/
Текст
Министерство
просвещения РСФСР
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЗАОЧНЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Э. Б. ВИНБЕРГ
АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ
Учебное пособие
для студентов-заочников III—IV курсов
физико-математических факультетов
педагогических институтов
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ> 1980
Рекомендовано
к печати Главным управлением
высших и средних педагогических учебных заведений
Министерства просвещения РСФСР
Рецензенты:
доктор физико-математических наук М. М. Глухое,
доктор физико-математических наук К. А. Родосский,
кандидат физико-математических наук Г. В. Дорофеев.
Редактор МГЗПИ О. А. Павлович
60602 - 192
103@3)-80 3аКа3"°е 43°902040°
Московский государственный заочный педагогический
институт (МГЗПИ), 1980 г. »
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой учебное пособие для сту-
студентов-заочников педагогических институтов. Она написана в со-
соответствии с действующей программой и посвящена алгебре много-
многочленов, которая составляет последнюю (четвертую) часть курса
«Алгебра и теория чисел». Предполагаются известными основные
понятия теории колец и теория делимости в евклидовых кольцах.
По этим вопросам мы отсылаем читателя к книге «Алгебра и теория
чисел», ч. III, авторов Н. А. Казачека, Г. Н. Перлатова, Н. Я. Ви-
ленкина, A. li. Бородина (М , Просвещение, 1974).
Почти все разделы алгебры многочленов так или иначе связаны
с решением алгебраических уравнений и систем уравнений. Этот
материал особенно близок школьному курсу математики. Поэтому
в настоящем пособии проблеме решения уравнений уделяется до-
довольно много внимания, несмотря на то что в современной алгебре
многочленов она занимает скромное место.
В § 2 гл. III наряду со способом исключения неизвестного из
системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными при
помощи результанта излагается способ решения системы алгебраи-
алгебраических уравнений, основанный на «элементарных преобразованиях».
Это соответствует духу всего курса, в котором, например, реше-
решение систем линейных уравнений проводится сначала при помощи
элементарных преобразований и лишь затем излагается метод опре-
определителей, имеющий большее значение для теории, чем для реше-
решения конкретных систем уравнений.
В § 1 и 4 гл IV рассказывается о геометрическом изображении
и тригонометрической форме комплексных чисел, а также о реше-
решении в радикалах уравнений третьей и четвертой степени. Этот
материал по программе относится к первой части курса, но не во-
вошел в соответствующее пособие, так как логически более тесно
связан с алгеброй многочленов.
В связи с тем что данное пособие рассчитано на студентов-
заочников, доказательства теорем проводятся подробно, теорети-
теоретический материал иллюстрирован большим количеством примеров,
в конце каждого из параграфов приводятся вопросы для самопро-
самопроверки и упражнения Благодаря этому книга может служить в ка-
какой-то степени и задачником. Многие j пражнения взяты из «Сбор-
«Сборника задач по высшей алгебре» Д. К Фаддеева и И С Соминского
(М , Наука, 1977), где можно при желании найти и другие задачи
по большинству разделов курса.
Нумерация теорем, лемм и формул производится в пределах
каждого параграфа, нумерация параграфов — в пределах каждой
главы. При ссылке на теорему или формулу в пределах того же
Параграфа номер параграфа не указывается.
Во всей книге используются следующие обозначения, ставшие
в последнее время общепринятыми:
Z — кольцо целых чисел,
Q — поле рациональных чисел,
R — поле действительных чисел,
С — поле комплексных чисел.
Автор выражает благодарность профессору А. С. Солодовникову
и профессору Н. Я. Виленкину, которые своими предложениями в
значительной степени способствовали улучшению рукописи.
Просим читателей присылать свои критические замечания и по-
пожелания по адресу: Москва 109004, Верхняя Радищевская ул.,
д. 18. Редакционно-издательский отдел МГЗПИ.
Глава I
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ПОНЯТИЕ МНОГОЧЛЕНА
1. Многочлены как функции действительной переменной. Поня-
Понятие многочлена (или целой рациональной функции) знакомо чита-
читателю из к)<рса математического анализа, в котором функция / (л:)
действительной переменной х называется многочленом, если она
может быть представлена в виде
f(x) = ao + a1x + a2x2 + ...+anxn, A)
где а0, alt а2, ..., ап — какие-то действительные числа (некоторые
из них или даже все могут равняться нулю). Например, функция
f(x) = 1 — х2'+2х* = 1 +0x + (—l)x* + 0xs + 2xi
является многочленом. Функция / (л:) = ((х — XJ + х) (х + 1) — х2
также является многочленом, так как после раскрытия скобок она
представляется в виде f (х) — 1 — х2 + х3. Частным случаем
многочлена является постоянная функция / (л:) = а, принимающая
одно и то же значение а при всех значениях х.
Выражение
а0 + а,х + а2х2 + ... + апхп + 0х"+1 + ... + 0хт
определяет ту же функцию (многочлен), что и выражение A), по-
поскольку при любом значении х имеет место равенство
а0 + ахх + а2х2 + ... + апхп = ао+ atx +a2x2+ ... +
Обратно, можно доказать, что если при всех значениях х выпол-
выполняется равенство
а0 + alX + а2х2 + ... + апхп = Ь0 + Ь,х + Ь2х2 + ... + Ьтхт,
где т ^ п, то bh — ak при k— 0, 1, 2 nnbk = 0 при k— n + 1,
.., т. Одно из доказательств этого утверждения будет дано
в п. 6. Отсюда следует, что с точностью до приписывания или от-
отбрасывания членов с нулевыми коэффициентами представление
многочлена / (л:) в виде выражения A) единственно.
Число ak в выражении A) называется коэффициентом много-
многочлена / (л:) при xk.
Поскольку, не меняя многочлена / (л:), к его выражению A)
можно приписать любое количество членов с нулевыми коэффици-
коэффициентами, то говорят также о коэффициентах многочлена/ (х) при xk,
где k ~Z> n< считая их равными нулю. Многочлен, все коэффициен-
коэффициенты котсРР01 равны нулю, называется нулевым многочленом.
Есл*и многочлен A) не является нулевым, то наибольшее из та-
таких цргсел k, что ah=£0, называется его степенью. Например,
/ (х) — 1 — хг + 2л4 — многочлен четвертой степени. Постоян-
Постоянные функции, отличные от нуля, — это многочлены нулевой сте-
степени.
Сулема, разность и произведение двух многочленов также являют-
являются мно£очленами- В самом деле, пусть
/(ж) = ао + а1х + аях1 + ... + аяж\ B)
g (x) = ba + blX + b2x* + ... + bmxm. C)
Тогда
f(x) + g (x) = (а0 + К) + (а, + Ьг)х + (а2 + Ь2) х% +
pp (Б)
где р — max {/г, т) (наибольшее из чисел п, т), причем считает-
считается, чтсР ak = 0 при k > п и bh — 0 при k > т. Например,
B — Зх + х3 + 2л:4) + (— 1 + Зх + 2х2 + Xs) =
= B-1) + (-3 + 3)л: + @ + 2)х2 + A+1)х3 + B + 0)х4 =
= 1 + 2х2 + 2л:3 + 2л:4.
Произведение многочленов f(x) и §(л:) равно сумме всевозможные
Пр0из^едений uv, где и — любой член многочлена f <x), a v — лю-
любой член многочлена g (х). Песле приведения подобных членов
многочлен
f(x)g(x) = co + Clx + с2х2 + ... + сп+тхп+т, F)
где
chxh = й0 • bkxk + Ojx ■ b^x"-1 + а2х2 ■ bk_2x4~2 +
_р- ... + «ft xk • b0 = (ao&ft + йД_1 + a2bft_2 + ... + ak b0) xk ,
так nf°
Cft = aobk + Cjb^i + афи_2 + ... + akb0. G)
(Здесь?- как и выше. считается, что аг = 0 при / > п и bt = О
при / > т-) Например,
B — Зл; + л:3 + 2л:4) (— 1 + Зл: + 2жа) =
= _ 2 + 9л; — 5х2 — 7л:3 + xi + 8хь + 4л:6;
в час^ности> коэффициент при л:4 может быть получен по фор-
формуле G) в результате следующих вычислений:
2. • 0 + (-3) • 0 + 0 • 2- + 1 ■ 3 + 2 • (-1) = 1.
Итак, сумма, разность и произведение многочленов также яв-
являются многочленами. Это означает, что многочлены образуют под-
кольцо в кольце всех функций действительной переменной. Кольцо
многочленов от действительной переменной х обозначается через
R [х\. Символ R является обозначением поля действительных чи-
чисел. "Поскольку кольцо всех функций коммутативно и ассоциатив-
ассоциативно, кольцо R [х\ также обладает этими свойствами. В нем есть еди-
единичный элемент — постоянная функция / (х) = 1.
2. Алгебраическое определение кольца многочленов. В матема-
математике приходится рассматривать не только многочлены с действи-
действительными коэффициентами, но и многочлены с коэффициентами из
других полей или колец. При этом точка зрения на многочлен как
на функцию, изложенная в п. 1, не всегда оказывается пригодной.
Например, если рассматривать с этой точки зрения многочлены с
коэффициентами из кольца Z2 вычетов по модулю 2 (состоящего
из двух элементов: 0 и 1; см. АТЧ III, § 2, гл. III *), то многочлены
fi (х) = \х и /2 (х) = \х2 пришлось бы считать равными, так как
ft (х) = /2 (л:) при всех значениях х, а именно:
Изложим алгебраический подход к понятию многочлена. При
этом мы будем рассматривать многочлены с коэффициен-
коэффициентами из любого кольца. Представление о многочлене
как о функции должно быть временно забыто. Мы вернемся к нему
на более высоком уровне в п. 4.
Пусть К. — произвольное кольцо. Многочленом от х с коэффи-
коэффициентами из К назовем формальное выражение вида
ао + а1х + а1х* + ... + апха, (8)
где п — любое неотрицательное целое число и а0, аъ аг, ..., ап —
элементы кольца К- Подчеркнем, что выражение (8) должно рас-
рассматриваться как единый символ; никаких операций сложения или
умножения над отдельными его частями не подразумевается.
Элемент ah (k = 0, 1, 2, ..., п) кольца К будем называть коэффициен-
коэффициентом многочлена (8) при xk; для k > n условимся считать, что коэф-
коэффициент при xk равен нулю. Для обозначения многочленов будем
пользоваться символами / (л:), g (л:) и т. п.
Многочлены /х (х) и /2 (х) будем считать равными, если для лю-
любого k коэффициент многочлена fx (x при xk равен коэффициенту
многочлена f2 (x) при xh. Равенство будем записывать обычным
образом:
fi(x) = fAx)-
Для многочленов / (х) и g (x), заданных формулами B) и C)
(где й0, аъ а2, ..., ап , Ьо, Ьъ Ь2, ..., Ьт — элементы кольца К), о п р е-
* Здесь и далее АТЧ III означает ссылку на книгу авторов Н. А. Казачека,
Г. Н. Перлатова, Н. Я. Виленкина, А. И. Бородина «Алгебра и теория чисел»,
ч.Ш.
делим их сумму f (х) + g (x) по формуле D) и произведение
f (x) g (x) по формулам F) и G). Легко видеть, что эти определения
согласуются с данным выше определением равенства многочленов,
т. е. если
/iW = /aW и 8\(х) = 82 (х),
то
h (х) + 81 (х) = ft (х) + g-2 (x) и fx (x) gx (x) = /2 (*) g2 (x).
Замечания. 1) Роль буквы х в записи многочленов может
играть любая буква. Если из контекста ясно, какая буква испол-
исполняет эту роль, обозначения многочленов / (л:), g (л:), ... могут со-
сокращаться до /, g, ...
2) Так кйк для задания многочлена (8) существенны лишь коэф-
коэффициенты а0, alt аъ .... ап , то можно было бы назвать многочленом
просто последовательность (а0, аг, а2, ..., ап) элементов кольца К,
определив соответствующим образом операции сложения и умноже-
умножения таких последовательностей. Однако в конечном счете запись
многочлена в виде выражения (8) оказывается более удобной.
Установим теперь некоторые свойства операций сложения и ум-
умножения многочленов.
1°. Коммутативность сложения. Пусть мно-
многочлены / (х) и g (x) заданы формулами B) и C). Тогда, согласно
определению,
f(x) + g (х) = (а0 + ba) + (fll + Ь1)х + (й2 + К) х*+ ... +(ар+ Ьр) х",
g(x) + f{x) = ф0 + о0) + (Ьх + ax)x + фг + аг) х* + ... + фр + ар)
где р = max {/г, т). Так как в кольце К сложение коммутативно,
то ah + bh = bk + ak (k = 0, 1, 2, ,.., p) и, значит,
2°. Ассоциативность сложения можно дока
зать аналогично, исходя из ассоциативности сложения в кольце К-
3°. Существование нуля. Назовем нулевым много-
многочленом и обозначим символом 0 многочлен, все коэффициенты которо-
которого равны нулю. Этот многочлен играет роль нулевого (нейтрального
по отношению к сложению) элемента. В самом деле,- из определения
сложения многочленов ясно, что f (х) -{- 0 — f (х) для любого мн
гочлена / (л:).
4°. Существование противоположного
элемента. Обозначим через —/ (л:) многочлен, все коэффици
енты которого противоположны соответствующим коэффициентал*
многочлена / (х). ^Ясно, что f (х) + (—£ (х)) = 0, т. е. —/ (х) —
это многочлен, противоположный многочлену / (х).
5°. Дистрибутивность умножения относи
тельно сложения. Пусть даны три многочлена:
f (х) = а0 + ахх + а2х2 + ... +апхп,
g (х) = Ь0 + Ьхх + Ьгх2 + ... + Ьтхт,
h (х) =со + схх + сгхг + ... + ctxl. ■
Докажем, что
(f (x) + g (x)) h(x) = f (x)h(x) + g(x) h(x). (9)
Многочлен / (a-) + g (x) задается формулой D). Согласно определе-
определению умножения многочленов,
(f (х) + g (x)) h (x) = do + dlX + йгх* + ... + dp+lxP+l,
где
dh = (a0 + Ю °k + (al + bl) Ck-l + К + h) Ck-2 + ••• + (Як + h ) Co.
Воспользовавшись дистрибутивностью в кольце К, мы можем пред-
представить dk в виде суммы dk + d"k,
где
+ ... +akc0,
dk = bock + bxck—i + b2Ck-2 + ... + bk c0.
Ясно, что dk есть коэффициент при xk многочлена- f(x)h{x), a
d"h ■— коэффициент при xk многочлена g {x) h (x). Отсюда и следует
равенство (9). Аналогично доказывается другое соотношение ди-
дистрибутивности:
h (х) (f (x) + g (x)) =h(x)f (x) + h(x)g (x).
Свойства 1°—5° означают, что многочлены с коэффициентами из
кольца К сами образуют кольцо относительно определенных нами
операций сложения и умножения. Это кольцо называется кольцом
многочленов (от х) над К и обозначается через К \х\. В п. 4 мы
покажем, что в случае К = R имеется естественный изоморфизм
между этим кольцом и тем, которое было обозначено через R [х\
в п. 1.
Как и во всяком кольце, в кольце многочленов определена опе-
операция вычитания, обратная операции сложения. Мы будем предпо-
предполагать известными простейшие свойства этой операции, вытекаю-
вытекающие из аксиом кольца (см. АТЧ III, п. 4 § 1 гл. II). Разность
многочленов / (х) и g (л:), задаваемых формулами B) и C), находится
по формуле E). Это утверждение легко доказать, представив раз-
разность в виде
Многочлены, не содержащие х, т. е. выражения (8), в которых
п = 0, — это элементы кольца К- Их сложение и умножение, как
видно из определений, производится так же, как в кольце К- Иными
словами, кольцо К является подкольцом кольца К Ы.
Формальные слагаемые а0) atx, a2x2, ..., апхп называются чле-
членами многочлена (8); в частности, а0 называется свободным членом.
Обычно в записи многочлена опускают члены, коэффициенты ко-
которых равны нулю. Например, многочлен 6 + Ох + 2х2 + Зхя -|-
+ Ох* записывают как 6 + 2л;2 + Зх3.
Многочлен вида axk называется одночленом. Из определения
сложения многочленов следует, что многочлен (8) равен сумме
одночленов а0, atx, агх2, ..., а„х" . Таким образом, рассматривая
каждый член многочлена как одночлен, можно истолковывать сим-
символ «+» в записи многочлена как знак сложения. При таком толко-
толковании записи многочлена его члены можно располагать в произволь-
произвольном порядке, например «по убывающим степеням х», т. е. в виде
сохп + сххп-х + ... + сп_хх + сп.
Одночлен (—а)хк противоположен одночлену ахк. Поэтому при-
прибавление к какому-либо многочлену одночлена (—а)хк равносиль-
равносильно вычитанию одночлена ахк . Это позволяет в записи многочлена
вместо +(—а)хк писать —ахк, рассматривая «—» как знак вычи-
вычитания. Например, многочлен 1 + (—2)х + Зл:2 можно записать
как 1 —. 2х + Зх2.
Предположим теперь, что в кольце К имеется еди-
единица. Рассмотрим многочлен р (х) = \х. По формуле для про-
произведения многочленов находим, что р (хJ = р (х) • р (х) = \х2,
р (хK = р (хJ • р (х) = lxs и т. д.
Вообще
р (х)" = р (х)к~1 • р (х) = 1 хк .
Умножая в кольце К \.х] многочлен \хи на элемент а кольца К,
Заходим:
а ■ р(х)к = ахк .
Наконец, путем сложения нескольких таких равенств получаем,
что
«о + % ■ р (х) + а2 ■ р (хJ + ... + ап ■ р (х)п =
= ао + ахх + а2х2 + ...+апхп
для любых а0, аъ а2, ..., а„ б К с: /С \х).
В чем смысл этого равенства? Его правая часть есть, согласно
нашему определению многочлена, просто формальное выражение, в
то время как левая часть получена из элементов а0, аъ аг, ..., ап
и р (х) кольца К \х\ путем фактического выполнения операций
сложения и умножения в этом кольце. Поэтому (если в кольце К
есть единица) можно отождествить букву х с многочленом, который
мы обозначили через р (х), и придать тем самым записи многочлена
неформальный смысл. В дальнейшем мы всегда будем иметь это в
виду.
В заключение введем понятие степени многочлена и другие
связанные с ним понятия. Степенью ненулевого многочлена / (х) —
= а0 + ахх + а2х2 + ... + апхп называется наибольшее из таких
чисел k, что ак Ф 0; степень нулевого многочлена считается рав-
равной ^оо. (В дальнейшем читатель убедится в целесообразности
такого определения степени нулевого многочлена.) Степень много-
многочлена / (х) обозначается ст. / (х).
ю
Отметим, что многочлены нулевой степени — это элементы коль-
кольца К, отличные от нуля. Всякий многочлен степени п ^ 0 может
быть записан в виде
а0 + агх + а2х2 + ... +апхп,
где апф 0. При этом апхп называется его старшим членом, а ап —
старшим коэффициентом. Многочлен, старший коэффициент ко-
которого равен единице (если в кольце К есть единица), называется
нормированным *.
Рассматривая формулы D) и F), по которым определялись сумма
и произведение многочленов, мы видим, что формула для суммы не
содержит членов, степень которых выше, чем max {n, т}, а форму-
формула для произведения — членов, степень которых выше, чем п + т.
Отсюда следует, что
ст. (/(*)+£(*))< max {ст./(*), ст. g(x)}, A0)
ст. f(x)g(x)^cr. f(x) + cr. g(x). A1)
Для того чтобы эти неравенства были справедливы и тогда,
когда среди многочленов / (х), g (x), f (x) + g (x), f (x) g (x) имеются
нулевые (степени которых, согласно определению, равны — оо),
нужно считать, что —оо ^ п и —оо -(- п = —°о для любого п.
3. Кольцо многочленов над областью целостности. В п. 2 мы
не налагали никаких ограничений на кольцо К (скажем, не тре-
требовали коммутативности или ассоциативности умножения). Чтобы
умножение в кольце К. Ы обладало теми или иными «хорошими»
свойствами, надо требовать выполнения соответствующих свойств в
кольце /С. Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда К —
область целостности, т. е. коммутативное ассоциативное кольцо
с единицей и без делителей нуля (см. АТЧ III, п. 9 § 1 гл. II).
Начиная с этого момента на протяжении всей книги мы бу-
будем рассматривать только многочлены с
коэффициентами из области целостности.
Это всегда будет подразумеваться, даже если не будет оговорено
специально.
Установим некоторые дополнительные свойства умножения мно-
многочленов, которые выполняются при условии, что К — область
целостности. (Мы продолжим нумерацию свойств, начатую в п. 2.)
6°. Коммутативность умножения легко выте-
вытекает непосредственно из его определения (см. формулы F) и G)).
Однако мы приведем здесь другое, более поучительное рассуждение.
Докажем сначала коммутативность умножения одночленов. Для
одночленов ах" и Ьхт имеем:
ах4 ■ Ьхт = abxn+m, Ьх™ ■ ахп = Ьахп+т.
Так как в кольце К умножение коммутативно, то аЬ = Ьа и,
значит,
ах" ■ Ьхт = Ьхт ■ ахп .
* В школе такие многочлены называются приведенными.
11
Пусть теперь / (х) и g (х) — произвольные многочлены. Многочлен
/ (х) g (х) равен сумме всевозможных произведений вида uv, где
и — член многочлена / (х), a v — член многочлена g (x) (например,
B — Зх + х2) C + Ьх) = 2 -3 + 2 -Ъх + (-Зх) • 3 + ( — Зх)Х
X Ъх + х2 ■ 3 + х2 ■ Ъх).
Аналогично многочлен g (x) f (x) равен сумме всевозможных про-
произведений вида vu, где и и v имеют тот же смысл, что и выше (на-
(например, C + 5*) B — Зх + х2) = 3 • 2 + Ъх -2 + 3 • ( — 3*) +
+ Ъх ■ (—Зх) + 3 • х2 + Ъх • х2).
Так как умножение одночленов по доказанному коммутативно,
то uv — vu для любого члена и многочлена / (х) и любого чле-
члена v многочлена g (x). Следовательно,
f(x)g(x) = g(x)f(x).
7°. Ассоциативность умножения. Многочлен
(/ (х) S (х)) h (х) равен сумме всевозможных произведений вида
(uv) w, где и — член многочлена / (х), v — член многочлена g (x),
w — член многочлена h(x). Аналогично многочлен / (х) (g (x) h(x))
равен сумме всевозможных произведений вида и (vw), где и, у и
w имеют тот же смысл. Поэтому достаточно проверить, что (uv)w ~
= и (vw) для любых одночленов и, v, до, т. е. доказать ассоциатив-
ассоциативность умножения одночленов. Для одночленов ax11, bxm, схр имеем:
(ахп ■ Ьхт) ■ схр = abxn+m ■ ex? = (ab) cxn+m+p ,
ах4 ■ (Ьхт ■ схР) = ах4 • bcxm+P = a(bc) хп+т+р.
Так как (аЬ) с — a (be), то
(ахп ■ Ьхт) • сх" = ах11 ■ (Ьхт ■ сх"),
что и требовалось доказать.
8°. Существование единицы. Единицей (нейтраль-
(нейтральным элементом по отношению к умножению) в кольце К Ы явля-
является единица кольца К- В самом деле, из определения умножения
многочленов ясно, что 1 • / (х) = / (х) для любого многочлена / (х).
В частности, 1 ■ xk = xk. Поэтому в записи многочлена обычно
опускают коэффициенты, равные единице.
9°. Отсутствие делителей нуля. Пусть даны
два ненулевых многочлена:
/ (х) = ао + аух + ... + ап-х*"'1 + апх">
g (х) = Ьо + \х + ... + Ь^х™-1 + Ьтхт.
Докажем, что их произведение также не равно нулю.
Поскольку
f(x)g(x) = aobo + (aob1 +a1b0)x + ... +
+ (O-n-\°m +an °m~l) X +an°mx ,
то коэффициент многочлена / (x) g (x) при хп+т равен an bm. Так
как в кольце К нет делителей нуля, то aHbm ф 0 и, значит,
/ (х) g (х) Ф 0.
12
Из нашего рассуждения следует также, что
ст. f(x)g(x) = ст. f(x) + cr.g(x). A2)
Эта формула является уточнением неравенства A1) для случая,
когда в кольце /С нет делителей нуля. (Формула A2) справедлива
и тогда, когда один из многочленов / (х), g (x) или они оба рав-
равны нулю, если считать, как было условлено выше, что —°° + п =
= —оо для любого п.)
Свойства 6°—9° означают, что кольцо К \х\ является областью
' целостности. Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности
само является областью целостности.
4. Функция, определяемая многочленом. В п. 1 было дано опре-
определение многочлена от действительной переменной как функции
специального вида. Данное в п. 2 алгебраическое определение
многочлена не содержит никакого упоминания о функциях.- Тем
не менее с каждым многочленом над областью целостности К. мож-
можно естественным образом связать функцию, которая определена на
К. и принимает значения в К,.
Пусть / (х) = а0 + ахх + а%хг + ... + апхп — многочлен с
коэффициентами из К.. Для любого х0 £ К положим
f(x0) = ao + alxQ+a2x\ + ... +anx%, A3)
где выражение в правой части понимается как результат операций
в кольце К.. Получаемый при этом элемент / (#„) £ К. называется
значением многочлена f (x) в точке х0. (Слово «точка» употребляется
по аналогии со случаем К. = R, когда х0 можно представлять как
точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу х0
кольца К сопоставляется элемент / (х0) того же кольца и тем самым
определяется функция на К со значениями в К-
Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются
с обычными операциями, производимыми над функциями, когда
складываются или, соответственно, перемножаются значения функ-
функций в каждой точке.
Рассмотрим два многочлена:
f(x) = ao + a1x + a2x* + ... +anxn,
g (х) = Ьй + Ьхх + Ь2х2 + ... + Ьтхт.
Пусть h(x) = / (х) + g (х) — их сумма. Докажем, что h(x0) —
~ f (*и) + g (х0) для любого х0 € К- В соответствии с формулой D)
h (*о) = («о + Ьо) + (а, + bj) х0 + (а, + Ь2) х\ + ... + (ар + Ьр) х% =
= (с0 + а^ + а%х\ + .. + арх\) + (fy, + Ь\хь + hxl +
что и требовалось доказать.
Пусть теперь р (х) = / (х) g (x) — произведение многочленов
/ (х) и g (х). Докажем, что р (х0) = / (х0) g (х0) для любого х0 £ К-
Перемножим равенства
13
/ (x0) = aa + агх0 + агх\ + ... + an x%
X
Пользуясь свойствами операций в кольце К (в частности, комму-
коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: -
fix \ & IX \ =/° -4— г х ~Х-Г у~ I ...| ■• г yti-\-tn
где
Ck — aobk + a-fik—i -f- афя-2 + ... -f- аи b0.
Сравнение полученного результата с формулами F) и G) позволяет
сделать вывод, что / (х0) g (х0) = р (х0).
Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно
произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно про-
произведение) функций, определяемых этими многочленами.
Этот результат означает, что отображение, ставящее в соответствие каждому
многочлену с коэффициентами из {{ определяемую им функцию, есть гомоморфизм
кольца К [х] в кольцо функций, определенных на К и принимающих значения
в К. Заметим, что при фиксированном х0 отображение / (х) -»- / (л:0)
является гомоморфизмом кольца К [х] в кольцо К-
Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяе-
определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. В начале
п. 2 мы приводили пример двух различных многочленов из кольца
Z2[x], определяющих одну и ту же функцию на Z2. Этот пример
допускает следующее обобщение. Пусть р — любое простое число
и Zp — кольцо вычетов по модулю р (напомним, что оно является
полем и, значит, областью целостности). Тогда малая теорема Фер-
Ферма (см. АТЧ III, п. 3 § 4 гл. III) показывает, что многочлены х и
хр из кольца Zр [х] определяют одну и ту же функцию на Zр.
Однако если кольцо /(бесконечно, то различным много-
многочленам из кольца К [х\ всегда соответствуют различные функции.
Это важное утверждение будет доказано в п. 6/ Его доказательство
I будет основано на теореме Безу, вывод которой дается в п. 5.
i 5. Деление с остатком на двучлен х — х0. В кольце многочле-
v нов деление в обычном смысле слова, как правило, невозможно.
$ Например, в кольце R Ы многочлен х2 нельзя разделить на х -f- 1,
^ т. е. не существует такого многочлена g (х), что х2 = g (х) (х + 1)
(если бы такой многочлен существовал, то при х = —1 мы полу-
X чили бы невозможное равенство 1 = g(—1) -0). Однако во мно-
(s/ гих случаях выполнимо так называемое «деление с остатком».
X Эта операция будет описана в § I гл. II, а здесь мы рассмотрим ее
частный случай, когда делитель является двучленом вида х — х0.
Теорема 2. Пусть / (х) — многочлен с коэффициентами из
кольца К- Для любого х0 £ К многочлен f (x) можно единственным
образом представить в виде
f(x) = g(x)(x-xo)+c, - A4)
где g (х) € К [х], с € К; при этом с = / (х0).
Доказательство. Если / (х) = а С К, то можно взять
g (х) = 0, с — а, причем легко видеть, что это единственная воз-
14
можность. Пусть теперь ст. / (х) — п > 0. Расположим многочлен
/ (х) по убывающим степеням х:
f (х) = аохп + аххп-х + а2хп~* + ... + ап_хх + ап .
Ясно, что если представление / (х) в виде A4) возможно, то
ст. g {x)=n—\. Запишем g (х) с неопределенными коэффициентами:
g(x) = ЬХ'1 + hx"-2 + ... + bn_2x + bn_x.
Подставляя выражения для / (х) и g (x) в A4), получаем:
аохп + аххп^ + а2хп-2 + ... + an_tx + an = boxn + (&i — хА)*" +
+ (bt -хА) х"-2 + ... + (&„_! —хфп_)х + (с — хф^),
ч
откуда, в силу определения равенства двух многочленов,
Ь1= а, + x0b0,
Ь2=а2 +х0Ьг,
- A5)
b
п + <Pnv
Эти формулы позволяют последовательно находить b0, blt b2, ...
..., Ь„_! и с. Проведенное рассуждение доказывает, что многочлен
g (x) и элемент с, удовлетворяющие соотношению A4), существуют и
определены однозначно.
Для доказательства того, что с = f (x0), вычислим, пользуясь
равенством A4), значение многочлена / (х) в точке х0. Поскольку
первое слагаемое в правой части обращается в нуль, то / (л:0) = с.
Теорема доказана.
Элемент х0 кольца К называется корнем многочлена / (х). £
€ К Ы, если / (х0) = 0. Из теоремы 2 получаем следующее след-
следствие:
Следствие (теорема Без у). Многочлен f (x) де-
делится на х — х0 в кольце К. Ш тогда и только тогда, когда х0 —
его корень.
В самом деле, ясно, что / (х) делится на х — х0 тогда и только
тогда, когда в равенстве A4) с = 0, но так как с = f (x0), то усло-
условие с = 0 равносильно тому, что х0 — корень многочлена / (х).
Нахождение многочлена g (x) и элемента с, удовлетворяющих
соотношению A4), называется делением с остатком многочлена
/ (х) на х — х0. При этом" g (х) называется неполным частным, а
с — остатком. Формулы A5) дают практический способ деления с
остатком многочлена / (х) на х — х0.
Вычисления удобно располагать по следующей схеме, назы-
называемой схемой Горнера:
хо
i
V
Элементы нижней строки вычисляются последовательно по форму-
формулам A5) : Ьо = а0, а каждый последующий элемент равен сумме
элемента, находящегося над ним, и предыдущего элемента ниж-
нижней строки, умноженного на х0. Так как с = / (л:0), то этой схемой
можно пользоваться и для вычисления значения многочлена в
точке х0.
Пример 1. В кольце R [х] разделим с остатком х* — Зх2 +
-Ь х + 5 на х — 2.
В данном случае х0 = 2. Коэффициенты делимого соответствен-
соответственно равны 1, 0, —3, 1, 5. Выполним вычисления по схеме Горнера:
1
О
2-1 +0 = 2
2-2 — 3= 1
1
2-1 + 1 =3
2-3 + 5= 11
Получаем неполное частное g (х) = х3 + 2х2 + х + 3 и остаток
с= 11.
Пример 2. Вычислим значение многочлена / (х) = ix3 +■*
+ A — 2i)x2 — 2A— i)x + 2 (с комплексными коэффициентами)
в точке 1 + I.
Решение (промежуточные вычисления опущены):
—2i
—2 + 2i
Таким образом, / A + i) = 0.
6. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Теорема Безу, доказанная в предыдущем пункте, позволяет ука-
указать верхнюю границу числа корней многочлена. А именно имеет
место следующая теорема:
Теорема 3. Число корней ненулевого многочлена не превосхо-
превосходит его степени.
Доказательство. Докажем это утверждение с помощью
индукции по степени многочлена. Многочлен нулевой степени во-
вообще не имеет кррней, так что для него утверждение теоремы спра-
справедливо. Предположим теперь, что утверждение теоремы справедли-
справедливо для всех многочленов степени п — 1, и докажем его для любого
многочлена / (х) степени п. Предположим, рассуждая от противного,
что xlt Хо, ..., хт— корни многочлена / (х), причем т > п. По тео-
теореме Безу, f (х) делится на х — xlt т. е. / (х) = (х — хх) g (x),
где g (х) — некоторый многочлен степени п — 1. Элементы xit ...
..., хт кольца К являются корнями многочлена g (x). В самом деле,
при i = 2, ..., т имеем:
16
Так как xt — Xi Ф 0, а кольцо К не имеет делителей нуля, то
g (xt ) = 0. Таким образом, многочлен g (х) имеет не менее чем т — 1
корней, что противоречит предположению индукции, поскольку
ст. g (х) = п— 1 < т — 1. Теорема доказана.
Следствие. Многочлен степени не выше п однозначно опре-
определяется своими значениями в п _+ 1 точках.
Иначе говоря, существует не более одного многочлена степени
не выше п, принимающего в данных (различных) точках xlt x2,
..., хп+1 данные значения ylt y2, ..., у„+1.
Доказательство; Предположим, что / (х), g (x) — два
многочлена степени не выше'п, принимающие одинаковые значения в
точках хи х2, ..., хп+1. Рассмотрим многочлен h(x) = f (x) — g (x).
Степень этого многочлена также не выше, чем п. Так как / (xt ) =
= g (xt ), то h(xt ) = 0 при i = 1, 2, ..., п + 1, т. е. ху, х2
хп+\—корни многочлена п(х). Согласно только что доказан-
доказанной теореме h(x) = 0, т. е. / (х) — g (x).
В пп. 2, 4 были приведены примеры, когда различные много-
многочлены определяют одну и ту же функцию, т. е. принимают одина-
одинаковые значения во всех точках. В таких случаях говорят о «функ-
«функциональном равенстве» многочленов, в отличие от «алгебраического
равенства», т. е. обычного равенства многочленов в смысле опре-
определения, данного в п. 2. Полученные выше результаты позволяют
установить, что в случае бесконечного кольца К (например, в слу-
случае К = R) функциональное равенство равносильно алгебраиче-
алгебраическому .
Теорема 4. Если кольцо /С бесконечно, то равенство функций,
определяемых двумя многочленами из кольца К М, влечет за собой
равенство самих многочленов.
Доказательство. Пусть многочлены / (х), g (х) € К \х\
определяют одинаковые функции. Это означает, что / (л;0) = g (x0)
для любого х0 € К- Обозначим через п наивысшую из степеней
многочленов / (х), g (x). Так как кольцо К бесконечно, то в нем
найдутся п + 1 различных элементов хи х2, ..., xn+s. Согласно на-
нашему предположению, многочлены / (х) и g (x) принимают одина-
одинаковые значения в каждой из точек хх, х2, ..., л;л+1 (как и вообще в
любой точке). Следствие теоремы 3 позволяет сделать отсюда вывод,
что / (х) = g (х).
Теорема 4 вместе с доказанным в п. 4 утверждением о согласованности опе-
операций, определенных для многочленов и для функций, означает, что если кольцо
К бесконечно, то отображение, которое сопоставляет каждому многочлену из
К [х] определяемую им функцию, является изоморфизмом кольца К [х] на не-
некоторое кольцо функций, определенных на К и принимающих значения в К-
Теорема 4 оправдывает, в частности, функциональную трактов-
трактовку понятия многочлена от действительной переменной, принятую в
математическом анализе (см. п. 1). Имея в виду эту теорему, мы
и в этой книге будем иногда (в тех случаях, когда кольцо К беско-
бесконечно) говорить о многочлене как о функции (подразумевая функ-
функцию, определяемую этим многочленом).
17
Для конечного кольца К. утверждение теоремы 4 неверно.
Однако при некоторых дополнительных предположениях и в этом
случае оказывается возможным из равенства функций, определяе-
определяемых двумя многочленами, сделать вывод о равенстве самих много-
многочленов.
Пусть, например, К. = Zр — кольцо вычетов по простому мо-
модулю р. Два многочлена / (a-), g (x) 6 Zp [x] будем для краткости
называть эквивалентными, если они определяют одну и ту же
функцию на Z р; в этом случае будем писать f (x) ~ g (x). Так как
в кольце Zp имеется р элементов, то из следствия теоремы 3 непо-
непосредственно вытекает следующее утверждение:
Теорема 5. Если многочлены f (x), g (x) d Z р 1х], имеющие
степень не выше чем р — 1, эквивалентны, то они равны.
Укажем теперь способ, позволяющий для любого многочлена
f (х) € Zp [x] построить эквивалентный ему многочлен /0 (х) сте-
степени не выше р — 1.
Любое натуральное число.п можно представить в виде
где 1 ^ г ^ р — 1. (Если п не делится на р — 1, то такое представ-
представление получается в результате деления с остатком; если п = т (р —
— 1), то следует взять q = т — 1, г = р — 1.) Докажем, что х11 ~
~ хг. При х = 0 каждый из многочленов хп и хГ принимает зна-
значение 0; при х = х0 Ф 0 по малой теореме Ферма (АТЧ III, п. 3 § 4
гл. III) имеем Xq~x — 1 и, следовательно,
Л0 \л0 I 0 0'
Если теперь в произвольном многочлене / (х) £ Zр [х] заменить все
степени х эквивалентными им степенями с показателями, не пре-
превосходящими р — 1, то и получится многочлен /0 (х), эквивалентный
/ (х) и имеющий степень не выше р — 1.
Например, многочлен I — х — х3 + х* — хь + х1 £ Zs[x\
эквивалентен многочлену I — х — х + х2 — х + х = 1 + х + х2.
7. Расширение основного кольца. Если кольцо К является
подкольцом кольца L или, что то же самое, кольцо L является рас-
расширением кольца К, то всякий многочлен с коэффициентами из К.
можно рассматривать и как многочлен с коэффициентами из L.
При этом действия над такими многочленами в кольце 1 [х] приво-
приводят к тем же результатам, что и действия в кольце К 1х]. Это озна-
означает, что кольцо К \.х] является подкольцом кольца L [х].
Пользуясь этим обстоятельством, иногда говорят о значении
многочлена / (х) £ /С [л.] в точке хо£. L. Это следует понимать та^
ким образом, что / (х) рассматривается в данном случае как эле-
элемент кольца L [х]. В этом смысле говорят также о корнях многочле-
многочлена / (х) € К Ы, лежащих в кольце L.
Если кольцо К не является полем, то можно взять в качестве L
его поле отношений (АТЧ III, п. 5 § 3 гл. II). Таким спо-
ia
собом можно иногда доказывать какие-либо утверждения о кольце
К Ы, исходя из аналогичных утверждений о кольцах многочленов
над полями. Этот прием будет использован в § 3 гл. П.
Другой частный случай, когда /( = /?, a L = С, особенно ва-
важен для приложений. Исследование поведения многочлена с дей-
действительными коэффициентами в комплексной области (в частности,
исследование его комплексных корней) часто бывает полезным, да-
даже если нас интересуют в конечном счете только его свойства в дей-
действительной области.
Вложение кольца К [х] в кольцо L [х], где L — расширение кольца К,
является частным случаем следующей конструкции. Пусть ф — гомоморфизм
кольца К в некоторое кольцо L. Тогда каждому многочлену
а0 + аух + а2х2 + ... + апхп£ К Ы
можно сопоставить многочлен
Ф (а„) + ф (fll) х + ф (а2) хг + ... + ф (а„) хп 6 L [х].
Поскольку операции сложения и умножения в кольце L [х] определяются такими
же формулами, как в кольце К [х], построенное отображение кольца К [х] в
кольцо L [х] является гомоморфизмом. В частном случае, когда L — расширение
кольца К, а ф — отображение, которое каждому элементу кольца К сопоставляет
само» себя, но уже как элемент кольца L, этот гомоморфизм кольца К М в
кольцо L [х] совпадает с вложением, о котором мы говорили выше.
Рассмотрим другой частный случай. Пусть /С = Z (кольцо целых чисел),
L =Zp (кольцо вычетов по простому модулю р), а гомоморфизм ф апределяется
по формуле
Ф (а) =- а (а 6 Z),
где а обозначает класс вычетов числа а по модулю р. Соответствующий гомомор-
гомоморфизм кольца Z [х] в кольцо Z р [х] называется редукцией по модулю р. По опреде-
определению, он сопоставляет каждому многочлену
/ (х) = а0 f alX + а2х2 + ... + апхп g Zp [x] A6)
многочлен «
Т(х) = ао+ aix + а2х* + ... +~апхп 6 Zp [x]. A7)
Редукция по модулю р часто бывает полезна по той причине, что кольцо Zр, в
отличие от кольца Z, является полем.
Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры функций действительной переменной, не
являющихся многочленами.
2. Как определяется произведение двух многочленов с коэффи-
коэффициентами из произвольного кольца?
3. Докажите ассоциативность умножения многочленов с коэф-
коэффициентами из ассоциативного кольца.
4. Что такое разность двух многочленов?
5. Чему равна степень произведения двух многочленов над об-
областью целостности?
6. Какие элементы в кольце многочленов над областью целост-
целостности обратимы?
19
7. В каком случае степень суммы двух многочленов меньше мак-
максимальной из их степеней?
8. Как определяется равенство многочленов?
9. Приведите пример ненулевого многочлена над полем из двух
элементов, значения которого во всех точках равны нулю.
10. Докажите, что при сложении многочленов складываются и
определяемые ими функции.
11. Сколько значений многочлена степени п нужно знать для
того, чтобы определить его коэффициенты?
■ 12. Что такое эквивалентные многочлены над полем вычетов по
модулю р?
13. Как построить многочлен степени меньше р, эквивалентный
данному многочлену / (х) 6 Zp Ы?
14. Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы
многочлен f (х) делился на х — х0 в кольце К Ы?
15. Для чего -служит схема Горнера?
16. Докажите, что если хг, хг, ..., хт— (различные) корни мно-
многочлена f (х), то f (х) делится на (х — хг) (х — х2)... (х — хт).
17. Какое максимальное число корней может иметь ненулевой
многочлен степени л?
18. Как определить значение многочлена с коэффициентами из
кольца К в точке xu<i L, где L — расширение кольца /С?
19. Какие трудности встретились бы при развитии функциональ-
функциональной точки зрения на многочлены над неассоциативным или некомму-
некоммутативным кольцом?
Упражнения
1. Пользуясь схемой Горнера, разделите с остатком многочлен
/ (х) £ R [х] на л: — х0 и вычислите / (х0):
а) f (х) = х1 — Зх3 + 6х2 — 10* + 16, х0 = 4;
б) f (х) =х* + 2Х3 - Зх2 — 4х + 1, х0 = —1.
2. Пользуясь схемой Горнера, найдите значение многочлена
f (х) € С [х] в точке дг0:
а) / (х) = х* + 2ix3 - A + О*2 -Зх + 7 + i, х0 = -t;
б) / (х) = хь + A + 2i)x4 - A + 3t)x2 + 7, *0 = —2 — i.
3. Пользуясь схемой Горнера, составьте таблицу всех значе-
значений многочлена / (х) £ Ър [х]*:
а) / (х) = л;4 — 2л;3 + х* + 2, р = 5;
б) / (*) = Зхь + х3 — 2х + 1, р = 7.
4. В кольце Z7 [x] найдите многочлен наименьшей степени,
эквивалентный многочлену / (л:)*:
а) / (Х) = 4л;21 + л;18 + 2л;10 — х8 + Зхъ — х — 3;
б) / (х) = 2хи + хи + Зх10 — хь + 2л;4.
* Для удобства мы обозначаем класс вычетов п, содержащий целое число
п, просто через п.
20
§ 2. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА
Напомним, что элемент х0 кольца К называется корнем много-
многочлена f (х) £ К [х], если / (*0) = 0. Отыскание корней заданного
многочлена / (х) или, что to же самое, решение алгебраического урав-
уравнения f (х) = 0 — это задача, которая часто возникает в различных
разделах математики и в ее приложениях. (Для приложений наи-
наиболее важен, конечно, случай, когда К есть поле действительных
или комплексных чисел.) Разработка методов решения алгебраиче-
алгебраических уравнений стимулировала развитие многих разделов алгебры,
в том числе алгебры многочленов и теории групп.
В отличие от § 1, где дается определение и исследуются про-
простейшие свойства кольца многочленов над произвольной областью
целостности, в данном параграфе, как и в большинстве других
параграфов книги, рассматриваются только многочлены над по-
полем, что обусловлено следующими причинами:
1) случай, когда кольцо коэффициентов является полем, наибо-
наиболее важен;
2) свойства колец многочленов над полями отличаются наиболь-
наибольшей простотой;
3) поскольку кольцо многочленов над областью целостности К
является подкольцом кольца многочленов над ее полем отношений
Р, многие свойства кольца /С [х] могут быть доказаны, исходя из
аналогичных свойств кольца Р [х], (Последнее соображение хо-
хорошо иллюстрируется материалом, изложенным в § 3 гл. II.)
В данном параграфе доказываются некоторые общие теоремы о
корнях многочленов над произвольным полем Р. В
гл. IV и V будут более подробно рассмотрены частные случаи, когда
Р = С, R и Q.
1. Число-корней. В п. 6 § 1 было установлено, что число кор-
корней ненулевого многочлена степени п не превосходит п (теорема 3).
Для любого натурального п можно указать многочлены степе-
степени п, имеющие ровцо п корней. Например, многочлен (х — 1)
(х — 2) ... (х — п) над полем R имеет п корней 1, 2, ..., п. В то же
время существуют многочлены, число корней которых меньше их
степени*. Так, многочлен jc2 + 1 6 R lx], степень которого равна 2,
вообще не имеет корней. Естестве.н поэтому интерес к вопросу о
точном числе корней многочлена и, в частности, о существовании
хотя бы одного корня. Общего ответа на этот вопрос для многочле-
многочленов над любыми полями дать нельзя. (Что касается
многочленов над полями С и /?, то им будет специально по-
посвящена гл. IV.) Кроме того, как будет показано в следующих пунк-
пунктах, сама постановка вопроса о числе корней многочлена нуждается
в уточнении.
2. Кратные корни. Пусть f (x) — многочлен с коэффициентами
из поля Р и х0 — его корень. Согласно теореме Безу (см. п. 5 § 1)>
Здесь имеются в виду корни, лежащие в данном поле Р,
21
многочлен / (л:) делится на х — хй. Может случиться, что / (л:) де-
делится не только на х — х0, но и на {х — х0J или даже на более вы-
высокую степень х — х0. Наибольшее целое число k такое, что / (jc)
делится на (л: — хо)к, называется кратностью корня х0 многочлена
/ (х). Иначе говоря, кратность корня х0 равна k, если / (л:) делится
на (х — хо)к , но не делится на (л: — xo)'i+1. Если k > 1, то говорят,
что х0 — кратный корень; если k = 1, то х0 называется простым
корнем многочлена f (x).
Удобно считать, что приведенное выше определение кратности
корня применимо и для k — 0. В таком случае корень кратности 0 —
это элемент поля Р, вообще не являющийся корнем многочлена
Пример 1. Найдем кратность корня х0 = 1 многочлена
f {х) =х5— 5х4 — 2л;3 + 26х2 — 31х + 11 б R [х].
Делим / (jc) последовательно на х — 1 до тех пор, пока не полу-
получится ненулевой остаток. Деление удобно производить по схеме
Горнера (см. п. 5 § 1):
1
1
1
1
1
1
——о
—4
—3
—2
—1
—2'
— 6
— 9
—11
— !2
26
20
И
0
—31
—11
0
И
0
При этом вторая строка, содержащая коэффициенты частного fx (x)
от деления / (л:) на х — 1, служит одновременно первой строкой
схемы Горнера для деления fx (х) на х — 1. Коэффициенты частного
/2 (л:), получающегося при этом делении, располагаются в третьей
строке, которая служит одновременно первой строкой схемы Гор-
' нера для деления /2 (*) на х — 1 и т. д.
Результаты вычислений показывают, что/ (*) делится на (х — IK,
но не делится на (jc — IL. Следовательно, кратность корня х0 = 1
многочлена / (л:) равна 3.
Пример 2. Найдем кратность корня лг0 = —Т многочлена
f (х) = х5 + х* + х3 + хг + х + Т\ Z9[x].
Делим последовательно / (х) на х + 1:
—1
1
г
г
г
г
1
о"
—1
1
о"
1
т
—Г
1
г
1
"о
1
0
1
Г
0
1
0
Искомая кратность равна 3.
22
Если известно, что многочлен / (л:) делится на (х — д:0)*, т. е.
что / (л:) = (х — xo)k g (х), где g (х) б Р [х], и требуется узнать,
делится ли / (л:) на (х — *0)*+\ то надо проверить, делится ли g (x)
па х — х0. По теореме Безу g (х) не делится на х — х0 тогда и только
тогда, когда g (х0) Ф 0. Следовательно, элемент х0 поля Р будет
корнем кратности k многочлена f (х) £ Р [х] тогда и только тогда,
когда f {х) = (л: — хо)& g (х), где g (х) 6 Р [х], причем g (л-0) Ф 0.
Например,- многочлен
У,
имеет число 2 корнем кратнос-
кратности 2, поскольку многочлен л:5—
— 10* + 1 в точке 2 не обращает-
обращается в 0.
Для многочленов с действитель-
действительными коэффициентами понятия про-
простого и кратного корня имеют следую-
следующий геометрический смысл. Корень х0
многочлена f (x) £ R [х] является
простым, если график многочле-
многочлена f (x) при х = х0 пересекает ось
абсцисс, не касаясь ее (рис. 1). Ко-
Корень х0 является кратным, если
график многочлена / (х) при х = х0
касается оси абсцисс; при этом крат-
кратность определяется порядком касания
(рис. 2).
В самом деле, если х0 — корень
кратности k, то
/ (х) = (х - *o)*g (х),
где g (х0) = с Ф 0.
В этом случае имеем:
lim
С{Х —
или, что то же,
= 1,
Последнее равенство показывает, что
если k—\, то график многочлена
/ (х) при х = Хо касается прямой
у = с (х — Хо); если же А > 1, то он
касается оси абсцисс, причем порядок
касания равен k—• 1.
3. Число корней с учетом
кратностей. Если дискриминант
квадратного трехчлена равен ну-
нулю, то при вычислении его корней
по известной формуле решения
квадратного уравнения получа-
получаются два одинаковых числа.
В школьной алгебре говорят в
Рис. 1
У
Рис. 2
23
таких случаях о двух «совпадающих» корнях. Известно, что это бы-
бывает тогда и только тогда, когда квадратный трехчлен представля-
представляется в виде с (х — xo)z, т. е. согласно определению, данному в п. 2,
имеет двукратный корень. Таким образом, выражение «два совпада-
совпадающих корня» следует понимать как «один двукратный корень».
Однако вольность речи, которою мы допускаем", говоря о дв)Х
или нескольких «совпадающих» корнях, имеет под собой серьезные
основания.,Подсчитывая число корней многочлена, разумно счи-
считать кратный корень столько раз, какова его кратность. В частно-
частности, при таком соглашении остается справедливой теорема о том,
что число корней многочлена не превосходит его степени. Сформу-
Сформулируем это утверждение более точно.
Теорема 1. Сумма кратностей всех корней ненулевого много-
многочлена f {x) не превосходит его степени, причем равенство имеет
место тогда и только тогда, когда многочлен J (х) разлагается на
линейные множители-
Заметим, что сумма кратностей всех корней — это и есть число
корней, если каждый из них учитывать столько раз, какова его крат-
кратность. В дальнейшем мы будем вместо «сумма кратностей всех
корней» говорить «число корней с учетом кратностей» или просто
«число корней».
Доказательство теоремы 1 будет основано на следующих двух
леммах:
Лемма 1. Всякий ненулевой многочлен f (х) 6 Р Ы может быть
представлен в виде
f (X) =(Х~ *!)*' (X - X,f ... (X - Xs)k° g (X), ( 1 )
где хъ ..., xs — различные элементы поля Р, a g {x) — многочлен,
не имеющий корней.
Доказательство. Если многочлен / (л:) не имеет корней,
то доказывать нечего. В противном случае пусть хх — какой-либо
корень многочлена / (х). Тогда по теореме Беэу
Если х2 — корень многочлена f1 (х), то fx (х) — (х — х2) /2 (х) и,
следовательно,
f(x) = (x~x1)(x-x%)f(x).
Продолжая этот процесс, мы в конце концов представим многочлен
/ (а) в виде
/ (х) = (х — xj (х — х„) ...{х — xt) g (х),
где g (x) — многочлен, не имеющий корней. Собрав одинаковые
множители, мы получим представление вида A).
Лемма 2. Если многочлен f (x) представлен в виде A), то хъ
х,, ..., xs — это все его корни, причем кратность корня х-равна &, .
24
Например, многочлен
f(x) = (x+ 1K(х
имеет трехкратный корень —1 и простой корень 2.
Доказательство. Если х0 Ф хъ х2, ■■■, xs, то f (x0) =
= (х0 — х^ (х0 — х2)ki ... (х0 — xs)ks g(х0) Ф 0. Следовательно,
/ (jc) не имеет корней, отличных от хъ х2, ..., xs. Далее, поскольку
f (х) = (х~ xxf {(х- *2)*' -.(х- xsp g(x)),
причем многочлен (х — х2)*2 ... (х — х)кь g(x) не обращается
в нуль в точке xv то кратность корня х1 равна кг.
Доказательство теоремы 1. Представим много-
многочлен / (jc) в виде A). Тогда
ст. f{x) = k, + k2 + ... + ks + ст. g(x) >k1 + ki + ... + ks> B)
а по лемме 2 kx + k2 + ... + ks и есть сумма кратностей всех кор-
корней многочлена / (л:). Тем самым доказано- первое утверждение
теоремы.
Если в B) имеет место равенство, то ст. g (х) — 0, т. е. g (x) =
= а — ненулевой элемент поля Р и
f(x) = a(x-x1)*'(x~xi)h'...(x-xs)'ls. C)
«Рассыпав» степени (х — xt)ki на отдельные множители вида
х — xt , мы получим разложение многочлена f(x) на линейные
множители.
Обратно, пусть многочлен / (л:) разлагается на линейные множи-
множители, т. е.
[(х) = а0 (агх + Ьг) (а2х + Ь2)... (апх + Ьп),
где а0, аъ а2, ..., ап, Ьг, Ь2, ..., Ъл ^ Р, причем а0, аг, а%, ..., ап от-
отличны от нуля. Вынеся за скобки коэффициенты при х и собрав оди-
одинаковые множители, мы получим тогда представления многочлена
/ (л:) в виде C), например:
i (J.+0A,-1
Из равенства C) следует, что ст. "f (x) = k1 + k2 + •-■ + ks> a
по лемме 2 kx + k2 + ... + ks и есть сумма кратностей всех корней
многочлена / (х).
Теорема полностью доказана.
В § 2 гл. IV будет показано, что всякий многочлен f (x) 6 С [х]
степени п ^ 1 разлагается на линейные множители и, стало быть,
имеет п корней. Если / (л:) — многочлен степени п ^ 1 с коэффици-
коэффициентами из какого-либо числового поля Р (т. е. подполя
поля С), то в кольце Р \х] он, вообще говоря, не разлагается на
линейные множители, но всегда может быть разложен на линейные
множители в кольце С 1х].
25
Можно доказать, что для любого поля Р и любого многочлена f (х) £ Р [х]
степени п ^ 1 существует такое расширение L поля Р, что f (x) разлагается на
линейные множители в кольце L (х). Мы не будем доказывать этой теоремы, так
как в наиболее важном для нас случае, когда Р— числовое поле, в качестве та-
такого расширения L, как мы заметили выше, можно взять поле С.
4. Формулы Виета. Если многочлен / (л:) степени п имеет
л корней (с учетом кратностей), то его коэффициенты могут
быть выражены через корни и старший коэффициент по так назы-
называемым формулам Виета.
Пусть
/ (х) = аохп + агхп-г + ... + ап_гх + ап,
причем а0 Ф 0, и пусть xv д:2, ..., хп — корни многочлена, каждый
из которых повторен столько раз, какова его кратность. Тогда
коэффициент ak {k — 1, 2, ..., п) равен произведению (—\)к ай на
сумму всевозможных произведений по k элементов из xlt x2 хп,
т. е.
fli= — ао(х1 + хг '+ ... + *„),
... + *„_!*„), D)
(Выражение для ak содержит С* слагаемых.) Формулы D) и назы-
называются формулами Виета.
Для вывода формул Виета воспользуемся теоремой 1. Согласно
этой теореме, многочлен / (*) при сделанных предположениях может
dbiTb представлен в виде
f(x) = ao(x — x1)(x — xi)...(x — xn). E)
Напомним, что хъ хг, ..., хп не обязательно различны. Точнее,
каждый корень многочлена / (л:) встречается в последовательнос-
последовательности хг, х2, ■■■, хп столько раз, какова его кратность. Столько же раз по-
повторяется и соответствующий линейный множитель в разложении E).
Выполним умножение в правой части равенства E), воспользо-
воспользовавшись свойством дистрибутивности. Члены, содержащие xn~k,
будут получаться при перемножении первых слагаемых из каких-то
п —■ k скобок и вторых слагаемых из остальных k скобок. Коэф-
Коэффициент каждого такого члена будет равен произведению каких-то
k элементов из хъ х2, ■•■, хп , умноженному на (—1)* а0. После при-
приведения подобных членов в правой части равенства E) получится
многочлен, коэффициент которого при х"~к равен сумме всевозмож-
всевозможных произведений по k элементов из хъ х2, ..., хп, умноженной на
(—1)*а0. Приравняв коэффициенты £того многочлена соответ-
соответствующим коэффициентам многочлена f {x), получим формулы D).
Формулы Виета могут быть записаны также в следующем виде:
xi "г хг ~Н • • • т X п = ,
аа
26
F)
В частности, для квадратного трехчлена f (х) = ахъ +
+ Ьх + с получаем формулы, известные из школьного курса ал-
алгебры:
4- — * — С
1 2 а ' х 2 а
Для нормированного многочлена / (х) формулы F)
принимают более простой вид:
„ „ „ / 1 \п ~
Ai Ао • •» Л и ■" ■■ I ' X I L4/J**
Подчеркнем, что формулы Виета имеют смысл лишь тогда, ког-
когда число корней многочлена / (х) равно его степени; например, это
имеет место для любых многочленов над полем комплексных чисел.
Пример 3. Запишем формулы Виета для многочлена
f (х) = 4х3 — х2 — 2х + 4 б С [х]:
Л1 ~Г Л2 "Г Хя — —,
4 4
—2 1
Пример 4. Найдем нормированный многочлен четвертой
степени с действительными коэффициентами, имеющий двукратный
корень 2 и простые корни 3,-1.
Искомый многочлен имеет вид
f(*) = (jc_2)»(x-3)(*+l).
Его коэффициенты могут быть найдены по формулам Виета, если
положить хх = хг = 2, хя = 3, jc4 = —1. Считая а0 — 1, имеем:
aL =—B + 2 + 3— 1)=—6,
а2 = 2-2 + 2-3 — 2-1+2-3 — 2-1— 3-1=9,
а„"=— B-2-3 — 2-2- 1—2-3- 1—2-3-1) = 4,
а4= —2- 2-3-1 =—12.
Таким образом,
f(x) = л:4 — 6л:3 + 9л:2 + 4х — 12.
Пример 5. Считая известным, что многочлен
/ (х) = х4 — 4х3 + Зл- — U ^1^]
27
имеет 4 действительных корня, вычислим сумму их квадратов.
Обозначим корни данного многочлена через хъ х%, х3, лг4. Вос-
Воспользуемся тождеством
1 \х±х^ -|- XiXs -j- x±xt -\- x%xs -f" X2xi 4~
По формулам G)
Xi + Ч + x3 + x4 = 4,
xxXi + xxx3 + xxxk + x2xa + x2xt + x3x4 = 0.
Следовательно,
x\ + x\ + x\ + x\= 16.
.Пример 6. Докажем «теорему Вильсона»: npi
любом простом р имеет место сравнение
(р —1)!=з—1 (modp).
Согласно малой теореме Ферма, все ненулевые элементы поля
Zp вычетов по модулю р являются корнями многочлена хр~х — 1 (
6 Zр\х\. Так как в поле Zpимеется р— 1 ненулевых элементов,
то этот многочлен разлагается на линейные множители в кольце
Zp [x], причем все его корни простые. Их произведение есть вычет
по модулю р числа (р —• 1)!, а по формуле Виета оно равно —1,
Отсюда и получаем тео'рему Вильсона.
5. Алгебраические сравнения по простому модулю. Пусть р —
простое число. Алгебраическим сравнением по модулю р называется
сравнение вида
аохп + а^"-1 + ... + ая_1 х + ап = 0 (modp), (8)
где а0, аъ ..., ап^, ап — целые числа, ах — неизвестное, допус-
допустимые значения которого также целые. Из общих свойств сравне-
сравнений (АТЧ III, § 1 гл. III) следует, что:
1) если коэффициенты сравнения (8) заменить любыми целыми
числами, сравнимыми с ними по модулю р, то полученное сравнение
будет эквивалентно сравнению (8);
2) если х0 — решение сравнения (8), то и любое целое число,
сравнимое с х0 по модулю'р, будет решением этого сравнения.
Сравнение (8) называется тривиальным, если все коэффициенты
а0, alt ..., fln_t, an делятся на р. В этом случае оно выполняется для
любых значений х. Нетривиальное алгебраическое сравнение можно,
пользуясь свойством 1, привести к такому виду, в котором а0 не
делится на р. Для этого надо просто отбросить те первые несколько
членов (если они есть), коэффициенты которых делятся на р. При
условии, что йоне делится на р, число п называется сте-
степенью сравнения (8). _
Для любого целого числа а будем обозначать через а класс вы-
вычетов по модулю р, содержащий а. Из определения операций над
классами вычетов следует, что при любом х0 6 Z
28
(9)
Число х0 является решением сравнения (8) тогда и только тогда,
когда
аох + alX>>-1 + ... + an_lXo + an = 0.
В силу (9), последнее равенство может быть переписано в виде
аохпо + а,4~' + ••■ + an-ixo + ап =,
а это означает, что класс вычетов х0 является решением алгебраиче-
алгебраического уравнения
аох" + ~alX«-l+ ... +ап_1 х + ап = 0 A0)
над полем Zр вычетов по модулю р.
Таким образом, алгебраическое сравнение по простому модулю
р лишь формально отличается от алгебраического уравнения над
полем Zр.
Будем называть классом решений сравнения (8) совокупность
его решений, составляющих один класс вычетов по модулю р.
Такой класс соответствует одному решению уравнения A0).
Очевидно, что степень уравнения A0) равна степени сравнения (8).
Из теоремы 3 § 1 получаем следующую теорему:
Теорема 2. Число классов решений нетривиального алгебраи-
алгебраического сравнения по простому модулю не превосходит его степени.
С другой стороны, ясно, что число классов решений любого
алгебраического сравнения не может быть больше р (числа всех
классов вычетов по модулю р). Поэтому при п^ р теорема 2 ниче-
ничего не дает. Однако в п. 6 § 1 было указано, как по любому многочле-
НУ / (х) б Zр \х\ построить многочлен /0 (л:) 6 Zр [х] степени не вы-
выше р — 1, принимающий во всех точках те же значения, что и
/ (х). Очевидно, что уравнение /0 (л:) = 0 будет эквивалентно урав-
уравнению / (л:) = 0. Пользуясь этим способом, можно любое алгебраи-
алгебраическое сравнение заменить эквивалентным ему сравнением степени
не выше р — 1 (быть может, тривиальным). Например, сравнений
х7 — хь + х4 — х3 — х — 1е=?0 (mod 3)
эквивалентно сравнению
х* + х+ lE=0(mod3)
(см. пример, приведенный в п. 6 § 1).
Алгебраическое уравнение над конечным полем можно (по край-
крайней мере, в принципе) решить путем поочередной подстановки в не-
него всех элементов поля. Поэтому и решение алгебраического сравне-
сравнения сводится к конечному перебору.
Пример 7. Решим сравнение
8jc9 — 17л:8 + 31хв + \2хь — 7х4 + 2л: + 11 = 0 (mod 5).
29
Переходим сразу к соответствующему алгебраическому уравне-
уравнению над полем Z5:
Зл:9 + Зх8 + Гхв +2х5 + 3xi + 2х + Т = О
Для удобства договоримся опускать черту в обозначениях классов
вычетов. Заменяя левую часть полученного уравнения эквивалент-
эквивалентным многочленом
Зх + Зх4 + х2 + 2х + Зх4 + 2х + 1 -= х4 + х2 + 2х + 1,
приходим к уравнению
х4 + х2+2л: + 1 =0.
Пользуясь схемой Горнера, испытываем значения х = 0, ±1, ±2
(т. е. все значения, которые может принимать х):
0
1
2
j
—2
1
1
1
1
1
0
1
2
. 1
2
1
2
0
2
0
2
—1
2
0
2
1
1
0
0
1
2
Мы видим, что уравнение имеет два решения: 1 и 2. Решениями ис-
исходного сравнения, следовательно, будут числа вида Ък + 1 и
5fe + 2.
Пример 8. Решим сравнение
jc100 + 10л:51 + Юл:10 + 100*: = 0 (mod 11).
Переходим к уравнению над полем Zn:
д.100 _ д.51 _ xio + x = о.
Левая часть этого уравнения эквивалентна многочлену х10 — х —
— х10 + х = 0, так что уравнение эквивалентно тривиальному урав-
уравнению 0 = &! Его решениями являются все элементы поля Zn, a
решениями исходного сравнения — все целые числа.
Вопросы для самопроверки
1. Приведите пример многочлена четвертой степени над полем
действительных чисел, не имеющего корней в этом поле.
2. Приведите пример многочлена третьей степени над полем
рациональных чисел, имеющего ровно один (простой) корень в
этом поле.
3. Что называется кратностью корня многочлена?
4. Что такое простой корень?
5. Что такое корень кратности 0?
6. Какова кратность корня 0 многочлена х"?
30
7. Какова кратность корня —1 многочлена (х + IL (л4 — 2х3 —
— Зх — 5)?
8. Какое максимальное число корней с учетом их кратностей
может иметь многочлен степени га?
9. Что -такое разложение многочлена на линейные множители?
10. В каком случае многочлен может быть разложен на линей-
линейные множители?
11. Какие корни имеет многочлен х3 (х + 2) (х — ЗK (л; — 4J?
Укажите их кратности.
12. Докажите, что всякий многочлен f (х) £ Р [х] допускает
не более одного разложения на линейные множители с точностью
до перестановки множителей и умножения их на элементы поля Р.
13. Запишите формулы Виета В каком случае они имеют
место?
14. Какой вид принимают формулы Виета для нормированного
многочлена?
15. Что такое алгебраическое сравнение?
16. Что такое класс решений алгебраического сравнения?
17. Какова связь между алгебраическими сравнениями по про-
простому модулю и алгебраическими уравнениями над соответствую-
соответствующим полем вычетов?
18. Какое максимальное число классбв решений может иметь
алгебраическое сравнение степени га?
19. Сколько классов решений имеет тривиальное алгебраиче-
алгебраическое сравнение?
Упражнения
1. Определите кратность корня х0 многочлена f (х) (! R [х\:
а) / (х) = х6 — 5х* + 7х3 — 2л:2 + 4х — 8, х0 = 2;
б) / (х) = хъ + 7xi + 16л:3 + 8л:2 — 16л; — 16, х0 = —2.
2. Определите кратность корня х0 многочлена / (х) £ Zр [х]:
*а) / (х) = хъ + 2х4 — 2хг — Ъх—\, х0 = 2, р = 7;
б) / (х) = 2х* + Xs — 2хг — 1, х0 = —2, р = Ъ.
3. При помощи формул Виета найдите нормированный много-
многочлен четвертой степени с комплексными коэффициентами, имеющий
данные корни хъ х2, х3, xt:
а) х1 = 1, х2 = 2, х3 = —3, xt = —4;
б) Хх = х2 = *3 = —1> ^4 = г;
в) Xj = х2 = 1 + i, x3 = х4 = 2.
4. Найдите сумму квадратов и произведение всех корней много-
многочлена / (х) dC[x]\
а) / (х) = 3х6 — х3 + х + 2;
б) / (х) = х* + A + г)*3 + B + 30x2 - л; + C + i);
в) / (х) = хп+ ах"'1 + Ъ, п > 3.
31
5. Найдите сумму чисел, обратных корням многочлена f (х) €
€ С Ы:
а) f (х) = Зх3 + 2л:2— 1;
б) / (х) = х4 — г2 — л- — 1.
6. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого есть
корни уравнения: х3 — Юх2 + 31л; — 29 = 0.
(Указание. Воспользуйтесь формулой Герона.)
7. Решите алгебраическое сравнение:
а) 6л:7 + 12л:8 + х6 + 9xi + х3 + \3х + 4 = 0 (mod 5); '
б) х1 + х* + х3 + хг = 1 (mod 3);
в) л:100 + 100л:2= 10 (mod 11);
г) хп + х3 + 1 ss 0 (mod 7).
Глава П
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 1 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
1. Деление с остатком. Между кольцом многочленов от одной
переменной над полем и кольцом целых чисел имеется глу-
глубокая аналогия. Эта аналогия касается свойств делимости разло-
разложения на простые множители, строения идеалов и т. д. Ее причина
состоит в том, что в обоих этих кольцах выполнимо «деление с остат-
остатком», благодаря чему они являются евклидовыми коль-
кольцами
Напомним определение евклидова кольца (АТЧ III, п. 6 § 2
гл. II) Область целостности К называется евклидовым кольцом,
если на К \ {0} задана функция N, принимающая неотрицатель-
неотрицательные целые значения, и выполняется свойство (Е):
для любых а, Ъ £ /С, h, Ф 0, существуют такие q, r 6 К, что
о= qb + г и N (г) < N (Ь) или г = 0.
Процедура отыскания таких элементов q и г для заданных
элементов а и Ъ называется делением с остатком в кольце К При
этом q называется неполным частным, а г — остатком от деления а
аа Ь.
Для кольца многочленов от одной переменной над полем в
качестве функции /V 'можно взять степень. Свойство (Е) вы-
вытекает тогда из следующей теорем>п
Теорема 1. Пусть Р — произвольное поле, fug — много-
многочлены с коэффициентами из Р, причем цфО. Тогда существует,
и притом единственная, пара многочленов q, г £ Р [х], удовлетворяю-
щая условиям:
1) Г = Яё + г,
2) ст. г < ст. g.
(Напомним, что ст. 0 = —оо, поэтому второе условие будет вы-
выполнено, в частности, если г = 0.)
Доказательство. Пусть
f = аох" + агхп-1 + ... + ая,
g = bQxm + btxm^ + ... + bm,
причем a0 Ф0, Ь0Ф 0.
Если п < т, то можьо взять q = 0, г — /, Пусть теперь /г ^ т.
Положим тогда
где с0 = X
2 Заказ 93 go
Очевидно, что ст. fx <С п — 1. Пусть
h = аох^ + а[х^ + ... +
Положим
а'п_2х т a'n_v
где сх = -a.
6
6о
Очевидно, что ст. /2 ^ я — 2. Продолжая этот процесс, Получим
последовательность многочленов flt /2, ..., причем ст. fk ^ п — k.
Последним будет многочлен /л_т+1, степень которого меньше сте-
степени g. Имеем:
ln-m+1 — l сох g — clx g — ••• — сп-т§'
откуда
f = (сох"-^ + clX"->»-i + ... + сп_т) g + fa_m+1.
Многочлены
q — CqX -+- СгХ + ..• + Cn_m, Г — Гл-m+l
удовлетворяют требованиям теоремы.
Докажем теперь единственность пары многочленов q, r, удовлет-
удовлетворяющей требованиям теоремы.
Предположим, что
f = qig + r1 = q2g + r2,
причем ст. гх < ст. g и ст. г2 < ст. g. Тогда
Если q1 ф q2, то ст. (qt — qz)g > ст. g, в то время как ст. (гг — гг) <
< ст. g. Следовательно, q1 = q2, но тогда иг, = г2. Теорема дока-
доказана.
Таким образом, кольцо Р [х] является евклидовым кольцом.
Кроме того, оно обладает тем свойством, что деление с остатком
выполняется в нем однозначно (что не требуется в опреде-
определении евклидова кольца).
Практически при делении многочленов с остатком результаты
промежуточных вычислений удобно располагать так же, как это
делается при делении целых чисел.
Пример 1. В кольце R [х] разделим с остатком многочлен
1 f = 4хБ — 2х3 + х2 + х + 2
на многочлен
g = 2xs — x2 — x+ 1.
34
Вычисления выполним по следующей схеме:
4л:6
4л:6 — 2л:4
~ 2л:1
— 2л:3-г
— 2л:3-f
д-З
л:3-
-2л:2
хл -\
х2 4.
1 о
— X2
2
1
+ X
~хЛ
J_
2
I
-2
4
х J
х -
-2
3
2л:3
2л:2
—
+
х- - л; + 1
* ~2
(В правом столбце под делителем последовательно выписываются
члены неполного частного. В левом столбце выписываются много-
многочлены f, flt /2, ... и те кратные многочлены g, которые из них вы-
вычитаются в соответствии с доказательством теоремы.)
Таким образом,
а = 2л:12 + л: -4 , г = — лг И ЛМ .
v ^^2 2 22
Заметим, что деление в обычном смысле слова можно понимать
как частный случай деления с остатком.
А именно: многочлен f делится на многочлен g тогда и только тогда,
когда при делении / на g с остатком получается остаток, равный ну-
нулю; в этом случае частное— совпадает с неполным частным.
g
2. Идеалы. В о*дной из предыдущих глав курса алгебры и теории
чисел (АТЧ III, § 2 гл. II) была изложена теория делимости в
произвольных евклидовых кольцах. Посмотрим, как выглядят
основные понятия и положения этой теории в частном случае коль-
кольца Р [х] многочленов над полем Р.
Выясним прежде всего, что означают обратимость и ассоции-
ассоциированность в кольце Р [х]. Так как при умножении многочленов
степени складываются, то произведение двух многочленов может
равняться 1 только в том случае, когда оба они имеют нулевую
степень, т. е. являются элементами поля Р, не равными нулю. Сле-
Следовательно, обратимыми в кольце Р [х] могут быть только ненуле-
ненулевые элементы поля Р. Очевидно, что всякий ненулевой элемент по-
поля Р обратим в Р \х], поскольку он обратим в Р. Таким образом,
обратимые элементы кольца Р [х] — это ненулевые элементы по-
поля Р. В соответствии с этим ассоциированные элементы — это
многочлены, получающиеся друг из друга умножением на ненулевые
элементы поля Р.
Отметим, что среди многочленов, ассоциированных с данным не-
ненулевым многочленом, имеется ровно один нормированный много-
многочлен. А именно: если / (х) •= аохп + аххп'х + ... + а„ , где а0 Ф О,
то единственным нормированным многочленом, ассоциированным с
/ (*), будет многочлен -/ (х) = х" + -х"~1 + ... + ^=1 х +~п.
ай аа с0 й0
2* ' ■ 35
Важнейшими понятиями теории делимости являются понятия
идеала и главного идеала (АТЧ III, § 2 гл..П). В соответствии с об-
общим определением, главным идеалом кольца Р [х], порождаемым
многочленом /, называется идеал
Идеалы (/^ и (f2) совпадают тогда и только тогда, когда многочлены
/х и /2 ассоциированы.
Как всякое евклидово кольцо, кольцо Р [х\ является кольцом
главных идеалов. Это означает, что любой идеал / кольца Р [х\ явля-
является главным, т. е. совпадает с идеалом (/), где / — некоторый мно-
многочлен, называемый образующим многочленом идеала 1.
Рассмотрим следующий пример. Пусть р — простое число. Обозначим через
/ ядро гомоморфизма, который каждому многочлену из кольца Zр[х\ сопоставляет
определяемую им функцию. Это идеал кольца Zр [х]; он состоит из всех много-
многочленов, определяющих нулевую функцию, т. е. эквивалентных нулевому много-
многочлену (см. п. 6 § 1 гл. I). Согласно малой теореме Ферма, хр— х £ /, так что об-
образующий многочлен идеала / должен быть делителем многочлена хр — х. С дру-
другой стороны, из теоремы 5 § 1 гл. I вытекает, что идеал / не содержит ненулевых
многочленов степени, меньшей", чем р. Следовательно,
/ = (ХР — х).
Два многочлена /, g£ Z р [х] эквивалентны тогда и только тогда, когда /— g 6 /,
т. е. когда f— g делится на хР— х, В частности, каждый многочлен f эквивален-
эквивалентен остатку от его деления на хр — х. Этот остаток и есть многочлен f0, способ
построения которого был указан в п. 4 § 1 гл. I.
Пусть теперь fx, /2, ..., fm — многочлены из кольца Р 1х]. Все-
Всевозможные «линейные комбинации»
«l/l + "а/г + ... + "mfm («1, «2 - . Um € Р [X]) A)
образуют идеал в кольце Р [х]: сумма двух выражений вида A)
и произведение выражения вида A) на любой многочлен также мо-
могут быть представлены в виде A). Обозначим этот идеал через /
и рассмотрим его образующий многочлен d. Многочлен d обладает
следующими свойствами:
(Д1) d является делителем каждого из многочленов fu /2, ...
..., fm, т. е'. их общим делителем;
(Д2) d делится на всякий общий делитель многочленов flt /2, ...
Свойство (Д1) следует из того, что многочлены flt /2, ..., fm
принадлежат идеалу / = (d), а свойство (Д2) — из возможности
представления многочлена d в виде A).
Любой многочлен d, обладающий свойствами (Д1) и (Д2),
называется наибольшим общим делителем многочленов flf /2, ...
• • •> 1т•
Предыдущее рассуждение показывает, что наибольший общий
делитель всегда существует (что совершенно не ясно из его
определения). Можно показать,, кроме того, что наибольший общий
делитель единствен с точностью до ассоциированности. В
самом деле, пусть а" и d" — два наибольших общих делителя много-
36
членов fu f2, •••. fm- Из свойства (Д2) следует, что d! делится на
d" и точно так же d" делится на d', а это и означает, что й' и d" ас-
ассоциированы.
Как мы видели выше, существует такой наибольший сбщпй дели-
делитель многочленов /1( /2, •••. /т> который представляется в виде A).
Поскольку всякие два наибольших общих делителя ассоциированы,
то и любой наибольший общий делитель d многочленов fx, /2, ...
..., fm представляется в виде A), т. е. принадлежит идеалу /. От-
Отсюда следует, что и любой многочлен, который делится на й, тоже
принадлежит идеалу /.
Итак, доказана следующая теорема:
Теорема 2. Для любых многочленов fv f2, ..., fm 6 Р lx]
существует наибольший общий делитель d. Он определен однознач-
однозначно с точностью до ассоциированности. Любой многочлен h, деля-
делящийся на d (в частности, сам многочлен d), может быть представ-
представлен в виде
h = uj, + uj2 + ... + uJn, B)
где иъ иг, ..., ит € Р Ы.
Представление какого-либо многочлена h в виде B) будем на-
называть его линейным выражением через flt /2, ..., /т.
За исключением тривиального случая /х = f2 = ... = fm = 0,
когда d = 0, среди наибольших общих делителей многочленов
fv h> •••> fm имеется ровно один нормированный многочлен. Его мы
будем обозначать (/lt /2, ..., /т). (Иногда используется обозначе-
обозначение НОД {flt /2, ...,/т}.)
Многочлены flt /2, ..., fm называются взаимно простыми (в со-
совокупности), если
т. е. если у них нет общих делителей, кроме элементов поля Р.
Теорема 3. Многочлены fv /2, ..., fm € Р 1х] взаимно просты
тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены и1у
«г. •••. ит d P [х], что
u1f1 + u2f2 + ... + uJm=l. C)
Доказательство. Если (/lt /2, ..., /,п) = 1, то сущест-
существование многочленов иъ и2, ..., ит, удовлетворяющих условию C),
вытекает из последнего утверждения теоремы 2. Обратно, если вы-
выполнено условие C), то всякий общий делитель многочленов fu
/2, ..., fm, будучи делителем левой части равенства C), является
делителем единицы, т. е. элементом поля Р. Теорема доказана.
Из теоремы 2 следует, что если многочлены flf /2, ..., fm взаимно
просты, то л ю б о й многочлен может быть представлен в виде B)
(поскольку любой многочлен делится на единицу).
В заключение отметим, что наибольший общий делитель много-
многочленов /j, /2) ..., fm, за исключением случая, когда они все равны
нулю, может быть определен как их ебщий делитель наиболь-
37
шей степени. В самом деле, пусть d — общий делитель наи-
наибольшей степени многочленов flt /3, ..., fm. Их наибольший общий
делитель должен делиться на d, но, так как ст. d <С ст. d, много-
члены d и d ассоциированы и, значит, d является наибольшим об-
общим делителем многочленов fv f2, ..., fm.
3. Вычисление наибольшего общего делителя. Наибольший
общий делитель двух многочленов f, g € Р lx] может быть найден
при помощи алгоритма Евклида, рассмотренного ра-
ранее для кольца целых чисел (АТЧ III, § 2 гл. I).
Алгоритм Евклида состоит в следующем. Сначала делят с ос-
остатком многочлен / на многочлен g, затем многочлен g — на остаток
от первого деления, затем остаток от первого деления — на остаток
от второго деления и т. д. до тех пор, пока не получится нулевой
остаток. Это дает следующую цепочку равенств:
8 =
гк-г — Qkrk-i T
rk-i = 9*+ir*>
причем ст. g > ст. гг > ст. г2 > ... > ст.
( ) бй б
D)
Последний ненулевой
г 2 у
остаток (т. е. Tk) и есть наибольший общий делитель многочленов f
и g. Это доказывается точно так же, как и для целых чисел.
На практике, если степени данных многочленов различны,
удобнее в качестве f взять многочлен большей степени.
Пример 2. В кольце R [х] найдем наибольший общий дели-
делитель многочленов
f =
Зх3
X2_4x — 3,
- 2x — 3.
Делим / на g:
— х2 —Ах — 3
1 ,
X3
3
1 ,
X3
3
3
10 ,
X2
9
— Зл: —
2
9
3
3
1 1
— х
3 9
5 2
9
25 10
• — х — —
9 3
Для удобства умножим полученный остаток на
При этом по-
последующие остатки также умножатся на некоторые числа, отлич-
отличные от нуля, что несущественно при нахождении наибольшего об-
общего делителя. Выполним второе деление;
10л;а + 2л; — 3
+ 18л:
— 5л-2— 16л; — 3
— 5л;2 —25л;-30
5л; + б
Зл; —5
9л; + 27
Полученный остаток разделим на 9 и выполним третье деление:
2х
Поскольку остаток равен нулю, то
(Л £) = * + 3.
Алгоритм Евклида позволяет утверждать, что если fug— многочлены с коэф-
коэффициентами из поля Р и L — какое-нибудь расширение поля Р, то наибольший
общий делитель многочленов f и g в кольце Р [х] равен их наибольшему общему
делителю в кольце L (х). В самом деле, отыскивая наибольший общий делитель
с помощью алгоритма Евклида, мы в обоих случаях придем к одному и тому же
результату (причем вычисления не будут выходить за пределы кольца Р [х]).
Наибольший общий делитель нескольких многочленов fx, /2, ...
..., fm может быть найден индуктивным способом на основании сле-
следующей формулы:
(fl, /2. — . /m-l> fm) = ((/l. /2. ••• . fm-l)' fm)- E)
Для того чтобы найти наибольший общий делитель многочленов
!ъ /г. •••> fm< следует, согласно этой формуле, найти сначала d2 =
= (/i> /2). затем d3 — (d2, f3) и т. д.; dm = [dm_1,fm) и будет искомым
наибольшим общим делителем.
Докажем формулу E). Согласно определению наибольшего об-
общего делителя, делители многочлена (flt /2, ..., /m_i) — это в точ-
точности общие делители многочленов flt /2, ..., fm_v Поэтому совокуп-
совокупность всех общих делителей многочленов (/ь f2, ..., fm--^ и fm сов-
совпадает с совокупностью всех общих делителей многочленов fx,
/2. •••> fm-i и fm' отсюда и следует формула E).
4. Вычисление коэффициентов линейного выражения наиболь-
наибольшего общего делителя. Согласно теореме 2, наибольший общий де-
делитель d двух многочленов f, g € Р [х], а также всякий многочлен,
кратный d, может быть представлен в виде uf + vg, где и, v i
€ Р \х]. Напомним, что такое представление мы называем линейны^
выражением данного многочлена через многочлены / и g.
Для нахождения линейного выражения наибольшего общего де-
делителя d можно воспользоваться алгоритмом Евклида. В самом
деле, первое из равенств D) дает следующее линейное выражение
многочлена гх через fag:
39
Подставляя его во второе равенство, получаем линейное выражение
многочлена г2:
Ч = g — Wi •=- g2f + A
Продолжая так дальше, получаем в конце концов линейное выра-
выражение наибольшего общего делителя d = rk .
Пример 3. Найдем линейное выражение наибольшего обще-
общего делителя d многочленов fug из примера 2.
Результаты делений с остатком, выполненных при решении при-
примера 2, показывают, что
g = (Зх — 5) (х2 + 5х + 6) + 9 (х + 3).
Отсюда находим:
х2 + Ъх + 6 = - i/ + ~ (Зх - l)g,
5 5
x + 3 = ±g-jCx-5) (x2 + Ъх + 6) = | (Зх - 5)/
4- {g - ^ (Зх - 5) (Зх - l)g = -1 (Зх - 5)/ - 1 (х2 -
Таким образом,
и = - (Зх — 5), и = — ~ (х2 — 2х).
5 5
Линейное выражение любого многочлена h, кратного d, может
быть найдено, исходя из линейного выражения d. А именно: пусть
h = hxd и d = uf + vg. Тогда
h = h1 (uf + vg) = (M) / + Mg.
На практике линейное выражение многочлена h удобнее искать
не с помощью алгоритма Евклида, а методом неопреде-
неопределенных коэффициентов. Запишем искомые многочлены
и и v в общем виде с неопределенными (неизвестными) коэффициен-
коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в
равенстве h — uf + vg, получим систему уравнений для коэффициен-
коэффициентов многочленов и и v. Легко видеть, что эти уравнения будут ли-
линейными.
Для применения этого метода необходимо заранее иметь оценки
степеней многочленов и и у (иначе мы не будем знать, в каком общем
виде их записать).
Теорема 4. Пусть многочлен h, кратный d = (/, g), удов-
удовлетворяет условию
ст. ft < ст. / + ст. g. -
Тогда он допускает линейное выражение h = uf + vg, в котором
ст. и < ст, g, ст. v < ст. /.
/7 /* ' - '
Доказательство. Пусть h = uof + vog — какое-то ли-
линейное выражение многочлена h. Разделим и0 с' остатком на g:
ио = Qg ~t "> ст. " < ст- £•
Выражение uof + vog может быть преобразовано следующим обра-
образом:
«о/ + vo8 = "/■ + ("о + gf)g =uf + иё>
где t> = Уо + Я/- Итак, h = uf + vg, причем ст. и < ст. g. Так как
■vg = h — uf и ст h < ст. / + ст. g, то ст. yg < ст. / + ст. g. От-
Отсюда следует, что ст. у < ст. /, и потому многочлены и и у удовлет-
удовлетворяют требованиям теоремы.
Пример 4 Найдем линейное выражение многочлена h =
= х — 2 через многочлены
Легко проверить, что многочлены fug взаимно просты, так что
искомое линейное выражение существует, причем многочлены и и у
можно искать в виде
и = аох* -\- ахх -\- а2, v — box -f- bx.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеням х в равенстве
(а0х2 + ахх + а,) (х2 + 2) + (box + bL) (х3 + х - 1) - х - 2,
получаем следующие соотношения:
аа +Ь0 =0,
2а0 +а2 + Ьо =0,
2ах —bo+bx — l,
Отсюдв находим: ао= 1, а1=0, а2 = —1, Ьо = —1, Ьх = 0, т. е.
и = г2 — 1, у = —х.
Иногда при составлении линейных уравнений для коэффициен-
коэффициентов многочленов и, v удобнее не приравнивать коэффициенты при
одинаковых степенях х, а придавать х различные значения.
Пример 5. Найдем многочлены и, v €R Ы, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию uf + vg = 1, где
f = (x+\)(x-3), g^x(x-l)
Очевидно, что многочлены /, g взаимно просты (иначе у них был
бы общий линейный делитель, а значит, и общий корень). Ищем и
и у в виде и = аох + ах, v = box + bx. В равенстве
(ao.v + аг) (х + 1) (х — 3) + (Ьол: -f bi) *{* ~ 1) = *
придаем л' последовательно значения 0, 1, 3, —1. При этом полу-
получаем:
ах - ах- з,
41
— 4(ао + а1)= 1=>ао=^,
6 (з&0 + fti) =_i ] =^ 6О = _ 1, б1= А.
Таким образом,
« = -(* —4), v = -(—x+b).
12V ъ 12 ^ ;
5. Наименьшее общее кратное. Наименьшим общим кратным
многочленов /х, /2, ..., /т€Р [х] называется многочлен h, обладаю-
обладающий следующими свойствами:
(Kl) h делится на каждый из многочленов /1( /2, ..., fm, т. е.
является их общим кратным;
(К2) h делит любое общее кратное многочленов flt /2, ..., /т.
Совокупность всех общих кратных многочленов flt /2, ..., fm
есть не что иное, как пересечение главных идеалов, порождаемых
этими многочленами, т. е. идеал (/х) (] (f2) П ••• П (fm)- Образую-
Образующий многочлен этого идеала будет наименьшим общим кратным.
В самом деле, он принадлежит этому идеалу и потому является
общим кратным многочленов /lt f%, ..., fm. С другой стороны, всякое
общее кратное, будучи элементом этого идеала, делится на него.
Это рассуждение доказывает существование наименьшего
общего кратного. Ясно также, что наименьшее общее кратное един-
единственно с точностью до ассоциированности. В самом деле,
если Ы и h" — два наименьших общих кратных многочленов fx,
/2. •••! /mi то из свойства (К2) следует, что h' делит h" и точно так
же h" делит Ы. Это означает, что ti и h" ассоциированы.
За исключением тривиального случая, когда один из много-
многочленов /1; f2, ..., fm равен нулю, идеал (fx) П (ft) П '••• П (L) не
является нулевым, так как содержит, например, многочлен
/i/г ••• fm- Поэтому, если исключить упомянутый случай, можно ут-
утверждать, что среди наименьших общих кратных многочленов
/и ft, •••• fm имеется ровно один нормированный много-
многочлен. Будем обозначать его через [/1( /2, ..., /т]. (Иногда использует-
используется обозначение НОК {/з., ft, ..., fm}.)
Для двух многочленов f, g наименьшее общее кратное [/, g] свя-
связано с наибольшим общим делителем (/, g) соотношением
[Д g](f, g) = cfg (с€Л сФО). F)
Эта формула может служить для нахождения наименьшего общего
кратного двух многочленов.
Для доказательства формулы F) положим d = (/, g), h— [/, g],
f = f\d, g = gtd и рассмотрим многочлен
Многочлен h' является общим кратным многочленов /, g и, сле-
следовательно, делится на h. Теперь рассмотрим многочлен d' = —.
h
Равенства
£ h л h
g ' f
показывают, что dl — общий делитель многочленов f, g; следова-
следовательно, d' делит d, т. е. d = qd', где q — некоторый многочлен.
Отсюда получаем:
Стало быть, /гделится наь/г'. Таким образом, Ни h' ассоциированы,
т. е. h= ch', где с£Р, сф 0. Из G) получаем тогда, что hd =
= cfg, что и требовалось доказать.
Из формулы F) следует, в частности, что наименьшее общее
кратное двух взаимно простых многочленов равно их произведению.
Пример 6. В кольце R Ы найдем наименьшее общее крат-
кратное многочленов
/ = 2х3 + х — 3, g = х2 + х — 2.
Находим d = (f,g) при помощи алгоритма Евклида:
2х3+ х
' 2х3 + 2х2 — 4х
2х — 2
— 2х2 + Ъх — 3 __ 2х — 2
— 2х2 — 2х + 4 ■ 2х —2
х— 1
7л;,-7
Итак, d = х — 1 и, значит,
I/, й\ = ^ = f ~ =BхЧ * — 3) (х + 2) = 2х4 + 4х3+ х2- х - б.
f
6. Результант. Алгоритм Евклида позволяет найти наибольший
общий делитель любых двух конкретных многочленов и,
в частности, выяснить, являются ли они взаимно простыми. Однако
он не дает в явном виде условия, которому должны удовлетворять
коэффициенты двух многочленов для того, чтобы эти многочлены
были (или, наоборот, не были) взаимно просты.
Аналогичная ситуация возникает в линейной алгебре Метод
Гаусса, позволяя решать конкретные системы линейных уравнений,
не дает явного условия на коэффициенты системы, при котором
данная система совместна или, скажем, определенна. Такие усло-
условия могут быть получены при помощи понятия определителя.
В этом пункте мы найдем соотношение между коэффициентами
двух многочленов, выполнение которого необходимо и достаточно
для того, чтобы многочлены не были взаимно просты. Мы придем
к понятию результанта, которое будет применено в § 2 гл. III к
решению системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвест-
неизвестными.
43
Пусть
два многочлена с коэффициентами из поля Р, причем а0 ф О,
Ьо Ф 0, так что ст. / = п, ст. g = т.
Из формулы F) следует, что многочлены f и g не являются вза-
взаимно простыми тогда и только тогда, когда их наименьшее общее
кратное имеет степень, меньшую, чем их произведение. Наимень-
Наименьшее общее кратное h многочленов fug представляется в виде h =
= fu и одновременно в виде h = gv, где и и у — некоторые много-
многочлены. Имеем:
ст. h = ст. f -f- ст. и = ст. g -f ст. v.
Так как ст. fg = ст. / -f ст. g, то из условия ст. h < ст. fg следу-
следует, что
ст. и < ст. g = от, ст. у < ст. / = п.
Таким образом, если многочлены f и g не взаимно просты, то суще-
существуют такие многочлены и и v, что
fu = gv, ст. и < т, ст. v < п. (8)
Обратно, если существуют многочлены и w v, удовлетворяющие
условиям (8), то многочлен fu = gv, являющийся общим кратным
многочленов fug, имеет степень, меньшую, чем степень произве-
произведения fg. Степень наименьшего общего кратного в этом
случае тем более меньше степени fg, и, значит, многочлены fug
не являются взаимно простыми.
Итак, вопрос о взаимной простоте многочленов / и g сводится к
вопросу о существовании многочленов и и v, удовлетворяющих
условиям (8). Выясним, когда такие многочлены существуют. За-
Запишем их в общем виде:
и = иххт~1 + и2хт~2 + ... + ип,
V = VXX4"^ + и^Хп~2 + ... + Vn.
Предположим для определенности, что т ^ п. Каждое из произве-
произведений/и, gv представляет собой многочлен степени не выше п + т —
— 1. Коэффициенты многочлена fu, записанные в столбец, имеют вид
aoult
+ а0и2,
-i«2 + ••• + ап_т+гит_г + an_m+ium,
anu2 + ... -f on_m+3«m_i + an_m+2um,
anum-l+ a«-l«m.
anum.
44
Коэффициенты многочлена gv имеют вид
V'l + b0V2,
um+2> .
bm+lVn,
bm+lV
b
n
Приравнивая коэффициенты многочленов fu и gv при одина-
одинаковых степенях х, получаем систему однородных линейных уравне-
уравнений относительно неизвестных «,, «2) ..., ит, ух, у2, •••> у„ . Число
уравнений этой системы равно п + т, т. е. числу неизвестных.
Если перенести все члены с vu v2, ..., vn в левую часть, то получится
следующая матрица коэффициентов при неизвестных *:
Г аа
a j
am+l
am~l
...a,
-к
-А -К
—b
—К
— b
-Ь„
а„а
л"я-1
Рассматриваемая система линейных уравнений имеет ненулевое
решение тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы
равен нулю При его вычислении можно для удобства умножить на
—1 последние п столбцов и транспонировать матрицу. Полученный
определитель
аоа1...ап
/> 8)
... ап
... ап
0 гп
bob1...bm
bobi ...bm
b0 bj.... bm
•m строк
.n строк
(9)
называется результантом многочленов / и g.
Итак, доказано следующее утверждение.
* Мы приводим запись матрицы в случае, когда п > т.
45
Теорема 5. Многочлены f, g € Р [х] не являются взаимно
простыми тогда и только тогда, когда их результант R (/, g),
определяемый формулой (9), равен нулю.
Пример 7. Вычислим результант многочленов
/ 24 52 1 = x3 — 3x2+ 1
— х—
2
0
0
1
0
0
0
0
2
0
—3
1
0
0
5
0
2
0
—3
1
0
—1
5
0
1
0
—3
1
—1
—1
5
0
1
0
—3
0
—1
—1 -
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
1
(с действительными коэффициентами) и выясним, являются ли они
взаимно простыми.
Искомый результант имеет вид
я (Л g) =
Вычисляя этот определитель, находим, что R (/, g) — 543 Ф 0;
следовательно, многочлены / и g взаимно просты.
Замечание. Если не предполагать, что коэффициенты а0, b c
отличны от нуля, то обращение в нуль определителя (9) остается
необходимым условием того, чтобы многочлены / и g не
были взаимно просты. В самом деле, если /и g не взаимно просты,
то существуют такие ненулевые многочлены и и у, что
fu — gv, ст. и < ст. g, ст. v < ст. /.
Поскольку мы не предполагаем, что а0 Ф 0 и Ьо Ф 0, нельзя утвер-
утверждать, что ст. / = п и ст. g = m, но, во всяком случае,
ст. f ^.п, ст. g^C tn.
Поэтому многочлены и и у тем более удовлетворяют условиям (8),
а из существования таких многочленов так же, как и выше, следует,
что определитель (9) равен нулю.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое евклидово кольцо?
2. Почему кольцо многочленов над любым полем является евкли-
евклидовым кольцом?
3. Докажите единственность деления с остатком в кольце мно-
многочленов.
4. Опишите все идеалы кольца многочленов Р [х], где Р —
произвольное поле.
5. Какие многочлены являются ассоциированными элементами
кольца Р [х] ?
* 6. Пусть / — ненулевой идеал кольца Р[х). Докажите, что
любые два ненулевые многочлена наименьшей степени в идеале /
ассоциированы. "
46
7. Что такое наибольший общий делитель многочленов fu f2, ...
.... L €PW?
8. Докажите существование наибольшего общего делителя лю-
любых многочленов }и /2, ..., fm £ Р Ы.
9. Докажите, что наибольший общий делитель единствен с
точностью до ассоциированности.
10. Докажите, что если многочлен d является общим делите-
делителем многочленов fu /2, ..., fm и представляется в виде uji + u2f2 +
-f- ... + umfm, где ии u2, ..., ит — какие-то многочлены, то он явля-
является наибольшим общим делителем многочленов fu /2, ..., fm.
11.' Докажите, что наибольший общий делитель многочленов
/i. !ъ •••> fm является их общим делителем наибольшей степени.
12. Докажите, что всякий общий делитель наибольшей степени
многочленов /х, /2) ..., fm является их наибольшим общим дели-
делителем.
13. Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы
многочлен h допускал линейное выражение.через данные много-
многочлены /ь /2, ..., fm?
14. Что такое взаимно простые многочлены?
15. В чем состоит критерий взаимной простоты многочленов fu
/21 ••■> \т-
16. Для чего служит алгоритм Евклида?
17. Как найти наибольший общий делитель трех многочленов ?
18. Что такое наименьшее общее кратное нескольких много-
многочленов?
19. Докажите существование наименьшего общего кратного лю-
любых многочленов.
20. Докажите единственность (с точностью до ассоциирован-
ассоциированности) наименьшего общего кратного.
21. Докажите, что наименьшее общее кратное ненулевых много-
многочленов fu /2, ..., fm (: Р [х] является их ненулевым общим кратным
наименьшей степени.
22. Докажите, что всякое ненулевое общее кратное наименьшей
степени ненулевых многочленов fu /2, ..., fm к Р 1х] является их
наименьшим общим кратным.
23. Как связаны наибольший общий делитель и наименьшее об-
общее кратное двух многочленов?
24. Докажите формулу [/,,/2, ...,/m_i, U = [\fi, /2l .... fm~il U-
25. Что такое результант двух многочленов?
26. В каком случае результант двух многочленов обращается
в нуль?
Упражнения
1. Выполните деление с остатком в кольце R [xh
а) 2л:4 — Зг> + 4х2 — 5х + 6 на х% — Зх + 1;
б) х3 — Зх2 — х — 1 на Зх2 — 2л: + 1.
^ 47
2. Найдите наибольший общий делитель многочленов в кольце
R\xY.
а) л:4 + х3 — Зх2 — 4х — ] и х3 + х2 — х — 1;
б) л-6 + 2л:4 - 4л:3 - Зл:2 + 8х — 5 и хь + х2 — х + \.
3. Найдите наибольший общий делитель многочленов в кольце
Zp Ы:
а) хь + х* — х3 + х — 1 и х3 — х2 + х — 1, р = 3;
б) л:6 + х4 + * + 1 и хъ + х3 + х" + 1, р = 2.
4. С помощью, алгоритма Евклида найдите линейное выражение
наибольшего общего делителя двух многочленов из кольца R Ы:
а) х4 + 2х3 — х2 — 4х — 2 и х4 + х3 — х2 — 2х — 2;
б) Зх3 — 2х2 + х + 2 и х2 — х + \. '
5. Способом неопределенных коэффициентов найдите линейное
выражение многочлена h через взаимно простые многочлены /,
g £ R Ы.
а) / = л:4 — 4л:3 + 1, g = х3 — Зл;2 + 1, Л= 1;
б) / = л;4 — 2Х3 — Ах2 + 6х + 1, g = х3 — Ъх — 3, /i= x4;
в) / = Xs, g = (л: — IJ, /i= 2.v — 1;
г) / = (х - 1) (х - 2), g = х (х + 1) (л: + 2), Л= 1.
6. В кольце /? [х] найдите наименьшее общее кратное много-
многочленов:
а) хъ — 2л:4 + л:3 + 7л:2 — 12х_+ 10 и Зл;4 — 6х3_+ 5х2 + 2х— 2;
б) х4 — Юл;2 + 1 и х4 - 4 1/2л^ + 6л:2 + 4 ]/2л; + 1.
7. Вычислите результант двух многочленов с действительными
коэффициентами и выясните, являются ли они взаимно простыми:
а) Xs — Зх2 + 2х + \ и 2х2 — х — \;
б) 2х3 — Зх2 — х + 2 и х* — 2х2 — Зх + 4.
§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ
1. Основная теорема. Как и во всяком кольце главных идеа-
идеалов, в кольце Р [х\ многочленов над полем Р каждый необратимый
элемент может быть разложен на простые множители, причем это
разложение единственно с точностью до перестановки множителей
и замены их ассоциированными элементами (см. АТЧ III, п. 5 § 2
гл. II).
Напомним, что ненулевой элемент области целостности называ-
называется простым, если он необратим и не может быть разложен в про-
произведение двух необратимых элементов. Простые элементы кольца
Р [х] по традиции называются неприводимыми многочленами. По-
Поскольку необратимые элементы кольца Р Ы, отличные от нуля, —
это многочлены положительной степени, то неприводимый много-
многочлен — это такой многочлен положительной степени, который не
может быть разложен в произведение двух многочленов положи-
положительной степени. (Многочлен, который может быть раз-
разложен в произведение двух многочленов положительной степени,
называется приводимым). Можно также сказать, что неприводимый
48 -
многочлен — это такой многочлен положительной степени, который
не может быть разложен в произведение двух многочленов мень-
меньшей степени. В самом деле, если в разложении / = gh оба
множителя g, h имеют положительную степень, то каждый из них
имеет степень, меньшую, чем степень /, и обратно.
Учитывая это определение и смысл понятия «ассоциированность»
для многочленов, приходим к следующей теореме.
Теорема 1. Всякий многочлен f £ Р [х], не являющийся
элементом поля Р, может быть разложен в произведение непри-
неприводимых многочленов:
f = PlPz-Pm> A)
причем если f = цгцг ... qt — другое такое разложение, то I = m
и при подходящей нумерации множителей имеют место равенства
Ць = с-с Pi i1 = 1> 2. ■•■. '"). где с, € Р,с,ф 0.
Например, многочлен
/ = Зх4 + 5л:3 + 4х2 + х — 1
следующим образом разлагается на неприводимые множители в
кольце R Ы:
Равенство
также задает разложение многочлена / на неприводимые множители,
оно получается из первого разложения путем перестановки множи-
множителей и умножения их на числа —, 3 и 2 соответственно.
6
Если вынести за скобки старшие коэффициенты всех неприво-
неприводимых множителей какого-либо разложения многочлена f € Р Ы,
то многочлен / представится в виде
f = oplP2..pm(a£P, афО), B)
где ръ р2, ..., рт — нормированные неприводимые много-
многочлены. Такое представление многочлена / будем называть его
нормированным разлооюением на неприводимые множители.
Очевидно, что множитель а в формуле B) совпадает со старшим
коэффициентом многочлена / и. что нормированное разложение на
неприводимые множители единственно с точностью до перестановки
множителей.
В приведенном выше примере нормированное разложение на
неприводимые множители имеет вид
С+ 1) (Х* + Х+1).
2. Кратность неприводимого делителя. Пусть р — какой-нибудь
неприводимый делитель многочлена f € Р [х\. Может случиться,
49
что / делится не только на р, но и на р2 или даже на более высокую
степень р. Наибольшее из таких чисел k, что /.делится на р* , назы-
называется кратностью неприводимого делителя р многочлена /. Ины-
Иными словами, кратность равна k, если f делится на р* , но не делится
на р*+1. Если р — неприводимый многочлен, не являющийся дели-
делителем многочлена /, то удобно считать, что р — неприводимый де-
делитель кратности 0.
Сравнивая определение кратности неприводимого" делителя с
определением кратности корня, данным в п. 2 § 2 гл. I, мы видим,
что кратность корня ха многочлена /£ Р [х] есть не что иное, как
кратность неприводимого делителя х — х0 этого многочлена.
(Многочлен х — х0, очевидно, неприводим, так как не может быть
разложен в произведение двух многочленов положительной сте-
степени.)
Теорема 2. Кратность неприводимого делителя р многочле-
многочлена f равна числу множителей, ассоциированных с р, в любом разложе-
разложении многочлена f на неприводимые множители.
В частности, неприводимый многочлен р является делителем
многочлена / тогда и только тогда, когда разложение многочлена /
на неприводимые множители содержит хотя бы один множитель,
ассоциированный с р. Поэтому неприводимые делители многочлена /
называют также его неприводимыми множителями.
Доказательство. Предположим, что р — неприводимый
делитель кратности k многочлена /. Тогда
/ = P*/i, C)
где fx не делится на р. Разложим многочлен /х на неприводимые мно-
множители:
В этом разложении не будет множителей, ассоциированных с р.
Для многочлена / мы получим тогда разложение на неприводимые
множители:
в котором будет ровно k множителей, ассоциированных с р. В силу
теоремы 2 столько же множителей, ассоциированных с р, будет в
любом разложении многочлена / на неприводимые множители.
(Если ст. ft = 0, то равенство C) уже дает разложение многочле-
многочлена / на неприводимые множители и в нем имеется ровно k множи-
множителей, ассоциированных с р.)
3. Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены играют
роль, аналогичную роли простых чисел в арифметике. Естественно
поставить вопрос: какие же существуют неприводимые многочлены?
Ответ на этот вопрос зависит от поля Р, однако некоторые общие
соображения все же можно высказать.
Прежде всего, любой многочлен первой степени неприводим,
так как произведение двух многочленов положительной степени
50
всегда имеет степень ^ 2. Следовательно, разложение на линейные
множители, рассмотренное в п. 3 § 2 гл. I, является частным слу-
случаем разложения на неприводимые множители.
По теореме Безу многочлен, имеющий корень х0, делится "на
х — х0. Степень частного при 'этом, очевидно, будет на единицу
меньше степени самого многочлена. Поэтому всякий многочлен сте-
степени ^ 2, имеющий корень в поле Р, приводим. В главе IV будет
доказано, что всякий многочлен положительной степени над полем
С комплексных чисел имеет корень в С. Отсюда будет следовать,
что в кольце С \х] неприводимы только многочлены первой степени
и, значит, разложение на неприводимые множители является в этом
случае разложением на линейные множители.
В общем случае только часть неприводимых множителей в раз-
разложении многочлена / будет первой степени (или же таких множи-
множителей не будет вовсе). Из теоремы 2 следует, что множитель х — х0
присутствует в нормированном разложении многочлена f на не-
неприводимые множители тогда и только тогда, когда х0 — корень
многочлена f; при этом кратность множителя х — х0 равна крат-
кратности корня х0. Таким образом, число множителей первой степени
в разложении многочлена / на неприводимые множители равно чис-
числу его корней (с учетом кратностей).
Какие же все-таки существуют неприводимые многочлены, кро-
кроме многочленов первой степени? Для выяснения этого вопроса со-
сопоставим прежде всего следующие два свойства многочлена / €
€ Р Ы:
(I) / приводим;
(II) / имеет корень (в поле Р).
Выше уже отмечалось, что из (II) следует (I). Обратное, вообще
говоря, неверно. Например, многочлен х4 + 2хг + 1 = (х2 + IJ
приводим в кольце R [х\, но, очевидно, не имеет действительных
корней. Однако для многочленов степеней 2 и 3 из (I) следует (II),
потому что если такой многочлен f разлагается в произведение
двух многочленов положительной степени, то один из них непре-
непременно должен быть первой степени и, значит, многочлен / имеет
корень. Таким образом, многочлен степени 2 или 3 неприводим тогда
и только тогда, когда он не имеет корней (в поле Р).
Например, в кольце R [х] неприводим многочлен хг + 1 и
вообще всякий многочлен второй степени, не имеющий действитель-
действительных корней. В кольце Q Ы неприводим, например, многочлен х3 —
— 2, поскольку единственный действительный корень этого много-
многочлена иррационален.
В главе IV будет доказано, что в кольце R [х] неприводимы
только многочлены первой степени и многочлены второй сте-
степени, не имеющие действительных корней. Для кольца Q Ы си-
ситуация совершенно иная: в этом кольце существуют неприводимые
многочлены любой степени (см. гл. V).
Если поле Р конечно, то для любого п существует лишь
конечное число многочленов степени не выше п с коэффициентами
51
из Р, и поэтому неприводимые многочлены не выше любой заданной
степени могут быть найдены путем перебора, аналогично тому как
находятся простые числа, не превосходящие заданного числа.
Пример 1. Перечислим все неприводимые многочлены сте-
степени не выше 4 в кольце Z2 Ы и докажем, что в этом кольце суще-
существуют неприводимые многочлены пятой степени.
Прежде всего, неприводимы два многочлена первой степени:
х, х + 1.
Из многочленов выше первой степени нужно рассматривать только
такие, которые не имеют корней в поле Z 2. В поле Z 2 имеется всего
два элемента: 0 и 1 *. Условие / @) Ф 0 означает, что свободный
член многочлена /отличен от нуля. Условие f A) ф 0
означает,- что число отличных от нуля членов
многочлена f нечетно. Для многочленов второй и
третьей степени отсутствие корней, как мы знаем, обеспечивает
неприводимость. Таким образом, Из многочленов второй и третьей
степени неприводимы следующие:
Х2 + Х+\, Х3 + Х2 + \, Х3+Х+\.
Многочлены более высокой степени могут уже-быть приводимы-
приводимыми, не имея корней; однако в этом случае все их неприводимые
множители выше первой степени. В частности, из многочленов чет-
четвертой степени, не имеющих корней, приводим только один много-
многочлен, который является квадратом неприводимого многочлена вто-
второй степени. Это многочлен
(Х* + Х + 1)г =Х* + Х2+ 1.
Оставшиеся три многочлена
xi + х3 + х2 + х + 1, х* + х* + 1, ж4 + х + 1
неприводимы.
Из многочленов пятой степени, не имеющих корней, приводимы
только два многочлена, которые разлагаются в произведение не-
неприводимого многочлена второй степени и одного из неприводимых
многочленов третьей степени. Число многочленов пятой степени,
не имеющих корней, равно 8. В самом деле, коэффициент
при хь и свободный член каждого такого многочлена равны 1;
коэффициенты при х4, Xs и хг могут быть заданы произвольно во-
восемью различными способами, после чего коэффициент при х. одно-
однозначно определяется из условия, что число всех ненулевых коэф-
коэффициентов нечетно. Следовательно, число неприводимых
многочленов пятой степени равно 8 — 2 = 6.
Так же, как доказывается бесконечность множества простых чисел, может
быть доказана бесконечность множества нормированных неприводимых многочле-
многочленов над любым полем Р. Предположим, что таких многочленов имеется конечное
число, и пусть pi, рг, ..., рп— все эти многочлены. Рассмотрим ыногочлен/ =
* Мы опускаем черту в обозначениях элементов поля Z2.
52
=pip2 ... pn + 1. Всякий многочлен положительной степени должен делиться
на какой-нибудь неприводимый многочлен, однако многочлен / не делится ни на
один из .многочленов р\, р2, ..., р„. Полученное противоречие показывает, что
сделанное допущение о конечности множества неприводимых многочленов не-
неверно. Заметим, что доказанное утверждение представляет интерес только для
конечного поля Р, поскольку если поле Р бесконечно, то имеется беско-
бесконечно много нормированных неприводимых многочленов первой степени.
Можно показать, что точное число нормированных неприводимых много-
многочленов степени п над конечным полем из q элементов равно
1 / V^ — '%"~Ч " "
i i < /
где pi, р2, ..., ps— различные простые множители числа п.
4. Отыскание наибольшего общего делителя и наименьшего
общего кратного при помощи разложения на неприводимые мно-
множители. Зная разложение многочлена f на неприводимые множи-
множители, легко найти все его делители. А именно: пусть
/ = ap^pfy... pks (a£P, афО) — D)
нормированное разложение многочлена / на неприводимые множи-
'тели. Тогда всякий делитель d многочлена / имеет вид
d = ерр р™>... рть* @ < tnt < klt c£P, сф 0). E)
В самом деле, пусть f = fid. Разложив f1 и d на нормированные не-
неприводимые множители, получим разложение на нормированные
неприводимые множители самого многочлена /. В силу теоремы 1,
оно должно совпадать с разложением D). Отсюда следует, что в
разложение многочлена d могут входить только неприводимые мно-
многочлены pt, p2, ..., ps, причем кратность множителя pt не должна
быть больше ki .
Если известны разложения многочленов f и g на неприводимые
множители, то наибольший общий делитель d = (/, g) может быть
найден так же, как для целых чисел (АТЧ III, п. 2 § 5 гл. I), по
следующему правилу: в его разложение на неприводимые множи-
множители входят те и только те неприводимые многочлены, которые
участвуют в разложении /ив разложении g, причем кратность каж-
каждого такого множителя р в разложении d равна минимуму из крат-
ностей р в разложениях / и g. Если добавить к разложениям f и g
множители в нулевых степенях таким образом, чтобы формально
в обоих разложениях участвовали одни и те же неприводимые мно-
многочлены, то это правило может быть представлено следующим
образом. Пусть
{a, b£P, a, bФ0); F)
... pr*s, G)
53
тогда
где mi =
1
min
•/у
{kt,
(/.
k).
g
g)
= bp\>
= d =
Pi'-
= P"h
Для того чтобы обосновать это правило, заметим прежде всего,
что многочлен d, определенный формулой G), делит / и g. С другой
стороны, из приведенного выше описания делителей многочлена /
и аналогичного описания делителей многочлена g ясно, что всякий
их общий делитель h содержит в своем, разложении только непри-
неприводимые множители ръ р2, .... ps, причем с кратностями, не пре-
превосходящими тъ т2, ..., tns соответственно, и, следовательно, h
делит d. Таким образом, d — действительно наибольший общий де-
делитель многочленов fug.
Пример 2. В кольце R [х] найдем наибольший общий дели-
делитель d многочленов.
/ = х (х + IK (х - IJ (х2 + 1), g = (х + IJ (х - If (х - 3) (х2 + IJ.
Согласно сформулированному выше правилу (и учитывая, что
многочлен х2 + 1 неприводим в кольце R [х]) находим:
Вышеописанный способ нахождения наибольшего общего дели-
делителя многочленов / и g может быть применен и тогда, когда извест-
известно разложение на неприводимые множители лишь одного из них,
скажем, многочлена /. В самом деле, пусть разложение многочле-
многочлена / на неприводимые множители имеет вид D). Для определения
наибольшего общего делителя d = (/, g) достаточно знать, с ка-
какими кратностями участвуют в разложении g известные неприводи-
неприводимые многочлены ръ р2, ..., ps, а это легко выяснить с помощью тео-
теоремы 2.
ПримерЗ. В кольце Q [х] найдем наибольший общий дели-
делитель многочленов
/ = {Xs — 2J (х2 + 1) (х + IJ, g = х9 — Зх8 — 2.
Многочлен / задан своим разложением на неприводимые множи-
множители. Испытывая их поочередно, убеждаемся, что g делится на х3 —
— 2, но не делится на (х3 — 2J, не делится на хг + 1 и делится на
(х + IJ. Следовательно,
Заметим, что в предыдущем примере наибольший общий делитель не изме-
изменится, если мы будем рассматривать fug как элементы кольца R [х] или С [х]
(см. п. 7 § 1).
Аналогично можно найти наименьшее общее кратное двух мно-
многочленов. Если многочлены / и g заданы формулами F), то
[/, g] = <• Р2М* - pS
где Mt = max {kt , lt }.
Следует, однако, иметь в виду, что, в отличие от целых чисел,
найти разложение многочлена на неприводимые множители, как
правило, гораздо труднее, чем найти наибольший общий делитель
двух многочленов при помощи алгоритма Евклида. Поэтому разо-
54
бранный в этом пункте способ нахождения наибольшего общего
делителя и наименьшего общего кратного двух многочленов имеет
ограниченное применение.
5. Производная многочлена. В курсе математического анализа
доказывается, что производная многочлена есть снова многочлен,
причем если
/ (х) =ао + ахх + а2х2 + ... + апхп, (8)
то
V (х) = ах + 2агх + ... + папхп~\ (9)
В применении к многочленам с коэффициентами из произволь-
произвольного поля Р определение производной, даваемое в математическом
анализе, теряет смысл, так как оно опирается на понятие предела.
Остается другой, формальный путь: принять формулу (9) за о п р е-
деление производной, подобно тому как в п. 2 § 1 мы приняли
формулы D), F) и G) за определение суммы и произведения много-
многочленов.
Итак, для многочлена f (х) £ Р Ы, задаваемого формулой (8),
мы определяем его производную f (x) по формуле (9). Коэффициент
kak при хк^в этой формуле следует понимать как
k раз k раз
(см. АТЧ III, п. 4 § 1 гл. II).
Если характеристика поля Р равна нулю (АТЧ III, п. 6 § 1
гл. II), то
1 + 1 + ■■■ + \ФО
к раз
для любого k > 0 и, значит, kak Ф 0 при ак Ф 0. В этом случае
производная многочлена степени п ^ 1 является многочленом сте-
степени п — 1.
Напротив, если характеристика поля Р положительна, степень многочлена
при дифференцировании может уменьшиться больше чем на единицу. Может
даже случиться, что производная многочлена положительной степени будет ну-
нулевым многочленом. Например, пусть
f{x) = Xе + x>+l£Z3lx].
Тогда __ ___ ___
/' (х) = (Т +Т + Т + 1 + Т+ Г) х6 + A + Г+ Г) х2 - 0.
Докажем некоторые свойства дифференцирования многочленов.
1°. Множитель с, принадлежащий кольцу К, можно вынести за
знак дифференцирования.
Пусть многочлен / (х) задается формулой (8). Тогда
(cf {х)У - сах + 2са2х + ... + псапхп~х = cf (x),
что и требовалось доказать.
55
2°. Производная суммы нескольких многочленов равна сумме их
производных.
Достаточно доказать это свойство для суммы двух многочленов.
Пусть
/ (х) ■= а0 + ахх + а.2х2+ ... + апхп,
.$ (х) = b0 + bxx + b2x* + ... + Ьтхт.
Тогда . -
f(x)+g (х) = (а0 + Ьо) + (а, + Ь1)х + (аг+Ьг) х* + ... + (ар + Ър) х',
где р — max {n, т), и
(f(x)+g (х)У = (a, +bJ+2 (да + b2) x + ... + р(ар + bp) xp^ =
= (а, + 2а2х + ... + рарх"^) + (Ь, + 2Ь2х + ... + pb^'1) =
= V (х) + g' (х). *
(Как обычно, считается, что ak =0 при k>n и bt =0 при k>tn.)
3°. Для производной произведения двух многочленов справедлива
формула
(/ (х) g (х)У = V (х) g(x)+f (х) g' (х).
Многочлен /' (х) g (x) равен сумме всевозможных произведений
uv, где и — член многочлена / (х), v — член многочлена g (x).
Запишем это следующим образом:
/(*)£(*)=> 2 ИО.
Согласно свойству 2° имеем:
(/(*)£(*))'= 2 (и»)'-
В то же время
V (х) g (х) = 2 u'v и f (х) g' (х) = 2 uv'.
Поэтому достаточно проверить, что (uv)' = u'v + «и' для любых
и, у, т. е. доказать свойство 3° для одночленов. При этом
свойство 1° позволяет свести проверку к случаю одночленов с коэф-
коэффициентами, равными единице. В этом случае проверка проводится,
следующим образом:
(хп ■ хт)' = (хп+ту = (п + т)
= пхп~х ■ хт + хп ■ тх'1 = (хп)' ■ х
т
Наше утверждение доказано.
Как и в математическом анализе, из свойства 3° выводится сле-
следующая формула дифференцирования' произведения любого числа
множителей:
(Л (х) !2 (х)... fn (х)У = h (хУ U (х)... fn (х) +
+ /i (x)U (х)'... /„ (х) + ... + f, (x) U (x) .../„ (х)'. A0)
56
Частным случаем этой формулы является формула дифференцирова-
дифференцирования степени:
(/(*)«)'= п/(я)*-'/(*)'. A1)
Таким образом, определенная нами операция дифференцирова-
дифференцирования многочленов над произвольным полем обладает некоторыми
свойствами дифференцирования функций действительной перемен-
переменной.
Можно определить дифференцирование многочленов аксиомати-
аксиоматически, потребовав выполнения свойств 1° — 3° и свойства х' = 1. Из этих че-
четырех свойств так же, как в курсе математического анализа, выводится формула
(9).
Производная от производной многочлена / (х) называется его
второй производной и обозначается через /" {х). Производная от
второй производной называется третьей производной и т. д. Для
m-й производной используется обозначение /<т) (х). Так как при
каждом дифференцировании степень многочлена понижается, то
(п + 1)-я производная любого многочлена степени п равна нулю.
6. Изменение кратности неприводимого делителя при диффе-
дифференцировании многочлена. Введенное в предыдущем пункте понятие
производной многочлена над произвольным полем может быть при-
применено к исследованию кратности неприводимых делителей.
Во всех оставшихся пунктах этого параграфа мы будем пред-
предполагать, что Р — поле нулевой характеристи-
к и. При этом предположении справедливо следующее утвержде-
утверждение:
Теорема 3. Если р — неприводимый делитель кратности
k ^ 1 многочлена f G Р 1х], то р является неприводимым делителем
кратности k — 1 производной /' многочлена f. (В частности, если
k = 1, то /' не делится на р.)
Доказательство. Многочлен / может быть представлен
в виде / = рк h, где 1г[не делится на р. Дифференцируя это равенство,
получаем:
/' = kp*-lp'h + pkh' = р* (kp'h -f ph').
Докажем, что многочлен, стоящий в скобках, не делится на р.
Так как второе слагаемое делится на р, то достаточно доказать,
что kp'h не делится на р.
Поскольку характеристика поля Р равна нулю, р' — ненулевой
многочлен, степень которого (на единицу) меньше степени р. Сле-
Следовательно, р' не делится на р. Так как р — неприводимый
многочлен и Л тоже не делится на р, то и произведение p'h
не делится на р. Многочлен kp'h равен произведению многочлена
p'h на ненулевой элемент 1 + 1 + ... -f- 1 поля Р и, значит, также
k раз
не делится на р.
Таким образом, /' делится на р*~\ но не делится на pk . Это и
означает, что р является неприводимым делителем кратности k — 1
многочлена f. Теорема доказана.
57
Неприводимый делитель р многочлена / называется кратным,
если его кратность больше единицы.
Следствие 1. Многочлен f £ Р Ы не имеет кратных не-
неприводимых делителей тогда и только тогда, когда он взаимно прост
со своей производной.
Доказательство. Если многочлен f имеет кратный не-
неприводимый делитель р, то из предыдущей теоремы следует, что
р делит /' и, ста то быть, (/, /') Ф 1. Обратно, если (/, f) ф 1, то
/ и /' имеют хотя бы один общий неприводимый делитель р. При этом
р должен быть кратным делителем многочлена f, так как ина-
иначе, согласно той же теореме, он не был бы делителем производной.
Следствие 1 позволяет сделать вывод, что многочлен f 6 Р [х], не имеющий
кратных неприводимых делителей, сохраняет это свойство при любом расширении
поля Р (хотя сами неприводимые делители, вообще говоря, будут другими). В
самом деле, наибольший общий делитель не меняется при расширении поля
(см п. 3 § 1), так что если (/, /') = 1 в кольце Р [х], то это же остается верным
и в кольце L [х], где L— любое расширение поля Р.
Применяя теорему 3 к неприводимому делителю вида х — х0,
получаем такое следствие:
Следствие 2. Если х0 — корень кратности k ^ 1 многочле-
многочлена / £ Р \х], то х0 будет корнем кратности k — 1 производной f
этого многочлена.
В частности, х0 — кратный корень (т. е. k > 1) тогда и
только тогда, когда f (х0) = 0.
Например, число 2 является корнем многочлена
/ (к) = х3 — 2х% — Ах + 8 £ R [х].
Имеем:
f {x) = 3x — 4х — 4,
откуда f B) = 0. Это означает, что число 2 является кратным кор-
корнем многочлена / (х).
7. Выделение кратных неприводимых множителей. Пусть разло-
разложение многочлена / £ Р [х] на неприводимые множители имеет
вид
/ *^ аф% A2)
где рх, р2, ..', ps— неассоциированные неприводимые
многочлены, причем числа kx, k2, ..., ks отличны от нуля. По тео-
теореме 2, многочлены plt рг, ..., ps являются неприводимыми делите-
делителями многочлена / кратностей kly k2, ..., ks соответственно. Теоре-
Теорема 3 позволяет утверждать, что р1( р2, ..., ps — неприводимые
делители производной /' многочлена f кратностей kx — \,кг — 1,...,
..., ks — 1 соответственно. (Если kl = 1 для какого-то i, то р< —
неприводимый делитель производной /' кратности 0, т. е. рь вообще
не является делителем /'.) Отсюда следует, что наибольший общий
делитель многочленов / и /' имеет вид,.
(f, Р) = Ьр^-1 р*.-» ...pV-i ф$Р, ЬФ0). A3)
58
Например, если / = архрчрьр\, то
(Л Л =
Таким образом, неприводимые множители многочлена (Д /') —
это в точности кратные неприводимые множители многочлена f.
Существенно то, что многочлен (/, /') может быть найден без разло-
разложения / на неприводимые множители, а именно при помощи алго-
алгоритма Евклида. Для определения всех кратных неприводимых
множителей многочлена / достаточно разложить на неприводимые
множители многочлен (/, f), степень которого меньше степени /.
Процедура отыскания наибольшего общего делителя многочле-
многочленов f и /' называется выделением кратных неприводимых множите-
множителей многочлена f.
Из формул A2) и A3) следует, что многочлен
7=-i— A4)
имеет следующее разложение на неприводимые множители:
^7=cp1p2...ps(c£P, сфО). A5)
Иными словами, / имеет те же неприводимые множители, что и /,
но все однократные. Нахождение многочлена / называется осво-
освобождением многочлена f от кратных неприводимых множителей.
Пример 4. Выделим кратные неприводимые множители мно-
многочлена
/ = xs — хв — 2хъ + 2х3 + х2 — 1 £ R [х].
Дифференцируя / и вынося 2х за скобки, получаем:
Г = %xg,
где g = 4хв — 3xi — 5л:8 + Зх + 1.
Так как / не делится на х, то (/, /') = (/, g). С помощью алгорит-
алгоритма Евклида находим, что (/, g) = х* — х3 — х + 1. .Таким обра-
образом,
(Л Л *= x*-xs-x + 1 = {Xs— 1) (х— 1) = (хг + х + 1) (х- IJ.
Отсюда следует, что кратными неприводимыми множителями много-
многочлена / являются х% + х + 1 (кратности 2) их — 1 (кратности 3).
Разделив / на (г5 + х + IJ (х — IK, можно получить полное раз-
разложение / на неприводимые множители:
/ = (r! + x+lK(*-lK(x+l).
Так как корни многочлена соответствуют его неприводимым
множителям первой степени, то корни многочлена (/, /') — это
в точности кратные корни многочлена /. Поэтому выделение крат-
кратных неприводимых множителей является в то же время выделе-
выделением кратных корней
Пример 5. Найдем кратные корни многочлена
t = xi 4- 8л:3 — х2 — 68* — 84.
59
Имеем:
' f = 2Bxa+\2x2 — x — 34),
(Л f') = x + 2.
Многочлен х + 2 имеет корень х0 = —2. Это и есть кратный корень
многочлена" / (кратности 2). (Остальные корни можно н^йти, разде-
разделив / на (х + 2J.)
Если производную /' многочлена f удается разложить на не-
неприводимые множители (например, если удается найти ее корни),
то наибольший общий делитель f и /' может быть найден способом,
описанным в п. 4.
Пример 6. Выясним, при каких а многочлен
/ = хъ + хг — 8л; + a £ R [х\
имеет кратный корень.
Имеем: /' = Зх2 + 2л; — 8;
корни /' суть х1 = —2, хг = —. Подставляя эти значения в f,
О
находим, что / (л^) = 0 при a = —12, а / (х2) = 0 при a = —.
Это и будут искомые значения а. (При а = —12 многочлен / имеет
о 176 - 4 \
двукратный корень — z; при а — двукратный корень —.
8. Дискриминант. Будем по-прежнему предполагать, что ха-
характеристика поля равна нулю. В тех случаях, когда достаточно
бывает выяснить только сам факт наличия или отсутствия у много-
многочлена кратных неприводимых множителей, можно воспользоваться
результантом (см. п. 6 § 1). В самом деле, многочлен f имеет крат-
кратные неприводимые множители тогда й только тогда, когда / и /'
не взаимно просты, необходимым и достаточным условием чего; в
свою очередь, является условие R (/, /') = 0. Элемент поля Р,
определяемый равенством
п(п— 1)
D{f) = {-\) 2 atR{f, П A6)
называется дискриминантом многочлена /. Из наших рассуждений
следует такое утверждение:
Теорема 4. Многочлен f Z Р 1х] имеет кратный неприво-
неприводимый множитель тогда и только тогда, когда его дискриминант
равен нулю.
Вычислим в общем виде дискриминанты многочленов второй и
третьей степени.
Для многочлена второй степени
/ = айхъ + агх
дискриминант имеет вид
а0 аг
2а0 ах
0 2а0
A7)
60
0
Зо0
0
0
2a,
0°
ax
2aa
3«0
a2
0
fl2
2a,
fl3
0
0
ai
Зто выражение совпадает с тем, что в школьной алгебре называют
дискриминантом квадратного трехчлена.
Для многочлена третьей степени
/ = я0*3 - avx2 + агх + а3
дискриминант имеет вид
Qn (Ал Qn tto \J
A8)
Пример 7. Решим пример 6 при помощи дискриминанта.
Так как кратный неприводимый множитель многочлена третьей
степени может^быть только первой степени, то наличие такого
множителя у данного многочлена f равносильно наличию у него
кратного корня в поле Р. По формуле A8) находим дискриминант:
D (/) =— 27а2 — 148а + 2112.
Приравнивая его нулю, находим два значения а: ах = —12, а% =
176
27
Вопросы для самопроверки
1. Что такое неприводимый многочлен?
2. Что такое нормированное разложение многочлена на непри-
неприводимые множители?
3. Что такое кратность неприводимого делителя многочлена?
4. Как определить кратность данного неприводимого делителя
многочлена /, зная разложение многочлена f на неприводимые мно-
множители?
5. Докажите, что многочлен третьей степени, не имеющий корня
в данном поле, неприводим.
6. Приведите пример приводимого многочлена четвертой степе-
степени в кольце R [х], не имеющего действительных корней.
7. Какова в общем случае связь между разложением на непри-
неприводимые множители и корнями многочлена?
8. Как найти все делители многочлена, если известно его раз-
разложение на неприводимые множители? Дайте строгое обоснование
этого способа.
9. Как найти наибольший общий делитель нескольких много-
многочленов, если известно разложение каждого из них на неприводимые
множители?
10. Как найти наибольший общий делитель двух многочленов,
если известно разложение одного из них на неприводимые множи-
множители?
61
11. Как определяется производная многочлена?
12. Докажите формулу дифференцирования произведения двух
многочленов.
13. Докажите, что при дифференцировании многочлена над по-
полем нулевой характеристики кратность каждого неприводимого де-
делителя уменьшается на единицу. Где в этом доказательстве исполь-
используется, что характеристика поля равна нулю?
14. Пусть х0 — корень многочлена f (х) £ Р [х], где Р — поле
нулевой характеристики. Докажите, что кратность корня х0 рав-
равна k тогда и только тогда, когда
Г (*о) = /" (*о) = - = f* (*о) = 0, /<*> (*„) Ф 0.
15. Сформулируйте критерий того, что данный многочлен над
полем нулевой характеристики не имеет кратных неприводимых
множителей.
16. Что такое выделение кратных неприводимых множителей?
17. Как, не зная корней многочлена /, построить многочлен,
имеющий те же корни, что и /, но все однократные?
/ Упражнения
1. Перечислите все нормированные неприводимые многочлены
степени не выше 3 в кольце Z3 \x\ и докажите существование непри-
неприводимых многочленов четвертой степени.
2. Сколько нормированных неприводимых многочленов третьей
степени имеется в кольце Zblx]?
3. В кольце Q [х] найдите наибольший общий делитель много-
многочленов:
а) х3 (х3 — 2J (х2 — 3) и х (х2 + IJ (г* — 2);
б) (х4 — 4) (х2 — 2) и (х2 + 2J (х4 + 4).
4. В кольце С 1х\ найдите наибольший общий делитель много-
многочленов:
"а) (х — IJ (х — 2J (х + 0 и х6 — 2х3 + 2х2 — Зх + 2;
б)"хв— 1 и х14 — х + 1.
5. Выделите кратные неприводимые множители многочлена:
а) f = хъ — 6х4 + 16х3 — 24х2 + 20х — 8;
б) / = хв — 15х4 + 8х3 + 51х2 — 72х + 27.
6. Найдите кратные корни многочлена / £ С Ы:
а) / = хъ — Юх3 — 20х2 — 15х — 4;
б) / = х1 — Зхв + 5х5 — 7х4 + 7х3 — 5х2 + Зх — 1.
7. Определите, при каких значениях а многочлен / £ R [х]
имеет кратный корень:
а) / = х3 — Зх + а;
б) / = *3 _ 8х2 + A3 — а)х — F + 2а).
62
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ НАД КОЛЬЦОМ С ОДНОЗНАЧНЫМ РАЗЛОЖЕНИЕМ
НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
1. Деление с остатком многочленов над кольцом. В § 1, 2 этой
главы рассматривались многочлены над полем. Полученные там
результаты перестают быть справедливыми для многочленов над
произвольной областью целостности. Это объясняется прежде все-
всего тем, что в кольце многочленов над произвольной областью цело-
целостности деление с остатком не всегда выполнимо. Рассмотрим этот
вопрос более подробно.
Пусть
f = aoxn + a1xn-1 + ... + an,
g = \хт + Ьххт~\ + ... + Ът -
многочлены с коэффициентами из области целостности К, причем
а0 ф 0, Ьоф 0. Обозначим через Р поле отношений кольца К (см.
АТЧ III, п. 5 § 3 гл. II). Рассматривая / и g как элементы кольца
Р [х], мы можем выполнить деление / на g с остатком, т. е. найти
такие многочлены q, г £ Р [х], что / = qg + г и ст. г < ст. g.
Известно также, что такая пара многочленов q, r единственна.
Отсюда следует, что если указанное деление с остатком выполнимо
в кольце К [х], то его результат будет тот же, что и в кольце Р [х],
т. е. получится то же неполное частное q и тот же остаток г (но толь-
только в этом случае q,.r €, К Ы).
В общем случае многочлены q и г могут и не принадлежать
кольцу К [х\: например, при п ^ т, для того чтобы q, г £ К Ы,
необходимо, чтобы элемент а0 делился на Ьо в кольце К- Однако
если f делится на Ьп—т+1 (при п ^ т), то деление на Ьо, которое в про-
процессе деления с остатком будет выполнено п — т + 1 раз, не вы-
выведет за пределы кольца К. (Если п < т, то q = 0, г = /, так что
деление с остатком выполнимо в кольце К [xh) В частности, деле-
деление с остатком выполнимо в кольце К [х], если Ьо — обратимый
элемент кольца К-
Из-за ограниченной возможности деления с остатком теория
делимости в кольце многочленов над произвольной областью целост-
целостности не может быть построена так, как это было сделано в кольце
многочленов над полем. Тем не менее оказывается, что если в коль-
кольце К имеет место однозначное разложение на простые множители
(как, например, в кольце Z целых чисел), то и кольцо К \х\ обла-
обладает этим свойством (хотя, вообще говоря, не является кольцом
главных идеалов). Доказательству этого факта и посвящен настоя-
настоящий параграф.
Можно показать, что кольцо К М является кольцом главных идеалов толь-
ков том случае, когда К — поле. В самом деле, если К. — не поле, то существует
необратимый элемент а£ К. Рассмотрим совокупность / многочленов с коэффи-
коэффициентами из К, свободный член которых делится на а. Легко видеть, что это
идеал кольца К. [х]. Он содержит многочлены аи х. Если бы идеал / был главным,
то многочлен d, его порождающий, был бы общим делителем а и х. Всякий де-
63
Литель'многочлена а есть многочлен нулевой степени, т. е. элемент кольца К.
Таким -образом, d — элемент кольца К. Так как он принадлежит идеалу /, то
он делится на о; но тогда и х делится на а, что очевидно не соответствует дейст-
действительности. Следовательно, идеал / не является главным.
2. Факториальные кольца. В кольце целых чисел, а также в
кольце многочленов над полем и вообще в любом кольце главных
идеалов имеет место однозначное разложение на простые множи-
множители. Как мы увидим, ниже, существуют кольца, обладающие этим
свойством, но не являющиеся кольцами главных идеалов, например
кольцо многочленов с целыми коэффициентами Ввиду этого ока-
оказывается полезным ввести общее понятие кольца с однозначным раз-
разложением на простые множители и исследовать свойства делимости
в таких кольцах.
Область целостности К называется факториальным
кольцом, если в ней всякий необратимый элемент может быть
разложен на простые множители, причем это разложение един-
единственно с точностью до перестановки множителей и замены их ас-
ассоциированными элементами
Ряд свойств делимости, имеющих место для колец главных идеа-
идеалов, остается справедливым и для произвольных факториальных
колец Рассмотрим некоторые из этих свойств.
1°. Простыми делителями необратимого элемента а являются,
с точностью до ассоциированности, те и только те простые эле-
элементы, которые входят в его разложение на простые множители.
Очевидно, что простые элементы, входящие в разложение эле-
элемента а на простые множители, являются его делителями. Обрат-
Обратно, пусть р — простой делитель элемента а и пусть а = pb. Если
Ь — обратимый элемент, то а - простой элемент, ассоциированный
с р Если Ь — необратимый элемент, то, разложив Ъ на простые
множители и домножив это разложение на р, получим разложение
элемента а на простые множители, один из которых равен р. Ввиду
единственности разложения на простые множители в кольце К
элемент р или ассоциированный с ним элемент должен входить во
всякое разложение а на простые множители.
2°. Если произведение ахаг ... ап делится на простой элемент р,
то хотя бы один из элементов аъ а.г, ..., ап делится на р.
В самом деле, разложим на простые множители каждый из ле-
ментов aL, a2, ..., ап (кроме тех, которые обратимы). Произведение
этих разложений даст разложение на простые множители элемента
яха2 ... а„. В силу свойства 1° оно должно содержать множитель,
ассоциированный с р Этот множитель входит в разложение одного
из элементов аъ а2, ..., ап, который, стало быть, делится на р
Элементы ах+ аг, ..., а-п факториального кольца называются
взаимно простыми (в совокупности), если они не имеют общего не-
необратимого делителя Так как у всякого необратимого элемента
есть простой делитель, то взаимная простота элементов аг, а2, ...
..., ап может также пониматься как отсутствие у них общего про-
простого делителя, а в силу свойства 1° это равносильно тому, что
64
в разложениях этих элементов на простые множители нет общего
(с точностью до ассоциированности) множителя.
3. Примитивные многочлены. Пусть К — фактор нал ь-
ное кольцо. Многочлен / £/( \х\ называется примитивным.
если его коэффициенты взаимно просты или, что то же самое, если
он не делится в кольце К \х\ ни на какой необратимый элемент
кольца К
Например, многочлен 6х2 + Юх — 15 £Z [x] примитивен, а
многочлен 6л:2 + Юх + 4 не примитивен, так как он делится на 2.
Докажем ряд лемм о примитивных многочленах.
Л е м м а 1 (л е м м а Г а у с с а). Произведение примитивных
многочленов кольца К [х] есть примитивный многочлен.
Доказател ьство. Достаточно доказать, что произве-
произведение двух примитивных многочленов f, g €K U'l есть примитив-
примитивный многочлен. Предположим, что это не так. Тогда коэффициенты
многочлена fg имеют общий простой делитель, скажем, р.
Пусть
f = ao + a1x + я2х2 + ... + а„ хп,
g = b0 + blX + fc2x2 + ... + bmxm.
Так как многочлен f примитивен, то не гее его коэффициенты де
лятся на р. Пусть k — наибольшее из таких чисел, что ak не де
лится на р. Это означает, что а/гне делится на р, а все коэффициенты
ak+i> а/г+2' ••■. ап делятся на р. Аналогично, пусть / — такое число,
что Ь, не делится на р, а bl+l, bl+2, ..., bm делятся на р.
Рассмотрим коэффициент при х'ы многочлена fg. Он имеет вид
ck+i = aA + (ak+ibi-i + %+2&/-2 + ■•■) + (ak-ib/+1 + afe-2&/+2 + •••)■
Первое выражение, заключенное в скобки, делится на р, так как
flft+i, Я/г+2> ••• делятся на р. Аналогично, второе выражение, заклю-
заключенное в скобки, делится на р, так как bl+1, bl+2, ... делятся на р.
Что касается произведения ak bh то в силу свойства 2° факториаль-
ных колец оно не делится на р. Следовательно, и сл+/ не делится на
р, что противоречит нашему предположению. Тем самым лемма
доказана.
Лемма 2. Всякий многочлен f £ К 1х] может быть представ-
представлен в виде f — af, где а €К, а f — примитивный многочлен.
Доказательство. Разложим коэффициенты многочле-
многочлена f на простые множители в кольце К и вынесем за скобки «общую
часть» а этих разложений. Например, многочлен
f = 756х2 — 240л: + 156 = 22 • З3 • 7х2 — 24 • 3 • 5х + 22 • 3 • 13
представим в виде
/ = 22 • 3 (З2 • 7х2 — 22 ■ 5л: + 13) = 12 F3х2 — 20х + 13).
В общем случае получим f = af, где коэффициенты многочлена /
уже не имеют общих простых множителей и, следовательно, вза-
взаимно просты. Лемма 'доказана.
3 Заказ 98 g5
Введем теперь в рассмотрение поле отношений кольца К. Обо-
Обозначим его через Р.
Л е м м а 3. Всякий многочлен f 6 Р [х\ может быть представ-
представлен в виде f = cf, где с € Р, a f — примитивный многочлен из коль-
кольца к ы.
Доказательство. Пусть
/ = аЛ хп + <h xn-l + ___ + ай=,х + ^
где й{ , be С К (i = 0, 1, ..., п). Обозначим через b какое-нибудь об-
общее кратное элементов b0, bu ..., Ьп в кольце К (например, их про-
произведение). Очевидно, что bf £/(Ы. По лемме 2 многочлен bf
может быть представлен в виде bf = af, где а 6 К, а / — примитив-
примитивный многочлен из кольца К Ы. Имеем тогда: f — — f, что и являет-
Ь
ся- искомым представлением многочлена /.
Например, если К есть кольцо целых чисел и
. 7 . , и , 81
то представление многочлена /, о котором говорится в лемме 2,
получается в результате следующих преобразований:
A0х
G0х + 84л; + 315) A0х»+ 12л; + 45).
оО 30
Лемма 4. Если примитивные многочлены /, g $/(Ы ассо-
ассоциированы в кольце Р [х], то они ассоциированы и в кольце К 1х].
Доказательство. Пусть f -■ — g, где а, Ь £ К, а ^ О,
ь
/i^O. Можно предположить, что а и b не имеют общих простых мно-
множителей, так как иначе дробь — могла бы быть сокращена. Дока-
b
жем, что при этом предположении элементы а и b должны быть.обра-
тимы в кольце К- Рассуждая от противного, допустим, например,
что элемент а не обратим. Обозначим через р какой-нибудь его про-
простой множитель. Тогда из равенства bf «=» ag следует, что все коэф-
коэффициенты многочлена bf делятся на р, но так как Ь не делится на р,
то все коэффициенты многочлена / должны в этом случае делиться
на р, а это противоречит примитивности многочлена /. Стало быть,
а — обратимый элемент. Аналогично доказывается обратимость
элемента Ь. Из обратимости а и b следует, что — также обратимый
ь
элемент кольца К и, значит, многочлены fug ассоциированы в
кольце К [х].
.4. Разложение на простые множители. Обратимся к вопросу о
разложении на простые множители в кольце К W, где К — факто-
факториал ьное кольцо.
66
Сделаем некоторые предварительные замечания. Очевидно, что
произведение двух многочленов f, g £ К Ы может быть ненулевым
элементом кольца К (в частности, единицей) только в том случае,
когда f, g € К. Отсюда следует, что обратимыми элементами в коль-
кольце К [х] являются только обратимые элементы кольца К- По той
же причине простые элементы кольца К являются простыми эле-
элементами и в кольце К \х\.
Как и в предыдущем пункте, мы будем рассматривать поле
отношений кольца К, которое будем обозначать через Р.
Согласно теореме 1 § 2, кольцо Р [х\ факториально. Мы будем ис-
использовать это обстоятельство, сравнивая разложения на множи-
множители в кольце К \х\ и в кольце Р [х\.
Имеет место следующая важная теорема:
Теорема 1. Пусть f £ К \х] — многочлен положительной
етепени. Если он не может быть разложен в произведение двух мно-
многочленов положительной степени в кольце К 1х], то он не допускает
такого разложения и в кольце Р [х], т. е. является неприводимым
многочленом в Р [х].
Доказательство. Будем рассуждать от противного.
Предположим, что / = ftfit где Д и /2 — многочлены положитель-
ной степени с коэффициентами из поля Р. По лемме 3, f1 = cju
/2 = Cs/г» гДе ci> С2 £ Р> а /i> /2 — примитивные многочлены из коль-
кольца К [х]. Имеем тогда:
f = (СгсЛХ A)
С другой стороны, многочлен f по лемме 2 может быть представ-
представлен в виде
/ = аТ, B)
где а € К, a f — примитивный многочлен. Сопоставляя равенства
A) и B), мы видим, что примитивный многочлен / ассоциирован в
кольце Р [х] с произведением fj^, которое по лемме 1 также явля-
ется примитивным многочленом. Согласно лемме Ц, многочлены /
и /^2 ассоциированы и в кольце К \х\, т. е. / = bfl /2, где Ь —обра-
—обратимый элемент кольца К- Подставляя это выражение в равенство
B), находим, что
Это равенство противоречит предположению о том, что многочлен /
не может быть разложен в произведение двух многочленов положи-
положительной степени в кольце К. [х]. Тем самым теорема доказана.
Докажем теперь основную теорему этого параграфа.
Теорема 2. Если К — факториальное кольцо, то кольцо
К [х\ также факториально,
3* ' 67
Доказательство. Нужно доказать, что всякий необра-
необратимый элемент кольца К 1х] может быть разложен в произведение
простых элементов этого кольца и что это разложение единственно
с точностью до перестановки множителей и замены их ассоцииро-
ассоциированными элементами.
1°. Установим возможность разложения на простые
множители любого необратимого элемента / £ К 1х]. Если ст. f — О,
то / есть необратимый элемент кольца К и возможность его разло-
разложения на простые множители вытекает из факториальности кольца
К. Поэтому будем считать, что ст. f > 0.
Предположим сначала, что f ■— примитивный много-
многочлен. Рассмотрим всевозможные •■его разложения на множители
положительной ст&пени в кольце К \х\ (мы не исклю-
исключаем и разложения, состоящего из одного множителя). Поскольку
в любом таком разложении число множителей не превосходит сте-
степени /, то должно существовать разложение, содержащее н а и б о л ь-
шее число множителей. Пусть оно имеет вид
/ = Pilh - Pk ■ C)
Ни один из многочленов р,, ра, ..., р,. не может быть разложен в
кольце К [х] в произведение двух мьогочленов положительной
степени, так как иначе многочлен f мог бы быть разложен в произ-
произведение k-\- 1 многочленов положительной степени. Кроме того,
ни один из них не делится на необратимый элемент кольца К, так
как в противном случае многочлен / также делился бы на необра-
необратимый элемент кольца К, т. е. не был бы примитивен. Отсюда сле-
следует, что ри р2, ..., pk — простые элементы кольца К Ш и разло-
разложение C) является разложением многочлена f на простые множи-
множители.
Если 'многочлен / не примитивен, то, по лемме 2, он представля-
представляется в виде f = а], где а — необратимый элемент кольца К, а / —
примитивный многочлен. Разложив аи/на простые множители, мы
получим разложение на простые множители многочлена /.
2°. Докажем теперь единственность разложения на
простые множители в кольце /<" [х].
Предположим, что многочлен f £ К [х] допускает два разложе-
разложения на простые множители:
f = a1ai...asp1pi...pk, D)
f = b1b2...btq1qi...ql, E)
где alt a2, ..., as, Ьъ Ьг, ..., bt — простые элементы нулевой степе-
степени, т. е. простые элементы кольца К, а р1} р2, ..., рк , qu q2, ..., qt —
простые элементы положительной степени.
Из теоремы 1 следует, что многочлены plt p2, ..., pk , qlt q2, ...
..., qi неприводимы в кольце Р [х]. Поэтому равенства D) и E)
можно рассматривать как два разложения многочлена f на непри-
неприводимые множители в кольце Р [х] (при этом число неприводимых
множителей в первом разложении равно k, во втором — /),
68
Поскольку в кольце Р [х\ разложение на неприводимые мно-
множители единственно, то k= l и при подходящей нумерации много-
многочлены qtn Pi (t = 1, 2, ..., k) ассоциированы в кольце Р [х].
Кроме того, многочлены ри р2, ..., pk , qu qit ..., qk, будучи
простыми элементами кольца К [х\, не могут делиться на необра-
необратимые элементы кольца К, т. е. являются примитивными
многочленами. Если учесть это обстоятельство, лемма 4 позволит
сделать вывод, что многочлены р, и qt (i = 1, 2, ..., k) ассоциирова-
ассоциированы в кольце К \.х\. Отсюда, в свою очередь, следует, что произведе-
произведения ахаъ ..., as и ЪхЪг, ..., bt являются ассоциированными элемен-
элементами кольца К- В силу единственности разложения на простые
множители в кольце К имеем s = t и при подходящей нумерации
элементы atu bt (i = 1, 2, ..., k) ассоциированы в кольце К и тем
самым — в кольце К 1х]. На этом доказательство теоремы заканчи-
заканчивается.
Вопросы для самопроверки
1. Всегда ли выполнимо деление с остатком в кольце многочле-
многочленов над областью целостности, не являющейся полем?
2. Что такое факториальное кольцо?
3. Докажите, что если произведение нескольких элементов
факториального кольца делится на простой элемент р, то хотя бы
один из множителей делится на р.
4. В каком случае элементы аг, а2, ..., ak факториального коль-
кольца называются взаимно простыми ?
5. Что такое примитивный многочлен в кольце К \х\, где К —
факториальное кольцо?
6. В чем состоит лемма Гаусса?
7. Докажите, что если /, g € Z [х], причем g — примитивный
многочлен, и h £ Q [х\ — такой многочлен, что / = gh, то h £
£ Z [х]. Покажите на примере, что предположение о примитивности
многочлена g здесь существенно.
8. Докажите, что множество простых элементов кольца Z\x\
есть "объединение множества простых чисел и множества примитив-
примитивных многочленов, неприводимых в кольце Q [х].
9. Докажите, что кольцо Z [х] факториально.
10. Докажите, что элементы 2 и х кольца Z[x] взаимно просты
11. Докажите, что многочлены с четным свободным членом обра
зуют идеал в кольце Z [х]. Является ли этот идеал главным?
§ 4. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
1. Определение. В § 1, 2 этой гллвы мы занимались изучением свойств де-
делимости в кольце Р [х] многочленов над полем Р. Можно поставить вопрос о
таком расширении кольца Р [х], в котором деление выполнялось бы без огра-
ограничений (за исключением деления на нуль), т. е. о вложении кольца
Р [х] в поле. Поскольку кольцо Р [х] является областью целостности, такое
вложение возможно. А именно, кольцо Р [х\ может быть вложено в свое поле
отношений.
69
Поле отношений кольца Р [х] (где Я — произвольное поле)
называется полем рациональных дробей (от х) над Я и обозначается Р (х).Согласно
определению поля отношений (см. АТЧ III, п. 5 § 3 гл. II), элементы поля Р (х) —
это классы эквивалентных «дробей» — символов вида
l^gePUig^o, A)
Дроби — и — считаются эквивалентными, если fig2 = f^gi. Сложение и умно-
8i 82
жение дробей A) определяется, как сложение и умножение обычных дробей, а
сложение и умножение классов производится путем сложения или соответственно
умножения любых их представителей. Многочлен f £ Р [х] отождествляется с
классом дробей, эквивалентных —, и тем самым кольцо Р [х] оказывается вло-
вложенным в поле Я (*).
2. Несократимые рациональные дроби. Рассмотрим произвольную рацио-
рациональную дробь —. Обозначим через d наибольший общий делитель многочленов
g
/и^в пусть f = fid, g = gid. Тогда (так как fgi = fig = figid). Дробь
8 ei
— обладает тем свойством, что ее числитель и знаменатель взаимно просты.
ft
Такая рациональная дробь называется несократимой.
Пусть теперь —— любая дробь, эквивалентная дроби —. Из равенства
8г ё
hgz = figt B)
следует, что fig2 делится на gi. Так как fi и gi взаимно просты, то g2 делится на
gi. Пусть g2 = gift. Сокращая равенство B) на gi, получаем тогда, что /2 = Дй.
Таким образом, любая рациональная дробь —, эквивалентная дроби —, имеет
82 8
вид -^—, где — — несократимая дробь, эквивалентная —, aft — некоторый мно-
g\h 81 8
гочлен.
Если —— также несократимая дробь, то из равенств /2 = f\h, g2 = gift
следует, что ft 6 Я. Таким образом, несократимая дробь, эквивалентная дроби —,
8
единственна с точностью до умножения числителя и знаменателя на ненулевой
элемент поля Р.
3. Рациональные функции. Определим значение рациональной дроби — в
g
fix )
точке ха £ Р как —. При этом будем предполагать, что g (*0) ^0; в противном
g(*o)
случае будем считать, что дробь — не определена в точке х0. Тем самым по каждой
8
рациональной дроби определяется функция, значения которой принадлежат
полю Р, а область определения есть поле Р, за исключением конечного числа го-
чек (корней знаменателя).
с h /2 .
Ьсли — ~ —, то из равенства /ig2 = f^gx следует, что
8i 82
h ixo) gi (xo) = /2 (xo) gi (-^o)
Я при условии, что gi (х0) ф 0 и g2 (х0) =^ О,
gl ^о) §2 Ы
Это равенство показывает, что функции, определяемые эквивалентными рацио-
рациональными дробями, совпадают в их обшрй области определения.
Из описания всех рациональных дробей, эквивалентных данной дроби (см.
п. 2), следует, что если знаменатель несократимой рациональной дроби
обращается в нуль в точке х0, то и знаменатель любой эквивалентной ей дроби
будет в этой точке обращаться в нуль. Иными словами, из всех дробей, эквива-
эквивалентных данной, несократимая дробь задает функцию, имеющую наибольшую
область определения. Функция, определяемая несократимой рациональной
дробью, называется рационал' ной функцией.
Предос1авляем читателю проверить, что сумма (соответственно произведе-
произведение) рациональных дробей — и — определяет функцию, равную сумме (соответ-
8г 8*
ственно произведению) функций, определяемых дробями — и —, на том множе-
8i gi
стве, где обе эти функции определены.
Если поле Р бесконечно, то из равенства (в общей области опреде-
определения') функций, определяемых двумя рациональными дробями, следует равенство
самих дробей. Доказательство этого утверждения мы также предоставляем чи-
читателю,.
Глава III
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ п ПЕРЕМЕННЫХ
1. Построение кольца многочленов. Подобно тому как в § 1
главы I было построено кольцо многочленов от одной переменной,
можно построить кольцо многочленов от любого числа переменных.
Пусть К — произвольная область целостности. Многочленом
от хх, х2, ..., хп с коэффициентами из К назовем формальное выра-
выражение вида
2 акК...иАА*-<^ A)
где пк,кг •.. k —элементы кольца К, a (kltk2, .., kn) пробегает
некоторое конечное множество наборов неотрицательных целых
чисел, при этом для сокращения записи условимся не писать фор-
формальных множителей х^ в тех случаях, когда k, = 0. Так, много-
многочленами от хх, x2, х3с коэффициентами из Z будут, например, вы-
выражения
2х\ Хз+З+Олг^Хз+С— \)к\ xi
и
\х\ + Аххх\.
Будем называть всякое формальное слагаемое" akh ... k
x\xx',f ... xhnti, входящее в состав многочлена A), его членом (в част-
частности, ао,о, ..., 0 назовем свободным членом), а элемент
ctkfi, ■■■ k кольца К — коэффициентом при л*' xfy ... х\п; если
член вида аи^ ■■■ к -tf1 xp ... х^п отсутствует, то будем считать, что
коэффициент flfe,ft2 ... к при х\> х^ ... xknn равен нулю. Так, в первом
из приведенных выше примеров а0) 8|1 = 2, ао,ОL= 3, а1>ь1 = а1IH=
= 0 и т. д.; во втором примере а^к, = 0 при k3 > 0.
Для обозначения многочленов от хъ х2, ..., хп будем пользо-
пользоваться символами / (#j, х2,-..., х^), g (xlt x2, ..., хп) и т. п.
Многочлены fv(xu x2, ..., хп) и f,2 (xlt х2, ..., хп) будем считать
равными, если для любых kx, k2, ..., kn коэффициент при
х[> х%* ... х'пп многочлена fx (xlf x2, ..., хп) равен коэффициенту
при л*< х\' ... х\п многочлена /2 (хи х2, ..., хп). Равенство будет за-
записываться обычным образом:
ll(xli Х%, ... , Хп) = f2 (Xlt Х2, ... , Хп).
72
Из определения равенства многочленов следует, что порядок членов
в записи многочлена несуществен и что приписывание или отбрасы-
отбрасывание членов с нулевыми коэффициентами не меняет многочлена
(имея это в виду, обычно таких членов не пишут), например:
2х23хз + 3 + 0*^*8 + (— 1)х\х3 = 3 + 2*f х3 + (—1) х\х3.
Определим тепэрь сложение и умножение многочленов. Пусть
даны два многочлена:
f{xlt х2, ... , хп) = 2 а*,*,...* *f'*2'•■■**»• B)
(*»■ * **)
g(xlt xt, ... , xn)= 2 6м, .. k xi'xk2> ... xfc. C)
(*- *» kn)
Определим сумму этих многочленов по формуле
f(xlt х2, ... , xn)+g(xlt х2, ... , хя) =
2 К,*, .. *„ + Кь.- *„) х> 4' - Л'*«' D)
где суммирование в правой части распространяется на все наборы
(klt k.2 kn), для которых aklk2 ... кп ф 0 или bklk, ■■■ кп Ф 0.
Далее, определим произведение многочленов по формуле
I (*1> Х2< ■•• > Хп)ё{ХЪ Х2' ••• > ^n) =
2 ^л...*/?1^1 ■••**-. E)
(*•■fe' fc«)
где
ckikl... hn =^ ^i ^«/л ... /„ Ч-!,. w, *„-!„, F)
а суммирование в правой части формулы E) распространяется на
все наборы (klt k.it ..., kn), для которых c^k, ... k Ф 0 (таких на-
наборов имеется лишь конечное число).
Например, пусть
/ (xlt х2, х3) = Зх2+ \х^х\х\ + {—2)х] х\х\,
■ g (xlt x2, xs) = 2х1+(—\) х\х2х\ + \х\ х\х\.
Тогда / (хи х2, хя) g (xu х2, х3) определяется по формуле E), где
С1,1,0 = п0,1,0^1,0,0 = 3 -2 = 6,
С2,2,2 = «0,1,0^2,1,8 + й1,2,2 ^1,0,0 = 3 • (—1) +1 • 2 = — 1,
С3,3,4 = °0,1,0 ^В,2,4 ~Ь й1>2,2 ^2,1,8 ~Н «2, 3 ,4 ^1,0,0 = 3 • 1 +
+ 1 • (-1) + (-2) ■ 2 = -2,
С4,4,в = «1,2,2 ^3,2,4 + «2,3,4 &2.1.2 =1 " 1 "F (—2) ■ (—1) = 3,
CS,5,8 Г= «2,8,4 ,2,4 == ( "V " ' == *f
73
а остальные коэффициенты произведения равны нулю, так что
f (*i. хъ, х3) g (хи х2, х3) = 6х1хг + {—\)х\х\х\ +
+ (—2)х\х\хъ + Ъх\х\х\ + {-2)х\х\х\.
Замечание. Роль букв xit х2, ..., хп в записи многочленов
могут играть любые другие буквы. В тех случаях, когда ясно, ка-
какие буквы исполняют эту роль (и, в частности, каково число этих
букв), обозначения многочленов / (xlt хг, ..., хп), g (xlt x», ..., хп)
могут сокращаться до /, g, ...
Отметим теперь некоторые свойства определенных выше опера-
операций над многочленами.
1°. Коммутативность сложения так же, как
для многочленов от одной переменной, вытекает из коммутативно-
коммутативности сложения в кольце К-
2°. Ассоциативность сложения следует из ас-
ассоциативности сложения в кольце К-
3°. Существование нуля. Роль нулевого элемента
играет многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. Этот
многочлен называется нулевым и обозначается символом 0.
4°. Существование противоположного эле-
элемента. Многочленом, противоположным многочлену / (xlt хг, ...
..., хп), будет многочлен / (xlt х.ъ ..., хп), коэффициенты которого
противоположны соответствующим коэффициентам многочлена
/ (Х1, хг, ..., хп).
5°. Дистрибутивность умножения относи-
относительно сложения можно проверить так же, как для мно-
многочленов от одной переменной, пользуясь дистрибутивностью в
кольце К-
Свойства 1°—5° означают, что многочлены, от xlt x2, ..., хп с
коэффициентами из К. образуют кольцо относительно определенных
нами операций. Это кольцо называется кольцом многочленов от
хи х2, ■■■, хп над К и обозначается К [хи х2, ..., хп \.
Многочлены, не содержащие хи х2, ■■■,хп, т. е. состоящие из
одного свободного члена, мы будем отождествлять с элементами
кольца К, основываясь на том, что их сложение и умножение, как
видно из определений, производится тзк же, как в кольце К- При
таком соглашении кольцо К является подкольцом кольца
l\ iXi, Х2, ..., Хп\.
Многочлен вида ax\i xfy ... xknn называется одночленом. Из опре-
определения сложения многочленов видно, что произвольный много-
многочлен A) равен сумме одночленов ак1иг...и хк^х\*... хк,п. Это позволяет
рассматривать символ «+» в записи многочлена как знак
сложении.
Из определения умножения многочленов легко увидеть, что
произведение двух одночленов есть одночлен, а именно:
(ад:*' хк2* ... хкпп) фх1^ х'2*... xfr) = аЪх^ ' '■ хк>+1>... х^п \ 'п. G)
74
Одночлены, отличающиеся лишь коэффициентами, называются
подобными. Сумма подобных одночленов есть также одночлен, а
именно:
ах*' х\* ...х*п + Ьх\' х\*... xknn + ... + сх\' х\'... хкпп =
= (a + b + ... + c)xk'Xk2'...xknn. (8)
Будем рассматривать каждый многочлен как сумму его членов.
Тогда из свойства дистрибутивности умножения многочленов отно-
относительно сложения вытекает следующее правило умножения много-
многочленов: для вычисления -произведения / (xlt x2, ...,xn) g (xlt х2, ...
... х„) нужно каждый член многочлена / (хи х2, ..., хп) умножить
на каждый член многочлена g (xlt x2, •■-,' хп) по формуле G) и
результаты сложить, выполнив приведение подобных членов по
формуле (8). Практически многочлены перемножают именно этим
способом.
Продолжим рассмотрение свойств операций над многочленами.
6°. Коммутативность умножения. Сформули-
Сформулированное выше правило умножения многочленов позволяет так же,
как и для многочленов от одной переменной, свести доказательство
коммутативности умножения к тому случаю, когда оба множителя
являются одночленами. Что касается умножения одночленов, то
его коммутативность видна из формулы G), так как умножение в
кольце /( коммутативно.
7°. Ассоциативность умножения можно до-
доказать аналогично, исходя из ассоциативности умножения в коль-
кольце К.
8°. Существование единицы. Роль единицы игра-
играет многочлен 1 6 К-
' Таким образом, К, \xlt xit ..., хп\ — коммутативное ассоциатив-
ассоциативное кольцо с единицей. В п. 3 мы покажем, что в нем нет делителей
нуля, откуда будет следовать, что оно является областью целост-
целостности.
Можно заметить, что если в произвольный многочлен / (хъ
х2, ... хп) подставить вместо букв хи х2, ..., хп многочлены
lxlt \x2, ..., \хп и фактически произвести все операции, формально
указанные в записи многочлена / (xlt x2, ■■■, хп), то получится тот
же многочлен f (хи х2, ..., хп). Это позволяет придавать записи
многочлена содержательный смысл. (Вспомним, что выше мы уже
дали содержательное толкование символу «+»)■ Имея это в виду,
мы можем при записи многочлена не писа'ть коэффициентов, рав-
равных 1 (за исключением свободного члена), а также вместо
+ (—а) л*1;ф ... х)п писать—ад*»д*> ... х*п , понимая «—» как
знак вычитания.
2. Степень и лексикографическое упорядочение. Степенью
(точнее, степенью по совокупности переменных) ненулевого одно-
одночлена axk^xk2' ... х)п называется число kx + k2 + ... + kn . Очевид-
Очевидно, что степень произведения двух одночленов равна сумме их сте-
степеней.
75
Степенью (по совокупности переменных) ненулевого многочлена
называется максимальная из степеней его членов. Например,
степень многочлена х2х х\х3 + Зх\ — ххх^ + х\х\ равна 6. Степень
нулевого многочлена считается равной —со.
Многочлен называется однородным степени т, если все его чле-
члены имеют степень т. Например, многочлен х[ — ххх\ + 2х%х2Л яв-
является* однородным степени 4.
Очевидно, что:
@1) сумма двух однородных многочленов одинаковой степени
есть однородный многочлен той же степени;
@2) произведение однородных многочленов степеней т, и т2
есть однородный многочлен степени тх + т2.
Если в выражении многочлена сгруппировать члены одинако-
одинаковой степени, то получится представление данного многочлена в виде
суммы однородных многочленов различных степеней. Легко понять,
что такое представление единственно. Составляющие его однород-
однородные многочлены называются однородными компонентами данного
многочлена.
Пример 1. Однородными компонентами многочлена
/ (Xi, Х2, Х3) = Х^Х2 — Х]Х^ — XjXg ~г Х^Х2Х3 ~Г ^^2 ^3 ' ^1 ^2 ^З
будут многочлены
х\х2 + 2x1x1 + х2\Х%х1 (однородная компонента" степени 6),
— х\х\ (однородная компонента степени 4),
\ + х±хгх з (однородная компонента степени 3).
При п = 1 члены многочлена однозначно упорядочиваются по
убыванию (или по возрастанию) степени. При п > 1 такое упоря-
упорядочение, вообще говоря, не однозначно, так как могут быть члены
одинаковой степени, но с различными наборами показателей.
Для однозначного упорядочения членов многочлена от любого
числа переменных используется так называемое лексикографиче-
лексикографическое упорядочение ненулевых одночленов. Одночлен и = ах\' xfy...xk4n
считается старше одночлена v = bx[l xl/ ... xlnn (а одночлен v —
младше одночлена и), если либо kx > llt либо kx = llt но k2 > Z2,
либо kx = llt k2 = l2, но &3> /3 и т. д. В эгом случае пишут: и )>- v
(или v -^ и).
• Например, —xtx% )>■ 2л:1л:2л:з. Как показывает этот пример, лек-
лексикографическое упорядочение не согласовано с упорядочением
по степеням, т. е. лексикографически старший член может иметь
меньшую степень.
Очевидно, что если и )>- v и v )>-л>, то и У- w, т. е. отношение
«)>» является отношением порядка. Название «лексикографиче-
«лексикографическое упорядочение» объясняется тем, что если рассматривать набо-
наборы показателей одночленов как «слова», составленные из букв
«алфавита» 0, 1, 2, ..., то расположение одночленов в порядке лек-
76
сикографического возрастания будет обычным алфавитным распо-
расположением, какое употребляется в словарях (лексиконах).
Пример 2. Расположив в порядке лексикографического
убывания члены многочлена
/ (хъ х2, х3) = х\ + х^х%х3 + Ъхххг — х.2х3 + 2хгх\, .
получим: -
!, хг, х3) = х^х.гх3 + 3xiA-2 + х\ + 2хгх\ — х2х3.
Очевидно, что среди членов любого ненулевого многочлена
f (Xi, хг, ..., хп) имеется член, который старше всех остальных.
Он называется старшим членом многочлена / (хх, х2, ..., хп). Так,
в приведенном выше примере старшим членом является х1х2х3.
Важнейшее свойство лексикографического упорядочения со-
состоит в следующем:
(Л1) если и у- v и w — любой ненулевой одночлен, то uw у- vw.
Для того чтобы это доказать, достаточно заметить, что при ум-
умножении на ш к показателям степени переменной xt в одночленах
и u v добавляется одно и то же число (равное показателю степени дг,
в одночлене w) и, следовательно, знак неравенства (или равенства)
между ними сохраняется.
Из (Л1) выводится такое свойство:
(Л2) если и у~ v и w у- t, то uw у- vt.
В самом деле, согласно (Л1) из и )>• v следует, что uw )>- vw и
аналогично из w у- t вытекает, что vw у- vt. Следовательно, uw у-
>vt.
3. Отсутствие делителей нуля в кольце многочленов. Лекси-
Лексикографическое упорядочение позволяет, в частности, установить
отсутствие делителей нуля в кольце многочленов от п переменных
над областью целостности К- Пусть fag — два ненулевых много-
многочлена, и и w — i£x старшие члены. Произведение fg равно сумме
всевозможных произведений членов многочлена / на члены много-
многочлена g. В эту сумму будет входить и произведение uw, причем из
отсутствия делителей нуля в кольце К следует, что коэффициент
одночлена uw (равный произведению коэффициентов одночленов
и и w) отличен от нуля. Покажем, что все другие произведения бу-
будут младше, чем uw. Если v — какой-либо член многочлена /,
отличный от и, то и у- v и по свойству (Л1) uw У- vw. Аналогично,
если t — какой-либо член многочлена g, отличный от w, то uw y~
У~ ut. Наконец, при тех же предположениях по свойству (Л2)
имеем: uw y~ vt. Таким образом, среди произведений членов много-
многочлена / на члены многочлена g не будет одночленов, подобных uw.
Отсюда следует, что fg Ф 0.
Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема 1. Кольцо многочленов от п переменных над об-
областью целостности также является областью целостности.
Одновременно установлена и такая теорема:
Теорема 2. Старший член произведения двух ненулевых
77
многочленов от п переменных равен произведению их старших
членов.
Докажем еще одну теорему.
Теорема 3. Степень произведения двух ненулевых многочле-
многочленов от п пере ж нных равна сумме их степелей.
Доказательство. Пусть / (хи х2, ..., хп ) — многочлен
степени k, g (xlt x2, ..., хп ) — многочлен степени /. Представим
каждый из этих многочленов в виде суммы однородных многочле-
многочленов. Обозначим через fk (xu хг, ..., хп) (соответственно через
Si (*i> X2t ■••> хп)) однородную компоненту степени k (соответствен-
(соответственно /) многочлена / (xlt х2, ■■■, хп) (соответственно g (xlt хъ ..., хп)).
Произведение / {хъ х2, ..., хп) и g (хъ хг, ..., хп) равно сумме все-
всевозможных произведений однородных компонент многочлена
/ (хъ х2, ..., хп) на однородные компоненты многочлена g (xu х%, ...,
..., хп). Среди таких произведений есть произведение f/,(x1, хг, ...,
• ••> хп )§i (xi, Х2< •••> хп). отличное от нуля (по теореме 1) и имеющее
степень k + /; все остальные произведения имеют меньшую степень.
Следовательно, степень многочлена / (хъ xit ..., xn)g (хг, х2, •••> хп)
равна k + /.
4. Выделение одной переменной. Если в выражении A) много-
многочлена / (х1, х2, ..., хп) сгруппировать члены, содержащие перемен-
переменную х в одинаковой степени, и в каждой такой группе членов вы-
вынести эту степень хп за скобки, то многочлен / (хи х%, ..., хп) пред-
представится в виде
f(xt, х2, ... , хп) = 2/*(^i. xt> - ' хп-т)х1- (9)
Например,
2х\ х\ + ххх2хг + 2>х\ — х3 + 2х2х\ =* {2х\ + 2х2) х\ +
+ (х^2 — 1) х3 + 2>х\.
Таким образом, каждый многочлен от переменных хг, хг, ..., хп
с коэффициентами из кольца К можно рассматривать как много-
многочлен от одной переменной хп с коэффициентами из кольца
К [#i, х2, ..., A:n_J. При этом сложение и умножение, производи-
производимые в кольце К [*i, хъ ..., хп], приводят к тем же результатам,
что и в кольце К 1х1, х2, ..., xn_t] lxn].
В самом деле, пусть
/ (xi> x2i ••• > хп) =г* 2^ Ik \Xi, Х2, ... , Хп_1) Хп,
к
ё(Хъ Х2, ... , xn) = ^gk(xi, Х2, ... , Хп_х)Хкп.
к
Из свойств операций в кольце /С [хи хг, ..., хп] следует, что
/(*!, Х2, ... , Xn)+g{X1} Х2, ... , Х„) =
= 2(М*1. Х2 Xn-l)+gk(Xl' Х2 *«-l))*J.
к
78
f(Xi, x2, ... , xn)g(xv x2, ... , xn)=^hk (xv x2 xn-i)xkn,
k
где
hh (xlt xit ..., xn_t) rm ^Jt{xu x2 хп-№к-1 (xu X2> •••> xn-i)-
Это согласуется с правилами сложения и умножения в кольце
К К, хя, ..., хп_х] 1х„].
Итак, кольцо многочленов от хх, х2, ..., хп с коэффициентами из
кольца К можно рассматривать как кольцо многочленов от хп с
коэффициентами из кольца К [xlt х2, ..., *n-J-
Этим можно воспользоваться, чтобы дать другое доказательство теоремы 1.
А именно теорема 1 может быть доказана индукцией по п. При п = 1 доказы-
доказываемое утверждение составляет содержание теоремы 1 § 1 гл. I. Переход от п — 1
к п осуществляется на основе той же теоремы. Для этого надо применить ее к
кольцу многочленов от одной переменной над кольцом К [xi, xit ..., xn_i], которое
по предположению индукции является областью целостности..
5. Многочлены как функции. Каждый многочлен от п пере-
переменных с коэффициентами из кольца К определяет функцию на
/С"=/Сх /С х ... X /(со значениями в К- А именно, значением
п pas
многочлена f (хи хг хп) £К [хи х2, ..., хп], задаваемого выра-
выражением A), в точке (х01, xOi хвп) (■/(" называется элемент коль-
кольца К, определяемый по формуле
/(хт, х02, ..., xj - 2 V,.- К *oi *о! - хо> (Ю)
(* V *)
2 V,К
Аналогично тому, как это было сделано для многочленов от одной
переменной, можно проверить, что функция, определяемая суммой
(соответственно произведением) двух многочленов, равна сумме
(соответственно произведению) функций, определяемых этими мно-
многочленами.
Теорема 4. Если кольцо К бесконечно, то из равенства
функций, определяемых двумя многочленами, следует равенство са-
самих многочленов.
Доказательство проведем индукцией по числу пере-
переменных. Для многочленов от одной переменной утверждение тео-
теоремы было доказано в § 1 гл-. I. .
Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо
для многочленов от п — 1 переменной, и докажем, что тогда оно
справедливо для многочленов от п переменных. Пусть / {хи х%, ..,,
..., хп), g (хи х2 хп) — многочлены от п переменных xlt x3, ...,
...хп , определяющие одинаковые функции, т. е. принимающие одина-
одинаковые значения во всех точках пространства К,п. Представим
/ (хих2, .. , хп) и g (хъ х2, ..., хп) как многочлены от хп с коэффи-
коэффициентами из кольца К [xlt х2, ..., хп_1]:
I (Хх, Х2, ... , Хп) = j^tk (Хг, Х2, ... , Хп_1) Хп,
79
g(xlt x2, ... , xn) = yigk(x1, xit ... , x^JxK
Дадим переменным xlt хг, .., xn_1 произвольные значения х01,
#02 xt»n-r Пусть
I к (XQl, XQ2, ... , ХОп_{) = п/г ,
gk (xm, xQ2, ... , xo_n_1) = bk..
Многочлены
как следует из нашего предположения, принимают одинаковые зна-
значения при всех значениях хп . В самом деле, при любом хОп б К
{, xQ2, ... , хОп_у xQl) = G(xOn).
Теорема 4 § 1 гл. I позволяет заключить, что F (хп) = G (хп),
т. е.
Ik (xov хй2< "• ' хо,п— и = &k ^oi1 ^ог1 "• » ха,п—v
при любом k. Так как х01, х02. •••. *o..i-i — произвольные эле-
элементы кольца /(, то в силу предположения индукции
fk (xlt х2, ... , х„_х) -= gk (xv х2, ... , хп^)
при любом й; но тогда
что и требовалось доказать.
Таким образом, если кольцо К бесконечно, то отображение, которое каждому
многочлену из кольца К [xi, x2, ..., хп] сопоставляет определяемую им функцию,
является изоморфизмом кольца К [х\, хъ ..., хп] на некоторое кольцо
функций, определяемых на К" и принимающих значения в К.-
Если'кольцо К конечно, утверждение теоремы 4 неверно (для п — 1 это от-
отмечалось в § 1 гл. I). Однако при некоторых дополнительных предположениях
оно может быть верным. Например, в случае, когда К = 2р— кольцо вычетов
по простому модулю р, утверждение теоремы 4 будет верно в предположении,
что степени обоих многочленов по каждой из' переменных не пре-
превосходят р — 1. При этом данное выше доказательство остается в силе, если
только вместо теоремы 4 § 1 гл. I воспользоваться теоремой 5 того же параграфа.
С другой стороны, для всякого многочлена/ (xi, х2,..., хп) £ Zp [xi, x2, ..., хп]
легко построить многочлен /0 (xi, x2, ..., хп), имеющий по каждой переменной
степень не выше р — 1 и определяющий ту же функцию, что и / (xi, x2, ■■■, хп).
Для многочленов от одной переменной способ построения такого многочлена
был указан в п. 6 § 1 гл. I. В общем случае многочлен /0 (х\, хъ ..., хп) строится
следующим образом' каждый член ах^ х1^2 ... хкп многочлена / (xi, х2, ■■-, хп)
заменяется членом ах^'х^ ... хпп, где Г\, гг, ..., гп определяются из условий
Ч = qt (P - 1) + rh 1< п < р - 1.
80
Например, если
/ (xi, xt, x3) = xj0 х\х3 + 24° 4 - 4 4 4 € Zb [xi. X2> *sl.
то
/о (*ь •"'г' х3) = Xj х2*з "I" 2*2 *з — *1 *2*з = 2*2 *з-
Заметим, что многочлен /0 (xi, х2, ..., хп) есть единственный мно-
многочлен имеющий по каждой переменной степень не выше р — 1 и опреде-
определяющий ту же функцию, что и / (xi, x2 хп). Действительно, любые два так"их
многочлена определяют одну и ту же функцию и, по предыдущему, равны.
В качестве приложения докажем так называемую теорему Шевал-
л е. Пусть имеется алгебраическое сравнение с п неизвестными:
f(xux2 хп) _ 0 (mod р), A1)
где р — простое число, / (х\, х2, ..., хп) — многочлен с целыми коэффициентами,
не имеющий свободного члена. Любой набор целых чисел, делящихся на р,
будет решением этого сравнения; такие решения будем называть тривиальными.
Теорема Шевалле состоит в том, что если степень многочлена / (х\, х%, ..., хп)
(по совокупности переменных) меньше, чем п, то сравнение A1) имеет нетривиаль-
нетривиальное решение. Например, сравнение х\ + х\ + х\ el О (mod p) в силу этой теоремы
при любом р имеет нетривиальное решение.
Для доказательства теоремы Шевалле представим рассматриваемое сравне-
сравнение в виде уравнения
Т(хи х, *„) = 0 A2)
над полем Zp (ср. п. 5 § 2 гл. I). Здесь / (х\, х2, ..., хп) обозначает многочлен,
получаемый из f (x\, хг хп) заменой всех коэффициентов их классами вычетов
по модулю р. Из условия теоремы следует, что / @, 0 0) = 0 и что
ст. f (xi_, x2, ..., хп) = m < п. Нужно доказать, что уравнение A2) имеет не-
ненулевое решение.
Предположим, что уравнение A2) имеет только нулевое решение. Тогда
многочлен 1 — / (xi, хг, ..., хи)/)" определяет ту же функцию, что и многочлен
A — л:^1) A — х^)... A — хрп~1), поскольку в точке (W, 57 ..., Ъ) оба много-
многочлена принимают значение 1, а во всех остальных точках обращаются в нуль.
Заметим, что многочлен A — xj1'1) A — л^~')...A — *JJ~') имеет по каждой
переменной степень р— 1. Следовательно, он должен получаться из многочлена
1 — / (xi, хг *я)/)~1 с помощью описанной выше процедуры. Однако это не-
невозможно, поскольку указанная процедура, как легко видеть, не увеличивает
степени по совокупности переменных, а степень многочлена 1—/ (х\, х2, ■■■, *л)/>~1>
равная шХр— 1), меньше, чем степень многочлена A — XiP'1) A—л^~')...
... A — х^~1), равная п (р— 1). Полученное противоречие доказывает теорему.
6. Разложение на неприводимые множители. Переходя к изуче-
изучению свойств делимости в кольце многочленов от п переменных,
мы будем теперь рассматривать многочлены над полем.
Из теоремы 2 § 3 гл. II следует следующая теорема:
Теорема 5. Кольцо многочленов от п переменных над полем
Р является факториальным кольцом.
Доказательство. Проведем индукцию по п. Для л= 1
факториальность была доказана в § 2 гл. II. Предположим теперь,
что кольцо Р [xlt x2, ..., хп_^\ факториально, и докажем, исходя
из этого, факториальность кольца Р [xlt хг, ..., хп ]. В п. 5 было по-
показано, что кольцо Р [хх, х9, ..., хп ] можно представить как кольцо
многочленов от одной переменной хп над кольцом Р [xlt %, ..., хп_х].
Его факториальность следует тогда из теоремы 2 § 3 гл. II, соглас-
согласно которой кольцо многочленов от одной переменной над факто-
риальным кольцом также факториально.
Как и при п — 1, простые элементы кольца Р [хи х3, ..., хп]
называются неприводимыми многочленами. Обратимыми элемента-
элементами кольца Р lxlt х2, ••., хп 1, как следует, например, из теоремы 3,
являются только многочлены нулевой степени, т. е. ненулевые эле-
элементы поля Р. Ввиду этого неприводимый многочлен может быть
определен как такой многочлен положительной степени, который
не разлагается в произведение двух многочленов положительной
степени.
Так как при умножении многочленов степени складываются
(теорема 3), то всякий многочлен первой степени («линейный много-
многочлен») неприводим. Существуют, однако, и другие неприводимые
многочлены. Более того, при п ^ 2 неприводимы в некотором смыс-
смысле «почти все» многочлены.
Пример 3. Докажем неприводимость многочлена
f (хх, х2, х3) = х\ + х\ + х\
в кольце С [xlt хг, х3].
Рассмотрим / (хъ х2, х3) как многочлен F {х3) с коэффициентами
из кольца К — С 1хъ х2]. Так как его старший коэффициент равен 1,
то он не делится ни на какой необратимый элемент кольца К. По-
Поэтому если многочлен F (х3) не является простым элементом кольца
К \х3], то он разлагается в произведение линейного и квадратного
многочленов, причем произведен«е их старших коэффициентов
равно 1. Можно считать, что линейный множитель имеет вид х 3— g,
где g €K. По теореме Безу, g3 является тогда корнем многочлена
F (х3), т. е. g3 = —хъ{ — х\. Докажем, что в кольце К. не существу-
существует элемента g, удовлетворяющего этому условию. В самом деле,
так как при возведении в куб степень многочлена утраивается, та-
такой элемент g должен был бы быть многочленом первой степени от
хх и хъ т. е. многочленом вида ах-^ + Ъхг + с (а, Ъ, с 6Р); однако
равенство —х\—х\ =» (ахг + Ъхг + с)8 не имеет места ни при каких
а, Ь, с, что следует, например, из сравнения коэффициентов при
х\хг.
7. Выделение линейных множителей. Для многочленов от нескольких пе-
переменных имеет место следующее обобщение теоремы Безу.
Теорема 6 Пусть Р — бесконечное поле. Многочлен f (xi, хг, ,.., хп) 6
£ Р [xi, x2 хп\ делится на линейный многочлен
р (хи х2 х„) = aixi + а2х2 + ••• + апхп + ь A3)
тогда и только тогда, когда он обращается в нуль во всякой точке пространства
Рп, в которой обращается в нуль многочлен р (xl, x2, ..., хп).
При п = 1 и р (х,} = xi — х0, где хй 6 Р, утверждение этой георемы совпа-
совпадает с теоремой Безу, поскольку многочлен х\ — xQ обращается в нуль в точке
х0 и только в этой точке.
82
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда
р (xi, х2, .... хп) — хп. Представим / (xi, x2, ..., хп) в виде многочлена от хп:
f (Xi, Х2, ..., Хп) = Л fk(xU Х2, ..., ХП_^ХК
Очевидно, что / (xi, х2, ..., хп) делится на хп тогда и только тогда, когда f0 (xi,
лг2, .... хп_1) — 0. Так как поле Р бесконечно, то по теореме 4 многочлен f0 (xi,
х2, •■•, #n-i) является нулевым тогда и только тогда, когда /„ (х01, х02 xo,n-i)=®
для любых х01, х02, ..., хо,/г-1 6 Р- Очевидно, что
fo(XOV *02> •■•> Х0,П—V == I (*01. *02> ■••> Хй,П — 1' ")•
Это равенство показывает, что обращение в нуль многочлена /0 (*i, хг хп-^)
во всех точках пространства Рп~1 равносильно обращению в нуль многочлена
/ (xi, x2, .... хп) во всех точках пространства Рп с нулевой координатой хп.
Тем самым для рассматриваемого частного случая теорема доказана.
Обратимся к общему случаю. Предположим для определенностн, что в вы-
выражении A3) коэффициент ап не равен нулю. Сделаем обратимую лииейиую за-
замену переменных:
л_1 = х„_ь уп = р (хи
при этом
г
——у, —
а
Пусть g (yi, y2 ул)— многочлен от yi, y2 yn, получаемый после
такой замены из многочлена / (xi, хг, ..., хп). Так как р (хи х2, ..., хп) «=> уп, то
вопрос о делимости многочлена / (xi, x2, ..., хп) на p(xi, хг, ..., хп) равносилен
вопросу о делимости многочлена g (yi, y2> ..., ул) на ул. Тем самым доказательство
теоремы сведено к рассмотренному выше частному случаю.
В случае, когда Р — С, теорема, аналогичная теореме 6, справедлива для
любого неприводи-мого многочлена р{х\, хг, ..., хп). Однако
доказательство этой теоремы значительно более сложно, и мы не будем здесь его
приводить.
Пример 4. Пусть / (х), g (х) 6 Р [х] — нормированные многочлены,
разлагающиеся на линейные множители. Докажем следующую формулу для
результанта этих многочленов (см. п. 6 § 1 гл. II):
R (/■ в) =
_ у),
114)
где xi, х2, ..., хп (соответственно yi, у2, ..., ут) — корни многочлена / (х) (соот-
(соответственно g (х)).
Пусть
/ (х) — хп + агхп-1 + ... + д„ = (х — xi) (х — х2)... (ж — х„),
g (х) = хт + V-1 + ... + Ьп = (х - У1) (х - у2)... (х - ут). A5)
Согласно определению результанта,
1 а, ...
... ап
...Ь
A6)
(элементы матрицы, которые здесь не выписаны, равны нулю).
83
Выразим по формулам Виета коэффициенты многочленов f (х) и g (x) через
нх корни и подставим эти выражения в определитель A0). Будем рассматривать
xi, х2, ..., хп, у1( у2, ••-, Ут как независимые переменные. Тогда прн раскрытии
определителя A6) результант представится как многочлен от этнх переменных.
Если в какой-то член определителя из 1-й строки входит элемент из столбца с
номером klt из 2-й строки— элемент из столбца с номером k2 и т. д., причем
все эти элементы относятся к числу выписанных в формуле A6), то степень этого
члена равна
(kx - 1) + (й2 - 2) + ... + (km - т) + (km+1 - 1) + (km+2 - 2) + ... +
+ {km+n - п) = {К + k2 + ... + Am+n) - A + 2 + ... + m) - (I + 2 +
+ ... + re).
Так как (klt k2, ..., km+n) есть перестановка из чисел 1, 2 т -\- п, то
Следовательно, степень каждого ненулевого члена определителя равна*
(m + л) (/п + н+!) . т(т+1) п (л + 1)
, — _ — _ тп
2 2 2
т. е. R (/, g)— однородный многочлен степени тп от переменных xlt x2, ..., хп,
У\., У2. •••• Ут-
Дадим теперь переменным Х\, х2 хп, yi, y2, ..., ут какие-то значения.
Если для некоторых i, / значение x-t будет равно значению yj, то многочлены
f (x) и g (x), определяемые по формулам A5), будут иметь обший корень и, стало
быть, не будут взаимно простыми. По теореме 5 § 1 гл. II их результант в этом
случае будет равен нулю. Теорема 6 этою параграфа позволяет сделать отсюда
вывод*, что R (/, g) делится на x-L — у; (как многочлен от Xi, х2, ..., хп, yi, у2,
..., ут). Так как число различных разностей хг— уу равно лот, то разложение
многочлена R (/, g) на неприводимые множители в кольце Р [xL, х2, ..., хп, ylt
Уг ут] имеет вид
я (/. g) = Мин - У]). A7)
где с G Р. Для вычисления коэффициента с положим все хг равными 1, а все у/
равными 0. При этом, согласно A5), имеем:
f(x)= (х- 1)«, g(x)= хт,
результант легко вычисляется по формуле A6) и оказывается равным 1. Произ-
Произведение, стоящее в правой части равенства A7), в этом случае также равно 1.
Следовательно, с = 1.
Аналогично можно вывести следующую формулу для дискриминан-
т а многочлена (см. п. 8 § 2 гл. II):
D ff) = П (*i - xjf- A8)
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение кольца многочленов от п переменных над
произвольной областью целостности.
* В формулировке теоремы 6 требуется, чтобы поле Р было бесконечно.
Однако если поле Р конечно, то его можно расширить до бесконечного поля
(например, до поля Р (х) рациональных дробей), н тогда наше рассуждение будет
справедливо.
84
2. Докажите ассоциативность умножения в кольце многочленов
от п переменных.
3. Что такое степень многочлена от п переменных?
4. Что такое однородный многочлен?
5. Как определяется лексикографическое упорядочение одно-
одночленов ?
6. Докажите отсутствие делителей нуля в кольце многочленов
от п переменных.
7. Чему равна степень произведения двух многочленов от п
переменных ?
8. Докажите, что если произведение двух многочленов является
однородным многочленом, то каждый из них также однороден.
9. Что такое выделение одной переменной в многочлене от п
переменных ?
10. Докажите, что функция, определяемая произведением двух
многочленов от п переменных, равна произведению определяемых
ими функций.
11. Пусть Р — поле нулевой характеристики. Могут ли раз-
различные многочлены из" кольца Р [xly х2, •••, хп\ определять одну и
ту же функцию ?
12. Пусть Р — произвольное поле. Докажите, что кольцо
Р \хи х2, ..., хп } факториалыю. *
13. Докажите, что все неприводимые множители однородного
многочлена из кольца Р [xlt хг, ..., л:„]_также являются однородны-
однородными многочленами.
Упражнения
1. Найдите однородные компоненты многочлена из кольца
а) (х? + х2) (х\ + х3) (xl + Xl);
б) (xt — xaxa+ IJ.
2. Расположите в порядке лексикографического убывания чле-
члены многочлена из кбльца R [хг, х2, х3]:
а) х\х\х\ - х3{+ х\ + 2x1x1;
J l
6) (Xi — Х2Х3) (Х2 -
3. Докажите неприводимость следующих многочленов в кольце
С \ Y Y Y ]•
О IAX) Ло, ..., Лп |.
б") уЗ J- гь 4- г9
§ 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
1. Основные определения. В этом параграфе мы будем рас-
рассматривать многочлены над произвольной областью
Целостности К.
85
Многочлен / (хи х2, .., х^) ZK 1хи х2, ..., хп 1 называется сим-
симметрическим, если он не меняется при любой перестановке пере-
переменных, т. е. если
для любой перестановки (ilt i2, ..., in) чисел 1, 2, ..., п. Например,
многочлен х\х\ + х\х\-\- х\х\-\- 2хх + 2х2 + 2х3 является симмет-
симметрическим. Многочлен / (хг, х2, х3) = х\х2 + xlxa + х\хг не являет-
является симметрическим, так как
f (Xi, Х3, Х2) = х\х3 + Х%Хг + Х\ХХ ф f (Xlt Хг, Х3).
Строение симметрических многочленов можно представить се-
себе, исходя из следующих соображений. Пусть (/х, i2, ..., /„) —
произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., п. Если симметриче-
симметрический многочлен / (хъ хъ ..., хп ) содержит член ах^ х\> ... xknn,
то он должен также содержать член ах\^х\* ... х п. Обозначим через
S (xi1 х-? ... хпп) сумму различных одночленов, которые получают-
получаются из х\* х\г ... Хп* всевозможными перестановками переменных.
Очевидно, что это будет симметрический многочлен. Из предыдуще-
предыдущего следует, что любой симметрический многочлен есть линейная
комбинация многочленов вида
В частности, отсюда вытекает, что всякий симметрический много-
многочлен является суммой однородных симметрических многочленов.
Особую роль среди симметрических многочленов, как мы уви-
увидим в дальнейшем, играют так называемые элементарные симметри-
симметрические многочлены:
01 C^ii х2, ... , Хп ) = Хг -f- Х2 -\- ... ~Г Хп ,
02 (хъ хг, ... , хп) == хгхг + хгх3 + ... + хп_ххп , A)
°п (Х1> Х2' — ' Хп ) ~ Х1Х2 ■■■ хп >
которые мы будем обозначать просто а1( о2, ..., оп . По определению,
k-й элементарный симметрический многочлен есть сумма всевоз-
всевозможных произведений по k различных переменных. Полезно
вспомнить, что, согласно формулам Виета, коэффициенты норми-
нормированного многочлена / (х) от одной переменной с точностью до зна-
знака равны элементарным симметрическим многочленам от его корней
(точнее говоря, значениям, которые принимают элементарные сим-
симметрические многочлены, если вместо переменных подставить корни
многочлена f (x)).
Другую важную серию симметрических многочленов составляют
так называемые степенные суммы
Sk = sk (*!, хг, ... , хп) = х\ + х\ + ... + хкп. B)
86
Заметим, что используя введенное выше обозначение S, можно
записать:
о* — S {ххх2... xk ), sk =S (л;*).
2. Основная теорема о симметрических многочленах. Легко
понять, что сумма, разность и произведение симметрических много-
многочленов также являются симметрическими многочленами. Напри-
Например, пусть h есть произведение симметрических многочленов / и g.
Для любой перестановки (ix, i2, .... in) имеем:
h{xh, XH, ... , xln) = f{xllt Xt , Xln)g(Xil, Х(„ ... , Xcn) =
= f(xx, x2, ... , xn)g(xx, x2, ... , xn)-=h(xx, x2, ... , xn);
следовательно, h {хъ хг, ..., xn ) — симметрический многочлен. Оче-
Очевидно также, что элементы кольца К (многочлены нулевой степени)
являются симметрическими многочленами.
Таким образом, симметрические многочлены образуют подкольцо
в кольце К 1х1У х2, ..., хп ], причем это подкольцо содержит кольцо К.
Следовательно, если F (Хг, Х2, ..., Хт) — произвольный много-
многочлен с коэффициентами из кольца К. и fx, /2, ..., fm — любые сим-
симметрические многочлены от хх, х2, ..., хп , то F (Jx, f2, ..., fm) также
будет симметрическим многочленом от хх, х2, .... хп . Естественно
поставить вопрос, нельзя ли найти такие симметрические много-
многочлены fy, /г, ..., fm, чтобы всякий симметрический многочлен можно
было выразить через них указанным выше образом. Оказывается,
что в качестве таких многочленов fx, f2, ..., fm можно взять эле-
элементарные симметрические многочлены
ох, о2, ..., ап (при этом т = п). А именно, имеет место следующая
теорема:
Теорема 1. Всякий симметрический многочлен f (xlt xt, ...,
..., х„) может быть представлен в виде многочлена от элементарных
симметрических многочленов.
Другими словами, можно найти такой многочлен F (Хх, Х2, .:.,
..., Хп ) от п переменных с ковффициентами из кольца К, что
F(ax, а2, ... , ап) =/.
Доказательство этой теоремы будет проведено в следующем
пункте, а сейчас рассмотрим некоторые примеры. Легко видеть,
что
о\ = (хх + х2 + ... + хп )*=х*+х22 + ... + х\ +
+ 2 (ххх2 + ххх3 + ... + хп_,хп) = 5 (xf) + 25 (ххх2),
откуда
S(^) = a?-2a,. C)
Далее,
°i°% = S (Х1хг) + 3S (Xxxixs),
так что
S {х\х2) = о,о2 - Зо3. D)
Наконец, из равенства S (х\) ог = S (х\) -f- S (х\х2) находим, что
S(^) = a3_3aia2 + 3a3. E)
Формулы C), D) и E) позволяют выразить через элементарные сим-
симметрические многочлены любой симметрический многочлен, степень
которого не выше 3. (При этом предполагается, что я ^ 3; если
я = 2, то следует считать о3 = 0.)
Пример 1. Выразим через оъ о2, о3, о4 многочлен ^
/ (хь х2, х3, xt) = (xt + х2 — х3 — xt) (х1 — хг +
+ *з — xt) {хх — х2—х3+ х±).
Прежде всего убедимся, что многочлен / симметрический. Легко
заметить, что он является произведением всевозможных выраже-
выражений гххх + е2х2 + г3х3 + е4х4, в каждом из которых:
а) среди коэффициентов < e2, е3, в4 два равны 1, а остальные
два равны —■ 1; - _ ,, /•";
б) е1 = 1. - " - ' ^ f^- ' /
Пусть (tx, г2, /3i г4) — любая перестановка чисел 1, 2, 3, 4.
Тогда многочлен / (а; , д; , дс{, xj будет произведением всевозмож-
всевозможных выражений е1х1 + е2л:2 + &3х3 + е4л:4, удовлетворяющих ус-
условию а) и, вместо условия б), условию е( = 1. Если ix= 1, то
многочлен / (дг( , хь, х{, х1) будет произведением тех же множите-
множителей, что и f (хи х2, xSy Xi); если i1 Ф 1, то два множителя будут от-
отличаться знаком от соответствующих множителей многочлена
/ (xlt хг, х3, л:4). В любом случае
I (Xh, Xl2, Xi-, XlJ = l(Xi, X2, X3, Х4).
Таким образом, /— симметрический многочлен.
Коэффициенты многочлена / при х\, х\ х2 и ххх2х3 равны соот-
соответственно 1, —1 и %. Следовательно,
По формулам D) и E) находим, что f
f — о* — 3axa2 + 3ff3 — CTia2 + З03 + 2a3 — o3{ — 4^^ -f 8a3.
3. Доказательство основной теоремы.
Лемма 1. Пусть и = ах^х** ... xkp- — лексикографически,
старший член симметрического многочлена f (хъ хг, ..., хп). Тогда
К>^>...>К. F)
Доказател ьство.. Рассуждая от противного, предполо-
предположим, что kt < kl+l для некоторого i. Наряду с членом и многочлен
88
f (xv x2, ..., xn) должен содержать член, получающийся из него
перестановкой xt и xt+1, т. е. член
и' =ax\<x\--...x'i^x^i...xknn.
Легко видеть, что и' >- и (первые i — 1 показателей совпадают, а
г-й показатель у и' больше, чем у и). Это противоречит тому, что
и — старший член многочлена /.
Лемма 2. Для любого одночлена и = ах\* ;ф ... х^п (а Ф 0),
показатели которого удовлетворяют неравенствам F), существует
многочлен вида
ао\' о12'... о1пп,
старший член которого совпадает с и.
Доказательство. Старший член многочлена о>е равен
ХуХг ••■ xk. В силу теоремы 2 § 1, старший член произведения
нескольких многочленов от xlt хг, ..., хп равен произведению их
старших членов. Следовательно, старший член многочлена
ао{* с^ ... а'пп равен
ax\i (х^I'... (хгх2... хп Iп — ах^+1* + - + 1п х\ + - + 1п ... х1пп-
Приравнивая его одночлену и, получаем следующую систему урав-
уравнений для определения показателей 1Ъ /2, ..., /„:
+ /,+ ... + /„ = *!
/2 + ... + /„ == k2 G)
Вычтем из 1-го уравнения 2-е, из 2-го—3-е и т. д., кончая (п—1)-м
уравнением. В результате получим эквивалентную систему из сле-
следующих уравнений:
lt = kt — kl+1 (i = 1, 2, ..., n — 1), (g)
'n == "я •
Отсюда видно, что набор чисел (/гх — k2, k2 — k3, ..., kn_r — kn, kn )
является единственным решением системы G). Из условия леммы
следует, что все эти числа неотрицательны и, значит, могут быть
показателями одночлена. Таким образом, в качестве искомого мно-
многочлена можно взять
h = a a*'-** a*2-fe3... а Vr*B а*я. (9)
Перейдем непосредственно к доказательству теоремы \. Пусть
/ (xlt x2, ..., хп) — произвольный симметрический многочлен. Тре-
Требуется найти такой многочлен F (Xlt Х2, ..,, Хп ) от п переменных,
чтобы
F(alt a,, ... , on) = f. A0)
Если / = 0, то можно взять F = 0, и доказательство закончено.
Пусть J Ф 0, и пусть и — ах\1 х\* ... хкп" — старший член
89
многочлена /. Согласно лемме 1, выполняются неравенства F). По
лемме 2, существует такой одночлен /it (Хх, Хг, ... Х„ ), что старший
член многочлена Лх (alt a2, ...,.а„) равен и. Рассмотрим разность
fi = / —M°i. <*„, -. <*„).
Если /х = 0, то
f = h1(a1, а„, ... , а„),
и доказательство закончено.
Если /j — ненулевой многочлен, то, во всяком случае, его
старший член иг младше, чем и. Существует такой одночлен
h2 (Хх, Х2,..., Х„), что старший член многочлена h2 (alt a2, ..., а„)
равен ых.
Положим
ft = fi — hi{o1, о2 о„) = / —fti(Oi, а„ ... ,о,)-
— М<т1( а2. - . а«)-
Если /2 = 0, то
/ = К (Plt о2 ап) + h2 (alt ая, ... , ап),
и доказательство закончено. Если /2 — ненулевой многочлен, то
его старший член и2 младше, чем щ. Продолжая этот процесс,
получаем последовательность многочленов [,fi,f2,.--, старшие
члены которых удовлетворяют неравенствам
«>Ы1>ыя>... • A1)
Покажем, что описанный выше процесс долже'н оборваться,
т. е. на иекотором шаге должен получиться нулевой многочлен. Из
неравенств A1) и определения лексикографического упорядочения
следует, что показатели степеней хх в одночленах и, иъ и2, ... об-
образуют невозрастающую последовательность. Так как все они не-
неотрицательны, то существует такой номер тъ что при всех m ^ тг
показатель степени х1 в одночлене ит один и тот же. При лексико-
. графическом сравнении этих одночленов показатель степени хх уже
не будет играть роли и, следовательно, показатели степени хг в
этих одночленах образуют невозрастающую последовательность.
Начиная с некоторого номера /ла и эти показатели будут равны
между собой. Продолжая это рассуждение, находим такой номер
тп = М, что при всех т ^ М все соответствующие показатели
одночленов ит равны. При этом условии неравенство им ^> им+1
невозможно. Следовательно, fM+1 — 0.
Согласно построению многочленов /1; f2, ..., имеем:
fM+i =/—Ai(ai' a2. - . aJ — Mai. a2 an)~
— ■■■—■hM+l (ov o2, ... , an),
и, значит,
f = Mai> аг- - . <*„) + A2 K. a2. - an) + -
- + hxl+l(o1, a,, ... , an) = F(olt a2 aj,
где F = hi + h2 + ... + hM+i. Теорема доказана.
90
4. Теорема единственности. Естественно задаться Еопросом,
однозначно ли выражение данного симметрического многочлена /
через многочлены <тъ а2, ..., оп, т. е. однозначно ли определен мно-
многочлен F, удовлетворяющий условию A0). Оказывается, что ответ
на этот вопрос положителен.
Теорема 2. Всякий симметрический многочлен / (xt, х2, ■■■,хп)
единственным образом представляется в виде многочлена от элемен-
элементарных симметрических многочленов.
Докажем вначале одну лемму.
Лемма 3. Пусть
V(av ая, ... , ал) = Ьо™>о™....а™я.
Если старшие члены многочленов U (а1г а2, ...,ап) и V (ои <г2,..., ап)
(от хг, х2, .... хп) пропорциональны, то lt = mt npui = 1, 2, ..., п.
Доказательство. Если klt &2, ..., kn — показатели
старшего члена многочлена U (ах, а2, ,.., ап), то /х, /2, ..., /„ удов-
удовлетворяют уравнениям G). Этим же уравнениям удовлетворяют^ и
щ, т2, ..., тп. При доказательстве леммы 2 мы видели, что система
уравнений G) имеет единственное решение. Следовательно, /; = т1
(i = 1, 2, .... п).
Доказательство теоремы 2. Предположим, что
F и G — два различных многочлена от п переменных такие, что
f = F(alt <т2, ... , on) = G(aly as, ... , а„>.
Положим Н = F — G, тогда Я ф 0, но
ЯК, а2, ... , ая) = 0. A2)
Пусть Uly U2, ..., Us — все члены многочлена Я. Обозначим
через щ (i = 1, 2, ..., s) старший член многочлена £/; (oi, а2> ■••>о„).
По лемме 3, среди одночленов ux, u2> ■••> us нет пропорциональных.
Выберем из них старший. Пусть это будет uv По построению, одно-
одночлен их старше всех остальных членов многочлена Ut (olt cr2> •••>
..., оп) (i = 1, 2, ..., s). Поэтому после приведения подобных чле-
членов в сумме
Ufa, а2, ... , oa) + U2(ov а2 оп) + ... + Us(ov а2, ... , а„)
член % сохранится. Отсюда следует, что эта сумма не равна нулю,
что противоречит равенству A2). Тем самым теорема доказана.
5. Практические указания. Следуя доказательству теоремы 1,
можно найти выражение любого конкретного симметрического мно-
многочлена через аъ о.г, ..., оп . Однако на практике удобнее приме-
применять другой способ, который мы сейчас изложим.
Для облегчения вычислений целесообразно представить данный
симметрический многочлен в виде суммы однородных симметриче-
симметрических многочленов и каждый из них в отдельности выразить через
о у, а2, ..., ап , после чего сложить полученные выражения.
91
Для однородного симметрического многочлена / (х{, х2 ,
..., х„) выражение через ах, а2, ..., оп может быть найдено след> ю-
щим образом. П^сть степень многочлена / равна k. Тогда многочле-
многочлены /х, f2, ..., о которых идет речь в доказательстве теоремы 1, также
буд>т однородными симметрическими многочленами степени k.
Их старшие члены ии и2, ... удовлетворяют неравенствам A1).
Исходя из этого, можно указать возможные наборы показателей од-
одночленов иъ и2, •'■ • Это будут наборы (къ k2, ■■-, kn) целых неотри-
неотрицательных чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
1) *!>*;>...>*„;
2) kt + kt + ... + kn=k;
3) одночлен jc*i xfy ... х*п младше старшего члена многочле-
многочлена /.
Для каждого из таких наборов (klt k2, ■•-, kn), а также для на-
набора показателей старшего члена многочлена / нужно выписать по
формулам (8) одночлен от av а2, ..., ап, старший член которого
как многочлена от xlt х2, ..., хп равен х\* xk* ... хкпп . Из доказа-
доказательства теоремы 1 следует, что многочлен / будет линейной комби-
комбинацией найденных таким образом одночленов от аи а2, ..., оп.
Коэффициенты этой линейной комбинации могут быть определены
из системы линейных уравнений, которые получаются, если при-
придавать переменным хи хг, .... хп конкретные значения. (Коэффи-
(Коэффициент при одночлене от а1г сга ап , соответствующем старшему
члену самого многочлена /, равен, очевидно, коэффициенту этого
старшего члена.)
П р и м е р 2. Выразим через элементарные симметрические
многочлены многочлен
I (хг, х2, xs, #4) = о (xtx2).
Данный многочлен / — однородный многочлен четвертой сте-
степени; его старшим членом является одночлен xfx2. Согласно выше-
вышеприведенному алгоритму, нужно найти всевозможные наборы
(klt k2, ks, &4) Целых неотрицательных чисел, удовлетворяющие
условиям:
1) h > k2 > ks > А4;
2) k1 + kt + k3 + kt = 4;
3) одночлен x^jc^ xk3> x\<- младше, чем хгх2.
Выпишем эти наборы вместе с набором показателей старшего
члена многочлена / в следующую таблицу:
3 10 0
2 2 0 0
2 110
1111
а\
а, а я
В правом столбце указаны соответствующие одночлены от av o^ а3,
а4) показатели которых вычислены по формулам (8).
92
Многочлен / представляется в виде
/ = о\ а2 + аа-2 + Ьага3 + со4.
Для определения коэффициентов а, Ь, с будем придавать различные
значения переменным хи х2, х3, л:4 и вычислять, какие значения
при этом принимают левая и правая части равенства. Все вычисле-
вычисления расположим в таблицу, в первых четырех столбцах которой
указаны значения, придаваемые переменным, в следующих пяти
столбцах — значения, которые при этом принимают оъ а2, as- °ь
и /, а в последнем столбце выписаны соответствующие уравнения
для коэффициентов а, Ь, с.
*.
1
1
1
1
1
1
x,
0
1
— 1
0
0
—1
a.
2
3
0
1
3
-2
a.
0
1
0
a.
0
0
1
2
6
—4
2 =
6 =
—4
4 4-a
27 4- 9a 4- 36
==4a4-c
После преобразований получаем следующую систему урав-
уравнений:
i а = -2,
За + Ь=-
+ Ь=-7,
{4а + с=— 4,
откуда а = —2, b = —1, с = 4.
Таким образом,
f = а?а2-2а| —а1ая + 4а4.
Пример 3. Выразим через элементарные симметрические
многочлены многочлен
f (хи х2, х3) = (хгх2 + л:3) (^a:3 + хг) (х2х3 + хх).
Раскрыв скобки, представим многочлен / в виде суммы одно-
однородных многочленов:
f = х\ х\ х\ + (х\х.2х
Имеем:
(х\ х\
,A2A3
. v2 v2 4-
Л1 Л3 ^
хххгх3.
л:''х x ~"-\~ x x^x
= {a\ — 2a2) a3 =
12 1 j
— JK X X^ (x
<т?Оо — 2do(T(,,
$ о3 =
хгх2х2) =
(Ввиду простоты получившихся многочленов их выражения через
ai> а2. °з находятся непосредственно.) Следовательно,
93
6. Некоторые приложения. П>сть h (x) — многочлен степени
п с коэффициентами из поля Р, имеющий п корней сг, с2, ..., сп в
этом поле. По формулам Виета значения элементарных симметри-
симметрических многочленов от п переменных в точке (сх, с2, ..-, сп) выра-
выражаются через коэффициенты многочлена. Пользуясь этим обстоя-
обстоятельством и теоремой 1, можно найти значение любого симмет-
симметрического многочлена в точке (сх, с2, ..*., сп), не знаясамих корней
Ci, С2, ..., Сп .
В частности, любой многочлен f (х) с числовыми коэф-
коэффициентами, как мы покажем в § 2 гл. IV, имеет п корней в поле С
комплексных чисел. Указанный выше способ позволяет вычислить
любой симметрический многочлен от этих корней.
Пример 4. Найдем с\ + &2 + с^, где сх, с2, с3 — комплексные
корни многочлена 2х3 + хг + 1.
По формуле E)
*? + х\ + х\ ^ °! - 3(Tia2 + за3. A3)
С другой стороны, по формулам Виета находим:
ах {съ сг, с3) = — —,
аг (d, с2, с3) = О,
Придавая переменным хъ х2, х3 в равенстве A3) значения съ с2, с3,
получаем:
Пример 5. Пусть съ с2, с8, с4 — корни многочлена
f (х) = л;4 + рх2 + qx + г 6 С I*].
Найдем многочлен третьей степени, корнями которого являются
числа
% — c\ci ~\~ C3C4> fl2 = ^1С3 ~Ь C2C4i aS — С1С4 "Г"
Запишем искомый многочлен в виде
g (х) = х3 + ах2 + Ъх + с.
Согласно формулам Виета,
а=—(а1 + аг + а3),
b = ахаг + axaz + а2а3.
c^ — a-fifa.
Рассмотрим многочлены
=: xix2 ~г л;зЛ'4> "г == ^i*8 ~Ь х2х^, hs = л;хд:4 -J-
Это- всевозможные выражения вида xt Xj + л;А л;,, где /, /, k, I p а з-
л и ч н ы. Поэтому при любой перестановке переменных хх, хг,
94
x3, xt многочлены hlt /i2, h3 только переставляются между собой.
Следовательно, выражения hr + h2 + h3, hxh2 + hji3 + h2h3,
h-^x2h3 являются симметрическими многочленами от xlt х2, х3, хх.
Непосредственные вычисления показывают, что
Ai + h2 + h3 = <т2,
hxh2 + hxh3 + h2h3 = S (x\x2x3) = ata3 — 4a4,
h1hih3 = S (х]хгх3х^ + S (x\x\x$ = S (^)a4 +
+ a\ — 2S {x\x%Xi) - (a* — 2a2) a4 + a2 - 2a2a4 =
= ofoi -j- o23 — 4a2a4.
Придавая в этих равенствах переменным хъ х2, х3, xt значения
Сц с2, с3» с4 и учитывая, что
о1(с1, с2, с3, с4) = 0,
а2 (с1( с2, с3, с4) = р,
. a3 (Cj, c2, cs, c4) = —9,
a4 (Cl са, cs, с4) = г
(формулы Виета для многочлена / (л:)), получаем:
<h + ai + аз = Р,
ахаа + flifls + а2°з = — 4r,
а^^з = ^2 — 4рг.
Таким образом, искомый многочлен имеет вид
' 8 (х) =• х* — Рх2 — 4гл; + Dpr — q*).
Этот пример будет использован в § 4 гл. IV для решения в радика-
радикалах уравнения четвертой степени.
Теория симметрических многочленов может быть применена к
решению систем алгебраических уравнений вида
/, (хъ хг, ... , хп) =0 (i = 1, 2, ... , п),
гДе fi> ft> ■■■»//! — симметрические многочлены. Выразив
левые части уравнений через ov a2, ..., оп , иногда удается решить
получившуюся систему уравнений относительно olt a2, ..., оп и
тем самым найти значения многочленов <т1( а2, ..,, о„ в точках, яв-
являющихся решениями исходной системы. Далее, из формул Виета
следует, что если значения аь а2, ..., оп в точке (cv c2, ..., сп) рав-
равны аъ а2, ..., On, то съ с2, ..., сп— корни уравнения
t" — aj"-1 + a2f"-a + ... + (—1)" ап = 0.
Таким образом, решение исходной системы сводится к решению од-
одного или нескольких уравнений п-й степени с одним неизвестным.
Пример 6. Решим систему уравнений
хг + у2 + г2 = 42,
1 X3 + у8 + 23 = 60.
95
Выражая по формулам C) и E) левые части уравнений через эле-
элементарные симметрические многочлены, приходим к следующей си-
системе уравнений относительно alt о2, оу.
\ = О,
О\ — 3cTj02 -\- Зо3 = 60.
Решая эту систему, находим:
а1==0, аа=—21, а3 = 20.
Следовательно, любое решение исходной системы есть набор из трех
корней уравнения
Р — 21^ — 20 = 0.
Одним из корней этого уравнения является —1. Два других корня
находятся после деления на t + 1. Это будут —4 и 5. Таким обра-
образом, исходная система уравнений имеет 6 решений, представляю-
представляющих собой всевозможные перестановки из чисел —1, —4, 5.
Вопросы для самопроверки
1. Являются ли симметрическими многочлены ххх2 + х3х4 и
х\ + х\ + х I— ххх2х3 из кольца R \хъ хг, х3, х4]?
2. Что такое элементарные симметрические многочлены?
3. Докажите, что если сумма двух однородных многочленов
разных степеней является симметрическим многочленом, то каждый
из них также является симметрическим многочленом.
4. Докажите, что любой многочлен от симметрических много-
многочленов также является симметрическим многочленом.
5. В чем состоит основная теорема о симметрических многоч-
многочленах?
6. Что можно сказать о старшем члене симметрического много-
многочлена?
7. Покажите, что не может быть бесконечной убывающей
(в смысле лексикографической упорядоченности) последовательно-
последовательности старших членов симметрических многочленов.
8. Какой старший член у многочлена ог<з\о^ где ov о2, о3, о4 —
элементарные симметрические многочлены от xv х2, х3, х4?
9. Докажите, что если Н (Xlt Х2, ..., Хп ) — такой многочлен
от переменных Xlt Х2,...,Хп, что Н (ov а„, ..., ап) = 0, то
Н (Xlt Хг, ..., Хп) = 0.
10. При каком условии на многочлен Н (Хъ A, •■•, Хп) много-
многочлен Н (ах, а2 ап ) от переменных хх, х2, ■■-, хп будет одно-
однороден?
Упражнения
1. Выразите через элементарные симметрические многочлены
следующие многочлены из кольца Z [хъ х2, х3]:
\ 1 i It Ч О
а\ v-J I i vO I . V"J ___ V V V *
/ Л* 1'" Лд | Лп - ил\Л 2Л3 *
96
б) S {х\ х2);
в) (хг — х2J (хг — х3)\х2 — х3J;
г) х\ + х\ + х\ — 2х\х] — 2х\х\ —
д) (х\ + х2 + х3) (х\ + хх + xs) {х\ + хг -F х2).
2. Выразите через элементарные симметрические многочлены
следующие многочлены из кольца Z [хъ хъ х3, xtb
а) {х\ + 1) {х\ + 1) (ж§ + 1) (х\ + 1);
б) (хг + хг) (хг + х3) (Хг + Xi) (х2 + х3) (х2 + х4) (х3 + х4).
3. Определите значение многочлена / (xlt x2, ..., хп ) от корней
данного алгебраического уравнения над полем С:
а) / {хъ х2, х3) = S {х\ х2), х3 — х2 — 4х + 1 =0;
б) / (хъ х2, х3, xt) = S (х\хгх3), х* + Xs - 2хг - Зх + 1 = 0.
4. а) Найдите многочлен третьей степени, корнями которого
являются кубы корней многочлена х3 — х— 1 €С Ы.
б) Найдите многочлен четвертой степени, корнями которого
являются квадраты корней многочлена xi + 2х3 — х + 3 6 С Ы.
5. Решите систему уравнений (над полем /?):
a)
б)
§ 3. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С различного рода уравнениями и системами уравнений мы
сталкиваемся почти во всех областях науки и техники, использую-
использующих математический аппарат. В данном пособии рассматриваются
только алгебраические уравнения и системы алгебраических урав-
уравнений, причем основное внимание уделяется алгебраическим мето-
методам их решения. Нужно отметить, что эти методы имеют скорее
теоретическое, чем прикладное значение. Что касается практиче-
практических методов решения уравнений (в том числе и алгебраических),
то они рассматриваются в курсах приближенных вычислений.
1. Метод последовательного исключения неизвестных. Пусть
Р — произвольное поле.
Системой алгебраических уравнений над полем Р называется си-
система уравнений вида
fi{x1, х2, ..., л;„) = 0 (t = 1, 2, ..., т), A)
где fv /2, ..., fm — многочлены с коэффициентами из поля Р. Про-
Простейшие типы систем алгебраических уравнений — это алгебраиче-
алгебраические уравнения произвольной степени с одним неизвестным и си-
системы линейных уравнений.
4 Заказ 98 97
x\
■ x\
xxx
x\
x\
+ 4
4- jc3
-f *2
2 + Л
2 + X
{x2 4
-гл:3 —
4- v3 _
-г л3
1^з + Д
+ *з ~
■ x ) +
6,
- л:
c2*
-ал:
- 4
*2
_ у V
3 =
3 +
(Хг
з = -4,
—3;
Y 4- **
+ л;2 +
4- г 1 4-
+ л:3
*з) =
х2 (х
■=
5,
ч-
-з,
- *2)
Аналогично тому как это делается в случае систем линейных
уравнений, решение системы алгебраических уравнений произ-
произвольной степени путем последовательного исключения неизвестных
может быть сведено к решению уравнений с одним неизвестным.
Покажем, как производится исключение неизвестного в системе
двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
{(х.1)=% ^^Р1х.У)). B)
Представим левые части уравнений данной системы в виде мно-
многочленов от л: с коэффициентами из кольца К, — Р [у]:
f (х, у) = F (х) = а0 (у) х" + а, (у) х"~1 + ... + ап (у),
q (х, y) = G (х) = b0 (у) хт + b, (у) хт~1 + ... + Ьт (у),
причем будем считать, что а0 и Ьо — ненулевые многочлены от у.
Пусть для определенности я ^ т. Если многочлен F (х) домножить
на b'o~m+i, то его можно будет разделить с остатком на G (я) в коль-
кольце К ix] (см. п. 1 § 3 гл. II), т. е. найдутся такие многочлены Q (х),
R (х) 6 К [*], что
t%-m+lF(x) = Q(x)G(x) + R(x), C)
причем ст. R (х) < ст. G(x). Равенство C) можно рассматривать
как соотношение в кольце Р [х, у]:
Ьо (У)п~т+1 f (х, у) = q (х, у) g (х, у) + г (х, у), D)
где
q (x, y) = Q (х), г (х, y) = R (x).
Умножим теперь первое уравнение системы B) на b0 (y)n~m+1 и
вычтем из него второе уравнение, умноженное на q (x, у). Мы полу-
получим уравнение
г(х, у) = 0, E)
являющееся следствием системы B).
При условии, что значение неизвестного у не обращает в нуль
многочлен Ьа (у), исходная система уравнений B) эквивалентна си-
системе, которая получается из нее заменой первого уравнения
уравнением E). Однако среди решений системы B) могут быть и та-
такие, которые обращают в нуль многочлен Ьо (у). Эти решения
совпадают с решениями системы, которая получается из системы B)
добавлением уравнения
60(у) = 0
и заменой второго уравнения уравнением
g(x, y) = 0,
где
g(x, У) =Ь1(У)хт~1+ ... +Ьш(у).
98
Таким образом, множество решений системы B) есть объедине-
объединение множеств решений следующих двух систем уравнений:
I (г(х, у)-О, II
\g(x, У) =
/(*, У) = О,
ё{Х, У) =
(Первая из этих систем наряду с уравнениями содержит неравен-
неравенство Ьо (у) Ф 0). Каждая из систем I и II проще исходной системы
уравнений в том смысле, что сумма степеней всех ее уравнений по х
меньше, чем у системы B).
Применяя описанную выше процедуру к первым двум уравне-
уравнениям каждой из систем I и II, а затем к уравнениям каждой из вновь
получившихся систем и т. д. до тех пор, пока это возможно, мы
в конце концов придем к ряду систем уравнений и неравенств, в
каждой из которых лишь одно уравнение содержит
неизвестное, х. В самом деле, если бы в какой-то из полу-
получившихся систем было два уравнения, содержащих х, то к этой си-
системе можно было бы еще раз применить указанную выше процеду-
процедуру. Итак, каждая из получившихся систем уравнений и неравенств
имеет вид
h(x, y) = 0,
pt(y) = 0 (i=l, 2,..., К),
' ?;(У)¥=0 (/=1, 2,... /). F)
Для решения системы F) нужно, очевидно, найти общие корни
многочленов ръ р2, ■■-, рк, выбрать из них те, которые не являются
корнями ни одного из многочленов <7i» <?2> • •-> <?;> а затем каждый из
оставшихся корней подставить в первое уравнение и решить полу-
полученное уравнение относительно х.
Таким образом, решение каждой из получившихся систем вида
F) сводится к последовательному решению алгебраических уравне-
уравнений с одним неизвестным. Множество решений исходной систе-
системы B) есть объединение множеств решений всех этих систем.
Пример 1. Решим систему уравнений (над полем /?):
Г 2л;3 — 2х/ + у3 — 2х2 — 2х — у = 0,
I * * 0
Левые части уравнений представим как многочлены от л; с коэф-
коэффициентами из кольца R [у]:
Так как старший коэффициент многочлена G (х) равен единице,
то F (х) можно разделить с остатком на G (я) в кольце многочленов
над R [у]. Выполнив это деление, найдем, что остаток равен
99
Следовательно, исходная система уравнений эквивалентна системе
2 + ух — (у2 — у) = 0.
Множество решений этой системы уравнений есть объединение мно-
множеств решений следующих двух систем:
— у2 + у = 0, Bх — у==0,
у2—1=0; \х* + ху — у2 + у = 0.
Первая из них имеет следующие 4 решения: @; 1), (—1; 1), B; —1),
(—1; —1). Для решения второй системы можно было бы исключить
неизвестное х, разделив с остатком левую часть второго уравнения
на левую часть первого уравнения (как многочлены от х). Однако
в данном случае проще выразить у через х из первого уравнения и
подставить это выражение во второе уравнение. Таким образом
найдем еще 2 решения исходной системы уравнений: @; 0), B; 4).
Пример 2. Решим систему уравнений:
i 2*/ — х2у + у + 5 = 0,
( х2у2 + 2х2у — 5х + 1 = 0.
Представим левые части уравнений как многочлены от х:
F(x) = —yx* + 2ysx + (y + 5),
G (х) = (у2 + 2у) х2 — 5х+ 1.
При делении G (х) на F (х) получается остаток
R (х) = Bу* + 4у3 - 5) х + (у2 + 7у + И).
■ Исходная система уравнений эквивалентна системе
(Здесь F (х) и R (х) следует понимать как многочлены от х и у.)
Домножим F (х) на Bу4 + 4у3 — 5J и разделим с остатком на
R (х). В результате получится остаток
Следовательно, множество решений исходной системы уравнений
есть объединение множеств решений двух систем
F (х) = О,
2у4 + 4у3 — 5 = О
С помощью алгоритма Евклида можно убедиться, что многочлены
у2 + Ту + 11 и 2у4 + 4у3 — 5 взаимно просты и, значит, не имеют
общих корней. Следовательно, система II не имеет решений. Что
!00
касается системы I, то для ее решения необходимо решить уравне-
уравнение R1 = 0 относительно у. Мы не будем этим заниматься. Отметим
только, что многочлены #х и 2у* + 4/ — 5 взаимно просты и по-
поэтому каждому решению уравнения Ry = 0 отвечает ровно одно
решение исходной системы. (При каждом найденном из уравнения
/?х = 0 значении у значение х будет однозначно определяться из
первого уравнения системы 1, линейного по х.)
Аналогичный метод может быть применен к системе из произвольного
числа алгебраических уравнений с любым числом неизвестных. Если система
имеет конечное число решений, то все они могут быть найдены этим способом
(при условии, что мы умеем решать алгебраические уравнения с одним неизвест-
неизвестным).
В том случае, когда система алгебраических уравнений имеет бесконечно
много решений, можно ставить вопрос о нахождении «общего решения» в виде
набора многочленов (или рациональных функций) от некоторого числа парамет-
параметров, дающего все решения системы при подстановке в нею всевозможных наборов
значений параметров. Такое общее решение, как известно из линейной алгебры,
допускает любая система линейных уравнений. Однако для произвольной
системы алгебраических уравнений общего решения, вообще говоря, не сущест-
существует. Вопросы, связанные с описанием многообразий решений произвольных
систем алгебраических уравнений (так называемых алгебраических многообразий),
весьма сложны. Ими занимается раздел математики, называемый алгебраической
геометрией.
2. Исключение неизвестного при помощи результанта. Если
воспользоваться теоремой 5 § 1 гл. II, то исключение неизвестного
из системы алгебраических уравнений можно провести другим,спо-
другим,способом.
Покажем, как это может быть сделано для системы двух алгеб-
алгебраических уравнений с двумя неизвестными х, у. Если представить
левые части уравнений системы в виде многочленов от х с коэффи-
коэффициентами из кольца Р [у\, то система запишется в виде
F (х) = а0 (у) х" + а, (у) х"^ + ... + ап (у) = О,
(x) = bo(y)x"'+b1(y)x"'-l+ ... +bn(y) = O.
Положим у = у0 £ Р. Тогда левые части уравнений станут много-
многочленами от л: с коэффициентами из Р. Согласно теореме 5 § 1 гл. II
и замечанию к ней эти многочлены могут иметь общий корень толь-
только в том случае, когда их результант (вычисленный как для много-
многочленов степеней п и т) равен нулю. Следовательно, если сущест-
существует решение (х0, у0) системы G), то у0 — корень многочлена
ап(у)
Ь0(У)Ьг(у) ... Ьт(у)
■ Ьт (у)
К (у) bi(y) ■ • -bm(y)
т строк
п строк
(8)
101
Таким образом, решение системы G) сводится к решению одного
алгебраического уравнения R (F, G) = 0 относительно неизвестно-
неизвестного у и затем, для каждого решения у0 этого уравнения, к совместному
решению двух алгебраических уравнений с одним неизвестным, ко-
которые получаются из уравнений G) подстановкой у = у0.
Пример 3. При помощи результанта исключим неизвестное
из системы уравнений примера 2.
По формуле (8) находим:
R(F, G) =
— У 2/ у+ 5 0
О —у 2/ у + 5
/ + 2у — 5 1 О
О у2 +2у —5 1
= УDУ7 + 8ув + 11/+ 84/ + 161/ + 154у3 +- 96у — 125).
Одним из корней уравнения R (F, G) = 0 является 0; однако при
подстановке его в исходную систему получается противоречивое
равенство 5 = 0, так что этому корню не соответствует никакого
решения системы. Следовательно, всевозможные значения у удов-
удовлетворяют уравнению
4/+ 8/+ Ц/ + 84/ + 161/+ 154у2 + 96у — 125 = 0.
Таким.образом, мы приходим к тому же результату, что и при ре-
решении примера 2.
Ситуация, с которой мы встретились при решении последнего
примера, является типичной в том смысле, что решение системы ал-
алгебраических уравнений обычно сводится к решению алгебраиче-
алгебраических уравнений с одним неизвестным, но значительно более высо-
высокой степени, чем степени уравнений исходной системы. Ввиду
этого способ решения систем алгебраических уравнений, основан-
основанный на исключении неизвестных, оказывается практически менее
удобным, чем некоторые методы, используемые с одинаковым успе-
успехом для решения систем как алгебраических, так и трансцендент-
трансцендентных уравнений.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое система алгебраических уравнений?
2. Как исключается неизвестное из системы двух алгебраиче-
алгебраических уравнений с двумя неизвестными? Почему в процессе исключе-
исключения появляются не только новые уравнения, но и неравенства?
3. Как можно исключить неизвестное из системы двух алгеб-
алгебраических уравнений с двумя неизвестными с помощью результан-
результанта? Что получится, если применить этот метод к системе двух ли-
линейных уравнений с двумя неизвестными?
102
Упражнения
1. Методом, описанным в п. 1, исключите х из системы уравне
ний (над R):
а) Г х2 — ху + у2 = 3, б) (х3 — ху — у* + у = О,
\хгу + ху2 = 6; I х2 + х — у2 — 1 = 0;
в) Г у = х» _ 2х2 — 6* + 8,
1
2. Выполните упражнение 1 а) и б) при помощи результанта.
3. Решите систему уравнений над полем С:
а) |5у2 — Ьху + 5л:2 — 16 = О,
[у _ Ху + 2л:2 — у — х — 4 = 0;
б) (у2 + (х — 4)у + л:2 — 2л: + 3 = 0,
{у3 — 5/ + (х + 7)у + х3 — х2 - Ьх — 3 = 0.
Глава IV
МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЯМИ СИ/?.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ
И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В предыдущих главах мы, как правило, рассматривали много-
многочлены с коэффициентами из произвольного поля Р или даже из
произвольной области целостности. Лишь в нескольких местах нам
пришлось наложить некоторые ограничения на поле Р: например,
в пп. 6—8 § 2 гл. II мы требовали, чтобы это поле имело нулевую
характеристику. Свойства кольца Р [х\ для конкретного
*поля Р могут оказаться значительно богаче. В настоящей главе мы
остановимся более подробно на двух случаях: Р = С (поле комплек-
комплексных чисел) и Р = R (поле действительных чисел). Большинство
приложений относится именно к этим случаям.
Главный вопрос, который нас теперь будет интересовать, — это
вопрос о корнях многочленов, или, что то же самое, о корнях
соответствующих алгебраических уравнений. Напомним, что алгеб-
алгебраическим уравнением (с одним неизвестным) степени п называется
уравнение вида
f(*) = o, (П
где / (х) — многочлен степени п с коэффициентами из некоторого
поля Р. Решение уравнения A) — это элемент х0 поля Р, удовлет-
удовлетворяющий условию / (х0) ==. О, т. е. корень многочлена / (х). По-
Поскольку слово «решение» может означать также процесс отыскания
решений, то во избежание двусмысленности мы будем называть ре-
решения уравнения A) его корнями.
Иногда говорят о корнях (решениях) уравнения A)', лежащих
в каком-либо заданном расширении L поля Р, например о комплекс-
комплексных корнях уравнения с действительными коэффициентами. Это
следует понимать в том смысле, что многочлен / (х) рассматривается
как элемент кольца L Ы (см. п. 7 § 1 гл. I).
Свойства алгебраических -уравнений с коэффициентами из поля
Р тесно связаны со свойствами кольца Р Ы и существенно зависят
от поля Р. Как уже было сказано выше, эта глава будет посвящена
случаям Р = С и Р = R. В следующей главе мы рассмотрим слу-
случай Р = Q.
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
В одной из предыдущих глав курса было построено поле комп-
комплексных чисел. Напомним, что всякое комплексное число с един-
единственным образом представляется в виде a -J- Ы, где а, Ь — действи-
104
У,
•1
0
с-а
а
X
Рис. 3
-U2L
-2 -1
21
-2-1 ->■
Рис. 4
1+1
1-1
Рис. 5
тельные числа, а / — «мнимая единица», обладающая тем свойством,
что t'2 = —1. Число а называется действительной, а Ы — мни-
мнимой частью числа с. Они обозначаются через Re с и 1т с соответст-
соответственно.
Поле действительных чисел является подполем поля комплекс-
комплексных чисел (комплексное число а + Ы действительно, если b = 0),
или, что то же самое, поле комплексных чисел является расши-
расширением поля действительных чисел. Комплексное число, не
являющееся действительным, называется мнимым.
1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Рассмотрим
плоскость с декартовой системой координат (рис. 3). Сопоставим
комплексному числу с = а + Ы (a, b £ R) точку плоскости
с координатами а, Ь. Мы будем говорить, что эта точка изображает
число с. Очевидно, что каждая точка плоскости изображает единст-
единственное комплексное число. В частности, точки оси абсцисс изобра-
изображают действительные числа, точки оси ординат — чисто мнимые
числа, т. е. числа вида Ы (b £R). На рисунке 4 показаны изобра-
изображения нескольких комплексных чисел.
Комплексному числу с = а + Ы можно сопоставить также
вектор плоскости с координатами а, Ь, который можно пред-
представлять в виде направленного отрезка, соединяющего начало ко-
координат с точкой, изображающей число с (рис. 5).
При изображении комплексных чисел с помощью векторов
сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов.
В самом деле, пусть
V. с2 =
Ьг[
(аъ Ьъ а2, Ьг
тогда сг + с2 = (ai + а2) + (Ьг + b2)i. Числу с± сопоставляется
вектор с координатами av blt числу сг — вектор с координатами
а2, Ь2. При сложении векторов их соответствующие координаты
складываются.
Следовательно, сумма векторов, сопоставленных числам с1 и
b + b
у р
с2, имеет координаты ах + а2, b1 + b2 и
сопоставленным числу сх + с2 (рис. 6).
совпадает с вектором,
105
c2
Ч
0
X
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Аналогично доказывается, что умножению комплексного числа с
на действительное число k соответствует умножение вектора на
число k (рис. 7).
Вектор, соединяющий точки, изображающие комплексные чис-
числа с1 и с2, является изображением числа с2 — с± (рис. 8). В самом деле,
координаты этого вектора равны а2 — аи Ь2 — Ьг; с другой сто-
стороны,
) h b)
так что число сг — с1 изображается как раз вектором с координата-
координатами а2 — аи Ьг — Ьх.
Исходя из этих основных свойств, можно интерпретировать не-
некоторые геометрические построения в терминах операций над комп-
комплексными числами. Для краткости мы будем в дальнейшем гово-
говорить о «точке с» или «векторе с», понимая под этим точку или вектор,
изображающие комплексное число с.
Пример 1. Докажем, что точка — (сх + са) есть середина
отрезка, соединяющего точки q и сг.
Построим параллелограмм на радиус-векторах точек с1 и с2
(рис. 9). Середина отрезка, соединяющего точки сх и с2, есть в то же
время середина другой диагонали этого параллелограмма и, зна-
значит, совпадает с точкой — (сх + с2), что и требовалось доказать.
2. Тригонометрическая форма комплек-
комплексных чисел. Точка плоскости, отличная
от начала координат, может быть задана
своими полярными координа-
координатами г, ф, где г — расстояние от дан-
данной точки до начала координат, ф — угол
между положительной полуосью абсцисс и
радиус-вектором данной точки, отсчитывае-
отсчитываемый против часовой стрелки (угол ф опреде-
определен с точностью до прибавления целого
кратного 2л).
Полярные координаты г, ф точки, изоб-
С+с,
Рис. 9
106
ражающей комплексное число
сф О, называются модулем и ар-
аргументом числа с и обозначают- |.-/|=?
ся через \с\ и argc соответственно: arql-1
\2\=2, агд2=0
4 HH,argi=f
г = \с
-1
-1-
J-i-
Рис. 10
У
г sin ft
0
<^S\P |
г cosy
X
= argc.
Если изображать число с векто-
вектором, то |с|будет длиной этого
вектора, a arg с — углом, кото-
который он образует с положитель-
положительной полуосью абсцисс. На ри-
рисунке 10 изображено несколько
комплексных чисел с указанием
их модулей и аргументов. Мо-
Модуль числа 0 считается равным
0, аргумент этого числа не оп-
определен.
С помощью геометрической
интерпретации сложения комп-
комплексных чисел как сложения
векторов (см. рис. 6) доказыва-
доказывается неравенство
В самом деле, \сх\, |с2| и |с! + с2| — длины сторон треугольника
(быть может, вырожденного), так что рассматриваемое неравенство—
это просто теорема о том, что длина стороны треугольника не пре-
превосходит суммы длин двух других его сторон. Заменяя в этом не-
неравенстве сх на сх — с2, мы можем получить неравенство
\С1—С2 I г^ I С1 I—\ С2 I \С1, С2^Ь}.
Наконец, заменяя в последнем неравенстве с2 на —с2, получаем
неравенство
Рассмотрим какое-либо комплексное число с = а + Ы (a, b£ R),
отличное от нуля; обозначим через г и ф его модуль и аргумент со-
соответственно. Тогда а и b — декартовы координаты точки, изобра-
изображающей число с, а г и ф — ее полярные координаты. Согласно фор-
формулам перехода от декартовых координат к полярным и обратно,
имеем:
Рис. 11
и, с другой стороны,
(рис. 11).
а = г cos ф, b = г sin
B)
!07
Формулы A) позволяют найти модуль и тангенс аргумента комп-
комплексного числа, заданного в виде а + Ы. Для определения аргу-
аргумента по его тангенсу достаточно знать, в какой координатной чет-
четверти находится точка, изображающая данное число, что устанав-
устанавливается по знакам а и Ь.
Пример 2. Найдем модуль и аргумент числа с = —1 + /Уз.
В данном случае
а = —1, b = V3, г = УГ+~3 = 2, tgcp = — УЗ,
откуда следует, что ср = или — (с точностью до прибавления
о о
целого кратного 2я), но так как точка —1 + г'УЗ находится во
второй четверти {а < О, Ь > 0), то ср = —.
Исходя из формул B), получаем, что
с — r(coscp + ' sin cp). C)
Представление комплексного числа с в виде г (cos cp -f- / sin cp),
где г, ср — действительные числа, причем г > О, называется триго-
тригонометрической формой числа с. Из предыдущего следует, что вся-
всякое комплексное число, отличное от нуля, представляется в триго-
тригонометрической форме, если в качестве г взять его модуль, а в каче-
качестве ср — аргумент. Так, число —1 + г'УЗ~ представляется в
виде 2 cos Ь ' sin — (см. пример 2).
\ 3 3 /
Покажем, что если равенство C) выполняется для каких-то
действительных чисел г, ср, причем г > 0, то г неизбежно является
модулем, а ср — аргументом числа с. Для этого рассмотрим точку
плоскости с полярными координатами г, ср. Она изображает комплек-
комплексное число, модуль которого равен г, а аргумент равен ср и которое,
по предыдущему, равно г (cos ср + i sin cp), т. е. с. Следовательно,
г есть модуль, а ср — аргумент числа с, что и требовалось доказать.
Так как модуль комплексного числа определен однозначно, а
аргумент — с точностью до прибавления целого кратного 2я, то
из доказанного выше следует единственность тригонометрической
формы комплексного числа, понимаемая в следующем смысле: если
rx (cos срх + i sin cpi) = r2 (cos cpa + ' sin ф2),
причем rx > 0, ra > 0, то rx = r2 и cpx = cpa (mod 2n). (Последнее
сравнение означает, что срх — ср2 = 2kn, где k £ Z.)
Пример 3. Запишем в тригонометрической форме число
с = _з — 4/.
Имеем:
а = — 3, Ь = —4, г =Уз2Ч-42 ==5, tg q> = —.
О
Так как точка с находится в третьей четверти, то
cp = arctg4+л. (А)
О
108
Таким образом,
—3 — 4/ — 5(cosq> + 'sin ф),
где угол ф определяется по формуле D).
3. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма хорошо приспособлена для умножения
комплексных чисел и как следствие этого •— для деления, возведе-
возведения в степень и извлечения корня.
Рассмотрим два комплексных числа, записанных в тригономет-
тригонометрической форме:
сх = г1(созф1 + / sin ф!), E)
с2 = r2 (cos ф2 + i sin ф2). F)
Вычислим их произведение:
cic2 ~ rir2 ((cos Ф1 cos Фг — si° Ф1 s'n Фг) + г' (cos Ф1 sin Фг +
-| Sin )
Воспользовавшись формулами для косинуса и синуса суммы двух
углов, полученное выражение можно переписать следующим
образом:
ciC2 = rir2(cos (Ф1 + Фг) + г sin (ф! + Фг))- G)
Тем самым произведение схсг представлено в тригонометрической
форме, причем его модуль равен гхгг, а аргумент равен фх + ф2.
Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел ра-
равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме
аргументов, например:
2я , . . 2л\ о / 4л . . . 4л\
cos h t sin — 3 cos M sin — =
5 5/1 15 15/
c ; /2л . 4я\ , . . /2л , 4я\\ „ / 2л . . 2я'
6 cos — +1 sin = 61 cos — + г sm —
1 ' " 15/ ^ \Ъ 15/j \ .3 3
Из этого правила умножения комплексных чисел в три-
тригонометрической форме вытекает следующее правило деления:
модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению их мо-
модулей, а аргумент отношения равен разности аргументов. В самом
деле, пусть числа сх и с2 заданы формулами E) и F) соответственно
и пусть с — комплексное число с модулем — и аргумен-
аргументом фх — ф2. Тогда число с2с имеет модуль г2 • — = гх и аргу-
аргумент ф2 + (фх — ф2) = ф:
и требовалось доказать.
T1
мент ф2 + (ф1 — Фг) — Ф1- Стало быть, с2с = сх, т. е. — = с, что
109
Например,
2я
2я'
-, г-tz I 5я . . . 5л\
= у 21 cos h i sin— .
Я\ I 12 12/
1 —|— l" r.— / Я jt-
У 2 cos — + i sin —
V 4 4
Комплексные числа, модуль которых равен 1, представляются
в виде cos ф + i sin ср. Их произведение также имеет модуль 1 и
вычисляется по формуле
(cos Ф1 + i sin фх) (cos ф2 -f i sin ф2) = cos (ц>1 + ф2) + i sin (фх + ф2).
(8)
Совокупность Т всех комплексных чисел, модуль которых ра-
равен 1, является подгруппой мультипликативной группы
комплексных чисел, отличных от нуля. В самом деле, только что
мы отметили, что эта совокупность замкнута относительно умноже-
умножения. Кроме того, ясно, что 1 (Г и что если с 6 Т, то и с (: Т:
точнее,
(соэф + isincp) = cos(—ф) + i sin (—ф). (9)
Геометрически подгруппа Т изображается окружностью ради-
радиуса 1 с центром в начале координат.
С точки зрения теории групп возможность и единственность представления
в тригонометрической форме всякого комплексного числа, отличного от нуля,
означает, что мультипликативная группа всех комплексных чисел, отличных от
нуля, разлагается в прямое произведение подгруппы Т, описанной
выше, и подгруппы положительных чисел.
Что касается строения группы Т, то формула (8) означает, что отображение
ф _*. cos ф + 1 sin ф является гомоморфизмом аддитивной группы дейст-
действительных чисел на группу Т. Ядро этого гомоморфизма есть подгруппа 2 к Z,
состоящая из чисел вида 2kn, где k £ Z. Следовательно, группа Т изоморфна
фактор-группе /?/2л Z (которая, как легко видеть, изоморфна фактор-группе
RIZ).
Правило умножения комплексных чисел в тригонометрической
форме допускает следующую геометрическую интерпретацию: при
умножении какого-либо комплексного числа z на число с = г (cos ф -f
+ i sin ф) вектор, изображающий число г, растягивается в г раз и
поворачивается на угол ф. В самом деле, при умножении на с мо-
модуль числа z умножается на г, а к его ар-
аргументу прибавляется ф.
В частности, умножение насозф+/зт<р
равносильно повороту на угол ф (рис.12).
Например, умножение
на
=cos —
2
Рис. 12
... л л
+ i sin — равносильно повороту на —.
П р.и м е р 4. Две вершины равно-
равностороннего треугольника находятся в точ-
110
ках 1 и —1 + 2г. Найдем его третью вер-
вершину.
Вектор, соединяющий точку 1 с точкой
— 1 + 2г, изображает комплексное число
(—1 + 2/) — 1 = —2 + 2/. Вектор, соеди-
соединяющий точку 1 с третьей вершиной тре-
треугольника, получается из него поворотом на
— в ту или другую сторону (рис. 13), т. е.
О
умножением
я
COS ~Г~
на
-f- / sin
л
'¥
1
Рис. 13
или на
I
cos —^-
isin I—3-I = т_.
Обозначая искомую вершину через с, имеем:
откуда находим два возможных значения с:
4. Возведение в степень. Правило умножения комплексных
чисел в тригонометрической форме, найденное в п. 3, очевидным
образом переносится на любое число множителей. А именно модуль
произведения нескольких комплексных чисел равен произ-
произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме их аргу.
ментов. В частности, взяв п одинаковых множителей, получим сле-
следующую формулу, называемую формулой Муавра:
(r(cos<p + isiiKp))" = r"(coswp + j'sinmp).
П p и м e p 5. Вычислим (—1 + i
Имеем:
2n
2п
14л
14л
(—1 + (у 2>у = 2 cos Ь «sin — =27 cos (- г sin
\\3 3 // \ 3 3
128 (cos — + i sin —) = 64 (—1 + t VS).
\ 3 3 /
При r = 1 формула Муавра принимает особенно простой вид:
(cos ф + г sin ф)" = cos п ф + i sin Пф.
Эта формула позволяет выразить cos шр и sin лф через cos ф и
sin ф. Для этого нужно - вычислить (cos ф + / sin ф)" другим
ill
способом, пользуясь формулой бинома Ньютона. Действительная
часть полученного выражения будет равна cos n<p, а мнимая —
sin пц>. В результате получим:
cos шр = cos" ф — С\ cos" ср • sin2 ф + Сп cos"ф • sin4ф — ....
sin щ = п cos" ф • sin ф — С„ cos" ф • sin3 ф +
+ Сьп cos" ф • sin5 ф — ... .
Например,
cos 4ф ■= cos4 ф — 6 cos2 ф • sin2 ф + sin4 ф,
sin 4 ф =■ 4 cos3 ф • sin ф — 4 cos ф • sin3 ф.
5. Извлечение корня. Рассмотрим задачу об извлечении корня
n-й степени из комплексного числа с = г (cos ф + I sin ф), т. е.
о нахождении всех таких комплексных чисел z, что
z" = c. A0)
Пусть z — некоторое комплексное число, представленное сле-
следующим образом в тригонометрической форме:
z — s(cos ф -f- г sin г)?) (s > 0).
По формуле Муавра,
г" = s" (cos пф +1 sin т|з).
Равенство A0) будет выполняться тогда и только тогда, когда
s" — г, пф = ф (mod2jx)
(см. п. 2). Эти условия означают, что s = У г (арифметическое-Зна-
(арифметическое-Значение корня),
п
Таким образом, получается следующая общая формула для корней
n-й степени из с:
Z4 = ^7fcoe2±»»+isin!E±^V (И)
\ п п 1
где k может быть любым целым числом. Однако не все числа zk,
получаемые по этой формуле, различны. А именно при kx ==
^fe2(mod n) аргументы чисел zk и zk отличаются на целое крат-
кратное 2jx и, следовательно, zh = zk . С другой стороны, при^х^^2
(mod п) разность аргументов чисел z. иг равная '~ 2'",
1 ! п
не будет целым кратным 2п и, значит, zk Ф гк . Таким образом,
различных корней будет ровно п. Они могут быть получены, напри-
например, при следующих значениях k:
6 = 0, 1, 2, .., л—1. A2)
Пример 6. Найдем все корни 5-й степени из —1 + i\/~2>.
Так как —1 + i ]/ = 2 (cos — + i sin — ] (см. пример 2), то
\ 3 3 /
112
V -
= V 2fcos
= 1 2
2 Ck 4-
cos
1)л
i sin
15
-f i sin
2 Cft -r 1) л
15
Все 5 искомых корней получаются, например, при k = 0, 1, 2, 3, 4
Zn = г 2 COS —
{
15 ■
= т/ 2 (cos —
Hit
г sin —
15
. . 8л
- I Sill —
15
14 л'
z2 = -/2 cos ^ + i sin ^-'
\ 15 «15
Vh / 20я , . . 20л
z,= i/2 cos — 4- i sin —
K \ 15 15
5/-?r / 26я . . . 26л\
^ = /2(cos- + ism --).
Подчеркнем, что операция извлечения корня из комплексного
числа многозначна. А именно при извлечении корня п-й степени из
комплексного числа, отличного от нуля, получается п различных
чисел. Все эти числа имеют один и тот же модуль, а их аргументы
образуют арифметическую прогрессию с разностью —. Геомет-
Геометрически это означает, чго изображающие их точки являются вер-
вершинами правильного n-угольника с центром в начале координат.
На рисунке 14 изображены корни 5-й степени из числа ■—1 + i]^3.
6. Корни из единицы. Рассмотрим особо извлечение корня
n-й степени из 1. В этом случае г = 1, ф = 0, и формула A1) при-
принимает вид
zk = cos — + i sin—. A3)
n n
Точки zk (k = 0, 1, 2, ..., /i — 1) являются вершинами правиль-
правильного л-угольника, вписанного в окружность радиуса 1 с центром
в начале координат, причем одной из вершин этого многоугольника
является 1. На рисунке 15 показан случай п = 7.
Рис. 14
5 Заказ 98
Рис. 15
113
Совокупность Тп всех корней п-й степени из 1 является подгруп-
подгруппой мультипликативной группы комплексных чисел (и даже ее под-
подгруппы Т, описанной в п. 3). В самом деле, из формул (8) и (9) сле-
следует, что
***/-**+/. гГ'-г_й / (М)
(где числа zk определены формулой A3)); кроме того, 1 = z0 £Тп.
Множество Тп является ядром гомоморфизма г -*-гп мультипликативной груп-
группы комплексных чисел в себя. Отсюда также следует, что Тп — подгруппа этой
группы.
Первое из соотношений A4) показывает, что отображение &-»- zk
является гомоморфизмом группы Z целых чисел (по сло-
сложению) на группу Тп. Ядром этого гомоморфизма является под-
подгруппа nZ целых чисел, кратных п. По теореме о гомоморфизме
группа Тп изоморфна фактор-группе Z/nZ, т. е. группе вычетов по
модулю п.
В частности, группа Тп циклическая. В качестве ее
образующего элемента можно взять, например,
2я , . . 2л
z, = cos (- i sin —.
п п
Из A4) следует, что zk = z\ для любого k.
Всякий образующий элемент группы Тп называется первообраз-
первообразным корнем п-й степени из 1. Иными словами, корень п-п степени
из 1 называется первообразным, если любой корень п-й степени из
1 может быть получен из него возведением в некоторую степень.
Из теории циклических групп (см., например, АТЧ III, п. 6 при-
приложения к гл. II) следует, что zk — первообразный корень тогда и
только тогда, когда (k, п) = 1. Так, первообразными корнями 12-й
степени из 1 будут ги гъ, г7 и zn. При простом п все корни, кроме 1,
являются первообразными.
Корни п-й степени из 1 — это не что иное, как все корни
многочлена х" — 1 над полем комплексных чисел. Записы-
Записывая для этого многочлена формулы Виета, можно получить ряд со-
соотношений между корнями п-й степени из 1. Например., при п > 1
их сумма равна 0, так как коэффициент
при хп~х в многочлене х" — 1 равен 0.
Произведение всех корней п-п степени из 1
равно (— I)".
7. Комплексное сопряжение. Пусть с=а-\-
-\-Ы — какое-то комплексное число. Число
а — Ы называется сопряженным (точнее,
комплексно сопряженным) числу с и
обозначается через с. Геометрически комп-
комплексное сопряжение представляет собой
отражение относительно действительной
Рис. 16 оси (рис. 16).
114
У,
0
X
Операция комплексного сопряжения обладает следующими
свойствами:
1°. F= с.
2°. q + сг = Cj + с2, '
Первое из этих свойств очевидно, второе и третье могут быть
проверены непосредственным вычислением Проверим, например,
третье свойство. Пусть
с1 = а1 + V, с2 = д2 + b2i;
тогда
qc2 = (аха2 — ЬгЬг) + (аф2 + b,a2) i.
С другой стороны,
что и требовалось доказать.
Отображение с -> с является взаимно однозначным отображе-
отображением поля комплексных чисел на себя. Свойства 2° и 3° означают,
что это отображение есть изоморфизм поля комплексных чи-
чисел на себя, или, как говорят, автоморфизм этого поля.
^Как и любой изоморфизм полей, комплексное сопряжение обладает
'следующими двумя свойствами:
4° с с = ~с с"
Исходя из свойств 2° — 5°, нетрудно доказать по индукции, что
если комплексное число с получается из чисел с1у с2, ..., ck в ре-
результате каких-то арифметических операций, то эти же операции,
произведенные над сопряженными числами сь с2, ..., ch , дадут со-
сопряженный результат, т. е. число с, например:
С\ С1С2
Полезно также отметить, что комплексное число совпадает со
своим сопряженным тогда и только тогда, когда оно действитель-
действительно. В частности, действительными будут числа с + с и ее, каково
бы ни было комплексное число с. Непосредственно проверяется,
что если с = а + Ы, то
иначе это можно записать следующим образом:
c + c = 2Rec, A5)
сс = \с\\
115
Вопросы для самопроверки
1. Как строятся точка и вектор, изображающие комплексное
число с = а.+ Ы? Как они между собой связаны?
2. Каков геометрический смысл сложения комплексных чисел?
3. Каков геометрический смысл вычитания комплексных чисел?
4. Опишите множество точек, изображающих комплексные чис-
числа, модуль которых равен 2.
5. Опишите множество точек, изображающих комплексные
Зя
числа, аргумент которых равен—.
4
6. Что такое тригонометрическая форма комплексного числа?
В каком смысле она единственна?
7. Как связаны между собой тригонометрические формы комп-
комплексных чисел с и —с? сие?
8. Каков геометрический смысл умножения на — 1 + г'?
на V$~-h
2
9. Каков геометрический смысл деления на г (cos ср + i sin <p),
где г > 0 ?
10. Докажите, что комплексные числа, модуль которых равен
1, образуют группу по умножению.
11. R чем состоит формула Муавра?
12. Что такое корень п-п степени из комплексного числа с?
13. Чему равна сумма всех корней п-й степени из числа с?Чему
равно их произведение?
14. Укажите какой-нибудь образующий элемент в группе кор-
у 3" i
ней 12-й степени из 1. Является ли -—^— образующим этой группы?
15. Найдите все комплексные числа с, для которых с" = с.
16. Докажите, что всякое комплексное число, модуль которого
равен 1, может быть представлено в виде —, где с — некоторое
комплексное число.
17. Докажите, что если с — корень n-й степени из 1, то и с будет
корнем n-й степени из 1.
18. Что такое первообразный корень п-й степени из 1 ?
19. Укажите все первообразные корни 9-й степени из 1.
20. Напишите многочлен, корнями которого являются в точно-
точности первообразные корни 12-й степени из 1.
Упражнения
1. Найдгте комплексное число с такое, что'.
а) точка с делит в отношении 2 : 1 отрезок, соединяющий точки
_1 + i и - — 2г";
б) точка с есть точка, пересечения медиан треугольника с вер-
вершинами в точках 2 — i, 1 + Ы и 2г;
116
в) точка с есть вершина параллелограмма, остальные три вер-
вершины которого находятся в точках Зг, 4 — Зг и —2 -f- *. причем
вершина с противоположна вершине 4 — Зг.
2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа: а) —2i;
б) -1 + г; в) -1-г; гJ£[-4*.
3. Представьте в тригонометрической форме комплексное число:
а ) 3; б) —1 - г; в) 1 — УЗ; г) \Л3 + i; д) 3 + г; е) —4 + г.
4. Две вершины квадрата находятся в точках —2 + i и 1 + 2/.
Найдите две другие его вершины, считая, что данные вершины:
а) противоположные; б) соседние.
• 5. Вычислите
а) A + УЗJ0; б) (КЗ-гI2;
У " W * + 18
6. Выразите через cos ф и sin ф: a) cos 5ф; б) sin 6ф.
7. Извлеките корни: a) |А'; б) yr2 -f- 2г; в) у —4; г)
д) {/ТЕГ; е)
V
{/ТЕГ; е) !/I + I. .
§ 2. ТЕОРЕМА ОСУЩЕСТВОВАНИИ КОРНЯ
В ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
1. Формулировка основной теоремы. Необходимость рассмотре-
рассмотрения комплексных чисел связана с тем, что уравнение хг + 1 = О
не имеет корней в поле действительных чисел. А'ожно было бы ожи-
ожидать, что какие-то другие алгебраические уравнения с действитель-
действительными (и тем более с комплексными) коэффициентами не имеют
корней и в поле комплексных чисел. Однако это не так. Справедли-
Справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Всякое алгебраическое уравнение положитель-
положительной степени с числовыми коэффициентами * имеет корень в поле ком-
■плексных чисел.
Впервые доказанная в 1799 г. великим немецким математиком
Гауссом, эта теорема известна как «основная теорема алгебры».
Необходимо отметить, однако, что это название теоремы, несмотря
„на ее важность для всех разделов алгебры, связанных с числами,
все же не может в настоящее время пониматься буквально, так как
современная алгебра не ограничивается изучением операций над
числами.
Существует много доказательств «основной теоремы алгебры»,
причем ни одно из них не является в полной мере алгебраическим.
Это' связано с тем, что ь самой конструкции поля действительных
* Имеются в виду любые комплексные числа.
117
чисел и тем самым поля комплексных чисел заложены неалгебраиче-
неалгебраические элементы. В следующем пункте будет приведено доказатель-
доказательство, основанное на теореме о минимуме непрерывной функции и на
так называемой «лемме Даламбера».
2. Доказательство основной теоремы. Рассмотрим уравнение
f(x) = 0, A)
где / (х) — нормированный многочлен степени п ^ 1 с комплекс-
комплексными коэффициентами
f (х) = хп + alXn-1 + а2хп-* + ... +ап, B)
(а1( а2, ..., ап£С, п> 1).
Лемма I. Существует такое положительное число А, что
при всех х0 £С, удовлетворяющих условию \хо\ > А, выполняется
неравенство \f (хо)\ > |/@)|.
Доказательства. Воспользуемся соотношениями меж-
между модулями комплексных чисел (см. пп. 2, 3 § 1):
\ г г \ -— \ г I I г I
К I С1 + са К I Сг | + | С2
Для любого х0 €С имеем:
/(*„) = х10
так что
1
-1 J- Jll J_ I "Я
J
Рассмотрим функцию
1 —
*0 Г
действительной переменной t. Очевидно, что lim <p (t) = +оо.
Следовательно, для любого С существует такое А > 0, что <р (/) > С
при всех t > А. В частности, можно взять С — \f @).| = |ая | .Со-
.Соответствующее А будет удовлетворять требованию леммы. В самом
деле, при \хо\ >А имеем:
Лемма доказана.
118
Пусть А — число, определенное по лемме 1. Рассмотрим на
комплексной плоскости замкнутый круг К радиуса А с центром
в начале координат. По лемме вне круга К многочлен f (х) прини-
принимает значения по модулю большие, чем f @) (В частности, отсюда
следует, что он может обращаться в нуль только в круге /С.)
Рассмотрим функцию
ф(«, v) = \f(u + iv)\
двух действительных переменных и, v. Покажем, что она непрерыв-
непрерывна на всей плоскости. Пусть ak= bk + ick, где bk, ck £/?; тогда
/ (и + iv) = (и + tv)" + (Ьх + ic,) {и + w)"-1 + ... +
+ (Ьп + icn ) = фх (и, v) + 1фя (и, v)t<
гДе ^1 (w> v)> tyz (ы> w) — некоторые многочлены с действительными
коэффициентами. Очевидно, что
ф (и, v) =
Так как многочлены т|з, (?^, у), а|J (ы, у) — непрерывные функции,
то и функция "ф («, и) непрерывна. Область определения функции
■ф (и, v), т. е. плоскость переменных и, v, можно отождествить с
комплексной плоскостью.
Из курса анализа известно, что всякая функция двух (или лю-
любого другого числа) действительных переменных, определенная
и непрерывная во всех точках замкнутого ограниченного множест-
множества, достигает минимума в некоторой точке этого множества. При-
Применяя эту теорему к функции ар (и, v) в круге К, можно заключить,
что существует точка х0 = и0 -f iv0 этого круга, в которой функция
ар («, v) достигает минимума. Это означает, что
|/(*o)KI/(*i)l C)
для всех хх £ К. В частности,
так как 0 £ К- Согласно построению круга К, значения многочлена
/ (л:) вне этого круга по модулю больше, чем / @), и тем более, чем
/ (л:0). Следовательно, неравенство C) выполняется для всех хх £ С.
Теперь нам понадобится такая лемма:
Лемма 2 (лемма Даламбера). Если многочлен f (x)
не обращается в нуль в точке х0 £С, то для любого г >0 сущест-
существует такое и £С. что Ги| < е и |/ (х0 + и)\ < \f (хо)\.
Иными словами, сколь угодно близко к точке х0 на комплекс-
комплексной плоскости найдутся точки, в которых значение многочлена
f (х) по модулю меньше, чем f (х0). Поэтому если |/(л:)| достигает
минимума в какой-то точке комплексной плоскости, то этот мини-
минимум равен нулю*. С другой стороны, выше было доказано, что
| / (л:) | достигает минимума в некоторой точке х0. По лемме Далам-
* Из леммы Даламбера следует даже, что всякий локальный минимум
равен нулю. Однако для доказательства основной теоремы это не требуется.
119
бера заключаем, что |/ (хи)\ = 0 и, значит, / (л:0) = 0, т. е. х0 -г- ко-
корень уравнения A). Таким образом, для завершения доказательства
основной теоремы остается лишь доказать лемму Даламбера.
Доказательство леммы 2. Сделав замену х = х0 +
+ у, где у — новая переменная, и произведя тождественные
преобразования, представим многочлен / (х) в виде многочлена
от у:
= со + ау+ ... +сп_1уп-1 + спу". D)
Так как у = х — х0, то при подстановке в это равенство х = х0
получаем / (х0) = с0. По условию / (х0) Ф 0. Следовательно, с0 ф 0.
Кроме того, сп — \ф 0, поскольку член, содержащий у", появля-
появляется только при раскрытии скобок в выражении (х0 + у)п. Пусть
k — наименьшее положительное число такое, что ck Ф 0. Иначе
говоря, пусть сх = с% = ... = ck_l = 0, но ck ф 0. (Если сг Ф 0,
то k = 1.) Имеем тогда:
f (х) = с0 + с, у" + ck+1yw + ... + сп уп (с0 ф 0, ck Ф 0). E)
Идея доказательства леммы Даламбера состоит в том, что пове-
поведение функции / (х) (а значит, и |/ (х)\) в малой окрестности точки
А'п'в основном определяется первыми двумя членами разложения -
E). Если бы остальных членов вообще не было, то можно было бы
рассуждать следующим образом. Обозначим через у0 какое-либо
решение уравнения
с0 + ску" = 0, F)
т. е. одно из значений корня k-и степени из • -.
Пусть t — действительное число, лежащее в интервале ] 0; 1[.
Тогда
/ (*о + Ьо) = с* + ck tky\ = с0 A -1%
откуда видно, что
|f(
Выбирая /достаточно малым, можно добиться того, чтобы \tyo\ < e,
и тогда комплексное число и = ty0 будет удовлетворять требовани-
требованиям леммы.
В общем случае доказательство отличается лишь тем, что оцени-
оценивается модуль суммы остальных членов разложения E). А именно
пусть у0, как и выше, — решение уравнения F), t £]0; 1[. Имеем:
=-- с0 A -)«) + (ck+ly+l + ... + ся t»-»-y
Модуль второго выражения, стоящего в скобках, не превосходит
числа
120
Следовательно,
Выберем / в интервале ] 0; 1[ настолько малым, чтобы Mt < |С„|.
Тогда
0<1-~< 1 и |/(*о+*Уо)|<|<ч>[.
I со I
Если дополнительно потребовать, чтобы \tyo\ < е, то комплексное
число и = ty0 будет удовлетворять требованиям леммы.
3. Разложение на линейные множители в кольце С [х]. Согласно
доказанной выше ^основной теореме алгебры» всякий многочлен
/ (х) €С [х] степени п ^ 1 имеет корень хи в поле С. В случае когда
степень / (х) больше единицы, из наличия корня у многочлена / (х)
вытекает его приводимость (см. п. 3 § 2 гл. II). Следовательно, в
кольце С [х] непрйводимы только многочлены первой степени.
Каждый многочлен f (х) £С [х] степени п ^ 1 может быть раз-
разложен на неприводимые множители в кольце С [х]. Из предыдущего
замечания вытекает, что это разложение является разложением на
линейные множители. Итак, доказана такая теорема:
Теорема 2. Каждый многочлен f (х) £С [х] степени п ^ 1
может быть разложен на линейные множители в кольце С [х].
Пример 1. Разложим на линейные множители многочлен
По формуле решения квадратного уравнения (применимой и к
уравнениям с комплексными коэффициентами) находим корни мно-
многочлена f (х): *
_ 1 ± V—3 — 4t _ 1 jr(l —21) ■
*i,2 — 2 2 ""
откуда Xi = 1 — i, хг = i. Следовательно,
f(x) = (x-l+i)(x-i).
Пример 2. Разложим на линейные множители многочлен
/(*) = х* — Зх + 2£С[х].
Легко видеть, что один из корней многочлена / (х) будег равен 1.
Разделив f (х) на х — 1, получим многочлен
х2 + х — 2 = (х— 1)(х — 2).
Следовательно,
f(x) = (x~\f(x + 2).
Комбинируя теорему 2 с теоремой 1 § 2 гл. I, получим следующее
следствие.
Следствие. Всякое алгебраическое уравнение степени
п ^ 1 с числовыми коэффициентами имеет в поле С ровно п кор-
корней (с учегюм кратностей).
121
В дальнейшем, говоря о корнях алгебраических уравнений
(или многочленов) с числовыми коэффициентами, мы всегда будем
иметь в виду комплексные корни.
Пример 3. Найдем все корни уравнения
х* + х3 + 2х + 2 = 0.
Левую часть уравнения можно представить в виде
Одним корнем, очевидно, будет —1, а остальные три корня — это
кубические корни из —2, т. е. —/2,/2~(—Ь №А.\ и у'2,1
\ 2 2 / \ 2
-'■■?)■
Вопросы для самопроверки
1. В чем состоит «основная теорема алгебры»?
2. Докажите, что модуль многочлена от комплексной перемен-
переменной z = и + iv (и, v £/?), является непрерывной функцией от и и v.
3. Докажите, что модуль многочлена от комплексной перемен-
переменной достигает минимума.
4. В чем состоит смысл леммы Даламбера ?
5. Пользуясь леммой Даламбера, докажите, что минимум моду-
модуля многочлена от комплексной переменной равен нулю.
6. Как определить число корней (с учетом кратностей) много-
многочлена над полем комплексных чисел ?
7. Докажите, что в кольце С [х] всякий многочлен разлагается
на линейные множители.
8. Какие многочлены неприводимы в кольце С [х] ?
Упражнения
Разложите на линейные множители в кольце С Ы многочлены:
а) х* + 4;
б) х3 — 6х2 + 1 \х — 6;
в) х* + 4а-3 + 4л:2 + 1;
г) л:4— 10л:2 + 1.
§ 3. МНОГОЧЛЕНЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
-1. Свойства мнимых корней. При изучении многочленов с дей-
действительными коэффициентами представляют интерес не только их
действительные, но и мнимые корни, рассмотрение которых позво-
позволяет, в частности, выяснить, какие многочдены неприводимы в
кольце R [х].
.122
Установим одно простое свойство совокупности всех комплекс-
комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами.
Теорема 1. Если комплексное число х0 является корнем
многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное
число х0 также является корнем этого многочлена.
Отметим, что утверждение теоремы представляет интерес только
в том случае, когда х0 — мнимое число, поскольку если х0 действи-
действительное, то х0 = х0.
Доказательство. Пусть данный многочлен имеет вид
/ (х) = аох" + а^"'1 + ... +ап_1х + ап.
(«о. а1 ап-к an£R)
По условию, / (х0) = 0, т. е.
а0хпо + fli-Ko + .» + ап^х0 + ап = 0.
Для вычисления / (х0) воспользуемся следующими свойствами опе-
операции комплексного сопряжения (см. п. 7 § 1):
С1 4" С2 = С\ 4" С2> С1 С2 == С\С2>
а также тем, что любое действительное число совпадает со своим
сопряженным. Имеем:
/ (х0) = а0х'о + а^о~1 + ... + an_~xQ + an =
= а0 хп0 + а1 хТ1 + ... + ап_ххй + ап =
а0
4- а.п-л.4 + ап = /(*о) = 0 = 0,
т. е. х0 также является корнем многочлена / (х).
2. Разложение на неприводимые множители в кольце R [х].
Из теоремы 1 можно вывести, что в кольце R [х\ не приводимы только
многочлены первой степени и многочлены второй степени, не имею-
имеющие действительных корней.
В самом деле, пусть f (х) £/? Ы — многочлен степени п^Зи
х0— какой-либо его комплексный корень. Если х0 €/?, то много-
многочлен / (х) делится на л: — х0 в кольце R 1х] и, следовательно, при-
приводим. Если х0 £ R, то, по теореме 1, х0 также является корнем
многочлена / (х) (причем х0 Ф х0). В этом случае в разложение
многочлена / (х) на линейные множители в кольце С Ы входят мно-
множители х — х0 и х — х0. Следовательно, / (л:) делится на квадрат-
квадратный трехчлен
(х — х0) (х — х0) = хг — (х0 + х0) х + хохо.
Так как хо + х0 €/? и хохо £R, то
(х — х0) (х — xo)£R [х]
и, значит, многочлен / (х) приводим в кольце R [х].
Таким образом, в кольце R [х\ всякий многочлен, степень кото-
которого больше двух, приводим. Что касается многочленов второй
123
степени, то из них неприводимы те и только те, которые не имеют
действительных корней (см. п. 3 § 2 гл. II).
Из описания неприводимых многочленов в кольце R [х\ следу-
следует, что нормированное разложение на неприводимые множители
любого мноючлена f (х) £/? 1х] имеет вид
/ (х) =, а (х - x,t (х - х2)"> ... (х - xfs X
X (х2 + Plx + qtf* (r> + р2х + q,I* . . (х2 + ptx + qt)lt , A)
где xlt x2, ..., xs — различные числа, a x2 + pxx + qx, хг + p2x +
+ q2 x2 + ptx + 4t —, различные квадратные трехчлены, не
имеющие действительных*корней. Обозначим через у, какой-либо
комплексный корень трехчлена х2 + pt х + qt ; тогда другим его
корнем будет yt и, значит,
х2+р^ + ^ = (х-у1)(х-у1). B)
Подставляя эти выражения в A), получаем разложение много-
многочлена / (л:) на линейные множители в кольце СЫ:
f(x) = a(x — %)"' (х — x2)k* ... (х — xsp X
Xix-y^ix-^ix-yj'^x-'y,I* ...(x-yt)lt (x-~y)lt. C)
Заметим, что у, ф уs при i ф /, так как в противном случае из
формулы B) следовало бы, что
х2 + р,х + qt _.== х2 + р;х + qr
По той же причине у, ф уг Отсюда следует, что у1 и yt —'корни
кратности /". Таким образом, каждому неприводимому делителю
h(x) второй степени многочлена f (х) € Шх] соответствует пара
сопряженных мнимых корней многочлена f (x), причем кратность
каждого из них равна кратности делителя h(x).
Пример 1. Разложим на неприводимые множители в кольце
R 1х] многочлен
Многочлен / (л:) не имеет действительных корней. Его комплекс-
комплексные корни — это корни восьмой степени из —1. Они могут быть
найдены по формуле
yu = cos-±- \-ism р F = 0, I, 2, , 7).
При этом yk = y7_ft. Так как
(х — Ук)(х— ~Уь) = х2 — {yk-\-y~k)x + ykyk =
„ „ я -f 2/гя ,
= х2 — 2х cos —! h 1,
8
то разложение многочлена / (х) на неприводимые множители в
кольце R [х] имеет вид
124
= [x2 — 2a:cos— + \\[x2 —2a:cos- + 1) X
x (x2—2xcos-+ lV*2 — 2xcos- + 1).
Пример 2. Найдем все корни многочлена
f (x) = х> — 8.v3 f- 24л:2 — 24л: + 16,
зная, что 1 — i является его двукратным корнем.
Число 1 — i = 1 + i также должно быть двукратным корнем
многочлена / (х). Следовательно, / (л:) делится на квадрат трехчлена
(л-—1 +i)(x— l—i) = x2 — 2x + 2.
Выполнив деление / (х) на (хг — 2л: + 2J, получаем разложение
многочлена / (х) на неприводимые множители в кольце R [х\:
Таким образом, кроме двукратных корней 1 — г и 1 + /, много-
многочлен / (л:) имеет еще один (простой) корень — 4.
3. Число действительных корней. В предыдущем пункте мы
показали, что мнимые корни алгебраического уравнения с действи-
действительными коэффициентами разбиваются на пары сопряженных;
поэтому число действительных корней (с учетом кратностей) либо
равно степени уравнения, либо на ч е т н о е число меньше. В ча-
частности, любое уравнение нечетной степени с действительными коэф-
коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
Понятно, что представляет интерес определение точного числа
действительных корней.
Вычисляя значения многочлена / (х) в отдельных точках, мы'
можем обнаружить, что в каких-то точках xlt x2 он принимает зна-
значения разных знаков. Поскольку многочлен — непрерывная функ-
функция, отсюда следует, что в некоторой точке интервала ]хи хг[ он
должен обращаться в нуль. (Конечно, это еще не значит, что в ин-
интервале ]#!, х2[ находится ровно один корень многочлена / (л:).)
Таким способом мы можем оценить снизу число действительных
корней. Однако точное определение этого числа требует привлече-
привлечения других соображений.
Например, для многочлена / (л:) = xi + х2 — 4х + 1 находим:
/@) = 1 > 0, /A) = -1<0, /B) = 13 > 0.
Следовательно, / (х) имеет корни на каждом из интервалов
]0; 1 [и П; 2[. Нетрудно показать, что f(x0) >0 при л:0^0, а также
при х0 ^ 2. Следовательно, всё" действительные корни многочлена
125
/ (л:) лежат в интервале 10; 2[. Однако мы не можем на основании
проделанных вычислений утверждать, что в этом интервале нахо-
находится только два корня, т е. что многочлен / (х) имеет только два
действительных корня. Это можно было бы доказать, например,
с помощью теоремы Декарта: число положительных кор-
корней многочлена с действительными коэффициентами не превосходит
числа перемен знака в последовательности его коэффициентов (ко-
(которое в рассмотренном примере равно двум).
Существуют теоремы (например, теорема Штурма), которые поз-
позволяют точно определить число действительных корней любого
многочлена с действительными коэффициентами. Мы не будем при-
приводить здесь эти теоремы. Интересующийся читатель может найти
их, например, в книге А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры».
4. Вычисление корней. Действительные корни любого алгебра-
алгебраического уравнения с действительными коэффициентами могут быть
в принципе найдены с любой точностью путем вычисления значений
многочлена в отдельных точках Поясним это на примере. Много-
Многочлен
f(x) = х* + х2 — 4х + 1
имеет корень в интервале 11, 2[ (см. п 3). Обозначим этот корень
через х0. Вычисляя значения / (х) в точках 1,1, 1, 2 1, 9, мы
обнаруживаем, что
/A,2)<0, /A,3) >0.
Следовательно, х0 лежит в интервале 11, 2; 1, 3[. Вычисляя значе-
значения / (х) в точках 1,21, 1, 22, ..., 1,29, находим, что
/A,24) < 0, /A,25) >0.
Следовательно, х0 лежит в интервале 11,24; 1,251. Таким об-
образом мы можем найти любое количество десятичных знаков иско-
искомого корня х0, т. е. вычислить его с любой наперед заданной точ-
точностью.
Описанный выше «табличный» метод решения уравнений требует
больших вычислений. Существуют гораздо более совершенные ме-
методы: метод Ньютона, метод итерации, метод Лагранжа, метод Лоба-
Лобачевского и др. Они применимы к алгебраическим уравнениям любой
степени, а некоторые из них — и к трансцендентным уравнениям.
Существуют также методы (например, метод Лобачевского), пригод-
пригодные для вычисления не только действительных, но и мнимых
корней.
Изложение этих методов выходит за рамки нашей программы:
они относятся скорее к вычислительной математике, чем к алгебре.
Читателю, который заинтересуется этим вопросом, мы рекомендуем
статью А. П. Доморяда в книге «Энциклопедия элементарной ма-
математики», т. II.
126
Вопросы для самопроверки
1. Каким свойством обладает совокупность всех комплексных
корней многочлена с действительными коэффициентами?
2. Докажите, что если х0 — двукратный комплексный корень
многочлена с действительными коэффициентами, то х0 также будет
двукратным корнем этого многочлена.
3. Пусть f (x) Z С 1х] — нормированный многочлен, корни ко>
торого (с учетом кратностей) разбиваются на пары сопряженных.
Докажите, что коэффициенты многочлена / (л:) действительны.
4. Докажите, что многочлен нечетной степени с действительны-
действительными коэффициентами имеет действительный корень.
5. Приводим ли в кольце R [х] многочлен х* + х + 1?
6. Какие многочлены неприводимы в кольце R [х]?
Упражнения
1, Разложите на неприводимые множители в кольце R Ы:
а) хв + 27; ^ б) х9 — 8;
в)*в + х3+1; ~ г) Xs — хв ±х* — х2 + 1.
2, Найдите корни уравнения с действительными коэффициента-
коэффициентами, зная, что х0 является /г-кратным корнем:
а) хъ — 6л4 -f 15л:3 — 20л:2 + 14л: — 4 = 0,
х0 = 1 + i, k = 1;
б) хв + 2хь + 4х* + 4х3 + 5л:2 + 2х + 2 = 0,
Xq = t, k = 2.
3, Вычислите табличным методом с точностью до 0,01 действи-
действительный корень уравнения, содержащийся в интервале ]1, 2[:
а) xi + Зх3 — 9х — 9 = 0;
б) л:4 — 6х* + 12х —8 = 0.
§ 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ
И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ (РЕШЕНИЕ В РАДИКАЛАХ)
1. Решение алгебраических уравнений. Известная из школьной
алгебры формула решения квадратного уравнения выражает его
корни через коэффициенты и некоторые фиксированные числа B и 4)
при помощи рациональных операций (сложения, вычитания, ум-
умножения и деления) и извлечения квадратного корня. Эта формула
справедлива для квадратного уравнения с л ю б ы м и действитель-
действительными или комплексными коэффициентами. Естественно желание
найти аналогичные формулы для уравнений более высоких степе-
степеней; при этом следует, конечно, допустить извлечение корня любой
степени. Такие формулы называют решениями в радикалах. С прак-
практической точки зрения они не обладают никакими преимуществами
по сравнению с так называемыми численными (или приближенными)
методами решения уравнений, о которых шла речь в п. 4 § 3. Тео-
127 ~
ретическое значение решений в радикалах состоит в том, что они в
определенном смысле сводят решение произвольных уравнений
данной степени к решению простейших, двучленных алгебраиче-
алгебраических уравнений вида хт — с = 0.
Решения в радикалах уравнений третьей и четвертой степени бы-
были найдены в XVI в. итальянскими математиками Кардано* и Фер-
рари, а в 1824 г. норвежский математик Абель доказал, что для
уравнений пятой и более высокой степени таких решений не суще-
существует. (Эта теорема носит название теоремы Руффини — Абеля,
поскольку первое ее доказательство было опубликовано в 1799 г.
итальянским математиком Руффини; однако оно было неполным.)
"В этом параграфе будут выведены формулы для решения в ра-
радикалах уравнений третьей и четвертой степени. Что же касается
доказательства несуществования таких формул для уравнений бо-
более высоких степеней, то оно выходит за рамки нашей программы.
2. Решение кубических уравнений. Заметим, что решение любо-
любого алгебраического уравнения вида
хп + а^"-1 + а2хп~* + ... +ап_1х + ап = 0
с помощью замены х = у ■ 1 сводится к решению «неполного»
п
уравнения
уп + Ь,уп^ + ... +Ьп_1У + Ьп = О,
не содержащего (п —• 1)-й степени неизвестного. В самом деле, по
формуле бинома Ньютона
где многоточие обозначает члены степеней, меньших, чем п ■— 1.
Поэтому при подстановке у вместо х в левую часть исходно-
п
го уравнения чЛены с у" уничтожаются. Именно этот прием при-
приводит к решению квадратного уравнения; однако для уравнений
более высоких степеней он оказывается недостаточным.
Рассмотрим неполное кубическое уравнение
xs + px + q = 0 A)
с произвольными комплексными коэффициентами р, q.
Положим х = и + v. Левая часть уравнения примет вид
(и + vf + р(и + v) + q = и3 + Vs + (Зда + р) (« + ») + Я- B)
Отсюда следует, что если («0; v0) — решение системы уравнений
3uv + р = 0, U
то х0 = щ + v0 будет решением уравнения A).
* Есть свидетельство, чго формулу для решения кубического уравнения
примерно на двадцать лет раньше Кардано открыл дель Ферро. Однако дель
Ферро не опубликовал своего открытия.
128
Обратно, если х0 — решение уравнения A),то существует такое
решение («0; v0) системы C), что х0 = и0 + v0. Действительно,
пусть и0 и v0 — корни квадратного уравнения
Тогда по формулам Виета имеем:
Последнее равенство показывает, что 3u0v0 + Р = 0, т. е. пара
(и0; v0) удовлетворяет второму уравнению системы C).
Подставляя и0 и v0 в равенство B) и учитывая, что хо= и0 + vQ
есть корень уравнения A), находим, что и^ + v'^ + q — 0, т. е. пара
(«0; v0) удовлетворяет и первому уравнению системы C).
Итак, все корни уравнения A) можно получить следующим обра-
образом: найти все решения системы C) и для каждого из них взять сум-
сумму составляющих его чисел.
Для решения системы C) представим ее в виде
и3 + х? = — q,
Р D)
UV = — —.
3
Возведя второе уравнение в куб, получим:
27
Следовательно, и3 и v3 — корни квадратного уравнения
решая которое находим:
Q , -l/V , Р3 .л 9 l/V
T+KT+27'
(Знаки «+» и «—» перед квадратным корнем имеют только тот
смысл, что при вычислении и3 следует взять одно значение квадрат-
квадратного корня, а при вычислении v3 — другое.)
Из формул E) получаем следующую формулу решения уравне-
уравнения A), называемую формулой Кардан о:
1 / Я i I f Ф iP3i1/ 9 1/4J_P l&\
х=у —%+ Ут + я+у —т-Кт + 27- (Ь)
Значения кубических корней в формуле F) не могут выбираться
независимо, так как в системе D) имеется уравнение
_р
которое мы пока не )чли в полной мере (мы возвели его в куб).
129
Значения кубических корней в формуле Кардано следует выби-
выбирать таким образом, чтобы их произведение равнялось ——. Так
О
как куб этого произведения всегда равен (— —) = — —, то само
произведение может отличаться от —— лишь множителем, являю-
О
щимся кубическим корнем из единицы. Поэтому, выбрав произ-
произвольно значение одного из кубических корней в формуле F),
мы можем всегда подобрать значение другого корня таким образом,
чтобы их произведение равнялось ——. Таким образом находятся
О
все три корня уравнения A).
Пусть их и v1 — какие-то значения кубических корней из
— —+"]/—+— и —-— ~\/— +—> произведение которых равно
— —. Двумя другими значениями первого кубического корня бу-
О
дут «!© и и^2, где ш = \- iLA— кубический корень из еди-
единицы. Аналогично двумя другими значениями второго кубического
корня будут t^w и ихы2. При этом «!«> будет комбинироваться с
i^w2, a %uJ — с ^ш. Таким образом, корнями уравнения A) будут
числа
Х1 = «1 + Vlt
х2 = ща + ^ш2, G)
Х3 = 2
Выясним, при каком условии числа хг, х2, х3 различи ы.
Согласно теореме 4 § 2 гл. II, это будет тогда и только тогда, когда
дискриминант многочлена х3 + рх + q отличен от нуля. В п. 8
§ 2 гл. II был вычислен дискриминант любого многочлена третьей
степени. В частности, для многочлена х3 + рх + q он равен
D = — 27?2 — 4р3. (8)
С точностью до постоянного множителя —108 это выражение сов-
совпадает с тем, которое стоит под знаком квадратного радикала в
формуле Кардано.
Таким образом, уравнение A) имеет кратный корень тогда и
только тогда, когда D = 0.
В случае, когда D = 0, для решения уравнения A) нет необхо-
необходимости прибегать к формуле Кардано. В самом деле, пусть
x-i, x2, xs — корни уравнения A), причем х2 = х3. По формуле
Виета хг + х2 + х3 = 0, откуда следует, что х1 = —2х2. Остав-
Оставшиеся две формулы Виета запишутся так:
—2x1 — 2х\ + х\ = —3x1 = Р,
-2x1 = -q.
130
Отсюда получаем:
_ _ 3<? _ 3<?
Х2 — Х3 Г~> Х1 — •
2р Р
(Если р = 0, то и q = 0; в этом случае хх = х2 — х3 = 0).
Пример 1. Решим уравнение
А ^1Л OX -f- 10 = U.
Сделав замену х = у Н—, получим неполное уравнение
уз_й +250_
•^ 3 ^ 27
25 250 с
в котором р = , g = —. Его дискриминант равен
о 27
D + 0.
27 27
' 10 5
По формулам (9) находим корни: ух = , у2= у3 =—. Корни
О О
исходного уравнения равны: хг = —2, л;2 = х3 = 3.
3. Кубические уравнения с действительными коэффициентами.
Корни кубическо'го уравнения с действительными коэффициентами
могут быть как действительными, так и мнимыми. Число действи-
действительных корней зависит от знака дискриминанта.
Рассмотрим все три случая, которые могут представиться.
1°, D > 0. В этом случае под знаком квадратного корня в фор-
формуле Кардано находится отрицательное число и кубиче-
кубические корни извлекаются из двух сопряженных мнимых
чисел. Пусть и± — какое-либо значение первого кубического
корня. Тогда иг будет одним из значений второго корня (поскольку
пТ = и\). Так как значения кубических корней в формуле Кар-
Кардано должны комбинироваться таким образом, чтобы их произве-
произведение равнялось действительному числу ——, то их
О
будет комбинироваться с их. (В самом деле, ихих действительно, но
ни и± (Ujoo) = (UjU^oo, ни их (UiOo2) = (UiU^oo2 не являются дейст-
действительными числами.)
По формулам G), учитывая, что со2 ==. со, находим:
х1 = «! + иъ
х2 = и^о -\- г^оо2 = uxco + «i<», A0)
откуда видно, что все три корня действительны (и различны, по-
поскольку D Ф 0).
Итак, если D > 0, то уравнение A) имеет три различных дейст-
действительных корня.
131
2°. D < 0. В этом случае под знаком квадратного корня в фор-
формуле Кардано находится положительное число и кубиче-
кубические корни извлекаются из двух различных действи-
действительных чисел. Пусть uL и vx — действительные з'начения этих
корней. Тогда
X1 = U1 + Vlt
Х% = Ul6> + fiCO2, A 1)
Так как хг Ф х3, то х2 и х3 — сопряженные мнимые числа.
Число хх, очевидно, действительное.
Итак, если D < 0, то уравнение A) имеет один действительный
и два сопряженных мнимых корня.
3°. D = 0. Из формул (9) следует, что если D = 0, то уравнение
A) имеет три действительных корня, два из которых (или все три)
совпадают между собой.
Пример 2. Решим уравнение
—5 = 0.
Делая замену х = у + 3, получаем неполное уравнение
У3-6у + 4 = 0,
в котором р — —6, д = 4и
D = —27 • 16 + 4 • 216 = 432 > 0.
Следовательно, уравнение имеет три различных действительных
корня.
Имеем:
£ + p! = _^d = _4,
4 27 108
так что по формуле Кардано
у = у—2 + 21 -f у—2 — 2/.
Так как —2 + 21 = 2J/2 (cos У i sin— ), то одним из значе-
\ 4 4/
ний кубического корня из —2 + 2г является
ы, = У 2 cos—•+ isin— = 1 + i.
\ 4 4;
По формулам A0) находим:
. у1 = и1 + и1 = 2,
уг — «joo 4- «Iю = —1 — У" 3,
Корни исходного уравнения равны: хг = 5, х2 = 2 — ]/3, х3
= 2 +
132
Пример 3. Решим уравнение
. хз _ 9х + 28 = 0.
Данное уравнение является неполным с р = —9, q = 28, D =
= —108 • 169 < 0. Оно имеет один действительный и два сопря-
сопряженных мнимых корня. Находим действительные значения куби-
кубических корней в формуле Кардано:
ih = У~\± + у7б9 = V—i = — 1,
i>! = V'~ H — УШ = V"=27 = —3.
По формулам A1) находим корни данного уравнения:
x1 = u1 + v1 = —4,
х2 = «!« 4- ^1«>2 = 2 -j- г ]/,
a;3 = х2 = 2 — г
4. Решение уравнений четвертой степени. Изложим способ ре-
решения в радикалах уравнений четвертой степени, называемый
способом Эйлера.
Рассмотрим неполное уравнение четвертой
степени
х4 + рх2+ <?* + /" = 0 A2)
с произвольными комплексными коэффициентами р, q, r. Пусть
хг, х2, x3i х4 — его корни. По формулам Виета,
хх + хг + х3 + х4 = 0,
х^х^Хц -\- х^х^Хц -\- хгх2х3 = —q,
= Г.
В п. 6 § 2 гл. III (пример 5) мы показали, что числа ххх^ +
+ x3xt, хххъ + х^Хц и ххх4 + х2х3 являются корнями кубического
уравнения *
x*—px2 — 4rx + Dpr — q2)=0. A4)
Заметим, -что
хххг + х3х4 = -(х1 + Хг — х3 — х4J — -(х1+х2-{-х3 +
Аналогично
- (Xi + х2 — х3 — х4J + р.
~{x1—x2-]rx3~ х4J + р,
4
p-
133
Поэтому, если мы сделаем в уравнении A4) замену х — у + р, то
полученное уравнение
у8 + 2/>уа+ (/>» — 4г)у — <?2 = 0 A5)
будет иметь своими корнями числа
Уз = (*1 *2 *3 "Г ^4/ ■
4
Уравнение A5) называется кубической резольвентой уравнения
A2). Его корни ylt y3, Уз могут быть найдены способом, изложен-
изложенным в п. 2. Нумерация корней ylt y2, у3 при этом безразлична, так
как выражения хх + л;а — х3 — х4, хх — х2 + xs — хА и хх — хъ —
— х3 + xt можно переставить произвольным образом, изменив
нумерацию у х2, х3 и xt.
Из формул A6) получаем, что
~Т (Х1 ~Г Х2 Х3 Xi) ~ Щ>
— (х1 —х2 + х3— х4) = н2, A7)
— (хх х% х3 -f- л;4) = и3,
где ии uit и3 — квадратные корни из ух, у2, у3.
Поскольку квадратный корень из комплексного числа имеет два
значения, необходимо уточнить, какие значения квадратных корней
^следует взять в формулах A7). В п. 2 § 2 гл. III (пример 1) мы до-
доказали тождество'
—Х2—Х3+ Xf) =
= о\ — 40^ + 8а3,
где оъ az, os —~ элементарные симметрические многочлены от
*и Х2> хз> xi- Для корней уравнения A2) имеем, в силу формул A3):
(*! + Ч — х3 — х4) (^ — х2 + л:3 — *4) (jCi — л:2 — л;3 + Jf4) = —8?.
Отсюда следует, что
—q. A8)
Условие A8) оставляет четыре из восьми вариантов выбора
звачений квадратных корней из ylt y2, у3. Любой из этих четырех
вариантов допустим, так как, перенумеровав подходящим образом
*i> х2, х3, х4) можно умножить на —1 любые два из выражений
*i + хч — хз — *4. хх — х2 + xs — xt и хх — х2 — х3 + xit не
изменив третьего. Например, если поменять номера у хх и х2 и одно-
134
временно у х3 и х4, то выражение хх + х2 — х3 — х4 не изменится,
в то время как остальные два умножатся на —1.
Складывая равенства A7) и равенство хг + х2 + xs + х& — О,
находим:
Аналогично находим:
= —(«1 — "а —«з).
1 .
л:3 =-(—«!+«2 —
*4 = —(—«х- ы2 +
Эти формулы можно объединить в одну:
A9)
которую следует понимать таким образом, что значения квадратных
корней выбираются всеми возможными способами, лишь бы их произ-
произведение равнялось —q.
Подставляя в A9) выражения для корней кубического уравне-
уравнения A5), найденные при помощи формулы Кардано, можно полу-
получить явную формулу, выражающую корни уравнения A2) через его
коэффициенты, которая, однако, столь громоздка, что выписывать
-ее не имеет смысла.
Выведенные выше формулы решения алгебраических уравнений третьей и
четвертой степени естественным образом вытекают из теории Галуа. Они при-
применимы к алгебраическим уравнениям с коэффициентами из любого (а не только
числового) поля, лишь бы его характеристика не была равна 2 или 3. (Легко ви-
видеть, что формула для решения квадратного уравнения применима к уравнениям
с коэффициентами из любого поля, характеристика которого не равна 2.) В рам-
рамках теории Галуа получается также доказательство того, что не существует ов-
щих формул для решения в радикалах уравнений выше четвертой етенени.
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите те значения п, для которых алгебраическое
уравнение степени п может быть решено в радикалах в общем виде.
2. Что такое неполное алгебраическое уравнение?
3. Как решается в радикалах неполное кубическое уравнение?
4. Как комбинируются значения кубических корней в формуле
Кардано?
5. Чему равен дискриминант кубического многочлена Xs -+- рх -+-
+ <??
6. Непосредственно из формулы Кардано выведите, что много-
многочлен Xs + рх + q имеет кратные корни тогда и только тогда, когда
еф дискриминант равен нулю.
J35
7. Как по дискриминанту определяется число действительных
корней кубического уравнения с действительными коэффициен-
коэффициентами?
8. В чем состоит способ Эйлера решения уравнения четвертой
степени?
9. Что такое кубическая резольвента неполного уравнения
четвертой степени?
Упражнения
1. Пользуясь формулой Кардано, решите уравнения:
а) Xs — 6х + 9 = 0;
б) х3 + 9х2 + 18* + 28 = 0;
в) х3 + 6х + 2 = 0.
2. Пользуясь формулой Кардано, найдите с точностью до 0,01
действительный корень уравнений:
а) х3 — 2х — 5 = 0;
б) х3 + 2х — 30 = 0.
Глава V
МНОГОЧЛЕНЫ НАД Q.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ В КОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ
С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Кольцо Q [х] многочленов с рациональными коэффициентами,
как и кольцо многочленов над произвольным полем, является ев-
евклидовым кольцом, и в нем справедлива теорема об однозначном
разложении на неприводимые (простые) множители (теорема 1 § 2
гл. II). Однако, в отличие от многочленов над полем С или над по-
полем R, описание неприводимых многочленов над полем Q не так
просто. В этом отношении кольцо Qixl больше похоже на кольцо Z
целых чисел. Подобно тому как существ}ют сколь угодно большие
простые числа, в кольце Q 1-х}, как будет показано ниже, сущест-
существуют неприводимые многочлены сколь угодно высокой етепени.
1. Рациональные-корни. Отыскание рациональных корней много-
многочлена с рациональными коэффициентами, очевидно, равносильно
отысканию линейных множителей в его разложении на неприводи-
неприводимые множители в кольце Q [х]. Так как всякий многочлен с рацио-
рациональными коэффициентами может быть представлен в виде —/ (х),
Ъ
где а, b (; Z, a f(x) — многочлен с целыми коэффициентами, то до-
достаточно научиться находить рациональные корни многочленов
с целыми коэффициентами.
Существует простой способ нахождения рациональных корней.
Он основан на следующей теореме:
Теорема 1. Пусть f (x) — многочлен с целыми коэффициен-
коэффициентами. Если рациональное число х0 = —, где р и q — взаимно про-
q
стые целые числа, является корнем многочлена f (x), то q делит стар-
старший коэффициент этого многочлена, а р делит его свободный член.
Так как каждое целое число, отличное от нуля, имеет лишь
конечное число делителей, то теорема позволяет путем конечного
перебора найти все рациональные корни.
Доказательство. Пусть
/ (х) = аохп + а^"-1 + ... +а„_1х + ап
(а0, ах, ..., an_lt an£Z).
Запишем условие того, что х0 — — является корнем многочлена
q
рп рП-i р
0 qn 1qn~1 '" п~х q "
137
или, после умножения на q"
аарп + thp^q + - + an_xpqn^ + an qn = 0.
Так как все слагаемые в левой части этого равенства, кроме пер-
первого, делятся на q, то и первое слагаемое должно делиться на q.
Поскольку р и q, согласно предположению, взаимно просты, отсюда
следует, что а0 делится на q. Аналогично доказывается, что ап де-
делится на р.
Пример 1. Найдем все рациональные корни уравнения
5х* X3 + 5^2 -f — X = 0.
3 3 3
После умножения на — получаем уравнение
Зх4 — 2xs + Зх2 + х — 2 = 0,
в левой части которого стоит многочлен с целыми коэффициентами.
Делителями его старшего коэффициента являются числа ±1, ±3,
делителями свободного члена — числа ±1, ±2. Следовательно,
рациональными корнями этого уравнения могут быть только числа
1 2
±1, ±2, ±—, ±—. Испытывая их, находим, что данное уравне-
3 3
2
ние имеет один рациональный корень, а именно —.
3
Особенно простым является случай, когда старший коэффициент
многочлена / (х) равен единице. Рациональное число х0 = — может
Я
быть его корнем, только если q — ±1. Следовательно, х0 — целое
число, которое должно быть делителем свободного члена. Таким
образом, получаем такое следствие:
Следствие. Если f (x) — нормированный многочлен с целы-
целыми коэффициентами, то все его рациональные корни суть целые чис-
числа, являющиеся делителями свободного члена.
Пример 2. Найдем все рациональные корни уравнения
х4 —г" + х— 10 = 0.
' Испытывая делители свободного члена, а именно числа ±1, ±2,
±5, ±10, находим, что единственный рациональный корень данного
уравнения равен —2.
В более сложных примерах, когда старший коэффициент и свободный член
многочлена / (*) имеют много делителей, отыскание всех рациональных корней
указанным выше способом довольно затруднительно. Чтобы облегчить вычисления,
можно воспользоваться следующим свойством любого рационального корня
о
х0 = — (р и q— взаимно простые целые числа) если с — любое целое число, то
q
о — cq делит f (с). Для доказательства этого свойства разложим многочлен / (*)
по степеням х — с = у. При этом мы получим некоторый многочлен g (у) с це-
Р — с<7
йыми коэффициентами. Число у„ = хв — с = является корнем многочлена
q
g (у). Так как свободный член этого многочлена равен / (с), то, согласно теореме
1, р— cq делит / (с), что и требовалось доказать.
138
Пример 3. Найдем все рациональные корни уравнения
12** + х4 + х3 — х — 165 = 0.
п
Пусть х0 = — (р и (j — взаимно простые целые числа) —-< корень данного
уравнения. Можно считать, что <? > 0. Согласно теореме 1, р должно делить 165,
a q должно делить 12, т. е. для р и q имеются следующие возможности:
Р= ±1, ±3, ±5, ±11, ±15, ±33 ±55, ±165,
<?= 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Учитывая, что р и q взаимно просты, получаем все же 72 допустимые комбинации.
Вычислим значения левой части уравнения в точках ±1, ±2:
1
— 1
2
—2
12
12
12
12
12
1
13
— 11
25
—23
1
14
12
51
47
0
14
— 12
102
—94
— 1
13
11
203
187
— 165
— 152
-176
241
— 539
Во-первых, мы видим, что проверяемые числа не являются корнями; во-вто-
во-вторых, получаем следующие необходимые условия для р и q:
p—q\\b2, p+ gll76, р— 2G 1241, р + 2q | 539.
Особенно удобно условие р— 2д|241, поскольку 241 — простое число. Так как
во всех допустимых комбинациях \р— 1ц\ < 241, то отсюда следует, что р —
—2q — ±1, т. е
р = 2q ± 1.
Этому условию удовлетворяют следующие 6 пар:
1 3 3 5 5 11
112 2 3 6
Из них условиям р — </|152, р + ^1176, р -\- 2q \ 539 удовлетворяет только пара
E; 3). Проверка показывает, что ха = — является корнем уравнения.
о
5
Таким образом, данное уравнение имеет один рациональный корень —.
3
2. Неприводимые многочлены. Несмотря на то что, как уже
отмечалось, простого описания всех неприводимых многочленов в
кольце Q [х] не существует, можно указать некоторые легко прове-
проверяемые достаточные условия того, что данный многочлен
неприводим. Для этой цели используется прежде всего следующая
теорема, являющаяся частным случаем теоремы I из § 3 гл. II:
Теорема 2. Если многочлен с целыми коэффициентами не
может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей
степени в кольце Z [х], то он не может быть разложен в произведе-
произведение двух многочленов меньшей степени и в кольце Q [х\.
В самом деле, кольцо целых чисел факториально, и поэтому к
кольцу Z [х] применима вся теория, развитая в § 3 гл. II, и, в ча-
частности, теорема 1 из этого параграфа.
Если исключить тривиальный случай, когда данный многочлен
имеет нулевую степень, то можно сказать, что многочлен, удовлет-
удовлетворяющий условию теоремы, будет неприводим в кольце
Qlxl
С помощью этой теоремы можно получить различные достаточ-
достаточные условия неприводимости многочлена в кольце Q [х]. Наиболее
139
простым из них является так называемый критерий Эйзен-
Эйзенштейна:
Пусть f (х) — многочлен с целыми коэффициентами. Если су-
существует такое простое число р, что старший коэффициент мно-
многочлена f (х) не делится на р, все остальные коэффициенты делятся
на р, а свободный член, делясь на р, не делится на рг, то многочлен
f (x) неприводим в кольце Q 1х].
Для доказательства запишем данный многочлен по возрастаю-
возрастающим степеням х:
f(x) = ao + a1x+ ... +апхп.
Предположим, что он разлагается в произведение двух многочленов
с целыми коэффициентами:
g(x) = bo + blX+ ... +bmxm,
h(x) = co + c1x+ ... +CtXl,
причем 0<т</ги0</<я. Тогда при любом k
я* = V* + V*-i + - +bkc0
если считать, как обычно, что bs = О при s > т и ct = 0 при
t > I). Среди коэффициентов многочлена g (x) (аналогично h (x))
обязательно найдутся такие, которые не делятся на р; в противном
случае и все коэффициенты многочлена / (х) делились бы на р во-
вопреки условию. Пусть bs — первый из коэффициентов многочлена
g (х), не делящихся на р , и аналогично ct — первый из коэффи-
коэффициентов многочлена h (x), не делящихся на р. Тогда
as+t = bocs+t + bics+t-i + - + bsct +... + bs+tc0
также не делится на р, поскольку все слагаемые, кроме bsct, делят-
делятся на р, a bsct не делится. Из всех коэффициентов многочлена / (я),
согласно предположению, только ап не делится на р. Следователь-
Следовательно, s + t = п. Так как п = т -\- I, a s ^ m и / ^ /, то отсюда вы-
вытекает, что s = т и t = /. Стало быть, s, t > 0, т. е. Ьо и с0 делятся
на р\ но тогда а0 = Ьосо делится на р2, что противоречит предполо-
предположению.
Таким образом, многочлен f (x) не может быть разложен в про-
произведение двух многочленов меньшей степени в кольце Z М. Со-
Согласно теореме 2, многочлен / (х) неприводим в кольце Q Ы, что и
требовалось доказать.
Доказательство критерия Эйзенштейна может быть изложено более изящно,
если воспользоваться «редукцией по модулю р» (см. п. 7 § 1 гл. I). Рассмотрим
многочлен f (х) £ Z [х], удовлетворяющий условиям критерия Эйзенштейна, и
предположим, что он разлагается в произведение двух многочленов меньшей
степени с целыми коэффициентами:
/ (х) = g (х) h (x).
Применяя к этому равенству редукцию по модулю р, получаем:
140
Так как все коэффициенты многочлена / (х), кроме старшего, делятся на р, то
/ (х) = ах11, где а 6 Zр, а ф 0. Очевидно, что все делители многочлена х11 ассо-
ассоциированы со степенями х. Следовательно, g (х) = bxm, h (х) = сх1, где 0 < т< п,
т + / = п. Это означает, что у каждого из многочленов g (a), h (x) все коэффи-
коэффициенты, кроме старшего, делятся на р. В частности, »х свободные члены делятся
на р. Далее, как и выше, замечаем, что свободный член многочлена / (х) равен
произведению свободных членов многочленов g (x) и h (x) и, следовательно, де-
делится на р2; но это противоречит условию.
Следствие, В кольце Q [х] существуют неприводимые мно-
многочлены любой степени.
В самом деле, применяя критерий Эйзенштейна для р — 2, мы
видим, что многочлен хп — 2 неприводим в кольце Q [х] при лю-
любом п.
Пример 4. Докажем неприводимость многочлена 5а:4 -+-
+ 30л: — 12 в кольце Q [х].
Для доказательства применяем критерий Эйзенштейна, взяв
р = 3.
Пример 5. Докажем, что для любого простого р «многочлен
деления круга»
% (х) = х^ + хр-* + ... + х + 1 = ^=7
неприводим в кольце Q 1х\.
(Название «многочлен деления круга» объясняется тем, что
корни этого многочлена, будучи корнями р-й степени из единицы,
вместе с самой единицей делят единичною окружность в комплекс-
комплексной плоскости на р равных частей.)
В данном случае критерий Эйзенштейна не может быть приме-
применен непосредственно к многочлену typ (x). Однако после замены
х = у + 1 получаем многочлен
•= У -т^рУ +ЧУ ■+- •-• т- ~р у-т^р .
к которому уже можно применить критерий Эйзенштейна. В самом
деле, поскольку р — простое число, то при любом k = 1, 2, ...,
р — 1 коэффициент С* = — Ь--(Р— + ) делится на р; кроме
того, свободный член Ср~' = С1 = рне делится на р2. Стало быть,
многочлен фр (у) неприводим в кольце Q [у]. Отсюда следует непри-
неприводимость и самого многочлена деления круга, так как если бы он
допускал разложение в произведение двух многочленов меньшей
степени, то после замены х = у + 1 мы получили бы такое же раз-
разложение для ^ffloroчлeнa фр (у).
Критерий Эйзенштейна, как и некоторые другие достаточные
условия неприводимости, применим лишь к узкому классу непри-
неприводимых многочленов. Имеется, однако, способ, принадлежащий
Кронекеру, который позволяет в принципе для любого многочлена
141
с рациональными коэффициентами установить, приводим он или
неприводим в кольце Q [х], хотя и требует довольно больших вычис-
вычислений.
Способ Кронекера основывается на следующих соображениях.
Пусть / (х) — многочлен степени п с целыми коэффициентами, не имеющий це-
целых корней. Предположим, что он разлагается в произведение двух многочленов
меньшей степени с целыми коэффициентами:
f(x) = g (х) h (х).
Степень одного из этих многочленов, скажем g (х), не превосходит т = — .
Будем придавать х различные целые значения х0, xi,..., х^Из равенства /(я()=
= g (*,) h (xt) следует, что g (xL) делит / (х,) (i = 0, 1, ..., т). Многочлен g (x)
однозначно определяется своими значениями в точках х0, х\, ..., хт. Составляя
всевозможные наборы делителей d0, di, ..., dm целых чисел / (х0), / (х{), ..., / (хт)
и вычисляя для каждого такого набора интерполяционный многочлен степени
^ т, принимающий в точках х0, xi, ..., хт соответственно значения d0, d\,..., dm,
можно найти всех кандидатов на роль многочлена g (x) (их будет конечное число).
Интерполяционные многочлены с дробными коэффициентами следует сразу от-
отбросить. Испытав оставшиеся многочлены, можно определить, имеются ли среди
них делители многочлена / (х), в зависимости от чего и будет решен вопрос о
приводимости / (х) в кольце Q [х].
Вопросы для самопроверки
1. Из чего следует единственность разложения на множители
в кольце многочленов с рациональными коэффициентами?
2. Как находятся рациональные корни многочлена с рациональ-
рациональными коэффициентами?
3. Пусть / (х) — нормированный многочлен с целыми коэффи-
коэффициентами. Докажите, что всякий рациональный корень уравнения
/ (х) = 0 является целым.
4. Сформулируйте и докажите критерий Эйзенштейна.
5. Докажите неприводимость многочлена деления круга \рр (х),
где р'— простое число.
Упражнения
1. Найдите все рациональные корни уравнения:
а) х* _ б*2 + 15* —14 = 0;
б) х* — 2х3 — 8х2 + 13* — 24 = 0;
в) хъ — 7х3 - 12х2 + 6х + 36 = 0;
г) 6л:4 + 19*3 — 7х2 — 26л: + 12 = 0;
д) 24л:4 — 42Х3 — 77х2 + 56* + 60 = 0;
е) Юх4 — 13Х3 + 15х2 - 18л: — 24 = О
2. Докажите неприводимость многочлена в кольце Q [х\:
а) л;4 + 8л;3 + 12л;2 — 6л; + 2;
б) хь — 12л:3 + 36л: — 12.
142
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
1. Определения. Комплексное число называется алгебраичес-
алгебраическим, если оно является корнем ненулевого многочлена с рациональ-
рациональными коэффициентами, и трансцендентным в противном случае.
В частности, алгебраическими являются рациональные числа (корни
многочленов первой степени), всякое число вида У а (корень много-
многочлена х" — а), где а — рациональное число, число i (корень много-
многочлена х2 + 1)- Сумма и произведение алгебраических чисел, как
мы увидим ниже, также будут алгебраическими числами. Так,
например, У~2 + i — это корень многочлена
^х — if — 2) ((* + if — 2) == х4 — 2х2 + 9.
Каждое алгебраическое число а является корнем многих много-
многочленов с рациональными коэффициентами. Обозначим через /а
совокупность всех многочленов из Q [х], имеющих а корнем.
Нетрудно видеть, что /а — идеал в QW: если f € Ia, a h —
произвольный многочлен из Q [х], то hf € Ia, и если / € /а, g £ Ia
то / + g 6 /„• Так как Q Ы — кольцо главных идеалов, то идеал
1а порождается некоторым (определенным с точностью до число-
числового множителя) многочленом ра, который называется минималь-
минимальным многочленом числа а и может быть охарактеризован как Много-
Многочлен наименьшей степени в идеале / .
Многочлен ра неприводим в кольце Q [х]. В самом деле, если бы
он разлагался в этом кольце в произведение двух многочленов
меньшей степени, то число а было бы корнем одного из этих много-
многочленов и многочлен ра не был бы многочленом наименьшей степени
в идеале 1ач.
Многочлен ра — единственный (с точностью до число-
числового множителя) неприводимый многочлен в идеале 1а,
поскольку все многочлены из идеала 1а делятся на ра.
Полезно отметить, что минимальный многочлен не lAieem кратных корней;
в частности, само число а является его простым корнем. В самом деле, бу-
будучи неприводим в кольце Q [х], многочлен ра взаимно прост со своей произпод-
ной. Последнее свойство сохраняется и в кольце С [х] (см. п. 3 § 1 гл. II). Следо-
Следовательно, многочлен ра не имеет кратных корней в поле С (см. § 2 гл. II).
Степень многочлена ра называется степенью алгебраического
числа а. Согласно этому определению, алгебраическими числами
первой степени будут рациональные числа, алгебраическими числа-
числами второй степени — корни квадратных уравнений с рациональ-
рациональными коэффициентами (не являющиеся рациональными числами).
Первообразный корень л-й степени из единицы при простом п
является алгебраическим числом степени п—1. В самом деле,
он является корнем многочлена
x+x + .
х— 1
неприводимость которого в кольце Q [х] была доказана в §1.
143
2. Существование трансцендентных чисел. Множество алгебраи-
алгебраических чисел намного шире, чем множество рациональных чисел.
Естественно спросить, с>ществ}ют ли вообще неалгебраические,
т. е. трансцендентные числа. Оказывается, что с)ществуют. Более
того, в некотором смысле <чпочти все» числа трансцендентны. Из-
Известно, что множество всех действительных и тем более множество
всех комплексных чисел несчетно. Если удастся доказать, что мно-
множество всех алгебраических чисел счетно, то тем самым мы докажем,
что множество трансцендентных чисел не только непусто, но и
несчетно В самом деле, если бы оно было счетно, то и множество
всех чисел было бы счетно как объединение двух счетных множеств.
Докажем счетность множества всех алгебраических чисел Для
каждого алгебраического числа а выберем минимальный много-
многочлен ра с целыми и взаимно простыми в совокупности коэффициен-
коэффициентами (это можно сделать, так как минимальный многочлен опреде-
определен с точностью до умножения на рациональное число, отличное
от нуля). Назовем высотой числа а сумму абсолютных величин
коэффициентов многочлена ра плюс его степень. Имеется лишь
конечное число алгебраических чисел данной высоты т. В самом
деле, из определения высоты ясно, что каждое алгебраическое чис-
число высоты т является корнем многочлена степени не выше т с
целыми коэффициентами, по абсолютной величине не превосходя-
превосходящими т. Поскольку число таких многочленов конечно и каждый
многочлен имеет конечное число корней, то и алгебраических чи-
чисел высоты т имеется лишь конечное число. Расположим все алгеб-
алгебраические числа в порядке возрастания высоты, причем числа
одинаковой высоты упорядочим между собой произвольным обра-
образом. Это и даст нам возможность занумеровать все алгебраические
числа.
Первые примеры трансцендентных чисел были приведены в 1844 г. француз-
французским математиком Лиувиллем. Он исходил из гого, что алгебраические ирра-
иррациональные числа не допускают «слишком хороших» приближений рациональны-
рациональными числами. А именно имеет место следующая теорема:
Теорема Лиувилля. Для всякого действительного алгебраического
числа а степени п > 1 существует такое положительное число е, что при любых
целых р и q (q > 0)
Доказательство. Пусть
/ (х) = аохп + ai*"-> + ... + ая_1* + ап — многочлен степени п с целыми
коэффициентами, корнем которого является а. Представим / (х) в виде
/ (*) = (к - a) h (х),
где А (х) — многочлен, не обращающийся в нуль в точке а. Для любых целых
р и q (q > 0) имеем тогда:
144
аорп
antf
Числитель последней дроби — целое число, отличное от нуля (поскольку много-
многочлен / (х) не может иметь рациональных- корней). Следовательно,
1
Р
а — —
Я
l(f)l
В силу непрерывности функции Д (х) существует такое 6>0, что | Д(х)| < 2 | /,(а) [
при |а— х К 6. Положим е= mini б [.Тогда при |а— —| ^6 имеем:
\А / (аI / q
1
а при [а 1 > 6 —
Я
т. е. неравенство A) выполняется во всех случаях. Теорема доказана.
Заметим, что условие п > 1 в формулировке теоремы существенно. Дейст-
Действительно, если ft= 1, то это означает, что число а рационально: а=—, где
Я
р и q — целые числа. В этом случае, очевидно,
-г, каково бы ни
было е > 0.
Согласно теореме Лиувилля, иррациональное число а заведомо будет транс-
трансцендентным, если для любого е > 0 и для любого натурального п найдутся та-
такие числа рп и qn (qn > 0), что
Чп
Рассмотрим, например, число
ОС
—+—+ —
2И 22! ' 23!
B)
C)
(сумма бесконечного ряда). Покажем прежде всего, что оно иррационально. Для
любого ft сумма первых ft членов ряда C) есть рациональное число —, где qn =2"',
Чп
а рп нечетно. Остаток ряда тп меньше, чем
2 2
+
2(я+1)| V 2 '4
Для любого натурального числа q можно найти такое ft, что qn > 1q.Имеем:
q + qn
Qn
Первое слагаемое в этой сумме не может быть целым, так как рп и qn взаимно
просты, a q < qn- Следовательно, его дробная часть не меньше, чем —. Посколь-
Яп
6 Заказ 98
145
2^ 11
ку второе слагаемое меньше, чем < — < —, то, значит, и сумма не мо-
жет быть целой. Итак, qa не является целым числом ни при каком натуральном q.
Это означает, что а иррационально. Далее, для любого 8 > 0 из неравенства
а —&
Чп
qn+\
следует неравенство B) при всех достаточно больших п (а именно таких, что
— < е). Следовательно, а трансцендентно.
Чп
Метод Лиувилля не позволяет, однако, доказать трансцендентность мно-
многих чисел, играющих важную роль в математике, таких, например, как числа е
и п. Трансцендентность числа е была доказана в 1873 г. французским математиком
Эрмитом. Развивая методы Эрмита, немецкий математик Линдеман (ученик Вейер-
штрасса) в 1882 г. доказал трансцендентность числа я и многих других чисел.
Советский математик А. О. Гельфонд в 1936 г. доказал трансцендентность всех
чисел вида аР> где а и 0— алгебраические числа, причем а ф 0,1, a P иррацио-
иррационально*. (Таково, например, число 2'2 .) Вопрос о трансцендентности таких
чисел составлял содержание седьмой проблемы Гильберта, поставленной в 1900 г.
на Международном конгрессе математиков.
3. Числа, алгебраические над заданным полем/?. КольцоР [а].
В этом и следующих пунктах мы будем рассматривать числовые
кольца и числовые поля, т. е. подкольца и подполя поля С комплекс-
комплексных чисел
Пусть Р — числовое поле и а — произвольное число (вообще
говоря, не принадлежащее полю Р). Обозначим через Р [а] сово-
совокупность всех чисел, которые могут быть получены из чисел, при-
принадлежащих полю Р, и числа а с помощью операций сложения и
умножения. Ясно, что:
1) Р с Р [а];
2) а £Р Ы;
3) если числа у и 6 принадлежат Р [а], то числа у + б, у — б
и уб также принадлежат Р [ос].
Поясним, что у — б (: Р [а] в силу того, что у — б = у + (—1N
и —UP.
Свойства 1—3 означают, что Р [а] есть числовое кольцо,
содержащее поле Р и число а. Кроме того, из определения этого
кольца следует, что Р [а] — наименьшее числовое
кольцо, содержащее Р и а, в том смысле, что оно содержится
в любом числовом кольце, содержащем Р и а.
* Числа а и Р не обязательно действительны. Возведение любого комплек-
комплексного числа, отличного от нуля, в любую комплексную степень определяется в
теории функций комплексной переменной. Эта операция многозначна
(подобно операции извлечения корня из комплексного числа). Например, (—1)'
имеет Значения еB*+1)я, где k = 0, ±1, ±2, ... Результат А. О. Гельфонда сле-
следует понимать таким образом, что любое из значений сг трансцендентно. В
частности, трансцендентно число ел, которое является одним из значений-(—1)'
146
Очевидно, что Р [а] содержит все числа вида
с0 + сга + с2а2 + - + стат,
(т — любое, с0, сь с2 ст£Р). D)
Непосредственно проверяется, что сумма, разность и произведение
чисел вида D) также могут быть представлены в таком виде. Это
означает, что совокупность К чисел вида D) является числовым
кольцом. Далее ясно, что К содержит все элементы поля Р (которые
получаются при т — 0) и число а. Так как Р [а] — наименьшее
кольцо, содержащее Р и ос, то Р [а] с= К.. С другой стороны, оче-
очевидно, что К с= Р [а]. Следовательно, /С совпадает с Р[а]. Таким
образом, /сольдо Р [а] есть в точности множество всех чисел вида D).
Вообще говоря, число из кольца Р [ос] представляется в виде D)
неоднозначно. Для того чтобы выяснить, когда такое представле-
представление однозначно (а также чтобы придать точный смысл этому поня-
понятию), заметим, что выражение D) есть не что иное, как значение
в точке а многочлена
с0 + схх + с2х2 + ... стхт£Р[х].
Могут существовать различные многочлены Jlt f2 €
€ Р [х], принимающие в точке а одно и то же значение. Это и будет
означать, что число р = /г (а) = /2 (а) представляется в виде D)
неоднозначно. Так как равенство /г (а) = /2 (а) равносильно тому,
что (/i — /2) (а) = 0, то однозначность представления любого числа
из кольца Р [а] в виде D) имеет место тогда и только тогда, когда
число а не является корнем никакого ненулевого многочлена с
коэффициентами из поля Р.
Введем по аналогии со случаем Р — Q следующие опреде-
определения.
Число а называется алгебраическим над Р, если оно является
корнем ненулевого многочлена из Р [х], и трансцендентным над
Р в противном случае. В частности, числа алгебраические (соответ-
(соответственно трансцендентные) над Q — это просто алгебраические (со-
(соответственно трансцендентные) числа в смысле определения,
данного в п. 1.
Из сказанного ясно, что если а — трансцендентное над Р число,
то любое число |3 из кольца Р [а] однозначно представляется в виде
D), т. е. существует единственный многочлен / € Р Ы такой, что
Р = / («)•
Пусть а — число,'алгебраическое над Р. Тогда, как и в случае
Р = Q, совокупность 1а всех многочленов из Р [х\, имеющих а
своим корнем, является ненулевым идеалом в кольце Р [х\. Обра-
Образующий многочлен ра этого идеала (определенный с точностью до
ассоциированности) называется минимальным многочленом числа а
над Р, а его степень — степенью числа а над Р.
Так же, как и в случае Р = Q, доказывается, что ра—единствен-
ра—единственный (с точностью до ассоциированности) многочлен в идеале 1а,
6* 147
неприводимый в кольце Р [х]. Вместе с тем ра является
многочленом наименьшей степени в идеале 1а.
Для двух многочленов fu f2 € Р [х] равенство fY (a) = f2 (a)
имеет место тогда и только тогда, когда f1 — /2 (; 1а. Согласно опре-
определению многочлена ра, это равносильно тому, что /х — f2 делится
на ра.
Среди всех многочленов, разность которых с данным многочле-
многочленом f делится на ра, имеется ровно один многочлен, степень которо-
которого меньше степени ра, а именно остаток отделения /на ра . Отсюда
следует, что если а — алгебраическое над Р число, то любое число
из кольца Р [а] однозначно представляется в виде
со + сха + с%а2+ ... +cn_ian-1
(с0, сь с2, ..., сп_^Р), E)
где п — степень многочлена ра, т. е. степень числа а над полем Р.
Примеры. 1°. Всякое число а, принадлежащее полю Р,
является алгебраическим числом первой степени над Р,
так как является корнем многочлена х— а £Р[х\. Очевидно,
что в этом (и только в этом) случае Р [ос] — Р.
2°. Квадратный корень из числа б £ Р будучи корнем много-
многочлена х2 — б является алгебраическим числом второй сте-
степени над Р, если только он не принадлежит Р. В этом случае
всякое число из кольца Р 1)^8] однозначно представляется в виде
а + b У8, где a, b € Р. Легко получить следующие формулы для
суммы и произведения двух таких чисел:
(а + ЬУЪ) + (с + dVJ) = {а + с) + {b + d) УЪ, F)
(а + Ь У 8) + (с + d УЬ~) = {ас + bdb) + {ad + be) У 8. G)
В частном случае, когда Р = R, 8 = —1, кольцо Р [У8] =
= R [i] совпадает с полем комплексных чисел и формулы F) и G)
превращаются в известные формулы для суммы и произведения
двух комплексных чисел. •
3°. Всякое комплексное число а является алгебраическим чис-
числом не выше второй степени над полем R действительных чисел,
так как является корнем многочлена х2 — (а + а) х + аа, коэф-
коэффициенты которого действительны. Если а $ /?, то кольцо R [а]
совпадает с полем С (проверьте!).
4°. Пусть п — простое число. Обозначим через со какой-нибудь
первообразный корень л-й степени из единицы. Как было отмечено
в п. 1, он является алгебраическим числом степени п— 1 над по-
полем Q. Отсюда следует, что всякое число из кольца Q Ы однознач-
однозначно представляется в виде
с0 + qco + с2со2 + ... +сп_2«>п-\
где с„, d, c2, ..., с„_2 6Q.
148
4. Простые расширения числовых полей. Пусть Р, как и в
п. 1, — произвольное числовое поле и а — любое комплексное чис-
число. Обозначим через Р (а) поле отношений кольца
Р [а] в поле С, т. е. совокупность всех чисел вида —, где a, b £
€ Р fa], Ь ф 0 (см. АТЧ III, п. 5 § 3 гл. II).
Говорят, что Р (а) есть простое расширение поля Р, получаемое
присоединением числа а (хотя, разумеется, присоединяется не толь-
только это число).
Поле Р (а) называется простым алгебраическим расширением
поля Р, если a — число, алгебраическое над Р, и простым
трансцендентным расширением поля Р, если а трансцендентно
над Р.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 1. Если a — алгебраическое над Р число, то
Р(а) = Р[а].
Доказательство. Пусть Ра £Р \х] — минимальный
многочлен числа а над полем Р. Любой элемент поля Р (а) пред-
представляется в виде i-^1 где f, g €Р [х\, причем g (a) Ф 0. Из усло-
g (a)
вия g (a) Ф 0 следует, что многочлен g не делится на ра и, значит,
взаимно прост с ра (напомним, что ра — неприводимый многочлен).
Следовательно, существуют такие многочлены и, v £P [х], что
ug + vpa — f
(см. теорему 3 § 1 гл. II). Подставляя в это равенство х = а, на-
находим;
и (a) g(a) = f(a),
откуда
g(a) v /ч
Таким образом, любой элемент поля Р (а) принадлежит Р [а].
Тем самым теорема доказана.
Процедура представления дроби -W- в виде многочлена от a
называется уничтожением иррациональности в
знаменателе. Практически удобно искать линейное выра-
выражение многочлена / через многочлены g и ра методом неопределен-
неопределенных коэффициентов, описанным в п. 4 § 1 гл. II. При этом всегда
можно добиться выполнения условия ст. / < ст. g + ст. ра, необ-
необходимого для применения этого метода (см. теорему 4 § 1 гл. II),
заменив, если нужно, многочлен / остатком от его деления на ра.
В приводимых ниже примерах считается, что Р = Q.
Пример 1. Уничтожим иррациональность в знаменателе
дроби
^"Y2' где а3 + а-1=0.
149
Легко проверить, что многочлен х3 + х — 1 не имеет рациональ-
рациональных корней и, значит, неприводим в кольце Q [х]. Следовательно,
он является минимальным многочленом числа а. Остаток от деле-
деления а4 + а2 — 2 на а3 + а — 1 равен а — 2. В примере 4 § 1
гл. II было найдено линейное выражение многочлена х — 2 через
х2 + 2 и х3 + х — 1:
х — 2 = (х2 — 1) (х2 + 2) — х (х3 + х — 1).
Подставляя в это равенство х '= а, находим, что а — 2 = (а2 — 1)
(а2 + 2) и, значит,
a4 -f а2 — 2 а — 2 , .
! = = а2 — 1.
Пример 2. Уничтожим иррациональность в знаменателе
дреби у^ j-ts:— (имеются в виду положительные значения куби-
■/а + з/~2 —1
ческих корней).
Запишем данную дробь в виде ———, где а=^/2. Минималь-
а2 + За — 1
ный многочлен числа а равен х3 — 2. Найдем линейное выражение
единицы через многочлены г1 + Зх — 1 и х8 ■— 2:
1 = {айхг + а,х + а2) (х2 + Зх - 1) + Фох + ЪД (х3 — 2).
Решая систему уравнений
«о
-ай + Зах +
— Oi +
1 — — (ZX -\- X — 1) (X +
15 •
Отсюда получаем:
15
так что
1 . =1B^/4 + ^/2-1) ■
3/-T~_J_ Q ^"О~ 1 '5
Докажем, что если а — трансцендентное над Р число, то поле Р (а) изо-
изоморфно полю Р (х) рациональных дробей (см. § 4 гл. II). Каждой рациональной
дроби _ (/, g £ Р [х], g =£ 0) сопоставим ее значение в точке а, т. е. число
f(a) в
£ Р (а). Легко видеть, что эквивалентным дробям таким образом сопоставля-
В (а)
150
+ Ьо
~2Ь0
1
15' bf
-1)-
=
+ &i =
=
=
-2Ь1 =
2
) 7Г:
-1 Bх
15 v
0,
: 0
о,
о,
о,
+
\— *
7) (■
7
, т. е.
х3-2).
ется одно, и то же число. Обратно, если
g2(a)'
то /j (a) g2 (а) = /2 (а) gi (а). Ввиду трансцендентности числа а над Р следует,
что fi g% = /a gi и, значит,
Далее, из определения поля Р (а) вытекает, что каждое число из этого по^ля
представляется в виде , где /, g £ Р [х], g ф 0.
g(a)
Сказанное выше позволяет построить взаимно однозначное отображение
поля Р (я) на поле Р (а), сопоставив каждому классу эквивалентных рациональ-
рациональных дробей значение в точке а любой дроби из этого класса. Так как при сложе-
сложении (соответственно умножении) рациональных дробей их значения в точке
а складываются (соответственно перемножаются), то это отображение является
изоморфизмом полей.
В связи с введенными в этом параграфе понятиями алгебраиче-
алгебраического числа и простого алгебраического расширения возникает це-
целый ряд вопросов, например:
1) Будет ли алгебраическим над Р всякое число, принадлежащее
простому алгебраическому расширению поля Р?
2) Будут ли алгебраическими сумма и произведение алгебраи-
алгебраических чисел ?
Ответы на эти и другие подобные вопросы будут получены в
следующем параграфе.
Вопросы для самопроверки
1. Что такое алгебраическое число?
2. Что такое минимальный многочлен алгебраического числа?
3. Каким свойством обладает минимальный многочлен любого
алгебраического числа ?
4. Какой минимальный многочлен у числа У5 — '?
5. Докажите существование трансцендентных чисел.
6. Дайте определение кольца Р [а], где Р — числовое поле и
а — любое число.
7. Каков общий вид элементов кольца Р [а] ?
8. В каком случае число а называется алгебраическим числом
степени п над полем Р? В каком виде однозначно представляется
в этом случае любой элемент кольца Р [а] ?
9. Какова степень числа y^2 I — "г + 2~) над полем Q (V^2)?
10. Пусть п — простое число и_ ю — первообразный корень
n-й степени из единицы. Докажите^ что всякий элемент кольца
Q [ю] однозначно представляется в виде ахсо + а2сог + ... + ^-i©"!
гдеа],, ait ... a^ZQ.
151
11. Чго такое простое расширение числового поля?
12. Как устроено поле Р (а) в случае, когда а — алгебраическое
над Р число ?
13. Что такое «уничтожение иррациональности в знаменатале»?
Упражнения
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
* а) —2-, а3 — За + 1 = 0;
а + 1
б) а2~3а~1, а3 + а2 + За + 4 = 0;
' а.2 _|_ 2а + 1
в) 1- , а4 — а3 + 2а + 1 = 0;
' За3 + а2 — 2а — Г
г) 1- , а3 + а2 — 2а — 1 = 0.
; а3 + За2 + За+ 2
§ 3. КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ
1. Критерий алгебраичности числа над заданным полем. Пусть
Р — числовое поле. Рассмотрим какое-либо числовое кольцо К,
содержащее поле Р (таким кольцом может быть, например, кольцо С
всех комплексных чисел). Очевидно, что:
а) если х, у € К, то х + у €К;
б) если х £К, с € Р, то сх £К-
Это позволяет рассматривать К как векторное простран-
пространство над полем Р (аксиомы векторного пространства вы-
выполняются очевидным образом в силу свойств операций над ком-
комплексными числами). Полученное таким образом векторное про-
пространство мы будем обозначать через К.\Р-
Рассмотрим, например, кольцо Р [а], где а — число, алгебраиче-
алгебраическое над Р. В п. 3 § 2 было показано, что если степень а над Р
равна п, то всякий элемент кольца Р [а] однозначно представляется
в виде линейной комбинации чисел 1, а, а2, ..., а" с коэффициен-
коэффициентами из Р. Это означает, что числа 1, а, а2, ..., а" составляют б а-
з и с пространства Р [а] \Р и, стало быть,
dim P[a]\P = n.
Таким образом, если а — алгебраическое над Р число, то простран-
пространство Р [а]\Р конечномерно.
С другой стороны, если а — трансцендентное над Р число, то
пространство Р [а]\Р бесконечномерно. Действитель-
Действительно, поскольку в этом случае а не является корнем никакого ненуле-
ненулевого многочлена с коэффициентами из Р, числа 1, а, а9, ..., ат ли-
линейно независимы как элементы векторного пространства Р [а] \Р
при любом т. и, следовательно, пространство Р [а] \Р бесконечно-
бесконечномерно.
152
Таким образом, доказана такая теорема:
Т е о р е м.а 1. Число а является алгебраическим над полем Р
тогда и только тогда, когда векторное пространство Р [а] \Р ко-
конечномерно. При этом степень а над Р равна размерности этого
пространства.
Отсюда получается важное следствие:
Следствие. Пусть К — числовое кольцо, содержащее поле
Р. Если пространство К\Р конечномерно, то всякое число из коль-
кольца К алгебраично над Р.
Доказательство. Пусть а — любой элемент кольца К.
Очевидно, что Р [а] с= К и, значит, пространство Р [а] \Р является
подпространством пространства К\Р- Так как К\Р
конечномерно, то и Р [а\\Р конечномерно. По теореме 1 число а
является алгебраическим над Р.
2. Определение конечных расширений. Свойство их транзитив-
транзитивности. Пусть К — числовое кольцо, содержащее поле Р. Дока-
Докажем, что если кольцо К конечномерно над Р, то оно является полем.
Возьмем произвольное число а £ К.- Согласно следствию теоремы 1,
оно алгебраично над Р. Пусть
Рос = аох" + а^п~х + - +an-iX + an —
его минимальный многочлен над Р. Если а ф 0, то ап ф О (иначе
многочлен ра можно было бы сократить на х). Из равенства
аоап + а^"'1 + ... + ап^а + ап = О
следует тогда, что
и, значит, а" € К- Таким образом, кольцо К содержит вместе с
любым числом, отличным от нуля, число, ему обратное. Следова-
Следовательно, К является числовым полем.
Из доказанного утверждения и теоремы 1 вытекает, что если a — число,
алгебраическое над Р, то кольцо Р [а] является полем. Отсюда получается дру-
другое доказательство, теоремы 1 предыдущего параграфа.
Числовое поле К называется конечным расширением поля Р,
если оно содержит поле Р и если пространство К\Р конечномерно.
Из теоремы 1 следует, что простое алгебраическое расширение явля-
является конечным расширением. В п. 4 покажем, что всякое конечное
расширение в действительности является простым алгебраическим
расширением.
Установим следующее «свойство транзитивности» конечных рас-
расширений.
Теорема 2. Пусть К — конечное расширение поля Р, а
L — конечное расширение поля К. Тогда L будет конечным расши-
расширением поля Р, причем
dim L | Р = dim L | К ■ dim /< | Р, - A)
153
Формулу A) легко запомнить с поможью символического равен-
равенства
р ~ кТ'
Доказательство. Пусть числа <хъ а2, ..., ап составля-
составляют базис пространства К\Р, а числа $и ра, ..., Рт— базис простран-
пространства L\K. Докажем, что ппг чисел
а, р; 0=1,2 п; /=1,2, .... ш) B)
составляют базис пространства L\P.
Всякое число у из поля L представляется в виде
Y = CiPi + c2p2+ ... +cmpm, C)
где clt сг, ..-, cm £/(. Каждое из чисел съ с2, ..., ст, в свою очередь,
представляется в виде линейной комбинации чисел а1( а2, ..., ап
с коэффициентами из поля Р. Подставив эти выражения для съ
с2, ..., ст в C), получим представление числа у в виде линейной
комбинации чисел B) с коэффициентами из Р. Таким образом, век-
векторное пространство L\P порождается числами B).
Покажем, что числа B) линейно независимы над Р.
Предположим, что
1=1 ,=1
для иаии-х-тв с1} € Р. Переписав это равенство в виде
получим линейную зависимость между числами р\, р2) ..., рт с коэф-
коэффициентами Zj ciJal £ К- Ввиду того что числа р\, f>2, ..., pm линейно
i=i
независимы над К, отсюда следует, что
ciya, = 0 (/ = 1,2, ..., п).
Из этих равенств, в силу линейной независимости чисел аъ а2, ...
..., ап над Р, в свою очередь, следует, что с,;= 0 при всех i, j. Та-
Таким образом, соотношение D) возможно, если только все коэффи-
коэффициенты ct) равны нулю, а это и означает, что числа B) линейно не-
независимы.
Итак, числа B) составляют базис пространства L\P, Следова-
Следовательно,
dim L\P = nm = dim ЦК • dim K\P.
В частности, пространство L\P конечномерно, так что L есть конеч-
конечное расширение поля Р. Теорема доказана.
154
3. Поле алгебраических чисел. В этом пункте будет доказано,.
что сумма и произведение алгебраических чисел, а также число,
обратное алгебраическому, являются алгебраическими числами.
Это означает, что совокупность всех алгебраических чисел — поле.
В действительности будет доказана даже следующая более общая
теорема:
Теорема 3. Совокупность всех чисел, алгебраических наддан-
надданным полем Р, является полем.
Доказательство Прежде всего заметим, что если чис-
число а, отличное от нуля, удовлетворяет алгебраическому уравне-
уравнению
аохп + а^х"'1 + ... + ап_хх + ап = О,
где а0, alt ..., ап_1} ап £ Р, то число а будет удовлетворять урав-
уравнению
Стало быть, если а — число, алгебраическое над Р, то и а алгебра-
ично над Р.
Пусть теперь аир — числа, алгебраические над Р. Рассмотрим
поле К = Р (а) и поле L = К (р). Заметим, что число р, будучи
алгебраическим над Р, тем более алгебраично над К. По теореме 1,
поле К есть конечное расширение поля Р, а поле L — конечное
расширение поля К- По теореме 2, поле L является также конеч-
конечным расширением поля Р. Но тогда из теоремы 1 следует, что все
числа из поля L алгебраичны над Р. В частности, это относится к
числам а -\- р и ар, которые, очевидно, принадлежат L. Тем самым
теорема доказана.
Можно дать и другое, более «явное» доказательство теоремы 3.
Пусть alt a2, ..., ап — все корни минимального многочлена ра
числа а над полем Р и рх, р^, ..., рт — все корни минимального
многочлена р^ числа р над этим полем. Образуем многочлен
Будем временно рассматривать а1( а2, ..., а„, plt p2, ..., рт как
переменные Очевидно, что многочлен / (х) не меняется при любых
перестановках а,, а2, ..., а„, а также при любых перестановках
Pi, p2, ..., рт. Следовательно, его коэффициенты представляют со-
собой многочлены от а1( а2, ..., а„, р1( р2, ..., Р,„ симметрические как
по ai, a2) ..., а„, так и по рь р2, . ., fim. Пусть с (alt a2, ..., ап ,
Pi, p2, ..., р,„) — один из этих коэффициентов. Рассматривая его
как симметрический многочлен от а,, а2, ..., ап с коэффициентами
из кольца S симметрических многочленов от р1? р^, ..., pm, мы можем
представить его в виде многочлена от элементарных симметрических
многочленов alf a2, ..., а„ от а1( а2, ..., а„ с коэффициентами из
кольца S. Каждый из этих коэффициентов можно представить как
'55
многочлен от элементарных симметрических многочленов т1( т2, ...
. .,хт от р1( р2, ..., рт с коэффициентами из поля Р. В итоге получится
выражение с (aL, а2, ..., <хп, Cj, р2) ..., р,„) в виде многочлен-а от
а1( а2) ..., ал и Tb т2, ..., тш с коэффициентами из поля Р. Подставляя
в это выражение значения alt ст2, ..., оп и тъ т2 хт, найденные по
формулам Виета, мы получим, что
с К- «а «я, Pi. Р2. •••> Рт)^-
Таким образом, все коэффициенты многочлена / (х) принадле-
принадлежат полю Р. Так как / (а + Р) = 0, то а + р — алгебраическое
над полем Р число.
Аналогично, рассматривая многочлен
8(*)= ПП(*-«Л)' F)
1=1/=1
можно доказать, что ар — алгебраическое над Р число.
В качестве иллюстрации этого доказательства разберем следую-
следующий пример:
Пример 1. Найдем ненулевой многочлен с рациональными
коэффициентами, имеющий своим корнем число ]/^2 + У~Ъ (имеются
в виду положительные значения корней).
В этом примере Р = Q, а = |Л>, р = yl$. Минимальный много-
многочлен числа а равен хг — 2; его корнями являются at = j/2, a2 =
= —]/. Минимальный многочлен числа р равен х3 — 3; его корня-
ми являются р! = yr3, p2=coi/3, р3=со |/3, где со = f-
+ i^Y* — кубический корень из единицы. Составляем многочлен
/ (х) по формуле E):
3 3
Так как Ц (х — Р;) = х3 — 3, то П (*— «« — Ру) = (д: — а(J_3
;=1 /=1
и, следовательно,
1=1
«=(^8 _з/2 л;2 + 6* — 2 /2 — 3) (л;3 + 3 V$x2 + 6х + 2 V2 — 3) =
= (Хз + 6д; _ 3J — 2 (Зл;2 + 2J = л;6 — 6^4 — 6л;3 + 12л;2 — 36л; + 1-
з г
Таким образом, число У 2 -f- у 3 является корнем многочлена
*e _ бл;4 — 6л;3 + 12л;2— 36л; + 1.
156
Итак, совокупность всех алгебраических чисел замкнута отно-
относительно рациональных операций. Можно заметить, что она замкну-
замкнута и относительно извлечения корней, т. е. корень любой степени
из алгебраического числа также является алгебраическим числом.
В самом деле, если число а является корнем многочлена / (х) £
€Q[x], то У~а будет корнем многочлена g (х) = / (хп) £ Q Ы.
Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для чисел, алге-
алгебраических над каким-либо заданным числовым полем Р. Обобще-
Обобщением этого утверждения является следующая теорема:
Теорема 4. Корень любого ненулевого многочлена, коэффициен-
коэффициенты которого — алгебраические над Р числа, также является алге-
алгебраическим над Р числом.
Доказательство. Пусть р — корень многочлена
где а0, аи ..., an_lt ап — числа, алгебраические над Р, причем
а0 ф 0. Рассмотрим возрастающую последовательность числовых
полей
Ро = Р (а0), Рх = Ро (а,), ..., Рп = />„_, («„).
Число ак, будучи алгебраическим над полем Р, тем более алгебра-
ично над полем Pk_v Следовательно, Pk — конечное расширение
поля Pk^. Многократное применение теоремы 2 позволяет заклю-
заключить, что Рп — конечное расширение поля Р.
Поле Рп по построению содержит числа а0, аг, ..., а„_1, ап.
Следовательно, число р алгебраично над Рп . Рассмотрим поле Рп (Р).
Применяя еще раз теорему 2, находим, что оно также является ко-
конечным расширением поля Р. Следовательно, все его элементы, и
в частности р, являются алгебраическими над Р числами (следствие
теоремы 1). Теорема доказана.
Поле L называется алгебраически замкнутым, если любой мно-
многочлен положительной степени с коэффициентами из поля L имеет
корни в этом поле.
Согласно «основной теореме алгебры» поле С всех комплексных
чисел алгебраически замкнуто. Из теоремы 4 следует, что поле
Р всех чисел, алгебраических над заданным числовым полем Р, также^
алгебраически замкнуто. В самом деле, любой многочлен положи-*
тельной степени с коэффициентами из поля Р имеет корень в поле С,
но, по теореме 4, этот корень принадлежит полю Р.
В частности, поле Q всех алгебраических чисел алгебраически замк-
замкнуто.
4. Простота конечных расширений.
Теорема 5. Всякое конечное расширение числового поля явля-
является простым алгебраическим расширением этого поля.
Доказател ьство. Вначале мы докажем теорему не
для любого конечного расширения числового поля Р, а для расши-
расширения вида Р (а) (р), где а и Р — числа, алгебраические над Р.
157
Иными словами, мы покажем, что «двукратное» алгебраическое
расширение может быть заменено простым расширением.
Пусть аир — числа, алгебраические над Р. Наша задача со-
состоит в том, чтобы найти число у, для которого
Р(а)ф) = Р(у).
Будем искать его в виде
у = а + ср,
где с — подходящее число из поля Р. Каким именно образом
нужно выбрать число с, будет указано ниже.
Обозначим через ра и р^ минимальные многочлены над полем Р
чисел аир соответственно. Рассмотрим многочлен
Я (*) = Ра(У — с*)>
коэффициенты которого принадлежат полю Р (у). Число р" является
его корнем. В самом деле,
В то же время число р является корнем многочлена р„, коэффициен-
коэффициенты которого принадлежат полю Р и потому полю Р (у). Допустим,
что многочлены g и рр н е имеют общих корней,
отличных от р. Тогда их наибольший общий делитель равен
х — р, и, поскольку его коэффициенты должны принадлежать
полю Р (у), р £ Р (у). Отсюда, в свою очередь, следует, что а=
= 7 — Ф € Р (У) и> значит,
Р(а)ф)с=:Р(у).
С другой стороны, ясно, что
Таким образом, при сделанном допущении
/> (а) (р) = />(>').
Остается показать, что число с £ Р может быть выбрано так,
чтобы многочлены q и р„ не имели других общих корней, кроме р.
Пусть а1( аа, ..., ап —все комплексные корни многочлена ра
и аналогично f>1} р2, ..., рт — все корни многочлена рр. Будем счи-
считать, что Р = Pi- Число р;- (/ =£ 1) будет корнем многочлена q,
если 7 — еру — корень многочлена ра, т. е. если
Y-cpy = a, . G)
для некоторого i. Равенство G) выполняется только при одном зна-
значении с, а именно при с = — . Стало быть, если выбрать с
Р — Ру
отличным от всех чисел
^=-а(/=1,2, ..., п; / = 2, ..., т),
Р — Р./
то р = pj будет единственным общим корнем многочленов qup$\
158
Для произвольного конечного расширения К числового поля Р
будем доказывать теорему индукцией по dim К\Р-
В случае dim К\Р =- 1 имеем К — Р, и утверждение теоремы
очевидно.
Предположим теперь, что утверждение теоремы справедливо
для всякого расширения F числового поля L, удовлетворяющего
условию dim F\L < п. Пусть К — расширение числового поля Р,
для которого dim K\P = п. Выберем в поле К произвольное число а,
не принадлежащее полю Р, и рассмотрим «промежуточное» поле
L = Р (а). Так как
,. „, , dim KIP .
dim K\L = !— < n
1 dim L\P
(см. теорему 2), то по индуктивному предположению существует
такое число р\ что
Согласно доказанному ранее, отсюда следует, что поле К является
простым алгебраическим расширением поля Р. Тем самым теорема
полностью доказана.
Вопросы для самопроверки
1. В каком случае поле Р (а) является конечномерным вектор-
векторным пространством над полем Р"?
2. Что называется конечным расширением- числового поля?
3. Докажите, что если а — алгебраическое число, то всякое
число из поля Q (а) также является алгебраическим.
4. Докажите двумя способами, что сумма двух алгебраических
чисел также является алгебраическим числом.
5. Докажите, что поле всех алгебраических чисел алгебраичес-
алгебраически замкнуто.
6. Докажите, что если L — алгебраически замкнутое поле,
то всякий многочлен положительной степени с коэффициентами из L
разлагается на линейные множители в кольце L [х].
7. Найдите такое число у, что Q (У2) <У~Ъ) = Q (у)-
Упражнения
Найдите ненулевой многочлен с рациональными коэффициента-
коэффициентами, имеющий своим корнем число .а +{5, где аи Р- алгебраиче-
алгебраические числа, минимальные многочлены которых суть ра и рр соответ-
соответственно:
а) ра (х) =х' +х+ 1, рр (х) = х2 + 2х + 3;
б) ра (х) = Xя 4- х- + 1, р& (х) = х2 - 5;
В) Ра М = X3 — 2, Рр ух) = X2 — Зх + 1.
159
§ 4. РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
1. Понятие разрешимости в радикалах. Пусть Р — числовое
поле. Будем говорить, что число а представляется в радикалах
над Р, если оно выражается через элементы поля Р при помощи
извлечения корней (любой степени) и рациональных операций —
сложения, вычитания, умножения и деления. Это означает, что
существует такая последовательность чисел
av a2> .... ат, A)
что ее последний член ат совпадает с а, а каждый член <хк (k = 1,
2, ..., т) удовлетворяет одному из следующих условий:
l)ak£P;
2) ak — а( + «у, а, — а,-, а( • а, или — для каких-то i, j < k;
_ а>
3) ak = yrat (одно из значений корня) для какого-то i < k
и какого-то натурального г.
Алгебраическое уравнение
аох" + а.х' + ... + aa_lX + aa = 0 B)
с коэффициентами из поля Р называется разрешимым в радикалах
Над Р, если все его корни представляются в радикалах над Р.
Понятие разрешимости в радикалах конкретного алгебраического
уравнения не следует путать с разрешимостью в радикалах обще-
общего уравнения степени п, о которой шла речь в § 4 гл. IV. Разре-
Разрешимость в радикалах общего уравнения степени п над полем Р
означает возможность выразить единообразно, т.е. одной
и той же формулой, корни любого алгебраического уравнения степе-
степени п над полем Р через его коэффициенты и фиксированные элемен-
элементы поля Р при помощи извлечения корней и рациональных опера-
операций. Ясно, что из разрешимости в радикалах общего уравнения
степени п следует разрешимость в радикалах любого конкретного
уравнения, ©братное же неверно. Например, общее уравнение сте-
степени п над полем С при п ^ 5 неразрешимо в радикалах, но любое
конкретное алгебраическое уравнение над С разрешимо в радика-
радикалах, так как его корни лежат в С.
Наиболее интересен вопрос о разрешимости в радикалах алгеб-
алгебраических уравнений над полем рациональных чисел. Ясно, что су-
существуют уравнения сколь угодно высокой степени, разрешимые в
радикалах над Q, например уравнения вида х" — а — 0 (а € Q).
Однако совершенно не ясно, существуют ли алгебраические уравне-
уравнения, неразрешимые в радикалах над Q. Ответ на этот вопрос полу-
получил около 1830 г. французский математик Эварист Галуа, который
нашел необходимое и достаточное условие разрешимости в радика-
радикалах алгебраического уравнения над произвольным полем Р. В
частности, он доказал, что для любого п ^ 5 существуют алгебраи-
алгебраические уравнения степени п с рациональными коэффициентами, не-
неразрешимые в радикалах над Q.
160
Изложение теории Галуа выходит за рамки нашего пособия.
Отметим только, что в этой теории о каждым алгебраическим урав-
уравнением связывается некоторая конечная группа (назы-
(называемая в современной литературе группой Галуа данного уравне-
уравнения), по которой можно, в частности, определить, разрешимо дан-
данное уравнение в радикалах или нет. Теория Галуа позволяет также
исследовать вопрос о разрешимости в радикалах в общем виде
Есех алгебраических уравнений из какой-либо заданной совокуп-
совокупности (например, всех уравнений данной степени).
В определении разрешимости уравнения в радикалах требуется, чтобы каж-
каждый корень представлялся в радикалах над Р. Можно, однако, показать, что
если многочлен f (х) неприводим над полем Р и если хотя бы один
его корень представляется в радикалах над Р, то это имеет место и для всех дру-
других корней.
2. Разрешимость в квадратных радикалах. Будем говорить, что
число а представляется в квадратных радикалах над полем Р,
если оно выражается через элементы этого поля при помощи извле-
извлечения квадратных корней и рациональных операций.
Алгебраическое уравнение с коэффициентами из поля Р назы-
называется разрешимым в квадратных радикалах над Р, если все его
корни представляются в квадратных радикалах над Р. Вопрос о
разрешимости уравнений в квадратных радикалах возникает в тео-
теории геометрических построений (см. пп. 3—6 этого параграфа).
Можно доказать, что если какой-либо один корень неприводимого много-
многочлена f (х) 6 Р [х] представляется в квадратных радикалах над Р, то это имеет
.место и для всех других корней, т. е. уравнение / (х) = О разрешимо в квадрат-
квадратных радикалах над Р. Однако этот факт нам не понадобится.
Теорема 1. Пусть f (х) £ Р [х\ — многочлен степени п,
неприводимый над полем Р. Если п не является степенью двойки,
то ни один корень уравнения f (х) = О не представляется в квадрат-
квадратных радикалах над Р.
Доказательство. Пусть а — корень уравнения / (х) =
= 0, представимый в квадратных радикалах над Р. Существует по-
последовательность чисел
ах, а2, ,.., ат, C)
последний член ат которой совпадает с а, а каждый член ak (k =
= 1, 2, ..., т) удовлетворяет одному из следующих условий:
1) а* € Р\
2) ak = at -f а,, а, — а,, а; • а,, или —' для каких-то i,
/ < k,
3) ak = V^i Для какого-то / < k.
Построим цепочку полей:
Ро = Р, Р, = Ро (од, Рг = Р, (as), .... Рт = Рт_, (aj.
161
Если аА принадлежит полю Р или получается в результате рацио-
рациональной операции над какими-то двумя предыдущими членами
последовательности C), то <хк (■ Рк_х и, значит, Рк = Рй_х. Если
же ak = У~аг (i < k), то либо опять-таки а1г £ Р^ и 'Р^, = PA_lt
либо aft есть алгебраическое число второй степени над полем Pk_t
и, значит, dim РА 1Л&-1 — 2. Таким образом, в любом случае
dim Р* | РА_, = 1 или 2.
В силу теоремы 2 предыдущего параграфа,
dimPk\P = dimPft_t| Р • dim PJPft_r
Из равенства D) следует, что
dim Pk | Р = dim Р^ | Р или 2 dim Pft_x | P,
и, значит,
dim Pm | Р - 2"
(где р есть число индексов k, для которых aft $ P*_i).
Рассмотрим теперь поле Р (а). Поскольку многочлен / (х) не-
неприводим, он является минимальным многочленом числа а над
полем Р. По теореме 1 § 3 размерность пространства P(a)| P рав-
равна степени п многочлена / (х). Так как a £ Рт, то Р (а) с Рт.
По теореме 2 § 3,
dim Рт | Р = dim Р (а) | Р • dim Pm | P (а),
т. е.
Отсюда видно, что п = 2?, где q ^. р. Теорема доказана.
Следствие. Пусть f (х) (■ Р txl — многочлен третьей сте-
степени. Кубическое уравнение f (x) — 0 разрешимо в квадратных ради-
радикалах над Р тогда и только тогда, когда оно имеет хотя бы один
корень в поле Р.
Доказательство. Если многочлен / (х) не имеет кор-
корней в Р, то он неприводим над полем Р и по доказанной теореме
уравнение / (х) = 0 неразрешимо в квадратных радикалах над Р.
Обратно, если f (х) имеет корень х0 £ Р, то после деления на
х — х0 решение уравнения / (х) = 0 сводится к решению квадрат-
квадратного уравнения с коэффициентами из Р, которое, очевидно, разре-
разрешимо в квадратных радикалах.
Можно доказать, чго уравнение четвертой степени разрешимо в квадратных
радикалах тогда и только тогда, когда этим свойством обладает его кубическая
резольвента (см. определение в п. 4 § 4 гл. IV). Отсюда следует, что утверждение,
обратное геореме 1, неверно. Например, легко показать, что многочлен ж4 4- х + 1
неприводим над Q. Однако уравнение х* + х + 1 = 0 неразрешимо в квадратных
радикалах над Q, так как его кубическая резольвента у3 — 4у — 1 = 0 не имеет
рациональных корней.
3. Геометрические построения циркулем и линейкой. В задачах
на построение требуется по данной фигуре построить другую, нахо-
находящуюся в определенном отношении к данной (например, по точке и
162
окружности построить прямую, проходящую через данную точку и
касающуюся данной окружности). При этом указывается, какими
средствами построения разрешается пользоваться.
В задачах на построение циркулем и линейкой рас-
рассматриваются фигуры на плоскости, состоящие из конечного числа
элементов следующего вида:
1) точек;
2) прямых, лучей или отрезков прямых;
3) окружностей или дуг окружностей.
Заметим, что задать отрезок — это все равно что задать прямую,
на которой он лежит, и две точки на этой прямой, являющиеся его
концами. Аналогично задание луча равносильно заданию прямой
и точки на ней, с дополнительным указанием, по какую сторону от
этой точки лежит луч; задание дуги окружности равносильно зада-
заданию самой окружности и двух точек на ней, с дополнительным ука-
указанием, какую из двух дуг, имеющих своими концами эти точки, сле-
следует выбрать *. Поэтому в дальнейшем мы можем считать, что все
рассматриваемые фигуры состоят из ко-
конечного числа точек, прямых и окружнс ■
с т е й (хотя практически, ввиду ограниченности чертежа, мы име-
имеем дело именно с отрезками прямых, а не с прямыми).
В процессе построения к уже имеющимся точкам, прямым и ок-
окружностям добавляются новые. Целью является построение неко-
некоторых точек, прямых и окружностей, обладающих указанными
в задаче свойствами.
Правила, по которым происходит построение циркулем и линей-
линейкой, могут быть описаны следующим образом. Построение разби-
разбивается на ряд последовательных шагов. Для того чтобы описать
один шаг построения, обозначим через М совокупность всех точек,
прямых и окружностей, заданных согласно условию задачи и по-
построенных на предыдущих шагах. Очередной шаг построения за-
заключается в добавлении к множеству М одного элемента т, т. е.
в построении точки, прямой или окружности, согласно одному из
следующих правил:
(Ш) т есть точка пересечения двух прямых из множества М;
(П2) т есть одна из точек пересечения прямой и окружности
из множества М;
(ПЗ) т есть одна из точек пересечения двух окружностей из мно-
множества М;
(П4) тесть прямая, проходящая через две точки из множества М;
(П5) т есть окружность с центром в точке из множества М и
проходящая через точку из множества М.
* Имеется в виду равносильность с точки зрения построения циркулем и
линейкой. Так, например, по дуге окружности с помощью циркуля и линейки
можно, как известно, построить всю окружность. «Дополнительное условие»
может быть дано в виде еще одной точки, лежащей на задаваемом луче или дуге
окружности.
163
В число разрешенных операций при построениях циркулем и линейкой
можно включить также такие операции, как выбор произвольной точки в области
(быть может, бесконечной), ограниченной прямыми и окружностями из множест-
множества М, выбор произвольной точки в интервале прямой из множества М, ограни-
ограниченном точками из множества М, и выбор произвольной точки на дуге окружности
из множества М, ограниченной точками из множества М. Однако нетрудно ви-
видеть, что если исходные даньые задачи включают в себя хотя бы две точки, то
каждая из этих операций может быть заменена последовательностью операций
типов (П1) — (П5), перечисленных выше. Например, выбор произвольной точки
в конечном интервале можно заменить построением середины этого интервала,
которое выполняется хорошо известным способом только при помощи операций
типов (Ш)— (П5); выбор произвольной точки в треугольнике можно заменить
построением, скажем, точки пересечения медиан этого треугольника. Поэтому
при исследовании вопроса о разрешимости задач на построение подобные опера-
операции можно не рассматривать.
4. Необходимое условие разрешимости задачи на построение.
Вопрос о возможности того или иного геометрического по-
построения с помощью циркуля и линейки относится скорее к алгебре
многочленов, чем к 1еометрии. Впервые это понял, по-видимому,
Гаусс. В своих «Арифметических исследованиях» A801 г.) он уста-
устанавливает связь между построением правильного n-угольника и
решением уравнения хп — 1 = 0 в поле комплексных чисел. Поль-
Пользуясь этой связью, он дает способ построения циркулем и линейкой
> с правильного 17-угольника и находит необходимое и достаточное
($g ^ условие, которому должно удовлетворять простое число п для того,
_ £ чтобы построение циркулем и линейкой правильного п-угольника
n?> было возможно. Это условие состоит в том, что п должно иметь вид
ч 2<? + 1, где q — целое число. *
-А ^ Легко видеть, что число 217 + 1 может быть простым, если только q есть
!$• £ степень двойки. Числа Fk = 22 + 1 (k = 0, 1, 2, ...) называются числами Фер-
• *, v ма. При k = 0, 1, 2, 3, 4 это простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Соответствующие
S1 правильные многоугольники, стало быть, могут быть построены циркулем и
^линейкой. Ферма предполагал, что все числа F^ простые. Это предположение
оказалось неверным. Так, например, известно, что при 5 <| k ^ 16 числа F^
I являются составными. В настоящее время не известно ни одного простого числа
й Ферма, кроме перечисленных выше пяти чисел.
Для произвольного п необходимое и достаточное условие возможности
<!, построения циркулем и линейкой правильного я-угольника"состоит в том, что
Л все нечетные простые делители числа п должны быть числами Ферма и входить
* в его каноническое разложение в первой степени.
~^ В этом пункте мы найдем необходимое условие разрешимости
^ задачи на построение циркулем и- линейкой.
, Зафиксируем на плоскости некоторую систему координат. Пусть
; у Р — какое-то числовое поле. Будем говорить,, что точка определе-
: Я. на над Р, если обе ее координаты принадлежат полю Р. Далее, бу-
' ^ дем говорить, что прямая определена над Р, если она содержит две
^ точки, определенные над Р, и что окружность определена над Р,
если она содержит точку, определенную над Р, и ее центр определен
над Р.
* Следует заметить, что хотя Гаусс и утверждает, что это условие необхо-
необходимо и достаточно, доказательство необходимости не было им опубликовано.
164
Лемма 1. Если прямая I определена над полем Р, то она мо-
может быть задана линейным уравнением
ах + Ьу + с = О E)
с коэффициентами из Р.
Доказательство. Пусть (дсх; у,) и (х2; у2) — точки пря-
прямой /, определенные над Р. Тогда ее уравнение может быть запи-
записано в виде
х — *i _ у —yt
*2 — *1 Уз — У1
или после преобразований
(Уг — УО * + (-«1 — -«а) У + *гУ1 — *1Уа = °-
Коэффициенты этого уравнения принадлежат полю Р.
Л е м м а 2. Если окружность с определена над полем Р, то она
может быть задана уравнением
x* + y* + px + qy + r = 0 F)
с коэффициентами из Р.
Доказательство. Пусть (х0; у0) — центр окружности с
и (xi'< Ух) — ее точка, определенная над Р. Уравнение окружности
может быть записано в виде
(х - x,f + (у - y,f = (хг - х0J + (У1 - уо)\
откуда после очевидных преобразований получается уравнение
вида F) с коэффициентами из Р.
Введем теперь одно определение. Расширение К поля Р будем
называть допустимым, если каждое число из К представляется в
квадратных радикалах над Р. Очевидно, что простое расширение
К = Р (а) допустимо тогда и только тогда, когда число а пред-
представляется в квадратных радикалах над Р. Очевидно также, что
если К — допустимое расширение поля Р, a L — допустимое рас-
расширение поля К, то L будет допустимым расширением поля Р.
Теорема 2. Пусть М — некоторое множество точек, пря-
прямых и окружностей, определенных над полем Р. Для того чтобы не-
некоторая точка, прямая или окружность могла быть построена
циркулем и линейкой, исходя из множества М, необходимо, чтобы
она была определена над некоторым допустимым расширением поля Р.
Доказательство. Предположим, что данная точка,
прямая или окружность — обозначим ее через т — может быть
построена циркулем и линейкой, исходя из множества М, и дока-
докажем, что в этом случае она определена над допустимым расшире-
расширением поля Р. Будем доказывать это индукцией по числу шагов по-
построения — операций (П1) — (П5), перечисленных в п. 3 тре-
требующихся для построения элемента т.
Предположим вначале, что элемент т строится, исходя из сово-
совокупности М, за один шаг. Если это шаг типа (П4) или (П5), то т
есть прямая или окружность, которая определена над Р по самому
165
определению этого свойства. В этом случае утверждение теоремы
очевидно, поскольку поле Р является допустимым- расширением
самого себя. В оставшихся трех случаях т есть точка пересечения
двух линий, каждая из которых есть прямая или окружность,
определенная над Р. Докажем, что в любом из этих случаев ко-
координаты точки т представляются в квадратных радикалах над Р
и, значит, принадлежат допустимому расширению поля Р.
Согласно леммам 1 и 2, каждая из рассматриваемых двух линий
может быть задана уравнением вида E) или F) с коэффициентами
из Р. Координаты точки т составляют, стало быть, решение си-
системы уравнений одного из следующих трех типов:
а2х -j- b2y -j- c2 = 0;
' ах + by -f с = 0, /8ч
х2 + у2 + рх + qy + г = 0;
i + / + Р\х + q\.y + /"i = o, /m
2 + У2 + р2х + <7„У + /-2 = 0.
причем все коэффициенты уравнений принадлежат полю Р.
В случае (П1) координаты точки т определяются из системы
типа G), причем
Ф 0, поскольку соответствующие прямые
не параллельны (и не совпадают). Координаты точки т могут быть
найдены по формулам Крамера, откуда видно, что они принадле-
принадлежат самому полю Р.
В случае (П2) координаты точки т определяются из системы
типа (8). Выражая из первого уравнения одно неизвестное через
другое и подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
относительно первого неизвестного квадратное уравнение с коэф-
коэффициентами из Р. По известной формуле его корни, а значит,
и координаты точки т представляются в квадратных радикалах
над Р.
В случае (ПЗ) координаты точки т определяются из системы
типа (9). Вычитая из первого уравнения второе, мы приходим к
системе типа (8). Следовательно, и в этом случае координаты точ-
точки т представляются в квадратных радикалах над Р.
Предположим теперь, что доказываемое утверждение справедли-
справедливо для любого построения, осуществляемого за п — 1 шагов, и
пусть элемент т строится, исходя из совокупности М, за п шагов.
Обозначим через т' элемент, добавляемый к М, на первом шаге
-построения. По доказанному, он определен над некоторым допу-
допустимым расширением К поля Р. Так как К => Р, то все элементы
совокупности М' = М []{т'} определены над К. Элемент т стро-
строится, исходя из совокупности М', уже за га — 1 шагов, и по индук-
индуктивному предположению он определен над некоторым допустимым
расширением L поля К. Однако поле L можно рассматривать так-
также как допустимое расширение поля Р. Следовательно, элемент т
166
. определен над допустимым расширением поля Р, что и требовалось
доказать.
5. Неразрешимость некоторых задач на построение. Покажем
теперь, как с помощью теорем 1 и 2 доказывается неразрешимость
некоторых классических задач на построение циркулем и линейкой.
1°. Квадратура круга. Требуется построить квадрат, равно-
равновеликий данному кругу.
Примем радиус данного круга за единицу измерения. Тогда
его площадь будет равна п, и, значит, сторона искомого квадрата
должна быть равна У п.
Выберем систему координат с началом в центре данного круга.
Тогда его граничная' окружность будет определена над полем Q,
так как будет содержать, например, точку (Г; 0). Если бы искомый
квадрат мог быть построен с помощью циркуля и линейки, то, от-
отложив его сторону на оси абсцисс от начала координат*, можно было
•бы построить точку (Уп\ 0). По теореме 2 координаты этой точки
представлялись бы тогда в квадратных радикалах над полем Q
и, в частности, были бы алгебраическими числами. Однако извест-
известно, что число п, а значит и число ]/"п, не является алгебраическим
(это было доказано Линдеманом в 1872 г.). Следовательно, квадра-
квадратура круга не может быть выполнена циркулем и линейкой.
2°. Удвоение куба. Требуется построить куб, объем которого
вдвое больше объема данного куба.
Для того чтобы трактовать эту задачу как задачу на построение
на плоскости, нужно понимать ее следующим образом. В плоскости
построения задан отрезок, равный ребру данного куба; требуется
построить в этой плоскости отрезок, равный ребру искомого куба.
Примем ребро данного куба за единицу измерения. Тогда ребро
искомого куба должно быть равно -|/~2.
Выберем систему координат в плоскости таким образом, чтобы
один из концов данного отрезка совпадал с началом координат, а
другой имел координаты A; 0). Тогда прямая, на которой лежит
этот отрезок (т. е. ось абсцисс), и оба его конца будут определены
над Q. Если бы искомый отрезок мог быть построен с помощью цир-
циркуля и линейки, то, отложив его на оси абсцисс от начала коорди-
нат, можно было бы построить точку (^2; 0). По теореме 2 число У 2
представлялось бы тогда в квадратных радикалах над Q. С дру-
другой стороны, это число является корнем многочлена х3 — 2 £
£ Q [х], неприводимого над Q (см. § 1), и по теореме 1 не может пред-
представляться в квадратных радикалах над Q. Следовательно, удвое-
удвоение куба не мржет быть выполнено циркулем и линейкой.
3°. Трисекция угла. Требуется разделить данный угол на три
равные по величине части.
* Это можно сделать с помощью операций типов (П1) — (П5), перечислен-
перечисленных в п. 3.
167
Очевидно, что существуют углы, кото-
которые можно разделить на три равные по
величине части с помощью циркуля и ли-
линейки, например прямой угол. Задачу, од-
однако, следует понимать таким образом, что
требуется указать алгоритм трисекции угла
с помощью циркуля и линейки, применимый
к любому углу. Неразрешимость этой зада-
задачи, очевидно, будет доказана, если мы до-
докажем существование конкретных углов,
рис 17 трисекция которых не может быть выпол-
выполнена циркулем и линейкой.
Пусть О — вершина данного угла, А и В — точки пересечения
его сторон с некоторой окружностью с с центром в точке О. Обозна-
Обозначим через К проекцию точки В на прямую ОА (рис. 17). Если
заданы точки О, А и К, то точка В может быть построена с помощью
циркуля и линейки как точка пересечения окружности с с перпен-
перпендикуляром к прямой ОА, восставленным в точке /С. Таким обра-
образом, задание угла АОВ равносильно заданию точек О, А и К-
Пусть теперь Bt — такая точка окружности с, что AOBt = —АОВ,
О
и Кх — проекция точки В, на прямую ОА. Построение угла АОВ1
равносильно построению точки В1. Поэтому задача о трисекции
угла АОВ с помощью циркуля и линейки может пониматься как
задача о построении точки К\ по точкам О, А и К-
Примем радиус окружности с за единицу измерения и выбе-
выберем систему координат таким образом, чтобы точка О совпадала
с началом координат, а точка А лежала на положительной части
оси абсцисс. Тогда точка А будет иметь координаты A; 0), а точ-
точка/С — координаты (cos ср; 0), где ср — мера угла АОВ в радианах.
Все три точки: О, А, К — будут определены над полем
Р = Q (cos ф). Точка /Сх имеет координаты (cos —; 0). Если она мо-
О
жет быть построена по точкам О, А и К с помощью циркуля и ли-
линейки, то по теореме 2 число а = cos — должно представляться в
О
квадратных радикалах над полем Р. По известной формуле
cos ф = 4 cos3 — — 3 cos —,
3 3
так что а является корнем многочлена
/ (х) = 4х* — Зх — cos ф.
Если многочлен f (х) неприводим над полем Р, то по
теореме 1 число а не представляется в квадратных радикалах над
Р и, значит, трисекция данного угла не может быть осуществлена
циркулем и линейкой.
168
cos ф =
ср = —. Тогда
О
Q, так что Р = Q. Многочлен
Возьмем, например,
_1^
~2
/ (х) имеет вид
. 4л:3 — Зх — - = - (8л:3 — 6л- — 1).
2 2 v ;
Согласно п. 1 § 1, его рациональными кор-
корнями могут быть только числа ±1, ±—,
± —, ± —. Проверка показывает, что ни Рис- 18
одно из них не является корнем. Следовательно, многочлен / (х) не
имеет рациональных корней и, значит, неприводим над Q. Соглас-
Согласно предыдущему, отсюда вытекает, что трисекция угла —- не может
О
быть осуществлена циркулем и линейкой.
4°. Деление круга на п равных частей, или, что то же, построение
правильного я-угольника.
Пусть с — окружность, которую требуется разделить на п
равных по величине частей. Примем ее радиус за единицу измере-
измерения и выберем произвольную систему координат с началом в центре
этой окружности. Обозначим через А точку пересечения с окружно-
окружностью с положительной части оси абсцисс и через В такую точку ок-
окружности с, что АОВ = — (рис. 18). Задача может быть сформули-
сформулирована следующим образом: по точкам О и Л построить точку В.
Точка О по построению совпадает с началом координат, а точка А
имеет координаты A; 0), так что обе эти точки определены над Q.
Точка В имеет координаты (cos—; sin —). Согласно теореме 2,
V п п )
для того чтобы она могла быть построена по точкам О и Л с помо-
„ 2я . 2л
щью циркуля и линейки, необходимо, чтобы числа cos — и sin —
п п
представлялись в квадратных радикалах над Q. Если это имеет
место, то и комплексное число а = cos — + i sin — представ-
п п
ляется в квадратных радикалах над Q (поскольку i = У—1).
Число а является корнем n-й степени из единицы. Если п — про-
простое, то минимальный многочлен числа а равен
/ (х) = х -\- х + ... + х + 1
(см. п. 1 § 2). Из теоремы 1 следует, что а может представляться в
квадратных радикалах над Q, если п — 1 есть степень двойки.
Таким образом, если п — простое число, не имеющее вида 2<? +
-Ь 1, то правильный п-угольник не может быть построен циркулем
и линейкой. Например, правильный семиугольник не может быть
построен циркулем и линейкой.
169
6. О доказательстве разрешимости задач на построение. В п. 4 было найдено
необходимое условие разрешимости задачи на построение циркулем и
линейкой (теорема 2). При надлежащем выборе поля Р это условие является и
достаточным.
Будем предполагать, что задано некоторое множество М точек, прямых и
окружностей, содержащее по меньшей мере две точки, скажем О и А. Примем
расстояние между этими точками за единицу измерения и выберем систему коор-
координат так, чтобы точка О совпадала с началом координат, а точка А лежала на
положительной части оси абсцисс.
Будем говорить, что действительное число а может быть построено цирку-
циркулем и линейкой, исходя из множества М, если может быть построена точка
(а; 0). Заметим, что для этого достаточно построить любой отрезок
длины | се|: отложив его на оси абсцисс от точки О в ту или другую сторону,
мы сможем тогда построить точку (а; 0).
Легко видеть, что точка может быть построена циркулем и линейкой,
исходя из множества М, тогда и только тогда, когда могут быть построены обе
ее координаты.
Введем теперь понятие координат прямой. Пусть прямая / задается урав-
уравнением E). Если а Ф 0, то ее координатами первого рода назовем числа 6i = ■—
а
с
и ci = —. Эти числа не зависят от выбора уравнения, которое определено с точ-
а
ностью до пропорциональности, и однозначно определяют прямую /. Анало-
а
гично, если b Ф 0, то координатами второго рода прямой / назовем числа а2 = —
Ъ
и с2 = —. Если афО и b Ф 0, то для прямой I определены координаты обоих
b
родов. Они связаны соотношениями
1 q
а2 = — ■ С2 = -Г-
«г bl bl
Нетрудно показать, что прямая может быть построена циркулем и линейкой,
исходя из множества М тогда и только тогда, когда могут быть построены обе
ее координаты (любого рода).
Координатами окружности назовем ее радиус и координаты центра
(всего три числа). Окружность может быть построена циркулем и линейкой,
исходя из множества М и только тогда, когда могут быть построены все ее коор-
координаты.
Рассмотрим теперь совокупность всех чисел, которые могут быть получены
с помощью рациональных операций из координат всех точек, прямых и окружно-
окружностей, принадлежащих множеству М. Эта совокупность является полем; назовем
его полем определения множества М.
При сделанных предположениях справедлива следующая теорема, которую
мы приводим без доказательства.
Теорема 3. Для того чтобы число а могло быть построено циркулем
и линейкой, исходя из данного множества М точек, прямых и окружностей, необ-
необходимо и достаточно, чтобы оно представлялось в квадратных радикалах над
полем определения множества М.
Чтобы доказывать разрешимость задач на построение^ помощью этой теоре-
теоремы, желательно иметь какой-то простой критерий представимости числа в квад-
квадратных радикалах над данным полем. Теорема 1 дает необходимое, но не доста-
достаточное условие для этого. Необходимое и достаточное условие представимости в
квадратных радикалах доказывается в теории Галуа. Мы приведем здесь без
доказательства лишь частный случай соответствующего утверждения.
Пусть а— число, алгебраическое над полем Р. Предположим, что все корни
его минимального многочлена f (х) над полем Р лежат в поле Р (се). Тогда для пред-
представимости числа а в квадратных радикалах над полем Р необходимо и достаточно,
чтобы степень многочлена f (x) была степенью двойки.
170
2я . 2я
Рассмотрим, например, число а. = cos \- i sin —, где п — простое
п п
Корнями его минимального многочлена (над Q)
f (х) = х"-1 + х"~2 + ... + х + 1
являются все корни /г-й степени из единицы, кроме самой единицы. Все они
являются степенями числа а. и потому лежат в поле Q (а). Следовательно, а
представляется в квадратных радикалах над Q тогда и только тогда, когда п—1
есть степень двойки, т. е. п — простое число Ферма. Это приводит, в частности,
к следующему результату: если п — простое число Ферма, то правильный п-уголь-
ник может быть построен циркулем и линейкой (см. пример 4° предыдущего
пункта). В частности, правильный 17-угольник может быть построен циркулем
и линейкой. Способ такого построения был предложен Гауссом.
Вопросы для самопроверки
1. В чем разница между разрешимостью в радикалах конкрет-
конкретного алгебраического уравнения и разрешимостью в радикалах об-
общего уравнения степени п?
2. Докажите, что всякое алгебраическое уравнение с действи-
действительными коэффициентами разрешимо в радикалах над /?.
3. Докажите, что всякое алгебраическое уравнение четвертой
степени с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах
над Q.
4. Укажите необходимое условие разрешимости алгебраического
уравнения в квадратных радикалах.
5. В каком случае кубическое уравнение разрешимо в квадрат-
квадратных радикалах?
6. Как ставится задача на построение циркулем и линейкой?
7. Укажите, как при помощи операций (П1) — (П5), перечис-
перечисленных в п. 3, описать окружность с центром в данной точке ра-
радиусом, равным данному отрезку.
8. Пусть п — простое число. Каково необходимое и достаточное
условие того, чтобы правильный n-угольник мог быть построен цир-
циркулем и линейкой ?
9. Что такое допустимое расширение числового поля?
10. Укажите необходимое условие разрешимости задачи на
построение циркулем и линейкой.
11. Докажите, что с помощью циркуля и линейки нельзя по-
построить отрезок, равный длине данной окружности.
12. Докажите, что с помощью циркуля и линейки нельзя раз-
2я
делить угол — на три равные по величине части.
О
13. Докажите, что с помощью циркуля и линейки нельзя по-
„ 2я
строить угол, равный —.
ОТВЕТЫ
ГЛАВА I
§ 1. 1. а) / (*) = (л3 + г> + \0х + 30) (х - 4) + 136, / (*0) = 136; б) / (*)=
•= (х3 + х2— Ах)(х+ 1)+ 1, /(*„)= 1. 2. а) 7+5<; б) —1 —44i.
3. а) л: 1 0 1 1 | 2 1 3 | 4 . б) х |0|112|3|4|516 4. а) л:6+
/(*) I 2 | 2 | 1 | 3 | 1 ' /(*) |1|3|3|2|0|6|6
+ Зл* + 2xi—3x3—xi—x—3; б) 0.
§ 2. 1. а) 3; б) 4. 2. а) 4; б) 1. 3. а) х* + 4л:3— 7л:2— 22л: + 24; б) л:4 + C— 0*4-
+ C — Зг) х2 + A— 30* — г, в) ** — F+ 20 дс8 + A2 + 100 л:2 — (8 + 160*+
2 2
+ 8i. 4. а) — и — —; б) -4 A + 0 и 3 + i; в) а2 и (-1)Я6. 5. а) 0; б) —1.
«3 О
6. У$. 7. а) * = 2 (mod 5); б) х Ф 0 (mod 3); в)* = ± 3 (mod 11); г) решений нет.
ГЛАВА II
§ 1. 1. а) Неполное частное 2л:2 + Зл: + 11, остаток 25*— 5; б) неполное
частное —C*— 7), остаток — — B6*+ 2). 2. а) * + 1; б) х3 — х + 1. 3. а)
У .7
*2+ 1; б) *» + 1. 4. а) л:2-2 = — (л: + 1) (** + 2*3 — *2- 4л:-2)+ (*+2)Х
X (**+ л^— *2- 2*— 2); б) 1 = л:Cг'— 2л:2 + х + 2)- (З*2 + л:— 1) (л:2-
— * + 1). 5. а) 1 = — (—16*2 + 37* + 26) (л4 — 4*3 + 1) + — A6*3 — 53л:2—
О О
—37л: — 23) (х3 — Зл:2 + .1); б) л:4 = (9л:2 — 26* — 21) (л:4 — 2л^ — 4*2 + 6*+1)—
— (Эх3 — 44л:2 + 39* + 7) (*3 — 5х — 3); в) 2л: — 1 = — Fл:2 — 1 \х + 4) *3+
+ F*3+*2- 1)(*- IJ; г) 1 = ~ C*2+ 11*+ 12) (*- 1)(Ж_2)-
— — C* — 7) * (* + 1) (* + 2). 6. а) З*7— 6*в + 2л* + 23*4 — 37*3 + 23х2+
+ 12л:— 10; б) л:в— 2/2*5 — 11**+ 20/2*3+ 11л:2— 2]^2х — 1. 7. а) —7,
б) 0.
§ 2. 1. Нормированные неприводимые мног&члены не выше третьей степени
х, х+ \, х— 1,л:2+ 1,*2+л:— 1, л:2— х— 1, *»— *+ \, х3+ х2— х+ 1,
х3— *2+ 1, х3— л:2+*+1, х3 — х— 1, г'+л:2— 1, *3+л:2+*—1,
л^—*2—*— 1. Имеется 18 нормированных неприводимых многочленов чет-
четвертой степени. 2. 40. 3. а) х (х3 — 2); б) л:2 + 2. 4. а) (* — IJ (* + 0; б) л:2 — л+1.
5. а) хг — 2л: + 2 (кратности 2); б) л:— 1 (кратности 3) и х + 3 (кратности 2).
6. а) —1 (кратности 4); б) 1 (кратности 3) и ± i (кратности 2). 7. а) При а = ± 2;
б) при а = 0, —3, 125.
172
ГЛАВА III
§ 1. 1. а) х\х\х\, х\х\+ x\x\+xlx\, х\хъ + *|*i + х\х2, х1ХЛ- б) *»,
2х\хгхя, 2х\ + х|*§,-2*2*8. 1- 2. а) —х\+ х\х\х\+ 2х\х\ + х\;б)х\хл _
Xj Хп— X, Хо ~j~ XiXn^s Г Л*1^2^*3 ^ ^*3"
§ 2. 1. a) oj— Зспст2; б) a\at — спст8 — 2 of, в) ст^ст;;— 4crfcr3 — 4с^ +
18акт2ст3— 27стз; г) a{— 4ст*ст2 + 8акт3; д)
\ \ — ст3- 2. а) а\+ а\— 2а2ст4 + а|+ 2а4
+ 0^—2G2+ 1; б) ст1(т2стз — а^(т4 — а\. 3. а) —35; б) 16. 4. а) г*— Зл:2 + 2х— 1;
б) л:4— 4г>+ Юл:2— jc + 9. 5. а) (—2; 1; 1), A;—2; 1), A; 1;— 2); б).A; 2;—2),
A; —2; 2), B; 1;—2), B;—2; 1), (—2; 1; 2), (—2; 2; 1).
§ 3. 1. а) f — 4/ + Зу2 — 12у 4- 12=0; б) 5/ — 7у4 + 6>>3 — 2у2 — у —
-1 = 0; в) у3 + 4>>2 - у - 4j= 0. 3. а) A;-1), (-1; 1), B; 2); б) @; 1), @; 3),
(-1,2), (-1;3), B;1 ± t'/f).
ГЛАВА IV
§ 1. 1. а) — I, б) 1 + 2i; в) —6+ 7i. 2. а) /• = 2, <р =— —; б) г ^У% ф= —,
z 4
в) /■ = у% ф = — — ; г) /■ = /3; ф = — — . 3. а) 3 (cos 0 + i sin 0),
4 3
б) r2-(cos(-3f)+I-sin(-f)); в) 2(cos(-f)+;sin(-f)); г) 2 (cos-^+
+ i sin —); д) yio (coscp + I sin ф), где ф = arc tg—•; e) У17 (cos ф+ /sin ф),
6 / 3
Где ф = я — arc tg —. 4. a) 0 и —1 + Зг; б) либо —3 + 4t и 5i, либо —1—2/
4
и 2 — г. 5. ч) 219 (—1 + 1 УЗ); б) 212; в) 27 A + 0; 0 2~9г. 6. a) cos6 ф —
— 10 cos3 ф sin2 ф + 5 cos ф sin4 ф; б) 6 cos5 ф sin ф — 20 cos3 ф sin3 ф + 6cos фХ
7.а)-/, VI+L,-^+1 .б)_1+,!±VL + VI^Li. ]=VL_
i; в)
2
+19
4*+19 \
4 t sin -^ я I, где k= 0, 1, 2, 3, 4, 5; e)
24fe + 5 N
+ tsin !— я , где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
96 /
§ 2. a) (*- 1 - i) (* - 1 + 0 (* + 1 - 0(* + 1 + 0; 6) (*- !)(*- 2)X
I±r_( у г!Е
173
_ Y2- V% (x- yi+ V3) x
X (* + УТ- /3) (* + /2"+ /3).
T
§ 3. 1. а) (л:2 + 3) (x2 — 3x + 3) (л:2 + Зл: + 3); б) (х — y'T) (л:2 —
2х 3/2со8 ^+ y^ij (л:2 - 2х ^Tcos
в) /^ _ 2х cos ?|+ Л / хг_ 2х cos ^+
+ 1х cos — + tV, г) (л:2 — 2л: cos — + l)(*2— 2л: cos — + l\ (x* + 2л: cos — +
+ 1) (л:2 + 2л: cos h 1). 2. а) 1 (кратности 2), 2, 1 ± I; б) +t (кратности 2),
— lit. 3. а) 1,73; б) 1,23.
§ 4. 1. а) -3, -±i¥*-; б) -7, -1 ± 1УЪ; в) -3/Т+3/2, jC/4-
- Ъ/2) ± Цр[ A/Т + 3/2). 2. а) 2,09; б) 2,89. '
ГЛАВА V
15 3
§ 1. 1. а) 2; б) —3; в) —2, 3; г) —3, — ; д) —, ; е) рациональных
« ^ z 4
корней нет.
§ 2. а) — (а2 — а + 1); б) 17а2 — За + 55; в) —За3 + 8а2 — 10а + 3;
3
'1
г) — (а2 — 4а + 4).
§ 3. а) х4 + 6л3 + 19л:' + 30* + 19; б) Xе - 13л:1 + 2л* + 76*2 + 32* — 179;
вL х* — 9л:5 + ЗОх4 — 49*» + 48*3 - Ых + 41.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Многочлены от одной переменной 5
§ 1. Понятие многочлена —
§ 2. Корни многочлена 21
Глава II. Теория делимости в кольце многочленов 33
§ 1. Наибольший общий делитель —
§ 2. Разложение на неприводимые множители 48
§ 3. Многочлены над кольцом с однозначным разложением на
простые множители 63
§ 4. Поле рациональных дробей 69
Глава III. Многочлены от нескольких переменных 72
§ 1. Кольцо многочленов от я переменных .—
§ 2. Симметрические многочлены 85
§ 3. Системы алгебраических уравнений 97
Глава IV. Многочлены над полями Си/?. Алгебраические уравнения
с комплексными и действительными коэффициентами .... 104
§ 1. Комплексные числа —
§2. Теорема о существовании корня в поле комплексных чисел . . 117
§ 3. Многочлены и алгебраические уравнения с действительными
коэффициентами 122
§ 4. Алгебраические уравнения третьей и четвертой степени (реше-
(решение в радикалах) 127
Глава V. Многочлены над Q. Алгебраические уравнения с рациональ-
рациональными коэффициентами 137
§ 1. Разложение на множители в кольце многочленов с рацио-
рациональными коэффициентами —
§ 2. Алгебраические числа 143
§ 3. Конечные расширения числовых полей 152
§ 4. Разрешимость уравнений в радикалах 160
Ответы 172