
P ]2
WieIkogé E' 781ety od stosunku E.:E.; np. dIa Ei:E.=O,5 jest E'=O,68E.; dia £1:El=O,l wypada E'=0,23E,.
. (166)'
100. WYRRESLNl\ METOD1\ WYZN1\CZENI1\ N1\PR ZEN NORM1\LNYCH
Gdy nie znamy zaleznogci mi dzy napr zeniami i odksztalceniami w lormie analitycznej, ale z do!!;wiadcz"ri posia-
damy diagramy dia rozei'lgania i gciskania danego materjatu. to rozklad napr iui normalnych przy zginaniu moina bez
trudnogci znaleté drog wykre lnq. Wychodzqc z hipo-
tezy plaskich przekroj6w, znajdziemy. :te wydlu:ïenie
jest proporcjonalne wzglçdem odleglo!!;ci od warstwy
oboj tnej, czyli
z
e=p=E'oz.
WieIkogé E'o jest co do liczbowej wartogei rdwna wy-
dluzeniu wl6kna, oddalonego 0 jednostk dlugo ci od
warstwy obojçtnej. Odcinajqc na osi Z-6w wielko!!;ci
wydluze6, a w kierunku poziomym odpowiadajqce war-
to ci naprçie6. P, wziçte z uprzednkh do!!;wiadczeli,
otrzymamy krzywq b. O (rys. 250), przedstawiajqC'l
prawo "zmiennogci nap ze:ti normaInych na wysoko!!;ci
belki (ciqgnienia odpowiadajll dolnej ez ci rysunku).
Przy wyzna zeniu wieIkogci napr :teri norrnalnych i po-
lotenia osi obojçtnej wyjdziemy z rdwnari (d) 111' 9 (98).
Je:teli uwzglçdnimy, ie
e de
z=- dz=-,
eo eo
to te r6wnania przybiorq dia prostok'ltnego przekroju
postaé:
:1 pde= :' pde...
2 ( :1 perle + :2 pede ) = M...
LL-JJ1<, ,/' "- -- ____m_
___,1___1__,' AI jk l .
1 ' , ',- . 011 1 -------,"
---r--'- --- ------,
.-- r -e . fi ------;T
J . / "
10 ' .
+X /. a
h.
(a)
+P
. ,
,
,
.- -
l.!,? Ô,
.p I!
1'2
Rys. 250
(b)
Pierwsze z tyeh r6wnai1 wyrata widocznie warunek r6wno ei p6I 081 b 1 i Oa2 b 2 , ktGry pozwala znaleté polozenie osi
oboj tnej. W tym ceIu przyjmiemy warto é najwi kszych ei'lgnieri Pl i znajdziemy odpowiadaj'lCll wartogé najwi kszego
wydluzenia el. a zatem i wielko é pola 81 Obi' Dia wyznaezenia P2 trzeba teraz poprowadzié prost'l poziom,! a2 tak,
aby zachodzila r6wno!!;é a. 0 b. = 82 011 2 ,
Znalazlszy tym sposobem wieIkogci E'1 i E'., mamy dia wyznaczenia odleglogci hl i h 2 wl6kien skrajnych od warstwy obojçtnej:
. ht hl el
hl : h 2 = el : e., a WIÇC h + h = - h = - + .
. 1 el e.
e". e" el +e.
h 1 =h- 1 e o =-=-
el+e. ' hl h
DIa wyznaczenia momentu wewnçtrznych sil sprçtystogci zutytkujemy r6w. (11). f..atwo zauwatyé, te czynnik. uj ty w na-
wias, jest momentem statycznym obu p61 08 1 b l i Oallb2 wzgl dem osi X. (Moment statyczny kazdego z obu p61 wypada
tutaj uwazaé za dodatni). Ten moment latwo znaleté wykr lnie ( 53), kreg}'lc odpowiadai<lcq krzywq sznurowq slÛIIsi
(rys. 250). Styczne w punktach 51 i S" odpowiadafllcych skrajnym rz dnym 81 b 1 i aibi, odetn'l na osi X-6w dlugogé u,
proporcjonaInll wzgl dem szukanego momentu statycznego. fiby otrzymaé jego v. ielko é. trzeba odcinek u, mierzony w tejze
podzialce, co e, pomno:tyé przez odleglogé biegunowq H, mierzonq 111' podzialce, obranej dia wielko ci N, r6wnej polu al Obi'
Poniewaz e ma wymiar liczby oderwanej, wiçc pole al 0 bl, a z niem i wielko!!;é H . u. majll wymiar napr ienia.
t. j. dIU !!;é2 ' Wstawiwszy znalezionll wartogé momentu statycznego w r6w. (11) i uwzgl dniwszy wyratenie (e),otrzymamy:
bh 2
(el+et)\! Hu=M.
Stil d :
" (c)
174
Wyloiony spos6b badania rozkladu naprçte15 da si lalwo uog6lnié dia przypadkU przekroj6w zlozonych
qt6w, jak np. przekroje T lub I. W przypadku przekroju T (rys. 251) przyjmie podstawowe r6w. (a) postaé:
e' ef "l
pde + , npde = pde.
o " 0
1. prosl:o-
b; I? -a,
' :
l'
.!
I , '}-'!;. - r - --
- - . r ,; lJ ,
a. t:'fP; . b
--. 'p--
-b-.
4
Tutaj oznaczyligmy przez e' wydlu1.enie wl6kien w miejscu poil!czenia gcianki ze
stopkq, a przez n stosunek szerokogci stopki do grubogci cianki. Napisane r6w-
nanie wyraza r6wnώ p61 a20b2 i al Ob' b"b"l. Na przestrzeni a' al zwi kszono
rz dne krzywej Ob'bl n-krotnie. DIa przekroju T mozemy dobra grubo
stopki 1h - h' (h' = 0 a') w ten SPOSi6b, aby stosunek najwiçkszego ci nienia do
najwiçkszego ei nienia mial okresHonq warl:ogé. Na podstawic danych dogwiad-
czalnych kre imy krzywq blObl i wedlug niej krzywq b" b"l 0 n-razy wi kszych
rz dnych. Skoro przyjmiemy zg6ry wielkogci pl i 1'2, to wyznaczymy tem samem
pole gcïskania 0 a2 b=. T eraz pozostaje tyIko poprowadzié prost'l a' b" tak, aby
pole rozciqgania r6wnalo si poIu ciskania. Zwazywszy, te
a' al = el - e' = eu (hl - h'),
l'ï
nb. -
Rys. 251
znajdziemy szukaD4 grubo t stopki:
hl _ h' = el - e' = h et - e' .
eo et+e2
Metoda wykre&a pozwaIa badaé zgi eie pr t6w z :telaza kowa!nego pOLa granicami spr tystogci. Weimy np. prtt
o poprzecznym przekroju prostoki'!tnym. Dop6ki warlo najwiçkszych naprç:ten nie przekracza granicy proporcjonalno cï.
to napr :tenia normalne rozkladaiq si Iinjowo (fig. a, rys. 252) Z wzrostem momentu zginaj'lcego pojawiajq siç odksztal-
cenia trwale, zrazu w warstwach zewnçtrznych 0 malej grubogci (fig. b); potem obszar odksztalcen trwa1ych ci'lgle wzrasta,
a wslwtek tego staje siç rozklad naprç:te6 wzdluz wysoko ci przekroju krzywolinjowym (fig. c).. Wielkogé napr teti skraj-
nych pl i pt b dzie widocznie mniejsza, aniZeli wypada ze zwyklego
wzoru, odpowiadajqcego Iinjowemu rozkladowi naprç:teti, przedstawionemu
prostll b.' Ob.i.
Maiqc wielko ci najwiçkszych odksztalceIÎ el, e" i uwzgl dniajqc, te
h
el +el=-,
fi
mozemy wyznaczy f' i 1& ten spos6b przej é do badania linji ugl cla
beIki. Wskutek zlo:tonego prawa rozkladu napr ien poza granicami spr -
tysto ci, prowadzi obliczenie ugiçcia nawet przy najprostszych sposobach
obci'ltenia do ucÎi!zliwych rachunk6w 1).
£111 c1
l'i'J.ël Ils b jig.cb.--p..
Rys 252
101. WYZN1\CZENIE N1\PREZEN NORM1\LNYCH W BELR1\CH ZEL1\ZNO-BETONOWYCH
Beton wytrzymuje, jak wiadomo, daleko wi ksze cignienia nit ci'lgnienia, i dlatl'go przy zginaniu betonowej belki
o przekroju prostoqtnym pojawia si p kni cie po stronie wl6kien rozciqganych. Umiegciwszy po r6d w16kien rozcillga-
nych pr ty ielazne if B (rys. 253), osii}gamy znaczne wzmocnienic belki przy bardzo korzystnych warunkach, dzi ki nader
silnemu przyIeganiu (.przyczepno ci") zelaza do otaczajqcego je betonu po jego skrzepni ciu. W bel ce, tym sposobem
wzmocnionej, mozna wyzyskaé zupelnie wytrzymalo é betonu na ciskanie kosztem stosunkowo malej ilo ci droiszego ze-
laza, chroni,!c zarazem telazo od wplyw6w atmoslerycznych. Ronstrukcje zelazno-betonowe, stanowiqce odr bnq dziedzin
techniki budow!anej, maj,! obszern,! 1iteraturç specjalnq, kt6ra obejmuje i metody obliczenia tak element6w, jakotez calych
budowli z tel.-betonu Tutaj ograniczymy si do przedstawienia najprostszych zadali, aby obj nié na przykladzie podsta-
wowe zaloienia, na kt6rych polega obliczenie. Przy wyznacze-
niu napr zeIÎ !lormalnych wychodzimy z hipotezy plaskich
pnekroj6w. Wedlug niej bçdq odksztalcenia wl6kien podlu-
:tnych proporcjonalne wzgl dem ich od1eglogci od osi obojç-
tnej n n, a zatem naprçzenie w telazie ma siç tak do naprç'
fi :tenia w betonie don przyIegajqcym, jak sp6lczynnik sprç:ty.
sto ci telaza do sp6lczynnika sprçzystogei betonu. l\teby
wedle moinogei wyzyskat wytrzymalo é zelaza, dopuszcza
siç w niem naprçzenia takiej wielko ci, iz odpowiadaji'!ce im
ci nienia w betonie majq juz warto niebezpiecznq. Z tego
powodu nie Iiczy siç zupelnie na wytrzymalo rozci'lganych
wl6kien betonu i przyjmuje si schematyczny rozklad napr -
.- Fr ,
--: CJ 1Y
n. r /;, ;' "', '
.:,'2 _ ;./// ,.//// /
t - --- - - - .rI j" '<d.
: 0 a
il.
6
.4 _____._____
B
'ft
-008-8
Rys. 253
1) Ob. przytoczon'l po,", yzej (9 98) prac E. M e y e r'a.
175
ze:6. uwidoczniony na rys. (253 1 ). Zwaiywszy, ze pole przekroju zelaza F, jest male w por6wnaniu do przekroju betonu.
mozemy pomin'lé zmiany napr Zenia w ielazie na wysoko ci belki i uwazaé napr tenie w telazie p' za r6wnomiernie
rozlozone. Oznaczmy pr6cz lego przez C odleglo t osi prçt6w ielaznych od spodu belki, a przez h odleglo!l:é osi obojçtnej
od wierzchu. belki (h = hl + h2). Poniewai normalne sily wewnçtrzne przekroju sprowadzajq si do pary si! 0 momencie M,
wi c: bh2
PbT =p, F, . (a)
Z tego warunku znajdziemy polotenie osi ohoj tnej. W tym celu wstawimy wyrazenia dia napr ze6
Ebh2 . F,(ht-c) FI (h-hl-C)
Pb=-' p,=---
Pl-'I'
w r6w. (a), a rozwiilzawszy je wzgl dem h2 otrzymamy:
hl = n:, [_ 1 /rl + 2b hF C) ]
. (167)
przyczem n = E, : Eb.
Wyznaczywszy poloienie osi oboj tnej, znajdziemy ramiç pary, do kt6rej si sprowadzajéj, sily wewnçtrzne:
2
a=3 h2 +h,,-c.
Momentem tej pary bçdzie:
bh2
M =TPb.a =p, FI a.
Si'ld:
2M M
Pb = él bh2' p, = FI a
. 11681
1) [ObIiczone w ten spos6b najwi ksze ci nienia w betonie i ci gnienia w ielazie b dq wog61e r6inié si znacznie
od rzeczywistych, wszeIako taka metoda obliczenia okazala siq w praktyce najracjonalniejszq z nast puj'lcych powod6w:
Przedewszystkiem okazuje beton znaczne zboczenia od prawa Hooke'a, a stale spr iysto ei rozmaitych kawalk6w
betonu, sporz<!dzonych tak samo z takich samych materja16w, wykazujq zwykle dogé wieIkie m:tnicl? 0 gcislem obliczeniu
napr ze:6. nie mo:te byé zatem mowy. Powt6re, gdyby nawet wlasnos;ci spr iyste betonu byly bardziej ustalone, to wskutek
wielkich zbocze:6. od prawa Hooke'a prowadzi ndokladne" obliczenie do tak zawilych formuI, ie ich zastosowanie prakty-
czne jest w og61nogci wykluczone. Nakoniec trzeba zv;r6eié uwag na to, :l:e 0 wylrzymalo ei belki iel -betonowej, nara-
zonej na zginanie, nie decyduje wielkogé ciqgnieri w betonie, lecz tylko wartos;ci napr teti. w telazie i w skrajnych gciska-
nych wl6knach betonu. Jak bowiem wykazaly dos;wiadczenia, osiqga moment zginajqcy wartos;é niebezpiecznq dopiero
w6wcza,s, gdy przekraczamy granic spr iystos;ci wkladki zelaznej, a bo osiqgamy granic wytrzymalo ci ciskanych w16-
kien betonu. Rozklad napr ien w betonie przedstawia siç wtedy mniej wi cej lak, jak to pokazuje lig. (b) na rys. (253fi).
P kni cia, jakie mog<! si juz przedtem pojawié w rozci'lganych warstwach betonu.
a kt6re pojawié siç musz<! z chwilq przekroczenia granicy spr tystos;ci w zelazie, maj<!
tyIko ten skutek, te rol rozciéj,ganych warstw betonu bioréj, na siebie Pf! ty zelazne.
Natomiast rozklad napr ze:ti, przedstawiony na Hg. (a), odpowiada malym warto ciom
momentu zginajqcego. Przy coraz mniejszej warto ci mom[ntu, b dzie rozklad napr zefi
zbliiaé si coraz bardziej do linjowego Dos;wiadczenia okazujq nadto, ie oS; oboj tna
zmienia swoje poloienie z wzrostem momentu zginajqcego i mianowicie zbliia siç do
wl6kien ciskanych, gdy moment ro nie. Latwo teraz spostrzec, ie stan przedstawiony
na lig. (a) da si z pewnem przybli:teniem ujqé w rachunek przez przyj cie linjowego
rozkladu napr :ten w calym przekroju, zas stan odpowiadaiqcy fig. tb) - przez przy-
jçcie linjowego rozkladu w warstwach s;ciskanych z pomini ciem ci gnie6 w betonie, Rys. 2531\
co prowadzi do schematycznego rozkladu napr teri na rys. (253). Dia wygody w wyslo-
wieniu nazywajq stan odpowiadajqcy lig. (a) I-szq lazq, za stan uzmyslowiony na lig. (b) JI-gq lazil zgiçeia belki iel.-
betonowej. (Por. M. Thullie "Teorja ielbetu". Lw6w 1915). Przy obliczeniu wytrzymalo ci nale.i.y oczywis;cie przyj'lé laz II,
jezeli za chodzi 0 wielkogé ugi cia, lub wielko ei statycznie niewyznaczalne, to racjonaIniejszem b dzie przyj eie fazy l,
albowiem wymienione wielkos;ci zalezq od odksztj'llcen we wszystkich przekrojach belki, a w przypadkach praktycznych
zachodzi II-ga laza jednocze nie tylko lokalnie, a mianowicie w najbliiszem s<1siedztwie przekroj6w, odpowiadajqcych naj-
wi kszym wartos;ciom momentu zginajqcego. Z diagramu odksztalceri dia betonu widaé, :te jego sp6lczynnik spr zysto ci,
okr lony wartogci<! ilorazu r6zniczkowego :: = E b , male je w miarç \yzrostu naprçzenia p; stosunek sp61czynnika
spr Zyslrogci telaza do sp61czynnika spr zysto ci betonu, t. j. n = ; f. bçdzie przeto wzrasta razem x p. W obec tego
b
wypadnie przyj<!é wi kszq wartogé tego stosunku w fazie II niz w fazie I. Polegajqc na dotychczasowym materjale dos;wiad-
czalnym mozemy zalecié jako redni<! wartos;é n = 10 dia lazy 1, a n = 15 dia fazy n. (Por. M. T. Huber: n W sprawie
racjonalnego oznaczania wymiar6w belek zel.-betonowych", "Obliczenie belek iel..betonowych typu Hennebique'a", .Obli-
czenie wymiar6w beIek betonowych obustronnie uzbrojonych". Czasop. techn. 1905 i 1906. Nadto: "Dzialanie uzbrojenia
w betonie". Czasop. techn. 1920, Dr. Il i 12)].
176
Puy zaslosowaniu wzor6w (167) i (168) do obliczenia napr ten w danej belce tel.-betonowej. trzeba pamiçlai5 0 przyi tym
warunku upraszczaj<}cym, ze wkladki zelazne zajmujl! tylko malq cz 1I1ysokogci belki.
[W przypadku wzmocnienia belki betonowej ieIazDQ ksztalt6w i t. p. wypadloby ustawié og6Iniejsze wzory lub
uciec si do metody wykrdInej, podobnie jak w 9 100].
9 102. ROZRL1\D N1\PREZEN STYCZNYCH (SCIN1\Jl\CYCH)
Po rozpatrzeniu kwestji rozkladu naprçiui normalnych na wysokogci belki (w 99 9(S do 100) moina latwo obIiczyé
i naprtzenia styczne. Obrawszy dwa niesko6czenie bliskie przekroje poprzeczne np. AB i R'B' (rys. 254). pomi dzy kt6-
remi niema siI zewn trznych na belk dzialajqcycb. znajdziemy sil styczni! w plaszczyinie poziomej m n, oddzielajqcej
element a m n al, jako r6znicç napi normalnych, przy-
, 0, ' padajqcych na ciany am i 81 n tegoz elementu.
Oznaczmy odpowiednio przez NiN' wypadkowe na-
n' pi é normaInych w obu cz geiacb przekroju, letl!cych
poniZej i powyzej osi oboj tnej, a ich wzajemnq odle-
_ 0 -..-.---- 0 , glo é przez a. Najwi ksze naprçtenia styczne powstan
II.I
JJ widocznie w warstwie oboj tnej 00 1 , i majl! wartogé
dN f
(Pt}mn = -
bdx
-.d.xo
o
'--
b
-tu.f'I'
0.-
,
IJ
Zwazywszy, te adN' = dM = Qdx, gdzie Q oznacza
sil poprzeczn'l, znajdziemy:
(Pf,)max = -a<t . (169)
Ten wz6r stosuje siç do belki prosroklltnej z jakiegokol1l1iek materjalu nie podlegaj'lcego prawu Hooke'a. W odniesieniu
do belki tel.-betonowej (rys. 253) b dzie a = h - - c, a zatem
3Q
{pt)max b (3h _ 3e _ h 2 ) . . (170)
Opr6cz tych napr ten przy obliczaniu belek tel.-betonowych grajq waZnq roI naprçzenia styczne na powieuebni przyle-
gania betonu do ielaza. Gdy weimiemy, jak powytej, dwa nieskonczenie bliskie przekroje poprzflczne belki, to r6znica wy-
padkowych sil wewn trznych w zelaznych prçtach bçdzie:
dN= Qdx.
a
Oznaczywszy przez S wielko!l:é powierzchni pr t6w zelaznych, przypadaj'lcq na jednostk dlugo ci beIki przyjqwszy
r6wnomierny rozklad napr zen stycznych na tej powierzchni, otrzymamy:
(Pt)b,1 Sdx = Qdx , z czego wynika:
a
Q 3Q
(pt)b,I= aS = (3h -3c-h 2 )S . (]7l)
Rys. 254
Stosunek napr ien gcinajqcych w 1I1arstwie oboktnej do takichie napr zed na powierzchni :tdaza r6wna siç:
(pt)max S
(Pt)b,1 = T
. (172)
ROZDZI1\L XIII
WYTRZYMRLOSé ZLOiONl\
9 103. ZGIECIE W POLl\CZENIU Z ROZCIl\GllNIEM LUB SCISRllNIEM
Do d zajmowalismy siç tylko takiemi przypadkami zgi cia. w kt6rych sily zewnçtrzne prze-
cinaly os pr ta pûd kéltem prostym. W tych przypadkacb sprowadzaly siç wewn trzne sily sprç-
zystosci, dzialajélce w jakimkolwiek przekroju poprzecznym, do pary si! i do sily poprzecznej,
lezqcej w plaszczyfnie przekroju. T eraz rozpatrzymy zadanie ogôlniejsze, w kt6rem sily zewn -
frzne, dzialajélce na belk , przecinajq jej os pod dowolnemi kqtami. Razdé! z tych sil mozemy roz-
tozyé na dwie skladowe: jednél skierowané! wzdluz osi prçta, a drugq do Diej prostopadl(!. Te osla-
tnie zginajq prçt, pierwsze zas, zwane s il ami po dl u z n e m i, wywoluj q przedewszystkiem rozci q -
ganie lub sciskanie. Ich wplyw na zginanie b dzie znikomy, dop6ki rozmiary poprzeczne pr ta Sq
niezbyt male w por6wnaniu do jego dlugosci. (Wplyw sil podlui:nych na zgi cie cienkich a gi t-
kich pr t6w b dzie zbadany w rozdz. XV). Pomijajqc wplyw sil podlui:nych na zgi cie, mozemy
obliczyé napr zenie w jakimkoIwiek punkcie fI przekroju J>Dprzecznego (rys. 255), surnuj(!c napr -
zenie? wywo ane sHi! podluzni! i napr :ienie wskutek zginania' sHami prostopa- A Z
dleml. Je:ieh oznaczymy przez P wypadkowi! wszystkich sH podluznych, lezq- 1
cych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju, a przez My i M z moment y sil
zewn trznych, dzialajqcych na rozpatrywanq cz sé belki, wzgl dem osi Y i Z,
to napr :ieniem normainem w punkcie JI b dzie:
p= :1::. M y z :1::. Mzy
F /y /z
Znaki w tym wzorze nalezy obraé stosownie do kierunku moment6w.
Zastanowimy si teraz szczeg610wo nad przypadkiem, kiedy jednoczesne zginanie i rozciqga-
nie lub sciskanie pr ta jest wywolane mimosrodkowem dzialaniem sily podlUZnej. Niechaj dwie
r6wnowazqce si sily P (rys. 256) dzialajq na koncowe przekroje pr ta w punktach fI, lezqcych
na gi6wnej osi bezwladnosci DY przekroju poprzecznego. Przez e oznaczymy mimosr6d obciëV:e-
nia, 1. j. odleglosé linji dzialania sily od osi pr ta. Zast(!pmy dan(! sii P uldadem statycznie r6w-
nowaznym, zloi:onym z sily P, dzialajqcej w srodku ci i:kosci .przekroju i pary sil
o momencie Pe. Ta para wywola widocznie zgi cie w plaszczyinie XY, a sHa osiowa P
wywola rozciqganie pr ta. Napr zenie w dowolnym punkcie B przekroju poprzecznego
okresli, przy obranym ukladzie sp6irz dnych, wz6r:
P _ + M"y = ( 1+ ey )
- F 1" Fr" t .
w kt6rym r z oznacza odpowiadajqcy promien bezwladnüSci. Rozldad napr zen jest
zatem linjowy. Jezeli wezmiemy przekr6j poprzeczny prostokqtny (rys. 251), to
otrzymamy najwi ksze i najmniejsze wartosci napr zen, wstawiajqc we wzor (174)
b
y=::J: 2 .
Mamy wi c:
Rys. 256 Dopôki e < , powstaj(! w calym przekroju napr zenia
tego samego znaku; ich rozklad uwidoczniono na fig. (b). Skoro e> '
to napr i:enia skrajne pmu i prmn majq znaki r6zne, a rozldad napr zen
przedstawia fig. (c). W szczeg61nym przypadku, gdy e = ' jest
2 P 0 1 . .. k t JJ ." d
pmlJx = ---p-' a pmin = , czy 1 naJW1 sza war ose napr zeDla Jest wa
razy wi ksza od wartosci, jakqbysmy otrzymali przy srodkowem dziala-
niu sily P. Diagram tr6jk q tny na fig. (d) daje w rozpatrywanyrn przy- p"' i-----'
padku rozklad napr zen. p_LI
Gdy P jest sH q sciskajë!cq, to otrzymamy analogiczne wyniki. Do-
p6ki sHa sciskajqca dziala w srodku przekroju poprzecznego, to naprç-
zenia rozkladajq siç w przekroju rôwnomiernie; im bardziej oddala si sila
od srodka, tem wiçksz q staje.si r6znica mi dzy napr zeniami skrajnemi.
x
pt p
1
t
1
i
i
1
t
1
..e..-
177
. (173)
y
Rys. 25S
. (174)
1
P
P ( be )
P:;: =F l:1::. Zr Il ,
z
albo poniewaz dIa
prostok(!ta
lIT 11 ab' 1L :.lb
r z = y F = y l2ab = 2V3'
P ( 6e )
P==F l:1::.lJ .
. (175)
przeto
z
-
.
0 A
.
p.:'
- fi
T
.
1
a
1
L S-ll
. --:
l ' .
£r-+- /'ln 2-
Fl__ u.
y
j}gC
Pr-- ------
PI ;;g:d.
Rys. 2S1
Kurs wy!rzymalosci materjal6w
12
178
W przypadku pr ta 0 przekroju prostoké!tnym, sciskanego silé! P, kt6ra przecina kierunek jednej
z gl6wnych osi bezwladnoSci (rys. 257), zajdzie najwi ksze cisnienie \1l skrajnych elementach tej
cz sci przekroju, kt6ra le:i:y po stronie dzialania sily. Przy mimosrodzie e = b dzie najwi k-
. .. . é ri u 2P 1 .' kr . t t S D e m
sze Cl menIe mIe wa ose -F' zas napr zeme s a)ne po s ronie przeciwnej s aje i};' z re .
Przy mimosrodzie e > powstam,! po przeciwnej stronie ciqgnienia. Ta okol cznosé ma szcze-
g6lne znaczenig w przypadku materjal6w 0 malej wytrzymalosci przy rozciqganiu, jak np. w przy-
padku slup6w i sdan murowanych. l\:i:eby w murze nie powstaly ciqgnienia,
musi wypadkowa z obciqzeii pionowych trafiaé srodkowq trzeci q cz sé grubosci
muru (rys.258), wtedy bowiem e L :.
Przejdzmy te raz do og6lniejszego przypadku obciq:i:enia mimosrodkowego,
kiedy kierunek sily nie przecina :i:adnej z gl6wnych osi bezwladnosci przekroju
poprzecznego. Niechaj (m, n) oznaczajq sp61rz dne sr 0 d k a 0 b ci q zen i a .II
(rys. 259), odniesione do gl6wnych osi bezwladnosci przekroju OY i OZ.
SUa P, dzialajqca w punkcie A, da si zastqpié takqz sil q , dzialajqcq
w srodku 0 i pan,! sU 0 ramieniu OA i momencie P. Oll. Ta para lezy
'Ii' plaszczyznie OA, przechodzqcej przez os pr ta, i mozna jq rozlozyé na
dwie sIdadowe, dzialajqce w gl6wnych plaszczyznach belki, przechodzqcych
przez OY i OZ. Momenty tych par sIdadowych b dq odpowiednio
r6wne P. m i P . n. Napr zenie p w dowolnym elemencie pola d F
o sp6lrz dnych y, z znajdziemy jako sum algebraiczn(! napr zen,
wywolanych oddzielnie przez proste sciskanie i zginanie w obu plasz-
czyznach gl6wnych. 1\ zatem:
_ P Pmy + Pnz
P - F + ---r:- ---r;-'
Podstawiwszy w miejsce moment6w bezwladnosci iloczyny pola
przekroju przez kwadraty odpowiadajqcych promieni bezwladnosci, spro-
wadzimy powy:i:sze wyra:i:enie do postaci:
P ( my nz )
P=F 1 + r t + ï='T .
z y
L_n&b.
.
RJ'So 258
z
y
Rys. 259
l\zeby znalezé os oboj tné! wystarczy przyr6wnaé praWq stron tego r6wnania do zera. Otrzy-
mamy tedy
my nz + 1 - 0
t + I! -
r z ry
(176)
jako r6wnlmie osi oboj tnej. Polo:i:enie tej prostej mozna okreSIié zapomocq odcink6w s i q, jakie
ona wyznacza na osiach Yi Z. Z r6w. (176) znajdziemy, podstawiajqc kolejno y=O i z=O:
rI! rI!
(z)y=o = q = - -..L.., (y)z=O = s=- 2-.
n m
Latwo zauwaZyé, ze mi dzy sp6lrz dnemi min srodka obciqzenia, a odcinkami s i q, wy-
znaczonemi przez os oboj tnq, zachodzi zwiqzek tego rodzaju: Jezeli srodek obciqzenia ma nawza-
jem sp61rz dne s i q, to os oboj tna wyznacza odcinki min. DIa ka:i:dego srodka obciqZenia .II
mozemy znalezé odpowiadajqcq os oboj tnq. Skoro przemieszczamy srodek obciqzenia, to odpowia-
dajqca os oboj tna b dzie tak:i:e zmieniaé polo:i:enie. Okazemy, ze gdy A porusza si po Iinji pro-
stej, to odpowiadajqca os oboj tna obraca si okolo stalego punktu, kt6ry nawzajem odpowiada jako
srodek obciqzenia owej pros te j, jako osi oboj tnej. Niech b dzie A l .fI 2 prost q , po kt6rej porusza
si srodek obciqzenia (rys. 260). DIa katdego polozenia punktu A na tej Iinji mozna sil P zast q -
pié dwiema silami jej r6wnoleglemi, dzialajqcemi w punktach Al.fI2' lezqcych na g16wnych osiach
bezwladnoscÏ przekroju poprzecznego. Prosta MM, odpowiadajqca jako os oboj tna srodkowi ob-
cié}ienia Il t , b dzie r6wnolegla do osi ¥-6w. Jej odleglosci q od osi b dzie
r J
y
q = - OA .
t
Podobniez znajdziemy os N N, odpowiadajé}€q punktowi fIl jako srodkowi obciqzenia. W punk-
cie C przeci cia si linji MM i N N bçdzie napr zenie zerem przy dowolnem potozeniu punktu Ji
na prostej li l A 2 , przez ten punkt przejd q zatem osie oboj tne,
odpowiadajqce wszelkim polozeniom srodka fI na prostej At .fI lJ Z
czyli przy przesuwaniu siç srodka obciijZenia po prostej, obraca si /Y A
odpowiednio os oboj tna okolo stalego punktu C. Spôlrz dne
punktu C wyznaczamy wedlug takich samych wzor6w, jak i sp61-
rz dne srodka obciqzenia, odpowiadajqcego prostej At A 2 jako osi
oboj tnej, z czego wnosimy nawzajem, :te:
Skoro os oboj tna obraca siç okolo stalego punk tu,
to odpowiadajqcy srodek obciqzenia posuwa siç po
pros te j, ktôra jest nawzajem osi q oboj tnq dia srodka
obrotu jako srodka obciqzenia.
W slupach murowanych, sciskanych mimosrodkowo sHi! P, jest cz sto niepoiqdanem poja-
wienie si ciqgnieii, ktôre zachodzi, jak wiadomo, przy wi kszych mimosrodach obciqzenia. Nasuwa
si tedy pytanie, przy jakich poloieniach srodka obciqzenia powstanq w calym przekroju tylko
cisnienia. Miejscem geometrycznem takich srodkôw obcié}ienia b dzie pole
pewnej Iigury, zwanej rdzeniem, czyli jé}drem danego przekroju. l\zeby
znalezé kontur rdzenia wystarczy widocznie poprowadzié wszystkie proste,
dotykajqce kontur przekroju, a nie przecinajqce go i uwataj,!c je za osie obo-
j tne wyszukaé odpowiadajé}ce srodki obciqzenia. Te srodki tworzij kontur
rdzenia. Skoro srodek obciqienia wyjdzie poza obrçb otrzymanego rdzenia,
to odpowiadajqca os obojçtna zblizy si do srodka ci ikosci przek.roju po-
przecznego i przetnie figur przekroju, przyczem powstanq 'Z
napr ienia 0 rôinych znakach. Jeieli figura przekroju jest B C
jakimkolwiek wielobokiem, to latwo okazaé, te kontur
odpowiadajqcego rdzenia b dzie takze wieIobokiem. Niech b dzie ABCDE danym
przekrojem poprzecznym (rys. 261). Bokom wieIoboku, jako osiom oboj tnym,
odpowiadajé} punkty a, b, c, d, e konturu rdzenia, jako srodki obciijZenia. Jeieli
obciqzenie dziala w punkcie a, wzgI dnie b, to odpowiedni q osi q oboj tnq
jest .Il B, wzgl dnie B C. 1\zeby przejsé z polozenia AB w polozenie B C, nalezy
os oboj tnq obrôcié okolo wierzcholka B. .RIe obrotowi osi oboj tnej odpowiada,
jak dowiedlismy, przesuni cie srodka obci zenia po linji pros te j, lijcz cej
punkty a i b. Odcinek ab jest zatem jednym z bo-
kôw wielok ta ëJ b cd e, tworzqcego rdzen przekroju. Wierzcholkom kon-
turu przekroju b d odpowiadaé boki konturu rdzenia.
W przypadku przekroju prostoki!tnego odpowiadaji! bokom
prostokqta, jako osiom oboj tnym, srodki obciqzenia, lezqce na osiach 0 ¥
i OZ (rys.262) w odleglosci :' wzgl dnie : ' od srodka przekroju. Ten
wynik znalezlismy juz w poprzednim paragraiie. L czé}c otrzymane cztery
wierzcholki prostemi,otrzymamy romb a b a' b', przedstawiaj cyrdzeii prosto-
kijtnego przekroju. Przekqtne tego rombu majq odpowiednio dIugoscî : i : .
DIa przekroju d wu t e 0 we g 0 (przekroju 1) (rys. 263) b dzie rdzeii
IDieé r6wnieZ postaé rombu, albowiem proste, dotykajQce konturu prze-
12.
\;
Rys. 261
.IY 1 Z J'/
;- ---- ;!J - --: 11
"r -: :0. - -- -
: :
. .
: : (lÎ
a -:---
: .
: .
.
t1L
IV:
Rys. 21>3
179
o
tJ le
TI
Ry,,- 260
9 104. RDZEN CZYLI Jl1DRO PRZERROJU
y
1J)
Ry.. 261
180
kroju, a nie przecinajqce go, t. j. proste MM, M'M' i N N, N' N', tworzq prostokqt opisany. .1\by
wyznaczyé np. punkt a, odpowiadajqcy prostej N N, uzyjemy wzoru (174), podstawiajqc
w nim y = - i przyr6wnujqc praWq stron do zera. Stqd wypadnie
eb . -- 2 2
2 = 1, czyh e= Oa=-,
rI'. b
W ten sam spos6b znajdziemy polozenie punktu b}, a mianowicie:
Ob = 2r/ _
a
W przypadku przekroju kolowego (rys.264) musi byé rdzen kolem,
ktôrego promien znajdziemy z wzoru (174), a mianowicie:
__ r 2
Ry.. 264 Oa=e= R ' przyczem R oznacza promien dan ego kola.
P . dl kol . t 1 7CR4 Ri. . J k 1 d .
ome az a a Jes rI'. = 41CJ?I = 4' Wl c promlen oowego r zema:
- R
Oa = 4'
.JI
DIa przekroju piedcieniowego, stosowanego np. do kominôw, b dzie rdzen z powodu
symetrji tak.ze kolem, Jego promien znajdziemy wedlug tego samego wzoru, co poprzednio, wsta-
wiwszy tyIko w miejsce promienia bezwladnosci rI'. odpowiednie wyrazenie dIa pierscienia kolowego.
Jezeli oznaczymy przez R i r odpowiednio promien zewn trzny i wewn trzny pierscienia, to jego
moment bezwladnosci b dzie rôwny
Odpowiadajqcy promien bezwladnosci obliczymy z formuly:
r 1 = 1C (R4 - r) RI + r 2
l'. 41C(RI- r 2) 4
Promieniem rdzenia przekroju b dzie zatem:
r z ! R2+ r 2
e= -rr- = 4R
W szczeg6lno ki dIa r = 0 otrzymamy: e = , jak poprzednio; dIa R = r, t. j. dIa pier kienia nie-
k J . Id R
s onczeme WqS ego: e = 2'
Rdzenia przekroju mozna uzyé z korzysci q przy obliczeniu
napr zen w przypadku u k 0 sne g 0 z g i ci a ( 57). Wezmy
np. przekrôj prostokqtny (rys. 265). Na rysunku uwidoczniono
eIips bezwladnosci i rdzen przekroju. Jezeli moment zgi cia dziala
w plaszczyznie, przecinajqcej przekrôj poprzeczny w Iinji B B, to
odpowiadajqca os oboj tna N N b dzie srednicq elipsy bezwladnosci,
sprz .zonq z kierunkiem BB. Napr\]zenia zmieniajq si Iinjowo i, je-
zeli przez Pl oznaczymy wielkosé napr zenia w punktach najbardziej
oddalonych w odst pie e od osi oboj tnej, to w odIeglosci Z od osi
oboj tnej b dzie napr zeniem normalnem:
PI'. = Pi Z,
e
Jezeli przez M oznaczymy wieIkosé momentu zginajqcego w rozpa-
trywanym przekroju, a przez (( ki;!t mi dzy- plaszczyznq momentu
.ri':...
l' ;
. '
1
, 'I ! 1
.JJ
,l
Ii
r 6
:,-r
---
Rr.. 265
:r(R4 - r 4 )
4
181
a warstw oboj tn , t , ustawiaj c r6wnanie moment6w wszyslkich sil wewn trznych i zewn -
trznych wzgI dem N N, dojdziemy do r6wnania:
M sin cr. = Pt (" z . zdF= Pi lN, a stqd:
e ) e
Me sin cr.
lN
Przez lN oznaczylismy tutaj moment bezwladnosci przekroju wzgI dem osi oboj tnej. Obliczenie Pt'
upraszcza si przy pomocy wlasnosci rdzenia przekroju. Umiesémy w punkcie A sil sciskajqc P,
wtedy M = Pk, przyczem k oznacza odpowiedni promien rdzenia OA. Osi q oboj tnq b dzie pro-
sta N'N', r6wnoIegia do NN. DIa punkt6w prostej N'N' b dq ci gnienia, wywolane zginaniem,
a obIiczone wedÎug wzoru (177), r6wne cisnieniom ; , wywolanym sil P, dzialajqcq w srodku,
Pt =
. (177)
a zatem: p Pk e sin cr.
F- lN
Wstawiwszy to we wz. (177), otrzymamy:
z czego
esin cr.
lN
1
- Fk '
M
Pt = Fk . (178)
Uog6Inijmy nasze pierwotne okresIenie modulu przekroju (momentu oporu) przyjmujqc W = Fk
natenczas M
Pi = W . (178)'
Ze to uog6Inienie nie stoi w sprzecznoSci z okresleniem W, przyj tem poprzednio, latwo si prze-
konaé, umiesciwszy srodek obciqzenia na jednej z gl6wnych osi bezwladnosci przekroju. Skoro
try dk .. J d k b ... b ' t k h . W FR bh . h
w rozpa wanym przypa u przYJmlemy sro e 0 ClqZema w , 0 = 6' a WI C = = ,
co si zgadza z wartosci q modulu przekroju, odpowiadajqcego zgi ciu w plaszczyznie gl6wnej.
Zastosowanie wzoru (178) uprosciloby si znakomicie, gdyby iablice profil6w normalnych zawie-
raly takze i rysunek odpowiadajqcego rdzenia.
105. ZGIN1\NIE 1 SRREC1\NIE
Jednoczesnemu dzialaniu zginania i skr cania podIegajq szczeg6Inie cz sto waly maszyn.
T utaj, opr6cz sil przecinajqcych os walu, jak np. ci zar wlasny Iub ci zar k61, osadzonych na
waIe, dzialaj takie sily, jak napi cie ci gien transmisyjnych, nacisk przeniesiony przez trzon me-
chanizmu korbowego i 1. d. Unje dzialania tych sil nie przecinaj osi walu, wo1Jec czego zginaniu
1J dzie towarzyszyé skr cenie. Rys. (266) przedstawia jedno z k6l walu transmisyjnego. Oznaczmy
przez 2 P napi cie we wchodzqcej cz sci AB ci gna, a przez P napi cie w cz ki CD. Dzialanie
tego ostatniego napi cia mozna widocznie sprowadzié do momentu skr ca-
j cego Ml = PR 0 kierunku, przeciwnym wskaz6wce zegara i do sily P, F
dzialaj cej na srodek ci zkosci 0 przekroju walu. Podo1Jniez da si dziala- - B
nie napi cia 2 P w cz ki AB ci gna zast pié momentem skr cajqcym
M 2 = 2PR 0 kierunku zgodnym z wskaz6wk q zegara i sH q 2P, dzialajqcq
na punkt O. W ten spos61J sprowadza si dzialanie napi é obu cz sci ci gna
do sily P + 2 P = 3 P, zginajqcej wal, i do pary 0 momencie M = P R,
dqzqcej do obrotu walu w kierunku wskaz6wkÎ zegara. Jezeli na waIe znaj-
duje si wi ksza liczba k61, t , idqc powYZSZq drogq, dojdziemy zawsze do
ukladu sil, przecinajqcych os walu poo kqtem prostym i do par skr cajq-
cych. DIa wyznaczenia napr zeii w dowoInym przekroju walu nalezy zna- Rys. 266
Iezé wielkosci momentu zginaj cego i skr caj cego. Sily zginajqce mogq
Iezeé nie w jednej plaszczyznie, wobec czego wypadnie rozlozyé te sily na sldadowe, Iezqce
W dwu wzajemnie prostopadlych plaszczyznach, przechodz cych przez os walu. Skoro przez Mi i M 1
182
oznaczymy skladowe moment y zgi cia w rozpatrywanym przekroju, odpowiadajqce tym plaszczy-
znom, natenczas wypadkowym momentem zginaji!cym b dzie
M zg = ¥MIT + M 2 2 .
W przypadku przekroju okrqglego b dzie kazda OS gl6wnq, zgi cie zajdzie przeto w plaszczy-
znie momentu M zg , a wartosci q najwi kszych napr zen normalnych b dzie:
MzgT 4M zg
pm...x = --y- = :Ir Ta-
przyczem T oznacza promien walu. Opr6 z napr zen normalnych dzialajq w plaszczyznie prze-
kroju poprzecznego napr zenia styczne, wywolane sil q poprzecznq i momentem skr cajqcyrn.
U wal6w mogq decydowaé 0 wytrzymalosci tylko naprçzenia scinajqce wskutek skr cania, albo-
wiem ich najwi ksze wartosci schodz q siç z najwi kszemi wartosciami napr zeii normalnych, wy-
wolanych we wl6knach skrajnych momentem zginajqcym. Tarn osiqgajq napr zenia skr cajqce
wartosé (P) _ M sk . T _ 2M sk
t max - 1 - s . . (b)
p :nT
przyczem M sk oznacza moment skr cajqcy.
Jezeli w rozpatrywanym przekroju mn wezmiemy na powierzchni walu punkt JI, odpowiada-
jqcy najwi kszemu napr zeniu normalnemu (rys. 267), to w elemencie przekroju m n, przechodz q -
cym przez ten punkt, dziala tak napr zenie normalne okreslone wzorem (a), jakotez naprçzenie
styczne wyrazone wzorem (b). W przechodzqcym zas przez A elemencie przekroju podlutnego
.m osiowego bçd q dzialaé tylko napr zenia styczne. Zupelnie w ten sam spos6b,
. jak przy wyznaczeniu najwi kszych napr zen w przypadku og6lnego zgina-
.
nia, mozna tutaj wyszukaé dwie plaszczyzny, przechodzqce przez A i majqce
e A; P t wlasnosé, ze w nich dzialajq tylko napr zenia normalne. Nazwiemy je
'r plaszczyznami gl6wnemi, a odpowiadajqce im napr zenia - napr zeniami
gl6wnemi. Ich wielko ki b q na podst awie wzor6w (77):
Pn + 1 V 2 + 42. Pn I v 2 + 42
Pmax = '2 2" pn Pt, Pmin=T-2" pn Pt.
Wstawiwszy tutaj wartosé pn i Pb wyr azone wzo rami (a) i (b), o trzymamy:
_ M zg V M i M j!- ( M 1 / M i M i ) (179)
P::- 2 W:I: 2W zg + sk -2W zgI zg + sk .
Przez W oznaczylismy przytem modul przekroju poprzecznego. Otrzymany wz6r da si interpre-
towaé w ten spos6b, ze najwiçksze napr zenie, wywolane jednoczesnem zginaniem i skr caniern
okrqglych wal6w, jest takie same, jakieby powstalo przy czystem zginaniu fikcyjnym momentem
o wielkosci 1
M =2' (M zg + JI Mz g 2+Ms k 2).
Wyznaczywszy wielkosci najwi kszego i najmniejszego napr zenia i przyjqwszy stosownie do wa-
runk6w pracy walu wielkosé napr zeti bezpiecznych R, mozemy przejsé do ustawienia wzoru dIa
obliczenia srednicy walu. Postaé wzoru b dzie rozmaita, zaleznie od tego, jaka teorja wytrzyma-
losci b dzie sluzyé za podstaw wywodu. Skoro jako miar wyt zenia materjalu przyjmiemy naj-
wi ksze wydluzenie wzgl dne (II-ga teorja), to rozmiary walu nalezaloby obraé tak, aby
prne.x - <1 pmin L. R,
czyli, po wstawieniu zamiast pmu: i pmin ich warto ki (179), i podstawieniu <1 = 0,3 [w przypadku
zelaza kowalnego lub stali]:
( 0,35 M zg + 0,65 V M Zg 2+ Msks ) L. R . (180)
Ten wz6r, noszqcy nazw wzoru de S.-Venant'a, stosujq cz sto przy obliczeniu wal6w maszyno-
wych. przeciwko temu podniesiono w ostatnich czasach niemalo' zarzut6w, osobliwie ze strony
in.tynier6w angielskich, a praktyka przechodzi powoli do wzoru, osnutego na I1I-dej teorji wy_
trzymalosci, kt6ra zaleca wyznaczaé wymiary konstrukcji wedlug warlosci najwi kszych naprçzen
. (a)
n
Rys. 267
183
stycznych- 1 ). PoslugujqC si
w postaci:
wyrazeniami dIa pmex i pmlll' moz emy odpowiadajqcy wmr przedstawié
pmu. - pmin = V Mzl+ Mskl L R . (181)
T ego wzoru nalezy uzywaé przy obliczeniu wal6w, albowiem on jest oparty na hipotezie, potwier-
dzonej doswiadczalnie [dIa metali plastycznych].
Co si tyczy obioru wielkosci R, to wypada powt6rzyé to samo, co powiedziano w rozdziale
o skr caniu. Wielkosé napr zenia dopuszczalnego zalezy od sposobu dzialania si! zewn trznych
i od uksztaltowania miejsc zmiany przekroju cz sci walu 0 r6znych grubosciach. lm raptowniej
zmieniajq si przekroje walu, tem wi ksze b dq nadwyzki napr zen, kt6re trzeba mieé na wzgI dzie.
106. OBLICZENIE W1\LU RORBOWEGO WYGIN1\NEGO
Zagadnienie rozmieszczenia napr zeti w wyginanym wale korbowym, jakkolwiek praktycznie
bardzo waZne, nie posiada dotqd rozwiqzania zupelnie zadowalajqcego. Brak dotychczas pewnych
danych co do rozldadu cisnieti wzdluz czopa i nie mamy formul do obliczenia napr zeti w miej-
scach zlqczenia oddzielnych cz sci walu. W zwyklych obliczeniach upraszcza si zadanie, zakla-
dajqc: 1) ze podpory walu lezq w srodkach panewek, 2) ze kqty mi dzy osiami poszczeg6Inych
cz sci walu nie zmieniajq si przy jego odksztalceniu, a do kazdej z cz sci mozna zastosowaé
wzory wyprowadzone dIa pr t6w pryzmatycznych 1). Rozwiqzanie zadania, oparte na takich zalo-
zeniach, b dzie naturalnie pierwszem przyblizeniem, ale 0 dalszem udoskonaleniu obliczeti drogq
czysto teoretycznq trudno pomysleé. Przy tych wymiarach wal6w, z jakiemi si spotykamy w prak-
tyce, muszQ graé ogromnq roI rozmaite przypadkowe przyczyny, jak np. niedokladnosci w roz-
mieszczeniu podp6r, nieregularne zuzycie panewek i t. d., a jasniejsze wyobrazenie 0 charakterze
i wieIkosci napr zeti mozemy otrzymaé tylko na podstawie badati doswiadczalnych 3).
Jezeli wal jest osadzony na dwu lozyskach, to przy zalozeniach przedstawionych powyzej
znajdziemy bez trudnosci reakcje podporowe i wyznaczymy dIa kaZdego przekroju poprzecznego
wielkosé momentu zginajQcego i skr cajqcego. Grubosé walu mo:ina nast pnie obliczyé z wzoru (181).
W przypadku walu podpartego trzema lub wi cei lozyskami, staje si zadanie obliczenia reakcji
statycznie niewyznaczaInem i dIa jego rozwiqzania musimy rozpatrywaé odksztalcenie walu, co
wykonamy najdogodniej przy pomocy metody wykresIno-ana-
Iitycznej. Jako najprostszy przyklad wezmiemy wal wyginany
AC DE F B (rys. 268) 0 stalej sztywnosci zginania E J, spoczy-
wajqcy na dwu podporach A, B i obciqzony sil q P, dzialajqcq
w plaszczyznie linji srodkowej korby CD E F. Linja ugi cia
walu b dzie miala postaé uwidocznionq na fig. (b). W zdluz
cz sci JI C, DEi F B b dq moment y zginajqce, a zatem i krzy-
wizna linji ugi cia, takie same jak dIa prostego pr ta 0 dlu-
gosci 1 i sztywnosci El, obciqzonego W ûdpowiadajqcym prze-
kroju sil q P. CO si tyczy cz sci CD i FE, to na dlugosci
kazdej z nich puzostaje moment zginajqcy stalym. Wezmy np.
cz sé CD. DIa kaidego przekroju poprzecznego tej cz sci
b dzie moment zginajqcy r6wny reakcji podporowej A, pomnozonej przez rami .ff C. Wskutek
dzialania stalego momentu zegnie si os cz sci CD w luk kola 0 promieniu
R= El
Mc ,-
------
,
!A
...;.,
10
,hg- il.
Rys. 268
1) [Bardzo u nas rozpowszechnione podrçczniki niemieckie tego rodzaju, jak "Hütte" (w polskiem wydaniu ..Te-
chnik") i t. p., ignorujq niestety po dzjg dzien postçpy nauki i umieszczajq wciqi wylqcznie wzory, oparte na niezgodnej
z dogwiadczeniem II-giej teorji].
2) Ob. pra G. Dümng'a: "Beitrage zur Bestimmung der Formanderungen gekroplter Kurbelwellen". Berlin, 1906.
8) Ob. pracç M. 1\. Woropajewa: ..Izlom korennych walow dwigatielej". Izw. Kijewsk. Pol. Inst. z r. 1911.
184
A:
jezeli przez Mc oznaczymy moment 'Ill przekroju C. Styczne do linji ugi cia w punktach CiD
zawierajq kijt: T MeT ( )
{ô'P)c=J[=ET . a
Wskutek zgi cia korb CD i FE nie b dzie linja ugi cia cz sci DE, podniesiona do wysokosci CF,
tilczyé si gladko z cz sciami JI C i F B. W punktach C i F otrzymamy nagle zmiany kqta na-
chylenia stycznych 0 wielkosci {ôrp)c i (Ô'p)D. Dzi ki temu ugnie si wat wi cej, niz odpowiadaj,!cy
prost y pr t 0 tej samej sztywnosci, a dia otrzymania wielkosci
' 0 ugi cia trzeba wal zastqpié pr tem, opatrzonym 'Ill punktach C i F
:::r naglem oslabieniem przekroju (rys. 269). Wskutek tych oslabien
powi kszy si silnie krzywizna zgi tej osi pr ta 'Ill miejscach C i F.
Zmniejszajqc dlugosé oslabionych cz sci i wielkosé odpowiada-
jqcej im sztywnosd dojdziemy 'Ill granicy do zalomu linji ugi da,
zaldadajqc oczywiscie. ze odksztalcenie zachodzi 'Ill granicach
proporcjonalnosci. Rozmiary cz sci ostabionej mozna zawsze tak
obraé, aby otrzymaé kqty zalamania rowne (o'p)c i (orp)o; wtedy
ugi cie pr ta zast pczego b dzie identyczne z ugi ciem naszego
walu. Jezeli przez E/ 1 0znaczymy sztywnosé ze wzgI du na zgi-
nanie 'Ill miejscu ostabionem, to rôwnaniem linji ugi cia na dlu-
gosci oslabienia b dzie
/rg,â..
;;B6.
Rys. 269
d'y
E/ f dX2 = M,
a kilt mi dzy stycznemi do linji ugi cia, poprowadzonemi 'Ill koncach oslabionej cz sci, obliczymy
wzorem:
1\zeby wplyw oslabienia byl
rownosci :
o ( dy ) _ M dx
dx - El 1 .
rôwnowainy wplywowi zginania korb CD
Meox MeT Moox MoT
E/ 1 =--u El 1 -Irr'
E F, trzeba przyjqé
z czego wypada:
. El
OX=T EÎ
. (b)
lm mniejsze jest El1' tem mniejszq b dzie i dlugosé oslabionych cz sci. Sprowadzajqc 'Ill ten spo-
sôb zgi cie walu do zgi cia oslabionego pr ta, mozemy znalezé ugi cie drogq wykreslno-anality-
CZDq. W tym ce1u wyobraimy sobie belk pod dzialaniem fikcyjnego obciqzenia trôjkqtnego JI H B,
przedstawiajqcego powierzchni momentôw dia obciqzenia sH q P. Na dlugosci oslabionych cz sci
nalezy widocznie powi kszyé rz dne diagramu momentôw 'Ill stosunku El: El 1 . Zmniejszajqc
dlugosé 0 x, musimy 'Ill tym samym stosunku zmniejszyé i El 1 (wzôr b). Wielkosé zakreskowa-
nych pôl CC' i F F' pozostaje przytem niezmienionq i rôwna si :
S CC ' TEll El -
c=ox. =EJMc. El 1 =McT i So=ox.FF'=MoT . (c)
Te pola mozna zastqpié 'Ill granicy silami skupionemi 0 wielkosci wyrazonej wzorami (c); wtedy
ugi ie 'Ill jakimkolwiek przekroju walu b dzie proporcjonalne wzgl dem odpowiedniego momentu
zginajilceg o wskutek fikcyjnego obciqzenia ciijglego JI H B i fikcyjnych sil skupionych Sc i So
(rys. 269). DIa uproszczenia rozwazan przyj lismy dotijd stal q sztywnosé El 'Ille wszystkich cz -
sciach walu. W' przypadku zmiennego przekroju mozna wszystkie cz sci sprowadzié takze do
pewnej stalej sztywnosci Elo, trzeba tylko 'Ill diagramie momentôw na dlugosci kazdej cz sci
zmienié rzçdne 'Ill stosunku E/o: El, przyczem El oznacza sztywnosé, odpowiadajijcq rozpatry-
wanej cz sci. To samo nalezy uczynié z wielkosci q likcyjnych sH skupionych.
Rys. (270) przedstawia wal wyginany wsparty na dwu tozyskach 1:1 i B. Wymiary i moment y
bezwtadnosci przekrojôw padane 'Ill centymetrach. DIa wyznaczenia ugiçcia sprowadzono wal do
185
przekroju stalego, odpowiadajqcego cz sci JI C (1 = 531 cm 4). Wskutek tego na dlugosci C' F zwi kM
szono rz dne powierzchni moment6w w stosunk.u 531: 490. W cZ Sci F' fi' zmienia si powi kM
szenie rz dnych od do . Nakoniec w cz sci fi' B' zwi kszono rz dne w stosunku 531 : 64.
Co si tyczy fikcyjnych sH skupionych Sc i SD, to obliczono je wedlug wzor6w:
Sc = Mc 25 . : kg.cm 2 , SD = MD. 25 kg.cm!.
W przypadku, kiedy sHa zginajqca jest prostopadla do ptaszczyzny korby CDEF (rys.271), mozna
ugi cie walu znalezé takim samym sposobem. Trzeba tylko uwzgl dnié, ze cz sci CD i EF b dq
teraz narazone na zginanie i skr M
canie. Rqty zaJamania (ôcp)c i (ÔCP)D
b dq okreslone wielkosci q skr enia.
Biorqc pod uwag , ze momenty skr -
caj ce cz sci CD i E F Sq dokla M
dnie r6wne momentom zginaj cym
Me i MD, kt6re wyst powaly w POM
przedniem zadaniu, otrzymamy:
(ô ) MeT . (ô ) MDr
cP e = ----c- 1 cP D =---c.
Cala rozmca od wynik6w poprze M
dniego zadania polega na tem, ze
zamiast sztywnosci zginania dIa CZ M
scÏ CD i E F wchodzi we wzory
sztywnosé skr cenia C. Majqc te wy-
niki, lâtwo rozwiqzaé zagadnienie
zgi cia walu korbowego przy dowol-
nem nachyleniu sily do plaszczyzny
korby; trzeba tylko t sH rozlozyé
na dwie skladowe i badaé zginanie
wskutek k.aZdej skladowej zosobna.
W przypadku podparcia walu na trzech lub wi cej lozyskach, mozemy tym samym spo obem,
co poprzednio, sprowadzié zadanie do zgi cia proslego pr ta z oslabionemi przekrojami. Jako
wielkosci statycznie niewyznaczalne najdogodniej przyjqé reakcje
lOZysk srodkowych. Najpierw usuwamy srodkowe podpory i ba-
damy zgi cie walu spoczywajqcego na dwu podporach skrajnych,
poczem dobieramy wielkosci statycznie niewyznaczalne, tak, aby
one zniosly ugi cie walu w przekrojach odpowiadajqcych lozy-
skom srodkowym.
-P
,--
-jlflO
25
1
JSl2
- 15..;-
('
---- 50 --- ---
- -- III
,
,
-,
Rys. 270
A
p
1/
JJ £
1
-L
B
Rys. 271
CZf;sé IV
PRl\Cl\ WEWNF;TRZNYCH SIL SP iYSTOSCP)
ROZDZlRL XIV
OG6LNE METODY OBLICZENII\ UHLf\D6W STI\ TYCZNIE
NIEWYZNl\CZl\LNYCH
107. URL1\DY STl\TYCZNIE NIEWYZN1\CZ1\LNE
Statycznie niewyznaczalnemi nazywamy te uklady, dIa kt6rych ogôlne warunki r6wnowagi
nie wystarczajq do wyznaczenia sil wewn trznych Iub reakcyj podporowych. Do tej kategorji zali-
czajq si roztrzqsni te powyzej przypadki zgi cia belek wieloprz slowych i belek ze z dnemi usta-
Ieniami, a takie w pewnych warunkach i uklady zlozone z pr tôw, czyli k rat 0 w n i ce. Te osta-
tnie zyskaly obszerne zastosowanie, zwlaszcza w konstrukcji mostôw i dach6w zelaznych. Przy
obliczeniu kratownic przyjmuje si zwykle, ze pr ty lqczij
si w w zlach idealnemi przegubami bez tarcia. W tych
warunkach sily zewn trzne, dzialajqce tylko na w zly
uldadu (rys. 272), wywolujq wylqcznie rozciqganie lub sci-
skanie pr t6w. Skoro wydzielimy w mySli jakikoIwiek
w zel fige b), to dia jego r6wnowagi mamy 2, wzgl dnie
3 r6wnania warunkowe, zaleznie od tego, czy pr ty Iezij
w jednej plaszczyznie czy tez nie. DIa kratownicy, majq-
cej n w zl6w, mozna przeto napisaé odpowiednio 2 n Iub
3 n r6wnati. Jezeli liczba r6wnati zgadza si z Iiczb q nie-
wiadomych si!, do kt6rych zaliczamy tak sily wewn trzne, jak i reakcje podporowe, a nadto uklad
jest geometrycznie niezmiennym, to wszystkie niewiadome dadz q si znaIefé z warunk6w. r6wno-
wagi. Obliczenie takich kratownic jest przedmiotem wyklad6w statyki wykreslnej. Jezeli zas licZba
niewiadomych jest wi ksza od liczby r6wnati, to mamy do czynienia z ukladem statycznie niewy-
znaczalnym. DIa znalezienia sil wewn trznych w pr tach "zb dnych" lub dia wyznaczenia "zb -
dnych" reakcyj podporowych, trzeba do r6wnati statyk.i dolqczyé warunki uzupelniajijce, ustawione
na podstawie rozpatrzenia odksztalceti ukladu. Jeszcze bardziej zlozone uklady statycznie niewy-
;nr b. f>! S.
C", J
Rys. 272
1) Przy opraco1l1aniu niniejszego rozdzialu autor poslugiwal siç nastçpujqcemi dzielami:
W. L. RirpicZ8W. "Lisznija nieizwiestnyja w stroitieInoj mechanikie".
O. Mohr. "fibhandJ. a. d. Gebiete der techn. Mechanik".
EL Foppl. "Vorlesungen ü. techn. Mechanik"'. Bd. II, III u. V.
H. Müller-Breslau. "Die neueren Methoden der Festigkeiislehre". 1904.
1\. Castigliano. "Theorie des G1eichgewichtes elastischer Systeme"'.
Literaturç przedmiotu i bistorjç rozwoju metod obliczenia uklad6w statycznie niGwyznaczalnych opracowal szczeg6-
lowo M. Grüning w "Encyklopiidie d. Math. Wis5ensch.... Bd. IV91I, str. 419.
[Powyzszy odsylacz odnosi siç do rozdzialu XIV, gdyz rozdz. XV zawiera gl6wnie wyniki wlasnej pracy autora].
187
znaczalne powstan , skoro uwzgl dnimy sztywnosé polijczen w zlowych. Wtedy do niewiadomych
sil wewn trznych rozci gajijcych lub sciskajijcych przybywajij niewiadome momenty zginajijce,
a liczba zbytecznych niewiadomych silnie wzrasta, co znacznie komplikuje i utrudnia rozwiijZanie
zadania. W dalszym ciijgu spotkamy si z bardzo r6znorodnemi zadaniami i jako "zbyteczne& nie
wiadome wypadnie obraé najr6znorodniejsze wielkosci. 1\zeby nasze wywody uog61nié i umozliwié
ich zastosowanie we wszelkich przypadkach, b dziemy si posrugiwaé najog61niejszij zasadij statyki,
l j. z a sad ij p r a c p r z y go t 0 w a n y chi og61nij wlasno kiij uklad6w spr zystych, jakij jest zdol w
nosé nagromadzenia przy odksztalceniu energji w postaci odwracalnej.
9 108. ENERGJ1\ POTENCJI\LN1\ URL1\DU SPRI;;ZYSTEGO
W szeIkie techniczne konstrukcje przedstawiajij si zwykle jako uklady spr zyste, kt6re si
odksztalcajij pod wplywem obciijzen. Praca, wykonana przytem przez sBy zewn trzne, zamienia si
na energj potencjalnij ukladu. Ilosé energji jest zupelnie okreslona kOiicowij zmianij postaci i nie
zalezy od tego, wecHug jakiego prawa wzrastaly odksztalcenia. DIa obliczenia ilosci energji nagra-
madzonej w uldadzie spr :iystym przyjmiemy, ze obci nia, wywolujë!ce odksztalcenie ukladu,
wzrastaj w spos6b ci gly od zera do swojej wartosci koncowej. T 0 wzrastanie ma byé przytem
tak powolne, ze sily bezwladnosci poruszajijcych si mas mozna zupelnie pomin é. W tych wa
runkach b dziemy mieli w ciijgu calego odksztalcenia r6wnowag mi dzy silami zewn trznemi
a wewn trznemi silami spr zystosci. Cala praca sil zewn trznych zamieni si na energj poten w
cjaln ukladu Gezeli pominiemy tarcie, jakie zajsé mo:ie w miejscacb podparcia). Zadanie wyzna w
czenia energji odksztalcenia sprowadza si w ten spos6b do obliczenia pracy sil zewn trznych.
T ak.ij samij wartosé bezwzgl dnih jak praca sil zewn trznych, ma i praca wewn trznych sil spr
zystosci, albowiem podczas odksztalcenia w przyj tych warunkach, zachodzi zawsze r6wnowaga
obu uklad6w silo Praca sil wewn trznych b dzie wi c r6znié si tylko znakiem od energji poten w
cjalnej, nagromadzonej przy odksztalceniu ukladu.
W rozpatrzonych poprzednio przypadkach rozciijgania lub sciskania, scinania i skr cania pr -
t6w pryzmatycznych, okazalismy, ze koncowa wartosé energji, nagromadzonej w pr cie przy od
ksztalceniu jest r6wna polowie iloczynu z koncowej wartosci sily przez sktadow przesuni cia
punktu dzialania sily, wzi ti! w kierunku jej dzialania (ob. 99 4, 21, 39, 46). Ten:ie sam wynik
mozna otrzymaé i w og61nym przypadku, jako konsekwencj prawa Hooke"a. Wyobratmy sobie,
ze wszystkie sily, dzialajijce na dany uklad, wzrastajij od zera do swych koiicowych wartosci tak,
ze ich wzajemny stosunek jest w kazdej chwili ten sam, co mi dzy koncowemi wartosciami sit.
Jezeli materjal ukladu podlega przytem prawu Hooke'a, a dzialania sil Sij od siebie nawzajem nie w
zalezne, to przesuni cia punkt6w dzialania si! b d w kazdej chwili proporcjonalne wzgl dem ich
wielkosci, a praca kazdej z si! b dzie r6wna iloczynowi koiicowej wartosci sily przez odpowiada
jijce przesuni cie (ob. 99 21, 46 i 47). T en wynik otrzymal juz CI a p e y r 0 n, kt6ry znalazl takZe
og6Ine wyrazenie dia energji potencjalnej odksztalconego ciala. Lamè, w swoim kursie teorji sp -
zystosci l}, podkresla szczeg6lne znaczenie twierdzenia Clapeyron a dia statyki konstrukcyj techni
cznych i stosuje je do obliczenia kratownic. Gdy w jakimkolwiek w zle k.ratownicy dziala sila Q,
a f jest przesuni ciem punktu dzialania sily w kierunku tejze sily, to przy wzroscie od zera aZ
do wartosci koiicowej Q wykona sHa prac
T = Qf
2 .
Z drugiej strony praca ta r6wna si energji potencjalnej ukladu. Jezeli Si' F;, i Ii oznaczaj odpo-
wiednio sil wewn trznq, pole przekroju poprzecznego i cllugosé dowolnego p ta ukiadu, to ener
gjq potencjalnq tego pr ta (wz. 7) b dzie:
S.2 L
1 1
2EF i .
1) Ob. "Leçons sur la th orie mathématique de l"lasticit .." 2-gie .yd. z r. 1866, slJ. 79.
188
a calkowit energj ukladu okresli formula:
S I
V= 2ÈF.
w ktôrej sumowanie odnosi si do wszystkich pr t6w ukladu. Przyrôwnywujqc
potencjalnej do pracy sit zewn trznych, otrzymal Lamè rôwnanie:
S.']
QI , 1 1
= EF. '
z kt6rego mozna znalezé ugiçcie l, skoro na podstawie rownan statyki wyznaczylismy najpierw
wartosci S.
.
. (182)
t wartosé energji
109. ENERGJ1\ POTENCJl\LNl\ PRZY ZGINl\NIU
W przypadku czystego ;gi cia momentem M nashwi wzgl dny obrôt dwu przekrojôw mn i pq
(rys. 273) 0 kë!t
1 lM
Cp=p= El"
Wyobrazmy sobie, ze przy odksztalceniu pozostaje przekrôj m n nieruchomym i ze moment wzra-
sta od zera do swej koncowej wartosci M, to praca momentu b dzie rôwna energji potencjalnej
...rozpairywanej cz sci pr ta ( 46):
Mcp M'l cp' El
V=2= 2£1 =2.[
. (183)
Przy ogôlnem zgi ciu zmienia i moment wzdluz pr ta i powstâjq oprôcz normalnych jeszcze
napr zenia styczne. Wplyw napr zen stycznych staje si znaczniejszym tylko
w przypadku krôtkich pr tôw, i dlatego przy obliczeniu energji zgi cia pomija
si zwykIe prac napr zen stycznych. Wziqwszy pod uwag element belki,
ograniczony dwoma przekrojami poprzecznemi 0 wzajemnej odleglosci dx,
mozemy przy obliczeniu energji d V, w nim nagromadzonej, uwazaé moment
zginajqcy za staJ:y i napisaé na podstawie row. (183):
d V= M'dx lb dy _ El (dcp)!
2 El ' a 0 - 2 . dx
- 'i' -- M
j 1 :m f .t J
(E------3 )
n 1 -,9
Rys. 273
. (184)
Rqt mi dzy dwoma nieskonczenie bliskiemi przekrojami
d dx
cp=p,
albo w przyblizeniu, 0 ile promien krzywizny p jest dostatecznie wielki w porôwnaniu do dlugo-
sei belki
d 2 y
dcp = dx! dx
W stawiwszy to w wyrazenie dIa d V i wykonawszy sumowanie na calej dlugosci pr ta, znajdziemy
calkowit q energj potencjalnq zgi tego pr ta:
V = s:: ' aIbo V = I ( r dx. . (184)
Tutaj wyst puje M jako wielkosé zmienna, zalezna od rozmiesz-
czenia sil zewn trznych.
Jako przyklad rozpatrzymy przypadek zgi cia belki, Rys.274
jednym koncem utwierdzonej, sÎl q P, obciqzajqcq drugi JeJ koniec (rys. 274).
W przekroju m n, lezqcym \Il' odIeglosci x od obeiqi;onego konca jest moment zginajqcy: M = Px.
d
"" '1
ft
?h
lm
f -
I (n
x--.JP
ïn
------J
189
Wstawiwszy t wartosé w pierwszq z formul (184), otrzymamy:
Pt.ls
V= 6£1"
Przyr6wnanie tego wyrazenia do pracy sily zewn trznej P daje:
PI _ P 2 ls
2 - 6£1'
z czego znajdziemy wz6r dIa strzalki ugi cia f, zgodny ze znaiezionym poprzednio innq drogq.
Wzory (184) mozna zastosowaé i w tym przypadku, kiedy przekr6j zmienia si wzdluz pr ta.
Sztywnosé £ 1 b dzie w6wczas funkcjq x.
Zajmiemy si teraz ocenq wplywu napr zeti scinaj cych na ugi cie belki i w tym
celu ustawimy najpierw odpowiednie wyrazenie dIa energji potencjalnej. Energj , nagromadzonq
w elemencie narazonym na proste scinanie, okreSla wyprowadzony owyzej wz. (41). StosujqC go
do warstwy elementarnej belki, ograniczonej dwoma przekrojami 0 wzajemnej odleglosci d x, kt6rq
to warstw podzielimy na elementy 0 obj tosci d F . d x, przyczem d F oznacza element pola prze-
kroju, otrzymany przez calkowanie na obszarze pola przekroju:
( p/dFdx
dV I = )F 20
jako wyrazenie energji, nagromadzonej w warstwie elementarnej 0 grubosci dx przez dzialanie
napr zeiÎ scinajqcych Pt. Jezeli zamiast napr zenia Pt wstawimy jego wartosé wyrazonq przez sil
poprzeczn Q (wz. 70) i zcalkujemy wzdluz osi belki, natenczas calkowita energja scinania, na-
gromadzona w belce, przedstawi si wzorem:
(1 ( ( QS ) 2 dF
VI = )OdX)F lb 20.
W przypadku prostok tnego przekroju poprzecznego, 0 podstawie b i wyso-
koscÏ h, b dzie wielkosé S dIa jakiegokoIwlek punktu, lezqcego w odleglosci Z od osi oboj tnej,
r6wna (9 59):
b ( h2 )
Sz = 2" "4 - Z2 .
Wstawiwszy to w poprzednie r6wnanie i przyjqwszy dF= bdz, znajdziemy po zcalkowaniu
_ 3 (IQ1dx
V - 5 )8 b h 0
(185)
W podobny spos6b mozna znalezé odpowiednie wyrazenia
cznego. Og6lnie mozemy napisaé:
dIa innych postaci przekroju poprze-
V=k,(1 Q2 dx
)0 2F 0
przyczem k' oznacza liczb stalq, zaleznq od postaci przekroju.
DIa przekroju prostokqtnego znalezlismy wlasnie k' = 1,2. W przypadku przekroju dwuteowego
(przekroju 1) zmienia si k' od 2 (dIa wysokosci 50 cm) do 2,4 (dIa wysokosci 8 cm). Calkowite
wyrazenie dIa energji potencjalnej og6Inego zgi cia otrzymamy, sumujqc wartoSé energji, odpowia-
dajqcej dzialaniu momentu zgi cia, z powyzej znaIezionem wyra.zeniem dIa energji scinania. 1\ zatem:
. (186)
I M2dx , I Q2 dx
V= 2£1 +k 2F G
o LO
. (181)
T 0 sumowanie jest uzasadnione niezaleznosci q dzialania momentu i sily poprzecznej. Przy odksztal-
ceniu postaciowem, wywolanem napr zeniami scinaji}cemi, nie wykonujq napr zenia normalne, jako
19J)
prostopadle do kierunku przesum Cla, zadnej pracy. Nawzajem nie wykonujij widocznie pracy
i napr ienia cinajé!ce przy wydluzeniu elementôw wskutek napr ieti normalnych. Sila poprzeczna
nie wywoluje przeto :iadnych zmian w pracy wykonanej przez moment zginajé!cy i nawzajem.
W innych przypadkach zlozonego stanu napi cia, np. przy jednoczesnem dzialaniu zginania i skr -
cania albo zginania i sciskania, moiemy zwykle obliczyé energj calkowit przez sumowanie
energij, odpowiadajé!cych skladowym stanom napi cia. T akie post powanie da si cz sto uzasadnié
niezaleino ciij prac, odpowiadaj cych odksztalceniom rôznego typu. Przypadki wyjijtkowe, ktô-
rych takie obliczenie staje si niedopuszczalnem, rozpatrzymy ponizej.
110. UOG6LNIONE SP6LRZEDNE 1 UOG6LNIONE SIL y
Z poj cia ciala spr zystego wynika, ie energja potencjalna, nagromadzona przy odksztatceniu,
zalezy od ostatecznej zmiany-postaci ciala i jest zupelnie okreslona t(! zmianib Jakkolwiekbysmy
odksztalcili cialo spr iyste, to zawsze przy powrocie do pewnej okreslonej postaci rôwnowagi przy-
bierze energja potencjalna t sam(! warlosé, odpowiadaj cij tej postaci. Wielkosci zmienne niezale-
zne, okreslajé!ce odksztatconé! postaé ciala, nazwiemy s p ôh z d n e mi. Energja potencjalna b dzie
zatem jednoznacznie okreslon funkcjé! tych sp6lrz dnych. Za sp6lrz dne mog(! sluzyé w rozmai-
tych szczegôlnych przypadkach rozmaÏte wielkosci. T ak np. przy badaniu rozciijgania pr t6w
jest odksztalcenie zupetnie okresloae wielkosciij wydlui:enia; w swoim czasie przyj Iismy t
wielkosé za spôlrz dni! i w zalei:nosci od niej ustawilismy wyrazenie dIa energji potencjalnej. Przy
rozpatrywaniu skr cenia okre lal zmian postaci k(!t skr cenia cp i t wielkosé uwazalismy za spôl-
rz dnQ. Podobniez przyj Ii my za spôlrz dn czystego zginania k t wzgl dnego obrotu koncowych
przekrojôw pr ta ( 109). WyIiczyIismy tylko kilka najprostszych przypadk6w, w kt6rych zmian
postaci okresla jedna wielkosé, jedna spôlrz dna. RIe cz sto wypa4nie mieé do czynienia z kilku
sp6lrz dnemi, a w najogôlniejszym przypadku z nieskonczon(! liczb(! spôlrz dnych. Wprowadzaj c
uogôlnione poj cie sp6Irz dnych, wypada poslugiwaé si uog61nionem poj ciem sily. W Iicznych
bowiem przypadkach dogodniej rozpatrywaé nie kazd(! sil zosobna, lecz pewne grupy silo Cz sto
np. spotykamy si z parami sil, kt6re s(! zupelnie okreslone momentami. Niekiedy znowu mamy
do czynienia z obciijZeniem r6wnomiernie rozloionem wzdlui: belki. Dzialanie sil zewn trznych jest
w tym przypadku zupelnie okre lone "nat zeniem" obciijienia, t. j. wielkosci(! obcié!ienia, przypa-
dajijcego na jednostk dlugo ci belki. Przy badaniu zgi cia belki na dwu podporach, obci(!zonej
jednym ci iarem skupionym, mamy do czynienia z sH(! zginaj(!c(! i odpowiedniemi reakcjami pod-
p6r. Ten uklad trzech sil jest zupelnie okreslony wielkosci(! owego ci zaru skupionego i dlatego
moina rozpatrywaé cal(! grup sil jako jednij uogôlnion(! sil .
W poprzednio roztrz sanych przykladach juzesmy si poslugiwali uogôlnionemi silami i wy-
Taialismy energj potencjaln(! ciala jako funkcj tych silo Np. przy rozci(!ganiu pr ta mieli my do
czynienia nie z jedn(! sil , lecz z dwiema silami rozci(!gaj(!cemi rôwnemi i wprost przeciwnemi.
Przy skr caniu i czystem zginaniu mielismy po dwie pary sil, rôwnowaz(!ce si nawzajem. T
grup sU okresla wielkosé momentu pary M, a energj odksztatcenia przedstawilismy w postaci
funkcji uogôlnionej sily M. Przy obiorze uogôlnionych spô)rz dnych i uogôlnionych sil trzeba mieé
na oku pewn(! okreslon(! odpowiedniosé mi d.zy temi wielkosciami. Spôlrz dna moie mieé wymiar
dlugosci, wymiar oderwanej liczby, pola i l p. Otôi kazdemu typowi spôlrz dnej odpowiada okre-
810ny typ uog61nionej sily. Jak naleiy pojmowaé t odpowiedniosé, najlepiej objasnié na przykla-
dach. Przy rozpatrywaniu prostego rozci(!gania rzyj to za uog6lnion(! sp6Irz dn(! wydluienie pr ta À.
Uog6lniona sHa przedstawiala si jako dwie r6wnowazijce si nawzajem sily P. Jei:eli sp6lrz dnej À
udzielimy nieskoticzenie malego przyrostu ô À, to sily zewn trzne wykonuj(! przytem prac P ô À,
rÔWDé! iIoczynowi uogôlnionej sily przez przyrost sp6Irz dnej. Przy skr ceniu i czystem zgi ciu
mielismy sp6lrz dn(! cp i uog6lnionij sH M. Praca sH zewn trznych, wykonana podczas zmiany
sp6lrz dnej 0 wielkosci ô cp b dzie M ô cp, t. j. znowu przedstawia si iloczynem sily przez przyrost
sp6lrz dnej. T em tei: okresla si wzmiankowana powyiej odpowiedniosé mi dzy uogôlnionemi sp61-
rz dnemi i uogôlnionemi sHami. Obrawszy raz pewien uklad sp61rz dnych, musimy uogôlnione
si!y obraé tak, aby iloczyny si! zewn trznych przez przyrosty sp6lrz dnych dawaly prac sil
zewn trznych. Przytoczymy jeszcze par przyklad6w:
Belka w obu koncach podparta i zginana sH(! skupion(! P (rys. 275). Grup zro-
zon(! z sily P i odpowiadaj(!cych reakcyj przyjmiemy za uog61nionij sHç. Praca tych si! przy 00-
ksztalceniu belki jest zupeJ:nie okreslona zmian wielkosci ugi cia f,
wobec czego nalezy w danym przypadku przyj(!é to ugi cie za uo-
gôlnion(! sp6lrz dn(!.
Rozpatrzymy teraz zgi cie belki obciijzeniem r6w-
no ID i e r nie r 0 z 1 0 z 0 n e m (rys. 276). Opr6cz danego obci(!zenia
b (! na belk dzialaé nadto reakcje podpôr. Cala ta grupa sil jest
okreslona natçzeniem obci(!zenia q, to tez przyjmiemy t wielkoSé
za uog6lnion(! sil . Jak(!Z wielkosé wypadnie w takim przypadku
przyj(!é za uog61nion(! sp6Irzçdn(!? l\by na to pytanie odpowiedzieé, znajdziemy wyrazenie dia
pracy sil zewnçtrznych przy OOchyleniu belki od poiozenia r6wnowagi. Jezeli przez y oznaczymy
ugi cie belki w dowolnym przekroju, a przez ô y nieskonczenie mal(! zmian tego ugi cia, to
praca obci(!zenia na dJugosd dx b dzie rôwna q dx ôy. Praca calego obcii!zenia wyrazi si przez
d.r flqdx.ôy=q\ldXôy. (a)
)0 )0
Ze wzgl du na to, ze \ 1 Y d x jest niczem innem, jak polem F,
J
zawarlem mi dzy pierwotnij osi(! belki a Jinji! ugi cia. mozna wy-
raZenie (a) przedstawié w postaci qôF. Jako uog6lnionij sp6lrz
dn(!, zgodnie z wypowiedzianem okresleniem, nalezy przeto przyji!é wielkosé F.
Wezmiemy jeszcze przyklad, w kt6rym zmian postaci pr ta okresla kilka sp61rzçdnych,
a mianowicie belk zgina-nij sHi! P, oraz parami sB Ml i M 2 , dzialahcemi na jej
ko nc e (rys. 277). Tutaj rozrôzniamy trzy niezalezne od siebie grupy sit. Jedna z tych grup
sklada si z sily P i wywolanych ni(! reakcyj podporowych.
Dwie inne grupy s(! utworzone z par Ml i M 2 wraz z odpowia-
dajijcemi im reakcjami poc1p6r. Te grupy sil przyjmiemy za uog61-
nione sily i okreslimy je wielkosciami P, Mt i M 2' fueby zna-
lezé odpowiadaj(!ce uog6lnione spôlrzçdne, rozpatrzymy prac sil
zewn trznych przy bardzo malem odchyleniu belki od poiozenia
rôwnowagi. Pary sB: Ml i M2, wykonuj(! pracç tylko wtedy, gdy zmieniaji! siç kijty obrotu koncôw
t i 2' Sila P zas pracuje przy zmianie ugi cia f w obcii!zonym przekroju. Oznaczmy przez
Ô l' Ô 2 i ô 1 przyrosty t, 2. i f przy odchyleniu belki od polozenia rownowagi, a prac sil
zewn trznych odpowiadaji!c(! temu odchyleniu przedstawi wyrazenie:
Rys. 16
t9t
.Jrt2' =:l Pr
rf-. f +
/"t - --
--.-___ f ___------- ...
- r - .
, ----I---
Ry... 27S
Rys. m
Mt . Ô l + M 2 Ô 2 + Pôf.
Wielkosci 1' 2 i 1 b d(! przeto uogôlnionemi spôlrz dnemi w danym przypadku.
111. OG6LNE WYR1\ZENIE ENERGJI POTENCJ1\LNEJ CIl\L SPR ZYSTYCH
W rozpatrywanych przez nas przykladach (ob. 108) motna" byio energj potencjaln(! przed-
stawié albo jako funkcj sil zewn trznych albo jako funkcj sp6frzçdnych. W ohu przypadkach
wypadala funkcja kwadratowa jednorodna. Przechodzijc od szczegôlowych przyklad6w do przypadku
ogôlnego, wyjasnimy przedewszystkiem, w jakich warunkach energja odksztalcenia wyrazi si
funkcj(! kwadratow(! jednorodné!- W tym celu uzyjemy zasady prac przygotowanych (" wyobraZal-
nych"). Wydzielmy z ukladu spr zystego jeden punkt materjalny. Oprôcz sil zewn trznych b (!
nan dzialaé wewn trzne sily spr zystosci, zast puj(!ce dzialanie reszty ukladu na wydzielony punkl
DIa r6wnowagi tego punktu musi praca sil zewn trznych i wewnçtrznych naiÎ dzialaj(!cych, przy
192
kaZdem mozIiwem przesuni ciu, rôwnaé si zeru. Gdy przez ô T oznaczymy prac sit zewn trznych,
a przez Ô / prac sB wewn trznych, to wymieniony warunek napiszemy w postaci:
ôT+ô]=O.
. (188)
Podobne wyrazenie mozna napisaé dIa kazdego punktu ukladu. Sumujqc te r6wnania dIa wszyst-
kich punkt6w ukladu znajdziemy:
ôT+ ôJ=O
. (189)
Pierwszy wyraz przedstawia prac przygotowanq si! zewn trznych, a drugi takqz prac si! wewn -
trznych. Ze wzgI du na to, ze praca si! wewn trznych jest co do wielkosci rôwna, a co do zna\u
przeciwna zmianie energji potencjalnej ukladu ô V, mozemy podstawowe r6wnanie r6wnowagi napisaé
w postaci:
ôT-ôV=O.
. (190)
Tutaj oznacza ô V "przygotowanq" zmian energji potencjalnej, t. j. zmian wywolanq mozIiwemi
przesuni ciami wszystkich punkt6w uldadu. Wyrazenie dIa pracy sH zewn trznych mozna przed-
stawié w innej postaci poslugujqc si poj ciem uog61nionych sil, kt6re b dziemy oznaczaé wiel-
kiemi literami <1:>, 'l'", e,... Odpowiadajqce im sp6lrz dne oznaczymy malemi literami cp, t, 3,...
Wtedy pracq przygotowanq sil zewn trznych b dzie
1> ô '4> + Wihlr+0ô-3+ ...,
przyczem ô cp, ô t. ô 3, . .. Sq przygotowanemi zmianami uog61nionych sp6lrz dnych. Podstawowe
r6wnanie (190) przybierze teraz form :
<1:>ôcp+w ô t+eô-3+...=ôV .
. (a)
Energja potencjalna V jest funkcjq sp61rz dnych cp, t, >'1-,...; jej zmiana ô V da si zatem przed-
stawié wyra.zeniem:
aV ôV ôV
ôV= ôcp 8cp+ ôt ôt+ ô-3 8 -3+...
Wstawiwszy t wartosé w r6w. (a) znajdziemy po przeniesieniu wszystkich wyraz6w na lewq stron
( <1:> - Ôô ) 8 cp + (w - : ) ô t + ( e - : r ) 8 -3 + . . . = 0 _
. (b)
Uog6lnione sp6lrz dne l'p, t, 3,... Sq zmiennemi niezaleznemi, a ich przyrosty 8 cp, ô t, ô iJ, . . .
Sq r6wniez zupelnie niezalezne. fueby przy tych warunkach uczynié zawsze zadosé r6wnaniu (b),
musimy przyjqé, ze sp6lczynniki przyrost6w spôlrz dnych ô cp, ô r,... Sq r6wne zeru, a zatem:
D\t DV ôV
'd"q) = <1:>, ô t = w, ô -3 = e, . . .
. (191)
czyIi slowami:
Sily zewn trzne s q pochodnem i en ergj i p oten cj aIne j wzgI d em 0 d p 0 wiada-
jqcych sp6lrz dnycb.
Przy wywodzie powyzszego twierdzenia poslugiwaIismy si najog6Iniejszq zasad q statyki,
a mianowicie zasad q prac przygotowanych; otrzymany wynik jest przeto wazny dIa wszelkich
uldadôw, w ktôrych sily wewn trzne majq potencjal. Przejdziemy teraz do cial spr zystych, pod-
legajqcych prawu Hooke'a. Rozpatrywanie elementarnych przypadk6w odksztalcenia wykazalo, ze
dIa tych cial Sq zmiany postaci proporcjonalne wzgl dem sil zewn trznych, ze zatem sp6lrz dne
Sq linjowemi funkcjami si! zewn trznych. T ak si ma rZecz i w najog6lniejszym przypadku od-
ksztalcenia, jezeli tylko postaé dala i rozmieszczenie sil jest tego rodzaju, ze odksztaken a, wywo-
lane kt6rymkolwiek ukladem sil, wybranym z posrôd danych, nie wprowadzajq zmian w dzialaniu
innych sil, t. z., kiedy zachodzi zasada niezaleznoscÏ dzialania silo W takim przypadku skladajq
193
si dzialania poszczegôtnych sit, a kazda spôlrz dna zatezy linjowo od sit. DIa uog61nionych sp61-
rz dnych otrzymamy wyrazenia:
'p = a 1 (Ji + bill,: + CI (-) + '" I l
'0/ =a 2 (Ji + b 2 q: +C 2 <:?+.u
. (Ji. +. b . : C. 3 :.: 1
Tutaj oznaczajq aH'" CI>'" wielkosci stale, zatezne od wtasnoscÏ uktadu spr iystego. Siale do-
dajniki nie wchodz q w wyrazenia (192), poniewaz naSze spôtrz dne mierzymy od naiuralnego
stanu ukladu (bez napr zeil), a zatem wartoscÏ q.>, "lj.r, ,l,... mUSZq si rôwnaé zem, skoro sily fli,
W, (-),... stajq si zerem. Rozwiqzujqc rôwnania (1 92) wzgl dem cI>, 11", G,... wyrazimy uog6lnione
sily przez sp61rz dne. Te wyrazenia b dq lin jowemi lunkcjami sp6trz dnych 0 postaci:
. ( 192)
cI> = JI 1 qJ + BI '0/ + CI iJ + ... }
W = 1I 2 qJ + B 2 '0/ + C 2 3 + '"
9 = JI:! qJ + Bs '0/ + Cs iJ + ...
...............
. (193)
Podstawiwszy te wartosci w rôwnania (191), znajdziemy, ze pochodne cZqsikowe energji potencjaI-
nej wzgI dem spôlrz dnych Sq linjowemi iunkcjami tychze sp61rz dnych, a poniewaZ te iunkcje nie
zawierajq stalych dodajnikôw, wi c energj potencjainq ukladu przedstawia jednorodna kwadratowa
funkcja sp61rz dnych. Wstawiajqc zas zamiast sp61rz dnych ich wyrazenia (l92), znajdziemyener-
gj potencjainq w postaci jednorodnej kwadratowej funkcji si! zewn trznych.
Jako przyklad weimiemy zgiçcie beiki w obu koilcach podpartej pod wplywem
par s il, d zia 1 a j q c y c h na tek 0 il ce. Za uogôInione spôlrzçdne przyjmiemy kqty obrotu prze-
kroj6w koilcowych 3 1 i 3 2 ; odpowiadajqcemi uogôInione01i si!ami b d wtedy moment y par Ml
i M 2 . Uklad r6wnail (192) przybierze w tym przypadku postaé ( 78):
-3 Mil M 2 1 M 2 1 Mil
1= 3El + 6El' -3 2 = 3E/ + 6EI
. (a)
Rozwiqzujqc te r6wnania wzgIçde01 uogôInionych sil, znajdziemy wyrazenia, odpowiadajqce ukta-
dowi (l93):
2Ef
Ml =--y- (2-3 1 -3 2 )
2Ef
M 2 =1 (23 2 -iJ 1 ).
Zwazywszy, ze wedlug (191) jest
; = Ml i a d = M 2 ,
th 1 V 2
otrzY01a01Y wyrazenie dIa energji potencjalnej w postaci nast pujqcej jednorodnej kwadratowej
funkcji sp61rzçdnych:
v = 2 7' 1 (-3 1 2 - -3 1 iJ 2 +. iJ l).
J ezeli zamiast sp61rz dnych wstawimy ich wyrazenia przez uogôlnione sily MI i M2' to otrzymamy:
V = 6 f (MI2 + M 1 M 2 + Ml).
Niekiedy obiera siç dIa uproszczenia uog6Inione sp6lrzçdne tak, aby w wyrazeniu dIa energji po-
tencjalnej znikaly wyrazy, zawierajqce iloczyny sp61rz dnych. Sp61rz dne, dogadzajqce iemu wa-
runkowi nazywajq si g 1 ô w ne 01 i aibo no r 01 a 1 n e 01 i. Grajq one waznq roI w teorji drgaii.
W dalszym ciqgu bçdziemy ich uzywaé przy badaniu zgi cia belek.
Kurs wylrzymalo ci m81erj816w
]3
194
t 12. PRZYP1\DRI WYJI\TROWE
Przy ustawieniu ogôlnego wyrazenia dIa energji odksztalcenia przyj lismy, ze cialo podiega
prawu Hooke'a i ze zachodzi zasada superpozycji. Jeze1i jednak uldad jest tego rodzaju, ze jego
odksztalcenie zmienia istotnie dzialanie sH zewn trznych, to zasada superpozycji nie zachodzi,
a energja nie da si wyrazié jednorodnq kwadratowq
funkcj sp6Irz dnych. Objasnimy to na przykladach.
Dwa pr ty pryzmatyczne 0 rôwnej dlugosci l, Iezqce
na jednej pros te j, Sé} polé}czone ze sobé} i ze stalemi scia-
na mi zapomocé} przegubôw JI, B, C (rys. 278). Na ten
uklad dziala jedyna sila P w punkcie B. Pod jej dziala-
niem pr ty si wydluzé}, a przegub B przejdzie w polo-
zenie B'. Odksztalcenie ukladu jest zupelnie okresione
przesuni ciem f punktu B. T wielkosé przyjmiemy za
uogôInioné} sp6Irz dnq; odpowiadajqcq uogôlnionq sH b dzie widocznie ci zar P wraz z reakcjami
w przegubach JI i C. Szukajmy wyrazenia dIa energji potencjainej odksztalconego ukladu. Jezeli
przez lt oznaczymy k t obrotu pr t6w, .wywolany ich odkszfalceniem, to dia wydluzenia pr f6w
znajdziemy wyrazenie:
-. /- -.-----..-. 1 -
4 B C
----- '"" f j -----..:..
T--___ f _-----
. -- t: --- 0-
--. .ft
p
Rys. 27tj
j.= -l.
cos a
Uwzgl dniajqc, ze ké}t a jest bardzo maly i zasf pujé!c cos u. w przyblizeniu przez
. é 2
naplsa : - [ Cf.
J. = 2'
Zamiast sin (l b dziemy w daIszym ciqgu pisaé n. Z warunku r6wnowagi w w zIe B' znajdziemy
jako wartosé sHy wewn frznej w pr tach S = ;: . Odpowiadajqcem wydluzeniem pr t6w b dzie:
P 1 Z 1 . b rt ;:.. t
2 ft E F . porownama 0 u wa O::oCl 1. 0 rzymamy :
a 2
t - 2' mozemy
3--
eL = :F '
a zafem sila wewn frzna
-
S= = V 3 P2EF
2a 2
Energja pofencjalna nagromadzona w ukladzie przy rozciqganiu pr t6w b dzie r6wna:
_ S2[ _ Pl£3(P-
V- EF -4 -EF
. (a)
Jak widaé, nie otrzymalismy kwadratowej funkcji sil zewn trznych, co fez bylo do przewidzenia,
poniewaz sp61rz dna
3 - -
{-la-Ia"{ P
- - 'V EF
. (194)
nie jest Jinjowq funkcjq sily P. Przy pomocy ostafniej formuly mozna energj potencjaInq ukladu
przedstawié wyrazeniem:
V = Pf
4 .
T en wynik ro:zni si od innych, otrzymanych w poprzednich przykladach. Dop6ki przesuni cia
byly proporcjonaJne wzgl dem sil, to energja potencjalna byla rôwnq polowie iJoczynu koncowej
wartosci sily przez odpowiadajqcq sp61rz dn . W danym przypadku r6wna si energja tylko éwierci
195
tego itoczynu. Znaczenie tego wyniku objasni najlepiej diagram, przedstawiajqcy zaleznosé P od (
(rys. 279). Jezeli przy pomocy wzoru (194) odmierzymy odpowiadajiice sobi wartosci f i P jako
odci te i rz dne punkt6w diagramu, to nie otrzymamy pros te j, jak to
bywaio pierwej, lecz pewnil krzywil OlL Pole zawarte mi dzy krzywq.
osi q odci tych i rz dnq koncowq, przedstawia prac sHy P podczas
odksztalcenia (przy zalozeniu, ze sila rosnie w spos6b ciqgly od zera
do koiicowej swej wartosci) i jest zarazem miarq energji potencjalnej,
nagromadzonej w uldadzie. T 0 pole jest mniejsze od pola tr6jk q ta
O.lf B, odpowiadajilcego linjowej zaleznosci mi dzy sil a przesuni -
ciem. Wstawiwszy za P wartosé obliczonq z r6w. (194), wyrazimy
energj potencjalnq jako funkcj f, a mianowicie:
op
,A
/
V= ; f4.
1
"
o
(/ / ..1
d//)
, iJ---l
,
,
,
Ry. 279
Tutaj wchodzi czwarta pot ga sp6lrz dnej ,. Przez rozniczkowanie znajdujemy:
.
.-Y. = E F ' s = p
a f i S .
Poslugujqc si tem og6lnem prawidlem, ze poc:wdna energji polencjalnej wzgl dem sp61rzçdnej
r6wna si odpowiadajqcej sile, mozna uproscié rozwié!zanie zadania. W tym celu wyrazamy wy-
dluzenie pr ta przez sp6lrz dnq f r6wnaniem
V - 1 ( 2
J. = l' + fi - 1 = 2: T '
przyczem uwzgl dniono, ze , jest male wobec 1, a wi c
V-ï'+f- = 1 ( 1 + {: )i = 1 ( 1 T t {: ).
Energja potencjalna ukladu
v= 'A'2.EF = EF f 4
1 41 s '
R6zniczkujqC to wyrazenie wzgl dem f, otrzymamy sil P jako funkcj f.
Jako drugi przyklad rozpatrzymy najprostszy przypadek jednoczesnego dzialania
z g i ci ais ci s k a nia (rys. 280). Belka w obu kOl1cach podp3rla jest obciqzona w srodku roz-
pi tosci silii prostopadl q P, a nadto sciskana silami
podluznemi S. W danym przypadku zasada superpo-
zycji nie moze mieé zastosowania. albowiem odksrlal-
cenie (ugi cie). wywolane sÏlii P, zmienia dzialanie sil
podluznych S, kt6re wywolujq nietylko sciskanie. lecz
majq takze wpijw na zgi ie belki. Nalezy tedy ocze-
kiwaé, ze energja potencjalna zgi tego pr ta nie b dzie
funkcjq jednorodnq kwadratowq. Jakoz r6wnanie r6znicz-
k6we r6wnowagi przybiera w danym przypadku postaé:
Ely" = - x-Sy.
___L
.,£ ,- 2;
1y.r --'
1
. --/..-- -.-. - -
Ip 2
r -X
H:ya. 28ù
Jego og6lnq calk q jest. jak latwo si przekonaé przez podstawienie:
JI . B Px
y= smax+ COSo.x- 2S '
przyczem
a= V il '
13"
196
zas A i B s dow01nemi stalemi calkowania. Warunki kraiicowe dia wyznaczenia tych stalych Sq
nast puj ce :
1
Dia x=O ma byé y=O, zas dIa x=2 ma byé y' =0.
Pierwszy warunek da nam B= 0, a z drugiego znajdujemy:
P
A = -- - ------aï'
2aS cos2'
Ostatecznie napiszemy r6wnanie linji ugi cia lewej polowy belki w postaci:
P . Px
y al slDux - 2S .
2 aS cos 2
Podstawiwszy tutaj x = , znajdziemy strzalk ugi cia:
f - ( t g al _ al )
- 2aS 2 2'
. (c)
T en wynik da siç przedstawié w dogodniejszej lormie, jezeli zastqpimy S warto ci ai El. Po
latwych przeksztakeniaeh otrzymujemy:
al al
PLI tg2-2
1= 48£1 ( I ):I =fo/l
. (195)
Tutaj oznaczono przez fo ugi cie, otrzymane przy dzialaniu samej sily prostopadlej P. Spôlczyn-
nik p. zalezy od rozmiar6w belki i od wielkosci sily podluznej 1), zas ugi cie f zalezy linjowo od
sily P. Zaleznosé od sily podluznej jest bardziej zlozona. Ustawmy teraz wyrazenie dia energji
zginania prçta. Wstawiwszy zamiast ugi cia y, znalezione powyzej wyrazenie (a), otrzymamy:
Pl ( 1- sin al )
V=EI : (y")idx= a: l (196)
16Scos 2 2
DoI czywszy do tego energj sciskania 2 S ; , znajdziemy c-alkowit energj odksztalconego pr ta.
Jak i w poprzednim przypadku nie przedstawia si wyrazenie energji jako jednorodna kwadratowa
funkcja sH zewn trznych.
Nakoniec wskazemy jeszcze na zagadnienie sciskania kul i walcôw Œ 37). Tutaj
wielkosé splaszczenia nie jest proporcjonalnq wzgl dem nacisku, wobec czego energja potencjalna
r6wniez nie bçdzie si wyrazaé lunkcjq jednorodn kwadratowq.
Wszystkie powyzsze przypadki s jednakze wyj tkami z reguly; zagadnienia jednoczesnego
dzialania zginania i rozci gania, albo zginania ze sciskaniem, stanowi q [obok przypadku sciskania
kul i waIc6w] niemal ze jedyne przyldady praktycznego znaczenia, w kt6rych nie zacnodzi zasada
superpozycji. Z tego powodu dalsze twierdzenia, przy wywodzie kt6rych przyjmiemy, ze energja
potencjalna jest jednorodnq kwadratowq lunkejq spôlrz dnych, znajduj(! w rozlicznych dzialach
nauki 0 wytrzymalosci jak najszersze zastosowanie.
113. TWIERDZENIE Cl\STIGLI1\NO'1\
Powyzej dowiedIismy, ze poehodna energji potencjalnej wzgl dem jakiejkolwiek sp6lrzçdnej
rôwna siç odpowiadaj cej sile (wz. 191). Twierdzenie Castigliano'a wyraza nawzajem, ze pochodna
1) Oka.temy p6ioiej (rozdz. XV), ze dia prçt6w 0 wyrniarach poprzeczoych niezbyt malych w por6wnaniu z dlugo-
ci'l zbliza si sp6tczynnik }.l do jednostki. W takim razie mozna pominqé wplyw sHy podlu:inej na ugi cie i poslugiwaé
si , jak to czynili y po;>rzednio, zasad;; superpozycji.
197
energji potencjalnej wzgl dem jakiejkolwiek sily jest rowna odpowiadaj cej sp6trz dnej. DIa zasto
sowania twierdzenia Castigliano'a trzeba energj potencjaln przedstawié jako funkcj niezaleznych
sil zewn trznych, a lunkcja ta powinna byé kwadratow jednorodn(!. Twierdzenie Castigliano'a latwo
sprawdzié na szczeg61nych przypadkach rozpatrywanych poprzednio; dow6d og6lny przeprowadzimy
w nast puj cy spos6b:
Iheby utworzyé pochodn energji potencjalnej wzgl dem dowolnej uog61nionej sHy, np. (1),
trzeba tej sile udzielié bardzo malego przyrostu Ô (fi i znalezé odpowiadaj cy przyrost energji po
tencjalnej ô V. Wiemy, ze przy waznoSci prawa Hooke'a i zasady superpozycji przedstawia si
kazda ze sp6lrz dnych q>, 'Ir, .'1, ... jako linjowa funkcja uog61nionych sît 11, lf, H, ... (wz. 192)
i jezeli sile rp udzielimy przyrostu 6(1), to odpowiadajqcemi przyrostami sp6lrz dnych b d :
ô oq> B«1> ',1, d'Ir '«1> '{t ô - m ( )
CP= ij(1) , 0'1'= 8m o . b = ni]) ù!V . . a
Przy tej zmianie sp6lrz dnych wykonuj sily zewn trzne ukladu pracç elementarn il T, kt6ra si
zamienia na odpowiedni przyrost energji potencjalnej Ô V. Z poj cia uog6lnionych sH i sp6lrz dnych
wynika nast pujqce wyrazenie dIa pracy si! zewn trznych na przesuni ciach Bep, o , oit, ...:
ôT=(.(lJ tô«1»ôq>+WÔt+(13-.'J-+... ..
Przyr6wnawszy to wyrazenie do przyrostu energji potencjalnej i opusciwszy dodajnik 0«1>. orr, jako
nieskoi'iczenie maly wyzszego rzçdu, otrzymamy po podstawieniu warlosci (a):
Ô V -<I' dcp ô<l! lL" (j'Ir 'cI' e ô-.'J- _ '«1>
- (/(1) -j- orpù + 8(1)Ù t'...,
a stqd
ôV . ( ôV ) O'p . d'Ir fJ{;-
i}œ =hm ôi]) = cP i}œ + 1l a + e 8(1) +... . (b)
d\1
RIe pochodna cz stkowa '8 i]) da siç obliczyé jeszcze w drugi spos6b, a mianowicie przez r6znicz
kowanie r6wnania:
2V= w.p+llfjr+tH+...,
wyrazaj cego twierdzenie Clapeyron'a, ze energja potencjalna ukladu r6wna si polowie sumy ilo
q;yn6w si! przez odpowiadajqce im sp6lrzçdne ( 108). Mamy tedy:
8V 8q>. i}'Ir a
2 i}(l) =q>+<P a (1) ,-q: di]) +(1 iltP t... . (c)
Przy tem r6zniczkowaniu uwzgI dnilismy, ze <II, Ir, e, u. Sq wielkosciami niezaleznemi, sp6lrzçdne
zas q>, 'Ir, ..'t, ... Sq wog6le zalezne od wszystkich sil. Z odjçcia od siebie r6wnai'i (b) i (c) wynika
wz6r: 8V
i}(1) =cP . (197)
kt6ry wyraza twierdzenie CastigIiano'a, ze po chodna en ergji potencj al ne j ukl adu wz gl ç-.
de m j ak i ejkol wi ek s ily r6 wn a s i od po wiadaj é!ce j s p6lrzçdn ej.
Twierdzenie Castigliano'a dostarcza nader wygodnego sposobu do wyznaczenia przesuni é;
trzeba jednak pami taé, aby energjç potencjalnq przedstawié w postaci lunkcyj niezaleznych sil,
a funkcja ta powinna byé kwadratowq jednorodnq. W tych przypadkach, kiedy nie zachodzi zasada
superpozycji, moze poslugiwanie si twierdzeniem Castigliano'a prowadzié do blçdnych wynik6w,
o czem latwo si przekonaé, stosujqC twierdzenie dIa rozpatrywanych powyzej przypadk6w wyjqt
kowych ( 112).
Rorzysci z zastosowania twierdzenia CastigIiano'a wykazemy najlepiej na przykladach.
Jako pierwszy przyklad wezmiemy sprçzyn srubowq, rozciqganq silami P (rys.88)1).
Energjq potencjalnq uldadu jest (wz. 52):
V- M2[ _ PRB.21CRn
-2Gl p - 2Gl p .
1) Kwestjç odksztalcen r6znego rodzaju sprçzyn traktuje szczeg610wo ksiqzka fi. CastigIiano'a: ..Theorie der
Biegungs- und Torsions-Federn".
198
Spôlrz dnq, odpowiadajqG! uogôInionej sile P b dzie szukane wydluzenie spr zyny i_. Na podstawie
twierdzenia Castigliano' a otrzymamy:
À _ a V _ P RI) 2 3f. n
- a P - G I p ,
co zgadza si z wynikiem otrzymanym pierwej innq drogq (wz. 55).
Znajdziemy teraz u g i ci e bel k i j e d n y m k 0 ii c e mut w i e r d z 0 n e j i 0 b ci q z 0 n e j n a
drugim sHi! P. Energj potencjalnq wyrazimy jako funkcj sily P, wtedy odpowiednii! spôlrzçdnél
b dzie widocznie ugi cie koiica belki ,. Pomijajqc wplyw napr zeii scinajqcy"ch, mamy:
(1 M2dx av 1 ri aM PIs
V= )0 -2EI ' M=Px, f= ap = El o M ôp dx= 3E!
Rozpatrzymy dalej zgi cie tejze belki parél sB 0 momencie Mo, dzialajqcq na swobodny
koniec (rys. 281). Energj potencjalnél wyrazamy jako funkcj MI,' Odpowiadajqcq tej uogôlrtionej
sile spôlrz dnq b dzie kqt obrotu koi'ica belki cp. Wedlug twierdzenia Castig1iano'a znajdziemy:
a V a (1 Mo2dx a ( M SI ) M 1
'P= aM o = aM,, )o 2EI - aM o 2Ë- 1 = Et
Niekiedy trzeba znaleié wielkosé takich przesuni é, dia ktôrych niema odpowiadajqcych sH
zewn trznych; wtedy wypadnie wprowadzié obciqzenia fikcyjne (pomocnicze). Dajmy na to, ze
w ostatnim przykladzie interesuje nas nie kqt cP, lecz pionowe ugi cie koi'ica belki (poziomej).
Wprowadzamy tedy fikcyjnq sil pionowq P, dzialajqcq na koniec belki. Przesuni ciem odpowiada-
jqcem wprowadzonej sile b dzie szukane ugi cie f. Na podsta-
wie twierdzenia CastigIiano a:
av a ri M 2 dx
f= ap = ap )0 2EI"
1
__---.-----:;C1
.--- )
T utaj
aM
Rys.281 M=Mo+Px ap =x
(jezeli sH pionowi! skierujemy do gôry, aby otrzymaé ugiçcie ze znakiem dodatnim), a zatem:
1 (1 aM 1 C M f2 PIs
r= Et )0 M ôp dx = El Jo (Mo+Px)xdx= 2EI +- 3EI"
Poniewaz sity P w rzeczywistoscï' niema, wi c w otrzymanym wyniku trzeba podstawié P=O;
szukanem ugi ciem koiica belki pod wplywem pary sil, nad dzialajqcej, bçdzie przeto:
M [i
f - 0
- 2EI"
Ir
Przypusémy teraz, ze w tym samym przypadku zginania belki parq sil, chcemy zn ale z é
kqt obrotu jakiegokolwiek przekroju posredniego, np. przekroju mn w polowie rozpiç-
tosci (rys. 282). Wtedy umiescimy w tym przekroju fikcyjnq par sil Ml' Odpowiadajqcq tej parze
sp6lrzçdnq bçdzie szukany kqt CPt" Energja potencjalna w da-
nym przypadku: r-*
;/-0
A
Mo ' (Mo+Mt)!
v= 2El + 2EI
,m
1/'1,
L_
'/1
t/ 0
. _ ôV (Mo+Mt)1
PI - aMI - 2El .
1
2
1
2
a zatem:
Rys. 282
Zwazywszy, ze w rzeczywistosci mema pary sil Mu podstawiamy w otrzymanym wyniku Mt =0,
a wtedy:
Mol
CPt = 2EI '
199
Nakoniec rozpatrzymy uklad dwu pr t6w JI B i Be (rys. 283) 0 rôwnej dlugosci i jednako-
wym przekroju poprzecznym, polqczonych przegubami ze sob i ze stal scian . p[zy pomocy
twierdzenia Castigliano'a znajdziemy przesuni cie przegubu R pod wplywem sily pio-
no w e j P. Dzi ki przegubom b d pr ty narazone tylko na rozci ganie i sciskanie.
Przy obranych k tach nachylenia b dzie tak sUa rozciqgajqca pr t JI B, jak 1 sUa & A
sciskajqca pr t BC, rôwna.P, a zatem:
Pil
V=2 2EF '
zas przesuni cie pionowe przegubu B:
f= ôV _ 2Pl
ôp - EF'
r:
p
ys 283
-A
z
Dia otrzymania poziomej skladowej przesuni cia punktu B wypadniQ wprowadzié
fikcyjnq sil poziomq Q (rys. 284). Sily wewn trzne w pr tach przy jednocze-
snem dzialaniu sil P i Q b dq:
Q Q .
P+ JI 3 dIa pr ta JI B, zas - P+ y 3 dia p ta B C.
Q ) Q .,
p ( P+-- ) -, ( P-- ) -l
Y3 Y3
Ry.284 V= -2EF + -2EF '
a zatem poziome przesuni cie h punktu B przedstawi si wyrazeniem:
c
h= = (P+ )l _r -vt)l = 2QI
ô Q Y3 . E F t'3. E F 3 E F .
Poniewaz w rzeczywistosci niema sily Q, wi c w powyzszym wyniku trzeba podstawié Q=O,
wobec czego h=O.
Gdyby zachodzila potrzeba wyznaczenia kqta obrotu jakiegokolwiek pr ta, np. pr ta fI B,
(wskutek dzialania sily P), to nalezaloby wprowadzié fikcyjn uog61nionq sH , kt6rej jako sp61rz -
dna odpowiada szukany kqt obrotu pr ta JI B. T akij uog6lnionq sil b dzie widocznie para 0 mo-
mencie M (rys. 285). Sily tej pary 0 wielkosci niech b d prostopadle do osi pr ta. Wtedy
ich praca przy jego wydluzeniu jest rôwna zeru. Przy obrocie pr ta 0 k(!t l' wykonujq te sily
prac M q>. I\zeby znalezé wyrazenie dia energji potencjalnej ukladu, przy ]ednoczesnem dzialaniu
sily P i pary M, trzeba wyznaczyé sily wewn trzne (napi cia) w pr tach AB i B C.
Napi cie rozciqgajqce w pr cie JI B b dzie:
M .M
P -, tg 30° = p- IY3 '
a napi cie sciskajqce w pr cie Be r6wna si :
p M _ p_ 2M
1 cos 30° - rV3 .
Po obliczeniu V znajdziemy, stosuj c twierdzenie Castigliano'a, kqt
Rys. 285
( M )
P--I
ôV IV3
q>= ôM =-iv3. EF
2 ( P- 2M ) ,
IY3
rV3 . EF
3PI 5MI
--1Y3 .EF+ 31 t EF
PodstawiajQc tutaj M=O, ze wzgl du na to, ze w warunkach naszego zadania me byio pary sil,
otrzymamy: P J '3
cp---
- EF'
200
Znak - otrzymalismy dlatego, bo poo wplywem sily P obraca s] pr t JI B w kierunku prze-
ciwnym dzialaniu pary M.
DIa uproszczenia rachunk6w wzi lismy uklad zlozony tylko z dwu pr t6w, ale twierdzenie
Castigliano'a da si z powodzeniem zastosowaé do uklad6w 0 wi kszej liczbie pr tôw. Przy jego
pomocy mozna znaIeié nietyIko przesuni cia wçzl6w, lecz taUe kqty obrotu poszczeg6Inych prç-
t6w i zmiany k q t6w miçdzy prçtami.
9 114. Z1\S1\D1\ N1\JMNIEJSZEJ PR1\CY
Zasada najmniejszej pracy daje og61nq i bardzo wygodnq metod obliczenia wielkosci staty-
cLnie niewyznaczaInych. Mozna jq otrzymaé jako bezposredni wniosek z twierdzenia Castigliano'a 1).
Jezeli energjç potencjalnq odksztalconego ukladu przedstawimy jako funkcjç sil, to posr6d tych sU
bçdq tak dane obciqzenia, jak i szukane wielkosci statycznie niewyznaczalne. Dia wiçkszej jasnosci
rozpatrzymy najpierw osobno zastosowanie zasady najmniejszej pracy do wyznaczenia zbytecznych
reakcyj podporowych, a nast pnie zastosujemy jq do znalezienia niewiadomych sil wewn trznych
ukladu. Zbyteczne reakcje podporowe powstajq wskutek zb dnych ustalen. Usunqwszy te ustalenia
i zastçpiwszy ich dzialanie na uklad nieznanemi na razie silami X, Y, Z, ..., dochodzimy do
ukladu statycznie wyznaczalnego, na kt6ry opr6cz sil danych dzialajq nieznane sily X, Y, Z, ...
Energj potencjalnq ukiadu mozemy przedstawié w postaci funkcji danych obciqzeti i wielkosci sta-
tycznie niewyznaczalnych X, Y, Z, ..., jako zmiennych niezaleznych, albowiem reszta reakcyj
jest z niemi zwiçzana og6Inemi warunkami r6wnowagi, a zatem da si wyrazié przez dane obci ç -
zenia i wielkosci X, Y, Z, ... W6wczas, wedlug twierdzenia Castigliano'a pochodne
éJV aVal'
aX ' a Y ' az ' ...
przedstawiaj skladowe przesuni cia odpowiadajqce sHom X, Y, z, ... (Przesuni cia i sily pojmu-
jemy tutaj w znaczeniu uog6Inionem). Podpory mogç byé nieruchome i ruchome. W pierwszym
przypadku niema wog61e przesuniçcia, w drugim zas jest skladowa przesuni cia, wziçta w kie-
runku reakcji, zerem, 0 ile wykluczymy tarcie. W obu zatem przypadkach otrzymamy:
8V a V a V
ax =0, a Y =0, aZ =0, ... . (198)
Mamy wiçc tyIe r6wnati warunkowych, ile jest wielkosci statycznie niewyznaczalnych. Ob li-
czenie wieIkosci statycznie niewyznaczalnych jest, Jak widaé, r6wnoznaczne z poszukiwaniem
takich wartosci dia X, Y, Z, ..., przy kt6rych energja potencjalna V staje siç maximum albo
minimum. Nie trudno dowiesé, ze w danym przypadku zachodzi min i m u m. Jakoz energja po-
tencjalna jest jednorodnq kwadratowq iunkcjç sil zewnçtrznych, ma przeto postaé:
V =JI 4>'1+ BW1!+C 8 2 +.JI'<;l> W + B' W 8 +...
Ta wielkosé jest zawsze dodatnia (dIa jakichkolwiek wartosci zmiennych 4>, W, " .), wskutek czego
sp6lczynniki JI, B, C, . . mUSZq byé takze dodatnie, dodatniemi b dq zatem i drugie pochodne V
wzgI dem sH, co, jak wiadomo, jest warunkiem minimum. Stqd otrzymujemy prawidio nastçpujqce:
Dia zn ale zi en i a w i el k 0 s ci s t a t y c z nie nie w y z n a c z a 1 n y ch, t r z e bai c h w a r-
toscÏ dobraé tak, aby energja potencjalna ukladu byla minimum.
Wyobrazmy sobie, ze wielkosci X, Y, Z, ... zmieniajq si , nie przestajqc, wraz z reszt q sil
zewnçtrznych, czynié zadosé og61nym warunkom r6wnowagi. Razdemu ukladowi wartosci X, Y, Z, ...
bç zie. o.dpo iadaé okreslona wartosé energji potencjaInej. 0!6z powyzsze prawo, zwane zasad q
naJmmeJszeJ pracy, powiada, ze w rzeczywistosci pojawi siç tylko taki uklad wartosci, X, Y, Z, ...,
kt6remu odpowiada najmniejsza wartosé energji potencjaInej.
! .ZasadI,J ajmniej zej pracy przedlozyl L. E. Menabrea akademji nauk w Turynie w r. 1857, a wiçc znacznie
wczegmeh mm pOJawlla Sl slynna praca fi. C astigliano'a: "Nuova teoria intorno aIl' equi.ibrio dei sistemi elastici"
zawierajqca do\\6d jego twierdzenia. '
201
Jako pierwszy przyklad zastosowania zasady najmniejszej pracy wezmIemy belk 0 stalym
przekroju, utwierdzon na jednym, a podpart na drugim koncu i obcié!zonq r6wnomiernie na
calej dlugosci ci zarem q kglm (rys. 286). Za wieikosé statycznie niewyznaczaIné! obierzemy
reakcj prawej podpory X. Pomin wszy wplyw sil scinaj cych, otrzymamy dIa V wyrazenie:
_ri M1dx _ qx" dM
V-)J 2EI ' przyczem M-Xx- 2 , a ax =x.
Wedlug zasady najmniejszej pracy b dzie:
ôV _ 1 ri 8 M _ 1 ( XIII q 1 4 ) 3
8 X - El o M ô X dx - El 3 - -8 = 0, a sté!d X = '8 q l.
T en wynik otrzymalismy poprzednio inn drog _ Jezeliby
obnizyla si 0 wielkosé &, to na podstawie twierdzenia Ca-
stigliano'a otrzymaIibysmy dIa wyznaczenia X rownanie:
pod wplywem obci,!zenia podpora B
( XIII _ ) =_ô
El 3 8 .
m
%% t- -.r -,
dJ7T -:-IT' : --CT1m1IJi''' .o B
:;z ..: - ,II , -. - ,
, A 1 "
} W -, .--- l ,n..__
,. ..
lA
Przesuni ciu ô da1ismy znak - dlatego, bo ono zachodzi
w kierunku przeciwnym dzialaniu sHy.
Zamiast reakcyjnej sHy mozemy jako zbytecznC! niewiadomé! uwazaé reakcyjn,! par Mo, za-
pobiegaj c,! obrotowi przekroju podporowego fi. Momentem zginaj,!cym w dowoinym przekroju m n
b dzie: ql qx 2 x 8M x
M=Tx-T+MoT' a 8Mo =+T'
Rys. 286
Przesuni cie odpowiadaj ce Mo (k t obrotu przekroju l:l) rowna si zeru, a zatem:
"av 1 {"I aM 1 ri ( ql qx" Mox ) dx
fiMo = El iJM 8Mo dx= El TX-T+-' xT=O'
Wykonawszy caikowanie dojdziemy do znanego wyniku
(wz. 109):
qlB
Mo=--.
8
Wezmy teraz jako drugi przyklad wyznacnnie reakcyj sta-
Iych podp6r .II i D wi zaru kratowego (rys. 287), obci'izonego
jedn'l sil'l pionow,! P. Dlugogci pr t6w i pola ich przekroj6w po-
przecznych zawiera nast pujê!ca tablica:
Rys. 287
Nr. 1 lem Fcm! 1 So 1 SIX 1 IS 1 50 1 IS 1 2
F F
1 1 1 1
1 ,
1 360,6 1 25 -1,803P 1 + 1,202X 1 -31,24P 2Q,82
1
1 1 1
1 1
2 316,2 1 ]5 +1,581P - 2,lOS X - 70,26 P 93,t8
1 1 -1 1
3 100,0 10 1 + I,OOOP -l,333X -13,34P 17,78
1 1 - -
4 1 360,6 25 -1,803P + 1,202 X -31,24P 1 20,82
1
1 1 1
5 1 316,2 15 + 1,581P 1 -2,108 X -70,26P 93,68
- - - 1
:£=-216,34P 1 246.,78
1
202
J zeliby jedna z podp6r. np. D byia ruchomil. to nakcje moznaby znalezé z wanmk6w r6wnowagi. Przy damm obci'lze-
niu byiyby te reakcje widocznie pionowe i kazda z nich r6wnataby si\1 . Majilc wielkoki tych reakcyj, znajdziemy iatwo
2
odpowiadajilce i/y wewnçtrzne Su w pr tach kratownicy. Widko ci Su podaje r6wnie:t tablica. Poniewaz jednak obie podpory
Si! stalt', wi c obok pionowych reakcyj powstanq takze reakcje poziome, zapobiegaj,!ce wzajemnemu oddaleniu si podp6r. Wa-
2
runki r6wl'lowagi nie wystarczai'l do wyznaczenia wielkogci X reakcyj poziomych; znajdziemy je wi c przy pomocy zasady naj-
mniejszfj pracy. W tym celu trzeba niewiadome sily X doiqczyé do danych sil zl:wn trznych, wyznaczyé odpowiadajqce
sily wewD trzne we wszystkich pr tach i ustawit wyra:tenie V dia energji potencjalnej ukladu. Warunek
ôV _ o
ôX-
. (a)
posluzy do znalezienia wielkogcï X. Si/y v.:ewn trzne w pr tach mozna wedlug zasady superpozycji przedstawié wyraie-
niem: 50 + 51 X. Tutaj oznacza SI te wartogei sil we.. n trzny(.h, jakieby pvwstaly w pr lach uMadu pod dzialaniem reakcyj
poziomych w prz} padku X =] (iednostka ily). Wyznaczenie \&artdci 51 nie prZedstawia :tadnych trudnogci. Calkowitq
energjq ukiadu b dzie
1 (50 +SIX)
V= 2EF
. tb)
przyczem sumowanie odnosi siç do wszyst ich prçl6w ukiadu. Dia obliczenia X marny przeto r6wnanie:
ISo 5;
F
IS 1 2
-r
ô V _ " 1 (Sa + S, X) 0 t d X
&X- EF "",asq--
. (c)
jezeli przyjmiemy t samq wartogé Edla wszystkich pr t6w. Wartogci wyraz6w ISF Sl
tablicy. Przy jej pomocy latwo znaleié
1 S 2. .
--;- zestawlOno w powyzszej
216
X = 247 p= D,88?
Dia uproszczenia rozwiqzania wzi\jligmy kratownicç, zlo:ton'l tylko z piçeiu pr 16w. Tok rachunku pozostaje jednak nie-
zmieniony w bardziej zloionych przypadkach.
Przejdziemy teraz do przypadku, w kt6rym wielkosciami st tycznie niewyznaczalnemi Si! sily
wewn trzne, np. napi cia w zb dnych pr tach ukladu. Zobaczymy, :ie zasada najmniejszej pracy za-
chowuje i tutaj SWq wa:inosé. Przyjmijmy na razie, :ie w danym ukladzie znajduje si tylko jeden
pr t zbçdny. Usunmy go, a jego dzialanie na reszt ukladu zasti!pmy dwiema r6wnemi i wprost
przeciwnemi silami X. Energja potencjalna V J reszty ukladu da siç wyrazié jako funkcja wielko-
sei X i danych obciijzeii. Sam prçt zbyteczny b dzie pod dzialaniem sil - X. Jego energjç poten-
cjaln oznaczymy przez V . Energjq calego uldadu bçdzie wi c .
\l = Vi + V 2 . (d)
StosujqC twierdzenie Castigliano'a do wydzielonego zbçdnego pr ta, otrzymamy jego wydluzenie d,
a mianowicie:
a V 2
ô(-X) = ô.
T ç sam wielkosé ô znajdziemy wedlug twierdzenia Castigliano'a jako pochodnq cZqstkowq energji
reszty ukladu, t: j.
ôV 1 =.«
ax v.
Ze wzgl du na rôwnosé (d) bçdzie zatem:
ô V _ Ô Vi a V 2 _ 0
ar-ar+ax- .
Jezelibysmy mieli do czynienia z wiçkszi! ilosei q zbçdnych prçt6w w ukladzie, to nazywa)qC na-
piçcia w nich przez X, Y, Z,... otrzymamy dia ich wyznaczenia rôwnania:
oV ôV av
8)(- = 0, &y- = 0, = 0,...
203
Weimy dia pnykladu belk kratow'!. przedsta1&ioI:'l na rp.. (288). kt6ra siIJ r6zni od rozpalrywanej poprzednio ohe-
cno ci'l gci gna JID i jednq podpOlq ruchom'l. Uklad ten jest zabm .zewn\Jtrznie" tatyc.lnie wyznaczalny. aie ,.we-
wnçtrznie" nie, gdyz zawiera 4 w zly i 6 prçt6w. a wi c 0 jeden pr t za wiele. (Liczba koniecznych prçt6w jest 2.4-3=5).
Jako zbyteczny pr t przyjmiemy najdogodniej JID i cznaczymy jego
napi eie przez X. Ustawmy wyrazenie dia energji potencjalnej ukladu.
Potencjaln'l energjq ci gna JI D 0 przekroju Fo i dlugogei L bçdzie
v: -,' l(So +S. X)' a zatem V= _ X'L_ + I(So+S.X1l
· - 2EF ' 2EFo 2EF'
p
t:r
Ai
'r------- JUl -----
-p
1
r-- yB
X L
V.=-_
2E F n
DIa uzyskania wyrazen:a Imergji poteDcjalnej VI reszty llkladll, trz,-ba
dzialanie gciçgna zastqpié dwiema ilëjmi X; 1Pi6w<.zas, posluguj'lc si
wyraieniem (b) w zadaniu poprzednio traktowanem, otrzymamy:
3m
Hys.. 288
DIa wyznaczenia niewiadomego napi\Jcia X w ci gnie znajdziemy teraz r6wnanie:
Sos, 1
&Y XLI (So + S. X) F
&X= EFo + - EF =O,aslqd X=--r--isl
Fo +:S-r
Sumowanie odnosi silj tutaj do wszystkich niezb\Jdnych pr t6w ukladu. Jeieli powi kszamy pole Fe przekroju gciçgna, to
jego wydluzenie b dzie llbywaé; w granicy dia Fo = x przechodzi lozwi'lzanie (e) w wynik (c) otrzymany dia pn:ypadku
doskonalego ustalenia obu podp6r. Przy zmniejszaniu Fe az do zera d,!zy i 'Io\arto t napi cia X do zera, a belka kratowa
zbliza siç swojemi wlasno ciami do' belki statycznie wyznaczalnej 0 jednej stalej, a drugiej ruchomEj podporze.
WEimy teraz wymiary niezbljdnych pr 16w z poprzedniego przykladu (pOl". str. 201), a pole przekrrjll gci\Jgna pnyj-
mijmy 1"6wne 50 cm 2 . Wtedy
. (e)
X= 2]6P. =0836 P.
12 + 247 '
Jezeliby y przyj li pole pr nkroju ci gna 10 razy mniejsze, t. j. 5 cm 2 , toby wypadlo
X= 216P =059P.
120 + 247 '
Przy zupelnej niuuchomo ci w z16w JI i D otrzymali my poprzednio
X = 0,88 P.
W roztrzqgniçlym przykladzie znajdowal si tylko jeden pr t zb dny; atoli przy dowolnej Iiczbie zb dDy(h prçt6w
pozostaje tok rachunku niezmieniony. PI" ty zbyt,-czne zast pujemy silami nWD trzneIri X, Y, Z,... i znajdujemy napiçcia
w pozostalych prljtach w postaci
So +S.X + s. y + Z+...
W yrazeniem dia energji potencjalnej ukladu b dzie tedy:
V= XIII + Pli + 211 3 +...+:s (So+S.X+Sly+...) l .
2EF, 2EF, 2EF3 2EF
() V & V a \. . d . d . tyl 6 - . . . . · . . d ch
_. _. _ , . .. 1 przyr6wnawszy le 0 zera, znal zlemy e r wnan, 1 e les. meWla omy
() X () Y oZ sil wewn trznych, Te r6wnania Si! Iinjowe wzglçdem niewiadomych i okn-
glai'l je jednoznacznie.
Utworzywszy pochodne
Il:' Il! pl 1 1 i C
B
irll51
B
. 1 l .
- -- -..
1
Dotychczas przyjmowalismy, ze wielkosciij wewn trznie
statycznie niewyznaczalnij jest sila wewn trzna w zb dnym
pr cie. Dzialanie zb dnego pr ta na reszt ukiadu zast po-
walismy uog61nionij sHé! X, zlozonQ z dwu sil r6wnych
i wprost przeciwnych. Nasze rozumowanie i podstawowe
r6wnania (198) pozostajé! jednak wazne i w6wczas, kiedy
wielkosé statycznie niewyznaczalnQ X b dzie przedsta
Wlac jakakolwiek inna kombinacja sil, np. ukiad dwu znoszQcych si nawzajem par sH. Objasnimy
to na przykladzie belki dwuprzçslowej fI B C (rys. 289), obcii!Zonej r6wnomiernie ci :iarem q kg/m.
Rys. 289
204
Za wielkosé statycznie niewyznaczaln obierzemy, nie jak dawniej, reakcj srodkowej podpory,
lecz odpowiadaj cy moment podporowy MG' Podzielmy belk przekrojem B na dwie czçsci. Razda
z nich przedstawia belk w obu koticach podparti1, a wi c przypadek statycznie wyznaczalny. Lew
polow belki zgina opr6cz r6wnomiernego obciqzenia para sH Mo, obrana za zbytecznq niewia-
dornq, praWq zas polowç zgina obci zenie r6wnomierne i para sH -Mo. Niechaj VI i V 2 oznacza
odpowiednio energjç potencjalnq lewej i prawej polowy belki. Wtedy na podstawie twierdzenia
Castigliano' a :
â V t â V?
ôMo = -1' 8(-MJ = cp,
przyczem cr jest kqtem obrotu przekroju B. 1\ zatem:
= aV I + dV.! =0
ôMo ôMo ôMo
. (f)
Podobniez:
wyznaczenia niewiadomej Mo. Pomijajqc pracç naprçzei'i scinajq-
_ r h Midx
VI - )0 2E1'
M =..!l!:.L x + Mox _ qx 1 1 ) aM = +
2 11 2' 8 Mo 1
â VI = J.J'" M dx = ( q III + Mo 11 _ q , 1 8 )
ôMo EI)o 11 El 6 3 8'
ôV 2 = ( ql".!8 + Mol2 _ q1 2 3 )
a Mo El 6 3 8'
Otrzymane r6wnanie posluzy do
jqcyc mamy:
przyczem
a zatern:
Podstawiajqc to w r6w. (f), znajdziemy:
M o (l1 +1 2 )=- q(lIS + 1 2 3 ).
T 0 r6wnanie mozna bylo takze napisaé odrazu, stosujqC twierdzenie 0 trzech momentacn.
Jako drugi przyklad rozpatrzymy zgi\jcie ramy prostokéj,tnej ACDB (rys. 290),
wspartej na dwu stalych prz gubach fi i B. Pod dzialaniem obciqtenia, rozlozonego
r6wnomiernie, b dzie pr t CD zginaé si tak, jak belka z koncami spr\jzy cie utwier-
dzonemi. Za wielkogé statycznie niewyznaczalnq obierzemy wartogé Mo momentu
zginajqcego w przekrojach CiD. Wtedy momentem zginajqcym w jakimkolwiek
przekroju pr ta CD, odleglym 0 x od C b dzie:
h
qb qx 2 ôM i
MI = -x--- -!- Mo, za -- = + 1.
2 2 âM.
Moment zginaj'lCY dia slup6w fi C i B D w odleglo ci x od dolnego konca b dzie:
6.---->
M. = _ Mo x, a 8 M . = _ x .
h ôM, h
Rys.290
Rozklad moment6w zginajqcych przedstawiono na rysunku zakreskowanerni polarni.
Wedlug zasady najmniejszej pracy otrzymujemy dIa wyznaczenia Mo rownanie:
d V 1 b Ô MI 2 h a M.
-=- M i - -dx+- M,-dx=O.
a.M o El 0 Ô Mo E1 1 0 - a Mo
[Przy obliczeniu energji p)tencjalnej pomini\jto wplyw sil podluznych i poprzecznyth jako mewielki w por6wnaniu
do wplywu moment6w zginajéj.cych. Popelniony przez to blqd b dzie widocznie tem mniejszy, im smuklejsze s'l pr ty ramy].
Wstawiwszy warto ci za MI, M. i wykonawszy calkowanie, znajdziemy:
qb 2
MO=-12 ( 1+3-!!.. EI ) "
3 b E1 1
1} Znak dIa Mo obrano tutaj w przypuszczeniu, ze moment podporowy jest dodatni.
205
9 115. Z1\S1\D1\ WZI\}EMNOSCI PRZESUNIEé
Posluguj c si zasad najrnniejszej pracy, rnozerny bez trudnosci znalezé wieIkosci statycznie
niewyznaczalne przy stalem obciijzeniu ukladu. Przy obIiczeniu kratownic sprowadza si zadanie,
jak widzielismy, do konstrukcji dwu plan6w sil Cremona'y: jednego dIa znaIezienia napiçé So i dru-
giego dIa napiçé SI' W przypadku obciqzenia ruchomego, jak to bywa przy obIiczeniu most6w,
z6rawi i t. p. staje si zastosowanie zasady najmniejszej pracy niedogodnem, poniewaz wymaga-
loby szukania wielkosci statycznie niewyznaczalnych dia kazdego polozenia obciçzenia. DIa uprosz-
czenia rozwiqzania takich zada6. uzywamy 1 i n i j w pl Y w 0 w y c h. Ronstrukcja tych linij ulatwia
si znacznie przez zastosowanie z a sad y w z a je m nos c i p r z es uni ç é, kt6ra jest wynikiem tego,
ze energja potencjalna ukladu V wyraZa siç jednorodnil kwadratowé! funkcjil sp61rz dnych '1>, 'Ir, {j,..,
czyIi :
V = a q>2 + b 'I}!!I + c..'1- 2 + . . , + a' q> 'I}! + b ' q> -& + e' cf/ {j- + . , ,
. (a)
Odpowiadajçce uog61nione sily cP, lV, e,.,. okreslajq r6wnania:
<P = : = 2 a q> + a' cf/ + b ' {j + .. .
ôV .
w= ô =2bcf/+a / q> +c'..'1-+...
- (1 V 2 ( b ' 1.1.
f::) = a5" = c \t + q> + c q.> + , . .
. (b)
Przy pomocy powyzszych wyraze6. dowiedziemy twierdzenia 0 wzajemnosci przesuniçé. Rozpatrzmy
dwa stany ukladu sprçzystego, Niechaj stan I-szy okresIajç spôlrzçdne rp l' cf/l' l' . ., i odpowia-
j ce im sily <P l' W n el""; II-gi stan niech okreslajé! sp61rzçdne rp2' l' 2' ... i sHy cI> 2' W 2>
8 2 "" Wyobrazmy sobie, ze sHy odpowiadajqce I-mu stanowi wykonaly pracç na przesuni ciach
:j)2' cf/2'... odnoszé!cych siç do stanu II-go. Praca ta r6wna siç:
cP l q>2 + 'li"1 h + 9 1 {j2 +.., =
= 2 a q>1 CP2 + a' (h ïp2 + 1'1 2) + 2 b 1 ..! + b' ({rI Cf>2 + cP 1 2) + 2c.J 1 ! + c' (..'1-1 tfi 2 + 1 2) + -. ,
Tutaj przy pomocy r6wnosci (b) wyrazilismy sily cP 1 , 'li'l' 8 1 ,... przez sp6lrzçdne :Pl' 1' :J 1""
Otrzymane wyrazenie okazuje siç zupelnie symetrycznem wzgIçdem spôlrzçdnych I-go ill-go
stanu. Z tego wynika, ze otrzymalibysmy dokladnie tak q sami! prac , gdybysrny zmusili sily II-go
stanu cP 2 . W 2 , . ,. do wykonania pracy na przesuniçciach l'1> r!11"" odpowiadajçcych stanowi
I-mu, c yIi: cP l q>2 + W 1 2 + 8 1 -&2 +, . . = <1>2 CPI + W 2 1 + 8 2 -&1 +. . . . (199)
T 0 r6wnanie wyraza twierdzenie, noszé!ce nazwç zasady wzajemnosci przesuniçé. Szczegôlny przy-
padek tego twierdzenia oglosil M a x weIll) w r. 1864 wraz z zastosowaniem do obliczenia kratow-
nie. W najog61niejszej postaci dowiedli je wloski uczony E. Be tt ï2) i angielski fizyk 10 r d
Rayleigh!).
Wezmy pod uwag najprostszy przypadek, kiedy mamy do czynienia tylko z dwiema uog6I-
nidnemi silami, np. z silami <P i W, Dajmy na to, ze przy I-szym stanie staje siç sila W zerem
i dziala tylko' sila <PI- Wartosci sp6lrzçdnych, odpowiadajçcych silom <1> i W dIa tego stanu niech
bçd <Pl i tJI l , Jako stan II-gi przyjmiemy ten, w kt6rym sHa cP staje siç zerem i dziala tyIko sila
W 2' Sp61rzçdne, odpowiadajé!ce temu stanowi, nazwiemy przez <Pli tfi2; wtedy r6w, (199) przybie-
rze postaé:
<Pl <P;.! = W.2 cf/l' aIbo _:1- = _4'l
1. <fi 2
" (200)
Skoro w szczeg61nosci <1>1 = 'II' 2' to tfil = IF2'
1) C. Maxwell.."On the calculation 01 the equilibrium and stif!ness 01 frames". Phil. Mag. l 27, str.294.
2) E. Betti. Il nuovo Cimenta (ser. 2), t. 7 i 8, r. 1872.
8) Lord Rayleigh. Scientilic Papers, t. 1, str. 179.
206
4
:;t
Otrzyrnany wynik da si wyslowié w nast pujqcy spos6b:
Jezeli na dany uklad dzialajq dwie uog6lnione sily, r6wne co d{) Iiczebnej
wartosci, to zmiana sp61rz dnej, odpowiadaji:lcej II-giej sile, wywolana dziala-
nie m s il y I-s z e j, j est ta kas a m a, i a k z m i a n a s p 61 r z d n e j, 0 d P 0 w i a d a j q c e j I-s z e j
sile, pod wplywem sily I1-giej.
Znaczenie i zastosowanie tego twierdzenia objasnié! najlepiej
przyklady. ]ako pierwszy wezmiemy belk w obu ko:6cach podparl q
(rys. 291). Obciqzmy jé! najpierw sÏl q P, dzialajqci:l w przekroju 1,
a nast pnie tak q samq sil q , dzialaj cq na przekr6j II. Sp61rz dnemi
dia tych sposob6w obciqzenia b dq ugi cia w przekrojach 1 i II. Przyfmijmy, ze przy dzialaniu
sily P w przekroju 1 powstajq w przekrojach 1 i II ugi cia fi i 12, natomiast przy dzialaniu sily P
tylko w przekroju II powstaj w tych:ie przekrojach ugi cia fi' i f/; wtedy na podstawie form. (200)
12 = 1/,
1. j. przy przeniesieniu sily P z 1 do II, ugi cie przekroju II przenosi si do przekroju 1. [Innemi
slowy: Ugi cie w przekroju II, wywolane sil q P, dzialahc na przekr6j 1, rowna
si ugi ciu w przekroju 1, wywolanemu sB P, dzialajqcq na przekr6j II].
Jako drugi przyklad obierzemy belk jednym ko:6cem utwierdzonq (rys. 292) i rozpatrzymy
dwa stany tej belki: 1 l) zgi cie poo wplywem sily P, dzialajqcej na swobodny koniec (fig. a) i 2°)
zgi cie p q s.il 0 momencie. M ig. b): p61rz dnemi, d owiadajqcemi tym st - A
nom obcli!zema d? Odp?Wledmo: ugl C] k?nca belkl Il . k t obrotu przekroju fil fi g, <2. pl
ko:6cowego Jezeb sIla Pl moment M maj rowne warlosci hczbowe, to na pod- fJA '
stawie wzoru (200) mozemy powiedzieé, ze kqt obrotu przekroju koncowego, jaki ;. /'9. D. -;;;
powstal pod dzialaniem sily P, jest liczbowo r6wny wartosci ugiçcia ko:6ca belki
pod wplywem momentu M. Latwo sprawdzié ten wniosek przy pomocy znanych
wzor6w. Ki!tem obrotu przekroju ko:6cowego wskutek dzialania sily P bçdzie cp = : ; ugi cie zas
kotka belki pod wplywem pary sil okresla formula:
jI
1
!
Rys. 291
Rys.292
MP
f = 2 Er
Skoro wi c P jest 1iczbowo r6wne M, to
cp=f.
'C'
/- ---
, , ,
, \
. P p', B
A. ________
Wezmy jeszcze pod uwag prçt zakrzywiony. czyJi luk (rys. 293), oparty jednym ko:6cem f:J
na stalym, a drugim B na ruchomym przegubie. Dajmy na t , ze pod wplywem dwu sît P, r6w-
nych i wprost przeciwnych, dzialajé!cych na punkty If i B, odksztalci si
luk w spos6b uwidoczniony na rysunku. Dowolny punkt luku C zajmie
przytem polozenie C', przyczem przez (\ oznaczymy skladowq pionowq
przesuni cia CC'. Na podstawie zasady -wzajemnosci przesuni é mozemy
przewidzieé, :ie pionowa sila P, dzialajqca w punkcie C, wywola przesu-
niçcie przegubu ruchomego B po Iinji JI B 0 tei samej wielkosci ô. ·
Przy pomocy zasady wzajemnosci przesuni é mo:iemy, obrawszy w od-
powiedni spos6b dwa por6wnywane stany ukladu, ustawié dostatecznq liczb r6wna:6 dia ob1iczenia
wielkosci statycznie niewyzna zalnych. Przebieg rachunku najdogodniej objasnié na szczeg610wych
przykladach.
Rys. 293
116. Z1\STOSOWRNIE Z1\S1\DY WZ1\]EMNOSCI PRZESUNIEé DO OBLICZENI1\
BELER CII\GL YCH
Rozpocznierny od najprostszego przypadku belki dwuprz slowej (rys. 294). Za zbytecznq nie-
wiadom obieramy reakcj srodkowej podpory. Znajdziemy wielkosé tej reakëji przy obciq:ieniu
belki jedn sili! P. W tym celu usuwamy podpor srodkow , zast pujemy jej wp1yw sil q X skie-
207
rowanq ku g6rze Gej wielkosé ma byé taka, aby zniweczyla ugi cie, wywolane w przekroju pod-
porowym danem obci zeniem) i rozpatrujemy zgi cie belki fI B, w obu koncach podparlej. Jako
I-szy stan wezmiemy zgi cie silami P i X, jako II-gi zgi cie T
sil q r6wn jednostce, dzialajqcq w przekroju C (fig. b). Niech A .Àt
b dq ro i fI ugi ciami w punktach CiD, odpowiadaj cemi , . C
drugiemu sposobowi obciqzenia; wtedy wedlug zasady wza- '; &
jemnosci przesuni é otrzymamy: f/g.a. 1
. (a) J---------!t- C!
/'is b. C ," "
D
B
,
Pft -X/o = l.ü.
Drugi wyraz opatrzylismy tutaj znakiem minus, poniewaz
ugi cie fo zachodzi w kierunku przeciwnym kierunkowi X.
Jednostk sily po prawej stronie r6wnosci (a) pomnozylismy
przez zero, albowiem odpowiadaj ce jej przesuni cie (ugi cie u srodkowej podpory) przy I-szym
stanie obciqzenia jest r6wne zeru. Niewiadomq reakcj X obliczymy tedy z r6w. (a):
X - P Il
- fo
Kys. 94
. (b)
Przy przesuwaniu obciqzenia wzdluz belki, pozostaje mianownik lu stalym, a' zatem reakcja pod-
porowa b dzie proporcjonalna wzgI dem ugi cia t'l' W przypadku obciçzenia ukladem ci zar6w P,
otrzymamy reakcj podporowq przez sumowanie wyrazen, podobnych do wyraienia (b), czyli:
LPf
X=--r;;- . (c)
Razd q z sB l-go stanu nalezy pomnozyé przez odpowiadajqce ugi cie stanu II-go, wobec czego
linja ugi cia belki If B, pod wplywem jednostki obciqzenia, dzialaj cej w przekroju C, gra rol
linji wplywowej dIa reakcji podpory srodkowej. Majçc t krzywq, latwo obIiczyé reakcj srod-
kowej podpory z wzoru (c), przy dowolnym rozkladzie obciqzenia. Jezelibysmy za zbyteczn nie-
wiadomç przyj li reakcj skrajnej podpory B, to linjq wplyw q okazalaby si linja ugiçcia belki
podpartej w JI i C, a obciqzonej na koncu B jednostk q ciç-
taru (rys. 295). Do obliczenia niewiadomej reakcji posluty
r6wniez wz6r (c).
Rozpatrzmy teraz przypadek belki na czterech podporach
(rys.296). Najpierw znajdziemy wielkosci reakcyj podporowych
przy obciqzeniu jednq sH skupionq P. Usuwamy podpory srodkowe, ich dzialania na belk zast -
pujemy silami X i Y, skierowanemi w g6rç (wiel-
kosci tych sil musz byé takie, aby znikly ugiç-
cia wei D) i rozpatrujemy zgiçcie belki JI B
silami X, Y i P (fig. a). Opr6cz tego stanu, odpo- A
wiadajqcego obci(!Zeniom rzeczywistym, rozpa-
trzymy jeszcze zgi cie belki JI B jednostk q sily,
dzialajqcq w punkcie C (fig. b) i zgi cie je-
dnostk q sUy, dzialajqcq w punkcie D (fig. c).
Niechaj bçd q (c, ID, IH, tudziez le', ID', IH', ugiç-
ciami w punktach C, D i H, odpowiadaj cemi
dwu ostatnim sposobom. obci(!Zenia. Zastosujmy
zasadç wzajemnosci przesuni é najpierw do I-go
ill-go stanu (fig. a i b), a nast pnie do stanu
I-go i III-go (fig. aie), to otrzymamy r6wnania: Ry .296
PfH-Xfc- YfD = l.ü, P/H' -Xfe' - YfD' = 1.0,
C t
A
#k
Ry.. 295
ib'
1'
" I/,.
,'.:5 a.. 1 i
A . cil JO! B
A-- - - ------__t__________ -fi-- - ---- ,
lie. 0-: : 1
A C f ln \ B "
- --- - -- ---- k __ ________ :1; '___:5 ;' - --- f:?
/i8. c.
ci X
'P
I R
B
J1:.
z kt6rych:
X=P fHfo'-fH'fo
le/o'-fe'fo '
y _ p l!!l c' - fH' f
- fofe'-rD'/e'
. (d)
208
Mianowniki wyrazen, otrzymanych dta X i Y, nie zalezq widocznie od polozenia ci zaru P.
Liczniki Sq okreslone wieikosciami tH i TH' dia dowoinego polozenia sily P, kt6re to wielkosci bçdC:!
znane, skoro znajdziemy postaé linji ugi cia dIa II-go i III-go sposobu obciqzenia. Majqc te krzywe,
latwo obliczyé wartosci sp6lczynnik6w przy P w wyrazeniach (d) dia dowoinego polozenia ci zaru,
a wedlug nich latwo skonstruowaé lin je wplywowe dIa obu reakcyj podporowych.
Zastosujemy teraz zasad wzajemnosci przesuniçé do wyznaczenia Iinji wplywowej dIa mo-
mentu podporowego Mc belki dwuprz slowej fI B (rys.297). Jako I-szy stan przyjmiemy stan rze-
czywisty belki, kiedy na ni q dziala obciqzenie skupione P. Przy II-gim stanie niema sily P,
a zamiast szukanej niewiadomej Mc, dziala uog6Iniona sila r6wna jednostce. 1\.zeby urzeczywistnié
stan II-gi, rozdzielimy belk przekrojem m n na dwie czçsci i na kazd q z nich dzialamy w po-
prowadzonym przekroju jednostkC:! zginajqcego momentu (fig. b). Ta grupa, zlozona z dwu r6wno-
wazqcych si par sil i odpowiadajqcych im reakcyj podpo-
rowych, przedstawia uog6Inionq silç tego sam ego typu, co
i szukana wielkosé Mc. Belki II C i C B- sC:! koncami oparle
i bez trudnosci znajdziemy ich lin je ugiçcia. Rqty obrotu,
koncow okreslaji) wzory:
<l. _ 1 .1 1 <l. 1 .1 2
'U 1 - 3E ] . v 2 = 3EI .
IP
A : , B
t- ,-- l ---- C --. l -
fis. a , :!:
A P
P;£;t r .""',...,. D "l'a;".
/ /cr. o - 1..,
Rys. 297
Mamy teraz przy I-szym stani cl zar P i niewiadomi)
uog61nionq silç Mc. Odpowiadajqèemi im przesuniçciami
II-go stanu bçd ç : ugiçcie f punktu D i kçt 1 +-&2. W I1-gim stanie bçdziemy mieé uogôlnionq sil
zlozonq z dwu par znoszqcych si nawzajem i odpowiadajqcych im reakcyj podporowych. Odpo-
wiadajqce tej uog6Inionej sile przesuni cie w 1. szym stanie r6wna siç zeru, gdyz w rzeczywistosci
jest belka ciqgtq, a wi c wzgl dny obr6t koncow C czçsci II Cie B jest niemozebny. Zasada wza-
jemnoSci przesuni é daje:
Pf
- Pf+Mc.( 1+ 2)= 1.0, a sti)d Mc - -& .
1 + 2
Tutaj mianownik nie zalezy od polozenia obciqzenia P; przy zmianie tego polozenia zmienia siç
moment podporowy wedlug tego sam ego prawa, co - ugi cia f, powstajqce przy dzialaniu sil
stanu II. go. Odpowiadajqce linje ugi cia belek lIC i CB (fig. b) bçd q przeto szukanemi linjami
wplywowemi. Przy dzialaniu na belkç II B ukladu ci zar6w skupionych P {) P 2 , ..., Pn obliczymy
moment podporowy wedlug wzoru: .
L Pi !ï
Mc= ;=1
-&1 +-&2 .
W podobny spos6b mozna skonstruowaé linjç wplywowq dIa jakj.egokolwiek momentu podporo-
wego Mn' belki wieloprzçslowej (rys. 298). Jako stan I-szy przyjmiemy rzeczywisty stan beIki,
przedstawiony na fig. (a). Dia otrzymania II-go stanu przetniemy belkç nad n-t q podporq i umie-
scimy tam dwie r6wne a wprost przeciwn pary sil 0 mOJ:nencie r6wnym jednostce. Za rzçdne
linji wplywowej dia Mn b dq sluzyé ugiçcia belki, odpowiadajqce II-mu stanowi, a wieIkosé Mn bçdzie
okreslaé ten sam wz6r, co w poprzednim przypadku. ObIiczenie k q t6w -:t 1 i -&2' tudziez ugi€é f,
nie -przedstawia trudnosci, poniewaz poszczeg6Ine przçsla belki ciqglej mozemy rozpatrywàé jako
beIki W obu koncach podparte i zginane
para mi sît, dzialajqcemi na konce. Mo-
ment y tych zginajqcych par wyznaczy
linja' lamana a n -l an a n +l an-t2 ..., po-
prowadzona przez punkty stale N n .-?,
N n -., On, 0n-tl, On+2, '.' (Hg. b). Maj c
lin je wplywowe dIa moment6w podporo-
wych, mozemy pozostale lin je wplywowe
znalezé przy pomocy wzor6w (136) i (137).
i=n
IP
:;. £.. ;. :\"" y .
fl1! n,-l n: 1171 11::;1 -
. . a ' ,»g,â.
, .!'lM A.-, Q 'A., 0.. a,., 0 11 _.
-ç- ' -- -
y -------.::// - -
a Jin.' A an., - A h . 2 P'
n. //8.0
,
;
Rys. 298
2o<J
117. UNJE WPLYWOWE DL1\ BELRI WZMOCNIONEJ (WIESZflROWE})
Belka fi B (rys. 299), obcii!zona sili! P, jest wzmocniona przy pomocy slup6w CE, D F i ci gi n 1:1 E, E F i F B.
Ozna:czmy przez E 1 sztywno é pn.y zginaniu belki .If B, puez E f i F f - sp61czynnik sprçzystœci i pole przekroju po-
przecznego gciegien, nakoniec przez E, i F, - sp6lczynnik sprçzysto ci i pole przekroju sIupow. Chociat belka ma czteI'}
punkty podparcia, to jednak mamy do czynienia fylko z jedl1q wi lko cii! statycznie niewyznaczaInq, poniewaz sily we-
wn trzne w stupach, jak to wynika z warunk6w r6wnowagi wçzl6w E i F S'l zawsze sobie r6wne. Obrawszy napiçcie X
ci na poziomego E F za wielko statycznie niewyznaczalnq, wyrazimy silç ciskajilcl! w s!upach przez X tg Q, a sily
rozciilgajqce w ciçgnach pochylych lIE i F B przez X sec cr. Wszystkie zatem 5ily, dzialaiilce na belk fi B, wyratajé! si
przez Pi X. Wyznaczymy X, posluguj'lc si zasadl! wzajemno ci przesuniçé. Jako I-szy stan przyjmiemy rzeczvwisty stan
uldadu, kiedy nad dziala sila P i sUy X, zastçpujilce ciçgno E F. Stan II-gi przedstawia fig. (b). Tutaj usuni to sily ze-
wnçtrzne, a zamiast zbyteczne; niewiadome; X umieszczono sily r6wne ;ednostce. Silom P i X pierwszego stanu odpowia-
dajl! w II-gim stanie przesuniçcic lx i zblizenie 8 punkt6w E i F. Przesuni ciem I.go stanu, odpowiadaÎl!cem 5Ï1om II-go stanu
jest widoczrne wydlutenie gciçgna E F, r6wne 3 1 FI ' Zasada wzajemnogci przesuniçé daje zatem r6wnanie:
- P lx + X & = - 1 . 3 I ' z kt6rego wynika X = P [ l = P lx
8+ 3 £1 F.
. (201)
Mianownik we wzorze (201), oznaczony dIa kr6tkogci Iiterl! k. nie zaIety od poIotenia ciljtaru P, a pr:ty jego prze-
suwaniu po belce bçdzie sila X zmieniaf siç wedtug tego samego prawa, co i ugiçcie belki fiB w I1-gim stanie (fig. b).
Linja ugiçcia przy tym stanie b dzie zatem sluzyc: za Iinj wplywOWI! dIa szukanej wielko ci X. Konstrukcja linji wplywo-
wej sprowadza si@ w ten spos6b do znalezienia ugiçé fx i zblizenia S przy II-gim stanie beIki. Ugiçcia znajdziemy tak,
jak d1a belki prostej podpartej w .If i B, oraz obciqzonej w punktach CiD silami 0 wielko ci 1 . tg «, r6wnemi napiçciom
w slupach. Co siç zag tyczy zblitenia Ô, to najdogodniej znaleié je przy pomocy twierdzenia Casligliano'a. Oznaczajè!c
dia jasnogci przez S silç r6wn'l jednostce, znajJzkmy dIa energji potencjalnej
rozciëtganych prçt6w lIE i FB, tudziez kanych slup6w i zginanej belki, odpo-
wiednie wyratenia:
1 1
. T 1- --;- J--'
....- :r ---., P
. , ,
A' Ii 'lt: ;/J
Il 'l'f
.x r '.
. c n
/ J P
_ ;r.r:!.. E rIS b F !:-.r.
A B
.--' -' C ' '. hg. ('
'n -'"
S%l SStglah 5 S'hll
v. 3cos 2 aE.F. ' V s - F2 V 1 = 18 ----rI"
Wyrazenie dIa V 3 lahvo otrzymaé przy pomocy wzoru dia ugiçcia belki, obci'l-
tonej symetrycznie dwiema r6wnemi silami (ob. 97). R6.tniczkuj c calkowil'l
(!nergj V= V.+V s + Va wzglljdem 5 (c stkowo) i ktad c w otrzymanej pocho-
dnej 5=1, znajdziemy szukane zblitenie:
ô _ l + 2htg la + hll
- 3 E.Flcos 8 (J. EIF 9 El'
Majl!c linjç wplywowé1 dia napi'icÏa X, mozemy latwo skonstruowaé linjç wply-
wow'l dIa momentu zginajqcego w dowolnym przekroju belki. Weimy pod uwagç
przekr6j mn i ustawmy ciçzar P w odleglogci XI od prawej podpory (Iig. c).
Na koniec belki .If bçdzie dzialaf, opr6cz reakcji pionowej Pt ' napiçcie
pr ta .ifE, a zatem moment w przekroju mn b dzie siç skladaé z dwu CZljgci:
z momentù' obliczonego, jak dIa' belki w dwu punktach podpartej i z momentu napiçda w
rZljdn'l zaw miçdzy osi'l belki, a osi4 ci gna w przekroju mn, otrzymamy:
M _ PXIX _ Xy _ p ( xx. _ fxy )
:0:- 1 - 1 k .
Rys. 299
ci gnie. Oznaczywsz'y przez Y
. (202)
Ta fQnnula, jak latwo sprawdzié, zachowuje watno t i dia grodkowej czç!tci belki, gdzie y ma stai q wartogé, r6wnq h.
Pierwszy wyraz w nawiasie przedstawia rzçdne Iinji wplywowej Il C B, skonstruowanej jak dIa belki w obu kotlcach pod-
partej. Drugi za wyraz przedstawia wplyw napiçcia X i mazna go otrzymaé, mnot c rzçdne poprzednio skonstruowanej
linji wplywowej dia X przez rzçdni! y. Przez od£jmowanie otrzymamy rzçdne szukane; Jinji wptywowej. Na fig. (c) uwi-
doczniono zilieskowaniem odpowiadaj'lcq powierzchni wplywOWq.
9 118. Zf\STOSOWI\NIE Zf\SI\DY WZl\jEMNOSCI PRZESUNIEC DO OBLICZENI1\
RRI\TOWNIC ST1\TYCZNIE NIEWYZNl\CZl1LNYCH
Zasada wzajemno ci przesuniçé dostarcza w tym przypadku dogodnego sposobu do wyznaczenia zbytecznych nie-
wiadomych przy dzialaniu obci'lten rucbomych. W szczeg6lnie prosty spos6b rozwil!:tuj'l siç zadania, "W k.t6rych mamy do
czynienia tylko z jednq wielko cii! statycznie niewyznaczalnq. Rozpatrzymy zosobna przypadek, kiedy zbytecznq niewia-
Kun wytr.ymalosci malerjeM.. 14
doD:Ul jest reakcja stalej podpory, i przypadek, w kt6rym jest ni'l napiçcie zb dnego pr ta. Jako pierwszy przyklad we-
tmiemy luk kratowy dwuprzegubowy (rys. 300), obci'!tony silami pionowemi. Skladowe poziome reakcyj w przegu-
bach .II i B b d,! lN tych wanmkach r6wne (na mocy warunku rzut6w sil wewn trznych). Razdé! z nich nazywamy
"parciem poziomem", Iub "rozporem'" tuku. Ich wielko é X wypadnie przyj'lé za zbyteczn'l niewiadom,!. Jeteli np. zalo-
tymy, ie ruchome obciqzenie przenosi si tylko na wçzly pasu g6rnego, to dia konstrukcji linji wplywowej trzeba jednostkç
obciq:tenia umieszczaé kolejno na katdym z g6rnych wçzl6w, a wyznaczywszy dia kaidego takiego poloienia odpowiada-
'!Cil wartogé parcia poziomego (rozporu),
trzeba te wielko ci odmierzyé jako rzçdne
W odpowiadajacych punktach dowolnej osi po-
ziomej .II' B'. Linja lamana, l'!cz/1ca otrzymane
w ten spos6b punkty, bçdzie szukan'l linj,!
wplywowq. Poka:temy jak moina znaleté
rz dne 8 10 8s, ..., 8 6 tej linji wplywowej przy
pomocy zasady wzajemnooci przesuniçé.
Umie émy jednostkç ciçtaru nad jednym
z w zl6w (rys. 300, fig. a). Skladowe pionowe
reakcji wypadajq w danym przypadku wido-
cznie takie same, jak gdyby luk byl belkq
prost na podporach .II i B; skladowe poziome
oznaczyli m:9 jUi przez X. Stan ukladu przy
tym sposobie obci,!tenia przyjmiemy za I-szy.
Stan lI-gi odpowiada obei,!ieniu przedstawio.
nemu na fig. (b), gdy na danq kratownic
dzilllaj,! w przegubach podporowych dwie sily
o wieIkogei 1, znoszqce siç nawzajem. Ozna-
czmy przez h :wywolane tem obeiqteniem
zbli:tenie przegub6w podporowych, a przez
8a, 6., ..., 8 6 - pionowe przesuni cia w zld'w II, IV, VI, VIIl, X. Motna je znaleté kre l,!c plan przesuniçé WilIiot'a 1).
Stosuj,!c zasadç IN%ajemno ci przesuni é do obu powyzszych stan6w, znajdziemy:
O X I. 5s
Xh-1. 5 s = , a st d =-=--"h'
210
lig.l;.
Ry..300
Jednostka c iam, umieszczona w kt6rymkoIwiek z wçzl6w pasu g6mego, ywoluje wi c parcie poziome, proporcjonalne
wzgI dem pionow;go przesuni cia tego w zla pod wplywem sil przedstawionycb na fig. (b). Skoro od prostej .II' B' na
rzçdnych, odpowiadaj'icych g6mym w zlom, odetniemy :znalezione powyiej przesuni cia i pol'iczymy otrzymane .punkty
lini/! lamané!, to rz dne tej linji daj,! wieIkogé proporcjonaln,! wzglçdem parcia poziomego przy dowolnem poloieniu jedno-
stki ci zaru ruchomego. Wykreglona linja moie zatem sluiyé %11. linj wplywow,! dia parcia poziomego. Jeteli mamy kilka
ciç:tar6w pionowych Pt. to mierzqc rz dne 5i. odpowiadajqce kaidemu z \ych ciç:tar6w, otrzymamy warto é pareia pozio-
mego (rozporu):
:E Pi 8i
X=-rz'
p;zejdziemy teraz do kons\rukcji Iinji wplyVlowej dia sily wewnçtrznej (napi cia) w pr cie zb dnym. Weimiemy t
samq kratownicç, co w poprzednim przykladzie, lecz jeden z przegub6w przyjmiemy za ruchomy, a za to pol,!czymy
obydwa przeguby !!ciçgnem .lIB, kt6re widocznie b dzie zb dnym pr tem kratownicy. Obecne zadanie r6:tni si od po-
przl1dniego tyIko tem, te przeguby podporowe mogq siç przesunqé wzglçdem siebie w kierunku prostej .lIB. JeteIi L ozna-
cza pierwotnq dlug é, F - pole przekroju, a X - napi cie gciçgna, to odleglogé mi dzy przegubami zwiçkszy siç
o wieIkogt ;. Za I-szy stan ukladu przyjmiemy obeiqienie jednostk,! sily w jednym z g6rnych w z16w i silami X,
zast pujqcemi wplyw !!ci gna. Za II.gi stan obierzemy dzilllanie na przeguby dwu sil, znoszqcych si Rawzajem, 0 wiel-
kogci 1 (rys. 300, lig. b). Niech bçdzie h zbliieniem si przegub6w podporowych, II. 51' 5 s , ..., 55 - pionowemi przesu-
ni ciami g6mych w zl6w II, IV, vr, VIU, X, wywolanemi drugim stanem obcié!tenia; natenczas wedlug zasady' wza-
jemnosci przesuni é otrzymamy:
-1.XL
-1.&.+X.h= EF .
ZnBkiem minus opatrzono te wyrazy, w kt6rych sily i przesuni cia majq przeciwne kierunki. Wielkogciq pareia poziomego
(rozporu), odpowiadaj'lcego jednostce obciqienia, umieszczonej w wç11e II, bçdzie wiçc:
X - 1.&s
h+ l.L '
EF
J) Spos6b WilJiot'a podaje np. kurs statyki wykr8 lnej W. L. Rirpiczewa.
211
Otrzymane wyratenie r6zni siç od parcia pozio:nego przy stalych przegubach [a bez sciçgna] tylko wieIkogciq mianownika,
wobec czego skonstruowana poprzednio linja wplywowa nadaje si i do tego przypadku, jeteli tylko zmienimy sp61czynnik
proporcjonalnogci. Zauwazymy jeszcze. ze nasze rozumowania nie
uleglyby zmianie, gdybygmy za zbyteczni! niewiadomi! przyj li napiçcie
jakiegokolwiek innego pr la danej kratownicy.
Jako przyklad ukladu z dwiema "zbytecznemi niewiadomemi"
[dwukrotnie statycznie niewyznaczalnego] mozna wzi'lé ciqgl'l belk
kratowq na czterech p'odporach (rys. 301). Niechaj obciqzenie ru chome
przenosi si na dolne w zly kratownicy. Lewq podpor przyjmiemy za
sta1'l. inne za za ruchome. Za zbyteczne niewiadome najdogodniej
wziqé reakcje pod,p6r grodkowych. Dia konstrukcji linij wplywowych
trzeba znaleié pionowe przesuniçcia dolnych w z16w przy obciqzeniach
jednostkowych, uwidocznionych na Hg. (b) i (c). Dia wyznaczenia
rzçdnych linji wplywowej, odpowill.daj'lcych dolnym w z1om Il, III, IV,
V i VI, mozna si poslugiwlI.t wzorami (d) ( 116), otrzymanemi dia
belek litych.
Spos6b obliczenia uklad6w statycznie niewyznaczaInych, obmy Iany przez Mohr'a 1), polega
na zastosowaniu zasady prac przygotowanych. Niechaj uklad spr tysty b dzie w r6wnowadze poo
dzialaniem uog6Inionych sil zewn trznych (P, 'r, H,... i niech oznaczajél T, U,... odpowiadajélce
sily wewnçtrzne ukladu. Wyobrafmy sobie, te przy stalych wartosciach sil zewn trznych i we
wn trznych doznaly poszczeg6lne punkty ukladu przesuni é przygotowanych (t. j. przesuniçé eIe
mentarnych, motliwych dia dan ego ukladu). Oznaczmy przez ô q:>, ô '0/, ô ,..., tudziet przez 0 t,ou, h.
zmiany sp61rz dnych sH zewn trznych i wewnçtrznych, odpowiadaj ce tym przesuni ciom, naten
czas podstawowe r6wnanie r6wnowagi (wz. 189) przedstawi si w postaci:
<1) ô cp W ô '¥ + (:-) ô + ... + T l5t + U 0 U + . .. = 9 . (203)
T 0 r6wnanie bçdzie siç sprawdzaé dia wszelkich przesuniçé mozliwych. Obierajë1c dIa ô q:>,... à u, . . .
kolejno rozmaÏte wartosci, otrzymamy coraz nowe r6wnania r6wnowagi i nasze zadanie polega na
te m, aby wybraé z nich r6wnania najdogodniejsze do wyznaczenia niewiado-
mych. DIa wi kszej jasnosci zaczniemy od szczeg6Inego przypadku i rozpa-
trzymy uklady prçt6w (kratownice) z idealnemi przegubami w w zlach. Jezeli
przyjmiemy, te sily zewn trzne dzialajq na w zly, to pr ty bçd naraZone
wylqcznie na rozciélganie albo ciskanie, a dzialanie kazdego prçta na w zly,
kt6re on lqczy, motna zastqpié dwiema silami r6wnemi i wprost przeciwnemi.
Rys. (302) przedstawia prçt fi. B, rozCÎélgany napi ciem S. Jego dzialanie na
przeguby JI i B mozna zastqpié silami S, skierowanemi od wçzl6w. Przy-
pusémy, te po przesuniçciu zaj ly w zly fI i B polozenie Ii' i B'. Sily S
wykonujél przytem pracç - S ô 1, przyczem 01 oznacza wydluzenie prçta. T 0
wyrazenie pozostaje widocznie bez zmiany, jezeli prçt jest sciskany, wtedy
bowiem zmieniajél si znaki obu wieIkoscÏ S i 01. Stosownie do tego rnozna dIa ideaInych kra
townic, obciqtonych tyIko w wçzlach napisaé r6w. (203) w postaci:
wôcp + Wô'¥ + eô +... = 'LSôl
przyczem sumowanie odnosi siç do wszystkich prçt6w ukladu.
Zastosujrny otrzyrnane r6wnanie najpierw do uldadu statycznie wyznaczalnego. Skoro w takim
ukladzie usuniemy jeden prçt, to uklad zamieni siç na mechanizm ruchomy; wçzly, rni dzy kt6-
rerni 6w prçt siç znajdowal, mozemy zblityé lub oddalié od siebie j zamiast niego wstawié prçt
o innej dlugoscÏ. Z tego wnosirny, ze przyrosty ô 1, kt6rych udzielamy dlugoscÏom poszczeg6Inych
prçt6w, aby otrzymaé przygotowane odksztalcenie ukladu, Sq w przypadku kratownic statycznie
A', { l
A x:'"
<'"\.S \\ "' 1
",' \..
' , " '\',
6." "..
\. ,,-.
, \ \
, ' .' ., ,
\."B B
Rys. 302
fi,g c.1
A /\/1/\(YY'v
1 Il! l'ig, ô. r. m
/y\/\(V\
1 fiS, Co :
IVV\/\(V\
Rys.301
118. METOD1\ MOHR'1\
. (204)
1) O. Mohr. ..Beitrll.g zur Theorie der Bogenlachwerkstrâ.ger" i "Beitrag zur-rheorie des Fachwerks". Zeitschr.
1. fuch. u. Ing.-wesen z lat 1874, 1875 i 1885.
14*
212
wyznaczalnych zupelnie dowolnemi wielkosciami nieskoiÎczenie malemi. Mozemy przyjqé wydtu-
zenia wszystkich pr t6w, z wyjqtkiem jednego, r6wne zeru. W takim razie r6w. (204) b dzie za-
wieraé tylko jedno niewiadome napi cie, kt6re przedstawimy wyrazeniem:
S- cI)orp+Wo'lr+f:) ô..'J+...
- - -- --
Licznik przedstawia tutaj pracç, wykonanq przez sily zewnçtrzne na przesuniçciach odpowiadaj(!-
cych wydluzeniu rozpatrywanego prçta. W kursach statyki wykreslnej wyklada siç 0 najprostszych
sposobach obliczenia tej pracy. Tutaj nie b dziemy siç zatrzymywaé nad tem i przejdziemy do
uldad6w statycznie niewyznaczalnych. Niechaj zatem dana kratownica, opr6cz prçtôw koniecznych,
zabezpieczajqcych jej geometrycznq niezmiennosé, posiada jeszcze prçty "zb dne". 1\zeby taki prçt
dal siç wstawié miçdzy dwoma odpowiadaj(!cemi wçzlami, powinna jego dlugosé odpowiadaé do-
kladnie wzajemnej odleglosci tych wçzl6w. Jezeli danym dlugosciom prçt6w koniecznych udzielimy
jakichkolwiek oznaczonych przyrostôw, to przez to okreslimy zupelnie przesuniçcia wszystkich
wçzl6w ukladu i zmiany dlugosci prçtôw zbçdnych. Z tego powodu w ukladach statycznie niewy-
znaczalnych nie mo:iemy dysponowaé dowoInie wydluzeniami pr tôw, Iecz musimy dobieraé wieI-
kosci 01 tak, aby uczynié zadosé pewnym czysto geometrycznym warunkom. Poslugujqc siç spo-
sobem Mohr'a, rozwiqzujemy to geometryczne zadanie przez porôwnanie dwôch stan6w ukladu,
podobnie jak przy zastosowaniu zasady wzajemnosci przesuniçé i obliczamy ka:idym razem praq
ukladu napiçé, odpowiadajqcych jednemu stanowi na przesuniçciach stanu drugiego. DIa objasnie-
nia toku rachunku rozpatrzymy najprostsze zadanie, gdy uklad ma tylko jeden prçt zbçdny. Nie-
chaj X oznacza napiçcie w tym prçcie. Usuwajqc zbyteczny prçt i zastçpuj(!C jego dzialanie na
resztç ukladu silami X, otrzymujemy uklad statycznie wyznaczalny, na ktôry oprôcz danych
obcii!zen dzialaji! nieznane na razie sily X. Ten stan nazwiemy I-szym. Odpowiadajqce mu napiç-
cia w prçtach skladajq siç z dw6ch czçsci: z napiçé wywolanych oficii!zeniami danemi i z napiçé
powstalych wskutek dzialania dwu wprost przeciwnych sil X. Rreslimy wiçc najpierw plan Cre-
mona'y dIa naszego ukladu przy zalozeniu, ze dzialajq tyIko obcii!zenia dane i otrzymujemy na-
piçcia Si.. Nastçpnie usuwamy wszystkie obciqzenia, zamiast sil X bierzemy sily rôwne 1 i kre-
s]qC drugi plan Cremona'y znaidujemy napiçcia Si 1 . Wôwczas napiçcie i-tego prçta przy jedno-
.. czesnem dzialaniu danych obciqzen i sH X przedstawi formula:
Si = Sia + $i 1 X.
Odpowiadajqcem wydluzeniem prçta bçdzie:
11 [ . _ (Si o + Si 1 X) Ii
u 1 - EPi .
Wydluzenie prçta zbçdnego 0 dlugosci 1 i napiçciu X jest widocznie r6wne :: . Jako stan I1-gi
przyjmiemy taki, w kt6rym usuniçto dane obciqzenia, a sily X zastqpiono dwiema wprost przeciw-
nemi silami 0 wielkoSci 1. Odpowiadajqce napiçcia w prçtach oznaczylismy juz przez Si 1 . Praca
przygotowana sH II-go stanu bçdzie rôwna zeru, poniewaz dIa kaZdego w zla zosobna zachodzi
r6wnowaga sil dzialajqcych na ten wçzel. Jezeli wezmiemy za przesuniçcia przygotowane te rze-
czywiste przesuniçcia, kt6re odpowiadajq I-mu stanowi ukladu, to otrzymamy rôwnanie pracy:
_ 1 Xl _ 'Ç' S i (Sin + Si 1 X) Ii - 0
. E F . f-J 1 _ - . (205)
1=1,2,3,... EPi
Pierwszy wyraz przedstawia pracç jednostki sily w II-gim stanie na przesuniçciu, odpowiadaJ(!cem
wydluzeniu zbçdnego prçta w I-szym stanie. Sumowanie w drugim wyrazie r6wnania (205) odnosi
siç do wszystkich koniecznych prçt6w ukladu. DIa zbytecznej niewiadomej X znajdziemy z (205)
wyrazenie: SiS i 1.
'5' 0 1 1
EPi
X=- (Si 1 )2li + . (206)
EPi EF
213
Jezeli przyjmiemy sp6lczynnik spr zystosci materjalu staly dIa wszystkich pr t6w, to wz6r (206)
stanie si identycznym z wzorem (e) w 114, wyprowadzonym przy pomocy zasady najmniej-
szej pracy.
Cale nasze rozumowanie da si zastosowaé i w tym przypadku, kiedy wieIko ci statycznie
niewyznaczaIn jest reakcja podporowa. Przytem zajdzie tylko ta roznica, ze przesuniçcie, odpo-
wiadajêlce tej reakcji, jest zerem. Dlatego zniknie pierwszy wyraz w r6w. (205), a wyrazenie dIa
zbytecznej niewiadomej przybierze postaé:
,- Soi S1 ' l,
EF,
X=- (S.i)'/, . (207)
,-
EF.
zgodnêl zupelnie z formul,! (c) w 114.
Jezeli uklad zawiera wi cej zbytecznych niewiadomych (wielkosci statycznie niewyznaczaI-
nych), to zastçpujqC je odpowiadaji}cemi silami X, Y, Z,... otrzymamy uklad sil statycznie wyzna-
czaIny. Napi cia w pr tach niezb nych wyraz si wzorami 0 postaci:
Si = Soi + S.' X + S2 i y + S,/ Z +...
T en stan obierzemy za I-szy. Za II-gi stan uwazaé b iemy tald, w kt6rym usuni to wszelkie
sHy zewn trzne i zbyteczne niewiadome, a zamiast jednego z pr !6w zbçdnych umieszczono w 00-
powiednich wçzlach dwie sify wprost przeciwne r6wne 1. Raz c napiçciom II-go stanu wykonywaé
prac na przesuniçciach, OOpowiadajqcych stanowi I-mu, otrzymamy koIejno r6wnania:
_ 1 Xix _" S.' (So' + SI' X + S2 ' y + S3 iZ + ...)l i _ 0 1
'E E -
_ 1 Y/y -> S2i(Soi+St'X+S2iY+SSiZ+...)li = 0 1
. EF y E
. (208)
[W tych r6wnaniach odpowiadaj wskazniki x, y,... przy dlugosciach 1 i polach przekroju poprze-
cznego F pr\)t6w, napi ciom X, Y, Z,... w tychze pr tach]. Znalezione r6wnania sc! linjowe wzgI -
dem niewiadomych X, Y, Z,..., a ich liczba r6wna si liczbie tych niewiadomych.
}
120. Z1\STOSOW1\NIE SPOSOBU MOHR'1\ DO OBLICZENI1\ RR1\'[OWNIC STRTYCZNIE
NIEWYZN1\CZ1\LNYCH
Og6lny tok rachunku sposobem Mohr'a, wylozony w poprzednim paragralie, obia!!nimf teraz przykladami szczeg6-
lowemi. Jako pierwszy przyklad weimiemy kwadratowij, ram A B CD z dwiema przek'ltnemi i obliczymy napi cia w pr -
tach powstale wskutek dzialania sily poziomej H (rys. 303). Jednij, z podp6r przyjmiemy za stali!> a drugij, za ruchomi}.
Uldad okazuje si statycznie wyznaczalnym zewn trznie (1. j. ze wzgI du na reakcje podpor(twe), a nie-
_DM?' . '.
Ai4do
; r; .a.. c
A D
/,,:-;. b
Rys. 303
wyznaczalnym wewnçtrznie (t. j. ze wzgl du na napi cia w pr tach). Cztery w zly sC! poliJ,czone 6-u
pr tamï. a zatem jeden prçt jest zb dny. Jako taki przyjmiemy przekqtnq AC i oznaczymy przez X
odpowiadajqce napi cie. Rzeczywisty stan ukladu przedstawiony na lig. (a) przyjmiemy za stan I-szy;
I1-gi stan uwidoczniony na fig. (b) olrzymujemy, usuwajqc zbçdny pr i i wstawiajqc zamiast niego
dwie sily wprost przeciwne. rowne 1. DIa wyznaczenia X uzyjemy wzoru (206). WielkoS:ci So" sl,
Sl i Soi Ii, (Slip 'i' wchodz'lce Yi ten wz6r, zestawiono dia wi kszej wygody W osobnij, tablicç (str.214).
Pola przekroj6w poprzecznych przyj t!> dia uproszczenia za r6wne. Mamy tcdy:
Sl i Soi I, = - aH (2 + fi) ,
:::s (Sl,)2 l, = a (2 + fi).
Wstawiajl1C' io we wz6r (206), znajdujemy:
H (3 + 2 Y 2 )
X= 4+2V2 .
W ten spos6b sprowadza si caly rachunek do rozwiqzania dwu bardzo prostych zada6 siatyki, t. j. do wyznaczenia napi é
Soi i Sl i w ukladzie statycznie wyznaczalnym, co si! wykonywa najpro eiej, kr l'lc odpowiadaj'ice plany sil Cremona'y.
214
TfiBLIC1\ do rys. 303
1
Llczba porzqdkowa
pr ta
Dlugo é 1
50
SI
5 0 5 1 1
SI sI
1 1 aH a
1 a H - -,12 - -,12 '2'
-- - - - _1__- ------ - --- -1
1 1 aH a
2 a H - }'2 - } 2
- ---- - - -- - -- -
1 ] 0 a
3 1 a 0 - -,12 '2'
--- ---- -- - - -- - - ----
- --I 1 aH a
a H - -v-2 - V2 '2'
r- - - - -- - ---- -
5 1 aV2 -HV2 + ] -2aH aY2
1
1 --,
6 1 afi
Zastosujemy teraz spos6b Mohr'a do wyznaczenia zbytecznej reakcji podporowej luku kratowego dwuprzegubowego,
przedstawionego na rys. (300). Tutaj pod wplywem obciqie6 pionowych powstanq nietylko reakcje pionowe, Iecz takie po-
ziome. ?ierwsze latwo wyznaczyé z warunku moment6w sil zewn trznych, tak samo, jak dia belki prostej 0 rozpi l:o ci
RB. 0 drugich zag wypowiadajq warunki r6wnowagi tylko tOI ie sq r6wne i wprost przeci1!one. Ich warto é X znajdziemy
przy pomocy sposobu Mohr'a. Usuwamy zbçdne ustalenie, zapobiegajqce rozsuni ciu si podp6r luku, a jego dzialanie za-
stwujemy silami X. T en stan uldadu nazwiemy I-szym. Jako drugi stan przyjmiemy taki, w kt6rym niema sil zewnçl:rznych,
a zamiast si! X .mamy dwie wprost przeciwne sily r6wne 1 (Iig. b). Poniewai w kutek usuni cia zb dnego ustalenia stal
si\} uklad statycznie wyznaczalnym, wi c przy pomocy dw6ch pJan6w Cremona'y mozemy znale:fé napiçcia 50', odpowia-
daj'lce danym obClqteniom, tudziet napi cia 5;.', w}woJane w prçtach ukladu silami, przedstawionemi na lig. (b). Majqc te
wietko ci, zestawimy nast pujqcq tablir , w kt6rej podano takze wymiary prçt6w i wielko ci napiçé, obJiczQne przy zalo-
teniu, te we wszystkich g6rnych wçzlach opr6cz skrajnych dziala ci tar 1 t, a w skrajnych ci iar 0,5 t.
Tl\BLICl\ do rys. 300
1 L. p. 1 lem Fem! 50 kg SI 505 1 1 1 S1 s1
prçta E""F E""F
1 1 -3 1 -6
1 , 900 115 -4000 +0,59 - 9,25 . 10 1,360 . 10
2 630 118 -3000 +0,50 - 4,00 " 0,667 "
3 1 810 899 +3900 - 0,65 -1 ],45 1,900
1 .. ..
- I 720 115 0 -1,]6 0 " 4,230 ..
5 + 730 899 -3800 +0,41 - 1,27 .. 0,895 "
6 610 118 -6200 + 1,00 -]6,00 2,580
" "
7 710 89,9 +3950 -0,64 -10,80 " 1,750
"
8 650 115 +3150 . - 1,60 -14,25 " 1,250
"
9 1 600 89,9 -2750 +0,30 - 2,15 " 0,300
1 "
10 600 118 -8600 + 1,43 -31.20 5,200
1 " .,
11 750 89,9 +3200 -0,55 - 1,31 1,260
., .,
12 620 115 +6200 -2,05 -34,30 11,300
1 " "
13 530 89,9 1 -1150 +0,03 - 0,10 0,027
1 " " ..
14 600 118 -9100 + 1,60 -39,40 6,500
1 " "
15 1 710 89,9 + 1400 - 0.23 - 1,38 0,226
j " "
16 600 115 T8600 -2.43 -54,50
1 .. 15,400 "
17 500 89,9 - 250 -0,14 + 0,05 6,028
.. "
Wstawiaj,!c dane z tej tablicy we wz. (207), znajdziemy:
-3
X = 243,9. 10
-6 - 4000 kg.
60.81 . 10
215
9 121. Z1\STOSOW1\NIE SPOSOBU MOHR'l\ DO WYZN1\CZENIl\ PRZESUNII:;é
Skoro wyznaczymy napi cia w pr tach, to mo:temy obliczy odpowiadajqce warto ci l\ 1 i daisze badanie odksztal-
cenia kratownicy sprowadza si do zadania czysto geomelrycznego: z danych zmian dlugo ci pr t6w znale:ft przesuniçcia
w zl6w. To zadanie rozwiqzuje Mohr przy pomocy zasady prac przygotowanych. Podobnie jak przy szukaniu zbytecznych
niewiadomych, trzeba tutaj za ka:idym razem por6wnywaé dwa slany ukladu. Za I-szy przyjmujemy stan rzeczYl!1isty, dia
kt6rego szukamy przesuniçé. DIli. otrzymania II-go stanu usuwamy wszystkie dane obciq:tenia i zhyteczne niewiadome,
jeZeli uldad jest statycznie niewyznaczalny, i dzialamy na uklad uog6Inionq sÏlq r6wn'l 1, odpowiadajélcq szukanemu prze-
suniçciu. Przyr6wnawszy do zera prac si\ II.go stanu na przesuni ciach, odpowiadajqcych slanowi I-mu, olrzymamy
r6wnanie dia wyznaczenia szukanej wieikogci. Skoro przez x oznaczymy szukane przesuni cie, przez & Ii wyd\U:ienia prç-
t6w, odpowiadajqce I-mu stanowi, a przez Si napi cia w pr tach przy stanie II-gim, natenczas r6wnaniem dia znaie-
zienia x bçdzie: 1 _ '" S . " 1 - - 0 (209)
.X "" lU 1- . .
Zastosujemy 10 do przykladu przedstawionego na rys. (304). Belka kratowa statyczde wyznaczalna podlega dzialaniu
obci'l:ieti. pionowych 'Ill w zlach pasu dolnego. Wymiary pr t6w i napi cia Si zestawiono w tablicy umieszczonej ponitej.
Dajmy na to, ie chodzi 0 pionowe ugiçcie rodkowego w zla A w pasie dolnym. SiI'l, odpowiadaj,!cq temu przesuniçciu,
b dzie sila pionowa, dzialaj,!ca na wçzel A, wobec czego jako II-gi stan ukladu trzeba przyjqé obei,!-
ienie, przedstawione na lig. (b). Napiçcia Si dia tego stanu, jakotei wartœci iloczyn6w:
Solli
ESi8Ii-Si-
Fi
podaje r6wniei tablica. (Jako warto é sp6lczynnika sprçiystogci
Wstawiajqc dane z lej tablicy w r6w. (209), znajdziemy:
822
x = 2: Si &Ii= 2000 = 0,4] cm.
E przyj lo lolaj 2. lOS kR/cm 2 ).
If 11
A ;In"'"
"n 11. ;/9
.
Ry.. 3C4
W podobny spos6b moina znaleié przesuni cia 'Ill przypadku ukladu statycznie niewyznaczalnego. Usuwamy zbçdne
ustalenia i zbçdne pr ty, a ich dzialanie na ukIad zastçpujemy odpowiadajqcemi silami, znalezionemi jednym z powyiej
wskazanych sposob6w. Ti! drogi! zamienia si uklad na statycznie wyznaczalny i przy obliczeniu przesuni é mamy do
czynienia tylko z pr tami niezbçdnemi.
TfiBLICl\ do rys. 304
1 1 , 1
L. p., Ii (cm) Fi ( cm ) 1 Soi (t) 1 Si (t) ESi &Ii
pr a 1
1
1 1 500 1 30 13,75 - 0,625 j 143
1 -
-1- 300 1 15 , 8,25 + 0,375 1 62
2 ' 1 -r
I 400 1 10 T 8,00 0 i 0
4 300 1 15 , 8,25 , 0,375 62
-r -r
5 500 10 + 3.75 + 0,625 117
6 500 20 - 10,50 - 0,750 24
.
7 500 10 + 6,25 + 0,625 195
-
8 300 15 + 6.75 + 0,375 51
9 400 ! 10 + 4,00 1 0 0
- 1
10 500 1 30 - 11,25 1 - 0,625 117
11 300 ]5 + 6,75 + 0,375 51
Pokazaligmy tedy, jak, przy utyciu sposobu Mohr'a, mOZna obliczyé przesuni cie jakiegokolwiek w zla kratownicy
'Ill danym kierunku. file przy obliczeniach wypada niekiedy wyznaczyé k'lty obrotu poszczeg6lnych prçt6w, to zn6w zna-
le:fé zmian kqt6w miçdzy pr tami. Te zadania mo:tna rozwiqza bez trudno ci, obrawszy 111 slo-
sowny spos6b sily, odpowiadajqce II-mu stanowi ukladu. Skoro nam chodzi np. 0 kqt obrolo
prçta RB (rys. 305), to jako II-gi stan trzeba przyÏé!é obciqienie przedstawione na Eg. (b). Na
k06ce prçta dzialaj'l tutaj sily R prostopadle do jego osi i tworZilce parç 0 mome.ncie
RI = 1.
A C
F'
A R C
Przy obrocie pr ta AB 0 kqt & tp wykona ta para prac 1. &!p. Jeieli przez Soi oznaczymy napi cia
wywolane rzeczy;wistem obcii!zeniem kratownicy, a przez Si napi cia w I1-gim stanie uldadu, to
zasada prac przygotowanych da nam r6wnanie:
Rya. 305
SOi 1;
1.&!p- -S; = 0,
EFi
216
z kt6rego motna znalezf szukany kilt obrotu pr ta 1fB. Skoro chcemy znaleté zmianç kqta a miçdzy pr tami IfB i BC,
to jako II-gi stan nale:iy przyj'l obci'ltenie dwiema parami, przedstawione na rys. (306), przyczem sily R i Rt trzeba
obrac5 tak, aby
A {
R.
R/O ..
RI=Rt h =1.
Zmian kqta a znajdziemy z r6wnania:
Rys. 31'6
So' Ii
1.0((- -S, = O.
EFi
122. Z1\STOSOW1\NIE SPOSOBU MOHR'R DO B1\D1\NI1\ ST1\TYCZNIE NIEWYZNR-
CZ1\LNYCH PRZYPRDRÔW ZGIECI1\ BELER
W odr6:tnieniu od zadati poprzednich mamy tutaj do czynienia z nieskoticzonq ilo iq sp61rzçdnych. poniewai
ugiçciu w katdym przekroju belki moina udzielié dowolnego przyro:>tu , byleby uczynié zadogé warunkowi ci'lgl ci. Przy
obiorze sp6lrz dnych takiego ukladu postqpimy w ten spos6b: Szeregiem przekroj6w poprzecznych dzielimy be]kç na ele-
enty d x. Energja zgiçcia takiego elementu jest zupelnie okre ona odpowiadajqcq wielkogci'l momentu zginajqcego M
(:z: pomini ciem IIIp1ywU nll.prçiu'i cinajqcy(h, zakzny(h od sil poprzeczny(h). Jako sp61rz dna dia tego momentu bçd:z:ie
sluzyé kélt wzgl dnego obrotu dwu niesko6czenie bliskich przekroj6w:
8 _ M dx
cp- El .
Tak samo, jak przy badaniu odksztalcenia kratownic, wypadnie nam por6wna dwa stany uk'adu. Jako I-szy stan przyj-
miemy rzeczywisty stan ukladu, kiedy opr6cz danych sil zewn trznych dzialajq na uklad takte reakcje statycznie niewy-
znaczalne X, Y, Z, ..., zast pujqce ustalenia zb dne. Stan II-gi otrzymamy, usuwajqc ws:z:ystkie sily zewnçtrzne oraz
zbyteczne niewiadome, i dzialaji!c zarniast jednej z tych niewiadomych sHi! r6wnq 1. Przyr6wnywujqc do zera pracç sH
II go stanu na przesuniçciach stanu I-go, otrzymamy potrzebne nam r6wnanie. Oznaczywszy przez Mt moment zginaj'lcy
przy II-gim stanie, a przez x przesuniçcie [-go stanu, odpowiadajqce szukanej zbytecznej niewiadomej X, napiszemy
r6wnanie r6wnowagi w postaci:
1.x- x MI =0 . (210)
Zastosujmy to do przypadku belki jednym koticem utwierdzonej, a drugim podpartej, zginanej obciq-
tcniem r6wnomiernie rozlotonem qkglcm (rys. 307). Za zbyteczn4 niewiadomq przyjmiemy reakcjç prawej pod-
pory X. Momentem zginajélcym przekroju mn bçdzie przy I-szym stanie:
x'
M=Xx-qT'
Tente moment w II-gim stanie r6wna siç:
Mt = lx.
Wielkogé X znajdziemy przeto z r6wnania
: il (xx-q 2 ) xd.r:=O.
Pierwszy wyraz w r6w. (210) :z:nika w naszym przypadku. albowiem pod-
pora B nie doznaje przesuni é w kierunku reakcji X. Wykonll.wszy calko-
wanie dojdziemy do znanej jut wart ci X.
FiS. à.
ID X
[.-... .--î B
n J
a1
t,,' ";
/,1 fi b.
Rys. 307
123. 0 N1\PREZENI1\CH PIERWOTNYCH W URLl\D1\CH STl\TYCZNIE
NIEWYZN1\CZ1\LNYCH
Zauwazylismy juz pierwej, .te w ukladach statycznie wyznaczalnych [elementarna] zmiana
dlugosci jakiegokolwiek pr ta, lub polozenia punktôw podparcia nie wywoluje naprçzen dodatko-
wych. W odmiennych warunkach znajdujé! siç uklady, majé!ce nzbçdne prçty", lub "zb dne ustalenia".
czyIi uklady statycznie niewyznaczalne. Geometryczne rozmiary ukladu Si! zupelnie okreslone prç-
tami i ustaleniami "niezb dnemi", azeby wi c jakikolwiek pr t dodatkowy nie wywolal nowych
napiçé w ukladzie, musi dtugosé tego prçta byé dokladnie rôwnC! odleglosci mi dzy odpowiadaji!-
cemi w zlami. Podobniez musi mieé dodatkowa podpora scisle okreslone polozenie. Objasnimy to
jeszcze na przykladach.
Uklad JI B CD (rys. 308) posiada jeden pr t zbyteczny, a mianowicie przeké!tnq B D. Jezeli
dlugosé tej przek(!tnej nie odpowiada odleglosci mi dzy w zlami B i D, to dia wstawienia jej na
miejsce wypadnie j(! nieco scisn(!é lub rozci(!gn(!é. Wstawiwszy przek(!tn(! w napi tym stanie, wy-
wolamy oczywiscie napi cia i w pozostalych pr tach ukladu. Te napi cia nie majq
nie wsp61nego z napi ciami, wywolanemi w pr tach przez sily zewn trzne i b dq
zalezne tylko od tego, 0 He pierwotna dlugosé przeki}tnej B D r6zni si od odle
gloscÏ mi dzy w zlami B i D. Te napi cia b dq zachodzié i w6wczas, gdy zaane
sily zewn trzne na uklad nie dzialaj(!.
Jako drugi przyklad weimiemy belk cii}gli} dwuprz slowi} (rys. 309). Srodkowa
podpora okazuje si zb nq i skoro ji} umiescimy wyzej lub nizej od prostej JI C,
l(!cz(!cej podpory skrajne, to przez to wywolamy w belce napr zenia dodatkowe niezalezne od sil
zewn trznych, na belk dzialaj(!cych.
Pokazemy teraz na szczeg610wych przykladach, jak przy pomocy wyprowadzonych twierdzen
og6lnych mozna wyznaczyé dodatkowe napi cia (wzglçdnie wywolane niemi napr zenia), uwarun-
e tkowane niedokladnosciami w polozeniu podpôr, lub w dlugosciach
"zb dnych prçt6w". Te zadania majq znaczenie praktyczne takze
dlatego, poniewaz niekiedy odst puje siç rozIDySlnie od geome-
trycznych wymiarôw czçsci skladowych konstrukcji, aby wy-
wolaé pewne napr zenia pierwotne, ktôre potem sumuji} si
z n(!pr zeniami wskutek sil zewn trznych. Czasami udaje siç tq drogq osiqgnqé korzystniejszy
rozklad napr zen w ukladzie. Wezmy np. luk dwuprzegubowy (rys. 310). Obie podpory majij stale
przeguby, jedno zatem ustalenie okazuje siç zbytecznem, a mianowicie to, kt6re zapobiega zmianie
<><Ueglosci koncowych wçzl6w .II i B. Jezeli odstçp mi dzy
temi w zlàmi jest dokladnie r6wny odleglosci podp6r, to mozna
kratownicç ustawié swobodnie na podporach, a w ukladzie nie
powstanq zadne naprçzenia POcz(!tkowe. Przyjmijmy teraz, ze
odst p mi dzy w zlami .II i B jest wiçkszy od odleglosci pod-
por 0 mal(! wielkosé B. 1\zeby kratownic wstawié na miejsce,
musimy zblizyé do siebie w zly .II i B 0 wielkosé 5, dzialajé!'C
. na nie silami X. Po wstawieniu kratownicy na miejsce, po
wstanq przeto w pr tach napi cia, odpowiadaji}ce silom X. Dia
znalezienia X najdogodniej zastosowaé twier,dzenie Castigliano'a.
Oznaczmy przez S 1 napi cia, jakieby powstaly w pr tach na-
szej kratownicy, gdyby zamiast sil X dzialaly sily rôwne 1.
(La.two je znaleié kresl(!c plan sil Cremona'y). Wtedy przy
dzialaniu sil X powstanq napi cia SI J X. Energjq potencjalm
ukladu b zie
ô
'" (S 1 i)' Ii
EPi
Podobniez mozna znalezé napiçcie w belce kratowej cÏ(!glej,
wywolane niejednakowq wysokosci(! podpôr.
Weimy teraz przypadek, kiedy dlugosé jakiegokolwiek
pr ta ulrladu statycznie niewyznaczalnego nie odpowiada
odleglosci miçdzy wçzlami. Dajmy na to, ze p t JI C
(rys. 311) jest kr6tszy od odst pu mi dzy w zlami JI i C
o wieIkosé B. DIa wstawienia tego pr ta trzeba b dzie rozcÏij-
A
B
Rys. 3(,9
V y (S1 i )2 X' Li
= 2EF i '
a na podstawie twierdzenia Castigliano'a otrzymamy:
j) V , (Sli)' X Ii
â X = E Fi = 5,
skijd X =
:fi
fiS â.
Rys. 311
217
lx!
Rys_ 3œ
fis.a.
. --.-.... L ----' ,
Rys. 310
. (211 )
218
gn4 é go 0 1) i potem w takim napiçtym stanie przymocowaé go do w zl6w JI i C. T aki pr t b dzie
oczywi cie wywieral na w zly dzialanie, kt6re mozemy zast pié si!ami X. Do ich obliczenia mo-
zemy utyé twierdzenia Castigliano'a. Nieeh bçd q SI i X napi ciami w prçtach kratownicy, po-
wstalemi wskutek sil X, natenezas energja potencjalna ukladu:
( s i ) ' X'/. 1- il V (S i)' Ii
V y. l , t 1 X y 1
1 = -- 2 E Fi ,a za em il X = ... E Fi
okresla zblizenie w zl6w JI i C pod wplywem sH X. Energj rozpatrywanego pr ta JI C (Hg. b)
bçdzie: X I I il V Xl
V .. Ik 2
2 = 2 EF ' a WI C Wle ose -ax = EF
przedstawi nam jego wydluzenie pod dzialaniem si! X. lest rzeezêl jasn ,
dodane do wydluzenia prçta Il e, musi daé wieIko é o. Stêld rôwnanie:
(SI i)1 l, 1
X - EFi + X EF = ô, z kt6rego obliezymy: X =
ze zblizenie w zl6w JI i C,
o
1 (Sli)ll i
EF + EFi
(212)
9 124. N1\PREZENI1\ TERMICZNE W URLF\D1\CH STI\TYCZNIE NIEWYZN1\CZ1\LNYCH
W kratownicy statyeznie wyznaezalnej nie powstanêl dodatkowe naprçzenia przy r6wnomiernej
zmianie temperatury jakichkoIwiek pr t6w ukladu, a tembardziej przy takiejze zmianie temperatury
ealego uldadu, poniewaz zmiany dlugosci oddzieInych eIement6w Sq od siebie niezaIezne. Inaezej
ma siç rzecz u kratownic statyeznie niewyznaezaInyeh. T utaj zmiany dlugosci element6w nie mog
byé dowolne, wobec ezego podwyzszenie lub obnizenie temperatury wywoiuje zwykIe podobny
skutek, jak bi dy w dlugosci pr t6w, lub w potozeniu podp6r. Napr zenia wywoiane zmianq tem-
peratury, czyli na p r zen i a ter mie z n e, mogq byé niekiedy bardzo znaezne i przy obliczeniach
trzeba je doiqezyé do napr zen powstaiych wskutek danyeh obciqzen. Obliczenia napr zen termi-
eznyeh mozna dokonaé przy pomoey og6Inych twierdzen dowiedzionyeh poprzednio. Tok rachunku
objasnimy na przyldadaeh.
Wezmy iuk dwuprzegubowy, przedstawiony na rys (310). Skoro temperatura wszystkich prç-
tôw podniesie si 0 tO, to przy swobodnem wydluzeniu kazdy z pr t6w zwi kszylby SWq dlugosé
o a 1 t, przyczem a oznacza sp6lczynnik wydluzenia termicznego, a 1 dlugosé pr ta. Pierwotna
rozpiçtosé luku L zwiçkszylaby siç 0 dlugosé
ô = aL t.
Wskutek staloscÏ przegubôw podporowyeh pojawi q siç reakeje X, przeszkadzajqce zwiçkszeniu
rozpiçtosci. Ich wielkosé znajdziemy oezywi cie z warunku, ze wywolane niemi skr6cenie rozpiç-
tosci znosi siç z powiçkszeniem ô wskutek podwyzszenia temperatury. DIa wyznaezenia X mozna
zatem zastosowaé wz6r (211) z poprzedniego paragrafu. Podstawiajêlc zamiast ô powYZSZq warto é
otrzymamy: . aL t
X = -- (S1 i )'/ i . (213)
2---
EF i
Podobniez mozna utyé wzoru (212) z poprzedniego paragrafu do okreslenia naprçzen, jakie po-
wstajq wskutek podwyzszenia temperatury jakiegokoIwiek jednego prçta. Podwyzszenie temperatury
pewnego prçta jest bowiem rôwnoznaczne z tem, ze dlugosé prçta jest wiçksz q od odleglosci miç-
dzy odpowiadajqcemi wçzlami 0 wielko é 0 = ait. W takim razie musi byé prçt uprzednio sci-
sniçty i po wsiawieniu na miejsee bçdzie dqzyl do rozsuniçcia odpowiadajqcyeh wçz16w. Napi cie
ogrzanego prçta, jakie przytem powsiaje, znajdziemy na podstawie wzoru (l t 2), a mianowicie:
a.1t
X = - 1 (Sl ipf . (214)
EF + EFi
219
jezeli mamy do czynienia z podwyzszeniem temperatury calego szeregu pr t6w w danym ukladzie,
to najdogodniej poslu:iyé si sposobem Mohr'a. Wydiuzenie pr t6w wskutek jednoczesnego dzialania
obci zen i podwyzszenia temperatury przedstawi wz6r postaci:
(SOi + Sl i X + S2 i y + S3 i Z + ...)I i
" Ii = a 1ïti + E F,
Ten stan uktadu b dziemy uwazaé za I-szy. Stan II gi obieramy tak, jakesmy to czynili poprze-
dnio, t. j. usuwamy wszystkie obciqzenia i zbyteczne niewiadome, a jednq z tych niewiadomych
zast pujemi sHami r6wnemi 1. Przyr6wnywujqc do zera prac sH II-go stanu na przesuni ciach,
odpowiadaj cych stanowi I-mu, otrzymamy dostateczn liczb r6wnaii do obliczenia zbytecznych
niewiadomych. W przypadku ukladu z jednym pr tem zb dnym, przybierze r6wnanie postaé:
( Xl ) ( s i + S iX
-1 alt+- - Sli 0 1 +al;ti) = 0
EF i=I,2.3,.. EF i
S d mo:zna obliczyé X.
. (215)
ROZDZI1\L XV
PRZYBLIZONY SPOSOB BF\Dl\NIl\ ZGI Cll\ PR 6w 1)
9 125. OGOLNY Z1\RYS METODY
Badanie zgl cla pr t6w, polegajqce na calkowaniu odpowiadajqcych r6wnan r6zniczkowych,
nie przedstawia zadnych trudnosci, dop6ki da si stosowaé zasada superpozycji, albo w przypad-
kach statycznie niewyznaczalnych, dop6ki liczba zbytecznych niewiadomych jest niewielka. 1\toli
juz badanie jednoczesnego dzialania zginania ze sciskaniem lub rozcii}ganiem (9 112) prowadzi do
zbyt zawilych wzor6w, nieprzydatnych do praktycznego zastosowania, a w tych przypadkach zgi cia,
gdzie mamy do czynienia z wi kszq iloscÏi zbytecznych niewiadomych, wymaga obliczenie bardzo
zmudnej, a niekiedy i wprost niewykonalnej pracy, polegajqcej na rozwiqzaniu uktadu wielu r6w-
nan. W wielu wypadkach mozna rozwiqzanie takich zadan uproscié i otrzymaé wynik przyblizony
z dostateczn dIa praktycznych zastosowan doktadnosci q , bez
uciekania siç do calkowania odpowiadajqcych rownan. Metoda 0
przyblizona polega na zastosowaniu zasady prac przygotowa-
nych; punkt wyjscia stanowi zatem r6w. (190). Wezmy pod
uwag belk prosti}, obcii}zonq uktadem ci zar6w pionowych Pi
(rys.312). Zwaiywszy, ie praca kaidej z sH na dowolnem prze-
suni ciu przygotowanem jest r6wna Pi 6 Yi, przyczem 0 Yi ozna-
cza przyrost ugi cia pod sib Pi, mozemy r6w. (190) przedstawié
w postaci:
J! (: \_-- -
"""--- t f _ , '
/ .: w.
('--- :, i
:- ...-: £'2 -------.! 1
L- ., t:J -- , ----' :
L ---- " -----
y
.2 Pi Q y; - 0 V = 0 .
i=1,2, 3, ...
co wyrata, ze praca sU zewn trznych na jakiemkolwiek moiliwem odchyleniu zgiçtej osi belki od
polozenia r6wnowagi r6wna si odpowiadaji}cemu przyrostowi energji potencjalnej. Poniewai pod-
czas przesuniçé przygotowanych sity Pi zachowuji} state wartoSci, wiçc r6w. (216) da siç jeszcze
przedstawié w postaci:
. (216)
Rys. 312
o (.2 Pi Yi - V) = 0
i=I.,1,3,._
. (211)
Znaczy to, te przyrost wyrazenia uj tego w nawiasy przy jakimkolwiek mozliwem odchyleniu od
potozenia r6wnowagi osiqga swojq warlosé kraiicowq, t. j. maximum albo minimum. T en wniosek
1) Obszerniej traktuje ti kwestjç praca autora: "Primienienje normalnych koordinat k' izsljedowanju izgiba stier:tniei
i plastinok". Izw. Kijews. PoL InsL 1910 r.
Ob. taMe "Ruts Tieorij Uprugosti", cz. Il, str. 50.
220
dostarcza nam sposobu do znalezienia zgi tej osi belki. Ze wszystkich mozliwych postaci trzeba
wybraé tak q , kt6rej odpowiada kraiicowa wartosé ("ext mum") wyrazenia:
2 PiYi - V::". V . (218)
Ta postaé b dzie szukanq postaci q r6wnowagi osi belki. Dia okresienia postaci zginanego spr zy-
stego pr ta potrzeba oczywiscie nieskoiiczonej Iiczby sp61rz dnych, poniewaz ugi cie w kazdym
punkcie jest wieIkosci q dowoInq. Mamy zatem do czynienia z ukladem 0 nieskoiiczonej liczbie
stopni swobody, a szukanie kraiicowej wartosci wyrazenia (218) prowadzi do zadania z rachunku
przemiennosci. Mo:iemy jednak:ie uproscié rozwiqzanie i znaIezé wyrazenie przybIi:ione dIa szuka
nej postaci r6wnowagi drogq elementarnq, korzyslajqc z lej okoIicznosci, ze przyblizona postaé
Iinji ugi cia przy danych obciqzeniach i danych warunkach kraiicowych jesf znanq. Kladqc
y = cp(x}
mo:ina dobraé ksztalt funkcji cp (x) tak, aby uczynié iadosé warunkôm kraiicowym i aby okresIona
ni q krzywa zbli:iala si do szukanej linji ugi cia. Ostatniemu warunkowi mozna dogodzié obrawszy
dia cp(x) wyra:ienie, zawierajqce kilka dowoinych parametr6w. Zmieniajqc wieIkosci tych 'parame-
trow, otrzymamy rozmaite ksztalty krzywej. R:ieby znalezé postaé najbardziej zblizonq do rzeczy-
wistej, obierzemy dIa d woInych parametr6w takie wartosci, przy kt6rych wyrazenie (2 i 8) osiqga
maximum albo minimum. Poniewaz teraz mamy do czynienia ze skoiiczonq liczb q zmiennych,
wi c zadanie sprowadza si do poszukiwania zwyklej wartosci kraiicowej. W tym celu trzeba tyIko
utworzyé ppchodne wyra:ienia (218) wzgI dem kazdego z parametr6w i przyrôwnaé je do zera.
Otrzymane r6wnania poslu:iq do wyznaczenia odpowiednich wartosci parametr6w. lm wi kszq
wezmiemy Iiczb parametr6w, tem bardziej zbIi:iy si nasza krzywa do szukanej, tem dokladniej
szem b dzie rozwiqzanie przyblizone. Przy rozpatrywaniu zadaii szczeg610wych zobaczymy, ze
poprzestajqc tylko na jednym dowoInym parametrze, mo:ina, przy udatnym wyborze funkcji cp(x),
otrzymaé wynik zupetnie zadowaIajqcy.
126. ZGII CIE BELEK W OBU RONCRCH PODPRRTYCH
Metod , wylotonq w poprzednim paragrafie, zastosujemy do badania zgi cia belek proslych
pod dzialaniem ukladu ci zar6w pionowych 0 jednym i tym samym kierunku (rys. 312). W tym
przypadku os belki zegnie si podlug krzywej bez punkt6w przegi cia i miejsce najwi kszego ugi
da b zie Iezeé w poblitu srodka rozpi tosci. Jako pierwsze przybIizenie przyjmiemy, te belka
ugina si podlug sinusoidy, czyli:
f . :ex
y = sm,.
Latwo zauwatyé, te przyj ta postaé ugi cia czyni zadosé warunkom granicznym, albowiem
przy x = 0 i x = 1 stajq si wielkosci y i y" zerami, a zatem nà podporach ugi cia i moment y
zginajqce r6wnajq si zero, co odpowiada zupelnie podparciu obu koiic6w. Ugi ciem belki w od
leglosci Ci od lewego koiica b dzie
f . :TC Ci
Yi= sm-r'
Najwi ksze ugi cie, odpowiadajqce srodkowi rozpi tosci, rowna si widocznie f. Wyratenie (218)
przybierze w danym przypadku szczeg6lnym postaé:
f n . :TC Ci If.
.,r; sm -r.:;:::.; .
Utworzywszy pochodn q tego wyraienia wzgI dem fi przyr6wnawszy jq do zera, otrzymamy r6wnanie:
à V P ' :TC Ci
8f =., i sm-r . (2.19)
221
z kt6rego mo:ina znalefé wartosé parametru f. Do tego trzeba tylko wyrazié V jako funkcj ugi -
da. Na podstawie wynik6w poprzednio otrzymanych (wz, 184) mamy dIa energji zgi cia wyrazenie":
V= E1 (1 ( " ) 2 d =E! ,,4f2J I. >! "x d = ;[4E1 f l )
2 )0 y x 2 [4 )0 sm 1 x 41 1 . (220
Wstawiwszy je w r6w. (219) otrzymamy:
f 2 II 'U n . ;[ Ci
= :n4 Er' :;,r-i sm-T
. (221)
.F\zeby ocenié dokladnosé tego wzoru zastosujemy go do kilku szczeg61nych przypadk6w.
Jezeli na belce znajduje si jeden ci zar P, to ugi ciem w srodku b dzie:
2l s ." e
f= ,,4 El Psm-I .
Przy e = , t. j. przy obci zeniu lezé!cem w srodku rozpi tosci:
2 PIs 1 PIs
f= n 4 El = 48 ) El"
T en wynik r61ni si od dokladnej lormuly:
pp
f= 48 El
w przyblizeniu 0 1,5%.
Skoro b dziemy zmniejszaé odleglosé e, a przytem zwi kszaé P w ten spos6b, aby iloczyn
Pe zachowywal stal wartosé M, to w granicy dojdziemy do zginania belki parq sit, dzialajqcq na
koniec. Z wazywszy, ze przy malych wartosdach e:
. ne ;[e
sm T=T'
otrzyrnamy dIa ugi cia w srodku wyrazenie:
21 s fiC 2 Ml!! MIl
f= n 4 EI . PT = J'tl . El = 15,5EI '
t. j. wielkosé r6zni c si od dokladnego rozwiqzania mniej wi cej 0 3 Ii ". 1\ zatem nawet dIa tak
skrajnego polozenia obci zenia daje wz6r przyblizony wynik wcale zadowalajqcy.
Od zgi cia silarni skupionemi latwo przejsé do obciqzenia ciqglego, rozlozonego wedlug do-
wolnego prawa. Oznaczmy przez q nat 1enie obcié!zenia, kt6re w og6lnym przypadku b dzie pewnq
funkcj zmiennej x. Jezeli wydzielimy obcié!zenie elementarne qdx w odleglosci x od lewej pod-
pory, to wy'¥olane tem obci zeniem ugi cie srodka belki bçdzie:
2Is . :r X
ôf= :r'EI q dx sm T'
Sumuj c dziatania obcié!zen elementarnych, znajdzierny calkowite ugi cie:
2i ' ri . 1tX
f= El )oqsmTdx .
W szczeg61nym przypadku r6wnomiemego rozkladu obcié!zenia, t. j. dIa stalego q, otrzymamy:
2qlS ri. 1CX 4qI4. ql4.
f= n'El )osm T dx = :r 5 EI = 76,5Er
Dokladne rozwié}Zanie daje w tyrn przypadku:
5 q14_ qI4.
f= 384 El - 76,8Er
BI d przyblizonego rozwiilZania jest przeto rnniejszy od 1/2%.
. (222)
222
fig a.
:-u.f?
- l-
1 y j!,;g: b.
1
1 :
:-3"' : :
1 V L'. fi = Ûm } jT,).'
i /IS.t:'. J '1
Jeteli nam zalezy na wi kszej dokiadno ci. ta trzeba. jak jut powiedzieli my. zwi kszyé liczb dowolnych pareh1e-
tr6w. wchodz'lcych w wyratenie dIa zgi tej osi. W rozpatrywanym przypadku motna to powiçkszenie osiqgn é przez su-
perpozycj oddzielnych sinusoid. Przyjmijmy np.
x 2 x 3 x
y ft sin T + t; sin 1 + t3 sin 1 + '" . (223)
Katdemu wyrazowi tego szeregu b dzie odpowiadaé sinusoida 0 innej
dlugo ci faH (rys. 313). Ratda z nich czyni zadogé warunkom krëUScowym
i aby przez superpozycjç sinusoid otrzymaé postaé najblizszq szukanej, trzeba
X wielko ci fs. f".... dobraé tak, aby wyrazenie (218) przybralo war10gé maxi-
mum albo minimum. Wstawmy w to wyratenie wartogé y z r6w. (223),
a otrzymamy:
p ( ' . Ci ,. 2 Ci f: . 3 Ci ) V 0
i Il sm-,- + ",sm-, + ssm-, +... - =.
X Utworzywszy pochodne wzgl dem dowolny('h parametr6w ft, {",... i przy-
r6wnawszy je do zera, mamy:
1
[
x
1
-J-, ]iJ..;
l/ =lSI/l- f
1 1 1
1
1
1
1
,
Jj=£sin 2 [;r 1
8V . Ci 1
8f1 =LPi sm-,
. .L i i .Ci. J
DIa wyznaczenia wielkogcj f1' f",... trzeba w te r6wnania zamiast V wstawié wartogé:
. (224)
Rys.313
El (l, ""EI(I ( . x . 2 x . 3 x ) " ",,4 El
Y'- T )}t )Sdx= 2"[< )D fi sm T + 2 2 f1 sm -y- + 3 1 f3 SIn-y- +... dX="4p (pl+2 4 rl+3 4 ra+...) . (225)
Ostldni wynik latwo otrzymaé. zwatywszy, te wyra:ienie pod znakiem calki, po wykonaniu Potfgowania, bçdzie zawieraé
czlony dwojakiej postaci:
2 ' f, . n x " " . m:n:x. 4 f ' .. n x
n n sm -,--. m msm-,-- 1 n n sm -y-, przyczem n=I, 2, 3,...; m=], 2, 3,...,
l. n x . m x l n x 1
oraz te sm _ 1 sm _ 1 dx=O przy m=l=n za sin'-dx=-.
o 0 1 2
R6wnania (224) napiszemy przeto w postaci:
EI, . "'Ci
--zi8 Il = :E Pl SIn -,-- ,
",4 E 1 2 41 _ '5' n. . 2:n:Ci
218 Il - n sm ,-,
a stlld
, 2P n.' :n:Ci
Il = ;t.EI Ln sm-,-,
, _] 21 3 '5' ' . 2,.. Ci
12-2""' EI Plsm-"
1 21' . 3:n:Ci
fa = F . EI :EPi sm-"
Dia znalezienia ugi cia trzeba tylko te warlogçi Ih Is,... wstawié w wyra:ienie (223) dIa y.
Biori!c pod uwag . np. przypadek obciqzenia jednq sili! skupioni! P w grodku rozpi to ci, mamy:
1 .:n:e . 2:11: C 3 - e
c = - sm - = l' sin - - O . . ..
2' 1 · 1 - ,sm, -I;...
a wiçc: 21 8 1 21 8
fi = :n:'EI p. f. = o. fa -3"" ",4 El p....
Wyra:ienie dia linji ugi cia (wz. 223) przebierze w tym przypadktl postaé:
2PI8 ( .:n:x 1. 3:n:x 1 . 5",x )
y = EI .slDT-3"'sm,+yslDT-."
l\:teby znale1é ugi e w !!rodku belki, trzeba wstawié x"'" +. a wtedy:
2P18 ( l' 1 )
f= EI 1+3"'+"54+....
223
Zatrzymui'lc tylko pierwszy wyraz szeregu, dojdziemy do otrzymanego poprzednio pierwszego przybIiteniB. DWB pienrsze
wyrazy szeregu dadzq nam drugie przyblizenie:
2 ( . 1 Pli Pli
f = 7 ] + 8f) El = 48,1£ 1'
r6znÎl!ce siç od rozwiqzania dokladnego 0 mniej nit 1/ %. W dalszym ciqgu bçdziemy zwykle poprzestawaé na pierwszem
przybliteniu, dajqcem dokladnogt zupelnie wystarczajqcq do cel6w praktycznych.
Jezeli si b dziemy poslugiwaé poj ciami "uog6lnionej sp6lrz dnej" i "uog6lnionej sHy", to
r6wnania (219) i (224), kt6re stosowalismy do znalezienia parametr6w f, (u 1'2'" ., przybierajq bar-
dzo proste znaczenie. Wezmy np. r6wnanie (219). Przypuszczajqc, ze nasza belka zgina si podlug
sinusoidy . ;r X
y=( sm T
zamienilismy jq tem samem w uklad 0 jednym stopniu swobody. Dia okreslenia w zystkich ele-
ment6w zgi cia, l j. ugi cia, kqta nachylenia stycznej i krzywizny w dowolnym przekroju, wystar-
czy znaé tylko wielkosé f. T wielkosé przyjmiemy za uog6lnionq sp6lrz dnq ukladu. Jakze b dzie
w takim przypadku wyglqdaé uog61niona sila? fueby odpowiedzieé na to pytanie udzielmy naszej
sp6lrz dnej bardzo malego przyrostu ô (i znajdzmy prac odpowiadajqcq temu przyrostowi. Czyn-
nik, przez kt6ry trzeba pomnozyé ô f, azeby otrzymaé prac , b zie tedy, stosownie do okreSlenia
przyj tego dawniej, szukanq uog61nionq sil q . Przyrostowi sp6lrz nej ô ( odpowiada przesuni cie
punktu dzialania sily Pi 0 wielkosé Ô f sin !!- ' , przyczem powstanie praca Pi Ô f sin ;r ' . Prac
wszystkich obciêlZen dzialajqcych na belk przedstawi suma:
xc-
afL :isin-/,
a zatem L Pi sin 1Ct jest niczem innem, jak uog6lnionq sHq, odpowiadajqcq sp6lrz dnej ,. Po
tych rozwazaniach mozna r6w. (219) otrzymaé od razu przez przyr6wnanie pochodnej energji po-
tencjalnej wzgl dem sp6lrz dnej do odpowiedniej uog6lnionej sHy. To samo mozna powiedzieé
w odniesieniu do r6wnan (224). Wielkosci lu f2' f3"" okazujq si uog6lnionemi sp6lrz dnemi
ukladu, a sumy po prawej stronie tych r6wnan b dq odpowiadajqcemi uo 6lnionemi silami. W wy-
razenie dia V (wz. 225) wchodz q tylko kwadraty wielkosci fu f2"'" kt6re przeto okazujq si "gl6w-
nemi", albo "normalnemi" sp61rz dnemi ukladu.
127. JEDNOCZESNE DZI1\Ll\NIE ROZCIl\G1\NI1\ LUB SCISR1\NI1\ 1 ZGI CI1\
Dop6ki poprzeczne rozmiary pr ta nie Sq zbyt male w por6wnaniu z jego dlugosci q , mozna,
przy jednoczesnem dzialaniu sil podluznych j poprzecznych, poslugiwaé si zasad<! superpozycji
i dodawaé napr zeni@ wskutek zgi cia do napr zen wskutek sil podluznych. .1\toli w przypadku
pr t6w gi tkich moze takie skladanie doprowadzié do wi kszych bl d6w, poniewaz sily podluzne
wywolujq przy pewnych warunkach znaczne zmiany w napr zeniach zginajqcych. Badanie wplywu
sil podtuznych na ugi cie sprowadza si do calkov.rania r6wnania r6zniczkowego linji ugi cia,
a ostateczne wyrazenie dia ugi cia, nawet w najprostszych przypadkach 1), przedstawia si dosé
zawil q lormwq, niedogodnq do obliczen ( 112). Przyblizona metoda okazuje si lN tych przypad-
1) Szereg zada6; tego rodzaju obejmujq prace fi. P. Van der Vliet'a, umieszczone w"lzw. Sobr. Int. Put.
Soobszcz." z lat 1900-19C3 i W "Izw. Petersb. Polit. Inst." z r. 1904. W tych pracach znajduj siç tablice szczeg610we,
ulatwiajqce znaczDÏe obliczenia. Rozwiqzanie tych:ie samych zadat'i znajduje si w dziele autora: "Rurs Tieorij Uprugosti",
cz. Il, str. 27.
Ob. tille: Tolle. Z. d. Ver. deutsch. Ing. zr. 1897, sir. 855.
Forchheimer, Z. d. Ver. deutsch. Ing. zr. 1906, str. 58.
Rwestj napr te6 dopuszczalnych w przypadku jednoczesnego dzialania zgiçcia i ciskania rozpatruje szczeg6lowo
praca R. S. Zawrjewa w "Wiestniku Ob-a Technologow" zr. 1913. Podane w tej pracy tablice uproszczai'l znacznie
obliczenia.
224
kach szczeg61nie dogodnq. Przy jej uzyciu otrzyrnujemy dIa ugi cia bardzo proste formuly, wyka
zuj ce jasno, jak si zrnienia wplyw sil podluznych na zgi cie w zaleznosci od rozrniar6w pr ta.
Niech zatern belka fI B, zginana silarni poprzecznemi Pu
P2,." podlega nadto dzialaniu sily podluznej sciskajq
cej S (rys. 314). Przyjrnijrny w pierwszern przyblizeniu,
ze belka zgina si wedlug sinusoidy
f . _LX
y= SIn T
8 . J? p, D 8 X
:. .---::;;"(
J
F -e, -- d.s - .- -''f .
. .---'. :
E_1 -.-'-=--r - ____-i
.y
i obierzrny wielkosé f za uogôlnionij sp61rz dnij. l\zeby
znalezé odpowiadajijcij uog6lnionij sil , udzielmy sp6lrz -
dnej f nieskonczenie rnalego przyrostu ô f i wyznaczmy
odpowiadajijci1 wartosé pracy sil zewn trznych. Co si tyczy obcii1zen pionowych, to ich prac ,
jak widzielisrny, przedstawia wyrazenie
Ry.. 314
ôf Y P . . :tCi
.SIn l'
Prac zas sil podtuznych znajdzierny, obliczywszy zblizenie konc6w zginanej belki. To zbIizenie
b dzie widocznie rowne r6znicy rni dzy dtugosciij luku zgi tej osi, a dlugosciij odpowiadaji1cej ci
ciwy If B. R6znica rni zy dlugosci q elernentu d s (rys. 314), a dlugosciij jego rzutu d x r6wna si
ds-dx=ds(1- coscp)= 2dssin i .
Przy rnalych zakrzywieniach rnozna w otrzymanym wyniku wstawié
ds = dx i sin = y ',
a zblizenie kolicow belki przy zgi ciu przedstawi si wzorern:
I 1 fi
BI = \ (ds-dx) ="2' (y')2dx
..0 .0
. (226)
Jezeli belka zgina si wedtug sinusoidy, to
:;r!P I i :;rx n:'r
ô/= 2/' cos T dx = 41
.0
. (227)
Udzielajijc ugi ciu f nieskonczenie malego przyrostu, wywolujemy tem samem dodatkowe zblizen ie
konc6w belki 0 wielkosci
ôf= :;r'f ôf,
Bf 2/'
przyc em sily podlume S wykonujq prac
:;r'f
S2fôf.
Dolqczajqc ta do pracy sil pionowych Pi, znajdziemy:
( . n:Ci n:'f )
2P i SInT + S 2f of.
Czynnik uj ty w nawias jest tutaj uog6lnionij sil q , odpowiadaji1cê} sp61rz dnej f. Przyrownawszy
pochodnij energji potencjalnej wzgI em sp6lrz dnej do odpowiadajijcej sily, otrzymamy r6wnanie:
{) V _ 2 p . ::r Ci S n:i f
Bf - i SInT + 21'
225
St<!d po wstawieniu zatniast V wyratenia (220) wypadnie:
xc.
2 IS Pi sin --r-
f= SII .
:r'EI( 1 - 1(2 El )
Skoro por6wnamy ten wynik z wyrazeniem dIa ugi cia (221), odpowiadajqcem dzialaniu samych
obci zen pionowych i dIa krôtkosci oznaczymy to ugiçcie przez /0' to otrzymamy wzôr:
f.
f = S II . (228)
1 - 1(1 El
Drugi wyraz w mianowniku ocenia wplyw podlutnej sily na ugiçcie. W przypadku prçt6w 0 malej
smuklosci jest stosunek S: :C i ;/ malym ulamkiem, a roIa sily podluznej jest przelo znikoma. Ten
wp1yw wzrasta z powiçkszeniem gi tkoSci prçta, czyli z powiçkszeniem jego smuldosci. Gdy sUa
podluzna ma warlosé :C ' i 7 /, to mianownik we wzorze (228) staje si zerem, a zatem bardzo male
obciilZenie prostopadle moze wywolaé wieIkie ugiçcie. T ç wartosé sily podluznej bçdziemy nazy-
J k t . k S :cI El W6
wac r y y c z n 1 oznaczymy stosune : przez al. wczas
f = 1 o ai = p.' fo . (229)
Wplyw sUy podluznej na ugiçcie jest zupemie okre ony jej stosunkiem do kry\ycznej wartosci
sily. DIa ocenienia dokladnosci otrzymanego wzoru, obIiczymy kilka wartosci spôtczynnika p..' i po-
r6wnamy je z wartosciami p.. wyznaczonemi wedlug dokladnego wzoru (195) dia przypadku zgiçcia
ciçzarem skupionym, umieszczonym w srodku rozpiçtosci. Wynik obliczen zestawiono w ponizszej
:cE a. ' 0,2 0,5 1,0 1 1,5 2,0
-=0
4
p.' = 1,00 1,09 1,25 1,68 2,55 5,27
p. = 1,00 1,09 1,25 1 1,67 2,53 5,22
tablicy, z kt6rej widaé, jak wzrasta wplyw sily podJuznej na zgiçcie w miarç zwi kszenia a 2 . Przy
E 2
:c 4 a = 0,5, 1. j. kiedy wielkosé sily podluznej r6wna siç mniej wi cej jednej piqtej czçsci warlo-
sCÎ krytycznej. jej wplyw na zgiçcie objawia siç zwiçkszeniem strzalki 0 25%; przy sile dwa razy
wiçkszej r6wna siç ugiçcie dodatkowe 68% z (o. R6znica miçdzy formulij dokladnij a przyblizonij
jest bardzo mala; dIa przypadk6w objçtych tablic<! nie przekracza nigdzie 1%. Taka dokJ:adnosé
jest naturalnie calkiem wystarczajijcij dIa zastosowan praktycznych. Gdyby jeszcze wiçksze przy-
bliZenie bylo pozijdanem, to naieZaloby wziijé og6Ine wyrazenie dIa ugiçcia (wz. 223) i odpowia-
dajijcQ formulç (225) dla energji potencjalnej. Z przejsciem dp obciijzenia ciijglego rosnie dokla-
dnosé przyblizonego wzoru (228). Przy r6wnomiernie rozlozonem obciqzeniu blqd popelniony, w naj-
gorszym przypadku, Die przekracza 1/ 2 "/0. W przypadku paraboIicznego rozkJ:adu obciqzenia jest
blijd jeszcze mniejszy. W praktyce mozemy przeto zawsze siç poslugiwaé wzorem przyblizonym,
jezeli tylko wszystkie sily pionowe majij ten sam kierunek. Tenze wz6r da si zastosowaé i przy
zgiçciu belki parami sil, dzialajQcemi na jej konce, byleby tylko obie pary zginaly beIk wt samq stronç.
Od sily podluznej sciskajijcej przechodzimy latwo do przypadku sUy rozciqgaj,!cej, zmieniajélc
tyIko znak wieikosci S. Jezeli poprzestaniemy na pierwszem przybIizeniu, to ugiçcie srodkowego prze-
kroju r6wna siç ( = . (230)
1 + aS'
Kurs wytrzymal"'ci malerjalc!w
]5
226
przyczem al zachowuje poprzednie znaczenie. W przypadku rozdijgania pr t6w smuklych moze (I!
byé wiçksze od 1 (w praktyce al nie przekracza 10) i, jak wskazuje obliczenie nastçpnych przy-
blizefi, maieje dokladnosé wzoru (230) wraz z powiçkszeniem al. DIa sil skupionych juz przya ' =2
osi ga bl d przyblizonego wzoru 4,3°/0. W przypadku obciqzenia r6wnomiernie rozlozonego jest
dokladnosé znacznie wiçksz q i np. dIa al = 10 blqd nie przekracza 1,7°/0.
Obliczywszy wedlug wzor6w przyblizonych ugiçcie, znajdziemy latwo wielkosé momentu zgi
najqcego, uwarunkowanego dzialaniem sil podluznych. Dia srodka belki moment ten jest r6wny:
:!: Sf =:!: Sfo
1 =F a:\! .
Znaki g6me odnoszq siç tutaj do przypadku sily sciskajqcej S, dolne zas do przypadku sily roz
cÏi}gajqcej. Wezmy np. przypadek jednoczesnego sciskania sHi! S i zginania sHi! P, umieszczoni!
w srodku prçta. Moment zginajqcy w srodkowym przekroju ma najwiçkszi! wartosé
M = .fi + S f = .f! ( 1 + 0,823 aB ) .
4 4 1 - a'
Tutaj wstawilismy zamiast Jo wartosé 4: ;r
W przypadku obciqzenia r6wnomiemie rozlozonego 0 natçzeniu q, jest moment zginajqcy
w srodku rozpiçtosci r6wny:
M = q [1 + S f = _q [2 ( 1 + 1,028 a 2 )
8 8 1 - al .
Powyzsze wzory dIa najwi kszych moment6w zginaj cych daj,!, w przypadku sil ciskaj,!cych. dostatecznie dokladne
wyniki. Przy silach rozci'lgaj,!cych, gdy 0:' staje si ujemnem, przedstawi si najwiçkszy moment jako r6tnica dw6ch
wielkogci. Przy wielkich wartogciach 0:', kiedy wplyw sil podluinych staje si szczeg61nie wielkim, zblitaj'l si obie wiel-
k ci do siebie i dlatego moment, obliczony z ich r6znicy, mote wypagé ze znacznym bl dem. Z tego powodu przy 0:'>3 1 )
wypadnie dia obIiczenia momentu zginaj'lcego utyé dalszych przybliZeti.
Dia otrzymania dalszych przyblite6 trzeba wziqé dla y og6Ine wyraienie:
r . nX +f: . 2nx + r . 3nx +
Y"'J1SInT ,SIn[ ISSIn, ...
Wzajemne zbliZenie ko6.c6w belki przy zgiçciu przedstawi siç wtedy wzorem:
' . l
lIn' :n:x 2nx 3nx' n 2
1=2 0 (y')2dx=2P o (11 cosT+ 21, cosT + 31scosT+ ...) dX= '4L UJ2+22f2'+3 2 1s2+ :..).
Ostatni wynik otrzymujemy latwo, zwaiywszy, te:
) ' nnx 1
cosi-dx=-
o 1 2 '
jeieIi m =1= n (liczby calkowite).
Przyjmijmy 11, l" ... za uog6Inione sp6lrzçdne i znajdimy odpowiadaj ce warto ci uog6lnionych sil. Udzielmy jednej
ze sp6Irz dnych lm przyrostu lm, wtedy ugiçcie belki przyr nie 0
8y= lm sin rm;x ,
) 1
mnx nnx
zag 0 cosi cosTdx=O,
a zblitenie 81 zmieni siç 0 wielkogé
ô l m 2 n 2
ôlm lm = "2l 'm &fm.
SiIy prostopadle P; wykonaj'l przytem prac :
'O p . mnCi
-" iSIn -------y- Tm .
Prac , wykonan'l silami podlutnemi S, przedstawi wyratenie:
m':n: i
:l: S"2l fm fm,
przyczem znai\: + odpowiada sile gciskajqcej, a - rozci'lgaÎ,!CEj. .fi wiçc uog61nionq sil'l, odpowiadajqcq sp6lrzçdnej {m,
b dzie :
. morci m 2 n 2
2P;slD-,:!: STm2f"'
1) Puy 0:'=3 wynosi blqd M max dia obciëV;enia r6wnomiernego okolo 2,50/0.
227
Przyr6wnywujqc pochodne energji potencjalnej (wz. 225) wzglçdem jakiejkolwiek sp6lrzidnej do odpowiadaj'1cej sily, otrzy-
mamy r6wnania postaci;
m ..:' El . m":Ci m'..:'
21' lm 2Pism-,:t S/m21.
Stqd znajdujemy:
218 2P;sin m ci
lm = or' E J m' (m 2 :r: a') ,
przyczem a 2 ma poprzednie znaczenie.
Wstawiwszy otrzymane w ten spos6b wartogci sp6lrz dnych 117 f" ... w og6Ine wyratenie dIa y, znajdziemy:
[ P . ;rCi ...:X 'C . 2:rCi . 2..:x 'C . 31fCi . 3:<,x ]
_ 21 3 ..:i i sm -, sm T , ..:i Pi sm -,-- sm -, ..:iPi sm ---,- sln-,
Y- ..: 1EI P(l'Icr.') T 22(2':r:u') + 3'(3 2 :r:a 2 ) +... . (a)
Ten wynik mozna zastosowaé takze i w tym przypadku, kiedy na belk dziala obci'lienie ci'lgle 0 nat :teniu q. (W og6J...
nym przypadku b dzie q pewl14 lunkcjq c). Obci'lzenie qde, przypadaj'lce na element dlugo ci de, mozna zasl'1pi silq
skupionq. SumujqC dzialanie poszczeg61nych eIement6w obci'lzenia ciqglego, otrzymamy z wzoru (a):
[ r' q sin ..: de ri q sin 2;C de r' q sin 3;e de ]
21')0 .:rX )0 . 2..x Jo . 3,..x .
Y= <t'EI 1'(1 2 + a') SIDT+ 22(,2Ia2) sm,+ 3'(3':r:cr.'\ smT+'"
W przypadku obci'ltenia r6wnomiernie roz1ozonego jest q stale, a wyratenie dIa ugi cia przybierze posta :
r .:rX . 3..:x
4 l' 1 SinT sm,
y = :r3 J _ l' (1' + ( 2 ) + 3 8 (3' + a') +
. (b)
. 5..:x ]
sm-
l ,
53(5' l a') .,......
. (el
128. ZGI CIE BELER OBU RONC1\MI UTWIERDZONYCH
W przypadku utwierdzenia konc6w belki b dij ugi cia na podporach i kijty nachylenia sty-
cznych r6wne zeru. Przy dzialaniu sil pionowych, zgodnie skierowanych, ma zgi ta os dwa punkty
przegi cia, a maximum ugi cia lezy w poblizu srodka rozpi tosci (rys. 315). Uczynimy zadosé
tym wszystkim warunkom i otrzymamy przyblizonij
postaé krzywej, jezeli dIa zgi tej osi przyjmiemy
r6wnanie:
y= (1- cos 2 X ) .
Latwo okazaé, ze y i y' stajij si zerami przy x = 0
i x=l. Najwi ksze ugi cie odpowiada srodkowi rozpi - Rys.315
tosci i r6wna si f. Obrawszy w ten spos6b postaé
krzywej, zamienilismy tem samem naSZq belk w uklad 0 jednym stopniu swobody. Jako uog6I-
nionij sp6lrz dnq wezmiemy wielkosé {. Jezeli sp61rz dnej {udzielimy elementarnego przyrostu 13 f,
to punkt dzialania jakiegokolwiek ci zaru Pi przesunie si 0 wj.elkosé:
13{ ( 23tCi }
ôYi=2 1-cos-y- .
Sily pionowe Pu P2' ... wykonujij przy tem pra,cç:
1 ( 23tCi )
13f'2:2P, l-cos-y- .
Uog6lnionij sîté!, odpowiadajQcij sp6lrz dnej {, b dzie przeto
1 ( 23tCi )
2: 2Pi 1-cos ---,- ,
zas r6wnanie dIa wyznaczenia f ma postaé:
8V 1 ( 23tC; )
fj f = 2: 2P i 1- cos---,-
. (231)
15*
228
W arto i energji potencjalnej w danym przypadku b dzie:
El ' 2:rc-l. j ' ' 2:rcx :rc-l.Elf2
v=- (y " ) idx=--c;-EI cos'-dx
20 I 0 1 II'
Wstawiwszy to w rôw. (231) znajdziemy:
. IS ( 2:rcCi )
f 4 El :2 Pi 1- cos-,-
Gdy w szczeg6Inasci dziala na beIk tyIko jeden ci zar w srodku, ta otrzymamy:
PIs PIs
f= 2 1f -l.EI = 194,8El '
PL'
zamiast dokladnego rozwi zania 192 El ' Bl d wynosi zatem okolo J,S'I..
W przypadku obciqzenia cié}glego naIeZy sumowanie zast pié calkowaniem. Wz6r dIa ugi cia
napiszemy wôwczas w formie nast puj cej:
l' r' ( 21fx )
f= 4 El o qI-cos, dx .
DIa rôwnomiernie rozlozonego obcié}zenia q mamy:
ql' \' ( 21fX ) _ ql-l.
f - 41f'El )0 l-cos, dx- 4 EI .
1 tutaj popelniony b1é!d nie przekracza 1,5%.
Rozpatrzymy terez wplyw sily podluznej S na ugi cie belki. Zatrzymuj c poprzednie wyra-
zenie dIa y znajdziemy najpierw wartosé uogôInionej sily, odpowiadaj cej spôlrz dnej f. Przy
zmianie f b dé! wykonywaé prac nietylko pionowe obci zenia Pi, Iecz !akze sily podluzne S.
Praca sH pionowych wyrazi si tym samym wzorem, co w przypadku PQprzedzajijcym. DIa obli-
czenia pracy sil podiuznych utwôrzmy wyraZenie dIa zblizenia ko:ncôw zginanej belki. Na pod-
stawie wzoru (226) mamy
Jl I =1- r' ( ," ) 2 dx = 1f'f'!. r' . 2 2nx d = 1flf2
U 2 o .Y . 21' o sm 1 x 41 . (234)
UdzieIajqc spôirz dnej f przyrostu of, znajdziemy, ze zbIizenie ko:ncôw zmienia si 0 wielkosé:
a 0 1 ô f _ 1f2 f 0 f,
fJf - 21 '
. (232)
. (233)
. (233)'
a odpowiadajijca praca sil S r6wna si
1f2f
S2ïo f .
Dolé!czaj c do tego prac sil Pi' P2, ..., znajdziemy dIa szukanej uog6Inionej sily wyrazenie:
1 ( 21fCi ) 1f2f
2 Pi l-COS-,- + 2[S,
.
R6wnanie dIa wyznaczenia f napiszemy teraz w postaci:
aV 1 ( 21fCi ) 1f2f
ar=2 Pi l-cos-, +21 S ,
Wstawiwszy zamiast V wartosé z wz. (232), otrzymamy dIa ugi cia wz6r:
f - II 1 ( 21f Ci )
- 41f' El ' SI' Pi 1- COS-,- .
1 - 4 1f2 El
229
Gdy przez ro oznaczymy ugi cie wywolane dzialaniem samych tylko sil pionowych Pi i zatrzy-
mamy oznaczenie
:n:'EI
S . - a 2
.-p - .
to powyzsza formula przybierze postaé:
r - ro
a 2
1--
4
. (235)
W przypadku sil podluznych, rozciqgajqcych, trzeba tylko zmienié mak S, a zatem:
f- fo
a'
1+-
4
. (236)
Porôwnywujé)c to z wynikami poprzedniego paragrafu, widzimy, ze w przypadku koiicôw utwier-
dzonych grajq sily podluzne mniejszq rol , niz przy koiicach podparlych. Wplyw tych sil na ugi cia
moma przeto cz sciej zupelnie pominqé.
Wzory (235) i (236) wypada uwatat za pierwsze przybliZenie. Dia otrzymania dokladniejszej warlœci ugiçt i dia
obliczenia moment6w podporowych, mozna utyé nastçpuj'!,cego sposobu:
Najpierw usuwamy zbyteczne ustalenia, zapobiegaj ce obrotowi kOllc6w belki i znajdujemy dia otrzymanej tym spo-
sobem belki w obu koncach podpartej ugi cie i kqty obrotu k06c6w. Nastçpnie dobieramy momenty podporowe tak, aby
one przywr6cily obr6cone kOllce belki w ich pierwotne polotenie. Dia rozwi'lzania tego zadania b dq nam potrzebne
wzory wyrataj4ce ugiçcie i qly obrotu kotic6w belki wywolane dziala- y
niem moment6w podporowych. Otrzyâlamy je przez calkowanie r6wnania lf
r6:tniczkowego linji ugiçcia belki. Dajmy na to, te belka RB (rys. 316) S j4 B S X
zgina siç wskutek momentu M, dzialaj4cego na jej lewy koniec. i wskutek' _______1::. .. .
sil gciskai'!cych S. R6wnaniem r6tniczkowem zgiçtej osi bçdzie:
El d'y _ M(I-x) -S
dx' - 1 y.
Rys.. 516
Og61na calka tego r6wnania ma postaé:
a71;x . a71;x M(l-x) , SI'
y=Rcos-,+Bsm-,+ SI ' przyczem a .... :t'El .
Stale calkowania .Ii i B znajdziemy z warunk6w krat'icowych. W naszym przypadku y staje siç zerem przy x=-O
i przy X = 1. Mamy wiçc dwa r6wnania warunkowe:
M
R +5=0, R cos a 0'[ + Bsina:t=Q,
z kt6rych znajdujemy:
M
R=-5'
M
B=5ctgan,
a zatem:
r . aor (x-l) l
M [ . anx anx I-X ] Ml' sm 1 X J
"""5 etga:tsm-,-cos-,+-, = a 2 n'El L sinan +1- T
Utworzywszy pochodn'l : i podstawiwszy w niej kolejno x.... 0
[maki ustalone wedlug umowy z 74]:
MI ( 1 )
I = aO'[El a1r - etg an ,
x = l, otrzymamy wzory dIa qt6w obrotu belki,
, = a l ( sin l ((n - !J .
. (237)
Latwo sprawdzif, te przy malych warto!fciach ((0'[, l j: przy malych warto!fciach siIy podluzoei, znalezione wzory zgadzai4
siç z otrzymanemi powytej formulami (104).
J den teraz na belkç dzialaj!l po obu kOllcach dwa momenty Mi i M" oraz sily gciskaPJ;ce 5, to dla qt6w obrotu
otrzymamy wzory:
Mil ( 1 ) Mi' ( 1 1 ) 1
I = a1rEl a 0'[ -ctgaor + a"El sin a" -'(t"; J
Mil ( 1 ) Mi' ( 1 1 )
-3< ...- --et a1r - ---
, anEl an g + a#El sÏnaor ((or.
. {237Y
230
Ole. Ml = M, M bçdzie
a-r
Ml ( 1 ) Ml tg z
....-3 -- --et a = -.-
1 ,- a-rEI sinan g El an
. (238)
Gdy zamiast sily ciskaj'lcej mamy silç podluznil rozciqgajqcq, to wypadnie zmienié znak a' i, co ze.tem idzie, wielkogé a
zastilpié wsz dzie przez ai. W6wczas wz6r (238) przybierze postaé:
a'"
Ml tgh Z
1 = I = El --a:;;-
. (238)'
w kt6rej tgh oznacza "tangens hyperbolicus". Majqc wzory (231) i (238), mozemy bez trudnogci rozwi'lzywaé zadania
zgiçcia belki obu kolicami utwierdzonej.
Rozpatrzmy np. przypadek zgiçcia belki obci'lieniem r6wnomiernie roz1ozonem. Usun'!wszy utwierdzenie kolic6w,
znajdziemy dia ugiçcia, wedlug wzoru (c) w 9 127, wyrazenie:
r . nx . 3nx . 5nx l
4 14 SinT Sin, Sin,
y= "/EI L l'(I S :j:a 2 ) + 3 1 (3'=t:o:') + 5 8 (5":j:a', +..-J.
R6zniczkui c wzgl dem x i podstawiajqc w pochodnej x = 0, otrzymujemy dia k'lt6w obrotu kolic6w wz6r:
4q 1 8 [ 1 1 1 ]
1 , = n4 El l' (]2 :j: aS) + 3 s (3 2 :j: aS) + 51 (5' :j: al) +... .
Poniewaz wedlug warunku utwierdzenia koti.ce belki siç nie obracaj'l_ wiçc moment y podporowe obracai kciice belki 0 kqly
r6wne i wprost przeciwne tym, kt6re powstaly wskutek obci'lzenia ci'lglego Dia wyznaczenia M otrzymamy w przypadku
sily podluznej gciskajilcej r6wnanie:
0.11:
MltgZ _ 4 q 1 3 [ 1 1 1 J
EI - - .r4EI 1 2 (12-0.') + 3'(3'-0.') + 5'(5'-a') +... ,
a 11:
zd w przypadku roz ganie. silq podluznil:
Zwazywszy, :te:
0.11:
Mltg h z _ 4q '8 l 1 1 1 J
EI - - .r4EJ 1'(1'+0:') + 3 1 (3'+0.') + 5'(5'+a 2 ) +... .
an
0.11: an 1)
1 1 1 n 4 tg z - T
12(I'-a') + 3 2 (3'_0. 1 ) + 52(5'-0.') +... = 96 + ( 0: 2 11: ) 8 '
an a 11:
1 1 1 4 tgh z - T
l' (12+0. 2 ) + 3' (3'+ al) + 5' (5 11 + al) +...=- 96 . + ( a 2 n r '
otrzymamy dia moment6w podporowych wzory:
an o:n
tg - --
M = - qP 2 2 (w przypadku sily gciskajilcej),
12 ..!.- ( O:1I: ) ' tg 0.11:
322
an a:IC
tgh---
M = qP 2 2 (w przypadku sÏly rozci'lgaj cej)
12 ..!.- ( an ) 1 tgh an
3 2 2
Wecllug tych wzor6w latwo obliczyé momenty podporowe, skoro sila podluzna jest zmma.
. (239)
129. PRZYPIlDER NIEZNIlNYCH SIL PODLUZNYCH')
W rozpatrywanych powyzej przypadkach uwazalismy sily podfuzne S jako dane. Iltoli w prak-
tyce spotykamy si czçsto takze z zadaniami, w kt6rych sily podluzne Sé! nieznane. T akie sily po-
jawiaj si zwlaszcza wskutek zbytecznego ustalenia konc6w. Podpory bowiem bywajé! nieraz tak urzé!-
1) Do tej r6wnogci dochodzimy najlatwiej, por6wnywuj'lc ugiçcie wyznaczone z wzoru (195) z warto ciil otrzyman'l
z og61nego wzoru (a) w 127, przy dzialaniu jednej sÏly P w grodku rozpi togci.
') Bardziej szczeg6lowo traktuje to zadanie "Rurs Tieorij Uprugosti" autora, cz. 11, str. 45.
231
dzone, ze konce belki nie mogq siç przy zgi ciu zblizyé do siebie. Wtedy zginaniu towarzyszq sily
podluzne, rozci gajqce os belki. Wielkosé tych sit tatwo znaIefé przy pomocy formul (230) i (236),
wyprowadzonyeh powyzej. Jezeli konee belki Sq zupelnie unieruchomione, to rôznica miçdzy dfu-
gosci q fuku i ciçdwy AB (rys. 314) musi byé r6wna wydluzeniu, jakiego doznaje os .belki pod
dziataniem sil rozci ajqcyeh S, wywolanyeh zgiçciem. Przy pomocy wyraZenia dIa ô 1 (wz6r 221)
otrzymamy r6wnanie: :rI (1 _ SI
4 1 - EF'
przyezem F oznacza pole przekroju poprzeeznego belki. ZwaZyw'szy, ze
El
S=a!:It'-
l"
i wstawiwszy zamiast f przyblizone wyrazenie (230). znajdziemy r6wnanie:
fol _ 4 1 2
(1 + al)!! - a r
. (240)
Tutaj oznaeza r odpowiadajqey promien bezwladJ10sci przekroju poprzecznego. R6wnanie (240) za-
wiera tylko jednq niewiadomq wielkosé a!; wyznaezywszy jq, mozemy bez trudnosci obliczyé S.
DIa rozwiqzania najdogodniej przedstawié r6w. (240) w nastçpujqcej postaci:
a2(1 +al)2= fol . (240)'
4r 2
Prawq stronç mozna obliezyé z danyeh rozmiar6w belki i obciqi;en pionowych. Nastçpnie latwo
znaleié al przy pomoey tabliey kwadrat6w liczb. Oto przyktad liczbowy takiego raehunku:
Prçt zelazny 0 przekroju kwadratowym 1 cm X 1 c n i dlugosci 1 = 80 cm, podparty nieruehomo
w obu koncach, jest obciqzony ciçzarem r6wnomiernie rozlozonym q = 0,5 kg/cm. Przy tych roz-
miarach : .
1 1 5 ql4
F = 1 cm l , 1 = 12 cm4, rI = 12 cm!, (0 = 384 El = 1,6 cm, E = 2. 10 6 kg}cm'.
R6wnanie (240)' daje:
al (1 +( 2 )2 = 7,68, z ezego al = 1,37,
a zatem
El
S = a l :rc 2 fi = 352kg.
Ugitcie w srodku
f - fo - 1,6 _ 061
- 1+al - 2,37 -, cm,
a wite najwiçkszy moment zginajqcy bçdzie mieé wartosé:
M = q ' -S(= qt (1- 1 i 0 1 8 ;1 ) = 0,4 qi' = 160 kg cm.
Dia najwiçkszych ciqgnien otrzymamy tedy wartosé:
S M 160
pmu = F + W = 352 + T = 1310kg/cm 2 .
Rozwi;p:emy jeszcze to zadanie przy zalozeniu kone6w utwierdzonych. W tym przypadku
1 ql4
(0= 384 El = 0,32 cm, a(=1+ 0;1 .
4
R6wnanie dia wyznaczenia al bçdzie mieé postaé
( al ) 1 f 1
nI 1 + -. = 4 2 = 0,307.
232
St d
El . 0,32
al = - 0,27, S = a'1(2 11 = 69 kg 1 f = 1 + 0,27 = 0,30.
4
Moment zginajé!cy w plaszczyznie utwierdzenia r6wna si wediug przyblizonego wzoru 1):
11 Sf
M = i2 '2 = 256 kg cm.
Najwi kszil wartosé ci gnien znajdziemy z wzoru:
S M
pml1X = F + W = 69 + 1536 = 1605 kg/cm'.
Pokazuje si , ze wartosé najwi kszych napr zen jest wi ksza w przypadku utwierdzenia konc6w,
niz w przypadku ich podparcia. [Utwierdzenie okazuje si przeto w tych warunkach niekorzystnem J.
T aki wynik objasnia si tem, ze w przypadku utwierdzenia konc6w wypada sila podluzna, zmniej-
szajilca wielkosé najwi kszego momentu, mniejsza, niz przy podparciu konc6w.
We wszystkich poprzednich wywodach przyjmowalismy, ze sily zginajé!ce dzialajé! w jednej
z gi6wnych plaszczyzn belki. Jezeli plaszczyzna dzialania sil nie schodzi si z jedné! z plaszczyzn
gl6wnych, to wypadnie sily rozlozyé w dwu kierunkach wzajemnie prostopadlych, odpowiadajé!cych
g16wnym osiom bezwladnosci przekroju poprzecznego. Stosujilc wyprowadzone wzory, znajdziemy
bez trudnosci ugj cie w kaZdej plaszczyznie gl6wnej, a st d i ugi cie calkowite.
130. WZORY DU\. OBLICZEN W PRZYP1\DRU JEDNOCZESNEGO DZI1\L1\NI1\ ZGII:;CIl\.
1 SCISR1\NI1\
Przy pomocy wyiozonej powyzej metody przyblizonej, mozemy ocenié wplyw sily podluznej
na ugi cie i oblÎczyé najwi ksze napr zenia, kt6re powstaj przy jednoczesnem dzialaniu zgi cia
i sciskania. T e napr :ienia b il linjowo zalezne od wielkosci sH prostopadlych do osi belki, wplyw
zas sily podluznej jest bardziej zlozony, i w przypadkach, gdy sila podluzna zbli:ia si do wartosci
krytycznej, mogil juz niewielkie zmiany sily odbié si znacznie na wielkosci ugi cia, a wi c i na
wielkosci napr zen. T okolicznosé nalezy uwzgl nié przy obiorze napr zen dopuszcza\nych
w przypadku jednoczesnego dzialania zgi cia i sciskania.
Nazwijmy przez R napr zenie dopuszczalne przy prostem rozci ganiu i przyjmijmy, ze ono
r6wna si -tej granicy spr Zystosci materjaJ:u RI' Przy takim obiorze napr zenia dopuszczal-
nego pr t rozcié!gany dojdzie do niebezpiecznego stanu napi cia i moze doznaé trwalych odksztal-
cen tylko wtedy, gdy sila rozcié!gajé!ca wzrosnie k-krotnie. Dzi ki linjowej zaleznosci napr zen od
sU zachodzi tutaj mi dzy obciqï:eniem bezpiecznem, a obci zeniem, przy kt6rem zaczynajé! si
trwale odksztaJ:cenia, stosunek r6wny stosunkowi napr zenia dopuszczalnego do napr zenia na gra-
niey spr zystosci. Obierajilc pewien stopien pewnoscÏ w odniesieniu do napr zen, b dziemy mieli
tenze sam stopien pewnosci i co do obciilZeiÎ. Inaczej jednak ma si rzecz przy jednoczesnem
dzialaniu zgi cia i sciskania, albo zgi cia i rozciilgania. Niechaj np. pr t w obu koncach podparly
sciska sila S i zgina obciilzenie r6wnomiemie rozlozone 0 nat zeniu q. Najwi kszy moment zgi-
najilcy w srodku rozpi tosci okresla wz6r (ob. 127):
q [' 1,028 al S ' 2
M = 8 (1 + 1 _ a' ), przyczem a 2 = 1(1 El '
1) Przy malych wartogciach al wynik, otrzymany podlug tego przybliZoDego wzoru, r6zni siç nader malo od tego,
kt6ry wynika z wzoru (239). Przy al = 1 odpowiadaj cy blqd jest nieco wiçkszy od 1%, a przy al = 2 okolo 2,5°/.. Gdy
a 1 jest wielkie, to silç podlutnl! mo:tna obliczyé na podstawie wzor6w przyblizonych, a do obliczenia momentu podporo-
wego mo:tna uzyé wzoru (239).
233
Oznaczywszy przez F pole przekroju poprzecznego, a przez W jego modul (..,moment oporu"),
otrzymamy dIa najwi kszych cisnien wyrai:enie:
+ q l' ( 1 + 1,028 aS ) ( )
F 8W 1 _ aS . a
Przy powi kszeniu sH zewn trznych b dél wzrastaé nietylko S i q, Iecz takze i IX!, wobec czego
napr zenia, obIiczone wzorem (a), b él wzrastaé pr dzej, niz sily, i to tem pr dzej, czem bardziej
aS zbIiza si do 1. Gdybysmy obrali rozmiary pr ta tak, aby napr zenia, okreSlone wzorem (a),
rôwnaly si napr zeniu R, dopuszczalnemu prz.f prostem rozciélganiu, to przy k-krotnem zwi k-
szeniu wszystkich sH zewn trznych, napr zenia przekroczél granic spr zystosci i prçt dozna 00-
ksztaJ:cen trwalych. Z tego widaé, ze stopien pewnosci bçdzie w rozpatrywanym przypadku mniej-
szy, anizeli przy prostem rozci aniu i gdy a 2 rôzni si niewiele 00 1, to niewielki przyrost sily
podtuznej moze pociélgnélé za sobél zniszczenie pr ta.
DIa zabezpieczenia w rozpatrywanym przypadku takiego sam ego stopnia pewnosci, jak przy
prostem rozciélganiu, trzeba wymiary pr ta dobraé ta}{. aby przy k-krotnem powiçkszeniu wszyst-
kich sil zewnçtrznych najwiçksze naprçzenia wyznaczone na pOOstawie wzoru (a), osi gn war-
tosé, odpowiadaj cél granicy spr zystosci. DIa obliczenia pr ta mamy tedy warunek:
kS k q l s (1 l ,028kas ) = R
F + 8 W + 1- kat < l'
albo po podzieleniu przez k
+ ( 1+ 1 ,028k(2 ) < R
F 8 W 1 - k a 2
. (b)
Przez wprowadzenie czynnika k po Iewej stronie wzoru (b) zwiçkszamy wartosé sily podluznej
i w ten sposôb uwzgI dniamy t okolicznosé, ze przy jednoczesnem dzialaniu sil podluZnych i po-
przecznych (obciélzen prostopadlych) Sél napr zenia nielinjowél funkcj wielkosci sily podluznej.
Z rozpatrzonego przypadku szczegôlnego mozemy wysnué nastçpujé!cy ogôlny wniosek: Przy obli-
czeniu prçtôw naraZonych na sily pOOluzne i poprzeczne moma przyjélé naprçtenie dopuszczaIne,
jak dIa prostego rozci ania, jednakowoz dIa zapewnienia naIezytego stopnia bezpieczenstwa trzeba
w takim przypadku, przy uwzgI dnieniu wplywu sily podtuznej na :wielkosé momentu zginajélceg o , 1»"
mnozyé t sil przez spôlczynnik wi kszy od 1, rôwny stosunkowi granicy spr zystosci materjalu do
naprçzenia dopuszczalnego przy prostem rozciélganiu. Latwo dostrzec, ze przy takim sposobie obli-
czenia wypadnél najwiçksze napr zenia, w przypadku dzialania sily podlumej sciskajélcej, mniej-
sze od R, a w przypadku rozcÎélgajélcej sily podluznej wiçksze od RI).
131. ZGIECIE BELER LEZl\CYCH N1\ SPRF;ZYSTEM PODLOZU
Rozwiélzanie tego zadania drogél calkowania odpowiadajélcego rôwnania r6zniczkowego prowa-
dzi, jak widzielismy ( .96), do dosé zawilego wyrazenia dia linji ugiçcia i wyznaczenie ugi é
w r6znych szczegôInych przypadkach wymaga niemalo rachunkowej pracy. Te obliczenia mozna
niekiedy znacznie uproscié przez zastosowanie metody przyblizonej. Ta metoda jêst szczeg6lnie ko-
rzystna wtedy, gdy mozna poprzestaé na pierwszem przyblizeniu. Rozpatrzymy tutaj dwa zadania:
a) zgi cie belki z koncami swobodnemi pod wplywem sily dziatajélcej w srodku i b) zgiçcie belki
z koncami podpartemi. W obu przypadkach zakladamy, ze belka jest na calej dlugosci zlélczona
z podlozem spr zystem. Przypadek bardzo wielkiej dlugosci prçta rozpatrzylismy juz poprzednio,
przyczem siç okazalo, ze os prçta zgina si poo dzialaniem sily skupionej podlug krzywej fa liste j,
a dlugosé fali zalety od stopnia podatnosci podloza i od sztywnosci prçta przy zginaniu. przy za-
lozeniu, ze na kazdé! jednostk dlugosci prçta przypada reakcja podtoza r6wna ky, znaIezlismy dIa
dlugosci p6Hali wyrazenie (wz. 155, 96):
L = , jezeli Cl= V k .
a 4E1
1) Por. prac K. S. Zawrjewa, przytoczonêl powyiej (w 127).
234
Gdy wezmiemy stosunkowo kr6tki pr t, kt6rego dlugosé 1 jest mniejsza od dlugosci p6UaH L, to
pod dzialaniem sHy skupionej w srodku pr ta powstanie zgi cie podlug krzywej bez punkt6w prze-
gi cia (rys. 317), przyczem konce pr ta obnizél si 0 pewnél
wieIkosé a. Najwi ksze ugi cie, odpowiadajél ce srodkowi
beIki b dzie r6wne a + T. DIa wyznaczenia a i f uzyjemy
metody przyblizonej. Przyjmiemy, ze prçt zgina siç wedlug
sinusoidy 1), a wtedy ugiçcie w jakimkoIwiek przekroju
1 - - - przedstawi si r6wnaniem:
f . 1(X ( )
Rys.317 y= a+ sm T' . a
W to wyrazenie wchodzél dwa parametry a i f; przyjmiemy je za sp6lrz dne uk.ladu. Skoro sp61-
rzçdnej a udzielimy przyro.stu ô a, to sila P wykona prac P ô d, a zatem P b dzie uog6Inion él sHél
odp<.wiadajélcél sp6lrz dnej a. Tak samo przekonamy si , ze i sp6lrzçdnej f odpowiada sUa P.
W takim razie:
ôV_ p ' aV _ p
Da - 1 8r - .
. (b)
DIa wyznaczenia a i 1" trzeba w otrzymane r6wnania wstawié wartosé v: Energja potencjalna
ukladu sldada si w danym przypadku z dw6ch cz sci: z energji zgi cia Vu dIa kt6rej mozemy
uzyé wyrazenia (220), i z energji odksztalcenia podloza V 2 . Reakcja podloza, przypadajél ca na eIe-
ment belki 0 dlugosci dx, r6wna si kydx. Ta reakcja wzrasta przy zgiçciu od zera do swej kon-
cowej wartosci, przyczem ugiçcie zmienia si proporcjonaInie wzgI dem reak.cji od zera do y,
przeto praca zuzyta na odksztalcenie podloza da siç przedstawié w postaci
ri k I
V 2 = , ky dx = 2" y2 dx.
LO 0
Wstawiwszy za y wartosé (a) i wykonawszy calkowanie znajdziemy:
V _ kl ( 2 + 4af + E )
2-2 a 1( 2.
Calkowita energja ukladu bçdzie zatem:
_ _ r El kl ( 2 4af f2 )
V - VI + V 2 - 411 + '2 a + 3( + '2 .
Po podstawieniu wartosci V przybiorél r6wnania (b) postaé nastçpujélCé!:
kla+ 2klf = p. 1(4.1EI + k 2 'f + 2k.,.la = P.
:n; , 21 5 "
Pierwsze z tych r6wnan daje:
a= E-_ 2f
kl 1(
Wstawiwszy to w r6wnanie drugie, otrzymamy dIa ugiçcia f wyrazenie:
:It'-2 P 11'-2 2PII 1
f=-----;-' :rc4EI + kl ( l_ ) =-;r' :rc4EI ' ( _ )
21 8 2 1(1 1 + El 1 1(t
Zastosujmy otrzymane wzory do szczeg6Inego przypadku. Prçt staIowy (E= 2,2. 10 6 kgjcm 2 )
o przekroju kwadratowym 6 cm X 6 cm i dlugosci 80 cm, obciélZony w srodku silél P = 1000 kg,
. (c)
. (d)
I} Bardziej szczeg610we rozwiqzanie zagadnienia zgi ci8. belki, spoczywajqcej na sprçzystem podlozu i Z8.stosowanie
przybliZonej metody w przypadku belek 0 zmiennym przekroju znajdzie czyteInik w dziele autora: "Rurs Tieorij Uprugo-
sti", cz. II, str. 20.
Ob. takze pracç stud. N. W. Krasnopiero a. I w. Pietrogr. Pol. Inst. zr. 1916.
235
spoczywa na sprçzystem podlozu 0 sp6lczynniku podatnosci k = 240 kg/l'ml. Podstawiwszy te dane
we wz6r (d) znajdziemy najpierw
f = P .10- 4 .0,148,
nastçpnie z (c) otrzymamy
a = P. 10- 4 . 0,427,
a zafem najwiçksze ugiçcie r6wna siç:
a + f = P. 10- 4 .0,575 cm.
Stosunkiem ugiçcia srodka belki do ugiçé ko1icow b e:
(a + f): a = 0,575: 0,427 = 1,35.
T aki sam stosunek zajdzie miçdzy odpowiadajijcemi cisnieniami na podloze. F\zeby znalezé wiel-
kosé nacisku, przypadajijcego na jednostkç dlugosci w jakimkolwiek przekroju prçta, trzeba pomno-
zyé ugiçcie przez sp6lczynnik k. Odpowiadajijce cisnienie otrzymamy, dzielijc ten iloczyn przez
szerokosé belki. Na ko1icach belki otrzymamy jako wartosé nacisku na jednostkç pola:
k
Po = P. 0,427 . 10- 4 . T = 10,3 kg/cm s .
Dia srodka belki mamy:
Pl = 1,35 Po = 13,9 kRicm l .
Jezeli to zadanie rozwiëV;emy przez calkowanie r6wnania r6zniczkowego, to znajdziemy 1):
Po = 10,3 kg/cm s , Pt = 14,0 kglcm ' .
Jak widaé z tego, daje metoda przyblizona i tutaj doktadnosé zupelnie wystarczajijcij. Rozwiij-
zanie zadania sprowadza siç do podstawienia danych liczbowych w gotowe wzory (c) i (d), pod-
czas gdy przy uzyciu dokladnego sposobu trzeba kazdym razem najpierw wyznaczyé wszystkie
dowolne stale calkowania, co wymaga, w danym przypadku, niemalo pracy.
Rozpalrzymy teraz zgiçcie belki z ko1icami podpartemi, obciijzonej uldadem sil skupionych Pi.
Jezeli dlugosé belki 1 jest mniejsza od dlugosci poHali L, odpowiadajijcej danemu podlozu sprçzy-
stemu, to mozemy, stosujijC metodç przyblizonij, poprzestaé na pierwszem przyblizeniu i przyjijé,
ze zgiçcie zachodzi wedlug sinusoidy:
, . :/'Cx
y= sm,.
W6wczas skorzystamy z wynik6w otrzymanych pierwej przy badaniu zgiçcia belek koticami pod-
partych Œ 126). 1\.by ujijé w rachunek wplyw sprçzystego podloza, trzeba w row. (219) w tawié
odpowiedniij wartosé energji potencjalnej, skladajijcej siç w danym przypadku z dwu czçsci: z ener-
gji zgiçcia VI i energji odksztalcenia podloza V 2 . Wartosé VI znamy juz, V 2 zas obliczymy w ten
spos6b: _ k (1 j! _ kltl
V 2 -2)/ dx- .
_ _..:/'C 4 EI 2 kl
V- VI + V 2 -4ï.I' +Tr,
1\. zatem
a r6w. (219) przyjmie postaé:
ôV ( kl :/'C4EI ) . :TtC;
ar = f 2+215 =2P; sm,.
Stijd
f' = 2l s 2P; s in :/'Ct -- 1
:/'C 4 EI -. kl 4
1 + :n:4 El
. (241)
1) Wynik zaczerpni ty z kursu FOppl' wyd. 3-cie, sir. 244..
236
Tente sam wynik mozna otrzymaé i inné! drogé!, rozwaza)é!C zgl cle belki w obu koncach pod-
partej poo dzialaniem sil skupionych Pu P 2' ... i obciëV;enia ciélglego, ktorego nat zenie zmienia
si wedlug prawa:
q= -ky=-kfsin :1C: .
Na podstawie wzorow (221) i (222) znajdziemy:
'
2l t . 3rCi . :1CX
f = :TC4 El ( .2 Pi sm ,- + 0 q sm T dx ) ,
a stQd, po wstawieniu wartosci za q, otrzymamy znaleziony powyzej wzor (241).
Od zgi cia belki silami skupionemi latwo przejsé do obcié!zenia cié!glego. Zamiast sumy skon-
czonej liczby dodajnik6w, wchodzQcych we wzor (241), otrzymamy calk , rozpostarté! na calé! dlu-
gosé beIki, a wyrazenie dIa ugi cia napiszemy w postaci:
f = 2/' : qsm ¥dx
;ci El
1
. kl 4
1 + :;r4 El
. (241)'
Dia obciQzenia r6wnomiernie roztozonego jest q stale, a wz6r powyzszy przeksztalci si na na-
st pujélCY :
4ql' 1
f= :;r5EI" -, kl'
1 + :TC4 El
(242)
Pierwsze przybliZellie nic daje dostatecznej dokladno ci przy umieszczeniu sily skupionej blisko jednej z podp6r,
albo przy zgi ciu belki par'l sil, dzialaj'lc na jej kolice. W takich przypadkach, lub wog6le, jeteli wi ksza dokladno é jest
pot dilJla, wypada uciec siç do dalszych przyblize6. W tym celu trzeba utyé og6Inego wyrazenia dia y (wz. 223) i odpo-
wiada cej wartœci (225) dIa ellergji potencjaInej. Na belkç bçdzie dzialaé, opr6cz sil Ph Pt, ..., obci'lzenie ci gte, odpo-
wiada ce reakcji spr tystego podlota. Natçtenie tego obCÏéltenia zmienia siç podlug prawa:
k k ( F .:n:œ F . 2 œ , . 3:n:œ )
q=- y=- Il smT+/tSIn,+l3 sm ,+.... .
R6wnanie (224) napiszemy tel"u w postaci:
8 V .:n: Ci C' . nx
8ft " .2Pïsm,- + )0 q sm T dœ ,
'
uV . 2:n: . 2:n:œ
8ft =.2 PïSIn -r- + 0 q sm ,dœ,
Podstawiajqc zamiast V i q ich wart ci, i wykonujqc calkowanie, znajdujemy:
, 21 ' n.' :!tCi 1
Il = :n: 4 E 1 ..::J nsm -r-' kl'"
1 + :n:4El
1 2P 2:n: 1
fl=2!' :n:4El .2Pï!in-. k14 '
1 + 2':n:4El
. (e)
Wstawiwszy te wario ci fh fi, w wyratenie dIa y, otrzymamy r6wnanie zgiçtej osi. W przypadku obciqzenia jednq
silq w rodku belki ( C = ) b dzie:
2Pl'
y= :n:4El
l . nœ
smT
kl 4
1 + :n: 4 El
. 3nœ
sm,
( k1 4 )
3 4 1 + 3 4 n4El
+..l
. (243)
Przy dzialaniu obciélZenia r6wnomiernie rozlotonego q nalety w miejsce Pi sin n Ci wr6wnaniach (e)wstawic':wielko :
l . nnœ d 21q
qsm- œ=-
o 1 nn
dIa n nieparzystego, a 0 dia n parzystego. R6wnaniem Iinji ugiçcia b dzie tOOy;
[ . nœ . 3nœ
-4 l' SlD, sm,
y -....!L +
-n 5 El l-L 3 1 ( 1+ )
1 wEI 3'n'El
Na podstawie tych og6lnych wyrazet'i. dia Iinji ugi motna nabraé wyobratenia 0 blçdach. kt6re popelniamy, poprzestaÏë!,c
na pierwszem przybliteniu.
Przy obliczeniu in.tynierskich konstrukcyj napotykamy nierzadko kwestjç wytrzymalogci plaskich gcianek, naraionych
na obci'lzenie ciqgie. Jako przyldady motna przytoczy6 szczelne przegrody w okr tach i wrota uz, wytrzymuKce nap6r
wody. Zwylde buduje si\! takq gciank\! z telaznej blachy, Yizmocnionej ukladem skrzytowanych belek, polotonych w dwu
wzajemnie prostopadlych kierunkach r6wnoleglych do bok6w (prostoqtnej) gcianki. Do obliczenia tych btlek zastosujemy
metod przyblizonq 1) w przypadku przedstawionym na rys. (318). 2:e1ame bIachy anek Si! przymocowane do ulcladu
jednakowych i r6wno odleglych beleczek pionowych, czyli slup6w, kt6re si opierajq na belce poziomej AB. Przyjmiemy,
te nacisk wody rozklada siç r6wnomiernie na slupy, te zatem katdy z nich znosi to saInO
obci<1Zeni cii}gle Q, zrnieniaj'lce si wOOlug prawa tr6jk tit' lub trapezu. T 0 obci'ltenie
przenosi si\! cz owo na podpory skrajne, po cz gci zd na belk poziomq AB. Nacisk
na tç belkt btrlzie oczyWcie zale:tnym od jej sztywnogci. Gdyby byla doskonale sztywna.
t. zn. gdyby siç nie uginala pod wplywem przeniesionych na DÎIl nacisk6w, to katdy slup
przedstawialby siç jako belka c 1a dwuprzçslowa na stalych podporach. Nacisk na rod-
kowél podpor\! byiby r6wny a: Q, przyczem a oznacza sp6lczynnik zaletny od polotenia
belki poziomej. Jezeli ona podpiera slupy w polowie wysoko ci, to dia rozlcladu obciqtenia
5
wedlug tr6jkqta, albo trapezu a = 8' DIa kazdego szczeg61nego przypadku dzialania
obci zenia i polotenia podp6r motna wog6le znaleii a: sposobami poprzednio wylotonemi
i cale obIiczenie slup6w nie przedstawi trudnogci. W rzeczywisto jest zadanie znaczDÏe
zawilsze, poniewat zwykIe nie motna po t: ugi cia belki poziomej i przy obliczeniu
slup6w trzeba uwzgI dnié poddanie si grodkowej podpory, r6wne odpowiadajqcemu ugiçciu y belki AB. To poddanie siç
wywola zmniejszeDÏe reakcji grodkowej podpory 0 pewnq wielkogé y y, jeteli przez ')" nazwiemy sp61czynnik zatetny od
sztywno ci slup6w i od rozmieszczenia podp6r (9 88). Przy dw6ch r6wnych prz slach
48 E 1 Il
Y=l;B' .
+..]
132. OBLICZENIE BELER SRRZYZOW1\NYCH
237
. (243 a)
" d -
' f
'/
q)
',/
1
;-,
J
",;,
Ry.. 318
(a)
jeteli &11 oznacza sztywnogé slup6w, a lt ich dlug Nacisk przenosz'lcy si na belkV poziornq przedstawi formula:
R = a.Q-yy
(b)
Dia uproszczen a badania tej belki zastqpimy naciski skupione obcÎllzeniem ciqglem. W tym œlu rozlotymy katdii sil R
r6wnomiernie na dlugogci d, r6wnej odst powi slup6w. Przy znaczniejszej liczbie slup6w (jeteli ich liczba nie mniejsza
od 5), motna Otrzymany w tell spos6b schodkowy rozk1ad obCÎlltenia (rys. 246) zastqpi6 ciqglym; w6wczas nat tenie ob-
cÎlltenia w dowotnym przekroju belki poziomej przedstawi siç wzorem:
aQ yy
---=q-ky
d d
. (c)
BeIka pozioma jest zatem w takich warunkach. jak prvt z ko1icami podparlemi. spoczywajilCY na sprçzystem podlotu i zgi-
nany o eniem r6wnomiernie rozlotonem q. DIa wyznaczenia ugi t mozna uzyé albo og6lnego wyratenia (Wz. 2.43),
albo poprzestaé na pierwszem przybliteniu (wz. 242). Co si tyczy slup6w, to slupy skrajne bÇdil w warunkach bliskich
belce ci glej na stalych podporach. DIa slupa rodkowego bçdzie poddanie si grodkowej podpory najwiçksze. jeteli oczy-
wigcie wykluczymy przypadki, kiedy belka pozioma jest tak gi tka, te przy zgi ciu powstaje na niej wiçcej jak jedna p61-
fala. To poddanie sit podpory rodkowej, a zarazem ugi cie grodka belki poziomej ,. moze byé w niekt6rych warunkach
tak wielkie, te reakcja R, okrdlona wzorem (b), otrzymuje warto é ujemn'l. W takim przypadku belka pozioma nietylko
nie przynMi tadnej korzygci. ale nawet okazuje si wprost szkodliwq, gdyt powiçksza napr\!tenia w grodkowych slupach.
Tego mozna uniknqé tyIko naletytym obiorem poprzecznych rozmiar6w belki poziomej. DIatego zwr6cimy siç do WZ01')l (b).
1) Szczeg6l0wiej rozpatruje to zadanie ..Kurs TIeorij Uprugosti- autora, cz. II, str. 16.
238
Wstawiwszy w nim zamiast y przyblizon'l wartogt ugl cla (wz. 242) dia grodka belki poziomej, otrzymamy wyrazenie
reakcji grodkowej podpory dIa rodkowego slupa w postaci:
4q l' 1
R=f1.Q-YI=a.Q-) n El ' hl"
1 + n4'EI
albo, zwatywszy, ze w danym przypadku
q= f1. d Q , h= ,
wyra:tenie
- 41'
R = aQ ll-) :Il Eld
przyczem dia skr6cenia Viprowadzili my oznaczenie:
1 - ( 4 )
1 1 = uQ 1 - :Il . 1 +
+ n4' El d_
. (d)
) l'
P= n 4 Eld
W przypadku, gdy belka pozioma polo\ll/i dlugo t slup6w, jest
= 48 El Il ( ) 3
n' El '1 d
. (e)
. (e)'
Jeteli mamy rozmiary belek, to mozemy znaleté f3 i przy pomocy wzoru (d) wyj nié warunki dzialania slupa grodkowego.
Belka pozioma staje si bezuzytecznq, gdy reakcja R wypada r6wna zeru, t. j. kiedy
4 j3
1----=0
7f 1+ '
czyli = = 3,6
4-n
. (244)
W praktyce nalezy rozmiary belki poziomej obieraé tait, aby odpowiadajqca wartogé 13 byla znacznie mniejsz'l od wielko ci,
okreglonej Vizorem (244). Jako przyklad wetmiemy gciankç 0 konturze kwadratowym, zlozon'l z dziewi ciu r6wnoleglych
slup6w, podpartych w polowie wysokogcj belk q poziomq. DIa obliczenia sp6lczynnika (3 utyjemy lormuly (e)', podstawiajélc
111 niej 1: d =>10 i 1 = 11' Jezeli dIa slup6w wziélt profil U Nr 10 (II = 213 cm'), a dia belki poziomej profil I Nr 40
(1=26100 cm'), to 13=0,040, a reakcja podporowa (wz. d)
R=0,95a:Q = 0,594 Q.
W danym przypadku mozna przeto pominqé zgi cie belki poziomej i obhczaé !ilupy przy zaloteniu podp6r stalych. J eteli
zmniejszyé sztywno é beIki poziomej i przyj'lé np.
1 = 2020 cm'. to 13 = 0,520, a R = 0,565 a: Q.
Teraz. dziçki ugiçciu belki poziomej, zmniejszyla siç reakcja R w por6wnaniu z przypadkiem poprzednim prawie 0 40%.
Wzi'l\ll/szy bdkç poziomé! 0 tym samym przekroju, co slupy, otrzymalibygmy dIa owej reakcji warto é ujemnq. W tych wa-
runkach staje siç belka pozioma szkodliwq.
Bez wszelkich trudnogcj mozna przyblizon'l metodç zastosowat i do przypadku, kiedy konce belki poziomej sq
utwierdzone. Przyjqwszy w pierwszem przybliteniu, ze belka zgina siç wedlug krzywej:
y = (] _ cos 27 x ) ,
znajdziemy wielko é ugiçcia f Vi rodku rozpi to ci orzy pomocy wzoru (233)', skoro w nim zamiast q wstawimy wartogé
wyznaczonq z r6wnania (c). Po prostych przeksztalceniach otrzymamy:
ql'
f= 4n4'EI
1
3kl 4 .
1 + 16n4' El
Ten wyuik r6ini si od \lI/Zoru (242), kt6rym poslugiwali my si przy podpartych koncach belki poziomej, tem, te zamiast
wie}ko ci
kl'
n4' El = (3,
wchodzi wen wielko t
3 kl'
]6 n4' El == (3'
. (245)
W z6r dia wyznaczenia rodkowej reakcji grodkowego slupa b dzie zatem mieé postaé:
( 4 f3'
R=a:Q 1- 3 1 +(3' ) .
. (246)
Caly tok rachunku pozostaje zreszté! taki sam, jak w poprzednim przypadku.
Jezeli uklad slup6w opiera si na dwu belkach poziomych. to nazywaj,!c ich ugiçcia odpowiednio przez YI i Y2
znajdziemy latwo dia pogrodkowych podporowych reakcyj slup6w wyrazenia:
R: - (YI Q-)IY. -"!J'Y" R 2 = a,Q- hYI -),(y,.
239
Stale sp61czynniki C!t, ..., 1",' motna znaIeté z rozwatania zgiçcia belki na 4, podpor8ch i wplywu na to zgiçcie poddania
si podp6r po rodkowych. Zastçpujqc, tak jak w przypadku poprzednim, sily skupione ohci'lteniem ci'lgIEm, znajdziemy,
te kaida z beJek poziomych niesie obciqzenie ciqgle zmieniajqce si wedlug prswa:
RI k h'
q = d=ql- lYl-nt Ys
Rs J. k'
q=d = qS-"2Yl - s Y2
Ograniczajqc si do pierwszego przyblizenia motemy przyjqé
, . nx , . nx
Yl=/ISID,-, Y2 =/l sm T"
dia pierwszej belki;
dia drugiej belki.
Do wyznaczenia ugiçé '1 i '2 utyjemy wzoru (24])'. W nim trzeba tylko wstawié zamiast q wyzej napisane wartokÏ. Wy-
konawszy calkowanie otrzymamy dIa wyznaczenia 11 i l, r6wnania:
,- ( 3i _ kdl1 _ kt'f21 ) , = ( 21 _ k1111 _ k,'Itl )
11 - ,-,;4 E 1 n ql 2 2" n< E 1 n q, 2 2'
Maj'lc 11 i 1., motemy przejgé do badania zgi cia slup6w i do wyznaczenia RI i R,.
]eteli mamy wiele belek poziomych (twofZ'lcych ze slupami cali! sieé belek skrzyzowilDYch, rys. 319), to wskazany
powyzej spos6b obliczenia staje si niedogodnym; dIa otrzymania rozwÎ4zania przyblitonego postl!pimy przeto w nast pu'
jl!cy spos6b: Obciqienie cÏqgle, dzialajqce na gciankç, skupimy w punktach przeciçcia siç belek poziomych i pionowych.
Przez to usuniemy miejscowe zgiçcie belek miçdzy dwoma w zlami, ale oJ!6lny cha-
rakter powierzchni ugi cia cianki pozostaje niezmieniony. Jezeli kontur gcianki r6tni
siç niewiele od kwadratu, to w pierwszem przybli.teniu mozna przyjqé, ze przekrojc
powierzchni ug cia plaszczyznami poziomemi i pionowemi Sél sinusoidami. Oznaczyw-
szy przez w ugi cie cianki, moiemy zatem powierzchniç ugi cia przedstawié anality-
cznie Vi' spos6b nas pujqcy:
f .:TCx.n y
w= sIDTsIDI;
W stawiajqc x = const. = c, znajdujemy przekr6J pionowy powierzchni ugi cia. R6wna-
niem odpowiadajqcej krzywej b dzie:
f .nc.n y
w= SlUTSInt;.
T ak samo motna znaleté dowoIny przekr6j plaszczyznq poziom'l. W ten spos6b okre.
glamy zgiçcie wszystkich belek ukladu jednq wielko ciq f, czyli otrzymujemy uklad 0 jednym stopniu
Obierzmy , za sp6lrzçdnél ukladu i szukajmy odpowiadajqcej wartogci uog61nionej sily. przyrostowi sp6lrz dnej
wiada dodatkowe ugiçcie gcianki:
. (2471
a
\
}
,J
y--- - 1 _..----1
b-4.
Rys. 319
swobody.
8 f odpo-
" f . nx . ny
8w=u SInTSIUI;'
Przy tej zmianie ugiçcia obci'lzenie ciqgle 0 natçzeniu q wykonywa prac :
J ' '1
8' qsin x sin Y dxdy.
" 0 1
Mnotnik przy 8 f w tem wyrateniu b dzie szukanl! uog6Inionq sHil fi6wnanie dia wyznaczenia 1 ma przeio postaé:
8V ' '1 . nx . ny
T f = q T T .
1.0 1
Pozostaje tylko znaleté wyratenie dIa energji potencjalnej V jako funkcji f, co nie nastrçC2:a zadnych trudnoki, poniewaz
katda z belek ugina siç podlug okr lonej sinusoidy. Wyznaczywszy z r6w. (248) wielko é 1 i otrzymawszy takim sposobem
pierwsze pr:ayblitenie dia ugi tej powierzchni cianki, motemy przej é do obliczenia dodatkowych napr te6. wskutek miej-
sco ego wygi a beIek, czego latwo dokonaé przy pomocy teorji belek ciqglych. Pr6bne rachunki wykazaly, ze znalezione
w ten spos6b pierwsze przyblizenie daje wyniki zupelnie zadowalajqce. ]ezeli potrzeba wiçkszej dokladnogcï. to naturalnie
motna siç uciec do dalszych przyblite6. W przypadku naporu hydrostatycznego nadaje siç do drugiego przybliienîa
wyrateoie:
f . na; - ny + , . na; . 2$y
w= slUTslDT IfSIDTsIDT'
uwzgI dniajilce wplyw nier6wnomierno ci rozkladu cignienia na wysoko ci gcianki 1).
1) DaIsze szczeg6ly znajdzie czytelnik w dziele autora "Kurs Tieorij Uprugosti", cz. IT, str. 12.
[Bior'lc gci e naletaloby jeszcze przy obIic2:eniu energji potencjalnej V uwzgl dnié skr enie belek sieci. jakotet
wsp61dzialanie blachy do tych be1ek przymocowanej. Obie okoIiczn zwi kszajè! sztywnogé calego ukladu, a wiIC zmniej-
szaj napr tenia w belkach sieci, niekiedy w dogé znacznym stopniuJ.
cz sé v
PRF;TY Zl\KRZYWIONE
ROZDZI1\L XVI
133. ROZRLl\D N1\PREZEN
Zagadnienie zgi cia pr t6w zakrzywionych ograniczymy do tych przypadk6w, w kt6rych o
(Jinja srodkowa) pr ta jest krzyw plask . przyjmiemy nadto, ze wszystkie sily zewn trzne lez
w ptaszczyfnie krzywizny i ze w tej plaszczyznie lezy takze jedna z g16wnych osi bezwladnosci
kazdego poprzecznego przekroju pr ta 1). Wtedy zgi cie osi pr ta, kt6re przyjmiemy za bardzo male,
b dzie zachodzié w plaszczyznie dzialanja sil, czyli w plaszczyznie obci .zenia. Przy badaniu roz-
kladu napr zen b dziemy si poslugiwaé poprzedni q metod q . Pr t utrzymywany w r6wnowadze
silami zewn trznemi PI' P2".' dzielimy na dwie cz sci dowolnie poprowadzonym przekrojem mn,
normalnym do zgi tej osi i rozwazamy warunki r6wnowagi jednej z tych
cz sci, np. lewej (rys. 320). Sily zewn trzne dzialajqce na t cz sé mo-
zna sprowadzié do jednej sily R, przechodzqcej przez srodek ci zkosci
przekroju i do pary sil 0 momencie M. Te sily r6wnowazq napi cia roz-
tozone w przekroju m n i zast pui ce dzialanie odci tej cz sci pr'Jta na
cz sé rozpatrywanq. Zaczniemy od tego przypadku, w kt6rym R = 0, t. j.
fi gdy wszystkie sily zewn trzne, lezqce po j dnej stronie przekroju m n,
sprowadzajil si do pary sit M. Z warunk6w r6wnowagi wnosimy, ze
Rys. 320 i sily wewn trzne, dzialajqce w plaszczyznie m n mUSZq si sprowadzaé
do pary 0 momencie r6wnym co do bezwgI dnej wartosci momentowi M,
a co do znaku przeciwnym. .f\zeby znalefé prawo rozkladu napi é w przekroju, wyjdziemy z hipo-
tez przyjçtych juz poprzednio przy badaniu zgiçcia pr t6w prostych ( 59). Przypusémy, ze przy
dzialaniu momentu zginajt;!cego M powstanq w plaszczyznie przekroju poprzecznego tylko napr'J-
zenia normalne, a ich rozklad jest taki, :le przy zgi ciu przekr6j pozostaje plaskim. Wyniki, otrzy-
mane na podstawie tych hipotez, potwierdzono z dostatecznq dokladnosci tak badaniami teorety-
cznemi, jakotez i doswiadczeniami, przytoczonemi ponizej 2).
1) Zgi cie pr ta zakrzywionego podiug kola pod wplywem sil prostopadlych do plaszczyzny krz)wizny rozpalruje
K. Federhofer w pracy "Berechnung des senkrecht zu seiner Ebene belasteten Bogentdigers". Z. f. Math. u. Ph. 62 Bd.
z roku 1913.
Ob. takte "Rurs Tieor. Uprug.''. cz. II, str. 88.
,} Teorj zgi cia pr t6w zakrzywionych, opartq na hipotezie plaskich przekroj6w, rozwini to gl6wnie w pracach na-
st pujqcych :
Winkler "Formânderung und Festigkeit gekrümmter Rorper", Civilingenieur z r. 1858, str. 232; tegoz "Elastizitiit
u. Festigkeii" r. 1861, str. 253;
Grashol "Theorie d. Elastizitiit und Festigkeit", r. 1878, str. 251.
Wydzielmy z pr ta dwoma nieskonczenie bliskiemi przekrojami element k1inowaty abcd
(rys. 321). Pod dzialaniem momentu zginajê!cego M obr6ci si przekr6j cd, wzgl dem ab 0 pewien
kqt ô d Cf> i zajmie polozenie c' d'. Przy przyj tym kierunku
momentu, kt6ry b dziemy uwazaé za dodatni, powstanq w g6r-
nych wl6knach ciê!gnienia, zas w dolnych cisnienia. Po-
wierzchnia m n stanowié b dzie warstw oboj tnê!, w kt6rej
pierwotna dlugosé wl:6kien ds pozostaje niezmienionê!. Na-
zwijmy przez r pierwotny promie6 krzywizny, odpowiada-
jqcy lukowi m n, a przez d q> pierwotny k t mi dzy prze-
krojami ab i cd, natenczas
z
-,
,
;
4
k
1
ds = rdq>.
Pierwotna dlugosé dowolnego wl6kna p q, znajdujqcego si w odleglosci z
od warstwy oboj tnej, b dzie rôwna (r + z) dq>. Wskutek zgi cia dozna to
wlôkno wydluzenia bezwzgl nego .
qq' = z. ôdq>;
jego wydluzenie wzgl dne okresli zatem wzôr:
z. ô dq>
e = (r + z) d rp .
241
c C'
--,
.
fj
" q : q 'i\
(J\ ! : ']1
' JSd l -
a J:cf
\ 1 t
\ ....
\1', 1
\fi t : r
. .
\ 1
.
"0
Rys. 321
Przyjmujqc, ze wlôkna podluzne nie wywierajq na siebie nawzajem uwagi godnego cisnienia, mo.
zemy przejsé latwo od wydluze6 do odpowiadajqcych im napr ze6:
-E ôdq>
p- dq> 'r+z'
. (249)
Skoro otrzymane prawo rozkladu napr ze6 normaln ch przedstawimy wykreSlnie (rys. 322), wy-
stawiajqc w kazdym punkcie przekroju odcinek normalny x, rôwny odpowiadai cemu napr zeniu.
to otrzymamy krzyw :
x=.R
r + z'
przyczem A jest czynnikiem stalym. Napr zenia zmieniaj si przeto we-
dlug prawa hiperbolicznego, przyczem hiperbola ma asymptot prostopadlq
do ab i przechodzqcq przez srodek krzywizny O. We wzôr (249) wchodz q
dwie nieznane dotqd wielkosci r i ôddrpq>_ . Do ich wyznaczenia posluz rôw-
nania rôwnowagi. Suma algebraiczna sB wewn trznych w przekroju a b ma
byé rôwna zeru i ich moment wzgl dem dowolnej osi prostopadlej do plasz-
czyzny rysunku ma byé rôwny momentowi zginajqcemu M; a zatem:
(" pdF= E Ô d drp r zdF =0 . (a)
)F q> )Fr+z
r pzdF= E ôdrp r zldF =M (b)
F d q> )Fr+z
r Z2 d F = (" (z _ ) d F = r z d F _ r r z d F .
) r+z) r+z ) r+z
Druga calka na podstawie rôw. {al staje si zerem, a wi c:
(" zldF = r zdF=S=Fy
)F r+z )F
-
--
h
i
1
_ __l;
-,....,
l "--
r
!
1
i
o 1
___:1
Rys.322
Zauwazmy, te
. (250)
T utaj oznacza S moment statyczny przekroju poprzecznego wzgl dem osi oboj tnej, a y odst p osi
oboi tnej od srodka ci zkosci przekroju (rys. 321).
Ktu'S wytrzymùoSci matorjlli6w
16
242
E Sdtp = M
dtp S
(251 )
Wstawiajé!c to w r6w. (b), otrzymamy:
a wz6r (249) przybierze postaé:
DIa najwi kszego i najmniejszego napr tenia mamy tedy wzory:
M hl M h 2
pmu = S r + hl pmin = - S r- h 2
Widzimy st d, ze ()bliczenie napr zen przy zgi cÏu wymaga uprzedniego znalezienia wielkosci S,
l j. okreslenia polozenia osi oboj tnej. Jak zobaczymy ponizej, mozna tego dokonaé bez szczeg61-
nych trudnoscÏ.
Jezeli poprzeczne wymiary pr ta Sq mate w porôwnaniu do promienia krzywizny, to wielkosé z
w mianowniku wyrazenia (a) motna pominqé wobec r. Rôwnanie (a) przeksztatci si wôwczas na
F zdF= 0,
co wyraza, te os oboj tna przechodzi przez srodek ci zkosci przekroju. Z r6w. (b) otrzymarny wtedy:
ôdtp rM Mds
E =" albo ôdtp= El (253)
a formula (249) dIa napr zeii otrzyma postaé tak q samq, jak w przypadku zgi cÏa pr t6w prostych.
W dalszym ciqgu, przy rozpatrywaniu szczeg6Inych przypadk6w, objasnimy przy jakich warto
ach r()zmiar6w poprzecznych mozna bez znaczniejszych bt d6w zastqpié hiperboliczny rozktad
Iinjowym. T akie zasl pienie upraszcza naluralnie obliczenia w znacznym stopniu.
Przy wywodzie podstawowego wzoru dia rozkladu naprçzel'i normalnych przyjçli my, ze przy zgiçciu wldkna podlu-
zne nie wywiet:ajq na siebie nawzajem nacisku. W rzeczywistogci jednak muszi} zachodzit mi dzy wl6knami ci nienia, jak
si 0 tem moina przekonaé drogq elementarnych rozwaiall. WydzieImy z k)inowatego elementu abc d (rys. 323), ograni-
czonego dwoma przekrojami poprzecznemi ab i cd, podluzne wl6kno pq. To wl6kno bçdzie rox-
ci ane wskutek dzialania moment6w M. Niechaj P b dzie wielko cii} odpowiadaji}cych napi t.
Te napi cia Sil normalne wzglçdem plaszczyzn przekroj6w poprzecznych i przy geometrycznem
dodawaniu dadzq wypadkowq, skierowan'l ku warstwie obojçtnej. Zupelnie tak samo motna si
przekonat, ze napiçcia gciskaji}ce P, dzialajqce na konce w16kna si, wydzielonego ze ciskanej
cz ci pr ta. dadzq takte wypadkow'l, skierowanq ku warstwie oboj tnej_ Te sily warunkuN; wza-
jemny nacisk wl6kien podlutnych, przyczem odpowiadaji}ce cïgnienia roSD4 w miarç zblitania si
do warstwy oboj tnej. Wplyw tych napi na rozklad naprçteti normalnych w plaszczyinie pne-
kroju poprzecznego okazuje siç niewielkim 1) i w dalszym ciqgu nie bçdziemy go uwzgl dnia(!.
[Inaczej ma si rz\!CZ z wplywem napi é poprzecznych na odksztalcenie linji grodkowej, co prawda,
tylko w przypadku wyjqtkowo smuklych ksztalt6w przekroju, jak np. przekr6j rurowy 0 cienkich
gQanach]. Pozo$tawimy takte bez rozpatrzenia kwestj wplywu odksztalcenia cale go przekroju
poprzecznego na rozklad naprçieJi normalnych 2).
e rozwiqzanie zagadnienia rozkladu naprçtel'i w plaszczyinie przekroju poprzecznego krzywego prçta posiadamy
tylkQ w tym przypadku, gdy przekr6j przedstawia wydluzony prostokqt 8). Nazwijmy przez b i a zewnçtrzny i wewnçtrzny
Rys. 323
M
P=s
z
r+z
. (249)'
(252)
1) Ob. PlIeiderer "Die Beanspruchung stabfOrmiger Trager mit gekrümmter MitteIlinie", Zeitschr. d. Ver. d.Ing.
z r. 1907, str. 209.
') To zadanie rozwiqzal najpierw prof. 1. J ew ni ewic z; ob. ...Rukowodstwo k' izuczenju zakonow soprotiwlenij stroi-
tjelnych materjalow". r. 1868, str. 131. Z obcych autor6w potr'lcajq 0 t kwestj np.:
Müller-Breslau w dziele ..Die neueren Methoden der Festigkeitslehre", wyd. III, str. 208.
E. S. fi n dre ws "Theory of stresses in crane and coppling hooks", Drapers Company Research Memoirs 1 z r. 1904.
8) Pierwsze badania teoretyczne rozklad1!. naprçteti. w zginanych krzywych pr tach przeprowadzil prof. Ch. Go 1 0-
win; ob. Izw. SPB. Techn. Inst. z r. 1881.
Przypadek zginania pari} sil i sil'l poprzeczn'l rozwiqzal L. Prandtl; ob. kurs Fi5ppla, t. 5, str. 72, a p6tniej:
R. Timpe, Zeitscbr. f. Math. u. Phys. z r. 1905, str. 348.
W rosyjskiej Iiteraturze pojawily siç odnome prace:
N. Miti1iskiego: "Ob izgibie kriwych brusjew", Sborn. Inst. Ini. Put. Soobszcz. z r. 1900 i
S. Belzeckiego: "Ploskaja zadacza teorij uprugosti w cilindriczeskich koordinatach", Izw. Sobr. Int. Put. Soob.
z r. 1906, str. 146.
243
promie1i zarysu krzywego pr ta (rys. 324), przez px napr\\tenia normalne dziataj4ce w plaszczytnie przekroju poprze-
cznego, a przez Pz napr tenia normalne, wynikajqce z wzajemnego dzialania na siebie element6w wl6kien podIutnych.
Wtedy dokladne rozwiqzanie przedstawia si wzorami 1):
4M ( pb a' b' b ) }
px = - c b'-a'-a'lg- - b'lg---lg-
a p p' a
4M ( pb a' b' b )
pz =- -a'lg--b'lg-+-lg-
Cap p' a
Por6wnawcze obliczenia. wykazaly, te w przypadkach, kiedy wysoko przekroju b- a < a;b,
rozwiqzanie przyblitone (wz. 249') rdtni si bardzo malo od powytszego cislego. R6tnica obu
lormul wzrasta z powi kszeniem wysok ci przekroju, ale zarazem staje si w'ltpli1& i watnog6
naszych rachunk6w. Ta.k bowiem dokladne, jak i przybliione wzory, opieramy na zaloteniu, :te
rozpatrywany przekr6j jest odlegly od miejsca dziatania sil i :te poprzeczne rozmiary pr\\ta SI!
male w por6wnaniu do jego dlugotti. Oba te warunki przestajq si spelniaé w miar wzrostu
wysoko ci przekroju; jednocze nie wywierajq coraz wiçkszy wplyw napr :ienia miejscowe, powsta-
jqce w miejscu dzialania siI zewn\\trznych i wywoluÎ'lce znaczne zmiany w rozkladzie napr teti, znalezionym poprzednio->.
Przy takich warunkach nalety przYWÎ4Zywaé wielkl! wag do dogwiadczalnego sprawdzenia otrzymanych wzor6w.
W pierwszych dogwiadczeniach, dokonywanycb nad pr tami zakrzywionemi, doprowadzano je do zlamania i oznaczono
wielkœc: obcÏ<1tenia lami'lcegol). Tq drogél moina bylo znaleié wytrzymalo é badanego pr ta, jednakowoi to nie wystar-
czalo do otrzymania nawet przybliionego obrazu rozkladu napr te6 w zwyklych warunkach pracy krzywego pr ta, ponie-
wat materjal przy wysokich naprçteniach, poprzedzaj'lcych zlamanie, przestaje podlegac: prawu Hooke'a. wobec czego traC'!
watno é formuly teoretyczne, znalezione powyiej. Dopiero p6tniejsze d wÏadczalne badania miaIy
na celu sprawdzenie wzor6w teoretycznych przez obserwacj\\ odksztalceti pr ta4). Dopdki materjal,
zginanego pr ta (taki jak iel. kowalne i stal) pracuje w granicach spr iystogci, odksztalcenia podIe..
gaj'l prawu Hooke'a. Zboczenie od tego prawa wykazuje chwil pojawienia si\\ odk.sztalcet1 trwalych
w najbardziej wyt tonem miejscu pr ta. Wyznaczai4c dia tego miejsca wielkogé naprçte1i wedlug
wyprowadzonych powyzej wzor6w i znaÏl!c z przygotowawczych dogwiadcze6 wartœé granicy
sprçtystogci badanego materjalu, motna osqdzié stopie1i dokladnogci teoretyC%IlYch wzor6w. Ten
sam wynik motna tet osiqgnqé przeprowadzajqc dotwiadczenÏa nad prçtami 0 polerowanej powierz-
chni i wnioskujl!c 0 przekroczeniu granicy spr Zysto ci z pojawienia si linji Lüdersa S ). Bardziej
szczeg610wy obraz rozkladu naprçteti otrzymujemy na podstawie dogwiadcze1'i z prçtami spo-
rZ'ldzonemi z materjalu przetroczystego, np. ze szkla. Drog'l optycznq mo:tna w6wczas stwie.r-
dzié polotenie warstwy oboj tnej 8) i znalefé r6inicç napr te1i Px - Pz w dowolnym punkcie.
Ponitej zestawiono wyniki do wiadcze6 nad szklanym pr tem 0 przekroju prostokl!tnym (rys.325)
wraz z odpowiadaj'lcemi wartogciami teoretycznemi w piçciu punktacb przekroju mn').
. (254)
,P.
@! )
t1 .\ b
\: a'
\e.
\j
R)ls. 324
""'",)1)
-./( '
J 2 ' .
,. ,
. .
, ,
//"jjj
1
1
.
.
.
1 .
-- -. .- Jcm..- ------'"
Rys. 325
W arto ci teoretyczne Wartogci dohiadczalne
przyblizone dokladne
Punkt wedlue- hipolezy wedlug bipotezy
plas. pnekr. linjo.ego rozkl.
px ( , ) Pz pz Pz-pz Px-pz
px .
1 - 0,463 - 0,302 - 0,435 - 0,000 1 - 0,435 - 0,435
2 - 0,121 - 0,151 - 0,115 - 0,086 - 0,029 0,000
3 + 0,050 0,000 + 0,046 - 0,071 +0,117 +0,109
4 1 + 0,155 + 0,151 + 0,145 - 0,034 1 + 0,179 + 0,163
5 +0,224 +0,302 + 0,219 0,000 +Q,219 + 0,217
1) Ob. autora "Hurs tieorij uprugosti", cz. 1, str. 110 (r. 1914).
t) Wplywem naprçteti miejscowych zajmuje si praca autora: ,,0 rasprt'djelenij napriatenij w krugowom koleje"
bill. Kijew. Pol. Inst. z r. 1908.
B) Ob. C. Bach "ElastiziUit u. Festigkeit", wyd. III, str. 476.
1\. Foppl "MitteiL 8US d. mech. techn. Labor.", München, r. 1898, sb". 36.
4) Ob. przytoczollél powyzej pracç E. S. fi n d re w s'a.
Szczeg610wem badaniem rozkladu napr iet'i w hakach zajmuje si\\ dogwiadczalna praca Preuss'a. Zeitschr. d. Ver.
d. Ing. z: r. 1911.
Ob. tak:te "MiUeiL über Forschungsarb.", Nr. ]26.
) Ob. M.1\. Woropajew "Opredjelenie napr. i deIorm. w brusiach bolszoj kriwizny", Izw. Kij.Pol. Inst. zr. 1910.
8) Ob. coker "The Optical Determination 01 Stress", Phil. Mag. z r. 19]O,str. 740, tudziet Engineeringzr.1911,str.565.
Zasady optycznej metody badania stanu napi\\cia w cialach przefroczystych wyluszcza praca W. L. Rirpiczewa
w Wlest. Ob-a Technologow z r. 1913.
7) Liczby zaczerpni te z pracy I.1\ue "Zur Ber. d. Spannungen in gekr. Stiiben unter. flnwend. d. opL Methode", r. 1910.
16*
Okazuje si , te dogwiadczalne warto ci r6tnicy Px - pz zgadzajé} si bardzo. dobrze z wynikami obliczen wedlug
wzor6w dokladnego rozwië}zania. Hipoteza plaskich przekroj6w daje hlk:te dIa warto ci najwi kszych napr teti wyniki za-
dowalaji!ce. Natomiast hipoteza linjowego rozkladu napr ie6 prowadzi, przy obranych stosunkacb wysokogci przekroju do
promienia krzywizny pr la, do znacznycb bl d6w.
Dotychczas rozpatrywalismy stan napi cia w przekrojach poprzecznych krzywego pr ta, wy-
wolany dzialaniem pary zginaj cej 0 momencie M. Teraz przyjmiemy, ze oprôcz pary dziala
jeszcze sÏla R, przechodzqca przez srodek ci zkosci rozpatrywanego przekroju (rys. 326). Roz-
16zmy t sil na dwie skladowe: N, normalnq wzgl dem przekroju i Q, lezqcq
w plaszczyznie przekroju. 0 sile podluznej N mozemy przyj é, ze rozklada si
w przekroju r6wnomiernie i. wywoluje wzgl dne wydlu:ienie wlôkien rôwne: E ' Rli-
nowaty element pr ta ograniczony dwoma przekrojami poprzecznemi ab i cd (rys. 326)
odksztalci si tak, ze przekrôj cd zajmie polozenie c' d', a poniewaz przyrosty dlu-
gosci wlôkien podlu:inych Sq proporcjonalne wzgl dem odIeglosci od srodka
krzywizny 0, wi c kierunek c' d' przejdzie przez punkt O. Przy takiem od-
ksztalceniu nie zmieni si promieti krzywizny pr ta, a tylko k t d q> mi -
dzy dwoma si!siedniemi przekrojami poprzecznemi otrzyma przyrost 0 d <p.
WzgI dne powi kszenie kê'!ta rôwna si widocznie wzgl dnemu wydlu:ieniu
wlôkien, a zatem:
244
Of,
,,1
,1'
",
" .
. .
1 .
;. 1 '
1 fJ.
1 .
1 1 :q
.P.
,
,
.
1
1
,.JL
Ry s. 326
N
odtp=d<p. EF
. (255)
Sila poprzeczna Q wywola napr zenia styczne, Idôre jednak:ie grajq podrz dnq rol przy zgi -
du krzywych pr tôw i dIatego zwykle nie bierze si ich w rachub . W tych zas pq:ypadkach,
kiedy napr zeti stycznych pomin é nie mo:ina, przyjmuje si w przyblizeniu, :ie prawo ich roz-
kladu w plaszczyznie przekroju poprzecznego jest takie same, jak w przypadku pr tôw prostych.
134. SZCZEGÔLOWE PRZYP1\.DRI ZGIECI1\ RRZYWYCH PRETOW
Obliczenia napr zen normalnych wedlug wz. (249), wyprowadzonego na podstawie hipotezy
plaskich przekrojôw wymaga, jak widzielismy, uprzedniego wyznaczenia polozenia osi oboj tnej
do czego sluzy rôwnanie: '
(" zdF = 0
)F r+z . (a)
T ok obliczenia odleglosci r osi oboj tnej od srodka krzywizny przedsta-
wimy na szczeg610wych przykladach.
Przekr6j prostok tny. Dzielqc pole prostokqta (rys. 327) na
elementy prostemi rôwnoleglemi do 00 i oznaczajqc przez u odIeglosci
kazdego takiego elementu pq od osi 00, mozemy rôw. (a) przedstawié
w postaci
brus (u - r) du = b (' Us ( 1 _ ) du = O.
Ut U ) Ut U
Wykonawszy calkowanie otrzymamy dIa r wyrazenie:
h
=--
19 -EL
Ut
z kt6rego, przy pomocy tabIic logarytm6w naturalnych, latwo znalezé wielkosé r, a zatem i odle-
glosé y osi oboj tnej od srodka ci zkosci przekroju. Nie trudno okazaé, ze os oboj tna przesuwa
si od srodka ci zkosci przekroju ku srodkowi krzywizny i to tem bardziej, im mniejszq jest war-
tosé stosunku p: h, jezeli p jest odleglosci q srodka ci zkosci przekroju od srodka krzywizny. W ta-
U 2 -U 1
r=
19u 2 -lgu i
. (256)
o
Rys. 321
245
blicy, umieszczonej ponizej, znajdujê! si wartosci najwi kszych ciqgnien i cisnien przy r6znych
wartosciach stosunku p: h, obliczone wedlug wzoru (252). Obok nich zestawiono dia por6wnania
wartosci tychze naprçzen, obliczonych na podstawie formuly
dIa pr t6w prostych. Z tabliey widaé, ze dzi ki hiperbolicznemu
rozkladowi napr zeti, staje si r6znica bezwzgI dnych wartosci
P-.x i pmm bardzo znacznq przy malych warlosciach stosunku
p : h, ze nadto wartosé najwi kszego, bezwzglçdnie biorqc, na-
pr zenia jest dIa krzywego pr ta wiçksz q , nit w przypadku prçta
prostego 0 tym samym przekroju. Z wzr stem stosunku p: h
znika r6znica w rozkladach napr zeti mi dzy pr tem krzywym
a prostym; przy p: h = 4 zboczenia nie przekraczajq 9%, a przy
p: h = 10 tyIko 3%. Jezeli poprzestaniemy na dokladnosci 10%,
to, POCZê!wszy od p: h = 4 mozna obliczaé pr ty krzywe wedfug
wzor6w wyprowadzonych dia prçt6w prostych 1). Takie prçty
bçdziemy w dalszym ciijgu nazywaé "pr tami 0 malej krzywi-
znie". Z niemi mamy przewaznie do czynienia przy obliczeniu
konstrukcyj imynierskich, np. luk6w, most6w lukowych, skle-
pieti i 1. p. Pr ty, u kt6rych p: h < 4 spotykamy dosé cz sto w konstrukcji maszyn, np. jako haki,
ucha, ogniwa laticuch6w i 1. p. Takie prçty b dziemy nazywaé "pr tami 0 wielkiej krzywiinie"
i bçdziemy je obliczaé przy pomocy wzor6w, wyprowadzonych z hipotezy plaskich przekrojôw.
p Hipoteza plaskich Hlpoteza lin jo-
h przekroj6vr wego rozkladu
M 6
1 pmu = 4,4 Fp T Fp
pmIn =- 9,2 ,.. - 6 "
-1 Î 12
2 1 pmax = 10,25., ..
1 PmIn = - 14,4- " - ]2 "
3 pmax = 16,1 " + 18 ..
pmln = - 20,2 " - 18 "
-
4- Pmu = 22,2 " + 24 "
Pmln = - 26,2 ., - 24 ..
1
pmu = 58 " +60 "
10, -60
pm.n = - 62 " "
Przekr6j I (dwuteowy). Zupelnie tak samo jak dia prostok'lta, mœna zna-
leté polotenie osi oboj tnej i dia przekroj6w zlozonych z prostok'lt6w. Dia przekroju
dwuteowego np. 0 rozmiarach, uwidocznionych na rys. (328), przybierze r6w. (a) po-
shu nast puj CIl:
p zdF = (u-r)dF b UI (U-r)du +b "3 (U-r)du +b 02 (U-r)dU ,"= 0
r+z U 3 U Sut U
F F 0 3 "1 DI
Po wykonaniu calkowania i rozwiqzaniu wzgl dem r otrzymamy:
r=
btht + h2 + b 3 h 3
b l Ig ut + lg U3 + b 3 1g u,
Ut Us U3
il.
[J,
. .lI ll -==:
r J -- -- 0
U. --
. (2571
Rys. 328
Przy danych rozmiarach przekroju poprzecznego obliczenie wieJkooci r nie przedsta-
wia tadnych trudnogci. Rozmiary mozna tez obraé w ten
spos6b, te wielkogci najwi kszego ci gnienia i ci nienia
bçdq sobie r6wne. W tym celu, jak widaé z wzor6w (252 1 , trzeba uczynié zadogé warunkowi:
!4-r r-Ut
-=-
UI Ul
Przyj wszy wielko ci UI, 14 i obIiczywszy r, znajdziemy z wzoru (257) potrzebne wartood
stosunk6w miçdzy pozostalemi rozmiaramÏ. W przypadkach, gdy rodek ci zkœci przekroju
lety w grodku wysoko ci, jest warlogé naprçzenia na wklçslej powierz<.hni pr ta wi ksza, nit
na wypuklej. fiieby te naprçienia zr6wnaé, trzeba grodek ciçtko ci przekroju zblizyé do rodka
krzywizny osi pr ta. W przypadku przekroju l mozna to osiqgnqé, obierajqc b 1 > b 3 .
Przekr6j trapezowy stosuje siç cz sto w hakach (rys. 329). R6wnanie dla wyzna-
czenia r ma postaé:
(u-r)dF 0 k d 2-
= , s q r = dF
F u _
F U
Zwa:tywszy, :te szeroko przekroju jest przy naszych oznaczeniach r6wna:
ut-U
y=b s +(b 1 -b,)-, z dF=yd
us-ur
m-
1 h
(b) 6: ' 7Ifa '. /; :
r / f
. ... ..1 J
"'U-I
, l4 --10
Bys.. 329
1) Co si tyczy powstllj cych przy tem blçd6w ob. Weyrauch'a "Bogentriiger", Il wyd. z r. 1911, sir. 32.
246
otrzymamy z r6w. (b):
F
r=
[ b,+ Us(ba-b:2) . ] tg Us -(bt-b,)
U,- U l Ua
Zauwazymy, ze w rozpatrywanym pn:ekroju mn haka rlziala opr6cz momentu zginajqcego takze sHa podlutna N, r6wna
ci\\zarowi podnoszonemu przez hak. Napr tenia wskutek s11y porlluznej, rozlozone r6wnomiemie w przekroju, nalety zatem
dorlaé do napr\\tet'i, wywolanych dzialaniem momentu zginaj'lcego.
Rla.l c w otrzymanym powytej wzorze b 1 = 0, wyznaczymy polotenie osi
, 0 "'t
oboj tnej dia przekroju tr6jkéltnego.
P rz e kr 6 j 0 kr él g Iy. Szerokog é przekroj u w odleglo ci S od grodka (ry-
sunek 330) r6wna si : V h' v
y=2 4- 52 .
. (258)
__o. 112 .-.---
,
.
.
1
1
- 2 --- U -_:
. / 'r
. e -- L
R6w. (b) dia wyznaczenia r napiszemy przeto w postaci:
Rys. 330
F
r = du
y-
F U
F
C hi h 2 - 5'
) 4 . d 2
_ P+5
2
F
2 n ( p - V p' _ h; )
. (259)
We wszystkich rozpatrywanych przypadkach okre Ia odIeglo é osi oboj tnej od srodka ci zko-
sei przekroju rôtnica
y = P - r.
Jezeli r malo si r6:ini od p, to taki spos6b obliczenia moze prowadzié do znaczniejszych bl dôw
w oznaczeniu wieikosci ) . Ta niedogodnosé da si usun(!é w spos6b nast puj(!cy. Zamiast odleglo-
sei z od osi oboj tnej, wprowadzimy odieglosé
Z = z-y
od prostej r6wnolegiej do tej osi i przechodz(!cej przez rodek ci zkoSci przekroju. Wôwczas rôw-
nanie dIa wyznaczenia osi oboj tnej przeksztalei si w ten spos6b:
\ zdF =\ (z'+y)dF =\ z'dF +.\ dF = 0 .
)Fr+z )f r+z )FP+Z')' )FP+Z'
W prowarlZmy oznaczenie:
(c)
\ z'dF =-_ F
) r+z
przyczem F jest poIem przekroju; natenczas:
. (260)
\ dF, =-.!J pd = \ ( l- ) dF= F(1+cp).
)fP+Z P )FP+L. P)F p+z P
Wstawiwszy t wartosé w powyi:ej napisane rôw. (c), otrzymamy:
- pcp
y - 1 + . (261)
Liczb . Cf' moi:na znalezé anaIitycznie Iub wykreslnie. Przy wyznaczeniu analitycznem ui:yjemy
roiwini cia :
\ z' d F 1 \ , ( z z" ) . H
) FP+Z = P)F Z l- p + fJ2 -.n dF.
Otrzymany t(! drog(! szereg jest silnie zbiei:ny i przy
obliczeniach mozna poprzestaé na iewielu wyrazach.
Np. dIa przekroj u prostok(!tnego 0 wysokosci h D
i szerokosci b mamy: Rys. 331
h
1 \ , ( z' z' ) b \+"2 , ( z' z's .
- cpF=p)F Z 1 - P + (.>2 - ... dF= p)_ Z 1 - P + f)'2- n.) dz',
o
247
a stqd
1 ( h ) 2 1 ( h ) t 1 ( h ) 6
T = 3 2p + -5 2p + 7 2p +...
Podobniei: znajdziemy dia przekroju kolowego:
1 ( h ) 2 1 ( h ) 4 5 ( h ) 6
11'=4 2p +8 2p + 64 2p +...
Dia konturôw zloi:onych (rys. 331) moi:na wyznaczyé warlosé 11' wykreslnie. W tym celu reduku"
jemy dlugosé y kai:dego paska elementarnego przekroju w stosunku Z/: (p+Z/) i otrzymujemy
w ten sposôb krzywq If B C D H, ktôrej rz dne po lewej stronie srodka C b widocznie dodatnie,
a po prawej ujemne. 1\lgebraiczna suma pol fI Be If i CH D C jest oczywiscÏe rôwna
\ z'dF =_o F.
)p+z' ..
Poslugujé!c si planimetrem, znajdziemy latwo wartosé 71.
135. Z1\D1\NIE L1\MÈ'GO
T nazw otrzymalo zagadnienie rozkladu napr i:en w pierScieniu kolowym 0 przekroju prÛ'"
stok tnym, narai:onym w ewn trz i zewn trz na rôwnomiernie rozlozone cisnienia. Moi:na sobi
wyobrazié ten pierscien wyci ty z rury walcowej dwoma przekrojami poprzeczneIt1i m n i p q
(rys. 332, fige a). Poniewaz pod dzialaniem cisnien rôwnomiernie rozlozonych b odksztalcenia
i napr i:enia we wszystkich przekrojach poprzecznych rury jednakowe, wi c mozemy si ograni"
czyé do rozpatrzenia pierscienia, ktôrego wymiarem w kierunku osi rury jest jednostka dlugosd.
Oznaczmy odpowiednio przez a i b
wielkosé wewn trznego i zewn trznego
promienia, a przez pa i Ph odpowiada
j ce cisnienia. Dia okreslenia stanu na-
pi cia w jakimkolwiek punkcie 0 odle
glosci p od osi pierScienia, wydzielimy
u tego punktu element abc d (fig. b)
dwiema spolosiowemi powierzchniami
walcowemi 0 promieniach p i p + d p,
oraz dwoma przekrojami osiowemi, za- Rp.332
mykajilcemi kilt dcp. Dzi ki symetrji
oddzielne punkty pierscienia przesuwajil si przy odksztalceniu tylko w kierunku promieni, a te
przesuni cia Sq dia punkt6w rôwnoodleglych od osi jednakowe. Wobec tego k ty proste wydzielonego
elementu a bcd pozostajq prostemi, a na jego scianach bocznych nie b dzie napr ien stycznych.
Napr i:enia nonnalne na scianach ab i cd, lezqcych w przekrojach poludnikowych, b dil taki:e
z powodu symetrji rôwne; oznaczymy je przez px. Napr i:enie normalne, dzialajqce na scian a d,
odpowiadaji!cq powierzchni walca 0 promieniu p, nazwiemy przez pz; wtedy napr i:eniem na Scia"
nie przeciwleglej bc, odleglej od srodka p+dp, b dzie pz+ z dp 1). Mi dzy napr i:eniami ob-
w 0 d 0 w e m i px ira d j al ne ID i pz zachodzi zalei:nosé podyktowana warunkami rôwnowagi. l\i:eby
jq napi"aé rzulujemy sily dzialajqce na wydzielony element na kierunek promienia 0 b i przy-
rôwnywamy sum rzut6w do zera. Na sciany ab i cd dzialajq sily normalne 0 wielkoSci px.dp.l.
Rzutujqc je na 0 b, otrzymamy:
-p x dp.1.dcp
. (a)
1) Na rysunku przyj my Px i Pz jako ci gnienia. }ezeli z rachunku wypadnie dIa kt6regokolwiek J: tych napr teti
warto ujemna, to btdzie to znaczyé, ze mamy do czynienia z cjgnieniem.
248
Na Scian ad dziala sila pz. pdtp. 1, a na scian bc sila skierowana w przec]wnij stronç
o wielkosci:
(Pz + :z d p ) (p + d p) d tp . 1 = pz p d tp . 1 + pzd pd tp . 1 + -?; d p . pd tp . tt}.
Rzutuj c te sily na kierunek promienia ab, znajdziemy:
pz d p d tp . t + ?; d p . p d ff . 1
Z (a) i (b) wynika potrzebne nam rôwnanie rôwnowagi w postaci:
dpz 0
pz+crpP-Px=
. (b)
. (c)
Drugie rôwnanie, konieczne do wyznaczenia niewiadomych naprçi:en px i pz, otrzymamy, biorijc
poo uwagç odksztalcenie pierscienia. Nazwijmy przez u przesuniçcie w kierunku promienia jakie-
gokolwiek punktu, lezQcego w odleglosci p od srodka pierscienia. Ta wielkosé bçdzie pewnij
funkcjij zmiennej p. Jei:eIi wezmiemy nieskonczenie bliski punkl w odleglosd p+d p od srodka,
10 jego przesuni ciem w kierunku promienia bçdzie:
du
u + d p d p.
du
Element promienia d p wydlui:y siç przeto 0 d p d p, a wydluzenie wzgl dne w kierunku pro-
mienia okresli wzôr:
du
e z = d p .
Oprôcz wydlui:enia w kierunku promienia dozna element a b cd taki:e wydlui:enia obwodowego ex
Jego wielkosé znajdziemy z warunku, i:e punkty lezijce przed odksztalceniem na okrçgu 0 pro-
mieniu p, znajdujQ siç po odksztalceniu na okrçgu 0 promieniu p + u, a wiçc wzgl dne wydluzenie
obwodowe ma warto é
u
ex = .
p
MajQc warlosci wydluze1i ex i e z jako funkcji u, mozemy wyrazié przez tç wielko é naprç-
zenia px i PL W samej rzeczy wedlug 17 b e:
px= 1 E O'II(e x +O'e z )= 1 E O'I( + (! : ), 1
E E ( du u ) . (d)
px = 1 1 (e z + O'e x ) = 1 1 - d +0'- .
-0' -0' P P
Wstawiwszy te wyrazenia w r6w. (c), otrzymamy:
dSu + du _ E.. _ 0
d pl P d P p2 - .
T 0 rôwnanie da si przedstawié w postaci:
( du +E.. ) = 0
dp dp p ,
Ostatniemu za rôwnaniu czyni zado é:
.. du u
a zatem - d + - = consl
p p
B
u=Rp+-,
p
1 ) P . nl:.(_ d pz d 2..1 1 . ak ' .
omm y wyraz""dP" p lA Ip . J 0 mesk06czeme maly wytszego rzidu nit mne.
249
przyczem fI j B Si! dowoinemi statemi. Wyznaczymy je z warunkôw krancowych dia napr zen.
W tym celu wstawimy zamiast u warto é w wyrazeniach (d) dIa napr zeti i znajdziemy =
px = - [ fI ( 1 + 1'1 ) + ( 1 - Ci ) 1
1 - al pl ,
pz = l CiI r fI (1 + Ci)- (1- Ci) 1.
Na zewn trznej powierzchni pierscienia, t. j. przy p=b, staje si napr zenie pz r6wne nieniu
zewn trznemu, 1. j. - Pb. Podobniez na powierzchni wewn trznej jest pz = - Pa Te warunki daj
nast puj(!ce dwa rôwnania dia wyznaczenia stalych A i B:
B 1-0'2
A(1+a)- b l (l-Ci) = -Pb----y-,
B 1-0'2
A(1+a)- al (t-Ci) = -Pa----y-.
St(!d :
A _ 1- Ci aS pa - b't Pb B _ 1 + Ci (Pli - Pb) a't b't
- . bi-a! , - .- b!-a l .
Wyznaczywszy stale dowolne, przedstawimy wyrazenia dIa napr ze6. w postaci:
= a 2 Pa-b 2 Pb + (Pa-Pb)alb l l
px bl _ al pl (bi-ai) ,
_ a 2 Pa-b 2 Pb _ {Pa-Pb)a 2 b 2 J
pz - b2 _ a2 p2 (b2 _ a 2 ) .
Skoro w szczeg6Inosci ni ema ci s ni en i a zewn t rzne go, czyli Pb = 0, to wzory dia napr -
zert przybierajij postaè:::
. (262)
pa a 2 (b 2 + p2) a 2 pa ( b2 ) J
px = p2 (b2 _ a2) = b 2 - a 2 pi + 1 ,
pa a 2 (b 2 + p2) a 2 pa ( b2 ) l'
pz=- p2(b 2 -a 2 ) = - b2-a2 pi -1 . J
W tym przypadku S(! napr zenia obwodowe wyiijcznie cié!gnieniami. One osiqgajij najwi kszi! war-
tosé na wewn trznej powierzchni rury. 1. j. przy p = a, najmniejsz(! zas przy p = b;
b 2 + a 2 2a 2
(px)max = b 2 _ a 2 pa; (px)min = b 2 _ a 2 pa,
a 2 + b 2
(Px)max = (px)",;" = 2 a2
. (263)
. (264)
lm mniejsza przeto grubosé sciany rury, tem mniej nierôwnomiernie rozldadajé! si napr zenia
obwodowe. Napr zenia radjaIne wypadajij wsz ie ujemne, Si! wi c cisnieniami. Te napr zenia
znikaj(! na zewn trznej powierzchni, a stajé! si rôwne - pa na wewn tnnej powierzchni rury.
Przesuni cie dowoinego punktu:
-R B _1- a a 2 pa-b 2 Pb 1+ a (pa-pb)a 2 b 2
u- p+p- . b2-a2 .P+-:e- (b 2 -a 2 )p
W przypadku szczegôlnym, gdy Pb = 0, powi kszy si promien wewn trzny 0:
ap.. ( b2+a2 )
01 = b 2 -a 2 + Ci .
Przy dzialaniu tyIko zewn trznego cisnienia mij.my dIa napr zeiÎ nast uji!ce wzory:
P b b 2 ( a2 ) Pbb2 f a 2 )
px = b 2 -a 2 1 + p2 ' pz = - b 2 -a 2 \ 1- p2
Odpowiadaj(!ce zmniejszenie prom.ienia zewn trznego:
_ bp., ( b2+a2 _ )
°2- E b l -a 2 a
. {265}
. (266)
. (267)
Przy pomocy wyraien dia 8 1 i latwo rozwiq,zaé zagadnienie rozkladu naprizeti. w gciankach sklado-
wych rur walcowych. Takie rury stosuje siç przy bardzo wysokieh cjgnieniacb wewnçtrznych. aieby otrzymaé ko-
rzystniejszy rozkiad napr zet obwodowych na grubo i gcianki rury. Z wzoru (264) widaé, ze w gciance litej nie moze
wielko é (Px)""", w tadnym wypadku byé mniejsz'l od POl, a powiçkszenie grubogci gcianki ponad pewn granicç ma
wplyw bardzo maly na wielkogé naprç:ie6 kraticowycb. Materjal mozna lepiej wyzyskaé, skladaj c
gcianç rury z dwu rur (rys. 233) 0 rozmiarach tak dobranych, aby przy zestawieniu powstaly pewne
napr tenia poczqtkowe. W tym celu bierze siç promie6 we-
wnçtrzny wierzchniej rury nieco mniejszy od promienia :te-
wn trzn(>go rury rodkowej. Rury mozna na siebie nasun é
po uprzedniem ogrzaniu rury zewn trznej do odpowiedniej
temperatury. Przy ostyganiu kurczy siç ta rura i w powierz-
chni przylegania obu rur powstaje cignienie p, gciskajqce rur
wewnçlrzDq, a rozci gajqce zewn trzn'l' To cignienie wywola
skr6cenie zewnçtrznej grednicy rury rodkowej, okrdlone wzo--
rem (267) dia 1 i zwiçkszenie wewnçlrznej rednicy wierzchniej rury 0 wielkogé
przedstawionq wzorem (265) dia 1' Jezeli przez 28 oznaczymy r6tnic mi dzy
terni ednicami, przyjçtq przy sporzqdzeniu Fur, to wielkogé niewiadomego narazie
cjgnienia p znajdziemy z warunku:
pb ( b 2 +a 2 ) pb ( c ' +b 2 ) pb 2lJ2(c 2 -a 2 )
8=81+ =E b2-a' - a +E cl_b2 +8 =E' (b 2 -a 2 )(c 2 - b'r
Sl'ld :
250
R 3J3
'0
1
E (b 2 -a2) (c2-b ' )
p= b . 2b ' (cL.a2) . (268)
Na rys. (334) przedstawiono wykrdinie rozlùad naprçzet'i px dIa nastçpujqcych
danych: a=10cm, b-15cm, c=20cm, Ï;=0,012cm i P...=?OOOkgfcm2.Przy-'
j wszy dla zelaza kowalnego E = 2 . 1()8 kg/cm', znajdziemy z wzoru (268), ie
p = 260 kg/cm'. Pod dzialaniem tego cimienia powstan w rurze wewnçtrznej na-
pq:ienia. ciskaÎl!ce px. kt6rych rozklad na grubo ci cianki przedstawia krzywa
kropkowana r s. W rurze zewnçtrznej powstan'l zarazem obwodowe ciqgnienia 0 rozkladzie przedstawionym krzywq tu. Jeteli
rurç zloton'l poddamy wewn nemu cignieniu, to powstajqce przytem obwodowe ciqgnienia okre Ia wz6r (263). Na ry-
sunku przedstawiono prawo ich .zmiany krzywq, mnq. Sumujqc te napr4jJienia ze znalezionemi powyzej napqzeniami po-
c tkowemi, otrzymamy rozklad uwidoczniony na rysunku zakreskowanem polem. Z tego prZ¥kladu widaé jasno, jak mo:i:na
wyzyskaé lepiej materjaI zewn trznej rury, wywolujqc sztucznie naprçzenia poczq,tkowe.
Rys. 334
9 136. OBLICZENIE UCH1\ W POLl\CZENIU SWORZNIOWEM 1 OGNIW L1\NCUCHOW
Z wyniku poprzedniego paragrafu mo:ina skorzystaé dIa przybli:ionego obliczenia elementôw,
przedstawionycb na rys. (335) i (336). Gl6wna trudnosé przy wyznaczeniu naprç:ien polega tutaj
na tem, te nie znamy prawa rozkladu cisnien, przeniesionych przez walcowy sworzen AS B na
wewnçtrzn powierzchniç ucha lub ogniwa. Rozklad cisnien bçdzie zaIeteé tak od dokladnosci
obrobienia, jakotez od odksztalceii obu stykaj cych siç czç- .B
Sei. Przy obliczeniach praktycznych zadowaIano siç dawniej C Jl
bardzo grubem przyblizeniem, _ '.
uwazaj c polowç ucha za beIkç S : p
podpart w punktach C i obci - A'
zon ciçzarem P, bqdz to skupio :r
nym, b dz tez rôwnomiemie rozlo- I p
zonym wzdluz AB. Niekt6rzy p6- p 1 2
zniejsi autorowie 1) proponuj obli- 1. ' _ p
czenie tych element6w jako pr - 1 2
tôw krzywych, ale zasadnicz \
Rys. 336
kwestj rozkladu cisnien pomi zy
sworzniem a uchem zalatw.iaj zupelnie dowolnie, przyjmuj c albo nadsk skupiony w punkcie S,
albo obci :ienie r6wnomiemie rozlozone wzdlut R B. Czyni c jedno z tych zalozen, mo:ina znalefé
.
,
:
.
. .
. '
,. .
[<J'tH illlir.
Rys. 335
1) Ob. Blumenleld ..Berechnung von g8krümD!ten Stiiben',/::Zeitsch. d. V. d. Ing., r. 1907.
Baumann, Zeitschr....d. Ver. deutsch:;,Ing. z r. 1908, sir. 397.
251
latwo t wartosé sily P, przy ktôrej musialyby si pojawié trwale odksztaleenia i sprawdzié ten
wynik drog doswiadczalnq. W tym kierunku wykonano Iiezne badania l} z r6znorodnemi uehami
i ogniwami. Obserwacje chwili pojawienia si Iinij Lüdersa na bocznej polerowanej powierzehni
rozci ganej prôbki pozwalaj ustaIié polozenie przekroju niebezpieeznego i wyznaczyé obci zenie
odpowiadaj ce pojawieniu si odksztalceii trwalyeh. Te doswiadezenia wykazaly ealkowit niezgo-
dnosé obliczeii z rzeczywistosci i kazaly poszukiwaé bardziej zadowalaj cych
podstaw dia rachunku. Szereg doswiadczeii nad modelami z gumy wykazal, te
w miejscu przylegania do sworznia ucho si nie zgina, lecz odksztalca tak, jak
scianka rury walcowej, narazonej na cisnienie wewn trzne, rozlozone r6wno-
miernie. Dlatego przy obliczeniu nalezy si uciec do wzor6w Lamè'go (264).
Wielkosé p wchodz e w te wzory, motna znalezé w nast puj cy spos6b:
Niechaj 2 a oznaeza k t srodkowy, odpowiadaj cy powierzchni przylegania
(rys. 337), zas c grubosé ucha w kierunku prostopadlym do plaszczyzny ry-
sunku. Nacisk na element powierzchni, odpowiadaj cy k towi d cp, r6wna si pa a dcp c. Rzutujije
te naciski elementarne na kierunek 0 s i przyrôwnywuj c sum rzut6w do sily rozci gaj eej P,
znajdziemy:
Rys. 337
a. P
F = 2 pa a c d cp . cos cp = 2 Pa a c sin a, a st d pa = 2 . .
..0 acsma
W praktyce mamy zwykle do czynienia z przypadkiem, w kt6rym a = 90 8 . W6wezas:
P
pa = 2ac .
Wstawiwszy otrzyman wartosé pa we wz6r (264), otrzymamy wielkosé najwi kszych ciQgnieii
obwodowyeh i mozemy wyznaczyé t warlosé P, kt6rej powinno
odpowiadaé pojawienie si trwalyeh odksztalcei'i i Iinij Lüdersa
1\.zeby przedstawié 0 de powyzsza podstawa obliczenia odpowiada
rzeczywistym warunkom pracy ucha, przytoczymy wyniki doswiad-
czeii nad pr6bkami, przedstawionemi na rysunku (338). W tablicy
oprocz danych doswiadczalnych i wynik6w obIiczenia wedlug
wzoru Lamè'go, umieszezono takZe wyniki obIiczeii, otrzyma-
nych przy zaloteniu: 1°) sily skupionej w punkcie S i 2'1} ob-
ciijZenia rozlozonego r6wnomiernie na srednicy sworznia JI B.
W obu ostatnich przypadkach traktowano ucho jako pr t zakrzy-
wiony i wyznaczono napr ienia na podstawie hipotezy plaskich,
przekroj6w.
p
,
1 A ;
1
,
'p
1
Rys.. 338
Ob zenie odpowiadaj&lce chwili pojawienia siç odksztalce:6. trwalych Granica
Typ w kg sprçiystogci
ucha a 1 b 1 l 1 h 1 . 1 ' 1 Dane dœwiad. w kg/cm'
Sila skup. R6wnom. obcli z. Wz6r Lamè go czalne
w cm
1 2 5,5 - 420 658 2400 2600 2000
1 1 3 5,5 - 1120 1500 3200 3600 2000
2 5 5 - 1600 2590 5800 6400 2000
-
II 1 2 - 4 353 526 2400 2600 2000
-
1 t 3 - 2,5 680 910 2720 3000 1700
III 12:5 2900 3300 2000
3 590 870
Powyzsza tabliea wykazuje dobitnie, ze ze wszystkieh sposob6w obliczenia zbIizaj si naj-
bardziej do rzeezywistosci wyniki, otrzymane na podstawie wzoru Lamè'go. Ten wz6r daje zado-
walaj ee wartosci dIa najwi kszych napr zeii nawet w tyeh przykladach, gdy zachodzi nidcisle
1) Ob. przytoczon&l powytej pracç M. 1\. Woropajewa.
252
przyleganie sworznia do wewn trznej powierzchni ucha, co bywa wynikiem niedokladnosci przy
praktycznem wykonaniu poli}czen 1). Przy obliczeniu ogniw zwyklych lancuch6w (rys. 339) kom-
plikuje si zadanie jeszcze item, ze przekr6j poprzeczny nie jest prostok tny, Iecz okri}gly. Sze-
reg odnosnych doswiadczen wykazal jednak, ze i w tym przypadku mo:ina znaIefé sH , odpowia-
dajqcq pojawieniu si pierwszych odksztalcen trwalych przy pomocy powytszego sposobu. W tym
celu zast pujemy przekr6j okrqgly prostokqtnym 0 tem samem polu i wysokosci
rôwnej srednicy d. Szerokosci q zast pczego przekroju poprzecznego b dzie zatem:
_ nds. _nd
C-T.d-T'
zas odpowiadajqcem cisnieniem Pa. wyst puji}cem we wzorze Lamè'go b dzie
p p p
p. = 2 a C sin et - n d S . - F sin et .
4 sm et
Wtedy na podstawie formuly (264) otrzymamy:
Rys.339 ( ) _ Pa (b i + ai) _ 1,25 P . ( 269 )
px rn.x - bi-a2 - Fsin et
T en sztuczny sposôb obliczenia nie daje, naturalnie, wyobrazenia 0 rzeczywistym rozkladzie na-
pr zeii w rozciqganem ogniwie, Iecz otrzymany wynik nie jest pozbawiony praktycznej wartosci,
poniewaz ostateczny wz6r zgadza si dobrze z danemi doswiadczalnemi.
Przesuni cia poszczeg6Inych pnnkt6w krzywego pr ta pod dzialaniem sil zewn trznych znaj-
duje si najprosciej przy pomocy twierdzenia Castigliano'a. Do tego potrzeba wyrazenia dIa energji
potencjalnej pr ta jako funkcji sH zewn trznych. W tym celu obliczymy naj-
pierw energj nagromadzonq przy odksztalceniu w klinowatym elemencie
krzywego pr ta, zawarlym mi dzy dwoma nieskonczenie bliskiemi przekro-
jami ab i cd (rys. 340). W og6Inym przypadku b dq na ten element dzialaé
moment y zginajqce M, sily podlutne N i poprzeczne Q. Utw6rzmy wyrazenie
dIa pracy tych sil przy ich p.owolnym wzroscie od zera az do wartosci kon-
cowej. Moment M wywola przyrost kqta d fP 0 wielkosé B d fP okreslonq wzo-
rem (251) i wykonywa przytem prac :
MBdcp M 2 dcp Mlds
=
2 2SE 2SEp
Sila podluzna wywola wydluzenie elementu w kierunku osi pr ta. Odpowiada-
jqca energja wydruzenia r6wna si : NI ds
2EF .
Opr6cz tego sila podluzna zmieni kqt d fP 0 wielkosé, okreslonq formulq (255). Przytem wykonujq
moment y prac : M Ndcp _ MNds
. EF - EFp
Co si tyczy pracy sily poprzecznej Q, to obliczymy jq tak samo, jak dIa pr ta pryzmatycznego
(wz. 186), poniewaz przyj lismy w przyblizeniu to samo prawo rozkladu napr zen scinajqcych.
Sumujqc, znajdujemy szukane wyrazenie dIa energji nagromadzonej w elemencie pr ta:
dV- M'd + Nids MNds k' Qlds
- 2ESp 2EF + EFp + 2FG .
137. ODRSZT1\LCENIE PRET6w ZlUŒZYWIONYCH
. (a)
o c
.l! ri .' f' J'I
il/;. , .(j 11
: :
. . ,
,. 1
. d. 1
.':
' l '
, ,
.
Rys. 340
. (b)
. (c)
1) Zmniejszajqc promie6 zewn trzny b i sze.roko é h w przypadku ucha typu III-go, motna doigé do takiego ksrlaltu,
u kt6rego bardziej wytçton okate siç cz é ucha nieprzyIegaj'lca do sworznia. W tych warunkach bçdq miejscami nie-
bezpiecznemi przekroje mn w miejscu polqczenia ucha z cz cÎ'l prost'l. DIa wyznaczenia naprçten niebezpiecznych trzeba
wtedy rozpatrywaé ucho jako pr t krzywy, a motna zupelnie pomin'l<: odksztalcenie tej czçgci ucha, na kt6rf! sworze6
wywiera nacisk bezpogrednio.
253
Energj potencjaInq calego pr ta okre!Sli zatem wz6r:
r' ( MI NI MN k'QII
V = )0 2ESp + 2EF + EFp + 2FG ) ds
. (270)
Przy obliczeniu odksztalcen w zagadnieniach praktyki mamy przewa:inie do czynienia z pr tami
o ..,malej krzywiznie". W6wczas mozna z wystarczajqcem przyblizeniem uproscié znacznie og6Ine
wyrazenie dia energji potencjalnej, opuszczajqc dwa ostatnie
wyrazy w nawiasach wzoru (270) i zastçpujqC nadto w pierw-
szym wyrazie wielko!Sé S p przez zblizonq do niej co do
wartosci wielkosé momentu bezwladnosd przekroju poprze-
cznego 1). Formula dIa V przybierze tedy uproszczonq postaé:
JI
-
p
Ji
r S ( Ml N2
V = )0 2 El + 2 EF ) ds
. (271)
X a wiçc tak q samq jak dIa prçta prostego. Na szczeg610wym
przykladzie poni:iej rozpatrzymy wplyw tych uproszczen na
dokladnosé wynik6w.
Ry..341 Odksztalcenie osi pr ta bçdzie zupelnie okreslone, skoro
znamy dIa kazdego przekroju poprzecznego przesuni cie
jego srodka i kqt obrotu przekroju.-Dajmy na to, ze trzeba zbadaé odksztalcenje prçta DBA, dol-
nym koncem utwierdzonego (rys. 341). Wyprowadzimy wzory dIa zmiany polozenia dowolnego prze-
kroju poprzecznego m n. .1\zeby znalezé kqt obrotu tego przekroju, powstajqcy pod dzialaniem sil
zewn trznych, trzeba do danych obciqzen dolqczyé fikcyjny moment Mc, dzialajqcy na przekr6j m n
i wyprowadzié pochodnq energji potencjainej prçta wzglçdem Mc- Podstawiajqc w ostatecznym wy-
niku Mo = 0, znajdziemy szukany kqt ô %. W yra:ienie dia energji potencjalnej b dzie mialo postaé:
V = r' [ (M+M,,)I + + (M+Mo)N + k'QII ] ds.
o 2ESp 2EF EFp 2FG
Tutaj oznacza M moment zginajqcy uwarunkowany danemi sHami zewn trznemi, zas M" wprowa-
dzony przez nas moment fikcyjny. Calkowanie musi siç rozposcieraé na czçsé prçta miçdzy plasz-
czyznq utwierdzenia, a rozpatrywanym przekrojem m n, poniewaz tylko odksztalcenie tej cz sci
ma wplyw na szukanq zmian polozenia przekroju. StosujqC twierdzenie Castigliano'a otrzymamy:
Btpo= ( !:If) M V ) = r'( E M S + E N F )ds .
u 0 10\0=0 )0 p p
. (272)
Gdybysmy uzyli przyblizonego wyrazenia dia energji potencjalnej, to szukany kqt obrotu przedsta-
wialaby formula:
r S M ds
Btpo = )o-a
_ (l72)'
Ostatni wynik stosuje siç najcz !Sciej w obliczeniach praktyki_ 1\:ieby znaIezé przesuni cie srodka
przekroju mn w kierunku osi X-6w, trzeba do danych obci(!i:en dolqczyé fikcyjnq sil Po majq
tenze kierunek. W skutek tego przybywa w dowoInym przekroju moment dodatkowy Po (Yo - y)
i dodatkowa sila podluzna Po cos c:p. Przyblizony wz6r (271) dIa energji potencjainej napiszemy
teraz w postaci:
V-\" { lM + Po(Yo - y))11 + lN + Po cos _tp)!! } ds
- )0 2 El 2EF.
1) To wynika stqd, ze przy =o, musi wz6r (249) zgadzaé siç z wzorem (64) dia prostego pr .
r
254
Tworzqc pochodni'! tego wyrazenia wzgl dem Po i podstawiaj c w koiicowym wyniku Po=O, otrzy-
mujemy dIa szukanego przesun! cia wzôr:
ô _ rS M(y,,-y)ds + Cs Ncoscpds _ Cs Mds _ r s Myds + cxo Ndx . ( 273 )
Xo-)o El )0 EF -Yo)o El )0 El )0 EF
W podobny spos6b znajdziemy formul dIa przesuni cia punktu If w kierunku osi Y-ôw, a mia-
nowicie:
, [SMds Cs Mxds rYONdy
byo= - Xo )oEI +)0 El +')0 EF
Otrzymane wzory rozwiqzujq calkowicie kwestj odksztalcenia krzywego pr ta i sprowadzajq wy-
znaczenie wielkosci ôcpo, OX" 0Yo do obliczenia kilku calek, co mozna wykonaé drogq analitycznq
albo wykreSlnq 1).
W szczeg6lnym przypadku, kiedy pierwotna os zakrzywionego pr ta jest lukiem
kola, motna zamiast przesuni é poszczegôlnych punktôw znalezé rôwnanie zgi tej osi
pr ta, analogicznie jak przy zgi ciu belek prostych. Niech b dzie luk kola If B (rysu-
nek 342) 0 promieniu a pierwotnq osi q pr ta, ktôra po zgi ciu przybiera postaé przed-
stawionq Iinjq kreskowanq. Oznaczmy przesuni cia punkt6w osi w kierunku promieni
przez yi napiszmy rôwnanie linji ugi cia we sp6lrz dnych biegunowych 0 poczqtku 0:
r = f(cp), przyczem r = a + y. . (d)
. (274)
Rys. 342
DIa promienia krzywizny we sp6lrz dnych biegunowych mamy wzor:
Podstawiwszy r = a + y i
szego rz du
[ri+ ( ) 2 Ji
p= . dr l d 2 r
ri+2 ( dcp ) - r d cpt
opusciwszy po rozwiniçciu wyrazy,
( d y ) 2 d'y
yi, dcp , Y dcpi ' ...,
aS + 3 ai y
p=- - d 2 y.
a l +2a y - a-
drpl
zawierajqce wielkosci male wyz-
otrzymamy
Przyrost krzywizny osi pr ta b dzie wiçc rôwny:
d'y
- - - y+dq)2 .
p a a i +3ay
Skoro w ostatnim wyniku pominiemy wyraz 3 ay w por6wnaniu do al, to, uwzgIçdniajqc, te
ds = adcp
1 1 _ Y d 2 y
P - a - - a 2 - ds:!
Z drugiej strony, z rozpatrywania odksztalcen elementu pr ta, zawartego miçdzy dwoma przekro-
jami poprzecznemi wynika:
otrzymamy
. (e)
_ _ dcp+odcp _ dcp _ ôdcp
p a- ds ds-CiS'
DIa pr tôw 0 .,malej krzywifnie" otrzymamy, pomijajqc wplyw sHy podlutnej (wz. 253):
_ _ odcp _ M
p a - adcp - El'
1) Ob. Ba u m il nn "Einfaches V erfahren zur Ermittlung der Formanderung ebengekrümmter stabfOrmiger Korper",
Z. d. Ver. d. Ing. z r. 1910, str. 1671.
255
a r6wnanie zgi tej osi pr ta przybierze postaé 1) :
( d2y Y )
El ds 2 + a 2 = - M
Przy a = (X) przechodzi to r6wnanie w r6wnanie Iinji ugi cia pr ta prostego (wz. 90).
W praktyce mamy niekiedy do czynienia ze zgi ciem prçt6w lekko zakrzywionych. u kt6rych pierwolna strzalka ugi a
jest mala w p01::6wnaniu do rozpi togci. Przy dzialaniu na taki pr t sH poprzecznych motna 11' podstawowem r6wnaniu (275)
porninqt drugi wyraz po lewej stronie i szukat ugi é tak samo, jak i 11' przypadku pr 6w pryzmatycznych. Jeteli opr6cz
sil poprzecznych zginajqcych dzialaii! na lekko zakrzywiony prçt i sily podluine, to pierwotne %akrzywienie IDOte mieé
istotny wptyw na ugiçcie, a dia oceny tego wplywu najdogodniej utyé przyblitonej metody, wylo:tonej 11' rozdziale XV2).
Oznaczmy przez Yo pierwotne ugi e pr ta, a przez YI ich przyrosty pod wp!ywem sil zginajqcych. Wtedy calkowite ugi -
cie w jakimkolwiek przekroju prçta b dzie r6wne:
(275)
Y=Yo + YI'
Przyjmijmy, :te mamy prçt 11' obu kotlcach podparty 0 dlugogci 1, a poczqtkowe zakrzywienie przedstawia szereg trygono-
metryczny: . na; . 2nx
y,,=b 1 sm T + b. sm -,---- + '" (1)
Zakrzywienie wskutek zgiçcia motna przedstawié wyratenÏem:
. :rrx . 2nx
YI =al SInT + a2 Stn-r +...
. (g)
Wielkoki al> al' ... przyjmiemy za uog61nione sp6trz dne, okreglajqce odksztalcanie prçta. Pnedstawmy energj poten-
cjalnq zgiçcia i wzajemne zblueBie ko6c6w prçta przy zgiçciu w postaci funkcyj obranych sp6lrzçdnycb. Na podstawie
wzoru (225) otrzymamy dIa energji potencjalnej zgiçcia wyratenie:
V :réEl 4 1
= 4"l' ...i:J n an.
n=1,2,3'd"
Zblitenie kortc6w prçta wskutek zgiçcia r6wna siç, na podstawie og61nego wzoru (226):
B 1= ('1 [ d1Y1 +Yo) ] 'dX- ('I ( dyo ) 'd .= ('1 ( dYl ) l d .c+ ('1 dyo dYI dx=
2)0 dx 2)0 dx 2)0 dx )0 dx dx
n2 1 l + nl 1 b
= TI .2:. n an TI .2:. n an n
. (h)
Pr%yjmijmy, te nanas.z pr@t dziaIa r6wnomiernie rozlotone obciqtenie q i podluina sUa rozcÎllgaii!ca S. JeteIi jakiejkolwiek
sp6lrz dnej an udzielimy przyrostu B an. to sily zewnçtrzne wykonuÎ'! przytem pracç:
I - I J
- nnx dl>l L . nnx ni
Ban LO q sm -, dx - S dan Ban = Ban 0 q sm -, d..t' - S TI n (an + bnl -
czynnik przy 1> an przedstawia tutaj uog6lnioDll silç odpowiadajiJCêl sp6lrz dnej a". Przyr6wnywuj'lc pochodlUl enugji po'
iencjalnej ukladu wzgl dem uog61nionej sp6lrz dnej do odpowiadajqcej uog6Inionej sily, otrzymujemy r6wnanie:
:rc4 n 4 El (' 1 . n n x n 1 n 2
2P an =)J qsm -r dx-S 2T (an+b.,),
z kt6rego, po wprowadzeniu poprzedniego oznaczenia:
2 S fi
a = n 2 EI '
znajdziemy :
I
nnx
q sm- I dx
21 S 0
an=-
wEI n 2 (ni + al)
a'b o
- n'+a l '
") To r6wnanie otrzymal najpierw J. Boussinesq; ob. C. R. t. 97, str. 843, r. 1883.
RozWÎ'lzaniem calego szeregu zada1i, odnoszqcych siç do zgi cia pr t6w kolowo zakrzywionych, zajmuje siç pI'aat
R. Mayera; ob. Zeitschr. f. Math. \1. Phys. zr. 1913, t. 61, str. 246.
Zgiçcit! prçt6w kotowo zakrzywionych pod wplywem sil prostopadlych do plaszczyzny kola r07pah'yw81 jui d. Saint-
Venant; ob. C. R., t. 17 z r. 1843.
Ob. nadto prac Rannenbergera w Oster. Woch. f. el. 3ff. Baud. z r. 1912.
1) Ob. prac autora: ..Ob izgibie slogka iskrlwlonnych stiertniej"'. Wiest. Ob-wa Technologow % r. 1913.
256
Wykonawszy calkowanie i wstawiwszy otrzymane w ten spos6b warto ci sp61rzçdnych W og61ne wyraienie dia ugi cia,
4 " L - sin '7t sin 3",; ,J,: ] ( o:s hl sin ;; x 0:'1. hs sin : 7:r )
YI = :Jr EI ]*(I2+o:S) -;- 33l3'1.+0:2) -;-... - ëJ.2 --J- 2' , - ..,
Pierwszil. czç t tego wyraienia zgadza siç zupelnie z tem, co my otrzymaIi pierwej dia ugiçcia prçt6w pryzmatycznych
(ob. wz. c w 9 127). Druga cz é okregIa wplyw pierwotnego zakrzywienia na dzialanie sily podlutnej.
Otrzymany wz6r (k) zastosujemy do szczeg6Inego przypadku. Niechaj np. prçt stalowy, w obu kotkach podparty,
o dlugogci 1 = 150 cm i przekroju poprzecznym kwadratowym ] cm X. 1 cm, zgina si pod wplywem wJasnego ciçtaru i sily
podlutnej S = 100 kg. Pierwotne ugi cie niech przytem przedstawia r6wnanie:
08 . 7T.J: 03 ' 2:Jrx
Yo = - , s.n T - , sm-r'
otrzymamy:
. (k)
(Znak - wskazuje. ze pierwotne wygi cie jest skierowane w g6r ). Podstawiwszy E = 2,2 .10 6 kglcm' i ql = 1,2 kg znajdziemy:
Sl2 4q/
((2 = n' El = 1,25, n5 El =0,289 cm.
Wstawiwszy te wartogci we wz6r (k) dIa ugiçcia, otrzymamy:
( . na. , . 3:n;x, ) . ( 04 AA . nx + 0071
YI = 0,129 sm T + 0,001 SIn -y-.-... -+ ,_sm T '
. 2nx )
sm -y- . .
Pierwsza suma przedstawia ugi cia prçta pryzmatycznego, druga zag, zlozona z dwu wyraz6w, daje ugiçcia uwarunkowane
poczqtkowq krzywizn .
JeteIi sil podlutnq zwiçkszymy 10-krotnie, to otrzymamy ((2 = 12,5, a wz6r (k) da nam:
( . nx . 3nx + ) (0740 ' nX + 0227 . 2nX )
YI = 0,02] sm T + 0,0005 sm -y- ... + , sm T ' sm ---, .
WidÛmy, te tutaj sila podlutna ma dominujq(y wplyw; ona znosi znacznq cz gé poczf!tkowego wygiçcia pr ta.
Natomiast sUa gciskajqca dqty do powi kszenia pierwotnego zakrzywienia prçta. DIa wyznaczenia ugiçé motna utyé
poprzedniej lormuly (k), zmieniwszy tylko znak 0: 2 .
Rozpatrzymy jeszcze przypadek, !Ir kt6rym sila podluzna nie jest zg6ry dana, lecz powstaje wskutek tego, :te ko6ce
zginanego pr ta Si! unieruchomione. Przyjmijmy, ze pierwotne zakrzywienie pr ta da siç przedstawié sinusoid :
b . nx
Yo = ISInT'
Pod dzialaniem obciqienia r6wnomiernie rozloionego ugi cie wzrasta i pojawia siç sila podlutna rozciqgaji}ca, kt6ra
zapobiega wzajemnemu zbliteniu si kotic6w. Poprzestajqc na gl6wnych c;zlonach wzoru (k), 'otrzymujemy dIa ugi cid wy-
razenie:
. nx
SlD-
4 q [4 1 0. 2 hl . na;
YI = :77;5 El . 1 + aS - l+aS SInT'
Niewiadom'l na razie wielko é a'1. znajdziemy z warunku, te zbIizenie k06c6w pr ta wskutek zgiçcia r6wna siç wydluze-
niu, wywolanemu sil podlutnq. Na podstawie wzoru (h) dIa zblizenia, otrzymamy:
(fo - a'1. h l )2 + 2 hl (fo - aS bl) 40:2r S
(1 +a'1.) 2 1 + 0: 2
. (1)
Tutaj f. = ::5qi: przedstawia przyblizone wyra:tenie dIa ugiçcia pr ta bez dzialania sily podlutnej; r za jest promieniem
bezwladno!fci przekroju poprzecznego. Wyznaczywszy z r6w. (1) a 2 , znajdziemy silç podlutnq, a nastçpnie ugi cia i na-
pr ienia w pr cie.
9 138. OBLICZENIE ORRl\GLEGO PIERSCIENI]\
Rwestja oznaczenia odksztalceii krzywego pr ta ma praktyczne znaczenie w zwiqzku z roz-
wiqzaniem zadaii statycznie niewyznaczalnych. Jako pierwszy przyklad wefmiemy obliczenie kolo-
wego pierScienia 0 stalym przekroju, rozcié}ganego lub sciskanego silami P, dzialajqcemi wzdluz
pewnej, np. pionowej srednicy kola (rys. 343). W takich, mniej wi cej, warunkach b dq si znaj-
dowaé okrqgle ogniwa rozcié}ganego laiicucha. Odwr6ciwszy zas kierunki sil P, otrzymamy wzory,
przydatne do obliczenia scian rur walcowych, sciskanych mi dzy dwiema r6wnoleglemi plaszczy-
znàmi. Ze symetrji wynika, ze tak przekroje poprzeczne a a i b b, odpowiadajqce srednicy pozio-
me j, jakotez przekroje m n i p q, zachowujq swoje polozenie po odksztalceniu, a stan odksztalcenia
i napi cia wszystkieh ezterech éwiartek pier eienia jest jednakowy. Rozpatrzmy éwiartkç 1. Prze-
kréj m n bçdziemy uwazaé za utwierdzony, a na przekrôj a a dzialamy sHami zast pujqcen1i dzia-
lanie doInej ezçsci pierscienia na g6rnq. T 0 dzialanie sprowadza siç z po-
wodu symetrji do sHy i momentu 0 nieznanej jeszeze wielkosci Mo.
Wielkosé Mo znajdziemy z warunk6w odksztalcenia obranej éwiartki.
Przekr6j a a nie zmienH swego polozenia, a zatem kqt obrotu ô q> staje
si dIa niego zerem. Na moey wzoru (272) otrzymamy tedy r6wnanie:
( M N
ôep = ): C Sp + EFp ) pdep = O.
Moment zginajqey i sH podluznq w dowoInym przekroju pierscienia,
naehyIonym do poziomej sredniey pod kqtem 'fi, okresi q nastçpujqce wzory:
p P
M = -Zp(l - cosep) + M r " N =2"eoscp.
. (a)
251
p
m.
R7LW
W stawiwszy te wartosci w powyzsze r6wnanie i wykonawszy calkowanie, otrzymamy:
Mo = - Pp ( 1 _ ) _ P S
2 :Ir :Ir F'
aIbo, zwatywszy, te S=Fy,
M = - Fp ( l- + l )
o 2 :Ir:lr P
Jezeli pominiemy wplyw sify podfutnej i wyjdziemy z przyblizonego wzoru (212)', to znajdziemy:
Pp ( 2 )
Mo = -2 1--;r = -O,182Pp
. (216)
. (271)
Z por6wnania otrzymanyeh wynikôw przekonywamy siç, te wplyw sily podIutnej i przesuni cia osi
oboj tnej na wieikosé statyeznie niewyznaczalnq Mo staje siç znaeznym tylko w przypadku pr tôw
o wiçkszej krzywiinie. Blçdy przyblizonego wzoru
w przypadku prostokqtnego przekroju pierscienia 0 wy-
sokosci h zestawiono W obok umieszczonej tablicy dIa
kilku wartosci w stosunku p: h.
DIa Mo wypadla nam warlosé ujemna, co dowo-
dzi, ze moment ten ma kierunek przeciwny przyjçtemu
na rysunku. T 0 bylo do przewidzenia, jezeli zwazymy,
te pod dziafaniem sH rozciqgajqcyeh P musi wzrastaé
promieii krzywizny pierscienia w przekrojach aa i bb.
Wyznaezywszy Mo, latwo znalefé moment zginajqey w dowolnym przekroju pierscienia przy po-
"moey og6I.nego wyrazenia (a). Rtadqc q> = ; i wstawiajqe zamiast Mo warlosé przybliZonq we-
dlug wzoru (277), otrzymamy moment zginajqcy Ml dIa przekroj6w mn i pq:
Ml = 0,318 Pp.
W tyeh przekrojaeh osiqgajq naprçzenia normalne wskutek zgiçcia najwçksz q warloSé.
Do obliczenia wydluzenia pionowej !trédni.cy pierlcienia uzyjemy twierdzenia Castigliano'a. Dokladniejszem wyrate-
niem dia energji tencjalnej bçdzie w tym przypadku (wz6r 270J:
:Jt
\ l ( Mt IV' MN _ k' Q' )
V=4 P )0 2ESp + 2EF +EFp+-;PG dcp.
W stawiajllc za M. N i Q ich warto!tci:
M = P p ( .3.... - cos fII_.3....l ) N = P 2 cos cp, Q = 2 p sin q>
2:Jt n p ·
p 1 1
}i = 1 1 1 1,5 2 1 3
1 -
Y = 1 0,090 0,038 0,021 0,009
1 1 1
J_I --
Bli!d = ! 1 1
15,8°/0 1 6,7% 3,7°10 1 1,6°/.
K.... W)'trsymaloki materjlll6..,
17
258
i twor% c pochodnq. enQrgji potencjalnej wzgI dem P. 7najd11jemy szuka1'Je zwiçkszenie rednicy:
8 = Pp' { !!.... _ 2.. ( 1 _ Y' ) --L 2 r [ ( 1 _ l ) _ :Il; J ï k' Q E .l :Il; } .
ESp 4 11: p' 1 p:ll; p 8 2 p
Gdy pOIDiniemy dzialanie si! podlutnych i poprzecznych, tudziez przesuni cie (Jsi obojçtmj r, to otrzymarny dia
pujê!cy prost y wz6r:
l) nastç-
p pa ( :Il; 2 ) P pa
8 = TI 4-n- =0,149 El -
Ten wynik motna otrzymat takze przez calkowanie r6wnaria (2751, kt6re w danym przypadku ma postal::
d' y L _ _ Pp ( _ cos cp ) alb' d' Y + = _ p ( _ cos <p ) .
ds' + p' - El 11: 2 ' Q. d<p Y . El 11: 2
Latwo siç przekonaé, te og61nq calkq tego r6wnania jest
P p' P pa
y = .JI cos q> + B sin'P + 4 El <p sin cp - nEf'
dy t . 0 . :Il; - t k ... .. dn .
Stale dowolne .JI i B wyzraczymy z warunku, aby drp sta 0 SIÇ zerem przy cp = 1 cp = 2' pomewa oucom "re lCY
poziomej i pionowej odpowiadajq najwi ksze przesuniçcia w kierunku promienia. W6wczas:
ppa P p 3. P p 8
Y = 4EJ cos <p + 4El cp sm <p - nEf'
,
Zmniejszenie rednjcy poziomej r6wna siç:
Pp84-n P p 3
- 2 (})cp=o= ET 211: = 0,137 ET'
z zwiçkszenie pionowej grednicy:
P pB ( :Il; 2 ) P pa
2 (y) _ n=ET T----;r =O,]49 ET ,
rp--
2
zgodnie z otrzyman,! powytej lormulil przyblizonq.
Rozpatrywany przyklad zgi cia piergcienia stanowi najprostsze zadanie tego rodzaju. Dziçki symetrji mieligmy do
czynienia tylko z jednq zbytecznq niewiadomq Mo- Przy do olnem obciqteniu pier cienia (rys. 344)
bçdziemy mieé trzy wielkogci statycznie niewyznaczalne, kt6re obliczymy najlatwiej przy pOIDOcy za-
sady najmniejszej pracy. PrzEcinamy pier cie6 w (teordycznie dowolnym) przel<roju mn. [Obieramy
go oczywigcie tak, aby rachunek motliwie uprogcié]. Wzajemne dzialanie czçgci po obu strona(h
przekroju mozna w najog61niejszym przypadku zastllpié silami N, Q i parq 0 momencie M. Skoro
znajdziemy te trzy wielkogci, to obliczenie momentu zginajêJcego. sily podluznej i poprzecznej w ja-
kimkolwiek przekroju piergcienia nie przed tawi trudnoki. Przyjqwszy M, N i Q za zbyteczne n:e-
wiadome. motemy utworzyé wyrazenie dIa energji potencjalnej piergcienia w zale1nogci od t) (h wiel-
ko ci i wyznaczyé je z r6wna6: av av av
aM =O, aN =O, aQ=O.
Rys. 344
139. LUR DWUPRZEGUBOWY
Przyjmijmy, te przeguby podporowe luku, obci zonego ukladem sil pionowych, lez w r6wnej
wysokosd (rys. 345). Po rozlozeniu kazdej z reakcyj podporowych na skladowq poziomij i pionowi},
motemy skladowe pionowe wyznaczyé zupelnie tak samo,
jak dIa belki w obu koncach swobodnie podpartej, gdyz przy
ustawieniu warunku moment6w wzgl dem fI lub B znikaji}
momenty skladowych poziomych. DIa obliczenia tych osta-
tnich daje statyka tylko jedno r6wnanie, a mianowicie:
suma rzut6w na os poziomi} r6wna si zeru. Przy obecno-
sci samych obci zen pionowych wnosimy st d, te poziome 1 . .
reakcje Sij co do wielkosd. r6wne, a co do kierunku P rze-
RY5_ :us
ciwne. Icb wsp6Inq wartosé H, zwani} "p a r ci e m po z i 0-
me m" luku, znajdziemy przy pomocy twierdzenia Castigliano'a. Zwa:iywszy, ze przy obliczeniu
luk6w mamy do czynienia z pr tami 0 malej krzywiznie, weimiemy dIa energji potencjalnej ukladu
wartosé przyblitoni} (wz. 271). 1\ zatem:
aM ôN
ôV \5 M aH \5 N aH
ôH = )o ds+)o EF ds= &1. (a)
259
Tutaj jest ôl przesuni ciem odpowiadaj cem uog61nionej sile H, t. j. wzajemnem zblizeniem obu
przegub6w. W szczeg61nym przypadku doskonaiego ustalenia podp6r jest ô 1 = 0, a dia wyzna-
czenia H otrzymamy rôwnanie:
SM 8M sN 8N
8R 8H
--ds+ --ds=O
J El EF
. (a)'
w kt6rcm calkowanie rozci ga si na calij dlugosé luku. Moment zginaj cy w dowolnym przekroju
iuku rôzni si od odpow!adaj cego momentu Mo dIa belki 0 lej samej rozpi tosci item samem
obci teniu tylko 0 moment sily poziomej H. Oznaczywszy przez y rz dne osi [linji srodkowej}
luku, mozemy napisaé:
M = Mo-Hy . (b)
Co si tyczy sily podlutnej N, to bez wielkiego bl du w koncowym wyniku mozemy jë! przyjijé
za stai na caiej dlugosci luku i rôwn parciu poziomemu H. W stawiwszy warlosci MiN
w rôw. (a)', otrzymamy:
a s d:
_ r Mnyds +H\ y 2 ds +H f !!s = 0
) El ) El ) EF '
\ Moyd
H = ) El
\ y2 ds +\ ds
) El ) EF
. (218)
W przypadku 1 u k u 0 s t a i y m p r z e k r 0 j u przedstawi si wyrazenie dia H w nast pujijcej
prostszej postaci:
Moyds
H=
y 2 ds + r 2 s
jeteli r oznacza promieti bezwladnoscÏ przekroju, a s dlugosé osi luku. DIa niezbyt plaskich
luk6 w bçdzie r male w porownaniu do y, wobec czego mozna pomiDê é drugi wyraz w mianow-
niku wzoru (278)' i napisaé w przyblizeniu:
. (278)'
Moyds
H=
y2dS
Ten wz6r zastosujemy do przypadku, kiedy os luku jest parabolij 0 r6wnaniu
41
y=x(l-x)p'
. (218)"
a obci;p;enie jest rôwnomiernie rozlozone na rzucie poziomym luku. Wôwczas:
q 1 q x 2 q
Mo =-2- x -T = 2 x (l-x).
Z por6wnania wyraten dIa Mo i Y otrzymamy:
ql2 y
Mo=S'"
a po wstawieniu we wz. (218)" znajdziemy wyrazenie dIa parcia poziomego:
.
ql2
H= 81
. f219)
Tego wzoru mozna u:tywaé do przyblitonego wyznaczenia parcia poziomego H nietylko dIa luku
parabolicznego, ale i dia luk6w odcinkowych 0 innym ksztalcie.
17*
260
Powr6cimy teraz do og61niejszego r6w. (a) i zastosujemy je do wyznaczenÎa napiçt owstajêlcych. w luku
wskutek zmiany temperatury luku 0,01). JeZeliby jedna z podp6r byla ruchomêl, to takIemu podwytszemu tempe-
ratury towarzyszyloby p()wi kszenie odleglogci mi dzy przegubami 0
&I=alt,
przyczem et je!>t sp6kzynnikiem termicznego wydlutenia materjalu luku. l\teby prze uni ty. przeg b. wr cil na mi jsce,
trzeba naJ1 dzialat si!êl poziomêl HI> kt6rej wieIkogé znajdziemy lalwo przy pomocy tWlerdzema castlgliano a. Podstawlwszy
. r6.. (a):
&I=alt, N=Hl i M--H 1 y,
otrzymamy:
H ait
1= r y"ds rA
) El + ) EF
Calkowite pareil' poziome, wywolane dzialaniem obeiêlteJ1 pionowych i podwytszeniem temperatury okr przeto wz6r:
r Mords It
) El + et
H=
y s +
Obliczeni calek wchodzêlcycb w powytsze wzory dp. si zastqpit konstrukcjêl wykrdln<!. Wielkogci
(' Moyds i (' y"ds
) El) El
X.6w pewnych fikcyjnych obciqze1'i. ei,!glych 0 nat zeniu : i I '
. (280)
przedstawiaj<! moment y statyczne wzgl dem osi
dzialajëtcych na o Juku. Wielko t
r ds r dx .
EF = ) EF [dia do é plaskich luk6w]
motna. uwataé za pole ograniczone krzyw,!, kt6rej rzçdne sq r6wne ;F '
140. LIN JE WPLYWOWE DU\ LURU DWUPRZEGUBOWEGO
j-'fl1 IP ' b ---:
A
-=- 0"-' l-..-----f
Przy dzialat:Jiu na luk obciqte6 ruchomych najdogodniej przeprowadzit obliczenie przy pomocy linij wplywowych.
Zbadajmy najpierw wplyw polotenia ciçzaru P (rys. 346) na wielko é wywolanego nim parcia poziomego H. P r z e k r 6 j
luku przyjmiemy przytem za staly i zastosujemy wz6r (278)'. Reakcjami pionowemi
bçdq przy obranem poloteniu CÎçzaru:
JI= Pb i B= Pa
1 l '
Il zatcm:
Mo = P, b x dia lewej czç!:'ci luku, a
Rys. 346
Mo= Pt (l-x) dIa prawej czç!:'ci.
Wyrazenie dia parcia poziomego (wz6r 278)' przybierze postat:
Pb\C pa B
" xyds + T (I-x) yds
H= ..,1\ C
y" ds + r t s
DIa uproszczenia dalszych obliczeJ1 zast pimy eJement luku ds przez element jego rzutu poziomego dx. Taka zamiana,
jak wykazaly szczeg610we obl1czenia, wywoluje tylko nieznaczne b!çdy w k06cow j warto ci H. W z6r dia parcia poziomego
napiszemy tedy w postaci: P l; a P a 1
, xydx+, (l-x)ydx
H= 0 a
>" da; + r 2 1
. (281)
. l, Rwestja naprçie6 termîcznych w zwiqzku z budow,! widkich luk6w mostowych z betonu Iub zelbetu nabiera
w naszych warunkach klimatycznych powa:tn£go praktycznego zvaczenia, wobec CZl'gO wypada zbadaé dokladniej rozklad
temperatury na grubogci luku. Niekt6re daty do wiadczaIne w tej sprawie moina znal"ié w intcresujqcym artykule C. H
Paul and Mayhew. Ob. Trans. fimer. Civil. Eng. Vol. 79 (r. 1915).
261
W szczeg6lno ci dIa luku paraboIicznego 0 r6wnaniu ( 139):
41
y=z(l-x)p
:majdziemy po wstawieniu warto!:Ci y i wykonaniu calkowania:
a(l-a) ( 1 +...!... - )
H- P 1 P
- 8 fi ( 1 + ;: )
Otrzymane wyrazenie daje dia P = 1 szukane r6wnanie Iinji wplywowej. Najwiçksza rzçdna linji wplywowej odpowiada
&-odkowi rozpi to ci. Jej zmianç w zaleZno ci od stosunku 1: 1 przedstawia zalqczona tablica. (Przy obliczaniu przyjçto
r'=O,OOO4I'). R6wnanie linji wplywowej dia parcia poziomego mo:tna
. '1.' Ii . k 5 ( 1 + a a' )
znaczme uprogCl", Jeze zwaiymy, ie cz y nm"8 ,- - 12
zmienia siç stosunkowo malo przy zmianie a od 0 do i- (w grani-
cach od do ;; ) i w przybIizeniu motna jego warto t k przyji}t
za s . (Dia + = przyjmuje siç k = C,78, dla bardziej plaskich luk6w k = 0,75). W6wczas:
H=kP a(l-a) .
fl (1 + ;, )
Odpowiadajqca linja wplywowa dia H jest parabolil. Linj 1I\plywowq dia momentu zginaj cego M /t 'g.a"'
w dowolnym przekroju luku mn (rys. 347) wykre limy, biorqc pod uwagç, te .e l
A a -' --'--- -- B
M=Mo-Hya. ..._-. C jig D
Rzçdne szukanej linji wplywowej otrzymamy jako r6inice rzçdnych tr6j-
kqta il CB (lig. b), przedstawiajqcego linjç wplywowq dia Mo i wielkogci A .0- B
HYIl' Te ostatnie otrzymujemy, mnozqc rzçdne dia parcia poziomego H Ry.. 47
przez staly czynnik Yll. Sila poprzeczna Q w d woinym przekroju luku
przedstawia siç wzorem:
. (282)
1
T=
1
'3
1
4
1
5
Przy p= l,JI .x=
0,58
0,77
0,96
. (283)
J
{- - ------ -- --"-
:-
'c _______ B
A -'.
---- CII'!I
...--- ,
-Ii
Q= Qo cos tp - H sin tp,
jeieli Qo oznacza sil poprzecZD'l dia belki prostej 0 tej samej rozpi to ci, co luk. RZfdne linji wpIy-
wowej dIa sily poprzecznej tworzy dia prawej cz gci luku r6znica rzçdnych prostej Be (rys. 348)
i wielko H sin <p. W r6wnie prosty spos6b moina skonstruowaé i lin je wp1ywowe dIa sily podluznej, jeieli zwatymy, te
N = Qo sin cp + H cos cp.
Rys. 348
141. NRJNIERORZYSTNIEJSZE OBCIl1ZENIE LURU
l\teby znaleit ten rozklad obciqtenia luku, kt6remu odpowiadaj'l najwiçksze naprçzenia normalne w dowolnie obrl!-
nym przekroju mn (rys. 349), mozna, zamiast konstrukcji linij wplywowych, uiyt t. zw. ",Iinji oddzialywania". Ta Jinja jes t
miejscem geometrycznem punkt6w przeciçcia siç obu reakcyj A y
podporowych, w anycb ruchomym ci zarem P. Jej rzçdne i ffiiiiTIlffiififfiii1illh!\\N !!\III\J1!!\ I\!ITUIIU!\!!iIDffi1L
v okr la proporC]a. nJt I!! IiWlUllliII1Illl:illdiillR
Pb 1 : i:
y: a=il:H= ,:H, 4 d . iJ3
z kt6rej po wstawieniu warto ci H z wzoru (282), otrzymamy
r6wnanie krzywej oddzialywania:
+1 ('1+-!} )
y= lI. a'
1+,-p
Jezeli weimiemy dIa parcia poziomego uproszczone wyrazenie
(283), to "krzywa oddzialywania" stanie siç prosti} r6wnoleglq
do osi X-6w. Jej r6wnaniem bçdzie:
t (1 + .!if)
Y= k
x
:---- a -- 1
.
) T
Ry.. M9
262
Mai'lc "krzywll oddzlalywania" mozna barJzo latwo wyznaczyt reakcje dia dowo1nego polozenia sily P. Znajclzietry teraz
te miejsca, kt6re nalezy obCI iyé, aby g6rne wl6kna w przekroju mn doznawaiy najwi kszyth ciqgnieti. Niech bçdq p i q
kra6cowemi punktarni rdzenia przekroju Poprowadimy przez p prostll .lfp, Bp i przedluzmy je do przeciçcia siç z "krzywll
oddzialywania" w punktach 13 i cr. Jeieli ci iar lezy po prawej stronie punktu 13. to lewa reakcja podporowa luku przetnie
rozpatrywany przekr6) mn ponizej punktu p i wywola w g6rnych wl6knach przekroju cillgnienia To samo zajdzie i przy
poloieniu ciçtaru po lewej stronie punktu cr Najwiçksze ci gnienia w g6rnych wMknach rozpalrywanego przekroju otrzy-
mamy przeto obci'lza)IlC czç ci luku .If'a i 13B'. 1\by otrzymaé najwiçksze clgnienia w tychze wl6knach, trzeba umie cit
obciqzenie mi dzy punktami Il i il. Naprçzenia w dolnej czçgci przekroju m n rnozna zbadaé tym samym sposobem; trzeba
tylko poprowadzié dwie proste Iqczqce przeguby If i B z g6rnym punktEm rdzenn)m q. Przedluzajllc te prtste do prze-
ci cia siç z "krzywll oddziaiywania" znajdziemy szukane przedzialy obcillÏenia
9 142. LUR BEZPRZEGUBOWY
Taki iak ma oba kotice utwierdzone, a zatem kaidy z nich dostarua nastçpujqcych trzech niewiadomych: wielko t
reakcji, je) klerullek i punkt dzialania T rzy warunki r6wnowagi nie wystarczajq do wyznaczenia sze ciu niewiadomych; braku-
)qce trzy r6wnallia moina jednak uslawié rozwataj'lc odksztalcenia luku. Jako wielko ci statycznie niewyznaczalne obie-
rzemy moment utwierdzenia Mfl, wielkogé pionowej skladowej .If i poziomej
skiadowej H reakcji lewej podpory (rys. 350). Te wieIko ci znajdziemy przy
pomocy zasady najmniejszej pracy. Przyjqwszy, ze ustalenie kofic6w je>t
doskonale, czyli, ze punkt .If nie moze doznaé przesuniçcia, a przekr6j If
obrotu, mamy:
.t\:
y
m
A
; H
NA '
n /f
i ' ________D.
_____ ___ J::J-.ç.
--1
av a\t av
aMfl = 0, a If .... 0, aH =- 0 .
. (a)
Dia energji potencjalnej mozen.y wziqé uproszczone wyratenie (271). Wcho-
dzqce w nie wielko ci MiN latwo przedstawié jako lunkcje zbytecznych
niewiadomych i sH zewnçtrznych, a mianowicie:
M = ME\. + If x - H Y - M', N = - .If sin <p - H cos <p + J.Iv
W tych wyrazeniach oznaczyIi my przez M' moment wzglçdem rodka przekroju m n dan) ch obciqze6. dzialajqcych na lewq
cz !:'é luku, a przez N' rzut tych obciqz£fi na kierunek normaInej do przekroju mn. Wl>tawiwszy napisane warto!:'ci MiN
w r6wnania (a), otrzymamy po skr6ceniu przez wsp6lny czynnik E:
1Iys. 350
Mfl d; +If x1 s _ H y S = M':S
M r xds + lf\ x2ds _ H\ xyds 1 If\ sin 2 cpds 1 H\ sin<pcos'-i'dS_ \ M'a;ds + \N'sincpds
fi) 1 ) 1 ) 1 T ) F T) F ) 1 ) F
MH y S + If X dS _ H Y':S _ lf sintpc;sCPdS _ H cos 2 ;dS = M' ds _ N'CO;CPdS 1
Wyznaczenie zbytecznych niewiadomych sprowadza siç w ten spos6b do rozwiqzania trzech r6wnafi linjowych. GMwna tru-
dno é rozwi/lzania polega na wielkiej ilogci pracy rachunkowej przy wyznaczeniu calck okrdlonych, wchodzqcych w po-
wyisze r6..nania. Liczb calek moina zmniejszyt znacznie przez odpowiedni obi6r sp6lrzçdnych 1 ), a zmudny rachunek da
siç zastilpié konstrukcjami wykru'ilnemi. Te !iposoby, majqce
wieIkie znaczenie praktyczne, gl6wnie przy obliczeniu sklepie6
kamiennych i betonowych, stanowiq przedmiot wykladu statyki
budowli, gdzie takte porusza siç wazn'l kwèst)Ç najkorzystniej-
szego ksztaltu lu.ku lub sklepienia 2).
Tutaj obja&1Ïmy niekt6re z uproszczeti w przypadku dzia-
lania jednej sily skupionej na luk symetryczny (rys. 351). Ma-
jllc rozwiqzanie tego zadania, mozemy latwo skonstruowaé
linle wplywowe dia wielko ci statycznie niew) :znaczalnych,
a przy pomocy tych linij rozwiqzemy kwestjç naprçzEfi, po-
wstajqcych w luku pod dzialaniem ruchomego ukladu ciçza-
r6w ze sobq zwiQzanych. To bowiem zadanie wypada rozwiqzy"et': przy ol:liczeniu mcsl6w lu!mienI')ch i bet n()'\\)(h przy
konstrukcji linij wplywowych szczeg61nie korzystnem jest zaslosowanie zasady wzajemnogd przesuniçt. Jako zbyteczne nie-
wiadome prLyjmiemy sHy okre ajllce napr zenia w sZ\\ie Iduczo1a.ym C. Og61 napiçé, dzialaj'lcych w plzekroju C, mozna
. (284)
l,
--.,
f--!
HOP
pgb
PSZI.
1
-- -'
Rys. 351
1) E. Morsch "Berechnung von eingespannten GewOIben", Schweiz. Bauz., XLVII, Nr 7 i 8.
R. Schonholer ",Stabsthe Untersuchung von Bogen- und WOIbtragwerken" r. ]908.
S) W rosyjskiej Iiteraturze jest p wi cona tej kwel>tji praca S. Belzeckiego: .Racionnalnyja formy splosznych
uprugich arok", r. 1905.
sprowadzif do jednej sily i jednej pary sil. Punkt dzialania sily umidcimy W odleglo!:'ci c cd wierzchclka C osi luku, przy-
czem C obierzemy w dalszym ci'lgu tak. aby moiliwie upro!:cié konstrukcj linji wplywowej. Rozlozywszy sil na sklado..e
poziomil i pionow'l i obrawszy dIa sii i momentu kierunki, wskazal1e na lig. (b), sprowadzamy obliczenie do konstrukcji
Iinij wplywowych dia H. V i Mo. Przy zastosowilniu zasady wzajm1nogci przesuni é
b dziemy rzeczywisty stan ukladu, przedstawiony na rys. (35]), por6wnywaf z je-
dnym ze stan6w, uzmyslowionych na rys. (352). Dla otrzymania tych pomy anych
stan6w odrzucamy zbyteczne niewiadome H, V i Mv, zamieniaiqc w ten :spo:s6b luk
na dwa oddzielne krZYW0 pr ty, utwierdzone doInemi koticami w If i B, a zginane
silami r6wnemi jednostce, dzialaiqcemi na g6rne kotice.
Do zastosowania zasady wzajemno!:ci prze5uniçé bçd q nam potrzebne prze-
suniçcia g6rnych k06c6w C naszych krzywych prçt6w, oraz przesuniçcia punktu m,
odpowiadajqcego miejscu dzialania pionowej sily P (rys. 352). Te przesuni cia b -
dziemy pojmowaé w uog61nionem znaczeniu. T ak np. przesuniçciem. odpowiadajq-
cem uog61nionej sile V rzeczy\\istego stanu ukladu (rys. 351) bçdzie wzgl dne pio-
nowe przesuniçcie punkt6w C dIa kaidego z przypadk6w, przedstawionych na ry-
sunku (352). Te przesuniçcia oznaczymy przez ovv; BVH; BVM. Pierwszy z wska-
tnik6w oznacza, ze mamy do czynienia z przesuni ciem, odpowiadaj'lcem sile V.
Drugi za!: wskatnik obja!:nia, jakiego typu si1il r6wn'l 1 to przesuni cie wywolano.
Sile H stanu rzeczywistego bçd'l odpowiadaf w stanach pomy anYth zwi kszenia
wzajemnych odleglogci pur;kt6w 0, kt6re siç przyjmuje jako niezmiennie poil!czone
z koticowemi przekrojami C naszych pr t6w. Te przesuniçcia oznaczymy przez:
Bmr; BHH; BHM. Uog6lnionej sile Mo stanu rzeczywistego bçdzie cdpowiadaf wzglç-
dny obr6t koncowych przekroj6w C przy stanach pomy Ianych. Odpowiadajllce kilt Y
obrotu oznaczymy przez: OM.V; OMH; BMM.. Nakoniec pionowe przesuniçcia punktu m
przy stanach pomyglanych (rys. (352), lig. (a), lig. (b), lig. (e)] oznaczymy odpo-
wiednio przez: Iv; TH; 1111.. Zastosujmy teraz zasadç wzajemno ci przesuni f do rzeczywistego stanu ulcladu i do sbmu po-
myglanego, kt6ry uzmysla"yia lig. (a). Poniewaz w stanie rzeczywislym nie zachodzi wzglçdny ruch obu czç!:'ci luku w prze-
kroju C, przeto przesuniçcia stanu rzeczywistego, odpowiadajqce silom stanu pomy lam:go, b dil r6wne zeru. Praca siI
stanu pomy!:lanego na ocTpowiadaj'lcych przesuni ciath slanu rzeczywistego staje siç tedy rerem. 1\ zalem j>çdzie r6wDi!
zeru i praca sil stanu rzeczywistego na odpowiadajqcych przesuniçciach stanu pomy anego, czyli:
263
fI.
(' r
_À .-N
y I _ n)#
- flg 0. -===-
m % C _.____.__.
X ___u .3
J .
.:::.. :A B
- y /,5 b -=
J C C.L__'_
__ _.._ J
O ! °
:A -
= y fi8- c B,",?,"
Rys. 352
M.Olttv + HOHV + VBW + Plv = O.
Pordwnywuj4,C w podobny sposdb stan rzeczywisty ze stanami pomyglanemi, przedstawionemi na lig. (b) (c) rys. (352)
otrzymamy:
M.OMH+HBHH+ VOVH+PfH =0.-
M.OMM+HoHM.+ VOVM+PTM.=O.
Przy pomocy warunk6w symetrji moina si odrazu przekonaf, ie niekt6re z przes1Jniçf stajq siç zeral11i i uprogcié przez
10 otrzymane powytej r6wnania do wyznaczenia zbytecznych niewiadomych. Weimy pod uwag pomy!:lany stan, przedsta-
wiony na lig. (a). Lewy pr t r6ini si cd prawego Iylko kierunkiEm sily zewnçtrznej, wobec czego prZEsuni cia odpowia-
dai4,"ych punktdw tych prçt6w bçdq zawsze co do wielko ci r6wne, ale co do kierunku przecÎ1I1ne. W takim przypadku
prze uniçcie Bw, przedstawiajqce 1I1zglçdne pionowe rozs1JDiçcie p1Jnkt6w C, b dzje r6wne podwdjnemu ugi ciu w prze-
kroju C lewego prçta, za!: przesuniçcie BM.V i BHV bÇdil r6wne zeru, poniewaz poziomy odstçp miçdzy punktëmi 0 pozo-
staje w danym przypadku niezmiennym, a wzgI dny kqt obrolu przekroj6w C jest r6wny zeru. 1\ zatem dia pomy!:lanego
stanu (a) napiszemy [ob. wzory (272)', (273) i (274) dia przesuniçf]:
s s S, 1
ovv=2 œM.ds + 2 Ndy = 2 œ'ds + 2 sinq>dy
o El 0 EF 0 El 0 EF
OM.V = 0
oHV = 0
W podobny spos6b otrzymamy dla pomyglanych przypadk6w tbj i (e):
&V8 - &HV .. 0,
. (a)
CaM ds Cs yds
0.M8=2 ) 0 El =2 Jo El '
s s s s , s
BHH = 2 (c+y)Mds _ 2 Ndœ _ 2e Mds = 2 Y ds + 2
o El 0 EF f El 0 El 0
. (b)
cos q> dœ
EF
264
&VM =- &MV 0,
s
yds
&HM 5111H=2 0 El '
r s 1. ds
&MM 2, El
...0
Na podstawie tego przybior'l r6wnania do wyznaczenia zhytecznycb niewiadomych postat nastçpujilC'l:
V8vv+Pfv=0, l
M o 8MH+H5HH+P/H=0, J
M.8111M+H5HM+PfM= 0
. (c)
. (d)
Pierwsze z tych r6wnart daje:
fv
V=-P .
uvv
1\ zatem linja pionowych ugi t (mierzonych jako dodatnie w kierunku dodatniej osi Y) dia P?m gfanego stanu a) przedsta-
wia 1inj wplywoW'l niewiadomej V. Ronstrukcjç linij wplywowych dia dwu pozostalych mewladomych Mo 1 H mozna
znacznie upro cié przez stosowny obi6r odleglo ci c, kt6r4, dotychczas pozo-
stawili my nieoznaczon'l. Dia c przyjmiemy tak'! wie}ko 6, aby przesuni cie 5MH
stalo siç zerem. W 6wczas
X 711 C
""lis b Y
(S yds _ 0
)0 El - ,
x
Ky.. 353 czyli poczqtek spolrzçdnych 0 let y w godku ciçiko ci osi luku, jeze1i jako
ciçzar jednostkowy tej osi przyjmiemy w dowoInym przekroju l/El.
Przy takim obiorze odstçpu c drugie i trzecie z r6wna1i (d) dadzq:
H=_pL i M.=-P .
5HH 51/iM
W ten spos6b konstrukcja Iinij wplywowych dia H i Mo sprowadza siç do wyznaczenia pionowych ugiç6 w przypadkach
pomy lanych, przedstawionych na lig. (b) i (c) rys. (352). Te ugiçcia mozna obliczyt przy pomocy og61nego wzoru (274)
dia pionowych przesuniçé. Umie ciwszy poczqtek sp6lrz dnycb w punkcie m, kt6rego
ugi cia szukamy i obrawszy kierunki osi, sil i moment6w wedlug rys. (353), otrzy-
mamy dIa pionowego przesuni cia w kierunku osi y wyrazenie:
f=- ("s zMds _ (S Ndssincp
o El o EF
Pierwszy wyraz tego wzoru przedstawia ugIçcle wskutek momentu zginajqcego,
a drugi wskutek sily podlutnej. Wyznaczenia ugiçcia mozna dokona6 drog4, anali-
tyczl1il lub wykregfni}. W pierwszym przypadku sprowadza siç zadanie do przybli-
zonego obliczenia calek okre lonych, w drugim zag do calkowania wykre lnego.
Przy wykr Inem rozwiqzaniu mozemy korzystat z tego, ze pierwsza calka we
wzorze (e) przedstawia moment wzglçdem punktu m pewnego obciqzenia cii}glego
osi skIepienia 0 natçzeniu MIEl. Skoro polowç sklepienia (Iuku) Re podzie imy
na szereg kli11c6w 0 grubogci 8 s, miel'zonej na osi, a na rodek ciçzk-o ci kazdego
klit'ica dzialamy pionowil sHI! 0 wielkosci M 8 sIE 1 i wykr limy dia tego ukladu si!
r6wnolegly(.h wielobok sznurC1wy, to rzçdne olrzyrramgo Iq drogij pola moment6w
dadzil nam w okr lonej skali 1) warto ci ugiçt wywolanycb momentem M. Ugiçcia
wskutek sily podluinej, przedstawione drugq calk'l wzoru (e) majdzieroy jako wypad-
kowq sil pionowych. rozmieszczonych w spo 6b ciqgly wzdlui luku 1f m 0 natlj\ieniu
N sin cp/EF.
Dia obliczenia przesuniçé 8vv, 8HH, 81/iM skorzystamy z wzor6w (a), (b) i (c). Za-
warte w nich calki okreglone moina zawsze z dostatecznem dia praktyki przyblize-
niem obliczyé przy pomocy wzoru Simpson'a lub Cotes'a. W ten spos6b wyznaëzajij siç wszystkie elementy, zapomoc'l
kt6rych moina wykreglit lin je wplywou dia obranycb zbytecznycb niewiadomYlh -fi, V i Mo. Og6In4, postaiS tych Iinij
przedslawia rys. (354). Zauwazymy jeszcze, ze sporz'ldzaj'lc modeIe luk6w i poddajqc je dzialaniu par Mo, oraz sil H i V,
- -
-=
z
(tso
:
i · fS h i
1 .
i
t
.
i .
. (e)
Rys. 354
1) Wielko ci M5sJE1, kt6re traktujemy jako sily, przed tawiaj'lliczby oderwane, kt6re wyobratamy odcinkami. Jeteli
odleglogé biegunowq przyjçto w tejze podzialce r6wnq jednostce, to ugiçcia \\ypadnél w tej samej skali co rysunek skIe-
pienia. Zmniejszajqc n.krotnie odIeglogt biegunowq, powiçkszamy tylft razy skaIç ugiçt.
265
motna otrzymal: linje wplywowe na drodze do wiadczalnej, co przedstawia interes w przypadku konstrukcyj zlotonych.
np. przy' badaniu wsp61udzialu cz ci konstrukcyjnych, zwiqzanych ze sk1epieniem w og61nej pracy iuku.
Naszkicujemy teraz og6lny tok rozwiqzania zagadnienia naprçiefi, powstaj'lcych w iukach z utwierdzonemi ko1icami
przy podwytszeniu temperatury. Do tego prowadzi najpro!:'ciej twierdzenie castigIiano'a. Luk uczynimy statycznie wyzna-
czalnym, jezeli utwierdzenie jednego kofica, np. prawego, zastllpimy przegubem stalym, a drugiego przegubem przesuwal-
nym (rys. 355). W6wczas luk odkszfalci siç swobodnie wskutek podwytszenia
temperatury 0 (J, a jego rozpiçtogé 1 zwiçkszy siç 0 II Il. Dobierzmy teraz uklad
sil, jakim trzeba dzialal: na luk, aby przekroje podporowe iuku wr6cily w pier-
wotne polozenie. Przedewszystki( m sprowadzimy w pierwotne polozenie przegub If,
przy pomocy sily poziomej 0 HI' O luku zegniesiçprzytem i zajmie poloienie IfCB.
Styczna do osi w punkcie If przejdzie z poloienia If' T', r6wnoleglego do polo.
tenia pierwotnego if T, w poloienie if T". Takit sam obr6t stycznej zajdzie
i u prawej podpory. fi:teby styczne koficowe wr6ci1y w pierwotne polotenie, mu-
simy na kofice luku dziataé momentami MI' W przypadku symetrycznego ksztaltu
luku b d'l te moment y r6wne i przy ich dzialaniu w punktach If i B nie p
wstan'l dodatkowe reakcje pionowe. Naprçtenia w dowolnym przekroju luku bçdq wyznaczol1e wielko ciami moment6w M,
i sil poziomych Ht. Dia momentu zginajllcego i sily podlutnej otrzymujemy wyratenia:
M=MI - HIy, N=-H I COScp.
Energjç potencjalnll ukladu motna przedstawil: jako Iunkcjç tych wielko ci. Zwatywszy, te przy wsp6Inem dzialaIJiu M
i HI> jest przesuni cie odpowiadaj'lce uog61nionej sile HI r6wne ait, a przesuniçcie odpowiedajQce M, jest r ne zeru
(gdyt ostateczny kierun k styczrej If T jest r6wnolegly do If' T'), otrzymamy dwa r6wnania:
ôV ÔV
aM. = 0 ôHI = alt.
T"
' r : t. -, ,_-f:
.- -
--
-... .....
.<:1' .'
_"""'/" :;t______________ ___,
H.t1
Rya. 35S
Wstawiwszy w wyratenie dia energji potencjalnej warto!:'ci MiN znajdziemy:
{" ds (" yds
MI El - HI ) El = 0
(285)
MI C yds _ HI r y 2 ds _ HI r cos'cpds =-aIt
) El El ) EF
Z tych r6wna6 wynajdziemy wielko ci moment6w podporowych i parcia poziomego, wywolanych podwyiszeniem tempera-
tury luku.
Dia sprawdzenia wyprowadzimy te same r6wnania sposobcm Mohr'a. Jako pierwszy stan obierzemy rzeczywisty stan
ukladu, w kt6rym pod wplywem podwyzszenia temperatury powstaly moment y podporoae MI i parcie poziome HI' Odpo-
wiadajqce temu stanowi odksztalcenia kazdego elementu luku, zawartego mi dzy dwoma niesk06czenie blhkiemi przekro-
jami poprzecznemi okre la zmiana kqta:
... d _ Mds _ (Mt-Hy)ds
u cp - El - El
t(/ )J
;4 B
i wydlutenie elementu
H cos cp
bds= IItds-Ejr"ds.
Ir
1" " If
A : 1 B
Jako drugi stan przyjmiemy ten, w k16rym na oswobodzone kol1ce luku dzialajél dwie wprost
przeciwne pary sil r6wne 1 (rys. 356). Moment zginajqcy w kaidym przekroju poprzecznym
luku b dzie r6wny l, a praca sil drugiego stanu na przesuni ach odpowiadaj'lcych stanowi
pierwszemu przedstawi siç 10rmuhA:
C (MI - H 1 y) ds
) El .1.
Tç wielko é nalezy, stosownie do zasady prac przygotowanych, przyr6wnaé do zera. W ten sp
s6b otrzymujemy pierwsze z r6..vBBn (285). Dia ustawienia drugiego r6wnania por6wnamy ne-
czywisty stan ukladu ze stanem, w k16rym na oswobodzone kofice luku dzialaj'l dwie wprost przeciwne sily poziome
r6wne 1 (rys. 357). Moment zginaj'lcy dia dowolnego przekroju r6wna sj - 1 . y, a siIa podluzna - 1 . cos cp. Praca siI
tego stanu na przesuni ciach stanu pierwszego przedstawia si wyrateniem:
Rys. 357
Rys. 35ti
(" y(M.-Hly)ds C t d + C
- El -)acoscps)
Przyr6wnawszy je do zera otrzymamy drugie z r6wnaJ1 (285).
H. cos! tp ds
EF
266
9 143. LUR Pl\RRBOLICZNY 0 RONC1\.CH UTWIEROZONYCH (BEZPRZEGUBOWY)
W przypadku plaskiego luku parabolicznego 0 stalym przekroju mozna upro ci{; og61ne r6wnania (284) dia wyzna-
czenia zbytecznych niewiadomych. przyjmujqc w przybliieniu:
ds = dx, cos cp = ], sin '1' = 0, N' = O.
Wtedy:
r s ds _ dx _
1- 1-1'
,0 J
r- ds ("1 dx l
/x= \ xT= 2{ ;
, J .1
s yds _ I YdX _ E..
1- 1-31'
0
("s y'ds ("1 y 2 dx _ 8 fil
\ r='-r- 15 /'
.0 '10
r s x2ds = ri x2l! = ,
o 1 o 1 j 1
r s ds ri dx fi'
\ X\' T= \ xYT=gl'
.J .0
Wslawiws:zy te lIyniki w r6wnania (284), otrzymamy:
1 2 ] rI
MR+fJ---Hf=- \ Mdx,
2 3 1 O
MR, ; 111- ; H1= \1 M'xdx,
O
' 1
1. 4 3 r" 3 ,
MR,fJ 2 - H( "5 f +2T) = 211 M ydx.
.0
Odejmu c trzecie r6wnanie od pierwszego, znajdujemy wyra:tenie dia parcia poziomego:
.!:..H ( 1 r: ) pl = ' \ "1 M' dx _ ri M'ydx;
]5 4 f , J 2 \
odejmujllc z od drugiego r6wnania pierwsze, mamy:
111 3 ("1 ("1
6 = 2, M'a:dx-/, M'dx.
.0 '10
2 .
NakoDiec dia momentu MH otrzymamy (z pomini ciem wyraz6w opatrzonych czynnikiQm ;2 ) wyra:tenie:
MR= ,1 M' dx- ,1 M' xdx _ ;;1 ,1 M'ydx.
O 'IC O
Gdy w szczeg6lno ci na 1 u k d zia 1 a t y 1 k 0 j e d n a s il a s k u pi 0 n a P, odlegla od pionowych podporowych
odpowiednio 0 a i b la + b = IJ, to wielko é M' jest r6wna zeru dia lewej cz ci. dia prawej za = P (x - a). Wtedy:
ri t>l
M'da;=P\ (x-a}dx= Pb i ,
&.0 .,11.
ri r 1 1
) M'xda;=P) (x- a) a; da; = 6 P(I-a)2(21+ a),
-.;0 ..a
fi 4P1 ri P{
)0 M'y da; = 12 ). (1- x) (a; - a) a: da; = 31" (l-a)8 (1+ a).
Wslawiwszy te wartogci w znalezione powy:tej wyraienia dia wielko ci statycznie niewyznaczalnych znajdziemy:
J5 a 2 (I-a}'P 2a 2 b 2 p 15
H = "4 . {l' ( 1 + i: ) IS 8 {( 1 + ;: )'
fJ = (l-a)2(1+2a}P "-3a 2 1+2a 8
,. . - p
M =_ a(l-a)2(21-5a) p=_ ab 2 p ( 1- )
1\ 218' P' 2/
1
j
. (286)
Na podstawie tych wzor6w mo:tna skonstruowaé Jinje wp1ywowe dia zbytecznych niewiadolI)ycb, a przy ich pLmocy moine.
tak:te zna1eié linje wp1ywowe dia M, N i Q. DIa wyznaczenia najniekorzystniejszego obci'lienia Iuk.u uiyjemy z korzy ci4.
267
,krzywej oddzia1ywania". Rzçdnq YI jakifgokolwiek pU1"ktu E tej krzywej (rys. 358) wyznaczymy z warunku, ze calkowita
reakcja lewej podpory przecbodzi przez ten punkt. Ta reakcja jest wypadkow'l z momentu Mp.. oraz sil }f i H, dziaiaj cycb
w punkcie }f, a zalem:
Mp.-}fa-HYt =0.
Stqd:
Mp. +1:1 a
Yt= H
Wslawiaj'lc tutaj warlo ci M/\ i 1:1, znalezione dia luku parabolicznego, otrz}mamy:
6 ( 45r2 )
Yt ="5 1 ï --rI' 1
. (287)
Linja oddzialywania jest wiçc w dal1ym przypadku prostil If' Br, r6wnblegli! do osi X-6w. Ta linja
do wyznaczenia reakcyj wywolanych danem obci'lzeniem, albowiem punkty dzialania calkowitycb
nie schodzll siç z koticami fi i B luku. DIa znalezienia kierunku reakcji
obliczymy tg kilta, jaki reakcja tworzy z osiq X-6w, a mianowicie:
ni wystarcza jeszcze
reakcyj podporowych
fi 4, ( 45 r ) 1+2a
tgY=F= 15 1+ 4 (2 I .
R6wnanie linji dzialania reakcji lewej podpory napiszemy tedy w postaci:
Y=Yl + (a::- a)tgy= ( 1 + 45 ) h-.!{x-a) ( 1 + 45 ) 1 1+2a _
5 4 / ]5 4 /2 a 2 -
= 21 ( 1 + 45 ) [ 21X _ 2 (1-2a::) 1 5] ( )
]5 4 f2 a 2 a T . a
.
! ,\'
Przy przesuniçciu ci iaru zmienia siç a i otrzymamy coraz 10 nowe preste
o r6wnaniu (a). Ich owiniçtq znajdziemy, rugujqc parametr a z tegoi r6wnania
i r6.nania:
0 = 21 ( 1 + 45 . ) [ _ 4Ix + 2(l-2a::) 1
15 4 1 2 al a 2 '
RYI.3:8
kt6re wyplywa z (a) przez 16iniczkowanie wzgl dem a. Wynik rugol&ania jest lUIst pujqcy:
=1- ( 1 1 45 ) [ 10- (1-2X)2 ]
Y 15 T 4 f2 lx
.'
. (285)
Nakre!:liwszy krzyw'l owini wedlug tego r6wnania i maj;;c krzyw'l oddzialywania, znajdziEmy latwo kierunek reakcyj
podporowych dia kazdego polozenia ci zaru. Wystarczy w tym celu z punktu E przeciçcia siç kierunku siiy Pz linjq
oddzialywania poprowadzié stycznq do krzywej owiniçtej.
Rozpatrzymy jeszcze napr zenia w dowolnym przekroju poprzecznym mn. Niechaj bçdq p i q kra6.cowemi punktami
rdzenia przekroju. Poprowadtmy przez p proste p13 i pu. styczne do owini tej przecinajqce linj oddzialywania w punk-
tach 13 i 0:. DIa kazdego ci zaru, leiqcego po prawej slronie punktu 13, przejdzie lewa reakcja podporowa ponizej p i ...y-
wola w g6rnycb wl6knach przekroju mn ci<jgnienia. To samo mozna pow'6rzyé i odno nie do ciçzar6w letqcych po lewej
stronie punktu (.(. fi zatem dia otrzymania najwi kszycb ciqgnie6 w g6rnych wl6knach prztkroju mn, trzeba obci'li)t
luk w przedzialach fi' u. i 13B'. Obci'lzenie przedzialu u.13 w)wola w tychze wl6kna(h najwiçksze mnienia. fizeby rozwi4,-
zat kwestjç rozkladu obciqzeti dia otrzymania najwiçk zych napr ieti w dolnych \\l6knach przekroju mn trzcba poprowa-
dzié styczne do owini tej przez g6rny punkt q rdzenia przekroju. Dalsze szczeg6iy obliczenia luk.6w i sklepitti moma
znaleié w dzialach specjalnych t).
1) Winkler ,Die Lehre von d. Elasti:Ûtiit u. ...", r. 18&7, str. 293
W e y r a u c b, "Theorie der elastischen Bogentrâger".
Mebrtens, "Die Statik d. Baukonmuktionen", t. I,I.
[Th uU i e. ,Podrçcznik teorji most6w., c.z. n, Lw6w, 1913}.
cz Sé VI
ROZDZIl\L XVII
ZGII;;CIE CIENRICH PL YT
9 144. ZGIECIE PLYTY PODLUG POWIERZCHNI Wl\LÇOWEJ
Elementama teorja zgi cia plyt ma wiele wsp61nego z wylozonQ poprzednio tcwrjQ zgi cia pr
t6w. Wywody opiera;f! siç na pewnych zalozeniach upraszczajf!cych, kt6re pozwalajQ drogf! elemen-
tarnf! znale:ié wielkoSci ugi é plyty i powstajQcych przytem naprçzen dIa kilku przypadk6w szcze-
g6Inych, maj cych wiçksze znaczenie praktyczne. Bçdziemy rozpatrywaé ptyty 0 grubosci h stalej
i malej w por6wnaniu do dlugosci i szerokosci plyty. Plaszczyznç polowiqcq grubosé nazwiemy
plaszczyznq srodkowQ plyty. Ta plaszczyzna gra w te-
orji zgiçcia plyt takf! samq rolç, jak warstwa oboj tna przy
zgiçciu prçt6w. W og6le b dziemy rozpatrywaé tylko ugiçcia
male wobec grubosci plyty h; to ograniczenie odpada jednak
przy zgiçciu wedlug powierzchni wa1cowej. Przyjmiemy dalej,
ze kazdy element prostolinjowy, prostopadly do plaszczyzny
srodkowej, pozostaje po zgiçciu prostolinjowym i prostopa-
dlym do po w i e rz ch ni u g i ç ci a, l j. powierz hni, kt6ra
powstaje z plaszczyzny srodkowej wskutek zgiçcia. T 0 przy-
j cie odpowiada hipotezie plaskich przekroj6w w teorji zgiç-
cia prçt6w. Osie X i Y prostokqtnego ukladu sp61rzçdnych
obierzemy w plaszczyznie srodkowej, a os Z skierujemy
prostopadle do tej plaszczyzny.
Wefmy teraz pod uwag przypadek, kiedy plyta 0 sta-
lej szerokosci 1 i nieograniczonej dlugosd w kierunku osi Y-6w
(rys. 359) zgina siç podlug powierzchni walcowej 0 tworzQ-
cych r6wnoleglych do osi Y. Warunki odksztalcenia bçd q
przytem we wszystkich przekrojach prostopadlych do osi Y jednakie, wobec czego mozemy siç
ograniczyé do rozpatrzenia zgi cia 'skrawka mnpq 0 szerokosci 1 (fig. a). Na skutek uczynionych
powyzej zalozen przekroje poprzeczne ab i al b l tego skrawka (fig. b) pozostanQ przy zgiçciu pla-
skiemi, a wzgIçdne wycHuzenie jakiegokoIwiek podlmnego elementu s t, lezQcego w odleglosci Z od
plaszczyzny srodkowej, b dzie r6wne:
O _-,'l1.'- q_G:._ ./f ...;-1-;
- - - - . t - "
: , . 6: 'i:: \£.d
:--.----- ----. /7$. (3.
z; /ig.o-: X
m
,
fi
f
9
p
V.V
hg.a
!!ys. 359
Z
e=-,
p
jezeli p oznacza promiert krzywizny. WyraZenie dIa wydluzenia jest wiçc takie same, "jak w przy-
padku zgiçcia prçt6w, atoli wartosé odpowiadajQcych naprçzert bçdzie inna. Przyczyna tego jest
nastçpujf!ca: Przy zgiçciu prçta odksztalca siç przekr6j poprzeczny w spos6b uzmys-lowiony na fig. (c).
269
Przy zgi ciu naszego skrawka takiego odksztalcenia nie bçdzie, gdyz zapobiegajq temu séJsiednie
cz ci zginanej plyty. Przy rozciéJganiu lub ciskaniu nie doznajq w16kna podlu.tne odpowiadajq-
cego zwçzenia lub rozszerzenia poprzecznego, co moze byé tylko wynikiem pewnych naprç.ten ho-
cznych. Oznaczmy odpowiednio przez px i Py naprçzenia normalne w plaszczyznach prostopadlych
do osi X-ôw i Y-ôw. Na podstawie ogôlnych wzorôw (15) mozemy napisaé:
E E
px = _ 1 1 (ex + ae y ), py = _ 1 t (e y + aex).
-a -a
Z wa.tywszy, .te w danym przypadku jest
z
ex = p e y = 0,
E z aE z
px = l-a2 'p' py = 1-a 'p'
Moment napiçt normalnych, rozlozonych w przekroju poprzecznym rozpatrywanego skrawka, bç-
dzie rôwny: h
(+2" E z'dz E h' 1
M = _.!: 1-a2 '-p= l-al ' 12 .p
z
Por6wnywujqC ten wynik z tem, co mieIi my przy rozpafrywaniu zgiçcia pr tôw (wz. 63), widzimy
r6.tnicç tylko w _tem, ze zamiast momentu bezwladno ci poprzecznego przekroju rôwnego 1 i;s ,
otrzymamy:
. (289)
wchodzi we wz6r (289) nieco wiçksza wielko t
l.h!
12 (l-a l ) .
Dziçki polqczeniu z sqsiedniemi cz sciami plyty okazuje siç skrawek mnpq bard.ziej sztywnym
od belki 0 tym samym przekroju. Dia uproszczenia wzorow wprowadzimy oznaczenie:
E h!
1-(51 . 12 = C . (290)
Wielko é C gra w teorji zgiçcia plyt t samq rolç, co sztywnosé B w teorji zgiçcia prçt6w. B -
dziemy jq nazywaé sztywnosci q ptyty przy zginaniu walcowem, albo kr6cej walcowq sztywno-
ciq plyty. Przy tem znakowaniu napiszemy wzor dIa krzywizny w postaci:
1 M
p=C
. (289)'
Tutaj oznacza M moment zginajqcy odniesiony do poprzecznego przekroju skrawka 0 szerokosci 1.
W stawiwszy znalezioné! warlosé dIa krzywizny we wzory dia naprçien, otrzymamy:
12Mz . 12Mz
Px= 1 py=a .
Naprçzenia Px b dq przeto takie same jak w belce 0 przekroju 1 X h. 1\toli oprocz tego pojawiajq
si napr zenia Py, zapobiegajé!ce odksztalceniu przekroju poprz eczn ego. Takie naprçzenia powinny
dzialat na brzegach skrawka mnpq, aby zaszlo jego zgi cie wedlug powierzchni walcowej 1).
9 145. OBLICZENIE DLUGICH PLYT PROSTO}{l\TNYCH
JezeIi obcié}zenie cié}gle zginajéJce dlugq prostokqtnéJ plytç nie zmienia swojego nat zenia w kie-
runku dlugosci plyty, to w miejscach, odleglych od kr6tkich bok6w plyty, mozna bez wielkiego
blçdu przyjqé powierzchniç ugiçcia za walcowq. Wydzielajqc, jakesmy ta uczynili w poprzednim
paragraHe, skrawek plyty 0 szerokosci 1, moiemy naprçzenia px znalezé dIa tego skrawka tak
1) Postaé powierzchni skrawka w przypadku. gdy nie ma napr tefi l'Y> rozpalrzono w interesuKcej k i41ce Searle'a:
Experimental Elasticity, str. 50.
270
samo, jak dIa belki. Wszelako przy obliczeniu ugiçé trzeba uwzglçdnié zwi kszenie sztywnosci
skrawka wskutek wplywu sé}siednich czçsci plyty. Oznaczywszy przez w ugi cie (rys. 359), mo-
zemy rôwnanie rozniczkowe linji ugi çia skrawka napisaé w postaci (wz. 90):
ô'W
C-= -M . (291)
fJx'
Jezeli kraw dzie zginanej plyty mogé} si swobodnie przyblizaé, to obliczenie wszystkich elemen-
16w zgi cia nie przedstawia zadnych trudnosci. Zatrzymamy si na przypadku, kiedy zblizeniu si .
kraw dzi przeszkadzajq dodalkowe ustaienia. T 0 zadanie ma wi ksze znaczenie praktyczne, ponie-
waz brzegi blach narazonych na zginanie przytwierdza si zwykle do mniej lub wiçcej stalych
podp6r (linjowych). W tych warunkach b dzie wydzielony skrawek narazony takZe na dzialanie sil
podluznych, przeszkadzajqcych wzajemnemu zblizeniu si koncôw. DIa wyznaczenia tych sil sko-
rzystamy z niektôrych wynikôw, otrzymanych przy rozpatrywaniu jednoczesnego dzialania na beIk
sît podluznych i poprzecznych ( 127). Niech bçdzie S wielkosci q sily rozci"gajqcej, przypadajqcej
na skrawek 0 szerokosci 1, a p = wieikoscié} odpowiadajqcego ciqgnienia. Oznaczmy tak samo,
jak przy rozpatrywaniu zgiçcia pr tôw, stosunek sily podluznej do jej "wartosci krytycznej" przez
al (ob. str. 225 i 229). UwzgI dniajqc wyrazenie dIa sztywnosci walcowej, mamy:
1 _ 12(1 - <JI) SL2 _ 12{1- <J2) P LI- (292)
a - E ha . 7 - 1(. . E h'
Warlosé najwi kszego ugi cia znajdziemy, zaieznie od sposobu ustalenia koiic6w, wedlug jednej
z nast pujqcych formul:
1 = 1 'f) 1 dIa koiic6w podpartych (wz. 230),
+a
f = fo 1 dIa koiic6w utwierdzonych,
a
1+ 4
przyczem fo oznacza strzalk ugi cia wskutek dzialania samych tyIko sil poprzecznych; latwo j"
znaIezé w kazdym szczegôInym przypadku drogq calkowania rôwnania (291). DIa obciqzenia rôw-
nomiernie rozlozonego np. otrzymamy:
f" = 3 4 q 4 W przypadku podparcia koiic6w, a
albo
fo = 3 4 q 4. W przypadku koiic6w utwierdzonych.
Wartosé najwi kszego momentu zginajqcego w przypadku koiicôw podpartych
rôwnomiernie rozlozonego okreslimy wzorem Œ 127):
M = !L ( 1 _ 1,028 a! )
8 1 + a 2
W przypadku koncôw utwierdzonych jest moment podporowy w przyblizeniu rôwny:
obciqzenia
(293)
M= i; - L i t - 64( ':'f) J .
(Przy wartosciach al > 2 lepiej uzyé do obliczenia momentu podporowego wzoru 239). W ten spo-
s6b sprowadza si zagadnienie zgiçcia plyty 0 ustalonych kraw dziach do wyszukania wielkosci a 2 .
Przy badaniu zgi cia pr\!t6w wyznaczalismy a' z r6wnania (240)':
a'(1 + a%)' = 1;1 .
. (294)
271
T 0 r6wnanie wyprowadzono przy zalozeniu, ze koiice prçta s przegibnie polçczone z punktami
bezwzgI dnie stalemi, ze zatem zblizenie koiic6w :r (wz.221), uwarunkowane zgiçciem osi pr ta,
jest dokiadnie r6wne wydluzeniu pr ta wskutek sHy podluznej. 1\Ie tego r6wnania mozna uzywaé
tyIko w tym przypadku, kiedy podluzne brzegi plyty mog siç przy zgi ciu swobodnie obracaé,
a zupelnie siç przytem nie zblizaj . Uog6Inimy tedy nasze wywody przyjmuj c takie sposoby usta-
Ienia, kt6re dozwaIaj na pewne zbIizenie podiuznych kraw dzi plyty. Dajmy na to, ze takiemu
zblizeniu przeszkadzaj sprçzyste rozpory. W takim przypadku sila podlu:zna $, rozciqgajé}ca wy-
dzielony skrawek, b dzie sil sciskajçc dIa rozp6r. Jezeli FI oznacza pole przekroju rozp6r, przy-
padajqce na skrawek 0 szerokosci 1, to skr6cenie rozp6r b dzie r6wne:
Si
EF .
1
DIa wyznaczenia al mamy wiçc warunek nastçpuj cy: Zblizenie konc6w skrawka wywolane zgiç-
ciem rôwna si sumie z wydluzenia skrawka i skr6cenia rozp6r, czyli:
:;rI" = (1 - a ). SI + SI
41 E. t . h EFI.
Pierwszy wyraz po prawej stronie powyzszego rôwnania jest opatrzony czynnikiem (t-a l ), ponie-
waz przyjmujemy, ze wydluzeniu srodkowej powierzchni plyty w kierunku osi X-ôw nie towarzy-
szy skr6cenie poprzeczne w kierunku osi Y-6w. Wstawiwszy zamiast S if ich wyrazenia przez al,
otrzymamyl): 3 f,:iI 1 3 (,1
a l (1 +al)1 = --- - k
hl 1 . h hl
1 + FI (1- 0'1)
Spôlczynnik k, okreSlony powyZszem rôwnaniem, nazywaj "sp61czynnikiem rozporu". Z powiçk-
szeniem sztywnosci rozpôr dqzy ta liczba do wartosci 1. Przy k = l zamienia siç r6wnanie (295)
na wyprowadzone poprzednio rôw. (240)'. Zupel- .J'cm
nie tym samym sposobem otrzymamy. d a plyt
z utwierdzonemi brzegami podluznemi:
. (295)
1:iI 3 f 1
a 2 ( 1 + ) = --.-.!.... k
4 hl
(m
'.:::
. (296) Q)
J,
1
,
Wielkosé sHy podlu:znej S jest proporcjonalna '..
'0)
wzgI dem a¥ i jak widaé z otrzymanych rôwnan
(:.95) i (296) rosnie wraz powiçkszeniem fo. lm
mniejsza jest sztywnosé plyty i im wiçkszy sto-
sunek 1: h, tem wiçkszy bçdzie wplyw sHy po-
dluznej na ugiçcie i na wieikosé naprçzen. Utwier
dzenie podluznych brzeg6w plyty zmniejsza 10
kilkakrotnie, co si odbija silnie na wielkosci sily
podluznej S. Na rys. (360) przedstawiono wzrost
ugiçé przy powiçkszeniu obciqzenia rôwnomiernie
rozlozonego q od 0 do 1 kg/cm!, dzialajqcego na plytç 0 szerokosci 1 = 122 cm i sziywnosci
C = 185. lOs kg.cm. Proste 1 i II, wykreskowane na rysunku, dajq nam wzrost ugiçé plyty w przy-
padku brzeg6w podpartych i utwierdzonych przy braku sH podluznych S. Linje peine l' i II' przed-
-
3em
1
,
1
1
1
1
IJ
1
1
1
1
2cm 1
......
...",,'"
/'
Q3 (l.{
0.5 46 -;07 08 a
Ai
l(Jrm l
Ry.. 360
1) Bez szczeg61nych trudno ci moina ustawié r6wnanie dia w)"znaczenia a. 2 i w tym pnypadku, gdy plyta podlega
opr6cz zgi cia, nadto dzialaniu napi é rozdqgajqcych 50' rozldon 'ch r6wnomiunie na podl in ch brz gach pl),ty. ]ezeli
5 oznacza, jak pierwej, napi cie rozciqgaiqce w plyci£ po zgi ciu, to napi\;cie ciskaiqt:e w rozForach r6wna siç 5-50,
a odpowiadaj,!ce wzgl dne skr6cenie rozp6r przedstawi v.yraz: 5;;'0. Wie!ko é 5 znajdziemy zag % warunku:
,,'Ir = (l-a S )51 + C5 - 50) 1
41 Eh EF.'
272
stawiaj wzrost ugiçé plyty przy obecnosci sil podluznych. Wielkosé S obliczono przytem przy
zalozeniu, ze brzegi plyty zupelnie si nie przesuwaj , ze zatem "sp6lczynnik rozporu" k jest
r6wny 1. Przy brzegach swobodnie obracalnych (lin je 1 i l') da siç zauwazyé juz przy malych
obcié!zeniach wplyw sily podluznej i ten wplyw
rosnie szybko wraz z wielkosci obciqzenia.
W przypadku brzegôw utwierdzonych (linje II i II')
jest rola sily podluznej nie tak znaczna.
Jeszcze dobitniej przedstawi siç wplyw sily
podluznej przy r6znych sposobach ustalenia brze-
gôw plyty, jezeli bçdziemy sledzié zmiany naj-
wi kszych naprçzen powstaj cych przy ugiçciu
plyty. Na rys. (361) przedstawiaj proste 1 i II
odpowiednio wzrost najwiçkszych naprçzen przy
podparciu i utwierdzeniu brzegôw, jezeli niema
sil podluznych. W skutek obecnosci sily podluznej
idzie wzrost najwiçkszych naprçzen powolniej
i dia rozpatrywanej pl:yty przedstawia go krzywa
l' w przypadku brzegôw podpartych, a krzywa Il'
0.5 46 fil ag Q9 IO 2 W przypadku brzeg6w utwierdzonych. W tym osta-
tnim przypadku pozostaje wplyw sily podluznej
niewielkim niemal do granicy sprçzystosci; zato
w przypadku brzeg6w podpartych gra sila podlu-
zna rolç zasadniczej wagi. Dziçki jej dzialaniu rosn naprçzenia 0 wiele powolniej, niz przy kra-
wçdziach swobodnie przesuwalnych i ostatecznie otrzymujemy wynik wprost przeciwny temu,
jaki mielismy przy rozpatrywaniu zgiçcia belek. Okazuje siç mianowicie, ze pod wzglçdem naprç-
zen znajduj siç plyty z utwierdzonemi brzegami w gorszych warunkach, nit plyty, u kt6rych
brzegi podluzne mog siç obracaé swobodnie.
!tH
p C 1T1 '
D(){)
1
/-
Q;a
3000
....
2000
Rys 361
Obliczenie dlugtch plyt prostokqtnyeh, narazonyeh na r6wnomierme rozlozone obclqienie q kg}cm , ulatwiq podane
ponizej tablice 1 i II 1) Tablica 1 odnosi siç do przypadku pl) ty 0 brzegach podpartych i zawiera ciqgnil?ria Pl' wY\'l.olane
sÏI'l podluzn'l i najwiçksze calkowite naprçzenia Pz wskutek jldnoezesnego dzialania zgiçcia i rozciagania. W rubrykach
dia Pl i P2 podano wartogci napr zefi sprowadzonyeh, otrzymanych przez pomnozenie odpowiadaj,!cego wzglçdnego wy-
dlutenia przez sp61czynnik sprçzystogci materjalu (przy ukladaniu tablicy PrzYIÇto E = 2,2 . 10 6 kgicm 2 , G = 0,3). To si! te
napr tenia, z kt6remi mamy do czynienia przy obliczeniaeh na podstawie drugil?j teorji wytrzymalo ci. Dia otrzymania
naprçze1i rzeezywistych trzeba liczby tabliey podzielié przez ] - a 2 . Z r6wnati (295) i (296) \'I.idat latwo, ze wi lko é a 2
zaleiy pr7Y okreglonem obciqzeniu i przy okre onym sposobie ustalenia brzeg6w, tylko od stosunku 1: h. To samo da
siç wywnioskowaé i eo do naprçzefi na podstawie wzor6w (293) i (294). Z tego pO\'l.odu podano w tablicach naprçtenia
Pl i 1'2 w zaletnogci od stosunku 1: h, kt6ry zmieniano w granicaeh 1: h = BO do 1: h = 240. lm ten stosunlk jest wlçkszy
i im wi ksze jest obciqtenie q, tem wi ksz,! rolç grajq sily podluzne. Co siç tyczy sp6lczynnika rozporu k, to w tych
przypadkaeh, w kt6rych zmniejszenie k wywoluje zrazu zwiçkszenie naprçzenia, a potem jego zmniejszenie, podano w tabli-
cach najwiçksz'l warto é nap tenia przy zmianie k w granicach: +- < k < 1.
T ablica Il odnosi si do przypadku dlugiej piyty prostok'!tnej z utwierdzonemi brzegami. Przy takim sposobie usta-
lenia zachodz,! najwiçksze napr ienia na brzegach plyty. Badaj'lc przy pomoey przytoezonyeh powyil?j wzor6w zgiçcie
elementarnego skrawka, wydzielonego z pi}'ty, znajdziemy, ie przy malych obciqzeniach, dop6ki rozci'l aj,!ea slla podlu-
zna, wywolana zgi ciem. jest mala, moment podporowy ma dwa razy wi ksz,! warto é od momentu zginai,!cego w grodku
rozpiçtogci skrawka. Wraz z powi kszeniem obciqzenia rognie stosunek momentu podporowego do momentu w grodku
rozpi to ci. Cala rozpiçtogé wydzielonl?go skrawka da si podzieIié na cz é grodkowq, zajmujqc,! przeszlo : rozpiçtogci 2 ),
1) Te tabIiee zaczerpni to z lit"grafowanego kursu J. G. Bubnowa "Stroitielnaja ml?chanika korabIJa".
Tablice ulozone w zastosowaniu do poklQd6w mostowych znajduj,! si w praey N. W. Tierpugowa, ob Izw.
Kijew. Pol. Ins . z r. 1908.
Szezeg610we studjum kwestji zgi cia dlugich plyt prostokqtnyeh znajduje siç w ksiqzee J. G. Bu b n 0 w a: "Stroitiel-
naja meehamka korabljd", t. II, str. 545.
JI) BIitsze obj nienie tej kwestji znajdzie czytelnik w przytoczonej ksi'lzce J. G. Bubnowa, str. 593.
2'13
w kt6rej nap tenie nigdzie nie przekracza najwi kszego napr tenia w grodkowym przekroju skrawka i dwie cz gci skrajne
obejmuÎ'lce razem mniej jak rozpiçtogci, w kt6rych najwiçksze naprçtenia przewytsz j wielko!f6 kral1cowych naprç-
zet'i W &-odku rozpiçto ci. Tablica II zawiera sprowadzone napr tenia PI' odpowiadaj ce ile podlutnej rozci4gajl!cej i naj-
wiçksze Daprçtenia PI wskutek jednoczesnego dziatania zgiçcia i rozci gania 111 rodku rozpiçto d V1ydzielonego skrawka
elementamego. Najwi ksze napr tenia u podpartego brzrgu plyty b d'l1iloi ksze od PI' jednakowot w przypadkach staI"go
ob tenia plyty nie Iiczymy si zwykle z terni napr z niami i dopuszczamy nawet pojawienie siç odksztalceli trwalych
u brzegu utwierdzonego. Skoro przy stalym wzrogcie obcië!tenia przekrocz IIBprçtenia utwierdzonego brzegu plyty gra-
nic sprçtystogci, to przy dalszem powi kszeniu q bçdzie moment podporowy wzrastaé slabiej, nit 10 wynika z wzoriSw,
wyprowadzonych przy zaiotenilJ doskonalej sprçtysto ci materjalu, il brzeg plyty zajmie polotetIie po rednie mi dzy poIo-
tediami odpowiadajë!cemi swobodnemu podparciu i doskonalemu utwierdzeniu brzegu. W6wczas najw ksze napr tenia
w rodku rozpiçlo ci bçd,! lete6 miçdzy odpowiadaj,!cemi warto ciami P., przytoczonemi w tablicach 1 i II, obliczonemi
przy zalozeniu doskonalej spr tysl() ci materjalu.
..
.sz:
1:7-
k=1
189
0,3
1
{ Pl=
1'1=
0,4
{ 1'1=
1'1=
0,5 {I :
0,6 {I : . 1:
0,7 { 1 PI: I l 44 90 5
1 1'1- 15
0,8 c:: 1 1:
0,9 { { :: l ':
1,0 1 p.= 1930
1
11 { : , PI=
,
1 P1=
1
1,2 {I PI= 705
I::
{ Pt= 800
, 1'1= 2305
1,5
{ Pl=
1'2=
{ PI=
1'1=
{\ :
1,6
1,7
Kara wytnymalo4ci materjllldw
1
k= 1 : k 7 0,5
510 390
1075 1100
T1\BLICfi 1
Brzegi plyty podparte
=80
h
1 120
lï=
1 160
lï=
k 7 0,s j
- l,
k=l
1 k 7 0,5
261
380 '
,---=-JI ]060
1 = I l 1
: 220 Il 510 1 425
! 1410 i l ]390 1 1460
1 Il 655! 495 840'
: I 1525 1600 1550
l ,: I l ,: l ,: ,:
1 360 \1 805 620 I l 1025
. 1850 Il 1760 1835 1800
, I{-------
: oo 1 875 675 1 1110
1 1970 , 1860 1 1940 11_ 1920
" 455 1 945 730 Il 1200
2080 Il 1960 2035 1 2030
'1 1
2: il;: 2 : :__ :
2 : I l 1 2: 1 :;
555 1 1140 1 880 1 1430
2380 1 2230 2305 2345 1
670 i ' 1205 1 930 1
2465 2320 2385 1
,
275
1120
il
Il 630
1 740
1 1410
350
1300
325
1300
660
2030
845
2390
890
2470
930
2545
1265
2405 1
]330 1
2490
1390
2575
980
2460 1
]580
2525
1655
2620
1725
710
2555
750
2635
785
2715
1030
2535
1075
26]0
1505
2435
490
]285
575
1435
655
]565
J30
1685
800
1795
870
1900
985
2000
1000
2095
1060
2175
1125
2270
1185
2355
1245
24tO
1300
2530
1350
k=1
,k 7 0,5 k=l! k 7 0,5
1 480 1 710 555
. 1095 Il 1;; 1095
1 590 I 680
1 1260 I l 1320 1270
1 690 1 1010 790
' 11 415 ]495 14]5
, 780 895
1550 1 ]555
1 !
1 1:'
1 955 1 1385
1800 1 1965
1 1010 1: 1500
1910 l 2100
1
-=200
h
6]5
1095
755
1285
880
1450
1000
1600
1110
1740
1220
1875
1320
2005
1415
2130
1515
2250
1605
2360
1695
2465
1785
2570
1865
2670
1945
l'
1115 1 1615
2010 2220
1190
2110
1260
2205
1720
2345
1
1330 1
2305
1400
2400
1470
2500
1525
2020
1585
= 240
h
995
1700
1090
1835
1180
1955
1270
2060
1355
2155
K-
]8
214
\i
Ë
(,)
.&:1:
1:7-
1
-=80
h
Tl\BLICl\ II
Brzegi plyty utwierdzone
1
1
2]5
1080
280
1245
345
1400
410
1545
470
1675
530
1790
530
1900
650
2005
700
2105
755
2195 1
810
2280
860
2365
910
2440
955
2520
1
I l
1. k= 1
1
- = 120
h
I
1 k 7 0,5 ! k=1
- 150
Il
k 7 0,5
90
il 1 \1 1
= 160 h 200 I l h 240
h , k o,s 1: k 1 i k 7 0,5 k , k 7 0 ,S
7 "
215 II I 455 330 565 1 430
1110 1070 1175 1085 " 1095
290 l' 575 425 710 535
':\ 1': ':1 ':1':
]465: ]395 1430 Ii 1430 1 14]5
595 435 1 795 600 il 960 735
1510 1 1600 : , 1535 1560 1585 1 5
,:' ,: ,:1 :: ,:
560 995 750 1 1185 910
1835 1795 17';0 1860 1785
825 1 1295
1900 1990
310
1030
415
1215
510
]375
680
1635
760
1750
835
1860
910
1965
985
2065
1055
2160 1
1125 1
2255
] 195 1
2345 1
1260
2430
1
-1
1325
25]5
1390
620
1940
1085
1910
995
1895
0,3
{a
{ ::: \ !=- =
{ pj= 1 -
p,= -
{ :jl 1
{ pj= 1
p,= -
--Ji
{ P1= 1 1:
1'1=
{ pj= 155
1'1= 1370
{
55
900
75
1155
- Ii
]35
1120 1
1
180
1320
230 1
1495 Il
1
275
]645 Il
320 Il
1785 1 \
365
19]5 I l
1
410 '
I
1
490 1
2245 1
530
2345
570
2435
610
2520
1 - 650 '
2605 Il
1 685 I I I
2690
680 1 1175
2040 2020
740 1265
2185 2130'
795 ]350
2225 2235
1400
2110
1500
2220
1075
2005
1155
2110
0,4
-1
- Il
- Il
- l,
10 I l
895
1995
%5
2095
1035
2185
l,
Il
1\
,1
'1
l,
1
-1
_1
1
-,
-1
0,5
0,6
0,7
95
30 1
850 1430
2310 1 2335
900 1 1505
2390 I l 2440
950" 1575
2470 2534
1100
2275
1160
2360
- 1
1
0,8
0,9
1,0
pj= 185 95
1'2= 1535 1360
{ pj= 1 215 1 !1
I I
{ PI = 1 240 ]35 1
p,,= 1 1800 ]G85 Il
{ PI= 270 ]55
p,,= 1905 ]820 Il
{pj= 300
{I ;
{ 1= 360
P - 2155
{ 1 i .:
1215
2445
1,1
1,2
1,3
],4
180
1945
1 I
2175 , II
240
2280
1000 I l
2550 /:
1045 J
1275 Il
- Ii
]335 1
-1
_1
-1
=1
],5
1,6
1,7
1645
1705
9 146. ZGII CIE ZLOZONE Z DWU ZGIEé W.RLCOWYCH
py = c;px.
1\zeby plyta zgi la si wedlug powierzchni walcowej, ktôrej tworzqce Sq r6wnolegle do osi Y,
winien zachodzié, jak widzielismy, okreslony stosunek mi dzy napr zeniami px i py, a mianowicie
musi byé:
}ezeli ten stosunek ma innél wartosé od okreslonej powyzsz r6wnosci q , to otrzymamy bardziej
zlozonq postaé powierzchni ugi cia plyty. Wydzielmy z plyty przekrojami prostopadlemi do osi X
i Y prostopadloscian (rys. 362), ktôrego wysokosciq jest grubosé plyty h, a podstawq kwadrat
o boku r6wnym 1 i przyjmijmy, te na jego boczne sciany dzialajq tylko napr zenia normalne
px i p." sprowadzajqce si odpowiednio do par 0 momentach Mi i M 2 . Wychodzqc z przyj tej pod-
275
stawowej hipotezy wnosimy, ze przy zgi ciu plyty pozostaj ciany boczne plaskiemi, a plaszczYM
zna srodkowa gra rol warstwy oboj tnej. Rrzywizny powierzchni srodkowej, odpowiadaj ce przeM
krojom normalnym plaszczyznami Z X i Z Y, oznaczymy przez
1 i 2 - Wtedy odksztalcenie warstwy elementarnej odlegiej
o z od plaszczyzny srodkowej 1) [na rys. (362) zakreskowano
boczne sciany tej warstwy], okresl wydfuzenia (wzgl dne):
J'
r
il
eX=R
1
. Z
1 eY=R
2
., 1L -/
1 ' !- -
t / - - ."
r
. (a)
Odpowiadajqce tym odksztalceniom napr zenia iatwo znaIef
z og6Inych wzor6w:
1
tz
Hys. 361
E
px = _ 1 . (ex + O'e y )
-cs
E
p = _ 1 (e y + 0' ex ) .
-(j
Po podstawieniu powyzszych warloscl ex. i en otrzymamy:
Ez ( 1 (1 ) Ez ( 1 0 )
px = 1-0" RI + R 2 · py = 1-(1' R 2 + R 1 . (b)
Utworzywszy og6lne moment y napr zeii bezwzgl dnych. dzialajqcych na sciany boczne prostopa M
dJoscianu i przyr6wnawszy je do MI i M".!, znajdziemy:
M, = 1 E 0' [ , + ;,J r: z' d z C U, + ;, ) 1
. (297)
+E.
M 2 = [ - + ] r 2 z' d z = C ( + )
l-a R':J. RI )_.!: R 2 RI
2
Te wzory pozwalajq ze znanych wielkosci MI i M 2 wyznaczyé odpowiadaj ce warlosci prom]ema
krzywizny RI i R 2 - Nietrudno zauwazyé, ze RI i R2- Sq w danym przypadku gl6wnemi promie-
niami krzywizny powierzchni ugi cia, poniewaz wydluï:enia okreslone wz;orami (a) przedstawiajq
kraiicowe warlosd wydJuzeii w wydzielonej warstwie elementamej. WydJuzenie tej warstwy w ja-
kimkolwiek kierunku nachylonym wzgl dem osi X pod kqtem :J b dzie mialo pewnq warlosé po-
sredni q i da si przedstawié w postaci:
= ex cos' + e y sin' 't = - R z cos' + R z sin' ,
p 1 2-
jezeli p jest promieniem krzywizny, odpowiadajé}cym kierunkowi :t. Zaleznosé rni 9zy prornieniami
krzywizny ma tedy postaé:
1 COS2 sin 2 -3-
-=-+-
p RI R 2 '
momentow (wz. 297) z wzorami (b) dIa
napr zeii. znajdziemy po pod-
Rombinujqc wyrazenia dIa
ta .. h
s Wlemu z = 2:
( ) 6MI
Pxmax=
( ) 6M:a
py max = -
Bez trudnosci mozna takZe ustawié wyrazenie dIa energji potencjainej nagromadzonej przy zgi ciu
plyty w wydzielonym elemencie. Sciany bocznc elementu, pozostajqc przy zgi ciu plaskiemi, obra-
cajé} si 0 kqty odpowiednio rowne: f i Ir; moment y zas MI i M 2' rosnqce stopniowo od zera
1 2
do swych koiicowych warlosci, wykonuj przytem prac :
1 ( MI M.. ) c l ( 1 ) :11 ( 1 ) 2 2 cs ]
V = 2" RI + R; = 2 RI + R" + -R I R)
. (298)
l} Z mierzymy w kiecunku wypuklogci.
18*
'i1b
kt6ra przoostawÎa szukanê! warlo é energji potencjalnej, odniesionej do jednostki powÎerzchnÎ zgî-
nanej plyty. W zastosowaniu do elementu piyty 0 kraw dziach d x i dy nalezy widocznie powyz-
sze wyraZenie pomnozyé przez pole dx . dy.
W szczeg6lnym przypadku, gdy gl6wne promienie krzywizny Sé! r6wne i majé! wsp61nq war-
to é R, dajé! wyrazenia (297):
Mi =M2 =M= C(lR+ CS )
. (299)
Poniewaz plyta zgina si przytem podiug powierzchni kuIi, wi c rozktad napr zeii b zie w kaz-
dym nonnalnym przekroju plyty jednaki. Na pole przekroju l. h przypada moment M. Na pod-
stawie tego mozna nawzajem wywnioskowaé, ze przy dowolnej postaci konturu zgina si plyta po-
dtug powierzchni kuli, jezeli na cianach, odpowiadaj,!cych konturowi, dzialajé! tylko napr zenia
normaIne, sprowadzaj,!ce si na dlugo ci konturu d s do momentu Md s. Promieii kulistej po-
wierzchni ugi ia b dzie rôwny:
R = C(l + cs)
M
147. Nl\PR ZENI1\ TERMICZNE W PLYTl\CH
Otrzymany powyzej wynik mozna zastosowaé do rozwi,!zania interesuj,!cego zadania 0 na-
pr zeniach tennicznych w plytach. Je:ieli plyta oddziela dwie przestrzenie 0 rô:inej temperaturze,
to bez wielkiego bi du motna przyj,!é, :ie na grubosci piyty zmienia si temperatura linjowo. We-
dtug tego:i prawa b dê! si zmieniaé i wydtuzenia termiczne, co wywola w plycie 0 swobodnych
brzegach wygi cie kuliste. Biorqc za punkt wyjscia temperatur , odpowiadajqcq piaszczyznie rod-
kowej i oznaczajqc przez 1 calkowity spadek temperatury na grubosci plyty, znajdziemy dIa wy-
dtu:ien na powierzchniach plyty wyratenia:
at. al
+2 1 -T'
Z drugiej strony okresla te wydtuzenia promieii R kulistej powierzchni zgi cia wyrateniami:
h . . h.
+ 2R 1 - 2R '
a zatem:
h
R=-
al
. (300)
JeZeli brzegi plyty Sq zupelnie swobodne, to takie zakrzywienie nie wywoia :iadnych napr zeii.
l\toH w przypadku utwierdzenia brzegôw .wzdiu:i calego konturu powstanq reakcyjne moment y,
ktôrych wielkosé znajdziemy w bardzo prosty sposôb. Okazalismy, :ie rôwnomierny rozkiad mo-
mentôw wzdhù konturu plyty wywoluje zgi cie kuliste. Nat tenie moment6w M mo:iemy obraé tak,
aby wywolana niemi krzywizna byla co do wielko ci r6wna, a co do znaku przeciwna krzywiznie
uwarunkowanej nierôwnomiernem ogrzaniem. Przy dziataniu takich moment6w pozostanie plyta
. ptask q , a jej brzegi nie obrôcq si ; warunek utwierdzenia b dzie zatem spetniony. Na podstawie
wzor6w (299) i (300) okresli szukanq wielkosé M r6wnanie:
M _ C (1 + cs) a 1
- h .
OdpowiadajqCêl wartosci q najwiçkszych napr zeii dzie:
6M 6 C(l + cs)at Eul
pmax = hl = h' = 2(1-0')
. (301)
Z17
Okazuje si , ze te napr zenia zupelnie nie zalez od grubo ci p1yty, zwazywszy jednak,.ie spadek
temperatury t 1) jest zwykle tem wi kszy, im plyta jest grubsza, dochodzimy do wniosku, te na-
pr zenia termiczne graj waZniejsz rol w grubych plytach, mz w cienkich. (Zaznaczymy tutaj
fakt, og6Inie znany, iz retorly, podlegaj ce dzialaniu wysokich temperatuf, ok.azuj si najtrwal-
szemi, jezeli ich scianki maj najmniejsz grubo é). Wzoru (301) mozna uzywaé takZe do przybli-
zonego wyznaczenia napr zeii termicznych w rozmaitych powlokach, jak op. w sciankach i dnach
kotl6w, w sciankach rur plomiennych i t. d., a nawet w tych przypadkach, kiedy grubosé sciany
jest bardzo znaczna, jak to np. zachodzi w murowanych kominach. Otrzymany wzôr daje wyniki
nier6zni ce si zbyt wiele od tych, kt6re wyplywajêl z dokladnego rozwi zania zadania 0 napr ze-
niach termicznych w grubosciennych walcowych rurach %).
148. ROWNl\NIE ROZNICZROWE POWIERZCHNI UGI CI1\ PL YTY ORRl1GLEJ
SYMETRYCZNIE OBCIl1Z0NEJ
Ograniczymy si tutaj do rozpatrzenia dwu szczeg61nych przypadkôw obci<1Zenia, a mianowi-
cie obciilZenia rozlozonego rôwnomiernie i skupionego w rodku plyty. Og61niejsze przypadki rod-
kowo-symetrycznego obciilZenia piyty mozna takZe rozwié!Zaé drogê!
elementarn , jednakowoz ostateczne wzory dIa napr zeii i ugi é wy-
padaj bardziej zlozone. Pocz tek spôlrz dnych umie cimy w srodku
rodkowej plaszczyzny plyty nieodksztalconej i wezmiemy pod
uwag przekr6j poIudnikowy Z X (rys. 363). Zgodnie z przyj t hi-
potez prostolinjowe elementy prostopadle do plaszczyzny srodko-
wej pozostaDi po zgiçciu prostemi i prostopadlemi do powierzchni
ugiçcia plyty. Szereg takich element6w ulozonych przed odksztal-
ceniem na powierzchni walca obrotowego 0 promieniu x, utworzy
po odksztalceniu powierzchni stozka obrotowego 0 wierzcholku B,
przyczem kaidy element m n obr6ci si okolo swego srodka 11 0 pe-
wien k t ep. Rrzywizn powierzchni ugi cia plyty w przekroju po-
Iudnikowym bçdzie widocznie:
1 8 1 w 8ep
RI = 8x 2 = 8x '
Co si tyczy drugiej krzywizny gl6wnej, to dIa jakiegokolwiek punktu JI jest odpowiadajlJcy pro-
T mien krzywizny R 2 r6wny JI B, a zatem:
.;[: t 1 Cf!
: (II f\l )t1, R 2 = X
.. : ..L T przy badaniu zgiçcia plyty pominiemy wplyw naprçzeii styczny h na ugi cie.
:- dx-.- .;r W6wczas mozna si poslugiwaé wzorami (297) i napisaé dIa natçzenia ma-
: 6' 0 ment6w M 2 w przekroju poludnikowym wyrazenie:
M 2 = C (..i.. + a d d !P ).
a (j x x
B,1
'.
, .
1 .
, ,
: 1
, .
, 1
, .
,-'-..:
: : 0
" 1
.
'12
Rys. 363
DIa przekroju normalnego prostopadlego do plaszczyzny poludnikowej, otrzymamy:
( 8!P . CP )
M =C -+a- .
1 8x x
Po tych przygotowaniach przystê!pimy do badania warunk6w r6wnowagi elementu plyty abcd
(rys. 364), wyci tego dwoma nieskonczenie bliskiemi przekrojami poIudnikowemi i dwoma walcami
.
Rys. 364
1) Przez t rozumiemy r6tnic temperatur obu powierzchni plyty. Temperatura przylegajqcego do piyty grodowiska:
moze r6tnié si znacznie od temperatury odpowiadajqcej powierzchni plyty. Ob. prac Holborn'a i Dittenberg'a
w MiUeil. ü. Forschungsarb. Heft 2. Zmianç temperatury w gcianie parowego kotla badano szczeg6l0wo na drodze do-
!fwiadczalnej. Ob. Poensgen, Zeitschr. el. V. el. Ing. 1916, str.27.
S) [Dokladne rozWÏ4zanie tego zadania znajdzie czytelnik w pracy tlmnacza p. t. ,.0 natç.zeniach wywolanych nie-
r6wnem ogrzaniem wewnpzn8j i zewI1ttrmej !fciany rury". eus. teclm. r. 1906].
278
spôtosiowemi 0 promieniach x i x + d x. Na boczne sciany elementu ad i b e, lezqce w przekro-
jach poludnikowych b d dziataé momenty zginaj ce M 2 dx; na scÏanç cd, odpowiadajqcq po-
wierzchni walca 0 promieniu x, bçdzie dzialaé moment:
Ml xd
i nakoniec na scian przeciwleglé! a b moment:
(M I + ô:X I dx}(x+ dx)d .
Utwôrzmy moment wszystkich tych sil wzgI dem osi 00, prostopadlej do dwusiecznej kqta d .
Uwzgl dniajqc kierunek strzalek wskazany na rysunku i pomijajqc nieskonczenie male wyzszego
rz du, otrzymamy dIa szukanego momentu wyrazenie:
(MI + Ô l dx) (x + dx) d '- Ml xdS - M 2 dxdS = (Ml + x Ô:;l -M 2 )dxd . (a)
Przejdziemy teraz do wyznaczenia naprçzen stycznych, dzialajqcych na wydzielony elemenl Ze
symetrji odksztalcenia wl1osimy, z€ na scié1nach ad i bc, lez cych w przekrojach poludnikowych,
nie b dzie zadnych naprçzen stycznych. Na scianach zas a b i c d b dq dzialaly napr zenia sty-
czne w kierunku pionowym. Ich sumç znajdziemy na podstawie nastçpujqcego rozwazania: Wefmy
walcowy przekr6j plyty 0 promieniu x i oznaczmy przez T sumç napiçé stycznych, odniesionq do
jednostki ohwodu walca. Wszystkie napiçcia styczne dadz q wôwczas pionowq wypadkowé!,
r6wnq T. 2:rx. Ta sHa musi byé widocznie co do wielkosci r6wna, a co do kierunku przeciwna
obci zeniu plyty, rozlozonemu w obr bie kola 0 promieniu x. Przy jednoczesnem dzialaniu obci q -
zenia r6wnomiernie rorlozonego 0 natçzeniu q i sUy skupionej w srodku P, otrzymamy dIa wy-
znaczenia T rôwnanie:
T. 21CX = q1CX 2 + P,
qx P
sk d T=-+-.
2 21CX
Napiçcia styczne, dzialaj ce na scÏanç cd wydzielonego elementu, sprowadzajq siç do wypadkowej:
TxdS = x( X + 2 X ) dS.
Pomijajqc nieskonczenie male wyzszego rz du, znajdziemy, ze moment napiçé stycznych, dziala-
jqcych na scianach a b i cd rozpatrywanego elementu, wziçty wzglçdem osi przechodz cej przez
srodek elementu i rôwnolegiej do 00, rôwna si :
Tx dS dx = x ( Q2 x + 2 X ) dSdx . (b)
DIa rôwnowagi elementu potrzeba aby momenty (a) (b) byly co do wielkosci r6wne, a co do
znaku przeciwne, a wiçc:
ôM I ( qX P )
Ml + Xa-x - M 2 + X 2 + 21CX = O.
. Cc)
W stawiwszy zamiast Ml i M 2 powyzej znalezione wyraienia, otrzymamy r6wnanie r6zniczkowe:
g.sCp + dcp _.J:.. = _ Qx _
dx" X dx x 2 . 2C 21CCX'
To r6wnanie da siç przedstawié w dogodniejszej postaci, jezeli uwzglçdnimy, ze:
d"'P +1- dcp _.J:..- ( !!:t ) _ [ 1 d ( ]
dx" X dx x 2 - dx dx + x - dx x dx xcp) .
1\ zatem:
[ d{XCP) ] __
dx x dx - 2C.
Pierwsze calkowanie daje:
1 d{xcp) qx'" P
xC!X=- 4C - -21CC Iogx+C I .
279
MnozQc obie strony przez x i calkujqc powtômie, otrzymamy:
qx' P ( X'lgx X! ) x'
xo:p= - 16C - 2,-rC 2-4 + C t2 + C 2 .
a stQd:
qx' Px X C 2
cp - 16C - 8rrC (2Igx- 1) + c t 2 + x
1\zeby otrzymaé wyrazenie dia ugi é plyty, zwatmy, te p jest kQtem, jaki tworzy styczna do
poludnika z osi Q X-6w, a wi c:
_ dw . dw_qx S Px (21 ) Ct C,
CP-- dx 1 dx - 16C + 8,-rC ogx-1 -Tx-X-'
. (302)
z czego po zcalkowaniu wyplywa:
qx4 Px' C x'
w= 64C + 8,-rC (lgx-1)--t--C2Igx+Cs' . (303)
Stale dowolne wchodzQce w wyrazenia (302) i (303) trzeba w kazdym szczeg61nym przypadku
wyznaczyé z warunk6w kraiicowych plyty.
149. ZGIF;CIE ORRl\GLEJ PLYTY WSRUTER OBCII\ZENI1\ RÔWNOMIERNIE
ROZLOZONEGO
Najprosciej rozwiqzuje si zadanie w przypadku doskonalego utwierdzenia brzegu plyty.
W6wczas: d
d = 0 dia x = r,
jezeli r jest promieniem obwodu. Prôcz tego wynika z warunk6w symetrji:
dw _ 0 dl 0
dx - a x = .
Przyjmujqc w og61nych wzorach poprzedniego paragrafu P = 0, otrzymamy tedy dia wyznaczenia
stalych C t i C 2 nast pujQce r6wnania:
[ qx S _ C 1 X _ C 2 ] -0 [ qxB _ C 1 X _ C 2 ] -0
16C 2 x = -, 16C 2 x x=O - .
Stê!d:
qr'
C t = 8C
i
C 2 = o.
Wstawiwszy te wartosci w wyratenie dia :p, otrzymamy:
o:p = l (rJ - x 2 )
Momenty zginajQce odniesione do jednostki dlugosci b dq:
Ml=C( : +CJ )= 1 [rl(1+CJ)-XI(3+CJ)J, ,
M = C( + CJ :; ) = 1 [ r 2 (1 + a) - x ' (l + 3CJ)] r'
Napr tenia px i py w dowolnym punkcie 0 odleglosci Z od srodkowej plaszczyzny okreslajq wzory:
12M 1 z 12M 2 z
px = h" py = h S .
Napr tenia px osiqgajQ najwi kszq warlosé na utwierdzonym obwodzie pIyty, gdzie Ml = - q;' ,
a mianowicie: _ 3 qr'J.
(Px)mP = ,JïI.
. (304)
. (a)
280
3 qr ' .
Naprçzenie p., w tycM:e punktach ma wartosé 4fi2. a. W srodku plyty}est:
qr l
Ml = M 2 = 16{1 + a),
a naprçtenia, odpowiadaj ce srodkowi dolnej powierzchni plyty, bçd :
3 qr l
px = py = 8Ji!{1 + a).
Przy obliczeniu plyt wyjdziemy z trzeciej teorji wytrzymalosci. Poniewaz px i py s tego sa-
mego znaku, a trzecie naprçzenie pz. dzjàlaj ce w plaszczyznach prostopadlych do osi Z-6w, przyj-
mujemy r6wne zeru, (cisnienie obci zenia cii;!glego jest najczçsciej bardzo male w por6wnaniu do
naprçzen wskutek zginania), wiçc pierwsza i trzecia teorja wytrzymalosci s w danym przypadku
zgodne. Okazuje siç tedy, te najniebezpieczniejszemi s punkty utwierdzonego obwodu plyty,
a warunek wytrzymalosci ma postaé:
3 qr"_
(px)ma'l = 4 JiS " R
. (305)
przyczem R oznacza naprçzenie .dopuszczalne (bezpieczne). Gdybysmy zastosowali drug teorjç
wytrzymalosci, to warunek wytrzymalosci przybralby formç:
3 qr'l. _
px -a py = 47 (1- al) " R.
Wyznaczmy teraz ksztalt powierzchni ugiçcia plyty. Na podstawie og61nego wyrazenia (303) mamy:
qxf qrlx"
ID = MC - 32C + Cs'
Zwatywszy, te na obwodzie jest ugiçcie r6wne zeru, znajdziemy:
qr4
Cs = MC'
a zatem:
qx 4 qr1x l qr" q "
ID = 64C - 32 C -+ MC = MC (ri - x') .
Najwiçksze ugiçcie w srodku plyty bçdzie r6wne:
qr 4
f= MC
. (306)
.1\zeby otrzymaé gl6wniejsze wzory dIa zgiçcia okri;!glej plyty podpartej swobodnie na obwo-
dzie, zastosujemy zasadç superpozycji, kt6r poslugiwalismy siç czçsto przy badaniu zgiçcia prç-
t6w. Dopiero co rozpatrzony przypadek zgiçcia plyty utwierdzonej na obwodzie mozna sobie wyo-
brazié jako wynik jednoczesnego dzialania obcii;!zenia ci glego i moment6w podporowych 0 natç-
zeniu - q 'I.. Jezeli do tych sil dol czymy r6wnomiernie rozlozone na obwodzie momenty zgina-
j ce 0 natçteniu:
M = + qr"
8 '
to dochodzimy oczywiscie do zgiçcia plyty podpartej na obwodzie pod wplywem obci zenia r6wno-
miernie rozlozonego. Dodatkowe moment y zegn plytç podlug powierzchni kuli i wywolaj
w kazdym przekroju normaInym moment y zginaj ce 0 natçzeniu : I . DoI czajilc je do wyra-
zen (a) znajdziemy, ze w przypadku podparcia obwodu:
Ml = 1 [ (3 + (1) ri - (3 + 0) Xl ] ,
M 2 = 1 [ (3 + a) ri - (1 + 30) Xl ].
Najwi ksze nat zenie osiï;gaji1 moment y zginaj ce w srodku plyty, gdzie:
M - M _3+<1 1
. - 2 - ----uI qr .
Odpowiadaj cemi wartosciami najwi kszych napr zeii b d;;:
(P) - (p) _ 6Ml _ 3(3+<1)qrl
" ""'" - y DI"" - hl - 8 hl .
281
Warunek wytrzymalosci.. na podstawie pierwszej i trzeciej teorji napiszemy w postaci:
3 (3 + 0) q ri = R
8 hl'"
Do por6wnania napr zeii (P,,)max i (Py)max przy swobodnem
podparciu obwodu i jego utwierdzeniu posluzy diagram (rys.365),
w kt6rym linje peine przedstawiaji} zmian napr zeii w zale-
znosci od x w przypadku plyty 0 brzegu podparlym, zas linje
przerywane speiniaj;; to samo zadanie dIa plyty 0 brzegu
utwierdzonym.
.1\zeby znaleié ugi cie w srodku plyty, trzeba do wyrazenia (306), otrzymanego poprzednio,
dol;;czyé ugi cie, wywolane momentami zginaj;;cemi M. Te momenty zginaj;; plytç podlug po-
wierzchni kuli 0 promi niu:
albo wstawiwszy zamiast G wartosé 0,3 (dIa zelaza kowalnego i stali):
qr' _
1,24 7 ", R .
Wychodz;;c z drugiej teorji (teorji najwi kszego wydlutenia)
otrzymalibysmy warunek wytrzymalosci:
_ 3 (3 + 0')(1- (1) qr l = R
px - cs py - 8 hl '" ,
kt6ry dla 0' = 0,3 przybiera postaé:
qr l _
0;87 iii '" R .
. (307)
x
1
1
1
1
_--t
, //....- Fr l '
v 0
/'\.
" 1
" 1
......... 1
-.
lx 1
1
1
- - ----+j
Rys. 36S
f.
! .
f:
t-.r -;
- -t -: ------/
- - t:
C{1+cs) 8C{1+cs)
P = M - q r 2 '
(ob. wz. 299) i wywoluj;; dodatkowe ugi cie '1 kt6rego wielkost wyznaczymy
z rys. (366). ZWaZywszy,.:te '1 jest bardzo -male w por6wnaniu do r,
znajdziemy:
Rys.366
2p'. = r 2 ,
a wstawiwszy za p warto t, znalezion;; powyzej, otrzymamy:
qr
,. = 16C(1+0')"
Calkowite ugi cie w srodku plyty podpartej na obwodzie okresli przeto wzôr:
qr" qr 4 qr 4 5+a (308)
f= 64C + 16C(1+cs) =6 4C l+Cf .
T 0 ugiçcie jest w przybliteniu cztery razy wiçksze od ugi cia plyty 0 brzegu utwierdzonym.
282
9 150. ZGlF;CIE ORRl\GLEJ PL YTY SILl\ SRUPIONl\ W SRODRUI}.
Og6lne wyrazenie dIa c:p napiszemy w tym przypadku w. postaci (wz. 302):
Px ) CI X C 2
c:p = - 831:C (2 log x - 1 + -y- + x.
Zakladajil c utwierdzenie obwodu plyty mamy dIa wyznaczenia stalych dowolnych dwa warunki na-
st pujilce :
[ Px ( 1 1) CI X C 2 ] O .
-- 2ogx- +-+- = ,1
831:C 2 x x=o
r Px ) Ct x C2 1 0
--(2Iogx-1 +-+- = .
831:C 2 x x=r
Z watywszy, te:
[ 19 x l
[xlgx]x=o = 1 = 0,
x J x=o
otrzymamy z pierwszego r6wnania C 2 = O. Drugie rôwnanie daje:
P
CI = 431:c (2lgr-1),
a zatem:
Px l'
q>= 431:C 19x.
Nat zenie momentôw zginajilcych Ml i M 2 okre Iajé! wzory:
Mt = C ( 8c:p + <5..! ) = r (1 + (5)lg -1 ]}
8x x 431: X
M 2 = C ( + <5 : ) = :: [(1 + (5) 19 : - <5 ]
. (a)
Te momenty przybierajil na obwodzie warto ci
P
M=--
1 431:
<5P
M 2 =-- 4 .
1!
Odpowiadajilce warto ci najwi kszych napr :ien b dil:
3 P 3 P
(px)max = 2 1Ch'2 (py)max = 2 <5 rch'2
Okazuje si , :te te wielko ci zupelnie nie zaIezil od promienia plyty. Dia porôwnania tego wyniku
z wzorem (305) napiszemy ten ostatni w postaci:
3 Q =
41C h' L R,
. (309)
przyczem Q oznacza calkowite obcië'!zenie plyty. .1\ zatem kupienie obciqzenia w srodku plyty
podwaja napr zenia na obwodzie. Co si tyczy napr zeii w pobli:iu rodka plyty-, to, jak widaé
z wzor6w (a), ich wielko é ro nj w miar jak x maleje. Przy x = 0 stajC! siç Mt i M2' a zarazem
i odpowiadajilce im napr :tenia nieskonczenie wielkiemi Tutaj nasze formuly, otrzymane na pod-
stawie calego szeregu zalozen tracil wla ciwie waZno é, a istotnego znaczenia nabierajil napr :tenia
miejscowe, kt6rych rozkladu nie motna znaIezé drogil elementarnQ ).
1) Zgiçcie okrqglej plyty siIq, dzialajqc'l mimo rodkowo, rozpatrzyl Cie b s ch; ob. "Thc!orie de l'elasticitc! des corps
solides", przeklad de S.-Venant' a, str. 714. -
Pnybli:tone rozwiqzanie tego zadania podal fi. F6ppl; ob. Sitzungsber. d. Math. Ph. Rlasse d. fikad. zu Mün-
chen, r. 1912.
2) PrzybliZone rozwi'lzanie tej kwestji dal Hencky w rozprawie: "Der Spannungszustand in rechteckigen PlaUen",
r. 1913, sir. 54.
283
Znajdziemy teraz postaé powierzchni ugi cia. Na podstawie og61nego wyra:ienia dia ugi cia
(wz. 303) mamy:
w = PXI ( l g _ ) +C
8 C r 2 s.
5ta1a dowoln Cs znajdziemy z warunku, ze ugi'icie na obwodzie r6wna siç zero, a zatem:
Cs = _ [ PX2 ( lg - )I = Pr 2 ,
8 C r 2 x=r 16nC
Px 2 x P
w = 8 C lgr + 16 C (r2 -x 2 ).
W srodku plyty, gdzie x = 0, staje si pierwszy wyraz po prawej stronie zerem, dia strzalki
ugiçcia otrzymamy (przy 15 = 0,3) wyrazenie:
P r 2 p r 2
f = 16 C = 0,22 Eh' . . (310)
Z porownania tego .wyniku z wzorem (306) wnosimy, ze przy dzialaniu sily skupionej w srodku
plyty jest strzalka ugiçcia cztery razy wiçksza, nit w przypadku obci zenia rôwnomiernie rozlo-
:ionego 0 tej samej wielkosci.
W rozpatrywanym przypadku zgiçcia plyty, mamy oprocz sily skupionej P jeszcze momenty
podporowe 0 natçzeniu - 4 P . .1\zeby przejsé do plyty podpartej, trzeba widocznie doli!czyé do tych
.
sil momenty rownomiernie rozlo:ione na obwodzie 0 natçzeniu + ,::. Te moment y wywolaj;; do-
datk.owe zgiçcie plyty podlug k-uli 0 promieniu:
C{l+(5) 4 C{1+(5)
p= M = P
Odpowiadajqce dodatkowe ugiçcie w srodku okresli wzor:
r 2 Pr 2
f= 2p = 8 C{1+ar
,
DoJ czaj c to do wyniku (310) znajdziemy strzalkç ugiçcia okr giej plyty podpartej na obwodzie:
3+15 Pr 2 Pr 2
f = 1 +G . 161IC =..0,55 Eh' . (311)
Co siç tyczy naprç.ien, to potrzebne do ich wyznacienia wartosci Ml i M! otrzymamy, dolêlczajqC
do wyrazen (a) wielkosé :: .
151. ZGI CIE ORRl\Gl,EJ PLYTY Z ROLISTYM OTWOREM W RODRU
_Przy symetrycznym. rozkladzie obci 1enia m01na to zadanie rozwil!zaé drogq ell'mentarn'l s.tosowan 1JI' poprzednich
p:zyp8dkach. Je:teIi na plycie spo zywa obci ienie r6wnomiemie rozlozone (rys. 367), to sil stYCZDq T, przypadajilcil na
jednostki dtago$ci -przekroju wa1cowego 0 promieniu x okr li r6wnanie:
qx qa 2
T.2nx=nq(xl-a'), Z CZfgo T=-T- 2x '
Wstawiwszy to wyrazenie w og6lne r6w. (c) ( 148) zamiast wie1ko ci + 2;x' znajdzie-
my po zcalkowanin kolejIlo:
''!l'lllilf O. :j l j ',
l "f,h :,1,,' . ..:, .J/.W;j
r- .: b -.: . .
. . .- --<j
- or '-
Rys. 361
qx' qa 2 x CI A: Ci
q> = - -+-(2Igx-l)+-+-
16C B C 2 x
qx4 q a 2 r Cs x,
ID ----(lgx-l)--- Iga;+G.
-MC BC 2
284
b-'-
E:;:;;'( /i>'J
1 .
r.(}.
znajdujemy w kazdym szczeg6Inym przypadku % warunk6w na obwodzie zewn\\trznym
i weWD trznym.
JeteIi na pIyt dzialajq sily pionowe, rozlo:tone r6wnomiernie na obwodzie we-
f V!9/AI''/. 1 wn trznym (rys. 368) i majqce wypadkowq P, to r6wnanie powierzchni ugi cia b dzie
takie same, jak w przypadku pelnej plyty, obciqzonej w odku silil P ( 150). Stale cal-
kowania motna znaleit z warunk6w na obwodzie wewn trznym i zewn trznym. DobieJ1f-
jilc w odpowiedni spos6b te warunki, motna otrzymat wzory, potrzebne do obIiczenia
piarlcieniowych pokryw kanal6w, tlok6w maszyn parowych i t. d. 1}.
Rys. 368
sWe dowolne G", C;
9 152. GRI\.NICE STOSOWI\.LNOSCI WYPROWI\.OZONYCH WZORÔW
Wylotona teorja zgiçcia okrqglych plyt opiera si na szeregu zalote:li, przyj t.)ch bez uzasadnienia, wobec czego
dogwiadczalne sprawdzenie otrzymanych wynik6w przedstawia interes nader wazny. Badania dokonane w tym kierunku ')
wykazaly, te wzory otrzymane dia ugi ciâ pIyt, dajil wyniki zupe1nie zadowalajqce, dop6ki strzalka ugiçcia f jest mala
111' porownaniu do grubo ci plyty (f < 0.2 h). Przy wiçkszych ugiçciach dostrzetono znaczne zboczenia od linjowej zale-
tno!ci miçdzy obciqteniami a odpowiadajqcemi ugi ciami. Ugi cia rosn,! powolniej od obciilze1i i plyta okazuje siç sztyw-
niejsZél, nizby wypadalo z wzor6w teoretycznych. fueby znaleié przyczynç tej ningo-
dno ci teoretycznych wzor6w z dogwiadczeniem przy wi kszych ugiçciach pIyty rozpa-
trzymy najprostszy przypadek zgi cia. kulistego. Elementarna teorja. zgifCÏa pIyt polega mi - ----
c:!zy innemi na przypuszczeniu. te powierzchnia rodkowa nie odksztalca siç i gra roIç war-
stwy obojçtnej. Wydlutenie oddzieInych element6w p1yty, r6wnoleglych do powierzclmi
odkowej, Si! proporcjonalne wzg1çdem odleglo ci od tej powierzchni i osiuaK najwiçkszt
wartogé :p na powierzchni zewnçtrznej plyty (p jest promieniem kuli jako powierzchni
ugiçcia). Latwo okazaé, te wygi cie kuliste pIyty jest niemotebne bez odksztalce1i
w plas2:czyinie odkowej. Te odksztalcenia Si! przy malych ugiçciach znikome, atoli
przy wi kszych ugiçciach, osi,!gaj4 wielkogci tego samego rz du co wydlutenie 2hp .
Niech }[ 0 B (rys. 369) przedstawia poludnikowy przekr6j grodkowej powierzchni plyty,
wygiçtej podlug kuli 0 promieniu p. Jeteli w grodkowej powierzchni nie zajd'l przy
zgiçciu odksztalcenia, to dlugogé luku 0 B musi siç r6wnaé pierwotnemu promieniowi
pIyty OB'= r= p-&.
Przypmciwszy brak odksztalcenia powierzchni grodkowej w kierunku promienia, otrzymamy w konsekwencji odksztalcenie
tejte p<>wierzchni 111' kierunku do promienia prostopadlym. Weimy bowiem pod u'll!agç punkty RiB. Przed odksztalceniem
leialy te plll1kty na kole 0 promieniu r, po odksztalceniu zd bçc:!zie promieri tego kola r6wny
CB =- p sin-&.
E1ementy le ce na obwodzie tego kola doznaji! przeto w kierunku obwodu skr6cenia 0 wielko:Cci Yizglçdnej:
p-&-psin-3-
e- p-3- .....6.
zr 1
. . 0 !B'
. 7l
A - : --------- -- j
, .'
"
I
1
Rys. 369
Zwatywszy, te
p-3- 1
f= p(l-cos ) =.....-,
2
motemy wz6r dIa e napisa w postaci:
e=2-.
3p
Zndezione odksztalcenie powierzchni odkowej bedzie male w por6wnaniu do :p tylko w tym przypadku, kiedy f jest
male wobec h. Jeteli f i h Si! wielkogciami tego samego rzçdu, to odksztalcenia powierzchni rodkowej, kt6re pomijamy
1) Caly szereg przyldad6w tego rodzaju roztrz,!saj<1 prace M. En ss Ii n'a: "Studien über die Beanspruchung und
Formanderung kreislôrmiger Platten", Dinglers Polyt. Journ. z r. 1903 i 1904.
Ob iczenie tlok61ll i Iiteraturç tego przedrniotu znajdzie czytelnik w pracy C. P fi e ide ur' a "Die Berechnung der
Scheibenkolben", Mitt. ü. Forschungsarb. z r. 1911, Nr 97.
Co do sprawy obliczenia kolnierzy rur (nansz) ob. Lukina "K'tieorij i rasczotu lIianciewych sojedinieniJ", r. 1911.
1) c. Bach, ElastiziUit u. Festigkeit, wyd. V, sir. 585.
fi. FôppI, Mitl d. Mech. Techn. Labor. MÜDchen, r. 1900.
SteinthaJ. Engineering, r. 1911, str. 677.
Crawford, Royal. Soc. Edinburgh, r. 1912-
M. EnssIin, Dinglers Polyi. Journ. r. 1913, sir. 677.
2S5
w elementarnej teorji zgiçcia, b 4 wÎelkotciami !ego samego rzçdu, co i wycllutenia 2 1). T en wniosek, odnosz4cy sif
do kulistego wygi cia, mozna rozci'lgn c: i na inne przypadki zgiçcia plyt. Wyjiltek stllnowi widocznie zgiçcie podIug po-
wierzchni rozwijalnej.
Zaznaczymy jeszcze jednil okolicznœi:, kt6ril nalety uwzglçdnié przy por6wnaniu danych dO 'liiadczalnych z wynÏ-
kami oblicze1i teoretycznych. W naszych wywodach przyjçlimy, :i:e na obwodzie plyty niema reakcyj letêlCYch w jej plasz-
czyinie, kt6reby przeszkadza!y wzajemnemu zbliZeniu siç przeciwleglych punkt6w obwodu przy %giçciu. W rzeczywistoki
bfdzie podparcie obwodu p!awie zawsze takie, te to zbliteDle zajg(; nie moze. Wskutek t..go bçd'l zgiçciu pIyty towarzy-
szyé napifciil rozciqgajllce, dzialajqce w plaszczyinie Irodkowej. Wielko é Iych napiçé i i(h wp1yw na ugi cie motna wy_
znaczyé tq samll metod'l przybIiton'l, kt6r'l stosowalimy przy badaniu zgi!:cia plyty wedlug powierzchlJi walcowej. Nie
zatrzymujemy sif tutaj puy tem zadaniu, poniewat ono nie ma wi kszego praktycznego maczenia. Przy malycb ugiçciach
nie grajil napiçcia rozciêlgaj'lCe roli godnej uwagi; przy silnych z zakrzywieniach plyty traC'! waZn é wzory, otrzymane
na podstawie elementarnej teorji.
9 153. ENERGJ1\ POTENCJ1\LN1\ ZGIETEJ PLYTY
Poprzednio wyprowadzili my juz wyrëtZenie dia energji potencjalnej zgi tej plyty w zale:ino-
ci od gl6wnych promieni krzywizny (Wz. 298). DIa dalszych zastosowa1i okate si korzystniej-
szem wyrazenie energji potencjalnej jako funkcji ugi cia
plyty ID. 1\zeby utworzyé to wyriiZenie wydzielimy z plyty
przekrojami rôwnoleglemi do plaszczyzn Z X i Z y (rys. 370,
fig. a) element 0 kraw dziach dx, dy i h. Odpowiadaj ce
wartosci k:rzywizny b d :
ô 2 ID . cJ2 ID
-1-'
ôx 2 éJy2
Jezeliby te przekroje byly przekrojami gl6wnemi, to energj
wydzieIonego eIementu przedstawialoby wecilug wzoru (298)
wyrazenie:
C [( éJ2ID ) 2 ( B21D ) 2 82ID 8 2 ID ]
dV t =2 ôx 2 + 8y2 +2Cf 8X2 ' éJy2 dxdy : (a)
W og6Inym przypadku b dzie wyraienie dIa energji elementu
nieco bardziej ziozone, poniewaz kaZda nieskonczenie cienka Rya. 1170
warstwa pozioma wydzielonego elementu, lezê!ca w odlegloscÏ Z
od plaszczyzny srodkowej (na fig. c zakreskowano widoczne sciany boczne rozpatrywanej warstwy)
b dzie nietylko narazona na rozciê!ganie Iub sciskanie w kierunku osi X i Y, lecz takZe na scina-
nie. Wieikosé odpowiadaj cego odksztalcenia postaciowego i warlosé energji potencjalnej warstwy
elementarnej znajdziemy na podstawie rozwazan geometrycznych. Rozpatrzmy przesuni cia wierz
cholk6w R, B, CiD tej warstwy w kierunkach osi X i Y przy zgiçciu plyty. Te przesuniçcia Sê!
wywolane obrotem pionowych krawçdzi wydzielonego .eIementu. Z fig. (b) widaé, ie punkt .1:1 do-
znaje w kierunku osi X-ôw przesuni cia:
. x
A- b-B
x
I
. 1
Ai: Î1$ /J.
Z
h
>
'{
-y
éJID
u=-z 8x '
Podobnid b dzie przesuni ciem punktu R w kierunku osi Y -6w:
éJID
v=-Z 8y '
Jeteli teraz przejdziemy do punktu B, odleglego od A 0 dx, to jego przesuniicle w kierunku osi
Y-6w okreg}i wyratenie: 8 D 8ID 8 2 ID
D+-dx=-z--z-dx.
8x 8y éJxiJy
1) OdpowiadajllC8 zadanie sprowadza siç nawet w najprostszych przypadkach do calkowania r6wIWi nielinjowych
i da sif rozwi'lzaé tylko sposobem przybliZonym. Ob. pracf autora: "K'WOprOSll 0 bolszich progibach", Sborn. 1Dst. in1.
Put. Soobszcz. z r. 1915.
286
J - -- --
1.
l!.. ___: .---\.
. A.
Podobniet b dzie przesuni ciem punktu D w kierunku o i X 6!l':
8u 8w ô w
U+ 8 -dY=-Zax-Z 8x8 y dy.
. y
DIa wi kszej jasnosci przedstawiono na rys. (371) rzut poziomy warstwy elementarnej. ABC D
przed odksztalceniem po odksztalceniu (przy zalozeniu, ze u i v Si! dodatnie). Ri ,tem odksztal
cenia postaciowego rozpatrywanej warsfwy jest:
8v au a 2 w
CI + = 8 x + a y = - 2z fJxûy '
Odpowiadajqce napr zenie scinajqce b dzie r6wne:
8 2 w
-2z 8x8y G,
a energj potencjalnq' odksztalcenia postaciowego rozpatrywanej war-
stwy okresli wyrazenie:,
82 2
RYL371 2z 2 ( ôx ) Gdxdydz .
Z . .. . h d h d h.. . 1 t t . (b) tr
mlemaJqC Z w gram cac 0 - 2" 0 + "2 1 sumuJqc wyratema e emen arne pos aCl . 0 zy-
mamy energj odksztalcenia postaciowego dV 2 . nagromadzonq w wydzielonym elemencie plytyy
a mianowicie:
B
,
c'
cC
(b)
h
(+2 {)2W 2 82W ) 2 hS ( OZW ) 2
dV2=2G)_. J axôy ) z2 dxd ydz=2G( aX8y dxdY- 12 =C(1-a) ôxôy dxdy
2
Dodajqc (a) j (c" otrzymamy szukane og6Ine wyrazenie dIa calkowitej energji potencjalnej ele-
mentu piyty w postaci:
C r( (1).w ) 2 ( 82W ) 2 82W 8 2 w ( 82W ) 2 ]
dV=dV l 4- dV 2 =2" 8xZ + 8.,y2 +2a 8xZ ' ôy! +2(t-oJ ôxôy dxdy=
C { ( Ô2 W ô' W ) 2 [ ô'il W ô t ID ( (j2 W ) 2 ] }
="2 8x t + ôy'il - 2(t-a) 8x' . 8i' - 8xôy dx dy (312)
Energj potenéjalnq calej plyty otrzymamy przez sumowanie wyra:ien elementarnych postaci (312)
na calej powierzchni plyty 1).
. (c)
154. PRZYBLlZON1\ METODR BRDRNI1\ ZGIECIR PL YT
Przy badaniu zgi cia plyt mozna zastosowaé t samq metod przybIizonq. kt6rej uzywalismy
do wyznaczenia ugi cia prçt6w w rozdziale XV. Czyniqc zadosé warunkom na obwodzie przyjmujeniy
ID = fi' (x,y)
(a)
jakQ przyblizone r6wnanie powierzchni ugiçcia, przyczem funkcja fi' (x, y) zawiera jeden lub kilka
dowolnych parametr6w. Te parametry grajq rolç uogôlnionych spôlrzçdnych i mo:iemy ich wartosé
dobraé tak, aby przyjçta postaé rôwnowagi (a) zblizaia siç mozliwie najbardziej do postaci rzeczy
wistej. Wyznaczenie parametr6w odbywa siç tak samo, jak przy badaniu zgiçcia prçt6w. Usta
wiamy wyrazenie dia enêrgji potencjalnej zgi tej plyty i pochodne tego wyrazenia wzgl dem uog61-
nionych sp6lrz dnych (parametr6w) przyrôwnywamy do odpowiadajqcych uogôInionych sil. T q
1) [Plyty betonowe uzbrojone .na krzyz" zachowujq si z wielkiem przyblizeniem jak plyty z materjalu r6znokierun-
kowego. Obliczeniem elementarnem energji potencjatnej takich plyt zajmuje si praca Humacza: "Die GrundJagen einer
rationellen Berechnung der kreuzweise bewehrten Eisenbetonplatten", Z. d. ost. In . & l\rch. V. r. 1914].
[Og61ni! teorj takich plyt wraz z rozwiqzaniem licznych zadati praktycznego znaczenia zav.ieraé b dzie obszerna
praca Humacza, jaka si ukaze wkr6tce w publikacjach Lwowskiego Towarzystwa Naukowego p. t. .. Teorja plyt prostoki}tnie-
r6:tnokierunkowych wraz z technicznemi zastosowaniami do plyt zel.-betonowych, krat belkowych i t. p."].
281
drogif litworzymy tyIe" r6wnan, He jest dowoInych parametr6w. Jako przyklad rozpatrzymy przypa
dèk zgi cia plyty prostokqtnej, przyczem, poprzestaj<!c na pierwszem przybli:ieniu wezmiemy wy
ratenie dIa powierzchni ugi cia z jednym dowolnym parametrem. Przyjmiemy, te kontur plyty, ob-
cÏQ:ionej r6wnomiernie (qkglcm') r6tni si niewiele od kwadratu (rys. 312). W przypadku podparcia ob
wodu uczynimy zadosé warunkom krancowym, jezeli przyjmiemy, te
przekroje powierzchni ugi cia plaszczyznami ZX i Z y Sq sinusoidami, (1- a
1
czyli :ie r6wnanie powierzchni ugi cia ma postaé
--
.r
b
w=fsin n: sin n{ . . (b)
!
Latwo siç przekonat, te na obwodzie plyty jest 1
\'
iJ'w iJ'w yj
ôx2 = &y2 = O. Rya.S72
OdpowiadajQce momenty MI i M 2 staj<! si przeto zerami, jak tego wymagaj<! warunki krat1cowe
przy podparciu obwodu. DIa b
a .
x=2 1 Y=2'
1. j. w srodku plyty wypada w = f.
Utw6rzmy teraz wyra:ienie dia energji potencjalnej plyty. Na podstawie wzoru (312) mamy:
v = _ C"dx (b { ( ô'w + ô'w ) ' _ 2(1- 0 ) 1 ô'w . ô'w _ ( ô'w ) 2 ] } dy
2)0 )0 ôx 2 ôyt ôx' 8 y t 8xiJy
Wstawiwszy za w wartosé (b) i uwzgl niwszy, te
l'" r b . nx. ny \" \b n:x n:y ab
) )0 sm a sm' b dxdy = )0)0 cos a cos 1i dxdy = 4'
(313)
otrzymamy po prostych przeksztalceniach:
n4 1 1 2
V = -C f 'ab ( -+- )
8 a 2 bt.
. (314)
Przyj<!wszy dia ugiçcia wyrazenie (b) przemienilismy tem samem plyt w uklad 0 jednym stopniu
swobody. W szystkie elementy zgi cia okresla wielkosé strzalki ugi cia f. T ç wielkosé przyjmiemy
za uog6lnion;; spôlrz dn<! i znajdziemy odpowiadajqc<! wielkosé uog61nionej sily. Skoro sp61rzç-
dnej f udzielimy przyrostu elementamego ôf, to obciqzenie q dx dy, przypadajqce na element pola
plyty, wykona przytem prac :
q d x d y . B f sin sin :rc: .
Calkowita praca wykonana przez obci<!zenie plyty r6wna siç zatem:
.. b :rcx n:y 4qab
Bf dx qsin-sin--dy=Bf. , '
GOa 'J or
a wiçc szukana uog61niona sila r6wna si 4 , q a b. Wielkosé f znajdziemy z r6wnania:
:1[
ô V:1[4 ( 1 1 ) 2 4qab
ôf =4'C f ab a 2 +-v :; .
Przyjqwszy, te a > b i wprowadziwszy oznaczenie b: d = fL, znajdziemy:
16 q b 4
f = :1[6 C (1 +p. )t
. (315)
88
Stopie1i dokladno ci tego przyblizonego wzoru mozna oSqdzié wedlug wynik6w umieszczonych w po-
nizszej tablicy 1). Przez dokladn wartosé ugi da rozumiemy tutaj wartosé otrzymanq z calkowania
rôwnania r6:iniczkowego powierzchni ugi cia plyty.
Dia plyty kwadratowej r6wna si blqd przy-
bli:ionego wzoru okolo 2,5 0 [0' DIa prostokqtnej
o stosunku bok6w p. = 0,5 wypada blqd 5°[0' Ze
wzrostem dlugosci plyty powi ksza si blqd, co
byio do przewidzenia, poniewaz powierzchnia ugi -
da w srodkowej cz sci ptyty zbli:ia si do po-
wierzchni waIcowej; do obliczen wypadnie wow-
czas uZywaé raczej wzorow otrzymanych w 145.
Najwi ksze napr zenia w przypadku podpar-
cia obwodu powstajq w srodku plyty w przekroju
normalnym do kr6tszych bok6w. Z tablicy widaé,
ze w miar wzrostu dlugosd piyty te napr zenia
zdqzqjq szybko do wartosci odpowiadajqcej plycie
nieskoDczenie dlugiej (p. = 0). Jezeli brzegi plyty
nie mogq si przesuwaé przy zginaniu, to pojawi q si napi cia rozciqgajqce powierzchni srod-
kowq. Dia dlugich plyt mozna je wyznaczyé tak samo, jak przy zginaniu wedlug powierzchni wal-
cowej. W przypadku plyt 0 konturze malo r6znym od kwadratu staje si zadanie bardziej zto:io-
nem 1). Wplyw tych napi é na zgiçcie plyty b ie przy maJ:ych ugi ciach nieznaczny.
Rozpatrzmy teraz zgi cie plyty prostokqtnej utwierdzonej na calym obwodzie. DIa pbwierzchni
ugi cia trzeba dobraé takie wyrazenie, aby nietylko IV, lecz tak:ie i stawaly si zerem
na utwierdzonym konturze plyty. Tym warunkom czyni zadosé r6wnanie:
U7= (1 cos 2 : X ) (1-cos 2 Y ) . (c)
1 Dokladne Przybtizone ( py)max
p. ugiçcie ugiçcle 1 [doklad.]
0 o 0130 Qb 4. qb'il
- 0,15. hl
, C
----
1 0,12
- - .,
3 1
------ - i
l 1 00106 Qb 4. 0,61
2 0,0101., 1 , C .,
I 1
I - - 0,48 .,
3
- 1
1 0,00406 ., 0,00416., 0,29 .,
Latwo sprawdzié, te przy x = 0, x = a, y = 0 i Y = b
.. t k " . ak ' h d a ln . a IV W . . dl
staJe Sl zerem a ugI e ID, J otez plerwsze poc 0 ne 7iX 1 a y ' staW1wszy wyra:ieme a
ugi cia (c) we wz6r (313) i wykonawszy potrzebne przeksztalcenia, otrzymamy:
V= Cflab( :4. + a22b2 + ;4 ) . (316}
Obierzmy f za uog6lnionq sp6Irz dnq. Praca obciqzenia r6wnomiemie rozlozonego, odpowiadajqca
przyrostowi sp61rz dnej ô f, b dzie r6wna:
Me 8 t b ( 2 3t X ) ( 2 3t y ) ab
q 4 )odx)u 1 - cos-a 1- cos" dxdy = Jf7;Y-J-,
a. zatem sila odpowiadajqca sp61rz dnej f r6wna si Q b . Wielkosé f wyznaczymy z r6wnania:
a V:n:4. ( 3 2 3 ) ab
ar = 4' Cab f a4. + a 2 b 2 + b 4 = q 4 .
Wprowadziwszy poprzednie oznaczenie b: a = p., otrzymamy:
1 Qb 4 1
f= C . 3+2p.2+3p.4.
. (3J 7)
1) Szczeg610we tablice do obliczenia plyt prostokéltnych 0 podpartym obwodzie znajdzie czyteInik w dziele autora:
.,Rurs tieorij uprugosti... cz. 11. str. 290.
2) Ob. pracf autora: "Primienienie normalnycb koordinat...... Izw. Rijew. Polit. Inst. z r. 1909.
289
T abliea umieszezona ponizej zawiera wyniki, otrzymane na podstawie tej przybli:ionej for-
muly. DIa por6wnania przytoezono r6wniez i wyniki dokladniejszyeh badai1 1), z kt6rych zaczer-
pni to tak:ie podane wartosci napr :ieii.
W przypadku plyt zblizonyeh do kwadrato-
wyeh daje przybli:iony wz6r dIa ugi cia wyniki
zupelnie zadowalajqce. Z powi kszeniem d!ugosci
plyty blqd wzrasta, a poeZqWszy od p. = 0,5 mo-
zna wykonywaé obliczenia wedlug wzorow otrzy-
manyeh dIa zgi cia walcowego (p. = 0).
Najwi ksze naprçzenia powstajq w srodku
dluzszych bokôw plyty, 1. j. dla y = 0, lub
b i x = ;. Jak widaé z tabliey, ju:i przy p. = ;
zblizajq si najwi ksze napr zenia do tyeh war-
tosci, jakie wypadajq dIa piyty prostokqtnej nie-
skonczenie dlugiej. Wplyw napi é rozciqgajqcych,
powstajqcych przy zgi ciu plyt z unieruchomio-
nemi brzegami, jest w praktjee zawsze bardzo maly i mozna go pominqé, jezeli tylko napr zenia
w utwierdzonym brzegu nie przekraezajq granicy spr :iystosci.
Dolùadne Prz, blitone ( py )max
p. ug'çC1e ugi cie
0 o 00260 q b 4 qb 2
, C - 0,500 h'2
---
1 0,00253 " o 00278 q b 4 0,497
2 1 , C "
- ,
2 1
3 0,00213 " 1 0,00229 " 0,467 "
- 1
4 ;
1 0,399
5 1 - 1 O.OO l "
1 1 O,29J
1 0,00126 " 1 " "
155. OBLICZENIE SCI1\N (PL YT) ZH.RRZYWIONYCH, CZYLI POWLOR
Pomimo eal q waznosé praktyeznq, jest obliezenie powlok dotyehezas bardzo malo opraeo-
wane, poniewaz zupelne rozwiqzanie zadania przedstawia wiele irudnosci natury ezysto matematy-
eznej. DIa otrzymania przyblizonyeh rozwiqzan trzeba si uciekaé do rozmaityeh zalozen uproszcza-
jqeyeh, zaleznie od rozmiar6w i warunkôw praey obliezanyeh ez sci skladowych. Cz sto np. pomija
siç zgi cie powloki i uwzgl dnia si tyIko rozciqgania lub sciskania, uwazane za r6wnomiernie roz-
lotone na grubosci scianki. T ego sposobu uzywalismy ju:i przy obliezeniu cienkosciennyeh naczyii,
narazonyeh na cisnienie gazow lub cieezy. Sq naodwr6t przypadki, w kt6ryeh glôwnq rolç grajq
napr zenia zginaj;;ce, wobee kt6ryeh mozna pominqé rozciqgania lub sciskania srodkowej powierz-
chni powloki 2). T ak q drogq otrzymano szereg rozwiqzaii, majqcych wi ksze znaczenie w akustyce,
a mianowicie zbadano kwestjç drgan powlok wa1cowyeh stozkowyeh i kulistych 8).
W niektôryeh prostszyeh przypadkaeh mozna otrzymaé zupelne rozwiqzanie przy uwzgl dnie-
niu i zgi cia i odksztalcenia powierzchni srodkowej. Jako przyktad przytoczymy obliezenie rury
walcowej. Jezeli obciqzenie nie zmienia siç wzdluz osi walca, 10 mozemy siç ograniczyé do rozpa-
trzenia odksztalceiî pierscienia elementarnego, wyciçtego dwoma przekrojami prostopadlemi do osi
rury 0 wzajemnej odleglosci 1. Do obliezenia takiego pierscienia zastosujemy przeto prawidfa, wy-
lotone w rozdziale 0 pr taeh zakrzywionyeh, uwzglçdniajqe jednakowoz, :ie dziçki polqczeniu wy-
1) Og 6ln l! metodç badania zgi cia plyty prostoki!mej utwierdzonej na obwodzie podaÏ'l prece B. Rojalowicza
(ros.) ,,0 pewnem r6wnaniu r6tniczkowem cZQstkowem 4-go rz du", r. 1902 i W. Ritz'a "über die neue Method'e zur
LOsung gewisser Variationsprobleme der math. Physik". Journ. 1. Math. z r. 1909, str. 1.
Niekt6re wyniki Iiczbowe znajduj4 si w dyplomowej pracy D. Pistriakowa: "Izgib tonkoj plastinki", Izw. Kijew.
Polit. Inst. z r. 1910.
Szczeg6l0we tablice dia obliczenia pIyt 0 brzegach podpartych i utwierdzonych znajduj siç w przytoczonej powytej
ksiélZce J. G. Bubnowa. Por. nadto:
H. Hencky "Der Spannungszustand in rechteckigen Platten", München 1913;
A. Niidai "Die Formiinderungen u. die Spannungen v. rechteckigen elastischen Platten", Z. d. Ver. D. Ing.
z r. 1914. sir. 487.
[B. G. GaIierkin "Izgib priamougolnych plastinok..." Petrograd 1917}.
2) RiIka zada6 tego rodzaju rozpatrzyl autor w pracy: "K'woprosu 0 delormacijach i ustojcziwosti cilindriczeskoj
obolocz1d", Wiesmik Obszcz. Technologow z r. 1914.
8) Sprawç obliczenia powlok rozpatruje bardziej szczeg610wo "Rurs tieorji uprugosti", cz. Il, sir. 362-
[Ob. takte l\. i L. FoppI "Drang und Zwang", t. II, rozdz. V, 1920}.
Kan wytnymaIolci matorjal6w
19
290
dzielonego pier cienia z s siedniemi cz sciami rury staje si niemozebnern odksztalcenie poprze-
cznego przekroju pier clenia przy zginaniu. Ta okolicznosé, jakesmy si przekonalr ( 144), po-
wi ksza nieco sztywnosé pierscienia. Zamiast wielkosci
1 h'
El = E . -i2 (h grubosé sciany),
trzeba wprowadzié w rachunek sztywnosé walcow :
e E . 1 . h S
= (1-0'2) 12 .
W przypadku okrqglego przekroju poprzecznego rury mozna przy badaniu odksztalcen zastosowaé
og6lne r6w. (275) 1). Na koncach rury, w rniejscach polqczenia jej z kolnierzami lub dnem, b dq
warunki odksztalcenia znacznie wi cej zlozone.
Dokladne rozwiqzanie tego zadania przedsta-
wia wielkie trudnosci, atoli w przypadku okrq-
glego przekroju poprzecznego i obciqzen sy-
metrycznych wzglçdem osi rury mozna bada-
nie uproscié i sprowadzié zadanie do wyzna-
czenia zgi cia skrawka elementarnego, wydzie-
lonego wzdluz tworz cej walca. Rys. (373)
przedstawia podluzny i poprzeczny przekr6j
cylindra, narazonego na r6wnornierne cisnienie
wewn trzne q. Oznaczmy przez y ugi cie wy-
dzielonego skrawka w jakimkolwiek przekroju poprzecznym m n. (Na fig. b uwidoczniono przekr6j
wydzielonego skrawka przez zakreskowanie). To ugi cie rôwna siç radjainemu przesuniçciu punk-
t6w powierzchni walcowej, lezqcych w przekroju m n. Wydluzenie wzgl dne obwodu walca w prze-
kroju mn r6wna si :
tY
d' " .--f!
I
p.
r
.X
>
;;g b.
1.
figô
m
.
,
1
.
1
.
1
1
-----fjt-------- -,- -. ZJ_--
__o. . ._[ . 0$ WlJ Cë:!
Ry.. 373
el =L.
r
Odpowiadajqce ciqgnienie obwodowe PI' dqzqce do rozerwania walca wzdluz tworz cej, wyznaczymy
z wzoru
1
el = E (Pl - O'P2)'
w kt6rym P2 oznacza ci gnienie podluzne, wywolane naporem na dna. Dia P2 mamy r6wnanie:
1t r 2 q r q
P2 = 21trh = 2h .
1\ zatem: Ey r q
PI=Ee l +O'P2 =r+0' 2h '
Z fig. (b) widaé, ze napr zenia obwodowe Pl dajq skladowq w kierunku promienia, przeszkadza-
jqCq ugi ciu wydzielonego skrawka. Wielkosé radjalnego napi cia, przypadajqcego na jednostk
dlugosci skrawka r6wna si : 1 Ehy O'q
Plhr= +2 (a)
Dolqczywszy to wyrazenie z odpowiednim znakiem do obci zenia cisnieniem wewn trznem q, na-
piszemy r6wnanie r6zniczkowe dIa linji ugi cia skrawka w postaci: .
e : = - y + q ( 1 - ) . (b)
Wprowadzilismy tutaj sztywnosé walcowij e, poniewaZ wskutek polijczenia elementarnego skrawka
z sélsiedniemi cz sciami rury, staje si niemozebnem odksztalcenie poprzecznego przekroju skrawka,
1} Szereg zadart tego rodzaju zawiera praca F orchh eimer' a w Zeitschr. d. ôst. Ing. u.l\rch. Ver. zr. 1914, str. 133.
Ob. takie rozprawç doktorsk V. Mayer'a: "Über E1astiziUit ü. StabiliUit des geschlossenrn und ollenen Kreisbogens".
Co do obliczenia rur 0 przekroju eliptycznym ob. Mayer-Mita, Zeitschr. d. Ver. d. Ing. z r. 1914
291
charakterystyczne dIa zgi cia pr ta. Otrzymane r6wnanie zgadza si z otrzymanem poprzedn io
przy badaniu zgi cia belek, spoczywaji!cych na spr zystem podlozu. Og6lni! calk q tego r6wnania jest:
y = CI ea.x cosa.x + C 2 e ax sina.x + Cs e-a.xcosa.x + C( e-a.x sin a.x + -f.h { 1-
przyczem a. = 4 J. .
Stale dowolne C l' ... C ( dadz q si wyznaczyé z warunk6w na koncach wydzielonego skrawka.
Jezeliby dna byly doskonale sztywne, to te warunki Si! nast pujqce:
.f} ) rJ.
2 '
y = 0 dia x = 0 i x = 1; y' = 0 dia x = 0 i x = 1.
Bez szczeg6lnych trudnosci mozna rozwii!zaé nasze zadanie takze z uwzgl dnieniem odks:ltatcenia
dna. W tym przypadku trzeba stale dowolne wyznaczyé z warunk6w poli!czenia scianki z dnem.
Badanie zgi cia podluznego skrawka, wyci tego ze sciany walca, mozna rozci gni!é na przypadki
zmienBego cisnienia q i zmiennej grubosci scianki hl). Te zadania mai'! praktyczne znaczenie
w zwiqzku z obliczeniem zbiornik6w na ptyny lub ciata sypkie.
Na zakonczenie weimiemy jeszcze jedno zadanie, przed tawiajqce pewien intens prakly'
czny w zwiqzku z obliczeniem poklad6w mostowych. Przyjmi)my, ze walcowa powloka opiera
siç na dwu r6wnoleglych krawçdziach (rys. 374) i pod1ega dzialaniu obcii}zenia r6wnomiernie
rozlozonego 0 natçieniu q. Puy obliczeniu mozemy siç ograniuyé do rozpatrzenia elementu
powloki zawartego miçdzy dwoma przekrojami mn i mini' normalnl2mi do tworzqc)ch walca,
o wzajemnej odleglogci 1. W przypadku przegibnego nieruchom(go podparcia brzeg6w, mo:tna
obliczaé ten element jako luk dwuprzegubowy, j"ieli jednak poczqtko1Aa strzclka f zwi ajqctj
powloki jest mala w por6wnaniu z rozpiçto ciq l, to do obliczenia mozna uzyé przyblizonego
sposobu, wylozonego w 137. Zwaiywszy, ze przekr6j poprzeczny w:ydzieIonego skrawka nie
odksztalci siç przy zgiçciu, wypadnie nam wprowadzié sztyv.nogé walcowq:
Eh 3
c= 1 2 t 1 - al ) '
A - .. 1 --: 1/
Rys. 374
a wtedy wielkogé al, przedstawiajqca stosunek sily podluinej rozcii}gajqcej S, jaka powstaje wskntek zgiçcia skrawka. do
krytycznej warto ci sily, bçdzie okrEglona wzorem:
2 ]2 S," (1 - ( 2 )
a = nlEh l .
R6wnanip (1), otrzymane w (137) dia pr ta, przybierze teraz postaé:
(fo-albIP 2b l (fo-a l b l ) a 2 h'
(1 + a 2 )" + 1 + aS -
Tutaj oZ'nacza h grubo é powloki, hl pocz tkowq wart é strzalki, {o strzalk ugi cia skrawka, obJiczonq jak dIa belki
w obu kot1cach podpartej 0 sztywnogci C. Majqc te wielkogci, wyznaczamy z powyzszego r6wnania a\ a stqd i sil po-
dluznq S. Dalszy rachunek nie przedstawia jui :tadnych trudno ci. Nizej umieszczona tablica zawiera wartogci strzalki
ugiçcia { (w rodku), naprçzen PI wskutek sily podluinej r< zCl<}gajqce] 1 najll.içkszych naprçzen fI, obliczone dIa zelaznej
p01Aloki 0 grubo ci h = ] cm, rozpi to ci 1 = 100 cm i b l = 0, 1, 2 i 3 cm Il). Z tej tablicy widal:, jak PocZlltkowe zakrzy-
wienie wplywa na sily wewnçtrzne i odksztalccnie powloki. Dzi ki temu zakrzywiemu zmniejsza siç wielkogé sily podlu-
inej, jakotez wielko é napr zen zginajqcych. Przy strzalce poczqtkowej b l =-= 3 cm jest rola zgi cia zm"koma, a sil podluzné!
mozemy znaleit, obliczajqc wydzielony skrawek, jak gi tkie ci gno S).
Z wyznaczeniem naprçze6 w p01Alokach kulislych maJI1Y do czynipnia przy obliczeniu kopul, den kotl6w i t. p'
W przypadku powloki podpartej wzdluz kolow(go konturu i obcii}zon j symetrycznie w spos6b ciqgly, otrzymujemy przybh-
zone rozwiqzanie, pomijajqc napr zenia zginaj ce i uwzglçdniajqc Iylko rozci ganie i ciskaIÙe grodkowej powierzchni powloki.
. (318)
1) Ob. C. Runge, Zei'schr. 1. Math. u. Ph, t. 51, r. 1914, sir. 254.
H. Reissner, B ton u. Eisen, t. 7, r. 1908.
T. Pôschl u. R. Terzaghi. "Berechn. v. Behiiltern...", r. 1913.
Ob. takze "R rs tieorji uprugosti", cz. Il, str. 20.
H. Lorenz, "Technische Ela tizitiitd,hre", r. 1913, str 603.
2) Obliczenie tablicy wykonal in!. R C z a Iy s z e w przy zalozeniu E = 2 . 10 6 kg/cm- i ,,= 0,3.
3) Wplyw krzywizny w przypadku plyty prostokqtnej 0 dlugo ci bok6w Î(,go SBmego rz du rozpatrzyl autor w nocie
ogloszonej w Sborn. lnst. Int. Put. Soobszcz. z r. ]9]4.
19*
292
il hl =0 b l =lem b l -2em b l =3em
q 1 , 1 , , 1 1 1
kg/cm' 1 f PI PI f PI PI f Pt Ps f Pt PI
--, \ 1
cm 1 kg/cm' ! cm 1 kg/cm' cm : kg/cm! cm kg/cm 2
,
I l 570 1 1 1 II 1 1
0.1 0,445 ]07 0,10 101 ]9] 0,03 60 78 0,01 43 43
1 1 \ Ii 1
Il 1
0,2 1 0,M9 221 873 1 0,18 191 347 1 0,06 1 119 149 0,03 83 83
0,3 1 0,769 320 1 1094 - 0,25 272 482 1 0,09 176 218 0,04 1 124 124
1 1 , 1
0,4 0,870 1 410 1273 i 0,3] 350 1 608 1 0,11 229 331 0,06 164 164
0,5 0,953 1 493 1 1426 1 0,37 421 1 727 0,14 288 342 0,07 1 205 205
1 1 1
l, 1 1 Il 243
0,6 1,025 1 570 1566 0,42 490 832 0,16 -342 402 0,09 243
1 1 1 1
0,8 1,148 713 1801 0,51 620 1004 1 0,22 443 540 0,11 1 323 323
1,0 ],251 845 2003 0,59 1 739 1 1188 0,26 1 547 625 0,13 1 402 402
1 1 J 1 i
1,5 1,453 1143 2427 0,76 1030 1480 -- 1 - - - - -
2,0 1 1,614 1409 2765 0,89 1 1270 1 1870 - - - - 1 - -
W tym przypadku, gdy podparte brzegi powloki mogll przy odksztalceniu przemieszczaé siç swobodnie w kierunku nor-
malnych do powierzchni powloki, olrzymane té! drogq rozwiqzanie przybIitone daje wyniki 0 dokladno ci zupelnie wystar-
czajqcej dia praktyki 1). Jeteli jednak brzegi powloki Si! ustalone tak, te nie mogq swobodnie siç obracaé. albo przesuwaf,
10 wzdlut brzeg6w powstajq napi cia, kt6re mog'1 wywolaé znaczne naprçtenia miejscowe. Te naprçienia malejq szybko
w miar oddalenia od podpartego konturu '), wobec czego mog'l pozostaé nieuwzglçdnione, 0 île po1l110ka jest naratona na
obciqtenie slale lub tylko przypadkowe.
1) Ob. H. R eissner, Festschrilt Müller-Breslau, r. 1912 [i VierteljahrschriIt der Naturforsch. Gesellschalt in Zürich
60 (1915) S. 23}.
1) Te naprçzenia moina obliczyf w przybliteniu przy pOlrtocy metody, wskazanej przez O. BIumenthal'a. Ob.
Z. f. Math. u. Phys. Bd. 62, str. 359.
Wyklad tej mdody w -zastosowaniu do jednClgo szczeg6lnego przypadku znajdzie czytelnik w pracy autora: "Ras-
czot s(ericzeskich oboloczek". Ob. Wiestnik O-wa Technologow z r. 1913.
Szereg rozwi'lza1i odnoszqcych siç do powloki stozkowej i kulistej znajduje siç w pracy Me i s sne r' a, ob. Phys.
Zeitschr. z T. 1913, str. 343.
Ob. lakie pracl Reller'a, "Mitteil. ü. Forschungiarb....
cz St VII
Zl\Gl\DNIENIl\ DYNRMICZNE Nf\UKI 0 WYTRZYMl\LOSCI
ROZDZI1\L XVIII
WPL YW SIL BEZWLF\DNOSCI
9 156. 0 NRPREZENIRCH W PRETRCH PORUSZRJI\CYCH SIE
Spôlczesna technika, a w szczegôlnosci sp6lczesna konstrukcja maszyn, stawia caly szereg
zadan, w ktôrych kwestja wytrzymalosci nie da si rozstrzygn é w sposôb zadowalaj cy, dop6ki
nie uwzgI dnimy ruchu obliczanych elementôw. Sity bezwladnosci, drgania i uderzenia mog bo-
wiem graé bardzo wazn rol przy wi kszych pr dkosciach ruchu, wobec czego pomijaé ich nie
woIno 1). Mimo to ma opracowanie zadan dynamiki w nauce 0 wytrzymalosci zakres daleko skrom-
niejszy, ani:ieli opracowanie kwestyj statycznych, musimy wi c w dalszym toku wykladu poprze-
staé na kilku najprostszych przykladach.
Rwestja napr :ien dynamicznych rozwi zuje si najlatwiej w tych przypadkach, kiedy mo:ina
pomin é odksztalcenia obliczanych cz sci i przyj é, ze one si poruszajq jako cialo doskonale
sztywne. W6wczas, stosownie do danego ruchu maszyny, wyznaczymy bez trudnosci przyspiesze-
nia oddzielnych eIement6w obliczonej konstrukcji i znajdziemy odpowiadajqce wartosci sil bezwla-
dnosci. Dol czaj c te si!y do danych si! zewn trznych, prowadzimy dalszy rachunek tak A
samo, jak w zadaniach statycznych. Rozpatrzmy np. wplyw si! bezwladnosci na napr ze-
nia w poruszajqcych si pr tach. jezeli pr t porusza si w kierunku swojej osi, to sily B
bezwladnosci wywolaj w nim dodatkowe ci gnienia lub cisnienia, zalezne od wieIkosci
przyspieszenia i ci :iaru wlasciwego materjalu pr ta. Niechaj pr t JI B (rys. 315) podnos 1
si pionowo w g6r pod wplywem si!y dzialajqcej na koniec B. Gdyby ruch pr ta byl
jednostajny, to na kazdy jego eIement dzialalaby tylko siJa ci zkosci, i jezeIi q oznacza 1
ci zar jednostki dlugosci pr ta, to sila wewnçtrzna w przekroju B bylaby r6wna q 1, l j. ci - A t
zarowi pr ta. Skoro teraz zalozymy ruch jednostajnie przyspieszony i oznaczymy przez a Rys.. 375
wieIkosé odpowiadaj cego przyspieszenia, to na kazdy eIement pr ta 0 dlugosci dx b zie
dzialaé opr6cz jego ci zaru q dx i sUa bezwladnosci, maj ca w danym przypadku ten sam kieru-
nek, co sHa ci :ikosci. DIa okresienia wieikosci sily bezwladnosci, dzialaj cej na element, trzeba
mas eIementu iL dx pomnozyé przez przyspieszenie a. Napi cie rozciqgaj- ce w przekroju B
g
b dzie r6wne:
q ( 1 + : ) 1.
1) W atno (! zada1i dynamiki w nauce 0 wytrzymalogci podkr lil prol. 1\. Som mer f el d w interesuNcym artyltule
w Zeitschr. d. Ver. d. Ing. z r. 1902, sir. 390.
294
Jezeliby w dolnym koiicu pr ta wisial nadto ci zar Q, to dIa sily wewn trznej w przekroju B
otrzyma]iby my wyrazenie:
(q 1 + Q) ( l + : )
. (319)
Przy wielkich wartosciach przy pieszenia a mog ci gnienia, wywolane silami bezwladnosci, prze-
wyzszaé wie]okrotnie napr zenia, wywolane obci zeniem statycznem. T okolicznosé zuzytkowal
O. Reynolds (9 24) przy konstrukcji swojej maszyny do badania znuzenia metali. Prçt pr6bny
wraz z przymocowanym do do]nego koiica stosunkowo niewielkim ciçzarem Q wykonywa w tej
maszynie pionowe ruchy okresowe 0 bardzo wie]kiej czçstosci (do 2000 wahnieti na minutç). War-
tosé powstaj cych przytem sH bezwladnosci dochodzi do szesédziesiçciokrotnej wielkosci ciç:iaru Q.
JezeH kierunek ruchu postçpowego prçta jest r6zny od kierunku jego osi, to sily bezwladnosci
wywoluj niety]ko napiçcia podlu:ine, lecz takze i moment y zginaj ce prçt. W praktyce zachodz q
przypadki, kiedy powstale w ten spos6b naprçzenia zginaj ce osi gaj znaczn wielkosé; nalezy
je przeto wzi é w rachubç. Jako przyklad przytoczymy obliczenie l cznika korb sprzçzonych osi
]okomotywy i trzonu korbowego maszyny parowej. Podczas ruchu lokomotywy trzon II B (rys. 376)
opr6cz ruchu wsp6Jnego z ]okomotyw (przyjçtego za jednostajny) wykonywa jeszcze ruch wzg]çdny,
przy kt6rym wszystkie punkty jego osi opisuj kola 0 promieniu r ze stalq pr dkosci k towq 0).
SHç bezwladnosci przypadajqc na element l cznika 0 dlugoscÏ dx
i masie dx przedstawia tutaj sHa odsrodkowa 0 wiel-
koscÏ dx. O)t r. Jej kierunek jest w kazdej chwili r6wnolegly
do kierunku obu korb C JI i D B. L cznik II B jest zatem nara-
zony na zgi cie tak, jakby nan dzialalo obci zenie rozlozone
rôwnomiemie 0 natçzeniu:
__ AI//, //////B
(/-- l C ' '\ 1 / \,
. . :
\. .: \. "
", '...,"'
......- -.....
Rya. 376
IL 0)2 r
g
w kierp.nku r6wno]eglym do korby. Najniekorzystniejszy przypadek obci zenia zajdzie widocznie,
gdy korby zajm polozenie pionowe, gdyz sHy bezwladnosci bçd q wtedy prostopadle do osi l -
cznika. Powstajqcy wskutek tego najwiçkszy moment zginajqcy zajdzie w srodku lqcznika, a jego
wielkosé przy stalym przekroju l cznika okresli wz6r:
M = 0)2r[t.
Dolqczywszy do tego moment ci zaru wlasnego, znajdziemy:
q [2 ( 0)2 r )
Mmax=a l+g
. (320)
Naprçzenia wskutek zgiçcia trzeba zlozyé z napr zeniami
Z wzoru (320) widaé, ze sily bezwladnosci przybieraj
szczeg6lnie wielk warto é przy wielkich prçdkosciach
ruchu i ze wielkosé M max jest proporcjonalna wzgIçdem
ciçzaru jednostki dlugosci lqcznika. DIa zmniejszenia
tego ciçzaru nadaje siç l cznikom w szybkobieznych
]okomotywach przekr6j poprzeczny l (dwuteowy), ko-
rzystnjejszy od prostokqtnego.
Przy obHczeniu trzonu korbowego (rys. 317) przyj-
mujq zwykle, ze poziome skladowe przesuniçé wszyst-
kich punkt6w osi trzonu s r6wne przesuniçciu punktu F,
t. j. rzutu kotica korby B. T 0 zalozenie jest tem bliz
sze prawdy, im wiçksz,! jest dlugosé trzonu w por6w-
wywolanemi sH podluznq w l czniku.
--,
----.
,
,
,
,
Ry.. 377
"295
naniu do cHugosd korby T. Mierzqc czas od chwili, w kt6rej korba zajmuje poJoienie poziome,
okreslimy polozenie punktu F r6wnaniem:
X=Tcoswt.
Co si tyczy przesuni é pionowych y, to one Sq dIa r6znych punkt6w trzonu roine. Dia jakiego-
kolwiek punktu D w odleglosci 5 od koiica trzonu C mamy:
. t £,
Y=Tsmw 'T'
Rzutami przyspieszenia punktu D b :
x" = - T 00 ' cos 00 t, y" = - T w ' sin w t. .
Rierunek przyspieszenia y" mo:ina przyjqé w przyblizeniu za prostopadly do osi frzonu korbo-
wego. Odpowiadajqce temu przyspieszeniu sily bezwrednoscÏ odniesione do jednostki dlugosd
frzonu, 1. j.
_!L y" =.!L Tw l sin w t 1.
g g . 1
wywolajq zgi cie trzonu jako obciq:ienie ci gle, zmieniajqce si od wartosci 0 wtkolÎcu C do war"
tosci : T 00 1 sin w t w koiicu B. Najniekorzystniejszy przypadek ofrzymamy dIa sin w t = 1. Maxi-
mum momentu zginaj cego w przypadku stalego przekroju zachodzi w odleglosci:
1
5= J13
od punktu Cima wartest:
M = !L Twill =0 128!L TW 2 11
mu 9Y3 g 2 ' g 2
. (321)
157. NI\PREZENII\ W WIRUJl\CYM PIERSCIENIU
Z kwestjq napr zen w szybko wirujqcym piersdeniu spotykamy si przy obliczeniu wienca
k6l zamachowych, b bna turbin parowych, kotwicy prqdnic i t. p.1). Jezeli grubosé pierscienia
w kierunku radjalnym jest mala w por6wnaniu z jego promieniem, to mozna przyjqé w przekroju
pierscienia r6wnomierny rozklad ciqgnien, powstajqcych w nim wskutek obrotu. Oznaczmy przez q
ci iar jednostki obwodu pierscienia, a przez w stal pr dkosé kqtowq obrotu. Jezeli r jest sredni q
wartosci q promienia, to sire bezwladnosci, przypadajqca na wydzielony element pierscienia rowna si :
.!L TW I = .!L .
g r
SHy bezwladnosci maj w danym przypadku kierunek radjalny i Sq rozlozone r6wnomiemie na
obwodzie pierscienia. Wywol:ane niemi ciqgnienie wyznaczymy zupelnie w ten sam spos6b, jak
w sciance rury naraionej na wewn trzne stale cisnienie ( 35). Napi cie obwodowe:
q v 2 qv 2
T=T--=-.
gril
DzieIqc wielkost tego napi cia przez pole przekroju poprzecznego pierscienia, znajdziemy szukane
ciqgnienie:
T yv 2
P=F=g.
. (322)
1) Werner. "Die mech. Beanspruchung rasch laulender Magnetriider-, r. 1904.
Lorenz. "Berechnung rotierender Trommeln-, Z. d. Ver. d, Ing.. r. 1910, str. 1397.
296
jdeli y oznacza ci zar wlasciwy materjalu pier cienia. W i el k 0 s t n a p r zen i a z ale z y w i c
tylko od ci zaru wlasciwego materjalu i pr dkosci obwodowej v. Dia zelaza
zlewnego daje otrzymany wz6r nast pujé!ce wartosci napr zeii przy rôznych pr dkosciach:
v= 25
p= 50
50
200
100
800
150
1800
200
3200
400 m/sek,
12800 kg/cm 2 .
Juz przy pr dkosciach 150 mlsek zblizajé! si napr zenia do graniey proporcjonalnosci. Rteby
mozna stosowaé wi ksze pr dkosci, trzeba pierscienie zasté!pié kré!zkami i sporzé!dzié je z wybo-
rowego materjalu 0 wielkiej wytrzymalosci, np. zè stali niklowej.
158. NRPREZENIR W WIRUJl\CYCH RRl\ZRRCH
Z obliczeniem szybko wiruj'lcych kr'!tk6w mamy do czynienia przy projektowaniu turbin parowych, p-rzy wyzna-
czeniu niebezpiecznej prçdkogci dIa kamieni szlifierskich 1) i t. d. W przypadku stalej i malej grubogci kr'l:tka motna za-
gadnienie napr ieri, wywolanych silami bezwladnogci, rozwiqzaé z wielk,! dokladnogciq dro elementarn'l. T ok rozwi'lzania
tego zadania zbliia siç wielce do stosowanego przy wywodzie wzor6w Lamè'go. Wydzielamy z kr'lika element abcd
(rys. 332) i z warunk6w jego r6wnowagi znajdujemy zwi'lzek miçdzy naprçieniami Px i Px. W tym cehr rzutujemy wszystkie
sily zewn trzne elementu na kierunek promienia ob. Opr6cz sil "powierzchniowych" mamy tutaj i "masowe" sily bez-
wladnotci: y 1
P pdcpdp,
majélce kierunek promienia. ë.uniast r6wnania (c), otrzymanego przy traktowaniu zadania Lamè'go, bçdziemy mieli r6wnanÎe:
£j'Pz w1p'y
Px + p 8j)"" - Px + -----g- = 0
Wyrazenie (d) z 9 (135) dia px i px w zaleinogci od przesuni cia radjalnego U zachowuje swq wainog , a wiçc:
. (a)
E ( u dU )
px = 1 _ o p- + 0 dP '
Wstawiwszy te warto w r6wnanie (a) otrzymamy:
cPu + du _ +
dp' p dp pl
E ( du U )
px= 1-0' dp TOp- .
w'py(1-o')
Eg =0.
Wprowadzaj,!c dIa skrdcenia oznaczenie:
w'y(l-o')
Eg
motemy otrzymane powyzej r6wnanie przedstawi w postaci:
.!!..- [ d(up) 1 + I:I = 0
dp p dp p,
R
. (b)
a s d po zcalkowaniu znajdujemy:
Rpa Cf p C,
u=--+--+-
8 2 p
Stale dowolne C; i C, trzeba wyznaczyt z warunk6w krat'icowych. Tutaj rozpatrzymy dwa szczeg61ne przypadki, a miano-
wicie: kr'lzek z otworem w grodku i kr'ltek pelny.
U kr'l:tka z otworem muszq napr :tenia radjalne znikat dia p = a i p = b, je-ieli a oznacza promie6 otworu, a b ze-
wnçtrzny promieri kr'lika. Wstawiwszy znalezioDil wartogt u w wyratenie dia napr tenia pz, otrzymamy:
E [ 3 + 0 1 + 0 4 ]
px= --l:I p 2+-C 1 -(1-0)- .
1- 0 8 2 p'
Warunki kralicowe daj,! dla wyznaczenia c" i 4 r6wnania:
. (c)
3+0 1+0 C,
--R a l + - r. - ( 1- 0 ) _- 0
8 2 "8 a'- ,
3+0 1+0
- - Rb' + - c. - ( 1- 0 ) - - 0
8 2' b'- ,
1) Ob. Stodola. ,.Die Dampfturbinen", wyd. 4-te z r. 19]0, str. 248;
GrübIer, Zeit. d. Ver. d.Ing. z r. 1897, str.860 i z r. 1905, str. 535;
H. Holz e r, ,.Berechn. d. Scheibenrader", Zeit. f. d. gesammle T urbinenwesen, r. 1913.
297
z kt6rych znajdujemy:
C - 3-.-a ( 2 b i ll
1 - 4(1 -,-- a) 8 -.- ) ,
C - 3-" ' b i ll
· - 8 (1- 0) a .
Dia nepr !e1i Px i pz otrzymamy przeto wyratenia:
3+0 liE ( 1+3a 8 I b' )
px = - . - - - p' -r a'+b t ;--
l-a' 8 3+a p2 '
3;- a liE ( al b' )
pz= -.- -p'-aJ-rb il __
1 - a' 8 p'
Wprowadzaj4c napowr6t warto II (wz. b) i nowe oznaczenia:
l
l
. (323)
a:b=cx,
moiemy wzory dIa naprçieli przedstawit w prostszej postaci:
) DI 3 + a ( ,] ,3a et' - ) l
px = - . - 1 -'- a - - 'f"-'- -
g 8 ' 3 + " cp' , '
pz = "1 ;2 . 31 a ( 1 + al - I - :: ) l
T utaj oznacza D prçdko é ID b Zewn trznego brzegu krl!zka. Napr ienia radjalne staji} siç r6wne zero dIa tp = a i q> = l,
czyli na wewnçtrznym i zewnçtrznym brzegu kri}zka DIa pogrednich warto ci cP Sél naprçzenia pz dodatnie ï. jak latwo
sprawdzit, osiqgajil maximum dIa:
'f'=va= ,
b
p:b ='f',
. (323)'
kiedy
p=b =Jfab.
Wstawiwszy tç warto p we wz. (323) znajdziemy:
y,,' 3+a
(pz)max=- -(I-a)'
g 8
. (324)
Co siç tyczy napr zeli Px. 10 one Sél r6wniet wszçdzie dodatnie ï. co latwo zauwatyt, os¥ii1 najwiçk Wllrt t przy
najmniejszej warto ci cp, t. j. na brzegu otworu, gdzie cp = a, a mill1lowicie:
"I 3+a ( 1-,, )
(Px)max=g - 1 + 3+a et !
Por6wnywnj'lc (324) i (325) widzimy, :te 0 wytrzymalo ci kr'lzka decyduji} napr ienia (px)....x; krë1zek nalezy zatem obli-
eut na podstawie wzoru (325).
Zbadajmy, jaki wplyw ma wieIko é otworu na warto é najwiçkszych ciqgnieri. Przy malym otworze jest a male
w por6wnll1liu do b i wielkogé a.' mozna pominqé. Wtedy:
( ) _YD'3+a
Pxuax-g '
. (325)
. (325)'
Drugi skrajny przypadek otrzymamy, gdy a zbIiZa siç co do wieIkogci do b i krilzek zamienia si w pimcieli, kl6rego
grubo é w kierunku promienia jest bardzo mala. Wtedy mo:tna przyj'lé a = 1, a wz6r (325) daje:
YD '
(px)uax=g'
1. zn. dokladnie tç sami! warto é, jaki! znale£ligmy pierwej dia cienkiego piericienia ( 157). Z otrzymanych wynikcSw
widaé, ie w przypadku krilika z otworem w grodku jest miejscem niebezpiecznem brzeg otworu.
l\zeby uniknqé wielkich napr zel1 materjalu, stosuj'l niekiedy konstrukcje, kt6re umoiliwiaji! polqczenie osi z -
kiem bez cobienia otworu w grodlÏ:u. Rozpatrzmy tedy jak siç rozkladajq napr zenia w przypadku kr'lzka pemego. DIa
wyzneczenia stalych calkowania CI i C, bçdziemy teraz mieli nastçpuji!ce warunki: 1) Przesuni e radjalne Il musi
w Irodku kri!ika r6wnaé siç zeru i 2) naprçienie pz staje siç zerem na obwodzie krqzka. fiby uczynié zado pierwszemu
warunkowi, trzeba w wyrazeniu (c) przyj'lé c; = 0, a wtedy dia wyznaczenia c; daje drugi warunek r-6wnanie:
_ 3 + a II ... +- 1 + a r = 0, k r = 3 + alib'
8 v-, 2 "'1 z t6rego: "'1 ) + a 4 .
Dia naprpeli px i pa otrzymamy teraz wyraienia:
_ YD'3+a ( 1_ 1+3a pl ) = yDi . 3+C! ( I_ pl )
PX-g 8 3+ab " pz g 8 bI'
Obadwa naprçtenia Sél dodatnia i wzrastaj" gdy p male je, 1. j. w miarç zbIiianÎa siç do üodka kripka. Dia p = 0 b dzie:
yv ' 3 + a
(Px)mu= (px)max=g-S . . (326)
Znalezione wartolci naprçze11 Sél dwa razy mniejsza od tych, jakie wypadly dia krlpka z barclzo melym otworem w ttodku
298
159. RRI\lER 0 R<JWNOMlERNEJ WYTRZYMRLOSCI
Znale£i my, ze w przypadku kr'lika 0 stalej grubogci Si! naprçzenia proporcjonalne wZI!I dem kwadratu prçdkogci
obwodowej D kr'lzka. DIa materjalu 0 da ej wytrzymalogci mozna zawsze ustalié granicznl! wartogé D, poza kt6rq muszi!
najwl ksze napr zenia przekroczyé normç dopuszczalnl! dia materjalu. fiieby moina stosowaé bezpiecznie wi ksze prçd-
k ci wypada budowaé krqiki 0 zmiennej grubo ci. Przy obliczeniu naprçien w takim kr'liku wyjdziemy, jak poprzednio,
z zalozenia, te napr tenia nie zmieniajl! siç na grubo ci krqzka T 0 przyjçcie, jak wykazaly dokladniejsze badania 1),
zbliza si bardzo do rzeczywbto ci u krl!ik6w niezbyt grubych. Naprzyklad dia kr'lzka 0 postaci bardzo splaszczonej
elipsoidy obrotowej, przy najwiçkszej grubogci r6wnej grednicy zewn trznej, zboczenia od r6wnomiernego rozkladu na-
prçzen na grubo ci kr'lzka nie przekraczajq 5%. DIa ustav.ienia z..le:tno ci miçdzy naprçzeniami Px i pz zwr6cimy siç do
warunku r6wnowagi elementu abcd (rys. 332), wydzielonego z kr'lika dwoma sp610siowemi powierzchniami walcowemi.
Jeteli y oznacza zmiennq grubogé krqzka, to napi cia dzialaj'lce na boczne ciany elementu ab i cd bçdq r6wne:
px . y . d p.
Napiçcia na gcïanach ad i b c ekreg)'l wyrazenia:
pz.y.p.drp
Dolqczaj,\c do tych napi é sily bezwladn ci:
Pzypdrp + d(Pzypdcp).
y. p dcp dp. ywSp
g
i rzutuj c wszystkie sily na kierunek promienia, otrzymujemy r6wnanie r6woowagi:
ywSp
d(pzypdcp) + ycpdrpdp --pxydpdcp = O.
g
albo:
d y p Syw 2 .
dp (p",yp)-p",y+ g - 0 (a)
Stosunek px do pz zmienia SIÇ zatem w zaleZn ci od prawa, wedlug kt6re((0 bçdzie siç zmienia6 grubogé kr'lzka y. Naj-
korzystniejszym okazuje siç widocznie ten przypadek. w kt6rym napr zenia px i pz si! sobie r6wne i maj'l na calym kr<!tku
wart f stalq, r6wllé! napr zeniu dopuszczalnemu. Przyjmuj'lc tedy w r6w. (a):
p", =p", =R,
otrzyme:my:
o dy + yp2y w S =0
dp R g ,
albo:
cly y w i
y=- Rg pdp,
a sb d:
yw 2 p S
- 2Rg
. (327)
y = Yo e
Tuta; oznacza Yo grubogé krqzka w grodku. Wyznaczymy j'l w zaleinogci od warunk6w na obwodzie kr'ltka Rwestja
odksztalceti kr'lzka 0 r6wnomiernej wytrzymalogci rozwiqzuje siç w bardzo prost y spos6b. R6wnym naprçteniom px i pz bçdq
odpowiada6 r6wne wydlu:tenia wzgl dne:
"'<"'""", , ' '- \..,, '-\ '..'''''\
)( "-'-'( '\ '.....i!f' !Jo, ' ,,
" "' ''''''- ' "- "" , '1i '"
-';:"" T" ,,\,, -. ...-...-......... -.-.....
\ . . '" , , , , .... ,
,, , ,\1::: .t- ,* , ...., ,
'---- ---0
-\1:1: l
C 1-_ - - - -- - 0.
.
(1 - 0) R
ex=ez= E
Przesuniçcie jakiei!okolwiek puktu w kierunku promienia b dzie r6wne:
u= (I- E O)R p' . (328)
Przejdimy teraz do waruok6w na obwodzie kr'lika. W praktyce zaopatruje si krqzek turbiny szerszym wiencem (rys. 378),
do kt6rego Si! przymocowane lopalki turbiny. Przekroju poprzecznego tego wie6ca nie moina obra6 dowolnie dia kr'lika
o r6wnomiernej wylrzymalogcij jego rozmiary znajdziemy z nast pui'lcego rozwazania. Przy obrocie kr'ltka dzialaj'l
na wieniec opr6cz sil bezwladno ci jeszcze i na-
pr\>:tenia R w miejscu geometrycznego pol'lczenia
krqzka z wie6cem. Rozmiary wie6ca nalezy dobraé
a tak, aby zwi kslenie jego wewnçtrznego promie-
-1 nia b bylo dokladnie r6wne rozszerzeniu kr<!tka
?J> 0 r6wnomiernej wytrzymalogci i promieniu zewn\>:-
! trznym b. Sily, przypadajl!ce na jednostk dJugogci
wie6ca, okrdla formula:
:
kt
aY2Y II b R b
q=gW 1- Y1 bl '
Rys. 378
1) Ob. fi. Stodola, "Die Dampfturbinen", r. 19]0, str. 617, tudziei artykul tegot autora w Zeitschr. d. Ver.
d. Ing. z r. 1907, sir. 1269.
299
qb l 1
e= aY2 E '
w kt6rej oznacza odleglogé rodka poprzecznego przekroju 1I1ietica od rodka krqika. Wydfuienie wzgl dDe wietica
r6wna si :
a zwiçkszenIe promienia wewn trznego:
eb= qbl ..É.
aY1 E
Por6wnywuj'lc to z wydluteniem promienia krqika, obliczonem wedlug wzoru (328), otrzymamy potrzebny zwÎllzek miçdzy
rozmiarami wie6ca:
1- Rb= qb l _ !.
E aJ, E
o wielko ciach Yi i Y2 decydujq ozwykle wymogi konstrokc} Ine; row. /329) okregla przeto t grubo t wietica a,
potrzeba, aby w miej..cu (geometrycznego) polqczenia krqzka z wie6cem zathodzily naprçienia r6wne R.
Dalsze szczeg61y obliczenia moi na znaleié w dzielach specjalnych, pogwi conych turbinom parowym 1).
(329)
jakiej
. 160. N1\PRElENI1\ W WIENCU ROL1\ Z1\MRCHOWEGO
Przy obliczeniu kola zamachowego ze wzgl du na wytrzymalo é poprzestajq zwykle na wyznaczeniu naprçie6
w wieticu uwatanym za piergcid obracajqcy siç z dan'l prçdko cii! kqtowq w. fitoIi sprycby przeszkadzaÏé1c swobodnemu
rozszerzeniu si wie6ca, zmniejszaj'l wprawdzie w nim silç rozciqRajë;!cq, lecz jednoczegnie wywoluiél dodatkowe napr ienia
zginaj'lce. Obliczymy te napr iellia przy zaloteniu stalej pr dkogci kqtowej kola. W tym przypadku s'l sprychy naraione
yl'lcznie na rozciqganie, a odpowiadajqcq sil rozciqgajqc'l X mOZlla znaleié przy pomocy zasady najmniejszej pracy.
Przy ustawieniu wyraienia dia energji potencjalnej, wystarcza widocznie
wziqé pod uwag cz t kola, wydzielon'l dwoma przekrojami poludni.
kowemi, polowi'lcemi k<!ty miçdzy przyleglfmi sprychami (rys. 379).
Niech bçdzie 20: wielko ci'l kqta miçdzy dwiema po sobie nast pujq-
cemi sprychami. Dzialanie reszty wietica na cz gé rozpalrywanq mo:tna
zastqpié sil'l pod!utnq No i par'l sil 0 momencie Mo. Z warunk6w sy-
metrji wnosimy, ie sila poprzeczna w rozpatrywanych przekrojach
musi byé r6wna zeru. Jeteli q oznacza ciçtar jednostki dIugogci wietica,
a r jego pro mien. to z warunku rzut6w wszystlQch sil zewnçtrznych na
kierunek sprychy otrzymamy:
2Nosina:+X=2Ca: qrdcp w 2 rcos(0:-cp),
}o g
No _ qr w 2 X
o - ----g- - 2 sin a. .
a stqd:
t ) .
Rya. 379
DIa przedstawienia Mo jako lunkcji X skorzystamv z tej okolicznogci, te przekroje ko6cowe wydzielonej cz ci wietica
nie obracajq siç, ie zatem (wz. 272'):
Mcp rdcp = 0 . (a)
Tutaj oznaczyli my przez M moment zginaj'lcy w dowoInym przekroju wienca, zamykai'lcym z przekrojem poczqtkowym
cp
kqt cp. T wielko t okrdli wyratenie:
q w 2 r . q1 X r 1 - cos cp
M =Mo-Nor(l-coscp),-2rsm 2 - 2 =Mo-r- 2 . .
q1 g sm a:
Wstawiwszy je w r6w. (a) i wykonawszy calkowanie, znajdziemy:
Mo=- Xr ( _ ) .
2 SIDa. a:
1) Liczne dane co do postaci r6wnomiernej wytrzymalogci wiruj'lcych kr'l:l:k6w zawiera praca .H. Bas ch'a
i 1\. Lean'a: '"Über rotierende Scheiben gIeichen Fliehkraltwiederstandes". Sitzungsber. d. 1\kad. d. Wiss. Wien. 1907.
Rachunkow'l metodç obliczenia kréltk6w 0 zmiennej grub ci podal autor w pracy: "Woprosy procznosti w paro-
wych turbinach". Wiestn. Ob-a Technologow z r. 19]2.
Zastosowaniem metody W. Ritz'a do obliczenia krqzk6w turbinowych zajmuje si\! interesujl!ca praca PoschPa
w Zeitschr. 1. d. gesamte Turbinenwesen z r. 1913.
Tablice pomocnicze do obliczenia krqzk6w znajdujq si w ksiqice Donat'a: "Die Berechnung rotierender Scheiben
u. Ringe._". R. 1912.
300
Majélc wyratenia dia Mo i No, znajdujemy wielkogci sily podluznej i poprzecznej, tudziez wielk t momentu zginaj'lcego
'II' przekroju mn:
q 00 1 r . <p q X cos <p
N =N cos<p+-2rism2_=-r2oo2_-
<p 0 g 2 g 2 sIDa'
. qoo1r . <p <p X sin<p
Q",=Nosm<p--2rsm- 2 cos- 2 =-- 2 --'-'
T g sm a
M =_ Xr ( _2- ) + Xr l--:cos'P = ( 2-_ c s'P ) .
<p 2 sma a 2 sm a 2 a SI11 a
Energj, potencjaln wydzielonej cz ci wietica przedstawimy na podstawie p!,zybliionej lormuly (271) w postaci:
a M rd'P a N rd<P
V t =2 +2 EF .
o 2EI 0 2
Tutaj oznacza odpowiednio 1 i F momel1t bezwladnogci i pole przekroju poprzecznego wie6ca. Obliczymy teraz energj
potencjaln'l sprychy. naratonej na rozciqganie (rys..38û). Dlugogé sprychy przyjmiemy r6wnél dlugogci promienia kola
zamachowego, a pole przekroju poprzecznego (przyj tego za staly) oznaczymy przez Fi; wtedy
napi¥cie N w przekroju mn, wzi¥tym w odleglogci p od grodka kola, b dzie siç skladat z sily X
okregIajqcej dzialanie wie1'ica na sprych i sil bezwladnogci dzialaj'lcych na zewn trznél cz é sprychy.
Otrzymamy tedy:
L
J
N=X + F 1 y (r-p) oo l r + p = X + Ft yoo 2 (r 2 _ p l).
g 2 2g
Energj, potencj sprychy przedstawi zatem wyratenie:
r N2 dp
V I = ZEF. '
o 1
Pomijajélc odksztalcenie innych cz¥ ci kola zamachowego, otrzymamy dia calkowitej energji odksztlll-
cenia wyrazenie:
mf
n
r
v = VI -,- VI'
Do wyznaczenia niewiadomej X posluty, wedlug zasady najmniejszej pracy, r6wnanie:
R:y.. 380
ôV
ôX =O.
Wstawiwszy wartogt V, znajdziemy po szeregu przeksztalce1'i:
q 00 2 ri
x=-
g
1
Fr 2 F
T Il (a) + It (a) + Ft
. (330)
jeieli dia skr6cenia wprowadzimy nast pujqce oznaczenia:
1 ( sin2a a )
'1(a)= 2sin 2 a +2 '
1 ( sin2a a ) 1
'2(a)= 2sin l a -'-2 - 2a '
Uzycie wzoru (330) ulatwia umieszczona ponizej tablica wartogcï Ida) i 12 (a), odpowiadajqcych r6inej Iiczbie sprych n.
n= 4 6 8 10 12
Il (a) = 0,643 0,957 1,274 1,592 1,910
Ma} = 0,00608 0,00169 0,00076 0,000395 0,000125
Obliczywszy napiçcie sprychy X. znajdziemy bez trudno ci wielkogé momentu zginaj'lcego, sily podluinej i poprzecznej
w dowoInym przekroju wie1'ica i mozemy obliczyé odpowiadllj'lce wartogci naprçie6.
W przypadku zmiennej pr dkogci kqtowej kola zamachowego przybywaj'l obok radjalnych sil bezwladnogci jeszcze
sily bezwladnœci styczne, odpowiadaj'lce przygpieszeniu kéltowemu. Te sily wywolujél zgiçcie sprych, przyczem naprçtenia
zginajl!ce b dlj, tem wi ksze, im naglejsze sq zmiany prçdkogci kqtowej kola. Jeteli ID oznacza przy pieszenie kqtowe kola
zamachowego, to przygpieszeniem stycznem punkt6w wie1'ica bçdzie r oo. Odpowiadaj'lce styczne sily bezwladnogci daj!i
wzglçdem osi kola moment:
M=.2.oori,
g
301
pr yc em Q ozna za ciçtar kola. z ac wego. T en moment przenosi si na will za pogrednictwem sprych; dia momentu
zgmaJ'iceg o kafde] sprychy w mle]SCU Je) osadzenia na piagcie mozna przeto przyjqé wartdé:
M..= M =JL w1 2
n ng
Nietrudno tei z al :t rawo. z ienno ci .momentu zginajqcego wzdlu:t sprychy. DIa uproszczenia zadania pominiemy MO-
sun ow ale zgl cle .wle ca ) 1 wplyw sll bezwladnogci dzialaj cych na masç sprychy. W6wczas kazda sprycha przed-
stawla. slç.)a o belka utwlerdzona koI'icem .Ii (rys. 381) i obci,!zona na drugim koI'icu silq P, oraz parq sil M. Zwi zek
zag mlçdz! Sllq a par'l okre la warunek, ze styczna do zgiçtej osi sprychy w jej koI'icu B, a zarazem nortnalna do wie6ca
przechodzl przez punkt.li, odpowiadajqcy rodkowi kola. Ugi cie koI'ica sprychy pod wplywem P i M b dzie r6wne:
P r3 M ri
f= 3El. - 2El 1 .
Kilt nachylenia stycznej w punkcie B:
Pr. Mr
tp= 2El. - El 1 .
Ten:k<1t okre a nadto r6wnanie:
1 Pr. Mr
tp=r= 3El 1 - 2EI. .
Z por6wnania obu wyraze1i dIa tp wynika:
M= Pr .
3
Diagram moment6w zginaj'lcych dIa sprychy przedstawia fig. (b). Otrzymane wzory rozwi zuiq kwesti wytrzymalo
w przypadku kola zamachowego jednolitego. Je:teli kolo jest zlozone z cz gci, to trzeba nadtc zbadaé wytrzymal w miej.
scach poll!czenia. Te miejsca okal:uj'l si zwykle najbardziej niebezpiecznemi, poniewaz konstrukcje polqczefi st050wane
w praktyce nie wykluczajil motliwo ci wzgl dnych przesuni t pol'lc2:onych cz ci 1).
. (331)
-!--
r
:t 'f
' A --O:: -
,., T\--- 1
<J . - J
£>." BOf<-
I/S.tl. p! ;/
-,on
-'-""-
.-.1
Rys. 381
ROZDZI1\L XIX
o DRG1\NIl\CH UKLl\D6w SPRJ;;zYSTYCH
161. SWOBODNE DRG1\NI1\ URL1\DU 0 JEDNYM STOPNIU SWOBODY
R westja drgan uklad6w spr zystych ma nietylko znaczenie teoretyczne, lecz takZe wieIk
donioslosé praktyczn S). Z zadaniami tego rodzaju spotykamy si w rôznych dziedzinach konstrukcji
maszyn: np. przy obliczeniu wa16w maszyn okr towych, walôw turbin parowych i belek podtrzy-
muj cych szybkobiezne, a niezupelnie zr6wnowazone maszyny. Z takiemi zadaniami, tylko w za-
wilszej postaci ma do czynienia projektuj cy inzynier przy badaniu drgaii okr t6w, lub wyzna-
czeniu napr zen dynamicznych w mostach, drgaj cych pod wplywem ruchomych obci zen. W pew-
nych warunkach mog powstajqce drgania byé bardzo znaczne, wobec czego nalezy wywolane
niemi napr zenia wzi é w rachub . T e napr zenia zmieniaj nietylko - swoj wielkosé, ale i znak.
Przy szybkich drganiach powstaje w kr6tkim przeciqgu czasu wieIka liczba zmian znaku napr -
zen, co si odbija szczegôlnie szkodliwie na wytrzymaJ:osci materjaJ:u i konstrukcji. Z wyliczonych
1) Bardziej szczeg610we badanie tej kwestji znale:té motna w pracy H. Bauer'a: ..Die Festigkeitsberechnung der
Schwungriider", Dingl. P. J. z r. 1908, sir. 353.
S} Opis do wiadczalnych bada6 odksztalce1i kola zamachowego znajduje siç w artykule S. H. Barraclough'a:
..Rn Optical Method 01 determining the delormations of a Rotating FIy-Wheel", Froc. civ. Eng., v. CL., sir. 398.
B) Najbardziej wyczerpuÎ'lco traktuje teorj drgafi uklad6w spr¥zystych dz"elo Iorda Rayleigh: .ThROry 01 sound".
Jakkolwiek ta ksiq:tka jest pogwi cona zagadnieniom akustyki, to jednak moina w Diej znaIeté caly szereg rozwÏi1zaI'i
o wielkiej praktycznej donioslo i. Przys pniejszy wyklad teorji drga1i zawiera kSÎ4tka Lamb'a: The Dynamical theory
01 sound.
Ob, takié; B. Hop ki n son: ..Vibrations 01 systems having one degree 01 Freedoms" j
1\. Boutaric: ..Oscilations et Vibrations, ...., Paris, 1912.
1\. N. Krylow: ..0 niekotorych dilferencialnych urawnieniach..... 1913.
W tej ostatniej ksiélzce, napisanej dia inzynier6w, interesuj'lcych si mechanik'l, wylotono metody calkowania r6wnmi
r6tniczkowych, majqcych znaczenie techniczne. Osobliwie szczeg61owo rozpatrzono zadania c!rgafi prçt6w.
Ob. takie ..Kurs tieorji uprugosti.., cz. Il, str. 171.
302
powyzej przykladôw widaé, ze inzynier stoi niekiedy przed kwestjq drgaii ukladôw bardzo zlozo-
nych, dia kt6rych dokladne i wyczerpujqce rozwi zanie zadania przedstawia wielkie trudnosci.
W takich przypadkach ograniczamy si najcz sciej do rozwi zania przybIizonego i sprowadzamy
zagadnienie do badania uldadu 0 jednym stopniu swobody. 1\nalogiczn metod q poslugiwaIismy
si juz w statycznych zadaniach zgi cia pr t6w (rozdz. XV).
Drgania sprçzyste ukladu mog powstaé wsrôd rozmaitych okolicznosci; jezeli one zachodz
bez wsp6ludzialu sil zewn trznych, albo pod wplywem sil stalych, to nazywamy je swobodnemi
lub wlasnemi drganiami ukladu. Podstawowe wlasnosci drgaii przedstawimy na
najprostszym przykladzie pionowych drgaii (wahnieii) ciçzaru Q, zawieszonego na sprç-
zystym prçcie fi 0 (rys. 382), przyczem pominiemy mas , a wi c i ciçzar wlasny prçta.
Przy statycznem dzialaniu ciçzaru wydluzy siç prçt 0 wielkosé:
QI
1. = ---
EF'
. Niech b dzie 0 polozeniem srodka masy ciçzaru Q, cdpowiadajqcem stanowi rôwnowagi.
1\zeby zmusié ciçzar do drgaii w kierunku pionowym, postqpimy tak: Zapomoc odpo-
wiedniej sily pionowej wywolamy dodatkowe wydluzenie prçta 0 dowoinej wieikosci a
i pozostawimy nastçpnie ci zar samemu sobie. Wtedy ciçzar zacznie wykonywaé ruch
okresowy okolo polozenia r6wnowagi, odchylaj c siç od punktu 0 do g6ry i na dôt
o wielkosé â" DIa ustawienia rôwnania r6zniczkowego tego ruchu wezmiemy pod uwag
Ry..382 wszystkie sily dziatajqce na ci zar. W chwili, kiedy srodek ci zaru znajduje si w 0,
sita ciçzkosci Q rôwnowazy siç z odpowiadaj cem napi cîem pr ta fi O. Wezmy teraz
dowolne inne polozenie ci zaru podczas drgania i oznaczmy przez x spôlrzçdn srodka masy,
odpowiadaj c temu polozeniu (dodatnie x mierzymy od punktu 0 w dôl). Wôwczas, oprocz sHy
ciçzkosci Q, skierowanej piollowo w dôt, bçd na ciçzar dzialaé: napiçcie w prçcie r6wne
Q + EF
1
i skierowana W g6rç sUa bezwladnosci
Q dix
- g dl 2 .
Rôwnanie ruchu bçdzie przeto nastçpuj ce:
Q _ (Q + xEF ) Q dix
\ 1 g dl'/. = 0,
dix
dt 2 + kt x = 0,
. (a)
czyli
przyczem wieikosé pomocnicz k, zwan c z ç s t 0 s c i d r g a n, okresla wz6r:
k=V Etl =V f
. (332)
Ogôlna calka otrzymanego r6wnania rôzniczkowego ma postaé:
x = /1 sin kt + B cos kl . (b)
Stale dowoine fi i B naIezy wyznaczyé tak, aby czynily zadosé warunkom pocz tkowym ruchu.
W chwili pocz tkowej odchylilismy ciçzar z polozenia rôwnowagi 0 dlugosé a i pozostawilismy
go samemu sobie, nie udzieliwszy mu pr dkosci poczqtkowej, a zatem
dia t =,0, x = dIX' = O.
St d r6wnania do wyznaczenia fi i B:
[II sin kt + B cos kth=o = a, [Ak cos kl + Bk sin kt] t=O = o.
Drugie z tych r6wnaii daje II=O, a wtedy wyplywa z pierwszego B=a. Wstawiwszy te-;wartosci
w ogôln calkç tb), otrzymamy:
x = â cos kl, x' = - ak sin kt . (c)
303
Przy zmianie cos kt w granicach od + 1 do - 1, b dzie x zmieniat si w granicach od + a
do - a. Z wyrazenia (c) widat, ze warto t K i x' pozoslaje niezmienion , skoro do t dodamy
wielko t :
T= 2:n:
k
. (333)
W przedziale czasu T wykonywa ci zar calkowite drgnienie (wahnienie), wracaj c zarazem
w pocz tkowe polozenie i przybierajilc poczqtkowq prfdko é. Wielkost T nazywa si okresem
(perjodem) wlasnych drgan uldadu. Okres T nie zaIezy od warunkôw poczqtkowych ruchu i jest
zupelnie okre Iony wlasno ciami spr zystemi i rozmiarami pr ta, oraz wielko ciq ci zaru Q. W sta-
wiwszy zamiast k warto é z (332), otrzymamy dIa T wz6r:
1 1.- . 1 QI
T=2:1tVg=21t E Fg '
. (334)
identyczny z wynikiem, otrzymanym w mechanice teoretycznej dIa okresu wahadla matematy-
cznego. Mozemy wi c wypowiedzieé twierdzenie: Cz as calkowitego wahn i en i a ci zaru Q,
zawieszonego na pr cie spr zystym, pozbawionym mas y,
jest rôwny ok-resowi wahadla matematycznego 0 dlugo ci
rôwnej bezwzgl dnemu wydJuzeniu tego pr ta przy staty-
cznem dzialaniu ci zaru Q.
DIa uproszczenia rozwazan wzi li my pod uwag ci zar, zawieszony
na spr zystym pr cie, ale taki sam ruch okresowy mozna otrzymaé,
jezeli zawiesimy ci zar na spr zynie rubowej lub polozymy go na spr -
zystej belce (rys. 383, a i b), 0 ile oczywi cie mozna pominqé mas
spr zyny lub belki. W tych wszystkich przypadkach jest rzecz istotnq
tylko laId, ze obnizeniu ci zaru towarzyszy pojawienie si sH spr zysto ci, przeszkadzaj cych temu
obnizeniu, a wielko é tych si! jest proporcjonalna wzgI dem wielko ci przesuni cia. Przy rozci q -
ganiu pr ta sp6lczynnik proporcjonalno ci, przez kt6ry trzeba pomnoZyé przesuni cie, aby otrzy-
maé si1 , rôwnal si F . Niétrudno znaIezé odpowiadaj ce sp6lczynniki dia spr i:yny i belki fI B.
WydIuzenie spr zyny pod dzialaniem sily Q okre Ia wedlug 9 47 r6wnanie:
h _ Q R3 2 1C n
- G Ip ,
J : t Q I B
:?- i' Y -_
111 /lg.6.
!lE£)
Rys. 383
za ugi cie belki obciëV;onej w rodku sil Q:
QI!
f = 48 Er
1\.zeby od drgan ci i:aru zawieszonego na pr cie przej é do uklad6w, przedstawionych na lig. (a)
. t EF d '1 d . dn .
i (b), wystarczy zamlas T po stawlC 0 pOWle 10 :
Gl p
2:n:nRB
. 48 El
1 -p--'
a okresy drgan dIa spr zyny rubowej i dia obciê}Zonej belki A B b d takie same, jak dia waha-
dIa matematycznego 0 .dlugo ci r6wnej wydluzeniu spr zyny h, wzgI dnie ugi ciu belki f.
9. 162. PRZYBLIZONE OBLICZENIE ORRESU PODSTfl.WOWYCH (GLOWNYCH) DRG1\N:
URL1\DOW ZLOZONYCH
Przy rozwiqzaniu zada6 poprzedniego paragrafu pominllli my masç pr ta i masll sprçzyny wobec masy zawieszo-
nego ci taru Q i w ten spos6b otrzymaljgmy uklad 0 jednym stopniu swobody. Zadanie sprowadzalo si, do calkOWiUlii7
zwyklego r6wnania r6zniczkowego linjowego ze stalemi sp6lczynnikami. Bez tych nproszcze6 suje siç kWe5tja 0 wiele za-
304
wÎlSzI1; trzeba rozwi,!zat r6wnanie r6tniczkowe cz,!stkowe i zbadat rozmaite typy motIiwych drga1i ukladu. W zagadnie-
niach technicznych gra najistotniejszq rol ten typ drgati, kt6remu odpowiada okres najdluzszy. Sq to t. zw. po d s ta w 0 w e
drgania ukladu. Do znalezienia ich okresu uzywamy metody przybIitonej. Na podstawie danych do wiadczaillych przyj-
mujemy typ drga t. j. postat tych odchyle6, kt6re uklad otrzymuje przy drganiat.h i zamieniamy tym sposobem uklad
datony w uklad 0 jednym stopniu swobody 1). Dia obj nienia tokt.1 rachunku rozpatrzymy kilka zada6.
Jako pierwszy przyklad we£miemy przypadek ci taru zawie zonego na pr cie. Przyjmijmy na razie, ze pr t jest po-
zbawiony masy. Riedy podczas drgania ci tar Q osi'lga jedno ze swoich polote1'i skrajnych, to jego prlldko é, a zatem
i energja kinetyczna uklèldu staje si zerem. Potencjalna energja osi'lga w tejte chwili najwi ksz'l wartogé. poniewllZ jej
odpowiadai'l najwillksze odksztalcenia spr zystego pr ta. Gdy cilltar przechodzi przez grednie polozenie (polozenic rdwno-
w gi), to jego pr dkogf i energja kinetyczna maj najwi ksz'l warh gé, energja potenCjalna zag osi ga swoje minimum.
W ten spos6b podczas drga6 zmienia si wci z wielkogt energji kinetycznej i potencjaInej, wszeJako ic.h suma, t. j. calko-
wita energja ukladu, pozostaje stal'l, poniewat dot,!d pomijaljgmy w naszych wy\\odach opory, jakie napotyka ci zar Q
podczas ruchu i nie uwzgl dniali my rozpraszania energji. Energja potencjalna ukladu b dzie sum z energji rozdqgania
prtta i energji ci tk ci zawieszonego ciçzaru, czyli r6wna si :
(x + ,,)1- Qx,
. (II.)
jeteli x odmierzamy od polotenia r6wnowagi rodka ciçzaru Q. Energja kinetyczna ukladu b dzie r6wna energji kinety-
cz:nej samego cilltaru, t. j.
x'S
2g ,
gdyz przyj my, te pr t jest pozbawiony masy. Otrzymamy tedy rdwnanie:
Er Q
- (x + },.)J_Qx + -x'I- const.
21 . 2g ·
_ QI.
1 == EF '
. (b)
albo, uwzgJtdniaj c, te
EF Q
2T xs + 2 g x'J =- const.
R6tniczltuMc wzglldem t dojdz:iemy do r6wnania drga6, rozpatrzonego w poprzednim paragrafie:
x,,+ EF x=O
g 1 .
. (c)
Polo:tenie uldadu b,dzie zupelnie okre lone sp6lrzçdnq x, a przesuni cie jakiegokolwiek przekroju pr ta, let'lcego w odle-
g ci 5 cd punktu zawieszenia (rys. 378) b dzie rdwne:
x
u = -.::.
1
. (d)
Ocemmy teraz: wplyw masy prçta na okres drga1l. ukladu 2 ). }eteJi masa prçta jest niewielka w por6wnaniu do masy ci -
taru Q. to IOOzemy bez wielkiego billdu przyjqé, ze typ podstawowych drga1'i ukladu b dzie taki sam, jak i w przypadku
ta bez masy. Przesuni cie dowolnego prz(kroju pr la przy drganiach okngJi poprzedni wz6r (d), a energja potencjalna
rozciql!'ania pr ta przy odchyleniu ci :iaru 0 x z polozenia r6wnowagi zachov.a poprzedniq wartogé. Co si tyczy energji
kinetycznej llkladu, to ona zmienia sill nieco; do energji kinetycznej poruszajqcego si cillzaru trzeba doJ,!czyt energj
kinetyczD'l prçta. Skoro przez q nazwiemy ci€zar jednostki dlugogci prllta, to energj kinetycznq elementu prçta, wydzei-
lonego w odleglogci S od punktu zawieszema, przedstawi wyrazenie:
dS ( X'S ) 1
q 2g 1 .
Energja kinetyczna calego Pl'tta b dzie r6wna:
r1 qdS ( X'S ) !!=!li Xl
)0 2g 1 3 g 2 '
a energjç kinetycznq calego ukladu wyrazi wz6r:
x'J ( ql )
2g Q+ 3 .
1) Ten spos6b zaproponowallord Rayleigh; ob. Theory of sound, wyd. 2-gie, str. 111 i 281.
1) Swobodne drgania tego ukladu zbadal juz Poisson. Jego drgania wymuszone rozpatruje praca autora: 0 wy-
nuzdionnych kolebaniach prizmaticzesk'ch stiertnieJ", Izw. Kij. Pol. Inst. z r. 1910 i artykull\. N. Rrylowa p. t. Nie-
kotoryja zamiecz8l1ia 0 kreszerach i indikatolach", Izw. Imp. 1\kad.. Nauk., z r. 1909, Nr. 9. ..
305
Ostatecznie, zamiast r6w. (c), wyprowadzonego dia p ta bez masy, otrzymamy:
E F! x'! ( q 1 )
2T x + 2g Q + 3 =const.
R6wnanie ruchu jest wi c takie same, jak w przypadku pr ta pozbawionego masy, u kt6rego zawieSlono ci iar Q +- '
DIa obliczenia okresu drgari podstav.owych ukladu z uwzgl dnieniem masy pr ta, mozna uzyé poprzEdniego wzoru (334',
dodawszy jednak do ci taru Q jedné! trzeciq ci zaru wlasnego pr ta.
Jako drugi przyklad rozpatrzymy drgania ci zaru umieszczonego na pvziomej belce (rys. 379, fig. b), Pomijajqc
mas belki znajdujemy dia okresu drga6 wz6r: .
T=2rr} -f ,
g
. (e)
w kt6rym f oznaC7a (statyczne) ugi cie belki pod ci zarem. fiby ocenié w przyblizeniu wplyw masy belki na okres drgati.
postqpimy tak samo, jak w poprzednim przypadku. Przypu émy, ze typ drga6 pozostaje ten sam, co i dia belki bez masy.
Energja potencjalna zgiçtej bdki zachowuje wartogé poprzedniq i trzeba tylko zmienié postaé wyra:tenia dia enugji kine-
tycznej uMadu. Do energji kinetycznej drgaj'lcego ciç:taru naleiy ddC}czyé energjç kinetycznq belki. Obliczenia tej ostatniej
mozna dokonaé na podstawie nastçpujé!CYch rozwaia6: Przyjçli my, ze w rozpatrywanym przyrarlku typ drgati jest laki
sam, jak dta beIki pozbawionej masy. Z tl?go wynika, ze w kazdej chwili mi dzy ugiçcil?m r, w dowolnym przekroju beJki.
a ugiçciem y w grodku rozpi fo ci zechodzi ta sama zale:tno é, co i przy statycznl?m zgi ciu belki. Na podstawie r6wna-
nia Iinji ugiçcia belki obci'lzonej w rodku mamy:
31' x-4x S
'j=y- IS
Jeteli q oznacza ciçzar jednostki dlugo ci belki, to jej energi kinetycznq w dowolnej chwili przedstawi wyraz€l1ie:
1 1
2 q d:r qy " l ]7 q l Y .,
2 -T'l'2=-,a -(3f'.1"-4.l. S )2 d _ t =35-T'
o g g 0 g
Energja kinetyczna jest zatem taka, jak'lby miala belka pozbawiona masy z umieszczonym w rodku rozpiçto i ciçiarem
q ,. Okres drgari ukladu z uwzgl dnieniem masy belki motna oblicz é w przyblizeniu wedlug wzoru (e), jeteli tylko
przez f bçdziemy rozuœieé strzalk ugi cia powstajqcq pôd wplywem ciçzaru Q + ; ql, skupionego w grodku rozpiçtogci.
Gdy ci tar belki jest maly w por6wnaniu do ci zaru Q, 10 powyzsza przyblitona metoda obliczenia okresu T jest
bardzo dokladnq_ Dia praktycznych zastosowa1'i jest okolicznogci'l nader wazDll, ie nawet przy wiçkszych warlo ciach q 1
daje wylotona metoda zupelnie zadowalaj'lce wyniki. Weimy bowiem pod uwag skrajny przypadek, kiedy Q={) i trzeba
obliczyé okres podstawowych drga6 belki nieobciqzonej. Stosujé!C metod przybliion'l, znajdziemy:
VL Vfu - -
17 14 12
T=2:r L=21l "5q =21l-V 3-. .
g y 48EIg 9,94 EIg
(335)
Natomiast dokladne rozwiqzanie tego zadania, oparte na calkowaniu odpowiadajqcego r6wnania r6zniczkowego czqstko-
wego, daje:
T=21l -V q =21l V q
11 2 EIg 9,87 EIg
_ (335)'
R6znica mi dzy rozwiqzaniem przyblizonem a dokladnem nie dochodzi 1°10'
Oceniajqc wplyw masy belki na okres drga6, wychodziligmy z zalotenia, te przy drganiach ma o belki taki sam
ksztalt, jak i przy zgi ciu statycznem. Mozna tez przyjqé i inné! przyblizonq postaé wygi cia, dobieraiqc jq tak, aby uczy-
nit zado é warunkom na ko1'icach belki. Dajmy na to np., ie belka zgina siç przy drganiach wedlug sinusoidy. Wtedy
przy poprzednich znaczeniach ri i y mamy:
. 1lX
'j=ysmT'
A
Q n D
a energj'l kinetyczn'l belki b dzie:
ri qdx 1{2= y'2 .
2)0 g 2 2g
Ten sam wynik otrzymaliby my, je:teliby my przyjçli, ze belka jest pozbawiona masy, a polow ci zaru belki skupili w rodku
. . 1 l . 17 1 R6 ' b . k6 ' t . . elk
rozpiçtogci. 1\ zatem, przyjqwszy zgiçcie wedlug sinus01dy otrzymaMmy 2" q zamlast 35 q . zmca 0 u wym wJes meWl a.
je:teli chcemy zbadaé drgania belki jednym k06cem utwierdzonej (rys. 384), to pierwsze przybliienie dia okresu
drga6 otrzymamy, podstawiajqc we wzorze:
-/' -
Ry.. 84
T=21l
g
Kun wytrzymalofci material6w
20
306
zamiast f warto é statycznego ugillcia belki pod dzialaniem ciçtaru Q. l\by ocenié wplyw wlasnego ciçtaru belki, trzeba
przyjli é postaé linji ugiçcia przy drganiach, odpowiadajqcych typowi podstawowemu. Skoro przypu cimy, ze postaé zgi tej
osi jest taka sama, jak przy statycznem dzialaniu sily pionowej na koniec B, to kroczqc poprzedni'l drogi! znajd%iemy, ze
warlogé energji kinetycznej blldzie ta sama, co dia belki pozbawionej masy i opatrzonej na k06cu ci zarem 1 qi l\teby
ocenit wplyw wlasnej masy, trzeb we wz6r dia T podstawié zamiast f ugiçcie statyczne, odpowiadaj'lce obci'lteniu kot1cil.
belki silq'):
33
Q + 140 qi
. (336)
T} mze sposobem motna zbadaé kwestjll drgati belek 0 przekroju zmiennym 2) i belek kratowych.
163. DRG1\NIl\ PRZY OPORZE SRODOWISRl\
W poprzednich wywodach nie uwzgl dnialismy wplywu oporôw, jakie zachodz q przy drga-
niacb. Opory srodowiska, w ktôrem uldad spr zysty wykonywa drgania, zmniejszajq stopniowo
amplitud drgan; drgania slabnq, czyli "gasnq". Wielkosé oporu zalezy od pr dkosci ruchu; gdy
pr dkosé jest dosé mala, to mozna niekiedy uwazaé opar za proporcjonalny wzgl dem pr dkosci
i przyjqé: dx
R=-a dl W
przyczem sp6lczynnik proporcjonalnosci a zalezy od. rozmiar6w i postaci ciata. T en sp61czynnik
ma znaczenie oporu, jaki zacbodzi przy pr dkosci r6wnej 1. Znak minus wskazuje, .te op6r ma
zawsze kierunek przeciwny pr dkosci. Przechodzqc do przypadku ci .taru Q zawieszonego na pr cie
spr zystym pozbawionym masy (rys. 378) i rzutujqC wszystkie sHy dzialajqce na ci zar, oraz sHy
bezwladnosci na os X-6w, otrzymamy r6wnanie:
( EFX ) Qd'x dx_ .d'x dx 2_
Q - Q + -,;- - g d l' - a di - 0, aIbo. dl' + 2 n (fi + k X - 0
(b)
przyczem
k - V EFg 2n - ag
- Qi' - Q .
Og6Inq calk q tego r6wnania b dzie:
X = e- nt [fI sin (Ji k!l- 1I2. 1) + B cos (JI k 2 _n 2 . I)J.
Przyjmijmy, ze w chwili poczqtkowej (1 = 0) jest X = a, natenczas B = a. .WieIkosé pr dkosci po-
czqtkowej obierzemy dIa uproszczenia daIszycb rozwarnn tak, aby .fI stalo si zerem; dIa x otrzy-
mamy wtedy wyrazenie: . x = e- nt a cos ("JI k, n!! . 1).
ZnaIezione rozwi zanie poucza, ze ruch jest przy k > n okresowym, Iecz amplituda drgan zmniej-
sza si stopniowo. W chwili poczqtkowej odcbylenie ci zaru od polozenia r6wnowagi jest r6wne a;
po uplywie czasu odpowiadajqcego pelnemu okresowi drgan, nie wraca ci zar w pierwotne polo-
zenie; jego odcbyIenie od polozenia r6wnowagi b dzie rôwne ae- nT , a zatem b dzie mniejsze od
warloscî poczqtkowej. Po drugiem wahnieniu b dzie odchyIenie rnialo wartosé ae- 2nT i t. d. .1\rn-
plitudy malejq tedy wedlug szeregu geometrycznego 0 ilorazie e- nT . lm wi kszq wartosé ma spôl:-
czynnik n, t. j. im wi kszy jest op6r srodowiska, tem pr dzej gasnq drgania.
Rozpatrzmy teraz okres drgania T. W skutek opor6w stala si jego wieIkosé
2:n:
T = "JI k'_n2 (337)
wi kszq, niz w przypadku "drgan swobodnych". Gdy opory Sq niewielkie, jak to najcz -
sciej bywa, to n wypada male w por6wnaniu do k i dlatego okres drgaii malo si zmienia
') Postaé wygillcia belki jednym ko1'icem utwierdzonej, powstajqCll przy drganiach, badano do wiadczalnie; ob. G ar--
rett, "On the laieral vibration of bars., Phil. Mag. t. 8, str. 581.
Il) InlU! przyblizon'l metodq badania drgatl belek zajmuje siç nader interesujqca praca: I. Morrow, "On the lateral
vibration of loaded and unloaded bars", Phil. Mag. z r. 1905 i 1906.
307
wskutek obecnosci opor6w. Przy wi kszych oporach, np. w Iepkiej cieczy, ma n wi kszi}
wartosé tak, ze mozebne Si} przypadki, w kt6rych n > k. W6wczas traci ruch charakter okresowy
i staje si "aperjodycznym". Nad tym
przypadkiem nie b dziemy si zatrzymywaé
dluzej.
Wygasanie drgan unaocznimy wykre-
sInie (rys. 385), odmierzaji}c na osi odci w Il
tych czas, a na osi rz dnych odchylenia ci w
zaru od polozenia r6wnowagi. Jezeli przed-
tem wykreslimy dwie krzywe MN i Mt NI, 1 /!
kt6rych rz dne Si} odpowiednio r6wne:
Xl = ae- nt
X 2 = -ae- nt ,
a
to krzywa falowa, wyobrazaji}ca drgania, b -
dzie naprzemian styczni} to do pierwszej to
do drugiej krzywej. Punkty stycznosci m',
mil,... n', n",... b di} odpowiadaé odci tym
T T
T, 2 T, 3 T,... "2' 3'2"" Zauwazymy tu- Ry.. 38S
taj jeszcze, ze wielkosci najwi kszych odchylen nie odpowiadaji} punktom stycznosci m', mil,...
n', n",... i, jak widaé z rys. (381), czas potrzebny do przeniesienia ciala z polozenia r6wnowagi
w polozenie skrajne jest mniejszy od czasu potrzebnego do powrotu ciala w polozenie r6wnowagi.
9 164. DRG1\NI1\ WYMUSZONE
W skulek opor6w wygasaji} stopniowo drgania swobodne i dIa podtrzymania ruchu okresowego
potrzeba dzialania sil zewn trznych 0 zmiennej wielkosci. Drgania powslaji}ce w takich warunkach
nazywamy "wymuszonemi". Przestudjujemy ich wlasnosci na poprzednim przykladzie, przed-
stawionym na rys. (378). DIa wzbudzenia drgan ci zaru Q, zawieszonego na niewazkim pr cie RD
zmusimy punkt zawieszenia JI do wykonywania drgan okolo pewnego sredniego polozenia. Niech
b dzie b amplitudi}, a p cz stoscii} tych drgan. Je-zeli w chwili poczi}tkowej schodzi si punkt R
ze sredniem polozeniem Ao i zaczyna ruch wd61, to polozenie punktu zawieszenia wzgl dem
punktu .Ro w dowolnej chwili t okresli sp6lrz dna:
Xt = b sin pt . (a)
Zbadajmy ruch ci zaru Q. Wszystkie rozwazania poprzednich paragraf6w pozostaji} waznemi i teraz
skoro tyIko zmienimy wyrazenia dIa napi cia prçta. Zamiast wydluzenia prçta r6wnego X, trzeba
wzii}é wielkosé
X - X J = X - b sin p L
Warunek rownowagi wszystkich sil dzialaji}cych na ciçzar Q wraz Z silami bezwladnosci daje:
albo :
Q_ [ Q+ (x-bsinpt)EF ] _S! d2X _ dx =O
1 g dl" a dt '
d' X 2 dx k ' - . t
dt ' + n dt + x-qsmp
. (b)
Wielkosci n i k majê} tutaj poprzednie znaczenie, a
EFbg
q= QI
. (c)
Znowu wi c otrzymalismy r6wnanie linjowe 0 stalych sp6lczynnikach. Od r6w. (b) z poprzedniego
paragrafu r6zni siç ono ostatnim wyrazem. Og6lnê} calk r6wnania (b) znajdziemy, gdy do calki
20*
308
r6wnania bez ostatniego wyrazu dol czymy szczeg6lne rozwi zanie r6wnania z ostatnim wyrazem
T ego rozwi zania b dziemy szukaé w postaci:
x = M sin p t + N cos p f.
Podstawiwszy je w r6w. (b) otrzymamy:
- M p' sin pt - N p2 cos P t + 2 Mn p cos pt - 2 N n p sin pt + M k' sin pt + N k' cos P t = q sin pt.
Stale MiN wyznaczymy z r6wnaii:
- N pl + 2 Mn p + N k 2 = 0,
z kt6rych pierwsze przedstawia sum algebraiczn
sp6lczynnik6w przy sin p t. St d:
q (ki _ pl)
M-
- (k i _ p2)1 + 4 ni pl
- M p' - 2 N n p + M k' = q,
sp6lczynnik6w przy cos p t, a drugie tak z sum
2npq
N = - (k' _ p2)i + 4 ni p'l .
Og6lna calka r6wnania (b) ma zatem postaé:
x = e -nt l fI sin fV h 2 - n' . t) + B cos (}k' -=- n' . t) 1 +
q(k'- p'). 2npq
+ (k'_pi)i+4nlp2 sm pt- (k'_pl)2+4n2pl cos pt
Wielkosci fI i B mozna znalezé z warunk6w pocz tkowych. Nie trudno zauwazyé, ze pierwsza
-nt
cz sé calki (d), opatrzona czynnikiem e ,male je nieustannie z uplywem czasu, d z c do zera,
tak, iz praktycznie wystarcza Iiczyé si tylko z drugé! cz sci , niezalezn od warunk6w pocz tko-
wych. Ta druga cz sé proporcjonalna wzgl dem wielkosci q, przedstawi "w y mus z 0 n e d r g a nia"
ukladu. Wyrazenie dia drgan wymuszonych:
. (d)
q(kl-p'). 2npq
(kl _ pl)' + 4 n' p' sm p t - (kl _ p )2 + 4 n'l p' cos pt
mozna uproscié przez wprowadzenie oznaczeii:
x=
. (e)
q (k 2 _ pi) _ (1_
(k? ?)2 4 2 2 - C cos ,
- - p- + n p
2npq
= C sin a .
(k2 _ p2)2 + 4n2 p2
(1)
Wyrazenie (e) przeksztalci si wobec tego na nast puj ce:
x = C cos a sin p t - C sin (( cos pt = C sin (p t - a)
Wielkosé CieL znajdujemy latwo z wzor6w (1), a mianowicie:
. (h)
C = q = q sin .
V (k 2 - p2)2 +' 4 n 2 p2 2 np
(k) wnosimy, ze drgania wymuszone maj tald sam okres:
T = 2:rr
p ,
jak i drgania punklu zawieszenia, czyli r6wny okresowi sily wymuszaj cej drganie. Por6wnywu-
j c (h) i (k) widzimy, ze zaleznie od znaku u b d drgania wymuszone, albo spazniaé si w sto-
sunku do drgaii punktu zawieszenia, aIbo je wyprzedzaé. Przy k > p, t>. j. gdy cz stosé "wlasnych
drgan" ukladu jest wi ksza od cz stosci drgan punktu zawieszenia (cz stosci drgan przyczyny
wzbudzaj cej drgania wymuszone), b dzie (f dodatnie; drgania wymuszone b d si wtedy op6zniaé
w odniesieniu do drgaii punktu zawieszenia. Gdy k<p, to (( jest ujemne, a wi c drgania wymu-
szone wyprzedzaj drgania punktu zawieszenia. Kiedy drgania 0 tym samym okresie nie zgadzaj
si , m6wimy, ze znajduj si w r6znych ,,1 a zac h". R6znic laz okresla w naszym przypadku
2np
tg eL = k 2 _ p2 '
podstawie otrzymanych wzor6w (h) i
. (k)
Na
311(}
wielkosé H. Jezeli w szczegôlnym przypadku k=p, 1. j. gdy cz stosé "wlasnych" drgan ukladu
jest taka sama, jak i cz stosé drgan punktu zawieszenia, t : .
tg el = '-,
;r
H = :t: 2 '
czyli drgania ci zaru spazniajé! si lub wyprzedzajq drgania punktu zawieszenia 0 1 4 okresu. Gdy
punkt zawieszenia zajmuje swoje srednie polo zen je, to ci zar znajduje si w jednem z polozen
skrajnych.
Rozpatrzymy teraz, jak si zmieniajé! amplitudy drgan wymuszonych wskutek zmiany cz sto
sei drgan p punktu zawieszenia. Najwi ksze odchylenia ci zaru Il od polozenia sredniego okresla
wielkosé C (wzory h i k). Skoro p jes.t bardzo male, 1. j. gdy punktowi zawieszenia udzielono
drgaii powolnych, to w wyrazeniu dia C mozemy pominqé wyrazy pl i 4 n 2 p2 w porôwnaniu do k 2 .
W takim przypadku:
C-!L- EFbg . EFg - b
- k Z - QI . QI - ,
czyli drgania ci zaru Il Sq takie same, jak i punktu zawieszenia. przy bardzo wielkiej wartosci p,
1. j. gdy punkt zawieszenia wykonywa drgania bardzo szybkie, mianownik wyrazenia dia C staje
si bardzo wielkim, a zatem amplituda drgaii wymuszonych b dzie bardzo mata, ci zar (L pozostaje
prawie nieruchomym w przestrzeni. Wezmy np. przypadek, kiedy p= 10k, 1. j. gdy cz stosé drgan
punktu zawieszenia jest 10 razy wi kszq od cz stosci wlasnych drgaii ukladu. Kladqc n=O, czyli
pomijaj c wplyw oporôw, znajdziemy:
C - -!L - - - 0 01 1-
- 99k z -99 - , L'.
f\mplituda drgaii ci zaru jest zatem jednq setnq amplitudy drgaii punktu zawieszenia. To zjawisko
mozna wyzyskaé w konstrukcji przyrzqdôw do zapisywania drgaii, jak np. sejsmografôw, notu-
jqcych drgania skorupy ziemskiej i pallografôw, zapisujé!cych drgania w korpusie statkôw.
Ci zar zawieszony na sznurze gumowym moze sluzyé jako najprostszy aparat do notowania
drgaii 1). Dajmy na t , ze chcemy zapisaé drgania w korpusie okr tu i znamy naprz6d w przybli
zeniu cz stosé tych drgaii p. Obierzemy tedy dlugosé sznura gumowego i wielkosé ci zaru Q tak,
aby cz stosé wlasnych drgaii tego ukladu byla kilka razy mniejszq od p. Jezeli teraz przyczepimy
sznur do pokladu, to przy drganiu statku b'Èdzie ci zar (J odchylaé si barclzo mala od sredniego
polozenia, a przymocowany do niego olôwek zapisze na obracajqcym si b bnie. ktôrego os jest
niezmiennie pot czonq z pokladem, drgania tegoz pokladu. Na tej samej zasadzie moznaby zbudo-
waé aparaty do notowania drgaii mostôw przy przejezdzie pociqgu.
Znajdziemy teraz t cz stosé drgaii punktu zawieszenia, kt6rej odpowiadajq najwi'Èksze war-
tosci C. Utworzywszy pochodnq C wzgI dem p i przyrôw nawszy jq do zera. otrzymamy:
p = V k 2 -2n 2 .
Poniewaz wielkosé n jest zwykle bardzo mata w por6wnaniu do k, wi c mozna wyglosié twier-
dzenie nast pujqce:
1\.mplituda drgaii wymuszonych wzrasta ze zbIizeniem si cz stosci sily
do cz stosci wlasnych drgaii ukladu.
Na rys. (386) przedstawiono wykreslnie zwiqzek mi dzy amplitud q wymuszonych drgan
a cz stosciq p drgaii punktu zawieszenia. na podstawie nast pujqcego przeksztalcenia wzoru (k):
q 1 1
C=-- =b. ,
k 2 V ( _ p2 ) 2 4n 2 . p2 JI (1- 2)2 + 2'y2
1 k 2 + k2 k 2
przyczem:
p. _ E-
l' - k
2n
Y=k'
') Ob. kurs 1\. N. Krylowa: Teorja drga6 (po ros.).
310
Odcinajqc na osi poziomej warlosci , a na osi rz dnych warloscÏ czynnika przy b (w wyréiZeniu
dla C), otrzymamy dla r6znych wartosci y uklad krzywych, na kt6rym widaé, ze przy zbli-
zeniu p do k ( =1) wzrasta bardzo szybko amplituda drgan wymuszonych. Wartosé C przy roz-
maitych wielkosciach p podaje (dIa k= 10 i n=0,2) nizej umieszczona tablica. Wieikosé b, 1. j. am-
plitud drga6 punktu zawieszenia przyj to tutaj r6wn jednostce. Zjawisko wzrastania amplitudy
drga6 wymuszonych, przy zblizeniu p do k blJdzie tem wybitniejsze, im mniejszy jest op6r srodo-
:"1'
"" I
, /," "!'-L
,,17i'M + , r'T;' --L f \ n
i III ml '
! 1 / 1 1 :
r -- -i - il' - I-- t
" -Lt-1 , l
\ 1 1,/ 1 I\ \ \
11 \1, 1
1 , \ Il l ' r
' {4 r- 1- - l: :
, / /, ''%' 1
ïl 1 \ \ 1
, T '\> :--+- I -- + --1"
L-1:\ - t -
1 1 ':I
t . 1 1
1 --- -r- I- ' '
\ 1- \
. 1 _ __ _--_1-
(J u.s 6 I7S
$,0
4.1
;,t}
4 b
,
1
J{
J..5
JO
JO
lJI
1
1
2fJ
.5
l/.o
L
1
1
1
o
os'
L
()
(Us
as
1
(j7S
g
215 -:i!j3
Rys.386
wiska, 1. j. im mniejszy jest sp6lczynnik n. Przy n=O i p=k wypadnie C=oo, czyli ampli-
tuda drgan wymuszonych rosnie bez granic. Wzrastanie amplitud drgan wymuszonych
przy p=k nosi nazw , zapozyczon z akustyki, "zj awiska sp61brzmienia" czyli rezonansu.
T 0 zjawisko gra w niekt6rych przypadkach praktycznych nader wéiZnq rol , albowiem z wzrastaniem
drgan, rosné! zwykle naprlJzenia materjalu, co mote doprowadzié do zgola nieoczekiwanych przy-
padk6w zniszczenia maszyny, lub zawalenia si budowli.
p=
I l 1
Il 1
1,3
9,5
25
9,5
2,2
1,4
5
8
9
9,5
10
10,5 11
12
13
15
20
c=
311
9 165. PRl\RTYCZNE ZNl\CZENIE ZJl\WISKl\ SPÔLBRZMIENI1\
W ywody poprzedniego paragrafu polegaly na zupelnie okreslonym sposobie wzbudzenia drgan
ci zaru Q, a mianowicie przez wprawienie w ruch okresowy punktu zawieszenia. Napisawszy
warunki r6wnowagi dIa si!, dzialaj cych na cÏçiar Q, doszlismy do rôwnania (b). Latwo zauwaiyé,
te nie si nie zmieni w warunkach ruchu, jezeIi punkt zawieszenia pozosfanie nieruchomym,
a drganie bçdzie wywolywaé sila R, zmieniaj!,!ca siç wediug prawa:
R = q sin pt.
R6wnanie ruchu pozostanie niezmienione takie i w tych przypadkach, gdy zamiast spr zystego
prçta mamy sprçzynç srubowq, albo gdy ciçzar Q przymocujemy do belki w obu koncach pod-
parte j, oczywiscie pod warunkiem, te zjawisko zachodzi w granicach sprçiysto ci i watnosci
prawa Hooke'a. Wydlutenie sprçzyny i ugiçcie belki b dé! proporcjonalne wzgl dem dzialajijcych
si!; zmieni siç tylko sp6lczynnik proporcjonaInosci. Jako przyldad rozpatrzymy nasfçpuji!ce zadanie,
majijce znaczenie praktyczne:
Na belce w obu koncach swobodnie podparlej ustawiono w srodku motor, wywolujqCY przy
pewnych prçdkosciach znaczne drgania. Takie drgania wywierajé! szkodliwy wplyw niefylko przez
powiçkszenie naprçzei'i w materjale, lecz takte przez stopniowe rozlufnianie polqczen nitowych,
sworzniowych i t. p. Zachodzi pytanie, jak, znajijc ciçzar moforu i rozmiary belki, ustalié te
pr dkosci, przy kt6rych mogij powstaé silne drgania? Jeteliby wszystkie czçsci motoru byly zu-
pelnie zr6wnowazone, to nie byloby przyczyn, wywotujé!cych ruçhy okresowe, drgania nie powsta-
lyby wcale. W rzeczywisfosci niema zwykle mowy 0 zupelnem zr6wnowazeniu i podczas biegu
maszyny wytwarzajé! si okresowe sity bezwladnosci, warunkujilce drgania wymuszone. Prawa,
wediug ktorych te sily bezwladnosci zmieniaj siç zczasem, mogé! byé dosé zlozone. Roztné!sniemy
najpierw zadanie przy najprostszem zalozeniu. Dajmy na to, te dzialanie niezr6wnowazonych mas
maszyny jest r6wnowarte z dzialaniem obracajé!cego si ci zaru q, skupionego w odleglosci r od
walu 1). W takim przypadku sily bezwladnosci przy stalej prçdkosci kqtowej motoru sprowadzajé!
si do jednej sily odsrodkowej. Rierunek si!y b dzie siç zmieniaé podczas obrotu, ale jej wielkosé
pozostanie stal i r6wné!:
q v 2 q
P = - - = - w 2 r
g r g ,
jeteli g oznacza przyspieszenie ciçtkosci, v pr dkosé ciçzaru q, zas le pr dkosé kijtowq obrotu.
Przy zaznaczonym na rys. (387) polozeniu maszyny przedstawia szczeg6lny interes pionowa skla-
dowa sily odsrodkowej, gdy.i ona wlasnie wywoluje poprzeczne .- , ."1
drgania belki. Jezeli kijt obrotu promienia r b dziemy mierzyé j.-r:J?:Î.
od prostej poziomej, to rzutem pionowym sily oc1Srodkowej A 'J. w .
bçdzie: .h..
R=Psinwt,
... !
B
czyli sila pionowa zmienia si tak, jak przyj lismy w rozpa-
trywanym poprzednio przypadku drgan wymuszonych. Drgania RY"" 3S7
bçdij wyjé!tkowo silne, skoro wartosé pr dkosci k towej obrotu
zblizy si do k, 1. j. do cz stosci "drgaii swobodnych", jakie wykonywa przymocowany do belki
ci zar Q bez udzialu innych si! zewn trznych 2).
'1) W takiej postaci bylo urzé!dzone dogwiadczenie nad drganiami wymuszonemi w mech. labor. Kijows. Inst. Polit.
i) Podobne dzialanie okazui'l .,przeciwwagi" k61 lokomotyw na drgania most6w. Dogwiadczenia pouczai'l, te przy
okreglonych prçdkogciach jazdy mog'l powstaé znaczne drgania mostu pod dzialaniem przeciwwag. Ob. F, E. Turneaure,
Some experiments on bridges under moving train Loads. Trans. Hm. Soc. C. E. Y. 41, str. 410.
312
Wyznaczenie cz stogci drgat'i k nie przedstawia zadnych trudnoki; z dostateczn dokladno ciél mozna iq znaIeié sposo-
bem przyblizonym ( ]62). Niebezpiecznq, t. zw, "krylycznq" , prçdkoS'é kqto wq znaidziemy z wzoru:
48EIg
k 7 . (338)
Ilkr= = (Q+ 5 QI)l'
w kt6rym QI oznacza ciçiar wlasny belki. . .
Podobnego rodzaju zadanie przedstawia przypadek, opisany przez Som m erl e 1 d'a 1) (rys.388). Motor Jest uslawlOny,
w lokalu wspartym na zelaznych pionowych slupach i Irzeba znalezé t pr dkoS'é maszyny, przy kl6rej pow&tajq silne drga-
nia. Jeieli znamy rozmiary slup6w, ci :iar budowli i motoru, to obliczenie czçstogci wlasnych drgan
. l uk\adu nie przedstawia trudno ci. Od poprzedniego przypadku r6ini siç niniejszy tem, ie sHa wzbu-
- dzajê!ca drgania jest poziornq skladowq sily bezwladno ci. Uwaiaiqc slupy za belki jednym koncem
r IP-i utwierdzone, znajdziemy krytycznq prçdkogé kqtowq z wzoru:
_ Tutaj oznacza Q ci zar budowli wraz z motorem, a QI ci iar wszystkich slup6w.
Przyjmowali my dotqd, :ie sily bezwladnogci mozna zastqpié sHi! odgrodkowq jednego ciçiaru,
obracajqcego si z tq samq prçdko ciq kq,towq, co i maszyna. W rzeczywisto ci bçdzie wyraienie
dia sil bezwladno ci najcz S'ciej bardziej zloione i sila wzbudzajqca drgania przedstawi si jako wy.
padkowa calego szeregu sil, przyczem kaida ze skladowych zmienia si wedlug lunkcji sinus albo cosinus 0 okresie,
kt6ry jest calkowitq wielokrotnoS'ti q okresu pelnego obrotu maszyny. W najog61niejszej postaci da siç sila R przedstawié
wyraieniem:
1
tokr=k= V g = V .3EIg
f ( Q + ::0 QI ) 1 8
Ry..3h8
R = Pt sin w t + P, sin 2 ru t + Pa sin 3 ru t + ... + QI cos t)J t + Q, cos 2 ID t + . " .
. (339)
. (a)
Zasadniczej wagi jesl tutaj dia nas ta okolicznoS'é, ze nawet najbardziej zlozonq silç, wzbudzaj cq drgania, motna przed-
stawié jako surn prostych element6w, zmieniajqcych si wedlug lunkcji sinus lub cosin us. Umiemy ju:i znaleié dziala-
nie kazdego takiego elementu. 1\by otrzymaé dziatanie sily R naIezy tylko zesumowaé dzialania oddzielnych skladowych
Te dzialania sumuiéi siç dziçki temu, ze r6w.r.anie r6:iniczkowe ruchu jest linjowe. Skoro okres jakiejkolwiek sk!adowej
zbliia si\! do okresu wlasnych drgan ukladu, to amplituda drgan, odpowiadajqcych tej skladowej, przybiera wybitnq war-
logé i moze osiqgnqé znacznq wieJkoS'é, wobec czego moie wywolaé znaczne naprç:ienia dodatkowe. Dajmy na to, ze w=k
(t. j. cz stoS'ci wlasnych drgan uk!adu), wtedy gl6wne znaczenie w wyrazeniu (a) b dq mieé wyrazy PI sin", t i QI cos ll' t.
Jeieliby pr dkogé maszyny byla taka, :ie 2 ID = k lub 3 w = k, to najistotniejszemi wyrazami bylyby P, sin 2 w t, Q, cos 2 ll' 1.
albo Pssin3œt, Qgcos3<d i t. d. Stqd wniosek nast pujqcy: Jezeli cz stogé wlasnych drga:6. ukladu jest
r6wnq albo wielokrotnq pr dkogci kqtowej obrotu maszyny, to moina oczekiwaé bardzo zn a-
cznych drgan wymuszonych. (Tutaj ograniczamy siç do gl6wnego typu drgan ukladu, maiéîcego zwykle naiwi ksze
znaczenie praktyczne). fiieby wi c uniknqé drgan i polqczonych z niemi dodatkowych napr ie:6., trzeba albo zmienié pr d-
ko é k'ltowq obrolu, a!bo lez czçstogé wlasnych drga:ti ukladu. Mozna 10 osiqgnqé przez zmianç rozmiar6w konstrukcji.
Zrnniejszajqc np. rozmiary belki w om6wionym powyiej przypadku, mo:ina przez to zmniejszenie usunqé drgania i po-
tqczone z niemi naprçzenia dynamiczne.
Z tego rodzaju drganiami wypada si liczyé glôwnie przy projektowaniu walôw maszyn okr -
towych. Okazuje si . te w pewnych warunkach mogq powstaé w takich walach znaczne drgania.
Te drgania wywôluj wielkie napr zenia dodatkowe i w niektôrych przypadkach mogq dopro-
wadzié do p kni cia walu. Inzynier niemiecki Fra h m wyznaczal drogij doswiadczalné!
kqt skr cenia walu okr towego podczas pracy maszyny i z tego kqta obliczal odpowiada- " "«9/:
jqce napr zenia. Doswiadczenia pokazaly, ze przy pewnej pr dkosci walu powstawaly
silne drgania i napr zenia zmienialy si w granicach + 600 i ---: 166 kglcm 2 , podczas gdy
statyczne napr zenia byly obliczone na 218 kglcm 2 . 1\ zatem nietylko wielkosé, lecz takze
znak napr zenia ulegaly zmianie. Widocznie te pr dkosci, przy kt6rych spostrzegamy szcze-
g6lnie silne drga ia, odpowiadajq zjawisku sp6lbrzmienia. 1\zeby usunqé mozliwosé poja-
wienia siç siInych drgan, trzeba umieé obliczyé okres wlasnych drgan walu z jego roz-
miar6w, a te rozmiary tak obraé, aby okres wlasnych drgan walu nie zgadzal si
z okresem pelnego obrotu maszyny.
Studjum drgan skr cajC!cych zaczniemy od nast pujê!cego najprostszego przykladu.
Okrqgly pr t II B (rys. 389), utwierdzony pionowo g6rnym koncem, posiada na drugim
1) Ob. Zeitschr. d. Ver. d. Ing. z r. 19Q4.
166. DRG1\NI1\ SRREC1\Jl1CE (TORSYJNE)
A
1
Rys. 389
313
koncu krqzek B, stale z nim polqczony. Skoro krqzek obr6cimy 0 pewien k t, skrçcajqc przez to
pr t 0 tenze kqt a. i pozostawimy nastçpnie uklad samemu sobie, to powstanq drgania torsyjne.
Ich okres b dzie zalezeé od rozmiar6w pr ta, wlasnosci materjalu i od rozmieszczenia masy krqzka,
Wezmy pod uwag chwilowe polozenie, jakie krqzek zajmie podczas ruchu i nazwijmy przez 'p
odpowiadajqcy kqt skr cenia; wtedy moment sil spr zystosci skr conego prçta, dzialajqcy na krq-
zek, b dzie mieé wartosé:
M _ a I p
- ev ---y-.
R6wnaniem ruchu krqzka (z pominiçciem opor6w) b dzie:
al ev
l-? d [2 + -r- ev = 0, albo dt 2 + k 2 <:p = 0,
k l/a]p
przyczem = V-eT'
a (-) jest momentem bezwladnosci krqzka wzglçdem osi obrotu. Og6lnq calk q otrzymanego rowna-
nia jest:
<:p = .fI sin kt + B cos kt.
Z'Yazywszy, ze w chwili poczqtkowej jest <:p = et i <:p' = 0, przeksztalci S]Ç powyzsze rOZWlqZame
na nast pujqce:
<:p = cr cos kt.
Mamy tedy znowu do czymema z prostem drganiem 0 czçstosci k. Okres drgan okresli wyrazenie:
T = 2:n: _ 2 ' <:-51
k - 1( al
p
. (340)
jezeli na kr'lzek dziala zmienny moment
M = - N sin pt,
skr cajqcy pr t, ordZ op6r grodo\\iska, proporcjonalny wlgl drm pr dkosci, to r \\'nanic ruchu otrz)D1uje postal:
d 2 'j' Ql p . .
1::-),[ji-+--y-Q'+13(j' = Nsmpt, atbo: cp"+2n'j"+k"p=qsinpt. . (a)
/:J N
2n=e' q=e"
R6wnanie (a), zgodne z r6wnaniem (b) w (164'. okregla drgania w przypadku dzialania sil zewnçtrznych, wzbudzaj cych
je. l\mplituda drgan moie osiqgnqé znacznq wielko é, gdy p, l j. cz stosé wahati momentu wzbudzajqcego, zbliza si do
wielkogci k, t. j. cz sto ci wlasnych drgan ukladu.
Stosujqc metod przyblitoni}, moiemy bez trudno ci oCl!nié wplyw masy prçta na okres drgati krqika. Przyp my,
ze przytem typ drgat'i b dzie taki sam, jak w przypadku pr ta pozbawionego masy; w6wczas t obrotu dowolnego prze-
kroju prçta, odleglego 0 {, od konca utwierdzonego, bçdzie r6wny Cf>/" , przyczem Cf> oznacza kl!,t obrotu krqzka. Jeteli
przez .} oznaczymy moment bezwladnogci elementu pr ta 0 dlugogçi ] wz l dem jego osi, 10 energja kinetycma pr ta
b dzie r6wna: (1 ( 1F'5 ) 1 -I}ds =.! 'P'2-1}l .
)0 1 2 3 2
przyczem
Z otrzymanego wyniku wnosimy, :te dia oznaczenia wplywu masy pr ta na okres drga:ti krl!tka trzeba do momentu bez-
wladno ci krqzka dodaé jedn Irzeciq momentu bezwladnogci prçta.
Od rozpatrzonego najprostszego przypadku latwo przejsé do zadania bardziej zlozonego, na-
potykanego w praktyce szczeg6lnie cz sto. Na koncach walu
znajdujq siç krqzki 0 momentach bezwladnosci el i e 2 (rys.390); 0
mamy znaleZé cz stosé wlasnych drgan tego ukladu. Skoro A
skr cimy wal dwiema r6wnemi i wprost przeciwnemi parami sB,
a nast pnie pozostawimy ukJad samemu sobie, to krqzki b d
wykonywaé' drgania obrotowe okolo osi .fI B. Rierunki obrotu obu 10.-__
krqzk6w b dq przytem przeciwne, mozna przeto mi dzy niemi Rys. 390
znalezé laId przekr6j walu m n, kt6ry przy drganiach pozostaje
nieruchomym. Ten przekr6j nazwiemy- "przekrojem w zlowym". bie cz sci walu, rozdzi lone prz -
krojem w zlowym mozna uWaZaé za utwierdzone w tym przekro)u, a lch dlugosé '1 1 l2 zna)-
lm
fJ
:{/ .
1 --.
314
dziemy z warunku, ze okresy drgan obu cz sci mUSZq byt jednakowe. Wielkosci tych okres6w
b dq na podstawie wzoru (340) odpowiednio r6wne:
,/ 0111 T 2 ,/ 8212
Tl = 2:IL V Q I p ' 2 = :IL V Q I p .
.. ( 8 1 1 1 _ . /0 2 [2 Ib ' 8 1 _r;.I 1 !J... = <::J:!
'V Gl p - "V. Gl p , a o. 1 l- CJ 2 2' 1 2 8 1 '
czyli przekr6j w zlowy dzieli dlugosé walu na cz sci odwrotnie proporcjonalne wzgl dem momen-
t6w bezwladnoscÏ krijzk6w. Zwazywszy, ze Il + 1 2 = l, otrzymamy:
1 8<1 1 6 1 1
1 = 8 + 8' 2 = 8 + 8 .
1 2 1 2
Szuk.any okres wlasnych drgan ukladu T i ich cz stosé k okreslij przeto r6wnania:
T==2TC G l e { 62ICo )
p 01 + U 2
k __ 2 TC _ ../ Gl p (e 1 + 6 2 )
- T - 8 1 6 2 1
1\ zatem:
(341)
(342)
Jako przyklad Iiczbowy wetmiemy maszynç okr tow 0 potr6jnej ekspanzji i dzielnogci 3COO HP, wykonuj,!c,! nor-
malnie 75 obrot6w na minutç. Wal ma dlugogé 50 m i ednic d = 35 cm. Sp6lczynnik spr tystogci G = 880000 k Jcms.
citiar ruby = 6480 kg, a odpowiadaj,!cy promieti bezwladnoro = 1 m. Cittar korb maszyny = 4500 kg przy promieniu
bezwladnogci 0,40 m. ci tar innych poruszaji}cych si czçgci maszyny, kt6ry trzeba dodaé do ci zaru korb = 7750 kg. Od-
powiadai'lcy promiet1 bezwladnogci = 0,60 m.
Z tych danych wyznaczymy: moment bezwladnogci wszystkich obracajqcych si\) cz gci maszyny, sprowadzony do
promienia 60 cm:
45IJO 1 7150 6Q2 _ 9750 60 1 L k 2
el = 981 . 40 + 981 ' - 981 ' K . cm . se .
i moment bezwladnogci grulJy:
6480 00 1 18000 60 s k k.'
es = 981 . 1 = 981 ' . g. cm . se .
Sl4d obliczymy Iiczb wlasnych d rgat'i ukladu na minut :
n= 6O = 30V Gl p (el + es) = 301188 ססoo . 14700.27750.3600.981 = 319.
T:II el es ( ..: 9150 . 18000 . 36Q01 . 5Coo
Przy dokladniejszem obliczenÎu okresu wIasnych drgat'i wypadnie uwzgl dnié nastçpujqce dwie okolicznogci 1):
1) Wai miewa zwykle przekr6j zmienny. W takim przypadku zamiast rzeczywistej dlugogci walu, trzeba bçdzie wzi'lé
pewné! dlugogé fikcyjnl! i', kt6rq otrzymamy, sprowadzajl!c oddzielne czç ci walu do jednej, zreszt'! dowoInej, wsp6lnej gre-
dnicy. Dajmy na to, ze na wale znajduje siç zgrubienie 0 grednicy D na dlugo ci a; wskutek tego zgrubienia staje siç wal
sztywniejszym, jego kqt skr cenia przy jednym i tym samym momencie skr cajqcym bçdzie mniejszy, nii dIa walu 0 stalej
ednicy d. Killy skrçcenia sq wprost proporcjonalne wzglçdem dlugo ci i odwrotnie proporcjonalne wzglçdem moment6w
bezwladnogci przekrojdw poprzecznych, t. j. wzgIçdem czwartej pot gi ednic, wobec czego sztywno c5 walu siç nie zmieni.
jete!i zamiast czçgcï 0 dlugogci a i grednicy D wstawimy czçgé () dlugogc;i
a.=a( f
i rednicy d. Tym sposobem motna zawsze wal 0 zmiennym przekroju zasté!pié pewnym walem likcyjnym 0 stalej rednicy.
II) DIa dokladniejszego obliczenia tr eba niekiedy uwzgl dnié masç samego walu i jego wlasny moment bezwladno-
ci e o - Uwzglçdniaji}c wyratenia dIa Il i IJ znajdziemy, te dIa przyblitonej oceny wplywu masy walu trzeba zamiast e.
i 8s wstawié odpowiednio wielkogci:
e o e.
6 1 + 3"" 6 1 +be
. e + e o 8,
1 S 3' 81+8s
. (343)
1) Bardziej szczeg6l0we badanie drgat'i wal6w znajdzie czytelnik w pracy autora:..O zjawiskach sp61brzmienia w wa-
:lach" (po ros.), Izw. Petersb. Polit. Inst. z r. 1905.
Dokladnem rozwÏqzaniem zadania drgania walu z dwoma krqtkami zajmuje siç praca autora: ,,0 wymuszonych
drganiach pr t6w pryzmatycznych" (po ros.), Izw. Rijew. Polit. Inst. z r. 1910.
Drganie wal6w z trzema la-f!tkami rozpatrzyl Roth w Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. z r. 1904.
315
Wprowadziwszy t poprawk w naszym przykladzie, otrzymamy n=3]5 zamiast 319. Skoro mBszyna b dzie wykonywat
nie 75 lecz np. 78 lub 79 obrot6w na minut , to moina oczekiwaé powstania silnych drgati, poniewaz 79 . 4 = 3]6,
a 78 . 4 = 312. Pr dkogé krytyczna b dzie wi c odpowiadat 78.u do 79-u obrotom na minut " Zboczenie Gd prçdkoki
krytycznej na 5 do 6 obrot6w wystarcza zupelnie, jak wykazaly do wiadczenia Frahm'a, do zapewnienia spokojnego biegu
maszyny.
Przy obliczeniach wa16w maszyn okr'Jtowych sij zwykle wiadome naprz6d: liczba obrot6w
walu, jego dlugosé i rozmiary sruby. Sredniq walu trzeba dobraé tak, aby cz stosé wlasnych
drgaii walu nie byla calkowitij wielokrotnosci q pr dkosci kqtowej obrotu przy normalnym biegu
maszyny. Niekiedy wypadnie w tym celu zmniejszyé srednic walu i takie zmniejszenie rozmia w
r6w, dzi'Jki powstrzymaniu silnych drgaii, obniza dodatkowe napr zenia dynamiczne, a wskutek
tego z¥l'i ksza wytrzymalosé walu.
9 167. DRG1\NIE BELRI POD WPLYWEM RUCHOMEGO OBCIl\ZENI1\
Puy obliczeniach belek mostowych, podlegajqcych dzialaniu ciçtar6w ruchomych, wyznacza si zwykle naprçzenia
statycznie, t. zn. przyjmuje si , ze z jednego polotenia w drugie przechodzi obciqtenie z pr dkogcii} nieskotczenie m .
jak na ich wielkogé wplywa
Zachodzi têdy pytanie, 0 ile r6iniq si napr tenia, otrzymane liI drogq od rzeczywistych
prçdkogt ruchu obciélzenia? To zagadnienie nie ma doliId zupelnego roz-
wi'lzania. aioli wplyw niekt6rych czynnik6w wyjagniono juz w dosiatecznej
mierze. Tutaj rozpatrzymy wplyw sil bezwladnogci toczi}cego siç ciçiaru
i wpiyw drgania belki. }eieli poruszajqcy si ci tar jest znaczny w po-
r6wnaniu do ci iaru belki, to w pierwszem przyblizeniu moina mas belki
pominqé i wziqé w rachub tylko sily bezwladno ci ruchomego ci zaru P
(rys.391). Przy nieskO!lczenie malej prçdk ci ruchu b dq sily bezwladno-
gci tez nieskotczenie male i ugi cie pod obciqteniem mOZna wyznaczyé
wedlug znanego wzoru ( 78):
P (lx _x 5l )J
y= 3EIl .
A B X
-
"'
. ""."
X P .
1 1 :
y
. (a)
Rys. 391
W pierwszem przyblizeniu 1) mozna przyjqé, ze i przy Skoliczonej prçdkogci ruchu " mlsek bçdzie r6w. (a) okrdlat tor
ruchu ci zaru P. W takim razie latwo obliczyé dodatkowy nacisk ci taru na belk . uwarunkowany silami bezwladnœcl.
Wyrazenie dia pionowej skladowej sil bezwladnogci ma postaé:
P cPy
Q=-g dt J '
albo, zwatywszy, te x = D t i wstawiwszy wartogé (a) za y:
Q=_ p"J d2y =_ PfiJ (l' -6Ix+6x').
g dx J g 3Ell
. 1.. .
Najwi ksz'l wariogé sil bezwladnogci otrzymamy dia grodka rozpi togci, t.]. dIa x = 2" a II11IInOWICle:
PfiJ Pl
Qmax=g' 3EJ"
calkowity nacisk ciçzaru na belkç w tem miejscu bçdZie r6wny:
P + Q = P (1 + ;i; ) = P ( 1 + 1 :' . t ) = P ( 1 + )
. (344)
przyczem:
PP
fSI= 48EI'
zd
1 16,,51 fst
l3=;:T'g'
Przy zwyklych wart ciach pr dkogci 11 i dopuszczalnych u most6w wieIko ciach stosunku fat: l, jest wartώ mala
i wz6r (344) okr la dogé dokladnie wplyw sH bezwladnogci toczllcego siç ci taru.
1) Odpowiadajllce przyblitone rozwi'lzanie podal pierwszy prof. WilIis, kt6ry si zajm wal kW 1! .dr a11 most6:w
w r. 1846 w stawnej angielJ;kiej komisji dia pr6b zelaza. Szczeg6l0we traktowanie zadania w te] postaCl zna]dZle czylelnlk
w kursie teorji spr tysto ci clebsch'a, przelozonym przez de S.-Venanta, sir. 591.
316
Pierwsze dokladne rozwil!zanie zadania 0 odksztalceniu belki pozbawionej masy pod wpl!wrm ci za u toczqcego siç
po niej podal angielski uczony G. G. Stokes l ). Na podstawie. tego. rozwiqzania moina naplsaé nastçpuIl!cy wz6r przy-
blitony dia nacisku, wywartego puez obciqienie w rodku rozpl togcl:
P + Q = P ( 1 + 1 3) . (345)
Jeteli obci'lzeniem, poruszaji}cem siç po belce, jest o lokomotywy lub w zu, to pr6cz c iaru wlasnego.osi z kolami P
trzeba uwzgl dnié nacisk Ph przeniesiony na o przez sprçiyny. Ten na lsk mozna uwa aé z ,:"ys.tarcza1qcem przybliie-
niem za staly nie zmieniaj'lcy si wskutek ugiçcia belki. Wtedy nacisk OSI na belk okre h wyrazeme:
Pt + P ( t + 1 3)'
Wielkogt Pl jest zwykle kilkakrotnie wi kszé! od P, wobec czego nawet puy malych wartogciach P okazuje si wplyw sB
bezwladno ci nieznacznym. Wedlug oblicze:6. Zimm ermann'a dodatkowy nacisk, uwarunkowany silami bezwladno ci,
w najniekorzystniejszym przypadku (przy pr dko ci 100 kmlgodz i J.Vysokogci belki 30 cm) nie przekracza 14% nacisku
statycznego.
Przyjqwszy w przybliteniu, ze r6w. (a) przedstawia tor poruszajqcego si ci zaru, mozna drogq elementarnq ocenié
takie i wplyw masy belki. Tutaj ograniczymy si do podania ostatecznego wyniku dia warto ci najwi kszego momentu
zginajqcego 2) :
M max = P 1 ( 1 + _} - ) + Ql ( 1 + )
4 11-3 8 4
. (3.t6)
PierlKsza czç é tego wyrazenia przedstawia moment zginaj'lCY, wywolany dzialaniem toczéJ,cego si ci zaru, druga za daje
moment zginaj'lcy wskutek ciçiaru wlasnego belki Q.
Otrzymane wzory uwzgl dniajq wplyw przyczyn dynamicznych tylko w tym przypadku, kiedy ciçiar belki jest I!laly
w por6wnaniu do ciçtaru poruszajqcego siç na niej. Z powiçkszeniem rozpi togci belki ro nie szybko wplyw jej ciçtaru
wiasnego i u most6w 0 wi kszej rozpi to ci ma ciç1;ar wlasny wiçksze maczenie, nii ci tar ruchomy. W tym drugim
skrajnym przypadku moina, dla otrzymania przyblitonego rozwil!zania, pominl!é sily bezwladno ci ciçiaru ruchomego
i sprowadzié zadanie do badania drga:6. belki pod wplywem sil zmiennych 8). Dia ocmien'a warunk6w, przy kt6rych drgania
wymuszone mog'l osiqgnqé znacznq wielko é, jest nader waznq znajomo é okresu podstawowych drgan belki, kt6ry mozna
znaldé metodq przybliionq, wy1ozolU! w 9 tI62). Jezeli belka ma przekr6j staly, to okres jej drga:6. oblicza si wedlug
wzoru (335). Przy pomocy tego wzoru zestawiligmy w poniiszej tabliey okresy drga:6. T dia r6znych rozpi to ci mostu.
Puy obliczeniach wyznaczono ciçzar mostu wedlug tablic dia ci iaru wlasnego most6w kolejowych 4), wysokogé belrk
przyj to r6wnq O.] rozpi to ci, a naprçienie dopuszczalne 800 kg/cm s . Wplywu odksztalcenia kraty na ugi cie mostu nie
uwzglçdniono, wobec czego obliczone warto ci T bçdi} prawdopodobnie mniejsze od rzeczywistych.
Rozpi to é mostu 1 (w metrach)
"
10
20
40
60 80
100 1
Il
Okres drgati podstawowych T (w sek.) Il
-;:to é el dia ,,= 10 m/sek Il
Il
0,046
0,079
0,129
0,1 81 l 0,226
0,015 1 0,014
0,045 1 0,042
0,270
0,023
0,020
0,016
0,0135
W arto é el dia ,,= 30 m/sek
0,069
0,060
0,048
0,040
1) "Discussion 01 a differential equation relating to the breaking 01 Railway Bridges". Math. and Phys. Pap rs.
v. Il, str. 179.
Roz wiqzanie tegoz samego zadania pojawilo si piçédziesi'lt lat p6iniej w czçsto cytowanej pracy Dra Z i m m e r-
man n'a: "Die Schwingungrn eines Triigers mit bewegter Last".
Inne rozwil!zanie przy pomocy rachunku r6tnic sko:6.czonych znajduje siç w interesujqcej pracy N. P. P eh 0 w a;
"Wplyw post powej pr dko ci kola na napr ienia w szynie" (po ros.). Zap. Imp. Russk. Techn. Ob-a z r. 1903.
Ob. takze nast pujqce prace autora: "K' woprosu 0 procznosti rels", Sbom. Inst. Inz. Put. Soobszcz. z r. 1915
i "R' woprosu 0 wibraciach rels", Izw. Elektrot. Inst. z r. 1915.
2) Szczeg610wy wyw6d mozna znale:fé w przytoczonej powyzej ksiqzce el eb s c h'a, str. 609.
BJ Juz Stokes zauwaïyl, ze ruch ciçzar6w musi wywolaé w belce drgania. Do wyznaczenia tych drgat'i zastoso-
wal metodç przyblizonq, wylozon'l w dodatku do pracy powyzej cytowanej.
Dolcladne rozwii}zanie zagadnienia drgati belli w przypadku. gdy mozna pominqé mas toczqcego si ci zaru, podal
fi. N. Rr y 1 0 w w pracy: "Über die erzwungenen Schwingungen von gleichIOrmigen elastichen Stiiben", Math. flnnalen, Bd. 61.
Inni} metodq traktuje ten problem praca autora: ,,0 wymuszonych drganiach pr t6w pryzmatycznych" (po ros.).
Tarn tez rozpatrzono kwestj wplywu przeciwwag na drgania most6w.
.) "Der Brückenbau", Handb. d. Ingenieurwissensch. II Bd. 2 fibL, str. 6.
317
l\mplituda drgan wzbudzonych przez ruch ciçiaru po belce b dzie zalezeé od pr dko ci ruchu. Najwi ksza amplituda
powstaje w przypadku sp61brzmienia, gdy czas, potrzebny do puebie:tenia puez ci zar rozpilÇto ci mostu, r6wna si po-
lowie okresu drgat'i podstawowycb, t. j. gdy: 2 1
T=-.
"
Z naszej tabliey widaé, :te puy stosowanych obecnie pr dko ciach pociqg6w jest zjawisko sp61brzmienia wykluczone. po
niewai stosunek 21
a= T : Ii
jest malym ulamkiem. Obliczenia wykazuj<!; :te w przypadku poruszajqcego si ci zaru mozna stosunek ugi cia dynami-
cznego do statycznego z dostatecznq dokladnogciq przedstawié r6wnaniem:
fd = fsl(1 + a = fst( ] + ) . (347)
Biorqc pod uwag zwykle warto ci eL, widzimy, :te przyrost ugi cia, wywolany szybkim ruchem ciçiar6w, jest niewielki.
o wiele wi kszy wplyw na rozkolysanie mostu mogq .okazaé przeciwwagi k61 lokomotywy. Jeteli cbr6t kola dokonywa si
w przedziale czasu, r6wnym okresowi T drga6 podstawowych, to zajdzie zjawisko sp61brzmienia i powstanq silne drgania.
(W najniekorzystniejszych przypadkach moie amplituda drgan wymuszonYlh, z pomini ciem opor6w, oSÏllgnqé war-
togé 15 do 25 razy wi kszq od ugiçcia PI3f48EI, przyczem P oznacza sil bezwladnœci przeciwwagi. U szybkobieznych
lokomotyw dochodzi P do 51). W przypadku most6w drogowych mogq powstat znaczne drgania przy przemarszu oddzia-
16w piechoty miarowym krokiem. Tutaj okres zmiany obci'lzenia jest r6wny czasowi, odpowiadaj.}cemu jednemu krokowi
i zjawisko sp61brzmienia moze zajgé u most6w z dluzszym okresem drgat'i wlasnych. Takie warunki mamy zwlaszcza
w mostach wiszqcych.
Opr6cz napr ien dodatkowych, uwarunkowanych drganiami mostu, wypada uwzgl dnié takie i wplyw innych przy-
czyn dynamicznych. Wi ksze znaczenie, osobliwie dia most6w 0 malej rozpi to ci, mogq- miet udeuenia k61 na stykach
szyn, uderzenia wskutek nier6wnego zuzycia obr czy i nier6wnogci toru. Tych kwestyj niepodobna rozwiqzat drog czysto
teoretycznq; tutaj Si! niezbçdne r6wnolegle badania do wiadczalne nad drganiami most6w przy przeje£dzie pociqg6w i nad
zmianami w napr ienia(h oddzidnych cZIÇ!ki skladowych. Takich do \\iadcZln ml'my dotqd bérdzo niewiele; zbyt malo
aby- w zadowalaj cy spos6b ocenié wplyw rozlicznych przyczyn dynamicznych na napr ienia.
9 168. PRF,;DROSé RRYTYCZN1\ DU\ GlF,;TRIEGO W1\LU L1\V1\L'}\
T eorja gi tkich wal6w obudzila szczeg6lne zainteresowanie dzi ki szerokiemu rozpowszechnie-
niu turbin parowych w rozlicznych dziedzinach techniki. Wielkie pr dkosci ki!towe wywolaly caly
szereg oryginalnych konstrukcyj, do kt6rych nalezy i gi tki wal Lavara. Nawet przy najdokladniej-
szem sporzi!dzeniu moze srodek ci zkosci zbaczaé od osi obrotu i przy obliczeniu trzeba uwzgl -
dnié sily bezwladnosci zginaji!ce wal. Przy wielkich pr dkosciach ki!towych rosnië wplyw tych sil
i juz male niedokladnosci mogi! byé przy-
czyni! bardzo znacznych napr zei'i dodatko-
wych. Dia przykladu wezmiemy kolo turbi-
nowe 0 srednicy 760 mm i pr dkosci obwo-
dowej 420 mlsek. Jezeli na obwodzie umie-
scimy dodatkowé! mas 0,1 kg, to odpowia-
daji!ci! jej sHi! odsrodkowi! b dzie:
0,1 420 2
p= 9 81 . 038 =5000 kg.
, ,
Jak widzimy, drobna niedokladnosé wykona-
nia IJloze pocÏi!gni!é za sobé! bardzo niebez-
pieczne napr zenia. W prowadzenie do prak-
tyld gi tkich wal6w usuwa to niebezpieczei'i-
stwo i umozliwia osii!gni cie spokojnego
ruchu maszyny przy olbrzymich pr dko-
sciach. RozwaZmy nast pujé!cy najprostszy
przypadek: Na wale fI B (rys. 392), podpartym w punktach fI i B, osadzono w srodku krC!-
zek m n. Srodek ci zkosci kri!zka 0 nie lezy na osi obrotu fI B, a jego mimosr6d r6wna si e.
Przy obrocie kola b dzie zatem wal narazony na zgi cie sHi! odsrodkowi!:
P=m(y+e)w 2
Ar,
Ar,
,
\
,
\
1
1
IOn
ln
\
\
\
\
\
\
\
1
1
0'
fi
111
_-..::"=3-
-. --
fÏ!6'1!:J..
l '
,,:
1/tP-
1
1
1
1
1
1
fi . b.
. j'
- /I-;tI
-,
/ e
B
1
1
1
1
B 1
Rys. 392
(a)
318
jeteli oznaczymy przez y ugi cie walu w rodku rozpi to ci, a przez m mas kola. (Mas walu
pomijamy jako malij w por6wnaniu do masy kola). Ugi cie y da si wyrazié, w zaleznosci od
wielko ci zginajijce; sily i rozmiar6w walu, r6wnaniem:
y = a P,
przyczem
l'
a = 48 El w przypadku podparcia koiic6w walu, a
IS
a = 192 El w przypadku utwierdzenia koiic6w.
Po wstawieniu wartosci y = aP w r6w. (a), znajdziemy:
am e w 2
y = 1-amw 2
Przy male; wartosci Q powstanq zatem male ugi cia. kt6rym b dq odpowiadaé male napr zenia.
Wielkosé ugi cia rosnie jednak szybko z przyblizeniem mianownika w wyrazeniu (b) do zera, dIa
1 amw 2 =O
. (b)
wypada ugi cie nieskoiiczenie wielkie. Ten wynik wskazuje na szczeg61ne niebezpieczeiistwo przy
pr dkosci
Wkr="{
'1 am
. (348)
zwanej "pr dkosciq krytycznq". 1\by przy stopniowem zwi kszaniu pr dkosci przy doswiad-
czeniach przekroczyé wartosé krytycznq, trzeba budowaé osobne urzijdzenia w celu zapobiezenia
pojawieniu si silnych drgaii poprzecznych. Czasem jednego obrotu przy pr dkosci krytycznej b dzie:
T = 2 TC = 2TC . 1 f . (349)
w Yg
Tutaj oznacza f ugi cie walu, jakieby powstalo w jego poziomem polozeniu pod wplywem ci zaru
wlasnego kola turbinowego. 1\ zatem r dkosé krytyczna j est rowna cz sto scÎ wahnien
wahadla matematycznego 0 dlugosci r6wnej ugi cÎu walu, albo r6wna si cz stosci
swobodnych rgaii poprzecznych waiu z kolem osadzonem w srodku. Dochodzimy tedy do
nast pujijcego wniosku: 1\zeby wyznaczyé liczb obrotow n, przy kt6rej waJ doznaje silnych drgail,
czyli zaczyna "bié", trzeba uloZyé waJ wraz z kolem osadzonem w srodku poziomo na dwu pod-
porach i wywolaé w jakikolwiek spos6b drgania poprzeczne. Liczba tych drgaii na minut b dzie
wlasnie r6wna liczbie obrot6w n, przy kt6rej wal "bije". Zjawiska odpowiadajqce pr dkosci kryty-
cznej mozna przeto rozpatrywaé jako drgania wymuszone pod wplywem sil bezwladnosci niezrow-
nowazonych mas. Skoro osiqgni to pr dkosé krytycznij, to nawet najbardziej wytrzymaly wal mu-
sialby ulec zniszczeniu, gdyby nie bylo opor6w przeszkadzajqcych bocznym drganiom. Jezeli przejsé
poza pr dkosé krytycznq, to, jak wykazuje doswiadczenie, mozna znowu otrzymaé spokojny ruch;
wal przestaje "bié". Okazuje si , ze w tych warunkach lezy srodek ci zkosci kola turbinowego nie
tak, jak przyj lismy na fig. (a), lecz mi dzy osi q geometrycznij a linjq wygi cia walu (Hg. b). Od-
powiadajijcem wyrazeniem dia sily odsrodkowej jest:
P=m(y-e)w 2 .
Ugi cie wyznaczymy z r6wnania:
amew 2 e
y=aP=am(y-e)w 2 , a wi c y
= amw 2 -1 = 1
1-
am w 2
albo na podstawie wzoru (348):
e
y= .
1_( ':kr )2
319
T en wz6r jest wazny dIa pr dkosci wi kszych od krytycznej. Jak widaé, zwi kszenie pr dkosci po-
I?niejsza wygi cia, kt6re zd zajq do granicy y = e; czyli srodek ci zkosci kola zd za do zaj ia
polozenia na osi geometrycznej walu. Sam wal b dzie opisywaé po zgi ciu pewné} powierzchni
obrotow . Ze ta postat ruchu, ustalaj ca si przy pr dkosciach wi kszych od krytycznej jest
t r wa 1 q, czyli s t a tee z n q, przekonano si drogq doswiadczalnq i wykazano analitycmie '). Rorzys<:
z zastosowania gi tkiego walu staje si teraz jasnq, albowiem ugi cia y Sq tem mniejsze, im mniej-
SZq wartosé ma stosunek Wb: w; pomniejszymy zas t warlosé, zmniejszajé}c licznik, a wi c zmniej-
szajqc sztywnosé walu.
Jezeli na niewazkim wale osadzono dwa kr zki (kola), to otrzymamy dwa rozne typy drgaii
poprzecznych i odpowiednio do tego mozna znalezé dwie warlosci krytycznej pr ogci kqtowej.
Z powi kszeniem liczby kr q zk6w staje si badanie kwestji pr kosci krytycznych coraz tmdniej-
szem, wobec czego w praktyce uzywaj albo formuly empirycznej Dun k e ri e y' a'), albo przybli-
zonej metody wykreslnej S). Wedlug Dunkerley'a krytycznq pr dkosé kqtowq œ okreSIa przy obe-
cnosci kilku krqzk6w r6wnanie:
1 1
W2 = (l)i 2
i=1,2,3...
(c)
w kt6rem oznacza (l)i krytycznq pr dkosé k towq, obliczonq dIa przypadku, kiedy na wale maj-
duje si tylko kré!zek odr6zniony wskaznikiem i. Sumowanie odnosi si oczywiscie do wszystkich
krqzk6w 4).
W poprzedzajé!cych rozwaianiach przyjmowali!:;my og walu jako pionowq i tym sposobem wykluczylWny wplyw wla-
snego ci taru krqzka na zjawisko "bicia". Je:teli dia poziomego polozenia osi walu ocenimy wpiyw ci aru wlasnego krl!tka
to otrzymamy dla Wkr wartogci mniejsze, ani:teli znale7.Îono przy pionowem po\oteniu walu 5).
Okazemy to. na przypadku jednego krq:tka osadzonego z mip:!o odem e. Wskutek dzialania
ci zaru wlasnego punk! 0, w kt6rym skupiamy ma kr'ltka m (rys. 393) nie bçdzie opisywaé kola,
ecz krzyw'l bardziej zlo:toni}. Do obrotu ze stalq pr dko cié! kqtowq przybywa jeszcze ruch punktu
o w kierunku promienia.
Przy ustawieniu r6wnania r6tniczkowego ruchu punktu 0 w kierunku Y trzeba b dzie dIa si}
bezwladno ci napisaé wyratenie:
_m cf2y +mw2(y+e)
dt t ' .
Wtedy stesujqc zasad d'fllembert'a i rzutujqc wszystkie sily A -------------------1--------- -----
dzialajqce na punkt 0 na kierunek osi Y, otrzymamy: .
- m :tt; +mw'(y+e)+mgcoswf- =0,
a sbd: tf.I. y ( 1 ) .
ut _+ __ wt y=gcoswf+w'e.
dl' ma
Otrzymaljgmy przelo r6wnanie r6iniczkowe dIa drgatl wymuszonych na osi Y. czynnik
..
l's./;
fig,D
: ..)
L--mt....
R)'I. 393
...!.- - w 2
ma
przedstawia kwadrat cz stogci drgat'i wlasnych ukladu, za wielko é w czçstogé sily wymus:zajqcej drgmlia. Zjawisko wsp61-
brzmienia. odpowiadajqce biciu walu, powstanie, jeteli
1
--w'=w',
ma
1) Ob. fl. F 0 p p l, Vorles. üb. technische Mechanik, Bd. IV;
F. Rlein u. 1\. Sommerfeld, "Thvorie des Kreisels", Helt 4, 9.
') Phil. Trans. Lond. Soc., t. 185, str. 270.
') Ob. fi. StodoIa. Die Dampflurbinen. wyd. 4, str.30h .
4') Wz6r (c) sprawdzili do wiadczaInie z dostateczlli! dokladnogciq Dunkerley i Stodola; ob. Die Dampfturbi-
nen, str. 306.
Teoretycznem badaniem warto ci krytycznych prçdkogci przy kilku krq:tkach zajmuje si praca C. chree . Phil.
Mag. z r. 1904, str. 504. . .
W sprawie rozw zama tegoz zagadnienill pr%y pomocy metody Ritz'a ob. pracç lIutora: "Woprosy proczDOSÜ W PII-
rowych turbinach", Wiestn. Ob-a Technologow % r. 1912.
5) Ob. artykul w Engineering z r. 1916, str. 152, 197.
320
a stqd
I V .
"'kr = fi m a
Z por6wnania z wzorem (348) wnosimy, ze przy poziomem polozeniu osi walu zmniejsza si warto é wkr W stosunku
1 : JI2; w por6wnaniu z wartogciq dIa polozenia pionowego.
. (348)'
9 169. RRYTYCZN1\ PREDROsé Rl\TOW1\ DL1\ W1\LU NIEOBCIl\ZONEGO
Je:teli przyjmiemy, ie grodek ci zk ci kazdego przekroju poprzecznego walu lezy na geometrycznej osi obrotu, to
niema przyczyn zewn trznych, kt6reby mogly wywolaé skrzywienie walu. W celu wyznaczenia krylycznej wartogci pr dko-
gci kqtowej posi'lpimy nieco inaczej, niz w poprzednim paragrafie. Zaczniemy od rozpatrzenia poprzecznych drgati walu.
Dop6ki wal siç nie obraca, to stawia op6r wszelkim silom zginajqcym; skoro go odchylimy z polozenia r6wnowagi i na-
st pnie pozostawimy samemu sobie, to wykonywa drgania okolo polozenia r6wnowagi, a cZ\jstogé drgan b\jdzie tem wi k-
sza, im wi sz'l jest sztywn"gé walu przy jednym i tym samym ci zarze wlasnym. Sztywnogé przy zginaniu mierzy war-
togt; sil d'lzqcych do przywr6cenia poczqtkowej postaci r6wnowagi walu. Je:teli podczas obrotu walu z dowoII1'l sta1é! pr d-
kogci'l wygniemy go nieco i pozostawimy samemu sobie, to dop6ki pr\jdkogé kqtowa jest mniejsza od krytycznej, wykona
wal szereg drgat'i poprzecznych i po ich wygagni ciu przybierze napowr6t postaé prostolinjow'l, przyczem jednakze sila,
d'lÏllca do przywr6cenia tej postaci, niejako slabnie. To zjawisko Humaczy siç wplywem sily odgrodkowej, dzialaj'lcej na
mas zgi tego walu. Na kazdy element walu 0 dlugogci dx odchylonej od pierwotnego polozenia 0 y, przypada sila od-
grodkowa !L u,i y d x, jeteli q oznacza ci zar jednostki dlugogci walu. (Przekr6j walu przyjmiemy staly). Wal okazuje siç
g
jakby narazonym na obci'ltenie ciqgle, proporcjonalne w kaidym przekroju wzgl dem wielkogci ugi cia. Powi\jkszaj'lc prçd-
kogé kqtow'l obrotu, zwiçkszamy zarazem natçtenie tego cié!glego obciqienia. Ostatecznie dojdziemy do takiej pr dkogci,
:te sily bezwladnœcÎ wystarcz'l do zr6wnowatenia sil spr tystogci i wal pozostanie trwale w stanie wygi tym. Odpowiada-
j'lca temu prçdkogt; b\\dzie krytyczl1i!, poniewaz przy niej wszelka przypadkowa przyczyna moze za sobq pociqgnqé silne
skrzywienie walu. f\teby znalefé pr dkogé krytyczn'l ustawimy r6wnanie r6zniczkowe wygi tej osi wa}u w postaci (151) z 9 (96):
El : = ; m 2 y.
Og61nq calkq (ego r6wnania bçdzie:
y= lIe ax + Be- ax + C sin ax + D cos ax,
przyczem a= V ;;
Szukajmy tych wartogci et, a wi c i , , przy kt6rych bçdq spelnione warunki na koncach walu, 1. j.:
cPy . d 2 y
dla:r=O; y=O i dx 2 =0; dIax=l; y=O 1 dx =O,
poniewaz przyj ligmy swobodne podparcie konc6w. Na wyznaczenie stalych dowolnych mamy warunki:
1) Il + B + D = 0, II) lIas + Ba s -Da 2 = 0,
III) lIe ul + Be-al + C sin al + D cos al = 0, IV) lIa eal + Ba 2 e- al _ Cal sin al- DaI cos al = O.
. (350)
[---
f '
1 /ig.d,
i 1
,---_ _ _ _---.3
: 2 :
-'
J
Z I-go ill-go warunku wynika, te D =- 0, Il = - B. l\by uczynit; zadogé warunkowi III-mu i IV-mu, Irzeba przyjqé:
Il = - B = 0; sin al = 0 . (a)
Otrzymany warunek (a) pozwaIa nam okreglié tç wartogé a, przy kl6rej staje si
mozliw'l zgi ta postaé r6wnowagi walu. Najmniejszq odpowiadajqcé! wartogt; pr d-
kogcikqtowej otrzymamy, kladqc a=-+. Po podstawieniu tej wartogci w r6w. (350)
znajdziemy :
'.
Rys 394
Wkr= V EIg
11 q
Odpowiadajqcy okres jednego obrotu walu r6wna si\j:
2n II 1 r-;:;- q
T=-=2n-V .
mkr n EIg
Otrzymany wynik jest zgodny z wzorem (335)', a wi c i w tym przypadku jest
pr dkogé krytyczna identycznq z czçstogcié! poprzecznych drgan walu. Je:teliby-
my w r6w. (a) podstawili kolejno a = 2; , 3 t ,..., to otrzymalibygmy inne
tormy zgi cia (rys. 394), odpowiadaj'lce wyzszym typom poprzecznych drgan.
. (351)
1
1 1
! 1 ;
:Jf--Y - B'
fig.c. ",,-/ q
321
Razdej takiej postaci odpowiada wla ciwa pr dko é krytyczna, a stosunek kolejnych prçdko ci b dzie nast pujqcy:
tJ;tkr: œ2kr: tJ;3kr = 1 : 4: 9.
Zwiçkszajqc stopniowo pr dkogé obrotu, mozna podczas do wiadczenia zaobserwowaé r6tne typy drgat'i przy odpowiadaii!-
cych krytycznych pr dko ciach.
JezeIi na wale znajduje si szereg krê!ik6w, to przy ich r6wnomiernem rozloteniu wzdlut walu moina cal4 masç
krê!zk6w rozlozyé na dlugogci walu i przy obliczeniu krytycznej pr dkogci utyf wzor6w, vryprowadzonych dia walu 0 stalej
grednicy (wz. 351). Trzeba tylko pamiçtaé, te krqzki, zwiçkszajqc masç walu, nie powi kszajq jego SZtyWliOgcP}.
9 170. 0 Nfl.PREZENI1\CH PRZY UDERZENIU
Przy rozpatrywaniu zagadnien statyki przyjmowalismy, ie sily dzial:aj ce wzrastaj od zera
do swej koncowej wartosci tak, ze w kazdej chwili zachodzi rôwnowaga mi dzy silami zewnç-
trznemi, a wewnçtrznemi sil:ami sprçzystosci. Tylko wsrôd takich warunkôw dane obcië}ienie nie
wywol:a w ukl:adzie sprçzystym drgan i towarzysz cych im dôdatkowych napr zen. W rzeczywi-
stosci cz sci skl:adowe technicznych konstrukcyj s narazone nielylko na ohci zenia, dzialajë}ce
statycznie, lecz takze podlegajé! czçsto nagl:emu dzialaniu sil i doznajë} uderzen. Naprçzenia,
wywol:ane terni przyczynami osiqgajé! nieraz wielkosé bardzo znaczné! i naleZy' je wzi é' w ra-
chubç. Zaczniemy od wyznaczenia odksztal:cen i naprçzen, wywolanych uderzeniem w prçtach,
1. j. cial:ach, ktôrych dwa wymiary mozna uwazaé za male w por6wnaniu do trzeciego. Odnosne
zadania rozwiqzujq siç w bardzo prost y spos6h w przypadku, gdy mozna pominé!é masç prçta,
a zatem i odpowiadajqce jej sily bezwladnosci 2). Tylko dziçki wplywowi sil bezwladnosci dzia-
I:anie, wywarte na dowolny punkt prçta, przenosi siç na inne punkty nie w tej samej chwili,
lecz potrzebuje do przeniesienia pewnego skonczonego przedzialu czasu. Jezeli pominiemy masç
prçta, co motna uczynié w przypadku, gdy ta masa jest malq wobec masy uderzajë}cego ciala,
to zagadnienie sprowadza siç I:atwo do zadania statycznego, a mianowicie do
szukania odksztalcen prçta pod wplywem sily dzialajqcej na miejsce uderzenia.
Wielkosé tej sily bçdzie w kazdej chwili proporcjonalna wzglçdem odksztalcen
przez ni q wywoJ:anych, przy zalozeniu, ze riapr zenia przy uderzeniu nie przekra-
czajq granicy sprçzystosci. Spos6b wyznaczenia odpowiadajë}cych naprçzen przed-
stawimy na przykladach szczegôl:owych.
Pionowy prçt JI B (rys. 395) 0 dlugosci l, utwierdzony g6mym koncem, jest
narazony na uderzenie ciçzarem Q spadaj cym swobodnie (bez opor6w) wzdluz osi
pr ta. W chwili zetkniçcia ciçzaru z glowë} m n, umieszczon w dolnym koncu prçta
(poczé!tek uderzenia) bçdzie prçdkosé ciçzaru r6wnaé siç:
1 1
L . j
-., n
B
,,= V2ih.
. Rys. 395
Dalszemu swobodnemu ruchowi spadajé!cego ciçzaru przeszkadza glowa mn. Na-
cisk wywarty przytem przez ciçzar na glow bçdzie rozcië}gaé pr t tak dlugo, az prçdkosé ciçzaru
stanie siç r6wné! zeru. Latwo obliczyé odpowiadajqce tej chwili najwiçksze wydluzenie Î_. W tym
celu trzeba prac sily ci zkosci, dzial:ajqcej na Q, przyrôwnaé do energji. potencjalnej, nagroma-
dzonej w prçcie AB przy jego wydluzeniu 0 À.. 1\ zatem:
À. 2 EF
Q (h + À.) = ---rr-'
Rozwiqzuj c otrzymane r6wnanie wzglçdem À, z najdujemy:
À = 1..t + V 1..t 2 + 21..th
. (352)
1) Rwestj oporu girostatycznego krqzk6w rozpatruje Stodola w dziele: Die DampUurbinen, wyd. 4-e, sir. 288 i 298.
2) Badanie uderzenia w tem pierwszem przyblizeniu znajduje siç jut w nast puii!cych dzielach:
Th. y 0 u ng, .1\ course of lect. on natural philosophy", r. 1807, str. 135.
1. V. Poncelet, ..Introd. à la m6canique industrielle", wyd. III z r. 1870, str. 418.
Kur. wytrzymalo'ci mllterjlll:<l'Ol
21
322
Tutaj oznacza :A s1 wielkosé QI: EF, przedstawiaj Cé! statyczne wydtuzenie pr ta JlB pod dziala-
niem ciçzaru Q. Jezeli wysokosé spadania wyrazimy przez pr dkosé v, ktôrej nabywa ciçzar na
pocz(!tku uderzenia, to rôw. (352) mozna przedsta wié w postaci :
1. = Àst + 11 Àst 2 + Àst . (352)'
Gdy w szczegôlnosci v = 0, to wz6r powyzszy daje 1. = 21.st. t. j. ciçzar dzialajqcy nagle (ale bez
uderzenia) wywoluje wydluzenie dwa razy wi ksze od tego, jakie odpowiada polozeniu r6wnowagi.
Ten wynik otrzymalismy juz pierwej w 9 (21).
Wyznaczmy teraz wielkosé naprçzen rozdé!gaj cych pmu, kt6re odpowiadajq najwiçkszemu
wydIu:ieniu J.: 1.
pmax = T E.
Podstawiwszy za J warlosé z (352Y, a zamiast "Àst wielkos é QI: E F, znajdziemy:
Q 11( Q 2 Q E v 2
pmax= F + F ) +-Ff"g .
. (353)
Wielkosé naprçzen zalezy, jak widzimy, nietylko od pola przekroju poprzecznego prçta, lecz takze
od jego dlugosci. lm wiçksza jest dlugosé l, tem mniejsze bçd naprçzenia przy uderzeniu. Przy
znacznej wysokosci spadku h mozna pomin é wielkosé Àst wobec h, a wtedy dIa najwiçkszego
wydluzenia otrzymamy wz6r:
1. = V 21..th =11 1..t Vi .
g
Odpowiadajqcem naprçzeniem bçdzie:
, E:A V Q E v 2
Pmax=T= FI g
. (354)
. (355)
Jezeli przez R nazwiemy dopuszczalne dé!gnienie, to z wzoru (355) znajdziemy latwo tç graniczn
wartosé energji kinetycznej ciala uderzajé!cego, przy kt6rej naprçzenie osié!ga wieikosé dopuszczaIm ,
a mianowicie: Q Vi R2 FI
2g -2£ .
. (356)
Graniczna wartosé energji kinetycznej uderzajqcego dala jest przeto (w przyblizeniu) proporcjo-
naIn wzgI dem obj tosci prçta narazonego na podluzne uderzenie i nie zaIezy od stosunku jego
wymiar6w.
Rozpatrzymy ternz przypadek zgiçcia. Na prçt w obu koncach podparty spada ciçzar Q
z wysokosci h. DIa uproszczenia przyjmiemy, ze miejscem uderzenia jest srodek ro piçtosci i ze
zgi cie pod wplywem uderzenia zachodzi w jednej z plaszczyzn gl6wnych. Niechaj fd oznacza
wartosé najwiçkszego ugiçcia przy uderzeniu (strzalka dynamiczna). T emu ugiçciu odpowiada na-
cisk spadajë!cego ciç:iaru Q r6wny:
P = 48E/fd
,II .'
Energjé! potencjalné! prçta, odpowiadajqcé! ugiçdu fd, bçdzie:
V = Pf<1 = 24E1 (dl
2 f3'
Je:ieli pommlemy masç pr ta, ta w chwi1i najwiçkszego jego uglçcla calkowita praca ciçzkosci
spadajqcego ci zaru zamieni siç oczywiscie w energjç potencjainq odksztalconego prçta. Do wy-
znaczenia Id otrzymamy wtedy r6wnanie:
Q (h + fd) = 24I 1 rd l ,
z kt6rego:
QI' 11 QI' 2 2 QI'h
fd = 48£/ + ( 48E1 ) + 48E1 = fst + V fst 2 +fst2h.
323
Znal.eziony wzôr ma tç sam,! postaé, co formula (352), otrzymana dIa pr ta nara:ionego na ude-
rz m.e podluzne '). Znajê!c wielkosé strzalki dynamicznej, znajdziemy latwo i odpawiadajê!c,! wartosé
naJw]çkszego naprçzenia. Najwiçkszym momentem zginajqCym w srodku prçta bçdzie:
Pi 12 El
M max ="4 = !d-P,
_ 12f d EI _ 12Eafd
Pmax - ilW - II .
Tutaj oznacza a odieglosé wlôkna skrajnego ad osi obojçtnej. Jezeli wysokosé h spadku ciç:iaru
jest wieika wobec ugiçcia statycznego, to dIa najwiçkszego ugiçcia otrzymamy dosé dakladnê!
warlosé z wzoru:
a zatem:
l r Qi' Vi
fd = V 2fsth = 48E1" g'
Odpowiadajqce najwiçksze naprç:ienie okresli r6wnanie:
, 12aE V Qi' Vi
P max = ---p 48E/ ' g'
Gdy puez R oznaczymy wielkosé naprçzenia dopuszczalnego przy zgiçciu, ta z wzoru
dziemy granicznq wartosé dIa energji kinetycznej spadajqcego ciç:iaru Q:
Qv l RI Il
2g = 6Ea 2 '
W przypadku przekroju prostokqtnego bçdzie:
Qv l RI Fi
2 g = 18 E .
. (357)
(357) znaj-
. (358)
przyczem F oznacza pole przekroju. ZnaIezlismy wiçc znowu, ze graniczna wartosé energji kine-
tycznej spadajqcego ciç:iaru jest proporcjonaina wzglçdem objçtosci prçta namonego na uderzenie.
Znaczenie uderzenia przy sk.rçcaniu objasnimy na nastçpujqcym prostym przyldadzie. Kola
zamachowe MN (rys. 396) obraca siç z danq prçdkosci q kqtowq 0). Jakie powstanq naprçzenia,
je:ieli wstrzymamy nagle obr6t lewego kOlica ff? Po zatrzymaniu ko:tîca Il bçdzie widocznie
kolo MN obracaé siç dalej tak dlugo, dop6ki jego energja kinetyczna nie zamieni siç calkowicie
w energjç potencjalnq skrçconego walu. Tej chwiIi bçdzie ad-
powiadaé najwiçksza wartosé cp kqta skrçcenia. Je:ieli 8 ozna-
cza moment bezwladnosci kola zamachowego, a I p biegunowy
moment bezwladnosci (kolowego) przekroju poprzecznego walu,
ta dia znalezienia cp otrzymamy nastçpujt!ce r6wnanie:
cp2 G l 800 2
P -
21 -2'
.... 1
1 .: B
I
1
Ji:
A
1
I I/&H'
.
,
1
.
Rys.. 396
kt6re wyra:ia, :ie energja potencjalna skrçconego walu r6wna siç energji kinetycznej kola zama-
chowego. Wyznaczywszy cp latw? znalezé i odpowiadajqce naprçzenia.
171. WPLYW Ml\SY PR T1\ N1\ WIELRoSt Nl\PR ZEN PRZY UDERZENIU
Przy obliczeniu napr ze1'i dynamicznych pomijali$'my w poprzednich zadaniach wlasnq masi} uderzonego pr lub
belki. Takie uproszczenie zadania nie poci'lga za sobq wi kszych bt d6w, dop6ki masa spadaji}cego ciçzaru jesl wielka
w por6wnaniu do masy pr ta = ; atoIi w razie przeciwnym nie woIno pomijaé masy pr ta. Przedstawimy tutaj przybli-
1) Takit sam wz6r motna otrzymaé i w najog6lniejszym przypadku. jezeli wyjdziemy z zatozenia, . z cala energja
kinetyczna spadajqcego ciçzaru zamienia siç w energj potencjalni} ciala uderzonego, a zarazem przesumçCJe punkhl. na
kt6ry-ci tar traHa, jest w kazdej chwili proporcjonaIne wzglçdem nacisku tegoz ci iaru.
21*
324
zony spos6b oceny tego wplywu 1). Dop6ki pomijamy mas pr ta, wielko é odksztalceti wyznacza si z warunku, ie enega-
kinetyczna spadaj'lcego ci zaru zamienia siç w zupelno ci na energj potencjaln'l pr ta. W pierwszym okresie uderzenia
nie mamy tedy zadnej Straty energji. Inny wynik otrzymamy, skoro uwzgl dnimy mas pr ta, Pr dkogé v, jakq posiada
ci zar spadaji'!cy w chwili dotkni cia pr ta, zmienia si tak dlugo, dop6ki ciçzar i cz gé pr ta stykajqca siç z nim bezpo-
rednio nie przybiorêl pewnej wsp61nej prçdko ci c. Gdyby prçt uderzony byl cialem swobodnem niesprçzystem, to wiel-
ko é c motnaby wyznaczyé z r6wnania iIogci ruchu:
P + Q c = .2. v a mianowicie
g g ,
Q
c=v P+Q '
w rzeczywisto ci zaczyna si pr t odksztalcaé od pierwszej chwili uderzenia i w chwili, gdy przekr6j, odpowiadajqcy
miejscu uderzenia o!,iqga pr dkogé c, mogq inne przekroje mieé inne pr dko ci. Utwierdzone punkty pr ta, albo podparte
konce belki bçd'l mieé prçdk6sé r6wnq zeru. Skoro uczynimy pewne zalozenia co do prawa, wedlug kt6rego zmienia si
pr dko é wzdluz pr ta, to wplyw masy pr ta na wielko é naprçzeti dynamicznych mozna oznaczyé tqt samêl drogq ele-
mentarni!, jakq obrali my przy badaniu drgati ( 162). Rozpatrzmy przypadek podluinego rozciqgania pr ta RB przez
spadaji!CY ci iar Q (rys. 390). Niechaj " oznacza pr dko é, z kt6ri! ci tar Q dosi ga dolnego kotica pr ta AB. Odpowia-
daj'lCi! energjêl kinet)czni! b dzie 2 , W dalszym ciqgu nastqpi wyr6wnanie prçdkogci ci taru Q i dolnego kotica pr ta.
Oznaczmy wsp6lnêl pr dkogé przez c i przypu émy, ze pr dko ci oddzielnych element6w dlugogci pr\!ta zmieniajq siç we-
dlug tego samego prawa, co i przesuni cia odpowiadajqcych przekroj6w przy rozciqganiu prçta sil'l dzialaj'lcq na koniec.
W takim przypadku pr dko t przekroju mn w odleglo ci x od utwierdzonego kotica b dzie r6wna:
x
cx = cT"
Energj kinetycznq calego pr ta okre!fli wyrazenie:
(" p cx 2 P c 2
)o gl dX '2= 3g ' 2'
Warto!!é energji jest zatem taka, jak gdyby trzecia cz é masy pr ta byla skupiona na jego uderzonym koticu, a cala
dlugo é prçta byla zresztq pozbawiona masy. W obec tego r6wnanie i!ogci ruchu przybierze postaé:
Q 1 P Q
-c+--c=-v
g 3 g g'
z kt6rej znajdziemy:
C=v -.
Q+ P
3
Majqc prçdkogé c mo:iemy obliczyt energj kinetyczni! ukladu po pierwszym okresie uderzenia. Przyj'lwszy, ze cala ta
energja zamienia si na energjç po!encjaIoq, znajdziemy wyraienie dia napr ieti dynamicznych. (To przyj cie odpowiada
zaloteniu, te uderzenie jest doskonale niesprc.Jiystem, czyli, ie po przyj ciu wsp61nej pr dkogci c cic.Jiar pozostaje nadal
w zetkni ciu z prçtem). Jezeli nazwiemy przez J. najwi ksze wydluienie pr ta przy uderzeniu, to r6wnanie dIa wyzna-
czenia tej wielko!!ci napiszemy w postaci:
( Q + P ) c 2 j,2 E F
2g + QI. = ----rr-'
Wstawiajqc zamiast c warto é powyzej znalezionq i uwzgl dniajêlc, ze:
QI .
E F = j,st,
mozemy powy:isze r6wnanie przeksztalcié na nastçpuj'lce:
,,2Q 1 ,}.'ilEF
2ii' 1 P +QA=21'
]+'3Q
St d:
. , +V ' 'il Àstl,2 1
A=-"st -"st +-.
g 1+ .f.
3 Q
W podobny spos6b da si ocenié wplyw masy pr ta przy Zgl ClU wskutek uderzenia. Niechaj np. ciçzar Q spada
z wysoko ci h na grodek rozpiçto ci belki w obu k06cach podpartej. W pierwszym okresie uderzenia ustala si pewna
. (359)
1) Ten spos6b podal H. cox, Cambridge Phil. Soc. Trans. z r. 1849, str.73. Ob. Todhunter and Pearson
1\. History of the Theory of Elasticity, t. l, str. 895.
Dokladniejsze badania teoretyczne nad uderzeniem pr t6w zawdzi czamy de Saint-Venant'owi kt6ry zauwazyl
zadowalniajqcq zgodnogé dokladniejszej teorji i d wiadczeti z wynikami metody przybIizonej. Ob. cI:bsch'a: Thc!orie
de 1'4/asticitL!... w przekladzie de S.-Venant'a; dodatek do 61.
325
wsp61na prçdkogé c ci z u i grod.ko ego prze oj belki. Przyjmujqc, te na dlugo ci belki zmieniajq si prçdko ci wedlug
tego samego prawa, co 1 przesumçcla przy Zgl ClU statycznem pod w lywem sily skupionej w rodku, znajdziemy, ze
energja kinetyczna belki w pierwszej chwili uderzenia b dzie taka, jak gdyby masy belki b y lo sku p ione w grodku
5
rozpi to ci. Pr dkogé C otrzymamy z r6wnania iIo ci ruchu:
Q ( Q 17P )
7 v = 7+ 35 7 c,
.
a mianowicie:
c=v Q
Q+- 17 p
35
PrzyjqWszy, te energja kinetyczna ci zaru i pr ta zamienia si w zupelnogci na energj potencjaln'l odksztalcenia, otrzy-
mamy dia wyznaczenia ugi cia dynamicznego r6wnanie:
'5tV" 1
fd 2 - 2 fd f5t - - . = 0,
g ]+ 17 .
35 Q
z kt6rego:
r _ r + 1/ r" fstv" 1
Id - '5t '5t + g . 17 P . . (360)
1+ 35 'Q
Gdy v = 0, t. j. gdy ci tar umieszczono na belce bez pr dko ci pocz'ltkowej (ale nagle), otrzymamy znany wynik rd = 2 '.t.
Od rozpatrzonych przyklad6w latwo pr:r:ei é do przypadku og61niejszego. Jezeli uklad, na kt6ry spada ci iar Q jest
taki, ze przesuni cie S punktu odpowiadajqcego miejscu oderzenia jest proporcjonalne wzgI dem nacisku uderzajqcego
ciçtaru, to wielko é dynamicznego przesuni cia Sd mozna obliczyé wedlug wzoru:
lr "SstV 2 1
Sd=S5t+V S5t +-'--p'
g ] +k -
Q
Tutaj oznacza S5t przesuniçcie miejsca uderz(!nia przy statycznem dzialaniu ci zaru Q,
kt6ry nalezy w kazdym szezeg6lnym przypadku wyznaczyé na podstawie przyj cia
W ukladzie w pierwszym okresie uderzenia ').
l\zeby osqdzié 0 He dokladne wyniki daje wylotona metoda przybliiona, przytoczymy w nizej umieszczonej tablicy kiIka
liczb, otrzymanych przez de S.- Venant'a dIa pr t6w w obu k01kach podpartych i narazonych na uderzenie w rodku rozpi togci.
. (361)
z liczba k jest sp6lczynnikiem,
co do rozmieszczenia pr dko ci
P 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4
Q- 4 2
1 1 1 1 1
Dokladne rozwiqzanie rd/lf = 1,09 0,739 0,417 0,297 0,167
Przyblizone rozwiqzanie (dI1f = 1 1,09 1 0,738 1 0,474 1 0,291 1 0,168
W tej tablicy oznacza If stal'l zaleznq od rozmiar6w i ci zaru prçta, oraz od pr dko ci spadajqcego ci zaru. Zauwa-
zyé wypada, ze dokladne rozwiqzanie de S.-Venant'a polega na przyj ciu pewnych okregIonych warunk6w w chwili ude-
rzenia. De S.-Venant przyjmowal mianowicie, ze w pierwszym okresie uderzenia przekr6j pr ta, odpowiadaj'lcy miejscu
uderzenia, przybiera prçdkogé r6wn'l pr dko ci spadaj'lcego ci taru, a potem pr t wykonywa drgania razem z ci iarem.
Rtoli szczeg610we badanie pierwszego okresu uderzenia wykazuje 2), ze przy pewnych stosunkach masy belki do masy
spadajqcego ciçiaru rozpada siç uderzenie na kilka po sobie nastçpujl).cych uderzefi, a cale zjawisko przedstawia si jako
bez por6wnania bardziej zloione, anizeli to przyjmowal w swych badaniach de S.-Venant.
Rozpatrzyli my przypadki uderzenia prçl6w, t. j. cial, w kt6rych jeden wymiar jest wielki w por6wnaniu do dwu
pozos1alych. Dzi ki temu mozna bylo pominqé rozwazanie odksztalcefi w miejscu uderzenia, a czas, w kt6rym te odksztal-
cenia powstaj'l, uwazaé za znikomo maly w por6wnaniu do trwania uderzenia S). J ezeli jednak wszystkie wymiary uderza-
jl!cych siç cial SI! tego samego rzçdu, np. w przypadku uderzenia dw6ch kul, to odksztalcenia miejscowe wyst pujq na
pierwszy plan. Dop6ki te odksztalcenia zachodzl). w granicach spr zysto!!ci, 10 ich wielko!!é i trwanie uderzenia mozna
obliczyé bardzo dokladnie wedlug wzor6w Hertz'a (9 37). Otrzymane t'l drog'l wyniki teoretyczne zostaly w zupelnogci
potwierdzone do wiadczeniem 4), (oczywi cie w granicach watno ci zalozefi teorji).
1) Liczbowy przyklad tego rodzaju znajduje siç w artykule prof. Tschetsche: "Berechnung dynamisch bean-
spruchter Tragkonstruktionen", Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. z r. 1894, sir. 134.
2) Ob. pracç autora: "W kwestji dzialania uden:enia na belk " (po ros.) Izw. Petersb. Politechn. Inst. z r. 1912.
8) Przy podluznem uderzeniu prçt6w graj'l miejscowe odksztalcenia nader wazn'l rol . Ob. J. E. Se a rs: "The
longitudinal impact of metal rods with rounded ends". Cambridge Phil. Soc. zr. 1907.
4) Hamburger, Wied. 1\nn. d. Phys. 28 z r. 1886.
1\. N. D innik: "Trwanie uderzenia kul spr tystych" (po ros.) Izw. Kijew. Pol. Inst. z r. 1907.
1\. N. Dinnik: "Udar i szatie uprugich liel", tamie w r. 1909.
326
9 112. PF;KNIECIE WSKUTER UDERZENI1\
Wzory poprzedniego paragratu rozwié!zujq kwestj uderzenia w tych przypadkach, kiedy od-
ksztalcenia nie przekraczajé! granic spr zystosci, i mi dzy przesuni ciem punktu dzialania nacisku
a jego wielkoscié! zachodzi zaieznosé linjowa. Poza granicami spr zystosci staje si zjawisko ude-
rzenia bardziej zlozonem. DIa znaiezienia wydluzeti Iub ugi é dynamicznych, oraz tej wartosci
granicznej energji kinetycznej spadajqcego ci zaru, przy ktôrej pr t p ka, trzebaby mieé diagram
rozciqgania statycznego, az do rozerwania i diagram statycznego zginania poza granicé! spr zysto-
sei. Jezeli przypuscimy, ze przy r.ozerwaniu wskutek uderzenia zachodzi mi dzy wydluzeniami
i napi ciami taka sama zaieznosé, jak przy rozerwaniu statycznem 1), to z wieikosci "wlasciwej
pracy odksztalcenia" ( 10) dIa dan ego materjalu mozna sé!dzié 0 energji kinetycznej spadajqcego
ci zaru, potrzebnej do rozerwania pr ta. Przyczyny, zmniejszajqce wydluzenie pr ta przy rozry-
waniu statycznem, zmniejszajé! takie prac , potrzebnq do tego rozerwania, a zatem oslabiajq wy-
trzymalosé pr ta na uderzenie.
Skoro weimiemy pr ty zelazne, przedstawione na rys. (41), i porôwnamy je z pr tem walco-
wym 0 srednicy 15 mm, to znajdziemy, ze przy rozerwaniu przez uderzenie, b dzie stosunek ich
wytrzymalosci nie taki sam, jak przy statycznem rozrywaniu. T en wynik latwo objasnié zwrôeiw-
szy uwag na odksztalcenie pr ta. W pr cie walcowym wydluzajq siç przy rozciqganiu wszystkie
elementy jednakowo, podczas gdy w pr tach z szyjkami doznajq grubsze cz sci tyIko nieznacznego
wydluzenia, a g16wne odksztalcenie koncentruje siç w szyjce. Ostateczne wydluzenie pr ta
walcowego b dzie znacznie wi ksze, niz wydluzenie pr tôw z szyjkami, wskutek czego potrzeba
wi kszej pracy do jego rozerwania. Przy "prôbie uderzenia" okaze siç pr t walcowy wytrzymaI-
szym. Wytrzymalosé pr tôw z szyjkami b dzie zaIezeé od dlugosci szyjki i stopnia naglosci
zmiany przekroju pr ta. Okazuje si , ze przy rozerwaniu z wieIkij prçdkosciij, jaka zachodzi przy
uderzeniach, zbyt malo czasu na wyrôwnanie naprçzeti w piaszczyinie oslabionego przekroju po-
przecznego, wobec czego materjaly, dajqce znaczne wydluzenia przy rozrywaniu statycznem, mogij
siç okazaé kruchemi przy uderzeniu. Wog6Ie przy badaniu pod uderzeniem wyst pujë'! na jaw
szczegôInie wyra.znie rôzne wady materjalu, wskutek czego. "prôbie uderzenia" poswiçcono w osta-
tnich czasach wi kszij uwagç w Iaboratorjach do badania materjalôw'). Powiçkszenie kruchosci
pr t6w przez oslabienie ich przekroj6w poprzecznych wypada wziijé w rachub w rozlicznych
konstrukcjach zelaznych. Okazuje siç np., ze blachy i ksztaltôwki zelazne stajé! si bardziej kruche
wskutek ich oslabienia otworami na nit y i ta okolicznosé tlumaczy niekiedy ich p kniçcie S).
'. .1) Si! dape dogwiadcz lne, wskazujl).ce na to, ze przy znacznej szybko ci odksztalcenia powstaje inny diagram
amzeli w przypadk.u rozrywama statyc nego. Granica spr iystogci przy rozrywaniu przez uderzenie jest wYZSZq, nii przy
zwyklem rozrywamu. Ob. N. N. Dawldenkow, Izw. Peterb. Polit. Inst. zr. ]913.
2) Opis odpowiadajilcych przyrz'ld6w i metod badania mozna znaIeié w nast pujl!cych pracach:
Breuil, "Nouveaux m canismes et nouvelles ml!thodes pour l' sai des mc!taux", Paris 1910, str. 140-240.
B. BIoun.t, W. KirkaIdy, H. Sankey, Proc. 01 the Ins!. 01. Mech. Engin., r. 1910, 1-2.
3) Ob. Ha c ks tr 0 h, Baumaterialienkunde, r. ]905, str. 321.
Zimmermann. Zentralblalt d. Bauverw., r. 1899, str. 265.
Co do wieIokrotnych uderzeJJ pr t6w z naciçciami ob. pracç Preuss'a w Zeitschr. d. Ver. d. Ing. z r. 1914.
cz sé VIII
o STl\TECZNOSCI UKLRDÔW SPRI;ZYSTYCH
ROZDZI1\L XX
9 173. STI\TECZNE 1 NIESTI\TECZNE POSTI\CIE RÔWNOWI\GI
Przy projektowaniu konstrukcyj technicznych obiera siç rozmiary czçsci skladowych w ten
spos6h, aby napr zenia ma terjalu nigdzie nie przekraczaly pewnych norm (napr iefi dopusz-
czalnych), ustanowionych na podstawie doswiadczalnego badania wytrzymalosci materjal6w. Szereg
wielkich katastrof wykazal, ze takie obliczenie jest cz sto nie wystarczajqce dia sp6lczesnych kon-
strukcyj inzynierskich, ze przyjçte nonny napr zefi dopuszczalnych niezawsze zapewniaj(! nale-
zyt q trwalosé konstrukcji i ze niezbçdnemi s(! dodatkowe badania statecznosci tych postaci r6wno-
wagi, kt6re przyj to za podstawç obliczenia tak czçsci skladowych, jak i cafej projektowanej kon-
strukcji. Waznosé sprawQzenia statecznosci jest uznan(! powszechnie, atoli wskutek braku teoryte-
cznego opracowania poswiçcano do ostatnich czas6w bardzo niewiele uwagi kwestjom statecznosci
w technicznych obliczeniach.
W praktyce napotykamy szczeg61nie cz sto zagadnienia statecznosci pr t6W; narazonych na
sciskanie. Skoro pr t pryzmatyczny sciskajq sily osiowe, to wog61e zajdzie skr6cenie pr ta przy
zachowaniu prostoIinjowej postaci. I\toli w pewnych warunkach prostolinjowa postaé rôwnowagi
moze si okazaé niestatecznq i pr t si wygnie [jakkolwiek na pocz(!tku dzialania sil zewn trznych
nie ma wcale moment6w zginaj(!cych, a wiçc napoz6r nie ma przyczyn, wywolujqcych zgi cie].
T 0 zjawisko zakrzywienia osi pod wplywem samych sil podluznych wyst puje tem latwiej, im
wi kszq jest dlugosé pr ta w por6wnaniu do jego rozmiar6w poprzecznych; nazywamy je ("zgi -
eiem podluznem", albo) "w yb 0 c zen i e m". W przypadku bardzo gi tkich pr t6w mozna zjawisko
wyboczenia obserwowaé juz przy bardzo malych wartosciach podluznego napr zenia. Te okoliczno-
sei wskazujq, ze przekr6j poprzeczny pr t6w sciskanych naleZy' obliczaé nietylko wedlug wielkosci
dopuszczalnego eisnienia, lecz takze wedlug wielkosci "krytycznego obeiqzenia", przy kt6rem p<>-
staé prostolinjowa przestaje byé statecznq. Obliczenie sciskanych pr t6w stanowi najprostsze zada-
nie, w kt6rem trzeba roztrzqsaé kwestj statecznosci. T en przypadek opracowano wszechstronnie
na drodze teoretycznej i doswiadczalnej. Pr6cz niego napotykamy przy obliczeniu konstrukcyj in-
zynierskich 0 wiele wi cej zlozone zadania, wymagajqce dodatkowego sprawdzenia statecznosci.
Czçsto np. mamy do czynienia z ob1iczeniem plyt, narazonych na sily sciskaji)ce, kt6re dzialajq
w plaszczyinie srodkowej plyty. Przy dzialaniu takich sil moze plaska postaé r6wnowagi plyty
okazaé si niestatecznq i plyta si wyboczy. Wysokie belki ksztaltu I, posiadaj(!ce wielk q sztyw-
nosé zgi cia w plaszczyfnie scianki, mogq si okazaé niedostatecznie sztywnemi w kierunku pro-
stopadlym do tej plaszczyzny i wyboczyé si pod wplywem pionowych nacisk6w, wywartych przez
obciqzenia zginajqce. Cienkoscienna okrqgla rura, poddana r6wnomiernemu cisnieniu zewn trznemu,
moze r6wniez byé w stanie niestatecznej r6wnowagi i ulec splaszczeniu (zak1çsni ciu), gdy cisnie-
nie zewn trzne przekroczy pewnq wartosé "krytycznq". Wszystkie tego rodzaju zadania majq nie-
328
tylko znaczenie teoretyczne, lecz Sq takze praktycznie nader wazne. Mozna wymienié niemalo przy-
padk6w zawalenia si budowli inzynierskich, kt6re wynikly wskutek niedostatecznego uwzgl dnie-
nia kwestji statecznosci.
Przyst pujqC do badania statecznosci' uklad6w spr'Èzystych trzeba przedewszystkiem zbadaé
przy jakich warunkach zachodzi wog6le kwestja statecznosci tej tub innej konstrukcji. Jezeli dalo
spr Zyste moze mieé tylko jedn q postaé r6wnowagi, to ta postaé b dzie stateczni!. Gdyby jakiekol-
wiek dodatkowe sHy zewn trzne t postaé zmienily i przestaly nast pnie dzialaé, to cialo powr6ci-
loby do pierwotnego stanu, albowiem ten stan odpowiada jedynej mozliwej postaci r6wnowagi. (Za-
kladamy, ze wszelkie zmiany zachodz q w granicach spr zystosci). W przypadku, kiedy istnieje
wi cej mozliwych postad r6wnowagi, moze si sprawa przedstawiaé inaczej: cialo, wyprowadzone
z jednej ze swych postaci r6wnowagi, moze nie wr6cié do pierwotnego polozenia i przyjqé jak q -
kolwiek illll q postaé rôwnowagi. Skoro wszystkie wymiary ciala Si! tego samego rz du, to w grani-
cach spr ZystoSci. Si! mozliwe tylko drobne przesuni cia punktôw i mozna dowiesé, ze w6wczas
istnieje tylko jedna postaé r6wnowagi; ta postaé, jako jedyna, b dzie oczywiscie statecznq 1). Jezeli zas
jeden lub dwa wymiary ciala Sq male w por6wnaniu do innych, jak np. w przypadku cienkich
plyt tub pr t6w, to mogq zajsé znaczne zmiany postaci bez przekroczenia granic spr zystosci;
plyt moma zgiqé silnie, zwini!é jq w trqbk , cienki pr t zgiqé w pierscien i 1. d. W tych warun-
kach mogq si zdarzyé przypadki, w ktôrych jednemu i temu samemu ukladowi il odpowiada wi -
cej postaçi r6wnowagi. Pr t sciskany podluznie moze zachowaé postaé prostolinjowi!, ale moze
takze zgii!é si . Plyta, sciskana silami lezi!cemi w jej plaszczyznie srodkowej, moze pozostaé pla-
ské!, ale moze w pewnych warunkach si wyboczyé.
Projektowana konstrukcja b dzie oczywiscie trwalq tylko w tym przypadku, gdy przyj ta za
podstaw obliczenia postaé rôwnowagi jest stateczné!; z tego powodu jest dIa zastosowan prakty-
cznych niezb dné! znajomosé tej najmniejszej wartosci obcié!zenia, przy kt6rej istnieje wi cej jak
jedna postaé rôwnowagi. T wartosé b dziemy nad al nazywaé "k r y t Y c z n q". Dopôki obciqzenie
jest mniejsze od krytycznego, b dzie mozliwi! tylko jedna postaé r6wnowagi i ta postaé b dzie
oczywiscie statecznq. Przy obciqzeniach wi kszych od krytycznego Sq mozliwe przynajmniej dwie
r6zne postacie r6wnowagi. Rozmaite mètody wyznaczenia krytycznej wartosci obcii!zenia objasnimy
przy rozpatrywaniu poszczeg6lnych zadan.
9 174. ZllG.RDNIENIE EULERll
Pierwsze zagadnienie, odnoszqce si do kwestji statecznosci r6wnowagi ciala spr zystego,
rozwii!zal Euler 2 ). Ten uczony znalazl wartosé obciqzenia P, po osié!gni ciu kt6rej pr t, dolnym
koricem pionowo utwierdzony, zaczyna si wyginaé (rys. 397). Dop6ki sila sciskaji!ca P jest dosé
mala, pr t..II B zachowuje stale swojq postaé prostolinjowi! i odksztalcenie b dzie si
ograniczaé do prostego skr6cenia. Skoro dowolni! sHi! poziomq wywolamy zgi cie
pr ta, to po usuni ciu tej sily powr6ci pr t do swej pierwotnej prostolinjowej postaci
r6wnowagi. lltoli taka statecznosé prostolinjowej postaci zachodzi tylko do pewnej
granicy. Zwi kszajqc w spos6b cié!gly sil P, mozna osil gnqé taki stan graniczny,
w kt6rym najmniejsza przyczyna moze zakrzywié pr t, a po usuni ciu przyczyny wy-
wolujqcej zgi cie, pr t nie powraca do postaci prostolinjowej. Nasze zadanie polega
na tem, aby wyznaczyé OWq "krytyczni!" wartosé sily sciskajqcej P.
Przyjmiemy, ze pr t moze si wygiqé swobodnie w kazdym kierunku, wskutek
czego wygi cie musi widocznie zajsé w kierunku najmniejszego oporu, czyli w plasz-
B .Y czyznie najmniejszej sztywnosci pr ta. T plaszczyznç obierzemy Za plaszczyzn XY.
, - Dajmy na to, ze przy pewnej wartosci P, wi kszej od krytycznej, pr t .II B wygiql
Hy.. 397 si w spos6b, przedstawiony na rysunku, linji! przerywani!. Skoro teraz b dziemy
zmniejszaé sil P, to zmniejszy si i wygi cie pr ta. Gdy wkoricu osii!gniemy kryty-
cznq wartosé H.. 1. j. t wartosé, przy ktôrej dopiero zaczyna byé mozliwem pojawienie si skrzy-
wienia, to postaé wygiçta zejdzie si z prostolinjowq. Jezeli sila sciskajqca przekroczy warlosé
1) Ob. G. H. Bryan, Cambridge Phil. Soc. Proc. V, 6 (r. 1888).
2) Berlin, Histoire de 1'1\cadémie, l 13, r. 1757.
ÎX
p},l'i
A -- 1
. :,p
17J-- - fi
l '
1 t
1
,
,1' 1
329
krytycznq 0 malq wielkosé, to zakrzywiona postaé rô:ini si malo od prostolinjowej; z tego sko-
rzystamy, a:ieby znaIezé Pkr' Pôjdziemy jednak niejako odwrotnq drog q , a mianowicie przyjmiemy,
:ie postaé zakrzywiona jest mo:iliwa i b dziemy szukali odpowiedniej wartosci sHy sciskajqcej. Mo-
mentem zginajqcym w dowoInym przekroju poprzecznym m n (rys. 392) jest (przy obrànym ukia-
dzie spôlrz dnych): M = _ p (ô _ y),
a zatem przybli:ionem rôwnaniem rô:iniczkowem krzywej postaci rôwnowagi b dzie:
E/ +Py-Pô=O
OgôIna calka !ego rôwnania rô:iniczkowego Iinjowego ma postaé:
y = CI cos ax + C 2 sin ax + ô, przyczem a = Vfu .
Stale dowolne wyznaczymy z warunkôw na koncach zgi tego pr ta:
DIa x = 0 jest 1) y = 0 i II) y' = 0; dIa x = [jest III) y = ô.
Z (1) otrzymujemy: C t = - ô;
z (II): [ - CI a sin a X + C 2 a cos ax]x=o = 0, czyli C 2 = 0;
a zatem: y = ô (1 - cos ax).
.Rby uczynié zadosé warunkowi (III) musimy przyjqé:
cos a[ = 0, czyli al = (2n + 1)1[ .
2
. (a)
. (b)
1
Uwzgl dniaj c oznaczenie (b), otrzymamy:
P = (2n+ 1)2 1[ 1
Najmniejsza wartosé P, przy ktorej zakrzywienie staje si mo:iliwem, b ie:
1(2 El
P=4.12 .
. (362)
. (363)
T 0 rôwnanie okresla wartosé krytycznq sily sciskajqcej, przy ktôrej staje si mozliwq przyj ta
przez nas zakrzywiona postaé rôwnowagi.
Od rozpatrzonego zadania latwo przejsé do niektôrych innych przypad-
kôw wyboczenia. Wezmy np. pr t, ktôrego oba konce Sq przegibnie ustalone 1)
na prostej AB (rys. 398). Styczna w srodku wygi tego pr ta b dzie rownole-
glq do jego pierwotnej osi, czyli do prostej AB, obiedwie przeto polowy zgi-
najqcego si pr ta b dq w takich samych warunkach, jak i w przypadku roz-
wazonym powy:iej. Rrytycznq wartosci q sciskajqcej sily b dzie:
1(2 El 1(2 El
P kr = 1 2 = .
4(2)
.
}
y
XJ.
. (364)
L u 1
Dotychczas rozpatrywalismy pierwszq postaé wygi cia, t. j. postaé, kt6rej
odpowiada najmniejsza wartosé sily sciskajqcej. Rozpatrzymy teraz inne mû.
:iHwe ksztalty rôwnowagi. W ogôlnej postaci okresli linj ugi cia rownanie:
(2n + 1)1(
y = ô (1 - cos ax), przyczem a.l = 2 . Rys. 393
Rozpatrzywszy przypadek n =.0, otrzymalismy' pierwszq mo:iliwq postaé. Rladqc n = 1, albo n = 2,
znajdziemy: 321[2 El 5 2 1(2 El
Pkr= . [2' albo: Pkr= ' [2'
1) [Skoro jest mowa 0 przegibnem ustaleniu obu kofic6w gciskanego pr ta, to mamy na my i najprostszy przypa-
dek, w kt6rym niema przeszk6d do wzajemnego zblitenia sii przegub6w].
Odpowiadaj ce krzywe przedstawia Hg. (a) i (b) na rys. (399). Przedluzaji!c je symetryeznie w kie"
runku ujemnych X-6w, jak wskazuje rysunek, otrzymamy rozliezne krzywe ksztalty rôwnowagi
dIa pr tôw 0 koncaeh przegibnie ustaionyeh. W miejseaeh przeci -
cia si kierunku sil P z zakrzywion osii! pr ta powstan punkty
przegi cia; w tyeh punktaeh moment zginaji!ey staje sitl zerem. Te
wszystkie wyzsze ksztalty Si! mozliwe przy wi kszych wartosciaeh sei"
skajqcej sily i wszystkie Si!, jak wykazuje doswiadezenie, niestateczne.
. Rozpatrzyrny jeszeze jeden przypadek, mog ey rnieé praktyezne
znaczenie, a mianowicie sciskanie pr ta obu koncarni utwierdzonego
(rys. 400). 1\zeby przeszkodzié obrotowi. koncôw trzeba na nie dzia"
laé rnomentami utwierdzaj eemi. SUa osiowa P i moment sprowa-
dzajl! si do jednej sily mimosrodkowej P. Na jej linji dzialania
rnusz Iezeé punkty przegi cia a a zakrzywionej osi pr ta. Rzut oka
na rysunek wystareza, aby zauwazyé, ze ten przypadek sprowadza
si do pierwszego, jezeli zamiast 1 wezmiemy +; a zatem w na"
szym przypadku: El
Pkr = 43f 2 12 .
330
\ .
'..
"
,
. ,
. \
. ,
1 1
1
, . ,
\P:
1. .8
1
l'
Jt
FiS.b
fis. d,
Rys.399
. (365)
1
-"2
.1
1
-4
If
Rys. 400
czyli obcil!zenie krytyczne jest 4 razy wi ksze, niz dIa prçta 0 koneach prze-
gibnie ustaionyeh. T en wniosek b dzie naturainie prawdziwym tylko w tyrn przypadku,
kiedy konce pr ta SI! doskonaie utwierdzone. Gdy kotice mogi! si obr6cié ehoéby bardzo malo, to
wyboczenie zajdzie przy sile znacznie mniejszej. W praktycznyeh obliczeniaeh poszezegôlnych
sciskanych pr tôw ze wzgI du na wyboczenie przyjmuje si mozli-
wos obrotu konc6w, poniewaz zwykle sposoby ustahmia koiie6w
nie mogq zapewnié doskonalego utwierdzenia.
Wyliczylismy najcz sciej napotykane przypadki wyboczenia.
DIa wszystkieh mozna wartosé obcil!zenia krytyeznego przedstawié
wspôInym wzorem:
,
1
1
1
J
1
P.r= 31: t (: 2 ' (366)
w kt6rym zmienia si tylko sp6lczynnik liezbowy }l, zwany "spôl"
czynnikiem dlugosci". Skoro tyIko znaleziono wartosé p. dIa jakie-
gokoIwiek przypadku dzialania sil, to kwestja wyznaezenia sily kry-
tycznej sprowadza si do przypadku pr ta 0 koneach przegibnie
ustaionyeh; we wz6r (364) nalezy w6wcz s zamiast dlugosci rze-
ezywistej wstawié pewnq dl u go s é s pro wa d z 0 n q (takZe "swobodni! ") p.l. Na zakonezenie przy"
toczymy bez wywodôw wartosé sp6tczynnika,p. dIa niekt6ryeh szczegôInyeh przypadk6w (rys. 401).
Jezeli dolny koniec pr ta jest utwierdzony, a gôrny ustaiony przegibnie (fig. a), to:
2,04631: 2 El
P kr = ' 2 , zas}l = 0,7.
Przy obcii!zeniu r.ozlozonem r6wnomiernie na ealej dlugoscÏ pr ta 0 nat zeni11 q (fig. b) jest
wartoscil! krytycznl! calkowitego obci enia 1) :
3f2 El.
q 1 = (1,121)2 ' a w] e p. = 1,12.
Przy rozlozeniu obciqzenia pionowego wedlug prawa tr6jk q ta na ealej dlugosei pr ta wypada
jako wartosé krytyczna obeiqzenia doinego przekroju 2) :
q 1 31: 2 El
2 = (1,3881)2 , a zatem }l = 1,388.
Rys. 401
fig.c.
1) To rozwiqzanie podal pierwszy fl. G. Greenhill, cambddge Phil. Soc. Proc., t. 4, r. 1881.
) To zadanie rozwiqzal najpierw prolo F. Jash1ski; ob. zbiorowe wyd. jego prac (po ros.), t. 1, str. 164.
Szereg zada1i bardziej zlotonych rozwiëlzal fl. N. Dinnik. Ob. Wiestnik Inzenierow z r. 1915, str. 94.
331
9 175. GR1\NICE STOSOW1\LNOSCI OTRZYMRNYCH WZOROW
Obierzmy przypadek pr ta 0 koncach przegibnie ustalonych za podstawowy i wyznaczmy t
wielkosé cisnienia w przekroju poprzecznym pr ta, przy kt6rej moze si rozpoczé'!é wyboczenie.
Z formuly (364) znajdujemy: _ P kr _ 2 ( r ) 2
Pb - F - 3f ET' . . (367)
przyczem r oznacza najmniejszy promien bezwladnosci przekroju. Otrzymane Vi ten spos6b na-
pr zenie mozna uwazaé za pewnego rodzaju doraznq wytrzymalosé, albowiem powstanie w kon-
strukcji napr zen, przy kt6rych mogq zajsé wyboczenia pr t6w, jest tak samo niebezpieczne, jak
i osiqgni cie granicy wytrzymalosci.
W szystkie nasze wywody polegaly na zalozeniu, ze materjat pr ta jest doskonale sprçzysty
i podlega prawu Hooke'a. Tylko w tym przypadku jest wazne podstawowe r6wnanie (a) w 9 (174).
Znaleziona wartosé krytycznej sily sciskajqcej b dzie odpowiadaé rzeczywistoSci tylko wtedy, gdy
otrzymane przytem cisnienie pkr nie przekracza granicy sprçzystosci materjalu. Dia napr zen po-
wyzej granicy spr Zystosci, wyniki otrzymane wedlug wzor6w Euler'a nie majé'! zadnego realnego
znaczenia. Z wzoru (367) widaé, ze zjawisko wyboczenia b dzie zachodzié w granicach sprçzysto-
sei przy stosunkowo znacznej dtugosci 1, a malym promieniu bezwladnosci r. Dia kaZdego mate-
rjalu 0 znanym sp6lczynniku sprçzystosci E i znanej granicy spr zystosci, mozna wyznaczyé gra-
nicznq wartosé stosunku 1: r [czyli "smuklosei" pr ta), przy kt6rej zachodzi wyboczenie jeszcze
w granicach spr zystosci, czyli przy ktôrej wolno jeszcze stosowaé wz6r Euler'a. Jezeli np. dia
zelaza" spawalnego wezmiemy E = 2. 10 6 kg/cm 2 , a granicç spr zystoscÎ P = 2000 kglcm 2 , to otrzy-
mamy granicznq wartosé [smuklosci, t. j.) stosunku 1: r = 100, co wskazuje, ze dIa moz1Ïwosci
zastosowania wzoru Euler'a w przypadku podstawowym, musi smuklosé prçta z zelaza spawal-
nego byé > 100. Wezmy np. r6wnoramiennq ké'!tôwkç 70 X 70 X 10 mm. Odpowiadajqcy najrnniej-
szy promien bezwladnosci r = 1,35 cm, a zatem przy dlugosci k q t6wki, przewyzszajqcej 1,35 m,
mozna uzywaé wzoru Euler'a. '!' przypadk rzekroju okrqglego jest 1= : 4 , r = : ; przeto
forrnulç Eulera mozna stosowac przy dlugoSCl 1 > 25 d.
Dia obliczenia seiskanych pr t6w w przypadku, kiedy wz6r Eulera tracÎ waznosé dlatego, ho
otrzymane z niego naprçzenia przekraczajq granic sprçzystosci, nalezy zUZytkowaé dane doswiad-
czalne 1), a zwlaszcza doswiadczenia T etmajera. Te doswiadczenia potwierdzily waznosé wzoru
Eulera w granicach spr zystosci i daly dostateczny materjal dia ustawienia formuly empirycznej
dia napr zen krytycznych poza granicami sprçzystosci, t. j. przy stosunkowo malej dlugosci pr -
t6w. Prof. Jasinski opracowal dane doswiadczalne, odnoszqce si do zelaza kowalnego i przedsta-
wH wyniki wzorem: b 1
Pkr= a- -,
r
ktôrego spôlczynniki a i b obliczyl z doswiadczen T etmajera, Bauschingera Considère'a rnet{)d q
najmniejszych kwadrat6w. Dia zelaza zIewnego otrzymal:
Pkr=[3387-14,83+] kg/cm 2, . (368)
w granicach 70 < < 110.
r
Dia zelaza lanego mozna uzywaé wzoru Euler'a przy dlugoscÎach 1 > 80 r. Przy mniejszych dJu-
gosciach wypadnie obliczaé napr zenie kryt.yczne wedlug ernpirycznego wzoru T etrnajera:
1 l '
pkr = [ 7760 -120 r + 0,53 ( r ) - ] kRlcm 2 .
Dia, drzewa podaje Tetmajer: pkr = [293-1,94 + J kglcm 2 ,
jezeli 1 è 110 r. [Dia 1> 110 r nalezy uzywaé wzoru Euler'a).
1) Najobszerniejsze dogwiadczalne badania nad wyboczeniEm przeprowadzil L. T etm a j er; ob. "Die Gesetze der
Rnickungs- und zusammengesetzten Druckfestigkeit", wyd. 3, r. 1903.
Z nowszych badat'i wymienimy pracç T. R 6. r m 6. n'a: "U ntersuchungen über Knickfestigkeit", Gi5Uingen Diss., r. 1909.
Rys. (402) przedstawia wykreslnie wyniki wzoru Euler'a i wzoru empirycznego dia zelaza
zlewnego. Jako odci te figurujq wartosci stosunku 1 : r, zas jako rz dne odpowiadajqce llapr zenia
Ikrytyczne Pkr. Formule empiry-
cznej odpowiada cz sé prosta
JI B, a wzorowi Euler'a cz sé
B C hiperboli szesciennej.
Prof. Jasiiiski ulozyl tablic
wartosci napr zenia krytyczne
go, albo lamiqcego 1) dia smu-
klosci 1: r > 20. T tablic przy-
taczamy ponizej w skôceniu. Po-
slugujqc si ni q latwo dobieraé
przekroje sciskanych pr tôw.
Najpierw przyjmujemy w przy-
blizeniu rozmiary przekroju po-
przecznego i znajdujemy jego
najmniejszy promieii bezwla-
dnosci r. Z danej dlugosci obli-
.100 czamy smuklosé 1 : r, a nast -
pnie szukamy odpowiadajqcego
napr zenia lamiqcego Pkr, Wiel-
kosé F . pkr b dzie obciqze-
niem lamiqcem, ktôre powinno 4 do 5 razy przewy:iszaé danq sil sciskaji.1ci.1 pr t.
T.flBLIc1\ naprç:teli krytycznych w kg/cm' dia slup6w z ielaza zlewnego, ciskanych w warunkach przypadku podstawowego.
332
....
!::'
N
<.>
)<
..,
.-<::>
""'
ï::
HM -J-- 1
"12 i- i- - .--1--" '1 i-
l +- --+- - ,-+- --
1
J51:' 1 "
:
,
-
, CRP ww'rEulerô f!.,-21281011jt N9/cm l
" BA wulrTetm JèTa RF 3387 l4.gJj; 7fcm'
J5f)() 1
- 1
.a 1 -t
- T' T
,H
/500 ---1
Ii 1 ,
1 , ,
, , 1
1
,
JOO , ()
. 1
,
0 ,
;:
;t.
..:
:::s
<1.1
1--(
"'"
.....
so
10(; '.fa 1
stost.<nek r
230
200
Rys. 402
1 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
-= 20
r
cp = 0,88 0,84 0,80 0,76 0,71 0,67 0,63 0,59 0,54 0,50 0,42 0,36
pkr = 3090 2940 2790 2650 2500 2350 2200 2050 1900 1760 1480 1260
1 140 150 160 170 180 190 200 210 220 .230 240 250
-=
r
cp = 0,31 0,27 0,24 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14 0,13 0,11 0,10 0,10
pkr = 1090 946 831 736 657 589 532 483 440 402 369 340
Oprôcz wzor6w Euler'a i formul zbudowanych na danych doswiadczalnych istnieje w litera-
turze technicznej niemalo innych formul do obliczenia sciskanych pr tôw, pozbawionych naukowej
podstawy, ktôre si pojawily w czasach, kiedy granice stosowalnosci wzorôw Euler'a nie byly do- .
statecznie wyjasnione. Z posrôd nich zyskal najwi ksze rozpowszechnienie wzôr Sc h w a r z - R a n-
k i ne' a. Wedlug niego obliczaii.1 cz sto sciskane pr ty w konstrukcjach zelaznych 2). W zôr Schwarz
Rankine'a: R'
1 9
l+a(rf
1) [Przy bardzo wielkiej smuklogci, nie majqcej, co prawda, zastosowania praktycznego, nie jest napr ienie lamiqce
identyczne z naprçieniem krytycznem, lecz jest od niego wi ksze, albowiem po przekroczeniu przez naprçzenie wartogci
krytycznej zachodzi zrazu wygi cie zupelnie sprçiyste i do piero obciqtenie wiçksze od krytycznego wywola pojawienie si
odksztalce6 trwalych i w dalszym ciqgu zlamanie prçta].
') Rozpowszechnienie tego wzoru mo:tna po czçgci obja nié tem, :te wyznaczone wedlug niego wartogci Pkr s'l zwy-
kle wiçksze od wyznaczonych z wzoru Euler'a, a wi c obliczone pr ty wypadajqlzejsze. [Jeszcze wazniejszq zapewne oko-
licznogciq, decydujqcq 0 powodzeniu formuly Schwarz-Rankine'a wgr6d praktycznych in:tynier6w, byla jej uniwersalnogé
i wynikaiqca stqd wygoda obliczenia jednym wzorem zarniast dwu. Jedynym zag argumentem, usprawiedliwiajqcym opozycjç
przeciw -wzorowi Eulera jest niezaprzeczony fakt, :te bardzo czçsto mamy w praktyce do czynienia ze zboczeniami obciél-
ienia od odka przekroju, a odpowiadajqcych mimogrod6w nie moina nieraz wyznaczyé z jakq takq dokladnogciq. To je-
333
przyczem R' oznacza dorazn wytrzymalosé rnaterjalu, zas a staly spolczynnik. W Rosji przyj-
mujq dIa zelaza kowalnego a = 0,00008. Przy malych dlugoseiach pr tow jest wyraz eL (+ ( maly
i mozna go pominqé wobec 1. Wzôr Pkr daje wowczas wielkosé stalq, rôwnq doraznej wytrzyma-
losci. Przy bardzo wielkich dlugoseiach bçdzie a ( + ) 2 wielkie, wobec czego mozna w mianowniku
opuscié 1, a wzôr Schwarz-Rankine'a przybierze postaé wzoru Euler'a. Stosowanie formuly Schwarz-
Rankine'a w granicach spr zystosci nie ma racji, poniewaz tam obowiqzuje seisle wzor Euler'a
[przy zupelnie srodkowem obciqzeniu]. Poza granicami sprçzystosei, 1. j. dIa zelaza zlewnego przy
1 > 110 r, daje wzôr Schwarz-Rankine'a, jak wykazaly g16wnie doswiadczenia Tetmajera, niezawsze
wyniki zadowalajqce. Przy mniejszych wartoseiach 1 : r wypadajq z tego wzoru zbyt wielkie war-
tosci naprçzeii lamiqcych, ale przy 40 < + < 110 mozna jej uzywaé kladqc a = 0,0001.
Przy pomocy przytoczonych wzorow rnozemy w poszczegolnych przypadkach znalezé wiel-
kosé napr zenia krytycznego lub lamiqcego. DIa zapewnienia nalezytej trwalosci obiera siç roz.
miary sciskanych pr tôw tak, azeby rzeczywiste napr zenia stanowity tylko pewn cz sé naprçzeii
lamiqcych. Wielkosé napr zeii bezpiecznych (dopuszczalnych) okresla si na tej podstawie, ze stan,
odpowiadajqcy obciqzeniu krytycznemu, uwaza si za rôwnie niebezpieczny, jak i stan, odpowia-
dajqcy granicy wytrzymalosci. W'takim razie stosunek napr zenia bezpiecznego przy wyboczeniu
do bezpiecznego napr zenia przy pro stem rozciqganiu powinien byé ten sam, co stosunek nnapr -
zenia krytycznego" do doraznej wytrzymalosei R'. Oznaczywszy ten stosunek przez ::p, znajdziemy,
ze naprçzenie bezpieczne przy sciskaniu prçtow rôwna si ::p R, przyczem R oznacza naprçzenie
bezpieczne przy prostem rozciqganiu. nSpôlczynnik zmniejszenia" Cf da si w kazdyrn szczegolnym
przypadku obliczyé z danej wielkosci naprçzenia tamiqcego i doraznej wytrzymalosci R'. Przyto-
czona powyzej tablica zawiera wartosci cp przy zalozeniu, ze doratna wytrzymalosé materjalu jest
rôwna 3500 kg/cm'.
Opr6cz wzor6w czysto empirycznych mozna dia wyznaczenia ph poza granicami spr tystogci zbudowaé takze for-
mul analitycznql), analogicznq z wzorem Euler'a (367). Trzeba tyIko dia materjalu prçta znaé zalezno f mi dzy odksztal-
ceniarni i naprçteniami przy gciskaniu poza granicq sprçzysto ci. Za tq granicq rosn'l odksztalcenia prçdzej od napr teti,
a stosunek przyrostu naprçtenia do przyrostu odksztalcenia bçdzie pewnq funkcjq naprçzenia; oznaczymy jq przez E 1 .
Dajmy na to, te pr t 0 przekroju poprzecznym prostok'llnym, gciskany poza granicq spr tysto ci, zaczyna siç wyginaé;
wtedy powiçkszy siç gciskanie wl6kien po stronie wklçslej, a zmniejszy siç po stronie wypuklej. Tym zmianom odksztalcen
odpowiadajq dodatkowe naprçtenia zgiçcia. Gdyby cale zjawisko zachodzilo w granicach spr tystogci, to te napr tenia
zmienialyby siç linjowo na wysokogci przekroju. W naszym przypadku przedstawia siç zadanie nie tak prosto. Po stronie
wklçslej zachodzi dodatkowe gciskanie poza granicami spr tystogci i zaletno é miçdzy naprçteniami a odksztalceniami
okr la siç zrniennq wielkogciq E", zaletnq od poczqtkowego gciskania pr ta. Po stronie wypuklej zachodzi przy zgi ciu
zmniejszenie pierwotnego cignienia, wobec czego zale:tnogé odksztalce6 od naprçte6 okregJi zwykly sp6lczynnik spr sto-
ci E. Ro klad naprçtell. przy zakrzywieniu pr ta gciskanego poza granicq spretysto ci b dzie przeto taki, jak w przypadku
zgiçcia prçt6w, kt6rych materjal ma r6tne sp6lczynniki sprçtystogci przy rozciqganiu i ciskaniu (ob. 999). Og6lna postaé
r6wnania r6zniczkowego zgi tei osi pozostaje niezmieniona, tylko zamiast sp6lczynnika sprçtystogci E wstawimy wielko é:
4EEt
E' = (VE+m 2 '
Odpowiednio do tego zmieni siç i wz6r dia obci'lzenia krytycznego, kMry w podstawowym przypadku przybierze postaé:
Pk,. = 1( ; 1 , ph "" 1(2 E' ( r . (370)
dnakte nie przemawia na korzyé uniwersalnej formuly Schwarz-Rankine'a, Iecz kate w przypadkach obci'lzen 0 znanym
mimogrodzie uzywaé og61niejszych wzor6w teoretycznych, 0 kMrych ponitej bçdzie mowa; w przypadkach za , kiedy mi-
mogr6d obciqzenia nie da siç dokladnie wyznaczyé, kiedy zatem ten mimo 6d waha si miçdzy pewnemi granicami, bt dzie
najracjonalniej przyjqé za podstawç obliczenia mimo r6d, odpowiadaj'lcy granicy wyzszej i r6wniet zastosowaé. zory teo-
retyczne. (Por. M. T. Hu ber ,,0 wytrzyrnalo ci slup6w", Przegl. techn. 1907). W ten spos6b wprowadzamy meJako nowy
rodzaj pewnogci). .
1) Pierwszq pr6bç analitycznego rozwiqzania zagadnienia wyboczenia poza granicq spr zystogci zrobil Engess er,
ob. Zeitschr. f. flrch. u. Ing. (Hannover) z r. 1889.
Dalszem opracowaniem tej kwestji zajql si T. R6rmïin; ob. cytowan'l powytej pracç: Untersuchungen über
Rnickfestigkeit.
Dia katdej war!ogci podluznego cignienia mozna znaldé Et, a zatem i E' z uprzednich dogwiadcnti nad gciskaDi,m
poza granicami spr :tysto ci, a nast pnie na podstawie wzoru (370) ulozyé tablic krytycznych napr ieti dia r6znych war-
togci stosunku 1: r. 0 ile
otrzymane t'l drogq war-
to ci Pkr zgadzajq siç
z dogwiadczalnemi, widaé
z zalqczonego diagramu
(rys. 403), przedstawiajq-
cego wyniki dogwiadczel1
Réinm'in'a nad prçtami ze
stali Martinowskiej 0 do-
rainej wytrzymalo ci przy
rozciqganiu 6800 kglcm 2
i calkowitem wydluzeniu
16,7%. R61eczkami zazna-
czone wyniki poszczeg6]-
nych do wiadcze6, Iinjq
cÏ'lgli! zag wyniki obliczel1.
Zgodnogé dat dogwiadczal-
nych i teoretycznych jest
widocznie bardzo dobra.
W odr6znieniu od wyni-
k6w T etmajera widzimy,
ze przy zmniejszeniu dlu-
.ROO gogci prçt6w, poczqwszy
od 1: r = 40, zaczyna war-
to é Pkr szybko wzrastaé.
Zaznaczymy, ze w chwili,
kiedy cünienia odpowiadaji! punktowi krytycznemu [granicy plastyczno ci], pr t znajduje siç w polozeniu r6wnowagi nie-
statBCmej; przekroczyé ten punkt i doj é do wysokich wartogci naprçzel1 krytycznych mozna tyIko przy najstaranniejszem
urZi!dzeniu dogwiadczen 1).
334
"'""V
1 \ 1 1 1
1\ 1 \ 1
1 .
\. 1
- "" -- ..0..0. - -r - - rf,U71 t . IrT!.jtycbl '
() --- \
1
f- . f-- - - - 1 'ore'.on ?:lIT.
Tà ICi. Il V.fl os l
'"\
'ln
"'\
Ih" "'-
'/ Ù i'---
'A r-; ---
ll J-ci -
1
i
!tjJrrl
4(100
3000
<:tJ
R:
Q.>
.
t 2000
(ï:j
f::
'tJoo
-
o
sa
100
StOSll nek I;r
Rys. 403
f50
Co si tyczy wyboru ksztaltu przekroju poprzecznego sciskanych pr tôw, to zaznaczymy
przedewszystkiem, ze wielkost krytycznego obci zenia zalezy od wielkosci stosunku 1: r. lm ten
stosunek jest mniejszy, tem wi kszi} wartosé ma napr zenie lamiqce, tem mniejszem b dzie po-
trzebne pole przekroju, a wi c i ci zar wlasny pr ta. Przy obiorze poprzecznego przekroju b dzie
przeto korzystnem mozliwe powi kszenie promienia bezwladnosci, co prowadzi do prze)t.rojôw ru-
. rowych. lm wi kszi} obierzemy srednicç rury, tem cÎensza wypadnie scianka item ntniej wyjdzie
materjaJ:u na rurç. Jednakowoz nie mozna tutaj isé zbyt daleko. Si} granice w zmniejszaniu gru-
boscî scianki, ponizej kt6rych nie nalezy schodzié. We wzôr Euler'a wchodzi wielkosé momentu
bezwladnosd przekroju poprzecznego, kt6ri} uwazamy za stalq, przyjmujqc, ze ksztalt poprzecznego
przekroju pozostaje niezmiennym. F\toli przy zbyt cienkiej scÏance moze si pojawié mrejscowe
wyboczenie samej scianki rury i wzôr EuIer'a traci SWi} waznosé. Rwestja statecznosci
sciskanej scianki rury jest jeszcze malo opracowana; pewne wyniki, odnoszqce si do nie j,
podamy ponizej.
Co do jakosci materjalu zauwazymy, ze przy wi kszej dlugosci, dIa kt6rej zachodzi waznosé
wzoru Euler'a, zaIezy wieIkosé naprçzenia krytycznego tyIko od sp6kzynnika spr zystoscÎ E;
zwazywszy wi c, ze E malo siç zmienia z podwyzszeniem jakosci materjalu, widzimy, ze obci q -
zenie dopuszczaIne prçta zmieni siç takze nie wiele. Przy kr6tszych prçtach, w kt6rych zjawisko
wyboczenia zachodzi poza granicami spr zystosci, wypada uzywaé danych doswiadczaInych. Wiel-
kosé napr zenia krytycznego zalezy w6wczas w znacznej mierze od jakosci materjalu, a szcze-
g6lnie od wysokoscÏ granicy sprçzystosci. Stosowanie np. w konstrukcji most6w stali nikIowej
pozwala z acznie podwyzszyé napr zenia dopuszczalne dia sciskanych pr t6w.
1) [chodzi tutaj 0 mozliwie dokladne spelnienie warunk6w, t. j. prolitolinjowogé osi pr ta, jednolito é materjalu i osio-
wo obci'l:zenia].
335
176. WPL YW MIMOSRODU OBCIl1lENIl\ 1 POCZl1TROWEGO Z1\RRZYWIENI1\ PRF;T1\
N1\ WIELROSé SILY RRYTYCZNEJ
Przy wyprowadzeniu podstawowej formuly dia wyboczenia przyjçli my, ze o prçta jest ci-
sie prostolinjowq, a sily sciskajqce trafiajq dokladnie w rodki ciçzko ci przekroj6w koticowych.
Te idealne zalozenia nie odpowiadajq w praktyce rzeczywisto ci. Zobaczymy tedy, jak siç zmieni q
wywody poprzednich paragraf6w w przypadku, kiedy os prçta posiada pewnq poczqtkow krzy-
wiznç 1 : r, a sila P dziaia na mimosrodzie e (rys. 404) 1) Oznaczywszy przez Ô wygiçcie g6rnego
koiica prçta, a przez p promieii krzywizny po odksztalceniu, mamy:
Dop6ki P jest male, b dzie a takze mal(! wielkosci(!, a cos al b dzie siç niewiele r6znié od 1,
a zatem ugi cia bçd q bardzo male. Skoro jednakZe P zaczyna siç zblizaé do war-
tosci' Eulerowskiej, to al, jak widzielismy, zbliza si do , a cos al zd(!za do
wartosci zera. Ugi cie Ô, jak widaé z wzoru (371), zd(!za w6wczas do nieskoti-
czonosci. Trzeba jednak pamiçtaé, ze nasz wz6r jest dostatecznie dokladny
tylko dia malych ugiçé, wobec czego wynik powyzszy znaczy tyIe, ze z przy-
blizeniem obci(!zenia do wartosci Eulerowskiej zaczynaj(! ugiçcia rosnqé bar-
dzo szybko. Stqd wniosek, te przy obliczeniu prçt6w rzeczywistych, czyli
pr t6w z malemi przypadkowemi zboczeniami od prostolinjowosci osi etc..
musimy uczynié zadosé tym samym warunkom, co w idealnym przypadku
prçta prostolinjowego i osiowo obci zonego. l\toli te warunki mog(! siç okazaé
dIa prçt6w rzeczywistych niewystarczajqcemi. Przy mimosrodzie obci enia e L 0,1 r
i pierwotnej krzywiznie pr ta < 0,008 (m -1) (wedlug rachunk6w Jasiiiskiego) wy-
starcza przeprowadzié obliczenie prçta na podstawie wzor6w z poprzednich paragra-
f6w. Przy wiçkszych zboczeniach wypadnie stosowaé og61niejsze wzory, do wyprowadzenia kt6rych
nadaje siç bardzo dobrze metoda przyblizona (ob. 131)').
E/ ( - ) = M'
p r '
d'y 1 P
dx2 = r + El (ô + e - y),
p
albo po podstawieniu El = ai:
d'y 1
dx' + a'y = r + al(B + e).
Og6Inq calkç tego r6wnania r6zniczkowego otrzymamy w postaci:
y = CI COS ax + C 2 sin ax + B + e + +.
ar
Dia x = 0 jest y = 0 i y' = o. Tym warunkom uczyni zado é wyrazenie nast pujqce:
y= - ( B+e++ ) cosax+ô+e+-i-.
a r a r
Dia x = 1 jest y = B, a zatem:
B= ( e+ ) I-Cosal .
air cos al
(311)
1
1
1
,
,
1
1
A y
i-./.-
Rys, 404
1) [Trzeci rodzaj mozliwych zbocze6 od idealnych warunkOw, l j. niejednolitogc: materjahl, da si sprowadzié do
nieprostoIinjO\,lrogci osi].
2) Niekt6rzy autorowie proponuj'l, zamiast obliczenia wedlug wzoru Euler'a. wyjgé z wzor6w dla ugi e wskutek
mimo odkowego dzialania sily gciskajqcej i dobieraé tak wymiary przekroju, aby napr zenia nie'przekraczaly nigchie do-
puszczalnych norm, ob. Ostenleld, "Exzentrische und .zentrische Rnickfestigkeit", Zeitschr. d. Ver. d. Ing. zr. 1898,
str. 1462. W tych obliczeniach pozostaje dowolna wielkogé mimogrodu. [Por. uwagç t1umacza w poprzednim paragratie].
336
Przy doswiadczainem badani1} wyboczenia
pr tow niepodobna uniknqé zboczen od pro-
stolinjowosci osi i srodkowego dzialania obci q -
zenia; cale zjawisko przebiega zatem wedlug
wzoru (371). JUl; przy malych obciqzeniach
rozpoczyna si wyginanie pr ta, ktôre jednakze
jest bardzo male, dopoki obciqzenie jest dosé
daiekie od wartosci Eulerowskiej. W miar
zbIizenia obciqzenia do tej wartosci zaczynajq
ugi cia szybko wzrastaé, w przyblizeniu we-
dlug prawa hyperbolicznego. lm staranniej
urzqdzono doswiadczenia, tem wyrazniej mozna
obserwowaé zjawisko naglego wzrostu ugi é,
a nacisk odpowiadajqcy tej chwili jest tem
blizszy obciqzeniu Eulerowskiemu. DIa przy-
kladu przytaczamy diagram (rys. 405), na kto-
rym przedstawiono prawo wzrostu obserwowa-
nych ugi é z powi kszeniem obciqzenia przy
doswiadczeniach B. Rirsch'a, L. Tetmajera
i T. Rarman'a.
.
-::c
""/18
s:::.
Q,7
i
t16
lU
'"
ig
£14
UJ H- 1
}+-H- 1
'&) 0./ 1 ,
;:::s 1
___L
!::: 0: ro 20 ,10 :b fa
, p.
: - o6c lq-ient:-e-- ? -
II)
Rf" 405
g 177. PRZYBUZONl\. METODl\. ROZWIl\ZYWF\.NIR ZF\.GF\.DNIEN: STF\.TECZNOSCI1)
Wzory Euler'a wyprowadzilismy z zalozenia, ze wyboczenie (Spr iyste) pr ta jui zaszlo i po
zcalkowaniu odpowiadajqcego r6wnania rôiniczkowego szukalismy wieikosci sily sciskajqcej, ktôra
utrzymuje w rownowac1' , zgi ty pr t. Trudnosci napotykane cz sto przy calkowaniu rôwnan
rôzniczkowych zniewalaff'szukaé innych metod dIa rozwiqzywania zagadnien statecznosci, a mi a-
nowicie takich, ktoreby pozwalaly znaIefé wieikosci obciqien krytycznych bezposrednio,. bez ucie-
kania si do calkowania rôwnan roiniczkowych. Poniewaz chodzi tutaj 0 badanie statecznosci
rôinych postaci rownowagi, wi c naturalnym punktem wyjscÏa b dzie wyrazenie dIa energji poten-
cjalnej ukladu. Zwykle znamy postaé rownowagi, odpowiadajqc(! obcÏqzeniom mniejszym od kry-
tycznego. Otoz moina bez trudnosci utworzyé wyrazenie dIa zmiany energji ukladu przy malem
odchyleniu od lej postaci rownowagi. Jezeli przy wszelkiem mozlÏwem odchyleniu energja poten-
cjalna uldadu rosnie, to rozpatrywana postaé rownowagi b dzie statecznq. Do zmiany tej postaci
trzeba zuZyé pewn(! prac . Skoro zas przy dowolnem odchyleniu od polozenia rownowagi energja
ukladu si zmniejsza, to ta postaé rownowagi jest niestatecznq. "Rrytycznq" b dzie ta wartosé
obciqzenia, przy ktorej zmiana energji ukladu dIa dowoinego mozliwego przemieszczenia staje si
zerem: Oznaczmy przez V zmian energji wewn trznych sil spr zystosci, a przez T prac obci q -
zen dzialajqcych na uklad przy odchyleniu od rozpatrywanej postaci rownowagi; wôwczas kry-
tycznq waitosé obciqzenia znajdziemy- z rownania:
T = V . . (a)
Ze wszystkich mozIiwych odchyIeii trzeba oczywiscie wybraé to, przy kt6rem rôw. (a) daje
dIa sil zewn trznych najmniejszq wartosé. T aki sposob szukania obciqzen krytycznych umozliwia
przyblizone rozwiqzanie zadania. Podobnie jak w przypadku przyblizonego badania zgi cia pr tôw
(rozdz. XV), przyjmujemy, na podstawie danych doswiadczalnych i warunkôw podporowych, przy-
blizone wyrazenie dIa ..odchylonej postaci rownowagi ukladu i dIa tej postaci tworzymy wyraze-
nia ViT. Wstawiwszy je w row. (a) znajdziemy qbciqzenie krytyczne. F\.zeby t q drogi'! otrzymaé
rozwiqzanie mozliwie zblizone do dokladnego, b dziemy obierali dIa odchylonej postaci wyrazenie
1) Ob. pracç autora; .0 statecznogci uklad6w sprç:tystych" (po ros.), Izw. Kij. Pol. Inst. z r. 1910, a takze: "Kurs
tieorji uprugosti", cz. II, str. 98.
337
z dowolnemi parametrami, ktorych wielkosci dobierzemy nast pnie tak, aby wyraienie dIa kryty
cznego obci zenia otrzymalo wartosé min i ID U m.
Dbjasnimy to bIizej na kiIku przykladach. Rozpatrzmy podstawowy przypadek wyboczenia
prçta obu koncami przegibnie podpartego. Os prçta zakrzywi si przytem, jak widzielismy (9 174)
wedlug sinusoidy 0 rownaniu:
f . 1[X
y = SInT'
Zmianq energji odksztalcenia, odpowiadajqcq temu wygiçciu, b dzie [z pomini ciem wplywu napr
zen scinajqcych} (wz. 220):
V = f t 1[4 El
41 5 .
Sily sciskajqce P wykazujq przytem prac (wz. 227):
1[2 P
T = f4f'
Po wstawieniu tych wyrazen w row. (a) rozwi(!zaniu wzgI deID P zn-ajdziemy:
1[t El
Pb =-p0
W danym przypadku znalismy wyrazenie dIa wygiçtej postaci rownowagi
nam dokladn(! wartosé P kr .
dlatego row. (a) dalo
Weimy teraz zadanie bardziej zlozone. Prçt utwierdzony pionowo dolnym k()ticem gciskajq sily rozlozone r6wno-
miernie na dlugogci prçta (rys. 396, lig. b). Dia linji ugi cia przyjmiemy wyrazenie w postaci szeregu trygonometrycznego:
nx 3nx
y =al cos 2T + a" cos ---zr + ... . (b)
czyniqcego zadogt nastçpuj'lcym warunkom kraticowym:
1) y=O dia x=l II) y=o i y'=0 dia x=O.
Jeteli ograniczymy si do dwu wyraz6w tego szeregu, to energja potencjalna zgi cia [z pominiçciem energji gciskania]
bçdzie:
V= / I)(y")2dX= / (al"+8]a.2).
Znajdziemy teraz pracç sil zewnçtrznych przy wygiçciu prçta. Razdy element obciqzenia qdx, wydzielony w odIeglogci x
od dolnego k06ca, obnity siç 0 wielkogé lX (y')2 dx i wykona przytem pracç: q dx lX (y')! dx. CaIkowita praca ob-
2 o 2 o
ciqzenia, wyk(lnana przy skrzywieniu pr ta, rdwna si :
T= : dx : (y')2 dœ= : (1-œ) (y')"dx.
Wstawiwszy zamiast y dwa pierwsze wyrazy szeregu (b) i wykonawszy potrzebne dzialania, znajdziemy:
T = " [ al 2 ( - . ) + a,' ( - . ) + ;, al a.l = . ' (0,1487 a1 2 + 0,6078 al a, + 2,1487 a,').
Majqc wyratenia dia Ti V otrzymamy z r6w. (a):
n\el al" + 81a,,2 _ n'El 1+81z2
q 1 = sr . 0,1487 ais + 0,W78al a, + 2,1487 a,,2 ----sJ2' 0,]487 + 0,6078z + 2,1487 Z2 . (c)
przyczem stosunek a, : al oznaczono przez z. flieby znaIeté mozliwie dokladne wyrazenie dIa (q l)kr, trzeba tak obrat
stosunek z, aby wyrazenie (c) stalo siç minimum. Uhrorzywszy pochodnq tego wyratenia wzgl dem z i przyr6wnawszy
jq do zera. otrzymamy dIa wyznaczenia z rdwnanie:
Z2 + 0,4020 z = 0,01235
o pierwiastkach:
Zl = 0,0286
z, = -0,4306.
Kun wytrzyma}oici materjal6w
22
338
Po wstawieniu z. w wyratenie (c), znajdziemy:
n 2 El
(q l)kr = (],12 l)'i '
Ten wynik zgadza siç dokladnie z tem, co podaMmy poprzednio (9 174). Gdybygmy siç ograniczyIi w wyrateniu dIa y
tylko do pierwszego wyrazu szeregu (b) i podstawili zatem B2 = Z = 0, to znaleilibygmy:
n 2 El
(q l)kr = ,... (1,09 [JI '
Pierwsze przyblizenie daloby przeto w danym przypadku blqd okolo 5%.
178. 0 WYBOCZENIU PRETE\. W SPREZYSTEM SRODOWISRU 1)
DlIjmy na to, te prçt pryzmatyczny w k06cach podpartych ciskajq dwie sily wprost przeciwne P. Wszelkiemu
skrzywieniu prçta przeszkadzajq reakcje grodowiska. Zrobimy zalotenie, ie reakcyjne napiçcie. przypadaj'lce na element
pr ta, jest proporcjonalne wzgl dem dlugogci rzutu elementu na og pr ta i wzgl dem wielkogci ugiçcia y w rozpatrywanym
przekreju. Te warunki mozna uwataé w przyblizeniu za spelnione w calym szeregu zadati technicznych. Przy szukaniu Pkr
trzeba uwzglçdnié energi odksztalcenia nietylko pr ta, lecz akte i sprçzystego grodowiska. Podstawowe r6wnanie dIa
wyznaczenia Pkr napiszemy tedy w poslaci:
P I El ) 1 k ) 1
- (y,)gdx =- (y")2dx+- yldx
2 0 2 J 2 0
. (a)
Lewa strona r6wnania przedstawia pracç sil zewnçtrznych przy skrzywieniu prçta, po prawej stronie mamy energjç zgiçcia
p ta i energj odksztalcenia grodowiska; k oznacza staly sp6lczynnik, przez kt6ry trzeba pomnotyi: ugiçcie y, aby otrzy-
mai: reakcjç grodowiska, odniesionél do jednoslki dlugogci prçta. Og6lnq postai: zgiçtej osi prçta otrzymamy-przez super-
pozycj oddzielnych sinusoid (ob. wz. 223), a mianowicie:
. nx . 2nx . 3nx . mnx
y=81 SlD T + 82 sm --y-+ a3 sm -r-+"'= amsm-Z
m=], 2, 3, ...
. (b)
Wstawiwszy te wyratenie dia ugi cia w r6w. (a) i wykonawszy pofrzebne obliczenia, otrzyrnamy:
El agm(¥f +k alm
P= 8'im( mt r .
. (372)
Najmniejszq wartogé otrzyma powytsze wyratenie, gdy wszystkie sp6lczynniki am, pr6cz jednego, stanq siç zerami.
Pierwszq moiliwq zakrzywion'l postaci'l r6wnowagj b dzie przeto sinusoida. W odr6tnieniu od przypadk6w poprzednio
roztrzqgniçtych (9 174) moze tutaj pierwsza postaé mieé wiçcej punkt6w przegiçcia. Ich liczba bçdzie zaleteé od wielkogci
sp61czynnika k, charakteryzujélcego sztywnogé rodowiska. lm wi ksze k, tem wi ksza liczba p611al powstaje w prçcie przy
wyboczeniu. Oznac2;enie liczby p611al mozna w katdym szczeg6lnym przypadku wykonaé na podstawie nastçpuj'lcego
rozumowania: Przypu émy, te pierwsza postaé zakrzywiona tworzy m p6lfal, czyli, te:
. mnx
y=amsm-Z'
Wtedy wz. (372) daje:
p _ El(mn)4+k1 4
kr - m 2 n l l'i
. (c)
Wprowadziwszy oznaczenie:
k[4
B2= 16El
. (d)
napiszemy wz6r dIa Pkr W postaci:
_ nlEl ( 16B' ) ni El
Pkr-- , l m'+---r& =- ( [ 1
mn p.J
. (373)
przyczem "sp6lczynnik dlugogci":
1
p.=
1/ 1 + 16 B2
JI m m l n;4
. (374)
1) Ob. pracç autora: "0 wyboczeniu pr t6w w sprçtystem grodowisku" (po ros.), Izw. Petersb. Pol. Inst. z r. 1907
i pracç cytowanq w poprzednim paragrafie, a nadto prace: Zimmermann'a w ZentraIblatt d. Bauv. z r. 1906
i Sitzungsber. d. flkad. d. Wiss., Berlin, z lat 1906, ]901 i 1909.
339
Dop6ki sztywnogé rodowiska jest mala i odpowiednio malym jest sp61czynnik k. bçdzie zupelnie naluralnem przyj'lé.
ze pierwsza zakrzywiona postaé r6wnowagi nie posiada punkt6w przegi cia. tak jak w podstawowym prostym przypadku wy-
boczenia. Zwiçkszajqc k. albo. co na jedno wychodzi. powiçkszajqc ]3'J. dojdziemy kolejno do wartogci granicznych. przy
kt6rych niejako latwiej przychodzi pr towi zgiilé siç wedlug krzywej z dwiema p6lfalami, a dalej z trzema. czteremail d.
p6lfaIami. Niechaj pierwsza krzywa postae; r6wnowagi przy danej wartogci B2 posiada m p6lfal. a B2 ulega teraz zwiçk-
szeniu; zachodzi pytanie. przy jakiej warto-
ci B2 przybierze prçt postai: 0 (m + 1) p61-
lalach? Ta ostatnia bçdzie oczywi cie pierw-
szq zakrzywion'l postaci'l r6wnowagi przy
tej wartogci B2. kt6ra odpowiada sp6J:czyn-
nikowi dlugogci p., jaki wypadnie z wz. (374),
jeieli w nim zastqpimy m puez (m + 1).
Granicznq wartoge; BI. odpowiadajqcq chwili
przej cia od m do (m + 1) p6lfal, okrdli
zatem r6wnanie:
.. ..1'
m
h
ff . p p
r--- T'
1. . b
1, .'
1== :. ; . h
---t.,..
-..T :
p:g b
l'ig. tl .
a-
1 j
A,
V 2+ ]6B2 v( + 1 ) 1+ 16132
m m 2 1t' = . m (m + 1)2:n:"
z kt6rego: 1» 1t' 2 ( + 1) 1 ( )
v- = 16 mm. . e
Rladqc m = 1 znajdziemy: B' = 24.35. Dop6ki B' < 24,35. pierwsza krzywa postae; r6wnowagi nie ma punkt6w przegi cia.
Podstawiajqc koIejno zamiast m w' r6w. Ce) Iiczby 2. 3. 4,..., otrzymujemy szereg wartogci 8', przy kt6rych zachodzi
przemiana jednej postaci r6wnowagi na drug'l 0 wiçkszej Iiczbie p6lfal. Te warto ci zestawiono w nast'lPu cej tablicy:
Rys.4C6
m=
1
2
3
4
5 1
5479 .1
6
7
B2=
24,35
219,2
876,7
2435
10739
-
19091
G6rny szereg cyfr daje liczbç p6lfal dia pierwszej zakrzywionej postaci r6wnowagi, dolny zag krarlcowe wartœcÎ B'. przy
kt6rych te postacie powstae; mogil. Wyznaczywszy B' na podstawie danych odnoszqcych siç do spr tystych wlasnogci
ukladu. mozemy w powyzszej tablicy znaleié Iiczbç p6lfal m. na kt6re prçt siç dzieli przy wyboczeniu. Wstawiwszy tç war.
toge; we wz6r (374). znajdziemy wielkogé sp6lczynnika dlugogci }l i z wzoru (373) odpowiadajqc'l warto t Pkr 1). Przy wi k.
szej warto ci m postilpimy w spos6b nast pujl}cy: Wyrazenie (c) napiszemy w postaci:
Pkr= El [( i 2 r + :1 ( r ;, J =EI ( :: + :' 2/ )
Tutaj oznacza s dlugogé jednej p6lfali. Najmniejszq wartogé przybiera to wyraienie przy
. (1)
s=:n: W .
Z powi kszeniem liczby p6Ual zblita siç ich dlugogé do znalezionej granicy s. a wielkogé Pkr, jak
do wartogci:
widaé z wyraienia (1)
[ "1 rT V T ] ,r--;-;:;;r fC2EI
Pkr=EI JI-iiY+ - =2... kEI=2-----y.
El E / s
Jako drugi przyklad rozpatrzymy zagadnienie statecznogci gcislanych pas6w u most6w otwarlycb l ) (rys. 406). Jeteli
przez Q oznaczymy calkowite obciqzenie jednej belki, rozloione r6wnomiernie na rozpi togci " to przy wielkiej liczbie w -
1) Zanotujemy tutaj pewien wynik, maj'lcy znaczenie w teorji giçtkich wal6w. Przy obrotie walu z pr dkokiq k4-
towl} 0) pojawiaj'l siç wskutek jakiegokolwiek zakrzywienia osi walu sily odgrodkowe -9..... 0)2 y, przypadajqce na jednostkç
. g
dlugogci walu 0 ciçtarze q. Te sily dqzij, do powiçkszenia zakrzywienia, a wiçc wal zachowuje siç tak, jak prçt w spr iy-
stem rodowisku 0 ujemnej warto ci k = - -9..... 0)2. Jak widaé z wzoru (c) wygnie siç wal bez wsp6ludzialu sily podluznej,
g
g d y : q
E/(m:n:)'=-kl' = _0)21'.
g
Krytycznq wartogé prçdkogci k'ltowej (wz. 351) otrzymamy st'ld, przyjij,wszy m = 1.
1) To zadanie rozwiqzal najpierw F. S. J asi6ski; ob. zbior. wyd. dziel, t. l, str. 215. Uproszczenie rozwi,!zania
i niekt6re poprawki podal autor w pracy: ,,0 statecznogci uklad6w sprçtystych", str. 31.
22*
340
zl6w, nacisk. przeniesiony przez jakqkolwiek przeki!IDi! na pas g6rny belki, przedstawi z dostatecznq dokladno cii!
wyraienie:
9 (x-+) cotg 'P,
9 (x-+) jest tutaj sil'l gcinajqc,! w przekroju mn. Dia uproszczenia dalszych obliczen zastqpimy te sily skupione ob
ciqzeniem ciqglem, kt6rego rozklad przedstawia wykr lnie lig. (c). Nat tenie obciqzenia w jakimkolwiek przekroju mn
znajdziemy, dzielqc wielko é nacisku, przeniesionego odpowiadaj,!cq przekqtnq na pas, przez odstçp w z16w a. Znaj-
dziemy wi c: Q 1 Q 1 1 Q
-- ( X - - ) dg cp = - - ( X - - ) = q ( X - - ) przyczem q = - - .
al 2 hl 2 2 ' hl
Nat ienie zast pczego obciqzenia ro nie zatem od rodka rozpi togci ku podporom wedlug prawa tr6jk q ta. Najwi kszy na-
cisk zachodzi w grodkowym pnekroju pasa. gdzie go okre la pole jednego z zakreskowanych tr6jkqt6w (Iig. c), t. j. q i .
W otwartych mostach niema polqczen mi dzy g6rnemi pasami. to tei. kiedy naciski przekroczq pewnq granicç, moze
zaj é wyboczenie pas6w, kt6remu towarzyszy wygi cie slup6w i przekqtnych belki kratowej (Iig. b). Przy wyznaczeniu kry-
tycznej warto ci sily ciskajqcej q: mozna g6rny pas kaidej belki kratowej rozpatrywaé jako pr t ciskany sHami rozloto-
nemi wedlo.g tig. (c). przyczem wyboczemu pr ta przeszkadza spr zyste grodowisko 0 sztywno ci zcharakteryzowanej sp61-
czynnikiem k. Wielkogé k, jak i poprzednio ( 97), da si obliczyé drog zasti!pienia skupionych opor6w poszczeg61nych
slup6w, oporami, rozlotonemi na dlugo ci al). Uwazajqc katdy stup za belk jednym koncem utwierdzonq, mamy;
Pb s
y = 3El 1 .
W przypadkach, kiedy slupy podlegajq znacznemu naciskowi podlutnemu. trzeba uwzgl dnié wplyw sil ciskajqcych na
wielko é ugiçcia (wz. 229) i zastosowaé wz6r:
Pb S 1
Y = 3El 1 l- a i '
w kt6rym al oznacza stosunek sily gciskajéicej do obciqier.ia krytycznego dia slupa 0 doIny.m koncu utwierdzonym, a g6r-
nym swobodnym. Dia .reakcji" P g6rnego kolica slupa otrzymujemy tedy wyratenie:
P J E Il .
= li' (1 - aO) y.
Rozlotywszy t sil na dlugogé a (odst p mi dzyw zlowy). znajdziemy:
= 3EI1 (1_a 2 )y i k= 3El 1 (1-(12) . (375)
a ab 8 ab 8
Wyznaczywszy sily dzialajqce na pr t i spr zyste wlasno ci grodowiska. znajdziemy krylycznq warto é sily ciskajqcej
przez por6wnanie pracy sH zewn trznych przy wyboczeniu ze zmianq energji potencjalnej ukladu. Wydzielmy dwa ele-
ment y pr ta. polotone symetrycznie wzgl dem jego rodka. Pracç odpowiadaj,!cych sil zewnçtrznych
q ( - x ) dx
przy wy gi ciu osi pr ta przedstawi wyrazenie:
1 1 C-x
'2 q ('2- x ) dX)x (y')idx.
Pracq wszystkich sil zewn trznych pr ta bçdzie wi c:
q r ( 1 ) rl-x r f
T='2)o '2- x dX)x (y')ldx = )0 x (l-X) (y')i dx.
Przyr6wnawszy jq do zmiany energji potencjalnej odksztalcénia, otrzymainy podstawowe r6wnanie i ):
1
:X(I-X)(Y')'dX= / (y"p dx + Y2dX'
1) Otrzymana fi! d.ro i! k ytyczna warto é sily ciskajéicej b dzie naturalnie tem dokladniejszq, im gç ciej si! rozmiesz-
czone slupy. Przy male) hczbu', a znacLnej sztywnogci '>lup6w wypadnie wziqé pod uwag reakcje skupione. Zamiast
pr ta. w sprçtystern grodowi ku b dziemy mieli prçt na spr tystych podporach. Zadania tego rodzaju znajdzie czytelnik
w kSl'!tce 1. G. Bu b n 0 w a: "Mechanika budowlana okr tu" (po ros.), str. 260
Ob. takte R. Ostenfeld, Die Seitensteifigkeit offener Brücken, Beton u. Eisen z r. ]916.
') Z kladamy, i sztywno é zginania pasu jest stala, a w przypadkach. kiedy ta sztywno é zmienia si na dlugo i
prli ta , b dzlemy wsfawlat za E 1 t wart04é, dIa kt6rej z wzoru (h) wypadajq najmniejsze wartogci napr zenia krytycznego.
341
z kt6rego
El (\y1lP d.r ..L k {"] y d.r
gJ! _ l' ) 0 )0
8 - 8 ] (1
2)0 X ll- x) (y')2 d.r:
(h)
W ten spos6b sprowadza sili kwestja znaIezienia krytyczne] warto ci sil wewn trznych w pasie do szukania minimum
ulamka (h). Jeieli slupy naroznikowe Si! tak sztywne, ze ich zgilicie mozna pomin é, to gciskany pas wypada uwazaé za
pr t o. koncach podpa tych i wZiqé. dia linji u?i cia og61ne wyrazenie tb). flby uprogcié obliczenia, najlepiej rozpatrzyt od-
dZlelm.e kazdq z m.ozhwych postacl r6wnowagl. W przypadku rodowiska bardzo podatnego b dzie pierwsz'l zakrzywionq
postacli! r6wno'l<\agl krzywa bez. punkt6w przegilicia, tworzqca jednq p6Ifal . Ta krzyv.a b dzie s}metryc7na wzgl dem
rodka, wobec czego, poprzestaJqc na dwu wyrazach szeregu (b), trzeba przyjqé:
. nx . 3nx
y=asIDT+al sm,-.
W . 2nx . 4nx d d .
yrazy sm ---r-' sm ---r- 0 pa aJq, albowiern odpowiadajq postaciom niesymetrycznym wzgl dem !!rodka). Wsta-
wiwszy to wyrazenie w og61ny wz6r (h) i wykonawszy potrzebne obliczenia. znajdziemy:
ql' _ n 2 EI
8 - l'
1+81Z2+ (I+Z') n'El
2 ( .!. - ) - z + 2 ( 3 _ ) z' - (p.I)'
3 n' n 2 n'
. (k)
Wielko ci z i B' maj'l przytem poprzednie znaczenie. Dia otrzymania krytycznej sily ciskaj'lcej trzeba dobraé takq war-
to é z, przy kt6rej wyrazenie (k) staje sili minimum. Dokonali!!my tego dIa kllku wartogci B', a odpowiadaj'lce wielko ci
sp6lczynnika dlugoki p. zestawili!!my w ponizszej tabliey:
B' = 0 5 1 to 15 1 22,8 1 56,5
1
p. = 0,694 0,524 0,443 0,394 0,363 0,324
B' = 100 162,8 1 200 300 500 1000
p. = 0,289 0,257 0,245 0,224 0,204 0,174
POCZ'lwszy mniej wilicej od B' = 18 tworzy prçt przy wyboczeniu dwie p6lfale z punktem przegi cia w odku dlugogci.
Wtedy, poprzestajqc na dwu wyrazach szeregu (b), trzeba przyjqt:
. 2nx . 4nx
y = a sm ----y- + al sm ----y- .
W stawiwszy nowq warto!!é y w og61nq formul (h) mozemy obliczyé w poprzedni spos6b warto!!ci sp6lczynnika dlugogci
dia drugiej zakrzywionej postaci r6wnowagi i t. d. Wyniki obliczen zawiera powyzsza tablica. Wprowadzaj'lc w rachunek
najniekorzystniejszy slup i najniekorzystniejszy przekr6] pasa 1), wyznaczamy wielko!!é B' na podstawie wzor6w (375) i Id),
a z tablicy znajdujemy odpowiaddjqcq wartogé sp61czynnika dlugogci fl. Dalszy rachunek prewadzi siç tak samo, jak dia
podstawowego przypadku wyboczenia ').
9 119. 0 WYBOCZENIU PRI TÔW ZLOZONYCH
W praktyce stosuje si bardzo cz sto pr ty zlozone z kilku r6wnoleglych ksztalt6wek, polqCZO w
nych krat q ; zachodzi tedy pytanie, jakie Sq warunki statecznosci takich pr t6w. Okazuje si , ze w tych
przypadkach na wielkosé krytycznego obciqzenia moze istotny wplyw wywrzeé sHa poprzeczna,
pojawiajqca si przy wyboczeniu pr ta. Rol sily poprzecznej objasnimy najpierw na podstawowym
przypadku wyboczenia. Przyjmijmy, ze pr t pryzmatyczny 0 koncach przegibnie ustalonych wyw
1) Nalety braé ten slup, dia kt6rego k, obliczone wedlug wz. (375), ma najmniejsz'l warto!!é, oraz ten przekr6j pasa,
dia kt6rego wielko!!é p.1: r (r jest promien bezwladnogci przekroju) jest najmniejsza.
') Zakladajqc, ze sp6lczynnik dlugo!!ci p. zachowuje swojq warto!!é i poza granicami spr Zysto'ci popelniamy pewien
bli!d, kt6ry jednakte idzie na korzygé pewno!!ci; ob.: ,,0 stateczno!!ci uklad6w spr zystych", str. 73.
342
boczyl si pod dzialaniem podlutnych sil sciskajqcych P (rys. 407). W skutek zakrzywienia osi,
w kaidym poprzecznym przekroju pr ta wystQpi oprôcz sily podiuznej takze i sila poprzeczna
Q =P ,przedstawiajQca rzut sily P na normainQ do zgi tej osi w rozpatrywanym
przekroju m n. 1\zeby ocenié wplyw tej sily na wielkosé obciQzenia krytycznego,
trzeba wziQé pod uwag nietyIko energj zgi cia, Iecz takte i energj scinania
zakrzywionego pr ta. Poniewat krzywizna zalezy w danym przypadku nietylko
od momentu zginajQcego, lecz takZe od sily poprzecznej, wi c do wyrazenia dia
energji zgi cia: (" 1 MI dx p2 (" 1
Vi = )0 2El = 2EI )oy2 dx
dolqczymy wyrazenie dIa energji scinania:
("lk'Q2 k'P2("l,
V 2 = 0 2Fa dx = 2Fa o (y )2dx,
h'Q
Fa =
przedstawia kqt odksztalcenia postaciowego, uwarunkowany dzialaniem sily po-
przecznej Q. Podstawowe rôwnanie dia wyznaczenia obciQzenia krytycznego przybierze tedy postaé
P (" 1 pl (" 1 h' pl (" 1
2 )0 (y')1 dx = 2EI oy2dx + 2 Fa o (y')2 dx . . (a)
Lewa strona rownania przedstawia prac sil sciskajqcych przy zakrzywieniu pr ta; po stronie pra-
wej mamy energjç zgiçcia i energj scinania. NajmniejszQ wartosé dia obciQ enia krytycznego
otrzymamy, przyjmuiqc zakrzywienie wedlug sinusoidy
bez punkt6w przegi cia. Wstawiwszy w r6w. (a) zamiast
ugi cia azenie:
1
,
I . ,,:;
'j
.r'
.----.-tP
Rys. 407
y
przyczem
f . 1(X
Y= SInT
i wykonawszy wskazane operacje, znajdziemy:
1
P kr = il h"
:n: 2 EI + Fa
Po wprowadzeniu oznaczeti:
1(2 El
Fe = ,
. (376)
Fa
Pd = k'
otrzymamy z wzoru (376):
P kr = Pe . Pd Pe = cpPe.
Poniewaz Pd jest bardzo wielkie w porownaniu do Pe, wi c
sp6lczynnik cp r6zni si niewiele od 1, a zatem wplyw
sily poprzecznej na wielkosé krytycznego obciqzenia b - Rys. 408
dzie wog6le maly 1). Wz6r (376) wyprowadzilismy tylko dlatego, poniewaz on ulatwia przejscie do
badania statecznosci pr t6w zlozonych, jeteli zwr6cimy uwag na t okolicznosé ze dodatkowy
K . . k '
wyraz Fa w mlanowm u otrzymanego wzoru przedstawia czynnik, przez kt6ry trzeba pomnozyé
sil poprzecznQ, aby otrzymaé kQt odksztalcenia postaciowego .
Dajmy na to, te w:yboczenie pr ta, zlozonego z dwu pas6w AB i fI, BI, polQczonych krat Q
(rys. 408, fig. a), mote zajsé w plaszczyznie X ¥. Do zwyklego wzoru Eulera wejdzie zatem mo-
A tX' 1
: J 1
a
Q
....,..--
"-,"
a r-
P f.
., /
, 1" ,
, ,0
.
1
,
1
1
.
1
t
... h ....--i
ns.o.
1) Ob. prac autora: ..R'woprosu 0 prodolnom izgibie"', Izw. Rij. Pol. Jnst. z r. 1908.
Ten sam wynik otrzymal innq drogq :nt. Nussbaum, Zeitschr. f. Math. u. Ph., t. 55.
343
ment bezwladnosci 10 wzgl
dem osi 0 Z. Przy ocenie wplywu sily poprzecznej prZYJmlemy, ze
liczba przedzialôw kraty jest bardzo wielka i znajdziemy kqt odksztalcenia postaciowego i3 z roz-
wazania odksztalcen jednego przedzialu (fig. b). Oznaczmy przez Fd pole przekroju poprzecznego
przekQtnych, a przez F g i F p odpowiednio pole przekrojow pasow i slupkôw (rozpor). Jezeli wiel-
kosé Fd jest mala w porownaniu do F g i F p , to mozna przyjQé, ie odksztalcenie przedstawione na
fig. (b) Iiniami przerywanemi b
dzie glôwnie wynikiem wydluzenia przekQtnej. To wydluienie ()
okresli rôwnanie: Qa
ô = cos et E Fd sin cr .
= mn = Q
a EFd cos!! cr sin a .
Bezwzgl
dne posum
cle mn wyrazimy przez ô przy pomocy trôjkQta mnp, a mianowicie:
m n = ô: cos cr. StQd:
. (b)
W stawiwszy we wzor (376) zamiast k': F Q spolczynnik przy Q w wyrazeniu (b), otrzymamy szu-
kanQ wartosé Pkr dia pr
ta zlozonego, przedstàwionego na fig. (a) 1):
1\ zatem analogicznie, jak powyzej:
1
Pkr = [2 1 1
-+ +
IElo EFd cos l cr sin cr EF p tg a
Jezeli krata ma podwojne przekqtne (rys. 409, fig. a), to zamiast
Fd trzeba we wzor (378) wstawié wielkosé 2Fd. U pr
t6w 0 prze-
kroju rurowym (fig. b) trzeba uwzgl
dnié dwie kraty lqczqce i z tego powodu wstawié we wz. (378)
zamiast Fd wielkosé 4F d , a zamiast F p wielkosé 2F p . Przy obliczeniu pr
ta przedstawionego na
fig. (c), mozna zastosowaé wzor (377), ale przez a naleiy pojmowaé kQt wskazany na rysunku.
We wszystkich rozpatrzonych przypadkach jest wielkosé krytycznego obciqienia mniejszQ od ob-
ciqzenia Eulerowskiego:
I El
P _ 0
e - 1 2
l
Plu; = II 1
-+
IElo EFd cos l a sin a
. (377)
Latwo zauwaiyé, :le wplyw sily poprzecznej na wielkosé P kr moie
byé znacznym tylko w przypadku malych wartosci przekroju prze-
kQtnych F d .
Skoro przy obliczeniu kqta
uwzgl
dnimy sciskanie smpkow
(rozp6r) kraty, to znajdziemy bez trudnosci:
= Q +
=
( 1 + 1
E Fd cos 2 cr sin cr EF p a E Fd cos!! a sin et F p tg cr
. (378)
(c)
fi!! b.
-- -"î
. .
. 1
1 .
___.=l:
Rys. 409
lïg l'
L .J
F----'
i da si
przedstawié formulQ: Hr = tpPe.
Znalazlszy przy pomocy wzoru (377), albo (378) liczb
cp, sprowadzamy obliczenie pr
tow zlozo-
nych do podstawowego przypadku wyboczenia; poza granicami spr
zystosci mozemy przeto poslu-
zyé si
znowu podanemi poprzednio formulami empirycznemi lub tablicq Jasiiiskiego.
fi"A.a
---
1) Ten wz6r otrzymal najpierw Engesser. P6tniejsza publikacja jego rozwiqzania znajduje si
w ZentralblaU der
Bauverw. z r. 1909, str. 136.
Badaniem tejte kwestji w zwi'lzku z rozpatrywafliem przyczyn zawalenia sili mostu pod Quebec zaji}l sili r6wniez
L. Prandtl; ob. "Die Rnicksicherheit von Gitterstàben", Zeitschr. d. Ver. d. Ing. zr. 1907. W obu pracach stosowano
metod
badania odmienn'l od wylozonej powyzej.
Co do zastosowa6 w konstrukcjach mostowych ob. N. P. Winogradow, "Obliczenie
ciskanych pr
6w krato-
wych" (po ros.), Wiest. Ob-a Technologow z r. 1914.
Przejdziemy teraz do przypadku, kiedy pasy zlozonego pr ta Sq polqczone tylko szeregiem
slupkôw (bez przekiitnych) (rys. 410). Tego rodzaju konstrukcje pozyskaly w ostatnich czasach
szerokie rozpowszechnienie, jako sciskane elementy kratownic mostowych. Przyjmijmy, ze przy
sciskaniu asz pr t zlozony moze si wyboczyé w plaszczyznie X Y. Oznaczmy przez la moment
bezwladnosci calego przekroju wzgl dem osi Z ôw, a odpowiednio przez Il i 1 2 moment y bezwla
dnoscÏ przekroju jednego pasa i jednego slupka. Tutaj mozemy znowu uzyé wzoru (316), skoro
tylko znajdziemy zwiqzek mi dzy kiitem odksztalce
nia postaciowego , a sil q poprzecznq Q. W tyn1
celu wydzieIimy z pr ta przekrojami m n i ml n 1
cz sé 0 dlugosci a. Odksztalconq postaé tej cz sci
Il w zwi kszonej skaIi przedstawia Hg. (b). Jej ukos
zalezy od zgi cia pasôw i slupka. Z fig. (b) widaé, ze
a
= (01 + ô,J : 2'
Rorzystajqc ze znanych wzorow, znajdziemy:
a Qab Qa S
'¥= 01:2= 2_6EI 2 ' 02, = 3.2.8E/ 1 '
a zatem: =Q ( + ) .
E 12/2, 24/ 1
Wstawiwszy otrzymany spolczynnik przy Q we wz6r
(316) zamiast h' : FG, znajdziemy:
P kr - [2 a 1 b aI l). (319)
-+-+-
Jrll E10 12E/ 2 24E/ 1
Znowu tedy okazuje si wielkosé P kr mniejszq od obciqzenia Eulerowskiego, obliczonego wedlug
wzoru dia pr ta jednolitego. Rôznica mi dzy pr tem litym a zlozonym b dzie tem wi ksza, im
mniejszii jest sztywnosé slupkow poprzeczl1ych i im wi kszy ich odst p a. W przypadkach, kiedy
a jest wielkie, albo sztywnosé pasôw E/ 1 mala, moze si zdarzyé, ze wielkosé Pk" obliczona
z wzoru (319) nie b dzie mala w porôwnaniu do wielkosci 1(11 /l obciiizenia krytycznego, obliczo
a
nego dIa cz sci pasa zawartej mi dzy dwoma slupkami poprzecznemi. W tych warunkach daje
wz. (319) nieco za wielkie wartosci dia Ph 2).
Trzeba jeszcze zauwazyé, ze wz. (319) wyprowadzilismy przy zalozeniu, ze zjawisko zachodzi
w granicach spr zystosci. Mozna go jednak uzywaé i poza terni granicami do znalezienia stosunku
mi dzy obciiizeniem krytycznem dIa pr ta zlozonego, a obciqzepiem krytycznem dIa odpowiadajq
cego pr ta litego, aby nast pnie zastosowaé formuly empiryczne, znalezione dIa pr tow litych S).
CO si tyczy doswiadczen przeprowadzonych nad statecznosci q zlozonych pr tôw, to one nie wy
starczajq jeszcze do ustawienia dobrze ugruntowanych wzorow empirycznych.
344
1 X
rn
b ;..
Jl
2
J. .' _ _ _ __ _ _L
H8" 1;
-
O'
L OJ fi '"
r-.f' '.s,a
Z...
Rys. 410
9 180. UW1\GI CO DO UST1\LENI1\ KONC6w 1 OSLl\BJENIl\ PRZEKROJ6w
POPRZECZNYCH SCISK1\NYCH PRET6w
Przy wywodzie wzorôw dIa obciqzenia krytycznego rozrôzniajq konce swobodne, podparte
(przegibnie ustalone) i utwierdzone. W praktyce napotykamy cz sto i warunki posrednie. Zwykle
1) Ten wz6r daje wyniki bliskie znalezionym do wiadczalnie przez prof. Rudeloll'a; ob. Eisenbau zr. 1913, str.41.
) DaIsze badania tej kweslji i dane do wiadczaIne zawiera praca autora: ,,0 staleczno ci uklad6w spr zystych",
str. 57.
Inny wyw6d wzoru (379) podal prot Rayser; ob. Eisenbau z r. 1910.
Ob. takze prace MüIIer-BresIau'a w Eisenbau z lai 1911-1913.
S) Blçdy, powstajqce przy takim sposobie obIi lmia, id na korzygé pewnogci; ob.: ,,0 stateczno ci ukl. spr.", str. 75.
345
bowiem s konce pr ta przynitowane do innych cz sci konstrukcji, wobec czego nie mozna ich
uwazaé za ustalone przegibnie. RIe rowniez nie wolno uwazaé ich za doskonale utwierdzone. Na-
wet przy najzupelniejszem przymocowaniu mogq konce obracaé si cz sciowo i ta okoIicznosé
obniza wielkosé obci zenja krytycznego. Jezeli kijty obrotu koiic6w Sq proporcjonalne wzgl dem
pojawiajqcych si moment6w podporowych, to b dziemy mieli do czynienia ze spr zystem utwier-
dzeniem konc6w i prz)r danej sztywnosci utwierdzenia b dziemy mogli ocenié jego wplyw na wiel-
kosé obciqzenia krytycznego. Przy uzyciu metody przyblizonej wypadnie uwzgl dnié nietylko
energj odksztalcenia rozpatrywanego pr ta, lecz takze i tych cz sci konstrukcji, z ktoremi pr t siç
lqczy. W ten spos6b dochodzimy do badania statecznosci uklad6w pr t6w 1). W takich przypadkach,
dIa uproszczenia obliczen, pomija si zwykle w praktyce wplyw utwierdzen na korzysé pewnosci
i uzywa si wzor6w, wyprowadzonych dIa pr t6w 0 koncach przegibnie podpartych. Zaznaczymy
tutaj, ze wplyw utwierdzen konc6w na wielkosé obciqzenia krytycznego ma le je ze zmniejszeniem
dlugosci pr ta. DIa przykladu por6wnamy pr t 0 koncach podpartych i pr t, kt6rego konce s do-
skonale utwierdzone. W ostatnim przypadku sp6lczynnik dlugosci p.=0,5. Dop6ki zjawisko wybo-
czenia zachodzi dIa obu pr t6w w granicach spr zyst()sci, jest obciqzenie krytyczne przy utwier-
dzonych koncach cztery razy wi ksze, niz przy koncach podpartych. Poza granicami spr zystosci
zachowuje swojq wartosé sp6lczynnik dlugosci p., atoli stosunek obciqzen krytycznych b dzie juz
inny. Przy pomocy tablicy Jasinskiego (str. 332) latwo otrzymaé wyniki nast pujqce:
1 1 200 150 1 100 50
- 1 1
r 1
(DIa konc6w podpartych) Ph = 1 532 1 946 1 1904 1 2646 kglem 2
1
--- - 1 1
p.l = 1 100 75 50 25
r
1 1 2275 1 2646 1 3016 kglem 2
(DIa konc6w utwierdzonych) P\r = 1 1904 1
1
- 1 1 1 1
L p'kr: Ph = 3,58 2,40 1,39 1,15
1
Z tej tablicy widaé, jak ubywa stosunek p' kt: pkr ze zmniejszeniem dlugosci pr ta. U kr6tkich
pr t6w jest wplyw utwierdzenia konc6w na wielkosé napr zen krytycznych wcale nieznaczny.
Pr ty sciskane posiadajq zwykle pewne przekroje oslabione otworami na nity, lub innego
rodzaju niedoborami; zachodzi tedy pytanie, 0 ile wskutek tych oslabien zmniejsza si wielkosé
obci zenia krytycznego. Rozwi zanie tego zadania jest zwi zane z badaniem wyboczenia pr t6w
o zmiennym przekroju. W przypadkach, kiedy dlugosé oslabionej cz sci pr ta jest niewielka 2),
okazuje si jej wplyw na wielkosé obci,!zenia krytycznego r6wnowaznym z wplywem przyrostu
dlugosci pr ta 0 wielkosé:
1-1' 2:/te
ôl=d.---,-cos T .
Tutaj oznacza odpowiednio 1 i J' moment bezwladnosci nieoslabionego i oslabionego przekroju,
e odleglosé oslabionego miejsca od srodka pr ta, d dlugosé oslabionej cz sci. Najwiçkszy wplyw
na H.r objawi oslabienie w samym srodku pr ta, 1. j. gdy e=O. Jezeli na pr cie znajduje si
szereg oslabien r6wnych i r6wnoodleglych od siebie, to ich og6lny wplyw na P kr otrzymamy przez
. (380)
1) Jako przyklad zadania tego rodzaju mozna przytoczyé badanie statecznogci ciskanych prçt6w kratownicy wielo-
krotnej, ob. J asitis ki, t. 1, str. 177.
Ob. takze: Vianello, "Die Knkklestigkeit eines dreiarmigen ebenen Systems", Zeit. d. Ver. d. Ing. z r. 19C6,
tr. 1753.
Pewien przypadek szczeg61ny rozpatruje praca autora: "R' woprosu 0 prodolnom izgibie". Izw. Kij. Pol. Inst.
z r. 1908.
') Ob. cytowanq powyzej pracç autora.
346
sumowanie wplywow oddzieInych oslabien l, na PQdstawie wz. (380), mozna ten wplyw zast pié
przyrostem dlugosci pr ta 0 wielkosé:
t> 1 _ ndI- l'
u - 2 l'
. (381)
przyczem n jest liczb q miejsc oslabionych. Na Iiczbowym przykladzie mozna okazaé, ze u pr tow
zelaznych jest wpJ:yw otworow na nit y na wielkosé Pla dosé maly.
Wezmy np. k tôwk 75X15Xl0 mm 0 dlugosci 1=2,5 m, opatrzon lO-ciu otworami na nity
o srednicy 20 mm. Taki otwor oslabia przekroj pr ta w przybIizeniu 0 14% i 0 tylez mniej wi cej
zmniejszy si moment bezwladnoscÏ. 1\ zatem:
(1-1'): l' = 0,17.
Skoro we wz. (381) podstawimy zamiast dlugosci oslabionej cz sci srednic nitu, to znajdziemy:
ô 1= 1,7 cm.
Zwazywszy, ze obciqzenie krytyczne jest odwrotnie proporcjonalne wzgI dem kwadratu dlugosci
pr ta. obliczone przez nas zast pcze zwi kszenie j ego dlugosci B 1 pomniejsza P kr 0:
100 2 1 ô = '"' 1,4%.
Zmniejszenie Ph zachodzi zatem w znacznie mniejszym stopniu, niz oslabienie przekroju i dlatego
przy obliczeniu ksztalt6wek zelaznych ze wzgI du na wyboczenie bierzemy w rachub moment
bezwladnoscÏ przekroju brutto, nie uwzgI dniajqc otworow na nity. (Te ostatnie trzeba jednak
uwzgI dnié przy obliczeniu napr zen dIa sprawdzenia warunku wytrzymalosci).
Na tem zakonczymy rozpatrywanie kwestji statecznosci sciskanych pr tow. Wylozone tutaj
metody mozna takZe zastosowaé przy rozwi zywaniu bardziej zlozonych zadan, jak np. kwestji
statecznosci pr tôw 0 zmiennym przekroju 1), pr tow 0 rownej wytrzymalosci na wyboczenie ')
i pr tow w kilku punktach podpartych S). Do przyblizonego rozwi zania tych zadan mozna tez
zastosowaé metod wykresIn 4).
9 181. 0 ST1\TECZNOSCI ORRl1GLEGO PIERSCIENI1\ 1 W1\LCOWEJ RURY
Jezeli okrqgly pierscien, albo cienkoscienna rurd 0 przekroju kolowym i promieniu a jest
narazona na dzialanie rownomiemie rozlozonych naciskow zewn trznych, to, jak pokazuje doswiad-
czenie, mozna przez powi kszenie cisnienia p osiijgn é taki stan graniczny, przy ktorym okrqgla
postaé rownowagi przestaje byé statecznij, a pierscien lub rura zaczynajij si splaszczaé. DIa wy-
znaczenia krytycznej wartoscÏ zewn trznego cisnienia moznaby naturalnie uZyé ogolnego sposobu
i otrzymaé potrzebne rownanie, przyr6wnywujijc prac zewn trznych naciskow przy splaszczaniu
rury do zmiany energji potencjalnej odksztalcenia ukladu 5). W tym jednak przypadku dojdziemy
pr dzej do ceIu, stosuj c rownanie rozniczkowe rownowagi dIa linji ugi cia krzywego pr ta (9 137):
( d'y Y )
El -+- =-M
ds 2 al
. (a)
1) Ob. Franke, "Die Tragkralt der SauIen bei verând. QuerschniU". Zeit. f. Math. u. Ph. z r. 1901.
Franke, "Die Rnicksicherheit bei entspr. Zunahme d. Tragheitsmomentes", Zeitschr. IÜr flrch. u. Ing. z r. 1907.
fi. Dinnik, Wiest. Ob-a Technologow z r. 1913 i Wiest. Inz. z r. 1915, str. 94.
H. Rayser, "Knickwiderstand V. Druckstiiben mit verânderlichem Querschnitt", Eisenbau z r. 1910, str. 451.
2) Ob. Verhandl. d. Gewerbefleiss. z r. 1910, zesz. VI.
S) Ob. WiUenbauer, "Die Rnicldast mehrfach belestlgter Sl1ibe", Zeit. d. V. d. Ing., r. 1902.
] ohnson, "The Theory of continuons columns", flmer. Soc. of. civ. Eng. z r. 1906.
S} Ob. Vianello, Zeit. d. Ver. d.Ing. z r. 1898, str. 1436.
S} Ob. prac autora: "Zastosowanie sp61rz\ldnych normalnych..." (po ros.). Izw Rijew. Pol. Insl z r. 1910.
347
DIa uproszczenia wywod6w przyjmiemy, ie pierscieti ma przekrôj poprzeczny prostokqtny, a sze-
rokosé przekroju w kierunku prostopadlym do plaszczyzny pier-
scienia jest rowna 1; wtedy nacisk, przypadajqcy na kaid q jedno- ' . / _1 _ _ _
tk dlugo.sci ierscienia, b zi rowny cisnieniu p. D jmy na t , , ,-) - - , _ ", 1
ze pod dZlalamem tych nacIskow powstalo splaszczeme pierscie- ->/"0 ,
nia i niech linja pélna na rys. (411) przedstawia zgiçt Q os pier- \: . r..'a-}f ;,"
scie nia, a proste 0 Il i OB jej osie symetrji. Przetnijmy pierscieti 1 0.
w punkcie fI. Dzialanie dolnej cz sci pierscienia na g6rn mozna
zastQpié naciskiem podluznym p. c (przyczem C oznacza mniej-
sZQ polos splaszczonej postaci rôwnowagi) i momentem Mil'
Moment zginajilcy w dowo}nym punkcie C bçdzie r6wny:
pli
M=-M - p cz + -
o 2 '
jezeli tak sarno, jak przy wyprowadzeniu rownania (a) bçdziemy uwaiaé ten moment za dodatni,
ktoremu odpowiada zwiçkszenie krzywizny osi. T utaj zastQpiono cisnienie wzdlui luku JI C cisnie-
niem na ciçciwç fI C = 1. Dlugosé ci ciwy znajdziemy z trojkqta 0 fI C:
- J2 r 2 - Ci ( a+ y) 2_ ( a+ y ) 1
OC'=r'=I' + c'-2cz a WiDC' --c z = 0 - a(y - y )
, ')!. 2 2 2 - o'
Uwzglçdniwszy to i wstawiwszy wyraienie dIa M w row. (a), otrzymamy:
( dl Y Y )
El ds 2 + al = Mo+payo-pay.
. dly Mo+payo ( pa 1 ) _
albo. ds - El + E/ + al y-O
Ogôlnil calk q tego rownania jest:
Mo+payo C C .
y = El al + cos as + 1 sm as.
2 _ ap 1
a - EI + al ,
zas C i C t Si! dowolnemi stalemi. Przesuni cie y w kierunku promienia r posiada najwi kszQ
ujemnq i najwiçksz dodatniil wartost odpowiednio w punktach Il i B, gdzie 5=0 i s= ; w tych
punktach jest : = O. 1\.by uczynié zadosé tym warunkom trzeba przyjqé:
Ci = 0 [ sin ns t= :=0,
2
b
Rys_ ..1\1
. (b)
. (c)
przyczem
a zatem:
Vap+l_2n
El al - a'
b dzie mozliwe splaszczenie pierscienia, ctrzymamy,
3EI
pkr = as . (382)
W przypadku cienkosciennej rury, moiemy z niej wydzieIié dwoma przekrojami pierscieti, kt6rego
szerokosé w kierunku osi rury jest rowna 1. Statecznosé takiego pierscienia moina sprawdzaé
wedlug wzoru (382), skoro w nim sztywnosé El zastQpimy sztywnosci "walcowq", a zatem:
3Eh s
pkr = 12 (1 - (11) aS
jeieli h oznacza grubosé sciany rury. Otrzymany wz6r zgadza siç dobrze :t. doswiadczeniami 1)
i pozwala obliczaé dlugie rury ze wzglçdu na statecznosé ich sprçiystej r6wnowagi. W przypadku
aa:1t
-=n1C
2 '
albo
Najmniejszij wartosé cisnienia, przy ktorej
przyjmujQc n= 1; wtedy:
. (383)
1} Ob. P. 1\. cëlrman, Univ. of lIIinois Bulletin Nr. 5, r. 1906.
Slocum, .The collapse of tubes under externat pressure". Engineering, r. 1909, str. 35.
348
rury 0 skonezonej dowoInej dlugosci 1) 1, b dzie warlosé cisnien krytyeznych wi ksza, anizeli to
wypada z wzoru (383) (poniewaz koiÎee rury Sq przymoeowane, np. do den koUa parowego) i da
si wyznaezyé z wzoru 11) :
- E .!!. + o 73E I -n 2 -1+ 2nl-l,3 ]
'Pkr- [ ( nl ) II ] 1 a ' ( nl ) 1I (2a)S
(n 2 -1) 1+ - 1+ -
:rra L :rra _
Tutaj oznaeza n (calkowihÜ liezb pôllal, na ktôre dzielq siç przy wyboezeniu rôwnoIegle
pierscienie eIementarne walcowej rury. Liczb n naIezy tak dobraé, aby napr zenie krytyczne,
wyznaezone z wzoru 384 mialo najmniejszi! wartosé. W nizej umieszezonej tabliey podano szereg
warlosci Pkr w kg{cm 2 , obliezonych dIa E=2.10 6 kglcm 2 i 0'=0,3. Przy spôlczynniku E', odmien w
nym od E, trzeba dane tabliey pomnoi:yé przez ulamek E': E. Linja gruba oddziela na tabliey
cisnienia, odpowiadajqce naprçzeniom wi kszym od 1800 kglcm 2 .
(384)
0,4 1 0,8 1 1,2 1 1,6 1 2,0 1 2,4 1 2,8 1 3,2
1 1
Zewn trzne cisnienie krytyezne w kglcm 2
0 1 0,035 1 0,28 1 0,95 1 2,25 1 4,4 1 7,6 1 12 1 18
0,1 1 0,18 \ 1,0 1 2,9 1 6,6 1 12,3 1 17 1 23 1 31
0,2 1 (1,37 1 2,1 1 5,9 1 13 1 21 1 32 1 47 1 66
1
0,3 1 0,56 1 3,2 1 9,3 1 18 1 32 51 76 1 111
1
0,4 1 0,76 1 4,5 1 11,6 1 25 l 45 1 70 1 101 1 140
0,5 1 0,97 1 5,5 1 15 55 1 87 1 132 1 190
1
Jezeli zamiast calkowitego piorgcieniil. mamy tylko jego cz gé 0 koticach przegibnie ustalonych, to krytycznq warto é
normalnego nacisku p, przypadaj'lcego na jednostk dIugo ci zakrzywionego pr\lta i rozlozonego r6wnomiernie, okre li r6wnanie:
. El ( 4.n )
Pkr=ij8 -1 . . (d)
w kt6rem Cf' oznacza kilt grodkowy, odpowiadaj'lcy osi krzywego pr ta 3). Na podstawie tego wzoru mozna
nabraé wyobrazenia 0 stateczno ci luk6w dwuprzegubowych lub tr6jprzegubowych i ustalié graniczne
wartogci dla ich grubo ci. przy maIej krzywiinie mozna wz6r (d) z wystarczajqcem przybIizeniem na-
pisaé w postaci: 4.n El 4.n El
Pkr= a8Cf'1 - as l
przyczem S oznaczll. dlugo c5 pr ta. W 6wczas krytyczna warto é podIuinej sily ciskaj'lcej w Iuku:
4 .nI El
Pkr= apkr= 2 . (385)
s
Rys. 412
-
Ten wz6r jest identyczny z otrzymanym pierwej dIa przypadku wyboczenia prçta prostego 0 koncach
utwierdzonych ).
1) Ob. R. V. Southwell, Phil. Mag. z r. 1913, str. 503 i z r. ]915, str. 67.
') R. v. Mises. Zeit. d. V. d. Ing. z r. 1914, str. 150.
Ob. takte "Kurs tieorji uprugosti", cz. II, str. 387.
3) Ob. prac autora: Ob ustojcziwosti uprugich sistem", str. 66. Nadto: Mayer-Mita, Zeit. d. V. d. Ing. zr. 1914,
str. 649 i Eisenbau z r. 1913, str. 361.
4) Co si tyczy innych zada6 stateczno ci rury ob. pracli autora: "Einige Stabilitâtsprobleme d. Elastizitâtstheorie",
Z. f. Math. u. Ph. z r. 1910, a nadto:
Lo renz, "Die nichtachsensymmetrische Rnickung dünnwandiger Hohlzylinder", Phys. Zeitschr. z r. 1911, str. 241;
S. Timosz enko, "K' woprosu 0 deformaciach i ustojcziwosti cilindriczeskoj oboloczki", Wiest. Ob-a Techn., z r. 1914
349
Cienko cienna prosta rura mOZG okazaé niestateczno é spr zystej r6wnowagi takte przy podlutnem ciskaniu
sila i rozlozonemi r6wn miernie na przekrojach ko6.cowych. Skoro odpowiadaj'lce tym silom napr€zenia przekroczq pe
gramc!!, to rura moze Sl pomarszczyé poprzecznie w spos6b uwidoczniony na rys. (412). Nie trurlno znaleté wielko
obcii!zenia krytycznego, rozpatruié!c element rury, wydzielony dwiema nieskonczenie bliskiemi tworz'lcemi, jako pr!!t
w sprçtystem r.odowisku (9 179). Stopien sztywnogci grodowiska okregla si w spos6b wskazany w 9 155.
182. 0 STl\TECZNOSCI SCISRl\NYCH PLYTl)
Jako CzCl ci dodatkowych zelaznych konstrukcyj uzywa si nierzadko blach, kt6rych grubo é bywa zwykle malq
w por6wnaniu do innych rozmiar6\\. Do tych bIach mozna tedy stosowaé z dostatecznl! dokladno ciq wszystkie wywody
odnoszé!ce siç do cienkich plyt. J ezeli plyta jest narazona na sily ciskajqce, kt6re dzialajq w jej plaszczytnie grodkowej,
to, zwiçkszajqc te sHy, mozna osié!gnqé granic , przy kt6rej plaska postaé r6wno-
wagi przestêl-je byé statecznl! i nast'lpi wyboczenie plyty. Mozliwogé tego zjawiska,
analogicznego do wyboczenia cienkich pr t6w, nalezy uwzgl dnié przy obliczeniu
konstrukcyj zlozonych z blach, naprzyklad przy obliczeniu ciskanych pas6w beIek
kratowych 0 przekroju T, U i rurowym, przy obliczeniu grubo ci gcianek belek nito-
wanych i t. d.
Do najprostszych, a zarazem praktycznie najwazniejszych nalezq zagadnienia
stateczno ci plyt, ograniczonych konturem prostokqtnym Il). Brzegi plyty przyjmiemy
2a podparte i rozpatrzymy kiIka szczeg61nych przypadk6w, odpowiadajl!cych r6tnyUl
sposobom rozlozenia sil gciskajqcych (rys. 413). Przy szukaniu krytycznej warto ci
sil b!!dziemy si\\ poslugiwaé metod'l przyblizon'l. Przyjé}wszy zblizoni! postaé dIa
powierzchni wygi cia plyty, obIiczymy odpowiadajqcq zmian potencjalnej energji
odksztalcenia i przyr6wnamy jq do pracy wykonan j przez sily gciskaj,,!ce przy wy-
boczeniu plyty. Jezeli si nam uda obraé dIa powierzlhni ugi cia wyrazenie dokla-
dne, to otrzymamy takze dokladne wyraienie dia krytycznej warto ci sil ciskajqcych.
1) Przy dskaniu plyty silami r6wnomiemie rozlozonemi na brzegach poprze-
cznych (fig. a) 8), zachodzi wyboczenie wedlug powierzchni, kt6rej przekroje plasz-
czyznami x = const., albo y = cons!. sq sinusoidami. Jezeli dlugo t: plyty jest nie-
wielka (a<b V2), to z kazdej z tych sinusoid realizuje siç tyIko jedna p6HaIa,
a r6wnanie powierzchni wygi cia ma postaé:
A . nx . n y
w= smaslDT . (a)
Latwo sprawdzié, ze wyrazenie (a) dIa ugi!!cia w czyni zadogé warunkom na podpartym obwodzie plyty. Wyraienie dIa
energji potencialnej zgi cia, odpowiadajé!ce przyj tej powierzchni r6wnowagi, maletligmy jui poprzednio (9 154) w formie:
v= Cab A 2 :n4 ( .!.+.!. ) 2
8 a 2 b 2 '
0 .-- . - a.
-
)f
lX -
:g.b_
o
1
Yt fis . c . ÎP
x
r -
fiS a.
p X
\
Rys, 413
Co si tyczy pracy T sil ciskajé!cych. to oznaczajqc przez P wielko t nacisku, przypadajqcego na jednostk!! dlugogci
obwodu i uwzgl dniajqc, :te zbli:tenie dwu jakichkoIwiek punkt6w, Ieil1cych na brzegach poprzecznydJ i odpowiadaj'lcych
tej samej wartogci y, jest r6wne : ( : ) 2 dx, mozemy napisat:
T= : PdY : ( : rdx=p a8b RI : .
Por6wnawszy ten wynik z energj'l potencjaln'l zgi cia, otrzymamy warto é krytyczn'l nacisku:
Pkr = C n' ( ; + :2 r . (386)
Zwi!!kszaiij,c stopniowo dlugogt: plyty a, mozemy otrzymat: warunki, przy kt6rych plyta si!! wyboczy w dwie p6Uale, przy
daiszem powiçkszaniu dlugogci powstajé! trzy, cztery p6lfaIe i t. d. Z powi kszeniem dlugo ci plyty zmienia si obraz zj .
wiska wog6Ie tak, jak przy wyboczeniu pr ta w spr zystem rodowisku (9 179). Pczy podziale plyty na m p611al b!!dZle
kazda p6lfala w takich samych warunkach, jak plyta 0 brzegach podpartych i dlugogci : ' a szerokogci b. Krytycznij, war-
') Szczeg610we rozwi'lzanie szeregu zadat'i i tablice liczbowe znajdzie czytelnik w dziele autora: "Kurs tieorij
uprugosti", cz. II, str. 317-362. .
2) Zagadnienie statecznogci gciskanych plyt rozwiij,zano takie w przypadku konturu kolowego; ob. 1\. N. Dlonlk,
Izw. Rij. Pol. Inst. z r. 1911.
Ob. takze: Nê1dai, Z. d. V. d. Ing. r. 1915, str. 169.
8) To zadanie rozwi'lzal pierwszy G. H. Bryan, Lond. Math. Soc. Proc. z r. 1891, t. 22.
350
to é sil ciskajilcych znajdziemy, wstawiwszy we wz. (386) zamiast a l1lielko é . Przej cie od postaci 0 m p6Ualach
do postaci 0 (m + 1) p6ltalach odpowiada takim warunkom, przy kt6rych wielko é Pkr obIiczona przy zalozeniu m, albo
(m + 1) pdllal przybiera t sam/! warto f, czyli kiedy:
m a m+l a ..1
a-+ mb2 =--a+ (m+l)b2 ; a stqd: a=- b r m (m + 1)
(b)
Przyjmujqc m = 1, otrzymujemy a = b JI2; pocz'lwszy wi c od tego stosunku wyboczy si plyta w dwie p6Hale. Dia
m= 2, a... b 116. Ten stosunek odpowiada przej ciu od wyboczenia w dwie p611ale do trzech p6ltal i t. d. Przy bardzo
wielkiej dlugogci plyty jest liezba m wielk'l i zamiast r6wnania (b) mozemy napisaé a = b m, albo a: m = b, ezyli dluga
plyta d Zy przy wyboczeniu do podzialu na kwadraty [naprzemian wkl sle i wypuk1e}. Dia zastosowati. praktycznych do-
godniej przej é od wielkogci Pkr do odpowiadaj'lcych napr te6 krytycznych:
Pkr En' ( b a ) ' h2
pkr= 11=12(1-<111) a-+b 1Ji'
Tutaj wstawiligroy zamiast sztywno ci walcowej jej wyraienie przez stale spr zysto ci i grubo ê plyty h. Na podstawie otrzy-
manego wyniku wnosimy, te przy okreglonym stosunku a: b sq naprçzenia krytyczne proporcjonalne wzgl dem stosunku
hl: b2. Podwajaj c grubo é plyty zwi kszamy tem samem czterokrotnie Pkr. Z tego moina skorzystaf dia ulozenia tablicy,
ulatwiaj'lcej obliczenie ciskanych plyt ze wzgl du na wyboczenie. Taka tablica, umieszezona po ni te j, zawiera wartogci Pkr,
odpowiadaj/!ce r6znym wartogciom stosunku a: b, i obIiczone przy zaloieniu, te b: h = 100, E = 2. 10 6 kg/cm'. Jezeli
w praktyce mamy do czynienia ze stosunkiem b: h = n, to dIa otrz:ymania odpowiadajqcych napr zeii krytycznych trzeba
Iiczby tablicy pomnotyf przez ( 1 ) Il.
a 0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 \ 1,3 1,4 1,5
T=
(dla b: h = 100) pu = 1097 1 900 795 761 1 738 /709 702 709 725 1 750 )784 823 kg/cm 2
Z tablicy widaé, ze znacznym zboczeniom wartogci stosunku a: b od jednostki odpowiadajq tylko male zmiany w wartogci
p\r. Wobec tego motna dia dostatecznie dlugich plyt nie szukaé liczby p('lIal i przyjqé, ie p611ale dzielq plyt na kwa-
draty. W takim przypadku bçdzie napr :zenie krylyczne:
( 100h ) '
pkr = 702 -,,- (kg/cm')
. (387)
W catkiem podobnyeh do rozpalrzonego przypadku warunkach znajdujq siç ciany rury 0 przekroju kwadratowym, gci-
skanej silami rozlozonemi r6wnomiernie na przekrojach koti.cowych.
2) Przy rozlozeniu nacisk6w, przedstawionem na lig. (b), t. j. w przypadku zginania plyty w jej plaszezyinie, odpo-
wiadaj ce cignienia w dowolnym punkcie przekroju okre nji wyrazenie:
(1_ 2,; ).
Do wyznaczenia Pkr mozna uzyé poprzedniej metody. Nie bçdziemy tutaj zastanawiaé si nad.obiorem przybliionej postaci
powierzehni wyboezenia i utworzeniem wyrateti. dia V i T, lecz ograniczymy siç tylko do przytoczenia wynik6w koti.co-
wyeb 1). Okazuje si , ze i w tym przypadku jest, dia okre lonej wartogci stosunku a: b, wielkogf pkr proporejonalnq wzgl -
dem h 2 : b2. Ponizej podajemy warto ci Pkr, obliozone dla r6lnych stosunk6w a: b przy zaloieniu, ze b: h = 100
i E 2 .10 8 kg/cm'. Jezeli przy obliczeniu b dziemy mieé b: h = n, to odpowiadaj'lcq warto é pkr znajdziemy, mnozqc liczby
tablIcy przez (loo1t:b)2.
1 : = ) 0,2 1 0,4 , 0,5 1 0,6 1 0,707 1 0,8 , 1,0 1 1,2
1 (dia b: h = 100) Pkr = 14680 1 5780 1 4870 4500 4390 4440 4810 5560 kg/cm'
Z tabliey widaé, ze najmniejsza wartœé Pkr odpowiada slosunkowi a: b = 0,707, te zatem w przypadku dlugiej plyty musi
wyboczenie zacbodzié wedlug powierzchni :z; szeregiem p611al. Liezba p611al m jest taka, ze stosunek : b zbliza si mo-
m
tliwie"flo liczby 0,707, odpowiadajqcej najmniejszej warlo ci Pkr. Wz6r dIa obliczeii ma postaé:
( lOOh ) 2
Pkr = 4390 ---,,--- (kg/cm 2 )
. (388)
1) Rozwiqzanie tego zadania znajduje siç w pracy autora: ,,0 stateczno ci uklad6w spr zystych".
351
Tym wzorem nalezy si poslugiwaé przy sprawdzeniu stateczno ci cianki wysokich beIek l w odku rozpi togcï, gdzie
naprçienia zgil}o8jqce maj'l najwi ksz'l warto é, a cianka znajduje si mniej wi cej w takith warunkaeh, jak rozpatrywana
wla nie plyta. Wplyw pas6w, przeszkadzaj'lcych swobodnemu obrotowi brzeg6w cianki przy l1Iyboczeniu, mozna pomin'lé
na korzy é bezpieczet'istwa (pewnogci). Zaznaczymy tutaj, ze pionowe iebra, kt6remi si usztywnia cianki wysokich nito'
wanych beIek I, nie mogq przeszkodzié wyboezeniu tyeh gcianek i wplywaj tylko na dlugo é polIal, podlug kt6rych za-
ehodzi wyboczenie. To zag, jak widaé z tablicy, odbija si niewiele na wielko ci Pkr.
W poblitu podpor belek nitowanyeh maj najwi kszq wartogé napr tenia styczne. DIa wyznaczenia ieh krytycznej
warto ei mozna uzyé nast pujqcej tabliey 1), w kt6rej, w zalezno ci od stosunku a: b, podano wartogci naprçteti kryty_
cznych (pt}kr dIa prostok'ltnej plyty na calym obwodzie podpartej i naratonej na dzialanie napr ie6. styeznyeh, rozloio-
nych r6wnomiernie na obwodzie.
+=\ \- 1,2_1 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0
(dIa b: h = l00)(pt}kr = 1 1650 1 1406 1 1280 1230 1190 1160 1100 ]070 kg/cm"
W przypadku dlugich plyt mozna wartogé (pt}kr okre lié wzorem'):
( 100 h r . (389)
(Pt }kr = 990 ----,,- (kgjcm 2 )
Tutaj okazuj'l zebra usztywniaj ce istotny wplyw na stat£ezno é cianki 8).
3} Zagadnienia stateczno ci plyt, ciskanych silami skupionemi, s jeszeze zawilsze. Obecnie posiadamy rozwiilzanie
tylko na przypadku przedstawionego na lig. (c) (rys. 408}4). Przy znacznej dlugogci plyty motna warto é krytyCZll'l ci-
skajqcej sily (w przypadku podpartych brzeg6w
plyty) obliczyé wedlug wzoru:
.
4nC
Pkr=-
b
. (390)
AI Al /
fig. a. fis. o.
o
..
" I Uf
-
4} Rozpatrzymy teraz kilka przypadk6w, w kt6-
rych jeden z dlugieh brzeg6w plyty jest zupelnie
swobodny. Te zadania majq praktyezne znaczenie
w zwÏi1zku z obliczeniem ciskanyeh pas6w ksztaltu
T lub U (rys. 414). Przy powi kszeniu nacisk6w P
motna osi'lgn'lé granicç, kiedy plaska postaé r6w-
nowagi pionowej blaehy przestaje byé stateczn'l i zaehodzi wyboezenie dolnej swobodnej krawçdzi. Wielkogé naprçteti kry-
tycznych zalezy od stopnia utwierdzenia pionowej blachy wzdlut g6rnej kraw dzi. W przypadku przekroju T motna zwy-
kle 'la rzecz pewno ci pomin'lé wplyw poziomej wst gi i k'lt6wek, a blachç "stojqC'l8 rozpatrywaé jako plyt 0 trzech brze-
gaeh podpartych. a jednym swobodnym; wtedy znajdziemy napr zenia krytyczne na podstawie nastçpuj'lcej tabIicy5}:
l'is c.
Ry.. 414
a 1 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 1 3 4 5 10
17= 1 00
(dia b: h = 100) Pkr = FI 199 1 167 1 147 1 133 1 123 1 107 98,9 1 90,5 86,8 81,6 80,0 kgJcm 2
Ndpr zenia krytyezne malej z powi kszetliem. dlugo ci plyty, a zatem przy wyboczeniu b dzie zgi cie zachodzié wedmg
powierzchni 0 jednej p6l1ali. Wielko é pkr obliezono przy zaloieniu, ie b: h = 100; dIa innej warto ci tego stosunku nalety
post'lpié tak samo, jak i w przypadkach poprzednio rozpatrywanyeh.
W przypadku przekroju U (Iig. b) utwierdzenie g6rnych kraw dzi blaeby stojqcej posiada zwykIe dostatecznq sztyw-
no é; moina j zatem rozpatrywaé jako plytç, kt6rej brzegi poprzeezne S'l podparte, jeden z podlutnyeh doskonale utwier-
dzony, a drugi swobodny. WieIko é odpowiadajl1eyeh napr ie6 krytyeznych podaj nast pujqca tablica dIa stosunku b : h = 100
1} Ob. S. P. Timoszenko, "Ob ustojeziwosti plastinok...", Sborn. lns!. Int. Put. Soobszez. z r. 1914.
"} Ob. ,,0 stateczno ci uklad6w spr tystych", str. 163.
8} W interesuj cej ksi'ltee W. E. L iIIy, "The design 01 plate girders and colurnns", r. 19œ, znajduje si opis kilku
do wiadczeti., wyjagniajqcyeh wplyw teber na statecznogé cianki belki J.
Pewne wskaz6wki co do obioru sztywno ci zeber znajdujq si w pracy autora: ,,0 statecznogci plyt wzmocnionych
sztywnemi zebrami" (po ros.), Petrograd 1914.
4} Ob Sommerleld. "über die Rnicksicherheit der Stege v. Walzwerkprotilen", Z. 1. Math. u. Ph. zr. 1907.
S. P. Timoschenko, "Einige Stabilitiitsprobleme der EIastizitiilstheorie", Z.I. Math. u. Ph. z r. 1910.
5} Ob. prac autora: "Ob ustojcziwosti siatych plastinok 8 . Izw. Rij. Pol. Ins!. z r. 1907.
352
a 1,4 1 1,5 1,6 1 1,7
- 1,0 1,1 1,2 1,3
T- ,.
(dia b:h= 100) Pkr = 298 274 257 247 239 1 235 234 1 234 kg/cm"
a 1 1 :
b = 1,8 1 1,9 2,0 1 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5
(dia b:h= 100) Pkr = 235 239 243 249 255 262 270 280 kg/cm 2
1 1
Przy innych warto ciacb tego stosunku trzeba postqpié tak, jak w przypadkach powyzej omawianych. Wszystkie wywody
odnosz si oezywi cie do wyboczenia sprçtystego; jeteli wyboczenie zaehodzi poza granicami spr tysto ci, to nasze
tablice dadzq dia napr iel1 krytycznych za wielkie wartosici.
Bez szczeg61nych trudno ci da si tez rozwiqzaf zadanie 0 statecznogci plyty prostokqtnej, kt6rej jeden lub dwa
brzegi, r6wnoIegie do osi X-6w (ob. rys. 408) sq spr iy cie podparte. Wielkogé napr teti. krytycznych b dzie zaIeieé na-
turalnie od st05unku sztywno ci El tej belki, kt6ra podpiera brzeg plyty, do sztywnogci bC samej plyty. Ponizej przyta-
czamy par dat 1) dla przypadku plyty kwadratowej, obciqzonej wedlug lig. (a) (rys.408) i podpartej wzdlut brzeg6w y = 0
i y=b przez gi tkie belki 0 sztywno ci EI2).
; =I 00 1 29,1 14,2 i 5,2 2,15 1,15 0,60
(dlab:h=loo) 702 1 685 1 667 1 614 526 1 439 1 351 kg/cm 2
1 Pkr= 1 1
183. 0 STRTECZNOSCI PL1\SRIEj POSTRCI ZGn CII\ BELER 1
Rozpatrzymy tutaj te przypadki niestatecznej r6wnowagi, jakie powstajq niekiedy przy zginaniu pr t6w w plaszczy-
inie ich najwi kszej sztywnogci. Jeteli jedna z gl6wnyeh sztywno ci zgi cia jest mala w por6wnaniu do drugiej, to, zgi-
naj'ic pr t w plaszczyznie najwiçkszej sztywnogci, maina przez powiçkszenie si! osiqgnllé gr<!nicç, kiedy plaska postaé zgiç-
da przestaje byé stateczn'l. Og prçta zakrzywia si w kierunku latwiejszego zginania,-przyczem przekroje poprzeczne prçla
obracajq siç nietylko okolo osi prostopadlyeh do plaszczyzny zginania, lccz ti!kie dokc:la osi prostopadlyeh do plaszczyzny
przekroju. Zamiast plaskiego zgiçcia powstanie zgi cie osi pr ta
wedlug krzywej przestrzennej, a wi c zgi cie pol'lczone ze skr -
ceniem. To zjawisko da si najlatwiej zademonstrowaé na zwy-
klym Iinjale. Zginajé!e linjal r koma w plaszczyznie jego najwiçk-
szej sztywnogci, latwo wyczué t granicznq wartogé momentu zgi-
najqcego, przy kt6rej plaska postaé linji ugi cia przestaje byé sta-
tecznq. Rys. (415) przedstawia wyboezenie b21ki 1, jednym kon-
cem poziomo utwierdzonej, pod dzialaniem pionowego obciqzenia
na koticu swobodnym. Zjawisko niestatecznogci
jest motliwe przy r6tnych ksztaUach poprze"
cznego przekroju. Rozpatrzymy tutaj przypadek
przekroju prostok'ltnego i dwuteowego. Ten drugi
zwlaszcza ma wiçksze znaczenie praktyczne z po"
wodu ogromnego rozpowszechnienia belek 0 prze-
kroju 1. D'lzenie do motliwie wielkiej oszcz dno-
ci materjalu, a zarazem jak najwi kszej sztyw-
nogci w plaszezyinie dzialania sil zniewala kon-
struktora do powiçkszania wysokogci belki. Ze
wzglçd6w konstrukcyjnycb nie motna przytem
zbytnio zwiçkszaé szeroko ci pas6w. W rezulta-
cie wypada przekr6j, kt6rego jeden z gl6wnych
moment6w bezwladno ci jest wielokrotnie wiçkszy od drugiego. Bdka ma wskutek tego niewystarczaj'lcq sztywno é w kic"
rU?ku pros opadlym do plasz zyzny dzialania sU i staje siç mozliwem zjawisko niestateczno ci. W konstrukcjach inzynier-
sklch ten Dledob6r sztywno el wynagradza siç zwyczajnie dodatkowemi Rolqczeniarni, ale niekiedy nie mozna tych polé!-
czeti wykonaé ze wzglt;d6w konstrukcyjnych, to zn6w bywajé! niewystarczajqce; w obu przypadkach moze belka okazaé
si znacznie mnie! wytrzymal,!, nit 10 wynika ze zwyklych obliczeti, polegajqeych na wyznaczeniu najwiçkszych naprçzeti..
. Przy badamu stateczno ci pl skiej postaci zgiçcia przyjmiemy, ze skrzywienie osi w kierunku najmniejsz{j sztywno-
CI towarzysz! ty ko ob 6t rze oJ6w p przeeznych belki, ieh postaé za pozostaje przytem niezmienion'l. Takie zjawiska,
Jak wyboczeme PlonoweJ gClankl lub p0210mych stopek, rozpatrzyligmy juz w poprzednim paragrarie.
//,/....,z.
'/ /'I
r;.z
/'.
; ,
.
. '?f.
..,.-;..........,;
" .
1 . /"
'T.. /
!@-
'/:i'/i
Ry., 41S
. 1
1
, ,..,
1':
1) ObIiczyl je inzynier R. Czalyszew; ob. Sborn. Inst. Inz. Put. Soobszcz. z r. 1914.
") Og6Iniejsze zadanie rozpatruje W. Rak w artykule "Ob ustojcziwosti priamougolnoj plastinki podkrjepliennoj po
kraju ugolkom zestkosli". Sborn. Inst. Int. Put. Soobszcz. r. 1916. '
Do wyznaczenia wielko ci obci'lzenia krytycznego w r6znych szczeg61nyeh przypadkach b dziemy stosowaé melodç
przybliton'l1). Na podstawie danych dogwiadczalnych i warunk6w podporowych obieramy przyblitoni! postaé wyboczenia;
dia tej postaci obliczamy zmian energji potencjalnej odksztalcenia i por6wnywamy, jq z odpowiadajqC'l pracq sil zewnç-
trznych. Rozpatrzmy zginanie wysokiej beIki prostok'ltnej
w obu kotioach podpartej i obciqzonej sil q 2 P (rys. 416),
dzialaj'lcq w rodku ci zko ci rodkowego przekroju
poprzecznego. Warunki podporowe pozwalaj'l na swo-
bodny obr6t k06c6w okolo gl6wnych osi bezwladno ci
przekroju, ale nie dopuszczajq obrotu okolo osi beIki.
Zwi kszajqc obci<,!zenie, mozna oSÎllgn'lé granicç. przy
kt6rej plaska postaé ugi cia stanie si niestatecZDq i o
belki wyboezy si w kierunku nailatwiejszego wygi cia.
jak to wskazuje lig. (b). Postaé tego wyboczenia da si
okrdlié wieIkogci'l wygi cia y w plaszczyinie XY
i wieIkogci'l k'lta cp, okreglajilcego obroty oddzieInych
przekroj6w poprzecznych (lig. c). Przy obiorze przybli-
tonej postaci wyboczenia musimy uwzgl dnié, te mi -
dzy wielkogciami yi., zachodzi zwi'lzek, kt6ry latwo
ustawié przy pomocy r6zniczkowych r6wnat'i r6wnowagi.
W dowoInym przekroju poprzecznym mll, moment zgi cia, dzialajqcy w plaszczyznie pionowej, r6wna siç P (l-a). Wskutek
obrotu przekroju przy wyboczeniu belki plaszczyzna momentu nie schodzi siç juz z gl6wnemi plaszczyznaml belki i zgi ciu
w kierunku najmniejszej sztywnogci b dzie odpowiadaé moment P(l-x) rp. R6wnanie r6zniczkowe zgi tej osi belki w plasz-
czyznie X Y ma tedy postaé:
353
1-- ______u_ f r
-- 1 - !p !z -
f'$ a
m
_u 11
r.
-..II
1
c'f:
1
t Y
lis.c
v
..,
x
ns b
Q
Rys 416
d 2
B dJ = P (1 - x) cp
. (a)
przyczem B oznacza najmniejsz'l sztywno f zgmania. (Tutaj pomijamy nachylenie plaszczyzny XY do plaszczyzny naj-
latwiejszego wygi cia). Otrzymane r6wnanie przedstawia potrzebn'l nam zalezno é mi dzy <:p ay. Skrzywieniu belki w kie-
runku najlatwiejszego wygiçcia odpowiada energja potencjalna zgi cia w plaszczyznie najmniejszej szlywnogci i energja
skr cenia. Obie postacie energji okie ajq wzory:
V1=B : (y")2dx i V, = c : (rp')2 dx,
przyczem C oznacza sztywno é skr cania beIki. W dalszym CÎqgu, dIa przekroju J, b dziemy si poslugiwaé przy oblicze-
niu C wzorem (48). Dia wyznaczcmia pracy sU zewn trznyeh, odpowiadajéj,cej przyj temu wyboczeniu belki, trzeba znale.fé
wyrazenie dia obnitenia punktu dzialania 0 ci zaru 2 P. W tym celu bçdziemy uwazaé punkt 0 za nieruehomy i obli-
czymy 0 île podniosél. si wzgl dem niRgo ko6ce belki wskutek przyj tego skrzywienia. To podniesienie bçdzie oczywigcie
r6wnaé siç szukanemu obnizeniu punktu O. Z powodu skrzywienia elementu belki, Ietqcego w przekroju mn, jej prawy
koniec opisze luk y" d x (1- x). Poniewaz skrzywienie zachodzi w plaszczyznie najwi kszej giçtko ci, wi c znalezione prze-
suniçcie k06ca belki jest nachylone do poziomu pod k'ltem cp, wskulek czego odpowiadajél.cem pod\\yiszeniem tego kotica
b dzie: yU dx (1- x) cp. Uwzglçdniajl1c skrzywienie wszystkich element6w belki, znajdziemy dia podniesienia kotic6w, aIbo,
co na jedno wychoâzi, dia obnit ia punktu 0 wyrazenie:
: y" (l-x) cp dx.
Podstawowem r6wnaniem do wyznaczenia obciqtenia krytycznego b dzie przeto:
2 P >" (l-x)cp dx = B (y")' dx + C (rp')2 dx
. (b)
Przy obiorze przyblizonej postaci wyboczenia przyjmiemy wyraienie dIa kqta cp w postaci szeregu trygonometrycznego:
na 3nx 5nx
rp = II cos 2f + 11 1 cos 21 + Ils cos"""2l + '" . (c)
czyni'lcego zado é warunkom podporowym. Dia a:= 1 wszystkie wyrazy stajq si zerem, poniewaz kotice belki nie obracajl1
si wzglçdem osi X-6w. DIa x = 0 osiqga cp najwi ksz'l wartœé. Wstawiwszy wyratenie dia cp w r6w. (a), znajdziemy od-
1) Rozwiqzanie kilku zadati tego rodzaju, drogq calkowania odpowiadajqeyeh r6wna:6 r6tniczkowych r611lnowagi,
znajduje si w pracach nastçpujilcych:
L. Prandtl, "Ripp-Erscheinungen", Müneh. Diss., r. 1899;
S. P. Timo-szenko, "Ob ustojcziwosti ploskoj formy izgiba dwutawrowych balok", Izw. Petersb. Pol. Inst. z r. 1906;
1\. N. Dinnik, "Ob ustojcziwosti ploskoj lormy izgiba", Izw. Dons. Pol. Inst. z r. 1913;
1\. Rorobow, Izw. Rij. Pol. Inst. z lat 1911 i 1913.
Kurs wytrzymeldcl meterJel6w
23
354
powiadajqC'l warlo t y'. J.'{ast pnie znajdziemy krytyczne obci'lzenie 2 J1u. z r6w. (b) jako runkcî sp6tczynniMw.JI, .JIll .JI I ,...
Pozostaje dobraé warto é tych sp6lczynnik6w tak, aby wielkt:gé Pkr byla minimum. Ograniczywszy si do pierwszych dwu
wyraz6w szeregu (c) i wykonawszy potrzebne rachunki, znajdziemy w r6w. (b):
n 2
B C 8 (1 + 9 Z2)
Pkr 2 = T' 1 1 10 ( 1 1 \ 2'
6 + n + 4 n 2 Z + 6 + 9 n'il J Z
. (d)
Tutaj, podobnie jak pierwej, oznaeza Z stosunek At: A.
odpowiada:
P 3,117 'JIBC
kr= 1 2 '
Najmniejsz'l warto é dia Pkr otrzymamy, kladqc Z = 0,051;
albo 2P _ 16,936 nc
kr - (21P
temu
(391)
Krytyczn warto é zginajé!eej si1y okre la przeto iloczyn z najmniejszej sztywnogci zgi cia przez sztywno é skr cania, tu-
dziet rozpi to é belki. Wzory tej:le postaci otrzymamy i przy innych sposobach dzialania si!. Np. przy zgiçciu belki prosto-
ké!tnej jednym koticem utwierdzonej silé! P, d:dalajqcq w grodku ci tko ci przekroju na drugim kot'icu (rys. 41O), otrzymamy:
P _ 4,01 'JIBC
kr - ' 2
. (392)
Przy zgi ciu belki obci'lzonej r6wnomiernie na rozpiçto ci 21 (od podpory do po dpory) jest:
( 1 ) - 3,54 'JIBC albo
q kr- 1 2 '
(2 1) - 28,32 VBC t }
q kr- (31)2 .
. (393)
Badanie statecznogci w przypadku zgi cia belek 1 komplikuje si nieco wskutek tego, :le trzeba uwzgl dnié niejednakowe
zgi cie pas6w belki przy skrzywieniu jej osi w kierunku najlatwiejszego wygiçcia. Jeteli przez y b dziemy, jak i poprzednio,
oznaczaé ugi cia osi belki w plaszezyznie X Y (rys. 411), to ugiçcia g6rnego i dolnego pasa b d'l odpowiednio r6wne:
h
y+-rp
2
h
Y - '2 rp,
jezeli h jest wysokogci'l belki. Oznaczywszy przez D sztywno é pasa (wzgl dnie stopki) przy zgi ciu w kierunku prosto-
padlym do plaszczyzny gcianki, otrzymamy dla energji zgi cia przy wyboczeniu belki w plaszczyinie X Y wyrazenie:
V t = (B - 2D) : (y")2 da; + D : (y" + cp2 réa; + D : (y" - rp" r da; = B :(y")'iI da; + D2h2 : (cp")2 éx.
(DIa zwyklyeh belek 1 motna z dostatecznq dokladno i'l przyjqé D = ). Podstawowe r6w. (b) do wyznaczenia obciqie-
nia krytyeznego napiszemy teraz w postaci:
Zp\1 '-Py"(l- x) x= B (1 (y")'ii da; + C (1 (rp')'iI da; + Dh 2 (\!f>"}'iI da;.-
)0 )0- )0 2 )0
Ograniczajqc si , jak i w poprzednim przypadku, do dwu wyraz6w w formule (c) dia kqta cp, znajdz-iemy z r6w. (e) po
wykonaniu kwadratur:
. (e)
BC f(1 +9z 2 ) + y'il (1 + 81 z'iI)
Pkr'ii = [4' 1 1 10 ( 1 1 )
6+ n 2 + 4 n'il z+ 6+ 9 n'il Z2
. (1)
Tutaj ma z znaczenie poprzednie, a pr6cz tego wprowadzono dia uproszczenia oznaczenie:
y'il = Dh 2 : 2CP.
Pozostaje teraz dobraf Z w ten spos6b, aby otrzymaé dia obciqzenia krytycznego
chowa poprzedni wyglé!d og6lny, a mianowicie:
najmniejsz'l wartogé. W z6r dia Pkr za-
Pkr= kYBC
l'il
. (394)
tylko sp6lczynnik k b dzie si zmieniaé w zaletno ci od wielkogci y. Szereg wartogci dia k zawiera tablica JI. Wz6r (394)
zachowuje swq wamogé takie przy innyeh sposobach dzialania sil, skor()..> tylko wstawimy odpowiadajqcq warlo f k 2}.
Jeteli np. sHa 2 P nie dziala w rodku ci zko ei rodkowego przekroju, lecz w punkcie, odpow}adajqcym g6rnej kraw dzi
') Tutaj, podobnie jak we wz. (391) i wszystkich dalszych przypadkaeh belek w obu ko6cach podpartych, ozna-
eza 1 polo w rozpi togci, a P i q 1 polowç obciqzenia.
) Szereg tabIie ?Ia k, przy rozmaitych sposobach obci'ltenia i r6tnych ustaleniach kot'ic6w, znajduje si w pracy
autora: ..0 statecznogCl uklad6w spr tystyeh".
Ob. takie: "Rurs tieorji uprugosti", cz. II, str. 152.
355
belki. to dla wyznaczenia k trzeba uzyé tablicy B. Przy dzialaniu obciqz£nia rdwnomiernie rozlotonego na g6rnej krawçdzi
belki w obu koticach podpartej, naIezy sp6lczynnik k we wzorze:
kY BC
(q l)kr = l'
wyznaczyé wedlug tablicy C.
TfiBLICl\ fi
1 1 pkr dIa Pkr dia 1
1
yS I k <.t> =0,0001 y' k 11>=0,0001
E=2.1Q8 kg/cm s E=2.1OS kg/cm'
0,11 10,8 680 kg/cm' 24 1 2,241 2190 kg/cm'
-
1 3,99 800 " 32 2,21 2500 "
- -
2 3,20 910 " 40 2,]9 2770 "
-
4 2,73 1090 " 50 2,18 3080 "
-
6 2,54 1250 " 60 2,17 3360 "
-
8 2,45 ]380 " 70 2,16 3620 "
-
12 2,37 1620 " 80 2,15 3860 "
-
16 2,29 1830 " 90 2,15 4080 "
-
20 2,26 2020 " 100 2,15 4300" "
-
1 1 001 2,115,
TflBLICfl B
pkr dia 1 ph dia 1
] ) 1
yS k 11>=0,0001 1 k 11>=0,0001
1 E=2.10 6 kg/cm' 1 E=2.10 6 kg, cm 2
1
6,421 405 kg/cm'J 1/ 16 1 1,86 1490 kg/cm s
-1- 1 L-I_
1
1 2,52 505 " 24 1,88 1840 "
-;' 2,13 1 1
600 " 32 1 1,89 2140 "
- 1,921
3 1,99 690 " 40 2420 "
- 193'
I 1,93 770 " 50 2740 "
,
601 1
1,88 920 " 1,94 3020 "
-
8 1,86 1050 " 70 1 1,95 3260 "
1
- 1
10 ],85 1170 " 80 1,96 3500 "
- 1,97/
12 1,85 1280 " 100 3940 "
-
1 001 2, 115 1
TflBLICfl C dia 11>=0,0001 i E=2.1OS kg/cm'
1 0,1 1 2 4 6 8 12 1 16 20 1
y' -
k= 11,6 4,54 3,80 3,43 3,3] 3,28 3,27 3,22 3,23
,
pkr= 1 367 454 538 684 813 923 1120 1290 1 ]440 (kg/cm')
1 24 32 40 50 60 70 80 90 100 1 00
-
yS -
k= 3,25 3,26 3,27 3,29 3,30 3,30 3,31 3,32 3,33 1 3,54
Pkr= 1590 1840 2080 2330 2560 2770 2980 3160 1 3330 (kg/cm')
,
Puy obliczeniach praktycznych najdogodniej utywaé warto ci krytycznych napr ze1l, zamiast krytycznych obcÎllze6.
Obliczenie pkr w powyzej przytoczonych przypadkach nie przedstawia tadnych trudno ci. We1.my np. zgi cie belki w obu
ko6cach podpartej pod wplywem sily 2 P, dzialaj'lcej w grodku rozpiçto ci. Najwi kszy moment zginajqcy r6wna siç PI,
a naprl,!tenie krytyczne: h
Pkrl EPkrI2'
Pkr=w--= Bi
23*
356
przyczem BI oznacza (najwi kszl!) s:dywnogé belki w plaszczytnie cianki. Wstawiwszy zamiast Pkr wartogé z wzoru (394)
i uwzgl dniwszy, ze: D hi B h'
C= 21'y' = 41'y' '
k B h' k B ( h ) 2
pkr = E-y' BI . (21)' = E -y <1>, jezeli <1> = BI ' 21 . . (395)
W podanych powyzej tablicach obliczono warto ci Pkr przy zalozeniu, te <1>=0,0001. Gdy dIa obliczonej belki b dzie <1>= '
101
to trzeba napr tenia znalezione z tablic pomnozyé przez -.
n
Og6lny tok obliczenia belki 1 ze wzgl du na statecznogé jest nast pujqcy: Z danych rozmiar6w belki oznaczamy
wielkogci: F, t. j. pole przekroju poprzecznego, B = El, t. j. najmniejsz'l sztywno t zgi cia, BI = Eh, t. j. najwi kszq
B 1 P . ,cr k . 1 201'
sztywno é zgi cia, D = 2' t. j. sztywno t zgiçcia jedneRo pasu, C = 40 1+11 G, t. J. sztywno..c s rçcanla, y' = D hi
i (1) = I ( :l )' = ' h, t. j. wysoko é przekroju i nakoniec l, t. j. polowç rozpiçto ci w przypadku beIek, spoczywajq-
cych na dwu podporach. Wedlug obliczonej wartogci ) " znajdujemy z tablic napr zenie krytyczne dIa przypadku,
gdy <1>=0,0001. Szukane plu b dzie r6wne temu napr teniu pomnotonemu przez 10 4 .
n
Weimy np. nitowanl1 belkç 1 zlotonq z blachy stojqcej 70XO,8 (cm) i czterech kqt6wek 70X70X8 (mm). Rozpi to 6
belki 21=3,25m. fl zatem F=98,'2 cm 2 ; B=446 E kg. cm'; B 1 =59140Ekg.cm'; D= B=223 Ekg.cm'. Przyj wszy dia te-
laza kowalnego E=2.10 6 kgfcm i i G=8.10 5 kglcm',znajdziemy: C=31,2.108kg.cm ll , 1I =0,75 i <1>= 60 '
Je:teli belka siç zgina pod dzialaniem sily skupionej w rodku ci tko ci rodkowego przekroju, to trzeba uzyc
tablicy JI. Dia obliczonej warto ci ..!.- znajdziemy drogq interpolacji: Pkr=767 kgfcm'. l\Zeby otrzymaé rzeczywisté! warto$é
Y' .
napr tenia krytycznego, trzeba znalezioné! wielko é pomnozyé przez 2 = 3,5.
J eieli na belkç dziala obciqzenie r6wnomiernie rozlotone na g6rnej powierzchni belki, to nalety zastosowat tablic C
DIa ,,\\ =0,75 znajdujemy drogé! interpolacji: pkr=430 kgjcm 2 . W celu otrzymania napr zet'i krytycznych trzeba znalezionél
wielkogf pomnoiyf przez 3,5.
Wszystkie wywody odnoszl1ce siç do badania stateczno ci belek 1 polegaj'l na zaloteniu, te zjawisko wyboczenia
zachodzi przy napr zeniach nieprzekraczajqcych granicy spr zysto ci. Poza tq granicq b dé! nasze wzory dawaé za wielkie
warto ci dia naprçzeti krytycznych. Przy obliczeniach motna Przyjl1é 1), te rzeczywiste naprçzenia krytyczne pkr s'l tyle
razy mniejsze od napr ten p'kr, okr onych wzorami waznemi w granicach sprçtysto ci, ile razy rzeczywiste napr zenia
przy prostem wyboczeniu prçta S'l mniejsze od napr tet'i okre lonych wzorami Euler'a. Oto szereg p'kr i odpowiadaj'lcych
im rzeczywistych napr tet'i krytycznych ') w kgfcm":
znajdziemy:
p'kr=
2OGO
2500
3000
3500
4000
5000
7000
10000
13000 2 ססoo 30000 50000
p=
1860
2020
2140
2230
2310
2420
2570
2710
2790 2890 3000 3080
Posluguj'1c iç wylozonemi sposobami, motemy wedlug rozmiar6w belki i sposobu dzialania sil znaleié wielko é p'kr;
powyzsza tablica pozwala w6wczas znaleié wielkogf rzeczywistego napr tenia krytycznego pler. Wyznaczywszy tq drogq
napr zenia krytyczne dla obliczanej belki, mozemy, znajqc dorainl1 wytrzymalo é materjalu, znaleié sp61czynnik zmniej-
szenia. przez kt6ry trzeba mnoiyé napr tenie R, dopuszczalne przy prostem rozciqganiu.
Na lem kot'iczymy badanie kwe!>tji statecznogci uklad6w spr tystych. Dalsze szczeg61y motna znaleié w pracach
powytej cytowanych.
1) Ob. ,,0 stateczno ci uklad6w spr tystych", str. 147.
'J Liczby otrzymane na podstawie tablicy Jasi6skie o.
KONCOWE SLOWO TLUMl\CZl\
Nieprzewidziane trudnosci wydawnicze sprawily, ze zg6ril rok rninill od napisania przedrnowy,
ktôra wobec tego stracHa po cz sci aktualnosé. (W ciqgu r. 1921 ukazala si bowiem "W ytrzy-
malosé Tworzyw" prof. L. Rarasitiskiego w drugiem wydaniu, obejmujqcem calosé. Ory-
ginalna ta ksiilzka stanowi pod pewnemi wzgI dami pozé!dane uzupelnienie niniejszej i nawzajem).
W zglild na koszta i brak czasu stan ly niestety na przeszkodzie w dodaniu daIszych wlasnych
uzupelnieti, wskutek cze"go musialem poprzestaé na odeslaniu Sz. Czytelnikôw do zr6del. Dotyczy
to szczegôlnie nowszych teoryj wytrzyrnalosci, zagadnienia sciskania kul i walkôw (str. 65), na-
pr zeti termicznych w grubosciennej rurze (str. 277) i kwestji wytrzymalosci pr t6w sciskanych
(str.333). Zapowiedziana w odsylaczu na str.286 moja praca p. t. "T eorja plyt prostQkqtnie-
rôznokierunkowych..." juz opuscHa pras drukarsk q i znajduje si na skladzie w ksi gar-
niach Gubrynowicza i Syna we Lwowie i w Warszawie, oraz Gebethnera i Spki w Rrakowie.
Inzynierowie, chc cy pracowaé naukowo w dziedzinie obliczeti konstrukcyj zelazno-betonowych,
znajd q tam podostatkiem nowego materjalu do pracy.
Wielce pomocnymi vi- korekcie byli mi pp. dr. Z. Fuchs, adjunkt katedry rnechaniki techni-
cznej i R. Gôrka, asystent tejze katedry, za co im obu skladam gorqce podzi kowanie. Nie mogilc
pominilé milczeniem szczegôlu, ze, wskutek dlugiego trwania druku ksiqzki, nastilpilo ustalenie jej
pisowni dopiero w dalszych arkuszacb, poczuwam si nakoniec do milego obowii}zku szczerego
podzi kowania Sz. Zarzildom "Rsiilznicy Poiskiej" T-wa Nauczycieli Szk61 Wyzszych i drukarni
"Gralia" za wytwornq, jak na obecne czasy, wydawniczil szat ksiilZki.
We Lwowie w marcu 1922
M. T. HUBER
ZESTl\WIENIE NIEKTÔRYCH OZNf\CZEN
(W nawiasie [ ] oznaczenia lub nazwy, uzywane dotqd zwykle w wyk1adach tlumacza,
albo stosowane w "T echniku ")
Napr zenie [nat zenieJ normal ne
Napr zenie styczne, lub dnajqce .
Dorazna wytrzymalo é przy rozciQganiu
Napr zenie bezpieczne przy rozciqganiu
Stopien bezpieczeiistwa (pewnosé) .
Przedluzenie [wydluzenie bezwzgl dne, lub calkowite]
Wydluzenie wzgl dne albo wlasciwe
Liczba Poisson'a
Energja potencjalna odksztalcenia [Praca odksztalcenia] .
Promieii bezwladnosd (rami bezwladnosd)
Pole (powierzchnia) .
pn, px, Py, pz [cs, IJ x , CS n cszJ
Pt, [T]
R', [Hz]
. R, [k z ], [CSbezp.]
.n
le, [D. 1]
e, [1.], [6]
/J, [\1], r ; J
V, [L], [A]
. r, [il
F, [A]
.1 .1
TRESC
PRZEDMOWfl TLUMl\CZfl .
WST
P .
CZ
SC 1
ROZCIl\Gl\NIE 1 SCISR1\NIE
ROZDZIflL 1. ROZCIl\Gl\NIE 1 SCISRflNIE W GRflNICflCH SPR
ZYSTOSCI
9 1. Poj
cia zasadnicze
9 2. Prawo Hooke'a .
3. Op6:fnienie spr
tyste
9 4. Energja odksztalcenia pr-zy rozciqganiu
5. Zmiana rozmiar6w poprzecznych przy rozci'lganiu
ROZDZIflL II. ROZCIl\GflNIE 1 SCISKflNIE POZfl GRflNIC1\MI PROPORqONflLNOSCI
9 6. Diagram rozciqgania .
9 7. Wp1yw czasu na wydluzenia .
8. Podwytszenie punktu krytycznego [granicy plastyczno
ri]
9 9. Badanie metali zapomocq "pr6by rozrywania"
10. Praca potrzebna do rozerwania
9 11. Sciskanie
9 12. Wplyw temperatury .
ROZDZIflL III. 0 Nl\PR
ZENI1\CH PRZY ROZCIl\Gl\NIU 1 SCISKflNIU
9 13. Napr
tenia w przypadku prostego rozciqgania .
1.. Rozklad napr
:le1i w przypadku rozciligania Iub
ciskania w dwu kierunkach wzajemnie prostopadlych .
]5. Elipsa napr
te:6. .
9 16. Przedstawienie napr
ze6 sposobem Mohr'a
17. ZwÎ'!zek mi
dzy odksztalceniem i napr
teniem w dwuwymiarowym stanie napi
cia
18. Rozklad napreze1i w tr6jwymiarowym stanie napi
cia
19. Odksztalcenia przy tr6jwymiarowym stanie napi
cia
ROZDZIflL IV. Zl\STOSOWflNI1\ OTRZYMflNYCH WYNIK6w.
9 20. Stopieti bezpiecze6stwa czyli pewllo
é .
9 21. Wplyw obci'l:lenia dzialajqcègo nagle.
.
9 22. Znuzenie metali .
23. Do
wiadczenia Wohler'a .
24, Do
wiadczenia O. Reynolds'a IH.>
mith'a
25. Do
wiadczenia Stanton'a i Bairstow"a. .
. .
9 26. Naprçtenia bezpieczne przy zmiennych napi
ciach .
9 21. Przyczyny zjawiska znuzenia metali .
9 28. Rozciuanie i
ciskanie pr
t6w 0 zmiennym przekroju
9 29. Rozrywanie pr
t6w 0 zmiennym przekroju .
9 30. Wp1yw ci
zaru wlasnego. Prçty 0 r6wnomiernej wytrzymalogci przy rozciQganiu
9 31. Obliczenie rozpi
tych ci
gien .
9 32. W plyw temperatury .
(
32a. Dokladniejsza teorja rozpi
tych citjlien]
9 33. Obliczenie lin drucianych
SIr.
3
5
9
9
11
14
14
15
16
]6
18
19
20
23
23
26
28
28
29
30
31
31
32
33
34
34
36
37
37
39
40
. 41
43
44
47
48
49
51
52
55
360
34. Zagadnienia statycznie oiewyznaczalne
9 35. 0 naprçzeniach w
cianach naczyti
9 36. 0 teorjach wytrzymalo
ci
9 37. Sciskanie kul i waIc6w
CZ
S{; II
SCIN1\NIE 1 SRRECf\NIE
ROZDZI1\L V. SCINl\NIE
9 38. Proste
cioanie
9 39. Energja potencjalna gcinania
9 40. 0 napr
zeniach bezpiecznych przy
cinaniu
9 41. Zastosowaoia
ROZDZI1\L VI. SRR
Cl\NIE
9 42. Skr
canie pr
ta okrqglego
9 43. Skr
canie pr
t6w 0 przekroju prostokqtnym
44. Skr
caoie w przypadkach innych postaci przekroju .
9 45. Zastosowania
46. Energja potencjalna przy skrçcaoiu
CZ
SC III
ZGIN1\NIE PROSTYCH PRETÔW
ROZDZI1\L VIIP). WEWN
TRZNE SILY SPR
iYSTOSCI PRZY ZGINflNlU PRF;T6w PRYZMflTYCZNYCH .
9 54: Poj
cie zginania .
9 55. Dane dogwiadczalne .
9 56. 0 napr
zeniach w pr ypadku czystego zginania
9 57. Zgi
cie ukogne .
9 58. Zginanie belki silami prostopadlemi do osi .
9 59. Naprçzenia
cinajqce przy zl;!inaniu
60. Rozklad naprçien gcinajqcych w przekroju kolowym
9 61. Rozklad napr
zen
cinajqcych w przekroju dwuteowym .
9 62. 0 napr
ieniach gl6wnych w zginanej belce
9 63. 0 napr
teniach miejscowych
ROZDZIRL IX. OBLICZENIE BELER
9 64. Wyznaczenie reakcyj podporowych
9 65. Diagram moment6w zginajqcych i diagram si! poprzecznych
9 6b. Obliczenie napr
ze6 niebezpiecznych .
67. Obliczenie belek nitowanych ksztaltu 1
9 68. Obliczenie zlozonych belek drewnianych
9 69. Obliczenie platwi
9 70. Obcil!zenie ruchome .
9 71. Por6wnanie przekroj6w poprzecznych 0 r6znej postaci
ROZDZI1\L X. UNJR UGl
Clfl BELRI .
9 72. R6wnanie linji ugiçcia
73. Ugiçcie belki jednym koticem utwierdzonej
9 74. Ugiçcie belki w obu koticach podpartej. . . .
9 75. Ùgiçcie belki w obu koticach podpartej, pod wplywem obci'lzenia r6wnomiernie rozlozonego
9 76. Skladanie skutk6w dzialania sil
77. Linja ugi
cia jako krzywa sznurowa .
78. Wykreglno.analityczny spos6b wyznaczania ugi
cia belek
9 79. Belki 0 r6wnomiernej wytrzymalogci przy zginaniu .
9 80. Wplyw sposobu rozlozenia obciqzeti na wielko
é momentu zginajqcego i strzalkç ugi
cia belek
81. Wplyw naprçteti gcioajqcych na ugi
cie belek .
ROZDZI1\L XI. STl\TYCZNIE NIEWYZNl\CZflLNE PRZYPl\DKI ZGI
CIfl BELER .
9 B2. Zb
dne ustalenia . . . . .
9 83. Zgi
cie belki r6wnomiernie obciqzonej w jednym koncu utwierdzonej a w drugim podpartej
1) W przekladzie opuszczono rozdzial VII (ob. uwag
na str. 82).
Sir.
51
59
62
65
68
68
70
70
71
72
72
75
76
77
79
82
82
83
85
87
89
90
93
94
95
99
100
100
102
106
lOB
11]
111
112
113
117
117
118
119
123
124
125
12
130
135
137
139
139
]40
9 84. Zgiçcie belki jednym koncem utwierdzonej a drugim podpartej, pod dzialaniem sily skupionej
9 85. Zgiçcie-belki obu koncami utwierdzonej . . . " .. ..
9 86. Belki z ko1\cami sprçzygcie utwierdzonerni .
9 87. Belka dwuprzçslowa .
9 88. Wplyw podwyiszenia lub obniienia grodkowej podpory
9 89. R6wnanie trzech moment6w .
9 90. Szczeg610we przypadki obci'lzenia belki ciqglej
9 91. R6wnanie dw6ch moment6w .
9 92. Wplyw obciqzenia jednego prz
sla
9 93. Najniekorzystniejsze obciqtenie belki ciqglej
9 94. Linje wplywowe dIa belek ciqglych
9 95. Belki ci'lgle 0 przekroju zmiennym
9 96. Zgiçcie belek spoczywaj'lcych na sprçtystem podlozu
9 97. Belki na sprçzystych podporach .
ROZDZI1\L XII. ZGINl\NIE BELEK Z MfiTERJfiLU NIEPODLEGfiJl\CEGO PRfiWU HOOKE'fi
9 98. Wyznaczenie naprçzen normaInych sposobem analitycznym
9 99. Przyblitony spos6b wyznaczenia naprçze1\ normalnych
9 100. Wykre!!;lna metoda wyznaczenia naprçzen normalnych
9 101. Wyznaczenie napr
ie1\ normalnych w belkach ielazno-betonowych .
9 102. Rozklad naprçzet1 stycznych (!!;cinajqcych) .
ROZDZIflL..cXIII. WYTRZYMfiLOS{; ZL02:0Nfl .
9 103. Zgi
cie w polqczeniu z rozcii}ganiem lub gciskaniem .
9 104. Rdze1\ czyli jqdro przekroju .
105. Zginanie $ skrçcanie
9 106. Obliczenie walu korbowego wyginanego
CZ
SC IV
PRl\Cl\ WEWNETRZNYCH SIL SPREZYSTO$CI
ROZDZIl\L XIV. OG6LNE METODY OBLlCZl\NIfl URLfiD6w STfiTYCZNIE NIEWYZNfiCZfiLNYCH
9 107. Uklady statycznie niewyznaczalne
108. Energja potencjalna ukladu sprçzystego
9 109. Energja potencjalna przy zginaniu
9 110. Uog6lnione spolrzçdne i uog61nione sily
9 111. Og6lne wyraienie energji potencjalnej cial sprçtystych
9 112. Przypadki
wyjqtkowe
9 113. Twierdzenie Castigliano'a
9 114. Zasada najmniejszej pracy
9 115. Zasada wzajemnogci przesuni
é
9 116. Zastosowanie zasady wzajemno!!ci przesuniçt do obliczenia belek cÎqglych
9 117. Linje wplywowe dIa belki wzmocnionej (wieszarowej)
9 118. Zastosowanie zasady wzajemnogci przesuni
t do obliczania kratownic statycznie niewyznaczalnych
9 119. Metoda Mohr'a
9 ]20. Zastosowanie sposobu Mohr'a do obliczania kratownic statycznie niewyznaczalnych
9 121. Zastosowanie sposobu Mohr'a do wyznaczenia przesuniçt .
9 122. Zastosowanie sposobu Mohr'a do badania statycznie niewyznaczalnych przypadk6w zgi
cia belek
9 ]23, 0 naprçzeniach pierwotnych w ukladach statycznie niewyznaczalnych
9 124. Naprçtenia termiczne w ukladach statycznie niewyznaczalnych
ROZDZI1\L XV.
PRZYBLI2:0NY SPOSOB BfiDl\NIfl ZGI
CIfl PR
T6w
9 125. Og61ny zarys metody
9 126. Zgiçcie belek w obu kot1cach podpartych .
9 127. ]ednoczesne dzialanie rozcÎi}gania lub gciskania i zgiçcia
9 128. Zgiçcie belek obu kot1cami utwierdzonych .
9 129. Przypadek nieznanych sil podluznych .
9 130. Wzory dia oblicze1i w przypadku jednocJl:esnego dzialania zgiçcia i gciskanÎa ,
9 131. Zgiçcie belek le:t'lcych na spr
zystem podlozu
9 132. Obliczenie belek skrzyzowanych .
361
Sir.
142
144
147
]50
152
]52
155
156
158
159
161
162
163
168
170
170
172
173
174
176
176
176
179
181
183
186
186
187
188
]90
191
194
196
200
205
206
209
209
211
213
215
216
216
218
219
219
220
223
227
230
232
233
237
362
cz
sé v
PRETY Z1\RRZYWIONE
Sir.
240
240
244
247
250
252
256
258
260
261
262
266
ROZDZlflL XVI .
133. Rozklad napr
zeti
134. Szczeg610we przypadki zgi
cia krzywych pr
t6w
135. Zadanie Lam
'go .
9 136. Obliczenie ucha w polqczeniu sworzniowem i ogniw lat'icuch6w
137. Odksztalcenie pr
t6w zakrzywionych
138. Obliczenie okrqglego piergcienia .
9 139. Luk dwuprzegubowy
140. Unje wplywowe dia luku dwuprzegubowego
9 141. Najniekorzystniejsze obciqzenie luku
142. Luk bezprzegubowy
143. Luk paraboliczny 0 koticach utwierdzonych [bezprzegubowy]
CZ
sC VI
ROZDZlflL XVII. ZGI
CIE CIENKICH PLYT
144.
145.
9 146,
147.
148.
149.
150.
151.
152.
9 153.
9 154.
155.
Zgi
cie plyty podlug powierzchni walcowej .
Obliczenie dlugich plyt prostokqtnych .
Zgi
cie zlozone z dwu zgiçé walcowych
Napr
zenia termiczne w plytach .
R6wnanie r6zniczkowe powierzchni ugi
cia plyty okrqglej symetrycznie obciqzonej
Zgi
cie okrqglej plyty wskutek obciqzenia r6wnomiernie rozlozonego
Zgi
cie okrqglej plyty silq skupionq w grodku .
Zgi
cie okrqglej p1yty z kolistym otworem w grodku .
Granice stosowalnogci wyprowadzonych wzor6w .
Energja potencjalna zgi
tej p1yty .
Przyblizona metoda badania zgiçcia plyt
Obliczenie gcian [plyt] zakrzywionych czyli powlok
It
268
268
269
274
276
271
279
282
283
284
285
28n
289
CZ
sC VII
Z1\G1\DNIENI1\ DYN1\MICZNE N1\UIH 0 WYTRZYM1\LOSCI
ROZDZ}flL XVIII. WPL YW SIL BEZWLflDNOSCI
156. 0 naprçzeniach w pr
tach poruszaiqcych si
157. Napr
zenia w wirujqcym piergcieniu .
158, Napr
zenia w wirujqcych kr'lzkach
159. Rrl!zek 0 r6wnomiernej wylrzymalo
ci
160. Napr
zenia w wieticu kola zamachowego '.
ROZDZIl\L XIX. 0 DRGflNIflCH UKLflD6w SPR
iYSTYCH
161. Swobodne drgania ukladu 0 jednym stopniu swobody
162. Przyblizone obIiczenie okres6w podstawowych [gl6wnych] drgan uklad6w zlotonych
163. Drgania przy oporze grodowiska .
9 164. Drgania wymuszone
9 165. Pcaktyczne znaczenie zjawiska sp61brzmienia
9 166. Drgania skr
caiqce (torsyjne)
9 ]67. Drgania belki pod wp1ywem ruchomego obciqzenia
9 ]68. PC\Jdkogt krylyczna dia gi
tkiego walu Laval'a .
9 169. Rrytyczna pr
dko
é kqtowa dia walu nieobciqionego
9 170, 0 napr
zeniach przy udcrzeniu .
9 171. Wplyw masy prçta na wielko
é naprçieti przy uderzeniu .
9 172. Pçkni
cie wskutek uderzenia
293
293
295
296
298
299
301
301
303
306
307
311
312
315
317
320
321
323
326
CZF;SC VIII
o ST1\TECZNOSCI URL1\DOW SPREiYSTYCH
ROZDZIflL XX
173. Stateczne i niestateczne postacie r6wnowagi
9 ]74. Zagadnienie Euler'a
327
327
328
175. Granice stosowalnogci otrzymanych wzor6w
176. Wplyw mimogrodu obci'ltenia i pocz'ltkowego zakrzywienia pr
ta na wielkogt sHy krytycznej
177. Przyblitona metoda rozwi'lzywania zagadniet'i statecznogci
178. 0 wyboczeniu pr
ta w spr
zystem
rodowisku .
179. 0 wyboczeniu pr
t6w zlotonych .
180. Uwagi co do ustalenia kot'ic6w i oslabienia przekroj6w poprzecznych gciskanych Pt
tc:5w
181. 0 statecznogci okr'lglego piergcienia i walcowej rury
182. 0 statecznogci gciskanych plyt
183. 0 statecznogci plaskiej postaci zgi
cia belek 1
RO:N:COWE SLOWO nUMflCZfl
ZESTl\WIENIE NIERT6RYCH OZNflCZEN
TRES{; .
363
Str.
331
335
336
338
34]
344
346
349
352
357
358
359