Текст
Карманный справочник
Сборник
формул
по математике
АС]
АСТ'АСТРЕЛЬ
Москва 2003
УДК 51@3)
ББК22.1я2
С23
Серия основана в 2003 году
Оформление обложки — дизайн-группа
«Дикобраз»
Сборник формул по математике. — М'.:
С23 ООО «Издательство Астрель»: ООО
«Издательство АСТ», 2003. — 159, [1] с: ил. —
(Карманный справочник).
I8ВN 5-17-017211-7 (ооо «издательство аст.)
181Ш 5-271-05976-6@00 .Издательство Астрель.)
В справочнике приведены все необходимые
формулы школьного курса математики и высшей математики,
изучаемой иа первых курсах вузов.
УДК 51@3)
ББК 22.1я2
Подписано в печать 20.06.03. Формат 84х108/м.
Усл. печ. л. 5,0. Печать офсетная.
Доп. тираж 15000 экз. Заказ № 1234.
18ВИ 5-17-017211-7@00 .Издательство АСТ.)
18ВЫ 5-271-05976-6 (ООО «Издательство Астрель»)
©ООО * Издательство Астрель», 2003
СОДЕРЖАНИЕ
Некоторые математические обозначения 8
Греческий алфавит . 10
Латинский алфавит . . . 10
ШКОЛЬНЫЙ КУРС 11
Арифметика 11
Признаки делимости 12
Пропорции 14
Средние величины 15
Золотое сечение 16
Некоторые конечные числовые ряды. . . 16
Алгебра 17
Формулы сокращенного умножения ... 17
Свойства степени 17
Свойства квадратного
(арифметического) корня 18
Уравнения и системы уравнений 19
Неравенства 21
Прогрессии 24
Логарифмы 25
Сравнение логарифмов 27
Теория соединений. Бином Ньютона ... 27
Начала анализа 30
4
Содержание
Графики элементарных функций 32
Тригонометрия 36
Градусная и радианная мера углов .... 36
Тригонометрические функции 37
Тригонометрические функции
в прямоугольном треугольнике 39
Тригонометрические тождества 39
Выражение одних тригонометрических
функций через другие 40
Формулы сложения
тригонометрических функций 42
Формулы приведения
тригонометрических функций 42
Тригонометрические функции
кратных углов 43
Тригонометрические функции
половинного угла 44
Сумма тригонометрических функций . . 44
Понижение степени
тригонометрических функций 45
Произведение тригонометрических
функций 46
Формула дополнительного угла 46
Соотношения между обратными
тригонометрическими функциями 47
Содержание 5
Геометрия 48
Треугольники 48
Четырехугольники 52
Правильные п-угольники 54
Окружность и круг 55
Многогранники 57
Правильные многогранники 60
Тела вращения 62
Векторы 65
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 67
Аналитическая геометрия на плоскости . 67
Координаты точки 67
Площадь треугольника 68
Уравнение прямой 69
Уравнение окружности 71
Эллипс 71
Гипербола 72
Парабола 74
Аналитическая геометрия в пространстве 76
Координаты точки 76
Уравнение плоскости 77
Уравнение прямой 78
Прямая и плоскость 80
Уравнение сферы 80
Поверхности второго порядка 81
6
Содержание
Комплексные числа 85
Алгебра 88
Матрицы 88
Определители 91
Элементы векторной алгебры 93
Дифференциальное исчисление 97
Определение и свойства пределов 97
Производная и дифференциал 98
Дифференциальное исчисление функций
двух переменных 103
Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных 104
Интегральное исчисление 106
Неопределенный интеграл 106
Таблица неопределенных интегралов. . . 108
Определенный интеграл 127
Кратные интегралы 132
Криволинейные интегралы 136
Ряды 138
Числовые ряды 138
Степенные ряды 139
Ряды Фурье 141
Содержание
7
Дифференциальные уравнения 144
Дифференциальные уравнения
первого порядка 144
Дифференциальные уравнения
второго порядка . 145
Теория вероятностей 150
Некоторые замечательные кривые 156
8 Некоторые математические обозначения
Некоторые математические обозначения
Знак
=
Ф
=
>, <
>
<
1 1
чГ
!
1оеаь
г
л
г.
и
II
Значение
равно
не равно
приблизительно
равно
больше, меньше
бйльше или равно
меньше или равно
абсолютная
величина
корень п-тл степени
факториал
логарифм числа Ь
по основанию а
сумма
треугольник
угол
дуга
параллельно
Пример
а = Ь
афЬ
а = Ь
7 > 4, 2 < 5
а >Ь
а < Ь
\а\
3727 = 3
4! = 1 • 2 • 3 • 4 - 24
1о§216 = 4
ААВС
/ЛВС
АВ
а 11 6
Некоторые математические обозначения 9
Знак
Г
оз
»
зт
С08
*8
с1е
аГС81П
агссоз
агсЪе
агсс*,{*
Значение
перпендикулярно
подобно
градус
минута
секунда
синус
косинус
тангенс
котангенс
арксинус
арккосинус
арктангенс
арккотанкенс
Пример
а 16
ААВС ~ АА1В1С1
20°10'37"
зт 90° = 1
С08 П = -1
чебо° = 7з
с1§ 45° ••= 1
агс81п 1 - 90°
агссо8 (-1) = я
агс^л/З = 60°
агсс^е 1 — 45°
12
Школьный курс
• Правила действий с рациональными
числами (дробями)
а I с _ аЛ + Ьс
ь а ьа
а _ с _ аЛ-Ьс
ь а ьа
а . с _ ас
ь а ьа
а , с _ ай
ь ' а Ьс
Признаки делимости
Признак делимости на 2. Число, делящееся
на 2, называется четным, не делящееся —
нечетным. Число делится на 2, если его последняя
цифра четная или нуль. В остальных случаях не
делится.
Признак делимости на 4. Число делится на 4,
если две последние его цифры нули или образуют
число, делящееся на 4 В остальных случаях не
делится.
Признак делимости на 8. Число делится на 8,
если три последние его цифры нули или образу-
Арифметика
13
ют число, делящееся на 8. В остальных случаях
не делится.
Признаки делимости на 3 и на 9. На 3
делятся только те числа, у которых сумма цифр
делится на 3; на 9 — только те, у которых сумма
цифр делится на 9.
Признак делимости на 6. Число делится на
6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.
В остальных случаях не делится.
Признак делимости на 5. На 5 делятся
числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие
не делятся.
Признак делимости на 25. На 25 делятся
числа, две последние цифры которых нули или
образуют число, делящееся на 25 (т.е. числа,
оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие
числа не делятся.
Признаки делимости на 10, 100 и 1000.
На 10 делятся только те числа, последняя
цифра которых нуль, на 100 — только те
числа, у которых две последние цифры нули,
на 1000 — только те, у которых три последние
цифры нули.
Признак делимости на 11. На 11 делятся
только те числа, у которых сумма цифр,
занимающих нечетные места, . либо равна сумме
цифр, занимающих четные места, либо
отличается от нее на число, делящееся на 11.
14
Школьный курс
Пропорции
• Два равных отношения образуют пропорцию
? = Е
Ь а
• Основное свойство пропорции
ас? = Ьс
• Нахождение членов пропорции
„ _ Ьс , и _ ас1 . „ _ аЛ . ,, _ Ьс
а = — ; о= — ; с = — ; а = —
а с о а
• Пропорции, равносильные пропорции - = ^
о а
а _ Ь . А _ с . ^ = &
с а Ь а ' с о
• Производная пропорция — следствие данной
пропорции
2 = -
ь а
в виде
та + пЬ _ тс+ пс1
ра + дЬ рс + дй
где т, п, р, д — произвольные числа, причем р и
9 не равны нулю одновременно.
Арифметика
15
Средние величины
• Среднее арифметическое
двух величин: ^-^
а,+а9 + ... + о„
п величин: —- - ~
• Среднее геометрическое (среднее
пропорциональное)
• двух величин: 4аЬ
• п величин: "/а1 • а2 •... • ап
• Среднее квадратичное
,а2 + 62
• двух величин: '
-Р
л величин: \^(а"л +а\+... + ап)
• Среднее гармоническое
• двух величин:
1 1
— + —
а, а
п величин:
2
п
1 1 1
— + — + ... + —
16
Школьный курс
Золотое сечение
Величина а делится на части х и а - х так,
чтобы
х = ^а(а-х) = Л*^1 ¦ а ~ 0,618а
Некоторые конечные числовые ряды
1 + 2 + 3 + ... + (л - 1) + л = п(п + 1)
1 + 3 + 5 + ... + Bл - 3) + Bл - 1) = п2
2 + 4 + 6 + ... + Bл - 2) + 2л = п(п + 1)
12 + 22 + З2 4- ... + (л - 1J + л2 - п(п + 1Н2п+1)
12 + З2 + 52 + ... + Bл - 1J = пDп*-1)
13 + 23 + З3 + ... + (л - IK + л3 = (п + 1J
4
I3 + З3 + 53 + ... + Bл - IK = л2Bл2 - 1)
АЛГЕБРА
Формулы сокращенного умножения
• Квадрат суммы
(а + ЬJ - а2 + 2аЬ + Ь2
• Квадрат разности
(а - ЬJ = а2 - 2аЬ + Ь2
• Куб суммы
(а + бK = а3 + За26 + Заб2 + Ь3
• Куб разности
(а - ЬK = а3 - За2Ь + Заб2 - Ъ3
• Разность квадратов
а2 - Ь2 = (а - 6)(а + 6)
• Сумма кубов
а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - аЬ + б2)
• Разность кубов
а3 - Ъ3 = (а - 6)(а2 + аЬ + б2)
Свойства степени
а0 = 1 ат • а" - ат + "
18
Школьный курс
ат : а" = ат ~ "
(ат)п ¦- атп
(а • Ь)т = ап- Ь"
ГаЛт = а*
бг-ег
а" = "Та
т
о" = п7а^
Свойства квадратного
(арифметического) корня
Та • 7Ь = ТаЬ
Л* = I®
(Та)" - 7а^
ТаЬ = 7|а) • 7Й
а = 7Н
/а^ - G0)"
"Та = п*7а*
'Та • пЛ = пТа~1>
"Та _ /а
»Ть **
("Та)т = "Та™
"Т5 = птТа
Алгебра
19
Уравнения и системы уравнений
• Решение уравнения первой степени ах = Ь
х = - (а * 0)
• Решение системы двух уравнений первой
[ ах + Ьу — с
степени <^ ^ + Ь{у = Сх
сЬ1 -схЬ
(аЪу - а^Ь *¦ 0)
У =
аЬ} — а^Ь
• Запись решения A) через определители
х =
а
а1
а
«1
с
С1
ь
Ьг
A)
• Формула корней квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0
4,2
_ -Ь + Л2-4с
га
20 Школьный курс
• приведенного квадратного уравнения
х2 + рх + д = О
• квадратного уравнения с четным
вторым коэффициентом ах2 + 2кх + с == О
„ _ -к ± №-ас
*1.2- ~
• Теорема Виета
• для квадратного уравнения ах2 + Ьх +
+ с = 0
А1 *Т" АО ~ ~ ~ * Хл ' Хо ™ ~
• для приведенного квадратного
уравнения х2 + рх + д = О
• для приведенного кубического
уравнения х3 + рх2 + д*.+ г = О
*! + Х2 + Х3 = ~Р
хгх2 + х2*3 + хгх3= д
Алгебра
21
• Разложение на множители квадратного
трехчлена
ах2 + Ьх + с — а(х - хг)(х - х2),
где хг, х2 — корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
• Выделение квадрата двучлена из квадратного
трехчлена
ах2 + Ьх + с = а(х + А ? + Щ^1
\ 2а ) 4а
• Решение биквадратного уравнения ах4 + Ьх2 +
+ с = 0
_+ \-Ь + Л*-4ас
„ . \-Ъ-№~4ас
*8.4~± \ 2а
• Формула действительного корня неполного
кубического уравнения у3 + ру + д = 0
Неравенства
• Свойства неравенств
• Если а > Ь, то Ь < а.
• Если а > Ь, то а + с > Ь + с.
22 Школьный курс
• Если а > Ь и с > Л, то а + о Ъ + (I.
• ¦ Если а> Ь и с < й, то а - О Ь - й.
• Если а > Ь и т > 0, то аот > Ьт.
• Если а > 6 и пг < 0, то а/га < Ьт.
Абсолютная величина числа (модуль)
• Если а > 0, то |а| = а.
• Если а < 0, то )а| = -о.
Некоторые важные неравенства
\а + Ь\ < \а\ + \Ь\
\а-Ь\>\\а\-\Ь\\
а2 + Ьг> 2|аЬ|
а + 1 > 2 (а > 0)
а
¦ % + - > 2 (а& > 0)
о а
-Уаб <
а + Ь
(а > О, Ъ > 0)
'^а1а2-а« <
а,+а, + ....+ в.
(неравенство
Коши)
2 : A + | ~1< 4аЬ (а>0,Ь>0)
а, +а, + ... + а„
<
а, +а, + ... + а„
аг&1 + а2&2 + .Л + а„Ь„ <
^ Гг 2 2 /Гг 72 Тг
< >1 + а2+...+ап • „/Ь1 + Ьг + ... + Ь„
Алгебра
23
• Решение неравенства первой степени ах > Ь
• Если а > 0, то х > - .
а
• Если а < 0, то х < - .
а
• Решение системы неравенств первой степени
\х > а;
\х>Ь.
• Если а > Ь, то х > а.
- Если а < Ь, то х > Ь.
• Решение системы неравенств первой степени
х < а;
х < Ъ.
• Если а> Ь, то х < Ь.
• Если а < Ь, то х < а.
• Решение системы неравенств первой степени
\х > а;
\х<Ь.
• Если а > Ь, то система не имеет решения.
• Если а < Ь, то а < х < Ь.
• Решение системы неравенств первой степени
\х < а;
)х> Ь.
24
Школьный курс
• Если а > Ь, то Ь < х < о.
• Если а < Ь, то система не имеет решения.
• Решение неравенства второй степени ах2 +
+ Ьх + о 0.
• Если а > 0, то х < хх и х > хг.
¦• Если а < 0, то хх < х < хг.
Здесь *! и хг (х-у < х2) — действительные
корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с.
Если действительных корней нет, то
неравенство ах2 + Ьх + с > 0 справедливо для всех х при
а > 0; и не имеет решений при а < 0.
Прогрессии
• Арифметическая прогрессия
• Формула п-го члена
ап = ах + (п - 1)<1
• Сумма п первых членов
ьп - —_ п - п
• Свойства ^
а1 + ап = а2 + ап - I = - = аА + 1 + «и - й
- ^ °п-1+"п+1
2
Если й > 0, то прогрессия возрастающая;
если Л < 0, то прогрессия убывающая.
Алгебра
25
• Геометрическая прогрессия
• Формула га-го члена
•
•
*1
к-
'»!•
5"" 1
Сумма га первых членов
8п~ я-
Свойства
¦\-ь2-ьп.
1М-
~Ь1
1
-1 =
А
1-9
•" = Ьк+ 1
-1&В+1
Ксли <7 > 1, то прогрессия возрастающая;
если 0 < \д\ < 1, то прогрессия убывающая;
если ^ < — 1, то прогрессия знакопеременная.
• Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии @ < | 51 < 1)
Я-*
1-9
Логарифмы
• Определение логарифма. Логарифмом числа Ь
по основанию а называется показатель степени,
в которую нужно возвести а, чтобы получить 6.
' 1о#а Ь = с «=» ас = Ь
26 Школьный курс
• Свойства логарифма
Ь]ое"а - а 1ова 1 - О
1оеа а = 1 1ое0 ат = /и
• Логарифм произведения
1о8(. (аЬ) = 16§С а + 1оес Ь
• Логарифм частного
1оёс\ъ) х°Шса~х°Шсь
• Логарифм степени
1оес а* = к1о§с а
• Логарифм корня
1оес 1!а = - \о%с а
с л
• Переход к новому основанию
1обса
1о&6 а =
• Формулы, следующие из свойств логарифмов
1о8а Ь - р^
Алгебра
27
1оёпс 1оетс
Ьё„ Ь ¦ 1оет с = 1овт Ь • 1оел с
Сравнение логарифмов
Если 0<а<1и0<х1<л:2>то Ь^,,*! > 1оеалг2 —
знак неравенства меняется.
Если а>1иО<аГ[< х2, то 10^,,*! < 1о^ах2 —
знак неравенства не меняется.
Если 1<а<йих>1,то 1оеа# > 1ое6л:.
Если 0<а<Ь<1идг>1, то 1о&ах > \о&ьх.
Если 1 < а < Ь и 0 < л: < 1, то 1оеах < }о%ьх.
Если 0<а<Ь<1иО<л:<1,то \о%ах < \о%ьх.
Теория соединений. Бином Ньютона
• Определение факториала
1 • 2 • 3 • ... • п = п!
• Основное свойство факториала
п\ = п ¦ (п - 1)!
28
Школьный курс
• Формула Стирлинга (факториалы больших
чисел)
\е) \ 12л 288л2 )
1п (л!) ~ (п + 1 ^1п п - л + 1п 72я
• Размещения из л по т элементов —
соединения, отличающиеся самими элементами или их
порядком
К = г-^Чт = "<л - 1){п - 2) - (п-т + 1)
" (л-т)!
• Перестановки — соединения, отличающиеся
только порядком элементов
Р„ = л! = 1 -2-3- ... ¦ л
Р *= Ап
• Сочетания из л по т элементов —
соединения, отличающиеся только самими элементами
л т
Ст = л! _ Ап_ _ л(л-1)(л-2)...(л-то+1)
" т\(п-т)\ Рт 1-2-3-...-Ш
• Свойства сочетаний
/1"» _ /-1П _т
Алгебра
29
с; + с; + с;; +... + СГ1 + с:-2»
• Бином Ньютона
(а + Ь)" = а" + С* а" - !й + С* ап ~ 2Ь2 + ...
... + С* а" "*»* + ... +*"
г1 - *• г2 - п(п-1). пк - п\
^п~п> Ч 2~' С» _(п-А)!й!
• Треугольник Паскаля
1
1 1
12 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
НАЧАЛА АНАЛИЗА
Понятие предела и его свойства см. на с. 97.
Определение производной и ее свойства
см. нас. 98.
Сводку производных элементарных функций
см. на с. 99, 100.
• Уравнение касательной к графику функции
их) в точке (х0, {(х0))
У = ?(х0) + Г(хй)(х - х0)
• Формула Лагранжа
Г(е) = «»>-*">,
Ь-а
где с € (а; Ь).
• Функция Г(х) — первобразная для /(ж) на
заданном промежутке, если для любых х из этого
промежутка
Р'(х) - Г(х)
Первообразные некоторых функций
«*)
0
к
Пх)
С
кх + С
Начала анализа
31
Продолжение табл.
К*)
х« (а * -1)
1
X
1
X1
а* (а > 0, а * 1)
8111 X
С05 X
1
С082Х
1
81П2ЛГ
*Ч*)
~п+1
~ + С
а+1
1п|х| + С
2,/х +С
=21 +с
1па
-соя х + С
$ш л: + С
*е * + с
-с*е л: + С
• Формула Ньютона—Лейбница
ь
1Пх)а-х - Р0) - Р(а)
а
Определенный интеграл и его свойства см.
нас. 127—132
ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Линейная функция у = кх + Ъ
Дробно-линейная функция
у = 5 (к Ф О, х Ф О)
"А
*>0
Н
.»-*
»-4
к<0
Рис.2
Рис. 3
Графики элементарных функций 33
Степенная функция у = хп
я>1 Ч
п> 1
О
п — четное
Рис. 4
я — нечетное
Рис. 5
1 х
Рис.6
Показательная функция
у = а* (а > О, а * 1)
а
а> 1
1
0
1 /
- — --/
1 **
Рис. 7
34
Школьный курс
Логарифмическая функция у = 1о^ах
(а > О, а Ф 1, х > 0)
Уп'
1
Рис. 9 Рис. 10
Тригонометрические функции
У = 81П X
Рис. 12
Графики элементарных функций 35
Зтг
2
У = *8
У
-я/! 0
У:
в
1
Л
^"гс х
Рис. 13
Рис. 14
Обратные тригонометрические функции
У =
У
к
2
-1
1 у
'-
агсвт х
1 1
УI >
'0 1 ж
- 2
Рис. 15
у = агс4д х
2
^ ^
я
2
Ри
3 *
с. 17
у = агссоз х
У
-1 0
п
к
2_^
VI
1 *
Рис. 16
у = агсс({г ж
У,
к
7Г
2
0
Ри
X
с. 18
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Градусная и радианная мера углов
1 радиан = 152.' ~ 57°17'45"
п
1° = -5- радиана ~ 0,017453 радиана
180
1' = ;а* „» радиана = 0,000291 радиана
180 • 60
180• 60 60
радиана ~ 0,000005 радиана
0°
0
30°
я
6
45°
Я
4
60°
я
3
90°
Я
2
120°
2я
3
135°
Зя
4
150°
5я
6
180°
210°
7я
6
225°
5я
4
240°
4я
3
270°
Зя
2
300°
5я
3
315°
7л
4
330°
11л
6
360°
2я
Тригонометрия
37
Тригонометрические функции
Синус угла а — ордината точки единичной
окружности, соответствующей данному углу,
т.е. 81П а = у (рис. 19).
Косинус угла а — абсцисса точки
окружности, соответствующей данному углу, т.е. сое а = х
(рис. 19).
с*е а =
вес а =
совес а
Рис. 19
Знаки значений тригонометрических функций
Четверть
I
П
га
IV
81П а
+
+
-
сов а
+
-
-
+
*8а
+
-
+
-
с*8 а
+
-
+
-
вес а
+
-
-
+ .
соаес а
+
+
-
-
соза
мпа
1
соза
= 1
вша
38
Школьный курс
Значения тригонометрических
функций некоторых углов
а
81П а
сое а
*8«
с*е«
вес а
совес а
0°
0
1
0
оо
1
оо
30°
1
2
7з
2
1
7з
7з
2
7з
2
45°
72
2
72
2
1
1
72
72
60°
7з
2
1
2
71
1
7з
2
2
7з
90°
1
0
оо
0
оо
1
120°
73
2
_1
2
-7з
1
Л
-2
2
7з
180°
0
-1
0
оо
-1
оо
270°
-1
0
оо
0
оо
-1
360°
0
1
0
оо
1
оо
Тригонометрия
39
Тригонометрические функции
в прямоугольном треугольнике
81П И = -
с
*«-?.
зес а = \
о
сое а = -
с
с*е а = -
а
совес а = -
а
с^^
Ла г
6 :
Рис. 20
Тригонометрические тождества
соа2 а + 81п2 а = 1 Ъ&а- с1# а = 1
|соз а| = «/1 -81п2а |зт а| = лА - соз2 а
*еа:
с*еа
с!ва =
4?а
1 + с^2 а = -Д- =
созес' а
1 + *е2 а =
вес2 а
40
Школьный курс
Выражение одних траговомет
81ПЖ
СОЗ X
±ех
с1ех
вес л:
созес х
8111
= ±«Д -8Ш X
Ш1
±«Д ~ 8111 X
_ ±^1 ~ 8111 X
6111ДГ
1
±4\ -8111 X
_ 1
8ЦЦС
СОЗ
= ± VI - соз х
_ ±л/1 _С08 X
СОЗХ
СОВХ
± »Д - соз дг
1
008 ДГ
1
±лД -сое дс
*в
(¦Ё*
±л/1 + *е2*
1
±Л + 1г2*
1
18*
-±Л + 1В *
±Л + 182*
•**
Тригонометрия
41
рическнх функций через другие
с1е
1
±,Л + с1е2х
с1&х
±Л+с1в2л:
- *
Оех
_ ±4\ + с1е2х
аех
- ±л/1 + с1е х
вес
_ ±"/вес х - 1
весх
1
ввел
= ±"/вее х - 1
1
±«/зес г - 1
весх
±«/вес ж — 1
совес
1
СОвССХ
_ =ь«/совес дс - 1
совес*
1
± «/совес *,- 1
= ±*]соаес дг - 1
совес*
±«/совес л: - 1
..
42
Школьный курс
Формулы сложения
тригоаометрических функций
81П (а ± Р) = 81П а СОЗ Р ± С08 а 81П р
соз (а ± Р) = сое а сов Р Т вт а вт р.
*е (а + р) - <*к±*бР
с*8 (а ± р) - с^«с18р + 1
Формулы приведения
тригонометрических функций
8111 (±а + ЯП) = ±(-1)п81П а
сое (±а + яп) = (-1)"со8 а
!;& (±а + яп) = ±1% ее
сЬ% (±а + ял) = ±сЬ& а
в'т (±а + 5 + яп ] = (-1)псо8 а
сов (±а + 5 + япЛ = Т(-1)Л81П а
*6 [ а + 5 + кп ) = ~с*& а
с*е (а + 5 + пп ] = -Ьё а
Тригонометрия
43
Тригонометрические функции
кратных углов
зт 2а = 28Ш а сое а
сое 2а = сое2 а - зт2 а
сов 2а = 1 - 2зт2 а
сое 2а = 2соз2 а - 1
зт За = Зет а - 48т3 а
сое За «= 4со83 а - Зсов а
зт 4а = 8со83 а зт а - 4сов а зт а
соз 4а = 8сов4 а - 8соз2 а + 1
1в 2а = 2^«
1-1«2а
Л+„ ос, = с*е2а-1
Чв За
с*в За :
*8 4а =
2 с1е а
1-3*е2а
_ с4в3а-3<Л(*а
Зс1#эа-1
41^а-4(е3а
1-6*;г2а + 1;84а
с^ 4а = «*»*«-«<*«а+1
4с*83«-4с<;ва
44 Школьный курс
Тригонометрические функции
половинного угла
а а _ 81п а _ 1 - соя а
2 1 + соз а 8ш а
а _ 81па _ 1 + соз а
2 1 - сов а 81П а
Сумма тригонометрических функций
8Ш ОС ± 8П1 В = 2 81П ^ СОЯ 5Ь|5
сов а + сое В = 2 сое 2±ё Соз 5^_Ё
к 2 2
соз а - сое В = -2 81П °1±5 зш ^
^ 2 2
соз асоа р
с*еа±с*бР = ±^^
81П азт р
сое а + 81п а = л/2 сое ( 5 - а ]
Тригонометрия
45
сое а - 81п а = 42 зт (? ~ °Ч
Ч « + ае р = сов(а-р)
сов авш р
СОН а 8111 E
*е а - с*е а = -2с*е 2а
1 + сов а = 2со82 ^
2
1 - сое а = 2вт2 ^
1 + зт а = 2со82 (| - | )
1-вта=2вт2 (^ ~ - )
Понижение степени
тригонометрических функций
81п2 а = 1-сов 2а
сов2 а = 1 + со82а
2
81П3 а = - (Звт а - вш За)
4
46
Школьный курс
сов3 а = 1 (сов За - Зсоз а)
4
81П4 а = 1 (сов 4а - 4соз 2а + 3)
о
*
сов4 а = \ (сое 4а + 4соз 2а + 3)
о
Произведение
тригонометрических функций
81п а • со8 Р = в1п(и + Р) + а1п(а-Р)
сов а • сое р - соз(<х + Р) + со8(а-Р)
81П а • ш р - соз(а-Р)-со8(« + Р)
Формула дополнительного угла
а сов х + Ь 8Ш х — л/а2 + Ь2 • сов(л: - а),
Тригонометрия 47
Соотношения между обратными
тригонометрическими функциями
агсзт х = -агсзт (-х) = ? ~ агссоз х =
= агс4е х
7Г
агссоз х — я - агссоз (-х) = 5 - агс81п * =
= агсс*ё х
4Г-х*
агс*е * = -агс*в С--) = \ ~ агсс!^ х
агсс1;8 х = я - агсс*е (_*) = 5 ~ агс*8 * =
агссоз *
7Г
ГЕОМЕТРИЯ
Треугольники
• Стандартные обозначения, используемые в
сборнике формул (рис. 21)
А, В, С —вершины;
а, 3, у — углы;
а, Ь, с — стороны,
противолежащие углам а, р, у
(вершинам А, В, С) соответственно;
йа, Нь, Нс — высоты,
опущенные на стороны а, Ь, с
соответственно;
с та, ть, тс — медианы;
1а, 1Ь, 1С — биссектрисы;
В — радиус описанной окружности;
г — радиус вписанной окружности.
Формулы вычисления площади треугольника
8=\аНа=\ъкь=\скс
8 = \аЬ 8ш у = 1 ас зт Р = \ Ьс зт а
5 = Мр-а)(р-Ь)(р-с) (р= 1(а + 6 + с))
гр
8 =
аЬс
4Д
Геометрия
49
• Формулы для вычисления медианы,
биссектрисы, высоты через стороны треугольника
2 2Ь2+2с2-а2
та-- 2
Й-
F + сJ
.2 = 4р(р-а)(р-6)(р-с)
а „2
Отношения высот и сторон треугольника
Л„ : А*: А, ~
Ч
а Ь с
• Теорема косинусов
а2 - Ь2 + с2 - 26с соз а
&2 = а2 + с2 - 2ас сое р"
с2 = а2 + Ь2 - 2аЬ сое у
• Теорема синусов
-2- = -А- = -?— = 2Д
31П а 8111 В 8111 V
• Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)
. а + В , у
а + о _ & _ &
«-* ^ ^«^
50
Школьный курс
а + с _ ё 2
с*е!
Ь + с
Ь-с
*е
*е
а-у
В + у
*8
с*е
а-у
"г-
а
*6
В-у
*е
В-у
• Теорема Пифагора (рис. 22)
с2 = а2 + Ь2 (^с = до0)
а
^ = А
Л а.
• Площадь прямоугольного треугольника
8 = 1 аЬ = | Лс (^С = 90°)
Геометрия 51
• Равносторонний
5 4
2
К=2г
Д=^ г-
3
треугольник
а Уз
6
(рис. 23)
/
' г
л\а
а
Рис
.23
Решение треугольников
• Прямоугольный треугольник (рис. 22)
а = с 81п а Ъ = с сов а
а = Ь 1§ а Ь = а с1# а
с =
6
соза
Произвольный треугольник (рис. 21)
„ _ к 81П а
8Шр
а = СТ-
вШу
о = а-
зту
„ _ ь 81П V
С = О-г-к
зтр
зша
а = дсоз у + ссоз Р
52 Школьный курс
Ь = ссоз а + асоа у
с = асов р + Ьсов а
*8а= а81пУ
Ь - а сое у
81П « - КР-Ь)(Р-С)
2 V Ьс
сое 5 = \РЩр±>
2 V Ьс
±а а = \(р-Ь)(р-е~)
р(р-а)
Четырехугольники
Параллелограмм (рис. 24)
5 = аНа = &ЛЛ
<8 = а&вш а
5=1 й1й281П Ф
Р = 2(а + Ь)
РИС'24 й?+^-2(а" + ^)
Прямоугольник (рис. 25)
5 = аЬ - - й281п ср
2
Я = \й~ х- Та2 + Ь2
2 2
Р = 2(а + &)
Геометрия
53
• Ромб (рис. 26)
8 = аН = а2зт а = 1 йхЛг
й, = 2асоз -
1 2
а*, = 2азт ?
Л-у + Л2 = 4а2
г = - й = - азт а
Квадрат (рис. 27)
4а
¦а2
5 =
Р = 4а
а" = а^2
2 2
г-Н
шеция (рис. 28)
«±*Л-|^28т
МЛГ = 1 (а + 6)
Ф
(средняя линия)
54
Школьный курс
• Произвольный выпуклый четырехугольник
(рис. 29)
, а+р + у + 5 = 360°,
а
Рис. 29
где а, C, у, 6 — внутренние углы
четырехугольника.
а2 + Ь2 + с2 + а2 = й\ + й\ + 4т2,
где т — отрезок, соединяющий середины
диагоналей.
5=5 с^с^зт ф
Л\«х/
Правильные п-угольники
, • Центральный угол
а=збо;
п
• Внешний угол
Рис. 30
Геометрия
55
Внутренний угол
у = 180° - Р
Сторона
ап = 27Л2-г2 = 2Евт | = 2гЬе |
• Радиусы описанной и вписанной окружностей
2 51П-
2*8 5
• Площадь
8=± папг = лг2*е |=1 пД281п а = 1 па\ с*& |
Окружность и круг
• Длина окружности
С - 2яг = ли
• Длина дуги, равной п°
^_ ЯГ „о
180°
56
Школьный курс
• Площадь круга
5
„„2 _ „й2 _ са
яг' = я— = ——
• Свойства хорд, секущих и касательной
(рис. 31)
В8 ¦ Е8 = С5 • -05
МВМС = МО- МЕ
МА2 = МВ- МС = МБ ¦ МЕ
• Сегмент и сектор (рис. 32)
а
о = 2Д МП?
А = 2 16«
2 64
Площадь сектора: 50/1ВС = ^ ^2ое
Площадь сегмента: -З^с = 8ОАВС - 8ОАС
Геометрия
57
• Площадь кругового кольца (рис. 33)
5 = л(Д2 - г2) =
4
где Я, г — внешний и
внутренний радиусы, X), д. —
внешний и внутренний диаметры,
г — средний радиус, к —
ширина кольца.
Многогранники
• Стандартные обозначения, используемые в
сборнике формул:
V — объем;
5П0ЛН — площадь полной поверхности;
*§6ок — площадь боковой поверхности;
Лосн — площадь основания;
Росн — периметр основания:
Р1 — периметр перпендикулярного сечения;
I — длина ребра;
Л — высота.
Рис. 33
58
Школьный курс
• Призма (рис. 34)
«бок = ^1*
«поля = 2«осн + «бок
^ = «оси ' *
• прямая призма
«бок - ^осн (* - *)
V = 8 • I
Рис.34 осн
• Параллелепипед (рис. 35)'
«полн - 2(аЬ + Ьс + ас)
У=аЬс
й2 = а2 + Ь2 + с2
• Куб (рис. 36)
/ 1 \
1 \
I \
| ^ а
1 ^
, \
1 N
4
-г
а
Рис. 36
полн
V"
а2 =
= 6а2
а3
За2
Геометрия 59
• Пирамида (рис. 37)
^=|Яосв-Л
• Правильный тетраэдр
(основание —
равносторонний треугольник)
«полн = «2^3.
V- °3^
12
7з
Рис. 37
Радиус описанной сферы
4
Радиус вписанной сферы
,-!»
Правильная пирамида
5,
- 1р . ь
бок 2 °°н
гдеР0
периметр основания, к — апофема.
60
Школьный курс
• Усеченная пирамида (рис. 38)
У^\Н(81+ ^8^ + 32),
где 85 и 82 — площади
оснований.
^бок
Рис. 38 С08а
где а — двугранный угол при ребре нижнего
основания.
• Формула Эйлера
N -Ь + Р = 2,
где N — число вершин, Ь — число ребер, Р —
число граней выпуклого многогранника.
Правильные многогранники
• Стандартные обозначения, используемые в
сборнике формул:
а — ребро многогранника;
V—.объем;
5 — площадь боковой поверхности;
К — радиус описанной сферы;
г — радиус вписанной сферы;
Н — высота.
Геометрия
• Тетраэдр (рис. 39)
5 = а273
г_ а3Л
12
-_ аТб
12
Г7_ вл/6
• Куб (рис. 40)
5 -6а2
У=а3
Л~-2-
г=2
2
Н = а
• Октаэдр (рис. 41)
5 = 2а2Л
3 V
2
6
61
/К
/ Vя \
\]^*
Рис. 39
/1
а
Рис. 40
/
/
/ 1 \ \
1 1 л^
\ \ / /
Рис. 41
62
Школьный курс
• Додекаэдр (рис. 42)
Рис. 42
• Икосаэдр (рис. 43)
Рис. 43
3 = За2 ,/5E + 2,75)
у= а3A5 + 775)
4
4
а710B5+1175)
20
8 = 5а27з
у= 5а3C + 75)
12
п = а«/2E + ./5)
4
а73C + л/5)
12
Тела вращения
• Цилиндр (рис. 44)
«бок - 2лЛА
5П0ЛН = 2пВ2 + 2пКН
V - пКЧ
Рис. 44
Геометрия
63
• Конус (рис. 45)
«бок = *Ш
«ПОЛЕ = *Я(Д + О
V = 1 лД2Л
3
Усеченный конус (рис. 46)
5^ = пЦВ + г)
«поли = «бок + *(Д2 + г2)
V = I пН(В2 + Вг+ г2)
о
• Шар (рис. 47)
«сферы " 4ЯД2 - Ж*2
V- |яЯ3 =
я43
6
Рис. 45
Рис. 46
Д
Рис. 47
64 Школьный курс
Шаровой сектор (рис. 48)
¦8 = пЩ2Н + а)
У= 2пН2Н
3
• Шаровой сегмент (рис. 49)
а2 = ЛBЛ - Л)
5^ = 2яЯЛ = п(а2 + к2)
«полв = Ж2ЛА + а2) =
= п(к2 + 2а2)
Шаровой пояс (слой) (рис. 50)
Г=ёЛЛЗ+^Л(а1 +а2)Л
ГГ-1
Рис. 50
Геометрия 65
Векторы
• Координаты вектора с началом в точке
А(х\1 У\' г\) и концом в точке В(х2, у2, 22)
АВ (х2 - хи у2 - г/1, г2 - г{)
• Координаты суммы векторов а(д:1, у]( г!) и
Ъ(х2, у2, г2)
а + Ь = с(х1 + х2, у1 + у2, г1 + г2)
• Свойства сложения векторов
а + Ь = Ь + а
(а + Ь) + с = а + (Ь + с)
а + 0 = а
а + (-5) = О
• Координаты произведения вектора на число
X ¦ а(х, у, г) = с(Хх, Ху, Хг)
• Свойства умножения
(Лц)о = А(ца)
(А. + ц) • а = Ха + ца
Х(а + Ь) = Яа + ХЬ
Оа = ЛО =0
66
Школьный, курс
• Скалярное произведение векторов
а**!, ух, гх) и Ь(х2, у2, г2)
а • Ь = ххх2 + уху2 + 2Х22 = \а\ • \Ь\ • сое (а, Ь)
• Свойства скалярного произведения
а ¦ Ь = Ь ¦ а
а ¦ а > О
а • а = |дJ
(Ха)Ь = Х(о6)
• Длина вектора а(х, </, г)
. \а\ = *]х2 + у2 + г2
• Косинус угла между векторами а^, I/!, гх) и
Ь(х2, 1/2, г2)
„„в/Гь\- »•*' - *1*2 + !/1</2 + 2122
соз (а, о ) = =
1« 1Х\ + у\ + г\-Щ^~Гг
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Координаты точки
• Параллельный перенос системы координат
х' = х - а,
у' = у-Ь, .
где 0'(а, Ь) — новое начало, (х, у) — старые
координаты точки, (х', у') — новые координаты.
• Поворот системы координат (начало
неподвижно)
х = х' сое а - у' 8ш а,
у = х' 81п а + у' сое а,
где (х, у) — старые координаты точки, (х', у') —
новые координаты, а — угол поворота.
• Полярные координаты точки с
прямоугольными координатами хну
р = «1х2 + у2 ,
*8 Ф = 2
68 Высшая математика
• Прямоугольные координаты точки с
полярными координатами риф
X = р С08 ф, у = р 81П ф
• -Расстояние между точками (хг, у{) и (х2, у2)
^= *](х2-х1J + (у2-у1J
• Расстояние между точками (р1, фх) и (р2, Ф2)
в полярной системе координат
4= //Р1 + Р2-2Р1Р2С08((Р2-Ф1)
• Координаты точки, делящей отрезок с
концами (*!, ух) и (лг2. У2) в данном отношении /
„ = *1 + '*2 „ = У1 + ^2
~ТТГ' " ~ТТГ
• Координаты середины отрезка с концами
(*1> 1/г) и (*2- Уг)
г = *1 + *2 „ = У\ + ^2
л о > У о
Площадь треугольника
• Площадь треугольника с вершинами {х1, у^,
(*2> г/г) и (*з> Уз)
8 = ± \ (У*2 ~ х^Уз ~Уг) ~ (*3 ~ х№2 ~ У1))
Аналит. геометрия на плоскости 69
Уравнение прямой
1
• Общее уравнение прямой
Ах + Ву + С = О (А2 + В2 * 0)
• Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у = кх + Ь,
где к = 1§ «р (угловой коэффициент) — наклон
прямой к оси Ох, Ь — величина отрезка,
отсекаемого прямой на оси Оу.
• Тангенс угла между прямыми с угловыми
коэффициентами к и к'
к'-к
*&е =
1+к'к
• Тангенс угла между прямыми Агх + Дгу + С1 =
= 0 и А2х + В2у + С2 = 0
ч^^Вг-А2Вх
АхАг + ВхВг
• Условие параллельности прямых
к' = к
• Условие перпендикулярности прямых
70
Высшая математика
• Уравнение прямой, проходящей через
данную точку (х1г у{)
у - г/х= Щх - хг),
где к — угловой коэффициент прямой.
• Уравнение прямой, проходящей через две
точки (Яр ух) и (х2, у2)
*-*! = У-У\
хг~х\ Уг~У\
• Три точки (д^, уг), (х2, у2), (х3, у3) лежат на
одной прямой, если
*3~*1 = УЗ~У1
Х2~Х\ У2~У\
• Уравнение прямой, отсекающей отрезки а и Ь
на осях координат
* +у- =1
а Ь
• Расстояние от точки (хг, у у) до прямой Ах +
+ Ву + С = 0
й= \АХ1 + Ву1 + С\
Мг + в2
Аналит. геометрия на плоскости 71
Уравнение окружности
• Уравнение окружности с центром (х0, у0) и
радиусом В
(х - х0J + (у - у0J = В2
• Параметрические уравнения окружности
радиуса В с центром в начале координат
X = В С08 (, у = В 81П I,
где * — параметр.
Эллипс
• Каноническое уравнение эллипса с
полуосями а и Ъ
*! + У? =1
а2 &2
• Фокусы эллипса — точки Р(с, 0) и Р'(-с, 0),
где с2 = а2 - Ьг.
Рис. 51
72 Высшая математика
• Фокальные радиусы точки (х, у) эллипса
г = а - ех; г' = а + гх,
г /а2 -Ь2
где е = - = ——— < 1 — эксцентриситет эл-
а а
липса.
• Фокальный параметр эллипса
а ¦
• Параметрические уравнения эллипса с
полуосями а и Ь
х = а соз I,
у = Ь 81П I
• Касательная к .эллипсу в точке М(х0, у0)
ххо , УУо д *
• Площадь
8 = паЬ
Гипербола
• Каноническое уравнение гиперболы с
полуосями а и Ь
Аналит. геометрия на плоскости 73
Рис. 52
• Фокусы гиперболы — точки Р(с, 0) и Р'(-с, 0),
где с2 - а2 + Ь2.
• Фокальные радиусы точки (х, у) гиперболы
г = ±(гх- а), г' - ± (гх + а),
где е = - > 1 — эксцентриситет гиперболы.
а
• Асимптоты гиперболы
у -±Ь-х
• Фокальный параметр
а
• Касательная в точке М(х0, у0)
х*о _ УУ» = ,
74
Высшая математика
• Сопряженные гиперболы
а2 Ь2 Ьг а2
• Уравнение равнобочной гиперболы
х2 - у2 = а2
• График обратной пропорциональности
ху = с (с ^ 0)
— равнобочная гипербола с асимптотами х = 0и
у-о.
Парабола
• Каноническое уравнение параболы с
параметром р
у2 = 2рх
лгЦ.уЬ
Рис. 53
Аналит. геометрия на плоскости 75
• Фокус параболы — точка Р( |, 0 ).
• Уравнение директрисы
*-\
• Фокальный радиус точки (х, у) параболы
г = х + Е
2
• Эксцентриситет параболы
е= 1
• Касательная к параболе в точке М(х0, у0)
УУо = Р(* + хо)
• График квадратного трехчлена
у = Ах2 + Вх + С
— вертикальная парабола с вершиной
П'( В _В2-4АС\
и{2А' АА )¦
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты точки
• Декартовы прямоугольные координаты точки
М (х, у, г) пространства Охуг есть
х = гх, у = ги, г = г2,
где г = ОМ — радиус-вектор точки М.
• Длина вектора а = {ах, ау, аг)
а = |а|= 7^ + а| + аг2
• Направление вектора а = {ох, а , аг}
соз а = — , сое В = -2 , сое у = —
а а а
(сое2 а + сое2 Р + соз2 у = 1),
где соз а, соз Р, соз у — направляющие косинусы
вектора а.
• Расстояние между двумя точками М1(х1, у1г 2Х)
и М2(х2, 1/2. 22>
Аналит. геометрия в пространстве 77
• Расстояние от точки М(х, у, г) до начала
координат
а - \мо\ - „/*2 + г/2 + 22
• Координаты точки, делящей отрезок с
концами {хг, у1г 2Х) и (х2, У2> 2г) в заданном
отношении I
х^+1х2 у}+1у2 = гг + 1г2
X 1 + 1 , у ___, 2 ~Т—Г
Уравнение плоскости
• Уравнение плоскости с нормальным
вектором N = {А, В, С) * 0, проходящей через точку
Щ{х0> Уо> 2о)
N ¦ (г - г0) - 0, A)
где г — радиус-вектор текущей точки плоскости
М(х, у, г) и г0 — радиус-вектор точки М0.
• В координатах уравнение A) имеет вид
А(х - х0) + В(у - уй) + С(г - г0) = О
• Общее уравнение плоскости
• Ах + Ву + Сг + О = 0 . '
78 Высшая математика
• Уравнение плоскости, отсекающей отрезки
а, Ъ, и с на осях координат
а о с
• Расстояние от точки М1(х1, уг, гх) до
плоскости Ах + Ву + Сг + В = О
_ |Ах,+ В^1 + Сг1 + Ь\
М2 + В2 + С2
Уравнение прямой
• Векторное уравнение прямой линии в
пространстве
г = г0+ 8(, A)
где г — {х, у, г} — текущий радиус-вектор
прямой, г0 = {х0, у0, г0} — радиус-вектор
фиксированной точки прямой, з = {т, п, р] * 0 —
направляющий вектор прямой, I — параметр
(-оо < I < +оо).
• В координатной форме уравнение A) имеет вид
*-*о _ У-Уо = г-г0
т п р
• Прямая как пересечение плоскостей
Ах + Ву + Сг + Б = О,
. А'х + В'у + Сг + В' = О".
Аналит. геометрия в пространстве 79
Направляющий вектор этой прямой есть я = ЛГ х
х'ЛГ.'где N = {А, В, С}, N' = {А', В', С'}.
• Уравнение прямой, проходящей через точку
(х0, у0, г0) параллельно направляющему вектору
{I, т, п}
*-*о = У-Уо = г~г0
I т п
• Уравнение прямой, проходящей через точки
(*1> У1> г1)и{х2, у2, г2)
х-хх = у-Уг = г-г,
*2_*1 У2-У1 2г~г\
• Уравнение прямой, проходящей через точку
(х0, у0, г0) перпендикулярно плоскости Ах: + Ву +
+ Сг + I) = О
*-*о = У-Уо = г~г0
ЛВС
х-х, У-Ул
• Косинус угла между прямыми —-—^ = =
М т1
_ г-г, х-*2 у-уг _ г-22
— и — — —
пг 12 тг п2
СОЗ ф = 12 12 1 2
I 2 2 2 2 2 2
^(^ + /П] + л1)(/2+ т2 + л2)
80
Высшая математика
• Условие параллельности прямых
/, _ т, _ п1
1г т2 пг
• Условие перпендикулярности прямых
1^2 + т-^п.2 + п^П2 — 0
Прямая и плоскость
_ „ Х-Х, У-У1
• Синус угла между прямой ——- = ——-
I т
2 — 2\
= и плоскостью Ах + Ву + Сг + Б = 0
п
А1 + Вт + Сп
81П ф =
7(А2 + В2 + С2)(/2 + т2 + п2)
• Условие параллельности прямой и плоскости
А? + Вт + Сп = 0
• Условие перпендикулярности прямой и
плоскости
I _ т _ п
ЛВС
Уравнение сферы
Уравнение сферы радиуса Л с центром
(*о> Уо> г0)
(X - *„J + (у - „„)* + B - 20J = В2
Аналит. геометрия в пространстве 81
Поверхности второго порядка
Название
поверхности
Эллипсоид
(в частности,
эллипсоид
вращения
и сфера)
Однополостный
гиперболоид
Двухполостныи
гиперболоид
Конус второго
порядка
Каноническое
уравнение
х± + ч! + *1 = 1
а2 Ьг с2
а2 Ь2 с2
*'г + ^2 - 2'1 - -1
а2 Ь2 с2
*2 + #2 _ г2 = о
а2 Ь2 с2
Схематическое изо-
бражение
©
I
^
^
1
82
Высшая математика
Продолжение табл.
Название
поверхности
Эллиптический
параболоид
Гиперболический
параболоид
Эллиптический
цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр
Каноническое
уравнение
г= 11 + «1
2р 2Ч
г - *2 - у2
2р 2д
-! + А -х
а2 Ьг
*2 _ У2 = 1
о2 Ь2
у2 = 2рх
Схематическое
изображение
<9
'К^
1
5
р
>
С~1
-
Аналит. геометрия в пространстве 83
Продолжение табл.
Название
поверхности
Пара
пересекающихся
плоскостей
Пара
параллельных
плоскостей
Пара
совпадающих
плоскостей
Мнимый конус
второго порядка
с действительной
вершиной @; 0; 0)
Пара мнимых
плоскостей
(пересекающихся
по действительной
прямой)
Каноническое
уравнение
^ - У± =0
а2 *2
*
Ч =1
*2 = 0
х1 + у! + г1 =о
О2 &2 с2
?1 + у1 =о
а2 62
Схематическое
изображение
,Й<
1
1
1
1
1
1
?
'
84
Высшая математика
Окончание табл.
Название
поверхности
Мнимый
эллипсоид
Мнимый
' эллиптический
цилиндр»
Пара мнимых
параллельных
плоскостей
Каноническое
уравнение
хг . У2 + г2 =_1
а* Ьг гг
х2 + У2 = _1
о2 Ь2
т-1
Схематическое
изображение
'
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
• Вид комплексного числа
г = х + /(/
где х, у — действительные числа, I — мнимая
единица, I2 = -1.
• Ке г ~ х — действительная часть
комплексного числа.
• 1т г = у — мнимая часть комплексного числа.
• Равенство комплексных чисел
1т 29
2у = 22 <=> Ке гх
Ке г2 и 1т гг
• Геометрическое изображение комплексных
чисел. Точка М{х, у) изображает число х + у1
(рис. 54).
• Модуль комплексного числа
\г\ = г = ОМ = 4х2+у2
• Аргумент комплексного числа
Аг§ г = аг& г + 2пк
(к = 0, 1, 2, ...),
где аг§ г
= агс!§ ^
ф = гиом =
главное
значение аргумента.
У/1
.V
О
г/
/ур
м
л
1
'АГ ,
х X
Рис. 54
86
Высшая математика
• Тригонометрическая форма записи
комплексного числа
X + 1I = Г(С08 ф + 13111 ф)
• Комплексно-сопряженные числа
г = х + 1у и г = х - и/
• Действия с комплексными числами
гх + 22 = (хг + х2) + 1(у1 + у2)
2г - 22 = («! - Х2) + 1(у1 - у2)
21 " 22 = (*1*2 - У1У2) + ^1^2 + хгУ\)
г, = х^г + ^г/г + ^гух~ххуг
2 , 2
х2 + у2
2 , 2
*2 + 3/2
В частности,
Ке г = 1B + 5), 1т г = 1 (г - г), |г|2 = гг
• Теоремы о модуле и аргументе
1*1 + 2г1
2, + 2,
12122| = Ы\гг\, Агв 2^2 = Аге гх + Аге г2
, Аге— = Агегг - Аг§гг (гг * 0)
г2
Комплексные числа
87
\гп\ = \г\п, Аг§ гп =• п Аг§ г (п — целое)
• Корень из комплексного числа
\ п п )
(к = 0, 1, 2, ..., п- 1)
• Показательная форма записи комплексных
чисел ,
2 = ге'Ч',
где г = |г| и ф = Аг§ г.
• Формула Эйлера
еЩ = С08 ф + И31П ф
• Произведение и частное комплексных чисел
= Г^СОВ (ф! + ф2) + ЫпСф! + ф2))
г2 г2
= — (С08 (ф1 - ф2) + /81П(ф1 - ф2)) B2 * 0)
г2
АЛГЕБРА
Матрицы
Сложение матриц
А + В =
\ Оц а12 ... а,
ап-, а99 ... Оо
С
I, ат1 ат2 ¦¦¦ атп
Ьп 6,2 ... &,„
1
6,, 6,., ... Ь,„
V &ш1 &т2 Ьпп )
аи + Ьп а12 + 612 ... а1п + 6,п
Ог^^г! а22 + &22 "¦ а2л + 62л
ч ат1+6т1 аш2+6т2 — атП+*тпу
• Умножение матрицы на число
ХА = А.
аи а12 ... а,
а91 а.>о ... До
12\ 2
а„, 1 а
V "ш1 ит2 •¦• итп )
а„
Хаи ХаА2 ... ла,„
Ла21 Д.а22 •¦¦ Аа2„
Хат1 Хат2 ¦•• Хатп )
Алгебра
89
• Умножение матриц
АВ =
а*» а]9 ... й\
Оо* Лол ... Цд
Я .11 1 ^„Ч • • • Л п
У Ьп\ Ьп2 Ьпк )
41 42 ¦¦¦ с1
с21 с22 ¦•¦ с2
ч ст\ ст2 стк ,
-с,
где су - апЬ1у + а12Ь2) + ... + о,яЬпу - ^ а1иЬ^
и — ]
(/ = 1, 2, ..., т; ; = 1, 2, ..., к).
• Единичная матрица
Г 10... (И
0 1 ...0
оо... 1 ;
• Обратная матрица (А 1)
90 Высшая математика
А-! =
¦^12 -^22
а а
V а
Ъп1
а
4т2
а
тп
~1Г
где й — определитель матрицы А; Ац —
алгебраическое дополнение ее элемента а(у-.
• Транспониррвание матрицы —
преобразование, при котором ее строки становятся
столбцами, а столбцы — строками с теми же самыми
номерами. А' — матрица, транспойированная по
отношению к матрице А.
А' =
а-ю О>90 ••- Я„
а,„ а9п ... а„
1л л
, если
А =
аи а12 ... аг
а91 а9.9 ••¦ а9
, ат\ ат2 ¦¦¦ атп ,
Алгебра
91
Определители
Определитель второго порядка
Б -
= аЛЪо — а.пЬ
Ч
2"\
• Формулы Крамера для системы
ахх + Ъху = сх,
а2х + Ь2у = с2.
Х = ТГ ' У
0 а
где!) =
*0, Д =
• °у'
Ч с2
• Решения однородной системы
ахх + Ъху + схг — О,
а2х + Ь2у + с2г = 0.
— числа
х = !>!*, у = -Б21, г = 1K* (-оо < I < +оо),
где I»! =
, 2J =
а, с,
>Щ
а, 6о
92
Высшая математика
• Определитель третьего порядка
1> =
где Аг =
а3 Ь3 с3
ахАх + Ь1В1 + с1С1,
вх = -
— алгебраические дополнения соответствующих
элементов определителя.
• Формулы Крамера для системы
\ахх + Ъ^у + сгг = ё1,
<а2х + Ь2у + с2г = й2,
\а3х + Ь3у + с3г - Л3.
— числа
х — —-, и
где 2> =
а\ Ь^ С|
аг Ь2 с2
а3 Ь3 ся
°у~
*С
а\ <*1 с\
а2 с2
а3 д
3 с3
. ох~
. °г~
а1 6, с,
а2 ьг с2
а3 ь3 с3
а} Ь] й]
а2 62 сB
а3 63 йз
Алгебра
93
• Формулы Крамера для системы
|а11*1 +«12*2+ -+а1пхп = Ь1>
\ а21хх + а22х2 + ... + а2пхп = Ь2,
[ап1х1 +ап2х2 + - + аппХп = Ьп-
_ »1 . _ _ *>2 у = -°п
л:
где I) — определитель системы, Л1, ..., Оп —
определители, получающиеся из Л заменой /-го
столбца (] = 1, 2 ... п) столбцом из свободных
членов (Ьх, Ь2, ..., 6„).
Элементы векторной алгебры
• Сумма векторов а — {ах, ац, а2} и Ь = {Ь^., Ь1/, Ьг}
а + Ь = {ах + Ьх, ау + Ьу, а2 + Ьг)
• . Свойства сложения
а + Ь = Ь + а
(о + Ь) + с = а + (Ь + с)
(а + О) = о
а + (-а) = О
• Умножение вектора а = {ах, ац, аг} на число А
ка = {Яа^., Хац, Ааг}
94 Высшая математика
• Длина вектора а — {ах, ау, а2}
, . Г~2 2 2
|а| = ^а., + ау + аг
• Скалярное произведение векторов а и Ь
аЬ = аЬ сов ф,
где ф = ^ (о, Ь).
• Если а = {ах, ау, аг) и Ь = {&,,., Ьу, &2}, то
«* = аА+ а А + а А-
• Угол между векторами {ах, ау, аг,} и {Ьх, Ь , Ь2)
ахЬх + ацЬи + агЬг
СОЗ ф = у у г г
• Векторы а и Ь ортогональны, если аЬ — 0.
• Векторное произведение векторов а иЪ
с = о х Ь,
где с Л о, с А. Ь и с = аЬ вт ф (ф. = /.(а, Ь)),
причем а, Ь, с — правая тройка.
• Если а = {ах, ау, а^иЬ = {Ь^, Ъу, Ъг), то
I I к
ахЬ =
Алгебра
95
где I, /, к — единичные векторы (орты),
направленные по соответствующим осям координат.
• Свойства векторного произведения
о х а = О
ахЬ = -Ьха
(ка) х Ь = к(а х Ь)
а х (А.Ь) = к(а х Ъ)
(ка) х (цЬ) = кц(а х Ь)
(а + Ъ)хс = ахс + Ъхс
сх(а + Ъ) = сха + схЪ
(а + Ь)х(а -Ь) — ах а- ахЬ + Ьха -ЬхЪ
• Смешанное произведение
аЪс = (а х Ь) • с
представляет собой объем (со знаком)
параллелепипеда, построенного на векторах а, Ъ, с.
• Если а = {ах, ау, аг), Ь = {Ьх, Ъу, Ьг), с =
= {сх, су, сг), то
аЪс
ьх ьу ьг
96 Высшая математика
• Свойства смешанного произведения
аЬс — Ьса = саЬ = -(Ьас) = -(асЬ) = ~{сЬа)
(а + Ь)сй = асй + ЬсЛ
(Ха)Ьс = Х(аЪс)
ааЬ — О
• Площадь параллелограмма, построенного на
а = {ах, ау, аг(иЬ= {Ьх, Ьу, Ьг}
аиаг
ьуьг
2
+
аг
ьг
ах
К
2
+
а*ау
ь*ь»
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение и свойства пределов
• Число Ь называется пределом функции &х)
при х —¦ а, если для любого е > 0 существует б > 0.
такое, что для любого х из 8-окрестности а [\х -
- а\ < 5) выполняется |Д*) - /(а)| < е.
Уе>038> 0 : \х - а| <8=>.
-> \№ ~ №)\ < е
• Обозначение Нт /(*) = Ъ
х —• а
• Свойства пределов
11т (Л*).+ «<*) - А(х))-
х — а
= Нт Цх) + Нт §(х) - Нт Н(х)
х-' а х — а х — а
Нт (/(*) ¦ е(х)) -
= Нт /(х) • Нт #(х)
х — а х — а
Нт (с/(#)) - с Нт /(*)
х-~* а х—> а
Нт A1521 = »-« , ч ( Нт §(х) * 0)
1 х-а \е(х)) \ипе(х) ж-в
* — а
98
Высшая математика
• Замечательные пределы
11т ЙЫ = 1
1
1ип С1 + -)* = Ит A + ос)« = е - 2,71828...
• Связь между десятичными и натуральными
логарифмами
1|* х = М 1п х,
где М = 1ее = 0,43429... .
Производная и дифференциал
• Приращение функции у = Я*),
соответствующее приращению Але аргумента х:
^у = Кх + Д*) - ЛлО
• Определение производной
у' - 3* - 11т ^
• Геометрически у' = /'(*) — угловой
коэффициент касательной к графику функции у = Дле)
в точке с абсциссой х.
Дифференциальное исчисление 99
• Правила дифференцирования
с' = 0
(си)' — си'
(и + V)' = и' + г/
(ц - и)' = и' - V'
(ио)' = ц'и + ии'
("\ = и'у-иа'
Ы V2
Ух. " Уг г'х>
где р/(г)иг = <р(дг), т.е у = /(<?(*)).
где х^, — производная обратной функции.
• Производные элементарных функций
(*")'= пх"-1, х'=1
{\оёа х)' - -1-
Aп х)' = I
(а*)' = а*1п а
100
Высшая математика
(зт х)' = сов х
(сов х)' = -8Ш х
(*8 х)' = вес2 х
(сЬ§ х)' = -созес2 х
(агсзт х)' = —-
(агссоз х)' = - ——
Л-*2
(агс1;8 *)' =
1 + хг
(агсс1;ё*)' = -—Ц
1+х2
(вес х)' = вес х 1§ л:
(созес х)' = -совес х с*# х
(агсвес х)' — —
(агссовес я)' = -
х^х2-\
• Свойства дифференциала
й(аДх)) = ас1Кх)
Щх(х) + /2(лс) - /3(*)) - <№) + #2(*) - <*/3(*)
<2А*) = Г(х) Ах
йа = 0
й(ах + Ь) = Д(ах + Ь) = а А*
их" = пхп ~ 1Дх
Дифференциальное исчисление 101
• Дифференциал второго порядка функции у —
= Дж), где х — независимая переменная (с12х = 0)
а2у = у"йхг
• Производные высших порядков некоторых
функций
(хт)^ = т(т - 1)(т - 2)...(т -п + 1)хт " п
Aп ж)<"> = (-1)" " 1(п - 1)[А
хп
Aоео3с)(») = (-1)»-1Ц^1-
тахп
(е**)(л) = ^Пв**
(а*)(п) = Aп а)п а*
(а**)(«) _ (к 1П а)ла**
(81П Ж)<"> = 81П [ж + ^ )
(СОЗ Ж)<"> = С08 (ж + Щ ]
• Правило Лопиталя для неопределенностей
0 °о
вида 5 или _
Нт Ё*1 = 11т $^>,
если предел справа существует.
102
Высшая математика
• Формула Тейлора
Г(х) = Кх0) + Г(х0){х - х0) + С^. (х - *0J + ...
&пЧхЛ
... + Т—^{х - х0Г + о((х - х0Г),
где ^п\х) существует в некоторой полной
окрестности точки х0.
• Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Лагранжа
Л*) = Л*о> + ^г(х - *о> + Чг(х ' х°J + -
... + __г_(ж ж0) + (п + 1)! (х *„> ,
где ^ — такое число, что х0<Ь,< х.
• Формула Маклорена
«*)-Л0)+Ш*+Шх» + -...
/С-Ц(О) _ 2 + /«—»@) х„ - 1 +
(п-2)! (л-1«
+ _Т!~* (я+1)! * '
где 4 — такое число, что 0 < ^ < х.
Дифференциальное исчисление 103
Дифференциальное исчисление
функций двух переменных
• Частные производные функции г = {(х, у) по
переменным х и у
§* = Пщ Л* + А*.у)-/(х,у)
<>х дх — о А*
Ъу д„ — о Лу
• Частные дифференциалы
• Полный дифференциал функции 2 = /(дг, у)
от независимых переменных хну
ох ду
где их — Ах и йу = Д«/.
• Малое приращение дифференцируемой
функции
Дг= ^-Ах + ^-Ау
дх ду
104 Высшая математика
• Производная функции и = /(х, у) по
направлению I, заданному единичным вектором
{сов а, соз Р)
% =^0080+^0080
д1 дх ду
Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
• Частные производные функции и = /(х, у, г...)
по переменным х, у, г,...
Зи = цт /(х + Ах.у,г...)-/(х,у,г...)
дх Ах — 0 А*
Зи = цт /(*,у + Ду, г...)-/(*, у, г...)
ду Д(,^о Ду
Эй = Ит Я*,у,г + Аг,-)-/(*,у,г...) И Т д
Эг дг — о Дг
• Полный дифференциал функции и — Дх, у, х.„)
от независимых переменных х, у, г...
аи=^ах+ ^ау+^аг + ...
ах ду дг
• Касательная плоскость к поверхности г =
- /(*> У)
2 - г - р(Х - х) + ?(У - у),
Дифференциальное исчисление 105
где X, У, 2 — текущие координаты; х, у, г —
координаты точки касания; р, д —
соответствующие значения частных производных ?? , ^ .
ах оу
• Касательная плоскость к поверхности
Р(х, у, г) = 0
Р'х (Х-х)+ Р'у (У - у) + Р'B - г) = 0
• Нормаль к поверхности Р(х, у, г) = 0 в точке
М(х, у, г)
Х-х = Г-у _ 2-г
Р' Ж' Р'
• Градиент скалярного поля и = Длс, у) есть
вектор
ёГаАи-\Тх'Ту'о-г
• Модуль градиента
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Неопределенный интеграл
• Определение неопределенного интеграла
[Нх)<1х = Р(х) + С,
где Р'(х) й = 1(х), С — константа.
• Если йу = 1(х)с1х, то у = Г {(х)<1х.
• Основные свойства неопределенного интеграла
а Г Кх)йх = Ях)йх
У Г(х)<1х] = К*)
Г <Щх) = Р(х) + С
Г Щх)Лх = А Г Л*)йх (А * 0) ^
. $ (/(*) + Ж*) - Цх))с1х =
= Г 1(х)йх + Г г(х)йх - I К(х)йх
• Основные методы интегрирования
¦ Метод разложения
]" Г(х)ёх = | /!(*№* + | /2(*)й*.
где Дя) = ^(х) + {2(х).
Интегральное исчисление 107
. • Метод подстановки. Если х = ф(*)> то
| Пх)йх = | Дф(*))ф'@<Й
• Метод интегрирования по частям
[ иЛV = ио - Г игёи
• Интегралы некоторых функций
Г хЫх = ^1 + С (/п * -1)
3 т + 1
| ^ = 1п \х\ + С (* * 0)
Г е*й* = ех + С
Г а*йх = 2— + С (а > 0, а " 1)
Г С08 ХЛХ = 81П * + С
Г 81П лей* = -соя х + С
[ -Ц- = <« * + с
Г -^Ц- = -с*е * + с
Г _ = агсзт х + С = -агссоэ ас + С,
Г **х „ - агс*8 х + С = -агссЪе х + С,
1 1 + х2
108
Высшая математика
3 1-х2 2 |1_х|
•I *2-1 2 |ж+1|
Таблица неопределенных интегралов1
• Функции, содержащие а + Ьх в целой степени
1) Г _** - 1 1п |о + Ьх\ + С.
3 а + Ьх Ь
2) Г (а + Ь*)" <** ° (а + &у)" + 1 + С, п*-1.
л Ь(п + 1)
3) Г -*^Е- = 1 (а + Ьх - а 1п |а + Ьх|) + С.
4>/1те-г»8(в+*г),-2в(в+*х)+
+ а21п|а + Ьх|) + С.
5) Г —**_ = -I 1п |« + М + С.
^ *(а + &х) а | х |
6) Г —-^ = -А. + А 1п Iя + Ьх\ + С.
) х2(а + Ьх) ах а2 \ х \
7) Г *л* о - 1 Aп|а + Ьх| + -VI + С.
3 (а + ЬхJ &2 ^ ' ' а + Ьх)
1 Таблица неопределенных интегралов дана по книге
М. Я. Выгодского «Справочник по высшей математике»
Интегральное исчисление 109
8) Г *2ах „ - 1 (а + Ьх - 2а 1п \а + Ьх\ -
•> (а + ЬхJ Ь2 V
9) Г **_ = 1— - 2- 1п|^±^| + С.
10) Г , Л* , = -Ь( 1 + 1 - 2 х
¦> *2(а + ЬхJ ча2(а + дх) а26* а3
х 1п |«±Ь*|] + С.
11) Г *<** - 1 Г-_1_ + ° "| + с
^ (а + ЬхK Ь2Ч а + Ьх 2(а + Ьх)г)
12) Г *** Л Aп Iя+ Н + 2Ьх -
^ х(а + Ь*K а3Ч | х I а + Ь*
. *2*2 V + с.
2(а + 6*J,<
• Функции, содержащие а2 + х2, а2 - х2, а + Ьх2
1) Г _^_ = агс*8 х + С.
¦> \+х1
3)|-
й*
1- 1п |«±*| + С
2-*2 2а |а-х|
110
Высшая математика
или
4I-
ах
± 1п еИ« + С.
2а |х-а
5){аТЬ=-к^{Х№+Са*»а>0
ах = _1_
Ьх2 ./об
и Ь > 0.
Если аиЬ отрицательны, то знак -
выносится за интеграл, а если а и Ь разных знаков, то
пользуются № 6.
6)/-
^ а +
а-* _ 1
^ьТ2 —
27ай
1п
*/а + х*/Ь
4а-х4Ь
+ С.
хах
ь,1-й1аИ+5| + С-
8) Г * = - - - Г 2
^ а + Ьх2 Ь Ь 3 а +
далее см. № 5 или № 6.
их
й*2
9) Г-
Л х
ах
= ^-1п
(а + Ьх2) 2а
а + Ьх2
+ С.
10) Г , °"*
^ *2(а + !
-6л:2) ах
далее см. № 5 или № 6
1_ _ Ь г о-*
[д: о ] а + Ьх2 '
Ц) Г __!*_
¦I [а + Ьх'-
¦Ьх2J 2а[а + Ьх2)
далее см. № 5 или № 6.
2а .1 а + Ьх
Ьх2'
Интегральное исчисление 111
• Функции, содержащие ^а + Ьх
1) Г л/а+ 6* йх~ 2- Л(а + ЬхK + С.
•> ¦ ЗЬ
^ 1562
3) Гх2 4а + Ьх Лх => '
_ 2(8аг - 12аЬ* + ЗЬ2*2)л/(а + Ь*K +с
10563
4) Г *й* = -2Bа-Ь*) ТаТ^ + С.
' ТаТ^ ЗЬ2
5) Г х2Ых -2<8«'-*«»* +8»'**>ЛГГ^ + с
•> л/аТб? 15Ь3
6) [ —^ - 1 Щ
¦* х^а + Ьх л/а
при а > 0.
«1а + Ьх- л/а + С
л/а + йх + л/а|
7) Г а"* _ 2
^ Хл/анП
с*/а + Ьх л/-а
при а < 0.
а-*
«*«я?
+ С
8)|
-л/а + Ьл _ 6
х2^а + Ьх ах
далее см. № 6 или № 7.
9) Г -/а + **а'* = 27оТб5 + а Г —^
далее см. № 6 или № 7.
А Г а*
2<» -I х^а + Ьх'
Ах
х*/а + Ьх
112 Высшая математика
• Функции, содержащие V*2 + а2
1) | л/х2^ Aх = | УРТ^2 + ^ 1П |д; +
+ Ух2 + а2| + С.
2) Г л/(*2 + а2K их = | Bл:2 + 5а2) Ух^Т^2 +
+ §«1 1п |х + №Та~* | + С.
О
3) Г л: 4&Т7* ах - У(*' + «')' + с.
4) | х2 &Та* их = | B*2 + а2) УяХГ^2 -
- ^1п|х + Лт+^\ + С.
5) Г _ ах = 1п|х + Лх^Та^ + С.
•" Ух2 + а2
6) Г «** = * + С.
1 У(х2 + а2K а2./]^!2
7) Г -***_ - Ух^2 + С.
3 УРТ^Т2
¦* 7х2 + а2 2 2
+ Ух2 + а2| + С.
Интегральное исчисление 113
°>/
х2 их = _ х
,/(*г + а2K 4х2 + а2
+ 1п|дс +
+ Лх27а2\ + С.
10)$ Ах
_ 1
х4х2 + а2 а
1п
а + У*2 + а2
+ С.
<**
__7^
хг^х2 + а2 а.2х
их
+ С.
х1п
12) Г .
-1 ж3^^ 2а2*2 2а»
а + V*2 + а2
= -:/*Е+1! + -^ х
+ С.
13) Г^Е±И^ = Л^Та^ -
) х
- а 1п в + У*2 + о2
+ С.
141 Г У*2 + д2 ^* = _ У*2 + а2 ,
/ж2 *
+ 1п |* + ,/*2 + а21 + С.
• Функции, содержащие 7а2 - х2
Ч
VI-л
= агс81п х + С.
114 Высшая математика
2) Г гЛх. - - агс81п 2 + С.
3) Г <** = * + С.
¦' ./(а2-*2K а2.^2^2
4) Г *<** = -То^лТ2 + С.
ж йдт _ 1
+ С.
7(а2-х2M ,/а2-*2
6) [ -Й^ = -| ^1ГГ2 + <* аге^г + с
7) Г Т^^2 <** = | Та^Р + ^ агсзт * + С.
8) | 7<а2-*2K ах = | Eа2 - 2*2) ./а^2 +
~ агсзт- +С.
8 а
9) Г х4^х~* их = ~Л°2-*2>* + с.
10) Г *7(«2-*2K ИХ - _7(а2-х2M +.с>
•< 5
11) | х2./а2-х2 <** = |Bлг2 - а2) №^~& +
+ %- агсзт - + С.
8 а
Интегральное исчисление 115
12) |
-- * а* = *¦¦ - ЯГС81П - + С.
4(а2-х2)я ,/а2-*2 а
13) \ ~
14) |
а + 7а2 - *2
+ С.
«(ж
с2 7^
-^Е*?-+1
15) Г 4х = _ Уа2 - х2 +
•' х*^^х~2 2а2*2
+ -Ц;1п
2а3
а + ^а2-х2
+ С.
16) | У°^-^ ЙХ = ,Д2Т^2 _
- а 1п
а + ^а^-х2
+ С.
17) Г ^а'-*' их = -ЛЕИ? - агсзш * + С.
) х2 х а
• Функции, содержащие V*2 - <*2
2) | й*
*** = 1п |х + Т^2^21 + С.
+ С.
Ах2-а2K а2,/*2-а2
116
Высшая математика
3) Г *«*_ = Л^Т2 + с.
^ ,/х^2
4) [ л/*2"^ их = * ^~г _ «! 1П |х +
+ 7*2-а2| + С.
5) | Л*2-а2K а1* - |Bх2 - 5а2) Т*^^ +
+ §*! 1П |х + Т^2^21 + С
О
6) | Ж ^^2 д-* _ Л*'-а»)' + С.
7) | * 7а2-а2K ах - Л*2-*2)* + с.
8) | X2 л/^2^2 йа; = |Bл;2 _ а2) 7^Г^2 _
- ^ 1п |х + Т*7^ | + С.
О
9) Г *''** - * 7*^2 + «! 1„ |х +
; л/*2-а2 2 2
+ 7ж2-о2| + С.
10) Г *2<** = - , * + 1п|х +
¦" 7(*2-а2)8 7х2-а2
+ 7*2-а2| + С.
Интегральное исчисление 117
их
= агсзес х + С.
' х4х2-1
12) Г Ах = I агсзес ^ + С.
1 х4х*^72 а а
13) Г Лх = ^2-°2 + С.
•* х24х2-а2 а2х
14) Г ** = ^3 + -1- агсзес* + С.
"* х34х2-а2 2а2*2 2а3 а
15) Г </*'-«'«* = Т^^2 - аагссоз? + С.
16) Г У*1-;1^ = -У*'-а' + 1П |х +
¦> л;2 х
+ ,У*2-а2| + С.
• Функции, содержащие 42ах-х2 , 42ах + х2
Функция, содержащая 42ах-х2,
интегрируется подстановкой г = х- а. Тогда 42ах-х2
получит вид 4а2 -12 , и интеграл находят в группе для
функций, содержащих 4а.2-х2 . Если его в
таблице нет, то стараются привести его к виду,
имеющемуся в таблице.
118
Высшая математика
То же можно сказать и о функции,
содержащей выражение ^2ах + х2. В этом случае
подстановка I - х + а приводит радикал к
виду 7<2-а2.
• Функции, содержащие а + Ьх + сх2 (с > 0)
<1х
В Г Г 2
Л а + Ьх + сх/!
2 . 2сх + Ь _ ., .
ягг±д —— + С., если 6*< 4ас.
л/4ас-62 74ас-&2
2сх + Ь- 7&2-4ас
7Ь*-4ас
1п
2сд: + 6+ 7&2- 4ас
+ С, если 62>4ос.
в/
их
*/а + Ьх + сх2 Те
1 1п |2сх + Ь +'
+ 27с *1а + Ьх + сх2 | + С.
3) Г ^а + Ьх + сх2 Лх = 2с*. + 6 ^а + Ьх + сх2
^ 4с
- б2~4ас 1п|2сх + Ы- 27с7а + 6х + с*2| + С.
вТс1
4)|
дгйх _ 4а + Ьх +сх2
27с1
*[а + Ьх + сх2 с
1п |2слг + Ы- 27с Ла + Ьх + сх2 | + С.
Интегральное исчисление 119
• Функции, содержащие а + Ьх - сх2 (с > 0)
' а + Ьх-
1
-сх''
4ь2 + 4ас
2)|
1п
4'Ь2 + 4ас + 2сх-Ь
Л/д2 + 4ас~2сх + Ь
ах
^а + Ьх- сх2 4с
= ~ агсзт
+ С.
2сх-Ь
7б2 + 4
+ С.
ас
3) (^а + Ьх + сх2 ах = 2с*-& ^а + Ьх-сх2 +
2сх-1
4^2ТТас
+ &2 + 1ас агсзШ 2"-*- + С.
8^
4)/
хЛх
4а +Ьх-сх2
= .Л» + »«-с*» + _»_агийп 2СХ-& + с
• Другие алгебраические функции
^ ыь + х
= ,/<<* + *)(& + *) + (а - 6) 1п |^/аПс + ,/& + * | + С.
120
Высшая математика
.—
з)| /?±| ах = - м + х)(ь-
- {а + Ь) агсвш Щ + С.
4) Г /1±* ах = -Л-х2 +а]
^ VI -ас
5) Г 4* =2 агапп
-1 ,/(х-а)(Ь-*)
ж) -
ГС81П X
1х-а
>}Ь-а
: + С.
+ С.
• Показательные и тригонометрические
функции
1) Г ах ах = ^— + С.
1 та
2) \ ехах = ех + С.
3) Г еах их = — + С.
Л а
4) Г 81П х ах = -сов х + С.
5) Г сов х ах — 8Ш л: + С.
6) Г 1§ х их = -1п |соз х| + С.
7) Г с*е х ах = 1п |зт х| + С.
8) Г вес х ах = 1п |вес х + Ь& х\
= 1пИ; + 1I + с-
+ С =
Интегральное исчисление 121
9) Г совес х 6.x — 1п |созес х - с*в х\ + С =*
- 1п |*в 11 + С.
10) Г вес2* 6х = \,& х +' С.
11) Г совес2* 6.x = -с!в * + С.
12) Г вес х 1# л; их — вес х + С.
13) Г совес л; с!в лс йдс = -совес ас + С.
14) Г вш2 х их = | - 1 зш 2* + С. •
15) Г сов2 л: их = | + 1 вш 2* + С.
16) Г вт«* <** - -8Ь""'П°81 +
^ л
+ «^1 (8т»-2х Ас.
п 1
Эта формула применяется несколько раз,
пока не приведет к интегралу Г вш х их или
Г вш2* Ах (в зависимости от того, четное или
нечетное л), см. № 4 и № 14.
17) |сов"х<*х- с°8"~1га
+ 13.1 Г сое" " 2 х их
п ^
(см. замечание к предыдущему интегралу и № 5
и № 15).
122
Высшая математика
их =__1_
ат"х п-1
18) Г -**
•» ат"
+ л~2 Г ах
п-1 ) ап"-2д: '
Применяется несколько раз, пока не
приведет к интегралу Г их, если п — четное, или к ин*
тегралу Г -^- , если п — нечетное (см. № 9).
} 81»
19) Г -*2_ = » • -*5Ц- +
1 С08" X П-1 С08"" • X
, п-2 г их
п-1 .1
ал-2
С08" " " X
(см. замечание к предыдущему интегралу и № 8).
20) Г 81П х совпх их = -С08,1 + 1зс + С.
1 п + 1
п+1
21) Г 81П»хсовх ах = а"'" " л + С
.) п + 1
22) Г совт д: 81п" х ах =
вое—'хйп—>х + т-2 Гсовт-в^йп-хЛе
то +л ^
т + п
Применятся несколько раз, пока степень
косинуса не будет равна нулю (если /п —
четное) или единице (если т — нечетное). В
первом случае см. № 16, во втором — № 21. Этой
формулой следует пользоваться, когда т < п.
Если т ^ п, то лучше пользоваться № 23.
Интегральное исчисление 123
23) |
С08т X 81П" X йх =
81П" -1 X СОВт + ' X , П - 1
+
=Н
сое ас 81пп 2 х йх
т + п т +1 '
(см. замечание к предыдущему интегралу и № 17
и № 20).
24) Г 81П тх 81П пх йх =
_ _зт(/п + п)зс + ат(т - д)зс + ^ , . \
2(т + п) 2(т-п)
25) Г сое тх 8Ш их йх !
81П(т + п)* + ат(т-я)зс +с <тФп\
2{т + п) 2(т-л)
26) Г 81
81П тх соз пх йх -
= _соа(т + п)х _ соз(т-п)х + с ( ф п)
2(т + п) 2(т-п) ч
27) [ -_
с*х
Ьсозх
28) | _-*
™*(Шъ*Хг
+ С, если а > Ь.
Ьсовх
Л^^Г2
1п
/Ь-а <# - + </6 + а
1Ь^1Ч\.
/Ь + а
+ С, если а < Ь.
124
Высшая математика
29) Г —р..— = , 1 агс*8 . * + С,
если а > Ь.
30) Г —рг— =
3 а + Ьвтх
- . 1 1п
если а < Ь.
* а2 соа2 х + Ь2 вт2 х
= ±агсье(^^) +с.
аЬ \ а }
32) \ е*в1п х их - «'(*п*-со»*) + с
33) Ге<"8Ш л* их = ""С8" "*-" сое пх) + с
.1 а2 + л2
34) | е'соз * <** = е»(вШусо»«) + с
35) Ге«со8 л* <1х - «"(»¦»»»* + « со. ях) + с
36) Г л: е°* Лс = ^-(ах - 1) + С.
о *8 5 + ь ~ №-а2
аЬе* + Ь + ^Ь2-а2
+ С,
Интегральное исчисление 125
37) Г хпеах Лх = ^^ - - Г хп ~ ! ев* Ах.
Формула применяется несколько раз, пока
степень х не станет равной единице; тогда см. № 36.
38) |
т/ПХ /уГПХ
хатх ах » *Д " - "•" + С.
т1п|*| т\п2а
39) Г *"ат* Лх = 2—-^- - —^— Г ат**п "* их.
} л 1п а т\па )
Формула применяется до тех пор, цока
степень х не станет равной единице; тогда см. № 38.
40) Г вахсояпхйх =
_ еах сов" ~г х(а соз х + п 8Ш х) ,
о2 + га2
+ "У1 "У Ге^СОЗ"-2*^.
Формула применяется до тех пор, пока
косинус не исчезнет (в случае четного п) или пока
его степень не станет равной единице (в случае
нечетного п). В последнем случае см. № 32.
41) Г зЬ х Лх = сЬ х + С.
42) Г сЬ х ах = 8Ь х + С.
43) Г *Ь х кх = 1п |сЬ х\ + С.
44) Г с*Ь х Ах « 1п |зЬ дс| + С.
45) [ всЬ * Лх = 2 агс1;е е* + С.
126
Высшая математика
46) Г своп х их = 1п кп | + С.
47) Г 8ск2хах = 1Ъх + С.
48) Г свсЬ2* а"х = -с*Ь л: + С.
49) Г всЬ хОлх ах = зсЬ * + С.
50) Г сзсп х с1Ъ х ах = -свей д: + С.
51) Г8Ь2л:йл: = -^ + \ак2х + С.
1 I \
52) ГсЪ2*<1*; = ^ + 18п22л: + С.
.1 2 4
• Логарифмические функции
Даются функции, содержащие только
натуральный логарифм. Если требуется найти
интеграл от функции, содержащей логарифм при
другом основании, то предварительно переводят его
в натуральный по формуле 1 х = ^-, а затем
1п а
пользуются таблицей.
1) Г 1п х их = х 1п х - х + С.
2) Г _^Е_ = 1п |1п х\ + С.
1 х 1п х
3) Гхпхй* = ;с'' + 1('-!24 - —!--') +С.
.1 и+1 (п+1J;
4) Г 1пп*йл: = х\ппх- п Г 1п" _ г х й*.
Интегральное исчисление 127
Формула применяется до тех пор, пока не
получится интеграл Г 1п х Ах, который берется по
формуле № 1.
5) Г хп1ппхАх = ^111ыпх-
1 т + 1
- —5— Г хт\пп'1хах.
т + 1 }
Формула применяется до тех пор, пока не
приведет к интегралу № 3.
Определенный интеграл
• Определенный интеграл как предел
интегральной суммы
]пх)Ох- 11т X Л*«>**«•
* шах Дх, — О "*
а ' " (=0
где хх € [х,, X; + х] и ^x^ = х1 + 1-хг
• Формула Ньютона—Лейбница: если {(х)
непрерывна и Р'(х) = Длс), то
| Г(х)Ах = Р(Ь) - Р(а).
128 Высшая математика
• Основные свойства определенного интеграла
ь ъ
| Ах) Ах - | /(*)*
а а
- а
а
6 а
$ ГШх = -| «*)<**
а 6
с 6 »
аса
& Ь
| АД*)й* = й| Г(х)ах
а а
ь
\ (Г(х) + 8(х) - Н(х))ёх =
а
Ь Ь Ь
= Г Г(х)ёх + Г #(*)й* - Г Н(х)йх
а а а
а
6
А | /(()й* = -Г(х)
Интегральное исчисление 129
• Теорема о среднем. Если /(л;) непрерывна на
[а, Ь], то
| Пх)йх - (Ь - а)Г(с),
где а < с < Ь.
• Формула интегрирования по частям в
определенном интеграле
ь - ь
Г и(х^'(х)йх = и(хЩх) - Г и(х)и'(х)а*х
а а
• Формула замены переменной в определенном
интеграле
ь Р
| ГШх - | Д-<р(*))Ч>'(ОЛ,
где а = ф(а) и 6 = (р(Р).
• Формула трапеций
| уЛх = к(±Уо + У1 + ...+Уа-!+2 Уп)>
где Л = ^—2 , х0 = а и * = Ь, у = /(*). у, = /(*0 +
п
+ *А) (/ = 0, 1, 2, .... п).
130
Высшая математика
• Формула Симпсона
ь
\ Уйх= | (у(о) + 4г/р^) +т).
а
где Н «= I (Ь - о).
• Несобственный интеграл
-Юо &
Г 1(х)йх = Ит Г /(яг)сгл:
^ ь —+<» ^
а а
• Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной непрерывной линией у = {(х) (Язе) > 0),
осью Ох и двумя вертикалями х = а м х = Ь
(а<Ь)
ь
5 = $уах
а
• Площадь сектора, ограниченного
непрерывной линией р = /(<р) (риф — полярные
координаты) и двумя лучами <р = аиф = Р(а<Р)
8-Ц Р2<*Ф
а
Интегральное исчисление 131
• Длина дуги гладкой кривой у ¦» Дж) в нрямо-
угольных координатах х и у от точки я: = а до
точки я: = Ь (а < Ь)
ь
1 = 1 ЛТу^ах
а
• Длина дуги гладкой кривой р = Дер) в
полярных координатах р и <р от точки ф = а до точки
Ф = 3 (а < C)
Р
/ = Г л/р2 + Р'2 Йф
(X
• Длина дуги гладкой кривой х = ф@, у — У@>
заданной параметрически (@ < Т)
т
( = | 4х'г+у,га
'о
• Объем тела с известным поперечным
сечением 5(лс)
ь
132
Высшая математика
• Объем тела вращения
ь
• вокруг оси Ох: Ух = л Г у2йх (а < Ь).
а
а
• вокруг оси Оу: V = я Г хгйу (с < й).
с
• Работа переменной силы Р = Р(х) на участке
[а, Ь]
ь
Кратные интегралы
• Двойной интеграл от функции /(х, у),
распространенный на область 5
\\Кх, У)Л8= Игл V «ж,, у,)Д5„
где (ж,, 1/{) € Д8г (I = 1, 2, ..., п), й — наибольший
диаметр ячеек Д3(.
Если Да:, у) > О, то двойной интеграл
геометрически представляет собой объем прямого
цилиндроида, построенного на основании 8 и
ограниченного сверху поверхностью г = {{х, у).
Интегральное исчисление 133
• Если область интегрирования 5 стандартна
относительно оси Оу и о < х < Ь, у±{х) < у <
^ Уг(х)> где У\(х)> УгМ — непрерывные
функции, то двойной интеграл в прямоугольных
декартовых координатах от непрерывной
функции Дэс, у) выражается формулой
|| Кх, у)йх йу = | Лх | Язе, у)йу
8 а к,(х)
• Двойной интеграл в полярных координатах
фНГ
Г/ Кх, У)й8 = Г Г /(Г С08 ф, Г 81П ф) ГС?ф ЙГ,
где
X = Г С08 ф, У — Г 81П ф,
• Если область интегрирования 8
определяется неравенствами а < ф < р, г^ф) < г < г2(ф), то
Л /(*> У)ЛВ = Г </ф Г г{(г сое ф, г 81П <р)йг
8 а г,(<р)
• Еслир = р(х, у) — поверхностная плотность
пластинки 3, то масса пластинки
т = И р^х' У^8 = Л Р й* &У
8 8
134 Высшая математика
• Площадь пластинки
5 = Г Г аз = Г [ ах ау
8 8
• Статические моменты пластинки 5
относительно координатных осей Ох и Оу
зх = || ру аз, зу = Л рх аз, .
5 '5
где р = р(х, у) — поверхностная плотность
пластинки 3.
• Координаты центра масс пластинки 3
определяются формулами
где т — масса пластинки.
• Моменты инерции пластинки 5
относительно координатных осей Ох и Оу
1х=Цру2а8, 1у= \\рх*48,
8 3
где р = р(х, у) — поверхностная плотность
пластинки.
Интегральное исчисление 135
• Тройной интеграл от функции ?(х, у, г),
распространенный на область V
п
Д| Г(х, у, г)ОУ = Шп 21 Л*,, у„ гДДИ,,
. V ~* '=1
гд&(д:(., у{, г() € ДК(. (« = 1,2, ..., п); й —
наибольший диаметр ячеек Д1^.
Если /(д:, у, г) есть плотность в точке {х, у, г),
то тройной интеграл представляет собой массу,
заполняющую объем V.
• Объем тела
V V
• Если область интегрирования V определяется
неравенствами а < х < Ь, у-^х) < у < у2(х)>
^(я, г/) < г < г2(ж, г/), где у^х), г[х, у) (* = 1, 2) —
непрерывные функции, то тройной интеграл
в прямоугольных координатах от Непрерывной
функции Дх, у, г) выражается формулой
||| /(х, у, г)ёх йу йг =
(( !/2<*> г2|дг,1/)
= | йлг | йу | / (*, у, 2)<*г
« Л1<х> г,(*, у)
136 Высшая математика
Криволинейные интегралы
• Криволинейный интеграл первого рода от
непрерывной функции {(х, у), взятый по кусочно-
гладкой кривой К: х ~ хЦ), у = уA) (* е [а, Р])
| Я*, у)аз =
к
р
- | Ях(»), у(П)>1х'Ч1) + у-ЧМ<Н\
• Если кривая К задана уравнением у = у(х)
(а < х < Ь), то
| /(*, у)Й8 = ]" Дат, у(х))*11 + у'Чх)а-х
К а
• Криволинейный интеграл второго рода от
пары непрерывных функций Х{х, у), У(х, у),
взятый по кусочно-гладкому пути К: х = *(*), у =
= у({) И 6 [а, Р])
| Х(х, у)а-х + У(х, у)с1у =
Р
- | (Х(*(*), У@)*'(*) + ПхA), уИ))у'№
Интегральное исчисление 137
Физически криволинейный интеграл второго
рода представляет собой работу переменной
силы Р = {Х(х, у), У(х, у)} вдоль пути К.
• Если путь К задан уравнением у = у(х)
(х € [а, Р]), то
ь
| Х(х, у)Лх + У(*, у)йу = | (Х(*. у (*)) +
К а
+ У(х, у(х))у' (*))<**. .
• Если выполнено условие
Х(х, у)йх + У(х, у)Лу = аЩх, у),
то криволинейный интеграл второго рода не
зависит от пути интегрирования К и
| Х(х, у)ах + У(х, у)аУ = Щх, у)
к
= V (х2, у2) - Щхх, уг),
где (ж1, У!) — начальная точка пути, (#2. Уг) ~
конечная точка пути. Физически этот интеграл
представляет собой работу силы, имеющей
потенциал Щх, у).
РЯДЫ
Числовые ряды
• Определение ряда
л=I л =1
• Необходимый признак сходимости ряда. Ес-
ли ряд V ип сходится, то
Нт и„ = О
П —со
• Признак Даламбера. Пусть для ряда V ип
п = 1
(ип > 0) существует
Нт Ът = г.
• Если 4 < 1, то ряд сходится.
• Если I > 1, то ряд расходится иилУ»0.
• Признак Лейбница. Если иг> о2> V3> ... > 0
и уп -* 0 при п -* °°, то знакочередующийся ряд
сходится.
Ряды
139
• Радиус сходимости степенного ряда
а0 + а-^х + а2х2 + ...
определяется по формуле
Я = Пт 1 Д" 1 ,
если последняя имеет смысл.
Степенные ряды
• Ряд Тейлора
Г(х) = /(а) + ГШх - а) + 0^> (я - аJ+ ...
... + СМ (х - а)п + ... .
л!
• Ряд Маклорена
Ах) - /@) + ПО)* + Ш *2 + ...
+ !Эх« + ...
и!
• Разложение в степенные ряды основных
функций
~— = 1 + х + хг + ... + хп + ... (|х| < 1)
140 Высшая математика
1п A + х) - х - ^ + х~ - ^ + ...
... + (-1)«-1^ + ... (-К* < 1)
е* = 1 + * + |! + |! + ... + |2 + ... (|*| < + оо)
а* = 1 + !2_5 * + Aп«>У + Aп°K ^з + ...
X а! о!
V" уО *-7
агс1е* = * ~ ^г + ^- ~ тг +••¦
3 5 7
-+ (-!)"-Х^Ц +••• (И<1)
лЛ — 1
ШПХ = ЛС-|[+|у-^+...
- + ()П_1(Й^Т)! +- A*1<+00)
- + (~1)л ?Ёу. + - (|л:| < +00)
A + х)т = 1 + т* + Т±2-^1 х2 + ...
... + >"(т-1)...(го-(п-1)) хп + ^|х| < ^
Ряды
141
• Ряды в комплексной области:
оо оо оо
п = 1 п= 1 п= 1
• Абсолютная сходимость рядов с
комплексными членами. Если ряд
оо оо
2, к + ">„1= X №+х}2п
п = 1 п = 1
сходится, то ряд V (ип + <1>п) также сходится
(абсолютно).
• Формулы Эйлера
е,х = сое х + I 81П л;, е-'* = сов * - » 81П ж.
Ряды Фурье
• Тригонометрический ряд Фурье
непрерывной функции /(*) с периодом 2л
/(д;) = ^ + V (а„соз пх + Ьпат пх)
2
л=1
142 Высшая математика
где
я
а„ = - Г Дх) соз пх Лх (л = О, 1, 2, ...),
-Я
Я
Ьп=\\ Л*) 81п л* ах' (п = °- !• 2> •••)•
-я
• Тригонометрический ряд Фурье кусочно-
гладкой функции /(*) периода 22
л= 1
где
а" = 7 I Л*)сов25*Ле (" " °- х> 2> •¦•>•
-/
Ьп = 1 | Я*>Й1125*Лс (п - 1, 2, ...),
-/
оЛ, Ь„ — коэффициенты Фурье функции / (х).
• В точках разрыва функции /(*) сумма ряда
Фурье кусочно-гладкой функции /(*) периода 21
равна
Ж*) = \ (Л* - 0) + Г(х + 0))
Ряды
143
• Если 22-периодическая функция /(х) четная, то
л = 1
где
1
ап = у | Я*)соз2Н их (п - 0, 1, 2, ...).
о
Если 2/-периодическая функция ?(х)
нечетная, то
п = 1
где
1
*„ ~ \ \ Г(х)вм^ах (п = 1, 2, ...).
о
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения
первого порядка
• Дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными
Х(Х) г{у)ах + х1(*)У1о/)йг/ - о
имеет общий интеграл
^ х,(*) ^ У&) у
Особые решения, не входящие в интеграл,
определяются из уравнений Хх(х) = 0 и У(у) = 0.
• Однородное дифференциальное уравнение
первого порядка
Р(х, у)йх + Я{х, у)Лу = 0,
где Р(х, у)пЯ (х, у) — однородные непрерывные
функции одинаковой степени, решается с
помощью подстановки
у = их
(и — новая функция).
Дифференциальные уравнения 145
• Линейное дифференциальное уравнение
первого порядка
а(х)у' + Ь(х)у + с(х) = О
решается с ломощью подстановки у =» ии, где и —
ненулевое решение однородного уравнения
а(х)у' + Ь(х)у = 0, а V —> новая функция.
• Уравнение Бернулли
у' + Р(х)у = <Э(х)у« (п * О, п * 1)
с помощью подстановки г = у~п + * сводится
к линейному делением на уп.
Дифференциальные уравнения
второго порядка
• Интегрируемые случаи дифференциального
уравнения второго порядка:
• если
У" - /(*),
то общее решение
у = | й*| /(*)<** + Сух + С2;
• если
у" = Ну),
10. Закаа М здп
146
Высшая математика
то общий интеграл
/-=4К_-±(* + С8);
• если
у" - №'),
то общий интеграл уравнения может быть
найден из соотношения
1Мтх + с-
л*)
где у' = р.
• Случаи понижения порядка для
дифференциального уравнения второго порядка:
если
У" = /(*. «/'),
то, полагая у' = р(х), получаем
& = /(*,/»;
О!
если
г/" = Ку, у'),
то, полагая у' ** р(у), будем иметь
Ра/ГПу,Р).
Дифференциальные уравнения 147
• Общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка у" +
+ р{х)у' + д(*)у - О
У = С1у1 + С2у2,
где у1 и г/2 — линейно независимые частные
решения.
• Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго порядка у" +
+ р(х)у' + д(х)у - Кх)
У= У + г,
где у — общее решение соответствующего
однородного уравнения, г — частное решение
данного неоднородного уравнения.
Общий вид решений однородного уравнения
У" + РУ' + ЧУ = 0
(р и о постоянны) в зависимости от корней
характеристического уравнения Ь2 + рк + д = О
Характер корней к1 и
к2
характеристического уравнения
Корни кг и к2
действительные и различные
Вид
общего решения
у = С,*?*1* + С2е*2*
148 Высшая математика
Продолжение табл.
Характер корней
к[ и к2
характеристического уравнения
Корни равные:
ку = «2
Корни комплексные: ,
А, = а + ф,
кг = а - ф \
Вид
общего решения
у = (С, + С2х)е^х
у = «""(С^соз {5х +
+ С281П РЛГ)
Характер частного решения г
неоднородного уравнения у" + ру' + ду = /(*)
(ряд постоянны) в зависимости от правой части Дх)
Правая
часть /(х)
Г(х) - аетх
(а, т
постоянны)
= Мсов шх +
+ N 8Ш ЫХ
(М, М, со
постоянны;
ш* 0)
Случаи
1) тг + рт + д *¦ 0,
2) тг + рт + д = 0.
а) р2- \д> 0,
б) р2 - Ад - 0
1)Р2 + (9-<о2J5Л0,
2) р - 0, с/ - ш2
Частное
решение1)
г = Аетх,
г - Ахетдг,
г - Ахгет*
г = А сое шх +
+ В 81П ШХ,
г — х(А сое (одг +
+ В 8Ш ОМС)
Дифференциальные уравнения 149
Продолжение табл.
Правая
часть {(х)
«*) =
= ах2 + Ьх + с
(а, Ь,* с
постоянны)
Случаи
1)9*0,
2)</ =0, />* 0
Частное
решение1 >
г-Ахг + Вх +
+ С,
г = х(№2 + Вх +
+ С)
:'А, В, С — постоянные неопределенные
коэффициенты.
• Уравнения математической физики
Одномерное волновое уравнение
Э2ц _ а2<^и
Э<2 • Эх2
Уравнение теплопроводности
Эй = гЭ2и
Э* Э*2
Уравнение Лапласа
Э2ц , Э2ц _ л
Эх2 ду2
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
• Сумма двух событий А и В
А+В=АиВ
— событие, которое имеет место тогда и только
тогда, когда осуществляется хотя бы одно"из
событий Л и Б.
• Произведение двух событий А и В
АВ=А Г\ В
— событие, которое имеет место тогда и только
тогда, когда происходит как событие А, так и
событие В.
• Вероятность события А
Р(А) -5 @ < Р(А) < 1)
п
— отношение числа т благоприятных для
события А равновозможных элементарных исходов к
числу п всех единственно возможных и равно-
возможных элементарных исходов.
• Вероятность противоположного события
Р(А) = 1 - Р(А)
• Теорема сложения для двух несовместных
событий А и В
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Теория вероятностей 151
В общем случае
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
• Теорема умножения вероятностей
Р(АВ) - Р(А)РД(В),
где -Рд(В). — соответствующая условная
вероятность события В.
Бели события А и В независимы, то
Р(АВ) = Р(А) ¦ Р(В):
• Формула полной вероятности
Р(А)= 5) Р(Н1)РН1{А),
1 = 1
где Нг, Н2 Нп — полная группа гипотез:
-4=5) #А ЯгЯ;. = 0 при I * 1, ^ РШ{) = 1.
(=1 4=1
• Формула Бейеса
Рд(#.) - -
(г = 1, 2, ,.., га), где Я1, Н2, ..., Н„ — полная
группа гипотез.
Основные формулы комбинаторики см. на
с. 28, 29.
152
Высшая математика
• Бином Ньютона
(д + р)" = ап + С* ап - *р + С\ ап ~ 2р2 + ... + р"
• Биномиальный закон распределения. В
условиях схемы Бернулли вероятность появления
события А при п испытаниях точно т раз @ <
< п) равна
РЛт) = С™ ртап ~т = ^ р™ап ~ т,
где Р(А) = р, Р(А) = д = 1 - р при однократном
испытании.
• Локальная формула Лапласа
*12ппрд
где 0 < р < 1, д = 1 - р, * = (прд)-1''2 • (т. - яр).
• Интегральная формула Лапласа
Р(тх<т< т2) « Ф0 (^ - Ф0 AЩ),
где
X
1т = (пи)/» (т - тгр), Ф0(х) = -к |У<2'2 йи
•У2я •
Теория вероятностей 153
• Формула Пуассона
где ц = пр, причем вероятность р мала.
• Математическое ожидание дискретной
случайной величины
X = \Ху, Х2, .... Хп),
п
гдер, = Р(Х = х) (/ =1, 2 п), ^ р1 = 1, есть
/ = 1
п
М (X) = ^ х, Л.
1 = 1
• Основные свойства математического
ожидания
М(С) = С
М(СХ) = СМ(Х)
М(Х + У) = М(Х) + М(У)
М(ХУ) = М(Х) М(У)
М(Х - У) = М(Х) - М(У)
где события X и У независимы.
• Дисперсия дискретной случайной величины X
25 = М{[Х - М(Х)]2} - М(Х2) - [М(Х)]2.
154
Высшая математика
• Основные свойства дисперсии
Б(С) - О
С(Х ± У) = Б(Х) + 2)(У) .
Б(СХ) = С21ЦХ),
где события X и У независимы.
• Для биномиального закона распределений
числа появлений X события А при п
испытаниях имеем:
Р(Х - т) = С"ртдп - тЦт = 0, 1,2, ... , л),
где р = Р(А), дг = Р(Л);
М(Х) = пр;
Б(Х) = прд.
• Функция распределения для непрерывной
случайной величины X
х
Ф(*) = Р(-оо < X < х) = I* ф (I) аЧ
-оо
(-оо < х < +°°), где ф(д;) — плотность вероятности.
• Математическое ожидание для непрерывной
случайной величины X
+ <*>
м(Х) = Г *ф (х) ах
Теория вероятностей 155
• Дисперсия для непрерывной случайной
величины X
И(Х) = | (х - М(Х)Jф (*) <**.
—оо
• Закон Гаусса
<р(х)= ас-Ь{х-*<>)г
• Для нормального закона распределения
случайной величины X плотность вероятности
имеет вид
Ф(Ж)- _1 -и-*.)•/«««> р
а-/2п
где ле0 = М(Х), о = 7^>(Х).
При этом
Р{а<х<Ъ)-Ф0{^)-Ф0{Цр>),
где Ф0 (лс) — стандартный интегрйл вероятностей.
НЕКОТОРЫЕ
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Рис. 56
• Циссоида Диокла.
Уравнение в прямоугольной
системе (О — начало
координат, ОХ — ось абсцисс)
У
2 =
2а-
• В полярной системе
(О — полюс, ОХ —
полярная ось)
_ 2азш ф
С08ф
• Рациональное
параметрическое представление (и =
х =
2а
1 + и
2 '
У =
2а
иA + и2)
^ • Декартов лист.
Уравнение в прямоугольной
системе (О — начало координат,
ОХ — ось абсцисс)
Рис. 57
х3 + у3 = Заху
Некоторые замечательные кривые 157
• В полярной системе (О — полюс, ОХ —
полярная ось)
0 = Засовф8Шф
3 3
С08 ф + 81п ф
• Рациональное параметрическое представление
(" = *8Ф)
_ Здц _ Заи2
1+и3' У 1 + и3
• Лемниската Бернулли. Уравнение в
прямоугольной системе
(х2 + у2J = 2с2(*2 - у2)
У*
"Т>
Рис. 58
• В полярной системе (О — полюс, ОХ —
полярная ось)
р2 = 2с2соз2ф,
где угол ф изменяется в промежутках (-т, ^ ) и
C11 ЬпЛ
{Т'ТГ
• Рациональное параметрическое представление
Х = С^2ЧЩ, у-сЛ1^ (-оо<ц<+оо)
1 + и4 1+и4
158 Высшая математика
• Архимедова спираль. Прямая С/У, исходя из
начального положения Х'Х, равномерно
вращается около неподвижной точки О, а точка М,
исходя из начального положения О, равномерно
движется вдоль С/К Все такие точки М
образуют архимедову спираль.
• Полярное уравнение (О — полюс;
направление полярной оси ОХ совпадает с направлением
движения точки М, когда она проходит через
точку О; а — шаг спирали)
Рис. 59
Некоторые замечательные кривые 159
• Логарифмическая спираль. Прямая XIV
равномерно вращается около неподвижной точки О
(полюс), а точка М движется вдоль 1/У,
удаляясь от ОМ со скоростью, пропорциональной
расстоянию ОМ. Линия, описываемая точкой
М, называется логарифмической спиралью.
Рис. 60
• Полярное уравнение (полюс совпадает с
полюсом спирали; полярная ось проведена через
произвольно взятую точку М0 спирали)
<?-
Р = Р0? '
где р0 = ОМ0 — полярный радиус точки М0, а
д — коэффициет роста.
Учебное издание
Сборник формул по математике
Редакция «Образовательные проекты»
Ответственный редактор А. А. Лаврентьев
Технический редактор А. Л. Шелудченко
Художественный редактор Т. Н. Войткевич
Оформление — дизайн-группа «Дикобраз»
Корректор И. Н. Мокина
Общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2, 953005 — литература учебная
Санитарно-эпидемиологическое заключение
77.99.02.953.Д.008286.12.02 от 09.12.2002 г.
ООО «Издательство Астрель».
143900, Московская обл., г. Балашиха, проспект Ленина, 81
ООО "Издательство АСТ"
667000, Республика Тыва,
г. Кызыл, ул. Кочетом, д. 28
Наши электронные адреса: \г№ж.ав1.ги. Е-таП: аа(риЬ@аЬа.ги
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография К 1».
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15.
По вопросам приобретения книг обращаться по адресу:
129085, Москва. Звездный бульвар, дом 21, 7 этаж
Отдел реализации учебной литературы
«Издательской группы АСТ»
Справки по телефону: @95) 215-53-10, факс 232-17-04