/
Автор: Ивс Г. Ньюсом К.В.
Теги: философия математика математическая логика философия математики
Год: 1968
Текст
Новое В|
жизнЫ
1968
'науке
технике
кибернетика
Г. ИВС
К. в. НЬЮСОМ
О математической
логике и
срилососрии
математики
г. иве, к. В. НЬЮСОМ
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
И ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
(Начальные сведения
об основаниях математики)
Перевод с английского Ф. Л, Варпаховского
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Месива
3 ».« В
51
И25
СОДЕРЖАНИ Е
' ~ ' СТр,
.ПРЕДИСЛОВИЕ ............................. . . 3
1. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ................’ . 5
2. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ................. 14
3. ДРУГИЕ логики .............,............. 24
4. КРИЗИС ОСНОВ МАТЕМАТИКИ ................. 31
5. ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ ................., . . 37
ЗАДАЧИ . ; . , .......... .. 45
2-2-1
БЗ № 43 1968 г. № 1
Г. ИВС, К. В. НЬЮСОМ
(перевод с английского Ф. Л. Варпаховского)
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
И ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
Редактор В. 10. Иваницкий ___________
Художник А. Г. Ординарцев
Худож. редактор Е. Е. Соколов
Техн, редактор Е. М. Лопухова
Корректор Г. П. Трибунекая
Сдано в набор I/IV 1968 г. Подписано к печати 26/VI 1968 г;
Формат бумаги 60Х90’/1б Бумага типографская Ке 3 Бум. л. 1,5
Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,63. Зак. 391. Тираж 50 000 экз. Цена 9 коп/
Набрано в тип. ЦИИТИ ГоскоМзага, Москва, Мукомольный пр., д. 8.
Отпечатано в тип. изд-ва «Знание». Москва' Новая пл./д. 3/4. Зак. 1872.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая брошюра содержит перевод заключительной
главы книги известных американских математиков-педагогов
Говарда Ивса и Кэролла Ньюсома «Введение в основания и
основные понятия математики»* Эта книга, пользующаяся в
Соединенных Штатах известной популярностью и выдержав-
шая уже несколько изданий, представляет собой элементар-
ный учебник для студентов — будущих преподавателей мате-
матики; от имеющихся в нашей литературе учебников она
отличается в первую очередь отказом от ориентации на ка-
кой-то один определенный раздел математической науки:, в
этой книге авторы затрагивают вопросы, относящиеся к
арифметике и к алгебре, к геометрии и к математическому
анализу. Основной целью, которую преследуют авторы, слу-
жит ознакомление неискушенного читателя с тем, что следует
назвать «математическим методом», с общим характером по-
строения математических теорий и методами рассуждений.
Разумеется, настоящая брошюра никак не может рассмат-
риваться как учебник математической логики или оснований
математики — такой задачи авторы перед собой и не стави-
ли. Читатель может ознакомиться по ней с характерными для
указанных разделов математики постановками вопросов, с
некоторыми из тех задач, которые здесь ставятся и решаются,
но отнюдь не с решениями сколь-нибудь глубоких задач.. Кроме
того, из всего массива современной математической логики и
учения об основаниях математики авторы затрагивают только
весьма небольшую часть, ограничиваясь лишь элементарны-
ми вопросами логики высказываний и беглой характеристи-
кой трех из имеющихся в учении об основаниях математики
школ. Брошюра обращена к массовому читателю. Так, на-
пример, она может оказаться полезной и интересной учителю
математики, студенту педагогического или технического вуза,
даже любителю математики, не имеющему никакой специаль-
ной подготовки. В противоположность этому некоторая часть
книг и-статей, указываемых в подстрочных примечаниях, рас-
считана на более опытного читателя.
* Н. Е v е s, С. V. Newsom. An Introduction to the Foundations and
Fundamental Concepts of Mathematics. N. Y. Holt, Rinehart and Winston,
196K
3
Немногочисленные примечания редактора отмечены звез-
дочками; сноски авторов нумеруются. Приложенные в кон-
це брошюры задачи доставляют хорошую возможность само-
проверки, которой мы очень рекомендуем не пренебрегать.
И. AI. Яглом
Г. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
КАЖДАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (ИЛИ АКСИОМА-
тическая теория) «стоит на двух китах» — она базируется на
некотором множестве постулатов или аксиом и на логике. В
то время как система аксиом образует основу теории, логика
дает те правила, согласно которым из аксиом могут быть вы-
ведены теоремы. Математическая теория включает в себя всю
совокупность утверждений — как постулатов или аксиом, так
и теорем.
В традиционных изложениях, скажем, оснований геомет-
рии, аксиомы обычно анализируются достаточно подробно;-
что же касается тех правил логики, с помощью которых тео-
ремы выводятся из постулатов, то они обычно остаются вне
внимания читателя. Здесь мы имеем в виду хотя бы частично
восполнить этот пробел.
Наш обычный язык совершенно непригоден для обсужде-
ния проблем, связанных с современной логикой. Необходи-
тлость в научных, безупречно точных формулировках потребо-
вала создания специального символического языка. Отсюда,
кстати, происходит и название науки — символическая или
математическая логика. В символической логике различные
взаимоотношения между высказываниями, множествами и
т. д. выражают на языке формул, который свободен от не-
ясностей и двусмысленности, столь свойственных нашему
обычному языку. Благодаря этому оказывается возможным
построить логику на основе некоторых исходных понятий и
формул с помощью четко сформулированных правил дейст-
вий, т. е. так же, как это делается с разделами общей алгебры.
Кроме того (и опять как в алгебре), преимущества символи-
ческого языка трудно переоценить, когда речь идет о компакт-
ности изложения и ясности его для понимания.
Считается, что Лейбниц первым серьезно рассматривал
вопрос о необходимости создания символической логики. В
одной из своих ранних работ «Искусство комбинаторики» (De
arte combinatoria), опубликованной в 1666 г., он говорит о же-
лательности введения универсального научного языка, создан-
ного на основе целесообразно подобранной символики и слу-
6
жащего для проведения всевозможных рассуждений. Возврат
щаясь к этой идее в период с 1679 по 1690 г., Лейбниц фор-»
мулирует ряд чрезвычайно важных понятий и уже значитель-
но ближе подходит к созданию символической логики.
Идея создания символической логики вновь привлекает
внимание ученых в связи с появлением в 1847 г. памфлета
Джорджа Буля, озаглавленного «Математический анализ
логики или опыт исчисления дедуктивных умозаклю-
чений» (The Mathematical Analysis of Logic, Being an Assay
towards a Calculus of Deductive Reasoning). Следующая его
работа была опубликована в 1848 г., и наконец в 1854 г. Буль
излагает свои замечательные идеи в трактате «Исследования
законов мышления, на коих основаны математические теории
логики и вероятностей» (An Investigation into the Laws of!
Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of
Logic and Probability).
В 1847 г. современником Буля — Августусом де Морганом
(Augustus De Morgan, 1806—1871) был опубликован трактат
но формальной логике «Формальная логика или исчисление
выводов, необходимых и возможных» (Formal Logic, or the
Calculus of Inference, Mecessaxy and Probable); в этом тракта-
те Морган в- некоторых отношениях идет значительно дальше
Буля. Позднее Морган успешно изучает логику отношений—
область, не охваченную исследованиями его предшествен-
ников.
В Соединенных Штатах выдающиеся работы по логике
принадлежат Чарльзу Пирсу (Charles Sanders Peirce, 1839—
1914), сыну известного гарвардского математика Бенджамина
Пирса. Им были вновь открыты многие из выдвигавшихся ра-
нее принципов. К сожалению, работы Пирса оказались вне
русла нормального научного развития и только сравнительно
недавно его идеи были по достоинству оценены.
Наиболее полным образом теория Буля была развита в
обширном трактате Эрнста Шредера (Ernest Schoder, 1841 —
1902) «Лекции по алгебре логики» (Vorlesungen uber die Al-
gebra der Logic), опубликованном в период с 1890 по 1895 г.,
С тех пор направление в логике, идущее от Буля, специали-
сты называют обычно алгеброй Буля—Шредера*. Алгебра
Буля продолжает развиваться, и в современных научных жур-
налах можно найти статьи, посвященные исследованию раз-
личных относящихся сюда вопросов.
Опубликованные в 1879—1903 гг. труды немецкого ученого
Готлоба Фреге (Gottlob Frege, 1848—1925) и исследования
выдающегося итальянского математика Пеано (Peano) кла-.
дут начало новым направлениям в математической логике^
* В нашей литературе чаще употребляется более краткий термин
«алгебра Буля».
6
Пеано считал желательньш построить всю математику на ба-
зе логического исчисления, а Фреге исходил из необходимости
более надежного обоснования математической науки. Работа
Фреге «Исчисление понятий» (Begriffsschrift) появилась в
1879 г., а его «Основания арифметики» (Grundgesetze dec
Arithmetik), имевшие важное историческое значение,—
в 1893—1903 гг.; «Математический формуляр» (Formulaire de
mathematiques) Пеано и его сотрудников начал выходить в
1894 г. Используя достижения Фреге и Пеано, Уайтхед
(Whitehead) и Рассел (Russell) создают в 1910—1913 гг. свои
«Принципы математики» (Principia mathematica)—фундамен-
тальный труд, оказавший исключительное влияние на все по-
следующее развитие математической логики. В этой работе
математика отождествляется с логикой, поскольку система
натуральных чисел, а стало быть, и почти вся математика
строится дедуктивным образрм на основе некоторого множе-
ства постулатов логики. Период с 1934. по 1939 г. ознаменован
выходом в свет «Оснований математики» (Grundlagen der
Mathematic).—всеобъемлющего трактата Давида Гильберта
(David Hilbert) и Поля Бернайса (Paul Bernays), созданного
на основе некоторых работ Гильберта и его университетских
лекций. Авторы пытаются построить математику с помощью
символической логики таким образом, чтобы могла быть ре-
шена задача о непротиворечивости математики.
Появление «Принципов математики» дало мощный толчок
развитию символической логики, и в настоящее время значи-
тельная группа математиков сосредоточила свои усилия* в
этой области. Работы логиков печатаются в специальном
«Журнале символической логики» (Journal of Symbolic Logic),
основанном в 1935 г.
В этом и следующем параграфах мы попытаемся дать не-
которое представление о природе символической логики, огра-
ничиваясь так называемым исчислением высказываний; в на-
шем изложении мы будем следовать Уайтхеду и Расселу. В
настоящем разделе вводятся необходимые понятия и симво-
лика, в следующем мы дадим набросок аксиоматического
построения общей теории. Разумеется, приводимые здесь све-
дения никоим образом не претендуют на полноту.
Любые утверждения, об истинности или ложности которых
имеет смысл говорить1, мы будем называть высказываниями;^
при этом мы можем и не знать, истинно ли данное высказы-
вание или нет. Высказываниями являются, например, следу-
ющие утверждения: «весна является временем года», «8 есть
простое число», «9000-я цифра в десятичной записи числа л
1 Мы не будем касаться здесь семантического вопроса о значении слов
«истинный» и «ложный».
. 7
сеть 7». Первое из этих утверждений истинно, второе—лож*
но; истинность или ложность третьего утверждения нам не
известна, однако, поскольку и в отношении этого утвержде-
ния, имеет смысл говорить об, истинности или ложности, его
также следует считать высказыванием. Высказывания мы бу-
цем обозначать строчными буквами латинского алфавита т.
п, р, q, г,...; условимся также, что в случае, когда говорится
о высказывании р без указания на его истинность или лож-
ность, подразумевается, что р истинно.
Различным образом сочетая высказывания между собой,
мы можем получить новые высказывания. Например, из двух
высказываний «весна является временем года», «8 есть про*
с гое число» можно получить следующие высказывания: «вес-
[/а является временем года и 8 есть простое число», «весна
является временем года или 8 есть простое число», «если вес-
на является временем года, то 8 есть простое число», «весна
является временем года тогда и только тогда, когда 8 есть
простое число». Наконец, из единственного высказывания
«зесна является временем года» можно получить новое вы-
сказывание «весна не является временем года», то есть вы-
сказывание, являющееся отрицанием первого.
Приведенные выше сочетания высказываний образуются
при помощи слов «и», «или», «если—то», «тогда и только то-
гда, когда», «не». В математической'Логике для Обозначения
этих основных типов сочетания используются специальные
символы, а именно вводятся следующие пять символов:
(1) Р/\Я (читается «р и q») обозначает высказывание,
истинное в том только случае, когда р и q оба истинны. Такое
высказывание называют конъюнкцией высказываний р и q.
(2) p\Jq (читается «р или q») обозначает высказывание,
истинное тогда лишь, когда по крайней мере одно из выска-
зываний р и q истинно (но могут быть истинными и оба вы-
сказывания). Такого рода высказывание называют дизъюнк-
цией высказываний р и q.
(3) р ~>q (читается «если р, то q») обозначает высказыва-
ние, которое ложно в том только случае, когда р истинно, a q
ложно, и истинно во всех остальных случаях. Такое высказы-.
ванне называется импликацией высказываний р и q. 4
(4) р<--+ q (читается «р тогда и только тогда, когда 9»)'
обозначает высказывание, истинное тогда только, когда р и q
оба истинны или оба ложны. Следовательно, утверждение
означает, что р и q имеют одно и то же «значение ис-
тинности». Такое высказывание называют эквивалентностью
высказываний р и q.
(5) р' (читается «не есть противоположность р, то есть
р' обозначает высказывание, которое истинно, когда р ложно,
6
fl ложно, когда р истинно. Такое высказывание называют
отрицанием высказывания р !.
Заметим, что символы Д, V, обозначают бинарные
операции, определенные на множестве всех высказываний, а
символ ' выражает определенную на том же множестве у пар-
ную операцию* *.
Следует также сказать, что слова «и», «или», «если — то»,
«тогда и только тогда», являющиеся связками в нашем обыч-
ном языке, в математической логике получают несколько иной
смысл.
Так, в обычном языке союз и используется, как правило,
для объединения двух предложений, соответствующих друг
другу по смыслу в некотором связном повествовании, как это
бывает при описании последовательности событий. Например,
Он сел в поезд и приехал в Бостон.
Однако в логике и может соединять любые предложе-
ния совершенно независимо от наличия смыслового соответ-
ствия между ними, как это имеет место в уже приводившемся
нами примере:
Весна является временем года и 8 есть простое число.
Аналогично союз или в обычном языке употребляется в
двух смыслах — в смысле исключающем от латинского aut
(«р или q, но не оба») и в смысле неисключающем от латин-
ского vel («р или q или оба»). Именно в этом последнем
смысле используется или в логике. И здесь опять же несуще-
ственны смысловая связь или смысловая зависимость соеди-
няемых высказываний.
Особенно важно сказать об использовании в логике выра-
жения если — то, В обычном языке сложное предложение
«если р, то q» предполагает между р и q отношение посылки
и следствия или же причины и обусловленного ею действия,
как, например, в предложении:
Если будет дождь, то мы останемся дома.
С другой стороны, в логике импликация p-^q связывает
любые два предложения и, по определению (3), ложность
импликации имеет место в том единственном случае, когда р
истинно, a q ложно. Любопытно отметить, что для истинности
импликации достаточно, чтобы р было ложно или q истинно.
1 Приведенная здесь символика для обозначения конъюнкции, дизъ-
юнкции, импликации, эквивалентности и отрицания не является общепри-
нятой и неодинакова у разных авторов. Так, Уайтхёд и Рассел используют
символы р ♦ q, р V qt р J q, р = q, ~ р, а у ^льберта мы находим сле-
дующие обозначения: p&q, pvq, p-*qt Р^Ч> Р-
* Другими словами, операция A, V, и *—>алгебры логики сопо-
ставляют новое высказывание двум высказываниям (р и q), а опера-
ция * сопоставляет новое высказывание одному высказыванию (р).
1872—2 9
Таким образом, все три приводимые ниже импликации додж*
ны считаться истинными:
Если 7— простое число, то 2X2 = 4,
Если 8 — простое число, то 2X2=4,
Если 8 — простое число, то 2X2 = 5.
Истинность подобных высказываний на первый взгляд ка-
жется несколько неожиданной; уместно, однако, вспомнить,
что мы не интересуемся смысловым содержанием этих выска-
зываний, а лишь их истинностью или ложностью. Напротив,
импликация, основанная на отношении предпосылки и след-
ствия или причины и вызываемого ею действия, апеллирует к
структуре составляющих высказываний вне зависимости от их
истинности или ложности L
Наконец, утверждение «р тогда и только тогда, когда q»
не означает в логике, что составляющие предложения р и q
имеют одно и то же значение или один и тот же смысл; оно
означает лишь высказывание, которое истинно, когда р и q
оба истинны или оба ложны. Таким образом, утверждения
7 есть простое число тогда и только тогда, когда 2X2 = 4,
8 есть простое число тогда и только тогда, когда 2X2 = 5
оба являются истинными.
Все, что здесь говорилось о логическом смысле конъюнк-
ции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности и отрицания,
можно просто и наглядно проиллюстриро-
вать с помощью так называемых таблиц ис-
тинности. В этих таблицах буква И озна-
Т а б л и ц а 1
Конъюнкция
р Q Р A Q
и и и
и л л
л И л
л л л
чает истинность соответствующего высказы-
вания, буква Л — ложность.
Приведем таблицу истинности для конъ-
юнкции.
Эта таблица построена на основании
данного выше определения конъюнкции. Из
таблицы следует, что р л q истинно, если р
и q оба истинны, и ложно во всех осталь-
ных случаях. В таблице выписываются все
возможные комбинации И и Л для составляющих высказыва-
ний, а в последней колонке указывается истинность или лож-
ность сложного высказывания для каждой такой комбинации.
1 На выбор подходящего определения импликации влияют противо-
речивые обстоятельства, и многие исследователи трактуют вопрос по-раз-
ному. Импликацию, как мы ее определили, называют материальной (mate-
rial) импликацией. Льюис (Lewis) ввел понятие строгой (strict) имплика-
ции, которое в большой степени соответствует отношению посылки и след-
ствия, когда последнее может быть выведено из первого; пока, однако,
никакое определение импликации, апеллирующее к структуре составляю-
щих ее предложений, не является общепринятым. Во всяком случае в лю-
бом определении импликации доминирует идея материальной импликации
и вне зависимости от принятого определения в конечном счете мы прихо-
дим именно к материальной импликации,
Чо
- Вот так выглядят таблицы истинности для дизъюнкции, импликации,эквивалентности и отрицания.
Таблица 2 Дизъюнкция Т а б л и ц а 3 Импликация
р / V <7 Р q р >q
И 4 И И и и
ИЛИ И л л
л 4 И Л и и
л л л л л и
Таблица 4 Таблица 5
Эквивалентность Отрицание
р Q P^q р 1
И И и И л
И л л Л и
л и л
л л и
Составляющие высказывания сами могут иметь более
сложную структуру, например,
[Рл
при этом истинность или ложность полученного высказывания
для любых комбинаций И и Л первоначальных высказываний
может быть определена с помощью таблиц истинности для
конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности и
отрицания. Так, для только что полученного высказывания
находим:
Таблица 6
р <1 p-q .рЛ(р-><7) [PA (p~*q} ]-+q
и и И И И
и л л л и
л и и л и
л л и л и
Первый, второй и последний столбцы дают нам таблицу
истинности для нового высказывания; третий и четвертый
столбцы являются вспомогательными. Полученная таблица
обладает тем любопытным свойством, чго в последнем ее
столбце стоят одни только И. Это означает, что рассматри-:
11
ваемюе высказывание истинно, каковы бы ни был и р и q. Та*
кие высказывания называют тавтологиями или законами ло-
гики. Читатель легко может убедиться, что следующие вы-
сказывания являются тавтологиями.
Таблица 7
Некоторые законы логики
Закон Название закона
PVp' (рлр'У [(р-> ?)Л(<7-> г)]^ (р-+ Г) р «--> (р')' (р-> <?) *--> (<?' * р') Закон исключенного третьего Закон противоречия Закон силлогизма Закон двойного отрицания Закон контрапозиции
Если составить таблицы истинности для высказывания
p-+q и q'-+p', то окажется, что они одновременно истинны
или одновременно ложны. Два таких высказывания тип на-
зываются логически эквивалентными; как легко видеть, выска-
зывание т > и является тавтологией или законом логики.
Следовательно, высказывание [p-+q)*—*{q'-^pr) является за-
коном логики в соответствии с тем, что было указано в по-
следней таблице. Понятие логической эквивалентности имеет
важное значение, поскольку от всякого высказывания можно
перейти к логически эквивалентному высказыванию, сохра-
няя значение истинности (или ложности) для первоначально-
го высказывания. Так, высказывание q'+-p' может быть во
всех случаях заменено высказыванием q. Точно так же
(р'У можно везде заменять на р.
Мы предоставляем читателю доказательство логической
эквивалентности следующих пар высказываний:
Таблица 8
Некоторые пары логически
эквивалентных высказываний
pVq
р- q
р — q
РМ
р- q
Р<~*4
(Р'М'У
(p/\qfY
(pM'Y Mq/\p'Y
(p'Vq'Y
(p'vq)
l(p'yqYV(qfVpYY
F2
PM
pvq
р q
(р-* q'Y
р' q
[(р-+ q)-+ (q-+ pYY
Приведенные логические эквивалентности показывают, что
каждый логический оператор, будь то конъюнкция, дизъюнк-
ция, импликация, эквивалентность или отрицание, может быть
определен через посредство остальных и что поэтому некото-
рые из них могут быть опущены. Так, первые три логические
эквивалентности дают путь к определению дизъюнкции, им-
пликации и эквивалентности через посредство конъюнкции и
отрицания, последующие три указывают на возможность опре-
деления конъюнкции, импликации и эквивалентности при по-
мощи дизъюнкции и отрицания; наконец, последние три экви-
валентности выражают конъюнкцию, дизъюнкцию и эквива-
лентность через импликацию и отрицание.
Можно показать, что без отрицания нельзя обойтись при
определении основных логических операторов и что не все опе-
раторы могут быть определены с помощью эквивалентности и
отрицания.
Интересно отметить, что дизъюнкция может быть опреде-
лена с помощью одной лишь импликации, поскольку р\/ q и
(p-+q)-+q логически эквивалентны; однако аналогичное
определение для конъюнкции невозможно.
Г. Шеффер (Н. М. Sheffer) показал в 19ГЗ г., что для опре-
деления всех логических операторов достаточно ввести един-
ственный оператор—так называемый штрих Шеффера. Штрих
Шеффера записывается в виде plq и означает «не р или не q».
Питатель легко увидит, что высказывания р/р и р', а также
\(plp)/(я/Я) и p\/q логически эквивалентны. Поскольку дизъ-
юнкция и отрицание выражаются через штрих Шеффера, то
и остальные основные логические операторы также опреде-
ляются с помощью штриха Шеффера.
2. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
ПРИ ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТЕО-
ремы выводятся из аксиом или уже выведенных теорем. В вы-
водах мы идем от посылок к заключениям, и наши рассужде-
ния носят импликативную форму «если то-то и то-то, то
то-то и то-то». При этом мы заботимся не об истинности
или ложности наших посылок и заключений, а лишь о пра-
вильности тех рассуждений, с помощью которых осуществля-
ется переход от первых к последним. Рассуждения должны
быть формально правильными, т. е. соответствующие импли-
кации должны быть истинными вне зависимости от истинно-
сти или ложности посылок и заключений. Следовательно,
импликации должны быть тавтологичными. Наоборот, в слу-
чае тавтологичности импликаций мы считаем наши рассужде-
ния правильными. Таким образом, для проверки правильно-
сти рассуждений необходимо только убедиться в том, что все
использованные импликации являются тавтологиями.
С этой точки зрения важнейшей задачей логики должно,
очевидно, считаться исследование тавтологий, т. е. отыскание
всех тех сложных высказываний, которые являются истинны-
ми независимо от ложности или истинности составляющих
высказываний р, q, г,... Такие высказывания являются зако-
нами логики и лежат в основе всякого правильного формаль-
ного рассуждения. Тавтологичность высказывания мы всегда
в состоянии точно обнаружить с помощью таблиц истинности.
Однако эти таблицы не дают нам средства для составления
сколь-нибудь полного и систематического перечня тавтологий,
Успешное достижение поставленной цели осуществляется с
помощью метода, изложению которого посвящен настоящий
раздел. Мы покажем, что все тавтологии могут быть выве-
дены на основе точно формулированных правил из некоторого
специально выбранного множества тавтологий. Более того,
указанный метод будет приводить к одним лишь тавто-
л о г и я м, т. е. не нужно будет тавтологии отделять от нетав-
тологий, как это пришлось бы делать в случае использования
таблиц истинности. Поскольку в новом методе обнаружение
тавтологий осуществляется с помощью символических вычис-
лений, соответствующая теория называется исчислением вы-
сказываний.
14
Теорию исчисления высказываний мы будем строить в
основном так же, как это делали Уайтхед и Рассел в своих.
«Принципах математики». Замечательно то обстоятельство,
что теория эта является аксиоматической. Несколько тавтоло-
гий, выбранных из всего их множества, будут служить в ка-
честве аксиом, и, кроме того, мы укажем некоторые формаль-
ные правила, согласно которым остальные тавтологии могут
быть выведены из тавтологий-аксиом. Эти правила в теории
исчисления высказываний играют такую же роль, какую ло-
гические правила вывода играют при построении любой мате-
матической теории. Конечно, сами логические правила вывода
не могут здесь оказаться полезными, поскольку они именно и
составляют объект изучения.
Приведем (с краткими пояснениями) первоначальные по-
нятия, аксиомы и правила вывода теорем для теории исчис-
ления высказываний.
Первоначальные понятия
Первоначальными (или неопределяемыми) понятиями в
теории исчисления высказываний будем считать:
(1) множество Р элементов р, q, г,..., называемых выска-
зываниями,
(2) бинарную операцию на Р, обозначаемую символом \/, и
(3) унарную операцию на Р, обозначаемую символом
Поскольку, как это было указано в первом разделе, осталь-
ные логические операторы V, выражаются через эти
два, их нет необходимости причислять к первоначальным по-
нятиям. Следует отметить, что если р и q принадлежат р, то
p\/q и р' также принадлежат р, т. е. они также являются вы-
сказываниями.
Аксиомы или исходные тавтологии
Все тавтологии являются высказываниями, однако не вся-
кое высказывание есть тавтология. Из всего множества тав-
тологий выбираются четыре в качестве аксиом или исходных
тавтологий. Исходные тавтологии мы будем обозначать через
Al, А2, АЗ, А4; приведем их здесь, введя предварительное
определение, облегчающее запись тавтологий.
Определение 1. p~+q означает p'\/q.
К1-. (p\jp)-+p.
А2: q-* (р,\/q}.
АЗ: (pV q)-+(q\JpY
A4: (q Vr)-+[(p V?)-*(/>V4
15
В «Принципах математики» аксиома А1 носит название
принципа тавтологии. Нетрудно видеть, что в А1 мы могли бы
утверждать и нечто большее, чем просто импликацию, так как
(PVp) — Р также есть тавтология. Однако поскольку тавто-
логичность высказывания Р~Ур\/р) легко может быть дока-
зана, то эту часть утверждения об эквивалентности высказы-
ваний р и (pVp) незачем принимать в качестве аксиомы.
Аксиома А2 выражает то обстоятельство, что дизъюнкция
истинна, если истинно одно из составляющих ее высказыва-
ний. Уайтхед и Рассел называют А2 принципом добавления.
Аксиома АЗ, называемая принципом перестановки, выра-
жает коммутативность дизъюнкции. Здесь снова имеет место
эквивалентность, а не просто импликация, однако постулиро-
вать эквивалентность нет необходимости.
Аксиому А4 называют принципом суммирования. В этой
аксиоме отражен тот факт, что импликация остается справед-
ливой, если ее предшествующий и последующий члены q и г
заменить соответственно на/?\/# и рУг. Для аксиомы А4 су-
ществует простой аналог в арифметике натуральных чисел:
если а<Ь, то а + с<Ь + с.
Правила вывода теорем или отыскания тавтологий
Сформулируем четыре основных правила, позволяющих
выводить новые тавтологии из первоначальных.
П 1 (правило подстановки): Из данной тавтологии можно
получить новую тавтологию, если высказывание р в данной
тавтологии заменить везде высказыванием q.
Например, подставляя в А2 высказывание рУ q вместо
высказывания q, получаем новую тавтологию
(.р v q)-+[p V(p V?)].
П 2 (правило подстановки для эквивалентных по опреде-
лению высказываний). Из данной тавтологии можно получить
новую тавтологию, если в данной тавтологии заменить неко-
торое высказывание эквивалентным ему по определению.
Например, замена q->r на q'yr в тавтологии А4 дает
новую тавтологию.
П 3 (правило отделения или правило импликации). Из
двух данных тавтологий m и ш~>п следует новая тавтология
п.
Четвертое правило нам будет удобнее сформулировать^
введя предварительно следующее определение:
Определение 2: p/\q означает (XW'/.
16
Приводим теперь правило П4Х.
П4 (правило адъюнкции). Из двух данных тавтологий tn
и п следует новая тавтология m/\n.
Пользуясь введенными аксиомами и правилами вывода,
мы можем теперь доказать некоторые теоремы исчисления
высказываний. Мы ограничимся доказательством небольшого
числа теорем, поскольку наша цель состоит в том, чтобы дать
лишь известное представление о характере доказательств.
Другие теоремы будут только сформулированы.
Теорема 1: (q-+r}-+\(p-+q)-+(p-^r)\.
Доказательство: (<;-► г) -+[( р\/ q)-*(p\/ г)]
(аксиома А4).
(?_>r)_>[(p'V?)-*(X Vr)j
(замена р на //)•
(?->-г)->[(р-^)~> (р->г)|
(определение 1).
(Эта теорема указывает одну из форм транзитивности им-
пликации.)
Теорема 2: р-* (р \J р).
Доказательство: q-+(p\/ q} (аксиома/12).
р-*-(р\/ р] (замена q на р).
Теорема 3: р->р
Д о к а з а т е л ь с т в о: (q -> г) -*• [(/> q) (р -> г))
(теорема 1).
[(Р\/Р) -* Р\ 1(Р -> (Р V Р)1 -* (Р -* Р)]
(замена q на/?VPH г на Р)*
(р\/ Р)^Р (аксиома А1).
{р^~{р\/р)\^(р->/>) (правило П 3);
P~^(P\f Р) (теорема 2).
р-^р (правило П 3).
(В этой теореме утверждается, что из всякого высказыва-
ния следует само это высказывание — свойство рефлексивно-
сти импликации.)
Теорема 4: р' V Р
Доказательство: р->р (теорема 3)
р' V р (определение 1).
Теорема 5: р V pf-
Доказательство: (р\/ q)-+{q\/р) (аксиома ЛЗ)
(p'V/O-H/’V/O
(замена р на р’ и q на р)
р'\/р (теорема 4)
V р' (правило П 3).
1 В действительности правило П4 может быть выведено на основании
-аксиом и правил П1, П2, ПЗ, однако соответствующие выкладки довольно
громоздки. Поскольку нам предстоит пользоваться этим правилом, мы
примем его в качестве исходного
17
(Мы получим закон исключенного третьего, который мож-
но сформулировать так: «или р истинно или р ложно» либо
«или р или не-/? истинно»).
Теорема 6: (р-> р')-+ р'
Доказательство: (pVp)-*p (аксиома Л/)
(р' \/ р‘) ->р' (замена р на р')
(р-+-(определение 1).
(В этой теореме утверждается, что если из некоторого вы-
сказывания следует ложность этого высказывания, то само
это высказывание ложно. Мы получили—в его наиболее про-
стой форме — принцип приведения к абсурду). Можно дока-
зать этот принцип и в несколько более общей форме, напри-
мер:
(p->tf)-*[(p-*?')-*p'].
Здесь говорится о том, что если из р следует одновремен-
но и q и q‘, то высказывание р ложно. Ниже мы сформулиру-
ем принцип приведения к абсурду в его наиболее общей
форме.
Теорема 7: р-+(р')'.
Доказательство: р V рг (теорема 5)
р' V (р'У (замена р на р')'
р-+(рУ (определение 1).’
Теорема 8: р V {(р'У)'.
Д о к а э а т е л ь е т в о: (tf->-r)-> [(р V #)-> (Р V г)]
(аксиома А4)'
[р'^Р'УКНИр v/?')-> (р V {(р'У У)]
.(замена q на р' и г на {(р')'У)
р-*-(р')’ (теорема 7)
Р'-^Кр'УУ (замена р на р')’
(pVp')-*(p V {(р'УУ) (правило ПЗ)
р\/ р‘ (теорема 5)
Р V {(р'У)' (правило 773),
Теорема 9: (р')г-+р
Доказательство: (р V ?)->(</ V р) (аксиома АЗ}..
(д\/{(/>')'}')-*({ (р'У}' V/0
’(замена q на {(//)'}')
Р V {(Р')'}' (теорема 8)’
{(р'УУ V р (правило ПЗУ
(/?)' ~^Р (определение 1).;
Теорема Ю: [р->(#')'} Д [(р'У->р].
До<азательство: р-> (р')' (теорема 7)
(р'У ->р (теорема 9)
|р->(р'У)Д |(р'У-*р)
(правило П4)'г
18
Определение 3: р<—означает (р^ч)Л(я-^рУ
Теорема 11: р<—*Ур'У-
Доказательство: [/’~>(Д)/] Л [(р'У~>р] (теорема 10)
р -*—*-(р' У (определение 3)
(Это—закон двойного отрицания.)
Эти доказательства мы привели для того, чтобы дать не-
которое представление о методах исчисления высказываний.
Нашей целью не является полное построение теории, поэтому
мы позволим себе привести еще несколько теорем без всяких
доказательств.
Теорема 12: (р V q) (pr Л <?')' -+(р'~+ q)-
Теорема 13: (p~+q)<—4p'\/q')<—>(рЛ/)'
Теорема 14: (p/\q)<—> (р' V Я')' ^->(р q')'.
(Теоремы 12, 13, 14 показывают эквивалентность некото-
рых высказываний конъюнктивного, дизъюнктивного и им-
пликативного типов. О значении логических эквивалентностей
уже’говорилось выше.)
Теорема 15: (р'-+р)-+р.
(Эта теорема устанавливает справедливость следующего
рассуждения, часто используемого в доказательствах: если из
ложности р следует истинность /л то высказывание р истин-
но.)
Теорема 16: (p-*-q)<—^(q’-^РУ
(Это закон контрапозиции, который доказательство выска-
зывания p~^q сводит к доказательству высказывания q'-^рУ
Теорема 17: \(p-+q) /\я'\~^ р'-
(В теореме утверждается, что если из р следует q и q лож-
но, то р ложно.)
Теорема 18: [(р V q) Л Я’} -*• Р-
(В теореме утверждается, что в случае истинности р пли
q и ложности q р истинно.)
Теорема 19: [(/?-> q) Д (q -> г)] -* (р г).
(Это закон силлогизма, дающий иную форму транзитив-
ности импликации.)
. Теорема 20: [р/\ {[/> A q')-+r] Д [(/? Д q’)-> /])] -* Я-
(Эта теорема, согласно которой если из р и q' следует
одновременно г и г' и если р истинно, то q истинно, дает наи-
более общую форму принципа приведения к абсурду. В та-
кой форме этот принцип часто используется в математиче-
ских рассуждениях, причем р есть множество всех аксиом, a q
есть доказываемая путем приведения к абсурду теорема: мы
предполагаем qr или ложность q; если затем нам удается по-
казать, что из множества дксиом р и ложности q следует пара
19
противоречивых высказываний г и Л то мы. считаем^ что q
истинно.)
Теорема 21: q^(p-+q).
! Теорема. 22: X->(/?->$).
(Теоремы 21 и 22 выражают два свойства* материальной
импликации, о которых мы уже говорили выше. Имеяада» в
теореме 21 утверждается, что истинное высказывание q сле-
дует из любого высказывания, а в теореме 22—чтф из ложно-
го высказывания р следует любое высказывание q^).
Теорема 23: (р Л р'У-
(Это закон противоречия, в котором говорится^ о ложности
высказывания^ предполагающего одновременную истинность
р И не-p.); \ t j
Приведенных теорем достаточно для выяснения общего
характера исчисления высказываний^, и теперь уже легко про-
следить, каким образом в этом исчислении оперируют со
сложными высказываниями. Однако, хотя исчисление выска-
зываний полностью исчерпывает ту часть логики, которая
имеет дело с высказываниями вне зависимости от1 их содер-
жания, построенная iwpw вместе е тем не охватывает всей
логики в целом, поскольку в логике существуют такие выжь
ды, которые оперируют не только е высказываниями, рассмат-
риваемыми как нераздельные целые, но зависят существенно
и от содержания высказываний. Например, в рамки исчисле-
ния высказываний не укладывается следующий классический
силлогизм:
Все люди смертны.
Сократ — человек.
Следовательно, Сократ смертен.
Причина очевидна, поскольку заключение указанного силло-
гизма связывает субъект второго высказывания с предикатом
первого, а не просто высказывания, рассматриваемые как не-
раздельные целые. Такие типы логических структур составля-
ют предмет исчисления классов. Не желая понапрасну отя-
гощать наше изложение, мы не станем здесь сколь-нибудь
подробно останавливаться на этой теории и, не вдаваясь в
дальнейшие подробности, заключим настоящий раздел не-
сколькими замечаниями, относящимися к изложенному выше
материалу.
В первом издании «Принципов математики» Рассел и
Уайтхед строили исчисление высказываний на основе пяти
аксиом. Кроме четырех аксиом А1, А2\ Л5, Л< которые был»
нами перечислены1, они пользовались также аксиомотг
\Р V (9 V И] -> k V V иь
29
Позднее, в. 1926 г. Бернансом ’ было показана, что; патая
аксиома1 не- является независимой и может быть выведаин а
помощью формулированных правил из аксиом А1, Л12, АЗ и
А4. С другой стороны, Бернайс доказал, что эти последние
аксиомы являются независимыми.
Следует отметить, что. аксиоматическое построение теория
можно осуществлять по-разному, в зависимости от выбора
первоначальных понятий и аксиом; Построение Россера
(J. В. Rosser), и Куайна (W. V. Quine) основывается, напри-
мер, на выборе в качестве первоначальных операций конъюн-
кции и отрицания. Соответствующая система аксиом может
быть представлена в такой форме:
Определение p-+q означает (p/\q)r.
А'к р-+(р /\р).
А’2: (p/\q)-+p.
А& (р^д^[^ЛгТ-^(гЛрП
Правила; вывода П1, П2, ПЗ, ПА сохраняются без измене-
ния. Еще в 1879' г. Фреге, приняв за исходные операции им*-
пликации и отрицания, предложил иную систему из- шеста
аксиом, сформулированных в терминах этих операций: Лука-
севич (J. Lukasiewicz) доказала что система' аксиом Фреге
может быть заменена более простой системой, состоящей
всего лишь иа трех аксиом:
Л7:
А" 2: [ р -> {q-+ rfl ((/>'-> <?) -> (/>» И].
А'З: (X -> (<7 -*/>)•
И снова правила вывода П1, П2, ПЗ, П4 остаются в силе.
В 1916 г. Никод (J. Nicod)2 показал, что исчисление выска-
зываний может быть построено на основании одного лишь
оператора—штриха Шеффера—я единственной аксиомы’
Правило отделения заменяется в этой конструкции правилом;
Из двух данных тавтологий и и ul(vlw) следует нх)ва^ та^
тология w. Кроме рассмотренных здесь, были предложены
также и другие построения исчисления высказываний.
Замечательно то, что исчисление высказываний является
по существу интерпретацией алгебры множеств, Чтобы убе-
1 Bern ays Р. Axiomatisehe Untersuchung des AussagemKalkuIs
der Principia Mathematics. Mathematische Zeitschrift, 25 (1926), 305—320.
2 N i co d‘ J. A reduction in the number of the primitive propositions of
Ifjgie. (Об уменьшении числа аксиом логики)<— Proceedings of’ the- Cam-
bridge Philesophicat Society, 19 (I9W)v p*
2*
диться в этом, будем считать, что а, Ь, с,... в алгебре множеств'
означают высказывания, объединение U и пересечение П
множеств означают V и Д, равенство означает логическую
эквивалентность, а универсальное (единичное) множество и'
пустое множество означают тавтологию (J и отрицание тав-
тологии z соответственно. При такой интерпретации аксиомы
булевой алгебры множеств переходят в следующие теоремы
исчисления высказываний:
Б Г. (a\/b)<->(bVa), (a hb)*—+(b /\а\
Б2: (а V г) <—> а, (а Д и) *—>- а.
БЗ: [а\/(Ь/\с)]<—> [(а V Б) Д (а Vе)]-
[а Д (b V е)] *—> [(« Л 6) V (а Л е)]-
Б4: {а V а') +—► и, (а. Д а') -<—> г.
Читатель легко может проверить, пользуясь, например,
таблицами истинности, что указанные предложения действи-
тельно являются теоремами исчисления высказываний, т. е.
тавтологиями. Л из того, что аксиомы алгебры Буля перехо-
дят в теоремы исчисления высказываний, как раз и следует,
чго это последнее является интерпретацией булевой алгебры.
Указанное обстоятельство имеет чрезвычайно важное зна-
чение. Оно означает, что любая теорема алгебры Буля пере-
ходит в соответствующую теорему исчисления высказываний.
Например, законы Де Моргана в алгебре Буля
(a U Ь)' — а' Р| Ь', (а П Ь)' =а' (J V
дают следующие теоремы в исчислении высказываний:
(а у ЪУ (а' Л Ь'У (а Д b)f *--> (а' V Ь').
Точно так же из принципа двойственности в алгебре Буля вы-
текает принцип двойственности в исчислении высказываний,
формулируемый следующим образом: Любая тавтология в
форме tn*—*п, где тип выражены с помощью конъюнкцищ
дизъюнкции и отрицания, не перестает быть тавтологией, если
в исходной тавтологии конъюнкцию везде заменить дизъюнк-
цией и наоборот. \
В связи с тем, что исчисление высказываний является ин-
терпретацией булевой алгебры, возникает вопрос: нельзя ли
исчисление высказываний вывести полностью из исчисления
классов. На этот вопрос можно ответить отрицательно, по-
скольку построение алгебры множеств само требует понятий
импликаций, отрицания и т.. д. И вообще, исчисление выска-
зываний нельзя вывести ни из какой другой теории, посколь-
ку, наоборот, построение всякой теории требует привлечения
основ исчисления высказываний. Поэтому основные свойства
22
высказывании следует постулировать и вывести их невозмож-
но. Необходимость такого постулирования ставит исчисление
высказываний на . особое место среди всех дедуктивных тео-.
рий. Исчисление высказываний составляет основу всякого
дедуктивного построения.
3. ДРУГИЕ логики
. МЕЖДУ ЗАКОНОМ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СИЛ И МАТЕ-
мэтическим методом существует любопытная, хотя и не слиш-
ком далеко идущая аналогия. Согласно правилу параллело-
грамма, сложение двух сил дает единственную результирую-
щую силу. Эта последняя меняется при изменении одной или
обеих составляющих и в то же время различные пары со-
ставляющих сил могут иметь одинаковые результирующие. И
подобно тому, как результирующая определяется двумя со-
ставляющими, математическая теория полностью определяет-
ся системой аксиом и логикой. Иначе говоря, совокупность
утверждений, составляющих математическую теорию, есть ре-
зультат взаимодействия двух множеств — множества перво-
начальных утверждений, называемых аксиомами, и множе-
ства первоначальных утверждений, образующих логику или
правила вывода.
Уже довольно давно математики обнаружили, что первое
из этих множеств, т. е. множество аксиом, можно менять сооб-
разно поставленным целям, однако до самого последнего вре-'
-мени второе множество — множество утверждений, образую-
щих логику теории, — считалось всеми учеными неизменным,
абсолютным и непреложным. Даже сейчас большинство лю-
дей придерживается такой именно точки зрения. Законы ло-
гики, открытые АристотелелМ в IV в. до н. э., представляются
неспециалисту чем-то вечным, чем-то не допускающим альтер-
нативы. По общему убеждению, аристотелевы законы явля-
ются как бы частью мироздания и присущи самой природе
человеческого мышления. Лишь .в 1921 г. с этим заблужде-’
24
нием было покончено, как п со многими другими заблужде-
ниями прошлого. Современную точку зрения чрезвычайно
удачно выразил выдающийся американский логик Алонзо
.Черч (Alonzo Church). Вот что он пишет:
«Ни одной из логических систем мы не приписываем ха-
рактера единственности или абсолютной истинности. Понятия
формальной логики были введены в науку в качестве абстрак-
ций, используемых для описания и систематизации опытных
фактов; однако сами эти понятия не определяются вполне
соответствующими практическими потребностями, и при окон-
чательном их оформлении многое зависит от произвола уче-
ного. Возьмем в качестве аналогии трехмерную геометрию,
используемую для описания физического пространства—здесь,
как нам кажется, наличие такого положения вещей призна-
ется более широко. Понятия геометрии безусловно носят
абстрактный характер, поскольку речь идет о плоскостях, не
имеющих толщины, о точках, не имеющих площади, о беско-
нечных точечных множествах, о линиях бесконечной длины и
других вещах, которые не могут быть воспроизведены ни в
одном физическом эксперименте. Тем не менее в приложениях
геометрии к изучению физического пространства удалось
установить чрезвычайно плодотворное соответствие между
геометрическими теоремами и наблюдаемыми свойствами ре-
альных физических тел. Поскольку геометрия строится с
целью описания физического пространства, то тем самым, в
известной мере, вырисовывается и характер абстрактных по-
нятий геометрии, однако предполагаемые приложения не
определяют этих понятий полностью. Следовательно, может
существовать—и действительно существует—несколько гео-
метрий, служащих для описания физического пространства.
Точно так же существует несомненно несколько формальных
систем, которые можно использовать в качестве логики, при-
чем некоторые из них могут нравиться больше или быть бо-
лее удобными, но нельзя сказать, что одна из них правильна,
а другие нет» Ч
Напомним, что новые геометрии появились впервые в свя-
зи с отрицанием постулата Эвклида о параллельных, а новые
алгебры возникли после того, как был отвергнут закон комму-
тативности умножения. Аналогично новые, так называемые
«многозначные логики» появились впервые в связи с отрица-
нием аристотелева закона исключенного третьего. В соответ-
ствии с этим законом дизъюнктивное высказывание р\/ рг есть
тавтология, а высказывание р в аристотелевой логике всегда
либо истинно, либо ложно. Поскольку здесь всякое высказы-
вание может принимать одно из двух значений истинности,
1 А. С h и г с h. A set of postulates for the joundation of logic,— Annals
of Mathematics, 33 (1932), p. 348—349.
2Л
именно истину или ложь, аристотелева логика получила на-
звание двузначной логики. В 1921 г, Лукасевич в маленькой
двухстраничной статье рассматривает трехэначную логику,
т. е. такую логику, в которой всякое высказывание р может
принимать одно из трех возможных значений истинности.
Вскоре после этого и независимо от Лукасевичэ Пост
(Е. L. Post) анализирует /и-значную логику, в которой выска-
зывание р может принимать одно из т возможных значений
истинности, причем т—любое целое число, большее 1. В слу-
чае, когда т больше 2, логику называют многозначной. В
1930 г. Лукасевич и Тарский (Tarski) предпринимают даль-
нейшее изучение m-значной логики. В 1932 г. понятие т-звач-
ной логики обобщается Рейхенбахом (Н. Reichenbach), рас-
сматривающим бесконечнозначную логику, в которой для вы-
сказывания р существует бесконечное множество значений
истинности *.
Рассмотренные логики не исчерпывают всех новых логик.,
Так, например, Рейтинг (A. Heyting) построил двузначную
символическую логику, исходя из потребностей интуциовист-
ской математической школы; эта логика, в отличие от аристо-
телевой, не принимает безоговорочно законов исключенного
третьего и двойного отрицания. Вследствие этого законы со-
зданной со специальными целями логики Рейтинга, так же
как и законы многозначных логик, отличаются от законов;
Аристотеля. Все такие логики называют неаристотелевыми.
Символическая двузначная логика, построенная в «Принци-
пах математики» и рассмотренная нами в предыдущем разде-
ле, принадлежит к числу неаристотелевых логик, отличаясь
от аристотелевой логики иной интерпретацией импликации.
Подобно неэвклидовым геометриям, неаристотелевы логи-
ки также нашли себе приложения. Бесконечнозначная логина
была задумана Рейхенбахом в качестве фундамента матема-
тической теории вероятностей. А в 1933 г. Звицкий (Т. Zwicky)
обнаружил, что многозначные логики могут быть использо-
ваны современной квантовой физикой. Многие аспекты такого
использования были исследованы Г. Биркгофом (G. Birkhoff)f
фон Нейманом и Рейхенбахом. Можно с уверенностью ска-
зать, что неаристотелевы логики сыграют свою роль в буду-
щем развитии математики, однако в чем именно это выра-
зится, сказать пока трудно; использование интуиционистамн
логики Рейтинга свидетельствует о математической ценности
1 Здесь уместно упомянуть об одном интересном историческом обстоя-
тельстве: в 1506 г. Михальский обнаружил, что трехзначная логика была
предвосхищена-еще в XIV в. средневековым схоластом Уильямом из Сиа-
ма (William of Occam). Возможность существования трехзначной логики
рассматривалась также философом Гегелем и, в 1896 г., Хью Макмолом
(Hugh MacColl): Однако их идеи почти никакого влияния на последующее
развитие логики не оказали и решающего значения не имели,
26
новых логик. В следующем разделе мы укажем на некоторые
возможные приложения этих логик к разрешению современ-
ного кризиса основ математики.
Вряд ли здесь было бы уместно сколь-нибудь полным обра-
зом излагать теорию многозначных логик; однако следует
попытаться дать о них некоторое представление. Для просто*
ты ограничимся трехзначной логикой, которую будем строить,
обобщая понятия знакомой нам по предыдущему разделу дву-
значной логики.
Мы будем пользоваться методом таблиц истинности и нач-
нем с таблицы истинности для конъюнкции. Воспроизведем
прежде всего эту таблицу, придав ей более удобный вид таб-
лицы умножения, как это показано на рисунке. Табл, по-
строена следующим'образом. В левом столбце приводятся
Табл и и а 10
____Ч______
возможные значения истинности для высказывания р, а в
верхней строке — возможные значения истинности для выска-
зывания q. Зная значения истинности для р и для q, можно
найти значение истинности для p/\q в клетке, стоящей на пе-
ресечении строчки, соответствующей значению истинности р,
и столбца, соответствующего значению истинности q. Посколь-
ку по определению p/\q истинно в том и только в том случае,
когда р и q оба истинны, И стоит в левой верхней клетке таб-
лицы и Л—во всех остальных ее клетках. Отметим, что та б’
лица заполняется на основании одного лишь определения
Переходим теперь к трехзначной логике и вновь условим-
ся, что p/\q истинно тогда и только тогда, когда р и q оба
истинны. Обозначив три возможных значения истинности
высказывания через И, ? и Л, приступаем к составлению таб-
лицы истинности (см. табл. 10). По нашему соглашению от-
носительно высказывания р Долевая верхняя клетка табли-
цы должна содержать И, и, кроме того, И не может находить-
ся ни в какой другой клетке таблицы. Поскольку остается во-
27
семь клеток, каждая из которых может быть заполнена одним
из двух возможных способов (выбирается1 либо Л либо ?), то
получается всего 28 = 256 способов заполнения' таблицы. От-
сюда следует, что в трехзначной^ логике существует 256 раз-
личных возможностей определения конъюнкции!
Таблична 12
Таблица 1Г
В. таблицах И и 12 приводятся две из числа 256 возмож-
ных таблиц . истинности для конъюнкции в трехзначной' логи-
ке. Таблица истинности И была выбрана. Лукасевичем, Пос-
том и Россеррм; она строится на основании соглашения, по
которому ?. .более ложно, чем И; Л более ложно, чем ?, а
значение истинности p,/\q совпадает со значением истинно-
сти более ложного из составляющих высказываний. Иное
определение конъюнкции дает Бочвар (см. табл. 12); по
Бочвару символ «?» означает неразрешимость, а конъюнкция
v/\q считается- неразрешимой в случае неразрешимости- хотя
бы одного из составляющих высказываний и- q-.
Рассмотрим- далее таблицу истинност» для- отрицания.
В случае отрицания единственное ограничение заключается
в том, что р' не может быть истинным в случае истинности
р и р' не может быть ложным в- случае ложности- р. Указан-
ное ограничение полностью определяет таблицу истинности
для отрицания в двузначной логике и допускает- 12 возмож-
ных способов определения отрицания в- трехзначной логике.
Ниже приведены две из 12 возможных таблиц. Таблица; ис-
тинности 13 была выбрана Постом-; она построена на- основа-
нии соглашения-, по которому в трехзначной логике |-(р/)']/ и Р
эквивалентны (по аналогии с эквивалентностью (д'К и< р в
двузначной, логике). Таблица 14 была предложена, Бочваром,
Лукасевичем и Россером, которые исходили на того,- что (д').'
должно быть эквивалентно р.
. .Таблицы истинности-для- других логических операций мо-
гут -быть построены далее на основании определения1 этих свя-
28
эон с помощью конъюнкции и отрицания. Поскольку ЖЙПВЮЖ*
нция и отрицание независимы, а остальные операции, как маг
видели, могут быть через ни» выражены, то существует в об-
щем сложности 256X12=3072 различны» трехзначных логик.
Таким образом; число различных возможных структур мно-'
гозначной логики чрезвычайно велико.
Иногда при построении многоэнаЧйых логик каждому вы-
сказыванию р ставится в соответствие некоторое действитель-
ное число Т(р) отрезка [0,1]; число это называют значением
истинности р. Значение истинности р можно понимать, таким
образом, как вероятность того, что р истинно, а два высказы-
вания, имеющие одно и то же значение истинности, можно
считать логически эквивалентными. Значение истинности 1 оз-
начает истинность, а значение истинности 0 означает лож-
ность. Отрицание р' определяется в терминах значений истин-
ности следующим образом: Т(р') = 1—Т(р). В трехзначной
логике, например, в качестве значений истинности можно
принять числа О.’/г и 1. Если значение истинности р равно
’/г. то значение истинности р' также равно '/г, и р оказывает-
ся логически эквивалентным своему отрицанию. Такое вы-
сказывание может быть названо сомнительным, причем отри-
цание этого высказывания также оказывается сомнительным.,
Указанный подход свидетельствует о наличии тесной связи
между многозначными логиками и теорией вероятностей.
Быть может, приведенные выше фрагментарные сведения
дадут читателю некоторое представление о неаристотелевых
логиках. Из всего сказанного следует одно замечательное об-
стоятельство: конструктивное отрицание традиционных убеж-
дений является мощным источником научных открытий и име-
ет первостепенное значение для развития науки. Когда Эйн-
штейна спросили, как он пришел к открытию теории относи-
тельности, Эйнштейн? ответил: «Отвергнув - аксиому».- Лоба-
чевский. И’Больяи*етверрли*э««дадову- акс»&му-о параллель-
29
ных, Гамильтон и Кэли (Cayley)-отвергли аксиому о комму-
тативности умножения, Лукасевич и Пост отвергли аристоте-
леву аксиому исключенного третьего. Точно так же обстояло
дело и в других науках: Коперник отверг аксиому геоцек-
тричности, Галилей отверг аксиому о более быстром падении
более тяжелого тела, Эйнштейн отверг аксиому, согласно кото-
рой из двух данных моментов времени один предшествует дру-
гому. Конструктивному отрицанию аксиом математика обяза-
на многими своими достижениями, и именно это обстоятель-
ство выражено в знаменитом афоризме Кантора: «Сущность
математики заключается в ее свободе».
4. КРИЗИС ОСНОВ МАТЕМАТИКИ
ИЗУЧЕНИЕ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ, НАЧИНАЯ С ВРЕ-
мен античной Греции и вплоть до наших дней показывает, что
основы математики претерпели три чрезвычайно глубоких кри-
зиса.
Первый кризис основ математики произошел в V в. до
н. э. — во всяком случае не раньше, поскольку, как мы зна-
ем, сама математика оформилась в качестве дедуктивной на-
уки в VI в. до н. э., по-видимому, в связи с работами Фалеса,
Пифагора и их учеников. Первый кризис был вызван неожи-
данным открытием — оказалось, что не все однородные гео-
метрические величины соизмеримы друг с другом; было, на-
пример, показано, что диагональ квадрата несоизмерима с
его стороной. Поскольку учение Пифагора о величинах покои-
лось на твердой интуитивной уверенности в соизмеримости од-
нородных величии, обнаружение ошибочности этого убежде-
ния нанесло громадный урон всему учению. Так, пифагорова
теория пропорций со всеми ее следствиями должна была быть
отброшена ввиду своей необоснованности. Первый кризис ос-
нов математики преодолевался медленно и нелегко. Конец
кризиса относится примерно к 370 г. до и. э. и связан с име-
нем выдающегося математика Евдокса — построенная им те-
ория величин является одним из величайших творений мате-
матики за всю ее историю. Замечательное учение Евдокса о
несоизмеримостях можно найти в пятой книге «Начал» Эвк-
лида; в основном оно совпадает с современной теорией ирра-
циональных чисел, построенной Рихардом Дедекиндом в
1872 г*. Этот кризис основ математики сыграл выдающуюся
роль в становлении математического метода.
Открытия Ньютона и Лейбница, зарождение анализа в
конце XVII в. привели ко второму кризису основ математи-
ки Как мы знаем, последователи Ньютона и Лейбница, ув-
леченные громадными практическими возможностями и силой
нового метода, мало заботились о прочности фундамента, на
котором был построен анализ, так что не доказательства га-
* Р. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса,
Mathesis, 1923.
1 Предпосылки этого кризиса можно найти уже в знаменитых
парадоксах Зенона, относящихся примерно к 450 г. ,до и. а.
31
рантировали правильность результатов, а, наоборот, справед*
ливость результатов давала уверенность в правильности до-
казательств. С течением времени парадоксы и противоречия
возникали все в большем количестве, пока серьезный кризис
основ математики не стал для всех очевидной реальностью.
Все больше и больше крепло убеждение, что здание анализа
построено на песке, и наконец в начале XIX столетия Коши
предпринял первую попытку преодолеть кризис, отбросив ту-
манную теорию бесконечно малых и заменив ее вполне стро-
гой теорией пределов. Вслед за этим Вейерштрасс осущест-
вил так называемую арифметизацию анализа, и ученые по-
чувствовали, что второй кризис основ математики преодолен,
что все здание математики спасено и поставлено на прочный
фундамент.
Третий кризис основ математики разразился совершенно
неожиданно в 1897 г., и хотя сейчас с того времени прошло
более полувека, удовлетворяющее всех разрешение этого кри-
зиса не достигнуто до сих пор. Кризис был вызван открытием
парадоксов или антиномий в основах канторовской общей те-
ории множеств. Поскольку большинство разделов математи-
ки существенно использует теоретико-множественные поня-
тия и сама теория множеств поэтому может считаться осно-
вой этих разделов, то обнаруженные в теории множеств про-
тиворечия ставят под сомнение достоверность всей математи-
ческой науки в целом.
Первый из опубликованных парадоксов теории множеств
был обнаружен в 1897 г. итальянским математиком Бурали-
Форти (Burali-Forti) Мы не в состоянии воспроизвести этот
парадокс в том виде, в каком он был впервые открыт и опуб-
ликован, так как для этого потребовалось бы ознакомить чи-
тателя с соответствующими теоретико-множественными поня-
тиями и терминологией. Однако двумя годами позже Кан-
тор (Cantor) обнаружил очень похожий парадокс, описание
которого не требует привлечения слишком специальной тер-
минологии. При построении теории множеств Кантору уда-
лось доказать, что, каково бы ни было трансфинитное чис-
ло1 2, существует большее трансфинитное число и что наиболь-
шего траысфинитного числа не существует — точно так же,
как не существует наибольшего натурального числа. Рассмот-
рим теперь множество, элементами которого являются все
возможные множества. Очевидно, что такое множество всех
множеств содержит больше элементов, чем любое другое мно-
жество. Но если это так, то как может существовать транс-
1 С. В ura 1 i- Fo г t i. Una questions sui numeri transfiniti.—Rendiconti
del Circolo Matematico di Palermo, 11 (1897), 154—164.
2 По поводу понятия трансфинитного числа см., например, книгуз
П. С. Александров, А. Н. Колмогоров. Введение в теорию
множеств и теорию функций. М,—Л., Тостехиздат, 1948 (глава III),
32
финитное число, большее трансфинитного числа, которое со*
ответствует этому множеству?
В то время как парадоксы Бурали-Форти и Кантора по*
строены на результатах теории множеств, парадокс, открьь
тый в 1902 г. Бертраном Расселом, основан на одном лишь
определении множества. Прежде чем перейти к описанию па*
радокса Рассела, заметим, что множества либо являются
элементами самих себя, либо нет. Так, множество всех абс-
трактных понятий само является абстрактным понятием, а
множество всех людей не является человеком. Аналогично
множество всех множеств само есть множество, а множество
всех звезд звездой не является. Пусть М есть множество всех
множеств, являющихся элементами самих себя, г N — мно-
жество всех множеств, не являющихся элементами самих се*
бя. Попытаемся определить, является ли N элементом само-
го себя. Если N является элементом себя, значит N есть эле-
мент М, а не N. Поэтому N не является элементом самого се-
бя. С другой стороны, если N не является элементом самого
себя, тогда N есть элемент N, а не 7И, и N является элемен-
том самого себя. Таким образом, налицо парадокс, так как
всякий раз мы приходим к противоречию.
Парадоксу Рассела можно придать и иную, более ком-
пактную и немногословную форму. Пусть X означает любое
множество, Тогда по определению N
(X£N)+—+(X О¥).
В случае, когда х совпадает с N, мы приходим к противо-
речию
Об этом парадоксе Рассел сообщил Фреге, который только
что перед этим закончил последний том своего громадного
двухтомного трактата по основаниям арифметики. В компе
второго тома Фреге в волнующих и чрезвычайно сдержан-
ных выражениях подтверждает получение этого сообщения:
«Завершив свой труд, ученый обнаруживает несостоятель-
ность ИСХОДНЫХ ПОЗИЦИЙ — ВРЯД ЛИ МОЖНО ПрИДумаТЬ ЧТО-НИ’
будь более нежелательное. Именно в таком положении ока-
зался я после получения письма от м-ра Бертрана Рассела,
когда рукопись была почти готова к набору». Этими словами
Фреге заключает свой двенадцатилетний труд.
Популяризация парадокса Рассела осуществлялась во
многих формах. Наиболее известна форма, предложенная в
1919 г. самим Расселом: парикмахер некоторой деревни бе-
рет на себя обязательство брить всех тех и только тех жите-
лей деревни, которые сами себя не бреют. Парадоксальность
получившейся ситуации становится очевидной, стоит лишь за-
эз
дать вопрос: «Бреет ли себя парикмахер?* Если- он себя бре-
ет, то он не должен брить себя согласно- обязательству, если
же он не бреет себя, то он должен брить себя согласно обяза-
тельству.
Со времени открытия указанных противоречий в канторов-
ской теории множеств было найдено также много других па-
радоксов. Современные теоретико-множественные парадоксы
родственны некоторым древним логическим парадоксам. На-
пример^ Евбулиду, жившему в IV в. до н. э., приписывают
следующее замечание: «Утверждение, высказываемое мною,
ложно». Если это утверждение истинно, то согласно смыслу
этого утверждения оно ложно. С другой стороны, если оно
ложно, то оно оказывается истинным. Таким образом, любое
из двух предположений приводит нас к противоречию. По-
видимому, еще более ранним является неаутентичный пара-
докс Эпименида. Этому критскому философу VI в. до н. э.
приписывают высказывание: «Все критяне лжецы». Нетрудно
видеть, что высказывание это внутренне противоречиво.
Наличие в теории множеств парадоксов, подобных только
что рассмотренным, с очевидностью свидетельствует о том,
что не все здесь благополучно. Исследованию парадоксов со
времени их открытия посвящена огромная литература, при-
чем были предприняты многочисленные попытки преодоления
возникших противоречий.
Поскольку дело касается математики, выход из положения
кажется простым. Необходимо лишь перестроить теорию мно-
жеств, выбрав такую аксиоматику, при которой известные в
настоящее время антиномии не могли бы уже возникнуть.
Впервые соответствующая система аксиом была предложена
Цермело (Zermelo) в 1908 г., дальнейшие усовершенствова-
ния были сделаны Френкелем (Fraenkel, 1922, 1925), Сколе-
мам (Skolem, 1922, 1929), фон Нейманом (1925, 1928), Бер-
найсом (1937—1948) и другими. Указанный метод решения
проблемы не является, однако, вполне удовлетворительным:
устраняя известные противоречия, он вместе с тем не даег
никаких средств к объяснению парадоксов.. Более того, от воз-
никновения в будущем других парадоксов мы также не га-
рантированы. д
Существует другой подход, позволяющий одновременно и
устранить известные нам парадкосы и объяснить их. Если
внимательно проанализировать приведенные выше парадок-
сы, то легко обнаружить, что в каждом из них фигурирует
множество 5 и элемент т из S, определение которого зави-
сит от 5. Определения такого рода называются импредика-
тшзными; импредикативные определения являются в извест-
ном смысле круговыми. Рассмотрим для примера парадокс
Рассела с парикмахером. Обозначим парикмахера через т, а
множество всех жителей его деревни — через S, Тогда т оп-
31
ределяется импредикативно как «такой, представитель S, ко
торый бреет всех тех и только тех представителей S, кото*
рые сами себя не бреют». Круговой характер этого определе-
ния очевиден — в определении парикмахера фигурируют жи-
тели деревни, а сам парикмахер также является жителем де-
ревни.
Пуанкаре считал, что антиномии являются следствием им-
вредикативных определений; ту же точку зрения выражает
Рассел в своем «Принципе порочного круга»: никакое мно-
жество S не может содержать элементов пг, определяемых
лишь в терминах множества S, а также элементов пг, пред-
полагающих в своем определении это множество. Этот
принцип суживает понятие множества. Кантор пытался пред-
ставить понятие множества как значительно более общее:
под множеством S мы понимаем любую совокупность, объе-
диняющую в одно целое некоторые определенные различае-
мые объекты пг нашей мысли или интуиции; эти объекты пг
называются элементами S. Теория множеств, имеющая в ос-
нове канторовскую идею множества, приводит, как мы знаем,
к противоречиям; ограничение, высказанное в «Принципе по-
рочного круга», позволяет устранить все известные антино-
мии. Таким образом, в отношении известных парадоксов ре-
шение достигается исключением импредикативных определе-
ний. Существует, однако, одно серьезное возражение против
такого решения — дело в том, что импредикативные опреде-
ления используются в таких частях математики, отказаться
от которых было бы чрезвычайно трудно.
Примером импредикативного определения в математике
может служить определение точной верхней границы данного
множества действительных чисел — точной верхней границей
такого множества называется наименьший элемент множест-
ва всех верхних границ данного множества. /Можно привести
и другие примеры использования импредикативных определе-
ний в математике. Впрочем, в некоторых случаях от таких
определений можно отказаться. В 1918 г. Герман Вейль1 по-
пытался выяснить, в каких пределах можно построить анализ
генетически на основе системы натуральных чисел без исполь-
зования импредикативных определений. Хотя он и преуспел в
построении значительной части анализа, однако ему не уда-
лось доказать важную теорему о том, что всякое непустое
множество действительных чисел, имеющее верхнюю границу,
имеет также и точную верхнюю границу.
Другие исследователи, пытавшиеся разрешить парадоксы
теории множеств, считают, что основные трудности связаны с
логикой, и следует признать, что открытие парадоксов в неог-
1 Н. Weyl. Das Kontinuum: Kritische Untersucliungen iiber die Grund
lagen der Analysis. Leipzig. Gruyer, 1918.
35
раниченнон теории множеств заставило привнести всесторон-
ний анализ ©снов логики. Чрезвычайно -интригующим явля-
стоя предположение о том. что трудности, связанные с пара-
доксами, 'Могут быть преодолены с помощью трехзначной ло-
гики, Так, щапример, когда мы рассматривали парадокс Рас-
села, мы убедились, что утверждение «N есть элемент само-
го себя» не может быть ни истинным, ни ложным. На помощь
нам приходит третья возможность, и нетрудно спасти положе-
ние, приписав (утверждению значение истинности «?».
При «исследовании проблем, относящихся к основам мате-
матики, возникли три основных философских направления
или три школы —< так называемые логицизм, интуиционизм
и формализм. Естественно, что каждое из этих современных
направлений должно было выработать ту или иную програм-
му преодоления существующего кризиса основ математики.
*.В следующем параграфе мы вкратце познакомимся со всеми
тремя школами и расскажем о методах, предлагаемых ими
для преодоления антиномий общей теории множеств.
5, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО ФИЛОСОФИЯ ОБЪЯСНЯЕТ НАМ
наши знания, пытаясь отыскать некоторый смысл в естествен-
ном беспорядке этих знаний. С этой точки зрения можно го-
ворить о философии чего угодно — о философии искусства,
жизни, религии, образования, общества, истории, науки, ма-
тематики и даже самой философии. Философия представляет
собой процесс отшлифовывания и упорядочения наших знаний
и наших оценок; она отыскивает связи между явлениями, ко-
торые обычно кажутся совершенно не связанными, и обнару-
живает существенные различия в таких вещах, которые в
обыденной жизни мы принимаем за одно и то же; философия
есть теория, исследующая природу какой-либо области зна-
ния. В частности, основная задача философии математики за-
ключается в упорядочении или переосмыслении всей той хао-
тической массы математических знаний, которая накоплена
в течение столетий. Ясно, что философия меняется с течением
времени, и вновь приобретенные знания могут либо изменить
всякую в отдельности взятую философию, либо сделать ее ус-
таревшей. В этом разделе мы будем интересоваться лишь со-
временной философией математики, которая сформировалась
под влиянием текущего кризиса основ и последних достиже-
ний математической науки.
В настоящее время существуют три главных философских
направления, каждое из которых имеет свою большую лите-
ратуру и своих многочисленных приверженцев. Это уже упо-
минавшиеся три школы — школа логистов, виднейшими пред-
ставителями которой являются Рассел и Уайтхэд, интуицио-
нистская школа, возглавляемая Брауэром, и формалистская
школа, созданная в основном Гильбертом. Разумеется, сейчас
существуют и другие философские направления. Некоторые
из этих направлений независимы, другие являются различ-
ными комбинациями главных направлений, однако ни те, ни
другие не получили столь широкого распространения, и пред-
лагаемые ими усовершенствования являются значительно ме-
нее кардинальными.
Ниже мы попытаемся охарактеризовать каждую из трех
основных философских школ. Разумеется, ни объем настоя-
щей брошюры, ни самые ее цели не позволяют осветить пред-
мет с надлежащей всесторонностью; мы надеемся, однако, что
сумеем дать некоторое представление о современных фило-
софских школах, исследующих основания и основные понятия
математики.
(1) Логицизм. Согласно основному тезису логистов мате-
матика является частью логики. Из инструмента математика
логика превращается в первооснову всей математической на-
уки. Понятия математики должны быть выражены в терми-
нах понятий логики, а теоремы математики должны быть вы-
ведены из теоремы логики, и лишь с точки зрения чисто прак-
тических удобств имеет смысл отличать математику от ло-
гики.
Уже Лейбниц (1666 г.) трактовал логику как науку, ко-
торая заключает в себе основные принципы и идеи, лежащие
в основе всех прочих наук. Дедекинду (1888 г.) и Фреге
(1884—1903 гг.) впервые удалось выразить понятия математи-
ки с помощью понятий логики, а Пеано (1889—1908 гг.) об-
наруживает, что символический язык логики чрезвычайно
удобен для формулировки математических теорем. Назван-
ные ученые были прямыми предшественниками логистов, од-
нако по-настоящему логицизм начинается с появлением мо-
нументальных «Принципов математики» Уайтхэда и Рассе-
ла (1910—1913 гг.) В этой большой и сложной работе авто-
ры пытаются последовательно и строго свести всю матема-
тическую науку к логике. Идеи Уайтхэда и Рассела полу-
чили свое дальнейшее развитие в работах Витгенштейна
(Wittgenstein, 1922), Хвистека (Chwistek, 1924, 1925), Рам-
сея (Ramsey, 1926), Лангфорда (Langford, 1927), Карнапа
(Carnap, 1931), Куайна (Quine, 1940) и других.
Основной тезис логистов естественным образом вытекает
из стремления построить основания математики таким обра-
зом, чтобы дальнейшее сведение стало уже невозможным.
Мы видели, что основания математики тесно связаны с систе-
мой вещественных чисел, которую можно свести к системе на-
туральных чисел, а затем и к теории множеств. А поскольку
теория множеств является существенной частью логики, то
совершенно естественно возникает идея о сведении математи-
ки к логике. Таким образом, тезис логистов можно понимать
как попытку синтеза, к которому подводит определенная зна-
чительная тенденция в истории применения математического
метода.
В «Принципах математики» вводятся «первоначальные
идеи» и «первоначальные высказывания», соответствующие
«неопределяемым терминам» и «аксиомам» любого абстракт-
но-дедуктивного построения. Эти первоначальные идеи и вы-
сказывания не подлежат интерпретации и представляют
собой такие понятия логики, которые основаны на интуиции;
их следует рассматривать или во всяком случае принимать в
38
качестве неких (Правдоподобных описании и гипотез, кодека*
данных нам опытом. Короче говоря, мы переходим здесь от
абстрактного к конкретному и в связи с этим не пытаемся до-
казывать непротиворечивость первоначальных высказываний.
Целью авторов было построение математических понятий и
теорем на базе первоначальных идей и высказываний; при
этом имелось в виду начать с исчисления высказываний, пе-
рейти далее к исчислению классов и отношений и перестроить
систему натуральных чисел, а вместе с ней и все то, что мо-
жет быть из нее выведено. Построенная в «Принципах мате-
матики» система натуральных чисел обладает в точности те-
ми свойствами, которые мы ей обычно приписываем, а сами
натуральные числа вполне однозначно определяются при этом
как любые предметы, удовлетворяющие определенной систе-
ме аксиом.
Для преодоления противоречий теории множеств в «Прин-
ципах математики» строится так называемая «теория типов».
Теория эта, грубо говоря, устанавливает определенную иерар-
хию элементов. Некоторым первичным элементам приписы-
вается тип 0, множества элементов типа 0 является элемен-
тами типа 1, множества элементов типа 1 являются элемента-
ми типа 2 и т. д. Правомерным считается рассматривать лишь
такие множества, все элементы которых принадлежат одному
типу. Следование этому правилу исключает возможность им-
предикативных определений и тем самым позволяет избежать
противоречий. Поскольку в «Принципах математики» речь
шла также об иерархиях внутри иерархий, оказалось необхо-
димым разработать так называемую «разветвленную» тео-
рию типов.
Не имея возможности построить анализ, не пользуясь им-
предикативными определениями, авторы вынуждены были
ввести специальную аксиому — «аксиому сводимости». Одна-
ко произвольный и непримитивный характер этой аксиомы
вызвал серьезную критику оппонентов; в дальнейшем логисты
сосредоточили свои усилия в основном на построении такого
аппарата, который сделал бы ненужным пользование аксио-
мой сводимости.
Успехи логистов оцениваются по-разному. Некоторые счи-
тают их программу удовлетворительной, другие выступают с
многочисленными возражениями. Одно из этих возражений
связано, например, с тем, что систематическое построение ло-
гики (как и любой дедуктивной науки) само по себе предпо-
лагает некоторые математические идеи; такова, например,
важная идея итерации, используемая при построении теории
типов, или же идея дедукции из данных посылок.
(2) Интуиционизм. Согласно тезису интуищионистов мате-
матика должна быть построена с помощью одних лишь фи-
нитных конструктивных средств на основе системы натураль-
39
ных чисел, причем самая эта система считается известной из
интуиции. Таким образом, основы математики базируются на
интуиции, точнее на безусловно присущем интуитивном ощу-
щении сменяемости и последовательности событий, благодаря
которому, воспринимая некоторый объект, мы можем говорить
о следующем за ним объекте, затем о следующем за этим по-
следним объектом объекте и т. д. В результате мы получаем
различные бесконечные последовательности, в частности хо-
рошо известную последовательность натуральных чисел. Поль-
зуясь далее интуитивным представлением о последовательно-
сти натуральных чисел, мы обязаны построить все прочие ма-
тематические объекты уже чисто конструктивно, т. е. в конеч-
ное число шагов, путем привлечения конечного числа опера-
ций. Тем самым интуиционисты предлагают путь последова-
тельно генетического построения математики.
Интуиционистская школа была основана в 1908 г. голланд-
ским математиком Л. Е. Дж. Брауером (Brauwer), впрочем
основные идеи интуиционистов выдвигались и ранее, напри-
мер Кронекером (в 80-х годах прошлого века) и Пуанкаре (в
1902—1906 гг.). С течением времени интуиционистская школа
окрепла и разрослась, к ней примкнули многие выдающиеся
современные математики, и следует признать, что интуицио-
низм оказал громадное влияние на весь строй мысли, связан-
ный с вопросами оснований математики.
В некоторых своих частях интуиционизм является почта
революционным. Так, интуиционистские требования в отно-
шении конструктивного построения объектов приводят к опре-
деленному пониманию существования математических объек-
тов — пониманию, которое не разделяется большинст-
вом действующих математиков. Для интуициониста доказа-
тельство существования объекта заключается в конструктив-
ном построении объекта в конечное число шагов; если же из
факта несуществования объекта следует противоречие, то это
с интуиционистской точки зрения не считается еще достаточ-
ным доказательством. А отсюда следует, что неприемлемыми
оказываются многие доказательства современной математики.
Важной областью, на которую интуиционисты распростра-
няют свои требования конструктивности доказательств, явля-
ется теория множеств. Для интуициониста не существует мно-
жества в качестве некоей готовой совокупности элементов,
множество считается заданным лишь в том случае, если ука-
зан закон, который позволяет шаг за шагом построить все эле-
менты множества. Тем самым из рассмотрения исключаются
такие противоречивые множества, как «множество всех мно-
жеств».
Замечательно также и то, что требование конструктивных
доказательств приводит к отказу от общепринятого закона
исключенного третьего! Пусть, например, число х определено
40
следующим образом: если I есть &-я десятичная цифра в де-
сятичной записи числа л и вслед за нею идут цифры 2 3 4 5
6 7 8 9 в этой именно их последовательности, причем левее
й-го знака такой последовательности цифр нет, то х = (—1) к
в противном случае х=0. Й хотя число х определено теперь
вполне корректно, интуиционистские ограничения не позволя-
ют нам утверждать, что высказывание «х = 0» является либо
Истинным, либо ложным.. Про это высказывание можно ска-
зать, что оно истинно лишь после того, как будет указано со-
ответствующее доказательство, состоящее из конечного числа
шагов. Аналогичным образом исчерпывается вопрос о лож-
ности данного высказывания. Пока же никакое из двух, дока-
зательств не указано, высказывание не является ни истинным,
ни ложным и закон исключенного третьего оказывается не-
применимым. Однако если наложить дополнительное ограни-
чение, потребовав, скажем, чтобы k было меньше 5000, то то-
гда уже с полным правом можно утверждать, что наше вы-
сказывание либо истинно, либо ложно, поскольку при £<5000
истинность или ложность высказывания может быть установ-
лена в конечное число шагов. i
Интуиционисты, следовательно, отвергают закон исклю-
ченного третьего в случае бесконечных множеств, однако для
конечных множеств закон этот сохраняет силу. Брауэр ука-
зывает, что такое положение вещей обусловлено исторически-
ми причинами. Законы логики возникли тогда, когда люди
имели дело с конечными множествами, а впоследствии эти
законы были неосновательно распространены на бесконечные
математические множества, в результате чего и возникли про-
тиворечия.
В «Принципах математики» закон исключенного третьего
равносилен, закону противоречия. У интуиционистов дело об-
стоит не так — в связи с этим представлялось интересным
построить логику, основанную на интуиционистских идеях.
Эта задача была выполнена Рейтингом^ который в 1930 г. за-
вершает построение интуиционистской символической логики.
Таким образом, интуиционистская математика привела к со-
зданию логики нового типа, и можно поэтому говорить о том,
что сама математическая логика является разделом матема-
тики. ..
Существует один важный, решающий'вопрос: в каких гра-
ницах можно построить современную математику, если вве-
сти предлагаемые ’интуи’ционйстами ограничения? Если ’бы ,
оказалось, что вся математика может быть, перестроена на ин-
туиционистской основе и это не привело бы к слишком з на 7м*4
тельным усложнениям, то проблему основ математики можно
было бы считать решенной. Интуиционисты преуспели в по-
строении значительной части современной математики, в
частности теории континуума й теории множеств, однако мно-
41
гое еще не сделано. Пока что интуиционистская математика
оказалась менее мощной по сравнению с классической’ мате-
матикой, а ее построения — более трудоемкими. В этом ос-
новная беда интуиционизма — слишком многое из того, чтз
дорого большинству математиков, приносится в жертву. Од-
нако такое положение вещей должно измениться, поскольку
существуют и другие, более эффективные способы построения
интуиционистской математики. И, кроме того, несмотря на
многочисленные возражения, которые выдвигаются противни-
ками этой школы, повсеместно считается, что интуиционист-
ский метод не может привести к противоречиям *.
(3) Формализм. Согласно формалистскому тезису матема-
тика имеет дело с формальными логическими системами и
представляет собой совокупность абстрактных построений,
причем математические термины и утверждения суть соответ-
ственно символы и формулы, включающие эти символы;
первоначальная основа математики лежит не в логике, а сво-
дится к одним лишь знакам или символам, существующим не-
зависимо от логики, и к операциям над этими знаками. По-
скольку формалисты лишают математику какого бы то ни бы-
ло конкретного содержания, они оказываются перед необхо-
димостью доказывать непротиворечивость каждой математи-
ческой теории. Без соответствующих доказательств непроти-
воречивости вся формалистская программа становится бес-
смысленной. Формалисты предлагают, таким образом;, после-
довательно аксиоматическое построение математики.
Формалистская школа была основана Давидом’ Гильбер-
том в связи е завершением последним аксиоматического изу-
чения геометрии.. В своих «Основаниях геометрии» Гильберт
переходит от материальной аксиоматики Эвклида к современ-
ной формальной аксиоматике. Формалистские идеи, развитые
позднее Гильбертом, были выдвинуты им в качестве средст-
ва преодоления кризиса основ, вызванного теоретико-множе-
ственными парадоксами, и в ответ на выступление интуицио-
иистов, бросивших вызов классической математике. Форма-
листская концепция возникла у Гильберта еще к 1904 г., но
лишь начиная с 1920 г. Гильберт и его сотрудники Бернайс,
Аккерман (Ackermann) и фон Нейман приступают к серьезной
разработке формалистской программы.
Спасение классической математики на пути, указанном
Гильбертом, зависит от решения проблемы непротиворечиво-
* С интуиционистской школой читатель может познакомиться по кни-
ге: А. Рейтинг. Интуиционизм. М., «Мир», Ю65. На русском языке
существует также сборник статей одного из основоположников этого на*
правления—Г. Вейля (см. Г. Вейль. О философии математики. М,—Л.,
Гостехтеориздат, J934). Следует отметить, что дальнейшее развитие инту-
ционистских идей привело к появлению так называемой, конструктивной
школы в основаниях математики, имеющей горячих приверженцев и в на?
шей стране,
42
сти. Именно доказательство непротиворечивости гарантирует
нас от возможности возникновения противоречий, однако до
Гильберта такие доказательства базировались на отыскании
содержательной интерпретации, и тем самым доказательство
непротиворечивости какой-либо области математики упира-
лось в доказательство непротиворечивости какой-либо другой
ее области. Таким образом, доказательства методом интер-
претаций имели лишь относительную ценность. Гильберт пред-
ложил новый, прямой путь. Наподобие того, как в игре прави-
ла игры позволяют доказать невозможность возникновения
какой-либо игровой ситуации, точно так же соответствующим
образом подобранные правила вывода формул позволяют
(по Гильберту) доказать невозможность возникновения про-
тиворечивой формулы. В обозначениях логики, которые знако-
мы нам по предыдущим разделам этой главы, противоречивая
формула записывается в виде F/\F', где F — любая форму-
ла системы. Доказательство непротиворечивости сводится, к
доказательству невыводимости противоречивой формулы.
Развивая1 свою концепцию непосредственного доказатель*
ства непротиворечивости, Гильберт приходит к теории, на-
званной им «теорией доказательств». Гильберт и Бернайс при-
ступают к подробному изложению этой теории и на основе ее
пытаются построить доказательство непротиворечивости всей
классической математики — так возникают знаменитые «Ос-
нования математики», явившиеся как бы своего рода «Прин-
ципами математики» формалистской школы. Первый том «Ос-
нований математики» был опубликован в 1934, а второй — в
1939 г., однако по мере написания трактата возникали все пс--
вые непредвиденные трудности, и завершить теорию доказа-
тельств оказалось невозможным. Были получены доказатель-
ства непротиворечивости для некоторых простейших систем—
тем самым Гильберт показал, каковы те доказательства не-
противоречивости, которые он хотел бы распространить на всю
математику, однако для формальной системы в целом про-
блема непротиворечивости оставалась нерешенной.
В действительности план Гильберта, по крайней мере в той
форме, в какой первоначально представлял его себе сам Гиль-
берт, оказался обреченным на неудачу; это обстоятельство
было обнаружено Куртом Гёделем (Kurt Godel) в 1931 г., т. е.,
еще до опубликования «Оснований математики». Пользуясь
безукоризненно строгими методами, одинаково приемлемыми
для представителей всех основных философских направлений,
Гёдель доказал, что в случае такой широкой формализован-
ной дедуктивной системы, какой является гильбертова систе-.
ма, охватывающая всю классическую математику, доказа-
тельство непротиворечивости невозможно провести средства-
ми одной лишь этой системы. Этот замечательный результат
является следствием еще более общего утверждения: Гёдель
43
доказал неполноту гильбертовой системы, т; е. обнаружил
внутри системы ряд «неразрешимых» проблем — одной из
шн как раз и оказалась проблема непротиворечивости. Ука-
занные теоремы Гёделя в техническом отношении чрезвычай-
но сложны, и мы не имеем возмЬ&ности их здесь рассматри-
вать. Результаты Гёделя, принадлежащие безусловно к числу
наиболее выдающихся достижений современной математики,
устанавливают непредвиденную ограниченность формалист-
ских методов. Из теорем Гёделя следует, «что финитными ме-
тодами, формализованными внутри формальной системы, ад-
знатной в определенном смысле современной математиче-
ской науке, невозможно провести доказательство непротиво-
речивости, а системы, позволяющие осуществить такое дока-
зательство, не удовлетворяют свойству адэкватности»
1 F. De S u a. Consistency and completeness—a resume (Ф. Де Суа, Не-
m отизоречизость и полнота — резюме) — American Math. Monthly, 63
( Г<с, р 195 3^5. Автор приводит также следующий любопытный пример:
с 3 религией в широком смысле слова мы условимся называть
всякую дисциплину, основания которой базируются на вере, вне зависн-
млети от того, чем именно эта вера вызвана. Квантовую механику, на-
пример, мы вынуждены будем считать религией. Математика также ока-
жется религией, однако она занимала бы особое место среди прочих рели-
гий: право называться религией нуждается в обосновании, и только мате-
матика располагала бы внутренними средствами, достаточными для про-
вцдеНкН соответствующего доказательства».
ЗАДАЧИ
1.1. С помощью таблиц истинности доказать законы логики, приведен-
ные в таблице 7 § 1.
1.2. С помощью таблиц истинности определить, какие из приведенных
ниже высказываний являются тавтологиями, а какие нет:
(«) (р л 9)~* р.
(О (pvj)-> р.
(«) (р' -> р) -* Р-
(г) (р Л 9) <--> (9 Ар).
(О f Р - (9 Л г)] *--> [(р -* q) Л (р -> г)],
(«О [р Л (q V г)] *--► [(р /\q)V (р Л г)].
(ж) [(р Л q') -> р') (р-+ q).
(?) [(р -* 9)~> г]-> [р- (9-* г)].
1.3. Пусть Р означает сложное высказывание, составленное из п эле-
ментарных высказываний. Показать, что таблица истинности для Р содер-
жит 2п строк.
1.4. Доказать логическую эквивалентность пар высказываний, приве-
денных в таблице 8 § 1.
1.5. Записать следующие высказывания с помощью только дизъюнк-
ции и отрицания:
(<z) (р V р)-> р.
(О 7-* (р v q)-
(в) (р V <?)-* (9 Vp).
(г) (?-* г)-* f(p V 9)-> (р V г)].
(О [р v (q V г)Н [9 V (р V Г)].
1.6. Пусть или в разделительном смысле обозначается символом V,
так что «р V <?» означает «р или q, но не оба». Показать, что высказыва-
ние р V q можно записать как
Й) (р V q) Л (р Л ?)',
(О (P Л 9') V (р' Л 9).
1.7. С помощью таблиц истинности проверить логическую эквивалент-
яссть следующих пар высказываний.;
(в) (Р Л 9)'
(tf) (Р V 9)'
(в) (р-> q}'
(г) (р *-->• q}‘
((>) (Р *--> Я)'
и р' V 9'.
и р' л 9'.
и р М)'.
и р > 9х
и р' *—+ q,
45
1.8. Отрицания следующих высказываний привести < виду, в котором
знак отрицания относится только непосредственно к высказываниям р,
О) Р’ * <Л
(О (р + q) Л г.
(в) (р Л q) V г.
(г) />- q'.
(О р’ {р д 7').
(е) (р V q) Лр.
1.9. В связи с высказыванием р q рассматриваются следующие три
«гысказывания: 1) q-+р (обратное), 2) р' -> qf (противоположное),
3) q' -> р' (противоположное обратному). Показать, что
а) обратное истинному высказыванию не всегда'истинно,
б) противоположное истинному высказыванию не всегда истинно,
в) противоположное обратному истинного высказывания всегда ис-
тинно,
г) высказывание, противоположное обратному, совпадает с высказы-
ванием, обратным противоположному,
д) если высказывание и обратное ему истинны, то и противоположное
также истинно,
е) если высказывание и противоположное ему истинны, то и обрат-
ное также истинно.
1.10. Написать обратное, противоположное и противоположное обрат-
ному для следующих высказываний:
a) q-* р, б) р' -+ я' > в) q' -* р’ > t)p-+q', д) р' * q.
•1.ГЕ В математике теоремы обычно формулируют следующим обра-
зом: 1) «для того чтобы р было истинно, необходимо, чтобы q было ис-
тинно», 2) «:для того чтобы р было истинно, достаточно, чтобы q было ис-
тинно», 3) «для того, чтобы р было истинно, необходимо и достаточно,
чтобы q было истинно». По определению эти три формы означают соот-
ветственно:
!)/>-* 9. (Ъ) q-+р, (3) (р-> я) р).
а) Показать, что 3 эквивалентно/? <—>д.
б) Показать, что для установления необходимого и достаточного ус-
ловия истинности р, нужно доказать некоторую теорему и ей обратную.
1.12. Если последний столбец таблицы истинности некоторого сложно-
го высказывания состоит только из Л, то такое высказывание называет-
ся тождественно ложным. Если в последнем столбце содержится как И,
так и Л, то высказывание называется выполнимым.
а) Показать, что высказывание р/\р' тождественно ложно.
б) Показать, что высказывание [(/? Ag)^> q]' тождественно ложно.
в) Показать, что отрицание тождественно ложного высказывания яв-
ляется тавтологией.
г) Показать, что высказывание //А д'А г' вьшолнимох
д) Показать, что высказывание /? vgvг выполнимо.
е) Показать, что отрицание выполнимого высказывания выполнимо.
1.13; Показать, что отрицание нельзя выразить с помощью A, V,->.
1.14. Пусть p/q означает р' V qf.
а) Показать, что р/р логически эквивалентно р'.
б) Показать, что (р/р)/ (q/q) логически эквивалентно ,р V q.
в) Выразить V с помощью только /.
г) Выразить -> с помощью только /.
д) Выразить <—► с помощью только /.
2 1. Установить следующие вспомогательные полезные правила полу-
чения тавтологий из данных тавтологий в исчислении высказываний.
45
gfy П5: Если ту т тавтология, то т — тавтология.
б) П6: Если tn — тавтология, а р любое высказывание, то рУ tn—
тавтология.
в) П7: Если ту п — тавтология, то пут — тавтология^
т) <18: Если т -* п— тавтология, а р — любое высказывание, то
(/?Vw)->(pVn) — тавтология.
EI9: Если /?-* #, <7^/*-—тавтология, то р->г — тавтология.
2.2. (а) Показать, пользуясь таблицей истинности Для импликации,
что «если р и р-> q истинны, то q истинно».
&) В силу (а) аксиома L4 утверждает, что «если р или р истинно, то
р истинно». Дать аналогичную интерпретацию аксиом L2, L3, L4 и теорем
1, 2 к 3.
2.3 Показать, что если по определению р означает qt то p-*q —
тавтология.
2.4. Можно доказать следующее правило П10: Если/л—># — тавто-
логия, то при замене в произвольной тавтологии любого вхождения р на
q мы снова -получим тавтологию. Пользуясь этим правилом, доказать
а) Теорему 15.
б) Теорему 23.
2.5. (а) Показать, что высказывание (Р~> q')-+ (q_^p') является тав-
тологией.
б) Доказать теорему 16.
Если т <-->п — тавтология, то п тавтология. z
2.6. (а) Доказать теорему 21.
Ф) Показать, что доказывание р-+ (pvq)-^ тавтология.
®.) Доказать теорему 22.
2.7. Проверить, что аксиомы булевой алгебры переходят в тавтологии
при интерпретации, приведенной в конце § 2.
О. В какие тавтологии переходят следующие соотношения булевой
алгебры:
И вй<»П4в(«пЧП«‘
a-f] % = Ъ п а.
(в) а f] а — а.
(г) а п LJ Я = ah
2.9. (а) Что соответствует импликации а^Ь в булевой алгебре?
б^ Что соответствует отношению -включения в исчислении вы-
сказываний?
2.10. Получить новые тавтологии из Данных по принципу двойствен-
ности:
(а) [(р Л //) V ?] *--* q.
(6) (Р V <?) *--* (р’ Л q'Y.
3 1. Построить таблицы истинности для дизъюнкции в грехзначной ло-
гике, выражая pyq как (р' Л$')' и используя:
а) Таблицы 11 и 13;
б) Таблицы 11 и 14;
в) Таблицы 12 и 13;
г) Таблицы 12 и 14.
3.2. Построить таблицы истинности для импликации в трехзначной
логике, выражая q как {p/\q'Y и используя;
а) Таблицы 11 и 13;
б) Таблицы 11 и 14;
в) Таблицы 12 и 13;
г) Таблицы 12 и 14.
3.3. Проверить, что для отрицания можно построить в точности Т2
различных таблиц истинности в трехзначной логике.
3.4 (а) Показать, что для таблицы истинности 13 [(р')Т принимает
всегда то же значение, что и р.
б) Показать, что для таблицы истинности 14 (р')' принимает всегда
то же значение, что и р.
3.5. Аналогично тому, как было подсчитано в § 3 общее число всевоз-
можных различных трехзначных логик (3072), подсчитать общее число
всевозможных различных m-значных логик.
3.6. Предположим, что при определении импликации р-> q требуется,
чтобы из одновременной истинности р и q вытекала истинность q.
Сколько тогда имеется способов определения импликации (а) в двузнач-
ной логике? (в) в трехзначной логике?
4.1. Рассмотреть парадокс Рассела в следующих его популярных фор-
мах:
а) Каждый муниципалитет некоторого государства имеет своего мэ-
ра, и у разных муниципалитетов разные мэры. Некоторые мэры не прожи-
нают в своих муниципалитетах. Выпущен закон, по которому все такие
мэры обязаны проживать в некотором специальном районе А, и никто
другой не должен там проживать. В А оказалось так много мэров, что А
был провозглашен муниципалитетом. Где должен проживать мэр муници-
палитета А?
б) Прилагательные русскогд языка подразделяются на самопримени-
мые, т. е. применимые к самим себе, и на несамоприменимые, т. е. все
прочие. Так, прилагательные «русский», «многосложный» являются само-
применимыми, а прилагательные «французский», «односложный» являются
। несамоприменимыми. Спрашивается, в какой из двух классов попадает
прилагательное «несамоприменимый»?
в) Может ли библиотекарь составить для своей библиотеки библио-
графию в точности тех библиографий библиотеки, которые не перечисля-
ют самих себя?
4.2. Рассмотреть следующий парадокс; Каждое натуральное число
можно выразить в обычном русском языке без помощи нумерических сим-
волов. Так, для выражения числа 5 можно использовать такие словосоче-
тания, как «пять», «половина десяти», «второе по порядку нечетное про-
стое число», «арифметический квадратный корень из двадцати пяти» и
так далее. Введем теперь словосочетание «наименьшее натуральное чис-
ло, которое не может быть выражено менее чем тринадцатью словами».
Это словосочетание из двенадцати слов выражает натуральное число, ко-
торое не может быть выражено менее чем тринадцатью словами.
4.3. Рассмотреть следующие логические дилеммы:
а) Крокодил обещает вернуть похищенного им ребенка отцу, если тот
угадает, вернет крокодил ребенка или нет? Что делать крокодилу, если
отец заявит, что крокодил не вернет ребенка?
б) Путешественник был схвачен людоедами, которые предоставили
ему возможность произнести какое-нибудь высказывание, с условием, что
если это высказывание окажется истинным, то его сварят, а если — лож-
ным, то зажарят. Что делать людоедам, если путешественник заявит «Вы
меня зажарите»?
4.4. Показать, что утверждение «Каждое общее правило имеет исклю-
чения» внутренне противоречиво.
4.5. Рассмотреть такие вопросы:
а) Сокрушит ли всесокрушающая сила несокрушимое препятствие?
6) Если Зевс всемогущ, то может ли он сотворить камень, который
он не в состоянии поднять?
9 коп.
Индекс
70096
ТЕМ, КОГО ИНТЕРЕСУЕТ
ФИЗИКА И АСТРОНОМИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ» ПРЕДЛАГАЕТ СЕРИЮ НАУЧНО-
ПОПУЛЯРНЫХ БРОШЮР
«ФИЗИКА, АСТРОНОМИЯ»
Эти книжки в популярной форме познакомят вас с новей-
шими успехами ядерной физики, достижениями в области
физики твердого тела, астрофизики, космологии.
ГИНЗБУРГ В. Л„ акад. КАК УСТРОЕНА ВСЕЛЕННАЯ
И КАК ОНА ИЗМЕНЯЕТСЯ ВО ВРЕМЕНИ.
СЕДОВ Л. И., акад. НАУКА, КОСМОНАВТИКА И ОБ-
ЩЕСТВО.
ЩЕЛКИН К. И., член-корр. АН СССР. ДЕТОНАЦИЯ.
ФРИШ С. Э, член-корр. АН СССР. СОВРЕМЕННАЯ
ОПТИКА.
ГУРЕВИЧ Л. Э„ профессор. ТЕОРИЯ ОТ НОСИТ ЕЛЬ
ПОСТИ В КАРТИНЕ МИРА.
Вог те работы, которые получат подписчики серии «Физи-
ка, астрономия» во втором полугодии 1968 года.
Всего в год выходит 12 брошюр.
Подписка на эту серию производится как на газеты или
журналы в любом отделении «Союзпечати».
В каталоге вы найдете серию «Физика, астрономия» в разделе
«Научно-популярные журналы» под рубрикой «Брошюры изда-
тельства «Знание».
Стоимость подписки на квартал-27 коп.
ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ НА СЕРИЮ «ФИЗИКА, АСТРОНОМИЯ»!
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ •