/
Автор: Шимони К.
Теги: электротехника электричество электрические сети теоретические основы электротехники
Год: 1964
Текст
ИЗДАТЕЛЬСТВ О
«М И Р»
НосЪ$ски1ЪйсЪег /йг Ркузък
Иетаи8%е$еЪеп Vоп Ргапъ X. Ейег ипй КоЪеП Яотре
Вап<1 20
ТНЕОКЕТ18СНЕ
ЕЬЕКТКОТЕСНШК
топ
1>т. К. 81М01ЧУ1
Рго/евзог /йг Ткеогей»сНе Е1ек1тоЬес1гп1к
ап Лег
ТесНпЬзскеп атьегвНеИ Ви<1аре$1
1956
УЕВ БЕ11Т8СНЕК УЕВХАО
БЕК \У188ЕХ8СНАРТЕК
ВЕВХШ
К. Шимони
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
Под редакцией
проф. К. М. ПОЛИВАНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва • 1964
ЛУТ'1
ЦИМ.В.И.У««».<. ч«(.1
Редакция литературы по вопросам техники
Предисловие
Карой Шимони — руководитель кафедры теоретической
электротехники Будапештского Технического Университета, выдающийся венгерский
ученый, лауреат премии Кошута. В 1954—1958 гг. в Венгрии было
опубликовано несколько томов его обширного труда, посвященного
математическим и физическим основам современной электротехники, содержащего
также описание и характеристику разнообразных инженерных и
инженерно-физических устройств. В этих книгах значительное внимание уделено
физике твердого тела (диэлектрики, магнетики, полупроводники),
электронной оптике, ускорителям, а также другим вопросам современной
электротехники.
Из этого большого труда К. Шимони выделил разделы, которые после
переработки образовали отдельную книгу по теоретическим основам
электротехники в более узком понимании рамок этой дисциплины.
В 1956 г. книга в авторизированном немецком переводе была издана
в ГДР в серии монографий и учебных пособий для высшей школы и
встретила положительные отклики многих советских и зарубежных
электротехников, несмотря на ее несколько необычный характер. Действительно,
в нее включен целый ряд вопросов, обычно не излагаемых в учебниках
по электротехнике, но вместе с тем в ней, в отличие от научных
монографий, эти вопросы обсуждаются с подробностями, соответствующими именно
студенческим курсам: анализируя различные задачи, автор каждый раз
напоминает основные положения теории, приводящие к математическим
уравнениям, специфическим для рассматриваемого круга вопросов, в
результате чего создается отчетливое понимание общности методов. Во
многих частях курса автор широко пользуется специальными функциями,
излагая параллельно их свойства и особенности.
В книге рассматриваются и вопросы теории поля и вопросы теории
цепей, как линейных, так и нелинейных, причем широко привлекаются
современные методы их анализа (матрицы и тензоры, понятие магнитного
тока, обобщенная теория мультиполей, плоскость ван-дер-Поля и т. п.).
Все основные положения подвергаются углубленному анализу при
постановке задачи и при ее исходной формулировке. Во многих разделах
книги, как и в заключительной ее части, автор стремится обрисовать
дальнейшие перспективы развития теории и границы применимости
излагаемых методов. В частности, очень интересна попытка автора рассмотреть
границы между классической и квантовой электродинамикой с точки
зрения современного инженера-электрика.
Естественно возникает вопрос: должно ли входить подобное
изложение теории в дисциплину, называемую у нас „теоретическими основами
электротехники"; а вслед за ним возникает и другой вопрос: что, по
существу дела, представляет собой названная дисциплина, можно ли огра-
6
Предисловие
ничить ее тем узким содержанием, которое удается изложить на II и III
курсах вузов в отводимое учебными планами число часов? Правомочно
ли вытекающее из этого перенесение большого числа теоретических
разделов в специальные курсы, хотя содержание этих теоретических
разделов бесспорно связано научным единством?
Подобные вопросы занимают всех, кто связан с теоретической
подготовкой инженеров-электриков и радиотехников.
В связи со всем сказанным можно думать, что интерес к издаваемой
книге отчасти вызван именно ее отличием от книг, укладывающихся в
обычные рамки учебников или учебных пособий по теоретической
электротехнике.
Интересно отметить, что одновременно с подготовкой нашего
перевода выходит английское издание этой книги (Изд-во Пергамон, Лондон,
1963).
Настоящее русское издание соответствует тексту, подготовленному
автором для второго немецкого издания, для которого автор значительно
переработал и дополнил книгу. Кроме того, учтен ряд добавлений и
изменений, внесенных автором при подготовке английского издания. При
подготовке к печати русского перевода редактор изменил некоторые
обозначения — это прежде всего относится к комплексным величинам в
разделе электрических цепей, для обозначения которых в нашей литературе
установились определенные традиции; в отдельных случаях редактор
несколько дополнил или уточнил приводимые доказательства и выводы;
при этом каждый раз сделаны особые оговорки в тексте. Естественно,
что исправление опечаток или случайных неточностей специально не
отмечается. К некоторым параграфам редактор дал примечания, в
которых развиваются или иллюстрируются вопросы, обсуждаемые в книге
(примечания редактора в конце § 7 части I, в конце § 54 части II и др.).
Список литературы, имевшийся в подлиннике, несколько дополнен и
систематизирован по характеру цитируемой литературы.
В заключение редактор выражает надежду, что предлагаемая
вниманию наших читателей книга окажется полезным пособием для студентов,
инженеров и аспирантов, стремящихся углубить свои знания в области
теоретических основ электротехники, а -также что она будет интересна
преподавателям соответствующих курсов, отражая направление развития
в преподавании теоретической электротехники в передовом
политехническом институте Венгерской Народной Республики.
Перевод книги выполнен сотрудниками кафедры теоретических основ
электротехники Московского Энергетического института. Часть I и §§ 1—17
ч. IV переведены доц. Б. М. Фрадкиным, §§ 1—9 и 19—31 ч. III — доц.
Б. Я. Жуховицким, внимательно прочитавшими корректуру всей книги;
§§ 44—55 ч. II переведены доц. Н. М. Бурдак, §§ 10—18 и 32—43 ч. III —
доц. Т. А. Татур, §§ 18—42 ч. III — доц. Л. П. Соболевой, часть V и § 43
ч. II — проф. К. М. Поливановым; текст §§ 1—42 ч. II подготовлен к печати
по переводу инж. Н. М. Ивановой. В чтении корректуры отдельных
разделов участвовал доц. Я. Н. Колли. Большую работу по подготовке
русского перевода книги провел редактор издательства В. Я. Фридман.
Редактор выражает глубокую благодарность всем перечисленным
лицам, облегчившим его работу по редактированию, а также автору книги
К. Шимони, с исключительным вниманием прочитавшему русскую
корректуру.
К.М. Поливанов
Предисловие автора
к русскому изданию
В основу книги, переведенной на русский язык, положен текст,
подготовленный для второго немецкого издания. Дополнительно в нее
включено изложение ряда новых вопросов, которые обычно не входят
в учебники по теоретической электротехнике, однако бесспорно имеют
теоретическое и практическое значение. В качестве примеров таких
дополнений можно назвать теорию распространения волн в гиротропных средах
или статистические методы расчета потенциальных полей. Кроме того,
в книге добавлен раздел „Границы классической электродинамики" 1}.
В нем делается попытка осветить с точки зрения инженера логическую
и принципиальную связь классической электродинамики с другими
физическими дисциплинами, и в первую очередь с квантовой электродинамикой.
При этом автор имел в виду, во-первых, то, что в качестве „побочного
продукта" получаются практически важные результаты, такие, например,
как электромеханические аналогии, а во-вторых, то, что, образованный
инженер-электрик, вся практическая деятельность которого основывается
на уравнениях Максвелла, должен знать границы применимости этих
уравнений, представляющих собой лишь частный случай более общей системы;
он должен знать и конкретные следствия существования таких
границ.
Книга предназначена для тех, кто занят или будет заниматься
прикладной физикой — практическими применениями физических дисциплин,
т.е. в первую очередь для студентов электротехнических и
инженерно-физических факультетов. Эпитету „теоретическая" в названии книги можно
придавать два значения: он указывает, во-первых, на то, что в книге
излагаются общие принципиальные основы теории, во-вторых, на то, что в
ней излагаются теоретические методы решения практических задач. При
этом предполагается предварительное знакомство читателя с основными
понятиями электротехники и с основными положениями высшей
математики. Предполагается также, что читатель знаком с уравнениями Максвелла
и тем индуктивным путем, который приводит к ним как завершающему
обобщению; правда, многое кратко напоминается в первой части книги.
1} Автор называет этот раздел „Л^еНегЪИск", что в буквальном переводе значит
.Взгляд вперед". — Прим. ред.
8
Предисловие автора к русскому изданию
Итак, книга написана с расчетом на некоторую общую подготовленность
читателя, но не требует от него специальной подготовки. Параграфы,
более трудные для понимания при первом чтении, отмечены звездочкой.
Для ясного понимания задач, которые ставил перед собой автор, а
также принятого им характера изложения и выбора излагаемого материала,
следует иметь в виду, что эта книга составляет третий том серии,
посвященной общей теории электричества. Четыре тома этой серии носят
названия:
I. Основные положения — основные законы
II. Микрофизическое обоснование
III. Теоретическая электротехника
IV. Примеры и задачи
При написании учебника приходится пользоваться многочисленными
посторонними источниками: это и оригинальные работы других ученых
и учебные пособия по другим специальностям. В приведенном в конце
списке литературы названы книги, служившие такими источниками, и
книги, обращаясь к которым читатель может расширить и углубить свои
знания. Кроме того, автор стремился всегда, по возможности, в самом
тексте указывать источники, определявшие ход излагаемых рассуждений.
Ссылки на соответствующую литературу даются цифрами в квадратных
скобках.
В заключение автор приносит благодарность всем, кто помог ему
осуществить издание этой книги. Он благодарен своим сотрудникам по кафедре
теоретической электротехники Г. Фодору, К. Гехеру, участвовавшим в
обсуждении многих проблем, А. Мереи, подготовившей чертежи и
рисунки, И. Шомоши, участвовавшему в редактировании, Г. Кальману и С. Кёр-
менди, оказавшим помощь при чтении корректур, и своей жене, неутомимо
помогавшей ему в подготовке первого издания.
Кроме того, автор считает своим приятным долгом выразить глубокую
признательность Издательству «МИР» за выпуск книги на русском языке.
Автор благодарит также проф. Поливанова и его сотрудников, взявших
на себя тяжелый труд перевода книги и его редактирования.
К. Шимони
I
Общий обзор
§ 1. Введение
Естественные науки опираются в своих выводах на эксперименты
и наблюдения. Однако непосредственные результаты наблюдений и
измерений дают лишь бессвязный набор данных. Дальнейшая задача поэтому
состоит в том, чтобы вывести из этих результатов более общие
зависимости или закономерности. В настоящее время этот так называемый
индуктивный метод вообще принято считать единственно возможным
методом исследования в естественных науках.
Но вместе с тем каждая наука стремится объединить полученные на
основе громадного экспериментального материала частные закономерности
в единую теорию, базирующуюся на нескольких основных уравнениях,
из которых все частные положения могут быть выведены дедуктивным
путем, как это делается, например, в геометрии. О степени развития той
или иной науки как раз и можно судить по тому, в какой мере ей удалось
достигнуть этой цели.
Различные причины побуждают нас стремиться к этой цели. Прежде
всего, проще и практичнее устанавливать ход явлений путем расчета, а не
постановкой подчас дорогостоящих опытов. Кроме того, всеобъемлющая
теория дает отправные точки для дальнейших исследований, указывая
для этого наиболее целесообразные пути. Наконец, играет роль и то
обстоятельство, что стремящийся к синтезу человеческий ум только тогда
воспринимает отдельные области науки как знакомые ему и вполне освоенные,
когда разрозненные явления удается свести в единую систему.
Количественно это выражается в установлении основных правил — аксиом, из
которых последовательно могут быть выведены все явления. В этом случае
10
Часть /. Общий обзор
теория может быть названа не только „истинной" и „полезной", но также
и „красивой".
Вообще априори не ясно, допускают ли естественные науки чисто
дедуктивный подход, опирающийся на некоторое число основных
положений. Тот факт, что все прошлые, настоящие и даже будущие данные
опыта могут быть выведены из нескольких основных уравнений, т.е. что
^структура нашего мира это допускает, представляется столь
поразительным, что может рассматриваться как одна из основных проблем философии
естествознания. Но можно представить себе и такую совокупность опытных
данных, которую невозможно охватить единой закономерностью. Опыт
.развития науки показывает, что некоторые области физики, например
классическая ньютоновская механика, могут быть изложены таким
дедуктивным путем. Но исторический опыт учит также, что с развитием техники
эксперимента постоянно появляются и такие факты, которые не находят
места в рамках уже известной теории, так что возникает необходимость
в создании новой, более общей теории. Иногда экспериментальная
техника развивается столь стремительно, что уже в момент построения новой
теории опытные данные выходят за ее пределы. Таким образом, может
быть, никогда и не удастся создать теорию, охватывающую все явления
в единой системе. Иллюстрацией этому в настоящее время может служить,
например, физика элементарных частиц. Но и в этом случае имеет смысл
стремиться к дедуктивному способу изложения, так как аксиоматизация
отдельных областей физики (даже достаточно завершенной ее области)
может оказаться очень удачной как с практической, так и с эстетической
точки зрения.
Само собой разумеется, что наука приходит к своим аксиомам или
основным уравнениям индуктивным путем, т.е. путем обобщения опытных
данных; но как раз благодаря этим обобщениям содержание науки почти
всегда шире содержания тех экспериментальных фактов, которые
послужили основой для этих обобщений. Справедливость самих аксиом может
быть доказана только совпадением вытекающих из них следствий с
результатами измерений. Точная наука именно потому и точна, что она при
доказательстве своих утверждений всегда опирается на реальные факты,
и, таким образом, истинность каждого ее утверждения допускает
однозначную проверку.
Исторически завершенной и полностью поддающейся дедуктивному
рассмотрению областью электротехники является классическая
электродинамика. Основываясь в первую очередь на экспериментальных
результатах и системе воззрений Фарадея, Максвелл описал в 1873 г. в своей
книге „Трактат об электричестве и магнетизме" все известные к тому
времени сведения об электричестве. Он охватил своими основными
уравнениями не только все ранее полученные опытные данные, но также и
экспериментальные результаты последующих двух десятилетий. Так,
существование электромагнитных волн вытекало уже из основных
уравнений Максвелла, хотя оно впервые было экспериментально доказано лишь
примерно 20 годами позже.
На основе уравнений Максвелла вся электродинамика может быть
рассмотрена дедуктивно, подобно геометрии („тоге §еоте1псо"). Мы не будем
анализировать сами эти основные уравнения, ибо это означало бы, что мы
пытаемся свести их к каким-либо непосредственно данным нам очевидным
явлениям. Но уравнения Максвелла не сводятся ни к каким другим,
более простым явлениям. Это было осознано лишь в результате довольно
длительного исторического развития.
$ 2. Индуктивный путь к уравнениям Максвелла
11
Понятия и явления из области механики кажутся нам наглядными
м простыми. Однако мы должны учитывать, что основные положения
механики, как, например, пространственное перемещение или удар
твердых или упругих тел, считаются простыми и непосредственно понятными
только потому, что мы к ним привыкли. В повседневной жизни мы
встречаемся главным образом с явлениями, относящимися к области механики.
Поэтому не удивительно, что предпринимались попытки свести к этим
элементарным явлениям и механическим понятиям также и уравнения
Максвелла. Мы знаем теперь, что это невозможно; но в этом и нет
необходимости, так как непрерывно возрастающая роль электричества в нашей
повседневной жизни приводит к тому, что понятия теории электричества,
а вместе с тем и основные законы учения об электричестве становятся
столь же наглядными и понятными, какими раньше были только законы
механики.
И все же между уравнениями Максвелла и аксиомами геометрии
имеется существенное различие. Уравнения Максвелла соприкасаются с
действительностью не только тогда, когда мы получаем их путем
обобщения фактов или сравниваем вычисленные с их помощью результаты с
данными измерений; они постоянно пополняются новым физическим
содержанием через группу уравнений, содержащую материальные константы.
При дедуктивном способе рассмотрения мы принимаем уравнения
Максвелла как данные и только интерпретируем их содержание. Можно
утверждать, что мы их понимаем, если мы знаем, между какими
физическими величинами и в каких конкретных условиях опыта они
устанавливают зависимость, иными словами, если мы знаем, какие результаты
измерений связываются друг с другом уравнениями Максвелла,
§ 2. Индуктивный путь к уравнениям Максвелла
Прежде чем перейти к дедуктивному изложению, напомним
экспериментальные факты, и теоретические соображения, которые привели
Максвелла к его уравнениям.
а) Закон Био—Сава ра
Первое уравнение Максвелла описывает зависимость между*током
м связанной с ним, или, как принято говорить, создаваемой им,
напряженностью магнитного поля. Относящиеся к этому экспериментальные данные
были впервые получены Био и Саваром в 1820 г. Если в замкнутом
линейном контуре протекает ток / ампер, то по закону Био—Савара
напряженность магнитного поля в любой точке пространства (в „точке наблюдения")
равна
Н = ^^- B.1)
ь
В этом равенстве сД—длина элемента проводника в метрах (фиг. 1);
направление элемента <& совпадает с положительным направлением тока;
г° — единичный вектор, направленный из указанного элемента
проводника в точку наблюдения; г — расстояние (в метрах) между отрезком
проводника и точкой наблюдения. Интегрирование должно быть
произведено вдоль всего замкнутого контура тока. Это равенство выражает
напряженность магнитного поля в амперах на метр (а/м).
12
Часть I. Общий обзор
Хотя в любой точке пространства имеет смысл лишь общая
напряженность магнитного поля и только она может быть обнаружена на опыте,
формулу B.1) можно все же толковать и так, что каждый элемент
проводника создает свою слагающую общей напряженности магнитного поля,
определяемую формулами
<Щ =
_/_ дДхг°>
4я г2 '
7 г г I сИ -
*к71 Г* Т
B.2)
Итак, мы можем считать, что элементарная напряженность
магнитного поля пропорциональна силе тока, длине сИ и синусу угла,
образованного элементом проводника и радиусом-вектором, проведенным в точку
наблюдения, обратно пропорциональна квадрату расстояния и
перпендикулярна ей и г°, причем векторы сД, г° и йН в указанной
последовательности образуют правовинтовую систему (фиг. 2).
Применяя это уравнение к бесконечно длинному прямому проводнику,
найдем, что линии магнитного поля в виде окружностей охватывают про-
^'
^ъ
Фиг. 1. К объяснению закона Био—
Савара.
Фиг. 2. Определение
направления напряженности
магнитного поля.
водник, а направление магнитного поля связано с направлением тока так
же, как направление вращения правоходового винта с направлением его
осевого перемещения.
Закон полного тока выражает те же опытные факты, что и закон
Био-Савара, однако в форме, значительно более удобной для практики.
Он гласит: в любом магнитном поле линейный интеграл от напряженности
магнитного поля вдоль любого замкнутого контура равен полному току,
проходящему через любую поверхность, ограниченную этим конутрому т. е.
<&Н Л = ]1 Лк.
B.3)
В этой формуле Н — напряженность магнитного поля (а/м); 3—
плотность тока (а/м2); АА. — площадь (м2). Непосредственно видно, что наша
формула удовлетворяет правилу размерностей: обе ее части имеют
размерность силы тока. Однако данная формула справедлива только тогда,
когда положительное направление обхода контура согласовано с
положительным направлением нормали к поверхности, ограниченной контуром,
как вращение правоходового винта с его поступательным движением
(фиг. 3).
Преобразуем теперь, пользуясь теоремой Стокса, левую часть
уравнения, выражающего закон полного тока. По теореме Стокса линейный
интеграл вектора, взятый по замкнутому контуру, равен поверхностному
$ 2. Индуктивный путь к уравнениям Максвелла
13
интегралу ротора этого вектора по поверхности, ограниченной этим
контуром, т. е.
&У(й = ^гоЪтйА.
ь А
Следовательно,
$НЛ= (го1НЙА = /^А. B.4)
Ь А А
Поскольку полученное равенство применимо к любому контуру, а при
заданном контуре — к любой ограниченной им поверхности, то должны
Фиг. 3. Связь между направлением обхода Фиг. 4. Физический
замкнутой кривой и направлением положи- смысл закона полного
тельной нормали к поверхности, ограничен- тока: ток проводимости
ной этой кривой. создает магнитное поле.
быть равны и подынтегральные выражения, т.е.
го* Н = 3. B.5)
Это дифференциальная форма закона полного тока. Ее физическое
содержание тождественно содержанию закона Био —Савара или закона полного
тока и описывает те же экспериментальные факты.
Содержание всех этих уравнений можно кратко выразить так (фиг. 4):
всюду, где в проводнике существует плотность тока, т. е. где по
проводнику течет ток, существует вихрь магнитного поля, благодаря чему и в
окружающей среде возникает магнитное поле. Фиг. 4 прямо соответствует
этому простому толкованию нашего равенства, так как вихрь (ротор) Н как
раз равен плотности тока еГ. (Во всех этих рассуждениях предполагается,
что поле вектора Н не содержит „источников".)
Как уже отмечалось, рассмотренные уравнения действительны только
для замкнутого контура тока. В случае замкнутого контура дивергенция
плотности тока равна нулю, т. е. линии плотности тока не имеют
источников или стоков — они замкнуты. Математически это выражается
равенством
<Ну 1 = 0.
B.6)
14
Часть I. Общий обзор
б) Понятие о токе смещения и первое уравнение Максвелла
Ограниченная применимость закона полного тока в его интегральной
и дифференциальной формах впервые обнаружилась, когда начали
исследовать поле разомкнутых электрических цепей с током. Такая
разомкнутая цепь представлена на фиг. 5. Само собой разумеется, что ток может
протекать и в этом случае, причем конденсатор будет то заряжаться, та
разряжаться. Источники или стоки линий плотности тока находятся
здесь на зарядах конденсаторных пластин.
ИШР-1
Фиг. 5. Электрический
колебательный контур как
пример разомкнутой цепи.
Фиг. 6. Применение закона полного
тока к разомкнутому проводнику не дает
однозначного результата.
Действительно, применяя закон полного тока в интегральной форме
и вычисляя интеграл от Н вдоль любой линии, охватывающей проводник^
мы должны получить определенный и однозначный результат; вместе с тем
поверхностный интеграл от плотности тока (правая часть закона полного
тока) приводит к различным результатам в зависимости оттого,
пересекает ли выбранная поверхность проводник или лежит между пластинами
конденсатора (фиг. 6).
' л
Л)
- йК +
+
_ -СГ с +СГ +
< +
л \
* 1
< Л
*' И\
щ
Фиг. 7'. Связь между плотностью тока
проводимости и плотностью тока смещения.
Еще более очевидное противоречие получается при пользовании
законом полного тока в дифференциальной форме. Возьмем дивергенцию от
обеих частей уравнения B.5). Так как дивергенция ротора любого вектора
тождественно равна нулю, то
(Нуго1Н = A1уТ = 0. B.7)
Отсюда следует, что напряженность магнитного поля только тогда
удовлетворяет закону полного тока, когда дивергенция плотности тока повсюду
равна нулю, т. е. только в случае замкнутого контура тока.
Итак, очевидно, что вышеупомянутая форма закона Био—Савара
или закона полного тока не действительна для разомкнутых контуров.
Но последнее соотношение указывает путь, по которому следует искать
$. 2. Индуктивный путь к уравнениям Максвелла
15»
возможное дополнение принятой формулировки: разомкнутый контур
следует превратить в замкнутый путем добавления такой слагающей
плотности тока, чтобы полная плотность тока (представляющая собой сумму
этой добавочной плотности тока и плотности тока проводимости) не
содержала источников. Этого можно, по крайней мере формально,
достигнуть следующим образом (фиг. 7). Для простоты представим себе пластины
конденсатора удлиненными при сохранении постоянного сечения. Тогда
изменение содержащегося на единице] поверхности конденсатора заряда
а связано с плотностью притекающего тока соотношением
Действительно, сила тока равна заряду, притекающему в единицу времени,
ко всей поверхности пластины. Следовательно, плотность заряда пластин
конденсатора возрастает в единицу времени как раз на величину, равную*
соответствующей плотности тока. Но между пластинами конденсатора
(см. фиг. 7) существует электрическое поле, в котором вектор
электрического смещения равен плотности заряда:
В = а B.9>
(/), как и о-, измеряется в а-сек/м2). Вектор электрического смещения,,
направленный от положительно заряженной пластины к отрицательной,,
возрастает вместе с накоплением положительного заряда на поверхности,
т.е. когда ток в соответствии с фиг. 7 направлен справа налево. При этом
справедливо векторное соотношение .
1-5- B.Ю>
Теперь видно, что контур тока можно сделать замкнутым, если к
плотности тока проводимости 3 чисто формально добавить выражение дВ/д1,
так как оно равно плотности тока проводимости на поверхности
проводника: там, где кончаются линии плотности тока проводимости, начинаются
линии вектора дЛ/дЬ, а там, где они оканчиваются (на другой пластине),
начинаются линии плотности тока.
Выражение дВ/д1 по чисто историческим причинам названо
плотностью тока смещения.
Таким образом, дивергенция вектора З+дО/д* всюду равна нулю:
йН3+ж) = °- BЛ1>
Поэтому, вводя в дифференциальную форму закона полного тока
дополнительную слагающую плотности тока
го*Н = Л-^, A>
мы устраняем логическое противоречие: теперь дивергенция как левой,,
так и правой части равенства повсюду равна нулю.
Остается решить вопрос, действительно ли плотность тока смещения:
принимает участие в создании магнитного поля в соответствии с
приведенным выше уравнением.
Широкий круг опытов дает положительный ответ в соответствии с
предположением Максвелла. Поэтому можно утверждать, что плотность
тока смещения дТ)/д1 связана с магнитным полем так же, как плотность
16
Часть /. Общий обзор
$
тока проводимости. Именно это и было добавлено Максвеллом к старой
теории.
Результат, выведенный для частного случая цепи с конденсатором,
может быть получен также из более общих соображений.
Рассмотрим область пространства, ограниченную замкнутой
поверхностью. Изменение электрического заряда в этой области равно разности
заряда, вошедшего внутрь области через ограничивающую ее поверхность,
и заряда, вышедшего из этой области через ту же поверхность1*.
Изменение заряда в единицу времени мы найдем, суммируя плотность
тока по всей поверхности:
«МА = - ±/ в4У = - /§^7, B.12)
А V V
где д — объемная плотность заряда (а-сек/м3).
Преобразуем левую часть этого уравнения с помощью теоремы Гаусса:
&3AА = }А1уЛУ= - ]^ЛУ. B.13)
А V V
Полученное равенство справедливо для любого объема; следовательно,
й{у]=.-*ет B.14)
Последнее равенство, называемое также уравнением непрерывности,
выражает закон сохранения электрического заряда.
'Имея в виду, что о = сНуВ, уравнение B.14) можно записать так:
сКуЛ-^-сКуВ^О, B.15)
или, изменив порядок пространственного и временного
дифференцирования, так:
Таким образом, выражение в скобках представляет собой вектор,
дивергенция которого всюду равна нулю.
На основании всего сказанного первое уравнение Максвелла в
дифференциальной форме можно записать в виде
г6*Н = Л-^ (I)
или в интегральной форме (закон полного тока)
^НЛ= [(Л-^)йА. (Г)
Ь А
Первое уравнение Максвелла выражает тот физический факт, что
как ток проводимости, так и ток смещения производят магнитное действие.
Другими словами, магнитное поле существует везде, где изменяется во
времени вектор электрического смещения или вектор напряженности
х) Если предполагать, что изменение электрического заряда в любой части
пространства может происходить только вследствие перемещения зарядов - закон сохранения
электричества. — Прим. ред.
$ 2. Индуктивный путь к уравнениям Максвелла
17
электрического поля, обусловливающий смещение. Сказанное представляет
значительное расширение закона Био—Савара или равенства го! Н = I.
Физическое содержание этого равенства иллюстрируется фиг. 8.
Левый рисунок (а) относится к случаю, когда имеется только ток
проводимости, который один и определяет напряженность магнитного поля. На
фиг. 8,6 изображен общий случай, когда плотность тока проводимости
и плотность тока смещения вместе создают напряженность магнитного
поля. Наконец, на фиг. 8,в показан случай, когда не существует тока
проводимости, а магнитное поле обусловлено изменением напряженности
электрического поля.
Возможность возникновения магнитного поля в результате изменения
электрического поля в свое время настолько не соответствовала
привычным взглядам, что непременно хотели свести это магнитное действие к
движению (смещению) зарядов. В диэлектриках действительно происходит
Фиг. 8. Физический смысл первого уравнения Максвелла
в различных частных случаях.
а — напряженность магнитного поля создается только током
проводимости; б — напряженность магнитного поля создается плотностью
тока проводимости и плотностью тока смещения; в — изменение
напряженности электрического поля создает в вакууме магнитное поле.
движение зарядов при изменении вектора смещения (фактическое
смещение зарядов в диполях поляризованной среды). Однако мы увидим, что это
движение зарядов составляет лишь часть общей плотности тока смещения,
поскольку магнитное поле возникает и при изменении электрического
поля в вакууме, когда не может быть и речи о смещении зарядов.
Таким образом, мы должны рассматривать как основной закон (не
сводимый ни к какому другому закону) тот факт, что изменяющееся во
времени электрическое поле создает магнитное поле,
в) Второе уравнение Максвелла
Ко второму уравнению Максвелла можно прийти уже более просто:
это только другая форма выражения закона электромагнитной индукции,
сформулированного Фа радеем в 1831 г.
Закон Фарадея утверждает, что в цепи, охватывающей изменяющийся
во времени магнитный поток, возникает электродвижущая сила,
пропорциональная скорости изменения потока (фиг. 9), т. е. что
П{ = ~^; B.16)
здесь Щ — индуктированная э. д. с. (в), Ф — магнитный поток, или число
магнитных линий (в-сек). Но напряжение II1 может быть выражено как
линейный интеграл напряженности электрического поля, а магнитный
поток, по определению, есть поток вектора В через данную поверхность
2 К. Шимони
Л Э Т И I
]им.В.И. У.1Ы1ЯОВ4 (Ленина)!
^ БИБЛИОТЕКА
18
Часть I: Общий обзор
(число всех линий индукции, пронизывающих поверхность), т. е.
#,. = $Е<Я, Ф = /ВйА. B.17)
Поэтому соотношение B.16) может быть записано следующим образом:
]ЕА= -^ВЛА. B.18)
Магнитная индукция В измеряется в
в-сек/м2 [в веберах на квадратный метр
(вб/м2),х или — в теслах (тел)],
напряженность электрического поля Е — в в/м. Знак
минус в правой части равенства означает, что
направление индуктированной в проводнике
э. д. с. связано с направлением изменения
потока, как направление вращения левохо-
дового винта с направлением его
поступательного движения.
Теперь преобразуем последнее уравнение
с помощью теоремы Стокса:
дв
Фиг. 9. Закон индукции
Фарадея.
Стрелка на контуре указывает
направление тока, текущего в
проводнике в результате действия
индуктированного напряжения. Рисунок
соответствует случаю, когда поток
индукции возрастает.
<|)ЕЛ = ]'го1ЕЙА= -^^АК. B.19)
Полученное равенство справедливо для любой замкнутой линии и для
всех поверхностей, ограниченных этой замкнутой линией, поэтому
дВ
го1Е = —
дг
(И)
Это и есть второе уравнение Максвелла, представляющее собой
дифференциальное выражение закона электромагнитной индукции. Физическое
Фиг. 10. Физический смысл второго
уравнения Максвелла: изменение
магнитной индукции или напряженности
магнитного поля создает в окружающем
пространстве электрическое поле.
Фиг. 11. Уравнения Максвелла для
вакуума. Изменение напряженности
электрического поля создает магнитное поле,
изменение напряженности магнитного
поля создает электрическое поле.
содержание второго уравнения Максвелла состоит в том, что в
пространстве, где магнитная индукция изменяется во времени, появляется
напряженность электрического поля (фиг. 10); направление линий напряженности
электрического поля связано с изменением магнитной индукции правилом
левоходового винта.
На фиг. 11 иллюстрируются уравнения Максвелла для вакуума; они
обладают очевидной симметрией. По первому уравнению изменение во
времени напряженности электрического поля создает магнитное поле,
$ 3. Полная система уравнений Максвелла 19
а по второму уравнению изменение во времени напряженности
магнитного поля создает электрическое поле. Именно из этого и вытекает
возможность существования электрических волн в вакууме, вдали от
всяких проводников, поскольку для создания магнитного поля теперь уже
не нужны провода с проходящим по ним током. Электрическое и магнитное
поля могут существовать, взаимно возбуждая одно другое. Теперь
можно качественно понять, что электромагнитные волны обязаны своим
существованием именно магнитному действию токов смещения.
§ 3. Полная система уравнений Максвелла
(I)
(И)
имеются еще дополнительные уравнения, обеспечивающие однозначное
решение любых электромагнитных задач при заданных начальных и
граничных условиях и позволяющие сопоставлять результаты с данными
измерений1*.
Первое дополнительное уравнение — его иногда называют третьим
уравнением Максвелла — выражает отсутствие источников вектора
магнитной индукции2):
(Ну В = 0. (III)
Второе дополнительное уравнение системы
Й1У В = д (IV)
можно рассматривать как определение понятия плотности заряда; его
называют также дифференциальной формой теоремы Гаусса. Это уравнение
привлекалось уже к выводу первого основного уравнения Максвелла.
Между векторами В и Е, В и Н, Е и 3, входящими в систему наших
уравнений, существуют соотношения, зависящие от той среды, в которой
рассматривается поле:
В = еЕ, В = /Ш, ^ = у (Е+Ее), (V)
где с, //, у — соответственно диэлектрическая проницаемость, магнитная
проницаемость и электрическая проводимость (удельная
электропроводность) среды.
В последнее из равенств (V) входит слагающая напряженности поля
Ее, называемая сторонней (сторонней по отношению к кулоновской
напряженности поля). Это та слагающая, которая образует электродвижущую
силу3).
° В русском переводе текст, относящийся к формулам (III) и (IV), несколько
сокращен. — Прим. ред.
2) Это равенство соответствует всем данным опыта и в неявной форме уже
предполагалось при преобразованиях B7) — B9), так как понятие „поток вектора В через
поверхность, ограниченную контуром интегрирования", однозначно только при
условии (III). — Прим. ред.
3) По существу эта слагающая должна добавляться к Е и в первом из равенств
(V), однако она играет наиболее существенную роль именно в последнем выражении.—
Прим. ред. •
2*
Кроме основных уравнений Максвелла, первого:
го1Н = 1 + -^-
и второго:
ро1Е=—др
20
Часть /'. Общий обзор
В системе МКСА в выражениях (V)
е = ег е0 и /и = /лг /г0,
где
е0 = 8,854 • 10~12 а • сек/в • лг
и
//0 = 1,2566 • Ю-6 в-сек/а-м
— электрическая и магнитная проницаемости вакуума.
Коэффициенты ег и /гг, не зависящие от системы единиц, —
относительные проницаемости. Это безразмерные величины, которые приводятся
во всей физической литературе, где они называются просто проницае-
мостями и пишутся без дополнительного индекса1*. Проводимость у
измеряется в а/в-м.
Эта группа уравнений не имеет столь общего значения, как
предыдущие основные два уравнения. Так, в случае анизотропной среды, например
в кристаллах, пропорциональность между вектором смещения 1) и вектором
напряженности поля Е не может быть выражена скалярным
коэффициентом. Диэлектрическая проницаемость, особенно в случае высоких частот,
даже в изотропной среде зависит от частоты электрического поля. Она
может зависеть и от напряженности электрического поля, причем наиболее
сложно обстоит дело в ферроэлектриках. Таким образом, проницаемость
нельзя всегда считать постоянной.
Так же обстоит дело с магнитной проницаемостью, с той лишь
разницей, что проницаемость ферромагнитных веществ даже в случае
однородных изотропных материалов и низких частот обычно не постоянна,
так как она в большой мере зависит от индукции В, причем эта
зависимость неоднозначна. На практике принято задавать зависимость между
В и Я с помощью кривой намагничивания2*.
Векторы, характеризующие электромагнитное поле, могут быть
измерены различными методами. При этом часть энергии электромагнитного
поля превращается в механическую или тепловую энергию, по величине
которой можно судить об измеряемых электромагнитных величинах.
Предыдущих уравнений достаточно, чтобы однозначно определить
электромагнитное поле. Однако в большинстве случаев величины,
характеризующие это поле, могут быть сопоставлены с результатами физических
наблюдений только после установления связи между ними и
механическими или термодинамическими величинами, на которые обычно реагируют
измерительные приборы. В соответствии с этим необходимо найти
соотношения между величинами, характеризующими электрическое поле, и
выражением силы или энергии. Для этого достаточно постулировать3*,
что плотность энергии поля связана с напряженностями электрического
1} См. примечание в конце параграфа. — Прим. ред.
2) Неоднозначная зависимость В (Я) в ферромагнетиках характеризуется петлей
гистерезиса. Диэлектрики, в которых наблюдается подобная неоднозначная
зависимость В (Е)у называют ферроэлектриками из-за сходства их характеристики с
характеристикой типичных ферромагнетиков. Их часто называют также сегнетоэлектриками
по типичному представителю этого вида диэлектриков — сегнетовой соли.
Из-за всего сказанного связь между ВиН,Ви Е часто удобнее выражать
уравнениями, не содержащими ^ и е (см. § 5, а, стр. 29). — Прим. ред.
3) Приводимое здесь выражение (VI) может рассматриваться как следствие
предыдущих уравнений (теорема Умова-Пойнтинга, см. § 7). - Прим. ред.
$ 3. Полная система уравнений- Максвелла
21
и магнитного полей равенством
ш- ^ЕВ+^-НВ.
(VI)
Величина т оказывается выраженной в вт • сек/м3, если Е выражать
в в/м, Н — в а\м, I) — в а • сек/м2 и В — в в • сек/м2.
Приведенное выражение справедливо в том случае, когда в и /и, не
зависят от напряженностеи поля, хотя они и могут при этом зависеть от
координат.
Уравнения (I) — (VI) образуют систему, с помощью которой при
заданных начальных условиях определяется электрическое поле для любого
последующего момента времени. Вычисленные результаты могут быть
проверены измерениями.
Резюмируя, выпишем еще раз всю систему уравнений Максвелла:
го* Н = Л-^, (I)
го1 Е = -
дг'
дв
дг'
(Ну В = О,
(Ну В = р,
В = *Е, В = /гН, 3 = у(Е+ЕД
ш = ^ЕВ + |НВ.
(И)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
Представим эти же уравнения в гауссовой системе единиц (в
симметричной системе СГС — см, г, сек), широко применяемой в физике:
(На)
(Ша)
AУа)
(Уа)
(У1а)
го1Е= ~7ЭГ'
(Ну В = 0,
(Ну В = 4тг^7
= еЕ, В-/.Н, 3 = у(Е+Ее),
го = -^-ЕВ + ^-НВ.
рдинатах уравнения Максвеллг
днг дну Т двх \
ду дъ ~ ,/ж1" дг '
дНх днг _ т дВу
д* дх иУ^ дг '
дНу днх_ т дВг
дх ду %>г'г дг' ,
дЕг дЕу дВх
ду дъ дг '
дЕх дЕг дВу
\
дъ дх дг ' С
дЕу дЕх _ дВг
дх ду дг ' ;
A6)
(Пб)
22
Часть /. Общий обзор
Из V группы выпишем лишь уравнение для плотности тока1*:
(Уб)
1Х = у(Ех + Еех), \
/у= у(Еу + Ееу),
Л= у(Ег + Еех).
Наконец, плотность энергии поля1* равна
ю = ±е(Е1 + Е1 + Е1) + ±МН1 + Щ + Щ). (У1б)
Эта система уравнений феноменологически охватывает все
электромагнитные явления; ее ясность и обозримость, ее эстетическое совершенство
вызывают восхищение, которое Больцман выразил, цитируя гетевского
«Фауста»: «\Уаг ев ет СоМ, йег сИезе 2е1сЬеп 8сЬпеЬ»2).
В дальнейшем изложении мы при описании, расчете и анализе всех
электромагнитных явлений будем исходить из этих уравнений. Однако
прежде разберем их физическое содержание, сопоставив их с теми
законами, которые уже известны из школьного курса физики или из
практических приложений.
Примечание редактора к § 3
Обозначения, принятые автором и в основном сохраненные в переводе,
предполагают, что в значения /л и е входят нормирующие множители
/г0 и е0, зависящие от единиц, в которых измеряются В и Н и
соответственно В и Е.
В системе МКСА для вакуума
/г0 = 4тг • 10~7 в • сек/а • м
и
е0 = 1/с2-//0,
где с — скорость света в вакууме. Эти величины следует рассматривать
соответственно как магнитную и электрическую постоянные системы единиц
МКСА (при рационализованной форме записи уравнений), хотя в
электротехнической литературе их часто называют магнитной и электрической
проницаемостями вакуума. При этом коэффициенты /лг и ег называют
относительными проницаемостями, тогда как во всей физической
литературе и в специальной литературе по диэлектрикам и магнетикам эти
коэффициенты обозначаются просто буквами /и и е. Поэтому в отличие от обо-
х) В изотропной среде. -Прим. ред.
2) „Кто из богов придумал этот знак". Гете, «Фауст», пер. Б. Пастернака, ч. I,
Гослитиздат, 1957, стр. 57. — Прим. ред.
$ 4. Упрощенная форма уравнений Максвелла
23
значений, принятых Шимони, новым ГОСТом 1494-60 рекомендуется иная
запись:
}1а = II /л0 и еа = е е0,
где [ла и еа — „абсолютные" проницаемости (содержащие нормирующий
множитель).
Однако необходимость на протяжении различных преобразований и
повторяющихся формул каждый раз писать /л [л0 (или /га) и е е0 (или еа)
вместо единственной буквы /и или е заставляет признать допустимой
сокращенную запись, принятую Шимони. При этом, конечно, при переходе
к реальным вычислениям и при пользовании табличными данными и
характеристиками проницаемостей необходимо переходить к развернутой
записи {л /л0 и е е0. Там, где в этом встречается необходимость, в тексте
сделаны соответствующие оговорки.
§ 4. Упрощенная форма уравнений Максвелла
а) Первое уравнение Максвелла
Проведя рассуждения предыдущего параграфа в обратном
направлении, вернемся снова к закону полного тока. Пренебрегая в первом
уравнении Максвелла токами смещения, интегрируя го1Н = 3 по поверхности,
ограниченной произвольной линией, и применяя теорему Стокса, получим
$Н<Д= \1йХ. D.1)
А
Применим этот закон к частному случаю магнитного поля катушки
(фиг. 12). Если длина катушки достаточно велика по сравнению с диамет-
Фиг. 12. Магнитное поле внутри короткой катушки (а)
рассчитывается сложнее, чем внутри длинной катушки (б), для которой оно приближенно
выражается формулой D.3).
ром, то можно пренебречь напряженностью поля вне катушки по
сравнению с напряженностью поля внутри нее. Напряженность поля внутри
катушки может быть принята постоянной; тогда, применяя уравнение
24
Часть I. Общий обзор
D.1) к контуру 1 2 3 4 и к ограничиваемой им поверхности, получаем
$НЛ= /НД+ $ П(ЯъН1 + 0= N1, D.2)
12
2341
откуда следует, что
Н =
N1
D.3)
где N — число витков катушки, / — ток в проводнике. Натянутая на
контур 12 3 4 поверхность пронизывается N раз проводником, несущим
ток /; поэтому поверхностный интеграл в правой части D.1) как раз
равен N1.
Чтобы получить этот простой и часто достаточно точный результат,
нам пришлось пренебречь напряженностью магнитного поля вне
катушки и предположить, что линии поля внутри соленоида проходят
параллельно. Таким образом, для получения количественного результата необходимо
было заранее знать качественное решение.
Очень часто решение задачи, как и в этом примере, ищется не путем
решения уравнений Максвелла, соответствующего заданным граничным
условиям, так как это в большинстве
практических случаев не удается. Главное
часто состоит в таком упрощении
поставленной задачи, чтобы она стала
доступной для математической обработки, а
полученное решение при этом лишь ненамного
отличалось бы от точного решения.
Следовательно, при математических
упрощениях должны как можно меньше
затрагиваться физические условия. Для этого
требуются, во-первых, большой опыт и,
во-вторых, воображение. Точность
полученных таким путем результатов должна
проверяться измерениями. Как правило,
невозможно определить точность прибли-
Фиг. 13. Общий случай магнитной ЖеННЫХ РаС^Т0В ПУТеМ ИХ сопоставления
ЦеПи. с точным математическим решением, так
как обычно речь идет не о
приближенном математическом методе, а об упрощении условий первоначальной,
подлежащей решению физической задачи.
Применяя закон полного тока к представленной на фиг. 13 магнитной
цепи с постоянным потоком Ф и предполагая, что напряженность
магнитного поля постоянна на каждом участке с неизменным поперечным
сечением, получим
$ПA1 = Н111 + Н212+ . .. = N1,
D.4)
откуда вытекает, что
Афг
D.5)
Полученным равенством пользуются при расчетах трансформаторов
и катушек возбуждения электрических машин. На практике обычно не
$ 4. Упрощенная форма уравнений Максвелла
25
требуется в явном виде знать проницаемости, так как из кривой
намагничивания сразу определяется значение В^^ = Н^
Когда мы в школе с помощью закона Био—Савара вычисляем
напряженность магнитного поля длинного проводника с током, когда
радиолюбитель определяет напряженность магнитного поля внутри катушки по
формуле Н = N1/1 или когда инженер-электрик рассчитывает обмотку
возбуждения электрического двигателя, все расчеты всегда фактически
сводятся к применению первого уравнения Максвелла.
б) Второе уравнение Максвелла
Как уже говорилось, второе уравнение Максвелла есть не что иное,
как измененная форма фарадеевского закона электромагнитной индукции.
Поэтому, когда, например, мы вычисляем по формуле
V = 4,44 / ИВА D.6)
напряжение, создаваемое в трансформаторе синусоидально изменяющимся
магнитным потоком, мы пользуемся вторым уравнением Максвелла. В
приведенной формуле / — частота (сек-1); N— число витков; А — поперечное
сечение стального сердечника (м2); В — максимальное значение индукции
(б-сек/м2); V — действующее значение напряжения (в).
Фиг. 14. Первичная и вторичная обмотки
трансформатора, связанные магнитным
потоком.
Протекающий в проводниках трансформатора ток создает магнитный
поток, сцепленный с этим током. Изменение магнитного потока в свою
очередь создает связанную с ним напряженность электрического поля.
Магнитный поток, обусловленный током, определяется по первому уравнению
Максвелла, а напряженность электрического поля — по второму
уравнению Максвелла (фиг. 14). Такую взаимную связанность следует всегда
иметь в виду; мы встретимся с ней не только в случае стационарных токов,
но также и в более общих случаях, когда изменение во времени
напряженности электрического поля играет в создании магнитного поля такую же
роль, как ампер-витки в обмотках возбуждения; при этом одновременно
возможно наличие токов проводимости, но они могут и вовсе отсутствовать.
Сошлемся в указанной связи лишь на фиг. 425 и 448, на которых
(соответственно в волноводе и в полом резонаторе) обнаруживается сцепление
„обмотки возбуждения" и магнитного потока, а также изменяющегося
магнитного потока и наводимой им напряженности электрического поля.
26
Часть /. Общий обзор
в) Порядок величины тока смещения
В предыдущих примерах мы пренебрегали действием токов смещения.
Теперь разберем, почему, например, при расчете катушки возбуждения
трансформатора на 50 гц не принимается во внимание намагничивающее
действие токов смещения. Рассчитаем величину напряженности
электрического поля, которое образуется вокруг сердечника трансформатора,
представленного на фиг. 15. Величину индукции примем равной 1 в-сек/м2,
что близко к практике; тогда напряжение одного витка
Ц0 = 4,44-50-0,25-Ю-2-1 = 0,55 в;
оно равно интегралу от напряженности поля вдоль замкнутой линии,
охватывающей поток. Так как мы хотим определить только порядок
величины, предположим, что эта замкнутая линия представляет собой
окружность радиусом г = 0,05 м. Если предположить, что напряженность поля
вдоль этого контура остается постоянной (что верно только
приблизительно), то порядок напряженности поля
Д
эфф'
2лг
0,55
= 1,7 в/м.
2л • 0,05
Соответственно вектор смещения
А>фф = е0Едфф = 8,85 • Ю-12 • 1,7 % 1,5 • 10-па. сек/м2.
Смещение изменяется с частотой сети, поэтому
плотность тока смещения
/эфф = 2тг/Д>фф = 27г.50.1,5.10-п^4,7.10-9а/^2.
Фиг. 15. Размеры (в м) Даже если предположить, ЧТО все ОКНО
железного сердечника, трансформатора заполнено такой плотностью тока,
упомянутого в примере, то получится ток / = ЗА = 4,7-10~~9-0,15-0,25^
^ 2 • 10~10 а, который исчезающе мал по
сравнению с намагничивающим током (создающим поток 2,5- \0~*в-сек). Если
принять, что индукции В = 1 е-сек/м2 соответствует, как это видно из
кривой намагничивания, напряженность магнитного поля 280 а/м, а
длина магнитной линии составляет 2 • @,2 + 0,3) = 1 м, то полный ток,
необходимый для возбуждения потока 2,5 • 10~3 в-сек, составляет 280
ампер-витков. Очевидно, что в трансформаторе можно пренебречь током
смещения, так как добавочное влияние столь ничтожной величины не
может быть обнаружено самыми точными измерениями.
Если в выражении
«^эфф = В0'2 71 /-Еэфф
D.7)
принять, что ймакс = 2,1 • 10е в/м, т.е. равно наибольшей допустимой
напряженности поля в воздухе, и что частота достигает 10е сек*1, то плотность
тока смещения становится уже значительной:
/*Л20а/л*2.
Предыдущие рассуждения необходимо, однако, дополнить следующим
замечанием: скорость изменения вектора смещения равна плотности тока,
а не току, поэтому результирующий ток может быть достаточно большим
и при сравнительно малой плотности тока, если поверхность велика (что
имеет место, например, в конденсаторах).
$ 4. Упрощенная форма уравнений Максвелла
27
г) Остальные уравнения
Уравнение ДпгВ = 0 просто выражает тот факт, что не существует
реальных магнитных зарядов, на которых начинаются или кончаются
линии магнитной индукции. Уравнение <Иу В = д выражает известную теорему
Гаусса, по которой линии электрического смещения начинаются и
оканчиваются на электрических Зарядах (источники и стоки линий
электрического смещения). Ее интегральная форма
/(Ну ВАУ = §ВАА= }дАУ D.8)
V А V
очень удобна для решения простых электростатических задач.
Теорема Гаусса может быть выражена следующими словами: число
линий смещения, выходящих из замкнутой поверхности (или поток
вектора смещения), равно заряду, окруженному этой поверхностью. При
вычислении следует обращать внимание на знак: положительным считается
поток, выходящий из пространства, окруженного поверхностью.
Уравнение 3 = у(Е + Ее) представляет собой дифференциальную форму
обобщенного закона Ома.
Между плотностью электрической энергии юе = 1/2еЕ2 и знакомым
по школе выражением энергии плоского конденсатора РГе = 112С1Р
имеется следующая связь:
Т^в = -|СС/2 = \е%(ЕА)* = \гЕ*АА = \гЕ*У = ю#У, D.9)
т.е. введенное нами выражение плотности энергии, умноженное на объем
диэлектрика, равно энергии конденсатора.
В выражениях D.9) мы воспользовались равенством V = ЕЛ,
справедливым только для однородной напряженности поля, а также равенством
С = е А/А, где А — поверхность пластин и А— расстояние между ними.
Аналогично можно найти соотношение между плотностью магнитной
энергии шт = х/2/г Я2 и магнитной энергией индуктивной катушки ХЦ^Р:
Ц'т = \ЬР = \Ы1 = 1ЛГФ/ = \гНАЯ±Н = \^А\ = и>тУ. D.10)
В последних преобразованиях принято, что собственная индуктивность
(гн = в • сек/а) равна
*-?, D.11)
здесь /— длина, А — поперечное сечение, У = АХ — внутренний объем соле-
ноидальной катушки, N — число ее витков.
д) Уравнения Максвелла при полях, гармонически изменяющихся во времени
На практике часто встречаются поля, изменяющиеся во времени по
простому гармоническому закону. Введем комплексную функцию точки,
так называемую комплексную амплитуду, определяемую равенством
Е (г, I) •= Ке [Е(г)е^] и т. д. D.12)
28 Часть I. Общий обзор
В этом случае д/д1 = /со, и первые два уравнения Максвелла для
комплексных амплитуд Е = Е{г) и т. д. принимают вид1}
го!Н = 1+ /соеЕ, го1Е = -/со/*Н. D.13)
Исходя из закона Ома 3 = уЕ, можно написать также, что
го!Н = (у + /а>е)Е. D.14)
Введем комплексную проницаемость2), определяемую равенством
е = г-/у /со; мнимая часть ее учитывает проводимость среды, а
следовательно, и происходящие в ней рассеяния энергии при наличии поля.
Соответственно можно ввести и комплексную магнитную проницаемость Д = /*,—до:
ее мнимая часть указывает на магнитные потери, т.е. на рассеяние энергии
в переменном магнитном поле. Тогда уравнения принимают симметричную
форму
го!Н = /еоёЕ, гоЪЕ = - /соДН. D.15)
§ 5*. Некоторые обобщения
Оставаясь в рамках классической электродинамики, можно придать
более общую форму группе уравнений, выражающих влияние среды, а
также распространить выведенные уравнения на случай движущихся сред.
1} Величина Е (г) в D.12) представляет собой комплексную величину, аргумент
которой выражает начальную фазу. При Е(г) — \Е(г) \е*а
Ке^М^»'] = \Е(г)\ сов Н+а),
1т[Е(г)е*»'] = \Е[г) | 8Ш (ой+а).
В электротехнической литературе принято ставить точку над буквой для обозначения
комплексного характера амплитуды:
Ё{г) = \Б(г)\ёЬ.
Однако этот знак часто опускают для упрощения записи. Обозначение комплекса
точкой в переводе введено только в разделах, относящихся к теории цепей. В остальных
разделах сохранены обозначения автора. — Прим. ред.
2) Комплекс
ё = ег-}е2 = ев-М ,
входящий в выражение
Х> = еЕ,
указывает, что по абсолютной величине |.0| = е|.Е|, а по фазе отстает на угол д.
Комплексный характер проницаемостей автор отмечает чертой над буквой. В нашей
литературе рекомендуется также знак ~. Однако такой знак целесообразно сохранить для
обозначения комплексных величин, изображающих гармонические функции и
включающих в себя множитель е5®1. Для таких комплексных функций времени в этой
части книги в переводе введено обозначение
Применение именно таких комплексов часто оказывается удобным, как видно,
например, из §33 ч. III и след.— Прим. ред.
$ 5. Некоторые обобщения
29
а) Общие уравнения связи между векторами поля в поляризуемых средах
В более общем случае вместо уравнений Б = еЕ и В = ^Н связь
между векторами В и Е, В и Н выражается равенствами1*
I) = е0Е + Р и В = //0Н + М, E.1)
в которые входят векторы электрической поляризации и намагниченности
(или магнитной поляризации) Р и М, равные соответственно электрическому
и магнитному моментам единицы объема. Именно эти векторы характеризуют
влияние среды на электромагнитное поле; в частном случае они могут даже
не зависеть от векторов Е и Н. В том случае, когда Ри М
пропорциональны соответственно векторам Е и Н, имеет смысл введение постоянных
ей/ли применение уравнений В = вВ,В = /Л1.
В ферромагнитных материалах и сегнетоэлектриках Р и М зависят
от Е и Н сложным образом и в общем случае неоднозначно. Зависимости
Р = Р(Е) иМ = М(Н) в большинстве случаев могут быть заданы только
графически. В кристаллических телах (и в других анизотропных средах)
появляется еще зависимость всех величин от направления относительно
главных кристаллографических осей (или осей анизотропии); при этом
Б=ТЕ, В=/Я, E.2)
где г и /I — симметричные тензоры электрической и магнитной проницае-
мостей, т.е.
егк = екЬ №гк = №кг- » E.3)
Особое значение в наши дни приобретают гиромагнитные среды, из
которых наиболее важны ферриты. Поскольку гиромагнитные эффекты
и ферриты сравнительно малоизвестны, остановимся на них несколько более
подробно. Ферриты — это керамические ферромагнитные материалы,
которые в противоположность другим ферромагнетикам обладают очень
малой проводимостью и могут рассматриваться как изоляторы.
Вследствие этого в них обнаруживаются такие явления, которые в других материалах
остаются скрытыми вследствие экранирующего действия вихревых токов.
Эти явления связаны с так называемым ферромагнитным резонансом.
Элементарные носители магнетизма внутри вещества - спины электронов —
могут рассматриваться как маленькие волчки с определенным
механическим моментом (моментом количества движения); поэтому во внешнем
поле Н они могут совершать прецессионное движение. Благодаря этому
вектор магнитной поляризации М и мало отличающийся от него
вектор В связаны с Н посредством антисимметричного тензора. Правда,
эта связь справедлива только для высокочастотных составляющих.
Наиболее отчетливо прецессионные явления наблюдаются в присутствии
постоянного подмагничивающего поля Н0. Пусть это поле направлено по
оси '%. Если одновременно действует поперечно направленное
высокочастотное поле с временной зависимостью е**', то высокочастотные
составляющие Н и В оказываются связанными равенствами
Вх = 1лНх-]кНу, Ву = ]'кНх+/лНу, В2 = [ггН2. E.4)
1} Более распространена следующая форма записи второго из равенств E.1):
В = л0(Н + М).
Ввиду того что это различие не имеет принципиального значения, в переводе
сохранена форма записи, выбранная автором. — Прим. ред.
30
Часть /. Общий обзор
Эта зависимость выражается наиболее просто, если ввести тензор
проницаемости р:
I /л -]к О
р= рк ц 0 || ; E.5а)
|0 О Л|
Т=МхН0
-Мх(МхН)
Фиг. 16. К объяснению тензорного характера связи между векторами М и Н.
а — элементарный магнит прецессирует с ларморовой частотой «Г^-уНо вокруг
напряженности (постоянного) магнитного поля в соответствии с уравнениями сМ/сИ = уМхН, и дМЩ** ®х ХМ.
При наличии затухания М приходит к положению равновесия (М||Н0). Для простоты на рисунке
гиромагнитное отношение 7 принято положительным, хотя в действительных ферромагнетиках оно
отрицательно, так как момент обусловливается вращающимися электронами.
б — если в момент времени I—о включается магнитное поле —Нх, перпендикулярное Но,
то М прецессирует вокруг Нг. Если примерно через половину периода ларморовской прецессии Н»
изменит свой знак, то М начнет прецессировать вокруг Н'г. При этом появляются составляюшие не
только Мх, но и Му. Если Н*<$сН0, то ЛМг пренебрежимо мало по сравнению с Мх и М9.
^ 5. Некоторые обобщения
31
при этом
В = /Ш. E.56)
Величины [I и к зависят не только от вещества, но и от а>, Б^и
связанного с Н^ вектора намагниченности М0.
То, что свойства волчка приводят к тензорной связи между В и Н
(точнее между магнитным моментом М и Н), можно понять из фиг. 16.
Магнитный диполь, который обладает определенным механическим
моментом (моментом количества движения) Я, ведет себя в постоянном
магнитном поле так же, как обычный волчок или гироскоп в гравитационном
поле. На оба действует момент силы (Т), который вызывает изменение N
согласно уравнению
Т-Зг- E.6)
Если N параллельно полю (гравитационному или магнитному), то
Т= 0 и N остается постоянным. В общем случае происходит
прецессионное движение N вокруг направления поля и при отсутствии потерь концы
векторов N и М описывают окружность. В действительности эти
движения затухают и N и М, двигаясь по спирали, приходят в положение
статического равновесия.
Пусть в исходном состоянии векторы М и Н0 параллельны (фиг. 16,6);
приложим в момент времени I = 0 поле, перпендикулярное Н0, и пусть
это поле На «: Н0. Теперь М начинает свое прецессионное движение вокруг
результирующей Нг = Н0+НЛ,так как Нг и М уже не параллельны. Когда
М опишет половину окружности (г^/г^ь), изменим знак Нх. Теперь М
будет прецессировать уже вокруг новой результирующей Щ, и
амплитуда прецессии возрастет. Как следует из этих качественных
рассмотрений, заметный эффект получается только тогда, когда период изменений
поперечного поля близок к периоду прецессии элементарного
магнита Ть, зависящему от постоянных вещества и от Н0.
Перпендикулярное высокочастотное поле создает прецессионное
движение и при наличии затухания, так как поглощаемая при этом энергия
может быть возмещена высокочастотным полем.
Из фиг. 16 также ясно, что при наличии единственной
высокочастотной составляющей Нх она вызывает две составляющие Мх и Му, а
следовательно, также Вх и Ву, что и указывает на тензорный характер связи.
В направлении ъ при условии Нх^Ну<кН0 намагниченность практически
не меняется и можно положить Вг = /%#2. Принятая линейность
уравнений гарантируется малостью НХ^НУ.
От качественных рассуждений теперь можно перейти к
количественному расчету. Общее уравнение волчка E.6) при учете зависимостей
Т = МхН и М=уХ E.7а)
приводит к уравнению
^=гМхН. E.76)
Коэффициент у в уравнении E.7а) называется гиромагнитным
отношением. Опыт указывает на его постоянство, что говорит о тесной связи
между механическим и электрическим моментами. В основное уравнение
E.76) вводят еще член затухания, который стремится вернуть вектор в
положение равновесия, т.е. в направление Н0. В соответствии с фиг. 16,а
32
Часть I. Общий обзор
вектор—Мх(МхН) уменьшает отклонение. Таким образом, основное
уравнение приобретает вид1*
^=гМхН--^Мх(МхН). E.7в)
Множитель 1/|М| здесь введен из соображений размерности, а «|у| играет
роль коэффициента затухания.
Полагая
М = (МХ, Му, М2 + М0),
Н = (ЯХ, Ну, Я2 + Я0),
где М0 и Н0— постоянные, и пользуясь комплексами, мы можем вместо
уравнения E.76) записать три уравнения для составляющих:
]о>Мх = у[Му(Н2+Н0) - (М2 + М0)НУ1
]соМу = у[Нх(М2 + М0)-Мх(Н2+Н0)], E.9)
]ЪМ2 = у[Мх Ну - МуНх\
Полагая члены вида МХНУ, МУН21 ... малыми по сравнению с М^Н^
МоНх, ..., получим систему уравнений
]а>Мхъ уМуН0-уМ0Ну,
]соМуъуМ0Нх-уМхН0, E.10)
]соМ2 ^ 0,
решение которой относительно Мх, Му и М2 очевидно: .
м ^ Угмоно я - ^Умо я
тх- уъщ-со*11* у2Щ-со* V
м _ ]соуМ0 „ у*М0Н0 н E.11)
М2~0,
т.е. ^-составляющая равна постоянной величине М0 [см. уравнения E.8)].
Для простоты затухание при расчетах не учитывалось.
Из равенства
В = ^0Н + М
1} Это уравнение предложено Ландау и Лифшицем в 1933 г. Другой учет
затухания введен Гильбертом [8.7], предложившим уравнение
Л"" гМхН-аМх^-,
которое легко выводится из предположения, что действующее поле уменьшается на
величину, пропорциональную скорости изменения намагниченности, т.е. равно
Подставляя этот двучлен вместо Н в уравнение E.76), приходим к уравнению
Гильберта.
Отметим, что учет затухания по уравнениям Ландау — Лифшица и Гильберта
неполностью соответствует экспериментальным данным. —Прим. ред.
$" 5. Некоторые обобщения
33
можно получить выражения
В2* ^Нг, E.12)
где соь = уЯ0 — круговая частота прецессии в поле #0, или ларморева
частота1*. Эти формулы имеют вид уравнений E.4) и E.56) и дают зависимость
коэффициентов (л и к от о>, у, #0, М0.
Следует заметить, что для ионизованных газов, а тем самым для плазмы
в присутствии магнитного поля связь между БиЕ выражается также
посредством антисимметричного тензора Т9 характеризующего
гироскопические эффекты. В полупроводниках проводимость у обладает таким же
свойством.
б) Связанные заряды, обусловленные поляризацией, и связанные токи»
обусловленные намагниченностью
Оставляя в уравнениях Максвелла лишь основные векторы поля Е и В
(как в уравнениях для вакуума), а также векторы РиМ,
характеризующие поляризованность среды, т.е. исключая векторы Ои Не помощью
равенств E.1), получим следующую систему уравнений:
ро*В = А10(Л-ро*-+^7Г + 7йг), го1Е=--57,
<ЦуВ = 0, а1уЕ = -(е-<НуР). E.13)
Сопоставляя эту систему с уравнениями
го* В = /*0('+еоэг)' го1Е = —5Г»
(Ну В = 0, ахуЕ = А
справедливыми для вакуума при отсутствии поляризуемой среды, получаем
следующую возможность толкования роли этой среды.
В первом уравнении Максвелла в дополнение к макроскопической
плотности токов ^ из-за наличия поляризованной среды добавляются
слагаемые го1(М/^0) и #Р/&, которые можно рассматривать как плотность
связанных (микроскопических) токов. В теореме Гаусса в дополнение к
плотности свободных зарядов д из-за наличия среды добавляется
слагаемое —сНуР, которое можно рассматривать как плотность связанных»
зарядов, обусловленную неоднородным распределением плотности дипольных
моментов.
х) В формуле E.12) Вг — переменная слагающая «-компоненты индукции,
постоянная слагающая той же компоненты равна р0Н0 + М0. В литературе форму-
лы E.12) обычно представлены в гауссовой системе единиц, в которой х? = # + 4яМ:
где
3
сон
К.
- юд.-
Шимони
вх
в,
Прим.
•(
1 + 4тг-
3*е> я
« 4тг —5
©я—©2
ред.
М0
«5ёя"
Мо
¦(
)нх-
1 + 4я
5*ЛВ М0
«I-»1
Т0)н"
34
Часть /. Общий обзор
На фиг. 17 показано, как в такой ереде могут образоваться объемные
заряды вследствие того, что заряды противоположного знака, попарно
связанные в диполи, не полностью уравновешивают заряды соседних
диполей при их неоднородной плотности. При постоянном поле связанные
заряды не увеличивают плотности тока. Если же Р изменяется во времени,
то (независимо от того, равна или не равна нулю (Ну Р) колебания
зарядов в диполях создают дополнительную плотность тока дР/ди
Несколько труднее наглядно представить го1 (М//г0) в качестве плотности
связанного тока. Это, однако, возможно, если представлять себе магнитные
+ -
+ -
+ -
+ "-
+ -
+
+• -
+
+
+ ¦ -
+ {-
+
+
III
-Ж-
* =
1$-] =
^
1 =
1 =
?• =1
Ф =
| =
| |
Фиг. 17. Если дивергенция
вектора поляризации отлична
от нуля, то появляются объемные
заряды.
щ п о
X X X X X
XXX
X X X X X
I I I
I I I
X X
X
I
I
X
м
X
|пЛМ
I'
Фиг. 18. Наглядное
представление токов, получающихся при
пространственном изменении
намагниченности.
моменты т (объемная плотность которых равна намагниченности М) в
виде замкнутых токов /, протекающих по контуру, ограничивающему
площадь А:
т = [л01К E.14)
(подробнее понятие магнитного момента будет рассмотрено ниже).
На фиг. 18 неоднородное распределение магнитных моментов
представлено рядом одинаковых смежных контуров тока с возрастающим
током (что показано увеличением числа линий тока). Токи, протекающие
в соседних сторонах смежных контуров, лишь частично взаимно
уничтожаются, так как токи контуров не равны. При этом возникает плотность
связанных токов, равная го1(М//г0).
в) Движущиеся среды [[1.8-1.63й
Рассмотрим поле в средах, движущихся с постоянной скоростью и,
при условии, что эта скорость значительно меньше скорости света (и2«: с2).
При движениях со скоростями, близкими к скорости света, следует
принимать во внимание ряд релятивистских поправок.
Пусть замкнутый проводящий контур Ь движется со скоростью и по
отношению к системе координат, в которой магнитное поле определяется
вектором В, зависящим как от координат, так и от времени.
г) Для большей ясности в переводе изложение этого параграфа несколько
изменено, а промежуточные выводы даны подробнее. — Прим. ред.
$ о. Некоторые обобщения
35
Закон электромагнитной индукции для движущегося проводника
выражается через полную производную по времени от магнитного потока,
сцепленного с движущимся контуром:
0Е'Л=-*]в*А,
E.15)
Ь А
где Е' — напряженность электрического поля, наблюдаемая в движущейся
системе.
Полное изменение потока можно представить состоящим из двух
слагаемых: первое обусловлено только изменением во времени самого
вектора В
E.16)
дФ
си
-*/* "-/***•
А = СОП8*
второе обусловлено только движением контура, т.е.}
дФ\
й1 | В@-соп81;'
эта вторая часть изменения потока может быть вычислена из
рассмотрения потока через замкнутую поверхность (фиг. 19), состоящую из
поверхностей А1 и А2, ограничиваемых контуром Ь в его
старом и новом положениях, и боковой
поверхности Лб, элементом которой является
йАб = сЛ х и йи
E.17)
Фиг. 19. К
определению изменения потока
в движущемся контуре.
При этом поток, выходящий через всю
замкнутую поверхность, может быть представлен как
сумма трех слагаемых:
фВйА =/в«гА-/в<гА+$В(Яхп&). E.18)
А А<ь А\ Ь
Второй интеграл в правой части берется со знаком минус, так как при его
положительном значении представляемый им поток „входит" внутрь
замкнутой поверхности.
Так как полный поток должен быть равен нулю (сНуВееО), то
приращение потока, сцепленного с контуром Ь, в предположении постоянства
индукции во времени выражается следующим образом:
или
ЛФ =
дФ
в(»=соп81 =/вйА-/вйА= -$В(Лхи<й),
А-2 -^1 Ь
В@==сопз1;
= -$В(<Дхи) = -$(пхВ)Л.
E.19)
E.20)
Множители под знаком интеграла переставлены в соответствии с
формулой
А(ВхС) = (СхА)В.
Подставляя E.16) и E.20) в E.15), находим, что
фЕ'Л = - ^<*А + (|)(ихВ)<Я, E.21)
Ь А Ь
3*
36
Часть /. Общий обзор
или после применения теоремы Стокса
^гоЪЕ'ЙА = - ^<*А +^го*(ихВ)«*А. E.22)
А А А
Полученное выражение справедливо при любом А, что позволяет
записать второе уравнение Максвелла для движущейся системы в
дифференциальной форме:
Г01Е' = ~+ го* (ихВ). E.23)
Из него следует, что в случае постоянного во времени магнитного поля
напряженность электрического поля, индуктированного в движущемся
проводнике, равна
Е' = их В. E.24)
Интересно отметить, что для движущейся системы координат второе
уравнение Максвелла можно записать и в такой форме:
го*Е' = -^, E.25)
где Ъ'\Ы означает дифференцирование по времени в движущейся системе
координат, для которой и определяется вектор Е\ При этом
^ = §+(идгаа)В. E.26)
Второе слагаемое здесь определяет скорость возрастания индукции в
движущейся точке наблюдения, обусловленную перемещением этой точки
со скоростью и.
Известное преобразование векторного анализа (при и = соп81;)
(и §гаA)В = и (Ну В - го1 (и х В) E.27)
позволяет записать предыдущую формулу в виде
^ = ^+и<ИуВ~-го1 (их В). E.28)
При условии (НуВ = 0 подстановка E.28) в E.25) приводит к ранее
выведенному уравнению E.23).
В результате аналогичных преобразований первого уравнения
Максвелла находим, что для наблюдателя, движущегося со скоростью и, когда в
среде отсутствуют поляризация и объемные заряды,
го*2^ = - го* в0(и х Е) + е0 ^, ' E.29)
или
В' = В-^(ихЕ), E.30)
где с-2 = е0р0.
Несколько более сложен результат для поляризованной среды,
содержащей в общем случае как связанный (др), так и свободный (#) заряды,
плотности которых
др = -Й1уР и о+др = е0сИуЕ. E.31)
$ 5. Некоторые обобщения 37
Если в этой среде намагниченность и плотность тока проводимости
и конвекции равны нулю, то в координатах, связанных с этой средой,
го^=ео^+э7. E.32)
Для наблюдателя, движущегося со скоростью и, можно написать, что
го*- = (-и)о+ е0 ж + ж + го1 —. E.33)
Здесь выполнено такое же преобразование, как и в случае E.25), однако
к правой части добавлено два слагаемых: первое ( — и)р - наблюдаемый в
движущихся координатах конвекционный ток (заряд р движется навстречу
наблюдателю со скоростью — и); второе гоЪ (М'//и0), гАе М' — намагниченность,
обнаруживаемая движущимся наблюдателем благодаря движению относи-,..
тельно электрически поляризованной среды.
Применяя формулу E.28) к преобразованию производных по времени,
получим вместо E.33)
го1^ = -.^и+г0§ + §+и(а1уг0Е4-A1уР)-
или с учетом E.31)
го1- = «о^Н-^Г — го1е0(ихЕ)-гоЧихР) + го1—. E.35)
Сопоставляя формулы E.35) и E.32) и учитывая E.30), находим, что
то1 — = гоЦихР). E.36)
го! е0 (ихЕ)- го! (ихР) + го1-^-> E.34)
В том случае, когда в рассматриваемой среде существует ток
проводимости и конвекции, в правую часть выражения E.32) следует ввести
слагаемые
3 = е+у+ + ?-у- E.37)
где у+ и т~ соответственно средние скорости движения
положительных зарядов, имеющих плотность е+, и отрицательных зарядов, имеющих
плотность е~\ При этом для тока проводимости имеем
д+ + д- = 0. E.38)
Для наблюдателя, движущегося относительно рассматриваемой
системы со скоростью и, средние скорости положительного и отрицательного
зарядов изменятся, и для движущегося наблюдателя мы найдем, что
Г = е+(Т+_и) + е-(г—и) = 1-(е+ + е-)П. E.39)
При этом ток проводимости остается инвариантным, так как #+Н- д~ = 0.
Все изложенное становится более ясным после расчетов,
выполненных для простейших примеров1*. Ограничимся здесь рассмотрением
случая сферы радиуса Ь с равномерно распределенным статическим зарядом д.
В системе координат (х, у, з), связанной с этой сферой,
причем х2 + у2 + &2 =^ б2, В = 0, 3 = 0.
1} Приводимый пример добавлен редактором перевода. — Прим. ред.
38
Часть 7. Общий обзор
Рассмотриим поле в системе, движущейся относительно сферы с
постоянной скоростью и = — | и | к, при условии, что и2<зсс2. Координаты
этой системы
х' = х, у'' = у, 2,' = г+ии
Для точки наблюдения А', фиксированной в движущейся системе
координат, первое уравнение Максвелла может быть записано в таком виде:
ХВ' , д'Е
где В' — магнитное поле в движущейся системе; электрическое поле в
движущейся и неподвижной системе одинаково, так как в неподвижной
системе отсутствует магнитное поле: В = 0.
Скорость изменения электрического поля в движущейся системе
обусловлена только перемещением точки наблюдения относительно точек
неподвижной заряженной сферы. Поэтому
-^-= (и§гас1)Е = исИу Е + го1 (Ехи).
Имея в виду, что е0 (ИуЕ = д, и вычисляя гоЬ (Ехи), найдем, что
.В' 2
Найденное таким путем значение полной плотности тока соответствует
магнитному полю
в' = -/*оео(ихЕ)>
что и согласуется с ранее выведенным выражением E.30) для поля в
движущейся системе координат.
§ 6. Поведение векторов поля на границе двух сред
Уравнения Максвелла позволяют определить, как изменяются
векторы поля при переходе через поверхность раздела двух изоляторов или
проводников с различными электрическими свойствами. Если е, /и и у при
переходе через поверхность раздела изменяются скачком, то и векторы,
связанные с этими величинами уравнениями (V), могут претерпевать разрыв.
Представим себе сначала, что свойства среды непрерывно изменяются
в примыкающем к поверхности раздела тонком слое. Толщину этого слоя
мы в дальнейшем заставим стремиться к нулю. Пусть в соответствии с
фиг. 20 одна среда характеризуется величинами еъ [л1 и у19 а другая —
величинами г2, ^2 и у2-
Применим к вектору магнитной индукции В теорему Гаусса, выбрав
замкнутую поверхность так, как представлено на фиг. 20:
[ЦуВаУ = О =$ВЙА - В2пАА-В1пАА+с1Ф, F.1а)
V А
где дФ — поток вектора В через боковую поверхность цилиндра. Но ЛФ
стремится к нулю вместе с высотой цилиндра, следовательно,
В2пAА - В1пЛА = 0, 6.16)
$ 6. Поведение векторов поля на границе двух сред
39
откуда следует, что
Вы = В1п, F.1в)
т.е. нормальная составляющая вектора магнитной индукции на
поверхности раздела непрерывна.
Сказанное можно представить и таким равенством:
(Ва-В^п = 0, F.1г)
где п — нормаль к поверхности раздела1*.
Применяя теорему Гаусса к вектору электрического смещения на
той же поверхности, найдем, что
(сНуВй7 = [дйУ = ддХЛА = (В2п-В1п)АА+с1Ч', F.2
V V
где Ш—поток вектора В через боковую поверхность, стремящийся к нулю
вместе с высотой цилиндра. Произведение ^/^А ^представляет собой
общий заряд, находящийся в элементе
объема. Полагая, что дМ остается
постоянным при уменьшении толщины
слоя, приходим к понятию
поверхностного заряда:
Нт р 61
сН->0
F.3)
При наличии такого поверхностного
заряда из F.2) получаем
Ат-Лщ = ", F.4)
т.е. нормальная составляющая вектора
электрического смещения изменяется
скачком, если на поверхности раздела
существует свободный поверхностный
заряд. В векторной форме последнее
выражение имеет вид1)
(В2 - Вх) п = а, F.5)
Фиг. 20. Поведение нормальной
составляющей индукции на
поверхности раздела двух сред.
Применим теперь первое уравнение Максвелла (закон полного тока)
к контуру, представленному на фиг. 21, стороны которого I очень малы
и проходят по границе переходного слоя толщиной ей; площадь плоской
поверхности, ограничиваемой этим контуром, равна Ш. В таком случае
&И<й = НХ11-Н211 + AР = Л Л.
F.6)
Здесь &1: — слагаемое, которое стремится к нулю при уменьшении
толщины слоя; / — плотность тока в граничном слое, нормальная к
поверхности, определяемой I и А1. Полагая, что независимо от толщины слоя Л
произведение IЛ1 остается постоянным, мы приходим к понятию
поверхностной плотности тока:
Нт 3 М = К, /а п\
где К измеряется в амперах на метр.
1} Единичный вектор п направлен от первой среды во вторую. — Прим. ред.
40
Часть и Общий обзер
Когда в расчеты вводится К, обычно не учитывается ток смещения,
так как дВ/дг не может образовывать поверхностную плотность тока, если
изменение напряженности поля происходит с конечной скоростью и
напряженность поля остается конечной.
Таким образом, из (б.б) следует, что
Нц—Н21 = К, F.8)
т.е. тангенциальная составляющая
напряженности магнитного поля изменяется при переходе
через границу раздела только в том случае,
когда существует поверхностный ток; в
противном случае
Нл± = Н*
1и
21>
F.9)
т.е. тангенциальная составляющая
напряженности магнитного поля на поверхности раздела
непрерывна.
В общем случае при существовании
поверхностного тока К тангенциальные составляющие
напряженности магнитного поля (т.е. проекции
векторов Нх и Н2 на поверхность раздела двух
сред) в первой и второй средах могут не
совпадать по направлению (если К образует угол,
отличный от я/2, с тангенциальными составляю*
щими Пх и Н2). При этом уравнение F.8)
должно быть заменено более общим векторным уравнением
пх(Н2~Н1) = К. F.10)
Линейный интеграл напряженности электрического поля Е вдоль
той же линии, согласно второму уравнению Максвелла, равен
^¦го*В <2А = (Еи-Е21) I = --|ш-0,
нпИгг
Фиг. 21. Поведение тан-
генциальной составляющей
напряженности магнитного
поля на поверхности
раздела двух сред.
Фиг. 22. Поведение векторов электрического поля на границе
раздела двух сред с различными постоянными.
так как в общем случае дВ/достается конечным и произведение <И(дВ/дг) при
уменьшении толщины переходного слоя не может быть принято
постоянным. Важное исключение из этого правила нам встретится ниже.
В результате получаем
Еи = Е%г. F.11)
^ 6. Поведение векторов поля на границе двух сред
41
Итак, на поверхности раздела двух сред тангенциальная составляющая
напряженности электрического поля непрерывна и, следовательно,
пх(Ва-Е1) = 0. F.12>
На фиг. 22 показано изменение электрических векторов поля при
переходе через граничную поверхность для случая, когда не существует
ни поверхностного заряда, ни поверхностного тока. Линии поля
преломляются. Закон преломления для электрических линий имеет вид
1^а2 Е211Е2п Р21/Р*п е2 '
а для магнитных линии поля
(б.13>
F.14)
Таким образом, поведение векторов поля на граничной поверхности
описывается следующими уравнениями:
11(8,-8!) = 0, п(Ва-В1) » <г, •
F.15)
пх(Н2~Н1) = К, пх(Е2-Е1) = 0.
Определим теперь правила для вектора пространственной плотности •
тока. Если к изображенной на фиг. 23 поверхности применить соотношение
для стационарных токов (Ну 3 = 0, то
аналогично предыдущему находим, что
Из ранее найденного условия Еп = Е21
следует, что
- ^, ±= ?1 Е1Ь
12г = Уг Е2г = у2 Е1г.
При этом закон преломления для линий
плотности тока имеет вид
*Е«1 __ А/Л, __ ±и_ _ У\
F.16)
1^а2 ^2^|^2п з%
У*
F.17)
Фиг. 23. Поведение вектора
плотности тока на поверхности
раздела двух сред с различной
проводимостью.
В общем случае на граничной
поверхности обоих проводников появляется поверхностный заряд, и нормальная
составляющая вектора претерпевает разрыв:
Т) — Р р — *****
Моп — ¦ &> Еоп —
2л
€2»/2п
«2«Л«
F.18)
Уг Уг
Поэтому поверхностная плотность заряда может быть записана в виде
о = В1п-В2п = 11п(^-^); F.19)
она только тогда равна нулю, когда случайно имеет место соотношение
F.20).
У\
Уг
42
Часть I. Общий обзор
§ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле1*
а) Общие зависимости
Рассмотрим снова первое и второе уравнения Максвелла
ро*.Н = *+*?-, (I)
го*Е=--5г. (И)
Умножив скалярно первое уравнение на — Е, а второе — на Ни затем
сложив их, получим
Нго*Е-Его*Н= -Н~ Е^-ЕеГ. G.1)
Из векторного анализа известно, что йлг(ЕхН) = НгоЪЕ-ЕгоШ;
подставив это в предыдущее уравнение, получим
сИу(ЕхН) = - н|™Е^-ИГ. G.2)
Интегрируя обе части уравнения по объему V, ограниченному
произвольной замкнутой поверхностью, найдем, что
|сИу(ЕхН)й7= - /(Е^+Н^)й7-/е^7. G.3)
V V V
По теореме Гаусса
' /сЦу (ЕхН) ЛУ = $ (ЕхН) йА,
V А
поэтому из уравнения G.3) следует
-/(е^Н-Н^йГ = Уе1й7+^(ЕхН)йА. G.4)
V V А
Это уравнение может быть истолковано как выражение закона сохранения
энергии. Действительно, преобразовав левую часть G.4J>:
У V ' , '
легко понять ее физический смысл. Она представляет собой не что иное,
как отнесенное к единице времени уменьшение энергии поля, содержащейся
во всем объеме. Правая часть уравнения G.4) показывает, почему
происходит изменение содержащейся в этом объеме электромагнитной энергии.
Преобразуем первый член, в который введем стороннюю напряженность
поля. Из группы уравнений (V) (см. § 3) уже известно, что
3 = у(Е+Ее), G.6)
1} При рассмотрении на основе уравнений Максвелла преобразования энергии
в электромагнитном поле (теорема Умова — Пойнтинга) нет надобности полагать
известными выражения для плотности энергии электрического и магнитного полей. Эти
выражения могут быть выведены из общего анализа, приводимого в § 7 (см. [2.3,
ч. III]). — Прим. ред.
2) В выражениях плотности энергии поля G.5),G.8) и др. следует иметь в виду, что
в е и [л входят соответственно множители е0 и /л0. — Прим. ред.
^. 7 Преобразования энергии в электромагнитном поле 43
следовательно,
*Е = ^-ЕД. G.7)
Подставляя это соотношение в уравнение G.4), получим1*
"!гЛтгЕ2+т^ G-8)
У V V А
Правая часть этого равенства теперь может быть истолкована
следующим образом: энергия поля уменьшается вследствие того, что ток
проводимости выделяет в проводнике тепловую энергию по закону
Джоуля— Ленца (Л/'у — плотность теш:.-)вой энергии, выделяемой в единицу
времени). Энергия рассматриваемого объема уменьшается также и тогда,
когда ток протекает против сторонней напряженности поля. В этом случае
произведение ЕД отрицательно, поэтому интеграл —^Ее «Гй7 положи-
V
телен, что соответствует уменьшению энергии поля (при равенстве нулю
других членов правой части). Напротив, сторонняя напряженность поля
совершает работу, если ее направление совпадает с направлением тока;
в этом случае энергия поля увеличивается (при отсутствии других
слагаемых в правой части).
Кроме этих слагаемых, определяющих преобразование энергии, в
правой части уравнения имеется еще третье слагаемое. Его можно
толковать как энергию электромагнитного излучения, проходящую в
единицу времени через поверхность, ограничивающую объем V. При этом
уравнение G.8) выражает энергетический баланс: накопленная в объеме
электромагнитная энергия уменьшается за счет того, что одна ее часть
превраащется в джоулево тепло, другая часть расходуется на преодоление
сторонних сил (например, на зарядку аккумуляторов), а часть энергии
излучается (последнее слагаемое правой части). Эта последняя часть может
быть и отрицательной — в этом случае она выражает вносимую в
рассматриваемый объем энергию поля.
Выражение G.8) легко применить к контуру тока. В случае проводника,
линейного в геометрическом смысле, элемент его объема можно
представить в виде йУ=АаЧ, где А — его поперечное сечение, а дХ — элемент
длины. При этом направления вектора плотности тока и вектора ей
совпадают (хотя они могут иметь различный знак). Произведение А] везде
равно току /. При этом во всем объеме проводника, имеющего длину I/,
V Ь Ь
]Ее 3 (IV = /ве (й 1A А = I$ Ее <й = IIе1
V Ь Ь
1} В § 4, д было введено комплексное представление векторов синусоидально
изменяющихся полей. Легко показать, что при этом уравнение G.8) принимает вид
±-}€о§(еЕЕ*-11НН*)д.Г =~(±у- йУ-^Е.1*йУ + ф 8<2А, G-8а)
где 8 — комплексный вектор Пойнтинга, 8 = A/г)ЕхН*; Е*, Я*, ^* —
комплексы, сопряженные амплитудным комплексам Е> Н, 3. Вещественная часть
выражения G.8а) равна среднему за период значению мощности. — Прим. ред.
G.9)
G.10)
44
Часть /. Общий обзор
(здесь С/е = ^ЕесЯ — электродвижущая сила, она положительна при сов-
ь
падении направлений Ее и <й по всему контуру). Таким образом,
уравнение G.8) приводит к следующему:
-^((^вЕ2+^Я2)й7 = /2Л-С/е/ + ^(ЕхН)ЙА. G.11)
V А
Первое и второе слагаемые в правой части соответствуют энергии,
рассеиваемой на джоулево тепло, и работе, совершаемой электродвижущей силой
(сторонним напряжением), отнесенным к единице времени.
В левой части уравнения G.4) стоит изменение энергии поля,
отнесенное к единице времени. При этом изменение энергии за время <Й в
объеме V дается уравнением
Ш = №т + те = \ЪдйАУ+$ЪдХИУ, G.12)
V V
а изменение плотности энергии
йю = йи)т + <1и)е = НсШ+ЕсШ. G.13)
Уравнения G.12) и G.13) совпадают с постулированным ранее
уравнением Максвелла (VI), если е и /л не зависят от поля. Для нелинейной среды,
например для ферромагнетиков, рассмотренное уравнение позволяет
утверждать лишь то, что при изменении индукции от В0 до В на единицу
объема затрачивается энергия1*
в
Лют=/Н<Ш. G.14)
Во
Само собой разумеется, что интеграл определяется зависимостью
В = В(Н).
б) Вектор Пойнтинга
Вектор
8 =ЕхН, G.15)
входящий в выражение
$(ЕхН)йА, G.16)
А
определяет энергию, проходящую в единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную его направлению. Размерность этого
вектора — отношение мощности к единице поверхности, т. е. вт/м2. Его
называют вектором Пойнтинга, вектором потока энергии или вектором
излучения энергии. Его величина и направление определяются векторным
произведением векторов Е и Н. Мощность, проходящая через элементарную
площадку йА, равна 8йА (фиг. 24,6).
1} Часть этой энергии, конечно, может рассматриваться как энергия магнитного
поля; при этом остальная часть преобразуется (обратимо или необратимо) в тепловую
энергию, энергию упругой деформации и др. — Прим. ред.
^ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле
45
Во всех предыдущих выводах рассматривался только интеграл по
замкнутой поверхности от вектора Пойнтинга. Поэтому только этому
интегралу
$8йА = $(ЕхН)йА G.17)
А А
и можно приписывать реальный физический смысл.
Что касается вектора 8, то, прибавив к нему любой вектор V,
дивергенция которого всюду равна нулю, игу V = 0, и рассматривая вектор
8 + т в качестве вектора потока энергии, мы получим прежнее значение
потока этого вектора через замкнутую поверхность:
$(8 + у)йА= $8йА+ }(ЦууЛУ= Й8ЙА + 0. G.18)
А А V А
Однако естественнее всего полагать именно вектор 8 равным энергии,
протекающей в единицу времени через единичную поверхность,
приписывая ему физическую реальность.
Фиг. 24. Направление вектора Пойнтинга Фиг. 25. Поток энергии
(а) и величина мощности, проходящей че- в статических полях,
рез произвольный элемент площадки (б).
Наибольшая трудность, с которой при этом встречаются, заключается
в появлении потока энергии в тех случаях, когда он, казалось бы, не имеет
никакого физического смысла1*. Если, например, внести
представленный на фиг. 25 цилиндрический конденсатор в однородное магнитное поле,
параллельное оси цилиндра, то вектор 8 внутри конденсатора будет всюду
иметь значение, отличное от нуля, так как Е и Н везде перпендикулярны
друг другу. Линии потока энергии при этом образуют замкнутые
окружности и дивергенция вектора 8 везде равна нулю; следовательно, поток
энергии равен нулю для любой замкнутой поверхности. Таким образом,
закон сохранения энергии не нарушается. Тем не менее, приписывая
вектору 8 физический смысл, мы получаем удивительную картину
замкнутого на себя потока энергии. Эта трудность, казалось бы, еще усиливается
тем, что по теории относительности потоку энергии соответствуют вполне
определенные масса и импульс, так что представление о замкнутом потоке
энергии кажется не только бессодержательным, но и просто неверным.
1) Он не участвует ни в каких энергетических преобразованиях, поскольку при
этом сИу 8 = 0, а, следовательно, для любой замкнутой поверхности ф 8 йА = 0.
— Прим. ред. А
46
Часть /. Общий обзор
Однако именно этот путь и ведет к решению вопроса. Привлекая
к рассмотрению теорию относительности, можно показать, что
существование такого потока требуется и другими соображениями. В частности,
в случае конденсатора (см. фиг. 25), внесенного в магнитное поле, на
систему в течение времени зарядки конденсатора должен действовать
вращающий момент из-из взаимодействия зарядного тока с магнитным полем.
Интеграл от этого момента по времени равен в точности моменту количества
движения замкнутого потока энергии. Казавшаяся физически
бессодержательной картина замкнутого потока энергии, таким образом, как раз
необходима, чтобы обеспечить выполнение закона сохранения момента
количества движения1*.
в) Поток энергии в стационарных [полях
Изложенные положения теории поля в свое время привели к
радикальному изменению взглядов на локализацию энергии и на процессы
ее передачи.
Энергией обладают не заряды на проводниках, а электрическое поле,
распределенное в разделяющем их диэлектрике. Мощность передаваемой
энергии определяется не непосредственно током или напряжением, а
связанным с ними потоком вектора Пойнтинга.
Пусть два параллельных провода проходят в направлении,
перпендикулярном плоскости чертежа (фиг. 26), и при постоянном напряжении II
Фиг. 26. К вычислению мощности в цепи
постоянного тока с помощью вектора Пойнтинга.
между этими проводами ток в верхнем проводе направлен от нас (за
плоскость чертежа), а в-нижнем — к нам; в конце линии включена нагрузка.
Передаваемая от генератора мощность равна
Р = VI, G.19)
а напряженность электрического поля между проводами при достаточно
малом расстоянии между проводами по сравнению с их шириной равна
Е = ^ G.20)
и направлена от верхнего провода к нижнему.
"См. [1.4]. — Прим. ред.
^ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле
47
Линии напряженности магнитного поля охватывают тот или другой
провод; для любой из этих линий
Я(й = /.
G.21)
При заданном расположении проводов можно в первом приближении,
пренебрегая напряженностью поля в остальной части пространства,
считать, что между параллельными поверхностями проводов магнитное поле
однородно. При этом (см. фиг. 26)
§
НЛъНЬ = 1, или Н =
G.22)
Вектор Пойнтинга 8 = ЕхН параллелен оси проводов и направлен
к потребителю энергии. Его величина равна произведению абсолютных
значений обоих векторов, так как вектор Е перпендикулярен Н. Поток
вектора 8 по всему сечению А = Ьа при этом совпадает с прежним
выражением для передаваемой мощности
Р =: VI = Еа-НЬ = ЕН- А = 8А.
G.23)
В приведенном простом примере учитывалась только та часть
магнитного и электрического поля, которая расположена между проводами;
мы считаем общую напряженность поля сконцентрированной в этой
области и поэтому можем заменить всю замкнутую поверхность поверхностью,
находящейся между проводами (фиг. 27).
I Генератор
^з
Потребитель
Фиг. 27. К вычислению мощности,
передаваемой от генератора к потребителю.
Из произведения силы тока и напряжения получается то же значение
мощности, что и при интегрировании вектора Пойнтинга. Таким образом,
VI математически тождественно произведению ЕЕ А, так как эти
выражения получаются одно из другого, по крайней мере в тех случаях, когда
приходится иметь дело со стационарными явлениями. Но связанные с
этими выражениями физические картины совершенно различны. В первом
случае мы представляем себе передачу энергии примерно так, как
происходит перенос энергии текущей в трубе водой. Во втором случае, наоборот,
поток энергии идет вне проводов, т. е. в диэлектрике. В случае идеальных
проводников линии электрического поля везде нормальны к поверхности
проводов; поток энергии непосредственно у поверхности проводов
параллелен линии. Внутри идеального проводника не существует напряженности
поля (если речь идет об идеальном проводнике бесконечной проводимости;
48
Часть I. Общий обзор
иначе в проводнике протекал бы бесконечно большой ток, поскольку 1= уЩ.
Вследствие этого внутри проводника равен нулю и вектор потока энергии.
Если проводники считать неидеальными, то в них должна
существовать напряженность поля, определяемая выражением Е = З/у. В этом
случае линии электрического поля уже не перпендикулярны поверхности
лроводника, а несколько наклонены в направлении потока энергии
Фиг. 28. Линии электрического
поля в случае конечной
проводимости проводов.
Фиг. 29. Направление вектора Пойн-
тинга на поверхности провода с
конечной проводимостью. 2> = 2г0.
^(фиг. 28). Найдем направление потока энергии внутри проводника,
изображенного на фиг. 29, и определим его численное значение. Вектор
напряженности магнитного поля лежит в плоскости, перпендикулярной оси
провода. Вектор напряженности электрического поля внутри проводника
совпадает с направлением провода, или, точнее говоря, с направлением
плотности тока в нем. Поэтому вектор потока энергии нормален к оси
проводника и направлен внутрь, так как он перпендикулярен как Е, так и Н.
В случае длинного одиночного провода на его поверхностей
Е =
и Н
2яг0
При этом Е и Н взаимно перпендикулряны, поэтому
5 =
ЕхН
- ЕН = - -±-
У 2яг0
1 I I _ 1 I*
у А 2лг0 ~~ у А-2яг0
G.24)
G.25)
Выражение G.25) дает мощность, входящую в проводник через единицу
его поверхности. Через поверхность 2пг01 отрезка проводника длиной
I в единицу времени входит энергия
Р = 2пг013 - - 4-12 = ПР.
0 у А
G.26)
Последнее равенство определяет джоулево тепло, выделяющееся в
проводнике длиной /.
Таким образом, показано, что через поперечное сечение проводника
в аксиальном направлении энергия не протекает, так как она передается
только по диэлектрику. Энергия, расходуемая для покрытия потерь в
проводнике, входит снаружи (из диэлектрика) внутрь проводника
перпендикулярно направлению его оси.
$ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле 49
Процессы заряда и разряда конденсатора могут быть рассмотрены
совершенно аналогично (фиг. 30). В течение первой четверти периода
конденсатор заряжается, при этом вектор Пойнтинга направлен внутрь
конденсатора. Затем в течение следующей четверти периода энергия,
запасенная в конденсаторе, передается обратно источнику тока.
Фиг. 30. Направление потока энергии в окружающем конденсатор пространстве
при синусоидальном напряжении в различные моменты времени.
На фиг. 31 показан поток энергии, существующий в окрестности
генератора, линии передачи и потребителя. Действующая внутри
генератора сила (мускульная сила человека, сила химических взаимодействий или
сила, обусловленная тепловым движением) разделяет заряды, перемещая
Фиг. 31. Поток энергии от генератора к потребителю.
их против сил кулоновского электрического поля. Такого рода силы
называют сторонними электродвижущими силами. Перемещая заряды, эти
силы совершают работу. Поэтому вектор Пойнтинга направлен от
генератора наружу, т. е. энергия выходит во внешнее пространство. Около линии
передачи поток энергии проходит более или менее параллельно проводам,
причем часть этой энергии входит в линию, превращаясь в тепло.
Остающаяся энергия передается приемнику.
4 К. Шимони
50
Часть I. Общий обзор
г) Некоторые особые случаи преобразования энергии
До сих пор мы считали, что плотность электрического тока состоит
из плотности тока проводимости 3 и плотности тока смещения дЬ/д1.
Очень часто, в особенности в электронике, существует также
конвекционная составляющая тока: если заряды с плотностью ^ имеют среднюю
скорость V, то возникает ток конвекции плотностью о\. В этом простейшем
случае мы предполагаем, что существуют заряды только одного знака.
В общем случае нужно писать
«конвекции == 9+^+ "г 9—У—')
где #+ — плотность положительных зарядов, имеющих среднюю скорость
Ў+, и аналогично д_ и у_ — плотность и средняя скорость отрицательных
зарядов.
Для простоты рассмотрим первый случай. Для него первое уравнение
Максвелла запишется в виде
то1Н = 1+д* + ^. G.27)
Если следовать тем же путем, который привел к установлению уравнения
энергии, можно получить новое слагаемое для скорости изменения
энергии в виде
I оуЕаУ. G28)
Так как мощность выражается формулой „СилахСкорость", выражение
1е = <?Е G.29)
можно толковать как объемную силу (или плотность силы). Интегральное
выражение G.28) представляет мощность, которую движущиеся заряды
отдают электромагнитному полю или получают из поля в зависимости от
того, как направлены V и 1е — навстречу друг другу или в одну сторону.
При этом чаще всего изменяется кинетическая энергия заряженных
частиц. В балансе энергии, естественно, должны учитываться и те
частицы, которые пронизывают поверхность А, ограничивающую объем V\
с измененной кинетической энергией.
Описанное преобразование имеет место в электронных приборах.
Если имеются и движущиеся проводники, то в них вследствие
движения возникает дополнительная слагающая напряженности
электрического поля ух В, играющая роль сторонних сил. Закон Ома при этом
принимает вид
3=у(Е + УхВ), Е = --ухВ. G.30)
При этом в уравнении энергии появляется новое слагаемое
- ( (ухВ) ЗЛУ = ((ЗхВ)ус1У. /731>
V V V • ;
Оно может быть истолковано следующим образом. На движущийся
проводник в магнитном поле действует объемная сила
1т= ЗхВ. G.32)
Положительному значению у^ в правой части уравнения G.31)
соответствует уменьшение энергии поля; в этом случае поле отдает мощность,
что имеет место в электромоторе. Если же вектор V направлен против
силы 1т, то электрическая энергия образуется, и мы имеем случай генератора.
$ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле
51
д) Силы в электромагнитном поле"
Теория электромагнитного поля связывается с другими разделами
физики — механикой, учением о теплоте и т. п. — посредством шестого
уравнения Максвелла, содержащего выражение для плотности энергии,
причем сила служит связующим звеном между различными формами
преобразования энергии.
Приведенную нами систему уравнений Максвелла мы считаем полной.
Следовательно, из нее должно быть возможно найти и выражения для
силы. Можно было бы исходить при этом из двух указанных выше
выражений силы: дЕи ЗхВ. Однако, чтобы получить более общее выражение,
мы будем исходить из важного понятия электромагнитного тензора
натяжений.
шжжжжжщжжж
и
т
6
т /'
5/
П2
N
\
ШЯУа
$,
/
Фиг. 32. Сила Рп (отнесенная к единице площади) на
поверхности раздела двух диэлектриков в случае п||Е.
Тп\ и Тп2 — натяжения, действующие на внешние поверхности тонкого
слоя (т), внутри которого проходит граница между двумя
диэлектриками. Рп=ТП2—ТП1>0 при сх>е2.
Выражение для сил легко получить из выражения энергии
электрического поля в двух простых случаях поперечно и продольно
расслоенного конденсатора2).
В случае плоского конденсатора с продольно расслоенным
диэлектриком (фиг. 32) работа, совершаемая полем при перемещении Я поверхности
раздела диэлектрика, отнесенная к единице площади, должна быть равна
убыли энергии электрического поля, отнесенной к той же единице
поверхности. Конечно, при том условии, что конденсатор не соединен с
источником питания. Очевидно, что
1 * 0И_ _
2
-6ТУ = --^гЬ
А
= /-'ПА.
G.33)
В рассматриваемом случае
0_
А
= В = СОП81
G.34)
1] = В (а+* Ъ-К
1} В этом параграфе до формулы G.47) все е и ^ следует понимать как
„относительные"; постоянные е0 и ^0 здесь записаны в явной форме. ¦— Прим. ред.
2) Вывод выражения для силы, действующей на поверхность раздела двух
диэлектриков [до формулы G.47)], и фиг. 32 и 33, иллюстрирующие этот вывод, в русском
переводе изменены ввиду неточностей, содержащихся в очень кратком тексте
подлинника. В измененном тексте сохранен выбранный автором метод вывода: приравнивание
убыли энергии поля работе, совершаемой силами поля. — Прим. ред.
4*
52
Часть I. Общий обзор
где а и Ъ — толщина первого и второго диэлектрика соответственно, а-Я —
перемещение поверхности раздела в направлении нормали п, проведенной
из первой среды во вторую. Тогда
1 п " G.35),
«2
)х.
Полагая
находим
/•'Я - - с5Ж =
.4 2
G.36)
при В||п. G.37)
Следуя идеям Фарадея, можно представить силу Рп как разность
нормальных натяжений, действующих со стороны поля на поверхности
тшшшштжжяг,
в,
шшт
—*-п
*У1
ШШ/Ш//ШМ
'М
\
I ^
'п2
Фиг. 33. Сила Рп (отнесенная к единице площади) на
поверхности раздела двух диэлектриков в случае п±Е.
— ГП1 и — ТП2 — давления, действующие на внешние поверхности
тонкого слоя (т), внутри которого проходит граница между двумя
диэлектриками. Рп= — Тп\—( — ТП2)=Тп2—Тп1>0 при е1>е2.
тонкого слоя, внутри которого проходит граница (см. фиг. 32):
Рп = ^п2 — Тп1. G.38)
Сопоставляя последнее выражение с G.37), можно предположить, что
д2
Т =
при Е И п. .
G.39)
Аналогичные рассуждения применимы и к случаю плоского
конденсатора с поперечно расслоенным диэлектриком, когда нормаль к границе
перпендикулярна направлению поля (фиг. 33). В этом случае площадь всей
границы двух диэлектриков равна
А = кт,
где к — расстояние между пластинами, а т — ширина всего конденсатора.
Поэтому следует делить на эту площадь и полное изменение энергии
электрического поля при пользовании формулой
2
1^=-т=-ш
G.40)
для определения силы Рп, направленной по нормали п (проведенной из
первой среды во вторую) и отнесенной к единице площади границы.
Представим энергию поля заряженного конденсатора в форме
ос/ 02
Тогда
^ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле 53
82И=ё01=01д± G 41>
2 2С 2 с \'-*1г
((} = сопв1, так как конденсатор не соединен с источником). Емкость
рассматриваемого конденсатора
' С=ф{а+Х)е1+{Ь-Х)е*-, G.42)
где а — расстояние от поверхности раздела до левого края конденсатора
(проницаемость гх), Ъ — то же до правого края (проницаемость е2).
Поэтому
И
Нт 2 С 2к2С2 оV
или, учитывая, что <2/С = С/ и С//Л = Е,
-МР^^-^- G.44)
Подставляя последнее выражение в G.40), находим
/'п = 4" го(*1- *г) при Е±п. G.45>
Эту силу можно по аналогии с предыдущим представить себе как
разность натяжений. При этом, сопоставляя G.45) и G.38), можно
предположить, что теперь
Тп=-^еЕ2 при Е±п. G.46)
Отрицательное натяжение равносильно давлению, поэтому можно
говорить, что в случае Е_1_п поверхность диэлектрика испытывает со стороны
поля давление
-Тп = ^еЕ2 при Е±п G.46а)
(см. фиг. 33).
Следует обратить внимание на то, что для двух различных взаимных
ориентации напряженности поля и нормали к поверхности раздела (Еи п и
Е±п) натяжения выражаются одинаково, но имеют противоположные
знаки. Стремясь создать механическую модель „эфира" — гипотетической
среды, являющейся носителем поля, Фарадей ввел представление о том,
что линии поля, или ограничиваемые ими трубки, находятся в
напряженном состоянии, стремясь сократиться в направлении поля (в соответствии
с выражением натяжения при Епп), и испытывают давление в
нормальном к ним направлении (выражение для случая Е±п).
Механическая модель таких упругих взаимодействий между линиями
(трубками) поля показана на фиг. 34.
Найденные составляющие натяжений представляют собой
составляющие тензора натяжений по трем взаимно ортогональным главным,
направлениям, из которых одно совпадает с направлением Е, а два других
54
Часть /. Общий обзор
взаимно перпендикулярны и перпендикулярны Е . Тензор натяжений
• ху
УУ
ух
¦* ух
Т Т Т
м гх ¦* гу х 2
G.47)
в системе координат, оси которой ху у, ъ совпадают с главными
направлениями, содержит только диагональные составляющие. Если ось х
совпадает с вектором Е, он может быть представлен так1}:
G.48)
На фиг. 35 показаны давление и натяжение, действующие [по
формулам G.39) и G.45)] на элемент объема.
\ж
0
0
0
~\еЕ*
0
0
0
-1еЕ2\
Растянутые пружины
Сжатые пружины
Фиг. 34. Линии поля стремятся
сократиться в продольном и расшириться
в попечерном направлении.
\=шг
ы«*
Фиг. 35. Напряженное состояние
вырезанного элемента диэлектрика.
Диагональные элементы тензора натяжения называют главными
натяжениями. Составляющие тензора натяжений в любой координатной системе
можно получить путем следующих преобразований. Пусть еь е2, е3 —
единичные векторы исходной системы, е^, е^, ез~ единичные векторы новой системы;
тогда преобразованные составляющие тензора в новой системе
з з
*хк = 2 2 ай акп
1=1 т=1
1т->
G.49)
где а{к = е*е& — косинус угла между старыми и новыми координатными
х) Здесь и до конца параграфа для упрощения записи множитель е0 опускается,
т.е. предполагается, что е = ее0. Если полагать, что е—проницаемость в обычном
смысле слова, то перед всеми выражениями [G.48),G.52) и т.п.] следует поставить
множитель е0. — Прим. ред.
^ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле
55
осями. Так, например:
Тп' = ап ап Т1г + а12 а12 Т22 + а13а13 Т^ = а\х | еЕ2 - а\2± еЕ2 - а?3 | г#2 =
= а2пеЕ2-^ еЕНа^ + аЪ + аЪ) = е(апЕJ-± еЕ2. G.50)
Пусть в новой системе е^, е2, е^ соответствуют осям х, у, ъ\ тогда
апЕ = е^Е = (Ее^ = Ех
Тп'=:еЕх2-±еЕ2.
G.51)
G.52)
Аналогично получаются и другие составляющие. Таким образом,
Т =
еЕ2-^еЕ2 еЕхЕу
еЕхЕ2
еЕуЕх
еЕгЕх
еЕ1~еЕ2 е ЕуЕг
еЕхЕу
гЕ\-\гЕ2
G.53)
Зная тензор натяжений, можно представить силу сЯР, действующую
на площадку Лк, как произведение1*
Ор = т^А = Тпй4. G.54)
Сила, отнесенная к единице
поверхности, равна
Г0 = Тп, G.55)
где п — единичный вектор, нормальный
к поверхности. После подстановки
составляющих тензора Т можно представить
поверхностную силу вектором (фиг. 36)
еЕ(Еп)
Г0 = еЕ(Еп)-±еЕ2п. G.56)
На поверхность А,
ограничивающую объем V, действует сила
Г = с&ТйА.
^=Тп=8Е(Еп)-|еЕ2п
Фиг. 36. Механическое напряжение
в общем случае.
G.57)
Ту же силу можно представить интегралом объемных сил, распределенных
по объему V с плотностью I:
Г = 4?ТЙА = 1 1АУ.
¦/'
G.58)
х) Произведение тензора Т и вектора ^А = ^Лд + ^едДе, понимается в
следующем смысле:
Т^А = (Тхх<1Ах+Тху<1Ау+Тхг<1Аг)ех +
+ (ТухЛАх + ТууаАу+ТуМг)% +
+ (ТгхЛАх + Тгу<1Ау + ТггЛАг)ег
(см. § 13). — Прим. ред.
56
Часть I, Общий обзор
Применяя к этому равенству теорему Гаусса1}, получим важное
выражение, связывающее объемные силы с тензором натяжений:
I = <Цу Т. G.59)
Подставляя составляющие Т из G.53) или G.48), получим следующее
выражение для объемных сил2):
1= еЕ- \Е2реА ь. G.60)
Замена объемных сил силами упругих натяжений соответствовала
представлениям Фарадея о механизме передачи силового взаимодействия
через среду и его концепции близкодействия. Однако представление о
напряженном состоянии эфира с современной точки зрения нельзя
считать соответствующим действительности3*.
х) Определяя вектор, стоящий в G.57) справа под знаком интеграла, по формуле,
приведенной в предыдущем примечании, получаем для операции
сИу Т = Ит
>тйа
л
V
У->0
следующее выражение (в декартовой системе координат):
, (ЬТух_ , ЬТуу дТ&г \л
~Ч дх + ~ду~^~дГГу
ГдТгх , дТгу , дТ,
+ <№- + Ц?- + Ч?)ь-Пра*.р*.
2) В соответствии с G.58) и формулой предыдущего примечания находим, что
дТХх , дТХу , дТх,
¦Р — хх I ху |
дх Г ду дг '
Подставляя составляющие тензора из G.53) и выражая их в виде
¦* хх ~ ^х^х "~ Т ' ХУ = ^9^*1
найдем, что
Г. = ^СВА) + ^<ЗД) + ^(*А>-4--,,Е*
дх^ х х' ' ду ^*~у> ' дг ^*~*> 2 дх '
Первые три слагаемых последнего равенства можно представить в виде
Ех <Ну В + (еЕ ч)Ех = Ед + (еЕ а)Ех.
Записывая аналогичные выражения для всех составляющих, получим выражение
вектора объемной силы
Выражение в скобках можно представить вектором -—¦ ъ(еЕ2) = -у (ечЕ2 + Е2уе), а
по известной формуле векторного анализа (еЕ ч)Е = ~чЕ2 (если го! Е = 0). В таком
случае очевидно, что (еЕу)Е--^-ч{еЕ2) = ~^Е2че. - Прим. ред.
3> См. примечание в конце параграфа. — Прим. ред.
^ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле
57
Аналогично предыдущему можно найти тензор натяжений и для
магнитного поля
1
/иЩ-^^Н2 рНхНу
^„Нг
1лНуНх
/лНгНх
1лН2у-Т^Н2 [лНуНг
[лНгНу
11Н\- ^Н*
G.61)
Сила, действующая на поверхность А, ограничивающую объем V,
может быть вычислена следующим образом:
?т = <$ Тт^А = ф [/^Н(Нп) - 1[лН2п] йА.
С помощью равенства
1Ш = (Ну Тл
G.62)
G.63)
и учитывая, что сЦу В = 0 и го! Н = 3, можно получить следующее
выражение для объемных сил:
1т = ЗхЪ—Н^гъА^ G.64)
В полученные выше выражения объемных сил G.60) должно быть
дополнительно введено еще слагаемое
Яг
1 = 1^(^*1),
G.65)
если диэлектрическая проницаемость зависит от плотности д. Силы,
соответствующие этому слагаемому, определяют существование электрострик-
ции
1)
Объемные силы в магнитном поле выражаются формулой
*ж==^xВ-1я2§^а(^^ + -^§^а(^(Я25|^).
G.66)
Здесь первое слагаемое представляет силу, действующую на проводник с
током в магнитном поле. Второе слагаемое, как и раньше, представляет
силу, обусловленную пространственным изменением проницаемости. Третье
слагаемое обусловлено зависимостью проницаемости от плотности.
Примечание редактора к § 7
Приведенные выражения максвелловских упругих натяжений для
поверхностных и объемных сил приводят к правильным результатам.
Однако с точки зрения современной теории силы электрического поля
могут быть приложены только к электрическим зарядам, свободным
или связанным в диполи. Поэтому упругие натяжения в вакууме,
соответствующие механической модели эфира, могут рассматриваться лишь
как совершенно формальные образования.
Силы, испытываемые диэлектриком в электрическом поле, целиком
сводятся к силам, действующим на диполи. Диполь с моментом р испыты-
х) Подробнее об этом см. [1.4]. — Прим. ред.
58
Часть I. Общий обзор
вает силу (речь идет именно о силе, а не о моменте силы рхЕ) только
в том случае, когда он находится в неоднородном поле, в результате чего
каждый из его разноименных зарядов ±д оказывается под действием
поля с различными напряженностями. Эту силу можно выразить так:
(рV)Е, если пренебречь различием среднего поля и поля, действующего
на диполь. Сила, отнесенная к единице объема, может быть при этом
выражена через поляризованность диэлектрика Р:
1 = (Ру)Е. G.67)
В линейной среде
Р= е0(г~1)Е, G.68)
и объемная сила
I = е0(е-1)(Еч)Е. G.69)
Известное преобразование векторного анализа
^)Е = 1 чЕ2-го1Е G.70)
для безвихревого поля (тоЬ Е = 0) позволяет написать для объемных сил,
действующих на диэлектрик, простое выражение
1=\е0{е-1)чЕ\ G.71)
из которого со всей наглядностью вытекает такая физически осмысленная
•формулировка: диэлектрик всегда втягивается в область более сильного
поля независимо от направления поля.
Важно обратить внимание на то обстоятельство, что два выражения
для объемных сил, действующих на диэлектрик,
1г = \ф-1)чЕ* и 12=-\е0Е*че G.72)
отличаются друг от друга не только формой записи: эти силы и
локализованы в разных частях пространства. В общем случае для какой-либо точки
(х, у, г) электрического поля эти силы не равны:
*1 (*, 2/, *) * 12(я, У, *)• G.73)
Все сказанное можно иллюстрировать на простом примере плоского
конденсатора с поперечной границей между двумя диэлектриками. На
фиг. 36* изображен такой конденсатор, частично погруженный в жидкий
диэлектрик с проницаемостью е±. Остальная часть конденсатора
заполнена воздухом, для которого можно считать е2 = 1. Хорошо известный
метод измерения диэлектрической проницаемости (метод Квинке)
показывает, что при наличии напряжения между пластинами диэлектрик
подымается на высоту к, зависящую от Е и ех .
Рассчитывая силу, действующую на поверхность диэлектрика между
пластинами конденсатора, на основании максвелловских натяжений,
находим, что на единицу поверхности действуют давления как со стороны
диэлектрика, так и со стороны воздуха (или вакуума, в котором также
^существует максвелловское натяжение) и что
/'о ={е0(е-1)Е' G.74)
$ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле 59
[см. фиг. 33 и формулы G.45), G.46)]. Эта сила, по представлениям Фарадея
и Максвелла, приложена именно к этой поверхности.
Предполагая, что на границе раздела диэлектриков в некотором
слое толщиной т диэлектрическая проницаемость изменяется (по любому
закону) от е± до е2 = 1 (фиг. 36**), можно вычислить силу, действующую
на диэлектрик, исходя из выражения объемной силы 12- Интегрируя эту
объемную силу вдоль оси у от области е = ег до области е = е2 = 1,
найдем прежнее значение силы, действующей на единицу поверхности:
Уг «2 = 1
^о = / «2 *у*У = ~ е0Е2 ] % §гас1 е йу = 1 е^- \)Е\ G.75)
2/1 «1
Напряженность поля Е2 вынесена за знак интеграла, так как в этой
области Е —сопзЪ.
Ь=1
° I
* . *#•*''•• I
I* **'Л
[Г
\ъ
(
_к
Фиг. 36*. К объяснению сил, Фиг. 36**. В переходном
действующих на диэлектрик. слое т проницаемость
изменяется от ех до е2.
При таком рассмотрении сила распределена по объему диэлектрика
и принципиально отсутствует в вакууме, где е= 1 =соп81и, следовательно,
уе=0.
Эта объемная сила действует вблизи границы диэлектрика, где его
проницаемость изменяется. Но в этой области диполи находятся в
однородном поле и, следовательно, действующая на них сила равна нулю:
(рV)Е = 0. Это значит, что объемная сила, обозначенная здесь как 1Ъ
равна нулю там, где 12^0.
Но результирующая сила, действующая на весь диэлектрик в целом
и вызывающая подъем его уровня между обкладками конденсатора,
может быть найдена и путем интегрирования силы 1х = 1/гео(в ~1) V^Б2
(локализованной отлично от силы 12). Силы 1х действуют только в области
неоднородного поля у нижних краев конденсатора — они загоняют
диэлектрик из внешнего пространства в область более сильного поля между
пластинами. Подъем жидкости с этой точки зрения происходит не в
результате того, что силы, приложенные к поверхности диэлектрика,
втягивают его, а в результате напора снизу. Нетрудно убедиться в том, что,
интегрируя силы вдоль линии, идущей из области, лежащей вне поля,
но внутри диэлектрика (е = ег и Е = 0) до поверхности границы, мы
60
Часть I. Общий обзор
придем к прежнему результату
*2 1г 0Е=соп81;)
^0 =/М1 = / ±е0(е-1)чЕЧ1 = \ в0(в1-1)Д*. G.76)
В заключение покажем в самом общем виде, что, хотя
Чх, У, г) 5* 12(я, 2/. 2),
интегралы от 1г и ?2, взятые по всему объему (по полному полю), всегда
тождественно совпадают. Действительно, введя под знак градиента в
выражении силы 12 постоянную величину —1, отчего, конечно, результат не
изменится, так как §гас1(г) = §гас1(е — 1), можно представить разность двух
выражений для объемной силы
*1-*2 =±е0[(е-1)чЕ* + Е^(е-1)] = \ е0 у[(г-1)Я2] G.77)
в виде градиента от некоторой переменной. Эта разность в общем случае
может быть отлична от нуля во всех точках пространства, где г —1 и Е2
отличны от нуля, а их произведение зависит от координат. Если же взять
интеграл от этой разности по объему:
]A1-и)*У = |г0/у[(г-1)Е2]й7 G.78)
и применить к последнему выражению модифицированную теорему
Гаусса—Остроградского
/ чаАУ = §а<1к G.79)
[непосредственно вытекающую из определения градиента, см. § 13,
формулу A3.27)], найдем, что эта разность
У(*1-«а) ЛУ = 1 еоф (*-1 )ЕЧА G.80)
А
равна нулю, если поверхность А охватывает полный объем поля (Е = 0 на
поверхности А) или охватывает все пространство, заполненное
диэлектриком (е — 1 на поверхности А).
Действительно, в этом случае
/(*1-»2) № = 0, или /М7 = /МР, G.81)
что и требовалось доказать.
§ 8*. Однозначность решения уравнений Максвелла
В этом параграфе мы покажем, что система уравнений Максвелла
полная, т. е. что с ее помощью может быть однозначно определено
электромагнитное поле. Это вопрос принципиального значения, так как он связан
с вопросом о физической причинности. Последний означает следующее:
физические законы таковы, что с их помощью можно однозначно определить
будущие значения физических величин при знании настоящих. Ниже
будет показано, что уравнения Максвелла в этом смысле представляют
собой причинные законы. Для них справедлива следующая теорема.
$ 8. Однозначность решения уравнений Максвелла
61
Если для заданного момента 1—10 известны напряженности
электрического и магнитного поля в любой точке объема, ограниченного какой-
либо поверхностью, то с помощью системы уравнений Максвелла можно
рассчитать все интересующие нас электромагнитные величины для любого
времени I; при этом предполагается, что известны тангенциальные
составляющие напряженности электрического поля Е или магнитного поля Н
в каждой точке ограничивающей поверхности от начального
момента г0 до момента I.
Может показаться странным, что для определения электромагнитного
поля в данном объеме необходимо знать величины поля не только в
начальный момент, но, на граничной поверхности, и для каждого
последующего момента. Однако это совершенно естественно, так как рассматриваемый
объем не является замкнутой системой. Заданием значений какого-либо
вектора на граничной поверхности как раз учитывается влияние изменения
поля со временем во внешнем пространстве.
Постоянные среды е, /л, у мы в дальнейшем будем считать не
зависящими от времени и напряженности поля. Будем также предполагать,
что сторонние электродвижущие силы заданы как функции координат и
времени.
Для доказательства высказанной теоремы мы будем исходить из
предположения, что существуют два различных решения, соответствующих
заданным условиям, и докажем, что оба решения совпадают.
Итак, предположим, что существуют два решения: Е', Н' и
соответственно Е", Н", которые удовлетворяют сформулированным выше условиям,
т. е. в момент 1=г0 они равны и имеют заданную величину, а во всех
точках граничной поверхности тангенциальные составляющие Е' и Е" или Н'
и Н" в каждый момент времени совпадают с заданными значениями. Само
собой разумеется, что все векторы удовлетворяют уравнениям Максвелла.
Образуем разность этих двух решений. Получаемые при этом векторы
Е0 = Е'—Е" и Н0 = Н'—Н" также удовлетворяют системе уравнений
Максвелла в силу их линейности. Поэтому для этих векторов справедливо
равенство
-^Лт^+т^К"
V
= [^AУ- ^е030ЛУ+§(Е0хН0)<1А. (8.1)
V V А
Второй и третий члены в правой части равны нулю, так как сторонние
напряженности поля во всех точках и во все моменты времени заданы
независимо от того или другого решения и, следовательно, Ее0 = Е^—Е^ = 0.
На поверхности это же утверждение справедливо для
тангенциальных составляющих напряженности электрического или магнитного поля.
Таким образом, вектор 80 имеет только одну составляющую, параллельную
поверхности. Смешанное произведение
(Е0хН0)йА
равно нулю во всех точках граничной поверхности. Поэтому предыдущее
уравнение приобретает вид
-ътЛт еЕЪ+т>иНо)йу = } т Ау- (а2)
62
Часть I. Общий обзор
Его правая часть никогда не может стать отрицательной; не говоря уже
о том, что она представляет энергию, из чисто математических
соображений следует, что ее значение может быть только положительным.
Вследствие этого интеграл в левой части может только убывать или быть равным
нулю. Так как значение этого интеграла в начальный момент было равно
нулю и не может принимать отрицательных значений (не только из-за его
физической природы, но и из-за его математического вида), оно в любой
момент времени должно быть равно нулю, т. е.
1{ъеЕЬ+ъ/*Щ)*У = о. (8.3)
V
Вследствие этого
Е0 = 0, Н0 = 0, т.е. Е'ееЕ", Н' = Н". (8.4)
Таким образом, два решения, которые мы вначале предполагали
различными, на самом деле оказались тождественны.
Если включить в рассмотрение все пространство, образовав таким
образом замкнутую систему, то вместо граничного условия достаточно
предположить, что в бесконечности векторы Е и Н должны убывать как
1/Д2. Если в этом случае вектор Пойнтинга интегрировать по бесконечной
поверхности, то получится нуль, так как
1ш1 (&(ЕхН)йА= Нт-4-4^= Ит -4-4тгД2^0. (8.5)
Таким образом, доказана однозначность решения и для этого случая.
Но может возникнуть вопрос, не накладываем ли мы на функции
Е и Н слишком жесткие ограничения, требуя их убывания в бесконечности
пропорционально 1/Д2. Мы увидим ниже, что напряженности поля в
электростатических полях или в поле стационарных токов убывают в
бесконечности по меньшей мере как 1/Д2. Напротив, в поле излучения
антенны напряженности поля убывают только пропорционально первой
степени расстояния, т. е. как 1/Я, и их интеграл по бесконечной
поверхности имеет конечное значение, так как
Нт й(ЕхН)йА = Нт -^ §АА = Нт -^ 4тгЯ2-^ 4я/с. (8.6)
Различными способами можно распространить доказательство
единственности решения и на этот случай. Учтем, например, тот факт, что
напряженности электромагнитного поля распространяются с конечной скоростью.
Предположим, что в момент 1 = 10 напряженности поля равны нулю или
стационарны всюду вне сферы конечного радиуса В0. Для более позднего
момента времени г мысленно вычертим сферическую поверхность с
радиусом, определяемым неравенством
К>П0 + с{1-10), (8.7)
где с — скорость распространения света; напряженности поля на этой
поверхности все еще будут или равны нулю, или стационарны. При этом
интеграл вектора Пойнтинга равен нулю. Следовательно, напряженности
поля внутри этой поверхности могут быть определены однозначно. Это
означает, что, хотя в случае излучения напряженности электрического
и магнитного полей уменьшаются пропорционально 1/Д, поверхность ин-
$ 9. Близко действие — дальнодействие
ба
тегрирования можно отнести настолько далеко, что она ко времени I не
будет достигнута электромагнитным полем.
Ниже мы увидим, что единственность решения получается также
из предположения конечной (хотя и очень малой) проводимости
пространства или из установления так называемых условий излучения.
Итак, мы видим, что трудность, а также строгость доказательства
связаны с поведением поля в бесконечности.
§ 9. Близкодействие — дальнодействие
До середины прошлого столетия в электротехнике (а при обучении
в школе — и по сей день) главную роль приписывали зарядам,
находящимся на проводниках, и токам, протекающим в проводах. Эти заряды
и токи влияют друг на друга, причем степень этого влияния зависит от
расстояния между ними. Согласно этой теории, среда, находящаяся между
проводниками, не играет роли или имеет второстепенное значение. Заряды
или токи влияют друг на друга как бы издали (дальнодействие). Примером
закона, формулировка которого основана на представлении о
дальнодействии, может служить закон Кулона
Заряды действуют друг на друга с силой, которая прямо пропорциональна
их величине и обратно пропорциональна квадрату расстояния между
ними. При этом в выражении силы и в выражении энергии фигурируют
величины зарядов или токов и геометрические размеры проводников или
линий. При такой трактовке и электрические и магнитные составляющие
электромагнитного поля имеют характер только расчетных величин.
Уравнения Максвелла в этом отношении принципиально отличны. В них
в непосредственной связи друг с другом находятся не токи и заряды, а
электрическое и магнитное поля; уравнения Максвелла устанавливают
связь между векторами поля в одной и той же точке пространства и в один
и тот же момент времени. Именно этим наиболее полно характеризуется
близкодействие. Основная роль, таким образом, принадлежит
электромагнитному полю и его напряженностям, а заряд и сила тока, плотность
которых определяется как дивергенция электрического и ротор
магнитного поля, рассматриваются уже как вспомогательные понятия,
облегчающие расчеты. При этом и энергия уже не связана непосредственно
с зарядами и токами, ее расположение как бы „перенесено" с проводников
на изоляторы, и мы представляем себе ее локализованной в изоляторах или
в вакууме. Если изменение во времени происходит медленно, как мы эта
видели на* примерах катушки самоиндукции и конденсатора, то обе
концепции математически равноценны, и с физической точки зрения
безразлично, как трактовать рассматриваемые процессы.
Роль токов смещения в электромагнитных волнах позволяет сделать
окончательный выбор между двумя способами рассуждения. В общем
случае электромагнитное поле не может рассматриваться лишь как
вспомогательное расчетное средство, но, с другой стороны, необоснованно и
стремление рассматривать заряд и ток только как особенности
электромагнитного поля.
Предположим, что в интервале времени ^0=^^^^ радиоантенна излучает
сигнал. Этот сигнал будет принят приемной антенной, расположенной
далеко от передающей, в течение интервала г2^^*з> причем ^^г- Таким
64
Часть I. Общий обзор
образом, в течение интервала «1<«<«2 (когда передатчик уже закончил
передачу, а приемник еще не принимает) нет токов, нет и зарядов ни в
передающей антенне, ни в приемной антенне и приемнике. Если в соответствии
с законом дальнодействия определять энергию там, где существует ток
или заряд, то в течение этого промежутка времени нельзя говорить ни о
какой энергии. Но по закону близкодействия мы в состоянии определить
энергию, излученную антенной, если будем рассматривать ту часть
пространства, в которой отличны от нуля электрические и магнитные векторы
поля. Эта энергия определяется выражением
Л^еЕ^^НуУ.
(9.2)
Таким образом, электромагнитное поле воспринимает энергию или
отдает ее. По теории относительности движущаяся энергия всегда связана
с импульсом, так что электромагнитное поле как носитель энергии или
носитель импульса обладает такой же реальностью, как и частицы.
Но мы не вправе также утверждать, что электрический заряд и
электрический ток являются чисто вспомогательными понятиями. Хотя такое
толкование и не привело бы к противоречиям, на его основе трудно было
бы понять тот факт, что существуют электрические заряды строго
определенной величины, например заряд электрона. Атомная структура
электричества как раз и указывает на то, что и электрические заряды нужно
понимать как физические реальности.
Существо дела может быть резюмировано так: электромагнитное поле
в конечном итоге создается электрическими зарядами. Как электрическим
зарядам, так и электромагнитному полю мы приписываем физическую
реальность: зарядам — потому, что они наблюдаются в дискретных
значениях и создают поле, а полю—потому, что с ним связаны
электромагнитная энергия и электромагнитный импульс.
§ 10. Системы единиц
При построении системы единиц всегда стремятся получить систему,
в которой механические и электрические единицы связаны друг с другом,
т. е. такую систему, в которой электрические единицы могут быть сведены
к некоторым произвольно выбираемым основным механическим единицам,
а именно: к единицам длины, массы и времени. В зависимости от того,
какие из существующих соотношений между электромагнитными и
механическими величинами и в какой форме выбираются в качестве исходных,
получаются различные системы единиц.
Ниже будут изложены важнейшие четыре системы. Приведенная
схема показывает связь между механическими, электрическими и магнитными
величинами.
Электрические величины
Магнитные величины
к{3 + к'{ -7ГТ- = го1 Н
го1 Е = —ки
-глав
дг
—>
1
_^
1 1 т,\тг
1 р г'
$ 10. Системы единиц
65
Как уже упоминалось, электромагнитные величины могут быть связаны
с механическими величинами многими способами. В указанной выше схеме
приведены электрический и магнитный законы Кулона.
Электрические и магнитные величины связаны друг с другом двумя
уравнениями Максвелла.
В электростатической системе единиц исходят из электростатического
закона Кулона. Входящая в него постоянная е выбирается безразмерной
и в случае вакуума равна единице; сила измеряется в динах. Этим
уравнением определяется электростатическая единица заряда, а исходя из нее,
последовательно определяются (вдоль внешней линии на схеме) другие
единицы: силы тока, плотности тока и электрического смещения.
Напряженность электрического поля определяется с помощью соотношения
Г - <?Е. A0.1)
Значение потенциала находится из напряженности поля посредством
выражения
V = -/ЕЛ, A0.2)
I
где / измеряется в сантиметрах.
Таким способом определены электрические величины, входящие в
левую часть уравнений Максвелла. Размерности магнитных величин,
стоящих в правой части, зависят от того, какая размерность выбрана для
постоянных к'ъ к'{ и ки уравнений Максвелла. Когда в соотношении
встречается только одна величина неизвестной размерности и можно свободно
распорядиться постоянными, естественно, что мы всегда стремимся выбрать
эту постоянную безразмерным числом и, если возможно, равным единице.
Последнее, однако, не всегда целесообразно из геометрических
соображений. В случае электростатической системы постоянные к полагаются
безразмерными. Если единицы Н и В затем определить с помощью
уравнений Максвелла, то после подстановки определенной с их помощью единицы
магнитного заряда в магнитный закон Кулона получается, что постоянная
II не равна единице и не безразмерна. Для вакуума ее числовое значение,
соответствующее опыту, равно
^о = -?~9да сек21см2-
Электромагнитная система единиц основывается на магнитном законе
Кулона, в котором постоянная [л для вакуума выбрана равной единице.
Эта система единиц определяет магнитные величины в приведенной
схеме (в направлении средней линии); электрические величины
определяются посредством уравнений Максвелла. Определяемая этими величинами
единица электрического заряда входит в электрический закон Кулона.
Само собой разумеется, что содержащаяся вчэтом уравнении
постоянная г для вакуума в этой системе не равна единице и имеет размерность:
в° = ?^ 9-10«> сек21См2-
При этом оба уравнения Максвелла записываются в форме
1 ЭВ
A0.3)
4 1? <*В
го1Е= --5Г-
5 К. Шимони
66
Часть I. Общий обзор
Ни электростатическая, ни электромагнитная системы единиц не
нашли всеобщего применения. Широкое распространение получила
симметричная, или гауссова, система единиц, применяемая почти во всей
физической литературе.
Система единиц Гаусса представляет собой соединение электрической
и магнитной систем единиц и исходит одновременно (в приведенной схеме
в направлении сплошной линии) и из электрического, и из магнитного
законов Кулона, причем постоянные, входящие в оба этих закона, выбраны
безразмерными и равными единице. Таким образом, размерности
электрических единиц гауссовой системы совпадают с размерностями
электрических единиц электростатической системы, а размерности магнитных
единиц — с размерностями магнитных единиц электромагнитной системы.
Благодаря этому как в левой, так и в правой частях уравнений Максвелла
получаются единицы с вполне определенными размерностями. Это
означает, что нельзя распорядиться ни числовыми значениями, ни
размерностями постоянных, входящих в уравнения.
В этой системе четыре уравнения Максвелла приобретают следующий
вид:
13В <10-4)
го* Е = —-к-, (ИуБ = 4л:р.
Приведенная ниже схема подробно показывает, как шаг за шагом
получаются размерности отдельных величин. Естественно, что численное
значение постоянной, входящей в уравнения Максвелла, может быть
определено только путем измерений. Ее значение: с ^ 3 • 1010 см/сек.
о -1 1-2± Ро
4тг
€
1 эв
17=-/ЕЛ
I
Абсолютной1* практической системой единиц, или системой Джорджи,
называют систему МКСА, в значительной мере связанную с идеями
итальянского электротехника и физика Джорджи. В рассмотренных выше
системах единиц в центре стоял закон Кулона. Поэтому его форму стремились
установить возможно более простой. В системе Джорджи центр тяжести
перенесен на уравнения Максвелла и им в соответствии с этим придана
простейшая форма: постоянные, входящие в уравнения Максвелла, рав-
1} Все рассмотренные системы условно называются абсолютными, так как в них
электромагнитные величины определяются не по произвольно установленным
эталонам этих величин (например, ртутный ом или серебряный вольтаметр), а находятся
из опытов, в которые входят три основные единицы: массы, длины и времени. Система
МКСА, которой придерживается в этой книге автор, принята в настоящее время как
международная и называется СИ (ГОСТ 9867-61). — Прим. ред.
$ 10. Системы единиц
67
ны единице и безразмерны. Эта система единиц отличается от
рассмотренных ранее систем еще и тем, что вместо привычных единиц сантиметр
(см) и грамм (г) здесь для длины и массы применены единицы метр (м) и
килограмм (кг). Соответственно в качестве единицы силы в этой системе
вместо дины (силы, сообщающей массе в 1 г ускорение 1 см/сек2) вводится
ньютон (н) — сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 м/сек2:
1я = 103г • Ю2 см/сек2 = 105дин = 1в • а • сек/м = 1вт • сек/м.
Напомним, что сила в 1 кГ (принадлежащая не применяемой здесь так
называемой технической системе), равная весу массы в 1 кГ, сообщает
этой массе ускорение 9,81 м/сек2. Следовательно, 1 кг = 9,81 н.
В системе Джорджи к трем механическим единицам—метру,
килограмму и секунде—добавляется в качестве четвертой независимой единицы
единица силы тока ампер (а). Все остальные величины выражаются через эти
основные единицы. Определение единицы силы тока (ампер) в системе
Джорджи гласит:
В проводнике протекает ток силой 1 а, если этот проводник
действует на отрезок другого проводника длиной 1 лс, расположенного
параллельно первому на расстоянии 1 м, с силой 2-10~7 н при условии,
что во втором проводнике протекает такой же ток. Оба
проводника предполагаются бесконечно длинными (и расположенными
в вакууме).
Определение единицы напряжения (вольт):
Единица напряжения, т.е. напряжение в 1 в, существует между
двумя точками проводника тогда, когда сила тока в 1 а выделяет в
проводнике между этими двумя точками мощность 1 вт, или,
другими словами, 1 н-м/сек.
Из приведенной ниже схемы легко понять, как по определенным
выше единицам напряжения и тока — вольту и амперу — устанавливаются
единицы измерения остальных электромагнитных величин:
Б Га* секл
"Шв-лс 1
I
<2 = $1<11[а-сек]
>1 + -^-=го1Н-
¦Я[а/м]-
-*-/*/*о =
— Д тв-секл
~Н1 а-м \
1-Е = - §гас111[в1м]-+ го* Е = -|?-В [^]-
^М Ф = ]ВЛА[в-сек]
В практической системе единиц отношения В/Е = е и В/Н = /л
даже в вакууме оказываются не равными единице и обладают
размерностями1^. Как следует из измерений, в случае вакуума для е и /л полу-
х) См. примечание редактора на стр. 22. -Прим. ред.
5*
68
Часть I. Общий обзор
чаются значения
/и0 = 4тг-10~7<? • сек/а- л* ^1,256- 10~6<? • сек/а- м;
е0 ¦= 8,855 • 10~12 а • сек/в • м^ 4тг-9-10э" а' се/с/в *Л{#
В магнитной и электростатической системах, а также в симметричной
гауссовой системе единиц в уравнения Максвелла входит коэффициент
4тг. Напротив, в законе Кулона этот коэффициент в указанных системах
отсутствует. В системе Джорджи коэффициент 4тг отсутствует в уравнениях
Максвелла, но зато появляется в законе Кулона. Электрический закон
Кулона в системе Джорджи имеет вид
По этой причине при применении системы единиц Джорджи
появляются педагогические трудности. Известно, что в вводных лекциях
целесообразно в качестве исходной величины выбирать электрический заряд.
Его простое определение как раз возможно из закона Кулона. Но при этом
трудно обосновать выбор постоянных, вводимых в закон Кулона.
§ 11. Измерение основных электромагнитных величин
В предыдущем параграфе было показано, что основные уравнения
электромагнитного поля могут быть сформулированы в различных
системах единиц. В литературе уравнения электротехники встречаются в
различной форме как раз из-за различий в выбранных системах единиц.
Естественно, что появилась мысль записать основные уравнения
электротехники в форме, независимой от системы единиц. Это практически
возможно. Однако применение такого способа записи в учебниках не очень
целесообразно.
Для понимания смысла физических величин и практической работы
с ними надо знать, как их измерить, т. е. как сопоставить этим
величинам определенные численные значения. В соответствии с различной
размерностью эти измерения в различных системах единиц весьма
различны. Поэтому в учебниках, в особенности в вводных курсах,
безусловно необходимо придерживаться определенной системы единиц.
Безразмерная форма записи удобна только для тех, кто уже хорошо знаком с
основными понятиями.
С этой точки зрения система Джорджи обладает большим
преимуществом перед всеми другими системами, особенно когда в ней размерности
(единицы измерения) выражаются через такие единицы практической
электротехники, как ампер и вольт. При этом наименование единиц
отдельных величин часто непосредственно указывает на смысл и способ
измерения (в/м или в-сек и др.). Ниже будут кратко рассмотрены способы
измерения основных электромагнитных величин.
Единицу силы тока (/) мы определили по силовому взаимодействию
токов. Аналогично может быть измерена сила тока в любом контуре, если
известна зависимость силы от направления элементов проводника и от
расстояния между ними. Наиболее точные измерения могут быть проведены
в лаборатории с помощью весов, называемых весами Ампера или Томсона
(фиг. 37). Метрологическая единица силы тока устанавливается в на-
$ 11. Измерение основных электромагнитных величин
69
стоящее время именно с помощью таких весов, по которым могут быть
проградуированы все остальные измерительные приборы.
Расчет силы взаимодействия между проводниками с током основан
на вполне определенной форме записи уравнений электродинамики (при-
>лмамммллл г-гТ)-
Ф иг. 37. Определение единицы силы тока с помощью весов
Томсона.
меняемой и в этой книге), в которых принято точно определенное числовое
значение (и размерность) магнитной постоянной
/л0 = &71-10-7(в-сек)!(а-м).
Зная ее, можно точно вычислить индуктивность контура, например
катушки любых заданных размеров в вакууме, так как она зависит только от
значения /л0 и геометрических размеров катушки. Пользуясь определенной
единицей силы тока и точно рассчитанной и выполненной нормальной
Г&
К
¦б-ЛЛЛл-*
"М;*
Ж B)
-Ос-
О)
(Т>
Фиг. 38. Градуирование манганинового сопротивления
с помощью эталонной индуктивности.
Индуктивность катушек определяется расчетным путем.
Напряжение, индуктированное периодической коммутацией, после
выпрямления компенсируется падением напряжения К1.
катушкой индуктивности, можно определить единицу напряжения:
единица напряжения 1 е возникает между концами индуктивной катушки
тогда, когда ее индуктивность (коэффициент самоиндукции),
вычисленная указанным выше способом, равна единице и ток в катушке
изменяется на 1 а в 1 сек. Следует еще заметить, что на практике для таких
измерений иногда применяют две катушки с точно определенным
коэффициентом взаимной индуктивности. С помощью таких катушек градуируется
сопротивление манганиновой проволоки, а напряжение снимается с
концов этого сопротивления (фиг. 38).
70
Часть /. Общий обзор
Размерность напряженности электрического поля(Е)—в/м.
Схематически измерение напряженности поля сводится к измерению в
однородном поле напряжения между двумя точками,
находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. В общем
случае берутся две близкие друг к другу точки и
измеренная разность потенциалов делится на их взаимное
расстояние, измеренное в метрах (фиг. 39). Впрочем,
напряженность поля можно измерить и другим способом,
если исходить из равенства
Г = <)Е. A1.1)
Размерность электрического смещения (О)—а-сек/м2;
следовательно, электрическое смещение можно измерить
в непосредственной окрестности проводящей
поверхности, если определить поверхностную плотность ее
заряда. Электрическое смещение в любой точке
пространства можно определить, измерив заряды,
индуктированные на паре пластин, внесенных в
рассматриваемую точку пространства. Сначала пластины
приводятся в соприкосновение, а затем разъединяются.
Можно определить и направление вектора смещения,
если пару пластин поворачивать до тех пор, пока на
пластинах не наведется максимальный заряд (фиг. 40).
Размерность напряженности магнитного поля
(Н) — а/м. Этому схематически соответствует измерение
напряженности магнитного поля по измерению силы
тока и длины. Например, в данную точку пространства
(фиг.41) вносится малая катушка, длина которой велика
по сравнению с диаметром. Затем меняются ее
направление и протекающий в ней ток до тех пор, пока
"внесенный внутрь катушки индикатор, например чувствительная
магнитная стрелка, не покажет отсутствие поля. Измеряя силу тока и длину
Фиг. 39.
Измерение
напряженности электрического
поля В сводится к
измерению
напряжения и
расстояния.
Фиг. 40. Измерение величины
электрического смещения.
Фиг. 41. Измерение
напряженности магнитного поля.
катушки, можно определить напряженность поля, направление которого
совпадает с направлением оси соленоида.
Размерность магнитной индукции (В) - в • сек/м2. Указанная размерность
соответствует измерению магнитной индукции: плоская катушка с заданной
$ 12. Разделы электродинамики
71
поверхностью, первоначально расположенная перпендикулярно силовым
линиям поля, быстро поворачивается на 90 или 180° и определяется, какой
при этом возникает импульс напряжения
(фиг. 42). По измеренным величинам
индукция рассчитывается как отношение
импульса $тЯй1 к площади катушки А,
умноженной на число витков, что соответствует
размерности индукции (в • сек/м2).
§ 12. Разделы электродинамики
Беря за основу уравнения Максвелла,
мы можем выделить в электродинамике
следующие разделы.
Простейший раздел—электростатика —
соответствует условиям, когда отсутствуют
изменения во времени и нет электрических
токов, т.е.
*- = 0
3 = 0.
A2.1а)
Фиг. 42. Измерение индукции.
В этом случае основные уравнения имеют вид
го1 Н = 0, го1 Е = О,
<Лу В = 0, <Ну В = р,
В=/*Н, В = гЕ.
A2.16)
В этих уравнениях отсутствует связь между электрическими и
магнитными величинами. В соответствии с этим электростатика может излагаться
совершенно самостоятельно и независимо от магнитных явлений. Ее
основные уравнения:
го1Е = 0, (НуВ = е, В = гЕ. A2.2)
То же самое справедливо и для магнитостатики, основные уравнения
которой имеют вид
го! Н = 0, (Ну В = О, В = /*0Н + М. A2.3)
Таким образом, статическое электрическое поле и .статическое магнитное
поле могут существовать совершенно независимо друг от друга.
Если мы отвлекаемся от временных изменений любого вида, но
учитываем магнитное поле постоянных во времени токов, мы получаем
основные уравнения электродинамики стационарных токов:
гоЬ Я = 3, тоЬ Е = О,
(НуВ = 0, (НуВ = 0. A2'4)
В этом случае уже существует связь между электрическими и магнитными
величинами, выражаемая уравнениями
3 = у(Е+Ее),
го1Н = у(Е+Ее). A2,5)
72
Часть /. Общий обзор
Пренебрегая магнитным полем, обусловленным токами смещения,
дЪ/дЬ, но учитывая изменение напряженности магнитного поля, получаем
основные уравнения электродинамики почти стационарных, или
квазистационарных токов:
го1Н = еГ, а1уВ = 0, В = /гН, 3 = у (Е+Ее)
го*Е = -** , сНуБ = д, Б = гЕ. A2*6)
Здесь существует уже довольно тесная связь между электрическими и
магнитными величинами.
Наконец, в общем случае учитываются все временные изменения,
приводящие к существованию электромагнитных волн:
го1Н = Л~, (ИуВ = 0, В = /Ш, .1=у(Е+Ев),
дв A2.7)
то1 Е = — -^, (Ну В = р, В = еЕ.
Квазистационарные явления нелегко отделить от явлений,
характеризующихся наличием электромагнитных волн. Мы видели, что критерием
служит не столько величина скорости изменения во времени, сколько
отнесенные к длине волны размеры данных проводников. Одно и то же
явление часто может излагаться с помощью основных квазистационарных
уравнений и на основе совершенно общих волновых уравнений.
§ 13. Основные операции векторной алгебры и векторного
анализа
а) Основные понятия векторной алгебры
Хотя предполагается, что векторная алгебра и элементарный
векторный анализ читателю знакомы, здесь все же приводятся основные теоремы
и определения.
Вектором называется величина, которая может быть представлена
направленным отрезком. Точнее, три величины: их, иу, и2 могут быть
истолкованы как составляющие вектора V в ортогональной системе
координат К с координатными векторами 1, ], к, если при введении новой
системы координат К' с единичными векторами Г, ]\ к' они преобразуются
по уравнениям
их = а11их + а12иу + апиг,
»'у = а21их + а22иу + а23иг, A3.1)
где
«11 = П' = С08 A, Г), а12 = ч', а13 = 1к',
... Aо-*Л)
а21 = ]1 и т. д.
По определению, скалярное произведение двух векторов
а = бу + а ] + а2к,
A3.3)
Ь = Ь^ + Ьу] + Ьгк
$ 13. Основные операции векторной алгебры и векторного анализа 73
равно следующему скаляру:
аЬ = | а || Ь | со8 (а, Ъ) = ахЪх + ауЪу + а2Ъ2
A3.4)
Векторное произведение векторов а и Ь — вектор, расположенный
перпендикулярно и а и Ь и ориентированный по правилу правоходового
винта:
1
ах
ьх
}
ау
Ьу
к
аг
К
| ахЬ| = |а||6||8т (а, 6)|,
ахЬ = 1(ауЪ2- а2Ъу) + ](а2Ъх- ахЪ2) + ЩахЪу- ауЪх) =
Оператор однозначного линейного преобразования векторов
и = Ту,
при котором
их = ^иРх + Т 12ру + Тп1J,
Ыу = Т21их + Т 22^ + Т2^г,
Щ = Т31»х + Т22Оу + ТгзОг,
называется тензором с компонентами 7\Л.
Тензор и его компоненты записывают и в такой форме:
A3.5)
A3.6)
A3.7)
Т = (Г**) =
^11 ^12
^21 ^22
[ 31
32
1*13
*23
^33
A3.8)
Таким образом, тензор (второго ранга и третьего порядка)
характеризуется девятью (З2 = 9) числами Тш, расположенными по квадратной
схеме. Девять чисел Т1к могут рассматриваться как компоненты тензора,
когда при изменении координатной системы они преобразуются
следующим образом:
Т\к—2 2аИакт^1т^
I т
A3.9)
где а1к — коэффициенты преобразования координат.
Произведение двух тензоров {Аш) и (В1к) также тензор, имеющий
следующие компоненты:
(АВ)гЬ=^4гт#тЬ-
A3.10)
В заключение приводим некоторые полезные формулы
многократного произведения векторов:
и(ухлу) = ту(иху) = у(^хи),
их(ух\у) = (шу) у-(иу)\у7
Dхп) (ух\у) = 1[их(УХ\у)],
Aхи)х(УХ\у) = [(*хиIу] у-[(*хи)у]те.
A3.11)
74
Часть I. Общий обзор
б) Пространственные производные
Пусть задана функция у=у{х) одной переменной х. Поведение этой
функции в ближайшей окрестности произвольной точки числовой оси
характеризуется производной у'у причем
Лу—у' Ах.
Это выражение — сокращенная запись уравнения
A3.12)
ср(г) йх\
ф(Г+С?П)
^ ср(г+Aг\)-ср(г)=Aср=<згай ср йп
-1>(г)
V(^+(^п)-V(^)=(IV=Т$> Ап
Фиг. 43. К понятию пространственной
производной.
Ау = у'Ах+г{Ах), A3.13)
причем г(Ах)^0, когда Ах-+0.
Подобно этому,
поведение скалярной функции ср(т)
(заданной в каждой точке
пространства трех измерений)
в ближайшей окрестности
произвольной точки
характеризуется вектором §гай ср.
Вектор §гас1<р определяется
равенством (фиг. 43,а)
й<р=%тдА (р Ал. A3.14)
Это определяющее
уравнение нужно понимать в том
смысле, что изменение
скалярной величины <р(г) при
переходе от точки Р(т) к точке
()(г+Ап) можно получить
скалярным умножением
вектора Ап на вектор §гай ср.
Запишем уравнение C.14)
в другой форме:
Й=(§га<1<р)п. A3.15)
Изменение скалярной величины ср> взятое в произвольном направлении п
и отнесенное к единице длины, равно проекции вектора §гай ср на
направление п. В декартовых координатах
&^ч> = 7х1+ц\+ъЪ
A3.16)
где 1, ], к — единичные координатные векторы.
Поведение векторной функции у = у(г) вблизи некоторой точки
пространства (фиг. 43,6) описывается тензором, определяемым уравнением
аУ=Т^п.
A3.17)
Дифференциал А\ функции т(г) — однородная линейная функция
перемещения йп.
Составляющие тензора дифференцирования, определяющего
производную вектора по вектору, в декартовых координатах выражаются таб-
^ 73. Основные операции векторной алгебры и векторного анализа 75
лицеи
¦<2г
дух дух дух
дх ду дг
дуы дъу ди9
дх ду дг
диж дуг дуг
дх ду дъ
A3.18)
Пусть &х,йу,й2, — составляющие вектора йп; тогда уравнение A3.17)
в более подробной форме записывается так:
A3.19)
Соответственно произведение Т^и представляет собой вектор,
составляющие которого
#у2.
ду
дуя
A3.20)
&>,.
(Т^иJ = ^цх+^ + ^к2
Следует заметить, что в литературе применяются и следующие
обозначения:
дУ,
Т* * = (« §гай)у = (П7)т = ^и
дт
A3.21)
В последней "записи в явной форме выражена операция
дифференцирования, остальные обозначения отражают как дифференциальный, так и
тензорный характер величины.
в) Дивергенция, ротор и градиент вектора
При исследовании скалярных функций всегда появляется вектор §гай <р.
С более общей точки зрения в теории векторных полей такую же роль
играет тензор Т^. Рассмотрим еще две функции: го1 у и (Нуу, которые
находятся в непосредственной связи с измеряемыми физическими величинами.
Дивергенция вектора V определяется выражением
© тс2А
(Ну V = Нт -
АУ
A3.22)
В соответствии с этим определением дивергенция векторной функции у(г)
в произвольной точке пространства вычисляется следующим образом:
точка окружается замкнутой поверхностью, по которой берется
поверхностный интеграл вектора. Интеграл делится на объем, ограниченный этой
поверхностью, затем рассматривается предельное значение этого
отношения для случая, когда замкнутая поверхность стягивается к точке.
76
Часть I. Общий обзор
Ир^ ъътал^тклдал шувгртаосгаото шттрапа положительной считается
нормаль, направленная наружу. На основе этого определения в
декартовых координатах
*" = &+-^+&- <13-23>
Заметим еще, что эта величина равна сумме составляющих по главной
диагонали тензора дифференцирования и представляет его инвариант.
Ротор вектора у(г) определяется выражением
фу<Д
(го* у)я = Шп ^-. A3.24)
Составляющая вектора го* V в некоторой точке пространства в
произвольном направлении п определяется следующим образом: через точку
проводится плоскость, перпендикулярная заданному направлению, затем берется
линейный интеграл вектора вдоль контура, окружающего эту точку и
лежащего в указанной плоскости. Интеграл делится на поверхность,
ограниченную контуром. Затем рассматривается предельное значение этого
отношения, когда контур стягивается к точке. Направление обхода
контура связано с направлением п правилом правоходового винта.
В декартовых координатах
Заметим, что составляющие ротора совпадают с составляющими
антисимметричной части тензора Т^. Дифференциал йу, т.е. изменение
векторного поля при перемещении йп, может быть выражен через ротор и
дивергенцию:
Лу = Т дл = го* (УХйп)+ вл (Ну V. A3.26)
Наряду1* с приведенными выше определениями трех основных
дифференциальных операций векторного анализа в ряде случаев очень удобно
пользоваться следующими однотипными определениями2):
6 (рй\
§гас1 у = Нт л
у->о У
(Ну у = 11т А у , A3.27)
у-^о
го* V = — Нт —
^
V
У-^0 у
1} Текст этого абзаца (до конца п. «в») добавлен в русском переводе.— Прим. ред.
2) См., например, [1.3], ч. I (Введение). — Прим. ред.
^ 13. Основные операции векторной алгебры и векторного анализа 11
В этих трех определениях интеграл берется по поверхности А,
ограничивающей объем V и стягивающейся к точке (при V-**()), для которой
определяется соответствующая пространственная производная §гас1, (Ну
или го1.
Раскрывая приведенные определения в той или иной системе
координат, мы приходим, разумеется, к выражениям, совпадающим с выведенными
ранее.
Применение указанных определений позволяет сразу записать
важные теоремы векторного анализа, применявшиеся Грином, Остроградским
и Гауссом1). Из самого определения следует, что при непрерывности
рассматриваемых функций
ср ср АА. = Г §гас1 ср АУ,
§уAА = /с11ууй7, A3-28)
$УХЙА = - [го1уй7.
Преобразование объемного интеграла в поверхностный (средняя формула)
представляет собой широко применяемую теорему Остроградского —
Гаусса2). Однако и два других интегральных преобразования могут быть
очень полезны в теории поля.
г) Производные от произведений и вторые производные
Дифференциальный оператор V (пабла) в декартовой системе
определяется как символический вектор
*=*5;+1&+кя? A3-29)
Пользуясь этим оператором, можно представить пространственные
производные в следующей форме:
§гай ср=\7ф, Й1У т= V V, го! V = V XV. A3.30)
Применение символа V облегчает преобразование сложных векторных
операций. Однако при его применении требуется осторожность при переходе
к системам координат, отличным от системы х, у, я, так как при
дифференцировании следует иметь в виду, что составляющие вектора V и его
единичные векторы сами зависят от координат.
На основании всего изложенного легко доказать следующие правила,
применяемые при дифференцировании произведений:
(Ну еру = ср (Ну у + у §гай <р,
(Ну (и X V) = V то1 и — и го* V, A3.31)
го! (ср у) = ср то% V + ($гаA <р) X V.
Важнейшие операции, которые будут многократно применяться в
дальнейшем, таковы:
гоЬ ^гас! (р = 0, (Ну го! у = 0,
го! го! V = §гас1 (Ну V— \72у = ^гас! (Ну у — Ау.
1} См. также п. «е» этого параграфа. — Прим. ред.
2) Максвелл в своем трактате, цитируя работы Остроградского, называет это
преобразование теоремой Остроградского (см. [1.1] и [2.8]). — Прим. ред.
78
Часть /. Общий обзор
Первое равенство означает, что векторное поле градиента скалярной
функции обязательно должно быть безвихревым. Векторное поле,
полученное в результате операции тоЪ из другого векторного поля, всегда
свободно от источников. К третьему соотношению необходимо сделать
следующее замечание: под символом V 2<р понимается выражение (Ну §гай ср.
Эта дифференциальная операция в декартовых координатах имеет вид
V V = Лср = _+_ + _; A3.33)
оператор А называется лапласианом.
Выражение V2V может применяться и к вектору, причем в
декартовых координатах оператор V2 совпадает с оператором Л\
му) = ^+^+з2»*
дх2 ^ ду2 ^ дъ2 '
упУ)г дх2 ^ ду2 ^ дг* '
В случае другой координатной системы V2V определяется соотношением
V 2\ = §гай (Ну у—го! то1 у, A3.35)
в котором каждый член правой части ясен при применении любой системы
координат1*.
В дальнейшем нам придется воспользоваться еще следующими более
сложными правилами2):
§гасЗ(иу) = Т^у+Т^а + ихго1у + УХго1и,
го!(и х у) = Т^у - Т&и + и (Ну у - V (Ну и. A3.36)
д) Другая символика, целесообразная при операциях с векторами
Применявшиеся з десь обозначения векторов и тензоров удобны, когда
решение проводится в пространстве трех измерений и в прямоугольной
системе координат. В общем случае, а в особенности в релятивистской
электродинамике, применяется другое обозначение векторов и тензоров,
тщательно разработанное Душеком. В системе координат хъ х2, хг
составляющие вектора обозначаются как иъ у2>уз> а сам вектор — в следующем виде:
у = ^, и=щ. A3.37)
Если теперь еще применить введенное Эйнштейном правило, по
которому наличие двух одинаковых индексов автоматически означает
суммирование по ним, то скалярное произведение может быть записано еле-
х) Операция V2 при этом может отличаться от операции Л (см., например, [1.10]).
— Прим. ред.
2) Часто оказываются полезными также формула
#га<1 а(<р)=~2га<1 <р
и выражения операций, приведенных в A3.36) без обращения к тензорам:
&гас1 (иу) =» ихгЫт-Ии &гас!) у + ухго1 и-Ь(у &гаA)и,
то1 (ихт) = (т ^гафи —(и ^гафу + и (Иу у —у <Иу и.—Прим. ред.
^ 13. Основные операции векторной алгебры и векторного анализа 79
дующим образом:
ит = и&1 = иги± + и2и2 + щи3. A3.38)
Такое обозначение одновременно содержит удобное указание для
вычислений. Преобразование и = Ту при этом выражается очень просто:
щ=Т1крк, где суммирование должно быть произведено по индексу к.
Таким образом, тензор, как и вектор, задается в форме составляющих
элементов. Из этих обозначений сразу понятен и смысл выражения иТи:
щТгкик= Т1кщик. A3.39)
Тензор дифференцирования вектора у=^по г представляется е виде
Т&-& A3.40)
Если VI — градиент скалярного поля, т.е. и^д(р!дхь то тензор
дифференцирования принимает вид
дх$хк * " '
При дифференцировании тензора по пространственным координатам
всегда возникает тензор на единицу более высокого ранга. Приращение
вектора Аи^ при перемещении а* легко выражается через тензор
дифференцирования:
Ащ=^ак. A3.42)
Тензор более высокого ранга очень просто образовать также другим
путем: перемножением двух тензоров более низкого ранга. Произведение
тензоров первого ранга (т.е. векторов) щ и иг дает тензор щик второго
ранга. Произведение А1кВ1ш дает тензор четвертого ранга. Легко показать,
что при совпадении двух индексов, означающем суммирование по этим
индексам, получается тензор на две единицы более низкого ранга, т.е.
величина, определяемая правилом преобразования. Эта операция
называется сокращением индексов или свертыванием. Так, например, величина
АцРь образованная из тензора третьего ранга Тш = А1кр1у означает вектор,
а щиг или А1кВ1к — инвариантную скалярную величину.
Векторное произведение двух векторов получается путем двойного
свертывания тензора пятого ранга, образованного из тензорного
произведения тензора щик на особый тензор е^к:
иху= вцъщоъ A3.43)
где тензор ет определяется следующим образом:
«и
«гг $21 &2к I > ГДе Ьгк = О ПРИ *^& и д{к = 1 при I = А. A3.44)
е№ —
ё,
Зг
*У
й2*
33*
«1*
д2к
«ЗЬ
Следует заметить, что ротор вектора также можно представить с
помощью г-тензора:
го*У=гш|^. A3.45)
80
Часть I. Общий обзор
К предыдущим выводам следует добавить, что приведенные
выражения действительны, только когда учитываются особенности ковариант-
ных и контравариантных тензоров. В прямоугольных координатах они
совпадают.
е) Интегральные теоремы1*
С помощью основных определений (Пуу и го!у легко доказать две
часто применяемые в электротехнике теоремы: теорему Гаусса и теорему
Стокса.
Теорема Гаусса гласит:
§<ЦууAУ = фуйА, A3.46)
V А
т.е. интеграл дивергенции вектора по объему равен поверхностному
интегралу, взятому по поверхности, ограничивающей этот объем. При
интегрировании положительной считается внешняя нормаль к поверхности.
Эта теорема верна, когда ограничивающая поверхность кусочно-гладкая
и когда непрерывны как вектор V, так и его первые пространственные
производные. На граничной поверхности достаточно потребовать
непрерывности самого вектора V.
Теорема Стокса
/го1уйА = фуЛ A3.47)
А Ь
утверждает, что поверхностный интеграл ротора вектора равен
линейному интегралу этого вектора, взятому по контуру, ограничивающему
эту поверхность.
Направление нормали к поверхности и направление обхода
выбираются в соответствии с правилом правоходового винта. Эта теорема
верна, когда контур кусочно-гладкий и когда непрерывны как вектор V,
так и его первые производные. Для контура достаточно требование
непрерывности вектора.
Применим теорему Гаусса к вектору
и = гр§г&д(р, A3.48)
где <р и гр— две произвольные скалярные функции точки, т.е. координат
х, у, я, удовлетворяющие условиям применимости теоремы Гаусса.
Градиенты этих скалярных функций должны быть непрерывны на
поверхности, ограничивающей объем, и непрерывно дифференцируемы везде
внутри объема. Применяя теорему Гаусса, получим
) &\\(гр %т&&(р)AУ = §%р%гэА(р<1к = §гр^-йА. A3.49)
V А А
Так как
сНу (<р\) = (р сИу у + у $гас! ср, A3.50)
то
сИу (гр §гас1 ср) = гр (Ну ^гай <р-Ь§тас1 ср §гас1 гр = гр&ср +
+ §гас1 ср $гас1 гр. A3.51)
См. также п. «в«этого параграфа. — Прим. ред.
$ 74. Обращение векторных операций
81
Применяя к этому соотношению теорему Гаусса, получим
Г(^Д<р+ §гас1 ср $гас1^)й?7 = ср у §гас1 ср АХ. A3.52)
V А
Меняя местами ср и у, получим уравнение, аналогичное предыдущему:
§{(рАгр+ §гас1 ср §гай ^) й7 = $ <р §гас1 ^ ЙА. A3.53)
у А
Вычитая A3.52) из последнего равенства, найдем
^{срАу-уАср) йУ = §(ср^-^)<1А. A3.54)
V А
Это соотношение известно как теорема Грина.
Для частного случая ср — 1р из A3.52) получаем
^[^(^ + (§гас1^J]й7 = ф(р^<1А. A3.55)
ж) Теорема Грина для векторных функций
По Стреттону, для векторных функций можно указать уравнение,
аналогичное теореме Грина. Пусть и и V — векторные функции,
определенные в каждой точке пространства и обладающие требуемыми
свойствами непрерывности.
Применяя теорему Гаусса к вектору ихгоЪу, можно получить
/<Цу(ихго1у)й7 = $(ихго1у)йА. A3.56)
V А
По уравнению A3.31),
сНу (и х го1 у) = то1 и го! V — и го! го1 V, A3.57)
следовательно,
((тоЬ и гоЪ V - и го! го! V) (IV = ф (и х го1 \) АА. A3.58)
V А
Заменой и на V можно получить аналогичное выражение. Вычитая одно
равенство из другого, найдем
[(иго1го1у —уго!го1и)с?7 = <^(УХго1и — ихго! у) ЙА, A3.59)
§ 14*. Обращение векторных операций
а) Обращение градиента
До сих пор решалась следующая простая задача: задан скаляр <р(г),
требуется найти вектор у(г) = §гас1 ср. Теперь рассмотрим обратную задачу:
пусть задана векторная функция у(г); нужно определить скаляр ср(г),
градиент которого равен у(г).
Можно показать, что V не может быть задана произвольно. Чтобы
задача была разрешимой, го! у должен быть равен нулю, таккакго! §гай <р= О,
Как будет показано, для однозначного решения это условие достаточно
6 К. Шимони
82
Часть /. Общий обзор
только в односвязных областях. В таких случаях говорят, что V можно
выразить через скалярный потенциал.
Вектор у(г) определяет скалярный потенциал у{г) с точностью до
аддитивной постоянной. Действительно, пусть и ух и у2 удовлетворяют
уравнению у = §гас1 у, т.е. у = §гас1 ^1 = §гаA <р2. Тогда
8гаA(чр1-у2) = 0. A4.1а)
Отсюда следует, что
ц)х — <р2 = соп81, или срх = 992 + соп&1. A4.16)
После этих замечаний легко убедиться в том, что решение уравнения
у = §гаД<р может быть представлено интегралом
р
Р=/уЛ, A4.1в)
где Р0 — произвольная постоянная точка пространства. Все другие
решения отличаются от этого только аддитивной постоянной.
Фиг. 44. К доказательству Фиг. 45. Циклический потенциал
однозначности потенциала. в двухсвязных областях.
В случае односвязной области значение интеграла A4.1в) не зависит
от пути интегрирования. Применяя теорему Стокса к контуру,
представленному на фиг. 44, получим
$ усй = /го*тйА = 0, A4.2)
Р0кхРк2Р0 А
т.е.
\ у Л = - I V <й = / V Л. A4.3)
Р0к\р Рк?Р0 Р0к2Р
Таким образом, заначение <р(г) не зависит от пути интегрирования.
Значит, ср(т) — однозначная функция координат точки Р. В этом случае
Аср = УA\. A4.4)
$ 74. Обращение векторных операций
83
Но, по определению градиента,
Л(р = §гас! ср сИ A4.5)
для любого ей, откуда следует, что у = §гай ср.
Сложнее обстоит дело в случае многосвязных областей. На фиг. 45
представлено внешнее поле кольца. Область поля двухсвязна: линии
Р0кхР и Р0к2Р не могут быть взаимно совмещены непрерывной
деформацией. Пусть задана векторная функция у(г), ротор которой вне кольца
везде равен нулю. При этом безразлично, какое значение V имеет внутри
кольца. Такого рода области нам в дальнейшем будут часто встречаться;
например, кольцо может представлять кольцевой проводник, в котором
протекает ток, и требуется определить напряженность магнитного поля
этого тока, пользуясь функцией магнитного потенциала.
Рассматриваемое пространство можно превратить в односвязное с
помощью поверхности е. Если не пересекать эту поверхность контуром
интегрирования, т.е. рассматривать ее как граничную поверхность объема,
то в полученной таким образом области можно перевести друг в друга
непрерывной деформацией все произвольные кривые, соединяющие любые
две точки. Следовательно, равенством
п(г)= / уд\ A4.6)
РокгР
определяется однозначная функция ср0, градиент которой равен заданной
функции V. Если же интегрирование в соответствии с фиг. 45 провести
в первоначальной области, то
ср(т) = ( \<й= [ \<Я+ $ у(й = (р0(г)+ § \(Я. A4.7)
Рок2Р Ро1цР РкгР0к2Р РкгР0к2Р
Легко показать, что для всех линий, охватывающих кольцо,
значение интеграла постоянно. Так как вне кольца го1 у = 0, то это утверждение
сразу доказывается, если применить теорему Стокса к линии 1У
представленной на фиг. 45. Обозначая величину этого интеграла буквой /,
находим
?« = %(*) + /. A4.8)
При многократном обходе кольца
ср(г) = ср0(т) + п1. A4.9)
Этот потенциал называется циклическим потенциалом. Таким образом,
в многосвязной области решение уравнения у = §гас1 ср выражается
многозначным потенциалом.
б) Обращение дивергенции и ротора
Пусть задана скалярная функция #(г). Можно ли определить
векторную функцию у(г), дивергенция которой равна заданной функции §(г)?
Иными словами, можно ли решить уравнение сНуу = #, если известно #?
Понятно, что если у0(г) — искомое решение (т.е. (Ну у0 = #), то решение можно
представить и функцией у0(г) + го1 и(г) при любой и(г). Действительно,
сНу (у0 + го1 и) = (Ну у0 + сНу го! и = #, A4.10)
так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю.
6*
84
Часть I. Общий обзор
Таким образом, заданная дивергенция векторного поля определяет
вектор с точностью до ротора произвольного вектора.
Обсудим теперь вопрос, можно ли решить уравнение
го! V = 8, A4.11)
т.е. найти поле у(г) по заданной векторной функции 8(г). Пусть у0(г) —
искомое решение, т.е. гоЪу0=8. Тогда \0 + §таЛгр представляет решение,
где ^(г) — произвольная скалярная функция. Это вытекает из равенства
го1 (у0 + §гас1 гр) = тоЬ у0 + го1 §гай \р = 8, A4.12)
так как го1^гас1^ = 0. Отсюда следует, что для однозначного определения
вектора V недостаточно знать только его ротор.
Дивергенция и ротор вектора у(г) в отдельности не определяют этого
вектора, вместе же они его определяют полностью. Действительно, пусть
в конечном объеме V заданы скалярная функция §(т) и векторная
функция 8(г). Покажем, что если решение уравнений
(Иуу = е(г), A4.13)
го! V = 8(г) A4.14)
вообще существует, то оно единственное при условии, что на
граничной поверхности области задано еще значение нормальной
составляющей вектора у(г), т.е. задано
Vп = Ц*а), A4.15)
где тА — радиус-вектор произвольной точки на поверхности А.
Предположим, что Ух(г) и у2(г) — два различных решения уравнений
A4.13) — A4.15); тогда для вектора разности ух-у2 имеют место следующие
соотношения:
<1лг (VI -у2) = 0, го! (\1-у2) = О A4.16)'
внутри объема и
(Ў1-*2)я = 0 A4.17)
на граничной поверхности. Вследствие того что ротор вектора V! — у2 равен
нулю, этот вектор можно представить градиентом скаляра у, т.е. Уг —у2 =
= §гай (р.
Дивергенция вектора У! — у2также равна нулю, т.е. сИу §гай ср — Аср^О.
Применяя теорему Грина
§[<рА(р + {фъА срJ]с1У = ф<р!&-аА A4.18)
V А
и учитывая, что на поверхности
^1-у2)л = |2-=0> A4.19)
получим, что
/ (8гай <рJ ЛУ = 0. A4.20)
Это может быть только тогда, когда повсюду
§гас1^ = у1-у2 = 0, A4.21)
у, = т2. A4.22)
$ 14. Обращение векторных операций
85
Таким образом, предположив существование двух различных
решений, мы показали, что оба решения тождественны. Так как система
уравнений A4.13) — A4.15) имеет единственное решение, то функции #(г), 8(г) и
Цт) не могут быть заданы произвольно. Во-первых, дивергенция 8(г) должна
быть равна нулю, так как 8(г) представляет собой ротор другого вектора.
По теореме Гаусса
/<Иууй7 = §ипAА. A4.23)
V А
Подставляя заданные значения, получим
^ § (IV = §К<1А. A4.24)
V А
Следовательно, для того чтобы система уравнений A4.13) — A4.15) была
разрешима, заданные величины §, 8 и Н должны удовлетворять
уравнению A4.24) и равенству
сНу 8 = 0. A4.25)
Резюмируя изложенное выше, можно сказать, что система уравнений
с11уу = ?, * A4.26)
го!у = 8, A4.27)
1>» = й(гЛ) A4.28)
имеет лишь одно-единственное решение, если выполняются условия
сПу8 = 0, A4.29)
/*(г)<*7= $ЦтА)йА. A4.30)
V А
Наша задача теперь состоит в том, чтобы найти это решение.
в) Безвихревое поле источников
Прежде всего решим следующую наиболее простую задачу:
(Нуу = #, A4.31)
го!у = 0 A4.32)
для неограниченного пространства. Значение ип должно быть задано для
бесконечно удаленной поверхности, окружающей все пространство. Это
значение, естественно, должно равняться нулю. Вопрос о том, как оно
должно стремиться к нулю при возрастании расстояния, будет рассмотрен
ниже.
Из уравнения A4.32) следует, что V = - §гас1 <р, т.е. что V —
потенциальный вектор. Отрицательный знак здесь не имеет существенного значения
и введен только для соответствия решения последующим физическим
примерам. Подставляя это решение в уравнение A4.31), получим выражение
для определения потенциала у:
сНу§гас1<р = Лср = —§. A4.33)
В декартовых координатах оно имеет вид
86
Часть I. Общий обзор
ЭтAЛинейное дифференциальное уравнение^ частных производных второго
порядка называется уравнен^^Тгпт^пг.п —-лшассШа. "
Найдем его решение для" неограниченного пространства, регулярное
везде на конечном расстоянии и стремящееся к нулю в бесконечности.
Характер убывания решения на бесконечности будет определен позднее.
Эта задача в общем виде решается с помощью теоремы Грина,
примененной к объему У, ограниченному замкнутой поверхностью А:
(сРЛу>-уАср)AУ=§(ср^_-у,^)AА. A4.35)
V А
Здесь у — искомая функция потенциала. Функцию гр выберем в виде
V) = - = 1 . A4.36)
В этом выражении |, % С — координаты текущей точки (? (эту точку
называют также точкой истока); х,у,ъ — координаты точки наблюдения
Р, для которой ищется значение потенциала <р. Пусть точка наблюдения
Р лежит внутри объема V. Легко показать, что лапласиан Лгр равен нулю
во всем неограниченном пространстве, за исключением точки наблюдения,
где х = |, у = у, ъ = С и г = 0.
При дифференцировании функций радиуса переменными будем считать
только координаты текущей точки ()> а координаты точки наблюдения
будем считать постоянными1*. Это удобно отмечать индексом Ацу. Такой
индекс будет, однако, ставиться только в тех случаях, когда может
возникнуть неясность2*. Легко показать, что
Ау> = А -I = (Ну вгай ~ = 0. A4.37)
Действительно,
§гас11=-^-=-^. A4.38)
Применяя первое равенство A3.31), получим
1 л- _ , _• 1 1
сну— = —
г3
Учитывая, что
п>т»аг1 —
Лг Г3 ° Г
окончательно получим
а^-^-^уг + гвгай-!-. A4.39)
§гас!4-=4г^г0=.-АГо) A4.40)
^1 = ±A1уг + г§гас1^ = 1-3^=0. A4.41)
Точка наблюдения — особая точка. Поэтому, чтобы иметь возможность
применить теорему Грина, точку наблюдения следует выделить из
остального пространства. Отделим эту точку от рассматриваемого объема сфериче-
1} Радиус г имеет начало в точке наблюдения (Р) и конец в точке истока (()). —
Прим. ред.
2) Дифференцирование по координатам точки () называют дифференцированием
по точкам истока; ту же операцию для точки Р называют дифференцированием по
точкам наблюдения. —¦ Прим. ред.
^ 14. Обращение векторных операций
87
ской поверхностью радиуса г0 с центром в точке наблюдения (А0 на фиг. 46).
К оставшемуся объему теперь применима теорема Грина, и Агр = АA1г) = 6.
Поверхностный интеграл должен быть распространен не только на
внешнюю поверхность А, ограничивающую объем, но и на сферическую
поверхность А0, исключающую точку Р(х,у,г), так как теперь и А0 служит
границей заданного объема. Таким образом, в соответствии с A4.35) и A4.37)
У-Уо А А0
Определим значение интеграла, распространенного на сферическую
поверхность, окружающую точку Р, когда радиус сферы стремится к
нулю. По теореме о среднем,
&Й"- 5$Й<"- №4"- (Й1'^.-0. A«3)
А.
Л0
т.е. интеграл по сферической поверхности А0 от второго слагаемого
стремится к нулю, когда поверхность
стягивается в точку.
При интегрировании первого
слагаемого по поверхности А0 обратим
внимание на то, что нормаль к
поверхности А0 совпадает с направлением
радиуса и направлена к центру шара,
так как в теореме Гаусса
положительной считается нормаль, направленная
во внешнюю область. Таким образом,
А0 А0
= +$%<1А = ±^<рAА A4.44)
Фиг. 46. К выводу выражения
A4.46).
(интегрирование ведется по поверхности постоянного радиуса г = г0,
поэтому г~2 можно вынести за знак интеграла). Применяя снова теорему о
среднем, находим, что
I $><рЛА =
\{<Р)ъ
кмр(х, У, 2>) .
A4.45)
А0
Когда радиус сферы стремится к нулю, среднее значение потенциала на
сферической поверхности стремится к значению потенциала, которое он
принимает в центре шара, т.е. в точке наблюдения.
Итак, уравнение A4.42) может быть записано в следующем виде:
- Г^Й7 = ^(^ЙЬ7Й)^+47Г^^^ A4.46)
V А
В этом уравнении поверхностный интеграл должен быть распространен
только на внешнюю поверхность, так как интеграл по поверхности,
охватывающей точку наблюдения Р, уже определен и равен ^ткр(Р). Объемный
88
Часть I. Общий обзор
интеграл / (—) й7должен быть распространен на все пространство, ограни-
V
ченное внешней поверхностью.
Может показаться, что этот объемный интеграл расходится,
поскольку в знаменателе находится переменная г, которая в точке наблюдения
стремится к нулю, а дробь Аср/г стремится к бесконечности. На самом
деле этот интеграл остается конечным. Действительно, вне малой сферы
радиуса г0 объемный интеграл имеет конечное значение, поскольку
выражение Лср конечно, а переменная г отлична от нуля. Для объемного
интеграла, распространенного по внутренности малой сферы радиуса г0, можно
сделать следующую оценку, применяя сферические координаты (г, #, ф):
У0 #=оф = Ог=0
яг 2эг г0 я 2п г„
= III Лсргът.$й#йфд,г^(А(р)иШс I ] \ г $т $ А$ йф Аг =
= (Л<р)макс-2.2тг 3 = (Аср)мшс.2пгЪ A4.47)
т.е. этот интеграл стремится к нулю, когда г0 стремится к нулю.
Следовательно, интеграл, распространенный на весь объем, остается конечным,
несмотря на то что знаменатель в одной точке г = О принимает нулевое
значение.
Изменяя порядок записи уравнения, получим
V А
Само собой разумеется, что уравнение будет другим, если точка, в
которой определяется значение потенциала, лежит не внутри пространства,
а на ограничивающей поверхности или вне ее. Легко показать, что для
значения потенциала в точке Р получаются следующие уравнения:
4тг<р внутри поверхности,
2ткр на поверхности, A4.49)
О вне поверхности.
-/^"-Я'кНй)"-
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с первым случаем.
Перепишем его еще раз более подробно, чтобы подчеркнуть роль
координат точки наблюдения и текущей точки:
V А
А
Это исключительно важное уравнение дает возможность рассчитать
значение скалярной функции в прозвольной внутренней точке ограниченного
объема, если известно значениеА<рв каждой точке объема и если на
граничной поверхности заданы значения ср и ду/дп.
^ 14. Обращение векторных операций
89
Выше было показано, что для однозначного определения
потенциальной функции достаточно задать Дер в каждой точке объема и нормальную
составляющую напряженности поля, т.е. производную потенциала по
нормали к граничной поверхности. Теперь из A4.50) следует, что
необходимо знать еще и значение потенциала на этой поверхности. Это,
естественно, не противоречит предыдущему утверждению, а означает лишь то, что
если известно выражение Дер внутри объема, а также функции ер и дср/дп на
граничной поверхности, то значение функции в произвольной точке внутри
объема можно получить по приведенному выше выражению. Однако это
еще не значит, что можно произвольно задать значения этих величин ср и дср/дп:
производная по нормали уже однозначно определена, если заданы
выражение Дер в объеме и значение потенциала ср на граничной поверхности.
Поэтому написанное выше уравнение A4.50) непосредственно непригодно
для вычисления ср. Если мы произвольно выберем ср и дср/дп на поверхности,
а затем вычислим ер(Р)у то, хотя найденное ср будет удовлетворять
уравнению Лапласа—Пуассона внутри объема, оно в общем случае будет
на поверхности иметь значения, отличные от произвольно выбранного.
Отодвинем теперь граничную поверхность в бесконечность, т.е.
введем в рассмотрение все пространство. Если ср стремится к нулю, хотя бы
как!/Яя, где Я — произвольное положительное число и В — расстояние от
точки наблюдения, то дср/дп уменьшается по крайней мере как 1/Дл+1.
Подынтегральные функции всех поверхностных интегралов уменьшаются по
крайней мере как 1/#я+2, тогда как поверхность А растет
пропорционально В2, поэтому интеграл, распространенный на всю бесконечную
поверхность (В-+<*>), стремится к нулю. В итоге
<р(х,у,х)=-±1^-4У. A4.51)
V
Подставляя заданное значение Дер = -#(|, % С), найдем, что
«* »г) - *Шю-*?№+«-# **¦" (,4'52)
V
Этим доказано следующее: если уравнение Дер имеет решение,
удовлетворяющее на бесконечности предписанным условиям, то оно совпадает
с приведенным здесь.
Можно доказать, что применение оператора Лапласа к найденному
по A4.52) значению <р приводит именно к функции §; таким образом
решение действительно выражается найденной функцией. Для того чтобы
это решение в бесконечности стремилось к нулю в соответствии с
поставленным требованием, т.е. как 1//?л, необходимо, чтобы § с возрастанием Я
стремилось к нулю достаточно быстро, по крайней мере как 1/Вх+2, где Л,
как уже было сказано, — любое положительное число.
г) Свободное от источников вихревое поле
Решим теперь следующую задачу:
го* и = 8, A4.53)
сНу и = 0, A4.54)
где 8 задано, а и требуется найти. Величина 8 удовлетворяет условию
<Иу 8 = 0. Решение ищем для всего пространства. Граничные условия
определяются подобно предыдущему.
90
Часть I. Общий обзор
Уравнению A4.54) можно удовлетворить, предполагая, что
и = го* А, A4.55)
где А — пока произвольная векторная функция. При этом
(Ну и = (Ну го* А = 0. A4.56)
Этот вектор А, из которого и определяется применением к нему
.операции го*, называют векторным потенциалом. Свободное от источников
поле описывается векторным потенциалом аналогично тому, как
безвихревое поле описывается скалярным. Для определения векторного
потенциала служит в соответствии с A4.53) уравнение
го* го* А = 8. A4.57)
Применяя известную формулу векторного анализа A3.32), получим
§гаA Лгу А —А А = 8. A4.58)
Так как нас здесь интересует только ротор вектора А, которым вектор А
определяется неоднозначно, то без ограничения общности можно
представить его дивергенцию произвольной функцией, в частности полагая ее
равной нулю, т.е. считая (Ну А = 0. При этом A4.58) принимает вид
АА = - 8, A4.59)
или в декартовых координатах
A4.60)
Для каждой составлющей векторного потенциала А получено такое
же уравнение, которое было найдено для определения скалярного
потенциала <р. Поэтому для точки, находящейся внутри объема V,
ограниченного конечной поверхностью а, решение имеет вид
V а а
Отодвигая граничную поверхность в бесконечность и предполагая*
что А удовлетворяет требуемым условиям в бесконечности, можно
получить
V V
Ранее было показано, что если решение существует, то оно может
иметь только приведенный выше вид. Это решение удовлетворяет заданным
в бесконечности граничным условиям. Можно показать, что дивергенция
вектора А, выраженного формулой A4.62), равна нулю и удовлетворяет
уравнению АА = — 8. Требуемое поведение в бесконечности обеспечивается
условием для вектора 8: его модуль убывает по крайней мере как 1/Дя+2, где
Я — положительное число.
д*А д*А д*Ая _
дх2 ~*~ Эу2 ~*~ дх* '
д2Ау д2Ау д2Ау
дх2 + ду* + дг*
д2Аг д2Аг д2Аг _
Л»2 "Т~ Д„.2 •" Д-2
$х •>
~8у>
-8г.
^ 14. Обращение векторных операций
91
д) Поле в конечной части пространства, свободное и от источников
и от вихрей
Теперь решим третью задачу: найдем векторное поле, для которого
сНу\у = 0, A4.63)
го! ^ = 0. A4.64)
Если эти соотношения действительны для всего пространства и
поведение в бесконечности удовлетворяет прежним требованиям, то на основании
решений поставленных выше задач можно заключить, что существует
только одно-единственное решение: \у= 0. Естественно,что оно не
представляет интереса.
Пусть соотношения A4.63), A4.64) справедливы для некоторой
области 7, ограниченной поверхностью Ау и пусть задана нормальная
составляющая искомой функции на граничной поверхности шп = А(гЛ). Ищется
функция \у(г) внутри этой области.
На основании A4.64)
>у = -§гаA ср, A4.65)
поэтому после подстановки в уравнение A4.63) получаем
Аср = 0. A4.66)
Таким образом, задача состоит в решении уравнения Лапласа
д2^ Э^р_ д2^
Эх2 ^ Эу2 ^ Ьг2 {Ш.оп
(справедливого для области V) при условии, что на граничной
поверхности заданы значения
тп= -^- = й(гА). A4.68)
Эту задачу теории потенциала называют задачей Неймана. Можно
легко показать, что задача однозначно решается и в том случае, когда на
граничной поверхности заданы значения у (так называемая задача
Дирихле). Действительно, предположим существование двух различных
решений <?1 и у2. Внутри объема для разности^ — <?2 справедливо уравнение
Лапласа
А(<р1-<р2) = 0, A4.69)
а на границе ф1 — (р2 = 0. Для обоих решений §гас!^1 = §гас1<р2 = — \уи,
следовательно, §гас1 (<рх — ср2) = 0. Но это значит, что в рассматриваемом объеме
<Рх — (Р2 = сопз!, а на его границе ср± = <р2, т.е. эта постоянная должна быть
равна нулю.
В задаче Неймана однозначно определяется \у, следовательно, у
определяется только с точностью до аддитивной постоянной.
Ниже будут рассмотрены как задача Дирихле, так и задача Неймана.
Будем исходить из выражения A4.48)
У А А
92
Часть I. Общий обзор
В рассматриваемом случае Лср = 0; следовательно, для произвольной точки
объема V
А А
Как уже говорилось, для определения ср в произвольной внутренней
точке достаточно знать значение ср или дср/дп на границе. Предположим,
что задано ср, т.е. будем решать задачу Дирихле. Если нам удастся
исключить дср/дп из уравнения A4.71), то задача будет решена. Для этой цели
ищем функцию %(х,у,ъ, <?, % С) = #(Л(?), которая как функция <?, у\, С
регулярна везде в объеме V и удовлетворяет уравнению Лапласа, а на
поверхности принимает значение — 1/г. В этом случае так называемая функция
Грина
С(х, у, ъ, |, % С) = у+ #(я, 2/, я, |, т?, С) A4.72)
удовлетворяет уравнению Лапласа во всем объеме, за исключением точки
наблюдения, а на поверхности она обращается в нуль, т.е.
Л С = 0 и С(тА) = 0.
Применяя теорему Грина A3.54) к функциям $ и ср, получим
А А
так как ^§ = 0 и Лср = 0. Прибавляя это уравнение к A4.71), найдем, что
*-С$Й(*+г)"-ЕгФ'яG-+*)«''- <14'74)
А А
Так как значение 8 +A/г) = С на поверхности равно нулю, то
Таким образом, поставленная задача сведена к определению
функции Грина. Ее можно найти, решая уравнение Лапласа
^ = 0, A4.76)
для которого на заданной поверхности функция § принимает предписанное
значение—1/г. В итоге вновь получается частный случай задачи Дирихле.
То, что при этом задача действительно упрощается, будет видно в
дальнейшем при практическом выполнении расчетов (см. ч. II, § 38 и 39).
В задаче Неймана задается дср/дп. Заметим, что дср/дп не может
задаваться вполне произвольно, так как по теореме Гаусса, примененной к
функции §гай <?,
/|^Л=0, A4.77)
А
поскольку Лср = 0 во всем объеме V.
Чтобы решить задачу Неймана, нужно исключить ср. Для этого
введем такую функцию К(Р^)У чтобы функция
А(Л0 = ВД<?)> .<14-78)
$ 14. Обращение векторных операций
93
рассматриваемая как функция координат точки (?, удовлетворяла
уравнению Лапласа во всем объеме V и чтобы, кроме того, выполнялось
равенство
т.е. на поверхности производная по нормали от К(Р, (?) должна быть
постоянна и равна 4тг/А0, где А0 — площадь поверхности, ограничивающей
объем V. Таким образом, и в этом случае необходимо решить задачу
Неймана, но при довольно частных условиях. Функция К(Р, ()) называется
функцией Грина второго рода.
Применяя теорему Грина к функциям ср и к, получим
А А
Складывая это уравнение с A4.71), приходим к следующему соотношению:
„/>) = X ^.Я^-^-Ь^'-Щ^-т*^. A4.81)
А А
По условию, второй член правой части этого уравнения
т.е. не зависит от координат х, г/, г. Таким образом,
ср(Р) = ±§К{Р^)дЛАА(, + С. A4.83)
А Я
Итак, если известна функция К(х, г/, я, I, % С), то задача Неймана решена.
Для определения этой функции необходимо решить уравнение Лапласа
Лф{Р^) = 0 A4.84)
при заданном значении дк/дп<2 на граничной поверхности, а именно:
**[М *»(»). A4-85)
Зная функцию к(Р,0), можно получить искомую функцию по уравнению
К(РД) = к(РД) + 7^. A4.86)
Введением функции Грина второго рода общая задача Неймана
сводится к частному случаю той же задачи.
Таким образом, решение обеих задач (задачи Дирихле и задачи
Неймана) сведено к определению соответствующих функций Грина. В
дальнейшем будут рассмотрены примеры таких расчетов.
е) Определение векторного поля в конечном объеме по его источникам
и вихрям
Теперь можно вернуться к вопросу, поставленному в начале п. «а».
Пусть заданы функции § и 8 в объеме V и функция 1п=Цф на поверхности,
удовлетворяющие условиям
<Кув = 0, $%йУ = $кйА. A4.87)
94
Часть I. Общий обзор
Требуется определить функцию 1(г), удовлетворяющую уравнениям
гоИ = 8, , A4.88)
Ну 1 = 8- A4.89)
Представим себе, что § внутри объема V имеет заданное значение, а во
всем остальном пространстве равна нулю. Тогда по § 14,в можно
определить вектор и, который внутри объема 7удовлетворяет уравнению Луи = #,
не имеет вихрей, т.е. то1 и = 0, а в бесконечности убывает требуемым образом.
Само собой разумеется, что на граничной поверхности А он не принимает
заданного значения Л(<2), т.е. ип#Л((>). Во всем пространстве
и = -вгай -^ } уау- A4.90)
V
Вместе с тем нельзя предположить, что вектор 8 в объеме V должен
иметь заданное значение, а вне этого объема-быть равным нулю, так как
записанные выше соотношения действительны только тогда, когда зп
непрерывно и в точках возможных разрывов 8, ибо только этим
гарантируется отсутствие дивергенции 8 для всего пространства. Таким образом,
значение 8 должно быть продолжено наружу через граничную поверхность
так, чтобы нормальная составляющая $п на внешней поверхности равнялась
заданному значению внутри нее.
Этого можно добиться следующим образом. Пусть 8 во внешнем
пространстве представляется градиентом потенциала
8 = — §гай у), Агр = 0, A4.91)
причем задано значение ду/дп на граничной поверхности: ду/дп= —зп. В
бесконечности у должна убывать как1/Яя. Этим во всем пространстве
определен вектор 8, тождественный в объеме V заданному 8, соленоидальный во
всем пространстве и достаточно быстро убывающий в бесконечности.
С помощью определенного таким способом векторного поля мы решим
по методу, изложенному в § 14,г, для всего бесконечного пространства
уравнения
го* V = 8, A4.92)
A1у у = 0. A4.93)
Ищется соленоидальный вектор, ротор которого равен 8. Этот вектор
„Р, _ го1 „ (^Щ, „„ -Ц'-^Ш „,), A4.94)
V V
причем второй интеграл распространяется на все пространство вне
рассматриваемой области.
Пусть нормальная составляющая вектора V на граничной поверхности
равна ип. Сумма функций и + у в объеме V удовлетворяет уравнениям
сИу(п + у) =$, A4.95)
го1(и + у) = 8. A4.96)
Однако
(п + у)я*й№), A4.97)
СВОДКА НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ § 14
Таблица 1
Решаемые уравнения
Область применения
Заданная величина
Ограничения,
накладываемые на
заданную величину
Искомая величина
Решение
сПу у = #
го! у = 0
Все пространство
*(г)
сопз1; . л
II-* оо
У(Г)
у = - дгас! <р,
где
го! и = 8
сПуи = 0
Все пространство
в(г)
. / , 1 СОП81 -. л
|в(г)| = ^Н-0
В ¦* со
С11У8= 0
и(г)
и = го1 А,
где
а = ^ \'8-ау
4я ,' г
A\у IV = 0
го! т? = 0
Конечный объем V, ограниченный замкнутой
поверхностью Л
1 -«. - *(г.)
(задача Неймана)
6н(тА) ал = о
<Р[*а)
(задача Дирихле)
-
*(*)
где
А
К — функция, определяемая О — функция Грина для
как решение частной задачи данной задачи, определяе-
Неймана мая как решение частной
задачи Дирихле
96
Часть /. Общий обзор
т.е. принятое для граничной поверхности значение нормальной
составляющей еще не совпадает с заданным значением.
Если теперь, как в п. «в», определить такую векторную функцию \у,
для которой в объеме V
го!^ = 0, A4.98)
(Иу \у = 0, A4.99)
а на поверхности выполняются условия
и>п = А@)-(п + у)я= -*9 A4.100)
то функция
1 = и + у + \у A4.101)
удовлетворяет всем условиям задачи. Чтобы определить у?, нужно решить
задачу Неймана, как мы это сделали в предыдущем пункте. Таким образом,
мр) = -^йР^к(р,д)[^к(д)+(^+^)п1ллЯ1 A4.Ю2)
А
где К(Р,()) — функция Грина второго рода.
Итак, векторная функция 1 = и + у + \у удовлетворяет уравнениям
(Ну* = §, A4.103)
го* * = 8, A4.104)
1п = НЩ). A4.105)
Тем самым задача решена.
Сводка основных результатов настоящего параграфа дана в табл. 1.
II
Статические
и стационарные
ПОЛЯ
В этой части рассматриваются потенциальные электрические и
магнитные поля — электростатика (разд. А - И) и магнитостатика (§ 44 - 45
раздела И и частично § 54 раздела К), а также стационарные магнитные поля.
Значительное внимание уделяется математическим методам расчета
потенциальных полей в различных системах координат (§ 9 и след.) и
специальным функциям (§ 20, 26 и след.).
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электрическое поле создается электрическими зарядами. Поэтому
естественно считать основной задачей электростатики определение
электрического поля по заданному распределению зарядов. В связи с этим
мы познакомимся в разд. А с общими зависимостями и некоторыми новыми
понятиями. Однако для практических целей этих результатов
недостаточно. В последующих разделах, Б —3, решаются задачи электростатики
в применении к практическим условиям; в большинстве случаев при этом
заданы геометрия проводников и приложенные к ним напряжения.
Встречаются также другие граничные условия.
7 К. Шимони
98
Часть II. Статические и стационарные поля
А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ЗАДАННОМУ
РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ЗАРЯДОВ
§ 1. Определение напряженности поля через пространственную
плотность зарядов
В § 12 ч. I были приведены основные уравнения электростатики
го*Е = 0, <ИуВ = е- A.1)
В случае вакуума В=г0Е. Поэтому для вакуума основным уравнениям
можно придать вид
го!Е = 0, (НуЕ = ^. A.2)
Задача состоит в определении напряженности электрического поля
по заданной дивергенции этой напряженности (см. также ч. I, § 14).
В подобных случаях напряженность электрического поля может быть
определена как отрицательный градиент некоторой потенциальной функции II:
Е=-2гас1 #, A.3)
удовлетворяющей дифференциальному уравнению Пуассона
-с11уЕ = (Ну8гаA # = ^{7= -А A.4)
80
В декартовых координатах
В точках пространства, где отсутствуют объемные заряды, общее
уравнение принимает более простой вид уравнения Лапласа
Л*7 = 0. A.6)
Решение уравнения A.5) известно:
»-^^У- A-7)
V
Таким образом, потенциал в любой точке пространства Р(х, г/, т)
ЩХ, у, г) = * ГСС 9[^С)ЛЫуЛ1== = 1 Г я Ау A8)
Рассмотрим частный случай: пусть имеется область V малой
протяженности. Во всем пространстве вне этой области плотность зарядов
о равна нулю. Если рассматриваемая точка Р находится на достаточно
большом расстоянии от 7, то все расстояния от этой точки до отдельных
элементов объема приблизительно одинаковы (фиг. 47). В этом случае
г в формуле A.8) может быть вынесено за знак интеграла и
тт 1 1 Г лт/ 1 <?
я~ш.г)елу = ш.т- A.9)
V
Здесь величина §дйУ равна заряду (?. Очевидно, что (? создает такой
у
же потенциал, как и точечный заряд в элементарной электростатике.
^ 7. Определение напряженности поля
99
Понятие точечного заряда — полезная абстракция. Она позволяет
любой заряд, находящийся в пространстве на большом расстоянии от
точки наблюдения, рассматривать как точечный.
Напряженность электрического поля равна градиенту потенциала
со знаком минус, поэтому
Величина потенциала, создаваемого заряженной сферой малого
радиуса, обратно пропорциональна расстоянию от этой сферы, а величина
напряженности электрического поля обратно пропорциональна квадрату этого
расстояния. Определяя силу, действующую на точечный заряд (>2> удален-
-Ог!рйУ
Фиг. 47. Определение потенциала, обусловленного
зарядом, находящимся в бесконечно малом объеме йУ.
Р(ЪУ,*
Фиг. 48. Определение
потенциала в произвольной
точке пространства.
ный от точечного заряда (^ на расстояние г, как произведение заряда на
напряженность поля, приходим к равенству
4тгеп
A.11)
совпадающему с выражением закона Кулона. Таким образом, следуя
уравнениям Максвелла, мы в случае электростатики приходим к тем же
выражениям для взаимодействия между зарядами, которые получаются из
уравнений, допускающих дальнодействие. Такое же выражение силы
взаимодействия между зарядами может быть получено и из рассмотрения
энергии поля.
Поскольку потенциал, создаваемый зарядом, находящимся внутри
малой области, дается выражением
V =
A.12)
можно следующим образом истолковать уравнение A.8): в объеме йУ
имеется заряд дЛУ, определяющий в точке Р малую слагающую потенциала
еШ =
1 ойУ ш
4л:еп г '
A.13)
сумма (интеграл) отдельных малых потенциалов в соответствии с
выражением A.8) равна потенциалу в точке Р (фиг. 48).
7*
100
Часть II. Статические и стационарные поля
§ 2. Расчет поля диполей и мультиполей
а) Диполи
Кроме поля точечного заряда, большое практическое значение имеет
поле двух близлежащих одинаковых по величине и противоположных по
знаку зарядов, так называемого диполя. Если расположить заряды — () и
4- (? около точки В, как показано на фиг. 49,
то значение потенциала в точке Р есть +ю
ЩР) =
4тгеп
" 4яг0(|г_ + 1| |г_|)* BЛ)
Из определения градиента с учетом
того, что расстояние I = |1| очень мало по
сравнению с расстоянием |г|, получаем
дгайВ1
-Точка В
Ф и г. 49. К понятию диполя.
-Ю
Фиг. 50. Два различных
способа представления
распределения потенциала диполя.
Индекс В означает, что в выражении градиента только координаты
точки Б рассматриваются как переменные. Тогда
ЩР)
4^§га^7*
B.2)
При сближении обоих зарядов потенциал в точке Р стремится к
нулю. Если, однако, величина (? будет возрастать так, что произведение
(Л = р остается постоянным, то постоянным остается и значение потенциала.
$ 2. Расчет поля диполей и мультиполей
101
При этом выражение B.2) по мере уменьшения I дает все более точное
выражение потенциала диполя
V
4^Р^га^7-
B.3)
Выше дифференцирование производилось по координатам точки
расположения диполя (координаты истока). Если же градиент
выразить через координаты точки Р
(координаты точки наблюдения), то
^=-^Р§га^7>
B.4)
так как
§гас11O =
-^гас^
Вектор р, как и вектор 1, по
определению, направлены от отрицательного заряда
к положительному1*.
Выражению для потенциала диполя
B.4) можно придать и такой вид:
1 рг° _ 1 рсозв
V =
4тгеп
4яе0
B.5)
Фиг. 57. К определению
составляющих напряженности поля Е.
Как видно из последнего выражения,
этот потенциал обладает осевой
симметрией (фиг. 50) в отличие от потенциала
точечного заряда, обладающего
сферической симметрией. Потенциал диполя изменяется обратно
пропорционально г2 и имеет наибольшее значение на оси диполя. Он остается равным
нулю в плоскости, нормальной к оси и проходящей через центр диполя.
Напряженность поля диполя можно найти, определяя градиент
потенциала. В сферических координатах (фиг. 51)
_<Ш __ 1 р соз в __ 1 рг° _ 1 2(рг°)
дг 2пеп г3
Ег
Е6
Е„
1 дЦ
г до
г3 2пе0 г3 4тге0
р 81П О __ 1 | г° X р |
4яеп
4яеп
B.6)
0.
Эти уравнения могут быть представлены в векторной форме, не
зависящей от системы координат:
1 г2(рг°)г° г°х(г0хр)-[ _ 1 Г3(рг°)
4тгг0 I г3 г3 1 4тгв0 I г3
Е =
*1
г3У
B.7)
б) Аксиальные мультиполи
Диполь образуется, как показано выше, смещением равных
разноименных зарядов на расстояние ±1/2. Смещая один относительно другого
центры двух равных и противоположно направленных диполей на
расстояние ±т/2, получаем квадруполъ. Если смещение центров происходит-
в направлении оси диполя, получается аксиальный квадруполъ (фиг. 52,а).
1} Конец § 2,а в переводе несколько сокращен. — Прим. ред.
102
Часть II. Статические и стационарные поля
Название квадруполь указывает на то, что он состоитиз 4=22 простых
зарядов или полюсов. Один полюс может рассматриваться как мультиполь
нулевого порядка, диполь и квадруполь — как мультиполи,
соответственно первого и второго порядков.
Потенциал одного диполя, ориентированного по оси ъ, равен
4тгё0 гч
4тге0 дг г+ '
B.8)
потенциал другого
/ 4тгб0 $ъ г_*
Фиг. 52. Аксиальный квадруполь.
а — к расчету поля аксиального квадруполя; б — эквипотенциальные поверхности
аксиального квадруполя; в — распределение потенциала аксиального квадруполя на поверхности сферы.
Поэтому потенциал аксиального квадруполя имеет вид
{7B) = 0Ч-Ш+ #-<1> = Ж* A—_М.
4тге0 от, \г_ г+)
Однако известно, что
-(тТ^ШТ-[^т) = ю^а^7
т
А1
#2 Г*
B.10)
^ 2. Расчет поля диполей и мультиполей
103
Поэтому для потенциала аксиального квадруполя получаем соотношение
Если безгранично уменьшать значения га и I, одновременно
безгранично увеличивая значение <2, но так, чтобы произведение 2тЩ—р{2)
оставалось конечным, потенциал аксиального квадруполя с моментом рB)
получается равным
и^ = -^~~-. B.12)
4яб0 2 от? г ч '
Целесообразность введения множителя 2 в само определение момента
квадруполя будет показана ниже.
Очень интересное и практически важное выражение потенциала
квадруполя получается в сферических координатах:
ум _ [/+Ш _|_ [/_A) = ^ ( со8 0+ _ со8^- \ # /2 13)
4яе0 V г2+ г1_ )' V • /
Если т«г, то выражение в скобках
СО8 0 + СО8 0_ 1 СО8 0 , СО8 0 /г» * / \
—72^ ;г- = твга<11>-;т-= -т§гаAр —^ . B.14)
Следует, однако, учесть, что в сферической системе координат с
переменными г, б, <р соответствующие составляющие градиента созб/г2 имеют вид
, С08 в д С08 в 2 С08 0
B.15)
Составляющие вектора т в той же системе координат (см. фиг. 52,а)
равны
гаг = га сов 0, га0 = — гавтб, т9 = 0. B.16)
Следовательно, потенциал квадруполя имеет вид
#а> = ^ /со82 в _ 1 \ B 17)
4тге0 г3 \ 3 / у
Распределение потенциала квадруполя имеет осевую симметрию,
однако в отличие от потенциала диполя в плоскости, перпендикулярной
оси, потенциал не равен нулю (см. фиг. 52,6 ив).
Продолжая подобные рассуждения, можно определить мультиполи
более высоких порядков и подсчитать их потенциал. Так, можно перейти
к потенциалу аксиального октуполя.
пC) л ДЗ л
Здесь р{3) = 3/?B)га, р{2) — момент того квадруполя, смещением которого
получается октуполь.
В сферических координатах имеем
&А""Г Г2
1 С08 в
8™*е -—2-
1 СОВ в
дг г2
__ 1 д СО8 0
"~ ~7~дв~~~?
= 0.
г8 '
81110
Г3
г7.з) = ^_ 1 1 Eсо83е-Зсо8е). B.19)
4яе„ г4 2 у ' у '
104
Часть II. Статические и стационарные поля
Чтобы оценить целесообразность применения приведенного выше
выражения к мультиполям, необходимо исследовать потенциал в
произвольной точке Р, создаваемый зарядом, непрерывно распределенным
по оси ъ в интервале —1^2*^ + 1. Пусть заряд какого-либо элемента
йС, взятого в окрестности точки С, равен
й(? = д(С)йС.
Потенциал, создаваемый этим же зарядом с1() в точке Р, равен
<Ш
Следовательно,
+ 1
°-1,-
?(С)
ас.
и.
B.20)
Фиксируем теперь точкуР (фиг. 53). Тогда
значение г будет зависеть только от
положения точки С:
Г = ]/B-02 + 2/2 + 22.
Функция /@ = 1/'' может быть
разложена в ряд Тейлора
Фиг. 53. К определению
потенциала при неравномерной
линейной плотности заряда.
где /@) = 1/В. Из соотношений
_Я_ ъ_ __ а 1 #п
ас /• ~
следует, что
нп-1-1—!:31^ 1 Ип (~1)п д* 1 I г<Я Г<7
/@-7-й сй^ + "*+с -^-л^в + '-м &<", ^'-
Отсюда потенциал всего линейного заряда принимает вид
+ 1 +1 +1
>д 1
V
-I - I - I
Из этого выражения видно, что потенциал любого линейного заряда
в первом приближении совпадает с потенциалом точечного заряда,
равного суммарному заряду
B.22)
()= | д(С)ЛС.
-I
Во втором приближении следует учесть момент диполя от этого линейного
заряда
+ 1
р<1>= ]д(С)ЫС
-I
Третий член соответствует потенциалу от момента квадруполя
Р12)= /?(С)С2йС.
B.23)
B.24)
-I
^ 2. Расчет поля диполей и мулътиполей
105
Последующие члены разложения в ряде Тейлора учитывают влияние муль-
типолей высших порядков.
Если рассматривать дискретно распределенные заряды, то для
выражения моментов справедливы следующие уравнения:
Я = 2 Яь рA) = 2 Яш, рB) = 2 ЯЛ • B.25)
г % г
На основе предыдущих рассуждений можно сделать следующий
вывод: любое линейное распределение зарядов, как дискретное, так и
непрерывное, может быть представлено мультиполями различных порядков,
которые, однако, все должны быть расположены в начале координат.
Потенциал аксиальных мультиполей с повышением порядка быстрее
уменьшается с расстоянием, а зависимость потенциала от угла 0 хотя и
сохраняет осевую симметрию, но становится все более сложной (табл. 2).
Дальнейший анализ (см. также § 26) позволяет прийти к следующему
важному математическому выводу: каково бы ни было распределение
потенциала-на сфере (при условии существования осевой симметрии), этот
потенциал может быть представлен как потенциал зарядов, распределенных вдоль
оси по соответствующему закону, и может быть выражен через ряды
сферических функций (полиномы Лежандра) Рп(соз в) подобно тому, как
любые периодические функции представляются с помощью ряда Фурье.
в) Общий случай мультиполей
Если диполь, расположенный в направлении оси 2, сместить в
перпендикулярном направлении, вдоль оси у, и изменить его знак на
обратный, то в соответствии с предыдущими рассуждениями значение
потенциала становится равным
Если диполь, ориентированный в произвольном направлении пъ
сместить в направлении п2 и изменить направление диполя на обратное
(фиг. 54,а), потенциал принимает значение
пB) Л #2 /I
иа, = Т—\я^я--- B-27)
Аналогично тому, как от диполя можно перейти к квадруполю, можно
и путем смещения квадруполя с моментом р{2) в произвольном направлении
п3 и последующей перемены знака перейти к октуполю (см. фиг. 54,6).
Чтобы получить и в этом случае конечную величину потенциала при п3,
стремящемся к нулю, необходимо, чтобы момент, определяемый
уравнением
/?C) = 3/?<2)гс3,
оставался конечным. Этого можно достичь соответственным увеличением
заряда Я- Потенциал октуполя имеет вид
Г)C) Л Яз л
#(») = (-1)»1—± / I. B.28)
В общем случае для мультиполя порядка I (число точечных зарядов равно
2{) потенциал выражается в виде
СЛ») = (_1)»±_-1;5—д-? д-!, B.29)
Таблица 2
АКСИАЛЬНЫЕ МУЛЬТИПОЛИ
Монополь
(точечный заряд)
Диполь
Квадруполь
Октуполь
Мул ьти ПОЛЬ
порядка I
Порядок муль-
типоля
Число
точечных зарядов
Потенциал в
декартовых
координатах
Потенциал в
сферических
координатах
Характер экви-
потенциалей
Распределение
потенциала
по сфере
2° = 1
Я 1
4я:ео г
Я 1
4яе0 г
рП> д 1
4тге0 дг г
р(Р 1
4яе0 Г^
СО8 0
23 = 8
рB) 1 #2 1
4яе0 2! д22 г
рC) 1 03 1
зге0 3! 0*3 г
рB) 1 3
4яео
^тН2*-т)
^!1 41EсоззО-Зсо80)
4леоГ4 2 * '
2'
у р* 1 0< 1
' 4тге0г! Яг' г
^ 2. Расчет поля диполей и мулътиполей
107
где р(г) = 1рп-1}щ9 а щ означает очень малую величину смещения муль-
типоля(&— 1)-го порядка. Множитель (— 1)* появляется вследствие того, что
при смещении происходит непосредственное изменение координат муль-
типоля, входящих в выражение потенциала, а в окончательной формуле
диференцирование производится по координатам точки наблюдения Р.
Для частного случая квадруполя, изображенного на фиг. 55,а, потенциал
может быть записан в виде
Ьтсе0 С/B> = Щт §гас10 ^. B.30)
Составляющие вектора т, как видно из фиг. 55,а, имеют вид
т$ = т С08 ср сов 0, тг = т соз ср зт в.
значение потенциала получается
При этом
равным
47Гг0 С/B) = -^ B С08 в 8Н1 в соз <р +
+ СО8 0 8Ш0 С08<р),
или
#B>
1 1тС1
47ге0 г3
3 81П в СО8 0 СОЗ <р =
4тте0 '
1 3
B) — — 8Ш0 С08 0 008 (р.
B.31)
B.32)
Характер соответствующего этому случаю
распределения потенциала на сфере радиуса г
представлен на фиг. 55,#; из рисунка очевидно,
что в этом случае осевая симметрия
отсутствует. Входящие в выражение B.32) функции
угла в называются присоединенными функциями
Лежандра, а потенциалы как функции в и (р
называются поверхностными сферическими
гармониками (см. разд. Д, § 25).
С помощью мультиполей можно описать
поле при любом пространственном
распределении потенциалов. Потенциал в точке Р,
вызванный элементарным зарядом дАУ,
находящимся в точке <2 (фиг. 56), равен
1 дд,У _ 1 дйУ
(Ш =
Фиг. 54. Мультиполи.
— общий случай квадруполя;
— общий случай октуполя.
B.33)
4тгв0 гя ^о^я-^+^-^ + ^-СJ'
Разлагая эту функцию в ряд Тейлора относительно начала координат,
получим
/777 - 9AГ Г1 - ( Ё д 1 —-4-И — -L-
кпе0 [г \ дх г ду г дъ г)
+ :
¦(*
д*
д*
дх* гП ду* г+; дт? г+ ^дхйу!
1+
B.34)
+ 2^7 + 2^ет7)]±-
-Д:
¦У$2+ГJ-
•с2
Проинтегрировав по объему V, т.е. по координатам |, 1), С, получим
выражение для потенциала, в котором первое слагаемое (нулевое
108
Часть II. Статические и стационарные поля
тг=тс08(р$\т\9
тпв=тсов(рсоз
Фиг. 55. Общий случай квадруполя.
а — к расчету квадруполя; б — распределение потенциала квадруполя по поверхности сферы.
Р(х,У,г)
яап>о
Фиг. 56. К определению потенциала при
произвольном распределении зарядов.
приближение) имеет вид
1Л°> =
4тгеп г
/гйк.
B.35)
Это потенциал точечного заряда, расположенного в начале координат
и имеющего скалярный момент
0= / дЛУ.
V
$ 3. Расчет электрического поля поверхностных зарядов и двойных слоев 109
Второй член разложения (первое приближение) может быть
представлен как потенциал диполя с составляющими момента
Р? = /е*<*7, р<1> = /еЧй7, V? = /еСйГ. B.36)
V V V
Во втором приближении потенциал определяется через квадруполь,
заданный следующими величинами:
V V V
Р™= }вёп<1У, рШ=(вН<1У, р$=1ечШ. B-37)
V V V
Эти величины образуют составляющие тензора второго ранга квад-
рупольного момента. Последующие члены разложения представляют
тензоры более высоких рангов. Это легко понять, если воспользоваться
символикой Душека: ж, у, ъ заменяются на хъ х21 х3, а |, % С — на |ь |2> |3- При
Эп 1
этомгг-й член разложения содержит производную $х1$худхк у (& + / + &=л)
и интеграл ]*9%[%{%\йУ (* + / + & = п).
V
Умножая последнее выражение на предыдущее, тензорный характер
которого очевиден, мы после выполнения суммирования получаем
скалярный инвариант, а именно потенциал, создаваемый мультиполем порядка
п. Таким образом, очевидно, что последний интеграл также представляет
собой тензор.
В общем случае выражение потенциала мультиполей более высокого
порядка в сферических координатах становится все более сложным. Это
было показано нами на примере квадруполя. Аналогично можно
получить для 2п-поля выражение
П™ = "^^У?0 (аптС0*т(Р + Ьпт 8Ш Ш<р) Р™ (СОБ в) ^, B.38)
где Р™(со8 0) — присоединенные функции Лежандра (см. разд. Д, § 25).
§ 3. Расчет электрического поля поверхностных зарядов и двойных
слоев
Выберем исходное выражение для потенциальной функции в виде
[см. формулу A4.46) части I]
-[^-ау= ф(с/^-1--1^)^ + 47гС/(^2/,2). C.1)
V А
Здесь объемный интеграл следует брать по рассматриваемому
ограниченному объему, а поверхностный — по замкнутой поверхности,
ограничивающей этот объем. До сих пор предполагалось, что как функция V, так и
ее производная всюду непрерывны. Теперь сделаем более общее
предположение, а именно, что имеются поверхности, обозначенные А'} при
переходе через которые дИ/дп претерпевает разрыв, хотя V изменяется
непрерывно, а также поверхности А", при переходе через которые ЬЩЬп изме-
110
Часть II. Статические и стационарные поля
няется непрерывно, а функция II имеет разрыв. Функции,
удовлетворяющие этим условиям при одной независимой переменной, показаны на
фиг. 57. В этом случае теорема Гаусса применима только при условии, что
поверхности типа А' и Л" могут быть выделены из исследуемого объема с
помощью плотно охватывающей их замкнутой поверхности. Это означает,
что уравнение C.1) должно быть переписано в следующем виде:
Фиг. 57. Два типа поверхностей разрыва. Ф и г. 58. К выводу выра-
При переходе через поверхность А' потенциал же ни я (З.Ь).
изменяется непрерывно, а напряженность поля—
скачком. При переходе через поверхность А'\
наоборот, напряженность изменяется непрерывно, а
потенциал—скачком.
Здесь снова объемный интеграл берется по ограниченному объему, а
поверхностные — по внешней граничной поверхности этого объема и по
поверхностямА'0и А, которые охватывают поверхности разрывав/ и А",
исключая их из рассматриваемого ограниченного объема. В качестве
положительной нормали к поверхности следует всюду выбирать внешнюю
нормаль; на обеих сторонах поверхностей, охватывающих А' и А",
положительные нормали направлены к поверхностям разрывов (фиг. 58).
Рассмотрим теперь интегралы
У \ дп г г дп )
к
Т \ дп г г дп )
л:
$ 3. Расчет электрического поля поверхностных зарядов и двойных слоев 111
Так как для каждой поверхности справедливо выражение
а 1 _ э_1_
дпг г дп2 г '
то при условии, что функция II непрерывна, т.е. на обеих сторонах
поверхности имеет одно и то же значение, получим
§К-гЛА =№&+№)**=*' ¦ C-3)
Напротив, для поверхности разрыва второго типа имеет место тождество
а; а-
так как теперь Ы1\дпх = —д11/дп2 (непрерывное изменение этой функции при
переходе через поверхность).
Аналогично для одной поверхности
а'
и соответственно для другой
У г дп 3 г \дп^ дп2)
а; а"
А"
В результате получаем тождество
V А
Если внешняя, ограничивающая рассматриваемый объем поверхность
уходит в бесконечность, то взятый по ней поверхностный интеграл
обращается в нуль в силу условия, которое накладывается на функцию II и ее
производную в бесконечности. При этом окончательное выражение
приобретает вид
тт I \ 1 Г № АЛ7 , 1 1*1/3*7 , Э11\ ЙА
V А'
-ъ№-и*}&т*л- <3-6>
А'
Оно дает возможность определить значение искомой функции, если
известен ее лапласиан во всем рассматриваемом пространстве, а также
известны значения функции и ее производной в тех местах, где они
претерпевают разрыв. Эти значения, так же как и выражение ДЩ%, % С)> могут
112
Часть II. Статические и стационарные поля
быть заданы совершенно произвольно. На каждой поверхности разрыва
должны быть заданы либо производная потенциала, либо сам потенциал.
Вскроем физический смысл уравнения (З.б). Первый член правой
части этого уравнения уже известен: это потенциал в рассматриваемой
точке, созданный распределенным в пространстве (объемным)
электрическим зарядом. Рассмотрим далее выражение
4я Л г копх дп2 }
А'
Вспомним, что на обеих сторонах поверхности за положительное
направление нормалей было принято их направление к поверхности разрыва.
Следовательно, производные потенциала соответственно равны
противоположно направленным нормальным слагающим напряженности поля:
р - -<Ш- р - дП.
^1п " дпх' ^2п ~ дп2'
при этом
4тг »/ г 4 0^1 оп2) 4л 3 г
А' А'
Если теперь выразить напряженность поля через поверхностную
плотность зарядов а:
получим
1 Г 1 (Ы] , дХ] , , Л 1 Га , л
4л:./ г \оп1 дп2 ' 4ле0 ,/ г
А' А'
Отсюда видно, что второе слагаемое правой части C.6) представляет собой
потенциал в рассматриваемой точке, созданный поверхностными зарядами:
существование поверхностей разрыва производной потенциала при
переходе через поверхность физически объясняется наличием зарядов,
распределенных по этой поверхности.
Остается рассмотреть значение третьего слагаемого в выражении C.6).
Приняв за положительное направление нормали направление от
поверхности разрыва, запишем его в виде
А*
Подынтегральное выражение (фиг. 59) может быть истолковано как
предел следующего выражения:
4л; V *) опх г Апх-+ъ 4яго ^п1 \г + Aг г)
Здесь правую часть можно рассматривать как потенциал, вызванный,
во-первых, поверхностным зарядом на элементе поверхности йА,
отстоящем от рассматриваемой точки на расстоянии г + йг (см. фиг. 59):
+ о<1А = чA1^2)ЛА C.7)
$ 3. Расчет электрического поля поверхностных зарядов и двойных слоев 113
и, во-вторых, поверхностным зарядом на таком же элементе
поверхности АА, смещенном относительно первого на расстояние Лпх и имеющем
противоположный знак:
-ойА = -**A1^%)йА. C.8)
Если сближать оба заряженных слоя и безгранично увеличивать
величину заряда так, чтобы произведение плотности заряда на расстояние
между слоями (Апг) оставалось конечным, мы получим двойной
электрический слой с моментом
аЛп^М^Алп^е^и^и^^. C.9)
Этот момент можно представить вектором у, модуль которого г,
а направление совпадает с нормалью, проведенной от отрицательно за-
Ф иг . 59. Потенциал двойного слоя.
ряженного слоя к положительно заряженному. Если по обеим сторонам
поверхности заданы только значения потенциалов, то в этом случае
момент двойного электрического слоя направлен от меньшего потенциала к
большему. Таким образом, потенциал в точке Р(#, у, я), созданный двойным
слоем с моментом V на поверхности А", равен
Ъ[(Ъ-Ъ)&М=^['ГЯ7М=^/?1!^7М- C-Ю)
А" А" А"
Таким образом, физический смысл математического соотношения
А"
раскрывается в следующем виде:
^ У. *> = *к/?*7+ *к/7*А + 1к^'К7*л- <3-12>
Резюмируя, можно подчеркнуть следующие особенности
электрического поля, имеющие большое физическое значение: поверхностные
заряды вызывают непрерывное изменение потенциала, однако служат
причиной разрыва его производной, т.е. нормальной составляющей
напряженности электрического поля; электрические двойные слои
вызывают скачкообразное изменение потенциала, однако нормальная
составляющая напряженности поля при этом не претерпевает разрыва. Следует,
8 К. Шимони
114 Часть II. Статические и стационарные поля
кроме того, отметить, что объемная плотность заряда обусловливает всюду
непрерывное изменение потенциала и его первой производной, даже в том
случае, когда объемная плотность зарядов имеет на некоторых
поверхностях разрыв.
§ 4. Геометрический смысл потенциала двойного слоя
Потенциал двойного/слоя, характеризуемого постоянным
моментом, имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим значение потенциала
в произвольной точке (фиг. 60), если момент V двойного электрического
слоя поверхности А постоянен. В этом случае
на основании изложенного выше имеем
и^у^=^4п-гЛА- <^>
Из геометрического построения (см. фиг. 60)
видно, что
Э 1 1 1
к— А А = 2тас1 - АА = А А сов а = — АО,
дп г ° г г2 '
где АО — проекция элементарной площадки А А
на наружную поверхность сферы единичного
радиуса, или, иначе, телесный угол, под
которым элементарная площадка АА видна из точки
наблюдения. В таком случае
V =
[кле^^ дп г
V
кле.
-А
сова А А =
4лгп ?
D.2)
Р(Х,У,*)
Фиг. 60. Телесный угол
элемента поверхности.
т.е. потенциал двойного слоя с постоянным
моментом пропорционален телесному углу, под
которым поверхность слоя видна из точки
наблюдения.
При выводе предполагалось, что угол О положителен, когда нормаль
к поверхности А направлена от точки наблюдения. Отсюда следует, что
потенциал замкнутой поверхности, имеющей постоянный момент, в любой
точке внутри объема равен — у)е0у поскольку телесный угол, под которым
замкнутая поверхность видна изнутри, составляет 4тг. Если же смотреть
извне, то телесный угол (фиг. 61,6) равен нулю. Это объясняется тем, что
точки касания касательной, проведенной к поверхности из точки
наблюдения, делят поверхность на такие две части, телесные углы которых равны
по величине, но противоположны по знаку. Скачок потенциала при переходе
через такую поверхность составляет
Это следует также из основного уравнения двойного слоя
«0(^1-^2) = ^
D.3)
$ 4. Геометрический смысл потенциала двойного слоя
115
дающего скачок потенциала
#1-г72 = г.
D.4)
В точке на самой поверхности телесный угол составляет 2тг, следовательно,
потенциал равен —у/2е0. Это значение равно среднеарифметическому из
двух значений потенциала вне и внутри поверхности.
Фиг. 61. Телесный угол замкнутой поверхности.
а — телесный угол замкнутой поверхности равен 4эт, если точка наблюдения
находится внутри этой поверхности; б — телесный угол замкнутой
поверхности равен нулю, если точка наблюдения находится вне ее; в — телесный
угол замкнутой поверхности равен 2я,* если точка наблюдения находится на.
самой поверхности.
Две близко расположенные друг к другу заряженные, параллельные
обкладки конденсатора могут рассматриваться как двойной слой с
постоянным моментом при условии, что
исследуемое поле находится вне
конденсатора и на большом расстоянии от него.
Момент двойного слоя равен *>=
= ео( &1" #г)- Поэтому потенциал
произвольной точки равен телесному
углу, под которым из этой точки
видны обкладки конденсатора,
умноженному на значение момента двой-
(#>\ ного слоя.
-
1
*2В0
^ч
V
"
V.
V
Гге0
Фиг. 62. Эквипотенциальные
поверхности поля рассеяния конденсатора.
Фиг. 63. Изменение потенциала при пере-
ходе через плоский, бесконечно
протяженный двойной слой с постоянным моментом.
Таким образом, можно утверждать, что напряженность Поля (т.е.
интенсивность поля рассеяния конденсатора) на большом расстоянии от
него уменьшается пропорционально третьей степени расстояния.
Действительно, телесный угол уменьшается пропорционально второй степени
расстояния^ напряженность — это производная от телесного угла по рассто-
8*
116
Часть II. Стаитческие и стационарные поля
Положительное
направление
янию. В плоскости обеих обкладок конденсатора, которые могут
рассматриваться как совпадающие, телесный угол везде равен нулю. Это, однако,
не означает, что здесь и напряженность поля также равна нулю; в этой
плоскости отсутствует только тангенциальная составляющая. Можно
качественно определить точки, из которых конденсатор виден под
одинаковым углом. Эти точки (фиг. 62) лежат на эквипотенциальных
поверхностях; силовые линии всюду нормальны к ним.
Исследуем изменение потенциала (фиг. 63) вдоль прямой, нормальной
к бесконечной плоскости, несущей двойной слой с постоянным моментом.
Телесный угол в этом случае во всех конечно удаленных точках равен
±2я. Следовательно, потенциал в
области, находящейся слева от бесконечной
плоскости, всюду равен —у/2е0 . Если
точка наблюдения находится на самой
плоскости, телесный угол равен нулю,
так как в этом случае плоскость
вырезает из сферы единичного радиуса
фигуру, поверхность которой равна нулю.
При переходе через эту плоскость
телесный угол становится равным -2тг
(момент двойного слоя имеет
направление, противоположное принятому за
положительное при подсчете телесного
угла). Отсюда очевидно, что скачок
потенциала действительно равен г/е0.
Значение потенциала на средней плоскости
равно среднему из значений для одной
и другой сторон поверхности, т.е.
и1+°^=иА
D-5)
Ф и г. 64. Наглядное представление
скачка напряженности поля при
наличии поверхностных зарядов.
Здесь 11г и II2 - потенциалы
соответственно левой и правой сторон поверхности,
11А — среднее значение потенциала.
Если плоскость имеет конечные размеры (фиг. 64), то условия меняются
в том отношении, что значение потенциала не остается постоянным при
движении к плоскости вдоль нормали, а увеличивается или уменьшается
при возрастании телесного угла. Однако, как и в предыдущем случае,
скачок потенциала в точности равен г/е0. Кроме того, его значение на
средней поверхности равно среднему из значений на правой и левой
сторонах двойного слоя.
Доказанный здесь для нескольких частных случаев закон оказывается
справедливым и для общего случая. При переходе через поверхность
двойного слоя в направлении положительной нормали значение
потенциала изменяется на *>/г0; на внутренней стороне поверхности для IIи а на
внешней для IIеу так же как и для значения потенциала на самой
поверхности Vа, справедливы условия
^+-Е^=сА, Ъе-и\
V
иг+^-=17А, 11.-4г= иА.
D.6)
2е„
2е„
$ о. Наглядное объяснение скачка потенциала и напряженности поля 117
Положительное
направление
§ 5. Наглядное объяснение скачка потенциала
и напряженности поля
Рассмотрим электрическое поле (см. фиг. 64), создаваемое зарядом,
распределенным в некоторой области, имеющей вид слоя. При
непрерывном уменьшении толщины этой области и при постоянстве величины
находящегося в ней заряда получим поверхность и поверхностный заряд
на ней. Теперь качественно исследуем
изменение напряженности поля вдоль в
одной из прямых, нормальных к этой
плоскости. Представим себе единичный
пробный заряд, постепенно
перемещающийся вдоль этой прямой, и определим
действующую на него силу. Показанное на
фиг. 64,а направление примем за
положительное. По мере того как пробный
заряд приближается к заряженной
плоскости, напряженность поля возрастает и
достигает максимума, когда пробный заряд
окажется на поверхности, ограничивающей
заряженный объем. В средней точке этого
объема действие силы становится [равным
нулю, так как на пробный заряд|справа
и слева действуют одинаковые по
величине и по знаку заряды. Положительные
заряДы отталкивают пробный заряд.
Поэтому ясно, что напряженность поля слева
от поверхности отрицательна, а справа —
положительна, т.е. совпадает с выбранным
положительным направлением.
Сказанное иллюстрируется кривой
фиг. 64,6. Разность потенциалов
представляет собой работу, необходимую для
переноса единичного заряда из бесконечности
в рассматриваемую точку. Производимая
работа вначале увеличивается и достигает
максимума, когда пробный заряд попадает
в середину заряженной области. Когда
затем пробный заряд удаляется,
перемещаясь в прежнем направлении по той же прямой, то работу
производят силы поля, так как оно действует в том же направлении, в котором
удаляется заряд. Следовательно, затраченная работа постепенно
уменьшается до тех пор, пока на бесконечности она не обратится в нуль. Таким
образом, получается кривая V на фиг. 64,6. Эта кривая может быть
получена интегрированием расположенной над ней кривой напряженности
электрического поля.
Очевидно, что переход напряженности поля от положительных
значений к отрицательным становится все более резким по мере уменьшения
толщины слоя; для плоскости, несущей поверхностный заряд, этот переход
происходит скачком (пунктирная линия на фиг. 64,6). Кривая
изменений потенциала остается непрерывной, хотя имеет излом. Этот
излом потенциальной кривой указывает на разрыв производной
потенциала.
Фиг. 65. Наглядное
представление скачка потенциала при
наличии двойного слоя.
118
Часть II. Статические и стационарные поля
Чтобы таким же путем рассмотреть распределение потенциала
двойного слоя, будем сближать показанные на фиг. 65,а плоские,
противоположно заряженные пластины, увеличивая их заряд по мере уменьшения
расстояния. Если передвигать пробный заряд в направлении заряженных
пластин, то с левой стороны действие отрицательно заряженной пластины
на пробный заряд будет сказываться сильнее, так как она к нему находится
ближе. Эта пластина притягивает пробный заряд, и сила притяжения
возрастает до тех пор, пока пробный заряд не перейдет через
отрицательную пластину. Однородное поле, заключенное между пластинами, имеет
обратное направление. Так как сила отталкивания от положительно
заряженной пластины и сила притяжения отрицательно заряженной действуют
в одном направлении, то напряженность поля между пластинами много
больше, чем вне их, и остается примерно постоянной. Однако, как
только положительный пробный заряд перейдет за положительную
пластину, она начнет его отталкивать. Направление силы справа от
обеих пластин такое же, как при расположении пробного заряда слева
от пластин. Напряженность поля непрерывно уменьшается. Таким
образом получаются показанные на фиг. 65,6 кривые напряженности поля и
изменения потенциала.
Если сближать пластины, оставляя заряд постоянном, то и
напряженность поля между пластинами останется постоянной. Но разность
потенциалов при этом должна уменьшаться, и тогда кривые, сохраняя
качественно свой закон изменения (за исключением участка АВ на кривой Е),
будут асимптотически приближаться к нулевой оси. При увеличении
заряда в том же отношении, в каком уменьшается расстояние между
обкладками, разность потенциалов останется неизменной. В этом случае
ординаты кривой Е на участке АВ безгранично растут, т.е. напряженность
поля стремится к бесконечности. Пунктирная кривая соответствует этому
случаю.
Отсюда можно заключить, что при переходе через двойной слой
напряженность поля меняется непрерывно, а потенциал, напротив, —
скачкообразно. На фиг. 65 не показана все более возрастающая и в предельном
случае стремящаяся к бесконечности напряженность поля, заключенного
в двойном слое.
Математическое понятие двойного слоя представляет собой, конечно,
абстракцию. Но на практике близко расположенные друг к другу слои
с большими зарядами можно рассматривать как двойные слои. Тогда
между отдельными слоями такого двойного слоя будет существовать
сильное поле. Это закономерно, так как скачок потенциала означает, что
на бесконечно малом отрезке пути должна быть затрачена или получена
работа, обусловленная передвижением заряда конечной величины через
рассматриваемую поверхность. А для этого требуется большое значение
силы или, другими словами, большое значение напряженности поля.
Итак, в случае поверхностного заряда потенциал при переходе через
заряженную поверхность изменяется непрерывно, а его производная
в направлении нормали к поверхности, т.е. нормальная составляющая
напряженности поля, наоборот, претерпевает разрыв. В случае же
поверхностного двойного слоя, наоборот, наблюдается скачкообразное
изменение потенциала и непрерывное изменение его производной.
$" 6. Представление пространственных зарядов через потенциалы 119
§ 6*. Представление пространственных зарядов с помощью
заряженной замкнутой поверхности и двойного слоя
В § 14 части I было показано, что значение потенциала в любой
конечной области может быть выражено через его лапласиан АII внутри
этой области и через II и д11/дп на ее границах в следующем виде:
Фиг. 66. Замена пространственных зарядов поверхностными.
а — действительное (заданное) поле; б — поле во внутренней части
замкнутой поверхности; в — поле вне замкнутой поверхности.
Как мы знаем, это не означает, что потенциал практически подсчиты-
вается по этой формуле. Уравнение F.1) лишь показывает, что АТ1, II и
дЩдщ рассчитанные по известным во всем рассматриваемом пространстве
120
Часть II. Статические и стационарные поля
значениям у, после подстановки в соответствующие места правой и левой
частей уравнения приводят его к тождеству. Хотя для решения задач
теории потенциала это уравнение непосредственно не пригодно, все же
важно проанализировать его смысл.
Пусть во всем объеме задана объемная плотность зарядов д, в
бесконечности достаточно быстро стремящаяся к нулю (фиг. 66,а).
Потенциал V в произвольной точке Р пространства может быть при этом
определен из выражения
в котором интеграл берется по всему объему, где р^О. Такое же значение
потенциала получается по уравнению F.1), если объемный интеграл
распространить только на объем Уъ ограниченный произвольной
поверхностью А, внутри которой находится рассматриваемая точка Р = Ри и
добавить интегралы по этой поверхности от величины — 11дA/г)/дп и
A/г)дУ1дп:
ЩРЛ = -т±- (±ау=-±- [±ЛУ+^&^йА^
х 4лг0 / г Ь71е0 ^ г Ьп у г дпх
V Ух А
А
где % — внешняя нормаль к поверхности. Этому поверхностному
интегралу может быть приписан следующий физический смысл (фиг. 66,6):
поверхность А рассматривается как двойной слой с моментом
р^-воУ F.4)
*1 = е01^. F.5)
и соответственно с поверхностным зарядом
Как уъ так и ах должны быть заданы на всей поверхности как функции ее
координат. Они заменяют собой заряды, находящиеся вне
рассматриваемого объема, в отношении их влияния на область внутри объема Уг.
Если рассматриваемая точка Р лежит вне объема Уъ (т.е. Р = Ре),
то следует проинтегрировать $ по объему Уъ а поверхностные интегралы
и в этом случае брать по граничной поверхности А, но с противоположным
знаком, так как теперь за положительное направление нормали п = п2
принимается ее направление из области У2 в область Уг (см. фиг. 66,б).
Следовательно, влияние зарядов, находящихся в объеме Уъ может быть
учтено посредством нанесенного на поверхность А заряда и двойного слоя.
При этом 0*2 = — оъ у2 = — *>1 и можно снова написать
ЩРе)= 1 С±ау+-^- С-^ау = -^- (±лу+
4 е/ 4лг0 / г 4лг0 / г 4лг0 ^ г
У2 Уг У,
4л у г дп2 4л; / оп$ г 4лг0 у г
А А V»
» л;±|^+* л; и^-ил. F.6)
4л; у г д^ 4л у дпх г х '
$ 6. Представление пространственных зарядов через потенциалы 121
Потенциал точки Реу лежащей в области У2, вычисляется как сумма
двух слагаемых: первую образует потенциал, обусловленный зарядами
в объеме 72, а вторую — либо потенциал, определяемый
пространственными зарядами, находящимися в объеме Уъ либо потенциал,
обусловленный эквивалентными им поверхностными
зарядами и двойным слоем на
поверхности А. Это второе слагаемое для точки
Ре по уравнению (б.б) равно
т— -%-йУ = --г-ф — 7г-AА +
4яг0 ^ г 4тг #/ г дщ
VI А
оп1 г
F.7)
Следовательно,
4тге0 ^ г
УХ
4Я ,/ <7Л! Г
йЛ = 0,
F.8)
а это и означает, что при вычислении
потенциала точки Ре по формуле (б.З)
находим ЩРв)=О, т.е. что имеющиеся в
замкнутом объеме пространственные заряды,
вместе с эквивалентными поверхностным
зарядом и двойным слоем, в любой точке
вне этого объема дают значение
потенциала, равное нулю (см. фиг. 66,6).
Выберем в качестве поверхности А
эквипотенциальную поверхность С/^в поле,
которое, по предположению, существует
во всем пространстве. В этом случае II р
в последнем слагаемом уравнения (б.З)
можно вынести за знак интеграла; при
этом
_1_
4^
и^--АА
дп\ г
471 ./ ОПх Г
ЛА
= V
р>
F.9)
так как интеграл градиента 1/г, взятый
по произвольной замкнутой поверхности
при условии, что точка наблюдения лежит
внутри объема Уъ равен — 4тг.
Следовательно, для точки, лежащей внутри объема Уъ
^ = ^/7^+^тё"+^ (бл0)
VI А
122
Часть II. Статические и стационарные поля
а для точки, лежащей во внешней области (в объеме 72),
согласно (б.б),
ЩРв) = -±- С±АУ-±6±-^АА, F.11)
У2
так как поверхностный интеграл §гас1 1/г для точки наблюдения,
расположенной вне замкнутой поверхности, равен нулю. Для бесконечной
поверхности, охватывающей все пространство, Vг = 0.
Отсюда для объемов Уг и У2 имеем соответственно
Ух А
и
У2 А
Если в заданном поле выбрать эквипотенциальную поверхность таким
образом, чтобы она охватывала всю рассматриваемую область пространства,
то с помощью фиктивных поверхностных зарядов, нанесенных на эту
поверхность, можно учесть и без двойного слоя влияние зарядов, которые
лежат вне этой поверхности. Это обстоятельство имеет большое
практическое значение. Рассмотрим, например, случай, представленный на фиг. 67,
где изображено поле, создаваемое зарядами (^ и (?2. Если во всех точках
произвольной эквипотенциальной поверхности принять величину
плотности поверхностных зарядов равной
° ~ г°^'
то в пространстве, заключенном внутри этой эквипотенциальной
поверхности, будет существовать заданное поле. Векторы напряженности этого
поля направлены в область У1 нормально к поверхности, ограничивающей
рассматриваемую область Уь а на самой поверхности потенциал постоянен,
следовательно, объем У2 может быть заполнен металлом. Подобные же
рассуждения приводят к тому, что и пространство У1 может быть
заполнено металлом, если рассматривается поле в области 72. Таким образом,
можно, исходя из расчета простых полей, создаваемых линейными
зарядами (см. фиг. 67), получить решения многих других задач, удовлетворяющих
определенным граничным условиям.
§ 7. Практическое значение полученных результатов
На основе приведенных выводов можно решить только довольно узкий
круг электростатических задач, встречающихся на практике, когда
задается пространственная или поверхностная плотность зарядов или
момент двойного слоя. Ниже коротко перечисляются те случаи, для которых
могут найти применение полученные результаты.
С помощью выражения
*7 = ^- {^ЛУ G.1)
V
можно определить поле тех зарядов, которые не могут рассматриваться
как точечные или линейные. Понятие пространственной плотности зарядов
# 8. Практические задачи электростатики
123
находит применение при рассмотрении процессов в электронных лампах,
поэтому в принципе полученные уравнения могут быть использованы
для определения характеристик электронных ламп, а также для решения
некоторых вопросов, связанных с тлеющим разрядом в газах. Так как в
общем случае заряды находятся на наружной поверхности проводника,
то для расчета поля, создаваемого этими зарядами, казалось бы,
применимо уравнение
Рвй-/т^- <7-2>
Однако это не так: распределение поверхностной плотности зарядов на
наружной поверхности электродов практически всегда неизвестно (пока
не рассчитано поле). По этой формуле очень сложно рассчитывать
потенциал даже в тех случаях, когда геометрией устройства обеспечена
равномерность распределения поверхностной плотности зарядов (плоские
и сферические конденсаторы).
Как уже упоминалось, поле конденсатора (его поле рассеяния)
может быть приближенно определено по формуле
# = -Л- Гу~йА. G.3)
А
Решение многих важных практических задач можно получить,
заменяя эквипотенциальные поверхности легко рассчитываемых полей
металлическими оболочками (электродами).
Б. РАСЧЕТ ПОЛЯ ПО ЗАДАННЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ
ДЛЯ СЛУЧАЯ ПРОСТЕЙШИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ
§ 8. Практические задачи электростатики
На практике чаще всего встречаются следующие две задачи:
а) Даны размеры, пространственное расположение проводов и
значения их потенциалов, постоянные на поверхности каждого провода
(электрода). Необходимо определить значения потенциалов или
напряженности поля для всех точек пространства при отсутствии пространственных
зарядов, т.е. при А11 = 0.
б) Даны размеры, пространственное расположение проводов и заряд
каждого отдельного провода. Необходимо для всех точек рассматриваемого
пространства определить значение потенциалов и напряженности поля,
если АI] = 0.
Получить решение в общем виде, т.е. для произвольной конфигурации
поверхностей, на которых заданы значения потенциала, чрезвычайно
сложно, и во многих случаях такая задача может быть решена только
с помощью графических методов или моделирования. Однако задача
часто может быть настолько упрощена, что по геометрическому
расположению электродов удается судить о характере силовых полей. Например,
расчет поля бесконечно длинного цилиндра можно свести к плоской
задаче, которая решается значительно проще. В случае, если система
электродов имеет осевую симметрию, поле также будет иметь осевую симметрию
и это существенно облегчит поиски решения.
124
Часть II. Статические и стационарные поля
Ниже будут рассмотрены задачи, в которых поверхности
проводников имеют такую форму, что математическая формулировка граничных
условий не представляет особых трудностей.
Однако предварительно рассмотрим некоторые вопросы векторного
анализа и применения различных криволинейных систем координат, в
которых можно представить уравнения Максвелла. Применение таких
координат позволит решить некоторые простые пространственные
задачи (например, рассчитать поле цилиндрических или сферических
электродов) и объяснит подход к более сложным вопросам. Уменье пользоваться
этими координатами пригодится и при рассмотрении волновых процессов.
§ 9. Операции векторного анализа и уравнения Максвелла
в ортогональных криволинейных координатах
а) Обобщенные координаты. Координатные поверхности.
Локальная система координат Декарта
Положение каждой точки пространства определяется ее радиусом-
вектором г. Этот вектор до сих пор задавался его проекциями ху уу ъ на
оси, определяемыми тремя единичными координатными векторами 1, \у Ь.
Поэтому произвольную скалярную или векторную функцию точки, т.е.
радиуса-вектора г, мы можем представить как функцию координат ху
У, г, т.е.
у(г) = их(х, у, гI + иу(х, у, &)] + и2 (х, у, ъ) к. (9.1)
Но положение произвольной точки можно также задать через три другие
независимые координаты, например хь х2у хг\ тогда радиус-вектор
представляется функцией этих новых координат:
г = т(хъ х2, хъ).
Отсюда, естественно, вытекает, что составляющие радиуса-веююра, ранее
выраженные в декартовых координатах, теперь будут также функциями
этих трех переменных:
х = х{хъ хг, #3), у = у{хъ х2, ж3),
% = ъ(хъ х2, аг3). [(9.2)
Эти уравнения выражают некоторое преобразование координат; они
связывают новые координаты хъ х2у хъ со старыми декартовыми
координатами X, у, 2.
Чтобы иметь возможность и в общем случае ввести хорошо известные
в декартовой системе координат понятия координатной плоскости и
координатной оси, положим х± постоянным. Пусть хг = х10 = сопй1.
Рассмотрим, как определить совокупность всех точек пространства, для которой
справедливо равенство х±=х10. В этих условиях вектор г — функция
уже не трех, а только двух переменных:
г = г(ж10, х2, #3). (9-3)
Составляющие вектора в декартовых координатах:
X = #(#ю> #2) #3/?
У = г/(яю, х2, #3), (9-4)
7, = 2(Х10, Х2у Хг).
$ 9. Операции векторного анализа и криволинейные координаты 125
Если из первых двух уравнений выразить х2 и #3 через х и у и подставить
их в последнее уравнение, получим зависимость между #, у и г в следующем
виде:
ъ = ф, у). (9.5)
Это — уравнение некоторой поверхности в пространстве. Аналогично
уравнения (9.4) или векторное уравнение (9.2) дают систему
параметрических уравнений этой поверхности. В соответствии с этим условие хг = х10
определяет поверхность, которую можно назвать координатной.
Условия х2 = #20 и #3 = #30 также определяют координатные
поверхности. Следовательно, через произвольную точку пространства можно
провести три координатные поверхности (фиг. 68), которые в полной мере
соответствуют трем взаимно
перпендикулярным плоскостям декартовой системы коор- №
динат х = х0, у — у0 и т, = я0, проходящим
через данную точку пространства (#0, у0, 20).
Если теперь положить постоянными
сразу две координаты #2 и #3, получаем
уравнение пространственной кривой
Г — Г(#1, #205 ХЗо) ч
или в декартовых координатах
X = #(#1, Х20, *^Зо)?
У = 2/(#1, #20? ^Зо)?
2 = 2(#1, #20).^30/*
(9.6)
(9.7)
Фиг. 68. Координатные оси
и координатные плоскости в
пространстве, описываемом
обобщенными ортогональными
координатами.
Эта кривая в то же время представляет линию
лересечения координатных поверхностей #2 =
= #20 и #3 = #зо, так как только на этой линии
выполняются одновременно оба эти условия.
Таким путем мы получаем координатные линии, соответствующие
координатным осям, в данном случае — линию хг.
Следует еще заметить, что нанесенные на оси. х1 величины в общем
случае не означают расстояний от какой-то точки. Точнее говоря, длина
отрезка, расположенного между точками х{ и хг + с1х1, не равна й#{; х{ —
любой параметр, определяющий положение точки; он может быть, например,
и углом.
б) Элементы длины
Пусть имеется точка ^(#^#2,^3) и другая точка, находящаяся
поблизости от первой, (^(хх + йх^ #2 + й#2, #3-М#3) (фиг. 69). Найдем расстояние
й$ между этими двумя точками. Выражение ск2в декартовых координатах
имеет вид
й$2 = Ах2 + йу2 + Й22.
(9.8)
Это равенство называют пространственной теоремой Пифагора.
В общем случае, однако, величина из равна абсолютному значению йг
приращения радиуса-вектора г. При этом
ск2 = йгг = йгйг.
(9.9)
126
Часть II. Статические и стационарные поля
Приращение радиуса-вектора
йг = Йг^+^^+^^з; (9.10)
поэтому
+2йщах2^+2щйах"ах1' (9Л1)
В криволинейных координатах элемент длины представляет
однородно-квадратичное выражение дифференциалов координат. Ниже будут
применяться только ортогональные криволинейные координаты, для которых
Р(ег +с!щ,х2+с1х2,х3+ йх3)
Фиг. 69. Элемент длины в
обобщенной ортогональной системе координат.
Фиг. 70. Касательные к
координатным осям в
произвольной то чкочлространства.
координатные линии, проходящие через произвольную точку, попарно
перпендикулярны. Касательные к отдельным координатным линиям
выражаются векторами (фиг. 70)
дх9
дт
Эх,
откуда, по условию ортогональности,
дт дт дт дт
дт дт = 0
дхх дхг дх2 дх3 дх3 дхг '
(9.12)
(9.13)
т.е. скалярное произведение любой пары ортогональных векторов равна
нулю.
При этом выражение (9.11) принимает вид
№ = (^ йх\ + {^)йх\ + (^J йх\ = Щ &% + Щ Лх\ + Щ Лх1 (9.14)
где (дг/дх^у = Щ — скалярные функции, называемые коэффициентами
Ламэ. Это значит, что в случае ортогональных координат в выражении
элемента длины отсутствует смешанное произведение дифференциалов коор-
$ 9. Операции векторного анализа и криволинейные координаты 127
динат. Функции Н1у к2, к3 зависят в общем случае от трех переменных:
ГЬ-1 = Пх \Х1у Х2, хъ)-> = (^1? Х2-> Хъ)-> *Н = \ХЪ Х2ч хъ)*
Геометрический смысл этих величин легко понять. Из самого
определения производной
•»-&)'
(9.15)
следует, что приращению координаты Лх{ соответствует перемещение
вдоль координатной линии на элемент длины
й$1 = А| Ахъ {г = 1,2,3).
Это непосредственно вытекает из общего выражения (9.14), если в нем
положить йх2 и йх$ равными нулю.
В результате получается выражение
пространственной теоремы Пифагора через
дифференциалы обобщенных координат:
Аз2 = ЩAх1 + ЩAх1 + ЩAх1
Целесообразность выбора среди
криволинейных координат именно ортогональных
объясняется тем, что при малых
перемещениях остается справедливой теорема
Пифагора, т.е. в непосредственной близости от
рассматриваемой точки сетка криволинейных
координат совпадает с сеткой декартовых
координат (фиг. 71). В точке Р{хъ х2, х3)
составляющие и±(хъ х2, #3), и2(хъ х2, #3), иг(хъ х2у х3)
произвольного вектора \(х1у х2у х3)
определяются как проекции этого вектора на оси
локальной декартовой системы координат, которые в
точке Р совпадают с касательными к
координатным линиям выбранной криволинейной системы, т.е. с направлением
векторов дт/дхъ дг/дх2, #г/##3. Им соответствуют единичные векторы
Фиг. 71. В ортогональной
системе координат для
небольших величин
справедлива теореЖа Пифагора.
ег =
д%1
дт_
(9.16)
Направление каждого из единичных векторов в общем случае меняется
при переходе от точки к точке.
На основании сказанного 1-я составляющая вектора V
представляется скалярным произведением
и{(хъ х2, хъ) = \(хъ х2, хг) вг(хъ х2, хг). (9.17)
Как будет показано ниже, выражение элемента длины и входящих
в его определение коэффициентов Ламэ къ к2, къ играет важную роль в
векторном анализе, так как при переходе от одной координатной системы
к другой необходимо прежде всего составить выражение для элемента
длиныЧ
1} В переводе введены обозначения коэффициентов Ламэ и единичных векторов,
принятые в русской литературе. — Прим. ред.
128
Часть II. Статические и стационарные поля
в) Определение градиента
Для того чтобы выразить градиент произвольной функции через
обобщенные координаты хъ х2, х3, следует исходить из основных
определений; так, составляющая вектора §гас1 у впроизвольном направлении п есть
(§гаа<р)п = §гаAп<р= Ит у(г+^п)-у(г) ^
Ап->0
Лп
т.е. предел отношения приращения функции при перемещении на
величину Ли к величине перемещения \Лп\у когда последняя стремится
к нулю. Составляющая градиента (фиг. 72) вдоль координатной линии хг
<р(хг + Лхъ х2, х3) - <р(хи х2, х9)
§таа^
= Нт
Лвх
(9.18)
Подставляя в это выражение скх = к^Хг, находим, что
4
дгайх <р
Цт <Р(Х1+Лхи Х2, Х3) __
_ 1 дер
Н\ дх\
(9.19)
X] "Ь иХ/ у х^} з*з)
Таким образом определяются три
составляющие градиента любого скаляра <р
в точке с координатами хъ х2, х3:
, 1 дер , 1 дер
Фиг. 72. К выводу выражения &га<1 <р.
«п^г = ¦%¦$%
Н2 дх2
(9.20)
Следует еще раз подчеркнуть, что в общем случае направления
единичных векторов и значения коэффициентов Ламэ в системе криволинейных
координат меняются от точки к точке. Составляющее вектора §гай у
определяются его скалярным умножением на единичные векторы,
различно направленные в разных точках: ^гас^ ср = §гай ср • е^
г) Определение дивергенции
Выражение дивергенции произвольного вектора V найдем, исходя
из определения дивергенции, не зависящего от системы координат:
Предел этого выражения не зависит от геометрической формы
рассматриваемого объема. Из этого уравнения можно найти дивергенцию вектора
в любой системе координат. Для этого нужно провести вокруг точки
произвольную замкнутую поверхность, взять по ней поверхностный интеграл
вектора, разделить на объем, заключенный внутри замкнутой поверхности,
и перейти к пределу, безгранично приближая замкнутую поверхность
к рассматриваемой точке. Целесообразно выбрать объем в виде маленького
параллелепипеда (фиг. 73).
Определим значение поверхностного интеграла на боковых
противолежащих поверхностях параллелепипеда, полагая положительными
внешние нормали. Ввиду того что й$2 = ЪгAх% и йз3 = Ъ,ъд,хъ, наружная
$ Р. Операции векторного анализа и криволинейные координаты 129
поверхность первой боковой грани параллелепипеда определится как
йз2 <&93 = Л2Л3 <1х2 с1х$,
а поверхностный интеграл по этой боковой поверхности равен
— и^Х!, х2, хг)к2кгс1х2с1х3. (9.21)
Остальные составляющие вектора не входят в выражение
поверхностного интеграла, так как они параллельны самой поверхности.
Отрицательный знак взят потому, что положительная нормаль направлена из
объема вовне. На другой боковой поверхности, параллельной первой,
значение поверхностного интеграла изменится и не только потому, что
в этом направлении изменится
нормальная составляющая вектора, но
и вследствие изменения к2 и /г3
Следовательно, значение
поверхностного интеграла, взятого по
другой боковой поверхности, отстоящей
на Лз1 от первой, равно
#х к2къ й%2 &хг + о 2 йхх <1х2 йх3.
(9.22)
По обеим поверхностям,
нормальным к составляющей иъ
интеграл равен разности выражений (9.22)
и (9.21), т.е.
—7г &Х-1 ах2 и>Х§.
ь*§**
Фиг. 73. К выводу выражения сПу т.
Проделав подобный расчет для двух других боковых поверхностей,
получим значение поверхностного интеграла для всего параллелепипеда:
^у ак = (Щ^+Щ^+ дЩ^-)ах1 Лх2 &3. (9.23)
Так как объем
ДУ= <1$1 с1§2 бк3 = кг Aх± Н2 Лх2 Н3 йхг = кхк2къ Лхг Лх2 йх$у
то окончательно находим
(Ну V = Бт
А
(9.24)
1 /0(&2Л3Р1) | д(^зМа) , д{Ь1ЬгУ9)\ (9 25)
Л1Л2Л3 V дхх Эх2 Эх3 / ' '
д) Определение ротора
Выражение ротора в обобщенных координатах находится аналогично,
исходя из определения, не зависящего от системы координат:
(гоЪ \)п = го!п V = Пт -гт- (Ь V Л.
АА-*0 ЛЛ 7
Для определения какой-либо составляющей ротора произвольного
вектора в заданной точке Р нужно выбрать в плоскости, перпендикулярной
к направлению составляющей, произвольную поверхность, ограниченную
9 К. Шимони
130
Часть II. Статические и стационарные поля
кривой Ь и охватывающую точку Р, взять интеграл вектора V по этой
кривой, разделить его на площадь этой поверхности Л А и перейти к
пределу. При этом положительное направление составляющей связано
правилом правоходового винта с направлением обхода по замкнутой кривой
при интегрировании. Так же как и при определении дивергенции, сначала
подсчитывается линейный интеграл для двух противолежащих сторон
параллелограмма (фиг. 74). Линейный интеграл между точками 1 и 2 равен
B)
\ V (й = У2 ^2 = ^2^2 ^#2«
A)
Линейный интеграл между точками 3 и 4 имеет отрицательный знак,
так как получающееся в этом случае направление обхода поверхности
противоположно положительному направлению координатной оси.
Величина интеграла также будет иной, так как
изменится произведение у2А2; поэтому
D)
I \ с11= — и;2Л2 Лх2 + V* Лхг йх?\.
(з) Х*
Окончательно для отрезков линии 7 2 и
соответственно 3 4 значение линейного интеграла
равно
|у(й+ \(й= -Щ^йхъсЬь.
A) C)
Линейный интеграл, взятый по двум другим сторонам, равен
A) C)
Ф иг. 74. К выводу
выражения го! V.
I V <Д+ Г V Л = +^г-) 4ва 4с3,
D)
B)
откуда для полного линейного интеграла получаем выражение
$
'¦М^'-^Ь^
(9.26)
Это выражение следует еще разделить на площадь поверхности,
ограниченной замкнутой кривой:
Л А = ск2й$3 = Л2 А3 ^2 ^з 1
поэтому окончательно составляющая ротора вектора V, параллельная
оси х1у получается равной
1 Н2к» I дх2 дхч 1 '
(9.27)
Такой же расчет можно произвести для определения составляющих
ротора V в направлении осей х2 и #3. Но это необязательно: достаточно в
формуле (9.27) изменить индексы в порядке круговой перестановки. Так
получаются все составляющие ротора любого вектора в обобщенных коорди-
$ 9. Операции векторного анализа и криволинейные координаты 131
натах:
Г011У= * |*№й)-*М],
п2п3 I ах2 ох3 Г
ГП+ V - 1 ГЭ(Л1Р1) ^(УзI
Г012У ~ЛА 1~^Г ^1 ^'
Г01 у = 1 Г^Уг) а(*1Р1I
(9.28)
е) Лапласиан в обобщенных ортогональных координатах
Запись лапласиана (Д<р= V 2у = сИу §гас195) в любой системе
ортогональных координат легко получить, если в выражении
(Цу у = 1 гд(Мз^1) | &№*>%) | 0(*1М»)Т
НхН^Ь,^ I д#! ##2 #ж3 л
представить и1: и2 и г>3 как составляющие градиента:
VI
1 #р
1 дер
1 #9?
А3 дх3'
Н1Ш1'> и2 = Т2дх~2' Уз
В таком случае лапласиан равен
^ Нх112Н3 Удх\ V ^1 даа/ ##2 \ ^2 ##2/ дх3 \ Н3 дх3)
(9.29)
ж) Уравнения 'Максвелла в обобщенных ортогональных
координатах
Уравнения Максвелла в обобщенных криволинейных ортогональных
координатах могут быть выражены с помощью формул (9.25) — (9.28I} в
следующем виде:
т^ \ш2 №*) - щ (№)] = —5г» |
1^[^(*А^)+^(*Лад+^(*1*А)] = о,
Вх = вЕъ Вх = рНх, 11=у(Е1+Ее1),
#2 = еЕ2, В2 = /лН2, 72 = у(Е2+Ее2),
В3 = еЕ3, Вг = AН3, 73 = У(Ег + Еег),
ю = и(Щ + Е1 + Е1) + Ут + щ+Щ).
(I)
(И)
(III)
(IV)
(V)»
(VI*
ред.
9*
1} В выражениях (V) и (VI) е0 и р,0 входят в состав множителей е и /г. — Прим.,
132
Часть II. Статические и стационарные поля
§ 10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых
пространственных задач
Большинство задач электростатики состоит в решении уравнения
Лапласа
Аа^ИуръА G = 0 A0.1)
при некоторых заданных потенциалах на поверхностях (обычно на
границах металлических электродов). В межэлектродном пространстве нет
электрических зарядов, как это указывается самим уравнением. В этом
параграфе мы попытаемся решить задачу следующим путем: найдем такую
систему криволинейных координат, при которой какая-либо
координатная поверхность, например поверхность, заданная уравнением х1 = х10,
совпадает с наружной поверхностью заданных электродов. Поставленная
задача сводится к математической задаче—найти такое решение уравнения
Лапласа, в котором координатная поверхность хх = х10 эквипотенциальна.
Если удастся найти решение уравнения Лапласа, зависящее от
единственной координаты
V = Щхх\ A0.2)
то значение потенциала будет постоянно при х1 — сопз1, т.е. именно на
координатной поверхности. Соответствующим выбором постоянных
можно достичь того, чтобы эта координатная поверхность совпадала с
наружной поверхностью электродов. Таким образом находится решение
уравнения Лапласа, удовлетворяющее заданным граничным условиям.
\ На практике редко представляется возможным найти координатную
систему, соответствующую условиям задачи, т.е. такую систему,
координатная поверхность которой совпадала бы с наружной поверхностью
рассматриваемого проводника. Этот метод, однако, имеет свои достоинства —
можно подобрать типовые задачи, решаемые в различных системах
криволинейных координат, и попытаться применить полученные решения,
точно или приближенно, к поставленной задаче. Ниже рассматриваются
случаи, к которым можно с успехом применить этот метод.
а) Декартовы координаты
В этой системе уравнение Лапласа имеет вид
Координатные поверхности системы — бесконечные плоскости. Им
соответствуют физические задачи, в которых наружная поверхность
проводников, по крайней мере с некоторым приближением, представляется
хак^ке бесконечными плоскостями. Например, на фиг. 75 поверхности
обкладок плоского конденсатора — плоскости х = а к х — Ъ с
потенциалами соответственно 1/а и 11ъ. Ищем решение уравнения Лапласа, зависящее
только от координаты х, т.е. 11(х). В этом случае 311/ду и ЬТ]\дъ равны нулю,
й уравнение Д1апласа сводится'1 к следующему;
Ц = 0. A0.4)
Решение этого уравнения имеет вид
Ь~ = Ах + В, A0.5)
§10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 133
где постоянные А и В определяются из заданных граничных условий
11= 11а
11= «7Й
При этом
при
при
X
X
а,
Ъ.
ц=у^х+«у>-™*.
A0.6)
Из полученного выражения видно, что потенциал между двумя
поверхностями возрастает линейно;
следовательно, напряженность поля
постоянна и равна
Е
Эх
Ъа-иъ
а — Ъ
Ц_
A0.7)
Емкость плоского конденсатора
легко определить, если напряженность
поля внутри него такая же, как при
бесконечных пластинах, т.е. если не
учитывать краевых эффектов (поле
рассеяния на краях конденсатора). Это
возможно, когда линейные размеры
обкладок конденсатора велики по сравнению
с расстоянием между ними. При этом
С=^ = и-^
V
ЕА
е*. (Ю.8)
д,
Фиг. 75. Плоский конденсатор
бесконечной протяженности.
б) Цилиндрические координаты
Положение произвольной точки пространства можно определить
заданием следующих трех величин: расстояния г от какой-то произвольной
оси, расстояния ъ по прямой, параллельной этой оси, между
рассматриваемой точкой и точкой, принятой за начало
отсчета, и, наконец, угла, образуемого
плоскостью, проходящей через ось и через
заданную точку, с другой фиксированной
плоскостью, проходящей через ту же ось.
Эти три величины (фиг. 76)
х1 = г, %2 = 9^ #з = 2? A0.9)
определяющие положение точки в простран-1
стве, служат ее координатами.
Одна из проведенных в произвольной
точке локальных координатных осей, ось г,
направлена по радиусу, ось ъ параллельна
выбранной цилиндрической оси, а ось
^нормальна к обеим другим осям. Координатные
поверхности г — сопз! представляют собой
коаксиальные цилиндры, координатные
поверхности <р = сопзЪ — плоскости,
проходящие через ось ъ, а координатные поверхности
г = соп81 — плоскости, перпендикулярные
К ОСИ 2.
При перемещении в направлении оси г на величину Лг получаем
элемент длины
Л8г = йг и Ъг = 1. .; A0.10)
Фиг. 76. Цилиндрические
координаты произвольной
точки пространства и
касательные к координатным линиям,
проходящим через эту точку.
134
Часть II. Статические и стационарные поля
При движении вдоль оси <р элемент длины образуется как элемент дуги
радиуса г с углом йср, т.е.
с&2 = г А<р и Л2 = г. A0.11)
При перемещении вдоль оси ъ на величину й% элемент длины равен
&3 = * и й3 = 1- A0.12)
В дальнейшем потребуется выразить и уравнения Максвелла в
цилиндрических координатах, пока же нам в цилиндрических координатах
нужно записать только уравнение Лапласа: .
АТТ 1 тд ( дГ\ д /1 ЭС/Ч , д ( дИ\л л ,лпло\
Найдем решение этого уравнения, зависящее только от г. В этом случае
остальные частные производные равны нулю:
дер дт, '
и уравнение Лапласа принимает вид
74Нг) = 0- <10-14>
Его решение дает
(III л <Ш А /лг\ лг\
г1йг=А1 или -агг = -> A0-15)
откуда
С/ = щг) = А1пг + 5. A0.16)
Постоянные, входящие в это уравнение; определяются из условий,
что потенциал равен С/а на цилиндре радиусом г = га и 11ь на цилиндре
радиусом г = г5. Этим условиям удовлетворяет решение
V = й^1пг+ ^1"гГ/^1ПГб • (Ю-17)
Щгв/гь) 1п (гв/г&) у '
По аналогии с предыдущим можно определить емкость устройства,
состоящего из коаксиальных, изолированных один от другого металлических
цилиндров длиной 1с радиусами ^а«/и гь«1. В этом случае для заряда
получаем выражение
Я={оАА = *Р\-?\ №ЛА = е^ГТ'У?*1- (Ю.18)
х 3 1п (га/гь) ^ <1г 1п (га/гь) ч
А А
Следовательно,
х-, 2тг/
6 = е-
1п (гв/г6) *
в) Сферические координаты
Положение произвольной точки в пространстве (фиг. 77) можно
определить ее расстоянием г от некоторого центра, углом в между радиусом и
осью ъ иуглом <рмежду плоскостью, содержащей ось и радиус-вектор, и любой
фиксированной плоскостью, проходящей через ось ъ, например, плоскостью,
проходящей еще и через ось х. Угловые координаты этой системы подобны
$ 70. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 135
координатам, которые определяют положение произвольной точки на
поверхности земного шара, а именно градусами долготы и широты.
Условие г = сопвЪ выполняется на поверхности сферы.
Итак, семейство координатных поверхностей г = сопз! — семейство
концентрических сфер. Уравнение в = сопв! определяет поверхность кону-
Ф иг. 77. Сферические координаты произвольной
точки пространства и касательные к
координатным линиям, проходящим через эту точку.
са с углом бис осью, совпадающей с осью ъ\ эти координатные
поверхности — конические поверхности. Наконец, <р = сопз! есть уравнение
плоскости, проходящей через ось г. Следовательно, одна ось локальной
системы координат совпадает с радиусом-вектором. Ось у — касательная к
Фиг. 78. К выводу выражения A0.21).
широтной окружности, проходящей через рассматриваемую точку;
соответственно ось в — касательная к меридианной окружности (см. фиг. 77).
Для этой координатной системы легко определить Нъ Ь^ и Л3- Обозначая
обобщенные координаты следующим образом:
х1 = г, х2 = в, #3 = у, A0.19)
найдем расстояние между двумя близлежащими точками при
перемещении вдоль оси г на величину йг.
А?! = аг и кг = 1; A0.20)
136
Часть П. Статические и стационарные поля
при перемещении по оси в на малый угол й0 (фиг. 78) элемент длины
составит
йз2 = гЛв и Л2 = г, A0.21)
а при движении вдоль оси у на небольшой угол йу (фиг. 79) элемент
длины, т.е. расстояние между точками Р и (), равен элементу дуги с
углом йср окружности радиусом г зт в:
0зг = г 8111 в йср, A0.22)
следовательно,
А3 = г Вт (9. A0.23)
На основании изложенного можно найти выражения градиента,
дивергенции и ротора в сферических координатах. Подставляя найденные
Фиг. 79. К выводу выражения A0.23).
значения коэффициентов К{ в уравнение Лапласа, получим
АХ] = -о г гТ-+-Пяй8Ш ^ад + 2 • га аТ- A0.24)
г2 дг\ дг) г2втвдв\ дв) г2 зт20 д<р2 ч '
Ниже мы рассмотрим общее решение этого уравнения. Сейчас же
постараемся найти решение, зависящее только от координаты г, т.е. V— 11(г). В этом
случае производные от всех остальных переменных равны нулю и
уравнение Лапласа приобретает вид
^=^('«§)=°-
Из этого уравнения следует, что
откуда для потенциала имеем
V = щг)= ~^- + В. A0.26)
Постоянные А и В в этом уравнении определяются из граничных
условий, согласно которым значение потенциала при г = г0 совпадает
с заданным значением 110У а потенциал в бесконечности равен нулю. Обоим
70. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 137
этим условиям удовлетворяет потенциальная функция
#=*70-^. A0.27>
Разумеется, что в качестве граничного условия можно было бы задать
и значения потенциала II = 1/а при г = га и потенциала II = 11ъ при
г = гь. Этим условиям удовлетворяет потенциальная функция
Га~ГЬ Г Га~~ ГЬ
Аналогично плоскому конденсатору можно подсчитать и емкость,
сферического конденсатора. По определению, емкость равна
Но заряд равен
А
4яе-^у (Уь-С/в). A0.29>
Следовательно,
С = 4яе-
гагь
г*) Конфокальные координаты
В случае сферических координат произвольная точка в пространстве
определяется как точка пересечения сферической и конической
поверхностей с некоторой плоскостью. В цилиндрических координатах точка в
пространстве определяется как точка пересечения цилиндра и двух плоскостей.
В первом случае поле соответствует сферическому проводнику, во
втором—цилиндрическому. Рассмотрим теперь систему криволинейных
координат, в которой произвольная точка пространства определяется как точка
пересечения трехосного эллипсоида, двухполостного и однополостного
гиперболоидов с общими главными осями.
Применяя эту координатную систему, можно рассчитать, например,,
поле заряженного проводника, имеющего форму эллипсоида. Пусть дан
эллипсоид, определяемый уравнением
!-+-&+!- = *. A0-3°)'
где
Полуоси а, Ь, с этого так называемого основного эллипсоида должны быть
разными. Если теперь рассмотреть поверхность вида
-Йт+-^т+^тт = 1' <10-31>
то окажется, что она конфокальна с основным эллипсоидом.
Когда | изменяется от—оо дон-©о , уравнение A0.31) описывает все
поверхности второго порядка, конфокальные с основным эллипсоидом,
(фиг. 80).
138
Часть II. Статические и стационарные поля
Выясним, сколько конфокальных поверхностей такого вида проходит
через точку пространства, заданную декартовыми координатами х, у, ъ, и
каковы будут их уравнения. Для этого данные величины х, у, ъ необходимо
Фиг. 80. Возможные значения I и соответствующие им поверхности
второго порядка.
подставить в уравнение конфокальных эллипсоидов. Эти уравнения
следует затем решить относительно |. Полученное таким образом уравнение
третьей степени относительно | имеет три корня: Я, /г, г— три значения I,
удовлетворяющих основному уравнению при
данных значениях ху у и ъ. Легко показать,
что все три корня действительные и лежат
в интервалах
оо:> Я> —С2,
— С2>[1> б2,
— Ъ2>у> — а2.
Это означает также, что через каждую точку
эллипсоида проходит один однополостный и
один двухполостный гиперболоиды (фиг. 81).
Каждым трем числам х, у, т, соответствуют
другие три числа Я, р, у; каждым же трем
числам Я, [л, V соответствуют восемь их
комбинаций по три, которые отличаются
знаками входящих в них членов. Эти восемь
комбинаций соответствуют восьми точкам
пересечения поверхностей Я, //, у. Чтобы получить взаимную
однозначность этих выражений, необходимо, чтобы различным знакам корня
соответствовали различные октанты декартова пространства. Тогда любая
точка пространства будет описываться координатами Я, /и, V однозначно.
Фиг. 81. Координатные
поверхности конфокальной
системы координат.
§70. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 139
Соответствующие тройки чисел связаны друг с другом
уравнением A0.31), из которого сразу можно получить уравнения координатных
поверхностей в декартовой системе координат; так, для первой поверхности
имеем
для второй
а для третьей
гЬ+Ь^+^Т!' —*>-*2, (Ю.32)
—.+5^+ТОв1' -<^ — 6». (Ю.ЗЗ)
а2 + [I Ь2 + II сг + р
Мы знаем, что для каждой координатной системы нужно прежде
всего определить величины к1у Л2> й3, входящие в выражение элемента
длины Л8{. Исследуем для этого выражение
(а2 + тЬ2+ «(*»+*) (^ + ^ + ^-1) = /(I), (Ю.35)
в котором х, у, г, — заданные декартовы координаты рассматриваемой
точки. Очевидно, что это выражение — рациональная функция третьей
степени |. Далее очевидно, что коэффициент при ^3 равен —1. Функция /(I)
обращается в нуль при |= Я, /и или г, поскольку при этих значениях
удовлетворяется уравнение A0.31). Поэтому выражение A0.35) идентично
произведению
или
(«НШН1)(с*+|)(^+р^+-^-1) = _(!-А)(*-,*)(*-*). (Ю.Зб)
Это равенство справедливо для всех произвольных значений |, поэтому
оно справедливо и для случая I = —а2. При этом значении | получаем
х\Ь2 -а2)(с2 -а2) = (а24-Я)(а2 + ^)(а2 + г>),
или
2 _ (а»+Я)(а1 + /ц)(а'+у) МПТ7\
х ~ (б2-а2)(с2-а2) * ч^/;
Аналогично определяются у и я:
2/ - {с2__г>2)(а2-&2) > ци.ав)
„2 _ (с2+Д)(с2+^)(с2 + у) МО^СЛ
Так устанавливается связь между старыми координатами
произвольной точки и ее новыми координатами.
Найдем теперь Ах, Ау и Аъ при условии, что Я переменно, а /и и V
постоянны. Запишем уравнение
й*2 = Ах2 + й?/2 + Й22 = А2 йЯ2, A0.40)
из которого можно найти выражение для к± как функции Я, ^ и V. Для этого
продифференцируем выражения A0.37)—A0.39) по Я. По закону логарифми-
140 Часть 11. Статические и стационарные поля
ческого дифференцирования
с* с1х АХ с\ Лу АХ <г\йъ АХ /1А / * ч
2Т-*+д' 2У~^ТД' ^7~?+Т Aам>
Расстояние между двумя точками, координаты которых отличаются
только на величину йЯ, т.е. элемент длины, выражается следующим
образом:
Щ = <Ь* + Лу* + <Ь> = |[^ + ^ + ^] *Х2 =
_1г (а2 + ^)(а«ч-у) F2 + ,ц)F2 + у) (с2 + ^)(с2 + у) ] ,,2 =
~~ 4 1(а24-Я)F2-а2)(с2-а2)^(^+я)(с2-62)(а2-62)^(с24-Я)(а2-с2)(^-с2)]
~ 4(а2+Я)(^+А)(С2+А)^ * A0Л^
Следовательно,
Л1 4 (а? + Х)(Ъ* + Х)(с* + Х) * {ш.ьау
Выражения для Тц и Л3 получаются циклической перестановкой Я, /* и *>.
Введем теперь величину
?(Я) = /(а2+Я)(г>2 + Я)(с2+Я) A0.44>
и примем, что в(и) и ^(у) выражаются аналогично. Тогда уравнение
Лапласа по (9.29) примет следующий вид:
Оно может быть записано и в такой форме: *
+ Ц-м№ъ[ё(»)%]=0. (Ю.46>
Ограничимся здесь решением, которое зависит только от одной координаты,
например А. В этом случае
Тогда для потенциала получается следующее более простое выражение
Решение этого уравнения имеет вид
я И ^] = °. й-Ж A0-48>
И
# = /^-<*А + Д. (Ю.49>
Входящие в это уравнение постоянные определяются из условия,,
что потенциал эллипсоида Я = Я0 равен 110У а в бесконечности обращается
^ 10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 141
в нуль. Этому условию удовлетворяет функция
ах
#=#<Л;—• A0.50)
) 8(*)
х.
Ее значение при Я = Я0 равно #0, так как числитель и знаменатель
выражения равны между собой, а при Я= «> эта функция обращается в нуль.
Если 119 — потенциал на основном эллипсоиде, то
#=?7( х
о-= > A0.51)
так как основному эллипсоиду соответствует значение Я=0.
Составляющая напряженности поля по Я равна
1 дц _ц0 1 = кио 1
йч/« (Ю.52,
О
где Л'-1 = | -тдг. Это выражение с учетом A0.43) и A0.44) может быть
о
представлено и в таком виде:
Ек=—Щ= A0.53)
Определим теперь постоянную X через заряд <2 основного эллипсоида.
Для этого рассмотрим напряженность поля Ех на больших расстояниях
от центра. Для Я^ а2 > б2 >с2, согласно A0.32), справедлива следующая
приближенная формула:
х2 + у2 + 2,2 = г2^Х; (Я-^)(-Я-у)%Я2.
При этом
Е^^±^Щ^. A0.54)
Как и следовало ожидать, напряженность поля на большом расстоянии
от заряженного эллипсоида изменяется по тому же закону, что и
напряженность поля точечного заряда; поэтому можно написать, что
^4^7= = ^' <10-55>
где <2 — заряд эллипсоида, а
Я = _1_= ^-^ A0.56)
142
Часть //. Статические и стационарные поля
При этом из уравнения A0.51) окончательно получаем такое выражение для
потенциала:
11 =
_ <?
/
АХ
8^0 ] }/(аг+Х)(Ъ*+Х)(с*+Х)
A0.57)
Перейдем теперь к анализу других вопросов. Для поверхностной
плотности заряда справедливо выражение
о = е0Ех
или после ряда преобразований
_ (? Гх2 у2 г2!-1/2
° ~ ЬлаЪс I а4 + Ъ* + с4 1
A0.58)
A0.59)
Фиг. 82. Расстояние между центром Фиг. 83. Стержень заменяется вытянутым
эллипсоида и касательной плоскостью (а), а диск - сплющенным (б) симметрия-
в точке <), взятой на поверхности эл- ным эллипсоидом вращения,
липсоида.
Плотность заряда в точке <2
пропорциональна этому расстоянию р.
Можно показать, что поверхностная плотность зарядов во всех точках
основного эллипсоида пропорциональна расстоянию, измеренному по нор-
мали между плоскостью касания и центром эллипсоида (фиг. 82).
Можно подсчитать и емкость эллипсоида, которая оказывается равной
8ле0
A0.60)
АХ
У(а2+Х)(Ъ*+Х)(с2+Х)
Входящий в это выражение эллиптический интеграл
Ах
Г Ах _ Г
)(х+Ь2) (х+сг
A0.61 >
не может быть выражен через элементарные трансцендентные функции; его
свойства будут рассмотрены в дальнейшем.
Полученные выводы с некоторой осторожностью можно применять
и к случаю, когда две оси основного эллипсоида одинаковы. В этом случае
§10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 14$
через каждую точку проходят только две поверхности, которые
неоднозначно определяют положение рассматриваемой точки. Если две малых
оси эллипсоида совпадают (фиг. 83,а), то остается однополостный
гиперболоид. Если совпадают большие оси (фиг. 83,6), то остается двухполостный
гиперболоид. Тот же результат можно получить путем перехода к пределу.
Эллипсоиды, в которых две оси совпадают, могут быть получены
вращением эллипса вокруг одной из его осей.
Эллипсоиды, показанные на фиг. 83, можно использовать при
рассмотрении поля стержня (фиг. 83,а) и поля круглой пластины (фиг. 83,6).
Эллиптические интегралы в уравнениях A0.57) и A0.60) при этом сводятся
к элементарным трансцендентным функциям. В том случае, когда Ь = а,
имеем
оо
ЩХ) = _2- Г ^-== = 2_. агс 18 |/*Е? , A0.62)
X
а для емкости получается выражение
С = 4^>^2~с2_ л A0.62а>
агс1д^(а/сJ-1
Полагая с=0, приходим к случаю круглого диска:
V = -г^— агс!§ ~ , С = 8е0а, а = -^- 1 . A0.63)
4тгг0а & ух ' и ' 4тга ^а2_ (х*+у2) у
д) Проводящий эллипсоид в однородном внешнем поле
Основываясь на полученных результатах, можно найти ноле
проводящего эллипсоида, внесенного в однородное поле. Первоначально
однородное поле искажается благодаря присутствию эллипсоида так, что на
поверхности последнего устанавливается некоторый постоянный потенциал.
Чем больше расстояние от эллипсоида, тем меньше поле отличается от
однородного.
Если 2?0 — напряженность однородного поля в направлении,
параллельном оси х, то его потенциал равен
г; _ __ /7 г _ _ /г Г(А+а2)(/*+а2)(у+а2I1/2 (М ш
и о - -&0х- ь0 [—{Ь2_а2){с2_а2)—] - Aаь4>
В этом выражении декартова координата х выражена по формуле A0.37)
через конфокальные координаты. Потенциал невозмущенного поля,
даваемый выражением A0.64), можно представить также в виде произведения
С/<А Л V) = С^адМ'ЪОО, (Ю.65)
где
у(Ь2-а2) (с2-а2)
Потенциал 11х (Я, ^, г), вызванный внесенным в поле эллипсоидом, на
больших расстояниях от него, т.е. при больших значениях Я, становится
равным нулю. При изменении /лиг потенциал изменяется так же, как С/0;
на основном эллипсоиде (при Я = 0) можно полагать потенциал равным
144
Часть II. Статические и стационарные поля
нулю. Итак, если
ЫК Л ") = С2С1{ХI^)УЬ{9)9 A0.66)
то потенциал результирующего поля имеет вид
ЩК Л V) = С/0 + ^ = Сх ^1(А)*2М/'а(*> +
+ С2С1(А)/'аЫ/'аМ = /',2Ы//з(^)[^1^1(А)+С2С1(А)]. A0.67)
Потенциал 17@, /г, V) должен быть равен нулю независимо от
значений [л и V. Это условие выполняется, если
С1^\@)п-С2С1@) = 0;
этим определяется значение второй постоянной:
°2^~ ~~О157@) •
Чтобы определить функцию Сг(Х)9 необходимо подставить ^(А, ^, у)
в уравнение Лапласа, после чего получаем
в№пИ^]-(^+т)^! = °- A(Х68>
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка,
имеющее два независимых решения. Одно решение известно: это
функция /ч(А). Другое решение можно найти методом вариации постоянных
(метод Лагранжа): если ух{х) — решение дифференциального уравнения
у" + р(х)у' + д(х)у = 0, A0.69)
то второе решение у2{х) ищется в виде
у2{х) = С(х)уг(х).
Подставляя эту функцию в A0.69), получим дифференциальное уравнение,
просто разрешаемое относительно С(х). В конечном итоге получаем
Уг{х) = У±(х) I ^щ2 их. A0.70)
Следовательно, искомая функция имеет вид
С^^^/ощ^у (Ю.71)
Если этот интеграл взять в пределах от А до ©о, то его значение в
бесконечности обращается в нуль, что и требуется условиями задачи.
Окончательно значение потенциала, обусловленного возмущающим
действием эллипсоида, выражается так:
11Л*, V,*) = С2С1(ХI\{[л)Нъ(у) =
Потенциал результирующего поля имеет вид
о©
= С/0(Я,^,)[1+|/AТ§ш], A0.73>
§10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 145
причем
91= -ЕШ-
Сг Сг@) *
(*+*)*( А)
A0.74)
Таким образом, окончательно
С/(Я, //, V) = г/0(Л, /х, г)
Г *
(IX
(Ь+а?ЫХ)
^ (А+а2)^(Я)
о
ЛЯ
г а.
= адл»)°
ш
и
г а*
] (ТГ^
= -ад
^гд
о
(А+а»ЫА)
ах^
(А+а2ЫЯ)
A0.75)
Из последнего выражения отчетливо видно, что на больших расстояниях
от эллипсоида потенциал равен потенциалу невозмущенного поля.
е) Поле диафрагмы *
Теперь рассмотрим следующую задачу: имеется бесконечно
протяженная плоская проводящая пластина с круглым отверстием; ее
потенциал постоянен. Две плоскости, параллельные первой, находятся от нее
на большом расстоянии и имеют некоторые заданные потенциалы. Это
значит, что с увеличением расстояния от средней плоскости поле
становится однородным полем плоского конденсатора. Выберем в качестве
оси ъ прямую, нормальную к первой плоскости и проходящую через центр
круглого отверстия.
Этот случай мы, однако, не будем рассматривать как случай
вырождения конфокальной координатной системы. Здесь основной эллипсоид
вырождается уже не просто в симметричный эллипсоид вращения, а в
такой эллипсоид, малая ось которого равна нулю. Поскольку этот случай
имеет большое практическое значение, мы рассмотрим его как
самостоятельную задачу.
*¦.. Будем задавать произвольную точку Р независимо от предыдущих
рассуждений точкой пересечения эллипса и гиперболы в плоскости (#, ъ)
и углом ср между плоскостью (х, я) и плоскостью, содержащей точку Р и
проходящей через ось ъ (фиг. 84,а). Выпишем уравнения всех эллипсое
и гипербол, общие фокусы которых в координатной системе (я, х) лежат е
точках 2 = 0и# = г0и соответственно 2=0иж= —г0 (см. фиг. 84,6). Эллипс
с полуосями а и Ъ описывается уравнением
а гипербола — уравнением
^ + г-=1
а2+6г '
а2 б2
A0.76;
A0.77
10 К. Шимони
146
Часть II. Статические и стационарные поля
Их фокусные расстояния и полуоси связаны следующими равенствами:
а2 = г2 + &2 и а2 = г20-Ь2.
Фиг. 84. Координаты сплющенного симметричного эллипсоида вращения.
Подставляя их в уравнения эллипса и гиперболы, получим
*+$)+*$
= 1.
A0.78)
а?
Ч1 г.»; гч*
1.
Придавая параметру Ь различные значения, можно получить
семейства конфокальных эллипсов и гипербол. Однако для характеристики
отдельного эллипса или гиперболы целесообразнее ввести параметры
^ = Р и 4
A0.79)
С помощью этих параметров уравнения для семейства эллипсов и
гипербол приводятся соответственно к виду
+ -
!¦?(! + Л2) г\)?
= 1,
A0.80)
Любой точке, лежащей в плоскости (х, я), однозначно соответствуют
один эллипс и одна гипербола, проходящие через эту точку и
характеризуемые параметрами Я и //. При этом каждой точке принадлежит одна-
$ 10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 147
единственная пара значений Я2, /А Однако заданной паре значений Я2, /г2
соответствуют четыре точки на плоскости. Каждая из ветвей гиперболы
пересекает эллипс в двух точках. Соответствие между точками плоскости
и параметрами Я2 и /л2 становится взаимно однозначным, если положить,
что значениями-Я соответствует правая, а значениям —Я — левая сторона
эллипса и аналогично значениям +р и — [л соответствуют верхняя и
нижняя ветви гиперболы. При этом любой паре значений Я и /и принадлежит
только одна-единственная точка, и наоборот (одно-однозначное
соответствие). Для понимания этой системы координат необходимо выяснить
пределы изменения параметров Я и //и исследовать, как при этом изменяются
эллипсы и гиперболы. Параметр 22=Ъ2/г% может изменяться от 0 до +°°.
Очень малому значению параметра Я соответствует и малое значение Ь/г^ т.е.
очень мала одна из главных осей эллипса. Значению Я = 0 соответствует
отрезок длиной 2г0, т.е. эллипс, выродившийся в прямую. Большим Я
соответствуют эллипсы, переходящие в окружности при,непрерывном
увеличении их размеров.
Параметр семейства гипербол /л2 может изменяться от 0 до 1. При
очень малых значениях /л длина действительных полуосей гиперболы равна
фокусному расстоянию. Следовательно, гипербола все более и более
приближается к линии сечения диафрагмы. При значении параметра/г = 0 как раз
и получается эта линия. Если уравнение II = 0 рассматривать в трех
измерениях, получается плоскость с отверстием, т.е. диафрагму. При значениях
параметров, близких к 1, обе ветви гиперболы с двух сторон приближа- '
ются к оси симметрии (я).
Тем самым становится очевидной целесообразность введения этой
системы координат для указанной задачи: эквипотенциальные поверхности,
заданные граничными условиями, при этом совпадают с координатными.
(В нашем случае эти поверхности соответствуют значениям ц = 0 —
средняя плоскость и Я2-*оо — две другие плоскости.)
В принятой нами системе произвольная точка пространства
определяется тремя координатами Я, /г, <р. Чтобы написать уравнение Лапласа
в этих координатах, необходимо найти выражение элемента длины. Для
этого следует сначала выразить координаты х и г через параметры Я
и /л, затем написать выражение элемента длины в координатах х, ъ и ц> и
далее определить элемент длины в новых координатах.
Чтобы выразить координаты х и г произвольной точки через Я и /л,
достаточно найти точку пересечения соответствующих эллипса и
гиперболы. Для этого нужно решить относительно хи & как неизвестных
систему уравнений
г§A + Я2) ^А*
г§A-^) г1^ х'
Умножив первое уравнение на г§A + Я2), а второе на — г1A—/л2) и сложив
их, исключаем х. Умножив первое уравнение на г^Я2, а второе на г^/л2 и
сложив их, исключаем ъ. В результате получаем координаты точки
пересечения:
х = г0УA + Я2)A-^2), ъ = г0^. A0.81)
Квадрат элемента длины в координатах ж, я, ср равен
й$2 = Aх2 + Aг2 + х2A(р2. ' A0.82)
10*
148
Часть II. Статические и стационарные поля
Входящие в него дифференциалы могут быть выражены через АХ и йр
следующим образом:
^ъ ~ дХ^"^д~^ = г°^ ^ ~*~ го^^ A0.83)
+
и соответственно
'¦ . Ах = г0Г, ДA^2) ЛЯ-, ^A + Я2) ^1. A0.84)
[/A + А*) A -V2) Ц\+Р)(\-112) \
Подставляв их в A0.82) и производя упрощения, получим окончательно
^2 = ^4^ЙЯ2 + го4^^2 + гоA + ^2)A-^2)^. (Ю.85)
Таким образом, в выражении для Аз2 смешанные произведения вида
АХ А/л отсутствуют. Этим доказывается, что выбранная система координат
ортогональная; ее обобщенные координаты таковы:
хг — Я, х2 = /и, #3 = (Р- A0.86)
Важные для операций в этой системе значения коэффициентов Ламэ
определяются из уравнения A0.85):
, _ ][ Р + р* 1 _ 1/"Я2 + ^2
А3 = г0УA + А2)A-/*2). (Ю.87)
Подставив их в уравнение Лапласа, получаем
Наша задача состоит в том, чтобы найти его решение, удовлетворяющее
граничным условиям. Так как значение потенциала не зависит от угла <р,
то д/д<р=0:- Дифференциальное уравнение A0.88) при этом принимает вид
М^^]^Л1-^Ш=°- A0-89)
Попробуем найти решение этого уравнения путем разделения
переменных. Представляя искомое решение в виде
«/(А, /л) = ЦХ) М(р) A0.90)
и подставляя это произведение в A0.89), получим
Разделив последнее уравнение почленно на произведение МЬ, приведем
его к следующему виду:
Так как в полученном уравнении левая часть зависит только от Я, а
правая—только от II и обе эти величины равны друг другу, то они должны
быть постоянны и иметь одно и то же значение 5. Тогда исходное диффе-
$ 10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 149
ренциальное уравнение в частных производных распадается на дв#
обыкновенных дифференциальных уравнения:
Общее решение этих уравнений, называемых уравнениями Лежандра,
выражается через сферические функции.
Чтобы не рассматривать все общие решения, которые могут оказаться
излишними в данной конкретной задаче, применим к этим уравнениям
сразу граничные условия. По условиям задачи при больших значениях %у
т.е. вдали от средней плоскости, потенциал пропорционален координате
(однородное плоско-параллельное поле). Поэтому для очень больших
значений А при произвольных /а имеем
V = кг = кг0Х[1 = к'А^, A0.94)
причем А-^оо, если *-*«>. Отсюда следует, что
М(/л) = /г. A0.95)
Эта функция удовлетворяет и другому граничному условию:
потенциал на средней плоскости при /л = 0 равен нулю. Проверим, однако,
удовлетворяет ли эта функция дифференциальному уравнению ^10.93).
Подставляя МAл)—[л в это уравнение, получим
&№-»$ = ** <1а96>
откуда следует, что
2/л = ар, т. е. 5 = 2. A0.97)
Итак, найдено решение для случая 5 = 2. Тогда второе
дифференциальное уравнение запишется так:
^[(Я« + 1)^]-^, A0.98)
и его частное решение имеет вид Ь(Х) = А. Общее решение можно найти
методом вариации постоянных, полагая
ЦХ) = С{Х)Х. A0.99)
В таком случае I/ = С'А + С, Ь" = С"А + 2С".
Записывая первое из уравнений A0.93) в виде
(А2 + 1I/' + 2А1/-21, = 0
и подставляя в него A0.99), получим следующее дифференциальное
уравнение для определения неизвестной функции С(Х):
С"'(А3 + А)+ 2<7'B А2+ 1) = 0.
Вводя новую независимую переменную В = С и Б' = С", приходим к
уравнению
#'(А3+А) + 21)BА2 + 1)=:0.
В нем переменные разделяются:
<Ш 0 2А2 + 1 „ 0 ЗА2 + 1 ,* 0 А2 „
150
Часть II. Статические и стационарные поля
и его очевидное решение имеет вид
А
1п2) = -21п(А3 + А) + 1пА(А2+1) = 1п Д2(А2 + 1) , A0.100)
или
В = -Щ^Тг)^ A0Л01>
где А — постоянная.
Теперь можно написать выражение для функции С(Х):
С(Я) = ^^)йя^-в = ^ -ф^лх+в ^ ^{^--1^^лx+в, (Ю.Ш)
откуда
С(Х) = --^--АжсЬцХ + В. A0.103)
Общее решение теперь принимает вид
ЦХ) = АС(А) = В Х- А A4- Я агс Ц' Л). A0.104)
Поскольку функции ДЯ) и М([л) известны, потенциал в общем виде
выражается равенством
[/(Я, /г) = (л ЦЯ) = Я А// - Л/* A + Я агс 18 Я), A0.105)
или, в координатах х, 2,
V (х, 2) = #'2 + А'г(у + агс 18 Я), A0.106)
где
А =
1Й + ^-1)+1^ + ^^-1)'' <•«•«»>
На большом расстоянии от рассматриваемой плоскости величина
потенциала V пропорциональна координате 2, как это требуется
граничными условиями. Действительно,
агс!§А-±-| при А-±оо A0.108)
и поэтому
«7(ж,2)-В/2±А'у2 при г-±оо. A0.109)
В соответствии со вторым граничным условием на средней плоскости
(т.е. на плоскости 2 = 0 при х2>т%) потенциал равен нулю. На средней
плоскости при х2<г\ потенциал может отличаться от нуля (так как при 2 = 0
теперь А=0 и /л^О).
Таким образом, найденная функция оказывается единственным
решением задачи, так как она удовлетворяет как граничным условиям, так и
уравнению Лапласа.
Постоянные А' и В' могут быть определены, если известны значения
напряженности поля слева и справа от плоскости для очень больших
значений 2. Примем значения напряженности поля равными Е1 по левую
сторону плоскости и Е2 — по правую. Тогда для определения постоянных
§10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых задач 151
можно воспользоваться следующими уравнениями:
-т&|„_--в'+',т-«-
Из этих уравнений получаются значения постоянных А' и В':
~~ п ' 2 -
Окончательно решение принимает вид
Щх,г) = -А^2 + АгА2(агс18Я + 4-)- A0.113)
На фиг, 85 показано распределение потенциала для случая, когда
напряженности справа и слева от средней плоскости совпадают по величине,
Фиг. 85. Эквипотенциальные
поверхности в окрестности круглого
отверстия, вырезанного в бесконечной
проводящей плоскости с нулевым
потенциалом.
а — случай, когда справа от плоскости на
большом расстоянии от нее лежит
параллельная ей плоскость также с нулевым
потенциалом, а слева от нее на большом расстоянии
параллельная ей плоскость с потенциалом,
отличным от нуля, б — случай, когда справа и
слева от плоскости на большом расстоянии от
нее находятся две параллельные ей
поверхности, имеющие одинаковые потенциалы.
но имеют противоположные знаки (см. фиг. 85,6), и для случая, когда
напряженность поля справа от плоскости на большом расстоянии от нее равна
нулю, а слева от нее имеет какое-то определенное значение (см. фиг. 85,а).
Диафрагмы, подобные рассмотренной, применяются в различных
устройствах с электронной оптикой (фокусирующие электрические линзы).
ж*) Другие ортогональные системы координат
Кроме уже перечисленных плоских, цилиндрических, сферических
и эллиптических координатных систем, на практике находят применение
лишь немногие другие ортогональные системы. Кроме рассмотренных
систем, применяется биполярная система - плоскаяи плоско-меридианная
(с осевой симметрией). Координатная сетка такой плоской системы
совпадает с системой линий поля двух параллельных осей.
Практическое значение имеют и кольцевые координаты (фиг. 86), в
которых потенциальные функции могут быть также разделены. В
кольцевой координатной системе заданы угол <р, образуемый с плоскостью,
проходящей через ось ъ, и координаты Я и (л в меридианной плоскости;
эти последние связаны с цилиндрическими координатами ъ и т через
определенные эллиптические функции. Эта координатная система при 6 = 0
совпадает с плоской сфероидальной системой, а при а = Ь— с тороидальной
системой. Применяя эту систему, можно рассчитать поле электродов
кольцевой формы. Такая система представляет собой наиболее общий случай
координатной системы с осевой симметрией. Она также допускает
разделение переменных дифференциального уравнения потенциала. Некоторые
A0.110)
A0.111)
A0.112)
152
Часть //. Статические и стационарные поля
¦=солз^
случаи вырождения этой координатной системы были уже рассмотрены,
другие встретятся в дальнейшем. Если указать еще координатную
систему, образуемую вращением конфокальных парабол, то в основном все
координатные системы, допускающие разделение переменных в уравнении
Лапласа, будут исчерпаны.
Необходимо подчеркнуть, что все
ранее рассмотренные решенияуравнения
Лапласа удовлетворяют простым
граничным условиям, в соответствии с
которыми потенциал на какой-то
координатной поверхности постоянен. В
следующих параграфах рассматриваются
решения в цилиндрических и
сферических координатах для более общих
случаев. Здесь достаточно отметить,
обобщив при этом все предыдущие1
рассуждения, что при заданном законе
изменения потенциала вдоль какой-то
поверхности (причем постоянство значения потенциала необязательно)
следует так выбирать систему координат, чтобы ее координатная
поверхность совпадала с заданной. В этом случае требуется, однако, решение
уравнения Лапласа, зависящее от всех трех переменных. Решение
составляется так, чтобы оно удовлетворяло граничным условиям.
Фиг. 86. Кольцевые координаты.
В. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ
§ 11. Разделение переменных
На практике часто встречаются электроды с поверхностью
цилиндрической формы. При этом форма поперечного сечения может быть
произвольной. На фиг. 87,а показана схема расположения электродов в электронно-
оптическом устройстве; электроды здесь представляют собой пластины,
перпендикулярные плоскости чертежа, а отверстиями служат щели (также
перпендикулярные плоскости чертежа); на фиг. 87,6 изображено
поперечное сечение триода, имеющего плоский катод, сетку, состоящую из длинных
параллельных нитей, и плоский анод. Практически можно получить
достаточно хорошее приближение, полагая размеры этих электродов в
направлении, перпендикулярном плоскости (х, у), очень большими. В таком случае во
всех плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, распределение
потенциала и силовых линий одно и то же. В действительности, если края
электродов достаточно удалены от рассматриваемой плоскости сечения, их
влияние сказывается незначительно и распределение потенциала
практически не зависит от координаты г. При этом трехмерное уравнение Лапласа
сводится к двухмерному
^7 3^
A1.1)
и потенциал II представляется функцией только двух переменных хну.
Хотя в следующих параграфах рассматриваются различные задачи
и их решения на плоскости, необходимо помнить, что в общем случае задача
$ 11. Разделение переменных
153
остается пространственной. Если говорится о какой-то линии на плоскости,
то имеется в виду цилиндрическая поверхность, для которой указанная
линия служит направляющей. Если на такой линии распределен заряд д, то,
переходя к пространству, получим цилиндрическую поверхность длиной I
(в направлении г) с зарядом д\. Точечный заряд на плоскости
представляет линейный заряд в направлении оси ъ с зарядом д на единицу длины.
Фиг. 87. Встречающиеся на практике конфигурации электродов,
создающие плоско-параллельное поле.
Попытаемся решить уравнение A1.1) уже применявшимся выше
способом разделения переменных. Для этого положим, что искомый
потенциал можно представить как произведение двух функций, из которых
каждая зависит только от одной переменной, например для системы координат
х и у
Щх,у) = Х(х)У(у). A1.2)
Подставив это произведение в уравнение A1.1), получаем
г^+х*у
<1з*
*уг
0.
A1.3)
Если далее полученное уравнение почленно поделить на произведение
X У, то получится уравнение
% <&\к*
у
Лу2
A1.4)
одна часть которого зависит только от переменной х, а другая — только от
переменной у. Отсюда следует, что обе части должны быть постоянными
и иметь одно и то же значение, скажем к2. Таким образом, исходное
уравнение в частных производных распадается на два обыкновенных
дифференциальных уравнения второго порядка
а2х
= к2Х,
а*у
Решение этих уравнений известно:
Х(х) = А*Ъкх + ВсЪкху У (у)
-к2У.
A1.5)
С вт ку + Ь соз ку. A1.6)
154
Часть II. Статические и стационарные поля
Значение так называемой постоянной разделения к может быть
действительным, мнимым или комплексным и вследствие этого характер обеих
выбранных функций в действительности может быть обратным указанному.
Общее решение уравнения Лапласа получится, если просуммировать
все имеющиеся решения:
#(я, У) = 2(Ак*Ъ кх + ВксЪ кх) (СА8т ку + Вк сов ку). A1.7)
к
Значения всех входящих в уравнение постоянных должны быть
определены из граничных условий.
Уравнение Лапласа для плоскости (двухмерное уравнение) можно
представить также в полярных координатах:
если полагать, что потенциал не зависит от координаты ъ. Это уравнение
также может быть решено методом разделения переменных. Положим
17 (г, р) = Щг)Ф(<р). A1.9)
Подставив эту функцию в уравнение Лапласа, получим
г Л ( сШ\ , 1 Л2Ф А ,ЛЛ ,АЧ
Аналогично предыдущему введем постоянную разделения &, после чего
получим
«('$-»¦. ъ™--*¦¦ <1111>
Решения этих двух дифференциальных уравнений уже известны:
решения первого уравнения имеют вид В = г~к ий = гк, что можно доказать
подстановкой в исходное уравнение.
Соответственно общее1' решение уравнения Лапласа в полярных
координатах, удовлетворяющее произвольным граничным условиям, имеет вид
Щг, <р) = % (**'* + *) (Сь зш к<р + Вк сов к<р). A1.12)
§ 12. Разложение в степенной ряд
Если в пространстве имеется некоторая плоскость симметрии, то
знания распределения потенциала на этой плоскости достаточно для того,
чтобы найти распределение потенциала во всем рассматриваемом
пространстве. В обоих устройствах, представленных на фиг. 87, такая
плоскость симметрии существует — это плоскость (х, %).
Разложим функцию V в ряд по возрастающим степеням переменной у.
Потенциал на равных расстояниях ±у от плоскости симметрии одинаков
для любого фиксированного значения х. Поэтому при разложении в ряд
встречаются только четные степени у. Потенциальная функция в этом
случае (когда потенциал не зависит от ъ, как в примерах, изображенных на
1) Уравнению A1.11) удовлетворяют и некоторые другие функции. — Прим. ред.
§12. Разложение в степенной ряд
155
фиг. 87) выражается рядом
Щх,у)= 2Ап(х)у*\ A2.1)
71=0
Подставляя это выражение в уравнение Лапласа, получаем
2[А"п{х)у2п + 2пBп-1)Ап(х)уЧп-1>] = 0. A2.2)
71=0
Так как это равенство справедливо для любых значений у, то сумма
коэффициентов при любых степенях у должна равняться нулю.
Следовательно, для коэффициентов при у2(-п-и
Апп-1(х) + 2п{2п-1)Ап{х) = 0,
или
Из первоначального разложения в ряд можно заключить, что
коэффициент при нулевой степени у, т.е. функция ^о^), выражает потенциал
на оси симметрии (при независимости поля от я), т.е.
А0(х) = Щх, 0) = и(х). A2.4)
Зная эту функцию, можно последовательно определить и остальные
коэффициенты ряда:
V (х, 0) __ и'(х)
АЛх)
2-1 2!
^<*>=-^=+^> <12'5)
Ап(х) = (-1Г^и™(х).
Окончательно выражение потенциала приобретает следующий вид:
Щх, у) = ф)-±иГ(х)у* + ±**Ш- ... = ^(-Ц*^и™(х)у**. A2.6)
Смысл этого разложения состоит в том, что оно выражает потенциал
в произвольной точке плоскости (х, у) через заданные на оси симметрии
значения потенциала и его производных. Другими словами, это означает,
что потенциал на плоскости симметрии однозначно определяет потенциал
во всем пространстве.
Выясним еще, какой вид имеют эквипотенциальные поверхности
вблизи произвольной точки на оси симметрии. Для этого разложим в
ряд функцию #(ж, у) в окрестности точки х — х0, у = 0:
ЩХ,У) = Щх010) + (х-х0)(^)хо90 +
156
Часть II. Статические и стационарные поля
откуда с помощью A2.6) получаем
И(х, у) % и(х0) + (х- х0)и'(х0) +
+ у <*- *оJ""(*о) ~ ^""М- A2.8)
Уравнение эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку х=х^г
у = 0, II(х, у) = Щх01 0) = и(хо) имеет вид уравнения гиперболы
(х - х0)и'(х0) + у (я - х0Jи"(х0) = — у2и"{х0). A2.9)
Интересно проследить характер потенциальной функции в седловине1*.
В этой точке изменение потенциала равно нулю2), вследствие чего
уравнение гиперболы переходит в следующее:
—{х-х0Jи"(х0)=—у2и"(х0),
или
У2 = {х-х0)\ A2.10)
Это — уравнение двух прямых, пересекающихся под прямым углом.
Таким образом, в седловине поля, созданного длинными
цилиндрическими электродами, при наличии осевой симметрии сходящиеся^в одну
точку эквипотенциальные поверхности нормальны друг к другу.
§ 13. Основные свойства функций комплексного переменного.
Конформное отображение
Теория функций комплексного переменного — мощное
вспомогательное средство для решения краевых задач на плоскости. Но и для других
задач нам в дальнейшем понадобятся положения этой теории. Поэтому
следует, хотя бы коротко, рассмотреть некоторые свойства функций
комплексного переменного, важные для последующего изложения.
Обозначим через %=х + ]у независимую переменную, где х и у —
соответственно ее действительная и мнимая части. Область этой
независимой переменной — вся координатная плоскость (х, у), которую мы в
дальнейшем будем обозначать как плоскость я. Комплексное число ъ
представляется вектором, соединяющим нулевую точку координатной системы
(х, у) с любой точкой этой плоскости, имеющей координаты х и у.
Зависимость
ю = /(*) A3.1)
означает, что комплексному числу % = х + ]у соответствует комплексное
число ю = и + IV. Это соответствие в общем случае указывает на то, что как
действительная, так и мнимая части комплексного числа т зависят от
координат х и у, т.е.
и ^ и(х, у), V = и(х, у). A3.2)
1} Например, в средней точке диафрагмы фиг. 85,6. — Прим. ред.
2) То есть и'(х0) = 0, так как при переходе через эту точку напряженность
поля меняет знак. — Прим. ред.
^ 13. Функции комплексного переменного и конформное отображение 157
Комплексное число ш, соответствующее комплексному числу %,
можно, разумеется, представлять на той же самой плоскости. Однако
нагляднее представлять его на другой плоскости ш с координатными осями
и и V. Таким образом, зависимость т = /(я) устанавливает связь между
точками плоскости % и точками плоскости ш. Иначе можно сказать, что
соотношение ю = /*(%) отображает плоскость г (или часть ее) на плоскость
и) (или часть ее). Нельзя, конечно, утверждать, что в общем случае эта
зависимость всегда обратимо однозначна.
В дальнейшем рассматриваются только такие функциональные
зависимости, для которых функция т = /(г) однозначна и дифференцируема.
Следовательно, существует предельное значение
Нт
4г->0
/(*+Дг)-/(г)
Аъ
Г(^),
A3.3)
не зависящее от того, каким образом Аг стремится к нулю.
Щ+Дги
Фиг. 88. Отображение двух близлежащих точек.
Фиг. 88 иллюстрирует геометрический смысл этого выражения.
С помощью функции ш=/B) произвольная точка з0 плоскости ъ
отображается в точку ш0 плоскости ш. Тогда точка плоскости ш,
соответствующая точке %0 + А%, определяется комплексным числом ьи0 + Аю. Если
разность Аъ очень мала, то приближенно
или
/(зо+4з)-/(г0)
Лъ
<ГЫ
A3.4)
при условии, что производная в рассматриваемой точке не равна нулю.
В общем случае производная представляет собой комплексное число.
Если помножить одно комплексное число на другое, получается новое
комплексное число, модуль которого равен произведению модулей
обоих чисел, а аргумент — сумме их аргументов. Если известно
значение производной в какой-то точке, то оно определит значение
(длину и угол наклона) приращения Аш в точке ш0,
соответствующего приращению Аъ в плоскости 2. Производная, таким образом,
указывает, насколько следует растянуть или укоротить и насколько надо
повернуть элемент длины при отображении его с одной плоскости.на
другую.
Отсюда вытекает одно очень интересное следствие при условии, что
производная в рассматриваемой точке не равна нулю. Пусть в какой-то
произвольной точке плоскости 2, которая характеризуется значением
20, пересекаются две кривые (фиг. 89), причем угол, образованный каса-
158
Часть II. Статические и стационарные поля
тельными к этим кривым в точке 20, равен ее. Отобразим плоскость %¦
с помощью дифференцируемой функции ш = /(я) на плоскость ш. В этом.
случае обеим кривым плоскости ъ будут соответствовать две кривые в
плоскости ш. Они, безусловно, пересекаются на плоскости т в точке ш0,
соответствующей пересечению кривых на плоскости ъ. Взяв точку
пересечения кривых за исходную, рассмотрим очень малый элемент одной
кривой и такой же элемент другой кривой. Как уже говорилось, производная,
определенная в этой точке, показывает, на какой угол следует повернуть
рассматриваемый элемент кривой и как изменить его длину. Это же
относится, конечно, и ко второй кривой. Поэтому треугольник ЛВС
плоскости г отобразится в подобный же треугольник А'В'С в плоскости ш,
повернутый на некоторый угол, определяемый аргументом производной.
№
IV
А'^о
и
Фиг. 89. Конформное отображение.
Таким образом, при отображении малых элементов фигур имеет место
полное подобие. Это означает, что заданные на одной плоскости
пересекающиеся кривые должны пересекаться на другой плоскости под таким.
же углом; далее элементы геометрической фигуры (например, стороны
элементарного треугольника) в произвольной точке на плоскости при
переходе к другой плоскости должны увеличиваться или уменьшаться в одном
и том же отношении.
Как вытекает из самого определения производной, подобие имеет место
лишь в ближайшей окрестности рассматриваемой точки и только тогда,
когда значение производной отлично от нуля. Такое отображение
плоскости г на плоскость т называется конформным.
Итак, дифференцируемая функция (ее называют аналитической или
регулярной)
т = /(*)
конформно отображает всю область плоскости ъ, для которой /''(^-^О
(производная не равна нулю), на плоскость ш. Условие независимости
производной от пути, по которому приращение Аъ стремится к нулю, позволяет
определить связь между действительными и мнимыми частями функции ю.
А это в свою очередь дает возможность решать потенциальные задачи на
плоскости, пользуясь функциями комплексного переменного. Если
приближаться к некоторой точке параллельно действительной оси,
производная представляется равенством
/'(*)
Цт Н*+Ах)-Нг) = цт -и(х+Ах,у)-и{хуу) |
Ах-+0
Ах
Ах->0 1
Ах
. -п(х+Ах,у)-и(х,у)-1 ди -
+ / Ах 1 ~^+/
.ди
A3.5)
^ 14. Решение плоской задачи
159*
Если же приближаться к рассматриваемой точке в направлении,
параллельном мнимой оси {Ат,=]Лу), то производная равна
Если производная не зависит от пути, по которому производится
приближение к исследуемой точке, то оба выражения A3.5) и A3.6) должны быть
равны, т.е.
дх * дх ^ ду ду' \ ' г
Но это значит, что по отдельности равны друг другу действительные и
мнимые части:
ди _ дг дг> __ ди ,,^ оч
дх ду' дх ду * **'" '
Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями (или
условиями) Коши — Римана. Можно доказать и обратное, что производная
в какой-то точке существует, если действительная и мнимая части функции
удовлетворяют вышеприведенным дифференциальным уравнениям.
Если еще раз продифференцировать первое дифференциальное
уравнение Коши — Римана по х, а второе по у, получим
д2и _ д2и д2и __ д2и
дх2 дхду"* дудх ду2 '
Складывая полученные равенства, придем к уравнению
Й+ч? - °- A3-9>
Аналогично, дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х, получим
д2и , д2и" ^ /лп л г\\
а?+§7 = °- A3Л0>
Мы видим, таким образом, что и действительная, и мнимаячасти любой
аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Этот результат
показывает всю важность теории функций комплексного переменного для
электростатики. Действительно, бесконечное множество функций,
удовлетворяющих уравнению Лапласа на плоскости, можно получить, взяв
действительную и мнимую части любой аналитической функции комплексного
переменного. Трудность в общем случае состоит в том, чтобы из возможных
решений уравнения Лапласа найти удовлетворяющее заданным граничным
условиям. Но когда известно большое число решений исходного уравнения,,
то легче подобрать из них соответствующие данной конкретной задаче.
§ 14. Решение плоской задачи с помощью функций
комплексного переменного
Пусть функция ш=1B;) отображает плоскость ъ на плоскость ш. Тогда
точке плоскости ъ с координатами х, у соответствует на плоскости ю точка
с координатами и(х, у), ь(х, у).
Согласно приведенным выше рассуждениям, закон распределения
потенциала на плоскости ъ может быть выражен с помощью функции,
160
Часть II. Статические и стационарные поля
и(х, у). Это можно было бы сделать, конечно, и с помощью мнимой части
потенциала. Направляющие пространственных эквипотенциальных
цилиндров в плоскости (х, у) представляются кривыми
и(х, У) = Щ = сопз!,. A4.1)
как показано на фиг. 90. Функция и(х, у) представляет решение
физической задачи, если конфигурация электродов совпадает с
эквипотенциальными поверхностями и(х, г/) = сопз1, как на фиг. 90, где электроды
показаны штриховкой. На плоскости до семейству кривых и(х, у) = щ
соответствует семейство прямых, параллельных мнимой оси.
V'
4
и0
Щ
\
Ч Щ\>,
и
Фиг. 90. Эквипотенциальные поверхности плоскости ъ отображаются на
плоскости ш в прямые, параллельные мнимой оси.
Рассмотрим теперь, какие кривые в плоскости до соответствуют
кривым и(х, у) = соп81. Это — прямые, параллельные действительной оси.
Так как рассматриваемое преобразование не изменяет углов и прямые
и = еоп81 и V = сопз1 на плоскости до образуют сетку декартовых
координат, то на плоскости ъ кривые и(х,у) — щ и и{х,у)—и{ также взаимно
перпендикулярны и образуют ортогональную криволинейную сетку.
Кривые и(х, у) = соавЪ везде нормальны кривым и(х, у) = сопзЪ. Иными
словами, кривые и(х, у) = сопв! совпадают с силовыми линиями поля.
Все изложенное можно толковать и так: дано поле плоского
конденсатора на плоскости до с заданными эквипотенциалями и силовыми линиями.
Это поле, заведомо удовлетворяющее уравнению Лапласа, отображается
на плоскость г. В полученном изображении линии и = сопзЪ и V = сопз!
вновь представляют эквипотенциали и силовые линии (так как они также
удовлетворяют уравнению Лапласа), но уже какой-то новой системы.
Обобщая сказанное, приходим к следующему выводу: если в какой-то
произвольной области известно решение уравнения Лапласа,
удовлетворяющее определенным граничным условиям, то при отображении этой
области с помощью любой аналитической функции эквипотенциальные
поверхности снова переходят в эквипотенциальные поверхности, силовые
линии — в силовые линии и уравнение Лапласа удовлетворяется при
новом распределении потенциала. Если потенциал во всех точках плоскости
известен, то напряженность поля находится из равенств
ди п ди
Ьх —
дх
Еу =
ду
Е = тщ^ШАШ-
A4.2)
A4.3)
§15. Примеры применения функций комплексного переменного 161
Но из уравнений Коши—Римана A3.8) известно, что
[ду) " [дх) '
Поэтому
=}'(ШЧ
дц\2
дх)
ди . дю
дх I дх
/'B)
A4.4)
A4.5)
т.е. напряженность поля по абсолютной величине всюду совпадает с
абсолютным значением производной.
Прежде чем перейти к решению различных конкретных задач,
рассмотрим, как определяется заряд на электроде между двумя точками
(между двумя силовыми линиями). Для
этого существует очень простое
выражение. Наружная поверхность проводника
(фиг. 91) совпадает с эквипотенциальной
поверхностью и(х,у)=и0. Взяв интеграл
от вектора смещения Б между точками
В и А этой эквипотенциальной
поверхности, получим значение заряда на этой
части поверхности электрода (на единицу
длины в направлении оси г)
в в в
, из =
Я= ] е0ЕпA8= е0^Еп<^8= -е0^^^
ди ,
A4.6)
Фиг. 91. К расчету
поверхностной плотности зарядов.
Как было только что показано,
напряженность поля равна модулю производной. Если перемещаться в
направлении, перпендикулярном к поверхности и = сопвЪ, то значение V
остается постоянным; поэтому ди/дп есть полное значение производной.
Полному значению производной равна и ди/д$, если 5 — перемещение по
линии и = сопз!, т.е. перпендикулярно линиям V = сопзЪ. Поэтому
ди ду х 1Ч ч ,
^ = *; = 1/BI
A4.7)
Следовательно, вместо A4.6) величину заряда можно выразить равенством
Я = ~ео/^^ = Фа~~»в)-
A4.8)
Таким образом, заряд на электроде между двумя точками А и В
определяется по значениям функции иА и ив в граничных точках.]
§ 15. Примеры применения функций комплексного переменного
Вместо непосредственного отыскания изображений, соответствующих
поставленной физической задаче, можно сначала идти другим путем:
рассмотреть, какие реальные задачи решаются посредством тех или иных
изображений. В дальнейшем из множества полученных решений надо
будет выбрать те, которые ближе всего подходят к поставленной задаче.
11 К. Шимони
162
Часть II. Статические и стационарные поля
A5.1)
A5.2)
Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим функцию
Ш = 22.
Раскрывая это выражение:
и + /р = (х + ]уJ = х2-у2 + ]2ху,
находим, что
в = я2_у2? и = 2ху. A5.3)
Следовательно, это преобразование переводит параллельные прямые
и = соп&Ъ и V = сопв1 плоскости ш в гиперболы х2-у2 = соп81 и 2ху = СОПВТ,
в плоскости %. Так как производная во всех точках, кроме точки ъ = 0, не
равна нулю и однозначна, отображение конформно, т.е. семейства этих
гипербол ортогональны.
ь\\
7^//А/^/у//Л
97777777777777777777777,
У/М
77777777777777777777777\
'//Л/////
777?
Фиг. 92. Конформное отображение системы эквипотенциалей и
силовых линий с помощью преобразования ш = я2.
В качестве потенциальной функции выберем мнимую часть, т.е. будем
считать, что потенциал выражается функцией
V = 2ху. A5.4)
С помощью рассматриваемого преобразования можно решать все задачи,
в которых направляющая цилиндрического электрода — гипербола,
описываемая уравнением 2ху = и0. Можно считать, что прямая и0 = 0
(т.е. ось и) соответствует границе первого квадранта в плоскости ъ (для
которого х^О, у^О при 0=^0).
В этом случае область однородного поля в плоскости ш, лежащая между
электродами р = 0 и и = и0, отображается на область, лежащую в
первом квадранте плоскости ъ между координатными осями, на которых р = 0,
и гиперболой 2ху = и0 (фиг. 92).
Составляющие напряженности поля выражаются в виде
Ех = -Й- = -2у,
дх
еу= ~Т^~ ~2х-
Модуль напряженности
Е2=-.Е* + Е$ = Цх2 + у2).
A5.5)
A5.6)
Как непосредственно видно из фиг. 92, напряженность поля возрастает
по мере удаления от начала координат и при больших значениях х вблизи
оси х силовые линии поля становятся параллельными оси у; аналогично
$ 15, Примеры применения функций комплексного переменного 163
при больших значениях у вблизи оси у они становятся параллельными
оси х.
A5.7)
A5.8)
Пример 2. Рассмотрим функцию
и) = 1п 2, или % = х + ]у = Яе**.
В этом случае
и 4-/0 = 1п з = 1п Не™ = 1п Я + />,
т.е. действительная и мнимая части функции определяются соответственно
равенствами
A5.9)
A5.10)
A5.11)
и = 1п У#2 + у2, у = (р = агс 1§-
Выбрав в качестве потенциальной функции
и = 1п ^#2 + 2/2,
найдем уравнение эквипотенциальных линий (гг=соп81)
1п Ух2 + у2 = сопвЪ, или #2-Ь ?/2 = сопв*,
т.е. эти линии — концентрические окружности.
Рассматриваемая функция соответствует полю заряженного
провода, имеющего форму круглого длинного цилиндра. Заряд,
приходящийся на единицу длины такого провода, по
уравнению A4.8) равен
?о = е0A>А-Рв) = го@-2тг) = -2тгг0. A5.12)
Следовательно, заряду —2ле0 соответствует
функция
и = 1п Ух2 + у2.
A5.13)
Заряду в д раз большему и положительному
по знаку соответствует функция
и= --^—1пУх2 + у2 = --
27гг0 г
A5.14)
Фиг. 93. Отображение
системы эквипотенциалей и
силовых линий с помощью
функции ш = 1п я. В качестве
потенциальной функции
выбрана функция и.
Далее, так как 1п1 = 0, то потенциал в точке
г=1 равен нулю. Если потребовать, чтобы
потенциал равнялся нулю на поверхности
цилиндра радиуса г0, получится следующее выражение потенциала
и = —¦
2пе0 г0 2яе0 г
A5.15)
которому соответствуют поле круглого цилиндра конечного радиуса, поле
заряженной электрической оси и поле коаксиальных цилиндров (фиг. 93).
Выберем теперь в качестве потенциальной функции мнимую часть ш
и = 99 = агс1§А#
A5.16)
Тогда, согласно фиг. 94,а, этому соответствует потенциальное поле двух
полуплоскостей, пересекающихся по линии х = у=0, образующих
между собой заданный угол и имеющих разные потенциалы. Следы эквипотен-
11*
164
Часть II. Статические и стационарные поля
циальных поверхностей в данном случае — прямые (в пространстве —
плоскости), выходящие из центра. Силовые линии образуют окружности (в
предыдущем примере окружностями были эквипотенциали). На^фиг. 94,6
показано электрическое поле двух близлежащих полуплоскостей,
находящихся под разными потенциалами (поле рассеяния плоского конденсатора).
а
¦ Г I \п
\\\Ч\\\\\\\ЧЧ\ЧЧ\ЧЧЧЧЧЧ\\Ч\ЧЧЧЧЧЧЧ^ у=а
Фиг. 94. Отображение системы эквипотенциалей и силовых линий с
помощью функции и) = 1п г. В качестве потенциальной функции выбрана
функция V.
На фиг. 95 показано поле двух расположенных рядом полуплоскостей,
имеющих разные потенциалы (одна из них служит геометрическим
продолжением другой). Таким образом, преобразование ш = 1п2 отображает
прямые у = 0 и у = тг в плоскости ш на рядом лежащие полубесконечные
прямые плоскости г. Этот результат будет рассмотрен подробнее несколько
позже.
I©
/ ¦-'
±11
'&
\
у=0
'">У*
'//7ууу////^//////У7/Л
^ЧЧЧЧЧЧЧЧЧ^чЧ^ч^
Фиг. 95. Отображение поля плоского
конденсатора с помощью функции ш =¦ 1п г.
Функция до = 1п г отображает прямую V =* О плоскости
до в положительную часть действительной оси плоскости
г, а прямую V = я —в отрицательную часть той же
действительной оси и, следовательно, отображает поле
конденсатора плоскости до на плоскость г в виде поля двух
рядом лежащих плоскостей, находящихся под разными
потенциалами.
Пример 3. Преобразование
IV = —
можно записать в таком виде:
и + /V =
1
х-1У
х+]у х2 + у2 '
откуда следует, что
— х — у
П ~~ х2 + у2 ' и ~ х2 + у2 •
A5.17)
A5.18)
§15, Примеры применения функций комплексного переменного 165
Уравнение и = сопвт, определяет семейство окружностей, центры которых
лежат на оси х. Все окружности проходят через начало координат и
касаются оси у (пунктирные линии на фиг. 96). Окружности семейства,
определяемого уравнением V = сопв!, имеют центры на оси у, проходят
через начало координат и касаются оси х (сплошные линии на фиг. 96).
Эта конфигурация соответствует полю двух близко расположенных
электрических осей, имеющих противоположные заряды, т.е. полю
линейного диполя. Такое отображение применимо и для представления поля
двухпроводной линии на большом расстоянии от нее. Полученные формулы
могут быть полезны для расчета электрического поля линий
электропередачи, оказывающего влияние на работу некоторых устройств связи на
расстояниях, больших по
сравнению с расстоянием между
проводами.
Из фиг. 97 легко видеть, что
рассмотренная картина поля
действительно представляет поле так
/ х
Фиг. 96. Отображением = 1/я дает Фиг. 97. К выводу уравнения поля линей-
поле линейного диполя с моментом 2яе0. ного диполя.
называемого линейного диполя. Предположим, что на расстоянии -Н/2 и
-2/2 относительно нулевой точки проходят электрические оси с зарядом
± д на единицу их длины. Потенциал в произвольной точке плоскости равен
С/
2лес
Я1у
1г°
2тгг0
2яе0{х2 + у2)
_ Р
У
2яе0 х2 + у2
A5.19)
Это выражение справедливо при условии, что обе электрические оси
находятся друг от друга на расстоянии, малом по сравнению с г. Если,
наоборот, электрическая ось диполя совпадает с осью х, а не г/, то значение
потенциала равно
11 = ^
2ле0 х2 + у2
A5.20)
Из сравнения с A5.18) становится очевидным, что уравнение A5.18)
представляет поле линейного диполя, момент которого равен 2пе0 и направлен
по положительной оси х или по отрицательной оси у.
Пример 4. Рассмотрим преобразование
A5.21)
166
Часть II. Статические и стационарные поля
Записывая его подробнее:
и + р = Ух + ]у, х + 1'у = и2-и2 + ]2ии,
находим, что
х = и2 — у2, у = 2ии.
Из этих двух уравнений следует, что
--1Г
A5.22)
A5.23)
A5.24)
Это преобразование отображает сетку декартовых координат плоскости ш
в конфокальное ортогональное семейство парабол (фиг. 98) на плоскости ъ.
Имможно воспользоваться для определения поля выступа, находящегося
над плоской поверхностью (фиг. 99). В этом случае плоскость соответствует
Фиг. 98. Система эквипотенци- Фиг. 99. Поле бесконечной плоскости
альных поверхностей и силовых и лежащего против нее выступа может
линий преобразования ю = /7. быть апроксимировано с помощью
отображения т = /Т.
параболе с очень большим фокусным расстоянием, а выступ — параболе
с малым фокусным расстоянием.
Пример 5. Исследуем еще преобразование
2, = к си т. A5.25)
Представляя его через действительные и мнимые части
х + ]у = йсЪ(а + /0) A5.26)
и пользуясь известной формулой для гиперболического косинуса от
комплексного аргумента
сЬ(гг-}-/Ъ) = сЬ и соз и + ] зЬ и вт у, A5.27)
находим уравнения для действительной и мнимой частей:
х = к си и соз V, у = къЪ. и вт V.
Разрешив их относительно сов V и вт г;, получаем
СОВ У
ксп и'
81П У
ЬЬи'
A5.28)
A5.29)
^ 15. Примеры применения функций комплексного переменного 167
возводя эти выражения в квадрат и складывая, приходим к уравнению
эллипса
1 =
х*
- + -
У*
к2 сп2 и к2 8П2 и'
A5.30)
Таким образом, указанное преобразование отображает прямую гг = сопз!
в эллипс с постоянным фокусным расстоянием
/ =Ук2сЪ2и-к2вЪ2и = к.
A5.31)
Различным значениям и соответствует система конфокальных эллипсов.
Разрешив A5.28) относительно вЬ и и сЪи:
сЬ и
-, зЪ. и =
У
к С08 у' "" ~ /С81П V '
получим после возведения в квадрат и вычитания уравнение
1 =
У
к2 С082 V к2 81П2 V '
A5.32)
A5.33)
Оно выражает семейство конфокальных гипербол, каждой из которых
соответствуют различные значения V. Декартова сетка плоскости ш
переходит на плоскости ъ в семейство конфокальных взаимно ортогональных
X
Фиг. 100. Система эквипотенциальных поверхностей
и силовых линий преобразования 2 = А: сп ш.
эллипсов и гипербол (фиг. 100). Это отображение удобно для
представления таких цилиндрических полей, силовые линии и эквипотенциали
которых образуют эллипсы или гиперболы.
Случаи вырождения этих кривых можно применить к решению задач
при различных иных конфигурациях электродов. Пусть, например, имеются
плоскость и расположенная на заданном расстоянии от нее и
перпендикулярная к ней полуплоскость (фиг. 101). Плоскость и полуплоскость
находятся под разными потенциалами. В этом случае распределение
потенциала может быть представлено мнимой частью рассматриваемого
преобразования. При зеркальном отражении полученной картины поля
168
Часть II. Статические и стационарные поля
получается поле двух полуплоскостей, отделенных одна от другой
известным промежутком и служащих геометрическим продолжением друг
друга (фиг. 102). В этом случае потенциальная функция выражается
мнимой частью преобразования A5.25).
Электрический потенциал уединенной
заряженной ленты (фиг. 103)
выражается вещественной частью
рассматриваемого отображения.
Пример 6. Рассмотрим
действительную часть выражения
^^^^^^^^^^Ш^Ш
IV = 1п 6И1 -у 2.
A5.34)
Фиг. 101. Поле бесконечной
плоскости и лежащего против нее выступа
может быть с большой точностью
апроксимировано с помощью
отображения я=&спш.
Качественную картину поля можно
получить, исследуя значение этой
функции в окрестности ъ = пА, где п — целое
число. Во всей этой области синус очень
мал. Разлагая рассматриваемую
функцию в ряд, получаем для этой области
8ш ~ (ъ — пА) ^-з(% — я^)>
ш^\п^(г—пА).
A5.35)
Фиг. 102. Система силовых линий
и эквипотенциалей в пространстве
между двумя полуплоскостями,
лежащими в одной плоскости, может
быть представлена с помощью
отображения г=ксЪи).
Фиг. 103. Поле бесконечно длинной
металлической ленты, находящейся внутри
цилиндра большого радиуса. Разность
потенциалов задана между лентой и наружной
поверхностью цилиндра. Это поле может быть
получено с помощью преобразования ъ = к сп ю.
Это отображение уже известно. Оно выражает поле электрической оси,
расположенной в точке г = пА. Следовательно, вблизи точек ъ = А} 2= 2й,...
. . ., % — пА значение потенциала такое, как если бы в этих точках
находились заряженные электрические оси (линейные источники силовых линий).
Если исследовать дальнейшее изменение потенциальной функции, то полу-
$ 15. Примеры применения функций комплексного переменного 169*
чится картина поля, показанная на фиг. 104. Она близка к полю сетки,,
находящейся между плоским анодом и плоским катодом.
Пример 7. Эквипотенциали действительной части функции
С03 2
ш = агссоз
спи
A5.36>
показаны на фиг. 105. Здесь наглядно представлено поле заземленной
плоскости с отверстием, причем эта плоскость расположена в середине
между двумя параллельными плоскостями, несущими одинаковые зарядыЧ.
Фиг. 104. Система эквипотенциальных
поверхностей, определяемая преобразованием го =
= 1пзт-^-2. Потенциальная функция - и(х, у).
Фиг. 105. Система
эквипотенциальных поверхностей, определяемая
преобразованием го « агссоз ^-|-.
Она соответствует эквипотенциалям.
электростатической линзы (ср. фиг.
85,6).
1} Это преобразование легко исследовать. Расстояние от средней пластины до*
крайних следует принять равным ±л/29 а координаты концов отверстия у=±й.
Имея в виду, что соз ъ =* соз (х+]у) = соз х сп у—] зт х зп у} легко находим, что
соз 2= ^ зп у при х= ±л/2
и
соз г- сп у при х=0.
В первом случае искомая функция
Т]сБ~а)
должна иметь постоянную вещественную часть л/2 и .мнимую часть V = Ащ (±|^)-
Повтором случае (# = 0)
го
и+Л>- агссоз ^|,
следовательно, вещественная часть го при сп */< сп й отлична от нуля, а мнимая - равна
нулю, т.е. силовые линии не проходят через плоскость # = 0, они направлены по
касательным.
При у>Ау т.е. при сп у > спи, значения косинуса оказываются больше \г
оставаясь действительными. Это значит, что аргумент косинуса — чисто мнимая
величина:
и=0, 0 = Агдсп^-| (при у>д).
Теперь потенциал средней плоскости равен нулю, а силовые линии нормальны к этой»
плоскости.— Прим. ред.
170
Часть II. Сатитческие и стационарные поля
Пример 8. В предыдущих примерах мы выбирали некоторую функцию
преобразования и пытались установить, какой физической задаче она
соответствует, т.е. какая конфигурация электродов создает поле,
представляемое данным преобразованием. Теперь попытаемся решать задачу
прямым путем.
Пусть задана направляющая цилиндра в плоскости %. Требуется
найти преобразование, отображающее прямую V = 0 (т.е. ось и) в эту
кривую.
Выбрав в качестве потенциальной функции мнимую часть искомого
преобразования, получим на этой кривой значение потенциала, равное
нулю. Будем предполагать, что направляющая цилиндра в плоскости ъ
задана в параметрической форме
х = №), У=Ш. A5.37)
Пусть изображение
г=к{Щ+МЩ, A5.38)
где к — действительное число, точно отображает прямую V = 0 в заранее
заданную эквипотенциаль. Перепишем уравнение A5.38) в развернутом
виде:
г = х + ]у = /1[Л(и + /у)] + //а[А(и + /^)]. A5.39)
Если и = 0, то
х + 1У =/1(*и) + /72(*и), A5.40)
или, иначе,
*=№), у=/2(Аи). A5.41)
Это означает, что ки при движении вдоль оси и от — °° до +°° играет роль
параметра I, а функции /х и /2 в A5.41) и A5.37) одинаковы.
Для иллюстрации метода найдем преобразование, которое отображает
ось и (для которой ^ = 0) на окружность радиуса а (в плоскости 2),
определяемую уравнениями
х=асо$1, у=а&т1. A5.42)
На основе вышесказанного,
ъ = а(со8Й;шН-/8т кш) = ае^кш, A5.43)
или, в другой форме,
/и, = |1п^.. A5.44)
Это преобразование нам уже известно. Оно было найдено при рассмотрении
поля электрической оси, но отличается от последнего множителем /. Это
значит лишь, что функции и и V меняются ролями.
§ 16*. Основные положения теории конформных отображений
Если, как уже говорилось, для какой-то заданной области решена
задача электростатики, т.е. найдена система эквипотенциалей и силовых
линий, то эта система линий при конформном отображении перейдет в
другую ортогональную систему эквипотенциалей и силовых линий. Бла-
^ 16. Основные положения теории конформных отображений 171
годаря этому можно из одного известного решения получить решение
другой физической задачи. Решение может быть найдено, например, путем
отображения области известного поля, лежащей внутри эквипотенциальной
окружности единичного радиуса, на любую область, ограниченную
поверхностью другого заданного электрода. Поверхность электрода должна,
естественно, совпадать с какой-то линией новой системы эквипотенциалей
изображения.
Но всегда ли возможно произвести такое отображение? Согласно
основной теореме теории конформных отображений Римана, всегда
можно любую произвольную одиосвязную область, имеющую по крайней
мере две граничные точки, взаимно однозначно отобразить на внут-
Ф иг. 106. Отображение многоугольника на числовую сферу Римана.
реннюю часть окружности единичного радиуса. Отсюда следует, что
любая произвольная односвязная область может быть однозначно
отображена на другую произвольную односвязную область.
Для однозначности отображения следует согласовать соответствующие
направления в какой-либо заданной точке, находящейся внутри
отображаемой области, и в точке, представляющей ее изображение. Вместо
согласования направлений можно согласовать три произвольных
действительных числа в заданной области и в ее отображении. Для однозначности
преобразования достаточно выбрать, например, на контуре,
ограничивающем отображаемую область, одну точку и направление обхода контура,
приводя им в соответствие точку и направление обхода на контуре,
полученном в результате преобразования. Вместо этого можно задать
соответствие трех точек на ограничивающих контурах1*.
Отыскание изображений представляет собой в общем случае нелегкую
задачу. В отдельных случаях (см. следующий параграф) применяются
1} Согласование последовательности этих трех точек равносильно согласованию
направлений обхода контуров. — Прим. ред.
172
Часть II. Статические и стационарные поля
специальные методы. Трудности часто вызываются особым положением
бесконечно удаленных точек. Например, иногда приходится
рассматривать угол, под которым прямые пересекаются в бесконечности. В этом
случае целесообразно ввести риманову сферу комплексных чисел.
Комплексные числа при этом располагаются не на плоскости, а на сфере
(фиг. 106), „северный полюс" которой/^ находится наверху над нулевой
точкой плоскости 2, а ее „южный полюс" касается плоскости я, в нулевой
точке. Изображение точки % на сфере определяется точкой пересечения
сферы с прямой линией, проведенной из точки г комплексной плоскости в
точку Роо (северный полюс) сферы. При этом всем бесконечно удаленным точкам
на плоскости г соответствует одна точка (Р^) сферы. Любой области на
числовой плоскости соответствует некоторая область на числовой сфере.
Особое положение бесконечно удаленных точек, характерное для
плоскости, на сфере устраняется. Одновременно устраняется резкое различие,
существующее на плоскости между внутренней и наружной областями,
определяемой замкнутым контуром.
На фиг. 106 в плоскости ъ пунктиром проведена окружность,
разделяющая всю плоскость на две односвязные области (внутреннюю и внешнюю).
На сфере ей соответствует эквипотенциальная окружность, также
разделяющая сферу на две области (северное и южное полушария). Эти
области отличаются друг от друга тем, что одна из них содержит бесконечно
удаленную точку, а другая-нет. Легко показать, что переход от числовой
плоскости к числовой сфере характеризуется тем, что угол, под которым
две прямые пересекаются на плоскости, равен углу, под которым
пересекаются на сфере их изображения. Это свойство нам понадобится в
дальнейшем.
§ 17*. Поле электродов с направляющей в виде многоугольника
На практике часто встречаются цилиндрические электроды, имеющие
в сечении форму угла или ломаной линии. Решение задач такого типа
производится с помощью преобразования Кристоффеля—Шварца. Оно
отображает полуплоскость на многоугольник. Прежде чем перейти к
собственно преобразованию, выясним, как можно отобразить бесконечную
прямую, например действительную ось и плоскости ш, на ломаную прямую в
плоскости ъ. Известно, что преобразование 2 = шп отображает сегмент с
углом аш плоскости т в сегмент с углом а2 = пост т.е. растягивает или
сжимает сегмент плоскости т в зависимости от значения п. Следовательноу
верхняя полуплоскость ш, граница которой — ось и, преобразуется в
сегмент, т.е. отображается на многоугольник.
В качестве примера рассмотрим преобразование
2 = шз/2. A7.1)
Перемещению йю в плоскости ш (фиг. 107) соответствует в плоскости %
перемещение
йъ = \ю^йш. A7.2)
Это преобразование переводит положительную часть действительной оси и
в положительную часть действительной оси х, отрицательную полуось и
(для которой сст = п) — в прямую с углом наклона а2 = 3/2тг, а верхнюю
полуплоскость ш переводит в заштрихованную область плоскости г. При
§17. Поле электродов с направляющей в виде многоугольника 173
движении вдоль действительной оси и от — °° до + °° угол элементарного
перемещения йт равен нулю. Поэтому угол соответствующего
перемещения йъ в плоскости ъ определяется выражением
аг§ Й2 = тр аг§ ш + аг§ йш = — аг§ ш.
A7.3)
Так как движение происходит вдоль действительной оси щ то угол при ш
равен щ пока и отрицательно; он становится равным нулю при
положительном и. Угол &ъ при перемещении
по отрицательной части
действительной оси (в плоскости ш), как
уже показано, равен
аг§ д,% = - п.
Внешний угол ломаной линии в
плоскости 2, полученной
посредством такого простого
преобразования, составляет
в
п
Фиг. 107. Функция г = ш3/2 отображает
сегмент плоскости % на верхнюю
полуплоскость ш.
Из фиг. 108 видно,|какие изображения можно получить с помощью
преобразования
&Ъ = ю^Лш,
ш**
(Л+\ '
A7.4)
Легко понять, что изображение, определенное производной
& = (ю-щУЛш, A7.5)
где"»! - действительное число, отображает действительную ось плоскости ш
в две полубесконечные прямые, иначе говоря, в ломаную прямую, точка
д^-цп
Т
г^-оо
+1хя
-1
_1_
X
Л.
-1хя
+;
м
±
Фиг. 108. Отображения, соответствующие разным значениям /л и в=—/лж.
излома которой соответствует значению и = ах (см. фиг. 108), а угол при
вершине определяется значением показателя р.
В преобразовании
Лг = Л(ю - %)" йш, 3*3 A7.6)
где Л — произвольное комплексное число, происходит поворот
предыдущего изображения. Преобразование A7.6) после интегрирования принимает
вид
г = л(ш-у+1+д- A7-7)
174
Часть II. Статические и стационарные поля
Оно отображает верхнюю полуплоскость ю во внутреннюю часть угла
в плоскости %. Внешний угол, образованный двумя полубесконечными
прямыми, д = —рте. Положение двух сторон угла относительно
действительной и мнимой осей плоскости % зависит от постоянных А и В.
На основании сказанного легко понять смысл преобразования Крис-
тоффеля—Шварца. В общем случае многоугольник состоит из конечного
числа произвольных отрезков, соприкасающихся в вершинах углов. Эти
отрезки могут быть произвольными конечными отрезками прямых или
прямыми, уходящими в бесконечность. В этом смысле понятие
„многоугольник" включает в себя также полуплоскость, область, заключенную между
параллельными прямыми, внутреннюю или внешнюю область квадрата
и т.п.
Теорема Кристоффеля—Шварца заключается в следующем: пусть
на действительной оси задан ряд действительных чисел
иъ в2,..., ип, кх< гг2< • • • < ип. A7.8)
В этом случае преобразование
IV
г = А \ (ю-и±)^(ю-и2у*...(ю-ипу»Ли) + В A7.9)
с
отображает верхнюю часть [1т(и>)>0] плоскости ю на область
многоугольника в плоскости я, не содержащую внутри себя точки я = <». Здесь А и
В — произвольные комплексные постоянные; /л1у /г2, ..., /ип —
действительные числа, на которые пока не накладывается никаких ограничений.
Рассматриваемое преобразование переводит действительную ось
плоскости ю в ломаную линию на плоскости г. Точкам иъ и2у. . . , ип и, наконец,
точке ш = °° соответствуют вершины углов многоугольника гъ ъ2у - - ->*п»
Внешний угол в этих точках равен —/лгп. Точке ш = ^ соответствует
вершина многоугольника в плоскости % с углом
B + 2^гК A7.10)
Если этот угол равен нулю, т.е.
—/*!—Л*2— ... -/*п = 2, A7.11)
то точке и; = оо соответствует просто точка на какой-либо стороне
многоугольника.
Производная выражения A7.9) имеет вид
^ = А(м-и1у>(и)--и2у>...Aо-ипУп. A7.12)
Рассмотрим движение вдоль действительной оси плоскости ю от — °о до
+ <» и установим, какое перемещение Лг соответствует перемещению Ли).
Очевидно, что
е& = А(ы-и1ус1A0-и2у*...(ю'-ипупащ A7.13)
угол перемещения Лш всегда равен нулю, т.е. аг§ Ли) = 0, поскольку Ли) — по-"
ложительное действительное число. Так как угол произведения
определяется как сумма углов сомножителей, а при возведении в степень /гп угол
умножается на /ип, то угол Лъ определится следующим равенством:
аг§Й2 =аг§ Л+/г1аг8(и>-в1) + /г2аг8(и>-ю2)+ ... +/*паг§(ц>-ггп). A7.14)
^ 17. Поле электродов с направляющей в виде многоугольника 175
Но аргумент разности (ш — иг) остается равным нулю до тех пор, пока
текущая точка ш находится вправо от точки иг, так как при этом(ш — иг)—
положительное действительное число. Аргумент т-иТ равен л, если
текущая точка находится слева от иг, так как в этом случае (ю — иг) —
отрицательное действительное число, а аргумент такого числа равен п.
Таким образом,
Г0,если«,>Мг,
аг§ (ю — щ) -
(предполагается, что и)=Иеи)).
(если т<иг
1
гг-1
©
а^^
гг
^^"г+/
^С-—-
а
*
%и=0
4Ь
и„ у=0
Фиг. 109. К выводу формулы Кристоффеля—Шварца.
Аргумент Лг мы будем обозначать через срГ1 когда положение текущей
точки ю=и определяется неравенством
:ики.
Т + 1-
Из предыдущих рассуждений очевидно, что
срг = аг8Л + тг(/гг+1 + /гг+2+ ... +/лп).
A7.16)
Естественно, что показатели всех (ы — щ), при которых щ лежит слева от
текущей точки, в A7.16) не входят. Угол наклона Аъ на всем
интервале иг<ихиг+1 постоянен. Следовательно, рассматриваемый участок оси и
действительно переходит в отрезок наклонной прямой на плоскости ъ.
На фиг. 109 на плоскостях шиг соответствующие отрезки прямых показаны
жирной линией.
Для следующего участка оси и, определяемого неравенствомиг+1<их
<ггг+2, значение аргумента йя, т.е. срг+1, аналогично A7.16), определяется
равенством
<Рг+1 = аг§Л-Ьтг(/гг^2 + ... +рп). A7.17)
176
Часть II. Статические и стационарные поля
Разность этих аргументов
9>г+1 - <Рг = 9г+1 = - Щг+1 A7.18)
равна внешнему углу между соответствующими отрезками @г+1- внешний
угол, измеренный в положительном направлении).
Показатели степени /иг могут быть выражены с помощью внутреннего
угла. Сумма внешнего и внутреннего углов равна л:
осг — л/лг = л. A7.19)
Поэтому
№• = •*-!• • A7-20)
Таким образом, отображение, представленное на фиг. 109, переводит
отрезок иг, иг+1 в отрезок прямой на плоскости 2. А углы, образованные
следующими друг за другом отрезками прямых, составляют — /агл.
Условие замкнутости многоугольника заключается в том, что сумма
внешних углов его составляет 2л, т.е.
— 11хл — /и-гл — • • • — /ипл = 2я, A7.21)
или
- 2 /*г = 2. A7.22)
Г = 1
Если это условие не выполняется, то точка ю = °° переходит в вершину угла
«с внешним углом
B+Д^)я
A7.23)
(доказательство этого положения здесь не приводится).
Если выразить производную изображения через внутренний угол,
получим
^=А(ш- иГ'1 (и, - щу'1- (ш - н^. A7.24)
Отсюда следует, что
/*? а1 а2 ап
2= А \ (и;-в1)""~1(ш-.ва)'Т~1 ...(ю-ипУ^Лш + В. A7.25)
С
В качестве нижнего предела интегрирования можно выбрать
произвольную точку в верхней полуплоскости ш. Путь интегрирования должен,
однако, целиком проходить в верхней полуплоскости. Особые точки
изображения лежат на действительной оси плоскости ш в точках щ
(соответствующих вершинам многоугольника в полоскости я); следовательно,
значение линейного интеграла в верхней полуплоскости зависит только от
верхнего предела.
Подсчитаем теперь число постоянных, входящих в формулу
преобразования, предполагая, что оно дает замкнутый многоугольник.
Пусть число точек щ равно п; тогда число произвольно выбранных
показателей [л равно п — 1 [в силу условия A7.22) их число уменьшается
на 1]. Далее, так как А и В — комплексные числа, они определяются
$ 18. Примеры применения преобразования Крисшоффеля — Шварца 177
четырьмя произвольно выбранными числами. В целом, следовательно,
имеется тг+га-1 + 4 = 2п+3 постоянных, определяющих преобразование.
Три из них могут быть выбраны произвольно для установления
однозначности преобразования. Остается 2п независимых параметров, т.е. как
раз столько, сколько требуется, чтобы однозначно определить положение
п вершин многоугольника в плоскости я.
Определить постоянные в некоторых конкретных случаях довольно
трудно. Вершины многоугольника задаются в плоскости г. Из заданных
внешних и внутренних углов можно определить значение /^. Из
значений щ, соответствующих вершинам многоугольника, можно произвольно
выбрать не более трех. Остальные постоянные, а также постоянные А и В
определяются уже в зависимости от других. Именно при определении
этих постоянных как раз и возникают иногда непреодолимые трудности.
§ 18*. Примеры применения преобразования Кристоффеля —
Шварца
Пример 1% Рассмотрим преобразование, которое отображает
расположенный в плоскости 2 прямоугольник в действительную ось
плоскости ю (фиг. НО).
^
% -1
©
+/ +а
1
и
1
%/
%\
=-7
©
и=
1
(?г
и=
+а
1
*•
+/
Фиг. 110. Отображение прямоугольника с помощью преобразования
Кристоффеля - Шварца на действительную ось плоскости т.
Симметричное расположение прямоугольника позволяет
предположить, что точки щ, соответствующие отдельным вершинам
прямоугольника, занимают симметричное положение относительно нулевой точки
действительной оси. Не нарушая общности рассуждений, можно принять,
что двум точкам основания соответствуют точки —1 и +1. Внутренний
угол для всех вершин равен
*г = | A=1,2,3,4)
и, следовательно, сс^п — 1= —1/2. В этом случае искомое преобразование
имеет вид
2 = А С(т + а)-т(ю + \)-1,2{ш-1)-112(ю-а)-таш + В, A8.1)
С
ИЛИ
из из
*=А(\ Лт +В=± Г- Аи} +в. A8.2)
^ ,Г(Ш.-*)(Ш.-1) Й^A_Ш2)A_^+ ^ '
12 К. Шимони
178
Часть II. Статические и стационарные поля
Таким образом, искомое изображение представляется эллиптическим
интегралом.
Выясним, какая задача электростатики может быть решена с помощью
такого преобразования, иначе говоря, для какого распределения зарядов
кривые гг=соп81 и у = соп8Ъ могут представлять соответственно эквипотен-
циали и силовые линии, т.е. постараемся найти физическое толкование
математического решения. Сетка линий ц=соп81иу = соп81 верхней
полуплоскости ш представляет собой электрическое поле, созданное зарядом в
бесконечно удаленной точке. Бесконечно удаленная точка го=«> из
соображений симметрии должна отображаться в точку пересечения верхней
границы прямоугольника с осью у. Линии 1г=соп&1 и у = соп81 проходят
в плоскости ю через бесконечно удаленную точку, в плоскости % они
должны проходить через ее изображение. На первый взгляд может показаться
странным, что эквипотенциали с различными значениями потенциала
пересекаются в одной точке, и еще более удивительно, что и силовые линии
-пересекаются в той же самой точке. Но с подобным обстоятельством мы
уже встречались. Поле диполя (точечного, линейного или поверхностного)
обладает тем же свойством.
Рассмотренное преобразование соответствует полю линейного заряда,
расположенного бесконечно близко к середине верхней стороны
прямоугольника. Практическое применение этого преобразования будет показано
при рассмотрении зеркальных отображений, если внутри параллелепипеда
находится электрическая ось. С помощью такого отображения можно
рассчитать электрическое поле между анодом, имеющим форму полого
параллелепипеда, и расположенным внутри него линейным катодом.
Пример 2. Многоугольник в плоскости ъ ограничен линией АВСВЕ
(фиг. 111). В силу симметрии можно положить, что точки В и В расположены
,
-а
а к ]
1
©
+а
С В
*Е
Фиг. 111. Отображение по формуле Кристоффеля—Шварца
определяет поле выступа над бесконечной плоскостью.
на действительной оси плоскости ю симметрично относительно
вертикальной оси. Внутренние углы многоугольника равны
ав = |, ас = 2тг, *в = %. A8.3)
Следовательно,
^-=А(и) + а)-^и)(ш-а)-1>> A8.4)
§18. Примеры применения преобразования Кристоффеля — Шварца 179
IV
IV АЮ
Уи>* - а2
+ В=А'Уш2-а2+В'.
A8.5)
Таким образом, интеграл выражается аналитически.
Полученное решение может быть использовано при расчете поля,
когда электрод имеет форму плоскости с
выступом. Такое поле представлено на фиг. 112.
Пример 3. Отобразим ломаную линию
АВСВЕ в плоскости % (фиг. 113) на
действительную ось плоскости |. Выполним
отображение так, чтобы точка | = 0
соответствовала точкам В и Су а точка В - точке
1=1. Внутренние углы в плоскости ъ равны
хвс = 0, осв = 2тг.|
Формула преобразования при этом должна
иметь вид
1©
А В
С
Е
\®
|=Л|-Н1-1)=ЛA-|), A8.6)
Фиг. 112. Система
эквипотенциальных поверхностей и силовых
линий поля выступа над
бесконечной плоскостью.
+;
с л
®
сс=+2я
Р-^оУ
Фиг. 113. Отображение,
применяемое для приближенного
расчета поля рассеяния у краев
конденсатора.
или, после интегрирования,
2=Л(!-1п!) + Я.
Вспомним, что преобразование
ш = 1п|, 1 = ^
A8.7)
A8.8)
переводит прямую г = л плоскости ю в действительную отрицательную
полуось плоскости |, а прямую V = 0 — в действительную положительную
полуось той же плоскости |. Если последовательно применить формулы
преобразования
* = А($-\ъ$) + В, ш=1п|,
A8.9)
то в результате прямая и—л плоскости ш преобразуется в прямую А В
плоскости г, а прямая 0=0 — в прямую СВЕ.
Таким образом, преобразование
2 = А(еи>-ю)+В
A8.10)
12*
180
Часть II. Статические и стационарные поля
представляет собой электрическое поле плоскости нулевого потенциала
и находящейся над ней параллельной полуплоскости, имеющей
потенциал я. В любой точке плоскости ъ потенциал равен мнимой части ш.
Качественно картина поля показана на фиг. 114. Если построить его зеркальное
Фиг. 114. Поле у краев конденсатора.
отображение, то получится поле вблизи края пластин плоского
конденсатора (пластины в другую сторону простираются неограниченно).
Точное определение поля плоского конденсатора с пластинами конечных
размеров, даже в простейшем случае осевой симметрии, связано с большими
трудностями.
Г. ПЛОСКО-МЕРИДИАННЫЕ ПОЛЯ (ПОЛЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ)
§ 19. Расчет методом разделения переменных
Если электроды имеют осевую симметрию, то целесообразно
применять цилиндрические координаты. В этом случае, конечно, поле также
должно иметь осевую симметрию, т.е. его потенциал не зависит от угла ф1}.
Уравнение Лапласа при этом значительно упрощается. Как известно, в
общем случае в цилиндрических координатах
ЛП = -^(г^) + 7*-V" + -Э7- = 0. A9.1)
Значение потенциала не зависит от угла <р, если ось симметрии совпадает
с осью я; при этом уравнение Лапласа принимает вид
-г
= 0.
A9.2)
В этом уравнении потенциал II зависит только от г и я, т.е.
V = Щг, 2). A9.3)
Полученное уравнение целесообразно решать методом разделения
переменных, хотя ниже будут рассмотрены и другие методы. Метод
разделения переменных, как уже говорилось, состоит в том, что решение
ищется в форме произведения двух функций, из которых каждая зависит
только от одной переменной, т.е. в форме
ЩГ,2)=В(ГJB).
A9.4)
1} В сферической системе координат поле не зависит от меридианного угла, т.е.
в любой меридианной плоскости картина поля одна и та же. Такие поля принято
называть плоско-меридианными. — Прим. ред.
$ 19, Расчет методом разделения переменных
181
Подставляя V в уравнение Лапласа:
Я-зЦ-+-2-г-+Д-3з- = 0 A9.5)
йг2 г д,г <1я2
и деля на 11=112, приходим к уравнению
*"-+.Зг#--^. A9.6)
левая часть которого зависит только от координаты г, а правая — только
от координаты г. Равенство может выполняться только в том случае, когда
обе части уравнения равны одной и той же величине, т.е.
X № \Я йг2 ' г# <*/•
Итак, для определения неизвестных функций 2 и В мы получили два
обыкновенных дифференциальных уравнения. Решение первого известно
2= АР+Ве-**. A9.8)
Если /с — действительное число, этому выражению целесообразно придать
вид
2 = ЛсЬЛз + ЯвЬАв. A9.9)
Если к — мнимое число, т.е. к2 = — я2, где я — действительное число, то
2 = Л сов яя+5 81П%г. A9.10)
Следует добавить, что при любых значениях к общее решение может
быть представлено в любой из этих трех форм: естественно, однако, что
постоянные А VI В при этом получаются различными.
Дифференциальные уравнения, служащие для определения функций
В(г) и 2(ъ), часто встречаются во многих задачах физики. Уравнения
типа В(г) исследовались впервые Бесселем, поэтому они названы
бесселевыми уравнениями, а функции, служащие их решением, — бесселевыми
функциями. Частное решение приведенного здесь дифференциального
уравнения В(г) называется функцией Бесселя нулевого порядка и
обозначается ^о(к^), где кг— ее аргумент. Чтобы получить полное решение уравнения,
необходимо найти еще одно решение, независимое от предыдущего. Это
решение называется функцией Неймана нулевого порядка, имеет тот же аргумент
кг и обозначается ^0(Аг). Отсюда общее решение рассматриваемого
дифференциального уравнения будет иметь вид
В(г) = С^(кг) + В^(кг). A9.11)
Если к — чисто мнимое число, т.е. к2 = — к2, то 10(кг) = ^о(]к^). Эта
функция, как показано в следующем параграфе, вещественна.
На основании сказанного выражение искомого потенциала имеет вид
Щг,г) = 2{т)В{г) = [А сЬ Ав + 5 вЬ Аг] [С/0(*г) + 2)ЛГ0(Лг)]. A9.12)
Это решение исходного уравнения A9.2) содержит произвольную
постоянную к. От ее выбора зависит, конечно, характер распределения потенциала.
И в этом случае можно идти таким путем: придавая постоянной к
произвольные значения, исследовать, какому виду эквипотенциальной
поверхности соответствует полученное решение, и тем самым установить, для
какой формы электродов оно применимо.
182
^асть II. Статические и стационарные поля
Уравнение Лапласа — линейное уравнение. Поэтому, если найдены
какие-то два решения, их сумма также удовлетворяет исходному
уравнению. Если требуется найти общее решение уравнения для поля с осевой
симметрией при заданных граничных условиях, то можно искать его в
виде ряда
Щ*,г) = ЖАь сЬ & + Вк зЬ Щ [Ск10(кг) + ПМкг)]. A9.13)
к
Здесь к и Ак,...,Вк определяются из граничных условий.
Значения к часто образуют ряд непрерывных, а не дискретных чисел.
В таком случае решение представляется интегралом
Щг,г) = / [А(к) сЬ къ4- В(к) 8Ь Щ\С{к) /0(Аг) + Б(к) ^(кг)]йк A9.14)
к
или в случае к2 = — я2 интегралом
11(^Г) = / [ А(я) С08 «2 + -В(^) 81П пъ\ X
X
Х[С(х) /00«0 +Д«)#оО'ю,)]«**- A9.15)
В дальнейшем мы рассмотрим примеры применения найденных общих
решений к конкретным задачам, однако прежде кратко остановимся на
свойствах функций Бесселя, знание' которых нам в дальнейшем может
потребоваться.
§ 20*. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
а) Определение рядов функций Бесселя первого и второго рода
[9.2, 9.10, 9.23]
Решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах для
случая электродов с осевой симметрией приводит к уравнению
<™+±™ + Ш = 0. B0.1)
Вводя новую независимую переменную д = кги учитывая, что г=д/к и
с1г=<1д1к, его можно свести к уравнению
^ + ^+«09-0, B0.2)
представляющему собой частный случай дифференциального
уравнения Бесселя
Последнее часто записывается также в виде
^З+^+^-^-О, B0.4)
или
*ж(^)+(*2-^ = °> <20-5>
^ 20. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
183
где п — действительное не обязательно целое число. В дальнейшем нам
придется иметь дело с решениями таких уравнений, поэтому целесообразно
подробнее рассмотреть его здесь.
Попытаемся найти решение с помощью следующего бесконечного
ряда:
у = х82<*хА B0.6)
предполагая, что а0т^0.
Имея в виду тождества
получаем после подстановки B0.6) в уравнение B0.4), что
2 [(А + *J + (х2 - п2)] ахх^ = 0. B0.8)
Последнее уравнение справедливо при любых значениях х, поэтому
все коэффициенты бесконечного ряда B0.8) по отдельности должны
равняться нулю. Таким образом, для коэффициентов степени А + $ получаем
ал[(А+*J-гс2] + а;,_2 = 0 (Л = 0, 1, 2,...). B0.9)
Это равенство справедливо для всех значений А. Следовательно,
найдена рекуррентная формула для определения отдельных
коэффициентов с учетом того, что а_± = а_2 = ... = 0. При Я = 0 находим для
коэффициента <ц
а0(82-п2) = 0. B0.10)
Отсюда следует, что
8 = ±п, B0.11)
поскольку а0т^0.
Для определения второго коэффициента воспользуемся равенством
%[(! + зJ - п2] = 0, п > 0, B0.12)
из которого следует, что ах = 0. Последнее равенство показывает, что все
члены ряда с нечетными индексами в рекуррентной формуле равны нулю.
Теперь (при 8 = +п) рекуррентная формула принимает вид
аь1(Л + пJ-п2] + ах_2 = 0, или ах = - А(^'2А) . B0.13)
Это соотношение позволяет определить значение отдельных
коэффициентов:
а0 = Оо, а4 = а°
4Bд+4) . 2Bд+2)'
а2 = ~ 2Bл + 2) ' аб = ~ 6Bл + 6).4Bп+4).2Bл + 2) ' B0.14)
При этом решение дифференциального уравнения принимает вид
У-а0[Х 22(п+1) + 24(л + 1)(л + 2).2! +#"
••' + 2М(п + 1)(п + 2)...(п + Щ\ +•••]• B0.15)
184
Часть II. Статические и стационарные поля
Чтобы полностью определить значение искомой функции, обычно
выбирают а0 равным
а° = !^Щ-> B0Л6>
где Щп) — гауссова функция1*, совпадающая при п целом
положительном с обычным факториалом
Щп) = п\. B0.16а)
При таком выборе постоянной а^ частное решение дифференциального
уравнения Бесселя можно записать в следующем виде:
~ ( — 1^ /Г\п + 2Я
Ых) = &П№1+Х)(т) ¦ <2(Ш>
Этот ряд сходится при всех значениях х и выражает функцию Бесселя
первого рода порядка п.
Приведенные рассуждения остаются справедливыми, если принять
другое значение з, определенное уравнением B0.11): 5 = — п. Тогда
получается другое частное решение уравнения Бесселя:
Легко показать, что оба решения линейно независимы, если п — не целое
число; в этом случае общее решение уравнения Бесселя имеет вид
у = С17п(х) + С27_п(х). B0.19)
Если п — целое число, то первые п членов ряда содержат функцию П с
аргументами —1, -2, ..., которая обращается в бесконечность, поэтому
ее обратная величина равна
щ^=0 при А = 0, 1, 2,...,и-1. B0.20)
Следовательно,
Обозначив [л = А —/г, получим
/-.<*> =Д^™(тГ+П= <-*)п'«<*>¦ <2°-22>
Отсюда видно, что оба частных решения дифференциального уравнения
Бесселя отличаются только постоянным множителем и не являются
независимыми друг от друга.
Следовательно, когда входящий в дифференциальное уравнение
параметр п — целое число, необходимо, кроме частного решения /п(ж), искать
другое решение, линейно независимое от первого. Исследуем функцию
NV (х) = со8иад-^м Bа23)
Р У ' 81П \уп) Ч 7
т) Она связана простым соотношением с Г- функцией: Г(п + 1)=П(п). — Прим. ред.
^ 20. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
185
Если г — не целое число, то эта функция представляет комбинацию
двух независимых решений уравнения Бесселя. Если же V — целое число,
то выражение B0.23) становится неопределенным. Действительно, теперь
^п(x) = (-1)п^-п(x^
следовательно, числитель обращается в нуль, так как соз {птгIп{х) =
= /_п(ж), но одновременно в нуль обращается и знаменатель, так как
вт (пп) = 0.
Чтобы раскрыть неопределенность, следует продифференцировать
числитель и знаменатель по V. Тогда
- ТС 81П \упI9 (х) + С08 (Рл) —~ ^
^п(#) = |_ л Со8 гл ]р = П =
1 ГЗЛ(*I (-1)п+1 \Му(хI /9П 9,ч
Операция дифференцирования при разложении /Д#) в ряд не
представляет принципиальных трудностей, хотя и трудоемка; выполнив
дифференцирование, получим
ед-!['»?К<*>-У„щЬ^(!Г11Ч+
+4-+1+4-+
п-Х
Здесь
1п у = Ит A + 4 + 4+ • • ¦ +--1п п) = 0,57722
— постоянная Эйлера — Маскерони. Функция А^Ог) называется
функцией Бесселя второго рода или функцией Неймана.
Отсюда получается общее решение уравнения Бесселя для случая,
когда п — целое число:
У = СМх) + С2^(х). B0.26)
Порядок п функции Бесселя был принят положительным. Но, как
уже говорилось, 1п{х) может быть определена с помощью ряда B0.17)
для любого действительного п. Необходимо заметить, что 1п{х) в точке х = О
остается конечной для любого положительного, но только для целого
отрицательного п.
Функция, определенная с помощью ряда B0.17) для произвольного
значения п, действительного или комплексного, так же как и для
любого х, действительного или комплексного, регулярна, за исключением
особых точек в# = 0и#=°°.
Ниже будет встречаться частный случай п = 0, когда
дифференциальное уравнение имеет вид
5+1* +» = °- B0-27>
186
Часть II. Статические и стационарные поля
Решение этого уравнения — функции Бесселя нулевого порядка первого
л второго рода. Эти функции выражаются рядами
X6
'о(*)=1-^+
X*
?2 ' B-4J B.4-6I
1
-+-.
И 1 Ч 1
\2 1 + 2 (х\± ,2 ^ 3 /а;\6
B0.28)
ад = Мад+Ш-ргШ+т!!)'-^ • • • B0-29)
но
+0,5\
-0,5
-1,0
^(х)
но
о
ю
15
Фиг. 115. Функции Бесселя первого Фиг. 116. Функции Бесселя второго рода
рода"целого порядка. целого порядка (функции Неймана).
На фиг. 115 представлены функции Бесселя первого рода
положительного целого порядка, а на фиг. 116 — функции Бесселя второго
рода также положительного целого порядка.
б) Функции Бесселя при малых и больших аргументах
Часто требуется определять значения рассмотренных здесь функций
для очень больших или очень малых значений х. Для малых значений х
1п{х)~
Хп(х)х
' 2пП(п)'
2 , ух
-2»(п-1)!
/о(*)«1.
B0.30)
B0.31)
B0.32)
где п — целое положительное число и \х\<к1.
Чтобы определить поведение функций Бесселя при очень больших
значениях х, введем в дифференциальное уравнение B0.3) новую переменную
У
Ух
B0.33)
$ 20. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
187
<12и
Aх2 +
и =
которое при больших значениях х переходит в
его решение:
Для новой переменной и(х) получаем дифференциальное уравнение
B0.34)
B0.35)
и(х) = Ух у{х) = С1 сов х + С2 зт х. B0.36)
Следовательно, при очень больших значениях х общее решение уравнения
Бесселя имеет вид
у(х) = СЛ ^ + С^г . B0.37)
Из более подробного рассмотрения можно определить постоянные
Сх и С2 и представить два линейно независимых решения в таком виде:
/«(яЦ^сов (х-±-п%), М»1, B0.38)
и соответственно
Пп(*)^ш*™{*-т-пт)> И>;>1- (Ж39)
Аналогично тому, как из функций 8т х и сое х были образованы
комплексные функции
&х = С08 Ж + / 8111 X, е~Эх = С08 ж — / 8Ш я,
из сочетания функций Бесселя первого и второго рода можно получить
комплексные функции
ВД*) = /я (*) + /#» (ж), B0.40)
Н%> (х) = /п (я) -/7Уп(я). B0.41)
Это функции Ханкеля первого и второго рода (или функции Бесселя третьего
рода). Их применение в ряде случаев очень удобно. При больших
значениях х, как это следует из предыдущего, имеем
,'_ ., . ., B0.42)
в) Модифицированные функции Бесселя
К уравнениям B0.3) - B0.5) в общем случае можно прийти, исходя
из дифференциального уравнения
Оа*
¦+т!+(*,Н?> = ° B0-43)
188
Часть II. Статические и стационарные поля
и вводя новую переменную
г = кх. B0.44)
При этом рассмотренное выше общее решение можно представить в виде
у = С^п(кх)+С^_п(кх) B0.45)
или (при целых п):
У = С11п(кх) + С2Лп(кх).
B0.46)
ни\
30
20
Ю
&
№
Ж
%
А
*\
&
у
$
Лу
X
.
^
$
У
Л
л
\/
\Ь**
№
**-2*
и
С^пА-Л
{А
3
х-
Фиг. 117. Модифицированные функции Бесселя первого рода.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
B0.47)
Оно совпадаете уравнением B0.43) при к2 = -1. Частное решение этого
уравнения 1п(]х) может быть представлено также в виде функции
вещественной переменной х
1п(х) = /-* /я (/ж). . B0.48)
Функцию /п(х) называют модифицированной функцией Бесселя первого
рода (фиг. 117). Другие частные решения этого уравнения получаются
с помощью определяющего уравнения
B0.49)
ад = ^[и^)«щ.
2 81П ПЛ
Общее решение уравнения B0.47) с помощью полученных частных решений
может быть представлено в виде
У = С^х) + С2Кп(х). ' B0.50)
Поведение функций Бесселя первого и второго рода подобно
поведению функций, описывающих затухающие колебания. Это видно уже из
$ 20. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя 189
того, что при больших значениях аргумента функции Бесселя выражаются
как синус и косинус с уменьшающимися амплитудами. Модифицированные
функции напоминают экспоненты. При больших значениях х они
приближенно выражаются так:
/о(^7&' К^^^е~Х (И»1)- B0.51)
При малых значениях х
'пЫ*-^ (М«1), B0.52)
К0(х)ъ-1п^, Кп(х)~(п~^п2п~1 , п*0(\х\«1). B0.53)
140
120
100
80
60
40
20
О
-20
-40
-60,
Помимо бесселевых функций с чисто вещественными или с чисто
мнимыми аргументами, встречаются функции с аргументом р*х и
соответственно /'"/«я. В общем случае эти функции имеют комплексные значения.
Рассмотрим разложение в ряд функции Бесселя первого рода:
¦7^ = Дя(Я)Я(п + Я)(т) • B0^)
В случае функции Бесселя нулевого порядка множители отдельных
членов ряда (обусловленные коэффициентами /ч* и //¦ при х) в
зависимости от Я равны
Я 12 3 4 5 6
<У1/2JХ / -1 -/ +1 4-/ -1 B0.55)
О'3'2J* -/" -1 +/ +1 -/ -1
Из приведенной таблички очевидно, что действительные части ^^(^^/*x)
и /0(/3/2#) совпадают, а мнимые части имеют противоположный знак,
т.е.
/0(/3%) = Ке /0(/1/^) -/1т 10а^х). B0.56)
Действительная и мнимая части ^о(^3/2x) вследствие их практического
[
\
\
[¦
г
-
[;
р
-
-
— -
Ке4(/*х)--
-Ьегх
ы м'/2Ф-\
зе1лг\|
123456789
Фиг. 118. Функции Ьег х и Ье1 х.
10
190
Часть II. Статические и стационарные поля
значения получили особые названия:
Ке /0(/3/2я) = Ке /0(/1/2я) = Ьег х, B0.57)
1т ^0(^я/*x) = -1т ^0(^1^x) = Ъег х. B0.58)
Функции Ьег х и Ъе\х представлены на фиг. 118.
Применим к функции ^о(^3|2x) приближенную формулу, полученную
для модифицированных функций Бесселя:
/0(/*) = /о(*)~-^=- (М»1). B0.59)
Пусть х = р/% тогда
Л(/3/2,)^7Д= (\,\>> 1). B0.60)
Эта формула применяется при рассмотрении поверхностного эффекта.
г) Связь между функциями Бесселя разного порядка
Между бесселевыми функциями разного порядка существует тесная
связь. Различные выражения этой связи можно найти, рассматривая
представление функций в виде ряда, например
= -И-тШK+Мт)ъ- •••] = --ад. B0-б1>
т.е.
Г0(х) = -Щх). B0.62)
Тем же путем можно установить и более общую зависимость
±[х~п2п(х)] =• -х~«2п+1(х), B0.63)
справедливую для любых бесселевых функций 2п(х).
Далее,
^[хп2п(х)] = х-2п^{х\ B0.64)
откуда следует, что
а в частном случае
\хп2п_х{х) Лх = хп2п(х), B0.65)
(х10(х) Ах = х1х{х). B0.66)
В дальнейшем нам потребуется соотношение
^2п = 2п^Л-2п+1. B0.67)
Оно дает возможность из двух следующих друг за другом функций Бесселя
найти функцию на единицу более высокого порядка.
Равенство B0.63) можно написать в виде
$ 20. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
191
Докажем это для функции Бесселя первого рода.
Так как
^ - Д П(А)Щп+Х) Ш > B0-68>
то1)
^"^х-о Я(А)Я(д+А) 2 и; л^0 77(А)Я(д+А) Ы
___ у ( —1)хп /г\п+2А ~ (--1)*2А /жун-2Я_
~ ,4 /7(А)Я(п + Я) V 2 ; + я^0 ПЩЩп+Х) Ы
~ /_ 4\Я /ЗЛП+2Х-1
Если ввести новый индекс /г = Я — 1, то из сопоставления с B0.68)
найдем
х]'п = 7г/п-я/п+1, B0.70)
или
/; = ^-/п-/п+1. B0.71)
Тем же путем можно прийти и к новым важным соотношениям.
Продифференцировав еще раз B0.71):
гп = т'п-^'п-К+1 B0.72>
и подставив в результат З'п из B0.71), получим
Лг = ~&тщ'п — ~ ^П + 1~~^2^П~~ ^п+1- B0.73)
С другой стороны, из B0.64)
и для л + 1 имеем
Г - - — / 4- /
«'п х ° п ' ^ п—1?
—г" Лн-1 - «^п+1 = - Л, B0.74}
или
"~~ ^п+1~*'п+1 — —^п + ~^"п + 1' B0.75)
Наконец, из уравнения B0.73) получаем
У; = (^1-1)/я + -%1- B0.76>
д) Функции Бесселя с индексом B/с + 1)/2
Бесселевы функции порядка
71 •'•' 2' 2' 2' 2' 2''*'
1} Здесь принято во внимание, что 1/77(-1) = 0.— Прим. ред.
192
Часть II. Статические и стационарные поля
можно, пользуясь ранее полученными соотношениями, выразить через
элементарные функции. По общему определению,
~ (-1)* /Я\2Я + 1/2
Л"A)-Д^^1)М ' B0-">
Из теории Г-функций известно, что Г(г + 1) = гГ(г). Поскольку Щг) =
= Г(г + 1), то
Щг) = гЩг-1) B0.78)
и, следовательно,
яA+4) = яD)=тяШ; B0-79)
далее,
ЯB+1) = Я (А) - |Я(|-) - 4|Я(±). B0.80)
Если учесть еще, что
ЩХ) = Я!, B0.81)
когда Я — целое число, то для Л/2 получаем выражение
Ж1/2
Л/2(*) = ^A_1г+^Г~+---)- B0'82)
Но известно, что
^ = 1-1Г+1П- + --- • <20-83>
Поэтому функция Бесселя половинного порядка имеет вид
]щ (х) = —1__ * вш х. B0.84)
яA) у-
Входящее в это выражение значение Щ1^) можно найти с помощью
определяющего уравнения, справедливого для любого (не только целого)
числа х:
о©
Цх + 1) = Щх) = / Лг'ей. B0.85)
о
График обратных величин этой функции приведен на фиг. 119. Для целых
значений х — п интеграл равен га!, а для х = 1/2
П(±) = ^У1е-Ч1=&. B0-86)
О
В результате находим, что
А,2(х)=)[-^*тх. B0.87)
Подобным же образом находим, что
1-щ(х)=У±со*х. B0.88)
$ 20. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя
193
Учитывая рекуррентную формулу B0.67), получим для функции Бесселя
порядка 3/г равенство
-Г*ь(х) = — ^1/*(я)-Л_1/2(я),
из которого следует, что
Г1
Г / \ 1/ 2 /81ПЖ \
19'^ = Ы\~—С08аг
B0.89)
B0.90)
\ г3
7_ _ __]__
Г(х+1) ~ 1Т(х) /-
"\ / ~
-Ъ\^уч
-
0,8
0,4
0
-0,4
-0,8
1
7
1
2
1
3
4
Фиг. 119. 77-функция и .Г-функция.
По оси ординат отложены обратные величины П(х) = Г(х+1).
Таким образом, функции Бесселя, порядок которых есть нечетное
кратное г/2, выражаются через элементарные тригонометрические функции и
отрицательные степени х.
е) Разложение произвольных функций в ряд по функциям Бесселя
Можно доказать, что любая функция в интервале 0^#^1 может
быть представлена в виде суммы
1(х) = 2ар*п(М
B0.91)
бесконечного числа функций Бесселя п-то порядка при п>—1. В этом
выражении |ь |2, • • .-корни функции /Л(|) = 0, расположенные в
возрастающем порядке. Значения отдельных коэффициентов ар находятся
обычным путем: обе части уравнения умножаются на функцию,
обращающую в нуль все слагаемые правой части, кроме одного-единственного,
после интегрирования по х в пределах от 0 до 1. Из полученного равенства
определяется коэффициент, стоящий при соответствующем интеграле.
Докажем, что функции
№ЫШ> У^п( &*),..., №п(М' B0.92)
в области 0 «е х ^ 1 образуют последовательность ортогональных функций.
Это значит, что
) 1^ ^п{Ш ]^ /п( &*) Ох=}х /Л(&*) /я(ё*х) с1х = 0 B0.93)
о о
при ъ^к. Исследуем для этого уравнение
/ , 1\
ё+«!-^±»=».
B0.94)
13 К. Шимони
194
Часть II. Статические и стационарные поля
отличающееся от B0.34) только тем, что переменная х заменена
переменной осх. Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
и = Уж/П(ая). B0.95)
Аналогично дифференциальное уравнение
имеет решение
V = ^[^^пфx). B0.97)
Умножив первое уравнение на V, а второе на гг и вычтя из первого второе,
получим
^-а*)ио=о^-и^. B0.98)
Возьмем интеграл от обеих частей последнего уравнения:
X X
08»-а») $ии<1х = ](о^~и^)Лх. B0.99)
о о
Но
A2и с12и Л ( Ли йо \ /ОА Л АЛЧ
поэтому
х
Ли Ли \
B0.101)
о
Подставляя сюда выражения для и и и из B0.95) и B0.97), получим
(Р*-**)]х1п(*х)/пфх)<1х =
о
= х [х/п(Рх)Гп(«х) -РЫ*х)Гпух)\ | *_0. B0.102)
Если это выражение взять в пределах от 0 до 1, получим следующее
соотношение:
(/?2 -а2) / x^п(xx)^пфx) их = а/п05)У;(«) -№п(Фп(Р). B0.103)
о
Правая его часть равна нулю, если <%=<^и /?=|Л, где ^,|Л—корни
уравнения /п(^) = 0- В этом случае, если |^ !&,
(Й-Й)/^п(^)^п(^)*с = 0, B0.104)
о
чем и доказывается условие ортогональности
1
/я/п(&з)«Мйкя) йж = 0 (***)• B0.105)
о
Одновременно, пользуясь выражением B0.102), можно определить
значение интеграла
1 _ _ 1
/У* /п(^)У# /П(&*)«Ь = /*Д (&*)<&• B0.106)
$ 20. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя 195
Равенство B0.102) может быть записано в виде
X
[х^(осхип(Рх)<1х = ^^№п№Шю)-РЫ«х)Гп(Рх)]\*. B0.Ю7)
О
При а=/? правая часть дает неопределенность 0/0. Дифференцируя по /3 и
затем подставляя /?=а, получим
х
§х]п{ссх)Зп{Eх) Лх = ^ \кх]'п($х)Уп(кх)-
о
- Ш*хШРх) -№Л*х)Гп фх)] | *, B0.108)
или
\ х^(осх) их = |^{а#./п (кя) -^п(осx)[^п(осx) + осx^п(осx)]}^ B0.109)
о
Если выражение
Уп(*х) + ахЩ<хх) B0.110)
представить с помощью равенств B0.71) и B0.76):
их
п-1
то в результате получим
З'п{хх)+<хх3'п(<х.х) = <хх [т-Чг""!] ^((ХХ)- B0.111)
Отсюда окончательно
х
}'хЩ«*) Ах = ^ [Г*(«х) + A -^) Д («*)]. B0.112)
О
К этому выражению мы еще не раз будем обращаться в дальнейшем.
При интегрировании в пределах от 0 до 1 и при подстановке значения
осх= ^х имеем
1
$ хЩШ Ах = \ •/;*(&), B0.113)
О
так как
Л|A •&) = <>.
Теперь можно найти все коэффициенты ряда
1{х) = а1Уп(|1аО + а2./п(|ая)+ ... +а^п (^х)+ .... B0.114)
Умножим обе части этого уравнения на функцию хЗп(^х) и
проинтегрируем почленно обе части равенства в пределах от 0 до 1. Вследствие
ортогональности B0.105) в правой части уравнения исчезают все члены,
13*
196
Часть II. Статические и стационарные поля
кроме одного. В итоге получаем, что
1 1
У /(фУп(М их = а9 § хЛп(^х) Лх = ~ а^Л^). B0.115)
о о
Отсюда получаем для у-го
коэффициента разложения в ряд выражение
1
а" = ~7Щ\ I Кх)х]п{ ^х) Лх- <20-116)
О
Для иллюстрации на фиг. 120
показана функция ^х30B,кх) и
ортогональная ей функция Уx^0E,Ь2x). Интеграл
1
/ #./0B,4г)./0E,52я) д,х B0.117)
о
0,5 ' ' """до равен заштрихованной области. Оче-
х—*- видно, что ее суммарная площадь
Фиг. 120. Наглядное представление равна нулю. |х = 2,4 и .|2 = 5»52 — два
ортогональности функций первых корня функции ^0{x), как видно
/*/0B,40ж) и ^70E,52ж). ИЗ фиг. 115.
§ 21. Примеры полей, имеющих осевую симметрию
Выше было показано, что решение уравнения Лапласа может быть
представлено в виде
Щг, г) = 2 [АксЪк2 + Вк*ЪЩ[С^<>(кг) + ВМкгI B1.1)
или
Щ*,г) = 21Аксо^Ь + ВкйпЬ][СкМ1Ъг)^Вк^(]кг)].
B1.2)
Значения к и Ак, Вк, Ск, Вк определяются из граничных условий.
Пример К Выясним, какой электротехнической задаче, т.е. какому
полю, соответствует выражение B1.1) или B1.2) при каком-либо
определенном значении к. Пусть к — действительное число к0. Исследуем решение
Щъ,'г) = АвЬЛо*/0(*вг)- B1*3)
Выражаемый им потенциал равен нулю на плоскости 2 = 0 и на цилиндре
радиуса г0, если к0г0 совпадает с первым (или каким-то другим) корнем
функции Бесселя нулевого порядка, т.е. к0г0 = 2,4. Значение
постоянной Ак можно определить, задав значение потенциала в точке % = ^ г = 0:
#(*о,'0)= г/о^вЬ*^,- B1.4)
и° B1.5)
B1.6)
А =
зЬ к0х0 *
При этом
^^г) = те^8ь^у°(^г)-
$ 27. Примеры полей, имеющих осевую симметрию 197
Эквипотенциальная поверхность V = 0 уже известна. Теперь
установим, на какой поверхности лежат точки, обладающие потенциалом
[/(г, г) = 110. Кривая сечения этой эквипотенциальной поверхности
меридианной плоскостью выражается уравнением
17о
Щ*, г) =
811 к020
&Ък0г.10(к0г) = II0.
Из него следует, что
8Ь к02
./0(А0г)
B1.7)
B1.8)
Для данного к0 можно построить эту эквипотенциаль, определяя с помощью
таблиц значения ъ для ряда выбранных значений г. Соответствующее поле
(фиг. 121) подобно полю двух
электродов: полого цилиндра и находящегося
внутри него стержня.
Для какого-либо другого частного
решения можно аналогично найти
соответствующее ему расположение
электродов.
Имея в виду возможные частные
решения, можно при постановке
конкретной физической задачи выбрать
среди них решение, наиболее
подходящее для данной задачи.
Пример 2. В качестве следующего примера рассмотрим поле,
созданное двумя расположенными друг против друга тонкостенными полыми
коаксиальными цилиндрами одинакового радиуса, находящимися под разными
потенциалами (фиг. 122). Такие электроды встречаются в фокусирующих
устройствах почти всех электронных и ионных ускорителей. Задача
ставится следующим образом. Ищется поле с осевой симметрией, в котором
цилиндр 7 имеет потенциал 111у а цилиндр 2 — потенциал С/2. На плоскости
2 = 0, разделяющей эти цилиндры, потенциал одинаков и равен
Фиг. 121. Решение
электростатической задачи с помощью функции
11 = А 8П к^0(ког).
Иг
у (^1+^2)
с/0.
В общем виде можно написать, что
Щг, г) - [/„ = / [А(к) 8Н1 кг + В(к) соз кг] X
о
х[С(Щ0Цкг) + В(кЩ0Цкг)] Лк. B1.9)
В левой части представлена разность потенциалов [/(я, г)-*70, а не
потенциал, для того чтобы проще выразить граничные условия. Так как
II (^ г) - 110 = 0 в плоскости 2 = 0 (независимо от г), то коэффициент при
косинусе должен быть равен нулю, т.е. В(к) = 0. Далее, В(к) = 0, так как
значение функции Неймана Л^ ПРИ *• = О, т.е. на оси симметрии, бесконечно
велико. В таком случае решение имеет вид
II (х, г) — II0 = ^ А (к) $т къ 1^]кг) Лк.
B1.10)
Функция А (к) в этом уравнении включает в себя также и С(к).
198
Часть II. Статические и стационарные поля
Задачу можно считать решенной после того, как будет определена
функция А (к). Это можно сделать следующим образом. Запишем уравнение
B1.10) для наружной поверхности цилиндра, радиус которой г0:
Щг, г0)— #0 = / А(к) 8ш /с2/0(/А:г0) йк.
B1.11)
Функция {/(я, г0)—1/0 зависит только от координаты 2 и изменяется
скачком при переходе от одного цилиндра к другому, т.е. при 2 = 0. Вид этой
функции представлен на фиг. 123. Потенциал цилиндра в интервале от
минус бесконечности до начала координат равен 111у следовательно,
разность С7Х— С70 равна
Ъ-Ь^Ъ^Ь^Е*. B1.12)
В точке 2 = 0 потенциал изменяется
скачком от 111 до 112> Затем он остается
постоянным и равным 112, при этом
разность G(г0,2)— 110 равна
Л1+2*=Ь^1. B1.13)
*/¦
II*
цщ
=Ц>
ц-ц,
ц-ц
Фиг. 122. Цилиндр ускорителя
с очень узкой щелью.
Фиг. 123. Изменение напряжения при
г=га.
Функция с таким скачком может быть представлена посредством
интеграла Фурье, т.е. может быть составлена из бесконечного
множества синусоид, имеющих разные амплитуды и периоды; совокупность этих
синусоид образует спектр функции. Любая периодическая функция может
быть представлена как сумма бесконечного множества синусоид с
дискретно изменяющимися периодами и различными амплитудами.
Непериодическая функция, такая, как II (г0, г)—110, может быть представлена как
бесконечное множество синусоид с различными бесконечно малыми
амплитудами и непрерывно изменяющимися периодами.
I На фиг. 124 представлена единичная функция (импульсная функция
нулевого порядка), часто встречающаяся при рассмотрении переходных
процессов и там изучаемая подробно (см. ч. III, разд. В). Единичная
функция соответствует включению постоянного напряжения. Единичная
функция (см. фиг. 124), умноженная на постоянную величину IIе0,
представляется выражением (интеграл Фурье)
вд = М!4/^<4
B1.14)
^ 21. Примеры полей, имеющих осевую симметрию
199
Если этот интеграл известен, можно легко определить интеграл Фурье
и рассматриваемой здесь функции. Она может быть составлена из двух
функций: первая в интервале от — °о до начальной точки отрицательна,
а потом становится равной нулю (фиг. 125), а вторая подобна единичной
функции фиг. 124. Интеграл Фурье первой функции (ее спектральное
представление) найдем, представляя функцию как зеркальное отображение
относительно оси II единичной функции с отрицательным знаком (см.
фиг. 125). Если в выражении интеграла Фурье для единичной функции
заменить +яна —2, получим интегральное представление такой функции:
«и-»>-мн;=тг4
B1.15)
В итоге интеграл Фурье рассматриваемой функции имеет вид
оо
Щг, г.)- 170 = (/.(г)- 1/.(-г) = -^р^-|/
О
Сопоставляя два выражения той же
самой функции
81П к%
Щг, г0)- #0 = / Л(А)/о(/'*/о) 8*п к*йк B1-17)
Фиг. 124. Единичная функция.
Лк.
B1.16)
/ ц=ие(-г)
ц=-иеЫ
-1
Фиг. 125. Зеркальное
изображение единичной функции.
Щг,г0)-и0 = *^/™^<1к,
найдем вид искомой функции А(к):
Ц^^=А(кIМго),
или
А(к) =
Ъг~Ъ\
1 Ы0икг0)
Подставляя А(к) в исходное уравнение, получим
2 л 3 АЬкг0) к
B1.18)
B1.19)
B1.20)
Если теперь требуется определить значение потенциала в
произвольной точке (г, т), то величина, стоящая под знаком интеграла, оказывается
200
Часть II. Статические и стационарные поля
функцией только к. В результате интегрирования (для заданных
фиксированных ъ и г) и подстановки пределов находится число, равное
потенциалу данной точки.
Интегрирование представляет собой далеко не простую операцию и в
большинстве случаев выполнимо только графически. Картина эквипо-
тенциалей и силовых линий поля представлена на фиг. 126.
В ряде случаев большое значение имеет распределение потенциала
вдоль оси, выражаемое тем же интегралом при г = 0:
Фиг. 126. Изменение напряженности Фиг. 127. К расчету внутреннего поля
поля и потенциала в окрестности щели. цилиндра, имеющего постоянный
потенциал, когда оба торца цилиндра
ограничены заземленными пластинами.
Распределение потенциала вдоль оси имеет большое значение потому,
что отклонение пучка электронов от оси симметрии в электронных
фокусирующих устройствах часто очень невелико. Следовательно, в
первом приближении для расчета можно использовать поле, существующее
на оси.
При решении задачи предполагалось, что расстояние между
цилиндрами очень мало. В действительности это расстояние конечно. Для того
чтобы найти функцию А(к), входящую в искомое решение, необходимо
знать распределение потенциала II(г, г0) в промежутке между краями
цилиндров (при г=г0). В первом приближении можно считать, что в этом
промежутке потенциал меняется линейно от значения 11г до значения <72-
Искомое распределение потенциала можно найти из эксперимента,
например, измеряя потенциал вдоль одной линии (служащей продолжением
цилиндров) в электролитической ванне. Зная распределение потенциала
на коротком отрезке линии г=г0, можно с достаточной точностью
рассчитать поле во всем пространстве.
§21. Примеры полей, имеющих осевую симметрию
201
Пример 3* Рассмотрим электрическое поле, представленное на
фиг. 127. Здесь цилиндр радиусом г0 и длиной I находится под постоянным
потенциалом, а торцы его ограничены плоскостями, потенциал которых
равен нулю. Промежуток между цилиндром и этими плоскостями по
сравнению с другими размерами исчезающе мал. Так как потенциал при 2=0 и
при % — 1 равен нулю независимо от значений г, то зависимость от т, можно
выбрать в виде
2 = Сг Вт кг = Сг Вт т у ъ, B1.22)
где т — произвольное целое число. Эта функция при любых значениях т
равна нулю на обеих плоских граничных поверхностях; этими
условиями и определяется к = т(я11). Зависимость от г можно представить в виде
Я = Са/0(/Лг) = С2/0 (/ту г). B1.23)
Полное решение при этом представляется линейной комбинацией
произведений
11т{2, г) = Ст вт т у г • ^0 (/ту г) . B1.24)
Это значит, что предполагаемое решение имеет вид суммы
Е/(з, Г) = С^ЗШу 2/0(/уг) + С281п2-^ 2/0(/2|г)+ . . . =
- 2 СтЛ (Мт 0 вт т у*. B1.25)
Постоянные Ст должны быть определены так, чтобы удовлетворялось
еще невыполненное граничное условие: потенциал на цилиндрической
поверхности в интервале 0<2</ должен быть равен заданному значению 110.
Нас интересует электрическое поле только внутри области, ограниченной
электродами. Поэтому достаточно представить с помощью ряда Фурье
зависимость потенциала от координаты ъ в пределах от 2=0 до ъ=1. Если
рассмотреть периодическое изменение функции с периодом 21, то легко
показать, что она может быть представлена разложением в ряд Фурье
Щ*,г0) =^ Д^втBп-1)-^. B1.26)
Сравним этот ряд с выражением B1.25). Подставив в B1.25) г—г0,
получим
Щ*, г0) = 2 Сте/0(/т-2.г0) вшт^*. B1.27)
Так как равенства B1.26) и B1.27) справедливы для произвольных
значений 5, то оба ряда должны совпадать почленно. Приравнивая отдельные
члены, получим т = 2п — 1 и
Сж/0(/т^г0) = ^^- (т= 1,3,5,...). B1.28)
Отсюда следует, что
Ст = ^— (* = М,5,...). B1.29)
202
Часть //. Статические и стационарные поля
Искомое выражение для потенциала тогда представится в виде
Щ*,г)
4С7п
'•От'-)
. 71
81П -у Ъ 4- -
¦К-)
¦К")
ВШ 3 у 2 +
ИЛИ
^B, ^ =
я „-^, 2га-1
2
п=*1
1 ^-^Н . 2П-1
°1;—*—ЛГ°)
На фиг. 128 показано распределение
потенциала вдоль оси симметрии (г=0),
определенное уравнением B1.31).
81П
-т.
B1.30)
B1.31)
и=о
ч\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\У
05
12/1
1 -
Фиг. 128. Характер изменения
потенциала вдоль оси симметрии цилиндра.
Фиг. 129. К расчету
внутреннего поля цилиндра, боковая
поверхность которого и один
из торцов имеют потенциал
земли, в то время как другой
торец цилиндра имеет
поверхность заданного потенциала.
Пример 4. В приведенных выше примерах
оказалось возможным удовлетворить
граничным условиям благодаря тому, что известная
на некоторой поверхности зависимость
потенциала от координаты % представлялась рядом или интегралом Фурье. При
выполнении граничных условий было важно, чтобы рассматриваемые
функции могли быть представлены дискретным рядом синусов или косинусов
с различными амплитудами. В настоящем примере решение основано на
разложении в ряд по бесселевым функциям с соответственно выбранными
коэффициентами (см. предыдущий параграф).
Рассмотрим задачу, представленную на фиг. 129. Потенциал
полузамкнутого цилиндра (стакана) равен нулю, второй торец цилиндра (крышка)
ограничен плоскостью с постоянным значением потенциала И— #0. Между
цилиндром и плоскостью имеется узкий зазор. Величина этого зазора по
сравнению с остальными размерами очень мала. Потенциал на поверхности
цилиндра (г=г0) в интервале я=0, г—1 равен нулю независимо от
координаты г. Поэтому его зависимость от г можно представить в виде
ЛМ = С/0(Аг) = С/0(^.г),
B1.32)
где через |т обозначен тгй корень бесселевой функции; в этом случае
значение функции при г=г0 обращается в нуль:
Д(г0) = С/0(-^-г0) = С/0(|т) = 0.
B1.33)
Зависимость от координаты % может быть представлена
гиперболическими синусами и косинусами от того же аргумента. Но
гиперболический косинус не обращается в нуль. Поэтому искомое решение нужно пред-
$ 21. Примеры полей, имеющих осевую симметрию
203
ставить как сумму произведении
17т(*,г) = Дт/0 (^г) 8Ь -^*. B1.34)
Полное решение представляется рядом
#(*, г) = 2 ЯпЛ (Щ зЪ^г. B1.35)
т=1 \г0 / г0
Теперь остается выполнить только одно условие: при ъ = / потенциал равен
нулю при г=г0, а при всех других значениях г он постоянен и равен V0,
Еф, г0) = 0, 17A, г) = Ц0.
Зависимость потенциала от г при % = / показана на фиг. 130. Эта
функция представляется следующим рядом бесселевых функций:
Щ1,г)= 2Ьт70(^г\ B1.36)
Значения отдельных коэффициентов Ьт получаются из B0.116):
Х9
*.-тои-/^^.(^)*-^
е.)
B1.37)
При расчете мы воспользовались
уже известными формулами
/ х10{х) их = х1г{х) B1.38)
ИМ\
г=0
%Ш = -Л(х). B1.39)
Таким образом,
Подставляя в B1.35) г= I, получаем
г=п
Фиг. 130. Изменение потенциала на
верхней торцовой поверхности цилиндра.
B1.40)
Щ1,г)= 2вт^иА^г\
т=1 г« ^го '
B1.41)
Оба последних равенства справедливы для всех значений г, поэтому,
приравнивая почленно слагаемые ряда, найдем, что
1,п 7 _ 2*70
Вт*Ъ^1:
>*0
ыли'
B1.42)
После подстановки полученных значений коэффициентов Вт в B1.35)
окончательно получаем решение в виде
Щ*, г)
2 -
2П° _вЬ^/0(кг).
B1.43)
''о
Задачи, при которых значение напряжения не постоянно в плоскости,
проходящей через г=1, а зависит от г, могут решаться аналогично. При
этом выражение потенциала находится аналогичным путем через ряды
бесселевых функций.
204
Часть II. Статические и стационарные поля
§ 22. Определение потенциала при известном распределении его
вдоль оси симметрии
Подчеркнем еще раз, что закон распределения потенциала вдоль оси
в устройствах, обладающих осевой симметрией, имеет первостепенное
значение. Поэтому очень важно, что решение уравнения Лапласа связывает
значение потенциала в любой точке пространства с его значением вдоль оси.
Как будет показано ниже, общее решение дифференциального
уравнения
д*1/ , 1 д ди А /оп ,.
^+757г^7 = 0 B2Л>
может быть, по Шерцеру (см. [5.5]), записано в следующем виде:
II{г, г) = ^ Г ггB + /> вша) йа. B2.2>
о
Полагая в последнем выражении г = О, получим
2тг
Щг, 0) = ~ С ф) Лх = ф), B2.3>
о
где и(г) — не что иное, как распределение потенциала вдоль оси симметрии.
Если это распределение известно, например из опыта, то потенциал в любой
точке пространства может быть определен по формуле B2.2).
Интересно еще одно применение указанной связи потенциалов. Исходя
из требуемого распределения потенциала вдоль оси, можно определить^
какую форму должен иметь электрод; для этого по формуле B2.2)
отыскиваются поверхности равного потенциала. Таким путем пополняется
перечень примеров, которые при известных условиях могут быть использованы
для решения конкретных задач.
Выражение для потенциала B2.2) не зависит от координаты а. Поэтому
уравнение Лапласа можно записать в таком виде:
2зг
АII = 1- С Аи(г + }г вша) йа = 0, B2.4)
о
т.е. операцию А можно применить к функции, стоящей под знаком
интеграла.
Рассмотрим применение формулы B2.2) к двум простым случаям.
Пусть распределение потенциала вдоль оси имеет вид 11(г, 0) = С\г. Тогда
распределение потенциала в произвольных точках пространства дается
соотношением
о
Этот интеграл нетрудно вычислить, после чего получаем
Щ*, г) = -=2= B2.6>
У 2? + Г2
$ 23. Решение уравнения Лапласа разложением в ряд 205
Из этого следует, что уравнение эквипотенциальных поверхностей имеет
вид
с
Ь2 + и
= СОП81, ИЛИ 22 + Г2 = С0П81,
B2.7)
т.е. эти поверхности — сферы (поле точечного заряда или заряженной
сферы).
Поле заряженного кольца может быть рассчитано аналогичным
способом. Поле можно рассчитать и
непосредственно, однако проще исходить из
распределения потенциала вдоль оси,
выражаемого таким равенством:
Щг, 0) = к
Уг% + 2*'
B2.8)
Тогда распределение потенциала в
произвольной точке пространства по формуле
<22.2) дается уравнением
2 яг
Щ*г)=±}
Aа
^0+(г+7>8шаJ
B2.9)
Соответствующее этому распределение Фиг 131ш электростатическое
потенциала представлено на фиг. 131. поле заряженного кольца.
§ 23. Решение уравнения Лапласа при осевой симметрии
разложением в ряд по степеням радиуса
Попробуем решить уравнение Лапласа A9.2) с помощью ряда
Очевидно, что при этом
Щг,г)= 2 Ап(г)г
,2п
B3.1)
B3.2)
дУ
~= 2 2пАя(з)г*"-К
B3.3)
Умножив последнее выражение на г:
4г= 21пАп{г)г*
и продифференцировав по г, найдем
4рг^г=2Bп)'Ап(и)^-К
иГ иГ П*=0
B3.4)
B3.5)
206
Часть II. Статические и стационарные поля
Второй член левой части уравнения Лапласа B2.2) теперь можно
представить так:
~47г^7= ^ № Ап(*)г*п-*, B3.6>
а само уравнение Лапласа принимает вид
2 К (*) г2п + 2 B^J Ап(г) г2» = 0. B3.7)-
71=0 П=0
Так как это уравнение справедливо для произвольного значения г, то все
коэффициенты левой части при любой степени г должны быть равны нулю.
Выделяя в обеих суммах коэффициенты при Bп — 2)-й степени переменного ту
получим уравнение
А"п_1B) + Bп)*АпB) = 0. B3.8>
Однако из первоначального разложения в ряд известно, что значение
коэффициента при нулевой степени переменного г выражает распределение
потенциала на оси, другими словами,
Щ0,г) = Ао(г) = и(г). B3.9>
Пользуясь этим, можно определить остальные коэффициенты ряда.
Значение коэффициента при второй степени г:
А1{т)=—^. B3.10>
Значение коэффициента Л2(г) при четвертой степени г:
А (г) _ л?(*) _ и«>(») _ ви>м т,п
В общем случае коэффициент при 2гс-й степени равен
Таким образом,
АпB) = 2^-^ИBП,B). B3Л2>
Щ*, г) = Д ^г»^) [у] > B3ЛЗ>
т.е. распределение потенциала во всем пространстве выражается через
распределение потенциала на оси ф).
Применим такое разложение в ряд для получения картины
эквипотенциальных поверхностей в седловине поля по распределению потенциала
вдоль оси. Возьмем два первых члена разложения в ряд по г и рассмотрим^
решение в окрестности точки 2 = ^0, пренебрегая членами высших
порядков; при этом получим
Щг, г) = ф^ + ^^^^-^ч-!^^)^-^-^^^)^. B3.14)
Пусть потенциал в точке 2 = 20, г—0 равен ф0). Рассмотрим уравнение
поверхности с таким же потенциалом в области, близкой к оси, т.е. уравнение
Щг, г) = ф0). B3.15)
Запишем его более подробно:
Фо) + м,(^о)[2-20]+т^B0)[2-2:0]2-— и"B0)г2 = ф0), B3.16)
$ 24. Общее решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах 207
или
\ и"(г0)г* = и'(^ \ъ - *0] + ±. и^0) {* - *0]2.
B3.17)
Это уравнение гиперболы. Из него можно обычным способом получить ее
радиус кривизны
и'(*о)
= 2
и"Ы
B3.18)
В седловине, т.е. в точке 2=20> производная потенциала равна нулю:
и'B0) = 0, и уравнение эквипотенциальной
поверхности, проходящей через эту точку,
принимает вид
{и"(г0I* = ±иЧ*0)[г-г0]*
B3.19)
Для этой точки гипербола вырождается в пару
прямых. Угол, образуемый этими прямыми
с осью г (фиг. 132), определяется очевидным
равенством
Ч2У = /„ г\2 = 2> откуда у = 54°44'.
B3.20)
Таким образом, в седловине вид
эквипотенциальной поверхности не зависит от конфи- Фиг. 132. Угол между экви-
гурации электрического поля в остальной части потенциальными поверхно-
-7 г г гч о стями, пересекающимися
пространства. Этот удивительный результат в особ'ой точнке п0ЛЯу обла.
подтверждается ОПЫТОМ. дающего осевой симметрией.
§ 24. Общее решение уравнения Лапласа в цилиндрических
координатах
Применение цилиндрических координат становится безусловно
необходимым, если задано распределение потенциала на какой-либо
цилиндрической поверхности. При этом естественно, что в общем случае не всегда
существует осевая симметрия. Уравнение Лапласа в общем случае
записывается так:
г дг \Г дг)+ г2 д<р* + дг* '
Попытаемся найти его решение в виде
V = П(гJB,)Ф(<р).
После подстановки в B4.1) и деления на И получаем
1 1 а /.. (Ш\ , 1 1
+ :
(РФ 1_&2_ = 0
В г <1гУ <1г} ' Ф т-2 а<р2 ^ Ъ с№
Последний член может быть сразу выделен в отдельное уравнение
1 а2г
Его общее решение:
г <№
т"
X = Аг сЪт2+ А2&Ът2;.
B4.1)
B4.2У
B4.3)
B4.4)
B4.5)
208 Часть II. Статические и стационарные поля
Для В и Ф остается уравнение
в г аг\г '
г , 1 * ^Ф , 2
о,
или, после умножения на т*
( <Ж\
г (I ( <№\ , о о , 1 с?2Ф А
Л йг V <1г .
Из последнего можно выделить уравнение для Ф:
1 &Ф
Ф Лср2
Его общее решение имеет вид
Ф = В± 81П пер + 52 сов гг<р.
Наконец, для Д получается уравнение
г с1г
('т)+Ю^о.
B4.6)
B4.7)
B4.8)
B4.9)
B4.10)
Его общее решение также известно:
Л(г) = С1/я(тг)+С2ЛГп(|иг). B4.11)
Специальным выбором пит можно случай поля с осевой симметрией
свести к задаче на плоскости.
Если выбрать т=0, то по уравнению B4.4)
потенциал линейно зависит от координаты г:
Уравнение для В при этом имеет решение
Щг) = С1Гп + С2г-п.
Если принять равными нулю и п и т, то для Ф
получается также линейная зависимость
ф = Вх<р+В$ при этом В(г) = С^пг+С^.
ш=о
8п щи—¦ 1 , , ,т>
\с/=и(г)
2
1
и=и(г)
Фиг. 133. Задачи, ре
шаемые с помощью ура
внения B4.12).
Таким образом, решение уравнения Лапласа
представляется функциями
[/(г, 99,г) = (Аг сЬ тъ-\- А2 зЬ гпъ) (Вг 8т пср +
+ В2 сов пер) [Сг1п(тг) + СуУп(тг)], B4.12)
Щг,ц>,г) = (А12,+ А2)(В1ътп(р + В2со8П(р)(С1гп + С2г-п) B4.13)
при т = 0, или
Щг, <р, г) = (А^+А2) (ВгЧ> + В2) (Сг\пг + С2) B4.14)
при #г = 0, и тг = 0.
Распределение потенциала внутри цилиндрического кольца может
быть найдено наложением этих решений. Внешняя или внутренняя
поверхность кольца и его торцовые части могут иметь различные потенциалы,
как показано на фиг. 133 (верхняя и нижняя части которого относятся
к разным случаям).
^ 25. Применение сферических функций к полям с осевой симметрией 209
Д. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
§ 25, Применение сферических функций к полям
с осевой симметрией
Если известно распределение потенциала на какой-то сферической
поверхности и известно, кроме того, что рассчитываемое поле имеет осевую
симметрию, целесообразно применять уравнение Лапласа в сферических
координатах. Пример такого случая представлен на фиг. 134: две
полусферы, отделенные друг от друга узким промежутком, находятся под
разными потенциалами г/=0и 11= С/0- Форма потенциала *7(#) при г=г0 пред-
Ф иг. 134. К расчету
электрического поля двух
полусфер.
Фиг. 135. Изменение потенциала на
наружной поверхности сферы фиг. 134.
ставлена на фиг. 135. Ось, нормальная к плоскости, разделяющей
полусферы, в этом случае является осью симметрии. Необходимо найти поле
внутри и вне сферы.
Так как поле не зависит от координаты у, то уравнение Лапласа в
сферических координатах имеет вид
Попробуем снова разделить переменные, представляя потенциал в виде
произведения
#(г,0)=Я(г)в@). B5.2)
После подстановки в уравнение B5.1) и обычных преобразований получаем
я Тг Г *:) = - в Ш» Ш (8Ш *МУ B5,3)
Из известных уже соображений, что левая часть этого уравнения зависит
только от г,-а правая — только от #, снова вытекает, что обе части
уравнения могут быть только постоянными. Это приводит к двум обычным
дифференциальным уравнениям:
B5.4)
B5.5)
1 Л Bт\_,
1 Л ( . (А®\ 1
14
К. Шимони
210
Часть II. Статические и стационарные поля
Частное решение первого уравнения известно: В — гт. Подставив его
в B5.4):
г-т[г2гп(т-1) гт~2 + 2гтгт-1] = А, B5.6)
находим, что
т{т + 1) = к. B5.7)
Перепишем это равенство так:
к ={-т) (-т-1) = (-т-1) ( —т—1ч-1). B5.8)
Из сопоставления правых частей B5.7) и B5.8) очевидно, что функция
В = г-т-1 B5.9)
также удовлетворяет уравнению B5.4).
Таким образом, найдено общее решение
В= Агт + ^ B5.10)
состоящее из двух частных, линейно независимых решений.
Определив к, можно уравнение B5.5) представить в виде
Это дифференциальное уравнение Лежандра; его частные решения, если
т — целое число, выражаются полиномами Лежандра. Индексу т
соответствует полином Лежандра т-го порядка. Как будет показано в
следующем параграфе, он определяется выражением
^(сов^) = ^[^р(соз^-1Г]. B5.12)
Эти полиномы образуют частное решение дифференциального
уравнения Лежандра. Как и при решении дифференциального уравнения Бесселя,
здесь существует еще один вид функций, дополняющий решение до
общего. В случае дифференциальных уравнений Бесселя такой функцией
была функция Неймана. Можно показать, что и в рассматриваемом
случае эти другие функции обращаются в бесконечность при #=0и поэтому
исключаются при рассмотрении поля в области, содержащей ось
симметрии (для которой # = 0). Функции .Рт(со8#) называют также зональными
сферическими гармониками. Поведение этих функций показано на
фиг. 136 и 137..
Если рассмотреть изменение функции В(г), то окажется, что ее
значение в начале координат или в бесконечности бесконечно велико. Поэтому,
чтобы избежать бесконечной величины потенциала в исследуемой
ограниченной области, содержащей точку г=0, необходимо выбрать значение
постоянной В равным нулю. Рассматривая поле вне этой области, следует
положить постоянную А равной нулю, если г может неограниченно
возрастать. Тогда закон распределения потенциала внутри ограниченной
области пространства (с конечным г) определяется функцией
Щг,#)= 2 4тг™/>т(сов0), B5.13)
т=о
а в области г>г0, где г может неограниченно возрастать, — функцией
Щг,#)= 2 Втг-^Рт(со*Я). B5.14)
т==о
$ 25, Применение сферических функций к полям с осевой симметрией 211
Теперь нужно определить коэффициенты, входящие в эти уравнения.
Это делается на основании граничных условий конкретной задачи.
Значение потенциала на сферической поверхности задается как функция угла:
*7(го,0)= Щ#). B5.15)
Как будет показано в следующем параграфе, заданную функцию можно
разложить в ряд сферических гармоник, аналогичный ряду Фурье:
С/(г0, #) = 11{д) = а0Р0(со8 д) 4- агР±{со& $)+...+ апРп(со$ $)+...=
= 2 атРт{со*#), B5.16)
т=о
где
2га
ат =
^1 Г С/(#)Рт (сов 0) зт 0 Л». B5.17)
6
Но тот же самый потенциал может быть представлен рядом,
получающимся из выражения B5.13) при г=г0:
Щг0,0) = ЛД(сов 0) + Л ^(сов *)+...= 2 4Л (соз 0), B5.18)
а также рядом, получающимся из выражения B5.14) при г=г0:
Щг01#) = 17@) = А-/>о(сов*) + -^Л(сов0)+ ... =
"о 'о
= 2 Втг0-<т^Рт (соъ#). B5.19)
7П=0
Выражения B5.16), B5.18) и B5.19) должны совпадать при всех
значениях -Рш(сов #), следовательно, должны быть равны между собой и
отдельные члены рядов. На основании сказанного получаются следующие
выражения для коэффициентов:
Л гт
лт'о
¦««, Ат = -Ь. = -2Е±1 Г *У(#)Рт (сов *) вш * <й> B5.20)
О
и соответственно
Г) г-(т+1) _ п т> _ П г т + 1 __
_ гт+1
2т +
2
о
- Г «7@) Рт (соз <&) вт 0 й0. B5.21)
Если эти коэффициенты известны, то потенциал можно определить во всем
пространстве.
В качестве примера рассмотрим задачу, о которой уже говорилось
(см. фиг. 134). Распределение потенциала в зависимости от переменной $
(приг=А*0) показано на фиг. 135. Для такого случая коэффициенты ряда
легко найти по формулам B5.20) и B5.21). Так, по B5.20)
я/2
2га +
т 2г?
14*
" ^0 )Рт (С°8 #) 81П 0 О». B5.22)
212
Часть II. Статические и стационарные поля
Для интегрирования следует иметь в виду формулы B6.2) и B6.11)
следующего параграфа.
В итоге распределение потенциала выражается следующими
уравнениями:
внутри сферы (г <5 г0)
Щг,*)= ^о[^+|^Л(сов#)-|-4^8(сов#) + ...], B5.23)
вне сферы (г ^ г0)
Щг^) = #о В-т+гЗ^008*)-\ъ*рЛ*>*?) + - • •]• B5.24)
Коэффициенты, входящие в B5.18) и B5.19), могут быть очень просто
определены, если известно распределение потенциала вдоль оси симметрии.
Это распределение, как уже говорилось, во многих случаях легко
получить расчетным или опытным путем.
Пусть ось 2 — ось симметрии, а потенциал в окрестности точки 2 = 0
представлен рядом
»(*)= 2Ътхт, *<г0. B5.25)
т=о
В сферической системе координат, ось которой совпадает с осью симметрии,
значения т, при # = 0 равны значениям г. В этом случае
со8# = 1, РтA) = 1, B5.26*
и разложение в ряд по функциям Лежандра B5.13) принимает вид
ф) = Щг, 0) = 2 Атгт- B5.27)
т=зО
Ряды B5.25) и B5.27) выражают одну и ту же функцию, т.е. совпадают
при всех значениях т, = г. Это возможно только в случае равенства
соответствующих коэффициентов
При этом потенциалов произвольной точке
Щг, V) = 2 Ътг™Рт (соз *), г< г0. B5.28)
Если ищется решение для ъ > г0, то распределение потенциала вдоль оси
может быть представлено рядом
Ф) = 2 Ст*-(т+1\ * > г0. B5.29)
тп=0
В этом случае разложение в ряд по функциям Лежандра B5.4) принимает
вид
Щг,0)= 2 Втг-«*+*. B5.30)
тп=»о
Сравнивая последние два ряда [имея в виду, что в B5.29) ъ = г], получим
с = В
^ 26. Свойства полиномов Лежандра
213
Отсюда следует, что потенциал в произвольной точке пространства имеет
вид
Щг, #) = 2 стРт (со8 0) #-<™+Ч г ^ г0. B5.31)
771=0
§ 26. Свойства полиномов Лежандра
В предыдущем параграфе было получено дифференциальное уравнение
Вводя новые переменные
Ж = С08 0, Ах = - 81П # й#, 0 = % B6.2)
придадим уравнению B6.1) следующий вид:
^[A~х2)у'] + п(п + 1)у = A^х2H-2^^ + /г(Аг + 1J/ = 0. B6.3)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением Лежандра.
Будем искать его решение в виде бесконечного ряда
у = хт 2 агХг = 2 агХт+г. B6.4)
г=0 г=0
Дифференцируя его почленно и подставляя в дифференциальное уравнение
B6.3), сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х. Они все
должны быть равны нулю, так как уравнение справедливо для всех
значений х. Коэффициент при хт+г~2 имеет вид
(т + г)(т + г—1) аг + (п-т-г+2) (тг + 7гг + г-1)аг__2 = 0. B6.5)
Если в это выражение подставить значение г = 0и учесть, что все
коэффициенты аг с отрицательным индексом равны нулю, то получим
гп(т-1)а0 = 0. B6.6)
Из того же выражения при г = 1 получаем
(т+1)та1 = 0. B6.7)
При произвольном значении а0 предпоследнее уравнение
удовлетворяется, если т = О или т = 1. При т = О и последнее уравнение
удовлетворяется при любом значении коэффициента ах. Выбрав иг = 0, получим для
определения всех коэффициентов рекуррентную формулу
г(г-1)аг + (п-г + 2)(п + г-1)аг_2 = 0, B6.8)
или
Применяя эту формулу, можно, исходя из произвольных значений
а0 и а1у получить для у бесконечный ряд
+
*, - а \\ "("+1> у2 , п(п-2)(п+\) (/1+3) 4 1
+ % [*_ (^1)(^а)^+(^1)(»-3)(|>+2)(п+4)я,,а ^ ] B6Л())
214
Часть II. Статические и стационарные поля
Легко показать, что как ряд при а0у так и ряд при аг сходятся в
интервале (—1, +1). Очевидно, что как первый, так и второй ряды
представляют решение исходного уравнения. Очевидно также, что, когда п —
четное число, первый бесконечный ряд сводится к конечному полиному,
/V4
^\
^РГ^
-Рз~^
у&
1,0
П п
цо
^/1
-0,5
-10
Гч
5>\
^р^
\А
-1,0 ~0}15 -0,5 -0,25
О
х-
0,25
05
0,75
Ю
Фиг. 136. Функции Лежандра.
а в случае нечетного п к полиному сводится второй бесконечный ряд.
Такие полиномы называются полипомами Лежандра. Их значения можно
определить из приведенных здесь рядов, если постоянные выбрать так,
чтобы при х = 1 полином Рп(х) был также
равен единице. При этом находим
Р0(х) = 1,
Рг(х) = х,
Р2(х)=^(Зх*-1),
Р,{х) = \{Ьх*-Зх), B6.11)
РА(х) = \C5х*-30х2 + 3),
р5(х) = ;1 (бЗя5 - 70#3 + 1Ъх).
Ф иг. 137. Зональная сферическая В общем виде ЭТИ ПОЛИНОМЫ МОГуТ быть
гармоника Р3 (сов*). выражены формулой
Рп(х) = 2(-1У;
Bл-2г)!
2пг\{п-г)\(п-2г)\
Тп—2г
B6.12)
При этом суммирование должно производиться от нуля до л/2, если п —
четное число, и от нуля до (и—1)/2, если п — нечетное число. На фиг. 136
представлены значения полиномов Лежандра в интервале от —1 до +1,
а на фиг. 137 показано поведение этой функции на сферической поверхности.
Общее решение дифференциального уравнения Лежандра может
быть представлено в виде
у= АРп(х) + В<2п(х).
B6.13)
$ 26. Свойства полиномов Лежандра
215
Здесь А и В — произвольные постоянные, а ()п{х) — функция Лежандра
второго рода. Если ограничиваться интервалом ( —1, +1), то можно
определить эту функцию так: функция ()п{х) при четном п представляется вторым
бесконечным рядом выражения B6.10), а при нечетном п — первым
бесконечным рядом того же выражения.
Полиномы Лежандра принято записывать и в другом виде. Для этого
исследуем функцию
и = (х2-1)п. B6.14)
Ее производная по х есть
~ = 2пх(х2-1)п~1, B6.15)
поэтому очевидно, что она удовлетворяет уравнению
A-х2)^ + 2пхи = 0. B6.16)
Последовательно дифференцируя это уравнение (я + 1) раз по ху получим
дифференциальное уравнение
Сопоставляя его с уравнением B6.3), убеждаемся в том, что функция
^ = ^г(*2-1)" B6-18)
удовлетворяет уравнению Лежандра. Эта функция — полином лг-й степени
и может отличаться от полинома Лежандра Рп(х) только на постоянную,
так как дифференциальное уравнение Лежандра имеет только такое
решение. Эта постоянная определяется из сравнения полиномов Лежандра
Рп(х) с выражением B6.18). В итоге приходим к следующему
представлению полиномов Лежандра (по Родригесу):
Значение полиномов Лежандра заключается не только в том, что они
служат решением уравнения, часто встречающегося в задачах физики,
но также и в том, что полиномы Р0{х)> Рг(х),. .., Рп(х) образуют в интервале
(—1, +1) ортогональную систему, т.е.
+ 1
/ Рт(х) Рп(х) 0х = 0 при т * щ B6.20)
-1
так что любая произвольная функция в рассматриваемой области может
быть разложена в ряд по полиномам Лежандра.
В дальнейшем (см. § 29) будет показано, что полиномы Лежандра могут
быть получены разложением в ряд функции
B6.21)
У\-2хи+и2
Для переменных и и V соответственно имеем
1
У\-2хи+и2 п=о
= 2Рп(х)и« B6.22)
216
Часть II. Статические и стационарные поля
,л ', = 2 Рп(Фп- B6.23)
Перемножим обе части этих уравнений и проинтегрируем в пределах от
—1 до +1:
+ 1 +1
/-===^=== 2 2 }Рт(х)Рп(х)и**о«<1х. B6.24)
* }1-2хи+и2у1-2хи + 02 т=оп=о_
Интегрирование левой части выполняется без труда:
+ 1
Ох 1 , 1 + У
( ^х = 1_1п 1+>/ш; B6 25)
-1
Полученная функция может быть разложена в ряд по степеням
ш>, что дает
1 1П1±1^= ^ 2.ЦП0П. B6.26)
Уш; 1-Уш7 п=о 2п+1
Подставляя B6.26) в B6.24), получаем
+ 1
2 2 [ Рт(х)Рп(х)итипах = 2^гиП^п-
-1
В левой части этого уравнения все члены при пыАп равны нулю, т.е.
/ Рт(х)Рп(х)<1х = 0, B6.27)
-1
а при т=п имеем
+ 1
]'[Рп(х)ГЛх = 1^Т. B6.28)
На основании этих рассуждений можно определить коэффициенты
разложения в ряд по полиномам Лежандра. В частности, можно доказать,
что если 1(х) и ее производная в интервале ( — 1, +1)
кусочно-непрерывны, то эта функция может быть представлена рядом
№ = чР^{х) + яА(*) + аЛ(я) + ... + апРп(х) + ... = 2 <?*№) • B6.29)
71 = 0
Умножим обе части этого ряда на Рп(х) и проинтегрируем в пределах
( — 1, +1); тогда, принимая во внимание B6.27) и B6.28), получим
+ 1 +1
I' Ах)Рп{х) Лх = ап § [Рп(х)Г их = ап ^-. B6.30)
-1 -1
Таким образом, коэффициенты ряда B6.29) определяются равенством
+ 1
«» = ^Р~ ^' Пх)Рп(х) их. B6.31)
-1
$ 27. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах 217
§ 27. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах
В предыдущем параграфе мы искали такое решение уравнения
Лапласа в сферических координатах, которое не зависит от координаты у и
выражено через функции Рп(сов #). Теперь перейдем к решению уравнения
Лапласа
1 Э ( 2<дУ\ , 1 0 ( . ц дЦ\ , 1 а2Е/ А 07 ,
" Э71г "аТУ+ г2з1п#~5"Гш*~дТ)+ г28ш2^ "^ ~ и ^'л>
для случая, когда V может зависеть от всех трех координат.
Будем искать решение в виде произведения
11 = К{г)8{ср,$). B7.2)
Подставив его в уравнение Лапласа B7.1):
а затем разделив на произведение Н8, придем к уравнению
7Г^Г^)+таГ*^ B7'4>
Первый член его зависит только от г, а два следующих — только от ср и &.
Сумма этих членов может быть равна нулю только в том случае, если
первый член и сумма двух следующих членов равны одной и той же
постоянной величине, но с противоположными знаками. Таким образом, уравнение
B7.4) распадается на два:
И
1 д ( . .3*9 \ , 1 д*8 „ /0_ЛЧ
ТЖТШвт^мг)+'8^^1^ = ~к- B7-6>
Общее решение первого уравнения известно из § 25:
П = Аг- + -^г. B7.7)
Функция 5 должна при этом удовлетворять уравнению
Если это решение для заданного п обозначить через 8п, то решение
уравнения Лапласа представится функцией
и = Н8п = (Аг- + ~^т)8п. B7.9)
Все решения уравнения Лапласа называют гармоническими
функциями. Решение уравнения Лапласа, однородное п-го порядка относительно
декартовых координат х, г/, т,у т.е. решение, которое может быть представлено
в форме
V = 2 Аг$1хгу8^1, г + з + 1 = и, B7.10)
называют сферической гармонической функцией или
пространственной-сферической функцией (или гармоникой) п-го порядка. Это решение всегда
218
Часть II. Статические и стационарные поля
можно представить в форме гпР($,ф). Действительно, при выражении
каждой из декартовых координата,у,ъ через сферические радиус г входит в
первой степени; поэтому в любом произведении хгу8%* {г+8+1=п)гп
оказывается общим множителем. Функция Р($, ср) при этом
тождественна 5п(#, <?)•
Функция 8п(Ф,(р) называется поверхностной сферической функцией
(или гармоникой) п-го порядка. С ней связаны пространственные
сферические функции г^УпО?, (р), а также г-71 З^д, <р).
Вернемся к уравнению B7.8) и попробуем представить его решение
в виде произведения
5 = 0(&)Ф(ср). B7.11)
После подстановки получим
^)+^тЬ^+п{п+1) = 0- B7Л2)
1 1 (I ( • а
& 81П# д& \
Для разделения переменных умножим все это выражение на вт2&
^вт*-^(вт0^)+Л(Л + 1) вш»0 +А ** = 0, B7.13)
Ф Л<р2
откуда приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Первое из них
1 <РФ
Ф <1<р2
= — т2
имеет очевидное решение
Ф = С со& тер + В &тт<р.
Второе уравнение
81П*0
¦]в = 0
B7.14)
B7.15)
B7.16)
служит для определения 0. Его непрерывное и конечное решение на
сфере единичного радиуса выражается через
присоединенные функции Лежандра (или
присоединенные сферические функции)
<9 = Р™(со8#); B7.17)
они совпадают с функциями Лежандра при
7И=0.
Таким образом,
^п(#7 Ф) — (С'со8т(р4-2)8тт<р)Р™(со8#).
B7.18)
Добавим без доказательства, что
поверхностная сферическая функция гс-го порядка
в общем виде представляется рядом
Фиг. 138. Тессеральная (мо- п
заичная) сферическая гармо- $ (# <р) = У (Снсо*к<р + Вк*тк(р)РЬ(совФ).
НИКа Р|(С08 &) 81П Зф. пх ' Т/ &«0
B7.19)
Функции
С08 т^Р™ (С08 0), 8Ш><рР™ (соа #) B7.20)
представляют собой частный вид сферических поверхностных функций,
называемых мозаичными или тессеральными; характер мозаичных функ-
$ 28. Свойства присоединенных функций Лежандра
219
ций иллюстрируется фиг. 138. Можно утверждать, что любая
поверхностная сферическая функция п-го порядка может быть выражена конечной
суммой функций вида B7.20).
Таким образом, общее решение уравнения Лапласа в сферических
координатах представляется функцией
#п(г,#,9>) = (Агл + -^:) 2 (Сксо*кср + Вк*ткср)РЬ(со*#). B7.21)
Свойства присоединенных функций Лежандра рассматриваются в
следующем параграфе.
§ 28*. Свойства присоединенных функций Лежандра
В предыдущем параграфе функция 0 определялась
дифференциальным уравнением
Введем новую переменную ж=со&#, Ах = — 8т#й#; тогда
{1_ж2)^_2^+[ге(„+1)__^]0 = о. B82)
Чтобы найти решение этого дифференциального уравнения, следует
исходить из уравнения Лежандра B6.3):
Его решение при целых п выражается полиномами Лежандра и-го
порядка. Дифференцируя уравнение B8.3) V раз, получим
A-#)^Р%[х)-2х[? + \) ±Р%{х)НМп + 1)-ф + 1У№(*) = 0, B8.4)
где
^(*)=а^*п(*)- B8.5)
Подставим в B8.4) функцию Рп{х), определяемую равенствами
1»(х) = A-х*у1*Р%>{х),
или
Г п V*) - A_ж2^/2 '
Тогда B8.4) принимает вид
A_Я2)^1 -2хЩ^ + [п(п + 1)--^]Р*п(х) = 0. B8.6)
Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением B8.2).
Следовательно, его решение выражается функциями
Р1(Х) = A-Х^^Ш-, B8.7)
Эти функции Ррп{х) называются присоединенными функциями Лежандра.
220
Часть II. Статические и стационарные поля
Рассмотрим несколько подробнее случай у=1:
Р1п(х) = УТ^*-*?^±. B8.8)
Ах
Вернемся к переменной $, полагая
#=С08#, У1— X2 = 8111 Л
В таком случае искомое решение дифференциального уравнения
получается в виде
*<*) = Р1 (сов *) = вш *^^- = -ЩйГ3 • B8-9>
Зная выражение полиномов Лежандра (см. § 26), нетрудно по B8.9) найти
выражения и для присоединенных функций Лежандра:
Р1(С08#) = 0,
Р\ (С08 0) = 8Н1 0,
^ (С08 0) = 3 8Ш * С08 1?, B8.10)
Р|(соз#) = у8т^Eсо82^-1),
Р^(С08#) = — 81П#GС083# — ЗС08#).
Анализируя приведенные выражения, можно заключить следующее:
функция Р^(со8#) при #=0 и # = 71 равна нулю. Если л — четное число,
то значение функции также равно нулю при $ = я/2. Если п—нечетное число,
то функция при #=п/2 имеет максимум. Из уравнения B8.8) можно
установить правило дифференцирования:
А.
Можно доказать, как это было сделано для полиномов Лежандра,
м- [^(сов 0)] = ~^[пР1п+1 (соз 0) - (л + 1) сов «и (со8 ад. B8.11)
что
+ 1
I РЪ(х)Р»п(х) их = 0 при га^гс B8.12)
-1
+ 1
/П(*тх)<Ь - -^^ТГ- B8.13)
-1
Вводя переменную # = со8#, находим, что при *>=1
г
Р1 (сов 0)/» (сое 0) 8ш &М = 0 B8.14)
/
О
и соответственно
У* [Р* (сов ад2 вш 0 Й0 = ^^ . B8.15)
Таким образом, рассматриваемые функции образуют ортогональную
систему.
$ 29. Разложение 7/г по сферическим функциям
221
Любую функцию, определенную в пределах @, тг), можно разложить
в ряд по присоединенным полиномам Лежандра
/(*) = 2«п*Ь(сов0).
B8.16)
При этом коэффициенты ап определяются путем умножения обеих частей
равенства B8.16) на Р\{ъоъ #)вт & и интегрирования в пределах от 0 до п:
п
B8.17)
В правой части множители при всех коэффициентах ат (т ^ п)
обращаются в нуль в силу ортогональности функций. Значение интеграла,
входящего в выражение коэффициента ап, находится по выражению B8.15).
§ 29. Разложение 1/г по сферическим функциям
Очень важный класс сферических функций тг-го порядка получается
следующим образом. Как известно, уравнение Лапласа удовлетворяется
функцией 17.= 1 /г, т.е.
А± = А—= * - = 0 (г*0). B9.1)
г /(*-*0J+(</-</оJ+(*-*оJ
Запишем функцию 1/г в сферических координатах, причем расстояние г
будем отсчитывать от точки, заданной координатами д', $', ср'. Текущие
координаты точки Р, для которой
определяется потенциал, обозначим
#, #, ср. Из фиг. 139 очевидно, что
г2 = е2+е'2-2ее'со8 У, B9.2)
где у — угол, образованный прямыми
0<2 и ОР. Из фиг. 139 легко
определить сов у. Единичный вектор,
совпадающий с направлением ОР, может
быть записан так:
Т% = 8Ш#С08 <р1 + ВН1 #81П <ЭД4-С08#к.
B9.3)
Аналогично выражается единичный Фиг. 139. К выводу выражения B9.2)
вектор, направленный по 0():
Г^ = 8Ш $' 008 Ср' 1 + 8И1 $' 8И1 Ср' ] + сов #'к. B9.4)
Тогда косинус угла между этими векторами определится их скалярным
произведением:
С08 у = ВШ. $ СОВ ф 8111 $' СОВ Ср' г В1П # 8Н1 $' 8Н1 ф 81П <р' + СОВ $ СОВ $' =
= 81П $ 81П $' (СОВ ф С08 <р' 4" ВШ Ср 8Н1 Ср') + СОВ $ СОВ $' =
= С08 $ С08 $' 4" 8111 & 8Ш <&' СОВ ((р — Ср'). B9.5)
На основании предыдущего имеем
222
Часть II. Статические и стационарные поля
Вынесем о' из-под знака корня
1
==- B9.7)
и введем обозначения
о
и= сов у и -т = ^. B9.8)
Тогда получим, что
.1 = 1
г д'У1-2ди+д*
Разложим теперь в ряд по формуле бинома Ньютона выражение
B9.9)
, * B9.10)
Представляя это выражение как функцию комплексного переменного дг
найдем, что функция имеет особые точки при значе ниях д, равных
корням уравнения 1 — 2ди + д2 = 0, т.е. когда
д = 2и±^и* 4 =со8 у±/вш у = е±» • B9.11)
Это означает, что внутри области, ограниченной окружностью единичного
радиуса |д| = 1=|в±^|, ряд сходится. Условие | д|<1. обеспечивается
выбором для д значения д]дг или е'/е в зависимости от того, исследуется
ли внутреннее или внешнее пространство сферы радиусом д\
По формуле бинома
A-х)-1'* = I ~~2~) + ( ~т)(-^I + ( ~т)(-*J + ...
...+(~т)(-*)п + ... , B9.12)
или
A-а?)-1/, = 1+^+^гг2+...+1'^:-B^1)^п+--- • B9.13)
А А ' -± А • 4ь . . . АЛ
Отсюда следует, что
+ 1'3254;;B2Г) (^-?2)п+ • • • • B9.14)
юго ряда по возрастающим степеням д, получ
= Р0(и)+Р1(и)д + Р2(и)д*+ .. . + Рп(и)дп +
2-4 . . Лп
Располагая члены этого ряда по возрастающим степеням ду получим, что
1
У\ - Bди -<?2)
где
Р0(и) = 1, Р2(и)=^(и*-\),
B9.15)
Рг(и) = и, Р2(и) = —{и3 —| и) , ... .
^ 29. Разложение 1 /г по сферическим функциям
223
Таким образом, коэффициенты степенного ряда совпадают с уже
известными нам полиномами Лежандра, и мы можем написать, что
¦7 = 2 ^(сов у) -|^- для <?< е', B9.16)
г п=0 "
7" = 1^«(со8у)-Йг для е>е'. B9.17)
Подставляя эти выражения в уравнение Лапласа и производя требуемые
операции, получим
V _^_Г±_ Э ^П^п(С08у)\ I * д2Ря(С05Г)
+ п(п + 1)Рп(со8 г)] = 0. B9.18)
Так как это выражение справедливо для всех значений дп/д'п+1у то
выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю, т.е.
Ж^(-^) + ^^ -Мп + ^сов у) = 0 . B9.19)
Отсюда видно, что полученные функции -Рп(со8 у) — действительно
сферические функции тг-го порядка. Функция -Рп(со8 у)удовлетворяет уравнению
B9.19) как для переменных ср и #, так и для ср' и $', поскольку эти группы
переменных входят симметрично в определение угла у.
Если в уравнении B9.19) считать, что угол у зависит только от одной
переменной #, т.е. полагать д/дср=0, мы приходим к уравнению для
полиномов Лежандра Рп(и), зависящих от*единственной переменной Л
Далее, полагая $' = 0, получаем соа у=со8#. Тогда уравнение Лапласа
принимает вид
¦зЬ-1 [81п »аРп*:5Щ]+пы+№ (с°8 *>=° • B9-2°)
Наконец, применяя подстановку
С08# = X, АХ = -81П0Й0, B9.21)
приходим к дифференциальному уравнению Лежандра
±[{1-*?тх)] + п(п + 1)Рп(х) = 0. B9.22)
Все изложенное показывает тесную связь между полиномами Лежандра
и сферическими функциями.
В предыдущем параграфе было показано, что каждая сферическая
функция гг-го порядка (зависящая от ср и &) может быть представлена
как линейная комбинация тессеральных поверхностных сферических
функций (т.е. функций только #, умноженных на зт ср или со& ср). Это относится
и к сферической функции
8п(ср, 0) = Рп(со8 у) = 7>п[сов0 со8 0' + вт0 вт0' сов(ч0-у')]- B9.23)
К этому выражению применима теорема сложения Лежандра:
РП(С08 у) = РП(С08 #)РП(С08 $') +
+ 2 2 Й^рп(со8#)Р*(со8#>о8Л(у--^), B9.24)
доказательство которой здесь не приводится.
224
Часть II. Статические и стационарные поля
§ 30*. Разложение в ряд сферических функций
На примере решения конкретных задач электростатики была
показана возможность представлять искомую функцию в виде ряда. Так, при
решении дифференциального уравнения
§=-*«* C0.1)
в виде у = асов кх + Ъ зт кх мы представляли функцию одного
переменного следующим рядом:
Нх) ~ 2 (ап С08 ПХ + Ъп 8111 пх) @ <= х <= 2я). C0.2)
Далее, найдя, что уравнения
А2у 1 <1у
A-х2)§-2х| + п(/г + 1J/ = 0
C0.3)
удовлетворяются первое — функциями /„(ж), а второе — функциями
Рп(х), мы представляли искомое решение }(х), удовлетворяющее еще и
заданным граничным условиям, в виде рядов
/(*) = 2 <^я(Ь*) @-ях^1),
C0.4)
Нх) = 2 апРп(х) (-1*5**5+1).
п=0
Эти функции образуют ортогональные системы. Решение уравнения
Лапласа с разделенными переменными в виде поверхностных сферических
функций аналогичным образом может быть применено для выражения
произвольной функции на наружной поверхности сферы единичного радиуса.
Докажем прежде всего, что сферические функции ортогональны, т.е.
что интеграл по поверхности А0 единичной сферы от произведения двух
сферических функций различного порядка равен нулю:
ф 8г8к Л А = 0 при I * к. C0.5)
Это обычно доказывается с помощью теоремы Грина (хотя было бы
проще применить условие ортогональности тригонометрических и
соответственно присоединенных функций Лежандра):
^АУ-УАЩд» =§[П*^-У^АА. C0.6)
Пусть
V = г18ь V = гк8к при к * I C0.7)
Тогда АII = АУ = 0, поскольку II и V удовлетворяют уравнение
Лапласа. Далее,
^ = ^ = №-1$ ^- = а,*-1 8к. C0.8)
дп аг " ап К у '
$ 30. Разложение в ряд сферических функций
225
Объемный интеграл в теореме Грина равен нулю, поэтому
ф (Аг*+1-1 «?!$*-&*+*-1ЗДк) а А = 0. C0.9)
А0
Но, по условию, \Ф к, а г = сопзЪ, поэтому
(^+1-1-/^+ь-1) ф ЗДь ЙЛ = 0; ф 5Л <Ы = 0. C0.10)
А0 Ло
Этим доказано условие ортогональности, которое в подробной
записи имеет вид
/ / ^п (#1 9) Ят@, у) вт 0 <Ю <*р = 0 (п* т). C0.11)
о о
На основе предыдущего можно показать, что
ф Рп (со8 у) 5Я(*', у') АА' = 2^1 *п(Л V)- C0.12)
Подставив вместо Рп(со8 у) значение, полученное из теоремы сложения
Лежандра, и выразив 8п(Ф, <р) через поверхностные сферические
гармоники, получим этот результат как следствие ортогональности
тригонометрических и присоединенных функций Лежандра.
Определенная на сфере единичного радиуса функция /($, <р) может
быть представлена как бесконечный ряд сферияеских функций:
№ Ч>) = 2 *»(*, Ч>). C0.13)
п=0
Умножим правую и левую части этого уравнения на Рп(со8 у) и
проинтегрируем по поверхности сферы единичного радиуса; тогда в силу
условия ортогональности C0.11) и уравнения C0.12) получим
8п($, V) = ^ <()/(*'> чОЛЛсов у) А4'. C0.14)
Следовательно,
/(*, ?>) = ^ 2 B» + 1) / <%/ ]" /(*', р')Рп(сов у) вш 0' &д>. C0.15)
" О о
Если выразить 5Л(#, <р) через тессеральные поверхностные
сферические функции
«?п@, V) = 2 (Аптсо*т<р + Впташт<р)Р*(со* *), C0.16)
т=о
то с помощью теоремы сложения B9.24) и уравнения C0.14) определяются
значения коэффициентов Апт, Впт:
Апо=^^т\^)Рп(^^)ЛА\ C0.17)
Л™ = ^я^п + т!!^ /(|?'' *'> ^ (С°8 ??') С08 Ш<Р' ЛА'' <30Л8>
Б™ =^^^^/(^^^(со8^8тт^йЛ'. C0.19)
А0
15 К. Шимони
226
Часть II. Статические и стационарные поля
Таким образом, можно разложить функцию /(<р, #) в такой ряд:
/(*, Ч>) = 2 Г 2 (Апш со8 тер + Впт Вт т ср) Р™ (соз #I. C0.20)
п=0 Ьт=0 ^
§ 31*. Применение сферических функций к решению задач
электростатики
Применение сферических функций позволяет в первую очередь решать
задачи, в которых поверхности электродов частично или полностью
совпадают с поверхностью какой-то сферы. Так, представляется возможным
решить следующую задачу: ищется решение уравнения Лапласа, которое
на поверхности сферы радиуса г0 принимает заданные значения #ь(#, <р).
Этим решается первая краевая задача для сферы в математической теории
потенциала. Разложив заданную функцию ?/&($, (р) в ряд по сферическим
функциям, получим
11^ Ч>) = 2 *п(#, 90. C1.1)
71 = 0
В этом случае искомая потенциальная функция внутри сферы принимает
вид
Щг, 0, ср) = 2 (-Т^(#, Ч>), г < г0, C1.2)
п=0 Г°У
а вне сферы
Щг, #, ср) = 2 ЙГ" 5п(*, V), г - г0. C1.3)
71=0 Ч' '
При г = г0 оба ряда совпадают и выражают заданную функцию C1.1).
Уравнение Лапласа удовлетворяется как тем, так и другим рядом, так как
гп8п(&, ср) и A1гп+1)8п(&, (р) являются его решениями. Потенциал при
переходе через поверхность изменяется непрерывно, а производная по
нормали испытывает разрыв. Следовательно, на сферической
поверхности имеются поверхностные заряды. Их плотность равна
+ 1(Я*1 ¦?„(«,»,) =^1B„ + 1)ад>,,>). C1.4)
Полученный результат представляет большой интерес. Положим, что
потенциал на поверхности сферы радиуса г0 равен функции 5П(#, у), т.е.
С7Л(*, у) = 5П(#, у). C1.5)
В таком случае поверхностная плотность зарядов на сфере, которая
создает этот потенциал, совпадает с ним по величине с точностью до
числового множителя. В простейшем случае плотность заряда на поверхности
сферы постоянна и создает постоянный потенциал. Легко убедиться, что
в бесконечности потенциал обращается в нуль как 1/г.
$ 32. Метод зеркальных изображений
227
С помощью этого метода можно также определить возмущение поля,
вызванное внесенной в него проводящей сферой. Для этого требуется
разложить в ряд по поверхностным сферическим функциям выражение
потенциала невозмущенного поля на наружной поверхности сферы и в ее
окрестности. Внесение сферы изменяет существующее поле таким образом,
что потенциал на ее наружной поверхности либо становится равным
нулю (если сфера заземлена), либо принимает какое-либо другое
постоянное значение. Если разложение вТряд исходной потенциальной функции
имеет вид
ии= с/0+ #1+ #а+ - • - = 21*зп(ъ 9), C1.6)
п=0
то вызванное внесением сферы новое значение потенциала может быть
выражено рядом
^ = -^)-М?K-МтM---- • <31-7)
При г = г0 это значение, наложенное на первоначальное, дает нуль. С
другой стороны, потенциальная функция выражается с помощью
сферических функций га-го порядка, так как в приведенном выше разложении
га-й член определялся в виде
11п = гп5п. C1.8)
Выражение
Т] 1о _ гпс 1о 2п+1 1 с /о/| о\
также представляет гармоническую функцию. Значение потенциала в
окрестности сферы теперь определится рядом
П= М1-7] + ^[1-(т-Л + ^[1-(-тЛ + --- • C1Л0)
Таким образом, распределение поверхностной плотности заряда на
поверхности рассматриваемой сферы дается выражением
или
-Г = -^о-1 2 Bп + 1Mп @, <р) = —1 2 Bп + 1)Пп(г0, 0, 9). C1.12)
ь0 п=о г0 п=0
Е. ОСОБЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 32. Метод зеркальных изображений
Рассмотренный общий метод решения далеко не всегда целесообразно
применять, так как в ряде случаев удается произвести более простые
расчеты. В излагаемом здесь другом методе снова ищется решение,
удовлетворяющее уравнению Лапласа и граничным условиям; если такое решение
найдено, то оно единственное. При этом очевидно, что любую эквипотен-
15*
228
Часть II. Статические и стационарные поля
циальную поверхность можно заменить металлической поверхностью с
тем же потенциалом, не искажая поля.
Метод зеркальных изображений представляет собой частный случай,
основанный на этом принципе. Рассмотрим конкретный пример. Пусть
задан точечный заряд, расположенный на некотором расстоянии от
бесконечной проводящей пластины (фиг. 140). Точечный заряд, так же как
и заряд на проводящей поверхности, задан; они одинаковы по величине
и противоположны по знаку. На плоской поверхности потенциал
постоянен. При этих условиях потенциал во всех точках поля определен
однозначно.
Представим себе теперь, что существует еще зеркальное изображение
заданного заряда, т.е. такой же заряд противоположного знака,
расположенный по другую сторону проводящей поверхности на таком же
расстоянии от нее, что и заданный.
Изобразив силовые линии и
эквипотенциальные
поверхности, получим поле,
показанное на фиг. 140.
Предполагается, что оба заряда
расположены в вакууме и
металлическая поверхность
отсутствует. Прямая, соединяющая
оба заряда, делится
эквипотенциальной поверхностью
на две равные части. Если
теперь правую сторону
рисунка представить себе
заполненной проводящим
металлом, то оставшаяся левая
часть удовлетворяет всем
поставленным требованиям,
т.е. уравнению Лапласа —
Пуассона и граничному
условию. Металлическая
поверхность совпадает с эквипотенциальной поверхностью, кроме того, ее заряд
равен и противоположен по знаку заданному точечному заряду. Таким
образом, условия задачи для левой части пространства не изменяются.
Метод пространственного зеркального изображения может быть
сформулирован и в более общем виде. Пусть плоскость — идеальный проводник,
т.е. ее потенциал равен постоянной величине. Пусть далее в
полупространстве 2>0 имеется произвольно заданное распределение зарядов. Ищем
сначала такое решение дифференциального уравнения Лапласа—Пуассона
ЛУ0 = - д{х> у>я) , C2.1)
при котором не выполняется граничное условие о постоянстве потенциала
на плоскости 2=0, а выполняется лишь условие равенства потенциала
нулю в бесконечности.
Построим зеркальное изображение зарядов: находящиеся в
точках (х,у, + 2) заряды (или заданная плотность заряда) переносятся в
точки (х, у, — я) с противоположным знаком. Решим теперь уравнение
Л71= +*(*.*-»)¦, C2.2)
Фиг. 140. Поле точечного заряда,
расположенного против бесконечной проводящей поверхности.
Поле получено зеркальным изображением
действительного точечного заряда относительно проводящей
поверхности.
$ 32. Метод зеркальных изображений
229
соответствующее распределению зеркально отраженных зарядов. Его
решение при тех же условиях
ЯАЪУ**) = -#о(*,У, -*) C2.3)
отличается от первого решения только знаками у ъ и д.
Выражение
C2.4)
дает при 2 = 0 значение потенциала, равное нулю, так как С/^х, 2/, 0) =
= — 110(х,у,0).В полупространстве2>0значение потенциала удовлетворяет
уравнению Лапласа—Пуассона при первоначально заданном распределении
плотности заряда, так как в этом пространстве отсутствуют фиктивные
заряды, т.е. зеркальные изображения зарядов. Уравнение для потенциала
удовлетворяет и заданному граничцому условию: потенциал равен нулю в
плоскости 2 = 0. Таким образом, поле в левой части полупространства
2>0в случае реальных зарядов и проводящей поверхности тождественно
совпадает с полем реальных зарядов и их зеркальных изображений.
>¦<!
9
1
1
1
I
1
1
?
777
1
1
1
!
<!)
-ч
-я
?
I
!
!
1
1
1
1
\
I
1
I
1
А
Фиг. 141. Определение поля параллельных
проводов, расположенных в плоскости,
параллельной бесконечной проводящей
плоскости, с помощью зеркального
изображения этих проводов.
Фиг. 142. Определение поля провода,
расположенного между двумя
перпендикулярными друг другу бесконечными
плоскостями, с помощью зеркального
изображения заряда провода относительно
этих плоскостей.
Обобщая, можно сформулировать задачу так: пусть заданы проводящая
поверхность с потенциалом нуль и какое-то распределение зарядов,
лежащих с одной стороны от этой поверхности, и ищутся две функции,
дающие для всех точек заданной поверхности равные и противоположные по
знаку значения потенциала. Если одна из этих функций выражает поле
заданных реальных зарядов (в отсутствие заданной проводящей
поверхности), то другая функция может быть отождествлена с полем зеркально
отраженных зарядов30.
Решение для плоскости уже было рассмотрено. Для сферы также
можно получить в явном виде значения искомых потенциалов и
зеркально отраженных зарядов. Однако решение в общем случае, по крайней
мере для пространственной задачи, встречает большие трудности.
1} При условии, что она удовлетворяет уравнению Лапласа в той области
пространства, где имеются реальные заряды, и удовлетворяет уравнению Лапласа —
Пуассона в другой области, лежащей с другой стороны заданной эквипотенциальной
поверхности. - Прим. ред.
230
Часть II. Статические и стационарные поля
На фиг. 141 и 142 показаны несколько простейших случаев, в которых
распределение потенциала может быть найдено методом зеркальных
изображений.
На практике метод зеркальных изображений широко применяется
для расчета поля проводов, расположенных над землей. Тем же методом
может быть рассчитано поле в случае эквипотенциальных плоскостей,
сходящихся под прямым углом (фиг. 142), или между двумя бесконечными
параллельными плоскостями (фиг. 143), если между этими эквипотенциаля-
ми находится заряд. Зеркальное изображение заряда относительно одной
из плоскостей обеспечивает постоянство
потенциала на ее поверхности, однако
потенциал на другой плоскости при этом
не будет постоянным. Чтобы обеспечить
постоянство потенциала и на этой плос-
—о—
-чл
+ч
Л
ш0
^^Щ^^^^^^^^^^^^^^Г/Г
+ч
Фиг. 143. Определение поля заряда,
расположенного между двумя параллельными
плоскостями, с помощью последовательного зеркального
изображения заряда относительно этих плоскостей.
Фиг. Ы4. Определение поля
провода, расположенного в
металлической трубе, с помощью
зеркального изображения.
кости, необходимо добавить отражения в ней как действительного заряда,
так и его зеркального изображения в первой плоскости. Благодаря этой
операции вторая плоскость становится эквипотенциальной поверхностью,
но условия на первой плоскости нарушаются; чтобы она стала
эквипотенциальной, надо отразить в ней все отражения во второй плоскости. Такой
процесс можно продолжать до бесконечности. Можно доказать, что
выражение для потенциала бесконечного ряда отражений сходится и потенциал
на обеих поверхностях оказывается постоянным.
В случае точечного заряда д между параллельными плоскостями
потенциал в точке (е,;г), где ^-расстояние от оси (фиг. 143), определяется
выражением
п=-о°У92+(х-к+2псJ
+ оо
¦я 2
П=—оо
C2.5)
Как уже было показано, решение плоских задач очень упрощается
введением функций комплексного переменного. Применение этих функций
упрощает и обоснование метода зеркальных изображений (опять же в слу-
^ 32. Метод зеркальных изображений
231
чае плоской задачи). Основная идея, как и прежде (§ 14 и след.),
заключается во взаимном отображении областей.
Пусть в плоскости т, (фиг. 144) задана произвольная замкнутая
кривая с постоянным потенциалом, внутри которой находится заряд д. Задача
состоит в том, чтобы найти потенциальное поле этого заряда при равенстве
нулю тангенциальной составляющей напряженности поля на заданной
кривойЧ Пусть задана функция и) = гг + /Ъ = /(я), которая переводит
внутреннюю часть области, ограниченной заданной кривой, в верхнюю
полуплоскость ш Aт ю > 0); заданная кривая при этом переходит в
действительную ось. При таком преобразовании точка 20, в которой находится
рассматриваемый заряд, переходит в точку ю0 плоскости ю.
Задача теперь может быть поставлена так: ищется потенциальная
функция, имеющая на действительной оси плоскости ш постоянное значение
(проще всего полагать его равным нулю) и единственную особую
точку щ. Эта задача представляет простейший случай, легко рашаемый по
методу зеркальных изображений. Искомая функция может быть
представлена как комплексный потенциал ТУ, обусловленный двумя зарядами:
зарядом +д в точке щ и зарядом —д в точке ы% . В этом случае
2^=-<?Ш^- C2.6)
Отобразив эту потенциальную функцию обратно на плоскость я, получим
искомое распределение потенциала в этой плоскости, соответствующее
заданным граничным условиям:
Эту функцию можно переписать так, чтобы влияние границы, или, иначе,
влияние зеркального изображения заряда, было явно выделено:
2пе0К = -,]пB-^-?1п(г_^>-(^Ы]. C2.8)
(Очевидно, что в этом выражении первое слагаемое представляет потенциал
действительного заряда.)
Это уравнение показывает, где расположены зеркальные изображения
действительного заряда, чему равны заряды этих изображений и вообще,
можно ли решать поставленную задачу методом зеркальных изображений2).
В качестве первого примера рассмотрим изображенный на фиг. 145
угол и находящийся внутри него заряд. Попробуем найти распределение
потенциала в этом случае. Как уже указывалось, существенную часть
задачи составляет нахождение функции, которая заданную кривую
плоскости ъ отображает на действительную ось плоскости ш. Для
рассматриваемого случая отображающая функция имеет вид
ю = ъп = ^е™. C2.9)
1} Здесь рассматривается, конечно, плоское поле. Поэтому заданная
эквипотенциальная кривая — это след пересечения плоскости {х, у) с бесконечной цилиндрической
эквипотенциальной поверхностью, нормальной к плоскости (ж, у). Точно так же
заряду есть след однородно заряженной линии, нормальной к плоскости (х, у).
Рассматриваемая здесь величина заряда равна заряду, приходящемуся на единицу длины
этой линии. — Прим. ред.
2) То есть можно ли второе слагаемое истолковать как потенциал, обусловленный
зарядами с определенными координатами. — Прим. ред.
232
Часть //. Статические и стационарные поля
Выберем п так, чтобы выполнялось условие
п
C2.10)
Такая функция оставляет одну сторону угла неизменной, отображая
вторую сторону на отрицательную часть действительной оси плоскости
ш; при этом поверхность, заключенная внутри угла, переходит в верхнюю
полуплоскость ш. Тогда искомое значение потенциала равно
2пе0\У = — д\п
а его действительная часть
ю — ю0
¦дЫ
2я — гЪп '
C2.11)
C2.12)
= — д\п-
C2.13)
Для взаимно перпендикулярных прямых, т.е. для #=я;/2 и, следовательно,
/г = 2 имеем
[я-%)(*+*%) '
Это означает, что полученное значение
потенциала определяется наложением
потенциалов заданного заряда в точке
20 и трех зарядов в точках -20, г*
и -2*, равных соответственно 4-у, — д
и —д.
Если тг —любое целое число, то
2*-*2 = (*-20)B-^»)(*-^*)...
...(г-^е2^1^). C2.14)
Фиг. /45. Определение поля
провода, расположенного между двумя
полуплоскостями, образующими
заданный угол, с помощью зеркального
изображения заряда этого провода.
Это значит, что искомый потенциал может быть представлен как сумма
потенциалов действительного заряда и его 2п — 1 изображений. Если же
/г-не целое число, то такое представление невозможно.
В случае заряда над полуплоскостью последняя может быть
представлена как клин с углом раствора 2щ при этом /г = 1/г> поэтому потенциал
выражается равенством
2пе0\У=-дЫ-^ф^; C2.15)
его действительная часть равна
д - 2Удд0 соз — (ср - <р0) + д0
2пе^ = -у?1п I • C2Л6)
9- %У~№ соз у {<р+ <р0) + д0
Таким же путем можно рассмотреть случай заряда, заключенного
внутри прямоугольника. Функция преобразования находится по формуле
Кристоффеля—Шварца; так, преобразование
* = А
ГA-„*,A-^)
Лш
C2.17)
$ 32, Метод зеркальных изображений
233
отображает верхнюю полуплоскость ю на прямоугольную область
плоскости ъ. Подобное же преобразование отображает нижнюю полуплоскость
также на прямоугольник, показанный на фиг. 146 жирным пунктиром.
Пусть вещественная ось и в плоскости ю имеет нулевой потенциал, и
пусть над ней в какой-либо точке плоскости находится заряд д. В
плоскости ш задача решается методом зеркальных изображений. С помощью
преобразования C2.17) может быть найдено соответствующее поле линейного
-я° !°+ч
~+То \ 7я
-до | о+ц
+Яо [~сг<2
-дсИ о+д
+ЧсГ[ о-Ч
1.
1
1
1
1
г
1
1
' >
1
1
4. - -
1
1
- 1
Г
^21
+Чо
^4
о"?
1"
1
_^гО [ О+д
щ
О"?
1
-до | О+д
+9о Г~о-Я
1
+
1
1
1 1
1 1
—1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
¦
I
±
1
1
1
1
т
1
Фиг. 146. Линейный заряд в прямоугольной металлической
трубе.
заряда д внутри металлического цилиндра прямоугольного сечения.
Полученное таким образом решение можно рассматривать как наложение
полей показанного на фиг. 146 бесконечного множества изображений.
До сих пор рассматривались зеркальные изображения относительно
плоскости. Представляет практический интерес и зеркальное изображение
относительно сферы.
Пусть внутри металлической сферы радиуса г0 находится точечный
заряд (), расположенный на расстоянии г от центра сферы (фиг. 147).
Требуется найти картину поля. Легко доказать, что заданный заряд и его
„зеркальное изображение" — заряд &= — Bг0/г, находящийся на
расстоянии Н^гЦг от центра сферы, создают на поверхности сферы потенциал,
равный нулю (центр сферы и заряды (), (^ лежат на одной прямой в
указанной здесь последовательности). Таким образом, поле внутри сферы
с проводящей оболочкой может быть определено как поле зарядов ({и*?^
Изложенный метод в применении к сфере получает наиболее общее
обоснование в теории инверсий Кельвина. Пусть дана система электродов,
на которых заданы значения потенциалов и которые создают потенциальное
поле &(х, у, з). Сконструируем по принципу инверсии новую систему,
отобразив каждую точку электродов и окружающего пространства
относительно поверхности сферы радиуса г0 (фиг. 148). Это значит, что
точка Р' с координатами (|, % С) изображает точку Р с координатами (х, у, ъ) при
следующей зависимости между координатами:
г'1 г2
C2.18)
234
Часть II. Статические и стационарные поля
Здесь г0 — радиус сферы; В = Ух2 + у2 + %2—расстояние от изображаемой
точки Р до центра сферы; г = у'|2+^2+С2— расстояние от
изображающей точки Р' до центра той же сферы (точки Р9 Р' и центр сферы
лежат на одной прямой). Такое преобразование, как легко показать,
ортогонально конформно, т.е. угол между двумя пересекающимися линиями
при преобразовании не изменяется; при таком преобразовании сфера
переходит в сферу (считая за сферу и плоскость).
Распределение потенциалов в поле заданных электродов 1/(х1 у, %)
однозначно определяет распределение поля в отображенных точках
пространства V (I, % С). Сфера преобразуется в сферу, если плоскость рас-
Фа г. 147. Зеркальное отображение Фиг. 148. Геометрические соотношения
относительно поверхности сферы. в методе инверсии Кельвина.
сматривать как частный случай сферы. Взаимная связь потенциалов
определяется равенством
#'(^,о=^D^ 4ч> 4Ф C2Л9)
или в сферических координатах
^(г,#,<Р)=1?-1?(уГ^1ср). C2.19а)
Последнее доказывается1* тем, что уравнение Лапласа в координатах г, #, 9
действительно удовлетворяется функцией V, т.е.
если в системе координат В, #, ср уравнение Лапласа удовлетворяется
функцией II, т.е. если
ж1ж1Л2ж] + ж^^(8Ш^ж)+^^^ = 0^ C2-21)
В уравнении C2.20) V задана как функция координаты В, а не г;
поэтому для выполнения всех операций заменим в первом слагаемом
1} В переводе приводится более строгое доказательство, чем содержащееся в
подлиннике. — Прим. ред.
^ 32. Метод зеркальных изображений
235
д „ П2 д и
операцию -^на эквивалентную ей операцию — -р"-од
В таком случае
и-т ™ ¦. 9)))-$ш$ъ$ ад^>)] -
Д2 32
/ото а \\ д2 д Гр#17 , гЛ А*(~дТТ , о^М
C2.22)
^
9—^-
[У//////////^^^^^
Фиг. 149. Сведение поля пересекающихся сфер к полю
пересекающихся плоскостей.
Отображая точечный заряд <2, лежащий между двумя
полуплоскостями, пересекающимися под прямым углом, относительно
сферы, центр которой лежит в точке расположения заряда и
которая касается одной из плоскостей, найдем, что потенциал
на поверхности двух сфер, пересекающихся под прямым углом,
имеет постоянное значение —B/4яе0г0. Заряд электрода,
образованного этими сферами, состоит из зарядов ф1} ф2, (?3,
которые получаются вторичным отображением относительно
сферы основных изображений заряда.
Последние два члена уравнения C2.20) содержат производные только по
координатам # и ср, остающимся инвариантными при преобразовании,
поэтому в них замена гнай производится чисто алгебраически. В итоге
уравнение C2.20) после перехода к координате Н принимает вид
Дим,
^Действительно, по условию, Кг = г1; поэтому, дифференцируя по Л, нахо-
, г2
что Г + К-— - 0, откуда с1г= -^<Ш, или Лг= -^ЛП.— Прим. ред.
236
Часть II. Статические и стационарные поля
Раскрывая первое слагаемое в квадратных скобках уравнения C2.21),
находим, что
ш[н ж) -л(%+%]
C2.24)
Таким образом, уравнения C2.20) и C2.21) отличаются только множителями,
в общем случае отличными от нуля. Тем самым доказано, что функция
и'(г,*,<р)=у-щя,#,<р)
°
при г = гЦК удовлетворяет уравнению Лапласа, если ему
удовлетворяет функция 11(В, #, <р).
Описанный метод позволяет с помощью инверсии сводить сложные
задачи к более простым. На фиг. 149 представлен случай, когда поле двух
пересекающихся под прямым углом сфер сводится к полю пересекающихся
плоскостей.
Пусть поле создано точечным зарядом (?, расположенным в
пространстве между двумя взаимно перпендикулярными плоскостями (фиг. 149).
Отобразим это поле относительно сферы, в центре которой как раз и
расположен заряд () и которая касается одной из плоскостей; тогда две
сферы, пересекающиеся под прямым углом, окажутся имеющими
постоянный потенциал — <21кле0г0. Заряд такого электрода определится
зарядами (?ъ (>2> (?з> которые появились внутри сферы как вторичные
отображения (методом инверсии) зеркальных изображений заряда ()
относительно данных плоскостей. Заряд электрода:
#'=<21 + <?2+<?3
A + т)^1 + т2-т
2т^1 + т2
где т>1 — отношение радиусов двух сфер.
§ 33. Приближенные числовые расчеты плоского поля методом сеток1*
Пусть на плоскости заданы произвольная кривая и распределение
потенциала вдоль нее. Однако не требуется, чтобы потенциал вдоль этой
кривой имел постоянную величину.
Нанесем на поверхность, ограниченную этой
кривой, прямоугольную сетку и выберем
пять рядом лежащих произвольных точек
(фиг. 150). Расстояния между ними в
простейшем случае должны быть равны
стороне ячейки (клетки). Нетрудно заметить,
что если Л очень мало, то
Ь\-Т7о Ио-^
У>
-±
,
з{
,2
}о (
4
'/
.*
3
Фиг. 150. Метод се
Г5
*
ТОК
^2
V
и
1
—>-
X
дЮ
ка.-йа.-'кн <м-'>
1) Подробнее об этом см. [5.8; 5.10; 9.6; 9.7].
$ 34. Электролитическая ванна
237
17,-17, 1Г0-17А
¦Г—1 *
^)„
Складывая правые и левые части этих уравнений, получаем
|(^1+г72+с/з+^-4С/0) = й(^+^).
Поскольку из уравнения Лапласа
= 0,
" "Г "
дх2
ду*
находим, что
г70=^(«7х+Г7я+[7,+ г74).
C3.2)
C3.3)
C3.4)
C3.5)
Если расстояния, отсчитанные от рассматриваемой точки, не равны между
собой (случай, который имеет место при определении потенциала на
границе области), получаем
Итак, метод сеток заключается в следующем: берутся все точки сетки,
нанесенной на рассматриваемую область, и им приписываются
произвольные значения потенциалов, которые корректируются по
вышеприведенным формулам. Так находится новое распределение потенциала,
которое снова корректируется до тех пор, пока не будет получено
распределение потенциала, совпадающее в пределах выбранной точности с заданным
условиями задачи распределением потенциала на ограничивающей кривой.
§ 34. Электролитическая ванна
Пусть в каком-либо плоском сосуде, наполненном электролитом,
электроды размещены так, что их расположение соответствует
действительному пространственному расположению электродов в поставленной
электростатической задаче (фиг. 151). Если между электродами в ванне
создана разность потенциалов, то ^ерез электролит проходит ток. При этом
поле в электролите подобно моделируемому электростатическому полю.
Распределение потенциала в электролите
может быть измерено в принципе с
помощью вольтметра.
Плотность тока во всех точках ванны
равна
3 = уЕ, C4.1)
где у — проводимость электролита,
причем ток внутри электролита не имеет
источников, т.е.
<Ну 3 = 0. C4.2)
Напряженности электрического поля равны градиенту потенциала со
знаком минус:
Е= -дга4 С/, C4.3)
Фаг. 151. Электролитическая
ванна.
откуда следует, что
238
Часть II. Статические и стационарные поля
(Ну 3 = (Ну у Е = - у (Ну ргас! С/ = 0, C4.4)
т.е.
Л7 = 0. C4.5)
Это значит, что поле в электролите удовлетворяет уравнению Лапласа.
Потенциал электродов можно считать постоянным. Этим выполняются,
граничные условия. Действительно, из граничного условия для вектора
плотности тока
-^ = -^ C4.6)
следует, что вектор плотности тока направлен по нормали к поверхности
электродов, так как проводимость металлических электродов во много
раз превышает проводимость
электролита; а это и значит,
что поверхность электродов
эквипотенциальна.
При моделировании
следует учитывать влияние
стенок, дна и крышки ванны,
в которую налит электролит.
Если они изготовлены из
материалов с большой
проводимостью, то они создают в
электрическом поле
дополнительные граничные условия,
играя роль дополнительных
электродов. Граничные
поверхности, изготовленные из
изолирующего материала,
также создают определенные
граничные условия, которые
могут отличаться от условий моделируемого поля. В непосредственной
близости к таким поверхностям ток проходит только в параллельном
к ним направлении, а эквипотенциальные поверхности перпендикулярны
стенкам ванны. Для того чтобы исключить влияние стенок ванны,
необходимо размеры электродов делать малыми по сравнению с размерами ванны.
Иногда влиянием стенок ванны можно воспользоваться при
моделировании сложных полей. Так, в случае плоской задачи, когда
моделируется поле бесконечно длинных цилиндрических электродов, верхняя
и нижняя параллельные непроводящие поверхности позволяют
пользоваться электродами конечной длины (верхней граничной поверхностью
в рассматриваемом случае служит поверхность самого электролита).
Из фиг. 152 видно, как влияние стенок искажает эквипотенциальные
поверхности поля круглого цилиндра, параллельного проводящей
плоскости. Можно утверждать, что поле в электролитической ванне соответствует
полю бесконечного числа параллельных цилиндров, имеющих одинаковый
потенциал + С/0 и расположенных на одинаковом расстоянии Н над
проводящей плоскостью нулевого потенциала или на расстоянии 2/г над
другим рядом цилиндров, имеющим потенциал —110.
Заметим, что в электролитической ванне можно моделировать
пространственные задачи, в которых распределение потенциала зависит от
трех координат. В этом ее преимущество перед методом резиновых моделей,,
который излагается в § 37.
Фиг. 152. Влияние стенок электролитической
Еанны на вид эквипотенциальных поверхностей.
Вертикальные линии изображают непроводящие стенки
ванны. Эквипотенциали подходят к ним под прямым углом
(пунктирные линии). Заштрихованные области
изображают круглый цилиндрический электрод и проводящую
плоскую стенку ванны. Пунктирные линии показывают
эквипотенциали поля ряда круглых цилиндрических
электродов, параллельных проводящей плоскости.
Сплошные линии показывают эквипотенциали поля одного
цилиндра против бесконечной плоскости.
$ 34. Электролитическая ванна
239
О применении электрических цепей для решения довольно сложных
дифференциальных уравнений речь еще будет ниже. Здесь же уместно
упомянуть о решении уравнения Лапласа на плоскости методом сеток
в связи с его сходством с электролитической ванной. Составим сетку из
одинаковых омических сопротивлений; элемент которой изображен на
фиг. 153; на границе ее с помощью источников регулируемого напряжения
создадим заданное распределение потенциала. Потенциалы узловых точек
сетки имеют значения, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Потенциалы
соседних точек сетки связаны, согласно первому
закону Кирхгофа, уравнением о 2
271 = 0,
или
и*-ч*.+.
я
Ч.*-ио [ Ц3-Ц0 ,
я
я
Ц*-Цр
я
= 0,
C4.7)
<Н1
3
* Т я
V,
¦(#1+*72+Ц>+*74)
C4.8)
было показано в § 33,
/
Я
Фиг. 153. Элемент сетки
для решения уравнения
Лапласа.
А это равносильно, как
уравнению Лапласа.
Метод электролитической ванны имеет важное
значение еще и потому, что при решении этим
методом какой-либо электростатической задачи
одновременно решается задача стационарного пространственного
распределения электрического поля в проводящей среде, если проводимость
электродов очень велика по сравнению с проводимостью окружающей среды.
Такие задачи возникают при расчете сопротивления заземлений и в
геофизических исследованиях. Действительно, измеряя на поверхности земли
распределение потенциала поля токов, растекающихся с заданных
электродов, можно определить наличие в теле земли инородных по проводимости
включений, обусловленных, например, залежами полезных минералов.
Следующие величины, характеризующие электростатическое поле,
имеют соответствующие аналоги в поле проводящей среды:
Е->Е,
(Ну В = 0, тт
дху] = 0, значит Б-^; #-#,
C4.9)
Отсюда можно получить простую связь между емкостью С двух
электродов и сопротивлением между соответствующими двумя электродами:
<?= |ВйА-/еГйА = 1.
C4.10)
Это выражение может быть переписано в легко запоминающейся форме
д_/ша _/вЕ^А _^)ик _е_ 1
С-
V
X]
I]
V
-^ или СВ = ед, C4.11)
где о=у
-1_
удельное сопротивление материала.
240
Часть II. Статические и стационарные поля
§ 35, Метод Монте-Карло
В заключение остановимся еще на одном методе, который постепенно
завоевывает все большее признание среди других практических методов
решения. Это так называемый метод Монте-Карло. Как видно из самого
названия, он связан со случайными процессами в играх и с теорией
вероятностей. В физике можно найти много примеров, когда стохастические,
т.е. случайные, процессы приводят к закономерностям, которые
описываются дифференциальными уравнениями; так, явления диффузии
вызываются случайными процессами. Метод Монте-Карло заключается в том,
что отыскивается случайный процесс, соответствующий данной
математической задаче и приводящий
приблизительно к заданным
уравнениям. Решение находится
экспериментально путем практического
осуществления этого случайного
процесса. Метод удобнее всего
продемонстрировать на решении
поставленной здесь задачи, т.е.
на решении уравнения Лапласа.
Для простоты рассмотрим
плоскую задачу. Пусть в узловых
точках |ь г)г граничной кривой
(фиг. 154) заданы значения
потенциала 11(^и т?г). Требуется найти
потенциал какой-либо
произвольной узловой точки (х, у).
Будем наугад перемещаться по координатной сетке от этой точки.
Для этого положим в урну четыре записки, обозначенные + х, — х, + у, —у.
Пустим гулять по сетке маленькую деревянную куколку, каждый шаг
которой определяется содержанием вынимаемой из урны записки. При
этом куколка будет передвигаться по сетке по случайному пути, пока не
достигнет какой-либо узловой точки на граничной кривой. Тогда мы снова
ставим куколку в исходное положение и повторяем весь процесс сначала.
Естественно, что куколка, передвигаясь наугад, придет уже в другую
точку граничной кривой.
Если исходить из той же самой точки (х, у) N раз (где N — очень
большое число), то блуждание окончится п± раз в точке границы (&, %), пч Раз
в точке (|2> Пт) и щ раз в точке (&, щ)у где Щ + П2+ ... = N. В таком
случае можно определить вероятность Р(х, у, |ь %), с которой куколка,
выйдя из точки (х, у) и блуждая наугад по сетке, придет в точку (&, щ)\
|У ^1'Ъг
>
^
>
;
к
*».
к
;
1
У!
1
т
Чч
Ч
)
[у
X
>
Фиг. 154. К применению метода Монте-
Карло.
Р(х, у, й, щ) = %.
C5.1)
Зная эту вероятность, можно найти среднее значение потенциала
У{%1 11)х'у> встречающееся в конце прогулки, начинающейся в точке (х, у):
ЖШ)Х'У = ^-[пгЩ^, чЛ + ъЩЬ, %) + .. .
.. . + щЩЬ, Г)г)] = 2Р(х, У, & Ъ)ЩЬ, %)•
C5.2)
Оно равно потенциалу рассматриваемой исходной точки, т.е.
Щх, у) = Ш~п)'Л-
C5.3)
$ 36. Графическое определение плоских полей
241
Чтобы убедиться в этом, докажем, что вероятность C5.1) приближенно
удовлетворяет уравнению Лапласа. Двигаясь наугад из рассматриваемой
точки (х, у), можно с равной вероятностью по одному из четырех
маршрутов попасть в четыре соседние точки с координатами {х+й, у); (х,у + А);
(х-Л, у); {х,у-д).
Поэтому
Щъ у) = ^г 2 п(х, У) й, т)Щ*ь пд =
±2 [п(х + й,У; Ь,Чд + п(х,у + <1; {ь^) + л(ж-й,у; |ь г}{) + п{х, у - A; &%)] 17({«, %)
N г
= -* + -* +
4 ^ "(я+<г, 2/; 1„ чд 4 -2 л(ж, */+<*; ^*> ^)
г г
= 4-1 и(х+<*> у) + У(х> у+*) + Щх- <*, у) + Щх, у - «01, C5.4)
так как в силу вышесказанного
2 п(х+а, у, |ь %) = 2 п(х> у+Л; Ь> %) = •••= -г -
г г *
Это уравнение можно привести к уже знакомому виду
1_ Г17(а:4Чу)-*7(*,У) _ Щх,у)-Щх-<19у)'1
1 1Щх,у + й)-Щх,у) Ц(х,у)-Ц(х,у-<1I _
+1_тц{х,у+а)-ц{х,у)_Ц{х,у)-щх,у-а)'1 _ 0^ ^35 5^
что приближенно соответствует уравнению Лапласа.
То, что 11(х, у) на границе действительно принимает значения Щ$, ??),
следует из того, что при х—^у—щ
Р(*г,Гк, Й,%) = 1 И />(&, Чп, &, %) = О, C5.6)
а это соответствует условию, что прогулка прекращается, как только куколка
достигает точки, лежащей на границе. Отметим еще следующий
интересный факт: функция вероятности Р(х, у, |, г}), как можно судить на
основании уравнения C5.2), играет роль функции Грина. (См. [5.9; 9.6; 9.7].)
§ 36. Графическое определение плоских полей
Графические методы расчета потенциальных полей часто
применяются на практике, поскольку они позволяют быстро оценить, хотя бы
качественно, характер поля. Поэтому для полноты изложения необходимо,
хотя бы коротко, остановиться на этих методах. Плоско-параллельные поля
сравнительно легко рассчитываются графическим методом с желаемой
точностью даже в тех случаях, когда поверхность электродов не может быть
описана математическим уравнением. Не на много сложнее графические
расчеты полей, имеющих осевую симметрию (плоско-меридианные поля).
Пусть картина плоского поля данных цилиндрических электродов
(например, изображенных на фиг. 155) построена так, что между всеми
эквипотенциальными поверхностями его существует одна и та же разность
потенциалов АII. Одновременно допустим, что силовые линии проведены так,
что потоквектора напряженности поляДФ на 1 см глубины между любыми
двумя соседними силовыми линиями одинаков. Это поток, проходящий
по трубке прямоугольного сечения, ребра которой образуются двумя
силовыми линиями, лежащими в плоскости чертежа, и двумя такими же
линиями, проходящими в параллельной чертежу плоскости, отстоящей от нее
на 1 см.
16 К. Шимони —
242
Часть II. Статические и стационарные поля
Напряженность поля может быть определена как градиент потенциала
и как частное от деления потока вектора напряженности на поверхность,
нормальную к вектору поля:
Лп Аз'1
C6.1)
где Ап и Аз — расстояния между соседними эквипотенциалями и
соответственно силовыми линиями.
Так как А17 и А У всюду постоянны, то и отношение Ап/Аз должно быть
постоянным. Чтобы облегчить задачу построения поля, целесообразно
выбрать это отношение равным единице.
В этом случае все элементарные ячейки
криволинейной сетки, образованной
эквипотенциалями и силовыми линиями, ста-
Ф иг. 155. Определение поля цилиндрического
проводника графическим методом.
Фиг. 156. Построение полей»
имеющих осевую симметрию.
новятся приблизительно квадратными. Проведем прежде всего
эквипотенциальную линию, близкую к наружной линии электрода, и
начертим силовые линии, нормальные к этим двум эквипотенциалям так,
чтобы они образовали приблизительно квадратную сетку. Затем проведем
следующую эквипотенциаль, продолжая силовые линии. Новые эквипо-
тенциали следует постепенно деформировать так, чтобы по мере
приближения к другому (или другим) электроду они приближались к его форме.
После первой попытки следует исправить рисунок, стремясь к тому, чтобы
Аз/Ап всюду приближалось к единице. Построение квадратной сетки
удается, даже при относительно простой конфигурации электродов, только
после многократных попыток.
В картине построенного таким образом поля можно видеть следующее:
там, где эквипотенциальные поверхности расположены близко друг к
другу, напряженность электрического поля велика: когда они
располагаются дальше друг от друга, напряженность поля соответственно
уменьшается. То же самое относится и к силовым линиям. Густота их
определяет во всех точках напряженность электрического поля. В случае
плоско-параллельного (цилиндрического) поля построение картины поля
и анализ ее сравнительно просты.
Рассмотримтеперь плоско-меридианное поле (поле с осевой симметрией).
Эквипотенциальные линии и в этом случае (фиг. 156) должны строиться
# 36. Графическое определение плоских полей
243
с таким расчетом, чтобы разность потенциалов АII между соседними
линиями была постоянной. Иначе обстоит дело с силовыми линиями. В случае
плоско-параллельного поля глубина трубки постоянна, т.е. постоянен
размер трубки, нормальный к плоскости чертежа. Напротив, в случае
плоско-меридианного поля размер трубки в направлении,
нормальном к плоскости чертежа, увеличивается пропорционально расстоянию
от оси симметрии поля (фиг. 157).
В случае плоско-меридианного поля постоянный поток проходит по
трубке, ребра которой образуются двумя силовыми линиями, лежащими
в плоскости чертежа, и двумя другими силовыми линиями такого же
вида, но повернутыми относительно первых на некоторый угол (см. фиг.
156). Если угол принять равным 2тг, то постоянный поток вектора
напряженности проходит между двумя
поверхностями, образуемыми поворотом на угол
2л силовых линий, лежащих в плоскости
чертежа. Напряженность поля при этом
определится равенством
Е =
АЧ*
ЛУ =
C6.2)
так как площадь поперечного сечения
канала, по которому проходит поток, теперь
равна 2шА8. Из равенства C6.2) следует,
что
—г- = 2т -г=г = соп81 •
Лз АЧ*
г,
C6.3)
откуда можно заключить, что в правильно
построенной картине поля отношения сто- ф и г. 757. Силовая трубка поля>
рон в ячейках ортогональной криволиней- имеющего осевую симметрию.
ной сетки изменяются в зависимости от
расстояния до оси симметрии.
Напряженность поля по построенной таким образом картине
определится, если разделить разность потенциалов на расстояние между экви-
потенциалями. Там, где эти эквипотенциальные поверхности расположены
близко друг к другу, напряженность поля велика, а там, где расстояние
между ними увеличивается, напряженность поля уменьшается. Это, однако,,
не относится к силовым линиям. Хотя плотность силовых линий
пропорциональна напряженности электрического поля, это относится только к их
пространственной плотности. Так, например, в точке А (см.фиг. 157) на
наружной поверхности цилиндрического электрода напряженность поля
больше, чем в точке В внешнего электрода, хотя в последней силовые линии
идут гуще в меридианной плоскости (в плоскости чертежа). В этом можна
еще раз убедиться, рассматривая расстояние между эквипотенциальными
поверхностями: в точке В оно меньше, чем в точке А. Если же определять
пространственную плотность силовых линий, то можно убедиться, что
она в точке А больше, чем в точке В. Перемещаясь из точки А в
направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, лишь на малое расстояние,
можно встретить новые силовые линии. В точке В можно встретить те же
линии при перемещении на расстояние, увеличившееся пропорционально
расстоянию от оси симметрии.
16*
244
Часть II. Статические и стационарные поля
§ 37. Теория резиновой модели (мембраны)
Если какая-либо задача электростатики не может быть решена с
.помощью аналитических или графических методов, то следует попытаться
;найти ее решение с помощью моделирования1*.
Рассмотрим моделирование посредством резиновой мембраны. Оно
•основываетсяна том, что поверхностьз = 17(х, у) натянутой эластичной
мембраны в статическом состоянии удовлетворяет уравнению
C7.1)
тождественному уравнению Лапласа.
Чтобы в этом убедиться, выведем сначала уравнение натянутой струны.
Деформацию натянутой струны под влиянием поперечных сил можно
считать очень малой по сравнению с ее длиной, так что можно пренебрегать
изменением силы
первоначального натяжения Р,
происходящим под влиянием этой деформа- с^
ции. Таким образом, можно счи-
тУ
Фиг. 158. Сила, действующая на струну,
выведенную из положения равновесия.
Фиг. 159. Сила, дайствующая на элемент
поверхности, вырезанный из упругой
мембраны.
тать, что по всей длине струны действует одинаковое и постоянное
растягивающее усилие Р.
Рассмотрим элемент Ах деформированной струны (фиг. 158). На него
действуют две силы: сила, направленная вниз:
ах
/<4§а
и сила, направленная вверх:
Результирующая вертикальная сила равна
ах \ах ах ах ) ах1
C7.2)
C7.3)
C7.4)
и Методы моделирования очень разнообразны. В широком смысле слова к ним
может быть отнесено и моделирование на машинах-аналогах. За последнее десятилетие
для расчета полей, и в частности полей потенциальных, стали широко применять
разнообразные математические машины.— Прим. ред.
^ 37. Теория резиновой модели (мембраны)
245
Если на струну действует только растягивающее усилие, то она не
останется в таком положении, а будет двигаться с ускорением, которое
определяется уравнением
-/^&= -***% C7.5)
или
д2у __ д д2у*
C7.6)
Здесь д — масса струны на единицу ее длины.
Из-за сильного и равномерного растяжения упругой мембраны в ней
существует равномерно распределенное напряжение. Обозначим через Т
растягивающее усилие, отнесенное к единице длины. Вырежем из
мембраны кусок поверхности (фиг. 159) и рассмотрим условие его
равновесия. Результирующая вертикальная сила как равнодействующая двух
сил, действующих на стороны АВ и ВС, равна
™У [^-Й1+1»] - -ТЪЪ™, C7.7)
если 11(х,у) = г —уравнение поверхности мембраны.
Аналогично определяется равнодействующая двух сил, действующих,
на стороны АВ и СВ, — она равна
-ТйхЛу^г C7.8)
Если рассматриваемый элемент поверхности находится в покое, то
обе равнодействующие силы в сумме должны давать нуль, т.е.
-Тдхду^-Тйхду^- = 0, C7.9)
или
д2У Э2Ц ___ п
дх2 + ду* ~" и'
Таким образом, доказано, что функция Щх, у) = г, описывающая
вертикальное смещение упругой мембраны, удовлетворяет уравнению
Лапласа. Кроме того, из этого уравнения видно, что гауссова кривизна во всех
точках мембраны отрицательна. В этом можно убедиться/рассматривая*
распределение сил на фиг. 159.
Изложенное выше можно следующим образом применить к решению
электростатических задач. Натянем упругую мембрану на каркас и
примем потенциал этого каркаса (пропорциональный я) равным нулю. Если
каркас достаточно велик, то можно считать, что этим выражено условие:,
потенциал в бесконечности равен нулю. Далее следует изготовить модель
цилиндрического электрода, заданного в рассматриваемой
электростатической задаче, и продавить им мембрану так, чтобы ее смещение т,
соответствовало заданному постоянному потенциалу цилиндра. При этом
вертикальное смещение точек мембраны г(х, у) в каждой точке пропорциональна
значению потенциала и удовлетворяет уравнению Лапласа. На модели
выполняются и заданные граничные условия (фиг. 160).
Пользуясь этой моделью, можно определить скорости и траектории'
электронов, движущихся под влиянием заданного электростатического
246
Часть II. Статические и стационарные поля
поля. Если установить описываемый каркас с мембраной горизонтально
и положить на поверхность мембраны металлические шарики (например,
шарики подшипников), то эти шарики будут двигаться по ней, подобно
электронам в электрическом поле. Таким путем на модели можно
экспериментально исследовать траектории электронов. Если металлические
шарики, заменяющие электроны, прерывисто освещать во время их
движения газоразрядной лампой (с калиброванной длительностью освещения)
и фотографировать, то на фотографии получатся прерывистые линии;
Фиг. 160. Определение поля с помощью резиновой мембраны.
длина отдельных отрезков будет прямо пропорциональна мгновенным
значениям скоростей металлических шариков. Таким образом, модель
позволяет одновременно определять как траектории, так и скорости электронов
в полех).
Ж. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
§ 38*. Функция Грина в трехмерном пространстве
В предыдущих задачах отыскивалось решение уравнения Лапласа для
некоторой области, если было задано значение потенциала на
ограничивающих ее поверхностях. Большей частью на этих поверхностях потенциал
имел постоянное значение.
Такая задача в математической теории потенциала известна как
первая краевая задача, или задача Дирихле, и формулируется следующим
юбразом: требуется найти решение уравнения Лапласа
внутри некоторой области, если значение потенциала 11р задано во всех
точках поверхности, ограничивающей эту область.
х) Однако без учета влияния на поле объемного заряда движущихся электронов. —-
Щрим. ред.
$ 38. Функция Грина в трехмерном пространстве
247
Вторая краевая задача, или задача Неймана, формулируется так:
требуется найти решение уравнения Лапласа внутри некоторой области, если
известны значения нормальной составляющей градиента потенциала,
т.е. дЩдп, во всех точках ограничивающей поверхности1}.
Третья краевая задача — задача теплопроводности: найти решение
уравнения Лапласа при заданном на границе значении 11 + Цд1//дп). Эта
последняя задача в теории электрического поля не встречается.
Ниже приводятся общие решения двух первых задач. В § 14, е (чЛ)
было дано принципиальное решение задач Дирихле и Неймана. Для решения
первой из них искалась функция #(#, г/, ъ, |, % С), которая, относительно
переменных |, % С всюду в области V удовлетворяет уравнению Лапласа,
а на границе области имеет
значение
_^ _ 1
C8.2)
При этом функция Грина,
определяемая равенством
С = у + §, C8.3)
на границе обращается в нуль.
В точке Р = <2 находится особая
точка 1/г. Зная функцию Грина,
можно определить потенциал в произвольной точке пространства
Щх, у, 2) = -А. ф^1Г,(е, % О ЛА. C8.4)
А
При этом частная производная от С берется по координатам точки ()(!, г\, С).
Введение функции Грина часто очень упрощает задачу, в чем можно
сразу убедиться на простом примере. Пусть на поверхности сферы
(фиг. 161) задано некоторое произвольное распределение потенциала Ир.
Решим первую краевую задачу для сферы, т.е. найдем распределение
потенциала внутри нее. Функция Грина С(х, у, я, $, г\, С) в этом случае
представляет собой потенциальную функцию, которая в точке Р = (? имеет
особую точку 1/г, а на наружной поверхности сферы равна нулю.
Потенциальная функция такого вида известна из электростатики. Это потенциал
точечного заряда 4тгг0 = ^, находящегося в точке Р, и его зеркального
изображения относительно сферы, т.е. заряда д* в точке Р* (см. фиг. 161).
Тогда функция Грина имеет вид
СР,0.) = Т~%-рг, C8.5)
х) Точнее, сформулированные здесь задачи следует называть внутренними
краевыми задачами. В случае внешних краевых задач определяется потенциал во внешнем
пространстве при заданном потенциале электродов и при дополнительном условии о
поведении потенциала в бесконечности; обычно это условие формулируется (при
конечном заряде) так: П-+0 при г->оо. — Прим. ред.
Фиг. 161. К определению функции Грина
для сферы.
248
Часть II. Статические и стационарные поля
ИЛИ
С(х, у, 2, |, % С) =
^-*J+B/-??J+(*-СJ
1
C8.6)
где
х - д;2 + 2/2 + 22 , # я2 + 2/2 + *2 ' * я2 + 2/2 + *2 1да#/'
(что равносильно условию ВВ* = г§).
Если вычислить
Ц-пвгаИдС---^?-, C8.8>
что не представляет принципиальных трудностей, то можно написать
окончательное выражение
" = '^§^- C8.9)
Тем самым первая граничная задача для сферы полностью решена.
§ 39*. Функция Грина на плоскости
Для случая плоских задач методика остается такой же. Будем исходить
из уравнения
А Ь Ь
которое в этом случае заменяет формулу
а=-^1ли1.^+±,^^л-±^±)шл. <39.2>
V А А
Здесь Ь означает граничную линию, охватывающую область А При
этом нам придется оперировать такими понятиями, как поверхностные
и линейные заряды и линейные диполи. Функция Грина теперь определяется
как потенциальная функция, которая на кривой, ограничивающей
рассматриваемую область, обращается в нуль, а в точке Р = (? равна 1п г.
Для окружности такая потенциальная функция может быть получена
путем зеркального отображения следа заряженной оси относительно этой
окружности. В итоге решение первой краевой задачи для окружности
принимает вид
О
Теория функций комплексного переменного — наиболее
эффективное вспомогательное средство для решения задач на плоскости. Поэтому
мы рассмотрим первую задачу, пользуясь комплексами.
Задача состоит в том, чтобы найти функцию 11(х, у), принимающую
заданный вид на кривой Ь(х,у) и удовлетворяющую на плоскости уравнению
$ 39, Функция Грина на плоскости
249
Лапласа
ли
дю д2и
дх2
дуг
0.
C9.4)
Известно, что действительная и мнимая части произвольной
аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Трудность
заключается в том, чтобы среди множества решений найти удовлетворяющее
граничным условиям. В общей теории на заданной границе потенциал
изменяется от точки к точке, а не остается постоянным, как это
предполагалось (хотя и не всегда) в приложениях теории потенциала к задачам
электростатики.
Однако теорема Коши дает возможность выбрать из множества
функций одну, аналитическую в рассматриваемой области, которая для любой
точки этой области может быть выражена через ее значение на границе.
ш=(р(^)__\ _
Фиг. 162. К определению функции Грина для плоскости.
В § 42 ч. III показано, что
ас,
C9.5)
где интеграл берется по граничной кривой. Можно преобразовать эту
формулу так, чтобы она связывала между собой только действительную
часть какой-то регулярной (аналитической) функции, существующей
внутри рассматриваемой области, с действительной частью этой функции,
заданной на границе.
Рассмотрим в плоскости С= 1 + /ч односвязную область,
ограниченную кривой Ь. Эта область с помощью функции
ш = <р( С, г)
C9.6)
отображается на плоскости ш = и+р так, чтобы кривая, ограничивающая
рассматриваемую область плоскости С, перешла в окружность единичного
радиуса плоскости ш, а точка С=2, находящаяся внутри первой области
плоскости С,— в точку ш = 0, т.е. в центр окружности единичного
радиуса (фиг. 162). Если эту функцию разложить в ряд вокруг точки С=я,
учитывая, что ю = 0 при С = я, получим
9>(С, я) = а1(С-2) + а2(С-^J+. . . , аг ^ 0.
Отсюда следует, что
у'(С,*)
: + ?>1(С,2);
C9.7)
C9.8)
250
Часть II. Статические и стационарные поля
при этом <р± (С, %) — регулярная функция С как во всей области, так и на
ее границе. Из последнего выражения следует, что
-сЬ=-?ет-^.*>- C9-9)
Подставив C9.9) в C9.5), получим
М --щ §№^^-^Г 4>Я0«И(С,*)«. C9.10)
ь ь
Второй член правой части по теореме Коши равен нулю, поэтому
/(*) = ^/@^иС. C9.11)
Определим теперь уравнением
1п9>(С,*)= -E +/Л) C9.12)
функцию %, которую назовем функцией Грина для рассматриваемой
области. На границе области |<р(С,2)| = 1, поэтому
*=-1п|р(С,*)| C9.13)
и на границе § = 0. По определяющему уравнению C9.12) находим, что
¦^* =-(*+$)*. <39-14>
где д[д§ означает дифференцирование по дуге. Длина дуги возрастает в
направлении, которое совпадает с положительным направлением обхода.
Так как? — постоянная величина,то д§/д$ = 0 и, согласно формуле Коши —
Римана д§/дп = - дк/дз, получаем
При этом уравнение C9.11) принимает вид
м = -Ы№^- <39-16)
ь
Разделив в этом выражении действительные и мнимые части, получим
Ф^ = ^$и(М)|*-*. C9.17)
I
Это — уже известная формула Грина, с помощью которой можно
выразить потенциал в любой точке через его значение на границе области.
Можно показать, что если задать на границе произвольное распределение
потенциала, то найденная для внутренней области функция принимает
на границе заданное значение.
Рассмотрим еще один частный случай, играющий большую роль в
математической теории потенциала. Пусть рассматриваемая область и ее
граница представлены кругом и окружностью радиуса г0 (фиг. 163).
В этом случае функция преобразования очень просто выражается в явном
виде:
«КС, *) = »=^^. C9.18)
$ 40. Метод интегральных уравнений
251
Эта функция переводит точку С=2 в точку г# = 0, а окружность
радиуса г0 — в окружность единичного радиуса. Представляя С и ъ в
показательной форме С = г0ем' и я = ге*>, получим
и^с = ^^ч_^^ =
г0е^ '
~\г0е*'-
¦+-
"С-*
-С**
и, согласно C9.15),
-)/^/ = гтТ^
• 2гг0 соз (?> — 9?'
л/%'
¦г?-г*
дп г§ + г2 — 2гг0 соз(?) — у') г0 '
C9.19)
C9.20)
<^-
{-г.*"'
Фиг. 763. К определению функции Грина для окружности.
Отсюда следует, что потенциал внутри области равен
2п
и(г, <р)
_1_
2я
/ м^%т
+ г2 — 2гг0 соз (99 — <р
л&Р\
C9.21)
где гг(<р') — потенциальная функция на границе. Результат, естественно,
совпадает с уравнением C9.3).
Этот частный случай формулы Грина называется формулой Пуассона.
Таким образом, формула Пуассона дает решение первой краевой задачи
теории потенциала для окружности. Можно было бы и здесь показать,
что полученная потенциальная функция действительно равна заданному
значению на границе. Однако, как и в общем случае, доказательство здесь
не приводится.
§ 40*. Метод интегральных уравнений
Имеется еще один математический метод решения краевых задач.
Попытаемся удовлетворить граничным условиям задачи Дирихле,
представив граничную поверхность в виде заряженного двойного
электрического слоя, момент которого г пока неизвестен и будет определен в
дальнейшем. В этом случае потенциал в произвольной точке пространства
дается выражением
А
252 Часть II. Статические и стационарные поля
Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа А 11 = 0.
Математическое доказательство этого положения не приводится, но оно очевидно
из физических соображений. Если приближаться в двойному слою извне,
то значения потенциалов непрерывны и должны перейти в заданные
значения на поверхности Х]а = 1/р. Как известно, потенциал в середине двойного
слоя 11рр отличается от этого граничного значения
поэтому
А
В этом выражении 119р означает потенциал двойного слоя. С/а=^к
означает потенциал на поверхности двойного слоя при подходе к нему со
стороны той области, в которой ищется распределение потенциала; это
значение 11а=11р должно совпадать с заданным по условиям задачи
потенциалом на ограничивающей области. Из уравнения D0.2) может быть
определена неизвестная функция г, после чего по выражению D0.1)
определяется искомое распределение потенциала, удовлетворяющее какуравнению
Лапласа, так и заданным граничным условиям.
Неизвестная пока функция V стоит в уравнении D0.2), служащем
для ее определения, под знаком интеграла. Уравнения такого вида
называются интегральными. Уравнение D0.2) представляет собой линейное
неоднородное интегральное уравнение второго рода. Для функции одного
переменного оно имеет вид
ь
ф) + Ь$ К(Ь хШ) <Ц = 1{х). D0.3)
а
Здесь <р(х) — определяемая функция; К($, х) — так называемое ядро
интегрального уравнения) /(ж) — заданная функция; Я •— постоянная. Условия
однозначности решения интегральных уравнений подробно
рассматриваются в математике; тем самым математика решает и вопрос об
однозначности решения задачи Дирихле. Таким образом, решение первой краевой
задачи сводится к решению интегрального уравнения.
Вторая краевая задача теории потенциала — задача Неймана — также
сводится к интегральному уравнению, с той лишь разницей, что в этом
случае потенциальная функция выражается через распределение
поверхностных зарядов <г(#, у, ъ) на граничной поверхности:
А
Неизвестная плотность зарядов а, входящая в уравнение D0.4),
определяется из условия, что потенциальная функция и, которая во всех точках
пространства удовлетворяет уравнению Лапласа, удовлетворяет и
заданным граничным условиям.
Известно, что при переходе через слой, на котором имеются
поверхностные заряды, нормальная составляющая напряженности поля
изменяется скачком на величину а/е09 в то время как на самой поверхности
(ср. фиг. 64) она равна среднеарифметическому из значений слева и справа от
заряженного слоя. Для плотности заряда можно написать следующее
$ 47. Частичные емкости
253
интегральное уравнение:
-Е5#к>+я;--вс),' <40-5>
А
тде первый член дает значение нормальной составляющей напряженности
лоля на поверхности, определяемое по функции распределения плотности
зарядов с. Это значение на величину а/2% меньше значения
напряженности поля, заданного граничными условиями (если приближаться к
поверхности из той области, в которой ищется распределение потенциала).
Сумма, стоящая в левой части D0.5), как раз совпадает со значением,
заданным граничными условиями (правая часть того же уравнения).
Следовательно, для определения неизвестной поверхностной плотности
зарядов мы и в этом случае пришли к интегральному уравнению того же
вида, как и при решении первой краевой задачи.
Хотя оба указанных решения могут в принципе быть успешно
применены, однако на практике ими пользуются редко, так как решение
интегральных уравнений даже в простейших случаях сопряжено со
значительными математическими трудностями. Но сведение задач теории потенциала
к интегральным уравнениям имеет значение еще и потому, что дает
возможность установить однозначность решения при заданных граничных
условиях.
3. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЕМКОСТИ
§ 41. Частичные емкости
До сих пор ставилась задача определить по заданной конфигурации
электродов и напряжению на них значение потенциала и напряженности
поля в произвольной точке пространства. Из полученных решений можно
было рассчитать остальные интересующие нас величины, такие, как
плотность зарядов на поверхности электродов, суммарный заряд электродов
и т. д.
Однако часто требуется определить не все величины, а только некоторые
из них, например только напряженность поля, а иногда — только заряд
провода.
Очень часто ставится такая задача: в пространстве задано
расположение п проводов и потенциал каждого из них, требуется найти заряд
каждого провода; или, наоборот, заданы заряды каждого из этих проводов,
а требуется найти их потенциалы. В задачу не входит определение
потенциала в других точках пространства.
Пусть заряд провода A) равен <?3 = 1, а остальные заряды равны нулю.
Допустим, что задача полностью решена и потенциал всех точек
пространства известен и выражается функцией 111{х,у,%)) при этом потенциал на
протяжении каждого из п проводов, разумеется, постоянен.
Зная функцию Щх,у,г), можно по теореме Гаусса определить заряд
на каждом из проводов:
-е0ф^AА = 1, -е0ф^с1А = 0, к * 1. D1.1)
Ах Ак
Если теперь принять заряд равным ()ъ то потенциал во всех точках
пространства увеличится в (I раз, так как уравнение Лапласа линейно.
Пусть теперь заряжен один только /с-й провод зарядом, равным единице,
254
Часть II. Статические и стационарные поля
и пусть потенциал, обусловленный зарядом только этого провода,
выражается функцией 11к(х, ?/, я); при заряде ()к потенциал увеличится в ()к раз.
Опять же на основании линейности уравнения Лапласа выражение
для потенциала при заряде всех проводов представится суммой
Щх, у, т) = (ЭхИ^х, у, я) + (>2г72(ж, у, 2)+ .. .
Определяя нормальную составляющую напряженности по этой
функции суммарного потенциала, можно найти заряды каждого из проводов:
-е0фд-^<1А = B1. D1.3)
а.
Подставляя в функцию A(х, у, г) соответствующие координаты, можно
найти потенциал каждого провода; таким образом,-мы приходим к системе
линейных уравнений
#1 = Р11<?1 + Р12<?2+ • - • +Лп<?ш
#2 = /?21<?1 + />22<?2+ • • • + /?2п(?п,
D1.4)
#п = Рп1(?1 + /?П2<?2+ - • • +Рпп(>п-
Выясним физический смысл коэффициентов р1к. Пусть ^ = 0 при
I ?* к и (^1 = 1 при I = к. В таком случае Щ = р{к. Таким образом, р{к
численно равно потенциалу провода ъ при единичном заряде на
проводе к, если заряды остальных проводов равны нулю. Решив систему
уравнений D1.4) относительно зарядов, придем к новой системе линейных
уравнений
<?1 = с11171 + с1а[72+ ... +с1п*7п,
Ч?2 = С21 С/1 + С22 С/2 + • • • + с2п^П7
D1.5)
^п ~ Сп1^1 + Сп2^2 + • • • +сппУп-
В этой системе коэффициент с1к численно равен заряду провода г>
когда потенциал провода к равен единице, а потенциалы всех остальных
проводов равны нулю.
Для постоянных р1к и с {к можно доказать правило взаимности
Ргк = Ркг И С1к = СМ. D1.6)
Пусть заданы заряды отдельных проводов BЪ (?2, . . ., <2п, и пусть в этом
случае потенциалы проводов, определяемые по уравнениям D1.4), равны
II ъ II2, .. •, IIп- Пусть в другом случае заданы потенциалы каждого из
проводов Ь'ъ 11'2, . . ., Т1'п, а их заряды, определяемые по уравнениям
D1.5), равны <2'ъ (?2, • • • > (?п- Образуем из произведений зарядов на
потенциалы две суммы
2<?Л и 2$ш11т, D1.7)
т т
которые относятся к двум разным случаям. Докажем, что обе суммы равны
2<*тО'т = 2<2шЯт. D1.8)
т т
§47. Частичные емкости
255
Потенциал провода т определяется поверхностными зарядами всех
проводов, в том числе и зарядом провода т:
V'
-Д/4
ЛАъ
D1.9)
где расстояние г всегда измеряется от какого-то определенного элемента
поверхности йАт наружной поверхности провода т. Следовательно,
<2тЯт= Ц°т 2 [^ААкAАт = 2 ( /^ ЛАт ЛАк. D1.10)
Ат к-1 Ак Ь Ак Ат
Интегрирование должно быть произведено по всем элементам поверхности
ЛАт провода т и по всем элементам ЛАк проводов к. Рассмотрим
произведение
ЛАкAАт,
D1.11)
где г — расстояние между элементами поверхностей ЛАШ и ААк. Фиксируя
йАт, считаем ЛАк переменным, обегающим поверхности всех проводов.
Затем проделаем ту же операцию со всеми другими элементами поверхности
провода т и суммируем результаты. Если это сделать и со всеми
остальными проводами системы и произвести суммирование, то получится
следующее выражение:
2 <гтит = 22
т к
А-т Ак
ААтЛАк,
D1.12)
Подсчитывая произведение B'тТ1т, получим
ЯтЯт= Г<*Ат2 Г^^= 2 Г /^ ЛАт ЛАк . D1.13)
Ат к==1 Ак к=1 Ат Ак
Производя суммирование для всех проводов, придем к выражению
I <2§т11т= 2 2 [ (^ЛАтЛАк.
1 = 1 «пп — лЪ^ЛУУ I
2
т=1 Ь=1
D1.14)
Лт Ак
которое полностью совпадает с только что полученной формулой D1.12)
(меняются местами лишь индексы т и к, отчего результат, конечно, не
может измениться).
Рассмотрим теперь частный случай, представив его в виде таблицы:
Номер электрода 1, 2, 3, .
„ /заряды 0, 0, 0, .
\напряжения... 27ь *72> ^з> •
тт ~ (заряды 0, 0, 0, .
II случаи { г " ' ' '
¦* (напряжения... IIх, СЛ>, С/3> .
. . , 1, .
.. , 1, .
- • , #„ •
.., 0, .
• •, Щ, ¦
.., к,
.., 0,
• • , *7*.
... 1,
• • , V'
.., п
.., 0
•м V.
.., 0
... V,
D1.15)
Применяя уравнение D1.8), получим
Яъ=Щ. D1.16)
Это значит, что единичный заряд провода I создает на проводе к такой же
потенциал, какой создает на проводе I единичный заряд провода к, А это
равносильно утверждению, что Ргк = Ры, что и требовалось доказать.
256
Часть II. Статические и стационарные поля
Если, наоборот, поддерживать потенциал провода г равным единице
при потенциалах остальных проводов, равных нулю, а в другом случае
потенциал провода к — равным единице при потенциалах остальных
проводов, равных нулю, то во втором случае заряд провода г окажется
равным заряду провода к в первом случае. Отсюда снова подстановкой
в общее уравнение можно убедиться, что
2<2тКт= ЖтЪт. D1.17)
т т
Это означает, что справедливо также и равенство с^ = сй{.
Вернемся снова к системе уравнений D1.5). Прибавим к первому
уравнению этой системы нуль, выразив его в виде
О = с12С/1 + с13*71+ . . . +с1я*71-с12*71-с13171- . . . -с^н D1.18)
а к 1-му уравнению — нуль в виде
О = сп111 + с{2111+ . . . +см_1[/4 + с{§4+1*7*+ . ..
... -КЧп^-Си^- ... -сыЩ. D1.19)
Фиг. 164. Система из трех проводов, расположенных вблизи земли и
имеющих разные потенциалы.
а — схема замещения,- б — система эквипотенциальных поверхностей и силовых
линий.
Тогда получим систему уравнений
<?1 = С1ввг71 + С1а(^1- *72) + . . . +С1п(С/1- *7Й),
<?2 = С21(*72- П1)+С2оои2 + . . . +С2п(Ь\- #я), D1.20)
<гп = Сп1A/п-П1) + Сп2A1п-1/2)+ ... +спооип,
в которой отдельные коэффициенты С{к связаны с коэффициентами с1к
равенствами
С^ = Сц + %2 + . . . + Сц + . . . 4- с1п, D1.21)
СПк = ~ спк, если п^к.
§47. Частичные емкости
257
Система уравнений D1.20) позволяет составить очень простую схему
замещения из конденсаторов с емкостями СШу которые называют
частичными емкостями (фиг. 164). На фиг. 165 представлен обычный конденса-
~1С
Чоо
1/);//ш»ш^/ш^
77?
Чсо
Ш/Ш///ШШ
42
+ +
'2со
в 2
Ф*и г. 165. Расположение эквипотенциальных поверхностей и силовых
линий поля и схема замещения реального конденсатора (т.е.
конденсатора, имеющего поле рассеяния) при учете влияния земли.
а — напряжения пластин конденсатора относительно эемли одинаковы, но
противоположны по знаку; б — схема замещения для случая а; в — одна из пластин
конденсатора заземлена; г — схема замещения для случая в.
тор с двумя пластинами. Его можно заменить показанной на том же
рисунке эквивалентной схемой. Таким образом, каждый конденсатор может
быть представлен как комбинация трех конденсаторов. Емкости С1оо и
С2оо при этом называют емкостями рассеяния. На практике значения их
по сравнению с емкостью С12 невелики и поэтому они играют
второстепенную роль. На фиг. 165 представлена картина электрического поля, из
которой ясно, почему емкость рассеяния так мала. Начала большинства
линий поля лежат на одной пластине, а концы — на другой. Таким
образом, на земле оканчивается только незначительная часть линий поля.
17 К. Шимони
258
Часть II. Статические и стационарные поля
Руководствуясь системой уравнений D1.20), можно измерить
отдельные частичные емкости С{к. Пусть, например, потенциалы всех
проводов, кроме первого, равны нулю; тогда уравнения D1.20) принимают вид
<?1 = С1ооУ1^С12и1 + ... +С1п 17,,
D1.22)
Если заземлить все провода, за исключением провода 1, и измерить
заряд какого-либо провода <?*, можно определить частичную емкость по
формуле С1Л= —(^г/йг.
Применим теперь равенство 2(?тУт = 2(?тУт к следующему
случаю. Пусть даны потенциалы 11ъ 112, -. ., 11п всех проводов и их заряды
<?1> (?2>- • • > (?п- Допустим теперь, что заряды претерпели некоторое очень
небольшое изменение и стали равными Ог + дфъ (?2 + ^<?2> • • • > соответственно
измененные потенциалы проводов пусть будут равны 111-\-A11ъ Gа + <Л72,....
Применяя к этому случаю приведенное равенство, находим, что
2<2т№т + сШт) = 2(^т + С^^т)^т, D1.23)
т т
откуда следует, что
2<2тЖт = 2ЯтЩт- D1-24)
т т
Пусть теперь йС/^0 при условии, что потенциалы остальных проводов
поддерживаются постоянными; тогда
& <Ш{ = Иг Й& + 112 й& + .. . + 17» й&, D1.25)
или, поскольку все потенциалы постоянны,
Сопоставляя D1.26) и D1.5), мы можем видеть, что коэффициент С^ равен
производной заряда провода г по потенциалу провода к.
§ 42. Энергия^электрического поля
Из основных уравнений Максвелла определяется выражение плотности
электромагнитной энергии
1*Е2+1
ю = -^бЕ2+-^Н2. D2.1)
Если магнитное поле отсутствует, то это выражение имеет вид
щ = ±еЖ D2.2)
Следовательно, энергия электрического поля дается выражением
ТУе = |убЕ2й7. D2.3)
у
Можно (во всяком случае в условиях электростатики) выразить
энергию электрического поля через интегральные величины, наиболее
$ 42. Энергия электрического поля
259
употребительные в практической электротехнике. Подвергнем для этого
выражение D2.3) следующим преобразованиям:
\уе =~/Е В дУ = --~/в §гас1 V ЛУ =
V V
= ±]" 17 <1Ьг В йК- т/а1у С/В й7' D2'4)
У V
так как
<Иу Ш) = С/ (Ну В + В §гай С/. D2.5)
Применяя теорему Гаусса
]"й1у Ш> Й7 = фс/В ЙА, D2.6)
V А
получаем следующее выражение для энергии:
Т^в = уГ^сИуВЙ7-~-^ВЙА. " D2.7)
У А
Правый интеграл следует распространить на поверхность, лежащую
в бесконечности, где значение интеграла равно нулю, и на поверхности;
которые исключают разрывы непрерывностей величин В и V(особые точки).
Предположим, что в рассматриваемом поле имеются только заряженные
поверхности, на которых претерпевает разрыв вектор В. Если правый
интеграл взять по такой поверхности, найдем
-\ ф С/В ЙА = ± ф ЩВ1п-В2п) Л А = ±ф а Л А. D2.8)
А А А
Подставив это выражение в уравнение D2.7), получим, что
]Уе=,^^9аУ+±^аЛА. D2.9)
У А
В последнем выражении вместо векторов поля входят только заряды
и потенциалы. Оно позволяет определить, например, энергию,
заключенную между пластинами плоского конденсатора. Эта энергия равна
Игв=уЛ)#айЛ. D2.10)
А
Интегрирование должно производиться по поверхностям обеих пластин.
Потенциалы этих поверхностей постоянны. Если положить их равными
112 и &ъ то получим следующее выражение для энергии:
\Уе^\У1аА^\и1аА =|(г/2-С/х) етЛ = \Т1оА. D2.11)
Произведение а А дает суммарный заряд пластины. Следовательно,
энергия конденсатора равна
™е =±Щ =±СЦ* =± -§-. D2.12)
Из уравнения D2.7) можно определить и энергию двойного слоя.
Двойной слой можно рассматривать как конденсатор, обладающий бес-
17*
260
Часть 77. Статические и стационарные поля
конечно большой емкостью при конечной поверхности и, следовательно,
имеющий бесконечно большой заряд при конечной разности потенциалов.
Тогда по D1.12) энергия такого конденсатора бесконечно велика. Энергия
окружающего двойной слой пространства, однако, конечна и может быть
определена по D2.7) или D2.1.0) с учетом, что значения V по обе стороны
двойного слоя различны:
И'* =1/(^-^J)^. D2.13)
А
Здесь Вп не связано с плотностью зарядов на каждой из сторон двойного
слоя. Значение Вп на обеих внешних сторонах поверхности двойного
слоя определяется по формуле
А.= -*& D2.14)
где
*) дп
# = -7-=— I у ' ЙА D2.15)
А
И
>= еоШ-Ю- D2.16)
Выражение D2.10) можно применить для определения энергии также
в случае системы, состоящей из п заряженных проводов:
иг
= 4-2 [Ят°ш*Ат=± 2 Яш I^ошЛАт = { 2 «/«С«. D2-17)
^ т=1 У ^ т=1 X * т=1
Если выразить ()т по D1.5) через потенциалы и коэффициенты стЬ
получим, что
™е = т 2 V™ 2 СгтЯг = т 2 2 ст&{1]т. D2.18)
* т-1 г=1 ^ т=1 г=1
И. СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ СРЕД
§ 43. Электростатическое поле в неоднородной
изолирующей среде
Уравнения электростатического поля в общем случае имеют вид1*
го1Е = 0, (ШгВ = р, В = ее0Е. D3.1)
В том случае, когда пространство заполнено однородным идеальным
диэлектриком е = сопз!, уравнения поля мало отличаются от уравнения
для свободного пространства. Действительно, основные уравнения можно
1) В переводе этого параграфа множитель е0 означает электрическую
постоянную системы единиц МКСА (называемую также электрической проницаемостью
вакуума). Для большей ясности этот множитель в настоящем параграфе всюду выписан в
явной форме. См. также примечание к § 3 на стр. 22. — Прим. ред.
$ 43. Электростатическое поле в неоднородной изолирующей среде 261
тогда представить в виде
го!Е = 0, (ЦуЕ = -?-.
Они отличаются от уравнений для вакуума тем, что вместо
действительных зарядов е при расчете напряженности поля приходится иметь дело
с зарядами в е раз меньшей величины. Заполнение всего пространства
при данном распределении зарядов уменьшает напряженность поля и
потенциалы в е раз.
Пусть теперь ев рассматриваемом пространстве переменно: е = е (х, у, ъ).
Прежде всего определим напряженность поля. Так как поле вектора Е
безвихревое, то напряженность его может быть определена как градиент
скалярной функции С/, т.е. по-прежнему
Е = — §гас1 V.
Уравнение для определения V имеет вид
г/н>-^/гЙ^)"- <43'2>
V А
При этом объемный интеграл должен быть распространен на все
пространство, а поверхностный интеграл — на все поверхности, на которых
нормальная составляющая напряженности претерпевает разрыв.
Уравнение D3.2) может быть переписано в виде1*
#1 Г**У*_йУ+-±- (Ь^Ь^аа. D3.3)
У А
Но йпгЕ неизвестна. Нельзя даже утверждать, что источники вектора
напряженности поля в пространстве распределены так же, как источники
вектора смещения. Выражение
-УA1уВ = сИуеЕ = Е§гас18+^A1уЕ = X D3.4)
указывает на то, что эти источники не совпадают в тех местах, где
диэлектрическая проницаемость зависит от координат. Например, на поверхности
раздела двух разных диэлектриков при отсутствии на этой поверхности
свободного поверхностного заряда вектор Б остается непрерывным, тогда
как вектор Е изменяется скачком.
Анализируя общее выражение потенциала D3.3), можно выделить
в нем слагающую, обусловленную свободным зарядом2) и связанную с
потенциалом по прежним законам, и дополнительную слагающую,
обусловленную наличием диэлектрика. Для этого преобразуем выражение D3.3),
добавив к нему слагаемые, равные нулю:
п=*Г*Иау+-±-Г^ау-
4я / г 4тге0 / г
V V
1 Г^ЬЛу_1 ГРи + П.ЛА+* Г*» + **ЛЛ. D3.5)
4яе0 ) г 4тгг0 ) г 4тг / г
V А А
1} Здесь, как это видно из сопоставления с формулой D3.2), ЕХп и Е2п —
слагающие по внешним, противоположно ориентированным нормалям к поверхности
раздела. — Прим. ред.
2) д = <Ну 6 и о = Б1п + В2пу если ВХп и В2п определять как слагающие по
внешним, противоположно направленным нормалям к поверхности раздела. — Прим.
ред.
262 Часть II. Статические и стационарные поля
Второе и третье слагаемые в правой части равны и противоположны по
знаку, так что в сумме дают нуль. Что касается четвертого слагаемого
в правой части, оно равно нулю в том случае, когда на поверхности
раздела двух разных диэлектриков1* отсутствует свободный поверхностный
заряд:
^1п+^2п~^1п-^1п = о. D3.6)
Группируя слагаемые в выражении D3.5), представим его в таком
виде:
4тгг0 / г 4тт€0 / г
V . V
1 Г {Р1П + Р2п)-е0(Е1п + Е2п) ал .43?,
к
Введем новый вектор
Р = В-е0Е, D3.8)
называемый вектором электрической поляризации. Тогда выражение D3.7)
можно записать так:
1/в_!_ Г«15^__!. ГЁ11Лу-* (Ь^^йА. D3.9)
кле0^ г 4яе0 / г 4тге0с/ г
Первый член правой части этого равенства
1 Га1УВй7= 1 Л?^ D3Л0)
4яе0 / г 4тгг04у г
выражает потенциал свободных зарядов, как если бы они находились
в вакууме. Два других члена выражают влияние диэлектрика.
Чтобы выяснить их физический смысл, произведем следующие
преобразования. По известной формуле векторного анализа
сцу- =^1! + р8га<1-. D3.11)
г г ° г
Поэтому второму интегралу в правой части формулы D3.9) можно
придать следующий вид:
ГЁ111й7= ГсИу^йГ- ГРвгаа^йГ, D3.12)
V V V
где интеграл берется по всему пространству. Преобразуем первый интеграл
правой части уравнения D3.12) с помощью теоремы Гаусса, следуя которой
нужно взять поверхностный интеграл от Р/г, во-первых, по поверхности,
уходящей в бесконечность (этот интеграл равен нулю, так как в
бесконечности напряженность поля и поляризация обращаются в нуль), а во-
вторых, по тем поверхностям, которые охватывают область разрыва
вектора Р. В итоге находим, что
ГагДй7= [Ры+гР2п<1А, D3.13)
х) Где Е1п + Е2п9±0. — Прим. ред.
$ 43. Электростатическое поле в неоднородной изолирующей среде 263
где по обе стороны поверхности разрыва вектора Р за положительные
принимаются нормали, направленные от поверхности. В итоге можно
записать выражение D3.9) в таком виде:
Т1^ 1 Г^БЙ7+ 1 ГР§гаA1^ D3.14)
V V
или, подставляя в него AпгБ = @,
С/ = ^- Г^74-Д- Г Р втасуй 7. D3.15)
У У
Кай было найдено ранее, потенциал диполя с моментом Рй7 в точке,
отстоящей от него на расстояние г, выражается в виде
1 - 4-
" + 1
— 4-
- 4- 1
4-
1- + 1
- +
1 - 4-|
- +
1 - +|
1 - 4-|
- 4-
\- 4-1
1 Ч
[~ +|
+
Р +1
1- 44
1 Ч
{-- +1
|- ' 4-|
1 Л
1- 4]
~ +1
1 ~ 44
- +]|
1- +1
\- +1
^Р
Фиг. 167. Однородная поляризация.
Поэтому, анализируя выражение D3.15), можно заключить, что
дополнительная слагающая потенциала, создаваемая диэлектриком (второе
слагаемое в правой части), обусловлена тем, что диэлектрик обладает
электрическим дипольным моментом; величина этого момента, отнесенная
к единице объема, равна вектору Р.
Момент диполя, отнесенный к единице объема, можно проще всего
представить в виде кубика (фиг. 166) с ребром, равным единице и имеющим
на двух противоположных гранях заряд, равный ±су= ±|Р|. Момент
этого диполя как по величине, так и по направлению равен вектору Р.
Поляризация первоначально нейтрального диэлектрика под действием
электрического поля происходит из-за того, что внешнее поле либо
ориентирует в определенном направлении элементарные диполи, которые имеются
в диэлектрике в готовом виде, но в отсутствие поля ориентированы
беспорядочно, либо сдвигает положительные и отрицательные заряды атомов
и молекул, имевшие в отсутствие поля совпадающие средние положения.
На фиг. 167 наглядно видно, что при однородной поляризации внутри
диэлектрика положительные и отрицательные заряды уравновешивают
друг друга. Напротив, на границе диэлектрика там, где возникает
поляризация (начала вектора), существует отрицательная плотность заряда,
а там, где поляризация исчезает, существует положительная плотность
зарядов (концы вектора); величина этой плотности ,связанных" зарядов
равна
*'= -{Рш + Рш). D3.16)
йС/=-^-Рй7§гаа-
4^718$ Г
/*\
\.а }
1
)-
+ СГ
>
Ф и г. 166. Вектор поляризации.
264
Часть II. Статические и стационарные поля
Если интенсивность поляризации непрерывно изменяется (фиг. 168)
и (НуР т* 0, то появляется объемная плотность связанных зарядов, так
как разноименные заряды примыкающих друг к другу диполей не
уравновешиваются. Если выделить маленький объем (показанный пунктиром
1 "Ч
+
+
+
Г- +1
+
+
1 - + 1
1 - +1
1 - +1
1 - ч- 1
г= л
1 - + 1
1 - + 1
+
1 - + 1
1 - + 1
+
1 - + 1
1 - + 1
+
1 - + 1
Р +1
+
+
1 - +1
1 ~ +1
+
+
1 - +1
| - +1
+
+
1 - +1
| - +1
+
+
1 - +1
Г1 +п
¦м
+
+
1 - + 1
1 - + 1
- +
+
+
1 - • + м
1 - + 1
+
+
+
1 - + и
1 - + 1
+
+
+
1- +
Фиг. 168. Неоднородная поляризация, при которой
дивергенция вектора поляризации отлична от нуля.
на фиг. 169) в области неоднородной поляризации, то внутри него окажется
неравное число концов молекулярных диполей, несущих положительные
заряды, и начал таких же диполей, несущих отрицательные заряды. Если
выходящий поток вектора Р больше, чем входящий поток, т.е. дивергенция
положительна, то внутри объема окажется заключенным отрицательный
связанный заряд. Сказанное и выражается
формулой
о' = -<НуР. D3.17)
Представление о том, что вектор
поляризации Р равен электрическому моменту
в единице объема, объясняет и появление
поверхностных зарядов везде, где нормальная
слагающая вектора Р имеет разрыв. Однако
там, где дивергенция Р не равна нулю,
имеется пространственный заряд.
Вернемся вновь к уравнению D3.9) и подставим в него выражения
-<НтР = е' и -(Рт+Р2п) = е'- D3.18)
Фиг. 169. Если дивергенция
вектора поляризации отлична
от нуля, то имеется
пространственный заряд.
В таком случае оно примет вид
и = _!_ ^лу+^- Г^ау+Л- \°-аа,
ИЛИ
V
4тге0<
9+9'
AУ +
1 Гсг
4тгг0 ] т
ЛА.
D3.19)
D3.20)
Это значит, что при внесении в электрическое поле какого-либо диэлектрика
из-за его поляризации дополнительно появляются связанные
пространственные и поверхностные заряды д и о'; они складываются со свободными
зарядами и образуют полный заряд.
$ 43, Электростатическое поле в неоднородной изолирующей среде 265
После всего изложенного можно определить пространственное
распределение источников (сИу) векторов В, Е и Р и придать им определенный
смысл: (Ну В = д— плотность свободных зарядов, — сНуР = р' —
плотность связанных зарядов и е0сНуЕ = @-\-д' — плотность полного заряда1*.
Вектор поляризации Р в линейной среде, где В пропорционально Е,
может быть выражен следующим образом:
Р = В-е0Е = е0(гЕ-Е) = г0(г-1)Е = г0Щ D3.21)
т.е. он пропорционален вектору напряженности электрического поля.
Коэффициент пропорциональности к называют электрической
восприимчивостью (к = 4тги = е- 1).
Обобщая, можно сказать о трех рассмотренных здесь векторах Е, Р и
В следующее. Напряженность электрического поляЕ — это вектор,
характеризующий собственно поле; он может быть определен, например, по
силе, испытываемой зарядами в электрическом поле.
Физический смысл вектора поляризации Р в том, что он характеризует
электрическое состояние диэлектрика. Вспомогательный или расчетный
вектор электрического смещения В = г0Е + Р введен в теорию поля
с таким расчетом, чтобы его дивергенция равнялась плотности свободного
заряда2).
На основе всего изложенного можно понять, почему возникают
дополнительные трудности при расчете поля в присутствии неоднородного
диэлектрика. Поле вектора можно всегда определить, если заданы его
дивергенция и ротор. Для вектора Е в условиях электростатики всегда
го* Е = 0, D3.22)
а его дивергенция определяется достаточно сложным выражением
Ну Е = -1— - Е §гас1 е. D3.23)
&&о в
Для вектора В всегда легко определить дивергенцию:
(Ну В = е. D3.24)
Однако поле вектора В может быть вихревым даже в условиях
электростатики, если среда неоднородна. Действительно,
е0 го! Е = го* ~ = \ тоЪ В - В х рчи! 7 = 0. D3.25)
Следовательно,
го! В = еО X §гас! - . D3.26)
1} В русском переводе во избежание недоразумений терминология подлинника
несколько изменена. В подлиннике заряды д} д' и д+д' называются соответственно
действительными, фиктивными и свободными. Такая терминология была
распространена и в русской литературе, однако после появления фундаментального и очень
распространенного курса И. Е. Тамма „Основы теории электричества" [1.4] этими
терминами практически более не пользуются.— Прим. ред.
2) В этом и заключается его значение: пользуясь им при расчетах, можно учитывать
только свободные заряды. — Прим. ред.
266
Часть II. Статические и стационарные поля
МАГНИТОСТАТИКА
§ 44. Статическое магнитное поле
Основные уравнения магнитного поля в условиях статики (т.е. в
отсутствие токов)
го1Н = 0, (ИуВ = 0 D4.1)
принимают вид
го! Н = О, Й1У В = <Иу /а Н = II (Цу Н = 0, D4.2)
если предположить, что В = //Н и [л = сопв! во всей области поля.
В этом случае, однако, как дивергенция, так и ротор напряженности
магнитного поля во всем пространстве равны нулю, т.е. нет ни источников, ни
вихрей. А это значит, что и сама напряженность поля тоже везде равна
нулю. В магнитостатике можно получить поле только при наличии
намагниченной среды, состояние которой определяется вектором
намагниченности М. Соотношение между векторами В, Н и М в общем случае
выражается равенством1*
В = /*0Н + М, D4.3)
причем возможны случаи, когда вектор намагниченности М лишь в малой
мере зависит от Н.
Если М пропорциональна магнитному полю, т.е.
М = /*0Ш, D4.4)
где к — магнитная восприимчивость, то по D4.3)
В = /г0Н+/л0 Ш = /л0 A + кЩ = (ЛфгК. D4.5)
Из этого равенства видно, как связаны между собой проницаемость
и восприимчивость.
Когда намагниченность М существует в отсутствие электрических
токов, магнитное поле создается именно намагниченностью. В условиях
магнитостатики (отсутствие токов) вектор Н безвихревой и может быть
определен как градиент некоторой скалярной функции С/т, если известна
дивергенция Н во всем поле.
Так как
<Ну В = сНу (/*0Н+М) = /10(Иу Н+ (Ну М = 0, D4.6)
то
/*0(ИуН= - сИуМ. D4.7)
При этом
V А
1) В советской литературе более принята следующая формулировка соотношения
между величнами В, М и Н:
В - ^0(Н + М).
Сопоставляя эту формулу с формулой D4.3), находим, что
МD4.з) = ^оМ. -Прим. ред.
$ 44. Статическое магнитное поле 267
Математическое преобразование, связывающее D4.7) и D4.8) при
условии, что Н = — дгай 11т, совершенно аналогично рассмотренным в
электростатике. Однако в магнитном поле не существует свободных
магнитных зарядов1*, и поэтому в D4.8) отсутствует слагаемое, аналогичное
слагаемому с <Цу В.
Учитывая уравнение D4.7), а также известное условие
непрерывности нормальных составляющих вектора магнитной индукции (поскольку
(НуВ=0), выражению для магнитного потенциала можно придать и
такой вид:
Пт в _ * Г^ХЖЛУ-^- ГМ»+М*АА, D4.9)
V А
откуда следует, учитывая уравнение D3.11), что
V
Таким образом, вектор намагниченности по аналогии с
электростатикой может быть определен как магнитный момент единицы объема2).
В соответствии с основным определением D4.2) при отсутствии токов
(т.е. когда го!, Н = 0) связь между векторами М и В может быть выражена
уравнением
го! В = /г0 го! Н + го* М = го1 М. D4.11)
Так как дивергенция В равна нулю, вектор В может быть выражен через
векторный потенциал В = го1А; тогда, при условии D4.11J)
А = ^121^7. D4.12)
V
г) В магнитном поле свободные заряды всегда отсутствуют. Однако и в случае
электростатических полей встречаются подобные задачи, например электрическое
поле пьезокристаллов, в которых поляризация происходит в результате механического
воздействия, сегнетоэлектрики с остаточной электрической поляризацией и др. - Прим.
ред.
2) Сопоставляя выражения
В = е0Е+Р и В = /г0Н + М,
мы видим, что для строго формального построения магнитостатики аналогичными
величинами следует считать В~В, Н~Е и М~Р. В силу зтого множитель /х0 иногда
вводят в определение вектора намагниченности, как это сделано автором книги.
В советской электротехнической литературе принята иная форма уравнения,
связывающего векторы В, Н и М, преимущества которой выявляются при рассмотрении
магнитного поля как поля электрокинетического (см. также [1.3; 2.8; 8.6] и др.).
Если в формуле D4.12) из выражения М вынести множитель /г0, т.е.
пользоваться определением намагниченности по формуле
В = ^(Н + М),
то сравнение выражения для векторного потенциала, обусловленного намагниченностью,
с выражением для векторного потенциала, обусловленного токами с плотностью «Г,
А = ±° Г* «гг
4я . г
V
(см. § 46) показывает, что го1 М можно рассматривать как выражение связанных
микроскопических токов, эквивалентных намагниченности. — Прим. ред.
268
Часть Л. Статические и стационарные поля
Найденное выражение поля через вектор М представляется
полезным, однако, лишь в тех случаях, когда задано 1} распределение
намагниченности М(ж, у, г). Интересно рассмотреть случай, когда в каком-
то объеме намагниченность М = сопзЪ, а вне его всюду отсутствует
(фиг. 170). Практически этот случай более или менее соответствует
постоянному магниту, имеющему большую коэрцитивную силу.
Напряженность магнитного поля можно легко найти. Поле Н
безвихревое и его истоки находятся там же, где и истоки М, но только имеют
противоположные знаки. Иначе говоря, там, где обрываются линии М,
линии Н начинаются, и, наоборот, там, где кончаются линии Н,
начинаются линии М. Распределение напряженности поля Н аналогично полю
между параллельными друг другу равномерно и противоположно
заряженными плоскими пластинами.
М
¦ А ¦ А А
Фиг. 170. Магнитные силовые линии и линии индукции в равномерно
намагниченном постоянном магните.
В этом случае внутри магнита В не параллельно Н.
Такое поле нам уже знакомо из электростатики. Поле Н отличается
от поля Е обычного конденсатора вследствие большого расстояния между
пластинами (большое рассеяние). Лежащие друг против друга плоские
поверхности теперь к тому же не эквипотенциальны, так как плотность
заряда на эквипотенциальных поверхностях не постоянна. Тем не менее
картина силового поля очень похожа.
Вне намагниченного тела поле ^0Н идентично полю В, так как
В = //0Н + М, а М = 0. Внутри магнитной среды линии индукции
продолжаются непрерывно, так как (Ну В = 0; В не имеет источников, но
зато имеет вихри там же, где и М, — на боковой поверхности цилиндра.
Здесь линии В преломляются, однако само собой разумеется, что условие
сИу В = 0 продолжает выполняться.
Из фиг. 170 видно, что внутри магнита В и Н не совпадают по
направлению: внутри вещества они могут быть направлены навстречу друг
другу или быть наклонены под некоторым углом.
х) Например, при расчете поля намагниченной ленты для звукозаписи. См.
примечание редактора в конце § 54. — Прим. ред.
$ 45. Примеры расчета электро- и магнитостатических полей 269
§ 45. Примеры расчета электро- и магнитостатических полей
в неоднородной среде
Как мы уже видели, при решении уравнения Лапласа в отсутствие
неоднородных диэлектриков граничные условия задавались потенциалом
(или нормальной составляющей его градиента) на поверхностях, в
простейшем случае — постоянным потенциалом на поверхности электродов
111 = сопз1. При наличии неоднородных диэлектриков добавляются
новые условия: нормальные составляющие вектора смещения непрерывны
при переходе через поверхность раздела двух диэлектриков, т.е.
Пример 1. Решим следующую не очень простую задачу. В
первоначально однородное внешнее поле помещен эллипсоид из диэлектрика.
Каким будет поле внутри и вне эллипсоида?
Пусть напряженность однородного невозмущенного поля направлена
по оси #. Для того чтобы можно было удовлетворить граничным условиям,
положим, как и в случае металлического эллипсоида, что потенциал,
обусловленный возмущающим действием эллипсоида, выражается
функцией (см. ч. II, § 10, п. «д»)
СС{Х)Рг(р)Ъ(р) D5.2)
как во внутренней, так и во внешней областях при различных значениях
функции С(Я).
Во внешней области на большом расстоянии возмущение должно
исчезать, поэтому выражение всего потенциала имеет вид
С/€(Я, ,1, V) = С;ВД *\{1*) Ш+С&(*) /^)/<», D5.3)
где С2 — константа, определяемая из граничных условий, а значения
Съ Ръ &1 и т.д. совпадают с выведенными в § 10, п. «д» [уравнения A0.65),
A0.66) и след.].
Во внутренней области для потенциала должна существовать такая
же функциональная зависимость от // и г>. Решение для функции С(Я)
представляется в следующем виде:
ад = АС^ + ВР^), D5.4)
где Сх и Р1 — два независимых решения уравнения Лапласа (см. § 10,
п. «г» и «д»). Во внутренней области — с2^Я*==0, но при Я= —с2
функция СХ(Я) обращается в бесконечность. Поэтому для внутренней
области
ЩХ, /*, V) = СгРг(Х) Р% ДО /<». D5.5)
Так как потенциал на границе (Я = 0) непрерывен:
Пе = 11г при Я = О,
то
СгРМР^РъМ + СгС^РМР^) = СъРг@) ВД^М, D5.6)
или
^@)С3 = С1Р1@) + С^1@); С, = С1 + С2-^. D5.7)
270
Часть П. Статические и стационарные поля
Непрерывность нормальной составляющей В означает, что
е> (тгтгЛ-о= 51 (тг-пк^ D5-8)
откуда следует (см. § 10, п. «г» и «д»), что
с аЬее2-е1Сз D5 9)
Потенциал во внутренней области можно записать следующим
образом:
Щ = Ь. Сх1\A) Р&) ад = ¦&¦ #0. D5.10)
Отношение Сг\Сх определяется выражениями
с3 1 1
* 1_йр§> 1+^(е1-е2)^°1
D5.11)
0,^@) 2г2 1 * 2' *\@)
где
с, (о) _ , _ Г *
¦Рх(О)
О
Таким образом, для внутреннего поля
Ех1 = %Еха= 1 „Яя0. D5.13)
Если первоначальное поле направлено не параллельно оси х, а
параллельно осям у или 2, то соответственно получаем следующие выражения
для напряженности поля внутри эллипсоида:
*« = Т^ыГ, 77 **» Е* = Т~л^ Е*» D5Л4>
в которых
1 + —(е1-е2)А2 1 + —(е1-е2)А3
оо оо
А* = / (?:^Ш' ^3 = / й^Ш" D5Л5)
о о
В приведенных решениях Ел0, Еу0, Е20 (и потенциал ?70) соответствуют
внешнему невозмущенному полю (существовавшему до внесения
эллипсоида). Если присутствуют все три составляющие, то результирующее поле
получается наложением отдельных решений.
Таким образом, получается интересный результат: поле внутри
эллипсоида остается равномерным, но в общем случае не параллельно
первоначальному полю (фиг. 171), так как в общем случае А^ А2?± Аз-
Пример 2. Как видно из предыдущего примера, расчет полей при
наличии вещества очень сложен; поэтому мы проведем его только для двух
простых, практически важных случаев.
Пусть эллипсоид вращения из магнитного материала (с постоянной
магнитной проницаемостью /г = сопз!) помещен в равномерное поле Я0
соленоида, и как показано на фиг. 172, его большая ось параллельна пер-
$ 45. Пример расчета электро- и магнитостатических полей 271
воначальному полю. Задача была решена в примере 1, и по аналогии можно
отсюда написать выражение для поля внутри эллипсоида
Н* = Я° а& '
D5.16)
Поле внутри остается однородным, и, следовательно, возникает
равномерная намагниченность
Л^д^-ОД. D5.17)
¦ф—о
®®®®®Ф
Фиг. 171. Диэлектрический эллипсоид в
равномерном внешнем поле.
Фиг. 172. Снятие кривой
намагничивания на образце
эллипсоида вращения.
Простая связь между Н1 и Н0 позволяет применять следующую
удобную формулу для поля внутри эллипсоида:
м{
Щ = Н,-Н^
Ро
D5.18)
где N называют коэффициентом деполяризации (или размагничивающим
фактором). Величина этого коэффициента может быть вычислена по
формулам
^ /г0(Яо-Я,-) ц,(Я0-Я,) _1__ (Но_ } Л
Но на основании предыдущего имеем
Поэтому
^ = 1+^(^-1)^1-
йз
D5.19)
D5.20)
D5.21)
N = — А = — ——-=——
1Х 2 ] (8 + а2)У8 + а2 {з + Ъ2)'
о
Интеграл может быть приведен к виду
где р — а\Ъ. Измеряя В1 — /и0Н1-\- Мх индукционной катушкой, как
показано на фиг. 172, рассчитывая Л" и зная первоначальное поле Н0у
можно определить связанные между собой значения Вь Ни М{.
D5.22)
272
Часть II. Статические и стационарные поля
Пример 3. Другая сравнительно простая задача — расчет статического
магнитного экранирования. Естественно, что внешнее поле оказывается
ослабленным внутри объема, окруженного оболочкой из материала с
высокой магнитной проницаемостью.
Рассмотрим для простоты шаровую оболочку в равномерном внешнем
поле Н0 и определим результирующее поле внутри оболочки, а также
и во всем пространстве.
Ось, проходящую через центр шара и параллельную Н0у примем за
ось сферической системы координат. Естественно, что решение может
зависеть только от г и #, а не от (р.
Потенциал невозмущенного внешнего поля равен
Ц0* = - #0* = - Н0г сов Л D5.23)
Такую же величину должен иметь в бесконечности и потенциал
результирующего поля, так как возмущающее действие сферы там исчезает и
становится равным нулю.
Уравнению Лапласа и условию в бесконечности удовлетворяет
следующее выражение для результирующего потенциала во внешней области:
Це = -Н0г С08#-^~* = -(Я0г+~) со8#. D5.24)
Такой же вид имеет выражение потенциала и для ферромагнитного слоя
самого экрана, только с другими постоянными:
II9 = -(Яг+-^) соз &. D5.25)
Зависимость от & должна быть именно такой для того, чтобы удовлетворить
граничным условиям на поверхности сферы. Следовательно, решение
уравнения Лапласа может быть выражено функциями г соз $ и A/г2) соз §
или их линейной комбинацией. Для внутренней области применима только
первая из этих двух функций
С/. = - Пг сое 0, D5.26)
так как вторая превращается при г = 0в бесконечность.
Для определения постоянных А, Ву С, В служат условия
непрерывного перехода потенциала на поверхностях г == г{ и г = ге и отсутствие
источников вектора В, что равносильно непрерывности нормальных
составляющих. Выпишем подробно уравнения, соответствующие этим
граничным условиям. При г = ге
Т]е = *78, т. е. Н0 + ± = В+^„ D5.27)
-гг^г-йг, т-е- Яо-7Г = МВ~7з-]' D5'28)
а при г = г{
*7*=С/8, т. е. В+^ = А D5.29)
~д7 = Л-7, т' е- РЛВ~) = D5,30)
Та ким образом, получаем четыре уравнения для четырех неизвестных.
Нас интересует в первую очередь постоянная В, так как через нее
$ 46. Расчет поля с помощью векторного потенциала
273
выражается поле внутри экранированной
области. Действительно,
*74 = -Пг сое 0 = /)*. D5.31)
Следовательно, внутри существует
равномерное поле, параллельное внешнему, и
его напряженность как раз равна 2).
Из приведенной системы уравнений
получаем
В
«¦тите**-»)
D5.32)
Это уравнение позволяет количественно фиг, 17 3. Магнитостатическое
определить степень экранирования. Схема- * экранирование,
тически характер поля показан на фиг. 173.
Пример 4; Пользуясь результатом примера 1, можно указать метод
измерения Е, Б (или Н, В) внутри диэлектрического (соответственно
магнитного) материала. Предположим, что в диэлектрике существует
однородное электрическое поле Е0==Е02. Если вырезать полость в форме
сплющенного симметричного эллипсоида вращения с полуосями а = &,
с->0, то из уравнения D5.15) получаем Аъ-+2\агс. Уравнение D5.14) дает
Е1{ = е2Е0/е0 = 2H/е0. Таким образом, вектор смещения е0Ег{ в полости
имеет то же значение, которое он имел до образования полости. То же
самое справедливо для Е0 внутри полости, имеющей форму вытянутого
симметричного эллипсоида вращения.
К. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
§ 46. Расчет поля с помощью векторного потенциала
Основные уравнения магнитного поля постоянных токов имеют вид
го* Н = 3, Ну В = О, В = /Ш, D6.1)
следовательно,
го! В = IX 3, D6.2)
если (л постоянно.
Математически задача состоит в определении вихревого поля без
источников по его вихрям. Рассматриваемый способ соответствует
изложенному в § 14 ч. I. Уравнение сНуВ = 0 дает возможность
выразить В через векторный потенциал:
В = го1А. D6.3)
Вектор Н также принято определять через векторный потенциал.
Но более логично считать, что векторным потенциалом определяется
именно вектор В. Действительно, равенство сНуВ = 0 справедливо всегда,
тогда как равенство сИу Н = 0 выполняется только в однородной среде.
Однако там, где это окажется целесообразным и удобным, можно
пользоваться также уравнением Н = го-Ь А. При этом не следует забывать, что
векторный потенциал — вспомогательная величина, введенная с целью
упрощения расчетов.
18 К. Шимони
274
Часть II. Статические и стационарные поля
Вектор А можно определить из уравнения го1В = /*1 после его
преобразования:
го1 го1 А = §гай (Ну А — Л А = //«Г. D6.4)
Полагая (Ну А = 0, получим
АХ. = -/*«Г.
D6.5)
Для конечной области, ограниченной поверхностью а, по уравнению
A4.37) ч. I имеем
ктх ^ г 4тг ^ дп г 4тг ^ оп г
Ла.
D6.6)
Распространяя интегрирование на всю область, в которой 3 ?± О, получим
V
Это выражение аналогично уравнению электростатики
4яг0 3 г
При определении А по D6.7) имеем
(Ну А = 0.
D6.8)
В случае геометрически линейных проводников, т.е. проводов, у
которых размеры поперечного сечения пренебрежимо малы по сравнению с
длиной, можно представить элемент й7как произведение
элемента длины на поперечное сечение (фиг. 174). Но
произведение сечения на среднюю плотность тока
равно току /. Следовательно,
6У=Ай1
*-&№**-¦&$
ЗА
л=
4тг
4
(й
D6.9)
Итак, расчет магнитного поля в случае заданного
проводника с током производится следующим
образом: из вышеприведенных уравнений определяется А.
Индукция В находится как го1 А. Легко показать,
что при этом выражение для напряженности поля
совпадает с выведенным на основании закона Био-
Савара. Действительно,
Фиг. 174. Элемент
объема линейного
проводника.
н-1
• то1Р А = тоЬт
4л;
4щ—ь§
'го* А
D6.10)
причем последовательность операций интегрирования и дифференцирования
(го!) может меняться, потому что интегрирование производится
по элементу контура сйд(т.е. по точкам истока 0, тогда как
дифференцирование производится по координатам точки наблюдения (Р). Эти
координаты служат параметрами при интегрировании. Применяя формулу
го!(<ру) = §гас1 срХУ + сртоЬу
$ 47. Определение поля по скалярному циклическому потенциалу 275
к нашему случаю, находим
го1— = §гай—ХЙ1 + ~го1сЯ = ^гаа —ХбЯ,
D6.11)
так как го1 ей = 0, поскольку с& не зависит от координат точки
наблюдения (Р). Подставляя полученный результат в D6.10), получаем выражение
Н-^^гогрА-^^вгайр^хЛ-^^*^, D6.12)
ь ь ь
к которому приводит и закон Био —Савара.
С помощью векторного потенциала А может быть просто рассчитан
магнитный поток, сцепленный с замкнутым контуром, ограничивающим
поверхность а:
Ф = / Вйа = ]* го! Айа. D6.13)
Но по теореме Стокса
^ го1 А йа = ^ А ей,
D6.14)
так что
Ф = фАЛ.
ь
D6.15)
Линейный интеграл векторного потенциала по замкнутому контуру
равен магнитному потоку, сцепленному с этим контуром.
§ 47. Определение поля по скалярному циклическому потенциалу
По существу магнитное поле контура тока вихревое и, следовательно,
не может быть определено из скалярного потенциала. Но вихри магнитного
поля отличны от нуля только в области токов. Поэтому, исключая
проводящий контур с током, мы приходим к
двухсвязной области пространства, в которой
вихри отсутствуют (го! Н = 0). Следовательно,
в этой области Н может быть выражено через
скалярный потенциал.
Для однозначного определения этого
потенциала на контур тока должна быть
натянута поверхность (фиг. 175),
превращающая рассматриваемую область в
обыкновенную односвязную. В таком пространстве
потенциал Т]ш однозначен Р и справедливо
соотношение
Фиг. 175. К определению
магнитного поля контура тока
по скалярному потенциалу.
Н= -^АТ!»
D7.1)
Для определения линейного интеграла напряженности поля Н от
точки Аъ лежащей по одну сторону поверхности, до точки А2, лежащей по
1} Конечно, с точностью до аддитивной постоянной.— Прим. ред.
18»
276
Часть II. Статические и стационарные поля
другую ее сторону (т.е. для интеграла по замкнутому контуру, так как точки
А1 и А2 бесконечно близки), можно обратиться к формуле
/ НЛ= /тйа = /. D7.2)
Ах а
Таким образом, значения II т на одной и на другой стороне
поверхности действительно не равны. Значение 11т претерпевает при переходе через
поверхность скачок, величина которого определяется из уравнения D7.2):
*7Й>-*7Й> = /. D7.3)
Такое поле уже рассматривалось (см. §3—6,ч. II). Потенциал IIт
удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, за исключением поверхности, на
которой происходят скачки, при этом
ит = ±$(Щ-<®).& *а = ^к> <47-4>
а а
Это выражение аналогично уравнению электростатики
И = ^-Сг^-^Aа D7.5)
а~
для потенциала двойного слоя с моментом V. Следовательно,
поверхность, натянутая на контур тока, как бы покрыта магнитным двойным
слоем с поверхностной плотностью
I та\ = /**-
Напряженность поля Н при этом может быть выражена через градиент
телесного угла
Н = -^ьЬ/^г^Ла = ^§га<1 О, D7.6)
а
где О — телесный угол, под которым контур тока виден из точки
наблюдения Р. Другими словами, каждый контур тока может быть заменен
магнитным двойным слоем, дипольныи момент которого на единицу площади
равен 1л1. В частности, плоский контур тока площадью а может быть заменен
на большом удалении от него диполем с моментом
т = /и1&. D7.7)
Напряженность поля может быть представлена и как градиент
скалярного потенциала
Н = -§гас1 г/т, D7.8)
где
^ = ^^Акг = -^% <47-9>
Определим теперь векторный потенциал такого маленького контура
тока, или магнитного диполя, т.е. найдем вектор А, для которого
тт " А х а л тт 1 тшг° 1 гЗ(тг°)г° т] //П ,т
Н = - = - го! А = — дгай IIш = -—ш-аа —^- = -— ' Н • D7.10)
/и (Л & т [кП^ & г1 ^л/11 г3 г3 ^ у '
5. = 1
Можно утверждать, что вектор
1тхг° 1 _ ,1 //п лл\
=—= - — тхагаД- D7.11)
$ 47. Определение поля по скалярному циклическому потенциалу 277
удовлетворяет приведенному уравнению и что выполняется равенство
-к ш (т х §гас1 т) = к §гас1 ?' <47Л2)
т.е. что векторный потенциал А диполя т выражается формулой D7.11).
Действительно, по формулам, приведенным в конце § 13, п. «г», ч. I,
гог(тх^-)= -ТГг'т, D7.13)
дгай (т ^) = ТГГ* т = - го* (т х ^-), D7.14)
г<2т
причем Т^р = 0, так как т постоянно. Этим и доказывается правильность
высказанного утверждения.
Итак, векторный потенциал дипольного момента т равен
А = ~-Ьтх%™йр-7 = ^тх§гаA^7"' *47Л5)
где индекс Р обозначает точку наблюдения, для которой
определяется А, а индекс <2 — точку истока (точку, в которой находится диполь тI*.
Представление напряженности поля Н в случае одиночного
линейного контура тока через градиент телесного угла, под которым виден
контур, непосредственно следует из закона Био —Савара. Действительно, если
й — телесный угол, под которым видна из какой-нибудь точки
пространства натянутая на проводник поверхность, то изменение этого угла при
переносе точки наблюдения на расстояние Л% рассчитывается следующим обра-
-+1. *
Фиг. 176. К расчету изменения пространственного
угла замкнутого контура тока.
зом: подсчитываются приращения углов, соответствующие перемещениям
элементов замкнутого контура в направлении — Й8, а затем эти приращения
углов суммируются (фиг. 176). При этом
<Ш = §гас! О <*> = - ф *^г° = § {^^- = <*» ф ^. ;'D7.16)
ь ь I
Из этого равенства, справедливого при любом перемещении Й8, следует.
1} В принятой в переводе системе момент йт элемента намагниченной среды
выражается в следующем виде:
Лт = [10МAУ. — Прим. ред.
278
Часть II. Статические и стационарные поля
ЧТО
2гас1й = ^^~. • D7.17)
Но так как по закону Био-Савара
н = ^$^> D7:18>
то должно быть
Н = А§гас1й. D7.19)
В уравнении Био-Савара г° обозначает единичный вектор, который
в отступление от принятого до сих пор правила направлен от точки
наблюдения к элементу провода (к точке истока).
§48. Примеры определения векторного потенциала
Как >уже было показано, векторный потенциал А играет принципиально
ту же роль для магнитного поля (и других вихревых полей), как
скалярный потенциал V — для электростатического поля.
На практике, однако, векторным потенциалом пользуются гораздо
реже. Это объясняется тем, что для измерения разности электрических
потенциалов существуют простые измерительные приборы, а также и тем,
что эта разность потенциалов непосредственно участвует в выражении
мощности, играющей большую практическую роль. Кроме того, в практических
задачах непосредственно виден смысл граничных значений G, которые
задаются очень просто, в то время как в магнитном поле существующие-
для А граничные условия лишены такой наглядности и должны быть опре-
Ф иг. 177. К качественному определению векторного потенциала А.
В поле токов 3 индукция В заменяется фиктивной плотностью тока 1/. Фиктивная
индукция В/, соответствующая этой плотности тока, совпадает с вектором А.
делены через граничные условия для Н и В. Наконец, как будет показано
ниже на некоторых примерах, расчет векторного потенциала обычно не
проще непосредственного расчета векторов магнитного поля.
Сравнивая уравнения, связывающие В и «Г, с уравнениями,
связывающими А и В:
го! В = /и,0 «Г, го! А = В,
¦ <ИуВ = 0, (ИуА = 0, D8.1)
$ 48. Примеры определения векторного потенциала
279
легко прийти к следующему заключению: если распределение магнитной
индукции при данном распределении тока заменить фиктивным
распределением плотности тока еГ/, то фиктивная магнитная индукция В/,
соответствующая такому (фиктивному) распределению тока, совпадает с
искомым векторным потенциалом (фиг. 177).
Вполне законно возникает вопрос, зачем же нужен векторный
потенциал, если уже известно магнитное поле. Смысл приведенного вывода
заключается, конечно, только в том, что он позволяет найти качественную
картину, которая может быть полезна для отыскания количественных
результатов.
Пример 1. Рассмотрим поле бесконечно длинного прямого провода.
Все элементы длинного прямого провода в данном случае направлены
одинаково, скажем по оси +2 (фиг. 178), поэтому и вектор
А может иметь только ^-составляющую:
ь ь
А г=^1 [^=^-1 С—М=-. D8.2)
-ь
-ь
Если Ь безгранично велико, интеграл расходится
так же, как потенциал бесконечно длинного провода
с линейным зарядом. Однако единственная
составляющая напряженности магнитного поля
1 ЭА. 1г Г Л Dа3)
Ню =
/"о
дг
— Г-
+ **
имеет уже конечное значение при Ь-+°°. Значение
этого интеграла легко найти: оно приводится к
знакомому выражению
йя I
2жг '
2=-/.
Фиг. 178. К расчету
векторного
потенциала прямого провода.
Г* + *:
2\3/2
D8.4)
Пример 2. В поле двух параллельных бесконечно длинных проводов
с противоположно направленными токами векторный потенциал А
остается конечным. Потенциал и в этом случае имеет также только з-состав-
ляющую:
-ь -ь
гг _ 1 ВАШ
Х~Ц0 ду >
н 1 ЭАг
D8.5)
Отсюда для бесконечно длинных проводов
Аг=^ът:- D8-6)
Из последнего выражения посредством дифференцирования могут
быть определены обе слагаемые напряженности поля
D8.7)
280
Часть 11. Статические и стационарные поля
Известно, что уравнение линий Н имеет вид
Ау
Ел
Я.
-Нуйх+НхAу = 0.
Подставляя Нх и Ну из D8.7), получим
д-^йх + д-^йу = йА2 = 0.
D8.8)
D8.9)
Следовательно, линии постоянного векторного потенциала йА2 = 0 или
А2 = сопзЪ совпадают с линиями Н. Эти линии, как видно из D8.6),
представляют собой окружности, аналогичные окружностям V = сопзЪ в поле
двух противоположно заряженных параллельных проводов. Потенциал
таких проводов имеет вид
Из сказанного следует, что линии Н и Е ортогональны. Действительно,
линии Е ортогональны линиям С/=соп8й, а линии С/=сопв1, как было
показано, совпадают с линиями А = сопз1, а значит, и с линиями Н.
Пример 3. Векторный потенциал кольцевого тока имеет только
^-составляющую, как это следует из рассуждений, приведенных в начале
Г0 С05 (р'йср'
Фиг. 779. К расчету векторного потенциала кругового
кольца.
этого параграфа. Конечно, А9 не зависит от у в силу условий симметрии.
Поэтому достаточно определить А^в одной плоскости 1ср = 0 [или в
плоскости (х, г)], например для точки Р с координатами" (я, г, 0).РДля этой
точки
А — ^ (^) ^ со8 Ф' — ^го Гсо5 Ф' йф' ___
у~" 4тг .7 о ~~ 4тг ,/ д ~~
ь О
= ^1го
4л;
2п
С05 <р' йф'
^Ч/'Ч/>2-2/'1)гсо8 9?/
D8.11)
^ 48. Примеры определения векторного потенциала
281
Смысл геометрических величин, входящих в это выражение, очевиден
из фиг. 179 без дальнейших пояснений.
После введения новой переменной /? = (п—ср'I2 и преобразования
уравнения, получим
я/2
1М>1 1 22+г2 + г*
2Ж Г ^2+(г+ГоJ
о
я/2
/)СТ^Н^Нг+г0)*Х
где
6
_ В^. 1 /? Г» А) D8.12)
*2 = ?тта- D8ЛЗ>
Здесь /уХ^/2, А) и Е(п/2, к) — полные эллиптические интегралы
первого и второго рода:
"(м-/
я/2
ар
У1 - к2 81П2 0 '
о
я/2
Е{т>к)=[ П-^зт*/?^,
для которых имеются подробные таблицы (свойства эллиптических
интегралов рассматриваются в § 53). Преобразовав D8.12), можно записать
А9 в следующем виде:
^=^[* + (го + г)Т«[A--т) ''(Т» *)-*(¦?'*)]• D8Л4)
Для малых значений к функции Р и ^ можно представить рядами
т"(-5-.*) = 1 + 2Т + 9(т)'+-". <4а15>
т*(т.*)-'-а-г-а(тГ--- «48-16>
Так как [22+(г + г0J]1/2^Л и /7/? = 8ш#, отсюда можно прийти к
следующему выражению:
Л~^т{('-!)['+4+э(тГ]-
~егй!#!!±--ег(»><«"""т),- D8Д7)
Это выражение полностью соответствует уравнению D7.15).
282
Часть II. Статические и стационарные поля
Та же задача может быть решена и другим путем. Согласно
уравнению D8.11),
2я
Л —'
Л<Р —4*
Рь! X <*1 соз р' _ К)/г0 Г соз <р'0<р' ,48 ^^
4л; У 9 Ьп ] д ' V • /
Ь о
Функция 1/р может быть развернута в следующий ряд (см. § 29):
^(сову)^-^™**1**..., D8.19)
11 1
Л
^-"Ш"
причем для точки Р справедливо равенство
С08 у = СОЗ Ср' 81П
Если ограничиться двумя членами ряда, то
2я
Л9=^о^] \г *Р = Л,"^г-да- • D8-20)
о
Это выражение совпадает, разумеется, с D8.17), действительным и для
больших расстояний.
§ 49. Расчет плоско-меридианных магнитных полей
а) Поле произвольной катушки с осевой симметрией
Определим сначала аксиальное магнитное поле одного витка, по
которому затем можно будет подсчитать магнитное поле любой катушки. Для
кольца радиусом г с током / (фиг. 180) напряженность магнитного поля
в любой точке на оси ъ выражается по закону Био—Савара
я^ = ^/ т4^С08а = ^/-(таг-7рЬ"' D9,1)
О 0
ИЛИ
Напряженность магнитного поля максимальна в плоскости провода и
убывает влево и вправо от нее.
Рассмотрим в соответствии с фиг. 181 катушку, сечение которой
ограничено внутри некоторой кривой г = г{(г) и соответственно вовне
кривой г = ге(^). Пусть п — число витков этой катушки на единицу
площади ее сечения. Вырежем (см. фиг. 181) кольцо высотой ск0 и шириной Аг
с поперечным сечением дл^йт. Ток в этом кольце равен
а21 = пAг0 йг/0, D9.3)
где 10 — ток в одном витке. Это кольцо вызывает в любой точке оси
напряженность магнитного поля
*я«=^^ [гг(го);((;1оJ]3/г • D9.4)
$ 49. Расчет плоско-меридианных магнитных полей
283
Напряженность поля в точке Р{г), создаваемая катушкой, имеющей
форму диска толщиной ск0, заполняющего пространство между
внутренней и внешней поверхностями, может быть получена интегрированием
последнего выражения в пределах от г{(%0) до ге(г0). Следовательно,
Г*B0)
шы-аь*.] [г»+(;-*от- D9-5)
Напряженность магнитного поля всей катушки в точке Р(г)
находится после повторного интегрирования по 20:
Фиг. 180. Расчет магнитного поля на Фиг. 181. Расчет магнитого поля на оси
оси кольцевого проводника. катушки.
В случае бесконечно длинной катушки постоянного сечения мы получаем
отсюда известную формулу
Н = Щ±, D9.7)
где N — число витков на длине I.
б) Расчет с помощью векторного потенциала
В электронной и ионной оптике плоско-меридианные магнитные поля
с осевой симметрией играют такую же большую роль, как и
соответствующие электрические поля. Поэтому их следует рассмотреть более
подробно. Обычно магнитное поле создается катушками, имеющими ось симметрии.
Поэтому их поле не зависит от угла у и, следовательно, д/дф = 0. Далее,
Н9 = 0, так как ни один из круглых витков катушки не создает поля этого
направления. Можно также утверждать, что направление тока в катушке
перпендикулярно оси г, так что векторный потенциал
А = -й137аУ <49'8>
также везде перпендикулярен оси 2, т.е. везде Аг = 0.
284
Часть II. Статические и стационарные поля
Уравнение В = /Д1 = го1А при д/д(р = 0 и 4 = 0 можно записать
так:
№ = -^, } D9.9)
Запишем в цилиндрических координатах уравнение сИуА = 0:
^+7^)+7^ = °- D9Л0)
Так как 4 = 0и Э/#<р = 0, оно приводится к очень простому виду
1^(МГ)=0, D9.10а)
откуда
Аг = -. D9.11)
Таким образом, Аг зависит только от г и неограниченно возрастает при
г=0(если с^О). Но из физических соображений это невозможно.
Следовательно, Аг = 0. Это вытекает и из того, что в определение Н2 и Нг по
уравнению D9.9) Аг не входит.
Таким образом, у магнитного поля с осевой симметрией векторный
потенциал имеет только одну составляющую А9. Для ее определения служит
уравнение
р гоЪ Н = го* го! А = 0. D9.12)
Нас интересует поле вблизи оси, где нет проводов с током, и,
следовательно, го! Н = 0. При А = А9и не зависящем от <р две составляющие
вектора гоЪгоЪА тождественно равны нулю, а третья выражается уравнением
(см. § 2, п. «е»).
Следует обратить внимание на то, что в выражении
то% го* А = §га<1 сНу А - А А D9.14)
составляющие вектора АА в декартовой системе выражаются как ААХ, ААуу
АА2У т.е. операция А может быть применена к отдельным
составляющим. Однако в криволинейных координатах даже при наличии
единственной составляющей вектора (А = А9)и при сИуА = 0 операция АА не
может быть представлена как лапласиан от А9> т.е. в виде
ЛА9 = (Ну §гас1 А9 = 0. D9.15)
Легко убедиться, что D9.15) приводит к результату, отличному от D9.13)
(см. также [1.10]).
В дальнейшем будет показано, что в случае цилиндрических
координат уравнение <Иу§гас1А2 и (го* го1АJ совпадают только для
вектора А(Л„0,0).
^ 49. Расчет плоско-меридианных магнитных полей
285
Вернемся снова к уравнению D9.13). Из этого уравнения можно найти
зависимость между значениями А и Н на оси и значениями тех же величин
в любой точке пространства, как это было в случае электрического поля.
Разложим функции А9(г, г) в ряд по г. Так как Нг(%, г) — нечетная функция
от г (при замене г на — г изменяется и знак Яг), то А9 должна быть
также нечетной относительно г, так как /иНг= —дА9/дг. Таким образом,
ряд
А<р(*,г) = гШ + г*Ш+ ... D9.16)
может содержать только нечетные степени г.
После подстановки в D9.13) и дифференцирования получаем путем
сравнения коэффициентов при одинаковых степенях г следующие уравнения
для функций Д(г):
Ш = -|Т' Ш=Й^. D9.17)
Следовательно,
^^^) = ^/1B)-^/;Ч^ + ^т^/A4)(^) + ... . D9.18)
Теперь, пользуясь формулами D9.9), можно написать выражения
для Нг и для Н2. Так, например,
?Нг(г, г) = 1^Г" = 2Ш ~ПЪ) + • • • • D9.19)
Из этого равенства можно найти смысл функции /^я). Вдоль оси г при
г = 0 имеем
11Нг(ъ, 0) = 2/Л*), D9.20)
т.е.
1г(г) = ^Л*, 0) ^ Dа21)
Следовательно, в конечном счете А9(г, г), Нг(я, г) и Нг(ъ, г) могут быть
рассчитаны, если известно [например, из уравнения D9.6)] значение Нг
вдоль оси; так, например,
ад,г) = -X ЦЬ4 _ $Йй й-"+"<г»ЙГ'. <«*>
где Нг(т) — значения поля на оси (при г = 0).
в) Расчет катушек Гельмгольца
Только что приведенные соотношения применяются главным образом
в электронной оптике. Ими можно воспользоваться при расчете наиболее
благоприятных условий для создания равномерного поля.
Рассмотрим две катушки (фиг. 182). Их поле на оси может быть
выражено формулой
Ни Щ-,У/( * I I \ гЦ (Г1 ,Ф+ Ы)л -»/«
286
Часть II. Статические и стационарные поля
Применяя к рассматриваемой задаче формулу биномиального разложения
15
(!+»)-*/* = 1~и+%и-
D9.24)
получим
^
Я,(*, 0)
г11
2(г? + ^2)з/2
B + Са*2 + С4*« + ...),
щл
Г0
ш1
2=0
щ
^
где
^ _ 15<*2-3 (/•* + <*')
^•2 г-:; ^т^ «
Функция Нг (я, г) может быть
выражена по D9.19) и D9.21). Учитьь
Н2(г,0) вая, что
-2/
Цг1 + &)
Фиг. 182. К расчету поля катушек
Гельмгольца.
*П(г, 0) =
ЩBС2+Ь-З.С^+ ...)~
С2, D9.25>
•V
М+*),/к
находим для малых г и г
Я,B> г)« Я,(*,0) -Н'г' B, 0) (-1J = Нг(г, 0) -|^^г2 ^ (у)* • D9.26)
Целесообразно выбрать геометрические размеры так, чтобы
выполнялось условие
^ = 15^У} = 0' <49-27>'
Этому условию можно, очевидно, удовлетворить, положив
г0 = 2й. D9.28)*
В этом случае магнитное поле между двумя катушками практически
равномерно в средней части:
Нх(г,г)ъНг{г,0). ' D9.29)
С таким же приближением имеем Нг(%,г)^0.
Катушки с такой геометрией, служащие для создания равномерного
поля, называют катушками Гельмгольца. Создание как можно более
равномерного магнитно поля играет исключительно большую роль в целом
ряде исследований.
§ 50. Понятие о вычислении индуктивностей
Пусть имеется п замкнутых контуров, произвольно расположенных
в пространстве (фиг. 183). Пусть токи в них равны гъ г'2>..., (п, а
сцепленные с каждым из контуров магнитные потоки равны Фъ Ф2,... ,ФП.
Определение этих потоков исключительно важно, так как
индуктированное напряжение как раз вызывается их изменением.
$ 50. Понятие о вычислении индуктивностей
287
По определению,
Фк = /В дл = / го* А <2а, E0.1)
или, применяя теорему Стокса,
Фк = /гоЪАйа = $ АсЯл. E0.2)
Здесь Кк — контур А-той цепи. Как известно, А определяется выражением
У Кг
E0.3)
Подставив его в предыдущее,
получим
К* Кк К%
E0.4)
Введем следующее обозначение:
А* = ^=^$$-^;E0.5)
#, кк
тогда окончательно получим
1=1
,гл ^ч Фиг. 183. К определению коэффициентов
(эй.о) индуктивности.
Величины Ьм и Ьгк называют коэффициентами взаимной индукции.
Напряжение, которое индуктируется в &-м контуре при изменении тока
в 2-м контуре или наоборот, пропорционально этим величинам. Симметрия
в расположении индексов к и I указывает на равенство Ьк1 = Ь1к. Для
вычисления коэффициента самоиндукции для члена Ькк с двумя
одинаковыми индексами данное уравнение не годится: в этом случае г=0, а
это делает линейный интеграл неопределенным.
В этом случае целесообразнее обратиться к выражению энергии.
Воспользуемся результатом следующего параграфа, а именно выражением
энергии магнитного поля через интеграл
^V7п=±^А^(IV. E0.7)
V
Но энергия одиночного контура может быть выражена и через
коэффициент самоиндукции:
Жт = ±Ы\ E0.8)
т.е.
Ы
-*/
Азау.
Поэтому
У» V'
E0.9)
E0.10)
288
Часть II. Статические и стационарные поля
§ 51. Энергия магнитного поля
Возможность преобразования
№е = \ ГеБЙ7 = -| [9AЛУ E1.1)
V V
была уже доказана в электростатике. Первое из этих выражений
соответствует представлению о локализации энергии в области поля
(концепция близкодействия), во втором о локализации энергии ничего не говорится,
но ее можно представить себе локализованной на зарядах (что соответствует
в известной мере концепции дальнодействия).
Покажем, что аналогичное преобразование возможно и для энергии
магнитного поля. Исходя из выражения
1 ^'яЪ(^V = \^Кто^А<^V E1.2)
^ 2
V V
и применяя преобразование
<Иу (Н х А) = А го! Н - Н го! А, E1.3)
получим
™т = Т ГАг0*н^-у Гс11у(НхА)й7. E1.4)
V V
Последнее слагаемое в правой части при интегрировании по всему полю
обращается в нуль, что легко доказать, применяя теорему Гаусса:
/(Иу(НхА)й7= ^(НхА)йа. E1.5)
V а
Магнитное поле контура тока может быть представлено через потенциал
двойного слоя. На достаточно большом расстоянии магнитный потенциал
пропорционален углу, под которым поверхность двойного слоя видна
из точки наблюдения, т.е. обратно пропорционален квадрату расстояния.
Следовательно, напряженность магнитного поля уменьшается в
бесконечности пропорционально третьей степени расстояния, а векторный
потенциал уменьшается соответственно по меньшей мере как 1/г2. Произведение
этих величин стремится к нулю по меньшей мере как 1/г5, и интеграл по
лежащей в бесконечности шаровой поверхности обращается в нуль. Тогда
выражение энергии принимает следующую простую форму:
РУШ = ~ ГАго11Нй7 = у С А] (IV, E1.6)
V V
аналогичную выражению ТУе = A/2) ]* $11 ЗУ; вместо плотности заряда
в него входит плотность тока, вместо скалярного потенциала —
векторный потенциал. Такое же выражение может быть написано и для
нескольких контуров.
В электростатике для энергии часто применяется формула
УУе 2 •
Аналогичная формула существует и для энергии магнитного поля.
Подставив в E1.6) значение А:
А-^ДЬ^, E1-7)
$ 52. Методы расчета собственной и взаимной индуктивностей 289
получаем выражение
^=^A»» ф^ЛУ. E1.8)
Для геометрически линейных проводов элемент объема равен й7$ = а^;
в таком случае вместо E1.8) после интегрирования получаем
жт = ^ 2 2 чк ф 6~ = 2 2\иькк* E1.9)
л* Кк
Это выражение уже применялось, когда вводилось понятие индуктивности.
В случае одного контура в полной аналогии с электростатикой
получаем
УУШ=\Ы\ E1.10)
т.е. энергия магнитного поля пропорциональна произведению
собственной индуктивности и квадрата тока.
В случае двух проводов имеем
№т = у(^11^ + ^12*1*2 + ^21*2*1 +
+ ^22Й) = ^(^и^ + ^^Л + ^Й). E1.11)
§ 52. Методы расчета собственной и взаимной
индуктивностей
В § 50 были выведены выражения для взаимной индуктивности двух
контуров и собственной индуктивности одного контура. Для практических
расчетов часто удобнее исходить из следующих равенств:
Ж
т
С^Н2AУ = ~Ы2 E2.1)
или
ф4= ^Нйа= 2 Ал**- E2.2)
При этом магнитный поток может быть рассчитан по векторному
потенциалу:
. Фг= &\<1\. E2.3)
При реальных расчетах часто комбинируют различные методы.
Рассмотрим применение определяющего уравнения (формулы
Неймана)
^ - -й § ф ^ E2.4)
19 К. Шимони
290
Часть II. Статические и стационарные поля
к расчету взаимной индуктивности двух коаксиальных кольцевых
контуров (фиг. 184). Применяя к этому случаю выводы § 48, найдем, что
Фиг. 184. К расчету взаимной
индуктивности двух колец.
При ЭТОМ
2л
^12 = 7^6^1F^ '*""*
Имея в виду, что
Г2 С08 ф' й<р'
2ггГ2 соз <р'
E2.5)
ф<й1 = 2г1я, E2.6)
<[>— получаем из E2.5)
^12 =* ^х2 + (гг + г2)> [A - *) ^(|, А)-
~Е(^к)\ E2.7)
^2 _ 4Г1Г2
E2.8)
§ 53*. Эллиптические интегралы и эллиптические
функции
К эллиптическим функциям совершенно разными путями приводит
решение двух типов задач. Здесь будут показаны оба эти пути.
Исторически эллиптический интеграл сначала был введен при
вычислении некоторых определенных интегралов, а эллиптическая функция была
определена как его обратная функция. С другой стороны, эллиптическая
функция была введена в теории функций как обладающая характерными
свойствами, связанными с двойной периодичностью и ее особенностями.
Родственность эллиптических функций с тригонометрическими всегда отчетливо
выступает: тригонометрические функции могут быть представлены как
вырожденные эллиптические функции.
а) Эллиптический интеграл
Известно, что интегрирование выражения вида
(#, ][ах2 + Ъх + с) Ах,
/ж*
где В(х,]/ах2 + Ъх-\-с) — рациональная функция от х и от Уах2 + Ъх + су
заменяется интегрированием рациональной функции от # и простым
интегралом типа
I
их
/1-5
т.е. интегрированием рациональной и элементарной иррациональной
функций.
Аналогичным образом интегрирование
^ 53. Эллиптические интегралы и эллиптические функции 291
приводит к следующим интегралам:
X
р =
}/1-к25'1П2(р )
их
х2) (\-к2х2) '
] УК-
-Я^*.
п= С—
3 A +
Ах
пх*)УA-х*) A-к2х2)
А 1
1 /
1^-
\^к=1
\ук=0,87=5\п 60° 1
X к=0
\
\
\
1
п/2
71
E3.1)
E3.2)
E3.3)
Зп/2 2л <р>
'и(^^фтй,
Фиг. 185. Эллиптический интеграл первого рода Р(<р,к) и обратная ему
эллиптическая фуНКЦИЯ 1/1 1 - к2 81П2 ср.
19*
292
Часть II. Статические и стационарные поля
Они называются нормальными интегралами Лежандра первого, второго и
третьего рода.
Эллиптическими эти интегралы называются потому, что они сначала
применялись для определения длины дуги эллипса. Рассмотрим интегралы
первого и второго рода, из которых первый более важен.
10 20 30
40 50 60
ср, град
80 90
1,0
/,2
^
<^0,8
^
де
0,4
0,2
о ^У^\
Л^^^\
^^^^¦^"^
/^^
^^
\<г1 1111111
10 20 30
40 50 60
<р, град
70 80 90
Фиг. 186. Эллиптические интегралы.
а — эллиптический интеграл первого рода; б — эллиптический
интеграл второго рода. Показанные значения углов связаны с
величиной к уравнением &=81п г>.
После подстановки х = &тср получается следующая табулированная
форма эллиптических интегралов:
П<РЛ) = [т
¦ к2 81П2 <р
О
9
Е(ср, к) = /VI -&28т2(р &р.
E3.4)
E3.5)
$ 53. Эллиптические интегралы и эллиптические функции 293
Функции РиЕ не могут быть выражены через более простые функции. Об
их свойствах при различных значениях модуля к можно судить, например,
по разложению в ряд.
На фиг. 185 показан ход функции Р(<р, к). Для этого рисунка значения
функции определялись графически. На фиг. 185, а показана функция
У 1 — к2 81П2 ф
для значений модуля & = 0; 0,87 и 1, а на фиг. 181,6- функция,
полученная путем ее интегрирования:
«(?, к) = Р(ч>, к) = С **я . E3.6)
о
На фиг. 18б,а показаны Р((р,к) для нескольких значений модуля к
при 0<(р<тс/2. Эти кривые можно найти, впрочем, в любых таблицах
функций. Кривые функции Е(<р, к) для тех же условий показаны на фиг. 186,6.
Если интегрирование распространить на интервал от 0 до я/2, то
получатся так называемые полные эллиптические интегралы
ВД = ^(*) =/*(?,*),
Е1(к) = Е[%,к]. E3.7)
Они зависят только от модуля к. Их значения для некоторых к могут быть
взяты из фиг. 186,а и б.
б) Эллиптическая функция как обратная функция эллиптического
интеграла
Наиболее простые эллиптические функции получаются из
эллиптического интеграла первого рода следующим образом. На фиг. 185,6
показаны значения и в функции у:
?
и = В(у, к) = Г й(р . E3.8)
о
Если теперь рассматривать и как независимую переменную, то получится
обратная функция, обозначаемая
ср = атгг
и называемая амплитудой гг. Она непосредственно нас не интересует.
Более важным оказывается зависимость зт ср от и (см. фиг. 185,6). Эта
функция может быть представлена как обратная зависимости и(х),
выражаемой интегралом
О
Вид этой функции
х = вп и, E3.10)
294
Часть II. Статические и стационарные поля
называемой синусом амплитуды щ показан для действительных значений
яа фиг. 185,6. Эта функция обладает периодом 4/<\. Из определения
следует (это можно также видеть и из фиг. 187), что она, кроме того, имеет
мнимый период 2/7*\A/1— /г).
Аналогично синусу амплитуды зп и вводятся и другие эллиптические
функции Якоби: косинус амплитуды сов ага и = сп и и дельта амплитуды
<1п и = ]/ —&28п2гг .
Эллиптические функции в самом общем виде могут быть определены
как функции двояко периодические, имеющие в качестве особенностей на
всей комплексной плоскости только полюсы.
зггг г:рг I :@г:^3~
/У0-шг)A-к2иJ) Н{1
0 П'-и2)а-к2и2)
1/к
и
^4К
6 1/A-ю2)A-к2и>2) У^-ОО-к'и2) 3
Фиг. 187. Отображение с помощью эллиптической функции ш = 8пя.
Соответствующие друг другу области показаны одинаковой штриховкой. Различные отображения
точки ш(Р) отличаются из-за пути интегрирования на римановой поверхности. Следовательно,
криволинейные интегралы Ог и 02 имеют периоды.
Функция ш = зп 2, обратная интегралу
IV
ги=/р^
IV2) A-/с2Ш2
E3.11)
играет большую роль в теории конформных отображений. Это
эллиптическая функция второго рода, так как она имеет в качестве особенностей
два простых полюса в основной области.
Посредством преобразования ю = зп ъ любой точке плоскости ъ
приводится в соответствие единственная точка на плоскости т. Но
одновременно одной точке плоскости ш соответствует бесконечное множество точек
плоскости г, зависящих от пути интегрирования между 0 и ю.
^ 54. Особенности типа разрывов
295
При специальном выборе модуля к получаются различные случаи
вырождения. Для к = О, как легко видеть из уравнения E3.9),
и = агс 8ш #, х = зт и
и в комплексной области
ДО = 8111 2.
Отсюда видно, почему была введена обратная функция. Так же
как и и = агс вт х, функция и = и(х, к) многозначна. Обратные функции
х = вт и или х = вп и, или в комплексах до = вп я, уже однозначны.
Преобразование ш = зпB, А) отображает верхнюю полуплоскость ш
на прямоугольную область АВСВ плоскости 2 (фиг. 187). Длины сторон
прямоугольника В А = СВ = 2 0А получаются из следующих выражений:
1
я(+1) = Г , *ц = = ^,Л1 = ВД. E3.12)
о
Длина стороны АВ получается при этом из выражения
>'*+™ = ]'к=т=щ- E3ЛЗ)
1
Если теперь ввести новую переменную
1 ~~ 1-/с2 '
то получится
*<«*> =>' /ттг^уЙтгвд = /ТЙ • ^ = >'*'<*>• <53-14>
о
Прямоугольник на плоскости 2, показанный жирными линиями на
фиг. 187, отображается функцией до = зп 2 на двухлистную риманову
поверхность плоскости ш. При сдвиге этой „основной области" на ъ =
= п-&К+]т-2К' образовавшиеся новые области отображаются подобным
же образом. Функция до = 8п (я, к) имеет, таким образом, действительный
период кК и мнимый период 2]К'.
§ 54. Особенности типа разрывов в магнитном поле
а) Разрывы в стационарном поле
Разрывы (скачка) потенциала или его производной привели в
электростатике к понятию электрического двойного слоя и поверхностной
плотности заряда. Эти два физических понятия позволили придать
физический смысл математическому выражению, полученному для конечной
области:
V = _ 1 Г*Е.йу - * Г 11^+1- С *->**>. E4.1)
296
Часть II. Статические и стационарные поля
Действие заряда, лежащего вне замкнутой поверхности, может быть
заменено действием поверхностного заряда и двойного слоя.
В магнитном поле можно вести исследование таким же путем, так как
поверхностный интеграл в выражении для векторного потенциала
А = -± [^ЛУ-'± ГА>±<1а+± A-У±йа E4.2)
кп ^ г 4л; ^ оп г 4тг ^ г оп ч '
V а а
может получить как раз аналогичное толкование. Это уравнение выражает
векторный потенциал через АА в соответствующем объеме и через
величины А и дА/дп — на поверхности, охватывающей данный объем. Можно
ли эти последние величины представить поверхностным током или
двойным слоем тока какого-либо вида? Практическая важность этого вопроса
доказывается работами Стрэттона и Щелку-
нова.
Постановка задачи на этот раз, однако,
противоположна, а именно: рассматривая
н_н физические особенности как данные, ищется
0) >р\К ' з.2 закон изменения напряженности поля и
"(Ё) ^ векторного потенциала.
л , „рп Понятие о поверхностной плотности тока
Фиг. 188. Поверхностные токи к ,-,
обусловливают скачок танген- нам Уже знакомо. Если толщину слоя,
циальной составляющей напря- несущего ток, безгранично уменьшать, уве-
женности магнитного поля, личивая плотность тока так, чтобы ток 61Л • 3
оставался постоянным, получим
предельную величину 61-3, называемую поверхностной плотностью тока К. Ее
величина равна току, приходящемуся на единицу длины отрезка,
перпендикулярного К, т.е. имеющего направление п х К. В § 5 ч. I было
установлено, что по закону полного тока тангенциальная составляющая Н при
переходе через такую поверхность изменяется скачком; при этом, однако,
параллельная к К слагающая тангенциальной составляющей остается
непрерывной.
Обозначим напряженность поля на одной стороне поверхности через Нх
на а другой — через Н2;их разность Нх—Н2 связана с поверхностной
плотностью тока уравнением
пх(Н1-На) = К? E4.3)
где п - единичная нормаль, направленная из области B) в область (/)
(фиг. 188).
Векторный потенциал, создаваемый поверхностным током,
выражается интегралом
А
= &/"¦ E4-4)
подобным интегралу, связывающему скалярный потенциал и
поверхностный заряд:
а
Потенциалы (А и II) не меняются при переходе через поверхность-
Нормальная же составляющая производной от У скачком изменяется
на а/е. Производная векторного потенциала в направлении нормали также
^ 54. Особенности типа разрывов
297
имеет скачок в соответствии с соотношением
Так как К лежит в плоскости поверхности раздела, то
E4.6)
E4.7)
т.е. только тангенциальная составляющая дА/дп изменяется скачком,
а нормальная составляющая остается непрерывной.
Рассмотрим теперь поле поверхностного тока на двух очень близко
друг к другу расположенных поверхностях (фиг. 189) в случае, когда
величины поверхностных токов в каждой точке одинаковы, а их направления
Фиг. 189. Токи двойного слоя эквивалентны магнитным диполям.
противоположны. Тогда слагающая векторного потенциала,
обусловленная токами на элементарной площадке, равна
"-ё(й!-")-'"'»"И«7"). <54-8>
а векторный потенциал
|А=^ЛК(8раа1п)А|ч
E4.9)
Соответственно фиг. 189 двойной слой при постоянном К может быть
составлен из маленьких контуров тока магнитных диполей. Величина
моментов этих элементарных диполей равна
|М|
\/г М-Ъ- аК|,
E4.10)
где аК— ток, текущий в контурах тока, а 61- Ъ — площадь, ограниченная
контуром тока. Направление М перпендикулярно К и нормали п.
Магнитный момент на единицу поверхности1) равен
т =
аЪ
\1лйЖ\.
E4.11)
11 Заметим, что в этом параграфе, так же как в § 47, в определение магнитного
момента диполя т введена магнитная проницаемость. — Прим. ред.
298
Часть II. Статические и стационарные поля
Плотность тока должна быть при этом настолько велика, чтобы
произведение |/гй/К| оставалось постоянным. Тогда можно прийти к
поверхностным диполям, которые эквивалентны двойному слою. Оси этих диполей
расположены не перпендикулярно к поверхности, а параллельно ей.
Из фиг. 189 очевидно, что
1л 61 К = тхп. E4.12)
При этом векторный потенциал определяется формулой
I Г »-
А = -^ ) тхп-^Ла. E4.13)
а
Для случая двойного электрического слоя уже было показано, что
потенциал
. ..4
а
при переходе через поверхность изменяется скачком:
*71-<72 = 7- E4-!5)
Точно так же скачком изменяется и векторный потенциал
А1-А2=тхп. E4.16)
Так как вектор тхп расположен в плоскости, то изменяется скачком
только тангенциальная составляющая А, а нормальная составляющая остается
непрерывной.
Таким образом, мы показали физические условия, при которых
тангенциальные составляющие А и дА/дп при переходе через граничную
поверхность изменяются скачкообразно, в то время как нормальная
составляющая всегда остается непрерывной. Такие скачки могут быть объяснены
поверхностными токами двойного слоя или тангенциальными магнитными
диполями, лежащими на поверхности.
Рассмотрим теперь и более общий случай поверхности с диполями
любой ориентации. Векторный потенциал такой поверхности определяется
по уравнению D7.15):
А = -^ Г т х 8гай ^ йа. E4.17)
а
Как теперь изменится вектор А при переходе через поверхность? Чтобы
исследовать этот вопрос, вспомним о том, что вектор Аможет быть определен
согласно уравнению E4.4) из поверхностной плотности тока следующим
образом:
Н = 1го1А = го1^- С**± = ±- Гкхвгай-А!. E4.18)
II 4л щ) г 4л к) ° г х '
а а
Известно также, что при этом вектор Н при переходе через поверхность
претерпевает разрыв:
Н1-Н2 = Кхп. E4.19)
$ 54. Особенности типа разрывов
2У9
Из аналогичных построений следует, что изменение вектора А
определяется уравнением
А!-А2 = тхп. E4.20)
Разность векторов Ах — А2, будучи векторным произведением
нормали п и произвольно ориентированного т, лежит в касательной
плоскости. Это означает, что в общем случае только тангенциальная
составляющая А претерпевает разрыв, нормальная же составляющая остается
непрерывной.
Относительно закона изменения В укажем без доказательства, что
вектор индукции В в случае постоянного т независимо от его
направления непрерывен при переходе через поверхность. Но в общем случае1*
претерпевают скачки как нормальная, так и тангенциальная
составляющие В.
Из вышеприведенного анализа очевидно, что разрывы тангенциальной
составляющей векторного потенциала или ее производной по нормали
физически могут быть объяснены существованием магнитных
поверхностных диполей или поверхностных токов.
Для того чтобы по формуле
А= * Г*±Л7-± ир-Ла+1- [^Оа E4.21)
кл ^ г кл ^ оп г ч,л ^ г оп
V а а
рассчитать значение А для внутренней точки объема V, преобразуем
несколько это уравнение:
А = ^ (±йу-±- Га* ±ж*+* Г^±йй' [Ап^с1а +
кл ^ г 4л; ^ 1 оп г 4тг ^ оп г 4тг ^ и оп г
Это уравнение можно толковать следующим образом. Первый член
правой части определяется действием объемного тока. Второй член
определяется расположенными на граничной поверхности магнитными диполями
с моментом
т = А,хп. E4.23)
Третий член возникает от поверхностного тока
К = /*^. E4.24)
Последним двум членам трудно дать простую физическую интерпретацию.
Без доказательства очевидно, что векторный потенциал, рассчитанный
по формуле E4.21), во внешней области равен нулю.
б) Понятие о магнитных токах
Мы уже видели, что линейный интеграл векторного потенциала по
замкнутой кривой равен магнитному потоку, проходящему сквозь
ограниченную этой кривой поверхность. Таким образом, если тангенциальная
составляющая А изменяется скачком, то линейный интеграл по конту-
х) Когда т = 1(ж, у, г); см. также примечание в конце параграфа. — Прим. ред.
300
Часть II, Статические и стационарные поля
ру Ц окружающему нормальную к поверхности бесконечно малую
площадку а, имеет конечное значение. Следовательно, и магнитный поток конечен
(фиг. 190). Это возможно только тогда, когда магнитная индукция в этом
тонком слое бесконечно велика, и вытекает из того, что произведение КМ
в этом случае представляет конечную величину. Вектор К, а с ним и В
внутри двойного слоя имеют бесконечно большое значение.
Представим себе, что поверхностная плотность тока, а с ней и
магнитный момент т изменяются во времени. В этом случае линейный интеграл
электрической напряженности поля Е вдоль кривой Ь, согласно закону
электромагнитной индукции, отличается от нуля, т.е. тангенциальная
составляющая Е претерпевает скачок. Действительно,
Следовательно,
E4.25)
E4.26)
E4.27)
Фиг. 190. Магнитные
токи обусловливают
скачок
тангенциальной составляющей
напряженности
электрического поля.
Если применить это к контуру, изображенному
на фиг. 190, и предположить синусоидальное
изменение во времени1*, то
пх(Е1-Е2)= -/о>пх(А1-А2)= --^пх(А1-А2).
E4.28)
По уравнению E4.16) пх^-Аг) равно
магнитному моменту на единицу площади. Поэтому
уравнение E4.28) можно записать в следующей форме:
дт
пх(Е!-Е2) = -]сот = —я-
E4.29)
Отсюда можно сделать важное для дальнейшего заключение:
изменение во времени поверхностного магнитного момента вызывает на
поверхности скачок напряженности электрического поля.
Это уравнение можно истолковать и более наглядно. Магнитный
диполь единицы поверхности т может быть представлен как произведение
единичного вектора 1° в направлении т на „магнитный заряд" дт
единицы поверхности, нормальной к 1°. Поэтому уравнение E4.29) можно
записать так:
пх(Е1-Е2)= -1°^,
Ьг
E4.30)
где Щт\Ы - проходящий через единицу длины магнитный заряд, т.е.
плотность магнитного тока на поверхности: Е^ = 10(ддт/д1). Поэтому
окончательно получаем
пх(Е1^Е2)= -Кт. E4.31)
Скачок тангенциальной составляющей электрического поля
определяется поверхностной плотностью магнитного тока, точно так же скачок
тангенциальной составляющей магнитного поля вызывается электричес-
1} Выражаемое множителем е*®', содержащимся в комплексном представлении
всех векторов. — Прим. ред.
^ 54. Особенности типа разрывов
301
ким поверхностным током:
пх^-Щ = Ке. E4.32)
Эти магнитные токи, разумеется, совершенно фиктивны. Однако их все
чаще вводят в расчетные формулы, так как этим придается наглядность
абстрактным математическим уравнениям. Значение введенных здесь
понятий особенно заметно в теории электромагнитных волн.
Отметим еще, что магнитный момент часто определяется как /а, а не
/г/а. В известной мере это логичнее. Однако не следует забывать, что
выбор вспомогательных величин и в особенности входящих в них
постоянных коэффициентов определяется только соображениями удобства1*.
Примечание редактора к § 542>
В курсах электродинамики до последнего времени излагалась только
теория нормального к поверхности двойного слоя с постоянной
плотностью момента. В соответствии с
развитием радиотехники К. Шимони
в § 54 охватывает теорию двойного
слоя значительно полнее. Интересно,
однако, обратить внимание на то, что
теория различно ориентированных
поверхностных моментов, зависящих
от координат поверхности, находит
применение при изучении
статических полей тонких магнитных пленок
и получивших широкое
практическое распространение магнитных лент,
применяемых для записи сигналов,
в частности в звукозаписи. Именно в
таких лентах встречаются скачки
нормальной слагающей вектора
магнитной индукции, о которых
говорится в § 54.
Из картины внешнего магнитного
поля тонкой продольно или попе-
речно намагниченной ленты,
схематически изображенной на фиг. 190*,
очевидно, что в первом случае
претерпевает разрыв нормальная
составляющая вектора индукции (как при
/г>1, так и при /г = *1), тогда как во
втором случае разрыв претерпевает
тангенциальная составляющая
напряженности поля.
1} Применяя формулу
В = ^(Н + М)
и полагая, что намагниченность М равна объемной плотности магнитного момента,
следует определять момент именно как /а. — Прим. ред.
2) В примечании принято, что
В = ^0(М + Н) = до0Н.
Ук
Мг=М
М=1
®
I }
о I
ф
М=Мх=М05'и\кх
\ Ф*
»з^
т=тп={10М-2а
Фиг. 190*. Схематическая картина поля
магнитной ленты
а — магнитная лента; б — поле при
продольном намагничивании; в— поле при поперечном
намагничивании. Кружки с точкой (острие
стрелки) и с крестом (хвост стрелки)
показывают направления токов, эквивалентных нама-
302
Часть II. Статические и стационарные поля
Пользуясь методом разделения переменных и полагая II = ХУ, легко
найти решение для трех областей (см. фиг. 190*, а).
В случае продольной намагниченности
М = Мх = М0 зт кх
для средней области (Ну Н = — сНу М ^ 0, поэтому для этой области
подлежит решению уравнение Пуассона. Для этого случая
Ц2 = ае~ку соз кх,
Т] = (Ье~ку+ се^У) соз кх — V соз кх,
Цх = йекУ соз кх,
где
V
A+1
A-е-2ка)<*а,
Ъ = ^е~ка,
с = -^- A-е-2йа)е-ка + \е~ъы,
а = --ека + с, V = -^.
Приведенные здесь постоянные найдены из применения обычных
граничных условий непрерывности Вп и Нг.
Полагая, что толщина слоя 2а-+0у при одновременном увеличении
намагниченности М0, обеспечивающем постоянство и конечность
поверхностного момента
из приведенных формул легко найти (применяя разложение е±ка = 1±ка)у
что с двух сторон ленты на ее поверхности
На = НЬ2,
Д
у2 = - ™>0 ~^Г1 к С08 кх-> ВУ1 = Ш0 -^П к С08 кх1
здесь [л имеет смысл „относительной проницаемости". Считая
положительным направление нормали во внешнее пространство, т.е. Ву2 = Вп2 и
Ву1 = — Вп1, находим из предыдущего, что
Вп1 + Вп2 = —т0к соз кх = — тртг ^ 0^
где тх — т0 зт кх.
В случае поперечной намагниченности
М = Му = М0 зт кх
потенциал во всех областях удовлетворяет уравнению Лапласа. Для этого
случая решение имеет вид
/72 = осе~ку$т кх,
ц = (ре-ку + уеку) $т кх,
Ц1 = деку зт кх,
$ 55. Магнитное поле стационарных токов
303
где
ос = -?—A-е-2ка)ека,
Р=-!*-*,
—2ка\0—ка • у р—$ка
3=-1^ + У, , = *!.
По предыдущему, переходя к пределу (/са-^0, т0 = р0М0-2а), найдем,
что в этом случае остается непрерывной нормальная составляющая
индукции. Напротив, тангенциальная составляющая напряженности поля
претерпевает разрыв:
Я* = "«ЧЯЬТ)ксо5кх = ^ТТ)^'
А>(/И+1) #о(/и+1)
#*2 = -тпо^^А:со8Ь= -—-^-^
где тп = т0 8т А#. При этом разность тангенциальных составляющих
равна
1 д^п
^0 <&г
НХ1~НХ2 —
Физический смысл этой разности легко раскрывается из рассмотрения
плотности тока, эквивалентного намагниченности:
Зт = го1 М.
Схематически эти токи показаны на фиг. 190*.
Подобные условия встречаются, конечно, и при тонком электрически
поляризованном слое.
§ 55. Магнитное поле стационарных токов при наличии
намагничиваемой среды
В присутствии ферромагнетиков основные уравнения поля
стационарных токов можно записать в следующей форме:
го* Н = 3, (ИуВ = (Иу (/г0Н + М) = 0. E5.1)
Эти уравнения уже рассматривались для двух случаев: 3 ^ О, М = 0 и
3 = О, М т* 0. В первом случае мы искали магнитное поле, которое соз -
давалось только макроскопическими токами в пространстве при
отсутствии намагниченных тел (вихревое поле при отсутствии источников). Во
втором случае мы искали поле, создаваемое неоднородно намагниченными
телами; в последнем случае поле Н содержит источники (дивергенция
М отлична от нуля).
304
Часть II. Статические и стационарные поля
В соответствии со сказанным систему уравнений для результирующего
поля E5.1) можно разбить на две х):
(Ну Н^ = О,
ТОЬ Нд = 0, /и0 А\У Нд = — ИГУ М,
где Нрр — вихревое поле, а Нд — поле источников, причем
н = Н^+Нд.
E5.2а)
E5.26)
E5.3)
При таком разложении нельзя считать оба поля независимыми,
так: как в большинстве случаев намагниченность М сама зависит от резуль-
тирующего поля Н. Лишь в частных случаях М задается независимо от
поля, как в примере с постоянным магнитом в § 44 (см. фиг. 170).
Н0,м Н В
>
>
- I > 1 +
ЗГТ > г +
>
. >
>
Фиг. 191. Магнитный момент, напряженность магнитного поля и индукция
цилиндра из мягкого железа в равномерном поле.
Пусть в свободном пространстве напряженность поля, образованная
токами, однородна. В это однородное поле вносится намагничиваемое
тело из магнитно мягкого материала с постоянной проницаемостью. При
этом намагниченность в нем оказывается пропорциональной напряженности
результирующего магнитного поля (до тех пор, пока не начнет
сказываться насыщение). Первоначальное магнитное поле создает во внесенном
теле однородную намагниченность, как в случае, представленном на
фиг. 191.
Магнитное поле такого намагниченного тела нам уже знакомо.
Наложение обоих полей создает результирующее поле, показанное на фиг. 170
(средний рисунок). При этом напряженность поля Н у торцов
магнитного тела усиливается, а внутри него ослабевает по сравнению с
однородным (первоначальным) внешним полем. Это вызвано размагничивающим
действием наведенных на торцах магнитных зарядов. Магнитную
индукцию можно найти, полагая в воздухе В = ^0Н и продолжая внутрь
ферромагнитного тела линии поля В.
1} Составляющие поля Н^ и Не можно обозначить Н, и Нм, подчеркивая этим,
что одна из составляющих обусловлена токами, а другая намагниченностью. На такие
же составляющие можно разложить и вектор индукции
В = ву+вж.
При этом как первая, так и вторая не содержат источников. — Прим. ред.
^ 55. Магнитное поле стационарных токов
305
Здесь возникает вопрос: должно ли магнитное поле представляться
напряженностью магнитного поля Н или магнитной индукцией В? Как
одно, так и другое представление дает правильную картину, и одно может
быть легко получено из другого. С логической точки зрения оба они
эквивалентны. Какой же из этих векторов имеет большую физическую
реальность? С точки зрения возможностей измерения обе величины также
эквивалентны: как индукцию В, так и напряженность поля Н можно измерить
в любой точке поля.
Например, величина В внутри ферромагнетика может быть
измерена следующим образом. Вырежем внутри материала очень узкую
щель, перпендикулярную линиям поля (фиг. 192I}. Принципиально в этой
Фиг. 192. К измерению магнитной индукции поля в
ферромагнетике.
В узкой щели, перпендикулярной линиям поля, напряженность
магнитного поля равна индукции. В щели, вырезанной вдоль силовых линий,
напряженность магнитного поля равна той напряженности, которая была
в образце перед вырезанием щели.
щели можно измерить поле. В щели напряженность магнитного поля Н
складывается, во-первых, из напряженности поля, которая уже была там
до вырезания щели, во-вторых, из той напряженности поля, которая
возникла в результате того, что на стенках щели имеются истоки вектора М,
служащие источниками новых линий вектора Н. Если известно, что линии
1} Излагаемый здесь классический метод двух пещерок (или щелей) первого и
второго рода, известный еще по работам Кельвина, по существу дела неприменим в
тех случаях, когда Ми Н (а следовательно, и В) имеют различные направления.
Последнее может происходить за счет гистерезиса (остаточная намагниченность, см. фиг. 170)
и, конечно, за счет анизотропии. Действительно, при этом остается непонятным,
например, требование ориентации по направлению поля (по В, по Мили по Н?).
Однако и в этом общем случае понятие о поле внутри щели может оказаться
полезным. При этом следует брать щель (пещерку) в виде сплюснутого эллипсоида вращения.
Обозначая индексом п направление малой оси эллипсоида (нормаль к плоской щели),
а индексом г — перпендикулярное к нему направление (направление, совпадающее с
плоскостью щели), имеем
.#щели, п= Вп- [10Нп + Мп
и
•йщели, I = А*0//„
где индекс „щели" указывает, что речь идет о поле внутри щели; Вп, Яп, Мпи Н1 —
соответствующие составляющие индукции, напряженности поля и намагниченности,
существовавшие в веществе до вырезания щели. (см. пример 4 на стр. 273). — Прим. ред.
20 К. Шимони
306
Часть II. Статические и стационарные поля
Н числом М/р0 начинаются там, где линии М кончаются, то
результирующая напряженность Н внутри щели определяется формулой
НЩели = Н +^ ; ВщеЛи = ^0Н + М = В, E5.4)
т.е. как раз равна той индукции, которая существует внутри магнитного
материала. Измеряя индукцию внутри щели, мы тем самым измеряем
индукцию в материале.
Если же вырезать щель параллельно линиям поля, то внутри этой
щели магнитное поле складывается из внешнего магнитного поля и из
поля, которое вызывается магнитными зарядами, индуктированными на
торцовых поверхностях образца. Если щель достаточно длинная и узкая,
то, измеряя в ней полех), мы тем самым измерим величину, равную
напряженности поля внутри ферромагнетика (см. фиг. 192).
Величина намагниченности определяется результирующей, а не
первоначально существовавшей, напряженностью поля2). Очень важно исследо-
Ф иг. 193. Магнитные силовые линии простого магнитного железного кольца
с обмоткой.
а — железо заменено воздухом; б — действительная напряженность поля; в — линии индукции.
вать поле в случае, соответствующем устройствам, наиболее часто
применяемым в практической электротехнике: магнитный сердечник с
воздушным зазором, находящийся в поле намотанных на него проводов
с током (фиг. 193). На границе железа и воздуха везде, где магнитные линии
выходят из железа, возникают магнитные заряды. Эти заряды, так же как
и катушка, участвуют в создании результирующей напряженности
поля Н. Вектор В во внешней области равен /г0Н, внутри В и Н
параллельны (предполагается, что материал изотропный, без гистерезиса), причем
Н = В/^0^г. Поэтому внутри сердечника напряженность поля меньше,
чем в зазоре.
Подводя итоги, повторим результаты нашего анализа: в присутствии
ферромагнитной среды магнитное поле Н состоит из двух частей: 1) поля
1} Если измерена индукция, то ее величина равна напряженности поля внутри
тела, умноженной на /и0. —¦ Прим. ред.
2) С таким же основанием можно было бы, конечно, считать, что намагниченность
определяется результирующей индукцией. Действительно, если М = /\(Н) и В = /л0М+Н,
то можно утверждать, что М = /F). Существенно лишь то, что здесьиНиВ — векторы
именно результирующего поля. Практически значительно удобнее пользоваться
зависимостью М(Н) или даже В(Н). — Прим. ред.
^ 55. Магнитное поле стационарных токов
307
тока в обмотке (свободное от источников вихревое поле) и 2) поля
магнитных зарядов, возникающих на поверхности намагниченного тела
(безвихревое поле источников). Зная Н, можно в магнитно мягком материале
найти В по его проницаемости В=/г0^гН, а в магнитно твердом материале —
из равенства В = ^0Н + М.
Поле вектора В всегда представляет собой свободное от источников
вихревое поле. Утверждение, что напряженность магнитного поля Н есть
та напряженность, которую вызывает ток, в общем случае несправедливо;
оно соответствует действительности только тогда, когда на границе
магнитных материалов нигде не возникают магнитные заряды. Это справедливо,
например, в случае полностью замкнутого кольцевого сердечника с
равномерно нанесенной обмоткой. В этом случае внесение ферромагнитного
материала внутрь обмотки не изменяет напряженности магнитного поля
Н, но увеличивает значение магнитной индукции в {лг раз.
Представление поля через вектор В в ряде случаев оказывается более
простым, так как поле В вихревое, не имеющее источников, в то время
как поле Н в общем случае обладает как вихрями, так и источниками. Так,
например, в обмотке вокруг ферромагнитного тела индуктированное
напряжение всегда прямо пропорционально изменению индукции. Сила,
действующая на ток, также зависит от индукции. Это дает возможность
непосредственного измерения именно индукции В. Поэтому следует
предпочитать представление магнитного поля вектором В.
За вектором В следует признать более реальное существование и с
точки зрения электронной теории строения вещества. По существу магнитное
поле всегда следует рассматривать как поле в вакууме, а при этом различие
между Н и В становится совершенно формальным. Они связаны друг с
другом постоянным коэффициентом пропорциональности, зависящим
только от системы выбранных единиц: в симметричной гауссовой системе они
в вакууме тождественно равны, а в системе Джорджи (МКСА) В = /г0Н-
В последнем случае можно считать, что и в присутствии среды Н = В//г0.
С точки зрения электронной теории влияние магнитной среды на
магнитное поле в конечном итоге сводится к тому, что к внешним
макроскопическим токам добавляются молекулярные (микроскопические) кольцевые
токи намагниченного вещества. При этом можно пользоваться
уравнениями, справедливыми для вакуума1*:
го! Н = I, <Цу Н = О,
полагая, что вектор плотности тока 3 равен сумме макроскопических и
микроскопических плотностей тока.
В состав любого вещества входят частицы, обладающие магнитным
моментом2). С точки зрения электродинамики магнитный момент частиц
может быть представлен контуром тока. Под влиянием поля ориентация
1} Или совершенно эквивалентными (для вакуума) уравнениями го1В = /и01,
сНуВ = 0, отличающимися на постоянный множитель /и0. — Прим. ред.
2) Элементарные частицы в общем случае характеризуются двумя скалярными
величинами — электрическим зарядом и массой и двумя векторными величинами —
механическим моментом количества движения и магнитным (или электрокинетическим)
моментом. Предполагая существование орбитального движения электронов,
возникновение механического и магнитного моментов связывают именно с этим орбитальным
движением. Однако следует иметь в виду, что магнитным моментом обладают и
электроны (спиновый момент), а также частицы, не обладающие зарядом. Ферромагнитные
свойства вещества в основном определяются именно спиновым магнитным моментом
электронов. — Прим. ред.
20*
308
Часть II. Статические и стационарные поля
магнитных моментов упорядочивается и их магнитное поле становится
заметным.
Как уже упоминалось, внутри кольцевой катушки с равномерно
нанесенной обмоткой вследствие наличия замкнутого (опять же
однородного) сердечника напряженность магнитного поля Н не изменяется,
а индукция возрастает в /лг раз. Это можно объяснить так. Внутри вещества
существует только одна величина, характеризующая поле — индукция
в вакууме, но она создается сообща током в обмотке и микроскопическими
(молекулярными) токами. Усредненное значение этой индукции
тождественно той величине, которая называется индукцией В в
макроскопической теории. Увеличение индукции в /лг раз при наличии замкнутого
сердечника объясняется только добавочным влиянием микроскопических
Фиг. 194. Намагничивающий ток образуется упорядоченными
молекулярными токами.
а — массивный железный сердечник; б — внутри железного сердечника
вырезана продольная щель.
токов или эквивалентной им плотности тока (как уже говорилось раньше,
плотность этих токов тоЬ М = Зм).
Если в ферромагнитном кольце образовать воздушный зазор, то
индукция внутри него уменьшится. Формально это объясняется
размагничивающим действием (фиктивных по существу) магнитных зарядов,
индуктируемых на границе сердечника и зазора. Но это можно объяснить и тем,
что, устранив часть кольца, мы тем самым устраняем и часть
упорядоченных микроскопических токов. Поэтому неудивительно, что оставшиеся
микроскопические токи создают уже меньшую индукцию1^
С изложенной точки зрения легко объяснить, почему, производя
измерение в щели, параллельной линиям поля, измерялась не индукция,
а по существу фиктивная величина — напряженность поля Н.
Действительно, обратившись к схематической фиг. 194, можно понять, как
образуются микроскопические ,,ампер-витки" маленьких кольцевых токов
намагниченного тела. Во внутренней части токи соседних колец направлены
навстречу друг другу и взаимно уничтожаются, а на внешней границе
тела токи соседних маленьких колец служат один продолжением другого
1} Сказанное иллюстрируется примером, приведенным в конце этого параграфа. —
Прим. ред.
^ 55. Магнитное поле стационарных токов
309
и как бы сливаются в один виток, охватывающий сердечник. Рассмотрим
теперь цилиндрическую щель (пещерку), вырезанную параллельно
линиям поля (см. фиг. 192). На ее внутренней стенке тоже образуются ампер-
витки, направленные, однако, противоположно наружным тоже
микроскопическим ампер-виткам. Совместное действие этих ампер-витков
практически уравновешивается в середине пещерки. Поэтому измеренная
внутри нее индукция оказывается меньше, чем средняя по сечению; она
как раз равна напряженности поля Н, умноженной на /г0. Эта индукция
в случае замкнутого сердечника и равномерной обмотки с током как раз
равна индукции поля, создаваемого макроскопическими ампер-витками*
Подобным же образом можно объяснить и результат измерения в
щели, прорезанной нормально вектору поля: по краю этой щели также
образуются встречные микроскопические ампер-витки, однако на очень малой
протяженности по высоте тонкой щели. На внешней же поверхности
сердечника микроскопические ампер-витки существуют вдоль всего
сердечника.
На основании изложенного очень легко объяснить, почему для
возбуждения того же самого потока в сердечнике при наличии воздушного
зазора требуются значительно большие „ампер-витки" обмотки. В случае
малого воздушного зазора можно получить даже количественно верные
соотношения. Представим себе кольцевой сердечник (тороид) с маленьким
воздушным зазором (см. фиг. 193) и равномерно нанесенной обмоткой. Пусть
число витков обмотки равно N, среднюю длину магнитной линии
обозначим через I (она равна средней длине кольцевого сердечника), а ток в
каждом из проводов обмотки —через /. Внутри катушки с такой обмоткой
при отсутствии сердечника индукция при токе /=/0 равна1*
В = ИоН = ^о^. E5.5)
Магнитное поле, создаваемое токами катушки, упорядочивает
ориентацию содержащихся в ферромагнитном сердечнике магнитных моментов,
которые можно условно представить себе в виде микроскопических
кольцевых токов. Их магнитное поле усиливает поле катушки. Результирующее
магнитное поле в этом случае образуется общим действием токов катушки
и микроскопическими кольцевыми токами. При этом среднее значение
индукции увеличивается в //г раз:
В = м0Щ*. E5.6)
Если это увеличение индукции объяснять добавочными
микроскопическими ампер-витками (Л^/)МИкро, то последнему равенству можно
придать такой вид:
я - рг/л0 — - [л0 2 . E5.7)
Из этого равенства очевидно, что
(Л7/)микРо = (/*,. -1)#/0, E5.8)
1} В переводе вместо напряженности рассматривается индукция (умножение
на /и0). Кроме того, изложение примера несколько сокращено. - Прим. ред.
310
Часть II. Статические и стационарные поля
г число микроскопических ампер-витков на единицу длины равно
(//г-1) —.
Если теперь из кольцевого сердечника вырезать кусок длиной 1Ь то
для того, чтобы сохранить прежнее значение магнитной индукции,
необходимо увеличить ток в обмотке до величины /, чтобы компенсировать
удаленные микроскопические ампер-витки. Очевидно, что при этом
N1 = №0 + {[лг - 1)ЛГ/0у. E5.9)
Нетрудно выразить правую часть этого равенства через магнитную
индукцию. По условиям задачи при новом токе / сохранилось прежнее
значение индукции, поэтому из E5.7) имеем
Подставив это выражение в E5.9), получим хорошо известную формулу
где 12= I —1\ — длина сердечника с проницаемостью /^г, а 1Х '— длина
воздушного зазора.
III
Анализ и синтез
электрических цепей
В разд. А из уравнений Максвелла выводятся общие закономерности
электрических цепей. В разд. Б решаются задачи синтеза электрических
цепей, т.е. конструирования цепей с заданными частотными
характеристиками. В разд. В исследуются переходные процессы. Наконец, в разд. Г и Д
рассматриваются процессы в длинных линиях и массивных проводниках,
что подготавливает читателя к изучению электромагнитных волн, которому
посвящена ч. IV книги.
А. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 1. Уравнения Кирхгофа
а) Электрическая цепь постоянного тока
Как уже было показано, основные уравнения стационарных токов
в однородной изотропной среде имеют вид
го*Е = 0, 1=у(Е+Вв). A.1)
К этим уравнениям добавляется еще уравнение непрерывности
сИу 3 = 0. A.2)
Электрическое поле стационарных токов безвихревое, поэтому можно
выразить напряженность электрического поля через скалярный потен-
312
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
циал:
Е = — §гас1 (р.
A.3)
Рассмотрим простейшую электрическую цепь, изображенную на
фиг. 195, состоящую из батареи и нагрузочного сопротивления. Интегрируя
второе из уравнений A.1) вдоль линии, показанной на фиг.
р/\Д/\/\Л-| 195 пунктиром, получаем
+Ф
\ А-
=и
"Л
\^г.
^Всй + ^ВвЛ=^1л.
A.4)
Фиг. 195.
К выводу за
кона Ома.
В этом уравнении первый интеграл равен нулю, так как
го! Е = 0, следовательно, в левой части остается только
интеграл от сторонней напряженности поля
^Еей1 = ^1Д=/^ = /А A.5)
Здесь буквой А обозначено поперечное сечение
проводника, которое может непрерывно изменяться вдоль пути
интегрирования. Левая часть уравнения представляет
стороннее напряжение источника1*, например батареи
V. = г.
Таким образом, мы получаем закон Ома
1/в = т или & = т, A.6)
где К — общее сопротивление цепи, т.е. сумма внутреннего сопротивления
источника (батареи) К{ и внешнего (нагрузочного) сопротивления Еа.
В общем случае произвольной электрической цепи (фиг. 196) линейный
интеграл по замкнутому контуру преобразуется в уравнение,
выражающее второй закон Кирхгофа (контурное уравнение)
2 ^к — 21}Дк->
к к
A.7)
1} В подлиннике автор говорит просто „наряжение источника". Но при
интегрировании по замкнутому контуру оно совпадает с интегралом от сторонней
напряженности поля Ее 9 поэтому его называют сторонним напряжением или электродвижущей
силой (э.д.с). Последнюю принято обозначать особой буквой, например курсивным
<р или 3. В соответствии с принятой у нас терминологией по теоретическим основам
электротехники под „напряжением источника" обычно понимают напряжение,
определяемое интегрированием напряженности поля по внешнему пути, совпадающее с
разностью потенциалов на зажимах источника. Это напряжение равно разности между э.д.с.
источника и внутренним падением потенциала (внутри источника) V = & — 1В. При
интегрировании суммарной напряженности поля Е + Ее по пути, проходящему внутри
источника, напряжение на зажимах источника (между его полюсами) оказывается
равным только Ш. Чтобы избежать существенных недоразумений из-за различия
терминологии, в переводе термины „напряжение источника"," „напряжение батареи" и т.п.
заменены термином э.д.с. и обозначены буквой &. Слова „напряжение источника" в
переводе употребляются только в смысле интеграла от напряженности поля по линии,
соединяющей его полюсы и лежащей целиком в области, где отсутствует сторонняя
напряженность поля (интеграл по внешнему пути). Эта величина измеряется вольтметром,
включенным между полюсами источника. Если внутреннее падение потенциала при
составлении уравнения и при расчетах не учитывается, напряжение генератора
совпадает с его э.д.с. — Прим. ред.
$ 7. Уравнения Кирхгофа
313
т.е. алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений
напряжения на омических сопротивлениях. Знак перед любым слагаемым
уравнения определяется просто: перед произведением Ш ставится знак,
плюс, если положительное направление тока в ветви совпадает с выбранным
Фиг. 196. К формулировке
второго закона Кирхгофа.
Фиг. 197. К формулировке
первого закона Кирхгофа.
направлением обхода вдоль пути интегрирования; в противном случае
ставится знак минус. Э.д.с. 6 записывается со знаком плюс, если
направление вектора сторонней напряженности поля Е^ совпадает с направлением
обхода вдоль пути интегрирования, т.е. если при движении вдоль пути
интегрирования мы переходим от отрицательного полюса источника к
положительному.
Фиг. 198. Пример применения обоих законов
Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа (узловое уравнение) следует из уравнения
сИу 1 = 0. Интегрируя это уравнение по объему 7, ограниченному
поверхностью Д охватывающей узел электрической цепи (фиг. 197), и применяя
теорему Остроградского — Гаусса, получим
Г (Ну 3 (IV = ф 3 ЙА = 1х + 12 +
= 24 = 0.
к
A.8)
Это значит, что алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к одному
и тому же узлу, равна нулю. При этом токи, направленные от узла,
записываются со знаком плюс, а направленные к узлу — со знаком минус, или
наоборот.
314
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В качестве примера запишем уравнения, выражающие законы
Кирхгофа для цепи, изображенной на фиг. 198, где две параллельно включенные
батареи с различными внутренними сопротивлениями Н{1 и Е12 служат
источниками питания двух параллельно включенных потребителей с
сопротивлениями Дг1 и В„2. Сопротивления соединяющих проводов равны
Уравнения для контуров 1, 2 и 3:
A) #1-#2 = /1#г1-/2#г2,
B) #2 = ^2#г2 + ^#а1 + Л#г;1-ЬД#<22>
C) 0 = -/^ + /4^2.
Уравнения для узлов А, В, С:
(А) -/1-/2 + /3 = 0,
(В) /4+Л-4 = о,
(С) ~/5-/4 + /6 = 0.
При записи уравнений мы прежде всего имели в виду обратить
внимание на правильную расстановку знаков перед слагаемыми. Но тут же
следует отметить, что этих шести уравнений как раз достаточно для
определения шести неизвестных токов 1г,..., /6. Цепь содержит шесть
ветвей (ЛГг=6) и четыре узла (А^ = 4); число независимых контуров, из которых
каждый последующий содержит по крайней мере одну новую ветвь, равно
трем GУт = 3).
В дальнейшем геометрия электрических цепей будет рассмотрена
подробнее. Но уже из приведенного простейшего примера ясно, что
ЛГ, = ЛГт + ЛГЛ-1, A.9)
т.е. число ветвей не единицу меньше суммы числа независимых контуров
и числа узлов. Это значит, что система А^ независимых уравнений для
7У2 токов ветвей должна содержать Nт контурных уравнений и Ик— 1
узловых уравнений (уравнение для последнего узла всегда есть следствие
остальных), Ыт контурных уравнений и Л^— 1 узловых уравнений в сумме
составляют как раз необходимое число ^г.
б) Электрическая цепь при изменяющихся во времени токах
В общем случае электрическое поле вихревое и основные уравнения
поля имеют вид
го!Е = ~, ^ = у(Е+Ее), (^^V^ = о. A.Ю)
Пусть теперь электрическая цепь содержит источник с произвольно
изменяющимся напряжением ие{1) = еA). Интегрируя второе уравнение
Максвелла по поверхности, ограниченной контуром обхода вдоль этой
цепи, получаем1*
А А А
1} В этом и следующих уравнениях буквой Ф обозначен полный поток,
сцепленный с контуром, называемый потокосцеплением и обозначаемый иногда особой
буквой AР). — Прим. ред.
$ 1. Уравнения Кирхгофа
315
Левую часть этого уравнения преобразуем по теореме Стокса:
дФ
]"го*ЕйА = фЕЛ= -^.
A.12)
С учетом зависимости 3 = у(Е+Ее) уравнение A.12) можно переписать
в виде
= Ш — иР — —
Отсюда следует, что1*
еA) = ъA)Н +
ЭФ
дг '
A.13)
A.14)
Последнее уравнение можно толковать следующим образом: э.д.с.
источника еA) уравновешивает падение напряжения на омическом
сопротивлении 1{1)к и индуктивное падение напряжения дФ 1д1. Если
магнитный поток Ф создается только током г самой цепи и ферромагнитные
материалы отсутствуют, то Ф =Ы; при этом
е = Ш + Ь
сИ
A.15)
Рассмотрим теперь п электрических контуров, связанных друг с
другом только индуктивно, т.е. через магнитные поля (фиг. 199). Повторим
для каждого контура те же
преобразования, что и для
простейшей цепи. Для любого /с-го
контура получим
7- р 0 _ Эфк
1кпк~~ек — ^Г'
A.16)
где магнитный поток Фк,
пронизывающий к-й контур, в
общем случае возбуждается всеми
токами гъ &*2, . .., 1п:
Фк = 2 ькЛ-
Э~1
A.17)
Тогда предыдущее уравнение принимает вид
п ^
1кКк ~ ^к = — 2 ^к] -^ ,
ИЛИ
Фиг. 199. Индуктивно связанные контуры.
ек — 4^Ь + 2 ^к] -17 •
3 = 1 аЬ
A.18)
^Указание на то, что рассматриваемая величина есть функция времени,
например е(г), делается только,там, где это нужно специально отметить.— Прим. ред.
316 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Если некоторые из контуров фиг. 199 содержат конденсаторы, то в
уравнение A.18) нужно добавить интеграл вдоль линии, соединяющей
обкладки конденсатора:
Фиг. 200. К записи контурных уравнений Кирхгофа с помощью
токов ветвей.
Ток в ветви конденсатора связан с напряжением на его обкладках
равенством
поэтому
где щ — напряжение между обкладками конденсатора в момент времени,
который принят за начало отсчета (I = 0). Таким образом,
I
е*@ = 1*Л* + ~^] 1ксН + и0+ 2 Ьк] -^ . A.22)
о 3~1
Индуктивные связи обычно проще, чем на фиг. 199; они
осуществляются с помощью катушек связи, включенных в те или иные ветви контуров.
^1 = п^с_.
дх ~" дл '
I
A.20)
A.21)
$ 1. Уравнения Кирхгофа
317
На фиг. 200 показан /с-й контур произвольной электрической цепи,
контурное уравнение которого записывается в виде
I
24<> = 2 4*> = 2 ®вр+2{ш Г ® *+*$+
(г) (г) (г) (г)' °к ^
+ 2ШФ^§~\ Л=1,2,...,ЛГт. A.23)
Здесь Ц$^ — взаимная индуктивность между 1-й ветвью к-то контура
и /-й ветвью /-го контура; Ь\$1) = Д4)— собственная индуктивность 1-й
ветви Амго контура; г[Ь — ток /-й ветви /-го контура. Суммирование
должно быть выполнено по всем токам ^> ветвей, которые индуктивно
связаны с 1-й ветвью к-то контура.
Если индуктивная связь между ветвями отсутствует (нет взаимных
индуктивностей) и можно пренебречь постоянной интегрирования,
уравнение контура упрощается:
I
2<® = 2 ®п$+2-ж [№ *+2 Д^тг • A-24)
(г) (г) (г) Ск} и (г) «
Дальнейшее упрощение можно ввести совершенно формально. Определим
оператор 2$ следующим образом:
I
гр =^+^г [й+УР-ж- A-25)
О
Тогда контурное уравнение можно записать так:
24{) = 2 44* > * = 1, 2, . . . ,ЛГт. A.26)
(г) (г)
Для каждого узла по-прежнему справедливо уравнение (ИуТ=0 в
любой момент времени. Поэтому по первому закону Кирхгофа получаем:
ГС = 0, т = 1, 2, . . . , ЛГЛ, A.27)
п
где пг — выбранный узел, а п — порядковый номер ветви, подключенной
к выбранному узлу.
в) Практические указания к записи уравнений по законам Кирхгофа
Пусть заданы геометрия электрической цепи, т.е. ветви и узлы, и
параметры включенных в цепь элементов: омические сопротивления, емкости,
индуктивности и взаимные индуктивности, а также законы изменения
напряжений источников (генераторов) или их э.д.с.1} Необходимо найти:
токи в ветвях, узловые потенциалы, токи в отдельных элементах цепи или
падения напряжения на них, а также ответить на вопросы, касающиеся
генерирования, передачи и потребления энергии или мощности.
п Еще раз заметим, что при отсутствии внутренних сопротивлений напряжение
генератора (определяемое по внешнему пути) может быть отождествлено с его э.д.с.
-Прим. ред.
318
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
С помощью уравнений Кирхгофа можно разрешить все поставленные
задачи. Однако предварительно надо ответить на следующие вопросы:
1) Имеет ли задача однозначное решение, или, что то же, можно ли
записать необходимое число независимых уравнений для определения всех
неизвестных величин?
2) Поскольку направления токов заранее неизвестны и токи, кроме
того, имеют неодинаковые направления в различные моменты времени
и то же относится к напряжениям, возникает вопрос: как следует
выбирать знаки перед слагаемыми в уравнениях?
3) При практических расчетах чрезвычайно важно как можно
больше упростить решение задачи, а для этого желательно иметь уравнения
с наименьшим числом неизвестных. Следует ли выбирать в качестве
неизвестных величин токи в ветвях?
На первый вопрос можно ответить утвердительно, поскольку Nт
контурных уравнений вместе с Nк—^ узловыми уравнениями дают как раз
достаточное число уравнений для вычисления Шг токов в ветвях:
Для определения постоянных интегрирования Ы2 дифференциальных
уравнений необходимо знать начальные условия — величины
напряжений или зарядов конденсаторов и токов в катушках в момент I = 0.
Чтобы правильно выбрать знаки в уравнениях (ответ на второй
вопрос), нужно придерживаться определенных правил и порядка решения
задачи; можно рекомендовать следующую схему х).
а) У каждой ветви ставится стрелка совершенно независимо от
направления стрелок остальных ветвей, указывающая произвольно
выбранное положительное направление тока в ветви. Если найденный ток в
выбранный момент времени имеет положительное значение, то это значит, что
его направление совпадает с указанным стрелкой; при отрицательных
значениях тока его направление противоположно выбранному первоначально.
б) На схеме стрелками обозначаются напряжения источников
(генераторов), которые принимаются положительными; если речь идет о цепи
постоянного тока, то, казалось бы, ясно, как это сделать. Однако здесь
имеются две возможности: стрелку можно ставить, согласуя ее
направление или со сторонней напряженностью поля Ее, или с напряженностью
электростатического поля Е, которое в разомкнутом источнике всегда
противоположно Ее.
Условимся о следующем: 1) Стрелка, поставленная внутри кружка,
изображающего источник, указывает направление э.д.с, т.е. то
направление, в котором эта э.д.с. {& > 0) стремится посылать ток; оно совпадает
с направлением сторонней напряженности поля (Ее), существующей
внутри источника. 2) Стрелка, поставленная рядом с изображением
источника, указывает напряжение и, определяемое как разность потенциалов
точки, стоящей у начала стрелки (сра), и точки, к которой обращено острие
стрелки (срь), т.е.
и= иаЬ = (ра-<Рь- A.27а)
Направление внешней стрелки совпадает с направлением напряженности
электростатического поля Е. Поэтому стрелки внутри и снаружи
оказываются противоположно направленными (при одинаковом выборе положи-
х) В основном рекомендации автора совпадают с принятыми в русской литературе.
При переводе некоторые формулировки незначительно изменены с целью их
приближения к принятым у нас. Добавлена также поясняющая фиг. 201*. — Прим. ред.
$ 7. Уравнения Кирхгофа
319
тельного направления). При отсутствии падения напряжения на
внутреннем сопротивлении источника и = 6 (фиг. 201*); в общем случае
напряжение на зажимах источника отличается от его э.д.с. на величину падения
напряжения на внутреннем сопротивлении {г{ или г0):
и =6 — щ,
если ток I совпадает по направлению с э.д.с. 3) Принятое условие, при
котором стрелка, поставленная снаружи, указывает направление от узла
с более высоким потенциалом
к узлу с более низким
потенциалом (если и > 0), может быть
применено к любой ветви или к
любой паре узлов независимо от
того, содержатся ли между этими
узлами источники э.д.с. или не
содержатся; стрелка,
ориентированная от узла п к узлу п + 1,
обозначает напряжение и =
= <Рп-<Рп+1-
в) Для каждого контура
произвольно выбирается
положительное направление обхода:
это направление для каждого
контура совершенно независимо
от направления обхода других
контуров.
г) При составлении
узловых уравнений со знаком плюс
берутся токи, положительные
направления которых обращены
к узлу; токи, положительное
направление которых противоположно
д) В контурных уравнениях
Фиг. 201*.
щ=Къ
= # - 1П
Объяснение обозначений на схеме
и правило знаков.
I
ис~с
Иш
Фиг. 201. Согласованный выбор
положительных направлений токов и напряжений.
берутся со знаком минус.
(г)
A.28)
суммирование производится по всем ветвям, входящим в /с-й контур: ис —
напряжение генератора: вя, ис и иь — напряжения на омических
сопротивлениях, емкостях и индуктивностях:
ик — Ш, ис = -тт\ Ш1+ и0, и^-
т (И
A.29)
При такой форме записи контурных уравнений со знаком плюс берутся
те напряжения, положительные направления которых совпадают с
направлением обхода; остальные берутся со знаком минус1} (фиг. 201).
Положительное направление определяется стрелкой, ориентированной в
соответствии с только что изложенным правилом.
л Полагая ив = <р, и ориентируясь в знаках по стрелкам, обозначающим
направление э.д.с, со знаком минус следует брать те значения напряжений генераторов
(или их э.д.с. & = ив)} направление э.д.с. которых совпадает с направлением обхода
контура. — Прим. ред.
320
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Знаки индуктированных напряжений нужно определять очень
внимательно, особенно тогда, когда ветви связаны не только индуктивно, но
и через сопротивления. Одноименные зажимы двух ветвей должны быть
как-нибудь обозначены, например знаками плюс, минус или точками.
О—:
•
1 1
V V Ц О
> <
<
[ <
> <
)
;—О
—0
^г 1Ф ч I
22
1/.=-/. -^
Фиг. 202. К определению знака индуктированного напряжения.
В простейшем случае катушек, намотанных на общий сердечник,
одноименными называются те зажимы, относительно которых направление
намотки витков одинаково. Если выбраны положительные направления
тока в одной из катушек и напряжения в другой, то знак индуктированного
в ней напряжения определяется по правилу, показанному на фиг. 2@2.
Теперь можно ответить и на третий вопрос. До сих пор речь шла о
системе Иг контурных и узловых уравнений Кирхгофа для Иг
неизвестных токов в ветвях. Введем понятие
о контурных токах. Предположим,
что в каждом из ^независимых
контуров электрической цепи замыкается
контурный ток, например в &-м
контуре — ток /Л (фиг. 203). Токи в
ветвях, естественно, равны
алгебраической сумме контурных токов.
Следующие простые рассуждения поясняют
возможность и преимущество
введения понятия о контурных токах.
Если мы запишем контурные
уравнения (уравнения по второму
закону Кирхгофа) с контурными токами, то получим Мт уравнений для
неизвестных контурных токов. Следовательно, количество неизвестных
уменьшается как раз на число независимых узловых уравнений ^к — 1
уравнений по первому закону Кирхгофа). Токи в ветвях, вычисленные с
помощью контурных токов, удовлетворяют контурным уравнениям, так как
ток в любой ветви равен алгебраической сумме всех контурных токов,
замыкающихся через эту ветвь. При записи контурных уравнений следует,
конечно, для каждой ветви учитывать напряжения от всех контурных
токов, составляющих ток ветви.
При расчете цепи с помощью контурных токов узловые уравнения
удовлетворяются автоматически. Действительно, через любой узел
контурные токи проходят насквозь, т.е. в любой узел входят те же токи, что
и выходят из него.
Фиг. 203. Контурные токи.
# /. Уравнения Кирхгофа
321
Обозначение отдельных элементов цепи при записи уравнений теперь
может быть упрощено. Каждому элементу приписываются два индекса —
номера двух контуров, в которые он входит. Для к-го контура получаем
^+4А+^2/2+ . . . +2кп]п = 0, к = 1,2, ...уп;п = N^п. A.30)
Здесь /*!, /2, . . . , /п —неизвестные контурные токи; оператор 2к1
относится к общей ветви первого и к-то контуров:
г
2к1=Пы + 1ы% + ^]<Ь, A-31)
к1о
а оператор 2кк — к сумме всех элементов, входящих в к-н контур,
обтекаемый контурным током ]к, иак — сумма напряжений всех включенных
в /с-й контур генераторов.
Обычно систему уравнений записывают в следующей форме:
^11/1 + ^12/2+ • • • +^1п/п — ~исъ
^21/1 + ^22/2+ • • • +^2пУп = ~И02,
^1/1+^2/2+ • • • + ^кп1п = —и0к,
^п1/1+^п2/2+ • • • + %пп]п — —Щт
A.32)
где п = Мт. Важно заметить, что
%ъ~ — //7-ь.
'Ы
гк-
A.33)
Эти операторы симметричны относительно индексов: оба относятся к
общей ветви 1-го и А'-го контуров.
г) Пример записи основных уравнений
Применим теперь все сформулированные правила к цепи,
изображенной на фиг. 204. Цепь имеет 10 ветвей, т.е. 10 неизвестных токов.
Поэтому необходимо составить 10 дифференциальных уравнений. Запишем
КШЯЛ
ОШ5^
5^
^Фс
К.
нь
-&
Фиг. 204. Пример сложной электрической цепи для записи
системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.
21 К. Шимони
322
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
сначала узловые уравнения. Их число равно пяти:
(А) ^1-^3-^10 = 0»
(В) -4-4+4+4 = О,
(С) 12-4 + 4 = 0,
(Б) 4 — ^5 — ^0+^7 =0>
(Е) -ц + ъ + ц = 0.
Остальные необходимые пять уравнений составляем для пяти
контуров1*:
A) -и + ^+Ь §- +Ь12§ +Ь^ +1ъ% = О,
B) -Ь>§ -Ь*% -чЬ-1*% - ± /»-а-^ -^ = о,
О
C) -±- ^'^4л+^4§-+^-^^вл+^вд6+^6^^-^-^гел = о,
0 0 о
D) -^§-^5§-+4§ + ^5§ + ^7+^/ нЛ + гЛ = О,
О
E) -1^-1^-1^-1^ + ^-^Л+цВ, = 0.
О
Задачу можно решить и с помощью контурных токов. Из фиг. 204
следует, что
A) /1^1 + ЬТЗГ ~ ^12-тГ + Ь3 Т* Ь15"^Г ~ и,
(II 12 <Й ' 3 Л 15 <Й
О
C) ^ /'(/3-/2) * + ^-^^ + ^//» ^ + /з^6 + ^б§ + ^//з Л = О,
О 0 0
D> Ьз—5—+^л"+^в л
<5) ^-зг + Ьи й + ь8^~
-Ь^М^+^^+м А+(/4+/,)Д, = 0.
^Предполагается, что заряд конденсаторов равен нулю в момент г=0.
-Прим, ред.
$ 1. Уравнения Кирхгофа
323
Теперь система состоит только из 5 уравнений вместо прежних 10.
Если решение этой системы уравнений известно, т.е. известны ]ъ у2, • ••,,/*
как функции времени, то действительные токи в ветвях находятся очень
просто:
Н ^ 1Ъ 12 — ~~]ъ Н = /1 — /47
Ч ^ /з~"/2? Н =/4~/2? Ч = /3>
11 ^ /4? 1Ъ == ~/5> 19 — /4+/5? 110 = /4*
д) Общие методы решения основных уравнений
Выше говорилось только о составлении системы дифференциальных
уравнений; но как эту систему решить? После дифференцирования по
времени каждого из уравнений, содержащих напряжения на
конденсаторах, получается система дифференциальных уравнений, каждое из
которых не выше второго порядка. Система имеет однозначное решение, если
известен режим цепи (токи в индуктивностях и заряды конденсаторов
в момент времени 1=0).
Уже из общего вида уравнений можно сделать некоторые важные
выводы. Система уравнений линейна, так как все неизвестные и их производные
Фиг. 205. Ступенчатая апроксимация напряжения-
Заданная функция может быть составлена из элементарных функций
различными способами. Если она периодическая, то целесообразно
составить ее из синусоид (левые кривые), в противном случае — из
прямоугольных импульсов или скачкообразно нарастающих функций
(правые кривые).
содержатся только в первой степени. Следовательно, можно применить
правило суперпозиции: результирующие токи получаются при сложении
токов, вызываемых генераторами отдельно. Принцип суперпозиции — основа
практических расчетов электрических цепей с произвольно изменяющимися,
напряжениями. Сначала мы подробно исследуем режимы электрической;
цепи в случае генераторов с напряжениями, имеющими простую, так
сказать элементарную, форму зависимости от времени. Затем мы попытаемся
напряжение произвольного вида пред- ставить как сумму напряжений,
этих элементарных форм.
21*
324
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Особенно важно исследовать цепи синусоидального тока; это прежде
всего связано с тем, что почти все без исключения энергетические
установки питаются напряжением синусоидальной формы: кроме того, известно,
*пчу любые периодические функции могут быть представлены рядами Фурье.
Напряжение любой формы может быть представлено и путем
ступенчатой апроксимации (фиг. 205). С точки зрения электротехники это означает,
что любое напряжение можно представить рядом элементарных,
ступенчато возникающих напряжений. Последнее удобно в случае воздействия
еепериод ических напряжений или импульсов напряжения.
Реше ние линейных дифференциальных уравнений при любой форме
напряж ения можно также искать, применяя преобразование Лапласа.
Последний метод получил большое развитие именно в связи с задачами
электротехники.
§ 2*. Самая общая формулировка уравнений} Кирхгофа
а) Геометрия электрических цепей Ц
С геометрической точки зрения схема электрической цепи состоит
из узлов и ветвей, соединяющих эти узлы. Закономерности таких схем
изучаются в той части топологии, которая называется теорией графов.
Здесь приводятся только некоторые ее основные положения.
К понятиям об узле и ветви нужно добавить еще третье: понятие
контура. Ко нтуром называется любая замкнутая линия, которая состоит из
ветвей эл ектрической цепи, причем каждая ветвь при движении по
контуру проходится один раз. Два контура называются независимыми, если
имеется по крайней мере одна не общая обоим контурам ветвь. Данный
п-й контур называется независимым от других (п— 1) контуров, если он
содержит по крайней мере одну новую ветвь, т.е. ветвь, не входящую ни в
один из остальных контуров.
Обозначим число независимых контуров через Nту число узлов —
через Нк и число ветвей — через Ш2. Тогда между этими числами имеется
уже известная нам связь
N, = N„ + N1-1. B.1)
Достоверность этого равенства для самой простейшей цепи с двумя узлами
и двумя ветвями очевидна. Если добавить еще одну ветвь, то как число
ветвей, так и число контуров увеличивается на единицу и равенство
остается справедливым. Если добавить новый узел, то число контуров
возрастает на единицу, а число ветвей — на два, и равенство опять остается
справедливым. Подобным путем можно создать любую электрическую цепь,
поэтому и в самом общем случае равенство сохраняет силу.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу: если в
электрической цепи выбрать в качестве неизвестных величин токи в Л^2 ветвях,
то можно составить Nт контурных уравнений и Nк— 1 узловых
уравнений (уравнение для последнего узла является следствием остальных);
как следует из равенства^ = ^ + ^ — 1, полученного числа уравнений
достаточно для определения токов во всех ветвях.
Токи в ветвях — это величины, определяющие режим электрической
цепи. Но нельзя ли получить другую систему величин, определяющих
режим цепи, число которых было бы меньше числа токов в ветвях?
$" 2. Самая общая формулировка законов Кирхгофа
325
Чтобы ответить на этот вопрос, введем еще новые понятия. Сначала
обозначим на схеме все .Л^ узлов электрической цепи. Далее соединим узлы
только теми ветвями, включение которых не создает ни одной замкнутой
линии, т.е. ни одного контура. При этом каждый узел должен быть
соединен со всеми остальными узлами непосредственно или через другие узлы.
Чтобы получить только такие соединения узлов, часть ветвей придется,
конечно, удалить. Для всякой заданной цепи выполнить эту задачу можно
несколькими способами.
На фиг. 206 показаны электрическая цепь и два способа выполнения
поставленной задачи. Любой из полученных рисунков называют „полным
деревом". Легко убедиться, что полное дерево состоит изNк— 1 ветвей.
Действительно, первая ветвь соединяет, естественно, два узла, каждый
последующий узел дает еще одну ветвь. Ветви, не входящие в дерево (на фиг. 206
Фиг. 206. Два полных дерева (б, в) электрической цепи (а)
и соответствующие мостики (пунктир на б и в).
они показаны пунктиром), называют мостиками. Каждый мостик с
оставшейся частью электрической цепи образуют контур, т.е. замкнутую линию,
так как, по определению, полное дерево соединяет все узлы. Каждый такой
контур имеет новую ветвь, а именно мостик, поэтому все контуры
независимы.
Из сказанного следует, что
¦1Уг == ^дерева"Ь^мостиков == ™к * ~г ^мостиков • \^*^/
Сопоставляя B.2) с основным равенством
N2 = Nк-1 + Nт, B.3)
находим, что
-^»коптуров = ™т == ^'мостиков* \^^г
Итак, понятие о м остиках приводит к понятию о независимых
контурах. Каждый мостик входит только в один-единственный контур,
поэтому контурные токи в мостиках одновременно являются и токами ветвей.
С помощью контурных токов мы, как уже было показано, уменьшаем число
неизвестных о, Nг = Nк-1+Nт &о Nт, т.е. как разная* —1. Это означает,
что не все токи в ветвях независимы. Однако токи в мостиках —
независимые токи ветвей.
Можно наглядно показать, что токи в мостиках определяют режим всей
электрической цепи. Действительно, если эти токи сделать равными нулю,
разрезав мостики, то вся электрическая цепь будет обесточена, так как в
ней не останется замкнутых контуров.
Можно указать на другие очень важные независимые параметры—
узловые потенциалы (потенциалы узлов). Если известны потенциалы узлов
(потенциал одного узла выбирается равным нулю), то легко вычислить
326
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
токи в ветвях. Узловые потенциалы <ръ ср2,. . ., (р^-1 также можно выбрать
в качестве определяющих параметров. В дальнейшем будет показано,
что введение узловых потенциалов действительно позволяет сократить
число уравнений до Nк — ^.
Ъ) Матрицы электрической цепи
Топология электрической цепи играет, конечно, большую роль
при записи основных уравнений. Поэтому важно найти выражения,
соответствующие топологическим свойствам цепи. Это облегчит анализ общих
свойств цепи.
Топологические свойства цепи выражаются ее основными матрицами.
Чтобы их выписать, снабдим каждую ветвь стрелкой, а каждый контур —
направлением обхода. Затем пронумеруем все ветви и все контуры в
любом порядке.
Первая, так называемая М-матрица (контуры—ветви) составляется
по следующим правилам. Элемент ш{) матрицы равен ±1, если 1-й
контур содержит /-ю ветвь, причем он равен +1, если направление обхода по
контуру совпадает с направлением стрелки ветви, и равен —1, если стрелка
имеет обратное направление. Элемент т^ равен нулю, если 1-й контур не
содержит у-й ветви.
М-матрица имеет 7УШ строк и Иг столбцов, т.е. она не квадратная.
На фиг. 207 показана электрическая цепь и ее М-матрица. По заданной
матрице можно составить схему соответствующей электрической цепи.
М =
Фиг.
+1+10 0 0
0-1+1 О О
0 0 0+1 О
0 0 0 0+1
0-10000
0 0-1000
О 0+1-1-1 О
О О 0 0+1-1
О О О 0 0+1+1 0+1 0+1
207. К определению М-матрицы (контуры—ветви).
У второй, так называемой Я-матрицы (узлы—ветви) столбцы также
нумеруются по ветвям, но строки — по узлам. Элемент матрицы йу равен
±1, если к 1-му узлу подсоединена /-я ветвь, причем он равен +1, если
стрелка ветви направлена к узлу, и равен —1, если стрелка направлена
6 Н =
-10 0 0 0+1-10000
+ 1
0
0
0
0
-1 -1 0
0 +1 -1
+ 10 0
0 0 0
0 0+1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0 0 0 0
0+100
+1 -1 -1 0
0 0+1-1
0 0 0+1
0
0
0
-1
0
0 0 0 0+1-10000+1
Фиг, 208. К определению Я-матрицы (узлы—ветви).
^ 2. Самая общая формулировка законов Кирхгофа 327
от узла. Элемент кц равен нулю, если /-я ветвь не присоединена к 1-му
узлу. На фиг. 208 представлена Я-матрица для той же электрической цепи,
что и на фиг. 207.
в) Дуальные электрические цепи
Мы уже встречались в элементарной теории электрических цепей
с дуальными схемами. Там было показано, что параллельно и
последовательно включенные элементы можно рассматривать как дуальные, т.е.
распределение токов в параллельно соединенных элементах при
определенных условиях соответствует распределению напряжений в
последовательно соединенных элементах. Если известно решение одной из задач,
то решение второй получается простой заменой букв.
С помощью М- и Я-матриц можно дать наиболее общее, основанное
только на топологических свойствах определение дуальности.
Две электрические цепи дуальны, если .М-матрица одной совпадает
с Я-матрицей другой и наоборот. М-матрица выражает связь ветвей с
контурами, а Я-матрица — связь ветвей с узлами. Эти зависимости у
дуальных электрических цепей обратные — ветви, присоединенные к одному и
тому же узлу, входят в одноименный контур дуальной цепи, и наоборот.
Н =
+1+10 0 0
0-1+1 О О
0 0 0+10
0 0 0 0+1
0-10000
0 0-1000
0 0+1-1-1 О
0 О 0 0+1-1
О
-1
О 0 0 0+1+1 0+1 0+1
0 -1 -1 -1-10 0
О О
Фиг. 209. Электрическая цепь, дуальная электрической цепи, изображенной
на фиг. 207.
Составим, например, дуальную электрическую цепь для уже
рассмотренной ранее электрической цепи фиг. 207, причем будем считать, что
ее Ж-матрица задана. При составлении Я-матрицы дуальной цепи
(фиг.209) учтем, что в основном равенстве N2=Nт + Nк -1 число И2 остается
прежним, а числа N'т и N^ — 1 дуальной цепи соответственно равны
числам Шк — 1 и ТУ™ заданной цепи.
Дуальная цепь содержит
/Ут = Л^-1 B.5)
контуров и обладает
ЛГ; = #те + 1 B.6)
узлами. Таким образом, Я-матрица дуальной цепи состоит, как и М-мат-
рица основной, из Ых столбцов, но имеет одну добавочную строку. В /-м
столбце Я-матрицы мы находим два элемента, не равных нулю и
соответствующих двум узлам, к которым присоединена /-я ветвь. И в любом другом
столбце должны встретиться один раз +1и один раз—1. Последняя (Йт +
+ 1)-я строка дает возможность добавить в каждый столбец прежней
М-матрицы +1 или—1, если в столбце встречалась соответственно только
—1 или +1. Потенциал GУт + 1)-го узла можно принять равным нулю,
328
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
т.е. выбрать этот узел как точку отсчета потенциалов. При составлении
схемы последний GУт + 1)-й узел условно называют землей. Затем
по заданной М-матрице выясняется, какие ветви должны быть
присоединены к узлам 1,2, ..., 7Ут, заменяющим прежние контуры 1,2,..., Шт.
К (Л^т + 1)-му узлу подключаются концы ветвей, которые, так сказать,
повисают в воздухе. Придерживаясь этих правил, можно составить
дуальную цепь без особых затруднений.
г) Запись уравнений Кирхгофа с помощью М- и Н-матриц
С помощью М- и Я-матриц можно записать уравнения Кирхгофа в
очень простой и наглядной форме. Например, узловые уравнения с токами
в ветвях запишутся в виде
Л1111 + Й121*2+ ... + ^цЦ — О,
^21^1 + 212 + • • • + 1^ = О,
Ад-1.1^1+ЛЛ_1,212+ • • • + К-1ЛЧ = 0.
B.7)
Здесь приняты обычные обозначения: Л^ = А, Л^ = /. Если ввести еще
матрицу тока I, имеющую один столбец:
I =
то система уравнений записывается особенно просто:
Н1 = 0.
B.8)
B.9)
Эта матричная запись заменяет 7Уй — 1 уравнений для Л^2 неизвестных.
Недостающее число уравнений дополняется контурными уравнениями.
Их можно записать с помощью элементов М-матрицы следующим образом:
Bпта1+212т,12+ • • • +^н™^1 +
+ (^21^1 + ^22^2+ • • • + ^2^)*2 + • • •
• • • +(^11т111+г12т1Л2+ . . • +%цт^)ц = и^
B.10)
здесь II — 1, 2, 3, . . .; Нт = 1 — (к — 1), и^ — сумма напряжений источников
в /г-м контуре или так называемое контурное напряжение. Оператор 2ц
определяется формулой
B.11)
где 8ц —0, если I ^ /, и 5{,- = +1, если ( = /, т.е. <5У — элемент единичной
матрицы.
В матричной форме уравнения B.10) можно записать короче:
МB1) = У.
B.12)
$ 2. Самая общая формулировка законов Кирхгофа
329
Здесь II — матрица, имеющая один столбец и Шт = 1 — (к — 1) строк. Из
систем уравнений B.9) и B.12), содержащих й — 1 + / — (А — 1) = /уравнений,
ножно найти неизвестные токи 1Ъ B,. . . ,ц. Если принять за неизвест-
мые величины не токи в ветвях, а контурные токи, то можно найти из
п = Ыт = 1 — (к — 1) контурных уравнений A.32) неизвестные контурные
токи ]Ъ /2, . .. ,/п:
8^1/1 + 8^2+ • • • +8^п/п = ^; А* = 1, 2, . . . ; и=1-(Л-1), B.13)
гДе 8^ — оператор, действующий как на контурный ток ]A, так и на ток /V
В него входят элементы цепи, общие контурам /г и г.
В матричной форме имеем
Ы = и. B.14)
Каким образом матрица $ связана с матрицей 2, будет показано
ниже.
Если контурные токи известны, то токи в ветвях находим с помощью
равенств
Н = ^п/1 + т21/2+ . . . + тп1]п,
Ч = ™>12]'1 + т22}2+ . . . + тп2/п,
B.15)
Ч = ^1^/1 + ^21/2+ • • • +Л1п1/п,
где п = 2 — (А: — 1) = N„1.. В матричной форме
I = М^, B.16)
где М*— транспонированная матрица М. Заметим, что это уравнение
совместно с уравнением B.9) дает интересную зависимость
НМТ = 0. B.17)
Принимая во внимание уравнения B.12) и B.16), находим, что
М [2(М*0] = Ы. B.18)
Отсюда, учитывая уравнение B.14), получаем тождество
3 = М 2 М*, B.19)
или в более подробной записи
%и* = 2 ЯвгЩвПрг. B.20)
8, I
Для электрической цепи без взаимных индуктивностей
рассмотрение уравнений дуальной цепи —не слишком сложная задача. Выберем в
качестве неизвестных потенциалы узлов уъ ср2,. • • ? <Рь-1 (потенциал к-го
узла примем равным нулю) и запишем уравнения для ветвей:
^1 + Ац9,1 + А21^2+ • • • + АЛ-1,1 7Ъ-1 = иъ
^2 + ^12^1 + ^22^2+ • • • + Й*-1,2 <Рк-1 = И2,
B.21)
где Я1? 22> • • • ? ^г — сопротивления ветвей, й1? и2,..., щ —
напр яжения источников, а йи, к2Ъ .. ., кк_1Л — элементы Я-матрицы.
330
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Мы получили I уравнений с1 + к— 1 неизвестным. Если к ним добавить
/с- 1 узловых уравнений B.7), то задача имеет однозначное решение.
При постоянных или синусоидальных токах выражения для 2 A.31)
сильно упрощаются.
Решая систему уравнений B.21), находим
1т = §=-- к2 ^<Рг, т = 1, 2, . . . , I. B.22)
Подставляя токи в систему узловых уравнений, получаем
2 Кт\^~ 2$= й1 = О, * = 1, 2, . . . , А-1, B.23)
или после преобразования
2 217-АвтйгтЛ= 2 Ь*т%Г , * = 1, 2, . . . , А-1. B.24)
т=1 г=1 ^» т=1 ^т
Таким образом, мы получаем только А—1 уравнений с /с—1
неизвестными д>1? у2» • • • ? Ул-ъ число неизвестных значительно сокращается.
Из уравнений B.14) и B.20) для электрических цепей без взаимных
индуктивностей следует, что
I й-1
2 2 2тттт1т]\ = юв, 8 = 1, 2, ...; л = / —(Л —1). B.25)
т=1г=1
Эти уравнения построены совершенно аналогично уравнениям B.24).
Сопоставление уравнений показывает, как нужно выбирать
определяемые неизвестные, как вводить в уравнение параметры цепи и как перейти
к уравнениям дуальной цепи.
§ 3. Электрические цепи синусоидального тока
а) Простейшие контуры
Будем считать, что напряжение всех генераторов изменяется по
закону
и = Лт 81П (со1 — а), C.1)
причем угловая частота со у всех генераторов одинакова, а
амплитуды 1/т и фазы а могут быть различными. В этом случае в линейной цепи все
токи и падения напряжения также синусоидальны. Синусоидальные
функции очень просты, но их графическое изображение и вычисления с ними
достаточно громоздки. Поэтому целесообразно ввести их комплексное
представление, мнимая часть которого и есть заданная синусоида. Комплексное
представление синусоиды C.1) имеет вид1)
&т = #т^'(#*~а) = &т&т1 = #т[с08(й)*--а)+/ 81П И-а)], C.2)
где использована формула Эйлера Ае?т = ^4(со8 т + ] зт т). Мнимая
часть C.2)
1т{*7те*<в'-а>} = \т{1Уте?°*} = Пт зт (со1-а) C.3)
равна C.1).
1} См. примечания на стр. 27 и 28. — Прим. ред.
$ 3. Электрические цепи синусоидального тока
331
Операции выделения мнимой части и алгебраического сложения,
дифференцирования и интегрирования по времени можно поменять
местами, т.е.
C.4)
рт{17те^-*} = 1т{^ СТдаеК-'->}
/ 1т{С/т^(*'-а>} Л1 = 1т{/ #те'(в"-а) Л}. C.5)
Правильность этого утверждения доказывается с помощью той же формулы
Эйлера. Так как в уравнениях Кирхгофа встречаются только указанные
операции, можно все величины представлять в комплексной форме, а к их
действительным значениям переходить только при записи окончательных
результатов.
\№1
^ь<
а 6 в г
Фиг. 210. Основные типы сопротивлений цепи переменного тока.
Из равенств
ик = Ж, иь = Ь~ , ис = -^] Ш
да
C.6)
получаются следующие зависимости между комплексными амплитудами
напряжения С и тока / (после сокращения множителя е**\ стоящего
в левой и правой частях всех равенств1):
йп=В1; 1Гь = ]соЫ; $0 = ^1-
C.7)
Величины Е, ]а>Ь, 1ЦсоС называются комплексными
сопротивлениями, или импедансами2). Как видно из уравнений C.7), расчеты с ними
нужно выполнять так же, как с обычными сопротивлениями в цепях
постоянного тока. Например, общие сопротивления участков электрической
1} Комплексы #, 1 и др. могут выражать либо комплексную амплитуду, либо
комплексные выражения действующего значения. В тех случаях, когда это надо
подчеркнуть, можно пользоваться обозначениями V' = Оэфф. = &т1У2 . — Прим. ред.
2) Как очевидно из самого определения, импедансы X суть комплексные величины.
Эти комплексы существенно отличны от комплексных величин, снабженных точкой:
последние изображают синусоидальные функции времени, тогда как комплексы типа
Ъ обозначают лишь отношение между амплитудами и разность между фазами двух
синусоидально изменяющихся величин. Пусть, например,
X =П+]соЬ= \2\е*99 где12? = 1^
(последовательное включение Я и Ь). В таком случае Х] = 1Ъ или Х1те?Р = 1те5а | 2 | е^.
Это значит, что
и = II т 8И1 (а>* + /?) = 1т \Ъ | зш (со* +а + <р),
т.е. амплитуда напряжения равна амплитуде тока, умноженной на модуль импеданса,
а фаза напряжения (аргумент синуса) больше фазы тока на <р, т.е. на аргумент
импеданса. — Прим. ред.
332
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
цепи, представленных на фиг. 210, определяются по правилам вычисления
сопротивления при параллельном и последовательном включениях:
аJ = К+]соЦ
Ь\7 - Я^соЬ •
C.8)
C.9)
б) Сложные электрические цепи синусоидального тока
Для расчета сложной электрической цепи обратимся снова к
уравнениям Кирхгофа. Если за неизвестные принять токи ветвей, то уравнения
записываются без особых затруднений по образцу, данному в § 1. Мы получаем
Чк
й«*
Ч>ГЧ>к
Фиг. 211. К записи токов ветвей с
помощью узловых потенциалов.
Фиг. 211*. К выбору
положительных направлений (формулы
(ЗЛО), C.11)).
А^ = I линейных неоднородных алгебраических уравнений для I
неизвестных. Рассмотрим теперь более короткий путь расчета с помощью
узловых потенциалов или контурных токов.
Сначала возьмем в качестве неизвестных узловые потенциалы уъ
<Р2> • • • > <Рп-1- Потенциал тг-го узла выберем равным нулю. Выпишем
зависимости, позволяющие определить ток ветви /4Л, который протекает в
ветви от точки I к точке к (фиг. 211). Так как
Угк = ~ &кг = Фг—Фк = ^гк^гк^^хЪ
ТО1)
/ — $* ~~ $к л- ^*к
¦^гк у "г у
Запишем теперь узловое уравнение для 1-го узла:
к к *н к ^<* к ^<*
C.10)
C.11)
C.12)
где ^ = 1, 2,. . ., 7У& —1. Зцесь суммирование выполняется для всех
узлов к, которые связаны ветвями с узлом г.
1} Выбор знаков и обозначений в этих уравнениях поясняется фиг. 211*, где Сы =
=Фк-фг- Стрелки около генераторов на фиг. 211 соответствуют их внешнему
напряжению. Направление э. д. с. генераторов противоположно направлению этих стрелок. -
Прим. ред.
$ 3. Электрические цепи синусоидального тока
333
Таким путем получается полная система уравнений, достаточная для
определения га — 1 неизвестных.
Как уже говорилось, другой способ уменьшения числа уравнений
состоит в применении контурных токов. В каждом изтг=^т независимых
контуров замыкается свой контурный ток. Для любого А-го контура
падение напряжения в нем равно сумме падений напряжений Зк2кк на
сопротивлениях контура 2кк, обусловленных /с-м контурным током,
и падений напряжений, вызванных контурными токами Зь 3ШУ...
смежных контуров на общих сопротивлениях 2кь2тЬ... (фиг. 212).
Уравнения Кирхгофа для узлов при расчете с контурными токами
выполняются автоматически.
/" . \
4 )
У
Г '4,
1
/Г
Фиг. 212. К записи второго закона Кирхгофа
с помощью контурных токов.
Контурное уравнение для Л-го контура электрической цепи (см. фиг.
212) имеет вид
А(%к1 + %кт + %кп + %кр) ~ 3\%к\ "" Зщ^кт ~~ Зп%кп ~" Зр2кр = &1к ~ &кп
Если ввести сопротивление контура
%кк = %к\ + ^Ьт + %кп + ^йр
и контурную Э.Д.С.
&к = Аь "" ^/т>
то окончательно получим
3к%кк~3\%к\— 3т^ктп%кп~~3р^кр = &к) & = 1, 2, . . . , И = Л^т. C.16)
C.13)
C.14)
C.15)
в) Примеры расчетов по методу контурных токов и методу узловых
потенциалов
Пример 1. Запишем уравнения для электрической цепи фиг. 213.
Изображенные на фиг. 213 три индуктивности — это индуктивности трех
катушек, которые намотаны на один и тот же сердечник, так что каждая
катушка имеет индуктивную связь с двумя другими.
Уравнения для первого и второго контуров имеют вид
#1 = Л/о> \Ь\ + Ь\ ~ Щ2 + -^) - 32]со ( - Ь*12 + Ь\ + Ь*1г - ^23 + -±),
г.+г^
О = _7^(-^я+^ + ^_^+^^
C.17)
334 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Сравним теперь эти уравнения с двумя уравнениями для схемы
замещения электрической цепи (см. фиг. 213)
Мы видим, что для определения собственных индуктивностей служат
следующие равенства:
ЬгЛ-Ь2 = ^1+^2"" 2^12,* ^2 = — ¦^12+-^2+^13""-''2 8; C.19)
^2 + ^3 = ^2 "Ь ^3 ~~ ^23 *
Фиг. 213. Применение второго закона Кирхгофа с контурными
токами приводит к отрицательным эквивалентным индуктивностям.
При идеальной связи между катушками (весь поток проходит через
общий сердечник) получаются простые зависимости, а именно:
ь{ = кщ, ц = кщ, ц = кщ,
Г12 = ЛЛГ^а, Х*з = АВД,; Ь*1г = АВД,, C.20)
где N-±1 7У2, N3 — числа витков отдельных катушек. Перепишем теперь
систему равенств C.19) в виде
Ьх + Ь2 = ад-ЛГаJ; Ь2 = А(ЛГ2-ЛГ8) (Л^-^); !* + /* = А(^2-^3J.
C.21)
Между индуктивностями 1ц, Ь2, Ьъ получается следующая интересная
зависимость:
-^1-^2 "Ь ^2^3 ~Ь ^3^1 — *Л
C.22)
откуда следует, что по крайней мере одна из индуктивностей схемы
замещения должна быть отрицательной. Следовательно, с помощью такой
схемы можно осуществить отрицательную индуктивность, что имеет
значение при синтезе электрических цепей.
Пример 2. Интересно применение метода узловых потенциалов к
решению дифференциальных уравнений при известных граничных
условиях. Проще всего показать применение этого метода на конкретном
примере.
$ 3. Электрические цепи синусоидального тока
335
и(х,у+Ау)
и(х-Дх,у)
и(х+Ах,у)
и=0 .,<*
и(х,у-Ду)
Фиг. 214. Электрическая цепь для решения
дифференциального уравнения вида C.23).
а — схема электрической цепи: б — напряжения в соседних
точках цепи.
Пусть, например, требуется решить дифференциальное уравнение
C.23)
Э2и , Э2и ,, ч
Эх
для области, на границе которой величина и известна. В общем случае
функция /(#, у) задана. Требуется найти и(х, у). В частном случае, когда
1(х, у) == О, это уравнение превращается в уравнение Лапласа.
Построим в заданной области сетку с параметрами Ах и Лу
(фиг.214,а). Соседние узлы сетки соединим, как показано на фиг. 214,6
сопротивлениями Е(АхJ и В(АуJ, где К - произвольная константа. Кроме
того, каждый узел заземлим через переменное сопротивление ВЦ(х, у). Узел
с потенциалом и(х, у) соединен с четырьмя ближайшими узлами сетки,
потенциалы которых и(х + Ах,у); и(х-Ах,у)\и{х,у + АуУ,и(х,у-Ау).
336
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
и(хпх2+Ахг,1+-2)
« Дх2М
*1
и(х„х2,1+4т)
Ах,М
г
Т5Ах1Ах2-у Щ
у Ах2А1 и(хих2,1)
г. Дх1М
и(х1,х2+Дх2,1)
о и(х^Ахих21Ь)
Фиг. 215. Элемент цепи для решения сложного уравнения C.27).
Запишем узловое уравнение:
и(х + Ах, у) - и(х, у) и(х- Ах, у) - и(х, у) и(х, у+ Лу) -и(х, у)
I т>1 л~\2 1 о/ ля.\г г
Я(АхJ ' Я(Ах)г ' Я{АуJ
и(х,у-Ау)-и(х,у) 0-и{х,у) __ 0 /о ОА*
+ Я(АуJ + ЯЦ(х, У) " и- ^'^
После деления на Я первые два члена уравнения можно переписать так:
1 ти{х+ Ах,у)-и(х,у) и(х, у) -и(х- Ах, у)л Э2и /3 9Ц\
Ах\ Ах Ах \^ дх*' [ }
Аналогично перепишем и два следующих члена уравнения. Тогда получим
C.26)
Ьги д2и ,, х / ч
^2+^р ^ Цх,у)и{х,у).
Таким образом, потенциалы узлов приближенно удовлетворяют
уравнению Лапласа. Граничные значения должны быть обеспечены
генераторами. Если теперь измерить узловые потенциалы, то мы получим
решение уравнения C.23) при заданных граничных условиях.
^ 3. Электрические цепи синусоидального тока
337
Тем же методом могут быть решены уравнения в частных
производных, содержащие время. При этом нужно собрать электрическую цепь
с соответствующими параметрами для каждого момента времени в
интервале Ли
С помощью электрической цепи фиг. 215 можно, например, решить
достаточно общее, встречающееся при изучении очень многих практических
задач уравнение
чИйОЭ-*-*''^' <з-27>
Численные значения функции и(хъ хъ *), у которой переменная
^—третья пространственная координата, являются амплитудами
комплексных напряжений 11т&аг. Функции Д, Д, /3, /*4, /*5 переменных хъ х2, г
должны быть заданы. Величины —^^Ах^АЦАх^ ±]]<2АххАг\Ахг, ±Ц^Ах1Ах2А1у
±]{ъАх1Ах1 служат проводимостями элементов цепи, а ±^Ах1Ах2А1—
амплитудами токов, задаваемых источниками токов. Цепь питается от
этих источников тока и источников напряжения, которые обеспечивают
заданные граничные условия.
г) Теоремы Тевенена и Нортона
Уравнения Кирхгофа дают возможность однозначно рассчитать
режим электрической цепи, хотя и требуют иногда утомительных вычислений.
Но часто достаточно знать только некоторые из неизвестных токов.
Установим методы, подходящие для решения такого типа задач.
Фиг. 216. Схема замещения электрической цепи по Тевенену.
Прежде всего здесь применим принцип суперпозиции: каждый
генератор действует так, как если бы не было остальных, или, точнее, так,
как если бы все остальные были заменены своими внутренними
сопротивлениями. Результирующий ток равен сумме всех частичных токов,
вызываемых каждым генератором в отдельности.
22 К. Шимони
338
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
С помощью принципа суперпозиции можно доказать теорему Тевенена:
относительно ветви 2АВу присоединяемой к узлам— зажимам А, В (фиг. 21б)г
сколь угодно сложная электрическая цепь может быть заменена
генератором с э.д.с, равной напряжению холостого хода О0, и с внутренним
сопротивлением 2{. Напряжение О0 равно напряжению между точками А
и В при разомкнутой ветви 2АВ. Внутреннее сопротивление 2{ — это
сопротивление всей электрической цепи, измеренное между узлами Ли В
после замены генераторов их внутренними сопротивлениями (при условии,
что ветвь 2АВ разомкнута).
Правильность этого положения можно показать с помощью следующих
рассуждений. Пусть по сопротивлению 2АВ ветви АВ протекает ток 1АВ*
Ток в этой ветви можно сделать равным нулю двумя способами: во-первых,
Фиг. 217. Схема замещения электрической цепи по
Нортону. (Круг с двумя стрелками внутри - принятое в переводе
обозначение источника тока. — Прим. ред.)
можно отключить 2АВ, во-вторых, можно включить в эту ветвь генератор
с напряжением #0, который создаст в ветви АВ ток такой же
величины 1АВ, но обратного направления. Так как в этом случае суммарный ток в
ветви АВ отсутствует, то между точками А и В получается напряжение,
равное напряжению холостого хода, т.е. 110 = &оАВ. Отсутствие тока в
ветви АВ можно на основании принципа суперпозиции представить
следующим образом. В результате совместного действия всех генераторов
электрической цепи в сопротивлении 2АВ протекает ток 1АВ. Вновь
включенный генератор создает в сопротивлении 2АВ и во всей
остальной цепи без генераторов, как в одном-единственном сопротивлении 2{у
подключенном к зажимам Л и В, такой же ток 1АВ, только обратного
направления. Следовательно,
1ав — т—ТУ •> &о = *авBав+2ъ). C.28)
$ 3. Электрические цепи синусоидального тока
339
Эти равенства и равнозначны утверждению, что ток может быть вычислен
так, как если бы существовал один-единственный генератор с
напряжением 110 и внутренним сопротивлением 2;. Тем самым теорема Тевенена
доказана.
Теорема Нортона утверждает, что если нас интересует режим в одной
ветви, то остальную часть электрической цепи можно заменить
генератором тока с заданным током короткого замыкания и параллельно
подключенным внутренним сопротивлением. Генератор тока создает неизменный ток,
величина которого не зависит от нагрузки, так же как генератор
напряжения создает неизменное напряжение. Ток 70 генератора тока равен току
короткого замыкания между точками А и В (фиг. 217I). Параллельно
подключенное сопротивление определяется тем же способом, что и при
расчете с помощью теоремы Тевенена.
Схема замещения по фиг. 216 называется тевененовским, а по
фиг. 217 — нортоновским эквивалентом электрической цепи. Их называют
также схемами замещения с эквивалентным генератором напряжения или
тока. Выбирать ту или другую схему следует в зависимости от того,
какая из схем лучше подходит для расчета данной электрической цепи.
д) Принцип взаимности
Этот принцип подробнее рассматривается ниже, в параграфах,
посвященных волновым полям. Там показываются его большое
практическое значение, а также важные ограничения его применимости. Принцип
взаимности устанавливает следующее: если в произвольной электрической
цепи генератор с напряжением С0, включенный в г-ю ветвь, вызывает
в А:-й ветви ток /, то такой же ток / мы получим в 1-й ветви, если
включим тот же генератор в к-ю ветвь. Сказанное справедливо, если можно
пренебречь внутренним сопротивлением генератора и если в цепь
включен только этот единственный генератор.
Запишем уравнения Кирхгофа с помощью контурных токов
^А1Л+^лгЛ+ • • • +-^л*Л+ • • • +%кп!п = <^л, C.29)
где к — номер рассматриваемого контура; он может принимать значения
от 1 до п = N^п} где Nт— число независимых контуров. Из решения такой
системы получаем контурный ток
Л =24%, (з.зо)
где В — определитель, составленный из сопротивлений 21к; В1к—
алгебраическое дополнение, которое получается из определителя В после
вычеркивания 1-й строки и к-го столбца. Определитель В симметричен, так
как 21к = 2Ы. По той же причине симметричны и алгебраические
дополнения, т.е. Въ = Вк1.
Предположим теперь, что единственный генератор с
напряжением О0 =<5г включен в 1-ю ветвь (фиг. 218). Если ветвь входит только в
1-й контур, то контурный ток У г совпадает с током ветви Д.
Аналогично будем считать, что А-я ветвь с амперметром входит только в
1) На фиг. 217 приведена схема цепи постоянного тока. Она верна и для
переменного тока, если вместо ветвей Я рассматривать ветви с комплексными 2, а токи и
напряжения также представить в комплексной форме. — Прим. ред.
22*
340 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
кгй контур, т.е. контурный ток Д совпадает с током ветви Д. Как было
показано в § 2, такие ветви всегда существуют. В дальнейшем под 1-й или
&-й ветвью мы будем понимать именно так выбранную часть 1-го или А-го
контура.
Если в йо ветвь включен генератор с напряжением С0 = <^г и
другие генераторы отсутствуют, то ток в /с-й ветви равен
Л-Л = А§ь = йго%. C.31)
Если теперь генератор включить в к-ю ветвь, то ток в 1-й ветви равен
Л = /, = 4% = ^%. C-32)
Но так как
то
.Ан = Аь
C.33)
C.34)
что и требовалось доказать.
Ч^
Фиг. 218. Принцип взаимности.
Если величины напряжений гене раторов, включаемых в йо и
к-ю ветви, неодинаковы, то
Ф-=4*. C.35)
Это более общая формулировка принципа взаимности.
е) Электрическая цепь как двухполюсник
Выписанные выше уравнения позволяют доказать очень простое,
но важное положение. Предположим, что генератор опять включен только
в к~ю ветвь, но ищется ток в той же /ой ветви. Тогда
1к ~ °к~]у1
C.36)
или
C.37)
гк = в
и ~#***
Эти равенства можно толковать так: если электрическая цепь не содержит
источников энергии, т.е. пассивна, то ее можно заменить одним-единствен-
ным сопротивлением 1>\1>кк. Следовательно, относительно Л-й ветви
можно рассматривать всю электрическую цепь как пассивный
двухполюсник.
$ 3. Электрические цепи синусоидального тока
341
Следует еще заметить, что при анализе электрических цепей имеют
значение не только входное сопротивление /)//>**, но и взаимны? или
передаточные сопротивления
Г = 7Г О-38)
или обратные им величины.
ж) Электрическая цепь как четырехполюсник
Рассмотрим теперь соотношения в электрической цепи с двумя
парами доступных узлов или зажимов; их можно назвать полюсами.
Электрическая цепь с|двумя парами доступных полюсов и называется
четырехполюсникам. Если четырехполюсник содержит источники Энергии, то он назы-
ваетс&рктищкм, в противном случаеЦ-пассивным. Требуется вУяснить,
какие простершие зависимости можно составить между токами и'
напряжениями обеих пар полюсов.
Прежде всего исследуем пассивные четырехполюсники. Подключим
входные зажимы к источнику с напряжением Сг, а к выходным
зажимам присоединим приемник с сопротивлением 2а. Докажем сначала, что
любой пассивный четырехполюсник относительно всех измерений, которые
можно произвести на двух парах доступных полюсов, характеризуется
тремя независимыми параметрами, которые можно определить и не зная
внутреннего устройства четырехполюсника, если Частота внешних
источников синусоидального тока остается постоянной. Для доказательства
предположим, однако, что схема и элементы электрической цепи заданы.
Запишем уравнения Кирхгофа с помощью контурных токов
^пА + ^12А+ • • • +^1П/П = С/1,
^П1^ 1+^п2«'2 + • • • + ^тт*Лг = 0.
Смысл коэффициентов 2{к уже известей.. Например, 222 — сумма
сопротивлений, по которым протекает ток /2. Эта сумма составляется из
сопротивления потребители '2а и сопротивления Щ2, находящегося внутри
четырехполюсника, т.е.
222 = 2ь22+2а. C:40)
Следовательно, слагаемое /2222, входящее только во второе уравнение
системы C.39), можно записать так:
«/2^22 ~ «/2^22+^2^0'^ •'2^22+ -2" '.' У^'^Ч
Подставляя C.41) в C.39), можно придать всей системе вид
..- > . ^11^1+^12/21+ • • • +^1п/п := Уъ
^21^1+^22^2+ * • ' (+^2П^П ^ "^ ^2 ,_ • .
C.42)
^п1^1+^п2^2+ • • • +^лп^п = 0.
342
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Пусть напряжения &г и A2 заданы; тогда из C.42) получим для токов
в двух внешних ветвях:
/ = / - 51ц /7 ^21 /7
C.43)
Из этих уравнений легко выразить первичные величины (ток и
напряжение первой внешней ветви) через вторичные (ток и напряжение второй
2,
и,
Т.
I*
Ц
№
I*
Фиг. 219. Основные типы четырехполюсников: Т-, П- и Х-образные схемы,
внешней ветви):
C.44)
или, в более общем виде,
#1 = Апйъ+Ап!г,
1г = Л21С/2-1-Л22/2Э
C.45)
где А1к — коэффициенты четырехполюсника. Между этими
коэффициентами существует зависимость
АпА21-АпА21 = 1, C.46)
что нетрудно доказать, подставляя значения коэффициентов из их
развернутого представления C.44)*>.
4) Равенство C.46) проще доказывается из принципа взаимности, примененного
к C.45). — Прим. ред.
$ 3. Электрические цепи синусоидального тока
343
Таким образом, мы приходим к выводу, что для характеристики любого
пассивного линейного четырехполюсника необходимо и достаточно знать
три независимых параметра.
Простейшие четырехполюсники, тремя независимыми параметрами
которых могут быть сопротивления, соединенные по простейшим схемам,
называются Т-, П- и Х-образными четырехполюсниками (фиг. 219). Связь
между сопротивлениями той или иной схемы замещения и
коэффициентами А1Ъ АХ2у ... получается непосредственно из уравнений Кирхгофа.
Например, для Т-образной схемы имеем
#2 = -B2+2з)/2+23/1,
или после простых преобразований
Отсюда получаются искомые зависимости
Л„ = 1+А, Ап = 21+22+^
-^•21 — ~т~ 1
А22 = 1 +
2г
C.47)
C.48)
C.49)
з) Матрицы четырехполюсников
Использование матриц позволяет значительно упростить запись
основных уравнений четырехполюсника и делает расчеты гораздо нагляднее.
Исходные уравнения уже были получены:
#1 = Аи^.-Ми/.
12*21
-*1 — -^21^2"^" ^22*2»
C.50)
Входящие в них коэффициенты четырехполюсника А1к могут быть
названы цепными параметрами. Эти уравнения могут быть переписаны
и в такой форме, чтобы параметрами служили сопротивления 2{к:
V 2 = ^гЛ+^м'г»
C.51)
или проводимости У1к
Д = Гпйг + ГиЯ»
C.52)
Если даны уравнения одного вида, из них легко получить уравнения
любого другого вида.
Систему уравнений C.50) можно представить в следующей матричной
форме:
C.53)
Матрица А называется цепной, 2 или У называются матрицами
сопротивлений или проводимостей.
|#1|
1 Л!
1^11
1 -^21
^¦12
А22 1
1^1
Ы
= А
1 С
1 Л
344
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В дальнейшем нам понадобится еще матрица Н, которая определяется
уравнениями
^1 — Н1111л-Н12С1ъ
12 = Н2\11 + Н220\-
C.54)
°1^ 4
Ц
(О
У'Л 7
- 1
\<
ч«
7^
1Л
2ю
нн
,,К;
—75Т~9
<
р Л
Кг;
= «г
ч?и| = ч
7 -7Ш + 7,г)
у -у">+у.(г>
"ш чк 'т
у,
'о—
А*
°-и>
О
1
тМ
п®
^1к ^1к "Атг
ч| <
/^
7^;
н1к
зB)
.//;
&
B)
"(к
И1к = И1к+ИШ '
Фиг. 220. Простейшие схемы соединения четырехполюсников.
Указаны матрицы, которые следует выбирать для наиболее простого
получения матрицы результирующего четырехполюсника.
Преимущества матричной записи уравнений выявляются при
вычислении матрицы сложного четырехполюсника, составленного из двух или
нескольких простых четырехполюсников. На фиг. 220 показаны
различные схемы возможных соединений четырехполюсников. Легко
убедиться, что для последовательной схемы соединения четырехполюсников
(см. фиг. 220, а) складываются матрицы сопротивлений, для параллельной
схемы (см. фиг. 220, б) — матрицы проводимостей; для так называемой
цепной схемы (фиг. 220, в) результирующая цепная матрица равна
произведению двух цепных матриц. Матрицы Н нужны при смешанном соединении
четырехполюсников (фиг. 220, г). При этом предполагается, что каждый
из четырехполюсников остается регулярным, т.е. на входных полюсах
каждого из них в один полюс входит такой же ток, который выводит из
второго.
# 3. Электрические цепи синусоидального тока
345
и) Обобщение понятия четырехполюсника
Полный четырехполюсник. До сих пор мы рассматривали регулярные
четырехполюсники. Поэтому можно было просто говорить о первичном
и вторичном токах. Если же две пары зажимов соединяются, помимо
четырехполюсника, другой частью электрической цепи (фиг. 221), то
расчет нужно вести с токами Д, /2, /3, Л- ОднУ зависимость между токами дает
узловое уравнение, поэтому остаются три независимых тока. Для четырех
узлов существуют три независимых напряжения. Эти шесть Bx3)
независимых величин можно выбрать по-разному. В качестве независимых
напряжений выберем напряжения (Уъ и2 (см. фиг. 221) и напряжение
между „электрическими средними точками" обеих пар зажимов. В качестве
независимого тока, кроме Д и /2, выберем сквозной ток 1Х. С помощью
законов Кирхгофа легко убедиться, что вместо уравнений
C.55)
11 = уиа1+уиаг,
^2 = ^21^1 + ^22^2?
|А|
к1
= V
\ОА
ка|
мы получим более общую систему из трех уравнений:
Л = Уи^ + У^ + Уцс^,
12 = У 21^1+^22^2 + ^2x^X1
C.56)
Гх1#1 + Г«2#2+Г«#*.
~о-
/, + 4
I
Г-Н !
!~о—- о
! ь,
I
и,
',
<3- \-
/,-4
~>
4 . О
4 + 4
-О О-т
и,
*2 *-х
о—-о—1
КЬ-
-° <4°"
21х
Фиг. 221. Токи и напряжения в общем случае пассивного четырехполюсника.
Матрица проводимостей этой системы уравнений имеет три строки и три
столбца. Можно показать, что она симметрична. Следовательно, из девяти
элементов матрицы лишь шесть независимы^.
Активный четырехполюсник. Другой путь обобщения понятия о
четырехполюснике приводит к активным четырехполюсникам. Отметим, что
в самом общем случае между четырьмя зажимами может быть включена
активная цепь из шести ветвей с сопротивлениями и генераторами
(фиг. 222). Основные уравнения такой цепи можно записать в следующем
1} Они соответствуют возможности независимого изменения сопротивлений шести
ветвей, соединяющих четыре узла (см. фиг. 222). — Прим. ред.
346
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
виде:
Л = Гц #1+ *««>»+'*,
4 = ^21 #1 + ^2#2 +/,*•
Здесь введены обозначения:
Ун = Ух +
(Г3+Г6)(Г4 + Г6)
г.+г.+г.+г.
= -[^2 +
У,,=
УьУ,
¦*3* 4 __ у .
/ — V ТГ Уз(У« + Ув) тУ .
'1* - г1«/в1-г1+г4+г§+у,4/о» +
22 ~ Iх2" Г3+Г«+У8 + Гв
Ь
Г,(Г,+ У.)
У3+У4+У»+Ув
У5(У«+Ув) 7-г , Ув(У3+Гз) /т
— -Упь-г „ . хг—. -.г . -.т >->г.
Г3+Г1+Гь + Г, ^°5"г У,+У4+У, + У, «'
-Лм> — —19\>ГЛ —
[2й
2^С2"
У3(У«+У8)
-#сз + ^
У«(Уз+У«)
г3+У1+г,+ге~ «3 ' Уз+У.+У.+У,
#,
С4"
Уь(Г,+Г«)
У3+У4+У5+У,
&вь +
ГЛУ<+У>)
У,+У4+У8+У,
ХТ,
06-
C.57)
C.58)
Фиг. 222. Общий случай
активного четырехполюсника.
Фиг. 223. Усилитель.
Усилитель как четырехполюсник. Напряжения генераторов до сих
пор задавались независимо от напряжений или токов в той или иной ветви.
Усилитель относится к активным четырехполюсникам другого типа.
%\
и.
к
Фиг. 224. Схема замещения триода.
ие=рAг*зJд
Фиг. 225. Схема замещения
усилителя фиг. 223.
Рассмотрим, например, усилитель фиг. 223 как четырехполюсник,
применяя схему замещения триода по фиг. 224 (// — коэффициент
усиления, Кг — внутреннее сопротивление). Задача состоит в том, чтобы
определить зависимость между величинами /ь /2 и &ъ #. Чтобы найти
^ 3. Электрические цепи синусоидального тока
347
эту зависимость, запишем контурные уравнения (фиг. 225)
01 = /121+/12в-/а2в,
0о = Р (Л-'з)^ = 1^д-1^д+1й2ад+1гК{-1хНь
-Св= -МЛ-/3) 2Я = 1&-1Л+1*2аь-П2ан, ( '
Исключая из этой системы токи /3 и /4 и решая ее относительно токов 1Ъ
и /а, получаем, что
п п <3-60>
Таким образом, матрица проводимостей усилителя имеет вид
Рц Рхг
Р Р
У =¦
Ргг
Р
Ргг
Р
C.61)
Коэффициенты В1Ъ 2I2, Р2ъ А*2 выражаются достаточно сложно.
Если можно пренебречь емкостями лампы Bад-*«>), а сеточное Bд) и
анодное Bай) сопротивления считать большими, матрица упрощается:
О О
У =
где 5 = [л1П{
-8 -1/й,!
крутизна характеристики лампы. При этом
/2= -зй.-^-йг.
C.62)
C.63)
Обычно задаются коэффициент усиления по напряжению Аж и
внутреннее сопротивление Н{ (или 2г) усилителя. Между этими
величинами и коэффициентами Вп и т.д. получаются следующие соотношения.
При сопротивлении нагрузки 22 = <*>, т.е. при /2 = 0, из
уравнений C.60)—C.63) получаем
Подставляя в те же уравнения выражение 0г = 122,2 (см. фиг. 223 и 225)
находим, что
Ргг
-[I.
C.64)
/* =
Рг
р
д.*
+ 22
#1 =
2,+ 2,
#1-
С помощью последнего уравнения определяется 2Ь:
Ь=-
Р
Ргг
C.65)
C.66)
Умножая обе части равенства C.65) на 22, получаем уравнение,
связывающее напряжения на входе и выходе:
Ао
СА2 =
1 +
А.
22
И,.
348 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Усилитель с обратной связью. На основании сказанного, легко понять
действие обратной связи в усилителях. Необходимо, однако, обратить
внимание на одно новое явление, обнаруживающееся в таких системах:
,в них без внешнего возбуждения могут поддерживаться незатухающие
колебания, более того, при известных условиях колебания в них даже
могут экспоненциально нарастать. Поэтому устойчивость цепи —
первоочередное требование к такому усилителю.
^ Достаточно общий случай осуществления обратной связи
представлен фиг. 226 (входное сопротивление усилителя принимаем бесконечно
большим). Здесь с выхода усилителя на вход подается напряжение,
пропорциональное току и напряжению на
"Я ? выходе:
0о = 2а12 + р1222, C.67)
где /?— коэффициент обратной связи по
напряжению; он показывает, какая
. Фиг. 226. Усилитель с обратной часть напряжения #2 = Л^2 ПОДВОДИТСЯ
связью по току и напряжению. на вход. Смысл остальных величин ясен
из фиг. 226. Таким образом, суммарное
напряжение на входных зажимах усилителя равно
^1=СГо+^=::^а+(^ + ^2L C.68)
Это напряжение усиливается. Следовательно1^
\йо \й\ <$\
\йг
Л =
2,+22+2е
#1, #2 =
1 +
2{+2е
¦#1.
C.69)
После подстановки величины 1УХ из уравнения C.68) и решения уравнения
относительно тока /2 и напряжения (У2, получаем формулы, которым
можно придать вид, аналогичный C.69):
Л- ^1, г К я* = ™, , К C.70)
2р + 22 + 2й-
22
где А{^ — коэффициент усиления по напряжению при наличии обратной
связи для 22= °°, а %Р— внутреннее сопротивление при наличии обратной
связи.
Из развернутой записи выражения для /2 C.70) и выражений C.68) и
C.69) следует, что
Л<г> =
1-#4о
^2^2
^0
22 = °о 1?о
22=оо, 2е =0
C.71)
2<г> =
C.72)
если обратная связь по току отсутствует. Последние равенства понадобятся
нам в дальнейшем.
Обратная связь через четырехполюсник. Чтобы выяснить преимущества
и недостатки применения понятия о четырехполюснике, рассмотрим
важную проблему обратной связи с другой точки зрения.
п Так как теперь ток 12 проходит по сопротивлению22 + 2е. -Прим. ред.
§ 3. Электрические цепи синусоидального тока
349
Четырехполюсник с обратной связью по напряжению (фиг. 227) можно
рассматривать как смешанное соединение двух четырехполюсников. Как
уже известно, в этом случае складываются Я-матрицы. Я-матрица
усилителя имеет вид Bад = оо; ^х = 0; ^=°°)
Нг
82п
О
C.73)
а Я-матрица элемента обратной связи
|0A-/?)Яг -0
Нг =
1_
2Г
C.74)
Результирующая матрица
Ну + Нг =
Фиг. 227. Простая цепь
обратной связи по напряжению,
представленная как четырехполюсник.
-82д-р -(%+т)
Следовательно, можно записать, что
00=[2д + р{1-0J^-00*
12 = (-82д-рI1-(±+^1У2.
C.75)
C.76)
Если ввести сопротивление потребителя 2г с помощью уравнения
#, = 1*2
2^2
и исключить ток 1Х, получим
-82<-р
$0
%л
^2(-^-^|^) + B( + 22 + 2,3)[1 + MA-^^]
C.77)
C.78)
Теперь примем, что — 82{ = А^, 1/29-»0 и 2Р »2; тогда после простых
преобразований получим
#0
28A-(8/4о.) + 2/
Это уравнение совпадает с уравнением C.70) при 2е = 0.
C.79)
Обратная связь в дифференцирующих и интегрирующих цепях. Схемы,
подобные изображенным на фиг. 228, можно представить себе состоящими
из трех четырехполюсников с простыми матрицами. Такую схему называют
дифференцирующимипаинпгегрирующимконтуромв зависимости от выбора
элемента 2. Как будет показано в дальнейшем, название схемы определяется
тем, что выходная функция с достаточно хорошим приближением является
производной или интегралом от входной функции. При параллельном
включении суммируются У-матрицы, затем цепная матрица
параллельного включения умножается на цепную матрицу добавочного
сопротивления 2е. Матрицы можно получить, обращаясь к фиг. 229. Результирующая
350
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
матрица проводимостей имеет вид
II Сд + С -С II
УРез -|| _3 + С >(С, + С)|Г C'80)'
В общем случае цепная матрица составляется из элементов матрицы
проводимостей по формуле
-У22 +111
^
<
А = тг-
-\У\
C.81)
11
^
<1
-о где | 71 — определитель из элементов матрицы
проводимостей. В нашем случае
С4 + С 1
-<?+С
у\
сд+с
C.82)
Фиг. 228. Две схемы со
специальной обратной связью,
представленные как
четырехполюсники.
Поскольку цепная матрица добавочного
сопротивления, согласно фиг. 229, равна
1 2е
О 1
А1 =
C.83)
результирующая матрица приобретает вид
(С« + С)-2.|У| 1+2е(Сд+С)
-\у\ ' '
где
А - А1-А2 - _5+с
|у| = -[(сд+С)(С1+С)-С(-з+с)).
од+о
C.84)
C.85>
2е
н
А-(^
г.
' Ъ=Щ
•Г
(г)
A)
-с
>
Фиг. 229. Заданная схема может быть составлена из трех четырехполюсников.
Следовательно, из общих уравнений четырехполюсника
#1 = ^11^2+^32^2,
1\ — ^21^2 ~Ь ^•22-' 2
C.86)
получается следующая зависимость между входными и выходными
величинами:
^1 = ^с[Ог+о-ге\у\]й2+^^[1+ге(сд+с)]12
Эти уравнения понадобятся нам ниже.
C.87)
$ 3. Электрические цепи синусоидального тока
351
к) Четырехполюсники, у которых не выполняется принцип
взаимности
Выберем направления токов четырехполюсника не такими, как раньше,,
а симметричными относительно зажимов (фиг. 230), что упростит анализ,
применимости принципа взаимности.
Запишем уравнения четырехполюсника в виде /, 1г
Ог = ЯцД+ЯаЛ, C.88) ~^
#2 = 221Д + ^22/2. C.89)
!,«
—————О
0г\
Что можно сказать о коэффициентах 21ку
ИСХОДЯ ИЗ принципа взаимности? ПОДКЛЮ- Фиг- 23°- Измененные направле-
чим генератор с напряжением Ог к вход- ния токов-
ным зажимам. Выходные зажимы замкнем
накоротко; при этом ток /2 может протекать, а напряжение С2 равно нулю..
По уравнению C.88) имеем
#1-7 А.. 7
-*2 12.
VII
а по уравнению C.89) опять же при 112 = О
¦М ^22
C.90)
C.91),
Таким образом,
Аналогично
17г=0
= -2
11
221
+ 2,
/1
171=0
^12
C.92),
C.93)
Принцип взаимности требует, чтобы (при согласованно выбранных
направлениях токов) выполнялось условие
^1
С72=0 Л
1/1==о
Как видно из C.92) и C.93), это равенство выполняется, если
^12 — ^21 >
C.94)
C.95)
т.е. если матрица сопротивлении симметрична.
Установлено, что из электрических и механических элементов можно
составить и такие линейные пассивные четырехполюсники, которые не
подчиняются принципу взаимности. Только из электрических элементов
также можно составить такие четырехполюсники. Здесь мы укажем лишь на
одно интересное следствие: с помощью четырехполюсника, не
подчиняющегося принципу взаимности („невзаимный четырехполюсник"), можно
осуществить выключатель направленного действия. Будем считать, что
212 -=А 22Ъ а именно 212 = — 221. Это предположение не ограничивает
общности рассуждений, так как любая несимметричная матрица может быть
представлена как сумма симметричной и антисимметричной матриц по»
352
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
формуле1*
тш = 2(щк + ткд+-(т1к--тк1).
C.96)
(/)
Невзаимный
четырехполюсник
X
B)
Включим такой четырехполюсник последовательно с
сопротивлением 2У как показано на фиг. 231. Матрицу сопротивления эквивалентного
четырехполюсника получим сложением матриц сопротивлений
составляющих четырехполюсников. Уравнения эквивалентного четырехполюсника
имеют вид
Если мы выберем 2 = 212, то получим
уравнения
111 = {211+гХ2I1+221г121
Из этих уравнений следует, что
режим на зажимах 1 зависит от
режима на зажимах 2, но ни ток, ни
напряжение первичной цепи не влияют
на вторичные величины. В направлении 2-+1 сигнал проходит, в
направлении 1-+2 — не проходит.
Как следует из C.96), любой четырехполюсник, не подчиняющийся
принципу взаимности, можно составить из двух последовательно
включенных четырехполюсников: взаимного и невзаимного с антисимметричной
матрицей сопротивлений, имеющей вид
О Н\
-Я о|
Четырехполюсник последнего типа называют гиратором.
Фиг. 231. К осуществлению нап
равленной связи.
C.99)
§ 4. Частотная зависимость иммитанса произвольной
электрической цепи
Выше мы не рассматривали вопрос о том, как изменяются полученные
соотношения при изменении частоты, хотя неоднократно отмечали важное
значение такой постановки вопроса. Чтобы обобщить полученные ранее
х) Матрица, элементы которой выражаются первым слагаемым правой части урав
нения C.96)
А*1* = о-(т« + т«)»
^»* = №кг>
всегда симметрична, так как
даже если
Матрица, элементы которой выражаются вторым слагаемым
*<* = К"%)>
всегда антисимметрична, так как
независимо от соотношений между т{к и ты. —• Прим. ред.
$ 4. Частотная зависимость иммитанса произвольной электрической цепи 353
результаты, составим опять контурные уравнения
211/1 + ^12/2+ • • • +^1пЛг = &Ъ
^21У1 + ^22*^2 + . . . 4- %2п?п ~ &2 ? . , Й ч
D.1)
Токи, как известно, можно записать с помощью определителя I) и
алгебраических дополнений 2){Л:
Л = 2^тг- D.2)
Соотношения
гк1 = -^-, Ук{ = ^ D.3)
назовем соответственно обобщенным сопротивлением или импедансом
и обобщенной проводимостью или адмитансом. Обеим величинам дают еще
более общее название - иммитанс. 2кку Укк называют входным иммитансом.
Выясним теперь, что можно сказать о зависимости этих величин от
частоты. Определители В, В{к составляются из суммы произведений 2{ку
которые имеют вид
%ш = ДЛ + /(©1^-^У = Я1к+]со(цк-^щ^. D.4)
Произведение двух сопротивлений 2гк и 21т равно
%гк%1т = ^гАт ~~ ^(А* ~~ ~^с~) \^1т ~ цРС ) ~^
4-Цл^т--—) + Н1т[Цк —^сг)\
Как 21к, так и произведение сопротивлений имеют следующее свойство:
действительная часть содержит слагаемые с четными степенями со, а
мнимая часть — с нечетными, причем степени могут быть как
положительными, так и отрицательными; произведение двух таких функций сохраняет
те же свойства:
[ /^(со2) + /со^ЮХ А'2(со2) + ]'соС2(со>)] =
= [ 1Чо>2) Р2№) -^(со2)^2)] + D.6)
+ МС1(со2) ^а(йJ) + Са(ю2) /<\(со2)].
Таким образом, определители имеют следующую форму:
I) = /^(со2)+/а>С(со2). D.7)
В общем случае иммитанс состоит из суммы дробей вида
^2(а;2)+>С2(<»2) * К }
Легко убедиться, что дробь снова обладает теми же свойствами.
Действительно, если умножить числитель и знаменатель на функцию,
сопряженную со стоящей в знаменателе, то мы получим
ЕхРь + аРОхО* | 7у, С1Р2 — &2Р1 // о\
D.5)
Р\ + юЮ\ ' ' ^22 + су2С2
23 К. Шимони
354
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Итак, каждый иммитанс обладает следующим свойством: его
действительная часть — четная, а мнимая часть — нечетная функция частоты.
Дальнейший анализ позволяет выявить и другие важные общие
свойства иммитансов, которые проще всего обнаруживаются путем введения
понятия комплексной частоты, точки которой лежат на соответствующей
комплексной плоскости (см. § 6).
§ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях
а) Нелинейные элементы цепи и их применение
Выше мы рассчитывали цепи только с линейными элементами. Однако
на практике величины Я, Ь, С, входящие в уравнения
I
и = ВI, и = Ь-4г, ю = -^ I &' й*,
о
очень часто сильно зависят от тока ъ или напряжения к. Поэтому вольт-
амперные характеристики элементов нелинейны.
Фиг. 232. Примеры нелинейных характеристик.
На фиг. 232 представлены нелинейные характеристики ряда
известных элементов цепи. Катушки с ферромагнитными сердечниками имеют
зависящую от тока индуктивность; в последнее время растет применение
и нелинейных конденсаторов из ферроэлектрических материалов.
$ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях
355
Применение нелинейных элементов очень разнообразно. Так как
характеристики электронных ламп в общем случае нелинейны и принцип
их действия очень часто как раз и основан на их нелинейности, то можно
утверждать, что вся техника связи прежде всего базируется на применении
нелинейных цепей.
Само собой ясно, что обобщенное и единообразное исследование
нелинейных процессов невозможно. Характеристики таких элементов задаются
большей частью не аналитически, а только графически. Не помогает часто
и аналитическая запись точной формы кривых, так кактолько очень
небольшое число таких задач имеет аналитическое решение. Поэтому при
расчетах пользуются апроксимациями или графическими методами.
Области применения нелинейных цепей настолько разнообразны,
что следует хотя бы в общих чертах уяснить себе методы решения
возникающих задач.
Свойства важнейших типов сопротивлений и элементов с нелинейными
характеристиками и простейшие методы расчета электрических цепей
обычно рассматриваются в элементарной теории. Поэтому здесь мы
несколько подробнее займемся анализом особых явлений, характерных
именно для цепей с нелинейными элементами, и прежде всего рассмотрим
возникновение нелинейных колебаний. Попутно выяснятся достоинства и
ограничения различных методов расчета, а также физические особенности
нелинейных цепей.
б) Основное уравнение нелинейного колебательного контура
Уравнение колебательного контура в линейной цепи, не содержащей
внешних источников
E.1)
можно привести к такому виду:
«+2^+<ф = 0,
E.2)
где смысл вновь введенных обозначений достаточно ясен F —
затухание контура, со0 — частота колебаний идеального
контура. Известные решения этого уравнения
Ае ьг 81П со1, Ве~ьг сов со1,
где
СО = У СО% — б2 ,
E.3)
E.4)
характеризуют следующие свойства линейного
колебательного контура: возможность колебаний с любой
амплитудой и постоянство частоты со, т.е. независимость
частоты от амплитуды.
Рассмотрим теперь колебания в нелинейном
контуре, катушка которого имеет стальной сердечник
(фиг. 233). Потерями будем вначале пренебрегать. Уравнение Кирхгофа
для контура запишется в виде
Ф и г. 233.
Колебательный контур,
содержащий
катушку со стальным
сердечником.
<1Ф 1
йг ^ С
Г I с& = 0,
23*
356
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
или
(РФ I
0.
E.5)
Решение этого уравнения возможно, если известна зависимость между
потоком Ф и током I. Пренебрегая гистерезисом, запишем эту зависимость
в виде полинома
ь = ахФ + аъФ* + аъФь + • • ., E.6)
который дает возможность апроксимировать нелинейную
характеристику с любой необходимой точностью. Если мы ограничимся двумя
членами, то получим уравнение
&Ф
(И2
+ -1(а1ф + а3Ф3) = 0.
E.7)
Фиг. 234.
Колебательный контур
с нелинейным
сопротивлением.
Какие колебания следует ожидать в таком контуре?
Чтобы ответить на этот вопрос, сравним это уравнение
с уравнением колеблющейся материальной точки,
которая находится на конце закрепленной пружины.
Натяжение пружины в этом случае растет нелинейно в
зависимости от положения материальной точки относительно
точки покоя; при перемещении точки жесткость
пружины увеличивается при положительном и
уменьшается при отрицательном значении коэффициента а3.
Легко убедиться в том, что средняя жесткость пружины
зависит от амплитуды колебаний. У исследуемого
колебательного контура возможны любые амплитуды, однако каждой
амплитуде соответствует своя частота.
Важнейшие свойства цепи зависят от второго члена уравнения E.2),
определяющего затухание, и от его нелинейности. Необходимо заметить,
что если в уравнении E.2) коэффициент д положителен, то амплитуда
колебаний спадает экспоненциально, если он равен нулю, то амплитуда
остается постоянной, а если по какой-либо причине коэффициент 8
отрицателен, то амплитуда колебаний экспоненциально возрастает. В каждом
устройстве с самовозбуждением колебаний желательно получить
амплитуду колебаний, быстро нарастающую от нулевого значения и затем
остающуюся постоянной. Это значит, что коэффициент д при малых
амплитудах должен быть отрицательным, а при больших — положительным.
Этому удовлетворяет, например, такая зависимость затухания 8 от тока:
5 = -А + В12 E.8)
или
= -А + В(-
бх) '
E.9)
Можно ожидать, что при этомвозникнут колебания с вполне определенными
амплитудой и частотой и что к этому режиму переходит по
экспоненциальному закону любое колебание с другой амплитудой.
Рассмотрим примеры колебательных процессов при затухании того
и другого типа.
На фиг. 234 представлен контур с линейными индуктивностью Ь и
емкостью С и последовательно включенным нелинейным омическим
сопротивлением, вольт-амперная характеристика которого имеет вид
в@ = А + В1 + ОР + ЕР+ . .. . E.10)
$ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях
357
Основное уравнение контура запишется в виде
г
^^Х^*^0'
или после дифференцирования
Т &Ч 1 . Ли сИ _ Л
E.11)
E.12)
Фиг. 235. Ламповый генератор с
обратной связью.
Фиг. 236. Колебательный контур,
содержащий катушку со стальным сердечником
и возбуждаемый внешним источником.
Если вольт-амперную характеристику апроксимировать полиномом тре-1
тьей степени, получим
ЬС^ + С(В + 2В1 + ЗЕ1*)-^ + 1 = О,
E.13)
где при соответствующих значениях коэффициентов, т.е. при подходящей
форме характеристики, затухание приводится к виду —А + Вг2. Это
указывает на возможность создания устройства с самовозбуждающимися
колебаниями. Характеристики такого типа можно получить у
электрической дуги или у тетрода.
Другой пример устройства с такого типа затуханием — ламповый
генератор. Уравнение колебательного контура генератора, представленного
на фиг. 235, имеет вид
Напряжение на сетке равно напряжению на конденсаторе. Анодный ток
зависит от этого напряжения и определяется по характеристике лампы.
Учитывая, что
^ <1и„
получаем
*а = *аКЬ
^ (Иа <1ид
йиа д,1
Последнее уравнение можно переписать в форме
(И2
^\Ь ЬС йщ) (II ^ ьс и° "•
E.15)
E.16)
Апроксимируя зависимость га(ид) полиномом третьей степени, получим
уравнение, аналогичное уравнению E.13).
358
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В качестве третьего примера рассмотрим контур с катушкой,
имеющей стальной сердечник, причем будем считать, что в контуре содержится
источник напряжения синусоидальной формы (фиг. 236). Основное
уравнение контура в этом случае принимает вид
й+Т + ^(^= 1108тсо1, E.17)
о
или после дифференцирования
ЧГ+П1й+^С = ^о^соз^. E.18)
Принимая ту же зависимость E.6) между потоком Ф и током \ что и для
контура фиг. 233, получим
-^-+Д(а1Ч-ЗазФ2)^-+^(а1Ф+а3Ф3) = «70 юсовой. E.19)
Таким образом, все выше рассмотренные контуры приводят к частным
случаям следующего общего уравнения:
Ж+^ТГ + вЮ-О. E-20)
Некоторые задачи приводят к уравнению более общего вида:
Мы ограничимся исследованием уравнений типа E.20).
в) Наглядное представление линейных колебательных процессов на
фазовой плоскости
Рассмотрим сначала линейный колебательный контур и введем очень
важное понятие о фазовой плоскости. Фазовая плоскость или, лучше
сказать, фазовое пространство играет в физике чрезвычайно большую роль;
как математический метод, фазовая плоскость позволяет сделать важные
выводы о характере решения задачи, особенно в случае, когда решение
уравнения в явном виде отсутствует. Известные уже решения для
линейного колебательного контура послужат нам наглядной иллюстрацией
общего метода.
Пусть задано уравнение1*
х + 2дх + с4х = 0. E.22)
Его решение известно:
х ¦
Ае~ьь сое со1 + Ве~ьь зт а>1, где со = \со%— й2, если со0 > д > 0;
А сов со01 + В 8ш со01 = С 81П (со01 + ср), если д = О, со\ > 0;
4е-|«о|г + #в1»оК7 если 3 = 6, о>§<0; E,23)
А#* + В(Р*\ где Рг,2= -8±Уё2-соЪ, если д > со0
1} В соответствии с общепринятым точка над строчной буквой означает
производную по времени, две точки — вторую производную. — Прим. ред.
$ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях
359
Случай <5 = О, со1 < 0 не относится к обычным колебательным
контурам. Уравнение с такими коэффициентами применимо к начальному
движению маятника из верхнего неустойчивого положения равновесия.
Введем теперь новую переменную
х = у. E.24)
Фиг. 237. Представление колебательных процессов на
фазовой плоскости.
В механике эта переменная будет обозначать скорость, если х —
координата. В простейшем случае имеем
х = С $т (а>01-\-ср),
х = у = Ссо0 сов (аHг+ у). E.25)
Состояние колебательного контура в любой момент времени теперь
определяется положением изображающей точки на плоскости с
координатами (х, у), называемой фазовой плоскостью.
С течением времени изображающая точка проходит путь, который
называется фазовой траекторией. В простейшем случае E.25) это эллипс,
что легко показать, возводя в квадрат х и у и исключая время I:
С2^С2со1 1в
E.26)
Можно найти фазовые траектории и в других частных случаях (фиг. 237),
хотя для этого приходится проделать несколько более утомительные
расчеты.
360
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В приведенных примерах фазовые траектории определялись по
известным решениям заданного уравнения. А можно ли что-нибудь сказать
об этих траекториях, не зная решения? Чтобы ответить на поставленный
вопрос, вернемся к дифференциальному уравнению E.22), придав ему
путем подстановки х = у,х = у следующий вид:
у + 2ду + а%х = 0,
Фиг. 238. Изоклины и фазовые траектории.
а — с помощью изоклин легко начертить фазовую траекторию. Начало фазовой траектории
задается начальными значениями х и у (это значит, что задаются положение и скорость изображающей
точки). Вблизи особой точки, где наклон изоклин неопределенный, фазовые траектории весьма
разнообразны (б-д): б — центр; в — фокус; г — узел; д — седло.
$ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях
361
или
|=-B&/ + со§*). E.27)
Пользуясь простым преобразованием производной
получим уравнение фазовой траектории
Оу_ = _ 2ду + (о20х ,5 29)
Ох у \ - )
Вид соответствующих фазовых траекторий можно найти, построив
на фазовой плоскости изоклины, т.е. кривые, для каждой из которых любая
из пересекающих ее возможных фазовых траекторий имеет одинаковый
наклон (Лу\Лх = сопв!). Изоклины легко найти и нанести на фазовую
плоскость. Для этого выберем отношение йу\йх = А, тогда получим
к= -2» + °<*. E.30)
Отсюда получается уравнение изоклин
Для линейного колебательного контура изоклины — прямые линии.
На фиг. 238,а они изображены пунктиром. По заданным изоклинам можно
графически построить фазовые траектории. Как показано здесь, уравнение
изоклин может быть написано и без предварительного решения задачи.
Это утверждение справедливо и в общем случае.
Наклон фазовой траектории становится неопределенным в точках,
в которых отношение —- получается вида -. У линейных колебательных
контуров неопределенность имеет место только в начале координат.
Возможные типы фазовых траекторий вблизи этой особой точки показаны на
фиг. 238. Эта точка может быть центром, устойчивым или неустойчивым
фокусом, устойчивым или неустойчивым узлом и, наконец, седлом.
Последнее всегда неустойчиво1*.
г) Фазовые траектории нелинейных колебательных контуров
Нелинейное уравнение
х + 1(х)х + ё(х) = 0 E.32)
можно заменить системой уравнений
как это было сделано для линейного уравнения. Фазовая траектория
1} На всей верхней полуплоскости (у>0) изображающая точка на любой
траектории движется слева направо (у = "^г>о), на нижней полуплоскости — справа
налево. Если траектория пересекает ось х> то такое пересечение всегда происходит под
прямым углом, так как в точке 2/ = ^7 = Означение хэкстремально. Другого рода фазовые
плоскости рассматриваются ниж, ев § 5, п. «д». ¦— Прим. ред.
362
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
теперь определяется уравнением
Лу = г(д?)+у/(*) /5з4)
д,х у \ • /
Для дальнейших исследований придадим системе E.33) более общий вид,
положив
<1х
или
Р{х,у), ^ = (?(х,у1-
^ = #Ц. E-35)
Ох Р(х,у) у '
Изоклины и теперь легко нанести на фазовую плоскость, а с их помощью
построить искомые траектории. Координаты особых точек на плоскости
определяются из уравнений
Р(х,у)=^ = О, 0(*,у,)=^ = О. E.36)
Фазовые траектории можно найти из построения изоклин или из
аналитического решения. Совместим для упрощения начало координат с
особой точкой и представим Р(х, у) и ()(х, у) в виде рядов Тейлора:
% = Шх+ШУ = ах + Ьу1 E'37)
Решение полученной системы уравнений, если аЛ-Ъс^ О, имеет простой
вид:
я = С'1е*1ЧСт2еЧ
у^С&^ + Сж**, E'39)
где
К% = |[а + й±У(а-йJ + 46с], E.40)
«1 = ~Т-, *2 = -!__. E.41)
По значениям А1? А2 можно определить, возвращается ли
изображающая точка обратно в начало координат х = О, у = 0 или уходит в
бесконечность (если одно из Х12 положительно). Подробнее этот вопрос
здесь не будет обсуждаться.
Выражения E.37), E.38) и вытекающее из них решение применимы
к фазовой траектории только вблизи особых точек. А какие движения
изображающей точки возможны на всей фазовой плоскости? Если
изображающая точка движется к фокусу, то этот фокус — устойчивая точка
равновесия. А если изображающая точка выведена из неустойчивого фокуса
или седловины, то уйдет ли она в бесконечность? Устойчивому
колебательному процессу всегда соответствует замкнутая траектория. К этой
замкнутой фазовой траектории сходятся все близко проходящие траектории
(фиг. 239).
Наглядным примером существования замкнутой траектории является
ламповый генератор. Уравнение сеточного напряжения генератора, вклю-
# 5. Колебания в нелинейных электрических цепях
363
ченного по схеме фиг. 235, уже выводилось; оно имеет вид
<Рид (Я М (Иа \ с1щ 1 ^
<&2 +и ЬС йид) сИ ^ ЬС 9
Следуя Н.М. Крылову, апроксимируем характеристику лампы
полиномом третьей степени
где для краткости обозначено д = 23/18. Тогда
й1* = я(\ -Л
Фиг. 239. Два случая существования замкнутого цикла.
а — замкнутый цикл, соответствующий самопроизвольно возникающим колебаниям (мягкое
возбуждение); б — замкнутый цикл существует только в том случае, когда система имеет достаточно
большой начальный запас энергии. В противном случае система возвращается в состояние покоя
(жесткое возбуждение).
и уравнение сеточного напряжения примет вид
л» + ь[1 яс\1 9 ? Ъц & +цс ия - и
Введя обозначения
= т,
Я»д,
E.44)
<?' " /Ш' *с
придадим исследуемому уравнению окончательную форму
2^A_т+|ш^+1 = 0. E.45)
Если опять ввести переменную У = ^у то вместо E.45) придем к
системе
из которой получается уравнение фазовых траекторий
Лу_ -^-^{Н"-'
их
E.47)
Фиг. 240. При правильно выбранных параметрах лампового генератора
получается замкнутый цикл, к которому стремятся все фазовые траектории.
а — установившиеся колебания синусоидальны; б — установившиеся колебания не
синусоидальны. Числа около изоклин обозначают тангенс угла наклона.
$ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях
365
Из этого выражения сразу видно, что точка с координатами х = 0, у = О
особая. Можно также записать и уравнение изоклин
()х
У =
(т — 1 — к()) — ~ тх2
E.48)
На фиг. 240 показаны фазовые траектории при конкретных
значениях коэффициентов в выражении для га. Из рисунка видно, как
траектории приходят к замкнутому циклу устойчивых колебаний;
отступление замкнутого цикла от эллипса характеризует содержание высших
гармоник.
д) Вынужденные колебания в нелинейном контуре
Рассмотрим схему фиг. 241. Уравнения Кирхгофа для этой цепи
имеют вид
д,Ф
Л + *К# = #0 8И1 0I, 1КП - с
Р ЯЬц __ 1с
йг
1 = 1к + *с«
Из них следует
В-
йг
С
Ц
I
Окончательно решение этой системы
приводит к уравнению
<РФ , 1 ЛФ
-Й*+Ш-й7 + п = С/0<» сов со* + ^вт со*.
Фиг. 247. Контур Л, Ц С с
нелинейной индуктивностью, питаемый
источником синусоидального
напряжения.
Я*
<и* ' кс (И^с
КС
Если теперь задаться простым соотношением между током и потоком
катушки, например I = агФ3, и перейти к новому началу отсчета
обобщенного времени г = соA —10), получим
5 + *§+фз = Бсо5т. E.49)
Необходимо выяснить, возможно ли вообще гармоническое
колебание с периодом возбуждающего напряжения? Чтобы ответить на этот
вопрос, запишем решение уравнения E.49) в следующей форме:
Ф(т) = х(х) вт т+?/(т) сов г E.49а)
и выясним, возможно ли решение с постоянными х (г), у(х), что как раз
соответствует простому гармоническому колебанию.
Подставим предполагаемое решение в наше уравнение E.49). Тогда
получим
&2х . , Л2у / \ • / ч
-г-*: 8Ш х + -тт-С08 х ~ х\х) 8Ш г — У(т) С08 г +
+ 2 -г^- сов г + к -^- вт г 4- кх сов г — 2 -~ вт г +
+ к-У- сой т — ку 8ш г4-х38т3г + Зх22/8т2гсо8 т +
4- Зг/2^: сов2 г вт г + 2/3 сов3 г = 5 сов г.
E.50)
366
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Чтобы продолжить исследование, введем теперь некоторые
упрощения. Будем считать, что х(т) и у(г) — медленно изменяющиеся
функции, т.е.
Ах Ау А2х Ах А2у Ау 7 л
Ах ' Ах у ' Ат2 Ах ' Ах2 Ах
Благодаря этому можно вычеркнуть члены, содержащие й2/с1т2.
Далее нас интересует только основная гармоника, поэтому в слагаемых,
содержащих
С083Т = — С08Г + -7-С08 3Г,
4 4
8ш3т= -Т8т3г+Т8тт,
4 4
С082 Г 81П Г = -т- (81П Г + 8Ш Зт) ,
81П2 Г С08 Г = —- (С08 Т — С08 Зг) .
мы ограничимся членами с основной частотой. Если функция Ф(х) —
действительно решение уравнения, то множители при со8т в правой части
E.49) должны в сумме равняться В, а множители при вт г в сумме
должны быть равны нулю. Исходя из этого условия, найдем, что1}
ч а, E*51)
-х-ку+±(х* + у*)х-2% = 0.
Вводя обозначение х2 + у2 = г2, окончательно получим2)
¦^ = *[в-кх + у-±Ы = Р(х, у),
А 1 3 E'52)
Имея в виду, что-^|-:-^-=-^-, получаем дифференциальное
уравнение фазовых траекторий у(х):
, — х—ку + -г ^ ^ ^ / х
В — кх + у — — ггу
Следовательно, эту задачу можно исследовать методом фазовой плоскости3).
Особая точка (х0, у0) не означает теперь положения покоя, а
определяет постоянную амплитуду гармонического колебания.
Устойчивый фокус означает, что после переходного процесса всегда устанавливается
колебание с постоянной амплитудой. Особая точка, в которой ни одна из
1} В первом уравнении E.51) отброшено слагаемое -кАу/А1, а во
втором—слагаемое к Ах\Аг. — Прим. ред.
2) Если бы слагаемые, указанные в предыдущем примечании, не были отброшены,
то в правой части E.52) стояли бы Р(х,у,у) и <3(х,у,х). — Прим. ред.
3) В этом случае, однако, у ?± Ах/Ах. Такого рода фазовую плоскость называют
плоскостью Ван-дер-Поля или плоскостью установления гармонических
колебаний. — Прим. ред.
$ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях 367
амплитуд не меняется (т.е. ^ = ^ = 0], находится из совместного
решения уравнений
<2(х, у) = -х-ку+—г2х = О,
Р(х, у)=В-кх + у--гГ2у = 0.
E.54)
2,5
2,0
45
ЬО
Ц5
\—*2*
гЧ
У ®7
Седло ™
у^^'устойчивый
/ V V V
Устойчивый
/
¦^^Уст
/У
7Ф
ойчивый $
рокус
узел
юкус
02
0,4
0,6
0,8
Ю
Фиг. 242. Графическое представление уравнения E.55). (По
Хайяси.)
Для амплитуды г* = х% + у% оба уравнения E.54) удовлетворяются при
В> = г1[(^г%-1J + к>].
E.55)
На фиг. 242 показана зависимость г* от В для различных значений к.
Прежде чем подробнее обсудить полученные результаты, рассмотрим
изоклины и фазовые траектории для двух частных случаев: к = 0,2, В =
= 0,3 и к = 0,7, В = 0,75. Уравнение изоклин имеет вид
— х — ку + — г2х
3
В-кх+у- — г2у
= сопв!.
E.56)
Изоклины и фазовые траектории изображены на фиг. 243, 244.
Обратимся сначала к случаю к = 0,2, В = 0,3. Как видно из фиг. 242, при
заданном В, т.е. амплитуде напряжений сети, получаются три значения
Фиг. 243. Фазовые траектории уравнения E.53) при /г = 0,2 и В=0,3.
Существуют два устойчивых фокуса 1 и 3. Они соответствуют колебаниям с
определенными амплитудами и фазами. В зависимости от начальных условий можно прийти
к одному из них. Цифры у изоклин показывают наклон фазовых траекторий;
например, кривые со знаком о© соединяют такие точки различных фазовых траекторий,
касательные к которым вертикальны. (По Хайяси.)
Фиг. 244. То же, что и на фиг. 243, но для /с=0,7 и В = 0,75.
В этом случае существует единственное стационарное состояние: все фазовые
траекторий схоятдся к одному узлу. (По Хайяси.)
$ 6. Дополнительные вопросы теории цепей 369
амплитуды синусоидальных колебаний, что соответствует трем особым
точкам на фиг. 243. Две из них — 1 и 3 — устойчивы, а третья неустойчива.
В случае &=0,7, В = 0,75 мы получаем одну-единственную устойчивую
точку, т.е. при заданном напряжении возможна одна-единственная
амплитуда тока. В первом случае, как видно из фиг. 243, амплитуда
устойчивых колебаний зависит от начального состояния. Следовательно,
возможны колебания с малой амплитудой (точка 7) и с большой амплитудой
(точка 3).
Необходимо еще обратить внимание на следующее интересное
обстоятельство. Если решение уравнения типа
-т4""~ еA —т^-у^ + а^ + аз*3 = 5со8Т E.57)
представлять в форме
г = х(т) вт т + 2/(т) соз т,
то на фазовой плоскости (х, у) могут существовать не только особые точки,
соответствующие гармоническим колебаниям с постоянной амплитудой
{х = х0 = сопз1, у = у0 = соп8й), но и предельные, или граничные циклы
для х(т) и у(т). Это значит, что х(т) и у(г) периодически изменяются
во времени, т.е. возникает периодическая модуляция колебаний,
происходящих по закону 8шг или сов т. Такие решения называются почти
периодическими; хотя периоды х(т) и у(х) не кратны периодам 8т г или
соз г, но через достаточно большой промежуток времени Т значение
тока ъ(х) почти точно совпадает с его первоначальной величиной.
В заключение отметим еще одно резкое отличие от соотношений,
обычных для линейного колебательного контура. Рассмотренное уже уравнение
-Л + д-^- + 1г = 5совт
ат* ах
может удовлетворяться и решением вида
1(г) = х{%) 8Ш \ + У (Г) С08 -|- + СО 008 г,
о о
где для х и у могут быть определены особые точки на фазовой плоскости.
Эти устойчивые точки соответствуют субгармоническим колебаниям. Можно
показать, что субгармонические колебания возникают только при
определенных начальных условиях.
Б. СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 6. Дополнительные вопросы теории цепей, связанные с задачами
синтеза
а) Плоскость комплексной частоты (р-плоскость)
Для исследования электрических цепей в случае любого изменения
токов и напряжений во времени нужно знать поведение цепи при
различных частотах синусоидального тока. Один из важнейших методов
исследования основывается на замене заданных функций времени суммой
синусоидальных функций различных частот (так называемое спектральное
представление).
24 К. Шимони
370 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Найдем зависимость сопротивления 2 или обратной ему величины,
т.е. проводимости
от частоты со. Для этого подключим цепь к источнику с напряжением
иЦсо) = *7те*-«, F.2)
у которого частота со или, лучше сказать, /со изменяется. Следовательно,
ищется функция 2{]со) или У(]'со). Задачу можно еще более обобщить.
Подключим цепь к источнику с напряжением
и(р) = ит&, F.3)
где р — произвольное комплексное число, и определим сопротивление или
проводимость как функции комплексного переменного р: 2(р), У(р).
Чисто синусоидальное напряжение получается при р = ]со.
С геометрической точки зрения задача определения 2(р) или У(р)
сводится к отображению плоскости комплексного переменного р с помощью
преобразования 2=2(р) или У = У(р)на плоскость 2 или 7, причем наиболее
важно отображение на плоскость 2 (или У) мнимой оси р = ]соу так как
ось р = ]со соответствует действительным частотам со. Соответствующую
линию на плоскости 2 (или У) называют диаграммой Найквиста или
годографом. Отрицательные частоты не имеют непосредственного физического
смысла.
Диаграмма Найквиста дает наглядное представление частотных
зависимостей сопротивления или проводимости. Однако возникает вопрос,
зачем исследовать функцию 2{р) для всей плоскости комплексного
переменного р = к+]со, если имеют смысл только величины,
соответствующие мнимой оси? Из теории функций комплексного переменного известно,
что свойства функции на всей плоскости очень просто определяются
отдельными характерными точками — особыми точками. Действительно,
как будет показано ниже, иммитанс электрической цепи однозначно
определяется (с точностью до несущественного постоянного множителя), если
заданы его нули и полюсы (полюсами называются точки, где функция
обращается в бесконечность). По положению нулей и полюсов функции
можно найти и характер функции на мнимой оси.
Ниже будет показано, что число и распределение особых точек
подчиняется очень простым законам и что электрическая цепь полностью
характеризуется значениями комплексного переменного р, которым
соответствуют особые точки рассматриваемого иммитанса.
Рассмотрим последовательный ^/.-контур (фиг. 245). Сопротивление
контура
2(р)=П + Ьр = ь(р+^:). F.4)
Обозначим /?! = —ВЩ тогда
2(р) = Цр-Р1). F.5)
Плоскость комплексного переменного р и плоскость функции 2(р)
изобразим рядом; мнимая ось плоскости р, как следует из зависимости
2Цсо) = П + ]'соЦ F.6)
отображается на плоскости ъ прямой линией (см. фиг. 245). Если на этой
прямой отметим численные значения частоты, то сопротивление (его модуль
$ 6. Дополнительные вопросы теории цепей
371
и аргумент) легко определить для любой частоты со. Следует заметить,
что 2(р) не имеет полюсов при конечных значениях р, но имеет нуль
(единственная особая точка рг = —ВЩУ когда р лежит на отрицательной
действительной полуоси. Эта точка обозначена на фиг. 245 маленьким
кружком.
<М
Фиг. 245. Сопротивление последовательного ЯЬ-контура.
Сопротивление параллельного Л1,-контура (фиг. 246) дается формулой
ад
КрЬ
К + рЬ '
или
—X
F.7)
F.8)
Фиг. 246. Сопротивление параллельного #1,-контура.
где рх = —В\Ь. Эта функция имеет нуль при р = 0 и полюс при р — рх —
= — ВЩ соответствующая точка на плоскости р отмечена крестиком
(см. фиг. 246). Отображение мнимой оси на плоскость 2 дано на той же
фиг. 246. Так как нуль лежит на мнимой оси, то на плоскости 2 график
функции 2(]'со) (годограф) проходит через начало координат.
Включим теперь последовательно с параллельным #1нконтуром
сопротивление Вт (фиг. 247). Отображением мнимой оси опять будет
окружность, но смещенная на величину Вт, так как 2(]со) ^о = Вт при
/со = 0. В этом случае
2(р)=Вт + -^
р+т
ЛтР + ^ + Вр
р+-
п
= (В+Вт)
Р~Р2
Р~Р1
F.9)
где
24»
Рг = ~Х' Р* =
ЯКт
я+кт ь
F.10)
372
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Мы видим, что на плоскости р положение полюса сохранилось, а нуль
сместился влево.
№*
-О-
®
л=-
ос
1
\]ш1
Фиг. 247. Последовательное включение сопротивления смещает нуль влево.
Сопротивление параллельного ДС-контура равно
Я 11
ад = -^т =
КрС+1 С р-рг '
где
F.11)
F.12)
Р1~ 'КС-
Функция 2(р) в этом случае не имеет нуля, а имеет только простой
полюс на отрицательной действительной полуоси.
Итак, для всех последовательных схем 2(р) имеет особые точки на
отрицательной действительной полуоси. Рассмотрим теперь случай
параллельного 1,С-контура. Сопротивление контура без потерь имеет вид
ь
С _ 1 р _ 1 р_
ад
Ьр +
рС
Г+7Е
где
Л = 'Ш'Л:
С (Р-Рг)(р-Рг)'
. 1
F.13)
Сопротивление контура с потерями (фиг. 248):
1 (П + Ьр)
Щ)
_ сР'
Е+^+с-р
ЬСр2 + ЯСр + 1
1
^(р-РхХр-Р!I
Р-Рз
где
_ Л , • ][ 1 Л2 Л
F.14)
F.15)
F.16)
В обоих случаях функция сопротивления имеет один нуль на
отрицательной действительной полуоси и два простых
комплексно-сопряженных полюса.
Последовательный 1/С-контур (фиг. 249) имеет только один полюс
на отрицательной действительной полуоси (в начале координат) и два
комплексно-сопряженных простых нуля. Функция сопротивления этого
контура имеет вид
2{р)=В + Ьр+^=ьЬ-**Ь-»\
F.17)
$ 6. Дополнительные вопросы теории цепей 373
где рг и р2 те же, что и для параллельного контура, но это теперь нули
(при этих значениях 2(р1) = 2(р2) = 0). Единственный полюс функции 2{р)
соответствует точке р = 0.
Фиг. 248. Сопротивление параллельного ХС-контура.
Полюсы контура без потерь показаны пунктирными крестиками. При заданных параметрах
и различных затуханиях полюсы расположены на окружности радиусом (о0=\/УЬС.
Если последовательно соединить несколько параллельных
колебательных контуров (фиг. 250,а), то при отсутствии потерь получим для
сопротивления выражение
2{р) %с4 (р-рп)(р-р*2)
F.18)
№Ь(Р)
Ш = 0 Ш=+СО
по'
о
7
ОС
О0 = ~оо Ш=0
Фиг. 249. Сопротивление одного последовательного ХС-контура.
Для каждого колебательного контура существует два
комплексно-сопряженных полиса. Если заменить некоторые из контуров емкостью или
индуктивностью, то соответствующие им полюсы обращаются в р = 0 и
р = со. В этом случае
*Ь)-г2Ы-ЗЬ1,_лЛ'1,_„+т
F.19)
>-ч4&У
1-к(Х1г*
а
1 /+
\ ! 1
1 \
Ч^ '
^
± ±
I I
а
Р
Л)
* V"
Фиг. 250. а — Полюсы последовательно включенных параллельных
ХС-контуров; б — нули параллельно включенных последовательных
контуров.
Фиг. 251. Изображение модуля сопротивления Ъ (р) на
комплексной плоскости.
$ 6. Дополнительные вопросы теории цепей
375
\2(Р)\
Р- Для
колебательного конту-
нижней полуплоскости
к
с,
То же самое относится к нулям, если ряд последовательных
колебательных контуров соединить параллельно (см. фиг. 250,6). Нули на фиг. 250,а
и полюсы на фиг. 250,6 не обозначены, так как об их положении мы ничего
не можем сказать. Отсутствие этих точек на рисунках, однако, не означает,
что таких нулей или полюсов нет.
На фиг. 251 представлена функция
ра в виде рельефа над частью плоскости
эта функция зеркально симметрична.
На рисунке показана и обычная
резонансная кривая, которая получается
как линия пересечения
поверхности \2(р)\ с плоскостью, проходящей
через мнимую ось р = ]'со и
перпендикулярной плоскости комплексного
переменного р.
Из рассмотренных примеров уже
можно сделать следующие выводы,
которые, как будет установлено ниже,
относятся и к самому общему случаю:
а) нули и полюсы расположены
на левой полуплоскости [Ке(/?)<0],
иногда на мнимой оси, но никогда не
находятся на правой полуплоскости;
б) нули и полюсы,
расположенные на действительной оси,
—простые, остальные образуют комплексно-сопряженные пары;
в) отображение мнимой оси р = /Ъна комплексную плоскость 2
представляется линией, симметричной относительно действительной оси этой
плоскости, т.е.
2(}Ъ) =2*(-/а>).
Здесь звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина.
Значение такой симметрии станет ясным из дальнейшего.
Перейдем теперь к примеру, из которого видны границы действия
этих закономерностей и которым подчеркиваются их важнейшие стороны.
На фиг. 252 представлена известная схема генератора (трехточечная
емкостная схема, или схема Колпица). Если представить генератор как
усилитель с обратной связью (см. фиг. 252), то можно применить уже известные
методы расчета цепей. Заменяя напряжение 02 с помощью
равенства #2 = 1212 и исключая из уравнения генератора ток 12у получим после
простых преобразований входное сопротивление
Фиг. 252. Схема Колпица для получения
незатухающих колебаний.
^ [2, + /?A-/>J>]A+|?+^)-/И1,(-$2,-
Т. =
Й
F.20)
Так как теперь
2* ~ РЬ+^с1' 2в ~ Д' 2* ~ -&[' №* = рсг>
F.21)
376
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
ТО
V 1 + р2ХС2/' рбЧ^4"^ ^ Л_ 1 + р2^С2/)СД 1 + />2ХС2;
Т2 = 1 ?1 1 1 • F'22)
1 1_| 1
Рсх г, рс\ 1
Получилось довольно сложное выражение, но сейчас достаточно
исследовать упрощенный частный случай. Допустим, что сопротивление В
много больше остальных сопротивлений схемы, а 12{ | много
меньше | 11рСх\ . Тогда числитель входного сопротивления принимает вид
111 * * А1, F.23)
рСг 2, рСг 1 + р22Г2 Ъ{
где коэффициент усиления А0^ определяется из уравнения
82ч А1*
F.24)
2, ^
Выражение F.23), а следовательно, и входное сопротивление равны
нулю при значениях р, удовлетворяющих уравнению
111 11
рСг X, рСг 1 + р21С2 2,
А1 = 0, F.25)
т.е. при
р = ±УА1^1щ, F.26)
где со0 = УТ]ЬС2. При А1, > 1 получается нуль и на правой
полуплоскости. Сразу видно, что существование этого нуля указывает на
нестабильность цепи. Если входное сопротивление равно нулю, то при
отсутствии напряжения на входе A/0 = 0) может существовать конечный
ток /х; это указывает на возбуждение собственных колебаний. В цепи
возникают колебания, амплитуда которых растет экспоненциально.
Диаграмма Найквистаимееттеперь ту особенность, что она охватывает начало
координат; анализ возникающих при этом колебаний будет проведен ниже.
б) Иммитанс пассивных электрических цепей на плоскости комплексного
переменного
Общее выражение иммитанса, а именно
%¦ или -?- F.27)
было уже найдено. Элементы определителей содержат произведения
сомножителей типа
2*=В* + рЦк + -^. ' F.28)
Следовательно, выражения F.27) представляют собой дроби, числитель
и знаменатель которых может содержать комплексное переменное р
одновременно в отрицательных и положительных степенях. Если умножить
числитель и знаменатель на р в положительной степени, по абсолютной
величине равной наибольшей отрицательной степени р числителя или зна-
$ 6. Дополнительные вопросы теории цепей
377
менателя, то получится дробь, у которой числитель и знаменатель —
полиномы:
Известно, что каждый полином п-и степени имеет п корней и может
быть записан как произведение двучленов вида (р—рд- Поэтому
ад = к (р-*1)(р-*>)г-(р-*п\ (б.зо)
Г/ (Р-Р1)(Р-Р2) .-.(Р-Рт)
где 2| и Рг — нули соответственно числителя и знаменателя, т.е. ^—
нули иммитанса, а р{ — его полюсы. Какими свойствами обладает
функция 2(р)?
Заметим прежде всего, что коэффициенты числителя и знаменателя —
действительные числа, так как они составлены из действительных
величин И, Ьу С, Уже одно это обстоятельство приводит к важному следствию:
комплексно-сопряженным значениям переменного р* соответствуют
комплексно-сопряженные значения иммитанса 2*. Отсюда сразу получается
уже известная частотная зависимость иммитанса, а именно: в случае чисто
мнимой переменной р =]со иммитансы при частотах +сои —со имеют
одинаковые действительные части и отличающиеся знаком мнимые части, т.е.
действительная часть 2(]со) — четная функция частоты со, а мнимая часть —
нечетная.
При действительных коэффициентах числителя и знаменателя нули
и полюсы иммитанса, т.е. корни полинома с действительными
коэффициентами, могут быть или действительными или комплексно-сопряженными.
В обоих случаях нули и полюсы симметричны относительно
действительной оси.
Нули и полюсы не могут находиться в любой части плоскости
комплексного переменного р. Для пассивных четырехполюсников они
подчиняются простому правилу, гласящему, что нули и полюсы входного
сопротивления не могут находиться в правой полуплоскости. Доказательством
служит математическая формулировка понятия о пассивной
электрической цепи: в пассивной цепи могут существовать только затухающие
колебания, а в идеальном случае электрической цепи без потерь —
незатухающие колебания, но колебания никогда не нарастают.
Полюсы и нули характеризуют свойства пассивной цепи. Чтобы в
этом убедиться, присоединим двухполюсник к генератору с
напряжением и = ?7еР'(фиг. 253). Равенство 11=12(р) выражает связь между
напряжением и током. В общем случае решение отлично от нулевого (когда
[/ = 0 и 1 = 0) только при наличии источника, отдающего мощность.
Однако напряжение отлично от нуля при /=0, если 2(р) = ^у и напряжение
равно нулю при конечном токе, если 2(р) = 0. Сопротивление 2{р)
бесконечно велико в полюсах. Следовательно, возможно решение вида
А1еР*+А2еР*г+ ..., F.31)
где ръ р2, .. . — полюсы функции 2(р). Каждое слагаемое должно
выражать затухающий процесс. Затухающий процесс возможен только при
корнях ръ р2 и т.д., имеющих отрицательную действительную часть.
В крайнем случае некоторые корни могут иметь равную нулю
действительную часть. Но это и означает, что полюсы не могут находиться на правой
полуплоскости.
378
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В случае короткого замыкания входных зажимов электрической цепи
на фиг. 253 возможен только такой режим, для которого
сопротивление 2(р) = 0. Процесс описывается функцией
В1е^1 + В2ег21+ . . . , F.32)
где гъ 22,... — нули функции ъ(р). Каждое слагаемое
соответствует затухающему колебанию или в крайнем случае стационарному
колебательному процессу. Такие режимы возможны лишь при отрицательной
или равной нулю действительной части комплексов гъ я2,... .
Поэтому функция 2(р) на правой полуплоскости не имеет и нулей.
Стабильность электрических цепей обеспечивается, кроме того, только при простых
полюсах на мнимой оси р = /со.
1=0, ]Ф0 В противном случае (случай
кратер 1 ных корней) решение имеет вид
С^ч + Съи*9*. F.33)
1
2(р) и*о
Щр)
I
Множитель г соответствует
нарастанию процесса, что
возможно только в активных цепях.
Фиг. 253. К определению физического смысла Замечания относительно ну-
полюсов и нулей сопротивления. лей и полюсов сопротивления
относятся и к его обратной
величине — проводимости, но нули и полюсы в этомслучае меняются местами.
Выражения взаимных иммитансов содержат определитель В в
числителе или знаменателе, поэтому сказанное относится или к нулям,
или к полюсам.
Итак, стабильность электрической цепи связана с расположением
полюсов и нулей входного сопротивления 2(р). У активных электрических
цепей, которые, например, содержат усилители, полюс или нуль
может быть и на правой полуплоскости. В этом случае электрическая цепь
нестабильна и самовозбуждается. Свойства пассивных и активных
электрических цепей при различных частотах лучше всего исследовать
с помощью диаграммы Найквиста; вопрос об их устойчивости также
решается построением этой диаграммы. Электрическую цепь называют
устойчивой, или стабильной, если входное сопротивление не имеет
полюсов и нулей на правой полуплоскости.
В § 17, ч. III [ф-ла A7.39)] показано, как найти разность числа полюсов
и числа нулей функции Р(г) в области, ограниченной кривой С. Надо
построить на плоскости Р контур С", отображающий кривую С, и
подсчитать, сколько раз контур С охватывает начало координат. Это число
равно разности чисел нулей и полюсов функции Р в области, ограниченной
кривой С. Интересующая нас область — правая полуплоскость.
Ограничивающая ее кривая С состоит из мнимой оси р = /со и
полуокружности, лежащей правее мнимой оси, с центром в начале координат и
радиусом./?-^ (в пределе дуга окружности совпадает с бесконечно удаленной
точкой). Отображение граничной кривой С на плоскость 2(р), т.е. контур С,
и есть диаграмма Найквиста.
Критерий устойчивости Найквиста следующий: если на диаграмме
годограф вектора 2(]'со) при изменении частоты со от — °° до +«>
охватывает начало координат, то электрическая цепь наверняка неустойчива
(фиг. 254). В противном случае можно только утверждать, что разность чисел
полюсов и нулей в правой полуплоскости равна нулю, т.е. число нулей
# 6. Дополнительные вопросы теории цепей
379
равно числу полюсов. Дальнейшие заключения возможно сделать лишь
после того, как будет установлено отсутствие нулей в правой
полуплоскости. Тогда можно будет утверждать, что и в правой полуплоскости
полюсы отсутствуют.
Для четырехполюсника с обратной связью определение
устойчивости упрощается. Запишем уравнение C.70) при разомкнутых выходных
зажимах (т.е. при 22-*°°):
(в отличие от C.70), напряжение на входе четырехполюсника обозначено
здесь через ИУЪ а не через #0). Здесь коэффициент усиления Аж равен
4Ф
М
3>\ 12
-о4
ИЗ
1С
("Г
ч. 0
2
Г 1
1 1М
л |.т]
\ ^1
Ц3 1 \ \
А
5
Ъъ{-РАоо)
Фиг. 254. Диаграмма Найквиста для схемы Колпица
При увеличении обратной связи кривая — рАоо может охватить
точку (-1,0).
отношению напряжений 0'2/0'1 при разомкнутых выходных
зажимах и при отсутствии обратной связи. В общем случае как А^ так и /3 —
функции переменного р.
Если знаменатель.равен нулю, то взаимная функция наверняка имеет
полюс. Следовательно, нужно построить годограф
1-РА.
F.35)
и выяснить, охватывает ли он начало координат при изменении со
от —оо до +оо. Обычно строят годограф РА**,. В этом случае знаменатель
выражения F.34) имеет нули, когда построенная кривая охватывает
точку (-1,/0).
380
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
На рис. 254 показаны диаграммы Найквиста для генератора по
схеме Колпица (см. также фиг. 252) при двух значениях сопротивления В.
С ростом сипротивления В увеличивается /? и годограф /ЗАоо охватывает
точку (-1,/0).
Мы можем сделать заключения и о разности чисел полюсов и нулей.
Числа полюсов и нулей отличаются не более чем на единицу. Основание
для этого утверждения следующее.
В конечном счете нас интересует функция 2(]со). При
обозначениях, указанных на фиг. 255, имеем
2Цсо)
__ Ь 0-*1> 0'в>-г«) • ¦ • 0'в>-Я») _ Уг\Уг\
' И^-Рг) исо-р2) . . . (](о-рт) ур1У1
F.36)
р2 • ¦
где пи т- соответственно числа нулей и полюсов. Отсюда для \2{]со)\
= 2(со) и ср(со) получаем
2(а>) = А-
УЛ V*
ур.ур
F.37)
и
п т
<р(со) = агс2(/Ъ) = 2 Угх- 2 9>р*>
г=1 г«=1
F.38)
Угъ Ун, • • • — абсолютные
где _,
значения Уг1, Р22,•. . •
Из физических соображений
ясно, что Ке[2(/'о>)] = В (со), т.е.
действительная часть 2(р)т оси
мнимых величин всегда имеет
положительные значения. Произведение
г2В—это мощность потерь,
которая для пассивных электрических
цепей всегда положительна; отрицательное В соответствует развиваемой
мощности. Следовательно, в пассивных электрических цепях отрицательное
сопротивление В получить невозможно. Полученное неравенство В(со)^0
означает, что
Фиг. 255. Полюсы и нули пассивного
сопротивления.
~2
ср = аг§ 2Цсо)
F.39)
Но из фиг. 255 следует, что при очень больших значениях со все
аргументы срг1 и <рр{ стремятся к л/2. Если бы числа полюсов и нулей отличались
более чем на единицу, то аргумент ср сопротивления 2{]со) мог бы быть и
больше Л-л/2 или меньше — л/2.
Мы считали здесь к действительным положительным числом. Что
к -действительная величина, следует из вещественности всех констант
функции 2{]со). Если же к не положительное, а отрицательное число,
то аг§ к = л и при со -> <» условие В(со) > 0 требует выполнения
неравенства
л л л ,
+ 1
или
п — т
-1,
F.40)
F.41)
$ 6. Дополнительные вопросы теории цепей 381
вместо прежнего условия
-1*ъп-т^ +1. F.42)
Так как В(со) — четная функция со, те же утверждения относятся и к
частоте со -* — <*>. При положительных к и со -*- — оо мы приходим к
зависимости
-1 ^т-п^ + 1, F.43)
что согласуется с уравнением F.42), а при &< 0 получаем — 3*^т — /г =^ — 1,
что противоречит уравнению F.41).
Для цепей, состоящих из чисто реактивных элементов, получаются
дальнейшие ограничения. Полюсы и нули такой цепи лежат только на
мнимой оси: в противном случае мы получили бы затухающие процессы,
что невозможно при отсутствии омических сопротивлений. Число
полюсов не может равняться числу нулей, иначе аргумент у был бы равен
нулю, т.е. входное сопротивление было бы действительным активным,
а не мнимым реактивным. Числа полюсов и нулей должны отличаться как
раз на единицу. Это условие выполняется, когда начало координат —
особая точка типа полюса или нуля. Другие полюсы и нули объединяются
в комплексно-сопряженные пары.
Мы уже знаем, что полюсы и нули пассивной электрической цепи лежат
на действительной оси или образуют комплексно-сопряженные пары и что
находящиеся на мнимой оси особые точки простые. Докажем теперь, что
вычеты в полюсах, лежащих на мнимой оси, действительны и
положительны. Пусть р0 = ]'со0 — полюс сопротивления 2(р). Тогда ряд Тейлора для
функции 2(р) имеет вид
2М = Т=Г +ао + «10>-Ро)+ • • • , F.44)
Р — Ро
ямы, следовательно, утверждаем, что а_± — действительное
положительное число. Если р0 = ]'со0 — нуль сопротивления %{р), то ряд Тейлора
имеет вид
2(р) = Ъ1 (р-Ро) + Ъ2(р-р0)*+ ..., F.45)
и мы утверждаем, что Ь± — также действительное положительное
число. Вблизи особой точки
2№*"Г1Г или ад%61(Р-Л). F-46)
Р — Ро
Если двигаться снизу вдоль мнимой оси, то при прохождении точки р0
величина р—р0 = ]'(со — со0) изменит знак. При комплексных а_х или Ъх
действительная часть 2(р) также изменила бы знак. Выше или ниже
точки Ро = /% действительная часть 2(р) была бы отрицательной, что
невозможно. Следовательно, ах и Ъх — действительные числа. Докажем с
помощью критерия Найквиста, что они положительны.
Доказательство мы проведем для полюса; для нуля можно было бы
исследовать не сопротивление 2(р)у а его обратную величину, т.е. У(р).
Эта функция имеет полюсы в точках, где 2(р) равно нулю. Так как
1 % * = а-1 F 47)
2(р) Ъ^р-ро) р-р0 '
то а_х = \\ЪЪ и при действительном положительном а_1 получается
действительное положительное Ъг.
382
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Построим диаграмму Найквиста для 2(р). На плоскости р укажем
граничную кривую правой полуплоскости (фиг. 256), причем, как обычно,
обойдем полюс р0 по полуокружности маленького радиуса. В этом
случае 7>{р) —аналитическая функция на граничной кривой. При/?-+р0
полуокружность маленького ра-
с/^1®
То
р
а.,<0
Р-Ро
ос
диуса преобразуется в
полуокружность со все
увеличивающимся радиусом, как
следует из выражения
ад
F.48)
Р-Ро
На фиг. 256 показана
отображение
полуокружности маленького радиуса
при положительном значении
#_1. Остальная часть мнимой
оси преобразуется в кривую
на правой полуплоскости 2,
симметричную относительно
действительной оси.
Если добавить часть кривой, соответствующую отрицательным
значениям а_г или Ьь показанную на рисунке пунктиром, то получится
диаграмма Найквиста, всегда охватывающая начало координат. Для пассивной
электрической цепи это невозможно: сопротивление 2(р) не имеет нулей
и полюсов на правой полуплоскости.
Фиг. 256. Если бы вычет а_х был отрицательным,
то кривая, отображающая ось мнимых величин
р=]со , охватила бы начало координат, что
означало бы неустойчивость.
§ 7. Основная проблема синтеза электрических цепей
а) Условия реализуемости
Выше было показано, что проще всего определитьхарактерные свойства
пассивной электрической цепи, задав полюсы и нули функции иммитанса.
Характер распределения этих точек на плоскости р для реальных
электрических цепей был подробно рассмотрен. При синтезе электрических цепей
ставится обратная задача — нужно реализовать электрическую цепь,,
некоторые свойства которой предписаны. Значение слова синтез несколько
уже, так как речь идет только о реализации электрической цепи с заданным»
свойствами частотной характеристики.
Что же предписывается в задачах синтеза? В наиболее простом
случае требуется составить цепь, для которой заданы нули и полюсы функции.
Мы знаем условия, которым подчиняются эти точки, и можем составить
функцию 2{р). Практически в большинстве случаев нас даже интересует
только \2{]со)\ = г(со) или <р(со), иногда — только действительная часть
Ке 2,(]со) = В(со). По положению нулей и полюсов могут быть найдены
все эти величины.
Иногда требуется, чтобы реализуемая цепь по определенному
закону преобразовывала напряжение заданной формы, например импульс
напряжения или скачкообразно изменяющееся напряжение.
В дальнейшем будет показано, что и эти требования приводят к задаче
реализации сопротивления с известными полюсами и нулями, т.е.
реализации сопротивления
# 7. Основная проблема синтеза электрических цепей
383
Если предписываются полюсы и нули, то мы знаем, где они должны
находиться, чтобы функция 2(р) принадлежала реальной электрической
цепи, и каким должно быть относительное число полюсов и нулей, чтобы
функция %(]'со) имела положительную действительную часть. Если же
функция 2(р) задана дробью G.1), то целесообразно условия
реализуемости немного изменить. Мы уже знаем, что функция 2(р) — аналитическая
на правой полуплоскости, причем на оси мнимых величин р = ]'со
действительная часть функции всегда положительна. Кроме того, из теории
функций комплексного переменного известно, что действительная часть
имеет максимумы и минимумы на граничной кривой. Так как
действительная часть Ке 2(р) на граничной кривой положительна, то и
нигде на правой полуплоскости она не может быть отрицательной.
И наоборот, мы можем утверждать, что 2(р) — сопротивление
реализуемой электрической цепи, если: а) 2(р) — рациональная функция
комплексного переменного р; б) Ке 2{р) ^ 0 при Ке р > 0 и в) при
действительных р функция 2(р) — действительная функция переменного р.
Короче говоря, можно утверждать, что 2(р) должна быть
положительной действительной функцией.
Существуют методы, позволяющие выяснить, является ли функция
положительной действительной. Однако эта задача здесь не
рассматривается.
При синтезе обычно ищут электрическую цепь по заданной
функции входного сопротивления 2{р). Следовательно, нужно найти
схему электрической цепи и ее составные элементы, при которых входное
сопротивление есть заданная функция 2(р). При решении этой задачи
функцию 2(р) разлагают на составляющие, которые можно представить как
простые параллельные или последовательные соединения основных
элементов электрической цепи. Так, например, функции
• -, кр, -ЙЧ- G.2)
соответствуют емкости, индуктивности и колебательному контуру.
В дальнейшем мы убедимся, что в общем случае по известной
функции 2(р) можно составить не одну, а несколько эквивалентных схем,
обладающих одинаковыми частотными характеристиками. Чтобы выбрать одну
из них, нужно сравнить эти схемы с технологической или экономической
точки зрения.
б) Зависимость между действительной и мнимой частями сопротивления
Внутренняя связь действительной и мнимой частей
сопротивления^/?) проявляется уже в известной нам зависимости свойств
функции 2(р) от положения ее полюсов и нулей. Если одна часть
комплекса 2(]со) задана как функция частоты со, то другая часть должна
определяться тем или иным способом.
Но есть одно ограничение. Из физических соображений ясно, что
действительная часть сопротивления не изменится, если последовательно
с заданным двухполюсником включить любой другой двухполюсник из
реактивных элементов. Таким образом, по известной действительной
части мнимая часть определяется с точностью до произвольного
двухполюсника из реактивных элементов. При заданной мнимой части мы можем
включать последовательно различные чисто омические сопротивления.
384 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Следовательно, действительная часть определяется с точностью до
постоянного множителя.
Если учесть, что реальные пассивные электрические цепи всегда
имеют потери и чисто реактивные цепи неосуществимы, то можно
сформулировать более сильные условия. Например, полюсы и нули не могут
находиться на мнимой оси р = /а>; действительная часть сопротивления
всегда определяет мнимую и т.д. Однако в дальнейшем мы будем считать,
как обычно, что реализуемы и чисто реактивные электрические цепи.
Докажем возможность определения мнимой части функции, например
сопротивления %(р), по заданной действительной части и посмотрим, как
решается эта задача. Пусть Ъ(р) — сопротивление электрической цепи
„минимально реактивного" типа, т.е. такой цепи, которая не содержит
№
о
х
с \
а
и-
Фиг. 257. Путь интегрирования в уравнениях G.3) и G.4).
реактивных элементов, включенных последовательно с остальной цепью;
тогда 2(р) не имеет полюсов на мнимой оси р = /со. Для такой функции
'ад<*р = о,
G.3)
где С— контур интегрирования (фиг. 257). В области, ограниченной
контуром, и на самом контуре нет особых точек функции 2(р)
Пусть со± — произвольное, но фиксированное значение частоты. Тогда
для контура АвЬЕРС (см. фиг. 257) имеем
2(Р)
Ар = О,
G.4)
причем особые точки +]Щ и —/сох нужно, как обычно, обойти по
полуокружностям маленького радиуса. Таким образом, контур
интегрирования состоит теперь из двух полуокружностей малого радиуса, части
мнимой оси р = ]со и полуокружности большого радиуса с центром в
начале координат, лежащей правее мнимой оси. Функция 2(р) не имеет
полюсов на мнимой оси и в бесконечности, т.е. не обращается в
бесконечность, и интеграл по дуге большого радиуса стремится к нулю, так как
функция 11(р2 + со1) уменьшается достаточно быстро. На полуокружности ВВ
Г4г^^-^(-м) Г-ст = ^(-м)^- ({——гЧ*- (?-5)
ВД
ВБ
ВБ
^ 7. Основная проблема синтеза электрических цепей
385
Если радиус г полуокружности ВБ стремится к нулю, то подынтегральная
функция {/(р — ]^) остается конечной и интеграл стремится к нулю,
а интеграл от функции {Цр + ^со^ равен /л: (см. разд. В ч. III).
Следовательно,
ВБ
Аналогично
Но так как
то
2(/со1)=2*(-/Ч), G.8)
1'+[ = 1^\т2Ца>1). G.9)
ВБ ЕЕ
Итак, в пределе интеграл вдоль оставшейся части мнимой оси р = /Ъ
равен интегралу вдоль всей мнимой оси. Поэтому уравнение G.2)
преобразуется к виду
/<Й? Ао + ^1т^(/«1) = 0, G.10)
или
1^^=~й1т2{^ GЛ1)
откуда, разделяя действительную и мнимую части, получаем
ЯЗ^ *» = <>• <7-13>
Последняя зависимость — только следствие нечетности мнимой части
функции сопротивления 1т 2(]со) относительно частоты со. А первое
уравнение дает возможность найти мнимую часть сопротивления 1т Щсо)
по известной действительной части Ке2(/со). Заметим, что так
называемое преобразование Гильберта определяет действительную часть
функции по ее мнимой части.
Метод, предложенный Боде, еще сильнее подчеркивает теоретические
предпосылки исследуемой зависимости между действительной и мнимой
частями функции. Перепишем заданную функцию
не ад=^:^:: •••:„<:=#* а.щ
; В0+ &1Сог+ ... +Втсогт В(со2) х '
в следующем виде:
Ке2исо)=±[2(р)+2(-р)]\ . = §=^\ . , G.15)
25 К. Шимони
386
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
причем, как известно, 2(—р) = 2*(р) при р = ]'со и сумма комплексной
величины и ее сопряженного значения дает удвоенное значение
действительной части.
Исследуем свойства полученной функции
А1~Р2) G.16)
на всей плоскости комплексного переменного р. Из уравнения G.15)
следует, что полюсами этой функции являются полюсы 2(р) и 2( — р). Если
Ръ Ръ • • • ,Рп — полюсы 2(р), то функция 2{—р) имеет полюсы — ръ —р2,
. . . , — рп. Так как полюсы ръ р2 и т.д. расположены на левой
полуплоскости, то полюсы —ръ — р2 и т.д. лежат на правой полуплоскости.
Чтобы по функции А(—р2)/В( — р2) определить сопротивление 2(р),
достаточно учесть только полюсы, лежащие на левой полуплоскости.
Теперь ясно также, почему нужно исключить полюсы на мнимой оси:
их нельзя отнести к полюсам на правой или левой полуплоскостях,
поэтому нельзя однозначно решить, относятся ли они к функции 2(р) или к
функции 2( — р).
Далее мы можем утверждать, что вычеты функции 2(р) в полюсах р17
/?2, • • • , рп с точностью до множителя 2 совпадают с вычетами
функции А( — р2)/В(—р2), так как2( — р) в этих точках регулярна. В бесконечности
функции 2(р) и 2{—р) по луча ют одинаковые значения, а именно A/2)Л0/Я0.
Таким образом, искомая функция 2(р) имеет вид
2(р) = _?*1-+_?*»_ + . . . +^_ + _^ , G.17)
Г Р-Р1 Р~Р2 Р-Рп В0 '
где кр — вычеты функции А( — р2)/В(—р2) в точках ри левой
полуплоскости. Как следует из § 17 ч. III, вычет
Пусть, например,
Тогда
Ке2(/о,)=-1^г. G.19)
G.20)
Полюсы совпадают с нулями знаменателя. Уравнение
р« = 1 G.21)
имеет корни
А = е,Р, * = 0, 1, 2, . . . , 5. G.22)
Как показано на фиг. 258, полюсы р2, р3, рА расположены на левой
полуплоскости. Вычеты функции 1/A — р6) в этих точках легко вычислить
по формуле A7.30). Например,
*2 = [(Р~Р2)
-1
(Р-Ро) (Р-Рг) • • • (р-р5Iр = Р2
1
(Рг-Ро) (Р2-Р1) • • • {Рг-Рь) *
G.23)
$ 8. Реализация реактивных электрических цепей* 387
После подстановки значений рР получаем
Аналогично находим
я2 - 6 е
^з —ё"' ^* ~
По формуле G.17) искомая функция сопротивления имеет вид
2(р) =
2*г 2*3 2к,
Р~Рг Р-Рз Р-Р* '
G.24)
G.25)
G.26)
Рг
—X-
Рз
?4
X
±
ш
р»
2ср; = /
-X—
Р5
Фиг. 255. Полюсы функций
2(^) и 2(-р) .
Фиг. 259. Возможность реализации не
зависящего от частоты омического
сопротивления с помощью цепи,
содержащей активные и реактивные элементы :
2(р) = Ткг+Тй72
= 1
или после преобразований при найденных значениях кР
ад=-Н-
р+2
р2 + р +
+
G.27)
Теперь еще надо ответить на вопрос: как реализовать это
„эквивалентное сопротивление", т.е. как реализовать чисто омические и чисто
реактивные сопротивления? Реализация чисто реактивных сопротивлений
будет рассмотрена в следующем параграфе. Чисто омические сопротивления
реализуются проще всего с помощью одного-единственного сопротивления.
Однако имеются и другие возможности (фиг. 259).
§ 8. Реализация реактишых электрических цепей
а ) Реализация реактивных двухполюсников
В случае реактивных электрических цепей наши выводы можно
усилить, так как их свойства проще и нагляднее, чем в общем случае
электрической цепи. На вопрос о реализации таких цепей отвечает теорема Фос-
тера: Реактивные электрические цепи всегда могут быть реализованы с
25*
388 • Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
помощью параллельного включения последовательных контуров или
последовательного включения параллельных контуров.
Доказательство теоремы следующее. Заданное сопротивление 2(р)
должно быть нечетной функцией р, так .как \т2/{]со)— всегда нечетная
функция частоты, а для реактивных цепей существует только мнимая часть
сопротивления 2(р). Отсюда следует свойство функции, ранее
доказанное другим путем: полюсы и нули 2,{р) могут быть расположены только
на мнимой оси р = /со. Каждому полюсу р0 или нулю 20
соответствует полюс — р0 или нуль — я0, т.е., как было показано в § б, на
мнимой оси находятся комплексно-сопряженные пары простых полюсов
и нулей. Теорема Фостера утверждает, что эти полюсы и нули чередуются
на мнимой оси. Предположим, что рядом находятся два нуля (без полюса
между ними). Тогда, как показано на фиг. 260, мнимая часть
сопротивления 1т ХЦсо) = х(соI возрастая (или
уменьшаясь) от нуля, проходит через максимум
(или минимум) и снова принимает нулевое
значение. В первом и втором нуле производная
йх/ско имеет разный знак, что невозможно.
Действительно, в окрестности точки р0
2(р)^Ь1(р-Ро) --= Мсо-соо), (8.1)
Х@))
а так как х(со) определяется
Щсо) = ]х(со), то производная
с1х(со)
с1со
= ьх.
равенством
(8.2)
Фиг. 260. Невозможный
график функции х(со)
Но мы уже знаем из § б, что коэффициенты
Ьг всегда положительны. Поэтому функция
х(со), проходя через нулевые значения, может
только возрастать, что в свою очередь
возможно только тогда, когда между нулями находится полюс. По этой
же причине не могут рядом находиться два полюса.
Сопротивление 2(р) записывают с помощью его полюсов и вычетов
или в форме произведения простейших двучленов. В первом случае
2Кр
Р в Р +С°*
+ /СооР,
где слагаемые с полюсами + 1со3 и — ]'со8 объединены:
к8 (. к8 _ 2к,р
- +- .
р-]Со8 р+]со8
р2 + со*
(8.3)
(8.4)
Здесь к8 как вычет в полюсе +/со8 и одновременно -]со8 положителен.
Мы замечаем, что если точка /? = 0не является полюсом, т.е. если
слагаемое к0/р отсутствует, то при р = 0 сопротивление 2(р) = 0.
Это свойство нам уже известно из § 6. В начале координат находится либо
полюс, либо нуль. Затем нули и полюсы чередуются. Точка р = «> - либо
полюс, либо нуль. Возможные графики функции х(со) показаны на
фиг. 261. Кривая х(со) с ростом со всегда монотонно нарастает. Последнее
утверждение еще нужно доказать, так как раньше это свойство было
отмечено только вблизи нулей. Действительно,
Щсо) = ]х(со) - -^+ 2 -4^~
Ч/ ' }, ' ]СО ~ со* -со
Н-УАввй)
(8.5)
$ 8. Реализация реактивных электрических цепей
3«9
а крутизна
х(со) = - *1 +2-г!?Ц- + *ооО)>
у ' со ~ со2-со2 '
~ со2 ^ ^ К-со2J "+"А1->и'
с&о
(8.6)
(8.7)
так как все к положительные.
Из формулы (8.6) следует, что 2(р) можно реализовать
последовательным включением параллельных колебательных контуров, причем
колебали
х(Щ
Фиг. 261. Возможные графики реактивного сопротивления х(со).
тельный контур может выродиться в индуктивность или емкость. Так как
в бесконечности сопротивление 2{р) имеет нуль или полюс, то получается
опять-таки известное свойство: степени полиномов числителя и знаменателя
должны отличаться на единицу. Функция х(со) имеет, следовательно,
примерно следующий вид:
х(со) = ксо
(со2-со\)(со2-со\) . . .(со2-со2п)
(со2 — со\)(со2 — со\) . . . (о? — <о\п-\\
где
со,
СОо
(8.8)
(8.9)
При частотах соъ со3, . . . функция х(со) принимает бесконечно
большие значения, при частотах со21 со4, . . . —нулевые. При такой форме
записи #(ш)точкаш = 0 —нуль, а со = со- полюс. Если обе точки со = Ои со = ос-
нули, то
_ ъм (со2-со2) (со2-со2) . . . (со2-со2и_2)
х(со) = ксо
(со2-со2) [со2-со2
-г)
Если х(со) имеет в точке со = 0 полюс, то
к (со2-со2)(со2-со2)... (со2-со\п)
х(со) =
(со2-со\)(со2 -со2) . . . (со2-со1п_г)
(8.10)
390
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Теперь в бесконечности функция х(со) имеет нуль. Если в бесконечности
должен быть полюс, то в формуле (8.10) надо вычеркнуть множитель
со2-а)|п_г
Если бы мы исследовали не сопротивление, а проводимость У(р) = 1 /2(р),
то получили бы другую схему соединения (фиг. 262).
Пусть, например, задано сопротивление 2(р) в форме
ад»*1^-
(8.11)
О—
1,С
0 <
=
> <
II
II
с.
>—<
| 4
II 1
II
с2
гПМ\
нь
ншчн
1
Ян
Ч
I
1
с,
Фиг. 262. Эквивалентные схемы реализации реактивной цепи.
Любая реактивная электрическая цепь может быть реализована последовательным включением
параллельных контуров ЬС (верхняя схема) или же параллельным включением последовательных
контуров (нижняя схема). По Фостеру.
После преобразований числитель и знаменатель сопротивления можно
представить в виде произведения простых сомножителей
(р+№ (р+Л (р-Л (р-;3) _ (р2+1) (р2 + 9)
(р+]2)р(р-]2) р(/>2+4) '
ад
(8.12)
Функция имеет следующие нули и.полюсы:
ч = -/3, -;, + /', +/3,
р{ = -/2, 0, +/2.
Эти точки удовлетворяют всем поставленным условиям.
Легко убедиться, что сопротивление 2(р) может быть записано в виде
суммы простейших дробей
т-р+*+Ш
(8.13)
Каждое слагаемое имеет простой смысл. Соответствующая схема дана
на фиг. 263.
Мы уже указывали на возможность построения и других схем для
той же функции Цр). Например, возможна реализация типа второй схемы
Фостера (см. фиг. 262). Совсем другие схемы дает метод Кауера.
$ 8. Реализация реактивных электрических цепей • 391
Разделим числитель 2(р) на знаменатель:
/>3+4/>
(8.14)
и повторим этот процесс для знаменателя второго слагаемого дважды.
Тогда получим следующее разложение:
ад =р+
1
¦ +
12/)
+
5р/18
(8.15)
/5//6"
4/15
ь—пр^
12/5
//5=4= =*=5//(9
Фаг. 26»?. Две эквивалентные схемы реализации сопротивления
Х(р) = (р* + 1®р2 + 9)/(р3 + Ьр) [по уравнениям (8.13) и (8.15)].
Отсюда становится ясной сущность метода Кауера: сопротивление 2(р)
раскладывается в цепную дробь. Схема цепи, составленной по
выражению (8.15), представлена на фиг. 263. Она состоит из ряда попеременно
параллельно и последовательно включенных простых элементов.
Можно, конечно, воспользоваться методами Фостера и Кауера
одновременно, что дает еще большее число других эквивалентных схем.
б) Реализация реактивных четырехполюсников
Выше рассматривались в основном только двухполюсники. Теперь
перейдем к задачам синтеза реактивных четырехполюсников. Полученные
здесь результаты можно будет применить и при реализации
двухполюсников по методу Дарлингтона.
Пусть заданы функции
2ц(р), %Ар), 222(р) —
элементы матрицы
сопротивлений реактивного
четырехполюсника. Поставим сначала
вопрос: какимусловиямдолж-
ны удовлетворять функции
2п(р), 212(р), 222(р) реального
реактивного
четырехполюсника?
Чтобы ответить на этот
вопрос, преобразуем
четырехполюсник в двухполюсник
(фиг. 264). Свойства двухпо- Фиг. 264. Преобразование четырехполюсника
люсника нам уже известны. в двухполюсник.
392
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
При обозначениях, указанных на фиг. 264,
^1 = ^пЛ+^12^2>
^2 == ^21^1~Ь^22^2*
Но так как
то
«/!=-?-, К-"'
2
1± — 11x1 г, /2 — ^2^2 ?
^ = /г?2п/^ + ^1^2^12^2 >
и2 =: ^1^2^12-*! "Ь ^2^22^2 *
(8.16)
(8.17)
(8.18)
Для полученного двухполюсника справедливы зависимости
с/= #;+17;, ./ = /; = /;. (8.19)
Сопротивление этого двухполюсника равно
^/ \ __ _^ (^1^11+ 2П1П2%12+ ЩЯ^)! /о 2()\
ИЛИ
2(р) = ^ц + 2/гх и2212 + 7г|222. (8.21)
Пусть рр — полюс сопротивления 2(р). Как известно, вычет функции
в полюсе р„ — всегда действительное и положительное число, так как
2(р) — функция реактивного двухполюсника. Но
К = *$& + 2ЛХЛ2 А&> + п\к<$ , (8.22)
где &&> — вычет элемента матрицы 21к в полюсе рр. Отсюда следует,
что /с„ — квадратичная форма коэффициентов трансформации пг и п2.
Чтобы вычет кр был положительным числом, вычеты элементов матрицы
должны удовлетворять условию
Л11 ^12
^21 "^22
к$к$-[к[^^0. (8.23)
Таким образом, мы должны сначала определить полюсы функций
2ц(/>), 212(р), 222(/>)- Пусть они равны
о, ±р2у ±р±, — , ±р2п~2, — , ± °°;
тогда элементы матрицы сопротивлений можно представить в виде
7.@) о^2)п 0^21г~2)г»
211{р) =*»+^Н- + • • • +^ч-^-+мгч
Р /> ~Р2 Р2-Р2П-2
7.@) 9 7.B) Л оь.Bп-2)„
212(р) = А?_ + ^1^+ ... + 2^ , Р +МГР, (8.24)
/> />2~Р2 Р2~Р2п-2
7.@) о^B)г, О^271-2^
г22(/>) = ^-+-^Г + ... + 2*22 2 ^-+4!п)р-
Р Р -Р2 Р2-Р2п-2
На первый взгляд может показаться, что элементы матрицы имеют
только общие полюсы. Однако это не так. Мы выписали выше и
пронумеровали в произвольном порядке полюсы всех элементов матрицы. Если
какой-либо полюс одного элемента матрицы не является полюсом других
$ 9. Общий случай реализации двухполюсника
. 393
элементов, то вычет равен нулю и соответствующее слагаемое в выражениях
(8.24) просто отсутствует. Если оставшиеся вычеты удовлетворяют условию
(8.23), то четырехполюсник может быть реализован.
Как показывают элементарные расчеты, слагаемые, находящиеся в
любом ^-столбце уравнений (8.24), реализуются по схеме фиг. 265.
Сопротивления ^ц(р), 212{р), 222(р) довольно просто выражаются через элементы
Т-образной схемы с учетом влияния трансформатора.
Четырехполюсник может быть реализован последовательным
включением схем такого типа (см. фиг. 265).
Фиг. 265. Один из элементов и схема реализации реактивного
четырехполюсника при заданных 2п(р), 212(/>), ^2г(р)-
§ 9. Общий случай реализации двухполюсника
а) Метод Б руна
Пусть сопротивление 2{р) задано в следующей'форме:
7( ч _ а0 + а1Р+ . . . +агрг
*№- Ь0 + Ь1Р+ ... +Ь8р° '
(9.1)
Выясним сначала', удовлетворяет ли эта функция условиям реализуемости,
т.е. является ли она положительной действительной функцией, или,
короче, ПД-функцией, и удовлетворяет ли условиям «а» и «б» § 7. Найдем
полюсы и нули функции, т.е. корни знаменателя и числителя. Прежде
всего выделим из сопротивления 2>{р) функцию 2г(р)у не имеющую полюсов
на мнимой оси р = ]Ъ, т.е. функцию типа „минимального реактивного
сопротивления"
Щр)=г1(р) + Х(р). (9.2)
Сопротивление 2(р) разложим на простейшие дроби. Тогда Х(р) —
сумма слагаемых, соответствующих полюсам на мнимой оси
Х(р) = А + 2 {-^+-^-)+к„р.
(9.3)
Здесь к0/р— слагаемое, соответствующее полюсу р = О, а к„р
соответствует полюсу р — оо. Выражение (9.3) можно переписать так:
Х(р)
-+ 2-ГГ-1+ *-/>•
р ~ р* + а$ г
(9.4)
394
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Сопротивление Х(р), как нам уже известно, может быть реализовано
последовательным включением емкостей, индуктивностеи и параллельных
колебательных контуров (фиг. 266). Сопротивление 2г(р) не имеет
полюсов на мнимой оси р = ]а>> но может иметь нули.
+
ЧАОАу-1
к?
*/»»¦? + 1#5%
—^
V?)
Фи г. 266. Выделение из Ъ{р) „минимального реактивного
сопротивления".
Чтобы выделить нули функции 2г(р), разложим на простейшие
дроби проводимость
Уг(р) =
2ЛР)
(9.5)
Полюсы функции Уг(р) совпадают с нулями функции ^(р). Запишем
проводимость в следующем виде:
(9.6)
ВД = ^2А^>ВД
Здесь У2(р) — функция, не имеющая полюсов на мнимой оси р = /со.
Первое слагаемое в правой части равенства — проводимость катушки,
4= \\У2(Р) =
22(р)
V р2 + ш1
Ср + У2(р)
Фиг. 267. Выделение из 2г(р) сопротивления типа
„минимальной реактивной проводимости".
следующие слагаемые — проводимости параллельно включенных
последовательных колебательных контуров. Предпоследнее слагаемое может
быть реализовано конденсатором (фиг. 267).
Итак, функция У2(р) не имеет полюсов, а функция
ад=1ш (9-7)
не имеет нулей на мнимой оси. Сопротивление 22(р), не имеющее ни
нулей, ни полюсов на мнимой оси, называется функцией „минимального
реактивного сопротивления и проводимости".
Легко убедиться, что сопротивление 22(р) сохраняет свойства
ПД-функции. Действительно, при всех проведенных преобразованиях
изменялась только мнимая часть сопротивления 2(]а>), действительная
же часть оставалась неизменной. Ясно также, что полиномы, стоящие
$ 0. Общий случай реализации двухполюсника . 395
в числителе и знаменателе сопротивления 22(р), имеют одинаковую
степень. В противном случае функция имела бы полюс при /со=«> или /ю=0,
т е. на мнимой оси, а функция 22{р) таких полюсов не имеет.
Теперь уменьшим действительную часть сопротивления на
возможно большую величину. Для этого найдем наименьшее значение Яе2(р) =
= Ке 22(р) на мнимой оси. Пусть наименьшее значение действительной
части сопротивления Вт получается при определенной частоте сот. Функция
2т(р)=22(р)-Вт (9.8)
остается ПД-функцией, так как действительная часть 22(р) ни в одной
точке мнимой оси и правой полуплоскости не принимает значений,
меньших Вт. В точке р = ]'сот сопротивление 2т(р) чисто реактивное, так как
Ке гт(р) = Ъе22(р) -Вт = Вт-Вт = 0. (9.9)
Цр
и?)
2т(р)
I
Фиг. 268. Выделение из 2,2(р)
„минимального активного
сопротивления".
C)
ЫР)
Фиг. 269. В этой схеме сопротивление 2<?>(р) имеет
те же свойства, что и 22(р)> но степень полиномов
меньше.
Частоту сот и минимальное значение Вт действительной части
сопротивления 22(р) можно найти, как обычно, решая уравнение
АКе22(/Ъ) = 0.
(9.10)
Разложение функции 22(р) на два сопротивления представлено на
фиг. 268, где
2т(р)^22(р)-Вт. (9.11)
Мы уже указывали, что в точке р=]сот функция 2т{р) — чисто мнимая:
гт(]сот) = !'х(сот). (9.12)
Определим индуктивность уравнениями
^1, (9.13)
Ьг(от = х(сот),Ь1 = ^
а сопротивление 2$ — уравнением
2Ш=2т(р)~Ь1Р
(9.14)
(фиг. 269). Сопротивление 2т(р) состоит из двух последовательно
включенных сопротивлений: 2${р) и Ь±р. Заметим, что Ьг и х(сот) должны
быть отрицательными величинами. В противном случае на правой
полуплоскости, когда точка с координатами р достаточно удалена от мнимой оси,
действительная часть сопротивления Ьгр может стать больше
действительной части 2т(р). При этом действительная часть сопротивления 2$(р)
станет отрицательной, что противоречит условиям реализуемости. Поэтому
мы и примем, что Ьг отрицательно. При положительной величине Ьх нужен
другой путь построения схемы двухполюсника, который здесь не
рассматривается.
396
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Сопротивление 2^(р) имеет нули на мнимой оси при р = ±]сот, так
как
Я&{ ±/0 = 2т( ±Мп) =Р А/< = 0. (9.15)
Найдем теперь сопротивление 2^(р), не имеющее нулей на мнимой оси.
Для этого представим себе сопротивление 2$(р) состоящим из
сопротивления 2$(р) и параллельно ему подключенного последовательного
резонансного контура (см. фиг. 269). Тогда проводимость
У$(Р) = щщ = 2т(Р)-ьгр-уг^г (9-16)
не имеет полюсов на мнимой оси, а сопротивление
2%(Р) = уг^ (9.17)
не имеет нулей. Частота сот = 1/УЬ2С2. Однако сопротивление 2$(р)
имеет полюс в бесконечности. Так как сопротивление 2т(р) остается
конечным при р-+ о© (не имеет особых точек на мнимой оси), то граничное
значение 2$(р) можно определить из выражения (см. фиг. 269)
2Ш+--т*&Р = 1*Р- (9.18)
Здесь введено обозначение
^=-т^- <9Л9>
Из сопротивления 2$(р) можно выделить Ьър (см. фиг. 269):
2&Чр)=2$(р)-1*р. (9.20)
Сопротивление 2$(р)9 как и 22(р)у не имеет полюсов и нулей на
мнимой оси и обладает такими же свойствами. Но функция 2$>(р) имеет
на два полюса меньше, чем 22(р), поэтому и степень обоих полиномов
функции 2$(р) на два меньше.
Показанный здесь процесс мы должны далее повторить с
сопротивлением 2$(р) вместо 22(р)у пока не получим постоянную величину,
т.е. омическое сопротивление.
Итак, если сопротивление 2т(р) известно, то параметры элементов
схемы фиг. 269 таковы:
^=^<0, Ь2С2 = ±-, (9.21)
Здесь сот — угловая частота, при которой В.е2т(р) равно нулю;
индуктивность Ь2 определяется по правилам вычисления вычетов.
Учитывая формулы (9.16) и (9.14), находим, что
2 V ар \р~з&т Ч
Последнее из равенств (9.21) можно переписать в следующей форме:
^а + 1^ + 1,3^1 =;0. (9.23)
Реализация элементов схемы, удовлетворяющих этому уравнению, была
показана в примере расчета цепи в § 3, в.
$ 9. Общий случай реализации двухполюсника
• 397
б) Метод Дарлингтона
Этот метод основан на возможности реализации входного
сопротивления 2(р) электрической цепи с произвольными параметрами Я, Ь, С
в виде чисто реактивного четырехполюсника, нагруженного чисто
омическим сопротивлением (фиг. 270).
Пусть задано входное сопротивление цепи
_ а0+.а1Р+ ... 4- апРп _ Р(р) __ Е*(р) + (Г{р) _ (У (#70*)+ 1
2(р) =
Ъ0 + Ъ1Р+ ...+ Ьтрт ()(р) Е*(р) + 0<>(р) Е* @«/^) + 1'
где Е(р) и 0(р) — соответственно четная и нечетная функции.
(9.24)
2(Р)
Цепь
1С
Я=1
т
Фиг. 270. Любое сопротивление можно представить как
входное сопротивление реактивного четырехполюсника
с омическим сопротивлением на выходных зажимах.
Входное сопротивление четырехполюсника, изображенного на фиг. 270,
равно
2\\2г2 "¦ ^12
2(р)=211
Поэтому мы можем записать, что
* + 1
2и+1
(9.25)
%11-^22 ~ 21
Ер
0«
211 ~ ^ , И ? - ОР 1 ^22 - ^ё , (9.26)
откуда
2\ъ —
УОРОЯ-ЕрЕ<>
(9.27)
Чтобы 2П, 212, 222 были элементами матрицы сопротивлений
реактивного четырехполюсника, должны выполняться условия (8.23).
Полюсы каждого элемента матрицы совпадают с нулями ЕР, так как
Е® — знаменатель у всех сопротивлений. По правилу вычисления вычетов
имеем
А1Г =
(У
Р=Ф21>
^2 (Е*)'
Р=Р2^
*5Г =
о«
как и другие
(9.28)
полюсы, опреде-
В выражении для к$} учтено, что /?2„,
ляются корнями уравнения ЕЯ — О, поэтому Е®ЕР = 0.
Легко убедиться, что вычеты к{2р) удовлетворяют условию (8.23)
в случае, когда последнее рассматривается как равенство.
По известным величинам 21Ъ 212,222 реализация схемы
выполняется, как было уже показано. Но есть одно серьезное возражение.
Мы должны убедиться, что выражение ОрО^ — ЕрЕ^ — полный
квадрат и что корень из этого выражения — полином. Только в этом случае
%1ъ(р) представляет собой реактивное сопротивление.
Выражение под знаком корня — четная функция, так как оба члена —
четные функции ив этом выражении встречаются только четные степени р:
ОрО(*-ЕрЕA = А(р2).
(9.29)
398
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Однако в общем случае А(р2) не обязательно полный квадрат. Простой
искусственный прием позволяет перейти к полному квадрату. Умножим
числитель и знаменатель 2(р) на полином Р0(р). Эту функцию нужно
выбрать так, чтобы новая величина А'(р2) была полным квадратом.
Пусть
Ро(р) = 0(р)+Е(р). (9.30)
[При умножении 2(р) на Р0(р)/Р0(р)=1 функция 2(р)у конечно, не
изменяется.] Тогда мы получим
А'(р2) = (Ор04-ЕрЕ<>)(Е2-02). (9.31)
Здесь нужно выбрать 02-Е2 так, чтобы функция А'(р2) стала
полным квадратом. Если 02 — Е2 выбрано, то можно определить О + Е
следующим путем. Запишем Е2—02 в виде
Е2-02 = (Е + 0)(Е-0). (9.32)
Мы видим, что нули Е2—02 — это нули Е+О и Е—Оу причем нули Е—О
получаются из нулей Ел-О зеркальным отражением относительно мнимой
оси. Поэтому при составлении полинома Р0(р) = Е+О нужно взять
те нули функции Е2 — 02у которые находятся на левой полуплоскости.
После умножения числителя и знаменателя 2(р) на полиномы Р0(р)
получаем
Для этой функции и следует определить 21Ъ 212,222. Теперь мы
уверены, что при вычислении 212 получится полином с целыми степенями
переменного р, поскольку А'(р2) — полный квадрат.
Легко убедиться, что любой полином после умножения на другой
надлежащим образом подобранный полином образует полный квадрат.
Запишем данный полином в виде произведения двучленов. Умножая его
на полином, который составлен только из двучленов, входящих в первый
полином в нечетной степени, получим новый полином, все двучлены
которого имеют четные степени, т.е. полный квадрат. Этот прием можно
применить для подбора функции Р0{р).
В. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 10. Классический метод
Основные уравнения для произвольной электрической цепи уже были
выписаны нами в самом общем виде при любой зависимости от времени
входящих в них токов и напряжений. В обычном методе решения
дифференциальных уравнений сначала определяется общее решение системы
однородных уравнений, в которой напряжения всех генераторов
приравниваются нулю. Для линейной цепи общее решение представляет
экспоненциально затухающие процессы, которые при отсутствии потерь
вырождаются в сумму гармонических колебаний с постоянной амплитудой.
Затем к общему решению системы однородных уравнений добавляется
частное решение системы неоднородных уравнений, причем сумма этих
решений должна удовлетворять начальным условиям задачи.
§10. Классический метод
399
Когда речь идет о включении генератора постоянного или
переменного тока, частное решение системы неоднородных уравнений легко
получить. Это именно те решения, которые
подробно рассматривались в предыдущем
разделе.
В общем случае искомое решение, скажем
для тока гA), представляется как сумма
частного (стационарного или принужденного)
ЧМ = ^пр@ и общего (или свободного)
ЧгЬ) = &св@ экспоненциально затухающего1*:
Щ = *пр(*) + *св(*). (Ю.1) фиг' 271' Включение колеба-
ч / щп / ьв\ / \ / тельного контура.
Иллюстрируем этот метод простым
примером. Включим контур (фиг. 271) в момент I = 0 к источнику
напряжения
и= 17тв1п(й>*-ри), A0.2)
Тогда дифференциальное уравнение контура
I
Й + 1Т + У 1&+Вео= г/твт(ай-л) A0.3)
о
после повторного дифференцирования принимает вид
^+Х-5Г+хс = -^-сов (<*-«,). A0.4)
Решение этого однородного уравнения
1св = ^1еР»* + ЛГ2вР»' = К^-ь^^ + К^-^е-*»*, A0.5)
где
Л,2 = —й-±/("й")Я-^- = -«±^=^ = -«±7»*. (Ю.6)
Перепишем решение в такой форме, чтобы его периодический характер
выступал более ясно:
*св = в"°*[(^1 + Я2) сов а)к1 + ](К1-К2)$тсок1]. A0.7)
Вводя для сокращения записи обозначения
Кх + К2 = М и /(^ - К2) = ТУ, A0.8)
получим
*св = е-а<(Мсо8со^ + Л^8тсо^) = 10е~а1&т((ок1 + (р). A0.9)
Частное решение неоднородного уравнения (принужденные колебания)
имеет вид
*пр = 1т 8Ш М-Уи-^), A0.10)
где
7т=1А Л IV ' ^ = агссо8-—==*• A0.11)
1} Принятые в переводе термины „свободное" и „принужденное" соответствуют
распространенным в нашей литературе. — Прим. ред.
400
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Тогда искомый ток в контуре
в
1A) = *'св(*) + *пр(*) = V Ъ 81п {Щ1 + Ч>) + Ли 8*п И ~ <Ри ~ <Р\)- A0.12)
Постоянные /0 и 9? должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись
начальные условия. Процессы, происходящие при этом, очень
разнообразны в зависимости от того, каково соотношение между со и сок (собственная
частота контура), какова фаза уи и т.д.
Как уже упоминалось, анализ переходных процессов значительно
облегчается применением метода суперпозиции; напряжение источника
разлагается на „элементарные напряжения", действие которых
рассчитывается просто. Этими элементарными напряжениями являются
постоянное, импульсное и синусоидальное напряжения.
В следующих параграфах рассматриваются методы расчета
переходных процессов при разложении на указанные элементарные напряжения;
при этом метод Лапласа представляет синтез метода импульсной функции
и метода интеграла Фурье.
§ 11. Импульсные функции
Обозначим наклонной единицей 1 или 1A) следующую функцию:
ЭД-1? ПРИ 'Г"' AМ)
I 1 при г>0.
Ее называют единичной функцией или функцией Хевисайда. Она может
быть названа также импульсной или импульсивной функцией нулевого
порядка.
Предположим теперь, что действие единичной функции напряжения
на данную цепь известно. Обозначим через А (г) интересующую нас величину,
например ток, вызываемый напряжением 1A).
В случае простого контура ВЬ
АA) = ~A-е^^1). A1.2)
XI
Это равенство представляет ток, возникающий при включении в момент
I = 0 постоянного напряжения, по величине равного единице.
Единичная функция имеет вид 1A —т), если постоянное единичное
напряжение включается в момент * = г, а не I — 0. Соответствующее
решение принимает вид А(г—г).
Если АA) известно, то можно легко рассчитать действие импульсного
напряжения, равного к в интервале от I = 0 до I = т и равного нулю в
остальное время. Это напряжение может быть представлено наложением
двух смещенных единичных функций:
к[1A)-1A-т)]. A1.3)
Соответствующий ток равен
к[АA)-АA-т)}. A1.4)
Пусть г мало, т.е. речь идет о коротком импульсе. Тогда для
рассматриваемого контура можно написать, что
к[АA)- АA-х)] ~ к^х = ^кх. A1.5)
§11. Импульсные функции
• 401
Уменьшим теперь величину г еще больше, но при этом Н увеличим так,
чтобы Нх оставалось постоянным и равным единице:
йт = 1, Н —
A1.6)
Бесконечно короткий, но бесконечно высокий импульс единичной
площади обозначается символом 6A) и называется дельта-функцией,
функцией Дирака или импульсивной функцией первого порядка. Основное
свойство этой функции состоит в том, что она всюду равна нулю, когда № О,
а в точке г = 0 бесконечно велика, причем ее интеграл по времени равен
единице:
\ в(*)А = 1. A1.7)
Единичная функция 1A) и дельта-функция связаны следующим
равенством:
* и@
/ 6A) A1-= 1A); A1.7а)
от г = — оо до I = 0 функция
6A), а также ее интеграл
равны нулю. После перехода
через I = О значение
интеграла изменяется скачком на
единицу и остается равным
единице.
Можно считать, что
и%
-*
Фиг. 272. К выводу уравнения A1.9).
ЬA) = !'(*), (И.8)
т.е. что дираковская дельта-функция равна производной от единичной
функции Хевисайда.
Представим себе теперь, что напряжение произвольной формы состоит
из включаемых друг за другом маленьких постоянных напряжений.
Величина постоянного напряжения, включаемого в момент I = г, равна
АиТ. В любой момент г=>тэто напряжение вызывает ток ДигАA — т).
Суммируя действие всех этих постоянных напряжений, найдем общий ток
*
^) % и@)АA)+ 2 ЛщАA-х) % ф)А{1) +
т = 0
Ли
+ 2^АтАA-т).
V с1г
A1.9)
Из фиг. 272 можно также заключить, что приближенное равенство Лщ -,
% -^- Ах выполняется тем точнее, чем меньше выбранные интервалы Ах.
В предельном случае сумма переходит в выражение вида
1A) = и@)АA)+ 1**1±АA-т)Aт.
A1.10)
26
К. Шимони
402 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Интегрируя по частям содержащийся в нем интеграл, находим, что
I I
С^-А{1-х)Лх = и(х)АA-т)^-$и(т)-*±$=3-йх =
О о
г
= А@)иA)-и@)АA)+ Гц(т) *А{дТ) Ах. A1.11)
о
Подставляя A1-11) в выражение A1.10), получим следующую формулу
для тока:
г
1(г) = Л@)иA)+ [ф)аА{^т) Ах. A1.12)
о
Производная от любого интеграла по верхнему пределу равна
А.
Ах
х х
^ Ф, У) Ау = Ф, х) + I
Л<Р (ж, у)
Ах
Ау.
Поэтому равенство A1.12) можно записать так:
или
ъ
^1) = -^ Си(х)АA-х)Ах,
о
г
1A)=± Г и(г-х)А(х)Ах.
A1.13)
A1.14)
A1.15)
Приведенные выражения называют интегралами Дюамеля.
Выражению A1.12) можно дать и другое физическое истолкование.
Мы раскладывали напряжение и(г) на сумму ступенчатых напряже-
. ний Аих, включаемых в моменты т, а затем
а' - суммировали их действие. Но можно поступить
иначе: разложить напряжение иA) на короткие
импульсы длительностью Ах (фиг. 273). Тогда
каждый отдельный импульс может быть
представлен как скачок напряжения и(хIA—г),
включаемого в момент т, и скачок напряжения
2 — и{хIA—х — Ах), включаемого в момент х+Ах.
Слагающая тока, вызванная этим импульсом:
АгA) = и(х)АA — х) — и(х)АA — х — Ах) =
= - и(х) ^—'- Ах — и(х) ^—'- Ах.
Аг
Фиг. 273. Любая функция
напряжения может быть
составлена из ряда коротких A1.16)
импульсов.
Суммируя токи всех импульсов при условии,
что напряжение иA) включается в момент г = г, получим
г
1@ = и(г)А@)+ Ги{%)ЛА(г~т) Ах.
A1.17)
Таким образом дается другое физическое толкование равенству A1.12).
§11. Импульсные функции
403
Рассмотрим в качестве примера контур ЕЬ, к которому в момент
I = 0 прикладывается синусоидально изменяющееся напряжение с
амплитудой 11т. Функция А{1) для такого контура (равная току в контуре, к
которому в момент 1 = 0 прикладывается постоянное напряжение, по
величине равное единице) уже известна:
АA) =±A-е-}К1Ь»).
A1.18)
Применив формулу A1.17), получим
ад--^/
8Ш сохе~{к,ь)(г~х) Ах =
*
]Ъ в-сн/ю« Г з1п согеОаЫг Ах
A1.19)
(в этом случае ^4@) = 0).
Значение интеграла в этом выражении легко найти интегрированием
по частям:
* Ьх
81П ах еЬхАх = 9е, „ (Ь зт ах —а сое ах). A1.20)
/•
а2 + Ъ2
Подставляя в эту формулу значения а и & из уравнения A1.19), найдем, что
1A) = *Ъе-аны* Смп еоге{В1Ь)х Ах =
*7«
е-(К/ЬI
Л^У
со2 +
?2 \Х
*1
81ПСОТ — СО СО& СОХ
И,«е
-(Д/Х)<
~ Я2 + со212
или после простых преобразований
17.
[е(ЩЬIЩ 8|п ^ _ ^ С08 ^) + ^Д
соХ
1® = Я2 + М2 (Н ^П ^ ~ ^ С°8 °^ + 1!ш Я2 + со2Ь2 6
Р-(В1ЬI
A1.21)
A1.22)
Первые два члена этого выражения (Щ
равны принужденному току, или
току установившегося режима.
Последнее слагаемое — свободный
ток, экспоненциально убывающий
со временем. Это значит, что
средняя линия синусоидальных
колебаний экспоненциально
приближается к оси времени. Ход
кривой представлен на фиг. 274.
Значение тока в начальный момент,
как и должно быть, равно нулю.
Если сопротивление В мало, то затухание ничтожно. По истечении
полупериода величина е~(К1ЬI едва отличается от единицы, а со1 =
= Bл1Т)(Т/2) = п и, следовательно, со8со(Г/2) = -1. При этом
Фиг. 274. Изменение тока во времени при
включении контура ЯЬ к переменному
напряжению.
ф
V,
соЬ
т Я2 + со2Ь2
со8 СО—+ II.
соЬ
т Я2 + со2Ь2
е-тщт/2)ъ2-2±. A1.23)
26*
404
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
'Это значит, что ток спустя полпериода достигает двойной величины
амплитуды установившегося режима. Ход кривой, впрочем, в большой степени
зависит от фазы, напряжения в момент включения. Так, в случае К = 0,
если в момент включения напряжение проходит через максимальное
значение, ток сразу начинает изменяться по закону установившегося режима.
Соотношения становятся значительно сложнее, когда магнитный
поток катушки самоиндукции не пропорционален току. Это наблюдается
при больших значениях индукции в ферромагнитных сердечниках.
Запишем исходное уравнение в форме
т+
<1Ф
(II
Решая это уравнение относительно магнитного потока, получаем
I
ф-ф0 = I (и-Ш)<И.
Если в момент включения магнитная индукция равна нулю, то
I I
Ф = (ий1-К§1&1.
A1.24)
A1.25)
A1.26)
Полученное решение, конечно, чисто формальное, так как ток в правой
части уравнения неизвестен. Тем не менее выражением A1.26) можно
воспользоваться в практически важном случае пренебрежимо
малого В. Тогда в первом приближении имеем
I г
Фгъ I иА1= Пт I 8Н
\ Щ — Пт \ зт сох Ах = — сов сох
Ъш
A-со8сог>. A1.27)
Из последнего равенства вытекает, что через полпериода после
включения, когда соТ/2 = л и соз (соТ/2) = -1, поток достигает двойной
величины амплитуды установившегося режима. Этот результат очень
важен — при таком значении потока ток может во много раз превзойти
удвоенную амплитуду.
Соотношение между потоком и током нелинейно вследствие
нелинейности характеристики в области
насыщения. Но ферромагнитные
сердечники, например первичная обмотка
трансформатора при холостом ходе,
намагничиваются так, что
амплитудное значение потока близко к
насыщению. При этом поток может достичь
удвоенного значения только при очень
большом токе, во много раз
превосходящем амплитуду установившегося
тока.
Фиг. 275. Изменение тока и магнитного Зная поток и зависимость потока
потока во времени, когда к контуру от тока можно для любого момента
КЬ прикладывается синусоидальное ' „^ „Л ^ ^ЛГГ /Лх „ откч
напряжение и внутри катушки находится времени определить ток (фиг. 275)
железный сердечник. После этого можно внести поправку.
§11. Импульсные функции
405
в предыдущую расчетную формулу и найти
I
ф2= фг-п! ч<11. A1.28)
о
С помощью этого уравнения вновь можно определить ток и методом
последовательных приближений найти точную величину потока даже с
учетом Я.
Если включение происходит в момент, когда напряжение максимально,
то приближенное уравнение для потока принимает вид
^1 ^ / &т С08 ш* й1 = —- 8Ш со1
1 = -5=8111 го*. A1.29)
|о ^
Это равенство показывает,'что поток сразу принимает значение
установившегося состояния, если включение происходит в момент
максимального напряжения. Напротив, при включении трансформатора в момент,
когда напряжение сети проходит через нуль, ток в переходном процессе
может достигать очень больших значений.
§ 12. Расчет переходных процессов по известному
частотному спектру
а) Ряд Фурье и интеграл Фурье
В предыдущем параграфе было показано, как можно определить ток
и напряжение при переходном режиме, вызванном напряжением любой
формы, если известны их значения в переходном режиме, вызванном
включением постоянного напряжения. В этом параграфе показывается, как
может быть определен переходный процесс при подключении к любому
напряжению, если известно решение для установившегося режима при
чисто синусоидальном напряжении любой частоты. Смысл этого метода
заключается в том, что решение для установившегося синусоидального
режима (принужденные колебания) легко находится из применения
законов Кирхгофа в комплексной форме, как уже было показано.
Например, для цепи ВЬ при синусоидальном напряжении и = 11твтсо1
ток установившегося режима при любой частоте со равен
1= —^—(Я 8Ш со1-соЬ сов со1) =-—Е^=^пЫ-(р), A2.1)
где
<р = агс!§^-. A2.2)
Все периодические функции, удовлетворяющие определенным
математическим требованиям, могут быть разложены в ряд Фурье, т.е.
представлены как сумма дискретных синусоидальных и косинусоидальных
колебаний различных частот. Функция с периодом Т содержит основную,
или первую, гармоническую с частотой сог = 2л/Т и дискретный спектр
любых высших гармонических с частотами со2 = 2соъ со3 = Зсо17.. .>соп = псо1.
Как периодическая функция может быть представлена суммой
синусоидальных колебаний с дискретными частотами и различными
амплитудами, так непериодическая функция может быть представлена интегралом
406 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
синусоидальных колебаний с непрерывным спектром частот (интеграл
Фурье). Это можно доказать математически, рассматривая заданную
функцию как периодическую, период которой Т неограниченно возрастает.
В разложении непериодической функции существуют колебания всех
частот с различными амплитудами.
Если непериодическая функция, например напряжение включения,
представлена интегралом Фурье, то это значит, что известны
амплитуды и фазы всех синусоидальных колебаний, которые содержатся в этой
функции. Зная искомую реакцию (например, ток) на чисто синусоидальное
напряжение, можно найти спектр тока, соответствующий спектру
действующего в цепи апериодического напряжения. Ниже будут даны конкретные
примеры такого метода решения задачи.
Разложение периодической функции с периодом Т в ряд Фурье в
интервале — Т/2 < 1< + Т/2 известно:
1A) = А0 + Аг СО&-^-1+А2СО& 2-^/+ . . . +Апсо&п-^1+ ...
. . . +2?!8П1 -^1 +В2&т 2-^1 + . . . + Вп зт п-^1+ . . . =
= 2 Мп С08 71-^1+Вп 8И1 П-р^Ц = ]% (АпЪ0ЪПЮ11 +ВъЪШПСО^), A2.3)
71*0 ^ •* 1 ' 71=0
где
4-Г/2
Л=у |"/(*)совл^*Л, « = 1,2,3,..., A2.4)
-Т/2
+ Г/2
Вп=Т ] /(Овтл^^Л, « = 1,2,3,..., A2.5)
-Т/2
+ Г/2
Ло=Т [ /(«)* и ©х = ^. A2.6)
-Т/2
Для непериодической функции справедливо следующее аналогичное
разложение:
/(*) = \ а(со) С08 со1Лсо-\- | Ь(со) зт со1 ско, A2.7)
о о
где
а(со) = — I 1(и) сов сои Ли; Ь(со) = — / /(гг) зт сои Ли. A2.8)
Коэффициенты Ап и Вп ряда Фурье определяют амплитуды п-х
гармоник. В случае интеграла Фурье амплитуды синусоидальных и соответственно
косинусоидальных колебаний в узком отрезке спектра от со до со + Лсо
бесконечно малы и выражаются произведениями а(со) Лео и соответственно
Ь(со) Лео, так что слагающие колебаний с частотой со имеют вид
а(со) Лео соз со1-{- Ь(со) Лео зт со1. A2.9)
# 12. Расчет переходных процессов по известному частотному спектру . 407
Сами величины а(со) и Ъ(со) характеризуют только относительную
величину амплитуд колебаний с частотой со, как говорят, амплитудную
плотность.
Ряд Фурье и интеграл Фурье можно представлять и в комплексной
форме. Выразим в уравнении A2.3) синусоидальные и косинусоида льные
функции через экспоненты по формуле Эйлера:
/(*) = 2 Ап-^—-+ 2 впе-^-4—-•¦> A2Л°)
П=0 ^ П=0 •*
тогда после простых преобразований находим
1^1) = 2 (А»+1в»е-зп^ +Ап~*Вп#™А A2.11)
71=0 ^ 2 1 )
Введя обозначения
Щ^=С_п, A2.12)
^=^ = СЛ, A2.13)
запишем ряд Фурье в следующей форме:
№ = 2 сп#п<*>1 • A2.14)
Если функция /@ известна, всегда можно найти соответствующие
ей комплексные коэффициенты Сп. Для этого необходимо выражение
для Вп умножить на —/, сложить с выражением для Ап [см. формулы A2.5)
и A2.4)] и разделить на 2:
+ Т/2 +Г/2
Сп = -±г С 1{и)е-*™« Ли = Ц Г К^е"^^^ Ли. A2.15)
- Г/2 - Т/2
К комплексной форме интеграла Фурье мы придем следующим путем.
Подставив значение Сп в выражение функции /(«), получим
+ Т/2
/(*) = 2 -г1 ( /(ю)в^в^-и>йв. A2.16)
Это выражение справедливо для периодической функции 1A). Найдем
теперь аналогичное выражение для непериодической функции.
Непериодическая функция, как уже говорилось, может быть получена из
периодической, если ее период Т неограниченно возрастает. Основная частота со± при
этом стремится к нулю и соответственно может быть заменена значением
дифференциала (ко. Подставляя A2.15) в A2.14) и заменяя сог на (ко,
получим для разложения непериодической функции
+ Г/2
1A) = 4- 2 *» I 1(и)е'пав,«-и)с1и. A2Л7)
П -Т/2
Введем следующие обозначения для интеграла в A2.17):
+ Т/2
( /(и)в*в<*-*> йю ее <р(со, I), A2.18)
-Т/2
408
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
где г играет роль параметра. Сумма
+-.
2} Лео (р(со, I)
тем точнее приближается к интегралу, чем меньше Лео и чем больше
период Т. Для предельного случая, когда Т -> °°, т.е. когда
1A)-непериодическая функция, приходим к двойному интегралу Фурье
/(О
= -±- С \ С /(в)в»»<«-«) йи <&», A2.19)
который можно записать в такой форме
/(О
= -1- Г Г 1(и)е-^Aи М**сЬ. A2.20)
Если ввести комплексную амплитудную плотность или комплексный
спектр функции
+ оо
5(о)) = -1 |/(й)Н»"&, A2.21)
то функция времени представится через ее спектр выражением
/(*)¦= / 8(ш)е^1сЬ. A2.22)
— оо
Равенство A2.21) может рассматриваться как преобразование функции
времени 1A) в комплексную функцию частоты или как ее спектральное
представление 8(со). Преобразование A2.22) определяет первоначальную
функцию, т.е. функцию времени, по ее спектральному представлению.
Эти два преобразования Фурье записываются в следующей условной форме:
(ЛA) = 8(со), A2.23)
ф-Ща>) = /(*). A2.24)
От комплексной формы интеграла Фурье A2.20) можно перейти к
интегралу Фурье от вещественных переменных. Пользуясь формулой Эйлера,
можно написать, что
-}-оо + оо
/(*) =± С С /(в)е*-<'-«> йи (ко
+ оо +оо +оо 4"°
= — / I 1(и)со8соA — и)Лийсо-\'-^- \ I /(и) ътсоA—и) Ли Лео. A2.25)
— оо —оо —оо —оо
Но так как
+ оо + оо
( 1(и) С08соA — и) Ли = § /(и) соз[ — еоA — и)] Ли, A2.26)
+ о© -\- оо
( /(гг)8т соA — и) Ли = — \ /(и) зт [ — соA— и)] Ли, A2.27)
$ 12. Расчет переходных процессов по известному частотному спектру • 409
то первый интеграл представляет собой четную, а последний — нечетную
функцию ео\ это значит, что значение второго интеграла в пределах от - оо
до +оо равно нулю, в то время как для первого интеграла имеем
Г Г 1(и) со8со(г— и) Ли Лео = 2 Г Г сов соA — и) Ли Лео. A2.28)
— оо —со 0 —оо
Таким образом, окончательно получаем, что
СО + 00
1A) = I Г Г 1(и) сов ооA-и) Ли Лео. A2.29)
0 —о»
Теперь можно легко прийти опять к уравнению A2.7), преобразуя
косинус разности:
со -{-со оо 4"°°
1A) = — I I /(гг)сов сои сов со1ЛиЛсо-\-— I | /(гг) вт согг вт со1 Ли Лео.
о -оо о — A2.30)
Здесь прямо можно прочесть значение а(со) и Ь(ео). Из зависимости
A2.21) видно также, что действительная и мнимая части комплексного
спектра связаны с ранее выведенными функциями а(со) и Ь(ео)
равенствами
Не$(о)) =|а(о)), 1т 5(ю) = -16(о>), A2.31)
т.е.
5(Ш)=^_/*М. A2.32)
Если известны амплитудные плотности а(ео) и Ъ(со), то легко
вычислить полную мощность, преобразуемую в тепло при прохождении тока:
оо оо
1A) = Г а(со) сов ео1 Лео + Г 6(о)) вт со* с&о. A2.33)
о о
Работа или энергия пропорциональны интегралу от квадрата тока по
времени. Интегрируя квадрат тока, найдем
+ оо +оо Г оо 4-оо Гоо ~|
§ 12A)Л1= | 1A) \ § а(ео)о,оъоо1Лео\<11+ Г гA)\ ]* Ъ(со)$т ео1 Лео Ш =
— оо —оо Ьо -Л — оо 1_ 0 —'
оо -}*00 оо оо
= Г а(ео) Г гA) сов со1Л1 Лсо + Г 6(ш) Г /(*) вт со1Л1Леоу A2.34)
О —оо 0 —оо
где
+-
I 1A) сов ео1 Л1 = па (со), A2.35)
+~
^ гA) вт ео1 Л1 = тгб(со). A2.36)
410
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Поэтому
/ BA) <И = п I [а2(со) + Ь2(со)] Осо.
A2.37)
б) Интеграл Фурье единичной функции 1A)
Найдем амплитудную плотность, или спектральное представление
функции 1A), представленной на фиг. 276. Однако следует учесть, что только
что изложенный метод не-
и*
применим к этой функции,
так как она не удовлетво-
-Щ@ Ряет необходимому
условию
I
I |/(*)|*<*,
Фиг. 276. Единичная функция.
где к — любое конечное
число. Определим сначала коэффициенты ряда Фурье для периодической
функции, представленной на фиг. 277. После этого легко будет
определить ряд Фурье и для функции фиг. 278.
«,
*
/
1
1
1
г, а)
г ^.
^
п
¦ц
•1 г-
\Гг«) !
I I
Фиг. 277. Исходная
функция при выводе
интеграла единичной
функции.
Фиг. 278. Ординаты
функции фиг. 277
подняты на единицу
(пунктирная линия) и затем
разделены на 2.
При беспредельном увеличении периода получим интеграл Фурье для
напряжения, соответствующего фиг. 276. Так как функция №) нечетная,
ряд Фурье не содержит коэффициентов Ап. Амплитуды синусов равны
Т 272
2 Г , Л, . 2л л ,л 4 Г • 271,,, 4Г Г 2п л Т/2
= -Т^С08,г7Г-1]==
Таким образом,
4 1
, п
ж п 7
о,
2* + 1,
A2.38)
¦021> + 1 —
1
и ряд Фурье для функции фиг. 277 имеет вид
1гA) =±[втсо1«+-|-втЗаI«+ ... + ~ зт Bу + 1К* + . . . ]. A2.39)
$ 12. Расчет переходных процессов по известному частотному спектру 4411
Функция /2(*) может быть получена из функции Д(*), если
последнюю поднять на единицу и затем разделить на 2 (см. фиг. 278). Ряд
Фурье для этой функции выражается в виде
С помощью равенства
{2р + 1)сог = со,
2г>+1
0I
СО
введем новую переменную со; при этом
/«@ = 1+4 2
81ПС01
-СО,
A2.40)
A2.41)
A2.42)
= ©!
Для любого фиксированного значения I построим (8ша>г)/а> как
функцию со (фиг. 279); из та- {х[ш1
кого построения очевидно,
что сумма
О 4гт 8Ш СО%
2 > сог
A2.43)
= (»!
близка к площади,
заключенной между построенной
кривой и осью со.
Отложим теперь на
графике фиг. 279 по оси
абсцисс значения а>и Зсоъ
Ъсог и т.д. (так как
суммирование ведется по нечетным гармоникам %). Каждый из маленьких
прямоугольников с основанием 2сог и высотой (зт со1) [со теперь
соответствует слагаемым суммы A2.43). Сумма этих площадей близка к
площади, ограниченной кривой и осью абсцисс:
Фиг. 279. Геометрический смысл выражения A2.43)
/'
зтсог
СО
Aсо.
A2.44)
Чем меньше основная частота соъ т.е. чем больше период, тем мельче
прямоугольники и тем ближе значения интеграла и суммы. При очень
большом периоде, т.е. для функции 1A), величина этой суммы совершенно
точно соответствует площади, выражаемой интегралом. Следовательно,
щ) = ^ + 1 ^™^^ Да = -!•/*«>)соеойДв + ^р^Л», A2.45)
0 0 о
где д(со) означает б-функцию, которая была определена в § 11 (см. также
§16).
Таким образом, единичная функция представляется интегралом Фурье;
ее амплитудная плотность
Ь^=^ а(со) = \д(со). A2.46)
Ь(со) представлена на фиг. 280. В спектре единичной функции содержатся
все частоты от нуля до бесконечности; с увеличением частоты амплитудная
плотность уменьшается.
412
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Ъ(шл 1 Пусть известно, что в
рассматриваемой ветви линейной цепи
синусоидальному напряжению источника 11тХ
Хйш со1 соответствует ток с амплитудой
Ь(со)=1- 1т = #т 1\2(со)\ и фазовым СДВИГОМ (р((о)
я ш (где 2(со) — комплексные сопротивления,
причем и \2\ и <р зависят от частоты).
Запишем это соответствие формулой
1]т $тсо1 ->- г=-^—181п[со1 — ф(со)].
Фиг. 280. Амплитудная плотность I А°>) I
единичной функции. A2.47)
Очевидно, для этой цепи справедливо и такое соответствие:
Л-^-вт со1 - - — г^ Вт [со1-<р(со)). A2.48)
л со я со \2(со)\ *- т\ /1
Следовательно, изменение тока под действием единичной функции равно
*) = Т|Щ + ^,) со\Щсо)\ Ло' A2Л9)
6
Обобщая, можно сказать, что для известных
Ъ 8Н1 оI -> . , 8Ш [со* - ср(со)] A2.50)
I лщ I
и
а совсо* -»* а со8 [со^ — ^60)] A2.51)
при известных амплитудных плотностях а(со) и 6(со) заданного
непериодического напряжения ток, возникший под действием этого напряжения,
равен
оо оо
Ц1)= [ 1^соз[со1-<р(а>))сЬ + ^^Штвт[со^-9(ш)](^(о. A2.52)
о о
Из сказанного очевидно, какое значение имеет спектральное представление
напряжения.
В дальнейшем приводятся расчеты частотных спектров функций
времени, часто встречающихся на практике.
в) Интегралы Фурье для некоторых функций
На фиг. 281 представлен импульс, состоящий из единичной функции,
включаемой в момент I = -г/2, и такой же отрицательной функции,
включаемой в момент I = г/2:
йA) = 1(г+±)-1A-\). A2.53)
Применяя к этому выражению ранее полученный интеграл Фурье
функции 1A), получаем
/ зтсо\1+—-)-втсо\1- —) / зтсо— совсо1
<*(*) = -!¦ I —=^ —(ко = ± I ± сЬ. A2.54)
§12. Расчет переходных процессов по известному частотному спектру * 413
Отсюда видно, что амплитудная плотность импульса длительностью г
равна
а(со) =
2 8Ш^2
A2.55)
Она показана на фиг. 281, из которой видно, что в ней содержатся все
частоты от 0 до «>, за исключением некоторых дискретных значений.
Однако теперь амплитудная плотность остается везде конечной. Наибольшую
роль играют составляющие спектра, лежащие в интервале от нуля до
частоты, определяемой равенствами
^у = Щ 2я/у = я, /г = 1.
A2.56)
1
т
1
1
•
1
Л
а
:- г
"*
А
\ 1 1
\ Ч
г
г
:*
Г !2
а
1
Фиг. 281. Импульс постоянного
тока (а) и амплитудная плотность
импульса (б).
Фиг. 282. Отрезок косинусоиды
конечной длины (а) и амплитудная
плотность отрезка косинусоиды (б).
Соответствующая ширина полосы частот равна
A2.57)
Слагающими спектра, лежащими вне этого интервала, можно пренебречь.
Чем короче импульс, тем больше ширина полосы и тем более высокие
частоты содержатся в импульсе. Это значит, например, что импульс
постоянного тока длительностью г = 0,001 сек может быть воспринят
прибором только в том случае, если он способен реагировать на все частоты от
нулевой до 1/т= 1000 гц.
Рассмотрим косинусоидальный импульс, действующий в цепи только
в течение интервала времени — т/2<г<т/2 (фиг. 282). Спектральная
плотность такого импульса (отрезок волны) находится по общему методу:
+ ~ -И/2
а(со)= — I {(и) со& сои Ли = — / соз со0 и соз сои Ли, A2.58)
-т/2
+ т/2
Ь(со) = — / со$со0и8тсои
П -У/2
Ли.
A2.59)
414
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Так как косинус — четная, а синус — нечетная функции, то
значение Ь(со) равно нулю, а значение а(со) определяется выражениями
+ т/2 т/2
а(со) =— I сое со0и сов сои Ли = — / [сов (со + со0)гг + со8(со — со0)и]Ли =
~т/2 о
= — -4— [Вт (со + оH)ю];Л + ~ —1— [вш(о -оэ0)и]Х2 =
81п(й) + е^)— 8т(со-со0L-
= - -+- -. A2.60)
Л СО+СО0 71СО — СО0
Распределение амплитудной плотности подобно случаю импульса
постоянного тока. Однако теперь плотность максимальна не в
окрестности нулевой частоты, а в окрестности частоты со = ±<о0. Половина
ширины полосы частот, содержащихся в импульсе, теперь может быть
определена равенствами
2лЛ/у = п, А} = ±, А]% = 1. A2.61)
Чем длиннее отрезок (т.е. чем больше периодов он содержит), тем уже
полоса и тем отчетливее выделяется основная частота колебаний.
В заключение определим спектр затухающих колебаний функции
М=1° , ПРИ '<0' A2-62)
( С/те~а'со8 со0г при г>0,
пользуясь комплексным представлением интеграла Фурье. Очевидно, что
функцию, определенную формулой A2.62), можно представить так:
/(*) = 1A) Т]те~*1 сов со01. A2.63)
Тогда
8(а>)=-1- ( 11те-аи соз а>0шг*ои Ли = 4^- / е-<а+^)мсовй>0ийи =
о о
- и* <*+> _ У* Г а(а2 + ^-^2У+2со2а . со(а.2 + щ - со2) - 2соа2 1 (/.~ „,.
~ 2л (а+»2 + о>§ 2п 1(а2 + ш2-аJJ + 4с»2а2 ~/ (а2 + <^2 - ш2J + 4со2а2 Г ^ ^}
Интерес представляют следующие частные случаи.
а) а = 0, со0 = 0 — случай включения постоянного напряжения:
$(<о)=?й4-; A2.65)
4 ' 2л ]со^
б) а = 0, но со0 ^ 0 — случай включения незатухающих
синусоидальных колебаний:
5И=^/-Т^-Г ; A2.66)
4 ' 2л* щ — со1 7
в) а ^ 0, но а>0 = 0 — случай экспоненциально .уменьшающегося
напряжения:
ад = |=(-^_/-^]. A2-67)
у ' 2л Кос* + со* } <хг + сог)
$ 13. Преобразование Лапласа
. 415
Результаты, полученные определением пределов, должны
рассматриваться как сомнительные. Действительно, равенства A2.65) и A2,66)
требуют преобразования
и соответственно
§ 13. Преобразование Лапласа
Пусть дана функция 1A) действительного переменного и
Переменное г означает, как правило, время. Функция 1A) может быть
действительной или комплексной. Значение /(*) для времени I < 0 обычно равно
нулю. Эта функция может, например, представлять напряжение, которое
включается в момент I = 0.
Преобразованная по Лапласу функция /(*), или ее изображение, т.е.
функция Р(р), определяется выражением
-2/(*)= Р(Р) = !№*-" **, A3.1)
о
где р — комплексное число.
Р(р) — функция только комплексного переменного р> равного
р=ог+/т. A3.2)
Она существует и определяется равенствомA3.1), если существует интеграл,
стоящий в правой части. Условия существования и сходимости этого
интеграла здесь не будут подробно анализироваться. Отметим только, что
модуль выражения е~р* в бесконечности экспоненциально стремится к
нулю, если действительная часть комплексного числа р положительна.
Поскольку экспоненциальное убывание сильнее, чем возрастание любой
конечной степени п, то функция Р(р) существует, если /(*) возрастает
не быстрее, чем 1п (или когда 1A) увеличивается не быстрее, чем еа1, при
ос < Ке р).
На основании сказанного можно утверждать, что если интеграл A3.1)
существует при заданном значении р=о0-\-]'г, то он существует также
при всех значениях р, действительная часть которых больше а0. Другими
словами, на комплексной плоскости справа от прямой Кер = а0
интеграл и определяемая им функция Р(р) также существуют. Можно
доказать, что Р(р) в полуплоскости а ^ а0 — всюду дифференцируемая
функция и что дифференцирование по р можно внести под знак интеграла.
Функция Р(р) в этой области регулярна.
Чтобы применить метод изображений (преобразование Лапласа) к
простейшим задачам электротехники и показать возможность обратного
преобразования, рассмотрим некоторые простые случаи.
Непосредственная подстановка убеждает нас, что изображение
функции, тождественно равной нулю, также тождественно равно нулю: при
1A) == 0 и Р(р) = 0. Изображение единичной функции
во \
Р{р) = /1(<)е-Р' (И = -. A3.3)
о р
Изображение функции
/(О = е°< A3.4)
416
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
легко найти, непосредственно выполняя интегрирование, указанное в
A3.1):
Р(р) = $**е-*г<11 = |е-«,-а)'с& = _^1е-(Р-а)г|°° = __1_? A3.5)
'о о р \о Р
если при I = °° значение е~(р-а)* равно нулю, т.е. действительная часть р
больше а.
Положим теперь, что изображение функции 1A) известно:
-2/ГО = ВД, A3.6)
а ищется изображение производной от этой функции. Подставив й^йг в
A3.1):
оо
о
находим путем интегрирования по частям, что
Л% = Ие~Р']0~ + /> //О*"** = *ВД-/@). A3.8)
о
Отсюда видно, что изображение производной от функции равно разности
изображения функции, умноженной на /?, и значения функции в момент
I = 0. Результат особенно прост, когда /@) = 0, т.е. когда функция равна
нулю в момент I = 0. При повторном применении найденного правила
находим изображение производной любого порядка:
л% = гш-р*-хт-1п-гт- - • • -/(п-1}@), A3.9)
где /'@), /"@),. . ., /^""^(О) — значения в момент I = 0 производных
соответствующего порядка от 1A).
Найдем изображение интеграла
Ф@ =//(« «**, A3.Ю)
о
если изображение самой функции 1A) известно. Имеем
4№ = Р(р). A3.11)
Записывая преобразование для ФA):
Л ФA) = / Ф(«)с-р« Л, A3.12)
о
выполняем интегрирование по частям, полагая
I
и= Ф(*)=//({)йг, у' = в-р«
6
и соответственно
^ 14. Применение преобразования Лапласа к простым электрическим цепям . 417
В результате получаем
I
МФA) = [- у^//A) Лё]"о +у//@е-"' Л. A3.13)
о о
Первый член в правой части исчезает как при верхнем, так и при
нижнем пределах; второй член правой части равен изображению функции,
т.е. Р(р), деленному на р.
Таким образом, получаем, что изображение интеграла равно
г
¦Л$№ сЦ- = ±^№*-*<Ь = у Р(Р)- A3.14)
О о
При многократном повторении этого правила получим, что
0 0 о
Таким образом, и-кратное интегрирование в области переменного
соответствует делению на рп в области переменного р.
§ 14. Применение преобразования Лапласа к простым
электрическим цепям
С помощью преобразования Лапласа легко решаются
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Для этого к обеим частям
дифференциального уравнения применяют преобразевание Лапласа, в
результате чего получается алгебраическое уравнение для функций от р.
Рассмотрим применение этого общего метода к конкретным задачам
электротехники. В результате рассмотрения таких задач окажется ясной связь
этого метода с операторным методом Хевисайда.
Ток 1A) и напряжение ис(г) конденсатора связаны уравнением
I
^/"*@«, A4.1)
С
6
если ис@) = 0, т.е. если конденсатор в момент времени I = 0 не был
заряжен. Умножая обе части этого уравнения на е~р1 и интегрируя, т.е.
применяя к ним преобразование Лапласа, получим
оо оо I
^щ{1)е-*& = ъ$\$**) Щ е-Р«Я. A4.2)
О 0 0
Это значит, что изображение напряжения на конденсаторе [обозначим
его через 11с(р)] равно изображению тока [которое мы обозначим
через Цр)], деленному на Ср:
ад=-^-. (I4-3)
Применив преобразование Лапласа к току и напряжению
индуктивного элемента:
вь(*) = ^-2р <14'4)
27 К. Шимони
418
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
получим
1/ь(р) =рЫ(р). A4.5)
Необходимо заметить, что это равенство справедливо только в том случае,
если ток равен нулю в момент г — 0.
Непосредственно ясно, что изображение тока в случае часто
омического элемента цепи равно изображению напряжения на этом элементе,
деленному на его сопротивление. Из уравнений A4.3) и A4.5) видно, что
между изображениями тока и напряжения по Лапласу (области
переменного р) существует такая же связь, как между их комплексными
представлениями (область переменного /со) в случае чисто синусоидального тока.
Выражения 1/рС и рЬ можно назвать операторными
сопротивлениями или импедансами в области переменного р; они подобны импе-
дансам 1ЦсоС и ]'соЬ.
Анализируя преобразование Лапласа, можно заключить, что к
изображениям токов и 'напряжений можно применять законы Кирхгофа,
как они применяются к комплексам в цепях синусоидального тока. Способ
расчета операторного импеданса при последовательном и параллельном
соединении полностью идентичен соответствующему расчету импеданса
при пользовании комплексами.
Однако при этом необходимо быть очень осторожными. Расчеты по
операторному импедансу только тогда справедливы, когда в момент
времени I = 0 как 1^@), так и ис@) равны нулю, т.е. в рассматриваемой
цепи в начальный момент отсутствует энергия электрического Си%/2 и
магнитного Ы\\1 полей.
В качестве примера найдем ток в контуре НЬ при его подключении
к напряжению любой формы в момент I = 0.
Дифференциальное уравнение цепи имеет вид
ШA) + Ь^ = иA). A4.6)
Применяя преобразование Лапласа к обеим сторонам уравнения, получим
Ш(р) + рЫ(р)-Ы@) = Щр). A4.7)
Из этого равенства, как из обыкновенного алгебраического уравнения
находим изображение неизвестного тока
1{р)вц^±щт.. A4.8)
в частности, при г@) = 0 имеем
КР)=^Г. A4-9)
Выражение A4.9) можно было написать и сразу с помощью операторного
импеданса для последовательно включенных йи I.
Остается найти функцию гA), соответствующую преобразованной
по Лапласу функции 1(р), или, как принято говорить, найти оригинал 1(г)
по его изображению 1(р).
Таким образом, в любом общем случае получается следующий
порядок решения задачи:
1. Записывается дифференциальное уравнение (или уравнения) цепи,
в которое входят токи и напряжения как функции времени, их интегралы
и производные.
$ 14. Применение преобразования Лапласа к простым электрическим цепям' 419
2. К полученному дифференциальному уравнению (или уравнениям)
применяется преобразование Лапласа. В результате получается
алгебраическое уравнение (или система уравнений) для изображений токов
и напряжений, представленных как функции от р.
3. Из полученного алгебраического уравнения находится
изображение искомого неизвестного тока (или токов) или напряжений.
4. Самый трудный шаг состоит в отыскании неизвестной функции
времени, соответствующей ее найденному изображению; по виду функции,
преобразованной по Лапласу, должна быть найдена оригинальная
функция, т.е. по изображению ищется оригинал. Иными словами,
функция Р(р) задана:
-2/0 = т, A4-Ю)
ищется функция /(*)> т.е. нужно произвести обратное преобразование
Лапласа, обозначаемое так:
/(*) = <2-гР(р). A4.11)
В предыдущем примере мы дошли до четвертого пункта. Для
преобразованной неизвестной функции было получено уравнение A4.9).
Однако на основании того, что нам уже известно, можно определить
функцию времени, соответствующую найденному изображению, по крайней
мере в случае подключения к постоянному напряжению. Действительно,
мы знаем, что для постоянного напряжения
^[С/01(*)]=-^, A4.12)
а преобразование Лапласа для искомого тока имеет вид
«р^-ТЖ^г- {14ЛЗ)
Так как р — действительное или комплексное число, то последнее
выражение можно записать в форме
^) = -^G-^|) A4Л4)
Рассматривая каждую дробь отдельно, легко находим оригинал, т.е.
искомую функцию времени 1A).
Мы знаем из уравнений A3.3) и A3.5), что функции 1/р соответствует
единичная функция времени, а функции (р+К/Ь)'1 —
экспонента е~(В1Ь)К Таким образом, искомое решение принимает вид
1(*) = ^[1-е-<в'ад]. A4.15)
При выводе этого результата мы пользовались тем обстоятельством,
что преобразование Лапласа линейно, а это значит, что изображение
суммы равно сумме изображений, а изображение функции, умноженной
на константу, равно умноженному на ту же константу изображению
этой функции.
27*
420
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
§ 15. Обратное преобразование Лапласа
В предыдущем параграфе мы видели, что изображение неизвестного
тока или напряжения (т.е. функция, преобразованная по Лапласу)
находится относительно легко. Гораздо труднее обратная задача — найти
по изображению оригинал, т.е. неизвестную функцию времени.
В следующем параграфе мы познакомимся с общим методом решения
этой задачи. Однако для его понимания требуется знание некоторых
положений теории функций, без которых мы до сих пор обходились. Большое
число электротехнических задач можно решать без этих дополнительных
сведений из высшей математики.
В этом параграфе мы пойдем наиболее простым путем: зная прямое
преобразование Лапласа для ряда функций, будем пользоваться
найденными соответствиями для решения обратной задачи.
В нашем распоряжении имеется исходное дифференциальное
уравнение A3.1), а также формулы A3.3) и A3.5). На основании этих
выражений уже можно во многих случаях найти функцию времени по
изображению аналогично тому, как это было сделано в последнем примере
предыдущего параграфа.
В этом параграфе будет показано, как сложная функция Р(р)
раскладывается на более простые функции, обратное преобразование которых
известно.
Ответим на следующий общий вопрос. Если изображение некоторых
функций уже известно, как найти оригинал (функцию времени) для других
изображений, полученных из предыдущих, например, путем их сложения
и умножения, путем линейного преобразования переменного и т.д. ?
В предыдущем параграфе мы уже убедились, что можно пользоваться
свойством линейности преобразования Лапласа; в общем виде
формулировка того факта, что преобразование Лапласа — однородная линейная
операция, записывается так:
а) Теоремы запаздывания и смещения
Пусть изображение функции /(*) известно:
Р(р) = ] 1A)е-&(И.
1
< •л
У^'ги-%)
\
^
A5.2)
1=т I
Фиг. 283. К выводу теоремы
смещения.
Найдем изображение функции
1(*-т)/(*-*). A5.3)
Новая функция совпадает по форме с
функцией /*(*), но сдвинута во времени
на х (фиг. 283); ее изображение
вид:
-2 [*(*-*)/(*-*)] = //(*-т)е-*«л.
A5.4)
Введем новую переменную I — х = |; тогда A5.4) примет следующий
Л[1{1-хIA-х)] = //({)в-Р«+*> й{ = е-Р*//(г)е-*й$. A5.5)
§15. Обратное преобразование Лапласа
421
Отсюда получается окончательная формула
.2[1(*-т)/(*-т)] = е~^Р(р). A5.6)
Изображение новой функции, полученной из первоначальной путем
замены в ней переменной I на переменную * — г, равно изображению
первоначальной функции, умноженному на е~^х - теорема запаздывания.
Из сказанного можно сделать такой вывод: если известен
оригинал /(«), соответствующий изображению Р(р), то новому
изображению е~РхР(р) соответствует новая функция времени 1A-хIA—т).
Найдем изображение функции
е-*' /(*). A5.7)
Производя интегрирование, получим
-6[е~х7(*)] = / е-*Ч(г)е-# Л = //(*)в-<Р+х>* дх = Р(р + Х). A5.8)
о о
Это значит, что изображению Р(р + Х) соответствует оригинал е~Х|/(*),
если изображению Р(р) соответствует функция 1A) — теорема смещения.
б) Теорема подобия
Введем в функцию 1A) вместо переменной I переменную %\х.
Преобразование Лапласа функции 1A1г) имеет вид
4Ш =№)<-" * = фаУЫт) = *^>- A5-9)
О о
Наоборот, если известна исходная функция 1A), соответствующая
изображению Р(р), то изображению Р(рг) соответствует функция A/т)/(г/тL
в) Теорема свертывания
Предположим, что изображение каждой из функций /±A) и /2@
известно:
ВД = / Ше~р1^ Р2(Р) = / /2(*)е-р< * • A5.10)
о о
Можно доказать (здесь доказательство не приводится), что произведению
этих изображений соответствует функция
/(/) = ^~1Р1(р)Р2(р) = $ШШ-г)йт. A5.11)
о
Функция 1A) называется сверткой функций 1гA) и /2(г).
Итак,
Д/(')] = ВД= ^(р)^\(рУ A5.12)
Доказательство этого равенства называют теоремой свертки.
Производная по времени изображается умножением на р, поэтому
Л {ш/^Ш*-г)Ах] = РГхМЫР)- A5-13)
О
Равенством A5.13) можно воспользоваться для простого вывода уже
применявшегося интеграла Дюамеля.
422
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
г) Теорема разложения
При решении задач электротехники большую помощь оказывает так
называемая теорема разложения. Эта теорема применяется для
определения оригинала, когда изображение искомой функции задано в форме
рациональной дроби.
Ищем неизвестную функцию {(I), определяемую уравнением
^/0в-*Л = ^, A5.14)
6
где С(р) и Н(р) — полиномы переменной р, а степень числителя ниже
степени знаменателя.
Предположим, что знаменатель имеет только простые корни
Ръ Ръ • • • 1 Рп- Наличие только простых корней можно выразить так:
#(Л) = 0, Я'(д)*0. A5.15)
Как известно, в таком случае применимо следующее разложение на
простые дроби:
&(р) = с1 ¦ с* | _^ Сп _ у» с* A5 16)
Н(р) р~Р1 Р-Р2 ' ' ' Р-Рп {&± Р~Рг * '
В этом выражении Съ Сг,.. . ,Сп — постоянные; ръ ръ ... ,рп — корни
знаменателя. Постоянные Сл могут быть определены следующим способом.
Умножив равенство A5.16) на р-ри получаем
а»-Л)^ = ^ + (Р-Л)Д^-. A5-17)
Кфх
Подставим в правую и левую части р = р{> при этом все члены в правой
части равенства обращаются в нуль, за исключением коэффициента С{\
в левой части появляется неопределенность, потому что при подстановке
р = рг как числитель, так и знаменатель обращаются в нуль. Раскрывая
неопределенность по правилу Лопиталя:
С{р) ^кр-рМрп
=Ш> A5Л8)
Р = Рг
находим из A5.17), что
С<-Щ- <15-19>
Но по A3.5) изображению С{1(р — р{) соответствует оригинал Слё*>*1:
[
С*еР*е-* & =-?*-. A5.20)
г Р-Р*
Следовательно, искомая функция 1A) может быть представлена как сумма
экспонент:
№=Д-§^еР*. A5.21)
§15. Обратное преобразование Лапласа
• 423
Предположим теперь, что изображение неизвестной функции {(I)
имеет форму
р^=Ш)- <15-22>
0{р) и Щр) снова означают полиномы, и степень С(р) в крайнем случае
может быть равна степени N(р). Кроме того, предположим, что М(р)
не имеет корня /? = 0. Этот случай приводится к предыдущему, если р — 0 —
один из простых корней полинома Н{р). Вынесем р из Н(р) за скобки, т.е.
примем, что Щр) — рМ(р). Оставшийся полином Й(р) уже не
может содержать корня, равного нулю, так как, по условию, все
корни Н(р) простые. При этом равенство A5.21) дает следующее выражение
искомой функции:
т в ^ с(*> #* . A5.23)
с1р ' *
Суммирование проводится по всем корням полинома Н(р) = рЩр),
включая и корень р = 0.
Знаменатель правой части A5.23) равен
^[РЩР)Ъ=Р< = ЩРг)+Рг^(Рг) . A5.24)
Первый член правой части равен нулю при всех значениях ри исключая
только р = 0. Второй член равен нулю только при р = 0.
Назовем теперь корень р = 0 первым корнем и вынесем за знак
суммы слагаемое, соответствующее этому корню; тогда формула A5.23)
перепишется так:
*-ЧЖг]=м = Ш+ММ;^- AЗД
Суммирование при этом распространяется на все Рг корней, начиная со
второго. Это означает, что суммирование проводится по всем корням
функции Щр).
д) Теорема разложения для кратных корней
Положим по-прежнему, что степень числителя ниже степени
знаменателя, но допустим, что знаменатель содержит кратные корни
Щр) = (Р -ЛГ (Р -йГ" • • • (р-РпГ*- A5-26)
В этом случае разложение можно представить такой суммой
элементарных дробей:
0(р) _ С1г , С12 ( ^ | СЫх
Н{р) (Р-Рг) (Р-РгJ "" (р-ргУ
+ с** + _^_ + ... + Спт* = у У С" . A5.27)
Чтобы определить неизвестные постоянные Сц> умножим равенство
на (р—Рх)™4, где т1 —высшая степень соответствующей разности среди
знаменателей. Подставив в полученное выражение р = р4, найдем
424
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
С1гщу так как все остальные члены правой части содержат
множитель р—Рх-0. При этом
I =^!-7§1Г-- A5.28)
г _ (р-рГО(р)
°1пц" Щр)
Умножив равенство A5.27) на (р-Рг)™*, продифференцируем обе части
/ раз; тогда при р—Рг все члены правой части — нули, кроме /Щ, гщ-у
Значение С*, т^ определяется равенством
Г _ 1 & (р-р<)т'0(р)
р**р^
A5.29)
Теперь необходимо найти обратное преобразование выражения (р—Рг)~т{.
Из равенства A3.15) имеем
/7-1 1 _ 1 /П-1
"^ *ж~"(п-1)! '
Учитывая также равенство A5.8), получим
4тт-, «Л-1ел«. A5.30)
Таким образом,
^-'т-^Чт = г%т ^^« A5-31)
Суммируя аналогичные выражения для всех слагаемых правой части,
находим оригинал (функцию времени), соответствующий
изображению С(р)Щр).
е) Применение теоремы свертывания
В § 10 была произведена попытка найти ток в любой ветви как
функцию времени при действии произвольного напряжения. Прежде всего
был найден ток, вызываемый единичной функцией напряжения. Пусть
этот ток равен АA) и функция АA) известна. Тогда по формуле A0.14) ток,
соответствующий произвольному напряжению иA), равен
1A) = А ('и(т) АA-х) их. A5.32)
о
Положим теперь, что задано дифференциальное уравнение
электрической цепи, связывающее приложенное напряжение и неизвестный ток
как функции времени. Пусть ток равен АA), если напряжение равно
единичной функции. Применяя преобразование Лапласа к обеим сторонам
дифференциального уравнения, придем к следующему равенству для
изображений:
± = 2(р)А*(р), A5.33)
где Х(р) — операторный импеданс рассматриваемой цепи, А*(р) —
изображение функции АA). При любом напряжении иA) справедливо
равенство
Щр) = 2(рI(р), A5.34)
$ 16. Примеры применения преобразования Лапласа
425
где 11(р) — изображение напряжения иA), а 1(р) — изображение
тока Щ. Так как контур линейный, то операторный импеданс сохраняет
в точности прежнее значение. Из сравнения уравнений A5.33) и A5.34)
находим для изображения искомого тока выражение
1(р) = РА*(р)Щр). A5.35)
Следовательно, по уравнению A5.13)
I
1A)=-^ Ги(т)АA-т)Aт
о
в полном соответствии с A5.32).
§ 16. Примеры применения преобразования Лапласа
Пример 1. В момент * = 0 начинает действовать импульс
длительностью т, состоящий из двух сдвинутых относительно друг друга единичных
функций противоположных знаков, умноженных на С/0. Изображение
этого импульса равно
1 е~тр\ тт 1-е-™
Р Р
а ток, возникающий под действием импульса,
*(*)= 110[АA)-АA-тI A6.2)
где А{1) — ток, вызванный напряжением, имеющим вид единичной функции
(при включении цепи на постоянное напряжение, равное единице).
Если |тр|<с1, то выражение A6.1) можно записать следующим
образом:
М[П(г, г)] = И01^12) = С/0г. A6.3)
Изображение очень короткого импульса равно постоянной величине
определяемой не в отдельности напряжением и длительностью, а только
их произведением или, в более общем случае, интегралом | иA)сИ. Если
т-*0 и одновременно Vг0 возрастает так, что 1/0г = 1 = сопвЪ,
приходим к дельта-функции:
Ит ВA, т) = дA) и ЛЬA) = 1. A6.4)
т->0
Дельта-функция д(г), как уже говорилось, называется также
функцией Дирака или импульсивной функцией первого порядка и определяется
следующим образом:
Л[Щ1, т)] = #0G-Пг) = ^о1^ , A6.1)
1-, когда 1-0,
| 0, когда *5*0,
/ дA) A1 = 1. A6.6)
Из свойств дельта-функции вытекает, что
/ /@дA)й1 = /@), или / /(*)дA -а)A1 = /(а), A6.7)
так как 6A —а) всюду, кроме I = а, равна нулю.
426
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Таким образом, только что найденное преобразование дA) получается
и непосредственно из ее свойств:
ЛЬ{1) = [ ЬA)е-т>41 = е^° / дA) Л = 1 / дA) А1 = 1.
о 6 о
Ток, вызываемый импульсом в виде дA), равен
1{1) = Ьт\[А{1)-А{1-т)] = ^.
A6.8)
A6.9)
Изображение единичной функции равно 1//?, а единичного импульса
— единице. Это соответствует
связи между функциями,
выражаемой равенством
6A).
A6.10)
№
На фиг. 284 изображены
функции, по мере уменьшения
х переходящие в 1A) и в дA),
причем последняя определяется
как производная первой.
Пример 2. Конденсатор,
соединенный параллельно с
сопротивлением, в момент I = 0
подключается к постоянному
напряжению 110 (фиг. 285).
Требуется определить ток ъ{1).
До включения напряжение на
конденсаторе было равно нулю
и ток в цепи отсутствовал. Запаса энергии в цепи нет. Записывая
операторный импеданс в виде
Г71 \ РС 11
Д+—ъ р+-
Ф иг. 284. Связь между единичной функцией
и (З(г)-функцией.
A6.11)
РС
ПС
находим изображение тока
где
1(Р) = Ш
ЦР) т '
Щр)=Л1/, = -^-
A6.12)
A6.13)
г
1
+ 1Х
-пт^
Фиг. 285. Контур тока к примеру 2.
$ 16. Примеры применения преобразования Лапласа . 427
При этом
Цр) = -^С(р + ^)=СП0A + ^), A6.14)
где
1
0С=ЯС'
Для каждой из слагающих тока можно найти оригиналы
Л-Ч = дA), Я-1- = ос. A6.15)
Следовательно, искомый ток
т = Я[/0[3(*) + а] = С/0 [СдA)+±]. A6.16)
Полученный результат показывает, что в момент включения I = О
возникает бесконечно большой импульс тока; при «>0 в цепи
устанавливается ток / = Vо /К.
Исключая из рассмотрения самый момент включения, мы можем
это решение считать удовлетворительным. Но в момент I = 0 происходит
бесконечно быстрое изменение тока; это невозможно, так как даже при
самой малой индуктивности цепи на ней должно возникнуть бесконечно
большое напряжение.
Поэтому, чтобы приблизиться к реальным условиям, необходимо
учитывать индуктивность, включенную последовательно с источником,— хотя
бы индуктивность соединительных проводов (см. фиг. 285,6). Ради простоты
мы будем вести расчет при помощи операторного импеданса и не будем
выписывать дифференциальные уравнения.
Импеданс между точками А и В имеет прежнее значение
Это импеданс последовательно включенной индуктивности рЬ. Общий
импеданс в цепи генератора тогда получается в виде
7 - пТ . * - р*ьсп+Рь+к мв 1Я
Изображение тока в неразветвленном участке цепи имеет вид
1
1{Р)"" г(Р) ~ Р р*ьск+рь+к - ь ~7~9 I П* ио-1*)
Кр1+рЖ+1б)
Определим соответствующий оригинал, т.е. ток в функции времени,
с помощью теоремы разложения. Для этого надо знать корни знаменателя
выражения A6.19). Один корень р = О очевиден. Из уравнения
Щр) = р*+р-^+-^ = (Р-Р1) (р-ра) =0 A6.20)
находятся два других корня:
428
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Изображению тока придадим такой вид:
-Ь р(р~Р\) (Р-Рг) '
после чего по теореме разложения находим
1?о 1О@) 1 $ 0(Р<)
В нашем случае
С(р) = /> + 2а, С(А) = (-я±Л + 2а = а±Д
^(Р) = (Р-Л)(Р-Л),
откуда
С@) - 2а, 7У@) = Л р2 = а2-/?2 = -^-.
Вычислив производные
^'Ы = [(р-р2) + (р-Р1)]р-Р1 =Рг-Р2 = Ж
Щр2) =р2-Р1= -2р
и подставив их в A6.23), получим окончательное решение
A6.22)
A6.23)
A6.24)
A6.25)
A6.26)
I =
#«
2а
1
+ -;
а+0
-а+^J^
е(-а + Л«
а-/?
-а-0J0
в(-а-/8)<
-§{1-^.[Л/» + ^Л/»]}.
A6.27)
Форма этого выражения удобна в случае а2 > 1/ЬС, потому что при
этом |32 > 0 и |3 — действительное число.
Если я2*с1/ЬС, то /? становится мнимым. В этом случае введем
обозначение /3 = /со и
ш
ХС1
A6.28)
после чего A6.27) принимает вид
1A) = ^[1-в-а*(с08 0)« + ^^^П 0)«)].
Если соЬ<^Я (например, когда Ь — индуктивность соединительных
проводов конденсатора, а й — сопротивление изоляции), следует
пользоваться вторым решением. Пренебрегая а по сравнению с 1/УьС, получаем
1A) ъ -^ [1 - е~а1 [сов «>1--^1 вш с»Л],
A6.29)
со
/хс
Пример 3. Импульсное напряжение источника в цепи, изображенной
на фиг. 286, равно
и@ = {° „, A6.30)
\ О, * > Г.
Требуется найти ток во вторичном контуре.
§16. Примеры применения преобразования Лапласа
429
Дифференциальные
уравнения рассматриваемой цепи
имеют вид
Ш1 + Ь^+М§ = иA)у
йг
(II
т2+ь%+м§ = о.
6,1
дх
A6.31)
Фиг. 286. Контур тока к примеру 3.
A6.32)
A6.33)
Переходя к изображениям и полагая, что
н@) = 0, «0) = О,
получим алгебраические уравнения
Шг + рЫг + рМ^ = С/,
Ы^ + рЫг + рМ^ = 0.
Выразим из первого уравнения 1г и подставим его во второе уравнение:
1 _ РЬ + К ,
-(П + рЦ*^1г + рМ1%= II.
Решая последнее относительно 12 , находим
1 р2М2-(РЬ + ВJ = и
2 рМ ,
/ _ -РМ г г
2 р2(Ь2 - М2) + 2рЬВ + К*и'
Применяя теорему запаздывания, найдем, что
II =Е»-е-Рт^ = ^ A -е-Рт).
Р Р Р
В таком случае для изображения тока получаем
/2= — лгг/п
A6.34)
A6.35)
A6.36)
A6.37)
р2(Ь2-М2) + 2рЬВ+В2
мц0
Ь2-М2
р2+2
ьв
ёР+-
я2
A6.38)
' Ь2-М2^ ' ь2-м2
Произведем следующие алгебраические преобразования знаменателя:
2 0 ЬВ В2 / ЬК \* в2
Р ~т~лт*-МъР^~т*-Мъ \Р^~Ь2-М2) Ь2-М2
Ь2-М2
ЬВ \2
ь2-м2
ЬВ
( ЬВ 42 / ьк у-8 / МВ \*
После этого выражению тока можно придать простой вид
/,=
мил
1-е-*т
Ь*-Мг (р + аJ-/?2
A6.39)
A6.40)
430
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Пользуясь таблицей преобразований (стр. 444), найдем по формуле A6.24)
^^±^ = Ге--^^. A6.41)
Пользуясь, кроме того, теоремой запаздывания (или принципом
наложения), окончательно находим ток г3;
Ш
^0 ГЛ-
0< *< Г,
Я
[е~а1 вЬ р1-е-аа~Т) вЬ 0A- Т)] ,1>Т.
A6.42)
Пример 4. Исследуем переходный процесс в колебательном контуре,
изображенном на фиг. 287. Контур был длительное время подключен
к генератору синусоидального напряжения:
A6.43)
1]т 81П (Од1
и в нем протекал установившийся ток
1 = /твт(со^-<р),
•*¦ т
17т
Ь'Л^-^Г
ср = агс 1§
Т А
9 СОдС
Я
A6.44)
В момент прохождения напряжения через нуль (I = 0) контур
закорачивается (выключатель сконструирован так, чтобы контур закорачивался
практически мгновенно). В этот
л л^л л оооосл момент ток в контуре равен
°-^^лл/л—ояяяг—I Т .Н ,_„,
*о = -4вшр, A6.45)
Ч
Ф
•¦21- I
а напряжение на конденсаторе
и0 = -±^соьср. A6.46)
Фиг. 287, К определению тока после
отключения источника.
Определим ток в коротко-
замкнутом контуре как функцию
времени. В контуре запасена
энергия (ненулевые начальные
условия), поэтому вести расчет с помощью импеданса, как это делалось
в предыдущих примерах, нельзя. Необходимо составить систему
дифференциальных уравнений
сИ
Въ + Ь-г.— иа = О,
(II
иС = во-с" / *й1,
A6.47)
из которой находим дифференциальное уравнение для тока
I
Ш + ЬТ1+Ь/Ы1=и0
A6.48)
§16. Примеры применения преобразования Лапласа • 431
Производя преобразование Лапласа, получаем уравнение для
изображений
Ш + рЫ-Ы0 + ±1 = ^-, A6.49)
откуда
^(т + ^^^1 =1Г , * 1 + *° .V 1 - <«*¦*»
р +Тр+~Ш Р+Тр+Тс
Найдем оригинал по теореме разложения (обратное преобразование).
Корни знаменателя:
где
Таким образом, для первой дроби (множитель при щ/Ь) имеем
* (—а+3юI —(а+/©)<
Л'1 ^ т- = -Цр + ^—Т.— = ^— вш со1. A6.52)
Ь^ IX)
Вторая дробь (множитель при 10) отличается от первой только
множителем р. Следовательно, соответствующая ей функция времени (оригинал)
может быть найдена дифференцированием A6.52):
= -г-(-—81па)и = е~аесовсог— — е~а1&та>1. A6.53)
йг \ со ' со ч '
2 , Я , 1
Тогда полное выражение для тока имеет вид
1A) = -Н°. в-«*81П со^ + г0е-ае (сов со1—^-вт со1\. A6.54)
Пример 5. Рассмотрим дифференцирующие и интегрирующие схемы.
Задача состоит в конструировании четырехполюсника, на выходе которого
напряжение равно производной или интегралу напряжения на входе. Иными
словами, требуется найти четырехполюсник, для которого
выполняются уравнения
112(р) = АрГ/Ар) и и2(р) = Шв1. A6.55)
Здесь А — произвольная постоянная, определяемая параметрами
четырехполюсников. Простейшая дифференцирующая цепь показана на фиг. 288.
Из ее схемы следует
шр) = -г5— ад = 1^ ад • A6.56)
Если| 1/рС\» В и, следовательно, 1-»\НСр\, то прежнее уравнение
переходит в требуемое уравнение для дифференцирующей цепи:
ад~ НСрИ^р). A6.57)
432
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Напряжение на выходе пропорционально производной от II ±A).
Аналогично для цепи фиг. 289
Если теперь выполняется неравенство
Д»|1/С>|, т.е. |#С>|»1,
то приближенно имеем
Следовательно, осуществляется интегрирование.
—II—^
и,
Ц
A6.58)
и,
I
Фиг. 288. Простейшая
дифференцирующая схема.
A6.59)
и9
Фиг. 289. Простейшая
интегрирующая схема.
^
Л2
-5^
Г
>
^
^>
^
уМ
я,
О
/?„«/?, ~я2
р>
, I ,
Фиг. 290. Схема для решения дифференциальных уравнений вида у' + ау' — Ру^О,
где а и /? —положительные действительные числа.
Ключи Кг та. Кх служат для зарядки конденсаторов до напряжения определенной величины.
Для повышения точности применяется усиление с обратной связью,
в результате чего условие | рСН | <*с 1 заменяется условием|/?С7?|/A +Л)<зс1,
в котором Л —коэффициент усиления. Новое условие легко осуществляется
при больших значениях А. Соединяя между собой несколько
дифференцирующих или интегрирующих четырехполюсников, можно собрать такую
цепь, которая дает решение дифференциальных уравнений. На фиг. 290
показана такая схема для решения уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
§ 17*. Дальнейшие теоремы теории функций
Здесь излагаются в дополнение к § 13 ч. II те положения теории
функций комплексного переменного, которые будут применяться в связи с
преобразованием Лапласа. Задача этого параграфа, так же как и остальных
параграфов, посвященных подобным вопросам, состоит в том, чтобы показать логи-
§17. Дальнейшие теоремы теории функций
433
ческую последовательность и связанность тех теорем, которыми мы
пользуемся. Полное и математически строгое изложение читатель найдет
в учебниках по теории функций комплексного переменного.
Интегрирование в комплексной плоскости определяется следующим
образом. На фиг. 291 между двумя точками на комплексной плоскости
нарисована произвольная кривая. Всем точкам комплексной плоскости ъ
соответствует комплексная функция /B). Под линейным интегралом вдоль
кривой § в этой комплексной плоскости понимают следующее выражение:
(в)//(«)& =
А
: 1Ш1 ^1{7,к)Лгк.
Дгъ -> О к
A7.1)
Кривая § разбивается на маленькие отрезки. Комплексные числа,
которые изображают все отрезки прямых (^ь), умножаются на
\У ®
'А*к
X
Фиг. 291. К понятию линейного
интеграла.
р ®
*о'*ЗаУ\
1
У
В
[
\А_
*€Г-
~С
1
¦>20+Ах+^Ду
1
_. ?шЛ 7.-М г
X
Фиг. 292. К выводу теоремы Коши
для элементарного параллелограмма.
соответствующее значение функции; полученные таким образом значения
суммируются по всем линейным отрезкам кривой % в интервале АВ.
Возьмем на ^-плоскости любую замкнутую кривую. Предположим,
что функция /(г) регулярна внутри области, ограниченной этой кривой,
а также и на самой кривой. Таким образом, во всех точках кривой
существует непрерывная производная конечной величины.
На этом основана важнейшая теорема теории функций, называемая
теоремой Коша. По этой теореме
ф /(*) йл = О,
A7.2)
т.е. значение интеграла, взятого по замкнутой кривой, равно нулю. Эту
теорему можно доказать следующим образом. В г-плоскости, изображенной
на фиг. 292, выделим маленький прямоугольник, углы которого в
соответствующей последовательности равны
Л(*о), В^ + Лх), С(г0 + Ах+]Ау), В(%+]Ау).
A7.3)
Докажем теорему Коши для такого элементарного прямоугольника.
Если теорема справедлива для элементарного прямоугольника, то можно
любую область разбить на такие прямоугольники. Тогда значение
общего линейного интеграла будет равно сумме линейных интегралов по всем
элементарным прямоугольникам. При этом интегралы, взятые по сторонам
рядом лежащих прямоугольников, взаимно уничтожаются (фиг. 293).
28 К. Шимони
434
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
\ (Л) —
4-Х
/
/
у
о
сГ
О
^-
Значение ленейного
интеграла вдоль линии АВ равно
в
//(г)&*/(*о)Лг, A7.4)
А
а вдоль линии СВ
A7.5)
Фиг. 293. К вьшоду^еоремь^Коши для АналоГИЧНО вдоль Линий ВС и
произвольной замкнутой кривой.
//B)Й2«-/B0)/4/,
A7.6)
//(*)&* [/(*») +Е^Ч/Лу.
Значение линейного интеграла по всем сторонам элементарного
прямоугольника равно
ф 1(г) Aг ^ ]'Ах Ау[
АВСйА
дх д(}у).
A7.7)
Но, по условию, функция /(з) всюду дифференцируема, и значение
производной не зависит от того, как дифференциал Лъ стремится к нулю.
Поэтому
&1 _ Я/ _ Я/
йъ дх д(]у) '
чем и доказывается теорема
ф /(^) &ъ = 0.
A7.8)
A7.9)
Из сказанного следует, что интеграл по любой замкнутой кривой
(контурный интеграл) равен нулю, когда функция удовлетворяет
указанным условиям.
Из теоремы Коши непосредственно следует, что значение линейного
интеграла между двумя точками я-плоскости не зависит от пути; точнее,
линейный интеграл по заданному пути не изменяется, если кривая пути
интегрирования деформируется таким образом, что при фиксированных
точках начала и конца она при непрерывной деформации проходит через
область, где функция дифференцируема во всех точках (фиг. 294).
Предположим, что функция в точке % = 20 недифференцируема
(фиг. 295). Это особая точка функции /(я). Легко показать, что линейный
интеграл по замкнутой кривой, окружающей эту точку, в общем случае
не равен нулю (конечно, он может быть и равен нулю) и не зависит от
формы кривой, охватывающей эту точку, если контур окружает только
одну особую точку.
$ 17. Дальнейшие теоремы теории функций
. 435
©
Фиг. 294. Значение линейного
интеграла совпадает для всех
кривых, проходящих через две
точки и не охватывающих особые
точки.
Фиг. 295. Значение 'интеграла по
замкнутой кривой, охватывающей
одну особую точку, не зависит от
формы кривой, если кривая не
охватывает других особых точек.
Разрежем обе кривые, представленные на фиг. 295, чтобы получилась
замкнутая кривая, внутри которой функция регулярна. Тогда мы можем
применить к ней теорему Коши
ф /(*) й% = ф № & + / /(*) Лъ + ф /(*) Лг + / /(*) Лг = 0 . A7.10)
.01
АВ
02
ВА
Интегралы по пути АВ и ВА равны и противоположны по знаку»
Следовательно,
ф /(я) й% = - ф /(я) йъ = ф /(я) йя,
A7.11)
01
Ог
02
т.е. интеграл по контуру, охватывающему особую точку, не зависит от
формы контура.
Вычислим, например, интеграл
ф|й2
по кривой, охватывающей точку г0 = 0, в которой /(я) = 1/з—><» (такая
точка называется полюсом функции). Так как ъ = 20 = 0 — особая точка
функции, ее полюс, то теорема Коши неприменима к кривой, окружающей
начало координат. Линейный интеграл по другим замкнутым кривым
равен нулю. Значение интеграла легко найти для любой кривой,
охватывающей полюс. По доказанному, значение этого интеграла не зависит от
вида кривой, поэтому выберем окружность единичного радиуса. Для
этого простого случая
A7.12)
§\Аъ = \я7*№* й(р = ( ^ = 2я/"'
до о
Таким образом, контурный интеграл функции /*(» = 1/г по кривой,
охватывающей один раз полюс, равен 2тг/. Контурный интеграл легко
вычислить для функции /(я) = 2П, если п^ -1:
ф ъп йг = ( е*ир/е** йц> = ^¦.(е*<л+1>2я -1) = 0. A7.13)
28*
436
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
ЬМ!
Это означает, что линейный интеграл от ъп по любой замкнутой кривой,
окружающей полюс, равен нулю при всех значениях п^ -1. К тому же
результату мы придем, определяя контурный интеграл функции {(ъ) =
= (я — 20)~"п по замкнутой кривой, охватывающей точку % = т>0\
'?¦ "*!• <17-14>
2п], п = 1.
ь
Равенство A7.14) найдет применение в дальнейшем.
Из только что найденного интеграла и теоремы Коши можно сделать
следующий вывод: если в некоторой области функция /(г) регулярна, то
для любого контура, лежащего в этой области, справедливо равенство
ь
Из этого равенства следует, что функция может быть определена по
ее значению на контуре. Действительно,
^да'-^й"*^^* A716)
При вычислении первого интеграла правой части ъ и /(я) следует считать
постоянными, так как интегрирование ведется по переменному С- Поэтому,
применяя равенство A7.14), находим
ь ь
Докажем теперь, что второй интеграл правой части равен нулю.
Контурный интеграл в окрестности единственной особой точки С = ъ
может быть заменен интегралом по любому контуру, охватывающему
эту точку; выберем в качестве такого контура маленькую окружность
радиусом г с центром в точке ъ. Если г настолько мало, что | /(С)~ /О2) | < е, то
^ш|=ай«|«^2—* ,„.18,
ь
Таким образом, абсолютное значение этого интеграла меньше любого
малого числа и может быть приравнено нулю. Тем самым равенство
A7.15) доказано.
Так же, как действительную функцию в окрестности любого
значения х0 можно разложить в ряд по возрастающим степеням {х—х0)у так и
регулярную функцию на комплексной плоскости в окрестности точки •
ъ = 20 можно разложить в ряд Тейлора. Бесконечный ряд по
возрастающим положительным целым степеням от (г—я0) можно
представить так:
/B) = а0 + а1B~20L-а2B-20J+ ... +ап(%-20)п+ ... = 2 ап{*-*о)п. A7.19)
п—о
Если же точка ъ = з0 — особая точка функции /(я), то в окрестности этой
точки функцию можно разложить в ряд Лорана
+ -..= 2 «п(*-*о)п- A7.20)
^ 17. Дальнейшие теоремы теории функций
437
Ряд содержит, кроме положительных степеней, также отрицательные
степени разности B—20).
Заметим, что ряд Лорана имеет конечное или бесконечное число
членов с отрицательными показателями в зависимости оттого, имеет ли функция
при подстановке ъ = з0 „несущественную" особенность, т.е. полюс, или
существенную особенность. Порядок полюса определяется числом членов с
отрицательными показателями, содержащимися в ряде Лорана. Значение
функции в полюсе бесконечно велико. В существенно особой точке функция
может стремиться к любому значению в зависимости от того, откуда
приближаться к существенно особой точке.
В следующем параграфе
показывается, что многие задачи
электротехники могут решаться с помощью
контурных интегралов. Поэтому важно
подробнее рассмотреть свойства
интегралов, когда интегрируемая функция
в области, ограниченной контуром,
нерегулярна.
Предположим, что функция /(г)
внутри области, ограниченной
контуром, имеет к особых точек (фиг. 296).
Если выбрать новый путь
интегрирования так, чтобы особые точки
исключались (см. фиг. 296), то внутри
области, ограниченной новым контуром, функция /(я) всюду регулярна^
Фиг. 296. Вычисление интеграле
по замкнутой кривой, охватывающей
особые точки.
Поэтому можно применить теорему Коши:
A7.21)
кг кг
кк **
Интеграл по линиям разреза берется сначала в одном направлении, к
затем в противоположном (что показано стрелками), поэтому из
предыдущего равенства следует, что
ф/(я) Лг = ф /B) йг + ф /(*) &+...+ фп*) йл. A7.22)
Ь кх кг кь
Таким образом, искомый контурный интеграл равен сумме
интегралов по контурам, охватывающим отдельные особые точки.
Разложим {(г) в окрестности особых точек г = ц в ряд Лорана:
. . . +7^=4+-^: + а$ + а*A-г{) + а!Ь(*-ц)* + A7.23)
№
(*-*J
Ъ — 2,1
Интегрируя правую и левую части этого уравнения по окружностям,
которые охватывают точки г = ъи найдем на основании ранее выведенного
[см. формулу A7.14)], что интеграл всех членов правой части равен нулю,,
за исключением члена с показателем п = — 1. Интеграл этого члена равеа
умноженному на 2я/ коэффициенту при (з-^)-1:
A7.24)
Коэффициент а{% называют вычетом функции /(з) в рассматриваемой
особой точке.
438
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Итак, контурный интеграл равен
Эта теорема называется теоремой вычетов: контурный интеграл равен
умноженной на 2тг/ сумме вычетов в особых точках функции, лежащих
внутри области, охватываемой контуром.
Теорема вычетов оказывает большую помощь при вычислении
контурных интегралов, потому что член, о котором идет речь, очень просто может
быть определен разложением в ряд около особой точки.
Пусть, например, функция /(я) в точке 2=20 имеет полюс первого
порядка. Ряд Лорана для этой функции имеет вид
№ = ^=г- + Яо + Я1B-2о) + • • • • A7.26)
Умножим обе стороны ряда на ъ — 20
B-2о)/B) = а_! + B-ао) К+ «1 (*-*„)+ • • •]. A7.27)
При значении 2=^ все члены правой части, кроме первого, обращаются
в нуль. В левой части получается неопределенность, так как /(я)
стремится к бесконечности, а (я — з0) — к нулю. Неопределенность раскрывается
непосредственным вычислением предела
а_! = Нш B-2о)/B). A7.28)
Предположим, что /(я) может быть записана в следующей форме:
/м = ш A7-29)
и что г = 20- простой нуль функции Щг). Функция С(г) в окрестности
полюса г0 регулярна. Неопределенность
а_х = Цщ (*-*,)/(*) = Ит (*-**) Ш- A7.30)
г-«, 2->-г. "V2*
в этом случае можно раскрыть по правилу Лопиталя:
4-[{*-*)С(*)]
о_х = Нт -^-з = -Ж.. A7.31)
Окружив замкнутой кривой каждый из к простых корней
знаменателя, найдем значение линейного интеграла
,/B)^ = 2^/11^-. A7.32)
*'
Правая часть этого уравнения совпадает с выражением, входящим
в теорему разложения Хевисайда, а само равенство строго доказано.
В дальнейшем будет применяться вспомогательная теорема — лемма
Жордана, содержание которой приводится здесь без доказательства.
Пусть задана аналитическая функция Ф(з), которая при возрастании
значения \г\ равномерно сходится к нулю; тогда по лемме Жордана
11т/Ф(*)**еЬ = 0, A7.33)
$ 17. Дальнейшие теоремы теории функций
439
если интеграл при отрицательном значении I берется по полуокружности
радиусом/? и расположен справа от центра. При положительном
значении г, напротив, интегрировать следует по полуокружности такого же
радиуса, лежащей слева от центра (фиг. 297).
Из основной теоремы Коши можно определить, имеет ли
функция /B) внутри замкнутой кривой полюс или нуль. Для этого исследуем
производную такой функции:
ю = и + ]и = 1п/(г),
A7.34)
т.е. производную логарифма функции /(г). Контурный интеграл в этом
случае равен
$*, = §^ = ^ + /*)*- §Жйг. A7.35)
Чтобы применить теорему вычетов для
определения интеграла, необходимо знать
полюсы функции /'(г)//(г). Пусть 20 га-кратный
полюс или нуль функции /(г). Тогда /B)
можно представить в следующем виде:
/B) = (*-х0П(х). A7.36)
Здесь п положительно, когда 20 — нуль, и
отрицательно, когда 20 — полюс. Функция
§B) не имеет нулей или полюсов в точке *<>.
Так как
/'B) = ф-20)^§B) + B-20Г^), A7.37)
то
/'(*)
+
*'(*)
/(*) *-*0. &(*)
A7.38)
Фиг. 297. Область
интегрирования в лемме Жордана.
Функция /'B)//B) имеет полюс в точке ъ = 20; ее вычет положителен,
когда 20 — нуль функции, и отрицателен, когда 2§ — полюс той же
функции. Значение вычета определяется порядком (кратностью) нуля
или полюса. В итоге получаем, что
фШ& = 2*/(ЛГ-Р),
/(*;
A7.39)
где Р означает число всех полюсов, ТУ—число всех нулей (с учетом их
кратности).
Указанные здесь знаки соответствуют положительному направлению
обхода по контуру (против часовой стрелки). Полученное равенство
позволяет определить разность между числом нулей и числом полюсов. Если
/(г) в соответствующей области не имеет нулей, то число полюсов
определяется однозначно.
Найденному результату можно дать наглядную геометрическую
интерпретацию. Так как интегрируется дифференциал, то значение
интеграла равно разности значений ю в конечной и начальной точках:
<|)<йг> = ф^& = 2я/(#-Р) = и>||.
A7.40)
440
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Это положение наглядно разъясняется следующим образом. Нанесем
точку ъх на контуре С в плоскости ъ. Если теперь обойти контур С и
вернуться в исходную точку гъ то на плоскости ю мы вернемся уже не
в точку юъ а в точку ю2.
Последнее уравнение можно записать в виде
и> Ц = и |? +/р |} = 27г/(ЛГ-/>). A7.41)
Так как правая сторона чисто мнимая, то и Ц = 0. Таким образом,
и\1 =2л^-Р). A7.42)
Логарифм комплексной величины /(з) выражается в виде
1п/(*) = 1п|/(*)|+/аг§/(*). A7.43)
Поэтому при обходе по контуру в плоскости ъ имеем на плоскости ш
аг§/0г)|? = 2тг(^-Р). A7.44)
Геометрический смысл этого равенства состоит в том, что движению
точки г по контуру С соответствует движение точки, определяемой
как /(^), происходящее по другой линии комплексной плоскости.
Если эта вторая траектория замкнется вокруг начала координат, то
аргумент функции /(я) изменится на 2я. При обходе по контуру С
траектория, описываемая функцией /(г), обовьется п раз вокруг начала координат,
причем п равно разности числа полюсов и нулей функции /(з) в области,
ограниченной контуром С. Эта теорема находит широкое применение при
исследовании устойчивости цепей.
§ 18*. Обратное преобразование Лапласа
В § 12 было показано1}, что непрерывный спектр непериодической
функции определяется интегралом Фурье (прямое преобразование):
Р(]со) = Г/(*)е-'Ч(Й, A8.1)
— оо
а функция времени /(*) определяется по ее спектру другим интегралом
(обратное преобразование):
+ оо
т=4^ Ц ВДе*"*»- A8-2)
— оо
Прямое и обратное интегральные преобразования Фурье можно
символически записывать так:
ги»)-<?т A8.3)
т=G--1рцсо).
Эти преобразования возможны, когда функция/(г) абсолютно интегрируема,
т.е. когда интеграл
+~
А A8.4)
/ I М I
1} В § 12 применялись несколько отличные обозначения, например 8((о)
вместо РЦсо). Ср. формулы A2.21) и A2.22). — Прим. ред.
§18. Обратное преобразование Лапласа
441
имеет конечное значение. Последнее условие существенно ограничивает
применение интеграла Фурье.
Преобр азование Лапласа можно рассматривать как обобщение
преобразования Фурье. Умножив /(*) на другую функцию, сильно стремящуюся к
нулю в положительной бесконечности, например на е~с\ где
с—положительное действительное число, образуем произведение, которое уже абсолютно
интегрируемо. При этом, конечно, трудности возникают в области I—> — «*.
Чтобы избежать их, положим, что в области 1< О функция 1A) равна нулю;
теперь требуется только существование интеграла
/(*)|е-с*сй. A8.5)
о
Пусть оа — такое число, что для с >ва интеграл существует. Тогда
преобразование по Фурье функции Ц1)е~~с1 возможно:
Р(с + ]со) = / {A)е-"е-***<11, если с >ва, A8.6а)
о
+ ов
/(*)е-с'=~ ( Р{с + ]со)еэ*>г<ко, если *5>0. A8.66)
— оо
Этот способ позволяет получить преобразование Фурье таких
функций, для которых из-за расхождения интеграла простое
преобразование (т.е. без умножения на е~~с1) невозможно.
Из функции Р(с+]со), хотя и не всегда, можно, полагая с—> 0, получить
спектр функции 1A).
От полученных выражений легко перейти к прямому и обратному
преобразованиям Лапласа. Равенство A8.6а), конечно, можно записать
так:
Р(с + ](о) = / /(*)е-(с+'в)'Л. A8.7)
о
Умножив обе части равенства A8.66) на ес1, получим
+ оо
1A) = -^ Г Р(с + ]соУс+>°IсЬ. A8.8)
— оо
Перейдем к интегрированию по новой переменной с+/о>:
Ш)=^р- Г ^(с+/в))в«+'«Цс+/а)). A8.9)
Если мы теперь обозначим с+]оо = р9 то придем к выражению искомых
преобразований:
оо
Р(р) = I 1A)е-Р* Л, Ке р > аа, A8.10а)
о
№ = -щ ]' ?(Р)ер1Лр, 1^0. A8.106)
С-з°°
442
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В последнем выражении путь интегрирования на комплексной
плоскости;?— любая прямая, параллельная мнимой оси, для которой с > аа. Этот
интеграл выражает теорему Фурье — Меллина.
Таким образом, если функция Р(р) определена по уравнению A8.10а),
т.е. представляет собой изображение функции /(г), или ее преобразование
по Лапласу, то исходная функция находится путем преобразования A8.106)
(обратное преобразование Лапласа, или интеграл Бромвича). Из этого
выражения в соответствии с принятым условием значение функции при
отрицательных I получается равным нулю.
Из всего изложенного ясно, как следует выбирать путь
интегрирования. До сих пор в качестве пути интегрирования выбиралась прямая,
А Плоскость р
\
\
/
Фиг. 298. Выбор пути
интегрирования для
определения функции Л0(*<0).
оР4 ^
ор5 / ор3
/
/
/ °Рг
_1
\
ч
В
®
Фиг. 299. Определение
функции /*(*) = Я-*Р(р) с
помощью теоремы вычетов.
параллельная мнимой оси. Если функция Р(р) справа от этой прямой не
имеет особых точек, то не имеет их и функция Р(р)ер\ потому что ер1
нигде не имеет особых точек. Замкнем теперь прямую полуокружностью,
проходящей справа от нуля (фиг. 298). Предельное значение интеграла
при этом по лемме Жордана равно нулю. По теореме Коши интеграл по
всей замкнутой кривой равен нулю, так как функция Р(р)ерг справа не
содержит особых точек. Функция /(*) при отрицательных значениях I,
по условию, равна нулю.
В общем случае обратное преобразование Лапласа, определяющее
исходную функцию /(*)> можно осуществить посредством интегрирования
уравнения A8.106). Этот линейный интеграл часто (но не всегда) можно
определить с помощью теоремы вычетов. Предположим, что
функция Р(р) содержит только полюс первого порядка, который должен
находиться слева от выбранного пути интегрирования. Дополним прямую,
параллельную мнимой оси, по которой ведется интегрирование,
полуокружностью, лежащей слева от начала координат (фиг. 299). Если радиус
полуокружности увеличить до бесконечности, то линейный интеграл, взятый
по замкнутой кривой АВСВЕА, будет равен предельному значению
интеграла по линии АВ, так как интеграл, взятый по линии СВР, согласно
лемме Жордана, равен нулю. Интеграл, взятый по конечным отрезкам
# 18. Обратное преобразование Лапласа
443
ВС и АЕ также равен нулю, потому что функция Р(р) при
увеличивающихся значениях | р | стремится к нулю. Длина пути интегрирования
остается конечной; одновременно еР1 также остается конечным.
Таким образом, значение интеграла, взятого по контуру АВСВЕА,
совпадает со значением искомого выражения
С+3~
/ Р{рH*ар. A8.11)
Но по теореме вычетов интеграл по контуру равен сумме вычетов в особых
точках, лежащих внутри контура. Следовательно,
/(')=Й/ / Р{р)^Лр^а% A8.12)
Пусть в частном случае функция Р(р) имеет вид
ВД=ВБу. A8-13)
где Щр) содержит простые корни рХуръ ..., р1у Значение отдельного
вычета по уравнению A7.31) равно
^-Ж- <18-14>
Вычет функции Р(р)ер1 равен
Следовательно, искомая функция 1A) выражается суммой
/@=2-^^. A8.16)
Если р0 = 0 — корень знаменателя, это равенство переходит в
следующее:
Ш) = ^1 + у с^ 0#. A8 17)
Таким образом, мы вновь пришли к теореме разложения Хевисайда,
Однако теорема Фурье—Меллина обладает большей общностью. Она
сохраняет силу и в тех случаях, когда теорема разложения неприменима,
например при обратном преобразовании многозначных функций.
Вычисление интеграла на комплексной плоскости даже в относительно
простых случаях составляет достаточно трудную задачу. Практически
непосредственное интегрирование производят редко, так как имеются
подробные таблицы для прямого и обратного преобразований наиболее
часто встречающихся функций. Ниже приводится таблица преобразований
наиболее часто встречающихся функций (табл. 3). Некоторые другие
преобразования могут быть сравнительно просто найдены посредством
применения к функциям, приведенным в таблице, правил, изложенных
в§ 15.
Таблица 3
ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ /(*), ПРЕОБРАЗОВАННЫХ ПО ЛАПЛАСУ (Р(р))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
/и
СгШ + ъШ
/<">(*)
О 0
0
Л{«-т)Л«-т)
в *•/(«)
'Ш
/Л(т)/1(«-т)Л
0
й. Щр<)
й>М
оо
Р(Р)= \ *-"№**
0
с1Р1(р) + сгРг(р)
р»Р(р)-рП-1}@)-
-р»-2}'@)-...-Р»-»@)
Р(Р)
Рп
е-^Р(р)
Р(р+Х)
тР(тр)
рЛр)Ыр)
0(р)
Щр)
^Р(р,а)
Нт /(*) = Ит рР\р)
Ит /(*) = Ит р^(р)
1A)
E@
*
*а
1
Ум
Р
1
1
Р*
Ца+1)
Ра+1
т*
Примечания
См. формулу A5.6)
т > 0
простые корни
а не зависит от р и 1
(о, *-=о,
8(*) - *'(«)
Ке (а) =- -1
Продолжение табл. 3
17
18
19
| 20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
№
е±ш
1*еР1
I»-1
е-ах1 _ е~аг*
а2-а!
81П <ХЛ
сов а*
зЬ иг
сЬ ой
С082 1
81П2 г
е~Р1 С08 (XI
е~$% 81п а*
А(г)
(а!-а2) (а2-а3) (ад-ах)
где А(г) = (а3-а2)е-а1* +
+ (а1-а,)в-1а«|+ (аг-ах) в"*»1
1п *
-*ш
0
1
рУр
1
р*а
Г(а+1)
1р-/*)а+1
1
(р + ос)»
1
(р + «1)(р + ая)
а
р2 + а2
Р
р2 + а2
а
р2-а2
Р
р*-а2
1 р2+2
р р2+4
1 2
р р2+4
Р + Р
(Р + РJ + *2
а
(*> + 0J + а2
1
(Р + *г) (^ + «2) (/> + *з)
Г'A) 1п р
-1*^ !
р !
Примечания
Ке(сс) =- -1
п- целое число
Г'A) = -1пу =
= -0,57722
Ф(«) = -1г Ге-«*<*и
о
Продолжение табл. 3
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
№
1 + <?'[ф(/*")-1]
еЬ-Ф(^У]
лм
3% [/а*)
лм
ГО @<*-=а)
Ш - ' ¦
(Ли^-а^^ос^О)
Ьег BУТ)
¦ Ъе\BУТ)
•-"^и-^ЁН
ХПИ
егозой)
81 е
а*
0
1
' рA + Кр)
17
рA + 17)
1
/Г+Р5
1
/р»^»1'
1
//>2+*2
в-а|^ТТ^1
1^47^2
1 1
— С08—
1 . 1
— 81П —
Р Р
\ ( р у* + 1
р \р + ь)
1 р-аЛп
РД Р >
1 |>-«Г
1 ,
— агс сщ р
1, !
7 >^7г
Примечания
аз^О,
ж—любое число
ЛB|г=70 = Ьег B)Т) +
+; Ье1 B/7)
— еа«_ кГ_е~а<
<
~. Г 81ПЖ ,
8и = Лх
3 х
0
1 1
$ 19. Понятие о сопротивлении и индуктивности
447
Г. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 19. Понятие о сопротивлении и индуктивности в случае
пространственных токов
Выше преимущественно рассматривались проводники, линейные в
геометрическом смысле слова, т.е. такие проводники, поперечные размеры
которых очень малы по сравнению с их длиной. Пространственное
расположение геометрически линейного проводника определяет однозначно и
направление вектора плотности тока; для системы таких проводников
уравнения поля записываются просто, а протекающие электромагнитные
процессы однозначно характеризуются напряжением, током в проводнике,
омическим сопротивлением и индуктивностью.
Однако не следует забывать, что геометрически линейные
проводники — упрощающая расчеты абстракция, которая может иногда
приводить к абсурду. В общем случае проводников конечных размеров не всегда
удается однозначно и рационально вводить понятия о сопротивлении и
индуктивности.
К каким же упрощениям приводит введение этих интегральных или
цепных характеристик? С помощью сопротивления К можно весьма просто
подсчитать мощность джоулевых потерь Кг2 и падение напряжения Ш,
а по известной индуктивности — энергию магнитного поля контура г1ъЫ2
и падение напряжения Ь(И\A1.
При решении задач электродинамики должно быть найдено
пространственное распределение напряженности электрического поля (Е) и
магнитной индукции (В), а также плотности тока («Г), напряженности
магнитного поля (II) и электрической индукции (В), которые связаны с вектора-
миЕ и В параметрами среды (электрической и магнитной проницаемостью,
электрической проводимостью). Если эти величины известны, то можно
ответить на все возникающие вопросы. Так, мощность джоулевых потерь
в заданном объеме выражается интегралом
Р„ = Г^Й7; A9.1)
запасенная в том же объеме энергия магнитного поля находится по
формуле
УГт = \ ГНВЙ7; A9.2)
отдаваемая генератором или поглощаемая потребителем мощность
вычисляется с помощью интеграла по поверхности от вектора Пойнтинга
Р = ф(ЁхЯ)с1А. A9.3)
А
В общем случае при решении пространственных задач простые понятия
теории цепей неприменимы. Можно, конечно, определить величину
сопротивления так, чтобы произведение сопротивления на квадрат тока
давало мощность потерь. Но нет гарантии, что произведение этого
сопротивления на ток равно напряжению между какими-либо двумя выбран-
448
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
ными точками. Точно так же по величине индуктивности, вычисленной
с помощью энергии магнитного поля, нельзя найти индуктивное падение
напряжения.
В следующих параграфах решаются пространственные задачи
электродинамики, в которых понятие о геометрически линейных проводниках
все же применимо (при соблюдении некоторых предосторожностей).
Рассмотрим, например, простой коаксиальный кабель (фиг. 300).
На рисунке представлено распределение плотности тока и напряженности
Фиг. 300. К определению внутренней индуктивности.
магнитного поля при постоянном токе и при переменном токе высокой
частоты. В последнем случае наблюдается вытеснение тока (оно подробно
исследуется в следующих параграфах), при котором как плотность тока,
так и напряженность магнитного поля изменяются по сечению
проводника. Омическое сопротивление проводника увеличивается, так как ток
протекает не по всему его поперечному сечению; индуктивность тоже
изменяется. Даже в этом простом случае нельзя говорить о сопротивлении и
индуктивности, определяемых только геометрическими размерами и
параметрами среды; обе величины зависят от частоты.
Покажем методику вычисления внутренней индуктивности и
омического сопротивления на примере коаксиального кабеля.
Приложенное напряжение может быть представлено в следующем
виде:
ик=Щ + Ь^. A9.4)
Первое слагаемое напряжения щ — это падение напряжения на
омическом сопротивлении, а второе— индуктивное падение напряжения.
Последнее можно разложить на две части: на падение напряжения ЬесИ1сИ,
обусловленное изменением магнитного потока вне проводника, и на падение
$ 20. Электромагнитное поле в среде с конечной проводимостью * 449
напряжения ЦсИ/<11 вследствие изменения магнитного потока в
проводнике. Таким образом,
Применяя закон электромагнитной индукции к замкнутому контуру
БАВСВ, у которого участки АВ и СЬ совпадают с поверхностями
проводников (см. фиг. 300), найдем, что
Л)ЕсД = 1е<й + / ЕЛ=- (вЛ+ / ЕЛ =
** В А АВСВ АВ АВОВ
= -цк+ Г ВЛ= -1,е-§> A9.6)
А ВС В
откуда1*
ик= СЪЛ + Ь9%. A9.7)
АВСВ
Сравнив это выражение с равенством A9.5), получим интеграл от
напряженности поля вдоль поверхности проводников:
Г Е<й = т + Ь~. A9.8)
АВОВ
В случае синусоидального тока2)
/ Ё<Л = (Н + ]ЪЦI. A9.9)
АВСВ
В дальнейшем это уравнение применяется для вычисления омического
и внутреннего индуктивного сопротивления.
§ 20. Электромагнитное поле в среде с конечной
проводимостью
В проводнике практически всегда можно пренебречь тока^л
смещения по сравнению с токами проводимости даже при очень высоких
частотах, так как проводимость очень велика. Поэтому даже при высокой
частоте внутри проводников можно считать процессы квазистационарными
{т.е.. не учитывать излучение).
В этом параграфе рассматриваются процессы, при которых
распределение тока по сечению проводника неравномерно: плотность тока
значительно больше у поверхности проводника, через который в проводник
поступает энергия, рассеиваемая в форме джоулева тепла. Такое явление
называют поверхностным эффектом (скин-эффект, вытеснение тока). По-
А) Все сказанное здесь и вытекающие из этого следствия справедливы, если между
точками В и С короткое замыкание; в противном случае следует полагать, что ик —
разность напряжений в начале и конце линии, другими словами, падение напряжения
вдоль линии: ик = иАВ-ивс. — Прим. ред.
2) Здесь Е, конечно, означает комплексное представление вектора напряженности
поля. Это может быть обозначено точкой над буквой. В подлиннике знак комплекса
часто опускается. Однако на протяжении всей части III во избежание недоразумений
в русском переводе комплексы всюду обозначены точкой над соответствующим
символом. — Прим. ред.
29 К. Шимони
450 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
верхностный эффект приводит к увеличению эффективного сопротивления
проводника по сравнению с сопротивлением постоянному току или
переменному току низкой частоты.
В следующих параграфах будут рассмотрены важные для
практических расчетов случаи поверхностного эффекта.
Все эти задачи решаются по уравнениям Максвелла для
квазистационарных полей:
го1Н = уЕ, го!Е = -а*-^-.' B0.1)
Проводимость и магнитную проницаемость проводников мы будем
считать в рассматриваемой области поля постоянными. Следовательно, для
электрического и магнитного полей справедливы равенства
<ИуЕ = 0, <ИуН = 0. B0.2)
Возьмем ротор от обеих частей первого уравнения Максвелла:
го!го1Н= угоЪЕ B0.3)
и воспользуемся известной формулой векторного анализа
го! го* Н = §гаA (Ну Н - V 2Н; B0.4)
принимая во внимание, что сНуН = 0 и подставляя значение Е из второго
уравнения, получим
V2Н = /,^^. B0.5)
Аналогично для напряженности электрического поля имеем
У2Е=/,У^-. B0.6)
Запишем уравнение B0.5) в декартовой системе координат:
д2нх , ъ2нх , д2нх энх
дх2 ' ду2 ' № гг дг '
д*ну , д2ну , д2ну дну ,0Л7,
д2Нг , д2Нг д2Нг дНг
дх2 ^ ду2 ^ д*2 ~^г дг '
Для практических расчетов важен случай, когда можно принять,
что напряженности электрического и магнитного полей меняются
синусоидально, т.е.1*
Ё = Й0е*в«, Н =Й0е^. B0.8)
После подстановки последних выражений в уравнения B0.5) и B0.6)
найдем, что
V2 Ё0 = ](о^у Ё0, V2 Й0 = /со/г Н0 , B0.9)
где Ё0 и Н0— функции только координат поля и в общем случае являются
комплексными величинами. По действительной и мнимой частям этих
комплексов можно уже известным способом вычислить сдвиг по фазе.
В следующих параграфах уравнения B0.9) решаются для ряда
частных задач.
1) См. примечание 1 на стр. 28. — Прим. ред.
$ 21. Электромагнитное поле в бесконечном проводящем полупространстве 451
§ 21. Электромагнитное поле в бесконечном проводящем
полупространстве
Выберем начало координат на плоской границе проводника,
занимающего полупространство (фиг. 301), и направим ось % внутрь
проводника перпендикулярно его поверхности. Предположим, что
напряженность электрического поля имеет одну составляющую Ех и не зависит от
координат х и у, т.е. д/дх = д/ду = 0. Однако вдоль оси % напряженность
электрического поля изменяется. г=0
/оп ^ри таких усл?виях УРавне™е ШШШШШРШШШШШ
B0.6) для искомой величины Ех
можно переписать в следующей форме:
д2Ех
д^
дЕх
М-дГ
B1.1)
а первое уравнение Максвелла и
выражение сИуН = 0—в декартовой
системе координат:
ду дъ ~ У *'
дНг ЭН,
дг
дх
дн„ энх
дх
ду
о,
-о,
B1.2)
B1.3)
*2
дНх . дНу
дх
+ -
ду
+ -
днг
дъ
B1.4)
Фиг. 301. Изменение модуля
напряженности электрического поля в беско-
= 0. B1.5) нечном полупространстве с конечной
проводимостью.
Так как д/дх = д/ду = 0, то из последнего уравнения следует, что
днг
дъ
= 0,
откуда
Н* = О
B1.6)
B1.7)
(постоянная выбрана равной нулю). Из уравнения B1.3) можно установить,
что
днх
Ъъ
о,
Я. = 0.
B1.8)
Следовательно, магнитное поле имеет только одну-единственную
отличную от нуля компоненту, а именно Ну. Эта компонента определяется
уравнением1
—дТ=УЕ*-
B1.9)
1} Гораздо проще искать значение Ну из второго уравнения Максвелла,
вычисляя ротор от известного выражения для вектора электрического поля. — Прим. ред.
29*
452 Часть /7/. Анализ и синтез электрических цепей
Основу для всех дальнейших рассмотрений образуют уравнения B1.1)
и B1.9). Однако смысл происходящих явлений легче выяснить, если эти два
уравнения составить непосредственно с помощью законов полного тока
и электромагнитной индукции. Запишем закон электромагнитной
индукции для замкнутого контура, показанного на фиг. 302. Циркуляция
вектора напряженности электрического поля равна
.фЕЛ=^Е^ + {Ех+д-^ЛяI=^-1(к.
B1.10)
Пронизывающий этот контур магнитный поток запишется в виде
)ВAА = /лНу1<1г. B1.11)
Ъ1
о.
Фиг. 302. К записи закона
электромагнитной индукции.
Фиг. 303. К записи закона полного
тока.
Следовательно,
или
ОТ,
дЕх
дНу
B1.12)
B1.13)
Закон полного тока запишем для контура, показанного на фиг. 303.
Циркуляция вектора магнитной индукции
^НЛ = Яу1-(я„+^(Ь)/= -д^~1^'
B1.14)
Интеграл от вектора плотности тока по поверхности, ограниченной этим
контуром, равен
|* еГйА = уЕх I йъ.
B1.15)
Поэтому по закону полного тока
дг
B1.16)
§21. Электромагнитное поле в бесконечном проводящем полупространстве 453
Уравнение B1.16) тождественно уравнению B1.9). Уравнение B1ЛЗ)
после дифференцирования по ъ и подстановки вместо производной дНу1дг
ее значения из уравнения B1.16) преобразуется в уравнение B1.1).
Следовательно, для решения задачи мы опять получаем систему уравнений
?" =^~дГ^ B1Л7)
-д-^ = уЕх, B1.18)
Подставим теперь в уравнения комплексные амплитуды
Ёх{*,1)=ЁB)е>«\ B1.19)
Йу(ь1)=Й(ъ)е*Ч; B1.20)
тогда получим (имея в виду, что Е = ЕХ, Н = НУ)
тЛ = /°>^ B1-21>
-^ = уЁ. B1.22)
Введем еще следующие обозначения: ' :
Р*=]'ы/*У, р =УТ У тру =Ц+ ]Щ
Ь^-и^У
и перепишем уравнение B1.21) в виде
B1.23)
§г=/^. B1.24)
Общее решение этого дифференциального уравнения известно:
Ё = АеР' + Ве-Р*, B1.25)
или после подстановки значения р
Ё = Аек2е&2 + Ве-**е-№[
Из уравнения B1.22) найдем напряженность магнитного поля
Й{= - ^уЁЛъ^С^-у—^^у~е^^С. B1.26)
Постоянные интегрирования определяются с помощью граничньГх
Vсловий. Так как проводник имеет неограниченную глубину, то
# = 0, Е = 0 При 2 = оо;
на поверхности проводника (при 2 = 0) Ё — Ё0. Отсюда следует, что
коэффициент А должен быть равен нулю; в противном случае слагаемое
с коэффициентом А с увеличением координаты ъ приводит к очень
большим значениям напряженности поля. Из граничных услбвий находим
также, что С = О и В = Ё0. Поэтому напряженнорть электрического
поля равна '
Ё=Ёъе~}ае~э}а,
или
Ёх = Ёе?*ь=Ё0е->"е?<тг-**>. B1.27)
454
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Аналогично для напряженности магнитного поля имеем
Й =
УЁ{
A+Л*
о е-к2е-]кг
ПУ~ A+;)Л 6 в
B1.28)
B1.29)
Проследим за изменением напряженности электрического поля вдоль
оси ъ по уравнению B1.27). Амплитуда с ростом расстояния от
поверхности проводника уменьшается экспоненциально. Уменьшение
амплитуды определяется коэффициентом Ь = 1//с; на расстоянии я = 1/&
Ю
%
оГ
'•З
5:
03
*>
*
ч-
51
с:
«3
5:
*
иг'
юг
ю-3
ю-4
^А1
Си^
_3
юг
иг
юц
10ь
Юь
Ю7 10* Юв Ю"
Частота, гц
Фиг. 304. Численные значения глубины проникновения <5
для алюминия и меди в зависимости от частоты.
амплитуда уменьшается в е раз, т.е. составляет 36,9% от начального
значения. Это расстояние условно называют глубиной проникновения.
Глубина проникновения равна
д
-*-г-
B1.30)
Чтобы оценить порядок получающихся величин, укажем глубину
проникновения для меди:
& =
6,62
см
На фиг. 304 показано изменение глубины проникновения для меди
и -адоминия в зависимости от частоты. Мы видим, что для переменного
т&ка промышленной частоты глубина проникновения измеряется
сантиметрами, а для очень высоких частот, например радиочастот, — десятыми
и сотыми долями миллиметра.
Уравнение B1.27) показывает, что фаза напряженности
электрического поля и соответственно фаза вектора плотности тока изменяются
вдоль оси 2. По закону Ома 3 = уЕ; поэтому плотность тока равна
/я = уЁ0е~кге>ш-кг).
B1.31)
§21. Электромагнитное поле в бесконечном проводящем полупространстве 455
На фиг. 305 даны графики изменения плотности тока или
напряженности электрического поля в зависимости от ъ в различные моменты
времени. Это — бегущие волны, так как координата точки, в которой
напряженность поля максимальна, изменяется во времени. Из выражения
/я = уЁ0е-**ет(*~~*' = уЁ0е-*ет(*~*' B1.32)
найдем фазовую скорость распространения волн
!>= уф =~. B1.33)
Полученное решение имеет физический смысл в двух случаях. Во-
первых, мы можем считать проводник с плоской поверхностью и
бесконечно большой толщиной частью цилиндрического проводника большого
Фиг. 305. Распределение напряженности элек- Фиг. 306. К расчету общего тока
трического поля в зависимости от 2, для ряда и потерь,
последовательных моментов времени.
диаметра, по которому протекает переменный ток. При этом
предполагается, что генератор, потребитель и обратный провод удалены от
рассматриваемого участка проводника на очень большое расстояние. Отсюда
следует и практическое значение этой казавшейся раньше абстрактной задачи.
Полученное решение можно применять, когда диаметр проводника много
больше глубины проникновения. Во-вторых, такие же зависимости мы
получим, когда плоская волна проникает в проводник через его плоскую
поверхность и движется вдоль оси 2.
Вырежем из проводника слой толщиной 1 м (фиг. 306) и определим
протекающий в этом слое ток:
оо оо
1 = $}хй*=$уЁ»е-«^йг = -^^. B1.34)
О о
Амплитуда этого тока равна
Остается еще найти количество тепла, выделяющегося в единицу
времени в параллелепипеде, имеющем неограниченную длину вдоль оси г
456
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
и квадратное сечение с площадью, равной единице, в плоскости,
перпендикулярной оси з (см, фиг. 306). Для этого определим мощность,
поступающую в параллелепипед через верхнюю поверхность:
Рг
|Ке(Я#*J5=0.
B1.35)
Здесь Й* — величина, комплексно-сопряженная с Й. Числовой множитель
х/2 получен в результате вычисления средней по времени величины при
синусоидально изменяющемся процессе. Действительная составляющая
комплексного вектора мощности равна
¦г 2 пеР°е A-1)к 6 \г=о 2/с
Не
1
ИЛИ
Рх
Ос
B1.36)
B1.36а)
Эту же мощность можно получить, вычисляя энергию, переходящую в
тепло (по закону Джоуля — Ленца). Сначала находим амплитуду
плотности тока из выражения B1.32):
а за|ем-мощность
*-*/
1Л
О
B1.37)
де множитель х/2 снова обусловлен усреднением по времени.
Необходимо еще заметить, что эту же мощность мы получим, если
среднеквадратичное по времени („действующее") значение тока умножим
на сопротивление параллелепипеда квадратного сечения 1x1 и
толщиной д (фиг. 307):
2 I * < ¦" — 9 9*.2 „л — д 1.2 7 ТъГ • ^±.оо/
1 2 I ' 2 2к2 уд 4 /с2 у 4*
Следовательно, с точки зрения потерь можно считать, что ток имеет
постоянную плотность и протекает в
поверхностном слое проводника с
толщиной, равной глубине
проникновения.
Найдем теперь соотношение
между напряженностью магнитного
Фиг. 307. Параллелепипед,гэквивалент-
ный изображенному на фиг. 306 с точки
зрения вычисления потерь. ||
Фиг. 308. Соотношение между общим
током и напряженностью магнитного
поля
$ 22. Сопротивление бесконечного проводящего полупространства 457
поля и током, которое нам ниже еще понадобится. Записывая закон
полного тока для замкнутого контура АВСВ (фиг. 308), у которого
сторона ВС находится так далеко от поверхности проводника, что напряженность
магнитного поля на участке ВС можно считать равной нулю, получим
Йь = $ ТхАг = 1. B1.39>
О
Справедливость этого выражения можно также установить непосредственна
из уравнения B1.28).
§ 22. Сопротивление бесконечного проводящего
полупространства
Вычислим сопротивление полупространства по формуле, полученной
в § 19:
/ЙЛ = /(Д + /а>1ч).
Интегрирование должно быть выполнено вдоль граничной поверхности.
Рассмотрим снова параллелепипед, имеющий неограниченную длину
вдоль оси ъ и квадратное сечение с площадью, равной единице
(см. фиг. 306). Ток, протекающий через параллелепипед, был уже найден:
/ = уЁ° B2.1)
а интеграл от вектора напряженности электрического поля равен
/ЙсЯ = 50-1 =#о- B2-2>
Следовательно, комплексное сопротивление равно
г=Ь=11±Ж = 1±1=н+1<оЦ, B2.3)
откуда
й=т*> ^-^ B2-4)
Мы пришли к уже известному результату: омическое сопротивление,
определяемое формулой B2.4), совпадает с омическим сопротивлением
призмы, толщина которой равна глубине проникновения. Индуктивное
сопротивление имеет такую же величину; поэтому ц> = я/4.
§ 23. Электромагнитное поле в двухслойном проводнике,
занимающем полупространство
Пусть проводящее полупространство (фиг. 309) состоит из двух
однородных проводящих слоев с различными параметрами, причем первый
слой имеет толщину й, а второй заполняет всю оставшуюся часть
полупространства.
458
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Для первого и второго проводни-
Ж^Л1^ ^^справедливы уравнения B1.21) и
и
Фиг. 309. Плоский двухслойный
проводник.
ф2Ё2 . #
с1Ё2
6,2,
-]СОЦ2Й2
B3.1)
B3.2)
Отсюда мы получаем следующие решения для напряженностей
электрического поля:
Ё1=А1е<1+*>к* + В1е-<1+»к** при 0<2<й, B3.3)
Ё2 = А2е{1+*>к* + В&-A+*>к'* при 2>й, B3.4)
где
*1 =у?^1=Уфт, к2=Уф2Уъ
а для напряженности магнитного поля
#х = - ^4—[ЛхA +/') №+**"-Вг{1 +])кхе-{1+>)к*\ при 0<2<й, B3.5)
Ж = ~
;с^2
{А2A + ])к2еа^)к^-В2A^])к2е-{1+^2] при 2>й.
B3.6)
Часть постоянных интегрирования можно определить из условия
равенства нулю напряженностей поля в бесконечности (для второго
проводника); это дает
А2 = 0, Ё2 = В2е~^)к^ B3.7)
Й2 = В2±±±к2е-*+з)к*2.
B3.8)
С другой стороны, на границе раздела проводников тангенциальные
составляющие напряженностей и электрического и магнитного полей не
изменяются скачком. Это означает, что решение для верхнего и решение для
нижнего проводника должны давать одинаковые значения
напряженностей при г = Л. Наконец, в начале координат или, точнее, на плоскости
2 = 0 напряженность электрического поля задана.
Следовательно, граничные условия можно записать так:
Ёг=Ё2, Йг=Й2 при ъ = А,
Ё1=Ё0 при 2 = 0.
После подстановки граничных условий при 2 = йв формулы B3.3), B3.7)
и B3.5), B3.8) получаем
А1еа+з)Ш + д1в-а+М1с* = В2е-{1+з)Ы, B3.9)
^[-А^^/^^+^^ + ^^Л^е^^^^] = В21^к2е-{1+»к*а. B3.10)
Умножив первое уравнение на
Л-о
^ 24. Сопротивление двухслойного проводника . 459
и вычтя из него второе уравнение
Г^^+^^и^1*^ = 0, B3.11)
получаем отношение двух постоянных:
вг __ цхк2 + /^2^1^2A+?)&1 а /23 12)
Ах {12кх-/и,хк2
Подставив еще граничное условие при ъ = 0 в уравнение B3.3), найдем,
что
А1 + В1 = Ё0, B3.13)
Теперь известны обе постоянные интегрирования; следовательно,
найдено решение для верхнего проводника. Из выражения B3.9) можно
вычислить значение В2 и определить напряженность электрического поля,
плотность тока и напряженность магнитного поля в любой точке
проводников. Полученное решение (как и решение для однородного проводящего
полупространства) имеет практическое значение для расчетов
электромагнитного поля и в тех случаях, когда радиус кривизны проводников
много больше толщины слоя первого проводника.
§ 24. Сопротивление двухслойного проводника,
занимающего полупространство
Комплексное сопротивление на единицу длины проводника (в
направлении оси х) равно
2 = ^у- =^ = К + ](оЦ. B4.1)
Зависимость между током и напряженностью магнитного поля на
поверхности проводника определяется уравнением B1.39). Это уравнение, как
следует из самого хода рассуждений, справедливо и для двухслойного
проводника. Следовательно, сопротивление равно
2 = 4г< B4-2)
После подстановки значений Ё0 и Й0 из уравнений B3.3) и B3.5) получаем
у _ Ео ' АХ+ВХ ](Р111 _ Ах }СОЦХ *су, о\
*~Й0 Вх-Ах A+])кх В± рх ' К ''
Наконец, подставив значение дроби В1/А1 из уравнения B3.12), имеем
X = З^1 ^1-1^2 =
Р\ М2+М1 с2Р1а 1
[Л2кх — цхк2
_ №У>1У\ (^2 + ^1)^+ (Угкг- /Лгк2)е~Р1а __
У1Р1 (/ахк2 + /ькгУ** - (Мг- М2)е~~*1Й
7 , , , 7,, вЬр^ч- 2?1 сЪр1<1
__ р± Ц\к2 5п рха+ /и2кх сп рха _ р± /и.хк2
B4.4)
460
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В первую очередь нас интересует, как изменятся сопротивления из-за
наличия слоя с другими параметрами. Можно ожидать, что с уменьшением
13
1,2
и
10
0,9
0,5
ю
15
й/8,
\я/я,
^соЬ/Нг
у1 =57'м/ом-мм2
- у2=35 м/ом-мм2
а
2,0
2,5
3,0
1.1
ЬО
0,9
0,8
М
ш1/Я,
А/к,
у^=35м
- у2=57м
/ом-мм2-
/ом-мм2 —
0,784
6\
0,5
1,0
1,5
а/д7
2,0
2,5
3,0
Фиг. 310. Графики отношений внутренней индуктивности и
омического сопротивления двухслойного плоского проводника к омическому
сопротивлению полупространства, обладающего проводимостью
верхнего слоя, в зависимости от отношения толщины верхнего
слоя к глубине проникновения при различных отношениях у1/у2.
глубины проникновения дг по сравнению с толщиной Л изменение
сопротивления будет становиться все более незначительным, т.е. отношение
сопротивлений двухслойного и однородного проводников будет приближаться
$ 25. Электромагнитное поле в круглом цилиндрическом проводе • 461
к единице с ростом отношения толщины наружного слоя к глубине
проникновения й/31# Это отношение равнох)
/?
^ 51 , B4.5)
-
где
й1 = 77Т~ ' ^2 = —Г' 7 &Ь 2 = V -
У1<?1 У2<>2 Г <
На фиг. 310 представлены графики зависимостей отношений
действительной и мнимой частей сопротивления к сопротивлению однородного
проводника для различных материалов. Действительно, эти отношения
приближаются к единице и достигают ее с достаточной для практики
точностью, когда толщина слоя втрое больше глубины проникновения.
При очень маленькой тольщине й или очень большой глубине
проникновения отношение сопротивлений равно
2 Р1<1+Ж К,
«1
= У Л
У 2 $2
_ 1/" УФ2
B4.6)
/2^2 Г 721*1
так как зЪя^х, сЬ. #^ 1, когда |х| <^ 1.
§ 25. Электромагнитное поле в круглом цилиндрическом
проводе
Для решения этой задачи целесообразно ввести цилиндрические
координаты г, <р, 2; положим, что на внешней поверхности проводника г=
= г0, а проводимость проводника у и его магнитная проницаемость^
известны.
Запишем уравнения Максвелла:
го!Н = уЕ, (ИуЕ = 0,
Ро1Е=—/г-^-, Й1уН = 0.
Дивергенция векторов Е и Н равна нулю, так как внутри однородного
проводника отсутствуют свободные электрические и индуктированные
магнитные заряды. Перепишем основные уравнения в цилиндрической
системе координат:
т&".-&я'! = гш., Ш^-щЧ - - *%¦;
Для квазистационарного режима при протекании тока по бесконечно
длинному круглому цилиндру можно считать, что как электрическое, так
1} Так как Я1-^соЦ} то Хх = К1A+]). Кроме того, здесь принято во внимание, что
ММА=-Й2№1 [см- B4.4)].— Прим. ред.
462
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
и магнитное поля не зависят от координаты г, т.е. д/д ъ = 01}. Кроме того,
из-за осевой симметрии проводника составляющие векторов поля в
цилиндрической системе координат не зависят также от угла <р, т.е. д/ду = 0.
В таком случае только что написанная система уравнений значительно
упрощается и принимает вид
г» 1 & / тт \ дН~ 1 Э . -г, ч
уЕг = -Гг(гН9\ ^ = -~Гг{гЕ^
„ д „ дН9 ЭЕг B5'3)
Эта система уравнений распадается на две независимые группы, из
которых одна содержит только составляющие Е2 и Н9 (первое и
последнее уравнения), а другая—только составляющие Е9 и Н2. Эти системы
уравнений
^=-^' ^=-1-1(гЕ,) B5.4)
и
УЕ.-1&ГН,), ,Щ^ = д-§ B5.5)
относятся к двум существенно различным задачам: первая система
описывает электромагнитный процесс при продольном намагничении
проводящего цилиндра (в этом случае магнитное поле имеет только з-составля-
ющую, а индуктированное электрическое поле — только (р-о,остд&пя\о-
щую); такая задача рассматривается ниже, в § 29; вторая система
соответствует поставленной здесь задаче о токе в круглом проводе. В последнем
случае неизбежно присутствует составляющая Е2У поскольку в направлении
оси 2 идет ток; такой ток создает только слагающую напряженности
магнитного поля Н9.
Поэтому в задаче о поверхностном эффекте при протекании тока в
круглом проводе решению подлежит система уравнений B5.5).
Дифференцируя первое из этих уравнений по времени и подставляя
дН91д1 из второго, получаем
Выполняя дифференцирование по г, имеем
цу
дг г дг\ дг} г дг дг2 ' ч '
и после простого преобразования приходим к уравнению
д2Ег , 1 дЕг ЭЕ3 А /оь оч
-5^+7-аГ-^' = 0- B5*8)
Для синусоидальной напряженности электрического поля имеем
Ё2(г, г) = Ё(г)е?ч. B5.9)
° В переводе дается несколько отличный от подлинника (где независимость от
координаты г вводится не с самого начала) переход от B5.2) к B5.5).— Прим. ред.
• $ 25. Электромагнитное поле в круглом цилиндрическом проводе 463
Поэтому уравнение B5.8) в комплексной форме принимает вид
^+7^-^^ = 0- B5Л0>
Введем еще следующее обозначение:
р*= -]'а>[лу. B5.11)
Тогда
**+1^ + р*2г = 0. B5.12)
Решение этого уравнения известно; оно может быть записано с помощью
функции Бесселя нулевого порядка с аргументом рг:
Ё(г) = сирг). B5.13)
Следовательно, напряженность электрического поля равна
Ёх (г, I) = С10(рг)е>« B5.14)
Функция Неймана не подходит в качестве решения, так как
принимает при г == О бесконечно большое значение. Постоянная С определяется
по известной амплитуде напряженности электрического поля на
поверхности цилиндра Ё0:
Ё=Ё0 при г = г0, Я0 = С70(рг0), B5.15)
откуда постоянная
<7 = —^-. B5.16)
1о(рг0) ч '
Таким образом, напряженность электрического поля
Ё = Ё0^у B5.17)
Из второго уравнения системы B5,5) имеем
/-^ = д-§г- B5-18)
Поэтому при синусоидальном изменении Н9 во времени
Й9(г, I) = Й(г)е*** B5.19)
получаем
откуда
Й=Ё0г^4чЕГ\- B5-21>
Здесь /о —первая производная ./0 по аргументу рг.
По найденным выражениям Ё и Й можно найти распределение
плотности тока по сечению проводника. Однако полученные решения
становятся нагляднее, если вместо постоянной Ё0 ввести физически более
важную постоянную /, т.е. амплитуду всего тока в проводнике:
1=] *ЙА- B5.22)
464
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Ток / связан с напряженностью магнитного поля соотношением
Й(го)=^г, B5.23)
являющимся следствием закона полного тока уШ1=^«ГйА, примененного
к окружности радиусом /'0:
Й(г0).2яг0=1. B5.24)
Теперь легко выразить Ё0 через ток /, сопоставляя эту формулу с
полученным для Й решением B5.21):
Й(г0) =Ё0^ ЩЩ =-^, B5.25)
откуда
5в=^/Щ. B5.26)
0 2рг071 Г0(рг0) х '
Подставим последнее выражение в формулу для напряженности
электрического поля:
д_ ](Р11 ^ /0(рг) _ _ -зсору^ /0(рг) _ 1р /0(рг) B5 27)
2рг0л ^о(р^0) 2ург0л Г0(рг0) 2тгуг0 Щргоу
Так как между функциями Бесселя нулевого и первого порядков
существует соотношение
то окончательно формуле для напряженности электрического поля можно
придать вид
Ё2(г, I) =-*?- ^и-'. B5.28)
24 ' ' 2лг0у Щрг0)
Совершенно аналогично получим формулу для напряженности
магнитного поля
ЪМ-зкШ'"-- B5,29)
Прежде всего нам важно знать распределение плотности тока по
поперечному сечению проводника. Кроме того, нужно найти омическое и
индуктивное сопротивления провода при неравномерном распределении
тока. Плотность тока определяется по закону Ома
3 = уй. B5.30)
Поэтому закон распределения плотности тока по поперечному сечению
имеет вид
/2(^) = _^^) еш, B5.31)
2 у ' ' 2жг0 Л (рг0) у '
Из этого выражения получаются простые и наглядные формулы в
предельных случаях, т.е. при больших или малых частотах со и
соответственно больших или малых значениях аргумента рг. При любых значениях
аргумента функции Бесселя нулевого и первого порядков можно
представить рядами
Л(я) = 1- 22 + "B74J~B.4.6J+ ' в " ' B5.32)
'л*> = II1- й+2^ё-ж^+ • • ¦]• B5-33)
$ 25. Электромагнитное пом в круглом цилиндрическом проводе ' 465
Отсюда легко получить приближенное решение для очень малых частот.
А именно, при малых значениях рг
/0 (рг) ^ 1,
¦М|»о>*^
Поэтому
2 2тгг0 рг0 яг02
B5.34)
B5.35)
Это означает, что при низких частотах ток распределяется по
поперечному сечению проводника равномерно.
При очень больших частотах можно применить следующее
приближенное выражение:
ы*)~Ш<<*~*)> <25-36>
где х записывается в форме 1Г—]и — //2и, а и-
действительное число. Введем вместо переменной
г (расстояние от оси) переменную г0-г = у,т.е.
расстояние от поверхности проводника (фиг. 311).
Тогда
1 -Лр<Г.-1/)~]
У 271р(г0-у)
B5.37)
Подставим в это уравнение величину р, определяемую равенствами
Р2 = -]<*>РУ, Р = У-]У *»/*?,
р = 1^-У^у = (/-1) ^щ. = (/-1)*
(эти равенства наглядно показывают смысл введенных обозначений);
тогда мы получаем следующее приближенное значение функции Бесселя:
е 1 *] = / =е 1 . B5.38)
У2лр(г0-у)
Фиг. 311. К введению
новой переменной.
^о(^) = 1^^Г
У)
Функцию Бесселя первого порядка можно найти с помощью равенства
А(я) = - Щх),
которое уже приводилось выше.
Учитывая приближенную формулу для функции Бесселя нулевого
порядка, получим
1пх
+ -
2л;#
2 /2тгж3
(-т)/1+_1_^^_е-'(*-т).
B5.39)
Следовательно, плотность тока при очень больших частотах определяется
приближенным выражением
Л(г,0;
1Р
1пг0)
г0 е~ку е}(о1—ку)
B5.40)
30 К. Шимони
466
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Мы видим, что плотность тока убывает от поверхности проводника к центру
по экспоненциальному закону. Действительно, множитель
>*0
го-У
в области, где экспоненциальный член практически не равен нулю, можно
принять равным единице. Критерием применимости этого условия служит
величина параметра к. По определению, на расстоянии 1/к от поверхности
плотность тока уменьшается в е раз по сравнению со значением плотности
тока на поверхности. Величину
=ы:
сору
У711(Лу
называют опять-таки глубиной проникновения. Если в эту формулу
подставить/*— в сек-1 у [л— вв-сек/а-ми у— ва/в-м, мы получим д в метрах. Если
вместо проводимости задано удельное сопротивление д, которое
практически измеряется в ом-мм2/м, а глубину проникновения мы хотим получить
в сантиметрах, то расчетной формуле нужно придать вид
'-ч-ея&к-^и ю-
4яМ0-'/яг о^-и а7- V—/- B5.42)
Она получается после подстановки численного значения /л0 из формулы
B5.41), где ^ = /гг/г0.
Как мы уже указывали, для медного проводника справедлива простая
зависимость
с 6,62
л
(см).
B5.43)
Значения д можно найти из фиг. 304.
На фиг. 312 приведено распределение плотности тока по поперечному
сечению проводника для различных частот.
Эти кривые показывают, что при частоте
{= 50 гц поверхностный эффект заметен
только в проводниках с диаметром порядка
сантиметров. При очень высоких частотах
глубина проникновения выражается
долями миллиметра; в этом случае
поверхностный эффект наблюдается и при
очень тонких проводах (поэтому тонкие
^0,5
«Лг»^а
Фиг. 312. Отношение плотности тока
/г(г) на расстоянии г от оси к
плотности тока на поверхности цилиндра
^г(^0) при разных значениях
отношения радиуса г0 к условной глубине
проникновения б.
Фиг. 313. К составлению уравнений по
закону полного тока (а) и по закону
электромагнитной индукции (б).
$ 25. Электромагнитное поле в круглом цилиндрическом проводе 467
медные пластинки могут служить экранами для высокочастотного
поля).
Мы начали решение задачи с записи уравнений Максвелла в
цилиндрической системе координат и из шести скалярных уравнений выбрали два
уравнения с двумя неизвестными. Эти два исходных уравнения можно,
однако, получить и непосредственно, применяя законы электромагнитной
индукции и полного тока. Составляя уравнение по закону полного тока для
контуров, изображенных на фиг. 313,а, получим
2п(г + Лг) [Н9 + ~- Лг) - 2лгН(р = 2ш Лг ]г = 2шуЕг Лг, B5.44)
откуда
2пН<р Лг + 2пг Ц*- Лг = 2шуЕ2 Лг. B5.45)
Разделив все члены последнего равенства на 2тггЛг, придем к уравнению
дН<
^+4-Я9=у^2. B5.46)
дг ' г *
Последнее уравнение можно переписать и иначе:
±-»-гН9 = ?Е2. B5.47)
Это уравнение совпадает с первым из наших исходных уравнений.
Применим теперь закон электромагнитной индукции к контуру,
изображенному на фиг. 313, б:
-1(Ех+^<1г) + 1Ег = ~^Щ^ 1&- B5.48)
Отсюда получаем второе исходное уравнение
^ = ^. B5.49)
Само собой разумеется, что эти уравнения можно применять только7
если заранее известен характер электрического и магнитного полей.
Например, при составлении уравнений по законам полного тока и
электромагнитной индукции мы предполагали, что электрический вектор всюду
параллелен оси проводника и зависит только от г, а магнитные линии поля
представляют собой концентрические окружности.
Явление поверхностного эффекта (по крайней мере качественно) может
быть элементарно объяснено. Действительно, проводник с током можно
представить себе состоящим из большого числа проводящих нитей.
Находящиеся в центральной части проводника нити охватываются большим
магнитным потоком, чем периферийные. Значит, при переменном токе
индуктивность внутренних нитей больше, чем внешних. Эти нити можно
рассматривать как ветви с различной индуктивностью, включенные параллельно.
Ток распределяется обратно пропорционально сопротивлениям,
следовательно, по внутренним нитям протекают меньшие токи, чем по внешним1*..
С поверхностным эффектом часто приходится сталкиваться в
радиотехнике. Но и в технике сильных токов с этим эффектом приходится иметь
1} Более общее объяснение поверхностного эффекта заключается в
представлении о проникновении извне электромагнитного поля внутрь проводника. При этом
амплитуды поля по мере углубления в проводник убывают (См. ч. IV, § 3.) — Прим. ред-
30*
438
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
дело, когда по той или иной причине применяются провода большого
поперечного сечения. Так, например, именно поверхностным эффектом
объясняется уменьшение пусковых токов в асинхронных двигателях
с короткозамкнутым ротором.
Вернемся еще раз к уравнениям поля в цилиндрических координатах
и, кратко повторив путь решения задачи, обсудим результаты.
Из уравнений Максвелла в дифференциальной форме или в форме
законов полного тока и электромагнитной индукции получаются
исходные уравнения для напряженности магнитного поля Н9 и напряженности
электрического поля Ег\
уЕ.'=±*?Н„ ^ = ^. B5.50)
Исключая Н9 из первого уравнения и решая получающееся при этом
дифференциальное уравнение в случае синусоидально изменяющегося
Процесса, мы приходим к формулам для напряженности электрического
поля ,
Ё ^^рг)_ы B5в51)
и для плотности тока
/х=-^^М^«. . B5.52)
Из последнего наиболее общего выражения получается при низких
частотах такое же распределение тока, как и при постоянном токе, а при
высоких частотах — экспоненциальное уменьшение плотности тока от
поверхности к оси проводника. При экспоненциальном законе убывания
плотности тока глубину проникновения д можно определить как
расстояние, на котором плотность тока уменьшается в е раз:
* 1
Уя/ру
B5.53)
. § 26. Сопротивление цилиндрических проводников
По определению,
в+^ц = ЩI = ^^ор)я B6Л)
Разделив Н+р)^ на сопротивление проводника постоянному току
Яо = -4", B6,2)
подучим
Правая часть равенства при очень низких и очень высоких частотах
просто выражается подстановкой функций Бесселя в виде рядов. Учитывая
члены до четвертой степени включительно, придем к соотношению
мрго) 12; ^412; щ B6 4)
^^{р^^)
^мрм+шт
$ 26. Сопротивление цилиндрических проводников
46Э
Отсюда сразу находим, что при очень низких частотах как первое
приближение справедливы выражения
2
Следовательно, омическое сопротивление изменяется по сравнению с
сопротивлением постоянному току незначительно, а индуктивное
сопротивление равно нулю. Это, конечно, не означает, что внутренняя
индуктивность Ц равна нулю. Индуктивность Ц в этом случае можно представить
формулой
Г _ 0
где / — длина цилиндрического провода.
Если в разложении вида
-А— = 1 + х + х2 + х3+ . . .
1-х
учесть все члены до четвертой степени, то
1 * +^(Е!±]2 ~±-(Е?±У+±-(Е!±У
Поэтому
или
тй^г ~ м I1 Ы "Т21—] г (Ж7)
Окончательно получаем
—щ т тг011 - 21т) й1тЛ- ^ь,8>
Подставим сюда еще величину рг0. Так как
р* = -/«,^=-2/*»=-^, B6.9)
то
Учитывая, что /2 = — 1, после выделения действительной и мнимой частей
получим
Таким путем мы приходим к выражениям омического сопротивления
й^+НйГ B6.12)
и индуктивного сопротивления
.ЗЫЙ)" B6.13)
при слабо выраженном поверхностном эффекте.
470
Часть ///. Анализ и синтез электрических цепей
Из последнего равенства находим индуктивность
До ( М2 = I г1 сору = ^
А
улг2со 4 2
8л;
B6.14)
Это не что иное, как внутренняя индуктивность провода. Следовательно,
в случае принятого здесь приближения внутренняя индуктивность не
отличается от индуктивности при постоянном токе.
При очень высоких частотах справедливо применявшееся уже
экспоненциальное приближение для функций Бесселя. Поэтому
. -'(рг°~т)
В.+]<оЦ __ рг0^0(рг0) ^ рг0 \2лрг0 е __
Е0 2Л(рг0) ^ 2/ 1
У2лрг0
= (! + /)
-'("•"г)
B6.15)
= Рго ^З-^ кго _
2/ ] 2 ^ ' П2д
Значения омического и индуктивного сопротивлений определяются
выражениями
В г0 соЦ г0
Д«
Го
2д
До
2E
B6.16)
Таким образом, при очень высоких частотах сопротивление
изменяется линейно в зависимости от параметра г0/2д. Изменение омического и
индуктивного сопротивлений для любых частот показано на фиг. 314.
Омическое сопротивление постепенно нарастает от своего значения при
4,0\
3,0
1,0
1,0
О 1 2 3 4 5 6 7
Фиг. 314. Отношение омического и
индуктивного сопротивлений круглого
проводника к сопротивлению при постоянном
токе в зависимости от отношения радиуса к
глубине проникновения.
Фо
шЦ/Н0
к
Ли_
Фиг. 315. К простому
методу вычисления
увеличения сопротивления из-за
поверхностного эффекта.
постоянном токе; при очень высоких частотах график сопротивления
параллелен прямой, проведенной под углом 45° к осям координат. Индуктивное
сопротивление нарастает с нулевого значения, а затем характеризуется
прямой с углом наклона 45°, идущей параллельно прямой омического
сопротивления.
Изменение сопротивления из-за поверхностного эффекта для любого
цилиндрического провода можно подсчитать следующим образом. По
размерам проводника и его электрическим параметрам находим г0/2д.
$ 27. Двухслойный круглый провод . 471
Если эта величина меньше единицы, то применяем первое приближение
B6.12), если же она много больше единицы, то обращаемся ко второму
приближению B6.16). При значениях, близких к единице, применяем
выражение B6.3). Функции Бесселя определяем из таблиц или с помощью
заранее построенных графиков.
Лучшее приближение можно получить с помощью полусходящихся
рядов функций Ханке ля для х>\\
В. ,1,3 со1^ 3 /с\г* л <7\
»- = х+-т + тт-1 -б1- = я-т7-> B6.17)
где х = г0/2<5.
При очень высоких частотах результаты, полученные при
приближенном расчете, имеют простой смысл. Ток как бы протекает не по всему
поперечному сечению проводника, а только по кольцу, толщина которого
равна глубине проникновения (фиг. 315). Площадь поперечного сечения
этого кольца равна 2лг0<3. Сопротивление потому и изменяется, что ток
проходит не по всему сечению проводника, а только по его части.
Сопротивление растет обратно пропорционально поперечному сечению этого
кольца:
что полностью согласуется с уже найденной величиной относительного
изменения сопротивления. Нужно только подчеркнуть, что в
действительности плотность тока спадает экспоненциально, а не изменяется скачком
до нуля. Ток протекает и на расстояниях у от поверхности проводника,
больших чем Ь. Но мы уже доказали, что сопротивление проводника
можно определить так, как если бы ток
протекал только по кольцеобразной части
проводника, в пределах которой плотность
тока оставалась бы постоянной, а на
границе спадала бы скачком до нуля.
§ 27. Двухслойный круглый
провод
Предположим, что поверхность
круглого цилиндрического однородного провода
покрыта однородным слоем другого
проводника (фиг. 316). В этом случае для каждой
области можно записать общее решение Фиг. 316. Двухслойный
уравнений в цилиндрической системе ко- круглый провод,
ординат. Нужно только учесть, что на оси
провода напряженность поля не может быть бесконечно большой, т.е.
для области 2 решение не должно содержать функций Неймана М0(рг).
Итак, для области 1
Ёг = АгиР1г) + &МР1г), B7.1)
Й1 = ШГ ^^оМ + &1РМР1Г)], B7.2)
Ё2 = А210(р2г), B7.3)
Й,=4^^(р2г). B7.4)
а для области 2
472
Часть 111. Анализ и синтез электрических цепей
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий,
как и в случае плоского двухслойного проводника. На границе областей
тангенциальные составляющие напряженности поля, как электрического,
так и магнитного, не изменяются скачком; на внешней поверхности
внешнего слоя напряженность электрического поля равна заданной внешней
напряженности Ё0, т.е.
Ёг = Ё2, ЙХ = Й2 при Г = Г1,
Ег = Ё0 при г = ге.
При этих условиях из уравнений B7.1), B7.3) и B7.2), B7.4) получаем
Л1иР1Гг) + 6^0(р1г1) = А2иР2г1), B7.6)
^[^Л^(РЛ) + ^1^(РЛI = ^^(РЛ). B7.7>
Умножив первое из равенств на Р2Уо(РггдН<*>/*2, а второе на ^о(р2^^)ш
составив разность полученных выражений
Д ГЛ(Р1У*)^(Р1У|)Р1 *ИР1Г№о(Р%Г4)Р11
находим отношение постоянных интегрирования:
ЛХ = Л(/>2^)^о(Р1^)<Ц2/?1 - ^о{Р2^)Щр1Г{)^1р2 ^] 9)
Для определения постоянных нужно еще воспользоваться равенством
B7.1) при г»*-
Я0 = ^!/0(РЛ) + ВД>(РЛ), B7.10)
т.е. другим граничным условием.
§ 28. Сопротивление двухслойного цилиндрического провода
В предыдущем параграфе было найдено электромагнитное поле
двухслойного цилиндрического провода. Приняв проводимость внутреннего
провода равной нулю, придем к случаю трубчатого провода.
Комплексное сопротивление можно найти по рассчитанному полю:
7 = Р1 <7о(Рге)Я1(рг4)-71(рг{)^{рг,е) ^9ЙП
2жуге ^(рге)^(рг^^(рг{)^(рге) ' ^°'1'
Эту общую задачу мы не будем рассматривать. Практически радиус
провода всегда велик по сравнению с толщиной трубки й, так что с достаточно
хорошим приближением можно воспользоваться результатами расчета для
двухслойного плоского проводника. Если в выражении B4.5) принять
$ 28. Сопротивление двухслойного цилиндрического провода 473
проводимость внутреннего проводника равной нулю (у2 = 0), получим
следующую величину сопротивления на единицу длины"
1).
B8.2>
где 2пге — наружный периметр провода, Кг = ]/сор/2у = 1/уб, а к = 1/5.
Это формула комплексного сопротивления (на единицу длины) трубчатого
провода с тонкой стенкой. Из нее можно найти действительную и мнимую
части сопротивления:
^2й .2A
B8.3>
Н =
Л1
2пге
сп
Ы
-С08
д
о)Ь{
Я,
^2Л .2A
8П -г - 81П -г-
О О
2пге ^2A 2A'
сп-^-соб-^
д о
B8.4>
Здесь произведены следующие преобразования выражения B8.2):
гиперболический котангенс от комплексного аргумента разложен на мнимую и
действительную части по формуле
30 г
с1ЬA+/)Ы-81^^'81п2^
сЬ2Ы-со8 2Ы '
B8.5)
после чего выделены мнимая и
вещественная части всего выражения.
Наконец, Ы представлено в форме
отношения А/д = Ы.
На фиг. 317 приведены графики
отношений этих сопротивлений к
сопротивлению (на единицу длины) трубки
постоянному току
*о =
2пгеу&
B8.6)
2^
2,0
15
№
0,5
О
К/Ко
7
. _
г
0,5 1,0
15
2,0 2$ 3/Г
Фиг. 317. Отношение омического и
индуктивного сопротивлений
тонкостенной трубки к сопротивлению
при постоянном токе в зависимости
от отношения толщины стенки к
глубине проникновения.
в зависимости от отношения толщины
стенки трубки к глубине
проникновения. Нужно заметить, что эти
выражения справедливы только при больших
(по сравнению с*толщиной стенки)
радиусах трубки. Поэтому в полученные
расчетные формулы можно подставлять
как внешний, так и внутренний радиусы трубки. Полученные выражения
применимы при расчете сопротивлений, когда поле находится вне трубки
и проникает в трубку только через ее внешнюю поверхность, а также
когда только из внутренней полости трубки поле проникает в трубку через
ее внутреннюю поверхность. Последний случай относится, например, к
оболочке коаксиального кабеля; сопротивление оболочки может быть
подсчитано по приведенным здесь формулам.
1} Во избежание недоразумений с некоторыми обозначениями преобразования
B8.2) — B8.5) в переводе представлены в несколько ином виде. — Прим. ред.
474
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
§ 29. Индукционная печь
В § 25 было показано, что уравнения Максвелла в цилиндрической
системе координат для полей, имеющих цилиндрическую симметрию,
распадаются на две независимые системы уравнений: B5.4) и B5.5). Была
рассмотрена задача, в которой электрическое поле и плотность тока
направлены параллельно оси цилиндра. Этот случай физически реализуется,
когда напряжение приложено к двум концам цилиндра, которые следует
считать удаленными друг от друга на большое расстояние.
Теперь рассмотрим решение системы уравнений B5.4) (также при
а/д*=0):
B9.1)
дг г Эг'
Н>-^ = —гЕт
Как уже говорилось, такая система физически реализуется, когда
внутри длинной катушки с переменным током находится металлический
цилиндр. В частности, по этим уравнениям можно рассчитать поле одного
из видов индукционной печи.
Из последней системы двух уравнений для синусоидально
изменяющейся напряженности магнитного поля Йг = Й(г)е*оЬ получается
уравнение
% + *7%-т>ГЙ = 0. B9.2)
Решение этого уравнения уже известно (см. § 25). Оно имеет вид
Й = С10(рг), B9.3)
где
Величина Е = Е9 находится из уравнения B9.1) путем
дифференцирования по г:
Ё = -'у§= ~%*РГ) = ^ЧРГ). B9.4)
Постоянную С можно определить, составив интеграл вектора Н вдоль
контура, изображенного на фиг. 318 пунктиром. Интеграл равен току,
который пронизывает контур интегрирования. Если катушка имеет Л^
витков на единицу длины и ток в витках катушки равен /е, то по закону
полного тока
Ш0 = 1С10(рг0) = Ш1в, B9.5)
откуда
С = *1е. . B9.6)
Итак, окончательно получаем
Й- = & ''к'»"' ^ = Ру^Ь '^т* ¦ B9'7)
Плотность тока определяется формулой
/„ = уЁ,(г, I) = $Я± /Лр/у-'. B9.8)
# 30. Вытеснение тока в пазу электрической машины . 475
Легко убедиться, что здесь при различных частотах магнитное и
электрическое поля распределяются по сечению металлического цилиндра
так, как в предыдущей задаче распределялись соответственно электрическое
и магнитное поля. Иными словами, электрическое и магнитное поля
поменялись ролями.
Мощность, поступающая в нагреваемый цилиндр через единицу его
поверхности, равна
Рг = I Ке (ЁН*)Г0 = Щ* Ке^^У|(Р1-о)
2 /Го 2у ^$(р^0)^0{р^0)
2у
Ке
[(¦/-1)Л(рг0)
)¦
B9.9)
р/ук
Фиг. 318. Катушка
индукционной печи.
Напряженность магнитного поля с
внутренней стороны катушки равна
Н0, а с наружной равна нулю.
Фиг. 319. К определению
оптимальной частоты нагрева.
Большое значение имеет удельная мощность потерь, т.е. в данном
случае мощность, преобразующаяся в тепло, отнесенная к единице объема
цилиндра. Для удельной мощности получается формула
р_
V
РХА
V
Рг
2гпп1
1л
B9.10)
Если считать, что функция на фиг. 319 представляет зависимость от
отношения г0/ё при постоянной частоте, то можно увидеть, что удельная
мощность достигает максимума при определенном отношении* г0/д.
§ 30. Вытеснение тока в пазу электрической машины
Найдем распределение тока в п проводниках, уложенных в паз
электрической машины (фиг. 320, а). Предположим, что все проводники
соединены последовательно, так что в каждом из проводников протекает
один и тот же ток. Начало координат выберем на верхней поверхности
ттг-го проводника. Чтобы упростить расчет, будем считать магнитную
проницаемость стали бесконечно большой по сравнению с проницаемостью
воздуха. В этом случае магнитные линии выходят из поверхности паза
476 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
г=я*
6—1
г
1-Х
^
1
Фиг. 320. Размещение проводов (а) и изменение
магнитного поля (б) внутри паза электрической машины.
^^^
Фиг. 321. К расчету
поверхностного эффекта,
в проводах внутри паза.-
перпендикулярно и интегралом от напряженности магнитного поля по-
пути, проходящему в стали, можно пренебречь.
Составим уравнение по закону полного тока для контура, показанного»
на фиг, 320,а пунктиром. После преобразований найдем, что
ай ъ +
— = —уЕ.
C0.1>
Применяя закон электромагнитной индукции к плоскому контуру, пер
пендикулярному плоскости фиг. 320,а, получим уравнение
— ]СО/лЙ .
Из этих двух уравнений, как и в предыдущих задачах, получаем
а2й ь . гт
— =~]С0[1уЙ,
д?Ё Ъ . #
По первому из этих уравнений
Й = Ае-Р2 + Ве*2,
где
„2 __
. Ъ
] — <»№•> р = A + /)А, к
п
сору
~2~ '
C0.2)
C0.3)
C0.4)
C0.5)
Постоянные интегрирования можно определить по известным
величинам напряженности магнитного поля на верхней и нижней поверхностях
т-го проводника, т.е. при 2 = 0 и г — к. Составим выражения по закону
полного тока для двух контуров, показанных на фиг. 321 пунктиром:.
Й@) а = т1,
Й(к)а = (т-1I. C0'6)
Сравним найденные величины напряженностей магнитного поля со
значениями, получающимися из уравнения C0.4):
А@) = А + В = —, C0.7>
Й(к) = Ае-*>н + ВерН =
а '
т—1
I.
C0.8>
^ 30. Вытеснение тока в пазу электрической машины 477
Из этих двух уравнений можно найти постоянные интегрирования
(система уравнений с двумя неизвестными). Умножив первое уравнение
на ерН и взяв разность этих уравнений
получим после преобразований
/
А(е*н-е~*н) = ^[те1>н-(т-1I
[терН-(т-1)].
1а 8П рН
Аналогично определим постоянную В:
В
-[{т-1)-те-рН],
C0.9)
C0.10)
C0.11)
1а 8П рН1
Подставляя постоянные Л и В в уравнение C0.4), найдем выражение
для напряженности магнитного поля
Й
[(т — 1) вЬ рг - т зЬ р(г — Н)}.
C0.12)
Напряженность электрического поля определяется из уравнения C0.1):
л !__^ ^й — ^р
у Ь A2 уЪ&Ърк
[твЪрB — Л) — (т — 1) сЪрг]: C0.13)
C0.14)
Следовательно, плотность тока в га-м проводнике равна
^ = уЁ =51^А[тсЬРB""А)"(т)оЬР;в]-
Если в пазу находится только один проводник, то для распределения
напряженностей поля и плотности тока получаем
/
Й =
;8Ьр(Л-2),
авЪ. рН
^ = ^сЬ^-*),
C0.15)
C0.16)
C0.17)
Фиг. 322. Распределение напряженности магнитного поля
и плотности тока в проводе, заложенном в паз.
На фиг. 322 показано изменение плотности тока по сечению
проводника, когда / = 0 ири г — Л. При менее резком поверхностном эффекте
^ может оставаться конечным и при 2 = Л. При неравномерном
распределении тока резко изменяются сопротивление проводника и потери в нем.
478 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
На фиг. 323 представлен график изменения амплитуды плотности тока
в случае трех последовательно соединенных проводников. С первого
взгляда кажется, что токи в проводниках неодинаковы, а именно в верхнем
проводе протекает больший ток, чем в нижнем. В действительности это не
так. На рисунке показаны только амплитудные значения плотности тока,
но не даны фазовые соотношения. Учитывая
сдвиг по фазе, можно установить, что для
верхнего провода плотность тока у нижней
поверхности не совпадает по фазе с
плотностью тока у верхней поверхности.
Таким образом, в некоторые моменты времени
направление тока в нижней части провода
обратно направлению тока в верхней части
провода.
С точки зрения физики это явление
¦я объясняется тем, что э.д.с. индукции в нижней
Фиг. 323. Распределение части провода возбуждается не только маг-
плотности тока в случае трех нитным полем тока в этом проводе, но и
проводов. магнитными полями ниже расположенных
проводников. Ток обратного направления
как раз и получается из-за действия этих проводников. Аналогично
объясняется распределение тока в проводнике, расположенном в
глубоком пазу (фиг. 324).
По количеству тепла, выделяющемуся в проводнике в единицу
времени, т.е. мощности потерь Р^, можно найти сопротивления отдельных
проводников. Сопротивление определяется из уравнения
Рт = ПффВт. C0.18)
Фиг. 324. Линии тока в проводнике, расположенном
в глубоком пазу.
Мощность потерь в проводнике можно найти с помощью вектора Пойн-
тинга как разность мощности, поступающей в проводник через верхнюю
поверхность и выходящей через нижнюю поверхность проводника.
Мощность потерь в т-ж проводнике равна
Рш = [8т{0)-8т{Н)]1а = ±Нт /2, C0.19)
где
5т@) = -± Ке [Ё@) Й*@I 8т{К) = ± Ке [Ё{Н) А*(Ь)].
шт
$ 30. Вытеснение тока в пазу электрической машины 479
Подставим теперь сюда значения Ё и Й из уравнений C0.13) и C0.12);
тогда получим
Ё@) Й*@) = уаЪ12Рн\>т 8Ь* Р^т Л /Л - (т -1)], C0.20)
Ё{к)Й*(К) = уаН72м| 2(^-1)^*М[^-(^-1)сЬРД]. C0.21)
Следовательно,
Л* - 4-Ят /2 = 2уа41аМР Ке {Р 8Ь* РЛ«т2 + (т-1)г) сЬ рА-
-2т(т.-1)]} C0.22)
Сопротивление проводника постоянному току равно
Н0=^. C0.23)
Поэтому отношение сопротивлений имеет вид
% = \вЪ{1+])кк\* Ке <A +/) ** 8Ь A"/-) кк ([т2 + (т~1J] сЬA + ^')^-
-2т(т-1))}. C0.24)
Теперь введем сокращенное обозначение ЛА=|. Тогда
Ж " в^соз* Дь* ^шЧКе(A+^» (Е2т(т-1) + 1]Х
X ЦсЬ| вЬ{ С082 |+ сЬ* вЪ| 8Ш2 |) +
+ / (8Ь2| С08 | 81П| —сЪ2| С08 | 81П |)]—
— 2т(т —1) (зЬ| сое |—/сЬ |8т |))| =
= сЬ' гД^. гНе{A+/-)([2т(т-1) + 1]Х
X [у8Ь2|-/^-8т2|]-2т(т-1)(8Ь|со8|-
- /сЫвт 1))}-сЬ2/4оз2Д(8Ь2|+ «ш20 +
<*-2т (т-1) (зЫсЬ |ч-зт |соз|- зЬ <?соз| -сЬ |зт|)
+ (сЬ |+соз|) ( сЫ-соз|) ~~
с.зЬ 2| + 81П 2| , , 4 ч п с-зЫ-зт! /ол оса
= |сЬ2г-соз2| +^т-1J^ЗЕ?ТББГГ <30-25>
Введем еще следующие сокращенные обозначения:
^^ гсЬ2г-со82г У(г)==2гсьг+совг (за26)
В таком случае сопротивление т-го проводника получается равным
Вт = Д0[?Ш + т(т-1М!)]. C0.27)
Тот же самый результат можно получить, если по модулю плотности
тока подсчитать мощность потерь в проводнике по формуле
к
Рт=}Ъ1 /^&, C0.28)
О
где I — длина провода.
-480 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Графики функций <р и у> даны на фиг. 325. С помощью этих графиков
можно сразу подсчитать увеличение сопротивления любого т-го проводника
по отношению к его сопротивлению постоянному току. Порядок расчета
следующий. Сначала по известным ширине паза, высоте паза и ширине
проводника находится параметр
ь
4
3
2
/
хЮ-
8
6
л
Ц
2 —
лр(х)у
(р(а
V
Т\
5х
Л 1 2.3 4
Фиг. 325.Функции,определяющие
возрастание сопротивления
[формулы C0.26) и C0.27)].
Ф и г. 326. К определению
плотности тока в тонкой пластине.
х = | = /сЛ
-*в
сору
C0.29)
Затем из графиков фиг. 325 определяются
значения функций <р и у>, которые и
подставляются в выражение C0.27).
§31. Вихревые токи в тонких
пластинах
Во всех устройствах с переменным
во времени магнитным полем
ферромагнитные сердечники для уменьшения
вихревых токов набираются из пластин,
параллельных магнитным линиям поля.
Но и в тонких пластинах возникают
вихревые токи, которые приводят к
неравномерному распределению
магнитного потока по сечению пластины и к
заметным потерям энергии в переменном
поле (потери на вихревые токи).
Рассмотрим распределение тока и
индукции магнитного поля в случае
пластины, изображенной на фиг. 326.
Пусть вектор индукции магнитного поля
параллелен длинной стороне пластины.
Все размеры пластины можно считать
настолько большими по сравнению с ее
толщиной, что краевым эффектом можно
пренебречь. В этом случае плотность
тока имеет только х-составляющую.
Основные уравнения для нашей
задачи составляются тем же путем, что и
уравнения для бесконечного проводящего
полупространства:
Щ-^щруЙ, C1.1)
~^ = ^- C1-2)
Отсюда для напряженностей магнитного и электрического полей получаем
выражения
Й= Ае-^ + Ве**, C1.3)
Ё = 1 <№
у д,ъ
C1.4)
^ 37. Вихревые токи в тонких пластинах
481
Граничные условия на этот раз иные. Индукция и напряженность
магнитного поля одинаковы на обеих граничных плоскостях пластины:
*D)=*(-!)¦
ИЛИ
Ае Р^ + ВеР* = Ае1
2+Ве ^,
откуда постоянные
следовательно,
А = В;
Й = А(е-*>* + е*>*) = 2А сЪрг,
Ё =
-2А^-вЪ рг.
Для индукции магнитного поля и плотности тока получаем:
6=/лЙ=2А /л сЪрг=Ё0 сЬ/?2,
/ = уЁ = ~2Л/? зЪ рг = —^р зЪ ря,
А*
где 2?0 - индукция магнитного поля при 2 = 0.
Графики распределения плотности тока и
магнитной индукции представлены на фиг. 327.
Из-за размагничивающего действия вихревых
токов магнитная индукция в средней плоскости
пластины минимальна, а на граничных
поверхностях достигает наибольшего значения.
Векторы плотности вихревых токов на обеих боковых
сторонах пластины одинаковы по величине и
обратны по направлению.
На практике обычно нужно знать среднее
значение индукции, так как по этому значению
проще всего вычислить э.д.с, индуктированную
в размещенной на стальном сердечнике обмотке.
Среднее значение индукции определяется
выражением:
й/2 4/2
C1.5)
C1.6)
C1.7)
C1.8)
C1.9)
-й/2
C1.10)
Фиг. 327. Распределение
плотности тока и магнитной
индукции в середине тонкой
пластины.
Амплитуды магнитной индукции и плотности тока можно найти из
уравнений C1.8) и C1.9):
В = В01 сЬ рг | = В01 сЬA +/) кг | = В01 сЬ кг соз кг +
+ / вЬ кг вт кг\ = В0У сЬ2 кг соз2 кг+зЪ2 кг вш2 кг =
Гсп 2кг + соз 2/гя
Гсп Чкъ-соз 2/гя
C1.11)
C1.12)
31
К. Шимони
482
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Мощность потерь, как и в предыдущем параграфе, может быть найдена
по закону Джоуля — Ленца:
Р=|/^ C1.13)
или через вектор Пойнтинга.
Средняя по времени мощность потерь в точке % (отнесенная к единице
объема) получается равной
^_/2 = [|1^(с11 2Ь-со8 2Ь)=-^-#*(сЪ 2Ая-сов 2/и). C1.14)
В это выражение вместо индукции в среднем продольном сечении
пластины В0 целесообразно подставить среднюю индукцию
Вер = #0
8Ь^
рЛ
__ .#оКсЬ Ы — соз Ы
~ ы
Тогда для мощности в точке ъ (отнесенной к единице объема) получим
±Р = В1 "/с2^сЬ! 2^ГС08й* ¦ C1.15)
2 у у4/^ спМ-созМ у '
Мощность потерь во всей пластине равна
а/2
р* Г/2л^=вин^ы^\^{пк^,
Чу) р 4/* сЪЫ-совЫ'
-й/2
C1.16)
откуда для|мощности потерь, отнесенной к единице объема пластины,
получаем выражение
Ю
0,8
0,6
0,4
0,2
\
__ * __ П2
V 1Ы ср ^ сЪ. Ы - соз Ы '
C1.17)
Это выражение может быть записано и в
такой форме:
Р __ г>2 соЫ Ы 3 зп Ы — 81П Ы (г.* лъ\
Т~~Вс*Т^ ТЫсЪ. Ы-соз Ы' У61'1*'
Вводя функцию
Р(Ы)^ 8?й"вЬй C1-19)
х ' Ы сп Ы - соз Ы х '
и принимая во внимание возможность
следующего упрощения:
сокЫ2 _ со • со руд,2 __ со2, у А2
4^-3 12-2/г "~ 24 '
получим формулу для потерь на вихревые токи, отнесенные к единице объема:
/
з
ка-
4
Фиг. 328. Вид функции,
определяющей потери на
вихревые токи (формулы C1.19) и
C1.20)) [2.7].
|г=^уаАРБ5р^(Ы).
24
C1.20)
Вид зависимости Р(Ы) представлен на фиг. 328. Для малых Ы эта
функция стремится к единице; при этом потери на вихревые токи
выражаются формулой
Р=±усоЧ>В1РУ, C1.21)
где Вср — среднее по сечению значение индукции.
$ 32. Вывод дифференциальных уравнений длинной линии 483
Из формулы видно, что при низких частотах потери на вихревые токи
пропорциональны квадрату частоты. При очень больших значениях Ы
Р№**± C1.22)
и
Р=±усо> *ВЬУ±Л±УЦ*ВХУ. C1-23)
Это значит, что при очень высоких частотах (при прочих равных условиях)
потери растут с частотой в степени 1,5.
В области промежуточных частот зависимость потерь на вихревые
токи от частоты лежит между вычисленными для предельных случаев.
Д. ДЛИННЫЕ ЛИНИИ
В этом разделе исследуется распространение электромагнитных волн
в системе параллельных и коаксиальных проводов. Строго говоря, эта
тема относится уже к учению об электромагнитных волнах. Однако, когда
расстояние между проводами во много раз меньше длины волны и длины
линии, протекающие в такой системе процессы можно считать
квазистационарными. При этом все рассуждения основываются на простых
интегральных понятиях, таких, как индуктивность, емкость,
напряжение и ток.
В предыдущих параграфах для квазистационарного контура
предполагалось, что ток вдоль проводов каждой ветви в любой данный момент
времени одинаков; кроме того, предполагалось, что часть пространства,
в которой напряженность магнитного поля велика, можно было отделить
от тех частей пространства, в которых велика напряженность
электрического поля; таким образом получались цепи с сосредоточенными индук-
тивностями и емкостями.
В длинной линии как первое, так и второе условия не выполняются:
в любой момент времени ток вдоль линии в разных точках может иметь
различные значения. Электрическая и магнитная энергии непрерывно
распределены вдоль линии. Поэтому длинную линию необходимо
рассматривать как цепь с непрерывно распределенными индуктивностью и
емкостью в противоположность обычным квазистационарным контурам,
которые в различных точках имеют сосредоточенные индуктивности и
емкости. Хотя в последующем рассматривается только двухпроводная
линия, образуемая двумя близко расположенными параллельными
цилиндрическими проводами (система двух параллельных проводов, или
система Лехера), однако все выводы можно перенести и на коаксиальную
линию.
§ 32. Вывод дифференциальных уравнений длинной линии
Обозначим приходящиеся на единицу длины двухпроводной линии
(фиг. 329) емкость, индуктивность, активное сопротивление и активную
проводимость между проводами соответственно через С0, Ь0, В0 и Се.
Значения С0 и Ь0 рассчитываются на основании картины поля, идентичной
31*
484
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
статическому полю заряженных проводов и проводов, несущих
стационарные токи (фиг. 330). Хотя в рассматриваемой линии ток вдоль нее
изменяется, на протяжении малого отрезка линии его можно считать
постоянным. Применив к контуру, изображенному на фиг. 331, закон
электромагнитной индукции Фарадея, получаем
$ЕА=-^/В««А.
C2.1)
Генератор
Потребитель
их х
Фиг. 329. Схематическое изображение длинной линии.
Фиг. 330. Линии электрического и магнитного полей
двухпроводной линии.
Пусть напряжение между точками А и 1> равно и (х, I), а между В и С
равно и(х, I) + (ди/дх) Ах. Линейный интеграл напряженности
электрического поля вдоль проводов равен омическому напряжению1), так что
выражение C2.1) может быть представлено в виде
ф
Ей8 = г^<1х+и{х, 1) + ^'йх + 1$*-йх-
дх
¦ и(х} I) =
ВйА= -
дФ
»1 '
C2.2)
1} Это справедливо, если не учитывать поверхностный эффект. В противном
случае, (см. § 26 и след.) в слагающую (Е«Ь) на поверхности провода входит и падение
напряжения, обусловленное внутренней индуктивностью. — Прим. ред.
$ 32. Вывод дифференциальных уравнений длинной линии . 485
*Й«
.№»%**'
и(х,1) ¦ А
ЦиЫ>+%*х
Но напряженность магнитного поля внутри контура АВСВ
пропорциональна току, поэтому
Ф = гЬ0 ах. C2.3)
Это равенство является приближенным, так как в нем напряженность
магнитного поля определяется в предположении, что ток вдоль всей линии
постоянен. В дальнейшем
будет показано, что в
простейшем случае распределение
тока вдоль линии чисто
синусоидально, если ток и
напряжение в каждом данном
сечении линии изменяются во
времени по синусоидальному
закону. Когда расстояние
между проводами очень мало
по сравнению с длиной волны,
в образовании магнитного
поля практически участвует
только ток того участка
линии, который лежит вблизи
рассматриваемой точки. Это
и позволяет пользоваться
приведенным выше
приближенным выражением C2.3).
Те же соображения относятся
и к расчету напряженности
электрического поля.
Таким образом, закон
электромагнитной индукции
можно записать так:
15. -^„-Я]
их
х+йх
Фиг. 331. К применению'закона
электромагнитной индукции.
кх,иС
"а
дх
дг
^»+Й*
1
1 и(х,1H0с1х
Фиг.
332. К применению уравнения
непрерывности.
C2.4)
Выражение C2.4)
истолковывается очень просто.
Напряжение между
проводами вдоль линии
изменяется, так как сопротивление
линии обусловливает омическое падение напряжения, а ее индуктивность
обусловливает индуктивное падение напряжения.
Исследуем теперь, как изменяется ток вдоль линии. Распространим
так называемое уравнение непрерывности, которое приводит к закону
сохранения количества электричества, на элемент объема, обозначенный
на фиг. 332 пунктиром. Через левое основание цилиндра входит ток г(х,1),
в то время как из правого основания выходит ток 1{х, I) + {Ы)дх)йх. Различие
между этими токами отчасти обусловливается тем, что через боковую
поверхность цилиндра к противоположному проводу проходит ток
проводимости, пропорциональный напряжению. Величина этого тока утечки
составляет
и(#, *)С0 Ах.
C2.5)
486
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Кроме того, на участке Ах происходит накопление или уменьшение заряда,
что также увеличивает различие между входящим и выходящим токами.
Соответственно этому изменение заряда в единицу времени на участке Ах
равно
дд __ дС0 Ах и(х, I) _ г , ди ,00 ~х
дг дг -Ч&г-^-. 1^.Ь)
В результате получаем уравнение непрерывности в виде
ь(х, 1)+-^.Ах+ и(х, 1)С0 Ах — ъ(х, I) = —С0Ах-^-
откуда
дг ^ р ди
дх
дг
C2.7)
C2.8)
Смысл этого уравнения следующий: ток изменяется вдоль линии, так
как одна часть тока в виде тока утечки переходит на другой провод, а
другая часть увеличивает заряд
-?**
Яо
6.x
провода и замыкается между про-
^^^^ г водами в виде тока смещения. Это
-^0000^—ЛЛЛ/Л— поясняется схемой замещения
элементарного отрезка Ах длинной
с , линии. (Отрезок Ах может рас-
0 х сматриваться как элемент линии,
на единицу длины которой прихо-
Л^ЩГ^-ЛАЛАг- дятся С0, А), #о> С0.) Всю линию
]ЪЙ^ можно рассматривать как сово-
%*>
2 купность таких последовательно
Фиг. 333. Эквивалентная схема элемента
линии длиной Ах.
соединенных малых элементов (фиг.
333).
Уравнения C2.4) и C2.8) легко
получаются из этой схемы замещения на основе законов Ома и Кирхгофа.
Эти уравнения, составляющие основу последующих рассуждений, для чисто
синусоидального переменного тока записываются в следующей форме:
0#
дх
дх
= /Д0 + /о)Ь0/ = 1(К0 + ]'соЬ0),
= #С0 + /соС0# = СГ(С0 + ]'а>С0).
C2.9)
C2.10)
Индуктивность Ь0 в формулах означает полную индуктивность на
единицу длины, т.е. сумму внешней индуктивности Ье и внутренней
индуктивности Ц. При выводе уравнения C2.4) рассматривался контур,
касающийся поверхности проводов. Поэтому в правой части уравнения
учитывалось только внешнее поле линии. Но известно, что линейный
интеграл вдоль поверхности следует определять (когда расчет ведется
строго) с учетом поверхностного эффекта, а именно
/Ййв = /(Д0+/а>1,,).
C2.11)
АИ
Таким образом, по смыслу уравнения C2.4) в его правой части
изменение тока должно быть умножено на сумму обеих индуктивно-
стей — внешней и внутренней.
$ 33. Решение дифференциальных уравнений длинной линии ' 487
§ 33. Решение дифференциальных уравнений длинной линии
Будем исходить из полученных в предыдущем параграфе
дифференциальных уравнений, связывающих между собой изменения тока и
напряжения в пространстве и времени:
-<"- = иС0 + С0д-^. C3.2)
Зх ~~0-г~0 д{
Дифференцируя уравнение C3.1) по х, получаем
-йо + Ьод-тп =^:йо + ^ол7лГ- C3-3)
32и _ 31 ту т д21 _ 31 „ т 3 31
"Зх^ ~3^П° + ^ЗхТ1^3хПо + Ь°ЗгЗ^
Подставив в это уравнение значение Ы\дх из уравнения C3.2), находим
5^2 = АА -^ + (<?о#о + ^оА)) 7 + ^<Л>И- C3.4)
С другой стороны, дифференцируя уравнение C3.2) по х и подставляя
ди/дх из уравнения C3.1), имеем
$-? = АА а^г + (С0К0 + О0Ь0) щ + бу?01. C3.5)
В результате получились два дифференциальных уравнения второго
порядка в частных производных, каждое из которых содержит только
одну переменную.
Мы видим, что форма дифференциального уравнения для тока г
полностью совпадает с формой дифференциального уравнения для
напряжения ю. Напряжение и ток в общем случае зависят как от пространственной
координаты, так и от времени, и выражающие их функции соответственно
граничным условиям могут быть очень сложными.
Практически наиболее важны решения для синусоидальных функций
времени, которые мы будем представлять комплексами1*
О = #0в*-*-т*. C3.6)
В таком случае отдельные частные производные имеют вид
ЗХ) . п 3*Я 2Гт ЗС Гт 3*€ ол- /оо Г7Ч
Подставив эти соотношения в уравнение C3.4), получим для неизвестного
коэффициента у выражение
г2 = -10С0о)ЧМед + С010) + С0й0 = (П0 + ]соЬ0) (С0 + ]а>С.), C3.8)
или
У = ± У(Н0 + ]соЬ0) (С0 + ]'соС0). C3.9)
Назовем у коэффициентом или постоянной распространения.
Коэффициент распространения зависит от круговой частоты со, которая
определяет периодичность во времени, а также от постоянных линии В0, С0, Ь0, С0.
1} См. примечание на стр. 28. — Прим. ред.
488 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
В общем случае у — комплексное число. Обозначим его вещественную
часть через а, а мнимую через E:
У = ±(* + ]Р). C3.10)
Соответственно этому в случае положительного знака у получаем
следующую зависимость напряжения от пространственной и временной
координат:
О = ЙГ+еЫ-Са+^Х = ^+в-«^(.1-^х># C3.11)
Если ввести обозначение
А = ±? C3.12)
СО V '
получим
0 = 11+е-°*Г 0~^х) = XI-е-^ Нг). C3.13)
Из уравнения C3.13) можно определить значения вещественной и
мнимой частей коэффициента распространения. Оно показывает, с какой
фазовой скоростью V распространяется волна, амплитуда которой затухает
соответственно так называемому коэффициенту затухания а. Можно
показать, что здесь V действительно имеет смысл скорости.
Пусть задана фаза напряжения в произвольной точке х0 в
произвольный момент времени ^:
*>(*о-т)" C3.14)
Найдем такую координату х, в которой в последующий момент времени I
будет такая же фаза. Эта координата определится равенством
со(ч~^)=со(г-^)> C3.15)
из которого получаем
х — х0 = иA — *0), х = x0 + V(^ — ^^). C3.16)
Это означает, что определенная фаза волны, например максимальное или
нулевое значение, распространяется со скоростью V = со/р. Величина /?
называется фазовой постоянной (или коэффициентом фазы).
Таким образом, решением уравнения C3.4), так называемого
волнового уравнения, является распространяющаяся в положительном
направлении оси х волна с затухающей амплитудой.
Для коэффициента распространения можно выбрать отрицательный
знак. В этом случае решение имело бы вид
О = 0;е«*еН^) . C3.17)
Выражение C3.17) представляет собой напряжение волны,
распространяющейся с такой же скоростью V в отрицательном направлении оси х.
Амплитуда этой волны с увеличением значения х возрастает по
экспоненциальному закону. Это легко понять, так как волна, приходящая от
больших положительных значений х, движется в сторону уменьшения х и ее
амплитуда в направлении распространения уменьшается.
На фиг. 334 изображено мгновенное значение затухающей волны
напряжения на некотором отрезке линии, движущейся в направлении
положительной оси х. Кривая представляет синусоиду с уменьшающейся
амплитудой.
$ 33. Решение дифференциальных уравнений длинной линии • 48&
и (х^у
Фиг. 334. Изменение напряжения вдоль линии для двух
близких моментов времени.
Длина полного периода рассчитывается по формуле
откуда
соА
. X . х+к
]о— за
= 1п, Я = = -з-
2л
C3.18)
C3.19)
Последнее выражение определяет длину волны. А в общем случае, конечно,,
зависит отсо и параметров линии и только в частном случае совпадает с с//.
На том же графике представлено распределение напряжения для
следующего момента, через небольшой промежуток времени Ли Из фиг. 334
видно, что вся кривая сместилась вправо на Лх = исН соответственно
скорости распространения V.
Изменение напряжения во времени в любом месте линии происходит
точно по синусоидальной кривой. Она представлена на фиг. 335, на которой
показано также изменение напряжения во времени в другой точке линии,.
«(^»
Фиг. 335. Изменение напряжения во времени в двух близко»
расположенных точках линии.
490
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
расположенной несколько правее. Легко видеть, что амплитуда
напряжения уменьшается, а его фаза меняется.
Напряжение для данного момента времени в функции
пространственной координаты можно также представить в комплексной форме.
В этом случае конец вектора перемещается по спиральной кривой, как
показано на фиг. 336. Рядом с векторами обозначены соответствующие
координаты линии. Напряжение в любой точке может быть получено
поворотом вектора, конец которого лежит на спиральной кривой
(см. фиг. 336).
Рассмотрим теперь выражение для волны напряжения,
распространяющейся в положительном направлении оси х:
0+ = 1Г+е>*>г-Ух. C3.20)
УоЬ+ги)
Фиг. 336. Векторная диаграмма распределения напряжения
бегущей затухающей волны, показывающая изменение фазы
напряжения вдоль линии.
Подставив его в уравнение C2.9), получим
г#+ = 1^(П0 + ]соЬ0I C3.21)
откуда для отношения комплексов напряжения и тока получаем
Величина 2С, которая в теории длинных линий играет такую же
важную роль, как коэффициент распространения, называется волновым
или характеристическим сопротивлением. Если в уравнение C2.9)
подставить волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси х,
то для отношения амплитуд напряжения и тока получаем
^1_й±йЬ._у|^._2#. C3.22)
Соответственно этому волновое сопротивление равно отношению
амплитуд волны напряжения и волны тока, распространяющихся в
положительном направлении.
Если мы ищем только периодические во времени решения уравнений
C3.1) и C3.2) с вполне определенной частотой, то мы приходим к
обыкновенным дифференциальным уравнениям C2.9) и C2.10). Они представляют собой
уже линейные дифференциальные уравнения второго порядка с посто-
/ /
/ /
( 1
^ 1
.1
1 \
\ \
\ \
\ \
""\ \
\ \
\ \ 11оЫ
\—»-1 ^1
\7-:^. /
\ / /
\ / /
'•** ^ч /
$ 34. Коэффициент распространения и волновое сопротивление . 491
янными коэффициентами, так что в их общих решениях появляются только
две произвольные постоянные. Правильным выбором постоянных общее
решение согласуется с заданными граничными условиями. Таким путем
получается общее решение для волны напряжения:
0(х, I) = #+ + О- = С+е**г-т*+17о<*9г+у* C3.23)
и для волны тока:
/(ж, г) = 7+ + /- = /^•'^ж + /^в'+тя. C3.24)
Учитывая зависимости C3.21) и C3.22) между амплитудами тока и
напряжения, распространяющимися в одном направлении, получим
¦7(ж, 0 = ^-е^г-Ух-^-е^1+Ух. C3.25)
Так как ток определяется из дифференциального уравнения C3.5)
аналогичного дифференциальному уравнению для напряжения, то волна
тока в общем случае описывается уравнением C3.24). Уравнения C3.24)
и C3.23) могут отличаться друг от друга только постоянными.
Таким образом, в исследуемой системе вдоль линии навстречу друг
другу распространяются две волны напряжения и соответственно две волны
тока. Отношение амплитуд движущихся навстречу друг другу волн, так
же как значения самих амплитуд, могут быть вычислены по значениям
напряжения или тока в двух произвольных точках линии.
Обычно как напряжение, так и отношение напряжения к току
задаются для конца (или начала) линии и постоянные &$ и С^ определяются
по этим значениям.
§ 34. Коэффициент распространения и волновое сопротивление
как функции постоянных линии
Для определения вещественной и мнимой составляющих
коэффициента распространения служит уравнение
? = ос + ]р = У(П0 + ]соЬ0)(С0 + ]соС0). • C4.1)
Чтобы определить отдельно коэффициент затухания а и фазовую
постоянную /3 возведем обе части этого уравнения в квадрат:
а2 - ^ + 2]Ра = (Д0 + ]соЬ0) (С0 + /юС0). C4.2)
Разделив вещественную и мнимую части, получаем
а2-/?2 = С0й0-Ь0С>2, C4.3)
2а^ = со(П0С0 + С0Ь0). C4.4)
Из последних двух равенств можно отдельно определить а и /3. Для этого
запишем квадрат модуля обеих частей уравнения C4.1):
а2 + р* = + У(В1 + соЩ)(СЪ + со*СЪ). C4.5)
Вычтя C4.3) из C4.5), получаем
2^2 = со*Ь0С0 - С0Н0 + УЩЗШЩЩ+&Щ}, C4.6)
откуда
492
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Сложив те же равенства, находим
а = ±^у (ЗД)~«>2АА) +4Ш + <*Ц)((% + <*С$ • C4.8)
Из выражения C44) видно, что /3 и а имеют одинаковые знаки, так
как в правой части этого равенства все множители положительны. Поэтому
в уравнениях C4.7) и C4.8) положительному корню одного уравнения
соответствует положительный корень другого; то же относится и к
отрицательным корням. Как было показано в предыдущем параграфе,
положительному корню соответствует распространение волны напряжения
в положительном направлении оси х с затухающей амплитудой, в то
время как отрицательному корню соответствует распространение волны
в направлении отрицательных значений х, амплитуда которой в этом
направлении уменьшается, что означает возрастание в положительном
направлении х.
Чтобы наглядно пояснить смысл аиД рассмотрим уравнения обеих
волн:
И
О-= Ъ**е*№*) . <34Л0>
Из них трудно установить непосредственно общие формулы для
коэффициента затухания и фазовой постоянной в функции параметров линии.
Поэтому исследуем некоторые специальные случаи, близкие к
практически реализуемым.
а) Линия без потерь
При идеальной изоляции между проводами и бесконечно большой
проводимости проводов имеем
д0 = 0, С0 = 0. C4.11)
Как и можно было ожидать, из уравнения C4.8) следует, что в этом случае
коэффициент затухания равен нулю:
а = 0. C4.12)
Для величины фазовой постоянной получаем
Р = со][Ь0С0. C4.13)
При этом скорость равна
(О
и=%= ^=. C4.14)
Известно, что круговая частота колебательного контура с
индуктивностью Ь и емкостью С определяется по формуле Томсона
—йу ,3415>
где со имеет размерность сек'1. Нас не должно смущать, что это выражение
по форме совпадает с выражением скорости распространения волны.
В равенстве C4.14) Ь0 и С0 имеют несколько другое значение, чем в формуле
Томсона, и отличаются также по размерности: они представляют собой
$ 34. Коэффициент распространения и волновое сопротивление 493
индуктивность и емкость на единицу длины. Соответственно 1/УЬ0С0 имеет
размерность м/сек.
Из уравнения C4.14), наконец, можно заключить, что фазовая
скорость волны при неограниченном уменьшении Ь0 и С0 может быть сколь
угодно большой. Однако в действительности между Ь0 и С0 существует
определенная зависимость, так что волны вдоль идеальной линии
распространяются со скоростью света. Таким образом,
ГОо =7- C4-16)
Смысл последнего соотношения легко понять, если сравнить
значения Ь0 и С0 при различном расположении проводов в зависимости от
геометрических параметров линии (табл. 4). Выражение C4.16) показывает, что
в случае уменьшения емкости проводов индуктивность повышается и
наоборот. Это видно, например, из того, что, повышая емкость линии за
счет приближения проводов друг к другу, мы уменьшаем охватывающий
лровод магнитный поток.
Таблица 4
ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНИИ ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ЛИНИЙ
Характеристики жжнии
Емкость на единицу
длины
Индуктивность на
единицу длины
Волновое сопротивление
В приведенных формулах
Линия Лсхера
1 - ^ »1
Г^
2г0
п же
С0*;
1п
Го
8 31 Г,
с я Г е г.
Р = /"г/"©, е = еге0, где /ц =
Коаксиальная линия 1
¦^г\
п 2яе
О0 —-
п
Х0 = ^-1п^
с 2п у е Г{
= 4л>10"~7гн/л{, е0 = 1//4>с2.
Если линия неидеальная, то фазовая скорость отличается от скорости
распространения волны с. Величина, обратная квадрату фазовой скорости,
равна
_\ (т Г ПъСл 1 1/У т п , ДоС^ 2Д.САА , ЩС\ , 1Щ
494 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Если в последнем выражении пренебречь вторым членом под знаком
корня, который всегда положителен, то величина выражения уменьшится;
при этом
^»|(^0-^)+|(^0+^) =АА, C4.18)
откуда
V2^-г^, *^—^=. C4.19)
Это показывает, что фазовая скорость волн в линии при всех условиях
меньше скорости света и только в идеальном случае может достигнуть
этой наивысшей границы, но никогда не превосходит ее.
Из уравнения C3.21) следует, что для линии без потерь волновое
сопротивление равно
^=Ш5=1^- <34-20>
Таким образом, в случае линии без потерь как скорость
распространения волны, так и волновое сопротивление не зависят от частоты. При
этом волновое сопротивление имеет чисто активный характер, т.е. в линии
без потерь распространяющиеся в одном направлении волны напряжения
и тока имеют одинаковые фазы. Коэффициент распространения в такой
линии равен
у = ]Р = 1<оУ1Д^. C4.21)
То обстоятельство, что в линии без потерь как затухание, так и
скорость распространения волны не зависят от частоты, исключительно важно.
Предположим, что напряжение на входе линии есть произвольная функция
времени. Такое напряжение в каждый момент времени может быть
представлено как сумма чисто синусоидальных напряжений с непрерывным
или дискретным спектром. Вдоль линии без потерь все составляющие
распространяются с одинаковыми скоростями и неизменяющимися
амплитудами, что приводит в каждой точке линии к одинаковым результирующим
напряжениям.
Таким образом, подведенное к входу линии напряжение
распространяется вдоль линии, сохраняя свою форму, т.е. без искажения.
б) Линии с малым затуханием
Предположим, что активное сопротивление линии мало по сравнению
с ее индуктивным сопротивлением и что активная проводимость С0 между
проводами на единицу длины линии мала по сравнению с реактивной
проводимостью соС0. Такие условия часто встречаются на практике, особенно
при высоких частотах.
Выделим из выражения для коэффициента распространения
произведение /о ][Ь0С0:
у = /^ВД A-/^A-/^. 04.22)
Пользуясь приближенной формулой
A_аI/2 ^ 1-4«—1-«2,
$ 34. Коэффициент распространения и волновое сопротивление 495
учитывающей только три первых члена биноминального ряда A—а)х/%
и пренебрегая всеми степенями 1/со выше второй, получим выражение
у - /«тег. [1 -{(ё+ёг)+^Ё-1J] • <34-23>
При этом фазовая постоянная равна
Р = ЮУ1&[1 + 1Ъ\*-%.У\. C4.24)
а коэффициент затухания
*Ч*оУ|+ТСоУ|. C4.25)
Из выражения для а ясно, что затухание и в данном случае не зависит
от частоты. Фазовая же скорость, наоборот, с ростом частоты
увеличивается:
1 г. 1 /7?Л Г?Л\2т
со
у=7
УАА
I1 8ш2и0 с0Л'
C4.26)
Зависимость C4.26) можно получить из выражения C4.24), применив
приближенную формулу, действительную при малом а:
1
1 + а
В том случае, когда проводимость между проводами очень мала, что
соответствует, например, кабелю с хорошей изоляцией, коэффициент
затухания равен
-¦№•
C4.27)
Отсюда видно, что затухание можно уменьшить, увеличивая индуктивность.
Увеличение индуктивности можно получить введением сосредоточенных
индуктивностей, так называемых пупиновских катушек, либо введением
непрерывно распределенной индуктивности. В последнем случае линия
нз хорошо проводящего материала обматывается ферромагнитной
проволокой (метод Крарупа).
При малом затухании волновое сопротивление равно
7 _1/^о+./'<цА> _
^с |( в0+]соС0
о
1-7
(оЬа
14-^
C4.28)
Пользуясь приближенными формулами
A-аI/2~1-
A-о)-,««1+4,
получаем
2с~ Ч С011 Ч2йI„ 2«иС„]]
C4.29)
Из этого выражения видно, что с увеличением затухания волновое
сопротивление приобретает мнимую часть, зависящую от частоты.
496
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
в) Линии с большим затуханием
Для линий с большим затуханием рассмотрим только случай, когда
Ь0С0 = В0С0. C4.30)
При этом условии фазовая постоянная равна
Р = }[\(со>Ь0С0-В0С0) +^УЩ(Р0 + ^(^Ц + а^С1Щ + (^ЦС1 =
так как из условия C4.30)
(со*Ь0С0+В0С0)* = а)^2С2 + 2аJ^0С0/?0С0+^С2 =
= 01*156? +<ЛВД + с»2ОД|+Д8С5- C4.31)
При этом скорость распространения равна
,вг^. <34-32>
т.е. не зависит от частоты и совпадает со скоростью распространения в
линии без потерь. Аналогичным образом получим, что коэффициент
затухания равен
а = ЩС0. C4.33)
Таким образом, последний также не зависит от частоты. Вследствие этого
-также и при конечном затухании может быть достигнута передача без
искажения, так как отдельные составляющие произвольной кривой
напряжения распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями и
их амплитуды одинаково уменьшаются. Выходной сигнал на конце линии
получается неискаженным по форме по сравнению с входным сигналом,
но меньшим по величине.
Выведем теперь для коэффициента затухания а очень полезную для
дальнейшего анализа формулу.
В случае малого затухания для волн напряжения и тока,
распространяющихся в одном направлении, можно записать
¦ = «-"/(<-т).
*-?/(<-!)• C4.34)
Следовательно, электрическая мощность равна
»-»«-тг['('-т)Г- <3435»
Среднее во времени значение мощности, проходящей через любую точ-
щ х, равно
Р=С^1р9фф, C4.36)
*где ^эфф~ среднее квадратичное функции /(*-*/,).
$ 35. Явления на конце линии
' 497
Мощность изменяется вдоль оси х вследствие потерь. Удельные потери
(на единицу длины) ^выражаются в виде
Р* = ~Ш = +2*~^эФФ = 2аР, C4.37)
откуда можно^получить значение коэффициента затухания
«=§• C4,38)
§ 35. Явления на конце линии
Уже было показано, что общее решение дифференциального
уравнения длинной линии имеет вид
0{х, I) = &Ъ&ч-у*+ Я-;*9**"** C5.1)
и соответственно
1{х, I) = 1Ъе>ш%-У* + 11 еэ°1+Ух= ^^•«-^-^^"•«+*я . C5,2)
В этом параграфе мы найдем значения постоянных &0 и 10 или, говоря
более строго, связь этих величин с заданными граничными условиями.
Пусть в точке х = 0 линии подключено в качестве сопротивления
нагрузки произвольное комплексное сопротивление 2 (фиг. ^37). В
направлении отрицательных значений х линия ..
может быть бесконечно длинной. Граничное 1
условие можно выразить требованием, чтобы в %с [^
точке х = 0 отношение напряжения к току было
равно заданному сопротивлению, т.е.
&| -2. C5.3)
я=0
Этому условию не может удовлетворить одна- Фиг. 557.Сопротивление
единственная волна, распространяющаяся в нагрузки на конце линии,
положительном или в отрицательном
направлении х, так как отношение амплитуд напряжения и тока в этих волнах равно
+2С или -2С. Поэтому надо предположить, что, помимо падающей волны,
распространяющейся в положительном направлении, имеется вторая,
отраженная волна, распространяющаяся в отрицательном направлении.
Следовательно, удовлетворяющее нашему условию решение имеет форму
уранения C5.1).
Отношение амплитуд падающей и отраженной волн получается из
подставновки граничного условия C5.3). При этом получаем
1
Если учесть, что
#+ + #-
*=о /+ + /-
я=0 Л++^(
&0+ + *7° -2. C5.4)
%=2С и %=-2С1 C5.5)
уравнение C5.4) примет следующую форму:
2 = ||-Ь||. C5.6)
32 К. Шимони
498
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Исходя из этой зависимости и вводя комплексный коэффициент
отражения п = 0г5"/^о", получим
2=2С-^=2С\±^, C5.7)
1 о.
откуда
» = §5§Г- C5-8)
Коэффициент отражения указывает, какая часть падающей волны
отражается. Этот коэффициент в общем случае является комплексным
числом. Его абсолютная величина равна отношению абсолютных значений
отраженной и падающей волн, а аргумент указывает, насколько
отраженная волна смещена по фазе относительно падающей.
Выразив в решениях, удовлетворяющих заданному граничному
условию, постоянную #^ через Щ и коэффициент отражения л, получаем
0(х, г) = 11+{е5°ь-Ух + пе1°г+Ух), C5.9)
1(х,1) = ^{еэ°1-У*-пеЗ*>ь+Ух). C5.10)
Эти два уравнения позволяют найти напряжение и ток в каждой
точке линии в любой момент времени, если известны параметры длинной
линии, сопротивление нагрузки и амплитуда падающей волны. Если
вместо падающей волны в точке х = О задано напряжение &0 на
сопротивлении нагрузки, то напряжение и ток в любой точке длинной линии
определяются уравнениями
0(х, I) = ^= (е^1-Ух + пе^г+Ух) 7 C5.11)
7<*' 1) = A+щгв №*г-ух-пе*ч+У*). C5.12)
Таким образом,
откуда
^0 = ^A +й),
Щ=^ C5.13)
Рассмотрим теперь распределения напряжения и тока в некоторых
частных случаях.
Пусть сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению, т.е.
2 = 2С. C5.14)
Тогда коэффициент отражения равен нулю и решение принимает вид
ТУ = #+е*«'-**, / = Щ- Ф»1-у* . C5.15)
В этом случае отношение напряжения к току равно волновому
сопротивлению и для линии конечной длины. Необходимо здесь еще раз
подчеркнуть, что волновое сопротивление в любой точке линии только тогда
соответствует отношению напряжения к току, когда волна
распространяется в линии только в одном направлении. Это возможно либо в бесконечно
$ 35. Явления на конце линии
499
длинной линии, либо в линии, замкнутой на сопротивление, равное
волновому. От сопротивления нагрузки, равного волновому, отражения
не происходит (фиг. 338). Если сопротивление нагрузки равно волновому
сопротивлению линии, то говорят, что потребитель согласован с линией.
Рассмотрим второй
частный случай, когда выход
линии закорочен. При этом
сопротивление на конце линии
равно нулю, а коэффициент
отражения равен —1:
п
ъ-ъс
0-2с
Х+Ъс 0 + 2с
-1.
C5.16)
Соответственно этому
напряжение равно
С = &+(е*°*-Ух-е?*г+Ух),
C5.17)
а ток
/ _ Е1. (еЗ°1~~ух + е*е>г+ух).
C5.18)
В случае линии без
потерь оба уравнения
упрощаются и принимают следующий
вид:
О = 1}+0**(е->Р*-е}Рх) =
= -2]С$ ат рхе *°1
C5.19)
и
/ = ^е)°*(е-Мх + еМх) =
= 2 ^ совете***.
C5.20)
Подставив длину волны Я из
известной формулы /3 = 2тг/А,
получаем выражения
2я
С = - 2/G+8111 =?яе*в',
7 = 2^008^^
C5.21)
C5.22)
Фиг. 338. Распределение тока и напряжения
вдоль линии без потерь при согласованной
нагрузке.
Амперметры и вольтметры, включенные в любом месте
линии, дают одни и те же показания. Максимумы тока
и напряжения, а также напряженности электрического
и магнитного полей совпадают. Вдоль линии напряжение
и ток в заданный момент времени изменяются
синусоидально с одинаковой фазой. Эта синусоидальная кривая
движется вдоль линии со скоростью V=й>|р. Отношение
напряжения к току в каждой точке линии одно и то же.
Амплитуды напряжения и тока, а также входное
сопротивление вдоль линии остаются постоянными.
32*
500
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Из уравнений C5.17) и C5.18) видно, что у короткозамкнутого конца
возникает отражение. Отраженное напряжение имеет противоположную
фазу, а ток — ту же фазу, что и падающая волна. Результирующие
напряжение и ток образуют стоячие волны. Изменение их амплитуд вдоль линии
^ происходит по синусоидальному
Лл^п \\^) 1-<^) |-ф] закону. Как можно заключить
из уравнений C5.21) и C5.22),
точки максимума и минимума
этих синусоидальных кривых с
течением времени не -меняют
своего положения.*
На фиг. 339 представлены
отрезок короткозамкнутой
линии и распределение вдоль этого
отрезка тока и напряженности
магнитного поля для
фиксированного момента времени. Там
же показано распределение
напряжения для фиксированных
моментов времени. Последнее
вместе с изображенным под ним
распределением тока (кривые 7)
соответствует схематически
показанному распределению нап-
ряженностей поля. В следующий
момент напряжение во всех
точках увеличивается (кривые 2).
Соответствующая кривая тока
также показана.
Как видно из кривых, узлы
и пучности напряжения и тока
остаются в неизменных точках
линии. Расстояния этих точек
друг от друга также указаны.
Диаграмма далее показывает,
что в момент, когда напряжение
в каждой точке линии достигает
своего максимума, ток вдоль
всей линии равен нулю. Это
справедливо только для стоячих
волн. Когда ток всюду равен
нулю, вся энергия заключена
только в электрическом поле.
Когда же напряжение всюду
равно нулю, вся энергия
заключена только в магнитном поле.
Если плоскость, расположенная
перпендикулярно к линии,
проходит через узел тока (или
напряжения), то ток (или
соответственно напряжение), а также
напряженность магнитного (или
соответственно электрического)
Фиг. 339. Распределение тока, напряжения
и входного сопротивления вдоль
короткозамкнутой линии без потерь.
Амперметры и вольтметры, включенные в линию в
местах узлов и пучностей, показывают соответственно
нулевое и максимальное значения токов и
напряжений. Ток и напряжение сдвинуты и в пространстве
и во времени на 90°. Соответственно этому максимум
-электрического поля лежит в точке нулевого значения
магнитного поля. Вдоль линии в заданный момент
времени как ток, так и напряжение изменяются
синусоидально. Нулевые и максимальные точки этих
синусоидальных кривых неподвижны. На рисунке
показано одинаковое число волн напряжения и тока.
Амплитуды напряжения и тока изменяются по
выпрямленным синусоиде и косинусоиде и
соответственно Этому входное сопротивление изменяется по
тангенсоиде.
$ 35. Явления на конце линии
501
поля в этой плоскости во все моменты времени равны нулю. Последнее
означает, что поток вектора Пойнтинга равен нулю. Таким образом,
поток энергии не выходит из отрезка линии длиной Я/4 и не входит в
него. Энергия в нем сосредоточивается либо с одной стороны в форме
энергии магнитного поля, либо с другой его стороны в форме энергии
электрического поля. При стоячей волне наблюдаются только колебания
энергии.
Подобное утверждение, конечно, действительно только для
установившегося режима. При образовании стоячей волны потребляется энергия,
которая при включении накапливается в соответствующих частях
пространства.
На фиг. 339, кроме того, показаны
кривые распределения амплитуд тока
и амплитуд напряжения. Эти кривые
идентичны выпрямленной синусоиде.
На основании уравнения C5.19)
можно построить векторную
диаграмму распределения напряжения
прямой и обратной волн вдоль линии,
или годографы их функций. Если
отложить равные по величине
векторы прямой и обратной волн на
комплексной плоскости, а затем их
поворачивать в противоположные
стороны, то их сумма даст вектор
напряжения стоячей волны. Из фиг.
340 видно, что абсолютное значение
суммы этих векторов возрастает, в
то время как фаза результирующего
вектора на протяжении половины
периода остается постоянной, а на
следующем полупериодном отрезке
линии фаза отличается на 180°.
На фиг. 341 показаны аналогичные
кривые для разомкнутой линии.
Сопротивление нагрузки разомкнутой линии бесконечно велико, и
коэффициент отражения равен единице, так как
'х=-Л/3
ь=о
Фиг. 340. Векторная диаграмма
распределения напряжения в закороченной
линии.
л =
Ъ-7,с
2 + 2с
1--
1 + 1Г
= 1, когда %-+<*>.
Аналогично предыдущему для волн напряжения имеем
C5.23)
C5.24)
и соответственно для волн тока
-±-*-е301 8111-^ X .
C5.25)
На разомкнутом конце линии теперь имеются максимум напряжения
и узел тока. И в данном случае распределение амплитуд вдоль линии можно
иллюстрировать комплексным вектором (фиг. 342).
502
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Предположим, что сопротивление нагрузки линии без потерь
представляет собой активное сопротивление, величина которого не
согласована с волновым сопротивлением линии. При этом коэффициент отражения
^-> -ч ^ ^ч равен
<^т ф [О-
п = п =
я-гс
в+ге
C5.26)
Получаются одновременно
стоячая и бегущая волны. При
существовании только бегущей
волны амплитуды вдоль линии
одинаковы, в случае же стоячей
волны амплитуды вдоль линии
изменяются между
максимальными и нулевыми значениями.
В общем случае распределение
амплитуды напряжения вдоль
линии лежит между значениями,
определяемыми этими двумя
крайними возможностями.
О качестве согласования
можно судить по „волнистости"
кривой распределения
амплитуды, характеризуемой ее
коэффициентом стоячей волны, т.е.
отношением максимальной
амплитуды к минимальной:
кс
г/макс = |#о 1 + 1 *У|
#мин I У о I ~~ I и о I
C5.27)
Коэффициент стоячей волны
равен единице, когда стоячая
волна отсутствует, и принимает
бесконечно большое значение
для чисто стоячей волны. Часто
пользуются и обратной
величиной — коэффициентом бегущей
волны:
^б.в — -—:
яс.в
?7мин
С/макс
C5.28)
Фиг. 341. Распределение напряжения, тока
и входных сопротивлений в линии без потерь,
разомкнутой на одном конце.
Единственное отлпчие от фиг. 339 состоит в том, что
ток и напряжение и соответственно напряженности
электрического и магнитного полей меняются местами.
Это выражение равно единице,
когда в линии существует только бегущая волна, и нулю — при ее
отсутствии.
На фиг. 343 показано распределение мгновенных значений
напряжения и тока вдоль линии в произвольный момент времени и в некоторые
последующие моменты при несогласованной нагрузке.
На фиг. 344 представлены кривые распределения амплитуды для
различных значений сопротивления нагрузки. В качестве предельных
$ 35. Явления на конце линии
503
случаев нагрузки на конце
линии даны кривые для
И = 0 (короткозамкнутый
конец линии), К = оо
(разомкнутый конец линии) и Я = 2С
(согласованная нагрузка). В
общем случае, т.е. при ином
значении сопротивления
нагрузки, кривая
распределения напряжения находится
между этими крайними
кривыми.
На фиг. 345 представлен
вектор напряжения в
зависимости от длины линии
соответственно уравнению C5.1).
Так как длины двух векторов,
поворачивающихся в
противоположных направлениях,
различны, то результирующий
вектор описывает эллипс.
Для линии с потерями
подобные зависимости
получаются значительно более
сложными. Уравнения C5Л)
и C5.2) остаются в силе и
в этом случае. Однако их
трактовка получается не столь
простой, как прежде. Так,
например, невозможно
возникновение чисто стоячих
волн, так как величина
амплитуды падающей волны
при разомкнутом или корот-
козамкнутом конце линии
экспоненциально
увеличивается с расстоянием, в то время
как величина амплитуды
отраженной волны
экспоненциально уменьшается.
Кривые распределения
амплитудных значений для этого
Фиг. 343. Распределение тока и
напряжения в линии без потерь,
замкнутой на несогласованную
нагрузку.
Показания амперметров и вольтметров
изменяются вдоль линии от
максимального до минимального значения.
Изменение тока и напряжения во
времени происходит по
синусоидальному закону. Сдвиг фаз между током
и напряжением в разных точках линии
неодинаков. Амплитуды синусоид в
разных точках также различны. К < Ъс.
*Г=-_-К/8_
иХ= - К/4
Фиг. 342. Векторная диаграмма распределения
напряжения в линии, разомкнутой на одном
конце.
504
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
и(хг1I
МХЛ)\
Фиг. 344. Распределение амплитуд напряжения вдоль линии
при различных сопротивлениях нагрузки (а) и временные
диаграммы для бегущей (б) и стоячей (в) волн.
случая представлены на фиг. 346. Они соответствуют малому и большому
затуханиям при разомкнутом конце линии. Можно показать, что характер
волн с увеличением расстояния от конца линии становится все более
близким к бегущим волнам.
$ 35. Явления на конце линии
505
Исследуем еще случай, в котором линия без потерь замкнута на
конденсатор. При этом сопротивление нагрузки равно
г =
]озС '
а коэффициент отражения
C5.29)
C5.30>
-Л/2
Фиг. 345. Изменение фазы напряжения (а) и тока (б) вдоль линии
без потерь при несогласованной нагрузке.
Фиг. 347. К расчету коэффициента
отражения линии без потерь,
замкнутой на конденсатор.
Фиг. 346. Изменение амплитуды
напряжения в разомкнутой линии в
случае малого (а) и большого (б),
затухания.
-506
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Модуль коэффициента равен единице, так как знаменатель и
числитель— сопряженные комплексы (фиг. 347). Поэтому его можно
представить так:
п = е"^>,
где
|- = агс1§ со С2С. C5.31)
Подставив это выражение в уравнения C5.9), получим для напряжения
C5.32)
Заменяя экспоненциальные функции соответствующими
тригонометрическими, приведем уравнение C5.32) к виду
О = 2#+в^-т) сов (^*—|) = 2#0+е' (^"^ со8 ^(*-||) • C5.33)
Далее, обозначая
2л Т
— агс 1% соСгс,
получим
C5.34)
2' С08 -^ (Ж — Й),
что соответствует такой же стоячей волне,
как и в случае разомкнутой линии, с той
лишь разницей, что теперь максимум напря-
Ф и г. 348. Линия без потерь, жения находится не в точке х = О, а в точке
замкнутая на конденсатор, л г
эквивалентна удлиненной ра- х = ^ т-е- линия ^ак бы удлинена на отре-
зомкнутой линии. ЗОК Л (фиг. 348).]
§ 36. Входное сопротивление длинной линии
В этом параграфе мы определим входное сопротивление отрезка линии
конечной длины, т.е. найдем отношение напряжения к току на входе
линии в случае, когда известны сопротивление нагрузки (т.е. отношение
напряжения к току в конце линии) и постоянные линии. Из изложенного
ранее следует, что для решения этой задачи достаточно найти распределение
напряжения и тока вдоль всей линии, определив тем самым напряжение
и ток на ее входе.
Пусть 2>2 означает сопротивление нагрузки, I — длина линии, 2С — ее
волновое сопротивление и п — вычисленный по 2С и 22 коэффициент
•отражения. Тогда в произвольной точке х напряжение равно
а ток равен
О = &+еэ*>1(е-Ух + пеУх),
1 = 1+ез°г{е-Ух-пеУ*).
C6.1)
C6.2)
$ 36. Входное сопротивление длинной линии
507
Преобразуем формулу напряжения:
Ц == Ц+е^Че-ух + пеУх) =
17^е^1(е~Ух + е~Ух+ пеУх + пеУх + еУх- еУх + пе~Ух - пе~Ух)
= й+е^[(п + 1)
еух + е-Ух Л.еУх-е~Ух1
- +(л-1) ъ
1-й
Щ(± + п)ё>°1 [сЬрт-^вЬ уж]
C6.3)
Учитывая, что в точке х = О значение напряжения #2 и амплитуда
падающей волны связаны равенством
находим, что
Ь\ = #ХA+п),
О = 1]2$&г (сЪ.ух — -—з зЬух),
C6.4)
C6.5)
Ток 12 в точке х = О может быть выражен в виде
/2=/о+ + /^^Й-а-1^A-^)|; = |Й- C6.6)
Наконец, на основании уравнения C5.7) вектор напряжения в
произвольной точке х равен
V = #2 сЬ ух-12Хс вЬ уж. C6.7)
Аналогично изложенному для
напряжения получаем, что ток и 1
равен ";
1 = ДсЪ у^—т1-8'1 ^х
*4Л
х=-1
х=о
C6.8)
Фиг. 349. К расчету входного сопроти-
Если перейти к координате у, вления линии,
отсчитываемой не от конца
(координата х), а от входа линии, т. е. у = 1 + х при 0>#> — I (фиг. 349), то для
напряжения и тока получим выражения10
II = #2 сЬ у(/ - у) + /22с 8Ь уA -, ^/),
C6.9)
C6.10)
Соответственно этому напряжение и ток на входе линии, т.е. в точке у = 0,
.х= — I, равны
#х = #2сЬ у1 + 122съЪ у1, C6.11)
Д = 12оЪу1+-^-^]1у1
C6.12)
1} Они получаются из C6.7) и C6.8) после изменения знаков аргумента и
соответственно знаков перед зп. — Прим. ред.
508
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Из уравнений C6.11) и C6.12) находим наконец входное сопротивление
линии
гу #1 (У2 сЬ у1+122с зЪ у1 2,2 сЬ у1+2с зЪ у1 ,оа Л оч
Лх = -у- = ^ = ^ . (дЪЛЗ)
В специальной литературе при анализе длинных линий, как правило,
главную роль играют уравнения C6.9), C6.10) и C6.13).
Равенство C6.13) сразу дает входное сопротивление линии,
разомкнутой на конце, 2?с, и входное сопротивление короткозамкнутой
линии 21е:
2\с
откуда
гъУ1'
'ОС узе
2? = 2сИг\у1,
и Оху1=Щ
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением линий без потерь.
Входное сопротивление линии теперь можно записать в виде -
2ж _ ._ . 2л .
V ЛЛС. т , о^/?/ 22со8—г-г+./Азт—«-/
^ - ^г^Щ+ЖШЖ - г°- 2я . ._ . 2я • (с!ЬЛ4)
Г *^ ^СС08—г-/ + 7^2 81П—г-^
Если длина линии кратна целому числу полуволн, т.е. I — /г(А/2), где
л — целое число, то входное сопротивление равно сопротивлению нагрузки
^ = ^1йт^ = ^- C6Л5>
Если I = гсА±А/4, то
сов Bлтг±-?-) = 0, 8тГ2ят1±у) = ±1
и
2± = ^ . C6.16)
Длина 2, само собой разумеется, может отсчитываться от любой точки
линии. Однако под „сопротивлением нагрузки" нужно понимать
сопротивление, измеряемое непосредственно в этой точке. Отсюда следует,
вообще говоря, что среднее геометрическое всех значений сопротивлений,
измеряемых на расстоянии Я/4 друг от друга, равно волновому
сопротивлению.
После деления числителя и знаменателя в правой части выражения
C6.14) на сое/3/ получим для входного сопротивления следующее
выражение:
7 — 7 22+]%с ^%@1 СХ& \1\
Полученные в этом параграфе соотношения находят широкое
применение. Поэтому рассмотрим некоторые относящиеся к ним графические
методы, позволяющие наиболее просто получать количественные
результаты. Наилучшее представление указанных соотношений дает так
называемая диаграмма Смита. Для получения ее перепишем уравнения C6.1)
и C6.2) следующим образом:
V = Я+еУ^+пе-**),
/ = ^A-яе-»'), C6Л8)
$ 36. Входное сопротивление длинной линии
509
где I — расстояние от конца линии. Отсюда входное сопротивление,
отнесенное к волновому сопротивлению, получается равным
1 = ^-7^' <3619>
Поскольку коэффициент отражения п всегда можно выразить в виде
п = в-2(и.+^.)> C6.20)
то
~2Ге = 1_е-2[(»о + а1)+1&0+рь] ' C6.21)
Введем следующее обозначение:
ю = и+р = и0 + а/ + /A;0 + /Н)- C6.22)
Если теперь еще обозначить отношение 2*\2С через
* = ^г = /• + /*,
получим
2~ 1-е-2»
C6.23)
Зная коэффициент отражения и величины а и /3, можно на оси х—-1
с помощью уравнения C6.23) построить величину ъ и определить также
вещественную и мнимую части отношения полного входного
сопротивления к полному волновому сопротивлению.
Уравнение C6.23) отображает плоскость ю на плоскость 2. Для
большей ясности отобразим одновременно плоскость ю и плоскость %
на плоскость I посредством равенств (фиг. 350, а, б)
е-2^ = ^ 1±« = 2 C6.24)
Отображение
{^ C6.25)
преобразует полуплоскость Ке ъ = г > 0 во внутренность единичного круга.
Точка 2 = оо переходит в точку I — +1, т.е. все прямые сетки
прямоугольных координат проходят через эту точку в плоскости г, так как в
плоскости 2 они все проходят через точку т> = оо'. Отображение переводит
круг в круг, т.е. на плоскости I имеются два семейства окружностей:
для г = сопв1 и для х = сопз!, которые все проходят через точку I— + 1.
Отображение
I = е~2у>
преобразует полосу шириной тгво внутренность единичного круга. Прямые
V = сопя! на плоскости I соответствуют прямым, которые проходят через
нулевую точку. Прямые гг = соп81 соответствуют окружностям, имеющим
центр в нулевой точке.
Диаграмма Смита получается, когда в единичном круге плоскости I
наносят семейство кривых г = соп&Ь, х = сопз!, а также и — сопв! и
V — сопвЪ. При этом можно определить пару значений (г, х)%
соответствующую паре значений (и, у), или наоборот. После построения координатные
510
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
ат ш)
е-2га^
X.
\®
г-
1+1
1-1~
Фиг. 350. К определению входного сопротивления с помощью
диаграммы Смита.
В диаграмме Смита две единичные окружности помещаются одна в другой.
оси можно стереть, так как значения I нас не интересуют. Плоскость г
потребовалась только для того, чтобы удобнее представить связанные
друг с другом значения (г, х) и (и, и).
Предположим теперь, что заданы следующие величины:
сопротивление нагрузки 2, волновое сопротивление 2С длина линии / и
коэффициент распространения у = <х + ]A. Как по диаграмме Смита найти значение
входного сопротивления? Прежде всего найдем 2/2с = г + ]х(фиг. 350, в).
$ 37. Отрезок линии конечной длины как элемент цепи
51*
Затем определим из диаграммы и0, у0, соответствующие значениям г, ху
и вычислим и и V:
и = щ + ос1, и = и0+C1; C6.26)
по этим значениям вновь найдем по диаграмме соответствующие им г1г
хх. Таким путем получаем окончательный результат:
|^ = г1 + /%. C6.27)
§ 37. Отрезок линии конечной длины как элемент цепи
Отрезок линии конечной длины может играть роль комплексного1
сопротивления, трансформатора или колебательного контура.
а) Отрезок линии без потерь как реактивное сопротивление
В предыдущем параграфе было в самом общем случае определено
отношение напряжения к току на входе линии при известном отношении
их на конце линии. В дальнейшем мы снова будем полагать, что имеем
линию без потерь.
Рассмотрим входное сопротивление линии конечной длины,
короткозамкнутой на конце. По уравнению C6.17)
21 = ]2съЦ-1. C7.1)
Если ограничиться пока линией небольшой длины, то
и формула C7.1) дает приближенное равенство
21*>]2е^1. C7.2)
Следовательно, можно утверждать, что короткий (по сравнению с длиной
волны) отрезок линии имеет чисто мнимое входное сопротивление,
эквивалентное индуктивности.
На фиг. 339 под кривыми стоячих волн показаны кривые отношения
напряжения к току для соответствующих точек стоячей волны. Они
соответствуют входным сопротивлениям (реактивным) короткозамкнутой линии
любой длины. Входное сопротивление короткозамкнутой линии длиной в
четверть волны бесконечно велико, так как, несмотря на действие
напряжения конечной величины, ток на входе линии равен нулю. При
дальнейшем увеличении длины линии сопротивление перестает быть индуктивным
и принимает емкостный характер. При длине линии, равной Я/2, входное
сопротивление становится равным нулю и дальше остается индуктивным
на протяжении четверти длины волны, возрастая от нуля до
бесконечности. При дальнейшем увеличении длины линии оно вновь принимает
емкостный характер.
На фиг. 341 представлено распределение сопротивления вдоль линии
для случая разомкнутого конца. Разомкнутая линия в первой четверти
имеет емкостное входное сопротивление, в следующей четверти — индук-
512
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
тивное. Такие отрезки линии, так называемые петли, играют особенно
значительную роль в коротковолновой технике как согласующие элементы.
Например, для согласования волнового сопротивления 2С линии с
комплексным сопротивлением нагрузки 2 можно где-нибудь вблизи от
конца линии присоединить реактивное сопротивление в виде отрезка
короткозамкнутой линии (фиг. 351). Результирующее входное
сопротивление в точках А, В нагруженного отрезка линии длиной / и параллельно
включенного короткозамкнутого отрезка должно равняться
сопротивлению 2,с. Для этого необходимо,
чтобы выполнялось условие
2Я
~%А1
где
2ь8 = 12сьзЧ№ь8
Фиг. 351. Согласующий отрезок линии и
изменение амплитуды напряжения вдоль
самой линии.
3 линии от генератора до петли существует только
.бегущая волна, на отрезке линии между петлей и
«сопротивлением нагрузки появляются и стоячие волны.
Тогда условие согласования принимает вид
C7.3)
— сопротивление согласующего
отрезка, а 2АВ — входное
сопротивление нагруженной
линии, определяемое по C6. 14)
выражением
'АВ
__ у 2С05 Р1 + ]%е 61П /?/
_1_
- +
1 2ссоз/^+;2 8т^/
C7.4)
C7.5)
2 СОЗ/^-Н^с 8111/?/
Из этого равенства, разделяя вещественную и мнимую части, можно
установить как нужное место подключения петли, так и ее сопротивление.
Условие согласования получается просто, если известны вещественная
и мнимая части комплексной проводимости согласующего отрезка и
нагруженной линии:
-±-=]ВЬ8 и -^- = САВ + ]ВАВ. C7.6)
Тогда условие согласования запишется так:
= ]Вьз + &ав + ]ВАВ,
;ИЛИ
1_
2,
= с
АВ>
]В,
Ь8
-}в.
АВ •
C7.7)
Выражение C7.7) показывает, что в линии без потерь вещественная
часть проводимости нагруженной линии должна быть равна величине,
обратной волновому сопротивлению, а мнимая часть — проводимости
короткозамкнутого отрезка. На фиг. 351 показано распределение
амплитуд напряжения вдоль линии вплоть до сопротивления нагрузки.
Само собой понятно, что указанное согласование приводит к
исчезновению стоячей волны только слева от А, В. Справа от этих точек до
сопротивления нагрузки появляется и стоячая волна. Мы должны
представить себе, что в точках Л, В отраженные волны идут как от нагрузки,
так и от согласующей линии и что правильное согласование достигается
$ 37. Отрезок линии конечной длины как элемент цепи 513
тогда, когда у отраженных волн амплитуды одинаковы, а фазы
противоположны. Из этого положения вытекает, что между сопротивлением
нагрузки и точкой присоединения согласующей линии существуют стоячие
волны.
Практическое выполнение согласующей линии легко осуществляется
для двухпроводной линии и немного сложнее—для коаксиального кабеля
(фиг. 352). Для полного согласования нужно не только иметь возможность
изменять длину согласующей линии (этим изменяется ее проводимость),
но также и место ее подключения. Для этого в оболочке коаксиального
кабеля необходимо вырезать продольную щель.
Фиг. 352. Согласующая петля
переменной длины, перемещаемая вдоль
линии.
Фиг. 353. Две согласующие петли
переменной длины, присоединенные в
фиксированных точках линии.
Более простой способ согласования показан на фиг. 353. Здесь
имеются два отрезка линии, подключенные в двух вполне определенных
точках. Изменением расстояния до закорачивающих поршней можно
изменять проводимость каждого из отрезков и достигнуть согласования
без необходимости изменения места их подключения. Условие
согласования определяется так же, как для случая одной петли.
%сг
5
I*
б) Отрезок линии как трансформатор
Входное сопротивление разомкнутой или короткозамкнутой длинной
линии конечной длины уже было определено. Для линии бесконечной
длины, в которой существует только
бегущая волна, отношение напряжения
к току на входе равно ее волновому
сопротивлению. Если включить
последовательно две линии с различными
волновыми сопротивлениями (фиг. 354)
и правую линию взять бесконечно
длинной (ее входное сопротивление
равно волновому), то левая линия
конечной длины будет вести себя так, как
если бы она была замкнута на
нагрузочное сопротивление 2с2. Тогда коэффициент отражения в точке
соединения линий будет равен
я = ^с2"^1 . C7.8)
Если волновые сопротивления линий отличаются друг от друга, то
наблюдается отражение от места соединения. Обе линии можно согласо-
33 К. Шимони
Фиг. 354. Линия бесконечной длины,
присоединенная к конечной линии,
может быть заменена одним активным
сопротивлением.
514
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
вать, включая между ними отрезок еще одной линии длиной Л/4. При этом
волновое сопротивление этого отрезка должно равняться среднему
геометрическому волновых сопротивлений обеих линий:
2е = У2^2~2. C7.9)
Фиг. 355 поясняет этот способ согласования^. Входное сопротивление
отрезка линии длиной Я/4, к концу которого подключено
сопротивление 2с2, определяется по уравнению C6.16):
72 72
2ав = 4^ = ^- C7Л0>
Для того чтобы на отрезке О А отсутствовали стоячие волны, необходимо
сопротивление 2АВ приравнять волновому сопротивлению. Следовательно,
Х/4—-I 2с1 = 2АВ = -^- ,
Ъ 1ог C7.11)
откуда получаем
^с = У %с1%с2 •
М2с2 При выводе этой формулы
# мы не пользовались условием,
что за промежуточным отрезком
следует бесконечно длинная
с
х=-л/4 х=о линия. Если к линии с задан
Фиг. 355. Отрезок линии длиной Я/4 как НЫМ ВОЛНОВЫМ сопротивлением
трансформатор сопротивления. подключить произвольное
сопротивление 2У то ее можно
согласовать, включив между нею и сопротивлением отрезок линии
длиной Я/4 с волновым сопротивлением, определяемым из формулы
2С = ]/2с12.
Так как этот метод согласования довольно часто применяется на
практике, мы для большей ясности выведем его непосредственно из
решения телеграфного уравнения. Справа от промежуточного отрезка как
в бесконечно длинной линии распространяется только бегущая волна,
для которой
а2=^<1^\ й=°»е'<1-^
Т2=Щйе х "', 12 = ^е ч " . C7.12)
На левом отрезке нужно получить только волну, бегущую в
положительном направлении:
Ях=Щье К "\ Д = ^е ^ "; C7.13)
(в этом и состоит согласование). На обоих концах промежуточного отрезка
должны выполняться граничные условия
-у = Ас2 при х = О,
-у- =2с1 при х = -—.
1} Такой согласующий отрезок называют трансформатором, так как обычный
трансформатор также применяется для согласования. - Прим. ред.
$ 37. Отрезок линии конечной длины как элемент цепи
515
На этом коротком отрезке волны должны распространяться в двух
направлениях, поэтому для среднего отрезка имеем
о0 = ^<1-^+^Н1^)
и для тока получаем
Г _ ^00 Л V V/ ^00 ,, V V )
20 — ~7~^ ~7~~^
г*
C7.15)
C7.16)
Отношение амплитуд напряжения и тока в произвольной точке
промежуточного отрезка равно
2тг 2ог
-5-г-х з-^г-х
Ц_о_ _ 2 е Л -Упе К
/Л с 2зг 2аг
е Л -л* Я
Вводя для точки х = 0 граничное условие
а для точки х = — Я/4
/о
_ *7 _ 7 1+п
у 7' 3~п3 У
— ^сЛ — ^с • , - • —^<
1-Я
1 + Д
C7.17)
C7.18)
C7.19)
и перемножая уравнения C7.18) и C7.19), получим
т.е.
C7.20)
промежуточного согласу-
равно среднему геометри-
, Очевидно, что в то время
Таким образом, волновое сопротивление
ющего отрезка действительно должно быть
ческому волновых сопротивлений двух линий,
как в правой и в левой линиях волна
распространяется только в одном
направлении, в согласующем отрезке, включенном
между ними, волны распространяются в
обоих направлениях и вследствие этого в
нем образуются стоячие волны.
На фиг. 356 показан другой способ
согласования. Если в конце длинной линии
к точкам Д В подключить короткозам-
кнутую линию длиной Я/2, то напряжение
и ток в последней будут распределяться по
синусоидальному и косинусоидальному законам. При включении нагрузки
к точкам С, 1)этой короткозамкнутой линии отношение напряжения к току
изменится. Разумеется, это справедливо только до тех пор, пока нагрузка
достаточно мала и распределение напряжения и тока практически мало
изменяется. Меняя точки включения, можно получить напряжения
различной величины.
33*
Фиг. 356. Закороченная линия
длиной А/2 как трансформатор
сопротивления.
516
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
в) Отрезок линии как колебательный контур
Ранее уже было показано (см. фиг. 339), что в короткозамкнутой линии
как ток, так и напряжение имеют узлы на расстоянии половины длины
волны. Ерли напряжение имеет узел в какой-либо точке линии, то это
значит, что между двумя проводами в этом месте отсутствует разность
потенциалов и оба провода могут быть закорочены. Если же ток имеет узел,
то контур тока в этой точке разрывается. Далее известно, что через
плоскость, проведенную в узле, энергия
'¦—--^^ в направлении линии не проходит.
Таким образом, отрезок линии (фиг.
357) длиной А/4, закороченный с одного
конца, а с другого разомкнутый;
отрезок линии длиной А/2,
закороченный с обоих концов; отрезок длиной
ЗА/4, закороченный с одного конца
и разомкнутый с другого, и т. п.
представляют отрезки линий, в
которых возникшие колебания могут
длительно поддерживаться. Такие
отрезки линий соответствуют
колебательным системам с заданными
длинами волн.
В проводнике с двумя
закороченными концами возникают колебания
следующих длин волн (фиг. 358):
К = 4 I, л = 1, 2, 3,. ..
Фиг. 357. Колебательные системы
длиной Л/4, А/2 и ЗА/4.
-I-
Х-2.1
Л=1
^Г
_Х-
^~
лф
-X-
А
Ч
/
C7.21)
В линии длиной /, закороченной с
одного конца и открытой с другого,
длины волн равны
4
к
2гс+1
I,
C7.22)
/
\
у
\
V
/
-V
Ч._
/
Фиг. 358. Возможные колебания в
линии, оба конца которой закорочены.
где п может быть равно и нулю. В
линии, разомкнутой с обоих концов,
могут существовать колебания с
длинами волн
Ап = А г. C7.23)
Отрезок линии конечной длины образует колебательную систему с
бесконечно многими дискретными длинами собственных волн и
соответствующими собственными частотами. Частота имеет значение
М = *, /
C7.24)
Если пространство между обоими проводами заполнить диэлектриком,
то для линии без потерь получим
/ =
с 1
C7.25)
$ 37. Отрезок линии конечной длины как элемент цепи
517
Свободные колебания в отрезке линии без потерь могут установиться
только в том случае, когда граничные условия удовлетворяются на обоих
концах отрезка, как, например, при коротком замыкании с двух сторон
отрезка длиной А/2. Рассмотрим несколько более сложные случаи, когда
отрезок линии замкнут на реактивное сопротивление^.
Пусть, например, один конец линии длиной I замкнут накоротко, а
к другому концу подключен конденсатор (фиг. 359). Включение
конденсатора равносильно удлинению линии на Л (см. фиг. 348), причем
величина й определяется уравнением C5.34).
Условие существования собственных
колебаний очевидно: на отрезке й + 1
должно укладываться нечетное число
четвертей волны, т.е.
Bп + 1)-**- =
C7.26)
Если задана длина волны или частота,
то из этого уравнения может быть
определена длина линии I (см. фиг. 359).
По выражению C7.26) можно
определить и собственную частоту системы при
заданной длине линии. Так как
неизвестная длина волны входит в аргумент
агс 1%, то это уравнение трансцендентное;
его можно решить графически.
Вводя новую переменную
2л у '
Фиг. 359.
конденсатор,
Линия, замкнутая на
как колебательная
система.
C7.27)
перепишем уравнение C7.26) следующим
образом:
л-
2и+1 1
= * + — агс 1% уъС2й,
C7.28)
откуда
Фиг. 360. Определение длины волны
линии, замкнутой на конденсатор.
^^Р— 1у = ип%8уцС2е.
C7.29)
Значения К> удовлетворяющие уравнению C7.26), находятся по
точкам пересечения прямых и = пBп +1)/2 -1у с кривой и = агс Ц г/рС2е
(фиг. 360).
Перейдем теперь к более общему случаю. Пусть линия длиной I
(фиг. 361) на одном конце замкнута на сопротивление 2Ь а на другом — на
сопротивление 2г. Найдем собственную частоту или собственную длину
волны этой системы.
1} Текст этого абзаца и некоторых последующих выводов в переводе несколько
сокращен. — Прим. ред.
518
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Условие существования свободных колебаний можно сформулировать
как равенство нулю суммы комплексных сопротивлений образуемого
контура. В данном случае это значит, что
^1+^АБ = 0, C7.30)
где 2г — сопротивление нагрузки между точками А и В, а 2АВ— входное
сопротивление линии, подключенной в точках А и В. Только при таком
равенстве выполняются граничные условия на обоих концах линии.
Л Подставляя выражение C6.13) для
%ав, находим, что
%, \\Ъг 7 _ г? _ 22сЪу/ + 2с811 у1
|_1 _^1 _ лАВ _ ш
сЬ у1 + -~в,Ъ. у1
. ~ C7.31)
х--1 я=0
Фиг. 361. Линия, на обоих концах которой Это уравнение при заданных
включены заданные сопротивления, как 2>ъ 22, 2С и I может быть удовлет-
колебательная система. ворено только при совершенно
определенных частотах или длинах
волн и, конечно, только при чисто реактивных 2г и ^2- Найденные таким
образом частоты или длины волн представляют соответственно
собственные частоты или собственные длины волн данной системы.
Применим уравнение C7.31), например, к уже известному случаю
линии без потерь длиной I, нагруженной емкостью С. Входное
сопротивление такой линии
1 2я . 2я
-т-~ С08 -у- 1+]%с 51П —1
2АВ = 2С !°*- , Л /- . C7.32)
А1* с „, 2тг , . 1 . 2л , у '
Замкнем теперь левую часть линии накоротко Bг = 0), тогда имеем
-2г = 2АВ = 0. C7.33)
При этом условии из C7.32) получаем уравнение для определения
собственной длины волны:
откуда
1 2л 7 , .л • 2л;, л
^со8т'+^8ШТг = 0'
2ссо^ = <^^, C7.34)
или
ОГЛ О.+.П" ^ Л^7 — сип-» \}^ м^ кауку
2 Л
агс с1§ 2са)С = ~ — агс 1§ 2ссоС = -у1-
Переставив слагаемые в последнем выражении:
л 2л т ±. 2л гу п
и введя новую переменную 2тг/А = г/, найдем
у-у1 = аро*8^сС. C7.35)
^ 37. Отрезок линии конечной длины как элемент цепи
519
Из фиг. 360 легко видеть, что точки пересечения прямой л/2 — у1 = и
с кривой и = агс 1§ иу 2СС дают искомые решения.
Выше предполагалось, что при свободных колебаниях ток и
напряжение выражались экспонентой е*ве, в которой со было вещественным
числом, т.е. предполагалось отсутствие затухания. В более общем случае
следует перейти к экспоненте с комплексным показателем еРг, где р =
= ! + /о>.
Уравнение C7.31), раньше решавшееся для линии и нагрузки без
потерь (идеальная линия, конденсаторы, короткое замыкание и т.п.),
применимо и в случае линии и нагрузки с потерями. Рассмотрим линию,
закороченную с обоих концов. Входное сопротивление линии
2АВ = 2С Л у1. C7.36)
В данном случае это сопротивление должно быть равно нулю; поэтому
уравнение для определения собственной частоты имеет вид
1Ь у1 = 0, C7.37)
откуда
уп I = тт], п = О, ± 1, ±2, . . . : C7.38)
где
Уп = ]{(Я0 + рпЬ0) (С0 + РпС0). C7.39)
Таким путем мы получаем уравнение
1][(Я0 + рпЬ0)(С0+рпС0) = пи], C7.40)
из которого могут быть найдены собственные значения комплексной
частоты рп:
*=лк^Н^^лк+Ш- <з7-41>
Для линии с малыми потерями можно ограничиться приближенным
выражением
Разделяя вещественную и мнимую части, получим
C7.43)
пп __ пли
1Щ\ ~ 1
где соп — собственная частота. Отсюда видно, что собственная частота
(или длина волны) в линии с малым затуханием такая же, как в идеальной
линии.
Напряжение (и ток) в функции времени выражается экспонентой
затухающих колебаний
О = 00е**е±*ч, !<0. C7.44)
Затухание системы удобно характеризовать логарифмическим
декрементом, т.е. логарифмом отношения двух следующих друг за другом амплитуд.
Для нашего случая он равен
*Т = {ш+ш)Т- <37-45>
520 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Чем меньше коэффициент затухания, тем лучше система, тем выше ее
добротность
Добротность линии длиной п А/2, закороченной с обоих концов, равна
Значения I и соЛ определяются уравнениями C7.43).
Выражению C7.47) можно придать такой вид:
_5*1_ = у7^с0 _«>* = УцД>$ = ±5"± = ™ C7.48)
При этом добротность принимает значение
О»-2 = ас- <37-49>
Последнее выражение получилось подстановкой коэффициента затухания
из уравнения C4.25) и частоты ып — пт)\1. Формула C7.49) дает
соотношение между добротностью длинной линии и коэффициентом
затухания.
§ 38. Длинная линия с переменным волновым сопротивлением
Предположим, что параметры линии изменяются вдоль линии в
функции х. В этом случае также справедливы уравнения C2.9) и C2.10I):
^ = -(П+]ЪЦ1 = -2/, | = -(С+/ЛО& = -ГО, C8.1)
где 2 и У — теперь медленно изменяющиеся функции координаты х (по-
прежнему отнесенные к единице длины). Дифференцируя еще раз первое
уравнение по х:
2--'§-*= C8-2)
и подставляя в него значение / из первого уравнения, а Л1/Лх из второго,
получим
ёЧгёж-^ = 0. C8.3)
Аналогично находится уравнение для тока:
^ 1^_2У/ = 0. C8.4)
их* У их Же ч '
1} Здесь В, Ь> О, СУ2,Т— параметры на^единицу длины; они не снабжаются
индексом 0, который в предыдущем тексте ставился при постоянстве этих параметров.— Прим.
ред.
$ 38. Длинная линия с переменным волновым сопротивлением 521
Принимая во внимание равенства
У их их ' 2 их Ах '
запишем уравнения C8.3) и C8.4) в таком виде:
%-&**)$-**>-о.
а21 (Л,_ ,л<г/
C8.5)
C8.6)
Вводя теперь переменное волновое сопротивление и переменный
коэффициент распространения:
-п
г=т
и подставляя их в уравнения C7.6), получим
&1 . (д, ,_ 2л Л1
йх<
+Йь5J-^.о.
C8.7)
C8.8)
C8.9)
Мы получили дифференциальные уравнения второго порядка с
переменными коэффициентами,
зависящими от х. . Рассмотрим частный
случай, когда коэффициент
распространения постоянен, а волновое
сопротивление 2е — экспоненциальная
функция координаты. Он осуществля- _
ется, например, в линии без потерь,
емкость которой увеличивается по
экспоненциальному закону, при
постоянстве скорости
распространения:
V = С0П81 =
Уьс
Фиг. 362. Экспоненциальная длинная
линия.
Очевидно, что в этом случае индуктивность также уменьшается по
экспоненциальному закону (фиг. 362). Пусть
С = С0екх, Ь = Ь0е~кх.
C8.10)
В этом случае
у = ]а>У1Я = 1ауцС'0, 2С=}[
Ьое _ р—кх
С„е** ~ С
Ь = Ъ**г**
-'со0
г = У2е
V - у
C8.11)
т.е. коэффициент распространения остается постоянным, а волновое
сопротивление изменяется экспоненциально.
Рассмотренные свойства можно получить, например, уменьшая
расстояние между проводами двухпроводной линии или изменяя отношение
радиусов коаксиального кабеля. При этих условиях
^1пГ2с= -*,
#1п^ = -Л
ах у
C8.12)
522
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
и дифференциальные уравнения для тока и напряжения имеют
постоянные коэффициенты:
Общее решение дифференциального уравнения для напряжения
запишется так:
# = Л1ег**+42ег»*, C8.14)
где Г± и Г2 — корни характеристического уравнения
Г* + кГ-у2 = 0, C8.15)
т.е.
Л.2= ~±Щ + У2. C8.16)
Подставляя в уравнение C8.16) выражение у для линии без потерь
у = /о)У1^о, у2 = -еЛг,0С0, C8.17)
получаем
Ал=-|±Ут-^А =
= -|±/Ъ^^|/1-^- = -*±#- C8.18)
В итоге искомое решение приобретает вид
{/ = йе?** = ^+в-^/2^(в'-^) + г5Г^в-Ая/2^(в*+^*). C8.19)
Из полученного выражения видно, что общее решение состоит из
суммы волн напряжения, распространяющихся одна в отрицательном,
а другая в положительном направлении оси х. Амплитуды волн
уменьшаются по экспоненциальному закону даже в том случае, когда потери
в линии отсутствуют.
Из уравнения C8.1) можно определить ток, соответствующий волнам
напряжения, распространяющимся в положительном и отрицательном
направлениях оси х. Волны тока распространяются в положительном
направлении:
/+ = --1 *г- = А-г- #+е-ьс/2е;ы-/ш C8.20)
/и ах ]соЬ0 " '
и в отрицательном направлении:
I- = Ау— а-е-ьх^ш+рх) в C8.21)
1с°-1'о
Исходя из этих выражений, можно определить волновое сопротивление
для волны, распространяющейся в положительном направлении:
2с+= я^о е-кх^ C8.22)
4+#
и для волны, распространяющейся в отрицательном направлении:
2- = М»— е-**. C8.23)
-4+*
$ 38. Длинная линия с переменным волновым сопротивлением 523
В общем случае ток равен
/=-^¦+¦5^-. C8.24)
Предположим, что коэффициент к, характеризующий
экспоненциальное изменение, мал по сравнению с /?; тогда
г;
щ^е-ы = е-^Ь. = _2- . C8.25)
Величина этого сопротивления изменяется вдоль линии также по
экспоненциальному закону. Из уравнения C8.18) видно, что при низких
частотах коэффициент //? становится вещественным. Это означает, что
экспоненциальная линия не пропускает низкие частоты, пропуская
высокие. Такая линия может играть роль фильтра.
На основании предыдущего общее решение определяется по
уравнению C8.19). Пусть теперь конец экспоненциальной линии замкнут на
произвольное сопротивление ^2- Тогда в точке х = О отношение
напряжения к току равно заданному сопротивлению 2г. Подставим это условие
в уравнения C8.19) и C8.24):
22 = 5/ + ^ . C8.26)
Коэффициент отражения
при этом равен
Д 2 ]У1_ ц_о
_ 07
т (Ж27)
п =
/ис ^с — ^г2^'с
^о^/с — ^с 1ис
C8.28)
Найдем условие, при котором коэффициент отражения равен нулю,
т.е. определим, каким должно быть сопротивление нагрузки, чтобы
отсутствовало отражение. В этом случае числитель в C8.28) должен быть
равен нулю, т.е.
22 = Я+|Я.0 = -^^. C8.29)
Таким образом, чтобы избежать отражения, сопротивление нагрузки
даже в линии без потерь должно быть комплексным. Отсюда следует,
что присоединение линии без потерь с постоянным волновым
сопротивлением к концу экспоненциальной линии всегда вызывает отражение,
так как волновое сопротивление бесконечно длинной линии с
постоянными параметрами — вещественная величина. В этом случае нельзя
добиться отсутствия отражения промежуточным включением реактивных
элементов.
Если величина А/2/? мала по сравнению с единицей, то уравнение C8.29)
упрощается, принимая вид
соь0 _ ^Г^^ C8 30)
Р
524
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Если нужно избежать отражения, то нагрузочное сопротивление на конце
линии должно быть равно вычисленному обычным способом волновому
сопротивлению.
По уравнениям C8.19) и C8.24) можно определить входное
сопротивление экспоненциальной линии при известном сопротивлении нагрузки.
Входное сопротивление экспоненциальной линии длиной /, вычисленное
таким способом, равно
к *
1
г^^г1 = Щ^!^Щ^. C8.31)
г! 27
Предположим теперь, что конец линии замыкается на сопротивление,
вычисленное по уравнению C8.29), и, следовательно, от конца линии нет
отражения {р^ = 0). Тогда входное сопротивление равно
*± = 21 = 2;\х^1 = -^еК. C8-32>
Оно оказывается комплексным и зависит от длины волны. Если
величиной /с/2/3 можно пренебречь по сравнению с единицей, получаем
формулу
21^^-еы=2^е^. C8.33)
В этом случае экспоненциальная линия играет роль трансформатора.
Она согласует активное сопротивление 22 = 2+, включенное на конце
экспоненциальной линии, с входом линии; для этого необходимо лишь
умножить 2+ на вещественное число ем. В зависимости от знака к
множитель еы может быть меньше или больше единицы, т.е. последует
увеличение или уменьшение входного сопротивления.
Установим условие, при выполнении которого можно пренебречь
величиной /с/2/? по сравнению с единицей.
Если
к* ,
4оЛЬоС0 *
ТО
Р = а>УцД> C8.34)
и величина
к к
%Р 2соУиС0
очень мала. Отсюда следует, что
** к* - *1А1:«1, или кХ^Ьп. C8.35)
4й>21чА 402 4Bл:J
Произведение кХ выражает в неперах, во сколько раз увеличивается или
уменьшается волновое сопротивление линии, длина которой равна длине
волны. Эта величина должна быть существенно меньше чем 4тг.
^ 39. Переходные процессы в длинных линиях без потерь 525
§ 39. Переходные процессы в длинных линиях без потерь
Подключим линию без потерь в момент времени I = 0 к постоянному
напряжению С/0. Зависимость напряжения от времени в точке х = 0 при
этом представляется функцией Ь\1{1). Так как рассматривается линия
без потерь, то ни коэффициент затухания (он равен нулю), ни скорость
распространения волны не зависят от частоты. Если напряжение
произвольной формы представить интегралом Фурье, то все гармонические
составляющие распространяются без затухания и с одинаковой скоростью.
В таком случае
"•»<«-".(т+т/^*»)
C9.1)
и напряжение 11т^тсо1 в произвольной точке х равно 11т$тсоA—х^)\
соответственно напряжение в произвольной точке х в момент времени I
равно
Щх,'г) = *70
п^ со I
C9.2)
Уравнение C9.2) означает, что скачок напряжения распространяется
по линии со скоростью и без искажения. Это справедливо и для
напряжения произвольной фор-
~~ - Линия на конце разомкнута
Напряжение
мы. В линии без потерь
напряжение
произвольной формы
распространяется без искажения
со скоростью V.
Если конец линии
закорочен и
коэффициент отражения не
зависит от частоты, т.е.
если сопротивление
нагрузки чисто активное, то
коэффициент отражения
для каждой
синусоидальной составляющей
одинаков по величине и
знаку. Соответственно
этому все волны
отражаются без искажения.
Имея в виду
сказанное, исследуем явления,
происходящие в линии
без потерь, разомкнутой
на конце, при подключении ее к постоянному напряжению С/0. За
произвольное время 1<т=1/и (где I — длина линии и V — скорость
распространения волны), прошедшее после включения, волна
напряжения пройдет путь х = VI (фиг. 363). От конца линии вся волна
отразится, так как коэффициент отражения п = 1 и напряжение
повысится до двойной величины. Если предположить, что источник на-
л
1ПТ
шип—
И
пммпмшн
ггп
1_.
Ш]
ПИИ
НИИ
1111
III!
1Ш1М1М111И
МИШ-*-.:...
и
шш
NN
и-
Ток
-1.
шшиишшшмь*»
ИНШШШШШНк-
-*-!_
1111Ш111ШШ111111—-
^«-1
1Ш.111111111111111111«-
нншшпишшн—
^
П
Фиг. 363. Распределение напряжения (а) и тока (б) при
подключении постоянного напряжения к линии,
разомкнутой на конце.
526 Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
пряжения имеет внутреннее сопротивление, равное нулю, то этот конец
линии можно считать закороченным и п = — 1. От генератора напряжение
отражается с противоположным знаком, т.е. получается отрицательная
волна напряжения —110, которая снижает двойное значение напряжения
до #о- Волна напряжения —110 вновь подходит к разомкнутому концу>
от которого отражается с тем же знаком. Таким образом, вновь
получается отрицательная волна, идущая обратно к генератору и окончательно
снимающая напряжение в линии. Когда волна напряжения опять упадет
на вход линии, она отразится, изменяя свой знак, и волна напряжения
+ 110 пойдет к концу
Линия с коротким замыканием на конце ЛИНИИ. При ЭТОМ Весь
Напряжение Ток Процесс Начинается Сна-
•^ -фг П чала с периодом
колебаний Т = 4т. В течение
нпнппппниПП-^ нииииммимТП!-^ первой четверти периода
имеем 1=110/2с. Так
"ЩИ ШПИНИ- _, 11П1111И111И11тМН1 Тшш ЙГпТр"
для каждой составля-
|||||М|||||||||1|||>-*- Ю1Чей 2о = #+И//+И
,иш. щпи,,, ШБН.{Щ{ш1|щ|ЩЦЦу не зависит от частоты.
»1Ч11111ИП111И- 1ШШ1Ш1Ш11 Ток ! отражаеТсЯ от
,. мини разомкнутого конца с
Щ|[МЩ1Ш|Шщ изменением знака и, рас-
1111111111111111111111^ ММММШ пространяясь по линии
I | в сторону генератора,
ННнПННШПНН!-»» уничтожает в ней пер-
шящшищ^ воначальный ток. Отри-
шЩЖ цательная волна тока,
шипим 1II мТПТП-» 1т1т1тТт11|1тТттти1 падая на генератор, отра-
а 5 жается от него как от
Фиг. 364. Распределение напряжения (а) и тока {б) при К0р0ТК03амкнуТ0Г0 КОН-
подключении постоянного напряжения к линии с Ца С тем же Знаком,
коротким замыканием на конце. И отрицательный ТОК
продолжает двигаться к
концу линии. От конца он отражается, изменяя свой знак, и дает
волну тока + /. Этот ток, двигаясь к началу линии, снимает ток в
линии и вновь отражается от начала линии как от короткозамкнутого
конца, образуя волну +/. Таким образом, весь процесс снова повторяется
с периодом Т = 4т.
На фиг. 364 показана короткозамкнутая линия. От конца коротко-
замкнутой линии напряжение всегда отражается с противоположным
знаком, а ток — с тем же знаком. Поэтому ток в любом поперечном сечении
линии безгранично растет с течением времени, как и следует ожидать
в короткозамкнутой линии без потерь.
Исследуем включение линии без потерь, замкнутой на сопротивление
В, величина которого мала по сравнению с волновым сопротивлением.
Коэффициент отражения при этом равен
= я-гс _ гс-я
я+ге %+я ' C93)
_ __ яе-я
П1~ ~^~Х+я'
$ 39. Переходные процессы в длинных линиях без потерь 527
Рассмотрим многократное отражение от конца линии волны тока
10 = 110/2с и покажем, что установившееся значение тока в конце линии
/ = #0/Д.
Пока волна напряжения, распространяющаяся от генератора, еще
не достигла нагрузки, ток в линии 10 = С/0/^с равен значению, которое
он имел бы в бесконечно длинной линии без потерь. От конца линии волна
тока отразится с коэффициентом отражения пь и соответственно этому ток
равен /о + ^/Л) (фиг. 365). Когда эта волна достигнет начала линии, то
от генератора с сопротивлением, равным нулю, она отразится с тем же
знаком, после чего
волна тока %/0 вновь рас- I,
пространяется к концу
линии. Здесь эта волна
опять отражается с
коэффициентом п1у и теперь
волна тока п\1^
двигается назад в
направлении к источнику
(генератору). Там она
отражается с тем же знаком и
затем распространяется
к концу линии, от
которого волна тг?/0 вновь
идет обратно. При этом
нельзя забывать, что на
одном конце линии
находится источник с
коэффициентом
отражения п1 = 1.
1-и°\
/_К
Т-"о
<° 2С
\
*
|/о
Р~
^ ..!..¦ 1 . 1
ф
Фиг. 365. Изменение тока во времени на конце
длинной линии, замкнутой на активное сопротивление.
Таким образом, ток равен
/ = /0 + 2^/0 + 2^/0+ . . . + 2л?/0 +
C9.4)
или
/ = /,[1 + 2В,A + «, + »}+ ...)] = Л>[1+Й~] •
C9.5)
Принимая во внимание, что
1 +
1пт _ 1 + 717
1 - п1 \-п1
К
C9.6)
найдем ток:
/ = /¦
1 + п7
°1-#17
__ Т %с_ Ц_0%с_ __
#0
К
ЪСК К'
C9.7)
Таким образом, мы получили ожидаемое значение тока.
Можно несколько приблизиться к реальному случаю, если
рассматривать длинную линию не как линию без потерь, которая пропускает
без затухания и с одинаковой скоростью все частоты от нуля до
бесконечности, а предположить, что линия пропускает без затухания и с
одинаковой скоростью все частоты от нуля до вполне определенной
частоты со0. При этом можно считать, что частоту выше со0 линия вообще не
пропускает. В этом случае амплитудный спектр распространяется не на
528
Часть III. Анализ и синтез электрическвх цепей
весь интервал частот (от 0 до °°), а только на интервал от 0 до со0. В связи
с этим напряжение в любой точке х равно
и(х, I) = II01^
1+1
2 я,.
¦к;
-<ко\
C9.8)
Введем в это равенство новую переменную ъ = соA-х1и); тогда
C9.9)
Значение определенного интеграла, входящего в это выражение,
зависит только от его верхнего предела и называется интегральным синусом
и(х,$
81
Г81П2
&. C9.10)
а>о(*-Ю
Эта функция показана на
фиг. 407. Таким образом,
и(х, I) =
C9.11)
Фиг. 366. Изменение напряжения в произвольной
точке при включении на единичное напряжение.
Линия имеет конечную ширину полосы пропускания
Напряжение и(х, I)
представлено на фиг. 366, из которой
видно, что первоначальный
крутой импульс благодаря
конечной полосе частот несколько сглаживается и наклон кривой тем
положе, чем меньше значение со0.
Это решение влечет за собой принципиальные трудности. Мы не
получаем скачка напряжения в точке х = х0 в момент времени г0 = х0/и.
Напряжение постепенно, с незначительными колебаниями, поднимается до
своего конечного значения. Небольшое колеблющееся напряжение
замечается уже в момент времени I -< 10. Получается, что влияние включения
становится заметным еще до момента включения, т.е. в момент I < *0,
что, конечно, лишено смысла. Это возникло из-за того, что были
произвольно выбраны как распределение амплитуды, так и распределение
фазы, что недопустимо.
Для линии с потерями в предыдущем параграфе было установлено
соотношение
Сметой-* ите-аМх^псо[1-^-х)
C9.12)
Таким образом, коэффициент затухания, а также сдвиг фаз зависят от
частоты. Соответственно напряжение
адо=</.(ыя?гН
C9.13)
$ 40. Применение преобразования Лапласа
529
сильно искажается. Оно претерпевает с одной стороны амплитудное
искажение, а с другой — фазовое искажение:
оо
ф, I) = Е/0{|в-°«»*+1/е~а(с)* 8Ы[сог~Мх] сЬ}. C9.14)
О
Здесь а@) означает коэффициент затухания при нулевой частоте, т.е.
затухание при постоянном токе.
Это соотношение весьма общее. В такой форме его практически редко
можно применять, так как вычисление интеграла сложных функций сс(со)
или /3(со) представляет очень большие трудности. Вызывает большое
сомнение и возможность интегрировать синус от сложной функции @(со),
умноженный еще раз на сложную функцию.
Все приведенные выводы справедливы также для случая, когда
напряжение в начале линии не постоянно, а изменяется по любому закону.
Если спектр этого напряжения известен, т.е. известен интеграл фурье, то
возможно, по крайней мере принципиально, определить напряжение на
конце линии.
Пусть напряжение на входе равно
и@, 0 = / а{°>) С08 со1дхо+ § Ь{со) 81П со1дло\ C9.15)
о о
тогда в любой точке имеем
и(х, I) = ( е~а(&)х а(со) соз [со1- Р(со)х] (ко +
о
4- / е~а^хЬ(со) зт [со1~Р(са)х] Лео. C9.16)
о
Вычисление интеграла и практическое применение этого соотношения
составляет еще большие трудности, чем в предыдущем случае.
§ 40. Применение преобразования Лапласа при изучении переходных
процессов в длинных линиях
Будем исходить из основных уравнений длинной линии, которые
уже известны и неоднократно применялись:
Эи — р ;_!_ т ^1
л. Й D0.1)
Умножим первое уравнение на е-& и проинтегрируем его от нуля до
бесконечности. При этом примем во внимание, что операции
дифференцирования и интегрирования можно менять местами, так как
дифференцирование проводится по переменной х, а интегрирование — по
переменной г, т.е.
р^ ег+ Лг=*. {ие-Р* <И = ^^ . D0.2)
34 К. Шимони
530
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Для второго члена в правой части первого уравнения D0.1) получим
/й-
й' е~*>1 дл = /?/ (/>, ж) -1@, ж). D0.3)
о
Учитывая начальное условие — ток ъ@, х) = 0 при г = 0, можно
последнее равенство записать так:
о
Аналогично получим для напряжения
р{ е~* Л= рЦр, х) D0.4)
/I
D0.7)
д «-"А = рЩр,х). D0.5)
о
При этом мы исходим из предположения, что в начальный момент
напряжение равно нулю.
Применив преобразование Лапласа, получим вместо D0.1) уравнения
для изображений тока и напряжения:
-%=(Яо+р1<оI,
D0.6)
-Л1 = {о0+Рс^.
При отсутствии потерь уравнения D0.6) принимают вид
-тх = р°^-
В этих выражениях как ток, так и напряжение — функции
координаты х и переменного р. Переменное р с точки зрения дифференцирования
рассматривается как параметр, поэтому вместо знака частной
производной пишется знак обыкновенной производной. Полученные уравнения
D0.6) и D0.7) полностью соответствуют выражениям, найденным ранее
при исследовании изменения по длине линии чисто синусоидального
напряжения. Следовательно, настоящее решение может быть записано в
обычном виде
Щр,х) = ае-У* + Ъе+У*,
Цр, х) = ± е~ч'х~ е+У* . D0.8)
А А?
При этом структура коэффициента распространения у и волнового
сопротивления 2С точно такая же, как раньше. Таким образом,
у=У(П0 + рЬ0)(С0 + рС0), 2с=]/|^. D0.9)
Постоянные а и 6, входящие в решения, определяются по граничным
условиям в начале и в конце линии точно так же, как в области
переменного г. Так, например, напряжение и ток для любого х имеют вид
11(Ру%) = ^2°Ьу (I — х)+2с12 &Ъ.уA — х),
Цр,х) = ^*ЪуA-х) + 12сЪуA-х), D0.10)
где 112(р) и 12(р) — изображения тока и напряжения в конце линии.
$ 40. Применение преобразования Лапласа
531
В уравнениях D0.10) х отсчитывается от начала линии. Запишем
изображение тока и напряжения для начала линии х = 0 в виде
1]1 = щр, 0) = *72 сЬу/+2с 12 вЪ у1,
1Х = /(р, 0) = -5* вЬу 1+ /а сЬ у I. D0.11)
Эти соотношения совпадают с полученными для чисто синусоидального
напряжения. Необходимо заметить, что они справедливы для любого
закона изменения напряжения и тока в зависимости от времени.
На основании предыдущего легко получить для линии без потерь
соотношение между напряжением и током в зависимости от координаты
и времени, когда, например, задано напряжение в начале линии в данный
момент времени. Предположим, что до начала отсчета времени «=0 в
линии никакого напряжения не было. Для бесконечно длинной линии
постоянная Ъ в уравнениях D0.8) должна быть равна нулю, так как в
противном случае напряжение и ток безгранично возрастали бы при
возрастании х. Таким образом, решение имеет вид
Щр, х) = ае-У*, 1(р, х) = ± а-т«. D0.12)
Значение постоянной а определяется по заданному напряжению^, 0) = .
= и(г,х) в начальной точке х = 0. Подставляя в уравнение D0.12) это
условие, получаем 11(р, 0) = а = Яи{1, 0). Соответственно этому для
напряжения и тока в бесконечно длинной линии получаем
Щр, х) = Щр, 0)е~У* , 1{р, х) = Щ^ е-У* . D0.13)
Последние уравнения получены для бесконечно длинной линии с
потерями, следовательно, они справедливы для любой длинной линии.
Для линии без потерь
Г = рУЬ~С-0, 2е=У§- D0.14)
При этом изображения тока и напряжения равны
Щр, х) = Щр, 0)е-рУШ*,
ПР, х) = ^ Щр, 0)е-р^^. D0Л5)
Оригинал выражения D0.15) легко может быть найден. Известно, что
функция 11(р, 0) определяется как изображение оригинала и(г, 0). Но также
известно, что умножение изображения Р(р) на е~^х означает замену
переменной I в оригинале на новую переменную I—Д. Ток и напряжение
в зависимости от координаты и времени при г^х/и соответственно равны
иA,х) = иA-УЬоС0х,0) = »(*~»0),
**>-у§+-т.»)- ' <40-16)
Таким образом, волна напряжения любой формы распространяется по
линии со скоростью и = 1/УЬ0С0 без затухания и без искажения.
34*
532
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Аналогичный результат можно получить для линии без искажения,
т. е. для линии, между параметрами которой существует отношение
^ = р- = а. D0.17)
Введем для коэффициента затухания а обозначение а/и. Этот случай
уже был исследован в § 34, в. Представляя характеристики линии
формулами
получим изображения тока и напряжения:
ах ух
Щр, х) = Щр, 0)е * е * '
D0.19)
лГс~ —— ——
Эти уравнения отличаются от уравнений D0.15) только тем, что в них
ток и напряжение умножаются на е-0*/*. Этот множитель не зависит
от переменной р. Таким образом, при 1>х/и получаем решение
ах
«(«,«) = Г» о(«—2-,0),
D0.20)
^)-Уц«"'»(«-т.о).
Из него следует, что напряжение и ток распространяются без искажения,
но с затуханием.
В общем случае явления значительно сложнее и не поддаются анализу
изложенными методами.
§ 41. Переходные процессы в длинной линии конечной длины
Если на конце линии длиной I известны напряжение и ток, то в начале
линии напряжение и ток, как следует из предыдущего, определяются
выражениями
1/г = *72 сЬ у1+2с12 вЬ у1,
D1.1)
/1 = |^вЬуМ-/2гсЬу1.
Эти формулы применимы для оригиналов только при чисто
синусоидальных напряжениях и токах. Для изображений они справедливы при
любом токе и напряжении. Можно получить дальнейшие соотношения, с
одной стороны, между напряжением и током в начале линии и, с другой
стороны, между напряжением и током в конце линии. Если задано
изображение напряжения генератора 11о(р)9 то изображение напряжения
в начале линии изменится из-за падения напряжения 1\(рJ1{р) на внут-
$ 41. Переходные процессы в длинной линии конечной длины 533
реннем сопротив ении генератора. Отношение напряжения к току в конце
линии равно оп;раторному сопротивлению, на которое нагружена линия:
И0 = 111+2г 1г, #2 = 22 /2. D1.2)
Изображение тока в конце линии можно найти по формулам D1.1)
и D1.2):
'* = ^ гг Л • <41-3>
Bг + гш) СЬ у1+ Bс+^р-)8Ь у1
Подставляя D1.2) и D1.3) в уравнение D0.10), получим изображение
напряжения в любой точке линии
Щр, х) = Ъ0 Ъ&у«-*) + 2.*у1*-*) D1в4)
B1 + 22)сЪу1+ уге + ^^уьу1
и изображение тока
сЬ уA - х) + -^-зЬу (I — х)
Цр, х) = 11е 7 ггл • <41'5>
(^+2,) сь у *+ уге+^^уъу1
Трудность состоит в обратном преобразовании, т.е. в определении
оригинала по изображению. Один из способов обратного преобразования
состоит в попытке разложения изображения на элементарные дроби по
теореме разложения. Однако изображения напряжений и токов в длинных
линиях — трансцендентные функции, и применить теорему разложения
не так просто.
В некоторых частных случаях мы все же будем определять законы
изменения тока и напряжения во времени ив пространстве, предполагая,
что получающееся изображение представляет собой частное двух
многочленов, каждый из которых, однако, имеет бесконечно большую степень
и соответственно этому бесконечно большое число нулей. Далее мы
определим нули этого ряда и соответствующие им выражения С(р{) и #'(/^).
Затем из бесконечно большого числа членов образуем соответствующую
сумму. Строгое обоснование этого способа проводится с помощью
некоторых теорем из теории функций.
Можно получить довольно ясный и наглядный результат, если
уравнения D1.4) и D1.5) преобразовать по Вагнеру, заменяя гиперболические
функции экспоненциальными. При этом
Щр, X) - ^С^с^+^^ + ^^^-^-^Х^-^е^ > <41'Ь>
или после преобразования
" в-7* + |^е-7<21-*)
Щр, х) = п<ф, ^ги^ ¦ <41-7>
Обозначая через г± и г2 коэффициенты отражения соответственно для
начала и конца линии:
534
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
можно записать
и ^х) = "° г^гс 1-г1г«-** ¦ D1'9)
Применим следующее разложение:
1_гг1е-^, = 2(г1Ъ)Ье-***. D1.10)
возможное при
\г1г2е-2У1\<1. D1.11)
(Выполнение этого условия будет проверяться применительно к
отдельным конкретным случаям.) Подставляя это разложение в уравнение
D1,9), получаем
Щр, я) = ^% Ге-^ + ^е-^-*) + г г в-7<21+*> +
+ г1г|в-^<41-*> + г5г|в-У(«+*)+ ...]. D1.12)
Аналогично находим выражение для тока
-ту|е-г<4*-*> +ф|е-?<41+*> -...]. D1.13)
§ 42. Примеры расчета переходных процессов в линиях конечной
длины
Чтобы сравнить оба метода, описанные в предыдущем параграфе,
решим ту же задачу дважды, применяя в первом случае общую теорему
разложения к уравнению D1.4), а во втором — пользуясь уравнением
D1.12).
Пример 1. Найдем ток и напряжение, которые возникают в разомкнутой
на конце линии без потерь длиной I при ее подключении к постоянному
напряжению 110.
Предположим, что внутреннее сопротивление генератора равно нулю.
Тогда в уравнении D.1.4)
При этом
и напряжение равно
21 = О, 22 = «о.
^р) = ^с±$^- (ад
Здесь принято во внимание, что изображение постоянного напряжения
равно Ио/р.
Чтобы выражения D2.1) и D2.2) можно было разложить на
элементарные дроби, необходимо знать те значения р, которые удовлетворяют
уравнению
сЪу1 = 0. D2.3)
$ 42. Примеры расчета переходных процессов в линиях конечной длины 535
Так как
сЬу/ = сов/у/,
то уравнение D2.3) имеет следующие решения:
у1 = ]*+*-„, где .* = 0,±1,±2.
Принимая во внимание, что у = рУЬ0С0 = р/и, получим корни
Рл= у. = у-^±1_ п
Запишем теперь теорему разложения для 1/(ху р):
/М--2&+ 2
<*Ы
Л@) ' ш*1„ Р.^'(Л)
вр,«
D2.4)
D2.5)
D2.6)
D2.7)
где суммирование проводится от -оо до +«>. Полагая в теореме
разложения D2.7)
С(р) = сЪ уA-ж), ЛГ(р) = сЬ у1, D2.8)
получим
С@) = 1, ЛГ@) = 1,
^25+1 /-а:
С(Л) = СЬ у,A-*) = С08 [*+* 1-*п) ,
ЛГ(Л) = УВДвЪ у.1 = У2^/вЬ/-?5±1 тг = МЦС0К-1у.
Теперь напряжение представляется рядом
»(*,*) = #0+#0 2 (-1)8
или, записывая по-иному,
С08
25+1 /-ж
Г~2 Г"
. 28+1 *
3 —г— Л -
и(#, г) = 110
. 25+1 я шГГ7Г1
25+1 Я-ж
1-4 2 (-1)8
С08
*
-)
2 1У1Л
28+1 *е
2 \1Ш.
D2.9)
D2.10)
D2.11)
25+1
D2.12)
Разобьем сумму на две части таким образом:
-)-оо ОО —оо
2=2+2-
8 — —оо 8 = 0 8 = —1
Величина 25 + 1 при 5= —1, —2, —3, .. . имеет такое же значение,
как при 0, 1, 2, . . ., но противоположна по знаку. Таким образом,
можно записать, что
С08
?+1 1-х
2 (-!)•
8 = -1
•)
28+1 п1
2 1УйС~0
25+1
8 = 0
ЛЛо Г2*+1 *-* ^ • 28+1 т
С0Н—2 г71) ~>-
D2.13)
2 \У1Ж
25+1
536
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Следовательно, напряжение
[/'2$+1 1-х \
(. 234-1 я1 __. 2б+1 я1 \-1
X
D2.14)
и окончательно
(-1)* Г 25+1 1-х
А— ' • СОВ ? г- ТВ
25+1
1 С08 Г
25+1
/ У 1^0С0
')]•
Аналогично найдем
417,
«^-^лшн
2з+1 1-х
8 = 0
Л) 8111 [
2в+1
1у х^оСо
*). D2.15)
Полученные решения уравнений D2.14) и D2.15) довольно громоздки.
Решение будет гораздо яснее, если исходить из уравнения D1.12).
Вычислим напряжение в конце линии; подставив в D1.12) х = I, найдем
Щ1,Р) =
^(
I 31
—р— —р—
л V л V
е — е
+ е
51
-р—
V
+
•¦•)¦
D2.16)
Известно, что выражение 1101р соответствует постоянному напряжению,
которое в момент времени *<-0 равно нулю и затем принимает постоянное
значение II0. Известно также, что умножение на е~р11" означает замену
переменной I в оригинале на 1 — 1Д/. Выражение A10/р)е~р11г) представляет
напряжение, которое до момента времени 1 = 1/и равно нулю, а затем
становится постоянным. Соответственно этому выражение D2.16)
содержит сумму смещенных импульсов напряжения. Таким образом, мы
получаем напряжение, изображенное на фиг. 367. На этом графике дана также
зависимость напряжения от времени в середине линии. Эти кривые мы
могли бы также построить на основании графиков § 39. Кривая
напряжения, которая состоит из отрезков прямых линий, тоже получается из
уравнения D2.14). Непосредственный расчет показывает, что уравнение
D2.14) представляет спектр Фурье кривой фиг. 367. Разумеется, простую
кривую, полученную последним методом, трудно распознать
непосредственно из спектра Фурье.
Пример 2. Исследуем распределение напряжения вдоль линии без
потерь конечной длины, нагруженной на емкость и подключаемой в момент
времени I = 0 к
постоянному напряжению.
Внутреннее сопротивление ге-
I т 1
1 ' 1
Г
\щ
|
1*4
зт ,' |
1
1
5Т
1
7Т
' ,' V
1
1
1 .
I
2
31
2
51
2
7Т
2
9Т
г
Ш
2
[ЗТ
2
15Т
2
Фиг. 367. Изменение напряжения в зависимости
от времени на конце (а) и в середине (б) линии
конечной длины при подключении ее к постоянному
напряжению.
Фиг. 368. Подключение
постоянного напряжения к
линии, нагруженной на
емкость.
$ 42. Примеры расчета переходных процессов в линиях конечной длины 537
нератора постоянного напряжения настолько мало, что им можно
пренебречь (фиг. 368). Операторное сопротивление нагрузки в данном случае
равно 22 = 1/рСь. Уравнение для напряжения имеет вид
Щ*,Р)
^08Ь^-*> + 1Ж
еп у A-х)
8Ъу/+
рЪС*
сЬ у1
так как 2Х = 0.
Принимая во внимание, что в линии без потерь
у = РУЬ0С0, гс=Щ,
придадим этому уравнению следующий вид:
1С
у18ЪуA-х)+-7±сЪуA-х)
Щх, Р) = ^ ^
D2.17)
D2.18)
D2.19)
Чтобы можно было применить теорему разложения, необходимо
знать корни знаменателя, т.е. корни уравнения
D2.20)
Так как в контуре отсутствует сопротивление, то затухания в нем не
будет. Из этого физического положения можно заключить, что корни
вышеуказанного уравнения чисто мнимые, так как в случае вещественных
или комплексных корней решение содержит множитель е~а1, что
означает наличие затухания. Из математической формы уравнения тоже следует,
что все корни мнимые; однако вполне достаточно указанного физического
обоснования. Таким образом,
?1 = /А
где @ — вещественное число. При этом уравнение D2.20) приобретает
вид
1Со_
с\
СОВ0-081П0 = 0.
D2.21)
Это — трансцендентное
уравнение. Его корни можно
определить либо численно,
либо графически. Если
уравнение переписать в виде
с*8 0 = 1»
1С0:
D2.22)
то видно, что корни
определяются точками пересечения
кривых и = с1% C с прямой
и = рСк/1С0 (фиг. 369).
Фиг. 369. Решение трансцендентного уравнения
D2.22).
538
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Когда корни уже определены, можно применить теорему разложения:
D2.23)
П) Щ0)+$^РЖ(Р,)е '
где
С(р) = 1/0[у1вЪ уA-х)+^сЪуA-х)] ,
Щр) = у1вЪу1+%±сЪу1,
№(р) = (вЬ у1 + у1 сЬ. у1+1^8Ъ у1\1^ЬА>
Соответственно этому оригинал напряжения равен
D2.24)
D2.25)
D2.26)
и(х, I) = 1/0
1С
+те у,18Ъу,{1-х)+-^-сЬу,A-х\
1+ 2 : - -&*
AС \
зЪ уЛ+ у,1 сЬ уА+-(Г- зЬ У Л)
Приняв во внимание, что
7*1 = /А>
ъ = у'1 - -—й=
И8 1Уь0с0 ] /КАА'
можем написать
и(х, г) = 1/0
По D2.22) имеем
1+ 2 —т-^ ' * * Ц в '^.с.
*=-~д(зтД + ДсозД+-^8тД)
ДзтД = гС0
созД С*'
и выражению D2.29) можно придать такой вид:
I +<эо 8111 Д
- ¦ ь ,
1 е} 1УЦС.1 I
D2.27)
D2.28)
D2.29)
D2.30)
D2.31)
Из фиг. 369 следует, что & = —/?_„ , поэтому суммирование от —°° до
+ °° можно заменить суммированием от 1 до °° и, следовательно, заменить
экспоненты косинусами. Таким образом, окончательное выражение для
напряжения в зависимости от времени имеет вид
»(х,<)=Ц1-4|^^со8^1;
D2.32)
Эту же задачу можно решить и по уравнению D1.12). Подставив
в него значения
%Ъ ~~ А;
2х-0, 22 = ^-, 14- -1, г%-^-^
D2.33)
# 42. Примеры расчета переходных процессов в линиях конечной длины 539
получаем
Щх, р)=2±[е-У*-^^е-уМ-х) +
Найдем теперь оригинал этого выражения. Общий член
образовавшейся суммы D2.34) имеет вид
или соответственно
иЫУе-у(Ы~х) D2-35)
Не будем обращать внимания на экспоненциальный множитель, так как
он означает только смещение по времени. Исследуем оригинал функции
V е рСк/
где <х = 112сСк.
Запишем уравнение D2.37) иначе:
1 (р — <*\8-~1(р — <*у\
и далее
РЛю) = ,
рКр
Таким образом,
Р8(р) = р8^(р)^^-р8^(р). D2.40)
Последний член D2.40) образуется из произведения изображений
Первое выражение, как известно, соответствует оригиналу 2ав~ае.
Применяя теорему свертывания к последнему слагаемому D2.40), получаем
I
_^_Р8^(р) = ^[2а//8_1(т) в-«-*>йт] =
р + а 0
I
= ^[2ае-а*/ /^(т^йт]. D2.41)
о
Таким образом, для определения неизвестной функции получается
следующая рекуррентная формула:
I
/,(*) = /._!(*)-2«-«*//.-1(т)е«<*т. D2.42)
540
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
По этой формуле рассчитываются функции /в(г), так как /0(г) известна;
действительно,
Р0(р)=у, D2.43)
а этому изображению соответствует {0A)=1A). Подставляя последнее
в D2.42), получим
Ш = 1-2<хе-<«$1е*Чт = 1(-1+.2е—*), D2.44)
о
или для 1^0 /1@= -1+2е-а1.
Следующая функция имеет для I ^ О вид
I
/2(*) = -1+2е-<*+2осе~а1 / A-2е-ат)еатйт = 1-4а«в"*«, D2.45)
о
и далее, также для / => О,
/3(^) = 1 -4а*е-а*-2ае-а' / A -4аге~ат)еат йт =
о
= -1+2A-2а*+2а2*2)е-«<. D2.46>
Таким образом можно определить все остальные функции ряда. Если
принять во внимание экспоненциальный множитель, то изображениям
отдельных членов в уравнении D2.34) соответствуют оригиналы
(XI \ [° ПРИ ^Т'
Л-Л^е-^А ={ " D2.47)
1* } \110 при и х
О при г
V '
21-х
(гт 7 7 21-Х ч I ^ хл^** " „ »
Р^+2г ' 14-1 + 2^0-^)] ПрИ ^«^.
Их сумма дает оригинал напряжения, величина которого для различных
интервалов времени определяется следующими выражениями:
X
и(х, I) = О, если0<г-
V
и(х,1)=110, если~<^-^,
и(х, I) = 2С/0[1-в^аО-^)], если^<*< *±*9 D2.49)
и(х, I) = V, [1-2е-4-^ + 2е2&!Щ , если *±5^ *=* .
На фиг. 370 показано напряжение (как функция времени) на конце
линии, т.е. на конденсаторе, после включения линии на постоянное
напряжение. Идентичность уравнения D2.31) с полученным только что
уравнением установить очень трудно. Часто это удается только путем
подстановки числовых значений.
$ 42. Примеры расчета переходных процессов в линиях конечной длины 541
Заметим еще, что для входящих
в уравнение D2.49) функций,
полученных для точки х = I, может быть
установлена непосредственная связь
с полиномом Лагерра, а именно
и9A,1) = 2Ща ] е~** ЬпBос$)<Ц,
D2.50)
где отдельные полиномы Лагерра
определяются выражением
1*B«*) = 2 (-1L^)
1> = 0
VI
D2.51)
Фиг. 370. Изменение напряжения на
конденсаторе в зависимости от времени.
Пример 3. [3.13]. В качестве последнего примера рассмотрим линию, на
которой уже в начальный момент имеется напряжение. Линия длиной I
находится под постоянным напряжением С/0. В момент времени 2=0
конец линии закорачивается. Как теперь будет распределяться напряжение
вдоль линии в зависимости от времени (фиг. 371)? Если предположить,
что линия без потерь, то для
функций времени
справедливы основные уравнения
\
Фиг. 371. Короткое замыкание линии,
находящейся под постоянным напряжением.
ди _ Т 31 Ы __ р ди
Эх
>дг
дх
°д1
D2.52)
Если теперь применить к обеим частям этих уравнений преобразование
Лапласа и принять во внимание начальные условия (в начальный момент
времени напряжение всюду равно щ, а ток всюду равен нулю), то получим
изображения этих уравнений
Ах
6,1
= рЬ01, -%=рС011-С01Г0.
Ах
D2.53)
Продифференцируем первое уравнение еще раз по х и подставим в него
из второго уравнения сИ/йх:
^ = р*Ц>С^-РЦС^
D2.54)
Вводя соотношение у = р ]/ Ь0С0, находим
д,хг
-у211 = -РЬ0С0110.
D2.55)
Для Щх, р) получается линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с правой частью. Известно, что общее решение этого
дифференциального уравнения можно представить суммой общего решения
однородного дифференциального уравнения (без правой части) и частного
решения неоднородного дифференциального уравнения. Непосредственной
подстановкой можно убедиться, что дифференциальное уравнение удов-
542
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
летворяется функцией Ио/р. В таком случае решение уравнения D2.55)
имеет вид
Щх, р) = а сЪух + Ъ *Ъух+^. D2.56)
При известном Щх, р) ток определяется из уравнения D2.53):
^^-др <42-57>
т. е.
/ = -4" (« зЪу# + й сЪух). D2.58)
Постоянные а и Ь могут быть определены из граничных условий. Так как
в точке х = О линия закорачивается, то Щ07 р) = 0. Из уравнения D2.56)
находим
а = —^ . D2.59)
Подставляя в уравнение D2.58) х = I и принимая во внимание, что линия
на конце разомкнута и, следовательно, ток равен нулю, получим
азЬ у1 + ЬсЪу1 = О, D2.60)
откуда следует, что
ь=Цо*Ъу1 D2в61)
р ' сЬ у/
Если постоянные а и Ь найдены, то изображения напряжения и тока
полностью определяются:
^> = -|НШ1 <42-63>
Оригиналы, соответствующие полученным изображениям, уже известны
Второе слагаемое в правой части уравнения D2.62) аналогично выражению
D2.2), оригинал которого дается формулой D2.12).
Изображение тока D2.63) идентично выражению D2.1). Таким образом,
оригинал напряжения имеет вид
а оригинал тока
2ся 8^0 25+1 12 I ) К21УЬ0С0 >
§ 43. Исследование бесконечно длинного кабеля в общем случае
Для иллюстрации решения сложной задачи с помощью таблиц
исследуем изменение напряжения и тока в бесконечно длинном кабеле, когда
изменение напряжения во времени в начале кабеля задано, другими
словами, когда известно напряжение генератора, подключаемого к бес-
$ 43. Исследование бесконечно длинного кабеля в общем случае 543
конечно длинному кабелю. Эта задача была уже решена в § 40, однако не в
общем случае, а только для линии без потерь и без искажений.
Изображения напряжения и тока в линии с потерями равны соответственно
Щх,р) = Щ0,р)е~У*
и \ ^(°>Р) „-ух D3<1)
1(Х, р) = —-^3- е ^ •
При этом постоянные линии определяются обычным образом:
В кабеле без потерь удается найти оригиналы для уравнений D3.1),
если они имеют вид
Щх,р) = Щ0,р)е-р*1* D3.3)
и в случае так называемого неискажающего кабеля, когда
Щх, р) = [7@, р)е-***е-*х1*. D3.4)
Попытаемся определить в общем случае оригиналы и(х, I) и г(х, 1)>
соответствующие уравнениям D3.1). Введем обозначения
•-*©+&. "№-Ъ- '-тт- <435)
Первое выражение дает при малых значениях Н0 и С0 коэффициент
затухания. Величина а показывает, насколько линия отклоняется от линии
без искажений, для которой о равно нулю. Величина V соответствует
фазовой скорости в идеальной линии, например в кабеле без искажений.
Применяя введенные обозначения, получаем
у = ±У(р + <>J-<>*,
_1_ = у@0 + рСо) D3,6)
ге У(р+^J-с72 *
Если последние выражения подставить в уравнения D3.1) и ограничиться
рассмотрением включения постоянного напряжения II0, то
<,«„) = ^Л'+'"~\ D3.7.)
*(',р)=^у[со+±ие; D3-7б)
Сначала ищем оригинал для тока. В таблицах можно найти изображение,
похожее на наше выражение:
Л 10(х /?=Р) = е~1^ , 1> а, D3.8)
где 10(х) — функция Бесселя нулевого порядка. Собственно говоря,
достаточно исследовать случай д = 0, так как известно, что замена
переменного р на р + д означает простое умножение оригинала на е~е*.
544
Часть III. Анализ и синтез электрических цепей
Представим теперь функцию, входящую в выражение тока, так,
чтобы к ней была применима формула D3.8):
6 е D3.9)
Оригинал этого изображения имеет вид
^(/^-(тЛ при Нг; D3Л0)
при 1<х/и эта функция равна нулю.
Таким образом, оригинал первого члена равенства D3.76) имеет вид
^о^ое^/о(^^2-(^J) = ^оЩе^^а^^I) . D3.11)
Множитель е~е* появился, как уже отмечалось, вследствие замены р
на р + д. Во втором члене равенства D3.76) р стоит в знаменателе, что
соответствует операции интегрирования.
Оригинал всего выражения D3.76) для тока имеет вид
I
+^/«^Ф^-(т)'М- <43-12>
XIV
Изображение напряжения в таблице отсутствует. Однако оно
определяется сравнительно просто. 11{х, р) может быть представлено таким
образом:
щх,р) = - ?*-4-% D3ЛЗ)
~ У(р+а)*+а<г)г х .
170ь а е * _ Ц0у ( 1\ --Пр+иУ+О*)* _
так что
р ** У(р+9J+и°J
-^е-***^ =Щх,р). D3.14)
Оригинал изображения, которое стоит в равенстве D3.13) за знаком
дифференцирования, известен. Таким образом,
I
Х/Т)
Последняя формула справедлива для частного случая кабеля без
потерь и без искажений и, конечно, для так называемого томсоновского
кабеля (Ь0 = С0 = 0).
Для получения соответствующих решений лучше произвести
упрощения (вытекающие из условия Ь0 = О0 = 0) в изображении до перехода
к оригиналу.
IV
Электромагнитные волны
В разделе А рассматривается плоская волна как простейшее решение
волнового уравнения, вытекающего из уравнений Максвелла, вне
зависимости от того, как такая волна практически может быть излучена.
В разд. Б рассчитывается поле излучения простого единичного
источника — линейной антенны с заданным распределением тока. Кроме
того, показывается, как в простейшем случае может быть найдено решение,
удовлетворяющее заданным граничным условиям.
В дальнейшем те же вопросы излагаются в несколько более общем
виде. В разд. В, не рассматривая источников, т. е. возбуждения волн,
отыскиваются решения волнового уравнения в различных системах
координат с целью выбора решений, применимых к более сложным краевым
задачам. После этого рассматриваются законы преломления плоских
волн, волны, распространяющиеся вдоль цилиндрического проводника,
задача излучения сферических антенн и распространение радиоволн
вдоль поверхности земли (разд. Г), а также волны в волноводах (разд. Д) и
полых резонаторах (разд. Е). Наконец, в разд. Ж в рамках общей
проблемы излучения обсуждаются теоретические и практические вопросы,
связанные с явлениями диффракции и рассеяния электромагнитных волн.
35 К. Шимонн
546
Часть IV. Электромагнитные волны
А. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
§ 1. Простейшее решение волнового уравнения
В предыдущем рассмотрении уравнений Максвелла мы пренебрегали
новым членом, введенным Максвеллом, — плотностью токов смещения.
В ч. IV книги этот член играет решающую роль. Сначала исследуем
соотношения, когда все рассматриваемое пространство однородно, заполнено
идеальным диэлектриком и свободно от зарядов и токов. Оно
характеризуется величинами /х и е. Уравнения Максвелла для этого
специального случая имеют вид
(I) го* Н = еЩ , (III) сИуН = О,
(Н)го1Е= -чи^р AУ)сИуЕ=0.
A.1)
Применяя операцию ротора к обеим частям первого уравнения, получаем
го1гоШ = дгаасНуН-^2!! = е^гоЬЕ. A.2)
Подставляя в этот результат выражение для го* Ё из второго уравнения
Максвелла и учитывая, что дивергенция Н равна нулю, имеем
^2Я==е/лдШ9 A.3)
Это векторное уравнение, выраженное в декартовой системе
координат, эквивалентно следующим трем скалярным уравнениям:
Э2НХ , д2Нх , д2Нх д2Нх
дх2 + ду2 + дъ2 ~~ е** дг2 '
Эх2 ^ ду2 ~*~ дъ2 ~~ ** дг2 ' [ }
д2нг д2нг д2ня _ д2нг
Эх2 + ду2 + дг2 ~~ €/Л дг2 *
Аналогично, применяя операцию ротора ко второму уравнению Максвелла
и подставляя значение го1 Н из первого, получим для напряженности
электрического поля
V2Е= е/1^. A.5)
После разложения на составляющие это выражение приобретает вид,
аналогичный A.4). Эти уравнения называются волновыми, так как общие
решения их представляют различные электромагнитные волны.
Вначале исследуем частный случай, когда векторы Е и Н — функции
только одной координаты, например х. Выраженное математически это
условие означает, что все производные по у и ъ равны нулю. Физически
это значит, что в рассматриваемый момент времени в плоскости,
перпендикулярной осия, векторыЕиН постоянны. В другой плоскости (х = еопзЪ)
эти векторы также постоянны, но могут иметь отличные значения.
$ 1. Простейшее решение волнового уравнения
547
Итак, векторы поля изменяются только в зависимости от х. В этом
случае волновое уравнение в скалярной форме имеет вид
№х _ РЕ. дЧ^ _ д*н,
дх2 ~ ^ д%2 ' дх2 ~ Г* д12 7
д*Еу __ дчг, ъту '__ дт^
дх2 ~ ^8 дг2 ' дх2 ~ Vе дг2 '
д2Ег _ д^Е, Ът, _ дЩ, ,, д*
дх2 ~ РЕ д12 ' Эх2 "" Vе дг2 ' Aи0)
Таким образом, каждая составляющая вектора должна удовлетворять
дифференциальному уравнению
Легко показать, что ему удовлетворяет любая функция, зависящая только
от аргумента г + я/у. По правилам дифференцирования
0/ 0/ Г»; а/
да; ~ ( х\ дх
Ьт)
д
Ю * »К)
о(*т).
дг ъ( х\ дг *( х\ '
A.8)
так что
2-^*- <"»
Применяя этот вывод к функции дЦдх, находим, что
д2] __ 1 32/
<Ь2 ~~ у2 Э*2 '
A.10)
откуда следует, что для V2 = 1/е/* функция ^^х/и) действительно
представляет решение волнового уравнения.
Физический смысл функции ТЦц^х/и) нам уже знаком: это волна,
распространяющаяся со скоростью V в положительном или
отрицательном направлении оси х. Отрицательный знак соответствует волне,
распространяющейся в положительном направлении, а положительный знак —
волне, распространяющейся в отрицательном направлении. Как
напряженность электрического поля, так и напряженность магнитного поля
распространяются со скоростью V в направлении х.
Найденные волны называют плоскими, так как в любой момент
времени значения Е и Н постоянны на всей плоскости, перпендикулярной
направлению распространения.
Волновые уравнения для Н и Е не зависят друг от друга. Однако
между этими векторами существует определенная связь, которую можно
обнаружить, подставляя найд енные решения в уравнения Максвелла.
Представим первое уравнение Максвелла в следующем виде:
го*Н= * * 4.\ = е%. (Ш)
35*
-
1
д
дх
нх
3
д
ду
Ну
к
д
дт,
н2
дЕ
~едг
548
Часть IV. Электромагнитные волны
Теперь учтем, что рассматриваются плоские волны, для которых
ду и'
0.
дх
+ у дг •
A.12)
Подстановка в предыдущее уравнение дает
I 1 к
го*Н =
Т-§т О О
V 01
н*
Ну Н2
т
1_д_
1
1
Н„
О
к
О
I
A.13)
Последний определитель представляет собой векторное произведение
единичного вектора 1 и напряженности магнитного поля Н. Таким образом,
первое уравнение Максвелла может быть записано в виде
т^ахн)
' д1 '
откуда
т|AхН) = гЕ, или 1хН = Т^
•Е:
A.14)
A.15)
если принять равными нулю не зависящи е от времени постоянные, второе
уравнение Максвелла таким же путем приводит к выражению
IX Е
=.±]^н.
A.16)
В этих формулах верхний знак относится к волне, распространяющейся
в положительном направлении оси ху в то время как нижнему знаку
соответствует волна, распространяющаяся в отрицательном направлении.
Отсюда видно, что вектор напряженности электрического поля расположен
перпендикулярно оси х и напряженности магнитного поля. Напряженность
магнитного поля перпендикулярна оси х и напряженности электрического
поля. Следовательно, векторы 1, Е, Н, или после циклической перестановки
векторы Е, Н, 1, образуют ортогональную правую систему, т.е.
напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны друг другу
и направлению распространения. Следует особо подчеркнуть, что это
утверждение справедливо только для плоских волн и что этот вывод не имеет
общего значения, хотя его применение оказывается полезным во многих
практических случаях. Ясно, что плоские электромагнитные волны
представляют собой поперечные волны, т. е. напряженности электрического
и магнитного полей всегда перпендикулярны к направлению
распространения.
Если направление распространения задано не осью х, а
произвольным единичным вектором п, то решение волнового уравнения имеет вид
/('-?)•
A.17)
Эта функция имеет (в рассматриваемый момент времени) одинаковые
значения во всех точках, для которых постоянно произведение пг, т.е.
на плоскости, перпендикулярной п. Подстановкой легко показать, что эта
функция удовлетворяет волновому уравнению.
$ 7. Простейшее решение волнового уравнения 549
Волны, синусоидально изменяющиеся во времени и
распространяющиеся в направлении + #(фиг. 372), могут быть представлены в компелкс-
ной форме1*
Е = Е0Г^) ; Н = НоеК*-) . AЛ8>
Для плоской поперечной волны, распространяющейся в направлении
оси ху
Ех = 0, Нх = 0. A.19)
Фиг. 372. Пространственное распределение напряженности
электрического и магнитного поля в плоских волнах,
распространяющихся вправо (а) и влево (б).
При этом предполагается, что Е0 и Н0 имеют постоянные величину и
направление.
Другое решение уравнений Максвелла, которое также представляет
плоскую волну, распространяющуюся в том же направлении при
синусоидальном изменении во времени с той же частотой со, дается формулой
Е* = Е*0е*е'в(* *) , A-20)
причем Е* — другой постоянный вектор, нормальный к оси а;ине
зависящий от Е0. Постоянная е™ выражает смещение по фазе (для точки п = 0)
между Е и Е*. Допустим, что векторы Е^ и Ео взаимно перпендикулярны.
Для этого случая на фиг. 373 показано пространственное изменение обеих,
волн вдоль оси х для произвольно выбранного момента времени.
1} Во всей ч. IV представление синусоидально изменяющихся величин
комплексами не отмечается особым знаком. См. также примечания на стр.28 и 449. — Прим. ред.
550
Часть IV, Электромагнитные волны
Конец вектора результирующего поля Ег = Е+Е* описывает
эллиптическую винтовую линию. В плоскости, перпендикулярной оси х и
расположенной в произвольной точке х, конец вектора напряженности
электрического поля Е движется по эллипсу, как в случаях двух
перпендикулярных, но сдвинутых по фазе колебаний. Этот эллипс может
выродиться в круг или прямую. Соответственно волна называется
эллиптически, по кругу или линейно поляризованной.
Удобно ввести волновой вектор к, определяемый с помощью равенства
-п = -уП = к. A.21)
Плоская волна, характеризуемая вектором к, описывается выражением
Е(г, г) = Е&&»*-**) + Е2е2е^-кг>, A.22)
Фиг. 373. Эллиптически поляризованная волна.
где ех и е2 перпендикулярны один другому и направлению
распространения к:
вхк = 0, е2к = 0, е!е2 = 0. A.23)
Третье соотношение соответствует разложению результирующего вектора
на ортогональные составляющие.
На фиг. 374 показано пространственное распределение Е для волны,
поляризованной по кругу.
Вектор Пойнтинга 8=ЕхН совпадает с направлением
распространения волны; в вакууме его величина составляет
\$\ = \Щ\Щ=Ц& = ±(ЦЕчЦн>)=^±(еЕ>+Ит). A.24)
Это выражение можно толковать как энергию, содержащуюся в призме
с единичной площадью основания и длиной 1/У/ие.
Решение уравнений Максвелла представляет поперечную волну,
распространяющуюся в вакууме со скоростью с = 1/Уг0/а0 = 3-108 м/сек.
Она имеет такие же свойства, как и световые волны. Таким образом,
напрашивается предположение, что свет представляет собой тоже
электромагнитную волну.
При объяснении поперечной природы света с помощью механической
модели эфира возникали большие трудности. Уравнения Максвелла
объясняют это непосредственно. В вещественной среде (не в вакууме) элек-
Ёг=Ее2е
Фиг. 374. Пространственное распределение напряженности поля в волне, поляризованной по кругу.
Волны, поляризованные по кругу, состоят из сдвинутых по фазе линейно поляризованных волн. Волна правополяризованная и волна той же амплитуды
левополяризованная в сумме снова дают одну-единственную линейно поляризованную волну.
ны распространяются, согласно уравнениям Максвелла,
1/У"е/г=с/Уегргу в то время как по законам оптики
аспространяются со скоростью с\п, где п - показатель
дм образом, электромагнитная теория света действительна,
1о магнитная проницаемость в оптически прозрачных
1а единице, поэтому предыдущее приводит к так назы-
нию Максвелла.
гг=У1^, или п2=ег, A.25)
гго квадрат оптического показателя преломления равен
фоницаемости.
еломления воды п = 1,33, а ее диэлектрическая про-
О. Отсюда видно, что соотношение Максвелла не вы-
риблизительно. Однако из этого нельзя сделать заклю-
тельности электромагнитной теории света. Известно, что
тения зависит от длины волны, т. е. от частоты
колена зависимость вызывает дисперсионные явления. Сле-
затель преломления и диэлектрическую постоянную
> только в случае измерения их при одной и той же
•ически измерение диэлектрической проницаемости часто
гоянном токе, т.е. при бесконечно большой длине волны,
м токе промышленной частоты, длина волны которого
гим тысячам километров. В то же время оптический
иления измеряется при длинах волн А = 5- 10~5 см.
дециметрового и сантиметрового диапазонов значение е
атериалов еще совпадает со значением е при посто-
на таких волнах провести оптические опыты, то соотно-
зывается справедливым; при этом показатель пре-
се не равен 1,33, а приближается к значению п = ][ег = У80.
'ериалов, у которых зависимость показателя прелом-
)лны пренебрежимо мала, можно ожидать, что соотно-
будет выполняться для оптического показателя пре-
ктрической проницаемости, измеренной на постоянном
льности это и наблюдается. Тем самым доказывается
теория света.
VI, теория Максвелла описывает электромагнитные яв-
1ном токе и переменных токах промышленной частоты,
>лн, включая дециметровые и сантиметровые волны, в
:ных и видимых световых волн до ультрафиолетового
1злучений.
у отдельными областями оказывается совершенно не-
а, продолжительное время существовал разрыв между
задиоволнами и тепловым излучением^. Однако теперь
нергию, испускаемую нагретыми телами, посредством
иборов. С другой стороны, с помощью электромагнит-
ожно получать короткие волны, близкие по свойствам
>ни оказывают тепловое действие, претерпевают изби-
р электромагнитных колебаний был замкнут А. А. Глаголевой-
. она получила от электромагнитного источника волны длиной
ие между, радиоволнами сантиметрового диапазона и инфракрас-
1рим. ред.
$ 2. Отражение плоских волн от проводников и изоляторов 553
рательное поглощение при прохождении через некоторые материалы^
что делает возможным исследование молекулярной структуры вещества;
эти волны могут фокусироваться и отражаться с помощью известных из.
оптики методов.
Квантовая природа излучаемой энергии лежит уже за пределами
применимости теории Максвелла. Но до тех пор, пока энергия излучения,
велика по сравнению с энергией Ъ (где К = 6,62- 10~мдж-сек —
постоянная Планка и V — частота), т.е. пока в рассматриваемом процессе
участвует очень большое число частиц
(фотонов), уравнения Максвелла
остаются справедливыми.
§ 2. Отражение плоских
волн от проводников
и изоляторов
Рассмотрим случай, когда на
пути волны, распространяющейся в
направлении положительной оси х,
расположена металлическая
поверхность бесконечной проводимости. На
поверхности такого идеального
проводника напряженность
электрического поля может иметь только
нормальную составляющую;
тангенциальная составляющая должна
отсутствовать, так как иначе плотность тока
в проводнике окажется бесконечно
большой. Это граничное условие
может выполняться только при
существовании отраженной волны,
распространяющейся в противоположном
направлении. Этот случай аналогичен
короткозамкнутой длинной линии. Следовательно, результирующая напря
женность поля равна
Фиг. 375. Отражение плоских волн;
от металлической пластины.
Еу = Е+уе^-т) + Е-еН^),
при этом Е+ = -Е~у так как Еу
случае
B.1)*
О в точке х = 0 (фиг. 375). В таком
Ев = Е}{е-^-^«,
ИЛИ
Е — — ЕЛ
-^у — ^у
2/ 8ш со—е^1
3 V
2Е5 51П СО — 51П
Кт)
B.2)
B.3)
(после преобразования экспонент по формуле Эйлера). Здесь, как и в
случае волн в линии, получаются стоячие волны (см. фиг. 375).
Напряженность соответствующего магнитного поля равна
я - Е« М1-*) -Е~ М1+$) - Ш х >' - 2Е'
причем 2"с = Е+/Н+ = У]ф.
X 3&1
сов со—е
V
7 С08 СО -8ШШ/, B.4>
554
Часть IV. Электромагнитные волны
Аналогия с длинными линиями облегчает рассмотрение плоских
волн. Известно, что скорость распространения волны вдоль идеальной
линии определяется соотношением
B.5)
у Ь0С0
Для плоских волн в пространстве этому уравнению соответствует
выражение
1
V =
У ре
B.6)
Отношение напряжения к силе тока в идеальных линиях равно
тЫ^' B-7)
*/,/*/
Е1»н\
ЕЧ>Н1г
когда волна распространяется в
направлении положительных х, и
А,.
Со
B.8)
когда волна распространяется в
направлении отрицательных х. Аналогично для
плоских волн, распространяющихся в
направлении положительных х, имеем
н: Ь'
B.9а)
*Ф и г. 376. К определению
коэффициента отражения.
в то время как для волн,
распространяющихся в направлении отрицательных х,
%г--Ч±. B.9.)
Численное значение волнового сопротивления для вакуума равно
471-К)-7
8,854.10-]
:120л: ^377 ом.
B.10)
Отношение Е+\Н+ можно назвать волновым или характеристическим
сопротивлением свободного пространства (вакуума).
Рассмотрим теперь, в какой мере формула для коэффициента
отражения в случае плоских волн соответствует той, которая была найдена
для волн в линиях при последовательном соединении двух линий с
различными волновыми сопротивлениями:
B.11)
2,с2 + 2с1
Пусть на фиг. 376 часть пространства, лежащая слева от плоскости х = 0,
-заполнена диэлектриком с постоянными ех и /иъ а правая часть
пространства — диэлектриком с постоянными е2 и /л2. Пусть плоская волна
распространяется в направлении положительных х. Требуется найти волну,
отражающуюся от граничной поверхности. Закон отражения
определяется из того условия, что тангенциальные составляющие напряженности
^ 2. Отражение плоских волн от проводников и изоляторов 555
как электрического, так и магнитного полей непрерывны при переходе
через граничную поверхность обеих сред; следовательно,
Щу + ЕТу = Щу >
Нъ + Нй = Щг.
Известно, что в первой среде
Е?у 1/" Л*х _ Ду _ у
яй~Г""й; е1'
а во второй
B.12)
B.13)
Егу _ ]/ /"г _ у
B.14)
Из этих уравнений для коэффициента отражения получается следующая
формула:
п =
У2
«2
«1
Н+Н'
B.15)
которая полностью совпадает с формулой для
длинных линий. Следовательно, граничная
поверхность двух различных диэлектриков
соответствует соединению двух длинных линий
с различными волновыми сопротивлениями.
Можно также поставить вопрос, как
избежать отражения на поверхности раздела двух
диэлектриков. Условие для этого можно
получить из теории длинных линий. Так, в
соответствии с фиг. 377 между двумя
диэлектриками можно поместить третий диэлектрик
толщиной Ао/4, волновое сопротивление которого
соответствует среднему геометрическому значению
лений обоих диэлектриков, т. е.
Фиг. 377. Уничтожение
отражения с помощью слоя
толщиной А0/4.
волновых сопротив-
-У*-К-
€1*2
B.16)
Здесь /г0 и е0 обозначают постоянные промежуточного слоя, а не вакуума.
Стоячие волны теперь появляются только в промежуточном слое,
тогда как и в среде 1 и в среде 2 волны распространяются в направлении
положительных х. Толщина слоя промежуточного диэлектрика
определяется как четверть длины волны именно в нем:
С помощью теории длинных линий можно также ответить на вопрос,
как избежать отражения волны от идеального проводника. Можно себе
представить, что проводник покрыт слоем с определенным сопротивлением,
в котором электромагнитная энергия поглощается, преобразуясь в тепло.
В случае линии аналогией служит включение сопротивления в линию
перед ее короткозамкнутым концом. Однако так нельзя надежно
устранить отражение. Другой способ — включить между проводами на рас-
556 Часть IV. Электромагнитные волны
стоянии Я/4 от короткозамкнутого конца (фиг. 378) сопротивление, равное
волновому сопротивлению линии. Линия длиной Я/4, таким образом, на
конце имеет бесконечно большое входное сопротивление; следовательно,
она не оказывает никакого влияния на остальную цепь и система
тождественна линии, замкнутой на активное сопротивление, равное волновому.
Аналогично можно поместить на расстоянии Я/4 перед плоской
поверхностью идеального проводника тонкую
проводящую пластину (фиг. 379); от ее
поверхности волны не будут отражаться, если
сопротивление одного квадратного метра
такой пластины равно 377 омг). Ниже эта
аналогия будет развита подробнее.
Н- А/4-
Ф иг. 378. Уничтожение
отражения в длинной линии с
помощью короткозамкнутого
отрезка линии длиной Я/4.
§ 3. Плоские волны в материалах
с конечной проводимостью
Внутри однородных материалов,
обладающих проводимостью а, уравнения
Максвелла при отсутствии объемного заряда
имеют вид
(I) го*Н = стЕ + е
дг'
(III) агуН = Ог
(II) тоЬЕ = ~{и
дг
Фиг. 379. Уничтожение
отражения с помощью слоя,
расположенного на расстоянии
Л/4 от хорошо проводящей
поверхности. (I - толщина слоя,
д = \\у - его удельное
сопротивление.
(IV) <11уЕ = 0.
C.1)
Здесь проводимость будет обозначаться
буквой о* (вместо у), так как буквой у принято-
обозначать постоянную распространения.
Беря ротор от первого уравнения:
гойгоШ = §гас! сНуН— V2!! = а гоЪЕ + г-^-го1Е,
дг
C.2)
подставляя значение го1Е из второго и принимая во внимание, что для
однородной среды сЯу Н = 0, приходим к дифференциальному уравнению
^2Я-^-5Г-^да- = 0. C.3)
Аналогичным путем, беря ротор от второго уравнения Максвелла, получаем.
^х^.*-.— ^ Л/ ч"-Л,2 > C.4)
го*го*Е = 8гас1A1уЕ-^Е - -/*-^-го*Н= -<т/ДЕ
дг
откуда следует уравнение, полностью аналогичное предыдущему2):
^-^-ЗГ ^ дг*
д2Е Л
C.5)
1} Удельное сопротивление пластины д, деленное на ее толщину &, должна
равняться волновому сопротивлению среды 2>с, из которой приходит волна; в случае
воздуха е/^ = 2с = 377 ом. Таким же сопротивлением обладает квадратная пластика,,
если сопротивление измерять между сторонами квадрата. - Прим. ред.
2) Здесь операция у2 = А Относительно особенностей применения Л к векторам
см. [1.10]. — Прим. ред.
$ 3. Плоские волны в материалах с конечной проводимостью 557
C.7)
Таким образом, как напряженность поля Е, так и Н удовлетворяют
уравнению, аналогичному телеграфному.
Перейдем к решению этих уравнений для плоской волны, векторы
которой зависят только от координаты х. Для синусоидальных изменений
во времени можно уравнения C.5) записать в комплексной форме
АЕ - оуг/ЪЕ + е//оJЕ = АЕ + (е/исо2 - а/а]'со)Е = О, C.6)
или
АЕ+ит = о,
АЯ + к2Я = О,
где
к = со]Лв// для а = О C.8а)
и
к = Уе/исо2 — О[л]со = ][ — (а + ]сое)]со[л для с ^ 0. C.86)
Решение этих уравнений в случае зависимости от единственной
пространственной координаты х имеет вид
Е{х,1) = Е0е>°Укх, C.9)
или более подробно
Е(я, 0 = Е0 е^х Уе/х-'га^ . C.10)
Выделяя в показателе вещественную часть, запишем
Е (ж, 0 = Е0 в-ах^-*» в (З.Ц)
Здесь коэффициент затухания а и коэффициент фазы (фазовая постоянная)
р определяются формулами
/г(У1+-^г-1), ^Ч/-т(Р + ^ + 1)- <ЗЛ2>
СС = СО
Исследуем теперь значение а и /5 для экстремальных случаев, *согда
плотность тока смещения мала по сравнению с плотностью тока
проводимости (неидеальный проводник) или когда плотность тока проводимости
можно считать малой по сравнению с плотностью тока смещения
(несовершенный изолятор).
а) Плотность тока проводимости Зь = сгЕ, плотность тока смещения
для чисто синусоидального процесса Зу = /ЪгЕ. Мы хотим исследовать
случай, когда | Зу \[ <§с \ Зь |, следовательно,
— »1. C.13)
сое х
При этом приближенно имеем
^ = |, Р = ±. C.14)
Как напряженность электрического поля, так и напряженность
магнитного поля экспоненциально убывают в направлении
распространения:
Е = Епв"^0('"^).
C.15)
558
Часть IV. Электромагнитные волны
Здесь д — расстояние, на котором напряженность поля уменьшается
до значения 1/е. Это расстояние называют условной глубиной проникновения,,
введенной при рассмотрении поверхностного эффекта. Фазовая скорость
распространения волны иф = дсо. Из-за малой величины д эта скорость
существенно меньше скорости распространения света.
б) Если, напротив, а/сое<^: 1, то имеют дело с изолятором. В этом
случае приближенно
— тУ?- >—У5[1+*&Л- C.16>
Фиг. 380. Является ли среда изолятором или проводником, зависит
от частоты.
Зависимость параметра с/еа от частоты представлена в логарифмическом масштабе
в предположении независимости от частоты величин о- и с — Прим. г>ед.
Теперь фазовая скорость равна
--т-тЬ-Р-т^П- <3-">
Следовательно, и здесь скорость меньше, чем в идеальном изоляторе.
До сих пор отношение а/сое служило критерием того, как нужно
рассматривать данный материал — как изолятор или как проводник1).
Однако это отношение содержит круговую частоту со. Следовательно, при
низких частотах материал может вести себя как проводник, а при высоких
частотах — как изолятор. Металлические проводники практически при
всех частотах — хорошие проводники, а хорошие изоляторы сохраняют
свои изоляционные свойства также при всех частотах. Напротив, земля
и морская вода, которые играют такую важную роль в радиотехнике^
1} См. примечание редактора в конце этого параграфа. — Прим. ред.
$ 3. Плоские волны в материалах с конечной проводимостью 559
следует считать плохими проводниками при низких частотах и плохими
изоляторами при высоких частотах, как это схематически показано на
фиг. 380.
Рассмотрение плоских волн, распространяющихся в идеальном
диэлектрике и в проводящей среде, привело нас к аналогии с волнами,
распространяющимися вдоль проводов.
Как уже упоминалось, Е и Н, так же как II и /, удовлетворяют
аналогичным дифференциальным уравнениям:
™ Яй а2Е Л
V2^7-(с0/г0+с0^0)^-^0с^0 ^-с0д0с/ = о.
(По предположению, Е и 11 зависяттолько от х и г, поэтому №И\дхг — у2Е/.)
Такие же уравнения могут быть написаны для Ни/. Рассматривая эти
уравнения, легко убедиться в соответствии (аналогии) следующих величин:
Е- V, Н->/, /г-А>, е-* С0, <х-С0, В0 - 0. C.19)
Указанные аналогии распространяются также на исходные уравнения.
Если Е имеет только ^/-составляющую, то Н может иметь только я-состав-
ляющую. Два уравнения Максвелла и аналогичные уравнения линии при
этом имеют вид
дЕ, _ дНг Э11 _ „ . Т Ы . C#2°*
в них видна уже установленная аналогия.
Постоянная распространения и волновое сопротивление также
определяются сходными формулами:
у = У/Ъ^(<т + /сог), у = У(Н0 + ](оЬ0) (С0 + ]'а>С0),
^=2с^]Гш1^ ~ = гс = }[ЩЩ^; C.21)
для идеального изолятора и для идеальной линии они принимают вид
у = /соУ^ё , у = ]со][Ь0С0 ,
А* 7 _ 1 До
^ = 1/7' ^=^' C-22>
Как уже было показано, полная аналогия реализуется при сходных
граничных условиях.
Заметим еще, что ранее введенная постоянная к и постоянная
распространения у связаны очень просто: у = ]к.
Примечание редактора к § 3
Во многих реальных материалах при синусоидальном изменении поля
наблюдается отставание изменений поляризации (Р) и
намагниченности (М) от соответствующих изменений напряженности поля (Е и Н). При*
560
Часть IV. Электромагнитные волны
пользовании комплексами это может быть выражено комплексным
характером восприимчивостей или проницаемостей. Так, можно писать, что1*
В=/г0^Н и Б = г0ёЕ, C.23)
где
Р =/*1-/>2 = ^е-^«,
_,а (о.24)
е = ег — ]е2 = ее э0*,
Здесь дт и д€ равны отставанию по фазе В от Н и соответственно Б от Е.
Впервые понятие комплексных /л и е было введено Аркадьевым (для
^) и Дебаем (для е) в начале десятых годов текущего столетия. Понятие
комплексной проницаемости получило очень широкое распространение.
Вводя комплексные проницаемости в уравнения Максвелла
гоШ = (<г + /а)г0е)Е, го!Е = — /со/10^Н, C.25)
:или
го1Н = [(ог + а)е0е2) + /й>е0е1]Е,
го!Е= — (й)/г0/а2 + /Ь//0/г1)Н,
Члегко видеть, что мнимая часть диэлектрической проницаемости
обусловливает слагающую тока, совпадающую по фазе с током проводимости,
и в экспериментах на переменном токе практически нельзя отличить
слагаемые а и сое0е2. Поэтому их сумму можно назвать эквивалентной
вещественной проводимостью:
б'1э = <У + соеде2. C.27)
При этом вся правая часть первого уравнения представляет собой
плотность полного тока, а ее слагаемые (а-\-сое0е2)Е и ]сое0е1'Е — плотности
токов проводимости и смещения.
С этой точки зрения можно, следуя Аркадьеву, назвать величину
<о/и0/л2 магнитной проводимостью и соответственно произведения со^0/л2Я
и /Ъ/^о^Н — плотностями магнитного тока проводимости и магнитного
тока смещения.
Электрические свойства вещества для рассматриваемого переменного
тюля, очевидно, характеризуются всеми слагаемыми, стоящими в квадратных
скобках правой части первого из уравнений C.26) и могут быть
представлены или в форме эквивалентной комплексной проводимости:
сэ = о1 + ]а2 = сг + а)г0г2 + /а)е0е1, C.28)
или в форме эквивалентной комплексной диэлектрической проницаемости:
]сое0\ = ]сое0(е1э-]е2э) = ]'сое0 [е1-/(-^-+ ег)] • C.29)
Из последних выражений особенно отчетливо выступает сказанное
в § 3 о том, что одна и та же среда при разных частотах играет роль или
проводника (хотя бы плохого), или изолятора (хотя бы плохого).
Интересно обратить внимание ,и на то, что в среде, рассматриваемой
как диэлектрик, мнимая проницаемость с убыванием частоты растет даже
при малой проводимости, а в условиях статики (со = 0) она становится
бесконечно большой (именно этому соответствует встречающееся иногда
х) В тексте примечания для большей ясности постоянные е0 и ц0 представлены
в явном виде. Как и во всем тексте ч. IV, представление синусоидально изменяющихся
.величин комплексами не отмечается особым знаком.
$ 3. Плоские волны в материалах с конечной проводимостью 561
высказывание о том, что в условиях электростатики можно считать для
всех проводников проницаемость бесконечно большой).
Пользуясь понятием эквивалентной проницаемости, зависящей от
частоты, ~ёэ (или понятием од), очень удобно рассматривать переходные
процессы в несовершенных изоляторах. Например, имея в виду
спектральные представления переходных процессов, из выражения для яэ
очевидно, что при включении постоянного напряжения в несовершенных
диэлектриках распределение поля в начальный момент (со — «>) зависит
только от диэлектрических проницаемостей, а при установившемся режиме
(со -+ 0) — только от проводимости среды. К этому примеру относится
известный факт, что напряжение на цепочке изоляторов (или в нескольких
последовательно включенных конденсаторах) в первый момент после
включения постоянного напряжения зависит от распределения емкостей, а при
установившемся режиме — только от проводимостей.
Исключительно важную роль в современной, особенно
высокочастотной и импульсной электротехнике играют частотные характеристики
самого вещества. Они представляют значительный интерес и как способ
изучения физико-химической структуры вещества.
Зависимость р и е от частоты может быть очень значительной. При
сверхвысоких частотах проницаемость всех ферромагнетиков стремится
к единице. Поэтому, например, те замечательные свойства, которыми
обладают сердечники высокой проницаемости, часто исчезают при высокой
частоте. К тому же при уменьшении вещественной части проницаемости растет
ее мнимая часть, что сопряжено с потерями энергии в переменном поле.
По той же причине (зависимость е от со) некоторые изоляционные
материалы совершенно непригодны при высокой частоте — они ведут
себя в области высоких частот как проводники. В этом случае эффект
существенно отличается от рассмотренного в § 4 примера воды. Как видно
из выражения для аду при заметной величине е2 (а в особенности, при ее
возрастании с частотой и одновременном убывании ег) может оказаться,
что с ростом частоты изолятор практически начинает вести себя как
проводник. В хороших высокочастотных диэлектриках е2 не превосходит
десятых и даже сотых долей процента от е1A%де = е1/е2т 10~4).
Важно пояснить роль мнимых составляющих рс и е в реактивных
элементах электрических цепей. Рассмотрим здесь простейшие случаи.
Индуктивность тороидальной катушки с магнитным сердечником можно
представить в виде комплекса
Ъ = ^0 = (^-/^2)^0 = ^1-/^2, C.30)
где Ь0 — индуктивность при отсутствии сердечника. Включая такую
индуктивность в цепь переменного тока, найдем, что ее комплексное
сопротивление
]соЬ = ]соЬг+соЬ2 C.31)
содержит как мнимую, так и вещественную части. Очевидно, что ее
вещественная часть эквивалентна сопротивлению и что при прохождении
переменного тока / через индуктивность в ней будет происходить рассеивание
энергии A2соЬ2), обусловленное именно наличием мнимой части
проницаемости.
Аналогично емкость конденсатора, заполненного диэлектриком с
комплексной проницаемостью "ё, равна
С = вС0 = ^1^о—/€2^0 = ^1 — /^2* (о.о2)
36 К. Шимони
562
Часть IV. Электромагнитные волны
Когда такой конденсатор включается в цепь переменного тока, его
комплексная проводимость
]<аС = ]<йС1+юС2 C.33)
содержит вещественную часть, эквивалентную омической (активной)
проводимости.
Можно показать, что мощность, рассеиваемая в переменных полях
благодаря отставанию по фазе В и В от Н и Е, может быть представлена
следующими простыми выражениями:
Рт0 = @[лф2Н2, Ре0 = сое0е2Е2. C.34)
Здесь Рт0 и Ре0 — мощность (отнесенная к единице объема) соответственно
магнитных и диэлектрических потерь (последнее особенно ясно, так как
сое0е2 эквивалентно проводимости); Н и Е — эффективные значения
синусоидально изменяющихся напряженностей поля.
Введение комплексных параметров среды позволяет несколько
обобщить только что рассмотренную аналогию между уравнениями длинных
линий и уравнениями распространения электромагнитных волн [формулы
C.18) и C.19)]. Действительно, пользуясь комплексами, можно вместо
уравнений C.18) написать
V 2Е - (/й)/^! + а>/г0//2) (/сов0е1 + сое0е2д) Е = 0,
C.35)
Из сопоставления этих уравнений находим, что
сое0е2э = сое0е2 + а-+С0, со/л0/и2-^Н0 ,
C.36)
В последнем ряде аналогичных величин, во-первых, рядом с
проводимостью а заняло свое место произведение сое0е2, характеризующее
диэлектрические потери, а во-вторых, появился аналог электрического
сопротивления линии Я0 в виде коэффициента магнитных потерь, т.е.
произведение со/г0/и2 . (Подробнее о комплексных Д и е см. [8.1—8.7].)
§ 4. Плоские волны в гиромагнитной среде
В такой среде, как уже было показано,
В = /гН, D.1)
где B — антисимметричный тензор вида
И
И
/Л
0
-/А
Ц
0
0
0
Иг
D.2)
Как обычно, здесь предполагается, что ось т, совпадает с направлением
постоянного подмагничивания. Записывая уравнения Максвелла в
комплексной форме:
го1Н = /соеЕ,
го*Е = -/ЪВ = -]ЪрИ * * *
$ 4. Плоские волны в гиромагнитной среде
563
и беря ротор от первого уравнения, получим
гоЪ то1 Н = 1сое го! Е = есо2р Н,
или D.4)
^гай сЦу Н — V 2Н = ш2р, Н.
В отличие от предыдущего теперь нельзя принять (без
дополнительного анализа), что <Иу Н = 0. Представим последнее уравнение в
декартовых координатах:
д (днх , дну , вн%\ (д2нг , д2нг , э2нг} _ 2 „
Попробуем теперь найти решение для плоской волны,
распространяющейся в направлении оси я, т.е. в направлении подмагничивания. В этом
случае все составляющие могут зависеть только от координата,
следовательно,
п // л\
Эх ~ Эу ~ ' * ' '
Из уравнения
(ЦуВ = (Иу/гН = 0 D.7)
непосредственно следует, что теперь в распространяющейся волне не
содержится ^-составляющих, т.е. дВг\дъ — Шг\Ъъ = 0. Это связано с
тем, что направление распространения совпадает с направлением Я0;
если это не так, то не получится чисто поперечного поля.
На основании сказанного уравнения D.5) упрощаются:
—^ = ео>Ц[лНх-]кНу)у
Ищем решение, предполагая, что зависимость от координаты ъ выражается
экспонентой е~Гг. В таком случае
.1*Нх=.*#(цНх-]кНу\
ГЩу - есоЩШх + 1иНу).
D.9)
Полученная система однородных уравнений имеет решение только
тогда, когда ее определитель равен нулю; это условие непосредственно
приводит к значениям^
Им соответствуют равенства '
Нх= +/Я„ и Яж = -Щу. D.11>
1} В формулах D.10) е, к и ^ — относительные проницаемости, в то время как
в предыдущих формулах предполагалось, что е и [л содержат множители е0и^0.—
Прим. ред.
36*
#64
Часть IV, Электромагнитные волны
Оба решения относятся к волне, распространяющейся в сторону
положительной оси я, однако первое из них относится к
напряженности Н, поляризованной по кругу вправо, а второе-влево. Эти две волны
имеют различные постоянные распространения. Следовательно, не
существует линейно-поляризованного решения.
Если в гиротропную среду, например в подмагниченный феррит,
входит линейно-поляризованная волна, то происходит следующее. Каждая
из двух противоположно по кругу поляризованных волн, на которые
может быть разложена любая
линейно-поляризованная волна, распространяется с различными
фазовыми скоростями. Если при этом амплитуды
остаются равными (отсутствие затухания), то в каждой
точке оси ъ волна остается линейно-поляризованной,
но плоскость поляризации по мере перемещения
Фиг. 381. Вращение плоскости поляризации в гиромагнитных средах.
Поляризованная по кругу плоская волна, распространяющаяся в направлении подмагничивания,
и линейно-поляризованная плоская волна, распространяющаяся в перпендикулярном направлении
(а). Вращение плоскости поляризации (б).
.вдоль оси поворачивается (фиг. 381). Угол поворота плоскости поляризации
на длине I имеет следующее значение:
0=4<0+-0->' DЛ2)
где /? — коэффициент фазы в выражении Г = а+//?. Такое вращение
плоскости поляризации называется эффектом Фарадея.
То, что направление этого вращения связано только с направлением
#0, а не с направлением распространения, представляет очень важный
факт. При волнах, бегущих навстречу, плоскость поляризации вращается
в том же направлении.
Таким же способом можно рассмотреть случай, когда волна
распространяется перпендикулярно подмагничивающему полю #0.
Составляющие тензора остаются неизменными; соответственно для волны,
распространяющейся вдоль оси х, имеем
— = -Г ^.=1. = о.
дх ' Эу дз
D.13)
Из уравнения сИу В = 0 теперь можно найти связь между Ну и Нх, а именно
D.14)
$ 5. Решение уравнений Максвелла с помощью запаздывающих потенциалов 56&
откуда непосредственно следует, что
Вх = рНх~]ЪНу = #я(^-/*§) = 0. D.15)
Из уравнения D.8) для Г получается
Г2= -со2б/г[1-(-J]. D.16)
Таким образом, происходит следующее: вектор В, а с ним и Е
расположены поперечно к направлению распространения, зато Н имеет
также и продольную составляющую. Уравнение D.9) с только что
найденным Г может существовать только тогда, когда переменные
составляющие Нг и Вг равны нулю. Таким образом, переменная слагающая В
расположена перпендикулярно направлению подмагничивания, а Е —
параллельно ему. Следовательно, для ЕиВ получаются такие же волны, как и
" изотропной среде с проницаемостью
/Ы>ф = /41-(А//*J].
Б. ЛИНЕЙНАЯ АНТЕННА И АНТЕННОЕ УСТРОЙСТВО
§ 5. Решение уравнений Максвелла с помощью запаздывающих
потенциалов
Рассмотрим теперь уравнения
(I) го*Н = Л-е^, (III) (Ну Н = О,
дг
дЯ
(II) го!Е=-Л, (IV) (ЦуЕ = ^,
E.1)
справедливые для однородного пространства с постоянными е и /г, причем
будем предполагать, что распределение токов и плотности зарядов заданы
во всем пространстве для любого момента времени. Так как дивергенция
вектора Н везде равна нулю, то напряженность магнитного поля может
быть представлена ротором некоторого другого вектора
Н = го! А. E.2)
Вектор Е не может быть представлен градиентом скалярной функции,
так как его ротор отличен от нуля. Но легко найти другой вектор, ротор
которого будет равен нулю. Введем выражение Н = гоЪ А во второе
уравнение Максвелла и поменяем порядок дифференцирования по
пространственным координатам и по времени; тогда после преобразований получим
го!Е= -^ — Го1;А = -ртог^, го*(Е+/*^ = о. E.3)
Ротор вектора шЕ+/лдА/д1 равен нулю, следовательно, этот вектор может
быть выражен через скалярный потенциал:
Е + /*^7= -§гаA <р, E.4)
566
Часть IV. Электромагнитные волны
откуда для напряженности поля получаем
Е= -р-^-§гы1(р. E.5)
Если скалярный потенциал <р и векторный потенциал А заданы в
функции времени, то из них могут быть вычислены напряженности
поля Е и Н. Потенциальные функции можно определить из уравнений
Максвелла (I) и (IV). Подставляя Е и Н из E.2) и E.5) в первое уравнение
Максвелла, найдем, что
го1 го1 А = §гай (Ну А— у2А = 3 — 8§гай-^-— е/и-^-. E.6)
Так как вектор А только тогда полностью определен, когда задана
и его дивергенция, и так как значение дивергенции может быть выбрано
произвольно, то можно распорядиться так, чтобы соотношения имели по
возможности простой вид. Для (Ну А выбирается следующее выражение,
называемое условием Лоренца:
<ЦуА+в^ = 0. E.7)
При этом для определения векторного потенциала А получается
следующее дифференциальное уравнение:
д2А
V2А-е^-^2- = —3. E.8)
После подстановки Е из E.5) в четвертое уравнение Максвелла
получается уравнение
сНуЕ = — тг-^а (Ну А —(Ну §гас1 ср = —. E.9)
При условии, что (НуА= — е(д(р1дЬ), оно принимает вид
VV-^§=-|. E.10)
Легко видеть, что как скалярный, так и векторный потенциалы
определяются одинаковыми дифференциальными уравнениями. Если
отсутствуют изменения во времени, то предыдущие дифференциальные уравнения
переходят в известные выражения для стационарного поля
V2А= -<Г, V2<р= -|-. E.11)
В той области, где плотность тока и плотность зарядов отсутствуют,
уравнения E.8) и E.10) переходят в волновое уравнение:
V2А-в^ = 0, 71?-^5! = 0. E.12)
Решения для функций у и А имеют вид
?(ауу,М) =^- ] - -АЫпК E.13)
V
И
А (х, у, 2,1) = ^-1 -* ^ й*АпК- E-14)
$ 5. Решение уравнений Максвелла с помощью запаздывающих потенциалов 567
Здесь, как обычно, х, у, ъ —координаты точки наблюдения Р, для которой
определяется значение скалярного или векторного потенциала; $, % С—
координаты текущей точки (); г—расстояние между точками Р и ().
Следовательно, г зависит как от х, у, я, так и от {, % С.
Эти решения отличаются от решений, справедливых для
стационарного случая, только тем, что при вычислении потенциала в заданной точке
он определяется не зарядом, находящимся в произвольном элементе объема
в рассматриваемый момент времени г, а зарядом, находившимся там в
момент времени г—г/с, т. е. на г\с секунд раньше. Это значит, что заряд
может оказывать действие в некоторой другой точке только через
конечное время, обусловленное конечной скоростью распространения поля.
Поэтому потенциалы, определяемые по E.13) и E.14), называют
запаздывающими.
Из этих выражений можно сделать важный вывод о том, что в общем
случае в указанном выше смысле должны запаздывать скалярный и
векторный потенциалы, а не значения напряженностей поля. Последние
получаются из потенциалов дифференцированием по пространственным
и временной координатам. Было бы неверно пытаться обобщить, например,
закон Био—Савара
ь
определяющий напряженность магнитного поля в стационарном случае,
на случай высокочастотных переменных токов путем такого учета
запаздывания:
В действительности запаздывает векторный потенциал, а магнитное
поле вычисляется из него применением операции ротора. Получаемый при
этом результат совершенно отличен от E.15а).
То, что уравнения E.13) и E.14) фактически представляют решения
волнового уравнения, будет показано здесь для скалярного потенциала ср.
Однако те же рассуждения действительны и для составляющих
векторного потенциала А в декартовой системе координат (х, у, я).
Известным способом с помощью шаровой поверхности радиуса г0
исключим точку наблюдения Р, дающую особенность. Позднее эту
шаровую поверхность мы стянем в точку Р. В таком случае объемный
интеграл E.13) может быть представлен суммой
1 Гек**.'—) 1 Г е(*'*с''-7)
К0 У-К0
где V—все пространство, а G — К0) — пространство, находящееся вне шара.
К функции ср в E.16) почленно применим оператор Лапласа ч%= ЛР.
Вначале заметим, что внутри шара запаздывание играет тем меньшую
роль, чем меньше радиус г0. При очень малом радиусе справедлива
статическая формула
А91+ - *(*,?,«,*). EЛ7)
Го-» 0 6 '
Во втором выражении оператор Лапласа ЛР может быть применен
под знаком интеграла. Так как выражение под знаком интеграла, с точки
568
Часть IV. Электромагнитные волны
зрения дифференцирования, содержит только одну переменную г, то
выражение лапласиана имеет следующий простой вид:
Таким образом,
У-К,
У-К.
Однако нам известно, что для функции, зависящей только от
аргумента (I -г/с),
а2 __ 1 а2
#г2 с2 я*2 •
Следовательно, E.19) можно переписать в виде
4* = ет-/ -гда-ф'Ч,с,«-Й«^«-
E.20)
Гв({,,,с,,)^,..^ 1 3»
= 1^3? Л ? ^^С-^-^г <?>(*,</, М)- E.21)
В итоге получаем, что
А<р = Аъ + Д<Рг= ^^Ь^+^^(^Л, E.22)
Последнее и представляет собой волновое уравнение
Тем самым доказано, что выражение E.13) для запаздывающего
потенциала ср представляет решение волнового уравнения.
Это, однако, не означает, что решение E.13) единственно возможное.
В дальнейшем будет показано, что при ограниченном пространстве, оно
представляет только частное решение. Нов случае бесконечного
пространства оно при известных условиях может быть единственно возможным.
§ 6. Решение уравнений Максвелла для диэлектрика
с помощью вектора Герца
Из сказанного до сих пор следует, что напряженности электрического
и магнитного полей можно вычислить из скалярного и векторного
потенциалов. В пространстве, свободном от токов и зарядов, потенциалы
определяются волновым уравнением.
Теперь может возникнуть вопрос, не проще ли непосредственно решать
волновые уравнения для Е и Н, без предварительного решения уравнений
для А и у, из которых напряженности электрического и магнитного полей
получаются только косвенным путем. Однако метод потенциалов имеет
то преимущество, что после решения волновых уравнений для А и ср при
$ 6. Решение уравнений Максвелла с помощью векмора Герца 569
условии сЦуА = — ед(р/д1 найденные по ним функции Е и Н
удовлетворяют всем четырем уравнениям Максвелла. Что же касается взаимного
соответствия решений отдельных волновых уравнений для Е и Н, то оно
должно быть исследовано особо.
Герц идет еще на один шаг дальше и формулой
А = е™ (б1>
вводит новый вектор П (вектор Герца). Это всегда возможно, поскольку
к любому вектору А можно найти соответствующий вектор П. При этом
условие Лоренца имеет вид
- е& = Ну А = в у% <Ну П . F.2)
Если не зависящую от времени постоянную для ц> принять равной нулю,
то из F.2) непосредственно следует, что
ср = -сИуП. F.3)
Теперь с помощью вектора Герца П можно выразить как Е, так и Н:
Н = 4-го1П,
2 F.4)
Е= -^в^ + згаасКуП.
В пространстве, свободном от токов и зарядов, вектор Герца удов-
летворяет волновому уравнению. Действительно, подставляя в первое
из равенств E.12) выражение F.1), получаем1*
АЖ'е'А1?'дГ = ^ или^ ш[АП^^-^-) = 0^ F*5>
или (с точностью до постоянной составляющей)
ЛП-е/^ = 0. F.6)
Таким образом, введением вектора Герца достигается следующее.
Если найдено любое решение волнового уравнения для П и из него
определены векторы Е и Н, то последние удовлетворяют всем четырем
уравнениям Максвелла. Соответствующие друг другу значения Й и Н
получаются автоматически. Однако трудно определить, какая физическая задача
описывается определенным решением волнового уравнения для П. Еще
труднее найти вектор Герца, описывающий определенную физическую
задачу.
Если учесть уравнение F.5), справедливое в однородном
пространстве, свободном от токов и зарядов, и воспользоваться уравнением
то1 го! П = ггай <Иу П - АП , F.7)
то из F.4) получаем
д2П д2П
Е = —//г-^-2~ + §гаA сИу П = то1 гоШ + ^П — ^г-^- = тоЬ тоЬ П . F.8)
1} Здесь и в последующем тексте в общем случае оператор Лапласа Л должен
пониматься как V2.— Прим. ред.
570
Часть IV. Электромагнитные волны
Итак, можно написать
Н=г~го1П, F.9)
Е = го1гоЪП. F.10)
При синусоидальной зависимости от времени эти уравнения могут
быть записаны в комплексной форме и еще упрощаются:
Н=е/юго1П, F.11)
Е = го1го1П. F.12)
Привычно определять Н через векторный потенциал. Это возможно
при сИуН = 0. Но в однородном пространстве, свободном от зарядов,
вектор Е также не имеет источников и может быть выражен через
электрический векторный потенциал, т.е. можно полагать Е = гоЪАе.
Легко видеть, что, определяя магнитный вектор Герца уравнением
А' = -'"Чг' <6ЛЗ>
векторы Е и Н можно выразить через вектор Пт следующим образом:
Е= -^го!^, F.14)
Н=--/ле^+ §га(Ы1уПт. F.15)
Вектор Пт также удовлетворяет волновому уравнению.
Резюмируя, можно сказать, что посредством двух различных
векторов: Пв, ранее введенного уравнением F.1), и Пт, вводимого уравнением
F.13), можно получить различные решения уравнений Максвелла:
Н = е]согоЬ Пе, Н = гоЬ то1 Пт;
Е = го1го1Пе, Е= -^/й>го*Пт, ' '
причем Пе и Пт удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению
АПе9Ш+е^сотеьт = 0 F.17)
(мы ограничились здесь синусоидальной зависимостью от времени,
выражаемой множителем е'*г).
Уже было показано, что при известном распределении токов можно
легко найти Пе по уравнениям F.1) и E.14). Теперь встает вопрос, как
найти Пт, что служит его „причиной"; другими словами, какая
физическая величина в случае вектора Пт играет ту же роль, что
изменяющийся электрический ток в случае вектора Пе. Совершенно формальная
аналогия между Пе и Пт устанавливается введением уже упомянутых
фиктивных магнитных токов.
§ 7. Излучение дипольной антенны
а) Общее решение
Перейдем к расчету с помощью вектора Герца поля, излучаемого
отрезком проводника длиной /, когда по нему протекает чисто
синусоидальный переменный ток, в любой момент времени одинаковый вдоль всего
отрезка проводника. Этим условиям удовлетворяет, например, диполь
^ 7. Излучение дипольной антенны
571
Герца, в котором два шара периодически заряжаются и разряжаются
через соединяющий их проводник (фиг. 382).
Такой случай приобретает особенно большое практическое значение
потому, что элемент проводника, выделенный из антенны с произвольным
распределением тока, можно рассматривать как подобный элементарный
диполь. Изменение во времени дипольного момента (Д = р , образованного
двумя зараженными шарами, выражается равенством
^=1*2- = 1/0совай,
Аг
или
1/о
8Ш а>1 = р0 8тсо/,
G.1)
G.2)
причем р0—110/со. В дальнейшем будет предполагаться комплексная
форма записи р = р0 е?*%.
Вначале определим вектор Герца для
рассматриваемой задачи. Запаздывающий потенциал,
соответствующий элементу тока 1/о@> имеет ВИД
Р(П4?)
А =
1
¦(-7)
кп г
При этом вектор
П =
~4^7°
С05 СО
К)
/о
81ПО)
К)
кпг0 со
удовлетворяет уравнению
А = е0
дП
дг
G.3)
G.4)
G.5)
Фиг. 382. Диполь Герца,
и, следовательно, представляет собой вектор Герца,
соответствующий поставленной здесь задаче. Если учесть, что 1/0/со = р0 и
воспользоваться комплексной формой записи, получим
/©
п = Ро^
0-т)
4яе0г
Определение векторов Н и Е по уравнениям
Н = е0 го1
№
дг
Е
02П
с°"о дгг
¦ ^п ип -тттг + §гай (Ну П
G.6)
G.7)
с помощью выражения G.6) не представляет принципиальных
трудностей, хотя это, как показывается ниже, требует большой вычислительной
работы.
Напряженность магнитного поля также определим из вектора Герца
Н = е0%- тоЬ П=^4 гогро-
'Ю
*дг 4я д1 ж" г
Учитывая известную формулу векторного анализа
го1 /(г)а = /(г) тоЬ а + {?гас1 /(г) х а
G.8)
G.9)
572
Часть IV* Электромагнитные волны
и очевидное равенство
го! р0 = О,
получим выражение для напряженности магнитного поля
Здесь г°— единичный вектор г/г. Далее,
н=ё&+ё)(рохго)еЧ'-т)=
4л: г2 УГ0 ; 4яс /•
1 (Эр
4л/-210<
¦^х'Ц^&х'Ь
Выражение G.11) показывает, что напряженность магнитного поля
состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое обратно пропроциональна
квадрату расстояния и прямо пропорционально первой производной
дипольного момента. Второе слагаемое обратно пропорционально первой
степени расстояния и прямо пропорционально второй производной
дипольного момента. Первая составляющая называется ближним полем,
вторая— дальним полем или полем излучения. Первое слагаемое играет
заметную роль только на самых малых расстояниях, тогда как на больших
расстояниях преобладает второе слагаемое. Подставив в первое слагаемое
значение первой производной дипольного момента по времени, получим
Н = /-!*^. G.12)
Эта формула выражает закон Био—Савара для магнитного поля элемента
тока. В отличие от первого слагаемого, совпадающего с полем
стационарных токов, второе слагаемое соответствует полю излучения и
характеризует излучение энергии. Поле излучения пропорционально не току, а
скорости его изменения, поэтому оно, естественно, возрастает с
увеличением частоты.
Аналогично можно определить напряженность электрического поля
по уравнению
Е = - «о/*0^ + §гай Цу П. G.13)
Первое слагаемое этого уравнения легко вычислить:
-еоао-^ = /*ою2Ро—1^г- • G.14)
Для определения второго слагаемого сначала нужно найти дивергенцию
вектора П. Для этого воспользуемся формулой векторного анализа
сПу 1(г)& = /(г) &[у а + а §гай /(г),
$ 7. Излучение диполвной антенны
573
после чего найдем, что
/ *о(<—~\ \ *о)A—Т-\
A1уП = с11у1р0Ц —) = -р- §гас1 - — =
х^° кле0г / кле0 ° г
Ч<--) Ч'-т)
- е (]1_^М11____ Г7 1^
~~ ^° 4л;г0 ° г с 4тгг0 г V • /
Теперь нужно взять градиент от найденного выражения дивергенции.
При этом можно пренебрегать всеми членами, которые убывают быстрее,
чем 1/г, так как нас интересует только поле излучения, а не ближнее поле
(которое изменяется как 1/г2 или как 1/г3). Таким образом, можно
опустить первый член выражения для (Ну П
так как он уже обратно пропорционален квадрату расстояния.
Рассмотрим теперь три сомножителя второго члена в G.15):
рО
*©
(-т) ±
Г
РО*",
(не говоря о постоянных). Так как
р0 г° = Ро сой 0, G.17)
то его градиент пропорционален 1/г:
раД, (М,)=^=-?Й1#. G-18)
Произведение градиента с двумя другими множителями дает величину,
изменяющуюся пропорционально 1/г2. Градиент третьего множителя
также пропорционален 1/г2. Следовательно, должен быть учтен только тот
член, который получается умножением производной по г второго множи-
теля е ч в/ на остальные два. В результате имеем
8га(ЫпгП * -^1-в^('"т)(р0гО)гО. G.19)
Таким образом, напряженность электрического поля в зоне излучения
равна
Е = 4^?7е"('ЧIРо-(Рог°IЛ]- G-20)
Учитывая известную из векторной алгебры формулу
ах(Ьхс) = (ас)Ь-(аЬ)с, G.21)
получим, что
Ро-(Ро^0)г0 = г°х(р0хгО). G.22)
При этом формула G.20) приводится к виду
Е = ^ЬгШ Х^Ьхг° = & & Хг°)(^ХгО. G.23)
574
Часть IV. Электромагнитные волны
Итак, на большом расстоянии от излучающей антенны
напряженности электрического и магнитного полей определяются следующими
выражениями:
ИЛИ
нТ-
н,-
н =
тт У ео№
Ьлг
в сферических
= 0,
= 0,
= __ а>*УеоРо Ро_ •
*и
координатах
1 $8т а
//.--1
Е
:(ЙХГ°)^ХЛ G-24)
г^^^ш^ш^-^ G.25)
Фиг. 383. Направление напряженности
электрического и магнитного полей в дальней зоне.
Из этих уравнений вытекает следующий характерный признак зоны
излучения. Напряженности поля изменяются обратно пропорционально
первой степени расстояния, а не квадрату его. Эта теорема очень важна
для определения потока
энергии. Можно также
установить, что
напряженности электрического
и магнитного полей
перпендикулярны направлению
распространения,
совпадающему с г°, и
перпендикулярны друг другу.
Поэтому векторы г°, Е, Н
в указанном порядке
образуют правую
ортогональную систему (фиг. 383).
Однако это утверждение
справедливо только для
волновой зоны и то лишь
для больших углов #. (В
направлениях, близких к
оси антенны, где поле
излучения очень мало,
составляющие „ближнего" поля
на любых расстояниях
сопоставимы по величине
с составляющими поля
излучения.)
Картина
образующегося электрического поля
представлена на фиг. 384.
Вектор напряженности
магнитного поля
перпендикулярен направлению
распространения и второй
производной дипольного
момента, т.е.
перпендикулярен оси диполя.
Следовательно, магнитные линии в
Фиг. 384.
Линии электрического поля в
меридианной плоскости диполя.
$ 7. Излучение дипольной антенны
575
любой момент времени
представляют собой
концентрические
окружности в плоскости,
нормальной оси диполя.
Напряженность
электрического поля
перпендикулярна направлению
распространения и
вектору Н — электрические
линии лежат в
меридианных плоскостях (см.
фиг. 384). Так как между
векторами Е и Н нет
сдвига по фазе, то обе
напряженности поля в
любой точке
пространства достигают
максимальных значений в одно
и то же время.
На фиг. 385
схематически представлено
Если произведение
Фиг. 385. Максимальная интенсивность
женности электрического и магнитного полей в
зоне совпадает.
напря-
дальней
электромагнитное поле в волновой зоне.
G.26)
1
4яг
Ф*-)
выразить через значение Н и подставить в формулу для Е, то можно
установить связь между векторами электрической и магнитной
напряженностей поля:
Е
^0
ео/Ц)
(Нхг°)
I
(Нхг°).
G.27)
Последнее выражение совпадает с аналогичным выражением для плоских
волн, где
|Е] _ Е0
|Н| #„
н=
377 ом^ 120я ом.
G.28)
Следовательно, отношение напряженностей электрического и магнитного
полей равно волновому (характеристическому) сопротивлению свободного
пространства.
Амплитудные значения напряженностей электрического и
магнитного полей определяются формулами
Ео
УЧа^о
8П1#,
G.29)
G.30)
или, если учесть зависимости р0 = 1101а>, ю = 2яс/А и с = 1/^е0/а0,
Яо=41/~-^!'оЗП1#> G.31)
1 1 I
Яо = Т7"Т/о81пЛ
G.32)
576
Часть IV, Электромагнитные волны
Напряженность поля
достигает своего максимума
в плоскости,
перпендикулярной оси диполя, в
то время как в направлении
оси диполя напряженность
поля имеет минимальное
(нулевое) значение.
Следовательно, в направлении
своей оси диполь не
излучает.
На фиг. 386
представлена диаграмма
направленности дипольной антенны.
Амплитудное значение напряженности поля в данном направлении
пропорционально отрезку, проведенному под соответствующим углом.
Полученная таким образом поверхность представляет собой тор.
Фиг. 386. Диаграмма направленности диполя.
б) Общее поле дипольной антенны
Выше мы рассматривали поле в волновой зоне. Теперь коротко
рассмотрим общее поле. Вектор Герца П имеет единственную составляющую
^--йгё-^"'. где к = »^о
со
с
G.33)
Чтобы выразить составляющие векторов поля в сферических координатах,
представим в этих координатах вектор П. Ясно, что
Нг = С08##2 = -^— Ы- — СОВ0е>в* .
Г 2 47Г80 ]<*> г
Щ = _ 81П <&ПХ
-г2 8Ш^в1,
47ге0 ]Со г
Я, = 0.
G.34)
Теперь из уравнений
Н = е-тг~ гоШ = в](о го1П,
Е =г- го! го! П
можно получить составляющие ЕТу Е#, Е9, Нгу Н#, Н9:
Ег = ±±- A/-^Л —^) соз &е^-к»,
г 4я ^ е0 г сое0г3'
17 4тг V г сое0г3 ]/ е0 г2'
Е9 = 0,Нг = 0,Н, = 0,
G.35)
G.36)
^ 7. Излучение дипольной антенны
577
в) Излучаемая мощность
Если в произвольной точке пространства перпендикулярно
направлению распространения внести единичную площадку, то мощность,
протекающая через нее, определяется вектором Пойнтинга 8=ЕхН. Так
как напряженности электрического и магнитного полей изменяются син-
фазно, то вектор Пойнтинга всегда имеет одно и то же направление — от
антенны. Поэтому мы имеем дело с потоком энергии постоянного
направления. Поток энергии ближних составляющих в среднем равен нулю,
так как напряженности электрического и магнитного полей сдвинуты
относительно друг друга по фазе на 90° — так же, как и в поле простого
колебательного контура.
Мощность, излученную всей антенной, можно определить, если
окружить антенну произвольной замкнутой поверхностью. Для упрощения
вычисления выберем сферическую поверхность. Для определения всей
мощности в функции времени необходимо суммировать вектор Пойнтинга
по этой поверхности:
а, . G.37)
А Ф=0 # = 0
Таким образом, мгновенная мощность изменяется с частотой 2со между
нулем и максимальным значением. Среднее во времени значение мощности
определяется по формуле
Т
Но так как
^РA)йг. G.38)
*,^ВтЦ*-^)л = 1, G.39)
О
то среднее значение мощности можно определить из соотношения
Р = |У?(тJ/о Г Гвта*вт0<ЮЙ9>. G.40)
Эти интегралы имеют следующие численные значения:
| й(р = 271, / 81П2#81П0<Й>= / A-С082#)81П#Й#=|. G.41)
9=0 #=0 #=0
Поэтому среднее значение мощности равно
Р =
1 1/^оГ^272.о~4 - ол^гГМ2
^0
({)/02.2я| = 80тг2({)/2эфф, G.42)
где У/г0/г0 = 120тг.
Представим напряженности электрического и магнитного полей как
функцию излучаемой мощности. Из уравнения G.42) имеем
^эфф
37 К. Шимони
=Ш- G-43)
578
Часть IV. Электромагнитные волны
По уравнениям G.31), G.32) при $ = тг/2 для напряженности
электрического поля в в/м и мв\м соответственно получаются следующие
окончательные формулы:
Е9ФФ = 60,D) 1~±№=^1-УРе1м G.44)
ИЛИ
300 1
Итак, мощность, излучаемая дипольной антенной, в практических
единицах представляется выражением
Р = 80л*(±-JРдфф. G.46)
Напряженность поля дипольной антенны как функция тока (при # = 7г/2)
равна
^эфф = 60тг^у[х)/эфф мв\м G.47)
и как функция мощности (при & = тс/2)
Е°** = 7Г ^р(,Ш>мв1м- <7-48>
Излученную мощность можно рассматривать как мощность,
теряемую в фиктивном омическом сопротивлении, включенном на конце линии,
т.е. в сопротивлении излучения. По определению, это сопротивление
излучения имеет значение
Р=В$Рдфф, В8=80ж*[\)\ G.49)
Таким образом, сопротивление излучения пропорционально
квадрату отношения длины антенны к длине волны. Следовательно, антенна
излучает тем эффективнее, чем она выше и чем меньше длина волны. При
этом следует заметить, что всегда должно выполняться неравенство /<зс
<зсА. Поэтому понятно, почему в области очень высоких частот, т. е. при
очень коротких волнах, легче осуществить излучение заданной мощности
при заданной силе тока. Заметим, что сопротивление излучения играет
такую же роль, как настоящее сопротивление при вычислении
коэффициентов отражения, а также при определении так называемого
теплового шума сопротивлений.
Теперь исследуем случай, когда над плоской землей бесконечной
проводимости установлена антенна высотой / при токе в антенне /.
Требуется найти напряженность поля на заданном расстоянии от антенны.
Другими словами, должно быть найдено такое решение уравнений
Максвелла, которое аналогично предыдущему решению удовлетворяет
волновому уравнению во всем верхнем полупространстве, в ближней зоне
дипольной антенны выражает закон Био — Савара и описывает поле
электростатического диполя, одновременно удовлетворяя граничным условиям на
поверхности раздела воздух—проводник. Для идеального проводника
$ 7. Излучение дипольной антенны
579
последние можно сформулировать так: электрические линии
перпендикулярны проводящей поверхности.
Искомое решение можно получить, если в соответствии с фиг. 387
рассматривать диполь длиной 21 с заданным током /. Поле такого диполя
в верхнем полупространстве удовлетворяет всем поставленным выше
условиям, если нижнюю часть пространства следует считать идеально
проводящей. Следовательно, напряженность электрического поля на
расстоянии г от антенны равна
Еэфф = 120я(у)/эфф;^ вт # мв/м.
G.50)
При вычислении излучаемой
мощности нужно учесть, что
антенна высотой 21 с током / в
действительности излучает энергию
не во все пространство, а только
в верхнее полупространство. Эта
часть составляет половину всей
излучаемой энергии. Следовательно,
излучаемая мощность равна
р = 18МтJ/2эфф' <7-51>
Фиг. 387'. Влияние бесконечно проводящей
плоскости на форму поля излучения.
а напряженность электрического поля как функция излучаемой
мощности (при $ = тг/2) получается в виде
-Еэфф = вдРв мв/м. G.52)
Эти соотношения дают приблизительно верные решения для поля
излучения антенны, установленной над землей. Область справедливости
всех предыдущих формул ограничивается случаем, когда сила тока
постоянна вдоль всей антенны, т.е. когда длина антенны мала по сравнению
с длиной волны.
Поле излучения антенн, длина которых соизмерима с длиной волны,
можно рассчитать, применяя полученные выше результаты следующим
образом: исходная антенна разделяется на короткие элементарные
антенны, сила тока в которых считается постоянной. После вычисления полей
излучения элементарных антенн результирующую напряженность поля
получают суммированием. При заданном распределении тока антенну
можно заменить другой фиктивной антенной с некоторой эффективной
высотой, в которой сила тока распределена равномерно. При этом для
расчета поля применимы предыдущие формулы.
г) Поле излучения движущегося заряда
Заметим, что дипольный момент может возникнуть также при
движении постоянного заряда (). В таком случае х)
р(*) = <?Ф), G.53)
1} Сказанное можно пояснить предположением, что в начале отсчета 8 находится
неподвижный заряд —(?. В таком случае <?8 выражает момент диполя в обычном
понимании его как пары зарядов. Предположение о существовании отрицательного
неподвижного заряда, конечно, никак не сказывается на поле излучения. — Прим.
ред.
37* -
580
Часть IV. Электромагнитные волны
где 8@ —^ изменяющееся во времени положение заряда. Далее,
дг
= <?§(*) = <?и ,
3 = »)=^,
Фиг. 388. Поле излучения движущегося заряда.
G.54)
где и — скорость движения заряда. Уравнения G.23) и G.24) для
рассматриваемого случая можно записать в виде
Е = ^(§хг0)хг0
кпг
Н = %2(8хг0).
G.55)
4ят
Эти уравнения имеют более широкое применение. Если заряд,
например, электрон, движется по произвольной траектории 8 = 8(г), то он
создает поле излучения, пропорциональное ускорению (фиг. 388). Общая
отдаваемая мощность определяется формулой, аналогичной уравнению G.46):
Р(г,%0)
Фиг. 389. К расчету рамочной антенны.
G.56)
Мощность излучается
только тогда, когда заряд
движется с ускорением. Но
при известных условиях и
равномерно движущийся
заряд может отдавать мощность
(излучение Черенкова).
§ 8. Излучение рамочной
антенны
Рассмотрим поле
излучения контура тока или
рамочной антенны (фиг. 389),
$ 8. Излучение рамочной антенны
581
когда их размеры малы по сравнению с длиной волны. Сначала определим
векторный потенциал А или вектор Герца П. По условию, сила тока в
рассматриваемый момент времени одна и та же во всех точках
проводника, так что запаздывающий векторный потенциал (см. также стр.
279 и фиг. 178) имеет вид
* 4л:
о
Предположим, что точка наблюдения Р, в которой ищется векторный
потенциал А, находится на очень большом расстоянии от антенны, т.е.
г0«:г. В этом случае можно принять, что в знаменателе д = г. Разность
в показателе экспоненты может вызвать заметный сдвиг по фазе.
Как следует из фиг. 389, д^г — т-0со8у. Для определения сову
можно воспользоваться следующим соотношением:
С08 у = СОВ # СОВ &' +8И1 $ вт $' сов (<р —<р')- (8.2)
В нашем случае
д = г — г0 81П $ сов ср' (8.3)
Для значения А9 получаем
2зг
А9 = Го1°е*2~М [ ^Г°81П * С05 *' С08 Ч>' йсР' • <8-4)
6
Так как по предположению множитель /?г0 = 2яг0/А мал по сравнению
с единицей, то достаточно учесть первые два члена разложения в ряд:
Аф = |,°/°^^Г Г (сов у' + /^0 Вт 0 сов2 <?') й<р'. (8.5)
о
После интегрирования находим
^а^У^ш». (8.6)
Так как /? = со/с = со^г0^0, то выражение (8.6) можно представить в виде
; = у^0ф1<в««-п 81п ^ в (8 7)
Поскольку Ау известно, то очень просто можно найти П9.
Непосредственно видно, что выражение
д.'У?'й'Си"< <8-8>
удовлетворяет уравнению
А=в0^. (8.9)
Предыдущую формулу для П9 можно записать в векторной форме.
Если ввести вектор магнитного момента контура т0, величина которого
определяется выражением
| т01 = 7>/0/го, (8-Ю)
582
Часть IV. Электромагнитные волны
то уравнение для П приобретает вид
П ~ 1 тов
•(•-г)
)Ч
«о
4 яг
хг°,
(8.11)
где г0 единичный вектор, направленный по радиусу, проведенному из
центра контура в точку наблюдения Р.
Теперь'можно вычислить векторы Н и Е с помощью соотношений
Н = ]сое0 го! П
Е = го! го! П.
(8.12)
Применим операцию ротора к вектору П; тогда для дальней зоны найдем
гоЪ
4я/
€о^о
•— (т0хг°) = *=--*-±_ г°х(т0хг°);
4тг^'
во/"о
<1г
4тг у
_1 Г й>]
,|в0-т)
• со
г°х(т0хг0) = Пх/-г°. (8.13)
Следовательно, применение операции ротора в волновой зоне означает
векторное умножение на (/со/с)г°, и
~2Г „2 ,в('~т)
Е,= +
А2г
¦Нн*
(8.14)
(8.15)
*й»
Таким образом, получено решение, аналогичное решению для
электрического диполя. Нужно только поменять местами Е и Н. Излучаемую
мощность можно вычислить подобно тому, как это
было сделано для дипольной антенны. В результате
получим
Р=ук*^[^}\ (8Л6)
откуда сопротивление излучения получается равным
«.^ТЙН'-ЗЬЮ'И*. (8.17)
Для дальнейших рассмотрений может оказаться
существенным следующее: контур с протекающим по
нему синусоидальным током соответствует магнитному
Фиг 390 Рамочную Диполю переменной интенсивности. Это можно пред-
антенну можно пред- ставить себе следующим образом: как в электрическом
ставить магнитным диполе движутся электрические заряды, т. е. течет
диполем. электрический ток, так в рассматриваемом случае
движутся фиктивные магнитные заряды или текут
фиктивные магнитные токи. Следовательно, этим решением определено
поле излучения быстро изменяющегося элемента магнитного тока (фиг.
390).
$ 8. Излучение рамочной антенны
583
Аналогию можно продолжить дальше. Простым расчетом можно
непосредственно показать, что введением магнитного вектора
П™ = тп
(8.18)
аналогичного вектору Герца электрического диполя, с помощью
соотношений
Е = -/г0/согоШт,
Н — гоЪ го1 Пт
получаются те же векторы Е и Н. Это легко доказать, если учесть, что в
дальней зоне применение операции ротора эквивалентно операции
Х(/о)/с)г° и что направление [(ахг°)хг0]хг° совпадает с
направлением — (ахг°). Отсюда непосредственно следует, что по сравнению с полем
электрического диполя здесь поменялись ролями векторы Е и Н.
Таким образом, можно установить следующую аналогию:
Решение уравнений
т . ш
го!Н
го1Е
с^у Зе +
_ т
^ дг
дг и
} (8.19а)
для элемента синусоидального
переменного электрического тока
представляется с помощью электрического
вектора Герца Пе в виде
Д
1
!*(-т)
Ро
4тгб0 ж" г
Е = го! го1 Пе,
Н = е0]'со тоЬ Пе
} (8.20а)
Решение уравнений
Е°~дГ>
го! Н
+ т^ Ш т
(ЦуЗт +
дг
дг
О
A8.196)
для элемента синусоидального
переменного магнитного тока
представляется с помощью магнитного
вектора Герца Пт в виде
П
¦К) )
тп
4я^0 " г
Е = —/и0]со то01п
Н = го! го1 Пт ¦
(8.206)
Векторы р и т связаны с электрическим и соответственно магнитным
токами соотношениями
дг дг
иР
дш_}дО^
дг дг
1Д>
(8.21)
Понятно, что введенные здесь магнитные заряды фиктивны, однако они
позволяют рассчитать поле излучения.
Мы уже рассматривали поверхностные магнитные токи и нашли,
что они вызывают скачок вектора Е. Теперь мы можем ответить на ранее
поставленный вопрос, что служит физической „причиной" вектора Пт.
Это как раз введенные здесь магнитные токи. Магнитный ток можно
физически реализовать контуром тока с изменяющимся во времени моментом
А4оДОго:7Г- Введение фиктивного контура магнитного тока
целесообразно потому, что с его помощью сложные поля излучения можно свести
к известным полям диполей.
584
Часть IV. Электромагнитные волны
§ 9. Излучение линейных антенн с произвольным распределением тока
а) Линейные антенны с синусоидальным распределением тока
В предыдущем параграфе было определено поле излучения диполя,
т.е. помещенной в пространстве элементарной антенны малой длины.
Антенну, длина которой сравнима с длиной волны и вдоль которой ток
распределен по произвольно заданному закону, можно рассматривать как
состоящую из большого числа элементарных антенн. В элементарной
антенне, или элементарном диполе, ток предполагается неизменным по длине.
Но значение этого тока может меняться от
диполя к диполю.
Поле такого малого диполя в точке
Р, расположенной очень далеко от всей
антенны, дается известным выражением
ЛЕ,=^1 Лъ е5& 0"^) вш 0. (9.1)
Предположим теперь, что точка Р находится
от антенны настолько далеко, что прямые,
проведенные к ней из различных точек
антенны, можно считать параллельными.
Из фиг. 391 следует, что
Г2= Г0 — 2, С08 &. (9.2)
Фиг. 391. К определению поля
излучения прямой антенны с
произвольным распределением тока.
В знаменателе можно считать, что тг = г0,
но в экспоненте следует применять для
тг точное значение (9.1а). Таким образом, уравнение (9.1) можно записать
в виде
ас\ - Л Т% — Х С08 #\
аЕ» = —т I ая е \ с )
г0Л
81П #.
(9.3)
Интегрируя это выражение, получим результирующую напряженность
поля
+ 1/2
-112
(9.4)
Если сила тока вдоль антенны распределена синусоидально, то
искомая напряженность поля равна
+ 1/2
П- 2 С08 &
т^ 60ТГ з(о1-^гГ0) • а С т • 2ТГ 3 — 2
Учитывая при этом, что
Й2.
-иг
I
еаг 81П Ъъйт, —
а2 + Ь2
(а вш Ъъ — Ъ сов Ъъ),
(9.5)
(9.6)
можно определить значение Е#. Так как мы хотим определить только ам-
плитудное значение напряженности поля, то множитель е^ * я г°' следует
отбросить.
$ 9. Излучение линейных антенн с произвольным распределением тока 585
Если длина антенны кратна четному числу полуволн, то напряженность
поля вычисляется по формуле
60 81п(*тсо8*) х
Е» = -70 \~ \ Л = 2, 4, 6, ...и1 = А 4-. (9.7)
Фиг. 392. Диаграммы направленности расположенных в пространстве прямых
антенн, возбужденных различными гармониками.
Если длина антенны кратна нечетному числу полуволн, то
АО сое (л |-СО80) .
Е* = -/0 .2 А \ А = 1,3, 5, ...и / = Л4- (9.8)
" Г0 ° 81П# ' ' ' ' 2 У '
Амплитудные значения напряженности поля, вычисленные по
приведенным формулам, представлены на фиг. 392. Длина отрезка между
начальной точкой и нарисованной кривой представляет напряженность
поля в обозначенном направлении на больших расстояниях от антенны.
Максимальная напряженность поля имеет место не всегда в
экваториальной плоскости, а находится под различными углами, определяемыми из
уравнений (9.7) и (9.8). Антенна, возбужденная различными гармониками,
имеет симметрию вращения. Следовательно, диаграммы на фиг. 392
представляют собой поверхности вращения с вертикальной осью симметрии.
Само собой разумеется, что все эти диаграммы действительны только
в том случае, когда антенна расположена в пространстве вдали от других
проводников. Поэтому приведенными формулами можно пользоваться
.586
Часть IV. Электромагнитные волны
I
160
140
120
100
80
60
40
20
О
на практике только для расчета
антенн, расположенных высоко
над поверхностью земли. Влияние
земли на диаграммы
направленности рассматривается ниже.
Общую мощность, излучаемую
антенной, можно вычислить, зная
напряженность электрического поля,
так как напряженность магнитного
поля определяется из отношения
1 2 3
5 ' 6 7 8 9 Ю 11 12-
к
/«о
(9.9)
Ф и г. 393. Сопротивление излучения прямой Это дает ВОЗМОЖНОСТЬ определить
антенны при различных гармониках. сопротивление излучения антенны.
При синусоидальном
распределении тока вектор Пойнтинга
'8|=|^Я,=||/^-^
Ро
определяется уравнением
«|'-а^'.г
¦ГЛ-^СО8 0)
8Н12#
¦Следовательно, излучаемая мощность равна
(9.10)
(9.11)
А 0 0
// 8И12[ -^-С08#)
2я|-8|/?ат#й# = 307г I У^ -*?,
о о
л сопротивление излучения, отнесенное к максимальному току:
' кп
п* =
п /
* = 60 - *¦
• С08 & I
№
8111 #
М,
ИЛИ
Л,
п
=60 ^
СОЗ'
(-^СОВЯ)
81П1
м.
(9.12)
(9.13)
(9.14)
На фиг. 393 показаны сопротивления излучения для различных
гармоник. Для антенны длиной Х\1 сопротивление Е$ = 73,13 ом.
$ 9. Излучение линейных антенн с произвольным распределением тока 587
б) Ряд дипольных антенн
Из фиг. 392 видно, что с помощью антенны, возбужденной высшими
гармониками, можно получить острую направленность в вертикальной
плоскости. Но эта направленность будет значительно сильнее, если вместо,
одной-единственной антенны, возбужденной ее высшими гармониками,
расположить друг над другом несколько диполей
длиной Я/2 на расстоянии Я/2 один от другого
(фиг. 394).
Поле излучения такого ряда диполей можно
легко определить на основе предыдущего. В точке
Р, удаленной от антенны, /с-й диполь (считая
снизу) возбуждает в соответствии с (9.9) поле,
напряженность которого определяется формулой
Е*ь =
ео/0 ЧтИ ;»(<-^)
81П#
(9.15)
Входящую в это выражение разность хода (т.е.
разницу в пути, проходимом волной) можно
представить в следующем виде (см. фиг. 394):
М == &~С08#.
(9.16)
Следовательно, наряженность поля, вызванная
А-м диполем, равна
-, 6070 Ч1СН
«¦^«ч
Фиг. 394. К расчету
поля излучения ряда
диполей.
81П#
. езкп СОЗ # ^
'(•'-тгО
(9.17)
Результирующую напряженность поля в точке Р в случае т диполей
можно получить, суммируя предыдущее выражение по всем диполям; при
этом амплитуда напряженности поля равна
Е* =
60/
- СОбГ-^ СОВ 0)™-!
0 2 (е^сов^)к
8Н1#
ь=о
Это выражение можно преобразовать, пользуясь формулой
1-х™
1-х
Из нее следует, что
1 + х + х2 + х* + . . . +хт-г при х = #яс°8*,
т—1
Ь=0
Яс.о^чь = 1-<^тс08'
' \ _ е>?яС08#
(9.18)
(9.19)
(9.20)
Модуль этого выражения получим, умножив его на сопряженное значение
и извлекая квадратный корень:
я§
еЗ"я7ПС08# \ _ е—зптсо&&
Г 2-(е*
— (е^тС0В^ + е—ЗптС05&)
е^'згсо81> 1 _ е-.?ясо8# у 2 — (е$ясов0 + е-эпС0*д)
. (тп Л
т Гл 7 Ж 8Ш -77" С08 #
I/ 1-соз(ттг соз$) 12 )
=П
-С08(л;С08 1
зт[— соз #)
(9.21)
588
Часть IV. Электромагнитные волны
Следовательно, напряженность поля равна
Е* =
60/0
С08
(тС(Н
81П #
#1
(тл
— С08
ЗШГ—-СОЗ#]
(9.22)
Диаграмма направленности, построенная по этой формуле,
представлена на фиг. 395 для ряда, состоящего из пяти диполей. Наибольшая
напряженность поля имеет место в плоскости, перпендикулярной ряду диполей
и равна пятикратному значению
напряженности поля одного диполя.
Кроме того,-из диаграммы следует,
что в других направлениях также
существуют максимумы, однако во
много раз меньше главного. Эта
диаграмма направленности представляет
собой поверхность вращения, так как
такой ряд диполей обладает осевой
симметрией.
777=5
Фиг. 395. Диаграмма направленности
пяти расположенных друг над другом
диполей длиной Л/2, возбужденных
синфазно.
Полная картина получается отражением от
горизонтальной и вращением вокруг
вертикальной оси.
в) Группа диполей
Если диполи длиной Я/2
расположить на расстоянии А/2 друг от друга
(фиг. 396), то можно получить
острую направленность в горизонтальной плоскости. При этом получится
так называемая группа диполей (гребенка). Антенна длиной А/2 в удаленной
точке Р создает напряженность поля
**к
= ШоЧ|Не,а(г-^))
81П #
где разность хода определяется по формуле
й
к-т- 81П $ 8Н1 <р, к = О, 1, 2,
(9.23)
(9.24)
Фиг. 396. К расчету поля излучения
группы диполей.
51П^ С05<р
Фиг. 397. Декартовы составляющие
единичного вектора г°, направленного
в выбранную точку пространства.
^ 9. Излучение линейных антенн с произвольным распределением тока 589
Действительно, к точке Р, определяемой углами # и у (фиг. 397), можно
провести единичный вектор
Г° = 1 8Ш # СОВ Ср + \ 8Н1 $ вт <р + к С08 #. (9.25)
Разность хода есть проекция вектора /с(А/2)| на направление г°, равная
скалярном упроизведению этих векторов:
(9.26)
что совпадает с (9.24).
Для значения напряженности поля в произвольном направлении,
заданном углами <р и $, можно
получить формулу тем же путем, как и при
выводе формулы (9.22):
60
Я# = ~/о
СОВ I — С08 ?9" I 81П| — 81П & 81П <р 1
31П д1
'(т-
^81П ф\
(9.27)
Фиг. 398. Диаграмма направленности
группы диполей, состоящей из пяти
диполей длиной Л/2.
Диаграмма направленности в
горизонтальной плоскости для антенны,
состоящей из пяти диполей длиной
Я/2, показана на фиг. 398. Эту
диаграмму уже нельзя представить как тело
вращения, так как даже один-единственный]диполь обладает направленной
характеристикой в вертикальной плоскости-(см. фиг. 386).
Полная картина получается отражением от
горизонтальной и вертикальной осей.
г) Плоская решетка из диполей
Ряд диполей заостряет диаграмму направленности в вертикальной
плоскости, но равномерно излучает в любом направлении,
перпендикулярном оси, а группа диполей заостряет диаграмму направленности в
горизонтальной плоскости, не оказывая существенного влияния на диаграмму
направленности в вертикальной плоскости. Поэтому плоская решетка,
полученная комбинацией рядов диполей и групп диполей, может дать остро
направленную пространственную характеристику излучения. В этом случае
результирующую напряженность поля можно определить по формуле
Е*
60
С08
/о"
I — С08 д\ Зш! — С08 #1 31ПНт- 8Ш #5111 9?)
8*п(Т С08 ^) 8*п( Т 8*п ^ 8*п м
(8111 #
(9.28)
В частности, по этой формуле можно определить напряженность поля в
направлении, перпендикулярном плоскости решетки. Так как здесь
вт Ь = 1, со8 $ = 0, вт <р = 0, то дробь
. (тп Л
ш1 — С08 #1
1П1 — С08#]
(9.29)
остается неопределенной. Пользуясь правилом Лопиталя легко показать,
что ее предельное значение равно т, в то время как другая тоже неопре-
590
Часть IV. Электромагнитные волны
деленная дробь имеет предельное значение п. Следовательно,
¦Пу маке — ^^
60/0
(9.30)
Напряженности поля отдельных диполей в данном направлении
складываются с одинаковой фазой.
Такая плоская решетка из диполей излучает в обоих направлениях
перпендикулярно к плоскости. Но легко достигнуть и одностороннего
излучения. Чтобы исследовать
основные условия такой
односторонней направленности,
рассмотрим поле излучения двух
вертикальных антенн, расположенных
на расстоянии А (фиг. 399). При
этом предполагается, что ток одной
антенны сдвинут по фазе на угол
гр относительно тока второй
антенны. Антенна А создает в точке Р,
находящейся в плоскости,
перпендикулярной антенне,
напряженность поля
Фиг. 399. К расчету поля излучения двух
диполей длиной Л/2, возбужденных в
различных фазах.
Еа
Я 7\
8Ш со(г~у. (9.31)
Антенна В в той же точке Р вызывает напряженность поля
Ев = бОтг± ?± вш [^-7) + ^
(9.32)
откуда результирующая напряженность поля получается в виде
Е* = ЕА + ЕВ~ 60тг{ ^8ш й>(*~й.)+ 8т[ю(*-^) + уН, (9.33)
где г = (г1 + г2)/2^г1^г2. Из выражения (9.33) находится амплитудное
значение напряженности поля
Д# = 2-604^оов(^!12 + |). (9.34)
Предположим, что обе антенны колеблются
в одной фазе, т. е. у = 0; тогда амплитудное
значение напряженности поля определяется
выражением
Е*
2лА I 1л пд, со8 <р
• бОя-г -2. С08 = " ,
Л Г Я
(9.35)
На фиг. 400 представлены
характеристики для различных расстояний Л. Из
сравнения характеристик следует, что для
различных расстояний между диполями
получаются различные диаграммы
направленности. Уравнение (9.34) дает также диаграммы
направленности антенн, возбужденных в
противофазе и расположенных на произволь-
Ф иг. 400. Диаграмма
направленности двух диполей,
колеблющихся в фазе.
Расстояние между диполями равно
А. Диполи расположены
перпендикулярно плоскости чертежа на
горизонтальной оси, проходящей
через центр.
$ 9. Излучение линейных антенн с произвольным распределением тока 591
ном расстоянии друг от друга. Эти кривые нанесены на фиг. 401. При.
малых расстояниях между антеннами поля встречных токов взаимно
уничтожаются. Поэтому получаются исключительно малые напряженности
поля. При больших расстояниях между антеннами напряженности поля
обеих антенн усиливаются: так, например, для расстояния между
антеннами в половину длины волны получается двойная напряженность поля
одной антенны. Напряженность поля одной антенны показана пунктирной,
линией.
Фиг. 407. Диаграмма направленности полуволновых антенн,
возбужденных в противофазе для различных расстояний
между антеннами.
Антенны расположены перпендикулярно плоскости чертежа на
горизонтальной прямой, проходящей череа центр. Пунктирная линия
представляет собой диаграмму направленности отдельного диполя.
Рассмотрим теперь интересный случай, когда сдвиг по фазе у) зависит
от расстояния между антеннами и определяется уравнением
у = я±^й. (9.36)
При этом напряженность поля согласно (9.34) можно представить
формулой
Е, = 2-60лг|^вт[^(со89±1)] . (9.37)
Для значения <р=тгпри знаке + и соответственно ср--= 0 при знаке - получается
нулевая напряженность поля, в то время как для значений <р=0и
соответственно ср=п напряженность поля равна
Е* = 2.60л: ^ Вт Щ- А . (9.38>
Если расстояние равно й = А/4 и соответствующая ему разность фаз ^ = я;/2г
то последнюю формулу можно переписать в следующем виде:
Я, = 2.60тг~^. (9.39>
Следовательно, получается удвоенное значение той напряженности поля,,
которое создается в данном направлении одной антенной. Диаграмма
направленности для этого случая показана на фиг. 402.
592
Часть IV. Электромагнитные волны
Таким образом, если на расстоянии А/4 позади антенны поместить
другую антенну, возбужденную относительно первой с 90-градусным
сдвигом фазы, то такое антенное устройство будет излучать только в одном
направлении. Если в соответствии с фиг. 403 позади каждого элемента
плоской решетки из диполей поместить другой диполь, возбужденный с
90-градусным смещением по фазе, то такая антенная система будет
излучать только в одном направлении с остро направленной характеристикой.
Фиг. 402. Диаграмма
направленности двух антенн,
сдвинутых по фазе на 90° и
расположенных друг от друга на
расстоянии Л/4.
Фиг. 403. Диаграмма направленности плоской
решетки из диполей.
Позади каждого диполя на расстоянии Л/4 от него
расположен пассивный полуволновой диполь.
Приблизительно такая разность фаз
возникает в случае невозбушденного
полуволнового диполя,
расположенного на расстоянии А./4.
Это явление можно толковать следующим
образом: излучение первой плоской решетки,
направленное назад, отражается
расположенной позади второй плоской решеткой. Если
вторую плоскую решетку не возбуждать, а просто поместить ее позади
первой, то вторая система возбудится первой в той же фазе. Такие
антенные устройства, которые связаны полем излучения, здесь не
рассматриваются.
§ 10. Влияние земли на поле излучения
Если антенна находится вблизи земли, то напряженность поля
антенны создает в проводящей земле ток, и вторичное поле этого тока может
-заметно исказить первичное поле. Как будет видно ниже, это явление
можно учесть только сложным способом. Простую картину можно
получить, если землю считать идеальным проводником. В таком случае можно
воспользоваться методом зеркальных изображений, известным из
электростатики.
Расположим малый диполь (фиг. 404) на высоте К над поверхностью
земли. На поверхности идеально проводящей земли напряженность
электрического поля должна быть перпендикулярна поверхности земли.
Проще всего это граничное условие можно удовлетворить тем, что к полю
подлинного диполя мы прибавим поле его зеркального изображения.
Напряженность результирующего электрического поля вертикальной антенны
везде перпендикулярна поверхности земли, если при зеркальном изобра-
§10. Влияние земли на поле излучения
593
жении антенны сохраняется направление тока (см. фиг. 404а).
Результирующее поле обоих диполей дает истинное поле только в воздухе, т. е. над
граничной поверхностью. Внутри проводника, т. е. в земле, получаемые
таким образом напряженности поля совершенно фиктивны.
Если на высоте к над поверхностью земли расположить
горизонтальную антенну, то с помощью зеркального изображения можно получить
%^^%&%$%%^&$ш?&
^
^^у
шътшь
Ч ¦
N
У
Фиг. 404. Влияние земли на поле излучения диполя.
а — в зеркальном изображении вертикального диполя протекает ток той же фазы; б — в
зеркальном изображении горизонтального диполя протекает ток противоположной фазы; в — в
вертикальной составляющей зеркального изображения наклонного диполя протекает ток той же фазы,
что и в вертикальной составляющей исходного диполя, а в горизонтальной составляющей — ток
противоположной фазы по сравнению с горизонтальной составляющей исходного диполя.
результирующую напряженность электрического поля, перпендикулярную
поверхности, только тогда, когда направление тока в изображении
противоположно направлению тока подлинного диполя (см. фиг. 404,6). Для
наклонной антенны изображение тока можно получить сочетанием двух
предыдущих случаев: вертикальные составляющие имеют одинаковое
направление, а горизонтальные составляющие — противоположное
(см. фиг. 404,б). На основе предыдущих рассуждений вблизи земли можно
Фиг. 405. Сопротивление излучения вертикальной антенны,
расположенной у поверхности земли, в зависимости от
отношения Щ высоты антенны к длине волны. По Зигелю и
Лабусу.
38 К. Шимони
594
Часть IV. Электромагнитные волны
определить поле излучения антенн любой формы и любого распределения
тока, по крайней мере для случая, когда землю можно рассматривать
как идеальный проводник.
Таким образом, можно по-новому применять многие из
рассмотренных ранее диаграмм направленности. Так, например, если разделить
фиг. 392, а и б, горизонтальной прямой пополам, верхнюю часть можно
рассматривать как диаграмму направленности заземленной антенны половинной
высоты. Диаграммы фиг. 392, виг, нельзя делить пополам, так как здеЬ>
в верхней и нижней половинах антенны ток направлен
противоположно.
Можно рассчитать поле излучения антенны с синусоидальным
распределением тока, если ток на конце антенны равен нулю. При этом длина
антенны по сравнению с длиной волны может иметь любое значение.
Предполагается, что антенна расположена перпендикулярно поверхности земли.
Обстоятельные расчеты проведены Зигелем и Лабусом. Результат их
расчетов показан на фиг. 405, из которой видно, что кривая имеет отчетливые
максимумы при всех высотах антенны, когда на длине антенны
укладывается целое число полуволн.
§ 11*. Кажущееся сопротивление линейных антенн
Сопротивление излучения антенны, рассматривавшееся нами, было
чисто активным: произведение этого сопротивления на квадрат тока равно
излучаемой мощности. Это объясняется тем, что при расчете мощности,
поступающей в антенну, учитывалась только дальняя зона. В ближней
зоне составляющие поля соответствуют энергии, выходящей из антенны
и возвращающейся обратно в течение каждой половины периода, так что
среднее значение выходящей энергии равно нулю.
Если антенну рассматривать как элемент цепи, то она может быть
представлена импедансом, активная составляющая которого определяется
излучаемой мощностью, а реактивная — энергией поля в ближней зоне.
Определим этот импеданс. Так как метод расчета активной составляющей
уже известен, можно было бы ограничиться вычислением кажущегося
сопротивления. Однако здесь излагается метод, который дает все
составляющие — метод индуктированных электродвижущих сил, введенный Ро-
жанским и далее развитый Пистолькорсом. Суть этого метода состоит
в том, что непосредственно на поверхности антенны определяется
электрическое поле, создаваемое током, текущим в тонкой антенне конечного
поперечного сечения, и рассчитывается, какое необходимо приложить
внешнее напряжение, противодействующее этому „самонаведенному" полю,
чтобы поддерживать ток в антенне. В результате можно вычислить
мгновенную мощность, откуда просто определяются активная и реактивная
мощности.
Уравнение энергии для произвольного объема имеет вид
ф8йА= ~ Г|(ЕВ + НВ)Й7 + |Ч«Ы7. A1.1)
А V V
Для простоты здесь предполагается, что омическим сопротивлением
проводника можно пренебречь. Среднее по времени значение энергии,
содержащейся в объеме V, остается постоянным при чисто синусоидальном
токе. Результирующая напряженность поля, создаваемая током в антенне
§11. Кажущееся сопротивление линейных антенн 595
и приложенным сторонним полем, должна равняться нулю внутри
антенны и на ее поверхности:
Ее + Е = 0,Ее= -Е, A1.2)
чтобы ток в идеальном проводнике оставался конечным1*. При этом
из предыдущего уравнения, если считать, что оно применяется к средним
значениям, следует, что
$8йА= - /Е*Й7, A1.3)
а активная мощность
Р = -^Ке /Ш*Л7.
Если поверхность А стягивать так, чтобы она совпала с поверхностью
антенны, то среднее значение излучаемой мощности станет равным
-| Ке Г ЮГ* ау = ~]\ Ег(г) \ | /(*) | а соз уди =
V о
ь
= -^'\Ег(г)\\Щ\со*у>Aх. A1.4)
о
Здесь Е2{%) — амплитудное значение комплекса ^-составляющей
вектора Е на поверхности антенны; /(з)-ток (амплитудное значение) в точке
антенны, заданной координатой %\ ^-фазовый угол между комплексными
величинами Ег{ъ) и /(з); й7 = а&ъ — элемент объема на — поперечное
сечение антенны. Следовательно, излучаемая мощность равна
1 ^
Р = Р0дффВ8= ~\\ |Ег||/(*)|созу&. A1.5)
о
Отсюда сопротивление излучения получается равным
Л8== ~7Г^\ $ \Ег\\№\<х>*1рЛ*1 (Н.6)
где /0эфф — значение тока в некоторой точке, выбор которой зависит от
того, к какой точке относится вычисляемое сопротивление излучения;
например, это может быть значение тока в пучности или на входе.
Аналогично определяется значение реактивного сопротивления
ь
Х=- *± Г|ЕЛ*)||/(*)|вту&. A1.7)
/0 эфф 1 и
Таким образом, мы приходим к такой последовательности расчета.
Сначала находится распределение тока вдоль антенны; в большинстве
случаев оно предполагается синусоидальным. Затем рассчитывается поле
антенны непосредственно на ее поверхности в предположении, что ток
концентрируется на оси антенны. После этого определяется ^-составляющая
х) Для поверхности проводника условие A1.2) относится только к
тангенциальным составляющим. — Прим. ред.
38* -
596
Часть IV. Электромагнитные волны
электрического поля этого линейного тока в точках г = г0, т. е. на
поверхности антенны. Наконец, проводится интегрирование.
Для наглядности проведем вычисление для вертикального диполя,
изображенного на фиг. 406, при том условии, что ток вдоль ^антенны
распределяется по закону
/(С)=/0В1П^С
и длина антенны Ь = Я/2. Элементарный вектор
Герца для элемента диполя йр0( С) вычисляется
по формуле
з*
т =
^Ро(С) е
0-т)
4тге0
A1.8)
где
ф0(С) = (Я<?о = Ь-^-йС8т-^С. A1.9)
Следовательно, вектор Герца в произвольной
точке (далекой или близкой) равен
ь
Фиг. 406. К расчету полного
сопротивления линейной
антенны.
П=Ягк = к~^
4тг/г0со
2л; с. е
81П— С-
¦ЙС,
A1.10)
где к — единичный вектор, направленный вдоль оси г. С помощью формулы
Эйлера выражение A1.10) можно привести к виду
П = к
%яе0а>
-^«+,>
¦ас
-1^4
о о
Напряженности поля Н и Ё можно вычислить по уравнениям
Н = е]со го! П,
Е = 4- го1 Н.
Представим вектор П в цилиндрических координатах (д, я). При
этом необходимо учесть, что
г =]^Ч (*-СJ
A1.11)
A1.12)
A1.13)
В таком случае
Но
поэтому
Ъъ ~~ дг дъ ~~ г дг
г* = д* + B-ф,
»М _ Э/(г)
A1.14)
A1.15)
A1.16)
A1.17)
Учитывая A1.15)иA1.17),получаемс помощью уравнений A1.12) иA1.13),
что
A1.18)
Е, = 301,{-Г-^-Г^У>«,
§ 11. Кажущееся сопротивление линейных антенн
597
где гг и г2 — радиусы-векторы, проведенные из концов антенны в заданную
точку.
Теперь по уравнению D1.5) можно вычислить излучаемую мощность:
ь
Р= -у [\Ег\\Щ\со*уЛ2. A1.19)
о
Значение Е2 нужно брать на поверхности антенны.
Из фиг. 406 видно, что для произвольной точки на поверхности
антенны г1 = Ь—г и г2 = ъ. Запаздывание по фазе поля, соответствующего
первому члену в уравнении A1.18), относительно тока /0 составляет
угол к^ + л/2. Отсюда следует, что
сов (т" + ^1) = — 8*п кгх ~ — вт к(Ь — %). A1.20)
Для второго члена уравнения A1.18) имеем
сов (уН-Лг2) = — вт кг2 = — вт къ. A1.21)
При этом мощность определяется формулой
о о
Первый интеграл правой части можно преобразовать введением новой
переменной Ь—2, = х\
Г 81Й|^81пЬ& = - Г 8[пкх*™кA-х) их = A1.23)
ь ь
/81П кх 81П кЬ С08 кх 7 __ Г 81П2 кх С08 кЬ ,
х Х } X
о о
Если учесть, что в рассматриваемом частном случае
кЬ =<~-Ь = 2-?1 = 71, вт кЬ = 0, сое кЬ = - 1, A1.24)
ТО
[Р = Ш*2 ]'~^Aх = ЗОЛфф / 1-^2^^2Ь. A1.25)
О о
Входящий в эту формулу интеграл можно вычислить только с помощью
специальных табулированных функций, а именно
х
Г1-сов1 а1==]Пу + ]пх_а^ (Ц.26)
о
где 1п 7 = 0,577216 — постоянная Эйлера (у = 1,78107). Функция С\х
называется интегральным косинусом и определяется уравнением
ах
Г^<Й. A1.27)
598
Часть IV. Электромагнитные волны
На фиг. 407 представлены функция СИ х, а также функция, определяема я
уравнением ^
&* = ] —
о
Лг
A1.28)
A1.31)
отнесенное к
и называемая интегральным синусом.
В итоге мощность излучения может быть вычислена по формуле
р = 30/|ффAп у + 1п2тг-С12тг), A1.29)
так как 2кЬ = 2п при к = 2п\Х и Ь = Я/2.
Сопротивление излучения равно
Н8 = 30@,577+ 1п2я-а 2тг) = 73,2 ол«, A1.30)
а реактивное сопротивление
Х9 = 30 81 2тг = 42,5 олс.
Комплексное сопротивление полуволновой антенны,
середине антенны (где ток максимален), равно
г8 = Пв + ]Ха = G3,2+ /42,5) ом. A1.32)
Против этого метода имеются, однако, веские возражения.
Распределение тока не определялось, а предполагалось синусоидальным. Кроме
того, рассчитывалась тангенциальная составляющая напряженности
электрического поля на поверхности
антенны идеальной проводимости. С
одной стороны, эта составляющая
необходима для того, чтобы
антенной могла излучаться мощность. С
другой стороны, она невозможна,
так как вызовет бесконечно
большой ток проводимости. При этом
возникает вопрос, как из антенны
может излучаться мощность, если
напряженность электрического
поля перпендикулярна
поверхности антенны, и, следовательно,
вектор Пойнтинга всегда
параллелен поверхности.
Ответ на этот вопрос очень прост. Изнутри антенны мощность не
излучается. В крайнем случае при конечной проводимости она поглощается
антенной. Мощность исходит из высокочастотного генератора, а провода
и собственно антенна только направляют и распределяют мощность.
Если внутри антенны с идеальной проводимостью действительно
существует сторонняя напряженность поля, то мощность может проходить
через поверхность. В самом деле, при этом на поверхности (Ее+Е)* = 0, а не
Е% = 0, т. е. существует тангенциальная составляющая напряженности
электрического поля, а следовательно, и нормальная составляющая вектора
Пойнтинга. Этот точный, легко понятный, но практически не реализуемый
случай рассмотрен выше.
Фактическое распределение тока в реальной антенне мало отличается
от синусоидального. Это малое отличие вызывает лишь очень малое
отклонение в распределении поля и вносит лишь незначительное изменение в
формулу для мощности. Следовательно, можно приближенно рассчиты-
Фиг. 407. Функции 81(ж) и СЦх)
(интегральные синус и косинус).
$ 12. Принцип взаимности
599
вать поле так, как будто бы распределение тока было действительно
синусоидальным. При этом мы представляем себе внешнее напряжение,
которое в действительности приложено между входными зажимами антенны,
распределенным вдоль всей антенны.
С аналогичным случаем мы встречаемся при определении напряжения
на катушке, не имеющей омического сопротивления. И там мы
представляем себе внешние силы распределенными вдоль проводника, так как в
противном случае напряженность электрического поля на поверхности
проводника была бы перпендикулярна последней и не получалось бы
отличного от нуля значения линейного интеграла.
§ 12. Принцип взаимности
При исследовании антенных устройств большое значение для расчета
свойств приемных антенн имеет так называемый принцип взаимности.
Это свойство нам уже известно из теории электрических цепей. Если к
электрической цепи, состоящей из линейных элементов, приложить
напряжение II, а в одной из ветвей измерить амперметром ток /, то отношение
Х]\1 останется таким же, если поменять местами генератор и амперметр.
Следовательно, если напряжение генераторов в обоих случаях одно и то
же, то и токи в обоих случаях должны быть равны. При этом
предполагается, что генератор и амперметр имеют равные внутренние сопротивления.
Дадим возможно более общее определение и найдем способ
доказательства этой теоремы, одинаково пригодной как для электрической цепи,
так и для электромагнитного поля. Пусть пространство заполнено
веществом, характеризуемым постоянными е, ^, а. Допускаются резкие
неоднородности, однако указанные постоянные не должны зависеть от
напряженности поля. Пусть чисто синусоидальная внешняя сила Е(е1}
создает напряженности поляЕA) и НA). Пусть, далее, в том же пространстве
другая внешняя сила Е<,2) с той же частотой вызывает напряженности Е<2>
иНB)
Запишем уравнения Максвелла для обоих случаев:
го!НA) = (а + /сог)ЕA)+(тЕ<1),
го1'ЕA) = - мсоПа\ A2.1)
го!НB) = (<7 + /Ъе)ЕB)+аЕ<2),
го!ЕB) = -/г/ЪНB).
Если уравнения A2.1) умножить соответственно на ЕB), НB),- ЕA), -НA) и
сложить, то получится выражение
<Пу (ЕA) х НB)) - (Ну (ЕB) х НA)) = ст(Е?> Е<2) -Е<2) ЕA)). ' A2.2)
Возьмем теперь интеграл от него по всему пространству; при этом места
прерывного изменения свойств среды нужно исключить с помощью
охватывающих их поверхностей. Объемный интеграл в левой части преобразуем
в поверхностный интеграл. Последний принимает нулевое значение на
поверхностях, исключающих разрывы, так как нормальная составляющая
векторного произведенияЕ^хН4*0 постоянна при переходе через поверхность
разрыва, на которой тангенциальные составляющие ЕD) и Н(А)
непрерывны.
Интеграл, распространенный на бесконечно удаленную поверхность,
должен исчезнуть, поскольку всегда можно предполагать существование
600
Часть IV, Электромагнитные волны
хотя бы небольшой проводимости, а этого достаточно, чтобы полев
бесконечности экспоненциально убывало. В итоге получаем
/Е?>огЕB)йРГ = / Е<2)(тЕA)й7. A2.3)
V V
Это и есть наиболее общая формулировка принципа взаимности.
Интегрирование должно быть распространено на все пространство, где значения
В?} и Е<>2) отличны от нуля.
г—<^1
.0)
г B)
и?\
од
IV)
1<2)
Й п ^|0?
Фиг. 40$. К формулировке
принципа взаимности.
^
Фиг. 409. Применение принципа
взаимности к антеннам.
Применив эту теорему к линейным проводникам фиг. 408 или к
антенне фиг. 409 при произвольной связи между обоими проводниками,
получим
/ Е<%Е<2> ау = Е?111^А1 = г/?>/B), A2.4)
( Е(е2)<гЕа> (IV = Е™1^а)А2 = С/(е2)/A), A2.5)
у2
откуда следует, что
У™
/О)
A2.6)
Между прочим, с помощью принципа взаимности доказывается
важное утверждение о том, что диаграмма направленности приемной антенны
имеет такую же форму, какую она имела бы, работая в качестве
передающей антенны.
При выводе теоремы среда предполагалась линейной (е, <г, [л не
зависят отЕ и Н); однако можно поставить вопрос: не существуют ли такие
линейные среды, для которых принцип взаимности несправедлив? Если
существуют, то в уравнении A2.2) должны появиться еще некоторые
члены. В системе уравнений A2.1) действительно имеются члены, которые
при суммировании сократились; запишем их теперь в следующем виде:
/Ъ[НA> IX НB) - НB) IX НA)]. A2.7)
Если II представляет обычное действительное или комплексное число, то
выражение A2.7) равно нулю. Но оно может отличаться от нуля, если
/л — тензор. При этом нужно исследовать разность
НA)ЯНB)-НB)ДНA>, A2.8)
$ 13. Сведение векторного волнового уравнения к скалярному 601:
которой можно придать такой вид:
На)[/ЩB)-/2Щ<2)], A2.9)
переходя к транспонированному тензору. Если р, = р (самосопряженный
тензор), т. е. если /и1к = /лки то теорема взаимности справедлива и для
анизотропной среды (например, для кристаллических материалов).
В общем же случае теорема взаимности неприменима.
Любой тензор можно представить^ в виде суммы симметричного и
антисимметричного тензоров (см., например, [9.13—9.16]). Так как для
симметричной части выражение A2.9) равно нулю, то можно утверждать,
что теорема взаимности недействительна в случае, когда р, —
антисимметричный тензор (т. е. тензор, для которого /ы{к = - [лы при к^ь).к именно такое
отношение существует между составляющими тензора гиротропной среды.
Это очень важно в связи с широким применением гиротропных
ферритов, а также других гиротропных элементов. К ним теорема взаимности
неприменима, что приводит к многим важным следствиям.
В самом деле, рассмотрим схематическую фиг. 444, изображающую
устройство для вращения плоскости поляризации. Приемную антенну
можно установить в таком направлении, чтобы обеспечить возможно
лучший прием. Если теперь эту антенну сделать передающей, то и в этом
случае плоскость поляризации повернется в ту же сторону, и,
следовательно, при надлежащем выборе расстояний мы придем к антенне с
перпендикулярной ориентацией. Следовательно, антенна A) не воспринимает
излучения антенны B), несмотря на то что антенна B) воспринимает
излучение антенны A). Эти необратимые связи могут найти интересные
применения на практике.
В. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ
КООРДИНАТ
§ 13. Сведение векторного волнового уравнения
к скалярному волновому уравнению
Исследуем возможность определения электромагнитных полей с
помощью единственной скалярной величины, исходя снова из уравнений
Максвелла
(I) го*Н = (сг+е/со)В, (III) (НуН = 0,
(II) го*Е= -/г/а>Н, (IV) <ИуЕ = 0. К }
Ограничимся рассмотрением синусоидальной зависимости от времени
(У6*'), однако в отличие от § 5 и след. будем считать, что проводимость
среды может быть отличной от нуля (а^О). Кроме того, здесь будет
уделено особое внимание влиянию координатной системы на вид уравнений.
Третье уравнение Максвелла удовлетворяется вектором Герца П:
Н = (сг + /о>г)гоШ. A3.2)
Подставляя это выражение во второе уравнение, получим
то1(Е-к2П) = 0, A3.3)
т. е.
Е = А:2П + §гас1Ф, где к2 = -/о>/г(су + /Ъ>е). A3.4>
602 Часть IV. Электромагнитные волны
_—_ __,_
При учете выражений A3.2) и A3.4) дляЕ и Н первое уравнение
превращается в определяющее уравнение для Е и Ф:
го!гоШ-§гаа Ф-/с2П = 0. A3.5)
Четвертому уравнению Максвелла при этом можно придать вид
(ИуЕ = (Ну (А:2П + §гаA Ф), A3.6)
или, учитывая A3.5),
(Ну Е = (Ну (гоЪ го! П) = 0. A3.7)
Таким образом, уравнение (IV) выполняется автоматически (так как (Ну
от всякого тоЬ равна нулю). Следовательно, если найти такие связанные
друг с другом П и Ф, которые удовлетворяют уравнению A3.5) (векторы
Е и Н, полученные из этих величин в соответствии с уравнениями A3.2)
и A3.4), непременно удовлетворяют всем уравнениям Максвелла), то
получится решение некоторой физической задачи.
Все эти зависимости справедливы в любой системе координат.
Потенциал Ф следует выбирать так, чтобы уравнение A3.5) решалось возможно
проще. Часто выбирают Ф = (НуП, чтобы обойтись одной-единственной
векторной функцией1*. При этом уравнение A3.5) приобретает вид
го1 гоШ - §га<1 (Ну П - к2П = 0, A3.8)
а в декартовых координатах еще упрощается:
АП + к2П = 0. A3.9)
Теперь необходимо решить уравнение A3.8). Зная вектор П, можно
получить два различных типа решений с помощью равенств
Н = (<х + ]еоо)тоН1,
тл мп а а- тт A3.10а)
Е = к2П + §гас1 (Ну П
и равенств § б
Е = — ][лсото1 П,
Н = А2П + §гаA(ЛуП. A3.106)
Пусть решение проводится в произвольной ортогональной
криволинейной системе координат. В таком общем случае совершенно безнадежно
исходить из уравнения, подробно записанного в координатах, так как все
три скалярных уравнения содержат все составляющие вектора П.
Следовательно, они не распадаются на три уравнения, каждое из которых
содержит только по одной составляющей: Пъ П2 или Я3, к чему мы
привыкли, например, применяя декартовы координаты. Даже если П2 и Я3
положить тождественно равными нулю, то уравнение A3.8) в
произвольной ортогональной системе координат сводится к следующим трем
уравнениям:
1 # / 1 г д /ьлтт\1\ 1 д Г Аз Я /ь7т\1_п A3.11)
1} Иногда более целесообразно сделать другой выбор для определения Ф, но здесь
мы принимаем, что Ф = сЦу П.
$ 13. Сведение векторного волнового уравнения к скалярному 603
Для того чтобы добиться успеха, необходимо ввести некоторые
упрощения. Предположим, например, что выбрана такая прямоугольная
система координат, для которой Н1=\, а к2 и Л3 не зависят от хх. В этом
случае определяющее уравнение для Пх принимает вид
дшг 1
' 1
V к2 дх2 ) к2к3 Эх* V к3 &%я ' 1 '
дх\ к2к3 дх2
т. е. получается волновое уравнение, заданное в прямоугольных
координатах:
АП± = сЦу §гай Пг = ~к2Пг. A3.13)
Если решение последнего уравнения известно, то с помощью системы
уравнений A3.10а) можно определить составляющие напряженностеи
поля:
1 д2Щ н __ <У+]<ое дПг
Н2 дххдх2 ' 2 к3 Эж3
Е2 = ± &, Я2 = ^1 ^, A3-14)
/Г _ * д2Д,1 „ _ а+}юе дЩ
Но системой уравнений A3.106) определяются составляющие
^1 = 0, Н1 = Ш1 + ^,
*¦=¦-"№• ^=Ь5Ь A3Л5)
Из уравнений A3.14) следует, что напряженность магнитного поля
не имеет составляющей в направлении оси хг. Уравнения A3.15) в свою
очередь представляют решение, в котором электрическое поле не имеет
составляющей вдоль оси хг. Следовательно, в первом случае
поперечным является магнитное поле, а во втором случае — электрическое поле.
Соответственно этому первый тип называется ТМ-волной, второй ТЕ-вол-
ной.
Условие к±=1 и условие, что к2 и к3 не должны зависеть от хъ
справедливы для декартовых и для любых ортогональных цилиндрических
координат, если координата хг выбрана параллельно оси цилиндра.
В сферических координатах в качестве координаты хг следует
выбрать радиус, тогда /г2=1. Но в этих координатах от хъ т. е. от радиуса,
не зависит только отношение к2/к3. В этом случае два последних уравнения
системы A3.11) не исчезают тождественно.
Выбор уравнения Ф = сИу П теперь оказывается нецелесообразным.
Чтобы найти более целесообразное уравнение связи, снова подставим Ф
вместо
^П = ^Л^Г^зЯ1). A3.16)
604
Часть IV, Электромагнитные волны
Тогда из A3.11) получаем
Нх дхх к2к3 дх2 I к\к2 ^^2 1 1
+ -ТТГ 4- \-ГГ /- (Д1Я1I + к*П1 = ° >
1 дФ 1 д г /г3 # /т. гт ч] _ а ' '
Н2 Эх2 кхк3 ^Л?! I кХк2 ^#2 1 1 ^ '
1 ЭФ 1_ # г к2 Э .-, ттЛ л
к3 Эх3 кгк2 ()х1 I кхк3 дх3 * 1 1'1
Теперь предположим, что к± зависит только от хь а й2/А3 — только
от х2 и х3. Тогда последние два уравнения упрощаются:
дф 1 ЭЧ1г д 1 ЭП±
дх2 кг дххдх2 дх2 кх дх±
ЭФ __ 1 Э2Пг __ д 1 дП,
дх3 кх дхгдх3 дх3 кх дх1
Следовательно, если выбрать
A3.18)
то уравнения A3.18) выполняются тождественно.
Итак, находим
_1_Д!^1 + ^ ? Г *з д (Ы1)]\
к\ дх\ к2к3 дх2 I кхк2 дх2 * -1 1 1
В сферических координатах это уравнение переходит в уравнение
A3.12), так как в этих координатах/^ее 1, поскольку^ = г и, следовательно,
Пх = Пг. Исходным служит уравнение
дх\ к2к3 дх2 V к2 дх2 ) к2к3 Эх3 К Л3 дх3 ) 1 "" •
В цилиндрических координатах, и только в них (естественно, не
считая декартовых), это уравнение тождественно уравнению <Иу§гас111-^=
^АП1-{-к2П1у когда Пг = П2. Из этого уравнения определяются значения
напряженностеи поля по уравнениям A3.14), A3.15).
§ 14. Однородные и неоднородные плоские волны
В предыдущем параграфе было показано, что целесообразно
исходить из волнового уравнения для вектора Герца и непосредственно из
него определять взаимосвязанные значения Е и Н. В случае плоских волн
существует возможность установить условие взаимной связи
непосредственно из уравнений Максвелла. В этом случае оказывается, что целесообразно
исходить из волнового уравнения для напряженностеи поля или для их
составляющих.
В качестве исходных уравнений выберем знакомую систему
АЯ + к2Я = О,
$ 14. Однородные и неоднородные плоские волны 605
где для идеального диэлектрика
к = со]П^, A4.2)
а для среды с конечной проводимостью
к = ][-(в + ]сое)]а>1л = кт + ]к{. A4.3)
Требуется найти те решения предыдущих уравнений, которые
представляют плоские волны. Следовательно, должна быть решена такая же задача,
что и в § 1, но в несколько более общей формулировке.
Представим векторное уравнение в прямоугольных составляющих:
ЛЕх + к2Ех = 0,
АЕу + к2Еу = 0, A4.4)
АЕг + к2Е2 = 0.
В этих уравнениях Ех, Еу и Е2— функции х, у и я. Первое уравнение
запишем в развернутом виде:
д*Е д*Е д*Е ш _0
Это уравнение можно решить известным способом разделения
переменных, положив
Ех = Х(х)Г(уЩг). A4.6)
После подстановки A4.6) в уравнение A4.5) и деления всехчленов на ХУ2
получается уравнение
1 <мг 1*у 1 «га ,2_0 (иъ
Поэтому
7^г + *2 = 0. A4.8)
1 а22
2<1г*
^+*1 = о.
Здесь кх, ку, кг — постоянные разделения; они должны удовлетворять
условию
&1 + Щ 4- й* = к2 = е/гсо2 - />оху , A4.9)
которое можно представить в измененной форме:
|+^ + | = п1 + ^ + »1 = 1. A4.10)
Таким образом, решение имеет вид
X = Ле*'***, У = Бе±^'М , 2 = Се±#«2 A4.11)
и напряженность поля определяется выражением
Ех(х, у, г, I) = ^0е±^**+М+ь 2)е*в* = #хое±Жп,х+пуу+п22)е;М . A4.12)
а) Для идеального диэлектрика к2 положительно, значит, к —
действительное число. Если три действительных числа пх, пу, п2 рассматривать
как три составляющие единичного вектора п, то условие A4.10) выпол-
606
Часть IV. Электромагнитные волны
няется автоматически. Эти числа являются направляющими косинусами.
Если их выразить через углы у и #, то найдем, что
Пх = 8Ш $ С08 (р , Пу = 81П $ 8111 ср, пг = С08 1? , A4.13)
где учтено условие A4.10). Выражение для Ех можно записать также в
следующей форме:
Ех(х, у, ъ, г) = Ехое±Мш)еы ^ A4.14)
или более подробно:
Ех(х, у, ъ, г) = Ехое^к(<х 81п * С08 <р+у 8*п * 8^9+гсов *)#«*. A4.15)
Полученное здесь решение можно распространить на
составляющие Еу и Е2. В таком случае
Е = Е0е±#<пг>е*в*, A4.16)
Н = Н0е±#<пг>^°*. A4.17)
Точки равной фазы лежат в плоскости
к(ш) = сопв1. A4.18)
Эта плоскость перпендикулярна п, причем вектор п направлен в сторону
наибольшего изменения фазы, так как
§гай (пг) = п A4.19)
совпадает с направлением распространения волны. В рассматриваемом
случае амплитуда везде постоянна. При этом совпадают поверхности
равных амплитуд и равных фаз.
б) Если среда обладает конечной проводимостью, то к=кТ+]к{.
В этом случае решение можно записать в следующем виде:
Е = Е е+к^ПхХ+пуу+п^е±^^ПхХ+пуу+п^е^й)Ь A4.20)
где кт соответствует фазовой постоянной /9, а к{— коэффициенту
затухания ос.
Следовательно, и в этом случае совпадают поверхности постоянной
амплитуды и постоянной фазы и наибольшее изменение происходит в
направлении распространения.
в) Если решение уравнения A4.5) рассматривать как чисто
математическую задачу, то условию A4.10) можно удовлетворить не только
действительными числами пх, пуу пг. Однако физически объяснимое
решение — в виде затухающих или незатухающих волн,
распространяющихся в направлении действительного вектора п, — получается только
тогда, когда числа пХ1 пу, пг рассматриваются как направляющие
косинусы.
Исследуем все же случай, когда пх, пу, пг могут быть любыми
действительными или комплексными числами:
п* = пхг + ]пх1, Пу = пуг + ]пу1, пг = п2Г + ]пг1. A4.21)
Само собой разумеется, что они должны удовлетворять условию A4.10),
так что
Пхг~т~ ПуГ + 71гг Пх1 — Пу1 — ТЬг^ =1,
_ р A4.22)
§15, Цилиндрические волны
607
В этом случае решение имеет вид
Е =Е0в-(пгг)вЛпФг)в^\ A4.23)
где
пг = {к{ Пхг + кг пх{}1 + (А* пуг 4- кг пу{)\ + (А* пгг + кг пг1)к. A4.24)
и
Пф = (Аг Лда. - А* лж{I + (А, л^ - к{ пу{)\ + (&г п2Г - А* л24)к. A4.25)
Следовательно, поверхности постоянной фазы и постоянной амплитуды
теперь не совпадают. Их уравнения имеют вид
(пГг) = С0П81, (ПфГ) = С0П81. A4.26)
Эти плоские волны с комплексным углом падения называются
неоднородными плоскими волнами. Их важнейшая отличительная черта состоит
в том, что точки постоянной амплитуды уже не совпадают с геометрическим
местом точек постоянной фазы. Рассмотрение таких волн вводится для
удовлетворения граничных условий.
Общее решение уравнения A4.5) можно получить наложением
различных плоских волн. Таким образом, для каждой составляющей можно
получить решение
у) (х, у, 2,1) = &»% / ЛЬ / А<рё(Ф, ср)е^х 81п * С08 <р+у 81п *81п ?+2соз *), A4.27)
где ср и $ —любые действительные или комплексные числа.
Это решение можно записать в более общей форме. Если величины
кх,ку,кг,ы не подвергать никаким другим ограничениям или физическим
толкованиям, кроме условия
к\ + Щ + к\ = к2 = ерко2 - /со/кг, A4.28)
то получим уравнение
\р(х, У, М) = / / / ё(К, кю со)е^к-х+куУ+к^+а1ЫкхAку ско. A4.29)
а> кхку
Постоянную кг можно вычислить из условия A4.28) с помощью кх, ку и со.
Такие же уравнения справедливы не только для Е и Н, но также и
для <р, А или П.
§ 15. Цилиндрические волны
Выберем теперь в качестве координат хх = я, х2, хг, где г —
расстояние, измеряемое вдоль оси цилиндра, а х2,хг— любые ортогональные
координаты в плоскости, перпендикулярной оси ъ (см. фиг. 420). Ограничиваясь
зависимостью от времени вида &*\ найдем волновое уравнение A3.21)
для Пг:
д# к2къ дх2 \к2 Эх2) к2к3 дх3 \к3 дх3 ) г • V • )
Попробуем решить это уравнение разделением переменных. Пусть
Пг(г, х2, ж8) = 2(*)Х2(х2)Х3(х3). A5.2)
Обычным методом получаем
1 ^+ 1 [ 1 » (Ь. «•)] + * Г * » (*• «!)] + *• - 0 , A5.3)
-2 атг Х2 1к2к3 ах2 \к2 ах2 I Х3 1к2к3 ох3 \к3 ах3 I
*608
Часть IV. Электромагнитные волны
где к2 = е/исо2 — ][лсоо. Уравнение для функции 2 можно отделить:
1 а22
г №
= -Р, A5.4)
причем /?2 — произвольная (действительная или комплексная) постоянная
разделения. Таким образом, решение для 2 имеет вид
2 = 20е±№ . A5.5)
Для Х2 и Х3 остается уравнение
1 г 1 д <кг AХ2У\ 1 г 1 д <к2 йХ3\л [ д.2 Л2 _ о. A5.6)
-ЗГ2 1Л2&3 &х2 \Л2 ^2 /¦« -Х"з 1-^2^3 ##3 1&3 <&с8 Л
Можно ли дальше разделить переменные в этом уравнении, а если можно,
то как? Это зависит от характера координат х2у хг.
Наиболее важен случай круглого цилиндра. Для него
A5.7)
*1 = ^, х2 = ср, я3 = г, Х2 (я2) = Ф (у), X, (я3) = Я М ,
Ах = 1, К = г, й3 = 1,
и уравнение A5.6) принимает вид
Умножив уравнение A5.8) на г2:
получим возможность разделить переменные:
1 Л2Ф
Ф Лср2
р2, A5.10а)
ъМг%)+р-П'Л = +р%- A5Л0б>
Решение этих уравнений уже знакомо:
ф = е±5Р9 ,
К=2р(Ук2-Р2г),
A5.11)
причем в общем случае 2р состоит из двух частных решений.
Постоянная разделения р может быть действительной или
комплексной. Однако для того чтобы получить однозначное решение, когда в
исследуемой области ср изменяется от 0 до 2я, необходимо, чтобы р было
целым числом. В противном случае мы могли бы при нескольких обходах
получить различные значения Ф в одной и той же точке. Следовательно,
решение волнового уравнения в цилиндрических координатах имеет вид
Пг{ъ, <р, г, I) = 2р(УШ^г)е^^е^г^ш%. A5.12)
Общее решение представляется суммой таких решений с различными р,
3 и 9>
§15. Цилиндрические волны
609
Если П2 известно, то составляющие напряженностей поля для
ТМ-волн в общем случае цилиндрических координат вычисляются в
соответствии с A3.14) по уравнениям
Е, = {Р-Р*)П„ #2 = 0,
Р - —Ш- дП* И - 7 к* дП* A5 13)
Е = -1Ё-*1Ь. н = -/ к* дПг
3 Н8 Эх3 ' 3 ' ^^уЛ2 ##2
Для ТЕ-волн по A3.15) находим
#2 = 0, НХ = (Р-Р)П„
„ _ . со дП, и _ ¦ $ дП,
В круглых цилиндрических координатах предыдущие соотношения для
ТМ-волн принимают вид
Ег=-}^, Нг=+1-^^-, A5.15)
р - -;±*1Ь- я - ¦ *2 дп*
а для ТЕ-волн
Ег=~М!т^, Нг =-&**., A5.16)
Рассмотрим теперь два важных частных решения. Первое не может
быть непосредственно получено из общего решения A5.12), и необходимо
вернуться к дифференциальным уравнениям A5.10а) и A5.106). Пусть
р = о и к2 - /92, т.е. А:2 — /З2 = 0; тогда для Н(г) получается уравнение
т.е.
Н(г) = АЫг + В. A5.18)
В этом случае решение имеет вид
Пг(г,(р,2у I) = (АЫг + В) (Сср + В)еэш-к2) A5.19)
В случае аксиальной симметрии это соответствует известному случаю
распространения волн в коаксиальных линиях.
Другой интересный частный случай имеем при /3 = 0. Это условие
соответствует независимости решения от координаты ъ. В качестве
решения в этом случае выберем функцию Ханкеля
Н^\кг) = /я(Лг) ±/ЛГп(&г). A5.20)
39 К. Шимони
610
Часть IV. Электромагнитные волны
Если аргумент кг очень большой, решение принимает значение
*&*>№ * Щг е^-Т-т) . A5.21)
Если к тому же выбрать п = р = 0, то решение на больших расстояниях
от оси упростится:
Щгч <р, г) = с4=е№±кг). A5.22)
Эта формула представляет цилиндрическую волну, распространяющуюся
вдоль координаты г и убывающую как корень квадратный расстояния.
Если ось г = О принадлежит исследуемой области, то всегда следует
применять функции Бесселя первого рода, т.е. 1п(кг). Напротив, в
бесконечности правильное решение дается функциями Ханкеля. В
кольцеобразных областях часто предпочтительнее функции Бесселя первого и
второго рода.
В бесконечности функции Ханкеля удовлетворяют условиям
излучения. Если выбирается решение Н$\ то мнимую часть к нужно брать
положительной, чтобы получить экспоненциально затухающую волну.
§ 16. Сферические волны
Решим уравнение A3.21) в сферических координатах
#1 = г, х2 = $, #3 = Ч>»
кг = 1, Н2 = г, кг = г зт $,
полагая Пх =¦ Пг. При этом
д*пг , 1 Э ( . п#Цл , 1 0A ЭЛл
A6.1)
:+^^^и{п^^) + ^^^(^^) + к2Пг = 0^ A6.2)
#Г2 Г2 81П & д& К О® ) Г2 81П # Оф \&\Ъ & 0<р ) Т Ч '
Это уравнение попробуем решить с помощью подстановки
Пг = Д(гM@, 9?). A6.3)
Тогда имеем
1 а , 1 Г 1 # ( . а#6^ , 1 д28л . 72 л ,,- /ч
Я^+^Т2!^!^8^ A6'4)
Умножая последнее уравнение на г2, найдем
ж^+^и1^^(8ш^)+в1^м+^=0- A6-5)
В этом уравнении можно разделить переменные:
Нам уже известно решение первого уравнения, когда т2 имеет вид
тг(/г + 1). В этом случае решение #„(#,9) представляется поверхностными
сферическими функциями порядка п. Тогда второе уравнение имеет вид
^^+к2г2-п(п + 1) = 0, A6.7)
§16. Сферические волны
611
или после простого преобразования
^ + [Л2_1Фи-0]/?:=о. A6.8)
Чтобы свести уравнение A6.8) к известному, заменим п числом р = п + 1/2
так, что
п = р-\, п + 1=р+±, п(п + 1) = р*-\. A6.9)
Для функции Я при этом получаем уравнение
?А^)!
ЦН*!—^)П-0, <1610>
решение которого
Щг) = УТгр(кг) = Уг2п+± (кг) A6.11)
уже рассматривалось в ч. II § 20. Следовательно, решение уравнения
A6.2) представляется функцией
Пг(г, 0, у, г) = ][72п+± (кг)8п(Ъ<р)е?ч =
_ 2 A6.12)
= Уг2п+± (кг)Р™(соъ &)<№*($•*.
Общее решение получается наложением решений с различными щ т и о>.
Составляющие напряженностей поля можно вычислить по уравнениям
A3.14), A3.15). Для ТМ-волн имеем
47 г дгд& ' * ' /мог&тд д(р ' у '
а для ТЕ-волн
^ 1 #2ЛГ „ = _ ¦ к2 дП,
Ег = 0, Нг=кШг+д-^,
Е, = -/-^» */*, Я, = ±|^, A6.14)
Э2Я,
Г 00 ' * Г 8111 0 #Г#<р "
Выражение для -Бг можно записать проще: из уравнения A6.8) следует,
что
Ег = Шг+д-^ = 2^1^#г. A6.15)
В решении A6.12) содержатся практически важные частные случаи,
например поле электрического или магнитного диполя. Ниже мы к этому
еще вернемся.
Исследуем вырожденный случай, который не содержится в общем
решении A6.12). Пусть п = О и ш = 0; тогда система уравнений A6.6)
в случае цилиндрической симметрии распадается на следующие два урав-
39*
612
Часть IV. Электромагнитные волны
нения:
Для Н(г) решение имеет вид
Щг) = Ае^*, A6.17)
а для 3(Ф)
вт#§=-Я, 5(#)=у,^^ + С = Д1по*8| + С. A6.18)
Следовательно,
77г = (Я1п с*в:| + СУ(в'±Аг) • A6.19)
К этому решению мы еще раз вернемся. Следует особо подчеркнуть,
что уравнение A6.2) для Пг не может быть представлено скалярным
волновым уравнением <Ну §гай Пг + к2Пг = 0.
Для скаляра у) волновое уравнение сНу §гай у) + к2у) = Ау) + к21р = 0
в сферических координатах записывается в виде
Решение этого уравнения очень похоже на решение уравнения A6.2):
гр = -кгп+^(/сг)Р^(со8 $)е±зт*е>*К A6.21)
У КГ 2
Обычно вводятся так называемые сферические функции Бесселя
гп(х) = Щгп+±{х). A6.22)
Но мы также будем пользоваться функциями
}п(кг)=]Г».7п+1(кг). A6.23)
|/ 2кг 2
§ П*. Связь между плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами
Уравнения Максвелла решались в декартовых, цилиндрических и
сферических координатах, благодаря чему получались решения,
поведение которых проще всего можно было представить соответственно на
плоской, цилиндрической и сферической поверхностях. С их помощью
можно удовлетворить граничным условиям, заданным на подобных
поверхностях. Особое значение имеет то обстоятельство, что волну заданного
типа, например сферическую волну, можно представить наложением ряда
плоских волн. Таким образом может быть представлена, например,
сферическая волна в случае, если она должна вести себя заданным образом
на плоской граничной поверхности.
Вначале попробуем представить цилиндрическую волну с помощью
плоских волн, т. е. получить тип волны, который удовлетворяет волновому
уравнению, записанному в цилиндрических координатах. Беря сумму
плоских волн, мы должны получить решение волнового уравнения; это
решение должно иметь вид
г (г, <р, г, I) = П{г)е^е^1~^\ A7.1)
$ 17. Связь между цилиндрическими и сферическими волнами 613
причем Я(г) удовлетворяет уравнению
^т^*!1—)я = 0' A7-2)
где В = Щд) и д = У/с2-/32г.
Известно, что [см. A4.27)]
2{г,<р,г,1) = &*% ( й#' ^^,^>VЛ(X8^п^с089,,+^/8^п^8^п9/+2С08^); A7.3)
при этом нужно или в левой части ввести новые переменные х, у вместо
переменных г, у, или в правой части вместо х, у подставить их значения,
выраженные через ги<р. Так
как к со8#' равно —/?, т.е.
постоянно, то плоские волны,
создающие цилиндрическую
волну, лежат на поверхности
конуса, определяемого углом
$'. Угол конуса $' может
принимать комплексные
значения; само собой разумеется,
что при этом он теряет
геометрический смысл. Так как
$' постоянен, то интегрировать
нужно только по ср'. Таким
образом,
2{г,ср,*,1)=2{г,ср)е^-1*\
A7.4а)
у = Г$1ПСр
Фиг. 410. К представлению цилиндрической
волны плоскими волнами.
где
2(г, (р) = Г^'^АосвШ^сов^+Увт^вШф')^
A7.46)
Введем теперь цилиндрические координаты (фиг. 410), для которых
х — г сов 9, У = г зт <р.
Показатель степени при этом можно преобразовать так:
]к{х 8Ш#' С08<р' + у 8Н1 $' 8Ш (р') = ]кг 8Ш $' С08 (ф' — ф).
Так как
8Ш
то
Дт8т#' = гУА;2-|82 = ?.
2(г, ?>) = )* #(<рVе с08 <,''_9, «V •
Теперь введем новую переменную ф' — <р= д, тогда
Поэтому
A7.5)
A7.6)
A7.7)
A7.8)
A7.9)
A7.10)
614
Часть IV. Электромагнитные волны
Так как в функции 2(г,<р) переменные разделяются и у входит только
в #E + <р), то эту функцию можно записать в виде
?(<3 + <р) = Ы%2(<р).
При этом
2(г,ч>) = Ф(у)Щг) =?2(^)/§1(^еС08й^й. A7.11)
д
Отсюда имеем
Ф(ф) = Ы<Р) = е*п*, Щг) = {еАд^^НЬ, A7.12)
ь
причем §±(д) должна быть такой, чтобы Я(г) удовлетворяла уравнению
A7.2). После подстановки Щг) в уравнение A7.2) и дифференцирования
под знаком интеграла по $ получим формулу
/(е28ш2 а + /есо8 в-л2)^)^*008* ЛЬ = 0. A7.13)
ь
Легко видеть, что это уравнение эквивалентно следующему:
д д
После выполнения в этом уравнении указанных операций получим
исходное уравнение A7.13).
Первый член уравнения A7.14) представляет собой полный
дифференциал. Он принимает нулевое значение, если путь интегрирования выбран
так, что выражение
[-/рвш^в)--^-]^^* A7.15)
имеет одно и то же значение в начальной и в конечной точках. Второй
член исчезает, если §г удовлетворяет следующему дифференциальному
уравнению:
ЦК*яй = 0. A7.16)
Оно имеет решение
?1F) = ^>, A7.17)
поэтому
Щг) = А 1^С08д+п6)Aд. A7.18)
д
Так как общее решение дифференциального уравнения A7.2) можно
представить цилиндрической функцией гг-го порядка, то мы приходим
к зоммерфельдовскому представлению цилиндрических функций. Чтобы
получить предыдущую нормировку, необходимо значение постоянной А
.я
-ЗП—
выбрать равной A/тг)е . Следовательно, на основе чисто физических
соображений получается интересный математический результат:
цилиндрическую функцию 2п(о) можно представить с помощью линейного
интеграла
гп(в) = 1__ $ е*(в соз «+п«) йд, A7.19)
^ 77. Связь между цилиндрическими и сферическими волнами 615
распространенного на комплексную плоскость, причем путь
интегрирования нужно выбрать так, чтобы в соответствии с A7.15) выражение
(сет а + /г)еЯеС08*+п*> A7.20)
имело одно и то же значение в начальной и конечной точках.
Различные цилиндрические функции имеют отличные друг от друга
пути интегрирования Ь. Если п—целое число, то путь интегрирования Ь
представляет собой отрезок действительной оси ду простирающийся
от — п до + п, чем и выполняется условие A7.20). Таким образом, можно
прийти к представлению этой функции в виде
^п(^) = ^ / &*С08ь+пЬ) м • A7.21)
Поведение функции в нулевой точке показывает, что действительно
найдена функция Бесселя первого рода. Этим доказывается правильность
выбора постоянной А Впрочем, разложением можно получить известный
ряд для ^п(^)^
Попробуем теперь решить обратную задачу — представить плоскую
волну цилиндрическими волнами. Пусть плоская волна задана
выражением
ез[а>1-к(пт)] — е—зк[В1П Ф'(х СОЗ <р'+у 51П <р')+2 СОЗ #'] е]&1 а A7.22)
Эту формулу можно переписать так:
0—эк 81П #'(л: соз <р'+у з!п <р')^{е>Ь—кг соз У) =
— е~экг 81п д' соз (<р-<р')ез(й>1-кг соз *>') # A7.23)
Следовательно, необходимо функцию
ечъг вы г соз^-ф') = дг? ^) A7.24)
представить в виде
Нг,<р) = П~2°те™, A7.25)
где /п(г) — решение уравнения A7.2). Это действительно оказывается
возможным. Функция /(г, (р) является периодической по (р с периодом 2тг и
поэтому может быть разложена в ряд Фурье. Коэффициент ряда Фурье /п(г),
зависящий только от г, можно определить по известной формуле
/п(г) = — Г вЯ-Агйп *' соз (ф-р')-пф] ^ф 9 A7.26)
о
После введения переменной ср' — <р = Ь находим
/П(Г) = ^ / &-****'СОВ д-П^-ЛП^. A7.27)
о
Поэтому из A7.21) получается, что
Ш = е5п&-*') [/я(_ ]^ вш #')] = (_ 1)п^Чт-^) /п(Аг 8ш 0'). A7.28)
Конечный результат имеет вид
еЧ*г вш *' соз (9-^) = 2'в*( -/)п /я(йг 8ш 0')е*к*-*'> A7.29)
616
Часть IV. Электромагнитные волны
И
еЯ«*-*(пг)] = 2 (~])п7п(кг&тд>')езп(<р-<р')еХ*>1-кгС0*{>'К A7.30)
Таким образом, плоская волна представлена наложением цилиндрических
волн.
Одновременно с этим мы получили часто встречающееся в практике
разложение в ряд. Если д = — кг зш $' и ф — ср' = а —л:/2, то предыдущее
выражение можно записать в следующем виде:
Р 008 (а-|) = ^ ЗШ а = »^"( _ .)П^( _ ^ ^п| =
71=— ~
="У/"Л(^п4=~Л«(^па, A7.31)
т.е.
^евша =П^вв/Л(^)в^а. A7.32)
Разделяя на действительную и мнимую части, получим
71= + оо
сов (д 8111 а) = ^ ^п(о) С08 ^а7
П=—оо
П=+оо
81П (д 81П а) = 2 ^п(о) 8*п пос-
П=—оо
A7.33)
Теперь рассмотрим, как можно плоскую волну представить рядом
сферических волн. Пусть направление распространения плоской волны
задано углами $', ц>'. Тогда плоскую волну в сферических координатах
можно характеризовать формулой
в-^(пв) — е-зквсо&:У^ A7.34)
где
С08 у = 81П $' 8Ш $ С08 (ф— ф') + СОВ $' С08 #. A7.35)
Вначале будем считать, что волна распространяется вдоль оси з,
т.е. что $' = 0 и
сов у = сов Л A7.36)
Так как в соответствии с уравнением A6.21) каждое решение скалярного
волнового уравнения можно получить наложением элементарных
решений, то, принимая во внимание осевую симметрию, получим разложение
в ряд
е-*к сое у = ^ а^^_ /п+±(кЩРп (сов у), A7.37)
причем постоянные коэффициенты ап можно определить обычным путем,
имея в виду ортогональность полиномов Лежандра. Опуская
промежуточные вычисления, приводим конечный результат:
впдасо.^Д^у)»^ A7.38)
$ 17. Связь между цилиндрическими и сферическими волнами 617
Если плоская волна распространяется в произвольном направлении,
то с помощью теоремы сложения [см. ч. II, §29, уравнение B9.24)] можно
получить формулу
в-дасо87 = Д(-/)ЛBя + 1)^-^/я+^(*й)Х
х\Рп(со8#')Рп(со8&) + 2 2 ]^^^(со8^')^(со8^)со8т(^-^I, A7.39)
1 т=1 \п'т'тI •*
где В.,$,ср — координаты произвольной точки пространства; плоская
волна распространяется в направлении $' и у'\ у — угол между
направлением распространения и радиусом-вектором, проведенным в точку
пространства (В, $, у).
Теперь можно ответить на вопрос: как сферическую волну
представить плоскими волнами. Для этого нужно выражение A7.39) умножить
на Р^(со8 $') сое тер' и проинтегрировать по поверхности шара единичного
радиуса, что дает следующую формулу:
Уш: ^п+_1_(йй)Р™(С08 0) С08 тер =
2
= {~^Г I ( еЧкЕс08уР%(со8$')соъм<р'8т&'М'A(р\ A7.40)
о о
Если т = 0, $ = 0, т. е. точка наблюдения находится на оси з, и мы
ограничиваемся случаем аксиальной симметрии, то
2я зг
У-^/ ±(Щ = -Ь*Й1 Г [ е-зкКсо*»' Рп(со*>&')*т#' № Л<р'. A7.41)
о о
и окончательно
71
У"Ш" 7„+А-(АЛ) = Ц^ Ге-^КС08*' Рп(сов *') аш #'й#'. A7.42)
2 О
Этим выражением сферическая функция Бесселя представлена
наложением плоских волновых функций.
На основе предыдущего можно без принципиальных трудностей
представить цилиндрические волновые функции с помощью сферических
волновых функций:
т (ът- ? (~1I 4*+2|»+* B*>! у
<*т\*К) ~ ^ 2*+—* 21+2т Щ1+т-1)\ А
X Рй+т(сов #) ^ /21+т+1_ (Ли). A7.43)
Все закономерности, полученные в этом параграфе, можно в более
подробном виде найти у Стрэттона [1.10].
618
Часть IV. Электромагнитные волны
Г. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I.
В предыдущих разделах на основании известного токораспределения
рассчитывались поля излучения антенны или путем простого решения
волнового уравнения рассчитывалась возможная структура поля, однако
без учета граничных условий, при которых эти поля действительно могут
существовать. В этом разделе будет подробно рассмотрено, какие группы
среди известных общих решений должны быть выбраны для того, чтобы
удовлетворить условиям, предписанным конкретной задачей.
В пространстве, заполненном средой, свойства которой изменяются
скачком при переходе из одной области в другую, электромагнитное поле
должно удовлетворять вполне определенным условиям на поверхностях
раздела этих областей (на граничных поверхностях, на границах). Так,
мы уже знаем, что тангенциальные слагающие векторов Е и Н при
переходе из одной среды в другую не претерпевают разрыва при переходе через
границу. Следовательно, задача состоит в отыскании такого решения,
при котором выполняются граничные условия для Е и Н.
В дальнейшем рассматриваются плоские, цилиндрические или
сферические поверхности раздела областей с различными свойствами
вещества. Первоначально исследуются простые поля, волновая функция
которых представлена в системе координат, удобной для выражения граничных
условий на заданных поверхностях. Затем излагается метод решения в
случае более сложных, однако практически важных, граничных условий.
§ 18. Преломление и отражение плоских волн
Выберем начало координат на поверхности раздела двух сред, как
показано на фиг. 411. При этом уравнение поверхности имеет вид пг = О,
где п - нормаль к поверхности, а г - радиус, проведенный из начала
координат в любую точку поверхности. Напряженность электрического поля
в этом случае равна
Ее = ЕоееЯ^-Мп,г)] ^ A8Л)
где
&1 = о>Уе1/л1.
Фиг. 411. К выводу закона преломления
плоской волны.
A8.2)
Это решение не может быть
справедливым для всего
пространства, так как в среде B)
постоянная распространения имеет другое
значение. Поэтому для волны,
проходящей во вторую среду,
решение должно иметь другой вид:
Ед = Е0GеЛ**-ь.(п,г)] ? A8#3)
где
к2 = о>Уед<2-
Соответственно магнитные поля этих волн имеют вид
Не=|/^(пехЕе), •
Н, = [|(п9хЕв).
A8.4)
§18. Преломление и отражение плоских волн
619
Если принять, что существуют только эти две волны, то оказывается
невозможным удовлетворить требованию непрерывности тангенциальных
составляющих одновременно и вектора Е и вектора Н. Необходимо
предположить существование еще и отраженной плоской волны,
распространяющейся в направлении пг в первой среде. Ее электрический и магнитный
векторы запишем так:
Ег = Е0ГеЯ»<-Мпгг)]? Нг = 1/^(пгхЕг). A8.5)
Теперь граничные условия выразятся равенствами
(Ее+Ег)хп = Е^хп,
(Не + Нг)хп = Н^хп, пг = 0. A8'6)
Если теперь в эти уравнения подставить выражение вектора
напряженности магнитного поля через напряженность электрического поля,
то граничные условия на плоскости пг = 0 выразятся уравнениями
(Ее+Ег)хп=Е^хп, A8.7)
|/*-^-[(пехЕе) + (пгхЕг)]хп = |^(п,хЕ,)хп, A8.8)
в которых, конечно, должно выполняться и условие равенства фаз правых
и левых частей. Это возможно в любой точке плоскости пг = О только
при равенстве фаз всех векторов:
^(п, г) = А:1(пгг) = к2(пд г) A8.9)
при пг = 0.
Из этих равенств можно получить два чрезвычайно важных следствия.
Действительно, равенства
(пе-пг)г=0, (пв--^п,)г = 0, пг=0 A8.10)
справедливы при любом г только в том случае, если
(пе-пг)^Я1п, (п,-^,) = Л.П, A8.11)
где Ях и Я2—любые скалярные постоянные. Следовательно, между пв,
пг, п и соответственно пе, п^, п существует линейная зависимость, т.е.
векторы пв, пг, пд и п компланарны.
Назовем плоскость векторов п и пе плоскостью падения; тогда первое
важное следствие можно формулировать так: отраженный и
преломленный лучи лежат в плоскости падения.
Равенство пег = пгг непосредственно выражает равенство углов
падения и отражения. Выбрав вектор г в направлении линии пересечения
плоскости падения с плоскостью раздела сред, получим (см. фиг. 411)
Ахвпкх! = &2зта2, A8.12)
или
8111 0Сг __ к2
81Па2 ~~ &1
A8.13)
Это равенство выражает известный закон преломления Декарта —
Снеллиуса.
620
Часть IV. Электромагнитные волны
Амплитуды отдельных волн определяются по уравнению A8.6).
Как видно из фиг. 412, вектор электрического поля может быть разложен
на две составляющие. Одна составляющая лежит в плоскости падения,
другая — в перпендикулярной ей плоскости. Таким образом, любую
падающую волну можно разложить на две. Рассмотрим каждую из них в
отдельности.
В первой волне вектор Е лежит в плоскости, перпендикулярной
плоскости падения, т. е. он параллелен граничной плоскости. Уравнение
A8.7) для этого случая упрощается и принимает вид
Ее + Ег = Ед. A8.14)
\н*
Д5
О) \
77Я7//////Ш,
®
<
/
/
%/'
/ Ег
^///////////Тлу/
|\ 5
Фиг. 412. Падающая волна может быть разложена на две
составляющие так, что в одной из них вектор напряженности
электрического поля перпендикулярен плоскости падения (а), а в
другой лежит в плоскости падения (б).
В этом случае равенство A8.8) запишется так:
У^ (С08 а^ - С08 лгЕт) = ]/ ^ сов 0С2Ед .
A8.15)
Теперь можно найти отношение Ег/Ее как функцию угла падения.
Действительно, из предыдущего уравнения непосредственно получаем,
что
Е уефшЫЪ {Е Е)ш
9 У е2/*1 С08 ос2х е г/
Подставив Ед в уравнение A8.14):
Е^Е,
= 1/^2
Г *2^1
сов ах
(Ее-Ег),
получим
?1
ЕЛ
со8а2
У еФ2 соз ах — У^Н сов а2
Уёйй С08 (&1 + У е2цх со8 а2
Принимая во внимание еще равенство
A8.16)
A8.17)
A8.18)
8ша2
ИЛИ
8Ш2 а2 = -^^ Вт2 ах ,
^2^2
получаем окончательный результат
Ег = С08 Лг - У(е2^.1/е1^2) - (/^/^гJ 81П2 Лг
Ее со8 а! + У(е2/^1/е1/и2) - (^/^гJ зт2 ах
A8.19)
$ 19. Распространение волны вдоль круглого цилиндра 621
Во второй волне вектор Е лежит в плоскости падения. В этом случае
уравнения A8.7) также упрощаются (см. фиг. 412,6):
(Ее-Ег) соз ах = ^соз а2, A8.20)
У±(Е. + Ег) = У±Ев. A8.21)
A8.22)
Из них получаем результат, аналогичный A8.19):
Е, сов а! -1 (ег!!*!ег[1\) - Ы1^J 5Ш2 <*\
Ее соз а1 + /(е1^2/«2^1) - (^/«гJ зт2 ах
Уравнения A8.19) и A8.22) называются формулами Френеля.
Легко показать, что полученные отношения напряженностей
удовлетворяют энергетическому равенству
8е соз ос± = 8Г соз ах + 50 соз а2, A8.23)
т. е.
^Я? совах = |/^^с08 а1+ у^.^Сов а2 . A8.24)
Из формул A8.19) и A8.22) легко видеть возможность интересного,
особого случая: когда в них числитель обращается в нуль, отражение
отсутствует. Угол падения, соответствующий этому случаю, так
называемый угол Брюстера, определяется из уравнений
*8«± = \[Ще^~^г A8в25)
для волны, в которой Ее перпендикулярно плоскости падения, и
1« ос, = 1/^ ][№-**& A8.26)
для волны, в которой Ее лежит в плоскости падения.
§ 19*. Распространение волны вдоль круглого цилиндра
а) Общее решение
Рассмотрим бесконечно длинный круглый цилиндр с параметрами е1У
[ли аь расположенный в бесконечном, Пдйородном пространстве с
параметрами еа, ра, оа, и определим, какие волны могут распространяться
вдоль этого цилиндра.
Соответственно выражениям A5.12), A5.15) и A5.16) общее решение
может быть представлено как наложение ТЕ- и ТМ-решений:
п
п Г л
Щ = 2 Ь№1п(81Г)е-*»*еН«-Ю,
П
{19.1)
622
Часть IV. Электромагнитные волны
где индекс г означает, что уравнения записаны для поля внутри цилиндра.
Здесь
#п, ^п — коэффициенты, относящиеся соответственно к ТМ- и ТЕ-волнам.
Поле вне цилиндра описывается подобными же уравнениями с той
только разницей, что в этом случае вместо функций Бесселя первого рода
входят функции Ханкеля. Последние обеспечивают требуемое поведение
поля в бесконечности. Для экономии места приведем в качестве примера
только уравнение для «^-составляющей электрического поля:
Щ = 2 \~<— Н$>{8аг) + Ь&^шаНЫ'(заг)]е-**е*<**-Ю . A9.2)
При переходе через границу г — г0 тангенциальные составляющие векторов
напряженности поля должны оставаться непрерывными, т. е.
ер = ер>, н^ = та\ при Г~Г°- A9-3)
Подставив выражения для Е и Н внутри и вне цилиндра в уравнения A9.3),
получим уравнения для определения коэффициентов а\а и Ъ%а:
<$Ы*1Го) = <°2аШ*аГо) A9.46)
'•о
= - < &- Н*(*аг9) + ЬапИа]соваЩ^аг0), A9.4а)
и соответственно
М'4со 'О
= -<1-^*аН?'Ы-К*гН?Ы, A9.5а)
%№пШ = Ь№Н<$(*аг0). A9.56)
Эти уравнения составляют однородную систему для четырех
неизвестных коэффициентов а*, а%, Ъ\у Ъ%. Система имеет нетривиальное решение,
если ее определитель равен нулю. Следовательно, для существования
решения должно выполняться условие
1*«Л(^о) 8аН^{8аГ0) 11&84 /я(^/-0) Ца8а Щ2) (8аГ0) 1
-Чгв-кГ- ^
Это сложное трансцендентное уравнение служит для определения
неизвестного коэффициента /3, который связан с р «в соотношениями
\а = /&?,а-^2, Щ,а = «Ч а&, а "/^г, а№, а • A9.7)
После подстановки величины /3 в уравнения A9.4) и A9.5) они могут быть
решены.
Интересны частные случаи полученного общего решения.
Поместив массивный цилиндр из хорошего проводника в изолирующую
среду без потерь, приходим к зоммерфельдовским поверхностным волнам.
$ 19. Распространение волны вдоль круглого цилиндра 623
Если внешнее пространство — хороший проводник, а цилиндр
состоит из идеального диэлектрика или из диэлектрика с малыми потерями,
приходим к волнам в круглом волноводе, имеющим большое практическое
значение в связи с проблемой передачи энергии на сверхвысоких
частотах.
Если идеальный проводящий цилиндр покрыть слоем диэлектрика
и поместить в неограниченное свободное пространство, приходим к
случаю волн Губо—Хармса.
Сначала рассмотрим коротко поверхностные волны Зоммерфельда
и волны Губо—Хармса. Волнам в волноводе ввиду их большого
практического значения посвящен отдельный параграф.
б) Поверхностные волны Зоммерфельда
Пусть проводящий цилиндр находится в непроводящем пространстве,
например, для простоты, в воздухе. Рассмотрим только волны с
цилиндрической симметрией, так как другие, как показано ниже, из-за большого
затухания практически не имеют значения. На том же основании можно
не рассматривать ТЯ-волны. Составляющие поля внутри и вне цилиндра
записываются так1*:
Е\ = а№Ыъг)е*^*>, Н\ = О,
Е* = - аЦ8фГ0(8,г)е^-^\ Я* = 0, A9.8)
Ц = о, я* = - 4/ Л- м;(*г)е*-«-*\
Щ = ода?>(ввг)е*-«-*», Щ = О,
Щ = -а$]аарн#>'(ваг)е*1т*-е», Щ = О, A9.9)
Граничное условие для этого случая имеет вид
Теперь предположим, что
| ефъЫ21 <^ | /ХаH'г | 9 &г = У — ]<*>№% = ][^(оа1 е 4 A9.11)
и
К = еаМ>а<»2 -
Сделанное предположение практически означает, что внешнее
пространство — идеальный изолятор, а внутреннее — хороший проводник, но все же с
конечной проводимостью (а):
Ч-Щ = <1-|) = *8A+/^У - *8/^- A9.12)
Величина /? может быть найдена непосредственно из уравнения A9.10).
Рассмотрим проводник, для которого \г0УЩ — /52| :» 1, что позволяет
воспользоваться приближенным выражением функций Бесселя первого
A9.10)
1} Величины @, $<а, к{а связаны между собой и с другими параметрами
равенствами A9.7). — Прим. ред.
624
Часть IV. Электромагнитные волны
рода для больших аргументов. Если одновременно сог0 Уеа/иа <с 1, то
можно применить приближенное выражение функций Ханкеля для малых
аргументов:
— М^_ я 12^ A9.13)
Здесь у —часто употребляющаяся константа: у^ 1,78.
Физический смысл первого упрощающего предположения состоит
в том, что глубина проникновения поля в проводящий цилиндр мала по
сравнению с его диаметром. Второе предположение означает, что длина
волны в свободном пространстве велика по сравнению с тем же диаметром.
Таким образом, уравнение A9.10) принимает вид
- *<^1п-*^=/Л»^. A9.14)
Введя обозначение
*=У^Н»Ч, A9.15)
в предположении, что кг много больше, чем /?, после простых
преобразований получим
Уравнение A9.16) может быть переписано иначе:
Э^±ЫC$\%=-*1&%-гЛ. A917)
B/)* 2 2/) 4'^/с, ° 11^.1/;
Введя новую переменную
17 = (
.2/
перепишем уравнение в виде
и = (Щ2 , A9.18)
и\пи= -]3>&.*г0 = и, A9.19)
где буквой V обозначена вся известная правая часть.
Задача теперь состоит в том, чтобы решить относительно и это
трансцендентное уравнение. Это может быть сделано следующим способом.
Так как 1п и изменяется медленно, можно выразить (тг + 1)-е приближение
через гг-е приближение по уравнению
ип+11п ип = V . A9.20)
Таким образом, находим, что
_ V _ V
• " 1п р " 1п р
A9.21)
Зная и получим | и /5 из A9.15) и A9.18). Тем самым определена и
функция е№*%-№ .
Отсюда видно, что действительная часть /? определяет фазовую
скорость и=со/Яер, а мнимая часть /5-затухание.
ип + 1
1п
ип
1п
1п
V
-1
1п
1п
V
V
$ 19. Распространение волны вдоль круглого цилиндра 625
Подставив найденную величину в выражения A9. 8) и A9.9), получаем
возможность рассчитать электромагнитное поле в каждой точке
пространства. Качественная картина поля показана на фиг. 413.
Рассматривая отдельные реальные случаи, можно заметить, что при
относительно малых диаметрах проводника фазовая скорость волны
приближается к скорости света в свободном пространстве и затухание очень
мало. Но при этом поле оказывается значительным даже на очень больших
расстояниях от проводника, и, следовательно, для того чтобы другие
проводники не оказывали
влияния на поле,
проводник должен находиться
очень далеко от других
проводящих тел. Зная
напряженность поля на
поверхности
проводящего цилиндра, можно
рассчитать мощность,
переносимую вдоль него,
и определить радиус
окружности, внутри
которой проходит
определенная часть, например
75%, энергии. Для
медного проводника
радиусом г =5 ММ при длине Фиг. 413. Основная зоммерфельдовская волна,
волны 30 см величина
радиуса такой окружности составляет 1 м; обеспечить такие расстояния
между проводниками не всегда возможно.
Зоммерфельдовские поверхностные волны, образующиеся вокруг
идеального проводника, простираются бесконечно далеко и несут бесконечно
большую мощность. Следовательно, для получения реальных решений
необходимо считаться с конечной проводимостью.
в) Поверхностные волны Губо—Хармса
Поле может быть сконцентрировано около проводника, если- покрыть
его слоем диэлектрика с большой диэлектрической постоянной. Благодаря
этому возникает возможность передавать энергию вдоль проводника с
малым затуханием. В этом случае поле существует в трех областях:
а) внутри металла с параметрами еи /^, а{ (здесь поле описывается
бесселевыми функциями первого рода);
б) в изолирующем промежуточном слое с параметрами е8, /л8 (при
описании поля здесь, кроме бесселевых функций, появляются функции
Неймана);
в) во внешней среде с параметрами еа, [ла (это поле описывается
функциями Ханкеля).
Составляющие электрического поля, например для промежуточного
слоя, записываются так:
т = (л*-/р)[о&/0(У^^
Е% = 0, A9.22)
40 К. Шимони
626
Часть IV. Электромагнитные волны
Если г0 радиус цилиндра, &гг— радиус изолирующего слоя, то условие
на границе идеального проводящего цилиндра имеет вид
Е% = 0 при г = г0,
или в развернутом виде
аиШМ^г0) + а^0{][Щ^г0) = О,
откуда получаем
A9.23)
«о»
A9.24)
Условие непрерывности Е2 и Н9 при переходе через поверхность
раздела диэлектриков запишется подобно уравнению A9.10), если только в
левой части заменить /0 на функцию /0 + (аоП/а&) #0:
«
Го(У**.-Р ^)+^^(/^Г1)
Поскольку отношение «оп/аог известно, решение имеет вид
а^^Г1^ лС^Г^М/лГ^о)-/0(/*;-рг0МУц=Ргд
A9.25)
A9.26)
Отсюда может быть найдено /3 и тогда вся задача в принципе решена.
Сделаем следующие упрощающие предположения. Пусть слой
состоит из идеального изолятора и, следовательно, &8 = со У е8[л8. Далее
предполагаем, что | г-^УЩ — /З2 |« 1, т. е. что длина волны велика по сравнению
с радиусом. В этом случае можно заменить цилиндрическую функцию ее
приближением для малого аргумента по уравнениям A9.13). При этом
вместо A9.26) получаем уравнение
1 *« К 2/ |( е8 к, г0 '
A9.27)
из которого /? найти значительно легче.
Теперь поле определено как в оболочке, так и во внешнем пространстве.
Из выражений поля можно увидеть происходящую концентрацию поля.
Вычисления показывают, что концентрация поля очень значительна и
что большая часть мощности распространяется вдоль проводника.
/~\ г~\ /~\ (¦
1 ^ДЙТО
ч-^ \~) \~) V.
-\ /""\ /""\ /-ч Г
II II II 11
. ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 11^
|| 111| 11
-/ Ч-/ \~) \^) ч.
Фиг. 414. Излучение поверхностных волн Губо—Хармса.
$ 20. Решение краевой задачи на шаровой поверхности 627
Для проводника с конечной проводимостью распределение поля и
соответственно затухание в первом приближении могут быть рассчитаны
по тем же формулам. На фиг. 414 показано возникновение такой волны.
Волна, распространявшаяся по коаксиальной линии (кабелю), с помощью
рупора преобразуется в поверхностную волну.
§ 20*. Решение краевой задачи на шаровой поверхности
а) Общее решение
В § 16 рассматривалось решение волнового уравнения в сферических
координатах и определялись составляющие поля. На основании этого
теперь можно решить следующую задачу. В пространство с параметрами
еа> Ра, °а помещен шар с параметрами е1у /ли а{. Ищется решение волнового
уравнения, конечное внутри шара, удовлетворяющее условиям в
бесконечности и граничным условиям на поверхности шара. Для ТМ-волн внутри
шара решение записывается по A6.13) в виде
2
п+
аУг I г (А,г)
= 4т1- 4: УУ^ ! (*1ГL^(С08 0) в^в*-« ,
2
*~атпг&т$ дер йг 6 "
= а™7& гУ7'/п+1.(*|Г)Р" (с°8 ^ е^°'' B0Л)
2
^ СОК Г 81П^ ^ П+--
= ^-^ / 1 (V) Р™ (С08 0) в*»*в*в'-,
^СОР Г 81П # П+_2"
= _ у _<пМ_ у /д. ч ару(со8 0) ^^ #
Соответствующие уравнения можно написать и для ТЕ-волны. Поле во
внешнем пространстве описывается аналогичными уравнениями, только
в них вместо функции 1п+х12(к{г) входит функция Щ\1!г(каг).
Искомое решение может быть составлено из этих выражений.
Входящие в них коэффициенты апт определяются из граничных условий; при
40*
628
Часть IV. Электромагнитные волны
переходе через шаровую поверхность тангенциальные составляющие
электрического и магнитного поля остаются постоянными.
Итак, граничные условия имеют вид
Подставив соответствующие величины из предыдущих выражений,
получим
ь 2 Аг=г0 1_ 2 _|г=
Уг01 , х (кгг0) = а«тп^-Уг0Нш х (каг0),
B0.3)
или
& и п+-| х * "' "м* ^ « п+-2
где дифференцирование (показанное знаком') производится по аргументу
Лаг0 или к^.
Преобразуем несколько написанное уравнение. Введем новую
переменную д = каг0. Тогда кгг0 = каг^{к{1ка) = N^у где N = кг/ка. Уравнение B0.4)
перепишется при этом в виде
^ип+1и(Щ) нН^^д)
B0.5)
В этом уравнении со — единственный переменный параметр.
Следовательно, граничные условия могут быть удовлетворены путем
соответствующего выбора этой величины. Это значит, что существуют
дискретные значения со, при которых удовлетворяются граничные условия.
Аналогичным образом определяется ТЕ-волна. Граничное условие
для нее имеет вид __
Рассмотрим следующие частные случаи: металлический шар
бесконечной проводимости в идеальной изолирующей среде и (несколько
подробнее) обратный случай —диэлектрический шар в металлической оболочке.
В первом случае могут существовать колебания заданной дискретной
частоты, затухающие вследствие излучения, во втором — незатухающие
колебания в полом резонаторе (незатухающие при идеальной проводимости
металла и при отсутствии потерь в диэлектрике).
б) Собственные колебания в случае металлического шара
Так как в этом случае а = <», а следовательно, Е# = Е9 — 0,
уравнения B0.5) и B0.6) принимают такой вид:
для ТМ-волны
, ; ! [У?Я^1(е)]' = 0 B0.7)
и для ТЕ-волны
пЧ
7A)
^;Ме) = 0. B0.8)
П+2
$ 20. Решение краевой задачи на шаровой поверхности 629
Рассматривая низшие типы ТМ-волн (для п= 1), получим
^1(9) = -|1>A+А), ПИУ.(Я) = -Ц*{1+§ B0-9)
и, следовательно (см. ч. II, § 20 ),
[У?^/!(е)]'=-]/!*" [-^-^+у]. B0.Ю)
Корни уравнения
е2+/е-1 =0
определяют характеристические частоты волны; эти корни имеют значения
оп = +0,866-/ 0,5,
о12= -0,866-/ 0,5.
Теперь со находится из следующих равенств:
B0.11)
ачения
B0.12)
«11
12
12
-У^аМа
сог,
о >
-Уел/*л
±0,866-70,5 1
~ У ««/"а
B0.13)
При извлечении корня здесь следует брать отрицательный знак.
Временная зависимость функции выражается в следующей форме:
0,5
е3«>1 = е П
1 1±3 0,866 1 г
*аAа
B0.14)
Отсюда видно, что колебания затухают. Так как и металл и диэлектрик
были приняты идеальными, причина затухания — излучение. Длина
волны излучаемых колебаний равна
Я=о|^о = 7,28г0. B0-15)
в) Сферическая антенна
Такая антенна состоит из двух полусфер, разделенных узкой щелью.
Возбуждение антенны осуществляется подачей высокочастотного
переменного напряжения к двум полусферам. Практически коаксиальный кабель
подводится к середине сферы (как показано на фиг. 415), причем внешний
проводник соединяется с нижней, а внутренний — с верхней полусферой.
Рассмотрение сферической антенны может показаться несколько
искусственным, однако, как показали Стрэттон и Чу, имеется возможность
(II
Фиг. 416. Непрерывный переход
от сферической антенны к стержневой.
€ и г. 415 Возбуждение сферической антенны.
630
Часть IV. Электромагнитные волны
путем деформации (фиг. 416) перейти от сферической антенны к реальным
стержневым антеннам, возбуждаемым в центре; при этом решение,
полученное для шаровых антенн, постепенно преобразуется в решение для
стержневых.
Как уже указывалось ранее, для ТМ-волны при отсутствии
зависимости от угла <р составляющие поля имеют вид
г" "+
Е»
'* = а°"ТТг Рг Я1+|(Н 55 Рп (С08 *)е*' B0Л6)
Н - -а /_*!..»<»>, ШЛ<Ц>"(с08Щ№
Пользуясь формулами
^*1=-1«(оов*),
и вводя новую константу А, определяемую равенством
B0.17)
Ап = 1-^аоп = 1х»%п, B0.18)
можно придать выражениям B0.16) следующий вид:
Н. =фр„(со8#)Я<2>1(&г)е*'(, B0.19а)
ГГ "+2"
Е*= ^7 ^7 р« <сов ^)[геЯпи ^г) - ^-А М6*' B0-19б)
Ег = Ш ^^ (Аг)Р«(оо8 *)«*. B0.19в)
Рассмотрим решение, соответствующее значению гс = 1. Функция
Ханкеля НЩкг) представляется (как было показано в ч. 11, § 20) очень просто
тП(кг) = \[^е-*г(±-1). B0.20)
Преобразуя уравнения B0.19), мы можем представить выражения для
поля в следующей более удобной форме:
Сравнивая их с полученными в § 7 выражениями для поля диполя,
замечаем, что оба решения становятся совершенно тождественными, если
постоянной А приписать значение
А ЩЬги Bо.22)
1 4/У2я
$ 20. Решение краевой задачи на шаровой поверхности 631
Однако нельзя упускать из вида, что это решение еще не
удовлетворяет граничным условиям на шаровой поверхности. Последние требуют,
чтобы напряженность электрического поля была перпендикулярна к
поверхности сферы всюду, кроме узкой щели между полусферами, т. е.
Я, = 0, г = г0. B0.23)
Поле в щели, т.е. в области ж/2 — ос ^ # ^ тг/2 + а (где 2а— угол
раствора щели), равно наложенному электрическому полю. Составляющая
поля Е# неизвестна, известно только напряжение, т. е. линейный интеграл
от поля между двумя полусферами С/0 = ^Е^г^) г0 & $.
Для удовлетворения граничным условиям составляется бесконечная
сумма по п из решений, выраженных уравнениями B0.19), с надлежащим
образом выбранными коэффициентами. Длр магнитного, поля,
непосредственно связанного с током, получается соотношение:
Я, = 54П (сов 0) #B) х (кг), B0.24)
п=1 Г /2 п+—
в котором ряд коэффициентов Ап определяется граничными условиями.
Зная ток, можно найти входное сопротивление антенны, потери мощности
на тепло в ней, а при известных электрическом и магнитном полях —
полную мощность излучения.
Выберем теперь решение уравнений Максвелла в сферических
координатах, удовлетворяющее предписанным граничным условиям. Как уже
говорилось, такое'решение можно составить из решений, записанных
уравнениями B0.19). Нетрудно найти коэффициенты, на которые следует
умножать отдельные решения, чтобы удовлетворить граничным условиям,
если известна зависимость напряженности поля 2?* от угла # при г = г0.
Пусть, например,
Д,,г_г. =/@), B0.25)
тогда, представляя /($) в виде ряда присоединенных сферических функций
/(*) = 2*п^(сов*), B0.26)
71=1
можно определить все коэффициенты из уравнения
К = 2п(п+1) /№Р»(С08 *> 8{П * М• B07)
О
Но, к сожалению, в нашей задаче функция /($) неизвестна. Однако можно
считать щель между полусферами при всех изменениях угла настолько
малой, что 8ш # остается равным единице и соответственно
функция Р^(со8#) остается постоянной и равной Р^@). Тогда выражение
Р* (сое ё) 8ш. $ может быть вынесено из под знака интеграла. При этом
коэффициенты определяются по формуле
Ьп = Щ^Ш'К» в» = (*и-'>*«0)Р.. Bо.28)
п 2п(п+1) ^ 9 2п{п+\)г0 К '
зг/2 — а
Общее решение для электрического поля по уравнению B0.196) для
любой точки пространства имеет вид
ЕР = -V 2 ^п^А(со8 0) [кгНB) х (кг) - п ЯB) ! (кг)]. B0.29)
соег /2 п=1 п~ п+—
632
Часть /V. Электромагнитные волны
а на сфере, т.е. при г=г0,
Е>9 г=п = -Лг 1 ^я^(сов 0) [/сг0ЯB) г (кг0) - п #B) х (кг0)]. B0.30)
Сравнивая последнее выражение с формулой B0.26), находим значение
коэффициентов Ап:
Л — ыег0*1гЪп
^кг0Н^1/г(кг0)-пН%12(кг0)]
B0.31)
По известному распределению поля можно определить все
интересующие нас величины, характеризующие антенну: ток антенны, ее входное
сопротивление, мощность, излучаемую антенной, и т. д. Определим входное
сопротивление антенны, ввиду его особой важности. Магнитное поле в
любой точке пространства определяется из выражения B0.24).
Константы, входящие в него, задаются уравнением B0.31). Последнее выражение
определяет одновременно и ток антенны. Взяв линейный интеграл от
напряженности магнитного поля по большому кругу антенны, например по
нижней окружности верхней полусферы, получим выражение
2яг„#.
¦Л
или после подстановки выражения для Н^
0,020
B0.32)
0,016
'§ 0,012
л
0008
0,004
О
\1
Ы
72=/
Уп)
1п
,_—^
=3
1
У
|Г2=,
9
= 2лг02^-АпН™(кг0).
п=1 Г0 /2 п+-
B0.33)
Ввиду зависимости отдельных
коэффициентов от напряжения,
приложенного между сферами
[формулы B0.28) и B0.31)], входная
проводимость равна
У=-^ = 2^п, B0.34)
V,
П=1
Где индексом п обозначены
составляющие проводимости,
обусловленные отдельными гармониками.
Эти составляющие определяются
равенством
Уп =
>Bл+1)[Р>)]2
п(п+1)
/
2 3 4 5 6
2пг0/Х
Фиг. 417. Активная проводимость
сферической антенны при различных
порядковых числах в зависимости от отношения
радиуса сферы к длине волны.
" п Н^_Ч2(кг0)'
*'о Н<ЦЧш(кг0)
B0.35)
Здесь принято, что проводимость
всей антенны слагается из суммы
проводимостей отдельных
гармоник. Величина, обратная
проводимости, дает входное
сопротивление антенны. Вычисление прово-
^ 20. Решение краевой задачи на шаровой поверхности 633
о
о
О
со
О
димости возможно, так как все °>08
входящие в формулу величины
известны.
На фиг. 417 представлена
действительная часть проводимости.
На фиг. 418 показаны
результирующая, действительная и мнимая
проводимости. Из кривых видно,
что при кг0 = п как
действительная, так и мнимая части
проводимости достигают максимума для
гармоники, номер которой
совпадает с номером порядка членов
ряда п. Для очень узкой антенны
проводимость достигает максимума
при длине волны, соответствующей
резонансу антенны. По кривым
видно, что резонанс в сферической
антенне не очень острый, т. е. не
ярко выражен.
При переходе от шаровых
антенн к антеннам вытянутой
формы максимум на кривых
проводимости становится более
определенным. Для тонкой стержневой
антенны максимум появляется какразпри длине волны Я=2//д. Благодаря
слабо выраженному резонансу такие антенны оказываются
широкополосными. Поэтому сферические или, чаще, сфероидальные антенны находят
практическое применение, например для телевизионных передач.
1 1
^^^^ы
/1Не(Уп)
от
0,06
0,05
0,04
0,03
орг
от
0 12 3 4 5 6
2пг0/\
Фиг. 418. Суммированная по всем высшим
типам волн проводимость сферической
антенны.
г) Двойные конические антенны
В § 16 уже рассматривались особенности решения уравнения для
вектора Герца в сферических координатах, а именно, по A6.19):
Пг = [ А 1п (с*в у) + В] е*<-'-*>. B0.36)
Составляющие поля в этом случае записываются по уравнению A6.13):
зь
Г 8111 #
еЗШ—кг)
Н> = 0,
B0.37)
Н* - АГ81П*
№* г1Ш~кГ)
Для того чтобы решение оставалось конечным при??=0, необходимо
исключить из рассмотрения область, примыкающую к оси г. Это осуществимо
для двух идеально проводящих конусов; при этом выполняются и
граничные условия, так как электрическое поле всюду на поверхности металла
оказывается перпендикулярным к поверхности.
Картина получающегося поля изображена на фиг. 419. Можно
установить также соотношения для тока и напряжения. Напряжение равно
Ь *¦
V = [е^гАФ = Г 4^ е^1~кг) с» = - А]к 1п сЦ-^
*1
езШ-кг)
B0.38)
634
Часть IV. Электромагнитные волны
а общий ток
I = ф Н9г вт 0 йр = ]а>&пАе*м-*п. B0.39)
о
И ток / и напряжение II не зависят от г. Характеристическое входное
сопротивление двойной конической антенны равно
В двойной конической антенне возможно появление сложных волн.
Они состоят из обобщенных ТЕ-волн, благодаря чему граничные
условия выполняются автоматически.
В качестве примера можно указать на волны в рупорообразной вол-
новодной линии. В этом случае для выполнения всех граничных условий
следует пользоваться присоединенными сферическими функциями второго
рода. Сложная ТЯ-волна изображена на фиг. 420.
Щелкунов дал точное решение задачи об излучении конечной
двойной конической антенны, получив одновременно приближенные решения,
приемлемые для многих практических задач.
§ 21*. Расчет поля излучения дипольной антенны при конечной
проводимости земли
Пусть поверхность земли конечной проводимости совпадает с
плоскостью 2 = 0 и непосредственно на поверхности земли, перпендикулярно
ей, расположена короткая по сравнению с длиной волны антенна, т. е.
элементарный диполь (фиг. 421). Исследуем поле ее излучения по методу
Зоммерфельда. Для расчета примем цилиндрическую систему координат.
§21. Расчет поля излучения дипольной антенны
635
Попытаемся решить задачу с помощью вектора Герца, предположив,
что этот вектор П параллелен антенне, т. е. имеет только ^-составляющую,
и что из-за цилиндрической симметрии он не зависит от <р, т.е. что
Пг = Щг, 2). B1.1)
Как известно, вектор Герца удовлетворяет волновому уравнению;
следовательно, в предположении чисто синусоидальной зависимости от
времени имеем
АП(г, 2) + №Щг, ъ) = 0.
B1.2)
В последнем уравнении
к = к0 = со]/ е0[л0 = — для
О
B1.3)
к2 = е[л0со2 — ]а>1л0а для 2 < 0,
{относительная проницаемость земли
^г = 1).
Задача состоит в отыскании решения
уравнения B1.2), которое по мере
приближения к начальной точке выражает поле
элементарного диполя и исчезает вместе
со своей производной при большом
удалении от нее. Одновременно
тангенциальные компоненты напряженностей поля
должны быть непрерывны при переходе
через плоскость 2=0.
Как известно, электрическое и магнитное поля выражаются через П
равенствами
Н = го1(/ше + ог)П,
Фиг. 421. Система координат для
описания поля антенны,
находящейся над плоской
поверхностью земли.
Е = ^П + ^гасШуП.
B1.4)
Поскольку П имеет только ^-составляющую, получим следующие
составляющие поля в цилиндрических координатах:
#г = 0,
#2 = 0,
н9 = н
Цсое + а)
дП
дг
ЕТ =
д2П
дгдъ
Еа
О, Ег = к2П+
д2П
э*2
B1.5)
Принимая во внимание волновое уравнение B1.2), Ег можно записать
и в таком виде:
Ег = к2П+
д2П
= -1 э Г
г дг К
дП\
B1.6)
Значения Яф и Ег, рассчитанные один раз на основании функции П
для земли, а другой раз на основании функции П0 для пространства над
землей, в соответствии с граничными условиями должны совпадать при
.2=0, т. е.
дп0 ,. , .дп А
]с°е0-%г= (]<о*+о)-%т Для 2 = 0,
B1.7)
д*щ
дгдъ
дгдг
ДЛЯ 2 = 0.
636
Часть IV. Электромагнитные волны
Умножая первое уравнение на -,/а>//0, получаем
Я ТТ 1 ТТ
^Ч^о-^ — ((°2е1ио~'1аIиоа)-^- Для 2 = 0. B1.8)
Таким образом, граничные условия имеют вид
к° дг ~ к дг
А§-^ = /с2-т- ДЛЯ 2=0,
B1.9)
д2П0 д2П А
Написанные выше соотношения удовлетворяются при любом г и
могут интегрироваться по г. Константа интегрирования в обоих случаях
равна нулю, так как П, П0 и их производные исчезают в бесконечно
удаленной точке. Поэтому в окончательном виде граничные условия
записываются так:
ЩП0 = к2П для 2 = 0,
ЭПо_ЭП B1.10)
д* ~ Ьъ для 2 ~ и.
Как ужэ упоминалось, в непосредственной близости от антенны поле
должно совпадать с полем диполя без влияния земли, но с различными
моментами диполя для поля внутри земли и в воздухе, т. е.
П0ъ^е-зк°к для #-0и2>0,
г B1.11)
Пъ^е->кК для Д-0и2<0.
Написанное выше решение носит название формулы первичного
излучения. Часть поля излучения, обусловленная присутствием земли,
носит название возбужденного или вторичного излучения. Оно может быть
найдено из частного решения уравнения B1.2).
Запишем уравнение B1.2) в цилиндрических координатах:
Это уравнение решается известным методом разделения переменных.
Положим для этого
Я(г,*) = Р{гJ{г). B1.13)
Тогда уравнение B1.12) принимает вид
¦¦№-&+*¦ <211«
' Р г Аг\
Левая и правая части этого уравнения должны равняться некоторой
постоянной 82. В итоге уравнение B1.14) распадается на два
обыкновенных дифференциальных уравнения:
|-^ = 52-А;2. B1.16)
§21. Расчет поля излучения дипольной антенны
637
Их решение известно:
Р(г) = А10(зг),
Так как функция Неймана во всех точках на оси антенны равна
бесконечности, решение уравнения B1.15) содержит только функцию Бесселя
первого рода.
Решение уравнения B1.12), соответствующее выбранному
параметру 5, имеет вид
Щг, г) = ^(^е-У^Ъ* для 2^0,
, B1.18)
Щг, я) = 10{$г)еУ**-» 2 для к 0.
Знак показателя выбран так, чтобы функция Щг, я) стремилась к нулю,
когда % стремится к бесконечности по любому направлению. Эти решения
справедливы при любом 5, поэтому их можно записать в форме
Щг, ъ) = Ши*')*-**^* Для 2>0>
, B1.19)
Щг, ъ) - {Шо^г)*?*11» * ДЛЯ 2< 0,
где /0($) и 1(з)- любые функции, зависящие только от 5. Возбужденное
излучение может быть представлено как наложение отдельных решений
путем интегрирования записанных выше выражений по 5 от 0 до °°.
Следовательно, полное решение ищется в виде
Щг, 2) = С0-11^1*+ / /0E) ^0(8^) «Н^1-*.1*^ для *>0, B1.20а)
Щг,ъ) = Се 2 + [ 1(8I0(8г)еУ^^ "A8 ДЛЯ *<0, B1.206)
У Г2+ 2
о
Как в начальной, так и в бесконечно удаленной точках поле ведет себя
соответственно предписанным условиям. Функции /0($) и {($)
выбираются так, чтобы выражения B1.20а) и B1.206) удовлетворяли
граничным условиям.
Решение упрощается, если первичное излучение записать в той же
форме, как и возбужденное, т. е. функцию е^кк/Е представить суммой
функций вида 10(8г)ег*82~к2. Другими словами, необходимо из
цилиндрических волн составить простейшую сферическую волну. Принципиально
это возможно. Известно, что всякую периодическую функцию можно с
помощью рядов Фурье представить в виде синусоидальных и
косинусоида льных колебаний различных частот. Таким же образом можно функцию,
заданную от нуля до бесконечности, представить в виде бесконечной
суммы бесселевых функций. Непериодические функции, для которых
справедлив интеграл Фурье, выражаются также через интеграл от функций Бесселя.
Вследствие этого любая функция Р(г) может быть записана в виде
оо оо
Р(Г) = / 8A8/ Р(^)^^(8^)^{)(8^)^(^о. B1.21)
о о
Для функции Р(г), равной
й^1, B1.22)
Я |2-о
638
Часть IV. Электромагнитные волны
это равенство принимает вид
о
Для отыскания функции первичного излучения е-*кЕ1В не только в
плоскости г = 0, но в любой точке пространства можно воспользоваться
следующим методом: подынтегральное выражение написанного выше
равенства добавляется к решению волнового уравнения, справедливого
для любого я, и полученное выражение интегрируется. Таким образом
получаем для первичного излучения
^е-** = $ у^щ!^-^* для *>0,
B1.24>
О
Подставив эти соотношения в уравнения B1.20а) и B1.206), получим
искомые слагающие вектора Герца:
оо
П0(г,г) = ^ [^=+Ш]Мзг)е-*^ из для 2>0,
О
оо
Щг, г) = у' [^=+/(*)] /0(*г)/^^ для *<0.
B1.25)
Постоянные С0 и С, а также функции /0($) и /($) определяются
из граничных условий. Первое граничное условие имеет вид
кЪП0 = к2П для 2 = 0. B1.26)
Исследуем это условие в окрестности начальной точки. Здесь
сказывается только действие первичного излучения, т. е. соотношение B1.26)
можно записать в следующем виде:
ЩкеЧкоК = № е-зкк для 2 = 0и^0. B1.27)
Левая и правая части этого уравнения в окрестности начальной точки
равны, если для плоскости т> = 0, т. е. для поверхности земли (а также
несколько ниже и выше нее),
к%С0 = к2С. B1.28)
Константы С и С0, величины которых зависят от дипольного момента,,
необходимо определить так, чтобы в дальнейшем вводить по возможности
меньше числовых коэффициентов, поэтому примем
±(С0 + С) = 1. B1.29)
Постоянные определяются из уравнения B1.28) с учетом B1.29) и имеют
значения
с° = ртж' с = таг B1-30>
§21. Расчет поля излучения дипольной антенны
639
Для выполнения этих условий не только в окрестности начальной точки,
но и при любом г, необходимо в уравнение B1.26) подставить определенные
по уравнению B1.25) величины ЯиЯ0; тогда
/[-Йг-7&+^оE)-р/E)]/о(^5 = °' B1'31)
о
так как при 2 = 0 экспоненциальный член равен единице:
Уравнение B1.31) выполняется для любого г, если между функциями
/оE) и К8) существует соотношение
В этом случае, учитывая уравнение B1.30), получаем значение интеграла,
равное нулю.
В силу другого граничного условия
д-^ = ж для 2 = °- <21-34>
Это граничное условие для первичного излучения справедливо при любой
величине г, так как известно, что поле всех вертикальных антенн в
пространстве, не заполненном веществом, всюду препендикулярно
экваториальной плоскости. Следовательно, последнее выражение должно быть
записано только для вторичного излучения, например
оо
Ж 12=0 = //<*) М^У^^^, B1.35)
О
откуда следует, что
][У^ЧШ +У*^2Н*Ш*г) * = 0. B1.36)
о
Из этого условия получается уравнение для неизвестных функций
У^ЦЦз) + У^1р/(в) = 0. B1.37)
Теперь из уравнений B1.33) и B1.37) можно определить функции
/.(*) и /E):
640
Часть IV. Электромагнитные волны
Тогда окончательно получаем
оо
Шг, я) = Г 1Г 2к* изг) е-**1** 8 с1з для г >0, B1.40а)
оо
Я(г, *) = Г 2*° ——^(8^)е+У^Iъ2* *«& для'жО. B1.
406)
Для проверки этого результата рассмотрим случаи, для которых
решение уже найдено другим путем. Пусть, например, к2 = /с§. Это значит, что
все пространство заполнено однородным веществом, а именно воздухом.
В этом случае
Л0(г, 2) = Я(г, *) = -^ . B1.41)
Уравнения B1.40а) и B1.406) при этом принимают вид
оо
П0(г,2)=[-г^=е-У°'-к'*70(зг) для 2>0.
о
Я(г, а) = Г-г^= е+У°г-к1* 10(зг) для 2<0,
B1.42)
т. е. представляют формулы первичного излучения, выраженные через
функции Бесселя.
Рассмотрим далее случай &= °°. Это соответствует антенне,
установленной на бесконечно проводящей земле. В этом случае
П0(г, г) = 2
«
о
7==е • =2-^— для *>0, B1.43)
Я(г,г) = 0 для *<0. B1.44)
Отсюда сразу видно, что поле на поверхности земли соответствует
удвоенному дипольному моменту. Это полностью согласуется с результатом,
полученным раньше.
Для упрощения количественного анализа уравнений B1.40а) и B1.406)
введем следующее обозначение:
А2 = -^~ • B1.45)
Если \к2\ » \кЦ то
к= -к0A-±§). B1.46)
Выразим через эту величину так называемое приведенное удаление
9= -(*о-А)/>. B1.47)
§21. Расчет поля излучения дипольной антенны
641
Ниже мы увидим, что приведенное удаление играет значительную роль
в теории распространения волн. Согласно B1.46), приведенное удаление
равно
* = МЧщ*)''Г!*1?-Ч-' B1'48)
В общем случае приведенное удаление — комплексная величина..Но
мнимая часть к2 значительно больше действительной, поэтому
приведенное удаление можно считать действительным. Так как в дальнейшем
ограничение \к21 ^§> | к%1 сохраняется, остановимся на его физическом
смысле. После подстановки входящих в формулу параметров условие принимает
вид
со2е0^0 «с 1/(е//0ш2J + (со/г0(тJ, B1.49)
или в иной записи
со2еФо« ^0со2]/1+(-^)\ B1.50)
Поскольку можно считать, что диэлектрическая проницаемость земли
мало отличается от диэлектрической проницаемости воздуха, принятое
соотношение равносильно тому, что проводимость а много больше
произведения есо. Это справедливо в большинстве практических случаев,
за исключением ультракоротких волн.
Записав к2 иначе, а именно
к> = епр*[1-1^), B1.51)
мы видим, что при указанных ограничениях действительной частью к2
можно пренебречь и, следовательно, приведенное удаление становится
действительной величиной.
Решение уравнения B1.40) нелегко привести к форме, удобной для
практического применения. Для этого можно воспользоваться методом
Ван-дер-Поля. Окончательная формула для вектора Герца Я0 в
плоскости 2 = 0 имеет вид
_ ^
П0(г,0) = 2е-^[1-]'Улде-е-2Уее-е ( е*йу\. B1.52)
о
Обозначим величину, стоящую в скобках через Р{$); тогда выражение
принимает более простую форму:
Л,(г,0) = 2^ад. B1.53)
Вспомним, что для 2^0при2<сг, т. е. для поля в воздухе на
небольшом расстоянии от земли, решение уравнения имеет аналогичную форму:
Щ(г,х) = 2^[1-/У^в—-2У?е--^ <* йу], B1.54)
О
где
со2=^(к0г + к*J. B1.55)
41 К. Шимони
642
Часть IV. Электромагнитные волны
Из уравнения B1.54) видно, что при очень малом р значение П0
совпадает с решением, которое получается для антенны двойной длины.
После определения вектора Герца можно рассчитать поле. В первую
очередь интерес представляет составляющая напряженности
электрического поля, перпендикулярная поверхности земли:
*--~Ш'т?) *» «-о.
B1.56)
Подставляя значение П0 из B1.52), получаем
*• " -ШФ~ *И = Ч ^^(Й+?( • • • ) • B1.57)
1,0
щ
0,8
0,7
. °>6
< Щ
0,4
0,3
0,2
0,1
Г
\
\
)
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
^0,05
0,04
0,03 \
0,02\
0,01\
0"
12 3 4 5 6 7
7 Ю
20
30
40
50
Фиг. 422. Влияние приведенного удаления д' на функцию /,
определяющую затухание. По Ван-дер-Полю и Бреммеру [см.
формулы B1.58) —B1.63)].
При большом удалении от передатчика (от источника поля) существенную
роль в этом уравнении играет только первый член, так как остальные
уменьшаются пропорционально квадрату расстояния. Величина амплитуды поля
вдоль поверхности земли на произвольном расстоянии равна
\ЕА=Щ
ГШ
B1.58)
Исследуем факторы, влияющие на величину приведенного удаления д.
Принимая во внимание, что
Щ = со2е0/и0 , к2 % - /Ъ/^с, B1.59)
запишем приведенное удаление в виде
9 =
еоУ ео
<"о
2ст
СУ2
B1.60)
С ростом приведенного удаления величина | Р^) | уменьшается,
поэтому все факторы, увеличивающие приведенное удаление,
уменьшают напряженность поля. При заданных частоте и проводимости
приведенное удаление линейно растет с расстоянием. Поэтому поле уменьшается.
Однако, как видно из уравнения B1.58), напряженность поля уменьшается
с расстоянием г не только из-за роста приведенного удаления, влияющего
на функцию Р(д), но также из-за множителя 1/г, стоящего перед функцией.
§21. Расчет поля излучения дипольной антенны
643
При постоянном расстоянии приведенное удаление увеличивается
пропорционально квадрату частоты. Следовательно, волны высокой
частоты затухаю! сильнее. На фиг. 423 показана зависимость поля от частоты
при постоянной мощности излучения. Видно, что при постоянном
расстоянии напряженность поля резко падает с уменьшением длины волны.
Из формулы приведенного удаления видно также, что оно растет с
уменьшением проводимости
земли.
Из выражения B1.60),
казалось бы, следует, что при
очень низкой проводимости
затухание очень велико и в
предельном случае, когда
проводимость равна нулю
(изолятор), приведенное
удаление бесконечно велико, а
напряженность поля вблизи
антенны равна нулю. Это,
однако, неверно, так как
формула B1.60) выведена в
предположении, что <т :$> е0а>,
т. е. применима только в
случае большой проводимости.
Д и агр аммы, пр едназна-
ченные для числовых
расчетов, обычно строятся не в
основных единицах системы
МКСА. Для удобства расчета
напряженность поля
записывают так:
Е2 = 120*4 #т
2 А Б (км)
Не') мв/м,
B1.61)
где/(е') — функция
приведенного удаления, выражаемого
формулой
„2
со"
1са'
е'=-^г. B1.62)
200 300 400 500
Д км
Фиг. 423. Напряженности электрического поля
передатчика в функции истинного расстояния
В с учетом конечной проводимости земли. По
Ван-дер-Полю и Бреммеру.
Излучаемая мощность 1 кет. Верхняя кривая вычислена
по формуле Е =¦ C00/1)) Ур, справедливой для
бесконечно большой проводимости земли. Пунктирные линии
показывают напряженность электрического поля с учетом
кривизны земли.
Именно эта функция /((/)
представлена на фиг. 422.
Приведенное удаление, выраженное через употребительные и
приводимые в справочниках единицы, имеет вид
^ ^-мгЫ- <21-ба>
Здесь длина волны и расстояние выражаются в километрах, проводимость
а — в электромагнитных единицах; приведенное удаление при этом
получится в километрах.
До сих пор поверхность земли предполагалась плоской. Для больших
расстояний это предположение уже не всегда справедливо. Зоммерфельд,
а позднее Ван-дер-Поль и Бреммер рассчитали поля и для сферическрй
41* -
644
Часть IV. Электромагнитные волны
поверхности земли. Примененный в их задаче метод аналогичен методу,
примененному Зоммерфельдом для расчета поля излучения при плоской
поверхности земли, с той лишь разницей, что расчет выполнялся в
сферических координатах.
Из решений уравнений Максвелла в сферических координатах можно
выбрать такие, которые удовлетворяют граничным условиям. Ван-дер-Поль
и Бреммер представили результаты своих вычислений в виде диаграмм,
удобных для практического пользования. В качестве примера на фиг.
423 показано, как при уменьшении длины волны начинает сказываться
кривизна земной поверхности.
Д. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II. ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДНЫХ ЛИНИЯХ
§ 22. Качественный анализ
Нетрудно дать общее представление об ожидаемом здесь явлении.
Если размеры волновода велики по сравнению с длиной волны, то
возникающие в нем волны ведут себя как плоские. Следовательно, они
подчиняются законам преломления и отражения; при этом легко
рассчитывается их интерференция. На основании этого можно сформулировать
важнейшие свойства волн в волноводах.
По волноводу заданных размеров может передаваться энергия только
колебаниями с длиной волны, не превосходящей определенную
критическую величину. Образование волн в волноводе можно представить себе как
следствие многократных отражений на стенках волновода плоских или
сферических волн, исходящих от источника возбуждения, и их
интерференции. Волна отражается от стенки (на которой тангенциальная
слагающая напряженности электрического поля должна равняться нулю) с
противоположной фазой и интерферирует с падающей волной. Если длина
волны велика по сравнению с поперечными размерами волновода, то сдвиг
фаз между падающей и отраженной волнами практически всюду остается
равным 180°. Поэтому во всех точках внутри волновода волны гасят одна
другую. Отсюда вытекает, что поле внутри волновода может существовать
только тогда, когда длина волны и поперечные размеры волновода по
крайней мере одного порядка.
Полное представление о поле в волноводе можно получить,
выполнив количественный расчет для простейшего случая волны,
распространяющейся между двумя параллельными, бесконечно проводящими
плоскостями (фиг. 424).
Пусть первоначально плоская волна падает на металлическую
поверхность 1 под углом ос. Максимумы и минимумы волны отстоят друг от друга
на Я/2. Их положение определяется линиями, проведенными
перпендикулярно направлению падающей волны. Для отраженных волн показаны
такие же линии (фронт волн); само направление распространения
отраженных волн на фиг. 424 уже не показано.
Из сетки этих линий получаем картину интерференционного поля.
Принимая во внимание направление распространения отдельной волны,
Мы видим, что точки пересечения фронтов располагаются параллельно
металлическим поверхностям. Картина не изменится, если в плоскости, где
интенсивность равна нулю, поместить металлическую пластину. Энергия
^ 22. Качественный анализ
645
распространяется параллельно плоскостям обеих металлических пластин.
Металлические пластины можно сдвинуть относительно начального
положения на целое число полуволн АВ. При постоянном расстоянии между
пластинами и постоянной длине падающей и отраженной волн интерференционная
картина меняется в зависимости от угла падения. С увеличением угла а
увеличивается расстояние между точками А и В. При этом может
получиться физически невозможное состояние, так как на металлической поверхности
интенсивность поля должна исчезать. Физически реализуемое состояние
получается, если угол а увеличить таким образом, чтобы „темная"
поверхность 2' (где поля волн взаимно гасятся) заняла положение плоскости 2.
Аналогично этому в волноводе при заданных размерах проводника и
длине волны может существовать только дискретное число типов волн.
Фиг. 424. Интерференционная картина, возникающая
при отражении от плоских зеркал.
Но так как граничные поверхности волноводов могут быть и не плоскими,
в волноводе могут существовать сложные типы волн.
Расстояние между максимумами интенсивности в направлении,
параллельном металлической поверхности, определяет пространственную
периодичность. Оно изменяется, но в общем остается больше длины волны при
ее распространении в свободном пространстве. Итак, длина волны в
волноводе (Л) больше, чем длина волны (Я) той же частоты,
распространяющейся в свободном пространстве; последняя (Я) совпадает, конечно, с длиной
падающей и отраженной волн, распространяющихся между стенками
волновода.
Пусть при расстоянии между пластинами, равном й,
устанавливается интерференционная картина, показанная на фиг. 424, где буквами
А, В, В. .. обозначены темные плоскости, т. е. плоскости исчезающе малой
напряженности электрического поля. Поверхности нижнего и верхнего
проводников A и 2) представляют собой, конечна, также темные плоскости.
Расстояния между соседними темными плоское!ями равны
Если теперь увеличить Я, то расстояние между темными плоскостями
увеличится. При этом верхняя пластина B) уже не будет совпадать с темной
плоскостью. Но если одновременно уменьшить угол а, то расстояние между
темными плоскостями уменьшится. Таким образом, путем соответствующего
изменения угла а можно добиться их возвращения в первоначальное
положение при новой длине волны Д. Но не любое увеличение Я можно ком-
646
Часть IV. Электромагнитные волны
пенсировать изменением угла падения а, так как при а = 0 расстояние АО
стремится к А/2.
Физически установление интерференционной картины фиг. 424
возможно, если
а=Ы)АВ=Ы)ш>> <22-2>
где п — целое число (на картине фиг. 424 п=2). Отсюда находим, что
Я = *™±?.. B2.3)
Но сов ос ^ 1, поэтому
Л^-\. B2.4)
Для волновода это условие формулируется так: при заданных размерах
волновода для каждого вида волны (определяемого числом п)
существует свое предельное значение длины волны (измеренное в свободном
пространстве). Более длинные волны.(данного вида) не могут распространяться
по волноводу, а следовательно, и переносить вдоль него энергию.
Но существует возможность перейти к другим типам волн. Из фиг.
424 видно, что при увеличении длины волны плоскость 2' или следующая
темная плоскость может совпасть с металлической поверхностью 2.
Из уравнений, написанных выше, следует, что в этом случае п окажется
равным уже не 2, а 1 или 0. Дальше увеличивать длину волны уже нельзя.
В последнем случае
Я^2Й. B2.5)
Итак, по данному волноводу (при заданном типе волны) может
передаваться энергия электрического излучения только до определенной длины
волны. Эту длину называют критической, а также предельной или граничной.
Интенсивность поля вдоль линии 00' выражается синусоидальным
законом с периодом Л. Скорость перемещения точки с постоянной фазой,
например точки с максимальной интенсивностью, равна фазовой скорости
волны. Из рисунка следует, что
**='Л = ^ <22-6>
где с — скорость света.
Фазовая скорость г?ф больше скорости света. Но скорость
распространения энергии значительно ниже из-за многократно повторяющихся
отражений. Она равна каг раз проекции скорости света на металлическую
поверхность, т. е.
е;э = с вт а .
При этом
0Ф0э = с2. B2.7)
При приближении к критической волне луч падает отвесно. При этом
длина волны Л, а также г;ф неограниченно возрастают. Скорость
распространения энергии уменьшается соответственно написанному выше
соотношению до нуля. В этих условиях мы приходим к режиму полого
Фиг. 425. Поле в коаксиальном кабеле.
а — распределение напряженностеи электрического и магнитного полей и поверхностного
заряда; б — изменение напряженностеи электрического и магнитного полей, тока и плотности тока
смещения вдоль кабеля; в — применение закона полного тока. Производные по времени магнитного
потока и магнитного поля сдвинуты по фазе относительно магнитного поля на Я,/4; г — применение
закона электромагнитной индукции. Плотность тока смещения (линии электрического смещения)
сдвинута на Я/4 относительно магнитного поля.
648
Часть IV. Электромагнитные волны
резонатора, в котором устанавливаются пространственно распределенные
стоячие волны. Скорость распространения энергии при этом равна нулю.
Подойдем к вопросу с другой стороны. Будем исходить из известной,
изображенной на фиг. 425,а, картины поля в коаксиальном кабеле
(рассматриваемом как линия с распределенными постоянными). Предположим,
что волна в кабеле распространяется только в одном направлении. Фиг.
425, а изображает как раз этот случай.
Как известно из теории длинных линий, амплитуда напр яжения между
проводами и амплитуда тока (в идеальном кабеле) связаны соотношением
2с = ^ = ][^ = 60\п^. B2.8)
Это выражение можно получить непосредственно из законов полного
тока и электромагнитной индукции, предполагая, что характер поля
известен. Выводы останутся справедливыми и для поля в волноводе даже в
количественном отношении.
На фиг. 425,6 показана зависимость от координаты напряженностей
электрического и магнитного полей, а также тока в проводе и производной
по времени от напряженности электрического поля. Для удобства
применения закона электромагнитной индукции на фиг. 425,в показаны
пространственная картина электрического поля и производная по времени от
магнитной индукции. Само собой разумеется, что картина магнитного поля
при этом сдвигается на четверть длины волны. На фиг. 425, в пунктиром
показана линия, вдоль которой производится интегрирование. Применив закон
электромагнитной индукции к отмеченной замкнутой линии и ограниченной
ею поверхности, получим выражение
21] = 2Ет(ге-г1) = 1л0Нтсо^(ге-П), B2.9)
где Ет и соответственно Нш — усредненные по пространству
электрическое и магнитное поля.
Записывая закон полного тока для линии, охватывающей кольцом
внутренний провод: 2шх Н{ = /, получим формулу для средней величины
магнитного поля, учитывая его синусоидальное изменение вдоль оси ъ и
убывание в радиальном направлении (Н~1/г):
1 I 1 1
(г.
н™ = тггдаД т/в*(т*)&* = 1^Т- B2Л0>
Г: О
Из совместного решения уравнений закона полного тока и
электромагнитной индукции получим
Ц _ 1 у0НтсоЦге-Гг) _ 1 /ЛлЦ —
/ " 2 2пг<Н{2 ~ 2л ^ ' Ш г, ~~
Это полностью совпадает с уравнением B2.8). Подчеркнем, что в
окончательный результат не входит частота, так как произведение сэЛ от час-
готы не зависит и равно 2ж. Следовательно, картина поля должна
сохраняться для любой частоты. Ток проводимости, идущий по внутреннему
проводнику, можно заменить продольной составляющей токов смещения,
как это показано на фиг. 426. Получающаяся при этом картина поля несу-
$ 22. Качественный анализ
649
щественно отличается от картины поля в коаксиальном кабеле; теперь
электрическое поле также имеет аксиальную компоненту, временные
изменения которой определяются исключительно переменным током проводимости,
текущим по внешней оболочке..
Ток проводимости во внутреннем проводнике коаксиального кабеля
можно заменить током смещения только при очень высоких частотах,
(____ — - - +++++++ +
сгтт?
[> °
1> '
|* ч
г ^
Гг1-|:|:
1:1:1. Ц |.|:|:
°1 1 < \
\ ^ )
< .
<
* * * ( •*— ° °
II II 1111°
га
*Ч
V ^
( *П
( *\
о / >
№1 п
1 - + +++ + ++ +\
• • •
> ^
г ~\
г ^
о °
Н 1 II
Г" —1
птп—1 1—ГГР
о ч < ' о
1 о о О о 1
^ ; —;
1_} « 1\
«
( "* ^
с • •"* • • ^ •
• ( *—\ •
1
1 —г
ч
( ^н
< * > 1
г *|
МП
1 I
си
Т7о
о о
О О о
[
/
н
*
*"
>
*
>
«
I
*~
Фиг. 426. Поле в круглом волноводе.
Для волн в круглом волноводе роль тока, текущего по внутреннему проводнику
коаксиального кабеля, играет осевая компонента плотности тока смещения, а — распределение напря-
женностей электрического и магнитного полей; б — применение вакона электромагнитной индукции;
в — применение закона полного тока.
поскольку, как это было показано в ч. I, § 4, п. «в», достаточно большие
плотности тока смещения получаются только при таких частотах. Для
применения законов полного тока и электромагнитной индукции к этому
случаю на фиг. 426 представлены схемы, подобные схемам фиг. 425.
Ток смещения должен замыкать ток проводимости внешней оболочки,
поэтому уже нельзя считать, что при всех частотах скорость
распространения в волноводе одинакова. Нельзя считать и длину волны в
волноводе Л совпадающей с длиной волны в свободном пространстве Я.
Закон электромагнитной индукции теперь может быть применен к
контуру, обозначенному на фиг. 426, с учетом следующих соображений.
Длина отрезка усреднения составляет Л/2, амплитуда поля Е02; при этом
650
Часть IV. Электромагнитные волны
средняя величина амплитуды равна гHЕ02. Линии поля в направлении г
располагаются плотнее, чем вдоль оси проводника, в отношении г/Л.
Одновременно линии поля расходятся в радиальном направлении. Это
обстоятельство можно учесть, введя коэффициент %. В таком случае по
закону электромагнитной индукции
%Еог4 +2щЕог^г= ^0%о)Я0у г, B2.12)
где коэффициент г\г лежит в пределах между 0 и 1. Н0 — напряженность
магнитного поля на стенке.
По закону полного тока
2глН0 = е0г}3Еогсог271. B2.13)
Входящие сюда коэффициенты г}19 г\г и г\ъ необходимы в том случае,
когда картина поля неизвестна и, следовательно, нельзя рассчитать
среднюю величину поля.
Этот путь приводит к важному результату. Из последних двух
уравнений получаем
^оу+Нл^/^о^у^з —, B2.14)
откуда длина волны в волноводе равна
21 А2
B2.15)
Подставив в эту формулу вероятные значения величин % = г}г = г\2 =
= г\г = 0,5, придем к результату, близкому к формуле, полученной путем
строгого расчета:
А= я ——. B2.16)
\/2
V ,-
П2ЩГ\Ъ
2*7о
X2
X2
у±_ршу
Изложенные соображения приводят к заключению, что каждой
частоте, т. е. каждой длине волны, измеренной в свободном пространстве,
соответствует своя длина волны в волноводе, и они совпадают только когда
А/г пренебрежимо мало, т. е. если Я очень мала по сравнению с размерами
волновода. Далее видно, что при критической длине волны в свободном
пространстве (Д^), т. е. когда
1-(^)* = 0" и 1д = ^- = 2,6г, B2.17)
длина волны в волноводе (Л) становится бесконечно большой. При
дальнейшем увеличении длины волны в свободном пространстве длина волны
в волноводе Л принимает мнимое значение. Это значит, что не существует
волнового поля, удовлетворяющего основным уравнениям. При длине
волны, превышающей граничную, передача энергии через волновод
невозможна. Частота, соответствующая волне критической длины, называется
критической частотой.
Итак, при заданных размерах волновода существует, как уже ранее
говорилось, критическая частота, ниже которой передача энергии через
волновод невозможна. В следующем параграфе мы перейдем к строго
математическому, в противоположность применявшемуся до сих пор
полукачественному, анализу волн в волноводе.
$ 23. Расчет поля внутри волновода при произвольной форме его сечения 651
§ 23. Расчет поля внутри волновода при произвольной форме
его сечения
Закономерности, приводимые в этом параграфе, получаются
непосредственно из общих уравнений § 19. Приведенные здесь рассуждения, однако,
не основываются на полученных там результатах, так что эти два
параграфа можно читать независимо друг от друга.
Рассмотрим волну, распространяющуюся по волноводу
произвольной формы сечения. Расстояние в направлении оси цилиндра должно
определяться координатой хх = г, выбранной
так, что положение точки в плоскости
г = соде! определяется двумя другими
координатами х2) хг (фиг. 427).
Рассмотрим волну, распространяющуюся в
направлении оси цилиндра. В этом
случае ^-компонента вектора Герца может
быть представлена в таком виде: Фиг. 427. Волновод произвольного
Пх = Щх2, ь^-Ю , B3.1) поперечного сечения.
причем для идеального волновода /? — действительная величина,
записываемая следующим образом:
где Л — период вдоль оси т,, т. е. длина волны в волноводе.
Эта функция удовлетворяет скалярному волновому уравнению
€е частные производные
^ = -соШ,, ^ = -№. B3.2)
Для определения функции П1(х2,хг) получаем после выполнения
дифференцирования в выражении
АПг + к2П1 = (Ну вгас! Пг + к2Пг = О
следующее уравнение:
7кШ^)+^Мк^)+^2-^^ = °- B3-3)
Определив из этого уравнения П1 с помощью уравнений F.4) и F.5),
лолучим для составляющих поперечной магнитной волны:
Е1^Aлесо2-Р2)Пи #1 = 0,
*>=-В|. *•-•$?§¦ <23-4>
дх3 ' 3 Л2 ##«
2
и по F.14), F.15) для составляющих поперечной электрической волны:
Е1 = О, #! = (со2^ - ^)ПХ,
кв Эх3 ' 2 Н2 дх2
*--*5# *¦--'*«!• B3-5>
652
Часть IV. Электромагнитные волны
В следующих параграфах с помощью выведенных здесь формул
рассчитываются различные типы волн в волноводах круглого, кольцевого,
прямоугольного и эллиптического сечений.
§ 24. Цилиндрический волновод с круглым сечением
В случае круглого цилиндра можно ввести цилиндрические
координаты
х± = 2, х2 = г, хъ = у, к± = 1, Н2 = 1, Нг = г, B4.1)
в которых уравнение для определения вектора Герца имеет вид
д^ + ^+7>1$ + к2111 = 0 ПРИ &=*!"*-(?• B4-2)
Входящая сюда величина Пх зависит только от у и г. Здесь введено
обозначение к2 = ерко2 — /?2 в отличие от употребляв шегося ранее з2 = е/лсо2 — /?2.
Из геометрических соображений, казалось бы, можно предположить
наличие осевой симметрии. Однако это предположение оказывается
неверным. Функция Пх в зависимости от способа возбуждения может меняться
вдоль окружности. Зависимость от угла характеризуется периодом 2пу
так как при изменении угла на 2тг величина поля принимает прежнее
значение.
Простейшая функция, обладающая такими свойствами, имеет вид
П-^Ф-! г) = Пг(г) сов тер
или B4.3)
Пг(ф1 г) = Пг(г) 8Ш тер,
где т — произвольное целое число. Это предположение не ограничивает
общности рассуждений, так как любая функция с периодом 2тг, подобная
написанной выше функции B4.3), может быть разложена в ряд. Поэтому
достаточно рассмотреть решения, описываемые отдельными членами ряда.
В случае B4.3) производная по углу равна
д-$г=-тШ1. B4.4)
Подставив ее выражение в уравнение B4.2), п олучаем после некоторых
преобразований уравнение
гг ^Л± + г ™1 + (к2Г2 _ т2)П1 = о , B4.5)
представляющее собой дифференциальное уравнение Бесселя. Из его
решений следует выбрать /т(Ат), обеспечивающие конечные значения на
оси (г=0).
Окончательный результат для функции П^ср, г, ъ,1) имеет вид
Щср, г, ъ, I) ¦¦= А1т{кг) со8 тсре^-Ю . B4.6)
Напряженности электрического и магнитного полей определяются,
как уже было показано, через вектор Герца. В первом случае, для ТМ-вол-
ны,.составляющие поля записываются по уравнениям B3.4):
Е2 = АкЧт(кг) соз пнреХч-Ю , Нх = 0,
Ег=- А)РЫ'т(кг) соз тер &&-№ , Нг = - Ае*—т1т{кг) вш тер&№-№,
B4.7)
- аИ
г
Е9= А^ т1ш{кг) зт тер 0е* -№, #ф = -А есо]Ы'т(кг)соа т(р е* (в'-^>.
^ 25. Учет граничных условий
653
Для ТЕ-волны соответствующие напряженности поля равны
Ег = 0 , Нг = АкЧт{кг) соз ту ^"И-^>,
Яг = А/л^т1т(кг)$т тсре^-Ю, Нг = -А]EкГт(кг) со*т(ре№-№, B4.8)
Е9 = Ар](оМ'т{кг) со& ггмр е№-№ , Яф = А]^-т1т{кг) зт т(ре№%-№ .
Полученные функции записаны еще без учета граничных условий.
Задача будет решена после того, как будет обеспечена перпендикулярность
напряженности электрического поля к металлической поверхности
цилиндра.
§ 25. Учет граничных условий
Исследуя осевую составляющую электрического поля ТМ-волны по
уравнениям B4.7), мы видим, что е^ зависимость от радиуса выражается
бесселевой функцией ш-го порядка. Однако кривая, изображенная на
фиг. 428,а, не дает правильного решения, так как по этой кривой
получается конечная тангенциальная
составляющая поля на оболочке цилиндра, что
соответствует бесконечно большому току
в ней. Решение, удовлетворяющее
граничному условию, показано на фиг. 428, б,
где тангенциальная составляющая поля
на поверхности цилиндра уже равна
нулю.
Функция, изображенная на фиг.
428, в, также дает решение,
удовлетворяющее граничным условиям.
Величины к и Л определяются из условия,
что функция Бесселя обращается в нуль
при г = г0. Произведение кг0 должно
совпадать с корнем (или, как говорят, с
нулем) функции Бесселя.
Рассматривая проблему в более
общем виде, сформулируем задачу
следующим образом. Выберем из решений
B4.7) и B4.8) такие решения, которые
удовлетворяют всем граничным
условиям, т. е. обеспечивают равенство нулю тангенциальной составляющей
электрического поля на металлической поверхности волновода. Для ТМ-
волны эти условия имеют вид
Ег = 0, Е9 = 0 при г = г0, B5.1)
д для Г.Е-волны
Еу = 0 при г = г0. , B5.2)
Так как Ег и Е9 в ТМ-волне выражаются функциями Бесселя т-го
порядка, аЕ? в ГЕ-волне - производной по аргументу от функции Бесселя
1—422^ ^^-^г^
6 в
Выполнение граничных
условий.
а — распределение напряженности поля,
при котором уравнения Максвелла
удовлетворяются, а граничные условия — нет;
б — простейший способ удовлетворения
граничным условиям — величина к выбрана
так, чтобы произведение кг0 было первым
корнем функции ^0(x); в — другая
возможность удовлетворения граничным условиям.
654
Часть IV. Электромагнитные волны
того же порядка, граничные условия выполняются, если для ТМ-волны
Аго = атт B5.3)
где атп-п-й корень функции Бесселя т-го порядка (табл. 5 и б).
Таблица 5. Таблица 6.
ЗНАЧЕНИЯ п-ГО КОРНЯ ФУНКЦИИ ^(х) ЗНАЧЕНИЯ п-ГО КОРНЯ ФУНКЦИИ З'т{х>
т
0
1
2
п
1
2,405
3,832
5,135
2
5,520
7,016
8,417
3
8,654
10,173
11,620
т
0
1
2
1
3,832
1,84
3,054
п
2
7,016
5,33
6,706
з [
10,173 1
8,54
9,969
Аналогичным образом граничные условия выполняются для ТЕ-волны
в случае, когда
*>о = а'тп, B5.4^
где а'тп-п-й корень производной бесселевой функции т-го порядка.
Выразив величину к из B4.2), получим формулу, определяющую длину
волны в волноводе для ТМ-волны:
^в^-(-х
€/ЛСО*
Bп 42
откуда
л =
Д»»* \2 УстРг
\ 2жгЛ Уе.и- '
или для волновода, заполненного воздухом:
А
Л
0>тЛ \г
I 2лг0 )
B5.5)
B5.6)
B5.7)
где А = с/1 — длина волны при распространении ее в свободном
пространстве; А — период поля в волноводе в направлении оси я, т. е. длина
волны в волноводе; ег и /лг — относительные проницаемости.
. Определенная таким же путем длина волны в волноводе для ТЕ-волны
равна
1 Я B5.8)
Л =
УегРг
У \2лг0Уег/*г>
Для обеих форм волны имеется дискретное двухмерное множество
возможных типов волн: каждому произвольному числу т (т —
положительное целое число) можно сопоставить любое целое число п. Выбор т
определяет функцию со8/п<р, которая дает зависимость от угла <р, причем т
показывает, сколько узловых плоскостей <р = сопв! имеет Ег. При т = О
$ 25, Учет граничных условий
655
поле обладает круговой симметрией и, следовательно, узловые плоскости
отсутствуют. При т = 1 существует одна узловая плоскость, проходящая
через ось я, при т = 2 их будет две. Вообще т дает как раз число таких
узловых плоскостей. Выбор т определяет порядок функции Бесселя,
которая дает зависимость от радиуса. Числу узловых плоскостей,
равному т, соответствует функция Лт(кг).
Ф и г 429. Узловые плоскости и узловые цилиндры разных
типов волн (с различными индексами).
Фиг. 430. Изменение в поперечном сечении продольной составляющей
электрического поля для волны типа ТМ33.
Левый рисунок показывает изменение по радиусу, правый — по углу <р при г—сопз*.
Выбирая п = 1, получим первый нуль функции Бесселя на верхней
поверхности волновода. При п = 2 внутри волновода имеется
цилиндрическая поверхность, на которой поле равно нулю. Радиус этой поверхности
определяется уравнением кг = ат1 и равен г = ат1/к. Вообще п.
определяет общее число (включая внешнюю проводящую поверхность)
узловых цилиндров (фиг. 429).
На фиг. 430 в качестве примера изображена осевая составляющая
электрического поля волны типа ГЛ/33. ТМ означает, что электрическое
поле имеет продольную составляющую, а магнитное —только поперечную.
(Электрическое поле, само собой разумеется, содержит, кроме
продольной составляющей, также и поперечную.) Первый индекс дает зависимость
656
Часть IV, Электромагнитные волны
от угла в форме совЗ<р и соответственно этому указывает на наличие трех
узловых плоскостей. Этим одновременно определяется зависимость от
радиуса в виде /3(^)- Второй индекс означает, что кг0 совпадает с третьим
корнем функции Бесселя третьего порядка и соответственно имеются три
узловых цилиндра. На фиг. 430 изображено изменение осевой составляющей
электрического поля в функции г и ср.
В соответствии с проведенным анализом картина линий поля для
каждого типа волны, заданного числами тип, определяется следующим
образом. Из таблицы берутся величины коэффициентов атп или атп, т. е.
/г-й корень бесселевой функции т-го порядка или ее производной. Отсюда
по соотношению кг0 = атп или кг0 = атп рассчитываются величина к
и соответственно длина волны в волноводе и скорость V;. Частота и
длина волны в свободном пространстве заданы, так как они определяются
генератором. Константы напряженностей поля определяются мощностью
генератора. Если известны функции и постоянные, входящие в выражения
для поля, картина поля известна.
§ 26. Критическая длина волны
Рассматривая формулы для определения длины волны Л в
волноводе, мы видим, что Л при некоторой определенной частоте становится
бесконечно большой, а при еще меньших частотах —мнимой. Последнее
означает, что показатель экспоненты становится действительным числом
и происходит затухание даже в случае идеальных проводников.
Следовательно, при такой частоте передачи энергии не происходит.
Критические частота и длина волны определяются из соотношений
1-Г ^_J = о, 1-(9 "Г*) = 0, B6.1)
так как в этом случае Л, определяемая по уравнению B5.6), бесконечно
велика. Для критической частоты и соответственно критической длины
волны имеем
к = -р- г0у~^г, и = -г^=- • B6-2)
атп 2лг0 У е$1
Отсюда видно, что энергия не может передаваться по волноводу волнами,
длина которых больше критической длины волны, соответствующей
заданным размерам волновода и типу волны.
Критическая длина волны уменьшается (т. е. критическая частота
увеличивается) с увеличением порядка типа волны, т. е. с ростом чисел
тип. При увеличении тип растут также атп и а'тп. Через больший
волновод можно, конечно, пропустить более длинную волну. Увеличение
диэлектрической и магнитной проницаемостей как бы увеличивает размеры
волновода в Уег/иг раз.
Для ГЕ-волны все соотношения остаются в силе, только
коэффициент атп заменяется коэффициентом атп.
§ 27. Свойства волн простейшего типа
Из двухмерного множества, определяющего возможные типы волн
в круглом волноводе, практически имеют значение только некоторые
типы, соответствующие наиболее низким значениям граничной длины
волны. На фиг. 431,а изображена картина линий поля ГМ01-волны, которая
$ 27. Свойства волны простейшего типа 657
чаще всего применяется в круглом волноводе. Распределение линий поля
этой волны очень напоминает картину поля в коаксиальном кабеле.
Критическая длина волны для типа ТМ01 равна
\ = 2,61г0. B7.1)
Фиг. 431. Линии поля важнейших типов волн в круглом волноводе.
Сплошные линии — линии электрического поля; пунктирные - линии магнитного поля.
Это значит, что по волноводу с г = 10 см, т.е. с диаметром 20 см,
электрическая энергия может передаваться только при длине волны, меньшей чем
26,1 см. Следовательно, применение волноводов имеет смысл только при
очень высоких частотах, или соответственно очень коротких волнах. Из
42 К. Шимони
658
Часть IV. Электромагнитные волны
табл. 7 следует, что волны в волноводе могут существовать при любой
низкой частоте, если взять волновод достаточно больших размеров.
Таблица 7
КРИТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ типов волн В КРУГЛЫХ
ВОЛНОВОДАХ^
г,
к
ГМ.х
0,384 с
2,61г0 У}^
ТМхг
0,61 с
Уегрг го
1,6Ьг0У!лгег
ТЕ0Х
0,61 с
Уегрг го
1,Ш0Ургег
ТЕ1Х
0,294 с
У гг11г го
3,41г0/^гег
*> ег и рг — относительные проницаемости вещества. —Прим. ред.
Коаксиальный кабель имеет диаметр
волновод может конкурировать с кабелем
4=1С
1 см
ТЕ0,\
щ\
щ,\
$ь>
1 !¦']
м
55
50
45
40
35
4 30
^25
20
15
10
5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Л, см
Фиг. 432. Длина волны Л в круглом волноводе
в зависимости от длины волны Я в свободном
пространстве для различных типов волн.
льная составляющая электрического поля
граничных условий отсутствует.
На фиг. 432 представлены длины волн
личных типов волн.
порядка сантиметров, поэтому
в качестве простого средства
для передачи энергии лишь
в области волн
сантиметрового диапазона.
На фиг. 431,0 изображена
волна типа ТЕ1и интересная
тем, что она имеет
наибольшую критическую длину из
всех типов волн, которые
могут существовать в круглом
волноводе. Эта волна особенно
интересна еще потому, что
поля характерных типов волн
часто употребляющегося на
практике прямоугольного
волновода могут быть
получены путем непрерывной
деформации поля ТЕп-волны
в круглом волноводе.
Интересно отметить
сходство картин магнитного и
электрического полей ТМ01
и ГЕ^-волн (см. фиг. 431,0):
окружности линий
электрического поля
перпендикулярны направлению
распространения, на внутренней
поверхности металлического
цилиндра существует только
магнитное поле, тангенциа-
в соответствии с требованиями
в круглом волноводе для раз-
$ 28. Типы волн в коаксиальном кабеле
659
§ 28. Типы волн в коаксиальном кабеле
Исходные уравнения и соответствующие им решения для
коаксиального кабеля совпадают с уравнениями и решениями для волновода с той
лишь'разницей, что ось цилиндра исключается из исследуемого
пространства и поэтому общее решение дифференциального уравнения Бесселя имеет
вид
А^т(к^) + ВNт(к^).
Граничные условия для ТМ-волны таковы:
Ег = О , Е9 = О при г = г{ и при г = га,
откуда следует, что
А1т(Щ + В^(кг1) = 0, А1т{кга) + В^{кга) = О
Для определения к получается трансцендентное уравнение
Ят(кг{) _ Ят(кг.)
B8.1)
B8.2)
B8.3)
Аналогичным путем находим граничные условия для ТЕ-волны:
B8.4)
Е9 = О при г = г{ и при г = га
B8.5)
или
СГт(Щ + йЯ'т(Ъл)\ = 0, СГт{кга) + Л ^(*гв); = 0. B8.6)
Откуда опять получается трансцендентное уравнение для определения к
ЯМ*) __ ВДг.)
*ш(Ъг<) Гм[кг.)
А А И1 А
? Ну т I
А А ААА А
у |у| у |
B8.7)
Эти
трансцендентные уравнения
решаются только очень
сложными графическим или
численными методами.
На фиг.433 изображены
два типа волн,
соответствующие наибольшей
предельной длине волны
для волн ТМ01 и ТЕХ1.
Предельные частоты
коаксиального кабеля
равны нулю, поэтому
поле в нем может
существовать при очень
длинных волнах и даже на
постоянном токе существует так называемая ТЕМ-волна. В последнем
случае и электрическое и магнитное поля имеют только поперечные
составляющие. При таком типе волны энергия может распространяться
при сколь угодно низкой частоте; предельная частота равна нулю,
предельная длина волны бесконечна.
Однако если длина волны становится меньше длины окружности
внешнего проводника кабеля и, кроме того, разность между диаметрами
внутреннего и внешнего проводников кабеля мала, может возникнуть
42*
(*- **~ •<
ЕЕЕгч
*-^- <-
— <*-
У^=
Г7=-
«*- -*•
=5Е
^
•*:—
->*
=У
=7^
=Ъ
»¦ —*¦ -*]
у^п
^Щ
Фиг. 433. Простейшие типы волн в коаксиальном кабеле.
660
Часть IV. Электромагнитные волны
новый тип волны. Такой тип волны (ТЕп) изображен на фиг. 433,а. Этот тип
волны может появиться также в кабеле с произвольно тонким внутренним
проводником, но в этом случае не существует простого соотношения между
предельной длиной волны и длиной окружности внешнего проводника.
В другом предельном случае, когда диаметр внутреннего проводника
много меньше диаметра внешнего, при длине волны А, меньшей 2,61 га,
возникают волны типа ТМ01 (см. фиг. 433,6). При уменьшении
внутреннего проводника до исчезновения ранее упоминавшийся тип волны ТЕ1г
постепенно переходит в ТЕп-волну круглого волновода. Соответственно
ТМ01-волна при уменьшении внутреннего проводника до исчезновения
превращается в подобный тип волны круглого волновода.
Рассмотрим отдельно аксиально-симметричное решение особого вида.
Если /с2 = 0, то из B4.2) следует, что е^со2 = /?2. Так как гп = О,
уравнение B4.5) дает
^(г^)=0, П = АЫг+3. B8.8)
Следовательно,
Пх = (А 1п г + В) е ''(ч-^-*). B8.9)
По уравнению B4.7) получаем для составляющих поля:
Е, = О, Н9= _1со±АезЫ-У^ог) ^ B8Л0)
Ет = _/5^_ е ;(»<-^»*) , Нг = 0.
Это как раз уравнения ТЕМ-волны в коаксиальном кабеле. Чтобы функция
1п г не имела особенности при г —0, необходимо существование внутреннего
проводника. Внешний проводник необходим для обеспечения конечного
значения передаваемой мощности. Граничные условия автоматически
выполняются для всех частот, критическая длина волны отсутствует.
§ 29. Типы волн в эллиптическом волноводе
Исследование волн, возникающих в эллиптическом волноводе, важно
потому, что оно позволяет судить о волнах, возникающих в круглом
волноводе при деформации его сечения.
Распределение поля в эллиптическом волноводе описывается по Чу
с помощью функций Матье, которые заменяют тригонометрические или
бесселевы функции. Полученные здесь формулы при исчезновении
эксцентриситета переходят в формулы, справедливые для круглого волновода.
Картина волн становится все более похожей на распределение линий поля,
изображенное на фиг. 431.
Так, например, волне ТМ01, изображенной на фиг. 434, соответствует
картина поля волны ТМ01, показанная на фиг. 431, и т.д. В эллиптическом
волноводе с большим эксцентриситетом ТМ01-волна существенно
отличается от основной электрической волны, возникающей в круглом волноводе.
Уменьшение эксцентриситета постепенно сближает точки максимума
осевой составляющей поля, и образуется все большее число линий магнитного
$ 29. Типы волн в эллиптическом волноводе
661
поля, охватывающих сразу оба максимума; наконец, максимумы
совпадают, и линии магнитного поля принимают форму окружностей.
При постепенном преобразовании кругового цилиндра в
эллиптический картина поля волн с круговой симметрией (типов ТМ01 и ТЕо1) уже
известным образом переходит в измененную форму. Но если картина поля
не обладает круговой симметрией, то явление меняется в зависимости от
угла между главной осью деформации и осью симметрии картины поля.
Первоначально однородная волна в общем случае распадается на две
волны, каждая из которых обладает своей скоростью распространения.
Составляющие поля также разделяются. Волна без круговой симметрии не
Фиг. 434. Простейшие типы волн в волноводах эллиптического
сечения. По Чу.
искажается только при такой деформации, направление которой совпадает
с осью симметрии.
Известно, что зависимость ^-составляющей поля ГМ-волны в
волноводе с круговым сечением от г и у выражается формулой
Ег = А1т(кг) соз ту.
Вместо сов тер можно написать вт ту, это только повернет всю картину
поля на 90°. Однако если положение плоскости у = О выбрано, то
Ег = Аг сов ту1т(кг) + А2 вт т<р1т{кг). B9.1)
Дадим этому равенству словесную формулировку (чтобы подчеркнуть
аналогию с выражением для эллиптического волновода): функция Ег
определяется суммой произведений четной функции угла на функцию
радиуса и нечетной функции угла на функцию радиуса. Для эллиптического
волновода окружностям радиуса г — сопвЪ соответствуют конфокальные-
эллипсы | = сопв!, а прямым у = сопвй — конфокальные гиперболы;
г) = сопвЪ. Решение для эллиптического волновода формально аналогично1
предыдущему:
Ег - А&ЫЫЯ + А^игйВМЯ, ' B9.2\
662
Часть IV. Электромагнитные волны
где #т(*7) и 3^(г}) — четная и нечетная функции Матье т-го порядка,
зависящие от угла, а Пет(%) и Ви%) — четная и нечетная функции Матье
т-го порядка, зависящие от радиуса. В случае эллиптического волновода
эти функции занимают соответственно место тригонометрических
функций и функций Бесселя.
Как уже упоминалось, при сближении фокальных точек эллипса
он превращается в окружность и распределение поля, изображенное на
фиг. 434, переходит в картину поля, изображенную на фиг. 431. Этот
предельный переход математически определяется тем, что
Нт 8^G]) — 008 тер, ИтЗ^г}) = 8т ггкр B9.3)
и соответственно
Нт Пи Д = Ит Пи |) = Щ /те(*г). B9.4)
Следовательно, при очень маленьком эксцентриситете четная функция
Матье, зависящая от угла, переходит в функцию косинуса; четная и
нечетная функции радиуса превращаются в функции Бесселя. При описанном
выше предельном переходе плоскость у = О совпадает с плоскостью г\ — 0.
Рассмотрим волновод с круглым сечением и волну типа ТМтп.
Положим сначала постоянную А2 в уравнении B9.1) равной нулю. Для этого
волновод должен быть так деформирован, чтобы прямая у = 0 совпала с
большой осью эллипса. В этом случае функция косинуса переходит в
функцию Матье ^(^). Если Аг = О, то синусоидальная функция,
выражающая изменение Е2 вдоль периметра, переходит в функцию
Яи*})- В общем случае при Ах ^ О и А2 у* 0 вследствие сжатия
волновода вдоль линии <р = п/2 (так чтобы линия у = 0 совпадала с
большой осью эллипса) косинусоидальная функция переходит в четную, а
синусоидальная-в нечетную функцию Матье.
В круглом волноводе из-за круговой симметрии, вытекающей из
геометрических соображений, изменения по синусоидальному и косинусои-
дальному законам дают две одинаковые картины поля, повернутые на тг/2.
Суммированием получается результирующая волна с определенной
фазовой скоростью. В эллиптическом волноводе, где круговая симметрия
отсутствует, «5^G?) и 5иУ) определяют две различные волны; после поворота
йй поля на 90° можно увидеть их сходство, однако эти волны имеют
различные фазовые скорости. В волноводе, искаженном не в направлении
оси симметрии, первоначально единая волна разбивается на две. Волны
обладают различными скоростями распространения и поэтому полностью
разделяются.
Устранив искажение, получим снова объединение обеих волн, однако
при этом их фазы различны, так что происходит вращение плоскости
поляризации результирующей волны. Волна с круговой поляризацией не
распадается на две волны под действием малейшего искажения, так как для
волн с круговой симметрией т = 0 имеется только единственная (четная)
функция Матье нулевого порядка, описывающая эту волну.
§ 30. Волны в прямоугольном волноводе
Прямоугольный волновод имеет большое практическое значение.
Записывая для этого случая общее уравнение в виде
д-^1 + 1& + Ь2П1 = 0> к* = е(но*-C*, 'C0.1)
$ 30. Волны в прямоугольном волноводе
663
легко найдем его решение методом разделения переменных:
Пг = Х(х)Г(у). C0.2)
Подставляя это выражение в исходное уравнение, деля на П1 и располагая
производные по порядку, получим
C0.3)
C0.4)
Уравнение удовлетворяется только, если
X Лх* ~~ К* ' У Лу* ~ КУ '
При этом для кх и ку выполняется условие
к2 + ку = к2. C0.5)
Соответственно для вектора Герца, описывающего ТМ-волну, получаем
следующее выражение:
П1= А 8И1 кхх 81П куу. C0.6)
Косинусоидальный член выпадает вследствие граничных условий для
ТМ-ъоты. Следовательно, составляющие электрического и магнитного
полей ТМ-волны, определенные по уравнениям B3.4), имеют вид
Ех = Ак2 81П кхх зт куу, Нх = 0,
Ех = — А]$кх сое ^ # зт /суг/, Нх = Ае](оку зт /сжж соз ку у, C0.7)
Еу = — А]@ку зт ^ л: соз &уг/, Ну = — А е]сокх С08 А;лж зт &уг/.
Для ТЕ-волны имеем
П1 = А сое А^я С08 йуг/ • C0.8)
Здесь вследствие граничных условий выпадает синусоидальный член.
Составляющие обоих векторов поля, определенные по уравнениям B3.5),
равны
Ех = Ащсоку соз кхх зт куу,
Еу — — А[1]сокх зт А^я соз Ауг/,
Граничные условия для ТМ-волны имеют
вид (фиг. 435)
Н2 — Ак2 соз кхх соз куу,
Ях = Л/^Ад. вт Ах# соз куу,
#у = АЦЗкуСов кх х зт Ауг/.
C0.9)
Л?2 = 0, Еу = 0 для я = 0, я
Е2 = 0, Ех = 0 для у = 0, г/
Следовательно, и
81П кхй = 0 , 81П /суй = 0.
Это выполняется, если
т. тя , пп
= «,
= 6/
C0.10)
C0.11)
C0.12)
Фиг. <Ш. Система
координат в прямоугольном
волноводе.
Из последних уравнений получаем соотношение для определения длины
волны в волноводе
А» = »>-/*» - р^J-(^J = *$+$, C0.13)
мы °
х I хI ||| I о| о
х Iх! Ш| 4 °4 о
Т ТХТ ГП Г0Г т
X I ж I ||||| I о I о
к МШЧ I
т тотоМ
ТЕ„
— ^!ГГ.
*-^ | оМ —^-л |,х:; г
|в|«ПвЦвМ |х|^1х|х^х|х
I 1°°!°Чо1 I I 1x^x1,1
*-_-_-_^Тч_-_-_-_-^^
Фиг. 436. Линии поля наиболее употребительной волны
в волноводе.
На чертеже слева стрелками показаны направления, по которым видны
рисунки 1, 2 и 3. Сплошные линии — линии электрического поля,
пунктирные — линии магнитного поля.
Фиг. 437. Токи в стенках волновода для наиболее
употребительного типа волны.
Пунктиром обозначены щели, прорезанные в стенках. Если щель
параллельна вектору плотности тока, то ее влияние пренебрежимо мало.
АПШ4 4 ИТТТТТТ
ТЕ,
20
}±1^
М
шшт
ТМа, г У
Фиг. 438. Типы волн, соответствующие низшим индексам
в прямоугольном волноводе.
$ 31. Сравнение волноводов с коаксиальным кабелем 665
из которого находится
,/ Л(Л Л2 (т2 п2\
C0.14)
Заметим, что и в этом случае типы волн образуют двухмерное множество;
они распределяются по параметрам тип таким образом, что необходимо
ввести обозначения ТМтп и ТЕтп. Из написанного выше соотношения
определяется также критическая длина волны, т.е. длина волны, при которой
знаменатель правой части уравнения равен нулю:
Соответственно критическая частота равна
У(тЬ)*+(па)'
'.-чшШШ
C0.15)
C0.16)
Критические длина волны и частота ТЯ-волны определяются
аналогичными выражениями (табл 8).
Таблица 8
КРИТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ТИПОВ
волн В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1)
и
ТМ1:
2 У
1Л1 *г* ъ*
2аЪ
У^т
ТЕ1{
ТЕХ1
егцг
2аУ/Иг8г
^ г* + *
2аЬ
У^+Ь2
Уре
1) еР и рг — относительные проницаемости вещества. — Прим. ред.
На фиг. 436 и 437 изображен наиболее важный тип волны — ТЕ10и
В этом случае критические длина волны и частота соответственно равны
2аУ
Яг/Ал
и
&Ует/*г
C0.17)
Получился интересный результат: критическая волна обусловливается
только шириной, но не высотой прямоугольного волновода. Картины по*
лей высших типов волн изображены на фиг. 438.
§ 31. Сравнение круглого и прямоугольного волноводов
|[с коаксиальным кабелем "*" ~
На основании проведенного выше анализа на фиг. 439 показано,
какие частоты могут проходить через круглый или прямоугольный
волновод тех же размеров, что и коаксиальный кабель, т. е. для какой
частоты и какого типа волны прозрачна та или иная линия. Из
фиг. 439 * видно, что воздушный круглый волновод непрозрачен в полосе
частот от 0 до A,76/а) • 108 гц, где а выражено в м.
666
Часть IV. Электромагнитные волны
Ниже этой критической частоты в волноводе не возникает никаких
волновых форм и не передается энергия. При повышении частоты
происходит передача электрической энергии волной типа ТЕ1г. При еще более
высоких частотах повышается число типов волн, для которых волновод
прозрачен. В прямоугольном волноводе наблюдается то же самое. Очень
важно, что критическая волна типа ТЕ01 и вообще типов ТЕоп зависит
Фиг. 439. Спектр пропускания волноводов с круглым и
прямоугольным поперечным сечением и концентрического кабеля с
оптимальным ( с точки зрения минимального затухания) отношением
диаметров.
Из рисунка видно, с помощью какого типа волн может передаваться
электрическая энергия заданной частоты. На нижнем рисунке пунктиром показаны
границы полосы пропускания, соответствующие г</ту->0 и г</г«->1.
только от одного размера, в то время как критические волны других типов
изменяются в широких пределах в зависимости от двух размеров.
Коаксиальный кабель прозрачен для энергии, распространяющейся
волной ТЕМ с любой частотой. На фиг. 439 показана область
существования высших типов волн для оптимального (с точки зрения затухания)
отношения радиусов оболочек гв/г4 = 3,6 (сплошные линии).
Пунктирные линии соответствуют предельным случаям: случаю, когда диаметр
внутреннего проводника почти совпадает с диаметром внешнего, и случаю,
когда внутренний диаметр пренебрежимо мал.
Этот спектр имеет большое значение при оценке пригодности данного
типа кабеля. Для повышения коэффициента полезного действия волновода
желательно существование единственного типа волны. Каждый
нежелательный тип волны вызывает лишние потери или перегрузку волновода по
напряжению.
,$ 32. Характеристическое (волновое) сопротивление волноводов 667
Возбужденные генератором колебания состоят из целого ряда
гармоник, но в волновод проходят только те, которые соответствуют его
размерам. Применение кабеля принципиально возможно при различных типах
волн. Но практически этому есть серьезное препятствие, так как размеры
отдельных частей, например согласованных переходов, рассчитываются
на определенную частоту. Чтобы исключить потери за счет чужих типов
волн, необходимо чтобы рабочая частота волновода лежала между
критической частотой, соответствующей основному типу колебаний, и
критической частотой ближайшего высшего типа волн. Благодаря этому с самого
начала исключаются высшие типы.
При рассмотрении фиг. 439 ясно видны преимущества коаксиального
кабеля. Полезный диапазон волн охватывает полосу частот от нуля
до предельной частоты, соответствующей волне ТЕи.
В прямоугольном волноводе путем выбора определенного отношения
сторон можно добиться, чтобы за критической частотой, соответствующей
основному типу волны ТЕ0Ъ непосредственно следовала критическая частота
волны типа ТЕ02. Если размер волновода в направлении электрического поля
составляет половину от размера, перпендикулярного направлению линий
поля, получается, как видно из фиг. 439, уже известная ситуация. В этом
случае в диапазоне частот от A,5/а)-108 до C/а)« 108 гц в волноводе не
появляются никакие иные типы волн.
Отношение верхней и нижней границ диапазона волн составляет 2:1,
тогда как в круглом волноводе получается отношение только 1,3:1. Это
обстоятельство, а также большая чувствительность основной формы волны ТЕп
в круглом волноводе к искажению его поперечного сечения заставляет
предпочитать прямоугольный волновод круглому. В круглом волноводе
ТЕп-волна не обладает круговой симметрией, так что искажение
поперечного сечения вызывает поворот направления поляризации поля и
благодаря этому создается затруднение в приеме. Если необходимо обеспечить
симметрию поля, то применяется круглый волновод с волной типа ТМ01.
Сравнение различных типов волноводов будет продолжено ниже после
обсуждения вопросов, касающихся затухания.
§ 32. Характеристическое (волновое) сопротивление волноводов
Для длинных линий было показано, что отношение амплитуд напряжения
и тока волны, распространяющейся по линии в прямом направлении, т.е.
волновое, или характеристическое, сопротивление, играет большую роль при
решении различных практических задач. В случае плоских волн понятие
волнового сопротивления также полезно, причем его величина
определяется отношением напряженностей электрического и магнитного полей,
перпендикулярных направлению распространения волны. При помощи
понятия волнового сопротивления проще всего выражаются условия
отражения.
При анализе процесса передачи энергии по волноводу особенное
значение приобретают составляющие электрического и магнитного полей,
перпендикулярные к направлению распространения, т.е. к оси волновода,
и их отношение. Плоская металлическая пластина, помещенная в конце
волновода перпендикулярно его оси, накладывает определенные
граничные условия на составляющие поля, перпендикулярные оси. В выражение
вектора Пойнтинга, характеризующего передачу энергии, также входят
только перпендикулярные к направлению распространения составляющие
668
Часть IV. Элекмромагнитные волны
электрического и магнитного полей; их произведение характеризует
передачу энергии в направлении оси. Поэтому оказывается целесообразным
ввести понятие волнового сопротивления волновода, определяя его как
отношение поперечных составляющих напряженностеи электрического
и магнитного полей:
гс = ^ . C2.1)
Для ТМ-волны эти поперечные составляющие записываются в форме
C2.2)
^2 ~ ]~Г2 дх2 ' ^3 " Н, дх, '
ц .со дПх тт __ -со дП1
Следовательно, волновое сопротивление равно
7 _ ^|Д2|2 + 1^|2 _ /? _ 2л/Л _ „ а ,„9 -
™ ~ ТГяИЖР " ^1 ~ 4^* - **л > ^>
Уе/и А
где 2,=Уф. Для круглого волновода находим
Для ТЕ-волны поперечные составляющие имеют вид
. . со дПх „ .со ЭПХ
/? дПг _ _.±эщ
"*- ~}~КГ дх2 ' Лз"- 7|Л3 дх, ¦
Следовательно, волновое сопротивление принимает значение
C2.5)
ъ Г|Д.М*.1' = „ C2.б)
ТЕ /|Я2|2+|Я3|2 ^0
После соответствующих преобразований получаем для воздушного
круглого волновода
^=^1Г7ГТ C2Л)
Волновое сопротивление прямоугольного волноводаГ записывается
выражениями, подобными C2.4) и C2.7)
Из выражения волнового сопротивления видно, что для /</^, т.е.
для частот, меньших критической, оно- имеет мнимую величину. С другой
стороны, в этом же диапазоне частот не происходит передачи энергии по
волноводу. При дальнейшем увеличении частоты волновое сопротивление
все больше приближается к величине волнового сопротивления в
свободном пространстве, так как при увеличении размеров волновода по
отношению к длине волны влияние стенок волновода уменьшается.
$ 33. Расчет передачи мощности по волноводу
669
Ег = (е/и^-^Я, =
2 Л2 ##2 '
3 Аз дх3 '
= А2ЯХ,
#1 = 0,
к3 дх3 '
тт _ ;шв дП1
3 Л2 ##2 '
§ 33. Расчет передачи мощности по волноводу
а) ТМ-волна; волновод произвольного сечения
Мощность, распространяющаяся вдоль оси волновода, находится
путем интегрирования вектора Пойнтинга по поперечному сечению. Если
электрическое и магнитное поля в любой точке волновода известны,
расчет мощности не вызывает затруднений. В общем случае мощность
определяется по формуле
Р= [8йА= |"[ЕхН]е*А. C3.1)
А А
В дальнейшем мы применим эту формулу к случаю распространения
ГЖ-волны в цилиндрическом волноводе произвольного сечения и
приведем ее к настолько простому виду, что расчет отдельных частных случаев
может быть выполнен без всяких затруднений (что будет показано на
примерах круглого и прямоугольного волноводов). Для ЗГЕ-волны можно
прийти к цели таким же путем, но здесь мы приведем только конечный
результат.
Составляющие поля ТМ-волны определяются формулами
C3.2)
где
а ^1(#2> хг) удовлетворяет нижеследующему дифференциальному
уравнению в частных производных:
к2к3 Эх2 К к2 дх2 ) к2к3 дх3 к к3 Эх3 ) ^ ^ *
В выражение C3.1), служащее для расчета мощности,
распространяющейся вдоль оси волновода, входят только поперечные
составляющие Е и Н, так как продольные составляющие определяют распространение
энергии в направлении, перпендикулярном оси волновода. Поперечные
составляющие электрического и магнитного полей перпендикулярны
друг другу, поэтому их скалярное произведение равно нулю1):
Ег Щ - Е2Щ + Е3Щ = О. C3.4)
Подставив величины, входящие в правую часть этого уравнения из C3.2),
получим
- . ре]а> дП^дП* . №<» ЭЩ дП* = ()
' к3к2 дх2 дх3 ' к3к2 Эх3 дх2 ' Vе/
т.е. действительно
ЕгЩ. = 0. C3.6)
Поэтому величина вектора Пойнтинга равна
| 8 | = | ЕТЩ | . C3.7)
1} Звездочками отмечаются сопряженные значения комплексов. — Прим. ред.
670
Часть IV. Электромагнитные волны
Введем волновое сопротивление по определению
\ЕТ\ = \НТ\2ТМ. C3.8>
Тогда вектор Поинтинга можно представить равенством
¦|8|=ЯТМ|#Г|». C3.9>
Средняя по времени величина протекающей мощности равна1}
Р = \2тм^\Нт\*йА. C3.10)
Подынтегральное выражение можно записать в ином виде:
| Нт |- = ВД + Л.Д2 = <«,)» Щ^-У + О;^-J]. C3.11)
Здесь Пг зависит только от х2 и х3 и не зависит от хх. Сумма членов,
стоящих в квадратных скобках правой части уравнения C3.11),
представляет собой как раз (§гай ЩJ. Так как Пг(х2^ х3) не зависит от хъ
градиент не будет содержать ^-компоненты. Следовательно,
выполняется условие
| Нт | 2 = (шJ(8гаа ЯхJ. C3.12)
Окончательно выражение для протекающей мощности имеет вид
р = \гтм{™? /"(вгаа л^дл. (ззлзу
А
Такой же результат получается при определении величины вектора
Поинтинга с помощью уравнений C3.2) как осевой компоненты векторного
произведения векторов ЕиН:
[ЕтхН^ = ВД-ВД - ^{{тШЛк^Л ¦ <ЗЗЛ4>
Принимая во внимание соотношение Хтм = /?/«о, из этого уравнения
можно снова получить C3.13).
Уравнение C3.13) можно упростить, если (§гас1 Я2J представить в
форме
(8га<1 Я2J = §гас1 Пг дгай Пг = А §гас! Я1, C3.15)
где §гас1 Ях обозначен через А.
По известному соотношению имеем
(Ну (ПхА) = Пг (Ну А + А §гас! Ях C3.16)
и, следовательно,
(вгай Я2J =• <Ну (Я2А) - Ях <И у А =
= Й1У (Ях §гас1 Я2) - Ях Й1У §гай Пг. ( }
В раскрытой форме уравнение C3.13) запишется в виде
Р = тгтм(^J[1(Иу (Я2 §гаA Пг) ЛА-^П1 (Ну §гас1 Я2 ЙЛ] . C3.18)
А А
Теперь необходимо проинтегрировать скалярную функцию двух
переменных по поверхности, ограниченной замкнутой кривой (периметром
1} Если 2,тм — вещественная величина. В противном случае в левой части стоит
комплексное выражение кажущейся мощности. — Прим. ред.
# 33. Расчет передачи мощности по волноводу
671
цилиндра). Первый интеграл от правой части по теореме Гаусса,
примененной к двум измерениям, преобразуется в линейный интеграл
/ алг (Ях §гаA Пг) АА = § Щ&аА Пг)п й1. C3.19)
А Ь
При этом линейный интеграл от правой части необходимо взять по кривой ,
ограничивающей внутреннее сечение волновода, нормальное к оси. Но в
этом случае П1 всюду равно нулю, так как
Ег = к2П1, C3.20)
а, согласно граничным условиям, Е1 должно равняться нулю вдоль всего
периметра. Следовательно, обе части C3.19) равны нулю, и уравнение
C3.18) можно записать так:
р = - 12ТМ( есо2) / Пг сЦу §гай П± Л А . C3.21)
1 А
Но по уравнению C3.3)
(Пу §гай Пг = - к2П1, C3.22)
и
Р = \ 2тм( «»JА2 \ЩЛА. C3.23)
А
Вводя продольную составляющую электрического поля Ег = к2П1у
получим для определения эффективной мощности равенство
р = | Ц*. (есоJ1 Е\АА. C3.24)
А
Входящие сюда постоянные могут быть выражены через
критическую частоту. Как уже было показано, для круглого и прямоугольного
волноводов величина к определяется по граничным условиям в виде
е/лсо2 — @2=к2.
Отсюда получается коэффициент или постоянная распространения
0 = Уе1лсо2-к2. C3.25)
При заданном к для всех величин со ниже некоторой предельной
(критической) сод коэффициент /5-мнимая величина, так что
получаются затухающие волны. Критическая частота определяется по уравнению
BтгJг/г/| - к2 = е[лсо2 - к2 = О , к2 = BлJе/лЦ . C3.26)
Следовательно, выполняется соотношение
А* _ Bтг)*в2/2 _ 1AJ
Окончательно получаем выражение
р™ = щг™{В2$Е1АА ¦ C3'28)
672
Часть IV. Электромагнитные волны
б) ТЕ -волна; волновод произвольного сечения
Среднее по времени значение вектора Пойнтинга равно
|8|Ср = ^р = ^р|#т|2,
|ЯТ|2 = Н2т + Н3Щ = ^[(±^) + {*-<*) ] - C3.29)
= /32(§гас1Я1J = |!(дгааЯ1J,
а средняя по времени переносимая мощность
Р« = 1^8 <*А = ^- ^ (вгаа ЯхJ йЛ = %^- У (§га<1 ЯхJ <2А . C3.30)
А А А
При этом аналогично уравнению C3.17) имеем
((ръ&П^йА = (<1{у(П1%г&AП1)AА-$П1<1™2гь&П1AА. C3.31)
А А А
Первое слагаемое в правой части можно представить в другом виде, так
как интеграл простирается до внутренней поверхности волновода:
$ (Ну (#х §гаC Щ АА=§П± (§гас1 Пг)п <И. C3.32)
А Ь
Примененный здесь способ решения 'существенно отличается от
способа, применявшегося для ТМ-волн. Там утверждалось, что П1=0У
так как П1 = к2Е19 а Ег = 0, согласно граничным условиям. Здесь
Ях = Л2Я!, а #1 не равно нулю на границе.
Рассчитаем теперь линии П1 = сопв-Ь в некотором поперечном
сечении. Поперечная составляющая магнитного поля выражается через §гай П1
по уравнению C3.11); следовательно, она всюду нормальна к линии
Пг = сопвЪ. Напряженность поля Ет по соотношению
Е2Н2 + Ь*Щ - -1л н^ Эх& д^ +Щк2кз ^ ^- = О C3.33)
всюду перпендикулярна к Нт.
Таким образом, линии Ет должны совпадать с линиями Пг = сопз1,
т.е. линии П1 = сопз! совпадают с электрическими линиями поля.
Так как электрические линии всюду перпендикулярны цилиндрическим
стенкам, линии П1 = сопзЪ также должны проходить перпендикулярно
к стенкам. Следовательно, изменение П1 вдоль нормали должно равняться
нулю:
(§т^Пх)п = 0 = («гв.АН^, C3.34)
откуда следует, что
\ (?гай ЯхJ АА = - ( Ях (Ну §гас1 Пх А А = к2 [ Щ А А. C3.35)
а А А
Тогда для мощности получаем
_ %теР*
Но так как
Рте = ^аС *» / ЩАА = %? / ЩАА = §&% $ ЩАА. C3.36)
А А А
72 = ^- = 3 дх3) \Н2 дх2) \ __ A*со2 .ъгь о7ч
ТЕ ** ^гг1 ^+г1 ^ - ^ ' C3-37)
1ЛЛ3 дхъ) \Нг дх2) \
^ 33. Расчет передачи мощности по волноводу
673
то окончательная формула имеет вид
А А А
C3.38)
в) ТМ-волна; круглый волновод
По уравнению C3.28) можно получить выражение энергии,
передаваемой по круглому волноводу. Для этого случая
Е1 = А1т(кг) сое тер C3.39)
и мощность равна
Р° М = Щ г™ Ц)\[ [ АЧ2т(кг) ео**т<р г 4г А<р. C3.40)
Интегрирование по углу ср дает
2п 2 я 2 я
I сов2 тер Лср = — / (со&2т(р + $т2т(р)с1(р = — I Лср = тт. C3.41)
0 0 о
Для бесселевых функций по уравнению B0.112) ч. II получим
Го
о
Но ^т(к^0) = 0 по граничным условиям, так что
Го
§ Шкг)гйг = ± Г*(кг0). C3.42)
о
Подставив волновое сопротивление, получим формулу для передаваемой
мощности
Р™ = Уи> \^ КП АЧ'г*(кг0). C3.43)
Из этого выражения можно определить величину А В большинстве
случаев проходящая мощность получается непосредственно из измерений.
Иногда оказывается возможным определить непосредственно по
измерениям и какую-нибудь компоненту поля. Если величина А определена,
например из условия, что электрическое поле не должно превосходить
определенной критической величины, так как иначе ионизируется газ
внутри волновода, то в этом случае по уравнению C3.43) можно определить
предельное значение передаваемой мощности.
г) 7\Е-волна; круглый волновод
Мощность, передаваемая по круглому волноводу при ГЕ-волне,
рассчитывается по формуле C3.38). Осевая составляющая магнитного поля
в этом случае равна
Нх = А1т{кг) сов ту. C3.44)
43 К. Шимони
674
Часть IV. Электромагнитные волны
Принимая это во внимание, получим для передаваемой мощности
выражение
ртЕ в _|^ ^2 С С АЧикг) соз2 туг йг й<р.
о о
С помощью равенств
2я г#
Г соз* ту Лу = я, У Рт(кг)г йг = ^ [^(Аго) + A - -^) ^(^о)] C3.45)
0 0
мощность выражается формулой
рТЕ=ЁШ% яЛ Н*г»)+('--и*) ^М • <33-46>
Первое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю. Граничные
условия для ТЕ-волны выполняются при
кг0 = атп, C3.47)
где аШп~-корень функции 1'т{кг). Следовательно, передаваемая мощность
равна
^-^Ш'-т^'^-ж)^^- C3'48)
Подставляя сюда выражение для волнового сопротивления, получим
окончательную формулу
рте = А (XJ у! _ (АJ ^2^2 (! __^) у^). C3.49)
д) ТМ-волна; прямоугольный волновод
Величина Ех определяется из выражения
Ег = к2Пг = А Вт й^я вт /^г/, C3.50)
где
А»«-2р, Л=-Т- C3'51)
Передаваемая мощность выражается уравнением C3.28)
ь а
Р1м=-щ2тм(^/ |'4*вш*А^вш«А^&ф. C3.52)
о о
Но, так как
а 5
( 81П2 кхХ <1Х = у , ( 81П2 ^2/ Й2/ = у , C3.53)
о о
получаем
р™ = 1^М^Jл2^ C3-54>
^ 33. Расчет передачи мощности по волноводу
675
е) 1\Е-волна; прямоугольный волновод
Для ТЕ-вопны в уравнение C3.38) необходимо подставить
Нг = к2Пх = А соз кхх сов куу, C3.55)
где
ъ ~ -^- 1с - пл
К* ~ а ' ку~Г'
Следовательно, передаваемая мощность равна
РТ-Е-^(ТП /^2^ов^<^ = ^(|)'4. C3.56)
о о
В особом случае лг= 0 мощность определяется по формуле
РЪЕ- " ёг^ЧтП!™4^^ = ^ Л1Ш'т- <33'57>
О о
ж) Определение константы А. Максимальная передаваемая мощность
Уже упоминалось, что величина неопределенной до сих пор
постоянной А может устанавливаться на основании измерения всей
передаваемой мощности или какой-нибудь составляющей поля.
Рассчитаем постоянную Л для случая максимально допустимого поля;
отсюда получится практическая формула для определения максимальной
величины передаваемой мощности. Напряженность электрического поля
ограничивается электрической прочностью заполняющего волновод
диэлектрика.
Проведем решение для волны типа ТЕто-
В этом случае составляющие поля таковы:
Нг — А соз кхх, Еу = — ^гг— 8*п к**-»
-^макс == | Еу [макс — —Тщ~ А • (оо.Эо/
Принимая во внимание, что
к = кх = ^ , C3.59)
получим, что постоянная равна
** а
А^^^-. C3.60)
/но)
Тогда передаваемая мощность по формуле C3.57) равна
^--^^Ш'т- <33'61>
Подставив сюда волновое сопротивление, получим
пТЕт0 — %} Емэтск2 Г{\2 аЬ __
1ИГ_
C3.62)
43'
676
Часть IV. Электромагнитные волны
Отсюда с помощью выражения для длины волны в волноводе Л
ъ=Ъ~Ы C3-63)
получается окончательная формула
рТЕт0 = ^С. (А) аЪ = 663 . 10-4 Е2м акс (* ) а6 . C3.64)
§ 34. Потери в волноводах
До сих пор стенки волновода считались идеально проводящими, а
его внутреннее заполнение — идеальным диэлектриком, поэтому потери
не рассматривались. В действительности существуют потери, вызывающие
затухание волны. Здесь мы рассчитаем потери мощности и соответствующий
им коэффициент затухания, обусловленные конечной проводимостью стенок
волновода.
В идеальном случае по стенкам волновода тоже течет ток, но он не
оказывает теплового действия, так как сопротивление стенок равно нулю.
Реальный металлический проводник можно с удовлетворительным
приближением рассматривать как идеальный. Следовательно, мы не допустим
большой ошибки, если в первом приближении — далее которого обычно и
не идут — предположим, что картина линий поля в диэлектрике реального
волновода совпадает с картиной, полученной для идеального случая.
Что же касается стенок волновода, то в идеальном случае
электромагнитное поле внутри металла отсутствует: в действительности же такое поле
существует. Величина суммарного тока в обоих случаях одинакова;
она рассчитывается по величине тангенциальной составляющей
напряженности магнитного поля у поверхности стенки.
а) ТМ-волна; волновод произвольного сечения
Рассмотрим сначала ТМ-волну. В этом случае магнитное поле имеет
только поперечную составляющую, перпендикулярную направлению
распространения, а ток перпендикулярен тангенциальной слагающей
магнитного поля и, следовательно, совпадает по направлению с осью волновода.
Между током по внутренней поверхности волновода на ширине 1 м
(в направлении, перпендикулярном оси) и тангенциальной доставляющей
магнитного поля существует известное соотношение
К2 = НТ, C4.1)
где Нт — тангенциальная составляющая напряженности магнитного
поля на внутренней стенке. Средняя по времени величина мощности,
превращающаяся в тепло на единичной длине стенки волновода, получается из
формулы
Р„=^ф\кг\2с18. C4.2)
Контурный интеграл берется по периметру внутренней поверхности
волновода в плоскости, перпендикулярной направлению распространения;
/?8 — сопротивление призмы материала стенок волновода шириной 1 м
и толщиной, равной глубине проникновения.
§34. Потери $ волноводах
677
Подставив C4.1) в C4.2), получим
Л=уф|#г|2^. C4.3)
По C3.12) НТ может быть выражено через Пх:
\Нт\^(есо)Цёт^П1)\ C4.4)
или после применения формулы
Ег = к2Пъ C4.5)
через Е±:
(Ят!^^^2^. C4.6)
Следовательно, для мощности потерь справедливо следующее выражение:
Я8со2е
По уравнению C3.27)
Р*=Л-^Ф&***Е1**- C4-7>
~-*Ш' <3«>
и, следовательно,
р*= -ЩкЩ Ф ё™Л2 Ех й$' C4'9)
Так как величина Ег всюду на стенке волновода равна нулю, #гас1 Ег
имеет только нормальную составляющую, так что
где п — нормаль к стенке волновода.
б) 2\Е-волна; волновод произвольного сечения
Магнитное поле ТЕ-волны содержит, кроме поперечной, также и
продольную составляющую. Соответственно ток в стенке волновода также
имеет продольную и поперечную составляющие. Их зависимость от
магнитного поля выражается следующими соотношениями:
Кг = Нт^±\&ъ&Нг1 C4.11)
КГ=Н1. C4.12)
При этом магнитное поле и его градиент берутся на внутренней стенке.
В C3.34) было показано, что изменение Нх вдоль нормали к поверхности
равно нулю; следовательно,
|8Рас1Я1|=^-. C4.13)
При этом дз соответствует перемещению по стенке волновода в плоскости,
перпендикулярной оси.
На основании вышесказанного мощность, превращающаяся в тепло
на единице длины стенки волновода, равна
«78
Часть IV. Электромагнитные волны
Последнее уравнение с помощью формулы
можно представить в виде
в) Потери в круглом и прямоугольном волноводах
Рассчитаем потери в круглом и прямоугольном волноводах для ТМ- и
ТЕ-волн.
Для ТМ-волны потери определяются по формуле
>--¦&(№№)'<•¦ <34»>
Осевая составляющая электрического поля в этом случае равна
Ех = А1ш{кг) соз тер. C4.18)
Направление нормали совпадает с направлением радиуса г, следовательно,
дифференцирование по нормали эквивалентно дифференцированию по
радиусу г. Величина производной по нормали должна быть взята на
периметре, т.е. при г = г0. Следовательно,
Р1м = ^{$АЧЧЖкг0I'со**т<рг0с1<р, C4.19)
О
где /™(Ат0) —первая производная функции 1т(кг) по кг при г = г0. Так как
2я
Г соз2 т<р Лср = л,
о
окончательная формула имеет вид
р™ = ^(т$А2Г&кг<>) • C4-2°)
Потери в круглом волноводе при ТЕ-волне рассчитываются по
уравнению C4.16). В этом случае
Нг = А1ш{кг) соз ту, C4.21)
и уравнение C4.16) принимает вид
2п ! _ ГА.J
+т]'{{)* -& т* АЧ\{кГо) 81п2 т(Рг^' <34-22>
Интегрирование легко выполняется и приводит к следующему:
Р™ = | А^(Аг„)г0я+| Л2 (-^J —1^ ^ Лт(кг0)п. C4.23)
$ 34. Потери в волноводах
679
Осевая составляющая электрического поля для ТМ-волны в
прямоугольном волноводе равна
Е± = А 81П кхх 8Ш куу; C4.24)
применяя C4.10), получим
о о
О о
Величины входящих в формулу подынтегральных выражений равны
дЕ,
ду
у«0
ТШ л • 7 I О Ел I 7П71 л • 7
= -Г" А 81П к~Х, -к^ = А 81П куУ,
Ъ х^' I ох |л=0 « *
I дЕл птг л . 7 #2?, I тя ^ . 7
| ду |у=ь Ь * ' I ох |х«а а ^
Следовательно, мощность
Па - ЩйЛи) Г~Ъ*~Л У4" а2 л У] ""
Осевая составляющая магнитного поля при ТЕ-волне в прямоугольном
волноводе равна
Н1= А сов кх х со8 куу, C4.27)
и применение соотношения C4.16) дает потери в виде
р™ = т [ф А* С082 ***С082 ^ ^+(т;J —У1 ф йг)Н <34-28)
Входящие сюда интегралы имеют значения:
ф сое2 кхх соа2 /суг/ Аз — а + Ъ, C4.29)
= 2А2^у + 2Л2-^-~. C4.30)
Окончательно формула потерь приобретает вид
I Лг27Г2 П27Г2 ^
+ -
Р% =| А«|а + * + (Х),[1_^I]_«_р_*_|. C4.31)
г) Коэффициент затухания круглого и прямоугольного волноводов
После того как найдены передаваемая мощность и потери на единицу
длины волновода, можно рассчитать коэффициент затухания, пользуясь
формулой C4.38) ч. III:
«=^г- ' C4.32)
680
Часть IV. Электромагнитные волны
Для круглого волновода из C3.43) и C4.20) получим коэффициент
затухания ГЛ/-волны в виде
^М = А-Г7=4т^- C4-33)
УЧт)
г0%9
Расчет коэффициента затухания ТЕ-волны проведем несколько подробнее.
Применяя C3.49) и C4.23), получим
рТЕ
ТЕ _. г*°
\ А*Лм(кг0)г0я+^А* [*-)* У~^- -^ Лт(кг0)п
Д. (М'| ' + Ш2[1 _(А)!1 _=1
C4.34)
Откуда после простых преобразований получаем такое выражение
для коэффициента затухания:
«Р° *' ^Г + ^1- C4-35)
д> [Г АJ + т° 1
Выражение йт0 (из граничных условий) заменено величиной а^, через
которую обозначен гс-й корень производной бесселевой функции т-го
порядка.
Рассчитаем коэффициент затухания ТМ-волны в прямоугольном
волноводе. Для этого необходимо по уравнениям C3.54) и C4.26) определить
величины мощности и потерь и, кроме того, волновое сопротивление.
В итоге находим, что
«I
4
Так как
то
«2м = ,?*•,,. 1;:,"'". C4.37)
^ИтШ2^2
Коэффициент затухания для ТЕ-волны рассчитывается по формулам C3.56)
и C4.31):
| Ш2712 П2712 )
~ТЕ __ 2
«п — —
л..+.+^л-^л^т
2^ге I /„; 4
$ 34. Потери в волноводах
681
2П$
га2я2 л2л2
—+-г-
5±*Г А Г + [1 _ (кI] « *
а2
C4.38)
Окончательная формула для коэффициента затухания получается в виде
,39)
„ТЕ _
2Д,
ьг.
ь-т
Выведенное выше уравнение для случая п = 0 неприменимо. В этом
случае мощность рассчитывается по C3.57), а величина потерь
определяется из выражения C4.16):
«П
Коэффициент затухания определяется следующим образом:
C4.40)
хп —"
22. л I/,;
аЪ
~2~
мач2
&2И
^И'+ЧМГ+ЧЭД-
-['+»т(*Л
л.
к-ь-т"
откуда получаем окончательный результат
ТЕто
«О —
ьг.
*. |1 + 21(|11.
14т)
C4.41)
C4.42)
д) Практические формулы для определения коэффициентов затухания медных
волноводов
Определим формулы для численного расчета коэффициента затухания
при двух практически наиболее важных типах волн.
Коэффициент затухания ТМ-волны в круглом волноводе равен
1 C4.43)
тм К,
иг
•682
Часть IV. Электромагнитные волны
В этом соотношении К8-сопротивление куска проводника (из
материала волновода) единичной длины и ширины с высотой, равной глубине
проникновения д. Для медного волновода
д = ^г(см). C4.44)
Тогда
Я* = ^ = 5Г10"вХб^ = 2,64.10-'УП<*)- C4-45>
После подстановки величины2,73= 120л;коэффициент затухания определяется
в виде
тм = 2,64-ю-7 УТ 1 . C4 46)
° ~ "" ¦ ь-ы
а° - 120я
Если в эту формулу ввести критическую частоту, зависящую от размеров
волновода, то получим формулу для коэффициента затухания, в которую
входят только размеры волновода и частота. Для типа волны ТМо1
критическая частота равна
/, .М«*.з.10" = .М*^. C4.47)
Отсюда получается
!/— 1/4,15-108 1,07-10* /0/ /оч
или для коэффициента затухания
ТМ01 _ 2,64-10-
о = -»1,07-10«-4г1/? г *
120я г.''» Г/, 1ЛГ&'
)
= 7,50.10-.4гГ^у=^Г. C4.49)
Последнее выражение дает коэффициент затухания в неперах на метр.
В англо-американской литературе коэффициент затухания иногда
дается в децибелах на фут. В этих единицах коэффициент затухания равен
гм»_ 2.10-0,305 7 >10-10-' 1 1/~ 4 (МЫ)
а° ~ 2,30-2,54'/.. 10"» />5и1У 1^* " /, 1ГЗЩ5 ' ( '
где /•„ выражено в дюймах. Окончательный результат имеет вид
а™« = 0,0048 4-1/-! г * C4.51)
'Л''' |/1_(АJ
Практическая формула для Г2?т0-волны в прямоугольном волноводе
получается следующим образом. По уравнениям C4.42) и C4.45)
а,
ТЕШ = 2,64-Ю-7// Г «__1_9.Г V
а-120я
¦Ю-7 У/ [*¦-,-9.ГМ1
ут^.1.+а(т)]-
C4.52)
$ 34. Потери в волноводах
683
Критическая частота
^ = 1^ C4>53)
./- _ /1,5.10*
Следовательно, для га= 1 коэффициент затухания равен
ТЕ19 2.64-10~7
C4.54)
120тг
1,23-10* |/Т 1 Г« , о Г /, J1 _
2-2,64-Ю 1,23-104
120л; „•/¦
штшим
C4.55)
ГШ1^
или, выражая его через длину волны,
ТЕ» _ 2-2,64-Ю 1,23» 104 2б1я; Гу ^ ,
1 <*<ЧУ/г| 1
= 1,72 • К) -4г ' А • C4.56)
На фиг. 440 показан коэффициент затухания круглого волновода в
функции частоты для разных типов волн. При критической частоте
коэффициент затухания бесконечно велик, далее он падает до минимума и снова
возрастает. Исключение составляет только волна ТЕ0Ь где затухание
непрерывно уменьшается с ростом частоты. К сожалению, этим
благоприятным свойством названного типа волны на практике не пользуются из-за
сложности создания такой волны. К тому же в таком волноводе легко
могут возникать другие типы волн при незначительном нарушении
геометрии, например при изгибе волновода. Для сравнения на том же
графике показано затухание волны ТЕМ в коаксиальном кабеле с
оптимальным отношением внутреннего и внешнего диаметров.
На фиг. 441 показано затухание в двух прямоугольных волноводах
одинаковой ширины, но разной высоты. Из этих кривых видно, что
предельная частота ТЕ10-волны не зависит от высоты волновода, т.е. не зависит от
размера стороны волновода, параллельной линиям электрического поля.
Затухание же, напротив, от этого размера зависит. Для сравнения
приведена также кривая затухания ТЕМ-волны в коаксиальном кабеле с
оптимальным отношением внешнего и внутреннего диаметров, причем внешний
диаметр принят равным стороне прямоугольного волновода.
Наконец, на фиг. 441, кроме кривой затухания кабеля с оптимальным
отношением диаметров, приведена кривая затухания кабеля с меньшими
размерами (левая кривая). Последний может применяться до той же верхней
границы частот, что и волновод прямоугольного сечения. В обоих случаях
верхняя граница частот определяется возможностью возникновения выс-
:ших типов волн. Следовательно, в коаксиальной и в волноводной линиях
684
ЧасУпь IV. Электромагнитные волны
от
Ч
с?
I
¦е-
I
Ц08
0,06
0,04
от
1
1
л
У
У
I л \\
[ 1 ' •
1 1.
^ 1
/'
У
У
-л-
/"
-\\^*~~
ТР
1-Ьи-~-
~-^л*/__
,**А
*-*
Частота. 10 гц
Фиг. 440. Затухание в круглом медном волноводе.
Пунктирной линией показано затухание в коаксиальном кабеле с таким
же диаметром внешнего проводника и отношением диаметров,
соответствующим минимальному затуханию.
0,10
й°>08
I
от
от
от
'
... ,1, -К ¦
/
0
/
'
/ л -'
/ 1Л /
1 А
\/\ х
к 1
18 см
^
у
^
У
^
^'
ТЕ10^ ¦
ТЕЮ\3 _
5слЙГ-Н
>"^
Частота, 10 гц
0—1 »— /
Рабочий диапазон
частот
Фиг. 441. Затухание в прямоугольном волноводе.
Пунктирной линией показано затухание в коаксиальном кабеле,
внутренний диаметр оболочки которого равен ширине волновода, при
оптимальном диаметре жилы. Кроме того, слева показано затухание в
коаксиальном кабеле, практически применимом как в рабочем диапазоне
волноводов, так и при более низких частотах.
высшие типы волн возникают при одинаковой частоте. Таким образом,
рабочий диапазон частот обоих типов линий имеет одинаковую верхнюю
границу. Нижняя граница для коаксиального кабеля лежит при нулевой
$ 35. О возбуждении волн в волноводах
685
частоте, а для прямоугольного волновода определяется критической
частотой, как видно из фиг. 441.
При одинаковых размерах затухание в коаксиальном кабеле много
больше, чем в прямоугольном волноводе. Тот факт, что передаваемая
частота определяет наименьшие размеры волновода и наибольшие размеры
коаксиального кабеля, объясняет преимущества применения
коаксиального кабеля до длины волны 10 см C000 Мгц). При больших размерах
коаксиального кабеля в нем возникают, кроме волны ТЕМ, высшие типы волн,
что связано с дополнительными потерями. При длинах волн ниже 10 см
вплоть до нескольких сантиметров применяются оба типа линий. Ниже
2 см наибольшие допустимые размеры коаксиального кабеля уменьшаются
настолько, что его изготовление требует поистине ювелирной техники —
технологически очень трудно достичь точности размеров, необходимой
по электрическим требованиям. При таких коротких волнах и с точки
зрения затухания, и с точки зрения технологии становится выгодным
применение волноводов.
§ 35. О возбуждении волн в волноводах
Возбуждение волн в волноводах, согласование ролноводов, излучение
с открытого конца волновода и другие важные для практики вопросы здесь
подробно не рассматриваются. Относительно возбуждения различных типов
у/////^/^^//////^/^/^///////^А//777,
I ^
У////Щ
\^\ \ м '—^ 11 • •'—"> I •
>;;;;;/у>//;;/////////////////////\ в
-^^/^—У. •
Г'г 0,1
У////////±'У/777777Г//УМ/////////////Л
Фиг. 442. Возбуждение простейших типов волн.
Рисунок б в переводе изменен. — Прим. ред.
686
Часть IV. Электромагнитные волны
волн заметим только, что оно производится при помощи помещенного в
начале волновода устройства, создающего электрическое или магнитное
поле, частично или полностью совпадающее с полем заданного типа волны.
Одновременно может возникать и целый ряд высших типов волн, которые
гасятся либо из-за несоответствия размеров волновода, либо специальными
фильтрующими приспособлениями.
На фиг. 442 показано, что при соединении коаксиального кабеля с
круглым волноводом картина линий поля в кабеле переходит в картину
линий поля волны ТМ01. Два экранированных параллельных проводника
возбуждают в волноводе волну типа ТМп. Волна типа ТЕо1 возбуждается
петлей, перпендикулярной оси кабеля, в то время как волна ТЕп
возбуждается перпендикулярной оси кабеля антенной (штырьком). При
возбуждении последних двух типов волн с левой стороны на
определенном расстоянии от петли или стержневой антенны помещается
замыкающая пластина таким образом, чтобы за счет отражения от нее получить
усиление излучения, распространяющегося направо.
Прямоугольный волновод, изображенный на фиг. 443, имеет форму
рупора, форма его поля приближается к полю ТЕ10-волны и излучение
1*^=^4:
щуи
ЙППИ
ш
Ш
Фиг. 443. Электромагнитное поле внутри рупорного излучателя.
из его открытого конца обладает очень острой направленностью в
пространстве. Это так называемый электромагнитный рупор. В
радиолокационной технике для обеспечения особенно острой направленности в
пространстве рупор комбинируют с параболическим отражателем.
§ 36. Волновод, заполненный ферритом
На фиг. 444 изображен круглый волновод, заполненный ферритом,
намагниченным в продольном направлении. Для определения
возникающих в нем волн запишем первое и второе уравнения Максвелла в
цилиндрических координатах:
C6.1)
C6.2)
C6.3)
]соеЕ2,
^ 36. Волноводу заполненный ферритом
687
&Ф )
-](оAАНТ-]кН9),
-]<х>{]кНт+1лН9),
C6.4)
C6.5)
C6.6>
Здесь учтен тензорный характер проницаемости /л (см. ч. I, § 5) и принято-
во внимание волновое распространение поля в направлении оси я,
выражаемое в развернутом виде комплексом, например Н9A, г) = Н,€)<*-№+
что позволяет заменить дифференцирование по г умножением на —//8.
Катушка,
возбуждающая
лоле И0
Стенка
волновода
Фиг. 444. Вращение плоскости поляризации в продольно
намагниченном феррите (эффект Фарадея).
Если антенну B) сделать передающей, то волны придут к антенне A) в
плоскости, ей перпендикулярной. Таким образом, антенна A) в этом случае
ничего не примет.
При расчете распределения тока в цилиндрических проводах все
величины выражались через продольные составляющие вектора Е;
существенная роль продольных составляющих поля была показана и в случае
волноводов. Поэтому и сейчас попытаемся исключить все составляющие
векторов, кроме продольных Ег и Нг. Для этого применим к первому
уравнению оператор A/г)д/е)у, а ко второму оператор — A/г) (д/дг)г и затем
сложим их. В итоге получим
1 ЪгНг , 1 д ( дНА
Заметим, что выражение, стоящее справа в скобках, совпадает с
C*6.6) и равно ]'со/лхНг. Тогда1*
Л.^. + 7/»D-Т&+ТЮгЯ') = -«ЛРА-
C6.8)
1} Здесь Аг,<р — слагаемые лапласиана, содержащие производные только по г
и ср. — Прим. ред.
688
Часть IV. Электромагнитные волны
Такой же метод применим к уравнениям C6.4) и C6.5), что дает
Принимая во внимание C6.3), последнему уравнению можно придать
следующий вид:
Аг,9ЕхЩ^+^(гЕг)] = -аРфЕг-а&^^ + ^гНг)]. C6.10)
Уравнения C6.8) и C6.10) понадобятся нам в дальнейшем.
Теперь применим к уравнению C6.1) оператор — Г^-)г, а к уравнению
1 д
C6.2) — оператор — к-- После сложения их получим
,Ж = ±»(|*г) + ±^. C6.11)
Подобный метод применим к уравнениям C6.4) и C6.5):
]'соЧеЕ2+^2Н2 = -/^[7Й(^)+|^]. C6.12)
Два последних уравнения с учетом C6.8) и C6.10) приводят к важному
результату:
Аг,9Н2 + ]р{]Р^Н2-^Ег) + соЧ^Нг = 0, C6.13)
АГгуЕ2-(Р2-соЧ1и)Ё2 + сок[]'Р^Н2-~ Ег\ = 0. C6.14)
Поставленная цель достигнута наполовину, так как, хотя в уравнения
C6.13) и C6.14) входят только продольные компоненты, но в одно
уравнение входят одновременно и напряженность электрического поля и
напряженность магнитного поля.
Из полученных уравнений можно сделать очень важный вывод: при
Ег, равном нулю, Нг тоже равно нулю, и наоборот. Это означает, что ни
ТЕ, ни ТМ-волны в волноводе, заполненном ферритом, существовать
не могут.
Отметим, что рассуждения, проведенные для исследования уравнений
C6.13) и C6.14), справедливы также в декартовой системе координат, что
позволяет применить их к волноводам с прямоугольным поперечным
сечением.
Теперь, естественно, нужно исключить одну из функций Ег или Н2.
Это приведет к уравнению четвертого порядка.
Но можно прийти к цели более простым путем; перепишем уравнения
C6.13) и C6.14), вводя новые постоянные, каждая из которых теперь
обозначена одной буквой1*
АН2 + аН2 + ЪЕг = 0, C6.15)
АЕг + сН2 + ЛЕг = 0. C6.16)
х) Теперь слева стоит полный лапласиан, отличающийся от Аг, «р на оператор
д2/дг2, который переходит в множитель —@2. Появляющееся дополнительное
слагаемое влияет только на коэффициенты а и к. — Прим. ред.
$ 36. Волновод, заполненный ферритом
689
C6.18)
C6.19)
Умножим первое уравнение на неизвестную пока постоянную /Л и
сложим со вторым:
А(Ег + ]ЛН2) + (Ь]Л + <1)Ег + (а]Л+с)Нг = О,
или после некоторой перегруппировки
А(Е2 + 1'ЛН2) + (Ь]Л + A){Е2 + ^^Н2) = 0.
Определим теперь величину Л из условия
д/л+с __ . л
что приводит к квадратному уравнению
а]Л + с = 6(/ЛJ + й/Л. C6.17)
Решая это уравнение, получим два значения: Лх и Л2. Следовательно,
имеем два уравнения
А(Е2 + ]'Л1Нг) + (Ь]'А1 + <1)(Е2 + ]Л1Н2) = О,
А(Е2 + ]Л2Н2) + (Ъ]Л2 + <1)(Е2 + ]А,Н2) = О
и две функции
*р1=.Ег + ]А1Нг,
у2 = Е2 + ]Л2Н2,
удовлетворяющие уравнениям
Ащ + т^гр1 = 0,
C6.20)
Л у2 + к\\р2 = О,
где
*Ял = ЪЛ1Л + А. C6.21)
После решения этих уравнений Е2 и Я2 определяются по C6.19).
Остальные составляющие определяются уравнениями C6.1)—C6.6).
Решения для %рг и гр2 получаются легко, если принять зависимость
от ср в форме &П(р:
^2 = А2/п(хаГ)е*п*.
Из уравнений C6.20), C6.21) определяем
д»= ^лГ' ^=^'^Л- C6*23)
Таким образом, получаем, например, для Ег выражение
По известным Е2 и Н2 остальные компоненты определяются
следующим образом. Из C6.1) и C6.5) выражаем ЕТ и Н9 через Ех, Нг и
44 К. Шимони —
690
Часть IV. Электромагнитные волны
Нг. Из C6.2) выражаем Е9 через Нх и Нг. Так как Н^ определено ранее
уравнением C6.4), все сводится к уравнению для Нгу зависящему только от
Ег и Н2. После этого получим уравнения для Е^ и Ег, так как они
выражаются через Нх и #г.
Постоянная распространения определяется из граничных условий
Ег = 0, Др = О при г = г0 .
Первое уравнение удовлетворяется подбором постоянных А± и А29
удовлетворяющих уравнению
Л2А1/п(^1г0)-Л^2^п(^о) = 0, C6.25)
например,
Аг = Л(^0) и А^ = Л(^о) ^ C6.26)
Рассчитывая теперь Е9 описанным ранее методом, получим
т? = дГ* Л(*!Г) 1 ^1г/;(хгг) 1 ^
7ж(х2г) 1 1 |-х2г/;(х2г) 1 ^Ыткр
Л(«2^0) >* *2 I Л(*2>) ^2 ^
C6.27)
Составляющая Др исчезает на поверхности г = г0, следовательно,
выражение, стоящее в квадратных скобках, обращается в нуль при
подстановке г = г0. В этом сложном трансцендентном уравнении неизвестно
только /?. Следовательно, последнее может быть определено из этого
уравнения. Из-за большой сложности этого уравнения мы здесь не будем
заниматься его решением, а остановимся лишь на некоторых следствиях из
него.
В противоположность случаю изотропной среды теперь решения для
+ п и — п различаются не только постоянной распространения, но
и конфигурацией поля. Решения для поперечной составляющей при +п и
— п имеют на оси круговую поляризацию в противоположных
направлениях. Следовательно, линейно-поляризованная падающая волна
поворачивается (эффект Фарадея), что приводит к соотношениям, не
удовлетворяющим свойству взаимности.
Определение частот, при которых возможно распространение энергии
через волновод, заполненный ферритом, очень сложно не только по той
причине, что определение предельной частоты по уравнению р = 0
встречает большие практические трудности, но также и потому, что имеются
еще другие условия, кроме /8=0, при которых прекращается передача
энергии через волновод. Уже упоминалось, что если Ех = 0 или Нх = 0, все
составляющие поля получаются равными нулю, так как они связаны с
Е2 и Нх линейными однородными уравнениями. Следовательно,
волна ТЕМ не может существовать. Но если к/р = ±1, то в выражениях
для Нг и Н9 знаменатель обращается в нуль. Это означает, что может
существовать поперечное изменяющееся во времени поляризованное по
кругу поле Н, не сопровождающееся полем Е или В.
Волноводы, частично заполненные поперечно намагниченным ферритом
(ферритовый стержень или пластина), имеют очень большое практическое
значение.
$ 37. Цилиндр в качестве полого резонатора
691
Е. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III. ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
§ 37. Цилиндр в качестве полого резонатора
Давно было известно, что в диэлектрике, ограниченном
металлическими поверхностями, могут существовать колебания, так как уравнения
Максвелла имеют решение в форме стоячей волны, изменяющейся во
времени по чисто синусоидальному закону, причем напряженность
электрического поля на внутренней поверхности металла направлена
перпендикулярно этой поверхности.
Выберем в качестве отправной точки колебательный 1.С-контур,
состоящий из простейшей катушки индуктивности и конденсатора; при
уменьшении Ь и С получаются колебания все более и более высоких
Ф-1 I—м
Фиг. 445. Переход от колебательного ХС-контура
к полому резонатору.
частот, т.е. все более короткие волны. Уменьшив индуктивность катушки
до одного витка и увеличив одновременно ширину металлических
поверхностей, которыми кончается виток, получим изображенный на фиг. 445
(слева) резонатор горшкового типа. Пространство, в котором происходят
колебания, полностью замкнуто (изображенный на рисунке контур
следует считать разрезом тела вращения); поэтому потери на излучение
отсутствуют, и резонатор обладает высокой добротностью. При дальнейшем
раздвижении пластин емкость конденсатора уменьшается, а частота
увеличивается. Наконец, как показано на фиг. 445, получаем закрытый с двух
сторон круглый цилиндр, т.е. простейший полый резонатор. Здесь
собственная индуктивность и собственная емкость распределены вдоль всего
контура.
Исследование такого полого резонатора нельзя проводить методами,
пригодными для /.С-контура. Вместо этого следует исходить из
полученных ранее общих решений уравнений Максвелла для круглого волновода,
выбрав из них те, которые удовлетворяют граничным условиям для полого
резонатора Ег = О на двух его торцах, т.е. дают стоячие волны с
синусоидальной зависимостью от времени, гыражаемой множителем е5'®*.
Режим колебаний в замкнутом цилиндре произвольного сечения легче
всего получить, зная (как и в волноводе), какие типы волн в нем возникают.
Здесь, так же как и в случае длинной линии, появляется возможность
удовлетворить граничным условиям, предполагая существование двух
волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
Рассматривая получающуюся при этом картину результирующего поля в волноводе,
можно увидеть, что она совпадает с картиной поля бегущей волны с той
лишь разницей, что, во-первых, вся картина поля теперь не
движется со скоростью у^ = ]Л вдоль оси 2, а только синусоидально
изменяется во времени, а во-вторых, что картина магнитного поля сдвинута в
пространстве на расстояние Л/4 относительно соответствующей картины
электрического поля, а во времени сдвинута по фазе на я/4.
44*
692
Часть IV. Электромагнитные волны
Расположив замыкающие пластины в точках, где электрическое поле
имеет только перпендикулярную к ним составляющую, мы удовлетворим
граничным условиям. Это выполняется, если на длине волновода Ь
укладывается целое число полуволн, т.е.
г Л
C7.1)
Подставив сюда величину Л из уравнения B5.7), получим выражение для
возможной длины круглого полого резонатора (при а = е = 1) в случае
ГМ-волн:
ь-\
Отсюда получаем выражение для собственных длин волн резонатора
C7.2)
ЗД =
Аналогично находятся собственные длины волн при ГЕ-волне:
Ътпр
C7.3)
Гё+Ш
C7.4)
В прямоугольном волноводе собственные длины волн для ТМ- и для
ГЕ-волны равны
Джпр = 2 . C7.5)
][т? п2
+•
Фиг. 446. Основной тип магнитных колебаний в круглом
цилиндре.
Легко видеть, что возможная длина волны выражается трехмерным
дискретным множеством. В цилиндрическом резонаторе к узловым цилиндрам
и узловым плоскостям, проходящим через ось цилиндрического волновода,
добавляются еще узловые плоскости, перпендикулярные его оси.
В круглом волноводе наиболее длинная волна типа ТМ соответствует
т,п,р=09 1, 0. Для этого случая
4^=^^0 = 2,61^.
а01
C7.6)
Следовательно, длина волны не зависит от длины цилиндра. Распределение
линий поля показано на фиг. 446. Электрическое поле в продольном
направлении не зависит от координаты г. Наиболее длинная собственная
# 37. Цилиндр в качестве полого резонатора
693
волна имеет тот же порядок, что и какой-нибудь из поперечных размеров
полого резонатора. Так, в цилиндре произвольной длины с диаметром
10 см длина основной электрической волны равна 13 см.
Т — г г" ГТ г — г
Т — т»|-кМ —
Т ^ Т ГУТУ Т Т
1—к —I т1 "г Н —г
н—\*- —144-1——[
Фиг. 447. Основной тип электрических колебаний
в круглом цилиндре.
Ток проводимости
Фиг. 448. Связь „обмотки
возбуждения" с магнитным потоком в полом
резонаторе.
Ч(х - мУ«
II ( * х х 1 .
I! !
"хЛ
х_^' ж I Х | I I
I Vх ^х *) ! [!
I I ч у . I I
тмои
Фиг. 449. Основной тип
электрических или магнитных
колебаний в прямоугольном
резонаторе.
Наиболее длинная ТЯ-волна соответствует числам т, гс, /? = 1,1,1
2 2
;т _
ь*
«м и^к
C7.7)
Картина поля для этого случая показана на фиг. 447.
Из приведенной формулы видно, что для г0^>Ь краевое действие
очень мало и Я111 = 2Ц поэтому получено такое же соотношение,
как для стоячей волны, возбужденной между параллельными пластинами.
На фиг. 448 показано поле основной волны типа ТМ010 в цилиндре,
схематически подобное полю трансформатора. Намагничивающий ток;
694
Часть IV. Электромагнитные волны
смещения замыкается в торцах и оболочке током проводимости. Вследствие
этого образуется кольцевой магнитный поток. Изменение магнитного
потока возбуждает напряжение; обусловленный им ток смещения
пропорционален скорости изменения этого напряжения.
Протекающие здесь процессы, как и в теории медленно изменяющихся
токов, могут быть описаны с помощью закона электромагнитной индукции
и закона полного тока.
Основная волна в прямоугольном волноводе рассчитывается по
формуле
дон = 2 = 2ЬЬ . C7.8)
1/1 1 ^2+Х2
1 ьг^ и
Фиг. 450. Простой тип колебаний в полом резонаторе в
виде короткозамкнутого с обоих концов коаксиального
кабеля.
Соответствующее распределение линий поля представлено на фиг. 449.
Линии электрического поля идут параллельно, следовательно,
электрическое поле не зависит от координаты х. Картина линий поля имеет сходство
с представленной на фиг. 446, где изображена основная волна в
цилиндрическом резонаторе. Если основание —квадрат, то длина основной волны
равна диагонали этого квадрата; так, например, длина основной волны
в призме с основанием 10x10 см равна 14,1 см.
Замкнув по торцам отрезок коаксиального кабеля конечной длины,
получим кольцеобразную полость. В этой полости должны устанавливаться
колебания типа ТЕМ. Они получаются из-за отражения от короткозам-
кнутых концов ТЕМ-волны, распространяющейся по коаксиальному кабелю
с известным уже распределением поля (фиг. 450). Длина волны Х=2Ь.
Отметим, что существование ГЯМ-волны требует наличия внутреннего
проводника.
Картина поля основной ТМ-волны представлена на фиг. 451, Длина
волны определяется сложной функцией отношения радиусов г1\ге и
Фиг. 451. Основной тип магнитных колебаний в отрезке
коаксиального кабеля, короткозамкнутого на концах.
$ 37. Цилиндр в качестве полого резонатора
695
Фиг. 452. Длина волны основного типа
магнитных колебаний в коаксиальном
кабеле в функции отношения радиусов.
По Боргнису.
При заданном отношении г([гв можно определить
Г—-1х==оо • Это значение Я/гв справедливо только
для бесконечно длинного цилиндра. Для цилиндра
конечной длины Я./гв определяется по формуле,
данной Боргнисом:
— = (.ЬЛ 1
М4-®,~а*
б
5
А
3
2
1
• D1, ./
-
11111. 1 , !_, 1-„ I 1—,
находится с помощью таблиц. Вообще
длина волны может быть как больше,
так и меньше Х=2Ь. На фиг. 452
представлена длина основной волны ТМ010
коаксиального резонатора в функции
отношения радиусов. При
отношении ге/^= 3,6 (минимум коэффициента затухания) и при ге/Ь=1,36 длина
волны равна 2Ь. Если те\Ь< 1,36, то устанавливаются колебания типа ТМ010
с большей длиной волны. Колебания ТЕМ, представленные на фиг. 450,
О 0,1 0.2 аз ОА 05 06 07 це Ц9 1,0
*~1/ге
Фиг. 453. Основной тип электрических колебаний
в коаксиальном цилиндре.
можно физически представить себе как отражения волны,
распространяющейся в осевом направлении, от замыкающих поверхностей, в то время как
волна ТМ получается вследствие отражения волны, распространяющейся
в радиальном направлении, от
внутренней и внешней
цилиндрических оболочек.
На фиг. 453 представлена
основная электрическая волна в круглом
резонаторе, а на фиг. 454 — длина
соответствующей волны в функции
отношения радиусов. Из этих
кривых видно, что для возбуждения
волн, отличающихся от ТЕМ,
необходима длина волны, немного
меньшая периметра внешнего
цилиндра.
Фиг. 454. Длина волны основного типа
электрических колебаний в
коаксиальном резонаторе в функции отношения
радиусов. По Боргнису.
3,0
<
2,5
2,0
' 1,5
',0
0,5
-
>
V
"" ^у
N.
-
I _.| 1__
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
696
Часть IV. Электромагнитные'волны
§ 38. Шар как полый резонатор
При анализе различных колебаний в шаре необходимо вернуться
к общим уравнениям A3.14)—A3.15), так как в этом случае неприменим
метод расчета полей в цилиндрах произвольного сечения. Напротив,
рассматривая резонаторы независимо от волноводов, можно излагаемый здесь
метод применить и к различным призматическим, цилиндрическим или
коаксиальным резонаторам.
Записывая в сферических координатах дифференциальное уравнение
A3.21) для определения функции Пь получим следующее уравнение:
д2Пг , 1 (д . лаЯ1( д 1 ЬПл 1 727Т л /по 1\
Это дифференциальное уравнение и его решение уже известны. Но
теперь центр сферы не исключается из поля и решение получается не как
общая цилиндрическая функция 2п+ч%> а только как функция Бесселя
первого рода и (и+%)-го порядка. Зависимость от <р появляется в форме
е?т(р. Следовательно, решение имеет вид
П± = ][кг 1 г (кг)Р™(со* #) е±>™* . C8.2)
Для ТМ-волны уравнения, служащие для определения составляющих
поля, принимают вид:
**~~ гвт&дгдр' * г д® '
а для ТЕ-волны:
р =ш^^1Ь я = 1 д*Пг
* г ^' * г&т&дгдср'
Подставив сюда величину Л-! из уравнения C8.2), получим формулы для
определения составляющих электрического и магнитного полей ТМ-волны:
Е* = к21ЩЧГ1п+^кг) Р™(С08 ^ ^'
^ = 7Гг [^»+| <И] ^^ (соз *)«*",
** = тЙтаГ [^'«+1 М]Р? (сов 0)^"*' ,
Яг = 0, C8.5)
ц* = —^-^Гу»+| (Ат)р» (С08 *^''
#*> = —^ У^-Лн-А (И ¦§? Р» (соз &)е>т*
$ 38. Шар как полый резонатор
697
и формулы для определения составляющих электрического и магнитного,
полей Т2?-волны:
Ег = 0,
Е* = ТШТ ^/«+1. (М Р? (сое *)е*»*,
Е, = Ш-Ук71п+± (кг) ~Р%(со*4)№,
Нг = &2 !&±У- /п+± (кг)Р% (соз 0) е*»* , C8.6)=
Н* = ТЪ [^Г/«+| <Ч ^ И?(сое*)] ^ ,
я* = т&гй^М {Лг)]-р? (С08 *> ^ •
Граничные условия требуют, чтобы электрическое поле было
перпендикулярно к сферической поверхности; следовательно,
Е, = Е, = 0 при г = г0. C8.7).
Это условие для ТМ-волны выполняется при
Применив уже неоднократно приводившуюся формулу для производной
бесселевой функции
№=~Ых) + Ъ-1(х), C8.9)
получим следующее соотношение для определения к:
^+у.(Ь-о) = *й.. C8.10)
р-й корень этого трансцендентного уравнения обозначен здесь как Ьп+чш9 IV
Для определения последнего служит соотношение
^п-1и{Ъп+1I2, у) п
Тогда для собственных значений волны ТМ получим следующие уравнения:
к = —= Ьп+Ч^ C8.12)
Л г0
А = , _ г0. C8.13)
и соответственно
Для ТЕ-волны граничные условия записываются в форме
/п+1/2(/сго) = 0. C8.14)
Если у-й корень этого уравнения обозначить Сп+1/1|Р, получаем для
определения собственной длины волны
Лго = ся+./.,.,^ = -2^, C8-15)
откуда
А = 27Г г0. C8.16>
«698
Часть IV. Электромагнитные волны
Для вычисления основной ТМ-волны получаем формулу
ЛТМ = 2,29г0. C8.17)
Соответствующая картина линий поля показана на фиг. 455. Длина
основной волны типа ТЕ
ХТЕ = 1,40 г0 . C8.18)
Фиг. 455. Основной тип
магнитных колебаний в
шаре.
Фиг. 456. Основной тип
электрических колебаний
в шаре.
Форма этих колебаний показана на фиг. 456. Длины волн основных
собственных колебаний (Хтм и ХТЕ) для простейших полых резонаторов
приведены в табл. 9.
Таблица 9
ДЛИНА ВОЛНЫ ОСНОВНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРОСТЕЙШИХ
ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРОВ
Ь2 ^Ь2
и
2,61 Го
Г>-з4
г\
. 2г0
и
2,29 го
1,40гв
Расчет поля в резонаторах другой формы еще более сложен. Вообще
расчет поля возможен только в тех случаях, когда удается применить
систему координат, одна из ортогональных поверхностей которой
совпадает с граничной поверхностью полого резонатора. В рассматривавшихся
до сих пор случаях это условие всюду выполнялось.
Один из практически важных видов объемного резонатора может
более или менее приближенно изображаться системой конфокальных
эллипсоидов и гиперболоидов (фиг. 457). Такое приближение позволяет путем
длительных расчетов получить отдельные параметры колебательного
контура. На фиг. 458 представлена зависимость основной длины волны
от размеров. Здесь х0 —экваториальный радиус резонатора и
а-фокусное расстояние. Одновременно диаграмма показывает, какими
$ 38. Шар как полый резонатор
699
Ф и г. 457. Приближенное
представление клистронного резонатора
эллиптическими и
гиперболическими поверхностями вращения.
X
у
ФФ^
1,0
2х0/а -
10
100
Фиг. 458. Длины волн резонаторов.
По фиг. 458 можно определить значения 2х0/а
для резонаторов различных форм,
соответствующие одинаковым длинам волн. По Ханзену.
Фиг. 459. Качественная картина линий поля
в практически применяющихся резонаторах.
должны быть формы резонаторов, соответствующие заданному значению
Ъх0/а, чтобы все они без исключения имели одинаковую длину волны
основного типа.
Угол наклона асимптот составляет 45°. Качественная картина поля
показана на фиг. 459.
700
Часть IV. Электромагнитные волны
§ 39. Добротность полого резонатора и его эквивалентный ток
Наиболее важная величина, характеризующая каждый
колебательный контур и полый резонатор, — собственная частота колебаний. Она уже
определена для призматического, цилиндрического и сферического
резонаторов. Не менее важная характеристика — коэффициент затухания и
связанная с ним добротность.
Предположим, что полый резонатор заполнен идеальным
диэлектриком. Тогда затухание определяется только конечной проводимостью
ограничивающих металлических поверхностей. Поле внутри металла при
конечной проводимости отличается от нуля, следовательно, нужно было
бы вернуться к общему уравнению, рассмотренному в § 20. Но если
проводимость очень велика, можно ввести
следующие упрощения: для возбуждения
\ \5-\ш Vм? конечного тока в стенках необходима
\гс?& очень маленькая тангенциальная
составляющая поля, которая в первом
приближении (при расчете поля в
диэлектрике) может быть принята равной
нулю. Тогда граничные условия,
собственная частота и общая картина
поля останутся такими же, как и в
идеальном случае. После того как поле
найдено, вычисляется плотность
поверхностного тока (для заданной точки
Фиг. 460. К расчету добротности поверхности) по формуле
сферического резонатора. ^ __ тт ПР1\
При этом можно считать, что весь ток протекает по поперечному сечению,
соответствующему глубине проникновения, и вызывает тепловое действие
по закону Джоуля.
Здесь будет изложен расчет коэффициента затухания только для
случая, представленного на фиг. 455, т.е. для основной волны электрического
типа в шаровом резонаторе. Поскольку магнитное поле имеет только
^-составляющую, ток, перпендикулярный ей, течет вдоль меридиана.
Плотность тока и напряженность магнитного поля существуют всюду. В
плоском элементе объема, изображенном на фиг. 460, в тепло превращается
мощность
АР„ = 1 Л1 <11*AН3 = ~ НЖЛг вш МерJ л гМя, . C9.2)
Полная мощность, выделяющаяся в виде тепла на всей поверхности шара,
равна
р»=т I } "й н*н*81п *й(рМ ¦ C9-3)
Подставив сюда выражение для волны типа ТМ011
Н9 = А^УАг/./,(Аг) вш0, C9.4)
получим
2п я
Р„ = у А2 § I -^ -^~- кг1?и(кг) 8ш2 0 вш Мер дй, C9.5)
^2
<р = 0 9 = 0
$ 39. Добротность полого резонатора и его эквивалентный ток 701
или
где
^442|т1^[^/1?-(М1 /ат«*аш#<М». C9-6)
Значение интеграла D/3) -2тг известно из G.41) Таким образом,
Л = А2-^^^^ЯB,75), C9г7)
]\(кг) = У^ /.,.(Аг); Я = 2,29г0; Лг0 = у г0 = 2,75. C9.8)
Вычислим теперь отношение потерь к общей энергии поля внутри
резонатора. Сначала определим среднее значение энергии магнитного поля1*
IV = & ] Н Н*Й7 = А2^ е\со2 § -I- кг1^ш(кг) вш^г2 вш 0 йг <2р^Л C9.9)
У V
Оно может быть записано в форме
Ф # г
г=*г„
= -у- гх Л2/с4 | /2(/с^2 Л-. C9.10)
Полная энергия поля, одинаковая в любой момент времени, равна
удвоенному значению средней энергии магнитного поля, так как средняя
энергия электрического и магнитного полей одинакова.
По уравнению B0.112) ч. II при обозначении C9.8) имеем
X
/ %(х)хЧх = ^г[%(х) -]о(х)]'2(х)]. C9.11)
о
Принимая во внимание, что кг = B,75/г0)г, получим
IV = -|- е^Мг*-0,054. C9.12)
Следовательно, отношение Р^^ равно
Ф-^^Шг-*- C9-13)
Само собой разумеется, что потери происходят за счет уменьшения
энергии поля:
-Т^= Р9 = »К. C9.14)
Следовательно, энергия уменьшается по экспоненциальному закону
]У = №0е-ы. C9.15)
1} В этом выражении Н — комплексное представление амплитуды напряженности
лоля. Поэтому перед интегралом вместо множителя V* стоит множитель 1/4. — Прим.
ред.
702
Часть IV. Электромагнитные волны
Добротность определяется как отношение полной энергии к потерям
энергии за период, умноженное на 2п; поэтому для добротности получается
выражение
0 = 2*-^-=-^. C9.16)
Принимая во внимание, что б = ][21[л2в2оо , получим из C9.13) для
добротности следующее выражение1):
д = щ^ _^о|_ = о,725^ . C9.17)
Для этого простейшего типа волны в шаре нетрудно вычислить
эквивалентное сопротивление потерь. Для этого нужно ввести понятие
некоторого условного эквивалентного тока. В качестве такого тока для волны
типа ТМ011 (см. фиг. 455) можно взять ток, пересекающий экватор и
направленный по меридианам. Этот ток выражается равенством2)
/ = /ов*-' = 2яг0Я,(г0)е*-« = 2пг0А^][кГ01Ч2(кг0)е^ =
'о
= 2лг0Ае11Ък^ /1B,75)е^г. C9.18)
Заметим, что, пользуясь этим уравнением, можно выразить постоянную А
через эквивалентный ток.
Зная ток и энергию магнитного поля, можно, пользуясь основным
определением, найти значение эквивалентной индуктивности из равенства3)
\Ут = ^-Ы1* = -%¦ |НН*Й7, C9.19)
Для нашего случая получаем, что
/I! Гнн*(*7
Ь = —^ = 0,077Лг0 . C9.20)
Таким же путем на основании равенства 112Ш1* = Р„ можно найти
эквивалентное сопротивление потерь, т.е. сопротивление, по которому
проходит эквивалентный (экваториальный) ток. Из найденных величин Ни Ь
определяется и эквивалентный импеданс.
Другим типам волн соответствуют другие значения эквивалентного
тока и параметров эквивалентного контура.
1 Для полого резонатора задаются геометрия устройства и константы
материала, но не тип колебаний и не затухание: эти факторы зависят от
способа возбуждения.
Впрочем, можно оценить, хотя бы очень грубо, порядок добротности
ф и ее зависимость от длины волны, предполагая, что энергия поля
(умноженная на частоту) пропорциональна внутреннему объему резонатора,
1} Здесь (гх и [л2 — магнитные проницаемости соответственно диэлектрика и
металла. — Прим. ред.
2) Здесь, согласно уравнению C9.1), Н9(г^ равно поверхностной плотности
тока, направленной по меридианным кругам, т.е. К=К$. Если значение Н9 взять
для экваториальной плоскости (# = я/2), то получим плотность тока на экваторе;
умножив ее на длину экватора, получим весь ток, пересекающий экватор, а в
дальнейшем замыкающийся токами смещения, проходящими по диэлектрику. — Прим. ред.
3) Здесь I — комплексная амплитуда. — Прим. ред.
^ 40. Принцип Гюйгенса
703:
а потери пропорциональны объему, на который распространяется поле в
металле. Можно считать, что первый объем по порядку величины равен
кубу длины волны, а второй — поверхности, умноженной на глубину
проникновения. При этом поверхность можно считать равной квадрату длины
волньь В таком случае
^ч Объем ^ А3 _ Я /ад91\
""" Поверхность х Глубина ~" №д <$" * \ • /'
Но глубина проникновения в свою очередь пропорциональна корню
квадратному из длины волны; следовательно, при заданной геометрической
форме и для одинаковых типов волн добротность () приблизительно
пропорциональна У А . Если же при одинаковых геометрических размерах
X уменьшается (за счет возникновения высших типов
волн), добротность увеличивается пропорционально
ШТ.
Как уже было показано, полые резонаторы даже
при малых длинах волн (порядка нескольких
сантиметров или дециметра) обладают достаточно большими
геометрическими размерами, так что их можно
выполнить с достаточной для практики точностью. На
фиг. 461 показаны шесть различных колебательных
контуров, пригодных для длины волны 50 см. Из
рисунка видно, что простейший контур ЬС обладает
очень малыми размерами-, его линейные размеры
имеют порядок 5 см. Маленькие размеры имеет
также распространенный резонатор горшкового
типа (внизу справа на фиг. 461).
Для сравнения на том же рисунке изображены
линия длиной Я/2, замкнутая с двух сторон, и линия
длиной Я/4, замкнутая с одной стороны
(соответственно тому, о чем говорилось при рассмотрении
колебаний в линиях). Клистронный резонатор
(верхняя часть фиг. 461) имеет значительно большие размеры, они велики
даже и для таких коротких волн. Диаметр шара при волне 50 см
составляет примерно 50 см, т.е. он неприемлемо велик.
Приняв, что масштаб рисунка 1:1, получим непосредственно размеры
микроволнового колебательного контура, настроенного на длину волны
примерно 3 см. Видно, что колебательный контур клистрона или шар имеют
еще приемлемые размеры, в то время как 1/С-контур или даже горшковый
резонатор уже настолько малы, что их изготовление при практически
необходимой точности требует ювелирной работы.
Фиг. 461. Размеры
различных типов
колебательных контуров,
имеющих одну и ту же
длину волны.
Типы контуров: шар,
клистронный контур,
коаксиальный полуволновой
резонатор, четвертьволновой
отрезок линии, ЬС-контур г
резонатор горшкового
типа.
Ж. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 40# Принцип Гюйгенса
В предыдущем тексте сначала рассматривалось решение уравнений
Максвелла независимо от условий возбуждения волн, затем решались
задачи о поле, возбуждаемом простейшими антенными устройствами,
причем все остальное пространство считалось однородным. На отде^ных при-
704
Часть IV. Электромагнитные волны
мерах было также показано, как, решая уравнения Максвелла,
удовлетворить граничным условиям на заданных проводящих поверхностях,
ограничивающих область поля.
Теперь поставим задачу несколько шире: в ограниченной части
пространства произвольно распределены источники колебаний. В пространстве
имеются различные поверхности, на которых свойства среды меняются
скачком. Спрашивается, возможно ли при такой общей формулировке
задачи получить практически пригодные решения.
Известно, что скалярный потенциал или ортогональные компоненты
векторного потенциала удовлетворяют уравнению
ЛУ-^Щ=-&Х^*Л- D0.1)
При этом функция §(х, у, 2,1) считается заданной. Мы уже видели,
'что решение статического уравнения
Лгр= -%(х,у,ъ) D0.2)
имеет вид
""-(IV, D0.3)
1 Г<
тде интегрирование распространяется на все бесконечное пространство.
Если функция #(#, у, г) задана в ограниченном объеме, то
^ 4тг ») г Ьж ) дпг кж } * дп г ' V • /
V А А
Действие зарядов, находящихся вне объема 7, учитывается добавочным
-заданием значений у) и ду/дп на границе.
Уже указывалось, что решение в бесконечном пространстве,
удовлетворяющее волновому уравнению D0.1), выражается через запаздывающий
потенциал
_ , Г«(*,»с.'-т)
^ 4я„) г
й$Апд,Ь. D0.5)
Посредством теоремы Грина может быть показано, что внутри некоторого
конечного объема, ограниченного поверхностью А, величина гр
определяется следующей формулой:
При этом квадратные скобки означают, что функция берется в момент
времени 1—г\ь.
Применяя это к чисто синусоидальным изменениям и полагая §
равным нулю в заданном объеме, придем к следующей простой форме:
1 Г(ду) е->» д е-'* \ * л //л 7\
А
Это выражение часто встречается в оптике и известно как диффрак-
ционный закон Кирхгофа. С помощью этого закона можно рассчитать
амплитуду волны в любой точке пространства, если известны гр и дгр/дп на
границе.
# 41. Векторный принцип Гюйгенса 705
На основании этого можно решить задачу, представленную на фиг. 462:
устройство, возбуждающее колебания, находится внутри
металлической полости с отверстием, через которое излучается энергия. Такие
системы применяются иногда в качестве эффективно излучающей антенны;
в других случаях энергия, выходящая через отверстие, рассматривается
как потери резонатора. Мощность, выходящая через отверстие, только в
первом приближении определяет поле излучения.
Строго задача может быть формулирована так: ищется решение
уравнений Максвелла, удовлетворяющее граничному условию, гласящему, что
напряженность электрического поля всюду перпендикулярна к внутренней
и внешней стенкам полости.
Решение этой задачи дает истинную величину поля
в каждой точке пространства, включая и внешнюю
область. Однако решение такой задачи наталкивается
на непреодолимые математические трудности. Задача
сводится к диффракционной проблеме. На основании
известного электрического и магнитного поля в
отверстии ищется поле в любой другой точке пространства.
Однако точное значение поля в отверстии не известно,
хотя о нем можно сделать разумные предположения. Фиг. 462. Излу-
Например, в первом приближении можно исходить из чениеиз отверстия,
того, что поле равно нулю на всей внешней стороне
полости, за исключением поверхности, вырезаемой отверстием. В таком
случае, рассматривая эту поверхность как границу внешней области,
можно поставить задачу о расчете поля внутри нее по известному полю
на границе.
Применение уравнения D0.7) к решению этой задачи встречает
принципиальные и практические трудности. Во-первых, невозможно задать
и у) и ду/дп на поверхности независимо, так как по любой из заданных
на поверхности величин обе величины определяются для всей области.
Во-вторых, задача осложняется тем, что нас интересует определение
векторов Е и Н, связанных между собой еще и уравнениями Максвелла.
В итоге успешно применяемое в оптике скалярное диффракционное
уравнение в большинстве задач радиотехники оказывается неприменимым.
§ 41*. Векторный принцип Гюйгенса
а) Расчет поля при заданных источниках и условиях на границах
Воспользуемся теоремой Стрэттона и Чу, по которой векторы
электрического и магнитного полей в любой точке пространства могут быть
определены, если известны величины этих векторов на некоторой поверхности.
Результат просто расшифровывается и применяется в практически важных
случаях.
Задача формулируется так. В некотором заданном объеме
распределено произвольное число источников колебаний. Спрашивается, какая
связь существует между величинами Е и Н в произвольной точке
пространства, если известны их величины на граничной поверхности и если их
изменение во времени можно представить множителем &&1.
В области V векторы Е и Н удовлетворяют уравнениям
го1Н = 3 + ]соеЪ (НуН = О,
о D1.1)
го1Е = -/Ъ/гН, (ИуЕ = — .
45 К. Шимони
706
Часть IV. Электромагнитные волны
Взяв ротор от основных уравнений, получим выражения, к которым мы
еще будем возвращаться:
го! го1 Н — к2 Н = го1 «Г,
го1тоЬЕ-к2Е = -]'ща, ^41,2)
где к — со УТ/л.
Задачу можно решать с помощью векторного преобразования Грина.
В качестве входящих в него векторов у и и примем
У = Е, 11 =
Й-Зкг
а = у>а.
D1.3)
При этом а — любой постоянный вектор. Так как для вектора и точка Р особая
(в ней г-*0), она исключается обычным способом: точка Р окружается
сферой радиуса г0 (фиг. 463.). Применяя преобразование Грина,
получим
./>
,-Зкг
аГ01Г01Е—Е^0^^0^-
1)Й7
у-о0
I. .(
р-}кг
Ехго1- а-
Й-Зкг
ахго!
Е)йА.
D1.4)
Ах+Аг + Аг + Ай
Здесь за положительное принято направление внутрь объема. С этим
уравнением произведем следующие преобразования: величины 3 и д,
определяемые по уравнениям D1.1) и D1.2), подставим
вместо Е в объемный интеграл; затем
исключим произвольный вектор а, а сферу, которая
окружает точку Р, стянем в точку и вычислим
предельное значение поверхностного интеграла.
Так как
D1.6)
го! го"Ь (гр а) = §гас1 сНу (гр а) — А(гр а), D1.5)
где а —константа, и
Агр + к2гр = 0 или Агр = — к2гр,
получим формулу
то1 го1 (гр а) = §гас1 (а §гас1 гр) — а Агр =
= §гас1 (а §гай гр) -+- к2гр а.
Принимая еще во внимание, что
го1го1Е = — ]со/лЗ + к2Е,
получим пространственный интеграл в форме
Г (^аго1го1Е—Его1го1^а)й7 =
Фиг. 463. К выводу
векторного принципа Гюйгенса.
D1.7)
D1.8)
У-Со
= Г [а( —/а)/г!)у—Е^гай (а§гаA^)]й7.
У-(?0
Но
Е дгай (а §гас1 гр) = А\у [Е (а §гас1 гр)] - (<Иу Е) (а §гай гр)
— Й1У [Е (а §гас1 ^)] —- а §гас1 у.
D1.9)
D1.10)
$ 41. Векторный принцип Гюйгенса
707
После подстановки этого тождества в прежнее уравнение, получим для
объемного интеграла, умноженного на —1, выражение
а / (]С01иЗу) — ~§г^Агр)AУ+ / сНу[Е (адгас1^)]й7. D111)
У-Со У-Оо
Второе слагаемое по теореме Гаусса преобразуется в поверхностный
интеграл
Г (Ну [Е (а §гас1 у)] Й7 = — Г (а^гай у) Е йА =
= -а I вгаау(ЕйА). D1.12)
Этот поверхностный интеграл введем в правую часть уравнения D1.4)
рядом с остальными поверхностными интегралами.
До сих пор в левой части уравнения D1.4) содержался интеграл от
источников и произвольный вектор а как общий множитель. Теперь можно
величины, входящие в поверхностные интегралы, представить иначе:
(Е х го1 у а) йА = [Е х (§гаA у х а)] йА = [(йА X Е) х §гас1 ^] а. D1.13)
Далее,
^(ах го1Е)йА = —/Ъ/гу(ахН)йА = /со/г^(йАхН)а. D1.14)
Таким образом, а входит всюду как множитель:
а I (/со/г^<Г——§гас1у)й7 ==
У-Со
= а ]* [-/со^(пхН) + (пхЕ)Х2гаA^ + (пЕ)§гай^]^- D1.15)
Так как а — произвольный вектор, множители при нем в правой и левой
частях должны быть равны. Если выделить интеграл по шаровой
поверхности А0, получим
Г [ —/Ь/гу(пхН) + (пхЕ)х §гаA^ + (пЕ)§гаAу]й,4 =
= I мсо/лгрЗ — — §гас1^) (IV —
У-(?о
- § [-70)/гу(пхН) + (пхВ)Х8гаAу + (пЕ)8Рас1у]йА. D1.16)
Рассмотрим, чему равен интеграл по всей шаровой поверхности, если
ее стянуть в точку Р. Так как г° = п, то для сферической поверхности имеем
§гаа(^1) =-(/А+±)^„. D1.17)
Подставив это выражение в поверхностный интеграл и заменив АА на
гЧО, где О - пространственный угол, получим
/ [ -/аугу(п X Н) + (п хЕ) х §гаA гр + (пЕ) §гаA у>] А А =
А0
= -/>0е-^Го /[со//(пхН) + /с(пхЕ)хп + /с(пЕ)п]йй-
-в-'"*г* |[(пхЕ)хп + (пЕ)п]йй. D1.18)
45*
708 • Часть IV. Электромагнитные волны
Принимая во внимание вытекающее из тождества
(пхЕ)Хп = (пп)Е-(пЕ)п D1.19)
соотношение
Е = (пхЕ)хп + (пЕ)п, D1.20)
можно представить рассматриваемый интеграл с помощью теоремы о
среднем в следующей форме:
[ - /о>/сф(п X Н) 4- (п х Е) X §гас1 у) + (пЕ) §гай гр] Л А =
= -/4яг0е-**г« (со/т х Н + &Е)ср - 4тгв-^г« Еср. D1.21)
I
При этом отдельные величины должны заменяться их средними
значениями на шаровой поверхности радиуса г0.
При стремлении г0 к нулю первый член также стремится к нулю,
так что величина поля в точке Р определяется только вторым членом.
Окончательный результат имеет вид
V
+ _*_ | [_/й)^?^(пхН)+ D1.22)
Ах+Аг + Аг
ЛйИ—кг) еКо*—кг)п
I- (п X Е) х &гас1 1- (пЕ) ^гай —-—I ЛА .
Подобным же образом находится вектор Н:
У А^А.+А, D1.23)
^( ©*—*»¦) Жен—кг) 1
+ (пх Н) х §гай + (пН) §гай 1 Л А .
б) Пояснение результатов с точки зрения поверхностных плотностей
электрического и магнитного токов
Анализируя последние два выражения, мы видим, что роль вектора
(пхН)йА аналогична роли вектора ЗЛУ. Это означает, что на
поверхности, где имеется Н, как бы существует электрический ток, имеющий
поверхностную плотность Ке = пхН. Если поле вне объема V равно
нулю, то на поверхности, ограничивающей этот объем,
тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля изменяется скачком
от нуля до #*. Этот скачок равен поверхностной плотности
электрического тока п х Н = Ке.
Вектор пхЕйА создает электрическое поле, соответствующее
магнитному полю вектора ЗА V. Напряженность магнитного поля выражается
через пхЕйА как электрическое поле вектора ЗА V. Если бы существовали
поверхностные магнитные токи плотностью пхЕ = Кт, то они создавали
бы как раз такое же поле. Величины (пЕ) ДА и (пН) А А эквивалентны
электрическому и магнитному поверхностным зарядам (ае /е) Л А и (<хт//г) Л А.
Таким образом, действие источников, лежащих вне рассматриваемого
$ 41. Векторный принцип Гюйгенса
709
объема, эквивалентно действию фиктивных поверхностных токов и
поверхностных зарядов, распределенных на граничной поверхности:
Ке = пхН, Кт=-пхЕ, сге = е(пЕ), ат = /л(пЯ). D1.24)
в) Условия излучения
Если включить в наше рассмотрение все пространство, то внешняя
граничная поверхность превратится в сферу бесконечного радиуса.
Внешняя нормаль к этой поверхности г° = —п. При этом поверхностный
интеграл принимает вид:
^|[_/^^^(пхН) + (пхЕ)х§гас1^^+(пЕ)§гас1^^]^=:
А3
= Ь /{/Мг0хН)-(/Л+1)[г0х(г0хЕ)-(г0Е)^]}^^й,4 =
= 1!Ы*°Х* + ЦЦ^}^*А- ' D1-25)
-Аз
Этот интеграл обращается в нуль, если 1нп (гЕ) конечен и если
Г->оо
Итг[гохН+1/Г-Е]=0, D1.26)
так как сферическая поверхность растет пропорционально г2.
Следовательно, интеграл не расходится, если в бесконечности (г->оо),
во-первых, напряженность поля Е стремится к нулю по крайней мере как 1/г,
и, во-вторых, выполняется так называемое условие излучения при очень
большой величине г
г°хН + У-Е%0. D1.27)
Из анализа поверхностного интеграла получается уравнение и для
определения Н
1/^(г°хЕ)-Н^0. D1.28)
Следовательно, в бесконечности Е и Н образуют распространяющуюся
наружу плоскую волну.
В этом случае электромагнитное поле источника излучения может
быть рассчитано по уравнениям
»--=/М!?-?«~,г7:1<"г- »»•*»
—±/
1х.реА±^-йУ. D1.30)
Г
710
Часть IV. Электромагнитные волны
Имея в виду, что с^^V^ = -]сод, можно исключить из выражения
D1.29) плотность заряда д; электрическое поле при этом выражается только
через плотность тока:
Е = "^7 [[-кЧ^ + ^З)^^^-]^. D1.31)
V
Последнее уравнение можно переписать в виде
V
В случае геометрически линейного проводника эти уравнения
естественно переходят в хорошо известные.
Источники, находящиеся в конечном объеме, можно заключить
в замкнутую поверхность А. Поле источников вне этой поверхности
рассчитывается с помощью величины поля, заданной на поверхности:
„ 1 Г Г рЦеИ-кг) Р5Ш—1сг)
Е = ^Г / [-/«>/*•?-7—(пхН) + (пхЕ)х§гаа-^1Г- +
<>}(&1—кг) -,
+ (пЕ)дгаA — \йА,
Л Г Г рНШ—кг) 0)(ОI—кг)
Н = -^ / []Ъе(пхЕ)—г— + (пхН)х§гас1е г +
D1.33)
еЯ^—кг)
^(пН^гас!^—]
йА.
Это математическая формулировка принципа Гюйгенса и векторное
решение диффракционной задачи.
Поверхностный интеграл может быть преобразован в форму, которая
хотя и не имеет простого физического истолкования, но хорошо выражается
уравнениями, подобными скалярным уравнениям диффракции:
Е= 1 ГГ<^№_В* ГИЛЫ,
кп ^ V г оп оп г ) 1
А D1.34)
ктс I V г оп оп г )
• А
Таким путем можно, по крайней мере принципиально, решить задачу
рассеяния и диффракции.
г) Задача рассеяния
В поле излучения, определенное первоначально с помощью
распространяющихся волн, поместим идеально проводящее тело. В этом случае
вместо первоначального поля Е0, Н0 получим
Е = Е0+Е8, Н = Н0 + Н8, D1.35)
где Е8 и Н8 означают поля рассеяния, возникшие вследствие инородного
эключения.
$ 41. Векторный принцип Гюйгенса
711
Поле рассеяния образуется потому, что на поверхности проводника
появляются поверхностные заряды а = г(пЕ) и токи К = пхН,
определяемые результирующим полем. Граничные условия имеют вид
пхЕ = пх(Е0+Е8) = 0,
п(Н.+Н,,=0. <«»*>
Следовательно, на поверхности внесенного тела
пхЕ0 = -пхЕ8,
тт тг D1-37)
пН0= -пН8. у ;
Задача состоит в отыскании решения уравнений Максвелла,
удовлетворяющего этим граничным условиям.
Принимая во внимание уравнение непрерывности для поверхностной
плотности тока К и поверхностной плотности заряда с, получим решение
для излучения, создаваемого этими токами и зарядами, в виде
ГI д, &гас1 —4кг I
А _ D1.38)
А
В соответствии с уравнениями граничных условий D1.37)
тангенциальная составляющая полученного таким образом вектора Е8 на
поверхности должна совпадать с тангенциальной составляющей заданного
вектора ~Е0.
Итак, для любой точки поверхности справедливо соотношение
пРхЕ0 = -ПрХЕ8 =
Г Г * *„,,•=* ,„] D1.39)
Этим интегральным уравнением задача рассеяния принципиально решается.
д) Диффракционная задача
На основании предыдущих исследований можно просто формулировать
диффракционную задачу. Задано поле в отверстии, находящемся в
бесконечно протяженной плоскости. Необходимо рассчитать поле с помощью
выражений
А
+ (п х Е) х дгай -е—— + (п Е) §гай ——] Л А,
Н=^Г / [/««(пхЕ)-^— + (пхН)хдгас1-^-;— +
712
Часть IV. Электромагнитные волны
Для определения Е и Н в таком виде они непосредственно
неприменимы.
Электрическая и магнитная эквивалентные плотности тока должны
удовлетворять-уравнению непрерывности. Поэтому (по Котлеру) кривая,
ограничивающая отверстие, может быть
заменена электрическим и магнитным линейными
зарядами, которые располагаются в точках
начала и конца линий плотности тока.
Граница отверстия изображена на фиг. 464.
Поверхностная плотность электрических или
магнитных токов, выходящих из произвольной
точки границы, обусловливает изменение заряда:
П!(Ке1-Ке2) = %=:
дг
1Ще
п1(Кш1 —Кт2) ~^~ = ]Щт->
D1.41)
где де и дт — электрический и магнитный
заряды на единицу длины периметра отверстия.
После того как определены магнитная
плотность тока — пхЕх и электрическая плотность
тока пхН! в отверстии, а на остальной
поверхности, по предположению, плотность тока равна
нулю, электрический и магнитный линейные
заряды определяются уравнениями
Фиг. 464. К определению
электрических и магнитных
линейных зарядов.
де =4гп1Ке1 = 47п1(пхН1) = ^(^хп^ = 4^1 D1.42)
D1.43)
При этом выражения для электрической и магнитной напряженностей поля
дополняются следующими слагаемыми:
ь
4^ПЕ1Й1)8ГаA^
D1.44)
выражающими поле излучения этих линейных зарядов. Можно показать,
что это поле в направлении, перпендикулярном плоскости отверстия,
очень мало, и поле излучения может быть рассчитано как поле магнитной
и электрической поверхностных плотностей тока, лежащих в плоскости
отверстия:
Ке = п х Н,
Кт = -пхЕ.
D1.45)
Пользуясь этими приближениями, рассчитаем поле излучения конца
коаксиального кабеля и поле источника Гюйгенса.
$ 41. Векторный принцип Гюйгенса
713
е) Излучение конца коаксиального кабеля
В первом приближении поле в кольцевом отверстии коаксиального
кабеля (фиг. 465) принимается равным полю разомкнутого коаксиального
кабеля. Следовательно, магнитное поле отсутствует, а напряженность
электрического поля равна
Ц 1
1п_& е ' D1.46)
Последнему по уравнению D1.45) соответствует постоянная по
величине магнитная плотность тока в направлении (р.
яв =
Фиг. 465. К расчету излучения с конца кабеля.
Магнитный вектор Герца (см. фиг. 465) равен
Я" = 7^Г ] / опг'Ц^яАцф. D1-47)
Ограничимся рассмотрением только дальней зоны. При этом, как уже
несколько раз писалось,
г = Н-дът$соъ(р' D1.48)
(см. фиг. 465).
Далее предположим, что кд«1, следовательно,
П -1—1 Г Г С05 У'е^о-МП-О 8111 0 СОЗ у') лт»
Щ
1П&. }(лкпцК)
иг
'Йр' =
г е
.^п д е-экЕ Г Гсо8<р^е81п*СО8*'Й0Й<р' = D1.49)
1П—— »' л
2я е
Т >4^д в да / / (*+/*ей1п * С08 ч>') с°8 <?' <*е &р' •
1П^± фЬярН
^^
?'=о е=е<
Здесь мы воспользовались приближенным равенством
е9*е вш * соз ?' % 1 + уд.е 8}п # Соз <р'.
714
Часть IV. Электромагнитные волны
В таком случае окончательная формула для П™ имеет вид
е е
-5кВ
откуда
Итак,
9 8 1п Л Г А* Л
Е = -/г/со го* Пт.
-вт0(й-е*),
Составляющая #9 получается непосредственно из равенства Н
л_= _*-_2_(й_й) в1п *.•—
8 Щ&
Л
D1.50)
D1.51)
D1.52)
D1.53)
Излучаемая мощность вычисляется, как обычно, интегрированием
вектора Пойнтинга
' ' D1.54)
Р
360
I *у'
где
— площадь излучающей поверхности.
ж) Излучение источника Гюйгенса
В качестве второго примера рассмотрим волну, излучаемую плоским
элементом, для которого заданы НиЕ, лежащие в его плоскости и
ортогональные друг другу. Это так называемый источник Гюйгенса (фиг. 466).
Фиг. 466. Элементарный источник излучения Гюйгенса.
# 42. Применение принципа Бабине к электромагнитному полю 715
В этом случае по значениям поля излучающего источника определяются
поверхностный электрический ток
Кех АхАу = -#° Ах Ау = -Щ V- Ах Ау D1.55)
и поверхностный магнитный ток
Кту АхАу = - Е% Ах Ау. D1.56)
После этого поле излучения выражается через электрический и
соответственно магнитный векторы Герца [уравнения (8.20)]:
Це _ _!_ Л_ Кехйхйу еЧкК
х 4тге 10) К '
а а г л я D1.57)
у 4тг/г ]ш ]?
Окончательное выражение для поля в дальней зоне имеет вид
Е# = / х2лдУ е~*кК (с08 V С08 * + С08 У) ?
/.о,/ л D1.58)
Е9= -! *11п е~>кП (вШ у + 81П у С08 *) .
Соответствующие компоненты магнитного поля получаются делением
на У/г/е. Результирующее электрическое поле для плоскости <р=0
имеет составляющие
Е»=Е*2ШУ (* + <*>»*)> ^ = 0- <41-59)
Для # = 0, т.е. в направлении распространения волны, получается
наибольшая величина Е# = Е%АхАу1(Ш). В противоположном направлении
поле равно нулю.
Электрический поверхностный ток излучает в обоих направлениях.
Но из-за перпендикулярности электрического и магнитного токов в
источнике Гюйгенса получается излучение только в одном направлении. Поле
от большого отверстия с известным распределением поля можно
представить как поле от нескольких источников Гюйгенса. Таким образом
можно рассчитать поле плоской волны, проходящей через отверстие
конечных размеров, или поле рупора.
§ 42. Применение принципа Бабине к электромагнитному полю
Рассмотрим подробнее одно решение волнового уравнения в
цилиндрической системе координат (см. § 15). Для аксиально-симметричной
системы при /? = 0 во внешнем по отношению к цилиндру пространстве
по A5.15) и A5.16) имеем решение
Пх = АНр(кг)е>»ь, D2.1)
где к=соУе1и. Тогда составляющие поля ГМ-волны таковы:
Ех = Ак2Н$\кг)е>*>1, Н2 = 0,
Е9 = О, Н9 = -1есокА[Н$\кг)]'е>°\ D2.2)
716
Часть IV. Электромагнитные волны
И ДЛЯ Г^-ВОЛНЫ
Яг = 0, Нг = Ак*НЬ\кг)ё*«,
Е9 = №кА[НР(кг)]'е!**, Я, = 0, D2.3)
Яг = 0, #г = 0.
Форма записи этих типов волн очень похожа. С точностью до
постоянной ГМ-волна получается из ТЕ-волны путем замены Е на Н и Н на —Е.
ТЕ-волна может быть получена из ТЖ-волны путем той же замены, но
с изменением знака А в формулах D2.2) и D2.3) или путем замены Е
на -Я и Я на Е,
Рассмотрим возможность осуществления этих типов волн. Возьмем
сначала тонкий бесконечно длинный проводник радиусом г0 с током /0е*"'.
Такой ток создает поле, подобное ТМ-полю. Качественно это видно
из распределения поля. Это подтверждается также тем, что при заданном
распределении тока
/о-^г-^- D2.4)
— оо
В этом случае получается зоммерфельдовское представление функций
Ханкеля по уравнению A7.19). Постоянная А определяется током /0, а
именно
2т1Г0Н<р(г0) = 10; D2.5)
тогда
10 = -2пг0А]к^^[Н^{кг0)\ = 2яг0А«Л/^Я?>(Аго), D2.6)
и, следовательно, применяя приближенную формулу для малых кг0,
получаем
После этого поле полностью определено:
Е2 = -а!/^- Ая<«(Аг)^в', Я, = - ]к^НЬ\кг)е?*1. D2.8)
Как получить ТЕ-волну? Представим себе (фиг. 467) бесконечную
идеально проводящую плоскость и в ней узкую .щель шириной 2г0.
Приложим напряжение 110е?*1 между верхней и нижней границами
щели: тогда в правом полупространстве образуется как раз такое поле ТЕ.
Фиг. 467. Бесконечно длинный проводник и бесконечно
длинная щель как дополнительные источники излучения.
$ 42. Применение принципа Бабине к электромагнитному полю г 717
Граничные условия на этой плоскости состоят в том, что напряженность
электрического поля во всех точках плоскости перпендикулярна ей.
Предположим, что
*7«
-лг0Е = ш0]^(оАШ^\кг^),
D2.9)
ш
-*
<&
Л/2
ш
^
Фиг. 468. Полуволновая щель и дополнительный к ней
излучатель.
и, следовательно,
#0
71г0]/ш)к Н<*}(кг0
1
1Мо
2
Таким образом, распределение поля известно:
Н2=-к^^НЫ(кг)е^.
D2.10)
D2.11)
Рассмотренный здесь случай практически очень важен. Плоскость со щелью
и тонкий проводник — дополнительные излучатели: их поля совпадают,
если у одного из них поменять
местами Е и Н с переменой знака или
если повернуть оба вектора одного из
полей на 90°. Более общий и
практически важный случай — излучение
из щели длиной Х\2 и шириной 2г0,
для которой дополнительным
излучателем служит антенна с
соответствующим возбуждением (фиг. 468).
Полученные результаты
соответствуют принципу Бабине, Этот
известный из оптики принцип гласит,
что источник излучения (фиг. 469)
возбуждает в произвольной точке
справа от экрана *5Х такую
интенсивность, которая в сумме с
интенсивностью другого такого же источника
излучения в присутствии
дополнительного экрана 82 создает в данной
точке интенсивность, равную
интенсивности источника излучения без
экрана.
Это следует из закона Кирхгофа,
справедливого для скалярных
волновых функций, т.е.
Фиг. 469. Оптический принцип
*7в= #в+*/«,¦ D2.12) Бабине.
718
Часть IV. Электромагнитные волны
где II в — функция падающего излучения без экрана, II8 и 11С8 - функции
излучения с экраном и дополнительным экраном соответственно.
В таком виде принцип нельзя распространить на векторное поле.
Однако дополнительные экраны в известной мере подобны дополнительным
источникам излучения. Из рассматривавшихся простых случаев видно,
как применяется к ним аналогичный принцип.
9 _ ^
6 ~ И
4Ее
^
к
¦е.
7
¦ Еес=~Не
О?
"С5
\Л
Ее-Е5+Нс5
_1
Не-Н5 ЕС5
Ф и г. 470. Электромагнитный принцип Бабине.
Дополнительный источник излучения получается заменой электрического
тока магнитным.
Пусть (фиг. 4701}) волна с плоскостью поляризации, параллельной оси
электрического диполя Герца, встречает на своем пути какой-либо
экран, а дополнительная к ней волна (получаемая от дополнительного
источника) пусть встречает на своем пути дополнительный экран (два экрана
в сумме образуют сплошную проводящую плоскость).
Падающая волна Ее, Не вызывает в присутствии экрана диффракцион-
ное поле ЕЙ,НЙ, так что теперь в какой-либо точке справа от экрана
Е8 = Ее+Е(
]а >
н8 = не+яа.
D2.13)
В той же точке, справа от дополнительного экрана при возбуждении
поля дополнительным источником существует поле ЕС8, НС8.
Фиг. 470 в переводе несколько изменена. — Прим. ред.
$ 42. Применение принципа Бабине к электромагнитному полю 719
При этом с точностью до постоянных множителейх)
ЕС8 = НЙ, НС8=-Е, D2.14)
(как это следует из замены экранов эквивалентными источниками Гюйгенса).
Следовательно, для рассматриваемых случаев справедливы равенства
Е8 + НС8 =Ее+Ей-Ей =Ев, ,^2 ^.
Н8— ЕС8 = Не + Нй —Нй = Не .
Теперь можно сформулировать принцип Бабине в самом общем виде
(см. фиг. 470).
Пусть в левом полупространстве заданы различные источники,
создающие в отсутствие экрана поле Ев, Не. В присутствии экрана а? они
возбуждают в правом полупространстве поле Е8? Н8. Пусть теперь в
левом полупространстве расположены дополнительные источники
излучения, в отсутствие экрана возбуждающие поле
Еес = - Не, Нес = Ее.
В присутствии дополнительного экрана 8С в правом полупространстве
при этом возникает поле ЕС8, НС8. В этом случае для рассматриваемых
полей справедливы следующие равенства:
Е8 + НС8=Ее, Н8-ЕС8 = Не D2.16)
Более подробное обоснование принципа Бабине здесь не дается.
х) В симметричной гауссовой системе размерность и единицы измерения для
напряженности электрического и магнитного поля тождественно совпадают и во всех
приводимых здесь формулировках не требуется вводить никаких множителей, т.е.
непосредственно выполняется равенство Ес$ = Нй1 конечно, при одинаковых
амплитудах. — Прим. ред.
V
Границы
электродинамики
Максвелла
В предыдущих разделах книги была подробно изложена классическая
электродинамика и рассмотрено ее приложение к решению
электротехнических задач. Теперь можно поставить вопрос: к каким другим
теоретическим и практическим областям могут быть применены классическая
теория Максвелла и вытекающие из нее следствия, и второй вопрос: до каких
пределов уравнения Максвелла сохраняют силу основных уравнений, не
требующих обращения к другим основным положениям; иными словами,
какова логическая связь электродинамики Максвелла с другими, также
основными законами, например с основными положениями квантовой
механики, где лежат границы применимости классической электродинамики?
В этой последней части книги делается попытка дать более или
менее полный ответ на эти вопросы. Ответом на первый вопрос послужит
общий обзор смежных с электродинамикой областей; вместе с анализом
второго вопроса этот обзор даст представление о путях дальнейшего
развития электродинамики.
Сочетание уравнений Максвелла с уравнениями механики в основном
относится к области обычной электротехники: именно так рассчитываются
двигатели и электроизмерительные приборы. В электроакустике к этим
законам присоединяются еще и законы аэродинамики. Сложные
электромеханические системы встречаются в устройствах автоматического
регулирования.
В последнее время на первый план выступает магнитогидродинамика
или магнитная гидро- и газодинамика), в которой уравнения Максвелла
связываются с уравнениями Навье — Стокса. Эта область науки выбрана
$ /. Электромагнитная гидродинамика
721
здесь для более подробного изложения также и потому, что за последние
годы электродинамика плазмы при температуре в миллионы градусов
превращается из проблемы астрофизики в одну из важнейших практических
проблем; термоядерные реакции, по-видимому, могут протекать только в
полностью ионизированных газах при температурах порядка 108оК.
Оптика, включая и геометрическую, также может рассматриваться
как один из разделов прикладной электродинамики, поскольку и принцип
Ферма — фундаментальный для геометрической оптики— может быть
получен из теории Максвелла.
Посредством уравнений энергии электродинамика естественно
связывается и с учением о теплоте, но в большинстве случаев взаимной связью
тепловых и электрических величин можно пренебречь или она очень проста.
Стоит упомянуть, пожалуй, только адиабатическое размагничивание,
применяемое для получения предельно низких температур.
Теорию относительности, а с ней и релятивистскую электродинамику
следует причислить к классическим наукам: уравнения Максвелла в них
не обобщаются, а лишь записываются в форме, в которой отчетливее
выражается единство электромагнитного поля. В настоящее время
релятивистская электродинамика становится прикладной наукой. На ней основаны
расчеты мощных физических установок по расщеплению ядра — ускорителей
и тому подобных устройств с энергиями порядка многих миллионов элек-
тронвольт.
Закономерности квантовой электродинамики выходят за рамки
классической физики и действительно требуют обобщения уравнений
Максвелла. Хотя эти законы в настоящее время еще не имеют практического
применения, они не настолько отвлеченны, как принято считать. Квантовые
законы проникли уже в область микроволн; свидетельством этому служит
тот факт, что радиоволны возбуждаются и усиливаются с помощью
молекулярных и квантовых процессов. Если квантовые законы еще и не
проникли в область технических наук, то, во всяком случае, они достигли уже
ее границ.
§ 1. Электромагнитная гидродинамика
Полностью ионизированный газ называется плазмой. Так как в этом,
случае поток газа может рассматриваться как поток зарядов, то не
удивительно, что законы газодинамики должны применяться одновременно с
законами электродинамики.
Уравнение движения плазмы, отнесенное к единице объема,
записывается так:
где -тт понимается как ^г + Т^у. Без третьего члена в правой части (ЗхВ)
это уравнение представляет собой уравнение Навье—Стокса, основное
для обычной газодинамики. Левая часть представляет собой просто
произведение массы, отнесенной к единице объема, на ускорение. Первый член
правой части уравнения — градиент давления, второй — плотность силы,
вызванной внутренним трением. Последний член правой части — хорошо
известное выражение плотности силы Лоренца. Действие сил тяжести
в этом случае не учитывается, так как влиянием их в масштабах Земли
можно пренебречь. В дальнейшем не будет учитываться и трение.
46 К. Шимони
722
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
Так как плазму обычно считают бесконечно проводящей, то можно
пренебречь и кулоновскими силами.Как следствие этого в плазме отсутствует
разделение зарядов и она рассматривается как нейтральная.
С учетом всех допущений упрощенное уравнение движения плазмы
имеет вид
е*.= -ф&йр + 1хВ. A.1)
Это уравнение и следующие два уравнения Максвелла:
то1В = /а], A.2)
. го*Е =--|?- A.3)
образуют исходную систему уравнений.
Для дальнейшего изложения целесообразно сократить число
уравнений, исключив величины 3 и Е. Подставляя A.2) в A.1), получаем
д—= -р&йр + ^(то1В)хВ.
(XI [Л *
Из уравнения
(Е + тхВ)у = 1
с учетом уравнения A.2) получается
Е==1.-ухВ = -1^-ухВ.
У РУ
Подстановка этого выражения в уравнение Максвелла A.3) после
преобразования проводит к уравнению
<^- = то1(ухВ)+-±- АВ.
о1 РУ
Здесь было принято во внимание равенство
го* го1 В = §гас! (Цу В — АВ = - АВ,
которым мы уже много раз пользовались.
Таким образом, мы получили два основных уравнения:
е^=-§гас1р + 1(го*В)хВ, A.4)
и
^ = гоЧухВ)+-^ЛВ. A.5)
Считая проводимость плазмы (у) бесконечно большой, уравнение
A.5) можно записать так:
-^ = гоЦтхВ). A.6)
Отсюда после очевидных преобразований имеем
^--гоЧухВ) = 0,
А/ВйА = |[^ + гоЦВху)] ЙА = 0. A.7)
Это уравнение может быть истолковано следующим образом.
Проведем в плазме произвольную Замкнутую линию, движение которой в каж-
$ /. Электромагнитная гидродинамика
723
дой точке совпадает с движением плазмы. Тогда поток, охваченный этой
линией, согласно уравнению A.7), не изменяется (остается постоянным),
т.е. замкнутая линия, проведенная в плазме, охватывает неизменяющееся
число линий вектора магнитной индукции В. Это, однако, может иметь
место только в том случае, если линии магнитной индукции сами
увлекаются вместе с плазмой. Образно говоря, линии магнитной индукции
заморожены в плазме или как бы приклеились к ней и таким образом оказались
вынужденными передвигаться вместе с плазмой.
В первом приближении следует также считать, что магнитные линии
не могут выходить из плазмы или входить в нее. Это обстоятельство делает
возможным, например, непосредственное превращение тепловой или
ядерной энергии в электрическую. Движущаяся плазма, обладающая большой
энергией, например, в результате термоядерной реакции, увлекает линии
магнитного поля, совершая этим работу против сил поля. Вызванное
смещением линий магнитной индукции изменение магнитного потока в
каком-либо внешнем неподвижном контуре индуктирует в нем напряжение
и, следовательно, способно производить полезную работу.
Если теперь предположить, что проводимость плазмы конечна, но
в отличие от предыдущего рассматривать плазму в состоянии покоя, то
уравнение A.5) запишется следующим образом:
_^ = _1_ЛВ. A.8)
Это уравнение формально совпадает с уравнением теплопроводности
или уравнением, описывающим процессы диффузии. Магнитное поле как
бы диффундирует из плазмы, характеризующейся конечной проводимостью,
с постоянной времени, равной 1//гу.
Если теперь ограничиться случаем неподвижной плазмы, то уравнение
A.1) запишется в виде
§гас!/? = .ТхВ, A.9)
или, иначе,
дгаа р = —(го*В)хВ. A.10)
Следовательно, градиент давления нормален векторам I и В. Вектор
дгаД р, по определению, должен быть нормален также к поверхности
р = сопз1. Отсюда следует, что векторы 3 и В лежат в плоскости р = сопвй,
т.е. в плоскости постоянного давления.
Уравнение A.10) может быть преобразовано по известной формуле
векторного анализа
(гоШ)хВ = (V хВ)хВ = (Ву)В-В(уВ) = (Ву)В-4-дгаA В2
к следующему виду:
Если конфигурация магнитного поля такова, что в нем имеется только
одна составляющая вектора В, отличная от нуля, то правая часть уравнения
A.11) равна нулю и
-1
или
Вг&а{р+^)=0, A-12)
В2
Р+у- = сопв1. A.13)
46*
724
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
Это уравнение аналогично уравнению Бернулли в газодинамике и
означает, что сумма механического р и магнитного 52Да давлений постоянна1).
Это уравнение имеет важное значение, когда рассматривается
возможность локализации плазмы, имеющей очень высокую температуру (в
несколько миллионов градусов) и соответственно высокое давление.
В этом случае нельзя применить заградительный барьер из какого-либо
вещества и приходится рассчитывать только на электромагнитный барьер.
Эти барьеры, согласно уравнению A.13), должны выдерживать
кинетическое давление р.
В качестве примера следует упомянуть, что давлению 1 атм
соответствует значение индукции
В = У2/г0р ^ 0,5 в • сек/м2.
§ 2. Релятивистская формулировка уравнений Максвелла
а) Преобразование Лоренца
Основные уравнения механики — уравнения движения Ньютона
тх1 = Рх {I = 1, 2, 3) — построены таким образом, что их вид
сохраняется при переходе от одной системы координат к другой, движущейся
равномерно и прямолинейно относительно первой. Иными словами,
основные уравнения механики инвариантны при следующем преобразовании
координат:
х' = # — VI, у'= у, г' — %\ B.1)
его называют преобразованием Галилея. Это преобразование предполагает,
что координатная система движется вдоль оси х со скоростью о. В
классической механике естественно предполагать, что время в обеих системах
протекает одинаково и поэтому для времени имеет место
преобразование 1' = 1.
На основании опытов механики ни одну координатную систему нельзя
считать абсолютно покоящейся, так что можно говорить только об
относительных движениях. Но уже уравнение электромагнитной волны
дх2 ~ с2 д12 К*'*>
и его простейшее решение
ср = А 8Ш сои—- 1
неинвариантны относительно преобразования Галилея B.1). Сам Максвелл
указывал на то, что, основываясь на этом, можно найти систему отсчета,
находящуюся в абсолютном покое; это система, в которой скорость света
^точности равна с. Рядом опытных исследований было доказано, что
скорость света не зависит от того, как движется наблюдатель. Эйнштейн
обобщил эти факты в следующем постулате: никакие физические опыты не дают
Возможности определить какую бы то ни было координатную систему как
систему, находящуюся в абсолютном покое. Все координатные системы,
движущиеся одна относительно другой с равномерной скоростью,
одинаково пригодны для количественного описания явлений. Все законы
природы следует выражать в такой форме, чтобы они оставались неизменными
*> В уравнении Бернулли рн-ри2/2=соп81:. — Прим. ред.
^ 2. Релятивистская формулировка уравнений Максвелла 725
при переходе от одной системы координат к другой. Это положение
дополняется постулатом постоянства скорости света.
Следовательно, надо вместо B.1) найти такое преобразование
координат, которое удовлетворяло бы этому требованию. Это преобразование
Лоренца
=-(*-!*), *' = _1=(*-^*) B.3)
1-
с
у = у, г' =2,
или обратное преобразование
х = Г-±—{х'+VI'), г = г1—[г' + 4 *'], BЛ1
У = у' , 7, = 7> .
Самое интересное в этом преобразовании заключается в том, что оно
преобразует также и время: две системы, движущиеся друг относительно
друга, имеют разный счет времени. Важные следствия, вытекающие из
этого положения, относятся к области физики, а не электротехники,
поэтому здесь они не рассматриваются.
Хотя выводы, касающиеся относительности понятий
одновременности и длительности времени, могут казаться очень странными, они
представляют собой лишь прямое следствие применения следующего
бесспорного принципа: можно говорить об одновременности,
длительности времени, длине и т. п. только в том случае, когда эти
высказывания соответствуют результатам измерений, метод которых точно
определен и которые, хотя бы принципиально, могут быть выполнены.
К преобразованию Лоренца как к простейшему приходят, когда
ищется преобразование, оставляющее неизменным распространение
сферической волны или скорость светового сигнала.
В следующем мы докажем, что при преобразовании Лоренца
удовлетворяется не только требование постоянства скорости света, но, кроме того,
остается неизменным и вид волнового уравнения. Уравнение сферической
световой волны, выходящей в момент времени г=0из начала координат,
в системе К имеет вид
х2 + у2 + 22-сЧ2 = 0. B.5)
В момент г= О система К\ которая движется вдоль оси х с постоянной
скоростью, должна совпадать с системой К. Уравнение световой волны
сохраняется (остается неизменным), если в уравнение B.5) подставить значения
х, у, ъ и I из формулы преобразования B.4) При этом легко получается
уравнение
х'2+у'2+2'2-сЧ'2 = 0. B.6)
Это означает, что наблюдатель, находящийся в системе К', также обнаружит
сферическую поверхность волны, распространяющейся со скоростью с.
Легко доказать, что когда функция ф(х, *,) удовлетворяет уравнению
функция ср = ср(х\ г') удовлетворяет уравнению
726
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
При ЭТОМ
д2ср __ д2ср
дх'2 дх2
+2
В*?
1--
дхдг
+
\--г
д2<р с4
~ 1-»-
А 9
дг2
B.8)
Подобным же образом можно определить выражение для второй
производной д2ср/д1'2 функции (р:
д^^д2^ V2 суО'ср
дг
дх''
1 —
д\
дхдг
1 —
¦ +
д2<р 1
Я*2
1--
Отсюда следует, что
дя'2 с2 а*'1 ~~ #я2 с2 дг2
B.9)
B.10)
Таким образом доказывается, что функция <р(х', I') действительно
удовлетворяет тому же самому дифференциальному уравнению с той же
самой постоянной с.
б) Уравнения Максвелла и преобразование Лоренца
Как было показано, волновое уравнение инвариантно по отношению
к преобразованию Лоренца. Спрашивается, будут ли уравнения Максвелла
также инвариантны при переходе к движущейся системе координат. Чтобы
ответить на этот вопрос, необходимо выразить четыре уравнения Максвелла
через составляющие входящих в них величин в новой системе координат.
Исходные уравнения имеют вид
дВг __дВу _ дЕх
7 "яг-^о6©
дъ -™Ч) дг
дВ, дВ^ _ дЕ±
д* дх ~^°е° дг
дВ^__д_В^ =
дх ду
№о
дЕ,
дг
дЕх
дх
дЕг
ду
дЕ,
дъ
дЕ„
дх
дВх
дх
дЕ,
+ ду
дЕ,
дг
дЕ,
дх
дЕх
ду
дв,
+ ду
дЕ,
дБ,
+ дг
= о,
двх
дг >
дВ,
дг '
дВг
дг '
= 0.
(I)
(IV)
(И)
(Ш)
При переходе к переменным х\ у', ъ\ V необходимо иметь в виду,
что
дг "" дх' дг +дг' дг дх'
B.11)
Эх дх' дх дг' дх
д_
дх'
1
С2
+ЬТ
1-?
с2
B.12)
$ 2. Релятивистская формулировка уравнений Максвелла 727
Можно ожидать, что уравнения Максвелла при этом также окажутся
инвариантными. При таком преобразовании второе и третье уравнения
системы (I) принимают вид
дВх дАВг с*Еу)^ 1 дх(Е,-уВя)
дъ' дх' с2 дг'
»>{В, + $.Е.)
дх'
дВх = 1 Эх(Ел + уВш) х
ду' сг дг'
B.13)
B.14)
Здесь для упрощения записи введены следующие обозначения:
1 " Р = Ъ
К =
И
УТ^Р
И
Полученные уравнения имеют ту же структуру, что и исходные.
Из первого уравнения системы (I) и из уравнения (IV) получаем
\ дВш И( дЕх , дЕх\л
дв2 эвг
ду
К дх' с2 дГ "*" ду' "*" дя? '
B.15)
B.16)
В первом из этих уравнений содержится лишний член, в который входит
производная дЕх/дх', во втором — такой же член с 82?Х/Э*\ Их
можно исключить, если умножить второе уравнение на —и/с? и сложить с
первым, а затем первое умножить на —у и сложить со вторым.
Подобную операцию можно повторить с уравнениями (II) и (III).
В результате мы приходим к преобразованным уравнениям Максвелла:
дх[вг-^Еу) дх(в, + ±Ег) 1
ду'
с2 д%'
дВх дх[Вг с2 Еу) 1 дх(Еу-уВг)
дт> дх' с2 дг'
НВ* + ^Ег) дВт = 1 дх(Ея + уВ9)
дх' ду' с2 дг'
дЕх дх(Еу-уВг) , Эх{Еж + уВ9) _ п
Я<г> "*" ду' Т" Я*' "~ ^»
(Г)
дх
дг'
(IV)
Эх(#г + уВу) дх(Еу - а#г)
ду' дъ'
дВх
' дг'
дЕх дх(Ег + уВу) _ дх[Ву + -&Е*}
дъ'
дх'
дг'
дх(Еу-уВг) дЕх д*[Вя с*Е*)
Эу*
дх'
дг'
(II')
»В. , Ч* + 7*-) , Н*'"?*)
дх' ду' д&'
= о.
(ИГ)
728
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
Структура полученных уравнений полностью аналогична исходным,
если произвести следующие отождествления^:
Ех = Ех, Е'у = х(Еу-иВ2), Е'г = х(Е2 + иВу),
В'Х = ВХ, В'у = к{Ву+-^Е2), В2 = к\В2-^ Еуу
Все сказанное приводит к следующим обобщениям. Для
составляющих напряженностей поля справедливы в точности уравнения Максвелла,
выраженные в различных, движущихся друг относительно друга
координатных системах. Наблюдатели, связанные с разными системами координат,
однако, фиксируют различные значения напряженностей поля. В этом
случае результаты наблюдения должны переводиться из одной системы
в другую с помощью уравнений B.17). Эти формулы пересчета для малых
скоростей переходят в уже известные нам уравнения
Е'=Е + тхВ, ; В' = В + ^0тхБ = В+~хЕ.
Эти уравнения показывают, что разделение электромагнитного поля
на электрическое и магнитное оказывается -относительным и зависит от
того, какая из систем отсчета принимается за неподвижную. При переходе
кдругой системе отсчета электрические величины входят в состав магнитных,
и наборот. Из этого следует, что электромагнитное поле представляет
собой некоторое единство. Отысканию соответствующего математического
выражения этого положения посвящена следующая часть этого параграфа.
в) Уравнения Максвелла в инвариантной формулировке Лоренца
Минковскому удалось дать такую формулировку идеям Эйнштейна,
которая сделала ясным смысл инвариантных преобразований Лоренца.
Он рассуждал следующим образом: распространение света в виде
сферических волн в обеих системах математически выражается уравнениями
Х2 + у2 + 22 _ Л2 = х>2 + уП + г>2 _ Л'2 = ().
Если ввести следующие обозначения:
х == хъ У = хъ-> % — ^з? Iе* = ха-> B.18)
то приведенные равенства примут вид
х\ + х\+х\ + х\ = х[2 + х22 + х* + х* = 0. B.19^
Эти уравнения могут быть истолкованы следующим образом: если
рассматривать хъ х2, хг, #4 как координаты какой-то точки четырехмерного
пространства, то сумма
х\ + х\ + х1 + х\ B.20)
выражает квадрат расстояния этой точки от центра координатной системы.
Это выражение по своему виду совпадает с аналогичным выражением
для эвклидова пространства, однако четвертая координата теперь мнимая,
поэтому соответствующее четырехмерное пространство называют
псевдоэвклидовым.
В этом понимании уравнение B.4) соответствует преобразованию
координат, при котором расстояние произвольной точки от начала координат
*> Ср. ч. I, § 5, п. «в». — Прим. ред.
$ 2. Релятивистская формулировка уравнений Максвелла 729
инвариантно. В трехмерном пространстве (если не говорить об
отражениях) поворот координатной системы представляет собой наиболее общее
преобразование такого рода. Поэтому преобразование Лоренца можно
рассматривать как поворот координатной системы в четырехмерном
пространстве. Этот поворот может быть описан матрицей системы
уравнений B.3)
1 л л №
къ. —
О
О
0 О
1 О
О 1
О О
О
О
B.21)
Следует отметить, что если скорость не совпадает с осью хи а имеет
произвольное направление, то матрица преобразования имеет вид
кк —
1+4*'
V2
V^Vг
ЩЩ
V^V2
1+-
У*У9
;»1
]»2
:У1-Р2
,/ГГ^2
V^V3
V2VЭ
1+4^
Яз
з»\
с/1-02
1
П -Р2
х =
/1=^
-1 B.22)
с/1-/?2
Значение инвариантности физических законов при повороте
координатных систем в трехмерном пространстве состоит в том, что пользование
векторами дает возможность формулировать эти законы независимо от
системы координат, в которой они рассматриваются. Если от векторов
перейти к их составляющим, что практически требуется при
количественных расчетах, то составляющие векторов уже будут изменяться при
переходе от одной системы координат к другой.
При изменении системы координат, например при ее повороте,
векторы и векторные уравнения остаются неизменными, а составляющие
векторов изменяются по вполне определенным законам. Поэтому любые четыре
числа иъ гг2, к3, щ можно назвать составляющими четырехмерного
вектора („4-вектора"), если при переходе от координатной системы К к
координатной системе К' они преобразуются следующим образом:1)
щ = 1{кик. B.23)
Из этого положения могут быть выведены и другие правила для
установления векторного характера какой-либо величины. Одно из таких
правил гласит: величина щ — вектор, если скалярное произведение -и^
инвариантно и если известно, что V^ — вектор.
Легко показать, что д/#а« —4-вектор, так как градиент
Й B-24)
скаляра у - 4-вектор.
Уравнение непрерывности
<итеу+^ = о B.25)
*> В последующем тексте две одинаковые индексы означают суммирование.
730
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
др Эр Эр +^ = 0> B26)
ах\ ох2 ох3 ах4 * '
может быть переписано в виде
Отсюда следует, что
дих, е»2, еи3, &>1 = }ее B.27)
— составляющие вектора четырехмерной плотности тока /4. Тогда два
уравнения для определения А и у, а именно:
АА-^=-дур0, B.28)
могут быть сведены к одному четырехмерному векторному уравнению
4Ф--^о, B.30)
где
Фг=Аг, Ф2 = Л, Фз = ^з, ф4=?. B.31)
Ф„ — может по праву рассматриваться как 4-вектор, так как его
умножение на инвариантный скаляр д21дх{дх{ дает вектор.
В трехмерном пространстве большую роль играли тензоры, которые
преобразуются по закону
Чк = Нт^кп^тп • B.32)
Для пространства Минковского можно построить тензоры с такими же
свойствами; так, если щ и ^ — векторы, то
щик B.33)
— тензор. На том же основании
ЭФ{
дхк
B.34)
также тензор, антисимметричная часть которого
**= §?-!§' *,* = !, 2,3,4, B.35)
играет исключительно важную роль.
Исходя из уравнений
В = го1А, B.36)
Е= -вгаар-^- B.37)
и пользуясь выражением потенциала Ф„ четырехмерного пространства,
можно выразить отдельные составляющие векторов поля:
в =^
а* дх2
п Эф*
Ву--дх~,
Т> дф*
в*-дх7
ЭФ2
ЭФ3
Эхх '
ЭФХ
дхг '
Е = /СГ**«_!*»1
*-*б&-й). <2-м>
$ 2. Релятивистская формулировка уравнений Максвелла 731
Отсюда следует, что тензор Р^ [см. формулу B.35)] в развернутой форме
имеет вид
Р=^и
О
Ву
ВТ
— Вх
— Д. —- Ех
Вх
-ЕЛ
-4Д,
-4&
О
B.39)
Таким образом, мы видим, что составляющие электрического и
магнитного векторов электромагнитного поля объединяются в едином
антисимметричном тензоре электромагнитного поля. Поэтому теперь не должно
вызывать удивления, что при преобразовании координат преобразованное
значение Е\ зависит от значений Ни так как мы имеем дело с
преобразованием тензора.
С помощью тензора Р^р можно легко записать уравнения Максвелла:
+ -п т , 1 5Е \
дг
* = 1,2, 3,4,
и далее
гоЪЕ = — /и0
(НуВ = О
т
дг
Эхх дх.
дхр
B.40)
B.41)
Л,Л1> = 1,2,3,4.
В справедливости этой записи можно убедиться прямой подстановкой.
г) Некоторые положения и следствия релятивистской электродинамики
В рамках этой книги нецелесообразно подробно обсуждать
содержание и следствия, вытекающие из всего изложенного. Достаточно
кратко изложить некоторые выводы. Плотность силы может быть
представлена четырехмерным вектором
/„ = Р9^. B.42)
Четвертая составляющая в этом случае пропорциональна плотности
электрической мощности:
и =|ЕТ. B.43)
Составляющие 4-вектора плотности силы могут быть представлены
как производные некоторого тензора
1г I дх,
B.44)
Этот тензор называется тензором энергии-импульса. Он связан с тензором
электромагнитного поля Р^ следующим уравнением:
B.45)
Трр = — [Рц%.Рхр+— &цр(Рн*.Рмк)\
732
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
В развернутой форме этот тензор имеет вид
* 11 ^12 *13
т =
21
: 31
: 32
23
33
-/«1
~~ Т *^1 "~ Т ^2 ~" Т ^3
ш
B.46)
Здесь (Г1Л) = Т — известный уже трехмерный тензор (см. ч. I, § 7, п. «в»)г
8Eх, 52, 53) - вектор Пойнтинга, а
§=в0ЕхВ B.47)
— так называемая плотность импульса. Такое название обоснованно.
Действительно, для некоторой части пространства 7, ограниченной
поверхностью А, справедливо уравнение
}ыу = фтаА^}ёау;
B.48)
так как плотность силы I вызывает изменение импульса, то уравнение B.48)
можно записать так:
Э
&{*+1*47) = фГ4А.
B.49)
Это уравнение показывает, что электромагнитное поле также обладает
импульсом.
В силу симметрии тензора Т между импульсом § и вектором плот»
ности потока энергии в единицу времени 8 существует фундаментальная
связь:
?
B.50)
Плотность импульса может быть выражена как некоторая плотность
массы т8, умноженная на скорость света:
тогда как плотность излучения может быть выражена как плотность
энергии ю, умноженная на скорость света:
б' = юс,
и вместе с тем по B.50) как произведение импульса на квадрат скорости
света:
5 = %с\
Отсюда следует, что
ш = т8с2. B.51)
Это равенство выражает эквивалентность массы и энергии излучения.
Обобщая сказанное на любую форму энергии и массы, получаем
УГ = Мс2.
B.52)
Это фундаментальное раве нство имеет огромное теоретическое и
практическое значение.
^ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
733
В заключение рассмотрим мощность излучения движущегося
электрона. В ч. IV, § 7, п. «г», для нее было найдено выражение
Если электрон движется с большой скоростью, то излучаемая им мощность
выражается иначе:
4и> _ е* ьг-Щг
<И 6ш0с3 (I-/?2K
B.54)
Это уравнение получается путем применения к решению задачи
преобразований Лоренца.
§ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
а) Постановка задачи
С одной стороны известно, что радиоволны занимают небольшую полосу
спектра электромагнитных волн и, следовательно, подчиняются тем же
законам, что и волны видимого света или даже жесткие у-лучи. С другой
стороны, в этих последних наиболее резко проявляется квантовая природа
излучения. Это означает, что вместо непрерывного излучения на первый
план выступает корпускулярный характер процесса, при котором каждая
частица (фотон) обладает энергией Ъ> и импульсом Ну/с.
Корпускулярный характер излучения проявляется более резко с
повышением частоты. Энергия отдельных фотонов в области радиочастот
очень мала, поэтому приходится рассматривать большое количество фотонов,
что практически позволяет считать поле непрерывным; по существу же
электромагнитное поле антенны состоит из фотонов. Классические уравнения
Максвелла, естественно, не отражают квантового характера
электромагнитного поля.
Квантовая электродинамика ставит себе целью так обобщить теорию
Максвелла, чтобы с ее помощью можно было легко и правильно объяснить
существование фотонов и количественно выразить их энергию и импульс.
Далее квантовая электродинамика должна ответить на вопрос о том, в
какой части спектра радиоволн корпускулярный характер излучения
становится уже заметным, что дало бы непосредственное доказательство
справедливости квантовых представлений для этой области.
Рассмотрим квантовую электродинамику в применении к области
чистого поля излучения (т.е. электромагнитного поля, свободного от
заряженных частиц).
В дальнейшем будет рассматриваться только такое поле, так как
взаимодействие между квантованным полем излучения и электронами, точнее,
квантованным электронно-позитронным полем, увело бы нас слишком
далеко. Лишь в конце будет сказано о некоторых выводах общей квантовой
электродинамики.
К основным уравнениям квантовой электродинамики в этом узком
смысле слова приходят следующим путем: методы, с помощью которых
основные уравнения классической механики приводятся к уравнениям
квантовой механики, применяют также к уравнениям Максвелла. Для
этого их следует переписать так, чтобы они имели хотя бы формальную
аналогию с основными уравнениями механики.
734
Часть V. Границы электродинамика Максвелла
б) Основные уравнения механики с конечным числом степеней свободы
Для рассмотрения системы с конечным числом степеней свободы
механика располагает уравнениями, подобными уравнениям Ньютона, но более
пригодными для решения специальных задач. К таким уравнениям
относятся, например, уравнения Лагранжа второго рода и уравнения
Гамильтона. Эти уравнения могут быть записаны на основе вариационного
принципа. Обобщения уравнений Максвелла основываются именно на этих
уравнениях, поэтому целесообразно вкратце их напомнить, в частности, в
применении к случаю консервативной системы, т.е. системы, для которой
выражения всех сил могут быть выведены из потенциальной функции.
Пусть дана механическая система с конечным числом степеней
свободы. Это значит, что ее положение в пространстве может быть однозначно-
определено с помощью обобщенных координат д1у ?;?>•••>?/• Уравнения
движения Лагранжа можно^пмучитьследующим путем. Образуем сначала
вЕцражение потенциальной энергии системы
№р = Иу?1,й, • • • ,37)-
Далее определим кинетическую энергию системы, которая, кроме
координат ди зависит еще от скорости, т.е. от производных обобщенных
координат дъ д2, ..., %:
№к = Щ(дъ ...,?/, дъ .. .,?/).
Для дальнейшего очень важно ввести так называемую функцию Лагранжа,
равную разности этих двух энергий:
Ч?1,...,<7/, &,...,&) = ИЪ-ИГР. C.1)
Теперь уравнения движения могут быть представлены в таком виде:
Это уравнения Лагранжа второго рода.
Применим все сказанное к случаю простой колебательной системы;.
C.3>
= тх. C.4)
Записывая теперь уравнение Лагранжа C.2), приходим к хорошо известным,
уравнениям
— ах — тх = 0, тх = — ах.
Уравнения Лагранжа равнозначны следующему вариацонному
принципу: из всех возможных видов функций д{{1) действительности
соответствуют функции д{{1), отличающиеся тем, что для них интеграл
/ =
ь =
откуда следует,
¦
1,
И\-
что
дг = х,
-№р =
ддг
угр =
1 -2
— ах,
1
Т
1
" 2
ах2,
ах2
Эдг
]Ь(И C.5}
$ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
735
имеет минимальное значение. Математически это выражается уравнением
*•
Л/ЬЛ = 0, C.6)
т.е. вариация интеграла стремится к нулю.
Определение вариации сводится к задаче определения функций,
которые обращают в нуль некоторый определенный интеграл. Доказывается,
что искомые функции, которые делают минимальным интеграл C.5),
удовлетворяют уравнениям Эйлера, которые в рассматриваемом случае
совпадают с уравнениями Лагранжа. Кроме обобщенных координат д{ и
обобщенных скоростей ди следует ввести посредством определяющего
уравнения
-1=^=^. *-1.» /. ад
обобщенный импульс р^ канонически сопряженный с координатой д{.
Если </г — декартова координата, то приходящаяся на нее кинетическая
энергия равна
шх%
2
%»
а соответствующий ей импульс равен
-иг = т±1 = л •
Так как величины рг и д{ связаны линейной зависимостью (в
выражение МУк входит квадрат обобщенной скорости, т.е. дг), то можно
выразить д{ через импульс р^
Если требуется, можно доказать, что любая функция от дх, д{ может
быть выражена как функция от дь ри и наоборот.
Составим теперь выражение для полной энергии системы
Н(й, й) = ИЪ + Т7р, C.8а)
выразив энергию в функции обобщенных координат и импульсов; ее
называют функцией Гамильтона. В общем случае (неконсервативной
системы) функция Гамильтона имеет вид
Н = 2М-Ь« C.86)
г
В нашем случае первый член правой части уравнения равен удвоенной
кинетической энергии, поэтому
Н = 2Щ-(ТУк-1№р) = ТУк + ТУр .
Теперь можно записать уравнения движения в форме не менее
важных уравнений Гамильтона
А=_»н^.| * = *3^. C.9)
Для простого механического осциллятора полная энергия равна
2
Щ + Жр = ±тх*+±аа*= {-+\а*\
736
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
где х==д. Следовательно, функция Гамильтона имеет вид
Щр,д) = ^- + \ад*. (З.Ю)
2га
Уравнения Гамильтона теперь запишутся так:
Второе из них можно рассматривать как определение импульса р. Тогда
первое представляет собой уравнение движения.
В заключение представляет интерес рассмотреть произвольную
функцию Р(ри д^ от рх и дг. Эта функция в конечном счете зависит от
времени г, так как ^ и р1 сами зависят от времени. Для производной этой
функции по времени йР/йг получается простое и интересное выражение,
а именно:
С учетом уравнений Гамильтона, оно может быть переписано в виде
Выражение в правой части называется скобками Пуассона — Якоби и
обозначается символом [Г, Н]. В результате получается, что
^- = [Р,Н]. C.12)
в) Аналогия между механическими и электрическими системами
При объяснении явлений, протекающих в электрическом
колебательном контуре, методически очень полезно прибегать к механической
аналогии. На практике, однако, исследование сложных механических систем
чаще, наоборот, сводят к исследованию электрических моделей (аналогов),
которые легче рассчитываются и на которых значительно проще
производятся все измерения.
Рассматриваемая аналогия сама по себе представляет большой
практический интерес.
Ниже для простоты будут рассмотрены линейные электрические цепи
без потерь; кроме того, нас будут интересовать только свободные процессы,
поэтому мы будем рассматривать цепь, содержащую только пассивные
элементы.
Пусть имеется цепь, состоящая только из индуктивностей и емкостей
и содержащая /* контуров. В таком случае ее состояние может, как
известно, характеризоваться контурными токами
1Ъ /27 • • • >//•
Задача решена, если эти контурные токи определены как функции
времени.
Состояние цепи может характеризоваться и посредством „контурных
зарядов"
?1? ?2> • • •, дь
которые связаны с контурными токами равенствами
Як = /V
$ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
737
Рассматриваемая электрическая система имеет /" степеней свободы с
обобщенными координатами дъд2, ...,?/ и обобщенными скоростями
/1 = Чъ • ••,// = ?/•
„Кинетическая" энергия, т.е. энергия магнитного поля, выражается через
обобщенные скорости равенством
жт = \ук = ±2 2 А*/г/*. C.13)
А г к
Аналогично „потенциальная" энергия (энергия[электрического поля) равна
^=^ = {2 2㹫 C.14)
В итоге получаем функцию Лагранжа
ь = Щ-кр = 4-2 2ад*-у2 2#--
^ г й ^ г к с<*
Выписав производные
запишем теперь и уравнение Лагранжа
которому можно придать такой вид:
2 ^ -§-+ 2 #" = 0, г = 1, 2, . . . , /. C.15)
Это выражение представляет собой систему уравнений, составленных по
второму закону Кирхгофа. Тем самым доказывается полная аналогия с
основными уравнениями механики, по крайней мере для выбранного
частного случая, который для поставленной задачи представляется достаточно
общим.
Интересно отметить, что сопряженный с обобщенной координатой д{
импульс
Р' = ~ЩГ = -Ж = ? Цк1к = ф< C-16)
имеет в этом случае очень простой физический смысл. Это магнитный поток,
сцепленный с соответствующим контуром. Следовательно, первое уравнение
Гамильтона выражает простой факт, что
*--%--?*¦ <з-17)
Таким образом, мы снова пришли ко второму закону Кирхгофа, в котором,
однако, закон электромагнитной индукции выражен более отчетливо.
г) Основные классические уравнения непрерывной среды
Основываясь на изложенных результатах, можно перейти от
классической механики к квантовой. Но так как в конечном счете требуется
перейти от классических методов теории электромагнитного поля к квантовой
теории, связанной с квантованием этого поля, то следует сначала рассмот-
47 К. Шимони
738
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
реть математический аппарат и прежде всего вариационный принцип и
функции Лагранжа и Гамильтона, применяемые в механике сплошных
(непрерывных) сред, аналогичной теории поля. Поле характеризуется
одной или несколькими величинами, непрерывно изменяющимися в
пространстве, такими, например, как скалярный потенциал и напряженность
поля, а не конечным числом величин, непрерывно изменяющихся только
во времени. Поэтому необходимо ознакомиться с классическими методами
анализа (как говорят, с формализмом) механики непрерывных сред. Но,
поскольку уже была показана полная аналогия между механикой и теорией
г^Ш^-г-^ШЯУ^^^
/,2,...
"с*
~ГС* [ А*1 ) т>
...,л/
х=0
Ах х+Ах
х = 1
Фиг. 471. Схема замещения электрической цепи с сосредоточенными
постоянными и конечным числом степеней свободы как пример
перехода к системе с непрерывно распределенными параметрами.
электрических цепей, мы ограничимся рассмотрением только одной
стороны проблемы, а именно более близкой нам электрической. Будем
исходить из рассмотрения цепи без потерь, схема замещения которой
показана на фиг. 471. Она будет рассматриваться сначала как система с большим,
но конечным числом степеней свободы; впоследствии мы перейдем к
рассмотрению системы как непрерывной. При обозначениях, понятных из
рисунка, функция Лагранжа запишется так:
Ь= |[у^*Я-2^г(^+1-^J]
C.18)
При этом основные уравнения системы выражаются уравнениями
Лагранжа
а
6,1
Ь*1к+ Як+1г*к + * ™"' = °> * = 1,2|...1ЛГ,
C.19)
которые представляют одну из форм записи второго закона Кирхгофа
для А:-го контура.
Рассмотрим, как изменится функция Лагранжа Ь для цепи с
распределенными индуктивностью и емкостью. Изменим несколько
выражение функции Лагранжа C.18), записав его так:
Здесь все величины обозначены вместо текущего индекса к соответствующей
пространственной координатой х.
$ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
739
Если теперь с помощью уравнений С*/Ах=С0 и Ь*/Ах = Ь0 ввести
значения емкости С0 и индуктивности Ь0 на единицу длины и перейти к
пределу
д (х + Ах) — д(х) дд
2й ~ ~!х~>
то получится следующее выражение функции Лагранжа:
ь-Ш^>-йГга)К
C.20)
Функцию Лагранжа, следовательно, можно получить интегрированием
по пространственной координате некоторой функции, называемой Ла-
гранжевой плотностью. В рассматриваемом случае она имеет вид
Эх) " 2 ^°1 дг) 2С0{дх) '
C.21)
Вариационный принцип теперь можно записать через лагранжеву
плотность:
и I
д | [ | Л Ах} йг = 0.
C.22)
Итак, решение задачи состоит теперь в отыскании функции д(х, I),
которая обладает следующим свойством: если с помощью этой функции
перейти к плотности Лагранжа [см. уравнение C.21)], после чего
проинтегрировать ее по какой-то области пространства, то получится функция
Лагранжа, интеграл от которой в определенном интервале времени имеет
минимальное значение. Всякая другая функция д*(х, I), отличная от
соответствующей действительности д(:г, *), приводит в результате указанных
операций к большему значению интеграла.
Методы вариационного исчисления в этом случае дают тот же ответ,
что и для систем с конечным числом степеней свободы. Искомое решение
д(х, I) удовлетворяет дифференциальному уравнению
ЪЛ ъ
дд Эх
дЛ
[ни]
Ъ
дг
дЛ 1
[щ
= 0.
C.23)
Это единственное дифференциальное уравнение заменяет теперь
систему уравнений Лагранжа
дЪ <1 дЪ ^
дд1 <к дд{ ь '
1 = 1,2,...,/.
Можно убедиться, что уравнение C.23), примененное к рассматриваемому
случаю, приводит к волновым уравнениям
д2д
дх*
+ ¦
д*д _
Ь0С0 дг*
О и
дх* +
дч _
Х0С0 дг*
= 0.
C.24)
Теперь не представляет труда обобщить полученный результат на
три пространственные координаты. Если обозначить искомую величину
через 7?(г, *), то лагранжева плотность
.б(ч,8га<1 4,-57)
C.25)
47*
742
Часть V. Границы электродинамика Максвелла
Запишем наконец функцию Гамильтона
н=/^=Л1г+2к(гыА>2]й7' C-43)
V V
Интересно отметить, что по C.41) сопряженный с координатой Аа импульс
равен
Па = - е0Еа, а = ж, у, 2. C.44)
Учитывая это, сразу видно, что гамильтонова плотность
представляет собой просто плотность электромагнитной энергии,
выраженную с помощью канонически сопряженных величин.
Отметим кратко еще следующее интересное обстоятельство: аналогия
классического электромагнитного поля с механическими системами, а
именно с системами, состоящими из простых осцилляторов, выступает
особенно отчетливо, если рассматривать поле в некотором конечном объеме,
например в кубе с длиной ребра Ь. Напряженности поля разлагаются в
ряд Фурье по пространственным координатам при условии, что поле
изменяется во всех трех направлениях периодически с периодом,
равным Ь. Тогда каждая векторная функция может быть представлена как
сумма векторов
^«^е»^, C.46)
где к — известный волновой вектор, а е^ (Я = 1, 2)— два вектора,
взаимно перпендикулярных и нормальных к вектору к, характеризующие
попер ечную поляризацию. Величина 1Г*1ш играет роль нормирующего
множителя. С помощью этих векторов можно записать
А (г, 1)=У^2 ЧахМЫ*) , C.47)
П(г,*) = У70 2 ъм(т)рмA), C.48)
где суммирование должно производиться по А = 1,.2 и по всем возможным
значениям к.
В силу граничных условий и требуемой периодичности волновой
вектор к может иметь только следующие дискретные значения:
к = Щ Aх° + ту0 + пх°), C.49)
где I, т, п—целые числа, а х°, у0, ж0 — три единичных координатных вектора.
Коэффициенты д и р в уравнениях C.47) и C.48), безусловно, зависят
от времени. Эга зависимость может быть выражена с помощью уравнения
движения Гамильтона. Но мы не будем на этом останавливаться.
Ограничимся здесь только тем, что приведем функцию Гамильтона, выраженную с
помощью этих величин. Для этого необходимо учесть условие ортогональности
^ЩьЩеь'йУ = дъь'дм'
и соотношение
го! иА1 = -^ го* ек1е*г = -^ е* X §гай &* = /к х ик1 = ]кикг
$ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
741
Величины, характеризующие электромагнитное поле, — векторный
и скалярный потенциалы А и у — связаны с напряженностью поля Е
и магнитной индукцией В уравнениями
Е = -^- §гас! <р, В = го* А . C.35)
(На языке теории относительности это уравнения четырехмерного
потенциала.) Легко видеть, что выражению лагранжевой плотности теперь
можно придать такой вид:
Л = Ь<Йг+ §га^J-^(го1А)*. C.36)
Четырем скалярным уравнениям
ЭЛ з д дЛ э эл л , 0 0 , А . ,ооп,
ог-^-^тагр*^-0' а = 1'2'3-4' ^.-74», C-37)
соответствует одно векторное
го! го!(А) - е0 ^( -^ - §Гаа ?) = 0 " C.38)
равнозначное уравнению го1 Н = е0 ($Е/е)г). Уравнение
при этом переходит в
а1у(^ + 8гаа?)) = 0, C.40)
эквивалентное уравнению игу Е = 0.
Уравнения (Ну В = 0 и гоЪ Е= -оВ/о1 автоматически удовлетворяются
при введении четырехмерного потенциала.
Из уравнения C.28) можно определить обобщенные импульсы,'
сопряженные „координатам" АХ1 Ау, Аг, ср. Согласно C.29), имеем
дл
ЭАХ
П = — = е № + &)
пу=
Пг =
П<Р =
' дА,
дЛ
дАг
дЛ
' дА,
=
=
=
е°{ дг
(дАг
0.
+ду.
+Й
¦).
C.41)
Теперь по уравнению C.29) определим гамильтонову плотность
Ж = Щ-Х = П~-^ = ^+-^-(го1 АJ-П дгас! (р. C.42)
Последний член этого уравнения при интегрировании по всему
пространству дает нуль. Это можно показать, переходя к поверхностному
интегралу и требуя, чтобы его величина в бесконечности достаточно быстро
стремилась к нулю.
742
Часть V. Границы электродинамика Максвелла
Запишем наконец функцию Гамильтона
н %^ау =/[й;+^(го*АJ1йу- C-43)
Интересно отметить, что по C.41) сопряженный с координатой Аа импульс
равен
Па = - е0Еа1 а = х,у,г. C.44)
Учитывая это, сразу видно, что гамильтонова плотность
представляет собой просто плотность электромагнитной энергии,
выраженную с помощью канонически сопряженных величин.
Отметим кратко еще следующее интересное обстоятельство: аналогия
классического электромагнитного поля с механическими системами, а
именно с системами, состоящими из простых осцилляторов, выступает
особенно отчетливо, если рассматривать поле в некотором конечном объеме,
например в кубе с длиной ребра Ь. Напряженности поля разлагаются в
ряд Фурье по пространственным координатам при условии, что поле
изменяется во всех трех направлениях периодически с периодом,
равным Ь. Тогда каждая векторная функция может быть представлена как
сумма векторов
пи^^е»^, C.46)
где к — известный волновой вектор, а елх (Я = 1, 2)— два вектора,
взаимно перпендикулярных и нормальных к вектору к, характеризующие
попер ечную поляризацию. Величина Ь~'/а играет роль нормирующего
множителя. С помощью этих векторов можно записать
А (г, 1)=Тй>2 ПалМЫ*) , (З-47)
П(г,*) = УТ0 2 нлх(г)^х@ , C.48)
где суммирование должно производиться по Я = 1, 2 и по всем возможным
значениям к.
В силу граничных условий и требуемой периодичности волновой
вектор к может иметь только следующие дискретные значения:
к = Щ Aх° + ту0 + т°), C.49)
где I, ту п—целые числа, а х°, у0, ъ° — три единичных координатных вектора.
Коэффициенты д и р в уравнениях C.47) и C.48), безусловно, зависят
от времени. Эга зависимость может быть выражена с помощью уравнения
движения Гамильтона. Но мы не будем на этом останавливаться.
Ограничимся здесь только тем, что приведем функцию Гамильтона, выраженную с
помощью этих величин. Для этого необходимо учесть условие ортогональности
и соотношение
го* ик1 = -^ го! ек1е*г = -^ ек1 х §гаA &** = /к х и^ = ]кик2.
# 3. Основные идеи квантовой электродинамики
743
Далее если А и П — действительные величины, то икк = и*-.к>,, рк = р*А и
Як = Я-к- В результате искомая функция Гамильтона после простого
расчета представится выражением
Н = Л^ + ^1 ЛУ = Й^А + ^«А - !${\Р»\Ш + »Ы\>). C-50)
V
При сопоставлении этого уравнения с уравнением (ЗЛО) очевидно,
что функция Гамильтона классического электромагнитного поля
формально может быть представлена как сумма функций Гамильтона простых
осцилляторов.
е) Метод квантовой механики
Все вышеизложенное позволяет теперь сделать попытку перейти от
классического метода анализа явлений к анализу на основе квантовой
теории и сделать это сначала в области механики. Естественно, что мы
ограничимся простым описанием методов и выводов, не приводя не только
их строгого доказательства, но даже и исчерпывающего объяснения, и
сделаем это только в том объеме, который прямо необходим для
последующего изложения.
Для количественного описания законов квантовой механики наиболее
целесообразно из числа прочих равноценных выбрать матричную форму.
В матричной механике предполагается, что каждой физической
величине соответствует матрица
М =
тп т12 т1г . . . т1п
7^21 77^22 77^23 • • • ^2п
1 тпп1 тп2 шпг . . . тпп
C.51)
с бесконечным числом элементов, которая представляет собой эрмитову,
т.е. самосопряженную, матрицу
Щк = ™ы. C.52)
Эрмитова матрица, содержащая только действительные элементы,
симметрична.
Таким образом, обобщенной пространственной координате д
соответствует матрица я = {д1к}, импульсу р — матрица р = {р1к} и т. д.
Задачи механики с помощью матричной алгебры решаются
следующим путем: прежде всего составляются классические уравнения
механики, из которых с помощью подходящей пары канонически сопряженных
переменных образуется выражение функции Гамильтона, а затем пишутся
уравнения Гамильтона
дг~э^' Рх~ ~"н ' 1 ~~ ' ' *' •'; *
Они справедливы и для матриц я, р и Н, если соответствующим
образом определить операцию дифференцирования матриц по времени. Это
возможно при условии, что классические скобки Пуассона — Якоби для
величин РиО в квантовой теории заменяются на перестановочное
соотношение для соответствующих матриц Р, С:
[Р,0]4^е] = ^2(ге-ерь C.53)
744
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
Тогда уравнение, аналогичное уравнению C.12), запишется в виде
М(НР-РН),
а уравнения Гамильтона в матричной записи представятся так:
* = Т?(Нф-Ч,Н),
р« = ^(НР1-ЛН).
C.54)
C.55)
Исключительно важное свойство операций с матрицами
заключается в том, что в общем случае их произведение зависит от
последовательности сомножителей.
Разность произведений двух матриц, взятых в различном порядке,
— коммутатор матриц — вообще говоря, отлична от нуля.
Например, коммутатор матрицы координат и матрицы энергии равен
производной от матрицы координат C.54).
Определения квантованных значений физических величин может
производиться методом, который мы изложим на примере осцилляторов.
При решении подобной задачи необходимо произвести следующие
операции:
1) применить к задаче классический метод решения, пользуясь
функциями рг ди Щри д4);
2) найти такие эрмитовы матрицы, которые удовлетворяли бы так
называемым каноническим перестановочным соотношениям
ЧгЧк-ЧкЧг = 0 , РгРй-РйРг = 0 , C.56)
РгЯк
-ч**= 2^**1;
3) позаботиться о том, чтобы матрицы р и я после их подстановки
в функцию Гамильтона превращали последнюю в диагональную матрицу
Н(р, я)
Ег О О
О Е2 О
О О Еъ
О .
О О
О 0 0. ..О 0 Еп
C.57)
т.е. в такую матрицу, в которой все элементы, кроме диагональных,
равны нулю.
Можно доказать, что эти матрицы действительно удовлетворяют
уравнениям движения, если в их элементы д1к ввести функцию времени
егр[^(Е^Ек)]и
Полученные таким образом элементы диагональной матрицы
представляют собственные значения энергии системы, т.е. возможные значения
энергии, которыми только и может обладать рассматриваемая система.
Обратимся к рассмотрению матрицы обобщенных импульсов и
координат для случая гармонических осцилляторов, не воспроизводя здесь
пути получения этих матриц.
Для решения задачи следует воспользоваться классическим методом
и определить р, д и Щр, д) = рг\2т + {а\1)дг.-
^ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
745
Матрицы р, я должны быть составлены так, чтобы они удовлетворяли
перестановочным соотношениям, т.е.
РЧ-ЧР=-^г1, C.58)
2я/
и чтобы, кроме того, выражение
было диагональной матрицей.
Рассмотрим следующие матрицы:
Р л. а «2
C.59)
Ч =
а"
0 КГ 0 0 0 0
]/Г 0 ]/2" 0 0 0
0 1^2 0 УЗ 0 0
о о уз о УТ о
0 0 0 У4 0 У5
0 •
0 .
о .
0 •
0 •
C.60)
2яу [/ 2Нг
о уТ 0 0 0 0
¦УГ 0 /2000
' О -У2 0/300
О 0 -/3 0/4 0
C.61)
где у = A12п)Уа1т. Можно сразу доказать, что эти матрицы удовлетворяют
всем поставленным требованиям: во-первых, обе матрицы эрмитовы, так
как матрица я симметрична и состоит из действительных элементов, а
матрица р удовлетворяет условию р1к = р\{. Например,
Во-вторых, матрицы р и я удовлетворяют перестановочным соотношениям,
так как после перемножения этих матриц по формуле умножения (ря)<*=
= 2 РгтЯтк получаются матрицы
ря =
4яу
яР =
4 щ
1
0
-У2
0
-1
0
-п
0
0
1
0
-Уб
0
-1
0
-Уб
п
0
1
0
п
0
-1
0 ¦
0 0 •
Уб о •
0 УТ2 .
1 0 .
0 0 •
Уб о .
0 УТ2 •
-1 0 •
746
Часть У. Границы электродинамики Максвелла
разность которых
РЯ~ЯР =
2я/
10 0-
0 10-
0 0 1-
C.62)
В-третьих, матрицы р и ц делают функцию Гамильтона C.59)
диагональной матрицей. Действительно,
- 1 0 ][2 О
о-з о Уб
][2 0 - 5 О
о Уе о-7
р2
2т
кг
а 2 _ Лу
ТС1 ~ т
1
0
У2
0
0
3
0
Уе
п
0
5
0
0 • 1
Уе-
0 •
7 •
и, следовательно, по C.59)
и — Л"
Н -Т
10 0 0
0 3 0 0
0 0 5 0
C.63)
Отсюда получаются собственные значения энергии осциллятора, т.е.
те значения энергии, которыми только и может обладать осциллятор:
Яп = -^-Bл + 1) = пЬ + ±-Ь при л = 0,1, 2,
C.64)
Эти значения дискретны и соседние значения отличаются на величину Ъ.
Величина Ъ>\1 соответствует наинизшему уровню энергии и называется
энергией нулевого уровня или нулевой энергией.
ж) Основные положения квантовой электродинамики
С учетом этих предварительных замечаний можно выразить основные
уравнения классической электродинамики на языке квантовой теории.
В механике переход от классической к квантовой теории может быть
представлен схемой
Классическая механика Квантовая механика
41, Рг
#(Р<, яд
Уравнения Гамильтона
Я, р — эрмитовы
Щ?> Я) - диагональная матрица
Так как основные уравнения классической электродинамики аналогичны
уравнениям классической механики, то приведенная схема может быть
применена для перехода к квантовой электродинамике:
Классическая электродинамика
А, П
(го1АJ
V
«=Ш
Уравнения Максвелла
1 йУ
Квантовая электродинамика
А, П
АуП^— П^А„
эрмитовы
н ггп* (гогА)»1
ау
— диагональная матрица
# 3. Основные идеи квантовой электродинамики
1А1
Следует вкратце остановиться на смысле присутствия дельта-функции
<5(г —г') в перестановочном соотношении. Дискретные пространственные
координаты дъ д2, ... ду в системе с сосредоточенными постоянными
заменяются непрерывной величиной, подобной величине г\ в § 3, п. «г»,
или координатами Ах, Ау, Аг, ср в квантовой электродинамике.
Дискретные индексы заменяются пространственными координатами х, у, 2, т.е.
радиусом-вектором г. Коммутатор выбранной координаты Аа и
сопряженного ей импульса Па только в том случае дает отличный от нуля
результат, когда значения Аа и Па относятся к одной точке (г = г'), что
и выражается дельта-функцией й(г-г').
Операторы поля А и П, естественно, зависят от радиуса-вектора г и
времени I. Можно получить матрицы с постоянными коэффициентами,
если операторы поля А и П разложить в ряд как обычные векторы,
представляющие решение волнового уравнения
1
^ 2 е*х кае^-^ + а^е-^-*»] . C.65)
Здесь аЛХ и а^ представляют собой матрицы с постоянными
коэффициентами.
Таким путем одну общую волну мы представили суммой ряда плоских
волн. Волновой вектор к может принимать любое из значений
Ъ = ^-Aх0 + гпу0 + пх0I
определяемых условиями периодичности. Индекс Я в соответствии с
двумя направлениями поляризации может принимать только два значения:
Я = 1, 2. Матрица а^х должна быть эрмитовски сопряженной с матрицей
а^, чтобы матрица А была также эрмитовой матрицей. В
рассматриваемом случае
В результате получается, что А=А+, а это и означает, что матрица А
эрмитова.
Зная матрицу А, можно легко составить матрицу П по уравнению
и ъ% .
Кроме того, можно подсчитать гоЪА, после чего можно определить и
матрицу Н. Если учесть ортогональность функций &&*-*) и
векторов еАХ, то в результате элементарных, хотя и утомительных,
расчетов получается, во-первых, что матрицы а подчиняются следующим
законам перестановки:
[а/а, аь'Х'] = О,
а во-вторых, с их помощью может быть выражена матрица Гамильтона
Пс
2
Н = ^ 2 I к | (а^ а,х + а,Л *Ъ). C.66)
Следующий этап заключается в отыскании таких матриц а, а+,
которые удовлетворяли бы перестановочным соотношениям и, кроме того, делали
бы матрицу Н диагональной. Подобная, хотя и не в точности такая, задача
была решена для конкретного случая гармонических осцилляторов.
748
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
Теперь матрицы а и а1 не эрмитовы, т.е. не удовлетворяют тем же
перестановочным соотношениям. Кроме того, структура этой матрицы Н и матрицы
Н для осциллятора различна.
Для того чтобы применить решение, найденное раньше для осцил-
ятора, вводятся новые матрицы
Яая = у=г (аАЛ + а^), C.67)
ркХ = -— (алх-а^). C.68)
Легко убедиться, что они эрмитовы и удовлетворяют правилу перестановки
Чах Рл'Х' - Ркх Чк'к* = ~щ &№ ^Я'1 • C.69)
Матрица Гамильтона теперь выражается так:
н= 27Ц^+^+т1)- C-70)
Не считая матрицы 1/21, это выражение идентично выражению для
осциллятора C.59).
Каждому значению волнового вектора к и двум направлениям
поляризации А = 1,2 соответствует свой осциллятор с матрицами цкх и ркк.
Возможные значения энергии каждого осциллятора, согласно
уравнению C.64), теперь равны
\Ук = кук[пк1 + пк2+±)+-^кук = Ьк(пк + 1).
Возможные значения энергии объема выражаются равенством
ТУ = 2 Фь = 2 кук(пк+1). C.71).
к
Число пк можно толковать как число фотонов. Таким путем вводится
представление об их существовании.
Далее мы можем определить матрицу момента
С = е0]*ЕхВй7= - |Пхго1Ай7. C.72)
Собственные значения этой матрицы С, т.е. возможные значения момента,
должны иметь вид
2^*^ C.73)
и каждому фотону, следовательно, соответствует импульс величиной
к
2я
\. C.74)
з) Некоторые следствия квантовой электродинамики
Таким образом, мы пришли к следующему важному выводу: при
измерении энергии электромагнитного поля (если не учитывать постоянной
нулевой энергии) могут быть получены только значения
п1№1 + п2Ьл>2+ . . . +пккгк,
$ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
749
а при измерении импульса — только значения
Пу -у- кх + 71% -т— к2 + . ..,
где Щ — единичные векторы. Очевидно, в первом приближении эти
уравнения должны означать, что электромагнитное поле состоит из фотонов,
число которых равно % + тг2-I-гс3 + ...+%... . Каждый из этих фотонов
обладает соответственно энергией Нуъ Ку2, и импульсом й/Аь Л/Л2,... На
основании этого электромагнитное поле можно назвать фотонным полем.
К этому представлению привели результаты опытов, поставленных
и объясненных Эйнштейном задолго до появления квантовой
электродинамики. Объяснение закономерностей теплового излучения,
фотоэлектрического эффекта, эффекта Комптона и т.д. были этапами на пути развития
новой, фотонной теории поля.
Квантовая электродинамика дала теоретическое обоснование
фотонной теории и показала связь теории с классической электродинамикой.
Квантовая электродинамика, однако, вышла далеко за рамки
классического представления о фотонах. Важнейшие ее положения могут быть здесь
рассмотрены лишь с качественной стороны.
Будем по-прежнему полагать, что имеется чистое поле излучения, т.е.
свободное от заряженных частиц электромагнитное поле. Как было
показано выше, разным величинам, характеризующим поле, соответствуют
операторы, заданные в виде матриц. Некоторые из этих матриц
перестановочны, некоторые — нет. К последним относятся, например, матрицы Е
и А, а следовательно, и матрицы Е и В. Из этого, казалось бы, простого
положения вытекают очень важные и далеко идущие следствия: физические
величины, которые выражаются с помощью неперестановочных матриц, не могут
быть одновременно измерены с заданной точностью. Не существует
состояния с точно определенными в каждый данный момент значениями
векторов Е и В, как не существует состояния электрона с точно определенными
импульсом и координатами. Также невозможно состояние, при котором
одновременно Е = 0 и В = 0. В чистом вакууме, в котором отсутствуют и
фотоны и другие частицы, происходят колебания некоторого минимального,
нулевого поля, так называемые флуктуации вакуума. Средние значения
векторов Е и В, естественно, равны нулю, а среднеквадратичные (т.е.
энергия) неравны нулю. Такое же явление имеет место в твердых телах, где при
температуре абсолютного нуля энергия не равна нулю. Таким образом,
квантовая теория электромагнитного поля может быть уподоблена дебаев-
ской теории твердого тела. В этом случае возбужденные состояния частиц,
образующих твердое тело, соответствуют наличию фононов. Введение
концепции фононов (или экситонов) упрощает рассмотрение этого явления.
Что же касается реальности существования нулевой энергии, т.е.
энергии флуктуации вакуума, то, чтобы ответить на этот вопрос, следует
поместить в такой вакуум электрон; тогда это так называемое нулевое поле,
действуя на электрон, приведет его в хаотическое движение, подобное
„броуновскому", и сообщит ему некоторую дополнительную
кинетическую энергию. Эта кинетическая энергия наблюдается во всех
экспериментах; можно предполагать, что она содержится в энергии покоя
электрона в вакууме.
Заметим, что в настоящее время главная трудность квантовой
электродинамики состоит в том, что ее окончательные уравнения в большинстве
случаев содержат расходящиеся выражения.
750
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
Дополнительная кинетическая энергия электрона, вызванная флукту-
ациями вакуума, также бесконечна. Это не должно вызывать удивления,,
так как даже нулевая энергия электромагнитного поля бесконечна, как
это следует из уравнения C.71).
Таким образом, методы квантовой электродинамики встречают
серьезные возражения, так как они описывают явления, опытное исследование
которых в отдельности невозможно, и, кроме того, приводят иногда к
абсурдным результатам.
Новое развитие квантовой электродинамики обходит это второе
затруднение с помощью так называемого метода перенормировки, который
состоит в том, что бесконечные добавки включаются в наблюдаемые значения
соответствующих постоянных (массы т0 или заряда д0). Бесконечные
величины при этом относятся за счет временного несовершенства
аппарата теории. При этом приобретает снова смысл введение в уравнение
небольших поправочных членов.
Такие поправочные члены появляются из-за флуктуации вакуума при
рассмотрении электрона в каком-нибудь потенциальном поле, например'
в поле ядра атома. Добавочная кинетическая энергия снова вводится в
массу покоя электрона, но в выражении потенциальной энергии появляется
дополнительный член, учитывающий колебательное хаотическое движение
электрона. В этом можно убедиться, если рассматривать общий случай
нелинейного поля — нелинейное изменение потенциала в какой-то
заданной точке. Таким образом, получается смещение уровней энергии атома,,
что дает возможность экспериментального доказательства флуктуации
вакуума и всей соответствующей теории.
Новая техника эксперимента и методы радиоспектроскопии позволили
обнаружить смещение линий в атоме водорода (лэмбовское смещение). Две
линии атома водорода, так называемые линии 28*/2 и 2Р^/2, которые,,
согласно релятивистскому уравнению Дирака, должны совпадать,
обнаруживают на опыте смещение основного уровня Кг, величина которого,
измеряемая в частотах, равна 1062 Мгц, т.е. относится к области радиочастот.
Теоретический расчет этого эффекта приводит с большой точностью к
тем же результатам. Это обстоятельство свидетельствует о том, что, несмотря
на все расходимости, квантовая электродинамика указывает
правильные пути развития теории.
До сих пор рассматривалась квантовая электродинамика чистого поля
излучения, хотя для опытного исследования этого поля применялось его
взаимодействие с электроном. В общем случае необходимо ввести
взаимодействие между фотонами и электронами, точнее, между полем фотонов
и полем электронов. Что следует понимать под полем фотонов (фотонным
полем), должно быть ясным из предыдущего: это классическое
электромагнитное поле, только квантованное; его квантами и являются
фотоны.
Под электронным полем понимается квантованное, ранее считавшееся
непрерывным, поле, „квантами" которого являются электроны. Это свободное
электронное поле строится по образцу поля излучения следующим образом.
Волновое уравнение потенциала электромагнитного поля соответствует
волновому уравнению Шредингера, или, точнее, уравнениям Максвелла
соответствует релятивистски инвариантное уравнение Дирака.
Непрерывные величины классической электродинамики А (Ах, Ау, А2, ф)
заменяются теперь волновыми функциями хр (гръ гр2, щ, у4,) которые должны
быть квантованы. Функции ^(г, I) должны рассматриваться как
операторы, которые удовлетворяют известным законам перестановки и,
$ 3. Основные идеи квантовой электродинамики
751
кроме того, делают матрицу Гамильтона диагональной. Сама функция
Гамильтона получается подобным образом с помощью выражения лагран-
жевой плотности. Так как уравнение Дирака уже получено посредством
квантования уравнений классической механики, то квантование с
помощью волновых функций называется вторичным квантованием.
Отсюда — ожидаемый вывод: полученное таким образом поле состоит
из частиц с определенной массой покоя и зарядом, которые могут быть
отождествлены с электронами и позитронами. Поэтому удобнее говорить об
электронно-позитронном поле. В этом случае в соответствии с принципом
Паули числами заполнения являются только числа 0 или 1. Некоторому
возбужденному состоянию в этом случае соответствует определенное
заполнение отдельных состояний электронами и позитронами. Основное
состояние, т.е. „пустое" электронно-позитронное поле или электронно-позит-
ронный вакуум, обладает „спрятанной в глубине", на дне потенциальной
ямы, совокупностью отрицательных состояний энергии, лежащих ниже
границы Е< — т0с2. Эта совокупность состояний полностью
заполняется электронами. Если сообщить одному из этих электронов энергию,
то появляется „обыкновенный", наблюдаемый электрон. Этот электрон
оставляет „дырку" в бесконечной совокупности (фоне) электронов с
отрицательной собственной энергией. Этот фон ,,с дыркой" рассматривается
тогда как позитрон.
В настоящий момент прежде всего представляет интерес сложная
структура вакуума. В каких пределах можно серьезно говорить о
существовании электронов в вакууме? Имеет ли эта гипотеза опытное
подтверждение? Чтобы ответить на этот вопрос, следует рассмотреть поле в
окрестности заряда какого-либо ядра. Неоднородное поле вакуума оказывает
влияние на уровни энергии атома и приводит к изменению плотности
зарядов. Вакуум в некотором отношении может быть уподоблен диэлектрику —
он может поляризоваться. Это оказывает влияние на электромагнитную-
волну, вызывая ее отклонение.
Отсюда принципиально доказуемое следствие: электромагнитная волна
должна рассеиваться электростатическим полем; точно так же должны
рассеиваться волна на волне, фотон на фотоне.
Этот факт находится в явном противоречии с классической
электродинамикой, которая исходит из линейности уравнений Максвелла; их решения
удовлетворяют принципу наложения (суперпозиции). Трудно
осуществимые измерения ничтожных эффектов все же, по-видимому, подтверждают
вывод о существовании нелинейных эффектов, вызванных поляризацией
вакуума. Справедливость новой теории подтверждается и отклонением
величины магнитного момента электрона от значения, равного магнетону
Бора. Этот факт был обнаружен опытным путем и может быть объяснен
поляризацией вакуума.
В общей квантовой электродинамике взаимодействие поля излучения
и электронного поля определяется наложением полей, причем их
взаимодействие рассматривается как возмущение; обратный переход атома из
какого-либо возбужденного состояния в основное состояние путем
испускания фотона рассматривается при этом не как спонтанная эмиссия, а как
эмиссия индуцированная, возбужденная флуктуациями вакуума.
Законы, управляющие спонтанной и индуцированной эмиссией, имеют
в настоящее время непосредственно практическое значение. В
молекулярных, или „квантовых", генераторах и усилителях (мазерах и лазерах)
индуктированные переходы дают полезную мощность, а спонтанные
представляют фон помех.
752
Часть V. Границы электродинамики Максвелла
Расходимости остаются и для электронно-позитронного поля. Кроме
того, каждому виду частиц, например мезонам, должны соответствовать
новое поле и новый вакуум. С этой точки зрения рассматривалось (т.е.
подвергалось квантованию) даже гравитационное поле. Однако
возникает необходимость в теории, которая отличалась бы большим единством.
Но при этом от линейности основных уравнений, видимо, придется
отказаться.
В заключение приведем схему логической связи некоторых
рассмотренных выше разделов механики и электротехники. Жирными линиями
доказаны связи, рассмотренные в нашем изложении более подробно.
Механика точки *~
Теория цепей
о, 3
о Я
Квантовая механика
(уравнение Дирака)
о $
§1
Электронно-позитронное поле
Электромагнитное поле
(уравнения Максвелла)
Фотонное поле
Квантовая электродинамика
I
Другие поля (гравитационное поле, мезонное поле)
и теория ядерных сил
Основные обозначения
А, а —
А-
В-
в-
с-
С, с --¦
См —
с —
В-
Е-
е —
е —
е,—
Е-
г-
с—
н-
н —
н-
76 —
л,-
/,1-
1, 1 К-
<Г —
7 —
К —
= кпх —
X,/ —
X —
-<*> м —
- поверхность, ^А —
направленный элемент поверхности;
- векторный потенциал;
- реактивная проводимость;
- вектор магнитной индукции;
- емкость конденсатора;
¦- константы;
- частичная емкость;
- скорость света;
- вектор электрического
смещения;
- вектор напряженности
электрического поля;
-заряд электрона;
- основание натуральных
логарифмов;
- единичный вектор для
координаты ц
¦ вектор силы;
- частота;
- проводимость;
- вектор напряженности
магнитного поля;
-матрица узлы—ветви;
- оператор Гамильтона;
- гамильтонова плотность;
- коэффициенты Ламе;
- ток;
- единичные векторы
прямоугольной декартовой системы
координат;
- вектор плотности тока;
-мнимая единица;
- вектор поверхностной
плотности тока;
- восприимчивость (в
рационализированной системе
единиц);
-длина, д\ — направленный
элемент длины;
- собственная индуктивность;
- взаимная индуктивность;
Ь
Л
Л
м
м
т
Я-
п, п°
п
Р
Р
Р
Р
Р
<?
<?¦
<?¦
<?
Я г
И, г
г
8-
8-
т-
т,тл-
V-
и-
V-
V-
V-
IV-
IV-
Х-
7-
2
х,у,г-
а, Р, у-
д.*, м—
- функция Лагранжа;
- лагранжева плотность;
- оператор Лапласа;
- матрица контуры — ветви;
- вектор намагниченности;
- магнитный момент;
- число витков;
- нормаль, единичный вектор
нормали;
- коэффициент отражения;
- мощность;
-точка наблюдения;
-вектор поляризации единицы
объема;
- импульс;
- электрический момент;
- электрический заряд;
- реактивная мощность;
-точка истока;
- добротность резонатора;
- сопротивление;
- радиус;
- радиус-вектор;
- вектор Пойнтинга;
• вектор элемента длины;
- период;
- тензор;
- потенциал, напряжение,
разность потенциалов;
- произвольный вектор;
- объем;
- скорость;
- произвольный вектор;
- энергия;
- плотность энергии;
- реактивное сопротивление;
- комплексная проводимость;
- комплексное сопротивление;
- координаты прямоугольной
прямолинейной системы
(декартовой системы координат);
- углы;
48 К. Шимони
754
Основные обозначения
а — коэффициент затухания;
A—фазовая постоянная
(коэффициент фазы);
у — постоянная распространения;
у—электропроводность (также а);
д—глубина проникновения;
е—диэлектрическая
проницаемость;
е=ргг0или гв==гг0 —
диэлектрическая проницаемость,
содержащая нормирующий
множитель соответствующей
системы единиц („абсолютная
проницаемость"). Индексы а и г
могут опускаться;
е0 — электрическая постоянная
системы единиц, равная
8,556 Л0~12ф/мв системе МКС А
или СИ [ГОСТ 9867-61];
е„ е—относительная
диэлектрическая проницаемость (индекс г
и эпитет относительная могут
опускаться);
х—восприимчивость в
^рационализированной системе {х =
= /с/4я);
Я—длина волны;
Л—-длина волны в волноводе;
р—магнитная проницаемость;
IX = [лг(л0 или |Ив = до0 —
магнитная проницаемость,
содержащая нормирующий множитель
соответствующей системы
единиц („абсолютная
проницаемость");
р0 — магнитная (или
электродинамическая) постоянная
системы единиц, равная 4я.Ю
дж/м в системе МКСА или СИ
[ГОСТ) 9867-61];
//г, [л— относительная магнитная
проницаемость (индекс г и эпитет
относительная могут
опускаться);
V —¦ момент двойного слоя;
П — вектор Герца;
П— Пи-функция Гаусса;
Ф — магнитный поток;
<р— потенциал;
у—-фазовый сдвиг;
д—-объемный заряд;
о—-поверхностный заряд;
о— электропроводность;
О—телесный угол;
со —- угловая частота;
Индексы
с—¦ критический;
е— внешний;
е— падающий;
/"— обратная связь;
О—¦ генератор;
8— сетка;
ъ— внутренний;
I,;, к —¦ текущий индекс;
т— магнитный;
т, ср — средний;
т, макс — максимальный;
п — нормальный;
г—¦ радиальный;
х, У, * — компоненты вектора по осям
декартовой системы координат.
В русском переводе комплексные
величины, изображающие
синусоидальные функции времени, обозначаются
значком ~ над прописной буквой, а
комплексы, содержащие в виде аргумента только
начальную фазу - точкой над прописной
буквой:
V = &,'•'= 17еЯа+0\
& =С/1+;772 = 17е5а
и = У% V8Ш (сог+а).
Точка над буквой может не ставиться,
если смысл обозначений ясен из
содержания текста.
Комплексный характер других
величин, таких как 2, У, /I, е и т. п., если
в этом встречается необходимость,
обозначается черточкой над буквой, например
Литература
Прилагаемый к русскому переводу список литературы шире содержащегося в оригинале;
в основном он дополнен книгами, более доступными и привычными у нас. Все работы списка,
составленного автором, сохранены в нашем списке. Но и в расширенном виде список не претендует на
сколько-нибудь исчерпывающую полноту; дальнейшую литературу и ссылки на оригинальные публикации
в журналах читатель найдет в библиографических указателях, содержащихся в цитированных
работах.
Литература, приведенная в списке, в основном подобрана в соответствии с содержанием книги
К. Шимони. Многие вопросы современной электротехники, не нашедшие отражения в самой книге
(импульсная техника, применение математических машин, полупроводниковая техника,
параметрические явления и параметрические усилители и др.), не отражены и в списке литературы.
Весь список несколько условно разделен на 9 разделов. Естественно, что литература по
темам отдельных разделов частично содержится и в других.
1. Общие вопросы теории электричества
1.1. Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля,
Гостехиздат, 1954.
1.2. ^апз Т.Н., Тпе Ма1петаИса1 Тпеогу о1 Е1ес1псИу агк! МадпеИзт, СатЪгМ&е,
ШЬг. Рге88} 1927 (ряд изданий).
1.3. Френкель Я.И., Электродинамика, т. I и II, ОНТИ, 1934, 1935.
1.4. Та мм И.Е., Основы теории электричества, Гостехиздат, 1949 (и последующие
издания).
1.5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля, Физматгиз, 1960;
Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат, 1957.
1.6. Аркадьев В.К., Избранные труды, Изд-во АН СССР, 1961.
1.7. Беккер Р., Электронная теория, Гостехиздат, 1936 (и последующие
переиздания).
1.8. 3 о мме р фе л ь д А., Электродинамика, ИЛ, 1958.
1.9. Смайт У.Р., Электростатика и электродинамика, ИЛ, 1954.
1.10. С тр этто н Дж. А., Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948.
1.11. ЛЫеО., ЬепгЪисп с1ег Е1ек1гш1а1 ипс! йез Ма^пеИзтиз, 81и118аг1, 1948.
1.12. ДУеЪег Е., Е1ес1гота&пеИс ПеШз, Тпеогу апй АррНсаНопз, уо1. I, №\у Уогк,
Ьопйоп, 1950.
1.13. А 11 ™ о о а 8.8., Е1ес1пс апс! Ма^пеИс ПеМз, Ьопйоп, 1949.
1.14. Кгаиз^О., Е1ес1гота§пеИсз, Ие\у Уогк, Тогоп1о, Ьопйоп, 1953.
1.15. Н а 11 ё п Е., Е1ес1пс11е1з1ага, 81оскпо1т, 1953.
1.16. Поль Р.В., Электричество, Физматгиз, 1962.
1.17. К а у л и н г, Магнитная гидродинамика, ИЛ, 1959.
1.18. Кир ко И.М., Жидкий металл в электромагнитном поле, Госэнергоиздат, 1964.
1.19. Пикельнер СБ., Космическая электродинамика, Физматгиз, 1963.
1.20. Блохинцев Д.И., Основы квантовой механики, Изд-во „Высшая школа",
1961.
48* -
756
Литература
1.21. Гейтлер В., Квантовая теория излучения, ИЛ, 1956.
1.22. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей,
Гостехиздат, 1957.
1.23. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б,. Квантовая электродинамика, Физ-
матгиз, 1959.
2. Теоретические основы электротехники
2.1. Круг К.А., Основы электротехники, ч. 1 и 2, Госэнергоиздат, 1948.
2.2. Нейман Л.Р., Калантаров П.Л., Теоретические основы электротехники,
ч. 1,11,111, Госэнергоиздат, 1959.
2.3. Основы электротехники.
ч. I. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Основы теории цепей, Госэнергоиздат,
1955;
ч. II. Нетушил А.В., Страхов СВ., Цепи с сосредоточенными и
распределенными параметрами, Госэнергоиздат, 1955;
ч. III. Нетушил А.В., ПоливановК.М., Теория электромагнитного поля,
Госэнергоиздат, 1956.
2.4. Атабеков Г.И., Теоретические основы электротехники (в трех частях), ч.1,
Линейные электрические цепи, Госэнергоиздат, 1962.
2.5. К а п л я н с к и 11 А.Е., Лысенко А.П., П о л о то в с к и й Л.С.,
Теоретические основы электротехники, Госэнергоиздат, 1961.
2.6. П е р е к а л и н М.А., Сергеев П.С, Касаткин А.С, Электротехника
(Курс общей электротехники), Госэнергоиздат, 1932.
2.7. Кюпфмюллер К., Основы теоретической электротехники, Госэнергоиздат,
1961.
2.8. НагпдуеИ О-.Р., Рппс1р]е8 оГ Е1ес1пс11у аш! Е1ес1готадпеИ8т, Ке\у Уогк,
Ьопс1оп, 1949.
Дополненный и переработанный перевод: Физические основы электротехники, под
ред. К.М.Поливанова, Гостехиздат, 1950.
2.9. Р а § е Ь., А с! а т 8 IV., Рппар1е8 о! Е1ес1псЦу, №\м Уогк, Тогоп1о, Ьопйоп,
1949.
2.10. 8 1 т о п у 1 К-, УШато58а§1:ап, Вис1аре81, 1964.
2.11. 11гЪапек ^)., Веуе2е1ё8 а тйзгаИ е1тё1ет1 уШатозза^апЬа, Вийарезт, 1952.
2.12. Асеев Б.П., Основы радиотехники, Связьиздат, 1947.
2.13. К о те л ь н и к о в В.А., Н и к о л а е в А.М., Основы радиотехники, ч. I и II,
Связьиздат, 1950, 1954.
2.14. Гоноровский И.С, Основы радиотехники, Связьиздат, 1957.
2.15. Харкевич А.А., Теоретические основы радиосвязи, Гостехиздат, 1957.
2.16. Тегтап Р.Е., КасПо Еп^теегз НапсШоок, №\у Уогк, 1943; русский перевод:
Справочник по радиотехнике, под ред. Смиренина, Госэнергоиздат, 1950.
2.17. V П Ь 1 & О., ЬепгЪисп с!ег Носпг^иеп21;есптк, Ье1р21§, 1942.
2.18. История энергетической техники, под ред. Л.Д. Белькинда и др., т. 2,
Электротехника, Госэнергоиздат, 1957.
3. Теория линейных электрических цепей
3.1. Атабеков Г.И., Теория линейных электрических цепей, Изд-во ,,Сов.радио",
1960.
3.2. Г а р н о в с к и й Н.Н., Теоретические основы электропроводной связи, ч. 1 и 2,
Связьиздат, 1956 и 1959.
3.3. Боде Г., Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью, ИЛ, 1948.
3.4. Харкевич А.А., Спектры и анализ, Гостехиздат, 1953.
3.5. Т а ф т В.А., Основы методики расчета линейных электрических цепей по их
заданным частотным характеристикам, Изд-во АН СССР, 1954.
3.6. Балабанян Н., Синтез электрических цепей, Госэнергоиздат, 1961.
3.7. Стюарт Дж., Теория и синтез электрических цепей, ИЛ, 1962.
3.8. Саиег МЛ, Тпеопе <3ег Нпеагеп Шесп8е181:гот8Спа11:ип§еп, т. 1, Ье1ргщ, 1941.
(английский перевод Апп АгЬог, М1сп., 1948).
3.9. Бонч-Бруевич А.М., Применение электронных ламп в экспериментальной
технике, Гостехиздат, 1956.
3.10. Стретт М., Полупроводниковые приборы, Госэнергоиздат, 1956.
Литература
757
3.11. Круг К.А., Переходные процессы в линейных электрических цепях, Госэнер-
гоиздат, 1948.
3.12. Гоноровский И.С, Радиосигналы и переходные процессы в радиоцепях,
Связьиздат, 1954.
3.13. Конторович М.И., Операционное исчисление и нестационарные явления
в электрических цепях, Гостехиздат, 1953.
3.14. Б р е м е р X., В а н-дер-П о л ь Б., Операционное исчисление на основе
двустороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1952.
3.15. Гарднер М., Б э р н с Дж., Переходные процессы в линейных системах,
Гостехиздат, 1949.
3.16. Карслоу X., Егер Д., Операционные методы в прикладной математике,
ИЛ, 1948.
3.17. XV а § п е г К-^., Орега1огепгеснпип§ ипс! Ьар1асезспе ТгапзтогтаНоп пеЪз*
Ап^епйип^еп т Рпу51к ипс! Теспшк, Ье1р21&, 1950.
3.18. Теумин И.И., Справочник по переходным электрическим процессам,
Связьиздат, 1952.
3.19. Диткин В.А., Кузнецов П.И., Справочник по операционному исчислению,
Гостехиздат, 1951.
3.20. Задачник по теоретическим основам электротехники (теория цепей), под ред. К.М,
Поливанова, Гостехиздат, 1962.
3.21. Мэзон С, Циммерман, Электронные цепи, сигналы и системы, ИЛ, 1963.
Многие вопросы теории цепей подробно рассматриваются также в литературе, отнесенной к
разд. 2 и 4. В особенности следует отметить книгу Б.В. Булгакова [4.2], в которой рассматриваются
общие положения теории цепей и значительное внимание уделено вопросам синтеза.
4. Теория колебаний и теория нелинейных цепей
4.1. Андронов А.А., Витт А.А., X а й к и н С.Э., Теория колебаний, Физматгиз,
1959.
4.2 Булгаков Б.В., Колебания, Гостехиздат, 1954.
4.3. Ван-дер-Поль Б., Нелинейная теория электрических колебаний, Гостехиздат,
1935.
4.4 Андронов А.А., Мандель ш т а м Л.И., Папалекси Н.Д., Новые
исследования в области нелинейных колебаний, Радиоиздат, 1936.
4.5. Фельдбаум А. А., Введение в теорию нелинейных цепей, Госэнергоиздат, 1948.
4.6. Боголюбов Н.Н., М и т р о п о л ь с к и й Ю.А., Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1955.
4.7. Капчинский И.М., Методы теории колебаний в радиотехнике,
Госэнергоиздат, 1954.
4.8. Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах,
ИЛ, 1953.
4.9. X а я с и Т., Вынужденные колебания в нелинейных системах, ИЛ, 1957.
4.10. К а н н и н г х э м В., Введение в теорию нелинейных систем, Госэнергоиздат, 1962.
В книгах [4.8] и [4.10] теория колебаний изложена в наиболее доступной форме. Вопросы теории
нелинейных цепей и колебаний рассматриваются также в некоторых общих руководствах; см. в
особенности [2.3], [2.8] и [2.13].
5. Методы расчета потенциальных и квазистационарных полей
5.1. Гринберг Г.А., Избранные вопросы математической теории электрических
и магнитных явлений, Изд-во АН СССР, 1948.
5.2. Бухгольц, Расчет электрических и магнитных полей, ИЛ, 1961.
5.3. О 11 е п с1 о г т т Р., Ро1епШ1Ге1с1ег с!ег Е1ек1гогеспшк, ВегНп, 1932.
5.4. Хэг Б., Электромагнитные расчеты, Госэнергоиздат, 1934.
5.5. Брюхе Е., Ш е р ц е р О., Электронная оптика, Гостехиздат, 1943.
5.6. Н и з 1 е г Ь о 1 2 А.А., Е1ектгопепор1лк, Вазе1, 1950.
5.7. Ъ ум о г у к 1 п У.К., М о г 1 о п О.А., Н а т Ь е г & Е.О., НППег ]., V а п § е
А.\У., Е1ес1гопорИсз апс! 1пе Е1ес1гогтсгозсоре, Иеш Уогк, Ьопдоп, 1945.
5.8. Панов Д.Ю., Справочник по численному решению дифференциальных
уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1951 (ряд изданий).
5.9. Бусленко Н.П., Ш р е й д е р Ю. А., Метод статистических испытаний (Монте-
Карло) и его реализация в цифровых вычислительных машинах, Физматгиз, 1957.
5.10. Говорков В.А., К у п а л я н С.Д., Теория электромагнитного поля в
упражнениях и задачах, Изд-во „Сов. радио", 1957.
758
Литература
5.11. Тетельбаум И.М., Электрическое моделирование, Физматгиз, 1959.
Многочисленные методы и примеры расчетов содержатся в книгах, отнесенных к другим
разделам; в особенности следует отметить [1.3], [1.9], [1.10], а также [8.6] и среди математических
руководств, например, [9.18].
6. Распространение и излучение электромагнитных волн
6.1. А л ь п е р т Я.Л., Гинзбург В.Л., Фейн берг Е.Л., Распространение
радиоволн, Гостехиздат, 1953.
6.2. Вайнштейн Л.А., Электромагнитные волны, Изд-во „Сов. радио", 1957.
6.3. Исследования по распространению радиоволн, под ред. Б.А. Введенского,
Изд-во АН СССР, 1948.
6.4. Аренберг А.Г., Распространение дециметровых и сантиметровых волн, Изд-во
„Сов. радио", 1957.
6.5. Кессених В.Н., Распространение радиоволн, Гостехиздат, 1952.
6.6. Пистолькорс А.А., Антенны, Связьиздат, 1948.
6.7. Айзенбе рг Г.З., Антенны для магистральных радиосвязей, Связьиздат, 1948.
6.8. Рамо С, Уиннери Дж., Поля и волны в современной радиотехнике,
Гостехиздат, 1948.
6.9. 8спе1кипотт 8.А., Е1ес1гота§петлс ХУауез, №\у Уогк, 1944.
6.10. В е г § т а п п Ь., Ь о 8 8 е п Н., Аиз81хап1ип§, АизЬгеПип^ ипй Аигпапте е!ек-
1гота^пе118сЬег ШеНеп, ВегНп, 1949.
6.11. В о т к е Н., О е { а п г 1 ^., Еттипгип^ т сНе Тпеопе с!ег АизЬгеПип^ е1ек1хота&-
пеНзспег ^е11еп т Ьейип&еп ипс! НоЫкаЬе1п, ВегНп, 1950.
6.12. Весктапп В., В1е АизЬгеПип^ еккггота&пеШспег ШеПеп, Ье1р21&, 1948.
6.13. М е & 1 а О., Ое21те1епуе11еп1есптк. Тпеопе ипс! Теспшк с1ег Ое21те1;ег8спа11ип§еп,
Ье1р21&, 1952.
6.14. 8спитапп ^У.О., Е1екгп8спе ШеНеп. Ете Етгйпгип^ т сНе гаитНспе АизЬге1-
{ип& е1ек1го-та^пе118спег Уог^ап^е, Мйпспеп, 1948.
6.15. ^ о г с!ап Е.С., Е1естгота§пе1:1С \Уауе8 апс! КасИагт^ 8у81ет§, Ие^ Уогк, 1951.
6.16. К г а и 8 ^Э., Ап1еппа8, Ие\у Уогк, Тогоптю, Ьопйоп, 1950.
6.17. Гинзбург В.Л., Распространение электромагнитных волн в плазме,
Физматгиз, 1960.
7. Техника сверхвысоких частот
7.1. Введенский Б.А., Аренберг А.Г., Радиоволноводы, Гостехиздат, 1946.
7.2. Лебедев И.В., Техника и приборы сверхвысоких частот, Госэнергоиздат, 1961.
7.3. Гуревич А.Г., Полые резонаторы и волноводы, Изд-во ,,Сов. радио", 1952.
7.4. Кисунько Г.В., Электродинамика полых систем, Изд-во ВКАС, Ленинград,
1949.
7.5. Фельд Я.Н., Основы теории щелевых антенн, Изд-во. ,,Сов. радио", 1948.
7.6. Сарбахер Р., Эдсон В., Техника сверхвысоких частот, Связьиздат, 1947.
7.7. Слэтер Дж., Электроника сверхвысоких частот, Изд-во. „Сов. радио", 1948.
7.8. Де-БройльЛ., Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах,
ИЛ, 1948.
7.9. Саусворт Дж. К., Принципы и применение волноводной передачи,Изд-во
„Сов. радио", 1955.
7.10. В а й с ф л о х А., Теория цепей и техника измерений в дециметровом и
сантиметровом диапазонах, Изд.-во „Сов. радио". 1961.
7.11. Миллиметровые и субмиллиметровые волны, Сборник статей, под ред. Р.Г. Ми-
риманова, ИЛ, 1959.
7.12. Глаголев а-А ркадьева А.А., Собрание трудов, Изд-во АН СССР, 1948.
7.13. Сул Г., Уокер Л., Вопросы волноводного распространения
электромагнитных волн в гиротропных средах, ИЛ, 1955.
7.14. ОгипсПасп Р.ДУ., ОгипсИа&еп йег Нбспзгг^иепгтеспшк, ВегНп, 1940.
7.15. 8 11 V е г 8.8., Мкго\уауе Аптеппа, Тпеогу апй Ое81§п, Иеш Уогк, Тогоп*о, Ьопс1оп,
1949.
7.16. Н и х 1 е у Ь.О.Н., А 8игуеу о! 1пе Рппар1е8 апс! Ргас{ке о! \\/ауе Ошйез, Сатопо^е,
1947.
7.17. В г оп иге 11 А.В., Веат Н.Е., Тпеогу апй АррНсаИопз о? М1сго\\гауе8, №\у
Уогк, Тогоп1о, Ьопйоп, 1947.
7.18. К а п а п Т., РЪу81яие дез дихйез сГопдез е1ес1хота8пёт^ие8, Рапз, 1952.
Литература
759
8. Диэлектрики, ферромагнетики, металлы и полупроводники
в электромагнитном поле
8.1. Хиппель А.Р., Диэлектрики и волны, ИЛ, 1960.
8.2. С канав и Г.И., Физика диэлектриков, Гостехиздат, 1949.
8.3. Нету шил А.В., Жуховицкий Б.Я., Кудин В.Н., Пари ни Е..П,
Высокочастотный нагрев диэлектриков и полупроводников, Госэнергоиздат, 1959.
8.4. Аркадьев В.К., Электромагнитные процессы в металлах, ч. I и II,
Госэнергоиздат, 1934 и 1936.
8.5. Вонсовский СВ., Современное учение о магнетизме, Гостехиздат, 1952.
8.6. Поливанов К.М., Ферромагнетики, Госэнергоиздат, 1957.
8.7. Г у р е в и ч А.Г., Ферриты на сверхвысоких частотах, Физматгиз, 1960.
8.8. Шокли В., Теория электронных полупроводников, ИЛ, 1953.
8.9. К и тт е л ь Ч., Введение в физику твердого тела, Гостехиздат, 1957.
8.10. Прохоров М.А., Успехи физических наук, 57, 485 A955).
8.11. Вейлстеке А., Основы теории квантовых усилителей и генераторов ИЛ, 1963.
9. Математические руководства
9.1. Гильберт Д., Курант Р., Методы математической физики, т. 1 и 2,
Гостехиздат, 1938 и 1945.
9.2. Франк Ф., МизесР., Дифференциальные и интегральные уравнения
математической физики, Харьков — Киев, 1937.
9.3. Левин В.И., Гросберг Ю.И., Дифференциальные уравнения
математической физики, Гостехиздат, 1951.
9.4. Карман Т., Био М., Математические методы в инженерном деле, Гостехиздат,
1948.
9.5. Маделунг Э., Математический аппарат физики, Физматгиз, 1961.
9.6. Милн В.Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955.
9.7. Современная математика для инженеров, под ред. Э.Ф.Ьеккенбаха, Москва, 1959.
9.8. 8 с п ш а п к Р., Напс1\^ег1:ргоЫете ипс! апйеге Аи^епс1ип§8§еЫе1;е с1ег пбпегеп
Апа1уз1з тйг Рпуз1кег, МаШетаИкег ипд 1п§ешеиге, Ьетргщ, 1951.
9.9. В а и 1 е В., 01е МаШетаИк йез 1\а1иг10гзспегз ипс! 1п#етеигз, Ье1р21&, 1942/1953.
9.10. Р 1 р е з Ь.А., АррИес! МаШетаИсз 1ог Еп^теегз апс! Рпузшзт-З, №\\г Уогк, 1946.
9.11. ^ о о з О., К а 1 и 2 а Тп., Нбпеге Ма^петатлк гиг беп Ргактлкег, Ье1р21&, 1952.
9.12. Б и з с п е к А., Уог1езип§еп иЬег пбпеге Ма^ЬешаИк, \\Чеп, 1949/1950.
9.13. К о чин Н.Е., Векторное исчисление и начало тензорного исчисления, Изд-во
АН СССР, 1951.
9.14. Шпильрейн Я.Н., Векторное исчисление, Госиздат, 1925.
9.15. Л а г а л л и М., Векторное исчисление, Гостехиздат, 1936.
9.16. В г апс! Ь., УесЪог- апс! Теп80г-апа1у818, Ые\у Уогк, Ьопёоп, 1948.
9.17. Д у к с Б.А., Левин В.И., Функции комплексного переменного и их
приложения, Гостехиздат 1951.
9.18. Лаврентьев М.А., Ш а б а т Б.В., Методы теории функций комплексного
переменного, Физматгиз, 1958.
9.19. Лебедев Н.Н., Специальные функции и их приложения, Физматгиз, 1963.
Гостехиздат, 1900.
9.20. То лето в Г.П., Ряды Фурье, Гостехиздат, 1951.
9.21. Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948.
9.22. М о & п и 8 XV., ОЬегпеШпдег Р., Рогте1п ипс! 8а1ге гиг (Не 8ре21е11еп Рипк-
Попеп йег татпетаИзспеп Рпуз1к, ВегНп, ОбШп^еп, Не1с1е1Ьегд, 1948.
9.23. Ватсон Г.Н., Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949.
9.24. Ь е п з е $., Ки&еНЧтктшпеп, Ьегрг'щ, 1950.
9.25. ОЪегпеШп&ег Р., М а § п и 8 XV., Ап^епйип^ с!ег еШртлзспеп РипкШпеп
т Рпуз1к ипс! Тесптк, ВегИп, ОбШп&еп, Не1с1е1Ьег§, 1949.
9.26. Я н к е Е., Э м д е Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостехиздат,
1949.
9.27. Д в а йт Г.Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, ИЛ, 1948.
9.28. Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Гостехиздат,
1949.
9.29. Рыжик И.М., Градштейн И.С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений, Гостехиздат, 1951.
Книги математического содержания по операторному исчислению отнесены к разд. 3, по теории
колебаний — к разд. 4, по уравнениям математической физики, связанным непосредственно с задачами
теории электричества. — к разд. 1.
Предметный указатель
Абсолютная практическая система
единиц 66
Адмитанс 353
Аксиальные мультиполи 101
Ампер, определение 67
Ампер-витки 308
Аналитические функции 158
Антенны 565
— входное сопротивление 632
— двойные конические 633
- дипольные 571
— линейные, см. Антенны дипольные
- рамочные 580
- сферические 580
ат и 293
Бабине принцип 715
Безвихревое поле 85, 91
Бесселя уравнение 182
- функции 181, 185, 190
-— второго рода 185
модифицированные 187
ортогональность 193
первого рода 181, 184
сферические 612
Био—Савара закон 11
Биполярные координаты 151
Ближнее поле 572
Близкодействие 63, 288
Бромвича интеграл 442
Бруна метод 393
Брюстера угол 621
Ьеь Ьег 189, 190
Вакуум электронно-позитронный 751
Ван-дер-Поля плоскость 366
- метод 641
Вектор Герца 569
- - магнитный 583
- Пойнтинга 44, 732
Вектор электрической поляризации 262
- электрического смещения 265
Векторная алгебра 72
Векторный анализ 72
- потенциал 90, 278, 283
Ветви электрической цепи 324
Вихревые токи 480
Взаимная индуктивность 289
Взаимной индуктивности коэффициенты
287
Взаимности принцип 339, 599
Взаимные сопротивления 341
Волноводы 644
- возбуждение 655
- заполненные ферритом 686
- затухание 679—685
- круглого сечения 652
- потери 676
- прямоугольного сечения 662
- характеристическое сопротивление
667
- эллиптического сечения 660
Волновое сопротивление 490
- - вакуума 554
- - волЬ^вода 667
- - длинной линии 490
- уравнение 488, 546
решение 601
Волновой вектор 550
Волны в коаксиальном кабеле 648, 652,
К 659
- плоские 546, 604
- сферические 610
- цилиндрические 607
Вольт, определение 67
Восприимчивость магнитная 266
- электрическая 265
Вторичное квантование 751
Входное сопротивление антенны 632
линии 507
Вытеснение тока 449, 475
Вычетов теория 438
Предметный указатель
761
Гамильтона уравнение 735
Гамильтониан 735
Гамильтонова плотность 740
Гамма-функция 192
Гармоники сферические 107
зональные 210
Гармонические функции 217
Гаусса теорема 27, 80
Гауссова система единиц 66
Гельмгольца катушки 285
Герца вектор 569
- - магнитный 583
- диполь, см. Элементарный диполь
Гиратор 352
Гиромагнитное отношение 31
Гиромагнитные среды 29, 562
Глубина проникновения 454, 466, 588
Годограф 370
Градиент 74, 75, 128
Граничная поверхность 41
- частота в волноводах, см. Критическая
длина волны
Графический метод в электростатике 241
Грина теорема 81
- формула 250
- функция 92, 93, 246, 248
Группа диполей (гребенка) 588
Губе—Хармса поверхностные волны 625
Гюйгенса принцип 703
- - векторный 705, 710
Дальнодействие 63, 288
Дальнее поле 572
Дарлингтона метод 391, 397
Движущиеся среды 34
Двойной слой 113
- - магнитный 276
- - электрический 113
Двойного слоя потенциал 113, 114
Двойные конические антенны 633
Двух пещерок метод 305
Двухполюсник 340
Дельта-функция Дирака 401, 425
Деполяризации коэффициент, см.
Размагничивающий фактор
Джорджи система единиц 66
Джоулево тепло 43
Диаграмма Найквиста 370
- Смита 509
ивергенция 75, 128
ипОль 1 ерца, См. Элементарный диполь
- магнитный 276, 297
- электрический 100
- элементарный 571
Дипольные антенны 570, 584
группа 588
- - плоская решетка 589
ряд 587
Дирака функция 401
Дирихле задача 91, 246
Дифференцирующий контур 349
Диффракционная задача 711
Диффракционный закон Кирхгофа 704
Диффракция 712
Диэлектрики 260
Диэлектрическая постоянная 20, 22, 261
Длинные линии
- - волновое сопротивление 490
вывод уравнений 483
затухание 488
- - постоянная распространения 487
- - с переменным сопротивлением 520
фазовая постоянная 488
Добротность полого резонатора 700
Дополнительные излучатели 717
Дуальные схемы 327
Душека символика 78
Дюамеля интегралы 402
Единичная функция 198, 400, 410
Емкости частичные 253
Емкость кабеля 493
- конденсатора 133
- - плоского 133
сферического 137
- - цилиндрического 134
- линии Лехера 493
- обобщенная 253
- распределенная 486
- эллипсоида 142
Жордана лемма 438
Задача Дирихле 91, 246
- Неймана 91, 247
- теплопроводности 247
Закон Био—Савара 11
- Кулона 68, 99
- Ома 27
- полного тока 12, 16
- преломления Декарта—Снеллиуса 619
- — линий поля 41
- сохранения импульса 46
- - электрического заряда 16
- - энергии 42
- Фа радея 17
Запаздывания теорема 420
Запаздывающие потенциалы 564
Заряд 16
- плотность 16, 19
- полный 265
- свободный 265
- связанный 33, 265
Затухание в волноводах 679—685
- в длинных линиях 488
- плоской волны 557
- поверхностной волны 624
Затухания коэффициент 488, 557, 679
Зеркальных изображений метод 227
Зоммерфельдовские поверхностные волны
623
Зоммерфельдовское представление
цилиндрических функций 614
- решение 634
Зональные сферические гармоники 210
Излучение дипольной антенны 570
- источника Гюйгенса 714
- конца кабеля 713
Излучения условия 709
762
Предметный указатель
Измерение электромагнитных величин 68
Изоклины 361
Иммитанс 353, 376
Импедансы 331
Импульс поля 45
- '- закон сохранения 46
Импульсные функции 400
Индуктивность взаимная 287
- собственная 289
Индуктированных э. д. с. метод 594
Индукции взаимной коэффициенты 287
Индукционная печь 474
Интеграл Бромвича 442
Интеграл Фурье 198, 405
единичной функции 410
- эллиптический 142, 290
Интегралы Дюамеля 402
Интегральные теоремы векторного анализа
80
Интегральный косинус 598
- синус 598
Интегральных уравнений метод 251
Интегрирующий контур 349
Кажущееся сопротивление антенны 594
Катушки Гельмгольца 285
Квадруполь 101
Квантовая электродинамика 733, 746, 748
Кирхгофа диффракционный закон 704
- уравнения 311
запись 317
Колебания незатухающие 348
- нелинейные 355
вынужденные 365
Кольцевые токи молекулярные 308
- координаты 151
Коммутатор матриц 744
Комплексная амплитуда 27
- проницаемость 28
Комплексного переменного функция 156
Комплексное сопротивление 311, 343
Контурные токи 320
- уравнения 312
Конфокальные координаты 137
Конформное отображение 156, 170
Координат система биполярная плоская
151
плоско-меридианная 151
- - декартова 21, 76, 78, 85, 90, 98, 132
криволинейная 124, 125, 127, 129
кольцевая 151
конфокальная 137
сферическая 101, 103, 134
сфероидальная 151
- - тороидальная 151
цилиндрическая 133
Коши теорема 249, 433
Коши—Римана условия 159
Коэффициент бегущей волны 502
- взаимной индукции 287
- деполяризации 271
- затухания 488, 557
медных волноводов 682
- обратной связи 348
- отражения 498
Коэффициент распространения, см.
Постоянная распространения
- стоячей волны 502
- усиления 347, 348
- фазы 458
Коэффициенты взаимной индукции 287
- Ламэ 126
Краевые задачи на плоскости 152
в пространстве 246
Крарупа метод 495
Кривая намагничивания 20
Криволинейные координаты 124
Кристоффе ля—Шварца преобразование
172, 177
- - метод 174
Критическая длина волны в волноводе
646, 650, 656
Кулона закон 68, 99
Кулоновское поле 98
Лагранжа уравнения 734-
- функция 734
Лагранжева плотность 739
Ламэ коэффициенты 126
Лапласа преобразование, см.
Преобразование Лапласа
- уравнение 91, 98, 132, 159
решение в декартовых координатах
132
"^""вТгонфокальных координатах 137
- - - в сферических координатах 134,
209, 217
- - - в цилиндрических координатах
133, 207
Лапласа—Пуассона уравнение 85—86, 98
"ТШтЛасиан 78, Ш
Лежандра дифференциальное уравнение
210
- нормальные интегралы 292
- полиномы 105, 210, 213, 214
- теорема сложения 223
- функции присоединенные 107, 218, 219
Лемма Жордана 438
Лехера система 483
Лорана ряд 436
Лоренца преобразования 724, 726
- условие 566
Магнитная гидродинамика 721
- проницаемость 22, 23
вакуума 20, 22
Магнитное поле постоянных токов 273
Магнитные токи 301, 570
Магнитный двойной слой 276
- диполь 276
- заряд 709
- поток 17
Магнитостатика 71, 266
Максвелла соотношение 552
- уравнения 10, 11, 19, 21, 131, 726, 729
в обобщенных ортогональных
координатах 131
однозначность решения 60
четырехмерная тензорная запись 731
Предметный указатель
763
Матрицы четырехполюсников 343
- электрической цепи 326
Матье функции 660
Международная система единиц (СИ) 66
Метод Бруна 393
- Дарлингтона 391, 397
- двух пещерок 305
- зеркальных изображений 227
- инверсий Кельвина 233
- индуктированной э. д. с. 594
- интегральных уравнений 251
- Крарупа 495
- Монте-Карло 240
- резиновой модели (мембраны) 244
- сеток 236
Методы графические 241
- числовые 236
Многоугольные области 172
Модифицированные функции Бесселя 187
Молекулярные токи 308
Мультиполи 105
Набла 77
Наблюдения точка 86
Найквиста диаграмма 370
Намагничивания кривая 20
Напряжение, определение и единица
измерения 69
Напряженность поля электрического 70
- - магнитного 70
Натяжений тензор 51
Невзаимный четырехполюсник 351
Незатухающие колебания 348
Неймана задача 91, 247
- функции 181
Нелинейные колебания 355
- элементы 354
Нортона теорема 337
Нулевая энергия 746
Нули функции 370
Обобщенные координаты 124
Обратная связь 348, 349
Обратной связи коэффициент 348
Обращение векторных операций 81
Объемные силы 55
Однозначность решений уравнений
Максвелла 60
Октуполь 103
Ома закон 27
Оператор набла 77
Оптический показатель преломления 552
Основной тип колебаний в полых
резонаторах 698
Особые точки 86, 370
- - существенные 437
Отражение волн 618
Отражения коэффициент 498
Отрезок линии как колебательный контур
516
- - - реактивное сопротивление 511
- - - трансформатор 511
Параметры цепные 343
Передаточные сопротивления 341
Передача мощности в волноводах 669
Перенормировка 750
Переходные процессы 398, 405, 525
Петли как согласующие элементы 512
Пи-функция Гаусса 184, 192
Плоская решетка диполей 589
Плоские волны 546
неоднородные 604
Плоско-меридианные поля 180, 282
Плоскость Ван-дер-Поля 366
- комплексной частоты 369
Плотность импульса 740
- тока смещения 15
- энергии электромагнитного поля 21
Поверхностная плотность тока
электрическая 39, 708
магнитная 296, 300, 708
Поверхностные волны Губо—Хармса
625
Зоммерфельда 623
- сферические функции (гармоники) 107,
218
Поверхностный заряд электрический 39,
709
- - магнитный 709
- эффект (скин-эффект) 449
Подобия теорема 420
Пойнтинга вектор 44, 732
Показатель преломления оптический 552
Поле без источников 89, 91
- безвихревое 85, 91
- диафрагмы 145
- излучения 572
- катушки 282, 285
- проводящего эллипсоида 143
Полиномы Лежандра 105
„Полное дерево" 325
Полного тока закон 12
Полые резонаторы 691
Полюсы функции 370, 435
Поляризации вектор 262
Поляризации вакуума 751
- плоской волны 550
Поляризуемые среды 29, 260
Постоянная распространения 487, 674
- Эйлера 185
Потенциал векторный 90, 278, 283
- двойного слоя 113
- диполя 100
- запаздывающий 565
- логарифмический 248
- скалярный 82, 275
- циклический 83
Потери в волноводах 676
Почти периодические решения 369
Преломление линий поля 41
- плоских волн 618
Преломления закон 619
- показатель оптический 552
Преобразование Кристоффеля—Шварца
172, 177
- Лапласа 415
обратное 420, 440
- - применение к длинным линиям 529
- - таблица оригиналов и изображений
444
764
Предметный указатель
Преобразование Лапласа теорема
запаздывания (смещения) 420
подобия 421
разложения 422, 423
свертывания 421, 424
смещения 420
Преобразования Лоренца 724, 726
- энергии электромагнитного поля 42
Приведенное удаление 640, 643
Принцип Бабине 715
- взаимности 339, 599
- Гюйгенса 703
векторный 705, 710
Присоединенные сферические функции
107, 218
Проводимости 343
Проницаемости электрической и
магнитной тензор 29
Проницаемость комплексная 28
- магнитная 20, 22
- электрическая 20, 22
Пространственные производные 74
- сферические гармоники 217
Пуассона уравнение, см. Уравнение
Лапласа—Пуассона
Разделение переменных 152
Разложение в ряд по степеням радиуса 205
по сферическим функциям 221, 224
по функциям Бесселя 193
- в степенной ряд 154
Разложения теорема 422, 423
Размагничивающий фактор 271
Разрывы (скачки) 295
Рамочная антенна 580
Реактивное сопротивление отрезка линии
511
Реактивные цепи 387
Регулярная функция 158
Резиновая модель 244
Резонаторы 691
Релятивистская электродинамика 724, 731
Ротор 75, 129
Ряд диполей 587
- Лорана 436
- Тейлора 436
Свертка 421
Свертывания теорема 421, 424
Свободные заряды 265
Связанные заряды 265
Сила тока, определение и единица
измерения 68
Силы в электромагнитном поле 51 > 57
Синтез электрических цепей 369
Система единиц 64
абсолютная практическая (Джорджи)
66
- —СГС65
- - СИ (МКСА) 66, 254
симметричная (Гаусса) 66
- - техническая 67
-*- - электромагнитная 65
-электростатическая 65
- Лехера 483
Скалярный потенциал 82
- - магнитного диполя 275
Скачок векторного потенциала 298
- потенциала 117, 295
- производной от векторного потенциала
297
- - от потенциала 112
Скин-эффект 449
Сложения теорема 223
Смещение электрическое 27
Смещения теорема 420
Смита диаграмма 509
Собственная индуктивность 289
Собственные колебания в металлическом
шаре 628
- - в отрезке линии 516
в полом цилиндре 692—694
- - в полом шаре 698
в полых резонаторах 698
- частоты 518
Согласования условие 512
Согласованная нагрузка 512
Согласующие элементы 512
Соотношение Максвелла 552
Сопротивление волновое 490, 554
- двухслойного провода 471, 472
- излучения 578, 593
- комплексное 331
- - взаимное 341
- - передаточное 341
- пространственных токов 447
- цилиндрических проводников 468
Спектральное представление единичной
функции 410
функции 199, 370, 408
Стационарные токи 71
Стороннее напряжение источника 312
Сторонняя напряженность поля 19
- э. д. с. 49, 312
Стрэттона и Чу теорема 705
Стокса теорема 12, 80
Сферическая антенна 629
Сферические волны 610
- гармоники 107, 210, 217
- координаты 134
- функции 105, 209, 219, 226
- - Бесселя 612
- - присоединенные 218
Сфероидальная система координат 151
зпи, спи, йпи 294, 295
ТЯ-волны 603
Тевенена теорема 337
Тейлора ряд 436
Телеграфное уравнение 488, 557
ТЯМ-волны 659, 666, 683, 694
Тензор дифференцирования вектора 79
- магнитной проницаемости 29
- натяжений 51
- электрической проницаемости 29
- энергии-импульса 731
Теорема вычетов 438
- Гаусса 27, 80
- Грина 81
- запаздывания 420
Предметный указатель
765
Теорема Коши 249, 433
- кристоффеля—Шварца 174
- Нортона 337
- подобия 421
- разложения 422, 423
- свертывания 421, 424
- сложения Лежандра 223
- смещения 420
- Стокса 12, 80
- Стрэттона и Чу 705
- Тевенена 337
- Фурье—Мел л ина 442
Тессеральные сферические гармоники 218
Техническая система единиц 67
ТМ-волны ОШ
Тороидальные координаты 151
Точка наблюдения 86
- особая 86
- текущая 86
Ток смещения 14, 15, 26
Угол Брюстера 621
Узловой цилиндр 655
Узловые плоскости 654
- уравнения 312, 324
Узлы электрической цепи 324
Уравнение волновое, см. Волновое
уравнение
- движения Гамильтона 742
- Лагранжа 734
- непрерывности 16
- телеграфное 488, 557
- Лапласа, см. Лапласа уравнение
- Лапласа —Пуассона 86, 98
Уравнения Гамильтона 735
- Кирхгофа, запись 317
- контурные 312
- Максвелла, см. Максвелла уравнения
- - релятивистская формулировка 726,
729
- узловые 313, 324
Усиления коэффициент 347, 348
Усилитель как четырехполюсник 346
- с обратной связью 348
Условие Лоренца 566
Условия излучения 709
- Коши—Римана 159
Устойчивость электрической цепи 378
Фазовая плоскость 358
- постоянная 488, 557
- траектория 359, 361
Фазовое пространство 358
Фарадея закон 17
- эффект 564
Ферромагнитный резонанс 29
Ферроэлектрики 20
Формула Грина 250
Формулы Френеля 621
Фононы 749
Фотоны 748
Функция аналитическая (регулярная) 158
- Гамильтона (гамильтониан) 735
- Грина 92, 93, 246, 248
- Дирака 401
Функция единичная 198, 400
- Лагранжа 734
- Хевисайда 400
Функции Бесселя, см. Бесселя функции
- гармонические 217
- комплексного переменного 156
- Лежандра присоединенные 107
- Матье 660
- Неймана 181
- сферические, см. Сферические функции
- Ханкеля 187
- эллиптические 290
Фурье интеграл 198, 405
Фурье—Меллина теорема 442
- ряд 405
Ханкеля функции 187
Характеристическое сопротивление, см.
Волновое сопротивление
Хевисайда функция 400
Цепные параметры 343
Цилиндрические волны 607
- координаты 133
Частичные емкости 253
Четырехмерное пространство 728
Четырехполюсник активный 341, 345
- невзаимный 351
- пассивный 341
- полный 345
- реактивный 387
Числовые методы расчета 236
Эйлера постоянная 185
Экситоны 749
Электрическая восприимчивость 265
- проницаемость 20, 22, 23
Электрический двойной слой 113
Электрического смещения вектор 265
Электрической поляризации вектор 262
Электролитическая ванна 237
Электромагнитная система единиц 65
Электромагнитные волны 72, 545
Электронно-позитронное поле 751
Электростатика 71, 97, 123
Электростатическая система единиц 65
Элемент длины в криволинейных
координатах 125
Элементарный диполь 571
Эллипсоид в электростатическом поле
141
Эллиптические интегралы 142, 290
- функции Якоби 290
Энергии-импульса тензор 731
Энергия 42
- излучаемая полем 45
- квазистационарных токов 287
- магнитного поля тока 288
- электрического поля 258
Эффект Фарадея 564
Оглавление
Предисловие 5
Предисловие автора к русскому изданию 7
ЧАСТЬ I
ОБЩИЙ ОБЗОР
§ 1. Введение 9
§ 2. Индуктивный путь к уравнениям Максвелла 11
а) Закон Био—Савара 11
б) Понятие о токе смещения и первое уравнение Максвелла 14
в) Второе уравнение Максвелла 17
§ 3. Полная система уравнений Максвелла 19
Примечание редактора к § 3 22
§ 4. Упрощенная форма уравнений Максвелла 23
а) Первое уравнение Максвелла 23
б) Второе уравнение Максвелла 25
в) Порядок величины тока смещения * 26
г) Остальные уравнения 27
д) Уравнения Максвелла при полях, гармонически изменяющихся во
времени 27
§ 5*. Некоторые обобщения 28
а) Общие уравнения связи между векторами поля в поляризуемых
средах 29
б) Связанные заряды, обусловленные поляризацией и связанные токи,
обусловленные намагниченностью 33
в) Движущиеся среды 34
§ 6. Поведение векторов поля на границе двух сред 38
§ 7. Преобразования энергии в электромагнитном поле 42
а) Общие зависимости 42
б) Вектор Пойнтинга 44
в) Поток энергии в стационарных полях 46
г) Некоторые особые случаи преобразования энергии 50
д) Силы в электромагнитном поле 51
Примечание редактора к § 7 57
§ 8*. Однозначность решения уравнений Максвелла 60
§ 9. Близкодействие — дальнодействие 63
Оглавление
767
§ 10. Системы единиц 64
§ 11. Измерение основных электромагнитных величин 68
§ 12, Разделы электродинамики 71
§ 13. Основные операции векторной алгебры и векторного анализа 72
а) Основные понятия векторной алгебры 72
б) Пространственные производные 74
в) Дивергенция, ротор и градиент вектора 75
г) Производные от произведений и вторые производные 77
д) Другая символика, целесообразная при операциях с векторами ... 78
е) Интегральные теоремы 80
ж) Теорема Грина для векторных функций 81
§ 14*. Обращение векторных операций 81
а) Обращение градиента 81
б) Обращение дивергенции и ротора 83
в) Безвихревое поле источников 85
г) Свободное от источников вихревое поле 89
д) Поле в конечной части пространства, свободное и от источников и
от вихрей 91
е) Определение векторного поля в конечном объеме по его источникам
и вихрям 93
ЧАСТЬ II
СТАТИЧЕСКИЕ И СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ
ЭЛЕКТРОСТА ТИКА
А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ЗАДАННОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
ЗАРЯДОВ
§ 1. Определение напряженности поля через пространственную плотность
зарядов 98
§ 2. Расчет поля диполей и мультиполей 100
а) Диполи 100
б) Аксиальные мультиполи 101
в) Общий случай мультиполей 105
§ 3. Расчет электрического поля поверхностных зарядов и двойных слоев 109
§ 4. Геометрический смысл потенциала двойного слоя 114
§ 5. Наглядное объяснение скачка потенциала и напряженности поля 117
§ б*. Представление пространственных зарядов с помощью заряженной
замкнутой поверхности и двойного слоя 119
§ 7. Практическое значение полученных результатов 122
Б. РАСЧЕТ ПОЛЯ ПО ЗАДАННЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЯМ ДЛЯ СЛУЧАЯ
ПРОСТЕЙШИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ
§ 8. Практические задачи электростатики 123
§ 9. Операции векторного анализа и уравнения Максвелла в ортогональных
криволинейных координатах 124
а) Обобщенные координаты. Координатные поверхности. Система
координат Декарта 124
б) Элементы длины 125
в) Определение градиента 128
г) Определение дивергенции 128
д) Определение ротора 129
е) Лапласиан в обобщенных ортогональных координатах 131
ж) Уравнения Максвелла в обобщенных ортогональных координатах ... 131
§ 10. Решения уравнения Лапласа для некоторых простых пространственных
задач 132
а) Декартовы координаты 132
б) Цилиндрические координаты 133
768
Оглавление
в) Сферические координаты 134
г*) Конфокальные координаты 137
д) Проводящий эллипсоид в однородном внешнем поле 143
е) Поле диафрагмы 145
ж*) Другие ортогональные системы координат 151
В. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ
§11. Разделение переменных 152
§ 12. Разложение в степенной ряд 154
§ 13. Основные свойства функций комплексного переменного. Конформное отоб-
бражение 156
§ 14. Решение плоской задачи с помощью функций комплексного переменного 159
§ 15. Примеры применения функций комплексного переменного 161
§ 16*. Основные положения теории конформных отображений 170
§ 17*. Поле электродов с направляющей в виде многоугольника 172
§ 18*. Примеры применения преобразования Кристоффеля—Шварца 177
Г. ПЛОСКО-МЕРИДИАННЫЕ ПОЛЯ (ПОЛЯ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ)
§ 19. Расчет методом разделения переменных 180
§ 20*. Решение уравнения Бесселя. Функции Бесселя 182
а) Определение рядов функций Бесселя первого и второго рода 182
б) Функции Бесселя при малых и больших аргументах 186
в) Модифицированные функции Бесселя 187
г) Связь между функциями Бесселя разного порядка 190
д) Функции Бесселя с индексом Bк+1)/2 191
е) Разложение произвольных функций в ряд по функциям Бесселя 193
§ 21. Примеры полей, имеющих осевую симметрию 196
§ 22. Определение потенциала при известном распределении его вдоль оси
симметрии 204
§ 23. Решение уравнения Лапласа при осевой симметрии разложением в ряд по
степеням радиуса 205
§ 24. Общее решение уравнения Лапласа в цилиндрических координатах 207
Д. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ВХФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
§ 25. Применение сферических функций к полям с осевой симметрией 209
§ 26. Свойства полиномов Лежандра 213
§ 27. Общее решение уравнения Лапласа в сферических координатах 217
§ 28*. Свойства присоединенных функций Лежандра 219
§ 29. Разложение 1/г по сферическим функциям 221
§ 30*. Разложение в ряд сферических функций 224
§ 31 *. Применение сферических функций к решению задач электростатики 226
Е/ ОСОБЫЕ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 32. Метод зеркальных изображений 227
§ 33. Приближенные числовые расчеты плоского поля методом сеток ...: 236
§ 34. Электролитическая ванна 237
§ 35. Метод Монте-Карло '. 240
§ 36. Графическое определение плоских полей 241
§ 37. Теория резиновой модели (мембраны) 244
Ж. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
§ 38*. Функция Грина в трехмерном пространстве 246
§ 39*. Функция Грина на плоскости 248
§ 40*. Метод интегральных уравнений 251
Оглавление 769
3. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЕМКОСТИ
§ 41. Частичные емкости 253
§ 42. Энергия электрического поля 258
И. СТАТИЧЕСКИЕ ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ СРЕД
§ 43. Электростатическое поле в неоднородной изолирующей среде 260
МАГНИТОСТАТИК А
§ 44. Статическое магнитное поле 266
§ 45. Примеры расчета электро- и магнито статических полей в неоднородной
среде 269
К. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
§ 46. Расчет поля с помощью векторного потенциала 273
§ 47. Определение поля по скалярному циклическому потенциалу 275
§ 48. Примеры определения векторного потенциала 278
§ 49. Расчет плоско-меридианных магнитных полей 282
а) Поле произвольной катушки с осевой симметрией 282
б) Расчет с помощью векторного потенциала 283
в) Расчет катушек Гельмгольца 285
§ 50. Понятие о вычислении индуктивностей 286
§ 51. Энергия магнитного поля 288
§ 52. Методы расчета собственной и взаимной индуктивностей 289
§ 53*. Эллиптические интегралы и эллиптические функции 290
а) Эллиптический интеграл 290
б) Эллиптическая функция как обратная функция эллиптического
интеграла 293
§ 54. Особенности типа разрывов в магнитном поле 295
а) Разрывы в статическом поле 295
б) 'Понятие о магнитных токах 299
Примечание редактора к § 54 301
§ 55. Магнитное поле стационарных токов при наличии намагничиваемой
среды 303
ЧАСТЬ III
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
А. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 1. Уравнения Кирхгофа 311
а) Электрическая цепь постоянного тока 311
б) Электрическая цепь при изменяющихся во времени токах 314
в) Практические указания к записи уравнений по законам Кирхгофа 317
г) Пример записи основных уравнений 321
д) Общие методы решения основных уравнений 323
§ 2*. Самая общая формулировка законов Кирхгофа 324
а) Геометрия электрических цепей 324
б) Матрицы электрической цепи < 326
в) Дуальные электрические цепи 327
г) Запись уравнений Кирхгофа с помощью М- и Н-матриц 328
§ 3. Электрические цепи синусоидального тока 330
а) Простейшие контуры 330
б) Сложные электрические цепи синусоидального тока 332
в) Примеры расчетов по методу контурных токов и методу узловых
потенциалов 333
г) Теоремы Тевенена и Нортона 337
д) Принцип взаимности 339
770
Оглавление
е) Электрическая цепь как двухполюсник 340
ж) Электрическая цепь как четырехполюсник 341
з) Матрицы четырехполюсников 343
и) Обобщение понятия четырехполюсника 345
к) Четырехполюсники, у которых не выполняется принцип взаимности 351
§ 4. Частотная зависимость иммитанса произвольной электрической цепи 352
§ 5. Колебания в нелинейных электрических цепях 354
а) Нелинейные элементы цепи и их применение 354
б) Основное уравнение нелинейного колебательного контура 355
в) Наглядное представление линейных колебательных процессов на
фазовой плоскости 358
г) Фазовые траектории нелинейных колебательных контуров 361
д) Вынужденные колебания в нелинейном контуре 365
Б. СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 6. Дополнительные вопросы теории цепей, связанные с задачами синтеза .. 369
а) Плоскость комплексной частоты (р-плоскость) 369
б) Иммитанс пассивных электрических цепей на плоскости
комплексного переменного 376
§ 7. Основная проблема синтеза электрических цепей 382
а) Условия реализуемости 382
б) Зависимость между действительной и мнимой частями сопротивления 383
§ 8. Реализация реактивных электрических цепей 387
а) Реализация реактивных двухполюсников 387
б) Реализация реактивных четырехполюсников 391
§ 9. Общий случай реализации двухполюсника 393
а) Метод Бруна 393
б) Метод Дарлингтона 397
В. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 10. Классический метод 398
§11. Импульсные функции 400
§ 12. Расчет переходных процессов по известному частотному спектру 405
а) Ряд Фурье и интеграл Фурье 405
б) Интеграл Фурье единичной функции 1A) 410
в) Интегралы Фурье для некоторых функций 412
§ 13. Преобразование Лапласа 415
§ 14. Применение преобразования Лапласа к простым электрическим цепям .... 417
§ 15. Обратное преобразование Лапласа 420
а) Теоремы запаздывания и смещения 420
б) Теорема подобия 421
в) Теорема свертывания 421
г) Теорема разложения 422
д) Теорема разложения для кратных корней 423
е) Применение теоремы свертывания 424
§ 16. Примеры применения преобразования Лапласа 425
§ 17*. Дальнейшие теоремы теории функций 432
§ 18*. Обратное преобразование Лапласа 440
Г. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 19. Понятие о сопротивлении и индуктивности в случае пространственных
токов 447
§ 20. Электромагнитное поле в среде с конечной проводимостью 449
§ 21. Электромагнитное поле в бесконечно проводящем полупространстве 451
§ 22. Сопротивление бесконечного проводящего полупространства 457
Оглавление 771
§ 23. Электромагнитное поле в двухслойном проводнике, занимающем
полупространство 457
§ 24. Сопротивление двухслойного проводника, занимающего полупространство 459
§ 25. Электромагнитное поле в круглом цилиндрическом проводе 461
§ 26. Сопротивление цилиндрических проводников 468
§ 27. Двухслойный круглый провод 471
§ 28. Сопротивление двухслойного цилиндрического провода 472
§ 29. Индукционная печь 474
§ 30. Вытеснение тока в пазу электрической машины 475
§ 31. Вихревые токи в тонких пластинах 480
д. длинные линии
§ 32. Вывод дифференциальных уравнений длинной линии 483
§ 33. Решение дифференциальных уравнений длинной линии 487
§ 34. Коэффициент распространения и волновое сопротивление как функции
постоянных линии 491
а) Линия без потерь 492
б) Линии с малым затуханием 494
в) Линии с большим затуханием 496
§ 35. Явления на конце линии 497
§ 36. Входное сопротивление длинной линии 506
§ 37. Отрезок линии конечной длины как элемент цепи 511
а) Отрезок линии без потерь как реактивное сопротивление 511
б) Отрезок линии как трансформатор 513
в) Отрезок линии как колебательный контур 516
§ 38. Длинная линия с переменным волновым сопротивлением 520
§ 39. Переходные процессы в длинных линиях без потерь 525
§ 40. Применение преобразования Лапласа при изучении переходных процессов
в длинных линиях 529
§ 41. Переходные процессы в длинной линии конечной длины 532
§ 42. Примеры расчета переходных процессов в линиях конечной длины 534
§ 43. Исследование бесконечно длинного кабеля в общем случае 542
ЧАСТЬ IV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
А. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
§ 1. Простейшее решение волнового уравнения 546
§ 2. Отражение плоских волн от проводников и изоляторов 553
§ 3. Плоские волны в материалах с конечной проводимостью 556
Примечание редактора к § 3 559
Плоские волны в гиромагнитной среде 562
Б. ЛИНЕЙНАЯ АНТЕННА И АНТЕННОЕ УСТРОЙСТВО
§ 5. Решение уравнений Максвелла с помощью запаздывающих потенциалов ... 565
§ 6. Решение уравнений Максвелла для диэлектрика с помощью вектора
Герца 568
§ 7. Излучение дипольной антенны 570
а) Общее решение 570
б) Общее поле дипольной антенны 576
в) Излучаемая мощность 577
г) Поле излучения движущегося заряда 579
§ 8. Излучение рамочной антенны 580
§ 9. Излучение линейных антенн с произвольным распределением тока . . 584
772 Оглавление
а) Линейные антенны с синусоидальным распределением тока 584
б) Ряд дипольных антенн * 587
в) Группа диполей 588
г) Плоская решетка из диполей 589
§ 10. Влияние земли на поле излучения 592
§ 11*. Кажущееся сопротивление линейных антенн 594
§ 12. Принцип взаимности 599
В. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
§ 13. Сведение векторного волнового уравнения к скалярному волновому
уравнению 601
§ 14. Однородные и неоднородные плоские волны 604
§ 15. Цилиндрические волны 607
§ 16. Сферические волны 610
§17.* Связь между плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами 612
Г. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. I
§ 18. Преломление и отражение плоских волн 618
§ 19*. Распространение волны вдоль круглого цилиндра 621
а) Общее решение 621
б) Поверхностные волны Зоммерфельда 623
в) Поверхностные волны Губо—Хармса 625
§ 20*. Решение краевой задачи на шаровой поверхности 627
а) Общее решение 627
б) Собственные колебания в случае металлического шара 628
в) Сферическая антенна 629
г) Двойные конические антенны 633
§ 21*. Расчет поля излучения дипольной антенны при конечной проводимости
земли 634
Д. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. II. ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДНЫХ ЛИНИЯХ
§ 22. Качественный анализ 644
§ 23. Расчет поля внутри волновода при произвольной форме его сечения 651
§ 24. Цилиндрический волновод с круглым сечением 652
§ 25. Учет граничных условий 653
§ 26. Критическая длина волны 656
§ 27. Свойства волны простейшего типа 656
§ 28. Типы волн в коаксиальном кабеле 659
§ 29. Типы волн в эллиптическом волноводе 660
§ 30. Волны в прямоугольном волноводе 662
§ 31. Сравнение круглого и прямоугольного волноводов с коаксиальным
кабелем 665
§ 32. Характеристическое (волновое) сопротивление волноводов 667
§ 33. Расчет передачи мощности по волноводу 669
а) ТМ-волна; волновод произвольного сечения 669
б) ТЕ-волна; волновод произвольного сечения 672
в) ТМ-волна; круглый волновод 673
г) ТЕ-волна; круглый волновод 673
д) ТМ-волна; прямоугольный волновод 674
е) ТЕ-волна; прямоугольный волновод 675
ж) Определение константы Д. Максимальная передаваемая мощность ... 675
§ 34. Потери в волноводах 676
а) ТМ-волна; волновод произвольного сечения 676
б) ТЕ-волна; волновод произвольного сечения 677
в) Потери в круглом и прямоугольном волноводах 678
г) Коэффициент затухания круглого и прямоугольного волноводов 679
д) Практические формулы для определения коэффициентов затухания
медных волноводов 681
Оглавление 773
§ 35. Возбуждение волн в волноводах 685
§ 36. Волновод, заполненный ферритом 686
Е. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ. III. ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
§ 37. Цилиндр в качестве полого резонатора 691
§ 38. Шар как полый резонатор 696
§ 39. Добротность полого резонатора и его эквивалентный ток 700
Ж. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 40. Принцип Гюйгенса 703
§ 41. Векторный принцип Гюйгенса 705
а) Расчет поля при заданных источнике и условиях на границах 705
б) Пояснение результатов с точки зрения поверхностных плотностей
электрического и магнитного токов 708
в) Условия излучения 709
г) Задача рассеяния 710
д) Диффракционная задача 711
е) Излучения конца коаксиального кабеля 713
ж) Излучение источника Гюйгенса 714
§ 42. Применение принципа Бабине к электромагнитному полю 715
ЧАСТЬ V
ГРАНИЦЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА
§ 1. Электромагнитная гидродинамика 721
§ 2. Релятивистская формулировка уравнений Максвелла 724
а) Преобразование Лоренца 724
б) Уравнения Максвелла и преобразование Лоренца 726
в) Уравнения Максвелла в инвариантной формулировке Лоренца 728
г) Некоторые положения и следствия релятивистской электродинамики 731
§ 3. Основные идеи квантовой электродинамики 733
а) Постановка задачи 733
б) Основные уравнения механики с конечным числом степеней свободы 734
в) Аналогия между механическими и электрическими системами ....... 736
г) Основные классические уравнения непрерывной среды 737
д) Представление уравнений Максвелла на языке аналитической
механики 740
е) Метод квантовой механики 743
ж) Основные положения квантовой электродинамики 746
з) Некоторые следствия квантовой электродинамики 748
Основные обозначения 753
Литература 755
Предметный указатель 760
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
готовит к изданию следующие книги
по радиоэлектронике:
Сверхширокополосные антенны. Перевод с английского, 20 изд. л., цена в
переплете 1 р. 60 к.
Книга содержит работы крупных американских специалистов,
опубликованные в технической литературе за последние годы, и
знакомит читателя с основными теоретическими предпосылками,
принципами конструирования и характеристиками
сверхширокополосных антенн различных типов, методами их инженерного
расчета, а также с их практическим применением. В частности, эти
антенны могут найти широкое применение в области
телевизионной техники.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся
теорией и практическим использованием антенных устройств, а
также может быть полезной для преподавателей, аспирантов и
студентов.
Ситидзе Ю., Сато X. Ферриты. Токио, 1961, перевод с японского, 22 изд. л.,
цена в переплете 1 р. 74 к.
Книга представляет собой монографический обзор по физике
ферритов и основным областям их применения. Освещаются
вопросы магнитного гистерезиса, различные зависимости для
релаксации при намагничивании и энергии анизотропии.
Рассматриваются явления, сопровождающие высокочастотное
намагничивание ферритов. Обсуждается природа магнитного резонанса и его
применение. Исследуются диэлектрические свойства
ферромагнитных материалов. Описываются методы изготовления ферритов в
Японии, в частности, для накопителей информации и
коммутирующих элементов, для техники сверхвысоких частот, магнитной
звуко- и видеозаписи, а также для различных
магнитометрических приборов.
Книга рассчитана на широкие круги специалистов и
конструкторов в области радиоэлектроники, связи, счетно-решающей
техники, а также на аспирантов и студентов.
Предварительные заказы на печатающиеся книги принимают магазины и отделы
„Книга — почтой9* республиканских, краевых и областных Книгоргов. Они оформляются
на почтовой открытке в магазине. О поступлении нужной книги в магазин покупатель
извещается.
Своевременно оформляйте предварительные заказы на интересующие Вас книги.
К. Ши мо ни
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
Редактор В. Я. ФРИДМАН
Худошник Б. И. Фомин
Технический редактор М. П. Грибова
Сдано в производство 26/ХП 1962 г.
Подписано к печати 18/1У 1964 г.
Бумага 70х108'/1в = 24,3, бум. л.
66,4 печ. л.,
Уч.-изд. л. 53,2. Изд. № 20/5365
Цена 3 р. 60 к. Зак. 6006
(Темплан 1963г. Изд.-ва ИЛ пор. N 161)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
30400. Типография Франклин, Будапешт