Ах2 + F = О, Су* + F = 0.
(46)
О. Жаутыков
Кривые второго порядка
Кривой второго порядка называют график уравнения второй степени с двумя   неизвестными
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу +
+ t = О,   (1)
где А, В, С, D, E, F б R. Обозначим многочлен в левой части уравнения (1) через / (л:, у). Тогда точка М (х0; у0) принадлежит графику уравнения (1), если f (x0, уо)=0 (см. «Алгебра 6», п. 54).
Основная наша задача — научиться определять вид этого графика по коэффициентам А,  В,  С,  D,  E,  F.
Будем считать, что А, В, С не обращаются одновременно в нуль (если А =В=С=0, то получается кривая первого порядка — график линейного   уравнения   Dx+Ey+F=0).
Мы изберем следующий план: сначала изучим несколько простых частных случаев — когда некоторые коэффициенты уравнения (1) обращаются в нуль, а потом научимся параллельными переносами и поворотами получать график уравнения (1) из этих частных случаев.
Частные     случаи
Случаи эти таковы (все коэффициенты при выписываемых членах, кроме, быть  может,   F,  отличны  от нуля):
Ах2 + Еу = 0,	(2а)
Су2 + Dx = 0,	(26)
Ах2 + Су2 + F = 0,        (3)
Параболы.   Перепишем уравнения (2а) и (26) так:
(5а) (56)
Е — С
Графиком уравнения (5а) является парабола (см. «Алгебра 6», п. 24 и статью И. Н. Бронштейна «Парабола» в «Кванте», 1975, № 4). Легко понять, что уравнение (56) тоже определяет параболу — она получается при отражении параболы у=— tq-x2относительно биссектрисы первого координатного угла (см. рис. 1).
Окружность, эллипс, гипербола, начало координат, пара прямых или пустое множество. Все это может быть графиком уравнения (3).
Действительно, если А=С (#0), то уравнение (3) можно переписать в виде
* + ?    =
Если — FIA>0, то уравнение (6а) задает окружность радиуса У —F/A (рис. 2). Если — F/A=0, то уравнению (6а) удовлетворяет лишь пара х=0, у=0, и графиком является начало координат. Если же — F/A<. <0, то уравнение (6а) решений не имеет, его график — пустое множество.
Пусть теперь АфС. Тогда если Л и С одного знака (то есть если С1А> >0), то графиком уравнения (3), которое можно переписать в виде
х2 + -^-У2 = —т-.	(6б)
является эллипс, если — F/A>0 (см. рис. 3 и статью И, Н. Бронштейна «Эллипс» в «Кванте», 1975, №     1),     начало    координат,    если
—	F/A=0, и пустое множество, если
—	F/A<0.
22

\4хг+9у2-36=о\
Рис. 1.
Рис. 3.
Рис. 2.
Рис. 4.
Если же Л и С разных знаков (то есть если С/Л<0), то уравнение (66) при F^O определяет гиперболу (см. статью И. Н. Бронштейна «Гипербола» в «Кванте», 1975, № 3), а при F=0 — пару прямых (рис. 4)
(см. «Алгебра 6», п. 21; эти уравнения легко привести к виду y*=kx).
Прямые или пустое множество. В уравнениях (4а) и (46) надо рассмотреть три случая: F=0, /7Л>0 (или F/C>0) и F/A<0 (или F/C<fi).
Если F=0, то (4а) превращается в уравнение х=0, график которого — ось Оу, а (46) дает у= 0 — это ось Ох.
Если числа F и А (или F и С) разных знаков, то уравнения (4) дают каждое пару прямых, параллельных оси Оу:
х= ±
или оси Ох
У=±
Если же числа F и А (или F и С) одного знака, то график уравнения (4а) (и (46)) — пустое множество.
23

Перемещения
Это— преобразования, которые переводят фигуру в конгруэнтную ей фигуру. Стало быть, прямая в результате перемещения останется прямой, парабола — параболой, гипербола — гиперболой. А вот уравнения этих линий изменятся (но по-прежнему будут уравнениями второй степени), и этим можно воспользоваться для упрощения уравнения — скажем, подобрать перенос, после которого в уравнении исчезнет член Dx, или поворот, аннулирующий Вху. Переносами и поворотами мы и ограничимся.
Параллельный       перенос.   Пусть при параллельном пере-
носе г (а; Ь) точка М (х; у) переходит в точку М' (и; v). Тогда х+а=и, y-\-b=v  (рис.   5),   поэтому
х = и — а, У = V— Ь.
(7)
Если координаты точки М удовлетворяют уравнению / (л:, у)=0, то координаты точки М' (и; v) удовлетворяют уравнению
g (и, v)=f(u—a, v—b)= О,
то есть при переносе г (а; Ь) график уравнения f (х, у)=0 отображается в график уравнения (в переменных х, У)
g(x, У) = /(*—а, у—Ъ) =0.
Обратный перенос г'(—а; —Ь) отображает график уравнения g (x, у)=0 в график уравнения / (х, у)=0.
В учебнике «Алгебра и начала анализа 10» (п. 9*) доказывается, что при переносе г (о; Ь) график функции у = f (х) отображается в график функции у = f (х—o)+fc. Этот факт легко получается из доказанного нами свойства переносов (при этом выясняется, почему а входит в последнюю формулу со знаком «минус», а Ь — со знаком «плюс»). График функции у = / (х) совпадает с графиком   уравнения   g (х, у)   —   у—/ (х) = 0.
При переносе г (о; Ь) из графика уравнения g (х, у) = 0 получается график уравнения g (х—о, у—Ь) = 6, то есть уравнения (у—Ь)—/ (х—о) = 0, или функции у = = f(x-a)+b.
Повороты. Рассмотрим поворот с центром О (0; 0) на угол [3 в
Рис. 5.
\f(x,y)=d\
Рис. 6.
положительном направлении (против часовой стрелки). При таком повороте Ro точка М (х; у) отобразится в точку М'(и; v). Попробуем связать и, v и х, у. Пусть \ОМ \=г и точка М (х; у) получается из точки К (г; 0) на оси Ох поворотом на угол а (рис. 6). Тогда (см. «Алгебра и начала анализа 9», §.14, п. 70, 71) x=rcosa,, у—г since. Но точка М'(и; v) получается из точки К (г, 0) поворотом на угол сс+р, поэтому «=rcos (а+Р), v=r sin (сс+Р). Поскольку
cos (о + Р) =
= cos a cos р — sin a, sin P,
sin (а + Р) =
= sin а cos Р + cos a sin P,
24

мы получаем:
и = г cos (а + Р) =
= х cos p — у sin р\
и = г sin (а + Р) =
= х sin P + у cos p.
При  обратном   повороте  /?оР  точка М' (и;    v)   отображается    в     точку М (х; у), поэтому х = и cos (—Р) — и sin (—Р) = = « cos (3 + у sin р\ */ = и sin (—Р) + v cos (—Р) =
=—« sin P + и cos р\   (8)
Если координаты точки М (х\ у) удовлетворяют уравнению f (x, у)=Ь, то координаты точки М'(и; v) должны удовлетворять уравнению
g (и, v) = f (и cos р +
+ v sin р, —м sin р + у cos (3) = О,
то есть при повороте Ro график уравнения f (x, у) =0 отображается в график   уравнения (в переменных х, у)
g (х, у) =f (х cos р +
+у sin Р, —х sin р + у cos P) = 0.
Упрощение      уравнения   f (x, у)=0
Вернемся   к   общему уравнению   (1)
кривой  второго порядка
Ах2 + Вху + Су2 +Dx+ Еу +
+ F = 0.
Попробуем поворотом избавиться от члена Вху. Подставляя в уравнение f (x, у)=0 выражения х, у через и, v (формулы (8)), мы получим некоторое уравнение g (и, v)=0 второй степени. Выписывая члены, содержащие лишь uv, найдем В' — новое значение коэффициента при произведении uv: В' = (А — С) 2sin P cos p +
+ В (cos2p — sin2P).
Приравняем его к нулю:
(А — С) sin 2р + В cos2p = 0 и найдем [3:
tg2p = c^ при АфС,
cos 20 = 0 (Р = 45°) при А = С. Итак,    поворотом   всегда    можно избавиться от члена Вху, то есть привести уравнение (1) к виду Ах2 + Су2 + Dx + Еу + F = 0. (9)
Пример.    Пусть дано уравнение
7х2 + бУ~3~ху + 1.V + 4 (У~3~ — 8) х — — 4(8У~3~+ 1)у+.4 = 0.	(10)
Здесь А =_7^В = 6"1/~3~, С= 13, поэтому
tg2 Р = V 3  . Р = 30°. Подставляя (поформулам (8)) в уравнение   (10)
V,
получаем  (проверьте!)  уравнение
4u2 + \6v2 + 8u—64v +4=0-
Значит, график уравнения (10) получается из   графика   уравнения
4*2 + 16j/2 + 8лг—64j/ +4=0	(11)
поворотом   Ro      ¦
Теперь воспользуемся переносами и попробуем свести уравнение (9) к еще более простому — без членов
Dx и Еу. При переносе г (а; Ь) график уравнения / (д:, у)=0 переходит в график уравнения g (x, у)=0, где g(x, y)=f {x—a, y—b), то есть уравнение (9) переходит в такое:
А (х-а)2 + С(у-Ь)* +
+D (х— а) + Е (у— Ь) + F = 0.
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
Ах2 + Су2 + (D — 2аА) х + (Е— — 2ЬС) у + Аа2 + Cb2 — aD —
— ЪЕ + F = 0.
Приравнивая к нулю коэффициенты при х, у, приходим к уравнениям относительно а и Ь:
D — 2aA =0, Е — 2ЬС = 0,  (ПРИ ^^°)     b
откуда а = 27"   (ПРИ (при
 Тс
Пример (продолжение). В уравнении (11) А = 4, С -= 16, D = 8, Е = —64. F = 4,   поэтому а = 1,    Ь = —2, и перенос
г (\; —2) переводит график уравнения (11) в  график  уравнения
Ах2 + 16#2—64 = 0,
или
х2 + 4у2—16 = 0.
А это — уравнение вида (3), оно задает эллипс
25

Поэтому   график   уравнения   (10)   является эллипсом и получается из найденного нами
эллипса переносом г(—1; 2) и затем поворотом   R~^30°-
Итак, если АфО и ВфО, то можно избавиться от членов Dx и Еу. Если же А—0 (или С=0), то член Dx (или Еу) останется, но тогда если D^O (или ЕфО), то можно аннулировать F переносом F
&: о)
Таким образом, мы научились сводить уравнение / (х, у)=0 второй степени к одному из следующих видов:
вид уравнения (9)
АфО, ВфО
АфО,  В=0,   ?,40
АфО, В=0. ?=0 /4=0, ВфО, БфО Л=0, ВфО, D=0
результат переноса
Ах2 + By2 + F = 0 Ах2 + Еу = 0 Ax2 + F = Q By2 + Dx = Q By* + F = 0
А все написанные справа .уравнения нами разобраны — это и есть частные случаи уравнения (1) (формулы (2) — (4)). Таким образом, мы решили поставленную задачу.
Заметим еще, что уравнение (26) можно привести к виду (2а), а уравнение (46) — к виду (4а). Для этого надо произвести поворот Rq , при котором график уравнения f (х, у) = 0 отображается в график уравнения / (у, —х) = 0. Попробуйте это доказать,   а  также  решить   следующие  задачи.
Упражнения
Построить   графики   следующих   уравнений:
1.	5*2 + &ху + 5у2—18*— 18у + 9=0;
2.	4х2—4xi/ + у2—16* + 6i/+22 = 0;
3.	х2 — 4ху + у2 + 4 У~2~х —
— 2У~2~ у +11=0.
Задачи
«Последние
цифры»
1.	Пусть число а не делится  ни  на 2,  ни  на  5.
Доказать,  что  при  возведении   числа  Л=о5'10 в  натуральную  степень  последние его п  цифр  не  изменятся (/?^4, а ? N).
2.	Пусть число Ь не целится на 2, но делится на 5.
а)	Доказать, что при воз-
on~i ведении числа В= Ь         (п ?
? N) в натуральную степень
последние его п цифр не изменятся.
б)	Пусть   г,   q,   n  ? N, г^п. Доказать, что последние
п цифр выражений Ь2 ч+г и t/    соответственно равны.
3.	Пусть число с делится на  2,  но   не делится  на  5.
а) Доказать, что при воз-
ведении числа С~с s в натуральную степень последние его п. цифр не изменятся.
б)   Пусть  г,   q,   n ? N, п. Доказать, что последние
п цифр выражений с4'5 ч+г и Ьт   соответственно  равны.
4.	Пусть m   ? N.  Доказать,    что    при    возведении
¦ пЛ+1
числаМ=т1и в натуральную степень последние его п  цифр   не  изменятся.
5.	Найдите три  последние цифры выражения 310Б+ +410Б.   '
6.	Докажите,   что   разность   З8»» —298»   оканчивается цифрами  1979.
7.	Докажите,  что   если выражение
R7	Ч2
возвести в люббю натуральную степень, то более 20П 000 его последних цифр не изменятся.
8.	Докажите,     что  при любом   натуральном   п   разность
п"        — л" делится на сто.
9.	Найдите семь последних цифр числа
999 9999999
10.	В   книге  М. Гарднера    «Математические иовел- лы»   (М.,   «Мир»,    1974)   на странице    349        приведены 3376 цифр двадцать третьего числа Мерсениа 211213—1, отпечатанного   ЭВМ    Университета штата Иллинойс. Последние его десять цифр таковы:   7696398191.   «Математический   факультет университета был так горд открытием 23-го числа Мерсениа, что ставил  на  конвертах специальный  штемпель,  извещающий об этом событии», —сказано в книге.    Однако четвертая от конца цифра выдана неверно. Доказать, что это число должно кончаться цифрами   2191,   а   не   8191.
'Примечание.    Эти задачи связаны с автоморф- иыми числами  (см.  «Квант», 1971. № 10, с. 39; 1973. № 1 с. 33 и  1973, № 7, с. 55).
М. Штеренберг
26