/
Автор: Емельянов Г.В. Скитович В.П.
Теги: математика теория вероятностей математическая статистика задачи по теории вероятностей
Год: 1967
Похожие
Текст
г.;.
.' i: i. . К
i.i I I' ' !
• l"
ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени А. А.ЖДАНОВА
Г. В. ЕМЕЛЬЯНОВ, В. П. СКИТОВИЧ
ЗАДАЧНИК
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования РСФСР в качестве учебного пособия
для университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1967
Печатается -по постановлению
редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
Сборник содержит 782 задачи, посвященные
основным вопросам теории вероятностей,
математической статистике, теории случайных процессов,
теории массового обслуживания и теории информации.
Сборник может быть использован в качестве
учебного пособия д#я Студентов университетов,
технических вузов и слушателей военных академий.
ПРЕДИСЛОВИЕ
, За последние годы теория вероятностей стала неотъемлемой
частью курсов математики большинства вузов страны. Кроме
того, теоретико-вероятностные и статистические методы стали
необходимы весьма большому числу работников
промышленности и планирующих организаций, научно-исследовательских
институтов и лабораторий, аспирантов, преподавателей и т. п.
До сих пор не было задачника на русском язйке,
освещающего основные разделы современной теории вероятностей и
математической статистики. Без него невозможно изучение этих
разделов математики и развитие навыков в применении их на
практике. Настоящий задачник имеет целью в известной мере
заполнить этот пробел в нашей учебной литературе по
математике. Учитывая большое разнообразие программ по теории
вероятностей и математической статистике различных вузов и
различие уровней общей математической подготовки лиц, самостоя-
*ельно овладевающих этими разделами математики уже вне
вузов, в сборнике помещено достаточное количество весьма
простых задач, требующих непосредственного применения основных
определений и теорем элементарной теории вероятностей, задач
среднего и повышенного уровней трудности, требующих приме-
Щтя соответствующего аналитического аппарата и
специфических приемов. Ввиду наличия большого разнообразия
способов изложения теории вероятностей и математической,
статистики в нашей учебной литературе, отсутствия единой терминологии
ii обозначений в начале каждой главы помещена краткая сводка
основных определений, обозначений и формул, нужных для
данной главы, причем учтены как аксиоматическое построение
курса теории вероятностей с использованием, Например аппарата
днтеграла Стилтьеса, так и элементарный подход к изложейию
^fex же вопросов, рассчитанный ра более скромный уровень
математических знаний. В каждой главе дискретные распределения
1*
3
предшествуют непрерывным и общему случаю. В каждом
параграфе задачи расположены в порядке постепенного увеличения
трудности решения и сложности применяемого при этом
аппарата. Большинство задач имеет решение или указания, простые
задачи или группы однородных имеют только ответы. При
составлении настоящего задачника использованы все известные
авторам русские задачники, некоторые иностранные, ряд книг,
посвященных, теории вероятностей, математической статистике
и их приложениям, и задачи, возникшие в результате
консультационной и педагогической деятельности авторов.
Благодаря рассмотрению достаточно широкого класса
встречающихся в приложениях теоретико-вероятностных схем и
конкретных распределений, данный задачник в известной мере
обладает некоторыми данными книги справочного характера.
Глава I
ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ,
ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ, ФОРМУЛА БАЙЕСА
Элементарно. Каждый „эксперимент" завершается
некоторым исходом или событием. События обозначают латинскими
буквами Л, В, С, ... Если каждое осуществление данного
эксперимента a priori вызывает появление события Л, это
событие называется достоверным; если событие Л заведомо не
произойдет при осуществлении данного эксперимента, то оно
называется невозможным; случайным называется событие,
которое может произойти, а может и не произойти в
результате осуществления данного эксперимента. Все достоверные
события будем обозначать буквой if; все невозможные —
буквой V.
Суммой (объединением) двух событий Л и В называется
событие А-\-В (или A\JB), состоящее в том, что происходит
хотя бы одно из них (т. е. либо Л, либо В, либо Л и В).
Произведением (совмещением) АВ (или Af\B) двух событий
называется событие, состоящее в совместном появлении Л и В.
Если каждое появление события Л сопровождается
появлением В, то пишут Л С В и говорят, что Л влечет В, или Л
есть частный случай В, События Л и ^называются
несовместимыми, если AB=V. События Л и Л называются
противоположными, если AA=V и A+A = U. События At, Л2, ... , Ап
образуют полную группу событий, еслиА1-^А2-\-. • -нЬ^я" &
и AtAj=V, /=1, 2, ... , п; у = 1, 2, ... , п (/=£/).
Аксиоматически. Пусть имеется множество 2
некоторых объектов со, которые назовем элементарными
событиями, (Конечно, эти объекты всегда можно изображать
точками в евклидовом пространстве нужного числа ч измерений.)
Образуем какую-нибудь совокупность В подмножеств
множества 2, обладающую следующими свойствами: 1) все
множество Q является элементом В; 2) если Л£В, то и множество Л,
состоящее из всех элементов £2, не принадлежащих Л, также
принадлежит В; 3) если Аи Л2, ... , Ап, ...—любая конечная
5
или счетная последовательность множеств из В, то их сумма
и произведение (пересечение) также принадлежит В. Эта сово*
купность множеств В называется борелевским телом
множеств, или о-алгеброй множеств. Элементы Л множества В
называются (случайными) событиями. Тогда (всё) множество 2
будет.достоверным событием U> а пустое множество —
невозможным событием V.
Вероятностью случайного события Л называется значение
неотрицательной вполне аддитивной функции Я (Л),
определенной на множестве В и равной 1 для множества 2. Это
значит, что для любого Л («В Р(Л)>0, и для любого
конечного или счетного набора непересекающихся множеств Л/ из В
/>{2л]=2р(Л-).
Следствия: 1)0<Р(Л)<1 для любого Л; 2) P(V) = 0;
3) р(л)=1—Р(Л); 4) если A<zBy то Я(Л)<Я(В).
Классическое определение вероятностей. Пусть в
результате эксперимента возможны только п несовместимых и рав-
новозможных исходов А19 Л2, ... , Лл. Пусть событие В есть
сумма определенных т из них, т. е. B=^Atl + Л/,+ .. .-{-Aim.
Тогда Р(В) = -£-.
Формула сложения вероятностей. Для любых двух
событий Л и В Р(А.+ В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
Р(А/В) обозначает условную вероятность события Л при
условии, что событие В произошло. Для независимых событий
P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B).
Формула умножения вероятностей. Для любых двух
событий
Р(АВ)=Р(А)-Р(В1А) = Р(В)-Р(А1В).
Формула полной вероятности. Если £ == £ЛХ + ВЛ2 +
+ ...-{-ВАп и события BAi попарно несовместимы, то
P(B) = ^P(Ai).P(BfAl).
Формула Байеса. В тех же условиях
Р{А1/в)= /Ц>-*(ДМД .
^P(Ak)P(BIAk)
k=i
ЗАДАЧИ К ГЛ. I
1. Бросаются две игральные кости. Пусть Л—событие,
состоящее в том, что сумма очков нечетная; В — событие,
заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала
единица. Описать события ЛБ, А-{-В, АВ.
2. Из множества супружеских пар наугад выбирается одна
йара. Событие А: „мужу больше 30 лет", событие В: „муж
старше жены", событие С\ „жене больше 30 лет\
а) Выяснить смысл событий ABC, A — AB9 ABC.
б) Проверить, что АС С В.
3. Пусть Л, В, С — три произвольных события. Найти
выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С
а) произошло только А; б) произошли только А и В; в) все
три события произошли; г) произошло по крайней мере одно
из событий; д) произошли по крайней мере два события;
е) произошло одно и только одно событие; ж) произошли два
и только два события; з) ни одно событие не произошло;
и) произошло не более двух событий,
4. Пусть Л, В, С—случайные ^события. Выяснить смысл
равенств: ^
а) АВС=А; б) А + В + С = А.
5. Пусть Л, В, С—случайные события. Упростить
следующие выражения для событий: а)_(Л + £) (£ + С); б) (Л + £)Х
Х(Л + В); в) (Л + В)(Л + В)(А + Я).
6. Пусть Л, В, С—произвольные события.'Доказать
следующие равенства: #
а) А^В^А + Я;_ б) Л + Д = ЛД;;в) Лг + Л2 + ... + Л„ =
= АГА2 •...• Лл; г)АгА%... Ап = А1 + А2+ ... +АЯ.
7. Пусть Л и В — произвольные события, U—
достоверное, а 1/—невозможное событие. Доказать,.что А, А-В, Л + £,
£/, V образуют полную группу событий,
8. Пусть А с. В. Упростить выражения: а) АВ\ б) А А-В;
в) ABC; г) А+В + С.
9. Доказать, что события_а) Х_Л + Я)(Л + Я)+(Л+Я)(Л+Я)
и б) (Л + Я)(Л + Я)+(Л + В)(Л + Я) достоверны, _
10. Доказать, что событие (Л + В) (А + В) (Л + Я) (Л + Я)
невозможно. _
11. Каково' условие совместимости событий Л + £, А-{-В
и А+В?
12. Равносильны ли события А и В, если а) А = В?
б) Л + С = Я + С? в) АС = ВС?
13.JlycTb Л и В — случайные событий. Доказать тождества:
а) Р(А.Ё)=1— Р(А) — Р(В) + Р(АВ); .6) Р(А) + Р(А-В) =
= Р(В) + Р(В.А).
. 14. В урне имеется 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны
наугад вынимается один шар. Кокова вероятность того, что он
будет а) белый? б) черный?
15. Наугад указывается месяц и число некоторого не
високосного года. Какова вероятность того, что это будет
воскресенье, если всего в этом году 53 воскресенья, а соответствие
чисел дням недели неизвестно?
7
16. В кармане имеется несколько монет достоинством в
2 коп. и 10 коп. (на ощупь неразличимых). Известно, что
двухкопеечных монет втрое больше, чем гривенников. Наугад
вынимается одна монета. Какова вероятность того, что это будет
гривенник?
17. В партии из 1000 изделий может оказаться не более
четырех некачественных (брак). Наугад выбирается из партии
одно изделие. Какова вероятность того, что оно будет отвечать
стандарту?
18. Для беспрепятственного полета над некоторой
территорией самолет, приближаясь к ней, посылает по радио
парольную кодовую группу, состоящую из нескольких точек и тире.
Найти вероятность того, что радист, не знающий парольной
группы, угадает ее, передав какую-нибудь группу наугад, если
известно, что число кодовых элементов в группе (точек и тире)
а) 5; б) 7.
19. Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются наугад
сразу три карты. Найти вероятность того, что эти карты будут:
тройка; семерка; туз.
20. Четырехтомное сочинение расположено на полке в
случайном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в
должном порядке справа налево или слева направо.
21. Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на пяти карточках. Наугад
последовательно выбираются три карточки, и вынутые таюдо
образом цифры ставятся слева направо. Найти вероятность
того, что полученное при этом трехзначное число будет четным.
22. Полная колода карт (52 карты) делится пополам. Найти
вероятность того, что число черных и красных карт в обеих
пачках будет одинаковым (13).
23. При записи фамилий членов некоторого собрания,
общее число которых равно 360, оказалось, что начальной
буквой у семи была А, у пяти — Е, у восьми — И, у девяти — О, у
четырех — У, у двух — Ю, у всех прочих фамилия начиналась
с согласной буквы. Найти вероятность того, что фамилия члена
данного собрания начинается с гласной.
24. Каждая из букв А, У, К, С, 3 написана на одной из пяти
карточек. Карточки раскладываются в произвольном порядке.
Найти вероятность того, что при этом образуется слово КАЗУС.
25. Из шести карточек с буквами Л, И, Т, Е, Р, А
выбираются наугад в определенном порядке четыре. Найти
вероятность того, что при этом получится слово ТИРЕ.
26. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти
вероятность, того, что все цифры различны.
27. Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска,
каждый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных
определенными буквами. Замок открывается только в том случае, когда
буквы образуют определенную комбинацию. Какова вероят-
8
ность открыть замок, установив произвольную комбинацию
букв?
28. В урне 2 белых и 4 черных шара. Из урны один за
другим вынимаются все находящиеся в ней шары. Найти
вероятность того, что последний вынутый шар будет черным.
29. Ребенок играет с десятью буквами азбуки: А, А, А, М,
М, Т, Т, Ё, И, К. Найти вероятность того, что он случайно
сложит слово МАТЕМАТИКА.
30. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность
того, что а) выпадет одинаковое число очков на обеих костях;
б) выпадет различное число очков.
31. В старинной игре в кости необходимо было для
выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму
очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выбросить 11 и
12 очков; б) выигрыша.
32. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по
жребию распределяются в 2 группы по 10 человек. Найти
вероятность того, что а) двое наиболее сильных игроков будут
играть в разных группах; б) четверо наиболее сильных
попадут по два в разные группы.
33. Из колоды в 32 карты наугад выбираются 4. Найти
вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.
34. Из колоды в 32 карты берется наугад 10 карт. Найти
вероятность того, что среди них будут 8 одномастных.
35. Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность
того, что на всех выпадет одинаковое число очков.
36. Общество из п человек садится за круглый стол. Найти
вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.
37. В лотерее 100 билетов; среди них один выигрыш в 50 руб.,
3 выигрыша по 25 руб., 6 выигрышей по 10 руб. и 15
выигрышей по 3 руб. Некто покупает один билет. Найти вероятность:
а) выиграть не менее 25 руб; б) выиграть не более 25 руб.
38. В условиях предыдущей задачи найти вероятность хоть
какого-нибудь выигрыша, если куплено 3 билета.
39. Имеется ящик, в котором содержалось 20 коробок по
10 каранда*шей. При вскрытии ящика 4 коробки уронили и
графиты карандашей в них разбились. Все 20 коробок были сданы
на склад, откуда затем изъяли две коробки, и карандаши
раздали учащимся. Найти вероятность того, что взятый наугад
один из этих карандашей имее^ разбитый графит.
40. В партии, состоящей из N изделий, имеется М
бракованных. Наудачу выбирается п изделий из этой партии (n<N).
Найти вероятность того, что среди них окажется т
бракованных (т<сМ).
41. Бросается монета п раз. Найти вероятность нечетного
числа появлений герба.
42. Колода карт (52 карты) произвольным образом делится
9 >
пополам. Найти вероятность того, что' в каждой половине
будет по два туза.
■" 43. Из урны,-содержащей шары с номерами 1, 2, ..., N, k
раз вынимается шар и каждый раз возвращается обратно.
Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют
возрастающую последовательность.
44. Решить предыдущую задачу при условии, что вынутые
шары в урну не возвращаются.
45. Технический контроль проверяет изделия из партии,
состоящей из т изделий первого сорта и п изделий второго сорта.
Проверка первых Ь изделий (6<я), выбранных из партии
наугад, показала, что все они второго сорта. Найти вероятность
того, что среди следующих двух наугад выбранных изделий из
числа непроверенных по меньшей мере одно изделие окажется
второго сорта.
46. Из колоды карт (52 карты) наугад берется 6 карт.
Найти вероятность того, что среди этих карт будут
представители всех четырех мастей.
47. Общество состоит из 5 мужчин и 10 женщин. Найти
вероятность того, что при рлучайной группировке их на 5 групп
по три человека в каждой группе будет- мужчина.
48. Из последовательности чисел 1, 2 ..., п отмечено
число k. Найти вероятность того, что среди двух чисел,
выбранных наудачу из этой последовательности, одно окажется меньше,
а другое больше k. ^ '
49. Двадцать человек, среди которых 10 мужчин и 10
женщин, случайным образом группируются попарно. Найти
вероятность того, что каждая из 10 пар состоит из яиц разного пола.
50. Бросается п игральных костей. Найти вероятность того,
что" выпадет щ единиц, Лг двоек, ..., пб шестерок. •
51. 9 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах.
Найти вероятность того, что а) в каждый вагон сядет поЗ
пассажира; б) в один вагон сядут 4, в другой — 3 к в третий —
2 пассажира.
52. Бросается п игральных костей. Найти вероятность йо-
лучить сумму очков, равную а) п; б) п+1; в) • заданному
числу S.
53. Из последовательности чисел, 1, 2, ..., N выбирают
наудачу К чисел. Найти вероятность того, что а) все выбранные
числа будут кратны данному^ числу q\ б) каждое из этих чисел
будет кратно хотя бы одно*му из двух взаимно-простых
чисел <7ь ?2.
54. Последовательность чисел 1, 2, ..., 4N разбивается
наудачу на две равные группы. Найти вероятность того, что а) в
каждой группе будет поровну четных и нечетных чисел; б) все
числа, кратные N, окажутся в первой группе; в) числа,
кратные N, поделятся поровну между группами.
10
55. Что вероятнее извлечь из урны с п шарами: четнре или
нечетное число шаров, если возможности захватить любую
труппу равновероятны?
56. В сосуде имеется N билетов с различными номерами. Из
сосуда* вынимают т раз по п билетов, каждый раз возвращая
их обратно. Найти вероятности того, что a) k билетов не
появятся; б) все билеты появятся.
57. Из последовательности чисел 1, 2, ..., N отобраны
наудачу п чисел: Х\<х2<. <хп. Найти вероятность того, что
Хт = М.
58. Партия содержит N изделий, из которых п подвергаются
испытанию. Партия принимается, если среди этих п изделий
будет обнаружено меньше т бракованных. Найти вероятность
того, что партия будет принята, если число бракованных
изделий во всей партии равно М.
59. Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ..., N,
производится последовательное извлечение п шаров. Каждый
раз шар по извлечении возвращается обратно в урну. Номера
вынутых шаров записаны в неубывающем порядке. Найти
вероятность того, что номер /тг-го шара (в записи) окажется рав-
яым М.
60. Сколько раз нужно бросить игральную1 кость, чтобы
появление 6 очков имело вероятность: а) большую 0,5; б)
большую 0,8; в) большую 0,9.
61. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
равна 0,7. По мишени производится 7 независимых выстрелов.
Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в
мишень.
62. Каково наименьшее число т карт, которое нужно взять
из колоды (52 карты), чтобы вероятность р(т). того, что сре,ди
них найдутся две одномастные карты, была больше у ?
63. Сколько раз нужно бросать пару игральных костей,
чтобы с вероятностью, большей у, ожидать сумму очков,
равную 12, хотя, бы один раз? (Задача де-Мере.)
64. Сколько раз нужно повторять испытание, чтобы с
вероятностью, не меньшей г, утверждать, что хотя бы один раз
произойдет событие Л, вероятность которого в каждом
испытании равна р?
* 65. Ъросаются одновременно 2 игральные кости. Найти
вероятность того, что произведение выпавших очков будет четным.
66. Производится стрельба осколочными снарядами по
аэростату. Для того чтобы сбить аэростат, достаточно попадания в
него хотя бы одного осколка. Вероятность попадания хотя бы
одного осколка при одном выстреле равна 0,05. Сколько нужно
сделать выстрелов для того, чтобы сбить аэростат с
вероятностью, большей 0,8?
11
67. Из ящика, содержащего 20 белых и 2 черных шара,
вынимается т шаров, причем после каждого вынимания шар
кладется обратно в ящик. Требуется найти наименьшее
значение Ко числа выниманий, при котором вероятность р достать
один раз черный шар будет больше у.
68. В условиях предыдущей задачи найти наименьшее
значение числа выниманий (если шар не кладется обратно),
чтобы вероятность достать хотя бы один раз черный шар была
больше-у.
69. Три самолета, независимо друг от друга, производят
одиночное бомбометание по некоторой цели. Первый самолет
сбрасывает 4 бомбы по 250 кг, второй — 2 бомбы по 500 кг,
третий—1 бомбу в 1000 кг. Вероятность попадания для
первого самолета равна 0,2, для второго — 0,3, для третьего —
0,4. Для разрушения цели достаточно попадания одной бомбы
весом не менее 500 кг или двух — весом по 250 кг. Найти
вероятность разрушения цели.
70. Из трех точек А, В, С на плоскости отмечаются
направления на четвертую' точку D. При этом происходят случайные
угловые ошибки, в результате чего на площади образуется
треугольник. Будем считать угловые ошибки положительными,
если это уклонение отмеченного направления от истинного
произошло против часовой стрелки, и отрицательным — в противном
случае. Считая равновероятными положительные и
отрицательные ошибки для каждой точки и засечки направлений на D из
точек; А, В, и С—независимыми, найти вероятность того, что
точка D окажется внутри треугольника, если эта точка а) не
лежит ни на одной из сторон треугольника ABC; б) лежит на одной
из сторон этого треугольника.
71. Два игрока по очереди бросают игральную кость,
каждый по одному разу. Выигравшим считается тот, кто получит
большее число очков. Найти вероятность выигрыша первого
игрока.
72. Самолет-бомбардировщик для выполнения боевого
задания должен пройти через зону зенитной обороны противника,
в которой по нему, независимо друг от друга, ведут огонь
четыре зенитных орудия. Каждое орудие производит по 10
выстрелов, вероятность попадания в самолет при каждом из
которых равна 0,02. Для сбития самолета достаточно одного по
падания. В случае если самолет не будет сбит огнем зенитной
артиллерии, он выходит на цель и сбрасывает бомбы.
Вероятность выполнения боевого задания при этом равна 0,6. Найти
вероятность того, что бомбардировщик выполнит задание,
несмотря на противодействие зенитной артиллерии.
73. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность
того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй вызов —
12
0,3, третий вызов — 0,4. По условиям приема, события,
состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы.
Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.
74. Два игрока бросают монету по 4 раза каждый.
Выигравшим считается тот, кто получит больше гербов. Найти
вероятность , того, что выиграет первый игрок.
75. Производится три независимых выстрела по мишени,
состоящей из «яблочка» и двух концентрических колец. При
одном выстреле вероятность попадания в «яблочко» 0,12, в
первое кольцо — 0,15, во второе кольцо — 0,18. Найти вероятность
того, что б результате стрельбы будет два попадания в яблочко
и одно — в первое кольцо.
76. Производится стрельба по некоторой цели, вероятность
попадания в которую при одном выстреле равна 0,2. Стрельба
прекращается при первом попадании. Найти вероятность того,
что будет произведено ровно 6 выстрелов.
77. Два игрока вынимают по очереди по одной кости из пол- ■.
ного набора домино. Каждый имеет право вынуть не более трех
костей. Выигравшим считается тот, кто первый вынет двойную
кость («дупель»). Найти вероятность выигрыша каждого
игрока.
78. Боезапас самолета составляет 120 патронов. Стрельба
ведется очередями длительностью 1 сек. Скорострельность
оружия— 600 выстрелов в минуту. Стрельба прекращается при
попадании в цель. Вероятность хотя бы одного попадания для
каждой очереди равна 0,1. Найти вероятность того, что
самолет израсходует весь свой боезапас.
79. Самолет состоит из трех различных по уязвимости частей.
Для вывода из стрря самолета достаточно одного попадания в
первую часть, или двух попаданий во вторую, или трех
попаданий в третью часть. При условии попадания снаряда в
самолет вероятность попасть в первую часть Pi = 0,15, во вторую —
Р2 = 0,30, в третью — Р3 = 0,55. (Вероятности Рь Р2, ^з
приближенно равны отношению площадей первой, второй и третьей
частей самолета к площади всего самолета.) Найти
вероятность вывода самолета из строя при наличии а) одного, б) двух,
в) трех попаданий.
80. Из полной колоды (52 карты) вынимают одновременно
три карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт
найдется хотя бы одна карта красной' масти.
81. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара
вынимаются наугад. Найти вероятность того, что "среди
вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.
82. По железнодорожному мосту, независимо один от
другого, производят серийное бомбометание три самолета.
Каждый самолет сбрасывает одну серию бомб. Вероятность
попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолета
13
равна 0,2, для второго —- 0,3, для третьего — 0,4. Найти
вероятность того, что мост будет разрушен.
83. Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара, двое
поочередно извлекают шар. Найти вероятность вынуть первым
белый шар каждому из" участников.
84. В приемнике имеется 14 радиоламп двух типов: 6 ламп
первого типа и 8 ламп второго типа. Вероятность выхода из
строя в течение времени Т для каждой лампы первого типа
равна 0,002, для ламйы второго типа — 0,004. Найти вероятность
выхода приемника из строя в результате выхода из строя хотя
бы одной лампы.
85. Двое игроков бросают по очереди монету. Выигравшим
считается тот, кто первым откроет решетку. Во сколько раз
более вероятен выигрыш начавшего, если бросание монеты
может быть продолжено сколь угодно долго.
86. Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 черных шара, двое
поочередно извлекают шар и, фиксируя его цвет, возвращают
в сосуд. Извлечение прекращается при появлении белого шара.
Найти вероятность извлечения первым белого шара каждым из
участников, если шар извлекается не более 2k раз.
87. 6 билетов с номерами 1, 2, 3, 4, 5, б, последовательно
вынимаемых из ящика, имеют одинаковую вероятность
появиться в любом порядке. Найти вероятность того, что порядковый
номер по крайней мере у одного из билетов совпадает с его
собственным номером.
Решить ту же задачу, если число билетов неограниченно
возрастает.
88. Сосуд содержит пг белых и п черных шаров. Два игрока
по очереди вынимают шар и возвращают его обратно.
Выигрывает тот, кто первый вынет белый шар. Найти вероятность
выиграть первому, если игра может продолжаться неограниченно.
89. Из урны, содержащей п шаров, п раз наугад вынимается
по одному шару с возвращением каждый раз шара обратно.
Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.,
90. Предполагается, что вероятность наугад выбранному
целому числу оказаться кратным п равна— . Найти вероятность
того, что оно окажется простым.
91. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,
что два наугад взятых натуральных числа, окажутся взаимно-
простыми. (Задача П. Л. Чебышева.)
92. В тех же условиях найти вероятность того, что наугад
взятое натуральное число не будет делиться ни на один квадрат.
93. Имеется 10 карточек, на которых написаны числа 3, 3, 3,
4, 4, 5, 5, 6, 6, 6. Две из этих карточек вынимаются одна за
другой. Число, написанное на первой карточке, берется за
числитель, на второй — за знаменатель дроби. Найти вероятность
того, что полученная дробь будет правильной.
14
94. В трех урнах имеются белыё~ и черные шары. В первой
урне — 3 белых и 1 черный шар, во второй — 6 белых и 4
черных, в третьей — 9 белых и 1 черный. Из наугад выбранной
урны случайным образом вынимается шар. Найти вероятность,
того, что он белый.
95. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый
дает в среднем 0,2% брака, второй — 0,1%: Найти вероятность
попадания на сборку бракованной детали, если с первого
автомата поступило 2000 деталей, а со второго — 3000.
96VB ящике лежит 20 теннисных йячей, в том числе 12
новых и 8 игранных. Из ящика извлекаются наугад два мяча для
игры и после игры возвращаются в ящик. После этого из ящика
вынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность
того, что эти оба мяча будут неигранными.
97. Два шахматиста А и В согласились играть матч на
следующих условиях: шахматист А должен набрать для победы
12 очков* (выигрыш — одно очко), шахматист В— набрать 6
очков, причем- ничьи не считаются. Шахматист А обычно вдвое
чаще выигрывает у шахматиста 5, если считать только
результативные лартии, так что вероятность его на выигрыш у В (в
2
одной партии), можно считать равной у. Игру пришлось
прекратить после того, как А набрал 8 очков, г В — 4 очка. Победу
решено присудить тому, у кого вероятность на окончательный
выигрыш больше. Кто победитель?
.98. Игроки А и В играют ряд партий, каждая из которых
заканчивается проигрышем для одного из них и выигрышем
для другого. Вероятность игрока А на выигрыш отдельной
партий у игрока В равна р. Перед началом игры было обусловлено,
сколько партий нужно выиграть каждому из них, чтобы
считаться победителем, но игра была прервана, когда ни один из
них не выиграл еще достаточного для победы числа партий.
а) Какова вероятность победы игрока Л, если ему
необходимо выиграть еще две партии, а игроку В — три?
б) Пример: Р = -5*; чья победа вероятнее?
в) Какова вероятность победы игрока Л, если ему
необходимо выиграть еще т партий, а игроку В — еще п партий?
99. Вероятность поражения стрелком мишени при каждом
выстреле равна q. Найти вероятность того, что число
последовательных (подряд) промахов будет оставаться меньше трех в
течение а) трех выстрелов; б) четырех выстрелов; й) пяти
выстрелов.
100. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара,
переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара.
Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый
шар.
15
101. В урнах содержатся белые и черные шары. В первой
урне — 2 белых и 3 черных шара, во второй — 2 белых и 2
черных, в третьей — 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны один
шар перекладывается во вторую, из второй после этого — в
третью, затем из третьей — в первую. Найти наиболее
вероятное распределение шаров в первой урне и его вероятность.
102. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,
что состав шаров во всех урнах не изменится.
103. При перекладывании шаров из одной урны в другую
два раза был переложен, шар белого цвета и один раз черный
шар. Найти вероятность того, что состав урн при этом не
изменится.
104. По линии связи передается цифровой текст. В силу
характера передаваемой информации и свойств языка, с которого
эта информация кодируется цифрами, вероятность появления в
принимаемом тексте отдельных цифр различна и задана
следующей таблицей:
Цифры
Вероятность
появления ....
Вероятность
искажения ....
0
0,Ю
0,01
1
0,08
0,03
2
0,12
0,03
3
0,06
0,02
4
0,14
0,02
5
0,10
0,06
6
0,09
0,03
7
0,10
0,04
8
0,11
0,03
9
0,10
0,01
Искажения отдельных цифр в канале связи под действием
помех являются независимыми событиями. Их вероятности
неодинаковы (в силу способа передачи их и свойств канала связи)
и заданы нижней строкой той же таблицы.
Найти вероятность неискаженного приема «слова»,
состоящего из пяти цифр.
105. Три спортсмена участвуют в следующем круговом
состязании: сначала состязаются спортсмены А и В, затем
победитель играет с С; новый победитель играет с побежденным в
предыдущем состязании, и т. д. Состязание считается
оконченным тогда, когда кто-либо победит два раза подряд.
а) Какова вероятность победы каждого из спортсменов, если
все они одинаково искусны?
б) Первую партию выиграл Л. Какова теперь вероятность
каждого участника на победу?
106. Вероятность для изделий некоторого производства
удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная
система испытаний (контроля), дающая положительный
результат с вероятностью 0,98 для изделий,
удовлетворяющих,стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, — с
вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие,
выдержавшее это испытание, удовлетворяет стандарту?
16
107. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях
стрельбы с вероятностью pi = 0,6, стрелок В — с вероятностью
р2 = 0,5 и стрелок С — с вероятностью рз = 0,4. Стрелки дали
залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее:
попал ' стрелок С в мишень или нет?
108. Первое орудие 4-орудийной батареи пристреляно так,
что вероятность попадания равна 0,3; остальным трем орудиям
соответствует вероятность попадания 0,2. Для поражения цели
достаточно одного попадания.
а) Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в
результате чего цель была поражена. Найти вероятность того, что
первое орудие стреляло.
б) Одно из орудий произвело два выстрела, в результате
чего цель была поражена. Найти вероятность того, что
стреляло первое орудие.
109. В трех ящиках находятся соответственно: 1) 2 белых и
3 черных, 2) 4 белых и 3 черных, 3) 6 белых и 2 черных шара.
Предполагая, что извлечение шара из любого ящика
равновероятно, найти вероятность того, что извлечение было
произведено из 1-го ящика, если а) вынутый шар оказался белым;
б) черным; в) решить ту же задачу, если вероятность
извлечения из каждого ящика: pi=0,l, Р2 = 0,7, рз = 0,2.
110. В условиях предыдущей задачи найти вероятности
Р ( 1 Ьз) и Р[ пз) того> что извлечение происходило из
1-го рщика, если известно, что после трех извлечений (с
возвращением шара) из того же ящика а) все три шара
оказались белыми; б) все три шара оказались черными; в) то же,
что и в а), но если, извлечение каждый раз из трех
производили не обязательно из одного и того же ящика.
111. Имеются два ящика, в первом из которых находятся
2 белых, 3 красных и 20 черных шаров, во втором — 8 белых,
15 красных и 2 черных шара. После извлечения шара из одного,
а потом из другого ящика вынутыми оказались сперва
черный, а потом белый шары. Найти вероятность того, что
извлечение производилось сначала из первого, а затем из второго
ящика, считая обе последовательности a priori
равновероятными.
112. В двух урнах имеются черные и белые шары: в
первой урне — 3 белых и 4 черных, во второй — 5 белых и 3
черных. Из первой урны берутся наугад два шара, цз второй —
1 шар. Эти три шара помещаются в третью пустую урну. После
этого из третьей урны вынимается один шар. Найти
вероятность того, что этот шар — белый.
113. Найти вероятность того, что среди 1000
электролампочек нет испорченной, если из взятых наугад 100 лампочек все
оказались исправными. Решить задачу в предположении, что
2 Зак. 411
17
число плохих лампочек не превышает 5 на сотню и все
значения (1, 2, 3, 4, 5) числа испорченных лампочек равновоз-
можны.
114. Если известно, что вероятность двум близнецам быть
одинакового пола вдвое больше, чем вероятность быть
разнополыми, причем вообще вероятность рождения мальчика
равна 0,50, найти вероятность того, что другой из близнецов —
мальчик, после того, как установлено, что первый из них —
мальчик*
115. В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар.
Какова вероятность вытянуть белый шар из этого сосуда? Все
предположения о первоначальном составе шаров считаются
одинаково возможными.
116. Игроки А и В играют ряд партий в такую игру, где
выигравшему партию засчитывается 1 очко. Вероятность выиграть
игроку А отдельную партию равна а, игроку В — ($, причем
а>р, а+р=1. Выигравшим всю игру считается тот, кто
обгонит противника на 2 очка.
а) Найти вероятность выиграть всю игру каждым из
игроков.
б) Что выгоднее для игрока А: играть /одну партию или
целую игру?
117. Решить задачу 116 при следующем изменении условия
об окончательном выигрыше: выигравшим всю игру считается
тот, кто выиграет подряд 2 партии.
118. В условиях предыдущей задачи игрок А вдвое более
искусный, чем игрок В". Каковы его шансы на выигрыш?
119. В урне находятся три шара, которые могут быть
белыми или черными. Все четыре предположения о первоначальном
составе урны равновероятны. Произведено четыре опыта,
состоящих в вынимании каждый раз по одному шару, с
последующим возвращением его в урну. Появились шары: черный, белый,
белый, белый. Найти послеопытные вероятности различных
составов урны. ч
120. Два орудия открыли стрельбу по наступающему танку.
Стрельба ведется поочередно с темпом в 10 сек выстрел. Be-
роятность попадания в танк при открытии огня у первого
орудия 0,4, у второго — 0,5. За каждые 10 сек вероятность
попадания увеличивается на 0,05.
а) После трех выстрелов обнаружено, что танк получил
одну пробоину, но неизвестно, при котором выстреле. Какова
вероятность того, что первым открыло огонь первое орудие?
б) После трех выстрелов обнаружено, что танк получил
одну пробоину, но неизвестно, при котором выстреле. Какова
вероятность того, что пробоина получена от первого орудия?
121. Технический контроль проверяет взятые наугад
изделия из партии, содержащей, как указано отправителем, а
изделий первого сорта и Ь «зделий второго сорта. Имеются сомне-
18
ния в правильности этих указаний, и потому технический
контроль на основании опыта полагает возможным следующие
составы: количество изделий первого сорта равно а —2, или а—1,
или а, или а+1 с вероятностями соответственно pi, рг, Рз, Ра-
Проверка первых т изделий обнаружила, что все они второго
сорта; т<Ь. С какой вероятностью технический контроль
может утверждать, что. партия содержит изделий второго сорта
больше, чем 6? Пример: а = 5, 6 = 25, Pi=0,l, р2 = 0,2, рз = 0,6,
Р4 = 0,1.
1) Проверено 40% всех изделий.
2) Проверено 50% всех изделий.
122. В урне а белых, Ъ черных, с красных шаров. Из урны
один за другим вынимают находящиеся в ней шары и, отметив
их цвет, откладывают в сторону. Найти вероятность того, что
при этом белый шар появится раньше черного.
123. Из сосуда, содержащего п шаров неизвестного цвета,
вынут один шар, оказавшийся белым. Найти вероятность того,
что вновь вынутый шар также будет белым. Все
предположения о первоначальном составе сосуда считать равновозможными.
124. Из урны, содержащей п шаров неизвестного цвета,
вынут один шар, оказавшийся белым. По возвращении этого шара
в урну вновь вынут шар. Найти вероятность того, что этот шар
будет белого цвета. Все первоначальные составы урны
представляются одинаково возможными.
125. Из сосуда, содержащего N шаров, вынуто m+k шаров,
из которых т шаров белого цвета. Найти вероятность того, что
до изъятия в сосуде было М шаров белого цвета.
126. Из отвала, содержащего на поверхности п кусков
окисленной руды и п' кусков сульфидной руды, отобрано наудачу т
образцов и отправлено в лабораторию для анализа. При
вскрытии ящика с образцами оказалось, что первые k из вынутых
кусков относятся к рудам окисленным. Какова вероятность того,
что и следующий кусок будет относиться к той же руде? При
решении задачи принять, что любые т из п+п' кусков на поверх*
ности отвала могли быть отобраны в ящик с одинаковой
вероятностью.
127. В сосуде содержатся белые и черные шары. Общее
число шаров N в сосуде известно, но неизвестно ни число
белых, ни число черных шаров. При т + дг-кратном извлечении
шара из сосуда (без возвращения) т раз появился белый шар и
п раз — черный. Какой состав шаров в сосуде представляется
наиболее вероятным? Все предположения о первоначальном
составе сосуда одинаково вероятны.
128. Априорные вероятности k единственно возможных
гипотез об условиях наступления некоторого события В равны
соответственно Р\, ..., Ph. Каждой гипотезе отвечают
соответственно вероятности наступления этого события pi, ..., р&, не
изменяющиеся при повторении испытаний. Известно, что при п
9*
19
испытаниях событие В произошло т раз. Какова вероятность
a posteriori каждой гипотезы?
129. В условиях предыдущей задачи что больше:
вероятность Р(п) наступления событий В в п-м испытании, когда
известно, что оно наступило во всех п—\ предыдущих испытаниях,
или вероятность Р(п+\) наступления этого события в n+1-м
испытании, когда известно, что оно наступило во всех п
предшествующих испытаниях?
Могут ли быть равщл эти вероятности?
130. Кусок проволоки длиною в 20 еж был согнут в наудачу
выбранной точке (точка сгиба равномерно распределена).
После этого, перегнув проволоку еще в двух местах (не ломая ее),
сделали прямоугольную рамку. Найти вероятность того, что
площадь полученной рамки не превосходит 21 см2.
131. На отрезке АВ длины / поставлены наудачу две точки
L и М. Найти вероятность того, что а) точка L о'кажется ближе
к точке Л, чем точка М; б) точка L окажется ближе к точке М,
чем к точке А.
132. Стержень длины / сломали на три части, выбирая
наудачу места разлома. Вероятность точке разлому попасть на
какую-нибудь часть стержня зависит только от длины этой
части и пропорциональна ей. Найти вероятность того, что из
получившихся трех частей можно составить треугольник.
JC2 V2
133. Точка появляется в эллипсе ■^- + ^г=.1. Найти ве-
х2 i У2 и*
роятность того, что она окажется внутри эллипса -^ + "^2=^ >
|й|<1, считая, что вероятность появления точки в области
пропорциональна ее площади.
134. На плоскости начерчены параллельные прямые,
находящиеся друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу
бросается монета радиуса г<а. Найти вероятность того, что
монета не пересечет ни одной прямой.
135. На шарик нанесена сетка географических координат.
Шарик брошен на плоскость. Найти вероятность того, что он
прикоснется точкой: а) которая находится в области между
0-м и 90-м градусами восточной долготы; б) которая находится
между 45-м и 90-м градусами северной широты.
Предполагается, что выпадания областей, имеющих равные площади,
равновероятны.
136. На поверхности шара берут наудачу две точки и
соединяют меньшей дугой большого круга. Найти вероятность того,
что дуга не превзойдет а.
137. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что
а) точка, брошенная наудачу внутрь круга, окажется и внутри
квадрата; б) из пяти точек, брошенных наудачу внутрь круга,
одна окажется внутри квадрата и по одной точке попадет на
каждый сегмент. Предполагается, что вероятность попадания
20
точки на какую-либо часть круга зависит только от площади
этой части и пропорциональна ей.
138. На отрезок АВ длины а наудачу брошены пять точек.
Вероятность попадания точки на какую-либо часть отрезка
зависит только от длины этой части и пропорциональна ей. Найти
вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на
расстоянии", меньшем х, а три — на расстоянии, большем х.
139. В условиях предыдущей задачи найти вероятность
того, что две точки попадут в левую треть отрезка, одна — в
среднюю и две—в правую треть.
140. Панорамный приемник периодически с постоянной
скоростью (в сГеекРуЦНду) проходит некоторый диапазон частот (fu /2),
где возможно появление сигнала, за которым установлено
наблюдение. Полоса пропускания приемника определяется
допустимой расстройкой относительно сигнала ± А/. Считая
сигнал импульсным (изображенным точкой как на оси
времени, так и на оси частот), появление его равновозможным
в любой момент и в любой точке интервала {/г— А/, /2+А/),
найти вероятность обнаружения сигнала.
141. Найти вероятность пеленга (засечки) передатчика в
условиях предыдущей задачи, если известна частота сигнала,
а антенна пеленгатора равномерно вращается и угол раствора
диаграммы направленности антенны (3=18°.
142. Независимые события должны произойти в промежутке
времени (0, Т). Вероятность каждому из этих событий
произойти в промежутке времени (t\, t2) (O^t^t^T) зависит только
от длины этого промежутка и пропорциональна ей. События
считаются совпавшими, если разность между моментами их
появления не превосходит по абсолютной величине t0. Найти
вероятность совпадения событий.
143. На плоскости начерчены параллельные прямые,
находящиеся на расстоянии 2а друг от друга. На плоскость наудачу
брошена тонкая игла длиною 21 (1<а). Нчйти вероятность
того, что игла пересечет одну из прямых. (Задача Бюффона.)
144. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых
отрезков, длина каждого из которых не превосходит а, можно
составить треугольник.
145. На отрезке АВ длиною / отмечено наудачу k отрезков
одинаковой длины а. Найти вероятность того, что точка М,
находящаяся на расстоянии Ь от одного из концов отрезка,
окажется не покрытой ни одним из отрезков. (Все положения
каждого из отрезков считаются одинаково возможными.)
146. Найти вероятность обнаружения сигнала в условиях
задачи 140, если сигнал не является импульсным, а имеет
конечную длительность тс (считая, что регистрация сигнала
приемником происходит мгновенно).
21
147. Найти вероятность определения пеленга в условиях
задачи 146, если сигнал имеет длительность тс, и за время тс
антенна пеленгатора поворачивается на угол 0,5 р.
148. Какова вероятность не целясь попасть бесконечно
малой пулей в квадратную решетку, если толщина прутьев равна
а, а расстояние между их средними линиями равно I?
149. Сферическая частица радиуса г случайным образом
вертикально падает на наклонное проволочное сито с
квадратными ячейками. Угол наклона сита к горизонту а, диаметр
проволоки d, расстояние между осевыми линиями проволок /.
Найти вероятность того, что частица свободно пройдет через сито.
150. Монета радиуса г случайным образом бросается на
стол, разграфленный на квадраты со стороной I. Найти
вероятность того, что монета не пересечет ни одной стороны квадрата
(2г</).
151. В полосе шириною Н находятся «в случайном
расположении кружки радиуса г. Найти вероятность того, что случайно
выбранная прямая, перпендикулярная к границам полосы, не
пересечет ни одного кружка, если на 1 кв. единицу площади
полосы в среднем приходится Я кружков. (Считать, что кружки
не пересекаются и длина полосы, по сравнению с радиусом
кружка, бесконечна.)
152. Слой толщины h содержит случайно разбросанные
шарики радиуса г в количестве К штук в 1 куб. единице. Найти
вероятность того, что произвольная прямая, перпендикулярная
слою, не пересечет ни одного шарика.
153. В сфере радиуса R случайно и независимо друг от друга
разбросано N точек.
а) Найти вероятность того, что расстояние от центра до
ближайшей точки будет не меньше а.
б) Найти предел этой вероятности, если /?-> оо и -t^-^-^-tcX.
(Эта задача взята из звездной астрономии, где R измеряется
в парсеках, а X в окрестности Солнца равна (приближенно)
0,0063.)
154. Совместное наступление событий Ах и А2 необходимо
влечет наступление события А. Доказать, что
а) Р(А)>Р(А1) + Р(А2)-\У
причем знак неравенства сохраняется и в частном случае
А = А1*А2;
6) P^IAJ^l,--^-.
155• Доказать, что если ABCczN, то
P(N)>P(A) + P(fi) + P(C)-2.
22
156. Независимые события имеют вероятность ръ р2, ... , ря.
Доказать, что вероятность Р того, что произойдет по крайней
мере одно из этих событий, удовлетворяет неравенствам
■А+Л+...+Л>Я>1-*-<Л+Л+-+'«>.'
157. Некто написал п адресатам письма, в каждый конверт
вложил по одному письму и затем наудачу написал на
каждом конверте один из п адресов. Найти вероятность foro, что
хотя бы одно письмо попало по назначению.
158. Цех изготовляет приборы, состоящие из п деталей.
Вероятность каждой детали быть дефектной (брак) равна р и не
зависит от качества других деталей. Стоимость каждого
прибора К рублей. Изготовлено N приборов. Найти значения р, при
крторых проверка на годность каждой детали экономически
нецелесообразна, если стоимость проверки каждой детали
М рублей.
159. Некоторое событие может произойти в любой из дней
недели с одинаковыми вероятностями. Найти вероятность того,
что 12 осуществлений этого события подряд выпадут только во
вторники и четверги. Согласуется ли этот случай с
предположением о равновероятности осуществления события в любой из
дней недели?
160. В условиях предыдущей задачи проверить вероятность
гипотезы о равновероятности осуществления события в любой
из дней недели, если при 12 осуществлениях событие ни разу
не произошло в воскресенье.
161. Имеются 3 попарно независимых события, которые,
однако, все вместе произойти не могут. Предполагая, что все они
имеют одну и ту же вероятность х, определить наибольшее
возможное значение х.
162. Событие А имеет вероятность Р произойти в любой
момент промежутка времени Т. Требуется определить вероятность
произойти событию А в течение остающегося времени Т—/, если
а течение времени /<Г< оно еще не произошло.
163. Из сосуда, содержащего пг белых и п черных шаров,
вынимаются последовательно шары и не возвращаются обратно в
урну. Операция извлечения продолжается до тех пор, пока не
появится белый шар. Выяснить закон распределения числа
извлеченных черных шаров.
164. Из сосуда, содержащего m белых и п черных шароз,
извлекается шар и возвращается обратно. Извлечение
продолжается до тех пор, пока не появится белый шар. Найти
вероятность ^-кратного извлечения черного шара. Рассмотреть случай,
когда тп -> оо, п -* оо и —i > а.
165. Объем V, содержащий Af молекул газа, разделен на
п равных ячеек. Вероятность молекуле находиться в любой из
23
ячеек одинакова для всех молекул и всех ячеек и не зависит от
распределения по ячейкам остальных молекул.
а) Какова вероятность того, что в первой ячейке находится
Gti молекул, во второй — о&2,..., в п-к — ап молекул?
б) Пусть N = an (a — целое положительное число). Какое
распределение молекул по ячейкам наиболее вероятно?
166. В урне находится один белый шар. Урна постепенно
заполняется черными шарами в результате следующих
испытаний: после каждого последовательного извлечения наудачу
выбранного шара с возвращением его затем обратно в урну
добавляется еще один черный шар. Найти вероятность того, что
при п испытаниях белый шар появится ровно т раз.
Примеры: 1) п = 3, га = 2; 2) п = 4, га = 2; 3) п = 5, га = 2; 4) п,
пг=\, 2> ..., п—1; 5) п->оо, т-^оо.
167. После ft-ro испытания в урну добавляется ah черных
шаров. Какому условию должны удовлетворять числа а&, чтобы
вероятность того, что при неограниченном ряде испытаний
белый шар появится только один раз, не равнялась нулю?
168. Подобрав соответствующую схему извлечения шаров
из урны, проверить следующие тождества:
а\ 1 f N~m I (/V-/tt)(/V-/tt-l). ,
a)l^~N-\'t' (N-l)(N-2) "г---
(ЛГ — m)(N— m — 1) ... 2-1 _. N
•••' (N— 1) (ЛЛ — 2) ... (т+\)т т'
А\ 1 I N—m m + \ , (N — m)(N — m — \) т + 2 .
, (N — m) ... 2Л ш N _ N
' ' MN~m ' т т '
169. Проверить следующие тождества (применяя аксиому
сложения вероятностей для счетного множества несовместимых
событий):
а) 1+? + ?2+... + ?*-1+... = т4т^ 0<<7<1;
°) {-Г n+1 ' т ^ (N+\)(N + 2) ' т +
, (N—m)* т + 3 . __^_
+ (N+l)(N + 2)(N + '3) т * " ' ~ т '
170. Имеется испытанием п равновозможными, единственно
возможными и несовместимыми исходами. Событию А
благоприятствуют т из этих исходов. Вместо обычного классического
т
определения вероятности через — положим
а) Р(Л) = "р"; б) Р(Л)=]/^-. Найти формулы,
соответствующие содержанию теорем сложения и умножения
вероятностей в этих случаях.
24
в) Найти такое определение вероятности, чтобы содержанию
теоремы сложения вероятностей соответствовали формулы
умножения вероятностей.
г) Наоборот.
171. Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент
t = 0 столкновение с другой молекулой и не имевшая других
столкновений до момента t, испытает столкновение в
промежуток-времени между t и t+Att равна KAt+o(At). Найти
вероятность того, что время свободного пробега (т. е. время между
двумя соседними столкновениями) будет больше t.
172. Имеется работающий станок-автомат, который может
остановиться в силу случайных причин, причем 1) вероятность
остановки его в течение промежутка времени t зависит лишь от
длины этого промежутка, но не зависит от его начального
момента, 2) вероятность остановки в течение малого промежутка
времени At пропорциональна At с точностью до бесконечно
малых высших порядков относительно Д tf 3.) остановки станка в
непересекающиеся промежутки времени суть независимые
события. Найти вероятность того, что этот станок не
останавливается в течение промежутка времени t.
173. В урне имеется п шаров с номерами 0, 1, 2, ..., п— 1.
k раз вынимается по одному шару, записывается его номер и
шар возвращается обратно в урну. Найти вероятность того, что
при двукратном осуществлении такого опыта получится
одинаковая сумма номеров вынутых шаров.
174. Урна содержала т белых и п черных шаров, но один
шар, цвет которого не известен, утерян. При испытании состава
урны а) первый наугад вынутый шар оказался белым; какова
вероятность того, что утерян белый шар? б) были
вынуты сразу а белых и b черных шаров; какова вероятность, что
утерян белый шар?
175. Известен состав шаров в N урнах:
пг урн содержат по Мг шаров, из которых т1 белых
flk п п п Mk » „ „ ТПк „
Найти вероятность вынуть белый шар из наудачу выбранной
урны, предполагая равновероятным выбор любой урны.
176. Числа натурального ряда 1, 2, ..., п перемешаны и
расположены в случайном порядке. Какова вероятность рп, что
хотя бы одно число окажется на своем месте (т. е\ будет
равно номеру своего места)? Найти \\трп.
177. Выбирается наудачу один член разложения
определителя я-го порядка. Какова вероятность рп, что он не содержит
элементов главной диагонали? Найти limpn.
25
178. B.N+l урнах находится по N шаров белых и черных.
Распределения шаров по цвету различны во всех урнах,
распределение шаров в случайно выбранной урне неизвестно. Из
одной случайно выбранной урны перекладывается наудачу
взятый шар в какую-либо другую урну; из этой урны берется
затем шар и перекладывается в какую-либо следующую урну,
и т. д. Перекладывание производится N+1 раз так, чтобы
каждая урна участвовала в нем по одному разу, причем N+1-e
перекладывание' производится в первую выбранную урну. Найти
вероятность того, что каждая урна сохранит свое
первоначальное распределение шаров.
179. Крупные метеориты падают на землю в среднем раз в
месяц, причем попадания их в любые области, имеющие
равные площади, равновероятны.
Найти вероятность того, что в течение 10 лет упадёт не ме-
< нее двух метеоритов в область, ограниченную а)
меридианами 30° в. д. и 60° в. д. и параллелями 40° с. ш. и 60° с. ш.; б) на
территории Советского Союза.
Глава II
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ
(СХЕМА БЕРНУЛЛИ), ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ
ТЕОРЕМЫ МУАВРА - ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА ПУАССОНА
Пусть осуществляется п независимых повторений
некоторого эксперимента, в результате каждого из которых может
произойти событие Л. ja —число фактических появлений
события А в этой серии. Тогда — называется частотой события А
в данной серии из п независимых испытаний. Пусть
вероятность события А в каждом испытании равна /?;<7=1 — р;
т — число возможных появлений событий А в этой серии (до
ее осуществления). Рп(т) — вероятность того, что событие А
произойдет ровно т раз в данной серии из п испытаний.
Ра(т) = С?рядя-т.
Последовательность чисел Рп(т)у /я = 0, 1, 2, ... , /г,
называется биномиальным законом распределения вероятностей,
х -Если пр — q есть число целое, то наибольшие значения Рп(т)
будут при т = т0 = пр — q и т = т0-{-\ =р(п-{-1). Если
np — q не целое, то Рп{т) будет наибольшим при
п
т = т0=[(п + 1)'р] 2 pnW = L
т=0
Пусть в результате одного испытания все исходы Лх, ... , Ak
k
образуют полную группу событий. Я(Л/)=/?/, 2jPj= 1;
Рп (т1У т2, ... , mk) — вероятность появления т{ раз события
Аъ ••• » mk раз — события Ak в серии из п независимых
повторений данного испытания. Тогда
Рп (тъ т2, ... , mk) =
27
Числа Рп(ти тъ ... , mk) для всех возможных
неотрицательных значений ти таких, что т{-\-т2-\- ... -\-mk = n,
образуют полиномиальное (или мультиноминальное)
распределение вероятностей.
Локальная теорема Муавра — Лапласа. Пусть дана серия
из п независимых испытаний. 0</?<1, q=\— р\ х = т~^3.
ynpq
Если п —> оо и т ->■ оо так, что величина х остается
ограниченной, то
_ £1
Рп (т)сс г е 2 = -Т=-^(х),
Знак асимптотического равенства со означает, что отношение
левой части этого „равенства" к правой стремится к 1 при
п-> оо.
Интегральная теорема Муавра — Лапласа.
Р \а*Ст"ZHf. < b} -> -р=г \ е 2 dx при/г->оо
1 ^ -fnpq J /2тс J
а
равномерно относительно а и b (— оо^а, ft^oo).
Теорема Пуассона* Пусть 0<а<6<°°, ап = пр. Если
при п-> оо /7-^0 и а<ап<Ь, то
Р„(я)со ^ е-0" .
В частности, если при я->оо ап->а, 0<а<оо, то
P„(m)co^*-«.
Положим
Р(т)=,^е-а, j?/>(m)=l.
Последовательность чисел Я (/я) для /rc = 0, 1, 2, ...
образует закон распределения вероятностей Пуассона.
ЗАДАЧИ К ГЛ. II
180. Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что
герб появится 1 раз.
181. Вычислить вероятность всех возможных появлений
герба при пяти бросаниях монеты. Построить график этого
биномиального распределения вероятностей.
182. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность
того, что два раза появится число очков, кратное трем.
183. Вероятность попадания в цель р = 0,3. Сбрасывается
одиночно 6 бомб. Найти вероятность того, что в цель попадают
4 бомбы.
28
184. Предполагая, что все комбинации полов детей
равновероятны, определить, какую примерно долю семей с шестью
детьми составляют семвд с тремя мальчиками и тремя
девочками.
185. При раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам один
из них 3 раза подряд не получал тузбв. Есть ли у него
основание жаловаться на «невезение»?
186. Вероятность попадания з цель р = 0,25. Сбрасывается
эдиночно 8 бомб. Найти вероятность того, что будет а) не
менее 7 попаданий; б) не менее 1 попадания.
187. Изделия некоторого производства содержат 5% брака.
Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий
а) не окажется ни одного испорченного; б) будут два
испорченных изделия.
188. Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы
вероятность появления среди них цифры 5 была не менее 0,9?
.,189. В некотором обществе имеется 1 % дальтоников. Каков
должен быть объем случайной выборки (с возвращением),чтобы
вероятность встретить в ней хотя бы одного дальтоника была не
менее 0,95?
190. Сколько изюма должны содержать в среднем сдобные
булочки для того, чтобы вероятность иметь хотя бы одну
изюминку в булке была не менее 0,99?
191. При вращении антенны радиолокатора за время
облучения точечной цели- (например, самолета) успевают отразиться
8 импульсов. Найти вероятность обнаружения цели за один
оборот антенны радиолокатора, если для этого необходимо
прохождение через приемник не менее 5 импульсов, а вероятность
подавления импульса помехой в приемнике равна 0,1 и
подавления различных импульсов помехами суть независимые события.
192. Монета бросается 20 раз. Найти наивероятнейшее число
появлений герба.
193. Игральная кость бросается 16 раз. Найти
наивероятнейшее число появлений числа очков, кратного трем.
194. Вероятность попадания в цель р = 0,35. Сбрасывается
одиночно 10 бомб. Найти наивероятнейшее число попаданий и
вероятность этого числа попаданий.
195. Производится 10 независимых выстрелов по Цели,
вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2.
Найти а) наиболее вероятное число попаданий; б) вероятность
того, что число попаданий будет не меньше 2 и не больше 4.
196. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков.
Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в
течение промежутка времени т, равна у. Найти вероятность того,.
что а) за время т 4 станка потребуют к себе внимания рабочего;
б) число требований '.к рабочему со стороны станков за время т
будет между 3 и 6 (включая границы).
2Э
197. Батарея дала 14 выстрелов по военному объекту,
вероятность попадания в который равна 0,2. Найти а) наивероятней-
шее число попаданий и его вероятность; б) вероятность
разрушения объекта, если для его разрушения требуется не менее 4
попаданий.
198. Линия связи соединяет пункт А с десятью абонентами
пункта В. Все абоненты одинаково часто и независимо друг от
друга пользуются телефоном со средней продолжительностью
каждого разговора 6 мин в час.
а) Найти вероятность того, что один из абонентов получит
отказ (линия занята).
- б) Какова вероятность безотказного обслуживания, если
линия имеет 4 канала?
199. Найти вероятность того, что в последовательности
испытаний Бернулли с вероятностью успеха р а успехов встретится
раньше, чем Ь неудач.
200. Двое бросают «правильную монету п раз каждый. Найти
вероятность того, что выпадет одинаковое число очков.*
201. Телефонная станция обслуживает N абонентов, которые
пользуются телефоном одинаково часто и в течение часа
производят п разговоров со средней продолжительностью -т^- часа.
Найти вероятность одновременного разговора ровно т
абонентов.
202. АТС обслуживает N абонентов, каждому из которых
может представить для разговора любую из / линий (KN), если
она свободна. Все абоненты одинаково часто говорят по
телефону и в течение часа производят п разговоров средней
продолжительностью -т/г часа каждый. Один из абонентов вызвал АТС.
Какова вероятность того, что все линии окажутся занятыми?
203. На телефонной станции в течение определенного часа
дня возникает в среднем п вызовов. Найти вероятность того, что
а) в течение промежутка времени / (некоторая доля часа)
возникнет ровно т вызовов; б) в течение этого промежутка t
возникнет хотя .бы один вызов; в) две телефонистки с одинаковой
нагрузкой (у каждой в среднем п вызовов в час) окажутся
перегруженными вызовами в течение небольшого промежутка
времени ty если каждая из них может в этот промежуток обслужить
не более k вызовов.
204. В п ящиков наудачу брошено N дробинок. Найти
вероятность того, что при этом k ящиков окажутся пустыми.
205. В каждом из п независимых испытаний вероятность
события А равна р. Какова вероятность рп,т того, что число
последовательных (подряд) наступлений события А будет оставаться
меньше т в течение п<^2т испытаний?
30
206. На факультете 730 студентов. Вероятность рождения
каждого студента в данный день равна ggjj * Найти наиболее
вероятное число студентов, родившихся 1 января, и вероятность
того, что найдутся три студента с одним и тем же днем
рождения.
Указание. Использовать локальную теорему Муавра—
Лапласа. ■
207. В камере хранения ручного багажа 80% всей клади
составляют чемоданы, которые вперемешку с другими вещами
хранятся на стеллажах. Через окно выдачи были получены все
вещи с одного из стеллажей в количестве 50 мест. Найти
вероятность того, что среди выданных вещей было 38 чемоданов..
208. Сорт «Смесь» содержит поровну конфеты четырех
наименований,-скажем «а», «б», «в» и «г». Большое количество
конфет «Смесь» расфасовывается в кульки по 8 конфет в каждый
для подарков на детский праздник. Какова вероятность того,
что из 25 подарков в 9 окажется по одной конфете сорта «а»?
209. В некотором семействе имеется 10 детей. Вероятность
рождения мальчика и девочки равна 72- Найти вероятность того,
что а) имеется 5 мальчиков и 5 девочек; б) число мальчиков
заключено между 3 и 8.
210. К пункту а) задачи 196 применить локальную теорему
Муавра—Лапласа:
211. Радиотелеграфная станция принимает цифровой текст.
В силу наличия помех вероятность ошибочного приема любой
цифры не изменяется в течение всего приема и равна 0,01.
Считая приемы отдельных цифр независимыми событиями, найти-
а) вероятность того, что в тексте, содержащем 1100 цифр, будет
равно 7 ошибок; б) вероятность того, что число неверно
принятых цифр будет меньше 20.
212. При приемочном контроле из партии в 1000 штук
изделий производится безвозвратная выборка 50 штук. Hafrra
вероятность того, что в выборке не окажется дефектных изделий,
если во всей партии содержится 4 дефектных изделия. Сравнить
точное значение этой вероятности с приближенным, найденным
по формуле Пуассона.
213. Если в среднем левши составляют 1%, каковы шансы на
то, что среди 200 человек а) окажется ровно четверо левшей;
б) найдется четверо левшей.
214. В некоторой местности в среднем на каждые .100
выращиваемых арбузов приходится один весом не менее 10 кг. Найти
вероятность того, что в партии арбузов из этой Местности,
содержащей 4000 штук, будет а) ровно 3 арбуза весом не менее
10 кг каждый; б) не менее 2 таких арбузов.
215. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости
(брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук.
Найти вероятность того, что а) в коробке не окажется брако-
31
ванных сверл; б) число бракованных сверл окажется не
более 3; в) сколько нужно класть в коробку сверл, чтобы с
вероятностью, не меньшей 0,9, в ней было не менее 100 исправных.
216. Пусть насекомое с вероятностью Р(г, Х) = —£~х
кладет г яиц, а вероятность развития насекомого из яйца равна /?.
Показать, что вероятность того, что у насекомого будет
в общей сложности k потомков, аппроксимируется
распределением Пуассона с параметром X/?.
217. В условиях задачи 201 найти предельное распределение
вероятностей одновременного разговора ровно т абонентов,
когда число их N-^oo.
Примеры: 1) /г= 120. Найти вероятность одновременного
разговора не более 7 абонентов.
2) я = 600. Найти вероятность одновременного разговора
а) не менее 3 абонентов; б) не менее 30 абонентов.
218. В условиях задачи 202 найти асимптотическую формулу
для вероятности потери вызова при возрастающем общем числе
абонентов (N->ooy n — постоянно).
Примеры: 1) я =120, £ = —, /=10. Найти вероятность
потери вызова.
2) Найти минимальное число линий, которое должна иметь
группа линий, обслуживающих в среднем я = 240 разговоров
в час (при t = -^r\, чтобы вероятность потери не
превосходила а) 0,005; б) 0,001; в) 0,01.
3) Каково минимальное число абонентов, которое может
обслужить группа в 10 линий, если каждый абонент производит
в среднем 3 вызова в час со средней продолжительностью
разговора 1,5 мин и если вероятность потери вызова не должна
превосходить 0,001?
219. Найти асимптотическое выражение вероятности того,
что событие состоится т раз при п независимых испытаниях,
причем вероятность этого события в каждом испытании равна
, v , где а — постоянная, а ср (/г) — функция, неограниченно
возрастающая вместе с /г и удовлетворяющая предельному
соотношению ^-^-^с. Исследовать случаи: 1) £ = +со;
2) с — положительная постоянная; 3) с = 0.
220. При 14 000 бросаниях монеты герб выпал 7428 раз. Как
вероятно такое или еще большее уклонение числа выпаданий
герба от пр (монета симметрична и р= у) ?
221. В страховом обществе застраховано 10 000 лиц одного
возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в
течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахован-
32
ный вносит 1 января 12 руб. страховых, и, в случае смерти, его
родственники получают от общества 1000 руб. Найти
вероятность того, что а) общество потерпит убыток; б) общество
получит прибыль, не меньшую 40 000, 60 000, 80 000 руб.
222. Вероятность некоторого события равна р в каждом из п
испытаний. Найти вероятность того, что:
а) Частота наступления события при лг = 1500 отклонится от
р = 0,4 в ту или другую сторону меньше, чем на 0,02.
б) Число появлений события будет заключено между
1) 570 и 630, 2) 600 и 660, 3) 620 и 680, 4) 580 и 640.
в) В каких границах находится та частота события при
о
п=1200, вероятность отклонения которой от Р = -$ равна 0,985?
В каких границах заключено число появлений события в этой
задаче?
г) Сколько необходимо произвести испытаний, чтобы веро-
3
ятность того, что отклонение частоты от р= -тг в ту или другую
сторону будет меньше, чем 0,01, была равна 0,995?
223. В одном из экспериментов с извлечением шаров из
урны, содержащей поровну белых и черных шаров, было
получено при 10 000 извлечений (с возвращением) 5011 белых и
4989 черных шаров.
а) Какова вероятность такого результата эксперимента?
б) Если повторить этот эксперимент, то какова вероятность
того, что будет получено большее по абсолютной величине
отклонение числа выпавших белых шаров от наивероятнейшего
числа их выхода?
224. В практически неограниченной совокупности половина
предметов обладает свойством Л, а пятая часть — свойством В.
Свойства А и В распределены между предметами независимо.
Произведена случайная выборка 1600 предметов. Какова
вероятность того, что в этой выборке частоты свойств Л и В
уклоняются от вероятностей не более, чем на 1%?
225. К электросети подключено п приборов, жаждый
мощностью а кет и потребляет в данный момент энергию с
вероятностью р. Найти вероятность того, что потребляемая в данный
момент мощность а) окажется меньшей пар; б) превзойдет
тар (г>0) при условии, что пр велико.
226. Линия связи, имеющая 130 каналов, связывает пункт Л
с пунктом В, где имеется 1000 абонентов, каждый из которых
пользуется телефоном в среднем 6 мин в час. Найти "вероятность
безотказного обслуживания абонентов.
227. Визуальное наблюдение искусственного спутника Земли
возможно в данном пункте с вероятностью Р=ттг (отсутствует
облачность) каждый раз, как он пролетает над этим пунктом.
3 Зак. 411
33
Сколько раз должен пролететь спутник над пунктом наблюде- ,
ния, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9975 (т. е. практически
достоверно), удалось сделать над ним не менее пяти
наблюдений?
228. В условиях предыдущей задачи производится 100
попыток наблюдать спутник. Найти практически достоверный
диапазон числа удачных наблюдений.
229. В некоторой местности имеются 3% больных малярией.
Производится обследование 500 человек. С какрй вероятностью
среди обследованных окажется 3±0,5% больных малярией?
230. Для космического корабля вероятность столкновения
в течение часа полета с метеоритом, масса которого не меньше
т0, равна 0,001. Найти практически, достоверные границы числа
столкновений с таким метеоритом в течение 3 месяцев полета —
с 1 июня по 31 августа, если вероятность практической
достоверности принимается в данном случае равной 0,9995.
231. В водоем выпущено 100 меченых рыб. Вскоре после
этого из водоема было выловлено 400 рыб, среди которых
оказалось 5 меченых. Определить общее количество рыб в этом
водоеме с вероятностью а) 0,9; б) 0,6.
232. Пусть Р и Р'— вероятности наиболее вероятного числа
появлений события А в п и п+1 независимых испытаний (в
каждом испытании Р(А)=р). Доказать, что Р'^Р, причем если
Р(п+ 1) —нецелое, то равенство исключается.
233. В схеме Бернулли p = -j-. Доказать неравенства
—{— < Рт (п) <С г 1 .
2 /7Г т v ' /2л +1
234. Обозначая через Pi,n вероятность появления события
A i раз при п независимых испытаниях, если вероятность А
последовательно равна pv piy ... , /?„, доказать неравенства
Р\, п ^ Р% п ^ ^ Рп% я
А), л Pi, п ' ' ' Рп-1, п
т-т 11111
Пример: /?i = ~2-, />2 = -з-> /7з = т"' Р* = ШТ* Л=Т'
,235. Случайная величина х может с одинаковой
вероятностью принимать любое из всех возможных своих п значений
хи х2, :. .,#п, причем получение любого из этих значений в
последовательных испытаниях не зависит от исхода
предшествовавших испытаний. Производится N испытаний. Найти
вероятность следующих событий:
а) переменная х примет значение xk ровно m раз;
а') переменная х примет значение xk m раз, где тп
удовлетворяет условиям 0^r^/^^5^7V;
34
б) переменная х примет значение xk ровно т1 раз и
значение хг ровно т2 раз; m1-\-m2^N\
&) переменная х примет . значения xk и хг в общем ровно
М раз (число появлений отдельно xk и х1 больше нуля).
б") переменная х примет значение хъ и х1 в общем ровно
М раз, где М удовлетворяет условию
2<r<M<S<7V;
в) переменная х примет все свои возможные значения,
каждое соответственно тъ т2, ... , тп раз (т1 + Щ + ... +
+ mn = N).
236. Показать, что для максимальной вероятности
полиномиального (мультиноминального) распределения выполняются
неравенства J ntj — npj \ < 1 при всех у.
Глава HI
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Аксиоматически. Пусть дано пространство
элементарных событий 2 = {о}. В = {Л} —борелевское тело множеств,
построенное на Й. Пусть на В задано распределение
вероятностей, т. е. определена такая неотрицательная вполне
аддитивная функция Р(А), что P(Q) = \. Тогда все элементы
из В будем называть Р-измеримыми подмножествами Q.
Случайной величиной называется вещественная Р-измери-
мая функция, определенная на В:£=/(Л). Это значит, что
для любого вещественного х множество Ах=[<й)х, для
которого f(Ax) < лс, имеет определенную вероятность Р [I < х) =
= Р(АХ) = F (x). F (х) называется функцией распределения
вероятностей случайной величины £.
Элементарно. 1) Пусть Е величина, в зависимости от
случая принимающая одно из п возможных значений аъ аг,
п
, ..., ап с вероятностями соответственноръ ръ ..., рп\ Х*р[=? 1.
Тогда 5 называется дискретной случайной величиной с
конечным множеством возможных значений,
2) \ называется дискретной случайной величиной со
счетным множеством возможных значений', если I может при-
оо
нимать значения аъ а2, ..., аю ...; Р{Е = а,} =/?/; V/J/ = l.
i=i
3) Существуют случайные величины, имеющие несчетное
множество возможных значений, например все числа данного
интервала или все вообще вещественные числа. Эти (а также
и дискретные) случайные величины задаются с помощью
функции распределения F(x):
F(x) = P{S<x}.
36
Таким образом, случайной величиной называется величина,
изменяющаяся в зависимости от случая, для которой
определена функция распределения.
Функция распределения всякой случайной величины
обладает следующими свойствами: 0<F(x)^\ (— оо < х <; оо),
F(— oo) = 0, /7(-f-°°)=l; F(x) монотонно возрастает на всей
вещественной оси, непрерывна слева в каждой точке и имеет
не более счетного множества разрывов первого рода. Всякая
функция с такими свойствами является функцией
распределения некоторой случайной величины. Р[а < I < b) =F(b) — F(a)
для любых а и Ь. Если существует (почти везде)
f(x) = F(x), /(*)>0, F{x)= j[ f(z)dz,
— оо
то f(x) называется плотностью распределения вероятностей
величины £, а величина 6 и ее- закон распределения
называются непрерывными. Тогда
ь
P{a^<b} = ^f(x)dx; J/(jc)rfjc=l.
Q, — оо
В общем случае величина \ не является ни дискретной,
ни непрерывной. Тогда
P\a<\<b\ = \dF{x\
где интеграл понимается в смысле Стилтьеса.
Пусть одновременно рассматриваются п случайных величин
(Ец ^2» • • •> Ел). Они образуют n-мерную случайную величину
или n-мерный случайный вектор (или случайную точку
в /г-мерном пространстве), если задана n-мерная функция
распределения
F(xu хъ ..., хп) = Р[^<х19 %2<х2, ..., 6Я <■*„}•
Если xk = — оо, Х[ — любые (для i^k), то
Z7^, *2> ..., лгя)=0; /Ч + оо, +°°, ...,- +оо) = 1.
Функция Z7^, ^2» • • •» -^л) монотонно возрастает и непрерывна
слева по каждому аргументу, имеет не более счетного
множества точек разрыва первого рода. Если G— любое
измеримое множество /г-мерного пространства, то
Р{(*1, ...,W€0}=J 'б' \dF{x„ .... *я)>0.
(Здесь в правой части равенства /г-кратный интеграл Лебега —
Стилтьеса.) Если существует (почти везде)
d»F(xu ...,xn) _f( г )>0
37
F(xlt ..., хп)= j ... J /(»lt ...,«„)</«,... rf«„,
то /(JCj, ..., лгя) называется n-мерной плотностью вектора
j ... j/(-*i, ..., xn)dx1 ... dxn = \;
s —oo —oo
G
oo oo
J • • • j /(*!' ••-.■*«) rf^. • • • dx'k=fjv .... Sn-h (Xl>' • • • ' Xj*-J*
— oo — oo
где все индексыуу отличны от ilf ..., ik4 ^fji,...9jn^h(xJ^ •••> */n-*)
есть плотность вектора (5ylf ..., £;„-*)•
Если для всего я-мерного пространства F(x^ х2, ..., л:Л) =»
= ^1(^1)-^2(^2) ... Fn(xn), где Z7/(xi) — функции
распределения, то компоненты вектора 5Ь 52, ..., £„ называются
независимыми случайными величинами. При наличии плотности для
независимых величин имеем
f(xl9 х2, ..., xn)=f1(x1)f2(x2) . ...Jn{xn) %
во всем пространстве, причем fi(xi) — плотность ?/ (и обратно).
Математическим ожиданием (или средним значением)
случайной величины £ в общем случае называется число Ж& =
оо
=1= \xdF{x), если этот интеграл (Стилтьеса) абсолютно схо-
— оо
оо
дится. Для непрерывной случайной величины Mt = f xf (x) dx.
—00
Для дискретной случайной величины ЛК = 2]%Д/ (в случае
i
абсолютной сходимости интеграла и ряда). МС = С, если С —
постоянная. М (& -f- yj) = Ml -j- ЛЬт). Если 5 и ^ независимы, то
Ж ($yj) = Mg • ЛЬ]. Ж (CS) = СЛК, если С — постоянная. Если
y — g(x) — какая-нибудь однозначная функция, то Mg(i) =
00
= f g(x)dF(x), если этот интеграл абсолютно сходится. Для
— оо
непрерывного случая
Mg(l)=]g{x)f(x)dx.
— 00
Для дискретного случая
Л*£(0=*=5>(я*)Л.
38 '
Дисперсия D\ случайной величины 5 определяется формулой
DC = 0,
если С —постоянная.
Если £ и г\ независимы, то D(t-\-ri) = Dl-\-Df\. В
противном случае D(8 + \) = DI + Dyj + 2УИ [(5 - Л*Е) (*| - ЛЬ])].
М [(& — Ж &) (т] — М т))] я Д^ называется вторым смешанным
центральным моментом случайных величин 5 и % или их
корреляционным моментом. Если /^ = 0, 5 и tj называются
некоррелированными. Из независимости £ и ^ следует их
некоррелированность; обратное неверно.
Если Е и ?] нормально распределены, т. е. имеют плотности
Ш = —)=е 2а> ,f(y) = —±=e ** ,
где а и 6 —любые, а ах и а2 — положительные числа, та
некоррелированность случайных величин совпадает с их не-
зависимостью. D£ = f (x — Mb)2dF(x) в общем случае. Для
— 00
непрерывных случайных величин
оо
/ Dl= J(jc — M\ff{x)dx.
Для дискретных величин
/
r= ~ называется коэффициентом корреляции
случайных величин {.и 1). Если 5 и ?] независимы, то г = 0; если:
г = 0, то Е и ч\ — некоррелированы; — l^r^l; |r| = l в том
и только в том случае, если Е и г\ связаны линейной
зависимостью: у\ = а\ + 6, причем г = + 1> если а>0, и г= —1^
если а<0, и обратно.
Начальным моментом порядка k величины Е называете»
оо
ak= f xkdF(x).
-оо
Абсолютным (начальным) моментом порядка k называется»
pk= ] \x\kdF{x).
Центральным моментом порядка k называется
^= ](x-M%fdF{x).
— oo
Для непрерывных случайных величин имеем соответственно
»*= ]xhf{x)dx- p4=J |х|к/(*)<**; l\ = ]{x-Mtff{x)dx.
Для дискретных величин
\ = £ «?/>;; P*=SI ai I* -л; ^=£ (ai - м Ч-Pi ■
I i i
Из существования конечного абсолютного момента порядка k
следует существование всех моментов меньших порядков.
Медианой случайной величины Е называется (любой) корень
уравнения F(x)=~y. Модой дискретной случайной величины I
называется такое ее возможное значение ам, что Р{% = ам}>
^Pft — di} для всех iy£=M.
Модой непрерывной случайной величины Е называется
число хм, которому соответствует наибольшее значение
плотности f(x). Распределения с одной модой называются
унимодальными, распределения с несколькими модами — мульти-
модальными.
Математическим ожиданием случайного вектора (£ь §2,
,..., Ея) называется неслучайный вектор (аи а2, .. ., ап), где
at = M\h /=1, 2, ..., п.
Корреляционной матрицей случайного вектора (Е1? Е2, ..., ?„)
называется квадратная матрица /г-го порядка
Кц К\2 • • • #1/2
#21 #22 • • • #2л
k k
элементы которой кц = М [(Е/ — at) (£у — aj)\.
#11 #12 • • • #V
ku = Dcl\ ki
#21 #22 • • • #2/
#Д kj2 . . . ft//
>0, 7 = 1, 2,
/г.
Пусть у = g (x) — вещественная функция, E — случайная
величина. ^] = g"(E) будет также случайной величиной, причем
g(JC)<y
40
Пусть случайный вектор (Еь £2, ..., tn) имеет плотность
f(xv ..., хп); y = g(xv ..., хп) — некоторая функция. Тогда
Y] = g-(^, ..., \п) — случайная величина и
^(У)= J ... j /(*!, • • • , *„)</*! ... <*■*„•
*(*......*я)<у
Пусть 5 — дискретная случайная величина
5: alf a2, ..., ат ...
л, а, ...>/>,*, ..., 5]л=ь
Энтропия Н этой случайной величины определяется формулой
Энтропия непрерывной случайной величины с плотностью /(*)
(дифференциальная энтропия) определяется формулой
Я(Е) = - J/(*)log/(*)d*'.
— во
Энтропию дискретной случайной величины можно принять за
меру степени неопределенности распределения величины 5.
Дифференциальная энтропия //(£) этим свойством не обладает.
Пусть (5, тг]) —двумерный случайный вектор с функцией
распределения F(x, у) и плотностью f(x, у). Тогда f(x, j/) =
=Л (x)'/t) (У/*)> гДе Д (У/*) ~~ условная плотность случайной
величины у\ при условии, что S приняла значение л:. / (у/лс) =
f,Wx)=Pi,<^-*i-iii. f v^&v,? *' -
р-о
= ll.m F(x + t,y)-F(x-*, у)
aio^^ + P- oo)-F(x-a, со)"
р-о
Условной энтропией 5 относительно г\ при условии, что
Ч = У, называется
оо
"(6/1) = - j ЛС*/.У) log/6 (л/У) dx.
— оо
Средней условной энтропией % относительно yj называется
яч(б)=м{Я(5/7])}=- j j/(^^)iog/5(^)^rfy.
-оо —оо
Если \ и Y) независимы, то //7J(£) = //(£/yj) = //(?).
Энтропия двумерного случайного вектора (£, yj)
определяется формулой Я(£, 7]) = Я(5) + Яс(т]).
41
Количеством информации о величине €, содержащейся
в величине ч, называется
/„(£) = //(*)-//„ (5); /,(5)>0; /4(£)=:A ft).
Характеристической функцией случайной величины 5
называется
? (t) = Me1* = Mcos t\ + / Af sin *.&.
oo
? (0 = J eitxdF{x). Для непрерывной случайной величины
— oo
Т (0 = f*"*/(*)<£*, т. е. ?(£) есть преобразование Фурье
— во
плотности /О*). Для дискретной случайной величины ?(£) =
= 2jeitatpi. Характеристическая функция равномерно непре-
i
рывна на всей оси t\ <р(0)=1; |<р(£)|<Л, — оо<£<оо.
Если т] = а£ + 6, то ?,,(£) = <pg (я*) е"*. Если \ и тг) независимы
и с=^+7], то тс(*)=?6 (')+?,('); ?(-0="?Ш:
Если характеристическая фуйкция <р(£) абсолютно
интегрируема на всей оси, то плотность f{x) выражается через ср (х)
обратным преобразованием Фурье:
/w=ij<
>-itx
<?{t)dt.
Для функции распределения имеет место формула обращения
F(xi)-F(x1) = ±lim§
e-itXx __ e~ltX2
It
9(t)dt9
если xx и лг2 — точки непрерывности F{x).
ЗАДАЧИ К ГЛ. Ill
237. Случайная величина I принимает значения — 1, О и 1
И 1 1 „
с вероятностями, соответственно равными -j, у и Т • Напи-
сать выражение и построить график функции распределения
величины £.
238. Случайная величина g имеет следующее
распределение вероятностей:
1
р
-2
0,1
—1
0.2
0
0,2
1
0,4
2
0,1
42
Найти выражение и построить график функции
распределения t- Найти вероятность того, что величина g примет
значение, не превосходящее по абсолютной величине 1.
239. Монету бросают п раз. Найти функцию
распределения а) числа выпадений герба; б) отношения числа выпадений
герба к числу выпадений решетки.
240. Игральную кость бросают п раз. Найти функцию
распределения числа выпадений шестерки.
241. Снайпер стреляет по замаскированному противнику
до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном
выстреле равна р. Найти функцию распределения числа
промахов.
242. Монету бросают, пока не выпадет решетка. Найти
функцию распределения числа выпадения герба.
243. Случайная величина g имеет следующее
распределение:
i
р
-1,0
0,005
-0,5
0,012
-0,1
0,074
0
0,102
од
0,148
0,2
0,231
0,5
0,171
1,0
0,160
1,5
0,081
2,0
0,016
Найти а) математическое ожидание и дисперсию |; б)
вероятность того, что | примет значение, на отрезке [—0,5; 0,5].
244. Число а-частиц, достигающих счетчика в некотором
опыте, является случайной величиной, распределенной по
следующему закону:
а
Р
0
0,021
1
0,081
2
0,156
3
0,201
4
0,195
5
0,151
6
0,097
7
0,054
8
0,026
9
0,011
10 1
0,007
Найти математическое ожидание и дисперсию числа
частиц, достигающих счетчика. Найти вероятность того, что
число частиц, достигших счетчика, будет не меньше четырех.
245. Случайная" величина £ распределена по следующему
закону:
Е
Р
—1
0,2
0
0,3
1
0,5
Найти М{?) и D{1%
246. Радиостанция ведет передачу информации в течение
10 мксек. Работа ее происходит при наличии хаотической
импульсной помехи, среднее число импульсов которой в одну
секунду составляет 104. Для срыва передачи достаточно попада-
43
ния одного импульса помехи в период работы станции.
Считая, что число импульсов помехи, попадающих в данный
интервал времени, распределено по закону Пуассона, найти
вероятность срыва передачи информации.
247. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 руб.,
велосипед стоимостью 50 руб. и часы ценой 40 руб. Найти
математическое ожидание выигрыша для лица, имеющего один
билет, если общее число билетов равно 1-00.
248. Из fc ящика, содержащего 2 белых и 4 черных шара,
вынимают три шара и перекладывают в другой ящик, где
имелось 5 белых шаров. Затем из второго ящика 4 шара
перекладываются в первый. Найти математическое ожидание
числа белых шаров х* и х2 в обоих ящиках.
249. При бросании трех игральных костей игрок
выигрывает: 18 руб., если на всех костях выпадет по 6 очков;
1 руб. 40 коп., если на двух костях выпадет по 6 очков, и
20 коп., если только на одной кости выпадет 6 очков. Какова
должна быть ставка за участие в игре, чтобы игра была
безобидной?
250. Найти математическое ожидание и дисперсию числа
очков при одном бросании игральной кости и суммы очков
при бросании двух игральных костей.
251. Найти среднее число таких бросаний п игральных
костей, при которых выпадает ровно т шестерок, если общее чисг
ло бросаний равно N.
252. Большое число N людей подвергается исследованию
крови. Это исследование может быть организовано двумя
способами.
1) Кровь каждого человека исследуется отдельно. В этом
случае потребуется N анализов.
2) Кровь k людей; смешивается и анализируется
полученная смесь. Если результат анализа отрицателен, то этого
одного анализа достаточно для k человек;» если же он
положителен, то кровь каждого из этих людей приходится исследовать
отдельно, и в целом на k человек потребуется k+l анализ.
Предполагая, что вероятность положительного результата
одна и та же для всех людей (р) и что результаты анализов
независимы, найти а) вероятность того, что анализ смешанной
крови £ людей положителен; б) математическое ожидание
числа анализов £, необходимых при втором способе
организации исследований (на практике этот метод дает* до 80%
экономии).
253. Из урны, содержащей т белых и п черных шаров,
извлекается по одному шару без возвращения до первого
появления белого шара. Найти математическое ожидание числа
вынутых черных шаров. -
254. За каждую серию из п опытов, в каждом из которых
происходит событие Л, игрок получает уп рублей; если же /г = 0,
44
он платит 1 руб. Найти величину у так, чтобы игра была
безобидной.
255. Пусть |л — число появлений события А в (серии из п
независимых испытаний, в каждом из которых Р(А)=р. g —
величина, принимающая значение 0 или 1 в зависимости от того,
оказалось ли \х четным или нечетным. Найти М \х.
256. Монету бросают до первого выпадения герба. Найти
среднее число бросаний.
- 257. Из урны, содержащей т белых и п черных шаров,
извлекается по одному шару и каждый раз возвращается
обратно, пока не появится белый шар. Найти математическое
ожидание числа вынутых ^черных шаров.
258. По мишени, вероятность попадания в которую равна р,
ведется стрельба в неизменных условиях до получения k
попаданий. Найти функцию распределения и математическое
ожидание числа нужных выстрелов.
259. Вероятность наступления события А в каждом
испытании равна р (р — постоянно). Испытания производятся до
первого появления события А. Найти математическое
ожидание и дисперсию числа £ испытаний, которые предстоит
провести.
260. Величина £ принимает целые неотрицательные значе-
kn
ния /1>0с вероятностями /?л = Л-^у-. Найти А и &, если
известно, что М\ = а. Найти наиболее вероятное значение (моду)
величины £.
261. Величина'? принимает все целые положительные
значения с вероятностями, убывающими в геометрической
прогрессии. Найти знаменатель этой прогрессии q так, чтобы
Ш = 10 и, при этом условии, — вероятность того, что &<;Ю
и £<Ю0.
262. Рабочий обслуживает п однотипных станков,
расположенных в ряд с равными интервалами. Закончив
обслуживание какого-либо станка, рабочий переходит к тому станку,
который раньше других потребовал его внимания (остановка,
авария и т. п.). Найти среднее значение длины перехода
рабочего.
263. Рабочий обслуживает т*п однотипных станков, рас*
положенных в т рядов по п станков в ряд. Расстояние между
рядами станков равно 6, а между станками в ряду равно а.
Рабочий обслуживает станки в порядке очереди
возникновения требований внимания рабочего к станкам. Найти среднее
значение длины перехода рабочего.
264. На плоскую сетку равноотстоящих параллельных
прямых брошен жесткий контур (многоугольник правильный или
неправильный, замкнутый или нет и т. п.). Найти среднее число
пересечений его с параллелями.
45
265. Случайная величина I принимает только целые неотри-
дательные значения с вероятностями Р [I = k) = (1 , г^
(а > 0). (Распределение Паскаля.) Найти математическое
ожидание и дисперсию Е.
266. Пусть |л есть число появлений события А в серии из
п независимых испытаний. Вероятность появления события А
в k-м испытании равна pk. Найти математическое ожидание и
дисперсию "величины \х.
267. Какому условию должны удовлетворяться
независимые случайные величины £ и т), чтобы D(h,*r\) =D%'Dr\.
268. Случайная величина £ принимает значения 0, 1,
2, ..., п с вероятностями, убывающими в геометрической
прогрессии.
а) Найти зависимость между Afg и D%.
б) Известно, что М% = а. Найти P{g = Az}.
269. Физическая система может находиться в одном из
состояний Еи Е2, ... Если система в момент t находится в
состоянии £/, то вероятность ей находиться в момент t-\-l в
состоянии Ej равна Рц = ct2~ ''~А Определить постоянную сь и
математическое ожидание скачка (т. е. разности номеров
состояний), если в момент £ система находилась в состоянии .Ег.
270. Вероятность наступления события А в каждом
испытании равна у.
а) Найти математическое4 ожидание разности числа
появлений и непоявлений события А в серии из п испытаний.
б) Найти приближенную формулу для математического
ожидания модуля разности числа появлений и непоявлений А
для большого числа испытаний.
271. Показать, что функция, определенная следующим
образом: /(0, 0 = 0, /(я, t) = e-u(\-e-u)n-1> "=1,2,...;
\t > 0, представляет закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины S, принимающей значения п = 0, 1, 2, ...
Найти ЖЕ и DI
272. В урне N шаров, из которых п белых. Из урны
вынимается т шаров. Пусть g есть число белых шаров среди
вынутых т(т<Сп). Найти математическое* ожидание и
дисперсию g (гипергеометрическое распределение).
273. Из урны, содержащей N шаров, из которых М белых,
производится а) извлечение п шаров с возвращением
каждого шара обратно, р) извлечение п шаров без возвращения.
Найти среднее значение числа вынутых белых шаров в том и
другом случаях. В каком случае одинаковое уклонение от
среднего более вероятно?
274. Имеются две урны, из которых в первой а белых и
b черных шаров, а во второй — Ь белых и а черных шаров.
46
1) Из каждой урны производится N извлечений шара с
возвращением каждый раз обратно в урну.
2) Все шары ссыпаются в одну урну, и из этой урны
производится 2N извлечений (с возвращением).
Найти математическое ожидание и дисперсию числа
вынутых белых шаров в первом и втором случаях. В каком
опыте более вероятно, что число вынутых белых шаров будет
заключаться в пределах N—К, N+K, где К мало по
сравнению с Л/?
275. Случайная величина 5 принимает только целые
неотрицательные значения с вероятностями
„_р(,_Ы_/ * \*(l + a)0+2«).-[l+Qfe-l)a]
pk — и\ь — R\ -\^г+Щ ki p*
где
/>0 = />{6=0} = (1+<А) \а>0, X >0
(распределение Пойя). Найти М% и DL
276. Случайная величина i принимает целые
положительные значения. Доказать, что
а)Ж$= J] p
ту
т>\
где/7т = Я(е>от);
б) 01 = 2%трт-М!;(М1 + 1).
т>\
277. Величина £ может принимать любое неотрицательное
значение п с вероятностью Рп = (а + ^{а + п+Ща + п + 2) •
а) Вычислить рю если известно, что МЪ = А.
б) Показать, что D\ не существует.
в) Найти Р{£<10}.
278. Случайная величина X может принимать k значений.
МЕп+1 л г
Доказать, что а) м п и б) у М\п при п -+ оо стремятся к
наибольшему по абсолютной величине значению 5.
. 279, Пусть |л есть число появлений события А в серии из
п независимых испытаний, в каждом из которых Р(А)=р.
Найти ЛЦ3 и МЦ.
280. Город состоит из п кварталов, причем в щ из них по
Xj жителей (azi + az2 + . . . + nh=n). С помощью случайного
выбора без возвращения отобраны г кварталов, и в каждом из них
подсчитано число жителей. Пусть Хи ..., Хг —
соответствующие числа. Вычислить М(ХХ + .. .+ХГ) и D(XX + .. ,+Xr).
281. Случайная величина £ может принимать только
следующие значения: —2, —1, 0, 1, 2 с вероятностями
соответственно р_2, р-1, ро, ри р2. Найти эти вероятности, если
47
а) MZ = MF = 0, M?2 = l, M? = 2;
б) M = M53 = 0, M? = 2, Aft4 = 6;
в) М.£; = М£3 = 0, Af£2 = a, Л1£4 = 6; любые ли значения а
и 6 можно взять в этом случае?
282. Покупатели приходят в магазин случайно и
независимо друг от друга, причем число покупателей, приходящих в
магазин в течение единицы времени, подчиняется закону
Пуассона с средним т (0<га<1). Покупатели обслуживаются
одним продавцом, который не может заниматься одновременно
более чем с одним покупателем. Время обслуживания
каждого покупателя — единица времени. Если в магазине
окажется более одного покупателя, образуется очередь. Длиной
очереди / называется число покупателей в магазине, ожидающих
обслуживания.
а) Найти производящую функцию распределения
вероятностей величины / и с ее помощью — вероятности того, что в
данный момент очередь имеет длину 0, 1, 2, ...
б) Найти математическое ожидание длины очереди и
среднее время ожидания вновь пришедшим, пока он не
достигнет головы очереди.
283. Дана числовая последовательность
х19 х2, ... , хп, ... (*)
Рассмотрим последовательность случайных величин £ь £2, ..
... , 5Я, ... , где величина \п принимает первые п значений
последовательности (*) с вероятностью — каждое.
а) Доказать, что если сходится последовательность (*), то
\imM%n= limxn. *
б) Является ли сходимость последовательности (*)
необходимым условием для сходимости последовательности
МЪи Л«8, ... , Л«я, ... ?
284. Случайная величина \п принимает первые п членов
последовательности
ХЪ ХЪ • • • » Хпу • • • (*)
с вероятностями pnU рп2, ... , рпп. Доказать, что для того
чтобы из Нтхп = а вытекало limMZn = a, достаточно условие
lim/?„£=() для любого фиксированного k.
285. Обобщить предыдущую задачу на случай, когда
случайная величина £п может принимать все значения
последовательности (*) с вероятностями pniy i= 1, 2,...
286. Случайная величина g равномерно распределена на
отрезке [0,1]. Найти функцию распределения и плотность |;
построить их графики; найти математическое ожидание и дис-
■ персию |.
48
287. Плотность случайной величины £ имеет график,
изображенный на рис. 1 (закон Симпсона). Написать выражение
плотности и функции распределения этой случайной величины;
найти ее математическое ожидание и дисперсию..
288. Случайная величина £ имеет
плотность f(x) = 1 1 jc» (закон Коши).
а) Найти коэффициент А и
функцию распределения Е.
б) Найти вероятность неравенств
-КК1.
в) Каковы математическое
ожидание, мода и медиана этого
распределения?
289. Случайная величина £ имеет
плотность /(х) = ■ _х х . Найти постоянную величину а и
вероятность того, что в двух независимых наблюдениях £
примет значения, меньшие единицы.
290. Плотность случайной величины ? задана следующим
образом:
Рис. 1.
/(*) =
A cos х при ~ <; х < -£-
о . !*!>-£-.
Найти а) коэффициент А и функцию распределения; б)
математическое ожидание и дисперсию £.
291. Плотность случайной величины I задана следующим
образом:
10 при *^0,
ах „^ .0<л:<2,
0 „ х>2.
Найти коэффициент а и дисперсию величины £. Вычислить
вероятность того, что уклонение £ от ее математического
ожидания будет не более 0,5.
292. Случайная величина 5 имеет плотность f(x) =
2 те
— COS2* При |jf|<-2-,
о
и>
Найти математическое ожидание и дисперсию ?.
293. Случайная величина Е распределена равномерно.
MS = 4, DS = 3. Найти плотность величины £.
4 Заказ 411
49
294. Случайная величина £ имеет функцию распределения
О при х<;0,
Jt2
F(x) =
4 „ 0<х<2,
1 „ х > 2.
а) Построить график плотности.
б) Найти моду, медиану и среднее значение £.
в) Вычислить вероятность Р{0,5 < I < 1,5}.
295. Плотность случайной величины 5 задана следующим
образом:
f(jc) = ( Зх* ПРИ 0<*<1,
10 „ х<0 иОЬ
а) Построить график функции распределения jj.
б) Найти медиану, моду и математическое ожидание 5.
296. Плотность случайной величины 5 имеет вид /(*) = Ае~х
при х^Ои f(x) = 0 при лс<0. Найти коэффициенте.
Вычислить моду, медиану, математическое ожидание и дисперсию Е.
297. Случайная величина ? распределена по закону Лапласа,
\х-а\
т. е. ее плотность равна f(x) =-^-е " , где а — любое
вещественное число, а > 0. Найти математическое ожидание и
дисперсию Е.
298. Модуль вектора скорости молекулы газа есть
случайная величина, распространенная по закону Максвелла, т. е.
имеет плотность f(v) = -j^v2e~h2v2 при v>0 и /(•*) = 0
у п
при v < 0. Найти среднюю скорость и дисперсию величины
скорости молекулы.
299. Вероятность того, что станок, работающий в момент t0y
не остановится до момента t0-\-t, дается формулой P(t) = e~at.
Найти математическое ожидание и дисперсию рабочего периода
станка (между двумя последовательными остановками).
300. Найти медиану и моду распределения вероятности,
плотность которого задается формулой
f(x\= "Ь(х-х0)а-г k>0 а>1 х <jc<oo.
301. Случайная величина Е распределена по закону Релея,
т. е. имеет плотность
ПХ)~\ Ахе~™ . *>0.
Найти коэффициент А, медиану, моду, математическое
ожидание и дисперсию \.
50
302. Случайная величина S распределена логарифмически
нормально, т. е. ее плотность
1. _JL(injr-a)*
f(x) = 0 при л:<.0 и f(x) = l-=-e 2р прих>0,
х$ у 2к
а — любое вещественное число, р — положительно
(распределение частиц при дроблении). Найти Mi и D\.
303. Случайная величина \ распределена по нормальному
закону с параметрами (0, о). При какой дисперсии о2
вероятность попадания в интервал 0<#<£<# будет наибольшей?
304. Случайная величина 5 распределена по нормальному
закону. Найти М\\ — М\\.
305. Мишень состоит из трех концентрических кругов
радиусом -т=-, 1 и "|/3. Попадание в центральный круг стоит
у з
4 очка, в среднее кольцо — 3 очка, в крайнее кольцо —2 очка
и вне кругов —0 очков. Вероятность попадания на
расстоянии г от центра мишени равна п(1 , 2,. Найти
математическое ожидание числа очков, выбитых при пяти выстрелах.
306. Найти математическое ожидание и дисперсию
произведения двух независимых случайных величин g и т),
равномерно распределенных соответственно в промежутках (а, Ь)
и (с, d).
307. Функция распределения случайной величины Е,
имеющей конечное математическое ожидание, равна F (х). Доказать,
что
М\ = - f /Ч;с)Лс + Г Г1 —F(x)\ dx
f F(x)dx+ f [1— /%*)]■
-oo 0
308. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса i?.
Вероятность попадания точки в любую область, расположенную
внутри круга, пропорциональна площади области. Найти
функцию распределения, математическое ожидание и
дисперсию расстояния точки до центра круга.
309. На диаметре, стягивающем полуокружность радиуса 1,
берется наудачу точка А. Вероятность взять точку на любом
отрезке диаметра зависит только от длины этого отрезка и
пропорциональна ей.
а) Найти функцию распределения и плотность положения
на полуокружности точки В, проекцией которой на диаметр
является точка А.
б) Найти вероятность такого положения точки В на
полуокружности, что ее расстояние по дуге окружности до
середины этой дуги не превосходит -j-.
310. На поверхности сферы берут наудачу две точки и
соединяют их меньшей дугой большого круга. Найти функцию
4*
51
распределения, математическое ожидание и дисперсию длины
дуги.
311. Напряжения сигнала и помехи на входе приемнвго
устройства являются синусоидальными величинами одинаковой
частоты с равной постоянной амплитудой. Разность фаз
сигнала и помехи, есть случайная величина, равномерно
распределенная в интервале (—я, я). Найти вероятность того, что
амплитуда суммарного напряжения меньше половины
амплитуды сигнале.
312. Случайная величина ? равномерно распределена на
отрезке S">"S"'h Yl:=^sina)?; а и <о — положительные
постоянные. Найти математическое ожидание и дисперсию
величины 7].
313. Случайная величина % имеет плотность f(x) =
ЛЙ>при-*<х<0,
0(п vx Найти моду, медиану и сред-
а (а + Ь) п ^ ^
нее значение (-.
314. В текстильном деле неровнотой по длине называется
а" _ af
величина ^ =—^ » где а—сРеДняя длина волокна, аг —
математическое ожидание длины волокон, большей средней,
а! — математическое ожидание длины волокон, меньшей
средней. Считая, что распределение волокон по длине подчиняется
нормальному закону со средней а>0и дисперсией о2, найти X
в зависимости от этих параметров.
315. Случайная величина \ распределена по закону, у
которого математическое ожидание и медиана совпадают в
точке 0. Найти среднее значение тех наблюдений, в которых
\ принимает положительное значение. Пример: \ равномерно
распределена на отрезке [—а, а].
316. Нормальное распределение с плотностью f(x) =
(.r-fl)a
= —7="^ 2°3 усечено значением х = Ь, а значения, мень-
оу2к
шие 6, отброшены. Найти математическое ожидание и
дисперсию этого усеченного распределения.
317. Диаметр d круга измерен приближенно, и известно
лишь, что a^d^b. Считая d случайной величиной,
равномерно распределенной на отрезке [а, 6], найти математическое
ожидание и дисперсию площади круга.
318. Случайная величина \ — ошибка измерительного
прибора— распределена по нормальному закону с дисперсией
16 мк. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти
вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка £
52
а) нревзойдет по модулю 6 мк не более трех раз; б) хотя бы
один раз окажется в интервале 0,5 мк—3,5 мк.
319. Угол упреждения при воздушной стрельбе определяется
по формуле ср = — sin а, где и — скорость цели, v — скорость
полета снаряда, а — курсовой угол цели. Найти
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение угла
упреждения, если а — случайная величина, равномерно
распределенная в интервале 10, ^\> и — случайная величина,
равномерно распределенная в интервале 600—700 км\яас, а
V ^ 1 км/сек и постоянна {и и а независимы).
320. Относ бомбы (или груза, сбрасываемого с самолета)
при бомбометании с горизонтального полета определяется
формулой A = wT—Д, где w — путевая скорость самолета, Т —
время падения бомбы,, Д— линейное отставание бомбы.
Путевая скорость самолета определяется формулой w = ucose + v,
где и — скорость ветра, е — угол ветра, v — воздушная
скорость самолета. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение относа бомбы, если угол ветра
является случайной величиной, равномерно распределенной в
интервале (0, я), а остальные величины практически постоянны.
321. На единичную сферу брошено, наудачу п точек (т. е.
положение каждой точки не зависит, от остальных и
распределено равномерно на сфере). Найти среднее число точек с ду-
гввым расстоянием (одна от другой), меньшим а(а<я).
322. Для случайной величины Е известно Ml = у, D£ = -^ .
Имеется гипотеза, что I равномерно распределена в некотором
промежутке. В результате шести независимых наблюдений
установлено, что I приняла значения, лежащие в промежутке
(0,9; 1). Согласуются ли эти наблюдения с гипотезой
равномерности распределения?
323. Размер диаметра втулок, изготовляемых цехом,
можно считать нормально распределенной случайной величиной с
математическим ожиданием а=2,5 см и дисперсией а2=
= 0,0001 см2. В каких границах можно практически
гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность
практической достоверности принимается 0,997?
324. Наблюдения над скорлупой крабов, живущих в
мелкой и глубокой воде, сведены в следующую таблицу:
Виды крабов
Мелководные
[ Глубоководные ,
Средняя длина
скорлупы, см
8,41
8,59
Средняя ошибка
(отклонение)
0,04
0,05
53
Выяснить, следует ли считать получившуюся разницу
результатом влияния среды или можно приписать ее
случайности выборки (можно считать законным нормальную
аппроксимацию распределений длины скорлупы крабов).
325. С 1871 г. по 1900 г. в Швейцарии родилось
1359 671 мальчик и 1285 086 девочек. Найти- с вероятностью,
большей 0,997, интервал, в котором заключена вероятность р
рождения мальчика.
326. Вычислить все центральные моменты нормального
закона.
327. Из теории броуновского движения известно, что если
частица в момент t = 0 находится на расстоянии х0 от
отражающей стенки, то вероятность того, что в момент t^>0 она
будет находиться между х и x-\-dx, равна w(x)dx, где
( _ (х-х0у _ (х+х0У
w (х) = п _ I е + е
Найти среднее значение перемещения и среднее значение
квадрата перемещения частицы за время t.
328. Случайная величина £ имеет плотность
f/v\_И1—*У при — i<*<i,
/W_l .0 , |х|>1, а>0.
Найти коэффициент с, М\ и D\.
329. Найти моду, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины, имеющей плотность
10 при х < 0,
j_ (Распределение
1т г-т.Р~ х х>0 Пирсона типа L)
(ш-2)!
330. Случайная величина 5 имеет плотность
Найти постоянную у0 и первые четыре центральных момента
величины £.
331. Случайная величина Е имеет плотность /(лс), которая
есть четная кусочно-монотонная функция на отрезке [— те, те]
и равна нулю вне этого промежутка. Показать, что
/2=1
где ап — коэффициенты Фурье функции/(л:).
332. Ошибка измерений некоторой величины при одном
методе равна 2£, где £ — нормально распределенная случайная
величина с М£ = 0, о = 5; при другом методе измерений
ошибка С есть сумма двух независимых нормально распределенных
54
случайных величин: \ = \ -f- y)2, причем МУ1г = Мг12 = 09 оЧ1 =
= 0^ = 5. Какой метод измерений предпочтительнее?
333. Доказать для произвольной ограниченной случайной
величины Е, что а) ее математическое ожидание заключено
между наименьшим и наибольшим значениями; б) дисперсия Е
не превосходит квадрата полуразности между наибольшим
и наименьшим значениями; в) величина М(Е— а)2 достигает
минимума при а = М\.
334. Пусть х1 и лг2— результаты двух независимых
наблюдений над нормально распределенной величиной Е.
Доказать, что Mmax(*b л;2) = а +-7= > где а=М%, o2=DE.
335. Доказать, что если F(x)— функция распределения, то
при любом h =f= 0 функции
x+h x+h
л: jc—h
также являются функциями распределения вероятностей.
336. Доказать следующее свойство функций распределения.
во оо
1) lim хЛ — dF(u) = 0; 2) lim х- Г — dF{u) = 0.
ЛГ-+0 J U *- + оо J «
X X
337. В счетчике Гейгера — Мюллера для подсчета
космических частиц частица, попавшая в счетчик, вызывает разряд,
длящийся время т (т — постоянно). Попавшие в этот
промежуток времени в счетчик новые частицы счетчиком не
регистрируются. Считая, что распределение числа частиц, попавших
в счетчик, подчиняется закону Пуассона, найти вероятность
того, что счетчик за время t^>0 сосчитает все попавшие
в него частицы.
338. Некоторый прибор (или деталь), работающий до
момента t, может выйти из строя в течение интервала времени
{t, t-\-Ht) с вероятностью P(t, Д£) = ср(£) М-\-о(Ш), где
ср (t) — некоторая неотрицательная функция, заданная на
полуоси (0, оо) и называемая обычно средней интенсивностью
выхода из строя этого прибора (или детали). Найти функцию
распределения и плотность срока службы прибора и
вероятность выхода его из строя в течение данного интервала
времени (£,, t2), если он работал до момента tv
339. Независимые случайные величины хъ х2, ... , хп,
представляющие отдельные результаты наблюдений величины
Е, одинаково распределены по |закону
Ю яри х^.0,
F(x): ,
1\—ег* х>0.
Ея = тах(х1, х2, ... , хп).
55
1) F(x)=,
2)F(x) = \
\ о
1 — e-ax
[ 0
1-(-*)•
1
Найти закон распределения случайной величины £ и доказать,
что можно подобрать такие постоянные ani что законы
распределения величин £л — ап стремятся к предельному.
340. Решить предыдущую задачу для величины — при
следующих законах распределения S:
при -*<С1,
х>1, (а>0),
„ -1<^<0 (а>0),
*>0.
341. Пусть F(x) есть функция распределения со средним
значением 0 и дисперсией о2. Доказать, что при л:<0
^С*)< а2°+Х2 ; при *>о fW> ст2+^ .
342. Случайная величина £ принимает значения, не
превосходящие с, причем М% = а. Доказать, что
а) при с = 0 P{l<at2}<-±-;
б) , а = 0Р{К-^)<тЬг.;
в) „ а>0Я{К0]<1-|.
343. S—симметричная, случайная величина, имеющая
непрерывную плотность. Пусть
(« при|5|<*.
10 , |g|>*
для любого фиксированного 'X > 0. Математическое ожидание
величины г\х известно (как дифференцируемая функция от х).
Найти плотность £.
344. Доказать, что если МЬ2 = МЪ9 = М¥, то случайная
величина £ дискретна и может иметь лишь два возможных
значения 0 и 1.
345. Доказать неравенства: а) М£4>(М€)4; б) М?-М¥ >
>(М&3)2; в) М?п • М?т > (Ж6л+т)8. Когда в этих неравенствах
возможен знак равенства?
346. Доказать, что если М£2л, Af£2rt+1 и ЛГ'5?Л+2 являются
последовательными членами арифметической прогрессии, то
они равны между собой и величина 5 может принимать толька
значения 0 и 1.
347. Доказать, что если М%п, М1п+Х и МЬп+2 являются
последовательными членами геометрической прогрессии, то-
случайная величина £ либо постоянна, либо принимает толька
два значения, из которых одно равно нулю.
56
348. Из артиллерийского орудия, находящегося в точке О,
производится стрельба вдоль положительного направления оси
ох. Цель есть отрезок длины /, и плотность распределения
вероятностей ее центра на оси ох естъ/(х). Плотность
вероятностей попадания-в точку .л: из орудия с одного выстрела при
прицеле Е есть ср (л:, £). Найти вероятность поражения цели
при одном выстреле с указанным прицелом, считая снаряд
точкой.ч
349. Случайные величины 5 и к] нормально распределены,
имеют одинаковые по величине и противоположные по знаку
математические ожидания и равные дисперсии. Одна из
величин, неизвестно какая (выбор равновероятен), получила
значение х.
а) Найти закон распределения х.
б) Построить график плотности х при 1) М% = — Мг\ = \г
Dt = Dri = l и 2) ЛК = --Мц=1, D? = Dyj = 1.
в) При каком соотношении между М% и D% распределение
унимодально? При^ каком — бимодально?
350. Над случайной величиной Е, имеющей непрерывную
функцию распределения F(x), произведены две серии
независимых испытаний, в результате которых 5 приняла значения,
расположенные в порядке возрастания в каждой серии:
*i < х2< • •. < *лр Уу<У2 < • • • <yN-
Найти вероятность'неравенств у1Х<хт+1<-у{Л+1, где т иц —
заданные числа (0</гс<М, 0<^<7V).
35J. Пусть ?, т], б1, 62, ..., 6л — независимые случайные
величины. Найти вероятность того, что хотя бы одна из
величин S и г\ примет значение, большее каждой из величин
*i» • • •» 6л. Рассмотреть частный случай, когда все величины
одинаково распределены.
352. Дана случайная величина £ с функцией распределения
F(x). Найти функцию распределения случайной величины
7] = alj-f-&, где а и b — постоянные. Рассмотреть общий случай
и случай наличия плотности величины Е.
353. Случайная величина % имеет плотность f(x).
а) Найти плотность величины -*] = 2£ч, — а<х<С.а.
б) Найти плотность величины г\ = — 2£, а < х < Ь.
354. Доказать, что линейная функция случайной величины,
распределенной по нормальному закону, также нормальна.
355. Закон ошибок при наблюдении температуры выражен
_^..£-1,2(*-23)«. J-]a_
писать этот закон, приспособив его к шкале Цельсия.
' 356. Случайная величина £ распределена по закону
57
Г(х)=1 ° при *^0'
{е-*'* при х>0 (а>0).
Найти функцию распределения случайной величины г\ = — у.
357. На окружности радиуса R с центром в начале
координат наудачу брошена точка (т. е. полярный угол попадания
равномерно распределен в промежутке [— тс, тг]). Найти плот-.
ность распределения абсциссы точки попадания. Найти
вероятность того, что проекция этой точки на диаметр находится от
R
центра на расстоянии, не превосходящем -g-.
358. Из точки (0, а) проведена прямая под углом ф к оси
Oj/. Найти функцию распределения абсциссы точки
пересечения этой прямой с осью Ох, если а) угол ср равномерно
распределен в промежутке (0, у); б) то же в промежутке
359. Диаметр круга измерен приближенью. Считая, что его
величина равномерно распределена на отрезке [а, ft], найти
распределение площади круга.
360. Случайная величина Б имеет плотность f{x); y=g{x)~
строго монотонная непрерывно дифференцируемая функция.
Найти плотность случайной величины ?) = £•(£).
361. Случайная величина £ имеет плотность
р^{х) = \^х) при °<*<°°'
( 0 при — сю <л:^0.
Найти плотности следующих случайных величин: 1) ч\ = Р;
2) Ч = )-;3)ч=+1^ 4Н = **;-5) ч=*-*; 6)Ч = 1п*.
362. Случайная величина £ распределена по нормальному
закону; Ж? = 0. Найти распределение величины ?] = £3.
363. На окружность радиуса R брошено две точки. Считая,
что длина хорды есть случайная величина с равномерным
распределением, найти функцию распределения, плотность,
математическое ожидание и дисперсию длины дуги между
брошенными точками.
364. Случайная величина £ имеет непрерывную функцию
распределения F(x). Найти функцию распределения случайной
величины ri = F(l).
365. Дана случайная величина 5, имеющая плотность f{x).
Пусть y = g(x) есть непрерывно дифференцируемая
ограниченная функция, обратная которой x = h(y) многозначна.
Найти плотность r\ = g(£).
366. Дана случайная S, имеющая плотность f(x). Найти
плотности величин: 1) Tjrmarctgfj; 2) irj=tg g; 3) ^=|5l; 4) ?]=i2;
58
7)Ч = /Л8-Р; s)-n = e-#; 9)ч =
= asinwS, где а и со — положительные постоянные.
367. Закон распределения ошибок при измерения радиуса г
круга — нормальный с параметрами а =1000 и а2 = 0,25. Найти
закон распределения ошибок, при вычислении а) длины
окружности; б) площади круга.
368. Найти закон распределения квадрата случайной
величины, распределенной по нормальному закону.
369. Стержень длины /
разламывается в наудачу выбранной
точке. Вероятность того, что точка
разлома попадет на какую-либо
часть стержня, пропорциональна
длине этой части. Найти функцию
распределения площади
прямоугольника, стороны которого равны
получившимся кускам стержня.
370. Из точки, взятой наудачу
на окружности радиуса 1 с
центром в начале координат, проведена
касательная к окружности. Точка
касания равномерно распределена
на окружности. Найти закон
распределения длины касательной.
371. На отрезок оси ординат
между точками (0, 0) и (0, R)
наудачу брошена точка (т. е. ее
ордината равномерно распределена в промежутке (0, /?)). ^Через
точку попадания проведена хорда окружности x*~\-y2-=R\
перпендикулярная оси Оу. Найти распределение длины этой
хорды.
372. Имеется центробежный регулятор, стороны которого
равны а. Угол ср есть случайная величина, равномерно
распределенная в интервале (у, j). Найти закон распределения
диагоналей „параллелограмма" регулятора (рис. 2).
373. Угол сноса самолета а определяется формулой а =
= arcsin(-^-sine), где е — угол ветра, и — скорость ветра,
v — воздушная скорость самолета. Угол ветра е равномерно
распределен в интервале (—те, тг). Найти плотность угла сноса
самолета, если скорость ветра гг = 20 м/сек, воздушная
скорость самолета -и = 720 км\яас.
Рис. 2.
374. Определить
чтобы величина y| = -j/T
плотность
случайной
была распределена
закону с параметрами а = 0, о=1.
величины 6 так,
по нормальному
59
375, Двумерная случайная величина (S, у\) имеет следующее
распределение вероятностей:
71
1 ' —1
0
1
г 1
0#
од
0,2
0
1 1
0,2
0,3 1
0,2
Найти математическое ожидание и дисперсию величины
С = 26 + ч*.
376. Случайная точка на плоскости распределена по
следующему закону:
ч
1 ""1
0
1
5
0 | 1 |
0,10
0,15
0,20
0,15 1
0.25 1
0,15 1
, Найти числовые характеристики величины (£, у\).
377. Изготавливаемые в цехе втулки сортируются по-юткло-
нению их внутреннего диаметра от номинального размера на
четыре группы со значениями 0,01; 0,02; 0,03 и 0,04 мм и по
овальности на четыре труппы со значениями 0,002; 0,004; 0,006
и 0,008 мм. Совместное распределение отклонений (£) диаметра
и овальности (у) втулок задано таблицей:
71
0,002
0,004
0,006
1 0,008
£ |
0,01
0,01
0,03
0,04
0,02
0,02 | 0,03 | 0,04
0,02
0,24
0,10
0,04
0,04
0,15
0,08
0,03
0,04
0,06
0,08 !
0,02
Найти математическое ожидание, среднее квадратическое
уклонение £ и у\ и коэффициент корреляции между , ними.
Найти одномерные законы распределения каждой из величин
5 и т].
60
378. Распределение вероятностей двумерного случайного
вектора (S, г\) задано таблицей:
ч
1 _1
1 °
1 1
5 1
0
0,001
0,001
0,002
l|2|3-|4|5|6|7|8|9|
0,002
0,001
0,005
0,005
0,002
0,010
0,006
0,003
0,089
0,014
0,008
0,154
0,021
0,010
0,231
0,012
0,040
0,180
0,008
0,023
0,098
0,002
0,012
0,048
0,001 1
0,002
0,009
Найти одномерные законы распределения ? и г\, их
математические ожидания и дисперсии и коэффициент корреляции
между Е и тг].
379 .^Имеется случайный вектор (Е, ?]), М£ = 0, Мц = 2>
DS = 2, Dtq=1 и коэффициент корреляции г = ^=. Найти
г 2
математическое ожидание и дисперсию случайной величины
С = 25 — Зт]. ' .
380. Некоторая величина отклоняется от своего среднего
значения под воздействием двух случайных факторов А и В.
Среднее квадратическое отклонение, вызванное фактором А,
равно 1,2, а фактором Б—1,1. Коэффициент корреляции между
этими уклонениями г равен у. Найти среднее квадратическое
уклонение этой величины, вызываемое совместным действием
о;боих факторов.
381. В продукции завода брак вследствие дефекта А
составляет 3%, а вследствие дефекта В — 4,5%. Годная продукция
составляет 95%. Найти коэффициент корреляции дефектов
А и В.
382. Брак в продукции завода вследствие дефекта А
составляет 6%, причем среди забракованной по признаку А
продукции в 4% случаев встречается дефект В, а в продукции,
свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1 % случаев.
Найти вероятность встретить дефект В во всей продукции
и коэффициент корреляции между признаками А и В.
3$3. Случайная величина х есть сумма трех случайных
величин: * = & + y]-|-C, Aft=l, My] = 2, MC = 0, £>Е = 0,01,
£h) = 4, DC = 0,36; г12 = 0,2; г13 = 0,3; г23 = —0,1. Найти Мх
и Dx.
384. Пусть £ и -q— произвольные коррелированные
случайные величины с коэффициентом корреляции r=^= ± 1. Доказать,
что всегда одну из этих величин, например ?], можно
представить в виде суммы двух некоррелированных слагаемых, одно
из которых некоррелировано с S, а другое пропорционально §
(т. е. имеет коэффициент корреляции с £, равный ± 1).
61
385. Доказать, что если (Е, -q)—случайная точка в области
(о), имеющая любую функцию распределения F(x, у), то
математическое ожидание квадрата расстояния между двумя ее
положениями в области (о) не превосходит удвоенного
математического ожидания квадрата расстояния точки (;, у) от
начала координат, которому оно равно, когда Mt = M*q = 0.
386. Дан случайный вектор (£, *]); МЬ = Мц = 0\ D? = 100;
D^] = 25; Ж{^) = 16. Используя линейное преобразование
1 = х, т] = ах-\-у, привести данный вектор к вектору (х, у)
с некоррелированными составляющими. Найти числовые
характеристики х и у.
387. Случайные величины Е и yj имеют математические
ожидания Ml = a, Mr\ = b, дисперсий D\ = o\, Dr\ = G22 и
коэффициент корреляции г. Найти математическое ожидание и
дисперсию величины C = aS-f-PYl + T» гДе а» Р» Т — постоянные.
388. События А и В имеют одинаковую вероятность /?.
Какова должна быть условная вероятность РI \п), чтобы
коэффициент корреляции между А и В был равен числу г?
о89. Случайные величины £ и ?] независимы и распределены
по нормальному закону. ME==a, Mri = b, D% = Dr\ = o2. Найти
радиус круга с центром в точке (а, й), вероятность попадания
в который случайной точки (£, т]) равна 0,997.
390. Случайный вектор (§, ^) имеет плотность /(лс, у) =
— 1 -l ^2 j- v2 4- х2 2 • Найти коэффициент а. Найти одномерные
плотности случайных величин Е и т]. Установить, зависимы или
нет случайные величины Е и т].
391. Случайный вектор (Е, ?)) с неотрицательными
компонентами имеет функцию распределения
F(x, y) = l— е~ах — е-*х + ^-«-Р* (а > 0, р> 0).
Найти математическое ожидание и корреляционную матрицу
этого вектора. Зависимы или независимы его компоненты?
392. Случайный вектор (Е, г\) равномерно распределен
в круге радиуса а с центром в начале координат. Найти
математическое ожидание и дисперсию расстояния точки (5, ч\) от
начала координат.
393. Двумерная случайная величина (Е, г\) имеет
следующее дискретное распределение вероятностей:
т, Л = 0, 1, 2, ... , п\
Найти математическое ожидание, дисперсию и коэффициент
корреляции Ей?].
394. Изделия некоторого производства подвергаются
выборочному контролю. Каждое изделие может с вероятностью р
62
оказаться годным и с вероятностью q — дефектным. В то же
время изделие может быть проверено с вероятностью рг и не
проверено с вероятностью q\ Изделия выбираются до
обнаружения первого дефектного изделия. Пусть N—число изделий,
прошедших через стол контролера, из них К—число
дефектных, но не обнаруженных.
Найти а) совместное распределение (iV, К); б)
распределения TV и К по отдельности; в) M(N) и М(К)\ г)
корреляционный момент величин N и К.
395. Случайный вектор (£, ч, С) равномерно распределен
внутри цилиндра С с центром в начале координат,
образующей, параллельной оси oz, высотой 2Я и радиусом
основания R. Найти распределение каждой проекции этого вектора.
Зависимы или нет проекции между собой?
396. Случайная величина i равномерно распределена
в интервале (—1, 1), Y] = £m (m — целое положительное). Найти
коэффициент корреляции Ъ и ц. Рассмотреть случаи четного
•и нечетного т, а также т-+со.
397. Предполагая, что рассеяние, попаданий при стрельбе
по плоской мишени происходит по нормальному закону с
дисперсиями oj по горизонтали (по оси Ох) и о\ — по вертикали
(оси Оу), причем рассеяния по вертикали и горизонтали
независимы, найти вероятность попадания в площадь, ограни-
X2 V2
ченную эллипсом с уравнением —у +-^т =с*- (Центр
рассеяния— центр эллипса.) l 2
398. Решить предыдущую задачу для объемной мишени,
х2 у2
т. е. найти вероятность попадания в эллипсоид —^ + ~2~ ~+~
22 2(J1 2°*
Н 2" = £2 ПРИ Условии нормальности, и независимости рассе-
2с3
яний по всем трем декартовым осям координат.
399. Случайные величины 5 и ^ независимы и нормально
распределены с одними и теми же параметрами а и о. Найти
коэффициент корреляции величин a^-j-рт] и a£ — ^yj, а также
их совместное распределение.
400. На отрезок [0, а] брошено п точек. Считая, что точки
разбросаны случайно (т. е. каждая из них расположена
независимо от других и распределена равномерно на отрезке
[0, а]), найти а) плотность распределения абсциссы &-й точки
слева; б) совместную плотность абсцисс А-й и тга-й точки слева
(iw>ft).
401. В условиях предыдущей задачи найти вероятность
того, что абсцисса самой левой точки будет меньше половины
абсциссы самой правой точки.
402. Над случайной величиной \ с непрерывной функцией
распределения произведено п независимых испытаний, в
результате которых наблюдены следующие значения величины \\
6S
xu x2, ... , xn. Найти функцию распределения случайных
величин: а) чя = т!п(л;1> х2, ... , хп); б) Ся = тах(д:1> х29 ... , хп);
в) £-го по величине результата наблюдения; г) совместного
распределения &-го и т-то по величине результатов
наблюдений.
403. Функция распределения случайного вектора (^, Е2,...,Ел)
равна Z^^, л:2, ..., хп). В результате испытания компоненты
вектора получили значения (xv хъ ... , хп). Найти функцию
распределения ^величин: a) ^i = min(x1, хъ ... , хп); б) С =
= тах(х1, л:2, ... , *я). ,
404. Случайные величины 61э £2> • •• > &л+ш (я>/ю)
независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию.
Найти коэффициент корреляции между суммами
405. Случайный вектор ($, ?]) равномерно распределен
в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с
осями координат.
а) Написать выражение плотности вектора (£, ^) и каждой
из его компонент.
б) Исследовать зависимость и коррелированность Ъ и ^.
406. Случайный вектор (£, т]) равномерно распределен
в круге радиуса г с центром в начале координат. Выяснить,
зависимы ли и коррелированы ли величины i и ^.
407. В плоской односвязной области (о) появляется
случайная точка, плотность которой f(x, у) задана. Найти условия,
необходимые и достаточные для того, чтобы существовала
ортогональная система координат, в которой координаты
(компоненты) (Еь -%) этой случайной точки были независимы.
408. Пусть (■— случайная величина с плотностью f(x).
Функция g(x)— монотонна; ^ = g"(5). Доказать, что если
существует коэффициент корреляции величин £ и \ г5 , то г£т] >0,
если g(x) монотонно возрастает, и ^<0, если g(x)
монотонно убывает.
409. (Обобщение.) Пусть £ — случайная величина, g(x) —
вещественная функция, меняющая знак не более одного раза
на всей вещественной оси (в точке л:о> —°°). Пусть Y] = g-(x)
и пусть существует коэффициент корреляции /v. Тогда если
g (x) меняет знак, при переходе сл^ва направо через точку
х0>—-с», с — нач+, то ^>0, в противном случае ге <0
(случай х0 = — оо означает, что функция g(x) знакопостоянна;
в этом случае коэффициент rg совпадает по знаку с g (x)),
410. Случайный вектор (£, ^) нормально распределен;
М£ = а, Mri = b, D%—o2v Z>] = a2; r —коэффициент
корреляции между £ и v]. Доказать, что г = соъдк, где
411. Дан случайный вектор (£, г\) с плотностью f(x, у).
Найти плотность вектора (и, v), где и ==%-{-% v — % — r\.
л 412. Двумерный вектор (Е, ц) имеет плотность ,/(*, у).
Найти плотность вектора (£', V), если 5' = 6 cos a -j- y\ sin а,
7j' = — ^ sin а-|-т] cos а. (Поворот осей координат.)
413. Заданы функции распределения двух независимых
случайных величин Е и yj. Найти функцию распределения
(а для непрерывных величин и плотность) а) их разности;
б) их произведения.
414. Доказать устойчивость закона Коши: сумма
независимых случайных величин, распространенных по закону Коши,
т. е..имеющих плотность /(*)= п , 2Ч, также распростра-
нена по закону Коши (см. задачу 477).
.415. Случайная величина \ равномерно распределена в
интервале (0,2), случайная величина у\ равномерно распределена
в ийтервале (—1, 1); I и г\ независимы. Найти плотность
распределения величины С = 5 + ^].
416. Две точки наудачу брошены на отрезок данной
длины а. Положения точек на этом отрезке независимы и
равномерно распределены. Найти функцию распределения,
плотность, математическое ожидание и дисперсию расстояния
между этими точками.
417. Стороны прямоугольника — наудачу взятые отрезки;
длина каждого из которых не превосходит а и является
случайной величиной, равномерно распределений в интервале
[0, а]. Считая их независимыми, найти функцию
распределения и плотность площади прямоугольника.
418. Дана плотность двумерного случайного вектора (£, ?]):
f(x, y) = — e . Найти а) плотности величин 5 и у\\
б) плотность С = !--}-7];- в) плотность вектора (#, v), где
419. Найти функцию распределения суммы независимых
случайных величин 5 и yj, первая из которых равномерно
распределена на отрезке [—а, а], а вторая имеет функцию
распределения F{x).
420. Найти распределение суммы независимых случайных
величин Ъг и £2, если их распределения заданы условиями:
a) Fx(x) = F2(x) = -тг + — arctglx:; б) равномерно распределены
соответственно в интервалах ( — 5,1) и (1,5); в) f{{x)^=f2{x) =
1 - —
421. Случайные величины Б и tq. независимы, принимают
значения лишь из отрезка [ — тг, тс], и их плотности заданы
рядами Фурье
5 Заказ 411
55
^ W = -5TЬ+ 2a,|C0S^""T/l)/l['
Найти плотность суммы S-f-т].
422. Случайная величина ^Л есть сумма п независимых
случайных величин 1Ъ g2» • - • »£л» каждая из которых равномерно
распределена на промежутке (0,1). Пусть уп(х)— плотность тг)я.
X
Показать, что <рп+1(х)= J срЛ(;г)я?;г.
423. Независимые случайные величины £ и vj распределены
следующим образом: £ имеет плотность f{x), а ?]—
дискретная величина, принимающая значения хх, х2у ... с
вероятностями соответственно ръ р2 ... Найти закон распределения
их суммы.
424. Случайные величины I и г\ независимы и распределены
по закону гиперболического секанса: f^(x) =/ (х) = -^^ =
2
= —г~т ?ч- Найти закон распределения их суммы.
п(ех + е л)
425. Плотность случайного вектора (Е, vj, С) равна
/(Х)У> g) = ((i+,+y+,y ПР« -*>°> *>°> *>°-
I 0 в остальных случаях.
Найти распределение величины 5 + *] + С.
426. Случайные величины ^, Н2, ... , £Л независимы и
распределены по одному и тому же нормальному закону с
параметрами а и о. Найти плотности вектора (vj, С), где
4 = 2 h, С= 2 £Л' ю<л:
fe-1 ft = l ,
427. Случайные величины 5 и т) независимы и имеют
следующие плотности: /5 (лс) =/ (лс) = 0 при лс^О,
/,(x) = c1W~^, /(л;) = с2л:те-Р* при л:>0.
Найти постоянные сх и с2 и плотность распределения суммы
428. Доказать, что если независимые случайные величины
5 и Y] распределены по закону х2 с параметрами т и я, то
сумма 5-|-?] распределена по закону х2 с параметром /я-)-"71
(т. е. устойчивость типа закона х2)-
66
Плотность закона, х1 с параметром т задается формулой
т х_
fm(x)= X\ /Is' ПРИЛ>0и/т(х)^0 При Л.<0.
2-2Т
m
429. Случайные величины Ь и у независимы и имеют плот-
иости f^(x) и /Ах). Найти плотность частного £ = — .
430. Плотности независимых случайных величин I и ?) равны:
a)/tW=Au)4jL-:<0\>0);
, 0 х<0 и я>а,
б)/£ (*)=/„(*) = J j
— при 0< л; < а.
Найти плотность распределения частного ^ = — .
431. Измеряется некоторая величина, точное значение
■которой обозначим через т. Для измерения т применяются
две различные системы. Система I обладает столь высокой
точностью, что практически можно считать, что если эта
система исправна и на нее не действует помеха, то значение хи
полученное с помощью системы I, точно равно т. Однако эта
система сильно подвержена действию помех и поломкам.
Известна вероятность PiiP<ip1<C^) того, что в данный
момент система I находится в рабочем состоянии. Если же,
напротив, известно, что х1=^=т, то система в данный момент
дефектна, ее показание хг можно рассматривать случайной
величиной, равномерно распределенной на некотором отрезке
[0, L] (0<m<L).
Вторая система в выше указанном смысле вполне надежна,
т. е. можно считать, что она не выходит из строя в силу
поломок и не подвержена действию помех, однако результат
измерения х2 системы II является случайной величиной,
распределенной поднормальному закону со средним т и весьма
большой дисперсией о2, т. е. точность системы II не высока.
Найти а) функцию распределения (и график) случайной
величины хх\ б) функцию распределения разности х1 — х2.
432. Случайный вектор (?, yj) нормально распределен:
Найти Ж max (£, r\).
433. g и v] — независимые случайные величины; £
распределена по нормальному закону с плотностью
w=K£<
/2-У2
2
67
а т] = —Lr, т. е. имеет плотность
Ш-Щ^-Щ-У-Ь' (УХ*
Найти плотность распределения частного С = —.
434. Случайные величины I и ?] независимы и распределены^
а) равномерно в интервале (— а, а); б) нормально с
параметрами а = 0, о=1. Найти плотность распределения
произведения С = £-?]. " *
435. Случайные. величины независимы и нормально
распределены с параметрами а, 6, а1=^а2 = о. Найти функцию
распределения и плотность расстояния точки (S, г\) от центра
распределения (а, Ь).
436. Случайные величины Б, iq, С независимы и нормально
распределены: Ж? = а, ЛГт] = 6, МС = с, D£ = Dy]~D£ = o2.
Найти распределение расстояния случайной точки (5, ?], С) от
центра распределения (а, 6, с).
437. Случайные величины 5 и к] независимы и
распределены по нормальным законам с параметрами (а, о); (6, о).
Найти плотность распределения расстояния точки (£,. ^) от
начала координат.
.438. Стороны треугольника I и г\ представляют собой
независимые случайные величины с функциями распределения
F^(x) и F (у). Найти функцию распределения третьей стороны
треугольника, если угол между сторонами £ и tq равен
постоянной а.
439. Доказать, что если Бит] независимы и их плотности
равны
то величины £1 = Б-}-,ч и"С2 = — также независимы.
440. Доказать, что если £ и г\ независимы и нормально
распределены с параметрами aL = a2 = 0, а1 = а2 = а, то вели-
чины С = £2 + ^2 и 8 = — также независимы.
441. Доказать, что если величины £ и г\ независимы и
распределены по закону х2 с параметрами тип (см. задачу 428)»
то величины С = Б + ^ и 6 = —независимы.
Y]
442. Пусть имеется последовательность независимых
случайных величин {^k} (конечная или бесконечная). Доказать,
что если среди этих величин хотя бы одна 6^ имеет ограни-
6S
ченную плотность, то сумма СЛ= 2j ^ ПРИ любом п> kQ так-
же будет иметь плотность, ограниченную той же постоянной»
что и плотность величины Ь0.
443. Случайная величина 5 равномерно распределена на
отрезке [с, с-\-а], a vj— произвольная случайная величина,
независимая от S. Обозначим через С наименьший
неотрицательный вычет £ + ?] по модулю а, т. е. С== £-1-y) (mod а)г
0^С<а. Доказать, что величина С всегда равномерно
распределена на отрезке [0, а].
444. На плоскости даны два независимых случайных
вектора: орт с фазой, равномерно распределенной в промежутке
(О, 2тг), и произвольный случайный вектор. Как распределена
фаза суммы этих векторов?
445. Случайная величина Е распределена по нормальному
закону с параметрами а и о; yj— равномерно распределена
в промежутке [ — те, те]. Е и yj независимы. Найти плотность
распределения величины C = £sinY]..
446. Имеются две урны, из которых первая содержит
10 белых, 5 черных и 5 красных шаров, а вторая — 8 белых,
8 черных и 4 красных шара. Сравнить степени небпределен-
ности исходов двух опытов, состоящих в вынимании одного
шара из каждой урны.
447. Пусть опыты Ли В состоят б последовательном
извлечении двух шаров из урны, содержащей п шаров, из-
которых т белых. Найти энтропию каждого опыта (каждого
извлечения шара) и условные энтропии На{В) и Нв{А) этих:
опытов.
448. В %рне имеется т белых и п — т черных шаров.
Ощ>гг А состоит в вынимании из урны п — 2 шаров; опыт В —
в последующем вынимании еще одного шара. Найти энтропию
опытов А и В я условные энтропии НА(В) и НВ{А) (т, л>2).
449. Найти энтропию биномиального распределения с р =
— <7 = _2~- Вычислить энтропию при п = 5 с точностью да
третьего знака после запятой. Сравнить э£у энтропию с
энтропией опыта, имеющего шесть равновероятных и
несовместимых исходов.
450. Случайная величина принимает значения хп с
вероятностями: 1) рп = —, /1=1, % ... ; 2) рп = арп, п = 0к 1, 2, ...
Вычислить энтропию этой случайной величины. Как изменяется
энтропия в зависимости от р (0</?< 1)? -
451. Двумерное распределение величины (£, yj) задано
следующей таблицей:
№
ч
-1
0
1
е 1
0
0,1
0,2
0
1
0,2
0,3 1
0,2
Найти информацию относительно £, содержащуюся в v\.
452. Двумерное распределение величины (с, yj) задано еле
дующей таблицей:
71
-1
0
1
5 1
0 | 1
0,10
0,15
0,20
0,15 1
0,25 1
0,15
Найти информацию о ^, содержащуюся в £.
453. Пусть опыт В состоит в извлечении одного шара из
урны, содержащей 5 черных и 10 белых шаров, опыт Ак —
в предварительном извлечении из той же урны k шаров.
Найти энтропию опыта В и информацию об опыте В,
содержащуюся в опытах Аи А2, Л13, Аи.
454* Опыт В состоит в отыскании целого положительного
числа л:, не превосходящего N; опыт ат — в выяснении,
делится ли число х на т или нет. Найти информацию о
результате опыта В, содержащуюся в опыте ат. При Лком т эта
информация наибольшая?
455. £ и г\ — независимые случайные величины,
принимающие значения 0 и 1 соответственно с вероятностями рг, дх
и Ръ Яг- Случайная величина С, также принимающая значения
О и 1, зависит от вектора (£, г\) следующим образом: ^ = 0,
если § и г\ приняли одинаковые значения, и С=1, если ; и г\
оказались различнь^ Найти информацию о' С, содержащуюся
в векторе (£, yj), а также по отдельности в ? и vj. Рассмотреть
частный случай, когда p1 = q1=^p2^=q2 = -^- .
456. Найти дифференциальную энтропию равномерного
распределения на отрезке (0,2) и энтропию суммы двух
независимых случайных величин, равномерно распределенных на
указанном интервале.
457. Вычислить дифференциальную энтропию нормального
закона с дисперсией а2 и равномерного распределения с той
же дисперсией.
70
458. Найти дифференциальную энтропию распределения
величины т] = a sin со?, где Е равномерно, распределена в
промежутке ——, -~ , а и а) — положительные постоянные.
459. Двумерный случайный вектор (£, г\) распределен по
нормальному закону с параметрами а, 6, о1э о2, г. Найти
дифференциальную энтропию этого двумерного вектора и
среднюю условную дифференциальную энтропию //^Сч).
460. Найти характеристические функции следующих
законов распределения:
а) случайная величина принимает значения 0, ± хъ + х2,...
... , ± хю ... (конечное или счетное множество) с
вероятностями р0у рп=р-п, л=1, 2,-., . ;
б) биномиально распределенная случайная величина.
461. Найти характеристическую функцию закона Пуассона:
Р(т) = Р{1 = т}=к—е-\ т = 0, 1, 2, ...; Х>0.
462. Найти характеристическую функцию равномерного
распределения на отрезке [а, Ь]у в частности на (— а, а).
463. Найти характеристическую функцию показательного
распределения с плотностью
при х < 0,
при х>0 (а>0).
464. Найти характеристическую функцию „двойного
показательного" распределения (закон Лапласа):
f(x) = ±e-lxl.
465. Найти характеристическую функцию ураспределения,
имеющего плотность
10 при х^О,
Г(а) е' прид:>0,
где постоянные а > 0 и (3 > 0.
466. Найти характеристическую функцию, соответствующую
плотности
( 0 при \х\^а,
f(x)=L_lx] ^ \х\<а.
467. Найти характеристическую функцию нормального
закона с параметрами а, о, в частности а = 0, о=1.
468. Найти характеристическую функцию закона Коши
71
1#£
469. Найти характеристическую функцию распределения
синусоидальной величины с постоянной амплитудой и фазой,
равномерно распределенной на промежутке (—^-, -^-|, где
<о — некоторая постоянная.
470. Найти законы распределения, которым соответствуют
характеристические функции a) cost; б) cos2^; в) —— .
471. Найти плотности распределения случайных величин,
имеющих' следующие характеристические функции:
б)Х;в)?(,) = Р-ИпРииК1,
> \-it ;П' 1 0 , |*|>1;
г) *.(*) = e"m. ^
472. Убедиться, что<р(£) = :—^ является
характеристической функцией. Найти закон распределения,
соответствующий этой характеристической функции.
473. Доказать, что функция ср(£) = 1 — L_! ПрИ \t\<^a и
периодическая с периодом 2а является характеристической.
474. Доказать, что функция ср(£) = (1 — Ь)(\—belt)~\0<i
<£<1, является характеристической; найти соответствующую
ей случайную величину S и доказать, что эта величина
является суммой счетного множества независимых случайных ве-""
личин, распределенных по закону Пуассона.
475. Убедиться, что функция
^>=тт^т^> о<а<Р<1-
является характеристической, и найти закон распределения,
соответствующий ей.
476. Доказать устойчивость а) нормального закона и б)
закона Пуассона.
477. Доказать устойчивость закона Коши (см. задачу 414).
478. Доказать, что функции а) е~цп\ б)
i-/|f| '
в) <?(t) = [l-t2 ПРИ 1'1<Ч; г) *-"<«-«*» не являются
характеристическими..
479. Доказать, что всякая характеристическая функция
ср (t) — ноложительно определенная, т. е. 2J 2j ?'(**— tm) X
X zkzm > 0 для любых комплексных чисел zk, вещественных
tk и целого п.
72
480. Закон .распределения называется симметричным, если
его функция распределения F(x) обладает свойством
F{-x)=l-F(x).
Найти необходимое и достаточное условие симметричности
закона распределения.
481. Пусть ср(^) — характеристическая функция, такая, что*
1?(01 =е~си{ , с > 0, 0<а<[2. (Закон распределения,
соответствующий такой характеристической функции, называется
устойчивым, Доказать, что для этого закона распределения
существует плотность, имеющая производные всех порядков.
482. Доказать, что если при некотором вещественном
значении аргумента t0 Ф 0 модуль характеристической функции:
равен 1, то она является характеристической функцией
решетчатого распределения (т. е. дискретной случайной величиной,
все возможные значения которой образуют арифметическую
прогрессию). Доказать обратное предложение (использовать,
задачу 460).
483. Доказать, что всякая вещественная
характеристическая функция обладает следующим свойством: при любом t
1-<р(2*)<4{1-?<*)}.
484. Доказать следующее свойство любой вещественной
характеристической функции:
485. Доказать следующее свойство характеристической
функции:
\<r(t + k)-<?(t)\<V2[i-R*<?W]
(Re z — вещественная часть г).
486. Доказать, что если при некотором t — h (кФО)
характеристическая функция ср (А)= 1, то ср (£) — периодическая;
функция и А—ее период.
#487. Доказать, что любая характеристическая функция
обладает следующим свойством:
M,)|2<1_izd^>L\ T. e. |9W|<1_l^ljW>J!f
где t — любое, я>1— целое.
488. Пусть ср(£) — характеристическая функция. Доказать^
что если существует неограниченно возрастающая последовав
тельность значений А, для каждого из которых произведение
<р(£)ф(А£) будет характеристической функцией, то ф(£) также
является характеристической функцией.
489. Доказать, что если ср (t) является характеристической
функцией, то ф(0= 7"1 v(z)dz также является
характеристической, о
7%
490. Дана последовательность независимых случайных
величин §ь 5г. • •. > Ел • • • > каждая из которых может
принимать значения -fl и — 1с вероятностями, равными -у .
п
Пусть f\n = 2j at£ki гАе ak—постоянные.
а) Найти характеристическую функцию случайной
величины г\п.
б) Полагая ak = —, показать, что распределение ч\п
стремится при п -> оо к равномерному распределению на отрезке
ы, и-.
491. С помощью характеристических функций выяснить,
следует ли из того, что распределения величин Si + S2 и ^"М*
одинаковы, ^ и £2 независимы, как и?3 и £4; 5i и- ё3 одинаково
распределены, что и £2 и £4 также одинаково распределены.
Глава IV
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Неравенства Чебышева. Первая форма: если случайная
величина ? неотрицательна и имеет математическое ожидание, то
Вторая форма: если £)£<-f-oo, то
P{|S-M5|>e)<
Dl
limP
Пусть имеется последовательность случайных величин
Si, Ц ... , 5Я, ... (*)
Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону
больших чисел, если
/ I П П I ч
Теорема Чебышева. Пусть случайные величины
последовательности (*) независимы и имеют конечные дисперсии D\n.
Тогда для (**) достаточно
Dtn<C, л=1, 2, ...
Теорема Хинчина. Если все случайные величины (*)
независимы, одинаково распределены и имеют конечное
математическое ожидание М\п = а, то
Um P
1г25л_<
<е =1.
Теорема Маркова. Пусть случайные величины (*) как
угодно зависимы. Для выполнения (**) достаточно, чтобы
-^£>2^"*0, при я->°о.
к=Л
75
ГГеорема Бернулли. Пусть имеем серию. из п независимых
испытаний. В каждом из них Я(Л)=/?>0. ~—частота со-
' * п
•бытия А в данной серии. Тогда
ii.p{i,_ii<.}_..
Говорят, что последовательность случайных величин (*)
сходится по вероятности к величине £: Ъп-^Ь при я->оо,
если Р{ |ЕЛ — 5|\>ъ\ ->0 при п-+со для любого е>0.
Говорят, что последовательность (*) сходится к величине
? с вероятностью единица (или „почти наверное"): Р{£л->£) = 1
при п ->■ оо, если
lim Я{|5т — ?|>е хотя бы при одном /я>я и любом е>0}=0.
Я-*оо
Последовательность (*) подчиняется усиленному закону
больших кисел, если
*{4-Ж-^Н=1-
Теорема Колмогорова. Если случайные величины (*) неза-
—£- < оо, то эта ПОСЛе-
довательность подчиняется усиленному закону больших чисел.
ЗАДАЧИ К ГЛ. IV
492. Среднее значение скорости ветра у земли в данном
пункте равно 16 км/час. Оценить с помощью первой формы
неравенства Чебышева вероятность того, что в этом пункте
скорость ветра (при одном наблюдении) не превысит 80 км1час.
493. Средний расход воды в населенном пункте составляет
50 000 л в день. Оценить вероятность того, что в этом
населенном пункте в данный день расход воды не превысит 150 000 л.
494. Математическое ожидание количества выпадающих в
течение года в данной местности осадков составляет 55 см.
Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет
175 см.
495. Число солнечных дней в году для данной местности
является случайной величиной с математическим ожиданием,
равным 75 дням. Оценить вероятность того, что в течение года в
этой местности будет не более 200 солнечных дней.
496. Среднее потребление электроэнергии за май месяц
населением одного из микрорайонов г. Ленинграда равно
360 000 кет -ч.
а) Оценить вероятность того, что потребление
электроэнергии в мае текущего года превзойдет 1 000 000 кет- ч.
76
б) Оценить ту же вероятность, если известно, что среднее
жвадратическое уклонение потребления электроэнергии в дан-
адом микрорайоне за май равно 40 000 кет • ч.
497. Случайная величина £ имеет математическое ожидание
М1=1 и среднее квадратическое отклонение а=0,2.
•С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность
неравенства
0,5<6<1,5.
498. Оценить вероятность того, что отклонение любой
случайной величины от ее математического ожидания будет по
абсолютной величине не более трех средних квадратических
отклонений этой величины (правило «трех сигм»).
499. Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения
курса самолета а=2°. Считая математическое ожидание
ошибки измерения равным нулю, оценить вероятность того, что
ошибка при данном измерении курса самолета будет более 5\
500. Математическое ожидание скорости ветра на данной
высоте равно 25 км1час. Какие скорости ветра можно ожидать
на этой высоте с вероятностью, не меньшей 0,9?
501. Используя неравенство Чебышева, найти вероятность
того, что частота появления герба при ста бросаниях монеты
отклонится от вероятности не более, чем на 0,1; сравнить с
вероятностью, полученной с помощью применения интегральной
теоремы Муавра—Лапласа.
502. Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения
азимута равно 30' (а математическое ожидание равно нулю).
Оценить вероятность того, что «ошибка среднего
арифметического трех независимых измерений не превзойдет Г.
503. Вероятность, некоторого события А в каждом
испытании из серии п независимых испытаний равна P=y- Используя
неравенство * Чебышева, оценить вероятность того, что частота
этого события отклонится от его вероятности по абсолютной
величине не более, чем на 0,01, если будет произведено а) п =
= 9000 испытаний; б) лг = 75 000 испытаний. Сравнить
полученные оценки с результатами применения интегральной теоремы
Муавра—Лапласа.
504. В условиях предыдущей задачи найти наименьшее
число испытаний так, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99,
частота события А отклонялась по абсолютной величине от его
вероятности не более чем на 0,01, использовав а) „неравенство
Чебышева; б) интегральную теорему Муавра—Лапласа.
505. В условиях задачи 503 найти границу абсолютной
величины отклонения частоты события А от его вероятности,
которую можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,99,
произведя 12 100 испытаний, а) при помощи неравенства Чебышева;
б) применив интегральную теорему Муавра—Лапласа.
77
506. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных
величин не превосходит 5. Оценить вероятность того, что
отклонение среднего арифметического этих случайных величин от
среднего арифметического их математических ожиданий не
превзойдет 0,4.
507. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2134
независимых случайных величин не превосходит 4. Оценить
вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих
величин от среднего арифметического их математических
ожиданий не превзойдет 0,5.
508. Для определения средней продолжительности горения
электролампочек в партии из 100 одинаковых ящиков было
взято на выборку по одной электролампочке из каждого
ящика. Оценить вероятность того, что отклонение средней
продолжительности горения лампочки в выбранной совокупности от
средней продолжительности горения лампочки во всей партии
не превзойдет 8 ч> если среднее квадратическое отклонение
продолжительности горения электролампочки в партии не
превышает 10 ч.
509. За значение некоторой величины принимают среднее
арифметическое достаточно большого числа измерений ее.
Предполагая, что среднее ^квадратическое отклонение возможных
результатов каждого измерения не превосходит 1, оценить
вероятность того, что при 1000 измерений этой величины отклонение
найденного значения ее от истинного не превосходит 0,1
единицы.
510. Технический контролер проверяет партию однотипных
приборов. С вероятностью 0,01# прибор может иметь дефект А
и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 — дефект В.
а) В каких границах будет заключено практически
наверняка число бракованных изделий в партии из 1000 штук, если
за вероятность практической достоверности принимается 0,997?
б) Решить тот же вопрос, применяя интегральную теорему
Муавра—Лапласа.
511. Изнашивание орудия при стрельбе таково, что каждый
выстрел уменьшает вероятность попадания в цель на 1%. При
первом выстреле эта вероятность равна 0,8. Производится
100 выстрелов. Найти границы, в которых с вероятностью 0,85
будет заключено число попаданий.
512. Доказать следующие обобщения первой формы
неравенства Чебышева:
а) Дискретная случайная величина £ принимает только
неотрицательные значения; тогда для любых положительных
чисел а и а справедливо неравенство
Р № ^ а) ^ —т > если М? существует.
б) Распространить предыдущее обобщение на любые
неотрицательные случайные величины.
78
513. Доказать, что если /(л;) —неотрицательная функция,
принимающая при л:>а значения, не меньшие 6^0, и
существует Mf(£), то
514. Доказать, что если Меа% существует (а — постоянная),
то
515. Доказать, что для любой случайной величины £ при
.любом а>0 имеют место следующие оценки сверху и снизу
для Р{\Ъ\>а):
а) Р {| 61 ^ а) ^ ^. , если /(■*) — неотрицательная и при
.а>0 неубывающая функция;
б) ^{|£|^#}^— k ' если f(x}~неотрицательная,
четная и при положительном х неубывающая ограниченная
функция; f{x)^k;
в) Р{\Ц^а}> ТШ)— > если условие ограниченности
функции f(x) заменить условием ограниченности 5
516. Доказать теорему (Хинчина): если {£„}—
последовательность независимых случайных величин, имеющих
дисперсию ~~^"~-*0 ПРИ я->°°, то к этой последовательности
применим закон больших чисел.
517. Дана последовательность независимых случайных
величин 5ь 5г» • ••, 5«, ... Случайная величина £л (п=\, 2, ...)
может принимать только три значения: —Yn, 0» Vn c вероят-
1 1 2 1 г-г
ностями, равными соответственно—, 1— — ,—. Применим ли
к этой последовательности закон больших чисел?
518. Дана последовательность независимых случайных
величин £ь 52, ..., 6Я, ... Случайная величина 5Л может
принимать значения —/га, 0, /га (а — положительная постоянная)
с вероятностями, соответственно равными
а) 2Ф > 1 — ^2 > 2л2 >'. б) 2" > 1 — "2^ > 2й • пРименим ли к этой
последовательности закон больших чисел?
519. Дана последовательность независимых случайных
величин &!, Б2, • • •, £л» • • • Каждая случайная величина £л может
принимать только два значения: ±У\пп с вероятностями,
равными у. Применим ли к этой последовательности закон
больших чисел?
79
520. Дана последовательность независимых случайных
величин {У, л=1, 2, ..., Mln=0; D%n = na (а —постоянная,
меньшая 1). Применим ли к этой последовательности закон
больших чисел?
521. Дана последовательность независимых случайных
величин {£л}, л=1, 2, ... Случайная величина \п принимает
только три значения: — <р(я), 0 и ср (я), где ср (п) —
произвольная возрастающая функция с вероятностями, равными соответ-
ственн0 $Jnf' 1_ W)' W7' пРичем Ф(Л) Растет а) не мед"
леннее, чем [ср (п)]2 (и ty(n) J>2 при любом /г); б) не медленнее,
чем z-~■, где а — положительная постоянная. Применим ли
к этой последовательности закон больших чисел?
522. Дана' последовательность независимых случайных
величин {£л}, /г=1, 2, ... Случайная величина 5Л может
принимать только два значения:
p{E. = «^[^]J = pL = -*M1-ife]J = |t
где неограниченно возрастающая функция ср (п) = о (In n)
/т. е. ^j^- -> 0 при я -> оо). Применим ли к этой
последовательности закон больших чисел?
523. Дана последовательность независимых случайных
величин %ъ ;2, ..., 1Л, ... Величина Ьп принимает с
вероятностями у значения ±Vn, если п есть точный квадрат, и
с вероятностями у значения ±-^—в остальных случаях.
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
524. Случайная величина &л принимает значения —пу
— (п— 1), ..., —1, 0, 1, 2, ..., п— 1, л, причем
^{8e=s0J = l-}(l+i+ £■ + ...+^);
/416,1 = *}=^, ft=l, 2, ...,«.
Применим ли к последовательности Е1э £2, • • •» 5Л, • •. закон
больших чисел?
525. Случайная величина 5Л имеет „треугольное
распределение", т. е. ее плотность
/(*>=
0 при л:<-ап, ппичем а„ = л« 8^4
«Л + -*
4
4
-а„О<0,
0<*<ап,
х>ап.
причем an = nh, 8 < у.
80
Применим ли к этой последовательности закой больших чисел?
526. Случайные величины Ех, Е2» • • • > ^я> • • • — независимы
и равномерно распределены а) на отрезке [а, Ь\\ б) .на
отрезках [ал, Ьп] соответственно, причем' bn — an = bn_1 — an-i +
Н 1 , где с и а— положительные постоянные. Приме*
п1
ним ли к этой последовательнбсти закон больших чисел?
527. Пусть \Ьп) — последовательность взаимно-независимых
случайных величин, принимающих каждая только по четыре
значения: ±1 с вероятностями у(1— дн) и ±2Л с
вероятностями -tjtj+t • Доказать, что эта последовательность подчиняется
как обычному, так и усиленному закону больших чисел.
528. Независимые случайные величины £1э £2, .-э 5Пэ • ••
могут с равной вероятностью принимать каждая только по
два значения: 5i= ±«1; 5s= ±a2; • • • э причем <*£^>2 а* ~Ь Р^>
где постоянная Р>0. Применим ли к рассматриваемой
последовательности закон больших чисел?
529. Независимые случайные величины £ь £2, ..., £л, ...
могут принимать только по два равновероятных значения:
ах и —af, 2а2 и — 2а2; ... , лап и — лал, ...
ая>а>0, л=1, 2, ...
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
530. Доказать приложимость закона больших чисел к
последовательности независимых случайных величин £ь Е2г ...
..., %щ ..., если ' £л может принимать только три значения
~~ал> 0> ая с вероятностями, равными соответственно/^, 1 —2рл;
/>л, и ряд /?i+JP2+.. •+/?л+.-- сходится. Примеры: а)ап = п2;
Рп = "2^2 » б) ал = 2 ; рп = ^н+г •
531. Пусть {£п}—последовательность случайных величин,
такая, что Ьп может зависеть лишь от ^п_г и $л+1, но не зависит
от всех других 5#. Показать, что к этой последовательности
применим закон больших чисел, если Din = o(n).
532. Если совместное распределение (Е1э 52, ... i %n)
определено для всех п, причем дисперсии всех компонент
ограничены в совокупности, а коэффициенты корреляции все
отрицательны, то последовательность {Ьп} подчиняется закону
больших чисел.
533. Дана последовательность случайных величин {S^};
я
S„=2Jfcf \Sn\<™> DSn>an*/n=l, 2, ..,,
6 Зак. 411 * gl
где с и а — некоторые положительные постоянные. Доказать,
что закон больших чисел к последовательйости Su S2y ...
..., Sn, ... не приложим.
534. Дана последовательность случайных величин 5i» ?2» • • •
..., £п, ..., для которых D£n<c, r/;.->0 при \i—у'|-*оо
{rtj — коэффициент корреляции между S* и 5у). Доказать, что
к этой последовательности применим закон больших чисел
(теорема С. Н. Бернштейна).
535. Говорят, что последовательность [Ьп] при п->со
сходится в среднем к величине (■ (пишут l.i.m. 5Л==5)Э если
НтЖ(5я —5)2 = 0.
Л-*- оо
а) Доказать, что из сходимости в среднем данной
последовательности случайных величин вытекает ее сходимость по
вероятности к тому же пределу.
б),Показать, что предыдущее утверждение необратимо.
536. Пусть дана последовательность случайных величин
{£п}, п=19 2, ... а) Следует ли из сходимости
последовательности с вероятностью 1 сходимость ее по вероятности?
б) обратно? в) следует ли из сходимости с вероятностью 1
сходимость в среднем? г) обратно?
537. Дана последовательность {£„}, я=1, 2, ..., где все
величины %п одинаково распределены и независимы. Может ли
эта последовательность а) сходиться с вероятностью 1; б) по
вероятности; в) в среднем?
538. Доказать, что для сходимости с вероятностью 1
последовательности случайных величин {Ъп) к величине \ доста-
оо
точна сходимость ряда 2*М(\Ъп — Цр) при каком-нибудь по-
ложительном значении р.
539. Пусть {\k\ — последовательность взаимно-независимых
и одинаково распределенных случайных величин, не имеющих
математического ожидания, а А— некоторая положительная
постоянная. Тогда с вероятностью 1 осуществится
бесконечное множество событий |Еп|>Ля.
540. В предположениях предыдущей задачи с
вероятностью 1 будет \S\>An для бесконечно многих п.
(Обращение усиленного закона больших чисел.)
541. Осуществляется серия из 106 независимых испытаний,
вероятность событий А в каждом из которых равна 10"3
(например, осуществляется передача сообщения при помощи 106
кодовых импульсов по симметричному каналу с вероятностью
искажения одного импульса, равной 10~3). Найти границы,
в которых наверное будет заключено число появлений
события А (число ошибок),
Указание. Использовать закон повторного логарифма.
Глава V
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть дана последовательность
Su Ъ2» • • • » €л» • • • (*)
случайных величин с функциями распределения Fn (х) и
характеристическими функциями (х. ф.) cpn (t).
Предельная теорема для характеристических функций.
Если последовательность Fn(x) сходится к функции
распределения F(x) во всех точках непрерывности последней
(Fn(x)=>F(x) при /i-^оо), то последовательность
характеристических функций yn{t) сходится при п-^со к функции
ср(£), которая будет характеристической функцией,
соответствующей F(x), причем эта сходимость будет равномерной
в любом конечном, интервале.
Обратная предельная теорема для характеристических
функций. Если последовательность характеристических
функций <?n(t) сходится на всей оси к непрерывной функции <р (t)
(или к некоторой функции равномерно в любом конечном
интервале, или к характеристической функции ср (£)), то
последовательность функций распределения Fn(x) при п—><х>
сходится к функции F(x) в каждой точке ее непрерывности,
причем F(x) будет функцией распределения,
соответствующей характеристической функции*<?{t).
Теорема Ляпунова. Пусть случайные величины (*)
независимы и при некотором 8 имеют конечные центральные
абсолютные моменты порядка 2 + 8: М\Ьь — M^|2+5 < оо.
п
Обозначим Вп= ZjD^k- Тогда при выполнении условия
п
6*
83
при п-+со функции распределения центрированных и
нормированных сумм последовательности (*) будут сходиться
(равномерно на всей оси) к функции распределения нормального
закона с параметрами (0,1), т. е.
p\i;^k-mk)<xV7^ I ^ dz-
При выполнении этого предельного соотношения говорят,
что для последовательности (*) имеет место центральная
предельная теорема.
Условие Линдеберга. Для того чтобы к
последовательности независимых случайных величин (*), имеющих конечные
дисперсии, была применима центральная предельная теорема,
необходимо и достаточно выполнение условия Линдеберга,
п
■?" w S I {х ~ Шк? dFk {х)=0'
п k=\ \х-мьк\>*вп
а — любое положительное.
Следствие. Если случайные величины (*) независимы,
одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то
имеет место центральная предельная теорема (ц. п. т.), т. е.
где a = M\k, k=\} 2, ...
п
Обозначим С„ = V Ik* ^п = ]?-> фп (х) — функции
распредели __
ления Сп; Фп(хВп)— функция распределения Сл.
Тогда ц. п. т. состоит в том, что
Фп(хВп) -> —,=- j * 2 dz при п
Пусть qn(x) = ®'n(x)\ Bnqn(xBn) — плотность
центрированных и нормированных сумм Хп. Если при п-+со Bnqn(xBn) -+
X*
1 ~ Т
-> е равномерно на всей оси, то говорят, что имеет
у 2п
место локальная предельная теорема для плотностей.
i Теорема Гнеденко. Если случайные величины (*)
независимы и одинаково распределены, то для справедливости
локальной предельной теоремы для плотностей необходимо и
достаточно, чтобы при некотором п>\ плотность Bnqn(xBn)
была ограниченной на всей оси.
84
ЗАДАЧИ К ГЛ. V
542. Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково
распределенных случайных величин равна 5. Найти вероятность
того, что среднее арифметическое этих случайных величин
отклонится от своего математического ожидания не более чем
на 0,04.
543. Случайная величина г\ является средней
арифметической 3200 независимых и одинаково распределенных
случайных величин с математическим ожиданием, равным 3, и
дисперсией, равной 2. Найти вероятность того, что тг) примет
значение в промежутке (2,95; 3,075).
544. В результате медицинского осмотра 900 призывников
установлено, что средний вес призывников на 1,2 кг больше
среднего веса призывников за один из предшествующих
периодов. Можно ли это отклонение объяснить случайностью,
если среднее квадратическое отклонение веса призывников
равно 8 кг}
545. Случайная величина г\ является средней арифметиче-
ской^независимых и одинаково распределенных случайных
величин, дисперсия каждой из которых равна 5. Сколько нужно
взять таких величин, чтобы случайная величина ^ с
вероятностью, не меньшей 0,9973, имела отклонение от своего
математического ожидания, не превосходящее 0,01?
546. Случайная величина г\ является средней
арифметической 10000 независимых одинаково распределенных
-случайных величин, среднее квадратическое отклонение каждой из
которых равно 2. Какое максимальное отклонение величины г\
от ее математического ожидания можно ожидать с
вероятностью, не меньшей 0,9544?
547. Производится выборочное обследование партии
электролампочек для определения средней продолжительности
горения их. Каков должен быть объем выборки, чтобы
с вероятностью, не меньшей 0,9876, утверждать, что средняя
продолжительность горения лампочки по всей партий
отклонялась от средней, полученной в выработке, не более чем на
10 •£, если среднее квадратическое отклонение
продолжительности горения лампочки равно 80 *£?
548. В условиях предыдущей задачи найти наименьшее
число электролампочек, которые нужно^ взять для
обследования, чтобы с вероятностью 0,9973 утверждать, что средняя
продолжительность горения лампочек во зсей партии
отклоняется от полученной в выборке не более чем на 5 ч?
549. Дана последовательность независимых случайных
величин £ь £2» • • •» 5я> • • • Величина \п может принимать
значения ±пх с вероятностями —у, либо значение 0 с вероятностью
65
1 х" (О <Х< 1). Доказать, что к сумме % = 2^ приме-
п и=\
нима теорема Ляпунова.
550. Дана последовательность независимых случайных
величин {in} л=1, 2, ... Величина Ьп равномерно распределена
на отрезке [—ап, ап\.
а) Доказать, что к последовательности {Ея} применима
центральная 'предельная теорема, если все ап ограничены
снизу.
б) Будет ли к этой последовательности применима
центральная предельная теорема, если ап-+0 при я->оо?
551. Случайные величины £„, /г, 1=2, ... независимы. Чп
равномерно распределена на отрезке [ап, bn\. Применима ли
к этой последовательности случайных величин центральная
предельная теорема?,
552. Дана последовательность независимых случайных
величин {(;„}, такая, что она содержит бесконечную
подпоследовательность {{■„,.}, * = 1, 2, ... с дисперсиями, равными
сумме дисперсий всех предыдущих случайных величин £#,
k < /г/, основной последовательности {\п}. Применима ли
к этой последовательности центральная предельная теорема?
п
553. Доказать, что при п -> сю е~п у] -р- -> -^.
ft=0
Указание. Применить центральную предельную теорему
к сумме случайных величин, распределенных по закону
Пуассона с параметром Х=1.
554. Вероятность появления события А в i-м испытании
равна /?£, [а — число появлений события А в серии из п
независимых испытаний. Доказать, что
Г
■2л
v±
<х
РкЯк
X Z1
1 Г ~т
/2*
I
dz
тогда и только тогда, когда 2л PkQk = co-
555. Дана последовательность независимых случайных
величин {Еп}, имеющих конечные дисперсии о*. Доказать, что
к этой последовательности не применима центральная
предельная теорема, если при п -> оо дисперсии о2п неограниченно
возрастают как члены некоторой геометрической прогрессии
или быстрее.
556. В кольце, ограниченном концентрическими окружно-
86
стями радиусов 1 и /?>1, расположено п излучателей равной
мощности Р. Каждый из них может рассматриваться как
случайная точка, равномерно распределенная в этом кольце
независимо от всех остальных. Мощность сигнала, наводимая
каждым изучателем в приемнике, находящемся в центре кольца,
равна Явх = —, где pt — расстояние излучателя до центра,
Р/
а — положительная постоянная.
а) Какова будет функция распределения мощности сигнала,
наведенного суммарным воздействием всех п излучателей,
если они работают на одной и той же частоте и число их
достаточно велико?
б) Указать достоверную нижнюю границу мощности Явх на
входе приемника (как функцию от п), если число
излучателей п неограниченно возрастает.
557. Дана последовательность случайных величин {&п}.
Величина \п может принимать значения — яа, 0 и йа с
вероятностями, равными соответственно -j, -^ , -^; а— постоянная.
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
558. Дана последовательность независимых случайных
величин (?„}, такая, что Р[Ъп = па) =Р{£П=— па] =у .
Доказать, что а) к этой последовательности применима теорема
Ляпунова, если а> — у; б) применим закон больших чисел, если
a<Y, и неприменим, если <х>у.
*559. Случайная величина \п может принимать с равной
2(Х *«))
вероятностью только два значения: ±п v , где <р (п) при
/г-»оо растет не медленнее In/г. Применим ли к этой
последовательности {&п}, /г=1, 2, ... закон больших чисел?
560. Пусть {%п} — последовательность независимых и
одинаково распределенных случайных величин с конечной дис-
п
Персией. Пусть 5Л = ^^. Доказать, что закон больших
ь=1
чисел а) к последовательности {Sn} не применим; б) к
последовательности [anSn\ применим, если ап = о I ).
561. Напряжение на входе приемного устройства является
случайной величиной, которую можно рассматривать как
сумму достаточно большого числа независимых
синусоидальных- величин, амплитуды которых распределены по одному и
тому же нормальному закону с параметрами (0, о), а фазы
равномерно распределены в промежутке (—тс, тс). Можно ли
считать распределение этого напряжения почти нормальным?
87
562. Доказать теорему: Если последовательность функций
распределения F1(x)y F2(x), ..., Fn(x), ... сходится на всей
оси к непрерывной функции распределения, то сходимость
эта равномерна.
563. Дана последовательность независимых случайных
величин {£„}, распределенных по нормальному закону; Ж^ = 0,
Dlk=o2k. Найти предельный закон распределения суммы
П о»
2^lk ПРИ л->°о, если ряд ^ о\ а) сходится; б) расходится.
ft=i h=i
Указание. Использовать характеристические функции.
564. Пусть случайная величина £ распределена по закону
Пуассона с параметром X. Доказать, что при X -^ оо
распределение нормированного уклонения S, т. е. случайной величины
v\ =--г=г-, стремится к нормальному закону с параметрами (0,1).
у к
Указание. Воспользоваться методом характеристических
функций.
565. Дана сумма независимых случайных величин,
распределенных по закону Пуассона, причем ряд, составленный из
параметров этих законов, расходится. Доказать, что к их
центрированной и нормированной сумме применима центральная
предельная теорема (см. указание к предыдущей задаче).
566. Случайная величина £ имеет плотность
( 0 при х^Оу
/(*) =
I тфха~1е~*х ПРИ -*>0
(л "Распределение"). Доказать, что при а->оо распределение
нормированного уклонения, т. е. величины ?]= г- , сходится
у а
к нормальному закону с параметрами (0,1) (см. указание
к задаче 564).
567. Доказать теорему А. Я. Хинчина: Если дана
последовательность независимых одинаково распределенных случайных
величин, имеющих конечное математическое ожидание, то эта
последовательность подчиняется закону больших чисел (см.
указание к задаче 564).
568. Доказать, что в условиях задачи 554 расходимость
ряда 2 РпЯп необходима и достаточна для того, чтобы имела
место локальная предельная теорема, т. е. для того, чтобы
при #->оо
*п, m
равномерно по ту где рп (т) = Р {ц = /я},
п
* k=l
Ля. т —
_ РкЯк
_1
т— любое целое неотрицательное.
569. Дана последовательность йезависимых. случайных
величин {5Л}, имеющих плотности, определенные следующим
образом:
'2* При -'<*<; 1
/*(*) =
2^+2 ^ ^* 2^+2
и ПРИ 1 —^Тз- < I ^ К 1 + ^Тз- *
О вне этих интервалов.
Приложима ли к этой последовательности случайных величин
а) центральная предельная теорема? б) локальная предельная
теорема для плотностей?
570. Дана последовательность независимых случайных
величин, распределенных равномерно на отрезке [^-)/3, Уз].
а) Убедиться в приложимости к этой последовательности
локальной предельной теоремы для плотностей.
б) Получить асимптотическое разложение для плотности
нормированной суммы этих случайных величин, сохраняя
в разложении члены порядка — и беря п = 7.
(Воспользоваться формулой
П
где qn(х) — плотность суммы J^ (lk—M%k), k = ^§ —коэффициент
асимметрии, 7 = -^-—3—коэффициент эксцесса распределения
слагаемых, [i3 и Р-4 — соответственно 3-й и 4-й центральные
моменты этого распределения, о2 — дисперсия, Нт{х)—полином
Эрмита т-то порядка:
Нт(*) = (-1)те21^г[е~2), /« = 0,1,2,...
Из этого определения вытекает рекуррентная формула
#m+i (*) = хНт (х) — тН^ (х).
571. Случайные величины Ьп независимы и распределены
по закону Релея с плотностью
(4-TC)jr2
f{x)=*JLpLe 4 .
а) Убедиться в приложимости к этой последовательности
локальной предельной теоремы для плотностей.
б) Построить асимптотическое разложение плотности
центрированных и нормированных сумм этих случайных величин,
сохраняя в разложении члены порядка — и беря п = 7 (см.
предыдущую задачу).
572. Дана последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин {£п}. Случайная величина 5Л
есть гармоника с постоянной амплитудой, равной "J/2, и
случайной фазой, равномерно распределенной на промежутке
( —, —), где со — частота гармоники (постоянная).
Проверить, что к этой последовательности случайных
величин приложима а) центральная предельная теорема; б)
локальная предельная теорема для плотностей; в) построить
асимптотическое разложение плотности нормированной суммы п величин
£А, сохраняя в разложении члены порядка — и взяв п—1 (см.
задачу 570).
Глава VI
ЦЕПИ МАРКОВА
Пусть дана последовательность дискретных случайных
величин 5ц ?2> • • •» Ел, • • •, имеющих одинаковые конечные
или счетные множества возможных значений. Все случайные
величины \k связаны таким образом, что значение, принятое
величиной 5Л_Ь вполне определяет закон распределения
случайной величины \k, и этот закон не зависит от значений
принятых случайными величинами \t с i<k — 1. Такая
последовательность называется простой цепью Маркова.
Иначе: пусть некоторая физическая система находится
в одном из состояний Еъ Е2, ..., Ek, .... В фиксированные
моменты времени tx, t2, ..., tm ... система под влиянием
случайных факторов может переходить из одного состояния
в другое, причем в любой момент времени tn вероятность
системе оказаться в наперед заданном состоянии Ej вполне
определяется тем состоянием, в котором она находилась
непосредственно перед скачком, и не зависит от всех остальных
состояний, в которых эта система находилась до момента tn-x;
тогда говорят, что поведение этой системы описывается (или
управляется) простой цепью Маркова.
р{п) — р{Ер tn\ \
Р»-И\3 \EittnJ
— вероятность перехода из состояния Et (в момент tn_^) в
состояние Ej в момент tn называется переходной вероятностью
этой цепи.
Цепь Маркова задается матрицей перехода тс, элементами
которой являются переходные вероятности pW, и
вероятностями всех состояний системы в начальный момент времени
t0 = 0. Эти вероятности /?01, /?02, ..., poki ... называются
начальными вероятностями состояний системы.
Если все переходные вероятности pff не зависят от времени
(т. е. р№=ри, /г=1, 2, ...), то цепь Маркова называется
однородной. Тогда матрица я будет иметь вид
91
'Ai
Al
Ai
Pl2
Р22
Р32
Аз •
Аз
Аз ■
• .. Plk
.. • Ал
■ • • Pzk
Ai А2 Аз • • • Pkk •
при любом фиксированном /, O^Py^l.
Обозначим через /fy (яг) вероятность системе, управляемой
однородной цепью Маркова, из состояния Et через т „шагов"
оказаться в состоянии £}. Матрица переходов через т шагов
/Ai(w) PuW ••• Pik(m) •
те«= АлИ A2("0 ...Лл(^) ...
Тогда тгт = пт. Вероятность Ру(т) удовлетворяет уравнению
Маркова
Ри (т) = Ц А* (5) А/ О* — 5)'
где s может принимать любое целое значение из отрезка [0, т].
Безусловная вероятность А М-2 A/A; (я) называется абсолют-
ной вероятностью системе оказаться в момент tn в состоянии Ej.
Эргодическая теорема Маркова. Если существует такое
натуральное число /г, что все элементы матрицы тсл = Острого
положительные, то для каждого /=1, 2, ..., Л, ...
существует предел lim/7^у (/г) =/?у, не зависящий от i. Числа Pj назы-
/Z-t-oo
ваются финальными вероятностями состояний системы,
2/>у=1; №pj(.n)=pj.
Финальные вероятности Pj являются решением системы
линейных уравнений
а=2а-Ая 7=1>2> • •■; а>°> 2a=1-
1 j
Цепь Маркова, для которой существуют пределы pj = lim/;№
называется эргодияеской, или регулярной. Если все финальные
вероятности строго положительны, цепь называется
положительно регулярной.
Если £}— несущественное состояние, то р;- = \1тр1;(п) = 0
10 0 ... 0>
0 1 0 ... 0
(независимо от /). Пусть Е=\ 0 0 1 ... 0 I —единичная мат-
,0 0 0 ... 1
рица порядка, равного порядку матрицы тг (рассматриваются цепи
с конечным числом состояний), а X — параметр. Тогда матрица
92
\E— TZ = { "~Al Х—Р22
Pkl —Pk2 ••• ^—Pkk,
называется характеристической матрицей данной цепи
Маркова. Ее определитель обозначается через I'kE— тс|. Все корни
уравнения \\Е — к\ = 0 называются характеристическими
числами матрицы. Одно из них всегда равно 1, а все
остальные по модулю не превосходят 1.
Если цепь Маркова эргодична, то все остальные
характеристические числа по модулю строго меньше единицы и главные
миноры матрицы XZ: — n:Pjj(ty при Х=1 строго положительньГ.
Тогда финальные вероятности Pj вычисляются по формулам
Pj = ~k
(главным минором Pjj(ty называется минор элемента X—р^
матрицы \Е—тг).
Состояние Е[ системы называется несущественным, если
существует состояние Ej и целое число /г, такие, что из
состояния Ei возможен переход в состояние Ej через k шагов,
но невозможен возврат из Ej в /?/ ни через какое число шагов:
Лу(*)>0, Рл(т) = 09 т = \, 2, ...
Все остальные состояния называются существенными. Если
существуют такие целые числа k и т, что Ру(к)>0, Pjt(m)>0,
то состояния Ei и Ej называются связанными или сообщаю-
щимися.
Все существенные состояния системы разбиваются на
несвязанные (или изолированные) классы состояний. Все состояния
каждого из классов связаны. Попав в данный класс, система
в дальнейшем не может выйти из него. Если система находится
в несущественном состоянии, то -с вероятностью 1 она рано
или поздно попадает в один из классов существенных
состояний. Если все состояния системы разбиваются на классы sm,
«S , ..., S(r), то переходная матрице цепи Маркова
перестановкой соответствующих строк и одновременно столбцов с теми
же номерами приводится к виду
'Ли 0 0 0
^ 21 ^22 О О
о
где Ап, ..., АГТ — квадратные матрицы порядков, равных
числам состояний соответствующего класса S(/), и более не
93
разложимые подобным образом; нули обозначают подматрицы,
все элементы которых равны нулю, а.Л/;- при 1ф] — какие-
нибудь подматрицы. Такая матрица называется разложимой.
Матрица, которую нельзя привести к подобному виду,
называется неразложимой. Если все А^ = 0 при /</', то матрица
называется вполне разложимой.
Состояние Ej называется возвратным, если система из этого
состояния с вероятностью 1 с течением времени снова вернется
в это состояние. В противном случае (т. е. когда вероятность
возвращения в это состояние меньше 1) состояние называется
невозвратным.
Возвратное состояние с бесконечным математическим
ожиданием времени возвращения называется нулевым.
Состояние Ej называется периодическим с периодом т,
если возвращение в это состояние возможно лишь за число
шагов, кратное /га>1, и /га есть наименьшее из целых чисел
с этим свойством.
Возвратное состояние, не являющееся ни нулевым, ни
периодическим, называется эргодшеским.
ЗАДАЧИ К ГЛ. VI
573. Вероятности перехода в простой однородной цепи
Маркова даются матрицей
а) Чему равно число состояний этой цепи.
б) Найти вероятности перехода из состояния в состояние
за два шага.
574. Электрон может находиться на одной из счетного
множества орбит в зависимости от наличной энергии. Переход
с i-й на у-ю орбиту происходит за одну секунду с вероятностью
^-"-"(аХ)).
Найти а) вероятности перехода за 2 сек\ б) постоянные Q.
575. Имеется простая однородная цепь Маркова с матрицей
перехода 7г = (р/;). Вычислить а) вероятность состояния Еь
на га-м шаге, если известны все последующие состояния системы;
б) вероятность /Г/ на га-м шаге, если известны все предыдущие
и последующие состояния.
576. Точка движется по прямой и в течение каждой
очередной секунды движения может или сместиться на единицу
расстояния или остаться на месте.
94
Заданы: 1) вероятность рх смещения для первой секунды;
2) вероятность а (а = const) смещения для любой
рассматриваемой секунды, если известно, что в предыдущую секунду
также произошло смещение; 3) вероятность р (Р— const)
смещения для любой рассматриваемой секунды, если известно,
что в течение предыдущей секунды точка оставалась на месте.
Найти вероятность смещения точки в течение (n-\-\)-Pi секунды.
577. Точка движения по плоскости и в течение секунды
может сместиться или на единицу расстояния по горизонтали,
или на единицу расстояния по вертикали, или пройти диагональ
единичного квадрата (смещение на единицу по горизонтали
и на единицу по вертикали), или остаться на месте.
Вероятность горизонтального и вертикального смещений одинакова
и для любой секунды (кроме первой) равна 1) а, если в
предыдущую секунду произошли оба смещения; 2) р, если в
предыдущую секунду произошло только одно смещение по
горизонтали или по вертикали: 3) т, если в предыдущую секунду
точка оставалась на месте.
Составить уравнение цепи Маркова для определения
вероятностей горизонтального (вертикального) смещения точки в
течение (#+1)-й секунды.
578. Цепь Маркова управляется матрицей перехода w =
Эргодична ли эта цепь?
579. Вероятность перехода дается матрицей
и 2 2 1
-f -J- о/
а) Убедиться в эргодичности этой цепи.
б) Найти предельные вероятности.
580. Серия успехов. Пусть имеется последовательность
независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события Л равна /?(0</?<1). Под изучаемой
системой будем понимать всевозможные комбинации из Л и Л
в сериях последовательных испытаний. Будем считать, что
система в момент t находится в состоянии Е^(к = 09 1, 2, ...),
если в испытаниях с номерами t, t—1, t — 2, ..., t — k-\-\
появилось Л, а в испытании с номером t — k Л. Система
в данный момент t находится в__состоянии /Г0, если1 исходом
испытания с номером t является Л.
В начальный момент 0 система находилась в состоянии Е0.
Написать матрицу перехода, управляющую поведением этой
цепи Маркова с состояниями Е0, Еи Еъ ... Вычислить матрицу
перехода через п шагов.
95
581. Доказать, что для всякой конечной цепи Маркова с п
состояниями всякое состояние Е^ достижимо из Ej за п или
менее шагов, если оно вообще достижимо из Ej.
582. Простая однородная цепь Маркова с двумя состояниями
имеет матрицу перехода
* = (i Л 1_PlV А*0' Л¥-0.
а) Составить характеристическое уравнение и найти
характеристические числа матрицы. __
б) Найти финальные вероятности рх и /?2.
583. Простая однородная цепь Маркова с двумя
состояниями управляется матрицей
Убедиться в регулярности этой цепи и найти финальные
вероятности.
584. Пусть точка в начальный момент времени t0 = 0
с вероятностью ^-rri находится в любой из точек х=0,1,2, ...,/г.
В моменты времени 0<C.t1<t2< ... <tk< ...точка, в
зависимости от случая, может совершить скачок длиной 1 влево
с вероятностью р и вправо—с вероятностью q = \—p9 если
она не находилась непосредственно перед этим скачком в
точках х = 0 или х = п.
В этих двух последних случаях движение точки
прекращается.
а) Написать матрицу переходных вероятностей этой цепи.
б) Выяснить, будет ли эта цепь Маркова регулярной, и дать
характеристику ее состояний (случайное блуждание на прямой
с поглощающими экранами).
585. Точка может занимать места лс=1, 2, ..., п.
В моменты времени tx < t2 < ... < tk < ... точка может
совершить скачок в соседнее положение слева или справа
с вероятностями р и q=l—p соответственно.
Если же точка находится в положении х=1, то она
с вероятностью р останется на месте и с вероятностью q
перескочит в х = 2. Аналогично, находясь в положении ч* = п>
точка может в любой из моментов tk остаться на месте
(с вероятностью р) или перескочить в положение х = п — 1
(с вероятностью q).
а) Составить матрицу перехода цепи Маркова, управляющей
этими блужданиями.
б) Будет ли эта цепь эргодична1 при п = 4?
в) Вычислить финальные вероятности для случая п = 4.
(Блуждание по прямой- с отражающими экранами.)
96
586. Физическая система может находиться в одном из
пяти возможных состояний, переходя из состояния в состояние
в зависимости от случая в моменты времени tu t2, ...
Поведение этой системы описывается простой однородной цепью
Маркова с матрицей перехода
/°
1
0
0
1
1
4
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
0
0
1
2
1
4
0
3
4
0
0
0
0
а) Будет ли эта цепь эргодической?
б) На какие классы делятся все возможные состояния
системы?
587. Цепь Маркова с восемью состояниями Ег, ..., Е% имеет
следующую матрицу переходных вероятностей:
0,1
0
0,4
0
0,2
0,1
0
0,4
0,2
0,2
од
од
0,5
0,1
од
0,1
0,1
0
0,1
0
0,1
0
0,2
0,1
0
0
0
0
0
0,2
0
0
0,6
0,7
0,1
од
0,1
0,1
0,1
0,1
0
0
0
0
0
0,2
0,3
0
0
0
0
0,8
0
0
0,1
0
0
0,1
0,3
0
0;1
0,3
0,2
0,3
Разложима ли эта матрица? Выделить и охарактеризовать
циклы состояний системы.
588. Для цепи Маркова, описанной в предыдущей задаче,
при условии, что начальные вероятности всех состояний равны
[р1—р2= ... =/?8=~8")» а) вычислить абсолютную
вероятность системе за один скачок оказаться в состоянии Es\
б) указать, обладает ли эта цепь эргодическим* свойством?
в) будут ли все финальные вероятности положительны?
589. Цепь Маркова управляется матрицей перехода ъ (см.
ниже). Разложима ли эта матрица? На какие циклы
разбиваются все 8 состояний системы? Обнаружить характерную
особенность (цикличность) в поведении этой системы.
7 Зак. 411
97
0
0
со to
0
0
0
3
5 .
0
1
2
0
0
0
3
4
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
2
0
1
4
0
0
0
1
8
0
0
0
0
1
3
0
0
0
2
5
0
1
2
0
0
0
1
4
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
2
0
3
4
0
0
0
7
8
0
0
590. Цепь Маркова управляется матрицей перехода
0 0 0 1
0 0 0 1
7Г= [ 1 1
'4- | о о
2
о
О 1 О,
Классифицировать все состояния этой цепи. Будет ли цепь
эргодична? Найти асимптотическое поведение ptj(n) при #->оо.
591. Цепь Маркова имеет матрицу перехода
1
2
1
4
1
2
0
0
0
1
2
0
0
0
1
2
1
4
1
2
0
0
а) Классифицировать все состояния этой цепи, б) Обладает ли
эта цепь эргодичностью? в) Найти финальные вероятности.
592. Пусть имеется цепь Маркова со счетным множеством
состояний, матрица перехода которой дважды стохастическая
(это значит, что сумма элементов каждого столбца и каждой
строки этой матрицы равна единице). Доказать, что каждое
возвратное состояние этой цепи является нулевым.
98
593. Случайная величина £ принимает лишь значения — 1,
О, 1. Свои значения величина £ может изменять лишь в
моменты времени tu t2, ..., tk, ..., причем,значение, которое i
приняла в момент tk-x, вполне определяет вероятность каждого
из возможных значений § в момент tk, и эти вероятности не
зависят от значений Е во время, предшествовавшее tk_u и
образуют матрицу
/о — — \
/ и 2 2 \
1 1 1
В начальный момент t0 случайная величина 5 могла иметь
любое из своих возможных значений с равными вероятностями.
Вычислить а) математическое ожидание через 4 шага (т. е.
в момент £4); б) асимптотическое значение М\, когда число
переходов k -> оо.
594. N черных и N белых шаров размещены в двух урнах
по N шаров в каждой. Число черных шаров в первой урне
определяет состояние системы. На каждом шагу случайно
выбирается по одному шару из каждой урны и эти выбранные
шары меняются местами.
а) Сколько состояний имеет цепь Маркова, управляющая
переходами этой системы?
б) Найти все вероятности перехода за один шаг.
в) Найти их асимптотическое значение.
595. Доказать, что конечная неприводимая цепь Маркова
является непериодической тогда и только тогда, когда
существует такое /г, что pjk (п) > 0 при всех J и k.
596. Пусть цепь Маркова содержит а состояний и пусть
Ej — возвратное состояние. Доказать, что тогда существует
такое q (0<<7<1), что при любом п^а вероятность того,
что время возвращения в Ej превысит я, меньше, чем qn
(использовать задачу 581).
597. В некоторой области пространства имеются однородные
частицы. Состояние изучаемой системы определяется числом
частиц в данной области. В течение промежутка времени длины
единица каждая частица независимо от других может покинуть
эту область с постоянной вероятностью q. Кроме того, в
области может появиться в течение единицы времени г новых
частиц (г=-0, 1, 2, ...) с вероятностью /?г = -^-£~\ где X —
некоторый неотрицательный параметр.
а) Убедиться, что поведение рассматриваемой системы
описывается простой однородной цепью Маркова. Составить матрицу
перехода этой цепи. Будет ли цепь эргодична?
б) Вычислить финальные вероятности этой цепи.
7*
Глава VII
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ)
Аксиоматически. Пусть имеется пространство
элементарных событий 2 = {ш} и В = {А}—борелевское тело
множеств (сигма-алгебра), построенное на Q (Ас 2). Рассмотрим
вещественную функцию двух „переменных" X (£) = ср(А, t),
где аргумент А пробегает все множества А борелевского
тела В, a t — обычная вещественная переменная с областью
изменения 7\ Если эта функция <р(А, t) при каждом t£T
/^-измерима относительно некоторой вероятностной меры Р(A, t),
то X(t) = y(A, t) называется случайной функцией аргумента t,
заданной на Т. Это значит, что для каждого t£T существует
распределение вероятностей Я (A, t), определенное на В, т. е.
X(t)=y(A, t) при каждом фиксированном t£T является
случайной величиной с распределением Я (Л, t), которая
называется сечением (или значением) случайной функции X(t).
Пусть {t?}— какое-либо множество из области Т с условием,
что все его элементы £v меньше некоторого t£T. Отнесем
каждому U какое-нибудь AV(«B (т. е. зафиксируем множество
значений обоих аргументов Av, U), а значит, зафиксируем
определенные числовые значения функции <p(Av, U) для всех U.
Вообще говоря, эта операция влияет на распределение Р(А, t)
сечения случайной функции, соответствующего значению t ее
аргумента. В противном случае все сечения случайной
функции X(t) будут независимыми случайными величинами. Если
фиксировать значение первого аргумента случайной функции
X(f) = <f(A, t), т. е. множество А из борелевского тела В, то
мы получим обычную неслучайную функцию xp(t),
называемую реализацией случайного процесса (функции) X(t).
Комплексная случайная функция X(t) определяется
посредством задания вещественных случайных функций U(t) и v(t):
X(t)= U(t)-\-iV(t). Вероятностная /?-мера Я(Л, t), т. е.
распределение вероятностей сечения X(t) для любого t£T, назы-
J 00
вается одномерным законом распределения случайной функции
X(t). Пусть tu t2, ... , ^-какой-нибудь набор значений
переменной t /?-измеримая функция, отображающая 2 в некоторое
множество /г-мерного евклидового пространства Rn> называется
я-мерным законом распределения случайного процесса X (t)„
Элементарно. Пусть имеется случайная величина X{t),
зависящая от параметра t (например, времени) так, что при
каждом фиксированном значении t (из некоторой области
изменения Т) это будет обычная случайная величина с
определенным (зависящим от параметра t) законом распределения
вероятностей. Пусть, кроме того, закон распределения этой случайной
величины зависит от тех числовых значений, которые
фактически приняли случайные величины X{U) для какого-либо
набора значений U, меньших t („моменты времени, более
ранние, чем tu). Тогда X(t) называется случайной функцией
аргумента t, или случайным процессом.
Пусть, осуществляя некоторый эксперимент,, мы отмечаем
для каждого момента t значение, фактически принятое
процессом X(t) в этот момент. Тогда мы получим неслучайную
функцию xp(t), называемую реализацией случайного процесса
X(t) и описывающую одно из возможных течений этого
процесса— то, которое наблюдалось в данном эксперименте. Если
представить себе независимое повторение в неизменных
условиях неограниченного множества таких Экспериментов, то мы
получим множество реализаций {*р(01 нашего процесса.
Таким образом, случайный процесс можно рассматривать
как совокупность всех его реализаций, т. е. всех возможных
путей течения этого процесса.
Пусть t — фиксировано. Тогда закон распределения
случайной величины X(t)—-сечения этого процесса—называется
одномерным законом распределения процесса X(t). Одномерный
закон распределения обычно задается одномерной функцией
распределения
F^x; t) = P{X{t)<x)
или одномерной плотностью
Для процессов с дискретными распределениями всех сечений
этот одномерный закон распределения задается, как обычно»
таблицей всех возможных значений данного сечения с их
вероятностями:
*Л*\ •••> *n(t\ ...
А(0> • • , РпУ)> ...
pi(t) = P.[X(t) = xi(t)l 2а(*) = 1.
101
Пусть tu t2, ... , tn — набор значений аргумента t.
Образуем случайный вектор
{X{tx\ X(t2), .... X(t„)),
компонентами которого являются сечения процесса X (£),
соответствующие указанным значениям t\ аргумента. Закон
распределения этого /i-мерного вектора называется /г-мерным
законом распределения процесса X(t). Обычно /г-мерный закон
распределения процесса задается /г-мерной функцией
распределения
гп (Хц х2, ... , хп; rls £2, ... , tn) =
= Р [X(tJ < xlt X (t2) < x2, ... , X (*„) < xn),
или /г-мерной плотностью
Jn v*i» ^2» • • • » лю L\t ^г». • • • » ln) — ага
>*n)
дхгдх2 ... дхп
Очевидно, я-мерная функция распределения и /г-мерная
плотность случайного процесса X(t) зависят от п
параметров—моментов tv t2r ... , tn. Для полной вероятностной
характеристики произвольного случайного процесса X(t) необходимо
задание всех я-мерных законов распределения этого процесса,
т. е. для л=1, 2, ... , и при каждом /г —для любого набора
моментов tu t2, ... , tn.
Математическим ожиданием и дисперсией случайного
процесса X(t) называются такие неслучайные функции mx{t)
и Dx(t), которые для каждого t равны соответственно
математическому ожиданию и дисперсии сечения процесса в этот
момент t. Если X(t) и X{tr) — любые два сечения процесса
X (t), то их корреляционный момент называется
корреляционной функцией Kx(t, tf) случайного процесса X(t), т. е.
Кх (*, f) = M[ [X(t) - тх (*)] [X (f) - тх (t>)]} =
=M[x*(t), х°(?)Ъ
где через А°(£) обозначено „центрированное" сечение
процесса в момент t.
Указанные три момента первых двух порядков процесса
определяются равенствами:
оо
mx(t) = MX(t)= j xdxFx{x- t),
— оо
Dx(t) = DX(t)= j [x-mjcWFdjcF^x; t),
— oo
.КЛ*, ?)= j ^[x.-mAt)] [x.-mAnjd^F.ix,, x2; t, f),
— oo — oo
при условии, что эти интегралы абсолютно сходятся. При
наличии одномерной и двумерной плотностей те же
характеристики определяются формулами:
102
mx{t)= j xft(x; t)dx,
Dx(t)= j [х-тх(Щ2Л(х; t)dx,
— oo
КAU П= j J [x.-mAt)] [x.-mAt'^Mx^x,; t, t')dxxdx^
— oo —oo
Корреляционная функция произвольного процесса обладает
следующими свойствами:
КAU t') = Kx(t', tb
КЛ*, t)=Dx(t)\ \KAt, Ol<VKx(t, t)Kx(t', ?)■
T T
J J*r('. ПуЮу^сИМ'^О (Г-любое),
о о
где cp\t) — любая комплексно-значная функция (свойство
„положительной определенности" корреляционной функции).
Пусть X(t) и Y(s)—два случайных процесса,- имеющих,
конечные дисперсии. Корреляционной функцией связи (или
взаимной корреляционной функцией) этих процессов называется
Kxy(t, s) = M[X°(t)Y°(s)]=M{[X(t)-mAt)] [V(s)-mAs)]}r
Если Kxy(t, s) = 0, то процессы X(t) и Y(s) называются-
некоррелированными. Если Kxy{t, s) = Kxy(s— t), то процессы
X(t) и Y(s) называются стационарно связанными.
Пусть Z(t)=X(t)+Y(t); тогда mz(t) = mx(t) + my(t);
Kz(t, t') = Kx{t>t') + Ky{t, t') + Kxy(t, t') + Kxy(t\ t);
D2(t) = Dx(t) + Dy(t) + 2Kxy(t, t).
Если процессы некоррелированы, то
KAt, t')=KAt, t') + Ky(t, ty,
DAt) = Dx(t) + DAt).
Процесс X(t) называется нормальным, если все его /г-мер-
ные законы распределения (л=1, 2, ...) нормальные.
Случайный процесс X{t) называется процессом без последействия, или
марковским процессом, если его одномерный закон
распределения при любом значении t будет вполне определенным, как
только известно значение, фактически принятое процессом
в какой-нибудь предшествующий момент т < t, и^ этот закон
распределения не зависит от значений процесса, принятых
в моменты времени, более ранние, чем т, т. е.
p(X(tn)<x\ )=p(X(tn)<x\ ]
Н \x(t1),x(t2i...,x(tn-1)j- Ч \x(tn-i))'
где tx < t2 < ... < t„-i <^tn — любые числа.
103-:
Процесс X(t) называется непрерывным в точке t0, если
l.i.m. X(t)=X(t0) (l.i.m.— „предел в среднем квадратическом"),
t-*-tQ
это значит, что
hmM[X(t)—X(x0)]2 = 0.
Для непрерывности процесса X(t) (во всей области
задания) необходима и дрстаточна непрерывность его
математического ожидания в этой области и корреляционной функции
Kx(ty ?) на прямой t' = t. Производной процесса X{t)
называется процесс Y(t)9 определяемый равенством
V(t)=.^L = lLm. *<' + *)-*<Q.
v ' at u^0 At
Это значит, что Пт м\Х(*+ *[>~X(t) —V(t)V = 0.
my\i)—m dt — dt
лу^' *• '— dtdt' '
D{t)_*KAt,n
'y^>— dtdt'
\t'=
Для дифференцируемости случайного процесса (в среднем
квадратическом) во всей области задания необходима и
достаточна дифференцируемость в этой области его математического
ожидания mx{t) и существование второй смешанной частной
производной его корреляционной функции на прямой t' = t.
Пусть X(t) — случайный процесс, a g(t, s) — неслучайная
функция двух переменных. Определенный интеграл по отрезку
[О, Т] процесса X(t) с весовой функцией g{t, s) определяется
равенством
\g{t,s)X{t)dt= l.i.m. Vg(ths)X(ti)Ui.
Очевидно, этот интеграл будет также некоторым случайным
процессом y(s), зависящим от аргумента s.
Характеристики интеграла случайного процесса
определяются формулами:
т
/ny(s) = J g.(t, s)mx\t)dt\
о
Ky(s, s')=U g(t, s)g(t', s')Kx{t, t')dtdt'-
0 0
Dy{s) = \lg{t, s)g(t', s)Kx(t, t')dtdf.
104
Аналогично, для интеграла с переменным верхним
пределом (и весовой функцией, равной 1) имеем
V(t) = jx(x)dx; m,(f) = jmx(x)dx;
о о
t v t t
Ку (t,f)=H Кх(5, s')dsds'; Dv(t) = j j Kx(s, s') dsds'.
0 0 0 0
Всякое представление процесса X{f) в виде суммы
элементарных случайных функций, т. е. в виде
где cpv (t) — неслучайные функции, называемые координатными
функциями, а £Л — случайные величины, называемые
случайными коэффициентами и удовлетворяющие условиям: MU^ = 0,
ZX/v = Dv>0, v = l, 2, ... ; M(UMv) = 0 при v^n,
называется каноническим разложением случайного процесса X(t).
Из (*) следует каноническое разложение корреляционной
функции
и дисперсии
лж (0=2 адо- (**>
Сходимость положительного функционального ряда (**}
в каждой точке, например интервала (0, Г), необходима и
достаточна для существования на этом интервале каноническога
разложения (*), т. е. для сходимости в смысле среднего квад-
ратического ряда элементарных случайных функций к
центрированному сечению X°(t) (t£[0, T]) самого данного процесса.
Для .построения приближенного канонического разложения
процесса X(t) на интервале [0, Т] с известной корреляционной
функцией Kx(t, ?) интервал [0, Т] делят точками tv t2, t3i ...
на части и за случайные коэффициенты разложения £Л берут
линейные комбинации центрированных сечений процесса X(t)
в моменты tl9 t2, t3, ... с постоянными коэффициентами, для
определения которых решают систему (***), применяя операции
почленного умножения, математического ожидания и дисперсии:
*"('l) = ^1,
X»(t2) = a21U1+U2,
X°(t3) = a31Ux + a32U2+Ua.
Случайный процесс X называется эргодическим
относительно своего математического ожидания, если 1) его
математика
ческое ожидание постоянно: mx(t) = mx— const, 2) имеет место
предельное соотношение
l.i.m.-y-f X{t)dt = mx
Необходимым и достаточным условием эргодичности
процесса X(t) является выполнение условия
т т
Hm^-Г -f/r,(*. t')dtdt' = 0.
о о
Достаточно условие Kx(t, f) -> 0 при \t — t'\->co. Для
эргодического процесса с вероятностью, сколь угодно близкой
к-единице, при достаточно большом Т будем иметь
г
4"f xv(f)dt^m„
т. е. математическое ожидание можно сколь угодно точно
определить по одной реализации процесса.
Процесс X(t) называется стационарным в узком смысле,
если все его /г-мерные законы (например, функции
распределения fn(xv х2> ••• » хп\ *ь ^2» ••• , tn)) не изменяются от
сдвига по оси t всех моментов tx, t2) ... , tn на одну и ту же
величину, т. е. зависят лишь от взаимного расположения этих
моментов:
Еп 0*1» Х2> • • • , Хп\ h ~Г Х» *2 Г Х» • • • > *л ~Г Т) =
= * rtV-^1» -^2» • • • » Хю ^Ъ ^2» • • • » *л)*
У стационарного в узком смысле процесса X(t)
математическое ожидание и дисперсия — постоянные, и корреляционная
функция Kr(t9 f) зависит лишь от разности своих аргументов:
Процесс X(t) называется стационарным в широком смысле,
если для него выполняются указанные свойства mX9 Dx и
Kx{t, ?). Из стационарности в узком смысле, очевидно,
следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Для
стационарных и нормальных процессов оба понятия
стационарности совпадают.
Для стационарного (далее везде в широком смысле)
процесса X(t)
\КЛ*)\<КЛ0); j j КА?-t)y{t)W)dtdt'>0.
о о
106
Если X (t) и Y(s) — два стационарных процесса, то они не
обязательно стационарно связаны, но стационарно связанными
могут быть и не стационарные процессы. Стационарные и
нормальные процессы стационарны в узком смысле и поэтому
стационарно связаны (в частности, независимы).
Необходимым и достаточным условием для эргодичности
относительно математического ожидания стационарного
процесса является
г
lim-^(7l — -^)АГ,(т)дГт = 0.
Достаточным условием является /С*СО1* 0 при т->оо.
При выполнении некоторых дополнительных условий для
стационарного и нормального процесса имеет место
эргодичность относительно корреляционной функции, т. е. равенства
т
l.i.m.-jrf X*(t)X°{t + %)dt = Kxe*).
о
Отсюда, при дифференцируемое™ корреляционной функции,,
с вероятностью 1 имеем
т
о
где xp{t) — одна реализация процесса X(t).
Для непрерывности стационарного процесса X(t)
необходима и достаточна непрерывность его корреляционной
функции Кх{?) в точке х = 0.
Для дифференцируемости стационарного процесса X{t)
необходимо и достаточно существование Кх СО в точке т = 0„
при этом
М-^Р-еееО; Кх.{*) = -Кх(*).
Стационарный процесс с дискретным спектром есть всякий
процесс, представимый в виде
X (t) = /^ + 2 £Л cos &4 -f- V? sin o)v£, (****)
V
где сумма может содержать конечное или счетное 'множество
членов, cov — положительные постоянные, £Л и 1Л» —
случайные величины с условиями:
MUv = MVv = 0, DU, = DV, = D*>0, v = l, 2, ... ;
M{U,Uv)=M{V*Vv) = 0 npnv^jx, M{U4Vv) = 0.
107
Корреляционная функция такого процесса есть сумма
тригонометрического ряда с неотрицательными коэффициентами:
. Кх (х) = "V Д, cos o>vx. (*****)
V
Стационарные процессы, корреляционные функции которых
не представимы на всей оси х в виде (*****), называются
процессами ь с непрерывным спектром. Для них
корреляционные функции в наиболее важных случаях представимы
оо
в виде интеграла Фурье Кх(х) = f s (со) cos aycrfco, где функция
о
5 (со), называемая спектральной плотностью процесса X(t)y
неотрицательна. Спектральная плотность выражается через
корреляционную функцию обратным преобразованием Фурье:
оо
5 (ш) = — Г Кх (х) COS <отЙт.
о
В комплексной форме. эти соотношения принимают вид
оо оо
Кх (*).= j s (u) в"»**»; s (ш) = JL Г кх (х) e-*"d*.
— 00 — 00
ЕСЛИ Г(0 = -^-, ТО Sy(a))=S,(«>)co2.
Если X (t) и Y(t)—два стационарных процесса с
непрерывным спектром, стационарно связанные между собой, то их
взаимной спектральной плотностью называется преобразование
Фурье их корреляционной функции связи:
оо оо
— 00 —00
Если процессы X(f) и Y(t) связаны дифференциальным
уравнением
а 0^ + ^1-^й-+ ... +ляУ = Ь0^ + Ь1^^ + ... + Ьтх9
0 dtn ' 1 dtn~l dtm ' dtm~x
где #/ и bj—постоянные, то
ф (м = b0{i*)m + b1ji»)m-1+... + bm
называется переходной функцией этого уравнения (собственно-
динамической системы, описываемой этим уравнением). Тогда
ЛН = 1ф(Н1Ч(Ч
J08
причем это соотношение имеет место и в том случае, когда
процесс X(t) не имеет производных вплоть до т-то порядка,
но выполняется условие
•о
f 5v(co)rf(o < оо.
Выбросом случайного процесса X{t) за уровень а
называется событие [X(t)>a\.
Для стационарного процесса с одномерной плотностью f{x)
/v/,4 dX(t)\ ,,
и плотностью двумерного вектора IX (г), ^ ) (г—один и тот
же момент), равной/2 (*, v), среднее время пребывания
случайного процесса X(t) выше уровня а в течение времени 7\
среднее число выбросов за этот же промежуток времени за
уровень а и средняя длительность одного такого выброса
определяются формулами
Ta=T<jf(x)dx;
а
оо
_ _ $f(x)dx
Na = T$vf2(ayv)dv; za= ^ .
о J vf2 (a, v) dv
а /
Среднее число выбросов стационарного процесса в единицу
На
времени na = -jr-.
Для стационарного и нормального процесса эти формулы
принимают вид
{*-тх)%
2,2
YL :
tua
Wa=T.na; 7
-^t
(а
°V
2пах
-тх)2
2,2 1
* 1
Т-га.
[•-Ч^тЧ]:
ЗАДАЧИ К ГЛ. VII
598. Расходящийся процесс чистого размножения. В
некоторой области пространства имеются однородные частицы.
Под влиянием случайных причин в эту область извне могут
проникать новые такие же частицы (или там могут возникать
новые частицы), но они не могут покидать этой области (или
исчезать). Если в момент t в области имеется п частиц, то
вероятность (условная) того, что за промежуток (£, t-\-M)
109
в этой области появится новая частица, не зависит от t и равна
\пМ-\-о(М), где Хл — неотрицательная постоянная. Вероятность
того, что за промежуток времени длиной Д£ в области появятся
две или более новых частицы, равна o(kt). В начальный
момент t = 0 в области имелось 0 частиц.
а) Составить систему дифференциальных уравнений,
определяющих (вместе с начальными условиями) вероятности pn{t}
того, что в момент t (любой) в области будет ровно п частиц.
б) Найти явные выражения вероятностей pn(t).
в) Положив \п = Зп, я = 0, 1, 2, ... , исследовать при боль-
оо
ших значениях t сумму ^pn(t). Каков вероятностный смысл
того, что при достаточно больших t эта сумма меньше 1 ?
599. В условиях предыдущей задачи доказать, что если
Хл>0 при всех я, то pn(t) при п^\ имеет единственный
максимум в некоторой точке и стремится к нулю при t-+ ©о.
Показать, что t± < t2 < t3 <... (использовать метод
индукции и продифференцировать дифференциальные уравнения
процесса).
600. Доказать, что в условиях предыдущей задачи при
#->оо £л_>оо, если процесс чистого размножения не является
расходящимся.
601. Процесс Пуассона. Пусть некоторая физическая
система может находиться в одном из счетного множества
состояний Е0, Ev £2, ... , причем в любой момент времени t
она может сменить свое состояние, перейдя в состояние
с номером, на единицу большим. Если Д£>0 достаточно мало,
то вероятность перехода системы за промежуток времени
(t, t+kt) из состояния Еп в En+i равна \М-)-о(М), где
X — положительная постоянная. Составить систему
дифференциальных уравнений, описывающих этот процесс, и, решив ее>
найти вероятности pn(t) (п=\, 2, ...) того, что система
в момент t окажется в состоянии Еп, если известно, что
в начальный момент t0 = 0 система находилась в состоянии EQ.
602. Процесс Юла. В области О имеются частицы,
способные размножаться (путем деления или иначе) и
остающиеся в этой области в дальнейшем. За малый промежуток
времени (t, t-{-M) каждая частица с вероятностью ХД£ + 0(Д£)
производит новую частицу независимо от остальных частиц.
а) Составить систему дифференциальных уравнений,
определяющих этот процесс.
б) Решить эту систему.
в) Найти математическое ожидание и дисперсию
распределения, определяемого этой системой.
603. Процесс чистой гибели. В области О в
начальный момент £ = 0 находилось k частиц. Независимо друг ог
друга частицы могут исчезать из области, причем каждая
110
частица за малый промежуток времени At может исчезнуть
с вероятностью lM-{-o(At). Новые частицы в области
появиться не могут.
а) Найти дифференциальные уравнения, описывающие этот
процесс.
б) Найти вероятности pn(t) — решения этих уравнений.
в) Найти математическое ожидание и дисперсию числа
частиц в области О к моменту t.
604. Процесс Пой а. В области О появляются некоторые
частицы и в дальнейшем остаются в этой области. Если к
моменту t = 0 в области имелось п частиц, то вероятность
(условная) увеличения их числа на единицу за малый
промежуток времени (t, t-\-At) равна tT^ &t-\-o(At), где а
—некоторая положительная постоянная. Вероятность увеличения
числа частиц за то же время йа две и более равна о (At).
а) Составить дифференциальные уравнения,
определяющие этот процесс (т. е. вероятности pn(t) того, что к
моменту t в области О будет п частиц).
б) Найти явные выражения pn(t).
в) Найти математическое ожидание и дисперсию числа
частиц в области.
605. Процесс размножения и гибели. В области О
имеются однородные частицы (например, бактерии), которые
могут порождать такие же новые частицы, например,
посредством деления на две, а также могут погибать (исчезать). Если
At мало, то вероятность для каждой частицы (независимо от
наличия и поведения остальных частиц) породить одну новую
равна XA^-J-o(A^), а вероятность погибнуть равна jxA£-(-0(A£),
где X и ц —некоторые положительные постоянные.
а) Составить систему обыкновенных дифференциальных
уравнений, определяющую этот процесс.
б) При условии, что pn(t) (п = 0, 1, 2, ...) — решение этой
системы, т. е. вероятность того, что к моменту t в области О
окажется п частиц, составить дифференциальное уравнение
в частных производных, которому удовлетворяет
производящая функция этих вероятностей, т. е. функция
F(x, t)=^pn{t)x\
/2=0
в) Считая, что в начальный момент £ = 0 в области О
находилась одна частица, решить это дифференциальное
уравнение и найти явное выражение производящей функции F(x9 t).
г) Разложив F(x, t) в ряд по степеням х, найти явные
выражения для всех вероятностей pn(t). Проверить
(пользуясь F(x9 f))y что их сумма равна 1.
ill
606. Решить задачу 605 в предположении Х = у. Доказать,
что при этом вероятность вымирания равна 1.
(Воспользоваться явными выражениями решений задачи 605.)
607. X(t) — случайный процесс с независимыми
приращениями X(f)— X(t), распределенными по нормальному закону
с математическим ожиданием а = 0 и дисперсией a2 = t' — t
(винеровский процесс). Пусть Лг(0) = 0. Найти все я-мерные
плотности этого процесса.
608. Найти математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную функцию синусоиды постоянной частоты о) со
случайной амплитудой X, если МХ=\, DX=0,2.
609. Найти математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную функцию процесса Х^) = Ье~*\ где Е — случайная
величина с Ж? = 2, £>£ = 0,01.
610. Найти математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную- функцию случайного процесса X(t) = Ut-{-Vf*9
где U и V— некоррелированные случайные величины с
MU = 3; ЛП/=0,5; DU=\\ DV=0,05.
611. Найти математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную функцию случайной функции
X (t) = х± cos <ot + х2 sin at -f- 5t,
где Xi и х2 — некоррелированные случайные величины с
Мхг=и Мх2 = 0,2; Охг = 09и Dx2 = 0,004.
а — положительная постоянная.
612. Дана случайная функция Z(t) = 2Usin<ot + 3Vt2 + 5;
U и V— случайные величины с MU=\; MV=2; £>£/=0,l;
DV=0,05\ ruv=z — 0,3. Найти математическое ожидание и
корреляционную функцию Z(t).
613. Случайный процесс X{t) задан следующим образом:
X(t) = <? (t, y]), где <р (t, y]) — данная неслучайная вещественная
функция своих аргументов, t — время, а т] — случайная
величина с известным законом распределения. Найти
математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию
процесса X(t), если а) известна плотность f^(y) величины ц;
б) известна плотность fЛу) и ф(£, ^) = <р (0,Г) + Ф(^)> гАе У и
N
ф —данные неслучайные функции; в) <?(t, r\) = ^ <р^ (t) • ць где
t=i
^—компоненты случайного вектора (%, ч2, ... , т]л) с
известным математическим ожиданием (%, тп2У ... , /яп) и
корреляционной матрицей (&/&).
614. Процесс X(t) изменяет свои значения в случайные
моменты времени. Значения X(t) в промежутках между
каждыми двумя скачками не изменяются и представляют собой
независимые случайные величины с математическим ожида-
112
ни-ем, равным нулю, и одинаковой дисперсией D. Найти
математическое ожидание, дисперсию-и корреляционную функцию
этого процесса.
615. Найти математическое ожидание и корреляционную
функцию процесса Пуассона с параметром X.
616. Случайный процесс Х{£) может принимать только два
значения: ± 1, причем число перемен знака X(t) в течение
промежутка (£, ^ + т) есть случайная величина,
распределенная по закону Пуассона с параметром ах (а — положительная
постоянная).
Считая MX(t) = 0, найти корреляционную функцию и
дисперсию этого процесса.
617. Найти математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную функцию процесса Винера задачи 607.
618. Случайная функция X (t) задана каноническим
разложением
*(*) = *-3cos*+tf (*4-cos*)+l/cos'2*; DU=l; DV=2.
Найти MX(t)4 DX(t) и Kx(t, t').
619. Дан случайный вектор (xv х2, х3, хА) с
математическим ожиданием (0, 0, 0, 0) и корреляционной матрицей
'1 1 2 —Г
4-1 2
9 4
25,
Указать линейное преобразование, приводящее данный вектор
к вектору (Уъ 1/2, 1^3» V*) с попарно некоррелированными
компонентами.
620. Пусть дан -случайный вектор (хъ х2, х3) с
математическим ожиданием (0, 0, 0) и корреляционной матрицей
'1 2 Г
4 1
9,
Можно ли его линейным преобразованием пространства
привести к вектору с попарно некоррелированными компонентами?
621. Дана случайная функция X(t) = x1t-\-x2slnt, где
случайный вектор (xv x2) имеет математическое ожидание
(+1, —1) и корреляционную матрицу/ ]. Построить
каноническое разложение этой случайной функции; найти ее
математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию.
622. Дана случайная функция X(t) = t-]-x1cost + X2Sint,
где случайный вектор {хъ х2) имеет математическое ожидание
( J*; 1) и корреляционную матрицу ( J . Построить
8 Зак. 411 113
каноническое разложение процесса, найти его математическое
ожидание, дисперсию и корреляционную функцию.
623. Дан случайный процесс X{f)=x1fi (t)+-x2f2(t) + xtf3(t\
где fx(t)9 f2(t), /з(0~~ некоторые неслучайные функции, а
случайный вектор (xv л:2, лг3) имеет математическое ожидание
(2, 5; 1; 2) и корреляционную матрицу
'2 1 0,5>
3 2
4
Найти каноническое разложение случайного процесса X(t)\
найти математическое ожидание, корреляционную функцию и
дисперсию этого процесса.
624. X (t) — случайный процесс с нулевым математическим
ожиданием и корреляционной функцией
Kx(t% t') = De~alt,-t].
Найти приближенное каноническое разложение этого процесса,
взяв за случайные коэффициенты линейные комбинации
сечений этого процесса в моменты tn = (n— 1)т, л=1, 2, ...
625. Будет ли непрерывен процесс Пуассона? (См.
задачу 615.)
626. Будет ли дифференцируем процесс Пуассона?
627. Известно, что MX{t) = 2t+l; Kx(t, f) = e~{r~t)2;
У (t) = * . Найти математическое ожидание,
корреляционную функцию и дисперсию процесса Y(t).
628. На плоскости движется случайная точка М так, что
ее полярный угол ср является случайной функцией времени
с корреляционной функцией
Найти дисперсию угловой скорости со полярного радиуса-
вектора точки М.
629. В условиях задачи 622 найти математическое
ожидание, корреляционную функцию и дисперсию процесса
У{() = а-ХШ
dt
630. Доказать, что случайный процесс X(t)=e~at sin{a>t + <р),
где а и со — положительные постоянные, а ср — случайная
величина, равномерно распределенная на отрезке [0,2«],
дифференцируем при всех t > 0.
631. Дан случайный процесс ^f(£) = |sin£| sin(<o£-f- ср), где
<о — положительная постоянная, а ср — случайная величина,
равномерно распределенная на [0,2^]. Будет ли этот процесс
дифференцируем и будут ли дифференцируемы реализации
этого процесса?
114
632. При стрельбе по движущейся цели (например,
самолету) используется следующая приближенная формула для
угла упреждения: ф (£) = ш (t) T(t\ где ty(t) — угол
упреждения, w(t) — угловая скорость цели, T(t) — некоторая
неслучайная функция, определяемая начальной скоростью снаряда
и начальным расстоянием до цели. Пусть угол визирования
цели <р(£) — случайная функция с корреляционной функцией
Найти корреляционную функцию и стандартное уклонение
угла упреждения ср(£).
633. Случайная функция X(t) задана каноническим
разложением X(t)=l + t+Ut+VP+Wt*; DU=2; DV=\;
DW=Q,l. Найти математическое ожидание, корреляционную
функцию и дисперсию производной процесса X(t\ т. е.
процесса
634. X{t) — случайный процесс задачи 621; Y(t) = J X (х) д?т.
Найти математическое ожидание, корреляционную функцию
и дисперсию процесса Y(f).
635. На вход интегрирующего устройства поступает
случайный процесс, имеющий каноническое разложение
X(t) = l + Ut+Vt2; DU=3; -DV=l.
Найти математическое ожидание, корреляционную функцию
и дисперсию случайного процесса на выходе интегратора.
636. На вход интегрирующего устройства поступает
случайная функция X(t) с MX(t) = 0,2 cos2ut и
Кх (t, ?) = 0,4 cos (at cos orf'.
Найти математическое ожидание, корреляционную функцию
и дисперсию случайной функции Y(t) на выходе интегратора.
637. Математическое ожидание и корреляционная функция
процесса X(f) заданы следующими формулами:
mx(t) = cs'muyt,
Kx(t> t') = De-alt'-nlcosi»(t' — t) + -%-sin»\f —1\\9
где а, с, D и &— положительные постоянные. Найти
математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию
производной процесса X.
' 638. Найти математическое ожидание, корреляционную
S
функцию и дисперсию случайного процесса K(s) = j X (t)dt,
о
где X(t) — случайный процесс задачи 614.
I* 115
639. Дана случайная функция X(t)=xe?, где х —
случайная величина с Мх = 3, Dx = \; p и ш — постоянные. Найти
математическое ожидание, корреляционную функцию и
дисперсию случайной функции
О
640. Случайный пррцесс X(t) имеет корреляционную
функцию Kx(t, f). Найти корреляционную функцию связи X(t)
с процессом
t
Irft.
Y(t)=jx(,)<
641. Доказать, что операции неопределенного
интегрирования и дифференцирования случайного процесса, понимаемые
в смысле среднего квадратического, взаимно обратные, т. е.
если процесс X{t) непрерывен в среднем и
t
- Y{t)=-^X{x)dz, то *Ш = Х«).
о
642. Пусть X(t) — процесс Пуассона с параметром К Y(t)=
= X°(t) = X(t)—M. Будет ли этот процесс Y(t) эргодичен
относительно своего математического ожидания?
643. Будет ли процесс, рассмотренный в задаче 647,
эргодичен относительно своего математического ожидания?
644. Пусть ср—случайная величина с плотностью/р(х)=со8л:,
(XJl-*:^-^-; а и со — положительные постоянные. Построим
случайный процесс X(t) — asin(u>t-\-<f).
а) Будет ли этот процесс стационарным?
б) Можно ли, пользуясь одной реализацией этого процесса,
на достаточно большом промежутке времени оценить его
математическое ожидание?
645. Пусть у—случайная величина, равномерно
распределенная на отрезке [0,2*], а и о>— положительные постоянные.
Доказать, что случайный процесс X(t) = a sin №-{-<?)
стационарный (в широком смысле).
646. Доказать, что процесс, рассмотренный в задаче 645,
эргодичен как относительно своего математического
ожидания, так и относительно корреляционной функции. Найти тх
и Кх(*)у пользуясь эргодичностью этого процесса.
647. Дан случайный процесс X (t) = a sin (co£ -f <p), где а
и а) — положительные постоянные, ср — нормальная случайная
величина с ЛГср = 0, £>ср = 1. Будет ли X{t) стационарным
процессом? Найти математическое ожидание, корреляционную
функцию и дисперсию X(t).
116
648. Пусть {£/}, i= 1, 2, ... , — последовательность взаимно-
независимых одинаково распределенных случайных величин,
имеющих конечную дисперсию а2. (М^ = А); {а/}, г=1> 2, ...
■■— последовательность вещественных чисел, такая, что ряды
Д о>п+п&т сходятся по вероятности (а значит, и с вероят-
т—— во
ностью единица) при любом я. Построим случайный процесс
оо
с дискретным временем ^(я)= 2 ап+т%т> п=1\ 2, ... До-
казать, что этот процесс стационарный.
649. Случайный процесс X{t) изменяется лишь в
дискретные моменты времени: 0, 1, 2, ... , я, ... В промежутках
между этими.моментами процесс X{t) сохраняет постоянные
значения, которые являются взаимно-независимыми случай-
нымиСвеличинами с ллотностью
Будет ли этот процесс стационарным?
650. Пусть X(t)— стационарный и нормальными процесс.
Построим процесс Z(t), принимающий только два значения:
1 и 0, с помощью формулы Z (t) = ~y | 1 -f j^/q^^ + t)!! •
Вычислить MZ(t).
Указание. Воспользоваться решением задачи 410.
651. Пусть X(t) — стационарный и нормальный процесс
с математическим ожиданием т и корреляционной функцией
/(*(*). НапиСать выражения одномерной и двумерной
плотностей этого процесса.
652. Для процесса задачи 651 найти вероятность того, что
его значение в момент tr\-x уклонится от своего
математического ожидания не более чем на е, если в момент £ процесс
принял в точности значение т.
653. Для процесса X(t) задачи 651- найти предельное при
т-»оо значение вероятности того, что сечение X(t-\-T>)
уклонится vot> среднего т не более чем на е, если известно, что
X{t) = m, и если Кх(ъ)-+0 при т->оо. Найти оценку этой
вероятности с точностью до 0(е8),
654. Будет ли непрерывным и дифференцируемым процесс
с независимыми приращениями задачи 614?
655. Будут ли непрерывны и дифференцируемы
стационарные процессы, имеющие корреляционные функции
1) De~alx]cosbx;
2) De~alx4 cos ftt + т"sin 6lxl)?
117
656. Пусть X(t) — стационарный случайный процесс, а ? —
случайная величина. Найти корреляционную функцию
процесса Y{t) = X(t) -}-(■; будет ли Y(t) стационарным в
следующих случаях: а) если I некоррелирована с процессом X(t);
б) если 1 = X (t0) — одно из сечений процесса X(t)?
657. Сколько раз дифференцируем стационарный продесс
X(t), имеющий корреляционную функцию
./^(T) = a*e-e|t|(l+a|x|+-i-aV)?
658. Стационарный и нормальный процесс Х(ъ) имеет
математическое ожидание тх = Ь и корреляционную функцию
^(x) = ^-2|T,(cos2x + sin2|x|).
Найти а) одномерную плотность процесса Y(t)= £ ; б)
вероятность того, что | Y(t) | < Уз.
659. Доказать, что процесс K(£) = j X(s)ds не может быть
стационарным, каков бы ни был процесс X(t) (стационарный
или нет), за исключением тривиального случая, когда X(t)
есть с вероятностью 1 неслучайная функция времени.
660. Стационарный процесс X(t) имеет корреляционную
функцию /Сг(т) = Л£"2,х| (1 +2|х|). Во сколько раз диспер-
10
сия случайной величины y = J X(t)dt больше, чем дисперсия
процесса X(ty?
661. При измерении слабого тока зеркальным
гальванометром показания прибора непрерывно автоматически
записывались в течение промежутка времени длиной Т сек. Среднее
значение полученной функции времени на отрезке [0, 7] /ср
принято за искомое значение силы тока. Найти дисперсию
этой случайной величины /ср, если флуктуация силы
измеряемого тока есть стационарный случайный процесс с
корреляционной функцией
662. Стационарный случайный процесс с дискретным
спектром задан своим спектральным разложением
оо
*(*) = /И, + 2 Vn COS «nt + Vn Sin mnt, (*)
п=Л
где (ол—положительные постоянные, Un и Vn — случайные
величины с условиями MUn = MVn = 0,
M{ul) = M(V2n) = Dn, M(UnVm) = 0; M(UJJm) = 0,
M(VnVJ = 0, при пфш.
118
В каком случае спектральное разложение (*) можно почленно
дифференцировать ?
663. Стационарный Процесс X (t) представлен спектральным
разложением
оо
X(t) = mx-\-K\ UnQosnu>t-{- Vnsinnut.
n=l
Можно ли это равенство почленно интегрировать?
664. Дифференцируемый случайный процесс X(t) имеет
корреляционную функцию Kx(t, t').
Y(t)=X(t)+42JP-.
а) Найти математическое ожидание, дисперсию и
корреляционную функцию процесса Y(t)\ б) то.же для случая, когда
процесс X{t) стационарный; в) то же для процесса с
корреляционной функцией Кх(ъ) = о2е-ах\
665. Дважды дифференцируемый стационарный процесс
X(t) имеет корреляционную функцию Кх(*)- Найти
корреляционную функцию процесса
Y{t) = X<t)+?§®.
666. X (t) — стационарный случайный процесс с
корреляционной функцией Кх(*). Найти корреляционную функцию
и дисперсию случайного процесса
y{t) = aX(t) + bd^ + cf%pt
где а, 6, и с — вещественные постоянные.
667. X(t) — случайный процесс с корреляционной функцией
KeV* О-
а) Найти корреляционную функцию связи между
процессами Xlt\ и
1 (l) — dt* '
б) Рассмотреть случай стационарного процесса X(t).
в) То же для процесса с корреляционной функцией
/СЛт) = АГ«'''(1+а|х| + ^).
668. X(t) — дважды дифференцируемый случайный процесс
с корреляционной функцией Kx(t, tr).
а) Найти корреляционную функцию связи между
процессами
*(*) и r(t)=f{t)X(t) + ^t)a^1
где/(д:) и ср (х) — неслучайные функции времени*
б) То же для случая, когда процесс X{t) стационарный.
119
669. Найти корреляционную функцию связи между
процессами
Y{t)=aX{t) + bd-*£- и 2Ц) = Аа-Ш + В^,
если X(t) есть дважды дифференцируемый случайный
процесс с корреляционной функциейЖх(t, f); <z, b, Л, В—
постоянные. Рассмотреть частный случай, когда процесс X(t)
стационарной.
670. X (t) — стационарный и нормальный случайный процесс
с математическим ожиданием 0, дисперсией о2 и
корреляционной функцией Кх(*). Найти корреляционную функцию
процесса Y(t)=X2(t) frio определению, используя двумерную
плотность процесса).
671. X(t) — стационарный и нормальный процесс с
математическим ожиданием т и корреляционной функцией Кх(ч) —
= а2г(х), где о2 —дисперсия процесса. Найти корреляционную
функцию процесса Y(t) = X2(t).
Указание. Воспользоваться характеристическими
функциями.
672. Пусть X(t) и Y(t)—два стационарных случайных
процесса, стационарно связанных между собой, т. е.
M[X°(t)V0(t')]=Kxy(t, t')=Kxy(t'-t) = KxyW.
Найти условия, при выполнении которых процесс Y(t) можщ*
представить в виде суммы двух процессов, один из которых
некоррелирован с X(t\ а другой является линейным
интегральным преобразованием процесса X(t).
673. Будем считать, что при качке судна угол крена есть
стационарный и нормальный случайный процесс X(t) с
математическим ожиданием О и корреляционной функцией
^(х) = Л^-а,Т,(с08рхЧ--р-81пР|х|).
Сколько раз в среднем за 20 мин хода судна угол крена
будет выходить за пределы [—25°, 25°], если Л = 100 град2,
<х = 0,1—!—, 8 = 0,7 — ?
' сек ' г ' сек
674. На вход некоторого устройства подается переменное
напряжение, амплитуда которого является стационарным и
нормальным случайным процессом X(t) с средним % = 5 и
корреляционной функцией Kx(z) = 9e~2lxl (1 +2|х|). Найти
среднюю длительность вьйроса амплитуды входного
напряжения за уровень 8.
675. Угол крена корабля 6(£) — стационарный и нормальный
процесс с Mb(t) = 0 и
A^(x) = aV0'1,T,(cos0,7x + 4~sin0'7lxl)
120
(т — в секундах). Найти, сколько раз в среднем в течение
10 мин угол крена 6 будет равен нулю.
676. Среднее число выбросов стационарного и нормального
процесса X(t) за нулевой уровень (т. е. за уровень а = тх)
в единицу времени равно 0,01. Дисперсия процесса X{t)
равна 64. Найти дисперсию*скорости изменения этого процес-
Т7/,ч dX(t)
са, т. е. процесса V(t)= dy .
677. Найти среднее число максимумов стационарного и
нормального процесса Xlt) в единицу времени, если
корреляционная функция процесса X{t) равна
*,<*> = *-'" (1+«|т| + 2£).
678. Некоторое стабилизирующее устройство, обладающее
максимальной мощностью WQ, устраняет случайные
возмущения, являющиеся стационарным, й нормальным процессом X(t)
с /и, —0,
"X
^(^)=^^[(3«2-Р2)С68РХ+ ("3-Зар2) Slnplxj].
Устранение возмущения X{t) требует затраты мощности W(t),
пропорциональной квадрату скорости изменения процесса X(t):
Определить, сколько раз в среднем в единицу времени
возмущение X(t) не будет устранено по причине недостатка
мощности устройства.
679. X(t) — нормальный (но не стационарный) процесс
с корреляционной функцией
Kx(t, t'j = A4t'e-*u,-t](V+a\t'-t\).
Определить, начиная с какого времени t среднее число
выбросов этого процесса за нулевой уровень a = mx(t) в единицу
времени будет меньше ?. Можно ли число ? выбирать
произвольно?
680. X (t) — стационарный и нормальный процесс с
известным дискретным спектром (<ov, A») (v = l, 2, ... ). Этот процесс
дифференцируем. Найти среднее время пребывания этого
процесса в течение промежутка времени длиной Т выше уровня
а>тх. Найти вреднее число выбросов этого процесса за
указанный уровень' в единицу времени.
681. Стационарный случайный процесс X(t) имеет
корреляционную функцию
*■,(*)=
1-V при Iх'<т°'
о , H>v
Найти спектральную плотность процесса X(t).
121
**(*)={'
682. Случайный процесс X(t) имеет спектральную
плотность, равную нулю вне промежутка частот (&ъ со2) и
постоянную на этом промежутке. Найти коэффициент корреляции
двух произвольных сечений этого процесса.
683. Стационарный случайный процесс X(t) имеет
корреляционную функцию Кх (t) = е~ 'х' cos px. Найти спектральную
плотность Х{£).
684. Случайный процесс X{t) имеет спектральную плотность
, v . а
SW — n (а* + а>2) '
Найти корреляционную функцию процесса X(t).
685. Существует ли стационарный процесс, корреляционная
функция которого определена формулой
при 0<т<7\
О . ОГ,
где о2—положительная постоянная.
686. Пусть I — случайная величина с плотностью /(*),
причем 0<£<-о-, a ij — случайная величина, равномерно
распределенная на g", -j- ;; Е и y] независимы. Доказать, что
случайный процесс Ar(^) = acos27r(^ + 7j), где о —
положительная постоянная, стационарный. 'Найти его корреляционную
функцию и спектральную плотность.
687. Найти спектральную плотность процесса Y(t) задачи
671, если /Г<г(т)=о^-в|т|.
688. Стационарный случайный процесс X(t) имеет
спектральную плотность 5((о)= -__-. Найти дисперсию процесса
689. Стационарный процесс X (t) имеет корреляционную
функцию АГу(х) = a2^~a|xl (1 -f-a|x|). Найти его спектральную
плотность.
690. Будут ли дифференцируемы стационарные процессы,
имеющие следующие спектральные плотности:
2) 5 (ш) = a |^2 _|_ (ц> _ р)2 + а2 + (со + p)2J 5
3) 5(0)) = *("» + *')
' v ' (юг+с») [(а^ + ^ + с?]2' '
691. Спектральная п/ютность стационарного [процесса
задается формулой 5 (о>) = -jY-уЦ , где Ял(«>) и Qm(«)) — много-
122
члены соответственно я-й и т-н степеней. Сколько раз
дифференцируем этот процесс?
692. Каковы условия бесконечной дифференцируемое™
стационарного случайного процесса (в терминах спектральных^
плотностей)?
693. Стационарный процесс X(t) имеет корреляционную
функцию Кх(*) = а2е~а]*Ч\-\-<х\*\ -|-?y-J. Найти спектральную
плотность этого процесса.
694. Стационарный процесс X(t) имеет корреляционную
функцию/СЛт)=а5£~а|х| (cos Px-J—^-sin P | х N . Найти
спектральную плотность этого процесса.
695. Найти спектральную плотность процесса X(f),
имеющего корреляционную функцию
^(x) = o^"alx,(cospT--J-sin-p|x|).
Будет ли этот процесс дифференцируем?
696. Стационарный случайный процесс имеет
корреляционную функцию
Кх(*) = *е-Ы (l+a|x|-2aV + *J^).
Найти его спектральную плотность. Будет ли этот процесс
дифференцируем ?
697. Стационарный случайный процесс X(f) имеет
спектральную плотность 5(a)), разложенную на простейшие дроби:
rw- 2;
aj
0)2 + Xj.
Найти корреляционную функцию этого процесса.
698. Стационарный процесс X(t) имеет корреляционную
функцию
Найти взаимную спектральную плотность sxy (со), если Y{t) —
=[ dj . Найти также А^у(х).
1 699. X (t) — стационарный случайный процесс с
корреляционной функцией Кх(ъ) = Ае-а]х] (1 +a|т|). Найти
спектральную плотность процесса Y(t) — aX{t)-\-b—-jf-, где а и Ь —
вещественные постоянные.
700. Найти взаимную спектральную плотность процессов
X(t) и X(t-\-tv), где t0 — фиксировано и ^(^ — стационарный
случайный процесс с корреляционной функцией Кх(*).
701. Случайные процессы X (t) и Y (t) стационарны и
стационарно связаны, причем спектральные плотности sx(<») и Syx(u>)
123
заданы. Найти взаимную спектральную плотность процессов
U(t) = X(t)+Y(t) и V(t) = dmX£ + to\ где t0-постоянное.
702. Некоторая динамическая система описывается
уравнением
На вход этой системы подается стационарная случайная
функция X(t) с математическим ожиданием тх = 3,
корреляционной функцией Kx(t) — 2e-*w. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы.
703. На вход динамической системы, которая описывается
дифференциальным уравнением 3/ +J> = 2xf + 3*; (x=x(t)t
y=y(t))y подается стационарный случайный процесс X(t)
с ^ = 3 и Кх(*) = 10е~а1хК Найти математическое ожидание
и дисперсию случайного процесса Y(t) на выходе этой системы.
704. Следящая система описывается дифференциальным
уравнением
a0^t2+ai^+a2y=b^ + b1x. (*>
На вход этой системы подается стационарная случайная
функция X (t) с'математическим ожиданием тх и корреляционной
функцией ■ Кх(х) = Dxe-a\xK Найти математическое ожидание
и спектральную плотность случайной функции Y(t) на выходе
этой системы.
705. Некоторая система описывается дифференциальным
уравнением
!H-e3M-u-34-6j.-7£+ta.
На вход этой системы подается стационарный случайный
процесс X(t) с математическим ожиданием тх и корреляционной
функцией Кх(*) = 2£-,т,(1 + 1Х1)« Найти математическое
ожидание и спектральную плотность процесса Y(t) на выходе
этой системы.
706. Стационарный процесс X(t) подается на вход
некоторой линейной системы, описываемой линейным
дифференциальным уравнением
dny . dn~ly , , - . dmX . . dm-xx , , ,
ah bj — постоянные. Пусть спектральная плотность процесса
X(t) есть sx (o>) = п(2\ » где Л-(ш) и Ф/(ш) ~" многочлены
соответственно r-й и /-й степеней. При каком условии процесс
Y(t) на выходе этой системы будет дифференцируем не менее
Л/ раз?
124
707. X(t) и У(t) — независимые стационарные процессы,
имеющие соответственно математические ожидания тх и ту
и корреляционные функции
Найти спектральную плотность процесса Z(f) = X (t) У (t).
708. Найти спектральную плотность процесса V(t) = X2(t),
где X(t) — стационарный и нормальный процесс с нулевым
математическим ожиданием и корреляционной функцией
(см. задачу 670).
700. Стационарный процесс X(t) имеет математическое
ожидание тх и спектральную плотность sx(<s>). Y(t) = X2(t).
Найти спектральную плотность процесса Y(t).
710. X(t) — нормальный и стационарный процесс,
спектральная плотность которого равна s(o>). Найти спектральную
плотность процесса Y{f) = X(t)—^р—. Рассмотреть частный слу-
_ —
чай, когда sx(a>) = ae 2a\
711. Пусть дана последовательность ^независимых
стационарных процессов {Xn(t)}, л=1, 2, ..., сходящихся в
среднем квадратйческом на всей оси t к нормальному стационарному
процессу X (t). Будет ли последовательность спектральных
плотностей {$л(<*>)} процессов Xn(t) при #-> оо сходиться
равномерно на всей полуоси (0, оо) к спектральной плотности
предельного процесса X(t)?
Глава VIII
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Пусть имеется случайная величина 6 с функцией
распределения F(x) и некоторый эксперимент <§, осуществляя
который мы наблюдаем значение х, принятое случайной величиной Е.
Осуществив п независимых повторений эксперимента <§, мы
получим последовательность (хъ х2, ..., хп), называемую
выборкой объема п из распределения F(x) или из
генеральной совокупности с функцией распределения F{x).
Расположив числа хъ хъ ..., хп в порядке возрастания, получим
вариационный ряд xin xLj, ..., xi . Приписав'каждому члену
вариационного ряда вероятность —, получим дискретное
распределение вероятностей, называемое распределением выборки.
Функция распредедения выборки Fn(x) = —, где v — число
членов выборки, меньших х, т. е. F*n (x) есть частота события
К^ в серии из п независимых повторений эксперимента 8.
Из теоремы Бернулли (закон больших чисел) следует: F*n(x)-+
->F(x)y — оо < х < оо, п-> оо, т. е. функция распределения
выборки сходится по вероятности к функции распределения
генеральной совокупности, когда объем выборки п
неограниченно возрастает.
Более сильная теорема В. И. Гливенко утверждает, что
эта сходимость имеет место с вероятностью единица:
Р[ sup | F*n (x) — F(x) | -^ 01 = 1 при п -> оо.
Таким образом, функция распределения выборки F*n (x) есть
статистическая аппроксимация функции распределения
генеральной совокупности F(x), почтя наверное тем более точная,
чем больше объем выборки /г.
Пусть величина 5 имеет плотность f(x). Разобьем всю
ось ох на интервалы длиной А и на каждом из них построим
126
прямоугольник с высотой -^-, где п — объем выборки, a v — ,
число выборочных значений хь попавших в данный интервал.
Тогда ступенчатая ломаная, ограничивающая сверху
построенную фигуру, называется гистограммой выборки и является
статистической аппроксимацией плотности f(x) генеральной
совокупности.
Пусть
М\ = т, Dt = M(Z-m)2 = o2, М? = av
— моменты генеральной совокупности. Соответствующие
моменты распределения выборки — выборочное среднее ху
выборочная дисперсия s2, выборочные начальные моменты av
определяются равенствами
п п п
х=4-2х*s2=4-2 ^' ~ ^2; а"=~^2xl
1=1 *=1 1=1
Соответствующим образом определяются и другие
характеристики выборки. Так, например, выборочный коэффициент
асимметрии определяется равенством Sk = -^f, где Щ =
п
=—5j(x/ — х) —выборочный центральный момент третьего
i=i
порядка. Выборочный коэффициент эксцесса:
п
^="5"» где тА=^Г^{х1—х)\
В случае, когда объем выборки очень велик, выборочные
значения часто подвергают группировке, разбивая всю широту
выборки на несколько интервалов и указывая в таблице лишь
середины этих интервалов и число выборочных значений,
попавших в данный интервал. Тогда, вычисляя выборочные
характеристики, считают все выборочные значения, попавшие
в данный интервал, равными середине интервала. Это вносит
известную ошибку, особенно заметную при малом числе
интервалов. Тогда применяют «поправки Шеппарда» для
уменьшения ошибок, вносимых группировкой. Если все интервалы
имеют ширину А, то, например, первые четыре выборочных
начальных момента с учетом поправок Шеппарда будут:
a[ = al; a2 = a2 — ±h2;
Осуществив п независимых повторений эксперимента &,
мы получим вектор (хи х2, ..., хп), компоненты которого
являются значениями, принятыми случайной величиной £ в дан-
127
ной серии из п независимых испытаний, т. е. их моиЛю
рассматривать, как п независимыХч случайных величин,
имеющих функцию распределения F(x). Тогда всякая числовая
характеристика распределения выборки (как, например,
выборочное среднее х, выборочная дисперсия s2, выборочные' riat
чальные моменты av и т. д.) будет функцией от п случайных
величин хг, a:2, ..., хп, т. е. сама является случайной
величиной. Ее распределение (которое теоретически всегда можно
найти, зная распределение генеральной совокупности)
называется выборочным распределением этой характеристики.
Числовая характеристика выборки, сходящаяся по
вероятности при п -+ оо к соответствующей характеристике генеральной
совокупности, называется состоятельной оценкой последней.
Если математическое ожидание данной выборочной оценки
равно значению самой характеристики величины (;, то эта
оценка называется несмещенной. В противном случае она
обладает смещением (т. е. систематической ошибкой)^
ухудшающим качество этой оценки.
■ Статистическая оценка ч\ характеристики т называется
эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех
состоятельных и несмещенных оценок характеристики f-
Оценка ч\ будет асимптотически эффективной, если ее
дисперсия эквивалентна наименьшей при п-+со.
Если распределение величины 5 и статистическая оценка ч\ =
==,g(xi> хъ • • •» хп) некоторой характеристики или параметра ?
распределения I удовлетворяют известным условиям
регулярности (см., например: Г. Крамер. Математические методы
статистики. ИЛ, 1948), то нижняя граница дисперсии
несмещенных оценок параметра ? определяется формулой
где/(х) — плотность величины 5 (она здесь рассматривается
как случайная величина, так как аргумент х заменен на .5)
или вероятность f(x) = P[Z = x\ в случае дискретного
распределения генеральной совокупности. В «нерегулярном
случае» могут существовать несмещенные оценки с дисперсией,
меньшей указанной выше нижней границы
(«сверхэффективные» оценки).
Методом моментов называется прием получения оценок
параметров распределения генеральной совокупности, который
в случае известного функционального выражения плотности
генеральной совокупности, содержащей несколько неизвестных
параметров, сводится к следующему. За оценки о.*у иии% а*
параметров а1э ..., ak плотности f(x) =/(д:, а1э ..., aft). берутся
решения системы уравнений, получающихся приравниванием
попарно выборочных значений и выражений, полученных
128
с помощью плотности/(л:, аь ..., ал) каких-нибудь k
моментов (например, среднего, дисперсии и т. п.).
Метод максимума правдоподобия применяется для той же
цели следующим образом. Пусть плотность \ содержит один,
подлежащий оценке, параметр а: /(а:) = /(а:, а). Функцией
правдоподобия для оценки этого параметра называется
L (*i, ..., *» -/(*!, а)/0*2, а). ... f(xn, а),
где Xi — выборочные значения. За оценки максимального
правдоподобия параметра а принимаются решения уравнения
правдоподобия да = 0, являющиеся действительными
функциями выборочных значений хх, хъ ..., хп.
Пусть имеется какая-нибудь статистическая оценка ^=g(xl9
хъ • • •, хп) характеристики или параметра ?• Для разумного
применения этой оценки на практике нужно знать
вероятность р того, что при данном объеме выборки п уклонение
оценки -q от. оцениваемой величины т не превзойдет границы а:
/>lh-Tl<«}>P (илиЯ{И-т|<а} = Р). (*)
Здесь а называется точностью оценки т посредством ?), а р —
надежностью того, что при данном объеме выборки я оценка ^
будет иметь точность а. Задаваясь любыми двумя из
величин а, р, /г, связанных неравенством (или равенством) (*),
можно найти третью. Для этого нужно знать выборочное
распределение n = g(xu x2, ..♦, хп). В случае выборки из
нормальной генеральной совокупности и при условии, что
оценка ц есть линейная функция выборочных значений xt или
их квадратов, выборочное распределение у\ будет соответственно
тоже нормальным или ^"Распределением. Следовательно, для
вероятности Р легко найти функциональное выражение,
зависящее от л и а. В более общем случае используются
асимптотические распределения выборочных характеристик. Если
величина Е имеет конечные Af£ = //t, D% = о2 и начальные
моменты av, то выборочное среднее лс распределено
асимптотически нормально с параметрами (т, -у=\; выборочная
дисперсия s9 — асимптотически нормальна с параметрами fa2,
у fa"~q | ? где ц4 _ центральный момент 4-го порядка
величины Е. Выборочные начальные моменты av также распреде-
лены асимптотически нормально с параметрами Uv, I/ —-—/•
На практике вместо (обычно неизвестных) параметров этих
асимптотически нормальных законов используют их
выборочные оценки. Так, для асимптотического нормального закона
распределения выборочного среднего х за параметры принимают
9 Зак. 411
129
\х> /я") (ИЛИ \ ' 7"/' ГДе Sl=VT^TS есть 01*енка
среднего квадратического уклонения а величины 6). Таким
образом, имеем
я{|х-т|<^-^)-2Фв(^),
где Ф0(лс)— функция Лапласа: Ф0(х) = —= \е 2 dz, а х$ на-
У 2к J
о
ходится по таблицам Ф0(*) из условия 2Ф0 0*р) = Р (или
2Ф0(хр)^р). Часто надежность р задается в процентах:
Если объем выборки л мал (#<30), то изложенный метод
может дать лишь грубые приближения оцениваемых
значений а или р, в особенности когда значение дисперсии о2
генеральной совокупности неизвестно и заменяется ее выборочной
оценкой 52 или 52 = М2. В этом случае рассматривают
отношение t — , которое будет случайной величиной, так
как х и s являются функциями от выборочных значений xt.
Если генеральная совокупность I распределена по
нормальному закону с параметрами (0, о), то величина t распределена
по закону Стьюдента с я— 1 степеней свободы, т. е. имеет
плотность
Оценка точности а по заданной надежности Р (или наоборот)
при данном объеме выборки п (/г < 30) осуществляется так же,
как и выше, только вместо таблиц функции Ф0(х) используются
таблицы функции распределения Стьюдента:
P{|^-m|<a}-2S0(a->^I)>p,
где S0(x) = [sn-i(z)dz\ отсюда a y n ~~ = fr, a = -7=L=%
J « у n — l
При п > 30 распределение Стьюдента практически не
отличается от нормального с параметрами (0, 1).
Если объем выборки п достаточно велик, то для
определения точности и надежности статистической оценки
дисперсии о2 генеральной совокупности (распределенной по любому
закону) используется асимптотический нормальный закон рас-
130
пределения s2. Если генеральная совокупность нормальна, то
обычно применяется следующая простая формула:
р\—£W<°'<—£Wl^>
1+г£
VI
-*V±
где £р находится из условия 2Ф0 (^гр) = Р-
При небольшом объеме п выборки для определения
точности и надежности оценки дисперсии нормальной
генеральной совокупности с помощью выборочной несмещенной оценки
дисперсии M2 = s\ = ^ts2 используются таблицы функции
распределения х2> так как величина М2 распределена по
закону х2 с п — 1 степеней свободы, т. е. с плотностью
л-1
где kn-i(x) =
kn-i(x),
О
/2-1
k 2 .
...
■М
при -*<0,
при х > 0.
Для оценки стандартного уклонения о нормальной
генеральной совокупности обычно пользуются ^-распределением,
которому подчиняется s1 = sy n^_ { .
Плотность этого распределения имеет вид
0 при х^О,
-— ^-I — I е при х^>0.
f(x)
оГ
м
г/~2
Пусть z± и z2 — любые положительные числа; тогда
^P{S1Z1<0<S1Z2] =
«1
f-2*
Л.
Последний интеграл табулирован так, что для его
значений (а именно: 0,9; 0,95; 0,98; 0,99; 0,998; 0,999) и различных
значений п (1^я<^200) указаны числа гг и z2. Поэтому,
задаваясь надежностью Р, мы имеем Р [s^< а <s^} = р;
по значениям р и п в таблице находим zx и г2 и, умножая их
на выборочную оценку стандартного уклонения, получим
доверительный интервал (sxzx, sxz2), в котором с
надежностью р заключено оцениваемое стандартное уклонение о
(нормальной) генеральной совокупности.
131
Пусть имеется серия иэ~л независимых испытаний с
постоянной вероятностью р события А в каждом из них. Пусть при
фактическом осуществлении этой серии испытаний получена
частота -~- события Ау которую принимают за статистическую
оценку неизвестной вероятности р. Тогда, задаваясь
доверительным уровнем е, мы найдем интервал (си с2), в котором
с надежностью 1—е заключено оцениваемое значение р\ при
этом v •
Ч — п + \2\ п ^ 2П V П »" 4Л2 / '
_ п ( т , Х2 , ^ ]/ Иу~~~п) х у
Параметр X, входящий в это выражение, определяется по
таблицам Фо(-*0, так как X есть 100 ^-процентное уклонение
нормального закона: 2Ф0(Х)=1 — е.
Пусть относительно распределения генеральной
совокупности имеется какая-либо гипотеза. Проверка того, согласуется ли
эта гипотеза с опытными данными, содержащимися в выборке,
осуществляется с помощью критериев значимости и
критериев согласия.
Пусть Требуется статистически проверить гипотезу И0
о том, что данная выборка х1ч х^ ..., хп извлечена из
генеральной совокупности £ с функцией распределения F(x)
(которая точно известка);
Критерий х2, применяющийся для этой цели, состоит
в следующем. Все множество возможных значений £
разбивается на г непересекающихся частей 51э ^£2> • • • э Sr. Пусть
Ръ ..••■» Рг — вероятности попадания \ в этой части
соответственно (pi>0) (эти вероятности вычисляются через F(x)),
V/7/=l. Пусть vlf ..., vr —число выборочных значений,
г
попавших фактически в 5Х, ..., Sr соответственно, Vv/ = fl.
За меру уклонения распределения выборки Fn(x) от
гипотетического F(x) принимается величина
^ m jZj nPi
Если v,- рассматривать как случайные величины, то X2 будет
случайной величиной, которая при п -> со асимптотически
распределена по закону к2 с г-1 степеней свободы, т. е.
132
с плотностью kr-i(x). Зададимся теперь уровнем значимости е,
т. е.- вероятностью, столь малой, что событие с такой
вероятностью будем считать практически невозможным при одном
данцом испытании. Обычно е выражают в процентах:
Найдем по таблицам распределения х2 с г — 1 степенью
свободы такое значение хЬ чт0 ^{х2>Хв} =Р%- Далее вычислим
по имеющейся выборке значение
Если при |йЬрм окажется x2^>lh T0 такое уклонение
значимо, и мы £ р-проценщным уровнем значимости отвергаем
гипотезу //0 как не согласующуюся с опытными данными.
Если Шй вычисления дадут x2^xh T0 это значит, что данная
выборка согласуется с гипотезой Н0. На практике, разбивая
область значений £ на части 5Ь , Sn желательно, чтобы
выполнялось условие пр^Ю (/= 1, 2, ..., >).
Для проверки той же гипотезы //0, в особенности когда
распределение I не полностью неизвестно или даже полностью
неизвестно, применяется критерий А. N. Колмогорова. Пусть
Д,= sup \Fn(x)— F(x)\. Теорема Колмогорова утверждает,
-оо<ДГ<~
что при п -+ оо
10 при х^.0,
У <-.)V- . *>о.
Задаваясь уровнем значимости е=р%, мы по таблицам
функции К (х) находим значение хг так, чтобы
Вычислив теперь по имеющейся выборке |Л*£)Л, сравниваем
сто с хг и в случае \rn Dn > хг отвергаем, гипотезу N0.
В противном случае гипотеза принимается.
Для проверки гипотезы о гам, что две. выборки хи ..., л:/
й^, ..., ут извлечены из одной и той же генеральной
совокупности, применяется критерий Н. В. Смирнова. Пусть
F*i(x) и F*m (x) — функции распределения этих выборок. Тогда
теорема Смирнова утверждает, что величина
г I ~ m
133
Fi(x) — Fm (x) I при я->оо, имеет асимпто-
— оо<л;"<оо >
тической функцией распределения функцию К(х) критерия
Колмогорова; поэтому практическое применение критерия
Смирнова осуществляется так же, как и критерия Колмогорова.
Статистическое исследование наличия или отсутствия
зависимости между случайными величинами и выделение линейной
части этой зависимости производится с помощью выборочных
коэффициентов корреляции и регрессии, выборочного
уравнения линейной регрессии и оценки среднего квадратического
уклонения нелинейной составляющей изучаемой зависимости.
Пусть в результате осуществления эксперимента &
наблюдаются две величины 5 и г\. Тогда п независимых повторений
эксперимента S дадут нам п пар наблюденных значении
(хи Л)» • • •» (хт Уп)- При этом уй являются выборочными
значениями случайной величины % а х-ь может быть как
случайной, так и неслучайной переменной.
Выборочный корреляционный момент kxy величин £ и г\
определяется. формулой
1 = 1
Выборочный коэффициент корреляции rxv = —^-, где sx
и sy — статистические оценки стандартных уклонений
величин 5 И Y].
Выборочный коэффициент регрессии у\ по £: 4=Г^"Г=~Т'
Выборочное уравнение регрессии: у—у = 10(х — х).
Уклонение выборочного коэффициента корреляции от
истинного ре можно, в случае выборки из норь^льной
генеральной совокупности (?, у\), оценить подсчетом среднего
квадратического уклонения гху по формуле
1-г2
с *У
5г= г—
Положим С = -TQ — Xq — бэ где Х0 — истинный коэффициент
регрессии ^ по 5. Статистической оценкой £ будет z—y — l^x.
О степени уклонения зависимости, связывающей ч\ и 5, от
линейной судят по среднему квадратическому уклонению
величины С, т. е. по ас. За статистическую оценку ос принимают
з=(1-^)3-
Если с некоторым уровнем значимости окажется, что
уклонение выборочного коэффициента корреляции от нуля не
значимо, то мы можем принять гипотезу о некоррелированности
величин S и у\ и лишь для нормальных величин bt]- гипотезу
об их независимости.
134
ЗАДАЧИ К ГЛ. VIII
712. На каждую сотню деталей, изготавливаемых цехом, в
среднем бывают две не удовлетворяющих стандарту (брак).
Было проверено 10 партий по 100 изделий в каждой, и
отклонения числа обнаруженных бракованных изделий от среднего
приведены в следующей таблице:
№ партии
Отклонение от
среднего
1
— 1
2
0
3
1
4
1
5
—1
6
1
7
0
8
-2
9
2
10
1
Построить вариационный ряд, функцию распределения и
гистограмму выборки. Найти выборочное среднее уклонения
числа бракованных изделий в этой партии от установленного
предыдущими испытаниями и его выборочную дисперсию.
713. Измерена максимальная емкость 20 подстроечных
конденсаторов и результаты измерений (в пикофарадах)
приведены в следующей таблице:
1 №
конденсатора
Емкость
(в пф)
1
4,40
2
4,31
3
4,40
4
4,40
5
4,65
1
6 | 7
4,56
4,71
8
4,54
9
4,36
10
4,56
11
4,31
1 №
конденсатора
Емкость
| (в пф)
12
4,42
13
4,60
14
4,35
15
4,50
16
4,40
17
4,43
18
4,48
19
4,42
20
4,45
Найти выборочную среднюю емкость подстроечного
конденсатора из этой группы, выборочную дисперсию емкости и
ее несмещенную оценку.
714. Измерительным прибором, практически не имеющим
систематической ошибки, было сделано пять независимых
измерений некоторой величины. Результаты измерений даны в
следующей таблице:
№ измерения
X'l
1
2781
2
2836
3
2807
4
2763
5
'2858
а) Найти выборочную дисперсию ошибки измерения, если
измеряемая величина точно известна: 2800.
135
б) Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и ее
несмещенную оценку, если точное значение измеряемой
величины неизвестно.
715. В 1889—1890 гг. был измерен рост 1000 взрослых
мужчин (рабочих московских фабрик). Результаты измерений
указаны в Следующей таблице:
j Рост (в см) s
143-146
146-149
149—152
152-155
155—158
158-161
161 — 164
164—167
Число мужчин
1
2
8
26
65
120
' 181
201
Рост (в см)
167—170
170-173
173-176
176-179
179-182
182-185
185-188
Число мужчин
170
120
64
28
10
3
1
Всего . . . . 1000
Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию роста
мужчин, основываясь на данных этой таблицы.
716. Испытывалась чувствительность второго канала 40
телевизоров. Данные иапытаний указаны в следующей таблице,
где в первой строке даны интервалы чувствительности в
микровольтах, во второй — средние точки этих интервалов, в
третьей — число телевизоров пг-, чувствительность которых
оказалась в данном интервале.
Интервал
1 ftp
1 Щ
75-
125
100
0
125г-
-175
150
1
175-
-225
200
5
225—275
250
9
275-325
300
6
325-375
350
8
375-425
400
6
Интервал
| /ср
| nt
425—475
450
2
475-525
500
2
525-575
550
0
575-625
600
0
625-675
650
1
675-725
700
0
Построив функцию распределения и гистограмму выборки,
найти среднюю чувствительность телевизора из этой партии и
ее стандартное уклонение (без учета и с учетом поправок
Шепнарда).
136
717. В ОТК были измерены диаметры 200 валиков из
партии, изготовленной одним станком-автоматом, Отклонения
измеренных диаметров от номинала даны в следующей таблице
(в микронах):
Границы уклонений
Середины интервал
1 лов
Число валиков
—20-
-15
-17,5
7
-15-
—10
-12,5
И
-10-
—5
-7,5'
15
—5-
-0
-2,5
24
0—
+5
5—
10
+2,5 [+7,5
49
41
10-
15
12,5
26
15-
20
17,5
17
20-
25
22,5
7
25-1
30
27,5
3
Найти выборочное среднее, несмещенную оценку
дисперсии, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.
718. При сверлении отверстий одним и тем же сверлом и
последующем измерении диаметров получены следующие
данные (в мм):
40,25
40,37
40,33
. 40,28
40,29
40,41
40,35
40,28
40,29
40,27
40.35
40,35
40,41
40,30
40,33
40,40
40,34
40,46
40,39
40,38
1 40,45
40,44
40,35
40,40
40,31
40,33
40,34
40,32
40,39
40,37
40,35
40,35
40,30
.40,36
40,33
40,37
40,31
40,34
40,37
40,37
40,39
40,30
40,33
40,32 '
40,36
40,34
40,43
40,31
40,37
40,36
40,40
. 40,34
40,38
40,32
40,34
40,30
40,36
40,31
40,38
40,35
40,42
40,31
40,33
40,42
40,30
40,43
40,34
40,36
40,36
40,32
40,32
40,32
40,33
40,35
40,30
40,34
40,34
40,34
40,41
40,36
Найти выборочное среднее значение диаметра, его среднее
квадратическое уклонение, а) непосредственно используя
данные таблицы; б) разбив данные измерений на 7 интервалов
длины Л=0,02: (40,25—40,27; 40,28—40,30; 40,31—40,33; 40,34—
40,36; 40,37—40,39; 40,40—40,42; 40,43—40,45), все интервалы
считать замкнутыми, а в последний из них (40,43—40,45)
включить условно один результат измерений: 40,46. Найти среднее
квадратическое уклонение с такой группировкой без учета и с
учетом поправок Шеппарда.
719. Из партии стальных плашек (изготовленных заводом
«Фрезер») была сделана выборка объема 200 и" результаты
измерений толщййы «плашек подверглись группировке на
12 интервалов шириной в 2 мм и приведены в следующей
таблице, где в первой строке указаны середины интервалов
(Xi)y а во второй — число плашек (щ)у толщина которых
заключается в данном интервале:
137
Xi
nt
14,41 '
2
14,43
2
14,45
8
14,47
9
14,49
9
14,51
14
14,53
41
14,55
76
14,57
21
14,59
11
14,61
4
14,63
3
Найти выборочные среднее, дисперсию, коэффициент
асимметрии и коэффициент эксцесса распределения толщины
плашек.
72.0. 200 однотипных деталей после шлифовки были
подвергнуты контрольному измерению. Результаты измерений
приведены в следующей таблице, где в первой строке указаны
середины интервалов (шириной 0,1 мм), на которые разбит весь
размах выборки, а во второй — Количество результатов
измерений, попавших в данный интервал:
xt
n-i
3,7
1
3,8
22
3,9
40
4,0
79
4,1
27
4,2
26
4,3
4
4,4
1
Найти выборочные среднее, стандартное уклонение,
коэффициент асимметрии и эксцесса.
721. В ОТК (завод «Фрезер») была измерена глубина
паза двухсот плашек и результаты приведены в следующей
таблице (в мм):
I 2,4
2,6
2,7
2,5
2,5
2,8
2,8 -
2,5
2,6
2,6
2,7
2,4
2,4
2,5
2,1
2,6
2,5
2,5
2,3
2,2
2,4
2,7
2,5
2,4
2,6
2,4
2,4
2,4
2,6
2,6
2,5
2,5
2,3
2,5
2,6
2,7
2,3
2,5
2,8
2,6
2,5
2,6
2,4
2,7
2>6
2,5
2,9
2,4
2,7
2,5
2,7
2,6
2,6
2,8
2,6
2,7
2,4
2,6
2,6
2,6
2,4
2,8
2,5
2,4
2,4
2,4
2,6
2,5
2,2
2,6
2,1
2,6
2,4'
2.3
2,5
2,6
2,7
2,5
2,6
2,4
2,7
2,3
2,5
2,4
2,4
2,4
2,2
2,4
2,6
2,5
2,5
2,7
2,3
2,7
2,5
2,4
2,5
2,4
2,4
2,3
2,7
2,6
2,4
2,5
2,5
2,4
2,4
2,5
2,5
2,5
2,6
2,5
2,5
2,5
2,7
2,4
2,3
2,5
2,4
2,3
2,2
2,5 .
2,6
2,5
2,4
2,4
2,4
2,2
2,5
2,5
2.5
2,7
2,2
2,4
2,6
2,2
2,5
2,4
2,4
2,5
2,2
2,3
2,4
2,4
2,4
2,5
2,4
2,5
2,6
2,5
2,4
2,6
2,6
2,6
2,4
2,5
2,5
2,4
2,5
2,5
2,6
2.5
2,6
2,6
2,5
2,5
2,3
2,5
2,5
2,6
2,5
2,5
2,1
2,4
2,4
2,5
2,4
2,6
2,5
2,4
2,4
2,4
2,5
2,3
2,2
2,2
2,2
2,4
2,4
2,6
2,7
2,3
2,5
2,5
2,6
2,3
2,5
2,6
2,4
2,6
138
а) Найти выборочные среднее, стандартное уклонение,
коэффициенты асимметрии и эксцесса распределения глубины паза.
б) Сгруппировать приведенные в таблице результаты
измерений в четыре интервала шириной в 0,2 мм: (2,1—2,2);
(2,3—2,4); (2,5—2,6); (2,7—2,8), относя условно значение 2,9
в последний интервал. 'Найти стандартное уклонение без
учета и с учетом поправок Шеппарда.
722. Пользуясь данными задачи 717, оценить с надежностью
0,99 точность, с которой выборочное среднее аппроксимирует
математическое ожидание случайных уклонений диаметра
валика от его номинального размера.
Указание. Использовать асимптотическое нормальное
распределение х.
723. Из большой партии электролампочек было отобрано
в случайном порядке 400 штук для определения средней
продолжительности горения. Выборочная средняя
продолжительность горения лампочки оказалась равной 1220 ч. Найти с
вероятностью 0,9973 среднюю продолжительность горения
лампочки во всей партии, если среднее квадратическое уклонение
продолжительности горения равно 35 ч.
724. У 500 однотипных радиоламп была в заданных
условиях проверена сила анодного тока, причем у 150 из них она
оказалась выше гарантированной паспортом. Найти с
коэффициентом доверия 0,95 интервал, содержащий долю таких
радиоламп среди всех радиоламп данного типа.
725. Из большой партии некоторых изделий отобрано
наугад для контроля 500 штук, причем среди них оказалось
20 неудовлетворяющих стандарту (брак). Найти с
доверительным уровнем 0,05 (т. е. с надежностью 0,95) интервал,
содержащий процент брака во всей партии.
726. Каков должен быть минимальный объем выборки п
для того, чтобы с надежностью 0,98 точность оценки
математического ожидания т совокупности с помощью выборочного
среднего была 0,2, если стандартное уклонение генеральной
совокупности а=?'1,5?
727. Используя выборку, данную в таблице задачи 718, не
прибегая к группировке, найти точность оценки
математического ожидания т_ генеральной совокупности с помощью
выборочного среднего х с надежностью а) 0,9973; б) 0,95.
728. Для определения средней урожайности пшеницы на
площади 500 000 га производилось выборочно^ измерение
урожайности на 2500 га. Результаты измерений приведены в сле-
дующей таблице:
1 Урожайность
с 1 га (в ц)
Число гектаров
15—17-
100
17—19
300
19—21
500
21-23
700
23—25
600
25-27
300
139
Найти выборочную среднюю урожайность с гектара и
выборочную дисперсию урожайности (учитывая поправки Шеп-
парда). Найти вероятность того, что средняя урожайность с
500 000 га отклонится от средней «выборочной не более чем на
9 кг, считая выборку а) возвратной (а площадь посева
бесконечной) ; б) безвозвратной.
729. Для распределения генеральной совокупности задачи
713, считая ее нормальной, дисперсию совокупности о2, равной
ее несмещейной оценке М2 — n__l s2, найти наименьшее число
испытаний п так, чтобы точность оценки математического
ожидания т совокупности с помощью выборочного среднего х была
равна 0,01 с надежностью а) 0,99; б) 0,95; в) 0,90.
730. Из «партии однотипных высокоомных сопротивлений
отобрано для контроля 10 штук. Измерения дали следующие
отклонения от номинала (в килоомах):
№ сопротивления
Отклонение
1
+ 1
2
+3
3
—2
4
+2
5
+4
6
+2
7
+5
8
+3
9
-2
10
+4.
Найти выборочные среднее и дисперсию отклонения
фактической величины сопротивления от номинала 1в этой партии и
определить точность оценки математического ожидания этим
выборочным средним с надежностью 0,95 (воспользоваться
распределением Стьюдента).
731. Имеется выборка объема 12 из некоторой генеральной
совокупности:
№ члена
выборки
Наблюденное
значение
1
-0,5
2
1,2
3
0
4
0,8
5
Л2
6
—0,4
7
0,2
8
-0,2
9
1,5
10
0,6
11
-0,4
12
1,0
Найти выборочные среднее и дисперсию (несмещенную
оценку) и указать точность приближения математического
ожидания совокупности выборочным средним х с
надежностью 0,95.
Указание. Воспользоваться ^-распределением
Стьюдента.
732. Для выборки задачи 713: а) оценить точность оценки
математического ожидания т посредством среднего х с
надежностью 1) 0,99; 2) 0,95; 3) 0,90, используя асимптотическое
нормальное распределение х\ б) сделать те же с помощью рас*
пределения Стьюдента.
140
733. Считая,, что выборка задачи 717 извлечена из
нормальной генеральной совокупности, определить с надежностью 0,99
точность оценки дисперсии о2 генеральной совокупности с
помощью выборочной оценки дисперсии s2.
734. Считая, что выборка задачи 718 извлечена из'
нормальной генеральной совокупности, определить с надежностью
0,95 точность оценки дисперсии а2 генеральной' совокупности
с помощью выборочной дисперсии s2, пользуясь
асимптотическим нормальным распределением s2.
735. С помощью выборки задачи 715 найти точность
оценки математического ожидания и дисперсию роста мужчин
соответственно с помощью выборочного среднего х и
несмещенной оценки дисшерсии с надежностью а) 0,99; б) 0,90.
736. Считая, что выборка задачи 730 извлечена из
нормальной генеральной совокупности, определить с надежностью
0*95 точность оценки среднего квадратического уклонения а
совокупности с помощью выборочной оценки его
737. С помощью выборки задачи 713 найти доверительный
интервал для неизвестного среднего квадратического.
уклонения генеральной совокупности с надежностью а) 0,99; б) 0,95;
в) 0,90.
У к аза ни е: Использовать ^-распределение.
738. Пользуясь выборкой, приведенной в таблице задачи/21,
а) найти вероятность (надежность) того, что ошибка оценки
математического ожидания т генеральной совокупности по-"
средством выборочного среднего х не превосходит (по
абсолютной величине) 0,015; б) найти с надежностью 0,99
доверительный интервал для оценки среднего квадратического
уклонения а совокупности (пользуясь ^-распределением).
739. Доказать, что если r\=g(xu x2y ..., хп) есть
состоятельная выборочная оценка параметра у генеральной
совокупности, a f(x)—непрерывная функция (в области значений rj),
то f (ц) есть состоятельная оценка f(y).
740. Уровни воды в реке по отношению к номиналу
измерялись в течение 44 весенних паводков, и данные измерений
приведены в следующей таблице:
Уровень
{в-см)
Число случаев
0—24
0
25-49
1
50—74
3
75-99
6
100-124
7
125-149
6
141
Уровень
(в см)
Число
случаев
150-174
5
175-199
4.
200-300
8
300-400
4
>400
0
Считая, что высота уровня 6 распределена по закону х2 с
kaJt~^xae~kx
плотностью /(■*;) = г(д I n (*^0)» c помощью метода
моментов найти оценки параметров а и k этого распределения.
(Использовать среднее и дисперсию.)
741. Осуществлены две серии из п\ и п2 независимых
испытаний, причем в первой серии событие А произошло т\ раз, а
во второй серии — тч раз. Найти оценку максимального
правдоподобия для неизвестной вероятности р события А в каждом
испытании (считая эту вероятность одной и той же постоянной
в обеих сериях).
742. Методом моментов и методом максимального
правдоподобия найти оценку параметра К распределения Пуассона
по выборке объема п:хъ х2> ..., хп и доказать несмещенность
и эффективность этой оценки.
743. При нейтронной бомбардировке ядер урана
начинается расщепление ядра, при котором ядро урана распадается на
две части различного рода; в камере Вильсона это явление
обнаруживается в виде двух траекторий, исходящих из одной
точки. Эти траектории вскоре разделяются на несколько ветвей,
получающихся от столкновения частиц с молекулами газа в
камере. Обозначим "через | число ветвей в одной из этих
траекторий. Можно показать, что эта случайная величина имеет так
называемое «двойное» распределение Пуассона, т. е.
p{t = k}=±-.^e-x> + ±-.^-e-x\ k = 0, 1,2,...;
Xi и %2 — некоторые положительные постоянные (Aa<ta).
Наблюдались траектории 327 частиц (в Дании в 1940 г.),
количества ветвей в них указаны в следующей таблице:
k
"к
0
28
1
47
2
81
3
67
4
53
5
24
6
13
7
8
8
3
9
2
ю
1
(nh — число траекторий, имевших k ветвей). Основываясь на
этих эмпирических данных, с помощью метода моментов
найти статистические оценки параметров %\ и %2-
744. Из распределения Коши с плотностью/ (х) = тсм + (* — Я
извлечена выборка объема п.
142
а) Будет ли выборочное среднее х состоятельной оценкой
медианы-моды [х этого распределения?
б) Пусть имеется какая-нибудь состоятельная и
несмещенная оценка т медианы \х (например, выборочная медиана).
Указать нижнюю границу объема выборки п для того, чтобы
дисперсия этой оценки не превосходила 0,01.
745. Из генеральной совокупности, распределенной по
биномиальному закону:
$ = 0, 1,2 т; Р {l = k} = Pm(k) = Chmpk (1-/>)-*
извлечена выборка объема п\х^ х2, ... , хп. Найти методом
моментов и методом максимального правдоподобия
статистическую оценку неизвестного параметра р и показать, что это
будет несмещенная и эффективная оценка.
746. Имеется выборка объема п из распределения
величины '£. Известно, что плотность I имеет вид
где g(x) — некоторая дифференцируемая функция с областью
значений (— оо, оо) и какой-либо областью существования 2
(распределение Кэптейна). Параметр а этого распределения
известен, а с помощью выборки требуется оценить параметр а.
Доказать, что эффективной оценкой для а будет g = g(xi)=^
п
= — \,g(Xi), где xt — выборочные значения 5.
i=i
747. В условиях предыдущей задачи (т. е. при наличии
выборки из распределения Кэптейна) параметр а известен, а
о2 подлежит оценке. Доказать, что несмещенной и эффектив-
п
ной оценкой о2 является z = — \\ [g(xt) — а]2, где xt — вы-
i=i
борочные значения £.
748. В условиях предыдущей задачи оценке подлежит не
о2, а о. Показать, что нижней границей дисперсий несмещен-
* °2
ных оценок для о будет-т^-.
749. Найти оценку максимального правдоподобия для
параметра а распределения Кэптейна (см. задачу 746).
750. Имеется выборка объема п :х1у хъ ... , хп из
генеральной совокупности, распределенной по закону х2 с неизвестным
параметром а, т. е. с плотностью/ {х) = —jtt-ч {х > 0).
а) Найти с помощью метода максимального
правдоподобия оценку параметра а.
143
б) Показать, что эта оценка обладает положительным
смещением.
в) Устранить смещение и показать, что получаемая таким
образом оценка не будет эффективной, но асимптотически
эффективна.
751. На плоской фольге в неизвестной точке находится
источник радиоактивного излучения, посылающий лучи
равномерно по всем направлениям пространства. Параллельно
фольге на расстоянии 1 имеется экран, на котором наблюдаются
вспышки, вызываемые радиоактивным излучением. Требуется
iio местам вспышек на экране определить положение
источника излучения на фольге.
Указание. Плоскость экрана принять за координатную
плоскость хоу, ось oz направить к фольге и рассмотреть
оценку какой-нибудь одной координаты точки; используя
метод максимального правдоподобия, написать уравнение
правдоподобия и рассмотреть случай п=2.
752. Выборка объема п извлечена из распределения Лап-
|*-*ч
ласа с плотностью f(x) = -^-е а , — оо < х < со. Найти
оценки максимального правдоподобия для параметров а и ц.
753. Из распределения с плотностью f(x) =—-( -цг-,
— б^дг^б, извлечена выборка объема п :(хъ .х2, ... , хп).
Найти оценку максимального правдоподобия для параметра 6.
754. Из нормальной генеральной совокупности сделана
выборка объема п:х19 х2, ... , хп. Статистической оценке
подлежит стандартное уклонение о генеральной совокупности.
В качестве оценок предлагаются две величины: s1 = \/rM2 и s\
где sl
, лПГ '("'). ._
^■^ «)Л2<--=к
Si=Vm2 =
а) Будут ли эти оценки эффективными?
0) Какая из них лучше (в смысле эффективности) при
малых значениях объема выборки п>
755. выборка объема п: (хи х2у ..., хп) извлечена из
равномерного распределения на отрезке [а, 6]. Известна длина
этого отрезка: Ь—а=А, но неизвестна середина интервала с= ^у- ;
в качестве статистической оценки середины интервала предла-
144
гается среднее арифметическое экстремальных значений
выборки (крайних членов вариационного ряда)
С= 2 > ГДе £ = min*/' ^ = maxA:/> *"=1» 2, ,... , Л.
а) Будет ли эта оценка: 1) несмещенной; 2) состоятельной*
б) Исследовать эффективность этой оценки.
Указание. Воспользоваться распределением крайних
членов выборки и их совместным распределением из
задачи 402.
756. Из равномерного распределения извлечена выборка
объема п: xh х2 ..., хп. В качестве статистической оценки
длины интервала Ъ—а предлагается широта выборки х\—£, где
т] = max хи I = min xh i = 1, 2, ... , n.
Будет ли эта оценка а) несмещенной; б) состоятельной;
в) эффективной (см. предыдущую задачу)?
757. Из распределения с плотностью f(x) = ea~~x, x>ol
извлечена выборка объема п: хъ лг2, ... , хп. Для оценки
неизвестного параметра а предлагается
a = minxh / = 1, 2, ... , п. I
а) Будет ли эта оценка несмещенной?
б) Найти несмещенную оценку а.
в) Будет ли эта оценка состоятельной?
г) Будет ли эта оценка эффективной?
758. Из генеральной совокупности, распределенной по
нормальному закону с параметрами (0, <х), извлечена выборка
объема дг=3 и построен вариационный ряд: X\^x2<<Xz. Пусть
параметр о известен. Доказать, что среднее взвешенное z=
= сх\ + (1 — 2с) х2+схг будет наилучшей статистической
оценкой (несмещенной и эффективной) лишь при с= у, т. е. когда
она превращается в выборочное среднее х.
Указание. Найти MZ и DZ\ воспользоваться решением
задачи 402.
759. При 4040 бросаниях монеты Бюффон получил vi=2048
выпадений герба и п—vi=V2=1992 выпадений решетки. Совме-*
стимо ли это с гипотезой о том, что монета правильная и
существует постоянная вероятность Р=^ выпадания герба?
(Воспользоваться критерием %2.)
760. Часы, выставленные в витринах часовых магазинов,
показывают случайное время. Высказывается естественная
гипотеза, что показания этих часов в витринах большого числа
магазинов распределены равномерно в интервале (0,12).
Наблюдения 500 витрин 500 магазинов дали следующую выборку
Ю Зак.411
145
(Aitken A. C. Statistical Mathematics, 1900), где весь
интервал (0,12) разбит на 12 часовых интервалов:
Час
Число выборочных
значений
0
41
1
34
2
54
3
39
4
49
5
45
6
41
7
33
8
9
37 41
10
47
11
39
Согласуются ли эти данные с гипотезой? (Воснользоваться
критерием %2 с 5%-ным и 10%-ным доверительными уровнями.)
761. В течение второй мировой войны на Лондон упало
537 самолетов-снарядов. Вся территория Лондона была
разделена на 576 участков площадью по -т- кв- км- В таблице,
приводимой ниже, указаны числа участков v*, на которые упало tii
снарядов.
v'
nv
0
229
1
211
2
93
3
35
4
7
5 и больше
1
С помощью критерия %2 проверить, согласуются ли эти
данные с гипотезой о том, что числа снарядов распределены по
закону Пуассона с параметром А,, за значение которого принять
выборочное среднее.
762. При снятии показаний измерительного прибора
десятые доли деления шкалы прибора оцениваются на глаз
наблюдателем. В нижеследующей таблице приведены количества
цифр, записанных наблюдателем в качестве десятых долей при
двухстах независимых измерениях.
Цифры
V/
0
35
1
16
2
15
3
17
4
17
5
19
6
11
7
16
8
30
9
24
Проверить, согласуются ли эти данные с гипотезой о том,
что каждая цифра при этом могла появиться с равной
вероятностью.
763. Н. Хольмбергом наблюдалось распределение красных
кровяных шариков по 169 отделениям прибора гемацитометра;
числа Vi отделений, содержащих по П{ красных кровяных
шариков, указаны в следующей таблице:
v*
n-i
4
1
5
3
6
5
7
8
8
13
9
14
ш.
15
11
15
12
21
146
-'I
n-i
13
18
14
!7
15
16
16
9
17
6
18
3
19
2
20
2
21 1
1
Найти среднее значение числа красных кровяных шариков
в одном отделении и, приняв его за параметр X распределения
Пуассона, проверить с помощью критерия х2 с 5%-ным
уровнем значимости гипотезу о том, что выборка согласуется с
указанным распределением Пуассона. (Объединить первые 4
отделения в одну группу и последние 5 отделений так же в одну
группу.)
764. Резерфордом и Гейгером в течение 2608 периодов по
7,5 сек подсчитывалось число а-частиц, излучаемых некоторым
объектом. Числа v* периодов, в течение каждого из которых
наблюдалось пг- а-частиц, приведены в следующей таблице:
щ
^1
0
57
1
203
2
383
3
525
4
532
5
408
6
273
7
139
8
45
9
27
10
10
И
4
12
2
а) Найти выборочное среднее х.
б) Проверить с помощью критерия х2 гипотезу о том, что
число а-частиц, излучаемых в течение промежутка времени
7,5 сек, подчиняется закону Пуассона с параметром Я, за
статистическую оценку которого принять х. Данные последних трех
столбцов сгруппировать в один (с 16 наблюденными а-части-
цами) и задаться • 5%-ным уровнем значимости.
Ввиду отсутствия в учебной литературе таблиц
распределения Пуассона с значением Я, получающимся в этой задаче,
здесь приводится таблица вероятностей pi попадания
случайной величины, распределенной по указанному закону в каждый
из интервалов, на которые разбита выборка задачи:
n-i
Pi
0
0,02086
1
0,08072
2
0,15620
3
0,20149
4
0,19494
5
0,15089
Щ
Pi
6
0,09732
7
0,05380
8
0,02603
9
0,01119
10
0,00655
765. Выборка в 50 электроламп завода А показала среднюю
продолжительность работы 1282 ч с средним квадратическим
10*
147
уклонением 80 ч, а такая же выборка того же типа ламп с
завода В—1208 ч с средним квадратическим уклонением 94 ч.
Проверить гипотезу о том, что средний срок службы лампы с обоих
заводов одинаков. (Воспользоваться асимптотическим
нормальным расцределением средних.)
766. На одном и том же станке изготовлена партия
однотипных деталей. Измерения показали, что отклонения некоторой
характеристики детали от номинала составляют в среднем
18 ж/с, причём имеются все основания считать, что уклонение
распределено по нормальному закону. После этих измерений
в целях уменьшения отмеченных уклонений применена
дополнительная операция и затем сделана выборка объема 20, где
среднее уклонение оказалось равным 14 ж/с, а его среднее квад-
ратическое уклонение 5=4,5 ж/с. Проверить гипотезу о том, что
эта дополнительная операция несущественно влияет на
величину уклонений, и, значит, отклонение среднего есть результат
случайных флуктуации.
Указание. Воспользоваться ^-распределением Стью-
дента.
767. При обработке втулок на станке-автомате было
отобрано две пробы по 10 штук деталей в каждой. Результаты
измерения диаметров этих втулок в порядке обработки
указаны в следующей таблице:
№ деталей
Проба 1
Проба 2
1
2,066
2,063
2
2,063
2,060
3
2,068
2,057
4
2,060
2,056
5
2,067
2,059
№ деталей
Проба 1
Про^ба 2
6
2,063
2,058
7
2,059
2,062
8
- 2,062
2,059
9
' 2,062
2,059
v 10
2,060
2,057
Распределение диаметров предполагается нормальным; так
как обе выборки извлечены из продукции одного и того же
станка, то можно считать, что дисперсии обеих выборок равны:
Oi = 02. Проверить гипотезу о том, что средние генеральной
совокупности в моменты выбора обеих проб равны, т. е. что
режим работы станк;а от пробы к пробе не изменился.
Указание. Использовать ^-распределение.
768. С помощью критерия %2 и критерия Колмогорова
проверить гипотезу о том, что распределение задачи 716 — нор-
Д48
Мальное с параметрами х и 5. (Объединить выборочные
данные в группы, содержащие не менее чем по 5 значений.)
769. На протяжении двух суток в* течение одного и того же
часа в каждые сутки радиоприемник, настроенный на
определенную частоту и снабженный специальным устройством,
автоматически регистрировал моменты, когда уровень помехи
превышал уровень сигнала корреспондента (событие А).
Приемник включался в течение каждого часа 120 раз. В
течение первого часа событие А произошло 8 раз, в течение
второго— 11 раз. Проверить гипотезу о том, что вероятность
превышения уровня сигнала помехой не изменилась за протекшие
сутки. (Использовать критерий %2 и оценку неизвестной
вероятности из задачи 756.) \
770. Проверить с помощью критерия Колмогорова рипотезу
о том, что выборка объема 200 задачи 721 извлечена из
нормальной генеральной совокупности. За параметры
гипотетического нормального закона принять их выборочные оценки: а=
771. Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу
о том, что выборка задачи 718 извлечена из генеральной
совокупности, равномерно распределенной на интервале (40,238;
40,462).
772. Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу
о том, что выборка задачи 718 извлечена из нормальной
генеральной совокупности с математическим ожиданием и
стандартным уклонением, равными соответственно выборочному
среднему и выборочной оценке среднего квадратического
уклонения.
, 773. Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу
о том, что выборка из продукции 1-го станка задачи 775
извлечена из генеральной совокупности, равномерно
распределенной на интервале (13,94; 14,74).
774. Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу
о том, что выборка предыдущей задали извлечена из
нормальной генеральной совокупности с параметрами, равными
выборочному среднему х и выборочному стандартному уклонению s.
775. Из продукции двух станков извлечены две выборки по
60 изделий, и результаты измерения одного из размеров
деталей приведены в таблице (в мм). (См. стр. 150.)
Проверить гипотезу о том, что обе эти выборки извлечены
из одной и той же генеральной совокупности, ъ е. что оба
станка дают одинаковое распределение уклонений размеров
деталей. Указание. Воспользоваться критерием согласия
Н. В. Смирнова. А
776. В условиях задачи 431 построить критерий значимости
для решения вопроса о том, является ли значение хи
полученное с помощью системы I, точным (*i = m), или расхождение
149
1 с
1 с
2
1
2
з
4
5
6
7
3
^
10
11
12
13
14
15
*
1 о
и
эЯ та
i Н
г-н О
14,58
14,35
14,33
14,54
14,24
14,42
14,58
14,47
14,54
14,24
14,38
14,70
14,47
14,49
14,28
*
о
я
« со
CM CJ
14,50
14,35
14,69
14,60
14,54
14,42
14,68 1
14,54
14,55
14,33
14,56
14,36
14,36
14,15
14,48
с
с
1 ё
16
17
18
19
20
21
22
23
24 1
25
26
27
28
29
30
*
о
я
5S СО
14,47
13,95
14,18
14,66
14,35
14,50
14,69
14,54
14,48,
14,36
14,50
14,43
14,46
14,56
14,48
а
1 о
я
эЯ со
i Н
<М CJ
14,46
14,36
14,38
14,40
14,38
14,35
14,16
14,51
14,50
14,50
14,48
14,53
14,25
14,48
14,36
с
с
I s
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
а
о
я
5S СО
I Н
14,43
14,56
14,34
14,38
14,56
14,32
14,41
14,14
14,29
14,31
14,30 1
14,28
14,51
14,37
14,14
*
о
я
| эд та
I Н
сч о
14,53
14,23
14,55
14,51
14,25
14,11
Н,44
14,51
14,55
14,24
14,31 |
14,46
14,36
14,39
14,30
' с
с
£
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58 j
59
60
а
о
я
эя та
i Н
14,42
14,36
14,28
14,20
14,48
14,66
14,64
14,73
14,43
14,28
14,64
14,72
14,35
14,60,
14,46
*
о
я
эЯ та
i Н
см о
14,30
14,38
14,55
14,36
14,24
14,23
14,16
14,17
14,37
14,38
14,46
14,12
14,28
14,23
14,38
его с х2, найденным с помощью системы II, столь существенно,
что следует считать Х\фт.
777. При 296, пробах руды Каданского рудника были
получены следующие данные о процентном содержании в руде
свинца и серебра.
Содержание
серебра в руде
(в %)
0- 4
4- 8
8-12
12—16
16-20
20-24
24-28
28-32
32—36
36-40
Содержание свинца в руде (в %)
0-5
119
9
1
5—10
9
59
4
10-15
7
28
8
1
15-20
3
12
6
1
20—25
4
7
1
25—30|30—35
1
8
2
1
3
1
3
35-40
2
40-45J
1
1
а) Найти выборочный коэффициент корреляции
процентного содержания серебра (ц) и свинца (g) в руде и выборочный
коэффициент регрессии т) по g; написать выборочное уравнение
линии регрессии т) по g.
б)' Оценить среднее квадратическое уклонение
коэффициента корреляции т) и |; охарактеризовать связь между ц и |.
778. На заводе «Азовсталь» производились измерения
содержания кремния (в %) в предельном чугуне при различных
150
температурах шлака. Данные этих измерений приведены в
следующей таблице:
t° с
Si %
1330
0,27
1340
0,42
1345
0,32
1365
0,28
1375
0,37
1380
0,38
1385
0,40
1390
0,51
t° С
Si %
1395
0,40
1400
0,52
1405
0,33
1410
0,44
1415
0,52
1420
0,47
1425
0,53
1430
0,43
f С
Si %
1440
0,55
1445
0,65
1450
' 0,92
1455
0,70
1460
0,80
1470
0,90
1475
1,68
1480
1,45
1485
1,80
Найти выборочный коэффициент корреляции содержания
кремния (;т)) и температуры шлака (£); можно ли считать эту
зависимость линейной?
779. Произведено 60 испытаний крепости волокна хлопка в
зависимости от его толщины. Данные этих испытаний
приведены в следующей таблице, где х обозначает некоторую
условную величину, обратно пропорциональную толщине волокна
(«номер» волокна), а у — предельную нагрузку в граммах:
У
6,75
6,25
5,75
5,25
4,75
4,25
3,75
X
4100
\ 1
4300 | 4500
1
2
1
3
2
3
5
2
4700
1
4
7
5
4900 | 5100
2
1
5
1
3
1
3
2
5300
2
2 .
5500 1
1
Найти выборочный коэффициент корреляции величин х и у
и оценить его среднее квадратическое уклонение. Написать
выборочное уравнение линейной регрессии у по х и
охарактеризовать зависимость у от х.
780. Средняя температура в г. Саратове (х) и в г.
Алатыре (Чувашек. АССР) (у) измерялась в течение 13 лет и
данные приведены в следующей таблице:
151
Год
X
У
1891
—19,2
—21.8
1892
—14,8
-15,4 .
1893
-19,6
1894
-1Ы
-20,8 | -11,3
1. 1
1895
-9,4
-11,6
1896
-16,9
-19,2
1897
—13,7
-13,0
1 Год
X
У
1899
-4,9
i
-7,4
1911
—13,9
-15,1
1912
— 9,4
—14,4
1913
- 8,3
-ПД
-а
1914,
- 7,9
-10,5
1915
—5,3
-7,2 1
Найти выборочный коэффициент корреляции средних
январских температур <в Саратове и Алатыре, написать
выборочное уравнение линейной регрессии у по х и оценить характер
связи у с х.
781. Средняя температура июня в г. Москве (х) и
Ярославле (у) измерялась в течение 40 лет и данные приведены в
следующей таблице:
1 ■*
1 12,0
12,0
12,0
12,0
12,8
13,8
13,1
13,0
У
10,8
11,3
12,0
13,0
10,9
10,0
11,5
13,0
X
13,9
14,2
14,0
14,0
13,9
15,0
14,9
14,9
У
10,1 1
10,0
10,0
12,0
12,4
11,0
13,0
14.2
X
1 15,0
15,0
15,5
15,9
16,0
15,9
16,0
16,9
" У
13,8
16,0
13,9
14,7
13,0
15,0
16,0
12,9
X
17,2
16,9
16,9
17,0
16,8
17,5
18,0
18,0
У
13,9
14,8
15,0
16,0
17,0
16,0
14,0
14,8
X
18,1
18,4
19,2
19,3
20,0
20,1
14,0
14,0
1 У 1
16,0 1
17,8
15,0
16,1
17,0
17,7
14,8
15,2
Найти выборочные средние июньские температуры в
Москве «.Ярославле и их средние 'квадратические уклонения.
С помощью критерия Колмогорова проверить согласие
опытных данных с гипотезой о нормальности распределения
средних июньских температур. Найти выборочный коэффициент
корреляции х и у, написать выборочное уравнение линейной
регрессии у «по х. Охарактеризовать зависимость у и х.
782. У 117 телевизоров измерялась чувствительность видео*
и звукового каналов первой программы, и данные измерений
(в микровольтах) приведены в следующей таблице, где в
каждой паре чисел, разделенных тире, первое — чувствительность
видеоканала, а второе — чувствительность звукового канала
каждого телевизора.
152
590-120
440-170
480- 60
180-520
90—420
220-120
530—160 «
360-150
360-^150
440-150
300—200
600—175
420-170
400—150
405-145
680-130
550-170
420—100
• 315— 72
330-225
170—350
300-140
450— 90
480— 80
380-180
420-175
450-144
370-150
360-270
500-120
540—180
540—225
405-150
385—140
430—100
540-225
340—190
320-160
500-110
410-280
300-290
240—100
82—400
190-250
450—250
315-160
320-140
470—150
450—140
435—215
360- 90
515-200
540—160
,540—260
420—140
280—150
440-120
540-325
540—180
430—270
560—420
300-300
225-300
500—560
430—400
540—225
. 580-175
400-120
340—140
515-163
550-110
340-130
590—225
560—245
450-150
600-220
500—160
600-195
310-160
420-194
90—430
300-200
300— 90
320-130
450—190
415-112
360—180
460—100
250-240
300—135
320-120
360—160
400-125
300-140
360-150
590-270
300-200 •
450-180
390—100
450—160
420—100
170-280
180—540
450-110
480—100.
450—160
420—200
435—150
540-260
330-150
390—205
420—150
560-335
,450-260
480—160
510-150
390-190
Найти среднюю чувствительность видео- и звукового
каналов телевизоров, среднее квадратическое уклонение
чувствительности каждого из каналов и выборочный коэффициент
корреляции чувствительности обоих каналов. Определить с
надежностью 0,95 точность выборочных оценок средних и стан-,
дартных уклонений чувствительности обоих каналов й их
коэффициента корреляции. (Эта задача требует использования
какой-либо счетной машины, хотя бы арифмометра.)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1. АВ — событие, состоящее в том, что „на одной из
костей выпала единица, а на второй — четное число очков";
А -\-В—„либо сумма выпавших очков будет нечетна, либо на
одной из костей выпадет единица, а на другой — нечетное
число"; АВ—„выпадет нечетная сумма очков, не меньшая
пяти".
2. а) АВС—„оба супруга старше 30 лет, причем муж
старше жены", А — АВ= пА, но не А5", т. е. „мужу больше
30 лет, но он не старше своей жены", АВС— „оба супруга
старше 30 лет, причем муж не старше своей жены";
б) АС — совмещение событий „мужу больше 30 лет" и
„жене не больше 30 лет", следовательно, муж старше жены —
В, т. е. ACjzB. _
3. а) АВС; б) АВС; в) АВС^т) А+_В + С;_д) АВ+_АС + ВС;
е) АВС + ВЛС + СВА; ж) АВС + АСВ + ВСА; з) АВС; и) (А +
+ B + Q-ABC.
4. а) А а ВС, т. е. ВС происходит всякий раз, как
происходит А1;
б) В а А и С а А, т. е. каждый раз, как только
происходит В или С, происходит также и А.
5.а) {А + В){В-\-С)=АВ + АС + ВБ+ВС =
= (А + В + С)В + АС = В + АС; _ _
6)_{А + В)(А+В) = АА + АВ + АВ + ВВ = А, так как
ВВ= V— невозможное событие, АА^=А, АВ-\-_АВ =
= А(5 + Б) = А, A+V=A; в) (А+£) (А + Я)(А + Я) =
= А(А + В)=АВ.
6. а) АВ — событие, состоящее в том, что не произойдет ни
А, ни В; его отрицание, т. е. АВ есть событие, состоящее
в том, что произойдет хотя бы одно из А и Б, т. е. АВ=А + В;
154
или
б), в), г) — проверяется аналогично.
7. Легко проверить, что первые три события попарно
несовместимы, сумма их равна i/.
8. а) АВ = В; б) А + В = АВ = ВА = В; в) ABC= ВС;
г) А + В + С = В + С._ _ _ _
9. а) (А + В)(А + В)+(А + В){А + В)= A + A = U -
достоверно; б) достоверно.
10. (А + В)(А+~Б)[А + В) (А + В) = A~A=V- невозможно.
11. Так как (А + В)(А-\-В)(А + 5) = АВ, то требуется
совместимость А и 5.
12. а) да; б) и в) — вообще говоря, нет.
13. а) Р(АВ) = Р{А + В)= i - р (А + В) = 1 - Р (А) —
-Р(В) + Р(АВ);
б) Р(АВ) = Р(А)Р(В\А) = Р(В)Р(А\В)
P±A){l-p(B\A)}~P(B){l-p(A\B)}, откуда Р(А) +
+ Р {ВА) = Р(В)-\-Р {АВ).
14. а) Р(А) = -~ = 0,3; б) 0,7.
14 „ — 53
16.^ = ^ = 0,25.
17. /? > 0,996.
18. а) Р=-^; б)р = ^.
19. Число всех различных троек карт в колоде я = С52.
Число троек, семерок и тузов — по четыре, т. е. число благо-
64
нриятствующих исходов /и=4-4-4=64, следовательно, р=—^ =
= =58 = 0,0029.
?li** о 1
20'Р = Ж = 12-
21.p = |i = 0,4.
22. Всех различных разбиений колоды пополам будет
л=С52. Из 26 красных карт существует Сгб различных
комбинаций по 13 карт, каждой из них можно поставить в
соответствие любую из такого же числа комбинаций по 13 черных
карт, поэтому всех благоприятствующих комбинаций будет
™ (гЩ* „ « п (с2б)2 (261)* _ А 00
/гс = (С2б] , т. е. ^ = -^= ^ ^0,22.
С| — (13!)4.52!
155
23. /гс = 7 + 5 + 8 + 9 + 4 + 2 = 35, л = 360, p = ^ = -L.
24. Вероятность того, что первой буквой окажется „Ktt,
равна -g-, что вторая буква будет „А"—j~, и т. д., т. е.
п—JL—-L
Р ~ 5! — 120 *
25#/7 = 360-
26. Всех номеров л=105 (считаем, что номера 00000 "и
99 999 возможны); число номеров с различными цифрами
т=Ак т. е. /; = -i^ = 0,3024.
27 p-±--L'
*'• У— б4 —1296 *
28. -|-.
29 ^ — 31212!_
лл ч б 1 ^ч 30 5
30. а) р = ж = —; б)9 = _ = _.
о* ч 27 1 25
61. a) /7u==-g3-=-^- и A2 = 2i6 ;
_ _ 1 + 3 + 6 + Ю+15 + 21+25 + 27 _ 1
°) Z7— р — 2 *
32. а) А= 0 ^—; б) /72 = —^о- = 323 = 0,428.
С20 U20
4
33. р = 1-Р(п4 не туза")=1--4-=1-|?|^0,43.
с32
34. Всех выборов Сз°; с восьмью кар{ами данной масти
возможны С24 разных выборов двух карт других мастей, т. е„
4,С2^4_ 1
Р— rio — 58435 *
35- Р— W — 2l6-
36. При данном выборе места одним лицом другое может
занять п — 1 остальных мест, из которых два — соседние
2
с первым, следовательно, р = ^—-j .
37. а) Я(6>25 руб.) = 0,04; б) Я(6<25 руб.) = 0,99.
38. /?=1-^-^0,58.
Иоо
Г2 Г1. Г1 1 1
39./7 = ^-1-г--з--Т = -5"-
и20 с20
156
40. р= ^"-м .
41. 0,5.
42 „—^1=325^039
45./7=1 Cm
г2
(Вычитаемое есть вероятность того, что оба изделия
первого сорта.)
46. Вероятность того, что среди шести карт нет пик, равна
39 ±.
-g-, такова же вероятность отсутствия карт любой другой фикси-
рованнои масти, следовательно, вероятность того, что среди
> г6
39
шести карт нет какой-либо масти, равна 4--g-, вероятность
^26
того, что нет двух данных мастей, равна ■—g-, что нет трех
^52
Л С13 ! 4#С39 , 6#С26 4,С13
мастей --g-, т. е. р=\- —^- + —г-. г*-.
^52 с52 с52 и52
47. Разбивая 15 человек на 5 троек, первую тройку можно
выбрать С?5 способами, вторую С?2, и т. д., т. е. всех
группировок на 5 троек существует С\ъСп(Лс1с1 = тш-
Аналогично рассуждая, находим, что имеется' всего Cw-dl-Cl-Cbcl
группировок 10 женщин на 5 групп по две, каждой из
которых можно сопоставить любую из 5 перестановок 5 мужчин,
т &
10151(31)5 _ 81
Р~ 25151 1001 •
48. Вероятность выбрать одно число меньше k равна—-^— ,
после этого вероятность выбрать число больше k равна jfzr\»
а так как возможна перестановка этих событий, то
п —о (*-!)(*-*)
Р~А л(л-1) •
49. р = |^^0,0055.
157
™' p — n1!/z2!...nfi!.6rt
"6i
-, ч _ 9! ^ _ 9!
di. a; /?— (3!)з39 ; о) Р— 4i3i2!39
fljlrta! ... л6!6л
/iw+ 2л2 + Зл3 + ... + 6rte=S
52. a) JL ; б) ■£ ; в) ^]
л»,+ 2л2 + Зл3 + .
63. а)Л = £, где«=[^]; 6>Л = £,
r2 r2N—2
в) Р = ~7Ш •
°4ЛГ-4
55. Число способов захватить k шаров из п равно Сл;
число групп с нечетным числом шаров Ап = С\-\-С\-\- ...;
число групп с четным числом шаров £п = Сл-|-С«4~ ... ;
Ап - Вп= 1 - (1 — \)п= 1, Т. е. А,ечетн =
у //четн —
Ск
"Лн-Вп*^4""-Лц + Д.
56. a) pk = т—^{{Сх-кТ — Cu-k (Cn-h-i)™ +
+ Сдг-fe (См-к-2) — ... ) >'
б) полагая в этой формуле & = 0, получим вероятность,
что все билеты появятся:
=«--('-*)"+£arJ,(«-*)"0-*Sr,)
1
57. Сл|_1 способами выберем хи х2, ... , x^-i и С^-м спо-
собами — остальные *£, поэтому/7 = -
С/я—1 г>п—т
CO /^л гЛ /-л—1 /^»т—1/^л—m+1
Об. // -j- -р... -р
СЛ ' /^Л • * * I />й
-М-
1 Ж"1 /-* s>tl—k
=~с%2и м N~A
59. Всех последовательностей шаров имеется Nn.
Последовательностей шаров, расположенных в неубывающем порядке
номеров и содержащих на т-ы месте номер Af, будет
158
со и 48 44 40 52-4(m-l) л ^ 1
в2-* = -5Г50'49 ••• 52-m+l » И3 УРОВНЯ 1 —-^ >-g"
iVf""1 {Л/'— Ж + 1}л"/я, так как /га—1 шаров с номерами, не
превышающими Ж, можно выбрать Ж*1-1 способами, хт~М —
одним способом и шаров с номерами, большими Mm~l (N—
-М+\)п'т способами, т. е. Р1(хт=М) = —-l{N-^M+\)n-m ^
где при подсчете не учитывалось, что шар в неубывающей
последовательности мог оказаться 1-м, 2-м, ..., я-м в порядке
вынимания, поэтому вероятность Рх нужно умножить на п;
кроме того, т— 1 шаров, номера которых меньше М в
неубывающей последовательности, могли фактически появиться
С™1\ способами в смысле очередности, поэтому окончательно
имеем '
p = nCn-i(1T) ^1 3v—У "лг-
60. а) 1 ~(-|-Г>0,5, я>4; б) я>9; в) п> 13.
61. /7^0,99978.
41
51
находим /га = 6.
64 д> 1и(1-г)
б5./,=4-+-г-4-4=°.75-
66. рп = 0,05+0,95 -0,05+0,952- 0,05+ +0,95"-1-0,05 >
>0,8; и>32.
67. jc, = 8.
68. х1 = 7.
69. />s 0,759.
70. a) -i-! б) 0.
71 А
_ 72. Пусть Пх — попадание в самолет при одном выстреле,
П — непопадание во всех 40 выстрелах, тогда
/> = 0,6Я(П) = 0,6[1— Р (1^)1*0^0,268.
73. 0,664.
74 i£
'** 256 •
75. /7^0,0065.
76. р = 0,85- 0,2 s 0,066.
77. ^ = 0,485; /»2 = 0,371.
78. /> 3*0,314.
159
79. Pr'L] — вероятность поражения при к попаданиях,
/>(n|l)==0,15; Р(П|2) = 0,368; />(П|з)=0'728;/>(П|4) = -1-
80. if-.
в1, 120 •
82. Ак — попадание бомбы с А-го самолета, тогда р =
=P(A1 + A2 + A3) = P(A1) + P(AJ + P(A3)-P(A1A2)-
- Р (АИз) - Р(А2А3) + Р (AiA2As) = 0,664.
3 2
83. А = х; Л=~Г *
84. ps0,044.
85. За п ходов/>1 = 4- + _зг+ ••• +^=Г = -|"(1 ~ i) '
n__L_i--L-4- -L-L-_L/t__L\ , е -а-2
*л-Ь[1-(4-Л.л=-?-[1-(4-Л-
87. Я (k) — вероятность билету с номером k быть /г-тым по
порядку, Я (ki) — вероятность того, что то же имеет место
для билетов с номерами k и /, и т. д. Тогда '
р = £/>(*)- £ P (ki) + £ Р (ki/) - ... - Р (kijlmn);
fe=l Ki<k<6
но Р(Л)=4- ПРИ *=1. 2» •••> 6rP(«)=-g--g-. •••« сле"
довательно, /? = 6-^ С*'!ГЪ—^^jq^—d 6-5-4-3 +
. />5 1 1_
"^ °6 6.5.4.3.2 б! '
оо
Во втором случае р= ^^—1)п-^- = —
88.
л=0
2*-2
Р~ m + n2j\ т + п)
89. -^й" •
90. Вероятность того, что дайное число не делится на
простое /?, равна 1 —•', следовательно, вероятность того, что
оно простое, равна
160
91. Вероятность того, что каждое из двух чисел делится
на простое число р9 равна —, т. е. вероятность того, что
оба сразу они не делятся на /?, равна 1— —д-, значит,
искомая вероятность равна J J Г1 — —] =zj—=z—^ 0,6142 (C(x) —
р
— дзета-функция Римана).
93./> = P(b3u)-p(4 или 5 или 6\3) + Р(Л')Х
ХЯ(5 или 6|4) + P(B5')-P(6|5)s0,411.
94. 0,75.
95. 0,0014.
96. 0,279.
97. Р(Л).= У!; Р(В) = ^, т. е. В- победитель.
98. а) Р(Л)=/72(1+27 + 372)при/,=4-, />(Л) = Ц>1;
б)РХА) = рт (1 +С1д + с1г+1д2+ ... + C^V-r?"-1),
где д=1 —р.
99. а) Л=1 -/>•; б) р< = 1-р*-др3; в) рь=1-р*-2др*.
100. Событие А*—вынимание белого шара из второй урны,
#! — перекладывание из первой во вторую урну двух белых
шаров, В2 — одного белого и одного черного, В3 —
перекладывание двух черных шаров. Тогда N
з
Р(А)=^Р(ЯА)Р(Л|^) = 0,52.
101. Я(&, ^ — вероятность того, что в первой урне k белых
и / черных шаров.
Я(2, 3)=0,480; Я(3,2) = 0~408; Я(1,4) = 0,112,
т. е. наиболее вероятно сохранение первоначального состава
первой урны.
102. 0,336.
103. 0,336, 0,096,
104. Я = 0,028 — вероятность неискаженного приема одной
цифры. Вероятность неискаженного приема всей пятизначной
группы Яб^ 0,8676.
11 Зак. 411 161
105. a) PA = ^r; PB=4ri PC = ^~PA
P = —
^в 7
14 ' В— и
*\ Л. JL JL
o) 7 , 7 , 7 .
106. Я (+) — вероятность того, что испытание дало
положительный результат, Я (у) — вероятность того, что изделие
удовлетворяет стандарту, тогда Я(-)-, у) = Р(-\-).р(У , ) =
= Я(у).я(+|^, т. е. я(У|+) = 0,998.
107. Я/попал ^
10
, т. е. вероятнее, что
|два попадания/ 19
С стрелял.
108. а)_ Я (1) — вероятность того, что. первое орудие
стреляло, Я (l)—вероятность того, что оно не стреляло, Я(П2) —
вероятность поражения цели с двух выстрелов, тогда
Р(1) = |- = -5-=Р(Т); Р(Пг|,)-А44; Р(П'|Т)=0,36;
p(1|nJ = °-55:
б) Я (1,) —вероятность того, что два раза стреляло первое
орудие:
Р(П2) = Р(12)Я(П2|12) + Я(Ь)Р(П2|-) = 0,3975;
p(l2kH'32<i- '
ПО. a) P(A1\B*) = (2Y }'; /84,^0,095;
W + W + W
б) P(Ai|B3)^ 0,696; в) p(Ai|5Sj^o,113.
in 40
111. -jj-.
112. 0,435.
ИЗ. Ak — наличие k испорченных лампочек в 1000 штук.
А — наличие вообще испорченных лампочек в 1000 штук,
В — наличие вообще испорченных лампочек в выбранной
сотне. Тогда _
Р{в) = Р{Ай)р{В\А) + Р(А1)р{В\А)+...+Р{Аь)р{В\А).
162
Так как P(A0)-f-^(^i)+ ... -|-Я(А5) = 1 и все эти
вероятности равны, то
Р(А0) = Р(Аг)=...=Р{Ал) = ±, т- е- PW =
900
1000
=+{*(Bk)+'fk)+---+'fk)}'
■■■р(%.)
Я(А) = Я(А0) = 4- = Я(Б)Я^|_|,
<В\ \_ 999-998... 900
1000-999 ... 901
900»899... 896
1000-999 ... 996 ;
Т. е. Яп
^ 1=0,214.
114. Я (ММ>+ Я (ДД) = 2Я (МД), где Я (МД) — вероятность
рождения пары разнополых близнецов, когда не известен пол
первого из родившихся. Так как факт рождения двух
близнецов известен, то
Я(ММ) + Я(ДД) + Я(МД)=1, т. е. Я(МД) = 4--
Далее, Я(МД) = Я (М)Я (Д|м) + Я(Д)Р(М|д) .
Считая, что вероятности обеих последовательностей
рождения близнецов a priori равны, находим
^ = 2Р(дая(М|д),т.е.р(Му = 6-^,
р(М) р(м|м)+р(д)'р(Д|д) = -г=°.51 х
ХР(«|М)+0,49Р(Д|Д).
Если известно, что первый из двух близнецов девочка, то
°'51Р(М|м)+0'49-°'49Я(М|д)=Х'
Р (М|м)=(т -ч-г - °'49) ш ^°'673-
115. Пусть Afc — наличие в сосуде k белых шаров до
опускания п-j- 1-го; тогда вероятность вынуть, после опускания
этого шара, белый шар равна
Я(б) = Я(А0)я(бу +
w
163
но
поэтому
Р(А0) = Р(А1)= ...=Р(Ап) = -^гт;
р(б\ \_*±1 k-0 j n
Я (б):
п + 2
"2л + 2'
116. а) Пусть Рп(А) — вероятность для А выиграть всю
партию за п конов, W *) Ъ Р[ г>\ — соответственно
вероятности первую партию выиграть А и В. Тогда
Рп(А) = Р
ЩА\У^вУ
Хв)
| = «Л.-1
1
1 +
1
V| 5/
Так как для выигрыша всей игры А за последующие п—\
конов после того, как первую партию он выиграл, нужно
чтобы вторую партию выиграл В, т. е.
(А\
Рп-г
Аналогично
Рп-11
1 ) = Р(1 В)рп-ЛА) = ?РП-2(А).
AJ
\ = Р(1А)Рп-2(А) = ^Рп^(А),
В)
т. е.
Рп(А) = 2а{ЗРп_2(А); Р2(А) = а'; />4(А) =
= 2«Ра«, .... Р2П(А) = (24Г-1°?\
оо
/>(Л) = 2Я«(А) = о«[1+2«р + (2ар)»+...] =
g2 а" _
— 1—2оф "~а2 + р2 ''
P(5)=1-P(A)=^L;
б)Р(1А) = а;
P(A)-P1(A) = ap^-i>0, так как <х>р,
т. е. P(A)>p(lAy
117. Р2п(А) = а"-1рп-1а2; Р2Я+1 (А) = а"+1ря, поэтому
оо оо
/>(А)=2 P2n(A)+^P2/w(A)=a*g2^+jag ;
п=\
л=1
164
P(B) = V\4£U
P(A)
,_ °P(«-P)
°2 + P2 + «Ф
>o.
118. P(A)=£; Р{В)=4г> P(A):P (£) = -£> 3.
119. Р^ + ^б) — вероятность того, что в урне имеется k
черных и т белых шаровг
Р (0Ч+36) = Р (Зч + 06) = Р(1Ч + 26) = Р (2Ч + 1б) = -f .
р/чббб| \ _£.. р/чббб| \__L.
V 11ч Ч--26/ el " Ч |24-f-16/ 81 '
Р(чббб) = ^;
/1ч + 2б| \ = ±. р(2ч + 1б
и{, |чббб] 5 ' г\
Р(3б
чббб
)-,>(*
Чббб)- 5 ;
чббб) = 0>
120. а) 0,52; б) 0,42.
121. Пусть « — число изделий второго сорта в партии, Ат-г
вынимание /га изделий второго сорта, тогда
(n>b\ \
[ UJ
где Р{
р in>b
(А
Р(п>Ь)Р
\ \п>Ь)
п — т-\-2
)+
\Aml~ Р^А'п)
Ч«>£)Р(А<"|п>6) = Р(л=/га + 2)Р('
+ P(n = m + l)p(Am\n==m+l} = p1C?+2+p2CV+1;
Р{Ат) =PlC?+2+p2C? + Р3СТ-и
1) а + * = 3, /га = 12, Р(га>25)^0,52.
2) 'т =15, /7^0,61.
122. Обозначим нужное событие через А, появление
последовательно, начиная с первого, i красных шаров — через kit
тогда
Р(А) = Р(^0)р(А|Ло) + Р(А1)Р(Ли + ... + Я(Ас)Р(Аи =
а + b а . Л а + б \ а ,
— a + b + c'a+b~*\l a + b + c)a + b + c—l*~
T^1 д + ^ + сД1 л + ^ + c — 1 ) a-
(a + b + c-\)(a + b + c-2) + '"• ]| = а+£ + Па + ^(C—l)b
165
Очевидно, F(c) = ^rb; тогда F(l) = a + \+l [a + F(0)} =
= }Г+~Ь' • • • ' следовательно, вообще F(c) = P(A) = —r-r .
123. Пусть Ak — наличие в сосуде ровно k белых шаров,
А=1, 2, ..., л,
Я(А,) = 1, я(Ав) = я(А1)=...=Я(Ая) =
л-Ы '
Л=0
i?2 — вынимание из сосуда сразу двух белых шаров, Вх —
вынимание одного белого шара.
P(B,) = P(B,)p(e.|BJ,
PW,=VP(A,)P(sy = ;r^(-l+4+-+v)=T-;
ft=l
^)=2р<Л-»р(в1д.); p(B'UJ=i: p(s,k)=f.
fe=2
Jt = 3, 4, ..., я, т. e. P(B2)=-
l
("+l)C2„
1-2 + 2-3+ ... + (л-1)л _ лз — /г
(ci+.ci+... + c*)-
1
(л+1)я(я—1) ~ 3(я+1)л(я-1) З *
Тогда Р(ВА )-РШ-±
югда /^ |5j_p(Bi)_ 3 ,
\В ) = ^3п "
125. Ak — наличие в сосуде k белых шаров. Р(т-\-п) —
вероятность вынуть т белых и п не белых шаров сразу. Тогда
N-n
Далее, Pi
к=пг
N-n
k=m
к ^N-k =
(N+\)CnN
м
I , ) — вероятность того, что в сосуде ровно
М белых шаров, при условии, что вынуто m белых и п не
«белых:
,(М\ \
\ \n-\-m)
_ P(M)p(n + m\M) c%C»N
-м
>n+m + l
N+l
166
» 126. Пусть Я(& +1) — вероятность достать из т кусков,
k-^X кусков .из окисленных руд подряд. Рг L J — вероятность-
того, что. k -f- 1-й кусок будет принадлежать к окисленным
рудам, если k таких кусков уже достали из (т). Тогда
Я(&+1) = Я(&) W L)• Пусть Л/ —наличие среди т
образцов i кусков окисленных руд:
i>k;
\ 1Л'/ Ст СтСп+п' Ф+ *
гп
Аналогично имеем P(k+\)= h+llm— \\ С'лС"~'С?+\ т. е.
Cm Сп+п' /<■■,
2 Сяс»-'с»+1
.П| \r- k+l iJ*+l
' т — k
^П W rm—ls>h
i=k
\У ri rm-irp <£+£_, П (Я-1)...(я-р + 1)
НО ^^СЛСЛ' C/=-
i=p
P\
N-n
p{\\ \= n~k
[ \kj n + n'-k
127. (См. задачу.125.) Р(/ге + л) = ^гг^ p(w + "|^J ;;
/— m
/-Л + ОТ + 1
CJV+1
(N+\)CnN+n> '
р(АА \_iii-i),..(i-m^i)(N-i)(N-i^\)...(N-i-n + \)
\ \n + m) i\n\CnN\™+1
rr, M \n + m) (i + \)(N-i-n) ~
Т0ГДа р(Ап\ \ = (i-m+l)(N-l) • ЕСЛИ ЭТа ДР°бь Не меНЬ~
1 . ^ Nm — п . . Nm — л
ше I, то 7^ „,_!_.. > иначе г > „,_,_„ , т. е. максимальное
значение
p(Ai
т-\-п
n + J принимает при 1 = [£Ц
128
.^<Ы = ^
J>,-W
167
129.
1
£=1 £-1
л-1
i
P(n + \)-P(n) =
т. е. Я(#+ \)^Р(п). Равенство возможно, если все /?/,
отличные от нуля, равны между собой.
130. Пусть х есть расстояние
точки первого сгиба до ближайшего
конца, тогда площадь прямоугольника
£ —х(10 — л). Из условия л: (10 — *)<
<^21 находим, что *£(б; 3), либо
х(+(7; 10), поэтому нужная рамка
получится, если точка попадет в один
из промежутков (0; 3), (7; 13), (17;
20), т. е. /> = 0,6.
L 131. а) 4-5 6)4--.
""" 132. Обозначим части отрезка
через х, у и / — х—у. Для того чтобы
Рис. 3. из них можно было составить
треугольник, необходимо выполнение
неравенств л:<-2~, у<-2~, ^ + y>"2~- Все возможные
комбинации длин частей отрезка (в том числе и не образующие
треугольника) будут 0<л: + У<^- Рассматривая х и у как
декартовы прямоугольные координаты точки на плоскости,
получим фигуру, изображенную на рис. 3.
Точки заштрихованного треугольника — благоприятные
комбинации значений хиу, точки всего большого треугольника —
все возможные пары х и у, поэтому Р = -±-.
133. p = k\
134. р=-
135.
136.
137.
138.
а) Р = -г\ б) р
_ т/ъ—г
2/2
->шара
= МП»-Г.
») -Ь б> «'(тг)'^--*.*»52-
m..p=CtdC?(i-)'-L(-I-)*
81
1G8
140. Пусть Т—время прохождения приёмником диапазона
(Л» Л)- Тогда искомая вероятность равна отношению
заштрихованной площади к площади прямоугольника ABCD (рис. А)у
т. е.
2ДЛГ _ 2Д/
[Л4 Д/-(Л-Д/)] Г
141 » — 18° _ 1
Л —Л+2А/
360°
20
142. />
_ Г2 — (Г— /0)2
7-2 —
_ 2fr
f2
143. р =
2/
f,
••*
J
f,'Af
G
f,"Af
8 <
>f1J/fTv''^
|A I
t
)
2,
^<C^
j^-^>
щ^^
T^^y
V
I
Рис. 4.
Рис. 5.
144. Пусть эти отрезки будут х, у и^; л:<^а; у<!а; 2<^а.
Допустим, что -x<y<2. Тогда для возможности построить
из этих отрезков треугольник нужно выполнение неравенства
x + y>z. (*)
Рассматривая ху у и z как декартовы прямоугольные
координаты точки в пространстве, мы все тройки значений (х, у, z)
изобрзим точками куба со стороной а (рис. 5), тройки же,
удовлетворяющие условию (*), —точками заштрихованной
пирамиды, объем которой равен -^. Тогда вероятность
выполнения условия (*) будет Рг = -^. Но возможно3!=6 равно-
возможных упорядоченных расположений x^z^y, ... , ит.д.,
т. е. искомая вероятность
п— 6 — 1
145. 1) Пусть Ь^а. Для того чтобы данный отрезок
длиной а не накрыл точку М, нужно, чтобы его центр не попал
в отрезок длиной а с серединой в точке М\ так как все k
отрезков распределяются на АВ независимо друг от друга, то
t h \h
2)Пустьй<!а. Аналогично рассуждая, найдем/? = П — j—- 1
при a-\-b < /.
3) если а + ^>/, то, очевидно, /7 = 0.
146. /?.— W'T + ^c(f2-A)
■f I
"(/2~/1 + 2А/)Г + 2тс(/2-Л)- (Рис- 6')
147. /7 = 0,075.
('-т-)4х.
^d
IZ3
:г^а
/2
148. /?=
149. Если а > arccos -^y1^, то /?=0,
■И*-г) •
2r-
если 0<a^arccos—у— ,то/?=
2г\2
1
X
Рис. 6.
/2 cos a
X(/cosa — 2r-a) (Z —2r—a).
150. /7 = (l-^)°
151. Вокруг произвольной прямой,
перпендикулярной к сторонам полосы,
проведем полосу шириной 2г; тогда
вероятность того, что центр одного кружка попадет в эту
полосу, равна -j-, где L — длина основной полосы. Вероятность того,
что центр круга не попадет в построенную полосу, т. е.
вероятность того, что наша прямая не пересечет этого круга, равна
1 Ц-. Всех кружков в основной полосе HL\ следовательно,
вероятность того, что прямая не пересечет ни одного кружка,
равна (1 27 ; при ~* °° П0ЛУЧИМ
152» (См. предыдущую задачу.) р = е .
153. а) Пусть V— любой объем внутри сферы, тогда Р(V) —
вероятность одной точке попасть в объем V, поэтому
вероятность одной точке попасть в сферу радиуса а,
концентрическую основной, равна f-jA , т. е. вероятность не попасть
одной из точек в эту сферу PN= 1 — rj^j ;
ни
—g-wX
6)р=limPN = Hm (l - -§r)N= e
154. а) Я(Л)>/5(Л1Л2) = 1--р(^А) = 1-Я^1+^з)
= l-P(A1)-P(A2) + P(A1At) = P(A1) + P(A2)-l +
170
+ Р(А1А2)>Р(А1) + Р(Аг) — 1, так как Р(А1А2)>0;
б) PiAiA^PiAJP^j^PiAJ - PiAjP^^ >
>Я(А11)-Я(Л2),
откуда делением на Р(Аг) получим требуемое неравенство.
155. P(N)>P(ABC)-=l-P(A +В + С)=1—Р(А) —
-Р(В) — Р(С) + Р(АВ) + Р(АС) + Р(ВС)-Р[АВС)^
>Р(А) + Р(В) + Р (С) -2 + Р(АС) + Р{ВС), так как
P(ABZ) = P{AB)p(C\ )^Р(АВ), т. е. P(N)>
\ \АВ)
>Я(А) + Я(Б) + Р(С)-2.
156. Так как события совместимы (иначе они были бы
зависимы), то Р<р!-\-р2+ .. • +рп\ так как Л+Л+- —
. • • +рп < п, то Р= 1 - (1 -а)0 -Л) ... (1 -Л) >
157. Пусть Л — событие, состоящее в том, что одно /-е
письмо дойдет к корреспонденту: P(At) = — ;
p=p(tA)==I1p(A^- 2 РИЛ) +
+ J *WA) -••• + (- 1)""^ИА •.. л*)=
— Г4 _J Г2 ' 1 -U Г3 J Л-
— ^п п ^пп(п — \)^^п п{п — 1)(л — 2) "-^
+ (-iric„"iI=i-^- + ^r-...+(-ir^.
158. Подетальная проверка будет нецелесообразна, если;
стоимость проверки всех деталей выше стоимости всех
приборов, которые нужно будет изъять из партии по причине
брака хотя бы одной детали в каждом из них. Вероятность
брака всего прибора Я(Пр) = 1—(1—р)п, среднее число бра-
кованных приборов будет равно yV[l —(1—/?)*], а их
стоимость (ущерб), следовательно, равна -/V[1 — (1— p)n]K<N и Ж,
т. е. р < 1.— у 1 jt- = -JT , если -^- мало.
(2 \12
У =0,0000003; так как эта вероятность весьма*
мала, то это не согласуется с гипотезой равновероятности.
171*
(R \ 12 I
y) s-g- — согласуется с гипотезой
равновероятности.
161. Пусть U — достоверное, а V— невозможное события.
АВС + {ABC) = £/, т. е. АВС + А + В + С = U,
следовательно, *
Р(АВС) + Р (А) + Р(В) + Я(С) - Р (АВ) -
-Я(ЛС)-Я(ЯС) + Р(АЯС) = 1,
но Р(АВС) = Р(АВ.)У так как ABC=Vy т. е. Р{АВС) + х +
+ х+\-х—х2 — х(\—х) — х(1—х) + х2 = \>шкР{АВС) =
= х — 2х2>0, т. е. х^-^-. С другой стороны,
А + В + С = А+ВА+САВа 'U,
т. е. Я(А) +Я(£А) + Я(СА£) = а<1,
или х-\-х(\ —х) + х — 2д;2 = а, Зл: —Зх, = а, jc = 6~"—— .
Очевидно, при а =-^-также имеем х = -^-, т. е. это
значение достигается.
162. Пусть 5 — появление события А за время Г, С
—непоявление события Л за время £< Г; Р(ВС) = Р(В)Р ( L) =
= Р(С)Р(^),Р = Р(В|С)=^#1; #.'«, = />
"(С|в)=Х=Х;.р(С) = 1_^Л т. е. Р=^$.
^"163. О вынутых черных шаров есть извлечение сразу бе-
лого шара, т. е. A=^iA = ^^;...;
_ tt(tt-l)(tt-2)...(/i-fe + l)'tt
"* (/п + л)(т + л —1)... (m + л—£)•
ft-*a*(l— a).
165. а) Вероятность данной молекуле находиться первой
ячейке равна —, вероятность того, что данные схх молекул
находятся в первой, данные а, — во второй ячейке и т. д., равна
(4-Г-(4-Г-(^МтГ
172
Всех различных наборов по а2, а2,... , ал молекул из N имеется
СйСЪ-ь ... CaN*_ai_ai_... _w следовательно,
М 1 (ал)!
б) тах-тг— -=-—max п) ' ■■ достигается приа1==
= а2=.,.=ал = а., т. е.
1 (cttt)l _ 1 (ап)\
Действительно, при я = 2
Р (ая)1 _ 2а (2а - 1) ... (2а - аг + 1) 2а (2а - 1) ... (а + 1)
И*— аг\...ап\ — а2! ^ а!
166. Вероятность вынуть белый шар первый раз равна
единице, во второй раз —ер, в третий —g-, и т. д. Вероятность
рынуть при k-u извлечении (&>1) черный шар равна —^—,
поэтому вероятность при п извлечениях вынуть т белых
шаров
г»/\ -.11 1 т п — 1
Л
,11 1 т—\ 1
= 1" о"'
2 3 * •* т — 1 /л т + 1 "■" '
т. е. коэффициент при хт в разложении
• _х(х+1)(х + 2)...(х+п-1)
~ и!
Примеры: 1) Я,(2)=4"; 2> Р*&)=Ж> 3> р*(2)=4-;
4)яя(1)=4-;ял(2) = -^(1+4 + т + ..-н-и4т);
>.(»-i)=5^,; 5) "» /эя(2) = „1^4-(1+т+т+---
. 1 \ ,, lnn + C „
••• + Т = 1|Ш —и =°-
167. (См. предыдущую задачу.)
во
,/) (П = 1. J 2l±£l_ =n/'l - Л
^-V1; ax+l ax+flj + l ••• HI1 l + ax + a,+ ... + aJ--
173
Для сходимости этого произведения необходима и достаточна
сходимость ряда
оо
ft = l
168. а) Пусть в урне N шаров, среди которых т белых.
Вынимается без возвращения по одному шару до появления в
конце концов белого шара (что достоверно произойдет):
. т^ , N—m m (N — m)(N — m— \)m .
1~ N "t"| N 'N— 1 + N(N—l)(N — 2) ~Т~ " '
. (N — m)(N — m— 1) ... т
N(N— l)... (m+\)-m
т
Деля это равенство на -^-, получим первое тождество.
б) Доказывается аналогично, только здесь при каждом
вынимании черного шара в урну вместо него добавляется один
белый шар.
169. а) Пусть производится бесконечное множество
независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью 1—q
появляется и с вероятностью q не появляется событие А.
Тогда вероятность того, что событие А появится хотя бы один
раз, равна 1 — q + q (1 — q)+q (1 — qf + ... , но эта вероятность
равна единице, так как она равна 1 — lim Pn(0) = l — Нт^л=1.
б) Аналогичное рассуждение применяется к схеме: в урне N
шаров, из которых т белых. Вынимается с возвращением по
одному шару, и если он белый, то добавляется еще один
белый. Находится вероятность хотя бы один раз вынуть белый
шар.
170. а) Пусть А и В несовместимы, причем событию А
благоприятствует т, а событию В—k исходов испытания. Тогда
= Р(А) + Р(В) +2\/Р(А) Р(В);
б)Р2(А + В) = Р2(А) + Р2(В), т. е. P(A + B) = VP2(A) + P2(B).
Пусть А благоприятствует т исходов, В — k исходов, а АВ —
г исходов испытания. Если В произошло, то осуществился
один из k исходов, благоприятствовавших В, и осталось г
исходов, благоприятствующих Л, следовательно:
174
* n
V)P['b)=VJr=l/ T = 7^-
т. е. сохраняется та же формула.
в) Потребуем, чтобы Р(А -\-В) = Р(А) Я (В), если из п
исходов испытания т благоприятствует событию Л, то/(Л)=/|-^-| ,
/(£)=/(^)=/а>=/о>-/(о)-
Положим /(1) = а>0, аф\, тогда /(0) = 1. Пусть U—
достоверное, а 1/—невозможное события, тогда
P(U)=f(\) = a, P(V)=f(0) = \;
/о)=[/(4-)]". »• «• /(4-)=«Ti "w=/(-f )=«■.
г) Р(Л5) = Р(А) + Я(АУ; тогда, полагая P(A)=f(^\,
*W=/(4). р<**>=/(х). р[А\в)='(-т)- найДем/(^) =
=/(4) +/(тг).или /№J^/(4)+/(-f)- Этим свойст"
вом обладает функция
/(-JL) = Cln-J; C> О, Р(£/) = 0, P(V) = -oo.
171. Пусть Р(t) — вероятность того, что время свободного
пробега молекулы не меньше t\ тогда P{t + &t) = P(t)-P(M).
Но Р(Ы) = 1 - Ш + о (А*), поэтому P[t-\-bt) = P{t) X
Х[1-Ш+;о(Д*)], или pV + W-p('> =-ХЯ(0 + о(1);пере-
ходя к пределу при Д£->0, находим Pr{t)=—W{t), P(t) = Ce~u.
Очевидно, Я(0)=1, т. е. С=1, следовательно, P(t) = e~xt.
i 172. Обозначим искомую вероятность через Р (t)y тогда
условие 2) можно записать следующим образом: 1—P(t) =
= аМ + o(bt), и, очевидно, задача не отличается от
предыдущей: P(t) = e'at (a]>0).
173. Пусть S есть сумма номеров шаров при k выниманиях
с возвращением. Pk(m) = Pk(S — m) — вероятность того, что
S = m при k выниманиях. Очевидно, Pk(0) = —-, Pk(m) =
п
*= k) \ где Bk(m) — число всех возможных представлений
пк
175
числа т в виде суммы k неотрицательных слагаемых, причем
представления, отличающиеся только порядком слагаемых,
считаются различными. Легко видеть, что Bk{m) есть
коэффициент при zm в разложении
... + Bk(k(n-l))zhin-1);
В2(т) = т-\-\=Ст+и
Bk(m) = 5ft_, (/»)+£„_, (т - 1) + ... +1;
В3(т) = С1+2; .... *»(«)==С*-Д-,,
следовательно, искомая вероятность
k(n-l) h(n-l)
m=0 т-0
174. а) Пусть Нг — событие, состоящее в том, что утерян
белый шар, Н2 — событие, состоящее в том, что утерян черный
шар; А — событие, состоящее в том, что вынутый шар оказался
белым*
Р<Ю-Ш%га: ПИ,)=^п; P(A\Hi)=^h;
р(А\ \ = « .
'{ \Hj m + n-V
тогда
Р
си
/>(Я1)/>(лк)+/>№)рНя2)
т + я —1 *
б) Пусть Ааь — событие, состоящее в вынимании а белых
и b черных шаров.1
тУп-\
+n—l \ '"2/ ^т+л_1
тогда
/и + я — а — 6
175. Р——. — + —._ + ...+_._.
176. Пусть Л, — событие, состоящее в том, что 1-е число
оказалось на своем месте.
( и
рп = Р\21АА = %Р(Ад- V Я(Л,Л;) + '
1/-1 J i=i \<t<j<n
+ V Р^ЛА)" ... + (-1)п/э(Л1Л2...Лп);
176
P{Al) = ±.; P(AlAJ) = ir(±^;
n •
P[AtAjAk)— л(л_1)(я_2) ; ••• ; 2jP(At)—1>
P(AiAj) = "2ГI • • • » Л1 = 1 — YT + "3! •••+(— 1)П~1 *^T »
\<i<j<n
lim /?„ = 1 - 4".
Л-*оо *
177. (См. предыдущую задачу.) /?л = 1 — Г1 —^Т + "з!— ••*
178. Так как распределения цветов в урнах различны, то
имеется одна урна, содержащая 0 белых шаров, одна урна,
содержащая 1 белый шар, ... , одна урна, содержащая N
белых шаров. Пронумеруем их соответственно с числом белых
шаров: 0, 1,..., N. Если перекладывание начинается с k-й
урны, то для сохранения состава всех урн необходимо, чтобы
каждый раз перекладывался шар одного и того же цвета.
Обозначим эту вероятность через pk\ тогда
N N
л - k П '+1 I АГ-*Т-ТЛГ-/ + 1 _
Pk ЛГМЛГ+Г"1"" N 11 N+X
/=0 1=0
i+k 1Фк
_^ N\ N+\ f ^
XN+1)"'
Так как каждая урна с одинаковой вероятностью4 могла быть
выбрана в качестве первой, то искомая вероятность
N N
л — 1 V л - Nl 9 V k
k-0 ft-l
Nl <P<2- m
l+\ Г k N— k ]
N [N+l ~t~N— A+lJ
179. a) ps0,1621; 6) p^\.
180. * = ■ "
181. Я,(0) = ^-; Л(1)=^; ^(2) = -^-; Я.(3)=-^|
Р5(4) = ^-;РБ(5) = ^.
12
182.
183.
184.
80
243
Р =
5
16 '
Зак. 411
;0,06.
177
с13
185. Я(0тузов) = -J-s 0,3038;/> = С°(0,3038)3£ё 0,028;
С52
так как это событие мало вероятно, то „невезение" налицо.
186. а) Я8(/И>7) = 8^-4 + Ж==0'00038> б> Р8(т>1) =
= 1—0, 1001=0,8999.
187. а) ^0,774; б) s 0,0021.
188. /» = 1 — />Л(0) = 1 — (4-)" > Ж» п>22-
189. п>300.
190. л>5.
191. Я8 (от > 5) = ^ рв (») = 0,999976.
J 1_
2 2
т=5
192. пр — д = 20--\- — -^- = 9,5, т. е. от0=10.
193. 5.
194. от0 = 3; Я10(3) = 0,25.
195. а) от0 = 2; б) Я10(2<от<4) = 0,591.
196. а) Я12(4)^0,238; б) Я12(3 < от < 6) ^0,751.
197. а) от0 = 2 и от0 + 1 - 3, Я14.(2) = Я,4 (3) = 0,25;
б) Я (от > 4)^0,302.
198. а) Вероятность того, что данный абонент занимает
1 9
линию, Р — tq ■> Я = "jo" > Т0ГДа вероятность того, что линия
занята Я3 = 1 - Я10 (0) =* 0,6513;
б) Ясвоб = Я10 (0) + Я10 (1) + Я10 (2) + Я10 (3) + Я10 (4) = 0,9984.
а+Ь-1
199. р= £ С*+,_,-/>*(1-/>)в
200. /> = (О2 (4г)2 + (СО2 (^)2 + • • • + (CS)2(^r)2 = §- =
Г ПК
nt \N—m
201. Вероятность того, что в течение часа данный абонент
воспользуется телефоном, равна -^-, тогда искомая вероятность
равна
202. (См. предыдущую задачу.) Вероятность того, что из
остальных N—\ абонентов ровно т занимают некоторые
(различные) линии, равна
Р._сяц(£)Г(1-гр-.
178
тогда
Р(,занято-) = Ц«-,(£)"'(1-£)"'--'.
т=1
203. а) Распределение поступающих вызовов в течение часа
будем считать равномерным, тогда за время t в среднем
поступает nt вызовов,, а, следовательно, вероятность получения
одного вызова за время t можно считать равной — = г, а
вероятность неполучения вызовов за это время 1 — t. Так как
всех вызовов может быть /г, то Pm(t) = C%tm(l—f)n-m.
б) Я(/гс>1)= 1-(1 — t)n.
в) Для одной телефонистки вероятность перегрузки равна
k
Р(т > к) = 1 - £ Cntm{\ — ty~m,
т=0
следовательно, искомая вероятность
Г k
Р=\\- £Om(l — t)™
L m=0
k
204. — есть вероятность одной дробинке попасть в один из
данных k ящиков, следовательно, 1 вероятность ей не
попасть в него, тогда (1 ) —вероятность ни одной из N
дробинок не попасть в данные k ящиков, a С*(1 ) —
вероятность остаться пустыми каким-либо k ящикам. Но при
этом нужно, чтобы остальные п — k ящиков не были пустыми,
вероятность чего равна
+'-'";,-""(' -^)"+ •••+<- •>*-(' -**Т+-
Тогда искомая вероятность равна
205. Для того чтобы не было группы m последовательных
появлений события А в серии из п испытаний, нужно, чтобы
либо это же имело место и для серии /г-{-1 испытания, либо
точно в последних пг испытаниях из п-\-\ появляется Л, а в
предыдущих испытаниях нет таких групп, т. е.
Р = Р 4- Р ппт- Р = Р — — Р — 1 •
^ п,т Г л+1, т ~ J п-т, тН** ' *0, т М, т — • • • — ^ т—\, т ~ L »
р = 1 — рт р т=Рт m—qpm, Ртл_э m =/> « —QPm* ... •
т, т г •% /71+1» ш т,т *г > m+z, т т-\-\, т "* ' *
12* 179
т- е. Pn,m = \-Pm-{n-m)qpm =
= 1 — (п. — т + 1)/>т + (л — т)^1.
206. л = 730,/> = -зВВ'> <7 = U, >Ф = 2;
Лзо (3) = С?зо (-дВ5~) (ж' '
Ч
На основании локальной теоремы Муавра—Лапласа имеем
1 (т—пр\2
207. Ям (38) as-0,И.
208. Р(а)=-Ь ^Й=-г: ^8(1а + 7а) = С]4-(-|-)7 = 0,27,
Р90(25) = С^(0,27)25(0>73)65^^=-т(0,17), где ?(*) = yfe '
209. а) Я10(5) = С?о(±J° = -^ = 0,25; б) /> -Я10(3<ж<8) =
==Я(-2</п-^<3)=я{-1|г<^<1|г}. Приме-
ним интегральную теорему Муавра—Лапласа: заменим эту
вероятность интегралом:
1,89 х*
Р = у= \е 2 dx = Ф(1,89) + Ф(1,26)^0,873
-1,26
210. га = 12, от = 4, р = -g-. ? = 4" •
Используя локальную теорему Муавра—Лапласа, получим для
этой же вероятности Р,2 (4) s 0,235.
211. а) 0,08; 6)0,9953.
с50
212. /? = -^р-2Ё0;814. Используя формулу Пуассона, на-
^1000
ходим ре*Щ£- е~0-2 ^0,819.
213. а) Я200(4) = С2оо(0,01)ЧО,99).196 Используя формулу
Пуассона, найдем пр=2, т. е. Я200(4);=ё-^<!Г2^ёО,09; б) Я(/и>4) =
= 1 - Я2ов (0) - Р200 (1) - Рт (2) - Рш (3) = 0,15.
214. а) 0,195; б) 0,969.
180
215. а) Пусть |i —число бракованных сверл в коробке,
тогда Я10оО* = 0) = 0,14;
б) Я10#(^<3) = 0,89;
п—100
МП
*-2 =
в)РлО*<*-100)=2^
•о
Ж"1 9т I 9Л-99 Оя-98 \
/гс=л—99
«7. М->-«(*П1-*Г"-
_ лг(лг-1)...(лг-/я+1) (^гл _ £1^ л _ «i\-m _v w>!e-nt
— Nmm\ у N) \l Nj ml e '•
т. е. распределение Пуассона с параметром nt.
1) Р(от<7)es0,9881; 2) a) nt = 15; Р (от >3) ^0,9999;
б) Р(отЗ> 30) сх 0,0004.
218. PN~№L.tr*- 1) 0,011; 2) а) 14, б) 11, в) 13; 3) 39.
219. 1) Рп(от) = n(n-l)...(n-m + l) рТП ^ _ ру.т^ пусть
ат 1
<'Ы~ГУ(Н)У~>0 ПР" й->°°- пУсть /га = 0, Р„(0) =
prj
f (я) Г «а |
_Ti в_1 в I *">J _^ 1
~Г t(«)J •
("f Г -^
2) Р„ (/га) -» ■ t е ' — формула Пуассона.
3) Р„ (от) ->- 0 для любого от.
220. Р (| от - пр | > 228) = 1 - Р (| от — га/> |< 228) =
221. а) п = 1000, р = 0,006, ? = 0,994. Вероятность убытков
для общества есть вероятность смерти в течение" года более
120 застрахованных, т. е. Я(/я> 120) = Я (60 < т — пр < оо) =
во JTa
= р€<£^<ф^ Г* 2rf;c^0 (с точностью бо-
7,8
лее чем до 10-го знака после запятой)
181
б) Получение прибыли в 40000 руб. и более может быть,
если в течение года из застрахованных умрет не более 80
человек.
== Ф (2,6) + Ф (7,8) ^ 0,99534;
2) Я(«прибыль> 60000») = Я(/тг<60)^0,5; 3) 0,00466.
т
1) Р(/га<80) = я/-7,8< т7— <2,
222. а
>»\
1500
■0,4
! < 0,02) = 2Ф (0,02 /g^g) = 0,8859.
б) 1) Р (570 О < 630) = 0,8859, 2) Я (600 </га < 660) =
= 0,4991, 3) Р (620 < т < 680) = 0,1468, 4) 0,8353;
т. 2
о />|
<а} = 0,
= 0,985.
1200 3
Выражая левую часть равенства на основании интегральной
теоремы Муавра—Лапласа через 20/a-i/-^—р\ , получим
ф (73,5а) = 0,442; as 0,03, т.'е. Ugg- --3- < 0,03, или 764<
< /га < 836;
г)Р{
= 18500.
т
п
<0,01} = 2ф(о,08]/-^-) =0,995, т. е. я=
,5011
223. a) P1oooo(5011)=CS'o1oo
> 0,0011
г>10 000
=0,0078;
) = 1-2Ф/0,001 li/"!»
224. 2Ф /0,01 |/^\ 2Ф /0,01 j/^W 0,3933.
=0,174.
225. Потребляемая мощность равна a/re, где /га — число
работающих приборов, поэтому
а) P(w<nap) = P(m<np) = 2 С%рт (\-t>)"-m;
[гпар\+\
б) р(да>/ш/>)=1- 2 ezpm(\-P)n-m=
-PC>n»)-"{^Vv<-^-<-}«
Г £ 2я?лг, где ?=1 —р.
/2те
226. /7 = 0,9993.
(r-i)
/ф
182
227. Р(т>5) = Ф{зУп) + ф(3п *50), так как л>5, то
/ /-\ 1 \ Vn I
Ф\3уп)—— с ошибкой, меньшей единицы в пятом знаке
после запятой, т. е.
Я(т>5)=4- + Ф(^^")>0,9975,
откуда " Т-—> 2,81, т. е. л>57.
/ л _
228- ^(|ш-1^|<Л)>2^2Ф(а/^) =
=2ф(1^а)> 0,9975, а > 0,093, 1</тг<19.
229. 059615.
230. Р(пр — а V">pq<т<пр-\-аYnpq)^2Ф(а)>0,9995,
а>3,6, /г = 2206, 0<//г<6.
231. а) ^( 400—дГ <а)>0>9, или, на основании
интегральной теоремы Муавра—Лапласа, 2Ф / а т/ 100 ^_100| > 0,9,
2аЛ ^ 1 ее ^ n one y^V— 100
откуда >1,65, т. е. а>0,825-—тт , следовательно,
у N— 100 iV
с вероятностью, не меньшей 0,9, имеем —ббуОУ—-100<М—
—8000 < 661/jV-100. Полагая z = YN—100, найдем для
правого неравенства z2 — 7900 < — 662, т. е. £< 127,8. Для левого
неравенства аналогично получаем z2— 7900 >—66z, z > 61,8.
Таким образом, 100 + (61,8)2<Л/< 100 + (127,8)2, или Я(3919<
<N<16 432)>0,9..
б) Аналогично находим Я (5488 < TV < И 634) > 0,6.
233 Р (пУ- (2")! _ЬЗ-5...(2я-1)
166. Г2п (П) — (п!)22Л — 2.4-6... 2/1 ' тогда
U^2n W< 3*5*7 '• ' 2л+1~~ 1 ' 3 ' 5 •'• 2л-Г2л + 1_
= о ( \ ' <?„ i 1 > откуда следует неравенство (правое);
m on / ч^ 2 4 2Я-2 1 1
2) 2РЛ(л)>-5—г ... 2^ГТ = Ж-^(70' откУда следует
левое неравенство.
234. Пусть л=2. Тогда Р02=(1-А)(1-А); P12=Pi(l-p2) +
+ Л0—/»i); pn=PiP2, так как Pj22 —Я02А,2 =
= [Л0 —А) + А'0 —А)]2—АА(1 —А) (1 — А) =
=^(1-A)2+^(1-A)S+AP20-A)(1-A)>0, то -^->^.
Далее использовать метод математической индукции.
235. P{x = xk)=±-, ft = l, 2, .... я;
183
1 \N-m
а) PN{m) = C%(-rf(l-±-)
a') Pia<m<b) = ^(±)m{l-±.y-m;
б) Р„(тъ «^«.(jPJI-t)
6') PN(tnl-\-mi = M, mu m2>0) =
6") P7v(a<Af<*, /rc1( m2>0)=.
£L Ш
1 XN-m^-m^
1 "yv-Af _ ^ (Л -2)^-^(2^-2)
M-a
B) ^ (^l, ^2> • • • > ^/i) =
237. (Рис. 7.)
Si
1 0
1
X
' ■ ■■ ■ ^
^W =
f 0 при х<— 1,
4 »
Рис. 7.
_3_
4
-1<*<0,
0<*<1>
jc>1.
238. (Рис. 8.)
f О при
F(x) =
ОД
0,3.
0,5
0,9
1 '
*< — 2,
—2<л<—1,
-1<л:<0,
0<jc<1,
1<х<2,
*>2;
Рис. в.
= /=■(! +0) — F(l — 0) = 0,8.
239
а) У?(х) =
при х^О,
-^2С"'' если 0<*<я и х — целое,
О
JC —1
я»=0
2" ^J
с?
„ 0<.х^.п и л; — нецелое.
Я1=0
184
б) Отношение числа выпадений герба к числу выпадений
решетки есть случайная величина р. с распределением:
п 12 /1 — 1
ЛДО), ЯЛ(1), Ря(2), ..., ЯЛ(л-1), Ря(л),
поэтому ее функция распределения
О при *<0,
F(x) =
240.
k-i
— *S\C%, если- 0<* и ^ = ^г^, где k — целое,
/я-0
£2«
т=\
•jjZTk' ^>0 и &— нецелое
^) =
О
ж-1
при х < О,
4r2C^~,K' если °<;с</г
нецелое,
/71=0
0<х^/г и л: — нецелое,
I 1 при х>п.
[ 0 при х<0,
241. /7(л:) = | 1—р* „ х — целом и х > О,
( 1— /?w+1 „ л: —нецелом их>0,
242. Пусть р. — число выпадений герба. Пусть х — целое
и jc>0,
х-г
F{x) = P{r<x)=^-lTr = l—L.
m-0
если л: —нецелое, F(x) = \ [х]+1
243. а) Ж? = 0,442; M¥ = 0,4684; D\ = M? — {Ml)2 = 0,273;
б) Я(-0,5<?<0,5) = 0,738.
244. ЛТ*1 = 3,368; АГц2 = 25,033; D*t= 13,69; />(|i>4) = 0,641.
245. Ж£4 = 0,7; ЖЕ8 = 0,7; ДО = 0,21.
246. Среднее число импульсов помехи, попадающих в
интервал времени длиной в 10 мксек, Х = 0,1. Пусть 6 — число
импульсов помехи попавших в интервал работы радиостанции,
тогда
Р\1 = т)=Щ£-е-*\ /п = 0, 1, 2, ...
185
Вероятность срыва передачи
P(g>0)=l— P (| = 0) = 1—<Г0Д = 0,09516.
247. ^5 = 250.^+50.-^ + 40.-^ = 3 руб. 40 коп.
248. Пусть Zj — число белых шаров, переложенных первый
2
раз, г2 — второй раз, тогда Af£1 = 3--g-=l. Число шаров во
втором ящике стало 8, Af22 = 4--g- = 3, т. е.
Мхг = 2-1+3 = 4; Мх2 = 6 — 3 = 3.
249. Обозначим выигрыш игрока через 5; тогда
л: = 25 коп.
250. Пусть 6 — число очков при бросании одной кости,
35_
12
35
ЖЕ = 3,5, DI=-ro-. Для двух костей тц = ^-{-Е2;
Л4т1=М1 + Ж12 = 7; DY] = D§1 + De2 = ^-.
251. Вероятность при одном бросании п игральных костей
сп—т
получить ровно т шестерок равна Рт=С™ , следовательно,
б
5л-т
математическое ожидание числа удач равно NPm = NCn
252. a) P(t)=l — (l—p)*.
б) Mi = £-(l-p)* + -%-(k+l)[l-(l-p)*] =
= w[l- (l-^ + -L].
253. Ж^г=1. , *" п + 2-4 г^т' * 9
л(я —1)(я —2) ... 1 т
+ ... +Л(л_^т)(п^.т_1) ... (/я + 1) т '
254. Пусть ?—выигрыш игрока; М?= —1 (1—/?) + у/? (1—/?) +
+ yV(i-P)+...+P^(i-^)=(i-P)¥^=o, j/=^.
255. Ж^= J Я{ц = 2& + 1}= J (^+1р2к+У2к'1=У
256. 2.
186
257. Ж*г=1.^.^+2-^.^+...
f nn rn \-xn+1 1 , ^ ,
♦ • • +V + „}* '^+^Г> используя тождество {_х =1 + * +
+ *2+ ...,+*", дифференцируем его по л: и полагаем
•* = т . п ; тогда получим
мхг=-^[i - Н-Л - «f-4-Г1-
г т [ ут + п) J ^m + лу
258. Пусть х — необходимое число выстрелов; <7 = 1—Z7»
тогда
О при #<&,
2c^-V^m-fe . n>k
(так как последний п—1-й выстрел обязательно есть
попадание).
F(n) = P{x<n)
МХ = ^ тСкт-.\ркдт-к = крк (1_^+1
А
., р
m=h
259. М1 = -у (см. задачу 256), М£2=/> * + *, ; DS =
260.
оо
^^1 foil
ление Пуассона; Ж? = е_л У_\п—r = k = a, A = e~a;
Л.+1
рп —/1 + 1,
если а — целое, то при /г = а—1 Рп+1 = Рп — наибольшее,
распределение бимодально; если а — нецелое, то п=[а],
распределение] унимодально.
261. р+рд+рд* + . . ..+/><7"+ . . . = 1, уА_= 1;
р + 2рд + грд"+...+прд^+...=\0, —JL_-=lOf
П— _L П— 9 •
р— ю ' * — ю '
10
Я{§<10}= J/7^-1 = l-(0,9)10s0,651;
ft=0
Р {S< 100} = 1 — (0,9)100^ 0,999973.
262. Рабочий с вероятностью — может в данный момент
находиться у любого из станков. Пусть а — интервал между
187
станками и / — длина пути. Находясь у £-го станка, рабочий
может с одинаковой вероятностью— проделать путь (Л — 1)й
до первого станка, путь (к— 2)а — до второго, ..., Оа — до
того, у которого он стоит, ..., путь (п — к — 1)а — до,
последнего /г-го станка, поэтому
^=4;[°4+"4+2«4+---+(''-1)<4]+
+i["4+°4+*4+ ••• +(»-2>*4]+ •••
...+4-[<»-i)e4+(»-2)e4+.-+°4]=
L ft=l fe=l J
ф
Ъп
и.
263. (См. предыдущую задачу.) Пусть /х — путь рабочего
вдоль рядов, /2 — поперек рядов, тогда 1 = 1г-\-129
M^Ml. + Ml^-^la + ^-b.
264. Разобьем контур длины L на части /i + Aj+•••+'«
с длинами, не превышающими расстояние 2а между
параллелями; тогда
MV=MVx + MVt+ ... + MVa,
где Ц — число пересечений /-го участка контура с параллелями,
п
У| А тса ~и^ па) па ' " ^j ял *а *
/-1
оо
%Л eft
265. ЛК = Л|*"Т\7—feTI-' рассмотрим тождество
fe=i
fe=0
дифференцируем его по х, полагая х = а, и, домножая
почленно на а, найдем ЛК=-а; DS = a(a+l).
266. Пусть f^ — число появлений Л в *-м испытании, тогда
Л* ft =Рь A*i =ЛЛ, Iх = 1*1 + Н* + • • • + hi,
Л Л
причем слагаемые независимы, поэтому Afji = 2J/»<; /Эц =2] Aft.
267. Ж?=Жт) = 0. *~*
268. a) P($ = 0) = ft Jj|=il = p. Тогда ?=l-/>. M=-J-,
№=*%£., « = -f- + -f = Л« + (И«)».
188
6) MS=-£- = a; P{l = n}=qp"=pn+1an; qV(aq)n = \,
т-е- -г^=1' ^гтт« Р=^Ь> ^=">=(i+t)"-H-pac'
пределение Паскаля.
269. с122-"-у| = <;|У2-"-я + ^1;2-,у-'| =
;=i у-1 у=/
= ,ЛЗ-2-"-11) = 1,
270. а) Вероятность появления события А т раз в серии
из п испытаний равна Ял(/я) = Сл —. Разность числа
появлений и непоявлений события А принимает значения —/г,
— (At —2), ..., —2, 0, ..., /г, если /г четно, и —л, — (/г—2), ...
..., — 1, 1, 3, ..., п, если п нечетно, поэтому в первом случае
Ml = -n±-(n-2)Cln-±r-(n-4)Ci±— ... -2.СГ!Х
Х^г + 2.с1 + 1.^г+...+«Слл.^г = 0;
аналогично и для нечетного п. ,
б) Если же рассматривать модуль разности числа появлений
п
пС2
и непоявлений события Л, то найдем М|Е|=. я*х при п чет-
л»
(я+ 1)С л
ном и М|£| = ^-^—при л нечетном. При л->оо, применяя
формулу Стерлинга, получим М|£|со у -^.
ею
271. М% = *rx< J л (1 - е-х0"-1 = е-"; D§ = е2Х< — ех'.
л-1
СЬ.ст-к "
272. Очевидно, Я{? = Л}=Л = ^-^; Aft=V*A =
***
rt (и _ 1 \
=jV(w-i)/ra(ff* — 1)=М;2 — Mg, откуда находим
189
лж*9 п(п— \)т(т— 1) , пт
МФ= д^(дг-1) + ~лГ> следовательно,
т=ттг—м х*
1— N
273. Пусть m — число вынутых белых шаров, тогда
т=0 т=0
В случае б) положим /я =//^-{-/тг2 + ••• +^/г» где /Ю/ —
число белых шаров, извлеченных из урны при /-том вынима-
нии, т. е. /я/=1, или 0 с вероятностями соответственно -^
1 м ЛА, ч л , м м— 1
и 1—^ ; тогда М(т19 т/)= 1 +"дГ'дг —i > следовательно,
так как во втором случае дисперсия меньше, чем в первом,
то уклонение от среднего меньше при вынимании без
возвращения.
274. Число вынутых белых шаров в первом опыте
обозначим через 5, а во втором —через у\. В первом опыте ^=^i + S2,
где %i — число белых шаров, вынутых из /-той урны; так как Ех
и 52 независимы, то Mt = Mlx-{-Mt2 и Д; = D^ + D£2;
1 AT Onh 1
Nri = 2N. — = Ny Dr\ = -^-; так как при а=£й + <Т '
то в силу меньшего рассеяния в первом опыте более вероятно,
что число вынутых белых шаров лежит в интервале (N — &,
N-{-k) с центром в математическом ожидании.
275.Ж5 = Р02*(ГТ^)
*(!+«) (i+2a)... [1+(£-1)«]
А!
fc=l
ХРо VI / I уи(1+а)...[1+(т-1)д] ,
^7j И _L «1 I wl I"
m /71
m=\
190
+ TTdkM^ откуда М1=\\ аналогично находим М2=^ + Х2 + °^2,
тогда D£ = X(l+aX).
276. а) Л«=/>1+2л + 3/>8+ • • • =Цл + 2л+ • • • = 2 Рт\
i>\ l>2 i>3
... =2(Я1 + 2Р, + ЗР,+ ...)- 2Я» = 2Ё mPm-^;
тогда /И = 2 £Рт-Л«(М? + 1).
т>1
оо оо
277. а) 2^рп=\=М \i(a + n)(a + n + l)(a + n + 2) =
"0=2^ТТ)'Пт-е-ж=2а(а+1);
оо
^ = 2а(а+1)^](а + и)(а + н^1)(а + п + 2)=а, т е. А = о,
значит, рп — (Л + л)(Л + /1+1)(Л + п + 2).
.оо
б) Л^ = Ж ^ (а + п) {а + п * ,} (д + п + 2) - расходится,
/1=0
следовательно, D£ не существует.
ю
33
35 *
л=0
к k
»)Р«<Ю)=24^](, + з)(.;4)(. + 5) =
2^>. 2(£ГШ)
278 а) ^ - *"* -х 1=L
2* mj№
i=\ i-1 ' ч '
где хт — наибольшее значение 5, так как все члены сумм,
кроме /гс-го, стремятся к нулю при /г-^оо;
б) аналогично.
л
279. (q-\-px)n = 2 Chnphgn'kxk. Продифференцируем это
fe=0
равенство по х и домножим на х; повторив эту операцию три
раза и, полагая х=1, получим М^ = пр + 3п(п— l)/?2-f
+ п(п— \){п — 2)р3; аналогично М¥ = пр4-7п(п— \)р2 +
+ 6п(п—1)(п — 2)р3 + п(п—\)(п^-2)(п — 3)р*.
191
280. Xj можно рассматривать как случайную величину,
принимающую значения х19 х2, ..., xk с вероятностями
соответственно -^, -^-, ..., -^-. Тогда MXj=m — среднее число
жителей на квартал: Л!(Хх + -^2 + ••• -}-Хг) = тг;
к 2 , \ k
t>i
так как все Х- одинаково распределены, то D(X1-{-X2-\- ...
...+Xr) = rDX1 + r(r-\)M{(X1-m)(X2-m)} =
= —^—j—-, где i — любое.
281. а) /?_2=/?2 = -^, р_1=р1 = —у р0-= —,
б) P-2 = P2 = -Q-> P-i=Pi=1-y^ ^0 = 0,
в) />_2 = /?2=—2Г~, P-i=Pi=—— • /?o=i —;
необходимое условие 4^ 5а— 6^0 и 4а^й^а^0, т. е.
4а>6>а, 0<а<4.
282. а) Пусть Я^—вероятность того, что длина очереди
в данный момент времени t равна /. Для того чтобы в момент t
длина очереди была равна нулю, нужно осуществление одного
из двух несовместимых событий: чтобы в момент £—I очередь
была равна н^лю и за промежуток (t—l, t) (открытый) никто
в магазин не пришел, либо чтобы очередь в момент* t—I была
из одного человека и за промежуток времени (t — l, t) никто
не пришел, так как в этом случае это лицо сумеют обслужить
и очередь исчезнет. Но по закону Пуассона вероятность
прихода 0 покупателей за единицу времени равна е~т, т. е.
P0 = e~m(Px)-{-Pi). Аналогичными рассуждениями получаем
Л = е-[(Я0 + Л)-^- + Я2],
умножив эти равенства соответственно на t°, t, tl, t3f ...
и сложив, получим производящую функцию вероятностей Pk:
192
ее
+ ^i(l + ^ + T+ -) + - +
= P0em(<-1) + P^'"1* + P2tem (t-1] =
em(t-l)
Po(t-l)-h^Pktk
ft=0
Полагая *=1, найдем Q(l) = \Vft=l = lim-
Яо (l-Q
,_! l _ fe« 0-0 1—m'
ft-0
т. e. P0 —1—m> следовательно,
Q^)=(l1i:]ila-o)- <•>
Дифференцируя (*) и полагая £=0, находим Л=(1— т)(ет— 1)
и т. д., вообще P/ = -^j-Ql(o))
б) Л1/= \ykPk = limQ,(t):
л-1
Если вновь пришедший покупатель обнаруживает отсутствие
очереди, но продавец занят, покупатель находится в голове
очереди. Если он застает очередь из одного человека, то его
время ожидания до того момента, когда он окажется в голове
очереди, равно времени, оставшемуся до конца обслуживания
покупателя, с которым занят продавец, т. е. является
случайной, величиной равномерно распределенной в промежутке (0,1),
следовательно, среднее время ожидания вошедшим, при
условии, что /=1Э равно T=~y единиц времени; аналогично при
1 = 2 среднее время ожидания Г=-у и т. д., следовательно,
r=yi2^-l ? m
2 ^k~ 2(l-m)'
283. Сходимость последовательности \хп) не является
необходимым условием сходимости {МЪп). Действительно, пусть,
например, последовательность [хп] ограничена: "|*Л| < С, но
не сходится, тогда М£л<— ->0, т. е. [Mln] сходится.
U Зак. 411 .193
284. Так как последовательность {хп} сходится, то она;
ограничена: |хл|<УИ, л=1, 2, ... Для любого е>0 найдется
N — N(e) такое, что \хп — а|<-^- при n>N. Выберем п
настолько большим, чтобы
pni<
4MN
. Рп*<
"2^ AMN '
р., <■
лЛ
4AW
тогда
|мя
^/>„(*,-а)
1=1
*=ЛЧ-1
откуда видно требуемое.
п
285. (См. предыдущую задачу.) Нужно вместо 2jPni(xi— я)
/=i
рассмотреть аналогично сумму £jPni(xt— а).
286. Я{0<5<1} = 1, P{|<0}Up{I>1}=0, F(x)=Fi(x) =
= P{t<X}; ПрИ Х<0 ^(^zzzO, ПрИ ЛГ>1 F(x)=l, При
0<л:<1 /7(л:) = Я{0<5<^} = ^; в частности, при х=\
имеем Я {0< £<!} = & = !, т. е. F(x) =x при 0<х< 1; итак,
(О при х<0,
1 , 0<*<1,
О „ х>\.
10 при д:<!0,
х , 0<*<1, /(*) = /"(*) = (
1 . *>1; I
1 1
Ml= \ xf{x)dx=\xdx = ±-; D%=Ux 1TJdx = -L
-оо 0 0
(Рис. 9, 10.)
у.
—-
П
S"FW
/\
1
У
yf(x)
X
Рис. 9.
287. Очевидно, f(x)
х)=\А
Рис. 10.
при *<;—1,
+ 1 , -1<*<0,
1— х , 0<л;<1,
0 , х>\.
194
Твгда
F(X):
О
(* + !)'
2
1 —
(!-*)«
при х < —1,
, -1<*<0,
, 0<х<1,
Ж? = Г (л*.+ х) Лс + f (л; — jc2) dx = 0;
—i о
О 1
D\= Ux*-\-x2)dx + Ux*-x*)dx=\.
-i
288.
о
dx
j/(*)rf*=l=A j Tfw = ^, т.е. A = 4;
— eo — oo
X
P{_i<5<i} = JL J.
dx
1+^2
Математическое ожидание не существует. Мода и медиана
равны нулю.
289. а = —, т. е. /(*) =
[^(l)]* = -5rarctg»^
290. а) А = у; /4*) = y(sinл — 1) при -\ <*< -J-
F(x) = 0 при л;< £-; /7(л:) = 1 при л;>-^-;
б) Ж£ = 0; D5=-£— 2.
291. a = i; А« = 4; Д5=4; P{|£-M$|<0,5}=-|.
292. Ж6 = 4" Г A:cos2Jcrf;c = 0, D5 = w~|.
12 2
293. Mg = ^ =4; DS = ( "^ =3, откуда находим
а=1, 6 = 7, т. е.
13* 1Эй
/(*)={* ПРИ !<*<?>
О вне этого интервала.
14- при 0<х<2,
294. а)/(х) = | 2 Н
О вне этого промежутка.
б) Мода х = 2; ^\xdx=--^[xdx, а = |Л2—медиана,
о а
ЛК;=4; Р{0,5<5<1,5}=у. (Рис.11.)
1
1
0
i
^ ^i
Рис. 11.
X
1 * ^
1
0
,
/
к4_-
[ 1
Рис. 12.
10 при х < О,
л;8 , 0<*<1,
1 , д:>1. (Рис. 12.)
1 3
Мода х = 1; а=-£ медиана; М1=-^.
у 2
296. Л = 1, МЕ = 1. Мода * = 0, медиана а = 1п2.
297. Ml = a\ Dl = 2a*.
298. Mv =
^[Л-^Л = -4=; D* = i(i--iV
299. Функция распределения времени работы станка до
остановки
F{t) = l-P(t) = l-e-<; M$ = i; Dl=±r.
m.f'(x) = ak(x-x0) a~\r+k\*l%Y*^ ' °ТСЮАа На"
ходим моду хт = х0-{-\ а~ \ . Обозначим медиану через
L («+ 1)Л J
Ж, тогда
196
С ok(x-xo)—1 . 1 _ 1
J [l+Щх-ХоУЧ* 2— l + k(M-Xo)«'
м
l
\+k(M — x0)a = a, т. e. M = x0-\-(-j-\
a
301. A = 2h\ № = -*£-; D% = ^-^- мода * = -^W
_ /in 2
■ псдпапа
~ (In X—a)2
а = -^-т медиана.
302. Ml
= —\^[e ** dx = e" 2; Л1Р =«*+**;
Z)6 = /•(«""-1)^.
о Ж'
303.
а2 а
/£2 - Д2
2 (In 6- In a) *
804,Af|5-Aff|=«|/|=V^.
305. Пусть ? — число очков, выбиваемое при одном
выстреле. Тогда
1
VT 1 VT
л/ffc 8 Г dr. , 6 f rfr . 4 f dr 16
Af6=lTj Т+75- + 1Г JT+TT + Irj Т+^ = т0™'
о _i_ l
VT
так как число очков, выбиваемых при пяти выстрелах, равна
сумме пяти случайных величин, распределенных по закону 5,
то M(nS"l)=f.
306. М(Ы = 2¥-.Ц±; D{w = <" + * + W++" + ^
(а + 6)2(с + ^)2
16
307. Пусть А и В —любые числа, большие 0. Тогда
в о в
J jcrf/^jc) = j JctfF(;c) + j jcrff (jc);
-A -A 0
интегрируя по частям и .переходя к пределу при А -»оо
и В-^оо (независимо друг от друга), мы получим требуемую
формулу. (Рис. 13.)
197
(О при г^.0,
(if)2' . 0<r<R,
1 , r>R.
309. При_^9<0 F(<f) = Q, при <?>* F(<f) = l, при 0<<p<*
/>(1св|<т)=р{т<т<-т}=7г=°.707- (рис- 14-)-
Рис. 13.
Рис. 14.
310. Фиксируем произвольно одну из точек. Тогда
вероятность того, что расстояние по меньшей дуге большого круга
до другой точки будет меньше ху равна вероятности того, что
вторая точка попадет на поверхность шарового сегмента
•с центром в первой точке, осевым сечением которого является
дуга х, т. е. Р(л<^х)=-
Таким образом,
F(X):
^- = sin2-f
5сф. г
sin"
при л;<0,
, 0<*<я,
1
Щ = -
W--
X > те.
311. Напряжение сигнала ^/с = ^70 sin (ш^ -f- To) > напряжение
помехи £/п = £/0sin(o>£-}-cp0-{-<p); плотность разности фаз
-, ч (i при \х\<*'
£/1 = £/с+ £/n = 2t/0cos | sln(<D/ + T0 + |) ;
P=p{2t/0cos-|-<4-^o} = 0,16.
198
312. т] = a sin ев?;
/П*) =
-£- при l*|< —, ЛЬ) = 0;
0 . |*|>1J" ^ = 4
313. Будем считать для определенности, что a>&. Мода 5
есть; очевидно х = 0;
о a
-ft О
1 (а~ хм)2
Пусть л:^ —медиана. Тогда Р{£ >хм\ = у= д(я + ^ , откуда
2д&-4а*ж + а*-а6 = 0, т. е. *ж = а-]/^±^-.
314. Пусть к — длина волокна, М\ = а, D£ = a2;
^ch>e)="F<xi«>-}
E>aj P{t>a)
= 2P{a<Z<x}
_ P{a<t<x) _
x __ (z-a)*
£ az при л:> a
•>^2
«5SJ
(г-g)3
*{%>a) = ° "!-'<«• '■5<e).-77Bj»" " *•
поэтому
x£ 2aS dx = a
тогда
\ |5 > W a/27ij ' /2tc
a/2* Г ic a
315.
| _P{0<JOf}__ Г
S>0/ P{?>0} — ^ja^W.
p\t<x
M(*\z>o)=2$xdF{x)-
199
a
Пример: ^(5|?>()) = 2-^j^ = -f.
О
(*-«)'
7И:
6 ,
а 1^271 J \ Iй/ аМ/2^ ' \ \Ь)
_ (fr-g)3 _ {Ъ-вр
317. MS = j. д2 + ^ + *2; D5-^-(&-a)2(4&47a&+4a2).
_£!
318. Д(д;) = _1=^ 2; Я {|51< 6} =0,86638; Я(|5|>6} =
= 0,13362. а) рг = 0,9972; б) Р{0,5<Е < 3,5} ^0,2595; /?2 =
= 0 2227.
319. 'M<f = M(J-Msina = 0,U5yad; так как ЛГ£/=0,18,
тИ sin a = 0,637; MU2 = 0,03267; D£/=0,00027; Ж sin2 a = 0,5;
£> sin2 а = 0,0942; D<p ^ 0,0032; аср ^ 0,056.
320. А = £/.Гсо8в+КГ—Д, МА=КГ—Д, DA = ^p.
321. (См. задачу 310.) Вероятность паре точек иметь
угловое расстояние меньше а равна sin2у. Из п точек можно
п(п — 1) АЛ п(п—\).9а
составить —^—- пар, следовательно, Му = —^—Lsin2y.
322. Если допустить справедливость гипотезы, то МЪ =
а + Ь 1 ~fc (6 — а)2 1
—g— = -2", т* е* д* = !2 =~12"> т* е* * равномерно
распределена на промежутке (0,1). Но тогда вероятность 6 раз
принять значение на промежутке (0, 9; 1) равна 0,000001, т. е.
весьма мала, следовательно^ осуществление события со столь
малой (при данной гипотезе) вероятностью говорит о том, что
следует отбросить эту гипотезу, либо усомниться в точности
информации о значениях Ml и DI.
100
(дг-2,5)3
10000
323. /{Х) = -Щге' 1 ; Р{|£-а|<а} =
е dz =
100 С 2 1иши ^ 2 f
/2те J /2те J
а-о 0
= 2ф(-^)> 0,997, т5о>2,96, т. е. 2,47 < а < 2,53.
200
324. a = 8,59 — 8,41,= 0,18. Пусть £ — длина скорлупы
мелководных крабов, 7j — длина скорлупы глубоководных крабов
С=т]—Ь
Если считать отклонение случайным,'?, е. распределения Е и ^
одинаковыми, то М^ = МЬ — ЛЛ1 = 0, тогда
Р{|С-ЖС|>Зас} = Р{|С|>0,18}^0,003;
так как это маловероятное событие произошло, то следует
считать результаты опыта очень плохо согласующимися с
допущением одинаковости распределений £ и vj, т. е. следует
считать, что причина расхождения — влияние среды.
325. Частота рождения мальчика -^= 2644757 =Q>5141>
Так как число испытаний /1 = 2644757 очень велико и
испытания независимы, то случайную величину, являющуюся числом
мальчиков из п новорожденных, можно с большой точностью
считать распределенным по нормальному закону со средним
пр и дисперсией npq:
(т — пру
Pn(m) = -7=L=e~ 2n™ ,
следовательно, частота jx = — будет случайной величиной,
распределение по нормальному закону с параметрами р
и V ^пт ^ак известно» с вероятностью, большей 0,997,
уклонение нормальной, случайной величины ц от своего среднего
будет меньше Зо = 3 ]/^<3--^^0,00013, поэтому 0,5132 <
<р<0,5160 с вероятностью, большей 0,997.
326.
— оо — оо
/2» J
— оо
отсюда видно, что при k нечетном все моменты >ft = 0, при k
четном (к = 2п)[12п=(2п— 1)!!а2«.
327. Обозначим расстояние частицы от отражающей стенки
через £. Тогда ее перемещение из начального положения х0
есть случайная величина ц = Ъ — х0, принимающая значения
от — хя до-{-°° с плотностью w(x-{-xQ), поэтому
201
My] = М (? — х0) = [ xw(x-\- xQ) dx =
Y2Dt
_4_ г- с -xt
M(S — x0Y = 2Dt — 4xQY^e *Dt + 2jc0 ]/ \ J e 2 dx.
328.
Г / 1\ Г(а+1)Г(4)
1=C (1—л:2) Лс = СД(а+1, «-) = vil?
-l
K)
Г(а+1)Г|
1 a 1
— t)" dt =
w
Л*6 = 0; Л£ = С Г xa(l— x*)"dx = C \t2 (l—t)
329- y=-w=wx~me x> y'=-(k=we ^-т-2(-^+т),
отсюда находим: мода хт=£; ^5 = ^^; D% = Гт_2)Г(т_3).
i-_1 2jC
330. 1—y0 1 (1+^-) £ a dx; сделаем подстановку
2
a , 2
x = -2-t — —, тогда
1 J^j у ^т{±) Г^
1^2 = 1» U<s = a, н-4=2-а2 + 3.
332. Для первого метода D(2£) = 4D£ = 100. Для второго
метода D (т]х -f- vj2) = Dt^ -[- Dv)3 = 50, т. е. рассеяние при втором
методе меньше, следовательно, он предпочтительнее первого.
333. Пусть m и М — соответственно наименьшее и
наибольшее значения £, тогда
202
D\ = Ml* — (Mlf < M Z* — (Ml)* +
Равенство возможно лишь в том случае, когда £ с вероятно-
стью 0,5 принимает два значения: т и М.
334. Положим у = max (хъ х2). Очевидно, F7l(x) =F* (х).
оо со , х _ (z-a)2 х
Mri = 2 <[xFi(x)dFi{x)=^: {"■*( f « ^ dz\dx = a + -?=-,
— оо — oo\ — оо /
336. Пусть х < 1. Тогда
оо Ух оо
0<; lim х \—dF(u)= lim х \ —dF(u)-\- lim х \ —dF(u)*C
*- + () J и ж-+0 J " дг-.+0 J "
х х Yx~
< lim y^j/^/Jc) — F{x)}+ lim /jc(l— F(]^c)}=0.
337. Обозначим искомую вероятность через P(t),
вероятность попадания в счетчик т частиц за время t — через qm(t)+
(at)m
qm (^)=i—'—e-at по условию, где а — среднее число частиц*
попавших в счетчик за единицу времени.
1) Пусть 0<*<t; тогда />(*) = ft (*) +ft (*) = *"e'0 +at).
2) Пусть t > x; тогда
P(t + U) = P(t)q0(U) + P(t—t)q0{x)ql{U), (*)
д0{Щ = е-°»=1-аМ + о(М); ^0(x) = e-«; fc(A*) =
= аМе-а" = аМ(1—аМ + о(М)) = аМ + о(М).
Подставляя все это в (*), найдем
P(t + At) = P(t)(l— aU) + P(t — ъ)е-а*аМ + о(М),
т. е.
Р(<+АР;~Р(° =-aP(t) + ae-a*P(t — т) + о(1).
Переходя в этом равенстве к пределу при Д£->0, получим
*ZgL + aP(f) = ae-atP{t—z)
—дифференциально-разностное уравнение. Сделаем
подстановку P(t) = e~axTz(t), тогда получим ^ =ак (t — т).
Интегрируя это уравнение по t в пределах от т. до t, найдем
n(t) = a [v(z — i)dz-\-K (nx).
Для 0<£<х решение уже было получено в 1). Пусть
т<£^2х, тогда 0<t — х<т. Из 1) находим
K(z — %)=eaxP(z — т) = 1+а(г — т);
2оа
тогда (считая /1=1).
t
1
Для т<*<2* P(t) = e~at [l + at + а"(' ~ т)2 |. Аналогично
находим
Далее по индукции получим для любого промежутка (0, t)f
где л£<£<!(/г+1)т:
PH=«-(i+S ""',<'+■?'*'[
338. 1) Пусть F(t)=P{t0cT<t]. Тогда Р {*<*«* <* + **} =
= /7(^+Д^)— F(t)^F'(t)M + o(M).
Но, с другой стороны, для того чтобы £ ^ £0ст ^ £ + Д^, нужно,
чтобы прибор работал до момента t и остановился в течение
промежутка времени (t, t-\-M), т. е.
P{t<tOCT<t + M}=[\-F(t)][<?(t)U + o(M)],
следовательно,
F'(t)M+o(M)=[\-F(t)] [<f(t)M+o(M)}, или Tg^L. = 9(t)dt
Интегрируя это равенство в пределах (0, t) и учитывая, что
F(0) = О, найдем
t \t
- ^<p(z)dz - j 9 (z) dz
F(t) = \-e ° ; F'(t)=f(t) = <t(t)e °
j) ^№, t2;— i_f(*!) — i-f(^) —!-« «.
339. P{ln<x} = Y]P[xk<x\ при л>0 и P{ln<x}=0
k=i
при *<0, т. е.
О при х^О,
"v * (1-е-*)» „ *>0.
Положим an = lnbn. Тогда
Я{^-а/г<^}=ФЛ^) = /7Л^ + 1п&/г):
О при х<—1п*л
(1-*-*&„)" , х>-1пра
откуда видно, что существует бесконечное множество систем
постоянных ап (например, ал = 1п— = — In/г) таких, что Фп(х)
204
f 'e~x\n -x
стремится к предельной функции: (1 1 -*е~е при
/г->оо, —оо<л:<ор, и т. п.
Для этого, очевидно, нужно, чтобы при п -> ро порядок Ьл
был равен —. Если Ьп имеет более высокий порядок малости,
то Фп(х) «стремится к е(—оо)», т. е. предельного закона не
•существует. Если Ьп имеет более низкий порядок, чем — , то
•Фп(х)-+е(+ оо) — тоже нет предельного закона.
ш.РЛх)=Р[1я<х].=) о «р-*<|.
1(1—*-«)" , *>1;
К1*) = Р{%<х} = ГшМ=\
при х< —
[1-(а„*)-]'
*>х-
поэтому, полагая ап = сп , где £—положительная постоянная,
получим
Ф^х)=[1--Щ^]\е-^Га при х>0 и Фя(*)=0
при а: <0.
0 при л: < — 1,
,2)/'iWHll-(-*)T , -1<*<0,
1 . л>0;
О при д: < — —,
">„(*) =
[1-(-апх)Т
1
л>0.
««'=-г. (* > 0). фп (*) -» е-<-«>" при ^ < 0; Ф„ (х) -> 1
п*
при х > 0.
341. Пусть л;<0; тогда
во оо
— *= j -(У-■«) Л7(У) < j (y-x)dF(x),
поэтому *2<J f (j> — x)dF(y) J . Применяя неравенство Бу-
няковского—Шварца, получим
= [1-П*)](°2+*2),~~
205
откуда ^(*)<-^qrj2- ПРИ *>° *< J (л: — у)^/7(у),
— оо
*'-< ]dF{y) ]{x-y?dF{y) = F(x)(f + x\
— оо — оо
т. е. F(x)^-s^.
342. Пусть /(*) — плотность £; тогда f(—x)=f(x) или
1—F(x) = F(— х)у где F(x) — функция распределения £.
Пусть Fx(z) — функция распределения у\х:
( 0 при z^x,
Fx(z) = \f(z)-F(-x) , -X<z<iXy
{ 1 ш z>x>
т. е. Fx(z) имеет плотность fx(z)=f(z) при |2|<л; и два
скачка, равных F( — х) и 1—F(x) в точках z = — x и z = x
соответственно, поэтому
Мъ= $zdFx(z)=g(x)=-xF{-x)+x[l-F(x)] +
— оо
X
+ §zf(z)dz;
— X
дифференцируя это равенство по х, найдем gf(x) = 2xf(x)9
откуда f(x) = -^g'(x).
оо оо
343. 0 = М1*М1*-(М13)2= \x4F{x)\ x*dF(x)-
(оо \ 2 °° °° *°
J x4F{x) J =1 J *W(;c) j y«rf^(j;) +1 j y4F{y) X
•• / —oo —oo —oo
•o oo oo oo
X \x*dF{x)- j xx4F(x) \yy*dF(y) = ± \dF(y)X
M OO OO OO
X ^ [х*у*+хУ-2ху*х*у] dF(x)=±- [dF{y) Uxy2-x2yfdF(x),
— oo — oo — oo
отсюда следует, что внутренний интеграл, являющийся
неотрицательной функцией от j/, может быть отличен от нуля
лишь в тех точках, где F(y) — постоянна; но
оо оо оо
\(ху2 — x*yydF(x) = y* §x*dF(x) — 2ya §x4F(x) +
— оо — оо — оо
оо
+ у2 j xidF(x) = ay2(y— l)2;
— «о
206
так как а^О, то 1) при а>0 эта функция обращается
в нуль лишь при у = 0 и у = 1; зндчит, лишь в этих точках
F(y) может расти, т. е. £ имеет только эти два возможных
значения;
2) если а = 0, то £ = 1 с вероятностью 1.
348. Пусть имеем какой-нибудь отрезок длины \ с
центром в точке х; тогда вероятность попасть в него равна
х+т
f ср(г, Qdz. Вероятность того, что центр цели находится
i
Х~Т
в интервале длиной Ал: с серединой в точке хп, равна f(xn)kx,
тогда
i i
/>=Шп 2/С*л)Л* J ?(*, l)dz = ^f{x)dx j >(z, gjtfe.
л" "2"
^11
п=\
I О
349. -а) /^(г) =
2а"
2а/2*
е " du-\- \ e
Х~Т
z (и+аУ \
iz-af
(z+a)>
JxK } 2о/2я » ^
Рис. 15.
б) Пусть а=\\
y=/iW; У' =
2/2т
(-У-1)3
(дг+1)а1
-с*—1)* ,-(*+!)*
т. е. л: = Шл:, л; = 0— одна мода;
2) у=-Ц {*-<*-!У + е-(*+1У},
2 У тс
V = —^ {-2 (х — 1) е-(*-П' — 2 (jc + 1) «-(■*+«'},
У = 0, т. е. x = Va2x.
207
Кривая y = th2x с прямой у = ху кроме начала координат,
пересекается еще в двух точках: х0 и — х0. Все эти точки
экстремумы функции у, но в нуле — минимум' плотности,
а в точках х0 и — х0 — максимумы, значит, плотность
бимодальная (рис. 15);
в) при о8 > а2 — унимодально, при а2 <а2 — бимодально.
350. Разобьем всю вещественную ось точками , 2_„,
2_я+ь ..., z_b 20, zu ..., zn, ... на части, тогда искомая
вероятностьч равна
р= Ит ^ p[y*<zn-u zn-\<xm+i<zrh zm<y^+1} =
mixl^-Vih°i«
oo
= тахиПТ , 0 ^ P[y*<Zn-l}P{y*+l>Zm\P[Zn-l<X<Zn} =
тахГ«~2лЛ I ~*u л=-«
oo
= lim 2 Fy {zn)\\-Fy (z„)] X
Х[^щ+1(^)^^щ+1(*.-1)]+ «(!)} =
•о
= |/=,11(^)[1-^+1(г)]^т+1(г)) где Fr.{z)=*P[yfL<z} =
— «о
= P[y1<z,y2<z, ..., у^<г, y^+1>z, ..., Ул,>2} =
-СЛ[Я{5<г}],1|;1-яи<2}]лг-,1=а[/?(г)П1-/?(*).]лг-е;
F»+l(z) = C%+1 [FizW^ll-Fiz)]"-*-1;
Fm+i(z) = C?+1 [F(z)]m+l [l-Fte)]*-"1:
351. Пусть N — любое число больше нуля. Разобьем [-N, N]
точками Jf_n+i < л;_л+2< ... < дг0 < хг <... < хп-\ на 2га
произвольных частей и обозначим через
PN,n= 2 ^{4<-«k, 9,<^k, .... «..<■**, *k<5 <**+,} =
fc—-rt
Л
- 2 M**)^*»)- • -KJXk) [Fxk+1)-F(xh)l
Л=—л
где Fy (x) — функция распределения случайной величины у.
Искомую вероятность обозначим через р. Очевидно,
+ /МЧ>Е.Ч>»1. ...9ц>Ът]=Р(А)+Р{В).
208
Пусть
PN(A) = /> [А1ЬХ< N,...,Bm<N\=§ F^x)Ftl(x). ..F„m(x)dF,(x),
—N
oo
P(A)= lira PH(A)= $ Fn(x)Fi(x):...F, (x)dFt(x).
N-+ oo _00
oo
Аналогично находим P(B)= J Fe{(x).. .F9m(x)Fi(x)dF (x\
т. e.
P= ]FBM...FBJx)[F7l(x)dF,(x) + F,(x)dF1l(x)}.
В случае Fi(x) = F7i(x) = FBl(x) = -. . = Fbm(x) получаем
oo
p=2 J [F(x)]n+1dF(x). В частности, если ^(x) имеет плот-
— oo
2
ность, то, очевидно, /> = ^Г2".
352. Fn(y) = P{yl<y)=P{at + b<y)=P {at <у-Ь\;
1) а>0, Я{а£<у-6}=я{|<^} = /^^;
2) а<0,Р{а6<^-*}=я{б>^}=1-^(^+0); *
(О при у<Ь,
с вероятностью единица равна 6; таким образом,
Vfr*) прил>°.
1-^(^+0) . а<0,
где e(ft) — функция распределения несобственного закона.
Если £ — непрерывна, т. е. имеет плотность, то,
дифференцируя Рц(у) (при а =7^=0), найдем
353. а) (См. предыдущую задачу.) /1)(^) = -5-дШ, —2а<
<У<2а;
б)/,<У)'=4л(-|). -2&<у<-2а.
355. Т^-д^Г—32). Обозначим через ф(^) плотность
распределения ошибок, приспособленную к шкале Цельсия; тогда
14 Зак. 411 209
1*М=\
356. f,(jr) = P(4<>|=p/-i-<jf}=l при.у>0;
ЛСЙ = />(К-£}=л(-±)-
= ^-(-У)а при J/ < 0.
357. Через ^(.к) обозначим
функцию распределения
полярные. 16.
ного угла точки М, через Ф(д:)— функцию распределения
абсциссыЧочки М (рис. 16). Тогда
0 при л:^ — тс,
х + *
F(x) = \
1
— 7Г < X < ТС,
^С>ти.
Ф(3/) = 0 при у<— /? иФ(у) = 1 при у>/?. При —/?<у</?
®(y)=P{£<yf=p{-ir<T<arccos|} +
+ Я |тс>ср > arccos ^I—./m-— arccos ^-) —
arccos тг
—/7(—тс) — Z7 (arccos jr) = I —
/»(-f<e<S) = .(4)-.(-f)=f
358. а) При *<0 /ге(х) = 0, при *>0 £ = arctg<p,
Ae(x)=4arctg^;
б) Fe(A;)=iarctgJ, -со<*<со. (Рис. 17.)
210
359. Пусть Ф (у) —функция распределения площади круга.
Ф(У):
при У<т,
b — а
1
па* . ^%Ь*
360. Пусть А" = h(у) — функция, обратная y = g(x). Она
также монотонна и дифференцируема. Тогда Я{л;<£ < х-\-кх)
равна Р\у< г\< У + ДУ) либ° ^>(3; + ДУ^71<У} в
зависимости от того, будет ли &у>0 или Ду<0. В том и другом
случае
fi(x + b^x)^x=fn(y + b1Hy)\Jiy\9
где 0 < 6, Ьг < 1, откуда
Hm/4(jf + eiAy) = lim/6 [A(j/) + e2Ay]
361
=Л[А(У)]|А'(У)|.
. 1)^=г/(^),0<^<оо;2) £/(у), 0<j/<c»;
3) 2У/(у*),.0<у<оэ; 4) j/(lliy), 1<У< оо;
5) y/(lny), 0<у<1; 6) &f{&\ -co<y<co.
£1
2а* .-
3/—
362. (См. задачу 360.) /е (х) = — е «"/ч = g», А (у) = /j,,
у2/3
2а»
"_з'/?
» ./IV
363. Пусть А-
/(*) = •
' 0
Й?
0
У) — я с
За ^у2 ^2тс
-длина хорды,
при *<0,
„ 0<*<2Я,
„ x>2R.
a = 2arcsin go*; обратная функция будет
* = 2/?sin-£, т. e./.(jf)=2^.^cos|- = -jCOS-|, 0<j/<*.
(Рис. 18.)
- 364. Ф(у) = у при 0<J/<1; Ф(у) = 0 при j/<0 и Ф(у) = \
при j/> 1.
365. Я{т|С(у, У+АУ)}=2/>{хл<л<^+А^}1
ft
1-4*
211
где к пробегает номера всех ветвей обратной функции
для y = g(x), которые мы обозначим Xk = hft{y)\ тогда
(см. задачу 360)
Л(у)=2/аму)][ад].
к
. 366. 1) Д (*)=/(*) при -со < х < со, Д (y) = -Af-f (tg у),
2)/,W=/W на (-£, -J), /,W = rq^t/(arctgj/),
— со <^< со;
3)7,W=/W . (-oo,.oo),/40;)=/(jf)+/(-y),
0<у<со;
-4)Л(х)=/(д:) , (-со, со), /4(j,) = _^=[/(V7) +
+ /(-KJ)], 0<У<ор;
б) Л <*)=/<*) . (С со), AW=_i^/(7JT),
0<У<оо;
6) /,(*)=/(*>■. (-», <»)* /, Ы= ,„,,_,. X
x[/(-l/S)+/(/S)], 0<,<1;
7>/«<*)=/(*) . (-/?. *).-/, (у)=тё^х
x[/(-/^=7)+/(/^-7-)J,0<j;</?;
8) Д (*)=/(*) , (-со, оо),/Су)= , ' X
• x[/(-/lnj)+/(/tal)],0<jr<l;
9) Д <*)=/<*) на [-£, i], Л(у) = -7А=х
X £/[^ + ^arcsin|],a<y<a.
Л — — ее
_ (£—1000)»
367. а) / = 2*r, /r(*) = __I_e~ °'5 ; /,W =
(^—200071)»
* 2те*
= ,—7=* '
71 У 1С
|(Т^~у—IOOOtc )а _ (/7 + IOOOtc)2 |
.- » +.-■•«■ ).
212
Ж.ц = ?;Му) = -
2У2*у
\е 2" +е
(/7+g)2
2а»
0<>/<оо.
369. Пусть стержень расположен на отрезке [0, /] оси ох,
а абсцисса точки разлома £. Тогда f% (х) = т, 0<л:^/, S =
= jc(/ — x) = lx — х2; обратная функция
есть * = А1.,О0=!^р32., Л(У) =
при 0<.у < у и нулю вне
Рис. 19.
— / //2 _ 4у2
этого интервала. (Рис. 19.)
370. По условию, угол х есть
случайная величина,
равномерно-распределенная на (—тс, тс), т. е. fx(x) = ^ , при
*6(—4 я) и/Л*) = 0^ иначе; r=|tg.x|,
обратная функция .x = arctg (±у) = /гл-harctg у; л7 = ± . , 2 ,
тогда
оо
/rCv)=rT7 S/^(raw±ardgy) = '^T7)' °<-v<°°>
и /г(у) = 0 при .у<0 (из суммы остаются только 4
слагаемых при п = 0,1, либо 2 и соответствующие комбинации зна-.
ков к каждому из них).
371. Пусть I — хорда, тг] — ее ордината; при х <0 ft (л-)=0,
при x>2R fi (х) = 0; пусть 0 < х < 2/?, тогда £ = 2 КТ?2"^* f
Л М=7*=Т [Л (- /^?) +Л (/*==?)];;
НО
■Л 00 =
Следовательно,
/*(*)=■
( 0 при у<0,
^ , 0<у<#,
0 , y>R,
:, 0<X<2R.
R/RZ—x*
372. Обозначим диагональ MN через £/; £/=2acos-|-, a~
перпендикулярную диагональ — через V; V=2а sin 4-, тогда
.My^/flAOOlltfOOl, гдеЛ<у)=-7при|-<з/<| и нул
вне этого интервала, т. е.
ю
213
Л,(у)=
7^== при 2acos£<y<2acos£;
2a sin -^ < л; < 2a sin -^ .
it /4a« — л:2
373. „ = 720^ = 200 £-к, s = arcsin >n a, .' =
г; cos a
> A-W=9T
1/ COS X
^cosa:
J_
2t: ?Лг2_1/2 sin2 x те >Л —100 sin2 x
1
^2 —1/2 sin2 a
при — arcsin -^ < x < arcsin -^, т. е. при — arcsin ^ <
< a: < arcsin y^ .
374. j/= ■/"*, обратная функция A: = A(j/) = yn,
Л(у)=Л(уя)л|уГ1=-^
Г.
2
ИЛИ
/Ну) = i-
1 -£
е 2, /£(*)=.
пУ2т.\х\ п
375. ЖС =1,9; Ж2 = 4,9; DC =1,29.
376. М£ = 0,55; My) = 0,10; D£ = 0,2475; Dy) = 0,59;
Л1[(6 —Ж6)(ч —Жч)] = -0,055; г^0,144.
377. Величина £ имеет следующее распределение:
величина yj:
1
/>
0,01
0,10
0,02
0,40
0,03
0,30
0,04
0,20
Ч
Р
0,002
0,11
0,004
0,48
0,006
0,30
0,008
0,11
М{\, ч) = (в, *); а = Ж| = 0,026; Ъ = 0,00482; DI = 0,0000086;
о5=0,0093; «,, = 0,00159; М(£.ч) = 0,0001274;
214
378. Закон распределения £:
р
0
0,004
1
0,008
2 3
0,017
0,098
4
0,176
5
0,262
6
0,232
7
0,129
8
0,062
9
0,12
закон распределения ij:
Ti
р
—1
0,072
0
0,102
1 |
0,826
М\ = 3,249; Dl= 19,401; Мт)=0,754; Dr)^0,330; М (|ij) = 3,960;
/ft, = 2,449746; г5л ^ 0,382.
379. ЛК = —6;.D; = 4D£ + 9£bj —ШГе, = 29.
380. од = 1,2; <»д=1,1; /Сю = годвв = 0,44;
0^ = ^ + 4 + 2/^^1,88.
381. Пусть ^ — случайная величина, принимающая
значение 1, если данное изделие, взятое наперед, обладает
дефектом А, и 1 = 0 — в противном случае. Аналогично ^=1; 0
в зависимости от того, обладает или нет это изделие
дефектом В. По условию, Р {1 = 0, ij = 0}=0,95; так как Я{£ = 0} =
= 0,97 = Я|| = 0, .т) = 0} + Я{| = 0, т)=1)=0,95 + Я{£ = 0,
т]=1}, то Р {1 = 0, т)= 1} =0,02. Аналогично находим Р (1 = 1,
т] = 0}, = 0,005; Я{6 = 1, тг)= 1} =0,025. Таким образом,
совместное распределение (£, т]) задается таблицей:
*1
1
0
е !
1
0,025
0,005
0
0,020
0,950
Тегда Af| = 0,03; Afg» = 0,03;, D£ = 0,0291; Mi\ = 0,045; Мт;2 =
=0,045; Dt) = 0,0042975; /fo| = 0,02365; nn = 0,669.,
382. Я(Л)=0,06; Я(Л) = 0,94; Р(В1А) = 0,04; Р(В/А) =
= 0,01; Р(ЛЯ) = Я(Л)Я(Я/Л)=0,0024; Р [АВ] -0,0094; Р(В) =
= Р{АВ) + Р[АВ) = 0,0\.
Пусть £— случайная величина, принимающая значение 1
нли 0 в зависимости от того, имеет место дефект А или нет;
215
y)=1 или 0 в зависимости от того, имеет место дефект В или
нет. Тогда распределение (£, vj) задается таблицей
ч
\ 1
1 0
е 1
1
0,0024
0,0576
0
0,0094
0,9306
М£ = 0,06; Mg2 = 0,06; £>£ = 0,0564; -Af (gij)=0,0024; АЬ] =
= 0,0118; Л*ч» = 0,0118;£Ь| = 0,01166076; oe^ 0,2375; e,-.ss;0,108;
r£n —0,0936.
383. Мхх+Жл;2-ЬЖл8 = 3; Dx =Af[(^-AkQH-(х,-Мх,) +
+ (*3 — Mxs)Y = DXi + Z^2+jDjc3 + 2r12 V DxtDx2 +
+ 2ги У Dx1Dx,-+ 2r2S V Dx2Dxz — 2,086.
384. Положим ri = al-\-(ri — al)=-q1-\-fi2; М(1ъ) =
= Ж [6 fo-аб)] = Ж (&,) - аЖГ; Л* (Ы = 0, тогда а=^-*
так как %=а|, то ^,, = ±1, что и требовалось доказать.
386. М Цг,) = аМх2 + М (ху); положим Af (ху) — 0; Тогда'а ==
= 0,16; Di\ = a*Mx* + M? = a2D| + Dy, т. е. Dy=22,44.'
387. ЖС = аа + р6 + Т; /Х = <А»+р»о£+-2аргоЛ.
388. Пусть | = 1 или 0 в зависимости от. того, произошло
событие А или нет. Обозначим Р(А/В) = Р (В/А) = Рг. Тогда
P(AB)=pPl, P{AS]=p(l-pt), P{AB)=Pl{\
P(AB)=l—2p+pplt
т. е. совместное распределение (£, •»]) задается таблицей
■Р),
ч
1
0
е
N J
/>Л
/> (1 -Pi)
0
P(l-Pi)
l-2p + pPl
Следовательно, Ml = My) =/?, Dfc = Dr\ =p (1 —/?), M (bj) =
*p + r(l--p).
389. 0,997:=-ж5гДО«
" 27»K^-a)8+(y-W
dxdy.
Положим радиус искомого круга /?, л: — a = opcos<p,y — & =
: opsin?,
216
0,997 =^-ftfcpf* 2Ptfp=l_* 2aa, т. e. e~2°' = 0,003.
По таблицам функции ?(■*) = Г7Г- е 2 находим /?^3,4а.
oo
390. a = ^; /E(*) = J/(J£, у) д?у = я(1^2) - закон Коши.
— во
Так как на всей плоскости f(xf y)=f^(x)fn(y), то случайные
величины £ и V) независимы.
391. Л(х) = 1— *-«*, /5(*) = «*-«*, /гч(у) = р^у.
Очевидно, F(x, y)=zFi(x)Fn(y)y т. е. £ и tj независимы;
392. Жр = Г Г УР+7 / (х, У) dxdy = ^ Г cf? J rVr = 4 a;
О 0 0
393. Л*Е = ]>Ь. », = Я{е = *} = |] «!(«-* -»). X
Х/Г(1-;-Г-и=^2;^рХ
X qm (1 — р — qf-k"m = Chnpk (1 —p)n~h%
т. е. £ распределена по биномиальному закону. Аналогично
и г\. Тогда Ml = np, Mr\ = nq, Dl = np(\—p); Dri = nq(l—q);
Ж(£,) = 22 k{nu{nTk-m).^W(1 -/>-*)"-« =
Aj-0 m-0
л я—fe
=2ЛС^* 2отСпЯ,-"^(1 -'-?)"
Ь=0 /я=0
так как
л—Л
/гс-0
то, дифференцируя это равенство по q и домножая на ^,
находим
п—k
q(n — k) (1 —p)n-k~1 = 2 mCZ-kqmr"-k-mt
m-0
217
следовательно,
п
м (1ч) = д^Цп-к) cknPk (1 —р)*-*-\
А = 0
так как
п
2 ^/»*(1-/0"-* = (1-/>+/»)"= («+Ж
• fe=o4
то, дифференцируя это равенство один раз по а = 1—ру
а затем по р и домножая на р, получим М (£ij) = п(п — 1) pq. На
K^ = M[(l-Ml)(yi-Mri)] = -npq,
тогда
г* = *^— — - "l/ ^
394. а) Для того чтобы N=n, K = k, нужно, чтобы k из п
изделий оказались бракованными, но не обнаруженными,
а /г-j-l-e изделие—дефектным и обнаруженным, т. е.
P[N=n, K=k)=Pnk = Ckn{qqf)kp"-k-qpf;
б) суммируя РПк по k, найдем P{N=n], т. е.
вероятность того, что до первого обнаружения брака пройдет п
деталей:
п
P{N=n} = yipnk = qpf(p + qqrY = {\-qPrqpf.
Суммируя РПк по всем n>k, найдем P[K=k), т. е.
вероятность того, что вообще будет не обнаружено К бракованных
изделий:
оо оо
Р \к=к) = qp' 2 С* (ЯЯ'Т Pn-k=qp' (ддУ 2 c"Pn~k =
= ?/>'(<7?У(1 -P)~k+l =P'q'\ M{N) =
оо оо
п=0 л=1
оо
M(K) = ^p'q'k = ^rM{N—MN)(K—MK)\=J^
395. Плотность вектора
f{x,y,z) = \
h=o ■ «Р
2^57/ при С*. У. Z)GC-
0 „ (x,y,z)§c,
218
Следовательно, при \x\<R
l
: 2nR*H
Yr-x
H
f dv^dw = ^Vt? — x* при |*|>/?/e(-*) = 0.
- Yr*-x*
Аналогично
•Л(У) = -^гУ«*-У1 приЫ<Я.
-tf<Z<tf;
J? У /?а—и"
Ыг)=ът$аа J d"=
1
2Я
-Я _ Yr*-u*
так как /(*, j/, 2) ¥= /6(x)f (y)f^{z\ то £, ?] и С зависимы.
396. М£=0, D£ = i;
1 1 %
л* I С т^ (—пт при m = 2k,
Мг\ = у I xmdx = | /я + 1 F
_Ji I 2 „ /n = 2ft
+ 1.
1
Mrf=:\ [x2mdx=-
1
DVJ:
J 2m + l •"
-1
^T+T-(2mtl)2 ПрИ ОТ = 2*.
2m + 1
, m = 2*+l.
10 при tn = 2k,
0 при m = 2k,
v
(«+1)|/";
1
2(2m+l)
Очевидно, г£т) -^ 0 при я->оо.
397. /*=1 — «-*,
398. у»:
' (2jt)3/2^3y3z
ДО
m = 2k-\-\.
2 „2 + „2 + „2
* v * у г'Х
.v2 v2 г2
a* az az
x у z
X rfJcrfyrfz = 2 (Ф0 (с/2) — cp0 (с j/2)},
219
X X*
где Ф0 (*)■= -^=- J e 2dx, <р0 (х)=ф'0 (х).
— во
399.-£>(«s+N=£(«S-h)=(«2+PV; г=%=$;
400. а) Обозначим искомую плотность через /ft (x).
Очевидно, fk(x) = 0 при х<0 и х>а. Пусть 0<л:<а. /^ (x)=
= P{%k<x). Разобьем промежуток (0, х) точками zx <
<С^2< • • • <lzr на г произвольных частей. Положим
г
Pkr = YiP^l<Zi-U ... , lk-\<Zi-U **-1<£Л<гЛ, 5fc+i>*„ ....
tn^zi)\ так как ^{?v<^}=-^-, v=l, 2, ..., ли5,
независимы, то i
=4-<scti§(i)"(i-5-p**/+«(*4>.
1 0
Дифференцируя по х, находим
AW=J-c;rt:!(^-(,-i)"-'. (.)
б) Условную плотность 5m, когда известно, что Sfc=.y,
обозначим через fm (х\ ]. Тогда совместная плотность вектора
(&». **) будет равна/(х, у) =fk (x)fm (^ | J ; /m ^J J находим
из (*), заменяя а на а —у и л: на л: — у; так как при (U;=.y
остальные точки равномерно распределены на отрезке [у, а]
и плотность (условная) 1т есть теперь плотность абсциссы
m — k-ft точки слева на [у, а], поэтому
/<*, „=йй^МсйУ(4-ГО -4Г(&Г"'х'
,д-х\п-т 1 _ я! *-1 у
А \а—yj « — У ~"ап(п — m)l(k^ 1)1 (т — k — 1)\У Л
Х(лг— j/^-^a — *)|,-я при 0<у<;с<а,
и нуль в остальных- случаях.
220
ол—1 •
401. /7=1
402. Обозначим функцию распределения g через f(x).
а) (см. задачу 400)
X
F%(x) = P{rln<x)=n(n-\) J F\z)[\-F{z))n-2dF(z);
— оо
X
б) F,n(x) = P{^<x} = nJFt,-1(z)dF(z);
X
в) Fk(x) = P[^<x} = C1nCknZ\ J Fh-\z)[\-F\z)\n-kdF(z);
— оо
г) пусть у<х; F(x, y) = P{lk<y, &m<*) =
-И
'?* < *
liS=*)"P*(Z)-
овная функция
W*l \^ptl<x\ l_^(£b
I 15>.уГ I ls>yJ !-
Если известно, что |>y, то условная функция распределения
таких значений будет
\_F{x)-F(y)
. . . „ _ Р(У) '
Тогда
(>)-F it)
■F(t)
,m -ft-1
X
p{lm<%k=t}=cln-hC"-~kkllj[-i
\\-F{z)\«-m dF{z) _ 1 ■ ri rm-ft-i v
X[\-F(t)\ 1TF(() - [i -F(f)]n-k ^n-hbn-k-l X
X§[F(z)-F(t)]m-k-[[l-F(z)]n-mdF(z);
У x
F(x, y) = n(n-k) (+Z\C^ll f Z7""1 (t)dF(t)\ X
X [/7(z)-/7(0]'"~ft~1 [1 -F(z)]n-mdF(z).
403. а) P{£2<z, ..., ln<z}=F(™, z, z, ..., г),
поэтому (см. задачу 395)
х
— оо .
+ j [l-/7^, оо, г, .... «)JrfF(oo, г, оо, «)+... ;
б) ^c„(*) = j /?(ю,.г, ..., г)*//7 (г, оо, .... «)+...
404 r= M{(S--AfS)(*-A»)} .
y/~DSDt
221
обозначим
5°=(|? + Й+ • • • +•&) + (&+!+ • • • +tn) = S1 + Si;
*°=(tf.+i+ • • • + £») + (Й+i + • • • +ES+«) = 5,+ *ь
S° = S-MS, ta = t-Mt; M(S°t°)=M{(S1 + S2)(Si + t)} =
= MSf = D52 = {n — m) Dl; DS=nDl; Dt = «D&; ^ = 2^-:
405. a)/(*,.y) =
-у при |jc±j/|<—tj—,
a/2
aV2 — 2\x\ при |л?|<-^,
fa/2 — 2|y| | , . a
1 L- при |j/|<^=,
a*
0
W>£;
Рис. 20.
/ /<iymy)- i ппи.
1*±^1<^.т.е./8(х)у./е(лу;
значит, случайные величины £ и 17 зависимы.
- oo — 00
т. е. случайные величины £ и ч некоррелированы. (Рис. 20.)
406. I и у зависимы; М (gij) = 0, т. е. £ и г\ некоррелированы.
407. Положим 51 = ф(£, ?)), 7)х = х(^ ^) и пусть якобиан У
этого преобразования отличен от нуля. Тогда
Р[Ъг<х, 4l<y}= jj f(u, v)dudv.
ф (и, v)<x, x(«, ^)<У
Сделаем преобразование координат, полагая ф (#, v) = t,
x(af v) = z9 и пусть, обратно, a = l(t, z), v=a>(t, z). Тогда
Я {£!<*, ъ<У} = И ЯЧ*> *); «>(*, z)\\J\dtdz.
t<xy z<y
222
1) Пусть новая система координат такова, что область
ограничена ее координатными линиями а<£<&; с<г<я?
(числа а, Ь, с и d могут быть равны ± «>). Тогда
х у
P{li<x, 4i<y} = J<ttJ/[4*, 2); »(*, z))\J\dz,
а с
если a<x^ib; с <y^d, и нулю в противном случае. Отсюда,
дифференцируя по а: и затем по у находим плотность ср(лг, у)
случайной точки (|ь т^):
?(*, У)=/И*. У); ">(*> M1I-/I.
Если эта функция распадается на два сомножителя f1(x)f2(y\
каждый из которых зависит только от одной переменной.
(х или у), то компоненты |х и ^ независимы. Если же это не
так, то £г и % зависимы.
2) Если область G ограничена не только координатными
линиями новой системы координат, то |г и % также зависимы.
Действительно, в этом случае
P{ll<x}=P{^a,yi)<x}= JJ f(a,v)dadv;
ф(и, г/)<лг
(и, &)eG
Р {Si < ■*, 4i < У} = 1J /(я, *0 ^afo,
х(и.»)<уГ
а этот интеграл не равен произведению
jj /(^, v)dndv- ^ f{u,v)dudv=P[ll<x)P{y\1<y)
i>(u,v)<x х (и, v) < у
(при любых х и у). Таким образом, для того чтобы путем
ортогонального преобразования координат на плоскости
двумерный случайный вектор (£, vj) можно было свести к вектору
(£ъ ъ) с независимыми компонентами, необходимо и
достаточно, чтобы область G была ограничена в новой системе
координат только координатными линиями (в частном случае —
вся плоскость) и чтобы плотность (£ь %) в новых
координатах распадалась на два независимых множителя.
408. 1) Пусть М£ = а=7^=0. Положим - y)i = y) — а, Мг\ = 0у
К*ъ =М [(I-Ml)ъ] =М[(1-Щ)(у1-а)] = /Се,.
т. е. всегда можно считать М% = 0.
оо
2) Му\ = 0= j g(x)f(x)dx, так как g*(x) монотонно воз-
— оо
растает, то найдется ровно одно значение х0 (х0 ^ — оо), такое,
что при х<х0 g(x)<0, а при x^x0 g(x)>Q. Тогда
223
кгг1=м{{1-м1)г1)=мт=м[(1-х0)У1\= :*
оо
= M{(t-x0)g(l))=§ (x-x0)g(x)f(x)dx>Q,
так как подынтегральная функция на всей оси неотрицательна.
Аналогично доказывается, что К^ < 0, если g (x) — убывающая
функция. Случай х0=-гоо см. в следующей задаче.
409. (См; предыдущую задачу.) В случае л;0=—оо имеем
оо
Кь= J (x-x1)g(x)dF(x)y
где л^ —любое конечное число (так как интеграл не зависит
от хг). В силу сходимости этого интеграла можно подобрать
такое число N=N(e\ что
-N оо |_ЛГ|
— оо —7V I — оо |
где е —любое число. Взяв теперь хг= — N, найдем, что
j (* — xl)g(x)dF(x) = a>0, т. е. К^>а — s>0.
-TV
410. ^ = Я{(£_а)(7)-&)<0} =
_J f (*-а)' (*-a) (y-&) (y-6»))
!(l-r»)| a2 a,*, + ,2 |
27W102 У
X
(ж-о)(у-6)<0
X ctedy =—- arccos r.
411. Ф(х, у) = Р{»<.к, Ф<у}=Р{| + т,<*, 6-4<jf) =
*+у
= J J /(#, v)dudv = J d# f f(u, v)dv;
u+v<x
u-v<y
u-y
fjhy
2
tJ/^.')**
x-y
"IT
*-y
2
+ -J /(«,' *~ #)
rf#
-т/(
x + y x—y
2 ' 2
■)•
(Рис. 21.)
412. Плотность вектора (£', у{) равна <?(х, J>)=/(x cos a —
—J/ sin а, л: sin а-|-у cos а).
224
413. а) Пусть функция распределения величин £ и t\ будут
W и F^y). Тогда /
оо
F,(x) = J Fi{x + y)dF4{y).
— о©
о»
Если существуют плотности /е(х) и Д (.у), то /.(.*) = f f jx +■
О
6) P^x) = P{lrl<x)= Jf dF,(a)dF7i(v) = \ dF^(v)X
UV<X — oo
OO 00 f/
Рис. 21.
Если l и y) имеют плотности /5(*) и Д(^), то, дифференцируя
полученное выражение по' *, найдем плотность произведения
00
— оо
оо
414. С=€ + ч;/;(*)= § Mx^y)fn(y)dy =
— 00
= Т5Г J
dy
[1+(^-у)2](1+у)2 «(•** +4)
■закон Коши.
15 Зак. 411
225
415. /(*) =
О при х^О,
2
0<л<2, fri(y) =
О
*>2;
О ири х < — 1,
О . х>1.
£ = £ + Т, /С(Х) = ^-ГД(^ — a)flte; *-.1<и<1+*, 0<tf<2r
о
1+JC
т. е. при х <! — 1 /с (л:) = О, при — 1 < л: < 1 /с (л:) = -j V с?й =
о
2
= -4^. ири 1<*<3 /c(>c) =-il Г du = ^£9. при л:>
>3/с(*) = 0. (Рис. 22.)
t ?
Рис. 22.
416. Обозначим абсциссы точек через I и vj, С2 = ^ — цэ
/7c,w=4-jA(a"-^)da»
0О<а
, т. е. при — а < х < О ()<#<# + •*>
следовательно,
/с.(*) =
а — х
при 0< л; <^ а л; < # < а,
при —а<х<0, C=|CJ,
а2 , 0<x<a,/c(j/)=/Ci(j/)+/Ci(-y) = OnPHj/<0
О „ л">а.
л 2 Га — v)
/с= д2 при О < у < а, а тогда
Hj/>a,
F.(y)-=
0 при j/ < О,
1 „ у>а.
226
417. Пусть стороны будут £ и vj;
[ 0 вне этого промежутка.
Тогда (см. задачу 413,6)
а
Мх)=-тЦтЪ{т)ау'> °<f<a> Х>°'У>°> т- е-
О
Х^у < оо,
О < у < а,
значит,
1), при х < О /с (х) = 0;
2)npH0<x<a2/cW = ^Jy- = -4ln^;
3) при *>а2 /(х) = 0.
1 -0,4;
4l8..)/eW=^=e-^,/,(jr)
-2у2
]А2,5те~ '-М^' |^о,5те '
лга
- —
— оо
в) /*(*, _у) = />{й<*, г»<у}=/>{Е + -»1<дг, Е — ^ < У} =
• (иа + 2uv + 5v2)
-И
£
— -д- (и2 + ^г/ + 5г/2)
dudv
u+v<x
u—v<y
х+у
2 дт-u
И-J/
Л);
jc, у) = —Л. = -p=r e
дхду /2те
jc+a
419. C = E + 4;/7cW=i j ^Ю
Л.
420. а) тс , 2 , 4) — закон Коши (см. задачу 414);
(О при л;< —4, х>6;
i*±i , -4<х<0,
6)/cW =
24
6-JC
24
0<л<6;
15*
227
в) f,(x) =
'-^прилХ),
(«.-*)
4а2
jc<0.
421..С = 5 + ч,
Л (*) = i jJ + ^- 2 *«*«cos л (*—Pn ~~Тя)
я=1
422. уг(х) есть плотность 5, т. е.
(О при д; <0,
?iC*) = |
0<-*<1,
х>\:
1
<Рг (•*) = J Ti (2) ?! (*.— z)dz=[ ?! (л - г) dz,
положим X — z = у;
при г = 0У = х; при г = 1 _у = дс —1; <р2(-*0 = J <?i(y)dy, и т. Д.
дг-1
1 1 ж
О 0 *-1
423. с=5 + ч;
/?с(л) = я{5<дс-чН]2/>1.'Ч=^}^{5<л-^}=2/»/8(х-х,),
V V
Дифференцируя это равенство по х, получим
АС*)=2а/5(*-*,).
424. С«=6 + Ч;
оо
4*
/С(^)-я2 J (вДГ-У + ^-Ж)
ОО
т. е. этот тип неустойчив (см. задачи 477 и 414):
425. e = 6 + 4 + C;/7,W = irggr;/,W=:7r^r.
426. е
-2
. п . . (х—па)*
(2те) 2 о*
(У-/ЯА)2
/cCv)=—т-«" 2от" ../,<*)
(2«)2am
[г-(я-т) д]2
2(л-/я)а*
(2«)
2 „л—/я
228
Для плотности вектора (С, 6) имеем ^е(-*> у) =/с (^)/в (у);
х-у
F^x>y)= 1Л(")^« I /.(*)**; Л,6(*.^)=/СЮЛ(*-У)^
~ (2я)" в" ' еХР
К[
1 [(у — /яд)з , (л- — у — (к — /я) д)2
+
(я — m) <j2
])
427- с1=г(Г+1) » g»=r(T + i) ' ^=5 + 1;/«(■*) =
Р'
:+7+2
Г(»+1)Г(Т+1)
j (*-«)•
e-tw-Vtfe-bdu^
= г(« + 1) -Г(Т+Т)В(а+1' ? + 1)'
где B(u*v) — бета-функция Эйлера, т. е. тип законов устойчив.
428. Для л:>0
/cW =
/я+л __х_
х 2 е 2
т+п
•(ф)
X -распределение с параметром т-\-п.
429. C = JL;
^сЙ = я{-^<д:} = . jj fi(tt)fn(v)dudv =
<Х
Дифференцируя по х, находим
о
fi(x) = jvfi(xv)fn(v)dv- j" vfi(xv)fn(v)dv.
430..а)
" /<(•*) = !
О при х < О,
1
(*+1)2
jc>0
(см. предыдущую задачу);
б)/с(*Н
О при х<0,
2
2л:2 it ■**•>!.
0<*<1,
229
431. a) P[x1<x}=Fl{x).
<Рис. 23.)
О при *<0,
(1— Л)т" » 0<^</7г>
1 -*>/..
(V-m)J
б) Пусть плотность х2—/2(у); /2(у)= , е 2а* . Пол©-
а у 2~
жим 2 = *!—лг2. Тогда (см. задачу 413)
тп-0
Л(*) = f /8 (и+ *)<*/=■,(«)= 1 Л(и + *)<*Л(и) +
— оо оо
+ fi(m + -x)[F1(m-£0)-Fl(m — 0)] +
х* L
т+0
(и + х-т)*
2<з*
du =
Р\е
X*
' 2а2
ч-
1-А
К-
Г /271
+ jc — m
L+x—m
х~Ру Г е * dt=
1—А Г
L/2n J
/2
"• 2а»
■+.
Ф,
.(*-==)
f/2*
х _Л
, где O0(-*) = -4=-(V 2 dt
VS .
432. Пусть С = max (£, vj). Тогда
л- .г 1
-/*)
(u'-2ruv + v2)
/С(Х):
я]Л — Г2
— оо — оо
_ (и2-2гих+х*)
1 С е~ 2(l~r)i da;
л
I
130
Л1шах(|,Ч)= Jxrfxje" 2(1-'2) du=Y1-^.
— оо — оо
оо
433. /с (X) = J */• (ли)/ч (V) Лг=
■/,r(l)j
/2
Положим 2 = ^-(л:2+1), тогда
л + 1 - (п+\\
— плотность закона распределения Стьюдента.
.434. a) C = 8ij;
О —а
рассматривая по отдельности a2>x>0, 0>x> —а2, найдем
О при |х>а,
/с<*) = | 1 , о? , , ^
^1ПЙ ■ ^К*
б) Л(*)=—\v* ^
Сделаем подстановку v2 = 2t, тогда
о
где /CoW — функция Бесселя второго рода чисто мнимого
аргумента нулевого индекса.
(.г-а)Ч(у-б)2
435. Плотность вектора (£, v\)f(x, У) = 2^"^ ^
C = /(E-a)2+(y-W
(a-g)2+fo-6)a
231
Перейдем к полярным координатам и — a==rcos<p, v—* = rsln<p,
F,(x)=jd9jre~^dr = \-e~h;f,(x) = ^e~^
e о
— распределение Релея^
_£L
436. r = Vr(E-a)2 + (4-ft)1+(i:-c)»;/r(A!) = -j^e *\
(jr-fl)'+(y-6)»
437. Плотность вектора (£, r\)f(x, У) = *ъ&е *" 5
(tt-g)a+(p-fr)a
r-ni+^^w=i JJ «~ *■
tta+»a<jr2
Перейдем к полярным координатам # = pcos<p, i> = psincp.
е
2а2 р р рэ—2р (a cos cp+ 6 sin у)
jrfcpj «"'
^(*)=-a=r-W*J« * М>
О О
_ Х*+а>\Ь> 2«
438. С = /12 + ^ — 26ч cos a.
Ft (jc) = J j А (и) /=•; (z>) ctacfo =
tta+»a—2uv cos а<лга
= Я M«)fn(v)dadv.
vP+v^-iuv cos а <;ca
Сделаем замену переменных, полагая # = ;^"2isin0x—?)» *'!==
2;сг • 4х^к
= -^J27Sin(a + <p), якобиан / = -^27» следовательно,
^w-iiH^r \ d?J^[—inr^—JA[—шта—\rdr'
(Рис. 24.)
439. Д (л:) = л:е-*; Д (у) = (1+у)8 ; для вектора (6, -ц)
плотность /(л:, у) = е-*-*, х, у>0, поэтому для вектора (Clf Cj) имеем
Рг(х, у) = Р(5 + y)<х,|<у) - Jj" e-"-4adv=
u+v<x, — <у, и, v>0
232
так как область, в которой плотность вектора (С1э С2) отлична
от нуля и равна этому произведению в новой системе,
ограничена только координатными линиями, то d и С2 независимы.
(Рис. 25.)
2аа
е 1
440. /с(х) =-23~; /9(»=7c(1+y!j); Для вектора (С, 6) имеем
F(x, y) = P{V + f<x,\<y} =
U2+V*
lXl—i
" 2a*
иа+г/а<лг, — < у
v
x_
1 Л 2a*
/(*,.У)=тс(1+з,2)'2^ e=/cW/jW
так как область задания слу- и
чайного вектора в новой
системе координат ограничена
лишь координатными линиями,
то С и 6 независимы.
Рис. 25.
441. Для х и у>0 имеем
х 2 е 2
,2
т+л
"~Т~
т+п
J 2 1
Далее, для вектора (С, 6) имеем
F(xy) = p{l + rl<x,±<y} =
-ГУ
1+У m_j __в_ *~У
~ 2+* ■ 1 vf"2 * 2da\v
22 г(т)г(т)^ i
*-^ £_j _ ^
flfo:
233
m+n t _ x_ m_ _ m+n
~~2~~ n 2 4,T/i , л,\ "2~"
так как область, в которой/(х, у) равна этому произведению,
©граничена лишь координатными линиями, то С и 6
независимы.
442. Пусть n^k0. Функцию распределения Ъп обозначим
через Fn(x); так как операция сложения случайных величин,
а следовательно, и операция свертки их функций
распределения, обладает переместительным и сочетательным свойствами,
то Сл = Бйо'+Сл-1, где t/i_i есть сумма всех случайных
величин ik, kk^n, k=£k0. Пусть Fn-\ (х)— функция
распределения Сл-ь Плотность |ft0 обозначим через ДД*), а функцию
распределения—через Ф*0(.х:).
оо оо X
F„ (х) = J Ф*0 (х - г) dF„-i(z) = J <//=■„_!(г) j Д (и — z)du =
— оо —.оо — оо
X во
= 5 dtt I fko(u-z)dFn_1(z);
— оо —оо
так как
•о оо
9п(х)= J fko(x — z)dFn_l(z)>0, j qa(x)dx = l,
— о* —оо
то qn{x) есть плотность Сл. Очевидно, в силу Д,(л:)^<:
?* (■*) = j Л> С* — z) dFn-\ (г) < <?,
— оо
что и требовалось доказать.
443. По условию F^(x)=0 при л:^0 и F^(x)=\ при
х^>а; обозначим Сх = £ + ?), тогда /7Cl(x) = — I Fn(x — u)da.
с
Пусть 0<х^а; очевидно,
F^(x) = P[0^<x) = % Р[па^<х + па) =
Л=—оо
оо
= S {/,с(л + ла)-/гс1(яа-0)} =
Л=» —оо
оо C+fl
= — X1 Г {^(х + тга — и) — Fn(na — a — 0)}da —
Л=— оо С
234
па-с
= 4 2 1 {Fn{x-u)-Fn{u)\dti =
л=—оо (п—1)а—с
= ~lim [ [Fn(x — u)— Fn(—u)]du\ =
{-N+x N+x ч
- Г F4(z)dz+ j F,(z)<fe =f,
т. e.
/4(x) =
( 0 при x<0,
0<л:<а,
1 , x > a.
a
Следовательно, С равномерно распределена на [0, а].
444. (См. предыдущую задачу.) Равномерно на отрезке
[О, 2*].
443. Плотность вектора (£, vj), очевидно, будет равна
П*,у)=
— £ 2а' ПрИ |у]0, —oo<X<oo,
2ла у/ 2к
о
. Lvl>«;
тег да
Ft:(x)= ^ f(ay v)cladv= j dv j /(й, v)du +
uslnz/<Jf
-1С JC
sin г/
* simv
о о
сделав замену переменной cos v = — th у, приведем этот
интеграл к виду
— T-^ch2 — —
4за 4аа
dz=itv&~K'[&)'
где AT0W — функция Бесселя чисто мнимого аргумента,
второго рода, нулевого индекса. (Рис. 26.)
235
446. Пусть Лб, Лч, Лк — вынимание соответственно белого,
черного и красного шаров из первой урны Вб, Вч, Вк*—то же,
из второй урны:
Я(Лб)=1, Р(АЧ) = Р(АК)=±, Р(В6) = Р(ВЧ)=1,
Р(В.)=4,
Для энтропии первого опыта имеем
Н{А) =■—^-ioga у — -j log2 -j"- T-log2T = 1,5 Двоичной единицы.
Для второго опыта
Н(В)= — Tlog2| -|log21 -
-^log2-j=~+log25-l,521928
двоичной единицы,
т. е. второй опыт имеет
большую неопределенность исхода.
447. Н(А)=- £log,£-
п — тпл п — тп
——Xo^—fr-
Если неизвестен исход опыта Л,
то вероятность при втором
извлечении (опыт В) вынуть белый
шар равна
Р(в6у.
тп тп — 1
п — тп
п п— 1
л-1
тп
п
Аналогично Р{ВЧ) = , тогда
"(*) = -" log, £
П — ТП л П — ТП тг / Л\
—^log2—— = H(A).
Если известен исход опыта А, то имеем
р\В6\ ^ т-\
нА.Щ=-
} "" л—1 '
Р\ВЧ\ )=*=*; HA(B) =
I Мб/ п—1 А*
т — 1 , т — 1 п — тл п — т
■-^гт log* тг^т - -^гг1о^ т^гт;
m < m /Г-/П-1 . л — m— l
-7ГГГ1оё2-^ГТ- я-1 lQg» я-1
236
тогда
НА (В) = Р(А6) Нч (В) + Р (Лч) НАц (В) =
т ( т—\л /л — 1 п — т . п — т) .
, п — т ( т 1 т п — т—1 - л — /л — 1) s „ / л\
+ -1Г{-Т=Т10&1Г=Т- п-1 1о& п-х \=нв(А).
448. Опыт А имеет три исхода Л0, Аъ Л2, состоящих в том,
что в урне остается соответственно 0, 1 и 2 белых
шара.
п/л \_ m(m —.1), р, , ч _2/л(л — /л), D/y1 ч _ (п—m) (л — m— l)
И{<Лъ>- п(п-\) ' ^^Л^" л(л-1) ' ^Ио)- „(„_!) >
поэтому
И(А\— m(m—1) i~~ "*(/л- 1) 2m(n — m) t_ 2/л(л —/л)
/У(Л)~~ л(л-1) l0^2 Л(л-1) л(л-1) lQg* „(„-!) ~
(/г — m) (n — m — 1) . (л — m) (л — /я — 1)
л(л—i) 10g2 л (л — 1) *
Если известен результат опыта Л, то для В имеем
Р(56) = Я(Л,)Я(5|Л) + Я(Л1)Я(5|А1) =
_ m(m — 1) , 2/л(л — /л) I m
"~л(л—1) + п(п — 1) "2"~ "л '
Г»/Е>\ Л ^ Z_T/D\ Wi /Л Л /W1 Л /Л
Я(Д,) = ^-; Я(5)=--1о^- — log,-^
Если в опыте А имел место исход Л2, то НА (В) = О, так как
остались только два белых шара и опыт В не имеет никакой
неопределенности. Аналогично
ЯЛо(В) = 0; НА(В) = — log2~2 = 1 (двоичная единица),
МА(В) ^ P(A0)HAo(B) + P(A1)HAi(B) + P (A2) HAi(B) =
m(m — 1) j /л(/л — 1) 2m (л — /л), 2/л(/л—1)
л(л—1) 10g2 л (л— 1) л (л— 1) 10&2 п(п-'\) ~~
_ (л —/и)(л —/л —1) > (л —/л)(л —/л—Л)
л(л-1) lugj - л(л-1) ^
449. Pn{m) = ^; " = - ^2 Oogif ) =
/я=0
/я—О
237
Нри п = 5 имеем
5
И— Ъ—-ы2*Съ l0g2C5 "~5 Щ*2~
/71=0
^2,198 двоичных единиц.
При р1=р2 = ...=р6
#= — 2 "6"logaT = 1§Т = 2'585 двоичных единиц,
m=l
во
450. 1) Ях=2^ = 2 двоичным единицам.
п-=\
2)^арп=\у т. е. а=\—р\ -^apnlog2(apn)=
Р iog2 Р
л = 0
л=0
= 10g2(l—/7)
1-Р
10g2jP
Производная этого выражения по/?, равная — (1 _ .г, очевидно,
положительна при 0</?<1, т. е. энтропия монотонно
возрастает в этом интервале.
451. Очевидно, величина \ имеет следующее безусловное
распределение: /?{£ = 0}=0,3; Я{£=1}=0,7, тргда #(£) =
= —0,3 log2 0,3 —0,7 log8 0,7 =^0,8831 двоичной единицы.
Условное распределение £ относительно г\ задается
таблицей:
*|
-1
0
1
Е
0
1
3
2
5
0
1
2
3
'3
5 i
1 1
Тогда //_1(g) = - ^ log, ^-у log, у s 0,9183; Яв (6) =- -| X
Xlog2-§-4log24 = 0,9710; Яха) = 0; Я,(6) = Я{Ч=-1} X
X Я_! (£) + Р h = 0} Я0 (£) = 0,7610 двоичных единиц. Тогда
Jn(l) = M(l) — Hn (6) = 0,1221 двоичных единиц.
452. Н% (-ц) = 1,53377 двоичных единиц.
Нч (|) = 1,55555 двоичных единиц.
У£ (•»)) = #(?]) — Я (■*)) = 0,0218 двоичных единиц.
238
453. Пусть Вб и Вч— извлечение соответственно белого и
черного шаров в опыте В. Тогда
Р{В6) = \, Р(ВЧ) = ±; H(B)si 0,91829.
J(AU В) = Н(В) — ЯД)(Я) = 0,91829-Яд_ (В);
Ш
р[в*
aJ
l;//Aiii(fi) = -flog8|—flog,4 =0,86313.
Аналогично ЯД(. (Я) = 0,94037; Яд_ (В) = 0,91462; У (Л, 5) =
= 0,00367 двоичных единиц;
Ч 1Л2,2ч} = 13 ;
= - is1о^ гг ~ и 1о& гз=о.77936;
с5
НА2ч6(В) = 0,89045; НА%т(В) = 0,96124; Р(Л2,2ч)=^;
Я(Л2,чб) = ^;Я(Л2.2б) = -^;
яд,(В)=я(л2,2ч)нА"2ч(В)+я(л2,„)яД2 чб(В) +
+ Р(А2,2б) ЯД2 м {В) = 0,91020; J(Aa, В) =.
= Я(Я) — Яд (В) = 0,00809;
Я(Лби1з,2ч)=0^(5ч|л1з,чб) = Т^л13,26(«) = 1.
ЯА132б^ = 0; ЯД,.(5) = ^Т' У(Л". В) = 0,44210;
J(AU, В) = 0,91829.
454. При-& = 1, 2, ..., TV Р{л; = &}=^, поэтому
» N
H{B) = -*2i±logi± = logtN.
fc = l _
Опыт сит имеет два исхода: Л, т. е. л; делится на т, и Л,
т. е. х не делится на т:
Следовательно,
N-
щ
N
ъ*(ы-[Ц--
т. е. У(ат, 5) =
ш ш. „ш N
Как известно, это выражение достигает4 наибольшего значения
при
№:
1
N = у, т. е. при /7г = 2, поэтому при отыскании числа х
нужно начинать с проверки на четность.
455. P$ = 0)=p1pt + qlqt;
Р {С = 1} =ptq2 + qxp2; Я(С) = -(Aft + ftA) log2(pxq2 + ?iA) -
-(AA + ftft)logi(AA + fift)^
+ Я{ат)) = (1,0)}Я10(С) = 0, т. е. У[(6,ч).Ч=#(С); М(У =
= Я{Б = 0}Яв(С) + Я{6 = 1}Я1(С) = -Л(л1ок,Л + л1ов1^1)-
— ?i (Л log2 A + Чг log, ft) = — (А + ft) (A log2 A + ft log2 ft) =
= -Alog,A-ftlogiflV, //4(C) = M(C); 7(Ч, -С) - Я(С) - Я,(С) =
= - (А А + ftft) log2 (AA + ftft) -
-(Aft + ftA) log2(Aft + ftA) +A log2 A + ft log2 ft.
В частном случае, когда | и т) принимают свои значения
с равными вероятностями, получим J [(•*], т)), С] = 1 двоичной
единице, /(£, С) = У(^, С) = 0, т. е. по отдельности компоненты
вектора (£, ?]) не содержат никакой информации о С, тогда
как вектор (£, ?)) содержит полную информацию о С.
2
If 1
456. Н1= — у \ lnyflOc=l двоичной единице..
Л(*)=т]7(*-*)^ =
о
£ •
4
4 —л:
4
0
при jc<0,
, 0<х<2,
, 2<х<4,
*>4;
4
2 4
In —7— dx = 2 двоичным единицам.
240
457.-Я1 = 1п(в/о2^).
Если случайная величина распределена равномерно на
г ил (Ь — д)2
отрезке [а, о\, то ее дисперсия равна -—^-, следовательно,
ь
b — a = aV\2; тогда Н2=-t T^lnT^dx = ln {oVl2)\
Нх — Н2 = ln~J/ —^0,17648 — натуральных единиц или 0,25460
двоичных единиц.
а
458. Щ = — - Г r l lnf—> r l )dy =
-а
тс
а , ^ k "2
о о
а2
Дисперсия закона арксинуса равна у (см. задачу 312).
Дисперсия равномерного распределения на отрезке — -—, -^
равна g^2. Полагая их равными (для сравнения энтропии),
найдем
натуральных или 0,64101 двоичных единиц.
459. Имеем вектор (&, vj) с плотностью
х eXD}_ I Г(*-*)' 2г(^-д)Су-») ■ (у-»)П1.
xexpj 2(1_r2)|^ s2 ^ „Л + a2 jj.
средняя условная дифференциальная энтропия
распределения v) относительно g равна Hi(y))=—Mlnf-n(y/x);
•О ОО
/А(Ч)=— J j" /(*, У) In/, №) dxdy = In [аЛ21се 1/Т^^Р"].
— «О — ОО
16 Зак.411 241
460. a) 7 (t) = %pneitxn=Po + 2 £ />„ cos txn;
п пфО
6) |i = 0, 1,2, ...,»; P{p = w)=C?^^-» (q=l-p),
П
<f(t)= J С?ртдп-те»т = (д+ре")п.
461. Я(/в) = же-\ j» = 0, 1, 2, .... л, .... X> 0,
oo
m=0
462. Плотность равномерного закона
/(*) = < * а
[ 0 вне [а, Ь\\
-oo a t 2
В частном случае для равномерного распределения на (—а, а)
/м sinatf
получим <?\4 = —^f- •
463.<р(^) = ^4тг.
464. Т(0 = ГТ^-
465. Tffl=^J^^x^^= '"_ X
о
XJV*z*-'rfz=(l-y) ".
466. ср (0 = 4 sin2f 'i
- -i*=°£+Ux
1 Г w~~^~
467. ср (0 = =— \ е dx; сделаем подстановку
а У 2тс J
-—- — iU = z, тогда
а3/» + оо+/*а
9(0= в
/2те
— oo+rfa
таким образом,
<?(*) = *" 2 . (Рис. 27.)
242
— oo 0
Интегрируя один раз по частям, находим
оо
О
Дифференцируя это равенство
по параметру t (считая t=£0),
получим
*Р'(*)-,(*)
=-^
COS Ьг
(1+Jt2)2
dx.
■N
■
У
uto
1
1
1
N "* 0
N*
,,
"■" 4
U6
' i
Рис. 27.
Дифференцируя еще раз по t,
найдем *р" (*) = *<р(*), т. е. имеем
дифференциальное уравнение
У"— У = 0. Общее решение его
У — Сге*-\-С2ег*. Легко видеть, что 1) <р(0) = 1; 2) <?{t) —
четная функция (так как подынтегральная функция четна
относительно £); 3) при |*|-»со ?(*)-> О (достаточно видеть, что
при t->co |<р(*)|<1). Отсюда находим при t>0 Ci = 0,
с2 = \ и при £<0, £?i = l, с2 = 0, т. е. <р(*) = е-т.
469. Плотность величины vj = a sin £, где Д (jc) = -^- при
* < ^ ' Равна /п С*) = 'яу^а_^2 ПрИ Iх ' < а и НУЛЮ вне
а
этого промежутка. Тогда <р(*) =1 Г *"* d^; положим jc =
J у а2 —л:2
= а sins:, тогда —а
2 "2
ср (t) = j ^sin,^ = 1 j 2 /„ (to) **"</* = J0 (at),
Я TZ fl=— oo
2 ~T
так как после интегрирования все остальные члены при
четном п равны нулю, а при нечетном п — взаимно уничтожаются
с членами номера —я.
470. По формуле обращения для характеристических
функций имеем
л
F(x)-F(0) = ±hm J Lz£!Hf{t)dt (/,(_oo) = o).
—Л
л
a) F (х) -F(0) = ± iim j ±=£^! cos tf*.
16*
243'
Из приложений интеграла Фурье известно значение этого
интеграла:
— у при х< — 1,
2* J
sin tx cos t
dt =
' 4
0
4
2
так как F(—oo) = 0, то получим /7(0) = -«-, следовательно,
F(x) =
0 при *^1,
2
1
— 1 <jc<1,
причем в точках —1 и 1 полагаем /7(—1) = /7(—1— 0) и
F(\) = F(\ — 0), так как функция распределения непрерывна
слева на всей оси.
б) F(^)-F(0) =JL J,to"/""'rt+jL} Jsln(*+, 1)/cos/^ +
— «Л V—oo
+
oo
I
Sltl(jE— 1)1 COS I
dt\
следовательно,
F(x) = |
0 при л:<^—2,
| , -2<*<0,
\ , 0<*<2,
1 . *>2.
sin f
\ с/ \ г?//л\ If sintasl
в) /7(х)-/7(0)=^ J ^2"
Л;
обозначим этот интеграл через J(x). Очевидно, /(*) =
1 С sin /ж sin t
Р sinfcgg
d£ есть нечетная функция от х, поэтому
будем рассматривать ее только при х^>0; тогда
344
'">-н
cos tx sin t
t
dt =
у при 0<х< 1,
0 . x>l.
Следовательно, при 0< д: < 1 имеем J'(x) = у, т. е. J(x) =
= у + С; но так как, очевидно, У(0) = 0, то С = 0, т. е.
J(x) = у при 0<jc< 1. При х> 1 y'(*) = Q, т. е. J(x) = c,
но так как У(оо) = F(co) — F(Q), J(x)=\—F(0); из
нечетности J(x) находим У (х) = -j при —1< х <0; У(л;)= — 1 +/7(0)
при *<—1.. Из условия F(—oo) = 0 имеем О— ^(О)^
= —1 +/7(0), т. е. F(0) =~2 , следовательно,
F{x) =
О при л:< —1,
х+1
1
д:> 1
—равномерное распределение на интервале (—1, 1).
00
471. По формуле обращения f(x) = -^ \ e~ltx<f(t)dt.
— ео
оо
-Itx
dt = -^e~]xl (см. задачу 468);
<*>/<*>=i J£** = i j
cos to *, ,
оо
fltf=
— j £ * при лг>0,
I 0 „ *<0.
Первый интеграл — см. задачу 468; для второго имеем
,_ J_ f\£sinj£ i, _ _1_ Г sinj£ ., 1_ f • sin tx
J - 2k J 1 -f *2 ~ « J ' « J ТоТв"
_oo 0 0
£#.
Первый из полученных здесь интегралов равен, как известно,
-у- при х > 0 и —2~ при л: < 0. Второй дифференцируем по
параметру х:
т/ \ \ С SintX ,, г/ / \ 1 fCi
245
1 — e~~x
следовательно, прих > Оимеем/'(л;) = -у е х,1(х) = ^—Ь с
1 е~~х
а так как /(0) = 0, то ^ = -s", т. е. при х>0 /(*) = -«- +
1 £* 1 £* 1
о= 2", следовательно, /(д:) = -2 g" 2" + T'==:0j T* е*
т _ {о_/Р; ,<о,
— показательное распределение;
1
-1
00
г) f(x) — — \ e~ul~ltxdt = д ^2 —распределение Коши.
— оо
472. Т^к как ср (£) — вещественная, периодическая функция,
то ^os является ее рядом Фурье. Записывая этот «ряд
з 1 1
Фурье» в показательной форме ср (t) =-j- elt0 + -у elt + -у e'u,
видим, что ср(^) есть характеристическая функция случайной
величины I со следующим законом распределения:
6:
1-1,
1
8 '
0,
'6
4 '
1
1
8 •
473. Так как ?(£) — четная функция, то она разлагается в
оо
ряд Фурье по косинусам: <р (t) =/><> + V/?„cos^-;
л=1
л=4-Я1-4-)со8-г?л-да(1-со8дас)>°5
о
оо
при t = 0 получим. 1 = У Рп, т. е. /?0, /?ь ... , рп, ... являются
п=0
вероятностями, некоторого дискретного закона распределения
с симметричными возможными значениями I для которого х. ф.
будет Л + ]£Л|С08-^).
л=1 /
246
474. <p (t) = ^ГЩЧ = (1 — *) 2 b"eint- Обозначим (1 - b) bn
\—b
л=0
oo
= pn\ очевидно, pn > 0, n = 0, 1, 2, ... ; ^ pn = 1,
Следовали
тельно, это — распределение вероятностей, ср(£) —
характеристическая функция, а все возможные значения случайной
величины суть целые неотрицательные числа. Далее, lny(t) =
оо
= In 1 ~bert = S~~п~^elni ~ *)• следовательно, распределение
л=1
нашей величины является композицией бесконечного
множества законов Пуассона.
475. Очевидно, ср (0) = 1 и ср (t) — непрерывна; далее,
*(Q = -r^[(i+«*-/')(i + f*ft+P,*w'+ -..)] =
-^=| [(1 + ае-«) (1 + $еи + pV«
оо
= 4т!г (ае"" + ^ + аР) 2 P"«/,rf).
л=0 /
следовательно, <р (t) есть характеристическая функция
случайной величины £, принимающей значения — 1, 0, 1, 2, ... , с
вероятностями
РЦ = п) = j=l(i + ep)P»f л = 0, 1, 2,... ;
476. а) Характеристическая функция нормального закона с
параметрами а и а равна y(t) = e
iakt —- ia2t — i(ax+ajt — /a
Ъ(*)ъ(*) = е 2 е =e
т. е. получили характеристическую функцию нормального
закона с параметрами a^-f-02 и ]/°i + a2;
б) аналогично^).
478. а) и б) — не выполняется свойство характеристических
функций: ср (— t) = ср (t).
в) Найдем обращение Фурье ср(£):
247
эта функция не является плотностью распределения
вероятностей, так как в точке 0 имеет полюс 2-го порядка, т. е.
Г f(x)dx расходится, г) Вещественная характеристическая
функция: должна быть четной, а функция ^-'Ч*-»"**-*) не яв_
ляется четной.
479. J J 9(tk-tm)zkzm= ] J ^e^'^z^Fix) =
k-1 m=\
- i
_eo k^l m=l
|2
ft=l
dF(x)>0.
(Если <p (0) = 1 и ср (^) — непрерывна, то это свойство достаточно
для того, чтобы <р (t) была характеристической функцией.)
480. Пусть F(— x) = 1 -F(4 x > 0; тогда
оо оо
?(*).= j e^d/7 (л) = - j в****/7 (- jc) ■=.
— оо — оо
= ~\e-UxdF{x) = <f(-f) = W)>
— оо
т. е. ср(£) — вещественна. Пусть ср (t) — вещественная характе-
ристическая функция случайной величины ?, т. е. ?(£) = ¥(£)•
Но ср (t) есть характеристическая функция величины — ?,
следовательно, & и — S одинаково распределены; функция
распределения Ё есть Z7^), а для —I 1 — F(— х), т. е. ^'(л) =
= 1-/Ч-х).
481. По формуле обращения имеем
оо
F(x)-F(x0) = 4r J
Tt
^(Отдифференцируем формально это равенство п раз по х:
/*■> (X) = ±^fL J ^-1^-^ср (*) Л,
так как
j **-i*-w*ср (t) dt < J | * l^cp (*) Л,
интеграл в выражении F(n) (х) абсолютно сходится, т. е.
дифференцирование было законным.
482. Пусть | ср (£0) | = 1, т. е, ср (t0) = elt°a, где а — некоторое
вещественное число, значит,
248
I ell°xdF(x) = e"°\ или j e"°ix-a)dF(x) = 1,
— OO — OO
oo
Г cos t0 (x — a) dF(x) = 1,
— oo
т.е. rf/7 (л:) # О только в тех точках, где cos^0(x — a) = 1,
т. е. функция F(x) ступенчатая со скачками в точках a-j-&— y
Л-0, ±1, ±2, ... *°
оо
483. Так как <?(t) — вещественная, то ф (t) = Г cos ford/7(я),
i — oo
тогда
oo oo
1 _ <p (2*) = j (1 - cos 2*jc) ^ (jc) = 2 j sin2 ^rfF (л;) =
— oo — oo
= 2 j (I - cos tx)(\ -f cos *x) dF{x) <
<4 f (l-cos^)rf/7(x) = 4(l-cP(0.
— oo
oo oo
484. 1 + <p (2t) = f (1 + cos 2tx) dF (x) = 2 [ cos4xdF(x) >
— oo — oo
^>2( Г cos txdF(x) J =2[cp(/^)]2, откуда и получим
требуемое неравенство.
485. | ? (* + А) - * (*) I = If (е/А* - 1) Л/7 (х) <
I — °°
< у j | eth* - 1 | W-(jc) = 1/2 j (1 - cos Ax) <*/*(.*) =
— о* — оо
= j/2[l-Recp(A)J.
486. (См. предыдущую задачу.) Так как ,Re<p(A) = 1, то
y(t + h) — y(t) = 0 при любом t.
487. Легко показать (по индукции), что на всей
вещественной оси | sin ял; К я sin x, т. е. sirPnx — /г2 sin2 л: < 0 или
^ 1 I — COS ЛЛГ т-г
cos л: < I 2 • Далее,
оо оо
| <р (t) |2 = <р (ОТШ" = j e'**^ (^) j e~"xdF (x) =
— oo — oo
oo oo oo oo
= j je-li{x-y)dF(x)dF{y)= j j cost(x-y)dF{x)dF(y)^
249
-oo — oo —oo —oo
oo oo
< J J {l _ *-"»2<*-»}dF(x) dF(y) = 1 -
l-ly(n/)P
- oo — oo
—fr + tf] § cosnt(x-y)dF(x)dF(y) = l- и2 .
— oo — oo
Извлекая квадратный корень, получим | ср (i) |< 1 ~~ *£ .
488. Положим для любого h из указанной последователь-
Mir)
ности /д (£) = ср (t) 6 (А£), тогда ф (0 = —у ; / • Пусть N — лю-
»(х)
бое положительное число, — N^-t^N. Устремим t к
бесконечности, тогда Тгтг)-*! равномерно в [— 7V, /V] (так как
всякая х. ф. равномерно непрерывна и ср(0) = 1), следовательно,
fhi-fi-) > оставаясь характеристической функцией, равномерно
в интервале [—-/V, N] стремится к ф(£), т. е. ф (£) —
характеристическая функция (iV —любое, т. е. доказанное верно на
всей оси).
489. Так как ср(£) непрерывна, то по теореме о среднем
имеем ф (t) = ср ($), где £ лежит между 0 и t. Отсюда имеем
(при t-^О) ф(0)=1, ф(*) — непрерывна и |ф(*)| = ^±-х
X
?(*)<**
<1. Далее,
0 0 0
ф (£) — положительно определенная функция. Действительно,
пусть £ь £2, ... , £л —любые вещественные, а 2X, z2, ... , zk —
любые комплексные числа; тогда
k m
о
1
о
250
нотаккакф(^т-^) = ф(^-^т),тоср(-г^)=ср(^т) = ср(-^т),
так как ср (t) — характеристическая функция, следовательно,
можно считать
л _ л _
тогда £ ZkZttu[tk — tJ= £ zkzm<?(tk — t'm), а эта сумма
неотрицательна, так как ср (t) — характеристическая функция,
т. е. положительно определенная.
490. ср (t)= ±-е~и + 4-^cos t;
п л
а) ?, (*) = П ЪЬЫ) = П cos V;
h=i * t_,
Л Л—1
б) ?л(о = Псо81* = ——n^^sin^i-cos-^^
. t t
^ П * z П t sin *
= — IIC08i* = rl l008^^ = r^
2sin-2^ A-1 4sin-7^ k=i 2я sin ^r
->—2— при /г->оо равномерно в любом конечном промежутке
изменения t, т. е. распределение у\ сходится на всей оси к
равномерному распределению на отрезке (—1, 1).
491. Нет. Пусть £х и £2 имеют такие законы распределения,
что на некотором интервале a<t<b их характеристические
функции совпадают, для £х вне этого интервала х. ф. ср1(^) = 0,
а для £2 х. ф. периодическая с периодом b — а, например:
1i(t) = 1 ~ \t | при | t\< 1, ъУ) = 0 при \t\ > 1 и <р2(*) = 1 - | Ц
при \t\<\ и периодическая с периодом 2. срг(^) и <р2(^)
являются характеристическими функциями (см. задачи 470 и 472).
Пусть t]j — случайная величина, одинаково распределенная с \х.
Ее х. ф. будет <fi(t). Тогда суммы gi + % и 1г-\-12 имеют
характеристическими функциями <fi(t)<fi(t) и <?i(t) ср2(^). Но эти
произведения совпадают на всей оси, т. е. суммы £i + ^2 и
5i + ?2 одинаково распределены, первые слагаемые их равны,
а вторые различны.
492. По первой форме неравенства Чебышева .находим
^(£>80}<-|f = Х' т. е. Я(£<80)>4-
493. -f.
494. 0,3.
251
495.-^0,625.
496. a) Я (|> 1000000} <
360 OOP
1000000
0,36;
б) Я {!> 1000000) =P{\l-Ml\< 640000} <
497. P {0,5 <1<\,5}=P{\1-Ml\< 0,5} > 1 ■
498. /> f 11-M£ |<3«}>1--£- = -!)--0,889.
499. 0,16.
40000* _ J_
1000000* — 256
m
0,25
= 0,84.
4,5*
500. Пусть | —скорость ветра Р {1| — 251 <; e} > 1 — -^±- > 0Д
т. e. e> 14,2 KMJvaCj следовательно, с вероятностью, большей
0,9, имеем 10,8 <£< 39,2 км/час.
501. Пусть т — число появлений герба в серии из п
испытаний;
Mm = пр = 50; Dm = npq = 25; Я {
-Р
<е =0,75.
По
теореме Муавра—Лапласа найдем р = 2Ф (2) = 0,9545.
502. Пусть |ь £2, £3 —ошибки трех наблюдений; тогда
ошибка среднего арифметического этих наблюдений >)= * I2 ;
Р^= Db+Db + Db ^300; Я.{М<60}>1-
60*
= 0,917.
503. а
)Я{
т
-7Г-Р
^ 1 902" = 0,75;
с
0,0l} = P{|/re-n/?|<90}>
-ч ^ , 150 000 п п_
б> /7>1 9Т750*- = °>97;
в) Яэооо = 2Ф (2,01) - 0,9555; г) Я7к,00 = 2Ф (5,8) = 1.
504. а
>/»{
я
),oi)=p{
>1
Z)m
0,012. „2
= 1
< 0,01 \ =
2
/и —
<о.
,01»}
>
б) Я
т
-Р
0,0009я
<0,Ol}=Wo,01
>0,99, т. е. п > 222223;
= 0,99, т. е.
га > 14729.
505. а) Я{
а = 0,043;
б) а = 0,011
252
VI)
12100
■}
<« >1
9
2-12100
"9а2.121002
= 0,99, откуда
506. P
4-2 «.-4-2*4
<0,4 >1 -
•Ш
0,4*
h=l ft-1
= 0,9875.
507. jP^0,97:
508. p^ 0,984.
509. jP>0,9.
510. а) Вероятность одному прибору быть бракованным
р = - 1 - Р(А) Р(В) = 0,03; Р {| т - пр |< 3} > 1 -
— -^ > 0,997; Mm = 30, следовательно, 0 < m < 128;
б) Р {| /и - пр | < /га} ^ 2Ф (а ]/^) = 2Ф (185,4а) > 0,997,
откуда а= =0,016, т. е. 14 <!/7i< 46.
511. Вероятность попадания на /г-том выстреле/?^ ='0,8*О^Э*"1,
k = 1, 2, ... , 100, следовательно, среднее
Рс = *1 + Yoo+/7lo° = (1 - 0,99100) 0,8 ^0,507.
Пусть m — число попаданий, тогда Dm = 25,
Я{||л-50э7|<100а}>1-Т5^5Э>0э85,
откуда а = 0,019, т. е. 49</я<53.
512. а) Р{1>а\ = £ Л<Д- £ ^/>h< J-£^ft =
Ж$"
дгА>а
Jtv>a
б) использовать интеграл Стилтьеса.
515. а) (См. задачу 512.);
б) Af/(E)= ]f{x)dF{x)Kf{a) j dF(x) + k J ЛЧ*)<
<%/(#) + kP {11| > а), откуда получаем требуемое; аналогично
и в случае
516. Р
Ь).
2«*
ft=i
<« =Я{|Чв|<в}>1--5а- =
ft-1
л2е2
(
1 при /г~>оо (здесь обозначено 77л = ~Х
253
517. Да, на основании теоремы Чебышева: £>£Л = УИ£Л = 2,
т. е. ограничены в совокупности.
518. Да. а) по теореме Чебышева
т. е. все дисперсии равны;
б) Mlk = 0, Dlk = oh_x,
[V7\
DH-24=i2^-^2^n<^2*'+
ft=l
fc=l
+ «• 2 ±,«>
ft = l " ft = l
2УТГ (/я+l)(2/^+0
6rt*
k=[YH] + i
+ «2
= 0
тогда
k=i
2Yn-2
Ш-
<e >1
fe=l
=>-°ш-»
При Я-» со.
л л+1
519. М£л = 0, Dln = In я; J Dg, < f
ft-i l
In xdx =
= (я+1)1п(я+1) —я; Я
(л+l) In (л+1) —я
ft
fe=l
<s >1
Л2б2
сел применим.
>1 при я-^со, т. е. закон больших чи-
520.
±Dy? =±yka<±Txadx< ^+J)g+1 -,Q
ц_ 1 к i v
при
fe=l fc=l I
я->со, т. е., по теореме Маркова, закон больших чисел
применим. !
522. Л16д=0, D\n=n ?{п); так как <р(я) = о(1пя), то
? (я) = —Y^r, где g* (я) — какая-либо положительная,
неограниченно возрастающая функция, тогда D\n = ne~g(<n\ следова-
п
тельно, -j^-D 2^ь ^ £~^(л) -> 0 при я -> оо, т. е., по теореме
Маркова, закон больших чисел применим.
254
523. Щ„ = 0,
п, если п = кг,
Df\n =
[А"
п
(l/"l46iK2|/""1 + 1) + o(i)-o(^).
т. е. имеет место закон больших чисел.
л
524. М\п = О, £>|л = 4 2 4" < 4 (! + 1п ")' тогда
fe=l -^
Л
1 VH 2 2
-^-D \ lh< -3^-+ -з^-1п/г->0 при /г->оо, т. е. применим за-
fe-i
кон больших чисел.
525.^2^-^2**<бИЛ*<£Ж->0
fe=l ft"=l J
при я->оо, т. е. применим закон больших чисел.
526. a) Dln= Y2 постоянна, т. е. по теореме Чебы-
шева применим закон больших чисел;
б) Dln = п~\2 ' Полагая в равенстве bm — am= bm_1 —
— a>m-i-\ i—> агй. = 1, 2, ... , п и складывая полученные ра-
/я
венства, найдем
*/г - ^л - *i— #i + * У]— < сг + с2/г2 ,
л
следовательно, -^ D ^ gfe = О (п~~2а) -> 0 при л->оо, т. е. при-
k=\
меним закон больших чисел.
527. М\п = О, Dln = °\ = 2 —^, т. е. ряд ^Ж =
П=\
_ Хл 2-2"
~~ Jli 7? сходится, следовательно, по теореме Колмого-
л=1
рова, применим усиленный (а значит, и обычный) закон
больших чисел.
255
528. Нет. Mlh = 0; |6„| = a„>
Л-1
ь~1
ж
; тогда
Р
2«.
Д = 1
<pH-iu-4-
<е} = Я
Л-1
—Ъп+ п 2jik
fe=l
л-1
ft-1
<е1 = PJ-^L L
^ ■ ■ n n
л-1
n-\
л-1
2г
ft-1
/z—
U=i
<6 <
<e ; HO
ft=l
следовательно, при е < p получим
2?.
fc=l
<s =0
(а не стремится к единице, как это было бы в случае
применимости закона больших чисел).
I 'л-1
529. Р\—
п
о|->14-
2^+ь.
ft=l
+ ±Р\тЫъ-аап
Пусть е < ап и выполняется неравенство
I л-1
]£&*+«*«
h-l
<в +
(*)
ft=i
<е;
тогда
л-1
.л-1
2е*_яа» = 4"(2Б*+яал г2*»
ft=i
U=l
>е,
т. е. из двух слагаемых в (*) одно равно нулю, значит, вся
сумма не превышает -V, т. е. не стремится к единице,
следовательно, закон больших чисел не применим.
530. М\п = 0; Dln = 2а2/?л; так как ряд V рп сходится, то
л=1
оо
при достаточно большом N и любом 3>0 будет N рп < -g-.
л=М+1
256
Далее можно выбрать такое п > TV, что будет
N
Л=1
ЛГ
<2iM<2a><e-f-
А=1
ft=l
при любом заданном е. Тогда
2*.
л=1
>е =Я
2 6.
Ь=1
> ей <Р
2 ^
& = Л + 1
>
£Я
последняя вероятность не больше вероятности того, что хотя
п
бы один член суммы V \k был отличен от нуля:
k=N+ 1
2 ч>тг}< 2 p{i^f>°}<2 2 ^<8>
I Ь=ЛЧ1
следовательно,
k=N+i
k=N+l
п
ft-i
<е >1-8 при л>Лг,
т. е.. закон больших чисел применим.
531. DV 6t= VD|ft + 2(A12 + /a13+ ... + *„_,,„), где fy-
ft=l ft = l
второй смешанный центральный момент g/ и £,-; но
ft^l
ft=l
т. е., по теореме Маркова, имеет место закон больших чисел.
532. D££h = £Z)gft + %Кш<%Щк<с-п,
h=l
fc=l
ft*/
ft=l
т. е. имеет место закон больших чисел.
533. Пусть е — достаточно малое положительное число.
Fn(x) "" Функция распределения Sn. Тогда
СП
DSn = j (jc - MS„)2 rf/v, (х) = j (x- MSnf dFn (x) +
-СП \x-MSn\<en
+ j (x-MSnydFn(x)<tW + cW j dFn{x).
en< \x—MSn\<cn
17 Зак. 411
257
Если бы последний интеграл стремился к нулю при /г-коо,,
то мы имели бы DSn = eV + о (/г2) и при выборе е<а
получили бы противоречие с условием DSn > а/г2, следовательно,.
en<\x-MSn\<cn
т. е. закон больших чисел не применим.
534. £>£^=££>?Л + 2 S УЩЩги.
Ь=1 k=l \<i<J<n
Пусть г>0 — любое число; тогда при \i—j\>N \гу\<гу
следовательно, во второй сумме для каждого / = 1, 2, ..., п
(n^>N) и не более чем 2N номеров у будет е<|г/у.|<Л, т. е.
имеем
п
D V tk <nc-\-4cnN-{-ecn(n-\-1) — сгп-{-с2гп2.
п
Следовательно, -j^D^\k-^0 при л -► со, т. е. применим закон
h=i
больших чисел.
536. а) Да.
б) Нет. Пусть P{S„ = 0} = 1—^ и P{tn = n}=±-; тогда
^4IU>e} хотя бы при одном /z>yV(e) будет
n=N n=N
поэтому НтР{|§л|>е хотя бы при одном /г> N) = 0, т. е.
N-юо
последовательность £л сходится к нулю с вероятностью 1.
Но М(Ъп — 0)2 = 1, т. е. 5Л не сходится в среднем квадратиче-
ском к нулю.
в) Нет. Пусть, например,
я{1л=о} = 1-4-; р{*» = 1}=±,
тогда
Я{|5л|>е}=Р{5я = 1}=-1-->0 при л-оо, т. е.'^О;
но, считая £л независимыми, получим Я{||л|>е хотя бы при
n>N} = \- ЙЯ(£, = 0] = 1- fj(l—1)-М
-> СО
г) Нет.
одном
n=N n=N
при /г->со, т. е. не сходится с вероятностью 1 к нулю.
258
537. а) Пусть %п имеет собственный закон распределения F(x).
Если существует предел по вероятности этой
последовательности величин 5 с функцией распределения Ф(лг) (собственный
или нет), то у\п = ^п — £ имеют функцию распределения
F(*) = F(*)*[l-©(--* + 0)]f
которая также будет некоторой собственной функцией
распределения, а тогда
Я{|^-М>е) = 1-^(е) + /Ч-е)
не может стремиться к нулю при любом е, так как не вся
масса распределения сосредоточена в точке 0, следовательно,
последовательность {£„} не сходится по вероятности к 5 и тем
более — почти наверное. Если £л имеют несобственный закон
распределения, то они с вероятностью 1 равны постоянной С —
тривиальный случай.
б), в) То же, что и выше.
538. P{\tn — £|>e хотя бы при одном /г>М}<
<VP||5„-5|>3)=z.J J dFn (*), где Fn(x)~ функция
n = N n=N\x\>s
распределения величины т]п = |л — с; так как
оо
j dFn(x)<± j \x\"dFn(x)^-L j \x\"dFn{x)
и, по условию, ряд
Л=1 Л=1 — оо
оо оо
сходится, то его остаток ^] J | x \pdFn(x) -> 0 при 7V-» оо, т. е.
^ (Ил — £ I > е хотя бы при одном п > N} -> 0 при 7V -> оо, т. е.
Ел-»£ с вероятностью 1.
539. Пусть' F(x) — функция распределения ?л. Рассмотрим ряд
%P[\tn\>Aa} = fl[l-F(AH)] + <?iF(-An)>
л—1 л = 1 л=1
О оо
> f F(x)dx+\ [l -F(x)]rf;c.
— оо О
Но разность этих интегралов есть математическое ожидание Ъп
(см. задачу 307), а так как оно не существует, то по крайней
мере один из них расходится, значит расходится ряд,
составленный из вероятностей события | ?л | > Ап, а тогда, по второй
лемме Бореля—Кантелли, с вероятностью 1 осуществится
бесконечное множество таких событий.
17* 259
540. (См. предыдущую задачу.) Предположив противное,,
получим
f[P{\Sn\<An} = \
n>N
для некоторого jV>0, т. е..
P{\Sn\>An}= J dFn{x),
\*\>Ап
где Fn(x) — функция распределения Sni а тогда 5Л, будучи
ограниченными, имеют конечные математические ожидания,,
что невозможно.
541. Используем закон повторного логарифма:
Р {пр — \ Y2npqln In n <C'm<inp-\-\*. Ylnpq In In n\ = 1,
где l и |i- положительные числа, большие единицы. При
/г=106, /? = 10-3 1000- Ь72,4 <т< 1000 + ц-72,4.
542. Так как п = 4500 — велико и случайные величины Zk
независимы, ^одинаково распределены и имеют конечную
дисперсию, то приложима центральная предельная теорема.
Следовательно,
14500 I
Jj(h-mk)\
4500
ft=l
150
4500
2«*-М4)
л=1
<0,04 =
<1,21 = Ф(1,2)-Ф(-1,2) = 0,7699.
3200
543; P 2,95 <^]£ 5» < 3,075 =
ft = l
3200
2(Е*-А1ЕЛ)
= P —2<
k=i
80
<3
= Ф(3) — Ф (-2) = 0,9759.
900
544. Пусть ik — вес &-го призывника, D 2 Ik = 57600.
ft=i
{n \ t 900 \
t2({*-^)>^ \=\-p Уо2(^_жу<4'5 =
= 1 — 0,999997 = 0,000003;
так как эта вероятность ничтожно мала, то объяснить
случайностью такое отклонение среднего нельзя.
545. При достаточно большом числе п слагаемых, г\ можно
считать распределенной по нормальному закону. Тогда
260
£Ъ) = 50, Р.
<0,01 =
|^2^_ЖЛ)|<0,011ЛП =
= 2Ф0(о,01 |/-f ) = 0,9973; т. е. 0,01 "|/-Ц- = 3, « = 450000.
= Я.
546. Я
547. P,
10000
Soo-ise-^
10000
ft=i
fc=i
548. л = 2304.
i2>'-^
<a =0,9544, a = 0,04.
<10 =0,98'76=2Ф0(^) ; п = 4000.
549. M\k = Q, Dtk = k\ пусть 8>0, ря.2+» = Л15Г =£
_Mf:?+s-bX(l + S).
составим дробь Ляпунова
L„ =
2 ^*, 2+5
h=l
(1-Й &t
ftt1! <c (n+l)X+5X+1
<*+»)(»+4")
= c
!+•
1 U+5X+1
^
-«- 0-М
■->0
при п-> со (С — постоянная), т. е. применима теорема Ляпунова.
550. а) £>с„ = 4> 5« = ^2^ = 42a">^
следовательно, если ап<Сс (с — постоянная), то, очевидно,,
выполняется условие Линдеберга:
£2 1 *■/.<*>
к-1 |дг|>оВ_
dx = 0
\х\>аВп
при аВп>ап, что наступит при любом а>0 и достаточно
большом п.
Пусть ал-> оо при /г-> оо. Если ап = 0(па)у то £л = 0(/г2а+1)?
следовательно, при \х\>аВп = (т 2 /л(л;) = 0;
(/*(^—плотность lk), т. е. снова выполняется условие Линдеберга. Если
ап = о(пь), опять выполняется условие Линдеберга.
261
б) Пусть ап -> 0, при п -» оо. Тогда при В2п -» оо (т. е. в слу-
чае расходимости ряда 2 ал имеет место центральная пре-
к-1 /
дельная теорема. Если Вп ограничено прил-х», то не
выполняется условие Линдеберга, следовательно, ц. п. т. не имеет
места.
Если ап .возрастает „слишком быстро", например, как еп
лри л—>оо, то ц. п.т. также не применима, так как условие
Линдеберга не выполняется: в этом случае ап и ъВп имеют
одинаковый порядок (имеет место теорема Хинчина, утверждаю-
щая, что в случае применимости ц. п. т. „+1 —> 1 при п -* оо).
551. Обозначим через r\k = ^k — Mlk = %k ak~^ k ,
n
c= /=' , ' > кь-ЩЬ-
|AjU 7bV&ib*-a#
h=\
т. е. дело свелось к рассмотрению случайных келичин r\ki
равномерно распределенных на симметричных промежутках
Г bk + ak bk + ak I
[ 2 2 ]'
следовательно, задача сводится к предыдущей.
552. Нет, так как не выполняется условие Линдеберга.
п
FS I (x-MZ)*dFh(x)
П k=l \х-МЦ>аВп
не стремится к нулю при /г-»оо,.так как для номеров п = п1
последнее слагаемое этой суммы будет иметь порядок Вп-
553. Рассмотрим последовательность независимых случайных
величин {£„}, распределенных по закону Пуассона с
параметром 1. Р{£л = /я}=-^-. Пусть
п
p{-^(7jn-yH7,n)<x} = pJ4-2^-1)<-
* ft = l
262
Величина ?]л= £ \k распределена, как известно, по закону
ft=i
Пуассона с параметром п (см. задачу 474), т. е.
Р{Чп = к)~ь-п. Тогда^2^=2Я(7]л = ^1 =
ft=0 fe-0
= Pi- V~n <^"^|я <0) -» Ф(0)-Ф (- УН) -> 4" ПРИ ^^°°^
554. Исследовать условие Линдеберга.
555. На основании теоремы Хинчина, при выполнении уело-
вия Линдеберга —^ > 1 при /г->оо, что невозможно в
условиях данной задачи.
556. а) Плотность распределения случайной точки (р^, ср.) —
местоположения /-го излучателя, очевидно, равна /(р, <р) =
= гс(/?2-в ПРИ 1<Р<#> —тг<ср<7г и нулю вне'этого
кольца. Тогда плотность р1 — расстояния /-го излучателя до
центра—равна
/Р. (р)= ^(/у1-!) 1^ = ^231, / = 1, 2, ...,/г при 1 <р<#,
а
следовательно, дисперсия величины Рвх = — есть некоторая
постоянная а2, 0<о2<оо, так как Рвх есть ограниченная
случайная величина, а тогда, поскольку все Явх независимы,
одинаково распределены и имеют конечную дисперсию,
распределение их центрированных и нормированных сумм сходится
к нормальному закону с параметрами (0,1).
б) Очевидно, Fp (x) = F, (х~пУ'\юф(х~!^\ где \i —
математическое ожидание Явх— средней мощности на входе
приемника, наводимой &-м излучателем, а Ф(х)— функция
распределения нормального закона, следовательно,
т. е. если х = о{^У~п)у то Я{РВХ < х}->0 при я->оо, значит
с вероятностью, стремящейся к 1, при /г-> оо будет Явх>с}Л*,
где £— некоторая положительная постоянная.
557. Mn = 0;Di„ = 5|i; Л»^^ = 0(4,
следовательно, при любом постоянном е > 0 и всех достаточно
больших значениях п будет гВп > /га, т. е. J x2dFk(x)=0,
т. е. выполняется условие Линдеберга, а тогда
263
№
<e\<P
Bn
ft=l
ft-1 I ) о
что (при малом е) не стремится к 1, т. е. закон больших чисел
не применим.
558. a) Mtk = 0; Dtk = k*«; M\lh\* = fah.
Очевидно, при
а>
-у ^D^-^oo, при Л —> оо
k = l
L =
2?3,ft
fe=i
ft=l
3a
л + 1
(s
£>£*
3/2 "
x3adx
n \3/2
W
<
J Л^
3/2
''0[j^^ = o{n'l2)9
т. e. Z,-*0
при /г->оо, следовательно, имеет место теорема Ляпунова.
б) При а < -у- закон больших чисел имеет место на
основании теоремы Маркова. При а^-^- условия Маркова не
выполняются.
559. Условие Маркова не выполняется (см. предыдущую
задачу). Последовательность {£„} удовлетворяет условию Лин-
денберга. Далее, на основании ц. п. т. имеем
±2«
k=i
<*\<Р
/2е
Vn(n+l)
k = l
<е^2е
eV2e _ х^_
-> —?= ( е 2 dx,
2п J
о
/г
что, очевидно, не стремится к единице, а есть постоянная,
сколь угодно малая вместе с е, т. е. закон больших чисел не
применим.
560. a) DSk = ^Dli = ko^
k = l
дС = о'|я»+(«-1)'+...+И=,,Ц(" + 16)(2"+1).
Рассмотрим последовательность {£„}, л=1, 2, ...,
Сл = % + ^2+ ••• +4/1,
264
где y\k = k%k — независимы; тогда
Пусть функция распределения Ък есть F(x), тогда функция:
распределения
ъ Фк(Х)=г(±-у
j (х - kvf йФк (х) = f (х - ktf dF^pj =
= k2Ux-iL)2dF(x)<e,
, ь ,^ \f n (n + 1)(2л + 1)
при достаточно большом n, ft = l, 2, ... , n, любых е и a^O,.
так как интеграл сходится. Следовательно,
|jf — fep- J > okCL
n
Г1
я2Л(и+1)(2и+1)
I
(x - кр)ЧФк(х) <
\x-*v.\>«yaln+lf*+l)
<;
OS ^ **
fc-1
6и(п+1)(2и+1) ~ '
т. е. выполняется условие Линдеберга для последовательности
сумм (Си),"но тогда
Si + ... +S„ я+1 „,
я 2 ^ I
= 1-Ф
Кб
+ф|
/(1+±)(2«+1)
е/6 N
% +
У(Ч±)С«
+1)
1 ПрИ П -► оо
— закон больших чисел к последовательности {5Л} не применим,
б) Пусть Vn=a1S1 + a2S2+ ... +anSn=(a1 + at+ ... + ап)& +
+ (e. + a,+ ...+fl«)Et+ ... +ОпЕя = ^1 + ^+ ... +^
где ^=(а^4- • • • + ал)^ — взаимно-независимы и ап=о\-^=\
при /г-* оо.
AfA* = (a*+ ... +a„)(i; DA"* = (a* + ... + а„У a»;
k=i
т. е. DYn = o(n2). Следовательно, закон больших чисел
применим.
26S
561. Да; обозначим напряжение на входе через Сд»; эта
случайная величина по условию есть сумма независимых
одинаково распределенных слагаемых.
_
2а2
2*' = 4»sin5*, fih{x) = ^ при И< —; /Чк(х) = -7=
Тогда плотность z^ будет
1 с "Ь<с1,г+1)
о
3
R ' R 2no J (ег_|_^-<г_(_2)3/2 ™ J Зло '
т. е. Zfc имеют конечную дисперсию, а тогда имеет место ц. п. т.,
т. е. при п -> оо распределение Сл асимптотически нормально
с параметрами (О, <зг]/#), где oz — дисперсия z^.
оо k
563. а) Пусть 2j a2 =a2 < оо; cpft(^) = ^ 2 —характеристи-
ческая функция 5Л.
-fS-i
— х. ф. нормального закона с параметрами (0, а);
оо
б) если ряд 2 ал расходится, то не существует предель-
/5 = 1
кого распределения для Сл при /z~>oo.
566. Характеристическая функция g равна <р(£) = (1—jpj
(см. задачу 465). Тогда
,,(0 = ,-^.-T(iL)=,-»^(.-^)-;
{мы рассматриваем главное значение логарифма, т. е. ту ветвь,
которая при £ = 0 обращается в нуль). Пусть t заключено
в каком-нибудь конечном интервале { — N, N), где N— любое.
Считая a>7V2, разложим In (1 у=\ в степенной ряд
1»».<'>=-"^-«(-£- + -£- + £7?--") =
26G
/2
т. е. при п -> оо In ср (t) -* 2" равномерно в (—-/V, 7V), следо-
вательно, функция распределения vj сходится на всей оси
к нормальному закону.
1 ^
567. Пусть Чя = — ^ 6*, Л^ь = |i, фл (О — х. ф. у\п]
k=\
?*(*) — x. ф. 5fc,
*»("=Нт)Г=(1+4^+»(т))"=
= (l + -7Г^)Л + ^(1) при /|->оо,
т. е. если — T<^t<^T, где Г—любое положительное, то-
lim фл(£) = £г>', т. е. фя(£) равномерно в любом конечном
интервале сходится к х. ф. несобственного закона, значит
имеет место закон больших чисел.
п
' <
568. ра(т) = Р\\ь=т)=Р
h-l
1
V?
РкЧк
/2ад
^ ц —Af[i
/D|x
/S^k
|/S^T
— /^ pC/z, m
]/|wh
<ч 7==—^-^/l, in ■+"
/A*
/2^*
=фя/-к«.
n
П I Xn, m
Pkik
У?
Pfc^k
где Ф/Д*)— функция распределения ^ ^ . На основании
у ^м-
ц. п. т. (см. задачу 554)
* _ £1
Фя(*)-_1=. je 2<*г = Ф(х)
— о*
равномерно по л: (т. е. по //г), следовательно, по заданному е>0
найдется N=N(e), такое, что \®п(х) — Ф(^)|<-т-, тогдаг
полагая
1
Хп, i
1
п
РкЯк
— An, mi Xn, j
У^РкЧк
:B„
267
будем иметь
/>„(«)-•
/2"?
X
Pklk
■ 1 /
Хехр — -w- хп,
V?'
2 I/ ijPft^
\ о >
где |6|<1. Но очевидно,
У^2рнЧн
if _1_
■ exp I к" I Xriy m ~r
/?
Pk<lk
/2,?
/W*
■exp
{-4=}
<-r
при n>N(e) и всех хп,т (т. е. при всех /и), следовательно,
Ри(т)-
л, т
~2
]/2«2ftft
<е при /z > max (TV, Л^).
569. а)
1_
2 fe+1
т. е. при всех & = 1, 2, ..., /г, -g- < DSft<l, тогда, очевидно,
выполняется условие Линдеберга и функции распределения
сумм
C/l — B7 i5*
2
ft=l
СХОДЯТСЯ К -т= I * ^ dz.
/ST J.
— оо
б) Обозначим через Сп= 2 ^> <7*(*) плотность Ся. Тогда
k=l
ftW=/iW*/2W= j fi(z)f2(x — z)dz.
268
oo
Положим x = -y, q2(—\= Г fl(z)f%i^- — z\dz. Для того
— oo
чтобы /j (z) Ф О, необходимо, чтобы g- < z < -g-, либо
-\oi<$z I < "15- > a Для того чтобы /2(-2 *W 0, необходимо
-|g-<2T<-yg-, либо "32"< M<-32~; легко видеть, что эти
условия несовместимы, т. е. q2l-^\=0; точно так же убеждаемся,
что
Яъ (4") = ?2 (х) */з (^) I _j_ =
\ / х— 2
ос
— 00
нетрудно видеть, что то же самое имеет место и при х=—^—,
тгс = 0, ± 1, ± 2, ..., а также и для х= т^ -\-Ь при |8|<~4~ .
Следовательно, плотность нормированных сумм Сл при х = -^-
будет равна
впяп (%•) = |/"-f + тпй (* —h) ^(-т|/"-г + ш (! - -^г))-
При /г = 2 (2A^-f- 1)2, где N—достаточно велико, найдем
Таким образом, при п -» оо разность
будет бесконечно много раз принимать значение —г=е 8 ,
у 2я
т. е. плотность нормированных сумм, т. е. Bnqn{xBn), не
сходится к плотности предельного нормального закона не только
равномерно, но даже просто в каждой точке оси х, т. е.
локальная предельная теорема для плотностей в данном случае
не приложима.
570. а) Так как все случайные величины \п независимы,
одинаково распределены и ограничены (значат, имеют конечную
дисперсию), то имеет место интегральная предельная теорема.
Так как \п имеет ограниченную плотность, то, по теореме Гне-
269
денко, имеет место и локальная предельная теорема для
плотностей, т. е. равномерно на всей оси
V~nqn (х V'n) - у~ ехр {- ■£} ,
где qn (х) — плотность суммы Сл = 51 + ?2+ ... + ?„.
б) АКп = 0, Д5„ = 1, ц, = 0, 1*4 = -^-; k = %r = 0,
T = -g—3^=-l,2; Я,(х) = л;3-3л;; Я4(л) = х*-6х2 + 3;
Н6{х) = хь — 10л;3 + 15х.
Тогда
УЫ*У7)^[>
72-7
2
= -^7= (0,979 + 0,043jc2 — 0,007jc4).
у 2те
571. а) Очевидно (см. предыдущую задачу).
лг* (4—к)
и
оо Jfa(4—It)
0
*=*И(*- /S)' ""^ *=-2Й V^.i
12
(4 — 71)2 »
отсюда находим
/С = ^^0,65; т = 77^2-3 = —0,4,
_£1
У /q7\,xy/) = ^—^i 6y-T 27^ "*"
0,4225 (jcs - 10*3 + 15лг)
72-7
£1
2
-1 = ^=(0,993 + 0,135 jc + 0,0426jc2--
J У2тс
- 0,0493jc3 — 0,007U4 + 0,0008л:6).
572. а) ^ = 1^2 sin сот], /^(у)=-£ при ЬМ<-£-.
Тогда плотность %п (см. задачу 366) будет равна f(x) =
= —=L= при Ы</2~и /(*) = 0 при |*|>]/2. Очевидно,
я у 2—х2
270
Yi YT
x2dx
/2^7*
= 1,
- V2 _ YT
•следовательно, интегральная предельная теорема имеет место.
п
б) Пусть qn (х) — плотность суммы Сл = ^] 1^ Тогда
YT
k=i
?2
(x)=^f(z)f(x-z)dz = ±- J -^=ff(x-z)dz.
-YT
Второй множитель отличен от нуля при — Y2 < х — г<|/2,
т. е. при_— 2|/2<л<0^ будет — V2<z<ix +/2, а при
0<л: < У"2 будет л — j/2 < z < j/2, следовательно,
jr + vT
ftW = l
-i
rfz
-VT
YT
/(2_z2)(2-(x-z)2)
.2 j
ДГ-/2
0
dz
/{2-z*)X2-(x-z)*)
при —2/2<л:<0,
00<2>Л>,
|-«|>2Vr2.
Очевидно, при х Ф 0 подынтегральная функция этих
интегралов обращается в бесконечность на концах промежутков
интегрирования как величина порядка г _ •, т. е. оба инте-
V/2-s
грала существуют при х Ф 0. При л; = 0 подынтегральная
функция обращается в бесконечность как —?= , т. е. инте-
гралы расходятся и, значит, q2(0) = oo. Рассмотрим
YT
-/Г
где|/2>2о>0. В первом интеграле q2{u) ограничена, а
- интегрируема при любых ху т. е. первый
интеграл ограничен при любых значениях х\ во втором интеграле
ограничен второй сомножитель при |х|< |/"2 ?г> a пеРвый
?з<
271
интегрируем как плотность. Если же ] л:J > "|/^2—^-, то q2(^)
ограничена снова, а второй множитель интегрируем. Таким
образом, плотность д3(х) ограничена при всех значениях х
из ее области существования, а тогда, как легко
видеть,.ограничены той же постоянной все плотности дп(х) при /г>3,
следовательно, имеет место предельная теорема для плотностей
Ynqn{xV^)^-±=-e 2
равномерно на всей оси.
YT V2
в) ц3 = — I dx = О, р.4 = — dx = -z-
V2 - VT
2 / w_Rv2 i Q\ л 2
£4 ^ 3
^ (* K7) = 7^ (! + £!1тге±-3) = 7^ (°'973+°>054*2"
- 0,009jc*).
573. a) 3.
J_ _L _L
2 3 6
*4 oil 1 1 1
б) 7Г2 = 7Г = | "2" -j- -g- | = 1U,
_L JL _L
2 3 6
т. е. переходные вероятности не зависят от числа шагов.
574.
— а — 2а —За
L>-X\s Cf](s С/л(2
— а —2а
С а 0 С 2 ^2 1*20
\\ 7Г = I —2а — а — * 1 • тг_ -= ir*•
1} I £-*. с3е с3 с3е
— За —2а — а
С?4^ ^4^ ^4^ ^4
так, например, Pn(2) — cl(c1+c2e a + cze а + сАе *+...)
и т. д.
б) Так как сумма вероятностей в каждой строке равна 1,
то имеем
Л V1 Л_ла 1 1 •— а .
\ л=0 /
л=0
1 —«~
272
575. а) Если известно состояние Ek на п -f- 1-м шаге, то, по
определению простой цепи, вполне определены вероятности
каждого состояния на следующих, и они не зависят от
состояния Eh в котором находилась система на /г-м шаге,
следовательно, и обратно — вероятность системе находиться на
п:и шаге в состоянии Et не зависит от информации о всех
последующих состояниях этой системы, если известно ее
состояние на /i+Ьм шаге. Обозначим
"i£" '-и, и-*--
безусловную вероятность Et на п-м шаге — через Pi(n); тогда
А(л)№=й(» + 1)4(,
откуда
2>.<0)/\|<я)
xk^=Pik7££jTK=Pik
V
где через /?v(0) обозначены начальные вероятности цепи,
а через Pik{n)— вероятности перехода за п шагов из Et в Е^.
б) Если известно состояние Е^ на п— 1-м щаге и
состояние Et на я-f-l-M шаге, то вероятности xf,J) состояния £/ на
At-м шаге не зависят от всех остальных состояний системы,
а поэтому
576. /Vi=/V* + (l-/OP=/>n(«-P) + P; А=А(«-Р) + Р;
А=А(«-Р):И=А(«-Р), + Р(«-Р) + Р; ....
^n+1=A(«-P)n + P(«-P)n-1+..,+P=A(«-P)',+
577. Пусть piT и /?/в — вероятности соответственно
горизонтального и вертикального смещений на /-м шаге, тогда
Рп+1, г= Рп+1,в = Рп, т-Рп, в*в+Л|г(1 —Рп, •) Р +
+ /V.0 "Л.. г)Р + 0 "Л,, г)(1 "Л,, „)?•
Так как /?л т=Рп, в=Рп% i — вероятность смещения по одному
какому-либо направлению, то
/'«+i.i=^;i«+2/'«,i(1-^.i)p+(1-/'..i)2t.
578. Характеристические числа матрицы тг суть 1 и — 1,
т. е. оба по модулю равны 1, следовательно, цепь не
эргодична.
18 Зак. 411 273
579. При п -* оо
580.
7Г„ = ГС"
Я
я
я
я
3
3
J_
3
_1_
3
3
3
0 0 0
р 0 0
Р О
0 0 0/7
р
о
о о
ЯР
ЯР
ЯР
ЯРг
ЯР*
ЯР*
ЯР3
ЯР3
ЯР3
ЯРп~г Рп
qp"-1 0
qpn~x 0
0
рп
0
0
0
рп
581. Рассмотрим матрицу перехода тт.- Если состояния Ej
vi*>Ek связаны1, то в матрице я можно указать цепочку
переходов, связывающих Ej с Е^ причем поскольку каждое из
состояний этой цепочки участвует лишь один раз, то число
всех переходов из Ej в Е^ не более /г, т. е. порядка
матрицы тс. Если же состояние Ек не связано с EJy то
соответствующей перестановкой строк и столбцов мы убедимся, что
матрица тс разложима и Ej и Е^ принадлежат различным замкнутым
циклам состояний, т. е.
при каком числе шагов.
переход из Е* в Е^ невозможен ни
582.
а) I
\Е— тс| =
= (Х— 1)(Х —
I*—А А-1|_\к— 1 А—1
-А-А + О = 0,
следовательно, характеристическими числами будут
\>=1, *i = l—А—А-
б) Так как все элементы матрицы тс положительны, то
цепь эргодична (положительно регулярна). Вычислим миноры
определителя
|X£-tcJ: AiM = *-A. A2 W=^-A.
Тогда
*=1, 2; /v
7-1
1— р2
2—рх — р2
" _ 1-/V
А
2-Л —Л
274
583. (См. предыдущую задачу.)
Pi=2-Pl-P2=l>P*"
= 0.
584. Обозначим через ру (k) вероятность перехода точки
в момент k в x=j, если в момент k—I она находилась в
x = i. Тогда, очевидно, Ри(к)=ри(т) при любых к и ту т. е.
цепь однородна, поэтому ри(к)=ри. Далее, р00=рт=\;
Pu-i=P, Pu+i = 9=l—P ПРИ 1<*<л— 1, рц = 0 при
\i—J\>l. Следовательно, матрица перехода будет
10 0 0 0
р 0 q 0 0
0 р 0 q 0
0 0 /? 0 ?
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
• Р
. 0
о о о о
0 q\
0 1
Очевидно, 1-е и я-е состояния (т. е. положения jc=0 и х='п)
существенны, а. все остальные не существенны, так как
первая и последняя строки матрицы я содержат лишь по одному
не нулевому элементу, т. е. при возведении матрицы « в
любую степень в каждом столбце хотя бы один элемент будет
равен нулю, следовательно, цепь не будет регулярной (не
обладает эргодичностью).
\р q 0 0 . . 0 1
р 0 q 0 . . 0 j
0 р 0 q . . 0
585. 1) «:
0 0 0 0
0 0 0 0
2) при л = 4 «:
Я
Легко видеть, что тс4 имеет все элементы строго
положительными, следовательно, цепь эргодична, причем все финальные
вероятности положительны. Вычислим их:
Pj=llmpiJ(k)r-
fc+oo
7=1
18*
271
где Pjj(k) — вероятность перехода из Et в Ej за k шагов,
а PjjVO — значение при Х = 1 минора элемента с индексами jj
определителя | \Е — те|.
Лх(Ь)
Х^-2М+/73;
P22(X) = (l-p)(X2_qX_pq). PbZ{X)=(\-q)(p-p\-pq);
PM = V-pW-2pq\+p*q; Pn(l)=/>3; Я22(1)=/>2?,
РвА1)=РЯ2\
_P* _Р*(Р — Я)
Я44(1) = ?3; Рг =
р*-гр2я+ря2+я3'
_ рЦ (р — д)
Р%—-рПГф-
р _ ря2(р-я) . р _ я*(р-я)
*3 м — /г* » *4 М —/74 •
/?4-?
/>*-?*
586. Первый существенный класс состояний 5(1) состоит из
состояний (£*!, Е2, Еь). Второй, независимый от первого, класс
состояний, очевидно, будет содержать (£3, ЕА). Переставляя
в матрице те одновременно 5-е и *В-и строки и столбцы,
приведем ее к виду
/о - —
/ } 4 4
О О
1
о
о
о
о
о о
о о
о
о
о
о
о
о
\
1_
4
(]_
2
т. е. матрица вполне разложима. Таким образом, если система
в данный момент находится в одном из состояний класса S(1\
то при всех дальнейших изменениях она останется в этом
классе. То же касается класса S(2). Легко видеть,, что цепь
не эргодична.
587. Переставим одновременно 4-й и 8-й столбцы и 4-ю
и 8-ю строки. Тогда матрица приведется к виду:
576
те =
0,2
0,2
0,1
0,1
0,5
0,1
0,1
0,1
0,1
0
0,1
0,1
0,1
0
0,2
0
0
0,1
0,3
0,3
0,1
0,3
0,2
0
0,6
0,7
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0
0
0
0
0
0,2
0,3
0
0
0
0
0
0
0
0,1
0,8
0
0
0
0
-о
0,2
0
0
т. е. матрица п разложима. Первая матрица управляет
переходами состояний первого цикла &г) — (Е19 £2, Е3, Еь, Е%)
(в первоначальных обозначениях). Все эти состояния связаны
и цикл изолирован. Остальные состояния (Z:4, £6, £7) образуют
второй переходный неизолированный цикл.
588. а) Я, (1)ь= J/>,/>„ = 0,235;
степени.
б) так как в 5-м столбце матрицы все элементы
отличны от нуля, то система неотрицательно регулярна (эргодична);
в) так как подматрица, управляющая переходами
состояний цикла S(1\ не разложима, то финальные вероятности
будут:
А>0, р2>0, />з>0, рь>0, /?8>0, рА=рв=р7 = 0.
589. Рассматривая матрицу те, непосредственно убеждаемся,
что все состояния связаны. Все состояния системы
разбиваются на 4 цикла: (Еи ЕЬ)->(Е2, Е6)-+(Е4, ЕВ)-*(Е3, £7).
При изменении состояний система с вероятностями,
выписанными в матрице те, переходит по вполне детерминированной
схеме из цикла в цикл.
590. Возводим матрицу те во 2-ю, 3-ю,
Очевидно,
* =- r^rfn^ I
т. е. матрица вполне разложима и цепь периодическая с
периодом 3. Первое и второе состояния образуют первый цикл,
3-е и 4-е — еще два цикла. Эргодичностью цепь не обладает,
но при п = 3т и т->со р1г(п)=р22(п)=р12(п)=р21(п)=-^- ,
Лз (п) —Ри(п) = 1» все остальные вероятности равны нулю.
При пфЪт и п-+ сорц(п) не имеют предела.
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
277
591. Очевидно, состояние Е2 несущественно. Переставляя
в матрице те вторую строку (и столбец) с третьей строкой
(и столбцом), а затем третьи с пятыми, приведем матрицу
к виду
4 о о о
4 4 о о о.-
оо4-4о
оо44о
оо4
т. е. матрица разложима. Состояния Ег и Ez образуют первый
существенный класс, состояния £4 и Еь — второй
существенный изолированный класс. Состояние Е2 — переходное
несущественное. Эргодическим свойством цепь не обладает, но
поскольку состояния цепи Еъ E3i Zf4, Еь возвратные
непериодические и ненулевые, т. е. эргодические, то они имеют
отличные от нуля пределы при й^со в выражении тел. Легко
видеть, непосредственно возводя в квадрат, куб и т. д., что
Ai(i)->4"» А2(л)-*4" и т- д->
т. е.
в пределе те'
о\
п
обратится в
4 4 0 0 0
0 0 4
о о 4 4 о
— —
\ 2 2
0 0 0
592. Пусть те — матрица данной цепи. Очевидно, те2, те3, ...
... , к11 также будут дважды стохастическими. Предположим,
что наша цепь неприводимая, тогда, как известно, если имеется
хотя бы одно возвратное состояние, то и все состояния
возвратные и одного и того же типа, т. е. либо нулевые, либо ненулевые
и периодические одного и того же периода, либо эргодические.
Но в двух последних случаях все элементы к-то столбца
матрицы ъп стремятся при л-^со к одному и тому же
положительному числу (независимо от номера строки), что противоречит
дважды стохастичности матрицы гсп, следовательно, все
состояния возвратные и нулевые. Если матрица разложима, то все
278
элементы Pik(n), соответствующие переходам в невозвратные
или нулевые состояния, при п -> оо стремятся, как известно,
к нулю. Если допустить снова, что возвратные состояния,
образующие замкнутый цикл, ненулевые, то придем к тому
же противоречию с дважды стохастичностью.
593. а) Находим
9
32
1
4
7
32
1
2
1
2
1
2
7
32
1
4
9
32
Безусловные вероятности значений—1 и 1 через 4 шага будут:
Р-Л*)=ж> p+i(4)=w> поэтому уИ?(4) = -ж + ж==ж-
б) Цепь положительно определена. Найдем финальные
вероятности, составив систему линейных уравнений:
Р-г^Р-г-0 + Po—i-p^-l-
_ - 1 _ !
Pi=P-i-— + Pq--4-+Pi-0
©ткуда
1 -
1 А = 4-; ИтЛГС(л)=0.
4 Л-»-оо
2
594. а) Очевидно, мы имеем цепь с N +1 состоянием.
PJtk = 0 при |у —ft|>l.
в) Так Kajc все состояния системы очевидно связаны, то
все они возвратны j[h6o цепь конечна), ненулевые и
непериодические, а тогда цепь положительно регулярна, т. е.
существуют положительные финальные вероятности4impk (n) =
П-+оо
=/?ft>0, определяемые системой уравнений
Pk=%PiPik> Л = 0> 1. ... . W, Рк>0, £ Pk=h
i=§
ft=i
279
ял и
_ 1
А— Pi'~№ »
, 2(iV— 1) . 4
А = Л + А —дг2 h А д?2" >
_ (А^— 1)а , 4(ЛГ—2) , 9
А — А ^2 г А —]уа г АдгГ »
_ (Л^-2)2 , 6(ЛГ— 3) , _16^
А—А дг2 "гА д2 гАдг2 >
откуда находим последовательно
А А 12 > А [27^ А» А 12.22.32 А» *••»
складывая, получим /?0 [(C)v)2 + (С^)2 -f- . . . + {Cn)2] = 1, т. е.
«-JL „ (с^)2
и2ЛГ и2ЛГ
595. 1) Пусть pjk(n)>0 для всех у и &. Тогда очевидно,
что каждое состояние достижимо из каждого за один шаг,
т. е. цепь непериодическая.
2) Пусть цепь непериодическая и неприводимая. Тогда, по
свойству эргодичности, все состояния имеют финальные
вероятности Rk>0. Так как цепь конечна, то она не содержит
нулевых и невозвратных состояний, значит все состояния
эргодичны, т. е. все pk > 0. Так как число элементов pJk (n)
матрицы тсл конечно и при п -> ^Pjk (n)->Pk>0 независимо
от у и любом фиксированном &, то, выбирая п достаточно
большим, получим \PJk(n)—А|<1Г> т* е* Р]к(п)>® ПРИ
всех у и А.
596. Известно, что вероятность системе вернуться в
состояние Ej за не более чем а шагов <рДа) положительна. Пусть
9у(а) = 1—а>0. Тогда вероятность того, что система за а
шагов не возвратится в EJy равна tyk (а) = а < 1. фЛ (а-[- 1) ^
^ *Ь»(а) П — Щ1п °jk)> так как все Pjk > 0 (Для возвратныхассР
стояний), то 1—min/?.k<T. Пусть 1 >8 > 1 — min/?/ft. Мы
можем число 8 выбрать так, чтобы было -а < 8Л. Тогда
Ф* (а + 1)< % (а) 8 < а&* < 8*+\
следовательно,
^(а + 2)<8*+2, ... , <Ь»<8" при *>а. -
280
597. а) Очевидно, поведение системы описывается простой
однородной цепью Маркова со счетным множеством
состояний, которые все существенные и непериодические. Вычислим
переходные вероятности pjk. 1) Пусть 0<;/г</. Обозначим
через А1 событие, состоящее в том, что i частиц покинуло
область в течение рассматриваемого промежутка времени
длиной 1, Вг — событие, состоящее в том, что г новых частиц
за это время появилось в области; так как At и
^независимы, то
pJh = Р (Aj-u) Р (В9) + Р(Aj-k+i) Р(ВХ) + Р (Лу_к+2) Р (В2) + ...
Эта сум^ обрывается, когда индекс А достигает у. Тогда
+c/-k+y-ft+2A2-f-^2+...
2):При k=Jpn=P(A0)P Щ+Р(Аг) P(5,) + P (А,)Р(В2) +
+ ... = pJe-b+C)qp^\re-* + CW-2^e-b+...
3) При к >j
PJk=P/e-*(b=Tji + cfVP g-x(fe+ !_/),+
+ Cjqp e (fe + 2_y), +•••
Эти формулы объединяет следующая:
/-v X*-v
/>,*='~V£C>V-
(A; —v)! '
причем сумма обрывается, если v>&. Составим матрицу
перехода:
те =
р-Х о-Х *
e~xq e-*(ql+p)
е-хдг e-x(q2l + 2pq)
e-xqz e-x(qn+3pq2)
в~х(*-зг+'тг)
е_х(^|-+2^тг+^) •••
е-*(д'^г + грд*±-+зр*д) ...
.
Так как все элементы первой строки и первого столбца
матрицы отличны от нуля, то все элементы матрицы те2 будут
положительны, следовательно, цепь эргодична, причем все
финальные вероятности положительны.
281
б) Для определения финальных вероятностей составим
систему
оо
Pk=%PiPih> * = 0, 1, 2, ...,
1-0
которая в данном случае будет иметь вид:
Ро=Р0е-х +Piqe-x+p2q2e-x+pzq*e-* +....
Pi = Р*е-Х Ь + А*~х (^ + р) + p2e-*(q*\ + 2pq) +
+ P,e~x(^ + 2pq2) + ...
P^=Poe-x^+Pie-x^q^+p^j+P2e-x\q2^ + 2pq^ +
+ /Л) + ...
Из первого уравнения находим е~х — 1 = -—- <7 +у- #2 + ...;
так как левая часть не зависит от q, то правая также не
зависит от q. Положим /?,- = ^^-, тогда ех = 1 + йг + и2 + ... Но
я
Ро + А + А + • • • = 1» следовательно, подставляя в это
равенство выражения ри ръ ..., получим
■ = I +«1— +И1-Я- + ...
А(**) ' * * ' * Я2
Это равенство можно рассматривать как разложение в ряд
функции —-.—гт- по степеням —, а тогда его коэффициенты
A) w» *) Ч
Uk суть функции только от X. С другой стороны, равенство
при X = q превращается в ряд Маклорена функции е9, т. е.
Pi (я, я) _ 1 рЛч, я) = 1 Рк(я>я) _ 1 -
Л(9. ?) » ' /><>(<?.<?) 2! > '••' а,(<7, <7) А!'""
т. е.
^ - ft! ' R~ l> z' ■■•■
Но поскольку UhQ<) не зависят от q, то #& (X) =-£j-> ft = l, 2,
X
1 ll "Л О — —
•••• т- е;ы^ДУ=,1+у + ^2Г + ---'/?о(^ *)=* f, A =
_ х " __ х« -у
— q е » А — ^22! е ' * * *
Таким образом, финальные вероятности распределены по
закону Пуассона с параметром —.
ч
282
598. а) Пусть я>1. Тогда
Рп (t + ДО = Pn(t)[i-K** + o (M)] +
+ /»„_,. (О [\,_х Ы + о (ДО] + о (ДО,
©ткуда
д. (f + AQ-Л. (О = _ ^ (0 + ^^ (0 +.0 (1).
т. ем переходя к пределу при Д£->0, получим
M) = -KPnV) + K-iPn-iV)<»=^ 2, •••
б) Аналогично получим уравнение для /г = 0:
P0(t) = -'koPo(t).
Имеем
при t = 0 находим с = 1, т. е. />0(0 = £-х°'.
p2(t) + Хг/>2 (0 = ^^(е-^ - е-^%
nW- (х1-Х0)(Х2-Х0) т- (Xo-XjXAj-X,) "Г (Хо-Х^-Х,) •
Аналогично находим
р т ХрХ^е-*"' АрА^е-У
31 ; _ (X!- Хо) (х2-х0) (Х3-Хо) f (Х0- хг) (>2- хх) (Хз-х,) -1-
, X0Xi X2grx^ X0X1X8g~x»< »
+ (*о- Xj) (Xt- Х2) (Х3-Х2) + (Х0 - Х3) (X, - Хэ) (Х2-Х3) ' И Т- Д-
в) Складывая выражения, найденные для pn(t), n =0, 1,
2, ..., получим
л = 0 •
_1 Х0Х]Х2 . | . Х0е~ ' I . , \ ,
^(^-Хо)(Х2-Х0)(Хз-Хо) "t-•••]-*- Xo-Xj L1 1" х,—Aj "Г-
. *Л L 1 , X0Xie-M h , *2 | 1,
"I" (X,-X1)(X8-X1) -t-'-'J-t- (X0-X,)(X1-Xt) L ~*">в—Ч"1"'* 'J"1"
+ ...
При Х„ = 3П, # = 0, 1, ,.., легко видеть, что все ряды в
скобках сходятся, следовательно, имеем
оо
YiPn (0 = «о«-' + <he~3t + ^е-9' + аге~™ + ...,
л=0
... 283
где все at очевидно ограничены. Взяв достаточно большое
^ > 0, убедимся, что
Ел. «к
1.
л-0
Обозначим р^ = 1 — S\pn(t). Рж (t) есть вероятность того,
л-0
что к моменту t множество частиц в данной области будет
бесконечным. Так как при t-+ oo p^it) -> 1, то при достаточно
большом t почти достоверно, что число частиц в нашей
области будет бесконечно.
599. a)p0(t) = е-7*' монотонно убывает на полуоси 0.<£<оо.
(см. предыдущую задачу). Тогда
AW- x7=v ; * Xi-Xo '
Очевидно, эта функция имеет единственный корень £1# Пусть
для определенности начальные условия процесса будутр0(0)=\,
рп(0) = 0 при пфО. Так как/?0(£)-*0 и/?1(^)-^0 при £->oot
то в точке ^ а(^) имеет единственный максимум.
Предположим, что это имеет место длярх (t)yp2(t), ...,pn(t). Докажем,
что утверждение справедливо и для pn+1(t). Действительно,
p'n+l(t) = -K+iPn+1V) + KPn(t)>
тогда
Р'я+1 Ю= - К+гР'п+г С) + КР'п (') = K+i [К+1Рп+г (0~ \А W] +
+ \.[-^.(0 + ^Л^)]. (*)
Так как /?л+1 (£) -> 0 при t-> оо (это.следует из явного
выражения pn+l (t)f а также из дифференциального уравнения
вместе с условием, что рл_г (t) ->0 и pn(t)->0 при ^->оо)>
то, если индуктивное предположение неверно, /?л+1 (£) имеет
не менее двух максимумов в точках £я+1 х и tn+l 2 (так как
/7л(0) = 0). Тогда
A+i(^+i.i)==^+i(^+i>2)=0.
т. е.
и
■\, + lA,+l ('л+1. 2) = КРп ('л+1. 2). (**)
284^
Так как pn(t) имеет единственный максимум (в точке tn)y
то (**), очевидно, возможно лишь при условии tn+i,\<C.tn<C
<^л+1,2. Полагая в (*) t = tn+i,u & затем £ = 1л+ь2, получим
Лны(*Л + 1,1.) ^XX(^+l,l) И /?n + l(^+l,2)==XX(^ + l,2).
Так как эти точки tn+i, 1 и £л+1,2 лежат по разные стороны
от tn, TO*p'n(t) в них имеет разные знаки: р'п (tn+hl) > О,
/?n(^+i,2)<°i T- e- Pn+i{tn+xA)>Q, следовательно, в этой
точке не может быть максимума, и единственный максимум
Рп+\(£) имеет в точке tn+l2^>tn^ что и требовалось доказать.
600. При п->со tn монотонно возрастает (см. предыдущую
задачу). Допустим, что tn < с, п = 1, 2, .... Тогда tn -> х < оо.
Пусть £>т. Положим Sn(t) = p1(t)+p2(t) + ... +pn(t) —
вероятность того, что за время (0, t) в данной области
окажется не более п частиц. Тогда вероятность того, что их
будет более п- равна 1 — Sn(t). Складывая дифференциальные
уравнения процесса с & = 0, 1, 2, ..., п, получим Sn(t) =
= — ^nPn(t). Интегрируя по промежутку (0, t) и учитывая,
что Sn(0) = 1 (так как р0 (0) = 1, pk(0) = 0f (k > 1)), получим
1 — Sn (t) = К j pn (z) dz. Из уравнения рп (t) = — lnpn (t) +
о
+ K-iP*-i(t) при t>z находим, что lnPn(t) >\_lpn±1(t),
поскольку р'п (t) < 0, т. е. ^прп (t) монотонно возрастает при
я-*оо, значит, интеграл
t т t
V j Рп (z)dz = К \Рп (z)dz + \n§ pn (z) dz
0 0 х
не стремится к нулю при #->оо, откуда следует, что с
вероятностью, отличной от нуля, к моменту t в области ока-
'жется бесконечное множество частиц, т. е процесс
расходящийся, вопреки условию. }
601. Очевидно, процесс Пуассона есть частный случай
процесса чистого размножения, получающийся при К = К
/t = 0, 1, 2, ... Тогда система основных дифференциальных
уравнений этого процесса будет иметь вид
Po(t) = -bpo(t),
PnV)=-bP*V)+bP*-i(t)> *=L 2, ../
Решая последовательно эти линейные уравнения первого
порядка и используя начальные условия /?о(0)=1, /?л(0) = 0
при п =£0, находим
285
(s
П
602. а) Пусть к моменту t в области О имеется п частиц.
Тогда вероятность увеличения их числа на единицу за время
ty t + М равна п\М + о(М) (одновременное расщепление двух
или более частиц имеет вероятность о (Д£)). Поэтому (см.
задачу 599) получим
P'n(t)=-n\Pn(t)+(n-l)\pn_l(t) ^ (•).
для п > &, где k — число частиц, имевшихся в области Q
в начальный момент времени t = 0 (pn(t) = 0 для я<&).
Таким образом, мы имеем процесс чистого размножения
с параметрами Хл = пк.
б) pn{t) = Спп-ке-ш{\ - е-и)п-\
в) Умножая уравнения (*) на п и складывая, находим
)' л-1
= * V * а (*) — * я2/>л (0; (**)
так как /?л (0 = О [(1 — £"Х0Л] = О (а"), где 0 < а < 1, то
lim n?pn (t) = 0, следовательно, переходя в (**) к пределу
П-*- во
при п -» оо, получим /я' (£) = \т (t), m (f) = Ceu\ при t = 0
/71 (0) = Л, т.. е. С = k, следовательно, т (t) = ЛШ (£) = &£х',
где % (t) — число частиц в области О к моменту t. Аналогично
находим
Dl(t) = kekt(eV-l).
603. а) (См. предыдущую задачу и задачу 599.)
Рп(*) = ^Рп® +(» + №?+№
6)pn(t)^Ckne-m{eu-\)n-\ n = 0, 1, 2, ...
в) M\(t) = ke~xt\ D\ (t) = ke-^{\ - e~lt).
604. а) Так как мы, очевидно, имеем дело с неоднородным
процессом чистого размножения (см. задачу 598) с параметрами
К = iT,^ > то найдем систему:
Рп (0 = - Т+*"Л, Ю + l+af Ч-i (0, я = 1, 2, ...;
б) Очевидно, p0(t) = (\ + at) a ; далее последовательно
находим
-JL-i
А(*) = '(!+<*) а .
^(0 = ^(1+^)-^-М1 + а)(1+2а)^.[1 + (,-1).]
286
в) Умножая k-e уравнение системы (*) на {\+at)k
и складывая полученные равенства для & = 0, 1, 2, ..., п,
найдем
п п п—\
{\ + at)Yikpk{t)=YiPk(t) + *Yikpb{t)~n{X+an)P»{t)-
. ft-1 ft=0 k = \
n
Полагая Sn(t) = 2кРк$)> получим дифференциальное урав-
нение
(1 4-at) S'n{t) -aSn-i(t) = £pn(t) -n(\ + an)pn(t).
Перейдем в этом равенстве к пределу при п->со. В правой
части будем иметь
п
lim\\ph(t) = U lim n(l+na)pn(t) = О,
так как из явного выражения pn(t) видим, что pn(t) = o\nm)
для любого /я>0. Таким образом, существует предел левой
части равенства, а так как Sn (t) конечно при любом
фиксированном ty то в пределе имеем (1 + at) S' (t) — aS(t) = 1,
где S(t) = limSn(t)y т. е. S(t) = Ml (t) = t. Аналогично
находим Dl(t) = t{\ +at).
605. а) Пусть к моменту t в области G имеется п частиц.
Тогда вероятность того, что их число увеличится на 1 за время
(t, t-\-kt), равна сумме вероятностей каждой частицы
разделиться на две (так как вероятность одновременного деления
двух и более частиц равна о(А£)), т. е. равна п \ kt -f о (Д£).
Аналогично находим вероятность гибели одной частицы за
время (£, t + М): прМ-\-о(М). Тогда для п>\ имеем
pn(t + M)=pn(t)[\-n\M + o(M)][\-n^t + o(M)] +
+ Pn-At)l(n-inU + o(bt)][\-(n-\)rbt + o(U)] +
+ Pn+i (0 1(л + 1) I*** + о (А*)] [1 ~ (« + 1)* М + о -(А*)],
или
+ (я + 1)^я+1(0 + о0);
переходя к пределу (что, очевидно, законно), получим
P'n(t)=-n(k + ?)Pn(t) + (ri-\)\pn_1(t) +
+ {n+l)?pn+1(fi, и = 1, 2, .... (*)
287
б) Умножая п-е уравнение системы (*) на хп (дг = 0;И,
2, ...) и складывая, получим
1 л='
оо
л=0 л=1 л=1
л=0
^)=[,-(Х + ,), + Х^]^>; (-)
в) Пусть рх(0) = 1, /?л(0) = О при л=£ 1. Это будут
начальные условия. Для решения уравнения (**) нужно, ка&
известно, составить обыкновенное дифференциальное уравнение
г, _ —dx
aZ^ [fx—(X + pO^ + ^2] >
откуда находим
i_ ln k-**l
{X— X U1 | 1 — JC | '
т. е. общий интеграл этого уравнения будет
1 Пх-^х^
[х— А 1 —х ' '
а тогда общим решением уравнения (**) будет
где /? —произвольная дифференцируемая функция. Полагая
i = 0 и учитывая начальные условия, найдем F{x, 0) = х, т. е.
/?[—rr-ln-Ц-: Ч = *. Обозначим г
\Ц —Л 1 —XI (X — А
t I (х — \х I
тогда имеем R(u) = x — это есть обратная функция для
" = 7=Tln 1-* ' следовательно, #(а) = ^ ^_Х)Ц ,
т. е., заменяя и на _ х In ~ + ^, получим
Fix t\ = r?( l in lfJL~Xjc| W ^[1 - g(tl"X)'] +* M*"^'-d .
288
606. Система дифференциальных уравнений примет вид
P'0(t)=iPl(t),
рп (t) = - 2пкРп (?) + (п-1) Хря_1 (t) + (п + 1) Х/>„+1 (*);•
» = 1, 2, ...
Для р=^=Х. имеем
^ [1 в(^-х)<]
Л(*)= х.^-хх •
тогда для случая р. = X, используя правило Лопиталя, находим
. ,x[i-e^-x><] 1 —в^-х)'_ |*te^-x>« х;
Mt) = |Й х-и^-^ = gg —<»-»'-„*-*>« = Г+хГ •
Аналогично находим и остальные вероятности:
_ (|1-Х)»^-^ {X [1 - g(H-x>q}n-i
- (Ц)"-1- л=1 2
так как, очевидно,
то это значит, что вероятность вымирания равна единице.
607. Очевидно,
* _i!
P{*(*)<*}=P{*(*)-*(0)<0}=^jV*<fc,
— оо
поэтому одномерная плотность процесса X (t) будет
№;') = 7^-
Далее, если известно значение процесса X(t)=.x, то
распределение Х(?) при любом t'^>t совпадает с распределением
[X {?) — X (t)] 4- X (t) и не зависит от предшествующего
(до момента £), следовательно, процесс X(t) — марковский
(без последействия), а тогда для полной
вероятностной'характеристики его достаточно-знание двумерной плотности /2 (х, у;
t, f). По условию, если известно значение x/_i, принятое
сечением X(ti-i\*To условная плотность сечения X(tt) будет
Пусть tx < £2 <... < tn— любые п моментов времени. Тогда
fn (xly ..., хп ; ■ *1э ..., tn) = (2w) 2 ft 2 П (ti - ft_i) 2 X
, 1 (^-^-1)2 __J^
Х£ 2 'i~'/-i е 2'i.
19 Зак. 411 289
608. X(t)=xslnvt; MX(t)=sinv>t; Kx(t, t')=0,2sin«>tsin <of;
DX(t) = Kx (t, t) = 0,2siivW.
609. MX(t) = 2e-<*; Kx{t, f) = Ofile-v+f''); Dx = 0,01e-2'2.
610. MX (t) = 3* + 0,5*?; Kx (t, f) = tf + 0,05^''; Dx = t2 +
+ 0,05^4.
611. MX(t) = cos Ы + 0,2sin<at + 5t; Kx (t, f) = Q,lcos mt X
X cos <of + 0,004sin mt sin a>f; Dx = O.lcos'otf + 0,004sinW.
612. MZ (i) = 2sinutf + 4t2 + 5; Kz (t, f) = M [Z° (t) Z° (f)] =
= 4DUsin ut sin <of + 2DV t2 f' + 6 V DUDVruv (^sin at' +
|Alnrt)s0,4sinatfsin o)f 4- 0,45(#')2 — 0,042^'sin<»t -
-0,0422? sin af.
oo
613. a) mx(t)= $<r(t,y)f(y)dy; Kx(t,t')=
— oo
oo
= 1 <PV,y)v(f, y)f(y)dy-mx(t)mx(f);
6) mx (t) = £(*)Af4 + <]> (0; /^ (*, П =J> (t) ? (П Dt,;
b) », (0 = J «»*«(«J ** С *') = S 2 *V VIV) <?j (П.
i=\ i=\7=1
614. Число моментов, когда процесс X(t) совершает скачки
в наперед заданном интервале (t, t')y как известно,
распределено по закону Пуассона с параметром а\Р — t\y где а есть
математическое ожидание числа скачков за единицу времени
(„средняя интенсивность скачков"). Очевидно, MX (t) = 0.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что в течение
промежутка времени (ty t') процесс X(t) не совершит ни
одного скачка. Тогда
M[X{t)X(f)\A\=M[X*(t)] = D.
Если же произойдет событие Л, т. е. в интервал (£, f) попа-
дет хотя бы один скачок процесса X(t), то сечения X(t)
и X(f), будут независимыми случайными величинами, т. е.
М Г*(')*(^)|_1 = MX(t)-MX(t') = 0.
Из распределения Пуассона для числа скачков в промежутке
(t, г?') имеем:
Р(А) = е—к'-<1; Р(А) = \— e—K'-'i.
Тогда
М [X(t)X(f] =M \х(*)х(*)\ Л-Р(Л) +
+ м
X{t)X(t>)\_\p{J)=De-aU^tl
г]я(л)=,
290
Полагая здесь t' = t, получим Dx(t) = D. Так как
математическое ожидание и дисперсия процесса X(t) постоянны, а
корреляционная функция зависит лишь от разности t'—t ее
аргументов, то этот процесс — стационарный в широком смысле.
615. I. P{X(t) = n}=-^e-xt, n = 0, 1, 2, ...; MX(t) = Uy
Кх (t, f) = M[X (t) X{f)] — \4f.
M[X(f)X(f)]=j\ j^nmP{X(t) = n, X(f) = m].
1) Пусть f^>t. Тогда
oo oo
М[ХУ)Х{Г)\ = ^пР[Х{Ь)=п\^тР{Х«') = т\Хц) = ^.
Так как пуассоновский процесс однородный во времени,
марковский и не убывает во времени, то 1) при /ге<«
p(X(t) = m\
X(t) = nj~0;
2) при т>п P{Xif)-m\X{t) = n}=P{x(t,_t)=/n_nl
Тогда
оо оо
M[X(f)X{f)]=YinP[X(t) = n) X\mP[X{t' — t) = m — n\ =
л—О т=п
Jmd П\ JaU (m — n)l
л=0 т=-п
Тогда Kx(t, f) = U при ?>t.
II. Если t > f, то предыдущие рассуждения остаются в силе
при условии, что мы поменяем ролями t и t':
M[X(t)X(t')]=W.
III. При f = t M[X*(t)]=lt — l4\ Таким образам,
Kx{t,t')=\u при t<f>
или Kx(t, t')=\min(t, t').
616.. Kx(^ = M[X(t)X(t-{-x)] = l.p{4.n.3.}-\-P{H. n. 3.),
где буквами ч. п з. и н. п. з. обозначены события, состоящие
в наличии соответственно четного и нечетного числа перемен
знака X(t) в течение промежутка (t, t-\-kt). Поэтому
Кх (X) = У Ml е-а, _ У (^)2П+1 . в-«х _ е-2а,.
хК ' £Л (2л)! е AJ (2л+1)! S —в '
л=0 л=0
^=/С,(0) = 1.
19* 291
617. mx{t)= f xf^x; t)dx = 0; Dx(t) = t.
/,<*i. x2; t, 0 = ^=exp{-4--^^} при f>t
Тогда
oo oo 2
ДЖ 0 = ^== J J -W~ 2< " 2«'-<> *dxxdx2 = t,
— oc — oo
но так как Kx(t\ t)=Kx(t, tr), то имеем окончательно
618. ЛЩ*)=-* — 3cos£; AT,(*, f) = (t + cost)(f + cosf)-t-
+ 2 cos 2*cos 2t'; Dx(t) = (\ + cos *)2 + 2 cos2£.
619. JCt = x»i; x2 = v1 + v2; x3 = 2v1 — v2 + vs;
620. Нельзя, так как Мх1 = Мх2 = 0, Мх1х2 = 2, Dx1=lr
Dx2 = 4, следовательно, rls = l и^и х, линейно зависимы.
621. MX(t) = t — sint; X(t) = (x1 — \)t + (x2+'\)sint-t-
+ t — sin£; x1 — \ = u, x2-\-l—au-\-v, Mu = Mv = 0,
Da = Dx1 = 2.
Подберем коэффициент а так, чтобы и и v были некор-
релированы:
М- [(•«! —• 1 )(■*!+1)1 = я^и* + М (»*)•
Полагая М(«г>)=0 и подставляя значение левой части
равенства (т. е. 1), находим а = -^, т. е. х1—\=и, x2-\-\=-ju-\-v,
X{t) = t—s\nt + u(t + ^sint\ + vslnt
— каноническое разложение. Отсюда
Кх (*, t') = DuU + \ sint\ ft' + ■!■ sinf) + Dtf sintsinf =
= 2 // + у sin/j /f + -i sin f) + 2,5 sin t sin *';
D, (0 = 2 /if + у sin tf+ у sin21.
622. MX{t) = t — -J-cosf-f-sin*; AT(£) = * — -{-cqsf + slnf-f-
-+уи /cos ^ — -|- sin ^ + v sin £; /C, (t, t') = 3 [cos *—-| sin *) X
X (cos *' - у sin Л + -g- sin * sin *'.; DX (t) = 3 — -^- sin21 +
+ 4sin£cos£.
292
623. МХ(?)-2,5А(*)+/, (*) + 2/,(0; X(0=2,5/ (*) +/,(*)-*-
+ 2/,(*) + и[/1Ю-0,5/1(*) + 0,25/,(*)] +
+ «[/i(*) + 0,7/,(Q]+<»/,(*);
/Г, (*, О = 2 [Л (*) - 0,5/, it) + 0,25/3 (*)] X
X [Л Ю -0,5/, (O + 0,25/3 (01 + 2,5 [ft W + 0,7/, (*)] X
x [/2(О+07ЛЮ1+2,б5/з(0/8(О;
A* (0 = 2 [/ (*) - 0,5/, (t) + 0,25/з (О]2 +
+ 2,5 [/, (t) + 0,7/, (*)]2 + 2,65/1 (О-
624. Рассмотрим систему линейных алгебраических
уравнений:
*(*») = ^21^1 + ^2» (*>
Л" (*,) = <Vf 1 + ^2 + »|,
где неизвестными являются Ctj. Очевидно, М V-, = MX (£,) = 0r
Dz>1 = D. Далее, перемножая почленно первое и второе
уравнения и применяя операцию математического ожидания, найдем
М [X (*,) X(t2)] = Кх (tlt t2) = C^D V. + M (Vlvj.
Так как vx и v2 должны быть некоррелированными, полагая:
M(v1v2)=0, находим Си=е-"|т|..' Далее имеем AT[AT(?,)]2=
=cZ) = C2iD+ Mv\, откуда Z>o2 = D(l — е~2а И). Умножая
теперь третье уравнение поочередно на первое и второе и
применяя операцию математического ожидания, найдем
Са1=.е-2'^; С„ = в—И; £to, = D(l—e-*"'l).
Аналогично находим С41 = е~3а 'Tl, C42 = e-2e'x|, С4з = е-а,т|'
и т. д. Подставляя все эти значения Ctj в систему (*) и решая
ее относительно г»/, получим
■*i = *(*i), «JI = A'(^ll)-X(^-i)e-l", я = 2, 3, ....
Далее определяем координатные функции:
_^М{X(t)[X(t„)—e-'L^X^,,^)] _в-«к-(»-1)т|_;-«|т|-«|/-(я-2)т|
— д(1-«—м) — 1-е—■*' ;
*(') = УЧ?«(').
л
625. Да. MX(t) = \t — непрерывная функция, /(*(£, £') =
= ^min(£, £')— непрерывна на прямой t' — ty так как
lim АГЖ *') = Нт АГЖ t') = U = Kx{t, *)•
Г-/ + 0 /' = f-0
29&
Однако все реализации процесса Пуассона имеют с
вероятностью 1 счетное множество разрывов первого рода (их
графики являются ступенчатыми ломаными со скачками высотой
единица в случайных точках).
626. Нет. (См. предыдущую задачу.) Kx(t, f) = \mm{t, t').
1) Пусть t<f, тогда Щ^=*^ = 1; Пгп^^Х.
2) Пусть. *>f, тогда »^-й^ = ь^«фЛ=о.
Следовательно, на прямой t' = t корреляционная функция не
имеет второй смешанной производной, так как ее первая
производная по t разрывна.
627. MV(t) = ^ = 2; Ky(t9 П = **£$, П =
= 2е-«'-'Г[1—2(Г — *)я1, Dy(t) = 2.
628. «> = J; Di» = 2a*b2.
629. МY (t) = 1 + ^ + cos t; Ky (t, t') =
= 3 (sin t + у cos t\ (sin t' + j cos t'\ +
■f-g-cos^cos^; DV(t) = 3 — -^cos1 * +4sin*cos*.
2
631. MX(t)=0; Kx{t, ?)= |sin/|9|sinr| cos [v(r — t)\;
dKxlt.f) = |sin*'| {s.gn sin^C0S^C0S(D (^^)+(01 sin *|sin u(t'-f)}.
1) Очевидно, —d/ =0 ПРИ таких *, для которых
sign sin * = sin t = 0.
2) При таких *, для которых sign sin t = -\-l,
dKAt П =lgl^{C0S^C0Sm^/_Q^Q>sin^sin(P(</_Q^
т. e.
P ^/С^(Л ?) _ sin/cos/ _ dA^f/, t')
Д™0 d/ — 2 — d/
/'=/
3) Тот же результат получаем и при sign sin *=— 1. Таким
образом, * '—- непрерывна и дифференцируема на прямой
±г ± d2Kx(t, t)
t = г, значит, существует —-щт,—- на этой прямой, т. е.
процесс X(t) дифференцируем (в смысле среднего квадрати-
ческого). Однако, как легко' видеть, все его реализации не
имеют производной в точках t = kn.
632. KM, f) = \QT{t)T{f)\\— 2{t' — ty\e-V-W\ Db{t) =
= \0T2(t).
294
633. MX(t) = l'+t; MY(t) = \; Kx(t, f)=2tt,+t2fi + 0,\i3t's;
634. MY(t) = ^ + cost-U Ky(t, 0 = ^ + t(1-cosO +
t*
Ky(t, f) = 2 + Ш' + 0,9*Va; DY{t) = 2 + 4t2 + 0,9*4.
•j + cosf—1; /Cy(f, t) = — + ~2
+ ^ (I —cost)+ 3 {I—cost) (1 —cos f);
Dy(f) = -£- + t*(l— cos*) + 3(l — cos*)2.
t
635. r(*) = JA-(t)A; MKtf)=*; #,(*, t>)=\{tt'f + \ {tt'f;
0
636. ЛЩ*) = 0,1* +^sin2arf; *,(*, ^) = -^-sin«rfsin»^;
637. mx (t) = an cos mt; Kx(t, f) =D (a2 + со2) «-«w-<i X
xlcos»(t' — t)—^ sin«>\t' — t\\: Dx(t) = D(a* + «P).
(Условия дифференцируемости процесса, как легко видеть,
выполнены.)
638. mv (t) = 0. Пусть s' > s, тогда
Ky(s, s') = $j Kx{t, t')dtdt' = DJdt§ e-^t'-t\dt' =
0 0 0 0
= T25L + ^.(e-«+e-«'_e-(*-*')_l).
Так как при s > sr, по свойству корреляционной функции, s
и s' просто поменяются местами, то получим окончательно
Ky(s, s') = ^-min(s, s,) + -g-(e-« + ^-"' — е—i''—t-l);
Dy(s) = ^s + -^.(e-«-l).
t t
639. MY{t) = ±c$MX (т) Л == A f /T cos a>«ft=,
о о
*■ = 2P" {p^2- [P cos ш*+esln "^ ~" "F+^J;
/(,(*, t')=e?{t+ncosmtcos^t';
295
о о
1 f еР< Р Т
= TWWX$Tf* №cosmt + »sln»'] — Y+^\ X
X {piqp^r IP cos utf' + ш sin »f] —^-sj ;•
640. /C,y(*, f) = J**(*. T)^.
641. Докажем, что l.i.m.— л, —5-^- = A'(^). Действительно,
y.d + ^-y.H ^.у>М«.
Тогда
Af{y0(f + Arr°(° -^W}"' = Af{i- Jif (x)*-Xo0)}' =
Так как процесс по условию непрерывен, то Кх (t, tr) —
непрерывная функция, следовательно, применяя к правой части
теорему о среднем, получим
= Kx{?,*)-2Kx[t, ~*) + Kx{t, t),
где^<т*, т, т<£-{-^> а тогда при Д£->0 вся правая часть
стремится к нулю, т. е.
1.1.Ш-. Ш±^рШ1 = Х^^ или *т = ХЧ).
At-+0
Ho —s—=ntx(t).
Складывая почленно эти два равенства, получим требуемое.
642. Нет. Действительно,
т т т r.t т ч
т*| $кл*, t')dtdf=±^dtttKx(t, t')dr+^Kx{t,pdA=
0 0 0 U t * t
= — /-►О при T-> oo.
296
643. Нет. Легко проверить, что
т т
7» J ]"**('. f)dtdt'
О О
не стремится к нулю при Т->оо.
1С
т
644. a) MX (t) = а \ sin (<*>t + ср) cos <pd<p = -^ sin <&t + у cos <*>£
о
не постоянно, т. е. процесс не стационарный.
Kx{t, ^ = a2{/y~^)sin^sinco^ +
+ -J2*cos ®* cos ®*' ~ \~5 ~"Т) sIn ш (^ + м) »
D;^0 = W(|-^)sin2<^4-^
б) Всякая реализация xp(t) процесса X(t) будет
синусоидой с некоторой постоянной начальной фазой <рр: xv(t) —
= asin(a)^4-(Pp)- Тогда
т
-f-J.-M*)'
о
приТ->оо, т. е. средне по времени любой реализации
процесса X(t) не сходится к его математическому ожиданию
с увеличением промежутка времени [О, Т].
645. Плотность ср равна / (х) = -^ при 0 ^ х ^ 2ic. Тогда
AfX (*)=-£ j* sinK + <p)rfcp=0; Кх(*> f) = ^-cos<o(t'-t)v
о
таким образом, процесс стационарный, DX{t) = -^.
646. Легко проверить, что ^выполняется необходимое и
достаточное условие эргодичности:
т т
-rj(1 —f)^^rfT=s^J(1 — T)COSOTdT=J(C2^""1)^0''
следовательно,
l.i.m.4 [ X(t)dt = mx. (*>
a2
Так как корреляционная функция /С* (т) = "2" cos ^
дифференцируема, то в (*) имеет место сходимость не только в сред-
297
нем, но и почти наверное, т. е., взяв любую реализацию xp(t)
процесса X(t) с вероятностью 1, будем иметь
т т
limy ^x9(t)dt = mx; но -^ Г xp(t) dt = -^-(cos шТ—1)->@
о о
при Г->оо, следовательно, с вероятностью 1 будем иметь
тж = 0. Далее,
т
у- Г. х9 (t) xp (£-H) dt=^- cos от + о (1),
о
т. еГимеет место и эргодичность относительно
корреляционной функции.
647. X(t) = a sin <&t cos cp -f- a cos a>£ sin cp;
AfX (£) = a sin (o£/W cos cp + a cos о>Ш sin cp;
T x*
f*{x)=z!7b> Mcos<f=-yw $«**°~%d*.
-—oo
_ f!
Рассмотрим интеграл 7(a)= J cos axe 2г/лс;
— oo
oo X^ oo ^ X^
7'(a) = — J л; sin axe 2 dx = — a J cos axe 2 я?лг = —a/(a),
_ *
2
т.е. y,(a) = — a/(a), JJa)=ce 2. Положим а = 0. Тогда
У(0) = ]/2гс, т. е. ^ = 1/2тг, следовательно,
a2 °° jf3
/(a) = 1/2^ 2 ; iWsincp = —f=- I sinxe 2^л;=--0,
— oo
отсюда
Mcoscp = -L^/(l) = ~i=;
у 2k ye
MX(t) = ^=sm<»t;
Ye
1 +
/fx (£, О = a2 (sin arf sin arf' (m cos2 cp -1 j
+ cosa>^cos^/Alsin2cp-(- sina)(^ + ^)iW coscpsincp —-^i|
oo Л* oo Jf3
AJ cos2 cp = -=■ Vcos2xe 2 dx = —j— \ e 2 dx-f-
Г /2« J 2/2S J '
— oo
_xl
+wtA cos2xe *dx=T+
i. i
2e*
298
M sin2 cp = -j —2^2"» ^ (cos T sin cp у^-j = 0;
тогда
Кх (t, t') = a21 cos <о* cos <&tf f у — -^H +
+ sin^sino)f(l-l + ^r)];
DX(0 = ^[cos2^(|-^ + sin2^(|-I +
Процесс не стационарный.
oo oo
648. MX(m)= £ an+mM%m = A £ ал+"т = Л5,
m = — «о от=—oo
oo
где через В обозначена сумма ряда V в>п+т, которая, оче-
т = — °°
видно, не зависит от п.
КЛп,1)=м\% ап+^-А) J а|+,(6,-Л)1г-
|_JX=—oo V= —oo J
(1, V—— оо
V=— oo ¥ = — oo
oo
обозначим l-{-v=j\ тогда А^(/г, £) = o* V а/г/+(л-о-
y=-oo
Таким образом, математическое ожидание]"процесса посто-
янно, а корреляционная функция зависит лишь от разности,
моментов п — /, т. е. этот процесс стационарный в широком
смысле. (В действительности даже в узком смысле.)
649. ЛК = 0; Кх(*1?) = Ъ при [t] Ф [Г] ([х] — „антье" —
целая часть числа х). Если Щ = [£'], т. е. t и г лежат внутри
одного и того же интервала времени [/г, л+1],^то
КЛЬ П=М [X (t) X (t')]=DX (t) =
— Г(Х+1) J * е аХ — Г(Х + 1) •
о
Очевидно, процесс не стационарен.
650. rn2 U) = — arccos *<1 •
299
(x-m)'
,661. Mx;.t)=f1(x) = -^==; Д(*, у; t, t + *) =
-2/u*)(*-«)(y-'rc)+/U0)(y-/rc)1!]}.
652. Найдем условную плотность сечения X(t-\-x\ если
f (У, * + *| \_ Mm,y,t, t + x) _
^\ \X(i) = m)~ Л («,')• —
= УЖ7Щ [ КхФ)Ъ-«Ф
Тогда
пх«+*-*\<-ъ«-\-ъ{у£%ы)-
653./7->2Ф0(в)~е]/А.
654. тх==0; DX = D; Kx (x) = £te-l4; этот процесс
непрерывен, но не дифференцируем.
655. Оба процесса непрерывны; первый не дифференцируем,
так как первая производная Кх{*) в нуле разрывна. Второй
процесс дифференцируем.
656. Ky{t9 П =КАЬ П + М &X(t)} +M [?X(f))+MИ-
а) Кх (t, t') = Кх (х) + DE, т. е. Y (t) — стационарный процесс;
6)Ky(tJ') = KA*)+KAt-t0)+KAt'-to) + DX, т. е.
Y(t) —не стационарный процесс, так как это выражение
яе является функцией только от f — t. Действительно, это
могло бы быть в случае, когда Кх (t — t0) + Кх (f — t0) =
=f(t' — t)f где /—любая функция. Положим f = t. Тогда
Кх(t — t0) = -«-/(О) — постоянная, что невозможно.
657. Дифференцируем два раза, так как первые четыре
-V
производные Кх(1) нейрерывны в нуле, а Кх {}) — разрывна
658. а) Положим Y(t) = X'(t)\ тогда ту = 0;
Ку(?) = -КхЬ) = 8е-2Ы {cos2x-sin|2T|}; Dv = ATy(0)=8.
16
Одномерная плотность Y(t) будет /у (х) =
б) P{\Xr(t)\<V3} = j^ j * 16rfx^0,4582,
-VT
300
т.-е. в любой момент времени t — касательная к произвольной
реализации этого процесса с вероятностью, приблизительно
равной 0,54, будет составлять с осью ot угол, больший 60°.
t V
659. Пусть Ky(t,t') = j Г Kx(s, sf)dsds' = Ky{V -t) или
Ky^) = \ds]\x{s,s')ds'.
о о
Тогда
/ t
^KA*J + *)ds = K'y{?)\ *,(*,* + *)+[ дк'^'/ + %) ds = 0,
о о
откуда, полагая t = 0, находим Кх (О, х) = 0, в частности
/Щ0)=0,
t
Kx{t,t') [дК*£П ds.
I-
df
Дифференцируя это равенство по tf находим
dt dt'
В пределе при t' -> t получим
dKx(t,f)
dt
= 0;
т. е. дисперсия процесса тождественно равна нулю, значит,
этот процесс с вероятностью 1 является неслучайной
функцией времени.
DDU- DX{t)- 4 4 в ^*бе = 4 *
т
661. /ср = — I I(t)dtf где I(t) — сила тока — случайный
процесс, равный сумме постоянной величины и процесса,
описывающего его флуктуацию относительно среднего: Тогда
т т
662. Корреляционная функция X(t) равна
оо
Kx{t)= J] Л cos», т. (**)
301
Для дифференцируемости (*) необходимо и достаточно
существование второй производной (**) в точке т = 0. Для этого
оо
нужно, чтобы сходился ряд V£)ft<*>2.
fe=l
оо
663. Кх (х) = У Dn cos n un; так как это есть ряд Фурье, то
л=1
его, как известно, всегда можно почленно интегрировать,
т. е. существует
тт
ЦКХ(Г-t)dtdt\
0 0 «.
значит, равенство (*) всегда можно почленно интегрировать.
664. a) MY{t) = MX (t) + М1Ш. = mx (t) + ^p-;
к (t t'\-K it H\ i д1<хУ,П , dKAt.t') , <PKx(t,f)
Ay (f, t) - Kx (t,t)-\ ^ 1 w 1 dfdt, ,
полагая здесь t' = t, найдем дисперсию;
6) Ky (х) = КХ{*)-Кх(*); Щ = mx; Dy =.DX — К* (0). Если
Кх (х) = ^е~^\ то /Су (х) = a2e~*H' (1 + 2а2 - 4а* х«).
665. /Су (х) = Кх (х) + К'х (х) + АГжУ (х).
666. /Су (х) = а2 Кх (х) + &2АГ; (х) + с2 К? (х); Dy = a2D, +
+ *"AT;(0) + c«/c!fV(0).
667. a) AV*. Г) = **&£!; б) А-^(х) = л-;(х);
в) 5^!fJZ!(a2x2-a|x| + l)
668. *„(*, n=f(t)f(t')Kx(t, n +f(t)9(n°\:: Г) +
Если #,(*, П = #.,(*' - 0 = /Сх(х), то
+ /(* + *)*(*) A^(x) + ?(*M* + x)/civ(x).
669. Kyz(t, Г) = аА-^1 + аВ ^фП. + ЬА^Р+
+ ьв
д*Кх«,П
dtdt
Если Кх = Кх(ч)у то
Kyz (т) = аАКх (х) + аД/^ (т) - ЬАК'х (т) - &Д АГ^ (т),.
т. е. процессы Y(t) и Z(£) стационарно связаны.
302
670. MY{t) = MX* (t) — DX(t) = b»; Y° (t) = X2 (t) - o2;
Двумерная плотность процесса X (t) в нашем случае будет
равна:
*»<*■* Т>° 2naVl-^(x)X
X ехр{~ 2сЧ1-^(х)] (^-З^-ЧУ + У2)),
где г = г (*) = -^-^-, тогда
М \X2(t)X2(t')\ = M [X2(t)X2(t + t)] =
2ж»*/1
=. Г f *y« a,u-') dxdy.
-оо — оо
Перейдя к полярным координатам, получим ^
M[X2(t)X2(t + *)} =
2% «о r2(l—2rcoscpsin9)
р== f cos2 cp sin2 cp rfcp Г г5 е 2а2(1"г2) rfr
2тсо2 ]Л1
о о
5 2*
4о*(1 — Г2) 2 I COS2 cp Sin2 cp ,
тс J (I — 2rC^rftcin,ft\3aCP-
* cos 9 sin cp)3
и
тс
Разбивая интервал интегрирования на части длиной -о" и делая
в каждом из получающихся интегралов замену переменной,
найдем
M[X2(t)X2(t + z)] =
8а4(1—г2)2 [ р° гЫг , f гМ*
J (1 - 2rz + ^2)3 + J (l _ 2rz + ^2)3 J - °* + 2r (T)«
Тогда окончательно получаем Ky(*) = 2Kl (т). Тот же
результат проще находится с помощью характеристических функций.
671. MY(t) = M[X*(t)]=M{[X*it)]* + m*}=o* + m2;
Kv (t, t') = M[V»(t) Г° (?)] = Ж {[X2 (t) - a2 - яг2] [X2(*') -
-a2 - tfl2]} = Ж [X2 (t) X2 (Г)] - a* - 2m2 a2 - m\
Характеристической функцией <p(#, v) двумерного случайного
вектора (X (t), X (t')) будет в условии задачи
Ф (я, *>) = exp km (a + v) — -|- (и2 + 2гй^ + v*)\.
Тогда
Ж [X' (*) Л» (О] = ^fe? | . = 2aV (x) + 4г (т) »V + a* +
|ц=г/=0
+ 2/rc2o2 + т\
303
следовательно,
оо
672. Положим U(t) = V(t)—[h(z)X(z + t)dz,
где h (z) — какая-нибудь неслучайная функция, такая, что
этот интеграл существует (в смысле среднего квадратического).
Тогда
*,«(-т) = М [X(t)U(t- т)] = М [X(t) Yit - т)] -
оо
- j h(z)M [X(t)X(z +t-T)]dz= Kxy(- x) -
о
оо оо
- j h(z)Kx\z-i)dz = Kxy(-x) - j h(z)Kx(* — z)dz,
так как &x (t) — четная функция. Положим KxU (?) — О», тогда
KXy{-*) = lh{z)Kx(?-*)dz,
т. е. Kxy(— ч) есть свертка функций h(z) и Kx(z). Обозначим
косинус-преобразование Фурье функций А (г), Kx(z) и Kxy(z)
соответственно через <Pi(£), ?г(0 и ? (0> т- е-
оо оо
?1 (0 = f А (*) cos ** ^э Тг (£) = f А^ (z) COS fc dz,
оо
<P (0 =.f Kxy (— г) cos tedz.
0
Тогда, как известно, <р (0 = <Pi (*) <P*W, т- е. <Pi (0 = ~^^Г "
Таким образом, функция <рх(£) однозначно определяется
заданием Кх {z} и Кху(— z). Но если <р(£) абсолютно интегрируема
н& (0, оо), то имеет место формула обращения
h(z) = ^<fl(t)costzdt,
т. е. однозначно определяется и функция А (г) так, что /Сд.и(х) =
оо
= 0. Полагая V(t) = { h(z)X(z-\- t)dz, мы и представим про-
о
цесс в виде суммы Y{t) = £/(£) + V(£) требуемого вида.
673. Имеем
D^ = а2 = КА0) = А = 100; /Cv(t) = Кх' (т) = - /Ci(*) =
= ^e-ah,^i+l!.(pC0SpT__asinp|x|); £)t==o;e^(0) =
= Л(а' + {52).
304
Тогда среднее число выбросов за уровень а в единицу
времени па определится по формуле
(а~тх)2 *,
Z -Jl-e 2а' - • А(«2+Р) ''и _ /0J .-3.125.
так [как нужно учитывать уклонение угла крена за 25° по
абсолютной величине, то для среднего числа таких
уклонений получим _
Na=T-2na= 120f50 g-3>*25^ll,6.
674. а2^9, v(t)=t^P-, /7iv=0, ^v(t) = 36^-21^(1-2|t|);
Д, = ov = 36; тогда
dt
(a-mx)2
i-.i. ■** [.-2Ф.(^)],
т = -£-/е[1-2Ф0(1)]=0,504.
675. Среднее число выбросов за нулевой уровень
определяется формулой
^o = i~=i^-*e(0) =0,1124 1/^.
676. Dv = 0,2514.
677. Задача равносильна отысканию среднего числа выбро-
dX(t)
сов процесса dt в единицу времени за нулевой уровень
сверху вниз, т. е. '
0 2тс а^, 2гс
678. Устройство не подавит возмущения X(t)y если
превысит №0, следовательно, необходимо подсчитать среднее
число п0 вйбросов процесса V (t) = * за уровень а =
= у -JT- по абсолютной величине.
Имеем
/Cv(t) = Л^—'-» (cospT+ ^-SinP|T|) ; av= |/Л;
av =/Л(а2 + Р2);/г0 = 2.
2%_ /<x2+P2 -ЩГ
2тс av *
20 Зак. 411 305
^_ О '■
679. n0 = 2^" » ax = At\ °v = ^ У1 -Ь а2^2; таким образом,
ла = 1—^— < *Ь <>ткУДа * > /4к2 i__a2 ; очевидно, т должно
быть больше -т^-.
680. Имеем X (t) = тх + ^U,zos^t+ "I/iSine,*; Af£/,=
= МК,=0;* Ж^ = ЛГ^ = а?;УЖ(^^) = Ж(У;1/1,)===0 при
Из нормальности процесса следует, что все величины £Л и 1Л
распределены по нормальному закону с параметрами (0, av)
и независимы. Далее, при любом t случайная величина
£/vCoso>v£-f- £/vsin<*>v£ распределена по нормальному закону
с параметрами (0, av), следовательно, одномерная плотность X{t)
будет нормальной с параметрами (0, л/ 2 м*
Корреляционная функция процесса X(f) равна /Ca.(^) = 2j^coswv'c.
Так как, по условию, процесс дифференцируем, то сходится ряд
Уа2шЬо2; ^=Уа2
Jed v v v» X £d »•
v v
Для среднего числа выбросов за единицу времени получаем
П° = Ъ^хв
*i
Для среднего времени пребывания процесса в течение
времени ./ выше уровня а находим
<*> U—m Л2
г Г "^
T=T\fx(x)dx = rJ-— \ е - dx =
__г
~ 2
/
681. S(a>) = -i5-(l4-cos<DTe).
X(JO)2
682. Г (T)=Sin<o,x-Sina)1(x)
•* v o>2 — Wj
683. S (ш) = -^- |^a2^_((o_p)2 + e» lj_ (w + p)»J
684. Кх(ч) = е—ч
3Q6
685. Нет, так как преобразование Фурье этой функций
оо
о/ \ 1 С is / \ * a2 sino>x
5(«))=—J ^(x)COS<OTrfx = — .——
О
не является неотрицательной на полуоси 0<<о<оо, что, как
известно, необходимо, по теореме Хинчина, для спектральной
плотности стационарного процесса.
686. Пусть /(л:, у) — плотность вектора (?, г\)\ тогда f(x, у) =
= f(x) при 0^л:<-2-, 2~^У^"2" (и нУл1а _вне этой
области), поэтому
2
MX (t) = ^f (х) [sin 2* (ta + 4") "" sin 27Г(tx —г)1dx^
о
2
#,(*, 0 = -y_yWcos27t(f -^)S = ^-fcos27rxjc/(jc)^
о
— процесс стационарный. Далее имеем
2 *
Кх(х) = -^- Г cos 2тс txf(x) dx=^ I /(-^-j cos o> т Ло =
о о
оо
= — \ <p(<*>)C0S«>Tda>,
о
(ш)=(х/(£)при0 <"><*-
I О „ 0)>7Г.
Таким образом, функция <р(ш) и есть спектральная плотность
процесса X (t).
687. Sy («) =— ( ,2 + 4tt2 + W+a*)-
О
где
б88- Мш) = (5)2; dv=J5vh^=-J-.
о
689. s(o))= r22Jla32w.
v ' те (а2 -+- со2)2
690. Первые два процесса не дифференцируемы, так как
w2s(a>) не.интегрируемо по полуоси (0, оо); третий процесс
дифференцируем, так как °>2s (а>) со-^, ■?. е. интегрируемо:
691. Если /г >/я — 4, то процесс не дифференцируем.
Если я — /тг — 4& — 4, то процесс дифференцируем Л раз.
20* ЗЙ7
692. При любом п > О Г со" 5 (со) rfco < оо (5 (со) — спектраль-
ная плотность процесса).
693. ,Н=1 jV-/Ux)</*= ^Щ^•
694. ,(e>=±jV,(x)cp8»,* = ^.(13q^fc^-
695 "(col — " 2ag2<"2 -
WO. г»<ш;— п j(a2 _|_ ^2 _)_ 0,2)2 _ 4^0,2] •
Процесс не дифференцируем, так как f co2s(co)dco расходится.
696. s (со) = ^ . (а2 ^ ^2)4. Процесс дифференцируем.
П оо во оо
697. КX(V = 2 > a • 2 ; 2 I 2 = I ——-s tfco =
/-1 0 J О У -во '
я
= JLe-x/hi Тогда /Q(x) = „V-^-e-xy^1.'
698. #„(x) = M[X°(0-^^-] = ***<£-" = -2Aa\e~^\
* oo oo
5Ж>, (со) = -L Г /^y (т) в""" rfx = - ^. Г хв- <л* + '«> dx=
— оо — оо
_ ™L
Аы 4аа / ч
699. KM, t') = a2Kx(t) — b2K"x{t), следовательно, ЛГу(х) =
= A«-«м [(a2 + 62 a2) + a (a2 - 62a2) | x |];
. v 2Л<*> (a» -|- ft q.2)
M10'- Я (о2 + 0)2)2 •
700. Обозначим Х(^ +^0) = АГ1(^), тогда
/G*. (x) = Kx (x +Л), *«. (со) = e^sx (со).
701. tfy^) = ^ [**(* +'о)+ *,,(* +'о)],
отсюда находим (см. задачу 700)
suv О») = еш° (Нт I*, («О + sxy (">)].
702. Применяя к уравнению операцию математического
ожидания, получим
5М% + Му = Ш% + ЗМх;
308
но так как MX(t) = 3t то МЦ^^М^Ш-^О, поэтому
MY(t) = 3MX(t) = 9. Найдем спектральную плотность
случайной функции X(t).
оо
О
Переходной функцией системы является
4со/ + 3
Ф (/(1)) :
5ш + 1 *
Поэтому спектральная плотность процесса Y(t) на выходе
системы будет определяться формулой
/ \ i лч / • \ 19 / \ 16а)8+ 9 4а
Далее
— 1? (Г
О
16(02 + 9 Лш = 9 16а2+45
(25о>2 + 1) (о>2 + а2) ^ 5 (5а + 1) '
703. my = 9; £>у = ^ • -gj+T.
704. Корреляционная функция /(*(*) = Ц^-а1т| в точке x=Q
не имеет производной, значит, процесс X (t) не
дифференцируем в обычном смысле (в среднем квадратическом), и
поэтому правую часть дифференциального уравнения (*) нужно
понимать в обобщенном смысле. Весь процесс, являющийся
правой частью уравнения (*), содержит в качестве
компоненты „белый шум", т. е. имеет бесконечную дисперсию и,
значит, не имеет спектральной плотности. Однако, как известно,
имея переходную функцию системы
ф (/о)) = M" + 6l
^' ' М/шр + МН + ва '
мы можем пользоваться формулой sy (со) = |Ф(к»)|2 $*(<»),
определяющей спектральную плотность стационарного
решения Y(t) дифференциального уравнения (*) через
спектральную плотность sx (ш) входного процесса, если существует
конечный интеграл j sy (a>) tfa>. Тогда находим формально обыч-
о
ным способом
Зак. 411. 309
т. е.
Ь 2 С
ту = — тх\ sx (со) = — I De~az cos coxrfx =
о
— 2Da ( \ - 2Da b^2 + ^
- K (a2 + tt2) ; ^ и; - n (a2 + 0,2) • flj + ^ _^^2 •
7Лк _ 5 , ч_ 4 (49a>2 + 25) ,
/UO. tfly - -g- mx\ Sy(<*>)- u(a)2+1)(a)2 + 4)(a)2 + 9^ .
706. Переходная функция системы будет тНт^Г' где^^со)
и Рт(ш) — многочлены, получающиеся соответственно из
левой и правой частей дифференциального оператора (*)
заменой производных соответствующими степенями /со. Тогда
для спектральной плотности найдем
I Pm (/a>) I' q (аЛ = \Рт(К»)\2РгП .
хК } | ял ('«>) I2 ЯК») '
Sy («О :
РЛ(Н
так как для дифференцируемости процесса У (t) не менее
чем N раз необходима интегрируемость s (a>)a>2Ar по полуоси
(О, оо), то получаем условие 2/тг + г-f-2jV — 2п — /<2.
707. MZ(0 ="W> Z0 (£) - * (0 К(*) — тхту = *•(*) Г° (*) +
+ tfl, ГО (t) + Л1уХ° (0; /С, (0 = /Г, (т) *, (0 + Ш^ (т) + VU0-
Следовательно,
с fm\ = ЛИ2(«1 + «2) , m^lg2 , "V^l
^ > TC[(ai + a2)2 + a)2] + *(a2+a)2)+^a2 + ft)J) ■
708. 5v(co) =- Г в-2«|х|-/»хЛ = 4°2" .
■У ч ' те J те (4a? -[- со2)
— оо
709. Пусть Кх{ъ) — корреляционная функция процесса X(t).
Тогда (см. задачу 671) корреляционная функция процесса Y(t)
будет К у ОО = 2К2Х (0 + 4tfi2A^ (т); поэтому
оо оо
sy И = ^ Г АГУ (*) e-'-'flfx = if Kl (*) е-'»ч*с +
— оо — оо
оо оо
+ пг f ** <х)в~'итЛ = 2' i fк*& e~im'"dz+4/ге2^ <ш)-
— оо *— оо
Первый интеграл здесь есть преобразование Фурье функции
Кх(ъ); так как sx(m) есть преобразование Фурье функции
/СЛТ)> то преобразование Фурье функции /С?(0 будет, как
известно, свертка sx (со) с собой, т. е.
оо оо
-i- J Kit?) e-^dx = J sx (a) sx (a) - a) da,
— oo —oo
310
следовательно, окончательно имеем
оо
sy(со) = 2 J sx (a) sx (со — и) du -f 4m?sx (<о).
710. МУУ) = м\ху)^У£\ = 0, так как для нормального
vr / 7Ч dX(t)
и стационарного процесса л (г) и dt в один и тот же мо-
мент времени t независимы, а М \ = 0- Тогда
*,(*. n = M[x(t)*g>.x(ПЩ = | *"^/(°12 •
Но
ж [X{t)X(t')Y = ж [*(*)*(*+*)]* =
= 2o4r2 (x) -f 4/ra2oV (x) + о4 + 2лА* + т4 =
= 2Kl (х) + \тгКх (х) + о4 + 2лЛ» + т4
(см. задачу 671). Поэтому
*> W = - Т • 5 [2^ СО + 4"*2АГ, (х) + а4 + 2mW + т*} =
= -К2 (х) - Кх W /С (х) - /и2/с; (х).
Тогда
о© оо
— оо — оо
00 ОО
— оо — оо
ОО 00
= Кх (*) ^ (^) e-/et | + *» j АГЖ (х) АГ; (х) е-'»^т.
-оо — оо
Здесь внеинтегральный член равен нулю, так как /С* СО-* О
при |т|-»оо в силу дифференцируемости процесса, поэтому,
еще раз интегрируя по частям, найдем
оо оо
J* Кх W К'х (х) e-'^dx = 1 К\ (х) е-**-- | + у j ATj (x) е-'«ч*т;
— оо —гоо —оо
так как первое слагаемое в правой части этого равенства
также равно нулю, то получаем
оо оо
f Кх (т) Кх (х) е-'«Л = | Г К1 (х) е-'-'rfx" =
— оо — оо
оо
= mo j sx (a) sx (со — a) da
— оо
311
(см. задачу 709). Далее
оо ов
J К'х (х) егы^ = —со2 J AT», (х) е-'««* = — глсо^ ((о)
(здесь мы также дважды интегрировали по частям).
Окончательно получим
оо
sy Н=тг J5* ^5*((D—u)dtt + m^sx И.
В частном случае, когда sx(a)) = ae 2ж?, получим
711. Вообще говоря, нет. Из сходимости в среднем Xn(t)
и Л*(£) при п -> оо следует сходимость, равномерная на
любом конечном интервале, корреляционных функций Кп(х)
к корреляционной функции Кх(ъ) предельного процесса, т. е.
сходимость интегралов
оо оо
J Sn(a>) COS Mdv к J Sx(a>) COS (Dxrfco.
о о
Здесь спектральные плотности можно [умножив их на —
рассматривать, как плотности распределения вероятностей,
а корреляционные функции — как характеристические
функции, им соответствующие [с точностью до —$- \. Но тогда мы
оказываемся в условиях, когда имеет место центральная
предельная теорема теории вероятностей, что, как известно, не
гарантирует выполнения локальной предельной теоремы для
плотностей, т. е. сходимости sn(w) к sx(w) при я-коо
равномерно не только на всей полуоси о>, но даже в каждой точке
(см. задачу 569).
712. Вариационный ряд: —2, —1, —1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2
содержит пять различных значений: —2, —1, 0, 1, 2. Их
частоты соответственно равны 0,1, 0,2, 0,2, 0,4, 0,1. Строя
гистограмму и функцию распределения выборки, за интервал h
возьмем единицу. Получим ломаные линии (рис. 28, 29).
х = 0,2, поэтому выборочное среднее число бракованных
изделий в данной партии ~п = (2-f 0,2)-10 = 22; s2 = 1,52.
713. * = 4,47те/, 52^0,0117, Si=M2 = 0,0121.
714. а) 52= 1287,8; 6)7=2809. s2=1206,8; M2 = ^z-[S2 =
= 1508,5..
312
715. jc = 165,5; s2 = 35,932; M2 = 35,968.
716. x^349 мкв\ 5^107 мкв\ с учетом поправок Шеп-
парда 5_== 106 мкв.
717. х = 43 жя; Л42 = 92,25 л*#а. Выборочный эксцесс Е^ =
= — 0,16, выборочная асимметрия 5^=—0,128.
718. 1) х = 40,35 мм, 5 = 0,043 мм;
2) х = 40,35; а) 5 = 0,044; б) 5 = 0,043.
-Г
-2,5
-2 -1,5 -1 ~Ц5 Л 0,5 1
I
3*
W
V
Рис. 28.
1
Рис. 29.
719. ^ = 14,34; 5а = 0,0015; ^ = -1,27; £* = 1,549.
720. 'jc ==4,004; 5 = 0,126; 5Л = 0,311; ^ = -0,117.
721. а) х = 2,484,. 5 = 0,144, 5* = -0,246, ^ = 3,165;
б) 5 = 0,168, с учетом поправок Шеппарда 5=0,166.
722._Пусть т — оцениваемое математическое ожидание.
Тогда х — т распределено асимптотически нормальло с
параметрами (0, -£=-). Так как а неизвестно, заменим его выборочным
средним квадратическим уклонением s =/92,25 = 9,60. Тогда
PUx — т j<л:0>99 ?—\ =0,99;.*о,99находим из условия 2Ф0(.*о,99)=
= 0,99 по таблицам функции Ф0(-*): ^0,99=2,58; таким
образом, Р f\x — m[< 2,58 ^|~Л = 0,99, т. е. с вероятностью 0,99
можно утверждать, что оцениваемое математическое
ожидание заключено в пределах
4,3 — 2,58
9,60
<>< 4,3+ 2,58
/200
723. 1213,6 *—1226,4 я.
724. (0,223; 0,380).
725. Р{\,\2%<р% <7,58%)
9,60
/200 '
= 0,95.
или 2,55 < т < 6,05.
313
726. « = 306.
727. a) Я {40,341</n< 40,359} = 0,9973;
б) Я{40,345 <m<40,355} = 0,95.
728. x = 21,84 ц с 1 га, sa = 6,64 ц}
a) />£ё2Ф0(1,74) = 0,91814; б) />£ё2Ф0(1,73) = 0,91167.
При выборке с возвращением (считая генеральную
совокупность бесконечной) имеем
0,99 _ (jt—21,84)'
Р{|х-21,84|<0,09}^2-^ \е 25° <** = 2Ф0(1,74).
о
При безвозвратной выборке стандартное отклонение
асимптотического нормального закона распределения выборочного
среднего будет равно
^у i4~»r
2500
' 500 000
/л|/ , ±""5°|/ , Т^ = 1'73-
' l~N " '500 000
729. а) п. > 809; б) п > 645; в) п > 330.
730. Зс = 2 к. о.; Ж2 = 7^гг«2=5,5 к. о.2; s1=V^^=2,3 к. о.
Я {-1,30а < 3 ^-=f- < 1,30а} = 250 (1,30а) = 0,95.
По таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями
свободы находим 1,3а = 2,2, т. е. а = 1,7, следовательно;
с вероятностью 0,95 будет —l,7j^<iV^0— 1—у— < 1,7 ^ ,
т. е. 0,3_</и<3,7.
731. х = 0,41; M2sps49.
Р{\х — т |< 0,46} = 0,95.
732. а) 1) Р {4,41 <т< 4,53} =0,99, 2) Р {4,42<от<4,52} =
= 0,95,
3) Р {4,43 < т < 4,51} =0,90; б) 1) Р {4,40<от<4,54} =
= 0,99,
2) Р {4,42<т <4,52} =0,95, 3) Я {4,43<т<4,51}=0,90.
733. Так как объем выборки « = 200 достаточно велик,
воспользуемся асимптотическим нормальным распределением
выборочной оценки дисперсии. Имеем s2 = 92,25; Zo,99=2,58.
1 + *о,99 V\ = l ± 2'58 Уш = l ± 0>26'
следовательно,
U,yy —/- i l26 <^ о ^ 074 j ,
т. е. с вероятностью 0,99 оцениваемая дисперсия з2 лежит
в интервале 73,21 < а2 < 124,63.
314
734. P (0,001445 < о2 < 0,002768} = 0,95.
735. a) P {165,0 < m < 166,0) > 0,99; P (32,26 < a* < 40,53} =
= a,99;
б) P (165,2 < m < 165,8} = 0,90; P (33,49 <o2 < 38,84} =
= 0,90.
736. s1 = 2,3. По таблице верхних (zx) и нижних (zt)
границ доверительных интервалов для оценки стандартного
уклонения о, составленных с помощью С-распределения, находим
z1 = 0,688; z2=l,826; тогда Р{2,3-0,688 <а2<2,3-1,826} =0,95,
т. е. с надежностью 0,95 искомое среднее квадратическое о
заключается в интервале 1,6<а<4,2.
737. а) Р (0,077 <а<0,183} = 0,99; б) Р (0,084 < о < 0,161} =
= 0,95;
в) Р (0,087_< о < 0,151 )=0,90.
738. а) р = Я{|;с — /га|< 0,015} =0,85844;
б) Р (0,127 < a < 0,165} = 0,99.
739. Дано: v)^.f при л->оо, т. е. Я{|*] — т| < е} > 1 —8
при любых е>0 и 8>0 при «>jV(e, 8). Задавшись е>0,
найдем ех так, чтобы \fiyi)—/(?) I < e при |tj — tI<Csi- Тогда
{|/(ч)-/(т)|<«} =
= /Mh —Tl<si)>l—8 при n>N(e1, 8).
740. М£=а~^ ; Db=a~£2 ; выборочные значения: я;=165,
s2 = 6948; приравнивая попарно MZ = x и D£ = s2, находим
a==3, £ = 0,024.
741. IK т^р) = С™1С%рт1+т*(1--р)П1+п*-т*-т>
lnL=lnC£ + lnC% + (m1 + m2)\np +
+ (ni + п2 — т1 — т2) In (1 — р)\
d In £ m1-{-mi пг + п2 — т1 — /я2 ^ — т1-\- т2
др — р 1— р ~~ ' Р ~ щ + п2 *
742. По методу моментов, сравнивая выборочное среднее
п
и математическое ожидание, найдем Х = — ^.xh т. е. оцен-
кой X является х. То же получим и по ' методу максимального
правдоподобия:
^2 xi e-n\
I (хг, х2у ..., xjl)= — (xi — целые числа).
315
din I
In/, = lnX 2^i — л*— ^1п(л:г1),
*=i f-i
n
<ЭХ
*=1
Очевидно, эта оценка несмещенная: ЛЬс = М£ = Х. Для
эффективной оценки / параметра \ должно быть
~ ' " л!
*=0 " ' п=0
л-Х п *
■2№.. ££
*=0
Для оценки х имеем
т. е. достигается нижняя граница дисперсий несмещенных
оценок параметра X, значит х есть эффективная оценка X.
743. Вычислим первые два начальных момента распреде-
ния Е:
отсюда • Xj = <*!— ]/а2 — ai — а? ; Х2 = ах + ]/ а2 — ах — а* ;
теперь найдем выборочные значения этих двух моментов:
10 10
а» = S57 2 йл*=2,8379; а*=327 S **п*"""Х1,425,
*=0 fc=0
Полагая 0^ = ^; а2 = а2, находим Х1^2,11; ^2 = 3,57.
л
744.,а) •* = "„" 5jx'; так как х'1 независимы и распреде-
/=i _
лены по закону Коши (который устойчив), то ид:
распределено по тому "же закону, поэтому х имеет бесконечную
дисперсию и ке сходится по вероятности к ji, ибо распределение
разности х — р. не зависит от п.
б) Имеем
w/01n/(6)\«_4 7 _(x^-^dx__l_
т[ ^ J — 71 J [l + (*_rtl]5 — 2 '
— о»
316
следовательно, нижняя граница дисперсий несмещенных
оценок для [1 будет равна
__!__ — А*
.,/ain/(Q\» — я '
""(ST)
о
тогда из -^<0,01 раходим /г>200.
745. Оценкой /? является
п
1
*=^2*/; жд:=^=/гА
/=1
т. е. оценка несмещенная. Нижней границей дисперсий будет
°о— "fdln^wp тп
пМ\ ———
.p^fflf
НО
л
rw_ 1 V1 п„ _птр(\—р) __ р(\—р) _
Dx — l№ 2 ОХ1 — ПтРп*тг Р -
т. .е. оценка х эффективная.
п
747. Af? = -1 ^ Л* [g (*,) - а]» = а2;
0)
D28 = l2D^^)-a]2= i^{teO)-«]
i = l
па
Y^\[g^)-aYg'{x)e
Найдем нижнюю границу дисперсий несмещенных оценок о\\
1 2а4
а;
2 —
йА| 7W Г1п(а /2*)+ln gf {1)" L )
Значит, г2 есть несмещенная и эффективная оценка для о*.
749. Функция правдоподобия
L=—LT^p{-i[(g(^-ar + ...-\-(g(xn)-an\x
а»(2т02
Уравнение правдоподобия
317
750. a) L(xu x2, ..., xja)-.
a"P
■fax, . . . Л'л)Р-1<Га(*1+*2+-+ДЧ
Г«(р)
д In L пр / i i i \ л
Sr = 'T — {Xi + x1+...+xn) = 09
т. е. оценка a = , ^—т—r.
б) Так как закон х2 устойчив, то для случайной величины
у = хг-{-х2-\-...-\-хп плотность будет
апр хпр~1 л"**
/>(■*) = г(«й • х>0-
~ Л/7
Тогда a = -7"
оо оо
Ma =пр J1/, (*)^ = ^jV^-" rf*
о
Пр—\ ' Л/7— 1 '
т. е. а имеет смещение ^_ t ;
ч ~ ~ * л/7 — 1 ~ пр — \ пр — \ Л/г
в) ai=a-^ = "^T"a= .1+,.,+,я =~; Жа1=а;
о
Тогда
ш*(пр-1) ._ а2
Dax
л/? —2 пр — 2
Но нижняя граница дисперсий несмещенных оценок
параметра а равна
_2_ 1 ain/(*) _ пр дМп/(*)_ л/7
О- „/02 In/(£) \ ' da — а <Эсх2 ~~ *2 >
лЛП
,/*ln/(E)\ '
Ц—яг- j
следовательно, ag = —, т. е. Da.l > а*, значит, оценки аг и a
не эффективны, но асимптотически эффективны, так как
a* a2
s со— при п-+со.
пр — 2 пр к
751. 1) Пусть искомая точка имеет координаты (и, v, 1).
Рассмотрим оценку ее абсциссы и. Пусть хи ..., хп — абсциссы
точек вспышек на экране. Спроектируем всю совокупность
точек и источйиков излучения на плоскость хОу (рис. 30). Най-
318
дем функцию распределения координаты точки вспышки. Если
х—абсцисса этой точки, a t — любое число, то (рис. 31) для
осуществления события x<Ct нужно, чтобы было <Р<-2" +
+ arctg(£— а). Так как для того, чтобы луч из источника
вообще попал на экран, необходимо, чтобы было 0 < ср < тг,
в силу равномерного распределения лучей
P[x<t}=F(x) = ± + ±xctg(t-ii),
т. е. абсциссы точек вспышек распределены по закону Коши.
2
х{ 0
1
х2 х3
Рис. 30.
Рис. 31.
Дифференцируя F(x)f находим плотность этого закона:
/w=4
1
1С (/ — tf)2+l '
тогда функция правдоподобия будет
L(xlt ...,Лл/и) = 4гПт7^
(**-.в)«+1
k-1
\nL--nlnn — 2ln[(;tft — и)2+1].
Уравнение правдоподобия
дЫЬ уч 2 (xk — и)
~ШГ — 2а (**-и)2+1
= 0.
л=1
(*)
2) Пусть п = 2, т. е. имеются всего две вспышки. Тогда
это уравнение примет вид
(х1-и)[(х2-а)^+Ц+(х2-и)[(х1-иГ+\]=0,
или
(х1 + х2 — 2а) [{х1 — а)(х2 — и)-{-1]=0.
Одно решение этого уравнения будет а =
*1 + -У2
Остальные
два решения находятся из уравнения, которому можно
придать вид
Х\ — Х2 \ л
(и--хУ = (-*=*-)*-
319
Рассмотрим два случая: а) если 1^ — *2|^2, то решения
этого последнего уравнения будут, очевидно, мнимые, значит,
имеется только одно вещественное решение уравнения
правдоподобия % = .*:= х*^*2 , которое и дает статистическую
оценку абсциссы точки излучения; б) если \хг — лг21 > 2, то
значение иг = х уже доставляет не максимум, а минимум
функции правдоподобия и поэтому не может служить оценкой
и. За оценку а в этом случае берут любое из двух
остальных решений уравнения правдоподобия: и2 или иь. (Обычно
выбирают то, которое ближе к центру фольги.)
762. Функцией правдоподобия для оценки этих параметров
будет:
где Х\ < х2 <; <^ хп — вариационный ряд.
1) Пусть а —фиксировано; функция - L (хъ .-..., хл/а, [а).
п
достигает наибольшего значения, если сумма J] \xi — Н Д0-
стигает наименьшего, значения. Пусть n^=2k-^\; тогда
значение р., доставляющее наименьшее значение этой сумме
и в то же время являющееся функцией выборочных значений
jc/, будет хм = хп_х = Xfa т. е. быборочная медиана. Действи-
тельно, положив \к = хь-\-а, получим
l*i — И-1Ч— • - • +|*л —Н = 1 •*! — •** 1+ ••• +\хп — *к\ +
+ |«|>1^1 — **1 + ••• +\*п — *k\-
Если n=±2ky то выборочная медиана не будет однозначно
определена, и за хм ^можно взять любое число из отрезка
JL*k* xk+i\* Далее из уравнения правдоподобия —^-=0
находим оценку параметра а:
п
£\*1-*м\
753. Функцией правдоподобия для параметра 6 будет
i=\
Функция Ь(хъ ..., хп/Ь) при фиксированных хъ ... , хп
и условии |*/|^в, 1=1, 2, ... , п достигает наибольшего
значения, когда 1 — е~в достигает наименьшего значения, а из
320
функций от хи х2, ... , хп (учитывая |*/Кв) это будет при
6 = тах|л:/|. Э?Ь, т. е. t — max\xt\, и будет оценкой
максимального правдоподобия для_параметра 6.
754. Так как величина ^— s имеет Х'распределение, т. е.
о
величина s имеет плотность
п
|2 *пхъ
°nrW
то 'дисперсия s равна
■>(*)
применяя формулу Стирлинга, получим
тогда
Таким образом, обе оценки V^2 и $' не являются
эффективными, но асимптотически эффективны, так как их дисперсии
эквивалентны -^ при я-^оо, т. е. нижней границе
дисперсий. При я = 2 и /г = 3 для эффективности j/М2 получим
е(\ГМ2, /г = 2)=2(тстс_2) ^0,688; гО^, л = 3)^0,777.
Для 5' имеем соответственно 0,438 и 0,610, т. е. для малых.
п \ПМ2 лучше.
755. 1) Для равномерного распределения на [а, Ь\
функция распределения равна
H*) = f5j. а<.х<Ь.
Подставляем это значение F(x) в выражения плотностей I и tj
(см. задачу 402), находим
21 Зак. 411 321
а + Ь
значит, с есть несмещенная оценка —у- .
2) D7=D{^^D(l+yi) = ^Di + ^Dn +
-1- 2 т\Ф\)— 2(л+1)(/1 + 2)
Так как Dc->0 при л->оо, то эта оценка состоятельная.
3) Мы имеем дело с „не регулярным случаем" — плотность
распределения генеральной совокупности имеет две точки
разрыва (а и й), и этим объясняется, что при п -► оо
дисперсия оценки убывает как величина порядка -^-, а не как —,
что, как известно^ имеет место в регулярном случае. Таким
образом, оценка с при больших п будет иметь меньшую
дисперсию, чем ее нижняя граница для любой регулярной
оценки, т. е. с—.сверхэффективнаяа оценка —2~.
756. a) M(b — 7i) = (b — a)(l—jfjr[)> T- е- оценка
смещенная;
б) £>(£-?))= 2((n6~g((;~21)) ,т.е.В-(6-ч)->0при я + со,
значит, оценка состоятельная;
в) дисперсия этой оценки или дисперсия , несмещенной
оценки
имеет порядок -^ , т. е. оценка „сверхэффективная"
(нерегулярный случай).
757. а) Используя результат задачи 402, находим плотность а:
/а(х)=пея*-пх, х>а;
тогда Ма = а-{- —, т. е. оценка а смещенная;
б) несмещенной оценкой, очевидно, будет а= а ;
в) Da = Da = -^ ->0 при л-»со, т. е. обе с/ценки
состоятельные;
"^ 1
г) порядок Da=— указывает, что эта оценка
„сверхэффективная", так как ее дисперсия меньше нижней границы
дисперсий несмещенных оценок для регулярного случая.
322
758. AfZ = a; DZ = M(Z — MZf=M [c(x1 — a) + (\ — 2c) X
X (xt - a) + с (x, - a)]2=(1 - Ac + 6c2) o2 -}- 2c (1 - 2c) ц12 + 2c2fx13.
Плотность совместного распределения (лг1} л2), (л;,, х3) и
(л2, л:3) находим в пункте г) задачи 402. Так, например,
F13(x, y) = 6 J f(t)dt j[F(z)-F(t)]f(z)dz; fU3(x, y) = '
~=6f(x)f(y)[F(x)-F(y)] =
_ (x-ay+(y-af * _ (t-ay
=^=T«~ 2" )e " dt (x>^-
n v 2ita* J
Тогда
(у-аУ
^ = M[{x1-a){xb-a)]=—^=: J 0>-a)*~ 2a' tf у X
— oo
У (x-ay * (t-ay
X j {x — a)e 2°' dx^ e 2" dt.
— oo у
Рассмотрим отдельно внутренний интеграл по х:
У (х-ау * {t-ay
j= j J£^Le~ 2" dx\e 2" dt.
-о. у
Интегрируя по частям, найдем
У (х-аУ
J= J e 2" dx,
— oo
тогда
(У-аУ У (jX—ay
th
00
°° 3 (y-g)2
1С /Я J
3 (y-fl)2 r__
Аналогично вычисляются ц12 и [х28 и окончательно получаем
DZ=(1— 4£+6c2)o2 + ?i^(6c— 9с2 — 1);
^ = (-4+12,)a2 + ^(6-18,) = 0,
откуда
1 dWZ . Л
т. е. дисперсия достигает минимума при с = ~т-, но тогда
*1 + -*2 + -*3 —
z = 3 = х.
21* 323
759. Вычислим величину
Л — Я/? Т /10 —U,//U.
Число степеней свободы распределения х2 в нашем случае
г—1 = 1. По таблице находим для 5%-ного уровня
значимости Хо,о5 = 3,841; так как наблюденное значение ха = 0.776
значительно меньше, то с вероятностью 0,95 принимаем
гипотезу. По таблице распределения х2 находим, что Я{х2>-
>- 0,776} =0,38, т. е. при многократном повторении таких
экспериментов (по 4040 бросаний правильной монеты)
примерно в 38% случаев следует ожидать не меньшего
отклонения.
760. Число степеней свободы г—1 = 11. Для 5- и 10%-ного
уровней значимости находим аху^ветственно Ходе = 19,7;*
Х§10=17,3; фактически же значение х2 = 9,9, т. е. гипотеза
должна быть принята как с 5-, так и с 10% -ным.. уровнями
значимости. По таблицам находим, что Р{х2> 9,9} =0,5, т. е.
примерно в половине всех случаев, при справедливости
гипотезы, мы должны ожидать не меньшего уклонения.
761. лг = Х = 0,9323; ха= 1,171- Согласование с гипотезой
очень хорошее; так, например, для 5%-ного уровня
значимости из таблиц распределения х2 с пятью степенями свободы
находим Хо,о5—И>070. Такого же, как мы получили, или
большего уклонения можно ожидать более чем в 90% случаев,
762. /7 = 0,1; п = 200; пр = 20; х2 = 24,90. По таблицам
распределения х2 с девятью степенями свободы находим для
5%-НОГО урОВНЯ Хо,05=16>9. ДЛЯ 1%-НОГО урОВНЯ Хо,01=21>7»
т. е. уклонение х2 превосходит значения 5- и 1%-ного
уровней, следовательно, гипотезу о равномерном распределении
определяемых на глаз делений шкалы прибора следует
отбросить. Это указывает на тот что наблюдатель отдает
предпочтение (подсознательно) некоторым определенным цифрам,
в нашем случае — цифрам 0 и 8.
763. х = 11,911; х2 = 4,006. По таблице х2 с десятью
степенями свободы находим Ходе —18,307; так как х2> найденное по
выборке, меньше значения 5%-ного доверительного уровня,
то с надежностью 0,95 гипотеза принимается. Согласование
здесь настолько хорошее, что в 90% всех случаев следует
ожидать больших отклонений.
764. ^ = 3,87; х2 = 12,885. 5%-ное уклонение
распределения х2 с десятью степенями, свободы Хо,о5= 18,307,
следовательно, гипотеза согласуется с опытными данными. Так как
Р (х2> 12,885} =0,25, то примерно в четверти всех случаев
можно ожидать такого уклонения.
324
765. Так как объемы выборок п = 50 сравнительно велики
и уклонение от среднего отдельной лампы близко к
нормальной случайной величине, то можно считать, что разность
между выборочными средними хг— х2 распределена по
нормальному закону со средним квадратическим уклонением
1 /"802 942
а-__- = у "5б^ "бб^^ **' тогДа> задаваясь, например, 5%-ным
доверительным уровнем, найдем
Р{\х1-~х2\> а-_-\05} = 0,05,
Х\ Х^
ИЛИ
Р[\х1 — х2\> 17,5-1,96} = 0,05,
следовательно, 5%-ное значение нормального уклонения
с дисперсией 17,5 равно 34,3, а фактически наблюденное
1282—1208=74—-более чем вдвое превосходит значение
5%-ного уровня. Гипотезу о равенстве средних следует
отбросить.
766. Л1о таблице £-распределения с девятнадцатью
степенями свободы находим для 5%-ного уровня, т. е. из.
1 -250 ( ^- 1 а) = 0,05; К " ~~ * а = 2,1, значение Р{\х-
— *i1_> а} = Р{\'х — хг |>2,29} = 0,05. Наблюденное значение
| л: — л: | =4, что превосходит это значение для 5 % -нога
уровня. Для 1%-ного уровня значимости находим £001=3,05,.
следовательно/ уклонение сильно значимо и гипотезу о
равенстве средних в выборках следует отбросить.
767. ^ = 2,063; ^2-= 2,059; хг— х2 = 4 мк. Пусть тх и т2—
средние значения генеральных совокупностей, соответствую-
щих первой и второй выборкам. Тогда величина
U
. (*i — х2) — (тг — т2) т/ п1п1(/г1 + п1—2)
V'-
V4*? + Vi П1 + П2
распределена по закону Стьюдента с пх-\-п2 — 2 степенями;
свободы #iSi = 86; n2sl = 44. Вычислим фактическое значение
t при условии, что гипотеза справедлива,' т. е. т1 = т2:
число степеней свободы &=18; по таблице ^-распределения
с восемнадцатью степенями свободы находим Я{|£|>3,3} =
= 0,004, т. е. даже с 0,5%:ным уровнем значимости, нашу
гипотезу о постоянстве средней генеральной совокупности,
следует отбросить.
32S
768. Объединяя в 6 групп всю выборку задачи 716,
получим таблицу
1 h
1 ч
<225
6
225—275
9
275-325
6
| 325-375
8
375-425
6
>425
5
jc = 349; 5=106,
л:-349
х (z-349)a 106 t2
4 ' 106/2* J /2я J \ 106 /
По таблицам Ф(;с) находим рх = Р {/< 225) =0,2036; р% =
= Р{225</< 275} =0,1221 и т. д. х2 = 5,494. По таблицам
распределения х2 с пятью степенями свободы находим, что
данные выборки согласуются с гипотезой лишь для 30%-ного
уровня значимости, т. е. гипотеза о нормальности
генеральной совокупности слабо согласуется с опытными данными.
Применяя критерий Колмогорова, найдем max | F*n (х) —
— F(x) | = 0,234; Vn-0,234=1,48 = Х; К(X) = 0,97497, т. е.
Р{\К (х) — F(x)\> 0,234} < 0,03,
т. е. гипотезу о нормальности следует отбросить.
769 7- щ + т2 - 1Й- 7— — -
/Ю.р— П1 + П2 —240' q — 240'
2 _ (щ — nip) , Ui — Щ — ntf) ^ , (т2 — п2р) .
nip п& п2р
, [щ — т2 — n2q)2 _ [n1 — nlpf(n1 + n2) _ ^ Qg7
n2q n^pq
По таблицам х2 с одной степенью свободы (так как четыре
наблюденных значения ти тъ пх — тъ п2 — т2 связаны
двумя линейными уравнениями и оценивается один параметр р)
находим значение 5%-ного уровня значимости: Хо,о5 = 3,84; так
как наблюденное х2= 1,087 меньше, то опытные данные
согласуются с гипотезой. По таблицам находим, что более чем
в 20% случаев следует ожидать не меньшего уклонения.
770. Dn = max\F*n(x) — F(x) | = 0,156; /лЯл = 2,206^2,21.
X
По таблице функции К (х) находим, что уклонение
превосходит даже значение 0,1%-ного уровня — вероятность того, что
VnDn > 2,62 равна примерно 0,00012, следовательно, гипотеза
опровергается опытными данными.
326
771. Найденное по выборке значение YnDn=l,54:
превосходит, например, значение 2%-ного уровня Хо>02=1>52, т. е.
гипотезу следует отбросить. _
772. Гипотеза согласуется с выборкой, так как VriDn=0,894,
я значение, например, 5%-ного уровня значимости Хо,о5 = 1>36.
По таблицам функции К(х) находим, что в 40% случаев
следует ожидать не меньшего уклонения, чем наблюденное.
773. Выборка-не согласуется с гипотезой, так как j//tD„ =
= уТЮ-0,258 = 2 превосходит значение 0,1%-ного уровня
значимости, которое равно 1,95.
774. YnDn — \Jb немного превосходит значение 0,5%-ного
уровня значимости критерия Колмогорова, следовательно,
выборка не согласуется с гипотезой о нормальности генеральной
совокупности.
775. Максимальная разность выборочных функций
распределения D = 0,1667. Зададимся 5%-ным уровнем значимости.
По таблице KQ) найдем 5% -ное значение ^o,os — 1,36, т.*е.
D>XoJ=0,05, но—, * , -0,1667 =
1 V-k+:k > Vw+ж
= 0,913<1,35,
е. гипотеза согласуется с эмпирическими данными.
776. Безусловная функция распределения величины xt будет
P{x1<x)=F1(x) =
0 при х^.0,
(l-A)-f • Q<x<m>
Л + (1— Pi)-J- . m<x<L,
1 . *>£,
т. е. эта случайная величина не является ни дискретной, ни
непрерывной. Обозначим через
/2(у)= ' е 2"
о у 2к
плотность величины х2. Найдем плотность величины 2 =
— «^1 Х^\
» т— 0
/*(*) = J' M* + x)dF1(z)= J f%(z + x)dFl[z) +
— oo —oo
327
00
+ /2(/ra + x)[/=1(m + 0)-F1(m-0)] + j f2(z + x)dF1{z) =
171 + 0
_ Pi e 2°' 4- 1-Pl Гф /^ + x-«\ _ ф (x-m\\
где Ф0 (*) = y^-J e 2 dt. Тогда
о
P{\x1-x2\>t}=P{\z\>t}= f fz(x)dx =
\z\>t
— oo t — oo
' = ¥(*, m).
Пусть теперь фактически получены значения хг и хъ а
значит и ^ = 1^ — хг\. Зададимся уровнем значимости р.
Предположим, что гипотеза х1 = т верна. Тогда, полагая в
выражении вероятности P{\x1 — x2\>t) т = х1У будем ийеть
w у, х)=р[\*1-х»\>*\Х1==т}=&—Ц±Ф,м+
о
+ ф« (Ч*)]**=т-11 - 2Ф° W1 +
+
0-Pi)»
г^ оо
{x)dx — Г Ф0(л:)^л;-|-
-L—t-Xx
+ Г Ф0(л;)яГх — Г Ф0(л;)яГл;
ж, +t
-Xr-t
Учитывая нечетность Ф0(^) и считая, например, L>x1-^-t
и хг > ty получим * *
W(t, *l) = £L[i_2$e(0H
l-A
(^—«. + 0*.(t=^±I)
328
Если это значение окажется меньше $:W-(t, л^ХР, то
уклонение значимо и мы с надежностью 1—р Отвергаем гипотезу
Хх = т как не согласующуюся с опытными данными. Если
W (t, л:) > р, мы принимаем эту гипотезу.
777. Пусть выборочное распределение Е и ^ будет
соответственно х и у. Тогда х = 9,88; у = 7,63; s^ = 8,526; sy = 7,742;
rxy = 0,865; /у/* = 0,78; уравнение регрессии у —7,63 =
= 0,78 (*—9,38). Обозначим "П=Ц + ^, где X—-истинный
коэффициент регрессии т\ по Е; его статистической оценкой является /=
=?0,78> Выборочным распределением С будет z=y—lx. Тогда яг=
= }А—г2-оу = 3,88, следовательно, с точностью до случайной
величины, имеющей среднее квадратическое уклонение 3,88,
связь между vj и Б можно считать линейной и ее
статистической оценкой является выборочное уравнение регрессии.
Так как число наблюдений п = 296 достаточно велико, то
приближенно
or = i—^ = 0,015.
778. гху = 0,792. .Если положить C = vj — Х£, где X —
коэффициент регрессии v\ по ?, то 2: = у — /л; будет выборочным
распределением С. Находим s2 = Yl—г2-^ = 0,25. Так как
коэффициент корреляции Ггу<0,8, а стандартное уклонение
$z = 0,25 велико по сравнению с самими значениями j/, то
зависимость yj от I весьма грубо можно считать линейной.
Точнее, она аппроксимируется с помощью параболической
регрессии г\ по £.
779. r = 0,63; sr = 0,08;y — 5,23 = 0,0015 (* — 4747); 'z=y-
~-lx. sz = 0J9. Так как коэффициент корреляции довольно
велик, то связь у с х довольно сильная. Так как коэффициент
корреляции довольно сильно отличается от единицы,
выборочный коэффициент регрессии у по х очень мал, а среднее
ква;уэатическое уклонение разности z = y— lxy т. С
нелинейной составляющей зависимости у от х, велико сравнительно
со средним квадратическим уклонением самой величины
y(sys0,617), то зависимость у от х явно нелинейна.
780. х^—12; 3/ = — 13,8; 5^ = 4,59;* 5У = 4,46; г = 0,9;
У+13,8 = 0,87. (х+12); z=y — lx; s2=l,95. Так - как коэф-
329
фициент корреляции близок к единице, а среднее квадрати-
ческое уклонение нелинейной составляющей зависимости,
связывающей у и х, т. е. sz, мало, то эту зависимость можно
считать линейной.^
781.^=15,6; у = 13,8; ^ = 2,20; sy-=l,87. Согласие с
гипотезой нормальности эмпирических данных очень хорошее;
так, для температуры в Москве имеем }/ГпОп = 0,74. По
таблицам ЛГ(Х) находим, что в 65% случаев следует ожидать не
меньшего отклонения. гху = 0,997; у— 13,8 = 0,213{х—15,6).
Полагая z = у — 1х=у — 0,213*, находим s2 = 0,021.
Зависимость у от х явно линейная.
782. Пусть и — чувствительность видеоканала, а
^—чувствительность звукового канала телевизоров. Тогда # = 406 мкв,
т>=192 мкв; 5Ц= 112,8 мкв, 5^ = 92,4 мкв, ruv = 0,27; с
вероятностью 0,95 имеем 383<Ми<426; 183<Ato<201; 108Д <
<ои< 142,4; 81,3 < а, < 107,2; 0,10 <рот< 0,44.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава I. Понятие вероятности случайного события, формулы
сложения и умножения вероятностей, формула полной
вероятности, формула Байеса . 5
Задачи к главе I . 6
Глава II. Последовательность независимых испытаний (схема Бер-
нулли), локальная и интегральная теоремы Муавра—Лапласа,
теорема Пуассона . . 27
Задачи к главе II . 28
Глава III. Случайные величины и функции распределения
вероятностей. Числовые характеристики распределений . 36
Згдачи к главе III . . 42
Глава tV. Закон больших чисел 75
Задачи к главе IV ..... 76
Глава V. Предельные теоремы теории вероятностей 83
Задачи к главе V . 85
Глава VI. Цепи Маркова 91
Задачи к главе VI 94
Глава VII. Случайные процессы (случайные функции) 100
Задачи к главе VII 109
Глава VIII. Математическая статистика 126
Задачи к главе VIII 135
Ответы и решения 154
Емельянов Георгий Владимирович, Скитович Виктор Павлович
ЗАДАЧНИК ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Редактор 3. И. Царькова
Художник Г. А. Соколов
Техн. редактор Л. И. Киселева Корректоры Г. А. Морген, Е. К. Лелякова
М-08471. Сдано в набор 22 ХГ 1966 г. .Подписано к печати 30 III 1967 г.
Бумага типографская № 3, формат бум. бОхЭО'Лв-
Печ. л. 20,75. Уч.-изд. л. 22,48. Бум. л. 10,38. Тираж 37 000 ЭКЗ.
Издательство ЛОЛГУ им. А. А. Жданова. Заказ 837. Цена 73 коп. в переплете.
Отпечатано с набора типографии ЛОЛГУ им. А. А. Жданова в типографии № 14
«Красный печатник» Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров
СССР. Ленинград, Московский пр., 91. Зак. 411.
ИСПРАВЛЕНИЯ
Стр.
32
42
56
180
195
200
204
208
241
253
262
262
312
Строка
18 снизу
13 сверху
1 сверху
11 сверху
7 снизу
7 сверху
7 сверху
11 сверху
1 сверху
7 сверху
3 снизу
2 снизу
9 сверху
Напечатано
минимальное
<Pc(0 = <MO+q>ij(0
1
pi L^ rn-np
\ 1.26 ^ /H^ ^
<iij
1 / • A^
— (sins-l)
X»
/„ (x\ — L p 2
Д W"~ , Г7Г-
4 у 2л
nt < * ^ (/i + l) t
* {V-l ^ * < zn)
Я1 = 1п(а>/Га2я7)
P = —1—Р(Л)Р(Я)
Д£п=1
(71 \
Р{тД^-1)<*}
и X (/)
Следует читать
максимальное
<Pc(0 = T«;(0-q>ij(0
s.
p [ 2 ^ m-np^
\ 1.^8 yfnpq
1.58}
|(sin^l)
1 -^
f. /r\ — x p 32
4/2я
nx<t ^ (n^-\) x
Р{*п-1^*т+\<*п)
#1 = 1п(а/2я7)
p = l-P(A)P(B)
Dr)n = n
,Uj»-,><-]
kX(0
Заказ 411.