О.Н.Тихонов
ЗАКОНОМЕРНОСТИ
ЭФФЕКТИВНОГО
РАЗДЕЛЕНИЯ
МИНЕРАЛОВ
В ПРОЦЕССАХ
ОБОГАЩЕНИЯ
ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ
Москва -Недра-1984

УДК 621.928.001 : 622.7.016
Тихонов О. Н. Закономерности эффективного разделения минералов
в процессах обогащения полезных ископаемых. — М.: Недра, 1984, 208 с.
Изложены основы единой теории сепарации минерального сырья.
Рассмотрены экспериментальные методы анализа и количественные
характеристики вещественного состава минерального сырья и продуктов
обогащения. Приведен общий метод составления уравнений сепарации,
определяющих ход разделения частиц в зонах обогатительных
аппаратов, а вместе с этим и технологических показателей обогащения, а
также новый метод расчета любых схем обогащения. Освещены вопросы
оптимизации обогатительных процессов.
Для научных и инженерно-технических работников
научно-исследовательских и проектных организаций, а также обогатительных фабрик.
Может быть полезна студентам вузов обогатительной специальности.
Табл. 12, ил. 76, список лит. — 2»2 назв.
Рецензент проф., д-р техн. наук А. А. Абрамов (МГИ).
2,-05000000 221 ,,36_84 ^ Издательство «Недра», 1984
043(01) — 84

ПРЕДИСЛОВИЕ
В «Основных направлениях экономического и социального
развития СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990 года» большое
внимание уделено переработке минерального сырья, которая в
значительной мере осуществляется методами обогащения полезных
ископаемых: гравитационными, магнитными, флотационными,
электрическими, радиометрическими и др.
Рост объемов переработки минерального сырья, разработка
бедных месторождений, необходимость комплексного использования
сырья и охраны окружающей среды, экономические аспекты требуют
качественно нового подхода к процессам переработки.
Эти обстоятельства приходится учитывать не только при
проектировании разработки новых месторождений, но и на многочисленных
действующих фабриках, применяющих разнообразные технологии и
оборудование. Эти же обстоятельства все чаще требуют более тонкого
и точного подхода взамен грубых эмпирических приемов или
математических моделей, далеких от физической сути обогащения руд.
В связи с этим возникает множество проблем, решить которые
может помочь рассматриваемая в данной книге теория, основанная иа
работах советских и зарубежных обогатителей, а также иа работах
автора.
Обобщающая и компактная теория всех разнообразных процессов
обогащения полезных ископаемых основана на понятиях о
фракционном составе минерального сырья и сепарационных характеристиках
обогатительных аппаратов и технологических схем. Фракционный
состав позволяет оценивать распределение твердой фазы и ценных
компонентов но фракциям, различающимся физическими свойствами
частиц. Сепарационная характеристика дает оценку степени извлечения
каждой из фракций в концентрат по отношению к сырью.
Эти два понятия позволяют надежно прогнозировать
технологические результаты обогащения (выход, содержание, извлечение) любого
сырья с помощью любой технологической схемы, оценивать
эффективность работы и сравнивать друг с другом обогатительные аппараты
различных конструкций, оценивать и сравнивать самые сложные
технологические схемы независимо от типа перерабатываемого сырья,
решать задачи экономически оптимальной стратегии обогащения

сложного сырья, оптимально проектировать детальные
технологические схемы.
Материал книги был в течение ряда лет апробирован на лекциях
для студентов, аспирантов и инженеров, повышающих квалификацию,
в Ленинградском горном институте; кроме того, на лекциях и
семинарах в Университете штата Юта, Калифорнийском университете
Беркли, Высшей горной школе штата Колорадо (США, 1979, 1984 г.),
где автор выступал по программе Фулбрайта (раздел «Науки о
Земле»), а также в Лувенском университете (Бельгия, 1975, 1979 г.).
Кроме того, ряд положений теории использовался при разработке новых
технологий, за одну из которых в 1982 г. присуждена премия Совета
Министров СССР.
Автор выражает благодарность д-ру техн. наук, проф. А. А.
Абрамову за ценные замечания, сделанные при рецензировании рукописи.

I. О ФРАКЦИОННОМ СОСТАВЕ МИНЕРАЛЬНЫХ ПРОДУКТОВ
И СЕПАРАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
ОБОГАТИТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ И СХЕМ
В первом приближении обогатительная технология объединяет
два понятия: минеральные материалы (сырье, концентраты, хвосты,
промпродукты) и технологические схемы (аппараты) обогащения.
Для количественной оценки минеральных продуктов вводятся
понятия распределения минеральных частиц у (|) и ценных компонентов
Р (I) по фракциям с различными физическими свойствами |, а для
количественной оценки аппаратов и схем — сепарационные
характеристики е(£), оценивающие извлечение е узких минеральных фракций
в продукты.
На этой основе многообразные факты обогащения обобщаются до
уровня общетеоретических положений, включая анализ и
классификацию сырья, аппаратов и схем обогащения, прогноз результатов
обогащения, оптимизацию схем и режимов аппаратов.
Изложение отдельных вопросов теории подробно дается в
последующих главах. Все положения теории доведены до такой степени
общности, что они соответствуют любому частному процессу
обогащения.
1.1. Рудоподготовка и основные методы обогащения
На обогатительных фабриках перерабатывается твердое
минеральное сырье, поступающее с шахт, рудников, карьеров: уголь, горючие
сланцы, железные и марганцевые руды, руды цветных металлов,
неметаллические полезные ископаемые. Суммарная переработка
исчисляется миллиардами тонн сырья в год и ускоренно нарастает.
Обогащению подвергается 95% добываемого минерального сырья, которое
проходит два основных этапа переработки: рудоподготовку и
сепарацию.
Данная книга посвящена сепарации, или собственно процессам
обогащения полезных ископаемых. Рудоподготовка затрагивается
только в части ее непосредственной связи с сепарацией.
Рудоподготовка предусматривает главным образом дробление и
измельчение горной массы, чтобы сделать сырье способным к
сепарации. Для этого необходимо уменьшить размеры минеральных частиц
нередко до 0,1 мм и менее, что раскрывает сростки и освобождает
частицы различных минералов друг от друга. Такая смесь раскрытых,
т. е. несвязанных друг с другом, различных минералов является
исходным продуктом для сепарации [3].
Собственно обогащение полезных ископаемых имеет в своем
арсенале целый ряд эффективных методов разделения минеральных
частиц: но крупности (грохочение, классификация), гравитационный,
5

магнитный, флотационный, электрический, радиометрические [7, 27].
При сепарации по крупности I, например на грохотах (рис. 1.1, а),
частицы мельче отверстий сита (Zp = const) попадают в нижний под-
решетный продукт (/</р), а остальные — в надрешетный (/ > /р)
[7]. ИСХОДНЫЙ продукт КруИНОСТЫО /min</</max раЗДСЛЯвТСЯ НЭ
Два Продукта КруПНОСТЬЮ /щ|п < / < /р И /р < / < /max-
В гравитационном методе обогащения, например в конусном тя-
желосредном сепараторе (рис. 1.1, б), тяжелые частицы, имеющие
плотность р, большую плотности суспензии рр = const, под действием
сил гравитации и Архимеда 2F,->g(p—рр) попадают в нижний
тяжелый продукт (р>рр), а остальные — в легкий продукт (р<рР)
[13].
Таким образом, исходный продукт, частицы которого имеют
различную плотность (pmin < р < ртах), разделяется на два продукта
с частицами плотностью pmin <p<pp и рр<р< ртах. Частицы,
плотность которых равна плотности разделения р = рР,
распределяются поровну по этим продуктам.
Гравитационным методом обогащается подавляющая часть углей,
при этом легкий продукт является угольным концентратом, так как
легкие частицы содержат мало золы.
При магнитном методе обогащения [9], например в барабанном
сепараторе (рис. 1.1, в), магнитные частицы, имеющие большую
магнитную восприимчивость х> притягиваются магнитной системой с
силой %Hgra&H и попадают в магнитный продукт % > Хр. Остальные
частицы отбрасываются радиальной силой инерции v20KVp/R в немаг-
Рис. 1.1. Методы обогащения
6

нитный продукт % < Хр- Здесь Я— напряженность магнитного поля
в зоне сепарации; и0КР'—окружная скорость барабана; R— радиус
барабана.
В этом сепараторе разделение частиц происходит под действием
суммарной силы 2 F{ = % Я grad Я — o2OKp p/R. При 21 Fi > О
соответствующая частица стремится попасть в магнитный продукт, при
2 Fi <С О— в немагнитный. Для частиц, имеющих магнитную
восприимчивость, равную магнитной восприимчивости разделения j(p=const,
21 Ft = 0; они распределяются поровну в магнитном и немагнитном
продуктах.
В рассматриваемом примере хР = v20Kpp/R Hgrad Я. Таким
образом, исходный продукт с частицами, имеющими магнитную
восприимчивость xmm < X < Xmax, разделяется на два продукта с магнитной
ВОСПРИИМЧИВОСТЬЮ Xmin <ЗС<ХриХр<Х< Хшах-
В ряде случаев магнитную восприимчивость минералов руды
можно изменить магнетизирующим обжигом, ведущим к образованию
сильномагнитпого магнетита Fe304 из слабомагнитного Fe203.
Магнитным методом обогащается подавляющая часть железных
руд, при этом магнитный продукт является железным концентратом.
Флотационный метод обогащения, например пенная флотация
(рис. 1.1, г), основан на селективном прилипании минеральных
частиц, отличающихся флотируемостью k, к пузырькам воздуха,
поднимающимся через пульпу [6, 24]. Прилипшие частицы — хорошо
флотируемые — выносятся в пенный продукт (k>kp), иеприлипшие
остаются в камерном продукте (/></>р). Причиной прилипания
(согласно термодинамике) является освобождение поверхностной энергии
границы раздела фаз: до прилипания суммарная свободная энергия
Е1 поверхностей воздух пузырька — вода и минерал — вода больше
энергии Е2 после прилипания.
По К. А. Разумову |24], изменение энергии Et—Е2 па единицу
образованной поверхности газ — твердое Sr_T оценивает флотируемость
частиц k = (Е, — E2)/Sr-r = аг-ж (1 — cos в). Здесь о,..-ж — удельная
поверхностная энергия границы газ — жидкость; cos в = (ог-т —
— аж_т)/ог-ж — косинус краевого угла смачивания. Могут быть и
другие меры флотируемости, например краевой угол смачивания
e = fe, пли показатель k скорости кинетики флотации узкой
флотационной фракции, концентрация которой С, (t) в камере
периодической флотации убывает по закону d C,/d t = —kSr-m С,-. Здесь Sr_VK —
свободная поверхность (степень аэрации) пузырьков в единице
объема пульпы.
При флотации частицы, флотируемость которых равна
флотируемости разделения &р = const, поровну распределяются в пенный
продукт и хвосты. Частицы, флотируемость которых к > kp,
преимущественно попадают в пенный продукт, а те, флотируемость которых
k < kp, остаются в камерном продукте. Чем больше для данной
флотационной машины время флотации t$ = const и степень аэрации
Sj-ж = const, тем меньше кр, и наоборот.
С флотируемостью к частиц коррелпруется содержание р в них
ценных компонентов. Например, при флотации молибдепитовых руд
частицы с большей флотируемостью к содержат больше молибдена
7

и наоборот. Поэтому в пенном продукте (k^>kp) среднее содержание
ценного компонента выше, чем в руде.
Флотационный метод обогащения преобладает для руд цветных
металлов. Его можно применять для самых разных руд, так как фло-
тируемость минералов можно селективно изменять с помощью
различных реагентов, сорбирующихся на их поверхности.
При электрическом методе обогащения [14, 20], например в
сепараторе с коронным разрядом (рис. 1.1, д), минеральные частицы в
зоне сепарации — между заземленным барабаном и коронирующими
электродами — селективно получают электрический заряд ц.
Отрицательно заряженные частицы (q < qp) движутся в сторону
положительных коронирующих (и, возможно, отклоняющих) электродов под
действием силы Eq, определяемой по закону Кулона, и силы инерции;
остальные частицы q > qp движутся в другую сторону.
В некоторых случаях селективность заряда q коррелируется
с электропроводностью X частиц: электропроводные частицы (Х>ХР),
скользя по металлической поверхности барабана, получают заряд
q < qp, толкающий их к коронирующему электроду, и наоборот. Этим
путем разделяются минералы-проводники, -полупроводники и
-диэлектрики.
Селективность заряда частиц можно предварительно изменять
с помощью реагентной обработки поверхности минералов, что
расширяет число руд, способных разделяться в электрическом поле.
Радиометрические (флотометрический, рентгено-люминесцентиый
и др.) методы обогащения [15] (рис. 1.1, е) основаны на различии
в светимости ф (излучательной способности) минеральных частиц.
Частицы с высокой светимостью ф > фр попадают в «светящийся»
продукт, остальные с ф < фр — в «несветящийся». Может быть
использовано излучение как видимой, так и невидимой части
электромагнитного спектра.
Распознавание частиц осуществляется с помощью
автоматизированных быстродействующих светочувствительных систем (на рис.
1.1, е не показано), состоящих из источника, облучающего каждую
частицу в зоне сепарации, и приемника вторичного излучения от
распознаваемой частицы. Из-за необходимости «просматривать»
отдельно каждую частицу производительность радиометрических
сепараторов при обогащении мелкого материала уменьшается
(пропорционально кубу размера частиц). Светимость разделения фр = const
регулируется изменением порога чувствительности автоматической системы.
Обобщенно сущность сепарации минералов сводится к
следующему (рис. 1.2, а). Цель сепарации — выделить в концентрат из
исходного минерального сырья те или иные полезные минералы на основе
различия их физических свойств g (т. е. /, р, %, k, q, ф). В рабочих
зонах обогатительных сепарациоиных аппаратов происходит под
действием тех или иных физических сил 2 /\ расслоение, разъединение,
разделение частиц, причем частицы с одними физическими свойствами
(£ > Sp) движутся в одну часть рабочей зоны (концентрат), а
частицы с другими свойствами (| < £р) —в другую (хвосты).
С физическим свойством | каждой минеральной частицы
коррелируется содержание в ней ценного компонента р: с ростом £ растет р
8

HcxooHbiii продукт
Oucx
УЗисХ
l I ^mi.n< s< ^mgx
в Исходный продукт
Концентрат
£к !
Сепарация
Qucx
fiacx
I" I
Хвосты
?хЗ
/Зхв
6x6
smvn*- S <- Smax
Схема обогащения ^p=const
^Концентрат Хвосты^
5>?
V?f
?<?f
?<5F
Концентрат I
Тперечистная
Исходный продукт
»-|-<
Основная операция

Концентрат
1 Хвосты
Тконтрольная
[ Хвосты
I ^|
Л-я перечастная
Концент-
"рат
L
£
[Хвосты
К-я контрольная
Концентрат
Хвосты
Рис. 1.2. Схема операции (а), детальная каноническая схема (б) м принципиальная
блок-схема (о) обогащения
(или наоборот). Поэтому в концентрате (| > |р) среднее содержание
ценного компонента р„ выше,_чем в_ исходной руде pi,cx и тем более,
чем в хвостах (| < |р), т. е. р„ > рхв. Тем самым получается
обогащенный ценным компонентом готовый продукт —концентрат. Ценным
компонентом может быть металл или химическое соединение
например Р205.
Часто одной операции сепарации недостаточно, чтобы получить
четкое без взаимного засорения фракциями разделение на два
продукта I > 1Р и I < |р, и поэтому применяются технологические
схемы, состоящие из нескольких операций (рис. 1.2, б). Схемы, в
которых промежуточные циркулирующие продукты присоединяются к
исходному питанию предыдущей операции, наиболее распространены.
В целом технологическая схема обогащения представляет собой
высокоточный сепаратор, который разделяет исходное сырье на два
продукта (£ < £р и | > |р) почти без их взаимного засорения (рис.
1.2, в). В большинстве случаев ценный компонент находится не только
в «концентратных» частицах U>|p), но и в «хвостовых» (£ < |р)
хотя и с малым содержанием. Из-за этого даже при идеальной
сепарации, когда все без исключения частицы с I > |р попадают в
концентрат, а все частицы с |< £р — в хвосты, часть ценного
компонента теряется в хвостах. Таким образом, идеальная сепарация еще не
дает идеального обогащения; последнему способствует правичьная
рудоподготовка.
9

Сепарация по физическому свойству | необходимое, но не
достаточное условие обогащения одного из продуктов ценным
компонентом.
Технологические показатели обогащения отдельной операции или
схемы в целом: выход концентрата yk_(%). содержание ценного
(вредного) компонента в концентрате 6К (%), извлечение ценного
компонента в концентрат ек (%) —оценивают эффективность
обогащения.
Выход концентрата определяется отношением производительности
Qk (т/ч) по концентрату к производительности Qmx (т/ч) по
исходной руде
ук = 100Q„/QIICX.
Извлечение определяется соответственно соотношением произво-
дительностей (масс) по ценному компоненту
ёк = 100Q„ pK/(Q„cx P„cx) = у« Рк/р..гх.
Аналогичны формулы для хвостов:
7хв = 100QXB/Qiirx;
Ехв = IOOQxb Pxb/(Qiicx Рнсх) = Тхи Рхи/Рисх.
Очевидны балансные соотношения:
Qi< + Qxb = Qhcx; yk + Vxb =-- Y"cx = 100%;
SK + ex„ = e„rx = 100%.
Эти общепринятые технологические показатели справедливы как
для отдельной операции сепарации (сепаратора), так и для любой
технологической схемы в целом.
Подводя итог этому вступительному обзору, выделим три
главных элемента обогатительной сепарации.
1. Минеральные частицы сырья после рудоподготовки,
включающей дробление, измельчение и возможную обработку реагентами
различаются по физическим свойствам £ в диапазоне |min < | <L smax
(или даже несколькими свойствами, например ри х).
2. Содержание /-го ценного компонента р, в отдельных частицах
зависит от физического свойства £.
3. Отдельные сепараторы или схемы обогащения разделяют
частицы, используя различия физических свойств, на концентрат
(|р < Е < gmax) и хвосты (Ып < 1 < |Р) ■ При этом вследствие
зависимости содержания р; ценного компонента в частицах от их
физического свойства | происходит обогащение одного из продуктов,
концентрата, ценным компонентом, т. е. 6К > Рисх-
Или еще короче — сепаратор механически перемещает частицу
посредством ее физического свойства с, а она несет ценный
компонент pj в концентрат, т. е. I — первично, р,- — вторично.
В заключение рассмотрим различия между методами
обогатительной сепарации и металлургической переработки. Обогатительная се-
10

парация отделяет одни минералы от других и от пустой породы
механическим путем; здесь происходит разделение исходных частиц
горной массы (минеральных комплексов) на отдельные минеральные
компоненты.
Например, минерал магнетит Рез04 отделяется от кварца Si02
магнитным методом; минералы халькопирит CuFeS2, галенит PbS,
сфалерит ZnS и пирит FeS2 отделяются друг от друга и от пустой
породы флотационным методом.
Содержание ценного компонента (металла) в концентрате в
лучшем случае достигает его содержания в несущем минерале; например,
для магнетитового концентрата pKFe—>-3-56-100/(3-56 + 4-16) =
= 72%, для галенитового концентрата рк РЬ-^207-100/(207 + 32) =
= 86,6% (в расчете фигурирует атомная масса элементов).
При металлургической переработке происходит разделение
минералов химическим путем на уровне молекул с выделением чистых
металлов.
Например, в доменной печи при температуре, превышающей
точку плавления железа, магнетит восстанавливается углеродом по
реакциям типа Fe304 + С—»-COf -fFe-l-, в результате чего получается
чугун.
Цинковый концентрат (сфалерит ZnS) подвергается
окислительному обжигу в печах кипящего слоя, где происходит реакция
2ZnS + ЗО2 = 2ZnO + 2S02f. Огарок выщелачивается серной
кислотой по реакции ZnO + H2S04 = ZnS04 + H20. Раствор сульфата
цинка после очистки подвергается электролизу с получением
катодного цинка, который далее рафинируют плавкой.
Металлургические процессы позволяют получить продукты с
содержанием металла, близким к 100%.
1.2. Примеры современных промышленных схем обогащения
Гравитационное двухпродуктовое обогащение. Рассмотренные
составные элементы обогащения проиллюстрируем практическими
примерами.
На рис. 1.3 показано аппаратурное оформление простой схемы
обогащения, состоящей из одной операции — сепарации угля по
плотности р в тяжелой суспензии.
В тяжелосредном сепараторе 2 поддерживается стабильная
плотность магнетитовой суспензии рр = const. Всплывший малозольный
угольный концентрат (р < рр) для удаления налипших частиц
утяжелителя (магнетита) проходит два грохота 3; утонувший
высокозольный продукт представляет собой хвосты.
Для нормального функционирования сепаратора введены
системы регенерации суспензии 6 и автоматической стабилизации
плотности (роусп >"Рр). В Сборник КОНДИЦИОННОЙ СуОПеНЗИИ 7 (рсусп =
= рР) поступает подрешетный продукт первого грохота и частично
второго, а также регенерированная п свежая суспензия из
сборника /. Некондиционная, со шламами, суспензия накапливается в
сборнике 5. Кондиционная суспензия подается насосом 8 в
сепаратор.
11

Исходный
уголь
Магнетит к.
"1 Хдосты
Вода
U
f'A
i Исходный
продукт
Коицен- Хвосты
трат
Концен-
ч\ V х ::
Ы
Рис. 1.3. Схема операции гравитационного обогащения
При отклонении плотности суспензки в сборнике 7 от заданной
плотности разделения автоматическая система, содержащая
плотномер и регулятор, изменяет подачу свежей суспензии и воды в
сборник 7. Доля суспензии, нодаваемой на регенерацию, регулируется
шибером 4 по скгналу вискозиметра: чем больше угольных шламов
в суспензии, тем больше ее вязкость и тем большую часть суспензии
надо направить на регенерацию.
Рассмотренный пример иллюстрирует гравитационное
обогащение с помощью одной операции (см. рис. 1.2, а).
Многопродуктовая схема, сочетающая обогащение по крупности
и плотности. На рис. 1.4 показана схема гравитационного
обогащения марганцевой руды Чиатурского месторождения на НОФ «Дарк-
вети» [27].
Основные полезные минералы — манганат МгьОл • Н20 и псило-
мелан; реже встречаются пиролюзит МпОг, родохрозит МпС03 и
мангаиокальцит. Минералы пустой породы — кварц и полевой шпат.
Технологическая схема предусматривает обогащение как по
крупности /, так и по плотности р. Исходную руду с содержанием
марганца рисх = 19,4% подвергают двухстадиалыюму дроблению до 20 мм
и грохочению на три класса: —3; —8 + 3; —20 + 8 мм. Каждый
класс подвергается гравитационному обогащению отсадкой. В
мелких классах —3 и —8 + 3 мм концентрируются при дроблении более
мягкие окисные минералы. Из этих классов получаются
высококачественные окисные концентраты двух сортов с содержанием
марганца—p"KJ= 49,3% и ~$кП = 46,1%. Класс —20 + 8 мм обогащается
с доизмельчепием до 5 мм, в результате чего получается карбонат-
12

|- Змм
Отсадка.
Руда Ч-ООмм
\ />цсх =/£,*%
Дробление 1,Ж
^-20мм
Грохочение
Ь-8+Змм
Отсадка
Р>Рр1
\ P>PpZ
Отсадка
vP>Pf1
Отсадка
,, \P>PV3
Отсадка

Концентрат I
fKI--!3,Z%
/3Kr=W,J%
i-ZO+вмм
Отсадка
Y/P>Pv3
Мосты
Грохочение

Концентрат!
■Sum
Р<РрЬ
Промпро-
оукт
елъч,
Измельчение
1-5мм
Грохочение
Хвосты
Р>ха--6,в%

Промпродукт
Sm=Z7,0%t
P>PpS
ч 1
Отсадка
$P>PV3 \
Отсадка
_J
Концентрат
Ш
fb*m=ZS,4-'U
Окисные минералы
Карбонатные
минералы
Хвосты
flxB'6,8%
£хв = 3,3%
Рис. 1.4. Схема гравитационного (р, I) обогащения
ный концентрат с содержанием марганца рк//т_= 28,4%. В
объединенных хвостах всех трех классов содержится ($Хв = 6,8% марганца.
Кроме того, по схеме выделяется промпродукт с содержанием
марганца Рпп = 21,5% и суммарные шламы в операциях
обезвоживания рШл = 9% марганца (последние на рис. 1.4 не показаны).
Рассматриваемая схема содержит 11 операций сепарации, причем
5 из них трехпродуктовые.
Многостадиальная схема магнитного обогащения. На рис. 1.5
показана технологическая схема магнитного обогащения железной
руды фабрики № 2 Южного горно-обогатительного комбината [27].
Руда представлена магнетитовыми разновидностями роговиков. Руда
содержит 35—36% железа, в том числе в виде магнетита 29%,
гематита и гидроксидов 3,6%, карбонатов и силикатов 3,2%. Руда
подвергается трехстадиалыюму дроблению и одностадиальному
измельчению до крупности 52% класса — 0,074 мм.
В I стадии обогащения (MCI) в магнитных сепараторах
выделяются отвальные хвосты % < %р. Применяются магнитные сепараторы
с противоточпой ванной, диаметром барабана 800 мм, длиной
2500 мм.
Магнитный промпродукт {ПП1) поступает на доизмельчение до
82 % класса - -0,074 мм; при этом в цикле измельчения осуществля-
13

Исходный про и а ■ а
MCI I дцкгп Исходный, продукт
• чЛ/ \_У ДроЬлениеи измельчение
- - —г^
/7,7/ * * Хвосты MCI
*
.f
Питание] Измельчение
Dm*_
Классификация
t
W^l ^!
/W.2"
0+ lJ^7~L >_
/W.ffi Исходный продукт
ППТ1 "хвоТты Т I |
A/cizj- ■ мст |
0.01
1 /7/7Zff У У
Классификация " »-
у ! _
Измельчение ППШ /<?>" '*'/«/
~~Г^
I 4-...
т
Исхгдч^ш продукт
У
МСШ
у" 1
мсщ
I .У
J /7/7 Ш
У
Концентрат
1
МСИ'
0 0 0У
Кон цен- | ХЗосты
трат у
у .7/7iy
Хвосту
Рис. 1.5. Схема магнитного обогащения с доизмельчением
ется сепарация немагнитных частиц в хвосты в таких же
сепараторах (MCII). Доизмельченный продукт проходит II стадию
обогащения в сепараторах с полупротквоточной ванной (МСШ).
Немагнитный продукт поступает в отвал, а магнитный (ППШ) — на доиз-
мельченне до 96 % класса —0,074 мм.
После этого происходит выделение окончательного концентрата
на полупротивоточных сепараторах, причем в этой последней стадии
сепарации промпродукт (ПП1У) возвращается на доизмельчение.
На рис. 1.5 схематично показаны также применяемые магнитные
сепараторы.
В рассмотренной схеме обогащение трехстадиальное: оно
осуществляется при трех различных крупностях (чтобы не измельчать
раскрытые немагнитные частицы).
Основные технологические показатели: выход концентрата
7к = 42,1%; содержание железа в концентрате рк = 65,1 %;
извлечение железа в концентрат ек = 77,4%.
И

Исходный, продукт
Измельчение
35-45% -0,074-мм
Межцикловая флотация
■ }
75-82%
-0,074- мм
Классификация
}
Доизмельчение
Коллективная флотация(п=2,К-1)
ВоВа.
Коллективный,
концентрат
Na.zS
| Хвосты
Классификация,отмывка,сгущение
1 . Вова
Реагенты
^
Межцикловая РЬ флотация
вЗ-85%- 0,074 мм
РЬ флотация (п=3,К=2)
1-
1
Классификация
Доизмельчение
Реагента j/
РЬ концентрат
Zn флотпация(П=4,К-2)
I }
f Пиратпная флотация
Zn концентрат (П=2,К=1)
I
ь
Хвосты
Ре5г концентрат
Рис. 1.6. Принципиальная блок-схема флотационного обогащения
Схема флотации полиметаллической руды. На рис. 1.6 показана
принципиальная технологическая схема флотационного обогащения
свинцово-цинковой руды. По такой схеме перерабатываются
сульфидные руды Кургашинканского месторождения на Алмалыкской
обогатительной фабрике [27]. Рудные (полезные) минералы
представлены галенитом PbS, сфалеритом ZnS, пиритом FeS2;
нерудные— кварцем и полевыми шпатами, пироксенамк и гранатами,
карбонатами.
Исходная руда проходит три -стадии дробления и одну стадию
измельчения с замкнутым циклом до получения продукта крупностью
35—45% класса —0,074 мм. При такой крупности^часть
сульфидных минералов извлекается межцивдтовой флотацией, а остальная
часть доизмельчается до 75—82% класса —0,074 мм и поступает на
коллективную флотацию сульфидов PbS, ZnS, FeS2 по канонической
схеме (см. рис. 1.2, б). В данном примере эта схема цикла
коллективной флотации предусматривает две перечистные и одну
контрольную операции (Я = 2* К=\). Концентрат межпикловой флотации
присоединяется к концентрату сс:ювной флотации этого цикла.
Увеличение флотируемостн {k>kp) всех сульфидов достигается
с помощью повышенного расхода реагента-собирателя. Нерудные
минералы имеют k < kv. Хвосты (k < kv) этого цикла идут в отвал,

а коллективный концентрат разделяется на три концентрата:
свинцовый, цинковый и пиритный. При этом вначале собиратель (ксанто-
генат) десорбируется с поверхности сульфидов добавкой Na2S с
последующей отмывкой и сгущением. В свинцовом цикле пирит и
сфалерит подавляются (с помощью цианида, цинкового купороса и
соды), т. е. для hex k—>-0; галенит же сохраняет высокую флотируе-
мость (k > kv) и с помощью ксантогената (20—40 г/т) переходит
в пенный продуют. Свинцовый цикл включает в себя межцикловую
флотацию (при крупности 75—82% класса —0,074 мм), доизмель-
чение до 83—85% класса —0,074 мм и каноническую схему
флотации с тремя перечистными (Я = 3) и двумя контрольными (К = 2)
операциями.
В следующем, цинковом, цикле (Я = 4, К =2) сфалерит
активируется (подаются медный купорос и ксантогенат) — k > kp, а
пирит подавляется (подается известь до рН 12)—k<kv. Сфалерит
переходит в пенный продукт.
В пиритном цикле (Я = 2 и ТС = 1) флотируемость пирита
увеличивают (понижая рН, подавая собиратель, вспениватель) —
k > kp; пирит попадает в концентрат, а остатки нерудных
минералов — в хвосты.
В рассмотренном примере флотируемость сульфидных минералов
(PbS, ZnS, FeS2) изменяется реагентной обработкой их поверхностей
на основе методов Шеридана — Гризволда и Конева — Дебривной.
Возможны и другие реагентные режимы.
Основные технологические показатели: по свинцовому
концентрату Pi>b = 52-f-53 % 6рь = 82-^83 %; по цинковому
концентрату pzn = 54 -г- 55%, izn = 72 -j- 75%.
Мы рассмотрели несколько промышленных примеров схем
обогащения. Таких практических примеров можно привести сотни, так как
в СССР и за рубежом работает великое множество обогатительных
фабрик. Они различаются перерабатываемым сырьем,
технологическими схемами, конкретными аппаратами в отдельных операциях
схем. ■*$!
Итак, имеем прежде всего три категории предметов для
изучения: сырье, аппараты, схемы.
1.3. Понятия о фракционном составе минеральных материалов
и сепарационных характеристиках обогатительных аппаратов и схем
Перейдем к выбору методов количественного охарактеризования
минерального сырья (а также концентратов, хвостов, промпродуктов
и любых минеральных смесей), необходимого и достаточного для
оценки обогатимости.
Частицы обогащаемого материала — это может быть сырье или
промежуточные продукты как., например, в рассмотренных
технологических схемах — различаются прежде всего физическими
свойствами |, где общим символом | обозначается любое частное
физическое свойство.
16

Физические свойства минеральных частиц и сростков,
используемые для сепарации при обогащении
Свойство
Крупность I, мм
Плотность р, г/см3, т/м3
Магнитная восприимчивость
X, см3/г
Флотируемость к, м/с
Удельная электропроводность
частиц X, Ом-1 • см '
Удельный электрический
заряд (наведенный) q, Кл/см3
Светимость, отражательная
способность, излучательпая
способность и т. п. ф,
различные единицы
Обогатительные процессы, в которых
свойство используется как главное —
примеры сырья
Грохочение, классификация (в
некоторых аппаратах влияет еще и
плотность)
Гравитационные методы •—отса."
тяжелосредная сепарация, шлюзы,
струйные желоба, винтовые
сепараторы (в ряде аппаратов оказывает
влияние крупность) — уголь
Магнитная сепарация — железные
руды
Флотация — полиметаллические
руды
Электрическая сепарация — ильме-
нитовые, рутиловые, хромнтовые
руды
Электрическая сепарация —
асбестовые руды, полевошпатовое сыры?
Радиометрическая сепарация —
фотометрические, рентгенолюминесцент-
ные и др. сепараторы •— флюорито-
вые, алмазные, урановые руды
Обогатительные сепараторы «чувствуют» именно это различие
частиц :по |, а не различие ib содержании р ценного (вредного)
компонента в частицах. Как упоминалось, для обогащения «с точки
зрения» любых сепараторов физи-
ческое свойство частиц первич- "J
но, а содержание вторично; для
потребителей концентратов, па-
оборот, интерес представляет,
как правило, только
содержание, что па практике часто
вуалирует важнейшую роль
физических свойств частиц. Такова,
в частности, картина в
приведенном традиционном описании
примеров схем обогащения ;см.
рис. 1.3—1.6).
Физические свойства | начнем рассматривать с понятия
диапазон изменения физического свойства смеси частиц
(рис. 1.7). Запись: физическое свойство g смеси частиц изменяется
В Диапазоне [|min ~ gmax] , ИЛИ [|тт, £тах], ИЛИ Smin < £ < gmax —
означает, что в смеси имеются частицы, у которых | = |min, \ =
= imln + А 1, g = gmin + 2Д | И ТЭК Далее ДО | = gmax.
Особенность минерального сырья и продуктов обогащения
заключается в том, что любое физическое свойство £ смеси частиц
изменяется внутри диапазона [£тт, £max] непрерывно благодаря наличию
сростков. Дискретное изменение является частным случаем,
например, для смеси, состоящей из чистых минералов.
Рнс. 1.7. Два типа характеристик
фракционного состава:
Площадь у (|().\s,- равна выходу у,- Фракции
17

Примеры диапазонов: в исходном угле, поступающем в еенаратор (см. рнс. 1.3),
содержатся частицы с плотностью р в диапазоне от pmi„ = 1,1 т/м3 до pmax =
= 2,5 т/м3; руда на фабрике «Дарквети» (см. рис. 1.4) после дробления имеет
диапазон крупности от /mm = 0 до /тах = 20 мм.
Узкая, или конечная, фракция [£,, |, + /\|,] — это
частицы из какой-либо части диапазона |gmin, gmax]; ее представляют
только те частицы смеси, для которых физическое свойство
находится между границами фракции i< < | < i< -f A h или |< < | <
< Ег+i- Размер (ширина) фракции определяется как A|i =
= Ei+i — it-
Например, фракция плотности для угля между границами р; = 1,5 т/м3 и
■pi+i = 1,7 т/м3 имеет размер Д р; = 1,7—1,5 «= 0,2 т/м3; фракция (класс) руды на
фабрике «Дарквети» с границами U = 3 мм и h+i = 8 мм имеет размер Д /; *
= 8—3 = 5 мм.
В частных случаях гравитационного, магнитного, флотационного,
электрического, радиометрического обогащения получим из общей
фракции [|i, |i+i] следующие частные фракции: плотности [pi, pi+i
магнитной восприимчивости [%и х»-н]> флотируемости [k{, ki+i
удельной электропроводности [ii, Ki+t], удельного заряда [qit qi+i
СВеТИМОСТИ [ф*, фг+i].
Бесконечно узкая, или элементарная, фракция
[it. if + di] получается, когда размер конечной фракции стремится
к нулю Agj = di—»-0; это понятие необходимо для строгих
количественных соотношений, характеризующих процессы обогащения.
Разбиение диапазона [imin, imax] на конечные фракции
может быть произведено с различным шагом Д£{ — равномерным или
неравномерным. При равномерном разбиении на л фракций границы
ИХ ПОХОДЯТ В ТОЧКаХ: Smln, imin + As. imin + 2Ai, ..., gmax- Hpil
ЭТОМ Д£ = (imax —imin)/»-
Пример. Диапазон крупности [0; 20 мм] руды фабрики «Дарквети» разбит на
три диапазона: [0; 3 мм], [3; 8 мм] и [8; 20 мм].
Массовая доля (выход) t'-й фракции [ii, i»+i]
определяется отношением массы Р,- ее частиц к суммарной массе Б Pi
частиц всех фракций, т. е. к массе всех частиц смеси в диапазоне
limin, gmax]. Долю i-й фракции будем обозначать двояко:
V,■- y(h)±h^ Pi If. Pi- (I-П
/ i I
Очевидно,
£. yt = Y, v(?.-)Ai,- = i. (i.2)
Обозначение y(|;)As, в формуле (1.1) разбивает долю (выход)
y'i на два сомножителя: второй сомножитель представляет собой
размер фракции Aii, а первый — у (£4) вводит новое важнейшее
понятие, которое рассмотрим ниже.
Предварительно заметим, что при равномерном шаге A i; =
= Ai== const множитель у (h) пропорционален доле t'-й фракции,
18

так как
Y(£0=Y*/AS*. (1.3)
Величина у (£,) характеризует массовый вклад каждой г'-й фракции
в смеси. Эта величина зависит от £,-, так как доля одних фракций
может быть большая, а других малая; поэтому вводим этот
сомножитель как функцию от gj.
Чтобы эта функция была пригодна не только для дискретных
границ фракций £,-, но и для любого непрерывно изменяющегося
значения | внутри диапазона [gmin, imax], устремим размер фракций
к< нулю A| = d|—»-0. Тогда получим следующее строгое
определение.
Дифференциальная функция распределения у Ц)
частиц смеси по физическому свойству | — такая функция, для
которой произведение ?ял =■ у (|) d\ равно массовой доле
элементарной фракции [g, |-|-dg] в смеси. Эквивалентное определение:
функция у (|) представляет собой отношение доли уал элементарной
фракции [|, | + d |] к ее размеру d |. Так как доля безразмерна, то
размерность функции у (g) всегда обратна размерности
соответствующего физического свойства \:
Ms)] = 1/[1]. (1.4)
Например, [y(p)]=m3/t при [р] = т/м3; [у(/)] = мм-1 при
[1\ = мм.
Возможно другое определение: функция у (g) представляет собой
дифференциальное распределение, или плотность распределения
твердого по элементарным фракциям. В сходном смысле набор
выходов фракций 7г (т. е. уи yz, . . . , уп) представляет собой
распределение (интегральное) ^твердого по конечным фракциям. Полный
набор выходов фракщ-.й уи yz, ■ • ■ , \п совместно с заданными
размерами фракций приближенно эквивалентен функции у (с,).
Последняя заменяет и обобщает этот набор при Д|г—>-0 и п-—»-оо.
Приближенно значения функции у (|) в дискретных точках |г-
могут быть вычислены по известным выходам (долям) конечных
фракций с помощью формулы (1.3): делением выхода yi на размер
фракции Ag,-. Это относится как к равномерному, так и к
неравномерному разбиению диапазона [|min, imax]-
Введением функции у (|) заканчивается первая часть
количественного охарактеризования фракционного состава минеральных
материалов, учитывающая физические свойства | частиц.
Вторая часть должна учьтывать содержание р ценных
компонентов (или вредных примесей) в частицах. Для этого достаточно знать
среднее содержание компонента (3, в _каждой г'-й фракции [g\-, £,-+i]>
т. с. знать набор чисел Pi, р2, .... Р„. При уменьшении размера
фракций А|г—*-0 и соответствующем увеличении их числа п-—*■ оо
в диапазоне [|mm, £тах] этот набор чисел заменяется непрерывной
функцией р (|).
Например, в угле при изменении плотности частиц о от pmin — 1.1 т/м3 до
рта* = 2,5 т/м3 содержание золы (53 (р) линейно наоастает от 0 до 100%.
19

Зависимость Р (I) содержания компонента от
физического свойства частиц является второй и последней
характеристикой состава сырья.
Внутри каждой узкой, или элементарной, фракции отдельные
частицы могут иметь различные содержания; набор рь р2, . . . , (3„ и
функция (3 (|) дают средние содержания внутри фракции.
Идея типового метода экспериментального определе-
н и я выходов у; = 7 (h) Д h фракций и содержаний Pi в них
компонента, а также функций у(1) и Р(|) сводится к следующему. Проба
исходного материала взвешивается для получения S Pi [см.
формулу (1.1)]. Затем она разделяется на п = 4-ь 10 фракций с
размерами Agi, Д|2, ■ • • , &Ъп внутри диапазона [gmin, |тах]. Для
сепарации в зависимости от исследуемого физического свойства
применяются те или иные методы и аппаратура. Так, при разделении по
крупности (g = /) применяются ситовый или седиментационный
анализ, по плотности (| = р)—депсиметрический, по магнитной
восприимчивости (| = х)—магнитный и т. д. После_сепарации каждая
г'-я фракция взвешивается для нахождения Pi и yi = Pj/2 Pt;
параллельно в каждой фракции определяется содержание компонента
р(. По этим данным (у{ и р,) находятся функции у(1) и P(s)
{табл. 1.1).
Т а б л и и а 1.1
Фракционный состав угля, полученный денсиметрическим анализом
(разделением пробы в тяжелых жидкостях)
Границы
фракции
Pi, т/м-1
1,1—1,4
1,4—1,7
1,7—2
2—2,3
2,3—2,6
Масса
фракции
ff КГ
0,4
0,2
0,15
0,15
0,1
Фракционный состав
Доля фракции
7,- = Y(Pi)Api =
= Pi<* Pi
0,4
0,2
0,15
0,15
0,1
Содержание золы
во фракции
Р/» Р(Р), Г.Ь
10
30
50
70
90
V(p)»Vi/Api. м3/т
1,33
0,67
0,5
0,5
0,33
Итак, фракционный состав минерального мате^иала_ может быть
охарактеризован дискретно наборами чисел А£(, у, и р( либо
непрерывно фунюциями у (5) и Р (!)•
Функции 7 (?) и Р (I) являются наиболее точными и полными
характеристиками состава, они необходимы и достаточны для оха-
рактеризования состава минерального материала. Так, по известным
7 (I) и Р (?) вычисляются любые другие характеристики материала.
Вылод любой конечной фракции [Н;, Ъ+-.] определяется по
формуле
_ 6|Ч.,
7i= \ Y(i)d£. (1-5)
20

В частном случае постоянства подынтегральной функции получается
формула (1.1).
Среднее содержание компонента в конечной фракции [£*, g;+i]
определяется по формуле
"p!=Trr'fp(s)7(s)dg. (1.6)
Здесь 7; — относительная масса (%) всего твердого в i-й конечной
фрак.ции (выход); интеграл — относительная масса компонента
в этой фракции.
Если функции v (I) и Р (I) аппроксимировать к ступенчатому
дискретному виду с шагами Д |{ внутри диапазона [|тт, gmax], то
формулы (1.5) и (1.6) вследствие постоянства подынтегральных
у (|)_и В (|) на каждом Д gi дадут упомянутые выхода yt и
содержания В,- для всех фракций.
Если в формуле (1.5) конечная фракция занимает весь диапазон
[imin, Imax], то доля ее равна единице. В результате этого
получается следующее условие нормировки функции у (|):
чпах
J V(l)dg = I- (1.7)
smln
Формула же (1.6) дает в этом случае среднее содержание
компонента в исследуемом материале (например, в исходном
продукте, концентрате) в целом:
— ппах
Р = j P(5)v(S)dg.
smin
Вместо В (s) можно, что иногда целесообразно, ввести
распределение компонента по фракциям укомп (I) = У (£) Р U)/P> которое
сравнимо с распределением твердого по фракциям у (|). Применение
В (|) делает теорию более простой.
Перейдем к методам охарактеризования обогатительных
аппаратов и схем обогащения.
Извлечение твердого конечной фракции [g,, |*+1]
или Is,, %г + А §г] в концентрат отдельной операции или схемы
обогащения (см. рис. 1.2, а, в) равно соотношению масс (производитель-
ностей) твердого этой фракции в концентрате PjK и в исходном
продукте Р,-нсх:
е,'н = PiJPincx = Qi<yiJ(Qn<-xyiurx) =
= Q« yK(ci) Mii! (Que упсАЬ) Mi), (1.8)
где Qv и Qncx — полные производительности по твердому
соответственно для концентрата и исходного материала, т/ч. В числителе
формулы (1.8) произведение QK на выход (долю) фракцик уц< =
= ук (ii) A |i дает производительность этой фракции для
концентрата; в знаменателе — то же для исходного продукта. Здесь ук {%) ха-
21

рак.теризует распределение твердого по фракциям в концентрате,
а 7исх (£) — в исходном продукте.
«Разделительны^ числа», или ряд извлечений конечных
фракций EiK, егк, ■ • . , еПк, получим разбиением полного диапазона
Limm, Imax] на п конечных фракций Д |i, Д |2, • ■ • , Д |п, применив
для каждой фракции формулу (1.8).
При Д|г—>- О и п—>-оо этот ряд превращается в непрерывную'
функцию — сепарационную характеристику:
ек(1)= QIt7K(|)ds/(Q..cx7„cx(s)d|) =
= 7к7к(|)/7исх(&)
(1.9)
схемы
eK(g),
где ук= Qk/Qhcx — выход концентрата, доли ед.
Сепарационная характеристика операции илр.
(см. рис. 1.2, а, в) представляет собой непрерывную функцию
показывающую зависимость извлечения элементарных фракций
[|, | + d g] в концентрат от физического свойства |. Другие
возможные термины для ек (g)—разделительная функщ.я, главная
технологическая характеристика сепаратора (или схемы), кривая
извлечений фракций в концентрат и т. д.
Сепарационная характеристика по хвостам ехв (I) получается из
8К (1) по формуле
ек(£)+е„(£)= 1.
Благодаря этому равенству для двухпродуктовых схем и
сепараторов достаточно знать только одно из слагаемых: ек (£) или ехв(§)-
Баланс по любой элементарной фракции для двух-
продук.товой операции (или схемы в целом):
<7k(s)+7xb(£)= <7..ox(s); ЯА1)= eK(g)7.,cx(l),
Як (g) = QkV« (5) d I', <7хв (£) = QxbVxb (g) d g; (?ИСх (g)
где
= QhcxYhcx (?) d |
S + dg]-
Идеальная сепарационная
ступенчатый вид (рис. 1.8).
производительности по узкой фракции [g,
характеристика имеет
e,„(g)= 1(1-Ы =
для
для
для
>£Р;
/
/7,Т
/7
Х£иЭ
ч
\
\
А/
\
/^
\С£
\
4 £
Здесь для краткости применен
символ единичной ступенчатой
функции l(g — ёр); константа gp
указывает точку, в которой
происходит скачок на единицу.
Неидеальная
сепарационная характеристика
изменяется плавно между нулем
и единицей (см. рис. 1.8). Здесь
Рис. 1.8. Идеальная !-'нЛ и нендеальиая нх
и рх„ сепарацноиные характеристики
22

в зависимости от типа сепаратора или схемы возможны самые
различные кривые. Реальные сепараторы и схемы, как правило, имеют
пеидеальные сепарационные характеристики.
Граница разделения gp = const соответствует
элементарной фракции, которая наполовину извлекается в концентрат,
наполовину-— в хвосты. Координата границы |р может быть вычислена
по известной 6ц (|) из следующего уравнения:
ек(ер)=0,5.
При графическом решении достаточно провести горизонтальную
линию на высоте 0,5 и из точки пересечения А опустить
перпендикуляр.
Во всех сепараторах и схемах обогащения предусмотрены
возможности для изменения положения границы разделения в
желаемом направлении, например, изменение плотности разделения
Рр = Рсусп в тяжелосредном сепараторе.
Крутизна с епарацио н ной характеристики tgcc =
= d e,<(|)/d g|t--5 в рабочей точке Л, соответствующей границе
разделения g = |р, является одной из оценок степени несовершенства
■сепарации для операции или схемы.
Чем больше крутизна, тем ближе сепарационная характеристика
к идеальной. Совершенствование сепаратора или схемы — это, в
первую очередь, повышение крутизны в рабочей точке.
Граница разделения gp и крутизна в рабочей точке tga —
главные параметры сепарациоиной характеристики eK(s)- По этим
параметрам можно приближенно оценить функцию ек (|), например
нарисовав ее график для наглядности.
Идея типового метода экспериментального определения
сепарациоиной характеристики основана на определяющей формуле (1.9).
Для работающего сепаратора или схемы нужно измерить
производительности Qhcx и Q,t и вычислить выход концентрата 7К = QK/Qucx',
взять пробы питания и концентрата и провести их фракционный
анализ для определения функций распределения уИСх (s) *•■ Y«(i);
произвести расчет по формуле (1.9). Определения функций р (|)
в пробах не требуется.
Важными являются теоретические методы нахождения сепараци-
■онных характеристик, основанные на изучении закономерностей
движения минеральных частиц в зонах сепарации под действием
различных сил (см. рис. 1.1). Такой подход позволяет найти общие
пути совершенствования аппаратов и схем обогащения.
Рассмотренная сепарационная характеристика является
необходимой и достаточной для двухпродуктовых аппаратов и схем.
Введенные функции у(Ъ), р (£) и е Ш могут быть^ представлены
в любой из трех обычных форм: графиком, таблицей,
математической формулой. Для практических расчетов удобнее таблицы,
особенно при использовании ЭВМ.

1.4. Прогнозирующее вычисление технологических показателей
обогащения и фракционного состава продуктов
для двухпродуктовых аппаратов и схем
Итак, .минеральный материал характеризуется двумя функциями
V (I) и Р (§), а сепаратор или схема — одной ек(|). Эти
характеристики применимы для прогноза технологических показателей обо'
гащения, а также для прогноза фракционного состава концентрата
и хвостов.
Начнем с примера идеальной сепарации (рис. 1.9). Исходный
материал (уголь) засорен породой; надо отделить малозольные
компоненты угля от зольной породы, которая является более плотной.
Материал сначала дробят, чтобы отделить друг от друга малозольные
легкие и зольные тяжелые частицы.
В результате, этой рудоподготовки диапазон изменения
физического свойства, т. е. плотности [pmm, Pmax], растягивается от
Pmm = 1,2 т/м3 до ртах = 3 т/м3, а зольность частиц в этом
диапазоне изменяется от 0 до 100% (см. рис. 1.9). Далее необходимо
сепарировать из исходной смеси по возможности все легкие частицы
с р < Рр в концентрат. Для этого исходный материал направляется
в сепаратор с тяжелой суспензией, имеющей плотность разделения
рр = 1,8 т/м3. Порода с р > рр тонет, уголь с р<рр всплывает —
так происходит гравитационное разделение в суспензионном
сепараторе. В результате утонувший продукт (хвосты) обогащается золой:
среднее содержание золы рХв в нем выше, чем среднее содержание
ее в исходном рисх; всплывший продукт (концентрат) обедняется
золой и рк < рисх- На рис. 1.9 этот процесс иллюстрируется с
помощью графиков функций 7иох(р), Рз (р) и 8ХВ (р). По оси абсцисс
отложена переменная плотность р частиц исходной смеси после ру-
1,Л
0,55
$-1,2)
Концентрат Х0осты
г*
/
0,5
3 />,t/wj
Концентрат
Авосты
узд/м5
ч , = !,2 Р Р =3 />>т/м3 Рис. I. 9. К прогнозу технологиче-
>mi" p '"""' ских показателей обогащения
24

доподготовкл. В данном примере частицы могут иметь плотность
в пределах 1,2 < р < 3 т/м3.
Чтобы показать, какая доля тех или иных фракций находится
в исходной смеси, рассмотрим график функции Yncx(p); считаем
распределение равномерным. Вся площадь (1,2<р<3) под этим
графиком равна 1 (или 100%). Если плотность суспензии в
упомянутом сепараторе рсуСп = Рр = 1,8 т/м3, то всплывают частицы,
имеющие р<1,8 т/м3 (1,2<р<1,8 т/м3), а тонут частицы с
р>1,8 т/м3 (1,8<р<3 т/м3). Таким образом происходит
разделение смеси по физическому свойству р частиц. Вычислив площади
под графиком функции уисх (р) на участках р < 1,8 т/м3 и
р > 1,8 т/м3, найдем выход всплывших (концентрата) и утонувших
(хвостов) частиц:
Рр Ртах
Yk = Г Yncx(p)dp; у™ = (' Y«'-x(p)dp = 1 — Yk- (1.10)
pmln pp
Функция p (p)—линейная: p = —66,7 +55,5 p; именно линейно
зависит зольность от плотности частиц для многих месторождений [8].
С помощью функций y (р) и Р (Р) можно вычислить средние
содержания компонента (золы) в исходном продукте, концентрате и
хвостах:
Ртах
Ригх- ] Yncx(p)P(p)dp; (1.П)
Pmln
Pk = Y^ ! P(p)Y..cx(p)dp; (1.12)
p ■
'mln
_ <<-1 pmax
Pxb = Yxb \ P(p)Yu«(p)dp. (I13)
pp
Эти формулы являются частным случаем формулы (1.6) для
содержания в конечной фракции, когда конечными фракциями взяты
Ipmm, Pmax], [pmln, Рр], [Рр, Ртах]. Из Yk, Yxb, Рь, Рхв, Рисх обыЧНЫМ
путем по формулам (см. с. 10) можно найти извлечения.
Для рассматриваемого примера (см. рис. 1.9) при рг = 1,8, применив формулы
(1.10) — (1.13), получим:
1 ,8
Yk- j dp/(3 —1,2)- 0,55р|{-* .-.0,55(1,8—1,2)-0,333-33,3%.
1 .2
Yxb--1 --Yk-- 1—0,333 ^ 0,667 - 66,7 %;
3
рисх = j" (3 — 1,2)—i (— 66,7+55,5p)dp - (3-1,2)-iX
I ,2
X (.-66,7p-!-55,5p2/2)|3i2 -- 50%;
l .8
P,(..= 0.333-1 f (3-1,2) -i (-66,7-!-55,5p) dp -[0,333(3-1,2)]-' x
l",2
25

X (—66,7p -■- 55, 5p2/2) | {; 5 16,6 %;
_ з
p\B--0,667-1 J (3- • 1.2)-4—66,7 ; 55,5p)dp-.- |0,667(3- l,2)]~'v
1 ,8
X (— 66,7p -r 55,5p4/2) I'Jg - . 66,7 %.
Прогноз показателей идеальной сепарации по формулам (1.10) —
(1.13) можно сделать для любой плотности разделения рр, а также
для любой формы функций v (р) и Р (р).
После сепарации по физическому свойству р произошло
изменение содержания компонента в двух продук-тах, полученных из
одного исходного, так как содержание компонента р было различным
в различных фракциях, т. е. для частиц с различным физическим
свойством р. Если бы функция р (р) была горизонтальной, т. е.
содержания во всех фракциях одинаковы, то даже при рассмотренной
идеальной сепарации средние содержания в концентрате и хвостах
были бы одинаковы, и обогащения бы не произошло. Следовательно,,
идеальная сепарация не дает идеального обогащения; для этого
требуется еще и идеальная рудоподготовка со ступенчатой функцией
Р(Б).
Формулы (1.10) — (1-13) характеризуют идеальную
гравитационную сепарацию, когда сеиарационная характеристика имеет
ступенчатый характер ек (р) = 1 (р-—рр).
Формулы для прогноза технологических показателей для
любого метода обогащения при идеальной сепарации
имеют вид:
^тах ьтах ~"'n х
7н =" I V"<-x(?)ds« Y Y:ini(s.-)'U,= J] Y/ "<■:,-; 0-14)
?p "V ;p
P..- = >' TXp(5)7(S)dH « V Y P<?;:I".-:;.■■:(s)/AS,, (!.15)
Если подынтегральные выражения 7ИСХ (?) и р (?) не являются
простыми, как в рассмотренном примере, то при расчетах
интегрирование заменяется суммированием: в формуле (1.14) суммируются доли
(выхода) Yincx фракций в диапазоне концентрата [?р, ?тах]; в
формуле (1.15)—произведения этих долей у^чсх на содержания_р (li)
во фракциях в том же диапазоне ^концентрата. Формул для у,,- и рк
достаточно, так как ухв, рХв, Рисх, ек, £хв вычисляются по балансным
формулам:
7к + 7хв = 1; V" Рк + 7хв Рхп = Рисх.
Разделение («разрезание») полного диапазона [?min, ?max] в
точке g = |р = const на зону концентрата ? > ?Р, [?Р, ?тах] и зону
хвостов I < ?р, [?min, ?р] без взаимного засорения фракций
концентрата и хвостов является главной отличительной чертой идеальной
сепарации.
26

При идеальной сепарации фракционный состав концентрата
;Рк (?1> 7к (?) [и хвостов 7хв(£)] получается как часть у11СХ (?) и
Р (?), взятая для зоны концентрата. Вследствие нормировки иг
единицу^ [см. формулу (1.7)] ординаты функции уисх (?) надо изменить
в 1/yk раз:
Yk(I) = Y»cx(5)/yk при ?P<?<?max; (I.16)
аналогично для хвостов
Yxb(S) = Y"Cx(s)/Yxb "РИ ?mln < S < Sp- (1-17)
Таким образом, для концентрата график функции ук (?)
повторяет график функции уас* (?) в зоне концентрата [?р, ?тах] с тем
лишь отличием, что все ординаты его в 1/ук раз больше; вне зоны
[?р. Imax] функция ук (?) равна нулю. Для хвостов график функции
Yxn (I) повторяет график функции 7ИСХ (?) при увеличении ординат
в 1/yxb раз в зоне [?mm, |р]; вне этой зоны ухв (|) = 0.
Функции рк (?) и Рхв (?) в точности повторяют функцию р (|)
для исходного материала (каждая в своей зоне). Поэтому
справедлива имеющая большое значение формула о неизменности
функции содержания р (?) для продуктов сепарации:
Рк(Е)=Рхв(?)=Р„сх(|).
При неидеальной сепарации отдельным аппаратом или схемой
обогащения (см. рис. 1.2, а, в) в формулы прогноза технологических
показателей дополнительно вводится сепарационная характеристика:
_ £max *max
Y«= J e,«(g)YHcx(g)clg« £ e„(g1)YH«(Ef)Ag«; (1-18)
£mln 5m[n
_ _ . »inax _ . ernax
Pk = Yk f eIt(?)P(?)YHcx(?)d?-7~l V ек(ЫР(Ы7"сх(5*)Д5*.
^mln Wnln
(1.19)
По сравнению с формулами (1.14) и (1.15) для идеальной
сепарации здесь имеем два новых элемента: сомножитель ек (?) и
интегрирование в пределах полного диапазона [?min, Imax], а не от
границы разделения |р. Пределы интегрирования можно заменить, взяв
их от ■— оо до + оо, что не изменит результата, так как вне
диапазона [Emm, imax] фуНКЦИЯ Yncx (?) = 0. ЕСЛИ В формулы (1.18) И
(1.19) подставим ек (?) = еид (?) = 1 (| —?р), то получим
рассмотренные формулы для идеальной сепарации юак частный случай.
Действительно, в первом интеграле e,t (?) = 1 при ? > |г и
е.к(с)=0 при |<|р> поэтому достаточно проинтегрировать ЬуисхШ
на интервале ? > ?р. Эти рассуждения действительны и для второго
интеграла.
Ввиду исключительной важности формул (1.18) и (1.19)
рассмотрим их доказательство. Поток (т/ч) произвольной
элементарной фракции [?, ? + d |] в концентрате определяется по формуле
Q„Y..(1)<U = QnrXeK(g)v..rx(g)dg. (1.20)
27

Это следует из определения понятия сепарационной характеристики.
Проинтегрировав равенство (1.20) от gmln до gmax, что соответствует
суммированию вкладов всех потоков элементарных фракций в кон-
центрат, получим общий поток твердого в концентрате
?тах
Qk=QH(;x f eK(g)vncx(s)d |.
sJ.
nnin
Здесь учтено условие нормировки для функции распределения
концентрата
*тах
j Yk(|)(U=1.
Далее, учитывая, что выход концентрата \,t=QIQm-\, получаем
формулу (1.18).
Поток (т/ч) ценного (вредного) компонента, например металла
или золы, переносимого в концентрат с упомянутым потоком
твердого .произвольной элементарной фракции, определяется по формуле
[P(g)/100]QKv«(g)dg=[p(g)/100]QIICXe„(i)vH«(g)clI. (I.21)
Здесь р (|)—содержание (%) компонента в элементарной фракции,
а р (g)/100 — его массовая доля. Проинтегрировав последнее
равенство от |гащ до gmax, что соответствует суммированию вкладов всех
элементарных потоков компонента, получим суммарный поток
компонента в концентрате
"max sr";iN
(Q!:/100) J' P(shB(s)d£=(Qm.x/100) j 8K(s)P(5)7"<:x(i)de.
smin *mtn
Учитывая, что интеграл в левой части равен среднему
содержанию компонента в концентрате рк, получаем формулу (1.19). Данное
доказательство поясняет также и физический смысл формул (1.18)
н (1.19).
Мнемоническое .правило запоминания формул (1.18) и
(1.19): для вычисления выхода концентрата ун надо интегрировать
произведение двух функций: ек (|) и 7исх(§); Для получения
среднего содержания в концентрате Рк надо интегрировать произведение
трех функций: ек(|), (J (|) и упсх (I) в пределах полного диапазона
LSmin, gmaxj •
Фракционный состав концентрата и хвостов
рассчитывается согласно формуле (1.20) следующим образом:
уЛ1) = е«(1)У«сА1)Ы (1-22)
Txn(s) = Ехв(|Ьпсх(Ш7хв = [1 — eK(5)JVHfx(g)/(l - 7.0-
Эти формулы являются обобщением формул (1.16) и (1.17) для
идеальной сепарации и показывают, что при неидеальной сепарации
«разрезание» функции уИсх (|) в точке границы разделена |Р соп-
28

ровождается взаимозасорением продуктов: часть фракций из зоны
концентрата попадает в хвосты и наоборот.
Положение о неизменности функции р (|) для неидеальной
сепарации также действительно:
PK(g)=PxB(g)=P„cv(g)=P(g). (1.23)
Таким образом, зная характеристики питания уИСх (£) и |5 (|),
а также 8ц (g) для операции или схемы обогащения, можно
предсказать технологические показатели ук, рк и фракционный состав
продуктов но формулам (1.18), (1.19) и (1.22), (1.23).
Рассмотрим расчет технологических показателей в табличной форме на примере
табл. 1.2. Фракционный состав угля уЯсх ((>) и (3 (р) в питании операции (или схе-
Т а б л п ч г. 1.2
Расчет технологических показателей
Фракционный состав питания
Те
1 ^
С. i-
М
1,2—1.4
1,4- 1,6
1,6—1,8
1,8-2,2
2,2—3
1,2—3
0,2
0,4
0,2
0,1
0,1
2 = 1
о
с:
ZJ
I
о
г*
0
15
45
65
90
Р\,сх =
= 30,5
* 3 3
HI
— о
3 ^ —
га л q7
= С —
о я ^
0,97
0,6
0,4
0,1
0,03
I Ioiok твердого
во фракциях
концентрата
' Ч; - V„rxMPi> X
X V;,,-ч(р;)Ар/. 1/4
0,97 • 0.2
0,6 • 0,4
0,4 ■ 0,2
0,1 • 0,1
0,03 • 0,1
Q„ = ^"- =
= 0,527 Q„(.x
11о:ок hoju
во фракциях
концентрат,]
Х1Г(Р;)/100|Р,,.(р()Х
X 7,1(:х(Р,)Ар;. т/ч
(0/100) 0,97 ■ 0,2
(15/100) 0,6 • 0,4
(45/100) 0,4 • 0,2
(65/100) 0,1 -0.1
(90/100) 0.03 • 0,1
^,, = 0,0812 Q„,x
X
Э 3
1 р- ■'-
= 2 . 1
IB*
0,368
0,456
0,152
0.018
0.006
S-1
мы) дай в первых трех столбца*, причем диапазон от pmm = 1,2 т/м1 до ртах =
= 3 т/м3 разбит на пять фракций. Там же вычислено среднее содержание золы
в питании рИСх = 0 • 0,2 - 15 ■ 0,4 + 45 ■ 0,2 -f 65 ■ 0,1 + 90 ■ 0,1 = 30,5%.
Следующий столбец представляет собой неидеальную сепарационную характеристику,
показывающую, что легкая фракция извлекается в концентрат почти полностью (0,97),
а тяжелая — почти не извлекается (0,03); граница разделения рР = 1,5 т/м3; для
нее 8К (рР) = 0,5.
В следующем столбце вычислены потоки отдельных фракции но формуле (1.20)
Суммируя эти потоки фракций, т. е. применяя основную формулу (1.18), получаем:
Ук = У„сх (0,97 • 0,2 + 0,6^ 0,4 + 0,4 ■ 0,2 + 0,1 • 0,1 + 0,03 -0,1) = 0,527 QHCX, т. е.
выход концентрата равен у„ = Qk/Qhci = 0,527 = 52,7%.
В следующем столбце по формуле (1.21) вычислены потоки компонента (золы),
переносимые в концентрат фракциями. Суммируя эти потоки золы и деля на
полный поток твердого концентрата Q„, т. е. применяя основную формулу (1.19),
получаем среднее содержание золы в концентрате: р,;— [100/(0,527Q„,.X)] Q,:i. N [(() :
: 100)0,97-0,2 + ...+ (90/100)0,03-0,1] = 15,4 %-
В рассматриваемом примере из каждых 100 кг твердого в питании,
содержащих 30,5 кг золы, в концентрат уходит 52,7 кг твердого и 8,12 кг золы, что дает
содержание золы в концентрате 8,12/52,7 = 0,154=15,4%. При этом самая легкая
29

фракция Af)| = l,2-Hl,4 т/м3 песет в концентрат 19,4 кг твердого без золы (из
20 кг твердого этой фракции в питании); следующая фракция Д р2 = 1,4 ч- 1,6 т/м3
несет 24 кг твердого с содержанием золы 15% (из 40 кг этой фракции в питании);
фракция Д рз = 1,6—1,8 т/м3 несет 8 кг твердого с содержанием золы 45% (из
20 кг твердого в питании); фракция Д р4 = 1,8 4-2,2 т/м3 несет 1 кг твердого с
содержанием золы 65% (из 10 кг твердого в питании); фракция Д р5 = 2,2 Н-3 т/м3
несет 0,3 кг твердого с содержанием золы 90% (из 10 кг твердого в питании).
В последнем столбце по формуле (1.22) вычислен фракционный состав
концентрата Yk (Pi) Дог, функция же p\t (рг) для него остается такой же, как в третьем
столбце для питания [согласно формуле (1.23)].
Этот расчет рассмотрен более подробно, чем требует формальное применение
формул (1.18) и (1.19), чтобы показать логику переноса отдельными узкими
фракциями в концентрат как минеральных частиц в целом (твердого), так и золы
(компонента), содержащейся is минеральных частицах.
1.5. Обобщение на случаи сложного минерального сырья и схем
Частицы сырья могут различаться не одним, а несколькими («)
физическими свойствами £—*-1и . . . , |„ и содержать несколько
(т) ценных (учитываемых) компонентов. Тогда фракционный состав
нужно оценивать «-мерными функциями у (ii i„) и pi (|i,
. . . , |n), • • • , Pm (1ь • • • , in), которые являются обобщением
рассмотренных у (%) и р (i). Обобщение сепарационной
характеристики для i-ro продукта технологической схемы (например i-го
концентрата): е (i)—>-8t(ib .«. . , i„).
Формулы для расчета технологических показателей имеют
следующий вид:
выход £-го продуюта
~у> = s ... /Mil- ..., inh..cx(ib ..., in)dib .... <ц„; (i.24)
D
содержание у'-го компонента в г'-м продукте
р\-, = тг'/ ... /Mil-
D
XYhcx(£i,
. in)ej(ii. ■ ■ •
., |n) d |i . . . , d in,
In) X
(1.25)
где D — гс-мерная область изменения физических свойств сырья
(рис. 1.10).
Они обобщают формулы (1.18) и (1.19).
z, Среднее содержание /-го компонента
—•- в сырье определяется поформуле
\
Pjiicx = J" • • • J" P.i(il.
D
, in)dib
, in)7ncx(ii,...
din, (1.26)
а среднее значение у'-го физического
свойства частиц сырья — по формуле
Рнс. 1.10. Двухмерная область
D и подобласть Dt изменения
физических свойсто
6,i "<'Х
= j" ... / gj Yncx(ii, -
in)dib
S«-
30

в
II. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДВИЖЕНИЯ
МИНЕРАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
РАБОЧИХ ЗОНАХ ОБОГАТИТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В этой главе рассматриваются теоретические аспекты,
позволяющие предсказать ход процесса сепарации минеральных частиц в
пространстве рабочей зоны (х, у, z) и времени t для любого
обогатительного аппарата. Для этого вводится понятие о функции
состояния у (s, х, у, z, t) .минерального материала в зоне; рассматривается
общая методика составления уравнений сепарации, решения которых
предсказывают функцию состояния. Эти уравнения сепарации по
своей физико-математической природе сравнимы с уравнениями
математической физики (например, с уравнениями диффузии). Но
специфика процессов обогащения и, в частности, необходимость
учитывать непрерывно изменяющиеся физические свойства минеральных
частиц (|min < | < gmax) делает эти уравнения далеко выходящими
за пределы известных типов уравнений математической физики;
составление и исследование этих уравнений открывает интересные
возможности для развития теории обогатительных аппаратов.
В качестве первого практического 'приложения получаемых
возможностей предсказания предлагается метод теоретического
получения сепарационных характеристик е (£) аппаратов.
II.1. Фракционный состав (функция состояния!)
минерального материала в рабочей зоне
и фундаментальная задача предсказания его
Рабочая зона обогатительного аппарата — это часть его
пространства, в кюторой исходные минеральные частицы подвергаются
действию сил, заставляющих часть из них (| > gp) двигаться в
сторону разгрузки концентрата, а другую часть (| < |р) — в сторону
разгрузки хвостов. Границы зоны могут иметь различные геометриче-
Исходный
продукт
Pi (р)
]f(j],X,H,Z,i)
ентрагтг
Рис. II.1. Пример рабочей зоны: постель отсадочной машины
:и

ские формы: чаще всего сепарация происходит в объеме
пространства (например, в постели отсадочной машины, рис. II.1), реже на
поверхности (например, сепарация по трению на наклонной
плоскости), еще реже на линии (например, радиометрическая сепарация па
линии отсечки летящих частиц). В любом из этих случаев
местоположение любой локальной точки зоны можно указать
прямоугольными координатами х, у, z для трехмерного пространства (х, у — для
двухмерного к х — для одномерного). Для рабочих зон существенно
непрямоугольной формы может (потребоваться иная система
координат (например, цилиндрическая для гидроциклона).
Материал, подвергаемый обогащению в пространстве рабочей
зоны, неоднороден, т. е. его фракционный состав зависит от координат
пространства (х, у, z) и меняется от точки к точке. Этот
переменный фракционный состав будем по-прежнему характеризовать
функцией распределения типа у (g) или в общем случае у (gi, . . . , g„)
с добавлением зависимости от координат у (g)—*-у (g, х, у, z).
Если режим работы аппарата нестационарен, например
вследствие изменения во времени производительности по питанию Qncx=
= Q,ux(t) или фракционного состава питания 7и«(£) =7исхХ (g, t)
и р = Р (g, О» в Функцию у (g, х, у, z) нужно ввести еще
зависимость от времени: у (g, х, у, z, t) или в общем случае у (|ь . . . ,
|„, х, у, z, /).
Число у (g, х, у, z, t) d g представляет собой массовую или
объемную долю (концентрацию) частиц элементарной фракции [g, g +
+ d g] в окрестности точки (х, у, z) в момент времени t. Другими
словами число у (g, х, у, zt t) d g есть вероятность обнаружения
1 к.г (1 мг, 1 м3) частиц фракции [g, g + d g] в 1 кг (1 мг, 1 м3)
смеси в точке (х, у, г) в момент t. Массовые и объемные^ меры
связаны между собой выражением умс (g) = Yoo (g) p (g)/p, где р —
средняя плотность частиц смеси; р (g)— зависимость плотности
фракций от их физического свойства.
Функция у (g, х, у, z, t) определяет состояние смеси частиц в
любой точке зоны, поэтому ее можно называть функцией
фракционного состояния. Эта функция может быть определена
экспериментально взятием пробы из точки (х, у, z) с последующим ее
анализом или теоретически с помощью уравнений, рассмотренных
ниже.
Средний фракционный состав в любой конечной части
Vi зоны вычисляется интегрированием по координатам пространства
Yi-.(si. ■■-. Sn)= Vf'Jfb(£i. ■■■<lr„ x, у, z)dxdydz. (II.1)
' vi
Эта формула имеет практическое значение для нахождения
фракционного состава концентрата или хвостов; тогда интегрирование
ведется по зоне разгрузки концентрата У,- = Ук или зоне разгрузки
хвостов Vi = Ухв.
Имеет силу независимость функции pj (g) для любого /-го
ценного компонента от координат пространства зоны, т. е. в любой
точке зоны справедливо соотношение [ср. с формулой (1.23)1
pj:!(e, х, у, г, /)= P*.r-*(g) = Ms)-
32

Среднее содержание /-го ценного компонента
в произвольной точке (л:, у, z) зоны определяется по формуле
— *тах
Ых, У, г, t)= ) Ы1)У(1. х.у, z,t)Al (H.2)
smin
а среднее содержание ценного компонента в выделенной части
объема Vt зоны в стационарном режиме — по формуле
_ , 'max
P/"j = VT ИI шУйг ) &(s)t(s. x, «/, z)d E =
= УТ*ПШ*> У> z)dV. (II.3)
По формуле (П.З) можно вычислить содержание ценного
компонента в концентрате и хвостах, беря для усредняющего
интегрирования зоны отвода концентрата и хвостов Vt=VK и Vi=VXB.
Фундаментальная задача научного детерминизма применительно
к описанию хода сепарации минерального материала в зоне ставится
следующим образом: требуется предсказать функцию состояния
Y (s. х, у, z, t) или у (|ь . . . , g„, x, у, z, t) в любой точке х, у, z
при t > О, если она задана в загрузке зоны в виде фракционного
состава 'питания Yhcx (£) и внутри зоны в момент ^0 = 0. Подобные
задачи являются главными во всех точных науках: в астрономии —
предсказание движения планет, в химии — предсказание изменений
концентраций реагирующих веществ в зоне реакторов и т. д. Функцию
Р(|) предсказывать не надо из-за ее неизменности.
Это еще одна из причин выбора функций типа р(|) (а не
упомянутой на с. 21 Ykomii(s) =y(£)P(I)/P) B качестве указателя
распределения ценных компонентов во фракциях.
Решение этой задачи ведет ко многим практическим
приложениям, в частности, позволяет вычислить теоретическим путем сепа-
рационную характеристику е(|) через фракционный состав
концентрата по формуле (II.1).
Фундаментальная задача может иметь ряд названий:
предсказание хода сепарации, предсказание массопереноса, предсказание
фракционного состава; но, строго говоря, суть одна — предсказание
функции состояния y (£, х, у, z, t) или в общем случае y (ii. • • •, im
х, у, z, t); далее по формуле (II.2) легко находится распределение
/-го компонента по зоне.
В окрестности любой точки х, у, z зоны обогащаемый
минеральный материал занимает не весь объем (или массу), а только часть
его m = tn (x, у, z, t) (м3/м3, кг/м3, кг/кг), а остальная часть,
равная 1 —гп, приходится па долю среды.
В общем случае степень заполнения минеральным
материалом пространства является функцией координат пространства и
времени. Во многих случаях для простоты можно допускать m (x, у,
г, t) = m = const, т. е. условие равномерной степени заполнения.
Степень заполнения не имеет никакого значения при подсчете
технологических показателей обогащения, так как среда при этих
2 Зак. 613 33

подсчетах не взвешивается, и может выступать как- промежуточный,
фактор при решении фундаментальной задачи предсказания в ряде
аппаратов. Тогда может потребоваться v-функция вида
Тш>лн(|, X, у, Z, 0= '"Тмат(|) + (1 —m)Ycp(s).
где уполн — полное распределение материала по фракциям,
объединяющее материал умат и среду уср-
Н.2. Понятие о поле статистических усредненных скоростей движения
частиц элементарных фракций в зоне
В зоне сепарации аппарата под действием сил минеральные
частицы любой элементарной фракции [g, g + d g] движутся с
усредненной скоростью v (м/с), зависящей от |, х, у, z, t
v{l, x, у, z, t)= vx{l, x, y, z, t)i+ vv{l, x, y, z, t)j +
+ vz{l, x, y, z, t)k,
где i, j, k — единичные векторы вдоль осей координат х, у, z. Здесь,
вектор скорости v разложен на составляющие вдоль осей координат.
Усредненная скорость —это так.ая скорость, из которой исключена
хаотическая случайная составляющая.
Векторная функция v (g, х, у, z, t) для фиксированного g = const
во всех точках зоны сепарации определяет поле скоростей в
зоне элементарной фракции [g, g + dg]. Поля скоростей различных
фракций различны, поэтому одни фракции движутся к разгрузке
концентрата g > gp_, а другие — к разгрузка хвостов g < gp.
Объединенное поле скоростей всех фракций в диапазоне [gmm,
—>-
gmaxj определяется функцией v (g, x, у, z, l) при переменном
gmin < g < gmax-
Нахождение поля скоростей v (g, x, у, z, t) является важнейшим
промежуточным шагом в решепки поставленной выше
фундаментальной задачи предсказания: по известной функции v (g, x, у, z, t)
однозначно и строго вычисляется искомая функция состояния у (g, x, у,
г, t) (из закона сохранения, который рассматривается ниже).
П.З. Взаимосвязь между полем скоростей и функцией состояния
в виде закона сохранения
Локальный закон сохранения для элементарной фракции. Между
функциями у (g, x, у, z, t) и v (g, х, у, z, t) существует взаимосвязь,
называемая законом сохранения (вещества).
Физический смысл закона (а также его следствий и
разновидностей) можно выразить в следующей словесной формуле:
секундное накопление материала в произвольном объеме равно,
входящему через границу потоку минус выходящий через границу
поток и плюс поток источника внутри объема.
34

Рис. 11.2. К накоплению элементарной фракции в элементе одномерного (а) и
трехмерного (б) „пространства
Локальный фракционный, т. е. справедливый для окрестности
любой локальной точки х, у, z и любой элементарной фракции,
закон сохранения может быть записан в следующем виде:
—*•
д (т у) fdt = —div (т у v) + W = —д [m у vx) fdx —
—д (my vv) /ду — d{tny vz)/dz + W, (II.4)
где m = m (x, y, z, t); у = у (|, х, у, z, t) и v = v (|, л, г/, г, t) или
-*■ —>■
в общем случае v = 7 (ii. • • • . In, x, у, z, t) и v = v (gb ...,£„,
x, г/, г, /); W=№(|, x, y, z, t) —подводимый (отводимый) поток
источника (стока) фракций.
->
Напомним, что дивергенцией любой векторной функции А, завн-
—*-->■-*- -».
сящей от х, у, z, t (здесь А = yv или А = myv), является
скалярная функция
div Л = дАх/дх + дАУ1ду + dAJdz = lim V~l i ~Л dS,
V-0 S
где Ax, Ay, Az — проекции А на соответствующие оси х, у, z; V —
локальный объем; 5 — ограничивающая поверхность вокруг точки х,
У, г.
При /и = const и № = 0 вместо уравнения (П.4) можно записать
dyfdt = —div(v v)-
Доказательство равенства (II.4) (для одномерного случая без
учета W) исходит из баланса накопления к притока — оттока для
2* 35

элемента dx пространства (рис. II.2, а):
dxSd[m{x, t)y(l, x, t)dl]/dt = Sm{x, t) x
X vx (£, x, /)y(s, x, t)dl — Sm(x + dx, t) x
X vx (I, x + dx, t)y(l, x + dx, t)d%.
В общем случае нескольких физических свойств и трехмерного
пространства идея вывода аналогична, но с учетом того, что
накопление частиц элементарной фракции происходит в произвольном
элементе объема V (рис. П.2, б). В этом общем случае
суммирование потоков элементарной фракции dHi, . . . , dlnmyv
производится по замкнутой поверхности 5 вокруг объема V, поэтому баланс
«сумма потоков равна накоплению» имеет вид (аргументы функций
т, у, v опущены)
d|i, ..., d|n !t myvdS = --d£,, ..., dg„ Vdmv/64,
s
где vdS — скалярное произведение, дающее поток-,
перпендикулярный к элементу dS поверхности 5 (вектор dS направлен наружу
нормально к S и по значению равен dS).
В соответствии с определением дивергенции левая часть
преобразуется следующим образом:
lim V~l I- myvdS = di v {in у v),
v->o s
и .предыдущее равенство дает закон сохранения (II.4).
В распространенном на практике случае постоянной степени
заполнения т = const, величина т в левой и правой частях уравнения
(II.4) сокращается.
С математической точки зрения закон (П.4) представляет собой
одно уравнение с двумя неизвестными функциями у и и, поэтому
решение одного только этого уравнения не позволяет для
конкретного обогатительного аппарата определить функцию состояния у,
т. е. не позволяет решить фундаментальную задачу предсказания.
Как следствие, отметим локальный закон сохранения для всей
суммы фракций, получаемый интегрированием по | от |mln до gmax
из уравнения (П.4):
dtnldt = —div(mt2) + Q„c.T, (H.5)
->■ %iax -*
где vx(x, у, z, t)= j v и d | — средняя по фракциям скорость
5min
минеральных частиц, т. е. скорость транспортировки смеси; Цт.Т —
суммарный поток частиц всех фракций источника.
Из уравнения (II.5) следует условие постоянства т = const в
виде vz = const.
36

До сих пор рассматривались законы сохранения без учета
источников (ели стоков) материала внутри зоны. Однако такие источники
могут иметь место, причем они могут быть или распределены по
пространству, части пространства или сосредоточены в точке, линии,
плоскости, поверхности.
Подвод и отвод удобно количественно характеризовать
производительностью (i-.сточника) по любой элементарной фракции на
единицу объема пространства:
W = №„ст(£, X, у, Z, t)= Qact{x, у, Z, 0Yhct(s. X, у, Z, t),
где Qhct —суммарный поток всех фракций, кг/(м3-с) или м3-(м3-с);
7ист — распределение этого потока но фракциям, 1/[|].
Функци я Yuct неэквивалентна функции состояния у,
характеризующей материальный состав зоны аппарата. В фундаментальной
задаче предсказания массоперепоса уист обычно является заданной
(например, характеризует фракционный состав исходного питания).
Рассмотрим точечный источник в качестве примера
сосредоточенного источника. Практически точечные источники не существуют и
понятие о точечном источнике является упрощением, при котором
небольшая часть пространства, где материал вводится (отводится)
умышленно стягивается в точку, чтобы упростить математические
операции. Если точечный источник расположен в /-й точке хи уг z,
зоны, то для него функцию производительности можно записать
в виде
WT04= Qs(t)&(x —Хи У—Уй Z — Zi)yW:i{l, t),
где Qx — полная производительность источника, кг/с или м3/с; б —
дельта-функция, указывающая местоположение источника, 1/м3;
Тист — состав вводимого материала, 1/[|].
Таким образом, если материал вводится в зону в точке, то это
обстоятельство характеризуется двумя простыми (по сравнению
с общим случаем) функциями — суммарной производительностью
Qz и фракционным составом Yhct-
Чтобы сосредоточить (стянуть) распределенный по объему
источник в точку Xi, yu zu расположенную внутри объема V, надо из
функций Qhct {х, у, z, t) и 7ист (I, х, у, z, t), заданных в этом
объеме, найти:
<Ы0 = И №««(*, У. г, t)dV;
v
Тист(|, 0= 1/-'IHy..ct(H, x, у, z, t)dV.
V
Этим путем все распределенные источники можно сосредоточить
в одной точке или нескольких.
Важный случай для практики: в одну точку стягивается подвод
исходного питания аппарата №Исх — QhcxYhcx (i), в другие точки —
отвод концентрата WK = —QKyK(l) и хвостов №хв = — QXBYxb (i);
причем соответствующие б-функции указывают координаты этих
точек, и тогда производительность всех потоков можно объединить
в виде W = UV-X+ Wk+Wxb — для равенства (П.4).
37

Аналогичные рассуждения имеют место, когда сосредоточивание
производится не в точку, а на линию или поверхность.
Для стационарного режима д/dt — O локальные законы (II.4) и
(II.5) принимают вид:
div(myv)=W; div(m v^) = Qhot.
Интегральный закон сохранения для зоны сепарации.
Интегрирование по dV = dxdyd z локального закона сохранения по
объему V всей зоны сепарации дает следующий интегральный закон
сохранения для элементарной фракции:
-!-jrjmrd^frjVdK. (П.б)
V V
Объемный интеграл от div(myv) равен нулю, так как,
во-первых, на границах зоны скорость
Угр = V(1, Xrp, угр, 2гр) = О
и, во-вторых, в соответствии с теоремой Остроградского — Гаусса
<fddS= ff JdivX dV.
S V
Так как A = myv и на поверхности S, ограничивающей объем V
зоны, vrp = 0 и ЛГр = 0, левый интеграл по поверхности, а
следовательно и правый, по объему равны нулю.
В частном случае, если производительность W сосредоточена
в точках подвода питания и отвода концентрата и хвостов,
интегральный закон (11.6) принимает вид
-|- j"f { my dV = Qncx(t)y»cAt)-QK(t)yAt)- Qx*(t)y™(t) ■
V
Физический смысл интегрального закона: секундное изменение
суммарного количества любой фракции, запасенной в зоне, равно
разности подводимых с исходным питанием и отводимых с
концентратом и хвостами потоков этой фракции.
Интегральный закон при отсутствии источников (W = 0) имеет
вид
V
или после преобразований
${$my<lV = VmCpemyCpexn(l) = Mycpe№{l), (II.7)
v
где V и М — соответственно полный объем и запас материала в
зоне; тсредн и усреди — соответственно средние степень заполнения и
фракционный состав. В этом случае физический смысл интегрально-
38

го закона: средний фракционный состав в зоне без источников (и
стоков) не меняется с течением времени.
Аналогично интегрирование по dV = dxdydz локального
закона (II.5) дает интегральный закон сохранения для всего материала
V V
В упомянутом частном случае сосредоточения QHCT в трех точках
d Af/d / = Qnox(0— QK(t)~ Qxb(0.
где М = \ \ J'mdV — суммарное количество минерального материала,
запасенного в зоне, кг или м3.
В качестве примера рассмотрим постель отсадочной машины
(см. рис. II. 1). Здесь достаточно одномерной задачи, так как
сепарация ^проходит в вертикальном направлении х между границами
*mm и лгтах- Продвижение минерала от загрузки к разгрузке со
скоростью транспортировки утр=const можно заменить временем
t = ylvrp. Функцией состояния является у (р, х, t). В этом случае
интегральный закон (II.7) принимает вид
*max "Siax
Г ту(р, х, t)dx = j tny(p, x, to)dx =
*min *mm
= \Xmax ~~~ -^'iriiii) ^средн Y"cx (p)
и показывает зависимость между фракционным составом исходного
материала yw-.x (p) и функцией состояния у (р, х, t).
11.4. Силы, действующие на минеральные частицы
Для предсказания функций состояния у (|, х, у, z, t)
недостаточно знать соотношение типа закона сохранения, так как оно дает
только одно уравнение с двумя неизвестными у и v. Необходимо еще
одно соотношение между у и v, чтобы получить два уравнения с
двумя неизвестными.
Перейдем к нахождению этого соотношения или, точнее говоря,
соотношений, так как для различных обогатительных аппаратов оно
будет обладать своими особенностями. Цель заключается в том,
чтобы найти такое соотношение, которое может оцепить векторное поле
v (|, х, у, z, t) скоростей частиц.
Для получения этих соотношений можно применять различные
законы физики. Для единообразия, простоты и наглядности в
качестве основного соотношения возьмем уравнение баланса
статистически усредненных сил, действующих на частицы
любой элементарной фракции, которое запишем для начала в
нерасшифрованном виде:
2/^ = 0, (П.8)
39

т. е. сумма сил, действующих па частицу (или па единицу ее объема
элементарной фракции [£, g + dg]), равна нулю.
Равенство (II.8) связано с законом сохранения импульса
(количества движения): сумма сил (внешних и взаимодействия),
действующих на группу частиц любой элементарной фракции [£, g + dg],
равна скорости изменения полного импульса (Sm,-u,) всех этих
частиц. В равенстве (П.8) допускается, что упомянутый полный
импульс не изменяется (хотя из-за случайных движений импульсы
отдельных частиц изменяются).
Уравнение типа (II.8) является вторым и последним (после
закона сохранения) для нахождения функций у (%, х, t) и v (g, х, t);
оно содержит эти две функции и вместе с законом сохранения
позволяет получать два уравнения с двумя неизвестными. В отличие от
универсального закона сохранения уравнение баланса сил
специфично для каждого аппарата; закон сохранения абсолютно точен,
уравнение баланса сил всегда приближенно, степень точности его
зависит от ^правильного выбора главных сил для данного аппарата.
Рассмотрим различные силы Fi, встречаемые в обогатительных
аппаратах. Силы классифицируются на две категории: традиционные
детерминированные и нетрадиционные среднестатистические. Их
можно классифицировать также по виду процессов обогащения, в
которых они встречаются: силы в гравитациниом обогащении, силы
в магнитном обогащении и т. д. Но так как- одни и те же силы часто
встречаются в различных процессах, например сила гравитации,
вначале рассмотрим природу отдельных сил. Все силы будем измерять
в ньютонах на кубический метр, т. е. относить их действие к единице
объема минеральных частиц.
Гравитационная сила, отнесенная к единице объема
частицы с плотностью р, определяется но формуле
Лрав = g р;
сила Архимеда в однородной среде (вода, суспензия) с плотностью
pCp=const — по формуле
' арх = g Рор-
СИЛЫ Frpae и Fapx являются важными в гравитационных
обогатительных аппаратах (отсадочных машинах, суспензионных
сепараторах), когда сепарация основана на различии их плотностей р.
Сила Стокса в однородной среде (воздух, вода, суспензия)
определяется по формуле
^от,)К<: = —aC(V — Urp)//2,
где /—(гидравлический) размер частицы, м; а<; — коэффициент
сопротивления, пропорциональный вязкости среды (при шарообразной
форме частиц ас = 18г), где ц — коэффициент динамической вязкости
среды); v и у<.р — скорость соответственно частицы и среды, м/с.
Сила /\:тоиг имеет большое значение при сепарации в сгустителях
и классификаторах частиц, отличающихся крупностью I.
40

Магнитная пондеромоторная сила
^магн = X И grad Н,
где Н — напряженность магнитного поля, А/м, имеет большое
значение при разделении в магнитных сепараторах частиц, отличающихся
магнитной восприимчивостью х-
Электростатическая сила Кулона
/•"кул
QE,
где q — удельный заряд частицы, Кл/м3; Е— напряженность
электрического поля, В/м, играет важную роль при разделении в
электрических сепараторах.
Сила инерции определяется по формуле
F»
-ра,
где а — ускорение частицы, м/с2.
Во многих обогатительных аппаратах движение сепарируемых
частиц .происходит в стесненных условиях, и они, соударяясь,
взаимодействуют друг с другом. Это действие весьма типично и вносит
существенный вклад в специфику обогащения. Оценка этого
взаимодействия вводит в рассмотрение целую группу особых
(нетрадиционных) сил, которые имеют одну общую черту: они являются
статистическими средними упомянутых ударных взаимодействий.
Рассмотрим две силы: градиентную Frpaa и сопротивления /"Сопр
движению. Действие градиентной (ударной,
диффузионной) силы для одномерной зопысепарации, например постели
отсадочной машины, рассмотрим с
помощью рис. П.З. На рисунке выделены
частицы элементарной фракции \\, £-!-
+ d|]—черные кружки; концентрация
их убывает, например, сверху вниз.
Проведем горизонтальную поверхность
АВ внутри зоны. Так как
концентрация узкой фракции вверху выше, чем
внизу, то вследствие хаотического
движения сверху вниз будет перехо-^_
дить частиц больше, чем снизу вверх.
Создается поток частиц узкой
фракции сверху вниз, причем тем больший,
чем больше перепад концентраций;
причину таких потоков оценим
градиентной силой:
\§
зооо*о«о
• о ♦ о • о о з
о о • о
• о о •
/'град = — [*/v(l. X, у, Z, t)] X
X gradv(g, x, у, z, /),
Рис. П.З. К пояснению градиентной
лы па примере отсадочной машины

где k — коэффициент пропорциональности, который может зависеть
от физического свойства \.
Напомним определение градиента любого скалярного поля
U {х, у, г):
grad U = lim V-1 Ф U dS =1д U/dx + ldU/dy + IdVldt.
V-0 S
Обоснование /^рад дано в литературе [28, с. 43—46]. При т-т const
имеем
-*■
^град = —kgrad{my)/my — —к{тгл gradm + у-' grady).
При рассмотрении /-"град с точки зрения кинетической теории имеем
k — р и2/3 ~ const,
где v2 — средний квадрат скорости хаотического движения частиц.
Градиентные силы имеют большое значение в процессах
обогащения, причем с вредной стороны. Сам процесс обогащения нацелен на
то, чтобы сконцентрировать некоторые частицы в одной части
рабочего пространства, а другие (с другими физическими признаками) —
в другой. Другими словами, полезные (в основном
детерминированные) силы стремятся создать возможно больший градиент
концентрации, а градиентные силы, наоборот, этому препятствуют —
стремятся выравнять концентрацию.
Перейдем к силе сопротивления движению (трения).
Заметим, что она состоит из двух компонент: сопротивление среды и
сопротивление окружающих минеральных частиц при стремлении
данной частицы продвигаться сквозь них. Сопротивление однородной
среды может быть учтено традиционными детерминированными
силами, например, силой Стокса.
Поэтому поясним силу сопротивления, возникающую вследствие
соударений; для этого временно примем, что среда отсутствует.
Выделим одну частицу элементарной фракции [|, g + d g] и
представим, что на нее действуют какие-либо детерминированные силы.
Частица начнет разгоняться с постоянным ускорением, но, пройдя
некоторый путь, ударится о другую частицу и потеряет набранную
направленную скорость (хаотическая составляющая скорости у нее
останется, причем она может быть значительно больше
направленной скорости). После удара частица опять начнет направленно
ускоряться. Затем при следующем ударе опять потеряет направленную
набранную скорость и т. д. При этих торможениях рассматриваемая
частица будет терять часть своего импульса (количества движения).
Усредненная тормозящая сила равна потере импульса (тЧаст v)
частицы в единицу времени (изменению импульса, которое
передается от рассматриваемой частицы окружающим ее при ударах), т. е.
сила равна —d (m4aCTv)/dt, где тчаст — масса частицы.
Приближенно ее можно вычислять следующим образом. Пусть среднее время
пробега частицы между столкновениями равно т и при каждом
столкновении она полностью теряет направленную скорость v. Тогда
42

потеря количества движения за одно столкновение равна тчаст v,
а за единицу времени
/"сопр = —Я?част f/т = —a4V,
где ач — коэффициент пропорциональности (при переходе от
отдельной частицы к единице ее объема заменяем ач на а).
В нестесненных условиях, когда сепарируемые минеральные
частицы «одиноко», не взаимодействуя друг с другом, движутся сквозь
однородную среду типа воды или воздуха, силы градиентная и
сопротивления пропадают (сопротивление среды остается).
Рассмотрим диффузионные эффекты совместного действия
сил градиентной и сопротивления. Если на частицы элементарной
фракции [I, g + dg] действуют только две силы Ргр&я и FConP, то
частицы ведут себя в зоне сепарации, как при (свободной)
диффузии. Для доказательства возьмем за исходные два уравнения (II.4)
и (II.8) —сохранения при т = const и баланса сил:
dy/dt = — div(y v);
2 Ft = — /e-Y-'gradv — av = 0. (II.9)
i — 1
Исключив v = v (|, x, y, z, t), с помощью подстановки получим
уравнение диффузии для функции состояния у = у (|, х, у, z, t):
д y/dt = k a-1 div (grad у) — D (д2 у/дх2 +
+ d2y/dy2 + d2y/dz2),
где введен коэффициент макродиффузии D = k а-1, м2/с.
Обозначим концентрацию элементарной i-й фракции при
s = |{ = const через Ci = ? (|ii *, У> z, £) d g, тогда уравнение
примет вид
dCi/dt = D(d2Ci/dx2 + д*С{/ду2 + <Э2Сг-/<Эг2).
Здесь при фиксированном | = |* = const уравнение,
предсказывающее Сг (*, г/, г, £). есть уравнение диффузии (типа уравнения
теплопроводности). Решения этого классического уравнения
математической физики (введенного еще Фурье) хорошо отработаны. В
частности, точное решение одномерной задачи предсказания Каши: найти
С» (х, t0) при t > 0 по заданной начальной С,- {х, t0) при t0 = 0 для
безграничного пространства —оо<х<°о — имеет вид
d{x, 0 = 0,5(яDO-0,5 j С,(Я,, Mexp[-(x-X)2/(4D^]dX: (НЛО)
—ОО
где А, — промежуточная переменная, ксчезающая после подстановки
пределов интегрирования.
Воспользуемся этим решением для иллюстрации физического
смысла рассматриваемых сил Л-рад и fconp на примере продвижения
элементарной фракции плотности (£ = р) от загрузки к. разгрузке
43

отсадочной машины (см. рис. II.1). Чтобы оставить только две силы
^град и Fconp, возьмем фракцию с плотностью, равной плотности
искусственной постели р = рг- = рСр = const. Пространство х возьмем
вертикальным (по глубине постели) и, чтобы попасть в рамки
упомянутой задачи Коти, примем его бесконечным (это позволит
избежать усложняющегося учета условий па нижней и верхней границах
зоны). Время t отсчитываем от момента 70 = 0 загрузки материала
в зону в. соответствии с транспортным продвижением материала
вдоль горизонтальной оси у со скоростью итр = const, т. е.
t = У/Итр.
Упомянутую элементарную фракцию загружаем точно в середину
по глубине зоны в точке х = О, поэтому начальное условие в задаче
Коши имеет следующий частный вид:
Ci{x, t0) = СоЬ(х),
где С0 = const — заданная концентрация рассматриваемой фракции
[pi, pi + dp] в точке л;=0 прк t0 = 0; б (х)—импульсная функция.
Подставив это начальное условие в общее решение (11.10) и
проведя интегрирование, получим искомую Сг- (х, t) при t > 0:
d(x, t)= 0,5С0(У1ГШ)--1схр[— jc2(4D0-!] =
= Со(аУ2^)-'ехр[—х2(2а2)->], (11.11)
где а = у2£>/—среднее квадратическое отклонение в полученном
нормальном законе распределения рассматриваемой фракции по
вертикальному пространству зоны.
Рис. П.4. Рассеяние диффузионного типа частиц элементарной ^фракции под
действием только сил сопротивления и градиентной
На рис. П.4 показаны графики С (х, t) для трех возрастающих
моментов времени: при t0 = 0 все частицы сосредоточены в середине
зоны (х = 0); при ti>t0 начальный импульс б (х) рассеивается
в нормальное распределение с o=j2Dtu при /2 > U рассеивание
становится еще большим и а = }'2Dt->.
При D = 0, что соответствует отсутствию градиентной силы или
бесконечно большой силе сопротивления, все рассматриваемые ча-
44

стицы без рассеивания продвигаются к разгрузке, оставаясь з
среднем слое (х = 0), и решение имеет вид d (х, t) — С0б (х).
Заметим, что .по известной d (x, t) и уравнению (II.9) (Е^ = 0)
можно найти Vi(x, t); в рассматриваемом примере уравнение
ZFi = 0 принимает вид vt {x, t) = —DCf{dCildx [откуда с учетом
уравнения (11.11) можно найти поле скоростей рассматриваемой
фракции Vi{x, t)=—x/2t].
Диффузионные эффекты рассеивания и соответственно взаимного
засорения концентрата и хвостов наблюдаются во всех
обогатительных аппаратах со стесненными условиями в зоне. На рис. II.4 дан
лишь частный пример таких эффектов для случая, когда
взаимодействуют только две силы ^град и Fconp. Этот пример показывает, как
иа детерминированную картину движения в нестесненных условиях
одиночных зерен при стесненном их движении накладывается
вероятностная картина.
Перейдем к нетрадиционным силам типа силы Архимеда,
которые могут возникать не только в гравитационном поле, но и
магнитном, центробежном и других.
Вначале подробно анализируем обычную силу Архимеда с
трактовкой, отличной от общепринятой (так как через эту трактовку
легче подойти к описанию более сложных сил).
Обычная сила Архимеда (гравитационно-архимедова) Fr-a —
поверхностная, т. е. характеризующая усредненное суммарное
(ударное) действие частиц жидкости на поверхность твердой частицы.
Если с одной стороны твердого тела эти удары сильнее, чем с
другой, то появляется сила Архимеда. Удары можно свести к давлению
через импульс силы: если на 1 см2 поверхности за 1 с происходит
Л' ударов, причем каждая ударяющая частица массой т изменяет
в среднем скорость на Д v, то усредненная сумма ударных сил
представляет собой давление на этой поверхности Р = N mAv.
Суммарная сила, действующая на замкнутую поверхность S,
ограничивающую тело объемом V,
Ков - -П>(х, у, z)d5 = -JJfgradP(x, У, z)dV, (II.12)
S S
где dS — веюторный элемент поверхности (вектор dS направлен
наружу нормально к dS и по величине равен dS), м2; grad P —
градиент давления в среде в окрестности тела, Н/м3.
Приравнивание интегрирования давления по поверхности
интегрированию градиента давления по объему проведено по
интегральной теореме о градиенте.
Формула (11.12) справедлива для вычисления не только обычной,
но и любой силы типа архимедовой.
В традиционной трактовке обычная сила Архимеда Fr.,. есть
следствие градиента давления, нарастающего вглубь жидкости; это
видно из правой части формулы (11.12). Сам же градиент для силы
~Р,-.П является следствием трех основных причин: силы земного
тяготения; отсутствия ускорения сосуда с жидкостью (относительно
45

^~Kfl9
HqrauH
fe-vxeH*n&H
f*s-vp4J
if-
/
U
Pmar.
Jnun
rff.rVHv*Mftr(x)ir
Рис. II.5. Силы типа архимедовой
Земли), что создает реакцию стенок сосуда, удерживающую
жидкость от свободного падения; свойства жидкости передавать
давление одинаково во все стороны.
При отсутствии или видоизменении любой из этих причин
отсутствует или видоизменяется градиент давления внутри жидкости,.
а с ним и сила Архимеда. Например, пробка, помещенная на дно>
сосуда с водой, всплывает; но если сосуд свободно падает с ускоре-
нием g, то сила Fr.a пропадает, и пробка перестает всплывать.
Таким образом, первопричиной силы Архимеда является не
градиент давления, а перечисленные выше. Главной из них является
действие силы гравитации: именно оно создает и определяет
количественно величину градиента давления. Объемная сила гравитации
(действующая не только на поверхностные, но и на внутренние
объемные компоненты массы частиц)—первопричина поверхностной
обычной силы Архимеда. Подобными первопричинами и различаются
другие силы типа силы Архимеда.
На основе данной трактовки и формулы (И. 12) оценим
количественно эти силы (рис. II.5). Формула (11.12) справедлива для всех
46

поверхностных сил тина силы Архимеда независимо от того, какие
первоначальные причины создают скалярное поле давлений Р (х, у,
z) и его градиент. Конкретный вид Р и grad P зависит от внешнего
силового поля (гравитационного, магнитного и т. д.).
Так, для обычной силы Архимеда Fr.a (см. рис. П.5, а) внутри
однородной жидкости плотностью р гравитация создает постоянный
градиент давления gradP= — pg (скалярное поле линейно нарастает
с глубиной). Поэтому применение формулы (11.12) приводит к
простому результату:
FT-a=-NvSpg*V = -VPg.
Подчеркнем, что количественно упомянутый градиент
определяется объемной силой гравитации, которая действует на каждую
частицу жидкости. Для однородной жидкости удельная объемная сила,
приложенная к каждой частице со стороны внешнего поля (в
рассматриваемом случае pg), равняется градиенту давления внутри
(неускоряющейся) жидкости.
Ускорительно-архимедова сила Fy.B (см. рис. II.5, б)
.появляется внутри жидкости, если последней передается ускорение а от
стенок сосуда, движущегося ускоренно. Градиент давления здесь равен
—ра и вызван силой инерции частиц жидкости. Величина силы,
действующей от жидкости на тело объемом V, в соответствии с
формулой (11.12) определится как Fy.a= + Vра.
Комбинация Fr-a и f у-а получается, если сосуд с жр:дкостью
ускоряется в гравитационном поле. Удельная объемная сила и,
следовательно, градиент давления равны pg—ра; соответственно
поверхностная сила Fr-y-я — V р (а — g). В частности, при a = g (при
свободном падении сосуда с жидкостью) действие жидкости на тело
исчезает.
Центробежно-архимедова сила Fu-a (см. рис. II.5, в) возникает
при вращении жидкости, например, в гидроциклоне, винтовом
сепараторе. Ее можно рассматривать как силу Fy.a, но с учетом, что
центростремительное ускорение ап = и20кр/Р. Удельная объемная
сила и градиент давления равны —ацр. Сила Fn.„ = Vpan направлена
к центру вращения, т. е. против объемной силы центробежного поля.
Магнитно-архимедова сила FK.a (см. рис. II.5, г) возникает в
магнитной суспензии или пульпе с магнитными частицами, если сосуд
помещен в магнитное поле (рабочая зона магнитного сепаратора). Ее
первопричиной является удельная объемная пондеромоторная сила
Хс Я grad Я, где Хс — магнитная восприимчивость единицы объема
суспензии или пульпы. Эта сила создает градиент давления в том же
направлении и той же величины, т. е. grad Р = ХсЯ grad Я. Если
47

Xc#gradtf = const, то f„.a = —V^ctf grad Я; если пет, то
Л.-а = — I.1 1)Сс(*, У, z)#grad#(x, г/, z)dV.
v
В последнем случае момент сил вращения, передаваемый
поверхности тела, может быть не равен нулю. Сила FM.a принципиально
отличается от нондеромоторной — своей первопричины.
Амперо-архимедова сила Fa.a (см. рис. П.5, д) возникает в
жидкости (электролите), если в ней протекает электрический ток и она
(вместе с сосудом) помещена в магнитное поле. Удельная объемная
сила (первопричина), согласно закону Ампера, равна векторному
произведению iXB, где i—плотность тока, к/т2, В — магнитная
индукция, Тл. Удельная объемная сила создает градиент давления той
же величины и направления, т. е. grad P = iXB. Если этот градиент
постоянен, то поверхностная сила Га.я = — V(ixB); если нет, то
£>-а = -Ш[7(Х, У. Z)XB(X, у, Z)]dV.
V
Сила Fa-a принципиально отличается от своей первопричины — объ-
емиой силы iXB.
Среднестатистическая гравитационно-архимедова сила F~a (см.
рис. II.5, е) в смеси стесненно движущихся частиц различной
плотности, например в зоне отсадочной машины, носит
вероятностно-статистический характер:
Fr~=—Vg J P7(p)dp = — Vgp,
ргщп
где знак ~ над индексом «г-а» означает усреднение от
хаотического действия ударных сил.
Среднестатистическая магнитно-архкмедова сила F~a (см рис.
11.5, ж) возникает в рабочих зонах магнитных сепараторов в смеси
стесненно движущихся частиц с различной магнитной
восприимчивостью:
-> хтах
Fv~a = -VHgra&H J xT(x)dy..
xmin
В рабочих зонах обогатительных аппаратов могут действовать не
только отдельные из перечисленных сил типа силы Архимеда, но и
их комбинации. Кроме того, список сил этого типа может быть
продолжен с привлечением иных объемных сил — первопричин
поверхностных сил. Для перехода к. значениям сил типа Архимеда на
единицу объема их надо разделить на V.
48

На этом обзор сил для уравнения (II.8) закончим, хотя можег
потребоваться учет и дополнительных сил для тех или иных
обогатительных аппаратов.
11.5. Уравнения сепарации, предсказывающие фракционный состав
и поле скоростей минеральных частиц
Методика составления уравнений сепарации предусматривает
объединение уравнений типа закона сохранения (11.4) и баланса сил
(П.8). Эти два типа совокупных уравнений, составленные с учетом
специфики сил данного аппарата, предсказывают искомые
фракционный состав y(|, х, у, z, t) и поле скоростей u(g, х, у, z, t).
После того как уравнения сепарации составлены, .на их решение
надо направить соответствующий математический аппарат.
Простой пример реализации этой методики был уже дан при
анализе диффузионных эффектов от сил Л-рад и Fconp и построении
нормальных законов (см. рис. II.4).
Теперь рассмотрим методику на типичном примере отсадочной
машины с естественной постелью (см. рис. П.1). В вертикальном
направлении х действуют силы: среднестатистическая гравитационно-
архимедова Р~я=~-~ ЙР = -g \ PY(p. x> Odp; гравитации.
/-'rpaD = gp; среднестатистическая сопротивления Fconp = —аиж(р, х,
t); среднестатистическая градиентная FTVaR = —ky~l ду/дх.
Совокупные уравнения сепарации (m = const):
dyjdt = —d(yvx)/dx;
р (11.1о)
gp — g J PTdp — avx — kyx grad7 = 0.
Подставляя vx из второго уравнения в первое, получим уравнение
сепарации, предсказывающее фракционный состав 7 (р> x> 0> t~
д y/dt = Dd2 у/дх2 - g a~] д
Рп
max
у р— i' рт(р)(1р
дх, (11.14)
где D = /га-1 — коэффициент макродиффузии, м2/с.
Это уравнение содержит только одну неизвестную функцию:
7 (р, х, t), поэтому оно определяет ее однозначно по известным
начальным и граничным условиям. Зная решение уравнения (11.14),
т. е. функцию состояния 7 (p. х, t), можно далее но любому из двух
совокупных уравнений (11.13) вычислить vx(p, x, t).
Уравнение (11.14) относится к машине с естественной постелью,
образуемой самими сепарируемыми частицами; поэтому средняя
плотность р (х, 0 = ] PY^p среды — постели изменяется по
вертикали х, и с течением времени t = ylvw.
■К

В частном случае сепарации смеси N чистых минералов
Л'
'V = 5j Cl'(x' 0б(Р — Pi) и уравнение (11.14) заменяется на Лг урав-
нений:
dd/dt = Dd2Ct/dx2 — g а-» д[ (pt — р) С]/дх-
Р = 2 Pi Ct; J] С< = 1, (11.15)
где рг- = const и С; (х, t) —соответственно плотность и концентрация
i-ro минерала; i = 1, 2, . . . , N. Система уравнений (11.15)
получается интегрированием (П. 14) по р в окрестности каждого pi.
Итак, два уравнения сепарации (11.13) (закон сохранения и
баланс сил) содержат две предсказываемые функции у и v;
исключение из них v дает уравнение состояния для предсказания функции
состояния у; а исключение из них у дает уравнение поля скоростей
для предсказания v.
Рассмотренная методика приводит к самым разнообразным
уравнениям сепарации — в зависимости от типа рассматриваемого
аппарата. Так, в рассмотренном примере получим уравнение вида (11.14),
которое выходит за рамки типовых классических уравнений
математической физики; для других аппаратов при других предположениях
о доминирующей сумме сил 2 Ft в зоне получаются другие
уравнения.
Когда уравнения составлены, встает вопрос о нахождении их
решений. И, хотя это сугубо математическая задача, для ключевых ти-
тичных случаев рассмотрим как точные аналитические, так и
приближенные численные методы этих решений.
Определение поля скоростей по известной функции состояния.
Чтобы свести дело к решению только одного уравнения состояния,
сразу отметим, что но известной функции состояния у можно всегда
вычислить поле скоростей и, либо через уравнение баланса сил
2 Ft = О, либо через закон сохранения. В первом случае для
каждого конкретного обогатительного аппарата имеет место свой
специфичный ход решения, во втором случае ход решения можно сделать
универсальным. Рассмотрим эту идею для одномерного пространства
х. Уравнение сохранения запишем в виде
д y/dt = — {у dv/dx + ид у[дх).
При известной функции у (g, x, t) оно представляет собой
обыкновенное линейное дифференциальное уравнение I порядка относительно
искомой v (|, х, t):
dv{x)/dx + B(x)v(x)=Q{x), (II.16)
где
В (х) = у-1 д у/дх; Q (х) = — у~1 д y/dt.
50

Уравнение (11.16) имеет стандартное решение
ехр (— \ Bdx)[$ Qzxp(\ Bdx)dx + C{l, t)}, (П.17>
Рис. 11.6. Пояснение численного метод»
Эйлера решения уравнений
фракционного состояния
где С (I, t) — постоянная (относительно х) интегрирования.
Таким образом, от известной
Y(s, x, t) через выражение (11.17)
лежит путь к и(|, х, t).
Численные методы решения
уравнений состояния на ЭВМ.
Часто точное аналитическое
решение уравнений сепарации
невозможно, в этих случаях
большую роль играют численные
методы.
Возьмем для примера
уравнение (11.14). Аналитическое
решение для неравновесного режима
(dyjdt^=Q) невозможно, поэтому
прибегнем к простейшему
численному методу Эйлера (рис.
II.6). Допустим, что для
некоторого (начального) момента
времени /о известна функция у в
трех соседних точках
пространства: в локальной точке х = Хи в
точке Хг + Ах и в точке Хг— Ах,
т. е. для момента tn известны
Y (р, хи t0). Y (p. Xi + А х, U), у (Р, Хг — А х, t0).
Проведем приближенные вычисления для определения
производной dy/dt в локальной точке *,-. Вычислим по формуле^ (11.14) из
известной у (р, Xi, t0) интеграл р (xi, t0), а также р(х* + Дя, t0),
р (Xi — Ах, t0). Преобразуем второй член правой части уравнения.
(11.14):
—g а-1 {д [у (Р — Р) ] 1дх) = — g а-1 [ (р — р) d yjdx — уд Р/дх].
Для локальной точки (хи t0) это выражение приближенно можно*
переписать в виде
Л2(р) = — gcH{[Y(p, Xi + Ax, to) — y(p, Xi — Ax, t0)]X
X[p~р(*ь t0)]l2Ax — v(p, xit tQ)[p(Xi + Ax, to) —
—p{xi — Ax, to)]/2Ax}.
По сравнению с предыдущим выражением здесь все производные
заменены конечными разностями. Таким образом, приближенно
вычислим второй член правой части уравнения (11.14) 'по заданным в
момент t0 функциям у в трех соседних точках. Член Аг (р) представляет
собой функцию только от р. Для определения второго члена
достаточно знать функцию у в двух соседних точках, но для определения
гл

.•первого члена —второй производной д2у/дх2 через конечные
разности
A1(p) = Dd*y/dx2 = (D/A*){[v(p, xt + Ax, t0)-
— y(p, xh tQ)]IAx—[y(p, xu t0) — y{p, xx — Ax, tQ)]/Ax}
требуется знать функцию у в трех точках. Величина Л4 (р) также
представляет собой функцию только от р.
Теперь, согласно уравнению (11.14), для средней точки xt можно
записать
ду{9, хи 0/^|^„ = Л1(р) + Л2(р). (11.18)
В правой части последнего равенства стоят вычисленные
значения Ai (p) и Л2(р), определяющие скорость изменения функции у,
в локальной точке {хи t0). Так как эта правая часть зависит от р,
быстрота изменения у различна при разных р, т. е. в выбранной
локальной точке xt концентрации у (р) d p отдельных элементарных
фракций [р, р + d p] изменяются с разной скоростью в момент
Согласно уравнению (11.18), можно предсказать у-функцию на
некоторое малое время Д^ вперед, т. е. для момента t = t0 + A t:
V(p> хи t0 + At) = y(p, хь to) + dy(p, xu t)jdt\t-UAt =
= V(P. *b t0) + {A1+A2)At. (11.19)
Таким образом, зная у в трех соседних точках, мы с помощью
уравнения (11.14) предсказали у на некоторое время вперед. Сама
формула «предсказания» (11.19) является приближенным решением
уравнения (11.14).
Краевые условия. Предсказать у в точках Xi-\-Ax и Xi — Ах
невозможно, так как нельзя найти соответствующие производные по х.
Чтобы предсказать у и в этих точках, нужно к ним присовокупить
по одной соседней начальной точке с известной у и т. д. вплоть до
задания функции у в начальный момент ^0 по всему пространству
л:верх<л:<л:д1[0 от одной границы до другой (если имеется в виду
отсадочная машина, то от верха до дна постели в загрузочной части).
Такая начальная информация у (р, х, t0) называется начальными (по
времени) условиями. В рассматриваемой отсадочной машине
начальные условия определяются составом исходного питания машины:
Т(р, X, /0)= Yncx(p).
Однако, даже если задать начальное условие, уравнение (П.14)
предскажет функцию у на время At вперед для всех точек, кроме
двух, расположенных на границах рабочей зоны xscpx, *дпо, а при
следующем шаге на At вперед потеряем еще по одной крайней точке
и т. д. Чтобы избежать этого, надо знать заранее характер
изменения функции у 11а границах в последующее время при t > t0, т. е.
граничные условия.
Для рассматриваемой отсадочной машины [уравнение (11.14)]
граничные условия могут быть получены приравниванием нулю
скоростей частиц v на границах л:Верх и х-ЛП0 рабочей зоны. Выражение
52

для v берется из второй строки уравнения (11.13), т. е. из 2 Ft = 0:
U(p, *верх, 0 = —[^V-I(P- ^верх, 0]Х
Х[ду{р, Хверх, t)/6t] +ga-1[p—~р(дсверх, 0] = 0.
Аналогичное уравнение получается для нижней границы х = хлно.
Граничные и начальные условия вместе называют краевыми.
Зная краевые условия, можно с помощью уравнения массопере-
носа предсказывать Y-функции но всему рабочему пространству
аппарата на любое время вперед (по крайней мере, рассмотренным
выше приближенным методом — шаг за шагом). Краевые условия
могут быть заданы в числовой, аналитической или смешанной
форме.
11.6. Нахождение сепарационных характеристик аппаратов
по известному фракционному составу в зоне
Выше рассмотрены уравнения сепарации, описывающие общие
закономерности движения минеральных частиц в рабочих зонах
обогатительных аппаратов. Решения уравнений сепарации определяют
фракционный состав материала в любой точке (х, у, г) рабочей зоны
посредством функции состояния у (|, х, у, z, t). Одним из важных
практических применений их является теоретическое вычисление
сепарационных характеристик г (с,) аппаратов, общая методика
которого сводится к следующему.
Усредняющее интегрирование функции состояния (для
стационарного режима) по части зоны Vv, из которой разгружается
концентрат, дает средний фракционный состав концентрата
y«(l) = V«l\\{y(l, х, у, z)dV. (II.20)
V
Аналогичное интегрирование по зоне разгрузки хвостов УХв дает
средний фракционный состав хвостов
YxB(g)= VTs'IIIvd, х, у, z)dV.
С учетом соотношения Qxcxyucx (£) = QkYk (I) + QxbYxb (E)
получаем формулу для вычисления сенарационной характеристики
eK(s)= QkYk(s)/[QhcxYhcx(s)] =
= QkYk(I)/[QkYk(s)+ QxbYxb(I)], (11-21)
где Qitcx. Qk, Qxb — производительность аппарата соответственно по
исходному питанию, концентрату и хвостам.
Последние три формулы легко обобщаются на случай
многопродуктовых сепараторов и на случай сепарации по нескольким
физическим свойствам g—v|j, |2, • ■ • , gn-
Эта методика будет неоднократно использована ниже при
нахождении сепарационных характеристик типовых аппаратов.
53

III. СЕПАРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ
ОБОГАТИТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ*
Предыдущая глава закончена общей методикой составления;
уравнений сепарации и получения из них сепарационных
характеристик s(|). Ниже показано применение этой методики к типовым
обогатительным аппаратам, что позволяет получить строгое
количественное описание хода сепарации и значительно расширяет
традиционное качественное описание.
III.1. Аппараты гравитационного обогащения
Классификацию аппаратов гравитационного обогащения,
разделяющих частицы по плотности р, можно произвести на основе
различных признаков: по принципу действия (отсадочная машина, тяжело-
средный сепаратор и др.), производительности, крупности питания и
т. д. Но приоритет должен быть за сопарационной характеристикой
е (р) —чем ближе она к идеальной еид (р) = 1 (р — рР), тем лучше
аппарат. Сепарационная характеристика s (р) зависит от суммы сил
2 Fi, действующих на частицы в зоне сепарации. Наибольший
физический смысл имеет классификация по виду доминирующих сил в
зоне сепарации:
аппараты с естественной разделяющей средой переменной
плотности с силами гравитации />рав, среднестатистической архимедовой
F~a=—g p (x, t), сопротивления Fconp и градиентной Л-рад,
например отсадочная машина с естественной постелью;
аппараты с искусственной разделяющей средой постоянной
плотности с силами ^грав, F~a =—g Pep, ^conp, Л-рад, например
отсадочная машина с искусственной постелью;
аппараты с нестесненными условиями движения частиц — вместо
-*■ -> —*
Fcouv = 0 и Лрад = 0 появляется сила Стокса /-"стоке, например
разделение в жидкости (тяжелой) при малой производительности.
Сепарационные характеристики аппаратов приближаются к
идеальным по мере уменьшения роли «вредных» сил /^рад и Fconp, а
также по мере перехода от стесненных к нестесненным условиям в зоне,,
что связано с уменьшением производительности.
Начнем с аппаратов первой группы, типичным представителем
которых является отсадочная машина с естественной постелью.
Для одномерной модели отсадочной машины получены (для
иллюстрации общей методики) совокупные уравнения состояния:
gp — gp(x, t)—avx—ky-}dyldx = 0;
d(my)/dt = —d(myvx)ldx.
* Инженеру-обогатителю, работающему на производстве, при чтении данной
главы рекомендуется освежить в памяти понятия об уравнениях математической
физики.
54

Зоне
загрузки
numaxup
——
1
•с;
г
Xicm
X
■i'(P>X) Г
■t °
У™
' f
Tm,i Концентрап: ^
Рис. III. 1. Рабочая зона (а) и сепарационная характеристика (б) отсадочной
машины
Исключив скорость vx (р, х, t), при m = const получим уравнение
сепарации с одной неизвестной функцией у (р, х, t) (рис. III.1):
д y[dt = Dd2 у/дх2 — g a~] д [у (р — p) ] /дх;
_ pmax
P = j" PT(P. x- Odp, (П1.2)
pmin
где D = й а-1 — коэффициент макродиффузии, м2/с. Время сепарации
t = y/vTp соответствует продвижению материала от загрузки к
разгрузке.
Эти уравнения относятся к машине с естественной постелью,
образуемой сепарируемыми частицами; средняя плотность р
среды-постели изменяется по пространству х и (для нестационарных режимов)
с течением времени t, т. е. р = р(л:, t).
В частном случае сепарации смеси из N чистых минералов
уравнение (III.2) заменяется на N уравнений типа Фоккера— Планка:
ddldt = Dd2d/dx2 — g a"1 <3 [ (р:- — p) d] /дх;
~Р = 2 PiCt; j]Ci=-\, (III.3)
i-1 i -1
где i= 1, 2, . . . , N; p{ = const и d = Ci{x, ^—соответственно
плотность и концентрация i'-го минерала.
Для нахождения сепарационной характеристики s (р) нужно
предварительно, решив уравнение (IH.2), определить фракционный
состав материала упред (р, х) = у (р, х, tu) в зоне разгрузки
концентрата И ХВОСТОВ При t=tK = ypa3/vTp.
Допускаем, что к моменту разгрузки в конце зоны сепарации
(см. рис. III.1) материал полностью расслоился и поэтому функция
Тпред не зависит от t, т. е. в зоне разгрузки достигается стационарный
режим, характеризуемый некоторой искомой уПред (р. х) = у (р, х,
01/-оо. Для стационарного режима в зоне разгрузки dy/dt = 0, и
уравнение (III.2) упрощается:
д2 у/дх2 — g a"1 D-1 д
max
у ( р — i" р у d р
°т1п /
дх = 0; у = Тпред (р, X).
(Ш.4)
55

Найдем его аналитическое решение. Граничные условия —
равенство нулю скоростей vx (р, х) в верхней (хверх) и нижней (лШПк)
частях постели — имеют с учетом первой строки уравнения (III. 1) вид
(из vx = О, k = aD)
{dyfdx-ga-'D-^yip-p)]}
= 0.
верх
(III.5>
Вначале найдем решение для уравнения (III.4) с учетом
граничных условий. Интегрируя его один раз по х, получаем
dyfdx — gar1D-1y(p — p) = Ai(p),
где Ai (р) —произвольная функция от р.
Действие граничных условий (III.5) сводится к тому, что
Ai (р) = 0. Поэтому равенства (Ш.4) и (III.5) приводят к
уравнению
d у Id х — g or> D~] у (р — р) = 0; у = упред (р, х)
(III.fi!
Так как р = Г pv(p> x)dp есть некоторая функция от х, то-
'•"mm
(Ш.7)
переменные у и х разделяются
d yjy = g a-1 D~l (p — р) d x
и после интегрирования получается общее решение
ТпРед(р, л;) = 7пред(р, *o)exp ga-'D-1 j (p —p)d;
L x0
Здесь появилась произвольная функция упред (р, х0): т. е.
полученное общее решение конкретизируется до частного заданием
фракционного состава в любой точк.е х0 зоны разгрузки лверХ < х < хнит.
Чтобы вынести в левую часть функцию у (р, х) из-под знака
интеграла в р, воспользуемся условием нормировки упРед, согласно которому
имеем
max
j Ynp«(P, *о)е.\р
Pmtn
Откуда
ехр
ga-'D-i \ p
* о \
J Р?иред (p. X)dp \dx
dp= 1.
х Ртах
-g a > D ' \ dx j' р упрел d |
Хо Pmtn
j' ?преД (p, Jfo) exp g a"1 D~l \ p d x j d p.
. "min V x\ J
Из уравнений (III.7) и (III.8) получаем
■Упред (р, X) = V„pe;i (p, Л'о) C.xp [g a~l D'1 p (x — X0) ] X
(III.8)
Ртах
i 7пред(р, хо)exp[g a > /> ' р(л — x0)]d p.
L ''niin
(I II.9),
56

Таким образом, предельно расслоившийся материал в конце зоны
имеет фракционный состав уцре:1 (p, х), изменяющийся с глубиной
постели х по закону статистического распределения Гиббса.
Общее решение (Ш.9) уравнения (III.2) превращается в
конкретное частное с учетом начальных условий, зависящих от
фракционного состава исходного питания:
Т(Р, X, t0) = Vncx(p).
Для нахождения уЩ)П (р, х0) через заданную функцию уисх (р) надо
воспользоваться интегральным законом сохранения
*вер\
Ynex(p) = (Хитк — Хверх) ' I Ynpt-д (р, х) (I X. (III.10)
*ниж
Так.им образом, по известному фракционному составу питания
Тнсх (р) предсказывается фракционный состав в различных точках
-*верх < х < АГииж разгрузки в виде закона Гиббса.
В частном случае сепарации N чистых минералов с плотностями
Pi, ... , рлг вместо уравнения (III.2) решается система уравнений
{III.3) и вместо упред в равенстве (Ш.9) находится решение для кон-
дентрации d (x) отдельных минералов в зоне разгрузки:
Ci пред (X) = Сг (Х0) CXp [g cH D~ ' р; (х —
I Л'
— х0)] Yi Ci(х°)ехР[# а~' D~X Р*(х ~х°)]-
Сепарац ионная характеристика ек (р) вычисляется по
известным 7исх (р) и упред (р, х) согласно общим формулам (11.20) и
,Ш.21):
•ек(р)= Qi<7i;(p)/Q»cxYhcx(p)= } Тпред d х / J Ynpeadx, (III.11)
*p ' *верх
где QK/Qncx= (*ниж —*р)/(*ииж —*веРх); *р — координата положения
отсекателя концентрата.
Здесь средний фракционный состав концентрата получается
усреднением
*ниж
Ук (Р) = (*ниж — Хр) -1 J Тпред (р, X) А X.
ХР
Действуя по формуле (III.11) с учетом найденного решения
(Ш.9), для 7пРед найдем следующую приближенную формулу^ сепа-
рациопной характеристики (концентратом считается тяжелый
продукт) :
ен(р)-0,5 + 0,5Ф[(р-рр)>>Л(аД)-17МСх(р)], (Ш.12)
где ф (х) =(2/уТя) f ехр (—0,5^2) At — символ интеграла вероят-
b
ности (нормальный закон распределения); h = а:1ШЖ — лгБерх толщи-
57

Гизг-м'Л
HUW
и, в
о л
с, г
и
/
Г1 t
1 /
-7 "/
-1 ■ /
i 1 ■,
/?
t ;
i
'.<? 1'
т/м3
/7,т/м
Рнс. III.2. Характеристики гравитационного обогащения:
J — рядовой уголь; 2 — антрацит
На ПОСТеЛИ; рр « ртах — (Qk/Qiicx) (Ртах — Pmln), ТОЧИСв Qk/Qhcx =
Ртах
= f Yhcx (p) d p.
pp
Полученное выражение для ек(р) не является в точности
нормальным законом вероятности, так как под знаком функции Ф стоит
функция Yiiox(p)- При равномерном распределении по фракциям в питании,
Т. е. При уисх(р) = (ртах—Pmin)_1 = COnst, ДЛЯ Ек (р) ПОЛуЧЭСТСЯ НОрМЭЛЬ-
ный закон (при условии, что хр находится в середине постели (см.
рис. II 1.1, б).
Докажем формулу (III.12) для частного случая равномерного
распределения фракций питания уаСх = (ршах — Pmin)-1- Решение
(III.9) принимает вид (решение задачи Коши при h*—>-oo):
Тпред (Р, х) =1g (2л a Db)~> exp [—g (2а Db)"' (р — рР — Ь*)2],
ГДе Ъ = h-1 (pmax — pmin) Яй (/гТисх)-' i Рр = О'5 (Pmax ~ Pmin) ~Г Pmin'' Xp = °
'■верх
— 0,5/г; xH11?K = -f 0,5/i.
Решение проверяется подстановкой в уравнение (III.6) и
удовлетворяет начальным условиям (ШЛО).
Для простоты формул принимает глубину постели h намного
больше размера частиц материала, тогда, считая 0,5 А->оо, получим
точно
0,5ft / 0.5/1
Sit (Р) = )' Тпред d X) / \ Тпред d X = 0,5 + 0,5 X
0 / —0,5й
ХФ{(р — Pp)Vgft[aZ)(pmaX— Pmta)]"1}.
ЭТОТ чаСТНЫЙ Случай формулы (III.12) при 7исх(р) = (Ртах — Ртт)-1.
Заметим, что формула (III.12) справедлива не только для
отсадки, но и других гравитационных процессов с весьма стесненными ус-
58

довиями, когда плотность постели зависит не только от среды, но и
самих частиц. Об измерениях а и D см. в работе [28, с. 151 — !65].
Вопрос о законе сепарационной характеристики е,( (р) отсадочной
машины обсуждался неоднократно, начиная с Л. Терра.
Предлагались различные эмпирические аппроксимации: нормальный закон,
логнормальный закон и др. По-видимому, теоретическая формула
(•III.12), или (III.9) + (III.11), наиболее универсальна; другие
формулы получаются из нее как частные случаи.
Два примера экспериментального подтверждения формулы
(III.12) даны на рис. III.2. Штриховая линия / соответствует
обогащению отсадкой угля. Для нее рр = 1,41 т/м3; gh (aD)_1 = 5l м3/т;
[р] = т/м3;
e,raw(p)= 0,5 + 0,5Ф[(р— 1,41)У51уИСх(р)]*.
■Сплошная линия 2 соответствует обогащению в тяжелых суспензиях
антрацита
е„„ж(р)= 0,5 + 0,5Ф[(р —1,82)У90у,1сх(р)].
Как видно, теоретическая формула (III.12) хорошо соответствует
экспериментальным точкам, хотя и далека от нормального или лог-
нормального законов, что связано с весьма неравномерными 7исх(р)-
Гравитационные аппараты с постоянной плотностью разделяющей
среды. Для аппаратов с р = рР = const, например отсадочных машин
с искусственной постелью и суспензионных сепараторов с малой
'Стесненностью, основное уравнение сепарационного массопереноса
(III.2) упрощается:
д y/dt = Dd2 у/дх2 — g cr1 (p — рР) д у/дх.
Для каждой узкой фракции рг = const оно относится к типу
уравнения Фоккера — Планка; D называют коэффициентом диффузии;
—get-1 (p — рр) —коэффициентом сноса.
Для стационарного режима решение предельной задачи имеет
вид [вместо закона Гиббса (III.9)]
7пРед(р, х) |^оо = 7пред(р, х0) exp [BD-1 {х — х0) ],
где B = g(p—pP)a-'.
Интегральный закон сохранения (ШЛО) определяет упрсд (р, х0)
в точке х0 через Ynex (р):
УпреД(р, х0)= BD~l пупсх(р)/ехр{—BD~l х0)У
X [exp {BD~l хщю) —exp (BD~l xmpx)),
тде h — Хдпо — ^верх — толщина постели, м.
Окончательно получаем
Гпред(р, х)= BD-1 hyu,.x(p)/[ex'p(BD-i xVi0)— exp(BD'1 xBevx)].
Сепарационная характеристика получается в виде
XV I*Дно
ек(р)= J Тпред*1*/ I Y..Pe;(dA:=[exp(BD-1Xp) —
*верх I хверх
-exp (BD-1 хверх) ] /[exp (BD-1 *Д110) — exp (BD~l хверх) ].
09

При Хр = 0,5 (хдно — л;ВерХ), т. е. при разъединении концентрата и
хвостов в середине постели, получается закон гиперболического
тангенса:
ек(р) = 0,5 - 0,5th [gfc (4aD)-' (p - рр)]. (III.13)
График 8 (р) имеет вид, как показано на рис. III. 1, 5.
Для аппаратов с постоянной плотностью среды и нестесненными
условиями движения частиц сенарационная характеристика близка
к идеальной ступенчатой.
II 1.2. Грохоты
При составлении приближенного уравнения сепарации по
крупности / на сите с отверстиями /0тв вначале примем следующие
допущения:
пренебрежем силами в зоне над ситом;
будем считать, что над ситом материал идеально перемешан и
гранулометрическая характеристика не зависит от координаты,
в слое, т. е. у {I, x, t) = у (I, t)\
учтем скорость vc (м/с) просеивания зерен нижнего продукта
в виде [3, 4]
,с(/) f »»«[l-(///o)-] "РИ /</отв
\ 0 При I > *отв.
Для периодического грохочения обозначим: у (I,
t)—гранулометрическая характеристика материала над ситом; т (t)—масса
материала над 1 м2 сита; h да const — средняя толщина слоя материала
над ситом. Поток элементарного мелкого класса [I, I + д.1] через
сито будем считать равным W (/) =—vch~lmy, тогда уравнение
сепарации получается из закона сохранения на границе зоны (на
сетке) в виде
д/(ту)/д1 = — vth~4ny, (III. 15)
т. е. скорость убыли массы элементарного класса [I, I + d I] из над-
решетного материала пропорциональна его массе ту и скорости-'
просеивания vc и обратно пропорциональна толщине слоя h.
Решение уравнения (III.15) относительно ту имеет вид
m(t)y(l, t) = mliCXy1!CX(l)exp[—vc(l)h-4].
Оно показывает изменение массы любого класса [/, / + d /] над
ситом с течением времени грохочения.
Сепарационная характеристика периодического грохочения по
надрешетному продукту имеет вид
еЦЯДР(/, t)=m(t)y{l, 0/т„схТисх(0= ехр[—vc (l)hrl t]; (III.16>
по подрешетному —
е„одР(/, 0=1- exp[- vK(l)h~4]. (111.17)
60

'наЗр
0,5
4- 1,мк
Рис. 111.3. Опытная зависимость
скорости i'c просеивания от размера I
частиц:
1—для лабораторного встряхнвателя; 2—
для илоскокачающегося грохота
Рис. 111.4. Семейство сепарациоиных
характеристик грохота
,
т
\(А~
-oo s"
***
«исх—max
(t — oy
Как видим, сепарационная характеристика зависит не только от ско^-
рости просеивания мелких классов i/c (/), но и от времени
грохочения.
Для непрерывного грохочения в стационарном режиме и при тех
же допущениях сепарациопные характеристики получаются из
предыдущих (III.16) и (III.17) заменой .переменного времени t на
постоянное время транспортировки t — 1/итр = M/'Qmcx, где L —длина'
грохота; отр — скорость транспортировки; М — запас материала на'
грохоте; QHCx — производительность по исходному питанию.
Получим для надрешетного продукта
е„аДР(/)= 1 — ехр[—uc(/)M(/iQHCX)-1]. (III.18)
На рис. III.3 показан пример экспериментальных vc (I) [4]. На:
рис. III.4- показано семейство е„адр(/) при уменьшающейся
производительности Qhcx или (что то же .самое) при увеличении времени
периодического грохочения.
61

При снижении производительности Q,ICx непрерывного грохочения
до нуля или при увеличении времени периодического грохочения до
■бесконечности сепарационная характеристика приближается к
идеальной е1ШЛР(/) = 1 (/—/0) с /р=/0Тв; е,шд1,(/) называют также
кривой эффективности грохочения по классам или кривой извлечения
узких классов.
Для уточнения анализа хода грохочения и учета эффектов
сегрегации в слое над ситом введем по общей методике функции
■у (/, х, t) и v (I, х, t), зависящие от местоположения х в слое. Учтем
три силы: /ггРад = —aDy~ldy/dx: /-\.опр = — av и новую средпеста-
— — 'max
тистическую силу сегрегации Fcere = &сегР (I — I), где / = \ lydl.
_ _ 6
Эта сила способствует движению крупных частиц I > I вверх от
сита, а мелких /< I — вниз к ситу.
Из закона сохранения dy/dt = — д (у v),!dx и баланса сил
2/\ = 0 получается следующее уравнение для функции y(l, x, t)
в слое над ситом (для модели параллелепипеда, см. рис. III.1):
д y/dt = Dd2 у/дх2 + йсегр а-'(1~'1)д у/дх. (111.19)
В отличие от допущения, сделанного ранее об идеальном
перемешивании в слое над ситом, теперь решение уравнения (III.19)
показывает, что в верхней части слоя (преобладают крупные зерна, а в
нижней— мелкие. Для нахождения функции у (/, х, t) и затем
уточненной функции е (I) уравнение (III. 19) надо решать с учетом
граничного условия па сите в виде (III.14); задача аналитического решения
остается открытой.
Приведем пример результатов определения коэффициентов D и
йсегра-1 в уравнении (III.19) по рассматриваемой в работе [28,
•с. 151—165] методике:
Класс крупности, мм . . —1+0,5 —2+1,6 —3,5+2,5
D, м2/с 0.366 0,126 О
fecerpa-1, с-1 . . . . 0,0175 0,215 0,259
Таблица III.1
Прогнозируемый утеор {I, t) hi и экспериментальный \';)ксп (/, О А I
гранулометрический состав подрешетного продукта, доли ед.
Расстояние
от начала
грохота у, см
0
13
39
52
65
78
Бремя

грохочения t, с
0
1,2
3,6
4,8
6
7,2
—1,67 мм;
vc — 1,682 см/с

Теоретический
0
0,3862
0,2486
0,2384
.0,2150
0,2065


ментальный
0
0,349
0,275
0,265
0,260
0,2545
—3,34 + 1.67 мм:
г-0 = 0,6672 см/с

Теоретический
0
0,4717
0,4604
0,4216
0,3957
0,3994


ментальный
0
0,464
0,451
0,446
0,442
0,432
—5 + 3,34 мм;
t)c = 0.1714 см/е

Теоретический
0
0,1422
0,2910
0,3500
0,3890
0,4141


ментальный
0
0,187
0,274
0,289
0,298
0,3137
■62

f Feeки *х
Учитывалось, что
уравнение (III.19) описывает
лишь массоперенос над
ситом; для этого в
опытах при встряхивании на
плоскокачающемся
грохоте вместо сита
устанавливали сплошное дно, что
исключало эффекты
просеивания.
В табл. III.1 даны
результаты численного
(приближенного) решения
y(l, t) уравнения (III.19)
с учетом скорости
просеивания vc{l) на границе (сите) и соответствующего эксперимента па
полупромышленном плоскокачающемся грохоте по трем классам
крупности (скорость просеивания этих классов была определена
предварительно). Сравнение прогнозирующих теоретических и
экспериментальных данных показывает, что их совпадение
удовлетворительное.
Рис. III.5. Граница разделения аппарата с
восходящим потоком:
Т>\ — пески; Х>2 — слив
II 1.3. Классифицирующие аппараты
Классификация в восходящем потоке с нестесненными условиями.
Классификаторы, сгустители, гидроциклоны сепарируют частицы,
отличающиеся юрупностью I и плотностью р; пример граничной линии
подобного аппарата показан на рис. III.5.
Рассмотрим вначале случай р = const и I = var, а именно —
модель классифицирующего столбика для нестесненных условий
классификации частиц по крупности.
В столбик снизу подается среда (вода), поднимающаяся (вверх)
со скоростью vcv; крупные частицы / > lv движутся вниз в
направлении х, а мелкие /</р — вверх. Учитыв аСМ Три СИЛЫ; Гграв, /"арх, /"стоке!
для нестесненных условий объемная доля твердого мала, т. е.
m (х, t) —vO, и поэтому Fcoap = 0, FIvaR = О, F~= 0.
Основные уравнения сохранения и баланса сил принимают вид:
d(my) /dt = —д( т у v)</dx + W;
g Р — g Pep — ас (v — vcv) /I2 = 0,
где ас = 18т]; т) — динамическая вязкость среды. Функция источника:
W характеризует поток, и состав питания
W(l, х, 0= Qncx(x, t)mUCK(x, 1)уИСХ(1, t),
где <7исх — удельная производительность по питанию, равная,
суммарному объему материала и среды, подводимому в единицу времени,
в единице объема в точке (х, t), с-1; тисх — массовая (или
объемная) доля твердого в подводимом материале; уисх —
дифференциальная характеристика крупности питания, мм-1.
63.
(111.20)

Решение уравнений (III.20) предсказывает концентрации узких
классов у (I, х, t)dl и твердого в целом т (х, t). Оно получается
(методом Грина) для общего случая нестационарного режима в
аналитическом виде
my = Tm4(x—vt, 0 + j W[l, x — {t — T)v, x]dT, (111,21)
о
где Гнач (x, t) = m (x, 0) у (/, x, 0) —начальное распределение
частиц по пространству рабочей зоны при ^ = 0; v = vcp -f g a"1 (р—
— pep)/2 — скорость частиц относительно стенок аппарата, м/с.
Практическое использование решения: заменяя в известных
функциях Г„ач (I, х) и W (7, х, t) координату х соответственно на разности
x — vt и x—(t — x)v и подставляя их в уравнение (III.21),
получаем функцию Г_(/, х, t)=my. Далее известное произведение
у = ту в соответствии со свойствами нормировки у-функций
разбиваем на искомые сомножители:
'max
т(х, t)= f Г(/, х, t)dl; у (I, x, t) = T(l, x, t)jm{x, t). (111,22)
о
Из аппарата отводятся продукты: верхний Klv и нижний
I > /р, причем /р = У ас vcplg (р — рср) берется из условия v = 0 во
втором уравнении (III.20).
Из полученного решения т (х, t), у {I, x, t) можно предсказать
характеристики обоих продуктов по следующим формулам:
оо
Vimm{l) = 5 j т{х, t)dx;
*ДНО
Qmim{t) = dVmmjdt;
Унят (I, t) = y{l, Хдно, t), (111.23)
где Vhhjk (t)—суммарный объем осадка, накопленного в нижнем
-продукте к моменту времени t, м3; S — площадь сечения аппарата,
м2; Хдно — координата разгрузочной части аппарата, м; Qmim (t) —
объемная производительность по твердому в нижний продукт, м3/с;
Учат {I, t)—дифференциальная характеристика крупности нижнего
-продукта, разгружаемого из аппарата в текущий момент t, мм-1.
Для верхнего продукта справедливы аналогичные формулы.
Сепарационная характеристика для стационарного режима
работы, когда д (my)ldt = 0, имеет ступенчатый идеальный характер
ениж(0=1(*-*р)- ("1-24)
Такое идеальное разделение по крупности является результатом
'нестесненности движения зерен.
Если в питании классифицирующего аппарата переменны и
крупность I и плотность р, то все формулы от (III.20) до (HI.23)
остаются в силе при замене у—+у (/, p, x, t); в формуле (III.22) для
т (х, t) надо добавить интегрирование по р.
64

Двухмерная сепарационная характеристика имеет идеальный
ступенчатый характер с граничной линией фр (см. рис. III.5):
... (1 для зоны £>ь
Внтк(р, Ч= { п
[ О для зоны /X
Таким образом, классифицирующий аппарат может разделять
сырье по двум физическим свойствам: крупности частиц I и
плотности их р. Положение граничной линии фр = g (р — рср) —
— ас vcvjl2 = О можно изменять варьированием рСр, vcv, ас-
Учет стесненности классификации. При большой
производительности в зоне сепарации накапливаются частицы обогащаемого
материала и сепарация носит стесненный характер, как, например, в
механических спиральных классификаторах.
Стесненность классификатора учитывается введением
градиентной силы /^рад, в результате чего уравнения движения частиц
изменяются следующим образом:
2F,- = g(p- Pep) — acJ-2(v — уср) — krpSL:i(l)y~l gvady - 0;
d(my)dt=*—d(myv)ldx+W. (111.25)
При in = const, что можно допустить для механических (спираль-
пых) классификаторов, получим
д y/dt = Dd2 у/дх2 — Ад у/дх + W,
где D = fe,pa;I(/)/2/a(;; A = —vcp + g(p — pcp)Z2/ac.
Двухмерная сепарационная характеристика по р и I имеет вид
е(Л(р, /) = [ехр(ЛО-'хр) — cxp(AD~] хвсрх)]:
: [exp (AD~l х№„) — exp (AD~l хверх) ] =
= 0,5 — 0,5th A h (AD) -1, (111.26)
причем последнее при хр = 0,5(хд„о — *верх) = 0,5/г.
Граничная линия (см. рис. III.5) имеет тот же вид фр = ^(р —
—Pep)— VcPac/l2 = 0, но сепарационная характеристика
отклоняется от идеальной ступенчатой (рис. II 1.6).
При р = ро = const из уравнения (III.26) получаем неидеальную
сенарационпую характеристику по крупности
еел(/) = 0,5 — 0,5th[A(4D)-' (al2 — vcp)'\ =
= 0,5 — 0,5th[fta (4D)-1 (I2 — l2P) ], (111.27)
где a = g a,-rl(po—Pep); ^p = Vucp/a -- крупность разделения. Этот
закон гиперболического тангенса для сепарационнои характеристики
классификации в стесненных условиях удовлетворительно
аппроксимирует экспериментальные кривые ег.л(0 (рис. III.7).
При весьма большой стесненности в уравнениях сепарации
(111.25) надо дополнительно учитывать силу сопротивления FConp =
= a v и, возможно, еще силу F~;j.
В гидроциклонах [Б] (или воздушных циклопах) также
осуществляется сепарация по крупности ' и плотности р в стесненных ус-
3 Зак. «13 65

Рис. III.6. Двухмерная неидеальная сепа- Рис. III.7. График функции еСл (/}'
рационная характеристика классификатора
ловиях (рис. III.8) Основное отличие заключается в появлении цен-
—>-
тробежпой силы F^o (радиальной составляющей силы инерции) и
соответственно среднестатистической цептробежно-архимедовой силы
—*■ —*-
F~&; сила Fv& направлена по радиусу вращения к стенке
гидроциклона и прижимает к ней частицы; на стенке образуется естественная
—>-
постель. В постели сила F~a отталкивает от стенки (заставляет
«всплывать») легкие частицы, которые попадают в слив. Кроме того,
поток среды (воды, воздуха, суспензии) отражается от стенки и
имеет «восходящую» от нее скорость иср, что способствует выносу
—>-
посредством силы трения (сопротивления) FCOup мелких частиц из-
естественной постели в слив. Крупные и плотные частицы остаются
прижатыми к стенке силой ГЦб и попадают в пески. Вследствие стес-
ценности в постели еще действует градиентная сила ^град- Таким об-
разом, крупные частицы, для которых F46 > F~a + Fconp, попадают
—>-
на дно постели и затем в пески, а мелкие, для которых FЦб <
<С F~a+FconP, «всплывают» в верхнюю часть постели и затем в
слив. Сепарационная характеристика Есл(1, р) в результате
стесненности и наличия ^град получается неидеальной.
Ось гидроциклона может быть вертикальной или наклонной, не
описанная качественная картина сепарации остается прежней.
Перейдем к количественному анализу. Будем считать, что
направление сепарации х перпендикулярно к стенке, время сепарации t =
= y/vTP соответствует продвижению материала по стенке от
загрузки к разгрузке песков. Совокупные уравнения сепарации (закон
сохранения и баланс сил) имеют вид:
d(my)/dt = —d{myv^)ldx\
ац[р —Pte 0] —aconp(0(wx— fcp) — krpta{l)y-1dyfdx = 0, (Ш.28>
66

СлиВ
5
0,12 i.MM
Пески
Рис. III.8. Гидроциклоп (а), пристенная постель (б) и пример сепарационной
характеристики (в)
где т = т(х, t)—доля твердого в пульпе в точке (х, t), m =»
» const; у — у{1, р, х, I) — функция фракционного состава в точке
(х, t)\ vx=vx(l, р, х, t)—средняя скорость частицы (I, р) в точке
(х, t) в направлении сепарации_ х, м/с; ацр = v20KVR~1 p = Fno —
центробежная сила, Н/м3; — а р = F^Ta — центробежио-архимедова
сила, Н/м3; р = (1 — m)pcv-\-m5 Spy&p&l— средняя плотность
D
постели в точке (х, t), т/м3; рср = const — плотность среды, т/м3;
«coup(/) ~ acjl2— коэффициент внутреннего трения (сопротивления),
с/м2; vcp = QncJS — средняя радиальная скорость оттока от стенки
пульпы, м/с, равная отношению объемного потока пульпы в
гидроциклон Qhcx (м3/с) к площади боковой поверхности S (м2);
•&грэд(/) —коэффициент градиентной силы, Н/м2.
При решении уравнений (III.28) считаем, что на входе в зону
сепарации материал идеально перемешан у{1, р, х, to) = Уисх.(1, р)
и минеральные частицы различных фракций равномерно
распределены в направлении расслоения х (х изменяется в пределах от верха
*верх до дна Хдно постели на границе со стенкой гидроциклона).
Другими словами, начальные условия на входе в постель при
#о=0 имеют вид y(l, p, x, t)=yaCK(l, p).
Каждый столбик исходного материала, вытянутый в радиальном
направлении х, движется в течение отрезка времени Т в
направлении у к концу постели, t = у/иТр- При этом в столбике под
действием названных сил происходит расслоение фракции в
направлении х, т. е. yilCx{l, р) деформируется в некоторую y(l, p, x, t),
являющуюся решением уравнений (III.28); тяжелые и крупные
частицы приближаются к дну, мелкие и легкие к верху столбика. В
момент t = Т разгрузки продуктов из аппарата столбик «разрезается»
в точке хр на две части: минеральные частицы, оказавшиеся к мо-
3* 67

менту t = Т в пристенном слое хр < х < хдно, попадают в пески, а
оказавшиеся в слое хверх < х < xv — в слив. Время расслоения 7 =
= Угц/Qncx определяется отношением объема зоны Угц к объемной
производительности по питанию.
При решении уравнений (III.28) для нахождения y(l, р, x, t)
нужно учесть граничные условия в виде vx(l, p, хД1Ю, t)=vx(l, p,
^верх, t) = 0^ Для получения простого решения допустим, что m =
= const и р = Рпульпы = const. Тогда исходные уравнения (III.28)
преобразуются к рассмотренному выше виду
д y/dt = Dd2 у/дх2 — Ад у/дх.
Для него решение при достаточно большом времени сепарации
Т, которое характеризует фракционный состав по глубине постели к
моменту окончания сепарации, имеет видх
7пРед(/, р, х, Т) = AD~l hylICX(l, р)ехр(Л£>-'х):
: [exp (AD-* хл„0) — exp {AD'1 хвеРх) ],
где А = —1>ср + Яц(р —Рнулыш)/асонр(0 — коэффициент «сноса», м/с,
зависящий от / и р частиц и равный скорости частиц в отсутствие
градиентной силы (&Град = 0); h = хлио — хверх — толщина постели,
м; D = ferpaA(/)/aCoiip(0—коэффициент диффузии, м2/с. Скорость
среды направлена против х, поэтому иСр отрицательно.
Сепарациоппая характеристика гидроциклона при этих
допущениях получается в виде
*р / *дно
еСл(/, р)= J у{1, р, х, T)dx / \ у(1, р, х, T)dx =
*верх / *верх
= [exp (AD-i *р) — exp (AD~' xBCm) ]/[exp (ЛО-> хД!Ю) -
- exp (ЛО-1 хверх) ]. (III.29)
Величина xp определяется отношением потоков слива Qc., и песков
Унес-
Хр ~ Хверх ~г (Хдио -^верх
Если разъединение продуктов происходит в середине слоя при
С21гео = <2сл = 0,Г)<Эисх и хр = дгверх +0,5(хд.ю—Хверх), то получается более
простая формула
есла Р) = 0,5 — 0,5thAh(4П)-[.
Она представляет собой закон, близкий к двухмерному
гиперболическому тангенсу для двух физических свойств / и р; график е(.л(/, р)
подобен графику па рис. III.6.
Условие нахождения границы разделения еСл(/, р) = 0,5 приводит
(при хр в середине постели) к А = 0 или к следующему уравнению
границы разделения:
фр(^ Р) = Р — Рпульпы — VcpacoT>v(l)lan.
При стоксовом сопротивлении аСОпр(0 = «с/'2; тогда график
разделения проходит так, как показано на diic. Ш-5 (ас = 18л.).
68

В частном случае сырья с частицами постоянной плотности р =
= ро= const гидроциклон работает как классификатор по
крупности /. Одномерная сепарационпая характеристика при стоксовом
сопротивлении и хр в середине постели принимает вид
есл(0=0,5-0,51пШ4О)-1[а1,(р-рпульпы)Х
X 12/ас — оср]} = 0,5 - 0,5th[A6 (4D)-> {Р — Рр) ], (111.30)
где Ь = ац(ро—рПульпы)/ас; lp=~]/vcp/b — крупность разделения.
В другом частном случае узкоклассифицировапного питания I =
= lo = const гидроциклон работает как сепаратор по плотности с
характеристикой
Бел = 0,5 —0,5th{/;(4Z))-1[a„(p —рпулы1Ы);20/ас —
— Оср]} = 0,5 — 0,5th [Аа„ Р0(Р — Рр)/ас],
где рр = рпульны + Усрас/(ац/2о)— плотность разделения.
Величины крупности разделения /р и плотности разделения рр в
двух последних для есл формулах найдены для частного случая
Qo.-i = Qnec, т. е. хр находится в середине постели. Для общего
случая Qc.-i ¥= Qnec надо действовать по формуле (III.29) при условии
есл(/, р)=0,5; эта задача остается нерешенной.
Для практического подтверждения на рис. II 1.8 приведены
теоретическая зависимость еСл(/) и экспериментальные точки для
гидроциклопа диаметром 350 мм [5].
II 1.4. Магнитные сепараторы
Схемы распространенных магнитных сепараторов показаны па
рис. III.9 и ШЛО. В СССР производят сеператоры с постоянными
магнитами и с электромагнитами: барабанные для сухой сепарации,
барабанные для мокрой сепарации, барабанные с центробежным
режимом, валковые для мокрой и сухой сепарации с нижним
питанием, валковые с верхним питанием, нолпградиентпые и др.
Сепараторы сухого обогащения применяют для пепылящих
крупнозернистых материалов, сепараторы мокрого обогащения — при наличии
топких классов. В последнем случае используют: прямоточный
режим при малом содержании топких и магнитных фракций; противо-
■L-. Исходный^ J^R Искоднып
If. ^JipodlJ','!'
Концентрат
Мосты
Хищент/тп
Рис. III.9. Ъарабанный и роликовый магнитные сепараторы (а) н граница
разделения (б):
Г>1 — хвосты; D2 — концентрат
69

J I L
Исходный /'"Л Ю\ j
продукт
FF^
Я £„(№)■•
' Г|Ш?,
Концентрат
S\
Хвосты
tgoc = a/ff
Исходный
продукт
\х \ Ъ*
Рис. III.10. Ленточный (а) и
барабанный (б) сепараторы и
их характеристика (в) для
стесненных условий
точный — при большом их содержании; полупротивоточный — при
наличии илистых сильномагнитных фракций.
Сепараторы со слабым полем применяются для сепарации
сильномагнитных руд, содержащих ферромагнитные минералы.
Сепараторы с сильным полем применяют для сепарации парамагнитных
минералов, магнитная восприимчивость которых % на 3—4 порядка
меньше, чем у ферромагнетиков.
Разомкнутые магнитные, системы с чередующейся полярностью
дают более чистые концентраты благодаря эффекту
электромагнитного перемешивания. Электромагнитное перемешивание бегущим или
вращающимся полем может дополнительно вводиться в сепаратор.
Замкнутые магнитные системы применяются для труднообогати-
мых руд: руда транспортируется между полюсными наконечниками
с помощью валков, дисков, роликов (индукционные магниты).
Магнитные сепараторы разделяют частицы по магнитной
восприимчивости %, а также по плотности р [9, 18, 19]. Для роликового
или барабанного сепаратора (см. рис. III.9, а) при
нестесненных условиях движения частиц в рабочей зоне главными силами
в уравнении баланса сил Б/7, являются магнитная FbI~ %HgTadH
и центробежная Fno = v2OKpR~]p. Баланс сил
Xtfgrad#-D2OKptf-'p = 0 (III.31)
дает граничную линию фР(р, %):=:0, показанную на рис. III.9, б.
Частицы движутся в антипараллельных силовых полях. Сепарацион-
ная характеристика е(р, %) для данного баланса сил имеет
идеальный ступенчатый характер; причем скачок ступеньки от нуля к
единице происходит по упомянутой граничной линии.
Для стесненных условий в уравнении 2 /*\- = 0 появляются допол-
пительные силы: сопротивления /coup, градиентная /;град, гравита-
70

ционно-архимедова F~a, магнитно-архимедова F~a. Так, для
ленточных сепараторов с антипараллельными полями (см. рис. ШЛО, а
—*• —*■ —*. —*■ —*• —*■
И б) баланс СИЛ 2/ч = Fconp + ^град + ^м + ^грав + F ~a + F~a =
= 0 совместно с законом сохранения (после исключения v) дает
уравнение сепарации (а = НgradH):
ду/dt = Dd2 у/дх2 — a-*d{[gp—ax —
-SS(gp-ax)dpdyi\y}ldx. (111.32);
D
Для рабочей зоны в форме параллелепипеда функция у(р, х> *> О!
определяется с учетом краевых условий
?(Р. Х- х, ta)= уисх(р, X); * = У/Vip, Удно = Уверх = 0.
Двойной интеграл в уравнении (111.32) равен —gp + «X> T- е-
соответствует упомянутым архимедовым силам F~a = —gp и
-*■
F~a = — а х, причем р(х, t) и х(*> 0 представляют собой
соответственно средние плотности и магнитную восприимчивость смеси
частиц в точке (х, t).
При предельном расслоении (t—»-оо, ду/dt — O) из уравнения
(III.32), интегрируя дважды по х, применяя один раз условия
нормировки, получим решение, характеризующее фракционный состав
расслоившегося материала по глубине зоны в разгрузочной части:
ТпРед(Р. Ъ х) =70exp[(aD)_1 (gp — а%)(х— х0)]:
: / ^yoexp[(aD)-l(gp — ax)(x — x0)dpdx].
D
Это решение представляет собой закон статистического
распределения Гиббса. В отличие от упомянутого ранее для отсадки, в нем
фигурируют дна физических свойства частиц. Распределение Yo =
= Т(Р> X. хо) в точке х = х0 появляется как постоянная
интегрирования по х и находится из интегрального закона сохранения с
учетом состава исходного питания
*ДН °
(*дно *верх)— J Упред d X = Yncx(p> X)'
*верх
как это делалось и для отсадки.
При р ~ const сепарационная характеристика по % (из тех же
соображений, что и для отсадки) получается в виде
Мх) =0,5{1+Ф[(х-Хр)У(а£)-'/шТш;х(х)]}, (111-33)
"max
ГДе Хр = Xmax — (Xmax — Xmin) QiJQacx, Qk/Qiicx = |' ?исх (х) d X-
Это нормальный закон интеграла вероятности. Полученная
сепарационная характеристика относится к наиболее сложному случаю, когда
71

средняя магнитная восприимчивость смеси в постели изменяется по
пространству % = %(х, t) вследствие значительного перепада
концентраций магнитных минералов в направлении х-
В сепараторах с р = const и % = const, т. е с постоянной магпит-
•ной восприимчивостью постели, уравнение сепарации упрощается до
типа Фоккера -— Планка
д y/dt = Dd2 у/дх2 — Ад у/дх,
где Л = a-1[g-(p~pCp) —a(x —Xci>)].
Сепарационная характеристика вычисляется по общей методике
ек(р, х) = [ехр(ЛО-1Хр) —ехр(ЛО-'хвеРх)]:
: [ехр(Л D-1 хд,ю) — ехр (ЛО-1 хверх) ],
где хр = хверх + (л'ниж — -«верх) Qk/Qhcx — координата разъединения
концентрата и хвостов в разгрузочной части зоны. Полученная для
ек(р, х) формула аналогична формуле (III.29) для еСл(/, р) гидропик-
лопа; но следует иметь в виду, что в них принципиально
различны коэффициенты сноса А.
Сепарационная характеристика но р и % при разъединении
концентрата и хвостов в середине рабочей зоны хр = х№0 -\- 0,5/z
получается более простой:
е„ = 0,5 + 0,5th[ (4a D)-1 ha(% - xcp)~-
-(4a£»)-1/zg(p-Pcp)], (Ш.34)
где h — Хд,ю — хш;Рх — глубина постели. Это двухмерный закон
гиперболического тангенса. Разделительная линия, для которой половина
частиц попадает в концентрат, а половина в хвосты, ек = 0,5, может
быть выражена уравнением (см. рис. ШЛО, в)
а(х —Хср) —g(p —рсР)= 0.
В частном случае, если пренебречь переменной плотностью
минералов, т. е. допустить, что р = р0 = const и сепарация идет только
по 1, из уравнения (Ш.34) получается
e„(x)=0,5 + 0,5th[(4aZ))-1Atfgradtf(x-Xp)].
где Хр = Хср~1'£(Р—pcP)/#grad# — магнитная восприимчивость
разделения; 8к(Хр)= °'5-
Экспериментальное подтверждение сепарационной
характеристики приведено в работе [28, с. 161 —169].
Ш.5. Флотационные машины
Подобно гравитационным аппаратам, разделяющим частицы
сырья по плотности р на концентрат р>рР и хвосты р<рР,
флотационные машины разделяют частицы сырья по их флотируемости k
на концентрат k>kv и хвосты k < kv [l, 2, 6, 24, 25, 28, 30]. Во
всех типах флотационных машин (механических, пневмомеханиче-
72

Рис. III.11. К пояснению меры флотируемости
ских, пневматических, колонных и др.) сепарация происходит
прежде всего на границе раздела пузырьки — пульпа (рис. Ш.11,а, б).
По К. Л. Разумову, флотируемость частицы можно оценить
изменением поверхностной энергии Е\—Е2 до и после прилипания к
пузырьку, отнесенным к единице образованной поверхности газ—■
твердое 5г-т,
£раз = {Е\ — £2)/5г_т = 0Гг_ж(1 — COS 6),
где cos8 = (ar_T — огж_т)/аг_ж—косинус краевого угла смачивания;
a — поверхностное натяжение на соответствующих границах раздела
фаз (см. также рис. 1.1, г).
Эта термодинамическая мера —чем больше энергии
освобождается при закреплении частицы на пузырьке, тем выше ее
флотируемость— хороша при анализе элементарного акта закрепления
одиночной частицы на пузырьке, но вследствие практической
неизмеримости малопригодна для процесса промышленной флотации
бесчисленного множества частиц.
Более практичной благодаря измеримости является мера
флотируемости, связанная со скоростью кинетики извлечения в пенный
продукт узкой флотационной энергии по уравнению Белоглазова
е,(0= 1 — ехр(—<р,-0, (111.35)
где ф, = const — флотируемость узкой i'-й флотационной фракции,
с-1.
Этот закон кинетики является решением уравнения убывания
концентрации Cj(t) узкой г'-й флотационной фракции вида d did t =
= — ф; С;.
Мера ф не учитывает важнейшего «машинного»
фактора—степени аэрации, поэтому в работе [28, с. 102] предложена несколько
измененная мера флотируемости k (м/с), фигурирующая в уравнении
73

Белоглазова в виде et(t) = l—ехр (—kiSt), где S — площадь
поверхности пузырьков в единице объема пульпы (или удельная
поверхность раздела жидкой и газообразной фазы), м2/м3. Такое
разбиение ф на два сомножителя k и S позволяет учесть влияние S на
скорость флотации и исключить зависимость прежней флотируемости
частиц ф от степени аэрации. Флотируемость ki (или ф*) узкой
фракции [kt, ki+dk] может быть найдена по кривой кинетики
флотации ее (без смеси с другими фракциями) (рис. III.11, в).
Флотируемость k для данной элементарной флотационной
фракции [k, k -f- d k] равна усредненной скорости механического
движения частиц фракции из жидкой фазы к границе с газовой фазой,
т. е. из пульпы на пузырьки (в усреднение скоростей входят и
случаи соударений без закрепления и случаи обратного перехода с
пузырьков в пульпу, т. е. k суммирует все промежуточные стадии
процесса минерализации пузырьков).
Для наглядности можно вообразить границы всех пузырьков
развернутыми в общую плоскую границу: с одной стороны газ, с
другой— пульпа, в которой хаотически витают минеральные частицы.
С течением времени концентрация нефлотируемых частиц (k = kQ =
:= 0) в пульпе не уменьшается, т. е. их средняя скорость движения
к границе равна нулю. Можно выделить группу — элементарную
флотационную фракцию [k{, k{+dk]— движущуюся со средней
скоростью ki = const к границе; концентрация этих частиц убывает по
закону dd/dt=—kiSCb а извлечение на границу растет по
формуле (III.35). В эту фракцию «бегунов» со скоростью kt могут входить
частицы разных минералов и разного размера. Среди частиц
имеются медленные (k = k\), средние {k = k2), быстрые (k = fe3)
«бегуны». При изменении реагентного режима флотируемость k частиц
изменяется.
111.12.
',5"/г,мм/ми'
Пример фракционного состава
по флотируемости
стик e,(k) флотационных машин и схем
Пример распределения по
флотируемости y(k) частиц апатитовой
пульпы дан па рис. III.12: доля
нефлотируемых частиц с k = 0 составляет
60 %; затем идет медлешюфлотируе-
мая фракция 0<6<0,5 мм/мин —
10 %; затем средпефлотируемая
0,5<й<1 мм/мин — 20% и. наконец,
хорошо флотируемая 10<й<1,5 мм/
/мин—-10%. Там же показана
зависимость (5(й)—содержания
ценного компонента Рг05 от
флотируемости. Нахождение y(k) и |3(й) с
помощью флотометрического анализа
будет подробно рассмотрено после
изучения сепарационных характери-
лотации.
Мера fepa3 (Дж/м2) является причиной, а мера k (м/с) —
следствием: вторая измерима, а первая нет. Если бы
причинно-следственная связь &раз—*-k была известна, то появилась бы
возможность важного «измеримого» перехода к мере &раз", задача о связи
/гРаз^& остается нерешенной [1].
Важной спецификой флотации является зависимость величины k
74

(или fepaa) от реагентного режима в пульпе. Например, одна и та же
апатитовая руда при различной реагентной обработке будет иметь
различный фракционный состав по флотируемости: кривые y(k) и
Р(£) на рис. III.12 деформируются при изменении типа реагентов и
их расхода. Исследования влияния реагентного режима на y(k) и
P(fe) почти отсутствуют.
Принимаемые ниже упрощения для сепарационной
характеристики сводятся к акценту на анализ минерализации пузырьков;
второстепенные процессы, связанные с механикой движения пузырьков,
разгрузкой и осыпанием пены и др., пока не будут приниматься во
внимание. Сначала рассмотрим фундаментальную задачу
предсказания фракционного состава в рабочей зоне.
Для флотационной машины периодического действия допускаем
идеальное перемешивание твердого в камере. Это исключает
зависимость протекания процесса от координат пространства камеры х, у,
z. Цель анализа — предсказание функции y(k, t) распределения по
флотируемости k минеральных частиц в пульпе, т. е. предсказание
изменяющегося во времени фракционного состава камерного
продукта (хвостов); состав концентрата находится по разности с исходным.
Закон сохранения (II.4) теперь дополняется новым важным
для флотации членом
d(my)/dt = —d(myv)/dx+W — kSmy, (III.36)
где m = m(t) — доля твердого в камере в момент t, доли ед.; у =
= y(k, t) — дифференциальное распределение по флотируемости
камерных частиц, с/м; W(k, t) =<7исх(0/писх(0тисХ(й, t)—удельный
поток подводимого питания (функция источника); femin < k < femax—;
флотируемость фракций, м/с; S — удельная поверхность раздела фаз,
м2/м3.
Новый член kSmy представляет собой объем узкой фракции
флотируемости [k, k + dk], осаждающейся на границе раздела газ —
жидкость в единице объема камеры за единицу времени, с-1. Он
введен в соответствии с предложением проф. А. Д. Погорелого скорость
минерализации пузырьков пропорциональна концентрации минерала
в камере и свободной поверхности пузырьков.
При идеальном перемешивании твердого в камере v(k, x, t) =
= 0, поэтому первый член в правой части уравнения (111.36) равен
нулю. Кроме того, нет надобности в уравнении баланса сил 2/"; = 0
благодаря упомянутым упрощающим допущениям.
Уравнение сепарации представим в виде
dmy/dt = — kSmy+ W. (II 1.37)
Для камерных частиц y = Yxb(&, t), для пенных частиц yK(k, t)
находится но разности от исходного ynCx(k, t)-
В машине периодического действия в начальный момент t = О
производится разовая загрузка с общим количеством твердого в
единице объема пульпы тнач = const и составом уИсх(&); W = 0;
подается воздух для аэрации S.
Решение уравнения (III.37) при W = 0
my = T(k, t)= Гпач(А)ехр(—kSt). (111.38)
75

где Г„ач = тпачуисх(к), т. е. концентрация Y{k, t)dk в камере
любой элементарной фракции [k-^k + dk] убывает по
экспоненциальному закону — для каждой фракции со своим показателем k, что
соответствует кинетике элементарной фракции флотации по Белогла-
зову в виде уравнения (III.35).
Используя условие нормировки для функции y(k, t), определим
изменение доли суммарного твердого в камерном продукте:
femax
m(t) = \ Г d k = m„a4 j" Тнсх(^)ехр(—kSt)dk.
о о
Из двух последних равенств находим искомый фракционный состав
в камере
y(k, t)=Y(k, t)/m(t)=yncx(k)exp(—kSt) I J" yacx{k)uxy{-kSt)dk.
' о
Извлечение суммарного твердого и ценного компонента в пенный
продукт (концентрат) найдем далее по разности
*тах
8тв(0 = [тнач — m(t)]/тпач = 1 — \ Yhcx(k)exp (~kSt)dk;
о
и
__, max
ejvre(0= 1 — Рисх j' Pi.cx(fe)Tncx(fe)exp(—kSt)dk.
6
В частном случае смеси N дискретных флотационных фракций
получим
N
етв(0= 1— 2j Cii,cxexp(—kiSt),
1 = 1
где Сгисх — концентрация г'-й фракции в исходном продукте.
Аналогичным образом находится формула для eMe(t).
Объемная удельная производительность но концентрату в момент
t, м3/(м3- с)
ь
max
q]i(t)=—dm(l)/dl = mna4kSk \ yncx(k)exp(—kSt)dk.
Для однокамерной непрерывной флотационной машины задача
предсказания фракционного состава в камере Y = y(fe, /)
отличается только непрерывной подачей питания №=й=0 в уравнении (III.37).
Решение уравнения (III.37) методом Грина при W Ф О имеет вид
my = V(k, t) = exp(—kSt) .Гнач(*)+ f W(k, t)exp(kSt)dt
L о
Далее, как выше, находим:
"max
m(t)= j' T(k, t)dk; y(k, t)=T/m; qK — — dm/dt.
о
76
]■

Окончательные формулы определяются характером исходного
питания W(k, t).
Для многокамерной непрерывной флотационной машины
допущение об идеальном перемешивании твердого в камере и вытекающее
из него уравнение (III.37) не годятся, так как концентрация
твердого в пульпе изменяется не только во времени t, но и по длине
флотационной машины 0 < у < L. Поэтому уравнение сепарации имеет
вид
d(my)/dt = —dimyv^) 1ду — kSmy + W, (111.39)
где t'Tp — скорость транспортирования пульпы вдоль машины, м/с.
Сравнительно простое решение уравнения (III.39) получается для
стационарного режима, когда фракционный состав и ноток питания
во времени не изменяются. В этом случае функция источника имеет
вид
исх ^исх Y"cx
где Q„cx = const — полная (не удельная) производительность по
пульпе в начале машины при у = 0, м3/с; 5сеч — площадь сечения
машины, перпендикулярного движению пульпы, м2. Тогда d(my)/dt =
= 0 и решение имеет вид
m у = Г (k, y)= Гпач (k) exp (—kSy/vTp),
где Г нач — Уисх ^псх Vncx (fe)/(uTpSce4).
Это решение аналогично решению (III.38) при замене t = г//уТр-
Импульсная функция б (у) указывает на расположение источника в
начале машины при у = 0.
Далее по известной Г находим состав камерного продукта вдоль
машины:
*тах
m(y)= j Г dA; y(k, у) = Г/т.
о
Сспарац ионные характеристики по хвостам и
концентрату имеют вид:
еХв {k) = тХБ QXB Yxb (k) /"[«исх <2исх Y"cx (k) ] = exp (—kStij,)
(111.40)
eIt(&)= 1 — exp(—kSt<b),
где ^1, = const — время флотации. Они имеют вид экспоненциального
закона (рис. III.13), где k переменно, t$ фиксировано.
Флотируемость разделения kp находится из условия ек(&Р)= 1 —
—ехр(—fepS^)= 0,5:
fep=ln2/(S^). (111.41)
Флотируемость разделения можно регулировать, изменяя время
флотации t,\, и аэрацию S. Для периодической флотации гк(к) = гк{к, t)
изменяется с t.
Полученный экспоненциальный закон для e,t(fe) пригоден для
обычных (неглубоких механических, пневмомеханических, пневмагн-

ческих) машин при пормальном
положении уровня пульпы и пеносъема,
■-£ ---—--_ • так как время движения пузырьков
ч У^><^~-~~~^ 6« в пенный слой пренебрежимо мало па
Х/Х' -пм сравнению со временем движения ми-
/t^^ неральных частиц к границе раздела
/; "" •*____ егЬ газ — жидкость. Для специальных
'.—I ^"^J-~- а (глубоких, с комбинированием прямо-
*р=1п 2j[stv) к точности и противоточности, с
дополнительными перечистными зонами
Рис. III.13. Сепарациониые харак- и т. д.) флотационных машин
характеристики флотационной машины теристика e,;(fc) может отличаться от
экспоненциального закона,
приближаясь к идеальной ступенчатой гК(к) = \(к— ftp), так как
дополнительно к сепарации на границе раздела появляются эффекты,
связанные с увеличением интервала времени между появлением пузырька
в камере и выносом его в концентрат. Для таких специальных
флотационных машин вопрос о сепарационной характеристике
остается нерешенным.
Экспериментальное подтверждение экспоненциальной
сепарационной характеристики было проведено на основе определяющей
формулы eK(ft) = РкУк(£)с1&/[(2исх7исх(&)с1&]. Анализ фракционного
состава по флотируемости 7исх(&) и yK(k) (флотометрический анализ)
для исходного продукта и концентрата проводили по методике,
рассматриваемой ниже (см. гл. V).
Экспериментальное определение сепарационной характеристики:
шестикамерной флотационной машины ФМР-0,3 проводили при,
испытании новых реагентных режимов основной флотации опытной
обогатительной фабрики ПО «Беларускалий» [12]. При отборе
исходного питания и концентрата для флотометрического анализа
поддерживали следующий реагентный режим: основная флотация —
90 г/т ПАА, 63 г/т амилового ксантогената; I перечистная флотация —
60 г/т сернокислого алюминия. Было отобрано 8 проб чернового
концентрата и исходного питания.
Результаты этих экспериментов подтверждают экспоненциальный
характер сепарационных характеристик (111.40) флотационных
машин при нормальном уровне пульпы [ук = 25%; расчет по формуле;
(1.9)]:
ku м/е .
YucxAfci, %
YkA*<. % • •
8н, % ■ • •
. 0
. 73
. 5
. 1,71
0,00004
13,15
37
70,34
0,00012
10
35
87,5
0,0002
2
7,7
96,25
0,00028
1,75
6,8
97,14
При отклонении уровня пульпы от нормы (переливы, недоливы)
на величину АЛ сепарационная характеристика пропорционально
смещается в вертикальном направлении (не выходя за интервал
изменения 0—1, см. рис. III.13):
ек (ft) = 1 — ехр (—БЫф) ± а Л Л,
где а — коэффициент пропорциональности. Это положение было
подтверждено экспериментом.
78

Заметим, что выбор меры флотируемости в виде k (м/с) или
в ином виде должен быть метрологически узаконен. Так как для
периодической флотации кинетика извлечения твердого еТв(0 и
компонента Eme(t) в пенный продукт определяются фракционным составом
пульпы по флотируемости уисх(&) и Рисх(&) (см. формулы на с. 76),
то метрологической базой для k может служить типовой эксперимент
ио кинетике в стандартной лабораторной флотационной машине с
заранее оговоренными условиями, касающимися плотности пульпы,
степени аэрации, интенсивности перемешивания (тип, частота вращения
мешалки), крупности пузырьков воздуха.
Теория флотации, учитывающая количественно переменную флоти-
руемость фракций, сталкивается с особым усложняющим
обстоятельством— зависимостью флотируемости минералов и сростков от ре-
агентного режима. Это ведет к тому, что функции y(k) и $(k)
изменяются при изменении реагентного режима.
III.6. Электрические сепараторы
Силы, действующие в рабочих зонах сепараторов. Схемы
распространенных электрических сепараторов показаны на рис. III.14.
В коронных сепараторах (см. рис. III. 14, а) частицы заряжаются
ионизацией и далее разделяются под действием сил Кулона и
зеркального отражения; в проводящую фракцию выделяются сульфиды,
арсениды и другие минералы, а также золото, серебро с удельной
проводимостью К > 1 См/м.
В электростатических сепараторах (см. рис. III.14, б) частицы
заряжаются любым способом (кроме коронного) и разделяются под
действием силы зеркального отражения; при этом
минералы-диэлектрики с А,<0,1 См/м отделяются от минералов-проводников, например,
кварц от кальцита, алмаз от других.
В комбинированных коронно-электростатических сепараторах
в проводниковую фракцию выделяются минералы с Я>106 См/м:
магнетит, ильменит, рутил, гематит, касситерит, хромит.
В трибоадгезиоиных сепараторах (см. рис. III.14, в) обогащают
асбестовые руды, отделяют кварц от полевых шпатов. В последнем
случае нагретая смесь подается на холодный ролик-электрод, на
котором кварц поляризуется и удерживается.
Рис. III.14. Электрические сепараторы:
•в— коронный барабанный; б —коронный электростатический; в — трнбоадгезионный; г —три-
боэлектростатическнй камерный с сегментными электродами
79

В трибоэлектростатических сепараторах (см. рис. III.14, г)
используется различная способность минералов к электризации трением,
Этим путем получают дистсновые концентраты, чистый кварц и т. д„'
Обработка поверхностей минералов реагентами значительно pacj
ширяет область применения электрической сепарации.
При разделении минеральных смесей в электрическом поле основ»
пои является сила Кулона
-*■ -*■
^кул = Ц Е,
—>
где ±q — заряд в единице объема, Кл/м3; Е — напряженность
электрического поля, В/м.
Значительно меньше но величине пондеромоторная сила,
действующая па поляризованный диэлектрик,
^понд = xeo^gradi; = y.e0EdE/d x, (III.42)
где х—диэлектрическая восприимчивость на 1 м3, [х] = 1; е0 =
= 8,85- 1(Н2 Ф/м — электрическая постоянная.
Диэлектрическая восприимчивость зависит от диэлектрической
проницаемости е и для неполярных диэлектриков определяется
уравнением Клаузиса — Масотти
х = 3(е-1)/(е + 2).
—>
Сила ^понд является следствием того, что неоднородное
электрическое поле действует с силой рел grad E на электрический диполь с
моментом pd = qi, сумма диполышх моментов в единице объема
—>
минеральной частицы представляет собой поляризованность Ре =
= е0 у. Е.
Сила Fnon-d Для частиц-диэлектриков является следствием их
поляризации. Для частиц-проводников аналогичная сила возникает
вследствие явления электростатической индукции, при которой
положительные и отрицательные заряды в равных количествах
разделяются в направлении внешнего поля Е и частица образует один
«большой» диполь. Вследствие этого в неоднородном поле на
частицу-проводник также действует сила вида (III.42).
Для полупроводников имеют место и поляризация, и
электростатическая индукция, что сопровождается также действием пондеро-
моторной силы в неоднородном электрическом поле.
В стесненных условиях обогащения добавляются силы сопротив-
—> —*■
ления Есопр и градиентная /-"град.
Фракционный состав продуктов. Помимо двух физических свойств
частиц q и х, на процесс их электрической сепарации влияет
электропроводность X, а также плотность р и крупность /, так как во
многих сепараторах значительны силы тяготения и центробежные.
При оценке фракционного состава, например y(q), $(q), новым
и затрудняющим обстоятельством является то, что физические
свойства q и у. (в особенности q) частицы приобретают в рабочем
пространстве аппарата и эти свойства не являются так тесно связанны-
80

ми с веществом частиц, как, например,
плотность р. Это обстоятельство затрудняет
охарактеризован!^ фракционного состава минеральной
смеси функциями вида y(q) и fi(q).
При анализе пробы для определения y(q)
частицы пропускаются через электрический
сепаратор, где ноле Е сильнее отклоняет более
заряженные частицы (с большим значением </).,
Образующийся веер траекторий частиц распре-:
деляется но разным сборникам, соответствующим
разным диапазонам фракций Д^г-
Для сепарированных фракций может
потребоваться, помимо взвешивания, измерение
физического свойства q (или /., х, е, /, р и др.).
Измерение (рис. III. 15) удельного заряда q
(Кл/кг), приобретаемого минеральными
частицами на трибоадгезионной установке /, можно
производить ламповым электрометром 2 (типа
В2-5) с выносным динамическим
конденсатором 3. Заряженные частицы попадают в цилиндр
динамического конденсатора; показания на шкале электрометра
пропорциональны измеряемой величине q [20, с. 281—287].
Измерение q возможно с загрузкой пробы в цилиндр Фарадея
(заземленный металлический кожух), с использованием любых
вольтметров (или электрометров) с большим входным
сопротивлением (типа С-50), причем
q = CUlm,
2
— 0I
Рис. III.15. Схема
установки для измерения ц
где С — емкость измерительной системы; 1)— измеренное
напряжение; т — масса пробы.
Для тонкодисперсных заряженных порошков измерение q (т. е.
отношения заряда к массе) производилось масспектрометром ЗМС-1,
в котором регистрируются отклонения заряженных частиц, летящих
между пластинами плоского конденсатора [20].
Удельная электропроводность Я частиц имеет большое значение
как при зарядке частиц, так и при изменении заряда в результате
контакта с электродами сепаратора. Величину % измеряют, помещая
пробу частиц между двумя электродами (металлические барабаны и
т. п.), через которые пропускается электрический ток / и измеряется
напряжение U; отношение I/U определяет К.
Диэлектрическая проницаемость е измеряется по изменению
емкости конденсатора, между обкладками которого помещается проба.
Если в одном конденсаторе между пластинами находится воздух
(С), а в другом— проба материала (Ci), то е = Ci/C.
При использовании иммерсионного способа внутрь конденсатора
помещают пробу исследуемого материала, а затем — жидкость
(смесь скипидара, нитробензола и т. д.). Состав жидкости
подбирается таким образом, чтобы емкость коденсатора осталась такой
же, как для пробы. По известному значению е для жидкости судят
8!

Рис. III.16. Распределение отрицательно Рис. III.17. Многопродуктовый сепаратор
заряженных частиц угля размером
0,1 мм
о е материала. Измерение емкости ведется обычными
электротехническими методами.
В рассмотренных методах экспериментального определения
функций типа v(5) и р(|) для пробы материала требуются: сепарация
пробы на несколько фракций А |г-, взвешивание фракций, измерение
It для каждой фракции, измерение рг- для каждой фракции
(например, с помощью химического анализа).
Пример фракционного состава по удельному заряду показан на рис. 111.16.
При нестесненном режиме в сепараторе с коронным разрядом
частицы в зоне не взаимодействуют, поэтому не надо вводить средне-
•статистические силы типа Fconp и /чрад.
В рабочей зоне барабанного сепаратора с коронным разрядом
загружаемые частицы движутся монослоем по барабану и
происходят два процесса (рис. III.17). Первый — подготовительный процесс,
в результате которого частицы приобретают заряд q и вследствие
поляризации и электростатической индукции — дипольные моменты
(х). Второй процесс — это движение частиц с приобретенными
свойствами q, х (а также имевшимися ранее р, /, X) в электрическом Е
и гравитационном g полях.
Поле Е создается с помощью источника U0 (см. рис. III.17)
между электродом-барабаном / и коронирующим электродом 2,
представляющим собой тонкий проводник, параллельный оси барабана.
Назначение отклоняющего электрода 3 — увеличить градиент поля
дЕ/дх и отклонить к себе частицы с большими дипольными
моментами. При попадании минеральной частицы в зону «приобретение»
свойства х происходит почти мгновенно, однако приобретение
свойства q происходит с некоторой инерцией во времени, оценка которой
может быть дана следующим образом.
Элементарные заряды, возникающие в результате ионизации
воздуха около коронирующего электрода, при движении встречаются с
частицами материала и осаждаются на них. Избыточный заряд q
82

частицы (диэлектрика) при этом возрастает по формуле Потенье
?аар = *i[l + 2(8— 1)/(е + 2)]Er2k2t/(l + kit),
где г —радиус частицы; ku k2 — константы. Знак заряда
соответствует знаку коронирующего электрода. Если заряжаемая частица)
соприкасается с барабаном, то избыточный заряд с нее стекает на.
барабан по экспоненциальному закону
<7Разр = <7нач exp (~t/RQ,
где R — сопротивление, Ом; С —емкость цепи частица — барабан,
Ф. Когда частиц много, то может происходить их взаимная
перезарядка.
Равновесие в перераспределении зарядов (т. е. в процедуре
заряд—разряд) наступает примерно через 0,1 с после входа
минеральной частицы в зону. За это время частица приобретает
окончательное равновесное значение удельного заряда q. При малых
сопротивлениях R процесс разряда преобладает над процессом заряда,,
поэтому частицы проводников выходят из-под короны без
избыточного заряда (незаряженными). Более того, при очень малых R
частица может терять и наведенный дипольиый заряд и в результате
контакта с барабаном получать заряд противоположного знака
-\-q—»—q (знак заряда противоположен знаку коронирующего*
электрода). При больших R имеем обратное явление, поэтому
частицы диэлектриков выходят из-под короны заряженными (знак заряда,
соответствует знаку коронирующего электрода). Таким образом,
грубо говоря, частицы диэлектрика имеют заряд одного знака -\-q, a
проводников — другого —q (знаки плюс и минус здесь выбраны
условно).
На этом первый подготовительный процесс заканчивается, и
далее каждая частица со свойствами к, q, p движется под действием
суммы сил: FKyn = qE; рп01щ = ЕохЕдЕ/дх; /7грав = р£; F^ = v20KVp/R-y
-*■->■ -*•-»■
FcT — —acv/l2; /гИнерц = —ар. Обозначим ае=гоЕдЕ/дх, Ъ —
= V окр/А.
—*- —»■
Силы Стокса FCi и инерции .Ринерц вводятся только для частиц,,
оторвавшихся от барабана.
Основной процесс разделения происходит под отклоняющим
—V
электродом. Частицы, для которых преобладает сила -\-qE (т. е.
диэлектрики Л), имеют тенденцию притягивания к электроду-бара-
бану; частицы, для которых преобладают силы гохЕдЕ/дх и —qE
(т. е. проводники В), имеют тенденцию притягиваться к
отклоняющему электроду.
Рассмотрим ход сепарации под действием основных сил 2 F% = 0,
приняв ряд упрощающих допущений: отсутствуют силы трения
частиц друг о друга и другие, связанные с взаимодействием частиц
друг с другом; плотность и крупность частиц постоянна р = р0 =
= const; l = h = const; перегородка для разделения продуктов
расположена таким образом, что учитывается разделительный перенос только
83-

в горизонтальном направлении х, поэтому силой pg можно пренебречь
(перегородка поставлена ниже правой кромки барабана, сепаратор
выделяет только два продукта).
Тогда частицы, для которых —qE + xae + p0b>0, оторвутся от
барабана и попадут в правый «проводниковый» продукт, а частицы,
для которых —qE + xaP + p0b<iO, будут прижаты к барабану и
попадут в левый «диэлектриковый» продукт.
Зависимость между q и х вида
ФР=— qE + KOe + pob = О (III.43)
является уравнением границы разделения. Типичный график ее
показан на рис. III.18. По этой линии происходит «разрезание»
области D изменения свойств q и х сырья, а также функции yiKyi(q, х),
характеризующей фракционный состав сырья по физическим
свойствам q и х при выходе из-под коронирующего электрода.
Сепарационная характеристика— двухмерная идеальная
f 1 для области Л; /ттт^ч
eK(q. х) = еА = \ (111.44)
{ 0 для области В,
гв = 1 — ел,
где Л—область диэлектриков; В—область проводников (см. рис.
III.18); область Л лежит правее, а область В — левее граничной
линии [см. уравнение (III.43) J. ;.
Если в той же нестесненной модели с монослоем на барабане
р = var ф const, то материал характеризуется функцией
распределения по трем физическим свойствам унсх(р, х, q), и тогда границей
разделения будет не линия, а плоскость с уравнением
Ф,, = —qE + х ас + р b = 0.
В приближенных расчетах пондеромоторной силой .Рпонд можно
пренебречь, так как она мала по сравнению с силой Кулона.
Показать это можно следующим образом. Допустим, частица проводника
размером / приобретает наведенный момент p,. = ql (два заряда — q
и —q на расстоянии /), тогда на нее действует пондеромоторная
сила qldE/dx. Если эта частица в результате контакта с осадительным
электродом теряет заряд —q, то па нее действует сила Кулона -)-qE.
Покажем теперь, что при тех градиентах, которые реально имеют
место в сепараторах, qE/(qldE/dx)^>\. Для этого возьмем типичную
зависимость Е(х)—напряженности от расстояния до отклоняющего
(или коронирующего) электрода (рис. III.19). На рис. III.19
построен также график К — FI(Y^IFnon:i, т. е. отношения силы Кулона к
пондеромоторной силе для частиц размером / = 0,3 мм. При малых
градиентах сила Кулона в 300 раз больше пондеромоторной, но и
при больших градиентах — па расстоянии 1 см от коронирующего
электрода — она больше в 45 раз. Этот расчет сделан для крайнего
случая, когда частица теряет весь связанный дипольный заряд (из
-\-q и —q), но даже если она потеряет только часть связанного за-
84

~L- 1 I L. 1
2 4 6 8 W ,r,CM
Рис. III.18. Граничная линия Рис. III.19. Типовая напряженность Е
поля и отношение Я сил Кулона и пон-
деромоториых
ряда, отношение л остается большим. Для более мелких частиц 1:кул
доминирует еще сильнее.
Если пренебречь поидеромоториой силой, то уравнение границы
разделения (см. рис. III. 18) упрощается. Теперь свойство х не
нужно п вместо у„сх(<?, х) достаточно ограничиться ym.x(q), Чтт < Ц <
<£/тах; «разрезание» па продукты А и В происходит в точке qp оси
q. Сепарационные характеристики из двухмерных £i(q, г.) [по
формуле (III.44)] становятся одномерными.
Стесненный режим. Рассмотренный режим с монослоем
получается при малой производительности сепаратора. При большой
производительности будем иметь модель с многослойной постелью на
барабане, в которой появятся еще силы взаимодействия частиц друг с
другом. Принимаем, что под отклоняющий электрод поступает
материал слоем толщиной h = хпиж — л:веРх, с составом уисЛч) ("з-под ко-
ронирующего электрода) и что внутри слоя, помимо силы Кулона
qE. действуют силы: сопротивления —av (трение частиц друг о
друга); градиентная —у-'^рал grad у; статистическая Кулона-Архимеда
~F~ = —q~E = --~Ё S qy(q)dq; центробежная р0Ь. Из баланса сил
находим скорость переноса внутри слоя
v (q) = - -D у-1 д у/дх + а"1 Е (q — q) + ро Ь а~]
и далее с учетом закона сохранения получим уравнение сепарации
в слое (Е I! х)
д y/dt = Dd2 у/дх2 — or1 (qE — i qE у d q + ро Ь) д у/дх,
где y = y(q, x, t). Направление х разделительного переноса
перпендикулярно слою, а время t соответствует продвижению слоя под
отклоняющим электродом.
Анализ уравнения сепарации такого типа рассматривался
подробно выше, поэтому сразу напишем вытекающее из него выраже-
85

ние для сепарационной характеристики:
eK(q) = 0,5 + 0,5Ф[(^- qp)y{aD)~l hEyncx{q)].
Здесь вследствие стесненных условий характеристика неидеальная
(закон, близкий к интегралу вероятности).
Если пренебречь силой F'K~ ти уравнение сепарации
упрощается до типа Фоккера — Планка:
д y/dt = Dd2 у/дх2 — а-1 (/?-' и20кр p — qE)d у/дх.
и сепарациопная характеристика принимает вид
Ек (?) = [ехр (Вхр) — ехр (Вхверх) ] /ехр (Вхииз) —
—ехр (Вхверх) = 0,5 + 0,5th[(4aD)-' Eh{q — qv)], (111.45)
где 5=(и2окрР^-1—qE)/(aD); xv = xDcp\JrliQiJQxB — положение в
постели точки разъединения продуктов; h = хверх — хнтк — размер
зоны в направлении сепарации; qp = v20!<pp/(RE)— удельный заряд
разделения. Последняя часть этого равенства справедлива при QK =
= 0,UVhcx-
Многопродуктовая сепарация и влияние крупности частиц
подробно рассмотрены в работе [28].
II 1.7. Крутизна в рабочей точке и сравнение сепарационных
характеристик аппаратов
Сепарациониая характеристика ек(|) любого аппарата имеет два
важных элемента: положение границы разделения |р («рабочей»
точки) и крутизну е'(!р) в этой рабочей точке. Уравнения границы
разделения ек(£р)=0,5 рассмотрены выше. Остановимся теперь па
крутизне е'(|р) в точке разделения, которая вычисляется по
формуле
e'(b) = deK(i)/di
и равна тангенсу угла наклона графика характеристики eK(S) в
точке разделения | = |р.
Чем больше крутизна е'(|р), тем меньше взаимное засорение
фракций и тем лучше сепаратор; для идеального сепаратора
e'(gp)_oo.
Вычислим, например, крутизну е'(&Р) сепарационной
характеристики флотационной машины eK(k)=l—ехр(—St$k) из уравнения
(II 1.40). Дифференцируя по k
d eK (k) /d k = Stф ехр (—S/ф k)
и подставляя k = kv = \n 2/(5/ф) из уравнения (111.41), получаем
е' (kp) = S/ф ехр [—S/ф In 2/ (S/ф) ] = 0,55/ф.
В сводной табл. III.2 приведены основные найденные выше сепа-
рационные характеристики различных аппаратов, а также найденные
по ним границы разделения и крутизна в рабочей точке.
86

бепарационные характеристики обогатительных аппа|
Название аппарата и режим
Отсадочная машина с
естественной постелью,
суспензионный сепаратор с большой
стесненностью
Тяжелосредный сепаратор с
малой стесненностью,
отсадочная машина с естественной
постелью
Грохот
Гидроклассифнкатор
(сгуститель) с восходящим потоком
при нестесненных условиях
Гидроклассификатор мри
стесненных условиях
Гидроциклон
Сепарационная характеристика
е„(6)
ек (р) = 0,5 +0,5 Ф [(р —
-Pp) VgA(aD)-»Y-cx(p)]
е„(р)=0,5 — 0,5th [(4aD)-» X
X (Р — Pp) gh]
еВадр (Z) = l— exp [—ис (0 X
XM/(hQBC*)]
I n /1 для зоны слива
есп IP, 4 — \q дЛЯ песков
еС:,(р, 0=0,5 — 0,5 X
X th [(4D)-'aA(/2 —/2Р)],
a =-g(p — pep) a~l
еСл С, Р) =0,5 — 0,5 X
X th [(AD)-1 ЛИ],
^ = t)20KP R~l a~} (p —
— Рыульпы)^ ■ fcp
Уравнение границы разд(
eK(Ip)=0,5
Pp = Рпост ** Pmax
— (Pmax — Pm\a)Q«H
Pp = Рпост « con?
/p ^ /отв
fcp a
pp = pep +—zr
gl\
ac = 18rj
/p = Vaefep/[g(p — P
/P = У<Эисхас«/
/[Su20Kp(p —Рпульп
ac = 18ri

Название аппарата и режим
Сепарацнонная характеристика
Уравнение границы ра,зд(
Elt(s ) --0,5
Роликовый магнитный
сепаратор (или барабанный) для
нестесненных условий
Ленточный магнитный
сепаратор с малой стесненностью
Магнитный сепаратор с
большой стесненностью
Флотационная машина
Электрический сепаратор в
нестесненных условиях
Электрический сепаратор в
стесненных условиях
, ч (0 для D>
е„(р, X) ={ 1 для D,
ек(Р, X) =0,5 +
+ 0,5 th [(4D)-'Ah]
Л = а~1 [g(p — pep) —
—//gradtf(x--x.-i')l
ек(х)=0,5 + 0,5Ф[У(х-
-закон интеграла вероятности
ек (k) — l— exp (—S/ф k)
г«(д,ЪР) =
1 для v!0KpR 'р~~
— qE +
-I- x£grad£>0
0 для остальных
частиц,
еи(р. ?)=0,5 +
•0,5 th [(4«D) 'X
XEIi(g-'h)]
Рр = у"2,.к,, R%PH g\
S(p — 0n<) — a(X —Xc
a -— H grad //
— Хини) Qif/Qucx
/гР=- lti2/(S/„,)
«-'^„крР-г/Я-
+ xi"grad£ —0
Ч,,-^2„к1,!>/(ЯЕ)

IV. СЕПАРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, АНАЛИЗ
И РАСЧЕТ СХЕМ ОБОГАЩЕНИЯ
В предыдущей главе рассмотрены сепарационные характеристики
типовых обогатительных аппаратов, что позволяет перейти к
анализу технологических схем, состоящих из таких аппаратов.
IV. 1. Сепарационные характеристики технологических схем
Сепарационные характеристики для конечных продуктов схем. Для
большинства обогатительных аппаратов сепарацпонная
характеристика f(E) далека от идеальной ступенчатой; примером является
флотационная машина с экспоненциальной сепарационпой
характеристикой. Именно поэтому аппараты соединяют в технологические
схемы таким образом, чтобы результирующая сепарационная
характеристика еРея(5) схемы в целом была ближе к идеальной. Типичный
путь, выработанный практикой, — эта канонические схемы (см. гл. I,
рис. 1.2). В них имеется одна основная, П перечистпых и К
контрольных операций; промпродукты любой перечисткой и контрольной
операции возвращаются в питание предыдущей. Особенно
разветвленными являются неречистные и контрольные ветви в схемах
флотации вследствие весьма неидеалыюй сепарационпой
характеристики отдельной операции флотации (флотационной машины).
В соответствии с общим подходом результирующей
сепарационпой характеристикой (двухпродуктовой) схемы назовем отношение
масс (производительностей) элементарной фракции fg, | + d g] в
концентрате 9к = QkYk(E) d | и исходом питания q„cx = Qncx X
X Ynrx(s)ds> т. е.
ерсз(Е) = q,;/qiicx = QkYk(£)cI s7[Q..cx Y..cx(E)dg]. (IV.l)
Знание ЕРез(Е) позволяет из этого уравнения находить у,;(1), а
также содержание /-го компонента в продукте
_ smax
Рк= J P(sh«(S)<u.
*min
Например, для двух канонических схем, представленных па
рис. IV.1, результирующие сепарационные характеристики ероз(с)
выражаются через частные сепарационные характеристики е(Е) от"
дельных операций по следующим формулам [29].
Для схемы с одной основной ео(с) и одной иеречистиой гп (Е)
операциями (см. рис. IV.1,6)
Ероз(Е)= W<fte* = eo(£)en(&)/[l-eo(s)+eoU)t-n(S)]. (IV.2)
Для схемы с дополнительной контрольной операцией ек(Е) (см. рис.
IV.1, г)
еРеЛЕ) = qJqiic* = e0(£)Ftf(s)/[l - ?o(l) +
+ ео(Е)Ря (1)~>:-к(1)-:-?(>(1)ек(г)\- (IV.3)
Эти формулы получаются путем решения линейных алгебрапче-
89

Исходный,
продукт
' S,S,t [
6
Г
Исходньи!
продукт
—^
Исходный
продукт
I ~о !
Концентрат Хвосты 1_^ Т
£к
t Т t Г
Концентрат Хвосты КсчцетРпат Хвосты
4l ~ 2ucx
1 f
-4*
?г»
&;
&п
J
Н» ?S
t
?6
I
'?.9
?Wt
<Si
Qi -1 исх
?* 1
Is Чб
&i.
&;.
Чз
1wl
?8:?к ?7/=?хВ
Рис. IV. 1. Канонические (а—д) и полукаионические (е) схемы
ских уравнений баланса по произвольной элементарной фракции [£,
| + d |] для всех продуктов схемы; число таких уравнений равно
удвоенному числу операций в схеме [23, 29]. Для любой t'-й
операции имеем два уравнения. Первое: сумма входящих потоков
фракции [|, | + d |] равна сумме выходящих, т. е.
(IV.4)
dncs
(]к i ~Т~ ^хв »•
Второе: поток фракции в концентрате равен потоку ее в питании,
умноженному на сепарациоиную характеристику, т. е.
Последнее равенство с учетом того, что ^хв г = (1 — М^нсхг, иногда
удобнее переписать в виде
?к</е{(|) = <7хв,-/[!-MS)]- (IV.5)
Составив такие пары равенств для всех операций схемы,
исключив все qt для внутренних промежуточных продуктов, вычислим
отношение qK/qnCx — е,,ез(е) [с^. уравнение (IV.1)].
Например, для схемы с тремя операциями (см. рис. IV. 1, г) получаем (q4 =
90

<72 + <7з—«75—<7в = <7исх: Яг~ <7к — ?5 = °! <7з — <7е — ?7 = 0;
?2— s0?5— е0Чв--■-Btflncx; (IV.6)
ел?2 — <7к = 0; e/v.</3 — qe ■= 0.
Это — 6 линейных уравнений с 6 неизвестными; для упрощения решения можно
использовать еще три равенства типа (IV.5): q2/q3 = е0/(1 — е0); qjqs = еп/(1 —
— ел); <7b/<77 = sw/(l — g/f). Для решения системы уравнений в первой и шестой
строках заменим qi^-q>(\ — fc'o)/«o, в пятой заменим qi = q-afn/{l—en), при
этом получим:
[1 + (1 — 80)/е0] q2—qs—q(. = q„cx;
8Л?г—ел?5/(1 — 8Я) = 0;
М1 — eo)?2/s0— </е = 0.
Подставим д5 и ?б в первое из этих уравнений:
[!+(!— ео)/8о] ?г — (1 — ел) <72 -sK [(1 - e0)/e0]q.2 = </исх.
Далее последовательно найдем:
Яг (I) = ?исх (I) 80/(1 — е0 — sK -Ь 808Л - е0е^);
Яг (I) = <7исх (S) (1 — е0)/(1 — е0 — sK + е0ел -j- eQeK);
Як = <74 (S) = Яасх (I) е0ел/(1 — е0 — ек -f е0ея -|- s0eK); (IV.7)
<7s (£) = ?исх (I) s0 (1 — ел)/(1 — е0 — ек + е0ея + г0гк);
Яв (I) = ?исх (I) sK (1 — 80)/(1 — е0 — ек + е0ел + е0ек);
<7: (S) = ?исх (е) (1 — е0) (1 — ек)/(1 — е0 - 8К + 80ел + г0ек).
Результирующая сепарациоиная характеристика находится из третьей строки
как отношение дк/?исх = ерез (£) [см. формулу (IV.3)].
Результирующая сепарациоиная характеристика является необходимой и
достаточной для оценки п анализа схемы в целом как «большого» сепаратора с од-
■ним исходным питанием qacx. и двумя конечными продуктами qK и (/id.
Сепарационные характеристики для промежуточных продуктов
(участков) схем. Сепарациоиная характеристика ei'(s) для любого
i-ro продукта (по отношению к исходному питанию) равна
отношению производителыюстей (масс) по фракции [g, g —{- d g] в данном
продукте и в питании схемы, т. е.
&ii(l)= <7iA7i= Q»7*Ш<1£/[<2исхТисх (g)d g].
Для всех продуктов схемы она находится решением упомянутых
линейных алгебраических уравнений аналогично ере.ч(£); последняя
является частным случаем, когда qi = qK. Для рассматриваемого
примера схемы (см. рис. IV. 1, г) все эти внутренние характеристики
даны в формулах (IV.7) в виде qi = ей (£)<7исх-
Практически важной является только половина набора
характеристик eu(s), например, для частных концентратов всех операций
■остальные характеристики легко находятся по формуле (IV.5).
Таким образом, первоначальное описание схемы с помощью П-\-
-\-К+ 1 частных сепарационных характеристик е;(ё) отдельных
операций (аппаратов) превращается в описание, состоящее из такого
же числа П + K+l «абсолютных» сепарационных характеристик
€и (|) для концентратов отдельных операций. Из этих Я + /С+1
91

характеристик важнейшей является результирующая epe3(g) =
= еК] (ё)-
Например, для схемы, приведенной па рис. IV.1, г, вместо ео, ел и
гк вводятся ei,2 = qjqv ei,6 = qjqx и ерез = г\,\ = qjqx.
Заметим, что иногда при анализе отдельных участков сложных
схем могут представлять интерес «перекрестные» сепарационные
характеристики от /-го промпродукта до /-го промпродукта: е/,,(£) =
= qi/q,. Например, для схемы, приведенной на рис. IV. 1, г, от
концентрата qt контрольной операции до окончательного концентрата
</4 получается
«6,4 (g)= qt/qs--= е0ел/[ек(1 — е0)].
Каноническая и полуканоническая схемы с любым числом
операций. Действуя по рассмотренной выше методике для общего случая
канонической схемы с любым числом неречистных П и контрольных
К операций можно получить результирующую сепарациониую
характеристику в виде
еРе.з(|) = Л(|)/[Л(|)+В(|)];
А{1) = еоеш- • -еллК1 — *>ю) ■• • (1 — еКк)+ e*i(l — е/с>) ■ ■ ■
... (1 — еКк)+ ■ ■ • + гю ■ ■ • екк];
ВЦ) = (1 — е0) (1 -- f.kj) ■ ■ ■ (1 — гКк) [ет- ■ -еЛл + 0 — zni)zm. ■ ■
■ ■ .еП//+(1 - еш) ... (1 — в/ш), (IV.8)
где е0 = е0(£), ел, = ел,-(s)> eK, = еК!-(£) —сепарационные
характеристики соответственно основной, перечистных и контрольных
операций. Известны другие формы записи для ррез(б).
Для полуканопической схемы, в которой все оборотные продукты
возвращаются в голову основной операции, результирующая сепара-
циоппая характеристика имеет вид (рис. IV. 1, е)
ерез(с) = ко enfin-j. . .£nn№cPufin2- ■ -Sun +
+ (1-е0)(1-еЫ(1-вЫ-.- (1--екк)]. (IV.9)
Формулы (IV.8), (IV.9) получаются теми же методами, что и
формула (IV.3), т. е. решением системы линейных алгебраических
уравнений баланса по узкой фракции [£, | + dg].
Важным является частный случай симметричной схемы (с
одинаковым числом неречистных и контрольных операций Л = К ~ п) с
дополнительным условием взаимной идентичности всех частных сепа-
рационпых характеристик ел, (I) = ек;(£) = ем(г)- Такие
симметричные схемы с идентичными операциями — и канонические, и полука-
понические—имеют следующее простое выражение для
результирующей сепарационной характеристики:
ерез(£)=- e"0+,(I)/{eS,",(S) + Ll--eoU)]"+1}- (IV.10)
Эта формула получается из формул (IV.8) и (IV.9) как частный
случай при П = К = п и ел, = ек, = ео-
Профессором К. А. Разумовым была выведена формула,
позволяющая определить извлечение металла в окончательный концепт-
У2

рат для канонической схемы при любом числе неречистпых // и
контрольных К операций в виде
л
л
UE
1~0
. i^I I--3 1=-.2
т
U(\-EKi)-]-..
-!-П(1-£№.)
К
EKi П (1-£к,)!-..
i--5
(1-£0)П £ш +
'=-2
+ П(1-£ш)П£т-!-...
t^O i--A
(IV.11)
где Епо —частное извлечение металла в концентрат основной
операции; £/7i, £л2, ••• , £лл — частные извлечения металла в
концентрат соответственно I, II, ..., П-к неречистпых операций; Ек\,
Ек2, ■■• , Екк — частные извлечения металла в концентрат
соответственно I, II, ... , K-i'i контрольных операций.
Если в этой формуле заменить частные извлечения металла на
частные сепарационные характеристики операций Еио—>-eo(s)>
Епс—>-еш (I), £к.;—^eKj(s), то формула (IV.11) становится
эквивалентной формуле (IV.8). Выражения (IV.8) и (IV.11) внешне не
совпадают, по дают одинаковые результаты и каждое пригодно к
вычислению и ере.ч(£)' и £рез, однако физическая и техническая
сущность ерез(б) ч £рез резко различаются: с помощью еРе:Д£)
прослеживается движение по схеме любой элементарной фракции [|, g +
-f-dg], а с помощью £рез •— движение одного цепного компонента.
Формула (IV.8) проще для практического применения, ее иногда
удобнее использовать в иной, более симметричной, записи
е^ - А/(А -f В);
А = 8о ел/ . • -е////[(1 — ел-/) ... (1 — екк)+ е*/(1 — е/с?) . . .
... (1 — еКк) + • • • + е/с/ • • екк];
В = е°хВе^хв ' " • е««хв[ (1 - «'"«в' • • " (1 8""хв ) +
+ ешхв(1 - ешхв) ... (1 - елпхв )+ ... + ешхв . - - em/J. (IV. 12)
Здесь в члене В все частные сепарационные характеристики операций
ео, чгп, &kj, которые, как было условлено, относятся к
концентратам, заменены па е0 = 1 — е0, ел; ~ 1 —ел; и е/</ = 1 — ек,;,
относящиеся к хвостам. При такой записи члены А и В отличаются
только числами Л и К-
Примеры. 1. По уравнениям (IV.8) и (IV.12) для канонической схемы,
содержащей две перечистных (П = 2) и одну контрольную (Л' = 1) операции сразу
получаем
Еоеше-П2 [Q ~ КЛ/) ~ гкА
РСЗ ~~ ?оЕшеЛ2-(1 — ео) (' - клч) [^л^Ч1 ~ 8л^) *л-'т(1—е/7/)(1 —еш)1 ""
Ь'0Ь'11^П'2
W'" "!" Ч/*УХ„ (' "" К/"хв "'" *П1**Шхв)
93

2. Аналогичным образом для симметричной схемы П = К — 2 получаем
еОгП1еП2 0 ~ гК2 + гК'гК2)
еОгП1еП2 (' — еК2 "Ь еЛ7еК2) — гОхвеК'хвгК2хв (' — еЛ2хв + еЛ/хвеЛ2хв)
(IV. 13)
Рассмотренные формулы для ерез (I) в общем случае любого чис-
.ла Л и К позволяют, во-первых, избежать трудоемкого решения
уравнений баланса типа (IV.6), во-вторых, по ним можно сравнительно
.легко «подобраться» к ей (Е) для внутренних продуктов схемы с
помощью формул (IV.4) и (IV.5). Все формулы справедливы не только
для одномерных сепарационных характеристик ерез (Е), ео (Е), еш(£)
и ек](£,), но и для двухмерных и многомерных ерез(Еь •••, En);
ео (Еь . • . , in); гт (Ei, . . . , En); eXj (Еь . . . , En), причем
теперь прослеживается движение по схеме не одномерной фракции
[Е, E + dE], а произвольной многомерной размером d Ei • • • d \n-
Подчеркнем, что га (Е) и еРез (Е) показывают извлечение любой
фракции [Е, Е + d E] в t-й (в частности, конечный) продукт от
исходного питания.
IV.2. Анализ сепарационных характеристик гравитационных,
магнитных, флотационных и других схем
Задачи анализа выясняют, как влияют конфигурация схемы, тип
сепараторов в операциях, настроечные параметры сепараторов на
■ерез (Е) и ей (Е)-
Сепарационные характеристики ерез (Е) и ей (Е) для конкретной
•схемы обогащения — гравитационной, магнитной, флотационной и
других — получаются подстановкой сепарационных характеристик
жонкретных аппаратов (операций) ео (Е), еш(Е), кк.>(Е) схемы (см.
табл. III.2), в рассмотренные выше общие формулы для ерез (Е) и
■8li(E).
Примеры. 1. Для гравитационной схемы с одной перечистиой операцией
П—\, К=0 (см. рис. IV. 1,6) с частными сепарационными характеристиками
операций для отсадочных машин или тяжелосредных сепараторов по формуле (IV.2)
шолучаем
еРез(р) =(0,5-!-0,5Ф)2/(0,75 + 0,25Ф2),
■где
Ф = Ф[(р - рр) V(aD)-igr/iV„cx(P) ] •
Окончательная конкретизация получается при численном задании всех
параметров, в частности, (а Д)-1 gh = 22,5 м3/т; рР = 3 т/м3.
2. Для симметричной флотационной схемы с одной перечистной П = 1 н одной
контрольной К = 1 операциями с идентичными so (k) = en (k) = ек (k) =
•— 1—exp (—St$k) по формулам (1V.3) или (IV.10) получаем
еРез(*) = ['-СХр(-ЭД]- —,. (IV.14)
peal J j _2{1_exp(_S^)]+2[l-exp(-S^)]2
В частности, конкретные параметры могут иметь следующие значения: удельная
поверхность раздела фаз S = 800 м2/м3; время флотации Гф = 2,5 мии.
Из этих примеров совершенно ясно, как можно получить сепара-
дионные характеристики любых конкретных схем обогащения.
.94

Рис. IV.2. Результирующие сепарациои-
иые характеристики различных
флотационных схем
График или таблица любой
сепарационной характеристики ом
ерез(£), 8н(1) вычисляется
«вручную» или с помощью ЭВМ в
дискретных точках интересующего
диапазона £min<£<£max, в
частности, | = 0, М, 2Д£, ЗД£
и т. д.
График или таблица ерез (Е) могут быть построены и по исходным
экспериментальным го (£), гщ (£), гК} (£), также представленным
графиками или таблицами.
На рис. IV.2 показаны ерез (|) для нескольких флотационных схем, причем для
простоты в этих примерах взяты одинаковые сепарационные характеристики в
операциях е (А) = 1 —ехр (—х), х = kSt$.
Важнейшими параметрами результирующей характеристики
схемы еРез (£) являются положение границы разделения |р и крутизна
в рабочей точке е'рез(£р). Величина |р является корнем уравнения
еРез(£р)= °>5-
Это уравнение не всегда легко решается, особенно для сложных
схем, поэтому на практике лучше пользоваться графическим
методом: построить график ерез(£); на высоте ерез = 0,5 провести
горизонтальную линию до пересечения с графиком; опустить
перпендикуляр в искомую точку |р.
Так, например, из графиков ереэ (k) для флотационных схем, приведенных иа.
рис. IV.2, в случаях симметричных схем Я = Л = 0, П = К = 1 и П = К = 2
получается одно и то же значение флотируемое™ разделения
kp = Xp/Stb = In 2/(S^) x 0,693/(S^).
Для несимметричной схемы /7=1, К = 0 имеем kv ж 0,95/(St$), а для схемы
П = 2, Л = 1 получаем kv x l,lS/(St$).
Крутизна е'рез (|р) вычисляется после нахождения £р по формуле
Врез (gp)=d Ври (£)/dg|E«5p•
Это всегда можно сделать по аналитической формуле для ерез (£)'»
либо графическим дифференцированием по тангенсу угла наклона
касательной к ерез (s) в рабочей точке |р.
Например, для флотационной схемы П = К = 1 с ерез (k) вида уравнения
(IV.14), kp = \n2/(Stф) получаем
ере3(&р) = ЛФ'
а для симметричной флотационной схемы П = К = 2 получаем
ерез(Ар) = 1.5S^.
Напомним, что для одной операции флотации (П = К — 0) эта крутизна была наи-

дена в табл. III.2, равной е' (kp) = 0,5 S^<j>. Видим, в частности, что по мере
увеличения числа перечистиых и контрольных операций крутизна растет, т. е. ерсл (k)
приближается к идеальной ступенчатой.
Докажем, что соотношение между ростом крутизны и увеличением
числа перечистиых и контрольных операций, пригодное только для
симметричных схем (П = К) с идентичными операциями е0(|) =
= гт (I) — гК] (£), имеет вид
е/рез(Ы = (" + 1)е/о(Ы- (IV.15)
Здесь г'о (£р) —крутизна для основной (и всех других) операций.
При добавлении первой пары операций (Я = К = 1) к основной
операции крутизна для схемы увеличивается вдвое (по сравнению
с одной основной операцией), при добавлении еще одной пары
операций (П = К = 2) крутизна увеличивается втрое и т. д.
Доказательство основывается на формуле (IV.10),
дифференцируя которую но | получаем
К+] -г 0 - Я' г'1 («'-i- D е'Уо (s) - &l X
, ,t, _ X [(«^-l)^(g)-(n^-l)(l-.-e0)% (?)]
Подставляя g = |p с учетом г0 (|р) = 0,5, получаем после
сокращений формулу (IV. 15).
Эта формула общая и справедлива для гравитационных,
магнитных, флотационных и других схем обогащения; с ее помощью по
известной крутизне г'о (§р) отдельной операции легко получается
крутизна е'рез (kv) для симметричной схемы в целом с любым П=К=п.
Практически целесообразно пользоваться ею совместно с табл. III.2,
где вычислены г'о (£р) для типовых сепараторов. Например, для
гравитационных схем с отсадочными машинами формула (IV.15)
принимает вид
е'рсз(Рр) = (" + 1)У^/[2яа/?(ртах — ртт)].
Для флотационных схем она принимает вид
eW6P)=0,5(rc+ 1)5/ф. (IV.16)
Аналогичные формулы получаются для других схем.
К сожалению, простая формула (IV. 15) пригодна только для
симметричных схем с идентичными операциями (го = гт = гк}) и
канонических и полуканонических. Для несимметричных же схем и
даже для симметричных при неидентичных операциях нужно исходить
из формул (IV.8) и (IV.9), что усложняет анализ.
Анализ циркулирующих нагрузок для симметричных
флотационных схем. До сих пор речь шла в основном о ерез (Е) —наружный
осмотр схемы; теперь «заглянем» внутрь схемы с помощью ей (1) на
примере симметричных схем флотации, причем будем анализировать
циркулирующие нагрузки простой схемы П = К=1 (см. рис. IV.1,
г)- -
Если для всех операции симметричной схемы флотации
характеристики е; (k) одинаковы, т. е. если одинаковы произведения
9 Г.

Sittjti = 5/ф, то схема в целом является «сбалансированной», и ее
результирующая сспарацгюнная характеристика ерез (k) = ei 4 имеет
флотнрусмость разделения &р = In 2/(5^,) и крутизну е'рез (kp) =
= 0,5 (га+ 1) 5/ф; ерез (&) наиболее близка к идеальному
ступенчатому закону Еид (к) = 1 (k — kp).
Если же ег (к) для отдельных операций неодинаковы, т. е. St t$i
отклоняются от среднего значения 5^ф, то симметричная схема
становится «несбалансированной», в результате чего ерез (&) сильнее,
отклоняется от еИд(6), а циркулирующие нагрузки отклоняются от
нормы.
Сепарационные характеристики ei,s(£) и ei,6(&) для
циркулирующих нагрузок (продукты qb и qe на рис. IV. 1, г) имеют согласно
формулам (IV.7) следующий вид:
61,5 = брезО — Ел)/8л;
и v / n (IV.17)
£[,6 = еРез ек(1—го)1(£огп),
где Ерез берется по формуле (IV.3).
Для общности анализа в дальнейшем величину So ^>о k в
основной операции обозначим через х, т. е. для основной операции
флотации берем го (k) = го (х) = 1 —ехр (—х). Если во всех операциях
8i (х) одинаковы (сбалансированный режим), то имеем ео = ел =
= гК = 1—ехр (—х). Подставив эти е, (х) в формулы (IV.3) и
(IV.17), получим формулы ен (х) для сбалансированного режима.
По этим (опущенным здесь) формулам на рис. IV.3, а построены
соответствующие графики (расчеты сделаны на вычислительной
машине).
Если время флотации в перечистной и контрольной операциях
•схемы, показанной на рис. IV. 1, г, увеличить, например, вдвое, то
получим (несбалансированный режим) ео = 1—ехр (—х); гп —
= ек-=1—ехр(—2х). Теперь Ерез, ei.5 и ei.6 для этой схемы
изменятся так, как показано на рис. IV.3, б.
Если время перечистной флотации будет вдвое больше, а
контрольной— вдвое меньше, чем основной, то получим го =
— 1 — ехр (—х); ел = 1 — ехр (—2х); гк = 1 — ехр (—0,5*).
Соответствующие графики ерез (х), ei,5 (x),8i,6 (.х) показаны на рис.
IV.3, в.
На рис. IV.3, г, д показаны графики для других
несбалансированных режимов схемы, представленной на рис. IV. 1, г.
Графики, представленные на рис. IV.3, позволяют сделать
следующие выводы. В сбалансированном режиме (см. рис. IV.3, а) оба
■циркулирующих потока </s = ei.s <7ь Я& — ei^i = 81,б<2исхХ
X Тисх (k) d k идентичны по фракционному составу, причем в них
максимально извлекаются минеральные частицы с флотируемостью
k, равной флотируемости разделения kp = xp/So ^}>о = In2/(S0 /<j>ob
которая находится из графиков ерез (k) по уравнению ерез (Ар) = 0,5;
в концентрат qt сепарируются преимущественно частицы с
флотируемостью k > kp, на что указывает график ем = ерез.
При одновременном увеличении фронтов перечистной и
контрольной операций (см. рис. IV.3, б) циркулирующие потоки становятся
4 з.-ж. 643 97

Рис. 1V.3. Сепарациопные
характеристики простой
симметричной схемы флотации
различными, причем qe (k) > q-0 (k) для любой фракции
флотируемое™ [k, /г+d/e] при 0<k<kmirs, любом исходном питании
Тисх (k).
Наоборот, при уменьшении фронтов перечистной и контрольной
операции (см. рис. IV.3, г) получается qe (k) <Cq5(k).
Оба циркулирующих потока существенно возрастают при
уменьшении фронта перечистки у увеличении фронта контрольной
флотации (см. рис. IV.3, д).
Во всех несбалансированных режимах (см. рис. IV.3, б — д)
график- ерез (k) больше отклоняется от ступенчатой еид, чем для
сбалансированного режима (см. рис. IV.3, а).
98

Подобный анализ для схем, в которых П = К = 2, выявляет
резкое увеличение циркулирующих потоков </.-, и </8 при уменьшении
фронтов перечистных и увеличении фронтов контрольных операций
по сравнению с фронтом основной операции; циркулирующие потоки
от II перечистной и II контрольной операций колеблются меньше.
Для схем, в которых Я = К = 2, анализ опустим, приведем только
исходные формулы для ей (It).
Для канонической схемы П = К = 2 (см. рис. IV.1, д):
циркуляция от I перечистной и I контрольной операций
ei,5 = <75/<7i = еРез(1 — zm)l(znfcm)',
8i ,6 = <76A?i = еРез е кН 1 — ео) [ 1 — еш (1 — ел.?)]:
: ео ел/ея:' [1 — гк.2 (1 — е /с/) ];
циркуляция от II перечистной и II контрольной операций
«1,9= <7eA7l— 8рез (1 — гП2) !?<№',
£1.ю = <7ioA/i ^epe3(l — е0) (1 - е/^е/сН1 —
— е/7/ (1 — гт)]/гогп1£П2 [1 — 6*2(1 — е*/)].
Для полуканонической схемы П = /С = 2 (см. рис. IV.1, (?):
циркуляция от I перечистной и I контрольной операций
8i,-, = Яъ1Ч1 = еРе.з(1 — ел/)/ел/8ш;
ei ,6 — qjqx --^ ерезе*/ (1 — е0) /ео enfim',
циркуляция от II перечистной и II контрольной операций
8i,9 = qjqi = ерез(1 — вт)1гт',
8i,io= Яю/Qi = еРезе*2(1 — е*/) (1 — Ео)/во впЯпг.
Надо учесть, что ерез в уравнения для канонической схемы
подставляется из выражения (IV.8) или (IV.13), а для
полуканонической— из выражения (IV.9).
Видим, что анализ каждой конкретной схемы — новая
самостоятельная задача.
Об эквивалентности флотационных схем различной конфигурации.
Различные ino числу и взаимному соединению операций схемы могут
иметь одинаковые или близкие ерез(|). такие схемы
взаимозаменяемы. Это позволяет искать наиболее простую схему. Рассмотрим
подход на примере флотации.
Две схемы различной конфигурации эквивалентны, если их сепа-
рациопные характеристики ерез (ft) одинаковы (такие схемы дают
одинаковые технологические показатели для любого сырья в
питании). Для практической эквивалентности схем достаточно
-потребовать одинаковых границ разделения ftp к крутизны e'(ftp), так как
это дает близкие ePen(ft). Для общности привязываемся к величине
ftp = In 2/(5/), реализуемой одной операцией —схемой нарис. IV.1,а,
где е (ft) = 1- -exp (--Stk).
Параметры отдельных операций схем 5,-, /, и их конфигурация
4* 99

влияют на kv и е'резС&р)- Анализ этого влияния дан предыдущими
формулами. Проведем анализ трех схем, для которых имеем:
схема Я = 1, К = 0 (см. рис. IV. 1, б)
еРез(£)= 1 ~cx[>(S0tok)l{l — exp(—Sntnk) +
+ехр[— {S0i0+S ntn)k]}; (IV.18)
схема Я = О, К = 1 (см. рис. IV. 1, в)
еРеэ(£) = [1 — ехр(—S„t0k)]/{1 — &xp(—S0t0k) +
+exp[—(S„t0+SKtK)k]}; (IV.19>
схема Я = К = 1 (см. рис. IV. 1, г)
ерез(^) = [1 - exp(-S0/0*)]7{l - 2[1 -
-ехр (—S0f0fc) ] +2[ 1 — схр (—S0f 0*) ]2}.
Схема на рис. IV. 1, б совпадает по &р = 1п2/5/ со схемой из
одной операции, представленной .на рис. IV.1, а, если на S0 to и Sntn
наложить ограничения, которые сводятся к изменению So to = aoSt,.
Sntn = an St в основной операции в ао раз, а в перечистной—
в ал раз по сравнению с одной операцией с St.
Подставляя в уравнение (IV.18) &p = ln2/(S£) и приравнивая.
Брез (&р) = 0,5, получаем связь между коэффициентами ао и an'-
1—[ехр(—а01п2)]/{1 —схр(—ал1п2) +
+ ехр[—(а0 +ал)In 2]} =0,5.. (IV.20)
Если изменять ао и ал согласно ограничению (IV.20), то
величина kv будет оставаться неизменной и равной kv = In 2/{St). При этом
крутизна е'рез (/гр) будет изменяться по закону
е' (*Р) = А~] {[ 1 — ехр (—ал1п 2) + схр [— (ао + ап) X
X In 2]} а0 ехр (—а0 In 2) + A~l ехр (—а0 In 2) X
1Х{алехр(—ал1п2) —(ао + ал)ехр[—(а0 + ау7)1п2]}, (IV.21)
где Л = {1— ехр (—ал In 2) + ехр [—(ао + ал ) In 2]}2, что
получается дифференцированием уравнения (IV.18) по k .с последующей
заменой k = kp = In 2/{St).
По формулам (IV.20) и (IV.21) построена табл. IV. 1. Из нее
видно, в частности, что крутизна возрастает вдвое, от 0,55/ до St,.
если взять S0 to == 2,2 St и Sntn = 0,585/.
Аналогично схема типа Я = 0, К =г- 1 (см. рис. IV. 1, в) совпадает
по &р —1п2/(5/) со схемой, показанной на рис. IV.1, а, при условии
[ 1 — ехр (—ao In 2) ]/{1 — ехр (—а0 In 2) +
+ехр|-(ао+ая)1п2]} = 0,5, (IV.22)
которое получается из формулы (IV.19) с учетом Soto = a0St,
Sk in = о-к St.
Крутизна е'рез (&р) для схемы, показанной на рис. IV. 1, в,
изменяется по закону
100

Таблица IV. 1
Увеличение крутизны е pe3(ftp)
с увеличением фронта основной а
и уменьшением фронта перечистной ал
операций для схемы типа П = 1,
К = 0, ftp = In2/(S0 (см. рис. 1V.1, б)
Таблица IV.2
Увеличение крутизны е ' 3(ftp)
с уменьшением фронта основной а0
и увеличением фронта контрольной ан
операций, для схемы типа П =0,
К = 1 ftp = ln2/(SO (см. рис. IV.I, в)
а0 =
= s0t0/st
1
0,7
0,5
0,3
0,25
0,2
0,1
0,067
0,05
0,02
0,01
= sKtK/st
Без
контрольной
0,677
1,27
2,09
2,42
2,74
3,8
4,5
4.83
6,53
7,17
е резС'р'
0,5S*
0,623Si
0,74S*
0,93S*
St
1,07 St
1,345S<
\,5St
l,579St
2St
2,158Sf
a0 -
= S0(0/(S()
1
1,2
1,35
1,5
1,76
2,2
3
4,33
0
6,5
7
ап =
= Sn(n/(S<)
Без
перечистной
2
1,35
1,1
0,76
0,55
0,215
0,15
0,047
0,02
0,0114
е'рез'йр'
0,5S^
OfiSt
0,744S^
0,819S£
0,903S^
St
l,\9St
l,5St
1.645S/
2St
2,l23St
е'рез (kp) = A-1 {1 — exp (—ao In 2) + ехр [— (а0 + aK) X
Xln2]}a0cxp(—a0ln2) — A~l[l — exp(—a0 In 2)]X
X {ao exp {—a0 In 2) — (a0 + aK)exp[— (a0 + aK)In 2]}, (IV.23)
где Л = {1—ехр (—a0ln2)+exp[—(ао + сск) In 2]}2, что получается
дифференцированием уравнения (IV.19) по k с последующей
заменой k = kv = In 2/ (St).
По формулам (IV.22) и (IV.23) строим табл. IV.2,
показывающую, в частности, что увеличение крутизны вдвое (от 0,5Si до St)
■получается при So to = 0,25S^ и SKtK = 2,42S/.
Схема на рис. IV. 1,г совпадает по kp = \n2/ (St) со схемой,
показанной на рис. IV. 1, а, при условии
Soto = Sntn=SKtK = St. (IV.24)
При этом крутизна е'рез (&р) получается вдвое большей, чем для
схемы, представленной па рис. IV. 1, а:
е'рез (&р) = St.
Симметричная схема с одинаковым числом перечистных Я и
контрольных k операций (и с возвратом продуктов в предыдущие
операции либо в начало схемы) совпадает по kp = In 2/St со схемой на
рис. IV. 1, а при выполнении условия (IV.24) для всех операций,
т. е. Si ti всех операций должны быть одинаковы (случай
неодинаковых Siti для симметричных схем здесь не анализируется). Крутизна
е'рез (&р) таких схем возрастает в п + 1 раз по сравнению со схемой
на рис. IV.1, а; как показано выше, е'рез (£Р) = 0,5(n+l)S£ [см.
формулу (IV.16)].
На основе предыдущего анализа можно перейти к вопросу экви-
валентирования схем (сепарациопных свойств) на основе совпадения
101

их kp и е'рег, (kp). Величину kp для всех схем будем брать равной
A-p = ln2/(S/) для сравнимости с простейшей схемой на рис. IV.1, а.
Схемы будем рассматривать с увеличивающейся крутизной, двигаясь
дискретными шагами е'рез (Ы = 0,5S/; St; 1,5S/; 2St и т. д.
(промежуточные е'рез (kp) »е рассматриваются).
Крутизну е'рез = St можно получить в трех схемах,
представленных:
на рис. IV. 1, б —при So to = 2,2 St и Sntn—0,55 St (согласно
табл. IV.l);
на рис. IV.l, в — при So (о = 0,25 St и SK'к = 2,42 S/ (согласно
табл. IV.2);
на рис. IV.l, г — при So to = Sntn = SK tK = St [но формуле
(IV.16)].
Эти три схемы эквивалентны друг другу: они имеют одинаковую
флотируемость разделения 6p = ln2/(S/) и одинаковую крутизну
е'рез (kp) = St.
Условия эквивалентности упрощаются при одинаковой аэрации во
всех машинах So = Sn = Sk = S:
для схемы на рис. IV.l, б-—to = 2,2/; tn = 0,55/;
для схемы на рис. IV.l, в — to — 0,25/; tK = 2,42/;
для схемы на рис. IV.l, г — /0 = /я = /к = /.
Крутизну е'рез (kp) = 1,5 St можно получить в следующих
эквивалентных схемах, представленных на:
рис. IV.l, д — при одинаковых величинах S,-/, во всех пяти
операциях согласно формуле (IV. 16);
рис. IV.l, е—прк одинаковых Si /,- во всех пяти операциях
согласно формуле (IV.16);
рис. IV.l, б — при условии S0 to = 4,33S/; Sntn = 0,\5S(
(согласно табл. IV.l);
рис. IV.l, в — при условии So to = 0,067 St; Sk^k = 4,5S/
(согласно табл. IV.2).
Простые схемы, представленные на рис. IV.l, могут быть
составными частями более сложных схем, для анализа которых обобщим
формулу (IV.16): если составные части эквивалентны между собой
(имеют одинаковые kp= \n2/(St) и крутьзну е'части (kp) = 0,5S/;
St; 1,5St) и соединены в симметричную схему, типа рис. IV.l, г — е,
то сложная схема имеет ту же флотируемость разделения kp =
= In2/(S/) и увеличивает крутизну по закону
е'рез (^р) = (" + 1)е'чагтн(6р),
где п—-число перечистных и равное ему число контрольных частей.
Например, если на рис. IV. 1, г операции го, еп и гк заменить
каждую схемой на рис. IV.l, б с крутизной е'части (kp) = \,5St (при
50/o = 4,33S/ и Sntn = 0,\5St), то для такой составной схемы
(п — 1) .получим е'рез (kp) = 3St; если добавить еще одну перечист-
нуго и контрольную пару, то е'рез (kp) = (2+ 1) • 1,5S/, т. е. крутизна
возрастет в 9 раз по сравнению с одной операцией на рис. IV.l, a.
Вернемся к эквивалентности схем, но более сложных, чем
представленных на рис. IV.l. Крутизну е'ре.. (kp) — 2St (при kp = \r\2/St)
можно получить в схемах, представленных на:
102

а. Исходный, продукт 6 Исходный продукт
| £0 {
■»/7 "
►ч
I Хвосты
У^~
{ &о j
?л Л
Хвосты \ г
Концентрат
\
6о |
| J* I
Концентрат
в Исходный продукт
f~ , *-1-« ——
Хвосты
-»-/-«-
I ё^ I
г—н—[\\: } j—и;
Концентрат
Хвосты
Рис. IV.4. Эквивалентирование схем
рис. IV.4, а —при Soto = 2,2St и Sr/t/i = 0,55St (схема
составлена из тре.х частей типа рис. IV. 1, б);
рис. IV.4, б— при So to — 0,25 St и Sk^k = 2,42S/ (схема
составлена из трех частей типа рис. IV.1, в);
рис. IV.4, в — при Siti—St (схема составлена из трех частей
типа рис. IV. 1, г).
Эти три схемы эквивалентны. Все составные части схем (по три
в каждой) взаимоэквивалептны, поэтому, меняя их друг с другом
в любом сочетании, можно получить множество эквивалентных схем.
Крутизну e'Pp:i (^р) схем, показанных на рис. IV.4, а, б, при
сохранении ftp = In 2/ (St) можно менять в широких пределах, варьируя
S0to и Sntrr в соответствии с табл. IV. 1, a, Soto и SKtK — в соот«
ветстпии с табл. IV.2. Так, е'рез (Ю = 4St для схем, представленных
на рис. IV.4, а, получается при S0^o = 6,5S/ и Sutn =0,02 St; на
рис. IV.4, б—при Soto = 0,02St и SKtK = Q,53St (время флотации
и степень аэрации операций всех схем соотнесено к простейшей
схеме, представленной на рис. IV. 1, а с t и S).
Рассмотренный подход позволяет зквивалентировать схемы
различной конфигурации. Заметим, что эквивалентности но сенарацион-
ной характеристике соответствует и эквивалентность схем по
окончательным технологическим показателям — выходу концентрата
^к = J'yucx (k) еРез (k) dk; содержанию металла в концентрате
— —. | ?'нах
Pk = Yk J e.»a(lt)$.ve(k)yUvx(k)dll
103

для одного и того же питания, характеризующегося распределением
частиц по флотирусмости уисх {k) и зависимостью содержания
ценного металла от флотируемое™ частиц ^ме(к).
Для сравнения требуемого объема флотационных машин в схемах
необходимы дополнительные расчеты, которые будут рассмотрены
ниже.
Рассмотренный подход — эквиналентированпе но gp и е'рез(5р)—■
применим не только к флотационным, но и к гравитационным
магнитным и другим схемам.
IV.3. Расчет технологических показателей
Задачей расчета является нахождение выходов yt (или произво-
дителыюстей Q,) и содержаний интересующих компонентов р,-,- для
каждого из продуктов схемы.
Традиционная методика расчета. Сырье характеркзуют только
средним содержанием р^исх интересующего /-го компонента и
производительностью Qhcx. Операции характеризуют частными выходами
Yi4 и частными извлечениями Ец /-го компонента (металла). Для
каждой операцик исходят из балансов по твердому компоненту:
Viiox = Vk "Г чехи; Ук = Уи Viicx
и по /-му компоненту (металлу):
Рисх Vncx = рк VK Т" Рхв Vxib
Рк Vk = tliii рисх Viicx-
Совместное решение этих уравнений для всех операций схемы
позволяет вычислять искомые абсолютные выходы уь абсолютные
извлечения £Исхг (от исходного) и содержания р^ компонентов для
всех продуктов.
Иногда вместо частных извлечений Ец задаются содержания в
некоторых продуктах. Эта методика хорошо отработана и подробно
описана в литературе [23, 27].
Заметим лишь, что абсолютное результирующее извлечение £рез
/-го компонента находится по известным частным Ец в операциях по
тем же формулам, что и ерез (?) по е( (?) [см. уравнения (IV.8) и
(IV.9) J. По традиционной методике исходные данные оу, и Ец могут
быть получены только экспериментальным путем, например, по
данным действующей фабрики, поэтому методика не обладает
прогнозирующей силой.
Расчет на основе фракционного состава сырья и сепарационных
характеристик ведется по следующим формулам:
_ «max
ъ = Г?,-(£)(Ц= f ew(g)vucx(g)dg;
"rain
Qi = Yi Qhcx;
104

Рл = [ Pi(!)<7i(!)d ! = 7Г1 ""f^ (б)ех г (s)Vncx (g)d s, (IV.25)
где q'i(l) dg —поток элементарной фракции в г'-м продукте; еп (!) —
сепарационная характеристика для /-го продукта (извлечение
элементарной фракции от исходного); / — номер ценного компонента
|ен(ё) находится из сепарационпых характеристик отдельных
операций].
В этой методике исходными данными являются фракционный
состав сырья Yhcx (!) и Рз (!), а также сепарационные характеристики
отдельных операций схемы е, (!). В сущности здесь характеристики
е, (!) отдельных операций превращаются в еп (!) путем
использования двух уравнений баланса по элементарным фракциям для
каждой операции: <7„сх (!) = qK (!) + q™ (I); <?к (!) = et (!) ?ИСх (!),
причем *7j (|) =Q,-Yi(g). Составив такие пары уравнений для всех
Я + К + 1 операций любой схемы (не только канонической или по-
луканонической) и решив, их, получим для каждого продукта
ключевое соотношение Qi\i (l) =e'i, (!) QjicxYhcx(S), из которого и
следуют формулы (IV.25). Заметим, что эта методика легко позволяет
вычислить и фракционный состав у* (I) г_г°. продукта ло лрследиему
ключевому соотношению (напомним, что функция рз- (!) ч'' остается
идентичной для всех продуктов).
Формулы (IV.25) справедливы также для /г-мерного случая
(!ь ..., !„) и обобщают аналогичные формулы для
одного-аппарата. Расчет по ним обладает прогнозирующей силой, так как очи
позволяют заранее рассчитать схемы любой конфигурации с
известными аппаратами в операциях.
Сравнивая эту методику с традиционной, отметим, что
традиционные исходные данные но схеме у; ч (или у-;) и £,- (или Вци-.х) зависят
не только от выбранных аппаратов в операциях, но и о¥"
фракционного состава сырья. Так, абсолютное извлечение компонента
(металла) в 1-й продукт равно
— _ — __! -max
£j исх = Pi Yi/Рисх = Рисх Г £ц(1)$Ме(1)Уисх(1)<11.
I J
femin
Во второй методике исходные данные по схеме зависят только от
сепарационных характеристик аппаратов, что лозволяет естественно
и просто разделить влияние типа сырья и типа схемы на
технологические показатели.
При расчете многостадиальных и многоцикловых схем
обогащения надо учитывать факты переподготовки материала к
обогащению— изменение крупности сырья (доизмельчение) в питании
каждой стадии и реагептного режима (реагентной обработки) в начале
нового цикла флотации и т. п., что ведет к деформации функций
7исх (!) и Рме(^). Независимо от вида переподготовки функции
Yhcx (!) и рдге (!) деформируются с сохранением среднего
содержания любого ценного компонента, т. е. / р (!) у (Е) d£ = const не из-
D
меняется при переподготовке.
105

Примеры расчета схем гравитационного, флотационного и радиометрического
обогащения. 1. Для схемы гравитационного обогащения железной руды с одной
основной и одной перечистнои операциями имеются следующие исходные данные.
Плотность частиц подготовленной к сепарации руды, содержащей магнетит,
кварц, их сростки и примесные минералы, изменяется в пределах 2,5 < р < 5 т/м3.
Функция Yuri (p) характеризуется равномерным распределением частиц по
плотности, т. е. \'игх (р) = 1/(5 — 2,5) =0,4 м3/т. Содержание полезного металла (Fe)
в частицах возрастает линейно с увеличением плотности частиц от 0 при р =
j= Pmm = 2,5 т/м3 до 70% при р = ртах = 5 т/м3, т. е. pFe (р) = —70 + 28 р;
Рисх = J pFeYncxdp = 35%.
В обеих операциях обогащения применены одинаковые (тяжелосредные)
сепараторы с характеристиками
е0(р) = еп(р) =-0,5 — 0,5Ф[3(р—3)] = 0,5-^0,5Ф.
Па основе этих исходных данных делается следующий расчет. Для чернового
концентрата:
?2 (Р) = ei ,2 (Р) ТисАсх = (0,5 + 0,5Ф) Q„cxY„cx/(0,5-0,5Ф + 0,25 +
-f 0.5Ф + 0,25Ф2) = 0,4Q„CX (1 + Ф)/(1,5 + 0.5Ф);
5
Q2= J 0,4(гисх[(1+Ф)/(1,5 + 0,5Фа)]ёраО>88(гнсх;
2.5
5 5
p2 = Q-» J PFe(p)<72(p)dp = (0,88Q„cx)-i J (-70-|-28p)0,4Q„cxX
2,5 2,5
Х[(1+Ф)/(1,5 + 0,5Ф)](1ря40% Fe.
Аналогично для окончательного концентрата:
А = 0,4Q„CX (0,5 + 0,5Ф)*/.(0,5 + 0,25 + 0.25Ф2);
5
Q4=0,4Q„CX f (0,5 + 0,5O)»/(0,75-+0,25O»)dp = 0,74Q1ICX;
2.5
5
P4 = (0,74Q„cx)-i j" (-70 + 28р)0,4(?исх(0,5+0,5Ф)2/(0,75+0,25Ф2)др «45% Fe.
2,5
Все интегралы здесь приближенно заменены суммами.
Значения интеграла вероятности Ф [3 (р— 3)]
р. т/м3 ... 2,5 3 3.5 4 4,5 5
Ф —0,866 о 0,866 0,997 0,999 1
2. Для схемы флотационного обогащения полиметаллической руды, состоящей
из основной, перечистнои н контрольной операций, имеются следующие исходные
данные. Флотируемость частиц изменяется в пределах 0 < ft < ftmaX = 5 • 10-' м/с,
причем 70% частиц — нефлотируемые (ft = 0), остальные 30%—равномерно
распределены в диапазоне флотируемости 0 < ft < ftmax, т. е. исходная У"ФУИКЧИЯ
имеет вид уясх (ft) = 0,7 6 (ft) + 0,3/ftmax = 0,7 6 (ft) + 0,6 ■ 103. Первый член с
б-функцией относится к нефлотируемым частицам (график его — узкий импульс
в точке ft = 0 с площадью импульса, равной 0,7); второй член относится к
флотируемым частицам (график его — плоский, ограниченный, с площадью 0,3).
Флотируемые минералы представлены галенитом (PbS), сфалеритом (ZnS) и
халькопиритом (CuFeSj), а также сростками. Содержание свинца в частицах воз.
растает линейно с увеличением их флотируемости от 0 при ft = 0 до 86% при
ft = ftmai, т. е. первая («свинцовая») (3-функция имеет вид р?ь (ft) = 86ft/ftmaX =
= 17,2 • 104ft. Содержание цинка в частицах возрастает с флотируемостью их от
0 при ft = 0 до 6,7% при ft = ftma*, т. е. вторая («цинковая») р-функция имеет
вид Pzn (ft) = 6,7ft/ftmax = 1,34 ■ 104 k. Содержание меди в частицах также
возрастает линейно с флотируемостью от 0 при ft = 0 до 3,4% при ft = ftmax, т. е. третья
(«медная») 6-функция имеет вид Bcu (ft) = 3,4 ft/ftmax = 0,68 ■ 10* ft.
106

Во всех трех операциях обогащения применены флотационные машины с
одинаковыми е-характеристиками
eo(k) ~-enW "^ ед- (й) — I - -ехр(- kSt)--. I — ехр(— 30 000А).
Расчет для окончательного концентрата (без расчетов для промежуточных
продуктов) сводится к следующему. По формуле (IV.3) находим
еРеэ (*) = 0 -е)*/[1--2(1 -е) -л- 2 (1 _ е)2],
где е-ехр (- -30 000ft).
Результирующая сепарационпан характеристика схемы флотации
k ■ 10-4, м/с 0 0,125 0,25 0,375 1 5
Epe:1(fe) 0 0,15 0,5 0,75 0,95 0,09
Вычислим показатели, относящиеся к окончательному концентрату:
<?4 (*) - еРсз (*) (ЗисхТисх (к) --- (I - с)2 <3„сх [0,76 (ft) ■ j-
— 0,6-103J/[I —2(1 —е) - -2(1 —е)2];
5-Ю-4
Q4-0,6-I03Q„cx \ epe3(ft)dft.»0,6.10-!QIlcx[(0,I5- - 0,5 ~-0,75) 0,125-10-*-f-
6
-г-0,95-0,625-Ю '4-г0,99-4-10 4] = 0,28QHCN.
При вычислении Q4 влияние нефлотнруемон части сырья пропадает, так как
б (й)-функция умножается под интегралом на ерез (0) = 0.
Содержание металлов в концентрате:
5-1Э"4
р., рь --= (0,28Q„cx)-i 1' ррь (ft) <?, (ft) d к =
6
5-Ю-4
= 0,28-1 \ 17,2.I04ftepe30,6.10:5d ft « 45 %;
6
5-Ю-4
{*4zn = (°'28)-1 J 1,34-I04ftBpe30,6-103 d ft = 3,5 %;
о
5-10-4
P.(Cu = (0,28)-i j' 0,68-104ftepe30,6-I03dft « 1,8 %.
о
Извлечение свинца в окончательный концентрат:
«., pb =-T-iP-iPb/Pncx Pb - 28-45/13 - 97 %;
5-Ю-4
РисчРЬ= J Ppb(^>7..cX(ft)dft-I3%.
о
3. Схема радиометрического обогащения содержит одну основную е0 (ф) и
одну незамкнутую контрольную к*(<р) операции с рентгеполюмннесцентными
сепараторами; частные концентраты обеих операций объединяются в общий концентрат,
т. е. результирующая сепарационная характеристика схемы имеет вид
срез ■
гО :"('"' го) еК-
Фракционный состав исходного сырья показан ниже, причем мерой излучатель-
ной способности частиц берется сила тока ф на выходе стандартной фотоизмери-
телыюн системы, в которую поступает излучение минеральной частицы.
107

Результаты радиометрического анализа флюоритов ой руды
<р, мкА
0-0.2
0,2-0,4
0,4-0.6
0,6-0,8
0,8-1
1-1,2
•Уисх<Фг>Д(Р;
0,0136
0,0!
0,005
0,007
0,0344
0,04
3CaF2.
28
35
49
56
59
61
%
Ф, мкЛ
1,2-1.4
1,4—1,6
1,6-1,8
1,8—2
2—2,5
>2,5
Тисх(ф)Дф
0.1
0,111
0,14
0.16
0,2
0,179
PcaF,
70
80
90
97
100
100
Сепарационная характеристика схемы при нормальной
производительности
ф, мкА
з<Ф>
Ф, мкА
3(Ф)
0-0,2
0,2—0,4
0,4—0,6
0,6—0,8
0,8—1
1—1,2
0
0.01
0.2
0,4
0,5
0,8
1,2—1,4
1,4—1,6
1.6—1,8
1,8—2
2-2,5
>2,5
Расчет показателей по окончательному концентрату дает
2,5
7к= (' ере3(ф)7исх(ф)<1ф= (0-0,0136+ 0,01-0,01 + . .
+ 1-0,179) к 0,7 = 70%;
2,5
0,90
0,95
0,95
0,95
0.95
1
+ 0,95-0,2 +
-ST* f РСаР2(ф)8рез(ф)7исх(ф)йф« 0,7-1 (28-0-0,0136+35-0,01-0,01 +
о
+ . . .+100-0,95.0,2 + 100-1-0,179) «95% CaF2.
V. ИЗУЧЕНИЕ ФРАКЦИОННОГО СОСТАВА СЫРЬЯ
И ПРОДУКТОВ
Уметь находить рассмотренные фракционные характеристики
минеральных материалов — функции распределения у (|) и р (1) в
простейшем случае и у (gi, . . . , gn), р3- (gi, ...,£,-) в общем
случае— главная задача анализа состава сырья и продуктов с
обогатительной точки зрения.
V.I. Классификация экспериментальных методов
Методы экспериментального определения фракционного состава
можно разбить на пять групп:
использующие минералогический анализ;
разделение пробы на узкие фракции [£,-, g,- + A gf] с помощью
идеальных сепараторов или схем;
«просматривание» каждого зерна пробы;
разделение пробы на продукты с помощью неидеальных
сепараторов с перенастраиваемой границей разделения gp;
использующие информацию о выходах yt и средних содержаниях
р,- промпродуктов промышленных (или лабораторных) схем.
Дадим вводную характеристику всех пяти групп.
108

ы^Щ
I г'и/г-.ру.,
[В/Л'/аУС
Ef/t%V(i
ttfi 4,9 5,0 jlj/vS
Рис. V.l. Примеры фракционного состава при полном раскрытии сростков
(железистые кварциты):
/ — кварц: 2 — пирит; 3—окисленный магнетит; 4 — магиетит; цифры в кружках — доля мине«
рала
Минералогический анализ дает информацию о массовой доле d,
физических свойствах §,- и химическом составе (3, кйждого
минерального компонента и поэтому может быть применен в ряде случаев для
охарактеризования фракционного состава у (£) и р (£) сырья или
продуктов при полном раскрытии сростков (рис. V.1).
Традиционные методы разделения с помощью идеальных
сепараторов (ситовый, денсиметрическии, магнитный) позволяют выделить
/3,%
2
j; Ю ■ г/с к
шсР
Ш! ■
40-
20- /
Z
1
}"
Ч
0 j..- ;р/;
Л^
270
.
560 X
Р
%
Те'
75
ВО
■ US
-.,
—i
J
г;
7.см/г
JV-;
Рис. V.2. Пример фракционного состава по плотноеги для медно-инкелевой руды
(о) и по магнитной восприимчивости для железной руды (б) [29]
109

/,м'/(мм-т)
к
г. с
у3,1/4
Рис. V.3. Пример результата грануло-денсиметрического анализа угольного сырья
все фракции (Agi, А |г. • • .)> на которые разбивается диапазон
Umin, |max]. Разделение на узкие фракции можно осуществить в
лабораторных обогатительных аппаратах (например, магнитных
сепараторах), возможно, с многократной перечисткой фракций либо в
специальных устройствах (например, установка с набором тяжелых
жидкО'Стей). Далее взвешиванием этих фракций определяются их
массовые доли Cj==y(^)^Si и затем с помощью простого
расчета— искомая функция у (gj) = Cj/Agi. Параллельно в этих же
фракциях определяются содержания р3- полезных компонентов (например,
с помощью химического анализа), что дает искомые .содержания во
фракциях Pj (li) (рис. V.2, V.3).
В третьем методе «просматривается» каждое отдельное
минеральное зерно пробы для определения его массы и числовых
характеристик li и Pj. Затем все полученные данные математически
обрабатываются для вычисления искомых функций у (£;) и р (с,) либо зерна
группируют по фракциям (Agi, А £2, • ■ •) и далее действуют, как
в предыдущем методе. По этим данным находится полная (общая)
J10

функция распределения частиц как по физическим свойствам |, так
и по содержаниям ценных компонентов: в простейшем случае —
7общ (s, Р), в общем случае —у(,бщ (|i, . . . , In, Рь . . • , Р»,)
—путем группировки отдельных частиц в узкие фракции AgAp и
подсчетом относительной массы таких фракций. Затем вычисляются
необходимые для практики характеристики фракционного состава:
для простейшего случая
|Jmax
У{1)= ) 7общ(5, P)dp;
Ртах
P(I) = "T1(S) I Р7общ(|, P)dp;
Pmin
для общего случая [область D (см. рис. 1.10)]
V(ii ln)= S ... / Yo6n,dp1 ... dpm;
D
Mh Ы = т-1(?1.--.. 6») J ... /p,x
XYoemdp! ... dpm; / = 1, 2, ..., m. (V.l)
Если уобщ не требуется, то можно сразу получить v (1) и Р (1)
либо v (Еь • • • , in) и р (ii, .... gn) путем иной перегруппировки
исходных данных по фракциям А £. Эти три группы методов далее
не детализируются.
В двух последних группах методов, помимо взвешивания и
химического анализа продуктов разделения пробы в неидеальном
сепараторе (либо в цепи неидеальных аппаратов), учитываются сепарацион-
ные характеристики е (i) аппаратов и искомые у (?) и Р (i)
вычисляются из уравнений, в которых фигурируют e(i). Эти нетрадицон-
ные методы не требуют специальной аппаратуры с идеальной
сепарационной характеристикой, кйк методы второй группы. Они
позволяют решить задачу определения фракционного состава минеральных
материалов с помощью любых обогатительных аппаратов, но с
известной сепарационной характеристикой. Поэтому эти методы могут
быть рассмотрены лишь после знакомства с сепарационными
характеристиками основных аппаратов и схем.
Возможности анализа фракционного состава можно значительно
расширить, используя обычные (неспециальные) промышленные или
лабораторные обогатительные аппараты (грохоты, классификаторы,
гидроциклоны, отсадочные машины, флотационные машины,
магнитные и электрические сепараторы и т. д.), а также и непрерывно-
действующие промышленные схемы обогащения.
Последний случай, в частности, позволяет анализировать с
помощью самой схемы обогащения фракционный состав продуктов и
сырья текущей добычи, что важно для управления процессом и
других целей.
Главной базой в названном расширении возможностей анализа
является знание рассмотренных выше реальных сепарационных
характеристик аппаратов е (i), схем ерез (i) и участков схем е,-, ,(g).
ill

Quz%, Исходный
Я11П fit
Рис. V.4. Изучение фракционного состава с помощью неидеальных сепараторов
Методы анализа, о которых пойдет речь, дают пример практического
применения теории о сепарационных характеристиках.
V.2. Использование неидеальных двухпродуктовых сепараторов
с перенастраиваемой границей разделения
Первым естественным расширением возможностей анализа
является использование неидеальных двухпродуктовых сепараторов.
Методика анализа включает следующие этапы (рис. V.4). I этап
—проба разделяется .последовательно на п продуктов с различными
границами фракций |р«; диапазон [gmu,, gmaxl делится на п
поддиапазонов: gmin < £ < Spl, 5p. < I < SP2- • • • - 5r«-l < I < Smax. Для
ЭТОГО требуется либо последовательная цепь сепараторов с
различными границами разделения spi<sp2< • • • <5pn-i> либ° пром-
U2

продукты пропускаются через один и тот же сепаратор, в котором
для каждого промпродукта перенастраивается ср (см. рис. V.4, а).
Разделение пробы можно вести, изменяя gp от smin до £тах, либо
наоборот (см. рис. V.4, б). В результате, проба разделяется на п
продуктов.
II этап — все продукты взвешиваются (Qi, Q2, ■ ■ ■ , Qn) и в
каждом из них_ определяется содержание интересующего ценного
компонента (р,, р2, • • . , р~„).
Если бы характеристики сепараторов были идеальными еид (s) =
= 1 (I — Spг) и, следовательно, отсутствовало бы взаимозасорение,
то искомые 7исх (|) и р (|) определялись_бы легко по простым
формулам: 7исх (Ы Ag\- = Qi/Qwcx; Р (Ь) = Pi, где i= 1, 2, 3, . . . , n —
номер выделенного продукта (фракции). По этим простым
формулам вычисляются 7исх (5) у- Р (I) в традиционном ситовом, денсимет-
рическюм и магнитном анализах.
III этап — составление расчетных уравнений, определяющих
Тисх (I) и р (|). Вследствие неидеалыюсти сепарационных
характеристик операций (см. рис. V.4, б) приходится вводить более
сложные расчетные формулы, учитывающие неидеальность сепарационных
характеристик:
smax n
Ql = Qncx f Ег (E)Yncx(|)d I ~ Q„cx J] El (Si)7"'.'x(si) A I,;
'max «
Q2 = QiicxJ' «^(Dtl-ext^lvHcxdJdg» Qucx JJ ...А|4;
*max
Q3 = Qi.cx J ee(s)[l-el(|)][l-ea(s)] X
smin
n
X Yhcx (1) d I ~ Qhcx Yt • ■ ■ Л &i;
1=1
smax
Qn-i = Q,.cx J e„_i(g)[l-ei(g)]...[l-
— e„_2(|)]Y,.cx(|)d|«QHCX5] ... А^. (V.2)
В этих формулах для получения массы Qi i-то продукта
суммируются произведения масс узких фракций в исходной пробе
QhcxYhcx (ёг) А 1г на сепарациопную характеристику от исходного до>
1-ГО Продукта 8„rx-H?) =Ei(?) [1~Pf—1 (1) ] ■ • • [~Si (1)1- ПоС-
ледние имеют колоколообразный характер, причем каждый i-й
«колокол» вырезает в i-й продукт свою узкую фракцию А £,- из
диапазона [gmm, Imax], (см. ркс. V.4, в), но не точно, а с взаимозасорением
фракций. Формулы (V.2) этого общего случая при приближении
сепарационных характеристик ei (g), г% (£) ■ ■ ■ к идеальным еИ!т =~
ИЗ

~1 (s —Spi) превращаются в упомянутые простые формулы, так
как за пределами рассматриваемой г-й фракции суммируемые члены
(под интегралом) равны нулю; сами «колокола» превращаются
в ступенчатые импульсы с высотой, равной единице, над
«вырезываемой» фракцией Ag,-.
Функция р(|) при неидеальном разделении определяется по
следующим уравнениям:
— *та х
QiPi = Qncx J p(l)ei(i)vi.cx(i)d|;
*min
smax
QA-Qhcx J P(l)e2(i)[l-E,(i)]YHcx(|)d|;
smin
Qn-i P«-i = Qhox J P(I)en-i(6)[l-e„-aU)]...
■•■[l~ei(6)]7Hcx(I)dI. (V.3)
Дл-я функций р (I) любого вида они переходят в простые
формулы при идеальных сепараторах 8i(£), е2(1), . . . , en-i (S). Теперь
в подынтегральных выражениях по сравнению с формулами (V.2)
появляется еще и функция р (|).
Если в анализируемой пробе находится т интересующих ценных
компонентов, то требуется т систем уравнений вида (V.3).
Четвертый, последний этап — математическое решение уравнений
'(V.2) для вычисления искомой ^исх(|), а также и решение уравнений
i(V.3) для вычисления функции р (£).
Для интегральных уравнений (V.2) и (V.3) возмож«ы различные
тлатематические методы решений. При этом по известным Qt,
Q2, .... Qn и 81 (|), ... , en-i (I) из уравнения (V.3)_ находит£я
функция 7исх (?), затем с добавлением известных чисел Pi, . . . , рп
находится функция р (|) из уравнения (V.3). Для каждого
конкретного случая выбирается такой метод решения, чтобы свести к
минимуму влияние погрешностей экспериментального определения Qi и
Рг-
Для этой же цели или из-за условий эксперимента иногда
целесообразно видоизменять системы расчетных уравнений.
В случае последовательного объединения концентратных
продуктов (см. рис. V.4, а) в виде Qb Qi + Q2, Qi + Q2 + <2з и т. д. система
уравнений (V.2) принимает вид:
Qi = QHcx/[l-eXBl(E)]v»cx(S)d|;
Qi + Q2 = _Qncx/ [l—eXBl(|)eXB,(|)]Y..cx(S)d|;
Qt + Qz+Qs^ Qhcx/ [1 —eXBl(|)eXB,(|)eXB8(6)]Y.icx(S) d g и т. д.
(V.4)
114

Система уравнений (V.3) принимает вид:
QA= QncxJp(S)[l-eXBl(g)]YHcx(S)dg;
Q1P1 + Q& = Q..cx / P(l) [1 - eXBl (|)eXBaU)] VHcxU)d 6;
Q1P1 + Q2P2 + Q#3 = Qi.cx; p(D [1 - ExBl(g) x
X exB2(g)exB3(§)]Yiiox(s)ds и т. д.
(V.5)
Здесь введены сепарационные характеристики по хвостам
ехвг (£) = 1 — ег (|), что делает уравнения более однообразными.
Пределы интегрирования во всех уравнениях— от gmm ДО gmax.
Перейдем к анализу с помощью многопродуктовых сепараторов,
М. рис. V.4. рЛ R этом случае r качестве пягчртиыу бепутгя те же
самые ур
должны
перейдем к анализу с помощью многопродуктовых сепараторов,
(см. рис. V.4, г). В этом случае в качестве расчетных берутся те же
самые уравнения (V.2) — (V.5), только по каждому г'-му продукту
должны быть подставлены сепарационные уамттк-тиш *— 1%\
ВМеСТО E;(g), E2 (|) [1 — Е! (£)], ЕзШ[1
т. д. Все остальное остается аналогичным.
V.3. Алгебраические методы вычисления функций распределения
по фракциям
Алгебраические методы решения интегральных уравнений (V.2) —
(V.5) основаны иа замене искомой функции уаС\ (|) или р (g) рядом
дискретных ординат уясх (Si) и р(£г), а интегрирование —
суммированием. Тогда интегральные уравнения дают систему линейных
алгебраических уравнений с неизвестными упомянутыми ординатами.
Для краткости целесообразно дискретные ординаты уисх (|i)
заменить на выходы узких фракций Yi — Y (Ы А £ь 72 = V (Ы А |2>.
• • • , уп = 7 (Sn) A gn. Тогда система уравнений (V.2) примет вид:
еисх1 (Si)7i+ еисх1 (1а)7:
ьисх2
(Sl)7
; исх 2
(£2)Т!
+ eHcxl(sn)Yn = Qi/Qhcx;
~f~ Ejicx 2 (ё«)7« =г Уа'Уисх!
еииз (si)7i+ е,„.хз (Ы7г + • • • + e„Cx3(6n)v™ = Уз/Уиех и т. д., (V.6)
где е„сх1 (I) =е, (I); Еисхг (I) = е2 (s) [1 — ei (%)]; е.1Сх з (g) =
= MS) Ll-e2(|)J Ll-ei(|)J и т. д.
Эта система линейных алгебраических уравнений (V.6) содержит
матрицу «Хп численно известных коэффициентов, получаемых из.
сепарационных характеристик операций (см. рис. V.4)
Е =
елсх1 (»l)encxl (I2) ■ • ■ Pjicxl(Sn)
в • • •
fiiifxn(si) ••• SiicxnlSn
(V.7)
и столбец свободных членов
У;,'У исх =
нсх
QJQ исх

Упомянутые матрица и столбец — единственное, что задается в
■вычислительную машину для получения результата в виде чисел у\,
Y-'> • • • . Уп\ далее_по известным размерам фракций Ag, находятся
ординаты у (10 = Y*M si-
Заметим, что безошибочные вычисления «вручную» наиболее
быстрым методом (Гаусса) при п ^ 5 требуют многих часов.
Аналогично для уравнений (V.3) алгебраический метод приводит
к следующей системе уравнений:
encxl(5l)YlPl + ЕисХ1 (sa)Y2P2+ ••• +еисх1(1п)7пРп = QiPi/Qhcx;
еисх2 (ii)YiPi-r- е„сх2 (1г)7 2Р2+ • • • + ЕИСх2{1п)уп $п —
= Q2p2/'Qncx И Т. Д.,
где p(ii) = р,; р (Ь) = Ра, .... Р (|») = Р».
Здесь фигурирует та же матрица (V.7) системы Е, но другой
столбец свободных членов
Qt P</Qbcx =
Qn fWQncx
(V.8)
_ В результате решения системы получаются искомые viPb
Y2P2J • • • . Yn_Pn, а затем, по ранее вычисленным выходам фракций
Yi> 72, • . • , уп, находятся и содержания ценного компонента в этих
фракциях р,, р2, . . . , рп.
Аналогичным путем к системе линейных алгебраических
уравнений могут быть приведены и системы интегральных уравнений (V.4)
и (V.5)."
Достоинством алгебраических методов является наглядность и
простота; недостатком — невысокая точность, особенно при плохой
обусловленности исходных данных, т. е. при стремлении
определителя матрицы Е системы (V.7) к нулю. Этому способствуют, с одной
стороны, погрешности эксперимента, с другой — большое отклонение
реальных сепарационных характеристик ei(s), 82(E), Ез(|), ... от
идеальных.
Поэтому представляет интерес поиск более подходящих и точных
методов, например методов регуляризации [11] или подбора
решений у (1) и р (I) (метод проб и ошибок). Хотя последний вариант —
подбор решений у (I) и Р (|) для систем (V.2) — (V.5) трудоемок.,
стоимость вычислений дает небольшой вклад в расходы на анализ
фракционного состава.
V.4. Фракционный анализ текущего питания и продуктов
промышленных схем обогащения
Ситовый, денсиметрический, магнитный и другие виды анализа
решают задачу определения функций распределения по крупности
116

Исходный продукт
?г
ЦЗ
&П!
^ i_
7|
Ч
п
1
I
—S
1 '
(
1 ^рез/ <5/7/7|
6/7/7 ,,
,г -
<5рез= <5/л-
('-£рез)|
Хвосты
ТУ б/гп-1 &ппу
Рис. V.5. Движение от ерез (S)
внутрь схемы
у(1) и p(Z), плотности y(p) и Р(р),
магнитной восприимчивости y(x) и
Р(х) и т. д. Для этого (в
традиционных методах проба материала
подвергается либо идеальному
разделению на ситах, в тяжелых
жидкостях, в магнитных анализаторах
и т. д., либо пеидеалыюму
разделению. Для этой же цели
предлагается использовать сепарирующие
свойства промышленных, или
лабораторных) схем обогащения.
Покажем, как по известным сепара-
ционным характеристикам
отдельных операций схемы и по данным
о выходах уг и содержаниях р4 в
продуктах можно определить
упомянутые функции распределения
(фракционный состав) для
любого продукта схемы. Предлагаемый
метод является обобщением предыдущего подхода, пригодного к
схемам, типа показанных на рис. V.4.
Так как все сказанное ниже в равной мере относится к
гравитационным, магнитным, флотационным и другим схемам обогащения,
то плотность р, магнитную восприимчивость %, флотируемость k и
другие физические свойства заменим на обобщающее физическое
-свойство | и будем говорить о задаче нахождения функций у (|) и
р (|) для любого продукта любой схемы (рис. V.5).
Для любого исследуемого г'-го продукта любой схемы существуют
сепарационные характеристики относительно остальных /-х
продуктов
e;4(5)=?i(s)d|/[?J(s)di]=QiYi(?)di/[Q;YJ(s)d|]1 (V.9)
где qi (I) d | и Ц] (I) d£ — производительности по узкой фракции
[|, | + d |] соответственно в t'-м и /-м продуктах; Qi и Qj — полные
производительности соответственно по г'-му и /-му продуктам.
Характеристика s-ji (!) показывает, в какой мере фракция извлекается из
/-го в i-й продукт. Любую Eji (l) по каналу от «зходпого» продукта
/ до «выходного» продукта i можно вычислить по известным частным
сепарационпым характеристикам отдельных операций е, (|).
Равенство (V.9) перепишем в виде Qiyi (I) = гц (i) QjYj (I) и
проинтегрируем по I в пределах от gmin до |тах. Получим систему из N2
равенств (N — число продуктов схемы):
Qi = Qi j e;,U)Vi(S)d£.
smln
(V.10)
где i = 1, 2, . . . , N; / = 1, 2, . . . , N.
Для нахождения yj (l) любого /-го продукта надо из №■ равенств

(V.10) выбрать только /V равенств, когда фиксировано / п меняется
/=1, 2, .... N. Так, из системы уравнений (V.10) получим систему
равенств для вычисления Y/(S):
?max
Qi = Qi J eil(g)vi(S)dg;
smax
Qx = QjJ BjX(l)y}(i)di. (V.il)
smin
Выбранные этим путем N равенств содержат неизвестную
искомую у; (£), а также известные Q,, Q,, . . . , Q* и гу, (g); решая их,
можно найти yj (s) для любого /-го продукта.
Один из математических методов решения системы (V. 11)—это
приведение ее к системе линейных алгебраических уравнений. Весь
диапазон gmm < i < smax разбивается на п ^ N интервалов Agi,
Аб2. , . • • , Асп и интегралы в уравнениях (V. 11) заменяются
суммами:
гп(11)у;(г,)Мг+ ■ ■ ■ + еп(сп)уЛ1п)Мп = Q^Q^
W!i)Y,'(si)AsI-f-... + e;2(^)Y.i(tn)A!n = Q*'Qf>
?;x(ln)yj(l1)M1+ ... + ej.v(sn)Tj(sn)Ai„ = QxIQ.;- (V.12)
Здесь неизвестными являются /г ординат y.j (Si)> Yi (is)» • • • >
Yj (In) внутри интервалов Ag,, Ag2> • • • , А Ё„; остальные числа
известны. Таким образом, число определимых ординат искомой
функции yj (!) равно числу равенств (V.11) и ограничено числом
известных выходов продуктов Yi/yj — QilQi схемы.
Перейдем к нахождению функции P(g). Равенство (V.9)
Q-Y"-(s) =r:>i(l)Q.:V)(l) умножим па p(g) и проинтегрируем по g от
Cmin ДО gmax^
smax smax
j QzYHg)P(s)dg= J fc^(g)Q.iYj(g)P(E)dg.
smin nnln
Интеграл слева характеризует среднее содержание компонента
pi в £-м продукте, поэтому окончательно получим
Qi P.- = Q/ J" ej;(S)P(|)Vj-(s)ds, (V.13)
-min
где / = 1, 2, . . . , N\ j= 1, 2, . . . , /V.
Как и выше, из этих Л»2 равенств выберем только N равенств
с / = const и i = 1, 2, . . , ;V:
П8

_ Чпах
QA=Qi ) %(i)P.(s)Y;(s)ds;
'min
_ smax
Q.vP.v = Q; j" е^(|)Р(ь)Т;(1)(1|.
smin
Эта система определяет неизвестную функцию р (|) так же, как
система (V. 11) определяет функцию Yj (s)- Ал1ебраический метод
решения предусматривает приведение ее к системе линейных
уравнений:
«Л (6i)Ti(S1)P(Si)ASi+--- + eil(|„)T;(Sn)P(Sn)A|n = PiQi/Qi;
8,A-(ii)vi(si)P(sx)Aii + ... + eJW(|n)vj(Sn)P(6n)A|n = PwQw/Qy.
(V.14)
Система (V.14) решается после вычисления ординат Yj (ii)» •■• >
у, (|п) из системы (V.12). Решение системы (V.14) дает п ординат
§ (s\), . . . , р Цп) искомой функции р (I).
Перейдем к нахождению характеристик ец (£), считая, что
характеристики основной ео (I), перечистных em (I), . ■ ■ , &пп (I) и
контрольных ski (I), . . . , Екк (I) операций известны (для
гравитационных, флотационных аппаратов они даны в табл. III.2).
Для канонических схем (см. рис. V.5) характеристика eiK (|) =
— брез (I) от исходного к окончательному концентрату имеет вид
равенства (IV. 12).
Зная эту 8рез (|) = 8ik (|), можно перейти «внутрь» схемы к
любому продукту и найти все ей- (£) с учетом баланса по узкой
фракции для любой частной операции:
<7к(|)сЦ =е(|)<7исх(|)сЦ;
<7исх(|)=<МЕ)+<7хв(|). (УЛ5)
Это показано на рис. V.5, для нижней части перечистной ветви,
причем выражения (1 — гпп) ерез/еял, греа/впп и т. д. являются
характеристиками ей- (|) от первого продукта до хвостов .последней
перечистки, питания последней перечистки и т. д.
Вычислив этим путем все ей (|), можно найти любые ец (|) по
формуле
8j.-(i) = ец(Юкц(1),
•что следует из eu= qdq^ ei/= q^lq^ Ea = q^i-
Из EKi = qilqK и ekj = <7j/<7k можно найти ej, = eki/ekj и
Eji Eij = 1. ^ ^
Итак, имея данные о ец (|), выходах yt и содержаниях р, для
продуктов, можно вычислить yi (|) и р (g) с помощью систем (V.12)
л (V.14).
Если у» (1) вычисляются не для одного продукта, а для всех (или
119

Исходный продукт
* 4 е'
а2\ £о(Р)
I
I &т(р)
Концентрат
J,.
?5
i
Хвосты
Рис. V.6. К примеру
определения у (s) и Р (1)
нескольких), тс- достаточно составить и
решить систему только для одного продукта,
например для первого (исходного), а далее
действовать по формуле
Vi(s)ds = e1,(s)T1(s)d6Qi/Qi. (V.16)
Если же система составлена и решена
для у'-го продукта и известна yj (s). to
Vi(c) = e;i(g)Vj(£)Q;/Qi,
где i= 1, 2, . . . , N.
Примеры расчетов. 1. Схема гравитационного обогащения железной руды
(рис. V.6) имеет частные сеиарационные характеристики отдельных операций в виде
ео (Р)= е/71 (Р) =0,5-г(),5Ф[3(р—3)], где Ф — символ интеграла вероятности.
[р] =т/м3.
По известным е.и = ь- Пх найдены с помощью формулы (IV.8) характеристики
eii (Р) °т первого до любого 1-го продукта схемы и вычислены соответствующие
численные значения при различных р = 2,5; ... 5; но данным опробования
найдены yt и Pi (табл. V.1).
Таблица V.1
Сепарационные характеристики su(p), выходы уг и содержание железа р,
в продуктах схемы гравитационного обогащения железной руды
№
продукта г
—
1
2
3
4
5
Формулы сепарационпых
характеристик
е0 =ел/= 0,5 + 0,5Ф[3(р —
-3)]
ги -1
г1,2— ко/(1 ~ еО~ ' еОеЛУ)
eAi=(1-f!o)/(1-eO "-
-г е огш)
i'otni)
е;,5=-'=ео(1-еш)/(1-ео-
+ еогш)
Значения е/(- 1р)
0,067
1
0,0717
0,9952
0,0048
0,0677
СО
il
см
С.
0,5
1
0,6666
0,6666
0,3333
0,3333
ГО
1
0,933
1
0,9952
0,0717
0,9285
0,0667
I
О.
0,9985
1
1
0,0015
0.9985
0,0015
Ю
il
с
1
1
1
0
1
0
, 6
6 "=с
о. -
is
- >>
2 t*
—
1
0,873
0,18
0,82
0,053
- о
= S-
2 Ч
о g
о -
45
50,9'
15,2
52,2
31,87.
Примечание, [р] = т/м3,
120

Составим систему (V.12) для вычисления функций Vi (р) 'фи / = 1 и i = 1,
5:
1V г . I --lVl,2J-IVi,.r:-1Yi.4-h'l.5 = 1;
0,0717т, _, -:• 0,6G66v, _2 — 0,9952у, _3 — ly, ,4 -'" 1У\ ,5 = 0,873;
0,99527, _, -; 0.6666у1>2 + 0,0717укз-'-0,0015у1]4 + 0у1)5 = 0,18;
0,0048y, ,, -'- 0,3333y1i2-;-0,9285y1i3 + 0,9985у, ,4 + >Yi ,5 = °>82'-
0,0667y, |, -I- О.ЗЗЗЗу, 2 + 0,0667Y[ ,3 -;-0,0I5y, ,4 + OVi ,5 =0,053.
Вычислим выходы фракций в исходном продукте:
V1,1 = Yi (Pi) APi = 0,1; Ti,2=Yi(P2) Др2 = 0,1; Vi .з = Yi (Рз) ЛРз =',0,25;
Yi ,4 = Yi (Р4) Др.. =0,3; Yi ,5 = Yi (Рз) Др5 = 0,25.
Составим систему (V.14) для вычисления фракции 6 (р) при / = 1 и i =■ /,
5:
1-O.ip (pt) -т- 1*0,1Р(рг) -Ь I-0,25P(p3) -!-. . . -;- 1-0,25Р(р5) = 45,5-1;
0,0717.0,16^)+0,6666-0,16 (р,)+0,9952-0,256 (р3) +
+ . . . + 1-0,256 (р5) = 50,9-0,873;
0,9952-0,16 (Pl) +0,6666-0,16 (р2) = 0,0717-0,256 (р3) +
+ . . . +0-0,256(р5) = 15,2-0,18;
0,0048-0,16 (pt) +0,3333-0,16 (р2) + 0,9285-0,25S (р3) +
+ . . .+1 -0,256 (р5)= 52,2-0,82;
0,0667-0,16 (р,.) + 0,3333-0,16 (р,)--0,0667-0,256 (р,,) +
-!- . . . +0,0256 (р3) = 31,87-0,053.
Вычислим дискретные ординаты 6 (рО, % Fe;
Я (Pl ) = 0; 6 (ра) = 30; 6 (р.,) = 40; 6 (р4) = 50; 0 (ps) = 70.
Чтобы составить систему (V.12) для вычисления у2 (р) чернового концентрата
берем j = 2; i = /,..., 5. Характеристики е.2г- (р) вычисляются из известных
еи (р). С учетом еи= <]i/4i: e2i = <7,/<?2 = ^/(е,, ,?i) = ei;</fii,2. где i = /,... , 5,
получим:
(1/0,0717) Y2(Pi)AP.+ (1/0,6666) у2(р2)Лр2 г. . .+1у* (P») Др5= 1/0.873;
1у2 (Pi) APi -f IY2 (Pa) АРг + • • • + 1у2 (Ps) APs = • •
(0,9952/0,0717) y2 (Pl) Дрг + 1 (y2) (р2) Лр2 + . . . + 0y2 (ps) Лр5 = 0,18/0,873;
(0,0048/0,0717) y2(Pi) APi + (0,3333/0,6666) y2 (P2) лРг +
+ . . .+1у2(р5)ЛРз= 0,82/0,873;
(0,0667/0,0717) y, (Pl) Дрг + (0,3333/0,6666) y2 (Рг) Др2 +
+ . . .+0,0у2(р3)Др5 = 0,053/0,0873.
Отсюда находим решение для искомой у2 (Р): Ya (Pi) X Д Pi = 0,008;
Тг(Рг) Др2= 0,076; у2(р3) Др3= 0,283; у2(р4) Др4=0.3471; Y2(Ps) Др5= 0,286.
Аналогично составляются и решаются системы тш:а (V.12) или (\М4) для
других продуктов.
При вычислении у,- (р) можно также использовать формулу (V.16).
121

Фракционный состав продуктов схемы, представленной
на рис. V.6
. 2 -2,5
продук-
Фракция Ар(, т/м3
Выход фракций 7,(р)Лр
тах, доли ед.:
ИСХОДНОМ 7,(Р;)^Р; •
черновом концентрате
1>2(р,)Ар;
хвостах 73(Р;)ДР;
концентрате V ,t (Р;)^Р,
циркулирующем у (р;)Др(
Содержание железа во фрак
циях (5Fe(p), % . . . .
2,5—3 3—3,5 3,5—1 1-1.5
0,1 0,1
0.25
0,3
0,25
0,008
0,543
0
0,126
0,076
0,355
0.015
0,629
0,283
0,099
0,283
0,314
0.347
0,003
0,366
0,008
0,286
0
0,306
0
30
40
р
ческому
'ассмотренный подход пригоден к денсиметрическому, магнитному, флотометри-
му, радиометрическому и другим видам фракционного анализа продуктов схем
обогащения н исходного сырья.
2*. Схема флотационного обогащения АБОФ Ковдорского ГОКа (рис. V.7)
имеет частные сепарационные характеристики вида Р;(&) = !—ехр (—S,/,„,&).
С учетом продолжительности t^ флотации в операциях были найдены на ЭВМ
числовые сепарационные характеристики для продуктов Еяси (k). Затем решались
Сода 1,86кг/т, жид
кое стекла 0,8кг/т
Исходный, продукт
М0ТМ(СМ)0,5кг/т
МЗА 0,14 к г/т
1/
x.^iao%
6,-^100%
Г 297,5
Чг\ 20,5
{.4/7,3
Ь
15В, Z
28,Z
199
Основная флотация
п
Чр
- 3,9мин
'141,3
qJ 1ZJ
\пе,з
71,1
34,9
168,6
''203,7
4s\ z9>z
t " [.404
Iперечистная
t^-3,2мин I
4,7
64,9
18,1
79,9
j%6
I контрольная
4,7
L= 1,9 мин
Г 93
{217,6
\ {217,6
Ш леречистная
3
^ш
= 4,1 мин
г 45,5
'Ни V'Z'B
Ш перечистная
132,6
qA 26,1
17 {235,4
4,9
47,5
32,5
105
МОТМ(СМ)
0,025 кг/т
1l8
Ч.1Ч
64
13,8
60,1
11контрольная
140,4
10,1
96,5
'V
■ 2,3 мин
(76,4
4.20^ 7
\36,Ц
Хвость,
£„, = 2,9 мин
39,3
38,9
.104
JY перечистная
1,2
t„ = 4,3 мин
I'll*
4,4
23,6
39,6
63,6
4,3
15,7
37,8
40,4
Апатитовый, концентрат"
Рис. V.7. Пример результатов технологического опробования промышленной схемы
с целью изучения фракционного состава сырья и продуктов
Выполнено совместно с Ю. П. Назаровым.
122

соответствующие уравнения (V.12) и (V.14) для вычисления у; (к) всех продуктов
схемы, а также рр 0. (к).
Исходные данные для продуктов i = 8; 9; 12; 14; даны в табл. V.2, результаты
расчета — в табл. V.3, где представлены данные флотометрического анализа
продуктов промышленной схемы флотации.
Таблица V.2
Технологические показатели и сепарационные характеристики для четырех
продуктов промышленной схемы флотации
№ продукта
i
8
9
12
14
Выход
7i. %
93
45,5
39,3
23,6

Содержание р2о5
Ре %
34,4
36,4
38,9
39,6
Сепарациоиная характеристика
Фракции флотируемости Atjb
0 -0+
0
0
0
0
0-—0,35
0,651
0,735
0,691
0,586
0,3о—0.45
0,986
0,945
0,999
0,893
еисх;(Ь>. >
оли ед.
= й Д hr мин-'
0,45—0,5
0,986
0,945
0,999
0,954
0,5-0.7
0,986
0,945
0,999
0,980
Таблица V.3
Фракционный состав продуктов промышленной флотационной схемы на рис. V.7
Л» продукта i
Фракции флотируемости Д(р,
S А к,, мин-'
о-— о+
0 + — 0.35
0.35-0.45
0,5-0.7
Распределение твердого у,-(ft,) Л ср,-, доли ед.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4
16
17
18
19
20
0,764
0,392
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,825
0,453
0,823
0,948
0,976
1
0,182
0,581
0,973
0,966
0,914
0,999
0,934
0,868
0,999
0,902
0,847
1
0,746
1
0,162
0,538
0,149
0,052
0,024
0
0,044
0,020
0,020
0,022
0,062
0,001
0,047
0,097
0,001
0,070
0,109
0
0,182
0
0,010
0,007
0,022
0
0
0
0,006
0,003
0,003
0,003
0,008
0
0,006
0,013
0
0,010
0,015
0
0,025
0
0,001
0,001
0,003
0
0
0
0,011
0,004
0,007
0,005
0,015
0
0,012
0,024
0
0,018
0,028
0
0,047
0
0,001
0,001
0,003
0
0
0
Содержание компонента (Р205)
1—20
37,2
38,6
39,5
41,4
Примечание. Продукты 1-3, 5—15 — иеречистная нетвь; i.-родукты 4, 16—20 —копт-
рольная ветвь.
123

V.5. Флотометрический анализ по кривым кинетики флотации
Выше показано, что репарационные характеристики по
концентрату и хвостам неглубоких флотационных машин (лабораторных или
промышленных) аппроксимируются экспоненциальным законом:
ек (k) = 1 — ехр (—*ф Sk)= 1 — ехр (— х);
ехв (k) = 1 — е« (k) = ехр (—*ф Sk) = ехр (—х), (V. 17)
где /ф=.const — время флотации; с; S—степень аэрации, м2/м3;
к = var — переменная флотируемость минеральных частиц в пульпе,,
м/с
Причем флотируемость разделения определяется по формуле
kv = 1п2/(5^ф). Это — весьма неидеальные сепарационные
характеристики, поэтому для осуществления флотометрического анализа
надо пользоваться методами, рассмотренными в разд. V.2 и V.4.
Цель флотометрического анализа — определение фракционного
состава по флотируемости, т. е. нахождение функций распределения
у (k) и р (k). Для этого могут быть применены различные методы,
из которых сначала рассмотрим метод, использующий в качестве
исходных экспериментальных данных кривые кинетики флотацик
твердого етв (0 и интересующего ценного компонента (металла) гмл (t).
Пробу руды флотируют с дробным снятием пены в дискретные
моменты времени tu £.,, t3 (рис. V.8, а), что равносильно изменению
границы разделения kv в операциях (рис. V.8, б). Для каждого
продукта определяют массу Q^ Q2> • • • к содержание Pi, P2> • • • •
Кривые кинетики eTB (0 и еме {I) строят по суммарному пенному
продукту, накопленному от начального t = 0 до текущего момента
времени; расчет их ведут для дискретных моментов времени tlt
t2, ... по формулам:
6Tb(/i) = Qi/Qncx;
eTB(*2) = (Qi + Q«)/Q..cx;
етв(/3) = (<2i+ Qz + Q3)IQncx и т. д.;
£Me{ti) = QiPi/Qbcx Pncxl
еме(^) = (Q1P1 + Q2MIQ»cx РпсХ;
8ме(М = (QlPl + Q2P2 "Г" Q3P3VQ11CX Рисх.
QfP
Kp5 Лр2 npf
Рис. V.8. Схема «дробного» съема пены (а) и изменение флотируемости
разделения с течением времени (б):
ftpl =ln2/(S(,); fcp2 = Iii2/(S/s); ftp3 = In2/(S/j)
124

Этот эксперимент и форма представления его результатов
соответствуют случаю объединения концентратных продуктов, в котором
основными уравнениями для расчета функций уИСх (g) и Р (g)
являются системы уравнений (V.4) и (V.5).
В рассматриваемом случае с флотацией сепарациониыг
.характеристики но хвостам, фигурирующие в системах уравнений (V.4) и
(V.5), согласно уравнению (V.17) имеют вид:
e.4Bi(g) = ехр (—trSk); eXB] (g) eXI)2(s)= exp (—t2Sk) и т. д. Поэтому
система уравнений (V.4) для любого t принимает вид
*тах
етв(0= I' U~exp(-tSk)]yucx(k)dk. (V.18).
о
Система уравнений (V.5) принимает вид
—_, max
едгс(*) = рВсх Г Р(*)[1 —ехр(—/S*)]7i,cx(ife)dA: =
= 1 —рйх J ехр(—*S*)p(*)Tiiex(*)d*. (V.19)-
о
Таким образом, экспериментальные кривые кинетики флотации
связываются с 7исх (k) и р (k), которые находятся путем решения
уравнений (V.18) и (V.19); последние были получены иным путем
(см. гл. III, с. 76).
Алгебраический метод решения интегрального уравнения типа
(V.18) предусматривает разбиение диапазона флотируемости [О,
femax] на дискретные участки Д&г- с выходами фракций yt =
= yHcx(k;)Aki, а также замену интегрирования суммированием. Затем,
придавая времени ряд значений ( = 0, ;„ /,,...,/„ и подставляя:
в равенство (V.18) соответствующие экспериментальные значения
8тв(0) 8tb(/i), ..-, £тв (t,i) и вычисленные матрицы пХп
коэффициентов ехр (—tSk), получим систему из п уравнений, откуда
вычислим искомые выходы фракций у* = V (h) A&j-
Аналогично применяется алгебраический метод для вычисления:
дискретных значений функции р (k).
В этих расчетах целесообразно выделять иефлотируемую
фракцию с k = 0; ее выход -\>пф и содержание рПф — Р (0) могут быть
экспериментально определены заранее по окончательным хвостам
при /—> оо (см. рис. V.8, а).
Пример. Пробу апатитовой руды флотировали в лабораторной машине при:
крупности измельчения 50% класса —0,074 мм; (5Ясх = 12,5% Р2О5; у«Ф = 0.08;
рнф = 2,8%. Во флотацию подавали 75 г/т NaOH, 50 г/т жидкого стекла и 40 г/т
пятпкомпонентного собирателя. Были получены следующие экспериментальные
данные:
/, мин 0 0.5 I 1,5 2 2,5 3 3.5 оо
Ет„. доли од О 0,11 0,17 0,198 0,229 0.25 0,273 0,282 0.32
0
0
0
0.5
0,11
0,32
I
0,17
0,52
1.5
0,198
0,57
2
0,229
0,614
2,5
0.25
0,07
е J.O , Доли ед. . . . 0 0,32 0,52 0,57 0,614 0,67 0,73 0.802 0,85
Сначала оценим степень аэрации в лабораторной флотационной машине пс
формуле
5 - <Гвозд5п,3.'Упуз = фШ)ЗД4я^уз/[4/3 (я/?,э,у;,)1 ■-■ 3<гН03Д/ДПу3,

1,2 rf.MM
Рис. V.9. Распределение пузырьков
воздуха по крупности (d — 2/?nv:i) [24]
где фвозд — объемная доля воздуха в
машине; Sny-U Vn>-,,, Rny.,
—соответственно площадь поверхности, объем и
радиус среднего пузырька воздуха.
Измерив фпп.-,д = 0,1 и /?пул = 0,ЗХ
Х10 3 м, вычисляем S = 3-0,1/0,003 =
-1000 м2/м3 (рис. V.9).
Для приближенного определения диапазона флотируемое™ 0 < k < Sm„
временно аппроксимируем функцию етв (0 экспоненциальным законом. При этом
считаем, что руда содержит нефлотируемую часть (k = 0) в количестве 1 — ет„ (оо) =
= 1—0.32 = 0,68 (68%) и флотируемую часть (0<&<ftmav) в количестве
0,32 (32%). Временно считаем, что эта флотируемая часть имеет среднюю флоти-
руемость k — 0j>kmax, тогда имеем
етн(0 яетв(оо)[1 —схр(—0,5ftmaxSO] —0,68 [I - -ехр ( — 500ftmax01-
Подставляя данные любой экспериментальной точки, например при t = 1 мин
0,17 = 0,68(1—ехр (—500&тах • 1), вычисляем &та*. При этом желательно
усреднить результаты по отдельным точкам, что для рассматриваемого примера дает
fmai = 1,44 ■ 10~3 м/мии. Итак, частицы флотируемой части (32%)) имеют флоти-
руемость в пределах 0 < k < 1,44 • 10~3 м/мин.
Для нахождения \(k) разобьем диапазон [0, kmax\, например, на п — 3
интервала Д k = 0,48 ■ 10~3 м/мии и вычислим значения функции у (k) на серединах
этих интервалов ft1=0,24-10~3 м/мин; k., =0,72-10"3 м/мин; ft3 = 1,2-10~3 м/мии,
т. е. Yi = Y (0,24 • 10"3); у, = у (0,72 • Ю-1); уя = у (1,2 • 10-3)'. Равенство (V.18)
принимает вид
етв (0
1
-0,68—£] v(*i)exp(- 1000^,0 Д*.
Y2 =
-400
300
200
то
Здесь цифра 0,68 учитывает вклад нефлотируемой части (k = 0).
Подставляя экспериментальные значения еТв (t) для t = 0; 0,5; 1 мин,
получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными Yi = Y (&i) Д k;
= у (k2) Д/г; Y:j - Y (*з) Д *:
Vi-I- Va "!- Тз =-■ J —0,68;
ехр (— 1000-0,24-10"3-0,5) Yi - - ехр (- - 10000,72-10~а-0,5) у2 -[-
-: ехр(— 1000-1,2-10-3-0,5)ь--- 1 —0,68—0,11;
ехр (— 1000-0,24-10-3-1) Yi г ехр (- 1000-0,72-10—'') y2 +
-!-ехр( -1000-1,2-I0-3-I)y3- I -0,68—0,17.
Решая систему, вычисляем Yi= 0,0445; у2= 0,1259; ys-= 0,1496.
График найденной функции \(k)
(рис. V.10) содержит узкий импульс при
/г = 0 с площадью, равной 0,68,
соответствующий нефлотируемой фракции (68 %) и
три широких импульса, соответствующих
первой флотируемой фракции k = 0 —■
— 0,48 ■ 10 3 м/мин —высотой y (&0 = 92,7
с площадью Y = Y (*i ) Д*1 = 0,0445,
пропорциональной доле первой фракции
(V.20)
^,Мин/м
Г"
и
Г"
I
а
/!,%
-—л
_i
J I
\J2
A
hO
30
20
10
(4,55%)); второй флотируемой фракции
0
126
0,48
0,9S
Рис. V. 10. Фракционный состав по флоти-
/,W Н 10 м/мин руемостп пробы апатитовой руды

k = 0,48 • Ю-3 — 0,96 • 10~3 м/мин—высотой у (k2) = 262,3 с площадью уг =
Тз = у(^з)Дйз^О.МЭб, пропорциональной доле третьей фракции [14,96 %].
фракции k = 0,96 ■ 10~3 — 1,44 • 10~3 м/мин — высотой у(*з)=ЗП,7 с площадью
\з = 1(кя) Л А = 0,1496, пропорциональной доле третьей фракции [14,96%].
Перейдем к вычислению функции 6 р2о5 (ft), переписав равенство (V.19) в виде
"Р.,0,
(t)-r- I —(1/12,5)
0,68
■2.8 -!- J] РгТг ехр (— 1000ft,0 Aft
Здесь учтено среднее содержание Р205 в исходном продукте р\,, х= 12,5 % и'
в нефлотпруемой части (5* в = 2,8%. Для t = 0; 0,5; 1 мин с помощью
экспериментальных значений ер 0 (/) получим систему
0,0445р\-г 0,12590,,-;
0,0445-0,89^ -+- 0,1259-0,7р\, -\
0,0445-0,78^-0,1259 0,48^2
0,1496р\,^ 12,5(1 —0) —0,68-2,8;
0,1496-0,55р2 - 12,5(1 —0,32) — 0,68-2,8;
т- 0,1496-0,3р2 -= 12,5(1 —0,52) —0,68-2,8.
Числа 0,89; 0,78; 0,7; 0,48; 0,55; 0,3 получены из ехр (—1000 Лгг t).
По решению этой системы: В„ф - рр (0)^ф0—2,8 96; Pi—Рр о (0,24-10-3) =
= 10,2 0/6; 62:- Рр2С,5 (0,72-10—3) = 33,1 %; рз -. рр ^ (1 >2. ю-З)' - 40,1 % — пост
роеп график искомой функции Рр„0 (ft) (см- Рис- V. 10). Содержание Р205
составляет, %: в нефлотпруемой фракции 2,8; в первой флотируемой 10,2; во второй
флотируемой 33,1; в третьей флотируемой 40,1.
В качестве дополнительного примера на рис. V.11 показаны кривые кинетики
флотации тальк-магнезитовой руды и результаты анализа ее фракционного состава
Y (ft) и (5 (ft) по флотируемости; интересующим компонентом здесь является
нерастворимый в соляной кислоте остаток.
Метод решения уравнений типа (\'.18) и (V.19), основанный на
разложении кривых кинетики на сумму экспоненциальных членов
[28J. В алгебраических методах диапазон [0, kmax\ заранее
разбивается на интервалы A.kit середины которых обозначены kh а
выходы фракций обозначены y{ = y(ki)Aku это было связано с
предварительной оценкой размера диапазона [0, £Шах].
',00
за
во
W
20
6
wo -
80
60
iO
20
уЛк-0,519 Г"
"П 1
ЦК)
m
j-AR-0,082 rAH.,am
fc/Ui^OJlfZ
15 i,ML,H
0,235 OAT 0JO5 0,9<f 1,175 к,Ю 2м[шн
Рис. V.I1. Кинетика флотации (а) и фракционный состав (б) по флотируемости-
тальк-магнезитовой руды (выполнено Н. А. Шаповаловой)
127

В методе с разложением кривых кинетики на сумму
экспоненциальных членов интегральные уравнения (V.18) и (V.19)
представляем в виде:
етв(0= 1 —Тнф— J] Viexp(-Skit); (V.21)
— — - -_i "
Ел1е(0= 1 — Yh<J> Р"ф/Рисх — Рисч 2 V* рг ехр (—Skft),
.где п —число учитываемых флотируемых фракций. В этом методе
заранее выбирается только число флотируемых фракций, увеличение
которого соответствует все более точному приближению к искомой
"Y (&)• Сам метод решения «автоматически» указывает середины
диапазонов фракций k{, их выходы уг и содержания в них ценного
компонента Рг. Размеры диапазонов фракций Akt могут получаться
неодинаковыми.
Разложить заданную кривую етв(0 [или e.ve(0] "а сумму
экспоненциальных членов — значит найти коэффициенты у* (или Y»Pi)>
стоящие перед экспоненциальными членами, н показатели степени
Skt.
Таким образом, для первого уравнения (V.21) имеем 2п
неизвестных чисел: флотируемости отдельных фракций ki и массовые доли
этих фракций \i.
В принципе достаточно подставить 2п раз координаты
экспериментальной кривой етв (0 и равенство (V.21) для 2/г различных
любых моментов времени ^. Это даст 2п уравнений с 2п неизвестными.
Однако решать эти уравнения при неупорядоченной подстановке ti
трудно.
Существует специальный метод (А. Н. Крылова), облегчающий
расчеты, которые сводятся только к. решению алгебраических
уравнений.
На рис. V.12 показан пример результатов расчета, причем
экспериментальная етв (t) разложена на два экспоненциальных члена,
доказанных штриховыми линиями: етв (О = 1 — 0,94 ехр (—^/555) —
—0,06 ехр (—//24).
Обработка кривых кинетики флотации е применением метода
регуляризации. Изложенный выше алгебраический метод вычисления
f(H2)= 0,122
H^'t.2 ft, J0'sм/с
Рис. V.12. К пояснению метода разложения на сумму экспоненциальных членов
.'28
/
0.5
О
-0.5
К^ 60 120 WS
f(h,j--0.!S6
L
Г,-а.ов
t,c о н,=и,;Г~
■^ O.C6exp(-t/?U)
0,S'i<;xp(-t/555)r~- .

искомых y(k) и Р(А) по экспериментальным значениям етв(0 и
e-Afe (0 неточен и чувствителен к погрешностям б в их измерениях.
Предлагаемый ниже метод регуляризации [11] более точен.
Представим уравнения (V.18) и (V.19) в едином виде
ъ
тих
I y{k)e\p{—kSt)dk = с (О,
о
где для уравнения (V.18)_ у (k) = у (*) и е (/) = 1 — еТВ (0; Для
уравнения (V.19) у (k) = рйЛ y (*) Р (*) и е (/) = 1 — еМс (О- Это
уравнение является интегральным уравнением Фредгольма I рода.
При .поиске решения у (k) исходным является условие .минимизации
следующего функционала М:
Y«(*)exp(—kSt)dk~ e(0]2d^ + aio —>min, (V.22)
т
Af-J
max
0
где Т — период наблюдения e(t); a — параметр регуляризации,
принимающей в процессе вычислений ряд пробных значений из
монотонной последовательности 0; 1-Ю-7; 2-Ю7 и т. д.;
ь
max
(о= f [y2(k)+P(dyldk)2]dk (V.23)
о
— стабилизирующий функционал; Р — размерный положительный
коэффициент, м2/с2. Может быть выбран и другой функционал со.
Преобразуя выражение (V.23) с помощью вариационного
исчисления, получаем следующие эквивалентные (V.22) условия для
вычисления у (k).
Условие 1:
ь
max
a[y(k)-Pd2y/dk2] + J' {i_exp[—(* +
о
+ a)ST}{k + a)~]S-ly(a)da = fee(0 exp(~kSt)dt. (V.24)
b
Условие 2:
Y'(^max) = 0, v'(0)=0, или y(kma*)=0, y(0) = 0, или (V.25)
Y(*max)=0, Y'(0)=0, ИЛИ y'(W)=0, Y(0)=0.
Из условия (V.24) при ограничении (V.25) находим регуляризо-
ванное решение у (a, k). Возможны разные варианты решения
уравнения (V.24), по так как определение е (t) обычно производится
дискретно, то проще всего решить уравнение (V.25), написав его
разностный аналог на равномерной сетке с шагом Ak, что дает
систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными
ординатами функции у (ki).
Практически эту систему нужно решать несколько раз, придавая
каждый раз новые значения а, равные 0; 1 • Ю-7 и т. д.; причем для
5 Зак. U43
129

каждого нового приближенного решения у (kt) оценивается
погрешность
62 = J
|' y(ki)c\p( -kSt)dk -?(t)
о
tit.
Вычисления у (k) продолжаются, пока погрешность б не будет
равна заданной ё3ад.
Для регулярнзационных расчетов необходимо предварительно
оценить величину ктях. Распределение частиц но флотируемости
принимаем равномерным. Тогда у (к) = ртв (оо)/Атах, и равенство (V.18)
после интегрирования дает
етв(оо) —етв(0= етв(оо)[1 — ехр(—kmax St) ]/(kmSiXSt),
где eTR (oo) —асимптота кривой етв (О-
Отсюда,, разложив ехр (—kmaxSt) в ряд Тейлора, вычислим
kmax = 2(1 етв/tl ^|/=o[8tb(oo)S]-1.
Детальный расчет и пример приведены в литературе [11].
Подведем краткий итог. На конкретном и важном пргмере флото-
метрического анализа проиллюстрирован анализ фракционного
состава с помощью неидеальных сепараторов. При экспериментальной
сепарации пробы материала применено последовательное
объединение концентратных продуктов. За исходные расчетные уравнения
взяты равенства (V.4) v. (V.5); из них получены уравнения (V. 18) и
(V.19) кинетики флотации, из которых вычисляются искомые
функции у (k) и р (k). Рассмотрены три математических метода
вычисления у (k) и (i (к) нз этих уравнений возрастающей точности (и
сложности): алгебраический; разложения па сумму экспоненциальных
членов; регуляризации.
Возможны и другие математические методы решения уравнений
(V.18) и (V.19).
Однако прогресс и расширение возможностей и точности анализа
фракционного состава, в частности флотометричсского, связан не
только с разработкой и апробированием математических методов
решения, но и, что может быть эффективнее, с методиками самих
экспериментов.
V.6. Флотометрический анализ с колоколообразными
сепарационными характеристиками
Обработка кривых кинетики флотации твердого еТп (О и металла
емс (О В целях нахождения распределений твердого у (k) и металла
Рме {к) ,но различным фракциям флотируемости k внутри диапазона
О < к < km.AX проводилась выше по уравнениям (V.18) и (V.19).
В них выражение еК {к) = 1— ехр (—Ski) при любом
фиксированном t = l{ = const является функцией от k и имеет физический
смысл сепарационпой характеристики по концентрату: оно равно
соотношению масс узкой флотационной фракции [k, k + d k] в коп-
130

Рис. V.13. Колоколообразная сспарационная £ ,
характеристика
центратс и исходном, т. е. показывает,
как зависит извлечение узкой фракции
d k от ее флотируемое™ k (рис. V.13).
Эта функция rK{k) не может
выделить желаемую узкую фракцию
&;-т-&; + А &;; для этого потребуется
характеристика, показанная па рис.
V.13 штриховыми линиями (идеальная и колоколообразная).
Вследствие нсколоколообразиостп характеристики к,,(/г) в интегральных
уравнениях кинетики (V.18) и (V.19) их решение очень
чувствительно к погрешностям эксперимента по кинетике флотации.
Поэтому ниже предлагается такая обработка экспериментальных
Етв (0 и гмс (t), которая приводит к интегральным уравнениям с ко-
локолообразными характеристиками, что делает решение менее
чувствительным к погрешностям в определении етв (0 и Еме (О-
Простым вариантом колоколообразных ек {к) являются
следующие равенства:
ек..., (х) = [ 1 — схр( х)]ехр(—х);
eaKo.i(*) = Ul -ехр(—*)]ехр( -*)}*;
в"кол (х) ■= {[ 1 - ехр (—х) ] ехр ( х)}",
где х = kSt.
Соответствующие графики имеют максимум при х — х„, = !п 2.
'Гак как ехр (—In 2) =0,5, то максимальная ордината первой
характеристики равна вкол (хт) = 0,25, второй 0,252 и т. д. Максимум
характеристик еь-ол можно сместить в любую желаемую фракцию ku
выбирая ii по формуле /г- = \u2[(Ski).
Для ответа на вопрос, как ввести колоколообразные
характеристики гКал(х), г2КОл(х), г\0л(х) в интегральные уравнения (V.18) v
(V.19), воспользуемся вначале формулой бинома Ньютона
в"кол (х) = [ехр {—х) — ехр (—2х)] »= [ехр (—х) ]» —
—«[ехр(—х)]»-1ехр(—2х) + . . . + (— 1)»[ехр(—2х)]''.
Далее при различных п будем учитывать, что в уравнении (V.18)
е (х) = 1 — ехр (—х). Тогда для случая п = 1 получим
вко, (х) = [ 1 - ехр (-2Slk) ] - [ 1 - ехр (Stk) ].
Отсюда е-кол (х) вводится в уравнение (V.18) для любого /:
/,(/)-етв(20 ■•е(в(/)= Tv(*)[l- exp(--S^)]X
h
X ехр ( Stk)d k - "Г У (*) f и.м (x) <1 k. (V.26)
b
5* 131

Аналогично для п = 2 получаем
е2„ол(*)= —[1—ехр(—2*)]+2[1- ехр (--Здг) ] —[1 - ехр(-4*) ]
и вводим е21(ол (х) в уравнение (V.18):
с max
/2(0= —етв(2/)+2ети(30 —Fti.(4/)= | y{k)¥\o,{x)dk.
о
Для п = 3 получаем тем же путем
/з (0 = -етв(30 + Зетв(40- Зетв(о/)+етв(60 = "f %(&)е3Кол(л-)с1 fc.
о
(V.27)
И так далее. Аналогичным образом поступаем для уравнения (V. 19).
Таким образом, беря из экспериментальной кривой кинетики
еТв (t) [или гме (t)] определенные комбинации их ординат (как
указано в левых частях последних трех уравнений), получим долю
твердого (или металла), выделенного колоьюлообразной характеристикой
в окрестности желаемой фракции /г,-, причем время t заменяется на
ti = In2/(S ki). Полученные уравнения (V.26) — (V.27) позволяют
находить у (k) и (Злг<- (к) с неидеальным выделением узких фракций
(см. рис. V.4, в).
К уравнениям (V.26) — (V.27), как и к уравнению (V.18),
применимы одинаковые методы решения, в том числе регуляризацион-
пые. Но эти уравнения с колоколообразным ядром менее
чувствительны к погрешностям. Это наглядно видно в алгебраических
методах, для которых основная матрица коэффициентов приближается
к диагональной. ГЗсе кривые времени f>.(t), \ч (t), /:>,(/)
положительны и имеют максимум; они изменяются от нуля до максимума при
некотором /, затем опять до нуля. Возможны различные варианты
конкретной обработки экспериментов с помощью «колоколообраз-
ных» уравнений типа (V.26) — (V.27).
V.7. Сравнение кривых обогатимости, контрастности
и функций распределения
Покажем, что традиционные кривые обогатимости, показатели
контрастности и др. не являются лучшими для оценки сырья и
продуктов обогащения и что наиболее простыми, необходимыми и
достаточными являются рассмотренные дифференциальные функции
распределения частиц по физическим свойствам и содержаниям
ценных компонентов у (|) и |3 (|), либо у (£х, . . . , |п) и р,-(^, . . . ,
In) в общем случае.
Кривые обогатимости (Анри) показывают взаимосвязь между
технологическими показателями (например, гравитационного)
обогащения (рис. V.14) [16]. Кривая 1 — это зависимость выхода
легкого ул (или тяжелого ут — 100 — y:t) продукта от содержания (3
компонента в элементарной фракции плотности р, т. е. это функция
•ул(Р). Кривая 2 — это зависимость выхода ул легкого продукта от
132

(среднего), содержания в нем компонента J3.,, т. е. функция у~, (рл).
Кривая 3 — это аналогичная функция Yt(Pt), по для тяжелого
продукта. Кривая 4---это зависимость выхода тяжелого продукта ут от
извлечения ет в него компонента, т. е. функция уг (ет). Наконец,
кривая 5 — это зависимость выхода легкого (или тяжелого) продукта
Y.t от граничной плотности рр, т. е. y.i(Pp). Эти кривые получаются
экспериментально путем разделения пробы материала на два
продукта при различной плотности рр, причем частицы с р < рр
образуют легки?! продукт, а частицы ср> рр — тяжелый.
Кривые обогатимости могут быть распространены па любые
методы обогащения с разделением частиц по любому физическому
свойству с (плотности ! = Р» магнитной восприимчивости | = х,
флотируемости g = k и т. д.).
Пять «предельных» кривых обогатимости уа = у:1 (р) = ук (р);
Y.t = у.ч (Р_л) = Yi; (Рк); Yt (М = Yxb (P.™); yt (ет) = Y™ (ехв);
V.-i (рр) = Y>: (рр). получаемых при идеальном разделении, являются
полной характеристикой простого сырья, различающегося одним
физическим свойством.
Наряду с кривыми обогатимости вводят другие, производные от
них характеристики, например показатель контрастности /КОнтр—
средневзвешенное относительное отклонение содержания ценного
компонента в кусках р от среднего его содержания в сырье р,юх
115]:
/,<онтР = Рйсх 2 |P-fV.xk (V.28)
I - I
где N — число кусков в пробе; q — массовая доля куска в пробе.
Другим примером является показатель признака разделения Я—
средневзвешенное относительное отклонение содержания ценного
компонента во фракциях Рф [15]
/7 = рйсх £ |Рф-Рпсх|тТ,„ (V.29)
i-i
где Y<f> — массовая доля фракций.
Предлагается еще показатель эффективности признака
разделения --отношение Я//,;,)птр, которое тем ближе к единице, чем больше
степень соответствия физического свойства разделения содержанию
компонента.
Этим показателям противопоставляется охарактеризована сырья
а продуктов с помощью рассмотренных выше функций
распределения, причем сравнение ведется главным образом с кривыми
обогатимости, как наиболее полной из традиционных характеристик;
показывается необходимость, достаточность и преимущество функций
распределения.
Предварительно заметим, что в настоящее время минеральное
сырье чаще рассматривается как более сложная система, чем охва-
133

Рнс. V.14. Кривые обогатимости
тываемая кривыми обогати-
мости, а именно: частицы
сырья отличаются не одним
физическим свойством, а
несколькими (что
используется при комбинировании
различных методов
обогащения); частицы сырья
содержат не один ценный
компонент, а несколько (что
учитывается при комплексном
использовании минерального
сырья и разработке
безотходной технологии). Такое
сырье кривые обогатимости
охарактеризовать не могут: даже при учете только двух физических
свойств сырья (например, при комбинировании гравитационного
li = р и магнитного |2 = X методов обогащения) кривые
обогатимости при любой попытке сколь угодно сложного обобщения их не
в состоянии охарактеризовать сырье.
Задачу охарактеризовали применительно к. любому сырью
выполняют функции распределения. Все пять предельных кривых
обогатимости получаются из них но следующим формулам (частицы
| > |р попадают в концентрат).
Зависимость выхода ук концентрата от границы разделения ср
(см. рис. V.14, кривая 5)
_ "max
Yk(sp)= 100 | v(s)<U.
(V.30)
Далее нужна промежуточная функция рк (|Р):
— "max
Yk(!p)P«(Ip)= 100 f y(!)P(£)<U.
отсюда из |3k(sp) находится обратная функция gp (pK). Требуется еще
определение обратной функции |р (ук)_из ук (|р)-
Зависимость выхода концентрата уи от содержания р компонента
в элементарной фракции (см. рис. V.14), кривая /) находится
заменой переменной Ер в выражении (V.30) на обратную функцию
h-
(Р) из функции р (с):
Yh(P) = Yk[UP)J.
Кривая 2 (см. рис. V.14) получается заменой |р = £Р (р1;) в
выражении (V.30):
134

7к(рк) = т4;рфк)].
Для получения кривой 3 (см. рис. V.14) нужно предварительно
учесть
ТХ„(5р)= 100- £„(£,,) н Fx,.(_£P)yxb(9p) +
-tMsp)Yk(sp) = ЮОр.,,,;
причем среднее содержание компонента в исходном сырье
определяется по формуле
« = Рн
PUMsHl-
Отсюда получается кривая 3 с учетом замены 1Р—*-|р(Рхв)
Vxb(Pxb) = YxbUp(Pxb)]-
Наконец, кривая 4 (см. рис. V.14) получается с учетом формулы для
извлечения
ек(|р) = yidh)$idlv)i%Kx-
Далее е,; вводится в ук (сР) посредством обратной функции £р =
= £р (ек):
7к(ек) = Ук[?г(ь"ь-)]-
Таким образом, из двух функций у (|) и р (£) получаются кривые
обогатимости. И наоборот, из кривых обогатимости могут быть
вычислены y U) и р (|), т. е. для рассматриваемого простейшего сырья
кривые обогатимости и две функции у (%) и р (|) несут одинаковую
информацию.
Показатели контрастности /контр и признака разделения П
согласно формулам (V.28) и (V.29) также вычисляются аз у (|) и
Р(ё) (Y-бщ —см. с. 111):
/кпнтр - Р,:гх I IP" Р.к-xl
''mill
— PMC'S
j Yu<-m(t. P)d P
ruin
P(s)--fWx|Y(s)d;-
ds
(V.3 1)
Информации в /к,,птг и (/7) значительно меньше, чем в у (с,) и P(g)
или в кривых обогатимости. Из формулы (V.31) видно, что различные
по обогатимости виды сырья — с различными у($) и р(?)—могут
иметь одинаковые /контр и II; т. е. -ли показатели не отражают
полностью свойств сырья, хотя и могут использоваться для
критериальных опенок.
Перейдем к самому общему случаю, когда частицы сырья или
продукта различаются п физическими свойствами (g , g„) и
содержат т ценных компонентов (Pi, . . . , pm).
135

Одна дифференциальная функция распределения уобщ (^ , . . . ,
|n; Pi , ... , pm) частиц mo всем физическим свойствам и
содержаниям всех компонентов является полной строгой характеристикой
сырья в этом общем случае. Для охарактеризовать обогатительных
свойств необходим и достаточен более простой ряд т + 1 функций
только физических свойств (так как обогатительные аппараты
"различают частицы только по физическим свойствам): у (|, , . . . , £„);
Р; (h. • • • . In); j = 1, 2, . . . , т. Они находятся по формулам
(V.1).
Каждую из функций Pj (£г, . . . , |„) можно заменить на
распределение соответствующего ценного металла по фракциям у, (c,lt ... ,
S") = V (ii . • ■ • . in) Pi (g,, . . . , gn)/pHcx и таким образом
получить однообразный набор распределений твердого v(ii. • • • > sn) и
металлов у, (^ , . . . , g„) по физическим свойствам.
Функции (V.1) являются наиболее простым необходимым и
достаточным средством для количественного охарактеризования
обогатимости сырья в общем случае. Любые другие средства либо
недостаточны (к.ак, например, шоказатели типа /Контр и П), либо
избыточны (как, например, у0бщ), либо неприемлемо сложны (как,
например, возможные обобщения кривых обогатимости на общий случай).
Необходимость и достаточность функций распределения i'V.1)
доказывается возможностью прогнозировать технологические
показатели при любом методе или схеме обогащения но формулам (1.24),
(1.25).
Таким образом, в общем случае комбинированного обогащения и
комплексного использования сырья универсальные функции
распределения вида (V.1) являются наилучшими среди других
конкурирующих вариантов, применяемых для сырья, конечных и
промежуточных продуктов.
Кривые обогатимости (см. рис. V. 14) несут аналогичную
информацию, но они сложнее, годятся только к простейшему случаю и не
обобщаются на другие. Любые другие показатели (например, IKOlVTV к
Л) всегда могут быть вычислены из функций распределения, по не
содержат полной обогатительной информации о сырье или
продуктах.
VI. О РАЦИОНАЛЬНОМ КОМБИНИРОВАННОМ
ОБОГАЩЕНИИ И КОМПЛЕКСНОМ
ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЫРЬЯ
Необходимость отделения друг от друга всех минеральных
компонентов является наиболее актуальной задачей использования
минеральных ресурсов. Вовлечение в переработку труднообогатимых,
ранее не использовавшихся видов сырья, а также более тщательная
переработка, но возможности без хвостов, традиционного сырья
связаны с усложнением технологий вплоть до совместного применения
(комбинирования) различных методов обогащения. Главным
инструментом сепарации становится использование не одного, а одновре-
136

меино нескольких физических свойств частиц (возможно с
промежуточными «рудоподготовительиыми» операциями в ходе обогащения").
Типичным становится получение из сырья нескольких товарных
продуктов.
Так, например, переработка хибинских апатитовых руд
развивалась от флотационной схемы с .получением только одного апатитового
концентрата до схемы с получением пяти концентратов (апатитового,
нефелинового, титаномагпетитового, сфепового, згиринового) без
отвальных хвостов.
VI.1. Об обогатительной крупномасштабной классификации
сырья и схем
Выше подробно рассмотрен самый простой случай: минеральное
сырье содержит один ценный (вредный) компонент, частицы
которого различаются одним физическим свойством, сепарация —- двухпро-
дуктовая. Для оценки процесса обогащения введены характеристики
трех типов: у(^), ?>(1) и кк(с). Общий случай лишь упоминался.
Рассмотрим подробнее более общие случаи, которые могут
различаться следующим образом:
сырье содержит несколько ценных компонентов (или вредных
примесей) |3,, (32, . . - , р,„;
частицы различаются несколькими физическими свойствами |ь
£2> ■ ■ ■ > а"!
сепарация ммогопродуктовая;
внутри схемы обогащения имеется (или нет) донзмельченне или
изменяется реагентный режим.
Примеры таких случаев были даны выше. Так, при обогащении
марганцевой руды на Чиатурской ГЮФ «Даркаети» частицы
содержат один ценный компонент — марганец, по различаются двумя
физическими свойствами: крупностью |i=/ и плотностью §2 = р;
сепарация всей схемы — шестипродуктовая: три сорта марганцевых
концентратов, промпродукт, хвосты и шламы; внутри схемы имеется
донзмельченне промпродукта крупностью —20 + 8 мм до 5 мм (см.
рис. 1.4).
Другой пример — обогащение полиметаллической руды на Ал-ма-
лыкской обогатительной фабрике (см. рис. 1.6). Здесь сырье
содержит три ценных компонента: свинец, нипк, пирит. Частицы сырья
различаются одним физическ.им свойством — флотируемостыо £ = k,
которая изменяется в коллективном, свинцовом, цинковом и пирит-
пом циклах с помощью применения флотационных реагентов
различных типов (па основе методов Шеридана — Гризвольда и Конева —
Дебривной). Число продуктов сепарации равно четырем: свинцовый,
цинковый, пиритиый концентраты и хвосты. Внутри схемы имеются
две операции доизмельчения: в коллективном цикле--с 35—45%
класса —0,074 мм до 75-••82% класса — 0,074 мм и в свинцовом
цикле— до 83—85% класса — 0,074 мм; так-же имеется изменение реа-
гентных режимов.
Таких примеров можно привести сотни, поэтому важной является
задача классификации схем и сырья с возможностью разбиения (де-
137

композиции) сложных схем на типовые элементы и раздельного
независимого анализа сырья и схем.
Как первый шаг в этом направлении рассмотрим следующие
понятия.
Комплексное использование сырья предполагает
получение товарных концентратов, содержащих все или почти все
ценные компоненты сырья, т. е. комплексность в первую очередь
вовлекает два обстоятельства: несколько цепных компонентов в сырье и
многопродук.товость сепарации. Например, обогащение
полиметаллической руды (см. рис. 1.6).
Комбинированная схема обогащения
(комбинирование методов обогащения) предполагает использование различий
минеральных частиц по нескольким физическим свойствам для
разделения их различными методами — гравитационными, магнитными,
флотационными и др. Например, обогащение по крупности и
плотности марганцевой руды (см. рис. 1.4). Комбинирование методов
обогащения с гидрометаллургическими и др. здесь пе
рассматривается.
Безотходная технология предполагает товарность всех
продуктов сепарации, включая хвосты (термин «отвальные хвосты»
в этом случае теряет смысл), при этом достигается максимум
комплексного использования. Например, получение из хибинских апатито-
Технология обогащения
Тип сырья
_1_
/. Однокомпонент -
нов сырье с одним
физическим свой -
стпвом Г(1*),рС$)
Т
Ж. Мнагокомпонент
пае сырье с одним
физическим свои -
стпвом
Ш. Однокомпонент-
мое сырье с
несколькими физически
ми. свойствами
_L
Ж
Многокомпонентное сырье с несколь
ними физически. -
ми свойствами
■-•>?n}t---i/3m(?/»"
I
Без ЗоизмельчР.ния,
дез изменения ре-
агентногорежи -
ма; функции tfи
уз не изменяются
\ С доизме.чьчением,
i с изменением ре -
I агентного режима
| функции з" и/3
изменяются
~Г
Тип схемы
'ЗА
! 1.0дин метод оВога-
I щения; дбухпро -
I дукгпооая сепара-
Ыия£к(5),£кв($)
1
_1_
j Ж. Один метод обога-
I щения -многопро-
I дцктовая сепапа-
\ция S,(S),...,£m(S)
"Г
Ш. п методов
обогащения ; двухпро-
диктовая сепара. -
ция £„(%,,...,%„),
"Г
ТУ. п методов обога
щения;
многопродуктовая сепара-
ция£,($,,...,Цп),..
I
138
Рис. VI. 1. Вариант классификации обогатительных технологий

вых руд апатитового, нефелинового, тптапомагнетитового, сфеиового,
эгириногюго концентратов (товарных продуктов) без хвостов.
Бессточная (и бес пыль на я) технология предполагает
полный (или частичный) водооборот и пылеулавливание без сброса
загрязненных пульп, растворов, запыленного воздуха, газов и т. п.
в окружающую среду. Например, отделение пульп после флотации и
очистка воды (в частности, химическая) с последующим возвратом
воды в начало процесса на апатито-пефелиповой фабрике АПОФ-П
ПО «Апатит».
Эти понятия важны, но для целей классификации расплывчаты;
для получения точной универсальной и компактной классификации
надо базировать ее па понятиях характеристик сырья у (g), |3 (g) и
схем е,; (!). Тогда упомянутые четыре различия общих случаев
превращаются в количественные признаки классификации (рис. VI.1).
В целом обогатительная технология характеризуется типом сырья
и типом схемы обогащения. Так как схема приспосабливается к
сырью, то первоначальная классификация и сырья и схем па рис.
VI. 1 соответствуют друг другу: так, сырье I и II типов
перерабатывается схемами / и // типов; сырье /// и IV типов перерабатывается
схемами /// и IV типов. При детализации необходимость в этом
отпадает. Эта классификация конкретизируется количественными
характеристиками сырья п схем с использованием у (с), fHg), fc'(£)-
VI.2. Характеристики разных типов сложного сырья
С точки зрения количественного охарактеризовать обогатимости
сырья введем четыре основных типа.
Простейшее сырье (I тип)—это наиболее простой случай, когда
частицы сырья (после рудоподготовки) значительно различаются
только одним физическим свойством g (т. е. /, р, %, k, К, q, ц>) и
содержат один какой-либо ценный компонент. Здесь требуются две
одномерные функции у (g) и Р(?)> необходимость и достаточность
которых показана в предыдущем разделе. Примеры у (g) и |3 (£) для
I типа сырья были даны на рис. 1.7, 1.9, V.2, б, V.10 и V. 11.
Внутри этого I типа сырья существуют подтипы, которые можно
связать с качественными терминами: легкообогатнмое, среднеобога-
тимое, труднообогатимое сырье. Строгая количественная опенка
обогатимости возможна с использованием характеристик у (!) и Р(£).
Легкообогатнмое сырье должно иметь, во-первых, большой
диапазон изменения физического свойства частиц fgmin, Emax]; в
противном случае сепаратор «разрезает» этот диапазон в точке границы
разделения gP на зоны концентрата I > gp и хвостов I < gp с
большой относительной погрешностью (когда диапазон [gmin, gmax]
стремится к нулю, сепаратору вообще нечего «разрезать», и метод
обогащения, использующий соответствующее физическое свойство g,
непригоден). Во-вторых, функция f> (|) должна приближаться к
ступенчатому закону (рис. VI.2, линия /); при ступенчатой |3 (g) может
быть достигнуто идеальное обогащение, если идеальный сепаратор
«разрезает» диапазон в точке £„ скачка функции |3 (I) (тогда весь
ценный компонент будет только в концентрате).
139

/1
имеет
maxj И фуН-
Лг,гО
(К)
Рис. VI.2. Идеально обогатимос
(/), необогатимое (2) и средне-
обогатнмое (.?) сырье
Труднообогатимое сырье
малый диапазон [;т1п, 5тах]
кцию P(g), близкую к горизонтальной
(рис. VI.2, линия 2); при
горизонтальной функции p(j) даже идеальная
сепарация не даст никакого
обогащения.
Между этими крайними
положениями функции р(£)—скачок и
горизонталь - — существует множество
промежуточных, соответствующих средне-
обогатимому сырью (рис VI.2, кривая
3). Таким образом, вид функции р(£)
и в меньшей мере — функции y(s)
Smaxl, на котором у (?) не равна пулю,
посредством диапазона [£„
определяютобогатимость сырья.
Критерий обогатимости /„бог — это число, зависящее от функций
р (s) и у(£), которое возрастает по мере приближения сырья
к идеально обогатимому:
/обог = /;[Р(с). У(1)\-
(V:
Могут быть выбраны различные критерии, что определяется
конкретным видом функционала F в формуле (VI.1). Безразмерный
критерий «контрастности» /коптр является одним из примеров критерия
обогатимости [15]:
/,«:
_ . '■mas
ПТ]1
рИО
lP(s)-p..cx|Y(s)de-
(VI.2)
Он показывает средневзвешенное отклонение содержания
компонента в частицах от среднего содержания его в материале fWx- Этот
критерий растет от нуля и выше при переходе фупкцик р (|) от
горизонтального положения к ступенчатому. Другой пример
критерия— среднее к.вадратическое отклонение, когда разность р(|) —Рисх
берется не модулем, а возводится в квадрат.
Таким образом, I тип сырья может быть разделен на подтипы
различной обогатимости (например, контрастности) в зависимости от
конкретного вида функций р (|) и у (?.), как на рис. VI.2 или в
формуле (VI. 1).
Многокомпонентное сырье с одним учитываемым физическим
свойством частиц (II тип) —частицы различаются по-прежнему
одним физическим свойством |, но содержат m ценных компонентов.
Здесь требуется одна одномерная функция у (с) и несколько
одномерных функций Pi(£), p2(s), • ■ • у pm(s)—-по одной для каждого
из цепных компонентов (рис. VI.3). Например, на рис. V.2, а
физическим свойством является плотность с, =\р, сырье содержит два
ценных компонента — медь и никель, paQrfjyeu&neHHbie по фракциям
.ПЛОТНОСТИ ОТ pmm = 2,5 Т/М3 ДО ртах = 4&JV.T/M3 В СООТВетСТВИИ
с функциями Реи (р) и Pni(p). Пик функции •&;„ (р) соответствует
плотности минерала, несущего наибольшую часть вдеди. .»
140

г-л\
rnin ^гпах
Рис. VI.3. Многокомпонентное сырье с Рис. VI.4. Однокомпонентное сырье с
одним физическим свойством двумя физическими свойствами
Подтипы обогатимости -сырья II типа могут быть оценены по
каждому компоненту в отдельности с помощью рис. VI.2 и формул
(VI.1) и (VI.2). Так, например, контрастность для сырья (см. рис.
V.2, а) по меди и никелю оценивается двумя различными числами
/си и /nj.
Однокомпонентное сырье с несколькими учитываемыми
физическими свойствами частиц (III тип) —частицы различаются
несколькими физическими свойствами g,, g2, . . . , \п (например, |] = /,
g2 = р, . . . , \п = %) и содержат один ценный компонент. Здесь
требуется обобщение понятия одномерной функции распределения
у (I) до многомерной у (с,ъ %2, . . . , £„) ■
Обобщением одномерного диапазона [smin, smax] является
многомерная полная область D изменения физических свойств частиц —
двухмерная при п = 2, трехмерная при п = 3 и т. д.
На рис. VI. 4 для наглядности взят случай п = 2; так, например,
частицы железной руды могут различаться магнитной
восприимчивостью £1=х и плотностью |2 = р. Произвольная двухмерная
конечная фракция образуется частицами, физические свойства которых
лежат в заштрихованном .прямоугольнике [с,и, cu+ A|i;] и [£2j-, £2;--|-
+ A g3/J. Размер конечной фракции равен А|1;Д|2у-
Выход (доля) конечной фракции есть отношение ее массы к
массе всех фракций
Ун = 7(ci«. t*j)bti t Л б*у ^ />«/2 2 Ри-
Область D может быть разбита произвольным образом на любое
число фракций.
Элементарная двухмерная фракция получается как предел
конечной фракции при Д£н—^dgi—>-0 и A g2i —>-d£.>—*-0; выход
элементарной фракции равен у (g^ |2) d£id£2.
Двухмерная дифференциальная функция распределения у (gt, £2)
частиц минерального материала но физическим свойствам |j и £2
представляет собой предел отношения выхода фракции (в
окрестности точки It, £2 области D) к ее размеру d£idb2 при d |t—>-0 и
141

d £2—>-0. Или наоборот: у (gu %,)—такая функция, для которой
произведение у (si> D d 51с'1г есть выход элементарной фракции
в окрестности точки £,, с.2.
Графически распределение у (£i> 5г) представляет собой
«колпак», поставленный на область Z) (см. рис. VI.4). Объем под
графиком у (I,, t,.,) над заштрихованной конечной функцией равен выходу
последней (см. пример па рис. V.J3).
Размерность распределения у (£,, £.,) обратна размерности
размера фракции
Условие нормировки соответствует суммированию выходов всех
фракций внутри полной области D
S SyCiv . s2)dEid|2-l. (V1.3)
D
Геометрически это значит, что полный объем под графиком у(Ъ,,
£2) равен единице.
Выход (доля) продукта, заключенного в произвольной подобласти
Di определяется по формуле
Vfl- = J' J" Ylei. s,)<Js,<!c2< 1.
' п.
Здесь суммируются доли элементарных фракций внутри подобласти
Di, являющейся частью области D. Подобласть D, может быть
предназначена либо для частиц концентрата, либо для частиц хвостов,
либо для частиц промпродуктов.
Функция у (ci, |2) может быть еще названа распределением
частиц по двухмерным фракциям.
Зависимость содержания цепного компонента (3 (gi, g2) от
физических свойств частиц %и £2 (или местоположения двухмерной
фракции) является второй и последней характеристикой сырья для
рассматриваемого случая п = 2. Пример ее показан па рис. VI.4.
Среднее содержание компонента в сырье определяется по
формуле
Р = / /|3( = „ 5*_Ж?1. So)di,dg2,
D
представляющей собой обобщение аналогичной формулы для
одномерного случая и частный случай формулы (1.26).
Среднее содержание компонента в продукте, заключенном в
произвольной подобласти Dt, равно
Рд. =Тя- / J"P(c„ s,»7(Sp S-Od^ds.,. (VI.4)
1 l i).
От наглядного случая п = 2 перейдем к общему случаю
произвольного числа п. Область D теперь «-мерная. Размер произвольной
конечной фракции равен A£t, А &>. . . . , Д|п.
Функция у (li. ?2. . . • , Н„) есть п-мерное распределение и
раина пределу отношения выхода фракции в окрестности точки с физи-
142

ческими свойствами |t, s2, . . . , |„ к. уменьшающемуся размеру
фракции d|„ d£,, . . . , d£„. Функция р (|„ go, ... , £„)
показывает зависимость содержания компонента в частицах от их
физических свойств. В формулах (VI.3) — (VI.4) для условия нормировки,
выхода продукта па подобласти £>,, среднего содержания в сырье,
среднего содержания в продукте па подобласти Dt двухкратное
интегрирование заменяется на «-кратное, но идея этих формул
остается без изменения.
К сожалению, наглядного графического изображения этот общий
случай не допускает.
Подтипы обогатимости также могут оцениваться критериями
1 — I' [У (5i> &>. • • • , In); P (li, la. • • • , In)], к.ак в формуле
(VI. 1). В частности, критерий контрастности может быть обобщен
до
/кинтр = Рисх J J|P(si, •••> Sri)—Piicx|Viicx(?i> •••> |n)rf|i ••■ dc„.
Этот критерий также нарастает от пуля и выше при изменении
функции р (£], . . . , In) от горизонтального (необогатимого) состояния
до ступенчатого (идеально обогатимого).
Многокомпонентное сырье с несколькими учитываемыми
физическими свойствами частиц (IV тип)—частицы различаются п
физическими свойствами и содержат m ценных компонентов (см. рис.
VI.1). Здесь вводятся следующие характеристики: одно «-мерное
распределение у Ц1> . . . , £„) и несколько «-мерных функций
содержания р^с,, . . . , §п), . . . , p,„(g,, . . . , In). Именно для
этого типа сырья термины «комплексное использование»,
«комбинированное обогащение», «безотходная технология* имеют наибольший
смысл.
При п = 2 графическая иллюстрация IV типа сырья аналогична
рис. VI.4, по вместо одного графика P(si, |г) появляется m
графиков — но одному для каждого ценного компонента.
Термин ««-мерное и m-компонентное» сырье наиболее кратко и
точно отражает этот, самый общий, IV тип сырья.
Заметим в заключение, что отнесение сырья к тому или иному
типу является сложным технико-экономическим вопросом. По мере
прогресса техники н увеличения спроса на минеральные продукты
простые «одномерные и однокомтюнентные» типы сырья
превращаются в сложные ««-мерные и т-компопентные».
Так, хибинская руда при переработке только на апатитовый
концентрат рассматривается как однокомпонентиан (Р2О5) с одним
физическим свойством (флотируемость /г), по при переработке на пять
концентратов она рассматривается как пятикомнопептная (Рг05,
АЬОз, тнтаномагпетит, эгирин, сфен) с несколькими физическими
свойствами (флотируемость k, магнитная восприимчивость %,
крупность /).
Охарактеризование обогатимости сырья у- и р-функциями —
наиболее точный и окончательный классификационный технический
«паспорт» сырья. В этом техническом смысле перечисление
минералов и пород, слагающих сырье, зачастую носит сугубо качественный
характер.
143

VI.3. Улучшение обогатительных характеристик сырья
с помощью рудоподготовки, доизмельчения, реагентной обработки
Изменение характеристик Y(5i> • • • - in), P.i (li, . . . , In)
сырья происходит прежде всего вследствие дробления и измельчения.
Рудоподготовка, кратко говоря, должна по возможности приблизить
характеристики сырья к идеально обогатимым. При этом
распределение у (с,) или y (|i > • • • , Sn) растягивается, увеличивая диапазон
Lsmln, Smaxl (СМ. рИС. VI.2) ИЛИ ОблЭСТЬ D (СМ. рИС. VI.4); фуНКЦНИ
(3(g) или P(si» • • • , gn) должны по возможности больше
отклоняться от среднего содержания в исходном рПСх по каждому
компоненту, т. е. критерии обогатимости, например контрастность, должны
расти.
Эти рудоподготовительные деформации функций у и (3
достигаются рядом методов: дроблением н измельчением, обработкой
поверхности частиц реагентами при флотации с целью влияния па
избирательность прилипания к пузырькам, обработкой реагентами перед
электросепарацией для изменения избирательности электрической
зарядки частиц, магнетизирующим обжигом для увеличения
магнитной восприимчивости частиц и др.
Для примера на рис. VI.5 качественно показана деформация
характеристик у(%) и рге(х) топковкраплспной железной руды при
измельчении. Основная масса руды представлена железистыми
кварцитами (джеспелитом) с очень тонким взаимным прорастанием
магнетита и кварца. Поэтому до измельчения все частицы руды имеют
почти одинаковую магнитную восприимчивость, заключенную внутри
узкого диапазона [xmin, Хтах]; содержание железа во всех частицах
тоже почти одинаково и равно среднему содержанию в исходном
(см. рис. VI.5, а). После измельчения кварц Si02 и магнетит Fe304
освобождаются друг от друга и диапазон [xmin, Xmax] растягивается:
от xmin = xsio2 = —0,2 • 10"6 см3/г до x.max = XFe,o4 = 0,35—0,5 см3/г;
функция р>е (х) растягивается от pmin = Psio8 —0% Fe до pmax =
= Pfc3o4 = 72% Fe (см. рис. VI. 5, 6).
Измельчению подвергается как исходная руда, так и, возможно,
проМ'Продукты внутри схемы обогащения. Так, в примере схемы маг-
Рис. VI.5. Влияние измельчения на фракционный состав
144

Рис. VI.6. Влияние реагентной обработки на фракционный состав
нитного обогащения на рис. 1.5 после первого рудо-подготовительного
измельчения (до 52% класса —0,074 мм) отделяются в хвосты
немагнитные частицы 3C<3CpiJ нромпродукт %>%ш доизмельчается
(до 82 % класса — 0,074 мм), при этом характеристики у {%) и
JiFe ("/) повторно деформируются в сторону улучшения обогатимости
(контрастности), затем снова отделяются немагнитные частицы
в хвосгы. Наконец, оставшийся промлродукт еще раз доизмельчается
(ло 9Ь % класса - 0,074 мм) и окончательно разделяется на
концентрат л хвосты.
Рассмотрим изменение флотационных характеристик сырья при
реагентной обработке. При флотации больше возможности в смысле
же,;. .Mini деформации функций y(k) и fi(/c) помимо измельчения
имеет реагентная обработка. Для примера на рис. VI.6 качественно
показаны характеристики продуктов питания различных циклов
флотации Ллмалыкской фабрики (см. рис. 1.6). В коллективном цикле
питание (см. рис. VI.6, а), обработано собирателем сульфидных
минералов (бутиловым ксантогенатом), поэтому ценные минералы
галенит PbS, сфалерит ZnS и пирит FeS2 имеют высокую
флотируемое!;, /.': соответствующие зависимости ргъ (/с), ?>■/.,-(к) и рро^-2 (к)
соответственно растут с ростом k. Другими словами, питание этого
цикла хорошо обогатимо по трем компонентам (пик распределения
у (k) при k = 0 соответствует наличию в питании нефлотируемой
породы). Сепарирующая флотационная схема этого цикла (две
перечистки Л = 2 и одна контрольная флотация К = 1) отделяет в
коллективный концентрат богатые частицы (k>kpi), а в хвосты — бедные
нефлотнруемые частицы (к < kvl; kpl = const).
После новой реагентной обработки полученного коллективного
концентрата минералы ZnS и FeS2 депресскруются и только функция
ppii (к) существенно растет с ростом к (см. рис. VI.6, б); такой мате-
I)
I S5

риал становится питанием свинцового цикла, в котором отделяется
свинцовый концентрат с частицами k > &р2; fep2= const.
Хвосты этого цикла подвергаются новой реагентной обработке
для активации сфалерита и завксимость Pzn (k) деформируется,
чтобы материал мог служить питанием цинкового цикла (см рис.
VI.6, в).
В хвостах этого цикла активируется пирит и характеристики
материала (см. рис. VI.6, г) становятся пригодными для сепарации
в пиритном цикле. Здесь не флотируются остатки породных
минералов, в частности, вскрытые при доизмельчеиии.
Реагеитную обработку не относят к рудоподготовке, по их цели
одинаковы: увеличить обогатимость (в частности, контрастность)
сырья перед сепарацией и деформировать характеристики питания
сепараторов (у- и [3-функции) в сторону идеальной обогатимости.
Положительные результаты дает обработка частиц реагентами
перед их электросепарацией; в этом случае деформируются функции
\(q) и р(<7) или \(~/.) и (3(л). Магнетизирующий обжиг
деформирует v(x). Р (%)■
Всякий способ деформировать характеристики сырья в сторону
идеально обогатимого не менее важен, чем сама сепарация, так как
даже идеальная сепарация для необогаткмой руды дает плохие
результаты.
Важно различать обогатимость конкретную и обогатимость
потенциальную: первая соответствует конкретной выбранной
рудоподготовке и методу (методам) обогащения, вторая — возможным их
вариантам. Поэтому, говоря о сырье какого-либо месторождения,
невозможно оцепить его обогатимость, абстрагируясь от методов рудоподго-
товки и выбранных методов последующего обогащения.
VI.4. Сепарационные характеристики сложных типов аппаратов
и ехем
Перейдем к различным тг.пам схем (см. рис. VI.1). Схема (или
сепаратор) I типа (двухпродуктовая по одному физическому
свойству) с использованием одного метода обогащения, рассмотренная
выше (см. рис. 1.2, а, в), имеет одну независимую сепарационнуго
характеристику ек (!) или ехв (!) = 1 — ек (£). Этот случай подробно
рассмотрен выше.
Схема (или сепаратор) II типа (миогопродуктовая сепарацая по
одному физическому свойству) также использует один метод
обогащения, но сырье разделяется на (т) продуктов (рис. VI.7, а).
Диапазон изменения физического свойства [gmm, imax] разрезается ^не
в одной границе разделения |р = const, а в нескольких |р1, spa.
ёр3 , . . . и получаются соответственно продукты: первый — lmm <
<£<gPi; второй — |р1< £< |р2; третий —gp2<g<gp3 и т. д.
В этом случае схема или сепаратор оценивается m сепарационными
характеристикам? —по одной для каждого 1-го продукта:
гЛ1)= QiY,-(|)dE/[QII(.xY..cx(|)dlJ.
14 О

я Исходный, продукт
<5<?р, <s<?Pz
Рис. VI.7. Многонродуктовая сепарация
Идеальная характеристика по i'-му продукту имеет вид
прямоугольника единичной высоты между соседними границами |р,-= const и
lPi.^ri = const (рис. VI.7, б):
еидг(1) = ' (ё —' Spi)— I (s SpH-i)-
Идеальная характеристика по г'-му продукту имеет вид прямоуголь-
«осевший» прямоугольник. Степень несовершенства аппарата или
схемы тем больше, чем сильнее отклоняются отдельные е; (£) от
идеального прямоугольника.
Пример аппаратов этого типа — трехпродуктовые отсадочные
машины н приведенной выше схеме НОФ «Дарквети» (см. рис. 1.4).
Схемы и аппараты I и II типа перерабатывают сырье I и II типа.
Схема или сепаратор III типа (двухпродуктовая сепарация по
нескольким физическим свойствам) комбинирует п методов обогаще-
а
о
%-г*
*>rfl
J
Исходный
продукт
Рис. VI.8. Многопродуктовая
сепарация по двум физическим
свойствам
Гравитационное
обогащение
Магнитное
обогащение
^2
V^„.
Li
Концентрат Хвосты
6* 147

кия и осуществляет двухпродуктовую сепарацию. На рис. VI.8
поясняется случай комбинирования двух методов обогащения (я = 2):
область D изменения физических свойств |х = р и |-> = х (плотность
и магнитная восприимчивость) разрезается схемой обогащения на
подобласть концентрата DK и подобласть хвостов Dxn ломаном
границей разделения срр (см. рис. VI.8, а). Такое двухмерное
«разрезание» D по линии фр можно реализовать, комбинируя два
соответствующих метода обогащения. На рис. VI.8, б сепаратор (или,
например, цикл гравитационного обогащения) «разрезает» D по
вертикальной линии cx=gpl= const, отделяя тяжелые частицы |i < £,„ в
концентрат. Из промпродукта £,<Cij>z вторым сепаратором (или
циклом магнитного обогащения) отделяются хвосты £2 > ip2;
разделение идет по горизонтали s2 = cP2- В этом примере двухмерная
сепарация III типа по граничной линии срр реализована двумя
одномерными циклами (схемами I типа).
Такое же разделение по линии соР можно осуществить сначала по
горизонтали S2 = ?P2 (магнитным циклом), затем по вертикали
ci = |pi (гравитационным циклом). Каждый из циклов и в том и
другом случае может быть представлен либо одной операцией, либо
схемой.
Для III типа схем нужна n-мерная сепарациопная
характеристика, определяемая отношением масс элементарной фракции в
концентрате н питании (si;-f-|xB= 1):
e,t(ii. •■•> Sn) = QkYk(Si, ■-., Sn)dt1? ..., dlnl[QncK.yncx(li-
, ..., £n)d?l» •■•' d In-
Положение граничной линии <рр определяется уравнением
Ек(|,, -.., Ъп)= 0,5.
Идеальная сепарациопная характеристика имеет уравнение
о fjs » z \- I l для °"
I 0 для DXB.
Подобласти DK и DXB разделены граничной линией фр.
IV тип схем (многопродуктовая сепарация по нескольким
физическим свойствам), комбинирующий п методов и выделяющий m
продуктов, разрезает область Она m подобластей D, (рис. VI.9).
Здесь для оценки схемы или сепаратора требуется несколько се-
нарационных. характеристик —по числу выделяемых продуктов:
Bi{li, ..., In) =-■ Qiyiili, ■■-, S«)/Qi;cx Yiicx(?1, •••, 5л).
где i= 1; 2; . . . ; m;
«i + e2-f • •■ + fm = 1.
Уравнения границ разделения фр* между подобластями
определяются из условия
Фр; = <?i(li> •••- U)- 0,.'") --• 0.
где /' — 1; 2; т.
148

Л,л —-■" Рис. VI.9. Важная процедура апа.шза: от заданной с.хо-
0 f y мы обогащения к реализуемой границе (границам)
разделения
Идеальная сепарационная характеристика по i-му продукту имеет
вид
П для Di\
eHAi(ii, ..., In) = 0,5 для фр,-, фрг+ь
(о пне D{.
Для конкретного примера на рис. VI.9, б качественно показано
положение границ разделения между основными продуктами схемы
обогащения марганцевой руды на ЫОФ «Дарквети» (ср. с рис. 1.4).
Здесь после рудоподготовки (дробления до —20 мм) сырье
характеризуется областью D, растянутой по двум физическим свойствам:
крупности £х = I и плотности |2 = р. Содержание марганца в
частицах Рмп {I, р) растет с увеличением плотности и уменьшением
крупности: наиболее богатые фракции находятся в зонах окисных
концентратов I и II сортов, т. е. функция рмп {I, р) достигает максимума
з нижней левой части области D и минимума — верхней правой
части. Соответственно спроектирована схема обогащении; область D
разрезается на три класса крупности (не считал шламов), а затем
каждый класс разрезается тю своей плотности разделения рр,
(например, мелкий класс — 3 мм «режется» на 4 продукта).
Фракции заштрихованной части области D — тяжелые частицы
крупного класса — 20+8 мм — подаются на доизмельчепие, чтобы
(вскрыв сростки) получить обогатимые характеристики этого нром-
продук.та. В результате из этой заштрихованной подобласти
получается новая область £>ДОизм (см. рис. VI.9, в), которая затем
разрезается по шлотности для получения карбонатного концентрата.
Для полноты анализа сепарациониых особенностей схемы НОФ
149

«Дарквети» необходимо представить функции улсх (/, р) и рМп (/, р)
над областями D и £>Д0Изм и сепарациоппые характеристики для всех
8 продуктов.
Последний пример (см. рис. VI.9, в) иллюстрирует еще и роль до-
измельчепия: это деформация функций у(1\, . . . , |„) и $(llt . . . ,
|п) для труднообогатимых промпродуктов. Деформация этих
функций у (k) и р (k) с помощью реагентной обработки три флотации
была рассмотрена ранее (см. рис. VI.6).
Ташм образом, классифицируя и анализируя схемы обогащения,
нужно учитывать и эти важные «деформирующие»
классификационные'Признаки—доизмельчение и реагентную обработку.
Заметим, что при прохождении минерального сырья через
сепаратор (или схему без донзмельчения) «деформации» функций
у (|ь . . . , с„) и р (gi, . . . , с,,,) для всех продуктов теоретически
предсказуемы; при наличии донзмельчения реагентной обтяб'-т
ки они теоретически труднопредсказуемы или вообще
непредсказуемы. Поэтому после каждого донзмельчения или новой реагентной
обработки требуется экспериментальное определение функций
у (I, , . . . , In) и р Цг, . . . , £„), т. е. требуется анализ
фракционного состава таких доизмельченных продуктов.
VI.5. Прогноз выходов, содержаний и фракционного состава
продуктов при комбинированном обогащении
и комплексном использовании сырья
В общем случае при комбинировании n-методов обогащения
е,- (si> ■ • ■ . Sn) и наличии mKoyi ценных компонентов в сырье выход
каждого 1-го концентрата (продукта) вычисляется по формуле
yt = /.../ e,-(si, ..., ln)ync*(lv ■-., ?n)dc!, ..., dgn~
D
- I... 1 &{ 7„cx Д ?!,..., A sn, (VI.5)
D
где i = 1,2,..., mnp; mnp — число получаемых продуктов; оно
в общем случае не равно числу ценных компонентов тком.
Содержание /-го ценного компонента в i-м продукте вычисляется
по формуле
р0- = у-1{ ! ...S Mil. ■ ■ ■. ln)ei(llt ..., In) X
л
XYBcxdi, .... g7.)dg1, ..., dg„, (VI.6)
где i = 1, 2, . . . , mnp; /=1,2 mK0K.
Всего таких содержаний p;-j будет тпрткои. Например, во
флотационной схеме обогащения полиметаллической руды (см. рис. 1.6)
получается четыре продукта тпр = 4 и учитываются три ценных
компонента т„ом = 3, поэтому общее число вычисляемых
содержаний равно 12.
Иногда достаточно вычислить содержания компонентов только
в одноименных концентратах, что значительно уменьшает объем
расчетов по формуле (VI.6).
150

В частном случае идеальных сепарационных характеристик
е, (si, ... , in) = Еид1- (Si In) формулы (VI.5) и (VI.6)
упрощаются:
у{= S ... S Vhcx(Ii- •.... Sn)dg1, ..., d gn;
Ро- = vr1;...; Mil, ■ ■ ■, Snivitcxdi...., g«)dg1,..., d|n,
где t= 1, 2, . . . , mnp; /= 1, 2, . . . , тком. Здесь суммирование
ведется только по t-м подобластям D,.
При последующем вычислении извлечений любого /-го ценного
компонента в i-й продукт
e'j = Y« P.ii/Pitcx jj
"P»«j= J.^JPH^, ...-, |„) Y„rx(?i. •••• 5.,)dlb ■-., d|„ (VI.7)'
где i=l,2,..., mnp; /=1,2,..., mK0M.
Фракционный состав продуктов может быть вычислен по
следующим формулам. Для 1-го концентрата распределение частиц
(твердого) по фракциям имеет вид
Yi(£l. I-2> ■■■. ln)=li(li, .-., Cn)Vncx (li, ...,ln)hi-
Неизменность функции p (gi, . . . , gn) для схем, циклов и частей
схем, не содержащих доизмельчения или изменений реагептной
обработки, остается в силе, т. е. для любого продукта
p£(li, .... £n)=p..«(Ei, .... 5n)= P(si. •■■. en)- (VI.8)
После каждого доизмельчения или новой обработки флотореаген-
тами функции р (Ei, . . . , gn) и y (Si . • • ■ , En) изменяются, как
правило, теоретически непредсказуемым образом.
Частный случай комбинирования двух методов обогащения при
двухпродуктовой сепарации. Выход концентрата определяется по
формуле
Yk= Jo/ек(?1, S2)Vmcx(Si, S2)dsidS2«2D2 ек(£ь |2)yhcx(Ii, la) X
X AstAU (VI.9)
а содержание /-го компонента в концентрате ■—
Pj = Vk' \d S PjUk |2)eK(Si, £a)Vncx(Ss, Sa)<Ui<Ua«
-Yk'2 2Pj(£i, Е2)ек(£„ S2)Yhcx(si. t2)Mi±t2- (VI.10)
о
Пример для обогащения угля. Исходные данные по сырью \'лсх X (р, /).
рзолы ((>, ') и по схеме обогащения ек ((), I) приведены в табл. VI. 1. Для
приближенных расчетов интегрирование заменяется двойным суммированием: по осям / и
р. Область D в табл. VI. 1 разбита на 24 конечные фракции А \, А р,- (четыре
класса крупности и тесть фракции плотности). Каждая конечная фракция Л/,-Ар,
охарактеризована парой чисел: выход фракции 100-у (р,-, /,-) А о,- Л /,-, %—первое число
и каждом квадрате табл. VI.1, содержание золы Р (pi, h), %—третье число.
Второе число — функция V (р,, /j) —получается из первого делением на размер фрак-
151

Т а б л и ц а VI.1
Пример характеристик сырья и схемы при комбинированном обогащении
Плотность фракций р,
т/м*
1,3—1,4
i = 1
1,4—1,5
i -2
1,5—1,6
i = 3
Крупность классов (, мм
--13Ц-6
.7—1
5,35
0,0064
3,6
1
1,86
0,00268
12,6
1
0,64
0,00915
25,2
0,9
- 25+13
}—2
6,84
0,057
3,7
1
0,74
0,00616
13,4
1
—50+25
j = 3
16,83
0,0067
3,8
1
3,57
0,00143
13,8
1 1
1
0,34
0,00283
26,7
0,9
0,99
0,000395
25,8
0,9
— 100 + 50
j = 4
33,8
0,0675
5,8
1
2,55
0,0051
17,2
1
1,50
0,0303
2-1,8
0,9
1,6 -1,8
i - 4
1,8- 2
i =■ 5
2-2,2
; - 6
0,39
0,00279
43,4
0,1
0,6
0,00428
59,4
0
1,16
0,0083
84,5
0
0,22
0,000917
42,2
0,1
0,33
0,00137
52,7
0
1,53
0,00637
85,3
0
0,72
0,00144
37,1
0,1
0,57
0,00114
56,6
0
7,32
0,0146
82,2
0
1,15
0,001
25,6
w
0,35
0,00035
61,4
0,1
10,65
0,0107
84,6
0
дни 100 Л pi Л /j. Четвертое число — сепарационная характеристика, которая в
рассматриваемом примере взята неидеалыюй.
Разделительная линия срр показана двойной линией. Эта разделительная линия
в данном примере выбрана по «бортовому» содержанию золы в частицах: частицы
с содержанием золы более 25% (fS > ВГ) — 25%) отправляются преимущественно
в хвосты, остальные в концентрат. Для этого выше q",, имеем с,, (о,-, /,■) ► I,
а ниже — ек (Pt, U) ~^ 0.
Для вычисления у„- по формуле (VI.9) нужно суммировать произведения
первых и четвертых чисел в клетках табл. VI.I:
ук =(5,35-1 + 6,84-1 + ...+ 10,65-0) = 75,8%;
7™ = 24,2%.
152

Для вычисления (Зк по формуле (VI. 10) нужно суммировать произведения
первого, третьего и четвертого чисел в каждой клетке н сумму разделить па ун:
Рк = (5,35 • 3,6 • 1 + 6,84 . 3,7 • 1 + ... +
+ ... + 10,65 -84,6-0) /75,8 = 7,16% золы.
Для вычисления (i„,.4 по формуле (VI.7) нужно суммировать произведения
первых и третьих чисел всех клеток: _|3„Сх= (5,35-3,6 +6,84-3,7-К.. + 10,65-84,6)/
/100 = 24,4% золы. Из соотношения (3ib Y" + (Зк y* = (3Ис1 найдем (Зхв = 78,4',с
золы.
Извлечение золы в концентрат найдем по формуле (VI.7)
ёк-= 75,8-7,16/24,4-= 22,25%; ьтхв --■= 100 —ёк = 77,75 % .
При сепарации смесей чистых минералов специфика вносится
характеристиками сырья, так как одномерное распределение у (g) и
многомерное распределение у (£ь . . . , gn) становятся дискретными
и может потребоваться применение импульсных 6-функцнй. В
формулах (VI.5) к (VI.6) для расчета выходов yt и содержаний p^j-
интегрирование заменяется суммированием.
Для смеси yV чистых минералов, отличающихся только одним
физическим свойством s и содержащих только один полезный
компонент р, свойство | изменяется дискретно: | = si> £г 5л-;
содержания компонентов в различных минералах тоже имеют дискретные
фиксированные значения: р = Pi, P2, • ■ • , Рл-. Если массовые доли
(концентрации) каждого минерала известны и равны С\, Сг, • . ■ ,
С'л-, то смесь количественно характеризуется двумя дискретными
функциями:
v(s)=C16(s-g1) + ... + aYa(g-e.v);
Г Pj ДЛЯ 5 = |х
Р(6)=
[ P.Y ДЛЯ | = l.v.
Одномерные б-функции б (|— |х), . . . , б (g— In) представляют
собой узкие и высокие импульсы в точках | = £,, . . . , i = |гг оси
I; умножение их на ^ Cn означает, что площади импульсов
равны Съ . . . , Cn- Основное свойство б-функции —
t-r-
J6(E-£«)<U= J' б(£— sOds = 1.
—со *—
Условие нормировки для у (£)
j T(g)dg = £ С, = 1.
Например, на рис. VI. 10, а имеем сырье из чистых минералов
с плотностями р1( р2, . . . , pjv и вместо непрерывного графика у (р)
получается «частокол» из yV дискретных импульсов, восстановленных
в точках р = рх, (ь, . . • , pn и имеющих каждый площадь Clt
С 2, . . . , Cjv.
153

у.м/т,
А
Рг
Рис. VI.10. Фракционный состав смеси чистых минералов
Рассмотрим смесь N чистых минералов, каждый из которых
отличается двумя физическими свойствами |j = |lit, £1>2, . . . , |i, л-
и ?2 = §2. i. Ь.2. • • • , 1,2, л-. Например, первый минерал имеет
свойства (|i,i, S2,1), второй—(|г, ь 1г,2) и т. д. Введем двухмерные
дискретные характеристики сырья:
Y(Si. I2) = C*i^(si— ^1,1; 1г— Ъ,\)+ ■ ■■ + С6 (gi— £i,;V; £2— g2,w);
( Pi Для Sl= si,i; S2 = s2,i;
P(Si, S2)=
I p.v Для lx= |,„v; £2 = 52,/v.
Двухмерные б-функции б (g,—gi.i; £2— §2,1), . . . представляют
собой импульсы, восстановленные в точках (gi,i, £2, 1), ■ - ■ ,
плоскости ciO|Y, умножение их на d, ..., С.%- означает, что объемы
импульсов равны С,, . . . , Сл'- Основное свойство двухмерной б-фупк-
ции —
"1 , 1 -2.1
6(Sl--51,,; S2- l2.i)dg,di2= 1.
г1,1 '2,1
Условие нормировки для у (Si. £2) —
ос 00 Л:
\ \ TdsidE2 = J] С,-= 1;
размерность [у] = l/[gi] Ls2J-
Теперь график функции у (g,, ?2) представляет собой частокол из
N дискретных объемных импульсов, восстановленных в точках
двухмерной области D: (gi.i; £2.1) — первый минерал; (gi, 2;
52,2.)—второй минерал; (gi, ,■; &>, г) —t'-й минерал и т. д. Безразмерные объемы
каждого импульса равны массовой доле соответствующего минерала
в смеси (рис. VI.10, б).
154

Для смеси чистых минералов, отличающихся тремя физическими
свойствами, вводятся тем же путем трехмерные у- и р-фупкции и
т. д.
В общем случае учета п физических свойств дифференциальное
распределение v(£i> • • ■ > Ы представляет собой сумму кратных
/г-мерных импульсных функций
T(Si, -.., Ы= 2 C^ib-ln, .... 6*-Ы.
г- л
где t —номер минерала, gx, g2> . . . , ^ — переменные числа;
5ш ■ ■ ■ ,Ъп — постоянные числа, определяемые физическими
свойствами i-ro минерала.
Формулы расчета технологических показателей получаются из
общих формул (VI.5) и (VI.6), причем из-за интегрирования все
8-фупкции превращаются в единицу и формулы значительно
упрощаются.
Выход i-ro концентрата (продукта) определяется по формуле
Уг = ci8a+ С2ег-2+ • • • + C.y е,л-,
где i=l, 2, ... , тпр; г.1 = г1 (iuu %U2, . . . , | ,,„)= const,
, . - . , в,л- = е,- (1м, • • • , £wn) = 'Const — извлечения в i-й продукт
первого, второго, . . . , N-ro минерала, т. е значения г'-й сепарацион-
ной характеристики в соответствующих дискретных точках
области D.
Содержанке /-го ценного компонента в t-м продукте определяется
по формуле
Ро- = УГ] (CiP;ieu + С2р;-28г.2 + • • • + Сд- Pj.y е,л-).
где Рл, Pj2, • • • , Pjn — содержания /-го ценного компонента в
первом, втором, . . . N-ж минералах.
Смеси чистых минералов получаются при полном раскрытии
сростков. Идеальная сепарация позволяет разделить чистые минералы и
получить идеальное обогащение.
Рассмотренные в разд. VI.5 формулы прогноза результатов
обогащения позволяют анализировать любую схему обогащения и на
основе анализа выбрать наиболее рациональную технологию.
VI.6. Рациональное обогащение минерального сырья
Оптимальной является технология (схема, сепаратор),
удовлетворяющая выбранному критерию оптимальности. Критерий
оптимальности / — это обычно число, которое увеличивается (или
уменьшается) при улучшении технологии (схемы, сепаратора), т. е.
при улучшении предмета оптимизации; поэтому критерий стремятся
максимизировать (минимизировать). Критерий оптимальности не
предуказан. Технология может быть оптимальной по одному критерию и
неоптималыюй по другому.
Приведем несколько примеров критериев.
Критерий максимизации размера области D и контрастности
/К(,нтр сырья при выборе режимов рудоподготовкн или подборе рса-
155

гентных режимов
D—vmax; /lt0IITp—*- max.
Критерий максимизации выхода ук концентрата- при заданном
качестве к содержании рк ценного компонента при сепарации
ук—*тах; р~"к - р0 = const (VI.11)
может быть использован при выборе оптимальной границы
разделения ^р. ОПТ-
Критерий сепарации по бортовому содержанию
Msi. ■■•, sn)- рб (VI.12)
требует, чтобы все частицы сырья с содержанием компонента р > р,->
попадали в концентрат, а остальные — в хвосты (при двухпродукто-
вой сепарации). Он может быть использован при выборе границ
разделения |р, в том числе многомерных фр (g^ ...,!„)= 0.
Экономический критерий оптимальности — максимальная
стоимость получаемого из данного сырья концентрата:
h = QhcxYkMPk)—vmax,
фр
где Qilcx — производительность по сырью, т/ч; fn—цена 1 т
концентрата в зависимости от среднего содержания в нем цепного
компонента, руб/т.
Подставив в критерий (VI. 12) значения ук к р,; из разд. VI.5,
получим уравнение для определении оптимальной границы <г,,. ,щт (£ь
. . . . , с,,)—0 и соответственно оптимальной схемы обогащения (но
Haiiденной границе вычисляются по формулам из разд. VI.5
оптимальные Yi.. опт. Pi;. ,.цт) •
Критерий (VI.11) является частным случаем экономического
критерия (VI.12), когда потребляется концентрат только одного сорта
С Р,; = Ро = COnst.
Общий случай критериев оптимальности для однокомпонентпого
сырья имеет вид
/ = /7(Yk, р,)—vmax. (VI.13)
Совместные выражения для критерия, выхода Yk и содержания р,;
ведут к строгой математической задаче для вычисления оптимальной
границы разделения срР.„,1Т(еь .... ;»)=0, «разрезающей»
функцию распределения уаСх (si> • • • . In) и D, а также для
последующего проектирования оптимальной схемы обогащения.
В типовой оптимальной задаче выбранный критерий сначала
количественно связывается с выбираемыми факторами хи т. е. / =
= 1{х\, х-,, . . .), а затем при решении оптимальной задачи эти
факторы выбираются (эксперт ментально или теоретически) таким
образом, чтобы они удовлетворяли критерию. Если задача
заключается в экстремизацнн критерия, то исходным для поиска
оптимальных факторов а-; опт служат равенства вида dl/dXi — Q пли
<Э//с>фр-+0 [10].
156

В обогащении оптимальные задачи могут выходить за рамки
этого типового случая. Это, в частности, связано с выбором методов
обогащения и схемы обогащения, границ разделения, факторов,
приближающих характеристику схемы к идеальной.
Оптимальные задачи в обогащении могут быть различными, но,
пожалуй, задача о том, какая принципиальная технологическая
схема наилучшим образом выделяет ценные компоненты из
минерального сырья в концентраты, является одной из первых по важности
для практических целей. Ниже рассматриваются количественная
.постановка этой задачи к идеи методов ее решения.
Задача оптимального обогащения простейшего сырья одним
методом. Предельно достижимые результаты обогащения сырья при
идеальной сепарации одним методом, например гравитащшным,
можно оценить по формулам из гл^ I для выходов ук, ухв концентрата и
хвостов и содержаний рк, 7хв, Рисх компонента. Для реализации
предельно достижимого обогащения нужно выбрать, во-первых,
плотность разделения рр = const (или %р> kv, Kp при применении
соответственно магнитного, флотационного, электростатического методов
обогащения и, во-вторых, технологическую схему.
Выбор целесообразно производить, удовлетворяя тому или иному
критерию оптимальности. Выберем пока максимум выхода
концентрата ук—>-тах при заданном содержании рк = Р0 в нем компонента,
в качестве критерия оптимальности (VI.11), что соответствует
максимальному извлечению при заданом качестве концентрата. Для
оценки ук, рк при предельном обогащении можно взять простые формулы
(1.14) и (I.I5), пригодные для идеальной сепарации.
Выбор оптимальной плотности разделения рр.
опт по критерию
(VI.11) и «предельным» формулам (1.14) и (1.15) покажем на
примере обогащения сырья, представленного на рис. 1.9.
Заметим, что функции \'исх (р) и Р (p) для рассматриваемого сырья
аналитически представляются в виде:
f l/(Pmax — Pmm) = 1/(3 — 1,2) --=0,556 м3/т для pmin < р < pmax;
Гисх(Р) -| 0 для р>ртах и р<ртт
Р (р) = 55,6р — 66,7 % = 0,556р — 0,667.
Выражение для критерия (VI.11) с учетом формул (1.14) и (1.15) принимает вид:
Р,Р
Ук~ \ 0,556dp = 0,556 (рр—l,2)pp!:iax;
1,2 (VI.14)
Рк- TIT' Г Р (р)Тисх(р) dp = 0,278 (pp-f- l,2)-0,667 = po.
1.2
Отсюда находим оптимальную плотность разделения, т/.м3:
рр.„пт = (Ро+0,667)/0,278—1.2
и соответствующий максимальный выход концентрата
Тк max- 0,556 [(j3„ --0,067).'0,278- 2,4].
Величины j•-...1 -i- и уКШа\ зависит от заданного качества концентрат,-! |'1,.--|!(.
В ЧаСТНОСТН, при Ро = 16,6% ПОЛуЧНМ рр. опт = 1,8 т/м3; Yk max = 33,3"о.
157

Для данного числового примера математическое решение задачи
сравнительно простое и получается в аналитическом виде, так как
интегралы в уравнении (VI. 14) явно выражаются через искомую рр
и, кроме того, получаемое после интегрирования алгебраическое
уравнение Рк(Рр)=Ро легко решается. В общем случае сырье может
иметь более сложные ^исх (р) и р (р), к тому же заданные в
табличной форме, и тогда для
вычисления рр.(,пТ надо применять
специальные численные
математические методы.
После определения р,,.„11Т надо
выбрать технологическую схему,
которая реализует точное, без
взаимного засорения фракции,
«разрезание» сырья в точке рр =
= Pi>.oht- Такая схема показана на
рис. 1.2,6. Она характеризуется
наличием перечистиых и
контрольных операций в таком
режиме, что в целом по схеме рр =
= Р]).опт = const и все частицы с
р<Рр.опт "Дут в один продукт
(концентрат), а все частицы с
р>Рр.<
р.опт
Рис. VI.11.
Выбор оптимальной границы1
разделения
в другой (хвосты).
Другими словами, для
достаточно разветвленной канонической
схемы обогащения
генерационная характеристика близка к
идеальной. Такое предельное обогащение почти достигается при
П = К = 2-^-3 (в зависимости от качества конструкции обогатительных
аппаратов и их производительности). Для краткости такие схемы
можно обозначать блочно, как показано на рис. 1.2, е.
Задача оптимального обогащения однокомпонентного сырья
комбинированной схемой. Случай обогащения комбинированием двух
методов для сырья с двумя физическими свойствами ^ и £2 и с
одним полезным компонентом исходит из двухмерных функций
Yhcx(si. Ы и Р(йь Ы (Р»с VI.11). Для конкретности будем иметь
в виду железную руду с физическими свойствами р и х- Руда
охарактеризована двумя функциями: уИСХ (р, х) и р>е (р, х)- Эти
функции не равны нулю внутри определенной области D, где pmin < p <.
<Ртах, Хтт<х<Хтах. Вне области D функция y„(.s (p, yj равна
нулю. Над областью D имеются две поверхности—одна для у-функ-
ции, другая для р-функции.
Подобно ТОМу, как ДЛЯ угЛЯ (СМ. рИС. 1.9) ОблаСТЬ [pmin, Ртах]
делится точкой рр на две подобласти, для сырья с двумя
физическими свойствами двухмерная область D делится на две подобласти
D\ и D2 некоторой граничной линией Xn=Xi> (('г) или СП' (/• (>■ ~~®
(см. рис. VI.11, штрнх-пупктнрную линию).
Взяв по-прежнему критерий оптимальности в виде уравнения
^VI. 11), надо выбрать, во-первых, положение оптимальной граничной
158

линии срр. опт и, во-вторых, соответствующую оптимальную
технологическую схему.
В случае идеальной сепарационной характеристики имеем
__ [ 1 для области D, концентрата;
MP, х)
О для области D2 хвостов.
Поэтому формулы для ук и рк в рассматриваемом случае будут
иметь вид:
Ук = Jj Y"cx(p, x)dxdp;
Исходный, продукт
\
Гравитационное обогащение
Р<Рр1
Рр1
\Р>Рр1
/>%2^_
Гравитационное
обогащение
Рк = Vk'j1P(P, x)Yncx(p, X)dpdx-
Подставляя эти выражения ук и рк в выражение (VI.11), получим
уравнения, определяющие оптимальную граничную линию фр (х,
р) = 0. Математические детали вычисления положения оптимальной
граничной линии пока опускаем.
Затем находим соответствующую
оптимальную технологическую схему.
Например, схема обогащения на рис.
VI. 12 реализует со ступенчатым
приближением граничную линию фр.0„т,
показанную на рис. VI. 11. Эта
оптимальная задача рассмотрена
схематично, дана только ее идея.
В более общем случае для сырья с
несколькими используемыми
физическими свойствами S!, £2. • ■■> ?» и одним
ценным компонентом исходим из
«-мерной функции распределения
у,<лх{1\, ..., 1„) и одной функции
содержания P(^i ..., g„ i. Оставаясь в оам-
ках критерия оптимальности (VI.11),
соответствующего получению из сырья
двух продуктов (концентрата и
хвостов), отметим, что прежде всего
задача состоит в нахождении
оптимальной границы [т. е. уравнения фр.0нтХ
X (l\- h, ..., |п)=0], разделяющей всю
область £>(|ь ...,!„) на подобласти концентрата Л. и хвостов D2.
Это искомое уравнение границы фр=--0 входит в пределы интегралов,
л. е. в /^i, в следующих формулах:
рРг
\Р>Р?2
Магнитное оо~о г а щени е
in.
xPz '
-Xp/
Хвосты
Рис. VI.12.
синтеза: от
разделения
Концентрат
Важная процедура
оптимальной границы
к оптимальной
принципиальной схеме обогащения
Ук = J" ■• • / V"cx(si,
О,
Рк = Yk"1 S...S$(lv
D,
.., Sn)dsi,
6..)Y.;.:x(si. •••
.., d£n;
;n)dgi, •
dgn.
Подставив их в критерий (VI. 11), получим уравнения, определяющие
единственным образом оптимальную границу фр. опт (si > • • • , In) —
1 У.)

— 0. Дальнейшее нахождение срр. опт = 0 является чисто
математической задачей.
Далее находится соответствующая оптимальная технологическая
схема, подобно тому, как делалось для двухмерного случая на рис.
VI. 12.
При п = 3, например, при комбинировании магнитного (х).
гравитационного (р )и флотационного (k) методов обогащения сырья,
преимуществ проектирования оптимальной схемы обогащения
рассмотренным путем больше, чем в случае п = 2.
Задача оптимального обогащения при комбинировании методов и
комплексном использовании сырья. Перейдем к самому общему
случаю: сырье с несколькими физическими свойствами £,, о, ...,§„
и несколькими ценными компонентами р,, . . . , рт характеризуется
«■-мерной функцией распределения уксх, (£]; . . . , £„) и несколькими
функциями содержания р; (?„ ...,£„),..., рт (^, .... с„).
Для каждого ценного компонента (Р,) получается свой одноименный
/-й концентрат—всего m концентратов.
Технологическая схема обогащения «разрезает» n-мерную область
D изменения физических свойств gi, . . . , |„ минеральных частиц на
m 4- 1 подобластей Dlt D2, . . . , Dm+u одна из них Dm+\
соответствует хвостам, а остальные — концентратам.
Теперь задача заключается в нахождении оптимальных
положений m многомерных границ разделения фюпт(51> • ■ ■ > 1г.) = 0,
• • • , фт опт (li, . . . , |„) = 0 между подобластями D]t D.2, . . . ,
Om+i, удовлетворяющих выбранному критерию оптимальности.
Весьма общим является следующее обобщение выражения (VI.13)
для критерия оптимальности:
I = F (у.а, "Рт, ... , yum, Ргант) ►" "lax. (VI. 15)
В F фигурируют выходы концентратов
7к1= S ■.. S Yncxdi» • ■ • . 5n)d li> ■ ■ ■ , d ln\
D,
Vkto= / • - ■ J" Vhcx(Si, • • • , In) d ?i, • ■ • > d c„
и содержания ценных компонентов в одноименных концентратах
Р1к1 = 7^' J" • ■ • J" Pi (Si- ••• . in)v4cx(ii. ••• . ?n)dSi. •■• . ds«:
(VI.16)
Рткт = 7кт S ■ ■ ■ $ $т{%1 1п)Упс? (li, • ■■ > S,n)dc,i, ■■■ , d >„.
Совокупные равенства (VI.15) — (VI.16) представляют строгую
математическую задачу, решение которой указывает единственное н
наилучшее размещение т границ разделения фР ; опт (gi. • • • . Sn).
Экономический критерий — максимальная стоимость получаемых
концентратов — является важным для практики частным случаем
160

предыдущего критерия /—>-max; экономически оптимальная задача
принимает вид
/а= Qiicx[Vki/i (PlHl)+ ••• + Чип. /м(Рт.п«)] > та.\, (VI.17)
где /j — стоимость (цена) 1 т t'-ro концентрата в функции
содержания главного (одноименного) ценного компонента в нем.
Если требуется дополнительно учесть содержания неодноимепных
пенных компонентов в концентратах, то они вводятся в критерий
/—^тах, /:,—>-тах но формулам из разд. VI.5.
Если в потребление идет i-ii концентрат только одного сорта с
заданными содержаниями полезного компонента в нем р\0 = consi, то
цена на него фиксирована /г = const и критерий (VI. 17) принимает
вид:
Л) = Qjicx 2 /г Yi; г ->■ max;
*• v
PlHl ~ Pi,0, ••• , Рткт= Рт, 0>
т. е. нужна максимизация суммы кратных (по ценам /г-) выходов
концентратов заданного качества; это является обобщением
оптимальной задачи с критерием (VI.11).
После нахождения оптимальных границ ф1опт (li. ■ • ■ , sn) =
= 0, . . . , фтопт (si> ■ ■ • > \п) =0 надо выбрать соответствующую
принципиальную схему обогащения, так же как и на рисунках VI.11
и VI.12.
Таким образом, схема решения задачи оптимального обогащения
предусматривает:
определение фракционного состава сырья в виде характеристик
?исх (|ь • • • . Sn); Pj (Si. • • • .Sn), где / = 1, 2, . . . , m;
ввод этих характеристик сырья в выбранное выражение для
критерия оптимальности / (совместно с функциями цен /1( . . . , fm
в случае экономического критерия) посредством формул для ук ,• и
Pj'h и
при этом в выражение для критерия вводятся и искомые границы
разделения <plt . . . , <рт (они присутствуют явно в пределах
интегрирования в формулах для ущ и PjKi при идеальной сепарации и
неявно— через сепарационные характеристики е* (gi, . . . , |п) — "ри
неидеалыюй сепарации);
математическое вычисление оптимальных границ разделения
Фюш. . • • , Фтопт так, чтобы /—>-тах;
проектирование принципиальной схемы обогащения, реализующей
ГраНИЦЫ фюпт, • • • > фтопт',
детализация схемы вплоть до отдельных аппаратов и их режимов.
В заключение заметим, что то известной технологической схеме
можно всегда определить реализуемую ею границу разделения
Фр Hi, ■ ■ ■ , sn) = 0 из £Рез (|, in) = 0,5, а затем сравнить
ее с оптимальной границей разделения фр. 0nx(si> • • • , gn) = 0. При
наличии отклонения фР от фопт можно дать рекомендации для данной
фабрики, касающиеся изменения схемы или режимов таким образом,
161

чтобы фр—»-фр. опт- Это улучшит технологические у. экономические
показатели.
Математическое вычисление оптимальных границ разделения (или
других оптимизируемых факторов) является составной, но не главной
частью в задачах оптимального обогащения. Для этого существует
целый ряд общематематических методов, включая исследование
функции на экстремум (безусловный или условный), линейное и
нелинейное программирование, вариационное исчисление, динамическое
программирование Р. Беллмана, принцип максимума Л. С. Понтря-
гина.
Наряду с применением этих хорошо разработанных методов
может потребоваться разработка новых методов, специфичных для
задач оптимального обогащения. Кратко рассмотрим идею одного
такого метода в задаче поиска оптимальной границы разделения по
критерию (VI.11) для двухмерного случая (см. рис. VI.11).
Границу разделения фр. опт (?ь ■ ■ - , gn) = О ищем пробными
шагами, начиная с максимального значения ртах функции р(si, Ы.
Ъ~^Ъ Ь = Р- Допустим в точке А (см. рис. Vl.ll) содержание
железа максимально (железо тяготеет к тяжелым магнитным
минералам). В окрестности вокруг проекции точки А на плоскость (х, р)
проведем первую пробную границу фг (%, р) = 0, отрезающую
наиболее богатую железом часть_области D в концентрат, и вычислим
соответствующее содержание рк1. Если рк1>ро, то пробную
границу расширяем ф2 (%, р) = 0 и так делаем i шагов до те.х пор, пока
К г = Ро-
В качестве пробных границ целесообразно брать проекции
пересечения функции р (х, р) с горизонтальными плоскостями Р; =
= Ртах — г'Лр (где i = 1, 2, . . .), отстоящими друг от друга на
величину шага Ар = const. Проекция такого пересечения ф,- (у., р) = О,
для которой Pi;,- = p0- берется как искомая оптимальная граница
Фр. опт (х> р) = 0. Этот метод обобщается на n-мерный случай,
причем его можно легка программировать при использовании
вычислительной техники.
Заметим, что простейшим для математических вычислений
является критерий разделения (VI. 12) по бортовому содержанию ценного
компонента в каждой отдельной минеральной частице Рб: все
частицы с р ^ рг, должны попасть в концентрату а все частицы с Р < Рб -
в хвосты; важен частный случай: Рб = Рисх. Физические свойства
бортовых частиц, которые наполовину попадают в концентрат, а
наполов'-.;, в хвосты, определяются следующим уравнением
разделительной линии:
фр- опт = Р (?i, • • • . In) - Рб = 0.
Здесь функция уисх (si. • • • , Ы не влияет на положение
оптимальной границы фр. опт-
Влияние ^-функций на выбор метода обогащения, оптимальной
граничной линии и соответственно оптимальной схемы обогащения
рассмотрим на примере этого же двухмерного случая. Для этою на
рис. VI. 13 показаны характеристики состава различных видов сырья
162

Рис. VI.13. Влияние функций содержания на выбор принципиальной схемы
обогащения
с одинаковыми функциями 7исх (gi, £2), по разными р-функциямк.
Для простоты функции 7исх (li. £») и р (II £2) заданы на
прямоугольнике D размером А|1ХА|2- Функции 7исх (£i, 1г) взяты
плоскими: упсх = l/Ag^Ag^^ const; на трех последних графиках они не
показаны.
Функция р (|i, go) для первого сырья (см. рис. VI.13, а)
представляет собой плоскость, наклоненную в сторону оси £2, причем при
изменении g2 от g2n1=n Д° £тах величина р уменьшается линейно от
Ртах до нуля. Для критерия оптимальности (VI.11) при заданном
содержании в концентрате Р_0 = 0,8ртах оптимальная граничная
линия СЕ параллельна оси £t и делит сторону Ag2 в отношении
0,2:0,8, при этом ук — 20% (математические выкладки опущены).
Для обогащения этого материала нужна технологическая схема,
использующая только один метод, чувствительный к свойству |2. Здесь
сырье «контрастно» (/щштр > 0) по физическому свойству £2 и
«неконтрастно» (/контр = 0) ПО СВОЙСТВУ |ь
Аналогичным путем показывается, что для второго сырья (см.
рис. VI.13, б), у которого функция р (|i, g2) наклонена вдоль gj,
нужен тоже только одкн метод, но чувствительный к свойству £х. Здесь
сырье «неконтрастно» (/контр = 0) по свойству |2.
Для третьего сырья (см. рис. VI. 13, в) р-функция наклонена
163

к обеим осям 51 и g2> поэтому граничная линия СИ тоже наклонена
к o6c:im осям, и топологическая схема требует комбинации двух
предыдущих методов обогащения, чувствительных и к ^ и к |2.
Сырье «контрастно» по обоим физическим свойствам.
Для четвертого сырья (см. рис. VI.13, г) р {\г, £2) = const, и
сырье необогатимо упомянутыми методами, оно «неконтрастно» по
обоим физическим свойствам.
В этом разделе все оптимальные задачи исходили из известных
Yucx (Si) и р (£,, . . . , |п), причем рудоподготовктельные операции
не вовлекались. Это логично, если они уже выбраны, например, по
критериям D—^тах и /КОнтр—>-тах. Если нет, то при выборе
подготовительных и обогатительных операций можно решать
оптимальную единую задачу, исходя из общего критерия (VI. 15) или
экономических критериев (VI. 17). Здесь могут дополнительно
потребоваться эксперименты по оценке уис* (g, , . . . , g„); Р (|i, . . ■ , £„) при
различных вариантах подготовки: для каждого 1-го варианта
подготовки находятся уисхь Р-г и решается математически оптимальная
задача (VI. 17) или (VI. 15); из всех частных оптимальных решений
фр.,,;,-(;1 s,,)=0 выбирается то. которое дает глобальный
максимум для критерия оптимальности.
Например, пусть в оптимальную задачу вовлекается выбор
степени измельчения сырья. Испробовав экспериментально ряд степеней
измельчения, получим ряд пар функций уИсх i (S)> P (?) в конкретном
числовом виде. Далее для каждой пары решается оптимальная
задача и выбирается оптимальная граница срр. опт и дающая максимум
критерию; из всех срр. 0пт % выбирается наилучший вариант, тем самым
выбирается н оптимальная подготовительная операция—степень
измельчения и схема обогащения.
Это заключительное замечание, а также рис. VI. 13 подчеркивают
важную роль подготовки сырья к обогащению.
VII. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ СХЕМЫ
ОБОГАЩЕНИЯ
После изучения фракционного состава сырья и сепарационных
характеристик аппаратов и схем можно перейти к более подробному
рассмотрению задач оптимизации [2, 28. 32].
Разработка рациональных схем комбинированного обогащения,
нацеленных на комплексное использование ценных компонентов
минерального сырья, требует прежде всего создания строгих
математических или экономико-математических методов расчета оптимальных
границ разделения срр. 0пт области изменения физических свойств ча-
стиц сырья; фр. опт указывает соответствующую принципиальную
схему обогащения.
Простейшим примером является известная и рассмотренная в гл.
VI задача выбора оптимальной плотности разделения рр. опт при
гравитационном обогащении углей, с обобщения которой мы и начнем.
.164

VII.1. Метод вычисления оптимальной границы разделения
для сырья и схемы I типа
Рассмотрим простейший случай, когда частицы сырья
различаются одним (п = 1) физическим свойством |шт < s < ьтах и содержат
один (т=\) ценный компонент; функция 6(g) монотонная без
«горбов», поэтому схема обогащения — двухиродуктовая (согласно
классификации на рис. VI.1 имеем и сырье к схему I типа).
Заданы характеристики фракционного состава сырья Yircx (|) п
р (%), а также экономический критерий оптимальности
Л, -- QncvT..-MM т-^ max' (VII-D
где Q1!(;x = const — производительность по исходному, т/ч. ук и в„ —
соответственно выход и содержание компонента в концентрате;
/ц (pi;) -— заданная зависимость цены за 1 т концентрата от его
качества Вк (функция цен).
Задача — вычислить координату границы разделения ср. опт,
дающую максимум критерия /.,.
Идея одного из методов решения сводится к тому, что сначала
находятся промежуточные зависимости ук(ёр) и Рк(ёр) по
формулам для идеальной сепарации
_ fmax
7к(1р)= j' Yncx(£)(ls;
«р
— _ ana x
Рн(5р) = (1/7к(Нр)) J p(g)7lI,x(g)d;. (VII.2)
fP
Эти формулы — для случая, кюгда в концентрат поступают частицы
с % > ср. Затем находится зависимость цены за 1 т концентрата от
|р посредством функции цен
ЫЫ = ММбР)]- (VII.3)
Далее находится зависимость критерия /э от £р
/, = Яш-ЛЛЪ)ШАЫ] = МЫ- (VH.4)
В типичных случаях полученная функция /э (Ер) имеет максимум
при некотором значении ЕР = |р. опт- Это оптимальное значение
вычисляется из уравнения
d/;,Up)/dcp-0.
Детали этого метода решения целесообразно проиллюстрировать
на простом примере, в котором все вычисления делаются
аналитическим путем. Заданы: простейшие характеристики сырья, (рис.
VII.1, а); равномерное распределение фракций в диапазоне [gmim
SraaxJ
Ynt'x(?)= l/(;r.>ax- Cmin) !
105

Рис. VI1.1. Последовательность расчета
оптимальной границы разделения лл.>
простейшего сырья (I типа)
линейно нарастающее от нуля до
(Зтах содержание пенного-
компонента во фракциях [например,
содержание железа в зависимости от
магнитной восприимчивости рЧ-е(х)
или содержание марганца в
зависимости от плотности р.чп(р)]
P(fc)=Pmax(s-
Cmin)/(emax Smin) ',
простая линейно нарастающая
функция цен концентратов /ц(рк)
от нуля при pL--=J3,„-x- до /um,v-
COnst При Рк = ртах (РИС. VII.1,6)
/ц = /цтах(Рк Рпсх)
У (Ртах Pircx) = /п. niax X
+ (р~ — 0,5ртах)/0,5ртах. (VII.5)
Здесь во второй части равенства
р учтено, что в рассматриваемом
примере среднее содержание в ис
ходном
™* _ smax
Рпсх = J Yucx
( g)p(i)d g = 0,5|3шах.
По первой формуле (VII. 2)
вычисляем
_ 'max
Ук(Ы= J"
О 5 /(gmax
gm in J
ISmax— |p) / (gmax—imii.) • (VI 1.6)
График 7к (Ы линейно уменьшается от 1 до С при изменении |р
в диапазоне [gmm, Smax] (рис. VII.1, в).
По второй формуле (VII.2) вычисляем
Рк (Ы = Ртах (0,5|,„ах — Ul.i + 0,51,,) /
bin ах
г.)-
(VI 1.7)
График р„ (|р) линейно нарастает от fW = 0,5 ртах до ртах при
изменении gp в диапазоне [gmm, gmaxl (рис. VII.1. г).
166

По формуле (VII.3) с учетом (VII.5) вычислим зависимость цены
концентрата от |р
/ц(ёр) = In max (Cp Smin) / (smax — Smin) •
Здесь в_ формулу (VII.5) для fn (|p) подставили найденную
зависимость (Зк(|р) из уравнения (VII.7). График /Ц(Ы изменяется
линейно от нуля до f4max при изменении |р в диапазоне [£mln, cmaxl
(рис. VII.1, <?1.
По формуле (VII.4) получаем
'■ЛъР/ == Viicx (smax gp)/n max (bP — gmin) '•
■ (Smax — gmin)2. (VII.8)
График /э (|p) имеет нуль на концах диапазона [gmIn, gmax] и максн-
Myxi Л внутри пего (рис. VII.1, е).
Координаты максимума А найдем из уравнения
d Msp)/d £l> = Qnc.x/ц max (Smax —
- 2i„ + Ul..)/(Eraax- Smin)2 = 0. (VII.9)
Отсюда окончательно получаем
5р опт ^=0,0 (trnin-rgmax), (VI 1.10)
т. е. |р. опт в этом частном примере лежит посередине диапазона
Ismiib Smax]- Остальные величины при этом оптимальном обогащении
равны ук = 0,5 (т.е. 50%), рк = 0,75 ртах; /ц = 0,5f4max; h =
= 0,25 Qhcx fn max- Эти оптимальные показатели вычисляются
подстановкой sp. опт из последней формулы в формулы (VII.6) — (VII.8).
В рассмотренном примере исходные функции (см. рис. VII.1, а, б)
взяты простейшими — линейными.
Для любых других функций 7„cx (I), P (S) и fu (l) рассмотренный
метод расчета также имеет силу. Эти заданные в оптимальной
задаче функции можно аппроксимировать аналитическими выражениями,
например многочленами:
Yhcx(s) = a0 + a, S + a2s2 + ... ;
PU) -b0 + b]l + b2l2 + ...-
/ц(Рк)=Со + С1рк + С2р\.+ ...
Затем следует провести весь расчет мо формулам типа (VII.6) —
(VII.9). Здесь всегда будет .получено аналитическое решение |р. 0пт,
так как все интегралы от многочленов вычисляются стандартно.
Некоторые сложности могут появиться при попытке аналитического
вычисления корня уравнения d IJd |p = 0; тогда можно построить
экстремальный график /а (sp) и найти £р. опт либо применить один из
стандартных численных методов вычисления корней (например,
метод Ньютона).
Другой путь — вычисления в табличной числовой форме, который
■пригоден для всех случаев и легко программируется для ЭВМ.
В рассмотренном простейшем случае п = 1 и т = 1 искомая
величина |р через пределы интегрирования явно вводится в выражение
167

для критерия, что потом позволяет его исследовать на экстремум
обычным путем. Метод пригоден не только к экономическому, но и
любому другому критерию оптимальности, связанному с
технологическими показателями ук (£р) и Рк(£Р).
Рассмотрим пример для флотационного обогащения с критерием
оптимальности в виде максимума выхода концентрата заданного
качества р0: ук—^тах; рк = р0.
Сырье имеет фракционный состав уИсх (&) = СКф8 (k) — (1 —
— С„ф)/йтах; $ (k) = Ak, где СПф — доля нефлотируемых частиц;
б (fe)—импульсная функция; (1-—С„ф)—доля флотируемых частиц,
равномерно распределенных в диапазоне [0 -г- &тах]; А —
коэффициент пропорциональности линейной функции содержания.
Выражения критерия оптимальности для данного сырья с учетом
формулы (VII.2) приобретают вид:
и
_ max
Тк(&,.)== I [Сш!з8(/г) + (1 — Cm^/km^dk—-* max;
kv p
Ь
__ __ "max
Pk(*p) = [1/Vk(M1 ^ Л*[Снф6(А) +
+ (1 - - С„ф)/^тах]с1/г = pn.
Отсюда вычисляем &р.опт — (2 po — Akmax)jA.
VI 1.2. Двухкомпонентное сырье и схема обогащения
с двумя товарными концентратами (II тип)
Перейдем к сырью II типа (см. рис. VI.1) с одним физическим
свойством (п=1) и несколькими (т > 1) компонентами. Для
примера зададим: п—1; т = 2; фракционный состав сырья (рис.
VII.2, а):
"VVx (?) = V(£max — Imin) =COnst;
Pi (I) = (Pi max — Pimin) (gmax I)/ (gmax -- Emm) ;
P2 (E) = (P2 max — P2 min) (§ — Smin)/(imax ■ gmin) .
Следует найти границы |р1 и gp2, удовлетворяющие критерию
/., = Qncx[Wm (P^a) +Ть-2/ц2(Рк2)]^1РТ"> maX-
Обе функции цен линейно нарастают с качеством концентратов, как
показано на рис. VII.1, б:
' ц1 = / 1 min TUl max ~ /1 rnin ) (Pli;l " " P t ncx ' (P 1 шах Pi нсх ) >
/ц2= /2 min + (/2 max /2 min) (Ргн2 " " p2 исх )/ (Ргтах Panes)- (VII. 1 1)
168

Рис. VII.2. К выбору границ разделения для двухкомпопсптного сырья (II типа)
Выразим технологические показатели через cDl и с0, по
формулам (YII.2):
Тк ! == (Si' I "'" Smin)/ (Sma\ — Smin) ',
Vk 2 = (S max "~ bp 2)1 (ьтах ■■tmiu);
Pi i;l = U,0| Pt max + (Pi iUax Pi min) (ътах — Cp l)/(;max — Smin)];
H2K-2 = 0,0 [Pa max I (P2 max "'"" p2mln) (s p 2 Smin) / (smax "— gmin) . (VI 1.12)
Далее выразим функции цен ful и fu2 через £.р1 и 1р2 с учетом
формул (VII.11) и затем выразим критерий h через |р1, sP2> т. е.
найдем Л, (|Р1, ср2) (рис. VII.2, б):
/r./Qi.cx =■ {/i mm +[0,5Pi max-L 0,5(plmax - Pi min) x
X (crnax ?p i) / (Smax ' Smin) — ■ Pi iicxJ (/1 max / l min)/ (Pi max ~ " Pi исх)} *
X (Sji 1 — £miii)/(?max |mln) .+ {/2mln"T" [0>эР2щах"^ 0-°(P2max P2 min) X
Л (Sp . Smin) / (Smax Smin) P2 исх J (/ 2 max /2inhi /' (['2 max P2 исх)) ^
X (Smax SP 2)/ (Smax Smin) •
Искомые оптимальные cP( и |Р2 являются корнями двух
уравнений:
01 i/W-p I =—2Qiicx/l|Sp 1/ (gmax — Smin) -f-Qncx »!/ (jinax — Smin) -\-
-\~ Smin AiQucs! (smax Smin) =:= 0;
O'-.i/O^p 2 =—2Q1Ecx^2 5p 2/(ётах~-|т1п) — Qncx^/^max — gmin) -f"
"Г ьтах "гУисх/ (;max ~" Smin) r- 0.
Отсюда вычисляем корни:
Срючт = 0,5 (Urn -Г" Bi'^i): SP2o,rr - 0,5(s,nax-- йг//4а),
1()9

где
А — 0.5 (fi max — /lmin) (Pi max-Pi mm)/[(Pi max" Pi псх) х
X (gmax Smin) J ;
°1 = {flmin 4-.[0,oPiniax + 0,5gmax (Pi max ~" Pi min)/(smax—
»min) PiiicxJ (t lmax /t min)/(Plmax ~~ P: ncx)}/ (Uax — lmin),'
Л2 = 0,5(/2тах — /am m) (Ргтах _ Ргтт) / [ (P2 max "^ Ргисх) Х
X (gmax Smin) J!
"2= {/2 min+[0,5(32 max — 0,5gmin((32 max — P2min)/(cmax —
Smin) Ргисх! (/2max /2min)/(P2 max — Ргисх) } (Smax — Smin) •
Здесь взят пример с аналитическим решением. Возможны
численные методы решения.
В общем случае одного физического свойства п = 1 и любого
числа т ценных компонентов при получении т 4- 1 продуктов
обогащения ищутся т границ разделения gpi, . . . gpm по заданным для
сырья 7исх(ё) и Pi(g), ..., pm(|) и критерию оптимальности /.
Задача сводится к поиску экстремума функции 7(spi> • • • , Ipm)
многих переменных; она решается с помощью равенств dI/dh,Pj = 0 (где
j = 1, 2, . . . , т) либо численными методами (Гаусса — Зайделя,
градиента, наискорейшего спуска).
Рассмотренные методы поиска оптимальных границ разделения
для сырья и схем I и II типов (см. рис. VI. 1) справедливы лишь
в случае «=1. При использовании нескольких физических свойств
частиц сырья (п>1), т. е. при комбинированном обогащении,
границы разделения становятся не точкой |р, как при п= 1, а линией
Фр (In S2)=0 —три п = 2, поверхностью срр (£i, ь2, s:j) = 0 — при
м = 3 и т. д. В этих случаях, т. е. для III и IV типов сырья н схем
обогащения рассмотренные методы непригодны, так как приходится
исследовать на экстремум функционалы /, зависящие от искомых
функций cpp(gi, ..., s») =0-
VI 1.3. Принцип варьирования бортовых содержаний
в задачах нахождения оптимальных границ разделения
для сырья и схемы любого типа
Ниже предлагается новый строгий метод расчета оптимальных
границ разделения, пригодный для наиболее общих случаев, когда,
с одной стороны, комбинируются (п) методов обогащения и с
другой—несколько (т) ценных компонентов сырья выделяются в
несколько (т) концентратов. Метод пригоден к любому типу схем и
сырья.
В этом методе в качестве критерия оптимальности может быть
взят любой критерий, и в первую очередь, экономический в виде
максимизации прибыли от продажи всех получаемых товарных
концентратов ( продуктов). Тогда оптимальная задача приобретает вид
L - Qn,-x [Тк if и i (Рк i) + • • + V>< >» hi'»(Р« »,) 1 —^max-
чр
170

где Qacx—производительность обогатительной фабрики по
исходному сырью, т/ч; ук1, . . . , укт — выходы концентратов, доли ед.:
/ш> • • • .Jum — зависимости цены на концентраты от среднего
содержания рк1, . . . , р„т в них компонентов.
Помимо критерия оптимальности /э, заданными являются
функции цен концентратов fnl, . . . , fam, а также распределение частиц
сырья и ценных компонентов по физическим свойствам (фракциям)
Y.HV (51 S>.), Pi (s 9«). • ■ • , Р™ (?! 1„). Эти
исходные данные позволяют строго решить задачу выбора фр. опт.
Физические свойства частиц сырья (крупность с,г = /, плотность
|2 = р, магнитная восприимчивость |s = %, флстируемость с4 = k —
обобщенно g) после рудоподготовки изменяются внутри замкнутой
области с границей D (с^ . . . , £п) = 0. В простейшем случае
«одномерного» сырья | изменяется между границами imi;-<g<|maX; для
более сложного «двухмерного» сырья D (д1} t,) = 0 представляет
собой замкнутую линию, ограничивающую часть плоскости (gi, |2)«
для «трехмерного» сырья D (g,, go, £;!) =0 — замкнутую
поверхность, ограничивающую часть объема (£,, с2, 1Я); в общем случае
.ч-мерного сырья D (|г, . . . , |„) = 0 ограничивает часть /г-мерного
пространства физических свойств.
Искомая оптимальная граница фР. опт (иле границы фр1о11т, . . . ,
Фртопт при получении т концентратов) разрезает область,
ограниченную D (|,, . . . , £„) = 0 на подобласти концентрата (или
нескольких концентратов) и хвостов. Даже для двухмерного случая
(когда комбинируются два метода сепарации частиц по двум
физическим свойствам с,, £2) известные математические методы решения
оптимальных задач (нелинейное программирование, динамическое
программирование, принцип максимума Понтрягипа) встречают
большие трудности.
В предлагаемом специальном методе эти трудности сравнительно
легко преодолеваются введением промежуточных варьируемых т
бортовых содержаний каждого ценного компонента в частицах
Рб 1 . • • • . Рот, сначала вычисляются зависимости от них искомых
границ разделения в виде
<PPi=Pi(si. ••• - Ы-Р01=0;
фр m — Pm(li, ••• , |m) Рб т — 0,
а также критерия h от рб] , . . . , Рбт путем подстановки в него
выходов и содержаний для концентратов по формулам:
У к i = / • • • / Vhcx(5i< • • • . $n)d С], ... , О *?i",
V
--,ЧР/Ч
Рк i = Yki J" ... J P;(£i, • • • , Sn)7iH.-x(?i> ■ • • - S")d Si. • • • . d c„.
13 результате находится зависимость /->( Poi Рб»,)- Затем
находятся оптимальные значения этих чисел роь •••, Рпш из урав-
171

\
ч> ^Д Ac. Д;;д .а
Рис. VI 1.3. К пояснению
принципа иарьиропания бортовых
содержаний для специфичного
сырья I типа
нений вида
дШ^б1 = 0; ... ; d//d рбт = 0.
В случае задания фракционных характеристик сырья в виде
формул возможно получить аналитическое выражение зависимости
/ ^ / Об 1 > • • • > Рбт). В противном случае (при задании
фракционного состава сырья таблицами чисел) надо прибегать к численным
методам и искать экстремум функции многих переменных / (р,-,ь
• • • , Рбт) одним из известных методов (Гаусса-—Зайделя,
градиента, наискорейшего спуска и др.).
В любом случае эта часть задачи заканчивается нахождением
оптимальных промежуточных ЧИСеЛ Рг, 1ы1т> • • • > Рбт опт, ДЭЮЩИХ МЭК-
симум критерию /. Далее обратной подстановкой этих вычисленных
Рб1оит> • • • > Рбт опт находят искомые оптимальные границы
Фр 1 опг' • • ■ , <рр m опт-
Найденные границы разделения указывают принципиальную
схему оптимального обогащения сырья вместе с режимами циьчлов (см.
рис. VI.11 и VI.12).
Технологическая идея принципа варьирования Ро: границы
разделения выбираются таким образом, чтобы минеральные частицы
с р > Ро направить в один продукт, а частицы с Р < Рб в другой.
Ниже этот общий метод применен к ряду типовых частных
случаев с заданием фракционных характеристик сырья в виде формул
из методических соображений.
Рассмотрим случай од покомпонентного (tn -- 1) сырья с одним
физическим свойством п = 1, уаС\ (s), но с экстремальной функцией
Р (s), как, например, на рис. VII.3, а. Здесь, очевидно, требуется
трехнродуктовая схема обогащения, выделяющая одну зону
концентра "а /)., и две .юны хвостов D\V%\ и 0*,,.^.
Случай встречается, когда в сырье имеется главный минерал,
несущий ценный компонент, причем физическое свойство чистого мние-
172

рала равно |Л, а содержание компонента в нем равно |3л, например,
зависимость содержания меди (Зси (р) от плотности (см. рис. V.2, а).
Здесь зона концентрата имеет не одну, а две границы 1Р , и ср2 и
эффективен рассмотренный метод решения с промежуточным
варьируемым числом Ро = var, который сравнительно легко позволяет
найти две оптимальные точки разделения c,pi и gPo. Для этого число
рп- var варьируется и находится зависимость от него всех '<!-,.,■"-
каемых в расчет величин: ?р i Об), Sp2 (Рб), 7"(Рб). Рк(Рб).
/я(Рб), а затем из d /0/d |3г, = 0 вычисляется Рб. опт и далее обратным
порядком вычисляются упомянутые вовлекаемые величины, но уже
их оптимальные значения.
Подробности расчета рассмотрим па простом примере, и Koion ai
заданы:
плоская ограниченная фунвдия
Yncx(s) '--- l/(smax— gmm) = COFlSt;
экстремальная функция (см. рис. VII,3, a; pmax = fiA)
р(ё)=рд-аГ5-Ел)2;
линейно нарастающая функция цен концентрата (см. рис. VII.3, б)
/ц(Рк) = /min "f" (/max — /ruin) фк — Рисх) / (Ршах — Рисх) •
Границы |pi (|3б) и £р2 (Рб) зоны концентрата найдем из условия
Р (Ы = Рб как два корня уравнения
рА-а(е-Ы2-Рб = 0
в виде
^1(Ро)=^~У(Рл-Рг,)/а;
1ра(Ро)=бл + УРл-Рб)/а.
Вычислим следующие зависимости:
выхода концентрата от Рб
Тк(Рб) = '_? 7„«(|) (1 5 = 2У"(рЛ-р0)/а X
X(>max ?min) ,
содержания в концентрате от Рб
МРо) = [1/7к(Ро)] f P(s)Y"cX(S)ds = -f-P^ + yP";
:р i
цены на концентрат от РГ) ( здесь р11С.х = — р.\ )
/'u(Pn) ~ /mm + (/max - /mm) Рб/3 (Рл Рисх);
(VII.13)
173

критерия оптимальности от (Зб (см. рис. VII.3, в)
/а(Рб)= Qi.cx:yK(p6)/u(Pn) = 2Q„cx[fmin +
+ (/max — /mm) Рб/Рл] У (Рл-Ро)'а/(£тах - &пт) ■
Уравнение для вычисления оптимального Рб.опт имеет вид
d /,/d рб - 2QI1Cx{—/"тт/2УРл—Рб + [—Рб/2УРд — рб +
+ )'Рл- Рб] (/max—/mln)/PA}/[Vfl(Uax —Emia)] = 0.
Отсюда вычислим корень
2
Рб- опт -" "7" рл [ 1 0,0/mjn/ (/max — /min) J .
Подставив вычисленное рб.опт в предыдущие формулы, найдем
оптимальные значения для gpl, £р2, 7к, Рк, /э-
Оптимальное положение границ разделения |р1()1ГТ и sp2oiIT (CM-
рис. VII.2, а) находим по формуле
£р1,2опт = с,л -+■ У[Рл~ Рл/mii]/3(/max — /min) J /a.
Эта же задача может быть решена и методом, рассмотренным
в разд. VII.1, т. е. без введения промежуточного Рб, так к.ак имеем
одномерный случай п— 1.
Рассмотрим детальное нахождение оптимальной границы
разделения для случая комбинирования двух методов обогащения при двух-
продуктовой сепарации. Заданы характеристики фракционного
состава сырья упсх (ii, Ы и р (£,, g2) и экономический критерий опти
мальности вида (VII. 1). Требуется найти положение оптимальной
двухмерной границы разделения (рр. 0цт (gi, f2), максимизирующее
критерий, как, например, на рис. VII.4, а.
На рис. VII.4, а область D — прямоугольник со сторонами 1\ и If,
функция р (|i, £2) —наклонная плоскость над D (на осях показаны
ее следы отрезками а, Ъ, с); функци я Ytfcx не показана.
На первый взгляд решение задачи кажется чрезвычайно
сложным, так как линия (рР может разрезать область D изменения
физических свойств частиц на подобласти концентрата DK и хвостов DXn
множеством различных вариантов и неясно, в каком направлении-
вести поиск, оптимального варианта.
Ключом к решению является допущение о том, что оптимальную
линию фр нужно искать среди проекций на плоскость (!,, £2) линий
равного содержания Рб = const функции р (£,, ё2). Эти проекции
имеют уравнение
Фр(&1. 52)=P(S„ g2)-pr. = 0. (VII.14)
Геометрически (например, на рис. VII.4, а) они получаются в
результате пересечения поверхности р (£,, £2) горизонтальными
плоскостями на высоте рб.
Варьируя величину Рб, можно получить различные срр. Из
множества линий фр (£,, с») = 0, которое получается в результате варьи-
171

Рис. VII.4. Принцип варьирования (Зб при поиске двухмерной границы разделения
рования Рб от |3min до Ртах только одна фр. опт (£,, 1>) = 0
удовлетворяет критерию оптимальности.
Для нахождения фр. опт (£i, ?■>) =0, во-первых, с каждым
варьируемым Рб сопоставляется граничная линия фр (c,lt £•>) = 0 по
формуле (VII.14). Во-вторых, по этой фр (£i, l2) — 0 вычисляются 7к и
рк для концентрата по формулам
Тк(Ро)= -Г /т..сх(|х, ^)d?,d;2;
Рк(Рб) = [1/Тк(РГ,)] / /P(S1, SoJVncx (Si, Ы^'П*. (VII.10)
Здесь упомянутая фр входит в пределы интегрирования DK, так
как подобласть концентрата D,; ограничена с одной стороны
неизменной границей области D, а с другой — варьируемой границей фр.
Важнейшим выигрышным элементом рассматриваемого метода
является то обстоятельство, что после проведения интегрирования и
подстановки пределов интегрирования получается зависимость ук и
Рк от варьируемого числа Рб в явном виде [а не от искомой функции
ФР (gl- 12 = 0)].
В-третьих, подставляем найденную зависимость РЛРг.) в
заданную функцию цен /ц (рк) и получаем в явном втде зависимость цены
концентрата от Ро
/п(Рб) = /ц[%(Рг,)].
В-четвертых, подставляем зависимости V- (Р") и Mf"'"' в г.'.-ф;.-
жение критерия оптимальности /э для получения его явной
зависимости от Рб:
A)(p6)-Q1,oxYK(Pr,)f,l(Po). (VII.16)
Эта зависимость имеет максимум для некоторого оптимального зна-
ченгя Рб. опт, заключенного между pmin и рШах-
175

В-пятых, величину |3,- вычисляем как корень обычного уравнения
исследования на экстремум функции одной переменной
d/3(Po)/dpr. --0. (VII. 17)
Наконец, в-шестых, уравнение оптимальной границы разделения
q,,,, (.„т находится просто подстановкой вычисленного значения Рп.опт
в формулу (VII. 14).
Этот метод из шести шагов чрезвычаиой прост по сравнению с
другими методами (из которых можно назвать вариационное
исчисление, динамическое программирование).
Подробно этот метод рассмотрим на простейшем примере с
аналитическими вычислениями. Для сырья задано равномерное
двухмерное распределение частиц по фракциям с областью D в виде
прямоугольника размером /, X h (см. рис. VII.4, а)
Yncx(=i, 1^=~ 1/(/i4) = const.
Функция р (с;,, S,) задана линейной в виде наклонной плоскости
(см. пис. VII.4, а)
P(si- e2)-c(l - l^a-lJb),
где а. Ь, с -отрезки, отсекаемые по осям с,, £2 и р. Для простоты
расчета функции утх (sp £2) и Р (Si. £2) взаимно ориентированы
так, как показано на рис. VII.4, а.
Функция цен задана линейная в виде (рис VII.4, б)
fn(Ph-) ~ /max — /max Рк/(Рпсх — Pmiri) "= /max(l - " 2p,(/pmax) .
Здесь учтено, что рИсх = 0,5Ртах. Функция цен такова, что с ростом
содержания Ри компонента в концентрате (вредной примеси,
например, золы в угле) цена па него падает.
При решении оптимальной задачи этого примера первым шагом
используем формулу (VII.14), ограничивающую возможное
множество вероятных оптимальных границ разделения,
Фр^,, %*)-с(\ -l,ki Ub) fir. — 0. (VII.18)
Вторым шагом по первой формуле (VII.15) вычислим
Yn(Po)- /1Pr,/(/1Zstgn)= p,-,/(Wg«).
где а —угол наклона плоскости р (g,, t2) к горизонтальной
плоскости (|ь е.„). Геометрически — это зависящий от переменной
величины Ро объем над зоной DK и под функцией •упох (Sp Ы = 1/(^2)•
По второй формуле (VII.15) вычислим
МРг.) = (1/Тк) (l-'Vs)(^Pr./lR«) 0,5p,-, - 0,Г)Р,-..
Геометрически — это объем под наклонной плоскостью р (|г, ъз) над
подобластью DK (при условии уаСх = const)^
Третьим шагом подставим рж(рг>) в Л;(Рк):
MPoWxmaxO — Pfi/pmav).
17li

Четвертым шагом но формуле (VII.16) найдем
А.(Рп) = Q.hv Рб/тах(1 - - Pr,/Pmax-)/(/2tg«).
Эта зависимость имеет максимум при некотором значении ро =
== Рб, опт-
Пятым шагом вычислим корень из уравнения типа (VII. 17)
d /:,/с! рг, = Q„Cx- /max (1 — 2Pr,/pmax) /Ug o = 0,
отсюда
Рг,-пит = 0,5pmax = 0,5/2tga.
Наконец, шестым шагом, подставив последнее уравнение в
выражение (VII.18), найдем уравнение искомой оптимальной границы
разделения
Фр-опт(Еь s») = с(\ - ltla — £2'b) — 0,5/2tga=0.
Это — уравнение прямой линии, разделяющей область D на
подобласти DK и DXB.
_ Соответствующие технологические показатели равны ук = ^%,
|)к== <-'.'0|)тах! / ц == U,0/ma.xi / э = \J,loJ ц max Vhcx-
Рассмотренная в этом разделе задача очевидным образом
обобщается на случай выбора нескольких оптимальных двухмерных
границ фргопт (ii, !•>), например НОФ «Дарк>вети» (см. рис. VI.Э).
VII.4. Проектирование оптимальной принципиальной схемы
обогащения
Рассмотренный принцип варьирования Ро может быть применен
для проектирования принципиальных схем обогащения особенно для
сложного минерального сырья.
Принципиальная схема детализируется только до циклов (см. рис.
1.2, в, VI.12); детальная схема в отличие от принципиальной
показывает еще и отдельные операции (см. рис. 1.2, б). Оптимальная
принципиальная схема выбирается (проектируется) по известной границе
(границам) разделения <рр. 0irr(£i, . . . , gn) = 0, как было
показано на рис. VI.11 и VI.12 [29]. Такая схема должна «разрезать»
область D изменения физических свойств сырья на подобласти
концентратов и хвостов по найденным оптимальным границам разделения.
Типичной является ступенчатая аппроксимация границ фр. опт (si>
, . . . , |„) =0, как на рис. 1.4, VI.9, VI.11 и VI.12.
Таким образом, найденные границы разделения фр. опт четко
указывают нужную принципиальную схему обогащения.
Такое проектирование принципиальной схемы выглядит
тривиально только в одномерном случае п = 1 (см. рис. 1.2, в), но при п > 1,
т .е. при комбинированном обогащении это проектирование
приобретает большое практическое значение. Уже для п = 2 это хорошо
видно на примере НОФ «Дарквети» (см. рис. VI.9, б).
Оптимизация границ разделения отдельных циклов. При
ступенчатой аппроксимации границ разделения <рр. опт (? > In) (см. рис.
7 '..:■, .:;:, 177

VI.9 и VI.12) в каждом отдельном цикле, сепарирующем частицы по
i-му физическому свойству |;, задается оптимальная граница gp,.
Например, на НОф «Дарквети» (см. рис. 1.4) ктасс— 3 мм в
гравитационном цикле обогащается при плотности разделения {>Рь а класс
—8 + 3 мм —при рр;, и т. д. Эти ср г опт также указываются
известными фргопт (ёь • • • , |п) =0 либо сразу вычисляются в
одномерном случае п= 1. Как поддерживать заданную величину |Г,-
отдельным аппаратом или разветвленной схемой подробно рассматривалось
в гл. III и IV.
Оптимальные границы разделения срр i опт (si> . • • , §n) = 0,
соответствующая им принципиальная схема и режимы отдельных
циклов в смысле их частных границ разделения ср ; опт определяют
оптимальную (для выбранного критерия) стратегию обогащения
заданного состава.
Это — верхний уровень иерархии оптимальности, без детализации
внутри циклов или отдельных аппаратов.
Пример с табличным решением. Характеристики фракционного состава
угольного сырья возьмем из табл. VI.1, где первое число в клетках представляет собой
Упсх (/, р).\/.\р, доли ед„ а третье — р" (/, р), % золы (т. е. gi — /, £2 =^ р)-
Критерий оптимальности— экономический, причем функцию цен возьмем как на рис.
VII.4,6: /,,(p\.-)^I0—0,1 р\, /п,ах-=10 руб/т, p\„av-I00% золы, т. е. пена
беззольного концентрата составляет 10 руб/т и линейно убывает до нуля для
«концентрата» со 100 %-пой зольностью (кроме того, /'„ — 0 при р\;>20%). Этих
исходных данных достаточно для выбора оптимальной принципиальной схемы
комбинированного обогащения угля и оптимальных границ разделения отдельных циклов,
I шаг процедура решения «табличной» задачи по принципу варьирования
р>, предусматривает предварительное нахождение ряда конкурирующих границ
разделения срр (/, р) ^0 по уравнению (VII.14). Для этого проводятся пробные
граничные линии между клетками табл. VI. 1 таким образом, чтобы они
соответствовали пробному фиксированному значению fir,; например двойная линия для пробного
бортового содержания fU --25% (все фракции выше ее содержат менее 25% золы).
Заметим, что в таких «дискретных» таблицах граничные линии фр (Si, z.?.)
можно проводить с применением интерполяции, пересекая некоторые клетки. Например
при fir, — 30% золы пробная граничная линия фР (/, р) — 0 пройдет внутри клеток,
примыкающих снизу к упомянутой двойной липни в табл. VI. 1. Такая интерполяция
с учетом размеров Л / Лр клеток-фракций повышает точность оптимального решения.
II шаг — по формулам (VII.15) для каждого пробного значения f3,-, (и
соответствующей границы) вычисляются: прогнозируемый выход концентрата у,, путем
суммирования первых .чисел \псх (I, р)Л/Др в клетках над фР; прогнозируемое
содержание компонента в концентрате f>l: г.утем суммирования произведений первых
и третьих чисел fi (/, р) уисх (I, р) Д' V над фр и деления суммы на вычисленное
у..-. В случае интерполяции внутрь клеток-фракций надо вводить в суммы по
формуле (VII. 15) только интерполируемую часть рассекаемой фракции. Например, для
упомянутого пробного значения р"г, — 25% получается (см. табл. VI.1) ук'к - 21 *
«75% 0,75; (Зк L ,. -7%.
'о - _
III шаг- по функции цен fn (fi„) вычисляется для этого пробного fir, = 25%
цена за 1 т концентрата /riL ,,- Ю- 0,!рк 10 — 0,1-7- -9,3 руб.
IV шаг — по формуле (VII.16) вычислим значение критерия оптимальности
путем умножении выхода концентрата на его iciiy Л'к oj ~-Qw\ 0,75 • 9,3»7,1 (?и -\>
руб./ч.
\' шаг -те же вычисления проделываются для нескольких пробных бортовых
содержаний, чтобы найти экстремум fir, „пт функции /,, (fir,) по уравнению
(VII.17):
174

\J, -, ГЛ золы
','„-. доли од.
|iK. г,. золь:
.'ц. I1} о.т контент
рата . . . .
V^IH'S- l^'"'1" l!C"
рер;:ботатгп"о сыр1;я
6
0.62
5
9,5
. n.'J
15
0.7
<>,1
''. !,">
«.5
:?5
0.75
7
'J.3
7.1
15
0,78
10
!>
7
Отсюда видно, что максимум прибыли (7,1 руб/т переработанного сырья) полу-
лается при р\-,. ,И|Т = 25%.
V шаг — выбираем соответствующую оптимальную границу разделения
if р. «т (/, (>) — 0 (она показана двойной линией в рабл. VI.1).
Далее проектируется соответствующая принципиальная схема: она содержит
цикл разделения сырья по крупности на два продукта и два цикла разделения по
плотности, каждый — на два продукта. Оптимальная граница разделения в цикле
крупности /Р. опт = 50 мм, оптимальная граница разделения в первом
гравитационном цикле, перерабатывающем класс I < /.,. <шт = 50 мм, равна рр i опт - 1.6 т/'м3;
оптимальная граница разделения но втором гравитационном цикле,
перерабатывающем класс / > /р. опт =50 мм, равна |ip;MiT = 1.8 т/м,!.
Летальные схемы циклов должны реализовать '-ти оптимальные границы
разделения как управляющие команды верхнего уровня иерархии оптимальности.
VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ СХЕМЫ ЦИКЛОВ ОБОГАЩЕНИЯ
В предыдущей главе речь шла о нахождении принципиальной
схемы с детализацией до числа и типа циклов (гравитационный,
магнитный и т. д.) и до выбора оптимальной границы разделения |р. опт
каждого цикла.
Перейдем к внутренним частям схемы типового цикла, состоящей
из основной го (g). персчистпых еш (!) и контрольных eA-j (g)
операций (см. рис. 1.2, IV. 1 и IV.4). Примеры будем брать для схем
флотации, к.ак наиболее разветвленных и сложных.
VIII.1. Крутизна сепарационной характеристики
в рабочей точке и выбор числа перечистных
и контрольных операций
Прежде всего в соответствии с принципиальной оптимизацией по
Фр. опт(б1, . . . , |п) = 0, схема цикла должна иметь
результирующую сепарационную характеристику £ре;1 (£) с рабочей точкой в
оптимальной границе разделения £р. опт, т. е. должна удовлетворять
условию еРел (sVout) = 0,5. Например, схема гравитационного цикла
в целом должна выдерживать заданную плотность разделения рр. опт,
флотационного цикла—заданную флотируемость разделения /гр. опт
и т. д. Это достигается «настройкой» частных сспарацнонных
характеристик отдельных операций (см. табл. III.2) п может быть
осуществлено любой схемой, представленной на рис. IV. 1 и IV.4. В
частности, для схемы, состоящей из одной основной операции, связь
границы разделения gp с настроечными параметрами отдельных
аппаратов была показана в табл. III.2. Например, для флотационной
машины kp = In 2/(S/ф). Для симметричных схем _ с любым числом
идентичных персчистпых и контрольных (Я -~- К) операций граница
7* ! 7'J

Рис. VIII.1. К примеру внбора конфигурации схемы
разделения схемы в целом совладает с границей разделения
отдельной операции.
Для других схем эта связь 1Р схемы с gp* операций более сложна
(см. гл. IV).
Различные по конфигурации схемы, реализующие заданные |р. опт»
различаются крутизной к'Рез(?р.опт) сспарациоиной характеристики
в рабочей точке |р. (Шт. Увеличение крутизны (т. е. приближение
к идеальной характеристике) требует усложнения схемы. Так, для
симметричных схем крутизна растет но линейному закону с
увеличением числа перечистных и контрольных операций /7 = К — ч:
«V. (Ер) = ( +1) е'о (|Р) [см. формулу (IV. 15)].
180

Таким образом, если известна крутизна е'о (ёр) Для отдельного
аппарата и задана желаемая крутизна е'жел = const схемы в целом,
то требуемое число перечистных и контрольных операций для
симметричной схемы выбирается по формуле
П ^К= п = е'Жол/е'о(Ы— 1. (VIII.1)
Желаемая крутизна е'жел определяется требуемой точностью
разделения минеральных частиц. Приближенно, если нет особых
условий, е'жел можно связать с обогатимостью сырья: для труднообогати-
Та блица VIII.1
Влияние конфигурации флотационной схемы на технологические показатели
(АБОФ Ковдорского ГОКа)
Вариант
схемы
I
II
III
IV
V
VI
Рис.
V.7
VIII.1, а
VIII.1, б
VIII.1, в
VIII.1, г
i
VIII.1, б
Продукт
Концентрат
Хвосты
Шламы
Руда
Концентрат
Хвосты
Шламы
Руда
Концентрат
Хвосты
Шламы
Руда
Концентрат
Хвосты
Шламы
Руда
Концентрат
Хвосты
Шламы
Руда
Концентрат
Хвосты
Шламы
Руда
Вы у од. %
17,2
64,7
18,1
100
15,6
66,7
17,8
100
16,2
65,5
18,3
100
20,8
61,2
18,0
100
21.1
60,5
18,4
100
1 20.4
1 62,0
17.0
100
Содержание
р2о5. %
37,1
3,6
10,1
10,5
40,0
5,8
11,6
12,1
38,8
4,9
10,2
11,4
37,8
4,9
9,1
12,0
37,4
3,8
9,9
11,3
: 34,5
i 2,3
1 9,6
10,0
Извлечение
р2о5, %
60,4
22,2
17,4
100
51,2
31,7
17,1
100
55,3
28,3
16,4
100
61,9
25,1
14,0
100
63,0
20,9
16,1
100
70,4
14,6
15,0
100
Примечания: 1. Вариант 1--действующая на фабрике каноническая схема П — 4,
К =» 2; -'. Шламы удаляются из руды перед флотацией.
181

мого сырья нужна большая крутизна у. наоборот:
е'н«.;.(51.) ="■ /l/(Smax — Smln)/ш.пт,., (VIII.2)
где Л — безразмерный «весовой» коэффициент значимости сырья;
диоптр--«контрастность» сырья по формуле (VI 2), которая растет
с ростом размаха ртах — ртт функции содержания р (с,).
Таким образом, из формул (VIII.1) и (VIII.2) следует, что раз-
ветвленность схемы растет с уменьшением перепада содержаний
ценного компонента в частицах и диапазона изменения физических
свойств.
В разд. IV.2 было показано, как распространить этот подход и на
несимметричные схемы.
Сравним результаты выбора флотационной схемы
экспериментальным путем и расчетным — по е'рея (кр). На рис. VIII.1 даны варианты
схем апатитовой флотации для Ковдорского ГОКа, испытанные в
лабораторных условиях; соответствующие технологические показатели
даны в табл. VIII.1. Параллельно для сравнения этих вариантов
были вычислены на ЭВМ но формуле (IV.8) результирующие сепара-
ционные характеристики ерез («) (см. рг.с. VIII.1, е). Сравнение этих
данных показывает, что крез (k) характеризует схему в согласии
с экспериментальными технологическими показателями. Так,
смещение /ер вправо (в зону концентрата) повышает качество концентрата,
но снижает извлечение; увеличение круткзны е',-.г..ч (&р) улучшает
технологические показатели и наоборот. В обоих подходах —
традиционном экспериментальном и предлагаемом расчетном—близким к луч-
тему варианту VI является действующий фабричный вариант /,
показанный подробно на рис. V.7 (расчеты в этом примере сделаны
Ю. П. Назаровым).
VII 1.2. Оптимизация настроечных параметров отдельных операций
схемы
В гл. IV приведены зависимости ерРз (£) от г; (|) отдельных
операций [см. формулы (IV.8) и (IV.9)]. Сами е,- (|) зависят от
настроечных параметров конкретных аппаратов (см. табл. III.2).
Изменение настроечных параметров — обозначим их символом а,- — приводит
к изменению границы разделения |р схемы и крутизны е'рел (|Р).
Простой вариант выбора оптимальных параметров а,-опт
основывается на критерии максимизации крутизны при заданном значении
?р == ёр. опт-
е'рез(ср. опт)—^тах; epe!(cip. опт) ^ 0,5. (VIII.3)
ai
Решение задачи—это исследование на экстремум функции
г'реэ (|р. опт), например, с помощью уравнений тина
де'Рез(Ер-ш1т)/с>а< = 0.
Критерий (VI11.3) может иметь дополнительные ограничения,
например, связанные с затратами на реализацию максимально большой
крутизны.
182

Важным является ограничение по расходам на оборудование,
которые могут быть оценены суммарной производительностью Qv
аппаратов всех операций схемы или суммарным выходом продуктов
питания всех операций ух = Qv /Qnox — маши ноем костью схе-
м ы, которая ирогнозирующе вычисляется методами, рассмотренными
в гл. IV (по известным фракционному составу сырья и сенарациоп-
ным характеристикам операций). При оптимизации цикла надо
максимизировать е'рез (ёр.опт)—>-тах и минимизировать машипоемкость
ух —->min. Эти требования противоположны, поэтому необходима
постановка компромиссных задач. Из них чрезвычайно важный
практический смысл имеют два варианта: максимизация крутизны
е'рез—->тах при заданной машипоемкостн -у л — const и
минимизация машнноемкости ух—>-min при заданной крутизне е'рез = const.
(В случае флотационных машин надо еще учитывать время
флотации, так как от него также зависит объем оборудования).
Пример. Для схемы флотации с одной основной и одной перечисткой
операциями (// ^- 1, Л' -= 0) (см. рис. IV.1, б) надо найти время флотации в операциях
to и <п но критерию (V1I1.3), но с дополнительным ограничением минимизации
суммарного времени флотации
to + tn—^min. (VI1I.4)
Сенарациоппые характеристики операций:
f0 (k) 1 - -охр (■ -S(0k) - 1 ■ exp (— a0.v);
Fn (к) ■- 1 - exp (— St/ty = 1 -exp (— ацх^
где 1- время флотации эквивалентной но к,, одной операции с ft,, —In 2/{St);
do T-lc>jt и ц/г -- tji/t -- относительное изменение времени флотации при переходе
от схемы с одной операцией (см. рис. IV.1, и) к рассматриваемой схеме (см. рис.
IV.1. б); х - Stk.
Сепарацнонпая характеристика схемы ерсм (/г) вычисляется по формуле (IV.18)
<-'рел(*. ч(>, -J-u) 1 --exp (- сссх)'{1 - схр(- апх) -ехр[ - (<xQ ';■ а„) х\}.
(VIII.5)
Выбираемыми настроечными параметрами а, являются и0 и ип. Ограничение по
k,,--]r.'2, (St), пли .V;.--ln2, т. е. с. ,■ ,('ч.) ~ 0,5 тает согласно уравнениям
(VII 1.5) и (IV.20).
0,5 ехр (- - п. j j In 2) ; exp {- - iQ In 2) -O.oexp | -- {a() , ctn)ln2] 0,5,
или
a„ - - log. 11 - \j{f° -l)]. (V1II.6)
Вычислим крутизну сенарацнонпои характеристики в граничной точке с учетом
уравнения (IV.21)
V,(*p..»n- ао> *//) К'2 ''"(I 2 'z") ;-
Исследование на экстремум полученной функции е',,<л (а0, ал) с учетом
ограничивающего условия (VI1I.6) показывает, что в его рамках крутизна нарастает
монотонно с увеличением «0 и уменьшением «„ , •.. е экстремума . от п чп г.паг-;.н
183

схема может дать любую сколь угодно большую крутизну, но за счет расширения
фронта основной флотации.
Учет дополнительного ограничения (cio + an) t —* min из уравнения (VIII.4)
приводит к
■Lq J... log, [l - l/(2a° - l)] -+ min.
Дифференцируя левую часть по ао и приравнивая к нулю, найдем корень
уравнения
aOonT-log2(l-i-"l/2~)-f-0,5« 1,76, (VIII.7)
и затем с учетом выражения (VIII.6)
аЛопт="1о&0 -!-У2) -0,5 ж 0,76. (VIII.8)
Таким образом, ограничение а0 + ал —* min требует увеличить в 1,76 раза
время основной операции и уменьшить в 0,76 раза время перечистной операции по
сравнению с одной (ср. с табл. IV.1).
1
1,2
1.35
1,5
1,76
9
3
4
—
2
1.35
1.1
0.76
0.585
0.215
0.1
o.sst
0,6S<
0.744Sf
0,819Sf
0,903S(
0.96Sf
l,I9Sf
«1.5S!
0
0,16
0,25
0,512
0.712
1,02
4,5
7,04
—
3.2
2.7
2,6
2,52
2,57
3.215
4,1
Приведенные данные показывают, кроме прочего, как изменяется максимальная
ордината ец max сепарационнои характеристики по циркулирующему потоку схемы
ецш.х к^рГ-2"^1 -2~а°)/Ь -2-^(1 -2-«о)].
Иными словами, увеличение крутизны достигается как за счет увеличения времени
основной флотации, так и за счет роста циркуляции, что эквивалентно увеличению
объема флотационных машин в основной операции.
Поэтому вместо ограничения ао + ап '—* max может потребоваться органиче-
ние суммарного объема флотационных машин — машиноемкости (при сохранении
заданной kp):
*о (Qhcx + Q») + № -»-min •
Причем надо учесть фракционный состав питания для определения потоков
чернового концентрата и циркуляции:
ь
max
Qi ----- Qncx |' e, 2 (ft) Y„cx(fe)dfc;
b
b
max
Qs = Qncx J" el ,5 (k) Vhcx (k) dk ■
0
Теперь задача выбора to и / математически сложнее. При известных выходах
74 = Q4/Q»cx " Ys = QslQacz она упрощается до выражения (приближенно):
«0 (1 -I Уь) ~ -\(Ъ -г Y5)/ln2] In l(l -2.2~a°)/(l -2~a°)] -* min,
aO
отсюда
ao ,„it - —1,431 n{(3 + 4y5+ yt)/A (1 + уъ) -
- V ;(3 + 4Ys + v0/(4 + 4y5)]2 - 0,5.
184

Далее находим из выражения j_VHI.6) ал опт.
Например, при \>4 = 0.3 и \'о — ' получается ио опт — 1,56 и ил опт — 1,07.
Такое распределение времени даст минимум суммарного объема флотационных машин
для руды данного частного фракционного состава. К сожалению, для другого
фракционного состава нужно по иному распределять а0 и ал, приспосабливая эту
несимметричную схему к изменяющейся руде.
VIII.3. Оптимальное время флотации в отдельных операциях
канонических схем
Перейдем к> каноническим схемам общего вида [22]. Выражение
(IV.8) для Ерез {х) при (х = Stk) может быть преобразовано к виду
К+П+1
ер» = £ П ej(l - ej)-' / 1 - £ П е,(1 - е;)
-я-f-i j-^i
К-И 1-Й
= 1 / = 1
, (VIII.9)
где Л, К — число перечистных и контрольных операций схемы
(операции нумеруются от i = 1 до / = Л + К + 1 «вверх» по перечистной
ветви через основную флотацию, имеющую номер Л+1, и далее
«вниз» по контрольной ветви).
Считая, что зависимость извлечения узких фракций в концентрат
от флотируемостн последних в каждой отдельной операции
описывается уравнением 87= 1— ехр(—х), учтем влияние (относительного)
времени флотации а,- следующим образом: *■-,■= 1—схр (—atx), где
i = 1, 2, . . . , Л + К + 1; x=t0Sk, предположив, что во всех
операциях величина 5 одинакова. Подставляя эти выражения в
уравнение (VIII.9), получим сепарационную характеристику всей схемы
Я+K-j-l i I I
«■>:,(*, ai, ... , ап+к+i) = Yi П [cxP("j-Y)— П /i1 -г
Я+/С+1 t 1
+ Y] П [ехр(а,х)— 1] . (VIII.10)
г=1 /--I • I
Сформулируем задачу: определить, каковы должны быть
значения а,- (где t == 1,2,..., Л + К + 1), чтобы максимизировать
крутизну е'рез-
Вначале покажем, что ерез (х, аь . . . , ац-к-;-]) является
монотонно возрастающей от 0 до 1 функцией переменной х (х ^ 0) при
любых значениях а; > 0, где i = 1, 2, . . . , П + К + L Запишем
выражение (VIII.10) в следующем виде:
еРсз = e[>i(x), ... , ел-f/c-fi (*) ] >
где e.i(x) = 1 - -exp (-a,-*); i=l, 2, ..., II + K+l. Далее
используя правило дифференцирования сложной функции, можно
установить, что
Я-l/C-i-i
defe^x), ... , вп+к+Лх)]/(1х = ^j (д е/о>ег)( д Е(1дх) > 0,
«=--1
поскольку де/д?; > 0 (доказательство опущено ввкду громоздкости).
Очевидно, что д е,- (х) /<3x = a,- exp (—a, x) при a, > 0.
Следовательно, степень близости сепарациошгой характеристики (VIII.10) схемы
185

к идеальной при различных значениях at достаточно исследовать по
поведению производной е'рез (*, ai> a-i> • • •) в точке л;р = 1п2, где
£рез == 0,5.
Последнее условие вводит ограничение на а;; поскольку
exp (a.jX) = 2''"1 при х = In 2, то
п~к-\ г
I- //--I / I
/7 --K-I
J)' П(2^-1)/ l-i- £' П(2*;-1)
0,5. (VIII. 11)
i'^T / i
Продолжая решение, можно выписать выражение для
производной е'рез (хр, а], «о, . . .) в точке хр = In 2 и найти условие ее
возрастания в зависимости от значений н1( а,, . . . , ац--к-.\, что сводит
инженерную задачу к математической. В силу громоздкости
соответствующих выкладок рассмотрим только некоторые частные случаи.
Примеры. 1. Решение для схемы, состоящей из основной и перечистной
операций, сводится к формулам (VIII.7) и (VIII.8), полученным в предыдущем пункте.
2. Рассмотрим схему, состоящую из основной и контрольной операция.
Зависимость (VIII.10) в этом случае принимает вид
еРез(*. «о- ак)=~- ' — ехР[— (ао~< ■ак)*У{1 —°хР(—аох) '-
-!-ехр [—(a0-|-aK)*]}.
Здесь а0 относится к основной, а ак — к контрольной операциям.
Ограничение (VIII.11) имеет вид
aK = — logate*0 — l), (VIII.12)
где 0 < а0 < 1; 0 < ак < -•- ос.
Крутизна в точке разделения х,, = 1п2
e;e3(ln2, a0. ак)„2-^^Ю [^ + ^.^ ^Д, _2^о ,_ ^O^K)f
возрастает от 1/2 до + °°, когда а0 уменьшается от 1 до 0 (при этом, согласно
условию (VIII.12), ак увеличивается от 0 до +оо). Другими словами, сепарацион-
иая характеристика рассматриваемой схемы обогащения тем ближе к идеальной,
чем меньше длительность флотации в основной и больше — в контрольной
операциях.
3. Рассмотрим схему, состоящую из основной, перечистной и контрольной
операций. В этом случае /7=1, К = 1 и зависимость (VIII. 10_) может быть записана
в виде
еРез(*. аП' аО' ак)^ 1 ~ ' {' ~ I1 ~~ ехР(— аПх))[1 — exp(a0«)]exp(aA.x)|.
(VIII. 13)
Условие (VIII.11) принимает вид
(l-2-e")(2e°-l)2e/f=l,
a/7 = -log2|l-l/[(2a°-1)2^11, (VIII.14)
где ал > 0, ао > 0, ак ^ 0.
Из анализа крутизны
-a/72^n(l-2e°)|/[l-(l -2е") G -2a°)2a^]2
186

в точке хр — In 2 следует, что кривая (V111.13) приближается к идеальной при
II —<- оо, а о ~ ' 1 и и к—>• 0 (при этом значения а0, ич, «к должны
удовлетворять условию (VIII.14).
Исследуем вопрос о минимальном суммарном времени флотации в трех
операциях рассматриваемой схемы обогащении, при котором зависимость (V11I.13)
наиболее близка к идеальной. Для этого необходимо рассмотреть следующую
экстремальную задачу:
t0 tn ; tK-+m\x\ (V11I.15)
Н|)Н условии (из р,.,.:! (л-|,)^=0,5)
(1-2 *"){?0_ ,)2^-..i.
Обозначив 2а" — гп, 2а° = г0. 2°^ — гк, сведем эту экстремальную задачу
к эквивалентной ей
гп20гк->т'т (VI П. 16)
при условии
(Z/7 " ' >) (гО - >) гл'2У7 - ': г/7 > 1 , z„ > 2, zK :, I .
Выразив гк через г0 и гя
ZK~ zn![{zo - ') (г/7 "О! (VIII.17)
.1 подставив эту величину в выражение (VI11.16), задачу можно свести к задаче
условной минимизации функции двух переменных г2и г0/[ (г0 — - 1) (г;Г —1)]-^-
—*■ min при условии zn > 1, г0 > 2.
Решение се имеет вид
z„ -- (l -г У2")/У2"; го - 2 -;-У2".
Из выражения (VIII.17) следует, что гк = 1.
Окончательно возвращаясь к задаче (VIII. 15), имеем
*/,опт "HbO "г У2) - 0,5 * 0,70; сс0опт - log, (l У 2") : •
-1-0,5*1.76; <*«OIIT-0.
При этом Urr „пт + cio out + «к опт - 2,52, что совпадает с решением
соответствующей экстремальной задачи для схемы, состоящей из основной и перечистиои
операций (см. _-. 18-1).
Таким образом, исходя из критерия минимизации t0 ~ t,, — /к, приходим к
необходимости ликвидации контрольной операции. При этом оптимальные значения
времени флотации в остальных операциях (и другие характеристики) совпадают
с полученным выше решением для схемы, состоящей из основной и перечистиои
операций.
Без требования t0 + tn + tn —*■ min сохраняется контрольная операция, при
stom время флотации в контрольной основной и перечистиои операциях должно
выбираться в соответствии с уравнением (VIII.14). Подобная процедура за счет
некоторого увеличения продолжительности циркуляции обогащаемого материала
в схеме будет приближать сепарацнонную характеристику (VIII.13) к идеальной.
Рассмотренный в разд. VIII.3 подход является первым
приближением при проектировании схемы цикла флоташш. так как не
учитывает фракционного состава сырья и машиноемкости схемы.
VII 1.4. Расчет материальных потоков и объемов флотационных
машин в симметричных схемах флотации
Рассмотрим вопрос выбора требуемого объема флотационных
машин, что является примером дальнейшей детализации схемы,
187

Применим рассмотренную в разд. IV.3 методику расчета
технологических показателей к более обобщенному анализу материальных
потоков в симметричных схемах флотации (см. рис. IV.1, г — е), что
позволит решить задачу выбора объема флотационных машин. Для
канонической схемы Я = К = 1 (см. рис. IV. 1, г)
q*(k)= во etfQiicxYncx(ft)/(l — го — гк + го ея+ гогк)',
q-a (k) = г0 (1 — ел) Qncx y»<-x (k) / (\ — г0 — гк + го гп+ го г к) \
<}t(k) = ек(1 — eo)QncxYucx(^)/(l — ео — ек + ео ел+
+ е0ек)ео. (VIII.18)
Интегрирование qt(k), q-0(k), q9(k) по & в пределах от 0 до
&тах дает полные производительности по этим продуктам Qit Qb, Qe,
что позволяет анализировать поведение циркулирующих нагрузок
Q& и Q6 при изменении состава сырья уисх (&) или при изменении
времени флотации ti в отдельных операциях.
Рассмотрим простой, но практически важный [особенно для
7исх(&), близких к равномерным] случай, когда продолжительность
флотации, а точнее /ер, для всех трех операций схемы является
одинаковым, т. е kpo =йРя = £рк или to = tn = tic = t при St = const.
Тогда сепарационные характеристики упрощаются и формулы
(VIII. 18) при Е{ = 1—ехр (—х) и х = Skt принимают следующий
вид:
<?4= [1 - ехр(-*)]а Q„« Y„«(fe)/{1 - 2[1 - ехр (—*)] +
+2[1 — ехр(—x)]2}=8i,4(7i;
q-0= Qe= ехр(—х)[1—ехр(—л:)]QJIcxYш:x(£)/{l —
— 2[1 — exp(—a-)]+2[1— exp(— x)]2} = e,, .-,</,. (VIII. 19)
Аналогично для канонической схемы Л = Д' = 2 (см. рис. IV. 1, 5
и V.5) [QncxYiicX(/e) =<7i]:
<7„ = [ 1 — ехр (-а-) ]3 Q„cx vhcx (fe)/{l — 3[1 —ехр (—х) ] X
X ехр (—х) =epe3QucxYncx=ei, 8<7ь
95 = ^6 = ехр(—A:)8Pe3QiicxYncx/[l — ехр(—х)]2 =ei,5?i;
% = ехр(—x)ePe3QiicxY"cx/[l — cxp(—x)] =et, э^г,
?ю== (1 — еРез)[1 — ехр(—x)]QIICXYiicx/exp(—x) = Ei,,o<7i. (VI 11.20)
Для полуканонической схемы П = К = 2 (см. рис. IV.1, е) в
рассматриваемом «синхронизированном» режиме уравнения для
продуктов (7я> <75 = <7б> <7э> <7ю совпадают с аналогичными уравнениями
(VIII.20) для тех же продуктов при условии:
to = tni = tm = tx\ = tK2= t; ao = an\ =
= ал2 = aw = ак2 = 1; 2 аг= 5. (VIII.21)
Так как сепарационные характеристики ец зависят только от
сепарационных характеристик отдельных операций, а в
рассматриваемом случае идентичных /ер зависят только от х = kSt, то для лю-
188

Таблица VIII.2
Сепарациониые характеристики е1£- для основных продуктов схем
X
0
0,2
0,4
0,6
In 2
0,8
1
1,2
1,4
2
ос
Схема 11
*1:4
0
0,047
0,195
0,403
0,500
0,600
0,747
0,843
0,903
0,976
1
= К= 1
£/:5 — ylfi
0
0,210
0,396
0,491
0,500
0,490
0,435
0,363
0,296
0,152
0
ei:8
0
—
0,105
—
0,500
—
0,830
—
0,940
—
I
Схема Я
Kl;5^sl:6
0
—
0,645
—
1
—
0,764
—
0,403
—
0
= К= 2
£/.-5
0
—
0,213
—
0,500
—
0,483
—
0,306
—
0
ZI:I0
0
—
0,433
—
0,500
—
0,280
—
0,100
—
0
бых последующих расчетов целесообразно заранее определить
значения этих характеристик при различных х (табл. VIII.2).
Табл. VIII.2 содержит полную информацию о сепарирующих
свойствах схем [переход от относительной флотируемости х к абсолютной
флотируемости частиц k производится по формуле k = xJ(St)].
Пояснкм подробнее физический смысл чисел в табл. VIII.2. Для
столбца концентрата 4 первой схемы ei, 4 = 0 означает что 0 частиц
с относительной флотируемостью х = 0 (с абсолютной
флотируемостью k = 0) попадают в поток концентрата 4 из потока питания
схемы; частицы с флотируемостью х = 0,2 [k = 0,2/(St)} попадают
в концентрат 4 в количестве 4,7% исходного; частицы с
флотируемостью A' = In2 \k = kPm\n2/(St)] попадают в концентрат 4 в
количестве 50 % исходного и так далее по всем сепарирующим
характеристикам Нц(х).
Анализ табл. VIII.2 и формул (VIII.19) — (VIII.21) показывает
следующие свойства симметричных (и «синхронизированных» в емыс-
ле kpo = kPm = . . . = &РК2 ) схем. В схеме П = К=*\ (см. рис.
IV. 1, г) циркулирующие продукты 5 к 6 одинаковы по своему
составу; для схемы П = К = 2 (см. рис IV.1, д) циркулирующие
продукты 5 и 6 также одинаковы по своему составу, а потоки 9 и 10
отличаются друг от друга и от потоков 5 и 6; в схемах на рис. IV. 1, д и
е одноименные циркулирующие потоки идентичны. Для всех
циркулирующих потоков частицы с флотируемостью разделения хр =
= In 2 [kp = In 2/(5^)] составляют максимальную долго питания;
частицы с флотируемостью, отличающейся от kp, попадают в
циркулирующие потоки в меньшей степени, т. е. графики всех сепарацкон-
ных характеристик ei.s(x), е\,б(х), ei,9(x), ei.ioU) имеют максимум
при хр = \п2; графики сепарационных характеристик, s,, i = ерез и
е18 = р,,,„ в точке л- = а'р=1п2 имеют максимум крутизны ir
приближаются к ступенчатому виду с увеличением числа перечистиых и
контрольных операций схемы.
189

Вес названные свойства справедливы для любого сырья yu<s (к),
по лишь при условии синхронизации операций: kvi = const.
Если рассматривать флотационную схему как инструмент,
предназначенный для выделения частиц с флотируемостыо кр < к < ктях
в концентрат и частиц с флотируемостыо 0 < k < kv в хвосты, то
симметричные схемы делают это наиболее точно, когда они
синхронизированы. В противном случае максимумы характеристик для
циркулирующих нагрузок. е:,.-,(х), е:.б(х), ei,9(*), ei.io(*) смешаются
от общего оптимального положения х = хр=1п2, а крутизна
характеристик е'рез {хр) в точке хр = In 2 уменьшается, и
характеристики еРез (х) отдаляются от желаемого ступенчатого вида.
Методику расчета материальных потоков и объемов
флотационных машин рассмотрим на примере конкретного сырья.
Характеристики фракционного состава по флотируемости апатпто-нефелиновой
руды, подготовленной к апатитовой флотации (степень измельчения 50% класса -
0,074 мм, реагенты: 75 г/т NaOH, 100 г/т жидкого стекла, 10 г/т ОП-4, 85 г/т
собиратель:
Ф.-отируемость частиц k,
10--2 м/мин П 0--0.lt 11.1-1 -0,88 0.8S—1.32
Выход фракции. К 68.5 1.2 12.7 14,6
7ИГХ(М, мин'м ....-- «1.55 28.8 32,2
_Содержание 3(й). с,о Р.,0.-, . 2.98 30.0 29.0 -U.0
Р„г^ -- 12,6% Р205
Если в концентрат удалить все флотируемые фракции с к > кр — 0, то
извлечение составит 95%, а содержание Р^О^ в концентрате 38,7с/о- Увеличение к„ до
kv = 0,1 • 10 "2 м/мин дает кондиционный концентрат, содержащий 39,4% Р>03.
при извлечении 90%. Для расчета циркулирующих нагрузок считаем заданным
£р = 0,1-10"2 м/мин, откуда In 2/kp = St — 700 мин/м; относительная флотнруе-
мость (см. табл. V11I.2) .\r:! —S^,,«=700 к-,. По формуле (IV.25). интегрируя </:-,.
получим циркулирующие потоки для схемы на рис. IV.I,-? (П — К—\):
max
Qs = Q« - \ Qhcx^i ,o (*) 7ncx (*) dft « Q„„ (0,5-0,685 - 0,21.9,55-0,0285-10"- -
b
-0,491-9,55-0,0285-10—2 ■■ . . .-- 0,152-9,55-0,0285-10~'2 -!- 0,1 -0,127 -f
--0,1-0,146) -0,38Q„CX.
Первое число суммы заменяет 0 ■ 6 (k) и соответствует вкладу нефлотируемой
фракции, два последних числа дают вклад флотируемых фракций в диапазоне
(0,44 -Ь 1,32) ■ Ю-2; число A k = 0,0285 • 10~2 соответствует тагу интегрирования
Д х = 0,2.
Аналогично поток концентрата для той же схемы
ь
max
Qa- f Qhcx«S|. 4 (*) 7и« (*) dft « Q„cx (0,047-9,55-0,0285-10"2 -|- . . .
0
. . . 1-0,976-9,55.0,0285-10-2:-1-0,127--1-0,146) -0,3QHCX.
Остальные потоки по твердому составляют:
Q2 --0,68Q„CX; Q, .-.0,7Q„Cv Q3 1 ,08Q„CN;
Qurx ; Q& " I" Qb - " 1 ,76Q(,cx-
190

Объемные потоки пульпы, поступающей в основную, перечпетную и
контрольную операции определяются следующим образом:
Qo пул ' ."GQncx/P ";" W0'. Qtl пул -= ° '68Q1ICX/p — U"/b
<гЛ„ул-1.о8<г..сх/р~^,
где [) — средняя плотность твердых частиц, т/м3; №0, Wj;, W;>- •- потоки воды
н операции, м3/мпн.
При рассчитанной выше величине St — 700 мнн/м, принимая среднюю аэрацию
пульпы во флотационных машинах равной S = 150 ма/м3, получаем необходимое и
одинаковое время флотации во всех операциях t — 700/150 = 4,7 мин. Объемы
флотационных машин составят:
V0 -4,7(1,70Q„cx/p -: - W0); Vn - 4,7 (0,68Q„cx/p - Wn);
^■--4,7(l,08Q„cx/p ,FA],
где [V']--m3; [Q„,.4l -т/мии; [W'l =--м3/мин.
Если реальные объемы флотационных матиц отличаются от этих вычисленных
(для данного сырья и реагентного режима), то флотационная схема выходит из
синхронизма /i,,i^=const, в результате чего изменяются циркулирующие потоки и
уменьшается точность сепарации вследствие смещения kp; к этому же ведет
изменение Yhox (k). Схемы на рис. IV.1, д и е рассчитываются аналогично.
VI 11.5. Об оптимальной подготовке питания цикла
Желательно, чтобы исходное литание цикла было хорошо обога-
тимым, т. е. фракционный состав 'ПР.тания уисх (|) и В (|) должен
удовлетворять критериям типа: максимизация контрастности
/контр—»-тах, или максимизация области изменения физических
свойств D, кли максимизация произведения D/KOhtp—>-max.
Такие или подобные им промежуточные критерии, не
вовлекающие технологические показатели ук и Вк, позволяют разделить
общую и сложную задачу оптимального обогащения на две более
простые и менее зависимые друг от друга: оптимальная рудоподго-
товка к оптимальная схема (цикла).
В качестве примера наиболее сложной задачи оптимизации рудо-
подготовки рассмотрим подготовку питания флотационного цикута
в смысле выбора степени измельчения и реагентного режима по
критериям оптимальности, связанным с кривыми кинетики флотации
проб питания цикла.
Два типа функций ^исх (k) и Вме (&) могут быть определены из
двух типов экспериментальных кривых кинетики флотации; обычной
кривой кинетики флотацки суммарного твердого етв (0 и
дополнительной кривой кинетики извлечения полезного компонента еМе (t)
(например, некоторого металла Me). Кривые кинетики и функции
распределения связаны соотношениями
е,в(0= "Г U-cxp(-kSt)]ywx(k)dk- (VIII.22)
о
_ , max
едге(0 = Р^ f (W(fe)[l--exp(-ftSO]Y„cx(fe)clft) (VIII.23)
о
где ijJiicx — среднее содержание полезного компонента в исходном, %.
191

Из сказанного вытекает важный для практики вывод: две
кинетические кривые еТв (t) и гМе (0 содержат необходимую и достаточную
информацию для этого сырья; одна обычная кривая етв (i) не
содержит достаточной информации о сырье к поэтому сама по себе, без
дополнительной кривой еме(0» не представляет практической
ценности; более того, два разных типа сырья — хорошо обогатимое и
плохо обогатимое —могут иметь совершенно одинаковые
кинетические кривые первого типа етв (t).
Вывод о необходимости двух кривых етв(0, еме (0 позволяет
поставить задачу о разработке методики исследования обогатимости,
в которой влияние степени измельчения, типа и расхода реагентов
оценивается по двум кинетическим кривым еТв (0 к BMe(t),
зависящим от этих факторов. При этом, чтобы после каждого очередного
опыта избежать расчетов ожидаемых показателей ук и рк,
желательно заранее знать, какое сочетание двух кривых етв (t), гме (0
является благоприятным и ведет к высоким показателям обогащения,
а какое является неблагоприятным. Другими словами, обе кривые
надо связать между собой одним критерием «рудоподготовки», при
увеличении которого показатели обогащения улучшаются; степень
измельчения и реагентцый режим, при которых критерий достигает
максимума, являются оптимальными.
Для выбора критерия целесообразно предварительно провести
анализ влияния вида кривых етв (0 и еме (t) [и связанных с ними
Yucx (fe) и $ме {&)] на показатели обогащения с целью возможности
быстрой «расшифровки» этих кривых.
Рассмотрим два случая. В первом случае (рис. VIII.2, а)
экспериментальные кривые етв (t) и еме (0 одинаковы. Это говорит о том,
что в соответствии с формулой (VIII.23) при любой флотируемости
k содержание ценного компонента (металла) в частицах является
постоянным и равным среднему содержанию в исходном, т. е. имеет
случай (Зме (/г) = рисх = const. Таким образом, экспериментальный
результат етв (0 = еме (0 «расшифровывается» в условие $ме (k) =
= рисх, хотя распределения у (k) могут быть и различными.
В частном примере па рис. VIII.2, б уаСх (£) имеет импульс с
площадью, равной доле нефлотируемых фракций унф = 0,6, при k = 0;
остальная часть графика для уисх (k) соответствует флотируемым
фракциям в диапазоне 0 < k < &тах; числовые значения ушх{Щ,
рме (k) найдены с помощью формул (VIII.22) и (VIII.23).
Если форма совпадающих еТВ (t) и еме (0 б эксперименте
изменяется, значит изменяется только функция 7исх(£), а график
функции (Зме (k) остается параллельным оси абсцисс при условии
рМе (/г) = Рисх. В свою очередь, это условие указывает, что данное
сырье (при данном реагентном режиме_и пр.) не обогащается
методом флотации, так как при рме (k) = рисх получаем рк = рисх, т. е.
содержание металла в концентрате равно содержанию металла в
исходном (для любой флотационной машины или их комбинации). Это
поясняется тем, что частицы с k > kp преимущественно уходят в
концентрат, а среднее содержание в нем является средним по этим
«копцснтратным» частицам и, следовательно, равно (Wx-
192

a
€ foru еЗ.
f W с/ч
tf.fi L
/£
5
1
ХВо
i'J
-ты
Концентрат/ °
■—^ /J3
■ /V=Ac,\
П, ■". ч
-
-
00
4tf
.?/?'
? 4 A ЛГ'м/р
№ 230 200 чОО i,c.
Mel r!
Рис. VIII.2. Оптимальная рудоподго-
товка к флотации
Во втором случае экспериментальные кривые еТв (0 и еМе (t)
неодинаковы (рис. VIII.2, в). Это значит, что содержание ценного
компонента в различных по флотируемости фракциях различно и график
Р-м-е (к) непараллелен оси k.
Если кривая гме (t) проходит выше кривой етб (t), значит среднее
значение функции рдге (к) во флотируемом диапазоне 0 < к < femax.
больше ее среднего в нефлотируемом диапазоне к = 0, и наоборот.
Чем быстрее и ближе к единице приближается график едге(0> тем
больше ценного компонента содержится в частицах с большим к.
В идеальном предельном случае, когда еМе (t) «скачком», т. е. очень-
быстро достигает единицы, график для функции рдге (к) сосредоточен
в области больших к, а для малых k и к = 0 график Рме (&) идет па
оси абсцисс. Такое питание легкообогатимо.
Если график еме (t) не достигает единицы, значит часть ценного
компонента находится в нефлотируемых частицах; причем доля
ценного компонента в них определяется расхождением между графиком
яме {t) и единицей при /—>-оо. Отношение (асимптотических при
t-—voo) ординат графика e.vre (0 к ординатам графика еТв (0 равно
19М

степени концентрации ценного компонента после обогащения, т. е.
отношению его содержания в концентрате к. содержанию в исходном.
Поэтому желательно, чтобы график гм„ (t) проходил возможно
ближе к единице, а график еТ1! (t) -- возможно ниже единицы; первое
обстоятельство отражает стремление к 100%-ному извлечению
ценного компонента в концентрат, второе — к максимизации содержания
ценного компонента в концентрате.
Вернемся к критериям оптимальности с использованием
сказанного о расшифровке кривых етв (t) и ъме (t). Можно предложить
следующие критерии, которые требуют деформации экспериментальных
кривых еТв (t) и ъме (0 в упомянутом желательном направлении:
f
\ tMe(t)dt = St—>-max; e.ueU^Sx—*max;
о
SJ[\ -euM')]—>max-
t-
\ [BMe{t)/eTn{t)]dt = S2—>-max; ZMe{t')S2-—vmax;
b
SJ[\ — е.лгР(П]—«-max;
(VIII.24)
f v
S SMe{t)dt— S eTB(0c'fS.)—»-ma.\;
о о
(Sj —S8)/[l —еие(0]—>max,
где V — длительность переходного процесса кинетики, равная
времени «входа» кривой етв (0 в 5%-ную зону около асимптоты, с;
еме (t) — асимптотические значения для кривой еме {t) при t =
= /'—voo; Si, S2, S3 — площади под кривыми e.Vr(0. ел/Д0/етн(0>
етв (t) за время V, с.
Планирование экспериментов по одному из этих критериев не
требует обязательного вычисления площадей после каждого опыта по
кинетике флотации; достаточно построить графики ZMe(t), eTB (t) и
еме (0/етв (t) и посмотреть, как они сместились в результате
изменения условий очередного опыта. Например, пусть при работе по
первому из критериев (VIII.24) эксперимент ведет к смещению
кривой еме (0/втв (t) (это зависимость степени концентрации от времени
флотации в одной операции) вверх по сравнению с предыдущими
экспериментами. Тогда увеличение S2 очевидно и без вычислений.
Поэтому достаточно подбирать условия флотации таким образом,
чтобы график ъме. (0/вк (0 смещался выше и выше.
Возможны и другие критерии оптимальности рудоподготовки, но
еще, и это важно, возможен и «перевод» технологических или
экономических критериев в критерии, соотнесенные с кривыми ккнетики
етв {t) и еме (О-
Возьмем критерий максимизации выхода концентрата при
заданном содержании ценного компонента в нем, т. е. ук—>-тах,
рк = р3ад. При работе по нему с кривыми кинетики упомянутый
«перевод» делается следующим образом. После каждого опыта кинети-
194

кн, помимо кривых еТв (/), e.vc(0> строится еще кривая гме (*)/еТв (0.
(см. рис. VIII.2, в, пунктирная_липия). Она пересекается
горизонтальной прямой на высоте р.чад/Рнох, соответствующей заданному
содержанию мстал.'ш в концентрате. От точки пересечения опускается
перпендикуляр до встречи с кривой ^т., ;П: ордината точк;-
пересечение является приближенной оценкой ожидаемого выхода
концентрата уи. Оптимальный режим флотации подбирается по критерию
максимизации этой_ординаты yk, которая монотонно возрастает с
реальной величиной Yk независимо от разветвлепности схемы флотации.
Таким образом, рассмотренная методика предусматривает в
качестве основного и однотипного опыта экспериментальное получение
двух кинетических кривых е..п. (/), едл, (/), из которых сравнительно
просто определяется значение выбранного критерия оптимальности;
оптимальный реагентиый режим и крупность измельчения
подбираются до максимизации критерия. Применение этой методики
сокращает объем экспериментальной работы даже, если «доводочные»
опыты проводятся обычным путем (в последнем случае предлагаемая
методика может .применяться для первого приближения к
оптимальному режиму). Кроме того, в этом уменьшенном объеме
экспериментальной работы происходит перераспределение нагрузки с
уменьшением доли технологических опытов по сравнению с долен химических
анализов,
В случае многокомпонентного сырья, из которого получают
несколько концентратов или один концентрат с несколькими ценными
компонентами, в базисном опыте по кинетике флотации нужно,
помимо кривой еТп(0> получить кривые кинетики извлечения каждого
ценного компонента e.vid (t), e,vi<-:> (t), г.ме.\ (t). Поскольку схема
флотационного обогащения теперь содержит несколько циклов и,
может быть, несколько стадий, могут потребоваться различные
критерии оптимальности для различных циклов, например, в цикле
получения первого концентрата надо «тянуть» к единице кривую гме\ (t),
а в цикле получения второго концентрата — кривую ем*2 (0 и т. д.
Этим методом во ВНИИнеруд были выбраны оптимальные
режимы реагентиый и гзмельчения для новой технологической схемы
обогащения тальк-магнезитовых руд Шабровского месторождения, а
в ЛГИ — для обогащения хибинской руды [26].
VII 1.6. Оптимизация технологической схемы ОФ-1 ГМК
•кПеченганнкелъ» с помощью АВМ
Была сделана попытка оптимизации технологической схемы
флотации вкрапленных медно-никелевых руд на основе сепарациоиных
характеристик ирг использовании в качестве критерия оптимизации
крутизны сспарационнной характеристики схемы [21].
Задачей оптимизации являлось получение технологической схемы,
оспа рационная характеристика которой максимально приближалась
бы к идеальной. В этом случае в качестве критерия оптимизации
удобно воспользоваться значением крутизны сепарационной характе-

'400
+10
Рис. VIII.3. Аналоговое моделирование одной операции флотации
ристики в точке, соответствующей границе разделения е'рез (&р)—*■
—>-тах.
Для решения задачи сепарационная характеристика одной
флотационной операции ек (k) = 1 —ехр (—Stk), eXB (ft) = ехр (—Stk) (и
схемы в целом) моделировалась на аналоговой вычислительной
машине с использованием схемы, представленной на ркс. VIII.3, а. При
этом переходный процесс UBUX(t) на выходе усилителей / и 2 будет
эквивалентен сепарационным характеристикам ехв (&) и ек (k) (рис.
VIII.3, б).
Модель веси схемы, обладающей сепарационной характеристикой
RpiM (k), можно получить, соединяя модели отдельных операций в
соответствии с исследуемой технологической схемой. Варьируя модели,
можно найти схему, имеющую максимальное значение крутизны
сепарационной характеристики.
Межцикловая флотация
Г"
Измельчение
Основная флотация
ацич Т
Контрольная ерлотац
Y ;
| Отвальные I
I перечистная хвосты i
i— з. i
г
Л перечистна*
т
Основная перечистная
ПромпроЗуктовая флотация
Концентрат
Рис. VIII.4. Действующая схема
флотации ОФ-1
Рис. VIII.5. Результирующие сепара-
циоиные характеристики действующей
(/) и оптимальной (2) схемы
флотации
196

\
r-J
Г"
.
*
с vna v'lOSan tpro">auuf'
.. 1
Нлнелачение
Ог.чодная срлогч^ии"
1*- ^ --.
' с ^
Моделирование действующей
технологической схемы одной из секций
ОФ-1 (рис. VIII.4) позволило
получить сепарационную характеристику
(рис. VIII.5, кривая /). С целью
изыскания оптимальной технологической г .—^г*~ч~* . к
схемы было исследовано несколько
вариантов связей между основной,
перечисткой и контрольной операциями. : ':ггечиС:г"1а*!,л ■ j-~ -*-т
Полученные результаты позволили м> * ! : [К0"^'1Р"''"'
сделать следующие основные выводы, у *— ;
1. Увеличение числа перечистных „ l.t ! :i >-
Операции Ведет К рОСТу ПОЛОГОГО учаСТ- пег.гчастная
ка при k<Lkv на кривой сепарациоиной ■ ]_
характеристики и к росту kp. В то ^ *^ у
же время крутизна характеристики • Жхснтрольная
е'рез(^р) уменьшается. Следовательно, I i I f
В ЭТОМ Случае ДОЛЖНО ПОВЫЩатьСЯ Концентрат Отвальные
качество концентрата (чем выше kp, хдааты
тем больше ценного компонента содер- Рпс VIII6 оптимальная схема
жат частицы, извлекаемые в пенный флотации
продукт) с одновременным снижением
извлечения.
2. Увеличение числа контрольных операций влечет за собой
увеличение крутизны сепарациоиной характеристики, уменьшение kp,
сокращение пологого участка при k <; fep, т. е. приводит к улучшению
разделительных свойств технологической схемы. Учитывая
необходимость повышения извлечения на ОФ-1, представляется
целесообразным введение дополнительной контрольной операции, что улучшит
разделительные свойства действующей схемы.
3. Наличие или отсутствие промпродуктовой флотации в
технологической схеме не оказывает заметного влияния на результирующую
сепарационную характеристику.
4. Наличие глубоких обратных связей (т. е. циркулирующих
потоков промпродуктов) не улучшает результирующей характеристики,
а ухудшает чувствительность схемы к управляющим воздействиям.
Основываясь на этих выводах, можно предложить схему, близкую
по своим параметрам к оптимальной (рис. VIII.6). Предлагаемая
схема характеризуется тем, что содержит равное число перечистных
и контрольных операций, в ней отсутствует лромпродуктовая
флотация, сведены к минимуму циркулирующие нагрузки.
Сравнение результирующей сепарациоиной характеристики такой
-схемы еопт (&) с характеристикой ерез (&) действующей схемы
показывает, что в точке е = 0,5 при к = kv крутизна е'рез (&р)
действующей схемы значительно меньше крутизны характеристики
оптимальной схемы е'опт (&р). Следовательно, предлагаемая схема обладает
лучшей разделительной способностью, что позволяет получать более
■ высокие технологические показатели. Следует так.же отметить более
высокую чувствительность .предлагаемой схемы к управляющим
воздействиям. Отсутствие глубоких обратных связей дает возможность
197

выделении независимых контуров управления и значительно
уменьшает инерционность схемы.
В соответствии с приведенными выше рекомендациями на I
секции ОФ-1 были проведены промышленные испытания схемы с
исключением операций флотации иромпродукта и подачей его в начало
межцикловой флотации. При этом общий фронт флотации был
сокращен на 24 камеры.
Результаты сравнительных испытаний действующей
и предлагаемой схем, °/о
Действующая Предлагаемая
схема схема
Секция 1 11 1 U
Содержание металла в:
руде 0,52 0,52 0,514 0,505
концентрате 5,65 5.72 5,2-1 5,49
хвостах 0,158 0,256 0,152 0.1-19
Извлечение в концентрат . . .71,7 72 72,5 72,4
Испытания проводили в два этапа. Результаты испытаний
свидетельствуют о том, что исключение операции промиродуктовон
флотации и соответственно сокращение фронта флотации на 24 камеры не
повлекло за собой снижения технологических показателей, что
подтверждает данные, полученные при моделировании. Исключение
операции флотации нромпродукта позволяет без установки
дополнительного оборудования увеличить фоопт контрольной флотации, а также
использовать высвобожденные флотационные машины для операции
флотации песковой фракции отвальных хвостов, что позволит
увеличить извлечение металлов.
К настоящему времени новая оптимальная схема внедрена со
значительным экономическим эффектом.
Предложенный метод оптимизации технологических схем
отличается сравнительной простотой и малой трудоемкостью, что позволяет
рекомендовать его для широкого использования в обогащении
полезных ископаемых.
В заключение заметим, что задача оптимизации отдельных
аппаратов, их аналитическое конструирование (т. е. дальнейшая
детализация) не входят в рамки данной книги.

Vi11.7. О проектировании и эксплуатации минимально
машиноемких схем
Продолжим оптимизацию циклов по пути от простого к сложному
и рассмотрим более детально и строго минимально маншносмкне
схемы.
Под маипшоемкостыо будем понимать либо суммарную
производительность оборудования всех операций схемы Qs либо суммарный
объем флотационных машин и других «объемосмкпх» аппаратов Vz
Другими словами, но машипоемкости схемы циклов можно разделить,
но крайней мерс, на два типа:
маппшссмкость определяется только суммарной
производительностью операций Qj; ~ Qncx 2 Тлит г- ГЛ-е Тпит t—выход питания i-й
операции;
машиносмкость определяется еще и временем d обработки
материала в операциях, т. с. суммарным объемом оборудования V^ —
Примером первого типа могут служить гравитационные или
магнитные схемы обогащения, второго — флотационные.
Задача минимизации машипоемкости при проектировании требует
критерия оптимальности ^у.шт i—итпп для схем первого типа и
2^7питг—>-min для схем второго типа при условии реализации
схемой заданных технологических показателей но содержанию
компонента рк и выходу 7к концентрата (либо извлечения ек). Ниже
рассматривается эта оптимальная задача н дается пример для флотационных
схем.
Начнем с оценки машипоемкости схемы. Выход питания любой
t'-й операции
*тах
Тпи,*- J"«W *(!)?..« (s) ds, (VIII.25)
5min
где еши-п- — сепарационная характеристика от исходного до питания
1-й операции, т. с. извлечение узких фракций в этот продукт от
исходного сырья.
Для канонических схем сеиарационные характеристики питания
основной, П перечистных и К контрольных операций, а также
результирующая всей схемы имеют вид:
е,„„т0 (I) - GH/(A'G -J- B'H); (VIII.26)
в.п„т т (I) -= A'Ght/(A'G - ВН) a,; i -- 1, 2, . . ., Я;
eunnKiil) -■ B'Hgt/(A'G -i- B'H) by, /=1,2, . . ., /С;
вре, (s)-Л/И ^-В),
где G --. А (1)1 А'; Н-= В (£)/£'; А' = 'П гш;
i'=-0
199

В' -■ П (1 - ек.); А - А(1); В = В (£);
/-.о J
П+\ /—I П П
hi "= ^ П (1 — е//г) Пе,/Г; иг --= П еЛг;
/ —i-^l г--1—1 f— I r--i
К+\ I -\ К К
gj^ V П екгП(1—ел>); ^П(1—М-
г--М-1 r-=/-ri г--/ /•=/
Минимизируемый критерий машиноемкости для схем циклов
соответственно первого и второго типов:
_ Я+К---1
2Y,nrr i -' j V е1пит г (б) Yhcs (S) ds;
Z'lYmrr i = j' "''v"' tfilam t {I) YlInt (I) dl. (VIII.27)
i
Возможные ограничения по технологическим показателям yh и [}к
целесообразно перевести в ограничения по результирующей сенараци-
онной характеристике схемы eprad), учтя два параметра последней:
границу разделения сР п крутизну е'Жел(ёР).
При заданных ip и е/щел(^р) соотношения (VIII.26) и (VIII.27)
дают строгую задачу, решение которой позволяет выбрать
конфигурацию н настроечные параметры операций схемы.
Другая модификация этой задачи (в частности, задача
эксплуатации): машинсемкость задана (Еупит .- = const или Б^упит ,- = const)
и нужно максимизировать крутизну е'Жсл >тах в точке |р путем
выбора П, К и параметров операций.
Величины 1Р и б'-,,;,..-, связаны с сепарациоппымн характеристиками
основной, псречистных и контрольных операций:
A'G/(A'G - В'Н) |t = 0,5;
e*M = d IA'G/[A'G -f B'H))[dl |6p. (VIII.28)
Для схем гравитационного, магнитного и флотационного
обогащения решение поставленной задачи минимизации машиноемкости
можно разбить на два этапа: сначала определяется конфигурация
оптимальной схемы {П, К), затем остальное.
Для канонических схем можно применить следующие
приближенные формулы для оптимального числа псречистных и контрольных
операций (выкладки опущены):
Яопт = Кжел ! 1 + [(2*,„елТр " 4Тт,п)/(2*СЖелТр + 4угаах)]'/2)/2 - 1;
Дшт = Кжел (1 -г [(2/С;келТр -'г 4^пах)/(2^„«л7р -'г 4ут1п)],/,}/2-1, (VIII.29)
где заданы утт, \'р> \im\x - выходы хвостовых (£■—>-|mm), средних
(£—>->р) н коццентратных (£—<-?тях) фракции питания схемы (ут|П +
+ \'р + \'пк1\= 1); Яжсл — р'жсл/ео'■-• требуемое увеличение крутизны ха-
200

рактеристики е'жел схемы относительно крутизны (средней)
характеристики е.(/ одной операции (определение см. ниже в примере 1).
После нахождения Пппт и Кот можно перейти к нахождению
настроечных параметров для отдельных операций, что подробно
рассмотрим для флотационных схем — типичного представителя цикла
второго типа. Отдельная /'-я операция флотации имеет сепарациоппую
характеристику, границу разделения и крутизну в виде
et(k)=l-exp(-Sttik); *pl = ln2/(S^); ' e'pl = 0,5Sttt, (VIII.30)
где k — флотируемость частиц, м/с (является физическим свойством
разделения для флотации, т. е. £ = /г); S,— степень аэрации, м2/м3;
U—время флотации, мин (S,- и tt— главные настроечные параметры
операции). Теперь в задачу минимизации машиноемкости с
соотношениями (VIII.27) и (VIII.28) вместо еншт,- вводятся S, и tt посредством
уравнений (VI11.30) и (VIII.26) и далее в процессе решения
исследуется па экстремум-• минимум зависимость 2/^'пнт ,- = f (SUt) при
ограничениях (VII1.28). Процедура решения сложна математически.
Упрощение процедуры решения получается заменой в соотношениях
(VIII.27) интеграла па сумму по нескольким фракциям флотируемости
Akt. Рассмотрим типовые этапы проектирования на примерах.
Рассмотрим пример 1 перехода от требуемых технологических показателей
Yk и |Зк к сепарациопным параметрам схемы флотации апатитовой руды с учетом
фракционного состава сырья, в котором выделены три фракции: хвостовая с
выходом Vi:i in = 0,7 (т. е. 70%); промежуточная с выходом у,, —0,2; концентратная с
выходом утах = 0,1. Содержание компонента (Р^СЬ) нарастает с флотируемостью
линейно от 0 до 42 % на участке 0,15-10 3 м/мип</г<0,45- Ю-3 м/мин; затем
остается постоянным. Требуемые технологические показатели: ук —20 % и рк = 38,5 %.
Учтем
_ ?тах
Тк(;р)-= \ Tik:k (g) dc 10,2.(0,6- I0-:s>] (0,6- 10":s —/гр) 0,1 ,0,2.
?p
Отсюда вычислим границу разделения схемы к;. — 0,3- Ю-5 м/мин. Учтем
_ smax _
Yk J P (5) Yhcx (б) dg - Ъсл (lp) P' (Sp)/[24YK (4ол) 1 ^
= 39,3-9,5-Ю"/^)2-38,5.
Отсюда е'жел = 3,45-103 мни/м.
Вычислим еще Л'-.ьрл^р'жолЛ'/, учитывая что р./--0.55/, v~- (O.oln 2)/&;, = 0,5Х
Х2.3-103 (при S-H000 м7«3- /,Х--=2.3 мин). Получим Л ,К,., — 3 (здесь S/rx = ln 2/kn).
Рассмотрим пример 2 подготовки оптимальной задачи _к решению на ЭВМ.
Дано: фракционный состав питания схемы \mir.~—0J, у,,-0,2; уШа\ = 0,1; требуемое
увеличение крутизны Л'-,,;,.л — 3. Требуемая флотируемость разделения схемы /г,,—
-■=0,3-10 3 м/мин. Сначала по формулам (VII 1.29) вычислим //0„т^2 и К„,п^--\
(беря ближайшие целочисленные значения). Машнпоемкоеть будем искать но
второй формуле (VIII.27):
h
_ max
£1Л\шП-= \ {t0 П -СХр (-%■>)] -l-e-XP(--V/71-^/rj) 'nil1 ~СХР (-%)] +
'о
•201
Pk(S;
яР>

-. /ш[1--ехр( -х0)}{[ -ехр(- хп])\ [ ■ tKl е.хр (-х0) [1 - ехр (-хП2) [-
-г ехр (-*„, -хт)] [v,IC4 №M-4G -; Д//)]} dft ->- min. (VIII.32)
Ограничения (YIII.23) принимают вид
Л'С,!(Л'С, - BII) \,, -0,5; F.'hM • /Сже.т0,5 1п 2/ftp. (VIII.32)
Подставляя численные исходные данные Л",,.ел — 3, к.,, — 0,3- I0"J м/мпн, vM,.4.|ft),
например в виде Yin in. Vi'. У'-тч. приводим инженерную задачу к .математической,
подготовленной, в частности, к решению па ЭВ.М (так как вычисления вручную
здесь весьма трудоемки).
Рассмотрим II р и м е р 3 приближенного расчета вручную для подзадачи
выбора времени флотации в операциях предыдущего примера. Выражение (VIII.31)
для машнноемкостп при упрощенных условиях
8; .- 0; е; (ftp) .0,5; гг (ftma>) - - I принимает вид (t(y\~tn{ '- tm /к|) Yinm ■•-
:-(2,4.'0 :■ 1,6/Л1-.-0,8/т-г 1,2/^.,)^, \-{t0\ tnl-'-t,-,.,) уШах -» nun.
Ограничения (VIII.32) принимают вид:
(5)>'0 ■:- *',} ■! Ль-:п, -;- ЗеК1) ftp -• 0,5 ■ б 1п2;
(5е0 f;7I-; Зе.;,,-; 3^,)'(5 : Л) ^„ - = 3,4(Ы0'!;
где \ .- Г,е;7, (ftp — ftp//,) ■ ■ 2е//2 (ftp - - крП,) - lte'K, (ftp ■ - ftpM) -
- 2e'0 (ftp - ftp0); к]. ■ ■ O.oSiO; ft,,/ - In 2;(Slti).
После преобразовании (с учетом S./-Sln Sin — S'A-., - 1000 м-'/мп) дриходпм
к TiiiiOBcii задаче линейного программирования
1,28/о-г0,42/г/] •; 0.2W,,.,-г0,94/м - min;
ot() - tm ■.-■3t„.2-:-3tK]"-3l; t0--'Mm—im--,itKX---2,2.
Откуда приближенное решение: ?-,--■- In 2/ (k:,.S',, ) -2,3 мни, tln 2 мин, i n.2 ^-2,9
mhi. 'д-i — 2.9 мин.
Найденные оптимальные значения времени флотации » операциях никла по
июля ют вычислить соответствующие оптимальные объемы флотационных машин в
отдельных операциях: V',- — Q„,.4Y:mi-;?;/?; (здесь R; учитывает степень разжижения
пульпы). Вычисление выходов питания операции ведется по формуле (YIII.25) с
учетом сенараниопных характеристик питания операннп по формулам (VIII.2(5) и для
рассматриваемого примера дает следующие результаты: у,,,,,;,- 1,53, Уппг/л-0,6,
У„,-тт"0,27, Yim-. - К-.- 1.12-
Соответствующие оптимальные обьемы флотационных машин (W;^3.5), м:!: \'о-~-
— 20,5, VHi—7, Vп., --4,0, V",.-, --- 18.9 (отнесенные к базисной производительности
100 т/ч по исходному).
Таким образом, показан муть проектирования минимально машп-
поо-мкой схемы цикла, предназначенного для обогащения руды
известного фракционного состава п производящего концентрат заданного
качества при требуемом извлечении псиного компонента. Последнее,
конечно, лимитируется степенью приближения характеристик
фракционного состава исходного питания цикла к идеально обогатимсму
пределу, т. о. к ступенчатой функции содержания во фракциях (3(1) —

Действующие схемы при эксплуатации должны быть приближены
к минимально машипоемким.
В заключение отметим основные положения. Обобщение
кривых обогатнмости и других традиционных способов охарактеризовапил
минерального сырья и продуктов сделано введением многомерных
функций распределения уЦ] с,,,) по физическим свойствам частиц
(по фракциям), а также функций содержания цепного компонента
во фракциях Р(?ь ..., 1„), что вызывается необходимостью
перерабатывать многокомпонентное сырье по комбинированным схемам
обогащения. Такое обобщение позволяет оценивать как рудоподготовнтель-
пые так и сепарирующие стадии обогатительных технологий.
Рассмотрены методы определения этих характеристик фракционного состава
с использованием как специального лабораторного оборудования, так
и промышленных схем обогащения.
Сенарацнонпые характеристики типичных обогатительных
аппаратов (гравитационных, магнитных, флотационных, электрических)
получены на основе общего подхода, учитывающего силы и поле
скоростей минеральных частиц внутри аппаратов.
Сепарацнопные характеристики любых схем обогащения и их
частей связаны с сепарационными характеристиками аппаратов
формулами, позволяющими вести прогнозирующие вычисления
производительности, содержания компонентов, извлечения их для любых
продуктов схемы, а также анализировать влияние фракционного состава
сырья н характеристик схемы па результаты обогащения.
Оптимальное проектирование технологий обогащения
производится в два этапа:
сначала проектируется комбинированная (возможно многоконцен-
тратпая) принципиальная схема с детализацией только до циклов на
основе принципа варьирования граничных содержании; затем
детальное проектирование отдельных циклов с учетом сепарацноппых
характеристик аппаратов и схемы цикла но различным критериям
оптимальности, а также с использованием принципа минимальной маши-
ноемкости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов А. А., Леонов С. Б., Сорокин М. М. Химия флотационных систем.
М., Недра, 1982.
2. Абрамов А. А. Теоретические основы оптимизации селективной флотации
сульфидных руд. М., Недра, 1978.
3. Андреев С. Е., Перов В. А.. Зверевич В. В. Дробление, измельчение и
грохочение полезных ископаемых. М., Недра, 1980.
4. Астафьева Е. А., Тихонов О. Н., Перов В. А. Статистическая теория
грохочения^ полидисперсных смесей.—В сб.: Обогащение руд.—ИПИ, 1980, с. 165—177.
5. Богданов А. В., Тихонов О. Н. Статистическая теория сепарации
минеральных частиц в поле центробежных сил гидроциклона. В сб.: Обогащение оуд.—
ИПИ, 1980, с. 148—155.
6. Глембоцкий В. А., Классен В. И. Флотационные методы обращения М,
Недра, 1981.
7. Зверевич В. В., Перов В. А. Основы обогащения полезных ископаемых. М.,
Недра, 1971.
8. Земляков Б. А. Прогнозирование характеристик обогатимости углей М„
Недра, 1978.
9. Кармазин В. И., Кармазин В. В. Магнитные методы обогащения. М, Недра,
1978.
10. Козин В. 3. Методы исследования в обогащении. Свердловский горный пн-т,
1973.
11. Коновалов С. А., Тихонов О. II. Флотометрический анализ с применением
вариационного принципа в методе регуляризации.— Цветная металлургия, 1982,.
№ 1, с. 100—105.
12. Коновалов С. А., Тихонов О. Н. Экспериментальное определение сеиараци-
онных характеристик флотомашин.— Цветная металлургия, 1981, N° 3, с. 6—10.
13. Лопатин А. Г., Шохин В. Н. Гравитационные процессы обогащения. М.,
Недра, 1980.
14. Месеняшин А. И. Электрическая сепарация в сильных полях. М., Недра.
1978.
15. Мокроусов В. А., Лилеев В. А. Радиометрическое обогащение нерадиоактив-
иых руд. М., Недра, 1979.
16. Навроцки Е. Графо-аиалнтические методы оценки работы гравитационных
аппаратов. М., Недра, 1980.
17. Назаров Ю. П.. Тихонов О. II. Методика флотометрического анализа.—
Горный журнал, № 2, 1981, с. 85—88.
18. Нгуен-Данг An, Тихонов О. Н. Расчет ожидаемых результатов магнитной
сепарации железных руд.— Обогащение руд, 1970, № 4, с. 29—34.
19. Новые способы сепарации руд в магнитных полях./Под ред. Найфонова.
Изд-во Кольского филиала АН СССР, 1981.
20. Олофинский И. Ф. Электрические методы обогащения. М., Недра, 1977.
21. Оптимизация технологической схемы ОФ-1 ГМК «Печенганикель»/13. А.
Арсентьев, С. А. Коновалов, Л. Д. Посыпкип, О. Н. Тихонов.— Цветная металлургия,
1981, № 3, с. 93—97.
22. Походзей Б. Б., Тихонов О. Н. Выбор оптимальной продолжительности фло-
тпцпн в отдельных сепарациях схем обогащения. — Горный журнал, 1980. .V; 8,
с. 126—130.
23. Разумов К. А., Перов В. А. Проектирование обогатительных фабрик. .М.,
Недра, 1982.
24. Разумов К. А. Флотационный метод обогащения. Л., ЛГИ, 1975, 272 с.
25. Рубинштейн Ю. Б.. Филиппов Ю. А. Кинетика флотации. М., Недра, 1980.
26. Рыбаков В. В., Тихонов О. II. Прогноз результатов и оптимизация режимов
апатитовой флотации хибинской руды на основе лабораторных кинетических кри
вых.— В кн.: Обогащение неметаллических полезных ископаемых. Свердловск. СГИ.
1980, с. 3—10.
204

27. Справочник по обогащению руд. Под ред. Богданова О. С. М., Недра, 1974;.
т. 2, т. 3.
28. Тихонов О. II. Введение в динамику массопереноса процессов
обогатительной технологии. Л., Недра, 1973, 240 с.
29. Тихонов О. Н. Теоретические основы сепарационных процессов обогащения
полезных ископаемых. Л., ЛГИ, 1978, 98 с.
30. Fuerstenau M. С. Flotation. A. M. Gaudin memorial volumes 1, 2. Published
by American Inst, of Mining, Metallurgical and Petroleum Engineers, Inc., New
York, 1976.
31. Sohn Y. II., Wadswarth M. E. Rate Processes of Extractive Metallurgy.
Plenum Press. New York and London, 1979.
32. Kelly P.. G. Spottiswood D. I. Introduction to Mineral Processing. John'
Wilev and Sons. New York. 1982.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............
1. О фракционном составе минеральных продуктов и сепарациопных
характеристиках обогатительных аппаратов и схем .....
1.1. Рудоподготовка и основные методы обогащения . . . .
1.2. Примеры современных промышленных схем обогащения
1.3. Понятия о фракционном составе минеральных материалов и
сепарациопных характеристиках обогатительных аппаратов и схем
1.4. Прогнозирующее вычисление технологических показателен
обогащения и фракционного состава продуктов для дзухпродуктовых аппарат;);;
и схем ............
1.5. Обобщение на случаи сложного минерального сырья и схем
IF. Общие закономерности движения минеральных частиц в рабочих зонах
обогатительных аппаратов
11.1. Фракционный состав (функция состояния) минерального материала
в рабочей зоне и фундаментальная задача предсказания ого
11.2. Понятие о поле статистически усредненных скоростей движение
частиц элементарных фракции в зоне
П.З. Взаимосвязь между полем скоростей и функцией сосюяния в виде
закона сохранения ..........
11.4. Силы, действующие на минеральные частицы .
И.о. Уравнения сепарации, предсказывающие фракционный состав и поле
скоростей минеральных частиц ........
11.6. Нахождение сепарациопных характеристик аппаратов по известному
фракционному составу в зоне ........
III. Сепарационные характеристики типовых обогатительных аппаратов
111.1. Аппараты гравитационного обогащения . . . . .
111.2. Грохоты ...........
111.3. Классифицирующие аппараты .......
111.4. Магнитные сепараторы ........
111.5. Флотационные машины ........
111.6. Электрические сепараторы .......
111.7. Крутизна в рабочей точке и сравнение сепарациопных
характеристик аппаратов
IV. Сепарационные характеристики, анализ и расчет схем обогащения
IV.I. Сепарационные характеристики технологических схем
IV.2. Анализ сепарациопных характеристик гравитационных, магнитных,
флотационных и других схем ........
IV.3. Расчет технологических показателей ......
V. Изучение фракционного состава сырья и продуктов
V.I. Классификация экспериментальных методов .
V.2. Использование неидеальных двухпродуктовых сепараторов с
перенастраиваемой границей разделения .......
V.3. Алгебраические методы вычисления функций распределения по
фракциям ........•••
V.4. Фракционный анализ текущего питания я продуктов промышленных
схем обогащения .....■■■■■
V.5. Флотометрнческий анализ по кривым кинетики флотации
V.6. Флотометрнческий анализ с колоколообразными сепараинопнымн
характеристиками ......•■■•■
V.7. Сравнение кривых обогатимости, контрастности и функций
распределения .......••••■
1>0Г>

VI. О рациональном комбинированном обогащении и комплексном
использовании сырья 13(>
VI.1. Об обогатительной крупномасштабной классификации сырья и схем 137
\'!.2. Характеристики разных шпон сложного сырья 1:59
VI.--J. Улучшение обогатительных характеристик сырья с помощью рудо-
гюдготовкп, донзмельчення, реагептной обработки . . . .11-1
VI.1. Сепарациоипые характеристики сложных типов аппаратоз и схем. 14о'
VI.5. Прогноз выходов, содержаний и фракционного состава продуктов
при комбинированном обогащении и комплексном использовании сырья. 1Г;0
VI.6. Рациональное обогащение минерального сырья .... 155
VII. Оптимальные принципиальные схемы обогащения . . liil
VII.I. Метод г.ычпедеппк о;., гма.п.пой границы разделения для сыр:->: ь
схемы I тина . . . . . . . . . . И)">
VI 1.2. Двухкомпонентное сырье и схема обогащения с двумя товарными
концентратами (II тип) . . . . . . . .168
VII.3. Принцип варьирования бортовых содержаний в задачах
нахождения оптимальных границ разделения для сырья и схемы любого тина . 170
VII.4. Проектирование оптимальной принципиальной схемы обогащения . 177
VIII. Оптимальные схемы циклов обогащения .179
VIII.I. Крутизна сепарацнонной характеристики и рабочей точке и пыбор
числа перемнет пых и контрольных операций 179
VIII.2. Оптимизация настроечных параметров отдельных операций схемы. 182
VI11.3. Оптимальное время флотации в отдельных операциях
канонических схем ........... 185
VIII.4. Расчет материальных потоков и объемов флотапнонных машин
в симметричных схемах флотации . . . . . .187
VIИ.о. Об оптимальной подготовке питания никла . . . .191
VIII.6. Оптимизация технологической схемы ОФ-1 ГМК «Печенганихель»
с помощью АВМ . . . . . . . . . .195
VIII.7. О проектировании и эксплуатации минимально машппоемкпх схем 199
Описок литературы ........... 204