КИРЮШИН
ВЫЧИСЛЕНИЯ НН СЧЕТНО
6-е ИЗДАНИЕ, исправленное и дополненное
Центр. Т-во „КООПЕРАТИВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО41 М о с н в а—19 2 5 г.
г 4
П Р Е Д И С
Л О В И Е.
основу настоящего издания
были положены 4-й и 5-й вы-
пуски «Вычисления на счетах». Весь материал этих выпусков •был подвергнут автором основательному пересмотру и, где' надо,
переделке. В связи с обязательным введением у нас метрических
мёр и весов, коренным образом изменена тлава о мерах. Пара
графы с действиями над именованными числами русской системы мер исключены. Глава об умножении в некоторых местах дополнена введением нового материала и добавочных об‘яснений при
емов умножения.
Порядок распределения материалов и показательный метод выкладок на счетах сохранен прежний.
Так как быстрота и верность вычислений достигается путем упражнений на счетах, то главное внимание в этой книге уделено практической стороне дела; теоретическим же вопросам здесь уделено внимание только в самых необходимых случаях.
Книга эта имеет в виду познакомить читателя с. техникой упрощенного вычисления. Но чтобы достигнуть плодотворных результатов, нельзя ограничиться одним прочтением книги,—необходимо в строгой последовательности проделать и твердо усвоить основы технического выполнения показанных в книге примеров. Чтобы работа не пропала даром, рекомендуется переходить к последующему только после основательного закрепления предыдущего.
Особенно большое значение придается здесь умножению, как наиболее трудному и в то же время самому необходимому предмету знания для деловой жизни.
Умелое пользование техническими приемами и разумное их обобщение в работе создают условия, при которых математическая выкладка практических примеров выполняется на счетах значительно. быстрее письменной, а этого достаточно, чтобы судить о пользе такого знания.
Все денежные единицы в книге обозначены в довоенной валюте.
Еф. Кирюшин;
I.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Предисловие. ...................................... 3
Счетные приборы и торговые счеты................... 9
-Устройство торговых счет. ......................  11
Целые числа.
Выражение чисел на счетах......................  .	13
•Сложение ..................................... .	17
Вычитание.......................................   23
Умножение на однозн. и двузн. множителя помощью совмести, умножения на 10, 100, 1000 и деления
МН 2^	27
Упрощенные приемы умножения.
множение на 22,			33,	44,	55, 66,	77, 88.		
»	»	18,	27,		45, 54,	63, 72,	81, 90 .	• • ♦
»	чис.		, дес. котор.			равны,	а ед. в сум. дают		10 .
»	»				»			5 .
»	»	»				»		15 .
»	»	ед			».	дес.	» »	100‘.
»	»	»		»		»	» »	50 .
	»	»		»		»		150 .
»	»	»		»				ПО .
» двузн. и трехзначн. чис., оканчив. на 1 . .
»’ чис. из котор. одно б., а другое м. третьего чис.
» одинаков, чисел, оканчивающихся на 5 . .
[if
Нахождение квадрата сумм............
»	» разности. . . .
» квадратов от 11 до 30 .
»	»	»	30	»	50
»	»	»	40	»	60	.
»	»	»	25	»	1000	.
40
42
43
44
45
46
46
47
49
49
50
51
54
55
56, 58
59
59
60
Умножение на 2»/г, 5,12*/а, 25,37‘/2,50, 75,125,250,625, 3125. 63: »	»	числа, оканчив. на/г................	64
»	»	11, 111, 1111 И Т. Д. ..........	65
»	»	числа, сосгавл. из неск. один. цифр. . .	60
»	»	11 на 11,111 на 111,1111 на 1111 ит. д.. .	66
»	»	трехзначн. множит., кратн. 11 .....	67
»	»	9, 99, 999 и числа, близкие к ним....	68
»	» многозначного множителя............ 69
Поверка умножения .............................. 74
Деление (на одиозна ян. и многозн. делителя). ....	78
» упрощенное (различные случаи). ....	.	85
Поверка деления. ............................... 90
, <
Простые дроби.
Краткие понятия о простых дробях........
Сокращение дробей.......................
Приведение » к одному знаменателю . .
Нахождение части данного числа. ......
» целого числа по данной его части . . Сложение простых дробей . . . ............
Вычитание	.	»	»	....	.......
Умножение	»	»	.....................
Деление	»	»	...................
Десятичные дроби. ' 
Краткие понятия о десят. дробях. .........  .
Расположение десят. дробей на счетах..........
Сложение десятичных дробей............... . . .
Вычитание »	. » . ....................
Умножение	»	»	............
Деление	»	»	... ................
Обращение простых дробей в десятичные. ......
1 •
Приложения.
Именованные числа.
О системе мер................... Сокращенные обозначения метр, мер . . . ... . . Соотношения между метрическими и русск. мерами. Таблицы для перевода мер и весов. ......
Монетные единицы важнейш. государств ...... Сведения из геометрии (площ., поверх в. и об'емы). ’
Правила решения задач.
Тройное правило. .......................
Цепное правило . . -. . • . ... ........
Пропорциональное деление. ..............
Правило смешения. ......................
91
93-
93
94
94
96
98
99
102
104 f05 106
107 107
109 110
124
126
9
Г
130'
, 132 '
135-
1
— 7 —
✓
Процентные вычисления.
Проценты и промилли со ста................	. 137
Практический способ вычисления целых процентов . . 139
Вычисление проц, с состава, именованных чисел. . . 140
Проценты на сто..........................  141
Проценты во сто........................... 142
Вычисление интересов за	годы	............. 143
»	»	»	месяцы.................143
»	»	»	ДНИ...................144
»	» '	»	» постоянным делителем. . 144
» капитала, времени и проц, таксы............146
Сложные проценты.................................. 147
Учет векселей....................................  149
Сведения из коммерч, арифметики.
Товарные вычисления ............................151
Вычисления в фактурах и продажи, счётах.........152
Калькуляции................................. .	. 154
• Вычисления в текущих счетах....................157
Таблица сложных процентов....................  .	162
Сравнительная таблица ценности монет в государствах. 163
Счетные приборы и торговые счеты.
Когда именно появились русские счеты, в точности неизвестно. Существует предположение, что идея устройства
их позаимствована от китайских счет «Суан-Пан» в XVI сто-
летии купцами Строгановыми,
жившими на границах Си-
бири. Отсюда с XVII века прибор под названием «дощаного счета» и стал распространяться по России.
В поисках более удобных способов арифметических вычислений, люди всех культурных стран изобретают самые разнородные счетные приборы, машины и аппараты. Благодаря технике, современная контора обзавелась арифмометром, счетчиком и проч. Однако, сложность механизма счетной машины, дороговизна стоимости, быстрая порча и прочие
недостатки ее говорят в пользу русских счет; до сих пор еще никто не придумал иного счетного прибора, остроумнее и проще их.
Но счеты наши еще далеко не во всей полноте использованы в обиходе трудовой жизни. Весьма многие ограни
чиваются только сложением и вычитанием, а для умножения и деления прибегают к письменному методу, и тем самым
затрачивают много лишнего времени; между тем счеты дают полную возможность всякому делать безошибочно и скоро какие угодно арифметические вычисления и при том чисто механическим- путем.
Иногда высказывается суждение, что человек, привыкнув
к механическим выкладкам, совершенно , забывает технику письменного вычисления. Поэтому, некоторыми считаете# более целесообразным пользоваться письменным способом
и таблицами с готовыми вычислениями.
— 10 ——
Едва ли такое .суждение верно. Дело в том, что принцип выкладок на счетах покоится именно на основах письменного метода вычислений, а потому первый есть только дальнейшее развитие второго в применении к практическим целям.
Устройство торговых счет.
Г. Торговые счеты представляют собою всем хорошо известный предмет, а потому распространяться об устройстве их не приходится.
По своему размеру счеты могут быть большими и малыми; число параллельных проволок в счетах может быть различно; однако, преимущество за такими счетами, у которых больше проволок с более ^крупными костями. Счеты этого рода дают возможность складывать, вычитать, множить и делить многозначные числа с наибольшей гарантией от ошибок.
То, что надето на параллельных проволоках, называется на практике костями, шариками, костяжками и т. п.; мы в этой книге будем называть во всех счучаях костями.
Для удобства отсчитывания известного числа передвигаемых костей, на каждой проволоке дйе средних кости обыкновенно окрашиваются в черный цвет.
2.	Счеты разделяются на две части—верхнюю и нижнюю. Вся верхняя часть состоит из проволок по 10 костей на каждой; на ней располагаются именованные и отвлеченные числа. Нижняя часть состоит всего из четырех проволок (две по 10 и две по 4 кости); эта часть назначается для счисления разного рода мелких единиц именованных чисел, главным образом копеек и гривенников.
3.	В основание устройства счетов положена идея десятичного счисления, заключающаяся в том, что каждые десять единиц нисшего разряда составляют новую счетную единицу следующего—высшего разряда. Поэтому, на каждой проволоке счетов, кроме 1-й и 4-й, надето по 10-ти
12
костей, т.-е. столько штук, сколько в каждом разряде числа находится единиц.	. -	.
На 1-й и 4-й проволоках по четыре кости (§ 2).
Значение костей на проволоках.
4.	В наших счетах кости на проволоках имеют следующие значения, которые необходимо заучить, начиная снизу
Проволоки.
Значение проволок.
вверх.
...15-я Десятки миллиардов руб. и др. мер.
...14 , Миллиарды	„	»	„
...13 „ Сотни миллионов „	„	п
.,12 „Десятки „	„
..11 „ Миллионы	„	„
...10 „ Сотни тысяч	„	п	п
..9 „ Десятки „	„	> „
..8 „ Тысячи	.	„
..7 . Сотни	„	„	„
..6„ Десятки	„	„	„
..5. Единицы	„	„
..4 „ Четверти др. мер	„	„
..3 „ Десятки копеек (гривенники).
..2 „ Единицы „	•
..1„ Четверти копеек и др. мер.
5.	Все кости каждой проволоки, на которых их по десяти, по своему .значению равны одной кости, следующей за ней верхней проволоки. Обратно: каждая кость данной проволоки равна всем костям следующей за ней нижней проволоки. Четыре кости 1-й и 4-й проволок также равны
одной кости следующей верхней проволоки.
6.	При вычислениях кости передвигаются правой рукой» для этой цели счеты должны лежать против правого плеча
считающего. Быстрота передвижения костей на счетах зави
сит от навыка. Начинающим полезно с первых же приемов
приучить себя класть кости (передвигать их справа налево)
средним пальцем правой руки, так как этот палец у нас длин-
вее верх остальных, а скидывать кости (передвигать их слева направо) большим пальцем той же руки.
' При дальнейших практических упражнениях считающие настолько развивают руку, что нередко работают всеми пальцами.
Выражение чисел на счетах.
значение которых
7.	Прежде чем начать производить какие-либо арифметические действия на счетах, необходимо научиться изображать на ник числа при помощи костей, нам уже известно (§ 4).
Как известно, на бумаге числа пишутся в горизонтальном направлении: сначала пишутся единицы самого старшего разряда, затем единицы в десять раз меньшие, еще в . десять раз меньшие и т. д., напр.—в числе 536 написаны сначала сотни, потом десятки и, наконец, единицы.
На счетах число не пишется, а изображается или выкладывается при помощи костей; последовательность та же, т.-е. сначала кладут единицы самого старшего разряда, затем единицы в десять раз меньшие, еще в десять раз меньшие и т. д, но отдельные цифры числа располагают в вертикальном направлении.
Обращаем внимание начинающих на схематическое расположение чисел на стр. 13 и 14: слева дается число написанное, а справа показано в рамке, как это самое число должно быть раположено на счетах- при помощи костей.
ПРИМЕР Ы.
1)	Триста пятьдесят четыре.
На бумаге:
На счетах:
в
3 5 4
Сотни.
Десятки. Единицы.
— 14 —
2)	Шестьдесят пять тысяч восемьсот шестьдесят три.
На бумаге:		На счетах:	
6 5 8 6 3	6		мам		Дес. тысяч.
	5		 			Тысячи.
	8				Сотни.
S’  ~ S	6		ям 		Десятки.
g м ” “ • г? ш в? ® й 2 н о н EtH о	3		м		Единицы.
з)	Пять миллионов шестьдесят три тысячи семьдесят.
На бумаге:
На счетах:
5 0 6 3 0 7 0
5.....
0..Л.
6.....
3.....
о.....
7... .
0.. ...
им....
......
.........
а.....
Миллионы.
Сотни тыс. Десят. .»" Тысячи.
Сотни.
Десятки.
Единицы.
Прочесть числа, если на счетах положены кости:
а)	на седьмой проволоке 5, на шестой 8 и на пятой 9;
б)	на девятой проволоке 3, на восьмой 7 и на шестой 1. Отв. а) 589, б)-370100.
8.	Теперь выполним изображение данных в § 7 чисел.
Так как 354, 65863 и 5063070 числа отвлеченные, то:
а)	кладем на седьмой проволоке 3 кости, на шестой 5, и на пятой 4; получим (пример 1) число 354;
б)	кладем на девятой проволоке 6 костей, на восьмой 5 на седьмой 8, на шестой 6 и на пятой 3 кости; получим (прим. 2) число 65863;	,
в)	кладем на одиннадцатой проволоке 5 костей, десятую пропускаем (нуль), на девятой кладем 6, на восьмой 3, седьмую пропускаем (нуль), на шестой кладем 7 и пятую пропускаем (нуль); получим (прим. 3) число 5063070.
— 15 —
9.	Для достижения наибольшей быстроты изображения на счетах любого числа следует помнить, что линия, проходящая между всеми черными костями, делит пополам каждый десяток костей на проволоках. Поэтому, надо с самого начала привыкнуть класть и скидывать желаемое число костей моментально, т. е. без лишней траты времени на перечет их.
Положенное на счетах число надо научиться прочитывать так же быстро, как и на бумаге, а потому необходимо с большой осторожностью определять старший разряд числа. При этом следует обращать внимание на пустые проволоки (нули), иначе легко 1 принять за 10, а 10 за 100 или прочесть 35 вместо 350 и наоборот.
Начинающим рекомендуется положенное число списывать на бумагу и, таким образом, сличать как число цифровых знаков с числом занятых проволок, так и самые цифры числа с количеством положенных костей.
10.	При изображении на счетах рублей и копеек кладут (§ 4) рубли на верхней части, счет, а копейки на нижней: десятки копеек (гривенники) на третьей, а единицы копеек на второй проволоке.
ПРИМЕРЫ.
1) Шестьдесят пять рублей восемьдесят четыре копейки.
На	бумаге:	На счетах	•
6 5	р. 8 4 к.	g		инн			Дес. руб.
	.	5	 Я .		 м ;	и		Един. >
	19 w «	8 - йз М	°		та.........	Гривенники.
% О 'О Ф >• КОн	о »м	4 «лэ		 19 Я а, ф йй			Копейки.
— 16 —
2) Двести шесть рублей двадцать копеек.
На	бумаге:	На счетах:	
2 0	6 р. 2 0 к.	2- ••••  		Сотни’ руб.
		0		Десят. »
КО	К .	Л И . .	S . .	е			Рубли.
Рн _	•	«и Я F-й Я Б- О	К в О CU	С2. ° О fete, р. И		2			 0			Гривенники. Копейки.
3) Восемь миллионов
пятьсот шесть тысяч тридцать копеек.
рублей пять с половиной
На бумаге:
На счетах:
Мим. руб. Сот. тыс. »
Дес. » »
Тысячи j
Сотни >
Десятки > Рубли.
Гривенники.
Копейки.
Четв. коп.
Прочесть числа, если на счетах положены кости:
а)	на восьмой проволоке 6, на седьмой 5, на шестой 4, на пятой 3, на третьей 2 и на второй 1;
б)	на десятой проволоке 1, на восьмой 2, на шестой 3 и на третьей 4.
Отв. а) 6543 р. 21 к., б) 102030 р. 40 к.
Арифметические действия на счетах.
Сложение.
11. Сложить несколько чисел на счетах—значит, пользуясь разрядами проволок, с помощью костей на них, найти общий итог всех данных чисел.
Данные числа называются влагаемыми, а результат сложения—суммою или итогом.
Для получения суммы к одному из слагаемых, положенному на счетах, прибавляется другое, начиная с единиц высшего разряда, за ним третье, четвертое и, т. д.
Пусть требуется найти сумму 364-23+22-^464-98.
1)	кладем на верхней части счет 36 (§ 7);
2)	кладем на это число 23;
>	3) на шестой проволоке кладем 2 кости, на пятой сле-
дует положить их тоже 2, но там находится всего лишь 1 кость; поэтому, на шестой проволоке прибавляем еще 1 кость, (следовательно, на 6-й проволоке можно было бы класть сразу 3 кости), а на пятой скидываем 8 (так как 10—8=2);
4) на шестой проволоке нельзя положить 4; поэтому на седьмой кладем 1 кость, скидываем на шестой 6 (10 — 6=4) и кладем на пятой проволоке 6 костей,
и 5) кладем на седьмой проволоке 1 кость, а на шестой 1 скидываем (10—1=9), затем снова кладем на шестой проволоке 1 кость, а на пятой скидываем 2 (10 — 2=8). На счетах имеем 225.
Следовательно:
36-{-234-22-|-4б4-98=225.
2
— 18 —
12.	Возьмем пример посложнее. Пусть требуется найти сумму чисел 326544-4321+3025+5678+177.
1)	Кладем на верхей части счет 32654;
2)	кладем на это число 4321;
3)	кладем еще 3025 и находим, что на пятой проволоке оказалось 10 костей, отбрасываем вправо эти 10 -костей и кладем вместо их одну кость на шестой проволоке (§ 5); на шестой проволоке теперь стало 10 костей, заменяем их одною костью седьмой проволоки; на седьмой проволоке стало тоже 10 костей, заменяем их одною костью восьмой проволоки и, наконец, 10 костей восьмой проволоки заменяем одною костью девятой проволоки;
4)	кладем 5678,
и 5) кладем 177 так:
на седьмой проволоке кладем 1 кость, на шестой проволоке 7 костей положить нельзя, поэтому кладем на седьмой проволоке еще 1 кость, а на шестой скидываем 3 кости (10—3=7); на пятой проволоке тоже нельзя положить 7 костей, поэтому кладем на шестой 1 кость, а на пятой скидываем 3 кости. На счетах имеем 45855.
Следовательно:
32654+43214-3025+5678+177=45855.
13.	Пусть теперь требуется найти сумму 128 р. 32*/г к.+ +2041 р. 763/< К. +10175 р. 573/i К.
1)	Кладем на верхней и нижней частях счет 128 руб. 32V, к. (§ Ю);
2)	кладем еще на это число 2041 р. 763/* к. так: на восьмой проволоке 2 кости, на шестой 4, нанятой 1, на третьей 7 и тотчас заменяем 10 костей третьей проволоки одною костью пятой, а потом 10 костей пятой проволоки заменяем одною костью шестой; затем на второй проволоке кладем 6 костей, но на первой проволоке 3 кости положить нельзя, поэтому на второй проволоке кладем еще 1 кость, а на первой скидываем 1 (так как 1—1/i=8/<);
з)	кладем на девятой проволоке 1 кость, на седьмой 1, но на шестой проволоке 7 костей положить нельзя, поэтому кладем на седьмой проволоке еще 1 кость, а на шестой скидываем 3, на пятой кладем 5 костей, на третьей кладем 6, а на второй скидываем 3 кости, на первой кладем 3 и по-
— 19 —
лучившиеся здесь четыре кости заменяем одною костью второй проволоки. На счетах имеем 12345 р. 67 к.
Следовательно:
128 руб. 321/2 К.4-2041 руб. 763/4 К.4-10175 руб. 573/4 КОП.= =12345 руб. 67 К.
14.	Добавляемую кость на верхней проволоке, по недостатку костей следующей нижней проволоки, лучше всего класть одновременно с высшей цифрой слагаемого.
Пусть, напр., требуется найти сумму чисел 354654* 4-19183+18171.
1)	Кладем на верхней части счет 35465;
2)	кладем на это число еще 19183 так: на девятой проволоке прибавляем 2 кости, а на восьмой скидываем 1 кость (20—1=19), на седьмой прибавляем 2 кости, а на шестой скидываем 2 (20—2=18), на пятой прибавляем 3 кости; на счетах лежит пока 54648;
3)	кладем на это число еще 18171 так: на девятой проволоке прибавляем 2 кости, а на восьмой скидываем 2, на седьмой прибавляем 2 кости, а на шестой скидываем 3, на пятой прибавляем 1 кость. '
На счетах имеем 72819.
Следовательно:
35465 + 19183 + 18171=72819.
15.	Прикидывание одной кости на верхней проволоке иногда весьма удобно совмещать с другими прикидываниями.
Пусть, напр., требуется найти сумму чисел 57484-68874* + 21995.
1)	Кладем на верхней части счет 5748;
2)	на девятой проволоке кладем 1 кость; на восьмой скидываем 3 (следовало скинуть 4, но мы оставляем одну кость для дальнейшего сложения); на седьмой скидываем 1 кость (следовало скинуть 2); на шестой скидываем 1 кость (следовало скинуть 2), и на пятой проволоке скидываем 3 кости; на счетах лежит-пока 12635.
3)	на девятой проволоке кладем 2 кости, на восьмой, кладем также 2 кости, а на пятой скидываем 5 (2000— —5=1995).
2*
— 20 —
На счетах имеем 34630.
Следовательно:
5748-|-6887 4-21955=34630.
16.	Возможны, конечно, и другие упрощения, но эти последние приобретаются постепенной практикой.
Заметим здесь, как совершалось сложение чисел двух предыдущих параграфов.
Из § 14.			 Положено. Прибавлено. Прибавлено. ИТОГО.	;				
9-Я	проволока	Дес. тыс..	• з +	2	4-	2 =	7
8-Я	»	Тысячи..	5 —	1	.—	2 =	2
7-Я	»	Сотни ...	.	4 4-	2	4-	2 =	8
6-Я	»	Десятки .	6 —	2	—	3 =	1
5-я		Единицы.	5 4-	3	4-	1 =	9
			35465	- 19183 4-		18171 =	= 7281»
Из § 15.			Положено. Прибавлено. Прибавлено.				ИТОГО-
9-Я	проволока. Дес. тыс..		4-	1	4-	"2 =	3	Г
8-Я	»	Тысячи ..	5 —	3	4-	2 =	4\	[
7-я	»	Сотни ...	7 —	1		0 =	6	1
6-я	»	Десятки .	4 —	1		0 =	3	f
5-Я	»	Единицы.	•	8 —	3	—	5 =	° [
5748 4- 6887 4- 21995 = 34630.
17.	Мы видели, что действие сложения на счетах начинается с единиц высших разрядов (сверху вниз), т.-е. противоположно сложению на бумаге. Поэтому, при откидываниях и прикидываниях костей, можно переходить к ниж- । ним проволокам лишь после того, как с верхними все f кончено.	I
Всякие вычисления на счетах совершаются гораздо бы- | стрее письменных. Это легко обнаружить при подсчете, | напр., длинного столбца чисел рублей и копеек, сумму которых требуется найти. Неудобство письменного сложения заключается еще и в том, что, прй подборе всех цифр одинаковых разрядов и при сложении их в уме между собою, нам приходится утруждать себя соображениями; на счетах же это выполняется без всякого умственного напряжения.

— 21 —
18.	Начинающим можно рекомендовать следующие примеры сложения:
1)	Класть на счетах l-J-2-|-3-|-4-|-5 и т. д. до 50-ти включительно. Если в сумме получится число 1275, то сложение сделано верно.
2)	Класть десять раз число, начиная с 75-ти и увеличивая его каждый раз на 100, т.-е.:
Числа отвлеченные.	Числа рублей и коопеек.
75	— руб. 75 КОП.
175	1 »	75 »
275	2 »	75 »
375	3 »	75 »
475	4 »	75»
575	5 »	75 »
675	6 »	75»
775	7 »	75 »
875	8 »	75 »
975	9 »	75»
Если в сумме столбца отвлеченных чисел получится 5250, а в сумме рублей и копеек—52 р. 50 к., то сложение сделано верно.
3)	Класть десять рай число 1234567891, отчего после каждого сложения будет получаться довольно оригинальное расположение костей. Сумма этйх десяти чисел будет равна 12.345.678.910. Упражнения над третьим примером возможны только на больших счетах.
4)	Класть несколько раз число 142857, отчего в периоде •6-ти сложений будет получаться сумма, изображенная прежними цифрами; после седьмого положения на счеты получится сначала число 999999, а затем снова начнет * появляться прежнее число в иных комбинациях, так что:
1) положим на счеты .			• . . . .	- . .	142857
2) прибавив столько же,			получим	. . .	285714
3)	»	»	»	...	428571
4)	»	»	»	. . .	571428
5)	»	»	»	. . .	714285
6)	»	. »	»	. . .	857142
7)	»	»		. . .	999999'
8)	»		»	. . . 1142856
— 22 —
Поверка сложения.
19. Для поверки сложения рекомендуется: 1) повторять складывание чисел в ином порядке, напр., с конца данных слагаемых или снизу вверх. Если получится одна и та же сумма, то, вероятно, сложение сделано правильно.
2) Для поверки сложения полезно вычитать из общей суммы (итога) пр одному слагаемому. Если в остатке полупится нуль, то, вероятно, сложение было сделано правильно.
ПРИМЕРЫ.
20. Сложить на счетах следующие числа:
2		245	5000		28764
47		369	6010		8490
24		765	405		8464
399		1234	80709		700
38		4343	200		209
171		9090		8	22445
19		707		68	928
ОТВ. 700	Отв. 16753		Отв. 92400		Отв.70000
1286 р. 02 к.		2165	р. 87 к.		52786 р. 03 к.
473 » 16 »		981	» 64 »		4435 » 20 » '
633 » £	•2 »	4576	» 87 »		70970 » 10 »
1437 » §	>9 »	- 45831	» 23 »		2298 » — »
846 » (	>2 »	50724	» 99 »		63108 » 66 »
54 » 87 »		127587	» 62 »		846712 » 42 »
318 » Е	>2 »	32749	» 80 »		5343 » 86 »
Отв. 5050 р. 50 К.		Отв.264618	р. 02 к.	Отв. 1045654 р. 28 к.	
6876 р. 28‘/а к.		18182	р. 75j/2 к.		852786 р. 03 К.
567 » ОЗ1/* »		12345	» 67х/г »•		94435 » 20 »
8006» 173/4 »		87654	» 321/* «		170970 » 10 »
20» 201/2 »		67891	» 23!/2 »		302298 » 04 »
10670» 891/4 »		45678	» 903/4 »		63108 » 66 »
50672 » 201/* »		54325	» 671/4 »		846712 » 42 »
603» 0872 »		34567	» 891/2 »		15343 » 87 »
Отв. 77415 р. 88 к.		Отв. 320646 р. 461/* к.		Отв. 2345654 р. 32 К.	
На счетах лежит число 385.
Прибавить то же выражение провол. выще. Овт. . . . 2435.
— 23 —
На счетах лежит число 420 р. 45 к.
Прибавить то же выражение провол. выше. Отв. 4624р. 95к.
На счетах лежит число 740 р. 60 к.
Прибавить то же выраж. двумя пров. выше. Отв. 74800 р. 60 к. На счетах лежит число 3850.
Прибавить то же выражение провол. ниже. Отв. 4235.
На счетах лежит число 743 р. 30 к.
Прибавить то же выражение провол. ниже. Отв. 817 р. 63к.' На счетах лежит число 1872 р.
Прибавить то же выражение двумя пров. ниже. Отв. 1890 р. 72.
Вычитание.
21.	Вычесть одно число из другого значит отсчитать от первого числа все единицы второго.
Число, от которого отнимаются единицы другого числа, называется уменьшаемый.
Число, которое отнимается от уменьшаемого, называется вычитаемым.
Число, получающееся после вычитания, называется остатком или разностью.
Вычитание на счетах выполняется так.
Кладется уменьшаемое и скидывается с него вычитаемое, начиная сбрасывание костей с единиц старшего разряда, в результате получается новое число, т. е. остаток.
22.	Пусть требуется из 4387 вычесть 1342.
Кладем уменьшаемое 4387. На восьмой проволоке скидываем 1 кость, на седьмой 3, на шестой 4 и на пятой 2 кости. Отсутствие костей на седьмой проволоке с левой стороны означает нуль. Таким образом на счетах имеем 3045.
Следовательно: ,
4387—1342=3045.
23.	Пусть требуется из 25264 вычесть 7239.
Кладем 25264; из 5000 нельзя вычесть 7000, поэтому на девятой проволоке скидываем 1 кость, а на восьмой прибавляем их 3 (так как 10000—7000=3000); на седьмой проволоке скидываем 2 кости; на шестой скидываем 3 кости; на пятой проволоке надо скинуть 9 костей, но так как из 4-х.
— 24 —
нельзя вычесть 9, то на шестой скидываем еще 1 кость, а на пятой 1 прибавляем. На счетах имеем 18025.
Следовательно:
25264—7239=18025.
24.	При вычитании чисел рублей и копеек действие выполняется на обоих частях счет: рубли кладутся и скидываются на верхней, а копейки — на нижней (§§ 10 и 13). Если при вычитании копеек соответствующая проволока окажется пустой (нуль), занимают одну кость гривенников, если нет гривенников, берут проволоку единиц рублей и т. Д. (§ 22).
25.	Пусть требуется из 4070 р. 231/* коп. вычесть 694 р. 573/< КОП.	'
Кладем 4070 р. 23^4 к. (§ 10). Из 70 р. 2374 к. нельзя вычесть 694 р. 573/4 к., но так как 4070 р. 231/* к. больше 694 р. 573/4 к., то вычитание возможно. Скидываем 1 кость на восьмой проволоке, а на седьмой кладем 4, на седьмой проволоке скидываем 1 кость, а на шестой кладем 1; на шестой скидываем 1 кость, а на пятой кладем 6, на пятой проволоке скидываем 1 кость, а на третьей кладем 5; на третьей проволоке скидываем 1 кость, а на второй кладем 3 и, наконец, на второй проволоке скидываем 1 кость, а на первой кладем 1. Тогда на счетах останется 3375 р. 65^2 К.
Следовательно:
4070 р. 231/4 К.—694 р. 573/4 К.=3375 р. 651/г К.
Это вычитание на счетах выразилось:
	Уменьшаемое.	Вычитаемое.	Остаток.
8-я провол.	Тысячи руб.	4	— 1	= 3
7-Я	»	Сотни »	0	+ 4	—	1=3
6-я	»	Десятки »	7	+ 1 ~	1 = 7
5-Я	»	Рубли »	о	4-6	—	1=5
4-Я	»	Четверти »		
3-Я	»	Гривенн. »	2	4- 5	-	1 = 6
2-я	»	Копейки »	3	+ з -	1 = 5
1-я	»	Четв. коп.»	1	4- 1	—	= 2
4070р. 23V4K.—694р 573/4К.=3375р. 65i/2k.
25 —
26.	Иногда бывает так, что несколько верхних проволок кряду не имеют слева костей; в этом случае скидывают вправо 1 кость на первой от низу проволоке, имеющей кости, на следующей же книзу кладут равнозначащие ей 10 костей, из числа этих последних скидывают 1 кость, а на следующей книзу проволоке опять кладут 10 костей и т.д.
Например:
20003-5=?
Кладем на верхней части счет 20003. Из этого числа надо вычесть 5 единиц. На девятой проволоке скидываем 1 кость (10000); на восьмой кладем 10 костей и 1 из них скидываем; на седьмой проволоке кладем 10 костей и 1 из них скидываем; на шестой проволоке кладем также 10 костей и 1 из них скидываем, а на пятой проволоке •кладем 5 костей. Тогда на счетах останется 19998.
Следовательно:
20003—5=19998.
Это вычитание на счетах выразилось.-
Уменьшаемое. Вычитаемое. Остаток.
9-я	провол. Дес. тысяч	2	—		1		= 1
8-Я	» Тысячи	0	+	10	— 1	= 9
7-Я	» Сотни	0	+	10	— 1	= 9
-6 Я	» Десятки	0	+	10	— 1	= 9
5-я	» Единицы	3	+		5 •	= 8
20003 —	5	— 19998
Примечание: Полезно класть на свободных проволоках (передвигать влево) не 10. костей, а 9, чтобы не тратить время еще на скидывание 1 кости для размена ее на кости следующей книзу проволоки (§ 15).
27.	Для достижения наибольшей быстроты всяких вычислений, весьма желательно класть или скидывать числа сразу, а не по частям. Так, наприм., если число 65243, написанное на бумаге, требуется положить или скинуть на счетах, то нельзя брать его по частям: сначала 65000, затем, заглянув на бумагу, 240 и наконец 3. Конечно, ре? зультат получится одинаковый, но потребуется больше времени, нежели при взятии числа сразу.
— 26 —
Необходимо ясно представлять себе изображение написанного или произнесенного числа, чтобы его в таком виде сразу нанести на счеты.
В тех случаях, когда для сложения или вычитания дано несколько написанных чисел, то, переходя к следующему по порядку числу, изображенному на бумаге, рекомендуется взглянуть на предыдущее, чтобы убедиться — то ли самое число было положено или вычтено.
Поверка вычитания.
28.	Вычитание может быть поверено:
1)	Сложением остатка с вычтенными суммами; в этом случае должно получиться уменьшаемое.
2)	Вычитанием же, но в измененном порядке.
3)	Если для вычитания было дано только два числа, то можно из уменьшаемого вычесть остаток; в результате должно получиться вычитаемое.
ПРИМЕРЫ.
29. Произвести следующие вычитания на счетах:
	Из 830 вычесть 287	Отв.	543.
	Из 1001	»	915	» Из 2184	»	93	»	86. 2091.
	Из 2666	» .	1778	»	888.
Из	Из 12345	»	7654	»	4691. Из 40000	»	4040	Отв.	35960. Из 3789	»	9871/г	»	28011/г. Из 56543/4 »	49804/4	»	6738/2. Из 10101	»	1010	»	9091. Из 12345	»	4567	»	7778. 500 р. 08 К. выч. 396 р. 27/4 к. Отв. 103 р. 80/4 к.	
Из	2121 р. 01/2 к. »	432 р. 02/4 К. »	1688 р. 98/4 К.
Из	30833 р. 10/4 К. »:	3885 р. 74/г К. »	26947 р. 353/4 К»
— 27 —
Из	Из	Из
601387 р. 92. К.	752017 р. 87 к.	1.473.068 р. 97 К.
вычесть:	вычесть:	вычесть:
3605 р. 40 к.	351445 р. 91 К.	571637 р. 37 К.
15700 р. 40 к.	12000 р. — К.	639021 р. 19 К.
327537 р. 95 к.	78990 р. — к.	215048 р. 16 К.
111438 р. 37 к.	23701 р, 95 к.	499 р. 12 К.
Отв. 143105 р. 80 к.	Отв. 285880р. 01 к.	Отв. 46863 р. 13 К.
На счетах лежит число 3850.
Скинуть то же выражение провол. ниже. Отв. . . . 3465.
На счетах лежит число 492 р. 30 к.
Скинуть то же выражение провол. ниже. Отв. 443 р. 07 к. На счетах лежит число 35600.
Скинуть то же выражение двумя провол. ниже. Отв. 35244. На счетах лежит число 25060 р.
Скинуть то же выраж. тремя пров. ниже. Отв. 25034 р. 94 к.
Умножение.
30.	Помножить одно число на другое—значит повторить его слагаемым столько раз, сколько единиц в другом данном числе.
Число, которое умножают, называется множимым.
Число, на которое умножают, называется множителем.
Числа перемножаемые называются сомножителями.
Число, которое получается от умножения, называется произведением.
Например:
4X3=12, или 4.3=12-
надо прочесть:
Четыре, помноженное на три, равно двенадцати.
В приведенном примере 4 есть множимое, 3 — множитель и 12—произведение.
Так как множитель показывает, сколько раз множимое берется слагаемым, то говорят, что умножение есть сложение одинаковых чисел. В самом деле 4J-4-[-4—12.
3 раза.
— 28 —
31.	Поэтому, чтобы помножить на счетах какое-нибудь число на другое, достаточно было бы первое (множимое) положить столько раз, сколько показывает другое число (множитель). В основу умножения на счетах положена именно эта идея.
Однако, полностью такой способ умножения может быть применим лишь в тех случах, когда множитель или множимое есть небольшое число, напри 2, з и 4; так, 256X3— = 256-]-256 + 256=768.
32.	При сомножителях же в 2, 3, 4 и т. д. цифровых знака, результат умножения на счетах может быть получен много скорее и проще письменного, если будут применены те или другие целесообразные комбинации с перемножаемыми числами, в роде следующих:
а)	множитель заменяется множимым, если это последнее представляет какие-либо выгоды. Напр., вместо 122 X Х873 следует взять 873X122;]
б)	множитель может быть округлен до числа с одним или несколькими нулями путем добавления или отнятия нескольких единиц. Напр., множитель 1997=2000—3, или множитель 2003=2000+3;
в)	множитель может быть представлен в виде суммы, напр., 342=330-|-12;
г)	в виде разности, напр., 45=50—5;
д)	в виде дроби, напр., 25 = — и т. п.
Кроме умения преобразовывать множитель в выражение, выгодное для умножения числа по частям, необходимо еще прибегать к обобщению действий в однородных случаях. Напр., если мы нашли, что множитель 22 выгоднее представить в виде 20-|—2, то, очевидно, что 33=30-|-3, 55=50-}-5 303=300 + 3 и т. Д. Или 27=30-3, 36=40—4, 360=400—40, И т. Д.
33.	Таким образом, наша задача состоит в отыскании наиболее простых и сокращенных способов умножения. Счеты представляют собою весьма удобный прибор для вычислений сокращенным путем. Так, на счетах весьма легко помножаются числа на единицу с нулями (на 10, 100, юоо и т. д.) и также легко делятся на двойку в любой степени
— 29 —
на 2, 4, 8, 16 и т. д.). Эти два действия, как есновные, необходимо усвоить прежде всего, ибо в работе умножения на счетах нам придется эти действия выполнять совместно.
Обратим внимание на 8, помещенных ниже параграфов, рассматривающих умножение на 10, 100, 1000 и т. д. и деление на 2, 4 и 8.
Умножение на 10, 100, 1000 и т. д.
34.	От письменного умножения всякого целого числа на 10, 100, 1000 и т. д. помножаемое число увеличивается в. 10, 100, 1000 и т. д. раз. От такого умножения цифры остаются прежними, но значение их увеличивается.
Так, от умножения 275 на 10 получаем число 2750; здесь значение каждой цифры множимого увеличилось в 10 раз. При умножении на 100, каждая цифра увеличится в 100 раз, при уможении на 1000—в 1000 раз и т. д. При чем, для письменного умножения целого числа на 10, 100, 1000 и т. д. достаточно приписать к множимому столько нулей, сколько их есть во множителе.
35.	Точно таким же образом совершается умножение всякого целого числа на единицу с нулями и на торговых счетах, с тою лишь разницею, что в этом случае вместо приписанных нулей соответствующие проволоки остаются пустыми.
Словом, 1) чтобы умножить целое число на единицу с одним или несколькими нулями, достаточно положить это число выше на столько проволок, сколько во множителе есть нулей.
Пусть требуется 235 помножить на 100. Множитель 100 имеет два нуля. Поэтому две нижние проволоки (5 и 6} должны остаться пустыми. Кладем на девятой проволоке 2 кости, на восьмой 3 и на седьмой 5.
На счетах имеем 23500.
2) Чтобы прибавить или скинуть число, помноженное на единицу с одним или несколькими нулями, достаточно-прибавить или скинуть это число выше на столько проволок, сколько во множителе нулей.
— 30 —
а)	На счетах лежит 784. Требуется прибавить 25X100= =2500. Пропустив две проволоки (5 и 6) снизу, кладем на восьмой проволоке 3 кости, а на седьмой скиды'ваем 5. На счетах имеем 3284.
б)	На счетах лежит 4825. Требуется скинуть 65X10= =650. Пропустив одну проволоку (5) снизу, на седьмой проволоке скидываем 7 костей, а на шестой прибавляем 5. На счетах имеем 4175.
36. Умножение на счетах какого-нибудь числа, напр., 235 на 10, на 100 и на 1000 выразится так:
СЧЕТЫ.	Было ДО у и нож. '	Стало по умножении:		
		на 10	на 100	на 1000
1С-я проволока Сотни тысяч. . . 9-я	>	Десятки	>	. . 8-я	»	Тысячи .... 7-я	»	Сотни. .	. . . . 6-я	»	Десятки,	.... 5-я	>	Единицы.	...	2 3 5	2 3 5 0	2 3 5 0 0	2 3 5 0 0 0
	235	2350	23500	235000
Положить на счетах произведения сразу, без тельной выкладки множимого:					предвари-
12ХЮ	Отв.	12б	7О36ХЮОО	Отв.	7036000
125X100	»	12500	101010X100		10101000
106ХЮ0	»	10600	12345ХЮ0	»	1234500
юоохюо	»	100000	зюохюоо	»	3100000
500X1000	»	500000	10000X1000	»	10000000
55ХЮООО	»	550000	10000X10000	»	100100000
37. Если всякое целое число от умножения на единицу с нулями увеличивается в 10, 100, 1000 и т. д. раз, то число рублей и копеек, очевидно, будет увеличиваться во столько же раз. Значит, по умножении числа рублей и копеек на 10, копейки обращаются в гривенники, последние—
— 31 —
в единицы рублей, а единицы рублей — в десятки рублей и j. д.; по умножении числа на 100, копейки обращаются в единицы рублей, гривенники—в десятки рублей, единицы рублей—в сотни рублей и т. д.; по умножении числа на 1000, копейки обращаются в десятки рублей, гривенники—в сотни, единицы рублей—в тысячи и т. д.
Положить	на	счетах произведения тем же порядком
(сразу). 4	Р-	65 к. X 10 Отв. 46 р. 50 к.
56	»	25 » X Ю »	562 » 50 »
75	»	80 » X Ю »	758 .» 00 »
328	»	05 » X Ю »	3280 » 50 »
820		01 » X ЮО »	82001 » 00 »
764	»	10 » X ЮО »	76410 » 00 »
2289	Р-	50 К. X ЮО Отв. 228950 р. 00 к.
2020	»	20 т> X ЮО »	202020 » 00 »
5002	»	04 » X Ю00	» 5002040 » 00 »
606	»	00 » X ЮОО »	605000 » 00 »
7018	»	07 » X ЮОО » 7018070 » 00 »
3600	»	70 » X Ю000 » 36007000 » 00 ».
38. Если требуется помножить на 10, на 100, на 1000 или вообще на единицу с нулями такое число, которое лежит на счетах, то, вместо перекладывания множимого кверху через одну, две, три и т. д. провол., считающий может пользоваться следующим приемом.
1) При умножении, напр., числа рублей и копеек на 10, следует наложить большой палец левой руки с левой стороны рамы счет между копейками и гривенниками множимого; тогда выше пальца окажутся рубли (кроме проволоки с 4-мя костями), а ниже его—гривенники;
2) при умножении числа рублей и копеек на 100, следует наложить тот же палец ниже копеек, и все число выше пальца будет представлять собою число рублей и т. д.
39. Иногда сверху левой стороны рамы счет проделываются среди промежутков проволок маленькие отверстия и тогда, вместо упомянутого накладывания пальца, считающий может вставлять в отверстие кнопку или гвоздик. Этб особенно полезно в тех случаях, когда является надобность
— 32 —
задержать произведение на некоторое время на счетах. По-миновании надобности, кнопка или гвоздик вынимается.
Деление на 2, 4 и 8.
40. О делении чисел вообще мы будем говорить ниже. Но для большей выгоды умножения нам необходимо рассмотреть теперь же деление на 2, на 4 и на 8, о чем говорилось в § 33.
Пусть требуется разделить 3624 на 2, на 4 и на 8.
1)	Деление на 2.
Кладем на верхней части счет 3624; затем будем отделять на каждой проволоке половину лежащих на ней костей и скидывать их вправо, начиная это действие снизу: на пятой проволоке скидываем 2 кости, на шестой 1, на седьмой 3, а так как на восьмой проволоке 3 кости разделить пополам невозможно, то -отбрасываем 2 кости и на следующей книзу проволоке кладем 5 костей (за V2)- На счетах оказалось число 1812.
Следовательно: 3624 : 2 = 1812.
2)	Деление на 4.
От деления 3624 на 2 имеем число 1812. Поэтому, если разделим 1812 на 2, то полученное частное будет равно частному от деления 3624 на 4
На счетах лежит 1812. На пятой проволоке скидываем 1 кость, на шестой 1 и на пятой кладем 5 костей (за х/2)> на седьмой скидываем 4 кости, На восьмой скидываем 1, а на седьмой кладем 5 костей (за V2)- На счетах оказалось, число 906.
Следовательно:
3624 : 4 == 906.
3)	Деление на 8.
От деления 3624 на 4 имеем число 906. Поэтому, если разделим 906 на 2, то полученное частное будет равночастному от деления 3624 на 8.
На счетах лежит 906. На пятой проволоке, скидываем 3 кости, на седьмой скидываем 5, а на шестой кладем 5. костей (за 72)- На счетах оказалось число 453.
Следовательно:
3624 : 8 « 453.
— 33 —
' . 41. Из предыдущего можем вывести следующие правила для деления целых чисел на 2, 4 и 8: *).
а)	Чтобы разделить на счетах всякое целое число на 2, следует делить его пополам, начиная скидывание костей с нисших единиц и заменяя половины высших пятью костями нисшею разряда;
б)	чтобы разделить на счетах всякое целое число на 4, следует проделать два раза то же, что и при делении на 2:
в)	чтобы разделить на счетах всякое целое число на 8, следует проделать три раза то же, что и при делении на 2.
Арифметические знаки и формулы.
42. Иногда мы будем обозначать арифметическими знаками такие действия, которые надо выполнить над данными числами. Так, сложение обозначается знаком + (плюс), вычитание знаком — (минус), умножение X или . (косой крест или точка), деление : или---(две точки или черта). Порядок же самых действий будем указывать скобками (	)
и [ ].	•
Выражение, показывающее, какие действия и в каком порядке надо выполнить над данными числами, чтобы получить ответ, называется формулой.
. Следующие, напр., выражения означают:
1)	300—(38 + 43-1-19),
что от 300 надо отнять 38, 43 и 19;
2)	500—[(30X12)—40],
что от 500 надо отнять произведение 30 на 12 без 40;
3)	----------(75+48),
что 462 надо помножить на 5, произведение разделить на 2 и от частного отнять 75 и 48;
, 4) [ - (2/+ 276 ] + (276X10),
*) Указанными правилами также можно пользоваться при делении чисел на 16, 32, 64 и вообще на 2-ку в любой степени, т.-е. при делении на 16 число делится пополам 4 раза, на 32—5 раз и т. д., так как 4=2.2, 8=2.2.2 16=2.2.2.2, 32=2.2.2.2.2 и т. д.
— 34 —
что 276 надо помножить на 10, произведение разделить на 2, к частному прибавить 276 и к сумме прибавить произведение 276 на 10.
Умножение на однозначного множителя.
43.	Умея помножать на счетах числа на единицу с нулями, а также делить их на 2, 4 и 8, перейдем к общему умножению, начиная с простейших случаев.
Чтобы помножить число, напр., 275 или 2 р. 75 к,:
На 2, следует положить число два раза (§ 12), т.-е.: 275-4-275......................Отв.-550.
2 р. 75 К.-|-2 р. 75 К. . . . . 5 р. 50 К.
На 3, следует положить число три раза, т.-е.: 2754-2754-275 . . .................Отв. 825.
2 р. 75 К.4-2 р. 75 к.4-2 р. 75 К. „ 8 р. 25 К.
На 4, следует положить число два раза и к полученной сумме прибавить столько же, т.-е.: (2754-275)4-550....................Отв. 1100.
(2 р. 75 К. + 2 р. 75 К.)4-5р. 50 К. „ 11 р.
На 5, следует помножить число на 10 (§ 35) и произведение разделить на 2 (§ 40 п. 1), т.-е.:
...................Отв. 1375.
.......	„ 13 р. 75 К.
а
На 6, следует помножить число на 10, произведение разделить на 2 и к частному прибавить множимое т.-е.:
(275\10)^275........... Отв. 165()
Цр- Уг*10! 4-2 р. 75 К. . . „ 16 р. 50 к.
На 7, следует помножить число на 10, произведение разделить на 2 и к частному прибавить два раза множимое, т.-е.:
<275.ХЮ)+275+275 ...........Отв. 1925.
2
(2 р. 75 К.Х10) _|_2 р. 75 К.4-2 р. 75 К. Отв. 19р. 25 к.
— 35 —
На 8, следует помножить число на 10 и от произвеле-шия отнять два раза множимое, т. е.;
(275 X 10) —(275 4-275)..........•	Отв. 2200.
(2 р. 75 К-ХЮ)—(2 р. 75 к.4-2 р. 75 к.) . „ 22 р.
На 9, следует помножить число на 10 и от произведения отнять один раз множимое, т.-е.:
(275 X 10) —275	Отв. 2475.
(2 р. 75 К. X 10) —2 р. 75 К.	„ 24 р. 75 К.
На 10, см. § 35.
44.	Таким же порядком выполняется умножение на счетах и в тех случаях, если означенные, выше (§ 43) множители будут с одним или несколькими нулями; необходимо лишь класть множимое через столько проволок кверху, сколько во множителе нулей (§ 35, п. 1).
Пусть, напр., требуется перемножить:
128Х20=(1280+1280)	Отв. 2560.
1 р. 28 К.Х20=(12 р. 80 К.+ 12 р. 80 К.)	25 р. 60 к.
128Х 30=(1280 + 12804-1280)	„ . 3840.
12 р. 80 К. Х3000=(12800 р. +12800 р.-|-12800 р.)	
	Отв. 38400 р.
.128Х40=(1280 + 1280)4-2560	„ 5120.
1 р. 28 k.X400=(128 р.4-128 p.)-f-256 р.	„ 512 р.
:128к50= 128X100 &	„ 6400.
1 р. 28 K.X50 = -LbJ^>O^	„ 64 р.
! 28X60= (12841О°+1280	„ 7680.
12 р. 80 „.X.0=t‘-2-f--VX*-?2+>«e Р-Л	„ 768 р.
128 X 700 =. (128^10()0) +(12800-}-12800)	„ 89600.
128 X 80 =(128X100)—(1280+1280)	„ 10240.
128 X 900=(128ХЮ00)—12800	„ 115200.
712 р. 80 К.Х90=(12 р. 80 К-ХЮО)—128 р.	„ 1152 р. •
3’
— 36 —
Умножение на двузначного множителя до 20.
45.	Рассмотрим теперь умножение на множителей от-11-ти до 20-ти.
Чтобы помножить на счетах число, напр., 256 или 2 р. 56 к.^
На II, следует положить число один раз *) и прибавить произведение его на 10 (§ 35, 2, а), т.-е.: 256+(256ХЮ)	Отв. 2816.
2 р. 56 к.-|-(2 р. 56 К.ХЮ)	„ 28 р. 16 к.
На 12, следует положить число два раза и прибавить произведение его на 10, т.-е.: (256-|-256)-Н256Х10)	Отв. 3072.
(2 р. 56 к.-)-2 р. 56 к.) + (2 р. 56 К.ХЮ) „ 30 р. 72 к.
На 13, следует положить число три раза и прибавить произведение его на 10, т.-е.: (256-Р256 + 256)-}-(256Х10)	Отв. 3328.
(2 р. 56 к.4-2 р. 56 к.4-2 р. 56 к.) + (2 р. 56 к.ХЮ)
Отв. 33 р. 28 к.
На 14, следует помножить число на 4 (§ 43) и прибавить произведение его на 10, т.-е.:
(256Х4)+(256ХЮ)	Отв. 3584.
(2 р. 56 К.Х4)4-(2 р. 56 К.ХЮ) „ 35 р. 84 к.
На 15, следует помножить число на 10, произведение разделить на 2 и к полученному частному прибавить произведение данного числа на 10, т.-е.: -^^2<12)-4-(25бХЮ)	Отв. 3840.
А
(2 р. 56 к.ХЮ)^(2 р 56 к Х10)	38 р. 40к
А	,
На 16, следует -помножить число на 10, произведение •разделить на 2, к частному прибавить один раз множимое и к полученной сумме прибавить произведение данного числа на 10, т.-е.: j- 256 X 10 + 256 ] + (256X10) Отв. 4096.
*) По чисто практическим соображениям помножаем сначала на единицы (т.-е. на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9j, а затем уже прибавляем произведение на 10, так как это последнее найти легче всякого другого.
— 37 —
г(2 р. 56 К.ХЮ)|2 р 56 к j _|_(2 р 56 K>xlOj L	л	J
ОТВ. 40 pl 96 К.
На 17, следует помножить число на 20 (§ 44) и от произведения отнять три раза множимое, т.-е.: (256X20)—(256+256-4-256) *)	Отв. 4352.
(2 р. 56 К.Х20)—(2 р. 56 к.+ 2 р. 56 к.+ 2 р. 56 к.).
Отв. 43 р. 52 к.
На 18, следует помножить число ,на 20 и от произведения отнять два раза множимое (проще отнять то же произведение проволокой ниже, см. § 51), т.-е.: (256X20)—(256+256)	Отв. 4608.
(2 р. 56 К.Х20)—(2 р. 56 К.+2 р. 56 к.) „ 46 р. 08 к.
На 19, следует помножить число на 20 и от произведения отнять один раз множимое, т.-е.: (256X20)—256	Отв. 4864.
(2 р. 56 К.Х20)—2 р. 56 к.	я 48 р. 64 к.
Умножение на двузначного множителя от 20-тй до 100.
(Кроме этого, см. от § 48).
46.	Совокупность рассмотренных нами приемов дает возможность легко делать умножение на множителей от 20 до 100.
Пусть, напр., требуется помножить 634 на 37.
Представив множителя 37 в виде разности 40—3, помножаем 634 на 40 (§ 44) и от произведения отнимаем три раза множимое.
На счетах получится 23458.
Следовательно:
634Х37=(634Х40)—(634 + 634+634)=23458.
Пусть, требуется помножить 7 р. 63 к. на 23.
Представив множителя 23 в виде суммы 20+2+1, кладем на счеты два раза число 7 р. 63 к., к полученной сумме прибавляем то же произведение проволокой выше (§ 48) и прибавляем 7 р. 63 к.
На счетах получится 175 р. 49 к.
*) Или так: ^—|^-10)+25бХ 10—(256+256).
— 38 —
Следовательно:
7 р. 63 К.Х23= (7 р. 63 К.+ 7 р. 63 К.)+(7 р. 63 К. X 20)4--|-7 р. 63 к.=175 р. 49 к.
Пусть еще требуется помножить 43 р. 75 к. на 89.
Представив множителя 89 в виде разности 100—11, кладем на счеты произведение 43 р. 75 к. на 100 (§ 35), затем скидываем то же произведение проволокой ниже (§ 35 п. 2) и скидываем 43 р. 75 к.
На счетах получится *3893 р. 75 к.
Следовательно:
43 р. 75 К.Х89=43 р. 75 К.ХЮО—(43 р. 75 К.ХЮ + 43 р. 75 К.)=3893 р. 75 К.
Рассмотрим вкратце еще несколько примеров умножения • на множителей до 100=(см. § 32).
Предположим, что требуется помножить число 268:
На 48, следует помножить 268 на 50 и от произведения
100 „ отнять два раза множимое, а так как 48=--—2, то:
,(268X100)--^2684-268)'	Отв. 12864.
На 52, следует помножить 268 на 50 и к произведению прибавить два раза множимое, а так как 52= — -{-2, то::
(26AJ12.°)+(2684_268)	Отв. 13936.
л
На 57, следует помножить 268 на 60 и от произведения отнять три раза множимое, а так как 57=^)-|-(10—3), то:
(268У1001 ---------- + (268 X Ю) — (268 4- 268 + 268) .
Отв.15276.
На 68, следует помножить 286 на 70 и от произведения отнять два раза множимое, а так как 2б8=^-4-(2О- 2). то::
-^^^°^4-(268 X 20) — (268 + 268)
Отв. 18224.
— 39 —
На 87, следует помножить 268 на 90 и от произведения отнять три раза множимое, а так как 87=100— -(10-1-3),
то: [(268X100)—(268X10)]—(2684-2684-268)
' Отв. 23316.
На 92. следует помножить 268 на 90 и к произведению прибавить два раза множимое, а так как 92=100— —104-2,
то: [(268X100)—(268X10)]+(268-f-268)
Отв. 24656.
Упрощенные приемы умножения.
47.	Многие числа обладают такими замечательными свойствами, которые значительно облегчают способы арифметических вычислений, в особенности при умножении. Иногда работа сводится к самой простой комбинации чисел в уме, иной раз требуются несложные действия на счетах, а иногда приходится прибегать к тому и другому вместе.
В предлагаемом отделе мы рассмотрим несколько случаев такого упрощенного умножения. Однако, проходя этот отдел, нельзя ограничиваться одним только буквальным выражением данных каждого приема.
Необходимо установить тот взгляд, что эти приемы являются основными правилами, которыми должно пользоваться и тогда, когда числовые данные будут соответственны числу того или другого приема лишь приближенно. Напр., умножение на 23 можно свести к умножению на 22, так как 23=22—1—1; умнож. на 57—к умнож. на 55, т. к. 57=55-{-2; умнож. на 43—к умнож. на 45, т. к. 43=45—2; умнож. 84 на 87—к умнож. 85 на 85, т. к. 84=85—1 и 87=85-j-2, так что 84Х87=(85-1)(85-|-2)=90Х80—87 + 85X2=7225— —87-}-170—2=7308 (см. замечания об умножении чисел вообще).
Умножение на 22, 33, 44-, 55, 65, 77, 88.
48.	В тех случаях, когда множитель составлен из двух одинаковых цифр, умножение на такого множителя выполняется следующим образом.
— 41
На 22,		Если требуется помножить число:				
		следует помножить его			на 20	А потом
»	33	» »			» 30	прибавить то же
	44	» »		»	» 40	произведение,по-
»	55	» »		))	» 50	ложив его проволокой ниже, так
>	66	» »			» 60	как 22 = 20 4-2,
	77	» ))		»	> 70	33=30 4-3, 44=
))	88	» »		»	» 80	40 + 4 И T. Д.
		Примечания:	1)	Результат		получится тот-же,
если сначала помножим на простые единицы (на 2, на 3, на 4 и т. д.), а потом прибавим то же произведение, положив его проволокой выше.
2) Если множитель 22, 33, 44 и т. д. будет с одним или несколькими нулями, то первое произведение выкладывается на соответствующее число проволок выше обыкновенного.
49.	Пусть требуется помножить 263 на 33.
Помножаем 263 на 30 (§ 44) и получаем на счетах 7890; к этому числу надо прибавить еще 263X3,. а так как 3 в 10 раз меньше 30-ти, то и 263X3 будет в 10 раз меньше 263X30, поэтому достаточно прибавить проволокой ниже первое произведение, т.-е. положить 789. На счетах имеем 8679.
Следовательно:
263X33=263X304-263X3=7890 + 789=8679.
Отбросив во множителе 3 единицы, мы тем самым уменьшили искомое произведение на 263X3=789, а потому к 263X30=7890 прибавляем еще 789.
50.	Пусть требуется узнать: сколько уплачено за 28612 м. материи, если м. стоит 44 коп.?
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Помножаем 28612 на 40 (§ 44) и получаем на счетах 1144480 к. или 11444 р. 80 к., а потом кладем то же произведение проволокой ниже. На счетах имеем 12589 р. 28 к.
Следовательно:
за 28612 м. по 44 к.==11444 руб. 80 к.4-1144 руб. 48 К0П.== =12589 руб. 28 КОП.
06‘яснение то же, что и к § 49-му.
— 42 —
Умножение на 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.
51.	Этих множителей заменяют округленными числами до целых десятков, затем помножают данное число на округленного множителя и скидывают то же произведение-проволокой ниже.
Чтобы помножить число:
На 18, следует			помножить его на 20				1		А потом отнять то
>»	21			»	*	30			
»	36		»	»		40			же произведение,
»	45	»	)>		»	50			скинув его прово-
									локой ниже, так
»	54	' . »	»		»	60			
									как:
	63		»	»	»	70			
>	72	»	)>	»	»	80			18=20—2,
	81	я		»	»	90			27=30—3,
»	90	У>				100	J		36=40—4 И T. Д.
52.	Пусть требуется помножить 1236 на 27.
Дополняем множителя 3-мя единицами (§ 51), помножаем 1236 на 30 (§ 44) и получаем на счетах число 37080; затем из 37080 вычитаем то же число, начиная скидывание костей проволокой ниже, т.-е. скидыванием 3708. На счетах имеем 33372.
Следовательно:
1236X27=1236X30—1236X3=37080—3708=33372.
От прибавления к множителю 3 единиц произведение увеличилось на 1236X3=3708, а потому из 1236X30=37080-вычитаем 3708.
53.	Пусть теперь требуется узнать: сколько выручено за 44221 м. материи, если она была продана по 54 коп. за м.
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Дополняем множителя 6-ю единицами до 60-ти помножаем 44221 на 60 (§ 44) и получаем на счетах 2653260 к. или 26532 р. 60 к.; но так как, увеличивая множителя на 6 единиц, мы увеличили и все произведение на 44221X6 (коп.), то с положенного на счеты скидываем то же число
— 43 — .
/проволокой ниже (уменьшенное в 10 раз). На счетах имеем 23879 р. 34 К.
Следовательно:
'За 44221 м. ПО 54 к.=44221Х60—44221X6=2387934 коп.= =23879 р. 34 к.
Об'яснение то же, что и к § 52-му.
Примечание. Если множители 18, 27, 36 и т. д. будут с одним или несколькими нулями, то первое произведение выкладывается на соответствующее число проволок выше обыкновенного. Напр., 286X1800=286X2000—286X200=. =572000—57200=514800.
Умножение двузначных чисел до 99.
а) Когда десятки равны, а единицы в сумме дают 10.
54.	Пусть требуется помножить 43 на 47. Десятки данных чисел равны (40 и 40), а единицы в сумме дают 10 (3 + 7).
Мысленно отбросив единицы, получим новые числа 40 и 40; перемножаем их в уме и произведение 40X4:0=1600 кладем на счеты; помножаем 40 на 10 и произведение 40X10=400 тоже кладем; наконец, помножаем 3 на 7 и прибавляем 3X7=21 к 2000. После чего будем иметь 2021*).
От уменьшения множимого на 3 и множителя на 7, произведение уменьшилось на 47X34-40X7=421, а потому, чтобы получить действительное произведение, к 40X40= =1600 прибавляем 40X10=400 и 3X7=21.
Следовательно:
43Х47=40Х40-|-40Х104-ЗХ7=16004-4004-21=2021.
55.	Пусть еще требуется помножить 86 к. на 84.
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
По предыдущему, отбросив единицы, получим новые числа 80 и 80; перемножаем их И произведение 80X80=
*) Можно и так: увеличиваем множимое на 7, а, множителя на 7 уменьшаем; перемножаем округленные числа 50 и 40 и прибавляем произведение-' единиц, т.-е. 43X47=50X404-3X7=2021. Этот способ даже легче, по он менее удобен в дальнейшем при 5 и 15.
— 44 —
=6400 к.=64 руб. кладем на счеты; помножаем 80 на 10 и кладем 800 коп.=8 руб.; прибавив затем 4X6=24 коп., будем иметь 72 р. 24 к.
Следовательно:
<86 К.Х84=80Х804-80Х10 + 4Х6=6400 К.-]-800 к.-[-24 к.= =72 р. 24 К.
б)	Десятки равны, а единицы в сумме дают 5.
56.	Пусть требуется помножить 62 на 63.
Десятки данных чисел равны (60 и 60), а единицы в сумме дают 5 (2 + 3).
Отбросив единицы, мысленно перемножаем округленные числа одно на другое и произведение 60X60=3600 кладем на счеты; берем половину одного из округленных чисел, мысленно помножаем ее на 10 и произведение 30X10=300 тоже кладем; затем прибавляем произведение единиц 2X3=6. После чего будем иметь 3906.
Следовательно:
62X63=60X60+30 X Ю-|-2ХЗ=3600 + 300+6=3906.
От уменьшения множимого на 2 и множителя на 3, произведение уменьшилось на 63Х2+6ОХЗ=ЗО6, а потому к 60X60=3600 прибавляем 300 й 6.
57.	Пусть еще требуется помножить 93 коп. на 92.
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Округлив, по предыдущему, данные числа путем отбрасывания единиц, кладем на счеты 90X90=8100 (к.)=81 р.; берем половину одного из округленных чисел, помножаем ее на 10 и кладем 45X10=450 (к.)=4 р. 50 к.; затем прибавляем 2X3=6 (к.). На счетах получится 85 р. 56 к.
Следовательно:
93 К.Х92=90Х90+45ХЮ +2X3=8100+450+6=85 р. 56 К. 06‘яснение то же, что и к § 56-му.
в)	Десятки равны, а единицы в сумме дают 15.
58.	Пусть требуется помножить 79 на 76. Десятки равны (70 и 70), а единицы в сумме дают 15 (9 + 6).
! Отбросив единицы, мысленно перемножаем округленные-'числа и произведение 70X70=4900 кладем на счеты; берем 70, помножаем на 10 и кладем 700; берем половину от 700 равную 350 и тоже кладем; наконец, прибавив произведение единиц 6X9=54, получим 6004.
: Следовательно:
j 79X76=70X70 +70ХЮ+-^^-+бХ9=-4900 + 7 00+3504--|-54=6004.
59.	Пусть еще требуется помножить 88 коп. на 87.
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Округлив, по предыдущему, данные числа, помножаем их одно на другое и произведение 80X80=6400 (к.)=64 р., кладем на счеты; прибавляем 80X10=800 (к.)=8 р.; прибавляем половину от 800 (к.), равную 4 р., и, наконец, прибавляем произведение единиц 8X7—56 (коп.); получим. 76 руб. 56 коп.
Следовательно:
88 К.Х87=80Х80-|-80Х104—^^^-4-7X8=6400 + 8004-4-400-1-56=7656 к—76 р. 56 к.
От уменьшения множимого на 8 и множителя на 7, произведение уменьшилось на 88X74-80X8=1256, а потому К: 80X80=6400 прибавляем 80X104-8X54-8X7=1256.
Правила. Результат умножения равен:
при 10: квадрату округленного числа -|т произведение окр. числа на 10 4~ произведение единиц;
при 5: квадрату окр. числа произведение половины окр., числа на 10 -|- произведение единиц;
при 15: квадрату окр. числа 4~ произвдение окр. числа на-10 -|- произведение 'половины окр. числа на 10 произведение единиц.
Примечания: 1) Если один или оба сомножителя имеют нули, напр., требуется помножить 4300 на. 470, то (нули отбрасываются и перемножаются числа 43 и 47 по § 54-му, к окончательному результату отброшенные нули приписываются:
43X47=40X404-40X10 + 3X7=2021, С нулями 2021000.
— 46 —
2)	Прием §§ 54—60 весьма удобен для устного умножения.
г)	Десятки в сумме дают 100, а единицы равны.
'60. Пусть требуется помножить 67 на 47.
Десятки данных чисел в сумме дают 100.(60+40), а единицы фавны (7 и 7).
Отбросив мысленно единицы, перемножаем десятки и произведение 60X40=2400 кладем на счеты; помножаем 7 на 100 и произведение 7X100=700 прибавляем к 2400; наконец, помножаем 7 на 7 и произведение 7X7=49 тоже прибавляем. На счетах имеем 3149.
Следовательно:	г
67 X 47 = 60 Х Ю + 7 -|- 100 + 7X7 = 2400 +- 700 4-4- 49 = 3149.
Отбрасыванием во множимом и во множителе по 7, мы уменьшили произведение на 7 х (60-J-40) = 700 и, кроме того, на 7 х 7 = 49, а потому к 60 X 40 = 2400 прибавляем 700 И 49.
61.	Пусть еще требуется помножить 86 коп. на 26.
Действуем как с отвлеченными числами, выражая произведение на проволоках рублей и копеек.
Отбросив единицы, перемножаем десятки и произведение 80 X 20= 1600 коп. = 16 руб. кладем на счеты; помножаем 6 на 100 и произведение 6ХЮО=6ОО коп. = 6 руб. прибавляем к 16 руб.; наконец, помножаем 6 на 6 и произведение 6X6=36 коп. тоже прибавляем. На счетах имеем 22 р. 36 коп.
Следовательно:
86 коп.х 26=80 X 20-1- 6 х 100 4-6 X 6=16 руб.4-6 руб. + 4- 3G коп.=22 руб. 36 к. .
06‘яснениё то же, что и к § 60-му.
д) Десятни в сумме дают 50, а единицы равны.
62.	Пусть требуется помножить 36 на 26.
Десятки данных чисел в сумме дают 50 (304-20), а единицы равны (6 и 6).
.Отбросив единицы, перемножаем десятки и произведение 30X20=600 кладем на счеты; берем одно отброшенное
— 47 —
число единиц 6, мысленно помножаем его на 100, и, разделив в уме полученное произведение (600) пополам, кладем на счеты 300; прибавив затем произведение единиц 6X6= +36, получим 936.
' Следовательно:
зб х 26 = зо х 20 + LK122 _|_ зб = боо + зоо -j-
+ 36 = 936.
Отбрасыванием во множимом и множителе по 6 мы уменьшили произведение на 6 X (30 + 20) = 300 и, кроме того, на 6 X 6 = 36, а потому к 30 X 20 = 600 прибавляем •300 и 36.
63.	Пусть еще требуется помножить 37 коп. на 27.
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Округлив, по предыдущему, данные числа отбрасыванием единиц, помножаем 30 на 20 и произведение 30X20=600 (к.) =6 руб. кладем на счеты; помножаем 7 на 100 и кладем половину этого произведения 350 (к.)=3 р. 50 к.; прибавив 7X7=49 (К.), получим 9 р. 99 к.
Следовательно:
37 к.Х 27=ЗОХ20+^2-™+7Х7=600 + Зэ04-40=999 (к.) = =9 р. 99 К.
06‘яснение то же, что и к § 62-му.
<е) Десятки в сумме дают 150, а единицы равны. /
64. Пусть требуется помножить 87 на 77.
Десятки в сумме дают 150 (80	70), а .единицы равны
(7 и 7).
Отбросив единицы, получим новые числа 80 и 70; мысленно перемножаем их и произведение 80X70=5600 кладем на счеты; берем одно отброшенное число единиц 7, мысленно помножаем его на 100 и кладем 700; берем половину от 700, равную 350, и тоже кладем; наконец, прибавляем произведение единиц 7X7=49. На счетах полу-' чим 6699.
— 48 —
Следовательно:
87Х77=8ОХ7О + >7Х1ОО + ^“--+7Х7=56ОО-Н7ОО4-35О +
4-49=6699. '
Отбрасыванием во множимом и во множителе по 7, мы уменьшили произведение на 7 X (80 4- 70) = 1050 и на 7X7=49, а потому к 80X70=5600, прибавляем 700, 350 и 49.
65. Пусть еще требуется помножить 94 коп. на 64.
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Округлив по предыдущему данные числа, помножаем 90 на 60 и произведение 90X60=5400 (к.)=54 руб. кладем на счеты; помножаем 4 на 100 и кладем 400 (к.)=4 руб.; берем половину от 400 (к.), равную 200 (к.)=2 руб. и тоже кладем; приложив затем 4X4=16 (к.), будем иметь 60 руб. 16 коп.
Следовательно:
4 у ЮО
94 К.Х64=90Х60 + 4X100-]—------^4X 4=5400 4- 400 4-2004-
4-16=6016 (к.)=60 р. 16 К.
06‘яснение то же, что и к § 64-му.
Правила. Результат умножения равен:
при 100: произведению округленного числа на округленное-\-произведение единиц на 100-\-квадрат единиц;
при 50: произведению окр. числа на окр.-\-половина произведения единиц на 100 4- квадрат единиц;
при 150: произведению окр. числа на окр. -f- произведение единиц на 100 половина произведения единиц на 100 квадрат единиц.
Примечания. 1) То же, что в § 59 (примеч. 1); напр., если требуется помножить 670 на 4700, то. ПО § 60-му 67X47=60X404-7X1004-7X7=3149, а с нулями 3149000.
2) Прием §§ 60—66 удобен для устного умножения.
Случай, сходный с предыдущим.
Г	— 49 —
р ж) Десятки в сумме дают 110, а единицы равны.
66.	Пусть требуется помножить 76 на 46.
г Десятки этих чисел в сумме дают 110 (70 + 40), а еди-ь ницы равны (6 и 6).
f Отбросив единицы, перемножаем в уме округленные | числа и произведение 70X40=2800 кладем на счеты, при-| бавляем произведение 6XI 10=660 и произведение единиц I 6X6—36. На счетах получим 3496.
g Следовательно:
76X46=70X40 + 6X110 +6X6=2800 + 660-f-36=3496.
г 06‘яснение в общем то же, что и к § 64-му.
>.	67. Пусть еще требуется помножить 68 коп. на 58. Дей-
ствуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек. Отбросив единицы, кладем на счеты 60 X 50 = 3000 (к.)=30 руб., прибавляем 8X110=880 (к.)=8 р. 80 к. и 8X8=64 (к.). На счетах получим 39 р. 44 к.
Следовательно:
68 К.Х58=60Х50 + 8Х 110 + 8X8=3000 + 8804-64=3944 (к.)= =39 руб. 44 к.
, Об‘яснение в общем то же, что и к § 64-му.
Примечание. Этим приемом можно воспользоваться и в том случае, если десятки дают в сумме 120, 130, 140, 150, 160, 170 И 180.
Умножение двухзначных чисел, оканчивающихся на 1.
68.	Пусть требуется помножить 61 на 31.
Мысленно отделяем единицы и кладем на счеты произведение округленных чисел 60X30 = 1800; складываем в уме округленные числа и сумму их (60 4- 30= 90) тоже кладем; наконец, прибавляем 1; после чего будем иметь 1891.
Следовательно:
j	61X31=60X30+(60 + 30)+1=1891.
Г	4
I
— 50 —
Отбросив по 1 во множимом и во множителе, мы уменьшили произведение на 91, а потому к 30X60=1800 прибавляем 90 и 1.
69.	Пусть требуется узнать: сколько следует заплатить за 81 клг. масла по 41 коп.?
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек: сначала произведение 80X40=3200 коп.=32 руб., потом сумму 80 + -(-40=120 к.=1 р. 20 к. и, наконец, 1 коп.; после чего будем иметь 33 р. 21 к.
Следовательно:
За 81 кг. по 41 коп.=80Х40-Н80-Н0)-Ь1=3321 к.= =33 р. 21 к.
06‘яснение то же, что и к § 68-му.
Умножение трехзначных чисел, оканчивающихся на 1.
70.	Пусть требуется помножить 241 на 301.
Отбросив единицы, кладем на счеты произведение 240Х Х300=72000, прибавляем еще 240 и 300 и, наконец, 1. На счетах получим 72541.
Следовательно:
241Х301=240Х300-|-(24О+300)+1=72541.
Пусть еще требуется узнать: сколько следует заплатить за 251 метр материи по 1 р. 51 к.?
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек: сначала произведение 250X150=37500 коп.=375 рублей, потом 250 к.= =2 р. 50 к. и 150 к.=1 р. 50 к. и, наконец, 1 коп., после чего будем иметь 379 р. 1 коп.
Следовательно:
За 251 метр материи по 1 р. 51 к.=250Х150-}-(250-|-150)-|--(-1=379 руб. 1 коп.
06‘яснение то же, что и к § 69-му.
Правило. Результат умножения равен: произведению округленных чисел-\-сумма окр. чис.-\-1.
— 51 —
Умножение чисел, из которых одно больше, а другое меньше третьего на одно и то же число.
71.	Пусть требуется помножить 132 на 128.
Здесь мы видим, что множимое больше 130 на 2, а множитель меньше 130 на 2. Отнимем от множимого 2, а к множителю прибавим 2; тогда получим числа 130 и 13Q. Перемножаем эти числа между собою (что легко сделать в уме: 13X13=169, а приписав мысленно справа два нуля, получим 16900) и произведение 130X130 = 16900 кладем на счеты; берем теперь то число, которое от одного отняли, •а к другому прибавили, т.-е. 2, помножаем его само на себя и произведение 2X2 = 1 скидываем с положенного числа. Тогда будем иметь 16896.
Следовательно:
132X128=130X130—2X2=16900—4=16896.
Отбросив во множимом 2, мы уменьшили произведение на 128X2=256, а прибавив к множителю 2, увеличили произведение на 130X2=260. В общем искомое произведение -нами увеличено на 260—256=4; поэтому из 130X130=16900 вычитаем 2X2=4.
72.	Пусть еще требуется помножить 66 коп. на 54.
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая •произведение на проволоках рублей и Копеек.
Отнимем от множимого 6, а к множителю прибавим 6; вновь полученные числа перемножаем и произведение 60X60=3600 коп.=3б руб. кладем на счеты; теперь берем число 6, которым уравняли данные числа, помножаем его само на себя и произведение 6 X 6 = 36 коп. скидываем с положенного числа. Тогда будем иметь 35 руб. 64 коп.
Следовательно:
«6 коп.X54=60X60—6X6=3600—36=3564 к.=35 руб. 64 к. Об‘яснение то же, что и к § 71.
Примечания. 1) Прием этот очень удобен для устного умножения. Основан он на известной алгебраической формуле произведения суммы на разность (a-f-b)(a—Ъ)=а2—Ъ2. Так, напр., для § 71, 4*
— 52 —
где a = 130 и Ъ = 2, получим по этой формуле: (1304-2)(130—2)=16900-|-2бО—260—4 = 16900—4= =16896.
2)	К этой формуле умножения следует хорошенько присмотреться, так как она м. б. полезной при самых разнообразных числовых сочетаниях, напр.: 62X38=50’—122; 65Х35=502— 152; 115X65=90’—25’; 95 X 35 = 65*—30’; 372X428= =400’—28’; 4976X5024=5000’—2/2 и т. п. целые и дробные числа.
3)	Порядок умножения остается тот же, если данные числа оканчиваются нулями. Напр., требуется помножить 3070 на 29300. Помножаем 300 на 300 и получаем 90000. От этого произведения отнимаем 7Х7- К результату 89951 мысленно приписываем три отброшенных нуля. После чего получим число 89951000.
Умножение одинаковых чисел, оканчивающихся на 5.
73.	Пусть требуется помножить 85 на 85.
Увеличим одно из двух данных чисел, напр., множимое, на 5, а множитель уменьшим на 5; тогда получим новые числа 90 и 80; мысленно перемножаем эти числа и кладем на счеты 7200; прибавляем еще 5X5=25; после чего будем иметь 7225.
Следовательно:
85 X 85=90X80-J-5X 5=7200+ 25=7225.
Отбросив во множителе 5, мы уменьшили произведение на 85X5=425, а прибавив к множимому 5, увеличили произведение на 80X5=400. В общем искомый результат нами уменьшен на 425—400=25, поэтому к 90X80=7200 прибавляем 5x5=25. Запомнить: в подобных случаях число 25 есть величина постоянная, она всегда прибавляется.
74.	Пусть еще требуется помножить 1 р. 35 к. на 135.
Действуем как с отвлечевными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек. Перемножив вместо 140 и 130, числа 14 и 13 и к полученному про-
h	— 53 —
.взведению 182 мысленно приписав два отброшенных нуля, будем иметь число 18200 коп. К этому числу 182 рубля, Доложив его на счеты, добавляем еще 5 X 5 = 25 к.; после чего будем иметь 182 р. 25 к.
Следовательно:
1 р. 35 к.Х 135=140X130-4-25=182,25 р.=182 р. 25 к.
06‘яснение то же, что и к § 73.
75.	Возьмем такие числа, которые одинаковы между собою лишь значащими цифрами.
Пусть требуется, напр., помножить 7500 на 750. -
Отбросив от обоих сомножителей нули, перемножаем в уме (§ 73) 80 на 70 и кладем на счеты 5600; прибавив к 5600 еще 5X5=25, будем иметь 5625. Но так как во множимом было отброшено два нуля и во множителе один нуль, то все произведение нами уменьшено в 100 X 1° — = 1000 раз. Поэтому, к числу 5625 следует мысленно приписать три нуля (§ 38); после чего будем иметь 5625000.
Следовательно:
7500Х750=(80Х 704-25)Х100Х10=(56004-25)Х(100Х10)= =5625000.
06‘яснение то же, что и к § 73.
Примечания. 1) Вместо мысленного приписыва-,ния нулей можно сразу класть произведение значащих цифр через столько проволок вверху, сколько образовалось нулей по округлении 5-кой. Так, в примере § 75-го можно положить 56 через пять проволок и прибавить 25 через три проволоки кверху.
2)	Рассмотренный прием весьма удобен для устного умножения, а также вполне применим и к дробным числам, например, 0,35X3,5 и пр. /
Правило. Один сомножитель увеличивают, а другой уменьшают на 5, вновь полученные числа перемножают и к произведению прибавляют 25.
— 54 —
Умножение одинаковых чисел, оканчивающихся всякой цифрой.
(Кроме того, см. §§ 83—88).
1-й случай.
76.	Пусть требуется помножить 226 на 226.
Увеличим одно из данных чисел, напр., множимое на 6, а множитель уменьшим на 6; тогда получим числа 232 и 220; так как множитель оканчивается на нуль, то находим на счетах произведение 832X 22 (§§ 44 и 48) проволокой выше обыкновенного и прибавляем еще 6 X 6=36; после-чего будем иметь 51076.
Следовательно:
226X226=232X220+6X6=51040-1-36=51076.
От прибавления 6 единиц к множимому произведение-увеличилось на 6X220=1320, а от уменьшения множителя на 6 единиц произведение уменьшилось на 6 X 226=1356.. Таким образом, искомое произведение уменьшилось на. 1356 — 1320 = 36, а потому к 236 X 220 = 51040 прибавляем 6X6=36.
77.	Пусть еще требуется помножить 2 р. 73 к. на 273.
' Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая^ произведение на проволоках рублей и копеек; по прибавлении к множимому и по отнятии от множителя цифры з, получим числа 276 и 270; так как новый множитель оканчивается на нуль, то находим на счетах произведение 276X27’ (§§ 44 и 51) проволокой выше обыкновенного и прибавляем еще ЗХ3=9; после чего будем иметь 74529 коп.=745 руб. 29 коп.
Следовательно:
2 р. 73 К.Х273=276Х27О+ЗХЗ=7452О К-+9 к.=74529 к.= =745 р. 29 К.
Об‘яснение то же, что и к § 76-му.
Правило к §§ 76 и 77:
Один сомножитель увеличивают, а другой уменьшают на. цифру простых единиц, вновь полученные числа перемножают.
— 55 —
и к произведению прибавляют цифру простых единиц, помноженную саму на себя.
2-й случай.
(Квадрат суммы).
78; Пусть требуется помножить 304 на 304. Округляем 304 до 300, помножаем округленное число само на себя и произведение 300X300=9000 кладем на счеты; берем снова округленное число 300, помножаем его на удвоенное отброшенное число, т.-е. на 2X4=8 и произведение 8X300=2400 прибавляем к положенному на счеты; берем еще раз отброшенное число 4, помножаем само на себя и произведение 4X4 = 16 прибавляем к лежащей на счетах сумме, после чего будем иметь 92416.
Следовательно:
304 X 304=300Х 300-|-2 X 4 X 3004-4 X 4=9000 + 2400-f-16= = 92416.
Отбрасыванием во множимом и во множителе по 4 мы уменьшили произведение на 300X4-4-304X4=2416, а потому к произведению 300X300=90000 прибавляем 2400 и 16.
79. Пусть еще требуется узнать, сколько следует заплатить за 512 клг. товара по 5 р. 12 к. Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек. Округлив число 512 до 500, помножаем 500 само на себя и произведение 500X500=250000 коп.=2500руб. кладем на счеты; помножаем в уме 500 на удвоенное отброшенное, т.-е. на 2X12 и произведение 2X12X500=12000 к.= 120 р. кладем на счеты; помножаем в уме 12 само на себя и произведение 12X12 ==144 коп.=1 р. 44 к. добавляем к положенному. На счетах имеем 2621 р. 44 к.
Следовательно:
за 512 КГ. по 5 р. 12 К. = 500X500=2X12X500+12X12= =250000 К.+ 12000 К. + 144 К.=2500 р. + 120 р. + 1 р. 44 К.= =2621 р. 44 к.
06‘яснение то же, что и к § 78-му.
Примечания: 1) Прием §§ 78 и 79 удобен й для устного умножения. Основан он на известной
— 56 —
алгебраической формуле квадрата суммы двух чисел (аХв2)=а2-|-2 ав4~в2. Так, напр.,для§ 78, где а=300 и в=4, по этой формуле получаем: (3004-4). (300 + 4)=8ООЧ-2 X 800 X 4-|-42=90000 + 4-24- 4X3004-16=92416.
2) Формула м. б. полезной при самых разнообразных случаях умножения целых и дробных чисел, напр.: ЗоЗоо X 3050 = (3002 +2X5X300-}-+52) X 1000;'.4>ОЗХО,403==(40024-2ХЗХ4004-32): 100000 и т. п.
Правило и §§ 78 и 79.
Данное число округляют до числа десятков, сотен, тысяч и т. д., вообще до числа с нулями. Затем берут квадрат округленного числа, к полученному прибавляют удвоенное произведение отнятого числа на округленное и к сумме прибавляют квадрат отнятого числа.
(Квадрат разности).
80. Пусть требуется помножить 497 на 497.
Округляем 497 до 500, помножаем округленное число. само на себя и произведение 500 X 500 =,250000 кладем на счеты; берем опять округленное число 500, помножаем его на удвоенное округляющее число, т. е. на 2X3=6 и произведение 6X500=3000 скидываем с положенного; берем снова 3, помножаем его само на себя и произведение 3X3=9 прибавляем. На счетах имеем 247009.
Следовательно:
497X497=500X500—2X3X5004-3X3=250000—30004-9= =247009
От прибавления к множимому и множителю по 3 единицы произведение увеличилось на 2 X ЗХ 500=3000; поэтому из 500X500=25000 вычитаем 3000; однако, и в произведении 2X3X500=3000 мы допустили погрешность, взяв множителями з и 500, а не 3 и 497 (вместо 3X497 взято 3 X 500), т.-е. вычли более следуемого на 3 X3 = 9 (3X500—ЗХ X497=9); в виду этого к результату прибавляем 3X3=9.
J
— 57 —
81. Пусть еще требуется помножить 8 р. 48 к. на 848.
Во-первых, действуем как с числами отвлеченными, выкладывая произведение на проволоках рублей н копеек; во-вторых, округляем 848 до 850; помножаем округленное число само на себя (§ 73) 850X850 = 722500 коп. =7225 р. и кладем на счеты; берем округленное число 850, помножаем его, по предыдущему, на 2X2 и найденное произведение 850X4=3400 коп.=34 руб. скидываем с положенного числа; берем снова число 2, помножаем' его само на себя и произведение 2 х 2 = 4 коп. прибавляем. На счетах имеем 7191 руб. 04 коп.
Следовательно:
8 р. 48 к.Х848=850Х850—850X44-2X2=722500 К,—3400 K.-f-+ 4 К.=719104 к.=7191 р. 04 К.
06‘яснение то же, что и к § 80-му.
Примечания. 1) Прием §§ 80 и 81 также удобен для устного умножения. Основан он на известной алгебраической формуле квадрата разности двух (а—в2)=а2—2ав-|-в*. Так напр., для § 80, где а=500 и в=3, по этой формуле получаем: (500—3), (500—3)=5002—2X500X3 4-4-3^250000—2X5004-9=247009.
2) К этой формуле в равной степени относится п. 2-й примечания § 79-го.
Правило к 80 и 81.
Данное число округляют до числа десятков, сотен, тысяч и т. д., вообще до числа с нулями, Затем берут квадрат округленного числа, от полученного отнимают удвоенное произведение добавленного числа на округленное и к сумме прибавляют квадрат добавленного.
Другой‘способ умножения одинаковых чисел, оканчивающихся всякой цифрой.
(Возведение в квадрат всех чисел от 1 до 1000).
82.	Возвести число в квадрат—значит помножить его •само на себя. Напр., умножение 24 на 24 есть возведение
— 58 —
в квадрат числа 24. Для краткости это умножение обозначают так: 242, т.-е., что число 24 берется множителем 2 раза,. Учащимся постоянно приходится иметь дело с возведением 2-х и 3-х значных чисел в йвадрат, особенно при решении алгебраических задач на квадратные уравнения, в которых
—Ъ+	—4ас х	*
формула х=----~—---------требует неизбежного возведения
ad
в квадрат подрадикальной величины Ъ.
И в практической жизни- необходимость помножать число само на' себя встречается нередко. Может случится, что ни один из способов, рассмотренных нами в §§ 73—81, не представится достаточно удобным для такого умножения. Поэтому, в предлагаемом отделе мы познакомимся с другими приемами возведения в квадрат всех чисел от 1 до 1000. Выполняется это действие довольно быстро на счетах, письменно и даже в уме при помощи некоторых искусственных комбинаций с числами и при умении скорого нахождения квадратов первых 60 чисел.
Нахождение квадратов первых 60 чисел.
Квадрат чисел от 11 до 30.
83.	Пусть требуется возвести в квадрат 23, или, что все равно, помножить 23 на 23.
Отнимаем 10 от 23 и полученную разность 13 помножаем на 4 и на 10; к произведению 13X4X10=520 прибавляем квадрат разности между 23 и 20, т.-е. 3 s.
Следовательно:
23 2=(13Х4)Х10 + 3 2=52Х104-9=529. или:
18 2=(8Х4)Х104-2 2=32X104-4=324.
или:
27=(17Х4)ХЮ + 7 2=68X10 + 49=729.
Доказательство. Каждое'число, заключающееся между 11 и 30 может быть представлено в виде суммы 2О4~а (где а. может оказаться положительным или отрицательным), тогда (204-а) 2=400-4-40а-|-а2.
— 59 —
Вынося за скобку из двух первых чисел этой суммы: 40 и представив 40 в виде 4ХЮ, получим 4X10(10-f-a)-|-a2, т.-е. данное число без 10, умноженное на 4 и на 10 плюс квадрат разности между данными числами и числом 20.
Правило. От данного числа отнимают 10; разность помножают на 4 и на 10 и к результату прибавляют квадрат, разности между данным числом и числом 20.
Квадрат чисел от 30 до 50.
84.	Пусть требуется возвести в квадрат 37, или, что все равно, помножить 37 на 37.
Отнимаем 20 от 37 и полученную разность 17 помножаем на 4, на 2 и на 10; к произведению 17X4X2X10=1360. прибавляем квадрат разности между 37 и 40, т.-е. 3*.
Следовательно:
372=[(17Х4)Х2]Х10 + 32=68Х2Х104-9=1369. или:
422=[(22Х4)Х2]Х10-|-22=-88Х2Х10+4=1764. или:
46 М. ПО 46 КОП.=[(26Х4)Х2]Х10+6=104Х2ХЮ + 36= =2116=21 р. 16 К.
Доказательство. Каждое число, заключающееся между 80* и 50, может быть представлено в виде суммы 40-j-a, где а может оказаться положительным или отрицательным; тогда (404-а2)= 1600+80а+а2.
Вынося за скобку из двух первых чисел этой суммы 80 и представив 80 в виде 4Х2ХЮ, получим 4X2X16 (20-{-а)-|-а2, т.-е. данное число без 20, умноженное на 4, на 2 и на 10 плюс квадрат разности между данным числом и числом 40.
Правило. От данного числа отнимают 20; разность помножают на 4, на 2 и на 10 и к результату прибавляют квадрат-разности между данным числом и числом 40.
Квадрат чисел от 40 до 60.
85.	Пусть требуется возвести в квадрат 48, или, что всеравно, помножить 48 на 48.
— 60 —
Отнимаем 25 от 48 и полученную разность 23 помножаем на 100; к произведению 23X100=2300 прибавляем квадрат разности между 48 и 50, т.-е. 22.
Следовательно:
482—23Х100-|-22=2304 или:
542=29ХЮ0+42=2916 или:
56 клг. по 56 к.=31Х100 +68=3136=31 р. 36 к.
Доказательство, Каждое число, заключающееся между 40 и 60, может быть представлено в виде суммы 50+а (где а может оказаться положительным или отрицательным); тогда
(504-а)2=250о4-юоа4-а2.
Вынося за скобку из двух первых чисел этой суммы 100, получим 100 (2 5-|-а)—а2, т.-е. данное число без 25, умноженное на 100 плюс квадрат разности между данным числом и числом 50.
. Правило. От данного числа отнимают 25; разность помножают на 100 и к результату прибавляют квадрат разности между данным числом и чиелрм 50.
Нахождение квадратов чисел от 25 до 1000.
86.	Здесь применим следующий своеобразный способ; Предположим, что от 1000 отняты первые 25 единиц, а все остальные 975 единиц поделены на 20 групп так, что каждая следующая группа отличается от предыдущей на 50 единиц. Тогда окажутся числа, оканчивающиеся в пределах от 25 до 75, от 75 до 125, от 125 до 175 и т. д,: числа же 50, 100, 150, 200 и т. д., ближайшие к возводимым в квадрат числам (меньшим и большим, нежели 50, 100, 150, 200 и т. д.), условимся называть основаниями.
Следовательно:
Для	чисел	ОТ 25	до	75	основанием	будет	50
»		»	57		125	»		100
	»	» 125		175	»	)>	150
		» 175		225		»	200
		и т. Д.	ДО	1000			
— 61 —
Условимся еще называть дополнением разность между возводимым в квадрат числом и его основанием.
Так, для возведения в квадрат:				
47-jjh дополнение будет + 3, т. к. его основ.				50
• 63-Х	»		—13, »	» »	50
98-ми	»	*»	+ 2, »	)) »	100
167-МИ	»	»	—17, »	» »	150
	и	т. п.		
И, наконец, условимся		называть	частное от	деления
основания на 50 дополнительным множителем, т.-е.				
при основании	в 50 дополнит, множитель есть 1			
	» 100			2
	» 150		» >	3
» »	» 200		» »	4
	и	Т. д.		
Приняв все это к сведению, найдем квадраты чисел 4-х нижеследующих параграфов, а затем выведем и соответствующее правило.
87.	Пусть требуется 47 возвести в квадрат.
Это число оканчивается в пределах между 25 и 75, а потому его основание есть 50; разность между 50 и 47 равна 3, значит дополнение 47 есть з.
Мысленно возводим в квадрат основание 50 (52—25 и два нуля) и кладем на счеты 2500; мысленно помножаем 3 на 100 и результат скидываем; возводим в квадрат дополнение 3 и результат прибавляем. На счетах имеем 2209.
Следовательно:
472=502—ЗХ100-ф32=2500—-300-ф9=2209. '
От прибавления к сомножителям по 3 ед. произведение увеличилось на 47X3=141 и на 50X3=150, всего на 291; т. к. от 2500 отнято не 291, а 300, то прибавляем 9.
88.	а) Пусть требуется 63 возвести в квадрат. ‘
Здесь основание тоже 50, а дополнение 13.
Кладем на счеты квадрат основания, прибавляем произведение Дополнения на 100 и квадрат дополнения (132=±169,. см; § 88). На счетах имёем 3969.
— 62 —
Следовательно:
632=5024-13Х1004-132=250а4-13004-169=3969.
От уменьшения каждого из сомножителей на 13 произведение уменьшилось на 50X13=650 и на 63X13=819, всего на 1469, а потому к 502=2500 прибавляем 1300 и 169.
б)	Пусть требуется 76 возвести в квадрат.
Основание 100 и дополнение 24.
Кладем на счеты квадрат основания; скидываем произведение дополнения на 2 и на 100 и прибавляем квадрат дополнения (242=(14Х4)Х1°+42=57б, см. § 82). На счетах имеем 5776.
Следовательно:
762=1002— 24X2 X 100-|-242=10000— 4800 + 576=5776.'
06‘яснение то же, что и к § 87-му.
в)	Пусть теперь требуется 168 возвести в квадрат.
Основание 150 и дополнение 18.
Кладем на счеты квадрат основания (152==225 и два нуля); прибавляем произведение дополнения на 3 и на 100; прибавляем квадрат дополнения (182=(8Х4)ХЮ+2=±324). На счетах имеем 28224.
Следовательно:
1682=15024-18 Х 3 X 100-|-182=22 500+5400 + 324=28224.
06‘яснение то же, что и к § 88-му п. а.
Правило. Квадрат числа равен квадрату его основания, плюс или минус произведение дополнения на 1 или на 2, или на 3, или на 4, или на 5 и т. д. « на 100 плюс квадрат дополнения.
Важные замечания.
89.	1) Мы видели,-что при основании 100 дополнение помножается на 2 и при 150—на 3 (§ 88).' Следовательно, при основании 200 дополнение должно быть учетверено, при 250—упятерено, при 300—ушестерено ит.д. Словом, дополнение, кроме умножения на 100, должно быть всякий раз умножаемо еще и на частное от деления основания на 50. .Для этого достаточно сообразить, сколько раз число 50 содержится в подходящем основании, так как это основание
— 63 —
всегда кратно 50. Напр., если основание 150, то дополнение следует утроить,, потому что 150:50=3; при основании 400 дополнение следует помножить на 8, потому что 400:50=8 и т. д.
2) Мы видели также, что произведение дополнения на 100 и на 2, на 3, на 4, на 5 и т. д. иногда прибавляется к квадрату основания, а иногда вычитается из него. Это зависит от величины данного числа и подходящего основания. Если возводимое в квадрат число больше подходящего основания, то произведение дополнения на 100 и на одного из указанных множителей прибавляется, а если меньше, то это произведение вычитается.
3) Квадрат дополнения всегда прибавляется, так как и отрицательное число., возведенное в четную степень, становится положительным, напр. (—2)2=-|-4.
Примеры на возведение в квадрат.
532= 502 -|- 3 X 100 4- 32= 25004- 300 4- 9= 2809 462= 5Q2 — 4 X 100	42= 2500— 400 -f- 16= 2116
882=1002—12Х 2X100 + 122= 10000— 24004-144= 7744 1632=15024-13Х ЗХЮ0 + 132= 225004- 3900 + 169= 26569 1892=2002—ИХ 4X1004-112= 40000— 4400-|-121= 35721 2562=2502+ 6Х 5X1004- 62= 625004- 3000-}- 36= 65536 2782=3002—22Х 6X1004-222= 90000—13200 + 484= 77284 4132=40024-13Х 8X1004-132=1600004-104004-169=170569 4862=5002—14X10X1004-142=250000—140004-196=236196 6372=6502— 13Х13ХЮ0 + 132=425000—169004-169=405769
Умножение на 2'/=, 5, 12’4, 25, 371/2, 50, 75, 125, 250, 625, 3125, 225 и 275.
90. Чтобы помножить число
яа	21/2,	надо помножить его на				ю и разделить на			4.
»	5	»	»			10	)>		2.
»	12V2	» •	»	»	»	100	»	»	8.
5»	25,	»	»	»		100		»	4.
»	З71/2	»	»		»	300	»		8.
»	50		9	»	»	100	»	»	2.
	75	»	»	»	»	300		3>	4.
	125			»	>	1000		»	8.
— .64 —
на	250	надо помножить его на				1000 и разделить на 4.	
»	625	»	»	»	»	10000	»	»	16.
>	3125		>	»	»	100000	»	»	32.
»	.225	»	»		»	1000	»	» ' 4.
				и частное скинуть* пров. ниже.			
»	275	»	»	>		1000	и разделить на 4.
и частное прибавить пров. ниже. Перемножим на все эти множители какое-нибудь число,
напр., 264 или 2 р. 64 к.			
264	х2,/2=^	Отв.	660.
2 р. 64	к.Х Л	• >	13 р. 20 К.
264	xi2>/^251|ioo	Отв	3300
2 р. 64	к.Х25=Щ!2^		66 р.
264	Х37./.=^^°	,		9900.
2 р. 64	к.Х 50=2^^“	а	132 р.
264	х 75_	а	19800
2 р. 64	к.х 8	»	330 р.
264	х25О=^ооо	»	66000.
2 р. 64	к V 625 2 Р- 64 К-Х10000		1650 р.
	К.Х 620—	Jg		
264	Х3125=—в4^1^-000-	»	825000.
264	х 225=^2°°-6600 4	• »	59400.
264	X 275^541°2°+6600		72600.
4
Умножение на числа, оканчивающиеся на W.
9t, В тех случаях, когда множитель или множимое оканчиваются на V2, напр. Хб’/г, 26'1/2, 34‘/2 и пр., следует помно-
— 65 —
жать на удвоенный множитель или множимое, в данном случае на 31, 53, 69 и пр. и «произведение разделить пополам (§ 40 п. 1).
	286 X 3	Примеры:	Отр	доп
4>OU Л	g				
286Хб'/2:	__ 286 X 11 2		т»	1573.
28 р. 60	9© К. X 157г=—	р. 60 к.х 31 2	1 л	443 р. 30 к.
18 р. 62	к. х 2б72=—	р. 62 К.Х 53 2		493 р. 43 к.
Умножение на 11, 111, 1111 и т. д.
92.	Если один из сомножителей есть 11,111,1111 ит. д., то умножение выполняется следующим образом: кладут на счеты произведение данного числа на самую младшую единицу, затем на следующую старшую одной пров. выше, затем еще на следующую старшую двумя пров. выше и т. д.*).
Пусть, напр., требуется помножить 428 на 111.
Кладем на счеты произведение 428X1=428; к этому числу прибавляем произведение 428X10=4280; к полученной сумме прибавляем 428X100=42800. Таким образом помножаем число на l-f-lO-f-lOO и на счетах имеем 47508.
Следовательно:
428Х11 l=428-]-4280-f-42800=47508.
93.	Пусть еще требуется, узнать: сколько уплачено за' 1111 м. товара по 2 руб. 45 коп. за ж.?
Действуем как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Кладем произведение 245X1—245 к.=2 р. 45 к.; к этому числу прибавляем произведение 245X10=2450 к.=24 руб. 50 к.; к полученной сумме прибавляем произведение 245Х X 100=24500 к.=245 р., и ко всему этому прибавляем еще
*) Результат получится тот же, если сначала положим произведение данного числа на самую старшую единицу, затеи на следующую младшую и т. д.
5
— 66 —
произведение 245X1000=245000 к.«=2450 р. Таким образом, 2 р. 45 к. помножаем на l^-lO-f-loo-MoOO и на счетах имеем 2721 р. 95 к.
Следовательно:
2 р. 45 К.ХШ1=245 К.Х1+245 К.ХЮ-|-245 К.Х100-{-245 К.Х X1000 =245 К. + 2450,к.4-24500 К-+245000 к.—272195 К0П.= '	=2721 р. 95 к.
Умножение на числа, составленные из нескольких одинаковых цифр.
94.	а) Пусть требуется помножит 562 на 333. Множитель составлен из 3-f-30-(-300; поэтому: находим произведение 562X3 (§ 43),—это будет 1686,—кладем одной проволокой выше 1686 (§ 35) и еще кладем двумя проволоками выше 1686. На счетах имеем 187146.
Следовательно:
562X333=562 X 3-1-562 X 30 + 562 X 300 = 1686 + 16860-{-+ 168600 == 187146.
б) Пусть еще требуется узнать: сколько надо заплатить за 763 Клг. товара по 40 руб. 44 коп. Примем эа множитель 40 р. 44 к.=4 к.-{-40 к.4-4000 к. Действуем как с отвлеченными числами, находя произведение на проволоках рублей и копеек.
Кладем на счеты 763X4 (§ 43)=3052 к. (=30 р. 52 к.), прибавляем 3052 одной проволокой выше и еще прибавляем тремя проволоками выше число 3052 (§ 35).
На счетах имеем 30855 р. 62 к.
Следовательно:
За 763 клг. ПО 40 руб. 44 КОП.=763Х4-|-763Х40+763Х 4000=3052 коп.-{-30520 КОП.-{-3052000 КОП.= 3085572 КОП.= 30855 руб. 72 КОП.
Умножение 11 на 11, 111 на 111, 1111 на 1111 и т. д.
95.	Следует иметь в виду, что в произведении 11 на 11, равном 121, или в произведении 111 на Ill, равном 12321
67 —
мт. д., число цифровых знаков получается на единицу меньше суммы цифровых знаков сомножителей и что цифры таких произведений, до средней включительно, всегда оказываются в восходящем порядке, напр. 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., а начиная со средней — в нисходящем, напр........... 5, 4,
3, 2, 1. Если это так, то при нахождении произведения двух одинаковых чисел, содержащих в каждом разряде по единице, следует положить на счеты прямо готовое Произведение.
Например:
•11X11	Отв.	121.
111X111	„	12321.
ПИХНИ	„	1234321.
11111X11111	»	123454321.
Примечание. Прием этот остается в силе и в тех случаях, когда числа 11, 111, 1111 и т. д. окончиваются нулями или выражают собою десятичную дробь.
Например:
11X110 За 1110 ф. по 1 р. 11 За 11110 п. по 111 р. или 0,11X11 111X0,111	к. 10 к.	Отв. 1210. „	1232 р. „	1234321 „ 1,21 „	12,321.		10 к. р-
Умножение на трехзначного	множителя,		кратного	И.
96. Заметим, что трехзначные числа, в которых сумма крайних чисел равна средней цифре, делятся на 11. При чем число, состоящее из крайних цифр, показывает сколько раз 11 содержится в данном трехзначном множителе. Напр.: 572Х=52Х11, 385=35ХИ и т. п.
а)	Пусть требуется помножить 5672 на 286.
Множитель 286 = 26 X И- Представив 26 в виде 25-|-1, ло § 89 помножаем 5672 на 25 и, прибавив 5672 (5672X0, ’будем иметь на счетах 147472. Теперь надо прибавить еще 147472X11- Для этого достаточно к лежащему на счетах
5 *
— 68 -
прибавить то же число (147472) проволокой выше (так как 11ХЮ+1).
На счетах получим 1622192.
Следовательно:
5672X286=5672X26X11=1622192.
б)	Требуется помножить 86 р. 92 к. на 462.
Здесь множитель 42X11- Помножаем по § 44-му 86 р. 92 к. на 40, прибавляем два раза по 86 р. 92 к. и к полученным на счетах 3650 р. 64 к. прибавляем то же число проволокой выше. На счетах будем иметь 40157 р. 04 к.
Следовательно:
86 р. 92 К.Х<62=86 р. 92 к.Х42ХИ=40157 р. 04 к.
Умножение на 99, 999, 9999 и на числа, близкие к 100, 1000, 10000 и т. д.
97. а) Если один из сомножителей есть цифра 9, повторенная несколько раз, то число, составленное из девяток, дополняем 1-цей, т.-е. округляем его до нулей; затем перемножаем по § 35 данное число на округленное и от произведения отнимаем один раз множимое.
Пусть Требуется помножить 654 на 99.
Помножаем 654 на 100 и получаем 65400; отняв 654 от 65400, будем иметь 64746.
Следовательно:
654X99=654X100—654=64746.
б) Если один из сомножителей есть число, близкое к 100, ЮОО, 10000 и т. д., то умножение выполняется также способом округления множителя.
Пусть требуется помножить 842 на 988.
Заметив, что множитель 988=1000—12, кладем произведение 842X1000=842000, отнимаем 842X10 =8240 и отнимаем два раза по 842. На счетах имеем 831896 *).
*) Этим путем должно умножать па множителей 198, 1998, 19998.. 297,
2997, 29997.. отнимая от произведения на округленного множителя 2, 3 раза,
множимое.	-
— 69 —
Следовательно:
842X988=842X1000—842X10—842X2=831896.
в) Пусть требуется помножить 684 на 1013.
Заметив, что множитель 1018 = 1000 +13, кладем 684Х Х1000= 684000, кладем 684X10=6840 и кладем три раза по 684. На счетах имеем 692892*).
Следовательно:
684ХЮ13=684Х1000-|-684Х10^-684ХЗ=692892.
Умножение на многозначного множителя.
98.	При умножении многозначных чисел на многозначные, пользуются в общем теми же приемами, с которыми мы уже знакомы, комбинируя сомножителей различными способами. Но от перемножения больших чисел получаются, конечно, большие произведения, и в массе цифр (костей) скорее может проскользнуть ошибка. Поэтому, при умножении чисел крупных значений, необходима’ осторожность в выборе приемов. Весьма желательно, чтобы считающий научился быстро подыскивать способы к возможному упрощению такого умножения (см. §§ 32 и 33).
В четырех нижеследующих параграфах мы укажем на несколько таких приемов, которых можно придерживаться при перемножении многозначных чисел.
99.	Множителем можно брать то именно число, на которое удобнее помножить, напр.:
а)	требуется помножить 122 на 678.
В этом примере множимое сделаем множителем и выполним действие умножения так: помножаем 678 на 22 (§ 48) и к полученному произведению прибавляем произведение 678X100=67800, после чего будем иметь 82716.
Следовательно:
678X122=678X224-678X100=82716.
*) Этим путем должно умножать на множителей 199, 1998, 19998.,	297, -
2997, 29997.  отнимая	от произведения на округленного множителя 2,3 раза
множимое.
— 70 —
б)	Требуется помножить 29 р. 80 к. на 6231.
И в этом случае множимое сделаем множителем; кромо того, дополняем его до круглого числа 3000 коп., т.-е. прибавляем 20 коп. Действуем, затем, как с отвлеченными числами, выкладывая произведение на проволоках рублей и копеек.
Помножаем 6231 на 3000 (§ 44) и получаем на счетах 18693000 коп.=186980 руб.; но так как множимое мы увеличили на 20 (коп.), то и все произведение увеличено на 6231X104-6231X10; поэтому, чтобы получить искомое число,, от первого произведения 186930 руб. отнимаем 623 р. 10 к. и 623 р. 10 к., после чего будем иметь 185683 р. 80 к.
Следовательно:
29 руб. 80 КОП.Х6231=(б231Х3000)—(6231X10 + 6231X10)= =185683 р. 80 К.
100; При умножении многозначного числа на многозначное, можно одного из сомножителей представить в виде суммы нескольких слагаемых, удобных для перемножения, в виде разности и в виде частного. При чем, самое умно-, жение на слагаемые можно производить в том порядке, какой представляется наиболее удобным.
Например:
(Множитель в виде суммы).
а)	Чтобы найти произведение 684 X 256, достаточно помножить 684 на (554-14~20°)-
б)	Чтобы найти произведение 8528Х1323, достаточно помножить 8528 на (303+204-1000).
в)	Чтобы найти произведение 3210X7436, достаточно помножить 7436 на (104-200 + 3000).
(Множитель в виде разности).
- г) Чтобы найти произведение 2764X4=38, достаточно помножить 2764 на (440—2).
д) Чтобы найти произведение 359X872, достаточно помножить 872 на (360—1).
(Множитель в виде дроби).
е) Чтобы найти произведение 384X125, достаточно 384 помножить на 1000 и результат разделить на 8.
— 71 —
ж) Чтобы найти произведение 750X634, достаточно помножить 634 на 3000 и результат разделить на 4.
Перемножим теперь на счетах указанные числа.
а) 684X256:
Кладем	684Х 55 (§ 48)	=	37620
Прибавляем 684X 1	=	б84
Прибавляем 684X200 (§ 44)	=	136800
•	На счетах 175104
б) 8528X1323:
Кладем	8528Х 303 (§§ 93 и 94)	== . 2583984
Прибавляем 8528Х 20 (§ 44)	—	170560
Прибавляем 8528 ХЮОО (§ 35)	=	8528000
На счетах 11282544
в) 3210X7436:
Кладем	7436Х 10 (§ 35)	=	74360
Прибавляем 7436 х 200 (§ 44)	=	1487200
Прибавляем 7436X3000 (§ 44)	=	22308000
На счетах 23869560
Г) 2764X438:
Кладем	2764X440 (§ 48)	—	1216160
Скидываем два раза по 2764	—	5528
На счетах 1210632
д) 872X359:
Кладем	872X360 (§ 51)	• =	313920
Скидываем за 1	==	872
На счетах 313048
е) 384X125:
Кладем	384X1000 (§ 35)	=	384000
Результат делим на 8 (§ 40, п. 3) 
На счетах 48000
Ж) 634X750:		
Кладем три раза 634ХЮ00 Результат делим на 4 (§ 40, п. 2)		1902000
На счетах 475500
101. Если при умножении на счетах отвлеченного числа-на отдельные слагаемые можно соблюдать лишь тот поря-
— 72 —
док, который представляет наибольшие удобства, то результат получится одинаковый и в том случае, когда будем иметь дело с ценой и с количеством меры и веса, напр.:
а)	сколько надо заплатить за 8528 л. вина по 13 р. 23 к.?
1)	Кладем на проволоках рублей и копеек произведение 8528X3 (§ 43);
2)	кладем то же произведение двумя проволоками выше* так как 300=3X100;
3)	кладем два раза произведение данного числа на 10 (§ 35), так как 20=2X10.
и 4) кладем один раз произведение данного числа на 1000 (§ 35), так как 1000=1X1000. Отв. 112825 р. 44 к.
б)	Сколько выдадут 743 лицам, если каждому полагается по 30 р. 63 к.?
1)	Кладем на проволоках рублей и копеек произведение 743X3;
2)	кладем два раза то же произведение проволокой выше, так как 60=(3-f-3)X10;
и 3) кладем три раза произведение 743ХЮ00 (§ 35), так как 3000=3X1000.	Ответ 22758 р. 09 к.
в)	Сколько надо уплатить за 14304 куб. м. дров при цене 8 р. 67 к. за м.?
1)	Кладем на проволоках рублей и копеек произведение 867X4;
2)	кладем то же произведение тремя проволоками выше, так как 4000=4X1000;
3)	кладем три раза произведение 867 на 100, так как 300=3X100,
и 4) кладем один раз произведение 867X10000, так как 10000=1X10000.	Отв. 124015 р. 68 к.
102. Следует принять к сведению, что иногда могут встретиться два таких сомножителя, из которых один легко сокращается на какое-нибудь число, а другой легко помножается на это число.
Пусть, напр., дано перемножить 14 и 900.
Число 14 можно представить в виде 7X2. Помножаем 900 на 7 и получаем 6300, а это последнее число помножаем на 2, что легко сделать даже в уме, и получаем 12600, т.-е.:
900Х14=(900Х7)Х2=12600.
— 73 —
Замечания об умножении чисел вообще.
103. В §§.47 и 98 говорилось о необходимости пользоваться основными приемами умножения и в тех случаях, когда перемножаемые числа по своему составу подходят лишь приближенно к тому или иному правилу упрощенного умножения.
Теперь, когда закончен отдел умножения, уместно привести несколько примеров, где сомножители — один или оба—только приближенно подходящи для упрощенного перемножения.
Пусть, напр., требуется помножить:
1)	368 на 23, перемножаем по § 48-му 368 на 22 и к произведению прибавляем 368.
Отв. 8464.
2)	273 на 460, перемножаем по § 51-му (имея в виду нуль) 273 на 45 и к произведению прибавляем 273X10.	Отв. 125580.
3)	73 р. 86,3 к. на 17, перемножаем по § 51-му 73863 к. на 18, от произведения отнимаем 73863 к. и отделяем одну проволоку снизу (§ 124).
Отв. 1255 р. 67,1 к
4)	83 на 86, перемножаем по § 71-му 83 на 87 йот про изведения отнимаем 83. Отв. 7138.
5)	213 на 212, перемножаем по § 76-му 212 на 212 (224 X Х2004-12Х12) и к произведению прибавляем 212.	Отв. 45156.
*6) 19,7 на 198, перемножаем по § 80-му 197 на 197, к произведению прибавляем 197 и -отделяем одну проволоку снизу.
Отв. 3900,6.
7)	эз/вз на 85, перемножаем по § 71-му числителя 93 на 87, от произведения отнимаем два раза 93 и полученный остаток делим на 83 по § 119-му.	Отв. 95 20/8S-
8)	262 на 252, перемножаем по § 90-му 262 на 250 и к произведению прибавляем два раза 262.
Отв. 66024.
— 74 — • ч
9)	81 на 62, перемножаем по § 68-му 81 на 61 и к про-• изведению прибавляем 81. Отв. 5022.
10)	421 на 123, перемножаем по § 70-му 421 на 121 и к произведению прибавляем два раза 421.
Отв. 51783.
11)	325 на 112, перемножаем по § 92-му 325 на 111 и к произведению прибавляем 325.
Отв. 36400.
12)	84,5 на 221, перемножаем по § 94-му 845 на 222, от произведения отнимаем 845 и отделяем одну проволоку снизу. Отв. 18703,5. и т. п.
Поверия умножения.
104. Первый способ. Чтобы проверить сделанное умножение, обыкновенно данные числа вновь перемножают, по возможности изменяя порядок сомножителей.
Второй способ. Существует более легкий способ поверки умножения, который усвоим на следующих примерах.
А) Пусть требуется поверить сделанное умножение: 3219X7436=23936484.
Для этого:
а)	сложим в уме цифры множимого:
3-|-2 + 1-4-9=15,
б)	из 15 исключим все девятки и остаток пока заметим: 15—9=6	(6 замечаем),
в)	сложим цифры множителя:
74-4-4-3-1-6=20,
г)	из 20 исключим все девятки и остаток тоже заметим: 20—(9Х2)=2	(2 замечаем),
д)	остатки 6 и 2 перемножим, из полученного произведения исключим все девятки и новый остаток заметим:
6X2=12,
12—9=3	(3 замечаем).
— 75 —
Теперь говорим: если, Ио исключении всех девяток иа суммы цифр произведения, останется та же цифра 3, то-умножение сделано верно.
В самом деле:
24-3+94-3+6+4 +8-Н==39,
39—(9X4)==3.
Остаток=3, а потому умножено верно.
Б) Еще пример:
270981X8795=2.383.277.895.
Верно ли сделано умножение?
Множимое:
. 2+7+0+9+8+1=27, 27—(9ХЗ)=0. Множитель:
8+7+9+5=29,
29—(9ХЗ)=2.
2X0=0.
Произведение:
2 + 3+8 + 3 + 2 + 7+7+8+Э + 5=54, 54—(9Х6)=0.
Умножение верно.
Примечания: 1) Так как девятки все равно исключаются, то их и сумму, образующую девятки, можно не брать в счет.
Напр., в числе 93624721, сумма цифр которого есть 9+3 + 6+2+4+7+2+1, можно сложить только 2+4+1=7, а 9 (3 + 6), (7 + 2) Не считать; это важно в целях сокращения времени на поверку.
2) Однако и первым й вторым способом можно не заметить ошибки. Проверив умножение, можем считать, что оно выполнено «вероятно» верно, потому что способа абсолютной поверки нет. Так,, если вместо 27345 записано произведение 27354 и если первым способом ошибка не была обнаружена, то она не откроется и вторым, ибо по исключении всех девяток оба числа дают остаток, равный 3.
— 76 —
ПРИМЕРЫ.
105. Найти		произведения.				
485X2		Отв.	970	4750X21	Отв.	99750
909X3		£	2727	283X32		9056
2364X6		»	14184	373X38	»	14174
16725X9		»	150525	2340X49	»	114660
20804ХЮ		»	208040	654X56	»	36624
637X12		»	7644	112X57	»	6384
1026X15		»	15390	3450X60	»	207360
1806X18		»	32508	2020X67	»	135340
20019X19		»	380361	456X79		36024
2539X20		»	50780	4006X98	»	392588
49360		у	135	Отв.		6663600
846256		X	258	»	218334048	
40014			609	»		24368526
124076		X	497			61665772
1570		X	163	»		255910
601 р. 94	К.	X	197	Отв.	118582	р. 18 К.
6420 » 05	»	X	1002	»	6432890	» 10 »
8712 » —		X	234		2038608	» — »
. 262 » 19	»	X	606		158887	» 14 »
202 » 82	»	X	359	»	72812	» 38 »
106. Нижеследующие числа перемножить по §§ 48—54.
	287	X	22	ОТВ.	6314 24288
	736	X	33	»	
32	р. 10 к.	X	44	»	1412 р. 40 К.
49	» 75 »	X	77	»	3830 » 75 »
206	» 08 »	X	88	»	18135 » 40 »
	Нижеследующие числа пе	эемножить по §§	54—60.
27	X 23 Отв.	621	32 X 33	Отв.	1056
86	X 84	»	7224	73 X 72	»	5256
98	х 92	»	9016	820 X 83	»	68060
53	К. X 57	» 30 р. 21 К.	53 К.X 52	» 27 р. 56 К.
80	» X 81	» 72 » 09 > 58 X 57	93 » X 92 ОТВ. 3306	» 85 » 56 »
	67 X 68 89 X 86 46 К. X 49 77 » X 78	»	4556 »	7654 » 22 р. 54* К. » 60 » 06 »	
— 77 —
107. Нижеследующие числа перемножить по §§ 60 — 68.
ОЯ х	%%				X	Ътв.	m
62 X	42	»	2604	37	X 27		999
76 X	36		2736	28	X 38	»	1064
66 к.. X	46	»	30 р.	36 к.	36 к.	X 26		9 р. 36 К.
72 » X	32	»	23 >	04 i	29 »	X 39	»	11 » 31 »
64 X	94	»	6016	57	X 67	»	. 3819
75 X	85	»	6375	48	X 78		3744
88 X	78	»	6864	64	X 54		3456
92 к. X	62	» 57 р.	04 к.	78 К.	X 48	»	37 р. 44 к.
86 » X	76	» 65 »	36 »	63 >	X 53		34 » 39 »
108. Нижеследующие числа перемножить			ПО §§ 68—71.
51 х 41	ОТВ. 2091	За 91 пуд по	31 к.	Отв. 28 р. 21 К.
81 X 21	»	1701	» 21	»	» 4 р. 10 >	» 86 » 10 »
71 X 81	»	5751	» 41 » ' » 7 » 10 »	» 291 » 10 »
121X131	Отв. 15851	За 221 арш. по 3 р. 31 к. Отв. 731 р. 51 к.	
351X201	» 70551	» 501 »	» 2 » 31 »	» 1157 » 31 »
811X331	» 268441	> 651 ПД. » 20 » 10 »	» 13085 » 10 »
401X301	» 120701	» 991 »	» 1 » 21 »	» 1199 » 11 »
109. Нижеследующие числа перемножить по §§ 71 — 73.
32 X	28	Отв.	896	99 К.Х 81	Отв.	80 р.	19 к.
430 X	37	»	15910	9 р. 30 » X 87		809 »	10 »
670 X	73		48910	12 » 80 » Х132		1689 »	60 »
143 X	137		19591	1 » 47 > Х133	»	195 »	51 »
161 х	159	»	25599	15 » 70 » Х163	»	2559 »	10 »
110. Нижеследующие числа перемножить по §§ 73 — 76.
65 X	65 Отв.	4225	65 К.Х	65 Отв.	42 р.-	25 к.
85 X	85 »	7225	7 р. 50 » X	75 »	562 »	50 *
105 X	105 »	11025	1 » 85 » X	185	»	342 у>	25 »
125 X	125 »	15625	16 » 50 » X	165 ’ »	2722 »	50 »
205 X	205 »	42025	1 » 05 » ХЮ50 »		1102 »	50 »
150Х	15 Отв.	2250	1 р. 95 К.Х	195 Отв	. 380 р.	25 К.
2500Х	25 »	62500	12 » 50 » X	1250	»	15625 »	— »
350Х	350 »	122500	1 » 55 » X15500	»		24025 »	—- »
45X4500 »		202500	14 » 50 » X	145	»	2102 »	50 л
55Х	550 »	30250	20 » 50 » X	205	»	4202 »	50 *
— 78 —
111. Нижеследующие числа перемножить по §§-76—82.
17 х 17 Отв.	289	184	X 184	Отв.	33856
23 X 23 »	529	276	X 276	>	76176
47 X 47 >	2209	337	X 837	»	113569
из х ш »	12769	2280	X 228'	>	519840
117 X И7 »	13689	44700	X 447	>	19.980.900
124 X 124 Отв.	15376	997 X	997 Отв.		994009
94 X 94 »	8836	252 X	252		63504
396 X 396 »	156816	303 х	303	>	91809
492 X 492 >	242064	502 X	502		252004
«98 X 698 >	487204	805 X	805		648025
Примеры для §§ 87—90 см. § 89 Щ 3.
Примечание. Если цена за какие-либо предметы оканчивается V2, Vi, Vs коп, и пр., то сумма вычисляется:
1) при определении, 122/«к., находим за 3524
»	» 3524
например, стоимости м. цо
12 К. (§ 45)
( ПО ‘/2К.
/< * ।	1/
' ,	I	» v< *
3524 М. по 422 р. 88 К.
17 » 62 >
8 » 81 »
» »
Итого . . 449 р. 31 к.
2) При определении, напр., стоимости 2648 м. по 221/а к. находим за 2648 il. ПО 22 К. (§ 48)	582 р. 56 к.
за 2000 М. ПО 1/в к. 2 р. 50 к. > 640 » » Vs » — » 80 > »	8» »Vs> — » 1»
»	» 2648 » » V8 к-
Итого . . . 585 р. 87 к.
Деление.
112.	Разделить одно число на другое—значит разложить делимое число на столько равных частей, сколько в другом данном числе содержится единиц.
Число, которое делят, называется делимым.
Число, на которое делят, называется делителем.
Число, которое получается от деления, назыв. частным.
Например:
42
42 : 6=7 ИЛИ -^-=7 ь
ладо прочесть: сорок два, деленное на шесть, равно семи.
— 79 —
Вообще же деление есть действие, обратное умножению, а так как умножение есть сложение одинаковых чисел (§ 31), то деление есть не что иное, как вычитание одинаковых чисел. На этом последнем положении и основано деление на счетах.
113.	Как выполняется деление чисел на 2, 4 и 8, мы знаем из § 40. Оно заключается в откидывании вправо половины костей делимого столько раз, сколько раз 2-ка повторяется множителем в делителе.
И при делении на всякое другое число, делимое располагается на проволоках одинаково со случаем деления § 40-го. Делитель или записывается на бумаге, или запоминается; чаще всего приходится иметь дело с числами записанными. Частное откладывается особо на самых верхних проволоках.
114.	Процесс деления заключается в вычитании делителя из делимого до тех пор, пока можно (§ 112).
После каждого вычитания, на самых верхних проволоках счетов кладется по 1 косточки такого разряда, единицы которого соответствуют получающемуся частному*)- Откладываемые таким образом кости по окончании деления покажут, сколько раз делитель содержался в делимом и образуют собою полученное частное.
'	е .
Деление на однозначного делителя.
115.	Пусть, напр., требуется разделить 35 на 7, т.-е. узнать сколько раз 7 содержится в 35-ти.
Положив на счеты число 35, будем отнимать (скидывать) большим пальцем правой руки по 7-ми костей столько раз, сколько можно. Скидываем 7 и кладем в частном на верхней проволоке (§ 114) 1 кость; скидываем еще 7 костей и прибавляем в частном 1 кость; скидываем еще, еще и т. д. Наконец, увидим, что на месте делимого не осталось ни одной кости, а в частном их накопилось 5. Эти 5 костей
*) Однако можно и не класть каждый раз по одной кости, а считать в уже по несколько откидываний (их может быть до 9-ти) и сразу положить число сделанных откидываний.
— 80 —
означают, что число 7 содержится в 35 пять раз; атак как на месте делимого не осталось ни одной кости, то деление было точным, без остатка.
Следовательно:
35 : 7=5, т. е. 35 _ (7-р + 74-74-7)=0.
5 раз.
116.	Однако не всегда делитель содержится целое число раз в делимом.
Пусть, напр., требуется разделить 42 на 9.
Положив на счеты делимое, будем отнимать, по предыдущему, от 42-х по 9-ти столько раз, сколько можно и откладывать каждый раз в частном (на верхней проволоке) по 1 кости. В конце-концов заметим, что на месте делимого осталось еще 6 костей; так как от 6-ти отнять 9 не-'возможно, то деление на этом и закончим. В частном лежит 4 кости и на месте делимого—6 костей; число 6 означает, что Делитель 9 содержится в 42-х не ровно 4 раза» а с остатком 6-ти единиц.
Следовательно:
42 : 9=4 и ост.-6, т.-е. 42-(9-|-9+9-|-9)=6 (ост.)
*	4 раза.,
117.	Пусть требуется разделить 774 на 6.
Кладем на спеты число 774 и замечаем, что если мы будем откидывать по 6-ти костей (единиц) от числа 774, пока возможно и класть по одной кости в частном, то нам придется потерять на эту работу много времени. С целью ускорить деление, прибегаем к следующему приему.
Мысленно увеличиваем делителя в 10, 100, 1000 и т. д. раз до тех пор, пока он не сделается больше делимого.
В данном случае видим, что делителя можно увеличить в 100 раз, после че^о он будет равен 600. Больше увеличивать его невозможно, ибо тогда он окажется больще делимого. Заметив теперь, что делитель увеличен в 100 раз, поступаем так:
— 81 —
1)	От 774 отнимаем 600 и в частном (§ 114) кладем 1 кость. Но так как мы произвольно увеличили делителя в 100 раз, то он в 774 содержался не один, а 100 раз (6ХЮ0); следовательно, положенная в частном 1 кость представляет собою 1 сотню или 100 единиц.
2)	От оставшихся 174 единиц нельзя отнять 600; поэтому мысленно оставляем делителя увеличенным в 10 раз, т.-е. равным 60-ти, отнимаем от 174 по 60-ти два раза и в частном, на следующей книзу проволоке, кладем 2 кости. Так как делитель теперь был увеличен в 10 раз, то он в 174 содержался не 2, а 20 раз (2ХЮ); следовательно, положенные в частном 2 кости представляют собою 2 десятка или 20 единиц.
3)	От 54-х единиц нельзя отнять 60-ти; поэтому оставляем делителя равным данному (6) и, заметив, что по таблице умножения 6 содержится в 54-х ровно 9 раз, скидываем вправо 54, а в частном, на следующей книзу проволоке, кладем 9 костей. Так как в последнем случае делитель 54-х не был увеличен, то 9 костей в частном означают простые единицы. В частном оказалось 100 4--|-20+9=129.
Следовательно:
774 : 6 = 129.
118.	Пусть еще требуется разделить 6405 р. 42 к. на 7.
Кладем делимое на проволоках рублей и копеек и для удобства примем это делимое за число в 640542(коп.).
Заметив также, что скидывать по 7-ми костей (ёдиниц) от 640542 будет не выгодно, поступаем по предыдущему (§ И?):
1)	Так как 70000 меньше, а 700000 больше 640542, то останавливаемся на увеличении делителя в 10000 раз. Заметив, что по таблице умножения 7X9=63, а 70000X9= =630000, отнимаем от числа 640542 сразу 630000 и в частном кладем 9 костей. Эти 9 костей представляют десятки тысяч, так как делитель был увеличен в 10000 рае.
2)	От остатка 10542 отнять 70000 нельзя; поэтому, оставив делителя равным 7000, т.-е. увеличенным в 1000 раз) отнимаем от 10542 один раз 7000 и кладем в частном на 6
— 82 —
следующей книзу проволоке 1 кость, означающую 1000 единиц, так как делитель был увеличен в 1000 раз.
3)	От нового остатка 3542 нельзя отнять 7000; поэтому, оставив делителя равным 700, т.-е. увеличенным в 100 раз, скидываем 3500 (т.-е. 5X700) и в частном кладем на следующей книзу проволоке 5 костей, означающих сотни, так как делитель был увеличен в 100 раз.
4)	От остатка 42 нельзя отнять ни 700, ни 70; оставляя делителя равным данному (7), замечаем, что по таблице умножения 7 содержится в 42-х ровно 6 раз; скидываем вправо 42, а в частном через одну проволоку книзу кладем 6 костей (через одну потому, что десятков нет, нуль). Эти 6 костей—простые единицы, так как в последнем случае делитель не был увеличен. В частном оказалось:'
90000-f-1000 + 5004-6=91506 К0П.=915 руб. 06 КОП.
Следовательно:
6405 р. 42 К.: 7=915 р. 06.
На счетах это деление выразилось:
СЧЕТЫ.	Число положено.	ДЕЛЕНИЕ.				
		1-й прием.	2-й прием.	3-й прием.	4-й прием.	
11 провод		+ 9				= 9
ю „			+1			— 1
9	„				4- 5		= 5 л
8 „	6	- 6			- 0	= о )н-
7	„	4	— 3	— 1		— 6	= 6	§
6	„	0	— 0	+ 3	— 3		
5	»	5	— 0	— 0	— 5		
4	,		Чет	вер	т и		
3	„	4	— 0	— 0	— 0	— 4	
2	„	2	- 0	• — 0	— 0	- 2	
1 »		Чет	вер	т и		
Деление на многозначного делителя.
119.	Деление на многозначные числа, кроме делителя, выраженного единицей с одним или несколькими нулями,
— 83 —
i ничем, не отличается от деления чисел на однозначного делителя.
Пусть требуется разделить 76875 на 15.
Кладем на счеты данное делимое. Так как 15000 меньше, а 150000 больше 76875, то мысленно увеличиваем делителя в 1000 раз и 15000 скидываем с делимого 5 раз; в частном кладем 5 костей, равных 5000.
Мысленно оставив делителя равным 1500, т.-е. увеличенным в 100 раз, с остатка 1875 скидываем 1500 один раз; в частном кладем на следующей книзу проволоке 1 кость, равную 100.
Далее, оставив делителя равным 150, т.-е. увеличенным в 10 раз, с остатка 375 скидываем два раза по 150; в частном кладем на следующей книзу проволоке 2 кости, равные 20-ти.
Наконец, взяв делителя равным данному (15), скидываем его с остатка 75-ти 5 раз; кладем 5 костей равных 5-ти единицам в частном, где имеем всего:
5000+100 + 20-4-5—5125.
Следовательно:
76875:15=5125.
120.	Пусть требуется разделить 17575 р. 45 к. на 1426. (Деление с остатком).
Кладем делимое на проволоках рублей и копеек и для удобства примем это делимое за число в 1757545 коп. Так как 1426000 меньше, а 14260000 больше 1757545, то мысленно увеличиваем делителя в 1000 раз и скидываем с делимого 1 раз 1426000; в частном кладем 1 кость, равную 1000.
Оставив делителя равным 142600; т.-е. увеличенным в 100 раз, скидываем его два раза с остатка; в частном кладем 2 кости, равные 200.
Оставив делителя равным 14260, т.-е. увеличенным в 10 раз, скидываем его три раза с остатка; в частном кладем 3 кости, равные 30.
Наконец, данного делителя (1426) скидываем два раза с нового остатка; в частном кладем 2 кости, равные 2 единицам.
6*
— 84 —
На счетах осталось еще 713 копеек, но так как 1426 больше 713, то деление этого остатка на целое невозможно. Стало-быть, деление оказалось неточным, с остатком.
Заметив далее, что 713=V2 числа 1426, скидываем вправо 713 и на 4-ой проволоке кладем 2 кости, равные !/2.
В частном имеем:
1000-]-200 + 304-2+1/2=12321/!> К0П.=12 р. 321/» К.
Следовательно:
17575 р. 45 К.: 1426=12 р. 321/г к.
Особые случаи деления.
121.	В тех случаях, когда сразу видно, что с делимого придется сбрасывать делителя более 5-ти раз, удобно применять следующий прием.
Пусть требуется разделить 446706 на 498.
Кладем на счеты делимое, отделяем в нем число 4467 и прибавляем к этому числу по 498 до тех пор, пока сумма будет или равна 4980 (т.-е. 498ХЮ), или окажется несколько больше 4980, при этом будем считать в уме—сколько раз было прибавлено число 498:
4467 4-498-|-498=5463. Число 5463 более 498 В 10 раз С небольшим, но так как для того, чтобы сделать 4467 в 10 раз более 498, нам пришлось прибавить к 4467 число 498 два раза, то очевидно, что 498 содержится в 5463 по крайней мере 8 раз. Поэтому, запомнив, что прибавлений сделано 2, с полученной суммы скидываем 4980 и откладываем в частном 8 костей (т.-е. 10—2=8).
Отделяем в остатке делимого число 4830 и, по предыдущему, прибавляем по 498:
4830-|-498=5328. Запомнив, что прибавлений сделано 1, с полученной суммы скидываем 4980 и откладываем в частном на следующей книзу проволоке 9 костей (т.-е. 10 -1=9).	t
Берем остаток делимого 3486 и опять прибавляем по 498: 348б-{-498-|-498-|-498=4980. Запомнив, что прибавлений сделано 3, скидываем все число 4980 и откладываем в
— 85 —
частном в следующей книзу проволоке 7 костей (т.-е. 10—3=7). В частном имеем:
800-1-90+7=897.
Следовательно:
446706:498=897.
122.	Пусть еще требуется разделить 4147 р. 92 к. на 42. Кладем на счеты делимое, отделяем в нем 414 и, прибавив к этому числу один раз 42, скидываем 420 с суммы 456; в частном кладем 9 костей (10—1=9).
Отделяем в остатке 367 и, прибавив к 367 два раза по 42, скидываем 420 с суммы 451; в частном на следующей книзу проволоке кладем 8 костей (10—2=8).
В новом остатке отделяем 319 и, прибавив 319 три раза по 42, скидываем 420 с суммы 445; в частном кладем на следующей книзу проволоке 7 костей (10—3=7).
К последнему остатку 252 прибавляем четыре раза по 42 и, скинув 420, в частном на следующей книзу проволоке кладем 6 костей (10—4=6).
В частном оказалось 9876 к.=98 р. 76 к.
Следовательно:
4147 р. 92 к. : 42=98 р. 76 К.
Примечание. Отделяемую часть числа полезно придерживать каждый раз большим пальцем ле-. вой руки или кнопкой (§ 39) на месте отделения до тех пор, пока будет скинут делитель, умноженный на 10. Это особенно важно для тех случаев, когда в частном получаются нули.
Упрощенные приемы деления.
123.	Для деления на счетах существует сравнительно немного таких способов, которые упрощали бы это действие, как, напр., при умножении. Однако иногда деление может быть значительно сокращено при помощи нижеследующих приемов.
— 86 —
Деление на 2, 4, 8, 16 й т. д.
Деление на эти числа было умножением (см. §§ 40 и 41).
рассмотрено совместно с
Деление на 10, 100, 1000 и т. д.
124.	Деление на единицу с одним или несколькими нулями выполняется по следующему, правилу:
чтобы разделить число на единицу с нулями, накладывают большой палец левой руки через столько проволок снизу, сколько есть нулей в делителе.
Тогда выше пальца окажутся единицы (рублей, килограммов, метров, литров и т. п.), а ниже—десятые, сотые, тысячные и т. д. доли (рубля, килограмма, метра, литра и т. п.).
При этом проволоки с 4-мя костями в счет не идут.
Накладывание пальца равносильно перенесению запятой при письменном делении влево через столько цифр, сколько есть нулей в делителе.
125.	Пусть требуемся разделит^ 8765 на 10.
Кладем на верхней части счетов число 8765. Накладываем большой палец левой руки между 5-ою и 6-ою проволоками. Таким образом, мы отделили справа одну цифру (5) и этим самым уменьшили значение всего числа в 10 раз.
Число, лежащее выше пальца, означает сотни, десятки и единицы, а ниже—десятые доли.
Первое из них есть найденное частное, а второе—остаток.
В результате мы получили 8 сотен, 7 десятков, 6 единиц и 5 десятых долей единицы.
Следовательно:
8765:10=8004-70 + 6+0,5=876,5.
На счетах эти деления выразились:
8-я пров. Тысячи 8	
7 „	„ Сотни 7	876 единиц.
6 „	„ Десятки 6	
	
5 „	„ Единицы 5 } 0,5 ЕДИНИЦЫ.	
— 87 —
126.	Пусть еще требуется разделить 876543 р. 21 к. на 100.
Кладем делимое на проволоках рублей и копеек. Накладываем большой палец левой руки между 3-ею и 4-ою проволоками; здесь отделяем справа два цифровых знака (21) и уменьшаем значение всего числа в 100 раз.
В частном, выше пальца, оказалось 8765 р. 43 к. и 21 сотая копейки.
Следовательно:
876543 р. 21 к.: 100=8000 р.-|-700 p.-J-65 р.-|-43 К.4~0,21 К.=
8765 р. 43,21 К. На счетах это деление выразилось:	
10-я пров. С. тыс. руб. 8 9»	»	Д. тыс. » 7 8»	» Тысячи » 6	8765 р.
7 »	»	Сотни »	5 6»	у	Десятки »	4 5»	»	Единицы»	3	43 к.
4 »	» Четверти » Место пальца.		 3»	»	Гривенники 2 2 »	» Копейки	1	0,21 к.
1 » э Четверти Примечание. Деление на всякое число,	оканчи-
вающееся нулями, шщр., на 30, на 400, на 12000 и т. п., выполняется по правилам §§ 40,115, и 119— на значащие цифры; затем отделяется снизу столько проволок, сколько есть нулей в делителе. Так, напр., чтобы разделить 7182 на 30, делим 7182 на 3 и в полученном частном 2394 накладываем палец между 9 и 4 костями; результат будет равен 239,4-
Деление на 27^ 25, 250, 2500 и т. д.
127.	Так как 2‘/2, 25, 250, 2500 и т. д. соответственно есть часть чисел 10, 100, 1000, 10000 и т. д., то, чтобы разделить число на один из указанных делителей, должно помножить делимое на 4 (§ 43) и произведение разделить на 10, 100, 1000, 10000 И Т. Д. (§ 124).
— 88 —
Напр.: а)	7635: 2^2 =	7635X4 10	Отв. 3054
		7635X4	
б)	7635:25 =	100	» 305,4
		7635X4	
в)	7635:250 =	1000 »	» 30,54
г)	7635:2500:	—7635X4	» 3,054
		10000	/
Деление на		12/2, 125,	1250 и т. д
128.	Так как 121/з, 125, 1250 и т. д. соответственно есть Vs часть 100, 1000, 10000 и т. д., то, чтобы разделить число на 1272, 125, 1250 и т. д., должно помножить делимое на 8
и произведение разделить на 100, 1000,	юооо и т. д.
Напр.: а) 26375 : 127г =—-637q5X8	Отв. 2110
б) 26375 : 125 =. 2637п5*8	„	211
J	1000	
9CQ7* • 19КП 26375X8	„	21,1
J	10000	
Деление на 5, 50, 500 и	т. Д.
129. Так как 5, 50, 500 и т. д. соответственно есть */г часть 10, ЮО, 1000 и т. д., то, чтобы разделить число на
5, 50, 500 и т. д., должно помножить его на 2 и произве-		
дение разелить на 10, 100, ЮОО и т. д. и	ч	Е 45825X2 Напр.: а) 45325 : 5 =—-		Отв. 9165.
б)	45825 : 50	„ 100	”	. 916,5
в)	45825 : 500=^8252<2 1000	91,65
Деление на 37‘/2, 75, 750, 7500 и т. д.
130.	Так как 37х/г есть */8 часть 300, а 75, 750, 7500 и т. д. соответственно есть V* часть 300, 3000, 80000 и т. д..

— 89 —
то, чтобы разделить число на 3 71/2, должно помножить его на 8 и произведение разделить на 300, а чтобы разделить число на 75, 750, 7500 й т. д., должно помножить его на 4 и произведение разделить на 300, 3000, 30000 и т. д. (§ 126,
примеч.).			
Напр.: а)	45825 : 371/2 =	45825 X 8 300	Отв. 1222
б)	45825 : 75 =	45825 X 4 300	„	611
в)	45825 : 750 =	45825 X 4 3000	„	61,1
Г)	45825 : 7500 =	45825 X 4 30000	.	6,11
Деление на 625 и 3125.
131.	Так как 625 есть i/ie часгьчисла 10000, а 3125 есть Дзг часть числа 100000, 20, чтобы разделить число на 625, должно помножить его на 16 и произведение разделить на 10000, а чтобы разделить число на 3125, должно помножить его на 32 и произведение разделить на 100000.
Например:
а)	345678 : 625 == 3*5^ Отв. 553,0848
б)	345678 : 3125=34^^32	„	110,61696
IvUUvU
4,
Деление на ГД, 3‘Д, 4‘Д, б1/*, и т. д.
132.	Так как 1т/2, З^г, 4=1/2, 5!Д, и т. д. есть половина 7, 9, 11 и т. д., то, чтобы разделить число на V/2, 3!Д, 4'Д, 5*Д и т. д., должно помножить его на 2 и произведение разделить соответственно на 3, 7, 9, 11 и т. д.
Например:
а)	324	:11Д=--------------- Отв. 216.
б)	52 р. 43 к.: 31/3— 52 Р'	»	14 р. 98 к.
— 90 —
(в 67 р. 86 к.: 47г= ~7q6 И'**-2	»	15 р. 08 к.
У
г) 2087 р. 25 К. : 5!/2=2-87	2-К. ^2	»	379 р. 50 К.
Поверка деления.
133. Для поверки деления обыкновенно помножают делителя на частное и прибавляют остаток; в результате должно получиться делимое.
Однако, можно воспользоваться тем самым способом поверки, который мы рассмотрели при умножении (§ 103). В этом случае частное следует принять за множимое, делителя за множителя, а делимое за произведение.
Пусть требуется поверить деление:
3254335 : 359=9065.
Частное:
94-0-1-64-5=20, 20-(9X2)= 2.
Делитель:
34-5+9=17.	;
17—9= 8.
2X8=16.
16—9= 7.
Делимое:
3+2+5+4+3+34-5=25, 25—(9X2)= 7.
Разделено верно.
Примечание. Если деление с остатком, то перед поверкой сначала вычитают остаток из делимого, а потом поступают по предыдущему.
ПРИМЕРЫ.
134. Разделить следующие числа.
72 :	2	Отв.	36	936	р. 93	к. :	3	Отв.	312	р. 31	К.
93 :	3	»	31	8602	р. 20	к. :	6	»	1433	р. 70	к.
1200 :	4	»	300	2926	р. 98	к. :	7	>	'418	р. 14	к.
618 :	6	>	103	2228	р. 22	к. :	9		247	р. 58	к.
1872 :	8	>	234	10840	р. 16	к. ;	16	»	677	р. 51	к.

— 91
1340290 :	5 Отв.	268058	26 р. 95 К.	: 11 Отв. 2 р. 45 к.
860220 :	6	»	143370	436 р. 94 К.	: 14 » 31 р. 21 к.
6135088 :	8	»	766886	4801 р. 28 К.	: 16 » 300 р. 08 к.
540036 :	9	»	60004	3421 р. 08 К.	: 17 » 201р. 24к.
3421512 :	9	»	380168	2019 р. 51 К.	19 » 106 р. 29 к.
47600 :	112 Отв. 425		4506 р. 75 к.	: 75 Отв. вор. 09 к.
519354 :	258	»	2013	620000 р. 48 К.	:124 » 5000 р. 02 к.
405978 :	1906	»	213	7144 р. 08 К.	102 > 70 р. 04 к.
1677074 :	763	»	2198	80100 р. 89 К.	: 89 » 900 р. 01 к.
3254335 :	359	>	9065	410 р. 85 К.	:249 »	1р. 65 к.
135. 1578	р. 80 К	:	40		Отв. 39 р. 47 к.
6315	р. 00 К.	:	25		» 252 р. 60 к.
7680	р. 00 К.	: 120		»	64 р. — к.
476	р. 00 К.	: 425		»	1 р. 12 к.
5193	р. 54 К.	: 2013		»	2 р. 58 К.
8385	р. 37 К.	: 1099		»	7 р. 63 к.
Деление с остатком.				
	729:	8 Отв. 91 Ост. =1		
	2467 :	5 „	493	=2
	643865 :	7 „	91980	=5
266 р. 34 к. :		152 „	1 р. 75 к. „	=	34 К.
593 р. 47 к. :		835 „	71 к. „	=	62 к.
516	р. 39 к. :	217 „	2 р. 37 к. „	=2 р. 10 К.
Д р о б и.
Краткие понятия о простых дробях-
136. Простою Дробью называется одна или несколько долей единицы, разделенной на равные части.
Если, напр., лист бумаги разделить на 8 равных частей и взять таких частей 5, то получим дробь пять восьмых, которая на письме изображается так:
•^ИЛИ е/в.
Число над чертою называется числителем, под чертою-знаменателем, а оба вместе называются членами дроби.
— 92 —
Целое число вместе с дробью составляет смешанное число. Напр., пять целых и семь восьмых есть смешанное число, которое изображается так:
5 ИЛИ 57/s.
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называется правильною; дробь, у которой числитель равен или больше знаменателя, называется неправильною.
Правильная дробь меньше единицы, а неправильная равна ей или больше ея напр.:
7/s меньше 1; 8/s=l; ®/в больше 1.
137.
„ увеличении уменьшении
числителя дробь
увеличивается уменьшается ’
например:
Дробь 6/и больше дроби 3/и.
т-г увеличении	уменьшается
При -—---------знаменателя дробь —-------------,
г уменьшении	г увеличивается
например:
дробь 3/s меньше дроби 3Д.
При увеличении или уменьшении числителя и знаменателя в одинаковое число раз, величина дроби не изменяется, например:
дробь 3/з равна дроби 6/ю..
138.	Всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Так, напр., чтобы б5/? обратить в неправильную дробь, должно целое число (5) помножить на знаменателя (7), к произведению прибавить числителя (6) и подписать прежнего знаменателя, т.-е.:
Sy,= -5X,+6 -4
'7	7
139.	Всякая неправильная дробь может быть представлена в виде смешанного числа, или из всякой неправильной дроби может быть исключено целое число. Так, наприм., чтобы обратить 59/в в смешанное число, достаточно разделить числителя на знаменателя; частное от этого деления покажет, сколько единиц в дроби, а остаток — сколько долей единицы, т.-е.:
59/е=59 : 6=95/в.
— 93 —
Сокращение дробей.
140.	Сократить дробь—это значит привести ее к простейшему виду, посредством разделения числителя и знаменателя на одно и то же число.
Так, наприм., дробь 24/тз будет равна дроби потому что оба члена ея делятся на 24 (§ 137).
Если по признакам делимости нельзя узнать, делится ли числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, то такое число отыскивается при помощи последовательного деления, т.-е. большее число делится на меньшее, меньшее на первый остаток, первый остаток на второй и т. д.
Так, напр., чтобы сократить дробь 1243/зэо5, находим указанным способом наибольшего делителя чисел 1243 и 3905; делитель этот будет=11,
1243 : 11 значит ---------
3905 :11
113
355“
Приведение дробей к одному знаменателю.
141.	Привести несколько дробей к одному общему знаменателю—это значит заменить их равными дробями с одним и тем же знаменателем, посредством помножения обоих членов каждой дроби на произведение знаменателей прочих дробей.
Так, напр., чтобы привести к общему знаменателю дроби 4/?, 3/4, и 2/з, помножаем оба члена первой дроби на знаменателей 4 и 3; затем оба члена второй дроби помножаем на знаменателей 7 и 3 и, наконец, оба члена третей -дроби помножаем на знаменателей 7 и 4, после чего получим дроби 48/в4,61/в4 и 5й/84, которые равны данным дробям (§ 137) и имеют одного знаменателя 84; при чем знаменатель этот есть не что иное, как произведение знаменателей трех данных дробей, так как 7X4X3=84.
Перед приведением дробей к общему знаменателю, полезно сокращать их (§ 140).
Примечание. Кроме указанного способа, к общему, знаменателю дроби приводятся:
— 94 —
а) путем разложения знаменателей дробей на первоначальных множителей и путем нахождения наименьшего кратного этих знаменателей, .
и б) оставлением в качестве общего знаменателя одного из наибольших знаменателей данных дробей, если он делится на все остальные знаменатели тех же дробей.
Нахождение части данного числа.
142.	Пусть требуется найти 3/< числа 792.
Для решения этой задачи достаточно разделить данное число на знаменателя и частное помножить на числителя дроби. А так как без остатка разделится на знаменателя не всякое число,-то на счетах выгоднее произвести сначала второе действие, а потом первое; результат получится. одинаковый.
Помножаем, поэтому, 792 на 3 (§ 43) и произведение 2376 делим на 4 (§ 40).
На счетах имеем 594, а это и есть искомая часть числа.
Следовательно:
792X3 2376	„ •
числа 792-х составляют — ----=—•— =594.
4	4
143.	Пусть еще требуется найти п/г5 числа 62*/2.
Сначала обратим 62V2 в неправильную дробь (§ 139), 125
это будет—. Затем помножаем 125 на 11 и произведение 1375 делим на 25 (§ 127), полученное частное делим на 2 (§ 40).
На счетах имеем 271/2.
Следовательно:
п/25 числа 62‘/а составляют
125XU 2X25
1375 2X25
55
2
271/2.
Нахождение целого числа по данной его части.
144.	Пусть требуется найти число, 3/з которого составляют 156.
— 95 —
Для решения этой задачи достаточно 156 помножить на знаменателя и произведение разделить на числителя дроби.
Помножаем, поэтому, 156 на 5 (§ 90) и произведение 780 делим на 3 (§ 115).
На счетах имеем 260, а это и есть искомое число.
Следовательно:
если 3/5 неизвестного числа составляют 156, то это не-
Л 156X5	780
известное будет —=—-=260.
о	о
145.	Пусть еще требуется найти число, 2/? которого со-ставляют 7372=—
Помножаем 147 на 7 и произведение 1029 делим на 4 (на 2X2)- На счетах имеем 2571/*.
Следовательно:
если 3Д неизвестного числа составляют 73’/2, то это не-
х 147X7 1029
известное будет —=—— =257»/4.
2X2	4
Задачи.
146.	Найти стоимость:
а)	3/з клг. товара, если 1 клг. стоит 16 р. 50 к.
б)	5/в	»	>	» 1	>	> 25 > 20 »
в)	1 клг. товара, если 3/10 клг. стоят 27 » 60 »
г)	1 м. »	» 5/в м. »	3 в 75 »
Решения:
х 16 р. 50 К.ХЗ 49 р. 50 К. л
а)	__—г—---?-------------__ g 90 к
5	5	.
„ 25 р. 20 К-Х5 126 р.
б)	—L---------.=----_2i р. - к.
В) 27 р. 6О..К.Х1О=;27^ р. =92 Р _ к
,3 р. 75 К.Х8 80 р.
Г) * •-	6 р. - к.
Действия над простыми дробями.
147.	Всякие арифметические действия над простыми дробями сложнее, нежели над целыми числами. Поэтому
— 96
где приходится иметь много дела с дробями, их больше всего преобразовывают в десятичные, потому что над последними все действия выполняются как над целыми числами.
О десятичных дробях мы будем говорить ниже, а пока рассмотрим главнейшие действия над простыми дробями, использовав наши счеты.
Сложение дробей.
(С одинаковым знаменателем).
148.	Сложить две или несколько дробей—это значит сосчитать, сколько во всех данных дробях одинаковых долей единицы.
Поэтому, если дроби имеют одинаковых знаменателей, то для получения суммы достаточно сложить лишь их числителей и подписать общего знаменателя.
Пусть требуется сложить дроби:
173/22в-|-135/22б + 197/226-|-107/22о-|-219/22б4-73/226.
Складываем на счетах всех числителей и, подписав под суммой их=904 данного знаменателя 226, получим девятьсот четыре двести двадцать шестых, т.-е. дробь 904/г2в, исключив целое число из неправильной дроби (§ 139), будем иметь 4.
149.	Пусть требуется сложить смешанные числа:
36415/зб14-2251П/зв14-141зО%б1-}-2201«/4б1+2925/4б1.
Складываем на нижних проволоках счетов целые числа, а на верхних—числителей дробей:
Целые числа: 364-|-2254-1414-220+29=979.
Числители: 15-|-1114-300-{-1494-25=600.
На месте числителей оказалось 600 триста шестьдесят первых, т.-е. дробь «"/sei; исключаем целое число из неправильной дроби, прибавляем это целое (1) к числу 979 и к сумме приписываем дробь 239/зв1, после чего будем иметь 980239/sei.
(С разными знаменателями).
150.	Если для сложения даны дроби с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю (§ 141), а потом складывают по § 148.
9
— 97 —
Пусть, напр., требуется сложить дроби: 3Ao+5/g-|-61/12o4-59/6O + ’/г.
Общий знаменатель этих дробей есть 120. Выписываем числителей, приведенных к одному знаменателю дробей, складываем их на счетах, под суммой подписываем общего знаменателя, исключаем целое число из неправильной дроби и, по сокращении дроби, получим число 29/ю, т.-е.
94-100 + 61+118+60 348 ...	_9.
_!--------!-------=_==29/10==29/10
120
151.	Точно также складываются и смешанные числа.
Пусть, напр., требуется сложить:
203/g—452/з-+811/з—762/i5—|—1454/s.
Складываем сначала целые числа и находим их сумму =368
Приводим, затем, дроби к одному знаменателю; этот знаменатель будет=15.
Выписываем числителей, приведенных к одному ’ знаменателю дробей, складываем их на счетах, под суммой подписываем общего знаменателя, исключаем целое число из неправильной дроби и, по сокращении дроби, будем иметь 28/1з, т.-е.:
9+104-5+2+12
Прибавив к 368 целых еще 28/is, получим 3708/i->, и это
есть искомая сумма.
ПРИМЕРЫ.
152.	Сложить на счетах следующие дроби:
ш/282 + 167/282 + 201/282 + 14/282 + зя/282	ОТВ.
443/82 + 564”/82 + 28 7225/82 + 60117/s2	»
7/15 + “/и + 1/з0 + 3/4 + 13/б0 + 17/20	»
925/б+1307/э +138’1/12 + 744/1б+169/ю + 322/з	»
1/2-+2/з-+3/л+-4/ь +5/6 + 6/7 +-7/s + 8/э -+9/40	»
78/9+3672/»+4081/2 4-311/12+801/9+751/12+21/з	»
225/282
40372%i
37/зо 48613/зв 7179/2520
945‘/2
7
98 —
Вычитание дробей.
(С одинаковыми знаменателями).
153.	Вычесть из одного числа другое—значит отнять от данного числа все единицы и части единицы, содержащиеся в другом данном числе.
Пусть требуется сделать вычитание: 2873/i211_190S/121i
Кладем на счеты 2873, скидываем 1908. и под разностью 965 подписываем знаменателя 1211, тогда получим остаток яог>/12п.
Следовательно:
2873/12u_1908/1211==£Z^2^ = 9C5/121] 1 di 1JL
154.	Пусть еще требуется сделать вычитание:
100 2 675/287 — 6 9 7^3/287
Кладем на пяти нижних проволоках счетов целое число 10026 и скидываем с него 697 целых, а разность=8329 оставляем пока на месте.
Кладем на верхних проволоках счетов числителя 75, но так как от 75-ти нельзя отнять 123, то скидываем с 8329 1 кость, а на месте числителя кладем 287 (число долей, на которое разделена 1) от 362 отнимаем 123. На счетах имеем целых 9328 и дробь 2з9/287.
Следовательно:
100 2 6 75/287 - 697123/287 = 932823!’/287
(С разными знаменателями).
155.	Пусть требуется еще сделать вычитание: 128610/24—4977/зе
Сначала приводим дроби к одному знаменателю; находим, что их знаменатель есть 72; тогда данные числа будут 128657/72 И 49714/?2.
Кладем на нижних проволоках число 1286 и скидываем с него 497, разность=789 оставляем на месте.
— 99 —
Кладем на самых верхних проволоках числителя умень-шаемого=57 и скидываем с него числителя вычитаемого= —14. На счетах имеем целых 788 и дробь
Следовательно:
128619/2t —4977/зс=128 657/т2 —49714/72—78943/?2.
Примечание. Если окажется, что дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то берут единицу из целого уменьшаемого, раздробляют ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого, а потом делают вычитание дробей.
ПРИМЕРЫ.
156. Сделать вычитание следующих чисел:
2181/.1200 —708/1200	Отв.	!383/4200.
56678/223 —150/223	»	56545/223.
213317/15G—182911/156		3041/2G.
38255/18—546И/18		32782/з.
16 2 82/57 — 74 829/171	»	8 7 9148/171.
4225/12-3455/с	))	76"/12.
7 6 0 7 3/22 — 52 0 88/25	»	2398no/55o.
762Ю/37—761'5/19	»	1718/1S13.
4/12	"/io	»	!/с0.
122/23 _23/24	»	551/
Умножение дробей.
157.	Умножение дроби на целое число.
Чтобы помножить дробь на целое число, достаточно помножить на это число числителя или разделить на нею Знаменателя.
Поэтому, если требуется помножить, напр., 22‘>/in на 11, поступаем так:
помножаем 225 на И (§ 45) и получаем 2475 семьсот семнадцатых, т.-е. дробь 2175/7i<, а по исключении целого числа из неправильной дроби будем иметь 3324/-i7.
Следовательно:
225/7пХ11=:^111==247.-,/717=3321/717 .
7*
100
Но если знаменатель дроби множимого и множитель сокращаются, то при помножении, напр., 85/тв на 13 поступаем так:
кладем на счеты знаменателя 156, делим его на 13 (§ 119) и получаем 85/i2=7’/i2.
Следовательно:
®5/15gX13=—— 1ЭО . Io
158.	Умножение целого числа на дробь.
Чтобы помножить целое число на дробь, достаточно помножить это число на числителя и п.од произведением подписать знаменателя дроби.
Поэтому, если требуется помножить, напр., 365 на 4/э, поступаем так:
помножаем 365 на 4 (§ 43) и получаем 1460 девятых, т.-е. дробь 1460//э; а по исключении целого числа из неправильной дроби, будем иметь 1622/э.
Следовательно:
365Х4/9=^^^=146%=1621/9.
159.	Умножение дроби на дробь.
Чтобы помножить дробь на дробь, достаточно помножить числителя на числителя, а знаменателя на знаменателя, и первое произведение разделить на второе.
Поэтому, если требуется помножить, напр., 21/зг на ,7/ив, поступаем так:
помножаем .21 на 17 (§ 45) и получаем 357;
помножаем 32 на 116 (§ 46) и получаем 3712.
Следовательно:
21 Y 17
2V32X17/116 = 3^IIg = 3G7/3712.
160.	Умножение смешанных чисел.
При умножении смешанных чисел, их предварительно обращают в неправильные дроби, а затем помножают по правилам умножения дроби на дробь.
101 —
Поэтому, если требуется, наир., помножить 184Д на123/4, поступаем так:
обращав и данные числа в неправильные дроби, т.-е. перемножаем целые числа на соответствующих знаменателей и к произведениям прибавляем числителей дробей (§ 138); тогда получим:
13О/7Х51Д.
Помножаем 130 на 51 и получаем 6630.
Помножаем 7 на 4 и получаем 28.
Следовательно:
184ЛХ123/4=13%Хб1Л=^?^=663%8)
а, исключив из неправильной дроби целое число, будем иметь 23би/14.
Примечания. 1>. Перед умножением дробей, если можно, их следует сокращать (§ 140). 2) Чтобы перемножить несколько дробей, достаточно перемножить всех числителей их между собой и всех знаменателей между собой и первое произведение сделать числителем, а второе знаменателем.
I
ПРИМЕРЫ.
161. Перемножить следующие числа:
3/? XI40	Отв	60	25/1гХ	4/э	Отв.	25/27
7/юХ150		105	4Уз41Х 7/и		987/з751
5/б2Х 28	»	23/з1	31/160Х ,8%1		1
7ЛХ 24		84	92 X 7/12	»	532/з
з/5Х 25	*	-15	14/бХ654	»	11771/5
»/юХ 20	»	54/2	872Х 81/,	»	72662/з
17Х13/14	»	15*714	3 7 5 X 29/зо		3621/2
23 X 9/17		123/17	1875Х Зз/з	»	6750
28Х31Лб	»	541/4	Збб’ДХ 551/2	»	202991/8
9Х“/55		зв/55	7251/зХ Vices		2
— 102 —
Деление дробей.
162.	Деление дроби на целое число.
Чтобы разделипь дробь на целее число, достаточно разделить числителя на это число или помножить на него знаменателя.
Поэтому, если требуется, наприм., разделить 675/so4 на 45, поступаем так:
кладем на счеты числителя 675 и делим его на 45 (§119), полученное частное=15 и будет числителем искомого числа, а знаменатель остается тот же.
Следовательно:
й75/з04 : 45 =-——--=15/804.
oU4 t
163.	Если числитель делимой дроби не делится на делителя, помножаем знаменателя на делителя, оставив числителя без изменения. Напр.:
117/131 : 5.
Помножаем знаменателя 131 на 5 и произведение 655 подписываем под числителем 117.
Следовательно:
117 : 5=w=,'7“	•
164.	Деление целого числа на дробь.
Чтобы целое число разделить на дробь, достаточно помножить целое число на знаменателя дроби и произведение разделить на числителя.
Поэтому, если требуется, наприм., разделить 425 на 5/г2, поступаем так:
помножаем 425 на 22 (§ 48); произведение 9350 делим на 5 (§ 129) и получаем в частном 1870, а это и есть искомое число.
Следовательно:
425 :	= 1870.
О
— 103 -
165.	Деление дроби на дробь.
Чтобы разделить дробь на дробь, достаточно помножить числителя первой дроби на знаменателя второй, а знаменателя первой дроби на числителя второй, и первое произведение разделить на второе.
Поэтому, если требуется, напр., разделить 247/boi на 7/э, поступаем так:
помножаем 247 на 9 (§ 43) и получаем 2223. Переложив полученное произведение на самые верхние проволоки или записав его на бумаге, на свободных проволоках помножаем 601 на 7 (§ 43) и получаем 4207. Сделав первое произведение числителем, а второе знаменателем, будем иметь 2223/1207, а это и есть искомое число.
з
Следовательно:
247/	-7/	274X9 __2”3/
/(!01'/9=-бО1хТ~ /4207-
166.	Деление смешанных чисел.
Чтобы разделить одно смешанное число на другое, их предварительно обращают в неправильные дроби, а затем поступают по правилам деления дробей.
Поэтому, если требуется, напр., разделить 253Д на 134/2, поступаем так:
обращаем оба числа в неправильные дроби (§ 138) и получаем в делимом 103/4, а в делителе 27/г.
Помножаем 103 на 2 и получаем 206. Переложив полученное произведение на самые верхние проволоки, на свободных проволоках помножаем 4 на 27 и получаем 108. Сделав первое произведение числителем, а второе знаменателем, будем иметь 2O6/io8, а исключив целое число из неправильной Дроби (§ 139), ПОЛУЧИМ 149/54.
Следовательно:
25» 4 : 13i/2=103/4 :' 27/2=J^^|-2Ofi/io8=l«/54.
Примечания. 1) При делении дроби на дробь, их так же следует сокращать перед началом действия, как это делается и при умножении.
2)	При делении целого числа на дробь и дроби на целое число, должно сокращать целое с числителем.
104
ПРИМЕРЫ.
167. Сделать следующие деления.					
128/181	: 16	Отв. 8/isi.	1128/2561	: 854/256i	Огв.	2.
180/231	: 6	„	30/231.	Ю564/12951	: 5282/4зг	>,	2/з.
3’5/471	: 15	»	25/171.	15911/s	: з/4	„ 212Р/2.
1160	: б2/з	„	174.	12582/з	: 41/г	„ 27913/27.
960	: 13>/з	„	72.	125*/б	: 8/1з	„	15750.
722	: 2/з	„	1083.	22192/s	:. зз/з	„	6167г.
2043	: 21/4	„	908.	1395°/1з	: З3/13	432.
10548	: 5/1б	„ 337533/б.	279312'/2	: 8541/в	„	327.
Десятичные дроби.
Краткие понятия о десятичных дробях.
168.	Десятичною дробью называется такая дробь, у которой знаменатель есть 10, 100, 1000 и т. д. .Она получается от деления единицы на 10, 100,1000 и т. д. частей, которые называются десятичными долями.
Десятичные дроби на бумаге изображаются так:
пишут целое число, а если его нет, ставят нуль, затем число или нуль отделяют запятой и ставят десятые, сотые, тысячные и т. д. доли единицы; на месте недостающих долей единицы ставят нули.
Например 125388/юоо=125,368 ИЛИ 504/toooo=0>0504.
169.	а) Приписывание нулей справа или слева десятичной дроби не изменяет ее величины.
Например:
4,023=4,02300=004,023.
б)	От перенесения запятой вправо на одйн, два, три и т. д. знака, десятичная дробь увеличивается в 10, 100, 1000 и т. д. раз.
в)	От перенесения запятой влево на один, два, три и т. д. знака, десятичная дробь уменьшается в Ю, 100, 1000 и т. д. раз.
— 105 —
Действия над десятичными дробями.
Расположение десятичных дробей на счетах. /
170.	Прежде всего необходимо условиться, как выражать числа десятичных дробей на счетах.
В тех случаях, когда десятичные дроби не есть явление постоянное, целые числа кладут на обыкновенном месте счет, а десятичные доли — на самых верхних проволоках, заняв для этого столько их, сколько потребуется для изображения величины дроби.
171.	Когда же с десятичными дробями приходится иметь дело постоянно и в большом количестве, то выгогдно орга
низовать счеты так.
число проволок верхней части надо уменьшить, а, вместо этого, всю нижнюю часть приподнять кверху так, чтобы ниже ‘/4 коп. (1-й пров.) можно было бы поместить еще несколько проволок, которые должны также иметь по 10 костей на каждой для исчисления на них десятичных дробей.
Для своих примеров мы возьмем обыкновенные счеты и будем располагать на них десятичные числа по § 170, как указано на нижеследующем рисунке.
...Прост, ед. к. и др. мер (запаси.).
...Дес. дом ед. коп. и др. мер.
... Сот.	>	»	»	» »	»
... Тыс.	>	»	>	» >	>
И т. д.
'| Дм выражения целых чисел руб-
•' ’ |	лев и др. мер.
" J
Гривенники, коп. и др. меры.
•• J
— 106 —
Сложение десятичных дробей.
172. Сложение десятичных дробей выполняется так же, как и сложение целых чисел (§ 11).
Пусть требуется сложить:
24 руб. 47,58 КОП.
46 „	53,127 „
37 „	64,002 „
12 „	15,486 „
1)	Кладем на месте рублей 25, на месте копеек — 47 и на месте дробей—58 сотых (§ 171);
2)	к положенному на месте рублей прибавляем 46, на месте копеек—53 и на месте дробей—127 тысячных;
3)	к положенному на месте рублей прибавляем 37, на месте копеек—64 и на месте дробей—2 тысячных,
и 4) к положенному на месте рублей прибавляем 12, на месте копеек — 15 и на месте дробей — 486 тысячных; так как на месте десятичных дробей оказалась 1 целая копейка, то переносим ее к числу целых копеек. Тогда на счетах будем иметь 120 руб. 80 коп. 195 тысячных долей копейки.
Следовательно:
сумма данных чисел=120 руб. 80,195 коп.
ПРИМЕРЫ.
173. Сделать сложение на счетах следующих чисел:
16,46		63,366	365,226		0,2
17,432		2,32	1,07		248,31
18,4		22,0007	101,124		9,105
5,483		118,2	0,0006		102,08
10,618		0,46	475,0103		0,16
Отв. 68,393	. Отв. 206,3467		ОТВ. 942,4309		ОТВ. 359,855.
6 р. 22,052 к.		80 р. 30,538 К.		235 р. 99 К.	
10 „ 20,9		114 „ 45,128 „			»	9,9 „
3 „ 57,048 „		40 „ 79			~ „	0,98 „
38 „ 62,75	п	736 „ 17,054 „		107 „ 99,2 „	
49 „ 31,311 „		28 „ 28,28 „			1 „ 91,12 „
Отв. 107 р. 94,611 '		Отв. юоо р.		Отв. 246 р. 0,2 к.	
— 107 —
Вычитание десятичных дробей.
174. Вычитание десятичных дробей выполняется также, как и вычитание целых чисел (§21).
Пусть требуется из 25 руб. 12,3 коп. вычесть 6 руб. 84,479 коп.
Кладем на счеты уменьшаемое 25 руб. 12,3 к. (§71). От 25 руб. 12 коп. отнимаем 6 руб. 84 коп., а так как от 3-х десятых, • равных 300 тысячным, нельзя отнять 479 тысячных, т'о раздробляем 1 коп. в тысячные и, прибавив к 300 тыс. еще 1000 таких же долей, от 1300 тысячных отнимаем 479 тысячных; тогда на счетах останется 18 руб. 27 коп. 821 тыс. коп.
Следовательно:
25 р. 12,8 К.—6 р. 84,479 к.=18 р. 27,821 к.
ПРИМЕР Ы.
175. Сделать вычитание да счетах следующих чисел:
15,246 — 9,817	Отв.	5,429.
30,008 — 21,12		8,888.
96,68 — 55,864	»	40,816.
1,578 — 0,93	»	0,648.
496 — 389,936		106,064.
396,14 — 87,068	»	309,072.
120 р.	— 89 р. 47,53 к.	»	30 р. 52,47 К.
97 » 54,6 К. — 23 » 67,7 »	»	73 » 86,9 в
43 в 78,6 » — 37 » 69,5 »		6 » 9,1 »
25 » 0,46 » — (6 р. 0,4 К.4-		
+15 р. 7 К. + 2 р. 7,06 к.) . .	. Отв.	1 р. 86 К.-
Умножение десятичных дробей.
176. Пусть требуется узнать, сколько уплачено за 256 м. материи, если каждый метр стоит 29,8 коп.?
Отбросив в числе 29,8 запятую, будем иметь 298 коп.
Помножаем 256 на 300 (§ 44) и off произведения 76800 к. отнимаем два раза по 256 к., т.-е.:
256 К.ХЗХЮ0—256 К.Х2 = 76288 КОП.
108 —
Вследствие отбрасывания запятой во множителе, мы увеличили произведение в 10 раз (§ 169 п. б.); чтобы получить искомое произведение, делим 76288 на 10 (§§ 124 и 169 п. в.); полученное число 7628,8 выражает копейки, а так как в рубле копеек 100, делим 7628,8 еще на 100 (§ 124) и находим 76 руб. 28,8 коп.
Следовательно:
За 256 м. по 29,8 к. будет 76 руб. 28,8 к.
177. Возьмем' теперь такой случай, когда десятичная дробь есть во множимом и во множителе.
Пусть требуется помножить 54,89 на 6,6.
Отбросив запятые в обоих сомножителях, получим целые числа 5489 и 66.
Помножаем 5489 на 66 (§ 48) и получаем 362274. Но так как отбрасыванием запятых мы увеличили множимое в 100 раз, а множителя в 10 раз, то и все произведение увеличилось в 100 10=1000 раз (§ 169 п. б.). Чтобы уменьшить это произведение в 1000 раз, разделим 362274 на 1000 (§§ 124 и 169 п. в.); тогда будем иметь 362,274.
Следовательно:
54,89X6,6=362,274.
Значит, чтобы помножить десятичную дробь на целое число или на дзсятичную дробь, достаточно перемножить их как целые числа и в произведении отделить снизу столько проволок, сколько во множимом и во множителе вместе имеется десятичных знаков.
ПРИМЕРЫ.
178. Сделать умножение на счетах следующих чисел:
54	X	10,54	Отв.	569,16.
0,2986	X	40	»	11,944.
0,18	X	0,16		0,0288.
0,75	X	1,2		0,9.
694	х	4,2		2914,8.
128,2	V	99		12691,8.
40,4	X	39,6		1599,84.
— 109 —
ПРИМЕРЫ.
43 р. 28 К.	X	1,1	»	47 р. 60,8 к.
146 » 40,4 »	X	11,1	» 1625 » 8,44 »
92	76 »	X	9,8	» 909 » 4,8 »
1 » 49,2 »	X	39	»	58 » 18,8 »
Примечание При умножении десятичных дробей применимы также все приемы, рассмотренные нами в §§ с 34-го по 103-й включительно.
Деление десятичных дробей.
179. Пусть требуется разделить 52,84 на 4.
Отбрасываем в делимом запятую и кладем на счетах целое число 5284.
Делим это число на 4 (§40) и получаем в частном 1321, но это частное, очевидно, в 100 раз больше действительного, так как, отбросив в делимом, запятую, мы увеличили делимое в 100 раз (§ 169 п. б.).
Поэтому, чтобы получить искомое частное, разделим 1321 на 100 (§§ 124 и 169 п. в.), после чего будем иметь целых 13 и сотых долей 21.
Следовательно:
52,84:4=13,21.
180. Пусть еще требуется разделить 7 руб. 38,72 коп. на 30,4.	,	/
Во-первых, представим делимое в виде 738,72 коп.; во-вторых, отбросим запятые в делимом и в делителе; тогда будем иметь два числа 73872 и 304. Кладем на счеты 73872 и делим это число на 304 (§ 119). В частном получится 243 коп., но это частное в 10 раз больше действительного, так как делимое было увеличено в 100 раз, а делитель только в 10 раз, (по 100; 10=10). Д1оэтому, для получения искомого частного, делим 243 коп. на 10 и находим целых копеек 24 и десятых долей копейки 3.
Следовательно:
7 р. 38,72 к. : 30,3=24,3 коп.
— 110 —
Значит, при делении десятичных дробей, их приводят к виду целых чисел, увеличивая для этого делитель и делимое в 10, 100, 1000 и т. д. раз и делят как целые числа.
ПРИМЕРЫ.	.
181. Разделить на счетах следующие числа:
	8,04 : 756,6 : 8 : 111,74 : 1,728 : 34,75 :		10 100 ' 0,025 7,4 0,48 50	Огв. » » » »	0,804. 7,566. 320. 15,1. 3,6. 0,695.
24		. — к. :	0,6	»	40 р.
69	»	12 » :	1,6	»	43 » 20 К.
73		68,8» :	8	»	9.» 21,1» .
1	»	88 » :	0,00064	»	2937 » 50 »
0,16	»	— » :	0,0004	»	400 » — »
		Примечание.		При делении	десятичных дробей
		так же	, как и	при умножении	их, применимы все
приемы, рассмотренные нами в §§ со 115-го по 133-й.
Обращение простых дробей в десятичные.
182.	Обратить простую дробь в десятичную—это значит заменить ее такой дробью, у которой знаменатель есть 10, 100, 1000 и т. д. (§ 168). Но так как в десятичную дробь обратится' только такая простая, у которой знаменатель по сокращении делится на 2 и на 5, то заранее можно сказать—обратится ли данная простая дробь в конечную десятичную или она будет бесконечной (периодической) дробью.
183.	Пусть требуется'301/i25 обратить в десятичную дробь.
Так как 125 делится на 5, то говорим, что данная дробь обратится в конечную десятичную
Кладем на счеты числителя 301, делим его на 125, по-получаем в частном 2 и в остатке 51; заметив, что в частном лежит 2 целых единицы, раздробляем 51 единицу в десятые доли; теперь на счетах лежит 510 десятых, делим
Ill —
это число на 125, получаем и кладем в частном 4 десятых; остаток 10 десятых раздробляем, по предыдущему, в сотые доли, которых получаем 100, но так как 100 не делится на 125, то сотые раздробляем в тысячные доли и получаем их 1000; делим теперь 1000 тысячных на 125, получаем и кладем в частном через одну проволоку (нуль) 8 тысячных. Остатка нет, значит дробь обращена в точную десятичную.
В частном имеем 2-|-0,4-|-0,008=2,408.
Следовательно:
301/125= 2,40 8.
184.	Пусть еще требуется 5/7 обратить в десятичную дробь.
Так как знаменатель 7 не делится на 2 и на 5, то данная дробь никогда не обратится в конечную десятичную, а будет периодической (§ 182).
Кладем на счеты числителя 5, Так как 5 не делится на 7, то число 5 раздробляем в десятые доли, получаем их 50 и делим на 7; положив в частном 7 десятых, остаток 0,1 раздробляем в сотые доли и делим на 7, новый .остаток 0,03 раздробляем в тысячные доли и т. д. до тех пор, пока в частном получится число 0,714285 и в остатке будет цифра 5. Так как при дальнейшем делении будут снова получатся те же цифровые знаки, то число 0,714285... есть периодическая дробь.
Следовательно:
5/7=0,714285...
В коммерческой практите десятичную дробь с большим числом десятичных знаков обыкновенно принимают приближенно, т.-е. с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д. долей единицы.
Например:
Если дана дробь 13/эс=0,135416б..., то говорят, что дробь 13/эб=О,13—точна до сотых до'лей; 13/зв=0,135—точна до ты-тячных долей; 13/ос=0,1354—точна до десятитысячных долей и т. д.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Именованные числа.
О системе мер.
185.	14-го сентября 1918 г. СНК был издан декрет о введении в СССР метрической системы мер и весов взамен прежней русской. Дальнейшими распоряжениями (декрет от 29 мая 1922 г.) срок окончательного введения этой системы в жизнь нашей страны отодвинут до 1-го января 1927 г.
Метрическая система мер и весов в своей основе имеет нижеследующее.
1)	Основную меру длины метр, представляющий собою по первоначальным вычислениям, одну десятимиллионную часть четверти парижского меридиана 0Д- Q-Q^ *) и равный приблизительно 227а вершкам, или точнее 1,406071 аршина. Слово метр взято из греческого языка и означает «меру».
2)	Эта основная мера и все производные из нее могут увеличиваться и уменьшаться в 10 раз. Для увеличения к названию меры приставляются греческие числительные: дека 10, гекто 100 и кило 1000; для уменьшения прибавляются французские приставки: деци 0,1, санти 0,01 и милли 0,001, т.-е.:
Для увеличения:
Дека значит.......	10
Гекто »	  100
Кило »	  1000
Для уменьшения:
Деци значит....... Vio
Санти »	  V,00
Милли »	:.... 1/1000
*) Точнее ppg 424 (см- брошюру Гл. Пал. мер и весов № 10. <0 ме трической системе мер и весов>, изд. ВСНХ 1924 г.).
113 —
3)	Тот же метр служит основанием мер квадратных, кубических, мер жидких и сыпучих тел и веса. Из кратных мер метра у нас узаконен только километр; меры гектометр, декаметр и мириаметр не применяются *).
Сокращенные обозначения метрических мер.
Наименования метрических мер обозначаются сокращенно И в печати набираются курсивом (косым шрифтом), строчными буквами после числовых выражений, без последующей точки, кроме сокращений в словах «квадратный»—кв. и «кубический»—куб., где точка ставится.
. 1) Для мер длины.
Километр—км., метр— м., дециметр—dm. и дм., сантиметр— см. и миллиметр— мм.
2)	Для мер квадратных.
а)	Общих.
Квадратный километр—км.2 или кв. км.
»	метр—м.2	»	кв. м.
»	дециметр—dm.2	»	дм.2
»	сантиметр—см.2	»	кв. см.
»	миллиметр—мм* или кв. мм.
б)	Земельных.
Гектар—га и ар—а.
3)	Для мер кубических.
Кубический километр —км.3 или куб. км.
»	метр — м.3	» куб. м.
»	дециметр—dm.3 и дм3
*	сантиметр—см.3 или куб.	см.
»	миллиметр—лм4.3 » куб.	мм.
4) Для мер жидких и сыпучих тел.
Килолитр—о., гектолитр—гл., декалитр—Экл., литр—л., децилитр—Эл., сантилитр —ел., миллилитр—мл.
*) Справочник по метрической системе мер, изд. ВСНХ и f осметра 1924 г.
8
— 114 —
5) Для мер массы (веса).
Тонна—т., центнер—if., килограмм—кг, декаграмм— дкг, грамм—г., дециграмм—дг., сантиграмм— сг., миллиграмм—мг.
186. То обстоятельство, что в метрической системе все меры производятся от одной основной—от метра—составляет большое преимущество этой системы перед прочими, так как делает ее наиболее естественной и простой.
Например, чтобы раздробить 25 верст в вершки и 25 километров в сантиметры, потребуется для первого случая помножить 25 на 500, полученное произведение помножить на 3 и, наконец, этот последний результат помножить на 16, тогда как для второго случая достаточно к 25 только приписать пять нулей.
Пусть требуется превратить в более крупные меры: а) 3691701 вершков и б) 33615 миллиметров. Для первого случая придется 3691701 вершок разделить на 16; заметив остаток в 5; вершков, новое частное понадобится разделить на 3; заметив остаток в 1 арш., последнее частное разделить на 500 и в результате получить 153 версты 410 саж. 1 арш. 5 вершков. Для второго же случая достаточно только написать 33615 и отделить запятой три знака справа, т.-е. написать число 33,615 метра.
В полной силе преимущество метрической системы обнаружится после того, когда она окончательно заменит собою прежнюю систему. В переходное время могут встречаться некоторые затруднения, обусловливаемые новизною дела.
Ниже приводятся соотношения между мерами метрической и русской систем с так называемой < практической точностью»—до сотых и тысячных долей единицы и с сокращенными обозначениями их названий, как было показано выше.
Для линейных мер.
1 верста = 1,0668 км.
1 км.=0,,93738 версты —
1 сажень = 2,1336 м.
=468,69 саж.
— 115 —
1	аршин =	0,7112	м.	1	м. — 0,46869 саж.= 1,406
	» =	71,12	см.		арш. =22,497 верш. =
1	вершок=	4,445	см.		3,280 фут.=39,37 дюйма
	» =	44,45	мм.	1	dm = 2,2197 верш. =
1	фут «=	0,3048	м.		3,937 ДМ.
1	» =	30,48	см.	1	сле.=0,3937 дм.
1	дюйм =	2,54	см.	1	лш.=0,3937 ЛИНИИ.
	» =	25,4	мм.		
1	сот.саж.=	2,1336	см.		
Для квадратных земельных мер:
1 кв. верста=1,14 кв. км.	1 кв. км.—GfiS кв. верст.
1 десятина=1,0954 га.	1 га =0,92 десятины.
1 кв. сажень=4,55 кв. м.	1 а	=21,97 КВ. саж.
1 кв. аршин=о,51 кв. м.	1 кв. м. =0,22 кв. саж. =
1 кв. верш.=19,7б кв. см.	1,98 КВ. ар.=10,76
1 КВ. фут=9,29 кв. dm*.	кв. фут.
1 кв. дюйм=6,45 кв. мм.	1 кв.(?т.=5,0б кв. верш. =
	=15,5 кв. дюйм.
	1 кв. сж=0,05 кв. верш. =
	=1,16 кв. дм.
	1 Кв. ЛЛ.=0,16 КВ. ЛИН.
Для кубических мер.
1 куб. саж.=9,713 куб. м.
1 »	арш.=0,359 7 » м. ’
1	»	Верш.=87,824 »	см.
1	»	фут =28,317 »	dm.
1	»	ДЮЙМ=16,387 куб.	см.
1	»	ЛИН.=16,387 куб.	мм.
Для мер жидких
1 бочка=4,92 гл.
1 ведро=1,23 дкл. = =12,2994 л.
1 куб. л/.=0,103 куб. саж.= =2,78 куб. арш. — =35,315 куб. фут.
1 куб. dm.=l 1,386 куб.верш. =61,024 куб. ДЮЙМ.
1 куб. сл«.=61,024 куб. лив.
и сыпучих тел»
1 кл.=2,0326 бочки.
1 гл.=8,1305 ведра.
1 3о.=о,813 ведра.
8*
— 116 —
1 бут. вина (’/ie в.)=О,769 л.
1 » вод. (’/го В.)=0,615 л.
1 чарка (*/1оо в.)=1,23 дл.
1 четверть=2,099 гл.
1 четверик=2,624 дкл.
1 гарнец=3,28 л.
Для мер
1 пуд=0,016 38 т. = =0,164 ц.=16,38 кг.
1 фунт=0,409512 кг. — =409,512 г.
1 Л0Т=12,797 г.
1 30Л.=4,265764 г.
1 ДОЛЯ=44,435 мг.
1 л.=0,813 штофа=1,3 бут ВИН.=1,626 бут. ВОД.
1 Эл.=0,813 чарки.
1 гл,—04764 четв. = =3,811 ЧК.
1 Экл.=0,381 ЧК.=3,049гарн.
1 л.=0,305 гарнца.
массы (веса).
1 иг.=61,05 пуда.
1 Ц.=6,10482 пуда.
1 кг.=о,О61О5 пуда = =2,441928 фунт. = =78,142 лота.
1 г.=0,078142 лота = =0,23443 ЗОЛ.
1 л«г.=0,022505 ДОЛИ.
Таблицы для перевода мер и весов.
187. Перевод мер одной системы в меры другой легче всего выполняется при посредстве специальных таблиц. Такие таблицы теперь имеются в большом количестве в форме плакатов, брошюр, книг и т. и. изданий. Ниже приводится один из видов сокращенных таблиц, для пользования которыми как письменно, так и с помощью русских счет, требуется довольно простая работа.
С левой стороны таблиц помещаются единицы переводимых мер, а в стоящих рядом колонках—готовый перевод одних мер в другие.
Так как умножение на 10, на 100, на 1000 и т. д. сводится; а) на счетах к простому переложению множимого через столько проволок кверху, сколько имеется нулей во множителе (§ 35) и б) на письме—к перенесению запятой
— 117 -•
вправо через один, два, три и т. д. знака, то перевод представится:
На счетах: На письме:
3 пуда (СМ. табл. № 1) =	49,141 кг.	49,141 кг.
30 „	=	49,141 „	491.41 „
300 „	=	49,141 /	4914,1	;,
И Т. Д.
А так как деление есть действие, обратное умножению, то
3 пуда	=	49,141	кг. 49,141	кг.
0,3 „	—	49,141	„	4,9141	„
0,03 в	=	49,141	„	0,49141	„
1) Пусть требуется перевести	235 пуд. 28 фун. в кило-
граммы.
Берем таблицу № 1 и кладем на счеты по § 170 или записываем:
200	пуд.	=	3276,100	кг.
30	„	=	491,410	„
5	„	=	81,902	„
:	— „ 20 фун.= 8,190 „
—	.	5	„ =	2,048	„
Итого 235 пуд. 25 фун.=3859,650 кг.
2) Пусть требуется перевести 25 тонн 36 килограммов в пуды и фунты.
Берем таблицу № 2 и кладем на счеты или записываем:
20 т.	=	1210	пуд.
5 »	=	305	„	9,600	фун.*).
— „	30	кг.	=	—	„	73,260	„
.	— ,	6	„	=	—	,	14,652	„
Итого 25 т. 36 кг,— 1517 пуд. 171/г фун.
*) Сотые доди пуда (24) здесь обращены в фунты (9,600 ф.)
— 118 —
Таблица № 1.
Перевод мер массы (веса). *)
Русских в метрические.
Единицы русских мор,	Пудов в килограммы.	Фунтов в килограммы.	Золотников в граммы.
1	16,380	0,410	4,266
2	32,761	0,819	8,532
3	49,141	1,229	12,797
4	65,522	1,638	17,063
5	81,902	2,048	21,329
6	98,283	2,457	25,595
' 7	114,663	2,867	29,860
8	131,044*	3,276	34,126
9	117,424	3,686	38,392 >
Таблица № 2.
Метрических в русские.
Единицы метрических мер.	Тонн в пуды.	Килограммов в фунты.	Граммов в золотники.
1	61,05	2,442	0,234
2	122,10	4,884	0,469 '
3	183,14	7,326	0,703
4	244,19	9,768	0,938
5	305,24	12,210	. 1,172
6	366,29	14,652	1,407
7	427,34	17,093	1,641
8	488,39	19,535	1,875
9	549,43	21,977	2,110
*) Соотношения мер, показанных пика» по метрической системе, издания
в этих таблицах, взяты из «Справоч-ВСНХ и Госметра 1924 г.
119 —
Таблица Л» 3.
Перевод мер длины.
Руских в метрические.
Единицы русских мер.	Верст в километры.	Саженей в метры.	Футов в метры	Аршин в метры.	Вершков в сантиметры.	Дюймов в сайт., и лин. в мм.
1	1,0668	2,1336	0,3048	0,7112	4,445	2,54
' 2	2,1336	4,2672	0,6096	1,4224	8,890	5,08
3	3,2004	6,4008	0,9144	2,1336	13,335	7,62
4	4,2672	8,5344	1,2192	2,8448	17,780	10,16
5	5,3340	10,6680	1,5240	3,5560	22,225	12,70
6	6,4008	12,8016	1,8288	4,2672	26,670	15,24
'7	7,4676	14,9352	2,1336	4,9784	31,115	17,78
8	8,5344	17,0688	2,4384	5,6896	35,560	20,32
9	9,6012	19,2024	2,7432	6,4008	40,005	22,86
Таблица № 4.
Метрических в русские.
Единицы метрических мер.	Километров в версты.	Метров.			Сантиметров.	
		В сажени.	В аршин.	В футы.	В вершки.	В дюймы.
1	0,937	0,469	1,406	3,28	0,225	0,394
2	1,875	0,937	2,812	6,56	0,450	0,787
3	2,812	1,4'6	4,218	9,84	0,675	i,i8i
4	3,750	1,875	5,624	13,12	0,900	1,575
5	4,687	2,343	7,030	16,40	1,125	1,969
6	5,624	2,812	8,436	19,69	1,350	2,362
7	6,562	3,281	9,843	22,97	1,575	2,756
8	7,499	3,750	11,249	26,25	1,803	3,150
9	8,436	4,218	12,655	29,53	2,025	3,543
- 120 —
Таблица № 5.
Перевод квадратных мер.
Русских в метрические.
Единицы русских мер	Десятин в гектары.	Кв. саж. в кв. метры.	Кв. арш. в кв, метры.	Кв. вершков в кв. савтим.	-
1	1,09	4,55	0,51	19,76	
2	2,19	9,10	1,01	39,52	
3	3,28	13,66	1,52	59,27	
4	4,37	18,21	2,02	79,03	
5	5,46	22,76	2,53	98,79	
6	6,56	27,31	3,04	118,55	
7	7,65	31,87	3,54	138,31	
8	8,74	36,42	4,05	158,06	
9	9,83	40,97	4,55	177,82	
Таблица № 6.
Метрических в русские.
Единицы метрических мер.	Гектаров в десятины.	Квадратных метров.		Квадратн. сантимеров.	
		В кв. саж.	В кв. арш.	В кв. вершк.	В кв. дюймы.
1	0,92	0,22	1,98	0,05	0,16
2	1,83	0,44	3,95 	0,10	0,31
3	2,75	0,66	5,93	0,15	0,47
4	3,66	0,88	7,91	1,20	0,62
5	4,58	1,10	9,89	1,25	0,78
6	5,49	- 1,32	11,86	0,30	0,93
7	6,41	1,54	13,84	.0,35	1,09
8	7,32	1,76	15,82	0,41	1,24
9	8,14	1,98	17,79	0,46	1,40
— 121 —
Таблица \? 7.
Перевод кубических мер.
Русских в метрические.
Единицы русских мер.	Куб. саж. в куб. метры.	Куб. футов в куб. децим.	Куб. арш. в куб. метры	Куб.вершков в куб. сантим.	
1	9,713	28,317	0,360	87,824	
2		19,425	56,634	0,719	175,649	
3	29,138	84,951	1,079	263,473	
4	38,851	113,267	1,439	351,298	
5	48,563	141,584	1,799	439,122	
6	58,276	169.901	2,158	526,946	
7	67,989	198,218	2.5! 8	614,771	
8	77,701	226,535	2,878	702,592	
9	87,414	254,852	3,238	790,420	
\	Таблица № 8.
Метрических в русские.
Единицы метрических мер.	Кубических метров.		Кубических децимецэов.		Куб. сантим, в к’, вершки.
	В куб. саж	В куб. арш.	В куб. футы.	В к. вершки.	
1	0,103	2,780	0,035	11,386	0,011
2	0,206	5,560	0,071	22,773	0,023
3	0,309	8,340	0,106	31,159	0,034
4	0,412	11,119	0.141	45,545	0,046
5	0,515	13,899	0,177	56.932	0,057
6	0,618	16,679	0,212	68,318	0,068
• 7	0,721	19,459	0,247	79,704	0,080
8	0,824	22,239	0,283	91,091	0,091
9	0,927	25,019	0,318	102,477	0,102
122 —
Таблица № 9.
Перевод мер для жидких тел.
Русских в метрические.
Единицы русских мер.	Бочек.		Ведер.		Вод. бутых. в хитры.
	В гектолитры.	В декалитры.	В декалитры.	В литры.	
1	4,92	49,20	1,23	12,30	0,61
2	9,84	98,39	и 2,46 Ж	£0	24,60	1,23
3	14,76	147,59	* 3,69:	36,90	1,84
4	19,68	196,79	и	Я "	4,92 4	и	49,20	2,46
5	24,60	245,99	я 6,15 х'	61,50	3,07
6	29,52	295,18	О 7,38 *	73,80	3,69
7	34,44	344,38	Т 8,61 «	86,10	4,30
8	39,36	393,58	*	9,84 Э	- К	98,39	Ч4,92
9	44,28	442,78	11,07	110,69	5,53
Таблица № 10.
Метрических в русские.
И					
ы а 2 И- &	Гектолитров.		Декалитров	Лит	ров.
и и					
					
М Я Он X ф (U	В бочки.	В ведра.	‘/so вед.	В штофы.	В бут. */20 В.
К я Я					
1	0,203	8,131	16,3	0,81	1,6
2	0.407	16,261	32,5	1,63	3,3 £
					ja
				Ха	И
3	0,610	24,392 е>	48,8	2,44	§	4,9 Й
				й	н
					
4	0,813	32,522 «	65,0	3,25 и	6,5 §
5	1,016	40,653 о	81,3	4,07	“	8,1 а
				£	3
6	1,220	48,783 ы 3	СО	97,6	4,88 |	9,8 §
7	1,423	56,914 й	113,8	5,69 5	11,4 X
					
8	1,626	65,044	130,1	6,50 и	13,0 § W
9	1,829	73,175 ®	146,3	7,32	14,6
— 123 — Таблица № 11. Перевод мер сыпучих тел.
Русских в метрические.
Единицы русских мер.	Четвертей в гектолитры.	Четвериков.		Гарнцев в литры.	
		В декалитры.	В литры.		
1	2,10	2,62	26,24	3,28	
2	4,20	5,25	52,48	6,56	
3	6,30	7,87	78,72	9,84	
4	8,40	10,50	104,95	13,12	
5	10,50	13,12	131,19	16,40	
6	12,59 -	15,74	157,43	19,68	
7	14,69	18,37	183,67	22,96	
8	16,79	20,99	209,91	26,24	
9	18,89	23,61	236,15	29,52	
Таблица № 12.
Метрических в русские.
Единицы метрических мер.	Гектолитров.		Декалитров.		Литров в гарнцы.
	В четверти.	В четверики.	В четверики.	В гарнцы.	
1	0,476	3,81	0,38	3,0	0,30
2	0,953	7,62	0,76	6,1	0,61
3	1,429	11,43	1,14	' 9,1	0,91
4	1,906	15,24	1,52	12,2	1,22
5	2,382	19,06	1,91	15,2	1,52
6	2,858	22,87	2,29	18,3	1,83
7	3,335	26,68	2,67	21,3	2,13
8	3,811	30,49	3,05	24,4	2,44
9	4,288	• 34,30	3,43	27,4	2,74
— 124 —
Меры бумаги.
I кипа=Ю стопам.
I стопа=2О дестям=480 листам.
I десть=24 листам.
Меры времени.
Век=юо годам.,
Год=12 месяцам=365 дням; високосный год=3бб дням.
Месяц=30 суткам.
Сутки=24 часам.
Час=б0 минутам.
Минута=60 секундам.
Монетные единицы важнейших государств.
СССР.
188. Основная монетная единица в СССР есть рубль, содержащий 0,774234 г. или 17,424 долей чистого золота. Рубль разделяется на 100 коп.
По СССР находятся в обращении золотые, серебряные и медные монеты.
Золотые монеты чеканятся в 10 руб. (червонец), содержащий 7,74234 г.=1 зол. 78,24 доли чистого золота.
Серебряные монеты 'чеканятся в 1 руб., 50, 25, 20, 15 и 10 копеек.
Медные монеты чеканятся в 5, 3, 2 и 1 коп.
Кроме металлических денег, в обращении находятся: 1) банковые билеты: в 25, 10, 5, 3 и 1 червонец и 2) казначейские билеты в 5, 3 и 1 руб.
Франция.
Основная монетная единица — франк (Frs) = 100 сантимам (cs.);
I (Frs=37% коп. (точнее 37,498 к.)*).
*) Цепа этой и следующих денежных единиц принята из расчета на золото.
— 125 -
Англия.
Основная монетная единица—фунт стерлингов (£).
1 J£=20 шиллингам (S или sh.);
1 шилл.=12 пенсам (d).
На письме обозначается: J£520,7.6, т.-е. 520 фунт, стерл. шилл. 6 пенсов.
1 £=9 р. 453Д коп. (точнее 9 р. 45,те к.).
Германия.
Марка (Мг.)=100 пфенингам (pf.);
1 М=4в!/4 коп. (точнее 46,294 к.).
Австрия.
Крона (Кг. и К.)=100 хеллерам:
1 Кг=39,38 коп. (точнее 39,з?8 к.).
Голландия.
Гульден или флорин (F1. или fl.)=100 центам;
1 Fl=78,i2 коп. (точнее (78,ив к.).
Сев.-Амер. Соед. Штаты.
Доллар (^)=100 центам;
1$=1 р. 94,34 КОП.
Италия.
Лира (L)=l франку.
Дания, Швеция и Норвегия.
Крона=ЮО эрам=52 коп. (точнее 52,osi к.).
Финляндия.
Марка=100 пеннп=франку.
Япония.
Иен=‘/2 доллара.
Турция.
Лира=8 р. 54 к.
— 126 —
Некоторые сведения из геометрии.
Площади.
а) Прямоугольника.
189. Площадь прямоугольника равна произведению основания (длины) на высоту (ширину).
б) Параллелограмма.
*
Площадь параллелограмма (четыреугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны) равна произведению основания на высоту, т.-е.:
Площ. пр—к а и пар—мавдлинеХширину.
Пусть длина поля в виде прямоугольника или параллелограмма 56 и ширина 27 м., тогда, по § 51,
его площадь=5бХ27=1512 кв. м.
в) Треугольника.
Площадь треугольника равна произведению основания на половину высоты (высотою тр-ка наз. перпендикуляр, опущенный из вершины на основание), т.-е.:
Площ т ка— длине основанияХвысо,гУ
2
Пусть основание треугольного поля 252 и высота 248 м. тогда, по § 71, 250X250—2X2
его площадь=—--— ---------=31248 кв. л/.
г) Трапеции.
Площадь трапеции (четыреугольник, у которого только две стороны параллельны) равна полусумме параллельных сторон, помноженной на высоту, т. е.:
_	ниж. осн.4-верхн. осн.. .
Площ. тр-ции=----------L—С--------X высоту.
2
Пусть нижнее основание трапеции 147, верхнее 98 и высота 54 м, тогда, по § 51 и 97,
ея площадь — (АЦ^?)х54=245Х27=6615 кв. м.
-	ч & J
— 127 —
д) Круга.
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на 22 (	355 1
—I точнее на 113 J т.-е.:
Площ. круга= КВаДр' рал,- круга:^-2
Пусть радиус" круга 35 см.; тогда площадь кр. = = 35Х3^--=35Х5Х22=385О кв. см.
Поверхности. а) Цилиндра.
190.	Боковая поверхность цилиндра (напр. б. пов. жел. ведра, но не бадьи!) равна удвоенному произведению ра-
22
диуса основания на-? и на высоту, т.-е.: „	2Храд. OCH.X22
Бок. пов. цил.= г —?———
Пусть радиус цилиндра 14 и высота 33 см- тогда его поверхность ==^---^22 X 33 =2X2X22X33 = 88X33 = 2904 кв. см.
б)	Конуса.
Боковая поверхность конуса (напр. бок. пов. сахарн. го-.	22
ловы) равна произведению радиуса основания на? и на длину образующей (образ.—кратчайшая прямая между вершиной и окр. основания), т.-е.:
Бок пои кон РаД-осн.Х22Хобразующ.
Пусть дан конус, радиус которого 28 см. и длина образующей 45 см. тогда боковая
28X22X45
его поверхностью——=4X22X45=3960 кв. см.
в)	Усеченного конуса.
Боковая поверхность усеченного конуса (напр. б. пов. сахарн. головы с отпиленной верхушкой) равна сумме ра-22
диусов оснований, помноженной на — и на длину образующей, т.-е.:
т-,	рад. ниж. осн.+рад. верх. осн.___ ,
Бок. пов. ус. к.=г- м----M——Х22Х образ.
— 128 —
Пусть дан усеченный конус, у которого радиус нижнего основания есть 38 см., верхнего 34 см., а длина образующей 42 см., тогда боковая
22 его П0ВерхН0СТЬ=(384-34)Ху Х42=72Х22Х6=9504 кв. см.
г)	Шара.
Поверхность шара равна произведению квадрата радиуса 22f	355*\
на 4 и нау I точнее	т.-е.:
поверхн. шара=
7
Пусть радиус шара 42 см., тогда его поверхность= ==f^i£^iX^==42X6X4X22=22176 кв. сл.=2,2176 кв. см
О б* е м ы.
а)	Параллелепипед.
191.	Об'ем параллелипипеда (пар-д—тело, ограниченное шестью гранями, которые попарно равны и параллельны, напр., ящик или сундук) равен произведению площади основания на высоту, т.-е.:
об. пар-да=площ. осн. (см. § 190, а и б)Хвысоту.
Пусть дам пар-д, у которого длина 6, ширина 2 и высота 25 м, тогда
его об'ем=6^<2Х25—300 куб. м.
б)	Пирамиды.
Об'ем пирамиды (напр. многогранный шпиль) равен произведению площади основания на */3 высоты, т.-е.:
Фб площ. основ. Хвысоту.
3
Пусть дана правильная четыреугольная пирамида, у которой длина основания 48 см., ширина 36 см., а высота пир-ды 15 см., тогда
ее об1ем=4^Х^6Х15 =48X36X5=8640 куб. см. О
в)	Цилиндра.
Об'ем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, т.-е.:
Об. Цил.=площ. основ. (§ 189, д)Хвысоту.
— 129 —
Пусть дан цилиндр, у которого радиус основания 21 и высота 63 см., тогда
его об'ем=- у ----=21X21X9X22=87318 куб. см.
г) Конуса.
Об‘ем конуса равен произведению площади основания на V3 высоты, т.-е.:
, площ. основ. (8 189, д)Хвысоту
об. кон.=------------------—-------
Пусть дан конус, у которого радиус основания 12 и высота 35 см., тогда 12X12X35X22 его об‘ем=-----ь- _
3X7
4X12X5X22=5280 куб. см.
Д) Шара.
Об‘ем шара равен произведению его поверхности на ’/з радиуса, т.-е.:
nfi ч™™— пов- ша₽а 191> г)Храдиус
ии. Шйра——— ———---~———  ---
Пусть дан шар, у которого радиус 42 см., тогда
42Х 4 9 X 49X 4Х "
его об‘ем=----“Д?—Р-——- =14 Х6Х42Х 4 Х22 = 310464
ЗХ <
куб. СМ.	'
е) Бочки.
Об'ем бочки можно вычислить так: сложить длину диаметра днища с длиной диаметра середины бочки (у воронки), сумму разделить пополам, частное помножить само на себя, полученное произведение помножить на длину бочки 22 ина-.
Примечания. 1) Диаметром круга и шара наз. прямая. линия, делящая круг и шар пополам; радиусом круга наз. прямая линия, соединяющая центр с окружностью; радиусом шара наз. прямая линия, соединяющая центр с поверхностью; длина радиуса^1/- диаметра; длина окружност и=дл ине диаметра, помноженной'на "_2 или на--?.
i	113.
t
— 130 —
2) Для получения полной поверхности цилиндра, конуса и усеченного конуса следует прибавить к боковой поверхности: цилиндра и ус. конуса—сумму площадей 2-х оснований, конуса— площадь основания. Вычисление площ. основан. СМ. § 189, Д.
Правила решения задач *).
Тройное правило.
192. Этим правилом решаются такие задачи, в которых требуется найти величину, прямо или обратно пропорциональную трем данным величинам.
Если результат задачи зависит от двух пропорциональных отношений, то правило это наз. простым, а если от трех и более—сложным.
Задачи на это правило решаются помощью пропорций или способом приведения к единице; мы воспользуемся этим последним способом.
Простое тройное правило.
Пример 1-й. 40 м. сукна стоят 150 руб. Сколько стоят 75 м. этого сукна?
Решение:		-
40 м. стоят........................150 руб.,
150
1 » стоит в 40 раз меньше, т.-е. . . .	-
40
к	1150X75
а 75 » стоят в 75 раз больше, т.-е. . . . 1-——
40
Зачеркнув по нулю в 150 и 40, помножаем на счетах 75 на 15 и произведение разделим на 4, после чего получим* 281 р. 25 к.
Следовательно:
75 м. стоят 281 р. 25 к.
*) В примерах этого отдела и следующих за ним, кроме отдела «процентных вычислений», в большинстве случаев порядок действий только обозначен. Следовательно, выкладка на счетах д. б. производима, по мере надобности, самими учащимися по правилам предшествовавших отделов.
131
Пример 2-й. 40 рабочих окончили некоторую работу в 196 дней; во сколько дней 160 рабочих окончат ту же работу?
Решение:
> 40 раб. окончили работу в..........	. 196 дн.
1 » потреб, дней в 40 раз бол., т.-е. . 196X40,
196X40
а 160 »	>	»	» 160 » мен., » . .---—
160
Сократив 40 и 160 в выражении 1 разделим 196 иа 4 и получим 49.
Следовательно:
160 рабочих окончат работу в 49 дней.
Сложное тройное правило.
193.	Пример. Для освещения 9 комнат в 24 сутк. израсходовано 60 Kt. керосина при горении 2-х ламп в каждой комнате; на сколько суток достанет 120 кг. керосина, если -освещать 10 комнат по 3 лампы в каждой?
Обозначив искомое число суток через X, расположим .дачные задачи так:
I	9 КОМН.—2 ламп.— 60 Kt. — 24 сутк.,
10	» —3	> —120 » —X »
Решение:							
9	к.	при	2	л., истребл. 60	Kt., будут	освещ.	24 сутк.
1	»	»	2	»	»	60			24X9 сутк. 24X9
.10	»		2	»	»	60			-То сутк. 24X9X2
10		»	1	»	»	60			ю сутк‘ 21X9X2
10 10	» »	»	3 3	»	»	во »	»	1	>	» »	э	>•> )> 2	10X3 сутк-24X9X2 п юхзХбб сутк‘ 14X9X2X120
10	»	»	3	»	»	120	)> »	» —	10X3X60 С‘ 9*
— 132 —
По сокращении, умножении и делении выражения
24У 9Х 2X120
——	---- найдем, что X — 28,8 суток или 28 суток
ЮХЗХ60
19 час. 12 мин.
Цепное правило.
194.	Этим правилом пользуются при определении отношений монет и мер двух стран, если известны отношения этих монет и мер к монетам и мерам других стран. Правило это называется правилом перевода.	.
Пример 1-й. Сколько русских рублей в 5000 франков, если 48 франков=39 шиллингам, 13 шиллингов=8 флоринам, 50 флоринов=9 дукатам и 15 дукатов=43 руб.?
Обозначив искомое через X, расположим данные так:
X руб. =
48 фр. =
13 шил. =
50 флор.=
15 д-ук. =
5000 фр.
39 шил.
7 флор.
9 ДУК.
43 руб.
Разделив, затем, произведение чисел правой колонки на произведение чисел левой колонки, найдем по сокраще
нии, что
Х =
500X39X8X9X43 40X13X50X15
= 1290 руб.
Следовательно:
5000 франков=1290 руб.
Пример 2-й. Сколько англ, футов в 61 турецк. аршине, если 50 турецк. арш.—37,9 метра (приблиз.), 32 метра — =35 англ, ярдам и 7 англ. ярдов=21 англ. фут.
Решение:
X англ. фут.=61 тур. арш. 50 тур. » =3 7,9 метра. 32 метра » =35 англ. ярд.
7 англ. ярд.=21 англ. фут.
61X37,9X35X21
50X32X7
Х =
= 152 англ. фут. (за округлением).
133
Следовательно:
61 турецк. арш.=152 англ, футам.
Пропорциональное деление.
195.	Разделить число на части, пропорциональные данным числам, значит разделить его на такие части, отношения которых к этим числам были бы равны между собою.
Пропорциональное деление бывает простое и сложное, «удя по тому, что от одного или нескольких условных чисел зависит каждый результат задачи.
Обыкновенно задачи на пр-ное деление решаются помощью пропорций; на счетах же выгоднее приводить решение к виду нахождения части данного числа (§ 142); мы этим и воспользуемся.
Простое пропорциональное деление.
Пример 1-й. Пусть требуется разделить 9240 на- части, пропорциональные числам 5, 7 и 8.
Сумма данных чисел 5-{-7-|-8=20.
Поэтому, 1-я часть будет s/20, 2-я ч.—7/20 и 3-я ч.—8/20.
Отсюда: 1) в/и или ’/* числа 9240 составл. 9240_ 2310.
4
9?40 V 4
2) 7зо числа 9240	» ---== 3234.
9°40V4
3) 8/»о ИЛИ 4/ю числа 9240	» - -“ ^— --=3696.
Таким образом, число 9240 разделено пропорционально 5:7:8.
Поверяем:
23104-3234-1-3696=9240.
Если по условию задачи данные числа, пропорционально которым требуется разделить число, будут дроби* то их приводят к общему знаменателю, затем знаменателя откидывают и разделяют число пропорционально числителям.
Пример 2-й. Три предприятия А, В и С, участвуя в общем деле в течение года, получили чистой прибыли 7200 р.;
— 134 —
сколько получит каждое, если капитал А равен 10000 руб.,. В—12000 руб. И С—14000 руб.?
Ясно, что прибыль на каждый затраченный рубль должна, получиться одинаковая; значит она пропорциональна капиталу каждого.
Сократив капиталы на 1000 и на 2, так как от этого их отношения не изменятся, получим числа 5, 6 и 7. Значит, 7200 руб. следует разделить пропорционально 5:6:7. А
так как 5-|-б-{-7=18,	то:			
прибыль	А	_ 7200X5 ~~	18 •	=2000	РУб-
	в	_ 7200X6	=2400	
		~~	18		
»	с	_ 7200X7 “	18	=2800	»
Поверяем:
2000 р.4-2400 р. + 2800 р.=7200 р.
Следовательно, чйгобы разделить одно число пропорционально-нескольким числам, достаточно помножить делимое число на каждое из данных чисел и полученные произведения разделить на сумму множителей.
Сложное пропорциональное деление.
Пример 3-й. Трем партиям рабочих следует выдать 16272 руб.; в первой партии 54 рабочих, во второй—64. в третьей—30; первая партия работала 40 дней, вторая—36, третья 32; сколько придется получить каждой?
Для решения этой задачи допустим, что вся работа могла быть окончена в один день; тогда было бы необходимо увеличить число рабочих каждой партии во столько раз, сколько дней она работала. Значит, для того, чтобы работа каждой партии была окончена в один день, вместо 54, 64 и 30 человек потребуется иметь в партиях:
1)	54X40=2160 раб.
2)	64X36=2304 >
3)	30X32= 960 »
Сократив каждое произведение на 48, найдем, что 16272 р. придется разделить пропорционально 45 : 48 : 20.
—133—.
Так как 45^-48-4-20=113, то:
16°7Ь>Х45
1-я партия получит ---	—===114X45===G48O' р.
11 о
16272X48
2 Я »	»	--=144X48=6912 >
1 1 О
1627°4Zo0
З-я »	»	—- “4^-—=144X20=2880 »
113
Поверяем:
6480-|-69Г24-2880 = 16272 р.
Следовательно, если задача зависит еще от других условных чисел, то делимое число следует умножать и на эти числа и делить на сумму произведений.
Правило смешения.
«г
196.	Способ решения задач, в которых два или несколько однородных веществ смешиваются друг с другом, на зывается правилом смешения.
Прпмер 1-й. Смешано три сорта сушеных ягод:
40 кг.	по	1	р.	25	к.	за	кг.
25 »	»	1	»	30	»	»	»
15 »	»	1	»	10	»	»	»
Что стоит кг. смеси?
Решение:	40	кг.	по	1	р.	25	к. =50	р.	—	к.
25	*,	»	1	»	30	»	=32.	»	50	»
15	»	»	1	»	10	»	=16	»	50	»
Итого.. .	80	КГ.	99	р.	—	К.
Стоимость кг.=99 : 80=1 р. 23,75 к.
Пример 2-й. 12’/з кг. серебра 840-ой пробы *) сплавлены с б'А кг. серебра 720-ой пробы; какой пробы вышел сплав?
*) Проба означает, сколько граммов чистого металла содержится в килограмме сплава. Так, в кг. серебра 840-ой пр. заключается 840 гр. чистого серебра и 120 гр. лигатуры (примеси).
136
Решение: 12*/а кг. по 810 гр.-=10500 г. 6'/1 » » 720 » = 4500 »
Итого... 18’74 кг.	15000 г. чист, серебра,
а В 1 кг. =15000 : 1 s’ 4 = 1 ’ОООХ ’ =800 г.
75
Следовательно:
сплав 800-й пробы.
Пример 3-й. Из двух сортов чаю в 5 р. 60 к. и 6 р. 25 к. за кг. требуется составить 520 кг. смеси по 6 руб. за кг.; сколько кг. придется взять того и другого сорта?
Запишем это условие так:
| по сокр. |
560 (к.)	+ 40 )	8	I
600 (к.)	( 13 частей-
625 (к.)	— 25	5	|
Из этой таблицы видно, что, продавая другой сорт по 6 руб., получится убытку йо 25 коп. на кг.; продавая дешевый сорт по 6 руб., получится прибыли 40 коп. на кг.: значит, для полного покрытия убытка прибылью, дорогого сорта следует взять более, чем дешевого, и во столько раз, во сколько 8 больше 5, т.-е. 520 кг. надо разделить на две части пропорционально 8:5.
Итак, возьмем:
520 У 8 дорогого чаю —— = 320 кг.
520 X 5	.
дешевого » —--— = 200 кг. '	-	1 о
Неопределенная задача на смешение.
Если в задаче, подобной предыдущей, будет дано для смешения более двух сортов веществ, то такая задача будет неопределенной, т.-е, становится допускающей множество решений.
137 —-
Процентные вычисления.
Проценты со ста.
197.	Процентом (%) и промиллей (%0) какого-либо числа или какой-нибудь величины называется одна сотая и тысячная доля этого числа или величины.
Число, стоящее перед знаком %, напр., 1°/0, 2%, 3°/„, и т. д., называется процентною таксою.
Выражение 1%,2%,3% и т. д., может означать одну, две, три и т. д. сотых, а 1 °/оо, 2 %°» 3 %0 и т- Д- тысячных доли числа какого угодно наименования: рублей, пудов, сажень и т. д.
Пусть, напр., требуется найти 6% от 900 руб.
На основании определения процентов рассуждаем: 1% от 900 руб. есть сотая доля этого числа, а 6% от 900 руб. есть сотая доля этого числа, повторенная 6 раз.
Следовательно:
6% ОТ'900 р.=-^~-6=54 р.
900 V G 60/00 от 900 р.=—р. 40 к.
198.	Теперь ясно, что для нахождения I0/* или 1°/оо от какого угодно числа, достаточно разделить это число на 100 или на 1000 (§ 124), а для нахождения 2, 3, 4 и т. д. °/° или О/Оо» достаточно частное, полученное от деления на 100 или 1000, помножить на 2, 3, 4 и т. д.
Тоже самое получится, если для отыскания 2, 3,4 и т. д. % или °/00 сначала помножим данное число на 2, 3, 4 и т. д., а затем разделим произведение на 100 или на 1000.
199.	На основании предыдущих рассуждений, проценты и промилли весьма легко вычисляются на счетах.
Пусть требуется найти 8°/0 от 2562 р. 32 к. .
Помножаем 2562 р. 32 к. на процентную таксу, т.-е. на 8, в произведении 20498 руб. 56 коп. отделяем пальцем левой руки на месте рублей снизу две^ проволоки (т.-е. в десятичном числе 20498,56 р. переносим запятую влево на 2 знака nd § 169); тогда выше пальца будет 204 руб., ниже—
— 138 —
.98,50 коп., а по округлении копеек будем иметь 204 руб. 99 коп.*).
Следовательно: (
8% ОТ 2562 р. 32 К.=204 р. 99 К.
200.	Когда процентная такса есть дробь, меньшая единицы, то число, выражающее рубли и копейки, округляют до целых рублей (отбросив копейки менее 7г рубля или приняв за целый рубль »/з и более); затем округленное число рублей кладут так, чтобы два крайних справа знака данного числа расположились на месте копеек, а все остальные—на месте рублей, чем и разделяют число на 100, как это требуется § 198; затем помножают положенное число на числителя и произведение делят на знаменателя.
Например:
найдем, что G/s%, от 4831,67 к. будет
201.	Когда данный процент есть целое число с дробью,, то процентную таксу обращают в неправильную дробь (§ 138) и выполняют такие же действия, как указано в § 200 при дробном проценте.
Например: ,
Требуется найти 5’/s°/o от 5864 руб. 17 коп.
Данная процентная такса может быть представлена в виде 15/s, а данная сумма по округлении будет 5864 руб.
Помножаем 58 р. 64 к. на 45 (§ 51) и произведение делим на 8 (§ 40, п. 3).
Искомая сумма интересов будет равна 329 р. 85 к.
Следовательно:
55/s% ОТ 5864 р. 17 К. = —	— 329 руб. 85 КОП.
•	8
*) Иа практике дроби, равные половине 'и более, принимают за единицу, а дробь, менее половины, обыкновенно отбрасывают.	k
— 139 —
Практический способ вычисления целых процентов.
202. Выяснив, как определяются проценты с капиталов при помощи общего правила, заметим, что на практике во многих случаях проценты с какого угодно капитала могут быть вычислены на счетах способом простого умножения чисел по правилам §§ 43, 45 и др.
Проценты от 1-го до 11-ти.
Капитал помножается на процентную таксу по § 43-му и произведение делится на 100 по § 124-му.
Напр., от капитала 3632 руб. требуется найти проценты:
17о=	3632 р. 100		Отв	. 36	р. 32	К.
2%=	3632 р.4-3632 р. 100		»	72	„ 64	
з%=	3632 р.4-3632 р. 4-3632 р. 100		я	108	„ 96	к
47о=	(3632 р.4-3632 р.)-|-7264 р. 100		У)	145	„ 28	
б°/0=	3632 р. ’ 2ХЮ		п	181	„ 60	п
6,/о=	3632 р. = 2ХЮ +36 Р- 32 К-			217	„ 92	»•
?7о=	=~?$Т^’+36 р- 32 к,+36 р-	32 К.	Отв.	254	р. 24	к
8°/о=	3632 Р. :	-—±-—('36 р. 32 К. 4-36 р.	32 К.)		290	„ 56	п
9°/о=	_ 363. р. —	32 10	F		7)	326	„ 88	я
10" 'о-	_ 3632 р. 10		Я	363	, 20	я
таксе
10 (но
Примечания. 1) При 5, 6 и 7 процентной капитал делится на 2 по форм. § 43, а на не на 100) — вследствие сокращения знаменателя 100 с числителем 10.
2) Вместо деления капитала на 100, следует класть его перед помножением на таксу двумя. проволоками ниже, а вместо деления на 10, класть. одной проволок ниже 199).
— 140 —
Проценты от 11-ти до 20-ти.
Капитал помножается на процентную таксу по § 45-му и произведение делится на 100 по § 124-му.
Напр., от капитала 2468 руб. требуется найти проценты:
,	Л	, 2468 р. 11»/о=24 р. 68 кН		Отв.	271 р. 48	К.
120/0 =(24 „ 68 „ 4-24 р. 68	п	296 „ 16	Я
13% =(24 „ 68 „4-24 „ 68 „ ’+24.„ 68 К.)4~			
. 2468 р. !	10	п	320 „ 84	я
14% =[(24 „ 68 „ +24 „ 68 ) + 49 р. 36	к.] 4-		
, 2468 р.		345 „ 52	
1	10	•п		п
2468 р 2468р.		370 „ 20	
/о	2ХЮ 1	10	м		
Р. « 4+ Е	п	394 „ 88	
Г 2468 D 170/0 X Н>ХПг+<24 Р- 68 к-+24 Р- 68	к.)] 4-		
2468 р. '	10	Отв.	4*19 „ 56	п
/2468 1 ЯО / л —— 1	” 1_ ... /'9.4. тч А Я v 1 -О,! г» Aft тМ Отт> А Л 4 п О Я			к.
1 О /II 	 1	J	V0 Л. | — +	иЭ Л.у V1D. Ill	4-1'1			
19% =	24 Р- 68 к- -Go/о 2468 Р'Х2	Я	468 „ 92 493 „ 60	я
“ ' 		10	п		
Вычисление процентов с составных именованных чисел.
203. Проценты могут быть исчислены с одинаковым успехом не только с десятичных чисел, но и с любого составного именованного числа.
При решении задач этого рода могут представиться два случая.
а)	Когда данное составное именованное число может быть приведено к вид^ целого с десятичной дробью, напр.:
141
175 руб. 25 КОП. =4 175,25 "руб.
ИЛИ .
282 М. 2 ДМ. 5 СМ. = 282,25 М.
ИЛИ
65 ф. стерл. 15 шилл. = 65,75 фун. ст.
В этом случае вопрос об исчислении процентов сводится к способу отыскания их с суммы рублей и копеек (напр. § 199).
б)	Когда данное составное именованное число не,может быть представлено в виде целого числа с десятичной дробью, напр. 65 ф. стер. 3 шилл. 2 пенса.
Такое число помножают на процентную таксу, от полученного произведения берут один процент с единиц высшего наименования, остаток раздробляют в единицы следующего нисшего наименования, прибавляют к полученному данное число единиц этого наименования и с суммы берут один процент и т. д.
Пусть требуется определить б°/о от
65 фун. стерл. 3 шилл. 2 пенсов.
65 ф. ст. 3 шилл. 2 пенсаХ6=390 ф. ст. 18 ш. 12 п.
1% от 390 ф. ст.	== Зф. ст.(ост. 90 ф. ст.=1800 шил.)
1% » 1818 шил. (1800-4-18)—18 шил. (ост. 18 шил.= 216 пенс.) 1% „ 228 пенс. (21 б-]-12)= 2 пенс.(0,28 отбрасываем)
Итого... = 3 ф. ст. 18 шилл. 2 пенса.
Проценты на сто.
204.	Пусть требуется решить задачу:
некоторый товар продан ?а 1000 рублей, при этом полух Чен о прибыли 25°/„; как велика сумма всей прибыли?
Замечаем, что вырученная сумма 1000 руб. составилась из 100% покупной стоимости товара и 25% прибыли; поэтому в каждых 125 руб. выручки заключается 25 руб. прибыли, а в 1000 руб. прибыли будет больше во столько раз, во сколько 1000 больше 125.
Помножаем 1000 руб. на 25 (§ 90); полученное произведение 25000 руб. делим на 125 (§ 128), после чего находим сумму чистой прибыли=200 руб.
142
Значит, для решения этой задачи достаточно данное число помножить на процентную таксу и произведение разделить на 100 плюс процентная такса, т.-е:
'	й 1000X25	1000X25
Искомая прибыль- )0))+.,. - - ]2-	=200р.
Проценты во сто.
205.	Пусть требуется решить задачу:
некто, за скидкою 5°/о, уплатил долгу 760 руб.; какая •сумма рублей была скинута?
Замечаем, что уплаченная сумма 760 руб. содержит в себе 95% (ЮО—5) всего долга. Если же 95°/0 суммы долга= =760 руб., то очевидно, что 5°/0 той же суммы будут равны 760X5 -j-.—=40 руб.
Сократив 5 и 95, делим 760 на 19 (§ 119); в частном получаем искомую скидку=40 руб.
Значит, для решения этой задачи достаточно данное число помножить на процентную таксу и произведение разделить на 100, минус процентная такса, т.-е.:
т,	760X5	760X5 х
Искомая скидка =--	\-=———=40 руб.
(1UU—О)
95
ПРИМЕР Ы.
206.	Решить на счетах следующие задачи.
Сколько получится процентных денег от:
7850	Р-	ПО 4%	Отв.	314 р.
2800	>►	» 6%	>	168 »
1012	»	50 к. » 63/3%	»	67 » 50 К.
987	»	60 *	» 5%	»	49 » 38 »
Товар стоил себе 483 р. 50 к., а продан с прибылью 10%;
•ск лько выручено за товар?	Отв. 531 р. 85 к.
Товар стоил себе 483 р. 50 к., а продан с 8% убытка;
•за сколько он продан?	Отв. 444 р. 82 к.
Брутто 2315 пуд. 20 ф.; тара 6%; какой вес тары?
Отв^ 138 п. 37 ф.
143 —
Вычисление интересов за годы.
207.	Пусть требуется определить 6% от капитала 2225 р. за з года.
Помножаем 22 р. 25 к. (т.-е. число 2225 руб., разделенное на 100, как это требуется § 198) на 6 и получаем 133 р. 50 к. Но такая сумма составляет 6% капитала за 1 год, а требуется найти за з года; поэтому 133 р. 50 к. помножаем еще на з и получаем искомую сумму интересов=400 руб. 50 коп.
Действие обозначаем:
-^-=4°° Р. 50 к, т.-е.
Капитал помножается на процентную таксу, на число лет и делится на 100.
Вычисление интересов за месяцы.
208.	Пусть требуется определить 6% от капитала 2225 р. за 8 месяцев.
2955 8/в
Мы видели (§ 207), что по формуле —
находились интересы за 12 месяцев (1 год); за 1 месяц капитал даст интересов в 12 раз меньше, а за 8 мес.—в 8 раз больше.
Поэтому, кладем на счеты 22 руб. 25 коп. (§ 207); помножаем это число на 6; полученное произведение помножаем на 8 и новое произведение делим на 12.
Действие обозначаем:
2225X6X8 12ХЮ0
89 руб., т.-е.:
Капитал помножается на процентную таксу, на месяцы и делится на 1200, т-е. на 12X100.
Примечание. Перед вычислением полезно делать сокращения, если таковые возможны. В предыдущем примере сократятся 6 и 12, а потом 2 и 8, и тогда придется 2225 помножить лишь на 4 и произведение разделить на 100, или только 22,25 р. помножить на 4.
— 144 —
Вычисление интересов за дни.
209.	Пусть требуется определить 6% от капитала 2225 р. за 35 дней.
п ,	2225X6
По формуле ——— находились интересы за 1 год или за 360 дней; за 1 день капитал даст интересов в 360 раз' меньше, а за 35 дней—в 35 раз больше.
Поэтому, помнржаем на счетах 22 р. 25 к. на 6, полученное произведение помножаем на 35 и новое произведение делим на 360.
Действие обозначаем:
22.25 р.Х6Х35
100X360
12 руб. 98 коп., т.-е.:
капитал помножается на процентную таксу, на число дней 'и делится на 3600, т.-е. на ЮО^ЗбО.	*
Спссоб определения интересов за дни при помощи постоянного делителя.
210. Постоянным делителем числа называется частное от деления 3600 на процентную таксу.
Укажем постоянные делители, представляющие собою целое число:
При %-ной	Постоян.	При %-ной	Постоян.
таксе.	делитель.	таксе.	делитель.
’/8	288000	33/4	9600
’/4	144000	4	9000
V*	72000	4 ’/2	8000
	108000	5	7200-
1	36000	6	6000
1» 2	• 24000	7/2	4800
2	18000	8	4500
2<Д	16000	9	4000
2«/2	14400	10	3600
3	12000	12	3000
3,6	10000	12/г	2880
211. Пользуясь вышеприведенными постоянными делителями, вычислене % за дни можно значительно упростить ’
— 145 —
Пусть, наприм., требуется определить 754% с капитала 8266 руб. за 24 дня.
Заметив, что при 7^2% постоянный делитель есть 4800, помножаем на счетах 8266 руб. на 24 и произведение делим на 4800.
Если же перед началом действия сократим числа 24 и 4800 на 24 и получим вместо их числа 1 и 200, то вычисление делается еще ппоще:
8266 руб. делим на 2 и на 100 и получаем искомую сумму интересов—41 руб. 33 коп.
Действие обозначаем:
8266X24	8266
4800	~~~2Х100
33 К., Т.-е.
капитал помножается на число дней и произведение делится на постоянный делитель.
Примечание. Обыкновенно постоян. делитель принимается в сокращенном виде на 100. Так, делитель 4800 есть 48, делитель 9000 есть 90 и т. и. Поэтому и в окончательном результате отделяются два знака. Напр., 8% от капитала 3248 руб. за 135 дней найдем так:
.^8Х135=3248><3=9
4о
ПРИМЕРЫ.
212. Сколько процентных денег получится:
ОТ	675	Р-	по			6%	в	2	года	Отв.		81	Р-		
»	4725	»			»	4%		3	>		»	567	»		
»	1471	»	60	к.	»	5%	»	6	лет		»	441	»	48	К.
	17566	»	—	»	»	б’Д%	»	16	»		»	17566	»		
»	8400	»	—		>	6%	»	6	» 4	мц.	»	3192	»		
	3619	»	—	»	»	6,4%	»	2	год. 6	мц.		579		04	к,
»	860	»	—	»	»	4Уг%	»	256	дней		»	27	>	52	»
	3600	»	—	»	»	3‘/8%	»	216	»			83	»	70	»
	752	»	30		»	3%	»	2 Г. 2 М. 20 ДН.				50		15	
»	11733		44	»	»	р/2%	>	3 Г.	5 М. 20	дн.		1833	»	35	
ю
— J46 —
Вычисление капитала, времени и %-й таксы.
Вычисление капитала.
213.	Чтобы найти начальный капитал, необходимо знать таксу, сумму интересов и время пользования капиталом.
Если дана % такса и сумма интересов за несколько дней, то для нахождения капитала достаточно помножить сумму интересов на 100 и на 360 и произведение разделить на таксу и на число дней.
Пример; Как велик капитал, если при 8% в 120 дней он дал интересов 240 руб.?
Решение:
к=-^0^360, а по сокращении К=100ХЭ0=9000 р.
Вычисление времени.
214.	Чтобы найти время пользования капиталом, необходимо знать сумму интересов, капитал и таксу.
Если известны сумма интересов, капитал и такса, то для нахождения числа дней пользования капиталом, достаточно сумму интересов помножить на 100 и на 360 и произведение разделить на капитал и таксу.
Пример. В какое время капитал 8000 руб. даст интересов 1500 руб. при 6%?
Решение:
1500X100X360	„
в = -	’ а по сокращении В — 15 X 2э X 3 =
= 1125 ДН.=3 Г. 1 М. 15 дн.
Вычисление процентной таксы.
215.	Чтобы найти % таксу, необходимо знать капитал, сумму интересов и время пользования капиталом.
Если извес&гны капитал, сумма интересов и число дней пользования капиталом, то для нахождения % таксы, достаточно сумму интересов помножить на 100 и на 360 и произведение разделить на капитал и число дней.
Пример. По сколько % отдан капитал 6000 руб., если в 40 дней получается интересов 48 руб.?
— 147 —
Решение:
п. т.
48ХЮ0Х360	'	72 _ „
= - 6000X40”’ * "° “кР™ен™ ”• ’• “ in”7'2 ”'
Примечание. Если при вычислении капитала, времени и % таксы будут даны не дни, а целые годы или месяцы, то число дней заменяют числом лет или месяцев, при чем 360 в первом случае (годы) опускается, а во втором (месяцы) заменяется числом 12.
ПРИМЕРЫ.
	216. Определить капитал, который:	
за	з года по 5% даст интерес. 900 р.	Отв. 6000 р.
	288 ДН. > 5Уг% »	»	198 »	> 4500 »
	Определить время обращения капитала,	если:
с	2400 р. по 4% получ. интерес 480 р.	Отв.	5 лет.
»	2250 > » 51/з% »	»	49 > 50	к. > 4 м. 24 д.
	Определить процентную таксу, если:	
с	5000 р. в 1 год получ. интерес. 250 р.	Отв. 5%
»	7500 »)) 2 года »	»	600 »	» 4%
	6000 » » 4 мес. »	»	90 »	> 41/2%
Сложные проценты.
217. Если проценты считаются не только на капитал, а вместе на капитал и на интересы, наросшие в течение минувших лет, то какие проценты называются сложными процентами.
Более скорые способы вычислений интересов за несколько лет при сложных процентах производятся помощью алгебраических формул и логарифмических таблиц. Мы же рассмотрим только такие способы вычисления сложных процентов, которые могут быть доступны знающему лишь арифметику.
218. Способ 1-й. 1) В какую сумму обратится капитал 5000 р. через 3 года при 4% сложных и 2) сколько интересов принесет этот капитал за то же время и при той же - таксе?
10'
148 —
Из капитала 5000 р. каждые 100 р. через каждый год обращаются в 104 р.; обозначив это кратко:
К. ...................  5000
(1Г.)	100....................... 104
(2Г.)	100......................  104
(3 Г.)	100	. .................  104
и, разделив произведение чисел правого столбца на произведение чисел левого, найдем по сокращении, что
5000Х104Х104ХЮ4__104Х104Х52_	•	„
к==	"100X100X100—-------100---- 5624 р- 32 К-
2)	И=5624 р. 32 К.—5000 р.=624 р. 32 К.
219.	Способ 2-й. Ответим на те же вопросы, для капитала 800 р. за 3 года при 4% сложных, вторым способом.
1)	Кладем на счеты 800 руб., помножаем это число на 4 и произведение делим на 100, после чего находим интересы за 1 год—32 р., т.-е.
800 X 4 _
100
32 руб.
Прибавив 32 руб. к капиталу 800 руб., будем иметь, капитал к началу 2-го года 832 руб. (т. е. 800-|-32).
2)	Кладем на счеты 832 руб., помножаем это число на 4 и произведение делим на 100, после чего находим интересы за 2-й год=33 р. 28 к., т.-е.:
832 р.Х4 „„
-- ido =33 ₽• 28 к-
28 к. к капиталу 832 руб., будем иметь 3-го года 865 руб. 28 коп. (т.-е. 832 р.4-
Прибавив 33 р. капитал к началу -1-33 р. 28 К.).
3)	Кладем на счеты 865 руб. 28 к., помножаем это число на 4 и произведение делим на 100, после чего находим. интересы за 3-й год=34 руб. 61 коп. (0,12 коп. отбрасываем), т.-е.:
865 р. 28 K.X4 й
----------^=34 руб. 61 к.
Прибивив 34 р. 61 к. к капиталу 865 р. 28 к., будем иметь капитал 899 р. 89 к.
— 149 —
Следовательно, за 3 года капитал 800 р. при 4% сложных обратился в 899 р. 89 к.
Дал интересов 899 р. 89 к.—800=99 р. 89 к., т.-е.:
32 р.-|-33 р. 28 К.+ 34 р. 61 К.
220.	На практике при вычислении сложных процентов пользуются таблицами с готовыми вычислениями — во что обращаются 100 р. через 1, 2, з, 4 и т. д. года.
Таблицы эти помещены в конце книги.
Пример из таблицы. В какую сумму обратится капитал 8000 руб. за 5 лет при 5*/2% сложных?
По таблице сложных процентов находим, что капитал 100 р. за 5 лет по 5^2% обращается в 130,696 р.
Значит, капитал 8000 руб. обратится в сумму, большую 130,696 р. востолько раз, восколько 8000 больше 100, т.-е.
„	130,696 X 8000
К =------—---------=10455 р. 68 к.
Учет векселей.
221.	Векселем называется письменное обязательство одного лица заплатить другому лицу определенную сумму в срок, указанный в самом векселе.
Валютой векселя называется сумма долга, выставленная ла векселе.
Полную сумму (валюту) по векселю можно получить только в день срока векселя; по векселям же, срок которых еще не наступил, обыкновенно платят менее следуемого-Такая скидка называется учетом или дисконтом, размер которого выражается в годовых процентах по расчету за время, недостающее до срока.	’
а) Вычисление дисконта.
222.	Пусть, наприм., требуется определить дисконт по векселю в 5000 руб., выданному 20 января сроком- на 6 месяцев и учтенному 5 апреля из 6%.
Прежде всего найдем время, недостающее до срока:
20—5 15
———=—, т. е. 3 мес. и 1э дн. или 105 дн.
— 150 —
Когда найдено число дней, за которое следует удержать проценты, решение данной задачи приводится к способу отыскания интересов с капитала за дни.
Пользуясь постоянным делителем искомый дисконт получится:
5000ХЮ5 _
6000	—
87 р. 50 к.
б) Вычисление цены векселя.
Ценой векселя называется сумма, которую выдадут за вычетом дисконта.
Сколько выдадут по векселю в 12000 р., учтенному за 108 дней до срока из 5%?
Пользуясь постоянным делителем, найдем, что из 5 % за 108 дней вместо каждых 100 р. валюты удержат:
100 X Ю8 ,
---------—1р. 50 К.,
I Ci
т.-е. вместо 100 р. выдадут 98 р. 50 к. Отсюда цена векселя
в 12000 р. валютой:
12000X98,50
100	—
11820 р.
Результат получится тот же, если от 12000 р. найти 5%. и сумму 180 р. вычесть из 12000 р.
в) Вычисление валюты векселя.
На какую сумму следует выдать вексель сроком на 135 дней» если желают получить 7954 р. из 8%?
При 8% постоянный делитель 45. С каждых 100 р. ва люты будет удержано за 135 дней:
100 х 135
45
= 3 р.
Отсюда валюта векселя:
7954^ °°=8200 р. 97	v
г) Дисконт нескольких векселей.
Определить общий дисконт из 4J/2% по векселям: в 3250 р. за 48 дн., В 4800 р. за 52 дн. и В 1950 р. 112 дн.
— 151 —
Помножаем валюту каждого векселя на соответствующее число дней, у найденных произведений (%-я числа, см. § 272) отбрасываем две последние цифры и результаты складываем:
3250Х 48=1560
4800Х 52=2496
1950X112=2184
10000	6240%-Х ЧИС.
При 47г% пост, делитель 80. Разделив 6240 на 80, найдем общий дисконт:
Следов., по данным трем векселям выдадут:
10000 р.—78 р.=9922 р.
Сведения из коммерческой арифметики.
Товарные вычисления.
Вес, скидка с него и стоимость.
223.	Брутто (Бр.)—вес товара с упаковкой. Тара (Т.) — вес упаковки. Нетто (Н-то) — вес одного товара. Следов., Бр. минус Т. равно Н-то.
Пример 1-й. Найти вес и стоимость Н-то 20 боч. сахара: Бр. 5 т. 25 кг., Т. 525 кг. XLO Р. 0.75 К. за кг. Н-ТО.
Решение: Бр. 5 т. 25 кг.
Т. — „ 525 „
Н-ТО 4500 кг. ПО Р. 0.75 К., на Сумму
Р. 3375. — К.
Пример 2-й. Найти вес и стоимость Н-то 20 кулей шерсти Бр. 4225 кг., Т. 0,4 кг. с Ц. по Р. 1.80 к. кг. Н-то..
Решение: по 0,4 кг. за ц. с 4225 «г.=168 кг.
« 0,4 „ „ „ „ 25 „ = 1 „
Итого.............169	кг.
— 152 —
Следов. Бр. 4225 кг.
— Т. 169 „
Н-то 4056 кг. по Р. 1.80 к., на сумму
PS=7300.80 к.
Пример 3-й Найти вес и стоимость Н-то товара 40 кип: Бр. 3252 кг., Т. 5%, ПО Р. 4.80 к. за кг. Н-то.
Решение: 5% от 3252 кг.=162,62 кг.
Следовательно:
Бр. 3252 кг.
Т. 162,60 „
Н-ТО 3089,38 кг. по Р. 4.80 к., на сумму Р. 14829.12 к.
Когда Бр. может быть представлено в виде десятичного числа, то % с него находятся как с суммы руб. и коп., а когда этого сделать нельзя, поступают как с составным именованным числом (§ 203).
224.	По соглашению продавца с покупателем, при продаже товара делаются скидки с Н-то (редко с Бр.) и со стоимости товара.
Скидки с веса.
Привес—скидка на случай траты товара при упаковке и перевозке; рефакция — скидка на поврежденный товар; лек-каж—скидка на утечку или на усушку товара.
Скидки со стоимости.
Дисконт или сконто—уступка за уплату ранее условленного срока; рабат—скидка без указания причины; декорт— уступка за товар, оказ. достоинством ниже предложенного образца.
Вычисления в фактурах и продажных счетах.
225.	Фактурою назыв. торговый документ, посылаемый продавцом покупателю при отправке товара, с обозначением количества проданного; иногда фактура называется накладною. (Форму факт. см. сб. зад.). Счетом называется торговый документ, подаваемый продавцом покупателю, с указанием следуемой к получению суммы за проданный и отпущенный товар. (Форма сч. там же). Продажным сче
— 153
том назыв. торг, документ, подаваемый комиссионером •своему комитенту и содержащий сведения о полученных и проданных товарах, выручке, расходах и проч. (Форм. ирод, сч. там же).
комиссионер— лицо, исполняющее поручения по покупке-продаже товаров. Комитент — лицо, дающее поручение комиссионеру.
Комиссия—вознаграждение комиссионеру за его услуги. В фактуре комиссия взимается со стоимости товара и расходов, а в продажном счете—с валовой выручки.
Делькредере—особое вознаграждение комиссионеру в случае продажи им товара в кредит и ручательства за исправный платеж; взимается с суммы этого платежа.
Куртаж—плата маклеру; в товарных сделках взимается с продавца и покупателя по ‘/2% с суммы сделки.
Кроме того, в фактурах и продажи, счетах могут быть показаны и такие расходы, как: пошлина, страхование, провоз, ‘артельные, почтовые и др.
226.	Пример фактуры. Бр. 2850 кг., Т. 4%, привес 2%, Н-то пр Р. 5.50 к., рабат 1%, провоз 10 к. с кг., пошлина Р. 150.20 к., страхование в Р. 15000 по 2°/о0, куртаж ‘/2%, комиссия 3%. Определить итог фактуры.
Решение:
Бр. 2850 кг.
Т. 4%	114 „
2736 кг.
Прив. 2% 55 „
Н-ТО 2681 кг. по Р. 5.50 к. ... Р. 14745.50 к.
Рабат 1% 147.16 „
	Р. 14598.04 К.
Расходы: Провоз по 10 к. кг.	Р. Пошлина	, „ КуртажJ/2% (с 14745.51)	„	285.— К. 150.20 , 73.73 „
Страхование в 15000 по 2%о „	30.— „	538.93 К. Р. 15136.97 К.
Комиссия 3% (с	15136.97) „	454.11 . Итого Р. 15591.08 к.
— 154 —
227.	Пример продажного счета. Продано сукна 1000 л«. ПО Р. 3.20 К., 500 М. ПО Р. 1.80 К., 180 М. ПО Р. 2.20 К.,, рабат 1%, провоз Р. 48.96 к., страхование в Р. 5000 по 2%о> куртаж 1/2%, мелкие расходы Р. 9.82 к., комиссия 2%, делькредере 3%. Определить сумму чистой выручки.
Решение:
1000 м.	ПО	Р.	3.20	К.	.	.	.	Р.	3200
500 „	„	„	1.80	К	.	.	.	„	900
180 „	„	„	2.20	„	.	.	.	„	396	4496
Рабат 1% Р. 44.96 к.
Р. 4451.04 К.
Расходы:
Провоз ............ Р. 48.96 к.
Страхов, в 5000 по 2%........„ 10.— „
Куртаж % %........................  22.26	„
Мелкие расходы................... 9,82 „ 91.04 к.
'	Р. 4360,— К.
Комиссия 2% (с 4496 р.) ... Р. 89.92 К.
Делькредере 3% (тоже) .... „ 134,88 „	224,80 к-
Чистая выручка...............Р. 4135.20 к.
Калькуляции.
228.	Вычисление покупной, продажной или заготовительной цены какой-либо единицы товара наз. калькуляцией.. Если определяется цена одного какого-нибудь товара, калькуляция наз. простой, а если каждого из нескольких товаров—сложной.
Пример простой калькуляции. Во что обошелся 1 гл. товара, если:
Н-то 342 гл. по Р. 2.10 К., на . . . . Р. 718.20 к.
Разные расх. по фактуре.............„ 32.69 „
Расходы при получ. товара .... » 42.55 „?
Решение: Общая стоимость товара с расходами:
Р. 718.20-|-32 69-|-42.55=Р. 793.44 к., а 1 гл. в 342 разги
меньше, т.-е.:
цена гл.
_Р. 793.44 к.
—	342
=Р. 2.32 К.
— 155 —
Можно еще так: найти, сколько падает расходов на. единицу товара (на пуд, аршин и пр.) и найденную величину приложить к покупной цене товара.
Пример сложной калькуляции. Найти цену одного кг. краски 1-го сорта и одного кг. краски 2-го сорта, если имеем
а)	по фактуре:
Кр. 1 с. Бр. 40 кг.
Т. 5% 2 *
Н-ТО 38 КГ. ПО Р. 74, на Р. 2812
Кр. 2. с. Бр. 60 кг. т. 10% 6 „
Н-ТО. 54 КГ. ПО Р. 22 на Р. 1188 4000-.
Рабат 1%	40-
Р. 3960-
Страхование В 4000 ПОЗ%0 . . . Р. 12.— К.
Взвешивание и нагрузка . . . „	3.20 „
Куртаж %% (С 3960 р.) .’........19.80 „	35,— К.,
Р.	3995,—	К.
Комиссия 2%	„	79.90	„
Итого по фактуре „	4074.90	к.,
б)	Расходы, оплаченные на месте получения:
Провоз кр. 1 с.	по 40 к. с кг. Р.	16,— к.	
, кр. 2 С.	Q0 99	“v 99 99	99	99	12.— „	
„ в склад	и проч. рас.	„	37.10 я	65.10 к.
	Всего	Р.	4140,— к.
Замечание. В сложной калькуляции расходы группируются: 1) на расходы по цене (куртаж, комиссия, делькредере и др.), 2) на расходы по количеству (нагрузка, взвешив., артельн. и др.) и 3) на расходы специальные, т.-е. относящиеся к каждому сорту товара (провоз, пошлина и др.). Затем первые расходы распределяются пропорционально, стоимости товара, а вторые и третьи—пропорц. Бр. товаров.
— 156 —
Решение: 1) расходы по стоимости.
Страхование Р. 12,—
Куртаж » 19.80 к.
Комиссия » 79.90 > Р. 117.70 к.
Очевидно, что если стоимость товаров до скидки есть 4000 р. (до или после скидки—все равно, лучше, однако когда сумма круглая), то этих расходов на рубль стоимости каждого товара падает:
111.70X2812 „„
на кр. 1 с. -----------=78 р. 53 к.
»
„	111.70X1188
К₽- 2 °' “4<Ж--=33 Р- 17
к.
2) Расходы по количеству.
Взвешивание и нагрузка ...... Р. 3.20 к.
Доставка в склад и пр.........	» 37.10 » Р. 40.30 к.
Если общий вес товаров Бр. 100 кг., то на каждый то-
вар падает:
на кр.
1 с.
40.30Х40_ юо ~
16 р. 12 к.
кр. 2 С.
40.30X60 --------ss/4 100
р. 18 К.
3) Расходы специальные.
На кр. 1 с.....................
ъ кр. 2 >.....................
провоз 16 р. тоже 12 »
— 157 —
Таким образом:
	Краска 1 с.		Краска 2 с.		ВСЕГО.	
Стоимость товаров без расходов.	2812	—	1188	—	4С00	—
Рабат 1И ....	28	12	11	88	40	
Руб		2783	88	1176	12	3960	—
Расходы: по стоимости ....	78	53	33	17	111	70 .
„ количеству ....	16	12	24	18	40	30
специальные		16	—	12	—	28	—
Стоимость товаров с расходами.	2894	53	1245	47	4110	-.
Вес Н-то . .	38	КГ.	54	КГ.	—	—
1 кг. обошелся . .	76	17	23	07	—	—
Поверка		2894	46	1245	78	4140	24
Разница		—	+7		-31		— 24
О калькуляциях на иностранные товары.
Способ и порядок составления калькуляций на иностранные товары те же, что и на русские, с одной особенностью, что сумма фактуры в иностранной монете переводится на русские деньги по курсу данного времени и к результату прибавляются местные расходы, выраженные рублях.
Вычисления в текущих счетах.
229.	Торгово-промышленные учреждения, банки и лица, находясь в долговых отношениях между собою, для взаимных расчетов открывают друг другу в счетоводных книгах личные счета, в которых вписываются все сделки в порядке их совершения.
На левой стороне (на Дебете) такого счета записываются суммы полученные, а на правой (на Кредите)—суммы, выданные лицом или учреждением, которому открыт счет.
— 158 —
Личные счета бывают: а) беспроцентные, если на вошедшие в них суммы проценты не начисляются, и б) процентные, если, по взаимному соглашению заинтересованных сторонка такие суммы проценты начисляются.
230.	Вычисления в беспроцентных текущих счетах не представляют никаких трудностей; в известный срок выводится сальдо (остаток), показывающее, сколько одна сторона должна другой. Напр.:
счет кооператива „Работник" в Туле Дебет.	Кредит.
1924 г.
Янв. 1 Сальдо от п/г. . 2000
Фев. 10 Продано В/на Рб. 1000
Авг. 15
Нояб. I
500
1500
Уплач. гр Дингу по В/поруч. . .
Продано В/на Рб.,
1924 г.
Мар. 5
Мая 20
Июн. 10
Дек. 1
Дек. 31
Получ. от В/н/д. . 1500
Куплено для н/на Рб................800
Получено от В/ веке. Тона .... 1250
Скинуто В/ по сч.
1/XI ......	15
Сальдо в н/ поль-
зу • • ...........
1435
Баланс 5000
Баланс 5000 —
231.	Вычисления в процентных текущих счетах (назыв. также контокоррентами) осложняются тем, что в них приходится начислять проценты на суммы Дебета и Кредита.
Дни, с которых начинается начисление %, называются сроком.
Начисление % по текущим счетам выражается в процентных числах или % NN, получающихся от умножения капиталов на соответствующее число дней. Суммы, с которых начисляются % %, округляются, до умножения их на число дней, отбрасыванием копеек, а найденные %-е числа округляются до сотен. Затем разность %-х чис. между .Д. и К. помножается на %-ную таксу и делится на 360.
159 —
При помощи же постоянного делителя достаточно разделить указанную разность на этого делителя, уменьшенного в 100 раз.
Существует три способа ведения и заключения текущих счетов: а) прогрессивный (немецкий), регрессивный (французский) и гамбургский (по степеням).
232.	Прогрессивный способ. Проценты по этому способу на-числяются от дня каждой сделки, если не указано другого срока, по день заключения счета. Напр.:
Счет Кооператива раб. и сл. ф-ки «Прогресс», зд., из 4°/о.
Дебет.	(Заключен на 1-е июля),	Кредит.
Месяц и число.	Операции.		Суммы.		Дни.	°, о-е числа.	Месяц и число.	01Э.НДИ и.	Суммы.		Дни.	il °/о-е числа.
Янв. 8	Выдано	В ....	4000	—	172	6880	Февр. 3	Получ. от В/..	1600	—	147	2352
Мар. 15			3000	—	105	3150	Аир. 6		2400	—	84	2016
Мая 19	»	» • • • •	1400	-	41	574	Июн. 14 .	» » » • •	600	—	16	96
Июн. 30	% С В'	6140 “90“- •	68	22	—	—	„ 30	Баланс % чис		—	—		6140
							, 30	Сальдо на 1 vn.	3868	22	—	—
	Баланс ...		8468	22	—	10604		Баланс ...	8468	22	—	10604
												
Здесь так определились %-е числа:
По Дебету.
4000 р. за 172 Д. 6880%-X ЧИС.
3000 » » 105 д. 3150 »	»
1400 » » 41 » 574 »	»
8400 »	10604
По 'Кредиту.
1600 р. за 147 д. 2352%-X ЧИС.
2400 »	»	84	»	2016	»	»
600 г	»	16	»	96	»	»
4600 »	»	4464	»	»
Следовательно, кооператив нам должен Р. 8400 и %-х чис. 10604, а мы ему должны Р. 4600 и %-х чис. 4464. В результате кооператив нам должен Р. 3800 и % чис. 6140. Превратив, затем, %-е числа в %-е деньги при помощи
— 160 —
постоял, делителя (6140 : 90) и, прибавив эти последние к сумме долга кооператива, найдем, что на 1-е июля он остался нам должен Р. 3868 р. 22 к.
Если в прогрессивном текущем счете окажутся такие суммы, начало роста процентов по которым переходит день заключения счета, то процентные числа на такие суммы принимают обратное значение: Дебитовые идут в пользу Кредита, а Кредитовые—в пользу Дебета. Самые %-я числа в этом случае пишутся иными чернилами, напр., красными, а потому и называются красными %-ми числами.
233.	Регрессивный способ. По этому способу дни, за которые начисляются %, считают от дня каждой сделки назад по день открытия счета или другой какой-либо день, предшествующий открытию.
Наприм.: ,
счет Кооператива раб. и сл. ф-ки «Прогресс», зд., из 4°/<>.
Дебет.	(Заключен на 1-е июля).	Кредит.
Месяц и j число.	Операции.	Сумы ы.		Дня.	°/о-е числа.	Месяц и число.	Операции.	Суммы.		Дни.	°, 0-0 числа.
Янв. 8 Мар. 15 Мая 19 Июн. йО „ :о	Выдано	В	.... »	»	•	•	•	* п	„	•		•	• Сальдо	4000 3000 1400 68	62	67 131	2010 1834 6140	Февр. 3 Апр. 6 Июн. 14 . 30 » 30	Получ. от В '.. » п » • • •п	п » • • Предв. сальдо кап. 3800 .... Баланс на 1 vn.	1600 2400 600 3868	22	25 88 156 172	400 2112 936 6536
	614 ) с В/ 90 ’'										
	! |	Баланс ...	1	1 ;8468!22		| —	9984		Баланс ...	8468	22	1 1 1	9984
40С ЗОС 14С 84С	%-е числа oi По Дебе, 0 р. за — д. 0 » » 67 » 0 » » 131 » Гб	i ) тредел т у. — 9 2010 1834 3844		i ИЛ1 о -X )) »	юь: ЧИС. » »	1 1600 р. 2400 » 600 » 4600 ,	Jo Кредиту. за 25 Д. 400 » 88 » 2112 » 156 » 936 •	3448	%-Х » . »	Ч	ИС. » » »	
— 161 —
Наши %-е числа в данном случае (регресс, способ) находятся на кредите, а так как сальдо 3800 р. дебитовое, то %-е числа 6535 (с 3800 руб. за 172 д.) записываем в Кредит. Сальдо %-х чисел 6140 для баланса переносим в Дебет. Значит, кооператив должен Р. 3800 и %-х чис. 6140. Превратив, затем, %-е числа в %-е деньги (6140:90) и, прибавив эти последние к сумме долга кооператива, найдем, что на 1-е июля он остался нам должен 3868 р. 22 к.
235. Гамбургский способ или по степеням. Проценты по этому способу вычисляются постепенно на остающийся долг. Вслед за каждой операцией выводится сальдо долга, перед которым ставится Д или К, смотря по тому, в пользу какой стороны следует сальдо. Против сальдо выставляется число дней от одной операции до другой, а на последнее сальдо берется число дней от дня последней операции по день заключения счета. Наприм.:
Счет Кооператива раб. и сл. ф-ки «Прогресс», зд., из 4°/0.
(Заключен на 1-е июля).
Месяц и число.	Операции.	СУММ ы.				Сальдо.		Дни.	о/о-е числа.	
		Д-т.		К-т.						
									Д-т.	К-т.
Янв. 8 Февр. 3 Мар. 15 Авр. 6 Мая 19 Июн. 14 „ 30 „ 30	Выдано	 Подучено от В' . Выдано В/ ... Получено от В/ . Выдано В/ . . . Получено от В' . 6140 4 с В/ -90- j Сальдо на 1 июл.	4000 3000 1400 68	22	1600 2400 600 3868	22	Д. 4000 Д. 2400 Д. 5400 Д. 3000 !д. 4400 Д. 3800 Д. 3868	22	25 42 21 43 25 16	1000 1008 1134 1290 1100 608	6140
		8468	22	8468	22	—	22	172	6140	6140
	I									
ТАБЛИЦА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ.
Годы.		Во чт	о о б р а 1	цаются	10 0 р )	б л е й.	
	При 3%	При 3‘/2%	При 4%	При 4%%	При 5%	При 5'/2«/о	При 6%
							
1	103	103,5	104	104,5	1 105	105,5	106
2	106,09	107,1225	108,16	109,2025	110,25	111,3025	112,36
3	109,2727	110,87178	112,4864	114,11661	115,7625	117.42413	119,1016
4	112,55088	114,7523	116,98585	119,25186	121,55062	123,88246	126,24769
5	115,9274	118,76863	121,66529	124,61819	127,62815	130,696	133,82255
6	119,40522	122,92553	126,5319	130,22601	134,00956	137,88428	141,85191
7	122,98738	127,22792	131,59317	136,08618	140.71004	145,46791	150,36302
8	126,677	131,6809	136,8569	142,21006	147,74554	153,46865	159,3848
9	130,47731	136,28973	142,33118	148,60951	155,13282	161.90942	168,94789
10	134,39163	141,05987	148,02442	155.29694	162.88916	170,81444	179.08476
11	138,42338	145,99697	153,9454	162,2853	171,03393	180,20924	- 189,82985
12	142,57608	151,10686	160,10322	169,58814	179,58563	190,12074	201,21964
13	146,85337	156,3956	166,50735	177,2196	188,56491	200,57738	213.29282
14	151,25897	161,86945	173,16764	185.19449	197,99315	- 211,60914	226,09039
15	155,79674	167,53488	180,09435	193,52824	207,89281	223.21764	239,65581
16	160,47064	173,3986	187,29812	202,23701	218,28745	235,52626	254,03516
17	165,28476	179,46755	194,79004	211,33768	229,20183	248,48021	269,27727
18	170,2433	185,74891	202,58165	220.84787	240,66192	262,14662	285,43391
19	175,3506	192 25013	210,68491	230,78603	252,69501	276,56469	302,55995
20	180,61112	198.97888	219,11231	211,1714	265,32977	291,77574	320,71354
162
— 163 —
Сравнительная таблица ценнности монет в государствах.
Государства и монеты их.	СРАВН. ЦЕНИ. МОНЕТ.							
	Росс.		Герм.		Франц		Англ.	
	1 Руб.	Коп.	1 Марк.	Пфен.	Фран.		1 Сант.	Шил. I	6 и Н
СССР		1	—	2	16	2	662/а	2	Р/з
Англия—1 ф. стерлин.=20 ши.и. (1 шки.= 12 пенс.)		9	453 4	20	43	25	22»/е	[20	240
Венгрия—1 крона=100 гедерам		—	393/s	—	85	1	05		10
Бельгия, Франция и Швейцария —1 франк. =100 сайт	 		—	3772	—	81	1	—		974
Болгария—1 лев=100 стотинкам, Греция— 1 драхма=100 лепт., Испания—1 пезета= =100 центезимо, Италия - 1 лира=100цен-тезцмо, Румыния 1 леу=100 сантим. Юго-Славия—1 динар-=100 стольтекам . .	—	37 >/2			81	1	—	—	9>/4
Германия -1 марка=100 пфениг		—	46*, 4	1	—	1	231/а		Ц3 4
Дания, Норвегия и Швеция—1 кропа=100 ёр		52	1	1272	1	387/6	1	11/5
Египет—1 пиастр=-=40 пара		—	91/4	—	203/4	—	255/е	—	21/£
1 секвин (фупт)=100 пиастр . . .	9	60	20	75	25	61	20	3,81
Китай—1 таёль (льенг)=10 мацам (1 мац=10 фанам, 1 фан=10 кёшам)		2	41/2	-	—	—	—	—	—
Португалия—1 мильрейс=1000 рейс ....	2	10	4	5372	5	60	4	574
Персия—1 таман=10 кран (1 кран=10 сепар, 1 сенар=10 брсти, 1 бисти=10 динар) 			3	30	7	14	8	82	7	—
Сев.-Амер. Штаты—1 доллар=100 центам .	1	94‘/з	4	19«/s	5	18‘/.	4	272
Турция—1 лира=10 меджие (1 меджие=10 пиастр., 1 пиастр=40 парам)		8	53,7	—	—	—	—	—	—
Япония—1 иен=100 сен				2	9,2	2 1	58,3	2	0,в